Teoria de Conjuntos, una introduccion

Teor´ıa de Conjuntos (una introducci´on) Fernando Hern´andez Hern´andez Contenido Prefacio vii 1 Introducci´ on Hi...

Author: Fernando Hernandez Hernandez | 2003

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Teor´ıa de Conjuntos (una introducci´on)

Fernando Hern´andez Hern´andez

Contenido

Prefacio

vii

1 Introducci´ on Hist´ orica

1

2 Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos 2.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Los Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9

´ 3 Algebra de Conjuntos 23 3.1 Operaciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Familias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Relaciones y Funciones 4.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Productos Cartesianos Arbitrarios 4.4 Equivalencias y Particiones . . . . ´ 4.5 Ordenes . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Sobre Clases . . . . . . . . . . . . .

43 43 49 63 69 77 92

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N´ umeros Naturales Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de los N´ umeros Naturales El Teorema de Recursi´ on . . . . . . . Aritm´etica de los N´ umeros Naturales .

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95 . 95 . 100 . 105 . 111

6 La Extensi´ on de los Naturales a los Reales 6.1 Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Los Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Los Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Sucesiones de Cauchy de N´ umeros Racionales

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5 Los 5.1 5.2 5.3 5.4

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119 119 122 126 132

ii

Contenido

6.5

Los Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7 Cardinalidad 7.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . 7.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos 7.4 Conjuntos Numerables . . . . . . . . 7.5 N´ umeros Cardinales . . . . . . . . . 7.6 Aritm´etica Cardinal . . . . . . . . . 7.7 El Continuo . . . . . . . . . . . . . .

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149 149 150 154 156 161 164 169

8 El Axioma de Elecci´ on 8.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . 8.2 El Axioma de Elecci´ on . . . . . . . 8.3 Cuatro Equivalencias Importantes 8.4 Uso del Axioma de Elecci´ on . . . . 8.5 El Teorema del Ideal Primo . . . . 8.6 Otras Proposiciones Relacionadas. 8.7 Matem´ aticas sin Elecci´ on. . . . . .

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175 175 177 181 188 199 210 214

9 Ordinales 9.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . 9.2 N´ umeros Ordinales . . . . . . . . . 9.3 El Axioma de Reemplazo . . . . . 9.4 Inducci´ on y Recursi´on Transfinita . 9.5 Aritm´etica Ordinal . . . . . . . . . 9.6 Ordinales Iniciales y Alephs . . . . 9.7 Suma y Multiplicaci´ on de Alephs .

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217 217 218 222 227 232 245 250

10 Teor´ıa de Cardinales 10.1 N´ umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´ on 10.2 Sumas y Productos Infinitos . . . . . . . . . . 10.3 Cardinales Regulares y Singulares . . . . . . . 10.4 La Hip´ otesis Generalizada del Continuo . . . 10.5 La HGC y los N´ umeros Cardinales . . . . . . 10.6 Medidas y Cardinales . . . . . . . . . . . . . 10.7 Cardinales Medibles . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Otros Cardinales Grandes . . . . . . . . . . .

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255 255 260 266 271 275 281 286 288

Contenido

11 Dos 11.1 11.2 11.3

T´ opicos Especiales El Problema de Souslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalencias del Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . .

iii

297 297 301 312

A Axiomas de Zermelo-Fraenkel

319

B Axiomas Bernays-G¨ odel

321

C Axiomas Adicionales

323

Bibliograf´ıa

329

´ Indice

337

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Contenido

Teor´ıa de Conjuntos

Cada cuerpo tiene su armon´ıa y su desarmon´ıa en algunos casos la suma de armon´ıas puede ser casi empalagosa en otros el conjunto de desarmon´ıas produce algo mejor que la belleza

Mario Benedetti Viento del Exilio

Prefacio Casi todos los libros de matem´aticas hablan de conjuntos y est´ an libremente salpicados de extra˜ nos s´ımbolos como ∈, ⊆, ∪, ∩, ∅. P. R. Halmos apunta en el ya cl´ asico Naive Set Theory: “Los matem´ aticos est´ an de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algo de Teor´ıa de Conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar de decidir qu´e tanto es algo”. Hay motivos bien fundamentados detr´ as de esta obsesi´on por los conjuntos. La Teor´ıa de Conjuntos es un lenguaje. Sin ella, no s´ olo es imposible hacer matem´ aticas, sino que ni siquiera podemos decir de qu´e se trata ´esta. Es lo mismo que intentar estudiar literatura francesa sin saber algo de franc´es. Hewitt y Stromberg en su libro Real and Abstract Analysis dicen: “Desde el punto de vista de un l´ ogico, las matem´ aticas son la Teor´ıa de Conjuntos y sus consecuencias”. La Teor´ıa Intuitiva de Conjuntos funciona bien para los primeros cursos ´ de matem´aticas (C´ alculo, Algebra, entre otros), pero definitivamente para los cursos de matem´aticas superiores es muy conveniente contar con una Teor´ıa de Conjuntos s´olida pues, de hecho, nociones como las de cardinalidad o aplicaciones del Axioma de Elecci´ on son fundamentales y, en ocasiones, indispen´ sables en t´ opicos especializados del An´alisis, Algebra, Topolog´ıa, etc. En este texto se presenta la Teor´ıa de Conjuntos basada en la Axiom´ atica de Zermelo-Fraenkel con elecci´ on (ZFC) tratando de requerir el m´ınimo de formalismo l´ogico. Una justificaci´ on para optar por la axiomatizaci´ on de Zermelo-Fraenkel (ZF) es que ´esta es la m´ as apropiada para un primer encuentro con la Teor´ıa de Conjuntos y lo m´as importante es que, como veremos, los n´ umeros reales, sus operaciones aritm´eticas y las demostraciones de sus propiedades pueden ser expresados a partir de los axiomas de ZermeloFraenkel. Pero no s´olo el sistema de los n´ umeros reales encuentra sustento en la Axiom´ atica de Zermelo-Fraenkel, la mayor parte de las matem´ aticas contempor´aneas (posiblemente la u ´nica excepci´ on es la Teor´ıa de Categor´ıas) puede desarrollarse dentro de la Teor´ıa de Conjuntos as´ı axiomatizada. Por ´ ejemplo, los objetos fundamentales de Topolog´ıa, Algebra o An´alisis (espacios topol´ ogicos, espacios vectoriales, grupos, anillos, espacios de Banach) son apropiadamente definidos como conjuntos de una clase espec´ıfica. Propiedades topol´ogicas, algebraicas o anal´ıticas de estos objetos son entonces derivadas a

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Prefacio

partir de las propiedades de conjuntos, las cuales se pueden obtener usando los axiomas ZFC. En este sentido, la Teor´ıa de Conjuntos as´ı axiomatizada sirve como una fundamentaci´on satisfactoria para otras ramas de la matem´ atica. Una consulta r´apida al contenido anal´ıtico ser´a suficiente para enterarse de cu´al es el material que se expone en este texto y c´ omo est´ a organizado este material. Sin embargo, son convenientes algunos comentarios. En primer lugar, en el Cap´ıtulo 2, la noci´ on de propiedad se da de manera intuitiva y se introducen los primeros axiomas del sistema ZF. En el Cap´ıtulo 6, la extensi´on de los n´ umeros racionales a los n´ umeros reales se hace estableciendo clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy, en lugar del m´etodo cl´asico que utiliza cortaduras de Dedekind (que tambi´en se expone brevemente en el Cap´ıtulo 11). El Cap´ıtulo 8, que trata del Axioma de Elecci´ on, contiene mucha informaci´on, en especial, las Secciones 8.4 y 8.5 incluyen ejemplos que posiblemente no sean accesibles a todos los lectores; en particular, las demostraciones de ´estos est´ an destinadas a aquellos lectores con mayor conocimiento y madurez matem´ atica. El prop´osito de incluir toda esta informaci´ on es el de mostrar las vastas aplicaciones de dicho axioma en diversas a´reas de la Matem´ atica. La exposici´ on del material dedicado a los n´ umeros ordinales se pospone hasta despu´es del Axioma de Elecci´ on por considerar a ´este m´as importante, aunque por ello se sacrifique un poco el seguimiento de la exposici´ on de los conceptos de cardinalidad; adem´as de que es necesario dicho axioma en algunas proposiciones importantes que se refieren a n´ umeros ordinales. El Cap´ıtulo 10 contiene t´opicos especializados de Teor´ıa de Cardinales y es deseable cubrir la mayor parte de ´el. Las dos u ´ltimas secciones de este cap´ıtulo requieren de los conceptos de ideales y filtros (para el caso especial del a´lgebra Booleana P(X)) expuestos en la Secci´on 8.5. Por u ´ltimo, el Cap´ıtulo 11 puede considerarse optativo, el material que ah´ı se presenta es para aquellos lectores con mayor inter´es en la Teor´ıa de Conjuntos o ramas afines como la Topolog´ıa. Cabe mencionar que las secciones 11.2 y 11.3 est´ an basadas en las notas de clase del curso sobre forcing que el Prof. Oleg G. Okunev imparti´ o en la Facultad de Ciencias de la UNAM en el segundo semestre de 1997. Por lo regular las secciones est´ an seguidas de una lista de ejercicios. En pocas excepciones, los ejercicios no se refieren a los conceptos tratados en el texto. Hay varios tipos de ejercicios, algunos rutinarios y otros m´as dif´ıciles, los cuales frecuentemente est´ an acompa˜ nados con sugerencias para su soluci´on. Los ejemplos en el texto s´ olo ocasionalmente son desarrollados con todo detalle. La verificaci´ on de que un ejemplo tiene las propiedades deseadas se deja como ejercicio (usualmente f´acil) para el lector.

Prefacio

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El final de una demostraci´on se indica con el s´ımbolo . Las definiciones, observaciones, lemas, proposiciones y teoremas de cada cap´ıtulo son numerados consecutivamente por un par de n´ umeros que indican el cap´ıtulo y el elemento respectivamente: ver Lema 3.2, significa ver el Lema 2 del Cap´ıtulo 3. Para hacer referencia a los ejercicios usaremos una terna de n´ umeros separados por puntos: Ejercicio 2.3.7, significa ejercicio 7 de la secci´ on 3 del cap´ıtulo 2. Los axiomas se numeran consecutivamente a lo largo de todo el texto. Hay referencias de car´acter hist´ orico, pero como es un poco inc´ omodo poner todos los datos de la obra que se est´e citando en el lugar donde se realizan los apuntes, en la bibliograf´ıa se encuentran algunas segundas referencias. Por otra parte, me parece oportuno indicar la bibliograf´ıa b´asica empleada en la elaboraci´on del material aqu´ı presentado, la cual est´ a integrada por: [E1 ], [H1 ], [HJ], [J3 ], [K1 ], [KM], [P4 ], [P5 ], [R2 ], [S10 ]. A los autores de estos textos es a quien ha de atribuirse lo acertado de las demostraciones presentadas. El m´erito (si existe) de este trabajo es la selecci´ on, modo de presentaci´ on del material, modificaci´ on y adaptaci´ on de algunas de las demostraciones. La idea de escribir el presente trabajo tuvo su origen en las notas “Breve Resumen de Introducci´on a la Teor´ıa de Conjuntos”. En estas u ´ltimas se bas´ o un seminario que realizamos algunos estudiantes de la Facultad de Ciencias F´ısico Matem´ aticas de la BUAP en 1992, el cual fue motivado por la falta de un curso de esta bella teor´ıa. En los a˜ nos en que han sido usadas las notas originales se observ´o que requer´ıan de una revisi´on que las hiciera, hasta donde fuera posible, m´as entendibles y sobre todo m´as completas; as´ı, el presente volumen difiere en mucho de las notas originales. Es mi deseo que este libro sirva a cualquier interesado en las matem´aticas; en especial a los estudiantes, para ayudarles a no sentirse confundidos (como en su momento yo lo estuve) por el concepto de conjunto. Finalmente, y no por ello menos merecido, deseo manifestar mi sincero agradecimiento a todas las personas que de una u otra manera han colaborado en la realizaci´ on de este libro y que por temor a aburrir al lector con una larga lista de nombres no citar´e expl´ıcitamente. No obstante, es para mi un placer dar a conocer las personas que me ayudaron a culminar este trabajo y a quienes reitero mi agradecimiento: el Prof. Agust´ın Contreras Carreto, que pese a sus m´ ultiples ocupaciones hizo un gran esfuerzo por brindarme su apreciable ayuda como el mejor de los amigos; el Prof. Fidel Casarrubias Segura, que me hizo observaciones muy acertadas sobre la manera en que se presentaba el material, que me estimul´o en muchas ocasiones y que sobre ´ todo me ha apoyado en tantos momentos dif´ıciles; el Prof. Angel Tamariz Mascar´ ua, cuya eficaz revisi´on mejor´o notablemente la exposici´ on del material

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Prefacio

aqu´ı presentado y de quien he recibido adem´ as de un muy especial apoyo, su confianza. Los comentarios constructivos y cr´ıticas de todos ellos fueron muy apreciados; adem´ as de que han influido de manera sustancial en la redacci´on final de este trabajo. Expreso tambi´en mi gratitud a mi esposa quien ha sufrido y soportado mis locuras desde que inici´e con aquel proyecto de 1992 y que para culminar este trabajo me respald´ o a pesar de sentirse desplazada. A mis padres por todo el apoyo y comprensi´ on que de ellos he recibido.

Fernando Hern´andez Hern´andez.

1 Introducci´ on Hist´ orica Puede decirse que en todas las ´epocas los matem´ aticos y fil´ osofos han empleado razonamientos de la Teor´ıa de Conjuntos de modo m´as o menos consciente. Sin embargo, es necesario separar claramente todas las cuestiones relacionadas con la idea de n´ umero cardinal (y en particular, la noci´on de infinito) de aquellas en las que solamente intervienen las nociones de pertenencia e inclusi´ on pues ´estas son m´as intuitivas. Solamente apoy´ andose en ellas es como se puede fundamentar una teor´ıa de silogismos o axiomas como “el todo es mayor que cualquiera de sus partes”. Para la introducci´ on de la Teor´ıa de Conjuntos es muy u ´til trabajar con conjuntos concretos cuyos miembros sean objetos reales, pero los conjuntos de inter´es en matem´ aticas siempre tienen por miembros objetos abstractos: el conjunto de todos los c´ırculos del plano, el conjunto de todos los puntos sobre una esfera, el conjunto de todos los n´ umeros, etc. A finales del siglo XIX ya no hay dificultad alguna en hablar del conjunto de los objetos que poseen tal o cual propiedad; la c´elebre “definici´on” dada por el matem´ atico alem´ an Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)1 :“Se entiende por conjunto a la agrupaci´ on en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuici´ on o nuestra mente”, apenas despert´ o objeciones en el momento de su publicaci´on. No sucedi´ o as´ı cuando a la noci´ on de conjunto vinieron a unirse las de n´ umero y magnitud. El problema de la divisibilidad de extensi´on da lugar a dificultades filos´ oficas 2 considerables; matem´ aticos y fil´ osofos fracasar´ıan ante la paradoja de una magnitud finita formada por infinitos puntos “sin medida”. Las matem´ aticas cl´ asicas evitan introducir en sus razonamientos el “infinito actual”, es decir, conjuntos formados por una infinidad de elementos simult´aneamente existentes, conform´andose con el “infinito potencial”, que se 1

Profesor de la Universidad de Halle. Public´ o sus art´ıculos b´ asicos sobre Teor´ıa de Conjuntos en “Mathematische Annalen” durante los a˜ nos 1879-1893. Estos art´ıculos fueron editados nuevamente en [C2 ]; este volumen contiene tambi´en una biograf´ıa de Cantor escrita por Zermelo. 2 Del griego παρ` α δ` oξα, expectaci´ on.

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1. Introducci´ on Hist´ orica

refiere a la posibilidad de aumentar toda magnitud dada. Si bien este punto de vista implicaba una cierta dosis de hipocres´ıa, permit´ıa al menos desarrollar la mayor parte de las matem´aticas cl´ asicas, incluyendo la teor´ıa de las proporciones y m´ as tarde el C´ alculo Infinitesimal. Las necesidades del An´ alisis (en particular el estudio a fondo de las funciones de variables reales que se desarrolla sobre todo durante el siglo XIX) son el origen de lo que iba a convertirse en la moderna Teor´ıa de Conjuntos. Cuando Bolzano, en 1817, demuestra la existencia del extremo inferior de un conjunto de n´ umeros reales acotado inferiormente, todav´ıa razona, como la mayor´ıa de sus contempor´aneos, “en comprensi´ on”; no hablando de un conjunto cualquiera de n´ umeros reales, sino de una propiedad arbitraria de estos u ´ltimos. Pero cuando treinta a˜ nos m´as tarde redacta sus Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del Infinito), no dudaba en reivindicar el derecho a la existencia del “infinito actual” y en hablar de conjuntos arbitrarios. En este trabajo define la noci´ on general de equipotencia de conjuntos, y demuestra que cualesquiera dos intervalos compactos en R son equipotentes; observa tambi´en que la diferencia fundamental entre conjuntos finitos e infinitos radica en que un conjunto infinito E es equipotente a un subconjunto distinto de E, pero no da ninguna demostraci´on convincente de esta afirmaci´ on. Por otra parte, el tono general de esta obra tiene mucho m´ as de filos´ ofico que de matem´ atico, y no pudiendo separar de una forma suficientemente clara la noci´ on de potencia o cardinalidad de un conjunto de la de magnitud y de la de orden de infinitud, fracasa en sus tentativas de formar conjuntos infinitos de potencias cada vez mayores y termina por intercalar en sus razonamientos una serie de consideraciones sobre las series divergentes, totalmente fuera de contexto. La Teor´ıa de Conjuntos, en el sentido que le damos hoy en d´ıa, se debe al genio de Georg Cantor. Tambi´en ´el parte del An´ alisis y, sus estudios sobre las series trigonom´etricas, inspirados en los trabajos de Riemann (1826-1866), le llevan de modo natural, en 1872, a un primer intento de clasificaci´ on de los conjuntos “excepcionales” que aparecen en dicha teor´ıa, mediante la noci´ on de “conjuntos derivados sucesivos” que introduce con este fin. Como consecuencia de estas investigaciones y de su m´etodo para definir los n´ umeros reales, Cantor comienza a interesarse por los problemas de equipotencia, ya que en 1873 hace notar que el conjunto de los n´ umeros racionales (o el de los n´ umeros algebraicos) es numerable. En su correspondencia con Dedekind, que da comienzo hacia esta fecha, le vemos plantear el problema de equipotencia entre el conjunto de los n´ umeros enteros y el conjunto de todos los n´ umeros reales, que resuelve algunas semanas m´ as tarde. En 1874, Cantor intuye equivocadamente la imposibilidad de una biyecci´on entre R y Rn (n > 1). Posteriormente des-

1. Introducci´ on Hist´ orica

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cubre estupefacto que tal correspondencia biun´ıvoca existe. Una vez en posesi´ on de estos resultados, tan nuevos como sorprendentes, se consagra por entero a la teor´ıa de conjuntos. En una serie de seis memorias publicadas en los Mathematische Annalen entre 1878 y 1884 ataca simult´ aneamente los problemas de equipotencia, la teor´ıa de conjuntos totalmente ordenados, las propiedades topol´ ogicas de R y Rn , y el problema de la medida. Entre sus manos van deslind´ andose poco a poco, con una claridad admirable, nociones en apariencia indisolublemente unidas en la concepci´ on cl´ asica del “continuo”. Ya en 1880 tiene la idea de iterar “transfinitamente” la formaci´on de “conjuntos derivados”, idea genitiva, que fructifica dos a˜ nos despu´es con la introducci´ on de conjuntos bien ordenados, uno de los descubrimientos m´ as originales de Cantor, que le permite abordar un estudio detallado de los n´ umeros cardinales y formular el “problema del continuo”. Resultaba totalmente imposible que concepciones tan atrevidas, contrapuestas a una tradici´ on dos veces milenaria, que conclu´ıan resultados tan inesperados y de un aspecto tan parad´ojico, se aceptasen sin resistencia. De hecho, entre los matem´aticos influyentes de ese entonces en Alemania, Weiestrass (1815-1897) fue el u ´nico en seguir con cierto inter´es los trabajos de Cantor (que hab´ıa sido alumno suyo); pero Cantor se encontr´o con una actitud de oposici´on empecinada por parte de Schwarz, y sobre todo de Kronecker. La tensi´ on constante engendrada por la oposici´ on a sus ideas, as´ı como los esfuerzos infructuosos realizados para demostrar la hip´ otesis del continuo, parecen ser las causas de los primeros s´ıntomas de una enfermedad nerviosa cuyos efectos sobre su producci´ on matem´ atica pronto se hicieron notar. Dedekind, guiado por sus trabajos en Aritm´etica y sobre todo por la teor´ıa de ideales, lleg´ o a considerar la noci´ on de conjunto ordenado desde un punto de vista m´as general que Cantor. Mientras que este u ´ltimo se limita a los conjuntos totalmente ordenados, Dedekind ataca el caso general y realiza un estudio profundo de los conjuntos reticulados. Estos trabajos no tuvieron gran audiencia en su momento; sus resultados fueron analizados posteriormente por diversos autores dando lugar a numerosas publicaciones desde 1935. La importancia hist´orica de los trabajos de Dedekind reside en el hecho de haber constituido uno de los primeros ejemplos de construcci´ on axiom´atica; sin embargo, las aplicaciones de esta teor´ıa han sido escasas. En contraposici´on, los primeros resultados de Cantor sobre conjuntos numerables y de la potencia del continuo dieron lugar r´ apidamente a numerosas e importantes aplicaciones, incluso dentro de las cuestiones m´ as cl´ asicas del An´ alisis. As´ı pues, hacia finales del siglo XIX, las concepciones esenciales de Cantor hab´ıan ganado la partida. En esta misma ´epoca, se completa la formalizaci´ on

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1. Introducci´ on Hist´ orica

de las matem´aticas y el m´etodo axiom´ atico fue casi universalmente aceptado. Pero simult´ aneamente surg´ıa una “crisis de fundamentos” de proporciones considerables que conmovi´o al mundo matem´atico durante m´as de treinta a˜ nos, y que parec´ıa desquebrajar, no s´olo todas las adquisiciones recientes en aquel entonces, sino tambi´en las partes m´ as cl´ asicas de la matem´atica. En 1899 Cantor observa en una carta a Dedekind que no puede hablarse del “conjunto de todos los conjuntos” sin llegar a una contradicci´on. En 1905 Russell encontr´ o que la noci´on del “conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de s´ı mismos” es tambi´en contradictoria. Podr´ıa pensarse que tales antinomias aparec´ıan u ´nicamente en regiones perif´ericas de las matem´ aticas, caracterizadas por considerar conjuntos de una “magnitud” inaccesible a la intuici´ on. Eran razonamientos tan alejados del uso com´ un de los matem´aticos, que a muchos de ellos les parec´ıan simples juegos de palabras. No obstante, estas paradojas insist´ıan en se˜ nalar la necesidad de una revisi´on de las bases de la Teor´ıa de Conjuntos a fin de eliminarlas. Pero si bien hab´ıa unanimidad en cuanto a la urgencia de esta revisi´on, enseguida surgieron divergencias en la forma y m´etodo de llevarla a cabo. Pese a esto se trat´o de dar a la Teor´ıa de Conjuntos una base axiom´atica como se hizo en el caso de la geometr´ıa elemental, donde no hay que ocuparse de a qu´e “cosas” se llama “conjuntos” ni de qu´e significa x ∈ y, sino que enumeren las condiciones impuestas a esta u ´ltima relaci´on. Naturalmente esta axiomatizaci´ on se trat´o de hacer de tal manera que se pudieran abarcar en todo lo posible los resultados de Cantor, teniendo cuidado de evitar la aparici´on de conjuntos parad´ojicos. El primer ejemplo de este tipo de axiomatizaci´ on fue dado por Zermelo en 1904. En ´esta, la introducci´ on de conjuntos “muy grandes” se evita mediante un “axioma de comprensi´on” que grosso modo plantea que para determinar un conjunto con una propiedad P(x) es necesario (y suficiente) que P(x) implique una relaci´on de la forma x ∈ A para alg´ un conjunto ya existente A. Despu´es aparecieron otras axiomatizaciones de la Teor´ıa de Conjuntos. Citamos principalmente la de Von Neumann mucho m´as cercana, que la de Zermelo, a la concepci´ on primitiva de Cantor. Cantor hab´ıa ya propuesto en su correspondencia con Dedekind la distinci´ on de dos tipos de entes para evitar los conjuntos parad´ojicos: las “multiplicidades” y los “conjuntos” propiamente dichos; caracteriz´ andose los segundos por ser pensados como un objeto u ´nico. Esta idea fue precisada por Von Neumann distinguiendo dos tipos de objetos: los “conjuntos” y las “clases”. En su sistema (casi totalmente formalizado) las clases a diferencia de los conjuntos, no poden ser colocadas a la izquierda del signo ∈. Una de las ventajas de este sistema es que rehabilita la noci´on de “clase

1. Introducci´ on Hist´ orica

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universal” empleada por los l´ ogicos del siglo XIX (y que, naturalmente no es un conjunto). Adem´as, la introducci´on de esquemas de axiomas es sustituida por axiomas convenientes, lo que simplifica el estudio l´ ogico. Bernays y G¨odel dieron variantes al sistema de Von Neumann. La axiomatizaci´ on de la teor´ıa intuitiva de conjuntos de Cantor no s´olo fue en s´ı misma un acontecimiento muy destacado en los avances de las matem´ aticas del siglo XX, tambi´en estableci´ o que el m´etodo axiom´ atico es posiblemente la manera m´as clara y precisa en la cual se puede dar una representaci´on del conocimiento.

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1. Introducci´ on Hist´ orica

2 Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos 2.1 Propiedades Com´ unmente los conjuntos son introducidos como colecciones de objetos con alguna propiedad com´ un. La noci´on de propiedad merece un poco de an´alisis. Algunas propiedades frecuentemente consideradas en la vida diaria son tan vagas que dif´ıcilmente son admitidas en las matem´ aticas. Consideremos, por ejemplo, el “conjunto de todos los borregos gordos”; cabe preguntar ¿qu´e tan gordo es gordo? Si nos muestran alg´ un borrego ¿c´ omo podemos saber si es gordo o no? Como otro ejemplo, consideremos el “conjunto” de aquellos n´ umeros naturales que pueden ser escritos (digamos que con papel y l´apiz) en notaci´ on decimal. Claramente 0 puede ser escrito. Si un n´ umero n puede ser escrito, entonces seguramente el n´ umero n+1 tambi´en puede ser escrito. Por el familiar principio de inducci´ on, cualquier n´ umero n puede ser escrito. Pero, ¿conoce o 10 umero conocer´a usted de alguien que pueda escribir el n´ umero 1010 ? Este n´ en notaci´ on decimal requiere de un 1 y 1010 ceros, que para lograr escribirse requiere de al menos trescientos a˜ nos de trabajo continuo anotando un cero por segundo. El problema para admitir a estas propiedades como “buenas” propiedades para definir conjuntos es causado por el significado vago de “puede”. Una forma de remediar este tipo de dificultades o algunas otras similares es decir expl´ıcitamente qu´e significa “puede” o ponernos de acuerdo en qu´e significa “gordo”; por ejemplo, estableciendo que gordo es pesar m´ as de cien kilogramos. Sin embargo, el determinar los elementos de un conjunto sabiendo que son los que satisfacen cierta propiedad, sigue siendo complicado. Para ilustrar esta afirmaci´ on, construiremos un “conjunto” en el que ser´ a m´ as dif´ıcil ponerse de acuerdo en un criterio que permita definir bien el conjunto. Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato hab´ıa un barbero llamado As-Samet, ducho en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar sanguijuelas. Un d´ıa el Emir, d´ andose cuenta de la escasez de barberos en el emirato, dio o´rdenes de que

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

todos los barberos del emirato s´olo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por s´ı mismas (todas las personas en este pueblo tienen que ser afeitadas, ya sea por el barbero o por ellas mismas). Un cierto d´ıa el barbero fue llamado a afeitar al Emir y le cont´ o a ´este sus congojas. – En mi pueblo soy el u ´nico barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por m´ı mismo y por lo tanto, no deber´ıa afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si no me afeito, lo debe hacer un barbero por m´ı ¡pero no hay all´ı m´as barbero que yo! El Emir pens´ o que tales razonamientos eran muy profundos, a tal grado que premi´o al barbero con la mano de la m´ as virtuosa de sus hijas, y el barbero vivi´o eternamente feliz. Consideremos como P(x) la propiedad “el habitante x del pueblo no se afeita a s´ı mismo (y, por tanto, es afeitado por el barbero)”. Sea b el barbero. La cuesti´ on es: ¿b tiene o no la propiedad?, es decir, ¿P(b) se verifica o no? Si b tiene la propiedad, entonces b no se afeita a s´ı mismo y es afeitado por el barbero. Pero b es el barbero, as´ı que se afeita a s´ı mismo. Esto significa que b no tiene la propiedad. Si b no tiene la propiedad, entonces b se afeita a s´ı mismo y por lo tanto, no es afeitado por el barbero. Como b es el barbero, entonces b no se afeita a s´ı mismo, as´ı que tiene la propiedad. En conclusi´on, no sabemos si b tiene o no la propiedad, pues la propiedad P(b) es cierta y falsa a la vez, es una paradoja, frecuentemente conocida como la paradoja del barbero. Las propiedades anteriores y otras similares no definen conjuntos; esto es, todos los objetos que gozan de la propiedad no pueden ser coleccionados en un conjunto. Esta observaci´on nos puede llevar a preguntar ¿qu´e propiedades s´ı definen conjuntos?. Desafortunadamente, no hay manera de conocer esto, y algunos resultados de l´ogica, especialmente el llamado Teorema de Incompletitud de G¨odel, indican que una respuesta plena es imposible. Para nosotros, una propiedad es una proposici´ on tal que para cualquier objeto es posible decidir, sin ambig¨ uedad, si dicho objeto la verifica. Si un objeto x verifica la propiedad P(x) decimos que la propiedad es verdadera (V); en caso contrario decimos que la propiedad es falsa (F). Cuando P(x) es verdadera tambi´en decimos que el objeto x tiene la propiedad P(x). Desde propiedades arbitrarias P(x) y Q(x), podemos formar nuevas propiedades: la conjunci´ on P(x) ∧ Q(x), la disyunci´ on P(x) ∨ Q(x) y la negaci´ on de P(x), ¬P(x). En cuanto al significado de estas nuevas propiedades generadas por P(x) y Q(x) tenemos que: Para que un objeto x verifique la conjunci´on es necesario que x verifique simult´ aneamente a cada una de las propiedades que

2.2. Los Axiomas

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la componen; para que x verifique la disyunci´ on es necesario que x verifique por lo menos una de sus componentes, y para que x verifique la negaci´on de P(x) es necesario que x no verifique P(x). Los valores de verdad de estas propiedades pueden ser resumidos por la Tabla 1. P (x) V V F F

Q(x) V F V F

Tabla 1 P (x) ∧ Q(x) P (x) ∨ Q(x) V V F V F V F F

¬P (x) F F V V

La propiedad ¬ (P(x) ∧ ¬Q(x)) se abrevia como P(x) ⇒ Q(x). La propiedad [P(x) ⇒ Q(x)] ∧ [Q(x) ⇒ P(x)] se abrevia como P(x) ⇔ Q(x). En la Tabla 2 se exponen los valores de verdad de estas propiedades en t´erminos de los valores de verdad de sus componentes. P (x) V V F F

Q(x) V F V F

Tabla 2 P (x) ⇒ Q(x) V F V V

P (x) ⇔ Q(x) V F F V

Una cuantificaci´ on existencial es una propiedad de la forma ∃x P(x), donde P(x) es una propiedad cualquiera conocida como cuantificado y ∃ es el cuantificador existencial. La propiedad ∃x P(x) es verdadera si P(x) es verdadera para al menos un objeto x; de otro modo es falsa. La propiedad ∀x P(x), conocida como cuantificaci´ on universal, es una abreviaci´ on de la propiedad ¬(∃x) (¬P(x)). Abreviaremos con ∀x ∈ X, P(x) la propiedad ∀x (x ∈ X ⇒ P(x)) y denotaremos por ∃x ∈ X, P(x) a la propiedad ∃x (x ∈ X ∧ P(x)). Una propiedad puede depender de m´ as de un par´ametro. Una propiedad del estilo P(x, y, . . . z) tiene varios par´ametros (una cantidad finita), y su valor de verdad depende de todos los par´ametros.

2.2 Los Axiomas Como se asegur´o en la introducci´on, el enfoque adoptado para el desarrollo de la Teor´ıa de Conjuntos ser´a axiom´ atico y la manera de realizar esta axiom´atica

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

ser´a parecida a aquella de la Geometr´ıa. Es decir, en nuestra axiom´ atica no examinaremos directamente el significado del t´ermino “conjunto” –tal y como en Geometr´ıa no se examinan los significados de los t´erminos “punto”, “recta” y “plano”–; pero a partir de sus axiomas –al igual que en Geometr´ıa– se deducen todos los teoremas sin recurrir a los significados intuitivos de los t´erminos primitivos. Los axiomas tienen su origen en el concepto intuitivo de conjunto, pero el m´etodo axiom´ atico asegura que el concepto intuitivo de la palabra “conjunto” no interviene en las demostraciones de teoremas o en definiciones de conceptos conjuntistas. Las nociones primitivas de la Teor´ıa de Conjuntos son “conjunto”, y la relaci´ on de pertenencia “ser un elemento de”, la cual se simbolizar´ a por ∈; su negaci´ on: x no es un elemento o miembro de y la denotamos con x ∈ / y.1 Para simplificar la notaci´on usaremos letras may´ usculas para referirnos a conjuntos. En ocasiones (cuando sea posible) indicaremos la jerarqu´ıa de un conjunto denot´ andolo con letras caligr´ aficas. Ahora empezaremos a dar nuestro sistema axiom´atico. Intentaremos aclarar el significado intuitivo de cada axioma. Para dar sustancia a la discusi´on, el primer axioma que adoptaremos postula que al menos existe un conjunto. Para concretar, postularemos la existencia de un conjunto espec´ıfico, a saber, el conjunto vac´ıo. Ya que m´as adelante formularemos una suposici´on de existencia m´as profunda y m´as u ´til, la siguiente juega s´olo un papel temporal.

Axioma 1 (de Existencia) Hay un conjunto que no tiene elementos. Un conjunto sin elementos puede ser descrito de manera intuitiva de varias formas; por ejemplo, como “el conjunto de los perros que han escrito obras literarias” o como “el conjunto de n´ umeros reales que satisfacen la ecuaci´ on x2 + 1 = 0”. Intuitivamente los ejemplos de esta clase describen al mismo conjunto, a saber, el conjunto vac´ıo, conjunto vacuo. Pero no podemos probar esta afirmaci´ on; necesitamos otro axioma que exprese el hecho de que un conjunto est´ a determinado por sus elementos, tal y como intuitivamente lo concebimos.

Axioma 2 (de Extensi´on) Si todo elemento de X es un elemento de Y, y todo elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y . 1

El s´ımbolo ∈ se deriva de la letra griega ´epsilon. El uso de esta letra para la relaci´ on de pertenencia fue introducido por Peano [P2 ] quien la seleccion´ o como abreviaci´ on de la palabra Griega estar (` ²στ´ι)

2.2. Los Axiomas

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El Axioma de Extensi´on puede expresarse en otras palabras diciendo: dos conjuntos que tienen los mismos elementos son id´enticos. Simb´olicamente este axioma puede expresarse as´ı: X=Y

⇔

(∀x : x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) ∧ (∀x : x ∈ Y ⇒ x ∈ X).

Por otra parte, es valioso comprender que el Axioma de Extensi´ on no es s´ olo una propiedad l´ ogicamente necesaria de la igualdad, sino que es una proposici´ on no trivial acerca de la pertenencia. Una manera de llegar a entender este punto es considerar una situaci´on en la cual el an´ alogo al Axioma de Extensi´on no se cumpla. Sup´ongase, por ejemplo, que consideramos seres humanos como (en lugar de) conjuntos y que, si x y A son seres humanos, escribiremos x ∈ A siempre que x es un ancestro de A (por ejemplo, x ∈ A si x es padre de A o si x es bisabuelo de A). El an´ alogo del Axioma de Extensi´ on dir´ıa en este caso que “dos seres humanos tienen los mismos ancestros si y s´ olo si son iguales”. Pero, ¿qu´e pasa con dos hermanos? Proposici´ on 2.1 Hay un u ´nico conjunto que no tiene elementos. ´ n: Demostracio Asumamos que A y B no tienen elementos. Entonces todo elemento de A es un elemento de B (puesto que A no tiene elementos la proposici´ on “a ∈ A ⇒ a ∈ B” es autom´aticamente cierta). Similarmente, todo elemento de B es un elemento de A. Por el Axioma de Extensi´ on concluimos que A = B. La proposici´on anterior nos posibilita para hacer la siguiente definici´on. Definici´ on 2.2 El u ´nico conjunto que no tiene elementos es llamado el conjunto vac´ıo y es denotado por ∅. Intuitivamente, los conjuntos son colecciones de objetos que satisfacen alguna propiedad, y ser´ıa deseable tener un axioma que exprese este hecho. Este axioma retomar´ıa el esp´ıritu de la “definici´ on” de conjunto dada por Cantor. El problema es que no toda propiedad describe un conjunto, pues algunas propiedades pueden introducir paradojas y nuestra intenci´on al axiomatizar la Teor´ıa de Conjuntos es precisamente evitar las paradojas. En seguida demostraremos que la colecci´on {x : x es un conjunto} no es un conjunto, es decir, la propiedad P(x) : “x es un conjunto”, no describe en realidad un conjunto.

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

El problema estar´ a resuelto si postulamos solamente la existencia del conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad dada, los cuales pertenezcan a otro conjunto ya dado de antemano. El siguiente axioma puede considerarse como de los m´ as importantes, pues permite la construcci´ on de nuevos conjuntos a partir de otros ya existentes.

Axioma 3 (Esquema de Comprensi´on) Sea P(x) una propiedad de x. Para cualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y P(x). En contraste a los otros axiomas, los cuales son proposiciones, el Axioma Esquema de Comprensi´ on es una colecci´ on infinita de proposiciones. Esto es, ´este es un esquema para producir axiomas, uno por cada elecci´ on de la propiedad P. Por ejemplo, si P(x) es “x = x” el axioma dice: Para cualquier conjunto A, hay un conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y x = x. (En este caso A = B). Si P(x) es “x ∈ / x”, el axioma postula: Para cualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y x ∈ / x. Por lo anterior el Axioma 3 se llama Esquema de Comprensi´ on. La propiedad P(x) puede depender de otras variables p, q, . . . , r; el correspondiente axioma postula entonces que para cualquier selecci´ on de las variables p, q, . . . , r, y cualquier conjunto A, hay un conjunto B (que depende de p, q, . . . , r y A) que consiste exactamente de los elementos de A para los cuales se verifica P(x, p, q, . . . , r). Ejemplo 2.3 Si P y Q son conjuntos, entonces hay un conjunto R tal que x ∈ R si y s´ olo si x ∈ P y x ∈ Q. ´ n: Demostracio Consid´erese la propiedad P(x, Q) de x y Q: “x ∈ Q”. Entonces por el Axioma Esquema de Comprensi´ on, para todo Q y cualquier P hay un conjunto R tal que x ∈ R si y s´ olo si x ∈ P y P(x, Q), es decir, si y s´ olo si x ∈ P y x ∈ Q. Ejemplo 2.4 El conjunto de todos los conjuntos no existe. ´ n: Demostracio Supongamos lo contrario, sea U el conjunto de todos los conjuntos y consideremos la propiedad P(x): “x ∈ / x”. El Axioma 3 nos dice que existe un conjunto R tal que x ∈ R si y s´ olo si x ∈ U y x ∈ / x; o sea, x es un elemento de R si y s´ olo si x es un conjunto y x no es miembro de s´ı mismo. Como R es un conjunto entonces R ∈ U, as´ı entonces R puede o no verificar la propiedad P. Si R ∈ / R entonces R ∈ R, es decir, (R ∈ / R) ∧ (R ∈ R), una contradicci´on.

2.2. Los Axiomas

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Por otro lado, si R ∈ R entonces R s´ı verifica la propiedad P, es decir, R ∈ / R, nuevamente (R ∈ R) ∧ (R ∈ / R), una contradicci´ on. Por lo tanto, suponer la existencia de U y considerar la propiedad leg´ıtima P siempre lleva a una contradicci´ on, concluimos que no existe tal conjunto U. N´otese que de hecho U mismo no es esencial para el razonamiento anterior. En efecto, si en lugar de U tom´ aramos otro conjunto cualquiera X y razonamos por medio del Axioma Esquema de Comprensi´on de la misma manera que en la demostraci´ on anterior, tendr´ıamos que concluir que R ∈ / X. Esta deducci´ on es interesante, pues nos permite decir que hay algo (es decir, R) que no pertenece a X. Como el conjunto X en este razonamiento es arbitrario, hemos demostrado que no hay un conjunto que contenga todo, o bien que no hay un universo. “Universo” se usa aqu´ı en el sentido de “universo de discurso”, lo cual significa, en cualquier discusi´ on particular, un conjunto que contiene a todos los objetos que intervienen en ese estudio. En tratamientos m´ as antiguos (preaxiom´aticos) a la Teor´ıa de Conjuntos, se daba por supuesta la existencia de un universo. El razonamiento del Ejemplo 2.4 se conoce como la Paradoja de Russell 2 y en la literatura toma muchas formas equivalentes a la que hemos planteado aqu´ı. La moraleja es que es imposible, especialmente en matem´ aticas, obtener algo a partir de nada. Para especificar un conjunto no basta dar una propiedad; es necesario tambi´en disponer de un conjunto a cuyos elementos pueda aplicarse esa propiedad. Esta es la limitaci´ on impuesta por el Axioma 3; la manera de suprimir las dificultades que surgen al definir “conjuntos muy grandes” es proceder a la inversa, garantizando por medio de axiomas la existencia de conjuntos m´ınimos y la obtenci´ on de nuevos conjuntos a partir de los ya existentes. En cap´ıtulos posteriores tendremos la oportunidad de conocer otras colecciones (distintas de U, la colecci´ on de todos los conjuntos) que no son conjuntos; pero nos permitimos hacer la siguiente: Convenci´ on 2.5 Si P(x) es una propiedad de x, a K = hx : x es un conjunto y P(x)i le llamaremos clase. Debe quedar claro que no se est´a definiendo lo que es una clase, la convenci´ on anterior nos facilitar´ a m´ as adelante referirnos a ciertas colecciones. La 2

En 1903 fue publicada por primera vez la Paradoja de Russell, en el ap´endice de [F4 ].

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

discusi´ on anterior tambi´en nos dice que una clase no necesariamente es un conjunto. La diferencia entre estos dos conceptos origin´ o parte de los problemas l´ ogicos de Cantor. Lema 2.6 Sea P(x) una propiedad de x. Para todo A hay un u ´nico conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y P(x). ´ n: Demostracio olo si x ∈ A y P(x), entonces x ∈ B Si B 0 es un conjunto tal que x ∈ B 0 si y s´ 0 0 on. si y s´ olo si x ∈ B . As´ı, B = B por el Axioma de Extensi´ Ahora tenemos derecho de hacer la siguiente definici´on que provee de una notaci´ on al conjunto B un´ıvocamente determinado. Definici´ on 2.7 {x ∈ A : P(x)} es el conjunto de todos los x ∈ A con la propiedad P(x). Nuestro sistema axiom´ atico hasta este momento no es muy poderoso; el u ´nico conjunto cuya existencia postulamos es el conjunto vac´ıo, y las aplicaciones del Esquema de Comprensi´on a ´este, producen nuevamente el conjunto vac´ıo: para cualquier propiedad P(x), {x ∈ ∅ : P(x)} = ∅. Los siguientes tres axiomas postulan que algunos de los procedimientos frecuentemente usados en matem´ aticas producen conjuntos.

Axioma 4 (del Par) Para cualesquiera a y b hay un conjunto C tal que x ∈ C si y s´ olo si x = a o x = b. As´ı, a ∈ C y b ∈ C, y no hay otros elementos en C. Por el Axioma de Extensi´on el conjunto C es u ´nico. Definimos el par no ordenado de a y b como el conjunto que tiene a a y a b como elementos, y lo denotamos por {a, b}. Podemos formar el par no ordenado {a, a} el cual se denota simplemente por {a} , y se llama conjunto singular o unitario de a. El Axioma del Par asegura que todo conjunto es un elemento de alg´ un conjunto, y dos conjuntos cualesquiera son simult´aneamente elementos de alg´ un mismo conjunto. Ejemplo 2.8 Sean A = ∅ y B = ∅, entonces {∅} = {∅, ∅} es un conjunto tal que ∅ ∈ {∅}. Note que ∅ 6= {∅} , puesto que ∅ no tiene elementos y {∅} tiene un elemento. Ejemplo 2.9 Sean A = ∅ y B = {∅}. Entonces ∅ ∈ {∅, {∅}} y {∅} ∈ {∅, {∅}}; adem´ as, ∅ y {∅} son los u ´nicos elementos de {∅, {∅}}. Note que ∅ 6= {∅, {∅}} y {∅} 6= {∅, {∅}} .

2.2. Los Axiomas

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Ejemplo 2.10 Sean A = {∅} y B = {∅} , entonces ∅ ∈ {∅} y {∅} ∈ {{∅}} . Pero ∅ ∈ / {{∅}} , ya que el u ´nico elemento del conjunto {{∅}} es {∅} , y por el Ejemplo 2.8, ∅ 6= {∅}. Del ejemplo anterior podemos deducir que ∅ 6= {{∅}} y que {∅} 6= {{∅}} , lo cual nos permite inferir la existencia de much´ısimos conjuntos singulares como: {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, . . . , {· · · {{∅}} · · ·}, o bien pares no ordenados como {∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}, etc. Sin embargo, una pregunta interesante es: ¿Son realmente distintos estos conjuntos? La respuesta se deja como un ejercicio, aqu´ı u ´nicamente notaremos que no debemos confundir los conjuntos de un solo elemento con el elemento propiamente dicho. No es cierto que x y {x} sean iguales, lo cual puede confirmarse observando que {x} s´ olo tiene un miembro, a saber x; mientras que x puede tener cualquier n´ umero de miembros. V´ease el Ejemplo 2.8 y m´ as adelante el Teorema 2.33 para derivar razones m´as convincentes. Si A y B son conjuntos, es deseable reunir a sus elementos en un solo conjunto. Este conjunto es diferente del que se construy´o con el Axioma 4: mientras que los elementos del par no ordenado son los conjuntos A y B, nuestro nuevo conjunto tendr´a por elementos a los elementos de A y B (ver Ejemplo 2.15).

Axioma 5 (de Uni´on) Para cualquier conjunto S, existe un conjunto U tal que x ∈ U si y s´ olo si x ∈ X para alg´ un X ∈ S. ´ Nuevamente el conjunto U es u ´nico. Este es llamado uni´ on de S y denotado S por S. Decimos que S es un sistema de conjuntos o familia de conjuntos cuando queremos hacer ´enfasis en que los elementos de S son conjuntos. La uni´ on de una familia de conjuntos S es entonces el conjunto de, precisamente, todos los x que pertenecen a alg´ un conjunto que forma parte de la familia S. S olo si x ∈SA para Ejemplo 2.11 Sea S = {∅, {∅}}; entonces x ∈ S si y s´ alg´ un A ∈ S, es decir, si y s´ o lo si x ∈ ∅ o x ∈ {∅}. Por lo tanto, x ∈ S si y S s´olo si x = ∅; o sea, S = {∅} . S Ejemplo 2.12 ∅ = ∅ S Ejemplo 2.13 Sean olo si x ∈ A o S A y B conjuntos, x ∈ {A, B} si y s´ x ∈ B. El conjunto {A, B} es llamado la uni´ on de A y B y es denotado por A ∪ B. Obs´ervese que el Axioma del Par y el Axioma de Uni´ on son necesarios para definir la uni´ on de dos conjuntos, y el Axioma de Extensi´ on es necesario para

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

garantizar la unicidad. Adem´as n´otese que la uni´on de dos conjuntos tiene el significado usual: x∈A∪B

⇔

x∈A

∨

x ∈ B.

Ejemplo 2.14 {{∅}} ∪ {∅, {∅}} = {∅, {∅}} Ejemplo 2.15 Si A = {∅, {∅}} y B = {{{∅}}} , entonces el par no ordenado de A y B es distinto de A ∪ B. El Axioma de Uni´on es muy poderoso; ´este nos capacita no s´olo para formar uniones de dos conjuntos, sino tambi´en para formar la uni´ on de un n´ umero infinito de conjuntos (m´as tarde se aclarar´ a tal situaci´on).3 Dados a, b y c, puede probarse la unicidad del conjunto P cuyos elementos son exactamente a, b y c, en efecto P = {a, b}∪{c}. P es denotado por {a, b, c} y se llama terna no ordenada de a, b y c. An´ alogamente puede definirse una cuarteta, quinteta, sexteta no ordenada, etc. Ahora introduciremos un concepto simple y familiar para el lector. Definici´ on 2.16 A es un subconjunto de B si cualquier elemento de A pertenece a B. En otras palabras, A es un subconjunto de B si, para todo x, x ∈ A implica x ∈ B. Escribiremos A ⊆ B o B ⊇ A para denotar que A es subconjunto de B. Ejemplo 2.17 {∅} ⊆ {∅, {∅}} y {{∅}} ⊆ {∅, {∅}} . Ejemplo 2.18 x ∈ A si y s´ olo si {x} ⊆ A. Seg´ un la Definici´ on 2.16, todo conjunto debe considerarse subconjunto de s´ı mismo. Ejemplo 2.19 ∅ ⊆ A y A ⊆ A para todo conjunto A. Ejemplo 2.20 Para cualesquiera conjuntos A, B y C tales que A ⊆ B y B ⊆ C se tiene que A ⊆ C. El Axioma Esquema de Comprensi´ on puede ahora interpretarse como un axioma que nos permite la formaci´ on de subconjuntos. Ejemplo 2.21 {x ∈ A : P(x)} ⊆ A. 3 Las nociones de finito e infinito ser´ an formalizadas posteriormente, por el momento las emplearemos en forma intuitiva.

2.2. Los Axiomas

Ejemplo 2.22 Si A ∈ S entonces A ⊆

S

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S.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A y B tienen los mismos elementos y, por lo tanto, en virtud del Axioma de Extensi´ on, A = B. De hecho el Axioma de Extensi´on puede ser formulado en estos t´erminos: Si A y B son dos conjuntos, una condici´on necesaria y suficiente para que A = B es que A ⊆ B y B ⊆ A simult´ aneamente. Por lo anterior, casi todas las demostraciones de igualdad entre dos conjuntos A y B est´an divididas en dos partes, hacer ver primero que A ⊆ B y mostrar despu´es que B ⊆ A. Obs´ervese que la pertenencia (∈) y la contenci´on (⊆)4 son, conceptualmente, cosas muy diferentes. Una diferencia importante es la que manifiesta el Ejemplo 2.19 al mostrarnos que para cualquier conjunto A, A ⊆ A mientras que no est´ a del todo claro que cualquier conjunto A, A ∈ A. Indudablemente que esto u ´ltimo no es posible para cualquier conjunto razonable, de hecho ∅ ∈ / ∅ y por ende ⊆ es reflexiva pero ∈ no lo es. Sin embargo, no podremos demostrar que para cualquier conjunto A, A ∈ / A, hasta que introduzcamos el Axioma de Fundaci´ on. Otra diferencia entre ∈ y ⊆ la podemos derivar de los Ejemplos 2.10 y 2.20 como sigue: ∅ ∈ {∅} y {∅} ∈ {{∅}} pero ∅ ∈ / {{∅}}, es decir, la pertenencia (∈) a diferencia de la contenci´on (⊆) no tiene car´ acter transitivo. Ahora introducimos el siguiente axioma, el cual nos asegura que dado un conjunto cualquiera podemos formar un nuevo conjunto cuyos miembros son exactamente los subconjuntos del conjunto dado; en forma precisa:

Axioma 6 (del Conjunto Potencia) Para cualquier conjunto X existe un conjunto S tal que A ∈ S si y s´ olo si A ⊆ X. Puesto que el conjunto S est´a un´ıvocamente determinado, llamamos al conjunto S de todos los subconjuntos de X, el conjunto potencia de X y es denotado por P(X). Ejemplo 2.23 P(∅) = {∅} . Ejemplo 2.24 P({a}) = {∅, {a}} . Ejemplo 2.25 P({a, b}) = {∅, {a} , {b} , {a, b}} . Ejemplo 2.26 Para cualquier conjunto X, siempre ∅, X ∈ P(X). En particular siempre se cumple P(X) 6= ∅ para cualquier X. Ejemplo 2.27 Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B). 4 El cr´edito de la distinci´ on entre pertenencia y contenci´ on se da generalmente a Peano, quien introdujo diferentes notaciones para los dos conceptos.

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

Ejemplo 2.28 Si X = {∅, a, b, {a}} y A = {a} ⊆ X entonces P(A) ⊆ X. Ejemplo 2.29 Si X = {∅, a, b} y A = {a} entonces P(A) * X. A continuaci´on responderemos la pregunta: ¿Para alg´ un conjunto X puede ocurrir que X ∈ X? Para conjuntos “razonables” que a uno se le puedan ocurrir la respuesta es indudablemente no, pero en realidad esta pregunta no puede ser respondida sin el siguiente axioma.

Axioma 7 (de Fundaci´on) En cada conjunto no vac´ıo A existe u ∈ A tal

que u y A no tienen elementos en com´ un, es decir, para cualquier x, si x ∈ A entonces x ∈ / u.

Este axioma tambi´en se conoce como Axioma de Regularidad y postula que “conjuntos” de cierto tipo no existen. Esta restricci´ on no es contradictoria (es decir, el axioma es consistente con los otros axiomas) y es irrelevante para el desarrollo de los n´ umeros naturales, reales, cardinales u ordinales; y de hecho para casi todas las matem´aticas ordinarias. Sin embargo, es extremadamente u ´til en las matem´ aticas de la Teor´ıa de Conjuntos, para la Construcci´ on de 5 Modelos. En [A1 ] se desarrolla una Teor´ıa de Conjuntos con la negaci´on del Axioma de Fundaci´ on. Ejemplo 2.30 Si A = {{∅} , {∅, {∅}}} entonces u = {∅} y A no tienen elementos en com´ un. Ejemplo 2.31 Si A = {{∅} , {{∅}} , {{{∅}}}} entonces {{{∅}}} y A tienen a {{∅}} como elemento com´ un. Tambi´en {{∅}} y A tienen a {∅} como elemento com´ un, pero {∅} y A no tienen elementos comunes. Ejemplo 2.32 Si ∅ ∈ A entonces tomando a u = ∅ tenemos que u y A no tienen elementos comunes. Teorema 2.33 (a) Ning´ un conjunto no vac´ıo puede ser elemento de s´ı mismo, es decir, para cualquier X 6= ∅, X ∈ / X. (b) Si A y B son conjuntos no vac´ıos, entonces no es posible que ocurran simult´ aneamente A ∈ B y B ∈ A. 5 ´ Kurucz demostraron que el Axioma de Fundaci´ En 1994 H. Andr´eka, I. N´emeti y A. on ´ es necesario para derivar un importante teorema del Algebra Universal como es el Teorema de Variedad de Birkhoﬀ. [AKN]

2.2. Los Axiomas

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´ n: Demostracio (a) Supongamos que existe un conjunto no vac´ıo X tal que X ∈ X. Por el Axioma del Par, {X} tambi´en es un conjunto, y puesto que X es el u ´nico miembro de {X}, el conjunto {X} contradice el Axioma de Fundaci´ on, ya que X y {X} tienen a X como elemento com´ un, es decir, todo elemento de {X} tiene un elemento com´ un con {X} . (b) Para este caso considere el par no ordenado {A, B} y proceda de modo an´alogo a (a). La parte (a) del teorema anterior responde a la pregunta planteada anteriormente: ¿para alg´ un conjunto X puede ocurrir que X ∈ X? Mientras que de la parte (b) podemos deducir que no pueden existir ciclos de la forma A ∈ B ∈ A. Hasta ahora nuestra lista de axiomas no est´ a completa. Pospondremos los restantes para cap´ıtulos ulteriores cuando introduzcamos otros conceptos y hayamos establecido algunos teoremas que nos permitir´an entenderlos. Ahora introduciremos una notaci´on convencional. Sea P(x) una propiedad de x (y, posiblemente de otros par´ ametros). Si hay un conjunto A tal que para todo x, P(x) implica x ∈ A, entonces {x ∈ A : P(x)} existe; y m´ as a´ un, no depende de qui´en sea el conjunto A. En efecto, si A0 es otro conjunto tal que, para todo x, P(x) implica x ∈ A0 , entonces ª © x ∈ A0 : P(x) = {x ∈ A : P(x)} . Podemos ahora definir {x : P(x)} como el conjunto {x ∈ A : P(x)}, donde A es cualquier conjunto para el que P(x) implica x ∈ A. {x : P(x)} es el conjunto de todo x que tiene la propiedad P(x). Enfatizamos nuevamente que esta notaci´ on podr´a ser usada solamente despu´es que se haya probado que alg´ un conjunto A contiene a todos los x con la propiedad P(x). Recuerde que lo que llamamos clase tiene otra notaci´on, a saber, hx : P(x)i .

Ejemplo 2.34 {x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} existe. ´ n: Demostracio Sea P(x, P, Q) la propiedad “x ∈ P y x ∈ Q”. Sea A = P ; entonces P(x, P, Q) implica x ∈ A. Por lo tanto, {x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} = {x ∈ P : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} = {x ∈ P : x ∈ Q} es el conjunto del Ejemplo 2.3. Ejemplo 2.35 {x : (x = a) ∨ (x = b)} existe. Para una prueba, t´ omese A = {a, b} y demu´estrese que A = {x : (x = a) ∨ (x = b)} .

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

Ejemplo 2.36 {x : x ∈ / x} no existe (recu´erdese la Paradoja de Russell Ejemplo 2.4); as´ı en este caso, la notaci´on {x : P(x)} es inadmisible. Como ya se dijo, la primera axiomatizaci´ on de la Teor´ıa de Conjuntos fue dada por Zermelo [Z2 ]. La formulaci´on del Axioma Esquema de Comprensi´ on, al cual le llamaba Aussonderungsaxiom, fue m´ as bien ambiguo y dio lugar a serias discusiones; la versi´ on adoptada fue formulada por T. Skolem [S7 ] en 1922. El Axioma de Fundaci´ on fue propuesto por D. Mirimanoﬀ en 1917. Russell y Whitehead en su famoso Principia Mathematica (primera edici´ on 1910-1913) dieron tambi´en una de las primeras y m´as influyentes axiomatizaciones para la Teor´ıa de Conjuntos. Ellos evitaban las paradojas introduciendo la llamada “teor´ıa de tipos”; en la cual se definen una cantidad infinita de diferentes tipos de variables de conjuntos. Para cada tipo de variables de conjuntos hay una cantidad infinita de variables del siguiente tipo superior. La propiedad “x es un miembro de y” tiene significado si y s´ olo si y es de exactamente un tipo superior a x. La paradoja de Russell, por ejemplo, al estar representada por la propiedad “x no es un miembro de x” carece de sentido en la teor´ıa de tipos. Ya que la teor´ıa de tipos es complicada, y puesto que es pesado dar seguimiento a todos los tipos de variables, esta teor´ıa es inconveniente para el desarrollo de las matem´ aticas. Otra axiomatizaci´on de la Teor´ıa de Conjuntos fue propuesta por Quine en 1931. Su enfoque puede decirse que es mas bien sem´antico; ´el dio reglas para la construcci´ on de propiedades. La teor´ıa de Quine es m´ as manejable que la teor´ıa de los tipos pero contiene fallas fatales que no permite desarrollar la matem´atica a partir de esta teor´ıa. Specker [S8 ] en 1953 demostr´o que el Axioma de Elecci´on (que despu´es formularemos) es inconsistente en el sistema de Quine. on Von Neumann [N2 ], [N3 ] entre 1925 y 1928 propuso otra axiomatizaci´ en la cual se hac´ıa preciso el ambiguo Axioma Esquema de Comprensi´ on de Zermelo. En lugar de usar propiedades como Skolem, Von Neumann admiti´ o una nueva noci´ on primitiva dentro de la Teor´ıa de Conjuntos: la de clase. Este sistema fue posteriormente reformulado por Bernays [B1 ] en 1937 y por G¨odel [G2 ] en 1938. La ventaja del sistema resultante, llamado en la literatura “sistema BG”, es que est´ a basado en un n´ umero finito de axiomas. Otros sistemas axiom´ aticos fueron propuestos por Morse y por Kelley [M5 ], [K3 ].

2.2. Los Axiomas

21

Ejercicios 2.2 1. Muestre que los conjuntos ∅, {∅}, {{∅}}, . . . , {· · · {∅} · · ·} son distintos. 2. Indique cu´ ales de las siguientes expresiones son falsas: (a) A = {A} ,

(b) {a, b} = {{a} , {b}} ,

(c) ∅ ∈ {∅} .

3. Muestre que el conjunto de todos los x tales que x ∈ A y x ∈ / B existe. ¿Es u ´nico? 4. Pruebe que para cualquier conjunto X hay alg´ un a ∈ / X. 5. Demuestre la unicidad del conjunto U asegurado por el Axioma de Uni´on. S 6. Pruebe que ∅ = ∅. 7. Verifique la afirmaci´ on hecha en el Ejemplo 2.15.

8. Sean A y B conjuntos. Muestre que existe un u ´nico conjunto C tal que x ∈ C si y s´ olo si (x ∈ A y x ∈ / B) o (x ∈ B y x ∈ / A). 9. Demuestre que {a} = {b, c} si y s´ olo si a = b = c. 10. (a) Muestre que para cualesquiera conjuntos A, B y C existe un u ´nico conjunto P tal que x ∈ P si y s´ olo si x = A o x = B o x = C. (b) Generalice (a) para cuatro o m´as elementos.

11. Demuestre que A ⊆ {A} si y s´ olo si A = ∅. 12. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 2.18, 2.19, 2.20. 13. Pruebe la afirmaci´ on del Ejemplo 2.22. 14. Demuestre que si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B). 15. Pruebe la afirmaci´ on del Ejemplo 2.35. 16. Complete la demostraci´ on del Teorema 2.33(b). 17. Pruebe que es imposible la existencia de un ciclo: A0 ∈ A1 ∈ A2 ∈ · · · ∈ An ∈ A0 para toda n ∈ N.

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2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos

18. (a) Demuestre que para cualquier conjunto X es falso que P(X) ⊆ X. En particular X 6= P(X). (b) Demuestre que el conjunto de todos los conjuntos no existe usando el inciso (a).

19. Reemplace el Axioma de Existencia por el siguiente axioma: Axioma D´ ebil de Existencia. Existe al menos un conjunto. Deduzca el Axioma de Existencia usando el Axioma D´ebil de Existencia y el Axioma Esquema de Comprensi´on. 20. El Axioma de Uni´on, el Axioma del Par y el Axioma del Conjunto Potencia pueden reemplazarse por las siguientes versiones m´as d´ebiles: Axioma D´ ebil del Par. Para cualesquiera a, b existe un conjunto C tal que a ∈ C y b ∈ C. Axioma D´ ebil de Uni´ on. Para cualquier conjunto S existe un conjunto U tal que si x ∈ A y A ∈ S entonces x ∈ U . Axioma D´ ebil del Conjunto Potencia. Para cualquier conjunto S existe un conjunto P tal que X ⊆ S implica X ∈ P . Deduzca el Axioma del Par, el Axioma de Uni´on y el Axioma del Conjunto Potencia, usando las versiones d´ebiles. (Sugerencia: use el Axioma Esquema de Comprensi´on).

3 ´ Algebra de Conjuntos En este cap´ıtulo, como en los siguientes, estudiaremos las operaciones conjuntistas m´as comunes, por lo que moment´ aneamente supondremos la existencia umeros reales de conjuntos como el de los n´ umeros naturales N,1 el de los n´ R, o conjuntos que de ellos se desprenden; esto es s´ olo con el af´ an de proporcionar ejemplos ilustrativos de los conceptos que tratemos. La existencia de estos conjuntos ser´a formalizada en su momento.

3.1 Operaciones Fundamentales En el cap´ıtulo anterior la Definici´ on 2.16 reza “A se dice subconjunto de B, A ⊆ B, si todo elemento de A es tambi´en un elemento de B”. La relaci´ on de contenci´ on ⊆ tiene las siguientes propiedades para conjuntos A, B y C. (1) A ⊆ A. (2) Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C. (3) A ⊆ B y B ⊆ A si y s´ olo si A = B. (1), (2), (3) se expresan brevemente diciendo que la propiedad de contenci´ on es reflexiva, transitiva y antisim´etrica, respectivamente. En los Ejemplos 2.3 y 2.13 se mostr´o la existencia de dos u ´tiles conjuntos; ahora hacemos una definici´ on formal de ellos. Definici´ on 3.1 Si A y B son conjuntos, la uni´ on de A y B, es el conjunto A ∪ B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} . La intersecci´ on de A y B es el conjunto A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} . Acorde a la definici´ on anterior, una condici´on necesaria y suficiente para que A ∩ B 6= ∅ es que A y B tengan elementos en com´ un. 1

Aqu´ı consideraremos N = {0, 1, 2, . . .}.

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´ 3. Algebra de Conjuntos

Definici´ on 3.2 Diremos que los conjuntos A y B son ajenos si A ∩ B = ∅. Con la terminolog´ıa proporcionada por las definiciones anteriores podemos formular el Axioma de Fundaci´ on como sigue: “En cada conjunto no vac´ıo A existe un elemento u ∈ A que es ajeno a A, es decir, u ∩ A = ∅”. El siguiente teorema nos muestra c´ omo se comportan la uni´ on ∪ y la intersecci´ on ∩ con respecto de la contenci´ on. Teorema 3.3 Para cualesquiera conjuntos A, B, C, D tenemos: (a) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B. (b) Si A ⊆ C y B ⊆ D entonces A ∩ B ⊆ C ∩ D y A ∪ B ⊆ C ∪ D. (c) A ⊆ C y B ⊆ C si y s´ olo si A ∪ B ⊆ C. ´ n: Demostracio Solamente probaremos (a) dejando como ejercicio para el lector las partes (b) y (c). Si x ∈ A ∩ B entonces x ∈ A y x ∈ B, as´ı en particular x ∈ A, es decir A ∩ B ⊆ A. Por otra parte, para cualquier x ∈ A se tiene que x ∈ A ∪ B por definici´ on de A ∪ B, es decir, A ⊆ A ∪ B. El siguiente teorema puede demostrarse sin dificultad. Teorema 3.4 Las operaciones ∩ y ∪ son: (a) Reflexivas: para todo A, A ∩ A = A = A ∪ A. (b) Asociativas: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

y

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

y

A ∪ B = B ∪ A.

(c) Conmutativas: A∩B =B∩A

M´ as a´ un, ∩ distribuye sobre ∪ y ∪ distribuye sobre ∩: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

3.1. Operaciones Fundamentales

25

En virtud de la asociatividad, podemos designar a A ∪ (B ∪ C) simplemente por A∪B ∪C. Similarmente, una uni´on y una intersecci´on de cuatro conjuntos, digamos (A ∪ B) ∪ (C ∪ D) y (A ∩ B) ∩ (C ∩ D), pueden ser escritas como A ∪ B ∪ C ∪ D y A ∩ B ∩ C ∩ D puesto que la distribuci´on de par´entesis es irrelevante, y por la conmutatividad el orden de los t´erminos tambi´en es irrelevante. Por inducci´ on, la misma observaci´on es aplicable a la uni´ on y la intersecci´on de cualquier n´ umero finito de conjuntos. La uni´ on y la intersecci´ on de n conjuntos son escritas como n [

k=1

Ak ,

n \

Ak .

k=1

Ahora daremos una caracterizaci´ on de la propiedad A ⊆ B en t´erminos de la uni´ on y la intersecci´ on. Teorema 3.5 Los siguientes enunciados son equivalentes: (a) A ⊆ B. (b) A = A ∩ B. (c) B = A ∪ B. ´ n: Demostracio (a) ⇒ (b). Supongamos que A ⊆ B. Por 3.3(a) sabemos que A ∩ B ⊆ A. Ahora, si x ∈ A entonces x ∈ A y x ∈ B (ya que A ⊆ B); o sea, x ∈ A ∩ B. Por lo tanto, A ⊆ A ∩ B. As´ı concluimos que A = A ∩ B. (b) ⇒ (c). Si A = A ∩ B entonces se tienen las siguientes implicaciones: x ∈ A ∪ B ⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ B) ⇒ x ∈ B, lo cual muestra que A ∪ B ⊆ B, y nuevamente 3.3(a) nos proporciona B ⊆ A ∪ B. Por lo tanto, B = A ∪ B. (c) ⇒ (a). Si B = A ∪ B entonces A ⊆ A ∪ B = B. Definici´ on 3.6 La diferencia de dos conjuntos A y B es A \ B = {x ∈ A : x ∈ / B} . El Ejercicio 2.2.3 del cap´ıtulo anterior nos muestra que tal conjunto existe. ª © Ejemplo 3.7 Si© A = {x ∈ R : 0 ≤ªx ≤ 1} y B = x ∈ R : 12 < x ≤ 2 , entonces A \ B = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 12 . Ejemplo 3.8 A \ ∅ = A y A \ B = A \ (A ∩ B).

Ejemplo 3.9 Si A \ B = A, entonces A ∩ B = ∅.

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´ 3. Algebra de Conjuntos

Ejemplo 3.10 A \ B = ∅ si y s´ olo si A ⊆ B. La operaci´on diferencia no tiene propiedades tan simples como ∩ y ∪; por ejemplo: si A 6= ∅, (A ∪ A) \ A 6= A ∪ (A \ A), es decir, la colocaci´ on de par´entesis en A ∪ A \ A es importante. Otra diferencia es que, mientras que la uni´ on y la intersecci´ on son operaciones conmutativas, por su propia definici´ on la diferencia de conjuntos no es conmutativa. Por otra parte, obs´ervese que la negaci´ on de la proposici´on x ∈ A \ B, es equivalente a la proposici´ on: x ∈ / A ∨ x ∈ B, es decir, x ∈ / A \ B si y s´ olo si x no es un elemento de A o x es un elemento de B. Ahora x ∈ A \ (A \ B) si y s´ olo si x ∈ A ∧ x ∈ / A \ B si y s´ olo si [x ∈ A] ∧ [x ∈ / A ∨ x ∈ B] si y s´ olo si [x ∈ A ∧ x ∈ / A] ∨ [x ∈ A ∧ x ∈ B] si y s´ olo si x ∈ A ∩ B; hemos probado la siguiente proposici´on. Proposici´ on 3.11 Para conjuntos arbitrarios A y B tenemos que A ∩ B = A \ (A \ B). Definici´ on 3.12 Si A ⊆ B el complemento de A con respecto de B es el conjunto B \ A. Teorema 3.13 Para cualesquiera dos conjuntos A y B, y cualquier conjunto E que contenga a A ∪ B, A \ B = A ∩ (E \ B). ´ n: Demostracio Como A ∪ B ⊆ E, tenemos que A \ B = {x ∈ E : (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B} = {x ∈ E : x ∈ A} ∩ {x ∈ E : x ∈ / B} = A ∩ (E \ B). Teorema 3.14 Si E es un conjunto que contiene a A ∪ B, entonces: (a) A ∩ (E \ A) = ∅, A ∪ (E \ A) = E. (b) E \ (E \ A) = A. (c) E \ ∅ = E, E \ E = ∅. (d) A ⊆ B si y s´ olo si E \ B ⊆ E \ A. El siguiente es uno de los resultados elementales de mayor uso, se conoce habitualmente como Leyes de De Morgan. Teorema 3.15 Si A, B ⊆ X entonces: (a) X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B). (b) X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B).

3.1. Operaciones Fundamentales

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´ n: Demostracio x ∈ X \ (A ∪ B) si y s´ olo si x ∈ X y x ∈ / A ∪ B si y s´ olo si x ∈ X, x ∈ /Ay x∈ / B si y s´ olo si x ∈ X \ A y x ∈ X \ B. Esto establece (a); para probar (b) hacemos: X \ [(X \ A) ∪ (X \ B)] = [X \ (X \ A)] ∩ [X \ (X \ B)] = A ∩ B; entonces (X \ A) ∪ (X \ B) = X \ (A ∩ B). Definici´ on 3.16 Sean A y B conjuntos, se define la diferencia sim´etrica de A y B como: A 4 B = {x ∈ A : x ∈ / B} ∪ {x ∈ B : x ∈ / A} . En el Ejercicio 2.2.8 del cap´ıtulo anterior se pide demostrar que la diferencia sim´etrica de dos conjuntos existe.2 La diferencia sim´etrica tiene las siguientes propiedades: Teorema 3.17 Para conjuntos A, B y C se tiene: (a) A 4 ∅ = A. (b) A 4 A = ∅. (c) A 4 B = B 4 A. (d) (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C). (e) A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C). (f ) Si A 4 B = A 4 C entonces B = C. Observemos adem´ as que, para cualesquiera dos conjuntos A y C existe exactamente un conjunto B tal que A 4 B = C, a saber, B = A 4 C, en otras palabras: A 4 (A 4 C) = C, A 4 B = C ⇒ B = A 4 C. En efecto, los incisos (a), (b) y (d) del Teorema 3.17 implican que A4(A4C) = (A 4 A) 4 C = ∅ 4 C = C 4 ∅ = C. Adem´ as si A 4 B = C entonces A 4 (A 4 B) = A 4 C y por tanto, B = A 4 C. Lo anterior nos dice que la operaci´ on 4 es inversa de s´ı misma. El lector que conozca la definici´ on de anillo, utilizando el Teorema 3.4 en sus partes (b) y (c) referentes a la intersecci´ on y el Teorema 3.17, podr´a darse cuenta que para cualquier conjunto X, el conjunto P(X) con las operaciones 4 y ∩ funcionando como suma y producto, es un anillo conmutativo con unidad X. Una peculiaridad de este anillo es que la operaci´ on “sustracci´ on” coincide con la operaci´ on “suma” y m´ as a´ un, el “cuadrado” de cualquier elemento es 2 Las propiedades de la diferencia sim´etrica fueron investigadas extensivamente por Hausdorﬀ en [H5 ].

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´ 3. Algebra de Conjuntos

igual a ese elemento. Note que ∪ y \ no funcionan como suma y sustracci´on, respectivamente. Usando 4 y ∩ como las operaciones b´ asicas, los c´ alculos en el a´lgebra de conjuntos pueden resolverse por aritm´etica ordinaria. Adem´ as, podemos omitir todos los exponentes y reducir todos los coeficientes m´ odulo 2 (es decir, 2kA = ∅ y (2k + 1)A = A). Este resultado es significativo puesto que las operaciones ∪ y \ pueden ser expresadas en t´erminos de 4 y ∩. Este hecho hace que toda el a´lgebra de subconjuntos de un conjunto particular X pueda ser representada como la aritm´etica en el anillo P(X). En efecto, uno puede f´acilmente verificar que: A ∪ B = A 4 B 4 (A ∩ B) A \ B = A 4 (A ∩ B).

Ejercicios 3.1 1. Demuestre las partes (b) y (c) del Teorema 3.3. 2. Demuestre el Teorema 3.4. 3. (a) Demuestre que si A ⊆ C entonces A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C.

(b) ¿Ser´a cierto el resultado anterior si se suprime la hip´ otesis A ⊆ C? (c) Demuestre que A ⊆ C si y s´ olo si A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C.

4. Pruebe las afirmaciones hechas en los Ejemplos 3.8, 3.9 y 3.10. 5. Muestre que si A 6= ∅ entonces (A ∪ A) \ A 6= A ∪ (A \ A). 6. Demuestre el Teorema 3.14. 7. Pruebe que (a) A \ B = (A ∪ B) \ B.

(b) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C). (c) (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C.

(d) (A \ C) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C. (e) (A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C. (f) (A \ B) \ (A \ C) = A ∩ (C \ B).

3.2. Producto Cartesiano

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T (g) A1 ∪A2 ∪· · ·∪An = (A1 \A2 )∪· · ·∪(An−1 \An )∪(An \A1 )∪( nk=1 Ak ).

(h) Si A, B ⊆ X, entonces (X \ A) \ (X \ B) = B \ A.

8. Muestre por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son falsas. (a) A \ B = B \ A.

(b) A ⊆ (B ∪ C) implica A ⊆ B o A ⊆ C. (c) B ∩ C ⊆ A implica B ⊆ A o C ⊆ A.

9. Sea X un conjunto que contiene a A ∪ B. (a) Demuestre que si A ∪ B = X entonces X \ A ⊆ B.

(b) Demuestre que si A ∩ B = ∅ entonces A ⊆ X \ B.

(c) Utilizando los incisos anteriores demuestre que A = X \ B si y s´ olo si A ∪ B = X y A ∩ B = ∅.

10. Pruebe que el sistema de ecuaciones A ∪ X = A ∪ B, A ∩ X = ∅ tiene a lo m´ as una soluci´ on para X. 11. Sea A un conjunto. Demuestre que el “complemento” de A no es un conjunto. (El “complemento” de A es el conjunto de todos los x ∈ / A). 12. Pruebe el Teorema 3.17. 13. Pruebe que A 4 B = ∅ si y s´ olo si A = B. 14. Pruebe que A ∪ B = A 4 B 4 (A ∩ B) A \ B = A 4 (A ∩ B).

3.2 Producto Cartesiano Las operaciones de uni´ on e intersecci´ on nos proporcionan nuevos conjuntos a partir de otros conjuntos dados. En esta secci´on introduciremos otro conjunto construido a partir de dos conjuntos A y B, que denotaremos por A × B y llamaremos el producto cartesiano de A y B. El producto cartesiano es una de las construcciones m´as importantes de la Teor´ıa de Conjuntos, pues permite expresar muchos conceptos fundamentales de matem´aticas en t´erminos de conjuntos.

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´ 3. Algebra de Conjuntos

A diferencia de los elementos de la uni´ on y de la intersecci´ on, los elementos del producto cartesiano son de naturaleza distinta a los elementos de A y de B, ya que A × B consistir´ a de lo que a continuaci´ on definiremos como parejas ordenadas de elementos. Intuitivamente una pareja ordenada es una entidad consistente de dos objetos en un orden espec´ıfico. Para el empleo de la noci´ on de par ordenado en matem´aticas, uno desea que los pares ordenados tengan dos propiedades: (i) dados dos objetos a y b, exista un objeto, el cual puede ser denotado por (a, b) que est´e un´ıvocamente determinado por a y b; (ii) si (a, b) y (c, d) son dos pares ordenados, entonces (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c y b = d. Por el Ejemplo 2.35, es posible definir un objeto, de hecho un conjunto, con la propiedad (i). Definici´ on 3.18 Se define el par ordenado de elementos a y b como (a, b) = {{a} , {a, b}} . Si a 6= b, (a, b) tiene dos elementos, un singular {a} y un par no ordenado {a, b}. La primera coordenada de (a, b) es el elemento que pertenece a ambos conjuntos, o sea a, y la segunda coordenada es el elemento perteneciente a s´olo uno de los conjuntos, a saber, b. Si a = b, entonces (a, a) = {{a} , {a, a}} tiene un u ´nico elemento; en este caso ambas coordenadas son iguales. Es muy oportuno observar que (a, b) ⊆ P({a, b}). Probaremos ahora que los pares ordenados tienen la propiedad (ii) antes mencionada. Teorema 3.19 (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c y b = d. ´ n: Demostracio ⇐] Si a = c y b = d, entonces: (a, b) = {{a} , {a, b}} = {{c} , {c, d}} = (c, d). ⇒] Supongamos que {{a} , {a, b}} = {{c} , {c, d}}. Si a 6= b, entonces debe suceder que {a} = {c} y {a, b} = {c, d}. As´ı, a = c, y entonces {a, b} = {a, d}. De esto se deduce que b = d. Si a = b, {{a} , {a, b}} = {{a}}. As´ı {a} = {c} y {a} = {c, d} , lo cual implica que a = c = d. Por lo tanto, a = c y b = d. Con los pares ordenados a nuestra disposici´ on podemos definir ternas ordenadas como (a, b, c) = ((a, b), c),

3.2. Producto Cartesiano

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cuartetas ordenadas como (a, b, c, d) = ((a, b, c), d), etc.; y es evidente que la correspondiente caracterizaci´ on (Teorema 3.19) de igualdad tambi´en es apropiada. on satisfactoria de Kuratowski [K6 ] en 1921 fue el primero en dar una definici´ par ordenado. Lo complicado de tal definici´ on reside en evitar toda referencia a la forma de escribir los s´ımbolos (a, b). Los fil´ osofos de la primera ´epoca de la Teor´ıa de Conjuntos se encontraron metidos en un problema en lo relativo a dicha cuesti´on. La dificultad reside en eliminar la simetr´ıa existente entre a y b. El motivo por el cual los fil´ osofos no consiguieron hacerlo fue su confusi´ on en cuanto a la distinci´on que existe entre x y {x}, pues quer´ıan que fuese lo mismo. Poniendo (a, b) = {{a} , {a, b}}, la asimetr´ıa del segundo miembro basta para probar el Teorema 3.19, el cual hace que la definici´ on de par ordenado sea adecuada. Definici´ on 3.20 Sean A y B conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y de B es el conjunto A × B es el conjunto consistente de todos aquellos pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B, esto es, A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} . Estamos describiendo un nuevo conjunto y por ende debemos asegurar su existencia como tal, es por ello que damos la siguiente proposici´ on que nos afirma que A × B es un conjunto. Proposici´ on 3.21 Para cualesquiera A y B, A × B es un conjunto. ´ n: Demostracio Por el Ejemplo 2.27 del Cap´ıtulo 2 tenemos que siempre que a ∈ A y b ∈ B entonces P({a, b}) ⊆ P(A ∪ B), y como (a, b) ⊆ P({a, b}), se sigue que cuando a ∈ A y b ∈ B se tiene que (a, b) ⊆ P(A ∪ B), o bien (a, b) ∈ P(P(A ∪ B)). Por lo tanto, A × B = {(a, b) ∈ P(P(A ∪ B)) : a ∈ A ∧ b ∈ B} . Ya que P(P(A ∪ B)) existe, la existencia de A × B como conjunto se sigue del Axioma Esquema de Comprensi´ on.

32

´ 3. Algebra de Conjuntos

Denotaremos A×A por A2 . Hemos definido una terna ordenada de elementos a, b y c como (a, b, c) = ((a, b), c). Para ser consistentes con esa definici´on, introducimos el producto cartesiano de tres conjuntos A, B y C como A × B × C = (A × B) × C. Note que A × B × C = {(a, b, c) : a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C} . Usando una obvia extensi´ on de nuestra notaci´ on, A × A × A ser´a denotado 3 por A . De modo an´alogo, el producto cartesiano de cuatro conjuntos puede tambi´en ser introducido. Ejemplo 3.22 Sean A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5}. Entonces A × B = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5)} . Ejemplo 3.23 Si A = R = B, entonces A × B = {(x, y) : x, y ∈ R} = R2 es el plano usual de la geometr´ıa anal´ıtica. ª © Ejemplo 3.24 Sea A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 (es decir, A es la circunferencia unitaria) y sea B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Entonces, A × B es el an en el cilindro unitario de altura 1. conjunto de los puntos de R3 que est´ Teorema 3.25 (a) A × B = ∅ si y s´ olo si A = ∅ o B = ∅. (b) Si C × D 6= ∅, entonces C × D ⊆ A × B si y s´ olo si C ⊆ A y D ⊆ B. (c) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). (d) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). ´ n: Demostracio La demostraci´on de la proposici´ on en (a) es inmediata a partir de las definiciones. (b) ⇒] Veamos que D ⊆ B. Un argumento sim´etrico ser´ a suficiente para establecer C ⊆ A. Puesto que C × D 6= ∅, aplicando (a) obtenemos que C 6= ∅. Fijemos un c ∈ C arbitrario. Ahora, deseamos demostrar que para todo x, x ∈ D ⇒ x ∈ B. Sea x ∈ D. Entonces (c, x) ∈ C × D y luego (c, x) ∈ A × B. De aqu´ı se sigue que x ∈ B. Por lo tanto D ⊆ B. ⇐] Sea (c, d) ∈ C × D. Entonces c ∈ C y d ∈ D. Como por hip´ otesis C ⊆ A y D ⊆ B, se tiene que c ∈ A y d ∈ B; de aqu´ı (c, d) ∈ A × B. Por lo tanto, C × D ⊆ A × B.

3.2. Producto Cartesiano

33

(c) (x, y) ∈ A × (B ∪ C) si y s´ olo si x ∈ A y y ∈ B ∪ C si y s´ olo si x ∈ A y y ∈ B o y ∈ C si y s´ olo si x ∈ A y y ∈ B o bien x ∈ A y y ∈ C si y s´ olo si (x, y) ∈ A × B o (x, y) ∈ A × C si y s´ olo si (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C). (d) Ejercicio. Para conjuntos no vac´ıos A y B se tiene que A × B = B × A si y s´ olo si A = B; as´ı, la operaci´ on producto cartesiano no es conmutativa.

Ejercicios 3.2 1. Pruebe que (a, b) ⊆ P({a, b}). 2. Pruebe que (a, b), (a, b, c) y (a, b, c, d) existen para todo a, b, c y d. 3. Pruebe que (a, b, c) = (a0 , b0 , c0 ) si y s´olo si a = a0 , b = b0 y c = c0 . 4. Encuentre a, b y c tales que ((a, b), c) 6= (a, (b, c)). A pesar de este resultado, puede definirse la terna ordenada de elementos a, b y c como (a, b, c) = (a, (b, c)), y el producto cartesiano de A, B y C como A × B × C = A × (B × C). M´ as adelante veremos que en t´erminos conjuntistas esta discrepancia es irrelevante. 5. Demuestre que A × B = B × A si y s´ olo si A = B. 6. Muestre que (a) A × (B × C) 6= (A × B) × C.

(b) A3 6= A × A2 , es decir, (A × A) × A 6= A × (A × A). Este ejercicio muestra que × no es asociativo. 7. Si A, B son conjuntos no vac´ıos y (A × B) ∪ (B × A) = C × C, demuestre que A = B = C. 8. Pruebe la parte (d) del Teorema 3.25. 9. Demuestre que: (a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

(b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).

34

´ 3. Algebra de Conjuntos

(c) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).

(d) A × (B 4 C) = (A × B) 4 (A × C). 10. Sean A, B ⊆ X y C, D ⊆ Y . Demuestre que: (a) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D).

(b) (A × C) ∪ (B × D) ⊆ (A ∪ B) × (C ∪ D). Muestre que es posible que no se d´e la igualdad. (c) (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D) ∪ (A × D) ∪ (B × C).

(d) (X × Y ) \ (B × C) = ((X \ B) × Y ) ∪ (X × (Y \ C).

11. Para dos conjuntos A y B, se define la uni´ on ajena de A y B como: A t B = (A × {x}) ∪ (B × {y}), donde x ∈ / B, y ∈ / A. Demuestre el an´alogo del Teorema 3.4 para uniones ajenas.

3.3 Familias de Conjuntos En el p´arrafo que sigue al Axioma de Uni´ on hablamos de un tipo muy especial de conjuntos: los sistemas o familias de conjuntos. Estos conjuntos (como otros) tienen como elementos a conjuntos, es decir, una familia de conjuntos es un “conjunto de conjuntos”. Las familias de conjuntos juegan un papel destacado en otras ramas de las matem´ aticas, donde el objetivo es estudiar a familias especiales de conjuntos. Por ejemplo, la Topolog´ıa no es otra cosa que el estudio de las propiedades un sistema especial de subconjuntos de un conjunto dado X. La terminolog´ıa sistema o familia de conjuntos tiene por objeto resaltar el hecho de que trataremos a los elementos de la familia como conjuntos mismos. Usualmente denotaremos a las familias de conjuntos con letras may´ usculas caligr´ aficas tales como A, B, C, X , Z. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 3.26 A = {∅, {∅}} es un sistema de conjuntos cuyos elementos son el conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto unitario {∅} . Ejemplo 3.27 Sea M = {{x ∈ N :x es par} , {x ∈ N : x es impar}}. Entonces M es un sistema de conjuntos cuyos elementos son el conjunto de los n´ umeros naturales pares y el conjunto de los n´ umeros naturales impares. Obs´ervese que N 6= M. Ejemplo 3.28 Para cualquier conjunto X, el conjunto potencia de X, P(X), es la familia de todos los subconjuntos de X.

3.3. Familias de Conjuntos

35

Ejemplo 3.29 Recuerde que a una circunferencia en R2 con centro en el punto x ∈ R2 y radio rª> 0, la podemos considerar como el conjunto C(x, r) = © y ∈ R2 : kx − yk = r . Sea Ex la familia de todas las circunferencias en Rª2 © 2 con centro x ∈ R , es decir, Ex = {C(x, r) : r > 0}, y sea E = Ex : x ∈ R2 . Entonces E es un sistema de conjuntos cuyos elementos son familias de conjuntos. Note que ni los puntos de R2 , ni las circunferencias son elementos de E. El Axioma de Uni´on y el Axioma Esquema de Comprensi´ on (v´ease el p´ arrafo que sigue al Ejemplo 2.15) dan posibilidad de la siguiente definici´ on. Definici´ on 3.30 Sea F es una familia no vac´ıa de conjuntos. (a) La uni´ on de la familia F es el conjunto [ [ A = {x : ∃A ∈ F, x ∈ A} . F= A∈F

(b) La intersecci´ on de la familia F es el conjunto \ \ A = {x : ∀A ∈ F, x ∈ A} . F= A∈F

Ejemplo 3.31 Si M es la familia definida en el Ejemplo 3.27, entonces N = S M. S Ejemplo 3.32 Para cualquier conjunto X, X = P(X). S T Ejemplo 3.33 Si F = {A, B} , entonces F = A ∪ B y F = A ∩ B. Ver Ejemplo 2.13. S T Ejemplo 3.34 Si F = {A} , entonces F = A = F. A continuaci´ on introduciremos un concepto asociado con las familias de conjuntos. Supongamos que tomamos un conjunto I 6= ∅ y que a cada α ∈ I le corresponde un u ´nico conjunto Aα . Al sistema A = {Aα : α ∈ I} le llamamos familia de conjuntos indizada por el conjunto I. En este caso, se dice que I es el conjunto de ´ındices de A. N´ otese que no se requiere que a distintos ´ındices les correspondan distintos conjuntos. Para referirnos a familias indizadas de conjuntos, en ocasiones emplearemos la forma breve {Aα }α∈I , o simplemente {Aα }α cuando sea claro el conjunto de ´ındices que se est´a usando.

Observaci´ on 3.35 Cualquier familia no vac´ıa de conjuntos F puede considerarse como una familia indizada de conjuntos, donde el conjunto de ´ındices es el mismo F, a saber: F = {FA : A ∈ F}, donde FA = A para cada A ∈ F.

36

´ 3. Algebra de Conjuntos

Ejemplo 3.36 Sean I = {1, 2, 3} y A1 = {1, 2, 5} , A2 = {5, 7, 1} , A3 = {2, 5, 7}. Entonces A = {Ai }i∈I es una familia indizada de conjuntos. Ejemplo 3.37 Para x ∈ R2 , la familia Ex del Ejemplo 3.29 es una familia indizada de conjuntos, donde el conjunto de ´ındices es el conjunto de los n´ umeros reales positivos I = {r ∈ R : r > 0}. Tambi´en el sistema E es una familia indizada de conjuntos, aqu´ı el conjunto de ´ındices es R2 . Con el concepto de familia indizada de conjuntos, la uni´on de la familia F = {Aα }α∈I puede denotarse como [

F=

[

{Aα : α ∈ I} =

[

{Aα }α∈I =

[

Aα

α∈I

y es el conjunto {x : ∃α ∈ I tal que x ∈ Aα }. La intersecci´ on es denotada por \ \ \ \ Aα {Aα }α∈I = F= {Aα : α ∈ I} = α∈I

y es el conjunto {x : ∀α ∈ I, x ∈ Aα }. Cuando el conjunto de ´ındices sea el conjunto de los n´ umeros naturales N, denotaremos con ∞ [

An

∞ \

An

a

n=0

y con

n=0

[

An

\

An .

n∈N

a

n∈N

Ejemplo 3.38 Para cualquier conjunto X, X =

S

{{x} : x ∈ X} .

N : n ≥ k}, k = 0, 1, 2, 3, . . . . Note que A0 ⊇ Ejemplo 3.39 Sea Ak = {n T∈ ∞ A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · ·, y que k=0 Ak = ∅.

Ejemplo 3.40 Sean x ∈ R2 ySEx la familia indizada de conjuntos T definida S 2 \ {x} y en el Ejemplo 3.29. Entonces E = C(x, r) = R Ex = x r>0 T C(x, r) = ∅. r>0

Ejemplo 3.41 Si ª © C = C ∈ P(R2 ) : Ces una circunferencia no degenerada S y E es el sistema del Ejemplo 3.29, entonces C = E.

3.3. Familias de Conjuntos

Ejemplo 3.42 Si A ⊆ B entonces

T

B⊆

T

37

A.

No hay problema con la Definici´on 3.30 si uno de los elementos de F es el conjunto vac´ıo. Por otra parte el Ejemplo 2.12 muestra que si F = ∅ entonces S F = ∅; en efecto, aplicando literalmente el Axioma de Uni´on, vemos que no existen x que satisfagan la propiedad que define a la uni´ on de la familia F. Sin embargo, en el caso en que F = ∅ no es posible definir a la intersecci´on de F pues esto generar´ıa contradicciones dado que cualquier x satisface la propiedad que define a la intersecci´ T on de F, es decir, x ∈ A para todo A ∈ F (puesto que no hay tales A). As´ı ∅ podr´ıa ser el “conjunto de todos los conjuntos”, por lo cual la intersecci´ on de una familia vac´ıa de conjuntos no est´ a definida. Por las observaciones anteriores y 3.35, restringiremos el estudio a familias indizadas no vac´ıas de conjuntos. El siguiente teorema nos proporciona propiedades que relacionan a las uniones e intersecciones “generalizadas” con las uniones e intersecciones “elementales”, la generalizaci´ on de las Leyes de De Morgan y el producto cartesiano. T S Teorema 3.43 (a) α distribuye sobre ∩ y α distribuye sobre ∪.  #  " [ [ [ Aα ∩  Bβ  = (3.3.1) {Aα ∩ Bβ : (α, β) ∈ I × J} α∈I

"

β∈J

#

\



Aα ∪ 

α∈I

\

β∈J



Bβ  =

\

{Aα ∪ Bβ : (α, β) ∈ I × J} .

(b) Si el complemento es tomado respecto a X, entonces: [ \ X \ {Aα : α ∈ I} = {X \ Aα : α ∈ I} (c)

S

T

{Aα : α ∈ I} =

[

{X \ Aa : α ∈ I} .

distribuyen sobre el producto cartesiano:  #  " [ [ [ Aα ×  Bβ  = {Aα × Bβ : (α, β) ∈ I × J} α

y

\

X\

α

α∈I

"

\

α∈I

(3.3.2)

(3.3.3) (3.3.4)

(3.3.5)

β∈J

#



Aα × 

\

β∈J



Bβ  =

\

{Aα × Bβ : (α, β) ∈ I × J} .

(3.3.6)

38

´ 3. Algebra de Conjuntos

´ n: Demostracio S S S (a) olo si x ∈ α∈I Aα y x ∈ S x ∈ [ {Aα : α ∈ I}] ∩ [ {Bβ : β ∈ J}] si y s´ olo si x ∈ Aαo para alg´ un αS un βo ∈ J o ∈ I y x ∈ Bβo para alg´ β∈J Bβ si y s´ olo si x ∈ {Aα ∩ Bβ : (α, β) ∈ I × J}. Esto si y s´ olo si x ∈ Aαo ∩ Bβ0 si y s´ establece la igualdad (3.3.1). Similarmente se establece (3.3.2). S S olo si x ∈ X y x ∈ / α∈I Aα si y s´ olo si (b) x ∈ X \ {Aα : α ∈ I} si y s´ olo si x ∈ X \ Aα para cada α ∈ I, si y s´ olo si x∈X / Aα si y s´ T y ∀α ∈ I, x ∈ on (3.3.3). An´ alogamente se x ∈ {X \ Aα : α ∈ I}. Esto establece la ecuaci´ establece (3.3.4). S S olo si existen α ∈ I (c) (a, b) ∈ [ {Aα : α ∈ I}] × [ {Bβ : β ∈ J}] si y s´ y b ∈ B si y s´ o lo si (a, b) ∈ Aα × Bβ si y s´ olo y β ∈ J tales que a ∈ A α β S si (a, b) ∈ {Aα × Bβ : (α, β) ∈ I × J}. Lo que establece la igualdad (3.3.5). Del mismo modo se prueba (3.3.6). El siguiente corolario establece formas m´ as concretas del teorema anterior, las cuales son usadas con mayor frecuencia. S S Corolario 3.44 (a)A ∩ {AT {A ∩ Aα : α ∈ I}. α : α ∈ I} = T (b) A ∪ S {Aα : α ∈ I} = S {A ∪ Aα : α ∈ I}. (c) A × T {Aα : α ∈ I} = T {A × Aα : α ∈ I}. (d) A × {Aα : α ∈ I} = {A × Aα : α ∈ I}. Finalmente:

T

Teorema 3.45

α

y P conmutan \

α∈I

Sin embargo,

S

α

P(Aα ) = P

Ã

\

α∈I

!

Aα .

y P no conmutan, aunque Ã ! [ [ Aα . P(Aα ) ⊆ P α∈I

α∈I

´ n: Demostracio T A ∈ α∈I P(Aα ) si y s´olo si paraTcada α ∈ I, A ∈ P(Aα ) si¡Ty s´olo si¢ para olo si A ⊆ α∈I Aα si y s´ olo si A ∈ P cada α ∈ I, α∈I Aα . S A ⊆ Aα y s´ Si AS∈ α∈I P(Aα ) entonces existe¡S α ∈ I tal¢ que A ∈ P(Aα ), o sea, A ⊆ Aα ⊆ α∈I Aα , lo que implica A ∈ P α∈I Aα .

3.3. Familias de Conjuntos

Para ver que

S

α

39

y P no conmutan, sean A1 = {1}, A2 = {2}. Entonces [ P(Aα ) = {∅, {1} , {2}} α∈I

y P

Ã

[

Aα

α∈I

!

= {∅, {1} , {2} , {1, 2}} .

Ejercicios 3.3 1. Sea M = {{x ∈ S N :x es par} , {x ∈ N : x es impar}}. Muestre que M 6= N y que N = M.

2. Suponiendo que R es un conjunto, demuestre que los conjuntos definidos en el Ejemplo 3.29 existen. T 3. Demuestre que F existe para toda F 6= ∅. ¿D´onde se utiliza la hip´ otesis F 6= ∅ en la demostraci´ on? T 4. Muestre que para cualquier conjunto X, P(X) = ∅. S 5. Sea F una familia de conjuntos. Pruebe que F = ∅ si y s´ olo si F = ∅ o A ∈ F implica A = ∅. 6. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 3.40, 3.41 y 3.42. 7. Si A y B son conjuntos y X es el par ordenado (A, B), pruebe lo siguiente: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

S

T

X = {A, B} .

X = {A} . S T ( X) = A. T T ( X) = A. S S ( X) = A ∪ B. T S ( X) = A ∩ B.

8. Sup´ ongase que se sabe que la familia X es un par ordenado. Use los resultados del ejercicio anterior para obtener la primera y la segunda coordenadas de X.

40

´ 3. Algebra de Conjuntos

9. Pruebe las ecuaciones (3.3.2), (3.3.4) y (3.3.6) del Teorema 3.43. 10. Una familia de conjuntos F se dice ajena por pares si para cualesquiera A, B ∈ F, con A 6= B, se tiene que A ∩ B = ∅. Sea F = S {An : n ∈ N} una familia de conjuntos ajena por pares, y sea Sn = nk=0 Ak para n = 0, 1, 2, 3, . . .. (a) Muestre que la familia E = {A0 } ∪ {An \ Sn−1 : n ∈ N y n ≥ 1} es ajena por pares. S S (b) Muestre que ∞ E = A0 ∪(A1 \S2 )∪· · ·∪(An \Sn−1 )∪· · ·. n=0 An =

11. Sean F 6= ∅ y X conjuntos.

(a) Sea ES1 = {AS∈ P(X) : A = F ∩ X para alg´ un F ∈ F}. Pruebe que X ∩ F = E1 .

(b) Sea S E2 = {A : A = XS\ F para alg´ un F ∈ F}. Pruebe que T∈ P(X) T X \ F = E2 , X \ F = E2 .

12. Demuestre que la uni´ on y la intersecci´ on generalizada satisfacen la siguiente forma de asociaci´ on: Ã ! [ o [ [ [n Aα : α ∈ I = Aα I∈I

\ o \ \n I = Aα : α ∈

I∈I

α∈I

Ã

\

!

Aα ,

α∈I

donde I es una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos. 13. Sea F = {An : n ∈ N\ {0}} una familia de subconjuntos de X, es decir, F ⊆ P(X). Defina Ã∞ ! ∞ \ [ lim sup An = An+k , n=1

lim inf An =

∞ [

n=1

k=0

Ã

∞ \

k=0

An+k

!

.

Sea tambi´en para cada x ∈ X, Jx = {n ∈ N : x ∈ An }. Demuestre lo siguiente:

3.3. Familias de Conjuntos

41

(a) lim sup An = {x ∈ X : Jx es infinito} .

(b) lim inf An = {x ∈ X : N \ Jx es finito} . T S∞ (c) ∞ n=1 An ⊆ lim inf An ⊆ lim sup An ⊆ n=1 An .

(d) lim inf(X \ An ) = X \ lim sup An .

(e) Si {Bn }n∈N es otra familia de subconjuntos de X entonces: i. ii. iii. iv.

lim inf An ∪ lim inf Bn ⊆ lim inf(An ∪ Bn ). lim inf An ∩ lim inf Bn = lim inf(A ln ∩Bn ). lim sup(An ∩ Bn ) ⊆ lim sup An ∩ lim sup Bn . lim sup(An ∪ Bn ) = lim sup An ∪ lim sup Bn .

(f) Si A1 ⊆ A2 ⊆ · · · o A1 ⊇ A2 ⊇ · · ·, entonces lim inf An = lim sup An .

42

´ 3. Algebra de Conjuntos

4 Relaciones y Funciones Los conceptos de relaci´ on y funci´on son, sin duda alguna, de los m´ as importantes dentro de las matem´aticas modernas. La mayor parte de la investigaci´ on en matem´ aticas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no ha de sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad. Hausdorﬀ consideraba que el concepto de funci´ on es casi tan primitivo como el de conjunto, y qu´e decir del concepto de relaci´ on, el cual intuitivamente parece m´as esencial que el de funci´ on. En matem´aticas la palabra relaci´ on es usada en el sentido de relacionar. Las siguientes oraciones parciales son ejemplos de relaciones: es menor que, divide a, es congruente a,

est´ a incluido en, es miembro de, es madre de.

En este cap´ıtulo enfocaremos conceptos como los de orden y funci´ on desde el punto de vista conjuntista. Veremos que estos pueden ser tratados como relaciones, y que las relaciones pueden ser definidas de manera natural como conjuntos de una estructura especial.

4.1 Relaciones Empleando parejas ordenadas, intuitivamente podemos pensar que una relaci´ on (binaria) R es una proposici´on tal que, para cada par ordenado (a, b), uno puede determinar cu´ando a est´a en relaci´ on R con b o cu´ ando no lo est´a. Parece factible que toda relaci´ on debe determinar de manera u ´nica al conjunto de aquellas parejas ordenadas en las cuales la primera coordenada mantiene esta relaci´ on con la segunda. Si conocemos la relaci´ on, conocemos el conjunto y, mejor a´ un, si conocemos el conjunto, conocemos la relaci´ on. En otras palabras, las relaciones pueden ser representadas como el conjunto de todos los pares ordenados de objetos mutuamente relacionados. Por ejemplo, el conjunto de todos los pares ordenados consistente de un n´ umero real y su ra´ız puede ser llamado la relaci´ on ra´ız cuadrada. N´ otese aqu´ı la importancia de considerar

44

4. Relaciones y Funciones

pares ordenados y no s´ olo pares no ordenados. Quiz´ a no sepamos lo que es una relaci´ on, pero sabemos lo que es un conjunto y las consideraciones precedentes establecen una estrecha conexi´on entre relaciones y conjuntos. El estudio preciso de las relaciones en la Teor´ıa de Conjuntos saca provecho de esta conexi´on heur´ıstica; lo m´as f´acil de hacer es definir una relaci´on como el conjunto de parejas ordenadas que determina. Definici´ on 4.1 Un conjunto R es una relaci´ on (binaria) si todo elemento de R es un par ordenado, es decir, si para todo z ∈ R, existen x, y tales que z = (x, y). Si R ⊆ A × B diremos que R es una relaci´ on de A en B, o entre A y B; y si R ⊆ A × A diremos simplemente que R es una relaci´ on en A. Ejemplo 4.2 Definimos una relaci´ on entre los enteros positivos y los enteros, diciendo que un entero positivo m est´ a en relaci´ on R con un entero n, si m divide a n. La relaci´ on R es simplemente el conjunto {z : ∃ m, n tales que z = (m, n), m ∈ Z, n ∈ Z, m > 0 y m divide a n} . Los elementos de R son pares ordenados . . . , (1, −3), (1, −2), (1, −1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . . . . , (2, −6), (2, −4), (2, −2), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (2, 6), . . . . . . , (3, −9), (3, −6), (3, −3), (3, 0), (3, 3), (3, 6), (3, 9), . . . ··· Ejemplo 4.3 Sean A y B conjuntos. La relaci´ on de A en B de todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B es llamada relaci´ on producto cartesiano y es denotada por A × B. Ejemplo 4.4 El conjunto ∅ es una relaci´ on llamada relaci´on vac´ıa (para demostrar que ∅ es un conjunto de parejas ordenadas, busque un elemento de ∅ que no sea una pareja ordenada). Ejemplo 4.5 Para cualquier conjunto A, la diagonal IdA = {(a, a) : a ∈ A} es la relaci´ on de igualdad o relaci´ on identidad. Note que en una relaci´on en A (como IdA ) cada par de elementos en A no necesariamente est´an relacionados: / IdA . si a 6= b, (a, b) ∈ / IdA y (b, a) ∈ on diferencia en A. Ejemplo 4.6 R = (A × A) \ IdA es la relaci´

4.1. Relaciones

45

Ejemplo 4.7 La relaci´ on inclusi´ on en P(X) es {(A, B) ∈ P(X) × P(X) : A ⊆ B} . A partir de ahora escribiremos xRy para denotar (x, y) ∈ R. Definici´ on 4.8 (a) Decimos que x est´ a en relaci´ on R con y si xRy. (b) El conjunto de todos los x que est´ an en relaci´ on R con alg´ un y es llamado dominio de R y es denotado por dom R. (c) El conjunto de todos los y tales que para alg´ un x, x est´ a en relaci´ on R con y, es llamado rango de R y denotado por ran R. (d) El conjunto dom R ∪ ran R es llamado campo de R y denotado por cam R. El dominio y el rango de una relaci´ on R tambi´en pueden ser descritos como dom R = {x : ∃ y tal que xRy} (o sea, dom R es el conjunto de primeras coordenadas de todos los elementos en R) y ran R = {y : ∃ x tal que xRy} (o sea, ran R es el conjunto de las segundas coordenadas de elementos en R). Tambi´en obs´ervese que si cam R ⊆ X podemos entonces decir que R es una relaci´ on en X. Ejemplo 4.9 En el Ejemplo 4.2, dom R = Z+ , ran R = Z y cam R = dom R ∪ ran R = Z. Ejemplo 4.10 Si R es la relaci´ on identidad o la relaci´ on diferencia en A, entonces dom R = A = ran R, a menos que A sea unitario, en cuyo caso la relaci´ on diferencia es ∅. Ejemplo 4.11 dom (A × B) = A, ran (A × B) = B y cam (A × B) = A ∪ B. Definici´ on 4.12 (a) La imagen de un conjunto A bajo R es el conjunto de todos los elementos y del rango de R en relaci´ on R con alg´ un elemento de A. Este conjunto es usualmente denotado por R(A). As´ı, R(A) = {y ∈ ran R : ∃ x ∈ A tal que xRy} . (b) La imagen inversa de un conjunto B bajo R es el conjunto de todos los elementos x del dominio de R en relaci´ on R con alg´ un elemento de B. Este conjunto es usualmente denotado por R−1 (B). As´ı, R−1 (B) = {x ∈ dom R : ∃ y ∈ B tal que xRy} .

46

4. Relaciones y Funciones

Ejemplo 4.13 Sea R como en 4.2, entonces R({2}) es el conjunto de todos los enteros pares (positivos y negativos). R−1 ({−9, −3, 8, 9, 12}) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12} . Definici´ on 4.14 Sea R una relaci´on. La relaci´ on inversa de R es el conjunto: R−1 = {z : z = (x, y)

∧

(y, x) ∈ R}

De la propia definici´ on de relaci´ on inversa se sigue inmediatamente que (x, y) ∈ R−1 si y s´ olo si (y, x) ∈ R. Esto justifica el nombre de relaci´ on inversa −1 −1 para R , pues intuitivamente R hace lo contrario que R. Ejemplo 4.15 Consideremos nuevamente la relaci´ on ª © R = (m, n) : m ∈ Z+ , n ∈ Z y m divide a n .

Para tal relaci´ on,

R−1 = {w : w = (n, m) ∧ (m, n) ∈ R} = {(n, m) : m entero positivo, n entero y (m, n) ∈ R} = {(n, m) : n entero, mentero positivo y n es m´ ultiplo de m} . Ejemplo 4.16 (A × B)−1 = B × A. Ejemplo 4.17 ∅−1 = ∅. Ejemplo 4.18 (IdA )−1 = IdA . El lector (esperando que el conjunto de lectores sea no vac´ıo) notar´ a que −1 el s´ımbolo R (B) usado en la Definici´ on 4.12(b) para la imagen inversa de B bajo R, ahora tambi´en es usado para denotar la imagen de B bajo R−1 . Afortunadamente estos conjuntos son iguales. Teorema 4.19 La imagen inversa de B bajo R es igual a la imagen de B bajo R−1 . ´ n: Demostracio Primero note que el rango de R es igual al dominio de R−1 . Ahora x ∈ R−1 (B) si y s´ olo si existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ R si y s´ olo si (y, x) ∈ R−1 . Por lo olo si para alg´ un y en B, (y, x) ∈ R−1 , es tanto, x ∈ R−1 (B) bajo R si y s´ decir, si y s´ olo si x pertenece a la imagen de B bajo R−1 .

4.1. Relaciones

47

Para simplificar notaci´ on, introducimos la siguiente convenci´ on. En lugar de escribir {w : w = (x, y), para x, y con P(x, y)} , escribiremos simplemente {(x, y) : P(x, y)}. Por ejemplo, dada una relaci´on R, la relaci´ on inversa de R puede ser escrita con esta notaci´on como {(x, y) : (y, x) ∈ R} . Obs´ervese que, como en el caso general, esta notaci´ on es admisible s´olo si probamos que existe un conjunto A tal que para todo x, y, P(x, y) implica que (x, y) ∈ A. Definici´ on 4.20 Sean R y S relaciones. La composici´ on de R y S es la relaci´ on S ◦ R = {(x, z) : ∃ y para el cual (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ S} . Que un par (x, z) pertenezca a S ◦ R, significa que para alg´ un y, xRy y ySz. As´ı que para encontrar objetos relacionados con x en S ◦ R, primero se encuentran objetos y relacionados a x en R y luego objetos z relacionados en S con alguno de los objetos y; todos estos objetos est´an relacionados en S ◦ R con x. Note que de aqu´ı S ◦ R no es lo mismo que R ◦ S (ver Ejemplo 4.22). Ejemplo 4.21 Para cualquier relaci´ on R, ∅ ◦ R = ∅ = R ◦ ∅. Ejemplo 4.22 Si R = {(1, 2)} y S = {(2, 0)}, entonces S ◦ R = {(1, 0)} ; mientras que R ◦ S es la relaci´ on vac´ıa. Ejemplo 4.23 Si R es una relaci´ on en A, entonces R ◦ IdA = R = IdA ◦ R. Ejemplo 4.24 Si ran R ∩ dom S = ∅, entonces S ◦ R es la relaci´on vac´ıa. Muchas relaciones son de particular inter´es, aqu´ı introduciremos una muy importante y en el resto del cap´ıtulo definiremos algunas otras. Definici´ on 4.25 La relaci´ on de pertenencia en (o restringida a) A es definida por ∈A = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A y a ∈ b} . Tambi´en pueden definirse relaciones ternarias. M´ as expl´ıcitamente, S es una relaci´ on ternaria si para cualquier u ∈ S, existen x, y, z tales que u = (x, y, z). on ternaria en A. Muchos de los conceptos Si S ⊆ A3 , se dice que S es una relaci´ de esta secci´on pueden ser generalizados a relaciones ternarias.

48

4. Relaciones y Funciones

Ejercicios 4.1 S S 1. Sea R una S relaci´ S on (binaria). Demuestre que dom R ⊆ ( R) y que ran R ⊆ ( R). Concluya de esto que dom R y ran R existen.

2. Muestre que R−1 y S ◦ R existen. (Sugerencia:

R−1 ⊆ (ranR) × (domR), S ◦ R ⊆ (domR × ranS).) 3. Sean R una relaci´on y A, B conjuntos. Pruebe: (a) R(A ∪ B) = R(A) ∪ R(B).

(b) R(A ∩ B) ⊆ R(A) ∩ R(B). (c) R(A \ B) ⊇ R(A) \ R(B).

(d) Por medio de ejemplos muestre que ⊆ y ⊇ en (b) y (c) no pueden reemplazarse por =. (e) Pruebe los incisos (a), ..., (d) con R−1 en vez de R. 4. Sean A una familia de conjuntos y R una relaci´on. Muestre que: S S (a) R( A) = {R(A) : A ∈ A} . T T (b) R( A) ⊆ {R(A) : A ∈ A} .

5. Sea R ⊆ X × Y . Demuestre:

(a) R(X) = ran R y R−1 (Y ) = dom R. (b) Si a ∈ / dom R, R({a}) = ∅; si b ∈ / ran R, R−1 ({b}) = ∅. (c) dom R = ran R−1 ; ran R = dom R−1 .

(d) (R−1 )−1 = R. (e) R−1 ◦ R ⊇ Iddom R , R ◦ R−1 ⊇ Idran R . Dar un ejemplo de una relaci´ on R tal que R−1 ◦ R 6= Iddom R y R ◦ R−1 6= Idran R . 6. Verifique el Ejemplo 4.24. 7. Pruebe que para tres relaciones R, S y T T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R. (La operaci´on ◦ es asociativa.)

4.2. Funciones

49

8. Sean X = {∅, {∅}} y Y = P(X). Describa: (a) ∈Y .

(b) IdY . (c) Determine el dominio, rango y campo de ambas relaciones. 9. Muestre que si M es una familia no vac´ıa de relaciones entonces es una relaci´ on.

T

M

4.2 Funciones La palabra funci´ on fue introducida a las matem´ aticas por Leibniz, quien originalmente utiliz´ o este t´ermino para referirse a cierta clase de f´ ormulas matem´ aticas. La idea de Leibniz estaba muy limitada, y el significado de la palabra tuvo desde entonces muchas fases de generalizaci´ on. Hoy en d´ıa, el significado de funci´on es esencialmente el siguiente: Dados dos conjuntos A y B, una funci´on de A en B es una correspondencia que asocia con cada elemento de A un u ´nico elemento de B. Una funci´on, por tanto, representa un tipo especial de relaci´ on: una relaci´ on donde todo objeto del dominio est´a relacionado precisamente con un u ´nico objeto del rango, nombrado el valor de la funci´on. Definici´ on 4.26 Una relaci´on f es llamada funci´ on si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f 1 implica que b = c para cualesquiera a, b, c. En otras palabras, una relaci´on f es una funci´on si y s´ olo si para todo a ∈ dom f hay exactamente un b tal que (a, b) ∈ f . Este u ´nico b es llamado valor de f en a y es usualmente denotado por f (a); aunque en algunas ocasiones es muy conveniente la notaci´ on fa . Si f es una funci´ on con dom f = A y ran f ⊆ B, entonces f = {(a, f (a)) : a ∈ A} y es costumbre emplear la notaci´on f : A → B para denotar la funci´on f ; o de manera m´ as precisa: f : A −→ B a 7→ f (a) Obs´ervese que si a ∈ / A, f (a) carece de sentido. 1

Esta definici´ on de funci´ on fue propuesta por G. Peano [P2 ].

50

4. Relaciones y Funciones

Ejemplo 4.27 Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}, entonces f = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1)} no es una funci´ on ya que (1, 1) y (1, 2) pertenecen a f, y sin embargo 1 6= 2. Ejemplo 4.28 Sean X y Y son conjuntos y sea b ∈ Y . Entonces f = X × {b} es una funci´on, llamada funci´ on constante de X en Y. © ª Ejemplo 4.29 Si X es un conjunto, f = (x, y) ∈ X 2 : x = y es funci´ on, se llama identidad en X, f = IdX . Ver Ejemplo 4.5. Ejemplo 4.30 Sean X un conjunto y A un subconjunto de X. Definamos χA : X → {0, 1} por la regla ½ 1, si x ∈ A χA (x) = 0, si x ∈ /A para cada x ∈ X. Esta importante funci´on se llama la funci´ on caracter´ıstica de A. Ejemplo 4.31 Sean X un conjunto y A ⊆ X. La funci´on iA = {(x, x) : x ∈ A} es llamada inclusi´ on de A en X y usualmente se denotada por iA : A ,→ X. Ejemplo 4.32 Si A y B son conjuntos, entonces tenemos dos funciones naturales: p1 : A×B → A y p2 : A×B → B tales que p1 (a, b) = a y p2 (a, b) = b. Se llaman proyecciones en la primera y la segunda coordenada, respectivamente. Ejemplo 4.33 Sea X un conjunto f : P(X) → P(X) definida como f (A) = X \ A es una funci´on. Puesto que las funciones son relaciones, los conceptos de rango, imagen, inversa y composici´on pueden ser aplicados. Si f : A → B y A1 ⊆ A, B1 ⊆ B tenemos que f ⊆ A × B, la imagen de A1 bajo f es el conjunto f (A1 ) = {y ∈ B : (x, y) ∈ f, x ∈ A1 } = {f (x) : x ∈ A1 } . La imagen inversa bajo f de B1 es f −1 (B1 ) = {x ∈ A : (x, y) ∈ f, para alg´ un y ∈ B1 } = {x ∈ A : f (x) ∈ B1 } . Obs´ervese que la descripci´on de estos conjuntos es m´as simple para funciones que para relaciones en general (ver Definici´ on 4.12).

4.2. Funciones

51

Teorema 4.34 Supongamos que f : X → Y es una funci´ on, entonces: (a) Para A ⊆ X resulta que A = ∅ si y s´ olo si f (A) = ∅. (b) f −1 (∅) = ∅. (c) f ({x}) = {f (x)}. (d) Si A ⊆ B ⊆ X entonces f (A) ⊆ f (B) y f (B \ A) ⊇ f (B) \ f (A). (e) Si A0 ⊆ B 0 ⊆ Y entonces f −1 (A0 ) ⊆ f −1 (B 0 ) y f −1 (B 0 \ A0 ) = f −1 (B 0 ) \ f −1 (A0 ). (f ) Si {Aα }α∈I es una familia indizada de subconjuntos de X y {A0α }α∈I es una familia indizada de subconjuntos de Y , entonces ! ! Ã Ã [ \ \ [ Aα = f (Aα ) , f Aα ⊆ f (Aα ) f α∈I

f −1

Ã

[

Aα

α∈I

α∈I

!

=

[

α∈I

f −1 (Aα )

α∈I

,

f −1

Ã

\

α∈I

α∈I

Aα

!

=

(g) Si A ⊆ X es tal que A ⊆ f −1 (f (A)), y si A0 ⊆ Y ,

\

f −1 (Aα )

α∈I

f (f −1 (A0 )) = A0 ∩ f (X). ´ n: Demostracio (a) Esto se obtiene ya que f es una funci´ on (para todo x ∈ X, existe y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f ) y por la definici´ on de f (A) = {f (x) : x ∈ A}. (b) Es clara. (c) Esto se debe a que (x, y1 ) ∈ f y (x, y2 ) ∈ f implica y1 = y2 . (d) Veamos primero que f (A) ⊆ f (B). Si y ∈ f (A) entonces existe x ∈ A tal que f (x) = y. Como A ⊆ B entonces x ∈ B, luego y ∈ f (B). Por lo tanto, f (A) ⊆ f (B). Si y ∈ f (B) \ f (A) entonces y ∈ f (B) y y ∈ / f (A), por lo que se deduce la existencia de x ∈ B tal que f (x) = y. Adem´ as, como y ∈ / f (A), entonces para cualquier a ∈ A, f (a) 6= y, con lo cual x ∈ B \ A; as´ı, y ∈ f (B \ A). Por lo tanto, f (B) \ f (A) ⊆ f (B \ A). (e) Veamos primero que f −1 (A0 ) ⊆ f −1 (B 0 ), si A0 ⊆ B 0 . Si x ∈ f −1 (A0 ) entonces existe y ∈ A0 tal que f (x) = y. Como A0 ⊆ B 0 y y ∈ B 0 , x ∈ f −1 (B 0 ). Por lo tanto, f −1 (A0 ) ⊆ f −1 (B 0 ). Ahora veamos que f −1 (B 0 \ A0 ) = f −1 (B 0 ) \

52

4. Relaciones y Funciones

f −1 (A0 ). En efecto, x ∈ f −1 (B 0 \ A0 ) si y s´ olo si existe y ∈ B 0 y y ∈ / A0 tal que −1 0 −1 0 f (x) = y si y s´ olo si x ∈ f (B ) \ f (A ). (f ) Demostraremos u ´nicamente que ! Ã [ [ Aα = f (Aα ), f α∈I

α∈I

dejando ¡como las igualdades restantes. ¢ S S ejercicio olo si existe x ∈ α∈I Aα con f (x) = y si y s´ olo si y∈f α∈I Aα si y s´ olo¡si existe α ∈ I tal que y∈ existen α ∈ I y x ∈ AαStales que f (x) = y si y s´ ¢ S S f (Aα ) si y s´ olo si y ∈ α∈I f (Aα ). Por lo tanto, f α∈I Aα = α∈I f (Aα ). (g) Ejercicio. El Axioma de Extensi´ on puede ser aplicado a funciones como sigue: Lema 4.35 Sean f y g funciones. f = g si y s´ olo si dom f = dom g y f (x) = g(x) para todo x ∈ dom f. ´ n: Demostracio ⇒] Demostraremos primero que f = g implica dom f = dom g. x ∈ dom f si y s´ olo si existe alg´ un y para el cual (x, y) ∈ f si y s´ olo si existe alg´ un y para el cual (x, y) ∈ g (pues el conjunto f es igual al conjunto g) si y s´ olo si x ∈ dom g. Por otra parte si existe x ∈ dom f tal que f (x) 6= g(x) entonces (x, f (x)) ∈ f y (x, f (x)) ∈ / g (pues g es funci´ on), entonces (x, f(x)) ∈ f \ g, es decir, f 6= g. ⇐] Supongamos que dom f = dom g y que para cada x ∈ dom f , f (x) = g(x). (x, y) ∈ f si y s´ olo si x ∈ dom f y f (x) = y si y s´ olo si x ∈ dom g y g(x) = y si y s´ olo si (x, y) ∈ g. Por lo tanto, f = g. Introducimos tambi´en otras definiciones. Definici´ on 4.36 Sea f una funci´on y A, B conjuntos: (a) f es una funci´ on desde A si dom f ⊆ A. (b) f es una funci´ on en A si dom f = A. (c) f es una funci´ on hacia B si ran f ⊆ B. (d) La restricci´ on de la funci´ on f a A es la funci´on f |A = {(a, b) ∈ f : a ∈ A} . Si g es una restricci´on de f para alg´ un A, decimos que f es una extensi´ on de g.

4.2. Funciones

53

Es costumbre emplear la frase: f es una funci´on de A en B, cuando f es una funci´on en A y f es una funci´ on hacia B; o sea, f : A → B. Ejemplo 4.37 Para cualquier conjunto A, hay una u ´nica funci´ on f de ∅ en A, a saber, la funci´on vac´ıa, f = ∅. ª © on. En efecto, Ejemplo 4.38 Sea f = (x, x12 ) : x ∈ R \ {0} . f es una funci´ si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , entonces b = a12 y c = a12 ; as´ı, b = c. La notaci´ on 1 on desde el conjunto de los usual para esta funci´on es f (x) = x2 . f es una funci´ n´ umeros reales, pero no en el conjunto de los n´ umeros reales pues 0 ∈ / dom f . Esta es una funci´ on en A = R\ {0} = dom f y hacia el conjunto de los n´ umeros reales. Si C = {x ∈ R :0 ≤ x ≤ 1}, entonces f (C) = {x ∈ R : x ≥ 1} y f −1 (C) = {x ∈ R : x ≤ −1 ∨ x ≥ 1} . La composici´ on f ◦ f es la relaci´ on: f ◦f

= {(x, n z) : ∃ y para el cual (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ f } o = (x, z) : ∃ y para el cual x 6= 0, y = x12 , z = y12 ª © = (x, z) : x 6= 0, z = x4 ;

as´ı, f ◦ f (x) = x4 . Note que f ◦ f es una funci´ on; esto no es un accidente. Teorema 4.39 Sean f y g funciones. Entonces g ◦ f es una funci´ on. g ◦ f est´ a definida en x si y s´ olo si f est´ a definida en x y g est´ a definida en f (x), es decir, dom g ◦ f = dom f ∩ f −1 (dom g). ´ n: Demostracio Se mostrar´a que g ◦ f es una funci´ on. Si (x, z1 ) ∈ g ◦ f y (x, z2 ) ∈ g ◦ f entonces existen y1 , y2 tales que (x, y1 ) ∈ f y (y1 , z1 ) ∈ g, (x, y2 ) ∈ f y on, y1 = y2 . As´ı tenemos que (y1 , z1 ) ∈ g (y2 , z2 ) ∈ g. Puesto que f es una funci´ y (y1 , z2 ) ∈ g. Entonces z1 = z2 , porque tambi´en g es una funci´on. Por otra parte, x ∈ dom g ◦ f si y s´ olo si existe alg´ un z tal que (x, z) ∈ g ◦ f , es decir, hay un y tal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g. Lo anterior se satisface si y s´olo si: x ∈ dom f y y = f (x) ∈ dom g, o sea, x ∈ dom f y x ∈ f −1 (dom g).

Se desprende inmediatamente el siguiente resultado. Corolario 4.40 Si ran f ⊆ dom g, entonces dom g ◦ f = dom f. Es importante se˜ nalar que la composici´ on de funciones siempre est´ a definida, de hecho, si ran f ∩ dom g = ∅, la composici´ on de f con g es la funci´ on vac´ıa,

54

4. Relaciones y Funciones

g ◦ f = ∅. Pero ∅ es una funci´on de poco inter´es, por lo cual generalmente se restringe la composici´ on al caso en que ran f ⊆ dom g, por ser el caso verdaderamente interesante. Pero no hay alguna raz´ on para no definir la composici´ on de cualquier par de funciones. Veamos un ejemplo t´ıpico del uso del teorema anterior para encontrar la composici´on de funciones. Ejemplo 4.41 Encontrar la composici´ on y el dominio de la composici´ on de las siguientes funciones: ª ª © √ © f = (x, x2 − 1) : x ∈ R , g = (x, x) : x ∈ R, x ≥ 0 . Determinaremos primero el dominio de g ◦ f. dom f es el conjunto de todos los n´ umeros reales y dom g = {x ∈ R : x ≥ 0}. Entonces {x ∈ R : f (x) ∈ªdom g} f −1 (dom g) = © = x : x2 − 1 ≥ 0 = {x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1} . Por lo tanto, dom g ◦ f = dom f ∩ f −1 (dom g) = {x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1} y g◦f

© √ ª = n(x, z) : x2 − 1 ≥ 0 ∧ ∃y ∈ R, o y = x2 − 1 ∧ z = y √ = (x, x2 − 1 : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1 .

Ahora derivemos algunas propiedades de la composici´ on de funciones. Teorema 4.42 Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D funciones. (a) Si A0 ⊆ A, entonces g ◦ f (A0 ) = g(f (A0 )). (b) Si C 0 ⊆ C, entonces (g ◦ f )−1 (C 0 ) = f −1 (g −1 (C 0 )). (c) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , es decir, la composici´ on de funciones es asociativa. ´ n: Demostracio Se dejan como ejercicio las partes (a) y (b). Pasaremos a demostrar la parte (c). (x, z) ∈ h ◦ (g ◦ f ) si y s´olo si existe w tal que (x, w) ∈ g ◦ f y (w, z) ∈ h si y s´olo si existe y tal que (x, y) ∈ f , (y, w) ∈ g y (w, z) ∈ h si y s´ olo si (x, y) ∈ f

4.2. Funciones

55

y (y, z) ∈ h ◦ g si y s´ olo si (x, z) ∈ (h ◦ g) ◦ f . Si f es una funci´on, f −1 es una relaci´ on, pero no necesariamente una funci´on. Decimos que una funci´ on f es invertible, si f −1 es una funci´on, es decir, la relaci´ on f −1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f } , es una funci´on. Es importante encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una funci´ on sea invertible. Definici´ on 4.43 Una funci´ on f es llamada inyectiva (o uno a uno) si a1 ∈ dom f , a2 ∈ dom f y a1 6= a2 implica f (a1 ) 6= f (a2 ). La definici´on anterior se puede expresar en otras palabras diciendo que: a1 ∈ dom f , a2 ∈ dom f y f (a1 ) = f (a2 ) implica a1 = a2 . As´ı, una funci´on inyectiva asigna diferentes valores para diferentes elementos de su dominio. Teorema 4.44 Una funci´ on es invertible si y s´ olo si es inyectiva. ´ n: Demostracio ⇒] Sea f una funci´on invertible entonces f −1 es una funci´on. Si a1 ∈ dom f , a2 ∈ dom f , y f (a1 ) = f (a2 ), entonces tenemos que (f (a1 ), a1 ) ∈ f −1 y (f (a2 ), a2 ) ∈ f −1 , lo cual implica que a1 = a2 . As´ı, f es inyectiva. ⇐] Sea f una funci´on inyectiva. Si (a, b1 ) ∈ f −1 y (a, b2 ) ∈ f −1 , tenemos que (b1 , a) ∈ f y (b2 , a) ∈ f . Por lo tanto, b1 = b2 , y as´ı hemos probado que f −1 es funci´on. Si consideramos la funci´ on f : X → R, donde X = {x ∈ R : x ≥ 0} y f (x) = x2 , podemos demostrar que dicha funci´ on es inyectiva, por lo cual f es −1 es {x ∈ R : x ≥ 0}. De modo una funci´on invertible. Pero el dominio de f que a f −1 no la podemos considerar como una funci´on de R en X tal que f −1 ◦ f = IdX y f ◦ f −1 = IdR . Estamos interesados en hallar una funci´on ue inversamente con respecto a g : A → B cuando sea g −1 : B → A que act´ posible; o sea, g −1 ◦ g = IdA y g ◦ g −1 = IdB . Si observamos, el problema de la funci´on f : X → R es que su rango no es todo R. Definici´ on 4.45 Sea f : A → B una funci´on: (a) f se llama sobreyectiva si f (A) = B. (b) f se llama biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

56

4. Relaciones y Funciones

Notemos que una funci´on f : A → B es biyectiva si y s´ olo si para cada b ∈ B, existe un u ´nico a ∈ A tal que f (a) = b. Este a ∈ A existe por la sobreyectividad de f , y es u ´nico por la inyectividad de f . Ahora, si f : A → B es una funci´ on biyectiva entonces dom f −1 = B, es decir, se puede definir f −1 : B → A

´nico a ∈ A tal que f (a) = b. Adem´ as, con esto por la regla: f −1 (b) es el u u ´ltimo tenemos que f −1 cumple las relaciones: f −1 ◦ f = IdA

y f ◦ f −1 = IdB ,

las cuales expresan precisamente que f −1 act´ ua de manera inversa a como lo hace f sobre todo el conjunto A y que f act´ ua de manera inversa a como lo hace f −1 sobre todo el conjunto B. En el Teorema 4.52(c), mostraremos ´nica, lo cual nos permite hacer la definici´on 4.47; antes un u ´til que f −1 es u ejemplo. Ejemplo 4.46 Para cualquier conjunto A, la funci´ on identidad es una biyecci´ on en A. Obs´ervese que en caso de que A = ∅, IdA es la funci´on vac´ıa y que es biyectiva en este (´ unico) caso. Definici´ on 4.47 Si f : A → B es una funci´ on biyectiva, a la funci´on f −1 : B → A se le llamar´ a funci´ on inversa de f : A → B. Note que a f −1 : B → A se le llama funci´ on inversa de f : A → B, y no s´ olo −1 de f , para recalcar el hecho de que f depende de los conjuntos A y B. En seguida daremos m´ ultiples caracterizaciones del concepto de inyectividad y sobreyectividad. Teorema 4.48 Sea f : X → Y una funci´ on con X 6= ∅. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: (a) f es inyectiva. (b) Para todo x1 ∈ X, x2 ∈ X, f (x1 ) = f (x2 ) implica x1 = x2 . (c) Existe g : Y → X tal que g ◦ f = IdX . (d) Para cualesquiera h, k : Z → X, f ◦ h = f ◦ k implica h = k. (e) Para todo A ⊆ X, f −1 (f (A)) = A. (f ) Para cualesquiera A ⊆ B ⊆ X, f (B \ A) = f (B) \ f (A). (g) Para cualesquiera A ⊆ X, B ⊆ X, f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

4.2. Funciones

57

´ n: Demostracio (a) ⇒ (b) Obvio. (b) ⇒ (c) Sea x0 ∈ X y definamos g : Y → X del siguiente modo: ½ si y ∈ / f (X) x0 , g(y) = x, si y = f (x). g es claramente una funci´on, pues si (y, x1 ) ∈ g y (y, x2 ) ∈ g tenemos dos posibilidades: si y ∈ / f (X), por definici´on x1 = x2 = x0 . Si y ∈ f (X) entonces f (x1 ) = f (x2 ) y por (b) x1 = x2 . Luego, para x ∈ X, g ◦ f (x) = g(f (x)) = x; con lo cual, g ◦ f = IdX . (c) ⇒ (d) Si h, k : Z → X son funciones tales que f ◦ h = f ◦ k, entonces por hip´otesis existe una funci´on g : Y → X tal que g ◦ f = IdX , con lo cual: h = IdX ◦ h = (g ◦ f ) ◦ h = g ◦ (f ◦ h) = g ◦ (f ◦ k) = (g ◦ f ) ◦ k = IdX ◦ k = k. (d) ⇒ (e) Sea A ⊆ X. Sabemos que A ⊆ f −1 (f (A)) para cualquier funci´on (Teorema 4.34(g)). Ahora bien, si x ∈ f −1 (f (A)) entonces f (x) ∈ A, luego existe a ∈ A tal que f (a) = f (x). Sean h, k : {1} → X definidas como h(1) = a y k(1) = x, entonces f ◦ h = f ◦k. Por hip´otesis h = k, y as´ı a = x; con esto concluimos que A ⊇ f −1 (f (A)). (e) ⇒ (f) Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊆ B ⊆ X y supongamos que f (x) ∈ f (B \ A) con x ∈ B \ A. Entonces f (x) ∈ f (B); pero como x ∈ /A / f −1 (f (A). Esto implica que f (x) ∈ / f (A); as´ı, y A = f −1 (f (A)), entonces x ∈ f (x) ∈ f (B) \ f (A). Como siempre ocurre f (B) \ f (A) ⊆ f (B \ A), concluimos entonces que f (B) \ f (A) = f (B \ A). (f ) ⇒ (g) Sean A ⊆ X y B ⊆ X. Se sabe que f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B). Si y ∈ f (A) ∩ f (B), entonces y = f (x) con x ∈ A. Si ocurriera x ∈ / B, entonces x ∈ X \ B. Por lo cual, f (x) ∈ f (X \ B) = f (X) \ f (B), y as´ı, y = f (x) ∈ / f (B) que es una contradicci´on. Por lo tanto, f (x) ∈ f (B) implica x ∈ B, y as´ı x ∈ A ∩ B. Por todo lo anterior, y ∈ f (A ∩ B). (g) ⇒ (a) Trivial. Teorema 4.49 Si f : X → Y es una funci´ on entonces, son equivalentes: (a) f es sobreyectiva. (b) Para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y. (c) Para todo subconjunto no vac´ıo A de Y , f −1 (A) 6= ∅. (d) Para todo subconjunto B de Y , B = f (f −1 (B)). (e) Para cualesquiera h, k : Y → Z, h ◦ f = k ◦ f implica h = k. ´ n: Demostracio Las implicaciones (a) ⇒ (b) y (b) ⇒ (c) son obvias.

58

4. Relaciones y Funciones

(c) ⇒ (d) Sabemos que f (f −1 (B)) = f (X) ∩ B ⊆ B. Si la contenci´ on fuese estricta, entonces A = B \ f (f −1 (B)) 6= ∅, lo que implica f −1 (A) 6= ∅; con lo cual se deduce que existe un x ∈ X tal que f (x) ∈ B \ f (f −1 (B)); pero esto es imposible. (d) ⇒ (e) Sean h, k : Y → Z dos funciones cualesquiera tales que h◦f = k◦f . Sea y ∈ Y . Como f (f −1 ({y})) = {y}, por el Teorema 4.34(a), f −1 ({y}) 6= ∅. Sea x ∈ X tal que x ∈ f −1 ({y}); o sea, f (x) = y. Tenemos entonces que h(y) = h(f (x)) = h ◦ f (x) = k ◦ f (x) = k(f (x)) = k(y). Por el Lema 4.35, se sigue que h = k. (e) ⇒ (a) Si f : X → Y no es sobreyectiva, defina funciones h, k : Y → {1, 2} por h = Y × {1} y ½ 1, si y ∈ f (X) k(y) = 2, si y ∈ / f (X). Entonces, h ◦ f = k ◦ f , pero h 6= k. La parte (d) del Teorema 4.48 motiva la siguiente definici´ on. Definici´ on 4.50 Sea f : X → Y una funci´on. (a) A una funci´on g : Y → X tal que g ◦ f = IdX se le llama inversa izquierda de f : X → Y . (b) A una funci´on h : Y → X tal que f ◦ h = IdY se le llama inversa derecha de f : X → Y. Es factible pensar que, as´ı como las funciones inyectivas se caracterizan por tener inversa izquierda, las funciones sobreyectivas se caractericen por tener inversa derecha; esta conjetura es correcta, no obstante, en un cap´ıtulo posterior veremos que esta proposici´ on es equivalente a uno de los Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos (el Axioma de Elecci´ on), por lo cual no es trivial (aunque s´ı f´acil de establecer a partir de ese axioma). Lo que s´ı es posible demostrar ahora es la siguiente proposici´ on. Proposici´ on 4.51 Si f : X → Y tiene una inversa derecha g : Y → X, entonces f es sobreyectiva. ´ n: Demostracio Para cualquier y ∈ Y , poniendo x = g(y), se tiene que f (x) = y. Por lo tanto, f es sobreyectiva.

4.2. Funciones

59

Teorema 4.52 Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Entonces: (a) La inyectividad de f y g implica la inyectividad de g ◦ f . (b) La sobreyectividad de f y g implica la sobreyectividad de g ◦ f . (c) Si X = Z, y f y g son tales que g ◦ f = IdX

y

f ◦ g = IdY ,

´nica. entonces g = f −1 , es decir, la inversa de f : X → Y es u ´ n: Demostracio (a) Sean A ⊆ X y B ⊆ X. Entonces haciendo uso de los Teoremas 4.42(a) y 4.48(g), g ◦ f (A ∩ B) = g(f (A ∩ B)) = g(f (A) ∩ f (B)) = g(f (A)) ∩ g(f (B)) = g ◦ f (A) ∩ g ◦ f (B). Por lo tanto, g ◦ f es inyectiva. (b) Sea A ⊆ Z un subconjunto no vac´ıo, usemos los Teoremas 4.42(b) y 4.49(c). (g ◦ f )−1 (A) = f −1 (g −1 (A)). Como g es sobreyectiva g −1 (A) 6= ∅, y puesto que f tambi´en es sobreyectiva, f −1 (g −1 (A)) 6= ∅. Por lo tanto, g ◦ f es sobreyectiva. (c) Empleando el Teorema 4.48(c) y la Proposici´ on 4.51, obtenemos que f y g tambi´en son funciones biyectivas. De aqu´ı se sigue que dom f −1 = dom g = Y . Ahora, si y ∈ Y, entonces f (g(y)) = y = f (f −1 (y)). Por la inyectividad de f se sigue que g(x) = f −1 (x). Concluimos que g = f −1 , por el Lema 4.35. Una de las razones por las cuales las funciones biyectivas son tan importantes es la que a continuaci´on exponemos. Supongamos que X y Y son dos conjuntos y que f : X → Y es una funci´on biyectiva entre ellos. Si u ´nicamente estamos interesados en X como conjunto, es decir, sin atender a la naturaleza de sus elementos, entonces podemos considerar a estos dos conjuntos como “equivalentes” desde el punto de vista de la Teor´ıa de Conjuntos puesto que cualquier afirmaci´ on y construcci´on de la Teor´ıa de Conjuntos que sea posible realizar con X tambi´en se puede realizar con Y . S´ olo como una muestra, si Z es otro conjunto y estamos interesados en funciones de X en Z, entonces cualquier funci´ on g : X → Z tiene una u ´nica funci´ on correspondiente ge : Y → Z, a saber, ge = g ◦ f −1 . As´ı entonces, podemos “cambiar” nuestro estudio de las funciones de X en Z por el estudio de las funciones de Y en Z. Podr´ıamos dar

60

4. Relaciones y Funciones

otros ejemplos que muestren la paridad de afirmaciones o construcciones que podemos realizar con X y Y ; sin embargo, creemos que es m´as conveniente notar que esta paridad se debe al hecho de que la funci´ on f traslada uno a uno tanto a los elementos como a los subconjuntos de X a Y . Por ende, reiteramos que desde el punto de vista de la Teor´ıa de Conjuntos, aunque X y Y sean objetos (posiblemente) distintos, ellos pueden considerarse “equivalentes” ya que son, salvo por “sus nombres”, indistinguibles. Definici´ on 4.53 (a) Las funciones f y g son llamadas compatibles si f (x) = g(x) para todo x ∈ dom f ∩ dom g. (b) Un conjunto de funciones F es llamado sistema compatible de funciones si cualesquiera dos funciones f ∈ F y g ∈ F son compatibles. Lema 4.54 (a) Las funciones f y g son compatibles si y s´ olo si f ∪ g es una funci´ on. (b) Las funciones f y g son compatibles si y s´ olo si f |dom f ∩dom g = g |dom f ∩dom g . ´ n: Demostracio (a) ⇒] Sean (x, y) ∈ f ∪ g y (x, z) ∈ f ∪ g, entonces x ∈ dom f ∪ dom g. Si x ∈ dom f 4 dom g, necesariamente (x, y) ∈ f \ g y (x, z) ∈ f \ g. O bien, (x, y) ∈ g \ f y (x, z) ∈ g \ f , y en este caso, se concluye que y = z. Si por el contrario x ∈ dom f ∩ dom g, por hip´ otesis f (x) = g(x); as´ı, y = f (x) = z. Por lo tanto, f ∪ g es funci´on. ⇐] Sea x ∈ dom f ∩ dom g. Entonces (x, f (x)) ∈ f ∪ g y (x, g(x)) ∈ f ∪ g. Como f ∪ g es funci´ on, se sigue que f (x) = g(x). (b) Ejercicio. El siguiente teorema nos dice que las funciones en un sistema compatible pueden reunirse en una u ´nica funci´ on la cual extiende a cada funci´on que es elemento del sistema. S Teorema 4.55 Si F es S un sistema de funciones compatibles, entonces S SF es una funci´ on con dom F = {dom f : f ∈ F } . Adem´ as, la funci´ on F extiende a cada f ∈ F. ´ n: Demostracio S Claramente S F es una relaci´ on; probaremos que es una funci´ on. Si (a, b) ∈ S F y (a, c) ∈ F, hay funciones f1 , f2 ∈ F tales que (a, b) ∈ f1 y (a, c) ∈ f2 .

4.2. Funciones

61

Pero f1 y f2 son compatibles, y como (a, b) ∈ f1 ∪ f2 , (a, c) ∈ f1 ∪ f2 y f1 ∪ f2 es una funci´on, entonces S b = c. S Luego, x ∈ dom F si y s´ olo si para alg´ un y, (x, y) ∈ F si y s´ olo si (x, y) ∈ f para alguna f ∈ F si y s´ o lo si x ∈ dom f si y s´ o lo si x S S S S∈ {dom f : f ∈ F }. Por lo tanto, F = {dom f : f ∈ F }. Claramente F extiende a cada f ∈ F. Para finalizar esta secci´ on tenemos la siguiente definici´ on. Definici´ on 4.56 Sean A y B conjuntos, el conjunto de todas las funciones de A en B es denotado por B A . De hecho, nosotros deber´ıamos mostrar que tal conjunto existe, pero nos basta observar que B A ⊆ P(A × B).

Ejercicios 4.2 1. Sea f : X → Y una funci´on. Pruebe que F : P(X) → P(Y ) y G : P(Y ) → P(X) definidas por: F (A) = f (A),

G(A) = f −1 (A),

son funciones. 2. Completar la demostraci´ on del Teorema 4.34. 3. Justifique los procedimientos de los Ejemplos 4.38 y 4.41. 4. Encuentre la funci´ on inversa de la funci´ on del Ejemplo 4.38. 5. Sean A ⊆ X y sea f : X → Y una funci´on. Sea i : A ,→ X la inclusi´on. Muestre que: (a) f |A = f ◦ i.

(b) Pongamos g = f |A . Entonces g −1 (B) = A ∩ f −1 (B) para cada B ⊆Y.

62

4. Relaciones y Funciones

6. Las funciones fi , i = 1, 2, 3, 4, est´ an definidas como sigue: f1 f2 f3 f4

= {(x, 2x − 1) : x ∈ R} √ = {(x, x) : x 6= 0} √ 3 = {(x, x) : x ∈ R} © ª 1 = (x, x ) : x ∈ R, x 6= 0

Describa cada una de las siguientes funciones y determine sus dominios y rangos: f2 ◦ f1 , f1 ◦ f2 , f3 ◦ f1 , f1 ◦ f3 , f4 ◦ f1 , f1 ◦ f4 , f2 ◦ f4 , f4 ◦ f2 , f3 ◦ f4 . 7. Sean f : X → Y y g : Y → Z. (a) Si g ◦ f es inyectiva, qu´e se puede decir de la inyectividad de f y de g. (b) Si g ◦ f es sobreyectiva, qu´e se puede decir de la sobreyectividad de f y de g. 8. Sean f : A → C y g : A → B funciones. Demostrar que existe una funci´on h : B → C tal que f = h ◦ g si y s´ olo si para cada x, y ∈ A, g(x) = g(y) implica f (x) = f (y). 9. Pruebe la siguiente importante propiedad del producto cartesiano A × B y de las proyecciones p1 y p2 . Si A 6= ∅ y B 6= ∅, entonces para cualquier conjunto C y cualesquiera funciones f1 : C → A y f2 : C → B existe una u ´nica funci´on f : C → A × B tal que f1 = p1 ◦ f y f2 = p2 ◦ f . Las funciones f1 y f2 se llaman las funciones coordenadas de f. 10. Sean f : X → Y y g : Y → X dos funciones. Demuestre que X y Y pueden expresarse como uni´ on de subconjuntos ajenos, es decir, X = X1 ∪X2 con X1 ∩X2 = ∅ y Y = Y1 ∪Y2 con Y1 ∩Y2 , tales que f (X1 ) = Y1 y para cada A ⊆ X, sea Q(A) = X \ g(Y \ f (A)). g(Y2 ) = X2 . (Sugerencia: T T´omese X1 = {Q(A) : Q(A) ⊆ A} .) 11. (a) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga inversa izquierda pero no inversa derecha.

(b) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga inversa derecha pero no inversa izquierda. (c) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga dos inversas izquierdas. (d) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga dos inversas derechas.

4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios

63

(e) Muestre que si f : X → Y tiene inversa derecha e izquierda entonces es biyectiva. 12. Pruebe que las funciones del Ejercicio 6 son inyectivas. 13. Completar la demostraci´ on del Teorema 4.42. 14. Muestre que si f : A → B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 15. Dar un ejemplo de una funci´on f y un conjunto A, tal que f ∩A2 6= f |A . 16. Si f es una funci´on inyectiva muestre que ! Ã \ \ Aα = f (Aα ). f α∈I

α∈I

17. Probar el Lema 4.54(b). 18. Muestre que B A existe. 19. Pruebe que el conjunto de todas las funciones desde A hacia B es igual S a X⊆A B X . 20. Demuestre la siguiente forma general de distribuci´on: Ã ! Ã ! \ [ [ \ Fa,b = Fa,f (a) , a∈A

b∈B

f ∈B A

a∈A

suponiendo que Fa,b1 ∩Fa,b2 = ∅ para todo a ∈ A y cualesquiera b1 , b2 ∈ B con b1 6= b2 . (Sugerencia: Sea L el conjunto en el ladoSizquierdo de la igualdad Fa,f (a) ⊆ b∈B Fa,b ; por lo ¢ T en ¡elSlado derecho. T y R el conjunto tanto, a∈A Fa,f (a) ⊆ a∈A b∈B Fa,b = L, y as´ı finalmente R ⊆ L. Para probar que L ⊆ R, tome x ∈ L. Defina (a, b) ∈ f si y s´ olo T si x ∈ Fa,b . Pruebe que f es una funci´on de A en B para la cual x ∈ a∈A Fa,f (a) ; as´ı, x ∈ R.)

4.3 Productos Cartesianos Arbitrarios En esta peque˜ na secci´on se generaliza el producto cartesiano de conjuntos en t´erminos de funciones. Consideraremos primero casos especiales.

64

4. Relaciones y Funciones

Dados un conjunto no vac´ıo X y un n´ umero natural m ≥ 2, definimos una m-ada de elementos de X como una funci´ on x : {1, 2, . . . , m} → X. Si x es una m-ada, es conveniente denotar el valor de x en i ∈ {1, 2, . . . , m} por xi en lugar de x(i). Adem´ as, representamos la funci´ on x por el s´ımbolo (x1 , x2 , . . . , xm ). En la Secci´ on 3.2 definimos el producto cartesiano de dos conjuntos, introdujimos con base en aquella definici´ on el producto cartesiano de tres conjuntos yu ´nicamente sugerimos la generalizaci´ on a cuatro conjuntos. En la siguiente definici´ on haremos la primera generalizaci´ on definiendo el producto cartesiano de una familia de m conjuntos, para cualquier m ∈ N. Definici´ on 4.57 Supongamos que {A1 , A2 , . . . , Am } est´a indizada sobre el conjunto {1, 2, . . . , , m}. El producto cartesiano de esta familia indizada de conjuntos denotado por m Y i=1

Ai

o

A1 × A2 × · · · × Am

es el conjunto de todas las m-adas (x1 , x2 , x3 , . . . , xm ) de elementos de X = S m i=1 Ai tales que xi ∈ Ai para cada i ∈ {1, 2, . . . , m} .

Ejemplo 4.58 Tenemos hasta este momento dos definiciones para el s´ımbolo A × B. Una definici´ on es la dada en la Secci´on 3.2; seg´ un ´esta, A × B denota el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. La segunda definici´ on, presentada en esta secci´ on, define a A×B como el conjunto de todas las funciones x : {1, 2} → A ∪ B tales que x1 ∈ A y x2 ∈ B. Hay una obvia correspondencia biyectiva entre estos dos conjuntos: al par (a, b) le hacemos corresponder la funci´on x:{1, 2} → A ∪ B definida como x1 = a y x2 = b. Hemos acordado denotar a esta funci´on con el s´ımbolo (x1, x2 ). Esta notaci´ on sugiere en s´ı misma la correspondencia mencionada.

Podemos generalizar a´ un m´as, si {An }n∈N es un sistema de conjuntos no vac´ıos indizado sobre el conjunto de los n´ umeros naturales N, es factible definir el producto cartesiano de la familia {An } como: ) ( ∞ ∞ Y [ An = x : N → An : ∀n ∈ N, xn ∈ An n=0

n=0

4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios

65

y como antes representamos las funciones x como: (x0 , x1 , . . . , xi , . . .) o (xn )∞ n=0 . Q ∞ Entonces los elementos de ∞ n=0 An son sucesiones (xn )n=0 de elementos en S ∞ esimo t´ermino, xi = x(i), pertenece a Ai . n=0 An cuyo i-´ Note que las definiciones anteriores no requieren que los conjuntos Ai sean diferentes uno del otro. De hecho, ellos pueden ser todos iguales a un mismo conjunto A. En este caso, el producto cartesiano A1 × A2 × · · · × Am es justamente el conjunto Am de m-adas de elementos en A, y el producto A1 ×A2 ×· · · es justamente el conjunto AN de todas las sucesiones de elementos en A. Ejemplo 4.59 Rm denota el espacio euclidiano m-dimensional. An´alogamenon infinita. te, RN es algunas veces llamado espacio euclidiano de dimensi´ ´ Este es el conjunto de todas las sucesiones (como se definen en los cursos C´alculo Diferencial e Integral) de n´ umeros reales; o sea, el conjunto de todas las funciones x : N → R. Ahora pasaremos a la definici´ on m´as general de producto cartesiano, la cual incluir´a estos casos especiales. Primero haremos preciso el significado de familia indizada de conjuntos, un concepto que hasta ahora no hemos definido formalmente. Definici´ on 4.60 Sea A un sistema de conjuntos. Una funci´ on indizadora para A es una funci´on sobreyectiva A : I → A, donde I es un conjunto no vac´ıo. I es llamado conjunto de ´ındices. La colecci´ on A, junto con la funci´on indizadora, es llamada familia indizada de conjuntos. Ejemplo 4.61 Cualquier familia no vac´ıa de conjuntos puede considerarse como una familia indizada de conjuntos, donde la funci´on indizadora es S : on 3.35. A → A dada por SA = A. Ver Observaci´ El principal uso de las funciones indizadoras es para definir el producto cartesiano de familias arbitrarias de conjuntos. Definici´ on 4.62 Sea {Aα }α∈I una familia indizada de conjuntos. El producto cartesiano de la familia {Aα }α∈I , denotado por Y Aα , α∈I

S es definido como el conjunto de todas las funciones x : I → α∈I Aα , representadas por (xα )α∈I , tales que x(α) = xα ∈ Aα para cada α ∈ I. Si β ∈ I,

66

4. Relaciones y Funciones

Q el conjunto Aβ es llamado el β-´esimo factor del producto Qα∈I Aα . La coordenada β-´esima de un elemento (xα )α∈I en el producto α∈I Aα es por definici´ on xβ = x(β). Estamos definiendo un nuevo conjunto; un ejercicio de esta secci´on es probar Q que α∈I Aα existe para cualquier familia de conjuntos {Aα }α∈I en donde I es un conjunto no vac´ıo. Observemos u ´nicamente que si en la familia {Ba }a∈A Q cada Ba = B, el producto a∈A Ba es justamente B A . Q Ejemplo 4.63 Si cada Aα tiene exactamente un elemento, entonces α∈I Aα tiene un elemento. Q Ejemplo 4.64 Si I 6= ∅ y alg´ un Aα = ∅, entonces α∈I Aα = ∅.

Ejemplo Q 4.65 Considere An = {0, 1} para cada n ∈ N. El producto cartesiano n∈N An es precisamente el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, a veces llamado Conjunto de Cantor.

Sean I 6= ∅Q y Aα 6= ∅ para cada α ∈ I. Hasta este momento no podemos asegurar que α∈I Aα 6= ∅. Aunque intuitivamente esto parece cierto, no es posible demostrarlo sin usar el Axioma de Elecci´ on, el cual a en un Q se abordar´ cap´ıtulo posterior. Por el momento supondremos que α∈I Aα 6= ∅ siempre que I 6= ∅ y Aα 6= ∅ para cada α ∈ I. Definici´ on 4.66 Si {Aα }α∈I es una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos, se define la proyecci´ on en la β-´esima coordenada como la funci´on: Y Aα → Aβ pβ : α∈I

dada por Es decir, si x ∈

Q

α∈I

pβ ((xα )α∈I ) = xβ . Aα , entonces pβ (x) = x(β) = xβ .

Con respecto al ´algebra de productos cartesianos tenemos el siguiente teorema cuya demostraci´ on se deja como un ejercicio. Teorema 4.67 Sea {Xα }α∈I una familia indizada de conjuntos no vac´ıos, y no Q vac´ıos de Xα , para cada α ∈ I. Entonces: sean AαQy Bα subconjuntos Q (a) Q α∈I Aα ∩ Q α∈I Bα = Q α∈I (Aα ∩ Bα ). (b) α∈I Aα ∪ α∈I Bα ⊆ α∈I (Aα ∪ Bα ).

4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios

67

−1 Q Para β ∈ I y Cβ ⊆ Xβ , denotemos a pβ (Cβ ) por hCβ i; ´este es el “gajo” en esimo, el cual es Cβ . Similarα∈I Xα donde cada factor es Xα excepto el β-´ mente, para una cantidad finita de ´ındices α1 , α2 , . . . , αm y los conjuntos

Cα1 ⊆ Xα1 , . . . , Cαm ⊆ Xαm , T Tm −1 el subconjunto m i=1 hCαi i = i=1 pαi (Cαi ) es denotado por hCα1 , . . . , Cαi i .

Estas notaciones nos permiten formular el siguiente corolario. Q Corolario Q 4.68 EnT α∈I Xα , (a) Qα∈I Cα = α∈I hCα i. Cβ i. (b) (Qα∈I Xα ) \ hC Qβ i = hXβ \ S (c) ( α∈I Xα ) \ ( α∈I Cα ) = α∈I hXα \ Cα i .

´ n: Demostracio Q olo si para cada olo si para cada c ∈ α∈I Cα si y s´ T α ∈ I, pα (c) ∈ Cα si y s´ (C ) si y s´ o lo si c ∈ α ∈ I, c ∈ p−1 hC i. Esto establece (a); (b) se prueba α α α α∈I de manera similar a (a), y (c) se sigue de (a) y (b) usando el Teorema 3.43.

Ejercicios 4.3 1. Muestre que existe una correspondencia biyectiva entre A × B y B × A. 2. Sea A × B × C el producto cartesiano de tres conjuntos tal como fue definido en la Secci´ on 3.2, y sea (A × B × C)0 el producto cartesiano de los tres mismos conjuntos como fue definido en esta secci´on. Pruebe que existe una biyecci´ on f : A × B × C → (A × B × C)0 . 3. Justifique los ejemplos 4.63, 4.64 y 4.65. 4. Pruebe el rec´ıproco del Ejemplo 4.64. 5. (a) Demuestre que existen biyecciones entre A× (B ×C) y (A×B) ×C. (b) Muestre que si n > 1, entonces hay una funci´on biyectiva de A1 × A2 × · · · × An

en (A1 × A2 × · · · × An−1 ) × An .

68

4. Relaciones y Funciones

(c) Sea I un conjunto de ´ındices. Pongamos I = J ∪ K, donde J y K son no vac´ıos. Pruebe que existe una funci´ on biyectiva de Q ajenos y Q Q α∈I Aα en α∈J Aα × α∈K Aα .

6. Sea I 6= ∅ un conjunto de ´ındices. Considere dos familias indizadas {Aα }α∈I y {Bα }α∈I . Demuestre lo siguiente: (a) Si Aα ⊆ Bα para cada α ∈ I, entonces Y Y Aα ⊆ Bα . α∈I

(b) El rec´ıproco de (a) se cumple si

α∈I

Q

α∈I

Aα 6= ∅.

7. Pruebe que si {Aα }α∈I es una familia indizada de conjuntos no vac´ıos, entonces para cualquier conjunto X y cualquier familia {fα } de funciones ´nica funci´on fα : X → Aα , existe una u Y Aα f :X→ α∈I

tal que para cada α ∈ I, fα = pα ◦f . Las funciones fα se Qllaman funciones coordenadas de f , y a veces f se denota por (fα )α∈I o fα (ver Ejercicio 4.2.9). 8. Sean m, n enteros positivos y sea X 6= ∅. (a) Para m ≤ n, encuentre una funci´on inyectiva f : X m → X n .

(b) Encuentre una funci´on biyectiva g : X m × X n → X m+n . (c) Encuentre una funci´on inyectiva h : X n → X N .

(d) Encuentre una funci´on biyectiva k : X n × X N → X N . (e) Encuentre una funci´on biyectiva l : X N × X N → X N .

(f) Si A ⊆ B, encuentre una funci´on inyectiva m : X A → X B .

9. Pruebe el Teorema 4.67. 10. Pruebe las partes (b) y (c) del Corolario 4.68. Q S Q 11. Demuestre que α∈I Aα \ α∈I Bα = α∈I Qα , donde cada Qβ es un producto cuyo factor α 6= β es Aα , y el β-´esimo factor es Aβ \ Bβ .

4.4. Equivalencias y Particiones

69

12. ¿Cu´ ales de los siguientes subconjuntos de RN pueden ser expresados como el producto cartesiano de subconjuntos de R? (a) {x = (xn )∞ n=0 : xn es entero para cada n ∈ N} ,

(b) {x = (xn )∞ n=0 : xn ≥ n para cada n ∈ N} ,

(c) {x = (xn )∞ n=0 : xn es un entero para cada n ≥ 100} ,

(d) {x = (xn )∞ n=0 : x2 = x3 } .

4.4 Equivalencias y Particiones En esta secci´ on abordaremos dos importantes conceptos. Las nociones de relaci´ on de equivalencia y de clases de equivalencia, que fueron primeramente estudiadas en su plena generalidad por Frege [F3 ] en 1884. Definici´ on 4.69 Sea R una relaci´on en A. (a) R es llamada reflexiva en A, si para todo a ∈ A, aRa. (b)2 R es llamada sim´etrica en A, si para todo a, b ∈ A, aRb implica bRa. (c) R es llamada transitiva en A, si para todo a, b, c ∈ A, aRb y bRc implica aRc. Definici´ on 4.70 Una relaci´ on R se llama de equivalencia en A, si es reflexiva sim´etrica y transitiva en A. Generalmente una relaci´ on de equivalencia en A se denota por E, ≡, ∼ =, ≈, o ∼. Cuando dos elementos a, b ∈ A satisfacen aEb se dice que a es Eequivalente a b o que a es equivalente a b m´ odulo E. Observe que si E es una relaci´ on de equivalencia en A entonces el dominio de E es igual a A; en efecto, la reflexividad implica que para cualquier a ∈ A, (a, a) ∈ E, es decir, a ∈ dom E. Por otro lado como E es una relaci´on en A, entonces E ⊆ A × A, por lo que dom E ⊆ A. Por lo tanto, dom E = A. Ejemplo 4.71 Cada una de las relaciones siguientes satisfacen exactamente dos de las propiedades de la©Definici´on 4.69 y, por tanto, no son de ª equivalencia. 2 2 (a) La relaci´ on I = (x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 en R, no es reflexiva. © ª (b) La relaci´ on R1 = © (x, y) ∈ R2 : x ≤ y en ªR, no es sim´etrica. (c) La relaci´ on R2 = (x, y) ∈ R2 : |x − y| ≤ 1 en R no es transitiva. 2

a, b ∈ A significa a ∈ A y b ∈ A.

70

4. Relaciones y Funciones

Ejemplo 4.72 La relaci´ on vac´ıa en un conjunto A es sim´etrica y transitiva, pero no reflexiva salvo que A = ∅. Ejemplo 4.73 Sea P el conjunto de todas las personas que viven en la tierra. Decimos que una persona p es equivalente a q (p ∼ = q) si ambos p y q viven ∼ en el mismo pa´ıs. Trivialmente = es reflexiva, sim´etrica y transitiva en P . Note que el conjunto P del ejemplo anterior puede ser “partido” en clases de elementos mutuamente equivalentes; toda la gente que vive en M´exico forman una de estas clases, todas las personas que viven en Francia forman otra clase, etc. Todos los miembros de una misma clase son equivalentes. Las clases de equivalencia corresponden exactamente a los diferentes pa´ıses. Ejemplo 4.74 Defina la relaci´ on ≡ en el conjunto de los enteros Z como sigue: x ≡ y si y s´ olo si y − x es divisible3 por 2. Se puede verificar f´acilmente que ≡ cumple (a), (b) y (c) de la Definici´on 4.69, es decir, ≡ es una equivalencia. Nuevamente el conjunto Z, puede ser dividido en clases de equivalencia bajo ≡. En este caso, hay dos clases de equivalencia: el conjunto de los enteros pares y el conjunto de los enteros impares. Cualesquiera dos pares o cualesquiera dos impares est´ an relacionados, pero nunca un par est´ a relacionado con un impar. Los ejemplos anteriores reflejan una regla general; una relaci´ on de equivalencia en un conjunto A genera una partici´on del conjunto A en clases de equivalencia; rec´ıprocamente, dada una partici´on en A hay una equivalencia en A determinada por la partici´ on de A. Definici´ on 4.75 Sea E una equivalencia en A y sea a ∈ A. La clase de equivalencia de a m´ odulo E es el conjunto [a] = {x ∈ A : xEa} . Obs´ervese que efectivamente lo que hemos llamado clase de equivalencia de a, es un conjunto. Por el peso de la tradici´ on hist´orica llamamos clase a [a] , aqu´ı el t´ermino clase es diferente al usado en la Convenci´on 2.5. Es conveniente tambi´en notar que para todo a ∈ A, [a] 6= ∅, pues al menos a ∈ [a] . Cuando se trabaja con varias relaciones en un mismo conjunto A, es preferible emplear la notaci´ on Ea para denotar la clase de equivalencia de a m´ odulo E. 3

m es divisible por n si existe k ∈ Z tal que m = k · n.

4.4. Equivalencias y Particiones

71

Ejemplo 4.76 En Z se define la congruencia m´odulo n como a ≡ b mod n si y s´ olo si b − a es divisible por n. ≡ es una relaci´ on de equivalencia y la clase de equivalencia de a ∈ Z es el conjunto {a + kn : k ∈ Z} . Lema 4.77 Sean E una equivalencia en A y a, b ∈ A. (a) a es equivalente a b m´ odulo E si y s´ olo si [a] = [b]. (b) a no es equivalente a b m´ odulo E si y s´ olo si [a] ∩ [b] = ∅. ´ n: Demostracio (a) Sup´ongase que aEb. Sea x ∈ [a], entonces xEa y aEb. Por la transitividad de E, xEb, lo que significa x ∈ [b] . Similarmente x ∈ [b] implica x ∈ [a]. As´ı, [a] = [b] . (b) Supongamos que no ocurre aEb, y que existe x ∈ [a] ∩ [b]. Entonces xEa y xEb, y en virtud de la reflexividad y transitividad de E, aEb. Esto contradice el supuesto. Por u ´ltimo supongamos que [a] ∩ [b] = ∅. Si ocurriera aEb, entonces a ∈ [b]. Pero a ∈ [a], lo que contradice la relaci´ on [a] ∩ [b] = ∅. Definici´ on 4.78 Una familia de conjuntos F no vac´ıos se llama partici´ on de A si: (a) Los conjuntos que forman F son ajenos dos a dos, es decir, C, D ∈ F y C 6= D implica C ∩ D = ∅. S (b) La uni´on de F es A, es decir, A = F. Definici´ on 4.79 Sea E una relaci´on de equivalencia en A. La familia de todas las clases de equivalencia m´ odulo E es denotada por A/E y A/E = {[a] : a ∈ A} . Usualmente a A/E se le llama conjunto cociente de A por la relaci´ on E. Teorema 4.80 Sea E una equivalencia, entonces A/E es una partici´ on de A. ´ n: Demostracio La parte (a) de la Definici´ on 4.78 se sigue del Lema 4.77: si [a] 6= [b], entonces a y bS no son equivalentes m´odulo E, as´ı [a] ∩ [b] = ∅. Para probar (b), note que A = A/E porque a ∈ [a] para cada a ∈ A. Adem´ as, por la misma raz´ on, no hay clases de equivalencia vac´ıas.

72

4. Relaciones y Funciones

Definici´ on 4.81 Sea F una partici´on de A. La relaci´ on EF determinada por F es definida por: EF = {(a, b) ∈ A × A : ∃B ∈ F tal que a, b ∈ B} . La definici´on de la relaci´on EF puede hacerse en otras palabras: a, b ∈ A olo si ellos pertenecen al mismo elemento de la est´ an EF -relacionados si y s´ partici´on F. on de Teorema 4.82 Sea F una partici´ on de A. Entonces EF es una relaci´ equivalencia en A. ´ n: Demostracio S (a) Reflexividad. Sea a ∈ A. Puesto que A = F, entonces existe C ∈ F tal que a ∈ C, as´ı; (a, a) ∈ EF . (b) Simetr´ıa. Sup´ ongase que (a, b) ∈ EF , entonces existe C ∈ F tal que a ∈ C y b ∈ C. Por lo cual b ∈ C y a ∈ C; lo cual implica (b, a) ∈ EF . (c) Transitividad. Supongamos que (a, b) ∈ EF y (b, c) ∈ EF , entonces existen conjuntos C, D ∈ F tales que a, b ∈ C y b, c ∈ D. Como los elementos de F son mutuamente ajenos entonces D = C, por lo que a, c ∈ D y as´ı (a, c) ∈ EF . El siguiente teorema, que establece la relaci´on entre equivalencias y particiones, se demuestra de modo an´ alogo. Teorema 4.83 (a) Si E es una relaci´ on de equivalencia en A y F = A/E, entonces E = EF . on de (b) Si F es una partici´ on de A y EF es la correspondiente relaci´ equivalencia determinada por F, entonces F = A/EF . As´ı las relaciones de equivalencia y las particiones son dos descripciones diferentes del mismo concepto. Toda equivalencia E determina una partici´on on F = A/E es F = A/E. La equivalencia EF determinada por la partici´ id´entica a la original. Rec´ıprocamente, cada partici´ on determina una relaci´ on de equivalencia; cuando formamos las clases de equivalencia m´ odulo EF , recobramos la partici´ on original. Cuando trabajamos con equivalencias o particiones, es muy conveniente tener un conjunto que consista precisamente de un elemento de cada clase de equivalencia. Definici´ on 4.84 Sea E una relaci´on de equivalencia en A. Un conjunto X ⊆ A es llamado conjunto de representantes para las clases de equivalencia m´ odulo

4.4. Equivalencias y Particiones

73

E (o para una partici´ on F), si para todo C ∈ A/E (C ∈ F), X ∩ C = {a} para alg´ un a ∈ C. Ejemplo 4.85 Para la relaci´on de equivalencia definida en el Ejemplo 4.73, el conjunto X de los presidentes o jefes de estado de cada pa´ıs son un conjunto de representantes. El conjunto X = {0, 1} lo es para la relaci´ on de equivalencia del Ejemplo 4.74. ¿Cualquier partici´on tiene un conjunto de representantes? Intuitivamente la respuesta es s´ı, pero, nuevamente, sin el Axioma de Elecci´on, es imposible probar tal afirmaci´ on. Es decir, necesitamos usar el Axioma de Elecci´ on para demostrar la existencia de un conjunto de representantes, salvo para relaciones simples. En el siguiente ejemplo se muestra una relaci´ on de equivalencia para la cual la existencia de un conjunto de representantes no es obvia. Ejemplo 4.86 Sea I = {x ∈ R :0 ≤ x ≤ 1}. La relaci´ on ≡ definida por a ≡ b si y s´ olo si la diferencia a − b es un n´ umero racional, es una relaci´ on de equivalencia.4 Definici´ on 4.87 Sean A un conjunto y E una relaci´ on de equivalencia en A. La funci´on que asigna a cada elemento de A su clase de equivalencia m´ odulo on proyecci´ on E, es decir, pE : A → A/E tal que pE (a) = Ea, se llama funci´ o proyecci´ on natural. El que pE : A → A/E sea una funci´on puede deducirse del Lema 4.77; en efecto, para a ∈ A, (a, Eb) ∈ pE y (a, Ec) ∈ pE implica a ∈ Eb y a ∈ Ec con on sobreyectiva, lo cual Eb ∩ Ec 6= ∅; as´ı Eb = Ec. Claramente pE es una funci´ pero en general no es inyectiva (puesto que Ea = Eb siempre que aEb). Definici´ on 4.88 Sean A, B dos conjuntos y sean R, S relaciones de equivalencia en A y en B, respectivamente. Una funci´ on f : A → B preserva las relaciones R y S, si aRb implica f (a)Sf(b). Teorema 4.89 Sea f : A → B una funci´ on que preserva las relaciones R y S. Entonces existe una u ´nica funci´ on f∗ : A/R → B/S tal que pS ◦f = f∗ ◦pR . on inducida por f en “el paso al cociente”. A f∗ se le llama funci´ 4 Este ejemplo se debe a Vitali [V] quien prob´ o que ninguno de los conjuntos de representantes de la relaci´ on definida en el ejemplo es medible seg´ un Lebesgue (ver Ejemplo 8.18).

74

4. Relaciones y Funciones

´ n: Demostracio Definamos f∗ : A/R → B/S como f∗ (Ra) = Sf(a) para cada Ra ∈ A/R. a bien definida. La funci´ on f∗ asigna a Ra el u ´nico Veamos primero que f∗ est´ (por el Lema 4.77) elemento Sb ∈ B/S tal que f (a) ∈ Sb. As´ı entonces, para ver que f∗ est´a bien definida es suficiente con mostrar que la clase Sf(a) no depende del representante a seleccionado. Si Ra = Ra0 , por el Lema 4.77, aRa0 . Puesto que f preserva relaciones, tenemos que f (a)Sf(a0 ). Por lo tanto, a un´ıvocamente definida. El dominio de f∗ es A/R ya que A es el dominio f∗ est´ de f y pR es sobreyectiva. Por otro lado, (pS ◦ f )(a) = pS (f (a)) = Sf (a) = f∗ (Ra) = f∗ (pR (a)) = (f∗ ◦ pR )(a), lo cual significa que pS ◦ f = f∗ ◦ pR (v´ease el Lema 4.35). Finalmente, ´nica puesto que pR es sobreyectiva: si g∗ fuera otra funci´on tal que f∗ es u pS ◦ f = g∗ ◦ pR , entonces f∗ ◦ pR = g∗ ◦ pR y, por el Teorema 4.49(e), f∗ = g∗ . ´nica. Por lo tanto, que f∗ es u El rec´ıproco del teorema anterior tambi´en es v´ alido, esto es: si f : A → B y f 0 : A/R → B/S son funciones tales que pS ◦ f = f 0 ◦ pR , entonces f necesariamente preserva las relaciones, y f 0 = f∗ . En efecto, supongamos que f y f 0 son dos funciones tales que pS ◦ f = f 0 ◦ pR . Sean a, a0 ∈ A con aRa0 , entonces pR (a) = pR (a0 ) y puesto que pS ◦ f = f 0 ◦ pR , tenemos que (pS ◦f )(a) = (pS ◦f )(a0 ). Esto muestra que f (a)Sf(a0 ) y prueba que f preserva las relaciones. Que f 0 = f∗ se sigue de la unicidad de f∗ en el teorema anterior. Ejemplo 4.90 Sean A = B = Z. Sea R la congruencia m´ odulo 4 y sea S la congruencia m´ odulo 2 del Ejemplo 4.76. Entonces f : A → B dada por f (n) = n, preserva las relaciones. Usando el conjunto de representantes {0, 1, 2, 3} para A/R y {0, 1} para B/S, es f´acil verificar que f∗ (0) = f∗ (2) = 0 y f∗ (1) = f∗ (3) = 1. Muchas de las aplicaciones de las relaciones de equivalencia en matem´ aticas est´ an en la direcci´ on de formular nociones matem´aticas, o como usualmente se dice, formalizar las definiciones por abstracci´ on. La esencia de esta t´ecnica es definir una noci´on como el conjunto de todos los objetos los cuales se desea tengan la cualidad para la noci´ on. Por ejemplo, en un cap´ıtulo posterior definiremos un concepto extremadamente necesario en las matem´ aticas, como es el de n´ umero real. La t´ecnica en este caso particular ser´ a definiendo relaciones de equivalencia, primero en el conjunto de los n´ umeros naturales, despu´es en el conjunto cociente, y m´ as a´ un, en el “cociente del cociente” para

4.4. Equivalencias y Particiones

75

llegar a definir los n´ umeros racionales y finalmente definir otra relaci´ on de equivalencia para llegar a definir “un n´ umero real”.

Ejercicios 4.4 1. Sea X un conjunto. Pruebe que la relaci´ on ⊆ en P(X) es siempre reflexiva y transitiva. Pruebe tambi´en que es sim´etrica si y s´ olo si X = ∅. 2. Aqu´ı damos una “demostraci´on” de que toda relaci´on R en un conjunto A que es a la vez sim´etrica y transitiva, es tambi´en reflexiva: “Como R es sim´etrica, aRb implica bRa. Ahora, dado que R es transitiva, aRb y bRa juntas implican aRa, como se deseaba.” Encuentre el error de este argumento. 3. Pruebe que una relaci´ on E en A es de equivalencia si y s´ olo si IdA ⊆ E, E = E −1 y E = E ◦ E. 4. Si R es una relaci´on reflexiva y transitiva en A = dom R, muestre que E = R ∩ R−1 es una relaci´on de equivalencia en A. 5. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.71. 6. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.76. 7. Considere la relaci´ on E en R2 definida por ª © E = ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) : y1 − (x1 )2 = y2 − (x2 )2 .

Muestre que E es una relaci´on de equivalencia y describa las clases de equivalencia m´odulo E.

8. Sean E y E 0 las siguientes relaciones en R: E = {(x, y) : y = x + 1}

,

E 0 = {(x, y) : y − x ∈ Z} .

(a) Muestre que E 0 es una relaci´ on de equivalencia en R y que E ⊆ E 0 .

(b) Describa las clases de equivalencia m´ odulo E 0 . (c) ¿Es E una relaci´ on de equivalencia? 9. Sea f : X → Y una funci´on. Muestre que:

76

4. Relaciones y Funciones

(a) Ef = {(x, y) : f (x) = f (y)} es una relaci´on de equivalencia en X. (b) Las clases de equivalencia m´odulo Ef son precisamente los conjuntos f −1 ({y}) para y ∈ f (X). 10. Sean f : A → B una funci´on y E una relaci´on de equivalencia en B. Pruebe que © ª f ← (E) = (x, y) ∈ A2 : f (x)Ef (y) es una relaci´ on de equivalencia en A.

11. Para relaciones R, S en A y B, respectivamente, defina R × S en A × B por R × S = {((a, b), (c, d)) : aRc ∧ bSd} .

Si R, S son relaciones de equivalencia, pruebe que R × S es una relaci´ on de equivalencia en A × B.

12. Sean S y R relaciones de equivalencia en A, con S ⊆ R. Defina ª © R/S = (Sa, Sb) : ∃a0 ∈ Sa, ∃b0 ∈ Sb tales que (a0 , b0 ) ∈ R .

Muestre que R/S es una relaci´ on de equivalencia en el conjunto cociente A/S y que hay una biyecci´ on de (A/S)/(R/S) en A/R. (Sugerencia: demuestre primero que Sa ⊆ Ra para cada a ∈ A. Para construir la biyecci´ on use 4.89.)

13. Demuestre que una relaci´on R en A es de equivalencia si y s´ olo si existe una partici´on {Aα }α∈I de A tal que [ R= {Aα × Aα : α ∈ I} .

M´ as a´ un, los conjuntos Aα son precisamente las clases de equivalencia m´ odulo R.

14. Pruebe que si A es un conjunto y E es una relaci´on de equivalencia en A, entonces A/E es un conjunto. 15. Sean A y B dos particiones de X. Demuestre que la condici´ on EA ⊆ EB es equivalente a: cualquier conjunto A ∈ A es la uni´on de una familia A0 ⊆ B. 16. Sea I = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Para X ⊆ I den´otese por X(r) el conjunto de n´ umeros pertenecientes a I que tienen la forma x + r + n, donde x ∈ X y n es un n´ umero entero. Demuestre que, si Z es un conjunto de representantes para la relaci´ on ≡ definida por a ≡ b si y s´ olo si a − b ∈ Q entonces:

´ 4.5. Ordenes

77

(a) Z(r)∩Z(s) = ∅ para cualesquiera n´ umeros racionales r, s con r 6= s. S (b) I = r∈Q Z(r).

17. Muestre que si T M es una familia no vac´ıa de relaciones de equivalencia en A, entonces M es una relaci´ on de equivalencia en A. 18. Preservando la notaci´on del Ejercicio 17 pruebe que existe una relaci´ on de equivalencia E en A tal que (a) R ∈ M implica R ⊆ E,

on de equivalencia en A y ∀R ∈ M, R ⊆ E 0 , (b) si E 0 es una relaci´ 0 entonces E ⊆ E . S 19. Si M = {EA , EB }, describa M y la relaci´ on E cuya existencia se asegura en el ejercicio anterior.

´ 4.5 Ordenes Otro de los conceptos fundamentales en matem´aticas es el concepto de orden en un conjunto. Un orden puede ser definido como una relaci´ on con caracter´ısticas especiales. Definici´ on 4.91 Una relaci´ on R en A es antisim´etrica si para todo a, b ∈ A, aRb y bRa implica a = b. Definici´ on 4.92 Una relaci´on R en A, que es reflexiva, antisim´etrica y transitiva se llama orden (parcial) en A. El par (A, R) se le llama conjunto (parcialmente) ordenado. Primero note que el dominio de un orden en A es A. A aRb se le puede leer como: “a es menor o igual que b”, “b es mayor o igual que a”, “ a precede a b” o “b es sucesor de a” (en el orden R). As´ı, todo elemento de A es menor (mayor) o igual a s´ı mismo. Generalmente se usan los s´ımbolos ≤, ¹, ¿, para denotar ´ordenes. Ejemplo 4.93 La relaci´ on vac´ıa ∅, en cualquier conjunto A no es un orden, salvo que A = ∅. Ejemplo 4.94 Dado un conjunto A, la relaci´ on identidad es un orden. Ejemplo 4.95 Si ≤ es el orden usual en el conjunto de los n´ umeros reales, entonces ≤ es un orden seg´ un la Definici´ on 4.92.

78

4. Relaciones y Funciones

Ejemplo 4.96 La relaci´ on definida por m | n si y s´ olo si m divide a n, es un orden en el conjunto de los n´ umeros enteros positivos. Ejemplo 4.97 Si X es un conjunto, la contenci´on de conjuntos es un orden en P(X). Ejemplo 4.98 La relaci´ on de pertenencia ∈A restringida a un conjunto A no es un orden, pues no es reflexiva (ver Definici´ on 4.25 y Teorema 2.33). Ejemplo 4.99 Sea C el conjunto de los n´ umeros complejos (z = a + ib con olo √si kz1 k ≤ kz2 k, donde ≤ es el a, b ∈ R), y definamos z1 ¹ z2 si y s´ on ¹ orden usual de los n´ umeros reales y kzk = a2 + b2 . Entonces la relaci´ es reflexiva y transitiva, pero no antisim´etrica. Por lo tanto, no es un orden parcial en C. A las relaciones como ¹ que son reflexivas y transitivas se les llama pre-´ ordenes. Algunas veces es conveniente modificar una relaci´on de orden como sigue: en lugar de la relaci´ on ≤ entre n´ umeros, se puede preferir el uso de la relaci´on < (estrictamente menor). Similarmente, se usar´ a ⊂ (subconjunto propio) en lugar de ⊆, es decir, A ⊆ B y A 6= B. Definici´ on 4.100 Una relaci´ on S en A es asim´etrica si para todo a, b ∈ A, aSb implica que no ocurre bSa. Es decir, (a, b) y (b, a) no pueden ser ambos elementos de S. Definici´ on 4.101 Una relaci´ on S en A es un orden estricto, si es asim´etrica y transitiva. Ejemplo 4.102 Para cualquier conjunto A, la relaci´ on ∅ es un orden estricto en A. Teorema 4.103 (a) Sea R un orden en A, entonces la relaci´ on S definida en A por aSb si y s´ olo si aRb y a 6= b, es un orden estricto en A. (b) Sea S un orden estricto en A, entonces la relaci´ on R definida en A por aRb si y s´ olo si aSb o a = b es un orden en A. As´ı podemos decir que los o´rdenes estrictos S corresponden a o´rdenes R y viceversa. Ejemplo 4.104 Sean A 6= ∅ y S = ∅. Entonces el orden R obtenido en el teorema anterior es la relaci´ on identidad, IdA . Obs´ervese que si R es un orden en A no necesariamente para cualesquiera a, b ∈ A, ocurre que aRb o bRa, a´ un cumpli´endose que dom R = A.

´ 4.5. Ordenes

79

Definici´ on 4.105 Sean a, b ∈ A y sea ≤ un orden en A. Decimos que a y b son comparables en el orden ≤ (o que son ≤-comparables) si: a≤b

o

b ≤ a.

Decimos que a y b son ≤-incomparables si no son ≤-comparables. Similarmente se define para un orden estricto < las nociones de <-comparables y <-incomparables; por ejemplo, a y b son <-comparables si; a < b, a = b o b < a. Ejemplo 4.106 Cualesquiera dos n´ umeros reales son comparables en el orden usual ≤ . Ejemplo 4.107 2 y 3 son incomparables en el orden | del Ejemplo 4.96. Ejemplo 4.108 Cualesquiera a, b ∈ X con a 6= b son incomparables en el orden IdX . Ejemplo 4.109 Si A tiene al menos dos elementos, entonces hay elementos incomparables en el conjunto ordenado (P(A), ⊆). Definici´ on 4.110 Un orden ≤ (o <) es llamado lineal o total si cualesquiera dos elementos de A son comparables. El par (A, ≤) es entonces llamado conjunto linealmente o totalmente ordenado.5 Ejemplo 4.111 El orden usual ≤ en los n´ umeros enteros es lineal, mientras que | no lo es. Ejemplo 4.112 Sean (A, ≤) y (B, ¹) dos conjuntos linealmente ordenados, entonces definiendo en A×B las siguientes relaciones tenemos ordenes lineales para A × B. La primera llamada orden lexicogr´ afico vertical es: (a1 , b1 ) ¿v (a2 , b2 ) si y s´ olo si (a1 < a2 ) o (a1 = a2 y b1 ¹ b2 ). La segunda, el orden lexicogr´ afico horizontal: (a1 , b1 ) ¿h (a2 , b2 ) si y s´olo si (b1 < b2 ) o (b1 = b2 y a1 ≤ a2 ). Ejemplo 4.113 El conjunto C de los n´ umeros complejos con cualquiera de los o´rdenes lexicogr´ aficos es totalmente ordenado.6 5 Lor ´ ordenes lineales fueron considerados originalmente por Cantor [C1 ]. Los ´ ordenes parciales fueron introducidos por Hausdorﬀ [H4 ]. 6 Esto no quiere decir que los n´ umeros complejos sean un campo ordenado; de hecho, eso es imposible. Para la definici´ on de campo ordenado vea la p´ agina 206.

80

4. Relaciones y Funciones

Definici´ on 4.114 Sea B ⊆ A, donde A est´ a ordenado por ≤. B es una cadena en (A, ≤) si cualesquiera dos elementos de B son ≤-comparables. ª © Por ejemplo el conjunto de todas las potencias de 2, 20 , 21 , 22 , . . . , es una cadena en el conjunto de los enteros positivos ordenado por divisibilidad. Es evidente que un orden parcial (respectivamente total) induce un orden parcial (respectivamente total) en cualquier subconjunto; as´ı, una cadena en un conjunto ordenado (A, ≤) es un subconjunto totalmente ordenado en el orden inducido. Definici´ on 4.115 Sea ≤ un orden en A, y sea B ⊆ A. (a) b ∈ B es el elemento m´ınimo de B en el orden ≤, si para todo x ∈ B, b ≤ x. (b) b ∈ B es un elemento minimal de B en el orden ≤, si no existe x ∈ B tal que x ≤ b y x 6= b. (c) b ∈ B es el elemento m´ aximo de B en el orden ≤, si para todo x ∈ B, x ≤ b. (d) b ∈ B es un elemento maximal de B en el orden ≤, si no existe x ∈ B tal que b ≤ x y x 6= b. Obs´ervese el empleo del art´ıculo el en las partes (a) y (c), y el empleo del art´ıculo un en las partes (b) y (d). Esta diferencia en el empleo de los diferentes art´ıculos es necesaria. Primeramente, en virtud de la antisimetr´ıa, los elementos m´ınimo y m´ aximo (si existen) son u ´nicos; no sucede as´ı con los minimales y maximales. La raz´ on es que la definici´ on de m´ınimo y m´ aximo implica que estos elementos son comparables con todo elemento de B, mientras que las definiciones de minimal y maximal no implican que estos elementos (si existen) necesariamente deban ser comparables con cualquier elemento de B. De hecho, cuando un conjunto B tiene dos elementos maximales, estos son incomparables.7 Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 4.116 Sea Z+ el conjunto de todos los enteros positivos ordenado por | . Entonces 1 es el elemento m´ınimo de Z+ , pero Z+ no tiene elemento m´ aximo. Si B = Z+ \ {1}, entonces B no tiene elemento m´ınimo en el orden | (2 no es el m´ınimo porque 2 | 3 falla); pero este conjunto tiene muchos (infinitos) elementos minimales, a saber, 2, 3, 5, 7, etc. (exactamente todos los n´ umeros primos) son minimales. B no tiene ni m´aximo ni maximales. 7 En castellano no se emplean las palabras maximal y minimal. Algunas traducciones prefieren utilizar los t´erminos “elemento m´ aximo” y “elemento m´ınimo” como nombres para tales conceptos; “m´ aximo” y “m´ınimo” para el elemento m´ aximo y m´ınimo. Creemos que la terminolog´ıa aqu´ı empleada evita confusiones.

´ 4.5. Ordenes

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Ejemplo 4.117 Sea A cualquier conjunto con el orden dado por la relaci´on identidad, IdA . Si B ⊆ A entonces cualquier elemento de B es tanto minimal como maximal. En el siguiente teorema se encuentran algunas propiedades de los elementos m´ınimo y minimal. La demostraci´ on se deja como un ejercicio. Teorema 4.118 Sean A ordenado por ≤, y B ⊆ A. (a) B tiene a lo m´ as un elemento m´ınimo. (b) El elemento m´ınimo de B (si existe) es tambi´en minimal. (c) Si B es una cadena, entonces todo elemento minimal de B es tambi´en un m´ınimo. El teorema es tambi´en v´ alido si las palabras “m´ınimo” y “minimal” son reemplazadas por “m´ aximo” y “maximal”, respectivamente. Definici´ on 4.119 Sean ≤ un orden en A y B ⊆ A. (a) a ∈ A es una cota inferior de B en el conjunto ordenado (A, ≤), si a ≤ x para todo x ∈ B. (b) a ∈ A es llamado ´ınfimo de B en (A, ≤) (o m´ axima cota inferior), si es el elemento m´ aximo del conjunto de todas las cotas inferiores de B en (A ≤). (c) a ∈ A es una cota superior de B en el conjunto ordenado (A, ≤), si x ≤ a para todo x ∈ B. (d) a ∈ A se llama supremo de B en (A, ≤) (o m´ınima cota superior), si es el elemento m´ınimo del conjunto de todas las cotas superiores de B en (A, ≤). La diferencia entre “a es el m´ınimo de B” y “a es una cota inferior de B”, es que el segundo concepto no requiere que a ∈ B. Un conjunto puede tener muchas cotas inferiores; pero el conjunto de todas las cotas inferiores de B puede tener a lo m´ as un elemento m´ aximo. As´ı, B puede tener a lo m´ as un ´ınfimo. Similar observaci´ on puede hacerse para m´aximo, cota superior y supremo. A continuaci´ on expresamos formalmente estas ideas. Teorema 4.120 Sean (A, ≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A. (a) B tiene a lo m´ as un ´ınfimo. (b) Si b es el elemento m´ınimo de B, entonces b es ´ınfimo de B. (c) Si b es el ´ınfimo de B y b ∈ B, entonces b es el elemento m´ınimo de B. (d) b ∈ A es el ´ınfimo de B en (A, ≤) si y s´ olo si (i) b ≤ x, para todo x ∈ B, y (ii) si b0 ≤ x, para todo x ∈ B, entonces b0 ≤ b. El teorema es v´ alido si las palabras “m´ınimo” e “´ınfimo” son reemplazadas por “m´ aximo” y “supremo” y “≤” es reemplazado por “≥” en (i) y (ii).

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4. Relaciones y Funciones

´ n: Demostracio (a) Est´ a pr´acticamente probada en la observaci´ on que precede al teorema. (b) El m´ınimo elemento de B es ciertamente una cota inferior de B. Si b0 es cualquier otra cota inferior de B, b0 ≤ b puesto que b ∈ B. As´ı, b es el elemento m´aximo del conjunto de todas las cotas inferiores de B. (c) Es obvio. (d) Esta es s´ olo una reformulaci´on de la definici´on de ´ınfimo. Empleando los Teoremas 4.118 y 4.120 podemos usar una notaci´on para denotar m´ınimo, m´ aximo, ´ınfimo y supremo de un subconjunto B en un conjunto ordenado (A, ≤). La notaci´on com´ unmente empleada es: min B, max B, inf B y sup B, respectivamente. Ejemplo 4.121 Sea ≤ el orden usual en el conjunto de los n´ umeros reales. Analicemos los conjuntos B1 = {x ∈ R :0 < x < 1}, B2 = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}, aximo B3 = {x ∈ R : x > 0}, B4 = {x ∈ R :x < 0}. B1 no tiene elemento m´ ni elemento m´ınimo, pero cualquier b ≤ 0 es una cota inferior; as´ı, 0 es la m´ axima cota inferior de B1 , es decir, inf B1 = 0. Similarmente, cualquier b ≥ 1 es cota superior de B1 , y sup B1 = 1. El conjunto B2 tiene elemento aximo; sin embargo, sup B2 = 1. El m´ınimo, min B2 = 0, pero no tiene m´ conjunto B3 no tiene elemento m´aximo y tampoco tiene supremo; de hecho, B3 no es acotado superiormente en (R, ≤); inf B3 = 0. Similarmente, B4 no tiene cotas inferiores y, por tanto, no tiene ´ınfimo. Ejemplo 4.122 Un conjunto puede ser acotado superiormente y no tener supremo. Consid´erese X = R\ {0} y sea B = {x ∈ X : x es negativo} . Entonces B es acotado superiormente, pero no tiene supremo en el conjunto ordenado (X, ≤), donde ≤ es el orden usual en los n´ umeros reales. Si tenemos un conjunto ordenado finito (A, ≤), entonces x < y si y s´ olo si existe una cadena de la forma x = x1 < x2 < · · · < xn = y. El resultado anterior permite representar a cualquier conjunto ordenado finito por medio de un diagrama. Los elementos de A son representados por puntos acomodados acorde con la siguiente regla: el punto x2 es colocado arriba del olo si x1 < x2 , y si no existen otros elementos de A que sean punto x1 si y s´

´ 4.5. Ordenes

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sucesor de x1 y precedan a x2 , los puntos son unidos por un segmento de l´ınea. As´ı, x < y si y s´ olo si existe una l´ınea quebrada ascendente que conecta a x y y. Algunos ejemplos de tales diagramas son mostrados en la figura (4.5.1).

(4.5.1) El primero es el diagrama de una cadena de cinco elementos. Claramente, el diagrama de cualquier cadena tiene esta forma. El u ´ltimo de los diagramas corresponde al conjunto potencia de un conjunto con tres elementos, ordenado por la inclusi´ on; el punto en el nivel m´ as bajo representa al conjunto vac´ıo, los puntos del siguiente nivel representan los subconjuntos unitarios, y as´ı sucesivamente. Tales diagramas no s´olo sirven para representar un conjunto ordenado por una figura que muestre la relaci´on de orden, tambi´en pueden ser usados para definir conjuntos ordenados: la relaci´ on de orden es justamente la indicada por la variedad de l´ıneas quebradas. Para preparar nuestra siguiente definici´ on que relaciona conjuntos ordenados, discutiremos un ejemplo. Considere el conjunto {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} , cuyos miembros son los divisores positivos de 30, ordenados por la relaci´ on ≤, donde x ≤ y si y s´ olo si x es m´ ultiplo de y. Se deja como un ejercicio mostrar que el diagrama de este conjunto ordenado es id´entico al diagrama asociado a los subconjuntos de un conjunto de tres elementos ordenado por la contenci´on. A pesar de que estos conjuntos ordenados son distintos, ellos son indistinguibles en su estructura como conjuntos ordenados. Es ciertamente notable que exista este tipo de relaciones entre dos conjuntos ordenados ya que cualquier propiedad de uno que sea expresable en t´erminos de su relaci´on de orden tiene una an´aloga en el otro conjunto. La identidad de los diagramas de los dos conjuntos ordenados antes mencionados implican, primero: la existencia de una biyecci´ on entre los conjuntos; segundo: que la relaci´ on de orden entre dos elementos de uno de los conjuntos, es la misma que para el correspondiente par de elementos en el otro conjunto.

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4. Relaciones y Funciones

Definici´ on 4.123 Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados (P, ≤) y (Q, ¹) es una funci´on biyectiva h : P → Q tal que para todo p1 , p2 ∈ P , olo si h(p1 ) ¹ h(p2 ). p1 ≤ p2 si y s´ Si existe un isomorfismo entre (P, ≤) y (Q, ¹), entonces (P, ≤) y (Q, ¹) son isomorfos y la biyecci´on h se llama isomorfismo entre (P, ≤) y (Q, ¹). La expresi´on “si y s´olo si” en la definici´on es muy importante. Por ejemplo, establece que dos elementos en P son comparables siempre y cuando sus im´ agenes v´ıa la biyecci´ on son comparables en Q. Adem´ as, dice c´ omo deben compararse dos elementos en P si sabemos c´omo se comparan sus im´ agenes en Q. En el caso en que se tengan conjuntos linealmente ordenados, el siguiente teorema nos asegura que el “s´ olo si” puede suprimirse en la Definici´on 4.123. Teorema 4.124 Sean (P, ≤) y (Q ¹) conjuntos linealmente ordenados y sea h : P → Q una biyecci´ on tal que h(p1 ) ¹ h(p2 ) siempre que p1 ≤ p2 . Entonces h es un isomorfismo entre (P, ≤) y (Q, ¹). ´ n: Demostracio Debemos mostrar que si p1 , p2 ∈ P con p1 6= p2 son tales que h(p1 ) ¹ h(p2 ), entonces p1 ≤ p2 . Si suponemos que p1 no es menor que p2 , como ≤ es un orden lineal en P , entonces p1 = p2 , o bien p2 < p1 . Hemos supuesto que p1 6= p2 , por lo tanto, p2 < p1 . Por hip´otesis esto implica que h(p2 ) ≺ h(p1 ), lo cual es una contradicci´on. Proposici´ on 4.125 (a) Si (P, ≤) y (Q, ¹) son conjuntos ordenados isomorfos y ≤ es un orden lineal, entonces ¹ tambi´en es un orden lineal. (b) La funci´ on identidad es un isomorfismo de (P, ≤) en s´ı mismo. (c) Si h es un isomorfismo entre (P, ≤) y (Q, ¹), entonces h−1 es un isomorfismo entre (Q, ¹) y (P ≤). (d) Si f es un isomorfismo entre (P, ≤) y (Q, ¹) y g es un isomorfismo entre (Q, ¹) y (T, ¿), entonces g ◦ f es un isomorfismo entre (P, ≤) y (T, ¿). La parte (a) de la proposici´ on anterior puede interpretarse diciendo que si tenemos dos conjuntos ordenados isomorfos y uno de ellos tiene la propiedad de ser lineal, entonces el otro tambi´en la tiene. Otras propiedades que se preservan con isomorfismos pueden encontrarse en los ejercicios. Las partes (b), (c) y (d) nos dicen que la propiedad “... es isomorfo a ...” es reflexiva, sim´etrica y transitiva. As´ı, desde el punto de vista de los conjuntos ordenados es indistinto manipular un conjunto ordenado o un isomorfo a ´el.

´ 4.5. Ordenes

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Un ejemplo t´ıpico de un conjunto ordenado (parcialmente) es el conjunto potencia ordenado por la contenci´on. El siguiente resultado muestra que cualquier conjunto ordenado es b´asicamente de este tipo. Teorema 4.126 Todo conjunto ordenado (A, ≤) es isomorfo a una familia indizada de subconjuntos de A, parcialmente ordenada por la contenci´ on. ´ n: Demostracio Para cada a ∈ A, definamos Sa = {x ∈ A : x ≤ a}. Entonces la funci´on h : on. En efecto, claraA → {Sa }a∈A definida por h(a) = Sa verifica la afirmaci´ olo si a1 ∈ Sa2 . Por la mente h es una biyecci´ on; adem´ as, a1 ≤ a2 si y s´ transitividad, Sa1 ⊆ Sa2 . Luego, a1 ≤ a2 si y s´ olo si Sa1 ⊆ Sa2 . Los conjuntos Sa definidos en la demostraci´on anterior son usados con frecuencia. Definici´ on 4.127 Si (A, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado, el segmento inicial determinado por a ∈ A es el conjunto Ua = {x ∈ A : x < a} . El siguiente tipo de conjunto totalmente ordenado es muy importante. Definici´ on 4.128 Un conjunto parcialmente ordenado (W, ≤) se llama bien ordenado si cada subconjunto no vac´ıo B ⊆ W tiene elemento m´ınimo. En este caso al orden ≤ se le llama buen orden. Cualquier conjunto bien ordenado (W, ≤) es totalmente ordenado, puesto que cada subconjunto {a, b} ⊆ W tiene elemento m´ınimo. M´ as a´ un, el orden inducido (ver Ejercicio 4.5.9) a un subconjunto de un conjunto bien ordenado es un buen orden en el subconjunto. Es costumbre referirse al m´ınimo elemento de un subconjunto B como primer elemento. Ejemplo 4.129 ∅ es un conjunto bien ordenado. Ejemplo 4.130 Sea (A, ≤) un conjunto linealmente ordenado. Cualquier conjunto B = {a1 , a2 , . . . , an } ⊆ A es un conjunto bien ordenado con el orden inducido por ≤ en B. Ejemplo 4.131 El ordenamiento por inclusi´on en P(X) no es un buen orden en cualquier X con m´as de un elemento.

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4. Relaciones y Funciones

Ejemplo 4.132 Sean (W, ≤) un conjunto bien ordenado y q ∈ / W . En W ∪{q} definimos un buen orden que coincida con ≤ en W de la manera siguiente: q ¹ q, para cada w ∈ W , w ¹ q, y para w1 , w2 ∈ W , w1 ¹ w2 si y s´ olo si w1 ≤ w2 . Decimos que W ∪ {q} se forma adjuntando un punto a W como u ´ltimo elemento. Demostraremos que ¹ es, en efecto, un buen orden. Para cada B ⊆ W ∪ {q} no vac´ıo, o bien B = {q} o B ∩ W 6= ∅. En el u ´ltimo caso, el primer elemento de B ∩ W en (W, ≤) es el primer elemento de B en (W ∪ {q} , ¹). Por lo tanto, (W ∪ {q} , ¹) es un conjunto bien ordenado. Cada elemento w en un conjunto bien ordenado (W, ≤) que tiene un sucesor en W , tiene un sucesor inmediato; esto es, podemos encontrar s ∈ W con s 6= w que satisfaga w ≤ s y tal que ning´ un c ∈ W \ {s} satisface w ≤ c ≤ s. En efecto, necesitamos tan s´ olo elegir s = min {x ∈ W : w < x}, lo cual es posible dado que {x ∈ W : w < x} 6= ∅ y (W, ≤) es bien ordenado. Sin embargo, a´ un cuando un elemento w en un conjunto bien ordenado tenga un predecesor, no necesariamente tiene un predecesor inmediato. Por ejemplo, si W 6= ∅ es un conjunto bien ordenado y no acotado superiormente, entonces adjuntando un punto q como u ´ltimo elemento de W a la manera del Ejemplo 4.132, q no tiene un predecesor inmediato. Veamos ahora algunos otros tipos importantes de funciones definidas entre conjuntos ordenados. Definici´ on 4.133 Sean (A, ≤) y (B, ¹) conjuntos linealmente ordenados y f : A → B una funci´on. (a) f se llama creciente si a1 , a2 ∈ A con a1 ≤ a2 implica f (a1 ) ¹ f (a2 ). (b) f se llama decreciente si a1 , a2 ∈ A con a1 ≤ a2 implica f (a1 ) º f (a2 ). A una funci´on creciente tambi´en se le dice funci´ on que preserva el orden y a una funci´on decreciente tambi´en se le dice funci´ on que invierte el orden. Lema 4.134 Si (W, ≤) es un conjunto bien ordenado y f : W → W es una funci´ on creciente e inyectiva, entonces f (x) ≥ x para cada x ∈ W. ´ n: Demostracio Supongamos que X = {x ∈ W : f (x) < x} es no vac´ıo y sea w = min X. Sea f (w) = z. Como w ∈ X, z < w, y siendo f creciente se cumple que f (z) < z, lo cual contradice la elecci´on de w. Corolario 4.135 El u ´nico isomorfismo de un conjunto bien ordenado en s´ı mismo es la identidad.

´ 4.5. Ordenes

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´ n: Demostracio Por el Lema 4.134, si (W, ≤) es un conjunto bien ordenado y f :W →W es un isomorfismo, entonces f (x) ≥ x y f −1 (x) ≥ x para todo x ∈ W . Esto implica que f (x) = x para todo x ∈ W ; o sea, f = IdW . Corolario 4.136 Si dos conjuntos bien ordenados son isomorfos, entonces el isomorfismo es u ´nico. Lema 4.137 Ning´ un conjunto bien ordenado es isomorfo a un segmento inicial de s´ı mismo. ´ n: Demostracio Supongamos que (W, ≤) es un conjunto bien ordenado que es isomorfo a uno de sus segmentos iniciales, y sea f el isomorfismo entre ellos. Entonces para alguna u ∈ W, f (W ) = {x ∈ W : x < u} , luego f (u) < u, que contradice el Lema 4.134. Finalmente, veamos el resultado m´ as relevante sobre conjuntos bien ordenados que presentamos en esta secci´ on. Teorema 4.138 Si (W1 , ≤1 ) y (W2 , ≤2 ) son dos conjuntos bien ordenados, entonces exactamente uno de los siguientes tres casos se cumple: (a) (W1 , ≤1 ) es isomorfo a (W2 , ≤2 ); (b) (W1 , ≤1 ) es isomorfo a un segmento inicial de (W2 , ≤2 ); (c) (W2 , ≤2 ) es isomorfo a un segmento inicial de (W1 , ≤1 ). ´ n: Demostracio Para ui ∈ Wi (i = 1, 2), sea Wi (ui ) = {x ∈ Wi : x < ui } el segmento inicial de Wi determinado por ui . Sea f = {(x, y) ∈ W1 × W2 : W1 (x) es isomorfo a W2 (y)} . Usando el Lema 4.137, es f´ acil ver que f es inyectiva. Si h es un isomorfismo entre W1 (x) y W2 (y) y x0 < x, entonces W1 (x0 ) y W2 (h(x0 )) son isomorfos; de aqu´ı se sigue que f es creciente. Si dom f = W1 y ran f = W2 , entonces ocurre el caso (a).

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4. Relaciones y Funciones

Si y1 <2 y2 y y2 ∈ ran f , entonces y1 ∈ ran f . As´ı, si ran f 6= W2 y y0 = min W2 \ ran f , tenemos que ran f = W2 (y0 ). Necesariamente, dom f = W1 , de otro modo tenemos (x0 , y0 ) ∈ f , donde x0 = min W1 \ dom f . As´ı, el caso (b) se cumple. Similarmente, si dom f 6= W1 , entonces se tiene el caso (c). Por el Lema 4.137, los tres casos considerados son mutuamente excluyentes.

Intuitivamente este resultado puede interpretarse diciendo que los conjuntos bien ordenados pueden compararse por su “longitud”, un hecho que ser´a de mucha importancia en lo sucesivo.

Ejercicios 4.5 1. Sea R una relaci´ on reflexiva y transitiva. Defina ≈ en A por a ≈ b si y s´ olo si (aRb) y (bRa). (a) Muestre que ≈ es una relaci´ on de equivalencia en A.

(b) Si ¿ se define por [a] ¿ [b] si y s´ olo si aRb; muestre que (A/ ≈, ¿) es un conjunto ordenado. 2. Muestre que R ⊆ A × A es reflexiva y transitiva si y s´ olo si IdA ⊆ R y R ◦ R = R. umeros reales en s´ı 3. Sea RR el conjunto de todas las funciones de los n´ mismos. Pruebe que definiendo f ¹ g si y s´ olo si ∀x ∈ R, f (x) ≤ g(x), (RR , ¹) es un conjunto ordenado. 4. Pruebe el Teorema 4.103. 5. (a) Sea R un orden en A. Sean S el correspondiente orden estricto en A y R∗ el orden correspondiente a S. Muestre que R = R∗ . (b) Sea S un orden estricto en A, sea R su correspondiente orden en A, y sea S ∗ el orden estricto correspondiente a R. Entonces S = S ∗ . Ver Teorema 4.103. 6. Formule las definiciones de elementos incomparable, maximal, minimal, m´ aximo, m´ınimo, supremo e ´ınfimo en t´erminos de ´ordenes estrictos.

´ 4.5. Ordenes

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7. Pruebe que el Axioma de Fundaci´ on es equivalente a que todo conjunto no vac´ıo A tiene un elemento ∈A -minimal. 8. Sea R un orden en A. Pruebe que R−1 es tambi´en un orden en A (se llama dual de R), y para B ⊆ A se cumple que (a) a es el m´ınimo elemento de B en R−1 si y s´ olo si a es el m´ aximo elemento de B en R. (b) Similarmente para minimal y maximal, y supremo e ´ınfimo. 9. Sean R un orden en A y B ⊆ A. Muestre que R ∩ (B × B) es un orden en B. Este orden se llama orden inducido por R en B. 10. Muestre que el diagrama correspondiente al conjunto {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} con el orden inducido por el dual de la divisibilidad en los enteros, es id´entico al u ´ltimo presentado en la figura (4.5.1). 11. Dar ejemplos de un conjunto ordenado finito (A, R) y un subconjunto B ⊆ A tales que: (a) B tiene un elemento m´ aximo. (b) B no tiene elemento m´ınimo. (c) B no tiene m´ aximo, pero B tiene supremo. (d) B no tiene supremo. 12. Sean (A, ≤) y (B, ¹) dos conjuntos ordenados con A ∩ B = ∅. Defina ¿ como sigue: x¿y

si y s´ olo si o o

x, y ∈ A y x ≤ y x, y ∈ B y x ¹ y x ∈ A y y ∈ B.

Muestre que ¿ es un orden en A ∪ B y que ¿ restringido a A es ≤, y ¿ restringido a B es ¹ . Intuitivamente ¿ pone a todo elemento de B despu´es de todo elemento de A y coincide con los ordenes originales en A y B; esta es la raz´ on de que al orden ¿ se le llama orden de yuxtaposici´ on. 13. Verifique el Ejemplo 4.112.

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4. Relaciones y Funciones

14. Sean (A, ≤) y (B, ¹) dos conjuntos ordenados. Muestre que ¿ es un orden parcial en A × B, donde ¿ se define como (a1 , b1 ) ¿ (a2 , b2 ) si y s´ olo si a1 ≤ a2 y b1 ¹ b2 . El conjunto ordenado (A × B, ¿) se llama producto (cartesiano) de los conjuntos ordenados (A, ≤) y (B, ¹). 15. Sea F la familia de todas las funciones desde X hacia T (ver Ejercicio 4.2.19). Defina la relaci´ on ≤ en F por f ≤g

si y s´ olo si f ⊆ g.

(a) Pruebe que ≤ es un orden.

(b) Sea A 6= ∅, A ⊆ F. Pruebe que sup A existe si y s´olo si A es una familia de funciones S compatibles. Pruebe adem´ as que si sup A existe, entonces sup A = A.

16. Sean A 6= ∅ y P t(A) el conjunto de todas las particiones de A. Defina una relaci´ on ≤ en P t(A) por: S1 ≤ S2 si y s´ olo si para todo B ∈ S1 , existe C ∈ S2 tal que B ⊆ C. Cuando S1 ≤ S2 se dice que la partici´on S1 es un refinamiento de S. (a) Muestre que ≤ es un orden.

(b) Sean S1 , S2 ∈ P t(A). Muestre que {S1 , S2 } tiene ´ınfimo. (Sugerencia: defina S = {B ∩ C : B ∈ S1 , C ∈ S2 }). ¿C´omo es la relaci´ on de equivalencia ES con respecto a las relaciones de equivalencia ES1 y ES2 ? (c) Sea T ⊆ P t(A), T 6= ∅. Muestre que inf T existe.

(d) Sea T ⊆ P t(A), T 6= ∅. Muestre que sup T existe. (Sugerencia: sea T 0 el conjunto de todas las particiones S con la propiedad que cualquier partici´ on de T es un refinamiento de S. Muestre que T 0 6= ∅ y que sup T = sup T 0 .) 17. Pruebe el Teorema 4.118. 18. Pruebe la segunda parte del Teorema 4.120. 19. Muestre que en una cadena los conceptos de elemento m´ aximo y elemento maximal coinciden, y muestre lo mismo para elemento m´ınimo y elemento minimal. 20. Un conjunto (parcialmente) ordenado es una ret´ıcula si para cada a, b ∈ A, el conjunto {a, b} tiene supremo e ´ınfimo.

´ 4.5. Ordenes

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(a) Muestre que (RR , ¹) como en el problema 3 es una ret´ıcula.

(b) Muestre que (P(A), ⊆) es una ret´ıcula. (c) Muestre que (Z, |) es una ret´ıcula.

(d) Muestre que (P t(A), ≤) es una ret´ıcula. 21. Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado. Una cortadura de X es un par de subconjuntos A, B que satisfacen: (i) X = A ∪ B, (ii) A ∩ B = ∅ y (iii) a ∈ A ∧ b ∈ B ⇒ a ≤ b. Si A, B y A0 , B 0 son dos cortaduras de X, pruebe que A ⊆ A0 o que A0 ⊆ A. 22. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado con la propiedad de que todo subconjunto no vac´ıo con una cota superior tiene supremo. Pruebe que A tiene la propiedad de que cualquier subconjunto de A no vac´ıo con una cota inferior tiene ´ınfimo. A las propiedades anteriores se les llama propiedad de la m´ınima cota superior y propiedad de la m´ axima cota inferior. 23. Si (A, ≤) es un conjunto ordenado y a, b ∈ A con a ≤ b, se define el intervalo cerrado de extremos a, b como el conjunto [a, b] = {x ∈ A : a ≤ x y x ≤ b} . Pruebe que el conjunto de intervalos cerrados ordenados por la inclusi´ on es isomorfo a un subconjunto del producto de (A, ≤) y su dual (A, ≤−1 ). 24. Pruebe la Proposici´ on 4.125. 25. Muestre que h es un isomorfismo entre (A, ≤) y (B, ¹) si y s´olo si h y h−1 preservan el orden. 26. Pruebe por medio de un ejemplo que si (A, ≤) y (B, ¹) son conjuntos ordenados y f : A → B es una biyecci´on que preserva el orden, entonces f −1 : B → A no necesariamente preserva el orden. 27. Muestre que si A es un conjunto finito, entonces todo orden total en A es un buen orden. 28. Muestre que un conjunto bien ordenado (W, ≤) tiene la propiedad de la m´ınima cota superior. 29. Sean A, B conjuntos bien ordenados. Demuestre que los ´ordenes lexicogr´ afico vertical y lexicogr´ afico horizontal en A×B son tambi´en buenos ordenes. ´

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4. Relaciones y Funciones

30. Pruebe el Corolario 4.136. 31. Sea (A, ≤) un conjunto bien ordenado. Muestre que no existen una sucesiones {an ∈ A : n ∈ N} tales que an+1 ≤ an y an 6= an+1 para toda n ∈ N.

4.6 Sobre Clases Considere la siguiente forma de asignaci´ on: A cada par ordenado de conjuntos (A, B) le podemos asociar de manera u ´nica el conjunto A ∪ B. Parece claro que esta regla de asociaci´on permite establecer una funci´ on. No obstante, esta “funci´on” tendr´ıa como dominio el producto cartesiano de la clase de todos los conjuntos con s´ı misma (clase como en la Convenci´on 2.5); por lo que no ser´ıa, propiamente hablando, una funci´on por no ser un conjunto. Sin embargo, la regla de asociaci´ on cumple la propiedad importante de las funciones, a saber, (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f implica b = c. Por esta raz´on, no es mala idea considerar a esta asignaci´on como una “funci´on” entre clases. Pensada como “funci´ on entre clases” la asignaci´on que estamos considerando quedar´ıa expresada como: Un : V × V → V donde V es la clase de todos los conjuntos y Un(A, B) = A ∪ B. De esta manera, la uni´on de conjuntos puede ser pensada como una funci´on. La ventaja es que podemos aprovechar nuestro conocimiento sobre funciones leg´ıtimas para intuir propiedades generales que, como operaci´ on, posea la uni´ on de conjuntos. Ahora bien, pensar en Un como funci´on requiere que primero tengamos claro qu´e entendemos por V × V. aloga a las definiSi K1 y K2 son dos clases, de manera completamente an´ ciones para conjuntos, es posible “definir” la uni´ on, intersecci´ on, complemento on de K1 y K2 est´a y producto cartesiano de K1 y K2 . Por ejemplo, la uni´ dada por K1 ∪ K2 = hx : (x ∈ K1 ) ∨ (x ∈ K2 )i y el producto cartesiano de K1 y K2 est´a dado por K1 × K2 = h(x, y) : x ∈ K1 , y ∈ K2 i . Remarcamos que escribimos “definir” porque en realidad no estamos haciendo una definici´ on en nuestra teor´ıa, sino una convenci´on fuera de ella.

4.6. Sobre Clases

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Habiendo establecido las operaciones elementales entre clases, extender conceptos como los de funci´ on, orden y relaci´ on de equivalencia a clases ya no debe presentar dificultades. Adem´ as de que la extensi´ on de conceptos a clases puede llegar a ser fruct´ıfera para intuir propiedades generales sobre conjuntos, esta extensi´on nos permitir´ a mayores posibilidades para expresarnos. Por ejemplo, podemos decir que la relaci´ on “conjuntos ordenados isomorfos” es de equivalencia en la clase de todos los conjuntos ordenados (que no es un conjunto). En lo sucesivo emplearemos estas convenciones sobre clases; pero, para no tener repercusi´ on en el formalismo de nuestra teor´ıa, las expresiones que involucren clases deben ser pensadas u ´nicamente como abreviaciones para expresiones que no involucren clases. En el ejemplo anterior sobre conjuntos ordenados isomorfos, formalmente se debe decir: en cualquier familia de conjuntos ordenados, la relaci´ on de isomorfismo es una relaci´on de equivalencia. Tambi´en, con el af´ an de evitar posibles confusiones, distinguiremos las funciones, o´rdenes y relaciones de equivalencia entre clases, de los respectivos conceptos para conjuntos escribiendo la palabra clase entre par´entesis antes del concepto correspondiente. As´ı escribiremos (clase) funci´ on, (clase) orden parcial, etc.

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4. Relaciones y Funciones

5 Los N´ umeros Naturales 5.1 Introducci´on Para desarrollar las matem´ aticas dentro de la Teor´ıa de Conjuntos, es necesario definir a los n´ umeros naturales. Para una persona medianamente instruida, el punto de partida obvio de la matem´ atica son los n´ umeros naturales 1, 2, 3, 4, . . . etc. Probablemente, s´olo a una persona con algunos conocimientos de matem´aticas se le ocurrir´ıa empezar por el 0 y no por el 1: 0, 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . . El hombre requiri´o un alto grado de civilizaci´ on para tomar as´ı a los n´ umeros naturales como punto de partida. Debe haber pasado largo tiempo para que alguien descubriera que una pareja de a´guilas y un par de piedras eran ejemplos del n´ umero 2. El grado de abstracci´on que ello implica no es f´ acil de adquirir. En la actualidad los n´ umeros naturales parecen representar lo m´ as sencillo y conocido de la matem´ atica. Sin embargo, conocido no significa bien comprendido. Hay pocas personas que disponen de una definici´ on clara de lo que es un n´ umero natural. Nosotros intuitivamente conocemos a los n´ umeros naturales. El prop´osito de este cap´ıtulo es suplir esa idea intuitiva por una definici´ on rigurosa de lo que son los n´ umeros naturales, as´ı como mostrar sus propiedades elementales. Podemos intentar definir un n´ umero, por ejemplo, 2 como “2 es una abstracci´on que es com´ un a todos los conjuntos que tienen dos elementos”. Esta “definici´ on” es circular: usa la palabra dos para definir al n´ umero dos. Una observaci´on no trivial consiste en que podemos reformular esta “definici´ on” con base a un ejemplo espec´ıfico: 2 es la cualidad com´ un a todos los conjuntos que tienen el mismo n´ umero de elementos que {∅, {∅}}. Esta nueva definici´ on se refiere a n´ umero en la frase “el n´ umero de elementos”.

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5. Los N´ umeros Naturales

La siguiente observaci´ on no trivial es que podemos definir la proposici´ on “los conjuntos A y B tienen el mismo n´ umero de elementos” sin ning´ un conocimiento previo de la noci´on de n´ umero. Definici´ on 5.1 Los conjuntos A y B son equipotentes (tienen la misma cardinalidad o la misma potencia) si hay una funci´on biyectiva f con domino A y rango B. La equipotencia tiene propiedades interesantes. Teorema 5.2 (a) A es equipotente a s´ı mismo, para todo conjunto A. (b) Si A es equipotente a B, entonces B es equipotente a A. (c) Si A es equipotente a B y B es equipotente a C, entonces A es equipotente a C. ´ n: Demostracio on biyectiva de A en s´ı mismo (ver Ejemplo 4.46). (a) IdA es una funci´ (b) Si f : A → B es una funci´ on biyectiva, entonces f −1 : B → A tambi´en es una funci´on biyectiva. (c) Si f : A → B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces g ◦ f : A → C es una funci´ on biyectiva. Aparentemente estamos ya en posici´ on de crear una buena definici´ on para el n´ umero 2. Con la noci´ on de equipotencia podemos reformular la definici´ on de 2 como sigue: 2 es aquello com´ un a todos los conjuntos equipotentes a {∅, {∅}}. Falta precisar qu´e es “aquello com´ un a todos los conjuntos equipotentes a un conjunto dado A”. Observemos que el Teorema 5.2, asegura que la propiedad “A es equipotente a B” es reflexiva, sim´etrica y transitiva; es decir, tiene los atributos de una relaci´ on de equivalencia, salvo por un detalle que m´ as adelante el lector ser´ a capaz de deducir con facilidad. En la Secci´ on 4.4 vimos que hay al menos dos maneras de poder representar, en Teor´ıa de Conjuntos, lo “que es com´ un a todos los elementos mutuamente equivalentes”. Una de estas maneras es usar clases de equivalencia, otra es usar el conjunto de representantes. Desgraciadamente ambas maneras est´an lejos de nuestro alcance. Por ejemplo, se puede mostrar que si A 6= ∅, el conjunto de todos los conjuntos equipotentes a A, no existe; es decir, las “clases de equivalencia” de la relaci´ on de equipotencia no son conjuntos. Este es el mismo hecho que nos impide aplicar la segunda forma. Al parecer, si tuvi´eramos en estos momentos establecido al Axioma de Elecci´ on podr´ıamos aplicar ´este a las clases de equivalencia de la relaci´on de equipotencia y obtener de este modo

5.1. Introducci´ on

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un conjunto de representantes para tal relaci´on; el gran problema es que el Axioma de Elecci´ on (como todos los Axiomas de nuestro sistema ZFC) es aplicable u ´nicamente a objetos de la Teor´ıa de Conjuntos; o sea, a conjuntos. Aunque pudiera parecer que las consideraciones anteriores est´ an lejos de ayudarnos a dar una definici´ on de n´ umero natural, eso no es cierto. En primer lugar, nos han ayudado a tener claro qu´e es lo que pretendemos; por ejemplo, queremos que 2 caracterice a toda la multitud de conjuntos que tienen la misma cardinalidad que {∅, {∅}}. En segundo lugar, nos han revelado que es imposible caracterizar a toda esa multitud de conjuntos. Sin embargo, quiz´a pudi´eramos realizar esa caracterizaci´ on procediendo a la inversa, definiendo expl´ıcitamente cada n´ umero natural como un representante conveniente para tal multitud de conjuntos; despu´es de todo, eso es lo que pretend´ıamos hacer al tomar a {∅, {∅}} como par´ametro para definir a 2. La forma de realizar esa definici´ on expl´ıcita se sustenta en la idea intuitiva de que los n´ umeros naturales se van generando uno a partir de otro. Tambi´en, es aqu´ı donde sacaremos provecho de empezar la serie de los n´ umeros naturales con 0 en vez de 1. Empecemos por elegir un representante para el 0. La opci´on de un conjunto sin elementos es trivial, puesto que existe un u ´nico conjunto vacuo, ∅. Definamos 0 como el conjunto ∅. Busquemos ahora un buen representante para los conjuntos que tienen s´ olo un elemento. Puesto que tenemos ya definido un objeto en particular, a saber 0, una opci´ on natural es definir 1 = {0} = {∅} . Luego consideremos los conjuntos de dos elementos. Como tenemos definidos 0, 1 y 0 6= 1 podemos definir 2 = {0, 1} = {∅, {∅}} . El proceso puede continuar as´ı: 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅} , {∅, {∅}}} 4 = {0, 1, 2, 3} = {∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}}} 5 = {0, 1, 2, 3, 4} , etc. La idea es simplemente definir un n´ umero natural n como el conjunto de todos los n´ umeros naturales m´ as peque˜ nos: {0, 1, . . . , n − 1}; de este modo, n es un conjunto particular con n elementos. Desgraciadamente esta idea tiene una deficiencia fundamental. Tenemos definidos a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y uno puede f´ acilmente definir 17 o 324; pero no

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5. Los N´ umeros Naturales

proporciona un enunciado que diga qu´e es un n´ umero natural en general. Necesitamos una proposici´on de la forma: “Un conjunto n es un n´ umero natural si ... ”. No podemos u ´nicamente definir un n´ umero natural como un conjunto n tal que sus elementos son todos los n´ umero naturales m´ as peque˜ nos que ´el, puesto que tal definici´ on involucra el concepto que se desea definir. Pero s´ı podemos usar esto como una “gu´ıa” hacia la abstracci´ on de las propiedades que hacen a n un n´ umero natural. Analicemos la forma de construcci´ on del n´ umero 5. Primero note que los n´ umeros naturales previamente definidos (0, 1, 2, 3 y 4) son subconjuntos del n´ umero natural 5; esto es, sus elementos son subconjuntos de ´el mismo. Esta no es una propiedad com´ un a todos los conjuntos; por ejemplo, el conjunto {∅, {∅, {∅}}} tiene como elemento al conjunto {∅, {∅}}, pero este conjunto no es subconjunto de ´el. Definici´ on 5.3 Decimos que un conjunto x es transitivo si para todo y ∈ x, y es un subconjunto de x; o sea, y ⊆ x. El argumento del p´arrafo anterior a la Definici´ on 5.3 sugiere que todos los n´ umeros naturales son conjuntos transitivos. Por otro lado, no todos los conjuntos transitivos son n´ umeros naturales: el conjunto {∅, {∅} , {{∅}}} es transitivo y tiene tres elementos pero no es igual al n´ umero 3. Para ver qu´e propiedades distinguen a los n´ umeros naturales de los conjuntos transitivos, regresemos a la idea de un n´ umero natural n como el conjunto de todos los n´ umeros m´as peque˜ nos que n; esto significa que m es m´ as peque˜ no que n si y s´ olo si m ∈ n. La relaci´ on ∈n (pertenencia restringida al conjunto n) es un orden lineal estricto. Observe que el conjunto transitivo {∅, {∅} , {{∅}}} no tiene esta propiedad porque ∅ ∈ / {{∅}} y {{∅}} ∈ / ∅. Finalmente, el ordenamiento lineal ∈n tiene otra propiedad: Sea X un subconjunto no vac´ıo de n, intuitivamente se puede tomar uno a uno los elementos de n y verificar si son elementos de X, y hallar as´ı el elemento m´ aximo y m´ınimo de X. Estas consideraciones motivan la siguiente definici´ on de n´ umero natural. Definici´ on 5.4 Un conjunto x es un n´ umero natural si: (a) x es transitivo, (b) ∈x es un orden lineal estricto en x, (c) todo subconjunto no vac´ıo de x tiene elementos m´ınimo y m´ aximo en el orden ∈x . Mientras las consideraciones anteriores a la definici´on muestran que intuitivamente los n´ umeros naturales tienen las propiedades (a), (b) y (c), el

5.1. Introducci´ on

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rec´ıproco no es obvio. Para convencernos de su validez, en la siguiente secci´ on derivaremos algunas de las propiedades b´ asicas de los n´ umeros naturales a partir de nuestra definici´ on. La idea de definir a los n´ umeros naturales a partir de la Teor´ıa de Conjuntos se debe a Frege en [F3 ]; de hecho, B. Russell [R4 ] afirma que Frege fue el primero que dio una definici´ on satisfactoria de n´ umero, pero que apenas despert´o atenci´ on y su definici´ on de n´ umero permaneci´o pr´acticamente ignorada hasta que fue redescubierta por ´el en 1901. Sin embargo, la manera en que hemos definido a los n´ umeros naturales es muy distinta de la idea original de Frege. Nuestra presentaci´ on, que hoy en d´ıa es m´ as o menos corriente, fue iniciada por Von Neumann en [N1 ].

Ejercicios 5.1 1. Sea A 6= ∅. Demuestre que no existe un conjunto S que contenga S a todos los conjuntos equipotentes a A. (Sugerencia: muestre que S ser´ıa la clase de todos los conjuntos.) 2. Pruebe que un conjunto X es transitivo si y s´ olo si X ⊆ P(X). S 3. Pruebe que un conjunto X es transitivo si y s´ olo si X ⊆ X. 4. ¿Son los siguientes conjuntos transitivos? (a) {∅, {∅} , {{∅}}} ,

(b) {∅, {∅} , {{∅}} , {∅, {∅}}} , (c) {∅, {{∅}}} .

5. ¿Cu´ ales de los conjuntos del ejercicio anterior son n´ umeros naturales? 6. Pruebe o d´e contraejemplos para las siguientes proposiciones. (a) Si X y Y son transitivos, entonces X ∪ Y es transitivo.

(b) Si X y Y son transitivos, entonces X ∩ Y es transitivo. (c) Si X ∈ Y y Y es transitivo, entonces X es transitivo. T (d) Si X es transitivo, entonces X es transitivo.

(e) Si X ⊆ Y y Y es transitivo, entonces X es transitivo.

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5. Los N´ umeros Naturales

(f) Si Y es transitivo y S ⊆ P(Y ), entonces Y ∪

S

S es transitivo.

7. Pruebe que si X es un conjunto y todo elemento de X es un S transitivo T conjunto transitivo, entonces X y X son conjuntos transitivos.

5.2 Propiedades de los N´ umeros Naturales Iniciamos con dos lemas de utilidad. Lema 5.5 Todo elemento de un n´ umero natural es un n´ umero natural. ´ n: Demostracio Sea n un n´ umero natural, y sea x ∈ n. Mostraremos que x cumple las propiedades (a), (b) y (c) de la Definici´ on 5.4. En primer lugar hay que probar que x es transitivo. Sup´ongase que u y v son tales que u ∈ v y v ∈ x. Entonces v ∈ n y tambi´en u ∈ n. As´ı u, v, x ∈ n y u ∈ v, v ∈ x. Usando el hecho que ∈n ordena linealmente a n, se concluye que u ∈ x; con esto concluimos que x es transitivo. En segundo lugar, mostraremos que ∈x es un orden lineal estricto en x y que todo subconjunto no vac´ıo de x tiene elementos m´ınimo y m´ aximo en el orden on ∈x . Por la transitividad de n, se tiene que x ⊆ n y por lo tanto, la relaci´ on de la relaci´ on ∈n a x, es decir, ∈x =∈n ∩(x × x). As´ı, las ∈x es la restricci´ correspondientes propiedades de ∈x se siguen de las mismas de ∈n . El siguiente lema se sigue del Axioma de Fundaci´on, pero aqu´ı exhibiremos una demostraci´on que no utiliza dicho axioma. Lema 5.6 Si n es un n´ umero natural entonces n ∈ / n. Si m y n son n´ umeros naturales, entonces m ∈ /non∈ / m. ´ n: Demostracio Si n ∈ n entonces el conjunto ordenado (n, ∈n ) tiene un elemento x = n tal que x ∈ x, que contradice la suposici´on de que ∈n es un orden lineal estricto. Para la segunda proposici´on, si n ∈ m y m ∈ n, entonces por la transitividad de n, tenemos que n ∈ n, una contradicci´on. Usaremos ahora estos lemas para dar una caracterizaci´ on de los n´ umeros naturales m´ as simple. Si observamos nuevamente la construcci´ on de los primeros n´ umeros, definimos 2 = {0, 1}; para obtener 3 adjuntamos a 2 un tercer

5.2. Propiedades de los N´ umeros Naturales

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elemento, a saber, 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} . Similarmente 4 = 3 ∪ {3} = {0, 1, 2} ∪ {3} 5 = 4 ∪ {4} = {0, 1, 2, 3} ∪ {4} etc. Dado un n´ umero natural n, obtenemos el “siguiente” n´ umero adjuntando un elemento m´as a n, a saber, n mismo. Este procedimiento empieza en 0, pues de hecho, 0 es el primer n´ umero natural. Definici´ on 5.7 El sucesor de un conjunto x es el conjunto S(x) = x ∪ {x}. La noci´ on de sucesor la emplearemos posteriormente para definir la adici´ on de n´ umeros naturales. Obs´ervese que S(x) = x∪{x} define una (clase) funci´on, es decir, una “funci´ on” en el sentido de la Secci´ on 4.6. Teorema 5.8 (a) 0 es un n´ umero natural. (b) Si x es un n´ umero natural, entonces S(x) es un n´ umero natural. ´ n: Demostracio (a) No hay nada que probar, pues 0 = ∅ cumple la definici´ on. (b) Sea n un n´ umero natural, y sea x = S(n) = n ∪ {n}. Primero mostraremos que x es transitivo. Sea u ∈ x, entonces u ∈ n o u = n. Si u ∈ n, tenemos que u ⊆ n, ya que n es transitivo, por lo que u ⊆ x, porque n ⊆ x. Si u = n es claro que u ⊆ x. olo si (u, v ∈ n y u ∈n v) o (u ∈ n Luego note que para u, v ∈ x, u ∈x v si y s´ y v = n). Observe que el Lema 5.6 excluye las posibilidades u ∈ v y u = n, v ∈ n o u = n y v = n. Debemos verificar que ∈x es un orden lineal estricto en x. Sabemos que ∈x es un orden estricto en x. Sean u, v ∈ x = S(n), entonces o bien u, v ∈ n, y en este caso u ∈ v o u = v o v ∈ u, puesto que ∈n es un orden lineal estricto; o u ∈ n = v o v ∈ n = u o u = n = v. En cada caso u y v son comparables. Por u ´ltimo, sea X ⊆ S(n) con X 6= ∅. Si X ∩ n 6= ∅, el elemento m´ınimo del conjunto X ∩ n tambi´en lo es de X; el elemento m´ aximo de X es el mismo que el de X ∩ n en el orden ∈n , o bien es n. Si X ∩ n = ∅, n es el elemento m´aximo y m´ınimo de X. Definici´ on 5.9 Llamamos a un conjunto A inductivo si: (a) 0 ∈ A, (b) x ∈ A implica S(x) ∈ A.

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5. Los N´ umeros Naturales

Con la definici´ on anterior, el Teorema 5.8 asegura que el conjunto de los n´ umeros naturales es inductivo. Hay una u ´nica dificultad con esta formulaci´ on: no hemos probado que el conjunto de los n´ umeros naturales exista. Hay una buena raz´on para esto, los axiomas tratados hasta ahora no implican la existencia de conjuntos de una infinidad de objetos. Pero la posibilidad de colecciones infinitas de objetos en una entidad singular es la esencia de la Teor´ıa de Conjuntos. Por tanto, extendemos nuestro sistema axiom´atico.

Axioma 8 (de Infinitud) Existe un conjunto inductivo. Intuitivamente, el conjunto de los n´ umeros naturales es uno de ellos. M´ as a´ un, todo n´ umero natural puede ser obtenido a partir de 0 aplicando suficientes veces la (clase) funci´ on sucesor. En otras palabras, si un conjunto A contiene a 0 y al sucesor de cada uno de sus elementos, entonces A contiene a 0, 1 = S(0), 2 = S(1), . . ., y as´ı contiene a todo n´ umero natural. Esto motiva el siguiente resultado b´asico. Teorema 5.10 Todo conjunto inductivo contiene a todos los n´ umeros naturales. ´ n: Demostracio Sea A un conjunto inductivo y supongamos que x es un n´ umero natural que no pertenece al conjunto A. Entonces S(x) es un n´ umero natural y x ∈ S(x) \ A. Sea y el elemento m´ınimo del conjunto no vac´ıo S(x) \ A ordenado por ∈S(x) . Note que y ⊆ S(x), ya que S(x) es transitivo. Adem´ as, y ⊆ A puesto que si existe u ∈ y \ A, entonces y no es el elemento m´ınimo de S(x) \ A. Por el Lema 5.5, y es un n´ umero natural. Si y = ∅, entonces y ∈ A, que es una contradicci´on. Por lo tanto, y 6= ∅. Sea z el elemento m´aximo de y en el orden ∈y . Entonces z ∈ A, m´ as a´ un, puesto que z ∈ y, y y es transitivo z ⊆ y, consecuentemente z ∪ {z} = S(z) ⊆ y; si u ∈ y \ S(z) entonces u ∈ / z y u 6= z. Como y es un on natural, ∈y es un orden lineal estricto, entonces z ∈ u que contradice la elecci´ de z como el m´ aximo elemento de y, es decir, y \ S(z) = ∅; as´ı S(z) ⊇ y. Por lo tanto, y = S(z) ∈ A, nuevamente una contradicci´on. Corolario 5.11 El conjunto N de los n´ umeros naturales existe. ´ n: Demostracio Sea A un conjunto inductivo. N = {x : x es un n´ umero natural} = {x ∈ A : x es un n´ umero natural}

5.2. Propiedades de los N´ umeros Naturales

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es un conjunto por el Axioma Esquema de Comprensi´on. El Teorema 5.10 simplemente dice que N es el m´ınimo conjunto inductivo en el (clase) orden ⊆ de la clase de todos los conjuntos inductivos, es decir, N ⊆ A para cualquier conjunto inductivo A. Una consecuencia inmediata del Teorema 5.10 es el bien conocido Principio de Inducci´on Matem´atica. Teorema 5.12 (Principo de Inducci´ on) Sea P(x) una propiedad (posiblemente con par´ ametros). Supongamos que: (a) P(0), (b) ∀n ∈ N, P(n) ⇒ P(S(n)). Entonces P(n) para todos los n´ umeros naturales n. ´ n: Demostracio Las suposiciones (a) y (b) simplemente dicen que el conjunto A = {n ∈ N : P(n)} es inductivo, por lo que N ⊆A. A continuaci´ on definiremos un orden en el conjunto N. La idea de definir cada n´ umero natural como el conjunto de todos los n´ umeros naturales m´ as peque˜ nos, sugiere inmediatamente la Definici´ on 5.13. Definici´ on 5.13 Para cualesquiera m, n ∈ N, definimos m ≤ n si y s´ olo si m ∈ n o m = n. Teorema 5.14 (N, ≤) es un conjunto bien ordenado. ´ n: Demostracio 1 Reflexividad. Obvia. 2 Antisimetr´ıa. Se sigue del Lema 5.6. 3 Transitividad. Si k ≤ m y m ≤ n, entonces tenemos que k ∈ m o k = m y m ∈ n o m = n; si ambas igualdades se verifican no hay nada que probar. Si k ∈ m y m = n, entonces k ≤ n. Similarmente si k = m y m ∈ n. Finalmente si k ∈ m y m ∈ n, como n es transitivo k ∈ n, as´ı k ≤ n. 4 Buen Orden. Primero estableceremos que ≤ ordena linealmente a N. Usualmente decimos que m y n son comparables si m < n, m = n o n < m. Decimos que n ∈ N es comparable si n es comparable con todo m ∈ N. Es suficiente con demostrar por inducci´ on que cualquier n ∈ N es comparable.

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5. Los N´ umeros Naturales

i) 0 es comparable. Probaremos por inducci´ on sobre m que 0 es comparable con todo m. Claramente 0 es comparable con 0. Asumamos que 0 es comparable con m. Entonces, o bien 0 ∈ m o 0 = m. En cada caso, 0 ∈ m∪{m} = S(m). As´ı, 0 es comparable con S(m). La conclusi´ on se sigue del Principio de Inducci´on. ii) Supongamos que n es comparable. Nuevamente por inducci´ on sobre m probaremos que S(n) es comparable con m, para todo m ∈ N. Sabemos que S(n) es comparable con 0 por i). Supongamos que S(n) es comparable con m, entonces S(n) ∈ m, S(n) = m o m ∈ S(n). En los primeros dos casos S(n) ∈ m ∪ {m} = S(m); en el u ´ltimo caso m = n o m ∈ n. Si m = n, S(n) = S(m). Si m ∈ n, S(m) y n son comparables por hip´otesis de inducci´ on (n es comparable). Como m ∈ n, es imposible tener n ∈ m o m = n, es decir, n ∈ S(m) no puede ocurrir. Por lo tanto, S(m) = n o S(m) ∈ n; en cualquier caso S(m) ∈ S(n). Se concluye que S(n) es comparable, y que cualquier n´ umero natural lo es. Ahora sea M ∈ N con M 6= ∅. Tomemos alg´ un m ∈ M y consideremos S(m) ∩ M ; ´este es un conjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales en S(m). Si k es el elemento m´ınimo de S(m) ∩ M en el orden ∈S(m) , entonces k es tambi´en el primer elemento de M en el orden ≤, porque de lo contrario existir´ıa k0 ∈ M tal que k0 ≤ k y k 0 6= k, entonces k0 ∈ k, por lo que k0 ∈ S(m) y as´ı k 0 ∈ S(m)∩M , que contradice la elecci´ on de k.

Ejercicios 5.2 1. Pruebe que S(x) es una (clase) funci´on de la clase de todos los conjuntos en la clase de todos los conjuntos. 2. Pruebe que si n ∈ N, entonces no existe un k ∈ N tal que n < k < S(n). 3. Pruebe: (a) S(x) = S(y) implica x = y. S (b) S(x) = x.

4. Demuestre que para cualquier n ∈ N, n 6= 0, existe k ∈ N tal que n = S(k). 5. Demuestre que para cualquier n ∈ N\ {0, 1}, existe k ∈ N tal que n = S(S(k)).

5.3. El Teorema de Recursi´ on

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6. Pruebe que si m, n ∈ N y m ⊂ n, entonces m < n. 7. Pruebe que si X ⊆ N, entonces (X, X 2 ∩ ≤) es un conjunto bien ordenado. 8. Dar un conjunto inductivo A 6= N. 9. (a) Pruebe por inducci´ on que si a ∈ n y n ∈ N, entonces a ∈ N. Concluya que N es un conjunto transitivo. (b) Pruebe que si S(a) ∈ N, entonces a ∈ N. 10. Pruebe que N es equipotente a alg´ un subconjunto propio de N. 11. Demuestre el Principio de Inducci´ on Finita: Sea P(x) una propiedad. Sup´ongase que k ∈ N y (a) P(0) se verifica, (b) para todo n < k, P(n) implica P(S(n)). Entonces P(n) se cumple para todo n < k. T 12. (a) Sea K ⊆ N no vac´ıo, demu´estrese que K ∈ N∩K. (b) Use lo anterior para probar que (N, ≤) es bien ordenado.

13. Deduzca el Teorema 5.14 a partir del Axioma de Fundaci´ on (ver Ejercicio 4.5.7).

5.3 El Teorema de Recursi´on En la siguiente secci´on nuestro objetivo ser´a definir la adici´ on y multiplicaci´ on de n´ umeros naturales. Para hacer m´as sencillo esto, introduciremos un importante m´etodo de definir funciones en N. Empezaremos con dos ejemplos informales: 1) La funci´ on s : N → N definida por: s(0) = 1, s(n + 1) = n2 , para todo n ∈ N. 2) La funci´ on f : N → N definida por: f (0) = 1 f (n + 1) = f (n) · (n + 1), para todo n ∈ N. Las dos funciones, a pesar de tener similitudes superficiales, difieren en un aspecto crucial. La definici´on de s dice expl´ıcitamente c´ omo calcular s(x) para

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5. Los N´ umeros Naturales

cualquier x ∈ N. M´ as precisamente, ´esta nos capacita para formular una propiedad P tal que s(x) = y si y s´ olo si P(x, y); a saber: x = 0 y y = 1, o para alg´ un n ∈ N, x = n+1 y y = n2 . La existencia y unicidad de una funci´ on s que satisfaga 1) se sigue inmediatamente de nuestros axiomas: s = {(x, y) ∈ N × N : P(x, y)} . En contraste, las instrucciones provistas por la definici´on de f nos dicen c´ omo calcular f (x) teniendo el valor de f para alg´ un n´ umero m´as peque˜ no (a saber, x − 1). No es inmediatamente obvio c´ omo formular una propiedad P que no involucre la funci´on f en su definici´ on y tal que f (x) = y si y s´ olo si P(x, y). La definici´ on 2) proporciona condiciones que debe satisfacer la funci´on f : f es una funci´on de N en N que satisface la condici´on inicial: f (0) = 1, y la condici´ on recursiva: para todo n ∈ N, f (n + 1) = f (n) · (n + 1). Este tipo de definiciones recursivas son ampliamente usadas en matem´ aticas. Sin embargo, una definici´ on recursiva est´a justificada s´olo si es posible mostrar que existe alguna funci´ on que satisfaga las condiciones requeridas, y que no existen dos o m´as de tales funciones. Teorema 5.15 (de Recursi´ on) Para cualquier conjunto A, cualquier a ∈ A, y cualquier funci´ on g : A × N →A, existe una u ´nica funci´ on f : N →A tal que (a) f (0) = a, (b) f (S(n)) = g(f (n), n), para todo n ∈ N. En el ejemplo 2), tenemos A = N, a = 1 y g(u, v) = u·(v +1). El elemento a es el “valor inicial” de f . El papel que desempe˜ na g es proveer de instrucciones para calcular f (S(n)), asumiendo que f (n) ha sido calculado. La demostraci´on del Teorema de Recursi´ on consiste en derivar una definici´ on expl´ıcita de f . Considerando nuevamente el ejemplo 2), f (n) es el factorial de n, y una definici´ on expl´ıcita de f puede ser escrita como: f (0) = 1 y f (m) = 1 · 2 · 3 · · · · · (m − 1) · m, si m ∈ N\ {0} .

5.3. El Teorema de Recursi´ on

107

El problema es hacer “· · ·” preciso. Esto puede ser resuelto si decimos que f es el resultado del c´ alculo 1 1·1 [1 · 1] · 2 [1 · 1 · 2] · 3 .. . [1 · 1 · 2 · 3 · · · · · (m − 1)] · m de longitud m. Un c´ alculo de longitud m basado en g puede ser descrito por una funci´ on t tal que dom t = m + 1, t(0) = 1 y t(k + 1) = t(k) · (k + 1) = g(t(k), k) para todo 0 < k < m. La definici´ on rigurosa y expl´ıcita de f es entonces: f (0) = 1 y f (m) = t(m), donde t es un c´alculo de longitud m basado en g. El problema de mostrar la existencia y unicidad de f se reduce al problema de mostrar que hay precisamente un c´alculo de longitud m basado en g para cada m ∈ N (m 6= 0). Procedemos ahora con la demostraci´ on formal del Teorema de Recursi´ on que est´ a entre los m´etodos m´ as importantes de la Teor´ıa de Conjuntos. ´ n: Demostracio La existencia de f . Una funci´ on t : S(m) → A se llama c´ alculo de longitud m basado en g, si t(0) = a, y para todo k tal que 0 < k < m, t(S(k)) = g(t(k), k). Note que t ⊆ N×A. Sea F = {t ⊆ N×A : t es un c´ alculo de longitud m, m ∈ N} S y sea f = F. Mostraremos que f es una funci´ on. Para esto es suficiente mostrar que el sistema de funciones F es compatible (ver Teorema 4.55). Sean t1 , t2 ∈ F; supongamos que dom t1 = n1 ∈ N y dom t2 = n2 ∈ N. Sin p´erdida de generalidad supongamos n1 ≤ n2 , entonces n1 ⊆ n2 , y basta con on: demostrar que t1 (k) = t2 (k) para todo k < n1 . Haremos esto por inducci´ t1 (0) = t2 (0) = a; luego sea k tal que S(k) < n1 y asumamos que t1 (k) = t2 (k), entonces t1 (S(k)) = g(t1 (k), k) = g(t2 (k), k) = t2 (S(k)). As´ı, t1 (k) = t2 (k) para todo k < n1 . Ahora mostraremos que dom f = N y ran f ⊆ A. Es inmediato que dom f ⊆ N y que ran f ⊆ A. Para mostrar que dom f = N, basta con probar que para cada n ∈ N hay un c´alculo de longitud n. Usaremos el Principio de Inducci´on. Claramente t0 = {(0, a)} es un c´alculo de longitud 0. Asumamos que t es

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5. Los N´ umeros Naturales

un c´alculo de longitud n. Entonces la siguiente funci´ on t+ en S(S(n)) es un c´ alculo de longitud S(n): t+ (k) = t(k), si k ≤ n t+ (S(n)) = g(t(n), n). Por lo tanto, para cada n ∈ N hay un c´alculo de longitud n, por lo que concluimos que cada n ∈ N est´ a en el dominio de alg´ un c´alculo t ∈ F, as´ı [ N ⊆ {dom t : t ∈ F} = dom f. Finalmente mostraremos que f satisface las condiciones (a) y (b). Claramente f (0) = a puesto que t(0) = a para todo t ∈ F. Para mostrar que f (S(n)) = g(f (n), n), para cada n ∈ N, sea t un c´alculo de longitud S(n), entonces t(k) = f (k), para todo k ∈ dom t, y as´ı f (S(n)) = t(S(n)) = g(t(n), n) = g(f (n), n). La existencia de la funci´on f con las propiedades requeridas por el teorema est´ a demostrada. La unicidad. Sea h : N →A tal que (a’) h(0) = a, (b’) h(S(n)) = g(h(n), n), para todo n ∈ N. Mostraremos que f (n) = h(n), para todo n ∈ N usando nuevamente inducci´on. Claramente f (0) = h(0). Si f (n) = h(n), entonces f (S(n)) = g(f (n), n) = g(h(n), n) = h(S(n)), por lo tanto, f = h. En ocasiones se usa el Teorema de Recursi´ on para definir funciones de dos variables, es decir, funciones en N × N. Este resultado es com´ unmente formulado como una versi´on “param´etrica” del Teorema de Recursi´ on. Teorema 5.16 (Recursi´ on Param´ etrica) Sean A y P conjuntos, y sean a : P → A y g : P × A × N →A funciones. Entonces existe una u ´nica funci´ on f : P × N → A tal que (a) f (p, 0) = a(p) para todo p ∈ P , (b) f (p, S(n)) = g(p, f(p, n), n) para todo n ∈ N y p ∈ P .

5.3. El Teorema de Recursi´ on

109

La demostraci´on del Teorema 5.16 es una versi´on “param´etrica” de la prueba del Teorema de Recursi´on. Alternativamente, ´esta puede ser deducida directamente de este u ´ltimo. En algunas definiciones recursivas, el valor de f (S(n)) depende no solamente de f (n), sino tambi´en de f (k) para alg´ un k ≤ n. Un ejemplo t´ıpico es la sucesi´on de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Aqu´ı f (0) = 1, f (1) = 1, y f (n + 2) = f (n + 1) + f (n) para n ≥ 0. El siguiente teorema formaliza esta forma de construcci´on recursiva de manera un poco m´as general. Tambi´en puede deducirse del Teorema de Recursi´on. S Teorema 5.17 Sea A un conjunto, sea S = n∈N (An ) el conjunto de todas las funciones con dominio un n´ umero natural y valores en A, y sea g : S → A una funci´ on. Entonces existe una u ´nica funci´ on f : N →A tal que f (n) = g(f |n ) para todo n ∈ N. Note que, en particular, f (0) = g(f |0 ) = g(∅). Otra versi´ on del Teorema de Recursi´on se encuentra en los ejercicios. Concluimos esta secci´ on con un teorema que da una caracterizaci´ on del orden de los n´ umeros naturales. La prueba ilustra un empleo t´ıpico del Teorema de Recursi´ on en la Teor´ıa de Conjuntos. Llamamos acotado a un subconjunto B de conjunto ordenado (A, ¹) si tiene cota inferior y cota superior. Teorema 5.18 Sea (A, ¹) un conjunto no vac´ıo linealmente ordenado con las siguientes propiedades: (a) Para todo p ∈ A existe q ∈ A tal que p ≺ q, (b) todo subconjunto no vac´ıo de A tiene un elemento m´ınimo en el orden ¹, (c) todo subconjunto acotado no vac´ıo de A tiene un elemento m´ aximo en el orden ¹. Entonces (A, ¹) es isomorfo a (N, ≤). ´ n: Demostracio Construyamos un isomorfismo f : N →A empleando el Teorema de Recursi´ on. Sea a el elemento m´ınimo de A y sea g(x, n) = min {y ∈ A : x ≺ y} para todo n ∈ N. Entonces a ∈ A y g es una funci´ on de A × N en A. Observe que g(x, n) est´a definido para cualquier x ∈ A, por las hip´ otesis (a)

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5. Los N´ umeros Naturales

y (b); adem´ as g(x, n) no depende de n. El Teorema de Recursi´on garantiza la existencia y unicidad de una funci´ on f : N →A tal que (i) f (0) = a = min A, (ii) f (S(n)) = g(f (n), n) (el elemento m´ınimo de A mayor que f (n)). Es obvio que f (n) ≺ f (S(n)) para cada n ∈ N. Por inducci´ on, se tiene que f (m) ≺ f (n) siempre que m < n. Consecuentemente, f es una funci´ on inyectiva. Resta probar que f (N) = A. Sup´ongase que A \ f (N ) 6= ∅ y sea p = min A \ f (N). El conjunto B = {q ∈ A : q ≺ p} es acotado (p es una cota superior) y no vac´ıo (de otro modo, p ser´ıa el m´ınimo elemento de A, pero entonces p = f (0)). Sea q el elemento m´ aximo de B (´este existe por la hip´ otesis (c)). Como q ≺ p, tenemos que q = f (m) para alg´ un m ∈ N. Sin embargo, es f´ acil ver que p es el m´ınimo elemento de A mayor que q. Por lo tanto, p = f (S(m)) por la condici´on recursiva (ii). Consecuentemente p ∈ f (N), que es una contradicci´ on.

Ejercicios 5.3 1. Demuestre el Teorema 5.17 de modo an´alogo al Teorema de Recursi´on. 2. Demuestre el Teorema 5.17 usando el Teorema de Recursi´on. (Sugerencia: defina G : S × N →S por G(x, n) = x ∪ {(n, g(x))}. Use entonces el Teorema de Recursi´ on para encontrar F : N S →S tal que F (0) = ∅ y F (S(n)) = G(F (n), n). Finalmente tome f = F (N).) 3. Demuestre la versi´on “param´etrica” del Teorema de Recursi´ on usando el P on: F (0) = a Teorema 5.15. (Sugerencia: defina F : N →A por recursi´ y F (S(n)) = G(F (n), n), donde G : AP × N →AP est´a definida por G(x, n)(p) = g(x(p), n, p) (x ∈ AP , n ∈ N) Sea entonces f (m, p) = F (m)(p).)

4. Demuestre la siguiente versi´ on del Teorema de Recursi´on: Sea g una funci´on en A × N y sea a ∈ A. Entonces hay una u ´nica funci´on f tal que (a) f (0) = a, (b) f (S(n)) = g(f (n), n) para todo n tal que S(n) ∈ dom f , (c) o bien dom f = N o dom f = S(k) donde k es el elemento m´aximo de {k ∈ N :g(f (k), k) ∈ / A} .

5.4. Aritm´etica de los N´ umeros Naturales

111

5. Sean A un conjunto y f : A → A una funci´on. Defina f n por f 0 = IdA , f n+1 = f n ◦ f para todo n ∈ N. Pruebe que para cada n ∈ N, f n es un elemento un´ıvocamente determinado de AA . 6. Use el ejercicio anterior para demostrar que para cada X ⊆ N existe una funci´on inyectiva f tal que ran f = X y dom f = N o dom f ∈ N. 7. Sea a ∈ A y sea h : A → A una funci´on inyectiva tal que a ∈ / ran h. Demuestre que existe una funci´ on inyectiva f : N →A. (Sugerencia: considere g(x, n) = h(x), use el Teorema de Recursi´on y el Principio de Inducci´ on.) 8. Sea A un conjunto y sea f : A → B una funci´on inyectiva, donde B ⊆ A. Pruebe que A tiene un subconjunto equipotente a N. (Sugerencia: use el ejercicio anterior.) 9. Sea f : N →A una funci´on donde A es linealmente ordenado por ¹, y suponga que f (n) ¹ f (S(n)) para todo n ∈ N. Pruebe que m ≤ n implica f (m) ¹ f (n) para todo m, n ∈ N. (Sugerencia: use inducci´ on sobre m.)

5.4 Aritm´etica de los N´ umeros Naturales Ahora discutiremos brevemente las operaciones aritm´eticas en los n´ umeros naturales. Nuestro principal inter´es en esta secci´ on es mostrar que estas operaciones pueden ser satisfactoriamente definidas. El t´ opico da una oportunidad para aplicar el Teorema de Recursi´on y el Principio de Inducci´ on. Una operaci´ on binaria en un conjunto A es una funci´on ∗ : A × A → A. El valor (resultado) de ∗ en (x, y) se denota usualmente como x ∗ y, en lugar de ∗(x, y). Teorema 5.19 Hay una u ´nica operaci´ on binaria + : N × N → N tal que: (a) 0 + m = m, para todo m ∈ N, (b) S(m) + n = S(m + n), para todo m, n ∈ N. Esta funci´ on es llamada adici´ on o suma de n´ umeros naturales.

112

5. Los N´ umeros Naturales

´ n: Demostracio Sea n un elemento fijo de N. Definamos g : N × N → N por g(x, y) = S(y). Por el Teorema 5.15 existe exactamente una funci´ on fn : N → N donde fn (0) = n y fn (S(m)) = g(m, fn (m)) = S(fn (m)). Ahora definamos f :N×N→N por f (m, n) = fn (m). Claramente esta funci´on satisface 5.19(a) y 5.19(b). Para probar su unicidad, sea h cualquier funci´on de N × N en N que tambi´en satisfaga 5.19(a) y 5.19(b). Para cada n ∈ N, defina hn : N → N por hn (0) = h(0, n) y hn (m) = h(m, n). Entonces hn (0) = h(0, n) = n y hn (S(m)) = h(S(m), n) = S(h(m, n)) = S(hn (m)). Nuevamente, por el Teorema de Recursi´ on 5.15 se sigue que fn = hn para todo n ∈ N. As´ı, para m, n ∈ N, f (m, n) = fn (m) = hn (m) = h(m, n). Por lo tanto, f = h. Haciendo + = f , se tiene la conclusi´on. Haciendo m = 0 en 5.19(b), se implica que S(0) + n = S(0 + n), pero por 5.19(a) S(0 + n) = S(n), y como S(0) = 1, tenemos n + 1 = S(n). Llegamos as´ı a una notaci´ on m´as intuitiva del sucesor de n, n + 1. As´ı, las propiedades de la adici´ on pueden ser reformuladas como: 5.19(a’) 0 + m = m 5.19(b’) (m + 1) + n = (m + n) + 1. Tambi´en, se puede formular el Teorema de Recursi´ on de una manera m´as palpable. Primero, definimos una sucesi´ on como una funci´on con dominio N. Una sucesi´ on cuyo dominio es alg´ un n ∈ N es llamada sucesi´ on finita de longitud n y es denotada como: (ai )i
o

(ai )n−1 i=0 ,

su rango es denotado por {a0 , a1 , . . . an−1 }

o

{ai }n−1 i=0

5.4. Aritm´etica de los N´ umeros Naturales

113

A las sucesiones las denotamos por (an )n∈N

o

(an )∞ n=0 .

La notaci´on simplemente especifica una funci´on con un dominio apropiado, cuyo valor en i es ai . Del mismo modo usamos la notaci´ on {an : n ∈ N} ,

{an }n∈N , etc.

para el rango de la sucesi´ on (an )∞ n=0 . Remarcaremos que un conjunto se llama finito si es el rango de alguna sucesi´on finita. Usando esta nueva terminolog´ıa, podemos reformular el Teorema de Recursi´ on. Sean a ∈ A y g una funci´on de A × N en A. Entonces existe una u ´nica sucesi´ on (an )∞ n=0 tal que a0 = a an+1 = g(an , n) para todo n ∈ N. El lector seguramente reformular´a las otras versiones del Teorema de Recursi´on por s´ı mismo. En el siguiente Teorema se enuncian las principales propiedades de la adici´ on Teorema 5.20 La adici´ on en N tiene las siguientes propiedades. A1 . Asociatividad. Para todo m, n, p ∈ N, m + (n + p) = (m + n) + p. A2 . Conmutatividad. Para todo m, n ∈ N, m + n = n + m. A3 . Ley de Cancelaci´ on. Para todo m, n, p ∈ N, m+p=n+p

⇒

m = n.

A4 . Para todo m, n ∈ N, m≤n

⇔

∃p ∈ N, m + p = n.

A5 . Para todo m, n, p ∈ N, m
⇔

m + p < n + p.

A6 . Para todo m, n ∈ N, m+n=0

⇔

m = 0 y n = 0.

114

5. Los N´ umeros Naturales

´ n: Demostracio A1 . Sean n, p ∈ N fijos y sea M = {m ∈ N : m + (n + p) = (m + n) + p} . Entonces 0 ∈ M puesto que 0 + (n + p) = (0 + n) + p. Supongamos que m ∈ M , entonces (m + 1) + (n + p) = [m + (n + p)] + 1 = [(m + n) + p] + 1 = [(m + n) + 1] + p = [(m + 1) + n] + p, a completa. as´ı que m + 1 ∈ M . Por lo tanto, M = N y la prueba de A1 est´ A2 . Primero, para m ∈ N fijo probaremos que S(n) + m = n + S(m),

(5.4.1)

para todo n ∈ N. Procediendo por inducci´on, es cierto para 0 pues S(0) +m = S(0 + m) = 0 + S(m). Luego suponiendo que es cierto para n ∈ N, dado que S(S(n)) + m = S(S(n) + m) = S(n + S(m)) = S(n) + S(m), por 5.19(b), la ecuaci´on (5.4.1) es cierta para todo n ∈ N. Por otro lado, para n ∈ N fijo, sea Mn = {m ∈ N : m + n = n + m} . Si m ∈ Mn , entonces S(m)+n = S(m+n) = S(n+m) = S(n)+m = n+S(m) por (5.4.1), esto implica que S(m) ∈ Mn . Finalmente, es claro que 0 ∈ M0 , y dado que S(m) ∈ M0 si m ∈ M0 , entonces M0 = N. Tambi´en como 0 ∈ Mn , y puesto que m ∈ Mn implica S(m) ∈ Mn , entonces, por el principio de inducci´ on, Mn = N para cada n ∈ N. As´ı, A2 esta probada. A3 . Probaremos equivalentemente que si m, n ∈ N con m 6= n, entonces m + p 6= n + p para todo p ∈ N. Claramente 0 ∈ {p ∈ N :m + p 6= n + p}; luego supongamos que p es un miembro de este conjunto, entonces m + p 6= n + p, por lo cual se sigue que S(m + p) 6= S(n + p), que es equivalente a S(m)+p 6= S(n)+p; o bien aplicando la ecuaci´on (5.4.1), m+S(p) 6= n+S(p).

5.4. Aritm´etica de los N´ umeros Naturales

115

O sea, S(p) tambi´en es miembro del conjunto. Esto concluye la prueba de que m + p 6= m + p implica m 6= n. A4 . Sean m, n ∈ N con m ≤ n. Entonces A = {x ∈ N : x + m ≥ n} 6= ∅ (en efecto, se puede mostrar por inducci´ on que m + n ≥ n para cualesquiera m, n ∈ N). Consecuentemente A tiene un elemento m´ınimo p por el Teorema 5.14. As´ı tenemos que p + m = n o bien p + m > n. Sup´ongase que m + p > n, entonces claramente p 6= 0 y por lo tanto, p es el sucesor de alg´ un natural q; entonces S(q) + m = S(q + m) > n, que implica que q + m ≥ n puesto que q < S(q) = p; esto contradice la elecci´ on de p. Por lo tanto, m + p = n. un d ∈ N con d 6= 0 (usando A4 ). A5 . Si m < n, entonces m + d = n para alg´ Por lo tanto, p + n = p + (d + m) = (p + d) + m = (d + p) + m = d + (p + m). As´ı, por A4 , p + m ≤ p + n, y puesto que d 6= 0, la desigualdad estricta se sigue. Similarmente se prueba el rec´ıproco. A6 . Probaremos, equivalentemente, que si m 6= 0 o n 6= 0, entonces m + n 6= 0. Supongamos que m 6= 0, entonces existe un p ∈ N tal que m = S(p). Por lo tanto, m + n = S(p + n), y consecuentemente m + n 6= 0. As´ı, si m o n son diferentes de cero, tambi´en lo es m + n. Ahora se definir´ a la multiplicaci´ on. Teorema 5.21 Hay una u ´nica operaci´ on · en N tal que (a) · (0, n) = 0 para todo n ∈ N, (b) · (m + 1, n) = ·(m, n) + n. Escribiremos m · n o simplemente mn en lugar de ·(m, n). A esta operaci´ on se le llama multiplicaci´ on. ´ n: Demostracio Sea n ∈ N fijo y sea g : N × N → N dada por g(x, y) = y + n. Por el Teorema 5.15, existe exactamente una funci´on fn : N → N donde fn (0) = 0 y fn (S(m)) = g(m, fn (m)) = fn (m) + n. Ahora definimos f : N × N → N por f (m, n) = fn (m), para m, n ∈ N. Claramente esta funci´ on satisface (a) y (b). Su unicidad puede ser inferida de la unicidad de las funciones fn para cada n. Tambi´en para el caso de la multiplicaci´ on establecemos algunas de sus propiedades m´ as elementales.

116

5. Los N´ umeros Naturales

Teorema 5.22 La multiplicaci´ on en N tiene las siguientes propiedades. M1 . Asociatividad. Para todo m, n, p ∈ N, m(np) = (mn)p. M2 . Conmutatividad. Para todo m, n ∈ N, mn = nm. on. Para todo m, n, p ∈ N, p 6= 0, M3 . Ley de Cancelaci´ pm = pn

⇒

m = n.

on sobre la adici´ on. Para todo m, n, p ∈ N, M4 . Distribuci´ m(n + p) = mn + mp. M5 . Para todo m, n, p ∈ N, p 6= 0, m
⇔

pm < pn.

M6 . Para todo m, n ∈ N, mn = 0

⇒

m = 0 o n = 0.

´ n: Demostracio Es conveniente probar estas propiedades en el orden M4 , M2 , M1 , M6 , M3 , M5 . M4 . Para n y p fijos consid´erese A = {m ∈ N : m(n + p) = mn + mp} . Claramente 0 ∈ A, y si m ∈ A, entonces S(m) ∈ A puesto que S(m)(n + p) = m(n + p) + (n + p) = (mn + mp) + (n + p) = (mn + n) + (mp + p) = S(m)n + S(m)p. Con lo cual, A = N. Esto establece M4 . M2 . Se puede probar por inducci´ on que para todo n ∈ N, n · 0 = 0 y n · S(0) = n. Supongamos estos preliminares y sea n ∈ N fijo. Consid´erese

5.4. Aritm´etica de los N´ umeros Naturales

117

{m ∈ N : mn = nm}. Este conjunto contiene a 0 puesto que 0 · n = 0 = n · 0. Supongamos que contiene a m, entonces S(m) · n = mn + n = nm + n = nm + n · S(0) = n(m + S(0)) = n(S(0) + m) = n · S(m); as´ı, S(m) es un elemento del conjunto. Por el Principio de Inducci´ on, M2 est´a probada. M1 . Para n, p ∈ N fijos considere {m ∈ N : m(np) = (mn)p}. Este conjunto contiene a 0, y si contiene a m, entonces contiene a S(m) puesto que S(m) · (np) = m(np) + (np) = (mn)p + (np) = (mn + n)p = (S(m) · n)p. M6 . Asumamos que mn = 0 y m 6= 0. Entonces m = S(p) para alg´ un p ∈ N. Como 0 = mn = S(p) · n = pn + n, entonces, por A6 , n = 0. M3 . Supongamos que pm = pn y p 6= 0. Como ≤ es un orden lineal en N, entonces m ≤ n o n ≤ m. Sin p´erdida de generalidad supongamos que m ≤ n, un d ∈ N. Por lo tanto, 0 + pm = pm = entonces por A4 , n = d + m para alg´ pn = p(d + m) = pd + pm. Por A3 , 0 = pd y p 6= 0; entonces d = 0 por M6 . Se concluye que m = n. un d 6= 0. M5 . Supongamos que m < n y p 6= 0. Entonces, n = d+m para alg´ Luego, pn = pd + pm y pd 6= 0, por M6 . Por lo tanto, usando A4 , pm < pn. El rec´ıproco se deja como ejercicio. Concluimos con una observaci´on importante acerca de la aritm´etica de los n´ umeros naturales. La Teor´ıa Aritm´etica de los n´ umeros naturales puede ser enfocada axiom´aticamente. Las nociones indefinidas son la constante 0, la operaci´ on sucesor y las operaciones binarias + y ·. Los Axiomas de Peano son los siguientes: P1 0 ∈ N. P2 Para todo m, n ∈ N, si S(m) = S(n) entonces m = n. P3 Para todo n ∈ N, S(n) 6= 0. P4 Para todo n ∈ N, n + 0 = n. P5 Para todo m, n ∈ N, S(m) + n = S(m + n).

118

5. Los N´ umeros Naturales

P6 Para todo n ∈ N, n · 0 = 0. P7 Para todo m, n ∈ N, S(m) · n = (m · n) + n. P8 Para todo n ∈ N, si n 6= 0 entonces n = S(k) para alg´ un k ∈ N. P9 La Inducci´on Esquem´ atica. Sea A una propiedad aritm´etica (es decir, una propiedad expresable en t´erminos de +, ·, S, 0). Si 0 tiene la propiedad A y si A(k) implica A(S(k)) para cada k ∈ N, entonces todo n´ umero natural tiene la propiedad A. No es dif´ıcil verificar que los n´ umeros naturales y la aritm´etica aqu´ı definida satisface los Axiomas de Peano, que en realidad originalmente s´olo consisten o de P1, P2, P3, P8 y P9, los cuales fueron publicados en [P1 ]. Peano los tom´ como punto de partida para dar un enfoque axiom´ atico a la teor´ıa de los n´ umeros naturales. Sin embargo, los axiomas se acreditan a Dedekind [D2 ].

Ejercicios 5.4 1. Use el Teorema de Recursi´on para probar la existencia y unicidad de una funci´on (sucesi´ on) con las siguientes propiedades (especifique g). (a) f (m, n) = mn (como es costumbre, uno define m0 = 1, 0n = 0 si n 6= 0, y deja sin definir 00 ) 2 (b) a0 = 1, a1 = 2, a2 = 22 , a3 = 22 , ... 2. Pruebe por inducci´on que m + n ≥ n para todo m, n ∈ N. 3. Pruebe el rec´ıproco de A5 . 4. Complete la demostraci´ on del Teorema 5.21. 5. Pruebe por inducci´on que para todo n ∈ N, n · 0 = 0 y n · S(0) = n. 6. Pruebe el rec´ıproco de M5 . 7. Pruebe que para a, b ∈ N con b 6= 0, existen elementos u ´nicos q y r de N, tales que a = qb + r donde r < b. Este es el algoritmo de la divisi´ on para N. 8. Verifique que las operaciones aritm´eticas en los n´ umeros naturales satisfacen los Axiomas de Peano.

6 La Extensi´ on de los Naturales a los Reales En el cap´ıtulo anterior definimos al conjunto de los n´ umeros naturales N, y en ´el, dos operaciones binarias + y ·, y un orden lineal ≤. En este cap´ıtulo partiremos de hN, +, ·, ≤i para construir a los n´ umeros reales. Para lograrlo construiremos primero a los n´ umeros enteros y despu´es a los n´ umeros racionales.

6.1 Diferencias Definici´ on 6.1 (a) Por una diferencia entendemos un par ordenado (m, n) ∈ N × N. (b) Decimos que una diferencia es positiva si m > n. (c) En el conjunto N × N de todas las diferencias, definimos una relaci´ on ∼ por: d

olo si m + q = p + n. (m, n) ∼ (p, q) si y s´ d

on de equivalencia en N × N. Lema 6.2 ∼ es una relaci´ d

´ n: Demostracio Reflexividad. Es claro que para cualquier diferencia (m, n) se cumple que (m, n) ∼ (m, n). d

Simetr´ıa. Si (m, n) ∼ (p, q), entonces m + q = p + n, o bien p + n = m + q; d

as´ı, (p, q) ∼ (m, n). d

Transitividad. Si (m, n) ∼ (p, q) y (p, q) ∼ (r, s), entonces m + q = p + n y d

d

p + s = r + q. De esto,

m+q+s =p+n+s = (p + s) + n = r + q + n.

120

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

Y usando la conmutatividad y la cancelaci´ on de la adici´on en N, se tiene que m + s = r + n, es decir, (m, n) ∼ (r, s). d

Lema 6.3 (a) Si (m, n) es una diferencia positiva y (m, n) ∼ (p, q), entonces d

(p, q) es una diferencia positiva. (b) Si (m, n) es positiva, entonces existe una diferencia (p, 0) con p 6= 0 tal que (m, n) ∼ (p, 0). d

´ n: Demostracio (b) Si (m, n) es una diferencia positiva, entonces m > n, as´ı que existe p ∈ N\ {0} tal que m = p + n. Por lo tanto, (m, n) ∼ (p, 0). d

(a) Si (m, n) es una diferencia positiva y si (m, n) ∼ (p, q), entonces existe d

r ∈ N\ {0} tal que (r, 0) ∼ (m, n). Por la transitividad de ∼, se sigue que d

d

(r, 0) ∼ (p, q); as´ı que r + q = p. Se concluye que p > q. Por lo tanto, (p, q) es d

una diferencia positiva.

Definici´ on 6.4 Una operaci´ on llamada adici´ on o suma, y simbolizada por + es definida para diferencias por (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q). Claramente, la adici´ on es una operaci´ on binaria en N × N. La motivaci´ on para la definici´ on es que si x + n = m y y + q = p, entonces se sigue que (x + y) + (n + q) = m + p. Lema 6.5 Si x, y, u y v son diferencias y x ∼ u, y ∼ v, entonces x+y ∼ u+v. d

d

d

´ n: Demostracio Supongamos que (a, b) ∼ (m, n) y que (c, d) ∼ (p, q). Entonces d

d

a+n=m+b

(6.1.1)

c + q = p + d.

(6.1.2)

y Sumando las igualdades (6.1.1) y (6.1.2), y usando la conmutatividad y asociatividad de la suma en N se tiene que (a + c) + (n + q) = (m + p) + (b + d). O sea, (a + c, b + d) ∼ (m + p, n + q). d

6.1. Diferencias

121

Lema 6.6 (a) La adici´ on de diferencias es asociativa y conmutativa. (b) La suma de dos diferencias positivas es una diferencia positiva. (c) La adici´ on es cancelable con respecto a ∼. d

´ n: Demostracio Dejamos como ejercicio las partes (a) y (b). (c) Supongamos que (a, b) + (m, n) ∼ (a, b) + (p, q), entonces d

(a + m, b + n) ∼ (a + p, b + q); d

es decir, a + m + b + q = a + p + b + n. Usando la cancelaci´on de la suma en N, se sigue que m + q = p + n; as´ı (m, n) ∼ (p, q). d

Definici´ on 6.7 Otra operaci´ on binaria en N × N, que se llama multiplicaci´ on y es simbolizada por ·, est´ a definida por (m, n) · (p, q) = (mp + nq, mq + np). Usualmente denotaremos la multiplicaci´on de diferencias x, y por xy en lugar de x · y. Lema 6.8 Si x, y, u y v son diferencias tales que x ∼ u y y ∼ v, entonces d d xy ∼ uv. d

Lema 6.9 (a) La multiplicaci´ on de diferencias es asociativa, conmutativa y distribuye sobre la adici´ on. (b) El producto de diferencias positivas es una diferencia positiva. (c) La multiplicaci´ on es cancelable con respecto a ∼ para diferencias que d

no sean de la forma (m, m).

Ejercicios 6.1 1. Pruebe (a) y (b) del Lema 6.6. 2. Pruebe el Lema 6.8. 3. Pruebe el Lema 6.9.

122

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

6.2 Los Enteros Definici´ on 6.10 (a) Definimos un n´ umero entero como una clase de equivalencia m´odulo ∼; y escribimos d

[x]i

para la clase de equivalencia determinada por la diferencia x. (b) El conjunto de todos los n´ umeros enteros es denotado por Z. (c) Decimos que un n´ umero entero es positivo si y s´olo si uno de sus miembros es una diferencia positiva. Se sigue del Lema 6.3 que si [x]i es positivo, entonces todo miembro de [x]i es positivo. El conjunto de todos los enteros positivos se denota por Z+ . Consideremos la siguiente relaci´ on de Z × Z en Z: {(([x]i , [y]i ), [x + y]i ) : x, y son diferencias} . Acorde al Lema 6.5, esta relaci´ on es una funci´on, y en virtud de su forma, es una operaci´ on binaria en Z. Llamamos a esta operaci´ on suma y es simbolizada por +. As´ı, [x]i + [y]i = [x + y]i . La demostraci´on del siguiente resultado se sigue directamente del Lema 6.6. Proposici´ on 6.11 La suma de enteros es asociativa, conmutativa y la ley de cancelaci´ on es v´ alida. M´ as a´ un, la suma de dos enteros positivos es un entero positivo. Lema 6.12 Si x, y son n´ umeros enteros, entonces existe exactamente un entero z tal que x + z = y. ´ n: Demostracio Sean m, n, p y q n´ umeros naturales tales que (m, n) ∈ x y (p, q) ∈ y. Luego basta tomar z = [(p + n, q + m)]i . La unicidad de z se sigue de la ley de cancelaci´ on. Por el resultado anterior se sigue que si x es un entero, entonces existe un u ´nico entero, llamado el inverso aditivo de x, simbolizado por −x tal que (−x) + x = [(0, 0)]i = x + (−x).

6.2. Los Enteros

123

Escribiremos y − x para denotar la suma de los enteros y y −x; o sea, y − x = y + (−x). Finalmente, consideremos la relaci´ on de Z × Z en Z: {(([x]i , [y]i ), [xy]i ) : x, y son diferencias} . Acorde al Lema 6.8 esta relaci´ on es una funci´ on, que en virtud de su forma, es una operaci´on binaria en Z. Llamamos a esta operaci´ on multiplicaci´ on y es simbolizada por ·; as´ı, [x]i · [y]i = [x · y]i . Proposici´ on 6.13 La multiplicaci´ on es asociativa y conmutativa, distribuye sobre la adici´ on y tiene la propiedad de la cancelaci´ on si (0, 0) no es un miembro del factor cancelado. M´ as a´ un, el producto de dos enteros positivos es un entero positivo. Ahora simplificaremos nuestra notaci´on para los enteros. El primer paso es la observaci´on de que el conjunto de enteros de la forma [(n, 0)]i , con n ∈ N y el conjunto de enteros de la forma [(0, m)]i con m ∈ N\ {0}, son ajenos y su uni´ on es Z. En efecto, si [(p, q)]i es cualquier entero, entonces p ≥ q o p < q. En el primer caso, p = q + n con n ∈ N, y por lo tanto, [(p, q)]i = [(n, 0)]i . En el segundo caso, q = p + m con m ∈ N\ {0} y [(p, q)]i = [(0, m)]i , lo cual completa la demostraci´ on. La segunda observaci´on es que podemos definir un orden en Z mediante: [(m, n)]i
124

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

orden-isomorfa de N. Esto sugiere llamar a los miembros [(n, 0)]i de Z, los enteros que corresponden a los n´ umeros naturales y adoptamos 0i , 1i , 2i , etc. como nombres para ellos, es decir, ni = [(n, 0)]i , con n ∈ N. Puesto que los restantes enteros son los de la forma [(0, m)]i con m ∈ N\ {0} y dado que − [(m, 0)]i = [(0, m)]i , a estos los denotaremos como [(0, m)]i = −mi , y son llamados enteros negativos. Con todas las consideraciones anteriores podemos decir que Z = {· · · , −2i , −1i , 0i , 1i , 2i , · · ·} . Resumimos nuestros resultados concernientes al sistema ® Z, +, ·,0i , 1i , Z+

de los enteros en el siguiente teorema. Sin embargo, en los ejercicios de esta secci´ on el lector encontrar´ a otras propiedades importantes de este sistema. Teorema 6.14 Las operaciones de suma y multiplicaci´ on para enteros, junto con 0i , 1i y el conjunto Z+ de enteros positivos tienen las siguientes propiedades. Para cualesquiera enteros x, y, z se cumplen: (1) x + (y + z) = (x + y) + z. (2) x + y = y + x. (3) 0i + x = x. as a´ un, z es u ´nico y es (4) Existe un u ´nico entero z tal que x + z = 0i ; m´ denotado por −x. (5) x(yz) = (xy)z. (6) xy = yx. (7) 1i · x = x. (8) x(y + z) = xy + xz. (9) xz = yz, z 6= 0i implica x = y. (10) 0i 6= 1i . (11) x, y ∈ Z+ implica x + y ∈ Z+ . (12) x, y ∈ Z+ implica xy ∈ Z+ . (13) Exactamente uno de los siguientes enunciados se cumple: x ∈ Z+ ,

x = 0i ,

−x ∈ Z+ .

olo si y − x ∈ Z+ , entonces
6.2. Los Enteros

125

´ n: Demostracio El lector debe encargarse de escribir con detenimiento las demostraciones de (1) a (12). (13) Si x ∈ Z y (m, n) ∈ x, entonces exactamente ocurre uno de los casos m > n,

m = n,

m < n.

por lo que se deduce el resultado. on asim´etrica. Si (14) Por definici´ on de Z+ , claramente
Ejercicios 6.2 1. Pruebe la Proposici´ on 6.13. 2. Demuestre las partes (1) a (12) del Teorema 6.14. 3. Demuestre cada una de las siguientes propiedades de los enteros: (a) −(x + y) = −x − y.

(b) (−x)y = −(xy). (c) (−x)(−y) = xy

/ Z+ implica xy ∈ / Z+ . (d) x ∈ Z+ , y ∈

(e) Para cualquier x ∈ Z \ {0i }, se tiene que x2 ∈ Z+ .

4. Pruebe cada una de las siguientes propiedades del sistema de los enteros: (a) x es positivo si y s´ olo si 0i
126

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

(c) Si 0
6.3 Los Racionales Definici´ on 6.15 Un par ordenado (a, b) ∈ Z × (Z\ {0}) se llamar´ a cociente. Un cociente se llamar´ a positivo si ab es un n´ umero entero positivo. Introducimos una relaci´on en el conjunto de todos los cocientes por (a, b) ∼ (c, d)

(6.3.1)

q

si y s´ olo si ad = bc. Note que esta relaci´on tiene la propiedad (ac, bc) ∼ (a, b) si c 6= 0. q

on de Lema 6.16 La relaci´ on en Z × (Z\ {0}) descrita por ∼, es una relaci´ q

equivalencia.

´ n: Demostracio ´ Unicamente probaremos la transitividad, puesto que la reflexividad y simetr´ıa son claras a partir de las propiedades de Z. Supongamos que (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f), entonces ad = bc y cf = de q

con lo que adf = bcf , y as´ı af = be.

q

6.3. Los Racionales

127

Obs´ervese que en la demostraci´ on anterior se hizo uso de la ley de cancelaci´ on en Z, no de alg´ un artificio extra˜ no de divisi´ on. Como en el caso de los n´ umeros enteros, si (a, b) es un cociente positivo, entonces cualquier cociente ∼-equivalente con (a, b) es positivo. En efecto, si q

(a, b) ∼ (c, d), entonces por la transitividad de ∼ y la observaci´ on que precede q

q

al Lema 6.16,

(ab, b2 ) ∼ (cd, d2 ); q

(ab)d2

(cd)b2 .

de aqu´ı que = Como ab y d2 son enteros positivos, abd2 es un entero positivo. En virtud del Ejercicio 6.2.(3d), dado que b2 tambi´en es un entero positivo, cd debe ser un entero positivo. Por lo tanto, el cociente (c, d) es un entero positivo. Ahora es posible dar la definici´on principal de esta secci´on. Definici´ on 6.17 Un n´ umero racional es una clase de equivalencia m´odulo ∼. q

El n´ umero racional determinado por el cociente x ser´a representado por [x]q .

[x]q se llamar´ a positivo si y s´ olo si contiene un cociente positivo. El conjunto de todos los n´ umeros racionales positivos es denotado por Q+ . umeros racionales, entonces: Lema 6.18 Sean [(a, b)]q y [(c, d)]q n´ (a) [(a, b)]q + [(c, d)]q = [(ad + bc, bd]q , (b) [(a, b)]q · [(c, d)]q = [(ac, bd)]q , son operaciones binarias de suma y producto en el conjunto de todos los n´ umeros racionales, Q. ´ n: Demostracio Si [(a, b)]q , [(c, d)]q ∈ Q, entonces b 6= 0 6= d, con lo cual bd 6= 0, que implica [(ad + bc, bd]q ∈ Q y [(ac, bd)]q ∈ Q. Ahora sean (u, v) ∼ (a, b) y (x, y) ∼ (c, d). Probaremos que q

q

(uy + vx, vy) ∼ (ad + bc, bd). q

Como (u, v) ∼ (a, b), entonces ub = av; de la misma manera xd = cy, que q

implica ubyd = avyd y xdvb = ycvb; as´ı, ubyd + xdvb = avyd + ycvb. De aqu´ı concluimos que bd(uy + xv) = vy(ad + bc), es decir, (uy + xv, vy) es ∼-equivalente a (ad + bc, bd). Por lo tanto, q

[(ad + bc, bd)]q = [(uy + xv, vy)]q .

128

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

An´alogamente [(xu, uy)]q = [(ac, bd)]q . Con lo cual las operaciones de suma y producto no dependen de los representantes de las clases. Definamos aq = [(a, 1)]q para a ∈ Z. Claramente {(a, aq ) : a ∈ Z} es una funci´on de Z en Q. M´ as a´ un, es inyectiva y puesto que aq + bq = (a + b)q , aq · bq = (ab)q , las operaciones de suma y producto son preservadas bajo esta funci´on. Finalmente, la imagen aq de un entero a es un racional positivo si y s´ olo si a es un entero positivo. Esto u ´ltimo implica que si
Teorema 6.19 Las operaciones de suma y multiplicaci´ on para los n´ umeros racionales, junto con 0q , 1q y el conjunto de los racionales positivos Q+ , tienen las siguientes propiedades para racionales cualesquiera x, y, z: (1) x + (y + z) = (x + y) + z. (2) x + y = y + x. (3) x + 0q = x. (4) Existe z ∈ Q tal que x + z = 0; m´ as a´ un, z es u ´nico y es denotado por −x. (5) x(yz) = (xy)z. (6) xy = yx. (7) 1q · x = x. as a´ un, z es u ´nico (8) Si x 6= 0q entonces existe z ∈ Q tal que xz = 1; m´ −1 y es denotado por x . (9) x(y + z) = xy + xz. (10) 1q 6= 0q . (11) Si x, y ∈ Q+ , entonces x + y ∈ Q+ .

6.3. Los Racionales

129

(12) Si x, y ∈ Q+ , entonces xy ∈ Q+ . (13) Exactamente uno de los siguientes enunciados se cumple: x ∈ Q+ ,

x = 0q ,

−x ∈ Q+ .

(14) Si P es la intersecci´ on de todos los subconjuntos de Q+ que contienen a 1q y son cerrados bajo la suma, entonces para cada x ∈ Q+ , existen a, b ∈ P tales que xb = a. (15) La relaci´ on
x = y,

y
olo si x + z
130

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

“2/3 = 4/5” significa que 4/5 es otro nombre del mismo racional. Esto es cierto si y s´ olo si [(2, 3)]q = [(4, 5)]q , que de hecho, es verdadero si y s´ olo si 2 · 5 = 4 · 3. Puesto que 2 · 5 6= 4 · 3, la proposici´on original es falsa. En general, el mismo tipo de an´ alisis proporciona los siguientes resultados para los racionales: c a = si y s´ olo si ad = bc, b d a c ad + bc + = , b d bd ³ a ´ ³ c ´ ac = . · b d bd A continuaci´on derivaremos algunas propiedades significativas de los n´ umeros racionales. En este punto comenzamos a emplear el uso de propiedades elementales de n´ umeros racionales sin la referencia expl´ıcita. Teorema 6.20 Entre dos racionales distintos cualesquiera hay otro n´ umero racional. ´ n: Demostracio Sean x, y ∈ Q tales que x
x+y
Para demostrar la primera desigualdad obs´ervese que x + x
6.3. Los Racionales

131

Definici´ on 6.22 Se define la funci´ on valor absoluto, |·| : Q → Q, como ½ x, si x ≥ 0 |x| = −x, si x < 0 para cada x ∈ Q. Teorema 6.23 Para cualesquiera x, y ∈ Q, tenemos: (a) |x| ≥ 0. (b) |xy| = |x| |y|. (c) |x + y| ≤ |x| + |y|. (d) ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Ejercicios 6.3 1. Completar las demostraciones de los Lemas 6.16 y 6.18. 2. Pruebe que la funci´ on a 7→ aq de Z en Q introducida antes del Teorema 6.19 es un isomorfismo de orden. 3. Demuestre el Teorema 6.19 y muestre que el conjunto P que aparece en el inciso (14) de este teorema es simplemente el conjunto de racionales que corresponden a los enteros positivos. umeros racionales puede ser carac4. Pruebe que la relaci´ on
si y s´ olo si abd2
5. Demuestre cada una de las siguientes propiedades de los n´ umeros racionales: (a) −(x + y) = −x − y.

(b) (−x)y = −(xy). (c) (−x)(−y) = xy

(d) x ∈ Q+ , y ∈ / Q+ implica xy ∈ / Q+ .

(e) Para cualquier x ∈ Q \ {0i }, se tiene que x2 ∈ Q+ .

6. Pruebe el Teorema 6.23.

132

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

6.4 Sucesiones de Cauchy de N´ umeros Racionales El conjunto de n´ umeros racionales Q contiene subconjuntos no vac´ıos que son acotados superiormente pero que carecen de supremo. Uno de ellos es © ª S = x ∈ Q+ : x2 < 3 .

Claramente S es acotado superiormente y no vac´ıo. Sea u ∈ Q tal que u2 > 3. 2 < u, puesto que u3 < uu = u; adem´ as Entonces 0 < 3/u+u 2 · ¸ ¸ · u + 3/u 2 u − 3/u 2 = + 3, 2 2

por lo que concluimos que S no tiene una m´ınima cota superior. Esta es una buena raz´ on para tratar de extender Q a un nuevo conjunto, en el cual no sucedan estas irregularidades y se conserven las propiedades fundamentales de Q. Definici´ on 6.24 (a) Una sucesi´ on de n´ umeros racionales, que denotamos por ∞ on x : N → Q, donde x(n) = xn . (xn )n=0 , es una funci´ (b) Una sucesi´on de n´ umeros racionales x = (xn )∞ n=0 , se llama de Cauchy, + si para todo ² ∈ Q , existe un n0 ∈ N tal que para todo m, n ≥ n0 , |xm − xn | < ². Intuitivamente las sucesiones de Cauchy de n´ umeros racionales son aquellas cuyos t´erminos se aproximan unos con otros a partir de un ´ındice suficientemente grande. Ejemplo 6.25 La sucesi´ on x tal que xn =

n+1 n

es una sucesi´on de Cauchy.

´ n: Demostracio Para probarlo exhibiremos, para cada ² ∈ Q+ , un n0 ∈ N tal que para todo m, n ≥ n0 , |xm − xn | < ². ¯ ¯ n−m ¯ ¯ 1 1 , si tomamos n0 ∈ N tal que Como |xm − xn | = ¯ mn ¯ = ¯ m − n1 ¯ < min{m,n} 1 n0 > ² + 1, entonces para todo m, n ≥ n0 , |xm − xn | <

1 1 1 < < 1 = ². min {m, n} n0 ²

Ejemplo 6.26 La sucesi´on x tal que x0 = 0, x1 = 1, y xn+2 = 12 (xn+1 + xn ) es una sucesi´ on de Cauchy.

6.4. Sucesiones de Cauchy de N´ umeros Racionales

133

´ n: Demostracio Por la definici´ on recursiva de xn es claro que para m > n, xm se encuentra entre xn y xn+1 . As´ı, si ² ∈ Q+ y elegimos n0 ∈ N tal que 2n0 > 1² , entonces para todo m, n ≥ n0 , 1 1 ≤ n0 < ². n 2 2 Dado que los t´erminos de las sucesiones de Cauchy se van aproximando, es de esperar que su rango sea un conjunto acotado. Esto se expresa en el siguiente lema. |xm − xn | ≤ |xn+1 − xn | ≤

on de Cauchy, entonces existe δ ∈ Q+ Lema 6.27 Si (xn )∞ n=0 es una sucesi´ tal que |xn | < δ para todo n ∈ N. ´ n: Demostracio Correspondiendo al n´ umero racional positivo 1 existe por hip´otesis n0 ∈ N tal que, para todo m, n ≥ n0 , |xm − xn | < ². Sea

δ = max {|x0 | , |x1 | , . . . , |xn0 |} + 1.

Claramente, si n < n0 , entonces |xn | < δ. Supongamos que n ≥ n0 , entonces puesto que |xn − xn0 | < 1 se sigue que |xn | < |xn0 | + 1 < δ. Por lo tanto, para todo n ∈ N, |xn | < δ. ∞ Definici´ on 6.28 Si x = (xn )∞ umeros n=0 y y = (yn )n=0 son sucesiones de n´ y multiplicaci´ on racionales, se definen las sucesiones suma x + y = (un )∞ n=0 ∞ xy = (vn )n=0 , por:

un = xn + yn

,

vn = xn yn ,

respectivamente. Claramente, si x, y son sucesiones de n´ umeros racionales, entonces tambi´en lo son x + y y xy. Es un hecho importante que si x y y son sucesiones de Cauchy de n´ umeros racionales, entonces x + y y xy son sucesiones de Cauchy. En otras palabras, la suma y la multiplicaci´ on son operaciones binarias en el conjunto C de todas las sucesiones de Cauchy de n´ umeros racionales. Lema 6.29 Si x, y son sucesiones de Cauchy, entonces tambi´en lo son las sucesiones suma x + y, y multiplicaci´ on xy.

134

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

´ n: Demostracio Probaremos primero lo referente a la suma. Sea ² ∈ Q+ , por hip´ otesis existen n1 , n2 ∈ N tales que para todo m, n ≥ n1 , |xm − xn | <

² 2

y para todo m, n ≥ n2 ,

² |ym − yn | < . 2 Entonces para todo m, n ≥ max {n1 , n2 }, |(xm + ym ) − (xn + yn )| = |(xm − xn ) + (ym − yn )| ≤ |xm − xn | + |ym − yn | < 2² + 2² = ².

Ahora lo referente a la multiplicaci´ on. Sea ² ∈ Q+ ; en virtud del Lema 6.27, existen n´ umeros racionales positivos δ1 y δ2 tales que para todo n ∈ N, |xn | < δ1

y

|yn | < δ2 .

Adem´ as existen n1 , n2 ∈ N tales que para todo m, n ≥ n1 ,

y para todo m, n ≥ n2 ,

|xm − xn | <

² 2δ2

|ym − yn | <

² . 2δ1

Entonces para todo m, n ≥ max {n1 , n2 }, |xm ym − xn yn | = |xm ym − xn ym + xn ym − xn yn | ≤ |x ´ xn | |ym |³+ |x´n | |ym − yn | ³m− <

² 2δ2

δ2 + δ1

² 2δ1

= ².

Las propiedades b´asicas de la suma y multiplicaci´on pueden ser resumidas por la afirmaci´ on de que ellas satisfacen las propiedades (1) a (8) del Teorema 6.14, donde los elementos distinguidos en (3) y (7) son tomados como la sucesi´on 0 (cuyo valor es 0 para todo n) y la sucesi´on 1 (cuyo valor es 1 para todo n), respectivamente. El negativo de la sucesi´on de Cauchy x es la sucesi´on −x tal que (−x)n = −xn para todo n ∈ N. Introducimos a continuaci´ on una relaci´on, la cual ser´ a simbolizada por ∼, c en el conjunto C de todas las sucesiones de Cauchy de n´ umeros racionales.

6.4. Sucesiones de Cauchy de N´ umeros Racionales

135

Definici´ on 6.30 Sean x, y ∈ C, definamos una relaci´on ∼ en C como x ∼ y c

c

si y s´ olo si para cada ² ∈ Q+ , existe n0 ∈ N tal que |xn − yn | < ² para todo n ≥ n0 . Como una ilustraci´on, considere las sucesiones x y y tales que xn = n+2 n+1 y yn = 1 para todo n ∈ N. Estas son sucesiones de Cauchy y claramente x ∼ y puesto que xn − yn = relaci´ on.

1 n+1 .

c

Es f´acil de establecer la siguiente propiedad de esta

Lema 6.31 La relaci´ on ∼ es una relaci´ on de equivalencia en C. c

Definici´ on 6.32 Una sucesi´on de Cauchy x ∈ C se dice positiva si existen ² ∈ Q+ y n0 ∈ N tales que para todo n ≥ n0 , xn > ². Las propiedades de sustituci´ on esperadas de la relaci´on de equivalencia con respecto a la suma, multiplicaci´on y positividad son formuladas a continuaci´ on. Lema 6.33 Si x, y, u, v ∈ C son tales que x ∼ u y y ∼ v, entonces x+y ∼ u+v c c c as, si x es positiva entonces u es positiva. y xy ∼ uv; adem´ c

´ n: Demostracio Se mostrar´ a que xy ∼ uv. Sea ² ∈ Q+ , existen δ1 , δ2 ∈ Q+ tales que para todo c

n ∈ N, |yn | < δ1 y |un | < δ2 . Como x ∼ u entonces existe n1 ∈ N tal que para c todo n ≥ n1 , ² |xn − un | < 2δ1 y como y ∼ v, existe n2 ∈ N tal que para todo n ≥ n2 , c

|yn − vn | <

² , 2δ2

entonces para todo n ≥ max {n1 , n2 } se tiene que |xn yn − un vn | = |xn yn − un yn + un yn − un vn | + |un´| |yn vn | ≤ |x ³ n −´ un | |yn | ³ <

² 2δ1

δ1 + δ2

² 2δ2

Por lo tanto, xy ∼ uv. An´ alogamente, x + y ∼ u + v. c

c

= ².

136

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

Por otro lado, si x es positiva existe ² ∈ Q+ y n1 ∈ N tal que para todo n ≥ n1 , xn > 2² y existe n2 ∈ N tal que |xn − un | < ² para todo n ≥ n2 . Entonces para todo n ≥ max {n1 , n2 }, un > xn − ² > 2² − ² = ². Por lo tanto, u es positiva. Con el resultado precedente es f´acil probar el siguiente lema, el cual es b´ asico para cuando prestemos atenci´on a la clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy m´ odulo ∼. c

Lema 6.34 La suma y la multiplicaci´ on de dos sucesiones de Cauchy positivas son sucesiones de Cauchy positivas. Adem´ as, si x ∈ C, entonces una y s´ olo una de las siguientes proposiciones es verdadera: x es positiva, x ∼ 0 o −x es c positiva. ´ n: Demostracio Se probar´a s´ olo la segunda proposici´ on, dejando como ejercicio la primera. Claramente se debe cumplir algunas de las proposiciones. Supongamos que no se da x ∼ 0. Entonces existe ² ∈ Q+ tal que para todo n ∈ N existe m ∈ N c

tal que |xn | > 2². Tambi´en existe n0 ∈ N tal que |xm − xn | < ² para todo m, n ≥ n0 . Entonces existe p > n0 tal que |xp | > 2², por lo cual xp 6= 0, por lo que xp < 0 o bien xp > 0. Si xp > 0, entonces xp > 2². Luego para todo n > p, |xn − xp | < ², lo cual implica que xn > xp − ² > 2² − ² = ². Por lo tanto, x es positiva. alogo a −x, tenemos que −x es Si xp < 0, aplicando un razonamiento an´ positiva. Lema 6.35 Si x ∈ C no es equivalente a 0 m´ odulo ∼, entonces existe y ∈ C c tal que xy ∼ 1. c

´ n: Demostracio Por el lema anterior, si es falso que x ∼ 0, entonces existen ² ∈ Q+ y n0 ∈ N, c

on: x0n = ² tales que |xn | ≥ ² para todo n ≥ n0 . Consid´erese la siguiente sucesi´ 0 ∞ si n < n0 y x0n = xn si n ≥ n0 . Entonces (x0n )∞ as a´ un, n=0 ∈ C y x ∼ (xn )n=0 ; m´ para todo n ∈ N, |x0n | ≥ ².

c

6.4. Sucesiones de Cauchy de N´ umeros Racionales

137

Como x0n 6= 0 para todo n ∈ N, sea y la sucesi´on (yn )∞ n=0 en donde yn =

1 . x0n

Afirmamos que y ∈ C. En efecto, sea η ∈ Q+ . Como (x0n )∞ n=0 ∈ C, existe as, n1 ∈ N tal que |x0m − x0n | < η²2 para todo m, n ≥ n1 . Adem´ 1 x0m x0n

≤

1 ²2

puesto que |x0n | ≥ ². Entonces, para todo m, n ≥ n1 , |ym − yn | < η, lo que implica que y ∈ C. Es claro que x0 y ∼ 1. c

Ejercicios 6.4 1. Pruebe que la sucesi´ on x tal que xn = 1 −

1 1 (−1)n + − ···+ 3 5 2n + 1

es una sucesi´on de Cauchy. 2. Pruebe que la sucesi´ on x tal que xn = 1 +

1 1 1 + + ··· + 1! 2! n!

es una sucesi´on de Cauchy. 3. Demuestre que la suma y multiplicaci´ on de sucesiones de Cauchy satisfacen (1) a (8) del Teorema 6.14. 4. Pruebe el Lema 6.31. 5. Complete la demostraci´ on del Lema 6.33. 6. Complete la demostraci´ on del Lema 6.34.

138

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

6.5 Los Reales Definici´ on 6.36 Definimos un n´ umero real como una clase de equivalencia m´ odulo ∼ de sucesiones de Cauchy de n´ umeros racionales. c

El n´ umero real determinado por la sucesi´on de Cauchy x lo denotamos como [x]r . umero real es llamado El conjunto de los n´ umeros reales es R =C/ ∼. Un n´ c positivo si y s´ olo si contiene una sucesi´ on de Cauchy positiva. En vista del Lema 6.33, si [x]r es positivo, entonces cada uno de sus miembros es positivo. El conjunto de todos los n´ umeros reales positivos es simbolizado por R+ . De modo natural se definen las operaciones de suma y multiplicaci´ on de n´ umeros reales como: [x]r + [y]r = [x + y]r [x]r · [y]r = [xy]r ,

que, en virtud de los lemas de la secci´ on anterior, son operaciones binarias en el conjunto de los n´ umeros reales. Tambi´en definimos un orden en R por: olo si y − x ∈ R+ . x
Es de esperar que este orden herede todas las propiedades de
6.5. Los Reales

139

admite una m´ınima cota superior, pero ello requiere de algunos resultados preliminares. En lo posterior haremos referencia a n´ umeros naturales, enteros y racionales de R, pues abusando de notaci´on podemos decir que N ⊂ Z ⊂ Q ⊆ R (dado que R tiene una “copia” de cada uno de estos sistemas); por lo cual, omitiremos de ahora en adelante el sub´ındice r. En el siguiente teorema se presenta una de las propiedades m´as importantes que enlazan a Q y R, se conoce como la propiedad de densidad de Q en R. Teorema 6.38 Entre dos reales distintos cualesquiera hay un n´ umero racional. ´ n: Demostracio Sean x, y ∈ R tales que x < y, y sean a ∈ x y b ∈ y. Existen ² ∈ Q+ y n1 ∈ N as como a, b ∈ C, entonces tales que para todo n ≥ n1 , bn − an > 4². Adem´ existen n2 , n3 ∈ N tales que para todo m, n ≥ n2 , |am − an | < ², y para todo m, n ≥ n3 ,

|bm − bn | < ².

Sean n0 = max {n1 , n2 , n3 } + 1 y s ∈ Q tal que ² < s < 2², que existe en virtud del Teorema 6.20. Ahora consideremos el n´ umero real z correspondiente al n´ umero racional an0 + s. Entonces an − an0 < ² para todo n ≥ n0 . Puesto que an0 − an > −² para todo n ≥ n0 , an0 + s − an > s − ² > 0, esto significa que la sucesi´on de Cauchy (an0 + s, an0 + s, . . . , an0 + s, . . .) − a es positiva y dado que esta sucesi´ on es un miembro de z − x, esto significa que x < z. Usando la identidad bn − (an0 + s) = (bn0 − an0 ) + (bn − bn0 ) + s se sigue, con un argumento similar, que y − z ∈ R+ ; lo que implica z < y. Por lo tanto, x < z < y.

140

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

Lema 6.39 Si x, y ∈ C y si existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 , xn ≤ yn , entonces [x]r ≤ [y]r . Si x, y ∈ C y existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 , xn < yn , entonces [x]r ≤ [y]r , es decir, no se puede garantizar la desigualdad estricta. El siguiente teorema es una generalizaci´ on del Teorema 6.21 para el sistema de los n´ umeros reales. Teorema 6.40 (Propiedad Arquimediana) Si x, y ∈ R+ , entonces existe n ∈ N tal que nx > y. ´ n: Demostracio Sea b ∈ y, entonces existe δ ∈ Q+ tal que |bn | < δ para todo n ∈ N. Si d es el en, el supuesto n´ umero real correspondiente a (δ)∞ n=0 , entonces y ≤ d. Tambi´ 0 < x implica la existencia de s ∈ Q tal que 0 < s < x. Sea t ∈ Q tal que y ≤ t ≤ d. Por la Propiedad Arquimediana para racionales, existe n ∈ N tal que ns > t. Entonces nx > ns > t > y. Teorema 6.41 Todo subconjunto no vac´ıo de n´ umeros reales que tiene una cota superior, tiene una m´ınima cota superior. ´ n: Demostracio Sea A un conjunto que satisface la hip´otesis del teorema. Por el Teorema 6.40 existen m y M tales que m no es cota superior de A y M s´ı es cota superior de A. Entonces podemos inferir la existencia de un entero b0 tal que b0 es cota superior de A pero b0 − 1 no lo es. Definamos la sucesi´ on (bn )∞ n=0 inductivamente como sigue:  si bn−1 − 21n es cota superior de A  bn−1 − 21n , bn =  bn−1 , si bn−1 − 21n no es cota superior de A. Entonces para todo n ∈ N, bn es cota superior de A, y podemos probar por un argumento de inducci´on que bn −

1 2n

no lo es. De este modo, para m > n, bn −

1 < bm , 2n

(6.5.1)

6.5. Los Reales

141

adem´ as es claro que para todo m ≥ n, bm ≤ bn .

(6.5.2)

Combinando las desigualdades (6.5.1) y (6.5.2) tenemos que |bm − bn | < Se sigue de aqu´ı que si n0 ∈ N y m, n ≥ n0 , entonces |bm − bn | <

1 2n .

1 ; 2n0

o sea, b = (bn )∞ on de Cauchy. n=0 es una sucesi´ Sea u el n´ umero real que determina b. Entonces por el Lema 6.39, por la desigualdad (6.5.1) y usando la desigualdad (6.5.2) para todo n tenemos que: bn −

1 ≤ u, 2n

u ≤ bn .

(6.5.3) (6.5.4)

Demostraremos que u es una cota superior de A. Supongamos lo contrario, es decir, supongamos que existe un a ∈ A tal que u < a. Entonces, existe un 1 ; luego, 21n < a−u. Si esto lo sumamos a la desigualdad n ∈ N tal que 2n > a−u (6.5.3) tenemos 1 1 bn − n + n < u + a − u, 2 2 on. Por lo tanto, u es una lo cual implica que bn < a, que es una contradicci´ cota superior de A. Finalmente probaremos que u es la m´ınima de las cotas superiores de A. Supongamos que v es cota superior de A y que v < u, entonces existe un n ∈ N tal que 21n < u − v. Como bn − 21n no es cota superior de A, entonces existe a ∈ A tal que bn − 21n < a; as´ı bn −

1 < v, 2n

por lo que 1 1 + bn − n < u − v + v; n 2 2 o sea, bn < u, que contradice la desigualdad (6.5.4). Por lo tanto, u es la m´ınima cota superior de A. Este u ´ltimo teorema es quien proporciona la caracter´ıstica primordial que hace diferente al sistema de los n´ umeros reales. Puede demostrarse que ® R,+, ·, 0r , 1r , R+

142

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

es el “´ unico” sistema con esta propiedad; es decir, en caso de existir otro sistema que satisface todas las propiedades en los enunciados de los teoremas 6.37 y 6.41, entonces tambi´en existe un isomorfismo de orden entre ellos que adem´ as preserva las operaciones de suma y multiplicaci´ on. Una demostraci´ on completa de esta afirmaci´ on se puede consultar en el cap´ıtulo 29 del libro de Spivak [S9 ]. De hecho, existen otras maneras de presentar el sistema de los n´ umeros reales, por ejemplo, el de cortaduras de Dedekind, que se encuentra en el cl´ asico libro de Landau [L1 ]. Tambi´en suele introducirse por una lista de trece axiomas, pero podemos decir que: no importa el m´etodo de presentaci´ on de R, siempre obtenemos, en esencia, el mismo objeto. Ahora como una consecuencia del teorema anterior mostraremos, despu´es de dos lemas, que toda sucesi´on de Cauchy de n´ umeros reales tiene l´ımite. Una sucesi´on x de n´ umeros reales es una sucesi´on tal que xn ∈ R para cada n ∈ N. Una sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros reales es una sucesi´on de n´ umeros reales tal que para cualquier n´ umero real positivo ² existe n0 ∈ N tal que |xm − xn | < ² para todo m, n ≥ n0 . Ahora definiremos la noci´on de l´ımite. Esta noci´on es la habitual del C´alculo Diferencial e Integral y, de hecho, del An´alisis en general. Definici´ on 6.42 El n´ umero real y es l´ımite de la sucesi´ on x de n´ umeros reales si y s´ olo si para todo n´ umero real positivo ² existe un n0 ∈ N tal que |xn − y| < ² para todo n ≥ n0 . Ejemplo 6.43 Toda sucesi´on constante de n´ umeros reales tiene l´ımite. La prueba del siguiente lema es un ejercicio. Lema 6.44 El l´ımite de una sucesi´ on de n´ umeros reales es u ´nico. As´ı, si la sucesi´ on x de n´ umeros reales tiene a y como un l´ımite, entonces y es el u ´nico limite y se justifica la siguiente notaci´ on familiar para y: lim xn = y.

n→∞

Una sucesi´ on de n´ umeros reales (xn )∞ n=0 se llama creciente si xn ≤ xn+1 para cada n ∈ N, y decreciente si xn+1 ≤ xn para cada n ∈ N. Con esta terminolog´ıa podemos dar el siguiente ejemplo que nos proporciona una amplia variedad de sucesiones con l´ımite.

6.5. Los Reales

143

Ejemplo 6.45 Toda sucesi´ on de n´ umeros reales decreciente (creciente) que est´ a acotada inferiormente, es decir, tal que existe M ∈ R con M ≤ xn , para todo n ∈ N (respectivamente, superiormente: xn ≤ M , para todo n ∈ N), tiene l´ımite. ´ n: Demostracio Haremos la prueba para sucesiones decrecientes. Sean y = inf {xn : n ∈ N} y ² > 0, entonces y + ² no puede ser cota inferior del conjunto {xn : n ∈ N}. As´ı, existe n0 ∈ N tal que y ≤ xn0 < y + ². Como la sucesi´ on (xn )∞ n=0 es decreciente, para todo n ≥ n0 tenemos que y ≤ xn ≤ xn0 < y + ². Por lo tanto, para todo n ≥ n0 , |y − xn | < ². Lema 6.46 Sea (an )∞ on de n´ umeros racionales y sea x la sucen=0 una sucesi´ umero si´ on de n´ umeros reales tal que para cada n ∈ N, xn = [(an )∞ m=0 ]r es el n´ on de Cauchy de n´ umeros real correspondiente a an . Entonces x es una sucesi´ reales si y s´ olo si a es una sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros racionales. Adem´ as, ∞ on de Cauchy de n´ umeros racionales y z es el n´ umero si (an )n=0 es una sucesi´ real que ella define, entonces limn→∞ an = z. ´ n: Demostracio Demostraremos solamente la segunda afirmaci´ on. Sea ² un n´ umero real positivo ] un n´ u mero racional tal que 0 < δ < ². Como (an )∞ y sea δ = [(d)∞ n=0 r n=0 es por hip´otesis una sucesi´on de Cauchy, existe n0 ∈ N tal que |an − am | < d, para m, n ≥ n0 . Como an − am < d, si m, n ≥ n0 , se sigue que ∞ [(an )∞ m=0 − (am )m=0 ]r ≤ δ

para cada n ≥ n0 (por el Lema 6.39), o en otras palabras, xn − z ≤ δ

144

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

siempre que n ≥ n0 . Similarmente, la desigualdad am − an < d implica que z − xn ≤ δ cuando n ≥ n0 . Por lo tanto, para todo n ≥ n0 , |xn − z| ≤ δ < ². Teorema 6.47 Una sucesi´ on de n´ umeros reales tiene l´ımite si y s´ olo si es una sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros reales. ´ n: Demostracio Se deja como un ejercicio probar que si una sucesi´on de n´ umeros reales tiene l´ımite, entonces es de Cauchy. Demostraremos la suficiencia. Supongamos que u es una sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros reales. Para cada n ∈ N, un < un + n1 y por lo tanto (Teorema 6.38), existe un n´ umero racional xn ∈ R tal que un < xn < un +

1 . n

Sea ² un n´ umero real positivo, entonces existe n1 ∈ N tal que n1 > 3² y, por tanto, para todo n ≥ n1 , ² (6.5.5) |un − xn | < 3 M´ as a´ un, x es una sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros racionales, ya que |xm − xn | ≤ |xm − um | + |um − un | + |un − xn | , y para m y n suficientemente grandes cada sumando del lado derecho es menor umero racional en Q al cual corresponde xn . Por el Lema que 3² . Sea an el n´ es una sucesi´on de Cauchy de n´ umeros racionales y por lo 6.46, a = (an )∞ n=0 tanto, define un n´ umero real y. Adem´ as, por el Lema 6.46 lim xn = y.

n→∞

De lo anterior se deduce la existencia de alg´ un n2 ∈ N tal que ² |xn − y| < , 2

(6.5.6)

para todo n ≥ n2 . Se infiere de las desigualdades (6.5.5) y (6.5.6) que para todo n ≥ max {n1 , n2 }, |un − y| ≤ |un − xn | + |xn − y| <

² ² + < ², 3 2

6.5. Los Reales

145

lo cual significa que y = lim un . n→∞

Finalmente estableceremos la posibilidad de representar a un n´ umero real por una expresi´ on decimal. Para cada n´ umero real no negativo x, denotaremos por bxc al mayor entero menor o igual a x; es decir, bxc = max {n ∈ N : n ≤ x} . Teorema 6.48 Sea r un n´ umero entero mayor o igual a 2. A cada n´ umero de enteros, los cuales real no negativo, x corresponde una sucesi´ on (dn )∞ n=0 est´ an un´ıvocamente determinados por x (relativo a r), tales que: (a) d0 = bxc, (b) 0 ≤ dn < r para cada n ≥ 1, (c) la sucesi´ on cuyos t´erminos est´ an definidos recursivamente por y0 = d0 yn+1 = yn +

dn+1 rn+1

es una sucesi´ on de Cauchy y limn→∞ yn = x. ´ n: Demostracio Sean r un entero mayor o igual a 2, x un n´ umero real no negativo y d0 = bxc. Entonces xr = d0 r + x1 para alg´ un n´ umero x1 tal que 0 ≤ x1 < r. Si d1 = bx1 c, se tiene que x1 r = d1 r + x2 , para alg´ un 0 ≤ x2 < r. En general, definamos xn por xn−1 r = dn−1 r + xn y sea dn = bxn c. Entonces x = d0 +

d1 d2 dn xn+1 + 2 + · · · + n + n+1 , r r r r

donde 0 ≤ xn+1 < r. Por lo tanto, ¶ µ d1 d2 dn 1 + 2 + ··· + n < n. 0 ≤ x − d0 + r r r r

146

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

De acuerdo a la definici´ on de yn en (c), esto lo podemos escribir como 0 ≤ x − yn < por lo que se sigue que |x − yn | <

1 rn ,

1 , rn

y as´ı

lim yn = x.

n→∞

La prueba de la unicidad (relativa a r) de la sucesi´ on correspondiente a x se deja como un ejercicio. Si r = 10 en el teorema precedente obtenemos la familiar representaci´ on decimal de un n´ umero real no negativo; cuando r = 2 se obtiene la representaci´ on di´ adica, etc. Por ejemplo para la representaci´ on decimal del conocido n´ umero π tenemos que: d0 = 3, d1 = 1, d2 = 4, d3 = 1, d4 = 5, d5 = 9, d6 = 2, d7 = 6, d8 = 5 , d9 = 3, d10 = 5, d11 = 8, d12 = 9, d13 = 7, d14 = 9, d15 = 3, d16 = 2, d17 = 3, d18 = 8, d19 = 4, d20 = 6, etc. Por lo cual habitualmente lo escribimos como: π = 3.14159265358979323846 . . . .

Ejercicios 6.5 1. Pruebe que la funci´ on a 7→ [a]r es un isomorfismo de orden entre Q y un subconjunto de R. Adem´ as, pruebe que esta funci´ on preserva las operaciones de suma y multiplicaci´ on. 2. Demuestre el Teorema 6.37. 3. Pruebe el Lema 6.39. 4. Dar un ejemplo de dos sucesiones x y y tales que xn < yn para cada n ∈ N, pero que [x]r = [y]r . 5. Pruebe la afirmaci´on realizada en la prueba del Teorema 6.41 de que bn − 21n no es una cota superior de A. 6. Sean A y B subconjuntos no vac´ıos de n´ umeros reales. Demuestre que si A y B est´ an acotados superiormente, entonces C = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} est´a acotado superiormente y sup C = sup A + sup B.

6.5. Los Reales

147

7. Sean A y B subconjuntos no vac´ıos de n´ umeros reales positivos. Demuestre que si A y B est´ an acotados superiormente, entonces C = {x · y : x ∈ A, y ∈ B} est´a acotado superiormente y sup C = sup A · sup B. 8. Sea {Aα }α∈I una familia de subconjuntos de R no vac´ıos y acotados S superiormente, y sea B = {sup Aα : α ∈ I}. Demuestre que A = α∈I Aα est´a acotado superiormente si y s´olo si B est´ a acotado superiormente. ¿Qu´e relaci´ on existe entre sup A (si existe) y sup B? 9. Una funci´ on f : A ⊆ R → R se llama continua en a ∈ A si para cada ² > 0 existe δ > 0 tal que para |h| < δ y a+h ∈ A, |f (a + h) − f (a)| < ². Demuestre que si f es una funci´on continua en cada punto de un intervalo [a, b] tal que f (a) < 0 y f (b) > 0, entonces existe un n´ umero c tal que a < c < b y f (c) = 0. (Sugerencia: defina c como el supremo de {x ∈ [a, b] : f (x) < 0} .) 10. Suponga que las funciones polinomiales son continuas en R. Sea f la funci´on polinomial tal que f (x) = xn −a, donde n ∈ N y a ∈ R+ . Pruebe que existe exactamente un n´ umero real positivo c tal que f (c) = 0. Este √ 1 n´ umero c se llama n-´esima ra´ız de a y se denota por n a o a n . 11. Pruebe usando el ejercicio anterior que hay n´ umeros reales que no son racionales. 12. Si a > 0, b > 0, y n ∈ N, pruebe que √ √ √ n n n a b = ab. 13. Pruebe el Lema 6.44. 14. Pruebe la primera afirmaci´on del Lema 6.46. 15. Pruebe la necesidad del Teorema 6.47. 16. Pruebe la unicidad de la sucesi´on (dn )∞ n=0 asegurada en el Teorema 6.48.

148

6. La Extensi´ on de los Naturales a los Reales

7 Cardinalidad 7.1 Introducci´on Una de las distinciones fundamentales en matem´ aticas es la existente entre conjunto finito e infinito. La diferencia es tan comprensible intuitivamente que, incluso en la ausencia de una definici´ on formal, no hay duda alguna de si un conjunto dado es finito o infinito. Anteriormente sugerimos que los conjuntos finitos pueden ser definidos como aquellos conjuntos que son el rango de alguna sucesi´on finita; o sea, aquellos que pueden expresarse en la forma on de este cap´ıtulo daremos un significado {a1 , a2, . . . , an }. En la segunda secci´ preciso de esta proposici´ on. La idea es m´ as o menos as´ı: al contar la colecci´ on S de sillas de un sal´on lo que cotidianamente hacemos es establecer una biyecci´ on entre la colecci´ on de sillas y un n´ umero natural n = {0, 1, 2, . . . , n − 1}. En tal caso decimos que el n´ umero de elementos o cardinalidad de S es n. ¿C´omo “contar´ıamos” los elementos que forman el conjunto de los n´ umeros pares o el conjunto de n´ umeros reales x tales que 0 ≤ x ≤ 1? Esta pregunta nos lleva a cuestionarnos: ¿Qu´e podremos entender por la cardinalidad de conjuntos infinitos? Otro problema es: ¿Tendr´ a sentido hablar de n´ umero cardinal como el n´ umero de elementos de un conjunto? Para los conjuntos finitos la respuesta es indudablemente s´ı; por ejemplo, podemos decir que el n´ umero cardinal de la colecci´ on de sillas S es n. Imitando lo dicho para conjuntos finitos, haremos una extensi´on del concepto de n´ umero, es decir, hablando vagamente, podemos decir que el n´ umero cardinal de un conjunto es la propiedad com´ un que tienen el conjunto y todos los conjuntos equivalentes a ´el; o sea, aquellos que contienen la misma cantidad de elementos. Ya sabemos que no tenemos facultad de decir que el n´ umero cardinal de un conjunto arbitrario X es igual al conjunto de todos los conjuntos equivalentes a X, pues no hay un conjunto as´ı de grande. Lo que sigue es, sugerido por analog´ıa con los n´ umeros naturales, definir el n´ umero cardinal de un conjunto X como un conjunto equivalente a X elegido en forma particularmente cuidadosa.

150

7. Cardinalidad

7.2 Conjuntos Finitos Definici´ on 7.1 (a) Un conjunto S es finito si existe una funci´on biyectiva f de S en alg´ un n´ umero natural n. Si ´este es el caso, entonces decimos que S tiene n elementos o que el n´ umero cardinal de S es n y denotamos |S| = #(S) = n. (b) Un conjunto S es infinito si no es finito. Las primeras observaciones que debemos hacer es que, en efecto, #(n) = n. Por otra parte, es conveniente verificar inmediatamente que no hay un conjunto S tal que #(S) = n, #(S) = m simult´aneamente, y n 6= m. Esto se sigue del siguiente lema. Lema 7.2 Si n ∈ N, entonces no existe una funci´ on inyectiva de n sobre un subconjunto propio X ⊂ n. ´ n: Demostracio Por inducci´ on sobre n. Para n = 0, la afirmaci´ on es trivialmente cierta. Supongamos que es cierto para n, probaremos que tambi´en lo es para n + 1. Si la afirmaci´on es falsa para n + 1, entonces existe una funci´on inyectiva f de n + 1 en alg´ un X ⊂ n + 1. Hay dos posibles casos: n ∈ X o n ∈ / X. Si n ∈ / X, entonces X ⊆ n, y f |n manda n sobre el subconjunto propio X \ {f (n)} de n, lo cual es imposible. Si n ∈ X, entonces n = f (k) para alg´ un k ≤ n. Consideremos la funci´on g en n definida como sigue: ½ f (i), para todo i 6= k, i < n g(i) = f (n) si i = k < n. La funci´on g es inyectiva y manda n sobre X \ {n}, un subconjunto propio de n; una contradicci´ on. Corolario 7.3 (a) Si m 6= n, entonces no existe una biyecci´ on de m en n. (b) Si #(S) = m y #(S) = n entonces m = n. (c) N es infinito. ´ n: Demostracio Para ver que (c) se cumple, asumamos que hay una biyecci´on f de N en alg´ un n ∈ N. Entonces f |n manda n sobre un subconjunto propio de n, lo cual es una contradicci´on. Teorema 7.4 Si X es un conjunto finito y Y ⊆ X, entonces Y es finito. M´ as a´ un, #(Y ) ≤ #(X).

7.2. Conjuntos Finitos

151

´ n: Demostracio Podemos suponer que Y 6= ∅. Como X es finito, X = {x0 , x1 , . . . , xn−1 } , on inyectiva. Para mostrar que Y es finito, consdonde (xi )n−1 i=0 es una sucesi´ truiremos una sucesi´on finita inyectiva cuyo rango es Y . Usaremos el Teorema de Recursi´on en la versi´on del Ejercicio 5.3.4. Sea k0 = min {k : xk ∈ Y } , y si {k : k > ki , k < n y xk ∈ Y } 6= ∅, sea ki+1 = min {k : k > ki , k < n, y xk ∈ Y } . Esto define una sucesi´on finita (ki )m−1 i=0 . Al hacer yi = xki para todo i < m, entonces Y = {yi : i < m}. Se deja de ejercicio mostrar que m ≤ n. Teorema 7.5 Si X es un conjunto finito y f es una funci´ on, entonces f (X) es finito. M´ as a´ un, #(f (X)) ≤ #(X). ´ n: Demostracio Sea X = {x0 , x1 , . . . , xn−1 }. Nuevamente usaremos recursi´ on para construir una sucesi´on finita e inyectiva cuyo rango es f (X). Ahora usaremos la versi´on on es como sigue (los detalles se dejan al f (n + 1) = g(f |n ). La construcci´ lector): k0 = 0, ki+1 es el m´ınimo k > ki tal que k < n y f (xk ) 6= f (xkj ) para toda j < i, y yi = f (xki ). Entonces f (X) = {y0 , y1 , . . . , ym−1 } para alg´ un m ≤ n. Como una consecuencia, si (ai )n−1 on (inyectiva o no), entonces i=0 es una sucesi´ el conjunto {ai : i < n} es finito. Cuando fue necesario mostrar un conjunto infinito (el conjunto de todos los n´ umeros naturales), agregamos un axioma que garantizara su existencia. Todas las posibles construcciones creadas por el Axioma Esquema de Comprensi´ on, al ser aplicadas a conjuntos finitos, generan conjuntos finitos. Ahora mostraremos que si X es un conjunto finito, entonces S P(X) es finito, y si X es un sistema finito de conjuntos finitos, entonces X es finito. Por lo tanto, es necesario agregar el Axioma de Infinitud. Lema 7.6 Si X y Y son conjuntos finitos, entonces X ∪Y es finito. M´ as a´ un, |X ∪ Y | ≤ |X| + |Y |, y si X ∩ Y = ∅, entonces |X ∪ Y | = |X| + |Y | .

152

7. Cardinalidad

Es f´acil probar la primera parte del lema, solamente construya una sucesi´ on con rango X ∪ Y . Para la segunda parte use inducci´on. S Teorema 7.7 Si S es finito y si cualquier X ∈ S es finito, entonces S es finito. ´ n: Demostracio Procederemos por inducci´on sobre el n´ umero de elementos de S. La proposici´ on es cierta si |S| = 0. As´ı, supongamos que es cierta para todo S con |S| = n y sea S = {X0 , X1 , . . . , Xn−1 , Xn } un conjunto S con n + 1 elementos, con cada otesis de inducci´on, n−1 Xi ∈ S finito. Por la hip´ i=0 Xi es finito. Como Ãn−1 ! [ [ Xi ∪ Xn , S= i=0

por el Lema 7.6,

S

S es finito.

Teorema 7.8 Si X es finito, entonces P(X) es finito. ´ n: Demostracio Por inducci´ on sobre #(X). Si #(X) = 0, entonces P(X) = {∅} es finito. Supongamos que P(X) es finito cuando #(X) = n, y sea Y un conjunto con n + 1 elementos: Y = {y0 , y1 , . . . , yn } . Sea X = Y \ {yn }. Note que P(Y ) = P(X) ∪ U, donde U = {U ∈ P(Y ) : yn ∈ U } . Adem´ as, observe que #(U) = #(P(X)) (puesto que una biyecci´on es f (U ) = on de dos conjuntos U \ {yn } , para todo U ∈ U). Por lo tanto, P(Y ) es uni´ finitos y as´ı finito. Para concluir esta secci´on, discutiremos brevemente otro enfoque de la finitud. En la introducci´ on del Cap´ıtulo 5 mencionamos que es posible dar una definici´ on de conjunto finito sin hacer referencia a los n´ umeros naturales. Aqu´ı hay una de tales definiciones: Un conjunto X es finito si existe una relaci´ on ¹ sobre X tal que (a) ¹ es un orden lineal en X, (b) todo subconjunto no vac´ıo de X tiene elementos m´ aximo y m´ınimo en el orden ¹.

7.2. Conjuntos Finitos

153

Esta definici´ on de finitud coincide con la que usamos por medio de sucesiones finitas: Si X = {x0 , x1 , . . . , xn−1 }, entonces x0 ¹ x1 ¹ · · · ¹ xn−1 describe un orden lineal en X con las propiedades requeridas. Por otro lado, si (X, ¹) satisface (a) y (b), construimos, por recursi´ on, una sucesi´on finita (x0 , x1 , . . .) como en el Teorema 5.18. La sucesi´ on agota todos los elementos de X, de otro modo el conjunto infinito {x0 , x1 , . . .} no tiene elemento m´aximo en X. Mencionemos otra definici´ on de finitud que no involucra a los n´ umeros naturales. Decimos que un conjunto X es finito si cualquier familia no vac´ıa de subconjuntos de X tiene un elemento ⊆-maximal, es decir, si ∅ 6= U ⊆ P(X), entonces existe U ∈ U tal que para ning´ un V ∈ U, U ⊂ V . En el Ejercicio 7.2.7 se sugiere c´omo demostrar la equivalencia de esta definici´ on con la Definici´ on 7.1. Una u ´ltima consideraci´ on: Se muestra a partir del Lema 7.2 que si X es finito, entonces no hay una funci´on biyectiva de X en un subconjunto propio. Por otro lado, para conjuntos infinitos, como el de los n´ umeros naturales, existen funciones biyectivas sobre subconjuntos propios (por ejemplo, f (n) = n + 1). Si uno define a los conjuntos finitos como aquellos conjuntos que no son equipotentes con alg´ un subconjunto propio, entonces sin el Axioma de Elecci´ on es imposible probar la equivalencia de esta definici´on con la dada en 7.1.

Ejercicios 7.2 1. Pruebe que m ≤ n en el Teorema 7.4 (Sugerencia: aplique inducci´ on, ki ≥ i siempre que est´e definido, as´ı en particular, m − 1 ≤ km−1 ≤ m.) 2. Sean A 6= ∅ y n ∈ N. Demuestre que son equivalentes: (a) Existe f : n → A sobreyectiva.

(b) Existe g : A → n inyectiva.

(c) A es finito con a lo m´ as n elementos.

3. Pruebe que si X, Y son conjuntos finitos entonces X × Y es un conjunto finito y #(X × Y ) = #(X) · #(Y ). 4. Demuestre el Lema 7.6. 5. Pruebe que si X tiene n elementos entonces P(X) tiene 2n elementos.

154

7. Cardinalidad

6. Demuestre que si X, Y son conjuntos finitos entonces X Y tiene |X||Y | elementos. 7. Demuestre que X es finito si y s´ olo si cualquier familia no vac´ıa de subconjuntos de X tiene un elemento ⊆-maximal. (Sugerencia: sea |X| = n y U ⊆ P(X). Sea m el m´ aximo n´ umero en {|U | : U ∈ U}. Si U ∈ U y |U | = m, entonces U es maximal. Por otro lado, si X es infinito, sea U = {Y ⊆ X : Y es finito}.) 8. Use el Lema 7.2 y los Ejercicios 3 y 6 para dar demostraciones f´ aciles de la conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicaci´ on de n´ umeros naturales, distribuci´on de la multiplicaci´ on sobre la suma, y las propiedades usuales de la exponenciaci´ on. 9. Pruebe que si X es finito y ¹, £ son dos ordenes totales para X, entonces (X, ¹) y (X, £) son isomorfos. 10. Sea R ⊆ A2 un buen orden. Muestre que salvo que A sea finito, R−1 no es un buen orden.

7.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos En el Cap´ıtulo 5 dimos una definici´ on precisa de la proposici´ on “los conjuntos A y B tienen la misma cantidad de elementos”. Afirmamos que los conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una funci´ on biyectiva de A en B. En la secci´on anterior pusimos nuestra atenci´on a los conjuntos finitos y probamos algunas de sus propiedades; ahora empezaremos a investigar propiedades de los conjuntos infinitos. Una definici´ on propia del conjunto |X|, el “n´ umero” de elementos del conjunto X, es t´ecnicamente dif´ıcil, por lo tanto, la pospondremos para el Cap´ıtulo 9 y nos concentraremos, en la presente secci´ on, en la propiedad “A y B tienen la misma cardinalidad”. Empezamos con la siguiente definici´ on. Definici´ on 7.9 La cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad de B, si existe una funci´on inyectiva de A en B. A pesar de que los objetos |A| y |B| no hayan sido definidos, es conveniente usar la notaci´ on |A| = |B| para expresar “A y B tienen la misma cardinalidad” y |A| ≤ |B| para “la cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad de B”. Cuando se defina con precisi´ on el s´ımbolo |X|, mostraremos que la notaci´ on es consistente con la presente notaci´ on, es decir, que A y B son equipotentes

7.3. Cardinalidad en Conjuntos Infinitos

155

si y s´ olo si |A| es el mismo conjunto que |B|, etc. El lector puede notar que para conjuntos finitos A y B esto es una consecuencia de la Definici´on 7.1 y del Corolario 7.3. Algunas propiedades importantes son: (a) Si |X| = |Y |, entonces |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X| . (b) Si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |Z|, entonces |X| ≤ |Z|. En efecto si f : X → Y y g : Y → Z son funciones inyectivas, entonces g ◦ f : X → Z es inyectiva. (c) Si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X|, entonces |X| = |Y |. Esto es mucho menos trivial y posponemos la demostraci´ on hasta la Secci´ on 7.5. As´ı, la propiedad |X| = |Y | es una (clase) relaci´ on de equivalencia y |X| ≤ |Y | es un orden parcial en la clase de los conjuntos. Una pregunta natural es cu´ ando esta relaci´ on es un (clase) orden total, es decir, cu´ ando (d) |X| ≤ |Y | o |Y | ≤ |X| se cumple para todo X, Y . Se sabe que esto no puede demostrarse sin el Axioma de Elecci´on, por ello lo posponemos para el Cap´ıtulo 9. Decimos que la cardinalidad de X es menor que la cardinalidad de Y y escribimos |X| < |Y | si |X| ≤ |Y |, pero la relaci´ on |X| = |Y | no se cumple; esto es, si existe una funci´ on inyectiva de X en Y y no existe una biyecci´ on. Note que esto no equivale a decir: Existe una funci´ on inyectiva de X en Y , pero no sobre Y. Teorema 7.10 Si X es infinito, entonces |X| > |n| para todo n ∈ N. ´ n: Demostracio Es suficiente mostrar que |X| ≥ |n| para todo n ∈ N, lo cual puede realizarse por inducci´ on. Claramente, |0| ≤ |X|. Supongamos que |X| ≥ |n|; entonces hay una funci´on inyectiva f : n → X. Como X es infinito, existe x ∈ X \ ran f . Definamos g = f ∪ {(n, x)}; g : n + 1 → X es inyectiva. Por lo tanto, |X| ≥ |n + 1|.

Ejercicios 7.3 1. Muestre que: (a) Si |X| = |Y | y |Y | ≤ |Z|, entonces |X| ≤ |Z| .

(b) Si |X| ≤ |Y | y |Y | < |Z|, entonces |X| < |Z| .

156

7. Cardinalidad

2. Sea S un conjunto, y sea F el conjunto de todos los subconjuntos finitos de S. Demuestre que |S| ≤ |F| ≤ |P(S)|. (Sugerencia: |S| = |{{a} : a ∈ S}|.) ¯ ¯ 3. Muestre que |A| ≤ ¯AS ¯ para cualquier A y cualquier S 6= ∅. ¯ ¯ 4. Demuestre que |T | ≤ ¯S T ¯ si |S| ≥ |2|. (Sugerencia: fije u, v ∈ S y para cada t ∈ T , considere ft : T → S tal que ft (t) = u, ft (x) = v de otro modo.) 5. Demuestre que: (a) Cualesquiera dos intervalos abiertos de n´ umeros reales (a, b) y (c, d) son equipotentes. (b) R es equipotente a (0, 1).

7.4 Conjuntos Numerables El Axioma de Infinitud nos provee de un conjunto infinito (el conjunto de los n´ umeros naturales) del cual se desprenden muchos otros conjuntos infinitos. En esta secci´ on investigaremos la cardinalidad de N, esto es, estamos interesados en conjuntos equipotentes al conjunto N. Definici´ on 7.11 (a) Un conjunto S es numerable si |S| = |N|. (b) Un conjunto es a lo m´ as numerable si |S| ≤ |N| . As´ı, un conjunto S es numerable si y s´olo si existe una biyecci´ on de N en S; S es a lo m´ as numerable si existe una funci´on inyectiva de S en N. Ejemplo 7.12 Tanto el conjunto de los n´ umeros naturales pares como el conjunto de n´ umeros naturales impares son numerables, a pesar de ser subconjuntos propios de N. Teorema 7.13 Un subconjunto infinito de un conjunto numerable es numerable. ´ n: Demostracio Sea A un conjunto numerable, y sea B ⊆ A infinito. Entonces hay una sucesi´ on ∞ inyectiva (an )n=0 cuyo rango es A. Sea b0 = ak0 , donde k0 es el m´ınimo k tal que ak ∈ B. Teniendo construido bn , sea bn+1 = akn+1 , donde kn+1 es el m´ınimo k tal que ak ∈ B y ak 6= bi para todo i ≤ n. Tal k existe puesto que

7.4. Conjuntos Numerables

157

B es infinito. La existencia de la sucesi´on (bn )∞ acilmente por el n=0 se sigue f´ Teorema de Recursi´ on 5.17. Es f´ acil ver (por inducci´ on) que B = {bn : n ∈ N} y que (bn )∞ ı, B es numerable. n=0 es inyectiva. As´ Ejemplo 7.14 El conjunto de los n´ umeros primos es numerable. Obs´ervese que esto implica la existencia de una funci´on biyectiva del conjunto de los n´ umeros naturales en el conjunto de los n´ umeros primos. Si un conjunto S es a lo m´ as numerable, entonces es equipotente a un subconjunto de un conjunto numerable; por el Teorema 7.13, ´este es o bien finito o numerable. As´ı tenemos el siguiente corolario. Corolario 7.15 Un conjunto es a lo m´ as numerable si y s´ olo si es o bien finito o numerable. on El rango de una sucesi´on inyectiva es numerable. Si (an )∞ n=0 es una sucesi´ la cual no es inyectiva, entonces el conjunto {an : n ∈ N} puede ser finito (por ejemplo, si la sucesi´ on es constante). Sin embargo si el rango es infinito, entonces es numerable. as numerable; es Teorema 7.16 El rango de una sucesi´ on (an )∞ n=0 es a lo m´ decir, finito o numerable. En otras palabras la imagen de un conjunto numerable bajo una funci´ on es a lo m´ as numerable. ´ n: Demostracio Por recursi´on construiremos una sucesi´on (bn ) (con dominio finito o infinito) la cual es inyectiva y tiene el mismo rango que (an )∞ n=0 . Sea b0 = a0 , y teniendo construido bn , sea bn+1 = akn+1 , donde kn+1 es el m´ınimo k tal que on ak 6= bi para toda i ≤ n. (Si no hay tales k, entonces consideramos la sucesi´ ∞ on (bn )n=0 as´ı construida es inyectiva y su rango es finita (bi )i
158

7. Cardinalidad

Los siguientes dos teoremas muestran que las operaciones simples aplicadas a conjuntos numerables generan conjuntos numerables. Teorema 7.17 La uni´ on de dos conjuntos numerables es un conjunto numerable. ´ n: Demostracio Sean A = {an : n ∈ N} y B = {bn : n ∈ N}, entonces basta construir una sucesi´on (cn )∞ n=0 como sigue: c2k = ak

y c2k+1 = bk

para todo k ∈ N. Ahora, A∪B = {cn : n ∈ N} y como es un conjunto infinito, es entonces numerable. Corolario 7.18 La uni´ on de una familia finita de conjuntos numerables es un conjunto numerable. Uno puede conjeturar que es posible establecer un resultado m´as fuerte, es decir, demostrar que la uni´on de una familia numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable. Sin embargo, esto puede probarse solamente usando el Axioma de Elecci´on; de hecho, sin usar el Axioma de Elecci´ on no se puede demostrar el siguienteSteorema “evidente”. Si A = {An : n ∈ N} y |An | = 2 para cada n, entonces ∞ n=0 An es numerable. (Compare esto con los Ejercicios 7.4.11 y 7.4.12.) Teorema 7.19 Si A y B son conjuntos numerables, entonces A × B es numerable. ´ n: Demostracio Es suficiente mostrar que |N × N| = |N| (ver Ejercicio 7.4.2.) Consideremos la funci´ on f : N × N → N dada por f (m, n) = 2m (2n + 1) − 1. Se le pide al lector verificar que esta funci´ on es biyectiva. Corolario 7.20 El producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos numerables es numerable. Consecuentemente, Nm es numerable para todo m ∈ N. Corolario 7.21 El conjunto de los n´ umeros enteros Z y el conjunto de los n´ umeros racionales Q son numerables.

7.4. Conjuntos Numerables

159

´ n: Demostracio Por el Teorema 7.17, Z y Z\ {0} son numerables, as´ı que el conjunto de cocientes Z × Z\ {0} es numerable, y puesto que la proyecci´ on natural de Z × Z\ {0} en Q es sobreyectiva, por el Teorema 7.16, Q es numerable. Para que no pensemos que todos los conjuntos infinitos son numerables, he aqu´ı un importante ejemplo de un conjunto no numerable. Teorema 7.22 El conjunto de los n´ umeros reales R es un conjunto no numerable. ´ n: Demostracio Tomemos una sucesi´on cualquiera de n´ umeros reales (an )∞ n=0 . Expresemos cada n´ umero real an en su expansi´on decimal (ver Teorema 6.48): (0)

(0) (0) (0)

(1)

(1) (1) (1)

(2)

(2) (2) (2)

a0 = a0 . a1 a2 a3 · · · a1 = a0 . a1 a2 a3 · · · a2 = a0 . a1 a2 a3 · · · ··· Sea b = b0 . b1 b2 b3 · · · el n´ umero real definido como sigue: ( (n) 0, si an 6= 0 bn = (n) 1, si an = 0. Entonces b 6= an para cada n y as´ı b no pertenece al rango de la sucesi´on umeros (an )∞ n=0 , lo cual implica que no existen sucesiones sobreyectivas de n´ reales. Por lo tanto, |N| < |R|; as´ı, R no es numerable. Este resultado, original de Cantor, despert´o en su momento una gran controversia; de ´el se concluye que existen diferentes “tama˜ nos” de conjuntos infinitos.

160

7. Cardinalidad

Ejercicios 7.4 1. Sea A un conjunto numerable y x ∈ A, muestre que A \ {x} es numerable; concluya que un conjunto numerable siempre es equipotente a un subconjunto propio. 2. Pruebe que si |A1 | = |A2 | y |B1 | = |B2 |, entonces |A1 × B1 | = |A2 × B2 | . 3. Pruebe que la funci´ on f en la demostraci´on del Teorema 7.19 es biyectiva. 4. Un n´ umero real x es algebraico si es soluci´ on de alguna ecuaci´on an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , donde los ai son n´ umeros enteros. Si x no es algebraico se llama trascendental. (a) Muestre que el conjunto de n´ umeros algebraicos es numerable. (b) Muestre que el conjunto de n´ umeros trascendentales es no numerable. 5. Pruebe que el conjunto de todas las l´ıneas rectas del plano R2 que pasan por al menos dos puntos con coordenadas racionales es numerable. 6. Para cada n 6= 0, demuestre que el conjunto [N]n = {S ⊆ N : |S| = n} es numerable. (Sugerencia: [N]n es la imagen de un conjunto numerable.) 7. Sea S el conjunto de todas las sucesiones semiconstantes de n´ umeros ∞ naturales ((sn )n=0 es semiconstante si existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 , sn = sn0 ).QDemuestre que S es numerable. (Sugerencia: para umero primo. La s ∈ S sea f (s) = i
7.5. N´ umeros Cardinales

161

10. Sea S un conjunto numerable y R una relaci´on de equivalencia en S. Muestre que: (a) El conjunto S/R es a lo m´ as numerable. (b) D´e un ejemplo en el cual S/R sea finito. 11. Sea {An : n ∈ N} una familia numerable, y sup´ongase que se tiene una sucesi´ on (an )∞ n=0 de enumeraciones de los conjuntos An ; esto es, an = ∞ ) y A (a n = {an,k : k ∈ N} para cada n ∈ N. Demuestre que n,k k=0 S∞ n=0 An es numerable.

12. Sea (S, ≤) un conjunto linealmente ordenado. Sea {An : n ∈SN} un sistema numerable de conjuntos finitos de S. Demuestre que ∞ n=0 An es numerable. (Sugerencia: para todo n, considere la u ´nica enumeraci´ on (an,k )k<|An | de An en el orden creciente: an,0 < an,1 < · · · < an,kn−1 donde kn = |An |.) 13. (a) Sean A, B y C conjuntos tales que C ⊆ A, A ∩ B = ∅, y B y C numerables. Pruebe que |A ∪ B| = |A|.

(b) Pruebe que un conjunto que contiene un subconjunto numerable es equipotente a la uni´on del conjunto y un conjunto numerable. (c) Pruebe que si A es no numerable y B es numerable, entonces A \ B es no numerable.

7.5 N´ umeros Cardinales En la Secci´on 3 usamos el s´ımbolo |A| sin hacer una definici´on formal de ´este. Para lo que sigue es m´ as conveniente tener al s´ımbolo |A| como un objeto de la Teor´ıa de Conjuntos. Por esta raz´ on hacemos la siguiente suposici´ on. Suposici´ on 7.23 Existen conjuntos llamados n´ umeros cardinales (o cardinales) con la propiedad de que para cualquier conjunto X, hay un u ´nico cardinal |X| (el n´ umero cardinal de X), y para cualesquiera conjuntos X y Y, son equipotentes si y s´ olo si |X| es igual a |Y | . Tambi´en en la Secci´ on 3 vimos que la relaci´ on |X| ≤ |Y | es un orden parcial en la ahora clase de los n´ umeros cardinales, pero prometimos probar en esta secci´ on que si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X|, entonces |X| = |Y |; para ello necesitamos del siguiente lema. Lema 7.24 Si A1 ⊆ B ⊆ A y |A1 | = |A|, entonces |B| = |A| .

162

7. Cardinalidad

´ n: Demostracio Sea f : A → A1 una funci´on biyectiva. Por recursi´on, definamos dos sucesiones de conjuntos A0 , A1 , . . . , An , . . . y B0 , B1 , . . . , Bn , . . . Sean A0 = A y B0 = B y para cada n ∈ N, An+1 = f (An ),

Bn+1 = f (Bn ).

(7.5.1)

Como A0 ⊇ B0 ⊇ A1 , se sigue de (7.5.1), por inducci´on, que para toda n ∈ N, An ⊇ Bn ⊇ An+1 . Para cada n ∈ N, sea Cn = An \ Bn y C=

∞ [

Cn ,

D =A\C

n=0

Por (7.5.1) y el hecho de que f es una funci´ on inyectiva, tenemos que f (Cn ) = Cn+1 ; as´ı, ∞ [ f (C) = Cn . n=1

Ahora definamos g : A → B como sigue: ½ f (x), g(x) = x,

si x ∈ C si x ∈ D.

Como g |C y g |D son funciones inyectivas y sus rangos son ajenos, se concluye que g es una funci´ on inyectiva de A sobre f (C) ∪ D = B. Teorema 7.25 (Cantor-Schr¨ oder-Bernstein) Si A y B son conjuntos tales que |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, entonces |A| = |B| . ´ n: Demostracio Si |A| ≤ |B|, entonces existe una funci´on inyectiva f : A → B, y como |B| ≤ |A|, existe g : B → A inyectiva. La funci´on g ◦ f : A → A es inyectiva y |A| = |g ◦ f (A)|; adem´ as, g ◦ f (A) ⊆ g(B) ⊆ A. Luego, |g(B)| = |A|. Por otro lado, |B| = |g(B)|. Concluimos que |A| = |B|. Ahora demostraremos el resultado principal de esta secci´ on, el c´elebre Teorema “Diagonal” de Cantor, en su forma m´ as abstracta.

7.5. N´ umeros Cardinales

163

Teorema 7.26 (Cantor) Para todo conjunto A se tiene: |A| < |P(A)| . ´ n: Demostracio Si A = ∅, entonces P(A) = {∅} y as´ı |A| < |P(A)|. Si A 6= ∅, es claro que la funci´ on x 7→ {x} es inyectiva, con lo cual |A| ≤ |P(A)|. Por otra parte, si f : A → P(A) es cualquier funci´on, entonces el conjunto S = {x ∈ A : x ∈ / f (x)} no est´a en el rango de f , de aqu´ı que f no puede ser sobreyectiva. Por lo tanto, |A| < |P(A)|. La importancia del Teorema de Cantor es que establece que para cualquier cardinal |X| hay un cardinal estrictamente mayor, |P(X)| . Concluimos esta secci´ on, peque˜ na pero importante, con otro resultado sobre n´ umeros cardinales. Teorema 7.27 Sea F una familia de conjuntos tal que no hay un cardinal maximal entre los cardinales de los miembros de F; enSotras palabras, si X ∈ F, entonces existe Y ∈ F tal que |X| < |Y |. Entonces F tiene cardinalidad mayor que cualquier conjunto en F. ´ n: Demostracio S Sea S = F. Claramente |X| ≤ |S| para cada X ∈ F. Mostraremos que no hay un X ∈ F tal que |S| ≤ |X|. Supongamos lo contrario, sea X ∈ F con |S| ≤ |X|, entonces por hip´ otesis existe Y ∈ F tal que |X| < |Y |. Como |Y | ≤ |S|, tenemos que |Y | ≤ |X|, lo cual es una contradicci´ on.

Ejercicios 7.5 1. Use el Teorema de Cantor para mostrar que la clase de todos los conjuntos no es un conjunto.

164

7. Cardinalidad

2. (a) Usando el Teorema de Cantor-Schr¨ oder-Bernstein, demuestre que cualquier conjunto abierto de n´ umeros reales tiene la misma cardinalidad que R. (Sugerencia: Un conjunto abierto de n´ umeros reales es la uni´ on de una familia de intervalos abiertos.) (b) Muestre que cualquier intervalo abierto contiene n´ umeros irracionales. 3. Sea X un conjunto y sup´ongase que f : X → X es una funci´ on inyectiva. Demuestre que X es infinito. 4. Un conjunto X se llama infinito seg´ un Dedekind si existe una funci´ on inyectiva f : X → X. Un conjunto es finito seg´ un Dedekind si no es infinito seg´ un Dedekind. (a) Muestre que todo conjunto numerable es infinito seg´ un Dedekind. (b) Muestre que si X es un conjunto que contiene un subconjunto numerable entonces es infinito seg´ un Dedekind. (c) Si X es un conjunto infinito seg´ un Dedekind, entonces contiene un subconjunto numerable. (Sugerencia: sea x ∈ X \ f (X), y defina un Dedekind son xn+1 = f (xn ).) As´ı, los conjuntos infinitos seg´ precisamente los que tienen subconjuntos numerables. Usando el Axioma de Elecci´ on despu´es se ver´ a que “infinito” es equivalente a “infinito seg´ un Dedekind”. 5. Sean A y B conjuntos infinitos seg´ un Dedekind. Muestre que A ∪ B y A × B tambi´en son conjuntos infinitos seg´ un Dedekind. 6. Pruebe que si A es un conjunto infinito, entonces P(P(A)) es infinito seg´ un Dedekind. (Sugerencia: para cada n ∈ N, sea Sn = {X ⊂ A : |X| = n} . El conjunto {Sn : n ∈ N} es numerable.)

7.6 Aritm´etica Cardinal En esta secci´ on definiremos operaciones aritm´eticas (suma, multiplicaci´ on y exponenciaci´on) de n´ umeros cardinales e investigaremos sus propiedades. Para definir la suma κ + λ de dos cardinales usaremos la analog´ıa con los conjuntos finitos: Si A tiene a elementos, B tiene b elementos y A ∩ B = ∅, entonces A ∪ B tiene a + b elementos.

7.6. Aritm´etica Cardinal

165

Definici´ on 7.28 Si |A| = κ, |B| = λ y A ∩ B = ∅, entonces κ + λ = |A ∪ B| . La definici´ on anterior supone que existen conjuntos ajenos A y B tales que κ = |A| y λ = |B|. Esto obviamente es cierto. Por ejemplo tomando A1 = A × {0} y B1 = B × {1}, entonces κ = |A1 | = |A|, λ = |B1 | = |B| y on debemos mostrar A1 ∩ B1 = ∅. Tambi´en, para hacer leg´ıtima esta definici´ que κ+λ no depende de la elecci´on de los conjuntos A y B. Esto est´a contenido en el siguiente lema. Lema 7.29 Si A, B, A0 , B 0 son tales que |A| = |A0 |, |B| = |B 0 | y A ∩ B = ∅ = A0 ∩ B 0 , entonces |A ∪ B| = |A0 ∪ B 0 |. ´ n: Demostracio Sean f : A → A0 y g = B → B 0 funciones biyectivas. Entonces f ∪ g : A ∪ B → A0 ∪ B 0 es biyectiva. No solamente la suma de cardinales coincide con la suma ordinaria de n´ umeros en el caso finito, tambi´en se preservan algunas de las propiedades usuales. Por ejemplo, la suma de n´ umeros cardinales es conmutativa y asociativa: (a) κ + λ = λ + κ. (b) κ + (λ + µ) = (κ + λ) + µ. Estas propiedades se siguen directamente de la definici´on. Similarmente las siguientes desigualdades se establecen con facilidad. (c) κ ≤ κ + λ (d) Si κ1 ≤ κ2 y λ1 ≤ λ2 , entonces κ1 + λ1 ≤ κ2 + λ2 . Sin embargo, no todas las propiedades de la suma de n´ umeros naturales son v´ alidas para la suma de cardinales. En particular, las desigualdades estrictas son raras en el caso de cardinales infinitos y, como ser´a discutido despu´es (Teorema de K¨ onig), las que son v´ alidas resultan dif´ıciles de establecer. Como un ejemplo, tenemos el hecho de que si n 6= 0, entonces n + n > n; por el contrario, si κ es infinito, el Axioma de Elecci´ on implica que κ + κ = κ. Ya hemos visto que |N| + |N| = |N| . La multiplicaci´ on de cardinales est´a nuevamente motivada por las propiedades de la multiplicaci´on de n´ umeros naturales. Si A y B son conjuntos de a y b elementos, respectivamente, entonces A × B tiene a · b elementos.

166

7. Cardinalidad

Definici´ on 7.30 Si |A| = κ y |B| = λ, entonces κ · λ = |A × B| . Lema 7.31 Si A, B, A0 , B 0 son tales que |A| = |A0 | y |B| = |B 0 |, entonces |A × B| = |A0 × B 0 | . ´ n: Demostracio Sean f : A → A0 y g : B → B 0 funciones, definamos h : A × B → A0 × B 0 por h(a, b) = (f (a), g(b)) . Claramente si f y g son funciones biyectivas, tambi´en lo es h. Este lema garantiza que la definici´on de multiplicaci´ on no depende de la elecci´ on de los conjuntos A y B. Nuevamente la multiplicaci´ on tiene algunas propiedades esperadas; en particular, ´esta es conmutativa y asociativa. M´as a´ un, tambi´en se tiene la distribuci´on sobre la suma. (e) κ · λ = λ · κ.

(f) κ · (λ · µ) = (κ · λ) · µ.

(g) κ · (λ + µ) = κ · λ + κ · µ.

La u ´ltima de las propiedades es una consecuencia de la igualdad A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) que se cumple para cualesquiera conjuntos A, B y C. Tambi´en tenemos: (h) κ ≤ κ · λ

si λ > 0.

(i) Si κ1 ≤ κ2 y λ1 ≤ λ2 , entonces κ1 · λ1 ≤ κ2 · λ2 .

Para seguir con la analog´ıa probaremos que: (j) κ + κ = 2 · κ.

7.6. Aritm´etica Cardinal

167

´ n: Demostracio Si |A| = κ, entonces 2 · κ es el cardinal de {0, 1} × A. Notemos que {0, 1} × A = ({0} × A) ∪ ({1} × A), |{0} × A| = |{1} × A| = κ y que los sumandos son ajenos. Por lo tanto, κ + κ = 2 · κ. Como una consecuencia de (j) tenemos: (k) κ + κ ≤ κ · κ si κ ≥ 2. Como en el caso de la suma, la multiplicaci´on de cardinales infinitos tiene algunas propiedades que difieren de las correspondientes para los n´ umeros naturales. Por ejemplo, |N| · |N| = |N| . Para definir la exponenciaci´ on de n´ umeros cardinales observemos que si A y B son conjuntos finitos no ambos vac´ıos, con a y b elementos respectivamente, umero de todas las funciones de B en A. entonces ab es el n´ Definici´ on 7.32 Si |A| = κ y |B| = λ, entonces ¯ ¯ κλ = ¯AB ¯ .

on de A y B. La definici´ on de κλ no depende de la elecci´ ¯ ¯ ¯¯ B0 ¯¯ Lema 7.33 Si |A| = |A0 | y |B| = |B 0 |, entonces ¯AB ¯ = ¯A0 ¯ .

´ n: Demostracio

Sean f : A → A0 y g : B → B 0 funciones biyectivas y sea B0

F : AB → A0

definida como sigue: Si k ∈ AB , sea F (k) = h, donde h : B 0 → A0 es tal que h(g(b)) = f (k(b)) para todo b ∈ B. Entonces F es una biyecci´ on. Es f´acil ver desde la definici´ on de exponenciaci´ on que: (l) κ ≤ κλ (m) λ ≤

κλ

si λ > 0. si κ > 1.

(n) Si κ1 ≤ κ2 y λ1 ≤ λ2 , entonces κλ1 1 ≤ κλ2 2 .

168

7. Cardinalidad

Tambi´en tenemos: (˜ n) κ · κ = κ2 Para probar (˜ n), es suficiente tener una correspondencia entre A × A y el conjunto de funciones de {0, 1} en A. Esto se estableci´ o en el Ejemplo 4.58. El siguiente teorema establece otras propiedades de la exponenciaci´ on. Teorema 7.34 (a) κλ+µ = κλ · κµ . (b) (κλ )µ = κλ·µ . ´ n: Demostracio (a) Sean κ = |K|, λ = |L|, µ = |M | con L ∩ M = ∅. Construiremos una biyecci´ on F : K L × K M → K L∪M . on; de Si (f, g) ∈ K L × K M , sea F (f, g) = f ∪ g. Note que f ∪ g es una funci´ as, cualquier h ∈ K L∪M es igual hecho, f ∪ g es un miembro de K L∪M . Adem´ a F (f, g) para alg´ un (f, g) ∈ K L × K M (a saber, f = h |L y g = h |M ). Es f´acil ver que F es inyectiva. (b) Ahora construiremos una biyecci´on F : K L×M → (K L )M . Un elemento t´ıpico de K L×M es una funci´on f : L × M → K. Sea F (f ) la funci´ on g : M → K L definida para cada m ∈ M por g(m)(l) = f (l, m) para cada l ∈ L. Dejamos al lector que verifique que F es biyectiva. Concluimos esta secci´ on con el siguiente teorema importante. Teorema 7.35 Si |A| = κ, entonces |P(A)| = 2κ . ´ n: Demostracio Hay una correspondencia biun´ıvoca entre los subconjuntos de A y las funciones de A en {0, 1}. A cada B ⊆ A, le corresponde la funci´ on caracter´ıstica de B, a definida por χB que est´ ½ 1, si x ∈ B χB (x) = 0, si x ∈ / B. on f ∈ {0, 1}A es Es inmediato que si B 6= C, entonces χB 6= χC y toda funci´ la funci´on caracter´ıstica de alg´ un B ⊆ A (de hecho, B = {x ∈ A : f (x) = 1}). Por lo tanto, la funci´on F : P(A) → {0, 1}A definida por F (B) = χB es una biyecci´ on entre P(A) y 2A .

7.7. El Continuo

169

En particular, el Teorema de Cantor ahora tiene la siguiente forma: Para cualquier cardinal κ, κ < 2κ .

Ejercicios 7.6 1. Muestre que κ0 = 1 para todo κ y κ1 = κ para todo κ > 0. 2. Muestre que 1κ = 1 para todo κ y 0κ = 0 para todo κ > 0. 3. Complete la demostraci´ on del Teorema 7.34. 4. Pruebe que κκ ≤ 2κ·κ . 5. Pruebe que si |A| ≤ |B| y A 6= ∅, entonces existe una funci´ on sobreyectiva de B en A. Despu´es mostraremos, con ayuda del Axioma de Elecci´on, que el rec´ıproco tambi´en es cierto: Si hay una funci´ on sobreyectiva de B en A, entonces |A| ≤ |B| . 6. Demuestre que si existe una funci´on sobreyectiva de B en A, entonces on g : B → A, sea f (X) = 2|A| ≤ 2|B| . (Sugerencia: Dada una sobreyecci´ g −1 (X) para todo X ⊆ A.) 7. ¿Existe un conjunto A tal que P(A) sea numerable?

7.7 El Continuo Por el Teorema Diagonal de Cantor, la cardinalidad del conjunto de los n´ umeros reales es mayor que la cardinalidad del conjunto de los n´ umeros naturales. En esta secci´ on, analizaremos la cardinalidad de R y estableceremos algunas propiedades del n´ umero cardinal |R| . Acorde a la Suposici´on 7.23, hay un conjunto |N|, el n´ umero cardinal del conjunto N (y de todos los conjuntos numerables), el cual denotaremos por1 ℵ0 . 1

ℵ es la primera letra del alfabeto hebreo. Cantor es responsable del empleo de la notaci´ on.

170

7. Cardinalidad

Recordemos que por los resultados de las Secciones 3 y 4, tenemos que n < ℵ0 para cada n´ umero natural n, y ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 . El conjunto R de todos los n´ umeros reales, en ocasiones llamado l´ınea real o continuo, tiene n´ umero cardinal mayor que ℵ0 . A partir de los resultados conocidos acerca de n´ umeros cardinales, no es dif´ıcil mostrar que la cardinalidad de R es la misma que la de P(N). Teorema 7.36 El n´ umero cardinal del continuo es 2ℵ0 . ´ n: Demostracio Una sucesi´ on x : N → Q es un subconjunto de N × Q, entonces el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy C est´a contenido en P(N × Q), por lo que |R| = |C/ ∼| ≤ |C| ≤ |P(N × Q)| = 2|N×Q| = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0 . ¯ ¯ ¯ ¯ Por otro lado, 2ℵ0 = 2|N| = ¯{0, 1}N ¯ ≤ |R|.

Puesto que hay funciones biyectivas de R en cualquier intervalo abierto, se sigue que cualquier intervalo abierto tiene la cardinalidad del continuo. Consecuentemente, todo conjunto abierto no vac´ıo de n´ umeros reales tiene cardias dif´ıcil) que cualquier nalidad 2ℵ0 . Uno tambi´en puede probar (aunque es m´ conjunto cerrado de n´ umeros reales es a lo m´ as numerable o tiene cardinalidad umeros reales 2ℵ0 . Una pregunta natural es: ¿Existen conjuntos infinitos de n´ de cardinalidad distinta de ℵ0 y 2ℵ0 ? La Hip´ otesis del Continuo No existe un cardinal κ tal que ℵ0 < κ < 2ℵ0 . La Hip´ otesis del Continuo fue formulada por Cantor en 1900. D. Hilbert la incluy´ o como el Problema 1 en su famosa lista de problemas matem´ aticos o que la hip´ otesis del continuo importantes. K. G¨ odel [G2 ] en 1939 demostr´ es consistente con los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos; esto es, usando los Axiomas de Zermelo-Fraenkel (incluyendo el Axioma de Elecci´ on) no se puede

7.7. El Continuo

171

probar que la Hip´ otesis del Continuo sea falsa. En 1963, P. J. Cohen [C4 ] demostr´o que la Hip´ otesis del Continuo es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, es decir, que no se puede deducir usando estos axiomas. Usando las propiedades de los n´ umeros cardinales demostradas en las secciones precedentes y las propiedades especiales de ℵ0 , podemos obtener algunos resultados acerca del cardinal 2ℵ0 y mostrar que muchos conjuntos interesantes tienen esta cardinalidad. Proposici´ on 7.37 El conjunto de los n´ umeros complejos tiene cardinalidad 2ℵ0 . ´ n: Demostracio Note que los n´ umeros complejos pueden ser representados como pares ordenados de n´ umeros reales y as´ı la cardinalidad del conjunto de los n´ umeros ℵ ℵ 0 0 complejos es |R × R| = 2 · 2 . Ahora el resultado se sigue de: 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 +ℵ0 = 2ℵ0 . Proposici´ on 7.38 El conjunto de todas las sucesiones de n´ umeros naturales tiene cardinalidad 2ℵ0 . ´ n: Demostracio El conjunto NN tiene cardinalidad ℵℵ0 0 . Por un lado, ℵℵ0 0 ≥ 2ℵ0 (por (n) de la Secci´ on 6), y por otro lado, ℵℵ0 0 ≤ (2ℵ0 )ℵ0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0 .

¯ ¯ Por lo tanto, ¯NN ¯ = 2ℵ0 .

En conexi´ on a esta proposici´ on, recuerde que el Ejercicio 7.4.7 implica que el conjunto de todas las sucesiones semiconstantes de n´ umeros naturales es numerable. Mientras la cardinalidad del conjunto de todas las sucesiones de n´ umeros naturales es mayor que la cardinalidad de N, encontramos que el conjunto de todas las sucesiones de n´ umeros reales tiene la misma cardinalidad que R: ¯ N¯ ¯R ¯ = (2ℵ0 )ℵ0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0 .

172

7. Cardinalidad

En los tres ejemplos anteriores se utiliz´o la igualdad 2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 , la cual puede ser f´acilmente derivada, usando el Teorema de Cantor-Schr¨ oderBernstein, y la igualdad ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 : 2ℵ0 ≤ 2ℵ0 + 2ℵ0 = 2 · 2ℵ0 ≤ 2ℵ0 · 2ℵ0 = (2ℵ0 )2 ≤ (2ℵ0 )ℵ0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0 . El n´ umero de funciones de R en R, es decir, la cardinalidad del conjunto ℵ RR , es 2ℵ0 ·2 0 , de hecho tenemos: ¯ R¯ ¯R ¯ = (2ℵ0 )2ℵ0 = 2ℵ0 ·2ℵ0 = 22ℵ0 . ´ Este es el cardinal del conjunto potencia de R que por el Teorema de Cantor umero de funciones continuas es s´olo 2ℵ0 . es mayor que 2ℵ0 . Sin embargo, el n´

Proposici´ on 7.39 El conjunto de todas las funciones continuas de R en R tiene cardinalidad 2ℵ0 . ´ n: Demostracio Usaremos el hecho de que cualquier funci´on continua en R est´ a determinada por sus valores en un conjunto denso. En particular, por sus valores en el conjunto de los n´ umeros racionales: Si f, g : R → R son dos funciones continuas tales que para cualquier r ∈ Q, f (r) = g(r), entonces f = g. Sea C el conjunto de todas las funciones continuas de R en R y sea Ψ : C → RQ la funci´ por Ψ(f ) = f |Q . Por lo anterior, Ψ es inyectiva y as´ı ¯on definida ¯ |C| ≤ ¯RQ ¯ = 2ℵ0 . Por otro lado, |C| ≥ 2ℵ0 (considere las funciones constantes). El conjunto de todos los n´ umeros irracionales es no numerable, ya que R es no numerable y Q es numerable. En efecto, la cardinalidad del conjunto de los n´ umeros irracionales es 2ℵ0 , pero algunos esfuerzos son necesarios para demostrarlo. Aqu´ı establecemos un resultado m´ as general. Proposici´ on 7.40 Si A es un subconjunto numerable de R, entonces |R\A| = 2ℵ0 .

7.7. El Continuo

173

´ n: Demostracio Usaremos el hecho de que |R × R| = |R| = 2ℵ0 , y demostraremos que si A ⊆ R × R es numerable, entonces |(R × R) \ A| = 2ℵ0 . Sea P = dom A (la proyecci´ on de A): P = {x ∈ R :(x, y) ∈ A para alg´ un y} . Como |A| = ℵ0 , tenemos |P | ≤ ℵ0 . As´ı, existe x0 ∈ R\P . Consecuentemente, el conjunto X = {x0 } × R es ajeno a A, y por lo tanto, X ⊆ (R × R)\A. Claramente, |X| = |R| = 2ℵ0 ; con lo cual concluimos que |(R × R)\A| = 2ℵ0 .

Ejercicios 7.7 ¯ ¯ ¯ ¯ 1. Muestre que ¯{0, 1}N ¯ ≤ |R| . ℵ

ℵ

2. Muestre que (22 0 )2 = 22 0 .

3. Demuestre que la cardinalidad del conjunto de todas las funciones f : N → {0, 1, . . . , 9} es igual a 2ℵ0 . 4. Demuestre que la cardinalidad de todas las funciones discontinuas de¯ R ¯ ℵ en R es 22 0 . (Sugerencia: use el Ejercicio 2, y muestre que ¯RR \C ¯ = ℵ ℵ 22 0 siempre que |C| ≤ 22 0 .) 5. ¿Cu´ al es la cardinalidad de la familia de conjuntos numerables de n´ umeros reales? 6. Un subconjunto D de un conjunto ordenado (A, ≤) se llama denso si para cualesquiera x, y ∈ A existe z ∈ D tal que x < z < y. Demuestre que un conjunto ordenado A que tiene un subconjunto denso numerable tiene cardinalidad no mayor que la del continuo. 7. Muestre que la cardinalidad del conjunto de todos los conjuntos abiertos de R es 2ℵ0 .

174

7. Cardinalidad

8. Muestre que la cardinalidad del conjunto de todos los conjuntos finitos de R es 2ℵ0 . 9. Pruebe que la cardinalidad del conjunto de todas las funciones inyectivas de N en s´ı mismo es 2ℵ0 .

8 El Axioma de Elecci´ on 8.1 Introducci´on En este cap´ıtulo discutiremos un principio que es de los m´ as importantes, y al mismo tiempo controversiales, de las matem´ aticas. En 1904 Ernst Zermelo en su “Demostraci´ on de que todo conjunto puede ser bien ordenado” [Z1 ] puso atenci´on a una suposici´on, la cual se usaba impl´ıcitamente en una variedad de argumentos matem´ aticos. Esta suposici´on no se deduce de los axiomas previamente conocidos de la matem´ atica o de la l´ ogica, por lo tanto, debe ser tomado como un nuevo axioma; Zermelo lo llam´ o Axioma de Elecci´ on. El Axioma de Elecci´on es u ´til porque muchas proposiciones que parece natural suponer verdaderas, no podr´ıan demostrarse sin su ayuda; adem´as, tiene implicaciones significativas en muchas ramas de la matem´atica, y consecuencias tan poderosas que algunas veces son dif´ıciles de aceptar; pero no siempre es indispensable, puesto que los temas en cuyo contexto se plantean dichas proposiciones contin´ uan subsistiendo tambi´en en su ausencia, si bien en forma algo mutilada. La controversia sobre este principio contin´ ua en nuestros d´ıas; presentaremos algunos de estos aspectos en este cap´ıtulo. Para ilustrar cu´ando el Axioma de Elecci´ on se introduce en los argumentos matem´aticos examinaremos la siguiente proposici´ on. Proposici´ on 8.1 Sea (A, ≤) un conjunto no vac´ıo parcialmente ordenado y supongamos que A no tiene elementos maximales, entonces existe una sucesi´ on creciente x0 < x1 < x2 < · · · < xn < · · · de elementos en A. ´ n: Demostracio A es no vac´ıo por hip´otesis, por lo tanto, podemos seleccionar un elemento on, sup´ongase que tenemos arbitrario de A y le llamaremos x0 . Por inducci´ dados x0 < x1 < · · · < xn ; definamos An = {x ∈ A : x > xn } . An es no vac´ıo, pues si fuera vac´ıo, entonces xn ser´ıa un elemento maximal, contradiciendo nuestro supuesto. Seleccionemos un elemento arbitrario de An

176

8. El Axioma de Elecci´ on

y llam´emosle xn+1 ; as´ı tenemos x0 < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 . Este proceso inductivo define una sucesi´on creciente S de longitud n, Sn = n−1 (xi )i=0 , para cada n ∈ N. Ahora, si hacemos S = Sn , entonces S es la sucesi´on que buscamos. Un examen detallado del argumento anterior nos revelar´ a que hemos usado una suposici´on que no es en s´ı misma evidente. En efecto, hemos supuesto que es posible hacer una sucesi´ on infinita de elecciones. Es com´ un, en matem´ aticas, hacer una elecci´ on arbitraria (por ejemplo, siempre decimos “sea x un elemento arbitrario de A”) y la experiencia confirma que podemos hacer una sucesi´ on finita de elecciones; pero una sucesi´ on infinita de elecciones nos lleva a repetir el argumento una cantidad infinita de veces, y nada en nuestra experiencia o en la l´ ogica que habitualmente usamos justifica un proceso de esa naturaleza. En la prueba de 8.1 fue necesario elegir elementos x0 , x1 , x2 , etc., en sucesi´on, donde cada elecci´on depende de la elecci´on anterior. El hecho de que las elecciones son sucesivas puede parecer el elemento m´ as molesto en la demostraci´on, puesto que esto involucra un factor de tiempo. Sin embargo, el argumento puede alterarse de tal modo que las elecciones se hagan simult´ aneamente e independientes unas de otras. Admitamos que para cada subconjunto no vac´ıo B ⊆ A, es posible seleccionar un elemento arbitrario fB , que podemos llamar el representante de B. Note que en este caso, cada elecci´ on es independiente de las otras; ya que, en una manera de decirlo, todas las elecciones pueden hacerse simult´ aneamente. Regresando a la prueba de la Proposici´ on 8.1, si xn y An son dados, podemos definir xn+1 como el representante de An ; en otras palabras, en lugar de selecon, tenemos seleccionados cionar representantes de A1 , A2 , A3 , etc., en sucesi´ representantes de todos los subconjuntos no vac´ıos de A. De hecho, esto requiere hacer mucho m´ as elecciones de las necesarias para nuestro argumento original, pero es el precio que debemos pagar para substituir las elecciones sucesivas por elecciones simult´ aneas. El p´arrafo precedente hace ver que la naturaleza sucesiva de las elecciones no es el enigma del problema; el cuestionamiento es: ¿Podemos hacer infinitas elecciones? Es f´acil observar que en ciertos casos particulares la respuesta es “s´ı”. Por ejemplo, si A es un conjunto bien ordenado, podemos definir el representante de cada subconjunto no vac´ıo B ⊆ A como el elemento m´ınimo de B. La situaci´ on en la Proposici´ on 8.1, sin embargo, es completamente diferente, porque no tenemos alguna regla definida que nos proporcione el representante.

8.2. El Axioma de Elecci´ on

177

En la demostraci´on de la Proposici´ on 8.1 hablamos de “seleccionar” un eleon como mento de An ; claramente, es deseable formalizar la noci´on de selecci´ un nuevo concepto de la Teor´ıa de Conjuntos; la manera de realizarlo es introduciendo el concepto de funci´on selectora de representantes. Definici´ on 8.2 Sea A un conjunto. Una funci´on de elecci´ on o selectora para A es una funci´ on f : P(A) \ {∅} → A tal que, para todo B ∈ P(A) \ {∅} ,

f (B) = fB ∈ B.

Ejemplo 8.3 Sea A = {a, b, c} . Una funci´on de elecci´on para A es la funci´ on dada por la siguiente tabla: B {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c}

fB a a a c a b c

De hecho, cualquier conjunto finito tiene una funci´on de elecci´on (ver Ejercicio 8.2.1). Ejemplo 8.4 Si (A, ≤) es un conjunto bien ordenado entonces A tiene una funci´on de elecci´ on. En vista de la Definici´ on 8.2, podemos reformular la pregunta planteada como: ¿Todo conjunto tiene una funci´ on de elecci´ on? Necesitamos hacer un comentario crucial en este punto: la demostraci´on de la Proposici´ on 8.1 no requiere que construyamos una funci´on de elecci´on, ´esta requiere que exista al menos una funci´on de elecci´ on para A, entonces (en el paso controversial de la demostraci´on) definimos xn+1 = f (An+1 ); si estamos seguros de que f existe.

Axioma 9 (de Elecci´on) Todo conjunto no vac´ıo tiene una funci´on de elecci´ on.

8.2 El Axioma de Elecci´on El Axioma de Elecci´on difiere de los axiomas ZF (axiomas 1 a 8 y 10) por asegurar la existencia de un conjunto (es decir, una funci´ on de elecci´ on) sin describir a este conjunto como una colecci´ on de objetos que tienen una propiedad

178

8. El Axioma de Elecci´ on

´ particular. Este es precisamente el aspecto del Axioma de Elecci´ on que lo hace inaceptable para un grupo de matem´aticos llamados intuicionistas, quienes afirman que la existencia matem´ atica y la constructibilidad son la misma cosa. De hecho, es interesante saber cu´ando una proposici´on matem´ atica puede ser demostrada sin usar el Axioma de Elecci´ on. o que el Axioma de Elecci´on es Por otro lado, K. G¨ odel [G2 ] en 1938 prob´ consistente con los axiomas ZF, es decir, no es contradictorio con ellos; tampoco es una consecuencia, como lo demostr´ o P. J. Cohen [C4 ] en 1963. As´ı, este axioma tiene la misma categor´ıa de otros axiomas famosos en matem´ aticas, como el Quinto Postulado de Euclides. Podemos tener entonces una Teor´ıa de Conjuntos “est´andar” ZFC si aceptamos el Axioma de Elecci´ on, y una Teor´ıa de Conjuntos “no est´andar” en la cual aceptemos postulados alternativos al Axioma de Elecci´ on. Es imposible, por las razones del p´ arrafo anterior, hacer una decisi´on en pro o en contra basada en argumentos de l´ogica pura acerca de la validez del Axioma de Elecci´ on. Tambi´en, dado que el Axioma de Elecci´on involucra un area de las matem´ ´ aticas (a saber, los conjuntos infinitos) que est´ a fuera de nuestra experiencia real, nunca ser´a posible confirmar o rechazar al axioma por “observaci´on”; as´ı, la decisi´ on es puramente personal. En la literatura hay varias formulaciones diferentes del Axioma de Elecci´ on las cuales son equivalentes a nuestro Axioma 9. Aqu´ı presentaremos seis de estas proposiciones, otras aparecer´ an en las siguientes secciones y en los ejercicios. Teorema 8.5 Las siguientes proposiciones son equivalentes: (a) El Axioma de Elecci´ on. (b) Si A es una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos y ajenos dos a dos, entonces existe un conjunto B tal que para todo A ∈ A, A ∩ B es un conjunto unitario. (c) Toda funci´ on sobreyectiva tiene una inversa derecha. (d) Si {Aα }α∈Γ es tal que AαS6= ∅, Aα ∩ Aβ = ∅ para cualesquiera α, β ∈ Γ con α 6= β, entonces existe B ⊆ α∈Γ Aα tal que B ∩ Aα es unitario para cada α ∈ Γ. familia indizada de conjuntos no vac´ıos, entonces (e) Si {Aα }α∈Γ es una S existe una funci´ on f : Γ → α∈Γ Aα tal que para cada α ∈ Γ, f (α) ∈ Aα . Q (f ) Si {Aα }α∈Γ es una familia indizada de conjuntos no vac´ıos entonces α∈Γ Aα 6= ∅. (g) Si F : X → P(Y ) \ {∅} es una funci´ on, entonces existe una funci´ on f : X → Y tal que f (x) ∈ F (x) para todo x ∈ X.

8.2. El Axioma de Elecci´ on

179

´ n: Demostracio (a) ⇒ (b). Supongamos que A es una S familia no vac´ıa cuyos elementos son no vac´ıos y ajenos por pares. Sea A = A; claramente A ⊆ P(A). Por (a) existe una funci´on f : P(A) \ {∅} → A tal que f (C) ∈ C para cada C ∈ P(A) \ {∅}. Si B = f (A), entonces B es el conjunto requerido por (b). (b) ⇒ (c). Sea f : X → Y una funci´on sobreyectiva, entonces Ay = −1 as y 6= y 0 implica que Ay ∩ Ay0 = ∅. f ({y}) 6= ∅ para cada y ∈ Y ; adem´ Usando (b) se infiere la existencia de un conjunto B tal que B ∩ Ay es unitario para todo y ∈ Y . Sea xy ∈ X tal que B ∩ Ax = {xy } . Definamos g : Y → X tal que g(y) = xy ∈ B ∩ Ay para cada y ∈ Y . Es inmediato que g est´a bien definida y que f (g(y)) = y; o sea, f ◦ g = IdY . (c) S ⇒ (d). Sea A = {Aα }α∈Γ tal que Aα 6= ∅, Aα ∩ Aβ = ∅ y definamos f : A → A como f (x) = Aα si x ∈ Aα . Si (x, Aα ) ∈ f y (x, Aβ ) ∈ f entonces on que claramente Aα ∩ Aβ 6= ∅, luego Aα = Aβ . Por lo tanto, f es una funci´ S es sobreyectiva. Usando la hip´ otesis existe una funci´on g : A → A tal que f ◦ g(Aα ) = IdA (Aα ) = Aα ; lo cual implica que g(Aα ) ∈ Aα . Tomando B = g(A) se tiene la conclusi´ on. (d) ⇒ (e). Sea {Aα }α∈Γ una familia indizada de conjuntos no vac´ıos. Encumple las hip´ otesis requeridas por (d). tonces la familia A = {{α} × Aα }α∈Γ S Por lo tanto, existe un conjunto B ⊆ A tal que B ∩ ({α} × Aα ) = {(α, xα )} para cada α ∈ Γ; sea f = {(α, xα ) : α ∈ Γ} . S Entonces f es una funci´ on de Γ en α∈Γ Aα y f (α) = xα ∈ Aα . conjuntos no vac´ıos, la (e) ⇒ (f ). Sea {Aα }α∈Γ una familia indizada de Q funci´ on resultante de (e) de hecho es un elemento de α∈Γ Aα . otesis (f ) ⇒ (g).Q Sea F : X → P(Y ) \ {∅} y consideremos Ax = F (x). La hip´ implica que x∈X Ax es no vac´ıo, es decir, existe [ Ax f :X→ x∈X

S

tal que f (x) ∈ Ax = F (x). Pero x∈X Ax ⊆ Y , luego f : X → Y es la funci´ on requerida para establecer (g). (g) ⇒ (a). Consideremos la funci´ on identidad Id : P(X) \ {∅} → P(X) \ {∅} . Entonces, por hip´otesis, existe f : P(X) \ {∅} → X tal que f (A) ∈ Id(A) = A;

180

8. El Axioma de Elecci´ on

o sea, f es una funci´ on de elecci´on para X. Una implicaci´on del Teorema 8.5 es que para cualquier relaci´on de equivalencia en un conjunto X existe un conjunto de representantes para las clases de equivalencia. En los ejercicios se pide mostrar que la uni´ on de una familia numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable; ´esta es tambi´en una consecuencia del Axioma de Elecci´on. Es importante mostrar que hay otras (muchas) formulaciones equivalentes del Axioma de Elecci´ on1 , las cuales tienen aplicaci´ on en muy diversas disciplinas matem´aticas; en las pr´ oximas secciones daremos otras formulaciones, algunas aplicaciones y desventajas que uno sufre al dejar de aceptar el Axioma de Elecci´on. Sierpi´ nski fue uno de los primeros interesados en los problemas relacionados con el Axioma de Elecci´ on y desde 1918 public´o numerosos art´ıculos relacionados a este tema.

Ejercicios 8.2 1. Demuestre que cualquier conjunto finito tiene una funci´on de elecci´on. 2. Pruebe que si (A, ≤) es un conjunto linealmente ordenado y si F es cualquier familia de subconjuntos finitos no vac´ıos de A, entonces existe una funci´on f : F → A tal que f (F ) ∈ F para cada F ∈ F. (De los axiomas ZF no se sigue que cualquier conjunto pueda ser linealmente ordenado.) 3. Pruebe que la uni´ on de una familia numerable de conjuntos numerables es numerable. 4. Pruebe que cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto numerable. (As´ı, con el Axioma de Elecci´ on son equivalentes infinito seg´ un Dedekind e infinito.) 5. Sea (A, ≤) un conjunto linealmente ordenado no vac´ıo. Muestre que (A, ≤) es bien ordenado si y s´olo si no existe una sucesi´on (an )∞ n=0 tal que an+1 < an para cada n ∈ N. (Ver Ejercicio 4.5.31.) 1

Ver por ejemplo [J2 ] y [RR], donde hay tambi´en una extensa bibliograf´ıa de trabajos relacionados con los problemas de la independencia l´ ogica del Axioma de Elecci´ on y de varias proposiciones m´ as d´ebiles que este axioma.

8.3. Cuatro Equivalencias Importantes

181

6. Demuestre las siguientes leyes distributivas. Ã ! Ã ! \ [ [ \ At,s = At,f (t) t∈T

[

t∈T

s∈S

Ã

\

s∈S

At,s

!

f ∈S T

=

\

f ∈S T

t∈T

Ã

[

t∈T

!

At,f (t) .

7. Demuestre que el Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente proposici´ on (Bernays, 1941): Para toda relaci´on R existe una funci´on f tal que dom f = dom R y f ⊆ R. 8. Demuestre que el Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente proposici´ on (Ward, 1962): El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vac´ıos y mutuamente equipotentes es un conjunto no vac´ıo. (SugerenS cia: para una familia {Xα } de conjuntos no vac´ıos, defina Y = ( α Xα )N y F : Y × Xα → Y por medio de F (f, u)(0) = u y F (f, u)(n + 1) = f (n). Use F para mostrar que |Y × Xα | ≤ |Y |; concluya que Y es equipotente otesis.) a Y × Xα y emplee la hip´

8.3 Cuatro Equivalencias Importantes Hay muchos problemas en Teor´ıa de Conjuntos, Algebra, An´alisis y otras ramas de las matem´ aticas en los cuales el Axioma de Elecci´ on o las formas equivalentes que se presentaron en la secci´ on anterior no son inmediatamente aplicables, pero existen otras equivalencias que son muy importantes por sus m´ ultiples aplicaciones. Para demostrarlas necesitamos algunos resultados y definiciones preliminares. Definici´ on 8.6 Sea F una familia de conjuntos. Se dice que F es una familia de car´ acter finito si para cada conjunto A, se tiene que A ∈ F si y s´ olo si cada subconjunto finito de A pertenece a F. Lema 8.7 Sea F una familia de car´ Sacter finito y sea B una cadena en F con respecto a la contenci´ on, entonces B ∈ F. ´ n: Demostracio

S Es suficiente mostrar que cada subconjunto finito de B pertenece a F. Sea S F = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ B. Entonces, existen Bi ∈ B para i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que xi ∈ Bi . Como B es una ⊆-cadena, existe i0 ∈ {1, 2, . . . , n} tal que

182

8. El Axioma de Elecci´ on

Bi ⊆ Bi0 para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}. Entonces S F ⊆ Bi0 ∈ F, pero F es de car´ acter finito, as´ı que F ∈ F. Por lo tanto, B ∈ F. Teorema 8.8 (Lema de Tukey-Teichm¨ uller) Toda familia no vac´ıa de car´ acter finito tiene un elemento ⊆-maximal. ´ n: Demostracio Supongamos que el resultado es falso, entonces existe una familia no vac´ıa F de car´acter finito que no tiene elementos maximales. Para cada F ∈ F, sea AF = {E ∈ F :F ⊂ E} . Entonces {AF : F ∈ F} es una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos. Por el Teorema 8.5(e), existe una funci´ on f definida en F tal que f (F ) ∈ AF para cada F ∈ F. As´ı tenemos que F ⊂ f (F ) ∈ F para todo F ∈ F. Una subfamilia J de F se llama f -inductiva si tiene las siguientes propiedades: (1) ∅ ∈ J ;

(2) A ∈ J implica f (A) ∈ J ;

(3) si B es una ⊆-cadena contenida en J , entonces

S

B ∈ J.

Ya que ∅ es un conjunto finito, ∅ ∈ F, y por el Lema 8.7, la familia F es f -inductiva. As´ı, el sistema de subfamilias de F que son f -inductivas es no vac´ıo. Sea \ {J ⊆ F : J es f -inductiva} . J0 =

Es f´acil ver que J0 es f -inductiva. As´ı, J0 es la m´ınima familia f -inductiva, es decir, cualquier familia f -inductiva contenida en J0 , debe ser J0 . Emplearemos fuertemente este hecho para mostrar que J0 es una cadena. Sea H = {A ∈ J0 : B ∈ J0 y B ⊂ A implica f (B) ⊆ A} . Se afirma que si A ∈ H y C ∈ J0 , entonces o bien C ⊆ A o f (A) ⊆ C. Para probar esta afirmaci´on, sea A ∈ H y definamos GA = {C ∈ J0 : C ⊆ A ∨ f (A) ⊆ C} .

Ser´a suficiente mostrar que GA es f -inductiva. Como ∅ ∈ J0 y ∅ ⊆ A, (1) se satisface. Sea C ∈ GA , entonces o bien C ⊂ A, C = A o f (A) ⊆ C. Si C ⊂ A, entonces f (C) ⊆ A puesto que A ∈ H. Si C = A, entonces f (A) ⊆ f (C). Si f (A) ⊆ C, entonces f (A) ⊆ f (C) puesto

8.3. Cuatro Equivalencias Importantes

183

que C ⊂ f (C). As´ı, en cualquier caso f (C) ∈ GA y (2) se satisface. Sea B una ∈ B, y en tal caso S cadena en GA . Entonces, o bien C ⊆ A paraScada C S B ⊆ A; o existe C ∈ B tal que f (A) ⊆ C ⊆ B. As´ı B ∈ GA y (3) se satisface. Concluimos que GA es f -inductiva y as´ı GA = J0 . Ahora afirmamos que H = J0 . Para probar esto, mostraremos que H es f inductiva. Como ∅ no tiene subconjuntos propios, H satisface (1) por vacuidad. Supongamos ahora que A ∈ H y B ∈ J0 es tal que B ⊂ f (A). Como B ∈ on f (A) ⊆ B es imposible, tenemos que B ⊆ A. J0 = GA y dado que la inclusi´ Si B ⊂ A, entonces, por la definici´ on de H, f (B) ⊆ A ⊂ f (A). Si B = A, entonces f (B) ⊆ f (A). En cualquier caso se obtiene que f (B) ⊆ f (A); as´ı f (A) ∈ H y (2) se satisface S para H. Finalmente, sea S B una cadena en H y sea B ∈ J0 tal que B ⊂ B. Veamos que f (B) ⊆ B. Como B ∈ J0 = GA para cada A ∈ B, tenemos que, o bien B ⊆ A para alg´ un A ∈ B, o f (A) ⊆ B para cada A ∈ B. Si la u ´ltima alternativa fuera cierta, tendr´ıamos que [ [ B⊂ B⊆ {f (A) : A ∈ B} ⊆ B,

lo cual es imposible. As´ı, existe alg´ un A ∈ BStal que B ⊆ A. Si B ⊂ A, entonces como A ∈ H, tenemos que f (B) ⊆A⊆ S B. Si S B = A, entonces B ∈ H y S B ( B ⊆ B es imposible). As´ı B ∈ J0 = GB . Esto implica S que f (B) ⊆ S en cualquier caso, f (B) ⊆ B y, por tanto, B ∈ H. Esto muestra que H satisface (3). Por todo lo anterior concluimos que H es f -inductiva y H = J0 . De los argumentos anteriores podemos inferir que si A ∈ J0 = H y B ∈ J0 = GA , entonces o bien B ⊆ A o A ⊆ f (A) ⊆ B, es decir, cualesquiera dos elementos de J0 son ⊆-comparables; con lo cual J0 es una cadena. Sea S M = J0 . Puesto que J0 es f -inductiva, (3) implica que M ∈ J0 . Aplicando (2) tenemos que [ J0 = M ⊂ f (M ) ∈ J0 . Esta contradicci´ on establece el teorema.

Teorema 8.9 (Principio Maximal de Hausdorﬀ ) Todo conjunto no vac´ıo (parcialmente) ordenado contiene una cadena ⊆-maximal. ´ n: Demostracio Sea (X, ≤) cualquier conjunto ordenado no vac´ıo. Queremos mostrar que X contiene una cadena ⊆-maximal. Esto se implica f´ acilmente del Lema de Tukey-Teichm¨ uller puesto que la familia C de todas las cadenas en X es no vac´ıa y de car´ acter finito.

184

8. El Axioma de Elecci´ on

Teorema 8.10 (Lema de Kuratowski-Zorn) Cualquier conjunto (parcialmente) ordenado y no vac´ıo en el cual toda cadena tiene una cota superior tiene un elemento maximal. ´ n: Demostracio Sea (X, ≤) cualquier conjunto ordenado no vac´ıo en el cual cada cadena tiene una cota superior. Usando el Principio Maximal de Hausdorﬀ existe una cadena ⊆-maximal M ⊆ X. Sea m una cota superior de M . Entonces m es un elemento maximal de X, pues si existe alg´ un x ∈ X tal que m < x, entonces M ∪ {x} es una cadena que contiene propiamente a M . Esto contradice la maximalidad de M . El cuarto resultado importante que presentamos en esta secci´ on, es una de las consecuencias m´ as importantes del Axioma de Elecci´ on y es un ejemplo ´ fuera de lo com´ un de una proposici´on que no es constructiva. Esta asegura que cualquier conjunto puede ser bien ordenado. Su demostraci´on no proporciona informaci´on alguna de c´ omo bien ordenar a los elementos de X; en otras palabras, no asegura que cualquier conjunto pueda ser efectivamente bien ordenado sino que se limita a asegurar que, entre todas las posibles relaciones R ⊆ X × X hay al menos una que es un buen orden para X. Un conjunto finito X puede ser obviamente bien ordenado; por ejemplo, si X = {a, b, c}, entonces a < b < c es un buen orden de X. Sin embargo, no ha sido descubierto alg´ un m´etodo para bien ordenar conjuntos tales como R, el conjunto de los n´ umeros reales. En efecto, seg´ un la opini´ on de muchos matem´aticos, es imposible construir un buen orden para R. Ahora probaremos el Teorema del Buen Orden; note que la demostraci´ on est´ a basada fuertemente en el Axioma de Elecci´ on. Sea X un conjunto arbitrario, y sea B la familia de todos los pares (B, G) donde B es un subconjunto de X y G es un buen orden para B. Introducimos olo si el s´ımbolo ¹ y definimos (B, G) ¹ (B 0 , G0 ) si y s´ B ⊆ B0,

G ⊆ G0 ,

x ∈ B, y ∈ B 0 \ B ⇒ (x, y) ∈ G0

(Note que la u ´ltima condici´ on asegura, intuitivamente, que todos los elementos de B preceden a todos los elementos de B 0 \ B.) on de (B, G). Es f´acil verificar que ¹ es una A (B 0 , G0 ) se le llama continuaci´ relaci´ on de orden en B; los detalles se dejan como ejercicio al lector. Lema 8.11 Sean (B, ¹) el conjunto ordenado antes definido, C = {(Bα , Gα )}α∈I

8.3. Cuatro Equivalencias Importantes

una cadena en B y

B=

[

α∈I

Bα

,

G=

[

185

Gα .

α∈I

Entonces (B, G) ∈ B. ´ n: Demostracio Claramente B ⊆ X; as´ı nuestro resultado ser´a establecido si podemos mostrar que G es un buen orden para B. Primero verifiquemos que G es una relaci´ on de orden. un α ∈ I, entonces (x, x) ∈ Reflexividad. x ∈ B implica x ∈ Bα para alg´ Gα ⊆ G; as´ı G es reflexiva. Antisimetr´ıa. Si (x, y) ∈ G y (y, x) ∈ G, entonces (x, y) ∈ Gα y (y, x) ∈ Gβ para algunos α, β ∈ I; pero como C es una cadena en B, Gα ⊆ Gβ o Gβ ⊆ Gα . Supongamos que Gα ⊆ Gβ . Entonces (x, y) ∈ Gβ y (y, x) ∈ Gβ , pero Gβ es una relaci´on de orden, as´ı x = y. Esto prueba que G es antisim´etrica. Transitividad. Si (x, y) ∈ G y (y, z) ∈ G, entonces existen α, β ∈ I tales que (x, y) ∈ Gα y (y, x) ∈ Gβ ; nuevamente usando que C es una cadena, podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que Gα ⊆ Gβ . Entonces (x, y) ∈ Gβ y (y, z) ∈ Gβ implica (x, z) ∈ Gβ ⊆ G, lo cual muestra que G es transitiva. Ahora demostraremos que B est´a bien ordenado por G. Sea D ⊆ B, D 6= ∅. un α0 ∈ I; luego D ∩ Bα0 ⊆ Bα0 . Por lo Entonces D ∩ Bα0 6= ∅ para alg´ tanto, D ∩ Bα0 tiene un primer elemento b en el orden Gα0 ; esto es, para todo y ∈ D∩Bα0 , (b, y) ∈ Gα0 . Procedamos a demostrar que b es el primer elemento de D en (B, G). Sea x ∈ D. Si x ∈ Bα0 , entonces (b, x) ∈ Gα0 ⊆ G. Si por el contrario un x∈ / Bα0 entonces, puesto que x ∈ D ⊆ B, necesariamente x ∈ Bβ para alg´ β ∈ I. Ahora como Bβ * Bα0 , no puede ocurrir que (Bβ , Gβ ) ¹ (Bα0 , Gα0 ). Pero C es una cadena, entonces forzosamente (Bα0 , Gα0 ) ¹ (Bβ , Gβ ). Por la definici´ on de ¹, (b, x) ∈ Gβ ⊆ G. Esto demuestra que b = min D en (B, G). Lema 8.12 Si C, B y G est´ an definidos como antes, (B, G) es una cota superior de C en (B, ¹). ´ n: Demostracio Sea (Bα , Gα ) ∈ C; claramente Bα ⊆ B y Gα ⊆ G. Ahora sup´ongase que un β ∈ I. Ahora (Bα , Gα ) ¹ x ∈ Bα , y ∈ B \ Bα ; ciertamente y ∈ Bβ para alg´ (Bβ , Gβ ) pues y ∈ Bβ \ Bα , de aqu´ı resulta que (x, y) ∈ Gβ ⊆ G. Esto es, (Bα , Gα ) ¹ (B, G). Teorema 8.13 (del Buen Orden) Todo conjunto puede ser bien ordenado.

186

8. El Axioma de Elecci´ on

´ n: Demostracio Por los Lemas 8.11 y 8.12 podemos aplicar el Lema de Kuratowski-Zorn a (B, ¹); as´ı B tiene un elemento ¹-maximal (B, G). Mostraremos que B = X, as´ı X ser´a bien ordenado. Si B ⊂ X, entonces existe x ∈ X \ B. Adjuntando x como u ´ltimo elemento de B (ver Ejemplo 4.132), tenemos que (B, G) ≺ (B ∪ {x} , G ∪ {(a, x) : a ∈ B}). Esto contradice el car´ acter maximal de (B, G). Por lo tanto, B = X. Es claro que el Axioma de Elecci´ on puede derivarse del Teorema del Buen Orden. En efecto, si X es un conjunto no vac´ıo, por el Teorema del Buen Orden, X puede ser bien ordenado; si B es un subconjunto no vac´ıo de X, sea f (B) = min B. Entonces f es una funci´on de elecci´on. Tenemos pues probado el siguiente teorema que resalta los resultados que presentamos en esta secci´ on. Teorema 8.14 Son equivalentes: (a) El Axioma de Elecci´ on. (b) El Lema Tukey-Teichm¨ uller. (c) Principio Maximal de Hausdorﬀ. (d) El Lema de Kuratowski-Zorn. (e) El Teorema del Buen Orden. El Teorema del Buen Orden fue propuesto originalmente por Cantor, y aunque ´el no dio alguna demostraci´ on, D. Hilbert en el Congreso Internacional de Matem´ aticas en Par´ıs (1900) se refiri´ o al Teorema del Buen Orden como un resultado de Cantor. Zermelo fue el primero en demostrarlo; sin embargo, debido a la paradoja de Burali-Forti y a que su demostraci´ on hac´ıa uso de inducci´ on transfinita, esa primera demostraci´ on de Zermelo no fue muy aceptada. Para responder a las cr´ıticas, en 1908 Zermelo public´ o otra demostraci´ on en la que se eliminaba el uso de ordinales. Se dice que la forma axiom´ atica de Zermelo para la Teor´ıa de Conjuntos est´ a fuertemente influenciada por la segunda demostraci´ on ya que, hablando vagamente, ´el seleccion´ o las formas m´ as d´ebiles para los axiomas en los cuales pudiera justificar su demostraci´on. La segunda formulaci´on del Axioma de Elecci´ on la realiz´ o B. Russell bajo el nombre de Axioma Multiplicativo (1906). Aunque Russell anunci´ o que su principio era un sustituto del principio de Zermelo (cre´ıa que era m´ as d´ebil que el principio de Zermelo). Despu´es, en 1909, F. Hausdorﬀ propuso el Principio Maximal; sin embargo, Hausdorﬀ no lo menciona en su famoso libro

8.3. Cuatro Equivalencias Importantes

187

Mengenlehre de 1914 y aparece hasta la segunda edici´ on de 1927. Kuratowski redescubri´ o el Principio Maximal en 1922 y dio otra demostraci´ on del Teorema del Buen Orden. El segundo redescubrimiento lo realiz´o Zorn en 1935, en esta ocasi´ on el Principio Maximal fue decisivamente convincente, el resultado se conoce como el “Lema de Zorn”. Similarmente Teichm¨ uller en 1939 y Tukey 1940 formularon independientemente el otro principio maximal.

Ejercicios 8.3 1. Muestre que la intersecci´on de un sistema de familias f -inductivas es una familia f -inductiva. 2. Muestre que la relaci´ on ¹ (continuaci´ on) definida antes del Lema 8.11 es un orden parcial. 3. Demuestre que si A puede ser bien ordenado, entonces P(A) puede ser linealmente ordenado. (Sugerencia: considere el primer elemento de X 4 Y , para X, Y ⊆ A.) 4. Sea (A, ≤) un conjunto parcialmente ordenado en el que cualquier cadena tiene una cota superior. Muestre que para cada a ∈ A, existe un elemento ≤-maximal x ∈ A tal que a ≤ x. 5. Sea (L, ≤) un conjunto linealmente ordenado. Pruebe que existe un conjunto W ⊆ L tal que ≤ es un buen orden en W y tal que para cada x ∈ L existe un y ∈ W tal que x ≤ y. 6. Sea A cualquier conjunto infinito. Demuestre que A puede ser bien ordenado de tal manera que A no tenga m´aximo. Tambi´en muestre que hay un buen orden para A en el cual A tiene m´ aximo. 7. Pruebe que si A es una familia de car´ acter finito, entonces cualquier X ∈ A est´ a incluido en un ⊆-maximal Y ∈ A. 8. Demuestre que la siguiente proposici´on es equivalente al Axioma de Elecci´ on: Cualquier familia F contiene una subfamilia ⊆-maximal consistente de conjuntos ajenos por pares. (Sugerencia: sea S una familia de conjuntos ajenos; encuentre una funci´ on de elecci´on para S. Esto puede obtenerse usando una subfamilia ⊆-maximal de conjuntos ajenos de E = {{(0, a), (1, A)} : A ∈ S y a ∈ A} .)

188

8. El Axioma de Elecci´ on

9. Pruebe que el Principio Maximal de Hausdorﬀ es equivalente a la siguiente proposici´ on: Si A es una familia tal que para cada cadena B ⊆ A, S B ∈ A, entonces A tiene un elemento ⊆-maximal.

10. Demuestre que para cualquier orden ¹ en A, existe un orden lineal ≤ en A tal que a ¹ b implica a ≤ b para todo a, b ∈ A (es decir, cualquier orden parcial puede extenderse a un orden lineal.) (Sugerencia: sea O la familia de ordenes de A que contienen a ≤. Use el ejercicio anterior para mostrar que O tiene un elemento ⊆-maximal, ¹. Si ocurriera que a ± b y b ± a para algunos a, b ∈ A, considere la relaci´ on ¹ ∪ {(x, y) : x ¹ a y b ¹ y} .)

8.4 Uso del Axioma de Elecci´on Empezamos con algunos resultados ampliamente conocidos en los cuales pocas veces se enfatiza el uso del Axioma de Elecci´ on. Un n´ umero real x est´a en la clausura A, de un conjunto A ⊆ R, si para cualquier ² > 0, A ∩ (x − ², x + ²) 6= ∅. En el siguiente ejemplo se proporciona una caracterizaci´ on de los puntos clausura. Ejemplo 8.15 Un n´ umero real x est´a en la clausura de un conjunto A ⊆ R si y s´ olo si existe una sucesi´ on de elementos en A que converge a x. ´ n: Demostracio ⇒] Si x ∈ A, entonces para cada n ∈ N podemos seleccionar xn ∈ A ∩ acilmente que (x − n1 , x + n1 ); como |x − xn | < n1 para cada n ∈ N, se sigue f´ limn→∞ xn = x. ⇐] Est´a parte de la demostraci´ on no hace uso del Axioma de Elecci´ on y es f´acil. Cuando se demuestra en los cursos ordinarios de C´alculo Diferencial e Integral o An´ alisis la proposici´ on del Ejemplo 8.15 se pone mucha atenci´ on a la convergencia de la sucesi´ on y se deja de lado la elecci´ on de sus t´erminos, siendo que, en realidad, es m´ as importante la elecci´ on, pues de ella se deduce la convergencia. Otro ejemplo similar es la equivalencia entre la definici´ on ²-δ de continuidad y la definici´ on de continuidad secuencial.

8.4. Uso del Axioma de Elecci´ on

189

Ejemplo 8.16 Una funci´ on f : (a, b) → R es continua en un punto x ∈ (a, b) si y s´ olo si para cada sucesi´ on {xn }n∈N de elementos en (a, b) tal que lim xn = x se tiene que lim f (xn ) = f (x). ´ n: Demostracio Demostraremos u ´nicamente la parte que hace uso del Axioma de Elecci´ on, es decir, la suficiencia. Si f es discontinua en x ∈ (a, b), entonces existe un ² > 0 tal que para cada n ∈ N, existe xn ∈ (a, b) ∩ (x − n1 , x + n1 ) tal que |f (x) − f (xn )| ≥ ². Entonces limn→∞ xn = x, pero es falso que ˙ lim f (xn ) = f (x).

n→∞

La compacidad es una de las propiedades topol´ ogicas m´as importantes. La equivalencia entre compacidad y compacidad secuencial en R tambi´en hace uso del Axioma de Elecci´ on. Ejemplo 8.17 Un conjunto K ⊆ R es compacto si y s´olo si toda sucesi´ on de elementos en K tiene una subsucesi´ on convergente. Otras consecuencias ya m´ as especiales son las siguientes. Posiblemente, la m´as famosa de estas consecuencias se debe a Vitali [V] en 1905. Ejemplo 8.18 Existen subconjuntos de R no medibles seg´ un Lebesgue. ´ n: Demostracio Sea µ la medida de Lebesgue en R. Es conocido que µ es numerablemente aditiva, invariante por traslaci´on y que µ([a, b]) = b−a para cualquier intervalo [a, b]. Sea Z un conjunto de representantes de las clases de equivalencia m´ odulo ≡ en [0, 1] dada por x ≡ y si y s´ olo si y − x ∈ Q. Utilizando los resultados y la notaci´ on del Ejercicio 4.4.16,   X [ Z(r) = µ(Z(r)). µ([0, 1]) = µ  r∈Q

r∈Q

un r0 ∈ Q. Pero µ(Z(r0 )) = Como µ([0, 1]) = 1, µ(Z(r0 )) 6= 0 al menos para alg´ µ(Z(r)) para cada r ∈ Q ya que µ es invariante por traslaciones; con lo cual µ([0, 1]) = ∞, que es imposible. Por lo tanto, Z no es medible seg´ un Lebesgue. Sea L una ret´ıcula (ver Ejercicio 4.5.20), un ideal en L es un subconjunto propio no vac´ıo I de L tal que

190

8. El Axioma de Elecci´ on

(i) a ∈ I y b ≤ a implica b ∈ I; (ii) a ∈ I y b ∈ I implica a⊥b := inf {a, b} ∈ I. Una ret´ıcula se llama unitaria si existe un elemento 1 ∈ L tal que 1 ⊥ a = a para cada a ∈ L. Ejemplo 8.19 Cualquier ret´ıcula unitaria tiene un ideal maximal. ´ n: Demostracio Sea F la familia de todos los ideales en la ret´ıcula dada. La familia F satisface las hip´ otesis del Lema de Kuratowski-Zorn y as´ı tiene un elemento maximal. Ejemplo 8.20 (Bases de Hamel) Todo espacio vectorial tiene una base. ´ n: Demostracio Sea F la familia de todos los subconjuntos de vectores linealmente independientes. Obviamente, la familia F tiene car´ acter finito y as´ı por el Lema de Tukey-Teichm¨ uller, existe un conjunto ⊆-maximal linealmente independiente ß. Usando la maximalidad, se prueba sin dificultad que ß es una base. Andreas Blass en 1984 demostr´ o que la proposici´on del Ejemplo 8.20 implica el Axioma de Elecci´ on. Un grupo G es un grupo libre si tiene un conjunto de generadores A con la siguiente propiedad: Todo elemento g de G distinto del neutro 1 puede ser un´ıvocamente escrito en la forma ±1 ±1 a±1 1 a2 · · · an ,

donde los ai ∈ A y a no aparece adyacente a a−1 para cualquier a ∈ A. Ejemplo 8.21 (Teorema de Nielson-Schreir) Todo subgrupo de un grupo libre es un grupo libre. La demostraci´on de este teorema es dif´ıcil y queda fuera de nuestro alcance. ´ Unicamente mencionaremos que usa el hecho de que el subgrupo dado puede ser bien ordenado y esto se usa para construir, por inducci´ on transfinita, un conjunto de generadores libres del subgrupo. Una clausura algebraica de un campo F es una extensi´on C algebraicamente cerrada sobre F , es decir, un campo C en el cual todo polinomio no constante tiene una ra´ız y cualquier elemento de C es ra´ız de un polinomio con coeficientes en F. El art´ıculo de Zorn [Z3 ], donde introduce su principio maximal, se dedica a demostrar el siguiente teorema.

8.4. Uso del Axioma de Elecci´ on

191

Ejemplo 8.22 (Clausura Algebraica) Todo campo tiene una u ´nica (salvo isomorfismo) clausura algebraica. El siguiente es otro resultado equivalente al Axioma de Elecci´ on; fue establecido por G. Klimovski en 1962 y U. Felgner en 1976. Ejemplo 8.23 Todo grupo contiene un subgrupo abeliano ⊆-maximal. Sea E un espacio vectorial real. Un funcional lineal sobre E es una funci´ on ϕ : E → R tal que ϕ(rx + sy) = rϕ(x) + sϕ(y) para todo x, y ∈ E y r, s ∈ R. Una funci´on p : E → R es un funcional sublineal si p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ E y

p(ry) = rp(x)

para todo x ∈ E, r ≥ 0. Ejemplo 8.24 (Teorema de Hahn-Banach) Sea p un funcional sublineal sobre un R-espacio vectorial E y sea ϕ un funcional lineal sobre un subespacio vectorial V de E tal que ϕ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ V . Entonces existe un funcional Φ definido sobre E el cual extiende a ϕ y Φ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ E. ´ n: Demostracio Consid´erese la familia F de todos los funcionales ψ definidos sobre un subespacio de E, que extienden a ϕ y que satisfacen ψ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ dom ψ. olo si ψ ⊆ ψ 0 . Entonces (F, ≤) es un Definamos ≤ en F como ψ ≤ ψ 0 si y s´ conjunto parcialmente ordenado. Sea C una cadena en F. Es f´acil verificar que C es un sistema compatible de funciones. Entonces [ W = {dom ψ : ψ ∈ F}

S es un subespacio vectorial de E y Ψ = C es un funcional lineal sobre W . M´ as a´ un, si x ∈ W, Ψ(x) = ψ(x) para alg´ un ψ ∈ C, y as´ı Ψ(x) ≤ p(x). Aplicando el Lema de Kuratowski-Zorn vemos que F tiene un elemento maximal, digamos Φ. Para completar la demostraci´ on se necesita demostrar que dom Φ = E. Esta parte de la demostraci´ on no utiliza el Axioma de Elecci´ on y, por su extensi´on, la omitiremos.

192

8. El Axioma de Elecci´ on

Por sus bastas consecuencias, el Teorema de Hahn-Banach es de los m´as importantes en el An´alisis Funcional. En 1970 P. R. Andenaes estableci´ o la siguiente versi´on m´as fuerte del Teorema de Hahn-Banach y J. Lembcke en 1974 demostr´ o que el resultado de Andenaes implica el Axioma de Elecci´ on. Ejemplo 8.25 Sea X un R-espacio vectorial, Y un subespacio vectorial de X y S un subconjunto de X. Sup´ongase que p : X → R es un funcional sublineal sobre X y f : Y → R un funcional lineal tal que f (y) ≤ p(y). Entonces el conjunto Z de todas las extensiones lineales p-dominadas de f a X tiene un elemento g tal que, para todo h ∈ Z que cumple g(s) ≤ h(s) para cada s ∈ S, se tiene que g = h en S. Esto es, g es S-maximal en Z. En el siguiente ejemplo veremos un conocido resultado del An´alisis Funcional que implica el Axioma de Elecci´ on, seg´ un demostraron L. J. Bell y Fremlin en 1972. Por un punto extremo de un conjunto convexo K de un espacio vectorial se entiende un punto que no es interior a cualquier segmento contenido en K. Ejemplo 8.26 La esfera unitaria en el dual de un R-espacio vectorial normado tiene un punto extremo. Sea {(Xα , τα )}α∈Γ una familia de espacios topol´ogicos. El producto topol´ogico de la familia {(Xα , τα )}α∈Γ es definida como el producto cartesiano X=

Y

Xα

α∈Γ

de la familia {Xα }α∈Γ equipado con la topolog´ıa m´as d´ebil que hace a las proyecciones continuas. Ejemplo 8.27 (Teorema de Tychonoﬀ ) El producto topol´ogico de espacios compactos es compacto. Una demostraci´ on, m´ as o menos popular, de este teorema usa la caracterizaci´ on de la compacidad por filtros. Un filtro F sobre un conjunto X es un subconjunto propio no vac´ıo del conjunto potencia de X tal que: A ∈ F y A ⊆ B implica B ∈ F;

A ∈ F y B ∈ F implica A ∩ B ∈ F.

8.4. Uso del Axioma de Elecci´ on

193

Un ultrafiltro F sobre X, es un filtro sobre X tal que para cada A ⊆ X, o bien A ∈ F o X \ A ∈ F. Una familia B es base de filtro si la familia de subconjuntos de X que contienen a intersecciones finitas de elementos de B, {A ∈ P(X) : A ⊇ A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak ,

A1 , A2 , . . . , Ak ∈ B} ,

es un filtro sobre X. Un espacio X es compacto si y s´ olo si para cada base de filtro B sobre X, \© ª (8.4.1) A:A∈B

es no vac´ıa. Q Sea (X, τ ) = α∈Γ (Xα , τα ) un producto de espacios compactos. La familia de todas las bases de filtros sobre X tiene car´ acter finito y as´ı por el Lema de Tukey-Teichm¨ uller, toda base de filtro est´a incluida en una base de filtro maximal (un ultrafiltro). Para mostrar que la intersecci´ on (8.4.1) es no vac´ıa siempre que B sea maximal (lo cual es obviamente suficiente), haremos lo siguiente: (1) la compacidad de los espacios (Xα ,oτα ) implica que las intersecciones de Tn pα (B) : B ∈ B es no vac´ıa; las proyecciones Aα = (2) con el Axioma de Elecci´on nuevamente, tomemos xα ∈ Aα para cada α, y (3) la maximalidad de B ª implica que el punto x = (xα )α∈Γ pertenece a la T© A:A∈B . intersecci´on Por lo tanto, el espacio (X, τ ) es compacto. En 1935 S. Kakutani conjetur´o que el Axioma de Elecci´ on es una consecuencia del Teorema de Tychonoﬀ. Quince a˜ nos despu´es J. L. Kelley public´o su famoso art´ıculo donde mostraba que el Teorema de Tychonoﬀ implica el Axioma de Elecci´ on [K2 ]; sin embargo, J. D. Halpern en [H3 ] mostr´o que la demostraci´on de Kelley es deficiente. J. L Ã os y C. Ryll-Nardzewski observaron que la demostraci´on de Kelley muestra que el Teorema de Tychonoﬀ para espacios compactos de Hausdorﬀ implica el Axioma de Elecci´ on para espacios compactos de Hausdorﬀ no vac´ıos. Pese a todas estas observaciones, la demostraci´ on de Kelley es esencialmente correcta. L. E. Ward en 1962 mostr´ o que una versi´ on m´as d´ebil del Teorema de Tychonoﬀ es equivalente al Axioma de Elecci´on. Posteriormente O. T. Alas en 1969 prob´o que una versi´ on a´ un m´ as d´ebil era tambi´en equivalente al Axioma de Elecci´ on: Proposici´ on 8.28 Son equivalentes: (a) El Axioma de Elecci´ on. (b) El Teorema de Tychonoﬀ.

194

8. El Axioma de Elecci´ on

(c) El producto topol´ ogico de una familia de espacios topol´ ogicos compactos, mutuamente homeomorfos, es compacto. (d) El producto topol´ ogico de un conjunto de espacios mutuamente homeomorfos {(Xα , τα )}, donde cada τα tiene tres elementos es compacto en la topolog´ıa producto. ´ n: Demostracio En el ejemplo anterior se demuestra que el Axioma de Elecci´ on implica el Teorema de Tychonoﬀ. Por otra parte, es claro que el Teorema de Tychonoﬀ implica (c) y (c) implica (d). As´ı entonces, basta mostrar que (d) implica el Axioma de Elecci´on; para ello emplearemos la equivalencia del Ejercicio 8.2.8. Sean {Xα }α∈I una familia de conjuntos equipotentes y [ a∈ / Xα . α∈I

Para cada α ∈ I, sea Yα = Xα ∪ {a}, y defina τα = {∅, Yα , {a}}. Entonces {(Yα , τα )}α∈I Q satisface las hip´otesis de (d). Sea W = α∈I Yα con la topolog´ıa producto y defina Zα = {f ∈ W : f (α) ∈ Xα } . Entonces {Zα }α∈I es una familia de cerrados con la propiedad de la intersecci´ on finita. Consecuentemente, \ Y Zα = Xα α∈I

α∈I

es no vac´ıo. Otro de los teoremas esenciales de la Topolog´ıa que necesita del Axioma de Elecci´ on para demostrarse es el siguiente. Ejemplo 8.29 (Lema de Urysohn) Cerrados ajenos en un espacio topol´ogico normal est´ an completamente separados. 2 2

L¨ auchli construy´ o en 1962 un modelo en el cual falla el Axioma de Elecci´ on y que contiene un espacio Hausdorﬀ, normal y localmente compacto X con m´ as de un punto, donde toda funci´ on continua f : X → R es constante. Se sigue que el Lema de Urysohn no puede demostrarse sin el Axioma de Elecci´ on, y de hecho, que un espacio Hausdorﬀ y compacto no necesariamente es normal.

8.4. Uso del Axioma de Elecci´ on

195

Por completamente separados entendemos que existe una funci´on continua con valores reales que manda a un conjunto al 0 y el otro al 1. Sin demostraci´ on presentamos el siguiente teorema que establece otras equivalencias del Axioma de Elecci´ on. Teorema 8.30 El Axioma de Elecci´ on es equivalente a las siguientes proposiciones: (a) Sea n ≥ 2 y sea A una familia de conjuntos infinitos. Entonces hay una funci´ on f tal que para cada A ∈ A, f (A) es una partici´ on de A en conjuntos de cardinalidad entre 2 y n (Sierpi´ nski, 1965; Levy, 1962). (b) Si m ≥ 1 y A es una familia de conjuntos no vac´ıos, entonces hay una funci´ on f tal que para cada A ∈ A, f (A) es un subconjunto no vac´ıo de A con |f (A)| ≤ m. (Levy, 1915) (c) Si R es un orden parcial en un conjunto no vac´ıo X y si cualquier subconjunto que es bien ordenado por R tiene una cota superior, entonces X tiene un elemento R-maximal (Kneser, 1950; Szele 1950). Finalmente dos consecuencias del Axioma de Elecci´ on que contrastan con la intuici´on. Ejemplo 8.31 (Teorema de Hausdorﬀ ) Una esfera S puede escribirse como uni´on de conjuntos ajenos A, B, C, Q tales que A, B y C son congruentes entre s´ı, B ∪ C es congruente a cada uno de los conjuntos A, B, C y Q es numerable. Aqu´ı por congruente debe entenderse que existe un movimiento r´ıgido de R3 que transforma uno en el otro. Ahora consid´erese la siguiente relaci´ on entre 3 subconjuntos de R : Se define X≈Y (8.4.2)

si existe una partici´on finita de X, {Xi }ni=0 , y una partici´on del mismo n´ umero n de elementos {Yi }i=0 de Y , tal que cada Xi es congruente a Yi para cada i ∈ {0, 1, . . . , n} . Ejemplo 8.32 (Teorema de Banach-Tarski) Cualquier bola compacta D en R3 puede descomponerse en conjuntos ajenos U y V tales que D≈U

D ≈ V.

As´ı, usando el Axioma de Elecci´on, uno puede cortar una bola en una cantidad finita de piezas y reacomodarlas para tener dos bolas del mismo tama˜ no a la original.

196

8. El Axioma de Elecci´ on

Los siguientes lemas establecer´ an las pruebas de estos dos teoremas. Sea ª © G el producto libre de los grupos {1, φ} y 1, ψ, ψ 2 , es decir, el grupo de todos los productos formales de φ, ψ, ψ 2 , con las relaciones φ2 = 1 y ψ 3 = 1. Consideraremos dos ejes de rotaci´ on aφ , aψ a trav´es del centro de la bola D, y consideraremos el grupo de rotaciones generado por la rotaci´on φ de 180◦ alrededor de aφ y una rotaci´on ψ de 120◦ alrededor de aψ . Lema 8.33 Podemos determinar los ejes aφ y aψ de tal modo que los distintos elementos de G representen distintas rotaciones generadas por φ y ψ. Un esbozo de la demostraci´on es como sigue: Tenemos que determinar el un elemento de G distinto de 1 ´ngulo θ entre aφ y aψ de tal modo que ning´ a represente la rotaci´ on identidad. Considere un elemento t´ıpico de G; o sea, un producto del tipo (8.4.3) α = φ · ψ ±1 · · · · · φ · ψ ±1 . Usando las ecuaciones de transformaciones ortogonales y algo de trigonometr´ıa elemental, uno puede probar que la ecuaci´on α = 1, donde α es alg´ un producto del tipo (8.4.3), tiene s´ olo una cantidad finita de soluciones. Consecuentemente, excepto para un conjunto numerable de valores, tenemos libertad para seleccionar el a´ngulo θ que satisfaga el requerimiento. Consideremos tal θ, y sea G el grupo de todas las rotaciones generadas por φ y ψ. Lema 8.34 El grupo G puede descomponerse en tres conjuntos ajenos G = A0 ∪ B 0 ∪ C 0 tales que A0 · φ = B 0 ∪ C 0 ,

A0 · ψ = B 0 ,

A0 · ψ 2 = C 0 .

(8.4.4)

´ n: Demostracio on sobre las longitudes de los elementos Construiremos A0 , B 0 , C 0 por recursi´ de G. Sea 1 ∈ A0 , φ, ψ ∈ B 0 y ψ2 ∈ C 0 y entonces contin´ ue como sigue para cada α ∈ G:  α ∈ A0 α ∈ B0 α ∈ C0    0 ψ ±1 : αφ ∈ A0 αφ ∈ A0 ½ αφ ∈ B0 α finaliza con 0  αψ ∈ B αψ ∈ C αψ ∈ A0   αψ −1 ∈ C 0 αψ −1 ∈ A0 αψ −1 ∈ B 0 φ:

8.4. Uso del Axioma de Elecci´ on

197

Esto garantiza que la condici´on (8.4.4) se satisface. Hasta ahora, no hemos hecho uso del Axioma de Elecci´ on. Para completar la demostraci´on del Teorema de Hausdorﬀ, usaremos un argumento similar a la construcci´on de un conjunto no medible de n´ umeros reales. Sea Q el conjunto de todos los puntos fijos sobre la esfera S de todas las rotaciones α ∈ G. Cada rotaci´ on tiene dos puntos fijos; as´ı Q es numerable. El conjunto S \ Q es uni´on de conjuntos ajenos, a saber, de todas las ´orbitas Px del grupo G: Px = {x · α : α ∈ G} . Por el Axioma de Elecci´ on, hay un conjunto M tal que contiene exactamente un elemento de cada Px , x ∈ S \ Q. Si hacemos A = M · A0 ,

B = M · B0,

C = M · C 0,

se sigue de (8.4.4) que A, B, C son ajenos, congruentes entre s´ı y B ∪ C es congruente a ellos; m´ as a´ un, S = A ∪ B ∪ C ∪ Q. Esto completa la demostraci´ on del Teorema de Hausdorﬀ. Lema 8.35 Sea ≈ la relaci´ on definida en (8.4.2). Entonces: (a) ≈ es una relaci´ on de equivalencia. (b) Si X y Y son uniones ajenas de X1 , X2 y Y1 , Y2 , respectivamente, y Xi ≈ Yi para i ∈ {1, 2}, entonces X ≈ Y . (c) Si X1 ⊆ Y ⊆ X y si X ≈ X1 entonces X ≈ Y . ´ n: Demostracio Sn Las pruebas Sn de (a) y (b) no son dif´ıciles. Para probar (c), sean X = i=1 Xi y X1 = i=1 X1i tal que Xi es congruente a X1i para cada i ∈ {1, . . . , n}. Seleccione una congruencia fi : Xi → X1i para cada i, y sea f : X → X1 la funci´ on que coincide con fi en cada Xi . Ahora sean X0 = X, X1 = f (X0 ), X2 = f (X1 ), . . . Y0 = Y, Y1 = f (Y0 ), Y2 = f (Y1 ), . . . Si hacemos Z = y

S∞

n=0 (Xn

\ Yn ), entonces f (Z) y X \ Z son ajenos, Z ≈ f (Z)

X = Z ∪ (X \ Z),

Y = f (Z) ∪ (X \ Z).

198

8. El Axioma de Elecci´ on

Por lo tanto, X ≈ Y por (b). Ahora probaremos el Teorema de Banach-Tarski. Sea D una bola compacta y sea S =A∪B∪C ∪Q la descomposici´ on de la superficie garantizada por el Teorema de Hausdorﬀ. Tenemos que (8.4.5) D = A∗ ∪ B ∗ ∪ C ∗ ∪ Q∗ ∪ {c} ,

donde c es el centro de la bola y para cada X ⊆ S, X ∗ es el conjunto de todos los x ∈ D, distintos de c, tales que su proyecci´ on sobre la superficie est´ a en X. Claramente, (8.4.6) A∗ ≈ B ∗ ≈ C ∗ ≈ B ∗ ∪ C ∗ . Sean U = A∗ ∪ Q∗ ∪ {c} ,

V = B \ U.

De (8.4.6) y del Lema 8.35, tenemos que A∗ ≈ A∗ ∪ B ∗ ∪ C ∗ ,

(8.4.7)

y as´ı U ≈ D. Ahora es f´acil encontrar alguna rotaci´ on α (no en G) tal que Q y Q · α sean ajenos, y as´ı, usando C ∗ ≈ A∗ ∪ B ∗ ∪ C ∗ , existe S ⊆ C tal que S ∗ ≈ Q∗ . Sea p alg´ un punto en S \ C. Obviamente, A∗ ∪ Q∗ ∪ {c} ≈ B ∗ ∪ S ∗ ∪ {p} . Como B ∗ ∪ S ∗ ∪ {p} ⊆ V ⊆ D, podemos hacer uso de la relaci´on U ≈ B y del Lema 8.35(c), para obtener V ≈ D. Esto completa la demostraci´ on. Los Teoremas de Hausdorﬀ y Banach-Tarski tienen generalizaciones a dimensiones superiores; sin embargo, son falsos para dimensiones 1 y 2. Estos teoremas est´ an ´ıntimamente relacionados con el problema de la medida, adem´ as de tener consecuencias propias. El lector interesado puede consultar [W1 ].

8.5. El Teorema del Ideal Primo

199

8.5 El Teorema del Ideal Primo En los ejemplos de la secci´ on precedente, mostramos que usando el Axioma de Elecci´on, podemos establecer la existencia de ideales maximales en anillos, ret´ıculas o a´lgebras de conjuntos. Entre los teoremas de este tipo, el Teorema del Ideal Primo juega un papel particularmente predominante. Primeramente, porque puede ser usado en muchas demostraciones en lugar del Axioma de Elecci´ on; en segundo lugar, porque es equivalente a muchas otras proposiciones; y finalmente, porque es esencialmente m´ as d´ebil que el Axioma de Elecci´ on. Definici´ on 8.36 Un ´ algebra booleana es un conjunto B con dos operaciones binarias + y · (suma y multiplicaci´ on booleanas), una operaci´ on unitaria − (complemento) y dos constantes 1, 0 que cumplen las siguientes condiciones: (a) u + u = u = u · u; (b) u + v = v + u y u · v = v · u; (c) u + (v + w) = (u + v) + w y u · (v · w) = (u · v) · w; (d) (u + v) · w = (u · w) + (v · w) y (u · v) + w = (u + w) · (v + w); (e) u + (u · v) = u = u · (u + v) (f) u + (−u) = 1 y u · (−u) = 0; (g) −(u + v) = −u · −v y −(u · v) = −u + −v; (h) −(−u) = u; (i) u · 1 = u y u + 0 = u. Se puede introducir un orden (parcial) ≤ de manera natural en una ´algebra booleana B el cual se introduce en t´erminos de + por u≤v

si y s´ olo si

u+v =v

u≤v

si y s´ olo si

u · v = u.

o equivalentemente

Con este orden, 1 y 0 son el m´ aximo y el m´ınimo de B, respectivamente. Adem´ as, u + v y u · v representan el supremo y el ´ınfimo de {u, v}, respectivamente. En el Ejercicio 4.5.20 se defini´ o a una ret´ıcula como un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) tal que para cada a, b ∈ L existen a⊥b = inf {a, b}

y

a>b = sup {a, b} .

200

8. El Axioma de Elecci´ on

Con lo anterior, se puede describir un ´algebra booleana como una ret´ıcula (B, ≤) con elementos m´ aximo y m´ınimo, que es distributiva y cada elemento tiene un complemento, es decir, (a>b)⊥c = (a⊥c)>(b⊥c), (a⊥b)>c = (a>c)⊥(b>c), ∀a ∈ L, ∃ b ∈ L tal que a>b = max B, a⊥b = min B. Ejemplo 8.37 Para cualquier conjunto X, P(X) con ∪ como suma, ∩ como multiplicaci´ on y X \ A como el complemento −A de A ∈ P(X) es un ´algebra booleana. Aqu´ı ≤ es simplemente la inclusi´ on de conjuntos. Ejemplo 8.38 Salvo que X sea finito, la ret´ıcula de todos los subconjuntos finitos de X con la contenci´on es distributiva pero no es un ´algebra booleana. Definici´ on 8.39 Un ideal I en un ´algebra booleana B es un subconjunto no vac´ıo de B tal que: (a) u ∈ I y v ≤ u implica v ∈ I; (b) u, v ∈ I implica u + v ∈ I. Antes de dar ejemplos de ideales observe que cualquier ideal I contiene a 0. Ejemplo 8.40 {0} es el ⊆-m´ınimo ideal en cualquier ´algebra Booleana B y I = B es el ⊆-m´aximo ideal. A estos ideales les llamaremos trivial e impropio, respectivamente; todos los otros ideales se llaman propios. Ejemplo 8.41 Un ideal I, no trivial, es propio si y s´ olo si 1 ∈ / I. Ejemplo 8.42 En cualquier a´lgebra booleana, si u ∈ B, entonces {v ∈ B : v ≤ u} es un ideal, llamado ideal principal generado por u ∈ B. Ejemplo 8.43 En P(X) la familia I de todos los subconjuntos finitos de X es un ideal. Definici´ on 8.44 Un ideal propio I se llama primo si siempre que u · v ∈ I se tiene que u ∈ I o v ∈ I. Se deduce f´ acilmente que si I es un ideal primo, entonces para cada u ∈ B, o bien u ∈ I, o −u ∈ I (pues u · −u = 0). El rec´ıproco tambi´en es cierto, es decir, si I es un ideal propio tal que para cualquier u ∈ B, u ∈ I, o −u ∈ I,

8.5. El Teorema del Ideal Primo

201

entonces I es un ideal primo. En efecto, si u · v ∈ I, pero u ∈ / I, v ∈ / I, entonces −u, −v ∈ I, luego −(u · v) = −u + −v ∈ I, de aqu´ı que 1 = (u · v) + −(u · v) ∈ I; lo que contradice que I sea un ideal propio. Proposici´ on 8.45 En un ´ algebra booleana, un ideal I es primo si y s´ olo si es ⊆-maximal en la familia de ideales propios, es decir, I no est´ a contenido propiamente en alg´ un ideal propio. ´ n: Demostracio ⇐] Sea I un ideal ⊆-maximal en la familia de todos los ideales propios de un a´lgebra booleana B. Para mostrar que I es un ideal primo basta probar que para cada u ∈ B, o bien u ∈ I o −u ∈ I. Sea u ∈ B y supongamos que u ∈ / I. Consideremos el siguiente subconjunto de B: J = {x + y : x ≤ u,

y ∈ I} .

Entonces J es un ideal en B ya que: (a) Si z ∈ B es tal que z ≤ x + y para algunos x ≤ u, y ∈ I, entonces z · (x + y) = z · x + z · y. Pero como z · x = inf {x, z}, z · x ≤ x y dado que x ≤ u, se sigue que z · x ≤ u. Adem´ as, dado que I es un ideal, z · y ≤ y implica z · y ∈ I. Por lo tanto, z ∈ J. (b) Si x1 ≤ u, x2 ≤ u, y1 , y2 ∈ I, entonces x1 + x2 = sup {x1 , x2 } ≤ u y y1 + y2 ∈ I, luego (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) ∈ J. Tambi´en I ⊂ J, puesto que claramente I ⊆ J y u ∈ J mientras que u ∈ / I. As´ı J = B, dado que I es maximal. Por lo tanto, existen x ≤ u, y ∈ I tales que x + y = 1. De esto se concluye que u + (x + y) = u + 1 o bien u + y = 1 + u = 1. Entonces −u = −u · 1 = −u · (u + y) = (−u · u) + (−u · y) = −u · y; o sea que −u ≤ y. Se concluye que −u ∈ I. ⇒] Si I es un ideal primo y I ⊂ J, entonces existe u ∈ J \ I. Como I es primo, −u ∈ I, luego 1 = u + −u ∈ J; o sea, J = B. Hay nociones duales para ideal e ideal primo. Definici´ on 8.46 Un filtro F en un ´algebra booleana es un subconjunto no vac´ıo tal que: (a) u ∈ F y u ≤ v implica v ∈ F ; (b) u ∈ F y v ∈ F implica u · v ∈ F .

202

8. El Axioma de Elecci´ on

{1} y B son filtros en B, llamados trivial e impropio; a todos los dem´as filtros les llamaremos propios. Tambi´en por dualidad, un filtro F , no trivial, es propio si y s´ olo si 0 ∈ / F. Ejemplo 8.47 La colecci´ on de conjuntos co-finitos (es decir, conjuntos con complemento finito) es un filtro en P(X) para cualquier conjunto (infinito) X. Ejemplo 8.48 En cualquier a´lgebra booleana, si u ∈ B, entonces {v ∈ B : u ≤ v} es un filtro, llamado el filtro principal generado por u ∈ B. Ejemplo 8.49 Si G ⊆ P(X) es una familia con la propiedad de la intersecci´ on finita (es decir, la intersecci´on de cualquier subfamilia finita de G es no vac´ıa), entonces existe un filtro propio F en P(X) que contiene a G. En efecto, basta considerar a la familia F de todos los subconjuntos F de X con la propiedad de que existe un subconjunto finito {G1 , . . . Gn } de G tal que G1 ∩ . . . ∩ Gn ⊆ F. Definici´ on 8.50 Un filtro propio F se llama ultrafiltro si siempre que u + v ∈ F implica que u ∈ F o v ∈ F. Tambi´en para un filtro propio F son equivalentes: (a) F es un ultrafiltro, (b) Para cada u ∈ B, u ∈ F o −u ∈ F ,

(c) F es ⊆-maximal en la familia de todos los filtros propios.

Ejemplo 8.51 Sea x ∈ R, y sea F la colecci´on de todos los subconjuntos V ⊆ R tales que x ∈ (x − ², x + ²) ⊆ V para alg´ un ² > 0. F es un filtro propio en P(R); pero no es un ultrafiltro ya que ni {x}, ni R\ {x} son elementos de F. algebra Booleana B Lema 8.52 Si {Iα }α es una ⊆-cadena de ideales S en un ´ tales que u0 ∈ B \ Iα para cada α, entonces α Iα es un ideal en B que no contiene a u0 .

8.5. El Teorema del Ideal Primo

203

´ n: Demostracio S (a) Si u ∈ I = α Iα y v ≤ u, entonces u ∈ Iα para alg´ un α. Como Iα es un ideal, v ∈ Iα ⊆ I. (b) Si u, v ∈ I, entonces existen α1 , α2 tales que u ∈ Iα1 y v ∈ Iα2 . Como {Iα }α es una ⊆-cadena, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que Iα1 ⊆ Iα2 ; as´ı, u + v ∈ Iα2 ⊆ I. / I. Es claro que u0 ∈ Teorema 8.53 (del Ideal Primo) Toda ´ algebra booleana tiene un ideal primo. ´ n: Demostracio Sean B un ´algebra booleana y u ∈ B un elemento fijo. Consideremos la familia I de todos los ideales en B que no contienen a u; por el lema anterior, la familia I ordenada por contenci´ on cumple las hip´ otesis del Lema de KuratowskiZorn; as´ı I tiene un elemento maximal I, este ideal es un ideal primo. El Teorema del Ideal Primo es una consecuencia f´acil del Axioma de Elecci´ on, pero J. D. Halpern demostr´o que el rec´ıproco es falso, es decir, el Axioma de Elecci´on no puede demostrarse a partir del Teorema del Ideal Primo. En esta secci´ on veremos algunas equivalencias del Teorema del Ideal Primo. Primero note que el Teorema 8.53 es equivalente a una versi´on aparentemente m´as fuerte. Teorema 8.54 En cualquier ´ algebra booleana, todo ideal propio puede extenderse a un ideal primo. Para mostrar que la versi´ on m´as fuerte se sigue de la versi´ on d´ebil, tomemos B un ´algebra booleana B e I un ideal en B. Considere la relaci´ on de equivalencia u∼v si y s´ olo si (u · −v) + (v · −u) ∈ I. Sea C el conjunto de todas las clases de equivalencia [u] y defina operaciones +, · y − sobre C como sigue: [u] + [v] = [u + v] ,

[u] · [v] = [u · v] ,

− [u] = [−u] .

Entonces C es un ´algebra booleana, llamada cociente de B. Por el Teorema del Ideal Primo, C tiene un ideal primo K. No es dif´ıcil verificar que el conjunto J = {u ∈ B : [u] ∈ K}

204

8. El Axioma de Elecci´ on

es un ideal primo en B y que I ⊆ J. Usando la dualidad entre ideales y filtros, tenemos las siguientes formulaciones del Teorema del Ideal Primo. Teorema 8.55 Son equivalentes al Teorema del Ideal Primo: (a) Toda ´ algebra booleana tiene un ultrafiltro. (b) Cualquier filtro propio en un ´ algebra booleana puede extenderse a un ultrafiltro. Un caso especial de ´algebra booleana es el conjunto P(X) con las operaciones conjuntistas ∪, ∩, \; el concepto de filtro y ultrafiltro coinciden con las definiciones anteriores (ver despu´es del Teorema de Tychonoﬀ). Teorema 8.56 (del Ultrafiltro) Todo filtro sobre un conjunto X puede extenderse a un ultrafiltro. Tenemos demostrado que el Teorema del Ultrafiltro es equivalente al Teorema del Ideal Primo. Sin embargo, la correspondiente versi´on m´as d´ebil del Teorema del Ultrafiltro: Cada conjunto no vac´ıo X tiene un ultrafiltro sobre X, es trivialmente cierta sin usar el Axioma de Elecci´ on. En efecto, sea x ∈ X, entonces el filtro principal generado por {x}, Fx = {Y ⊆ X : x ∈ Y } claramente es un ultrafiltro sobre X. Sin embargo, la proposici´ on: Cada conjunto infinito X tiene un ultrafiltro no principal, no es obvia. S. Feferman mostr´o en 1964 que es consistente con los axiomas ZF que todo ultrafiltro en N sea principal. Posteriormente A. Blass en 1977 [B2 ], modificando el m´etodo de Feferman, prob´o que tambi´en es consistente con los axiomas ZF que todo ultrafiltro sobre un conjunto X sea principal. De lo anterior se deduce que sin el Axioma de Elecci´ on la proposici´ on anterior es indemostrable. Pero puede probarse que es esencialmente una versi´ on m´as d´ebil que el Teorema del Ideal Primo (ver [J2 , pag. 132, problema 5]). Un buen ejemplo del empleo de la proposici´on anterior lo dio Sierpi´ nski en 1938 al mostrar que se pueden construir subconjuntos no medibles de R seg´ un Lebesgue si se acepta la existencia de ultrafiltros libres sobre N. El resultado de Sierpi´ nski fue mejorado por Z. Samadeni en [S1 ]. Ahora daremos ejemplos del uso del Teorema del Ideal Primo. Una familia A de subconjuntos de un conjunto dado S es un ´ algebra de conjuntos si: S ∈ A,

8.5. El Teorema del Ideal Primo

205

X, Y ∈ A implica X ∪ Y ∈ A, X ∩ Y ∈ A, X ∈ A implica S \ X ∈ A.

Un homomorfismo entre a´lgebras booleanas B1 y B2 es una funci´on Φ : B1 → B2 que preserva las operaciones de suma, multiplicaci´on y complemento de las a´lgebras B1 y B2 . Un homomorfismo biyectivo se llama isomorfismo. Si existe un isomorfismo las a´lgebras se dicen isomorfas. Ejemplo 8.57 (Teorema de Representaci´ on de Stone) Toda ´algebra booleana es isomorfa a un a´lgebra de conjuntos. ´ n: Demostracio Sea B un ´algebra booleana; sea S = {U : U es un ultrafiltro en B} . Para cada u ∈ B, sea Φ(u) = {U ∈ S : u ∈ U }. Es f´acil ver que Φ(u + v) = Φ(u) ∪ Φ(v), Φ(u · v) = Φ(u) ∩ Φ(v), Φ(−u) = S \ Φ(u). Si u 6= v, entonces u £ v o v £ u. Supongamos que u £ v, un argumento similar se sigue si v £ u. Si u · (−v) = 0, entonces v = v + 0 = v + (u · (−v)) = (u + v) · (v + (−v)) = (u + v) · 1 = u + v; o sea u ≤ v. Por lo tanto, u · (−v) 6= 0. Sea F = {w ∈ B : u · (−v) ≤ w} el filtro principal generado por u · (−v). Claramente F es un filtro propio; por el Teorema 8.55(b), F puede extenderse a un ultrafiltro U . Ahora −(u · (−v)) = −u + v ∈ / U , lo cual implica que U ∈ / Φ(−u + v) = Φ(−u) ∪ Φ(v), por lo que U ∈ Φ(u) y U ∈ / Φ(v). Esto establece la inyectividad de Φ. As´ı, Φ es un isomorfismo de B sobre Φ(B). Es un hecho notable que el Teorema de Representaci´on de Stone es equivalente al Teorema del Ideal Primo. Teorema 8.58 El Teorema de Representaci´ on de Stone implica el Teorema del Ideal Primo.

206

8. El Axioma de Elecci´ on

´ n: Demostracio Sean B un ´algebra booleana, F un ´algebra de conjuntos isomorfa a B y Φ : S B → F un isomorfismo. Tomemos p ∈ F y sea U = {u ∈ B : p ∈ Φ(u)} .

No es dif´ıcil mostrar que U es un ideal primo en B. El Teorema del Ideal Primo tambi´en implica una cuesti´ on indecidible en ZF, a saber, cualquier conjunto puede ser totalmente ordenado. De hecho, a partir del Teorema del Ideal Primo se puede demostrar el Principio de Extensi´on de Orden que aparece en el siguiente ejemplo y que evidentemente es m´ as fuerte que la proposici´ on que asegura la existencia de un orden lineal para cualquier conjunto; sin embargo, el Principio de Extensi´ on de Orden no implica on 7.2, problemas 7.8 y 5.27]). Si ≤ el Teorema del Ideal Primo (ver [J2 , secci´ y ¹ son ´ordenes (parciales) de un conjunto P , entonces se dice que ¹ extiende a ≤ si para cualesquiera p, q ∈ P , p ≤ q implica p ¹ q. Ejemplo 8.59 (Principio de Extensi´ on de Orden) Todo orden (parcial) de un conjunto P puede extenderse a un orden lineal de P. ´ Como una aplicaci´on del Teorema del Ideal Primo al Algebra tenemos el siguiente. Un campo F es un campo ordenado si hay un orden lineal ≤ en F que satisface: (i) Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c para todo c; (ii) Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces a · c ≤ b · c. Ejemplo 8.60 (Teorema de Artin-Schreir) Todo campo en el que -1 no es suma de cuadrados puede ser ordenado. Ejemplo 8.61 El Teorema del Ideal Primo implica que cualquier producto topol´ogico de espacios compactos de Hausdorﬀ es no vac´ıo. Ejemplo 8.62 El Teorema del Ideal Primo implica que cualquier producto topol´ogico de espacios compactos de Hausdorﬀ es compacto. Otra equivalencia al Teorema del Ideal primo es una versi´ on d´ebil del Teorema de Tychonoﬀ. Teorema 8.63 El Teorema del Ideal Primo es equivalente a la siguiente proposici´ on: El producto topol´ ogico de cualquier familia de espacios discretos con dos puntos cada uno, es compacto.

8.5. El Teorema del Ideal Primo

207

Ejemplo 8.64 El Teorema del Ideal Primo implica el Teorema de Comˇ pactaci´on de Stone-Cech. Ejemplo 8.65 El Teorema del Ideal Primo implica el Teorema de HahnBanach. Podemos decir m´ as al respecto. Una medida (de valores reales) en un a´lgebra booleana es una funci´on no negativa µ : B → R tal que µ(0) = 0, µ(1) = 1, y µ(a + b) = µ(a) + µ(b) siempre que a · b = 0. El Teorema de Hahn-Banach es equivalente a la afirmaci´ on de que toda ´algebra booleana admite una medida con valores reales. La demostraci´on del Teorema de Hahn-Banach a partir del Teorema del Ideal Primo fue dada por J. L Ã os y C. Ryll-Nardzewski. Otra versi´on de la prueba la dio W. A. J. Luxemburg. La equivalencia antes asegurada se debe a Ryll-Nardzewski y Luxemburg.

Ejercicios 8.5 1. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 8.38, 8.41, 8.42, 8.47, y 8.48. 2. (a) Sup´ongase que F es un ultrafiltro sobre un conjunto X y sea A ∈ F. Demuestre que si B ⊆ A, entonces B ∈ F o A \ B ∈ F. (b) Si F es un ultrafiltro sobre un conjunto X y

X = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An . Muestre que para alg´ un i ∈ {1, . . . , n}, Ai ∈ F.

(c) Pruebe que si X es un conjunto finito, entonces cualquier ultrafiltro sobre X es principal. 3. Demuestre que si U es un ultrafiltro no principal sobre un conjunto X, entonces cualquier U ∈ U es infinito. 4. Muestre que si I es un ´algebra booleana B, entonces B \ I es un filtro en B. 5. Complete la demostraci´ on de la equivalencia entre el Teorema del Ideal Primo y el Teorema de Representaci´ on de Stone.

208

8. El Axioma de Elecci´ on

6. (a) Muestre que hay una correspondencia biyectiva entre los ideales y los filtros en un ´algebra booleana. (b) Muestre que hay una correspondencia biyectiva entre los ideales primos y los ultrafiltros en un ´algebra booleana. 7. Sup´ ongase que f : B1 → B2 es un homomorfismo de ´algebras booleanas. Pruebe que si J es un ideal (respectivamente, un filtro) en B2 , entonces f −1 (J) es un ideal (respectivamente, un filtro) en B1 . En particular ucleo de f ; F (f ) = I(f ) = f −1 ({0}) es un ideal primo en B1 llamado n´ ucleo de f. f −1 ({1}) es un ultrafiltro en B2 llamado el co-n´ 8. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto X, y sea f : X → Y una funci´on. Muestre que ª © f # U = V ⊆ Y : f −1 (V ) ∈ U es un ultrafiltro sobre Y .

9. Sea B un ´algebra booleana. Para cada u ∈ B, sean: Iu = {x ∈ B : u · x = 0} , Fu = {x ∈ B : u + x = 1} . Muestre que estos conjuntos son, respectivamente, un ideal y un filtro en B. 10. Demuestre que si F es un filtro en B, entonces el m´ınimo filtro que contiene a F ∪ {u} es {y ∈ B : ∃ x ∈ F tal que y ≥ x · u} . 11. Un car´ acter de un ´algebra booleana B es un homomorfismo ϕ : B → 2. La colecci´ on de todos los car´acteres de B se llama espectro de B y es denotado por spec(B) Pruebe que: (a) Hay una correspondencia biyectiva entre spec(B) y la familia de ultrafiltros en B dada por ϕ 7→ F (ϕ).

(b) Hay una correspondencia biyectiva entre spec(B) y la familia de todos los ideales primos en B dada por ϕ 7→ I(ϕ). (c) La funci´on Φ : B → P(spec(B)) definida por

Φ(u) = {ϕ ∈ spec(B) : f (u) = 1} es un homomorfismo entre ´algebras booleanas.

8.5. El Teorema del Ideal Primo

209

12. Demuestre que la siguiente proposici´on es equivalente al Teorema del Ideal Primo: Si B es un ´algebra booleana y S ⊆ B es tal que 0 ∈ /SyS es cerrado con respecto a ·, entonces existe un ideal ⊆-maximal ajeno a S. (Sugerencia: para la necesidad considere J = {u ∈ B : ∃ v ∈ S, u ≤ −v}, muestre que J es un ideal propio y aplique el Teorema 8.54. Para la suficiencia considere S = {1}.) 13. En este Ejercicio se establece la equivalencia del Teorema del Ideal Primo con versiones d´ebiles del Teorema de Tychonoﬀ. (a) Si U es un ultrafiltro sobre ª un espacio Hausdorﬀ, pruebe que la T© as un punto. A : A ∈ U contiene a lo m´ intersecci´ on

(b) Demuestre que el Teorema del Ultrafiltro implica que cualquier producto de Q espacios Hausdorﬀ compactos es no vac´ıo. (Sugerencia: sea X = α∈I Xα . Sea Z el conjunto de todos las funciones f con dom f ⊆ I y f (α) ∈ Xα , y sea Zα = {f ∈ Z :α ∈ dom f } para cada α ∈ I. Sea F el filtro generado en Z por Zα , α ∈ I, y sea U ⊇ F un on de U sobre Xα . Para cada α ∈ I, ultrafiltro. Sea Uα la proyecci´ la intersecci´ on \© ª A : A ∈ Uα

contiene exactamente un punto xα ∈ Xα .) (c) Demuestre que el Teorema del Ultrafiltro implica que cualquier producto topol´ ogico de espacios Hausdorﬀ compactos, es compacto. (Sugerencia: el producto es no vac´ıo por el inciso anterior. En la demostraci´ on del Teorema de Tychonoﬀ en la Secci´on 8.4, la primera parte usa u ´nicamente el Teorema del Ultrafiltro. El uso del Axioma de Elecci´ on en el punto (2) es eliminado por el inciso (a).)

(d) Demuestre que la siguiente proposici´ on implica el Teorema del Ideal Primo: El producto topol´ ogico de cualquier familia de espacios discretos con dos puntos cada uno esQcompacto. (Sugerencia: sea B un ´algebra booleana, y sea X = {{u, −u} : u ∈ B}. Para una sub´algebra finita A de B y un ideal primo I en A, sean y XA =

S

XI = {x ∈ X : x(u) ∈ I para cada u ∈ A} {XI : I es un ideal primo en A}. La familia {XA : A es una sub´algebra finita}

es una base de filtro de conjuntos cerrados; de su intersecci´on se obtiene un ideal primo en B.)

210

8. El Axioma de Elecci´ on

(e) Demuestre que la siguiente proposici´ on implica el Teorema del Ideal Primo: El espacio generalizado de Cantor {0, 1}I es compacto para cualquier I. (Sugerencia: use esto para demostrar la proposici´ on del inciso (c). Es suficiente mostrar que cualquier producto de conjuntos de dos elementos cada uno, es no vac´ıo. Sea S un S conjunto de pares (no ordenados) ajenos p = {a, b} y sea I = {p : p ∈ S}. En el producto {0, 1}I , los conjuntos Xp = {f : f (a) 6= f (b) si p = {a, b}} son cerrados y forman una base de filtro. La intersecci´ on proporciona una funci´on de elecci´on para S.) 14. Use el ejercicio anterior y establezca el Teorema de la Compactaci´ on de X ˇ Stone-Cech. (Sugerencia: βX es un subconjunto de [0, 1] .)

8.6 Otras Proposiciones Relacionadas. Con frecuencia, especialmente cuando se trabaja con conjuntos de n´ umeros reales, no es necesario usar en plenitud el Axioma de Elecci´ on y de hecho es mucho m´as usada una d´ebil variaci´on de ´este. Axioma de Elecciones Numerables Para cualquier familia numerable de S on f : N → ∞ A tal conjuntos no vac´ıos {An }n∈N existe una funci´ n n=0 que f (n) ∈ An . Con el Axioma de Elecciones Numerables, pueden demostrarse muchas proposiciones extremadamente u ´tiles en el An´ alisis Matem´ atico, los Ejemplos 8.15, 8.16 y 8.17 pueden demostrarse con ´el. Teorema 8.66 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) El Axioma de Elecciones Numerables. (b) Si {An }n∈N es una familia de conjuntos ajenos, entonces hay una sucesi´ on (xn )∞ n=0 tal que xn ∈ An para cada n ∈ N. (c) El producto cartesiano de una familia numerable de conjuntos no vac´ıos es no vac´ıo. En 1942, P. A. Bernays formul´ o el siguiente axioma que es una versi´on m´as d´ebil que el Axioma de Elecci´on pero m´as fuerte que el Axioma de Elecciones Numerables (las demostraciones de estas afirmaciones pueden encontrarse en agina 85 y la segunda en la secci´ on [J2 ]; la primera en el problema 26 de la p´ 8.2).

8.6. Otras Proposiciones Relacionadas.

211

Axioma de Elecci´ on Dependiente Si R es una relaci´ on en un conjunto no vac´ıo X tal que para todo x ∈ X, existe y ∈ X tal que xRy, entonces existe una sucesi´ on (xn )∞ n=0 tal que xn Rxn+1 . Teorema 8.67 El Axioma de Elecci´ on Dependiente implica el Axioma de Elecciones Numerables. ´ n: Demostracio as numerable de conjuntos no vac´ıos y sea X Sea {An }n∈N una familia a lo m´ el conjunto de todas las sucesiones finitas s = (ai )ki=0 tales que a0 ∈ A0 , . . ., ak ∈ Ak . Definamos s R t si y s´ olo si s = (ai )ki=0 y t = (ai )k+1 i=0 . Aplicando el Axioma de Elecci´ on Dependiente se obtiene una sucesi´on (an )∞ n=0 tal que an ∈ An para cada n ∈ N. Teorema 8.68 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) El Axioma de Elecci´ on Dependiente. (b) Todo conjunto linealmente ordenado que no contiene la imagen de una sucesi´ on estrictamente decreciente es bien ordenado. (c) Sea R una relaci´ on en A tal que para todo x ∈ X existe y ∈ X tal que xRy. Si a ∈ A, entonces hay una sucesi´ on (xn )∞ n=0 tal que x0 = a y xn R xn+1 para cada n ∈ N. ´ n: Demostracio (a) ⇒ (b). Sea (A, ≤) un conjunto parcialmente ordenado que no sea bien ordenado. Entonces existe un subconjunto de A, digamos B, tal que B no tiene un m´ınimo elemento. Ahora, el dominio del orden dual estricto, restringido a otesis, B, >B , es B, de otro modo B tendr´ıa un elemento minimal. Por hip´ ∞ existe una sucesi´ on (yn )n=0 en B tal que yn >B yn+1 para todo n ∈ N. As´ı, A contiene una sucesi´on estrictamente decreciente. (b) ⇒ (a). Sean R una relaci´on en A y X el conjunto de todas las sucesiones finitas ϕ en A tales que ϕ(0) R ϕ(1) R ϕ(2) R · · · R ϕ(n − 1) (cuando dom ϕ = n). Definiendo ¹ en X por ϕ ¹ ψ si y s´ olo si ϕ ⊇ ψ, tenemos que (X, ¹) es un conjunto ordenado, el cual evidentemente no es bien ordenado. Empleando la hip´ otesis, existe una sucesi´ on (ϕn )∞ n=0 estrictamente decreciente en X. Ahora, {ϕn : n ∈ N} es un sistema compatible de funciones,

212

8. El Axioma de Elecci´ on

S por lo cual, ϕ = ∞ on en A tal que ϕ(n) R ϕ(n + 1) para n=0 ϕn es una sucesi´ cada n ∈ N. (a) ⇒ (c). Sean R una sucesi´on en A y a ∈ A. Considere \ B= {C ⊆ A : a ∈ C y R(C) ⊆ C} .

Es f´acil mostrar que el dominio de la restricci´ on de R a B es B. Consecuentemente, por hip´ otesis, existe una sucesi´on (yn )∞ n=0 en B tal que yn R yn+1 para cada n ∈ N. Por otra parte, tambi´en puede mostrarse que B=

∞ [

Rm ({a}),

m=0

donde R0 = IdA y Rm+1 = Rm ◦ R. As´ı, y0 ∈ Rm ({a}) para alg´ un m ∈ N, es decir, existe {z0 , z1 , . . . , zm } ⊆ B tal que z0 = a, zm = y0 y para cada n < m, zn R zn+1 . Si hacemos ½ zn , para n < m xn = para n ≥ m, yn−m , entonces es claro que x0 = a y xn R xn+1 para todo n ∈ N. (c) ⇒ (a). Trivial. Finalmente consideremos otras dos proposiciones m´ as d´ebiles que el Axioma de Elecci´on. Axioma de Elecci´ on para Conjuntos Finitos Para cualquier familiaSno vac´ıa F de conjuntos finitos no vac´ıos existe una funci´ on f : F → F tal que f (F ) ∈ F. Axioma de Elecci´ on n-Finito Para cualquier familia S no vac´ıa F de conjuntos de n elementos existe una funci´ on f : F → F tal que f (F ) ∈ F.

Renunciar parcialmente al Axioma de Elecci´ on y adoptar proposiciones alternativas no nos deja del todo desamparados, los ejemplos anteriores son una muestra importante de ello. Por otra parte, estas proposiciones, posibles sustitutas del Axioma de Elecci´on, no traen consigo resultados tan parad´ ojicos como el Axioma de Elecci´ on. Pero estos axiomas m´ as d´ebiles que el Axioma de Elecci´on son insuficientes para las necesidades plenas de las matem´aticas. A continuaci´on enlistamos las proposiciones alternativas al Axioma de Elecci´ on que hemos considerado y mostramos en un diagrama sus relaciones. Como

8.6. Otras Proposiciones Relacionadas.

213

se dijo antes, el Axioma de Elecci´on puede sustituirse por estas u otras proposiciones, y es interesante saber el alcance de estas Teor´ıas de Conjuntos “no est´ andar”. [AE] Todo conjunto no vac´ıo tiene una funci´on de elecci´on. [TIP] Toda ´algebra booleana contiene un ideal (propio) primo. [AED] Si R es una relaci´ on en un conjunto no vac´ıo X tal que para todo x ∈ X, existe y ∈ X tal que xRy. Entonces existe una sucesi´ on {xn } tal que xn Rxn+1 . [AEN] Para cualquier familia numerable de conjuntos no vac´ıos {An }n∈N S existe una funci´ on f : N → ∞ A tal que f (n) ∈ An . n n=0

[PO] Todo conjunto puede ser linealmente ordenado.

[AEF] Para cualquierSfamilia F de conjuntos finitos no vac´ıos existe una funci´on f : F → F tal que f (F ) ∈ F.

[AEFn ] Cualquier familia F de conjuntos de n elementos, existe una funci´ on S f : F → F tal que f (F ) ∈ F. z

TIP ⇓ PO ⇓ AEF ⇓ AEFn

AE ⇓ }|

AED ⇓ AEN

{

Ejercicios 8.6 1. Demuestre el Teorema 8.66. 2. Demuestre que el Principio de Ordenaci´on PO implica el Axioma de Elecci´ on para conjuntos Finitos. 3. Demuestre que AEF implica AEFn .

214

8. El Axioma de Elecci´ on

8.7 Matem´aticas sin Elecci´on. Es muy interesante saber c´ omo son las matem´aticas sin el Axioma de Elecci´ on. S. Feferman, como ya se mencion´ o, demostr´ o que si no se acepta el Axioma de Elecci´ on se puede suponer que todos los ultrafiltros sobre los n´ umeros naturales son principales. En esta secci´ on daremos otros ejemplos que muestran lo grave que pueden ser las Matem´ aticas sin el Axioma de Elecci´ on. Para poder entenderlos, primero daremos una breve idea de lo que significa “un modelo”. Esto lo haremos con base a un ejemplo. Nosotros definimos los conjuntos ordenados como pares (A, ≤) donde A es un conjunto y ≤ es una relaci´ on reflexiva, antisim´etrica y transitiva en A. Equivalentemente, un conjunto ordenado es una estructura (A, ≤), la cual satisface los siguientes axiomas: Axioma de Reflexividad Para cada a ∈ A, a ≤ a. Axioma de Antisimetr´ıa. Si a, b ∈ A y a≤b

y

b ≤ a,

entonces a = b. Axioma de Transitividad. Para cualesquiera a, b, c ∈ A, si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. Ahora podemos manifestar que los axiomas anteriores comprenden la teor´ıa axiom´ atica del orden y que los conjuntos ordenados son modelos de esta teor´ıa axiom´ atica. Nuestro an´alogo al Axioma de Elecci´ on en nuestra teor´ıa del orden es el siguiente: Axioma de Linealidad Para cualesquiera a, b ∈ A o bien a ≤ b o b ≤ a. Si estamos interesados en saber cu´ando el Axioma de Linealidad es consistente e independiente de los otros axiomas de la teor´ıa del orden, necesitamos dar, por lo menos, dos modelos tal que en uno de ellos satisfaga el Axioma de Linealidad y en el otro no. Como posibles modelos tenemos los siguientes: (({0, {0}}) , ∈)

y

(P({0, 1}) , ⊆) .

Esto nos lleva a concluir la independencia y consistencia del Axioma de Linealidad en nuestra teor´ıa del orden.

8.7. Matem´ aticas sin Elecci´ on.

215

Cuando se desea investigar fen´omenos “extra˜ nos”; por ejemplo, que un subconjunto en un conjunto ordenado tenga dos distintos elementos maximales, necesitamos construir un modelo, es decir, un conjunto ordenado con tal propiedad. Un posible modelo es (P({0, 1}) , ⊆) con el subconjunto X = P({0, 1}) \ {{0, 1}}. En este modelo, {0} y {1} son distintos elementos maximales de X. Por otra parte, podemos demostrar que dentro de la teor´ıa del orden con el Axioma de Linealidad esto es imposible; as´ı que la teor´ıa del orden con linealidad es distinta de la teor´ıa del orden. Lo anterior es un ejemplo burdo de c´omo se proceder´ıa para construir modelos para la Teor´ıa de Conjuntos3 . La t´ecnica para construir tales modelos queda fuera de nuestro alcance, pero es posible tener una idea, al menos intuitiva, de lo que significan los siguientes enunciados. 1. Hay un modelo de ZF en el cual existe un conjunto infinito de n´ umeros reales sin un subconjunto numerable. 2. Hay un modelo de ZF en el cual existe un conjunto de n´ umeros reales y un punto de la clausura para el cual no existen sucesiones (en el conjunto) convergentes a dicho punto. 3. Hay un modelo de ZF tal que los n´ umeros reales son uni´ on a lo m´as numerable de conjuntos a lo m´as numerables. 4. Hay un modelo de ZF en el que existe un espacio vectorial sin base. 5. Hay un modelo de ZF en el cual todo conjunto de n´ umeros reales es medible seg´ un Lebesgue.

3

El Ejercicio 9.3.8 proporciona un modelo de ZF sin el Axioma de Infinitud.

216

8. El Axioma de Elecci´ on

9 Ordinales 9.1 Introducci´on En el Cap´ıtulo 7 definimos el concepto de cardinalidad, pero la noci´on de cardinal en s´ı misma permanece velada excepto para los conjuntos finitos; esto es, hasta el momento no se tienen buenos representantes para conjuntos infinitos equipotentes, que desempe˜ nen un papel an´alogo al de los n´ umeros naturales para conjuntos finitos. La idea central es generalizar el m´etodo conjuntista de la construcci´on de los n´ umeros naturales, en el cual, un objeto es un n´ umero natural si es un conjunto transitivo, bien ordenado por la relaci´on de pertenencia restringida y cualquier subconjunto no vac´ıo tiene un elemento m´aximo con respecto a este orden. As´ı, n es un n´ umero natural, implica n = {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Si denotamos ω = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .} , podemos pensar que ω es el primer “n´ umero” m´ as grande que cualquier n´ umero natural. Llegado a este l´ımite, la operaci´ on de sucesor puede ser empleada para generar “n´ umeros” posteriores a ω del siguiente modo: S(ω) = ω ∪ {ω} = {0, 1, 2, . . . , n, . . . , ω} S(S(ω)) = S(ω) ∪ {S(ω)} = {0, 1, 2, . . . , ω, S(ω)} etc. Denotando a S(ω) como ω + 1, tenemos: S(ω) = ω + 1, S(S(ω)) = (ω + 1) + 1 = ω + 2, etc. Ahora tenemos una “sucesi´ on” 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . ., ω + n, . . ., para todo n´ umero natural n ∈ N. Un “n´ umero mayor” a todo ω + n puede ser concebido como el conjunto de todos los n´ umeros m´ as peque˜ nos ω · 2 = ω + ω = {0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, . . . , ω + n, . . .}

218

9. Ordinales

y nuevamente para n tendr´ıamos ω · n = {0, 1, 2, . . . , ω, . . . , ω · 2, . . . , ω · (n − 1), ω · (n − 1) + 1 . . .} hasta llegar a ω · ω = {0, 1, 2, . . . , ω, . . . , ω · n, . . . , ω · (n + 1), . . .} . Los conjuntos generados por este proceso poseen casi todas las propiedades requeridas por la definici´on de n´ umero natural. Son transitivos y est´ an linealmente ordenados por ∈, es decir, x ∈ y implica x ⊆ y, y si x, y ∈ z entonces x
si y s´ olo si x ∈z y

es un orden lineal. Definici´ on 9.1 Un conjunto x es un ordinal o n´ umero ordinal si y s´ olo si: (a) x es transitivo, (b) x es bien ordenado por ∈x . Proposici´ on 9.2 Los n´ umeros naturales son ordinales y hay un ordinal que no es un n´ umero natural, a saber, ω. El prop´osito de contar es el de comparar el tama˜ no de un conjunto con el de otro conocido. El m´etodo m´ as familiar de contar los elementos de un conjunto es el de arreglarlos en un orden apropiado. La teor´ıa de los n´ umeros ordinales es una ingeniosa abstracci´ on del m´etodo, pero se queda un tanto corta en la realizaci´ on del prop´osito. El propio Cantor (su inventor) se dio cuenta que para conjuntos infinitos el orden no determina por completo la cardinalidad del conjunto. Esto no quiere decir que los n´ umeros ordinales sean in´ utiles; simplemente sucede que su aplicaci´ on principal est´ a en otra parte. Una muestra de su uso est´ a en la topolog´ıa como fuente de ejemplos y contraejemplos.

9.2 N´ umeros Ordinales Fij´ andonos en la construcci´on de los n´ umeros ordinales como apareci´o en la secci´ on anterior, se puede observar que si α es un ordinal, entonces su sucesor tambi´en es un ordinal. Veamos que as´ı es. Proposici´ on 9.3 Si α es un n´ umero ordinal, entonces S(α) es tambi´en un n´ umero ordinal.

9.2. N´ umeros Ordinales

219

´ n: Demostracio S(α) = α ∪ {α} es un conjunto transitivo. M´as a´ un, α ∪ {α} es bien ordenado por ∈S(α) , α es su elemento m´aximo y α ⊆ α ∪ {α} es el segmento inicial determinado por α. As´ı, S(α) es un n´ umero ordinal. Denotaremos al sucesor de α por α + 1: α + 1 = S(α) = α ∪ {α} . Sabemos que los n´ umeros naturales y ω son ordinales. Una diferencia sustancial entre cualquier n´ umero natural n 6= 0 y ω es que n tiene un predecesor inmediato mientras que ω no lo tiene. Para distinguir a esta clase de ordinales hacemos la siguiente definici´on. Definici´ on 9.4 Un n´ umero ordinal α se llama ordinal sucesor si para alg´ un ordinal β, α = β + 1. En caso de que no exista un ordinal β del cual α sea sucesor, entonces a α se le llama ordinal l´ımite. Ejemplo 9.5 Los n´ umeros naturales distintos de cero, ω + 1, ω + 2, ω · 2 + 1 son ordinales sucesores. 0, ω, ω · 2, ω · ω son ordinales l´ımite. Los siguientes tres lemas permitir´ an definir un orden en la clase de todos los ordinales que, como veremos despu´es del siguiente teorema, no es un conjunto. Las demostraciones de los dos primeros lemas son id´enticas a la de los Lemas 5.5 y 5.6. Lema 9.6 Cualquier elemento de un n´ umero ordinal es un n´ umero ordinal. Lema 9.7 Si α es un n´ umero ordinal, entonces α ∈ / α. Si α y β son dos n´ umeros ordinales entonces es falso que (α ∈ β ∧ β ∈ α). Lema 9.8 Si α y β son ordinales tales que α ⊂ β, entonces α ∈ β. ´ n: Demostracio Sea α ⊂ β. Entonces β \ α es un subconjunto no vac´ıo de β y, por tanto, tiene un elemento m´ınimo γ en el orden ∈β . Note que γ ⊆ α; de no ser as´ı, entonces cualquier δ ∈ γ \α ser´ıa un elemento de β \α menor que γ (por la transitividad de β), lo cual es imposible. Para completar la demostraci´on, mostremos que α ⊆ γ (con esto α = γ ∈ β). Sea δ ∈ α. Si ocurriera δ ∈ / γ, entonces o bien γ ∈ δ o δ = γ (porque β est´a linealmente ordenado por ∈β y γ, δ ∈ β). Pero esto implica que γ ∈ α, ya que α es transitivo; contradiciendo la elecci´ on de γ ∈ β \ α.

220

9. Ordinales

Definici´ on 9.9 Para ordinales α y β definimos α < β si y s´ olo si α ∈ β. Obs´ervese que est´e orden extiende al orden que se defini´ o para los n´ umeros naturales. El siguiente teorema muestra que ≤ es de hecho un buen orden. Teorema 9.10 Sean α, β, y γ n´ umeros ordinales. (a) Si α < β y β < γ, entonces α < γ. (b) α < β y β < α no pueden cumplirse simult´ aneamente. (c) Una de las relaciones α < β, α = β o β < α se satisface. (d) Sea X un conjunto de n´ umeros ordinales entonces (X, ≤) es un conjunto bien ordenado. (e) Para todo conjunto de ordinales X hay un ordinal α tal que α ∈ / X. (En otras palabras el conjunto de todos los n´ umeros ordinales no existe.) ´ n: Demostracio (a) Si α ∈ β y β ∈ γ, entonces α ∈ γ puesto que γ es transitivo. (b) Es una consecuencia del Lema 9.7. (c) Si α y β son ordinales, entonces α ∩ β es un n´ umero ordinal y α ∩ β ⊆ α y α ∩ β ⊆ β. Si α ∩ β = α, entonces α ⊆ β, lo cual implica que α ∈ β o α = β. Similarmente, si α ∩ β = β, entonces β ∈ α o β = α. El u ´nico caso restante es α∩β ⊂ α y α∩β ⊂ β, que no puede ocurrir puesto que entonces obtendr´ıamos α ∩ β ∈ α y α ∩ β ∈ β, y as´ı α ∩ β ∈ α ∩ β; contradiciendo el Lema 9.7. (d) Por el Lema 9.7, < es asim´etrica en X, por (a) es transitiva y por el Teorema 4.103(b) (X, ≤) es un conjunto ordenado. Veamos que (X, ≤) es bien ordenado. Sea A ⊆ X no vac´ıo, tomando α ∈ A y considerando α∩A tenemos: Si α ∩ A = ∅, entonces α es el primer elemento de A. Si α ∩ A 6= ∅, α ∩ A ⊆ α tiene un primer elemento β con el orden ∈α , entonces β es el primer elemento de A con el orden ≤. (e) Sea X un conjunto de n´ umeros S ordinales. Puesto que todos los elementos de X son conjuntos transitivos, X tambi´en es un conjunto transitivo (ver Ejercicio 5.1.7). S Por la parte (d) de este S teorema, se tiene que ∈ es un buen orden para X. Consecuentemente, X es un n´ umero ordinal. Ahora,Ssea S α = S( X). α es un ordinal y α ∈ / X yaSque si α ∈SX entonces α ⊆ X por el S Lema 9.8; lo cual implica que α = X o α ∈ X y en ambos casos α ∈ S( X) = α, que es una contradicci´ on. S Definici´ on 9.11 El n´ umero ordinal X usado en la demostraci´on de la parte (e) del Teorema 9.10 es llamado supremo de X y se denota por sup X. S La definici´on anterior se justifica observando que X es el m´ınimo ordinal mayor o igual que todos los elementos de X. En efecto, α ∈ X implica α ⊆

9.2. N´ umeros Ordinales

221

S X, as´ı α ≤ S X, y si α ≤ γ para S todo α ∈ X, entonces α ⊆ γ para todo α ∈ X, luego X ⊆ γ, es decir, X ≤ γ. Si el conjunto X tiene un elemento m´ aximo β en el orden ≤, entonces sup X = β. De otro modo sup X > γ para todo γ ∈ X (y ´este es el m´ınimo de tales ordinales). Tambi´en es conveniente observar que todo conjunto de ordinales tiene un supremo (en el orden ≤). Si denotamos por Ord a la clase de todos los n´ umeros ordinales (que, como se demostr´o, no es un conjunto), entonces seg´ un nuestro acuerdo de la Secci´on 4.6, podemos decir que Ord es una clase bien ordenada con la propiedad de la m´ axima cota superior (ver Ejercicio 4.5.22). El u ´ltimo teorema de esta secci´ on asegura el hecho de que los ordinales son una generalizaci´on de los n´ umeros naturales. S

Teorema 9.12 Los n´ umeros naturales son exactamente los n´ umeros ordinales finitos. ´ n: Demostracio Sabemos que todo n´ umero natural es un n´ umero ordinal, y de hecho, cualquier n´ umero natural es un conjunto finito. As´ı, u ´nicamente probaremos que todo ordinal que no es un n´ umero natural es un conjunto infinito. Si α es un n´ umero ordinal y α ∈ / N, entonces por el Teorema 9.10 se debe tener que ω ≤ α (puesto que α ≮ ω). Dado que α es transitivo, ω ⊆ α. Por lo anterior, α tiene un subconjunto infinito; con lo cual se concluye que es infinito. Todo n´ umero ordinal es un conjunto bien ordenado bajo el ordenamiento ∈. Si α y β son distintos ordinales, entonces ellos no son isomorfos como conjuntos bien ordenados; puesto que uno es un segmento inicial del otro (Teorema 4.138). Posteriormente probaremos que cualquier conjunto bien ordenado es isomorfo a un n´ umero ordinal. Sin embargo, esto requiere la introducci´ on de otro axioma, y esto se hace en la siguiente secci´ on. Un comentario final: el Lema 9.6 establece que cada n´ umero ordinal α se puede expresar como α = {β : β ∈ Ord y β < α} . Si nosotros vemos a α como un conjunto de ordinales, entonces si α es un ordinal sucesor, digamos β + 1, α tiene un elemento m´ aximo, a saber, β. Si α es un ordinal l´ımite, entonces α no tiene un elemento m´ aximo y α = sup {β : β < α}. Note tambi´en que 0 es un ordinal l´ımite y que sup ∅ = 0.

222

9. Ordinales

Ejercicios 9.2 1. Muestre que un ordinal α es un n´ umero natural si y s´ olo si todo subconjunto no vac´ıo de α tiene un elemento m´ aximo. 2. Demuestre que si un conjunto de ordinales X no tiene un elemento m´aximo, entonces sup X es un ordinal l´ımite. 3. Pruebe que si x ⊆ Ord, entonces x ∈ Ord si y s´ olo si x es transitivo. 4. Sea α es un ordinal l´ımite y sea β ⊆ α. Pruebe que si para cada γ ∈ α S existe δ ∈ β tal que γ ∈ δ, entonces α = β.

9.3 El Axioma de Reemplazo Como indicamos en la secci´ on precedente, los conjuntos bien ordenados pueden ser representados por los n´ umeros ordinales, es decir, cualquier conjunto bien ordenado es isomorfo a un u ´nico n´ umero ordinal. Sin embargo, como tambi´en afirmamos, requerimos de otro axioma. Veamos por qu´e es necesario. Para construir una sucesi´on (∅, {∅} , {{∅}} , {{{∅}}} , . . .) podemos definir a0 = ∅, an+1 = {an } ,

para cada n ∈ N,

siguiendo el patr´on general de definiciones recursivas. La dificultad aqu´ı es que para aplicar el Teorema de Recursi´ on necesitamos un conjunto A, dado de antemano, tal que g : N×A → A definida por g(n, x) = {x} pueda ser usada para calcular el (n + 1)-´esimo t´ermino de la sucesi´on a partir del n-´esimo t´ermino. Pero no es enteramente obvio c´ omo probar desde nuestros axiomas que exista un conjunto A tal que ∅ ∈ A,

{∅} ∈ A,

{{∅}} ∈ A,

{{{∅}}} ∈ A, . . .

Parece que la definici´ on de A mismo requiere de recursi´ on. Consideremos otro ejemplo. En el Cap´ıtulo 5, postulamos la existencia de ω; a partir de ´este, los conjuntos ω + 1 = ω ∪ {ω}, ω + 2 = (ω + 1) ∪ {ω + 1}, etc., pueden obtenerse f´acilmente por usos repetidos de uni´ on y par no ordenado. En la introducci´on de este cap´ıtulo “definimos” ω + ω como el conjunto de

9.3. El Axioma de Reemplazo

223

todos los ω + n para todo n ∈ ω y pasamos por alto postular la existencia de ω + ω como conjunto. La existencia de ω + ω no puede ser demostrada a partir de los axiomas anteriormente aceptados. Sabemos que a cada n ∈ ω, le corresponde un u ´nico conjunto ω + n, pero no tenemos alg´ un axioma que nos diga que podemos coleccionar a todo ω + n en un conjunto.

Axioma 10 (Esquema de Reemplazo) Sea P(x, y) una propiedad tal que para todo x existe un u ´nico y para el cual P(x, y) se satisface. Para todo conjunto A, existe un conjunto B tal que, para todo x ∈ A, existe y ∈ B para el cual P(x, y) se satisface. Se espera que los siguientes comentarios den motivaciones adicionales a la introducci´on del Axioma Esquema de Reemplazo. Sea F la (clase) funci´ on (en el sentido de la Secci´on 4.6) definida por la propiedad P(x, y); esto es, F(x) denota al u ´nico y para el cual P(x, y) se satisface. El correspondiente Axioma de Reemplazo puede usarse como sigue: Para todo conjunto A hay un conjunto B tal que para todo x ∈ A, F(x) ∈ B. De hecho, B puede tambi´en contener elementos que no sean de la forma F(x) con x ∈ A; sin embargo, una aplicaci´ on del Axioma Esquema de Comprensi´ on muestra que {y ∈ B : ∃ x ∈ A, y = F(x)}

= {y ∈ B : ∃x ∈ A, P(x, y)} = {y : ∃x ∈ A, P(x, y) }

existe. Llamamos a este conjunto la imagen de A por F y denotamos ´este por {F(x) : x ∈ A} o simplemente F(A). Una justificaci´ on intuitiva para el Axioma Esquema de Reemplazo puede darse compar´andolo con el Axioma Esquema de Comprensi´on. Este u ´ltimo nos concede ir a trav´es de los elementos de A, verificar para cada x ∈ A si x tiene o no tiene la propiedad P(x), y coleccionar a aquellos x que tienen la propiedad en un conjunto. De manera enteramente an´ aloga, el Axioma Esquema de Reemplazo permite ir a trav´es de los elementos de A, y tomar para cada x ∈ A el correspondiente y que tiene la propiedad P(x, y) y coleccionar a tales y en un conjunto. Intuitivamente es obvio que el conjunto F(A) “no es m´as grande” que el conjunto A. En contraste, todos los ejemplos conocidos de “conjuntos parad´ojicos” son “grandes”, digamos del orden de la clase de todos los conjuntos.

224

9. Ordinales

Sea F nuevamente una (clase) funci´ on definida por P. El Axioma de Reemplazo implica que la funci´ on F sobre los elementos de A puede ser representada, o bien “reemplazada”, por una funci´on leg´ıtima, es decir, un conjunto de pares ordenados. Precisamente, Para cualquier conjunto A, hay una funci´on f tal que dom f = A y f (x) = F(x) para todo x ∈ A. Simplemente, sea f = {(x, y) ∈ A × B : P(x, y)}, donde B es el conjunto provisto por el Axioma de Reemplazo. Zermelo, en su axiomatizaci´ on de 1908, no dio el Axioma de Reemplazo y s´olo usaba el Axioma Esquema de Comprensi´ on. El Axioma de Reemplazo fue propuesto independientemente por Mirimanoﬀ [M2 ] en 1917, Skolem [S6 ] as en 1919 y Fraenkel [F1 ] en 1922; sin embargo, el art´ıculo de Fraenkel fue m´ influyente y por esta raz´ on el axioma usualmente es acreditado a Fraenkel. Von Neumann mostr´o que por medio de la noci´on de clase se puede reemplazar el Axioma Esquema de Reemplazo por una u ´nica proposici´ on de manera similar a como se hace con el Axioma Esquema de Comprensi´ on (v´ease Ap´endice B). Ahora enunciaremos formalmente y demostraremos el resultado que anunciamos al inicio de esta secci´on. Teorema 9.13 Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un u ´nico n´ umero ordinal. ´ n: Demostracio Sea (W, ¹) un conjunto bien ordenado. Dado que dos ordinales isomorfos son iguales, bastar´ a probar la existencia de un ordinal que sea isomorfo a (W, ¹). Para cada x ∈ W , sea Wx el segmento inicial de W determinado por x y sea A el conjunto de todos los x ∈ W tales que el conjunto bien ordenado (Wx , ¹) es isomorfo a alg´ un ordinal. Entonces, para todo x ∈ A, por la observaci´ on anterior sobre ordinales isomorfos, s´olo un ordinal, digamos αx , es isomorfo a (Wx , ¹). Sea P(x, y) la propiedad: “O bien x ∈ W y y es el u ´nico ordinal isomorfo / W y y = ∅ ”. Aplicando el Axioma Esquema de Reemplazo, a (Wx , ¹), o x ∈ existe una funci´on f de A en alg´ un conjunto de ordinales, definida por: f = {(x, αx ) : x ∈ A, αx isomorfo a (Wx , ¹)} . Sea α un ordinal tal que α ∈ / f (A). Para completar la demostraci´on usaremos el Teorema 4.138. (α, ≤) es un conjunto bien ordenado, entonces o (α, ≤) es isomorfo a (W, ¹), y en tal caso

9.3. El Axioma de Reemplazo

225

terminar´ıamos la prueba, o bien (W, ¹) es isomorfo a un segmento inicial de α, en tal caso este segmento inicial de α es un n´ umero ordinal. La u ´ltima posibilidad es que (α, ≤) sea isomorfo a un segmento inicial de W , pero esto implicar´ıa α ∈ f (A) contradiciendo la elecci´on de α. Definici´ on 9.14 Si (W, ¹) es un conjunto bien ordenado, entonces el tipo de orden de (W, ≤) es el u ´nico n´ umero ordinal isomorfo a W . k(W, ¹)k denotar´a el tipo de orden de (W, ¹). Corolario 9.15 Sean (W1 , ¹1 ) y (W2 , ¹2 ) dos conjuntos bien ordenados. Enolo si tonces (W1 , ¹1 ) es isomorfo a (W2 , ¹2 ) si y s´ k(W1 , ¹1 )k = k(W2 , ¹2 )k . Teorema 9.16 Un conjunto W puede ser bien ordenado si y s´ olo si es equipotente a un n´ umero ordinal. ´ n: Demostracio Sea ¹ un buen orden para W . El isomorfismo entre (W, ¹) y k(W, ¹)k es una biyecci´ on entre W y k(W, ¹)k . Rec´ıprocamente, si f : W → α es una biyecci´on, entonces para x, y ∈ W , x¹y

si y s´ olo si f (x) ≤ f (y)

es un buen orden para W . Corolario 9.17 El Axioma de Elecci´ on es equivalente a que todo conjunto es equipotente a alg´ un n´ umero ordinal. Finalizamos esta secci´ on con una generalizaci´on del Teorema de Recursi´ on del Cap´ıtulo 5, la cual resuelve la existencia de una sucesi´ on (∅, {∅} , {{∅}} , . . .). Teorema 9.18 (de Recursi´ on Generalizada) Sea G una (clase) funci´ on. ∞ Para cualquier conjunto a existe una u ´nica sucesi´ on (an )n=0 tal que (a) a0 = a, (b) an+1 = G(an , n) para todo n ∈ N. Probaremos este Teorema de Recursi´ on Generalizada, como tambi´en el Teorema de Recursi´on Transfinita m´ as general, en la siguiente secci´ on.

226

9. Ordinales

Ejercicios 9.3 1. Demuestre lo siguiente: Sea P(x, y) una propiedad tal que para todo x hay a lo m´ as un y tal que P(x, y) se satisface. Entonces para cualquier conjunto A, existe un conjunto B tal que, para todo x ∈ A si P(x, y) se satisface para alg´ un y, entonces P(x, y) se satisface para alg´ un y ∈ B. 2. Use el Teorema de Recursi´on Generalizada para probar la existencia de los siguientes conjuntos: (a) El conjunto {∅, {∅} , {{∅}} , . . .} .

(b) El conjunto {N, P(N), P(P(N)), . . .} .

(c) El conjunto ω + ω = ω ∪ {ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . .} .

3. (a) Pruebe que el tipo de orden del conjunto ω × 2, con el orden lexicogr´ afico horizontal (ver Ejemplo 4.112 y Ejercicio 4.5.29) es ω · 2 = ω + ω, y con el orden lexicogr´ afico vertical es ω. (b) Pruebe que el tipo de orden del conjunto 2 × ω, con el orden lexicogr´ afico horizontal es ω, y con el orden lexicogr´ afico vertical es ω · 2 = ω + ω.

4. Pruebe que si (W, ≤) es un conjunto bien ordenado con k(W, ≤)k = α, entonces α es un ordinal l´ımite si y s´ olo si W no tiene elemento m´ aximo. 5. Use el Teorema de Recursi´on Generalizada para definir:

6. Demuestre que

V0 = ∅, Vn+1 = S P(Vn ), Vω = n∈ω Vn .

n ∈ ω,

(a) Cualquier x ∈ Vn es finito.

(b) Vω es transitivo.

(c) Vω es un conjunto inductivo. (Los elementos de Vω se llaman conjuntos hereditariamente finitos.) 7. Demuestre que

9.4. Inducci´ on y Recursi´ on Transfinita

227

(a) Si x, y ∈ Vω , entonces {x, y} ∈ Vω . S (b) Si X ∈ Vω , entonces X ∈ Vω y P(X) ∈ Vω .

(c) Si A ∈ Vω y f es una funci´on en A tal que f (x) ∈ Vω para cada x ∈ A, entonces f (A) ∈ Vω .

(d) Si X es un subconjunto finito de Vω , entonces X ∈ Vω .

8. Demuestre que Vω es un modelo para ZF sin el Axioma de Infinitud, donde ∈ es la pertenencia usual de ZF y el t´ermino conjunto es el mismo que el de ZF, es decir, tomando como conjuntos a los objetos de Vω se pueden verificar los axiomas del 1 al 10 a excepci´ on del 8 y 9.

9.4 Inducci´on y Recursi´on Transfinita El Principio de Inducci´on y el Teorema de Recursi´ on son las principales herramientas para demostrar teoremas acerca de n´ umeros naturales y para construir funciones con dominio N. En esta secci´ on, mostraremos c´ omo estos resultados se generalizan a los n´ umeros ordinales. Teorema 9.19 (Principio de Inducci´ on Transfinita) Sea P(x) una propiedad (posiblemente con par´ ametros). Supongamos que, para todos los n´ umeros ordinales α si P(β) se cumple para todo β < α, entonces P(α) se cumple.

(9.4.1)

Entonces P(α) se cumple para todos los ordinales α. ´ n: Demostracio Sup´ongase que P(α) falla para alg´ un ordinal α. Sea A = {β ≤ α : P(β) falla} , entonces A 6= ∅ y as´ı tiene un primer elemento β0 . P(β0 ) falla, pero P(β) se cumple para todo β < β0 , lo cual contradice la hip´ otesis (9.4.1). Algunas veces es conveniente usar el Principio de Inducci´ on Transfinita en una forma que se parezca m´as a la formulaci´ on usual del Principio de Inducci´ on para N. Al hacer esto, debemos tratar a los ordinales sucesores y a los ordinales l´ımite por separado.

228

9. Ordinales

Teorema 9.20 (Segunda Versi´ on del Principio de Inducci´ on Transfinita) Sea P(x) una propiedad (posiblemente con par´ ametros). Supongamos que: (a) P(0) se cumple, (b) P(α) implica P(α + 1) para todos los ordinales α, (c) Para todo ordinal l´ımite α 6= 0, si P(β) se cumple para cada β < α, entonces P(α) se cumple. Entonces P(α) se cumple para todos los ordinales α. ´ n: Demostracio Es suficiente mostrar que (a), (b) y (c) implican (9.4.1). Sea α un ordinal tal que P(β) se cumple para todo β < α. Si α = 0, entonces P(α) se cumple por (a). Si α es sucesor, es decir, si existe β tal que α = β + 1, sabemos que P(β) se cumple y as´ı P(α) se cumple por (b). Si α es un ordinal l´ımite distinto de 0, entonces P(α) se cumple por (c). En la Secci´ on 5.3 el Teorema de Recursi´ on fue derivado del Principio de Inducci´ on. Se demostr´o que si una funci´ on est´a definida en 0, y siempre que la funci´on est´e definida en n, su valor en n + 1 puede determinarse, entonces existe una funci´on cuyo dominio es N. Alternativamente, siempre que una funci´on est´e definida para todos los naturales menores que n, su valor en n puede determinarse, entonces existe una funci´on definida sobre N. Ahora procederemos a generalizar el Teorema de Recursi´ on a Ord usando el Principio de Inducci´ on Transfinita. Funciones cuyo dominio es un ordinal α se llaman sucesiones transfinitas de longitud α. Teorema 9.21 Sea Ω un n´ umero ordinal, sea A un conjunto y sea S = S α α<Ω A el conjunto de todas las sucesiones transfinitas de elementos en A de longitud menor que Ω. Sea g : S → A una funci´ on. Entonces existe una u ´nica funci´ on f : Ω → A tal que f (α) = g(f |α )

para todo α < Ω.

El lector puede probar este teorema de manera enteramente an´aloga a la prueba del Teorema de Recursi´on del Cap´ıtulo 5. No entraremos en los detalles puesto que el Teorema 9.21 se sigue desde un teorema posterior de recursi´ on transfinita m´as general. Si ϑ es un ordinal y si f es una sucesi´on transfinita de longitud ϑ. Usaremos la notaci´ on f = (aα )α<ϑ .

9.4. Inducci´ on y Recursi´ on Transfinita

229

El Teorema 9.21 asegura que si g es una funci´on en el conjunto de todas las sucesiones transfinitas de longitud menor que Ω con valores en A, entonces hay una sucesi´on transfinita (aα )α<Ω tal que para todo α < Ω, aα = g ((aξ )ξ<α ) . Teorema 9.22 (de Recursi´ on Transfinita) Si G una (clase) funci´ on, entonces la propiedad P formulada en (9.4.2) define una (clase) funci´ on F tal que F(α) = G(F |α ) para todos los ordinales α. ´ n: Demostracio Llamaremos a t c´ alculo de longitud α basado en G, si t es una funci´on, dom t = α + 1 y para todo β ≤ α, t(β) = G(t |β ). Sea P(x, y) la propiedad  x es un n´ umero ordinal y y = t(x) para alg´ un  c´ alculo t de longitud x basado en G, (9.4.2)  o x no es un n´ umero ordinal y y = ∅.

Probaremos primero que P define una (clase) funci´on. Tenemos que demostrar que para cada x hay un u ´nico y tal que P(x, y). Esto es obvio si x no es un n´ umero ordinal. Para mostrarlo para los ordinales, es suficiente probar por inducci´ on transfinita que para cualquier ordinal α existe un u ´nico c´ alculo de longitud α. Hagamos la suposici´ on inductiva de que para cada β < α existe un u ´nico c´ alculo de longitud β, y demostremos la existencia y unicidad de un c´alculo de longitud α. Existencia. De acuerdo al Axioma Esquema de Reemplazo aplicado a la propiedad “y es un c´ alculo de longitud x o x ∈ / α, y = ∅” y al conjunto α, existe un conjunto T = {t : t es un c´ alculo de longitud β para alg´ un β < α} . M´as a´ un, la suposici´on inductiva implica que para cada β < α existe un u ´nico t ∈ T tal que la longitud de t es β. S T . Finalmente, sea T es ©un sistemaª compatible de funciones; sea t = alculo de longitud α. τ = t ∪ (α, G(t)) . Probaremos que τ es un c´ Afirmaci´ on: τ es una funci´ S on y dom τS= α + 1. Se tiene que dom t = t∈T dom t = β<α (β + 1) = α; consecuentemente, dom τ = dom t ∪ {α} = α + 1. Como α ∈ / dom t, es suficiente mostrar que t es una funci´on. Esto se sigue del hecho de que T es un sistema compatible de

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9. Ordinales

funciones. En efecto, sean t1 , t2 ∈ T arbitrarios, y sean dom t1 = β1 , dom t2 = β2 . Supongamos, sin p´erdida de generalidad, que β1 ≤ β2 ; entonces β1 ⊆ β2 , y on es suficiente probar que t1 (γ) = t2 (γ) para todo γ < β1 . Usaremos inducci´ transfinita. Supongamos que γ < β1 y t1 (δ) = t2 (δ) para todo δ < γ. Entonces t1 |γ = t2 |γ , y tenemos que t1 (γ) = G(t1 |γ ) = G(t2 |γ ) = t2 (γ). Lo cual nos lleva a concluir que t1 (γ) = t2 (γ) para todo γ < β1 . Esto completa la prueba de la afirmaci´ on. Afirmaci´ on: τ (β) = G(τ |β ) para todo β ≤ α. Esto es claro si β = α, pues τ (α) = G(t) = G(τ |α ). Si β < α, tomemos t ∈ T tal que β ∈ dom t. Tenemos entonces que: τ (β) = t(β) = G(t |β ) = G(τ |β ) puesto que t es un c´ alculo y t ⊆ τ . Las dos afirmaciones anteriores juntas demuestran que τ es un c´alculo de longitud α. Unicidad. Sea σ otro c´alculo de longitud α. Probaremos que τ = σ. Como τ y σ son funciones y dom τ = α + 1 = dom σ, es suficiente probar por inducci´ on transfinita que τ (γ) = σ(γ) para todo γ ≤ α. Supongamos que τ (δ) = σ(δ) para todo δ < γ. Entonces τ (γ) = G(τ |γ ) = G(σ |γ ) = σ(γ). Por tanto, τ (γ) = σ(γ) para todo γ ≤ α, as´ı τ = σ. Lo anterior concluye la demostraci´ on de que P define una (clase) funci´on F. Note que para cualquier c´ alculo t, F |dom t = t. Esto es porque para cualquier β ∈ dom t, tβ = t |β+1 es obviamente un c´ alculo de longitud β, y as´ı, por definici´ on de F, F(β) = tβ (β) = t(β). ´nico c´ alculo de Para probar que F(α) = G(F |α ) para todo α, sea t el u longitud α, tenemos entonces que: F(α) = t(α) = G(t |α ) = G(F |α ). Necesitamos nuevamente una versi´ on param´etrica del Teorema de Recursi´ on Transfinita. Si F(z, x) es una (clase) funci´ on de dos variables, escribiremos Fz (x) en lugar de F(z, x). Note que para z fijo, Fz es una (clase) funci´on en una variable. Si F es definida por H(z, x, y), las notaciones Fz (A) y Fz |A tienen los significados siguientes: Fz (A) = {y : H(z, x, y) para alg´ un x ∈ A} ; un x ∈ A} . Fz |A = {(x, y) : H(z, x, y) para alg´

9.4. Inducci´ on y Recursi´ on Transfinita

231

Ahora podemos mostrar la versi´ on param´etrica del Teorema de Recursi´ on Transfinita. Teorema 9.23 (Recursi´ on Transfinita Param´ etrica) Sea G una (clase) funci´ on de dos variables. La propiedad H formulada en (9.4.3) define una (clase) funci´ on F tal que F(z, α) = G(z, Fz |α ) para todos los ordinales α y todo conjunto z. ´ n: Demostracio Llamamos a t un c´ alculo de longitud α basado en G y z si t es una funci´on, dom t = α + 1 y para todo β ≤ α, t(β) = G(z, t |β ). Sea H la propiedad  x es un n´ umero ordinal y y = t(x) para alg´ un  c´ alculo t de longitud x basado en G y z (9.4.3)  o x no es un n´ umero ordinal y y = ∅. Entonces z recorre como un par´ametro a trav´es del resto de la demostraci´ on del Teorema de Recursi´on Transfinita.

Ejercicios 9.4 1. Demuestre el Teorema de Recursi´ on Generalizada. 2. Demuestre el Teorema 9.21. 3. Demuestre la siguiente versi´ on que generaliza al Teorema de Recursi´ on Transfinita (Teorema de Doble Recursi´ on): Sea G una (clase) funci´on de dos variables. Entonces existe una (clase) funci´ on F tal que F(α, β) = alculos son G(F |α×β ) para todos los ordinales α y β. (Sugerencia: los c´ ahora funciones con dominio (α + 1) × (β + 1).) 4. Usando el Teorema de Recursi´ on Transfinita Param´etrica muestre que hay una (clase) funci´on tal que: (a) F(x, 1) = 0 para todo x. (b) F(x, n+1) = 0 si y s´ olo si existen y, z tal que x = (y, z) y F(y, n) = 0.

232

9. Ordinales

5. Complete la demostraci´ on del Teorema de Recursi´on Transfinita Param´etrica. 6. Demuestre que hay una cantidad no numerable de buenos ´ordenes en N de tal modo que dos diferentes de tales o´rdenes no son isomorfos.

9.5 Aritm´etica Ordinal Ahora usaremos el Teorema de Recursi´on Transfinita mencionado en la secci´on anterior para definir suma, multiplicaci´ on y exponenciaci´on de n´ umeros ordinales. Estas definiciones son amplias generalizaciones de las correspondientes para n´ umeros naturales. Es necesario distinguir entre ordinales sucesores y ordinales l´ımite en nuestra construcci´ on. Tambi´en conviene reformular el Teorema de Recursi´on con esta distinci´on en mente. Teorema 9.24 Sean G1 , G2 y G3 (clase) funciones, y sea G la (clase) funci´ on que define la propiedad definida en (9.5.1). Entonces la propiedad P formulada en (9.4.2) (basada en G) define una funci´ on F tal que: (a) F(0) = G1 (∅), (b) F(α + 1) = G2 (F(α)) para todo α, (c) F(α) = G3 (F |α ) para todo ordinal l´ımite α 6= 0. ´ n: Demostracio Defina una operaci´on G por G(x) = y si y s´ olo si o bien o

o o

x = ∅, y = G1 (∅) on, dom x = α + 1  x es una funci´ (ii) para alg´ un ordinal α 6= 0,  y = G2 (x(α))  on, dom x = α  x es una funci´ (iii) para alg´ un ordinal l´ımite  α 6= 0, y = G3 (x) (iv) x no es nada de lo anterior y y = ∅ (i)

                      

(9.5.1)

Sea P la propiedad formulada en (9.4.2) de la demostraci´on del Teorema de Recursi´on (basada en G). La (clase) funci´on F definida por P satisface F(α) = G(F |α ) para todo α. Es f´acil verificar que F tiene las propiedades requeridas usando la definici´ on de G.

9.5. Aritm´etica Ordinal

233

La definici´on de suma de n´ umeros ordinales es una aplicaci´on del teorema anterior. Para cualquier n´ umero ordinal β se define una funci´on β+. Definici´ on 9.25 (Suma de Ordinales) Para todo ordinal β, (a) β + 0 = β. (b) β + (α + 1) = (β + α) + 1 para todo α, (c) β + α = sup {β + γ : γ < α} para todo ordinal l´ımite α 6= 0. Si hacemos α = 0 en (b), tenemos la igualdad β +1 = β +1; el lado izquierdo denota la suma de los n´ umeros ordinales β y 1, mientras el lado derecho es el sucesor de β. Para ver c´ omo la definici´ on de suma es conforme a la versi´on formal del Teorema de Recursi´ on, consideremos (clase) funciones G1 , G2 y G3 donde G1 (z, x) = z,

G2 (z, x) = x + 1,

G3 (z, x) = sup(ran x).

Entonces la forma param´etrica del teorema anterior proporciona una (clase) funci´ on F tal que para todo z  F(z, 0) = G1 (z, 0) = z.    F(z, α + 1) = G2 (z, Fz (α)) = F(z, α) + 1, para todo α.   (9.5.2) F(z, α) = G3 (z, Fz |α ) = sup(ran (Fz |α ))   = sup({F(z, γ) : γ < α})    para α 6= 0 l´ımite.

Si β y α son ordinales, entonces escribimos β + α en lugar de F(β, α) y vemos que las condiciones (9.5.2) son exactamente las propiedades (a), (b) y (c) de la definici´ on. En las subsecuentes aplicaciones del Teorema de Recursi´ on Transfinita usaremos la forma abreviada como en la Definici´ on 9.25, sin expl´ıcita formulaci´ on de las funciones G1 , G2 y G3 . Por otra parte, obs´ervese que la definici´on de suma de n´ umeros ordinales generaliza la definici´ on de suma para n´ umeros naturales; de hecho, para n´ umeros naturales, la parte (c) de la Definici´ on 9.25 no se aplica puesto que ning´ un n´ umero natural distinto de cero es un ordinal l´ımite. Una consecuencia de 9.25 es que para todo β, (β + 1) + 1 = β + 2, (β + 2) + 1 = β + 3, etc. Tambi´en tenemos (si α = β = ω) ω + ω = sup {ω + n : n < ω} ,

234

9. Ordinales

y similarmente, (ω + ω) + ω = sup {(ω + ω) + n : n < ω} . En contraste a estos ejemplos, consideremos la suma m + ω para m < ω. Tenemos m + ω = sup {m + n : n < ω} = ω puesto que si m es un n´ umero natural, m + n es tambi´en un n´ umero natural. La aritm´etica de n´ umeros ordinales es m´as dif´ıcil que la aritm´etica de n´ umeros naturales. Una raz´ on de ello es que la conmutatividad no se cumple. Por ejemplo, m + ω 6= ω + m. Tambi´en uno puede ver que, mientras 1 6= 2, tenemos que 1 + ω = 2 + ω. As´ı, cancelaciones del lado derecho de sumas de ordinales en ecuaciones y desigualdades no son permitidas. Sin embargo, la suma de ordinales es asociativa y se cumple la ley de cancelaci´ on izquierda; esto lo probaremos despu´es de establecer algunos resultados previos. Teorema 9.26 Si α y β son n´ umeros ordinales, entonces α + β = α ∪ {α + γ : γ < β} . ´ n: Demostracio La prueba es por inducci´ on sobre β. Supongamos que el teorema es cierto para todo γ < β. Si β = 0, por definici´ on α + β = α. Tambi´en, si β = 0, {α + γ : γ < β} = {α + γ : γ ∈ β} = ∅. Por lo tanto, α ∪ {α + γ : γ < β} = α. Si β es un ordinal sucesor, digamos β = γ +1, entonces α+β = (α+γ)+1 = S(α + γ). Empleando la hip´ otesis de inducci´ on S(α + γ) = S(α ∪ {α + δ : δ < γ}) = (α ∪ {α + δ : δ < γ}) ∪ {α ∪ {α + δ : δ < γ}} = α ∪ {α + δ : δ < γ} ∪ {α + γ} = α ∪ {α + δ : δ < β} . Si β es un ordinal l´ımite. Entonces, α + β = sup {α + δ : δ < β} =

[

{α + δ : δ < β}

(9.5.3)

9.5. Aritm´etica Ordinal

235

(recuerde cu´al es el supremo de un conjunto de n´ umeros ordinales). Por lo tanto, γ ∈ α + β si y s´ olo si, existe δ ∈ β tal que γ ∈ α + δ. Sin embargo, por la hip´ otesis de inducci´on, si δ ∈ β, entonces γ ∈ α + δ si y s´ olo si γ ∈ α o existe δ1 < δ tal que γ = α + δ1 . Por la linealidad de < tenemos que, δ1 < β; consecuentemente, α + β ⊆ α ∪ {α + γ : γ < β} . Por otro lado, de (9.5.3) se deduce que α ⊆ α + β. Ahora si γ = α + δ para alg´ un δ < β, entonces, dado que β es un ordinal l´ımite, δ + 1 < β. Por definici´ on α + (δ + 1) = (α + δ) + 1 = γ + 1, as´ı γ ∈ α + (δ + 1). Por lo tanto, se sigue de (9.5.3) que γ ∈ α + β. Luego α ∪ {α + γ : γ < β} ⊆ α + β. Esto completa la demostraci´ on. El Teorema 9.26 puede formularse en t´erminos de conjuntos bien ordenados. Dados dos conjuntos ordenados (A, ≤) y (B, ¹) podemos bien ordenar la uni´ on A t B (ver Ejercicio 3.2.11) con la relaci´ on ¿ del Ejercicio 4.5.12. Teorema 9.27 Si (A, ≤) y (B, ¹) son conjunto bien ordenados con tipos de orden k(A, ≤)k = α y k(B, ¹)k = β, entonces A t B con la relaci´ on ¿ antes descrita, tiene tipo de orden α + β. ´ n: Demostracio Por hip´otesis, los conjuntos ordenados (A, ≤) y (B, ¹) son isomorfos a (α, ≤) y (β, ≤), respectivamente. Como α ∩ {α + γ : γ < β} = ∅ y el conjunto ordenado (B, ¹) es isomorfo a ({α + γ : γ < β} , ≤), se verifica sin dificultad que (A t B, ¿) es isomorfo a (α ∪ {α + γ : γ < β} , ≤). Empleando el Teorema 9.26, α ∪ {α + γ : γ < β} = α + β. Por lo tanto, k(A t B, ¿)k = α + β. Un caso particular del Teorema 9.27 es tomar a (A, ≤) como (α, ≤) y a (B, ¹) como (β, ≤), lo que permite interpretar la suma de ordinales como el tipo de orden del conjunto (α t β, ¿). Se le sugiere al lector interpretar con una gr´afica este resultado

236

9. Ordinales

Proposici´ on 9.28 (a) Si α1 , α2 y β son ordinales, entonces α1 < α2 si y s´ olo si β + α1 < β + α2 . olo si (b) Para cualesquiera ordinales α1 , α2 y β, β + α1 = β + α2 si y s´ α1 = α2 . (c) (α + β) + γ = α + (β + γ) para todos los ordinales α, β y γ. ´ n: Demostracio (a) Por el Teorema 9.26, β+α1 = β∪{β + γ : γ < α1 }. Por lo tanto, si α1 < α2 , entonces β + α1 < β + α2 . on Rec´ıprocamente, supongamos que β+α1 < β+α2 . Si α2 < α1 , la implicaci´ antes probada muestra que β + α2 < β + α1 . Como α1 = α2 es tambi´en imposible (implica β + α1 = β + α2 ), se concluye por la linealidad de < que α1 < α2 . (b) Se sigue trivialmente de (a): Si α1 6= α2 , entonces o bien α1 < α2 o α2 < α1 y consecuentemente β + α1 < β + α2 o β + α2 < β + α1 . Si α1 = α2 , entonces obviamente β + α1 = β + α2 . (c) Use el Teorema 9.26 y la asociatividad de la uni´ on. Los detalles se dejan como ejercicio al lector. Sabemos que α1 < α2 no necesariamente implica α1 +β < α2 +β, un ejemplo es 1 + ω = 2 + ω; pero podemos establecer un resultado m´as d´ebil. umeros ordinales entonces para cualquier Proposici´ on 9.29 Si α1 , α2 son n´ ordinal β, α1 < α2 implica α1 + β ≤ α2 + β. ´ n: Demostracio Haremos la demostraci´ on por inducci´on transfinita sobre β. Sup´ongase que la proposici´ on es cierta para δ< β y supongamos α1 < α2 . Por el Teorema olo si ξ ∈ α1 o existe δ < β tal que ξ = α1 + δ. Como 9.26, ξ ∈ α1 + β si y s´ α1 < α2 tenemos que: ξ < α1 implica ξ < α2 . Si ξ = α1 + δ donde δ < β entonces por la hip´ otesis de inducci´ on ξ ≤ α2 + δ. En resumen, del Teorema 9.26 se sigue que si ξ ∈ α1 + β entonces ξ ∈ α2 + β; o sea α1 + β ⊆ α2 + β. Luego α1 + β ≤ α2 + β. Teorema 9.30 Si α es cualquier n´ umero ordinal y β es un ordinal l´ımite, entonces α + β es un ordinal l´ımite. ´ n: Demostracio Sup´ongase que γ ∈ α + β. Nuevamente usando el Teorema 9.26, o bien γ ∈ α o existe δ ∈ β tal que γ = α + δ. Entonces necesariamente: γ + 1 ∈ α o

9.5. Aritm´etica Ordinal

237

γ + 1 = α o γ + 1 = (α + δ) + 1 = α + (δ + 1). Dado que β es un ordinal l´ımite δ ∈ β implica δ + 1 ∈ β. Por lo tanto, en cualquier caso, γ + 1 ∈ α + β, es decir, α+β es un ordinal l´ımite. Corolario 9.31 Si α es cualquier n´ umero ordinal y β es un ordinal l´ımite, entonces [ α + β = sup {γ : γ < α + β} = {γ : γ < α + β} .

Finalizamos el estudio de la suma de ordinales con un teorema de utilidad con el cual puede definirse (en algunos casos) la resta de n´ umeros ordinales.

Teorema 9.32 Si α y β son n´ umeros ordinales tales que α ≤ β entonces existe un u ´nico ordinal γ tal que α + γ = β. ´ n: Demostracio La unicidad se sigue de la ley de cancelaci´ on izquierda (Proposici´ on 9.28(b)). Si α = β, entonces basta tomar γ = 0. Sup´ ongase que α < β, entonces β \ α es un conjunto no vac´ıo y bien ordenado por ≤ restringido a β \ α. Sea γ = k(β \ α, ≤)k, usando el Teorema 9.27 se sigue que α + γ = β. A continuaci´ on damos la definici´ on de multiplicaci´ on de ordinales. Definici´ on 9.33 (Multiplicaci´ on de Ordinales) Para todo ordinal β: (a) β · 0 = 0, (b) β · (α + 1) = β · α + β para todo α, (c) β · α = sup {β · γ : γ < α} para todo ordinal l´ımite α 6= 0. Ejemplo 9.34 (a) β · 1 = β · (0 + 1) = β · 0 + β = β. (b) β · 2 = β(1 + 1) = β · 1 + β = β + β, en particular, ω · 2 = ω + ω. (c) β · 3 = β · (2 + 1) = β · 2 + β = β + β + β. (d) β · ω = sup {β · n : n < ω} = sup {β, β + β, β + β + β, . . .} Ejemplo 9.35 1 · α = α. Pero esto requiere una demostraci´ on inductiva. ´ n: Demostracio Si α = 0, entonces 1 · 0 = 0. Tambi´en para α sucesor, digamos α = γ + 1, 1 · (γ + 1) = 1 · γ + 1 = γ + 1 = α. Finalmente, si α 6= 0 es un ordinal l´ımite, 1 · α = sup {1 · γ : γ < α} = sup {γ : γ < α} = α. Ejemplo 9.36 2 · ω = sup {2 · n : n < ω} = ω. Como ω · 2 6= ω, se concluye que la multiplicaci´on de ordinales generalmente no es conmutativa.

238

9. Ordinales

Como en el caso de la suma, es u ´til describir la multiplicaci´on de n´ umeros ordinales en t´erminos de conjuntos bien ordenados. Primero un lema cuya demostraci´on se encomienda al lector. Lema 9.37 Sean (X, ≤) y (Y, ¹) conjuntos bien ordenados y sea ¿h el orden lexicogr´ afico horizontal en X × Y . Entonces: (a) W es un segmento inicial de X × Y si y s´ olo si existen un segmento inicial U de X y un segmento inicial V de Y tales que W = (X × V ) ∪ (U × {u}), donde u = min Y \ V . (b) Si W es un segmento inicial de X × Y , entonces existe un segmento inicial V de Y tal que X × V es un segmento inicial de X × Y y W ⊆ X × V . (c) Si X y Y no tienen elementos m´ aximos, X ×Y tampoco tiene elemento m´ aximo. Teorema 9.38 Sean (X, ≤) y (Y, ¹) conjuntos bien ordenados con tipos de afico horizontal, enorden α y β, respectivamente. Si ¿h es el orden lexicogr´ tonces k(X × Y, ¿h )k = α · β. ´ n: Demostracio Haremos la demostraci´ on por inducci´ on transfinita sobre β. Sup´ongase que el teorema es cierto para todo γ < β. Si β = 0, entonces Y = ∅, por lo tanto, X × Y = ∅, as´ı k(X × Y, ¿h )k = α · β. Si β = γ + 1, entonces por el Ejercicio 9.3.4, Y tiene un elemento m´ aximo, digamos u. Sea Z = Y \ {u}. Entonces k(Z, ¹)k = γ, y por la hip´ otesis inductiva, k(X × Z, ¿h )k = α · γ. Pero X × Y = X × (Z ∪ {u}) = (X × Z) ∪ (X × {u}). Por lo tanto, por el Lema 9.37(a) y la definici´ on de ¿h , k(X × Y, ¿h )k = α · γ + α = α · β. Si β es un ordinal l´ımite. Para cada γ < β existe un u ´nico segmento inicial Z de Y tal que k(Z, ¹)k = γ.

9.5. Aritm´etica Ordinal

239

Tambi´en se sigue del Lema 9.37(a) que X ×Z es un segmento inicial de X ×Y . Por lo tanto, la hip´otesis inductiva implica k(X × Z, ¿h )k = α · γ. M´as a´ un, puesto que Y no tiene elemento m´aximo, X × Y tampoco. Por lo tanto, k(X × Y, ¿h )k es un ordinal l´ımite, con lo cual [ k(X × Y, ¿h )k = {k(W, ¿h )k : W es segmento inicial de X × Y } .

Por el Lema 9.37, para cada W segmento inicial de X × Y , existe un segmento inicial V de Y tal que W est´a contenido en el segmento inicial X ×V de X ×Y ; luego S k(X × Y, ¿h )k = S {k(X × V, ¿h )k : V es segmento inicial de Y } = {α · γ : γ < β} = sup {α · γ : γ < β} = α · β. Lo cual completa la demostraci´ on. Si cambiamos el orden lexicogr´afico horizontal por el orden lexicogr´ afico vertical entonces k(X × Y, ¿v )k = β · α (ver Ejercicios 9.3.3a y 9.5.6). En los siguientes teoremas estableceremos propiedades de la multiplicaci´ on ´ de ordinales. Unicamente se realizar´an indicaciones de sus demostraciones y se sugiere que el lector las realice. Teorema 9.39 Para cualesquiera ordinales α, β y γ, (α · β) · γ = α · (β · γ). ´ n: Demostracio Use el Teorema 9.38 y el hecho de que (α × β) × γ es equipotente a α × (β × γ). Teorema 9.40 Si α 6= 0 y β es un ordinal l´ımite, o si β 6= 0 y α es un ordinal l´ımite, entonces α · β es un ordinal l´ımite.

240

9. Ordinales

´ n: Demostracio Use el Lema 9.37 y el Teorema 9.38. El rec´ıproco del teorema anterior tambi´en es cierto. Ver el Ejercicio 9(c) de esta secci´ on. Teorema 9.41 Si β es un ordinal l´ımite y α 6= 0, entonces αβ = sup {γ : γ < α · β} . ´ n: Demostracio Use S el Teorema 9.40, el hecho de que para un ordinal l´ımite α se tiene que α = α y la definici´ on.

Teorema 9.42 Si α 6= 0 y β < γ, entonces α · β < α · γ. ´ n: Demostracio

Se sigue del Lema 9.37(a), del Teorema 9.38 y del hecho de que si α 6= 0 y β es un segmento inicial de γ, entonces α · β es un segmento inicial de α · γ. Teorema 9.43 Si α 6= 0 y α · β = α · γ, entonces β = γ. ´ n: Demostracio Use el Teorema 9.42 y la linealidad del (clase) orden ≤ en Ord. El teorema precedente nos proporciona la ley de cancelaci´ on izquierda. La ley de cancelaci´ on derecha no se cumple, ya que 1 · ω = ω = 2 · ω, pero 1 6= 2. M´ as a´ un, este mismo ejemplo demuestra que la multiplicaci´ on por la izquierda no es mon´otona: 1 < 2, pero 1 · ω = 2 · ω. Sin embargo, podemos demostrar el siguiente teorema. Teorema 9.44 Si α, β y γ son cualesquiera ordinales, entonces α < β implica α · γ ≤ β · γ.

9.5. Aritm´etica Ordinal

241

´ n: Demostracio “Para variar”, la demostraci´ on es por inducci´ on transfinita sobre γ. Sup´ongase que la implicaci´ on es cierta para todo δ < γ y sup´ongase que α < β. Si γ = 0, la implicaci´ on es trivial. Si γ = δ + 1, entonces por la hip´ otesis de inducci´on, α · δ ≤ α · δ. M´ as a´ un, por definici´on: α·γ =α·δ+α ≤β·δ+α ≤β·δ+β = β · γ. Si γ es un ordinal l´ımite y α = 0, entonces α · γ = 0 ≤ β · γ. Supongamos entonces que α 6= 0. Entonces por el Teorema 9.41 y dado que α < β, α · γ y β · γ son ordinales l´ımites. Por lo tanto, por definici´ on, α · γ = sup {α · δ : δ < γ} ≤ sup {β · δ : δ < γ} = β · γ. A continuaci´on mostraremos que la multiplicaci´ on es distributiva con respecto a la suma por el lado izquierdo. Sin embargo, no es distributiva por el lado derecho, como lo ilustra el siguiente ejemplo: (1 + 1) · ω = 2 · ω = ω (1 · ω) + (1 · ω) = ω + ω 6= ω. Teorema 9.45 Para cualesquiera ordinales α, β y γ se cumple: α · (β + γ) = α · β + α · γ. ´ n: Demostracio Sean (X, ≤1 ), (Y, ≤2 ) y (Z, ≤3 ) conjuntos bien ordenados de tipos de orden α, β y γ, respectivamente. Si ≤ es el orden de la uni´on ajena Y t Z como se dijo en el Teorema 9.27, y ¿ es el orden lexicogr´ afico horizontal en X × (Y t Z). Entonces k(X × (Y t Z), ¿)k = α(β + γ). (9.5.4) aficos horizontales en X ×Y y X ×Z, Ahora sean ¿1 y ¿2 los o´rdenes lexicogr´ on ajena (X ×Y )t(Y ×Z), entonces respectivamente, y ≤0 es el orden de la uni´ °¡ ¢° ° (X × Y ) t (X × Z), ≤0 ° = α · γ + β · γ. (9.5.5)

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9. Ordinales

Se puede verificar que (X × (Y t Z), ¿) es isomorfo a ¡ ¢ (X × Y ) t (X × Z), ≤0 .

El resultado se sigue de (9.5.4) y (9.5.5).

Terminamos la secci´on definiendo la exponenciaci´on de ordinales y enunciando algunas de sus propiedades. Definici´ on 9.46 (Exponenciaci´ on de Ordinales) Para todo ordinal β, (a) β 0 = 1, (b) β α+1 = β α · β para todo ordinal α, (c) β α = sup {β γ : γ < α} para todo ordinal l´ımite α 6= 0. Ejemplo 9.47 (a) β 1 = β, β 2 = β · β, β 3 = β 2 · β = β · β · β, etc. (b) β ω = sup {β n : n < ω}; en particular, 1ω = 1, 2ω = ω, 3ω = ω, . . . , nω = ω para cualquier n ∈ ω. ωω = sup {ωn : n < ω} > ω. Teorema 9.48 Si β > 1 y α es un ordinal l´ımite, entonces β α es un ordinal l´ımite. Teorema 9.49 Para cualesquiera ordinales α, β y γ, αβ+γ = αβ · αγ

y (αβ )γ = αβγ .

Puesto que la multiplicaci´ on de n´ umeros ordinales no es conmutativa, no es γ γ β cierto que (αβ) = α · α para cualesquiera ordinales α, β y γ. Para ver esto, sea α = ω y β = γ = 2. Entonces (ω · 2)2 = (ω · 2) · (ω · 2) = ω · (2 · ω) · 2 = (ω · ω) · 2 = ω2 · 2. Sin embargo, ω 2 · 22 = ω 2 · 4 6= ω 2 · 2. Se puede destacar que la aritm´etica ordinal difiere sustancialmente de la aritm´etica de n´ umeros cardinales. Por ejemplo, 2ω = ω y ωω son ordinales numerables, mientras 2ℵ0 = ℵℵ0 0 es no numerable.

9.5. Aritm´etica Ordinal

243

Uno puede usar las operaciones aritm´eticas para generar ordinales cada vez m´as grandes: 0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , ω · 2, ω · 2 + 1, . . . , ω · 3, . . . , ω · 4, . . . , ω · ω = ω 2 , ω 2 + 1, . . . , ω 2 + ω, . . . , ω 2 · 2, . . . , ω 3 , . . . ω 4 , . . . , ωω , ωω + 1, . . . , ω ω · 2, . . . , 2 3 ω ωω ω ω · ω = ωω+1 , . . . , ωω , . . . , ω ω , . . . , ω ω , . . . , ω ω , . . . El proceso puede f´acilmente ser continuado. Es costumbre definir © ª ω ² = sup ω, ω ω , ω ω , . . . . ²

Uno puede entonces formar ² + 1, ² + ω, ²ω , ²² , ²² , etc.

Ejercicios 9.5 1. Eval´ ue las siguientes operaciones: (a) (ω + 1) + ω. (b) ω + ω 2 . (c) (ω + 1) · ω 2 . 2. Pruebe que para cada ordinal α existen un u ´nico ordinal l´ımite β y un u ´nico n´ umero natural n tal que α = β + n. (Sugerencia: β = sup {γ ≤ α : γ es l´ımite} .) 3. Sean α ≤ β ordinales. Muestre que la ecuaci´ on ξ + α = β puede tener 0, 1 o infinitas soluciones. 4. Complete la demostraci´ on de la Proposici´ on 9.28(c). 5. Demuestre el Lema 9.37. 6. Demuestre que si (X, ≤) y (Y, ≤) son conjuntos bien ordenados con tipos de orden α y β, respectivamente, entonces el tipo de orden de (X × Y, ¿v ) es β · α.

244

9. Ordinales

7. Pruebe cada uno de las siguientes implicaciones. (a) α 6= 0 y β 6= 0 implica α · ωβ = (α + 1) · ω β .

(b) αβ < αγ implica β < γ.

(c) α · β = 0 si y s´ olo si α = 0 o β = 0. 8. Demuestre los Teoremas 9.39 a 9.43. 9. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones. (a) α es un ordinal l´ımite si y s´ olo si α = ω · β para alg´ un β.

(b) Si α no es un ordinal l´ımite, entonces existe un u ´nico ordinal β y un u ´nico n´ umero natural n 6= 0 tal que α = ω · β + n.

(c) Si αβ 6= 0 es un ordinal l´ımite, entonces α 6= 0 y β es un ordinal l´ımite, o β = 6 0 y α es un ordinal l´ımite.

10. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones. (a) Si 1 < α y β < γ, entonces αβ < αγ . (b) Si α < β, entonces αβ ≤ αγ . (c) Si αβ ≤ αγ , entonces β < γ.

(d) Si αγ < β γ , entonces α < β. (e) Si α > 1 y β > 0, entonces αβ ≤ αβ . (f) Si α > 0 y β > 1, entonces α ≤ β α .

(g) Si α < ωδ y β < ω δ , entonces α + β < ω δ . δ

δ

δ

(h) Si α < ωω y β < ωω , entonces α · β < ωω .

(i) Si n ∈ ω, n 6= 0 y α 6= 0, entonces nω α = ω α .

11. Sup´ongase que α = sup {γξ : ξ < ζ}. Demuestre que (a) β + α = sup {β + γξ : ξ < ζ} ,

(b) β · α = sup {β · γξ : ξ < ζ} , (c) β α = sup {β γξ : ξ < ζ} .

12. Encuentre un conjunto de A de n´ umeros racionales tales que (A, ≤Q ) sea isomorfo a (α, ≤), donde (a) α = ω + 1,

9.6. Ordinales Iniciales y Alephs

245

(b) α = ω · 2,

(c) α = ω · 3,

(d) α = ωω , (e) α = ².

© (Sugerencia: n −

1 m

ª : m ∈ N\ {0} es isomorfo a ω 2 , etc.)

13. Demuestre que si (α, ≤) es isomorfo a alg´ un conjunto de n´ umeros reales X (ordenado por la restricci´ on del orden usual en R) entonces α es a lo m´ as numerable. (Sugerencia: sea f un isomorfismo; para cada γ < α, use el intervalo Iγ = {x ∈ R :f (γ) < x < f (γ + 1)} y la densidad de los racionales.) 14. (Caracterizaci´on de la Exponenciaci´ on.) Sean α y β n´ umeros ordinales. Para cada f : β → α, sea s(f ) = {γ < β : f (γ) = 0}. Sea s(β, α) = {f : β → α : s(f ) es finito}. Def´ınase una relaci´ on de orden ≺ en s(β, α) como sigue: f ≺ g si y s´ olo si existe γ0 < β tal que f (γ0 ) < g(γ0 ) y f (γ) = g(γ) para todo γ ≤ γ0 . Muestre que (s(β, α), ≺) es isomorfo a (αβ , <). 15. Demuestre los Teoremas 9.48 y 9.49.

9.6 Ordinales Iniciales y Alephs En el Cap´ıtulo 7 empezamos la investigaci´on del concepto de cardinalidad. Hasta ahora hemos demostrado varios resultados que tienen que ver con el concepto |X|, la cardinalidad del conjunto X, pero no hemos definido expl´ıcitamente el objeto |X|, excepto para el caso cuando X es finito o numerable. En la presente secci´ on consideraremos el problema de encontrar “representantes” de cardinalidad. Puesto que los n´ umeros naturales desempe˜ nan bien este papel, generalizaremos el m´etodo apoyados en los n´ umeros ordinales. Sin embargo, los n´ umeros ordinales no representan cardinalidades, m´as bien, ellos representan a los conjuntos bien ordenados. Como cualquier conjunto infinito puede bien ordenarse de muchas maneras distintas, hay muchos n´ umeros ordinales de la misma cardinalidad; ω, ω + 1, ω + ω, ω · ω, ω · ω + 1, etc. son todos numerables; esto es, |ω| = |ω + 1| = |ω + ω| = |ω · ω| = ℵ0 .

246

9. Ordinales

A pesar de estas dificultades, es f´acil obtener representantes para la cardinalidad de conjuntos infinitos; simplemente tomaremos el m´ınimo n´ umero ordinal de una cardinalidad dada como el representante de esa cardinalidad. Definici´ on 9.50 Un n´ umero ordinal α se llama ordinal inicial si no es equipotente a cualquier β < α. En otras palabras, α es un ordinal inicial si α equipotente a β implica β ≥ α. Ejemplo 9.51 Cada n´ umero natural es un ordinal inicial. ω es un ordinal inicial, puesto que ω no es equipotente a cualquier n´ umero natural. ω + 1 no es un ordinal inicial. Similarmente, tampoco lo son ω + ω, ω · ω, ω ω . Teorema 9.52 Todo conjunto bien ordenado es equipotente a un u ´nico ordinal inicial. ´ n: Demostracio Ya sabemos que si (X, ≤) es un conjunto bien ordenado, entonces X es equipotente a alg´ un n´ umero ordinal. Sea α0 el primer ordinal equipotente a X. Enun tonces α0 es un ordinal inicial, porque si α0 es equipotente a β para alg´ β < α entonces X es equipotente a β, contradiciendo la elecci´on de α0 . Si α0 6= α1 son ordinales iniciales, ´estos no pueden ser equipotentes, puesto on de que si lo son, y digamos, α0 < α1 , entonces α1 no cumple con la definici´ ordinal inicial. Usando el Axioma de Elecci´ on podemos derivar el siguiente corolario que nos permite definir de manera precisa a |X| para cualquier conjunto X y justificar rigurosamente la Suposici´ on 7.23. Corolario 9.53 El Axioma de Elecci´ on implica que todo conjunto es equipotente a un ordinal inicial. Definici´ on 9.54 Si X es un conjunto, el n´ umero cardinal de X, denotado por |X|, es el u ´nico ordinal inicial equipotente a X. En particular, |X| = ω para cualquier conjunto numerable y |X| = n para cualquier conjunto finito de n elementos; en consistencia con las definiciones previas. Puesto que ∈ es un orden lineal (de hecho, un buen orden) en cualquier conjunto de n´ umeros ordinales, tambi´en tenemos el siguiente corolario. Corolario 9.55 El Axioma de Elecci´ on implica que para cualesquiera conjuntos A y B o bien |A| ≤ |B| o |B| ≤ |A|, es decir, el (clase) orden ≤ es lineal.

9.6. Ordinales Iniciales y Alephs

247

De acuerdo al u ´ltimo teorema los n´ umeros cardinales son precisamente los ordinales iniciales. Una cuesti´ on natural es: ¿Hay ordinales iniciales diferentes de los n´ umeros naturales y ω? El siguiente teorema muestra mucho m´as; sin hacer uso del Axioma de Elecci´on, nos dice que hay ordinales iniciales arbitrariamente grandes. Definici´ on 9.56 Para cualquier conjunto A, sea ~(A) el m´ınimo n´ umero ordinal que no es equipotente a cualquier subconjunto de A. Llamaremos a ~(A) n´ umero de Hartog de A. Por definici´ on, ~(A) es el m´ınimo ordinal α tal que |α| £ |A|. Por otra parte, del Axioma de Elecci´ on se sigue que el n´ umero de Hartog existe para cualquier conjunto A; pero tambi´en es posible establecer una demostraci´ on sin emplear dicho axioma (ver Ejercicio 9.6.4). Lema 9.57 Para todo conjunto A, ~(A) es un ordinal inicial. ´ n: Demostracio Supongamos que β es equipotente a ~(A) para alg´ un β < ~(A). Entonces β es equipotente a un subconjunto de A, por lo que se concluye que ~(A) es equipotente a un subconjunto de A, contradiciendo su definici´ on. Ahora estamos interesados en definir, por recursi´on transfinita, una “escala” de ordinales iniciales. Definici´ on 9.58 ω0 = ω; ωα+1 = ~(ωα ) ωα = sup {ωβ : β < α}

para todo α;

si α 6= 0es un ordinal l´ımite.

Note que de la Definici´ on 9.56 se sigue que, para cada ordinal α, |ωα+1 | > |ωα | y que |ωα | < |ωβ | siempre que α < β. umero ordinal inicial infinito para cada α. Teorema 9.59 (a) ωα es un n´ un (b) Si Ω es un n´ umero ordinal inicial infinito, entonces Ω = ωα para alg´ α.

248

9. Ordinales

´ n: Demostracio (a) Se har´a por inducci´ on sobre α. El u ´nico caso no trivial es cuando α 6= 0 es un ordinal l´ımite (por definici´on y por el lema). Sup´ongase que |ωα | = |γ| on de para alg´ un γ < ωα , entonces existe un β < α tal que γ < ωβ (por definici´ supremo). Pero, puesto que α es un ordinal l´ımite si β < α tambi´en β + 1 < α, y esto implica que |ωα | = |γ| = |ωβ | < |ωβ+1 | ≤ |ωα | , que es una contradicci´ on. (b) Por inducci´ on se verifica que α ≤ ωα para cada α. Suponiendo este preliminar, para todo ordinal inicial infinito Ω existe α tal que Ω ≤ ωα (por ejemplo α = Ω + 1). As´ı, es suficiente mostrar que para cada ordinal inicial Ω ≤ ωα , hay un ordinal γ ≤ α tal que Ω = ωγ . La demostraci´on procede por inducci´on sobre α. Sup´ongase que la propiedad es cierta para todo β < α. Si α = 0, la afirmaci´ on es trivialmente cierta. otesis de Si α = β + 1 y Ω < ωα = ~(ωβ ), entonces Ω ≤ ωβ . Por la hip´ inducci´ on, existe γ ≤ β < α tal que Ω = ωγ . Si α 6= 0 es un ordinal l´ımite y Ω < ωα = sup {ωβ : β < α}, entonces por definici´ on de supremo, existe β < α tal que Ω < ωβ ≤ ωα y nuevamente la hip´ otesis inductiva nos proporciona un γ < α tal que Ω = ωγ . Usando el Axioma de Elecci´ on, la conclusi´ on de esta secci´ on es que cualquier conjunto infinito es equipotente a un u ´nico n´ umero ordinal inicial y que los n´ umeros ordinales iniciales son precisamente de la forma ωα cuando α var´ıa en toda la clase Ord. Los ordinales iniciales son, por definici´on, la cardinalidad de los conjuntos infinitos. Es costumbre llamar a estos n´ umeros ordinales alephs, y definir ℵα = ωα para cada α ∈ Ord. Los n´ umeros cardinales son o bien n´ umeros naturales o alephs. En particular |N| = ℵ0 coincidiendo con nuestro acuerdo previo. El lector tambi´en puede notar que el orden de los n´ umeros cardinales por “tama˜ no”, como se hizo en el Cap´ıtulo 7, coincide con el orden de los n´ umeros naturales y con el orden de los alephs como ordinales, es decir, si |X| = ℵα y |Y | = ℵβ , entonces |X| < |Y |

9.6. Ordinales Iniciales y Alephs

249

si y s´ olo si ℵα < ℵβ (o sea ωα ∈ ωβ ), y similar equivalencia se cumple si uno o ambos son n´ umeros naturales. En el Cap´ıtulo 7 definimos la suma, multiplicaci´ on y exponenciaci´on de n´ umeros cardinales; estas operaciones desafortunadamente son poco compatibles con las correspondientes suma, multiplicaci´ on y exponenciaci´ on como n´ umeros ordinales. Por ejemplo, ωα + ωα 6= ωα si + es la suma de ordinales, pero ωα + ωα = ωα si + es la suma de cardinales. La suma de cardinales es conmutativa, pero la de ordinales no. Para evitar confusiones, se usan los s´ımbolos ωα cuando se trata de operaciones ordinales y los s´ımbolos ℵα cuando se refiere a los operaciones cardinales. Por otra parte, el lector podr´a demostrar sin dificultad que el conjunto de todos los n´ umeros cardinales no existe. Denotaremos por Car a la clase de todos los n´ umeros cardinales. Uno puede comparar conjuntos por su cardinalidad, es decir, definir las relaciones |X| < |Y | y |X| = |Y |, sin definir el s´ımbolo |X|. Con el Axioma de Elecci´ on, cualquier conjunto es equipotente a un u ´nico aleph, y as´ı uno puede definir |X| como el aleph correspondiente. Sin el Axioma de Elecci´ on es imposible hacer una definici´ on del s´ımbolo |X| en ZF. Una de las razones de porque usar los alephs para definir la cardinalidad de conjuntos, si se acepta el Axioma de Elecci´on, es que para cualquier ordinal α, ℵα = |ωα | , y as´ı la cardinalidad umeros cardinales son representantes de de ℵα es ℵα . En otras palabras, los n´ las “clases de equivalencia” de conjuntos de la misma cardinalidad. Finalmente comentaremos que existe tambi´en una definici´ on alternativa de |X| usando el Axioma de Fundaci´ on y el concepto de rango de un conjunto que no trataremos aqu´ı pero puede que encontrarse en [R2 ].

Ejercicios 9.6 1. Pruebe que para cada α, α ≤ ωα . 2. Sea X un conjunto numerable de ordinales estrictamente menores que ω1 . Use el Axioma de Elecciones Numerables para mostrar que sup X < ω1 . 3. Pruebe que si α y β son ordinales a lo m´ as numerables, entonces α + β, β as numerables. (Sugerencia: Use las caracterizaciones α·β y α son a lo m´ de las operaciones en t´erminos de conjuntos bien ordenados o bien use inducci´on transfinita.)

250

9. Ordinales

4. Pruebe sin usar el Axioma de Elecci´ on que ~(A) existe para cada A. (Sugerencia: hay un u ´nico ordinal α isomorfo a Y , donde Y es un subconjunto bien ordenado de A. Use el Axioma Esquema de Reemplazo para tener un conjunto de ordinales isomorfos a cualquier subconjunto bien ordenado de A.) 5. Muestre que para cualquier conjunto A, |A| < |A| + ~(A). 6. Sea ~∗ (A) el m´ınimo ordinal α tal que no existen funciones sobreyectivas de A en α. Demuestre que: (a) Si α ≥ ~∗ (A), entonces no existen sobreyecciones de A en α.

(b) ~(A) ≤ ~∗ (A).

(c) Si A es bien ordenable, entonces ~(A) = ~∗ (A).

(d) ~∗ (A) existe para todo A sin usar el Axioma de Elecci´ on. (Sugerenolo si α = 0 o α es igual al ordinal cia: muestre que α ∈ ~∗ (A) si y s´ isomorfo a W , donde W es un buen orden de alguna partici´ on de A en clases de equivalencia.) umeros con esta 7. Demuestre que si α > 0, entonces ωα = ωωα . Los n´ propiedad de llaman n´ umeros ´epsilon. 8. Encuentre dos conjuntos bien ordenados tales que: (a) Cada segmento inicial es finito. (b) Cada segmento inicial es a lo m´ as numerable. 9. Muestre que Car no es un conjunto.

9.7 Suma y Multiplicaci´on de Alephs La aritm´etica de n´ umeros infinitos difiere sustancialmente de la aritm´etica de n´ umeros finitos y de hecho las reglas para sumar y multiplicar alephs es muy simple. Por ejemplo: ℵ0 + n = ℵ0 para cualquier n´ umero natural n (si aumentamos n elementos a un conjunto numerables el resultado es un conjunto numerable.) Tambi´en tenemos que ℵ0 + ℵ0 = ℵ0

9.7. Suma y Multiplicaci´ on de Alephs

251

ya que, por ejemplo, podemos ver al conjunto de los n´ umeros naturales como la uni´ on de dos conjuntos numerables ajenos: los pares y los impares. M´ as a´ un, ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 . El conjunto de todas las parejas de n´ umeros naturales es numerable. Ahora probaremos un teorema general que determina completamente el resultado de la suma y la multiplicaci´on de alephs. Teorema 9.60 ℵα · ℵα = ℵα , para todo α. ´ n: Demostracio El teorema se probar´ a por inducci´on transfinita. Para todo α, construiremos otesis un buen orden conveniente ¹ en el conjunto ωα × ωα , y usaremos la hip´ de inducci´on, ℵβ · ℵβ ≤ ℵβ para todo β < α, para concluir que el tipo de as ωα ; con esto, se orden del conjunto bien ordenado (ωα × ωα , ¹) es a lo m´ seguir´ a que ℵα · ℵα ≤ ℵα . Puesto que ℵα · ℵα ≥ ℵα , podemos concluir que ℵα · ℵα = ℵα . La primera tarea es construir un buen orden para ωα × ωα , para todo α. La manera de realizar esto es definir una relaci´on ¹ que ser´ a un buen orden en cualquier conjunto de pares de ordinales, y as´ı entonces, (ωα × ωα , ¹) ser´a un conjunto bien ordenado. Definamos (α1 , α2 ) ≺ (β1 , β2 ) si y s´olo si: max {α1 , α2 } < max {β1 , β2 } o max {α1 , α2 } = max {β1 , β2 }

y α1 < β1

o bien max {α1 , α2 } = max {β1 , β2 }

y α1 = β1

y α2 < β2 .

Veamos que ≺ es transitivo. Sean α1 , α2 , β1 , β2 , γ1 y γ2 tales que (α1 , α2 ) ≺ (β1 , β2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). Se sigue de la definici´ on de ≺ que max {α1 , α2 } ≤ max {β1 , β2 } ≤ max {γ1 , γ2 } ; por lo que, max {α1 , α2 } ≤ max {γ1 , γ2 }.

252

9. Ordinales

Si max {α1 , α2 } < max {γ1 , γ2 } entonces (α1 , α2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). Supongamos que max {α1 , α2 } = max {γ1 , γ2 }, entonces α1 ≤ β1 ≤ γ1 . Si α1 < γ1 se obtiene (α1 , α2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). De otro modo tenemos que α1 = β1 = γ1 , as´ı que necesariamente α2 < β2 < γ2 ; se sigue nuevamente que (α1 , α2 ) ≺ (γ1 , γ2 ). La asimetr´ıa de ≺ es clara a partir de su definici´ on. Veamos pues que ¹ es un buen orden. Sea X 6= ∅ un conjunto de pares de ordinales y sea δ = min {max {α, β} : (α, β) ∈ X} . Luego sea Y = {(α, β) ∈ X : max {α, β} = δ}. Note que Y 6= ∅ (pues existe al menos un (α, β) ∈ X tal que max{α, β} = δ). δ < max {α, β} para todo (α, β) ∈ X \ Y y por lo tanto, (α, β) ≺ (α0 , β 0 )

siempre que (α, β) ∈ Y y (α0 , β 0 ) ∈ X \ Y . Por lo tanto, el ¹-m´ınimo elemento de Y , si existe, es tambi´en el m´ınimo elemento de X. Sean α0 = min {α : (α, β) ∈ Y }

y Z = {(α, β) ∈ Y : α = α0 } .

El conjunto Z es no vac´ıo y (α, β) ¹ (α0 , β 0 ) siempre que (α, β) ∈ Z y (α0 , β 0 ) ∈ Y . Finalmente tomemos β0 = min {β : (α, β) ∈ Z}. Claramente, (α0 , β0 ) = min Z y se sigue que (α0 , β0 ) = min X. Teniendo demostrado que ¹ es un buen orden para cualquier conjunto de pares de ordinales, se sigue que es un buen orden para ωα × ωα (para todo α). Usaremos esto para probar por inducci´ on transfinita sobre α que |ωα × ωα | ≤ ℵα . on es cierta para α = 0. Sea Ya sabemos que ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 , as´ı la afirmaci´ α > 0 y supongamos que ℵβ · ℵβ ≤ ℵβ para todo β < α. Para demostrar que |ωα × ωα | ≤ ℵα es suficiente mostrar que el tipo de as ωα . orden del conjunto bien ordenado (ωα × ωα , ¹) es a lo m´ Si el tipo de orden de ωα × ωα fuera mayor que ωα , entonces deber´ıa existir (α1 , α2 ) ∈ ωα × ωα tal que la cardinalidad del segmento inicial determinado por (α1 , α2 ), X(α1 ,α2 ) = {(γ1 , γ2 ) ∈ ωα × ωα : (γ1 , γ2 ) ≺ (α1 , α2 )} , es ℵα . Consecuentemente, es suficiente probar que para todo (α1 , α2 ) ∈ ωα ×ωα ¯ ¯ se tiene que ¯X(α1 ,α2 ) ¯ < ℵα . Sean (α1 , α2 ) ∈ ωα × ωα y β = max {α1 , α2 } + 1. Entonces β ∈ ωα y para todo (γ1 , γ2 ) ∈ X(α1 , α2 ), max {γ1 , γ2 } ≤ max {α1 , α2 } < β.

9.7. Suma y Multiplicaci´ on de Alephs

253

A partir de esta u ´ltima relaci´ on se deduce que γ1 , γ2 ∈ β. Por tanto, X(α1 ,α2 ) ⊆ β × β. Sea γ < α tal que |β| ¯≤ ℵγ (note ¯ que es posible elegir γ ya que ωα es un ordinal inicial), entonces ¯X(α1 ,α2 ) ¯ ≤ |β × β| = ¯|β| · |β| ≤ ¯ ℵγ · ℵγ . Pero, por la hip´ otesis inductiva, ℵγ · ℵγ ≤ ℵγ ; por lo tanto, ¯X(α1 ,α2 ) ¯ ≤ ℵγ < ℵα . on Ahora se sigue que |ωα × ωα | ≤ ℵα . As´ı tenemos probado por inducci´ transfinita que ℵα · ℵα ≤ ℵα para todo α. Terminemos esta secci´on enumerando algunas consecuencias del Teorema 9.60. Corolario 9.61 Para cualquier α y β tales que α ≤ β, ℵα · ℵβ = ℵβ . Tambi´en, n · ℵα = ℵα para todo n´ umero natural n. ´ n: Demostracio Si α ≤ β, entonces, por un lado, ℵβ = 1 · ℵβ ≤ ℵα · ℵβ , y por otro lado, por el Teorema 9.60, ℵα · ℵβ ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ . Similarmente, n · ℵα = ℵα . Corolario 9.62 Para todo α y β tales que α ≤ β, ℵα + ℵβ = ℵβ . Tambi´en n + ℵα = ℵα para todo n´ umero natural n. ´ n: Demostracio Si α ≤ β, entonces ℵβ ≤ ℵα + ℵβ ≤ ℵβ + ℵβ = 2 · ℵβ = ℵβ . La segunda parte se demuestra de manera similar.

254

9. Ordinales

Ejercicios 9.7 1. Demuestre que: (a) ℵnα = ℵα para todo n´ umero natural n.

(b) |[ℵα ]n | = ℵα , donde [ℵα ]n es la familia de todos los subconjuntos de ωα formados de n elementos. ¯ ¯ ¯ <ℵ0 ¯ (c) ¯[ℵα ] ¯ = ℵα , donde [ℵα ]<ℵ0 es la familia de todos los subconjuntos finitos de ωα . (Sugerencia: use el Teorema 9.60 e inducci´on.) 2. Si α y β son ¯ordinales y |α| ≤ ℵγ y |β| ≤ ℵγ , entonces |α + β| ≤ ℵγ , ¯ |α · β| ≤ ℵγ , ¯αβ ¯ ≤ ℵγ (donde α + β, α · β y αβ son las operaciones ordinales).

3. Si X es un subconjunto de ωα tal que |X| < ℵα , entonces |ωα \ X| = ℵα . 4. Demuestre que ¯ ¯ ℵ ¯ ≤ℵβ ¯ ≤ℵ (a) ¯[ℵα ] ¯ ≤ ℵαβ , donde [ℵα ] β es la familia de todos los subconjuntos de ωα de cardinalidad menor o igual a ℵβ . ¯ ¯ ℵ ¯ ¯ (b) ¯[ℵα ]ℵβ ¯ = ℵαβ , donde [ℵα ]ℵβ es la familia de todos los subconjuntos de ωα de cardinalidad ℵβ . ¯n o¯ ℵ ¯ ¯ (c) ¯ f ∈ ωαA : A ∈ [ℵα ]≤ℵβ , f es inyectiva ¯ = ℵαβ .

5. Demuestre que la cardinalidad del conjunto de todos los ordinales sucesores menores que ωα tiene cardinalidad ℵα . 6. ¿Cu´ antos buenos ´ordenes no isomorfos pueden definirse sobre N? (Sugerencia: ver Ejercicio 9.4.6.)

10 Teor´ıa de Cardinales En el Cap´ıtulo 7 se introdujo la noci´on de cardinalidad y se asumi´o la existencia de un conjunto |X|, llamado el n´ umero cardinal de X. En la Secci´ on 9.6 se formaliz´ o, para cada conjunto X, la existencia del conjunto |X| por medio del Axioma de Elecci´ on y tambi´en se observ´o que es imposible hacer una definici´ on del s´ımbolo |X| sin emplear a dicho axioma. Por otra parte, en la Secci´ on 9.7 se determin´o por completo la aritm´etica de alephs; pero, sin emplear al Axioma de Elecci´ on, tener determinada la aritm´etica de alephs no implica tener determinada la aritm´etica de n´ umeros cardinales. En este cap´ıtulo mostraremos la estrecha relaci´on entre el Axioma de Elecci´ on y los n´ umeros cardinales, probaremos algunas equivalencias del axioma en t´erminos de cardinales y desarrollaremos temas especiales de la Teor´ıa de Cardinales.

10.1 N´ umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´on En Teor´ıa de Conjuntos con el Axioma de Elecci´ on, cualquier conjunto es equipotente a un aleph y los alephs (como clase) son bien ordenados. Sin el Axioma de Elecci´ on, sin embargo, no es posible demostrar que el ordenamiento |X| ≤ |Y |, sea un orden lineal en la clase de todos los n´ umeros cardinales. En la Secci´ on 7.3 se estableci´ o que el ordenamiento ≤ tiene las siguientes propiedades para cualesquiera conjuntos X, Y, Z: (a) |X| ≤ |X| ;

(b) si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |X|, entonces |X| = |Y | ; (c) si |X| ≤ |Y | y |Y | ≤ |Z|, entonces |X| ≤ |Z| .

As´ı, ≤ resulta ser un (clase) orden parcial. El Corolario 9.55 nos dice que el Axioma de Elecci´ on implica que ´este es un (clase) orden lineal. En seguida demostraremos la implicaci´ on rec´ıproca. Lema 10.1 Para cualquier conjunto X, existe un conjunto de n´ umeros ordinales A tal que α ∈ A si y s´ olo si |α| ≤ |X|.

256

10. Teor´ıa de Cardinales

´ n: Demostracio Sea X un conjunto y sea X = {R ⊆ X × X : (dom R, R) es un conjunto bien ordenado} . Para cada R ∈ X , existe un u ´nico n´ umero ordinal α tal que k(dom R, R)k = α. Defina F(x) =

½

k(dom R, R)k , ∅,

si x = R ∈ X en otro caso.

Entonces F es una (clase) funci´ on, y se sigue del Axioma Esquema de Reemplazo que F(X ) es un conjunto. Claramente, {α ∈ Ord : |α| ≤ |X|} ⊇ F(X ). Por otro lado, si |β| ≤ |X|, entonces existe Y ⊆ X tal que |β| = |Y |. Sea g : Y → β una biyecci´on y defina una relaci´on R como sigue: R = {(u, v) : u, v ∈ Y

∧

g(u) ≤ g(v)} .

Obviamente dom R = Y , (Y, R) es un conjunto bien ordenado y k(Y, R)k = β; as´ı, F(R) = β. Consecuentemente, F(X ) = {α ∈ Ord : |α| ≤ |X|} . Definici´ on 10.2 Para cualquier conjunto X, denotamos Γ(X) = {α ∈ Ord : |α| ≤ |X|} . A Γ(X) se le llama funci´ on de Hartog. Γ(X) es un conjunto de n´ umeros ordinales, probaremos que Γ(X) es de hecho un n´ umero ordinal. Proposici´ on 10.3 Para cada X, Γ(X) es un n´ umero ordinal.

10.1. N´ umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´ on

257

´ n: Demostracio Sea X un conjunto. Ya que Γ(X) es un conjunto de n´ umeros ordinales, para mostrar que Γ(X) es un n´ umero ordinal es suficiente demostrar que es transitivo. Sup´ongase que α ∈ Γ(X) y que β ∈ α. Entonces |α| ≤ |X| y β ⊆ α; por lo tanto, |β| ≤ |X|, as´ı β ∈ Γ(X). Ahora procederemos a mostrar que la tricotom´ıa del orden entre n´ umeros cardinales implica el Teorema del Buen Orden. Teorema 10.4 (Hartog) El Axioma de Elecci´ on es equivalente a la afirmaci´ on de que cualesquiera dos n´ umeros cardinales son ≤-comparables. ´ n: Demostracio Nos resta probar la suficiencia (ver Corolario 9.55). Supongamos que cualesquiera dos n´ umeros cardinales son comparables. Sea X un conjunto. Por hip´ otesis, o bien |X| ≤ |Γ(X)| o |Γ(X)| ≤ |X|. Puesto que Γ(X) es un n´ umero ordinal, si |Γ(X)| ≤ |X|, entonces Γ(X) ∈ Γ(X); que es imposible (pues ning´ un n´ umero ordinal es elemento de s´ı mismo). Por lo tanto, se debe tener |X| ≤ |Γ(X)| ; y esto claramente implica que X puede ser bien ordenado. Existen otras versiones de la tricotom´ıa que tambi´en son equivalentes al Axioma de Elecci´ on. Algunas de esas versiones pueden encontrarse en [RR, pag. 21]. Si el Axioma de Elecci´on no se usa, la aritm´etica cardinal pierde la simplicidad de la aritm´etica cardinal con el Axioma de Elecci´ on (ver Secci´ on 9.7). Muchas de las f´ ormulas dejan de ser v´alidas y aquellas que se mantienen se vuelven dif´ıciles de establecer. En lo que resta de esta secci´ on presentamos algunos resultados t´ıpicos de la relaci´ on entre el Axioma de Elecci´ on y la aritm´etica de cardinales. Para cualquier cardinal infinito κ, el n´ umero de Hartog de κ es ~(A), donde |A| = κ. En vista del Lema 9.57, ~(A) es un aleph que denotaremos por ℵ(κ). Observemos que ℵ(κ) tiene la propiedad de ser el m´ınimo aleph tal que ℵ(κ) £ κ. Lema 10.5 Si κ es un cardinal infinito, si ℵ es un aleph y si κ + ℵ = κ · ℵ,

(10.1.1)

entonces, o bien κ ≥ ℵ o κ ≤ ℵ. En particular, si κ + ℵ(κ) = κ · ℵ(κ),

(10.1.2)

258

10. Teor´ıa de Cardinales

entonces κ es un aleph. ´ n: Demostracio Sea K un conjunto tal que κ = |K|, y sea W un conjunto bien ordenado tal que ℵ = |W |. Por la ecuaci´ on (10.1.1), existen subconjuntos ajenos K1 y W1 de K ×W tales que K ×W = K1 ∪W1 y |K1 | = κ, |W1 | = ℵ. Ahora bien, si existe k ∈ K tal que (k, w) ∈ K1 para cualquier w ∈ W, entonces κ ≥ ℵ puesto que K1 ⊇ {(k, w) : w ∈ W }. Si por el contrario, cada {k}×W * K1 , entonces, para cada k ∈ K, podemos tomar el m´ınimo elemento wk de W tal que (k, wk ) ∈ W1 . Resulta ahora que κ ≤ ℵ, puesto que {(k, wk ) : k ∈ K} ⊆ W1 . En el caso particular de la ecuaci´on (10.1.2), κ ≥ ℵ(κ) es imposible, y κ ≤ ℵ(κ) implica que κ es un aleph. Usaremos el lema anterior para establecer los siguientes resultados. Teorema 10.6 (Tarski) El Axioma de Elecci´ on es equivalente a que cualesquiera dos n´ umeros cardinales κ y λ cumplen κ + λ = κ · λ. ´ n: Demostracio Mostraremos que bajo las hip´ otesis del teorema cualquier cardinal infinito es un aleph. Sea κ un cardinal infinito, por el Lema 10.5 se sigue que κ ≤ ℵ(κ), lo cual dice que κ es un aleph. Teorema 10.7 (Tarski) El Axioma de Elecci´ on es equivalente a la siguiente proposici´ on: Para cualquier n´ umero cardinal infinito κ, se tiene que κ2 = κ. ´ n: Demostracio Empleando la misma t´ecnica del teorema anterior, es suficiente mostrar que κ + ℵ(κ) = κ · ℵ(κ). Como κ + ℵ(κ) ≤ κ · ℵ(κ), debemos probar u ´nicamente que κ + ℵ(κ) ≥ κ · ℵ(κ). Esto se demuestre como sigue: κ + ℵ(κ) = (κ + ℵ(κ))2 = κ2 + 2κ · ℵ(κ) + ℵ(κ)2 ≥ κ · ℵ(κ). El siguiente resultado es de naturaleza similar. Teorema 10.8 (Tarski) El Axioma de Elecci´ on es equivalente a la siguiente umeros cardinales proposici´ on: κ2 = λ2 implica κ = λ, para cualesquiera n´ infinitos κ y λ.

10.1. N´ umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´ on

259

´ n: Demostracio Nuevamente mostraremos que cualquier n´ umero cardinal es un aleph. Sea κ un cardinal infinito y sea λ = κℵ0 . Basta demostrar que λ es un aleph. Primero note que λ2 = λ puesto que ³ ´2 λ2 = κℵ0 = κ2ℵ0 = κℵ0 = λ. As´ı tenemos que

(λ · ℵ(λ))2 = λ · ℵ(λ). Ahora mostremos que (λ + ℵ(λ))2 = λ · ℵ(λ). Por un lado tenemos: (λ + ℵ(λ))2 = λ2 + 2λ · ℵ(λ) + ℵ(λ)2 ≥ λ · ℵ(λ), y por otro lado, (λ + ℵ(λ))2 = λ2 + 2 · λ · ℵ(λ) + ℵ(λ)2 = λ + ℵ(λ) + λ · ℵ(λ) ≤ λ · ℵ(λ) + λ + ℵ(λ) = λ · 2ℵ(λ) = λ · ℵ(λ), y consecuentemente λ es un aleph.

Ejercicios 10.1 1. Muestre que Γ(X) es igual al n´ umero de Hartog de X. 2. (a) Demuestre que el Axioma de Elecci´ on es equivalente a la siguiente proposici´ on: Para cualesquiera cardinales κ y λ, si 2κ < κ + λ entonces κ < λ. (b) Demuestre que la proposici´on “si 2κ > κ+λ, entonces κ > λ” puede demostrarse sin el Axioma de Elecci´ on. 3. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes al Axioma de Elecci´ on.

260

10. Teor´ıa de Cardinales

(a) Para cualesquiera n´ umeros cardinales, κ, λ y µ, la inecuaci´on κ + µ < λ + µ implica κ < λ. (b) Para cualesquiera n´ umeros cardinales, κ, λ y µ, la inecuaci´on κ·µ < λ · µ implica κ < λ. (c) Para cualquier n´ umero cardinal κ, se tiene 2 · κ = κ.

10.2 Sumas y Productos Infinitos En esta secci´ on procederemos a generalizar la suma de n´ umeros cardinales. Definici´ on 10.9 Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos ajenos por pares, y sea |Ai | = κi para cada i ∈ I. Definimos la suma de {κi }i∈I por ¯ ¯ ¯[ ¯ X ¯ ¯ κi = ¯ Ai ¯ . ¯ ¯ i∈I

i∈I

P

La definici´ on de i∈I κi usa conjuntos particulares Ai (i ∈ I). En el caso finito, cuando I = {1, 2}, y κ1 + κ2 = |A1 ∪ A2 | , demostramos que la elecci´ on de A1 y A2 es irrelevante. Para sumas infinitas, se necesita el Axioma de Elecci´ on para demostrar el lema correspondiente. Esta y otras razones nos llevan a asumir el Axioma de Elecci´ on de ahora en adelante sin decirlo expl´ıcitamente. Lema 10.10 Si {Ai }i∈I y {A0i }i∈I son familias de conjuntos ajenos por pares tales que |Ai | = |A0i | para todo i ∈ I, entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯[ ¯ ¯[ ¯ ¯ ¯ ¯ 0¯ ¯ Ai ¯ = ¯ Ai ¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ i∈I

i∈I

´ n: Demostracio

Para cada i ∈ I, seleccione on fi : Ai → A0i . Entonces f = S una biyecci´ S es una biyecci´ on entre i∈I Ai y i∈I A0i .

S

i∈I

fi

P Este lema hace que la definici´on de i∈I κi sea leg´ıtima. Como las uniones infinitas de conjuntos satisfacen las ley asociativa, se sigue P que las sumas infinitas de cardinales son tambi´en asociativas. La operaci´ onP tiene para cada i ∈ I, entonces otras propiedades razonables: Si κ ≤ λ i i i∈I κi ≤ P λi . Sin embargo, si κi < λi para cada i ∈ I, no necesariamente es cierto i∈IP P que i∈I κi < i∈I λi .

10.2. Sumas y Productos Infinitos

261

Si los sumandos son iguales, entonces tambi´en se tiene lo siguiente como en el caso finito. Si κ = κi para cada i ∈ λ, entonces X κi =κ | + κ{z+ · ·}·= κ · λ. i∈λ

λ veces

No es muy dif´ıcil evaluar sumas infinitas. Por ejemplo, consideremos

1 + 2 + 3 + ··· + n + ··· (n ∈ N). P Es f´acil ver que esta suma, n∈N n, es igual a ℵ0 . Este hecho se deduce del siguiente teorema general. Teorema 10.11 Sea λ un cardinal infinito, sea κα un n´ umero cardinal no nulo para cada α < λ, y sea κ = sup {κa : α < λ}. Entonces X κα = λ · κ = λ · sup {κα : α < λ} . α<λ

´ n: Demostracio Por un lado, κα ≤ κ para cada α < λ. Entonces X X κα ≤ κ = κ · λ. α<λ

α<λ

P P Por en tenemos κ ≤ α<λ 1 ≤ α<λ κα . Tambi´ P otro lado, note que λ = κ ; en efecto, puesto que κ es el supremo de {κ , cualquier γ menor } α α<λ α<λ α P P κα ; por tanto, κ ≤ α<λ κα . Ahora que κ es menor que alg´ un κα , y κα ≤ α<λP ya que κ y λ son menores o iguales que α<λ κα , se sigue P que κ · λ, que es el m´ aximo de los dos, es tambi´en menor o igual que α<λ κα . Finalmente, usando el Teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein se concluye el teorema. Corolario 10.12 Si κi (i ∈ I) son n´ umeros cardinales y |I| ≤ sup {κi : i ∈ I}, entonces X κi = sup {κi : i ∈ I} . i∈I

En particular, la igualdad se satisface si todos los κi son mutuamente distintos.

umero cardinal del El producto de dos n´ umeros cardinales κ1 y κ2 es el n´ producto cartesiano A1 × A2 , donde A1 , A2 son conjuntos arbitrarios tales que |A1 | = κ1 y |A2 | = κ2 . Esto se generaliza como sigue.

262

10. Teor´ıa de Cardinales

Definici´ on 10.13 Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos tales que |Ai | = κi para cada i ∈ I. Se define el producto de {κi }i∈I por ¯ ¯ ¯Y ¯ Y ¯ ¯ κi = ¯ Ai ¯ . ¯ ¯ i∈I

i∈I

Se usa el mismo s´ımbolo para el producto de cardinales (el del lado izquierdo) que para el producto cartesiano de la familia indizada {Ai }i∈I Q (el del lado derecho). Seg´ un el contexto, ser´ aQclaro el significado del s´ımbolo . Nuevamente, la definici´ on de i∈I κi no depende de los conjuntos particulares Ai . Lema 10.14 Si {Ai }i∈I y {A0i }i∈I son tales que |Ai | = |A0i | para todo i ∈ I, entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Y ¯ ¯Y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Ai ¯ = ¯ A0i ¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ i∈I

i∈I

´ n: Demostracio

Para cada i ∈ I, el´ıjase una biyecci´on fi : Ai → A0i . Sea Y Y Ai → A0i f: i∈I

i∈I

la funci´on cuya i-´esima funci´on coordenada es fi , es decir, f = (fi )i∈I . Entonces f es una biyecci´ on. Los productos infinitos tambi´en tienen muchas propiedades esperadas; por Q ejemplo, si alg´ un κi es igual a 0, entonces i∈I κi = 0. El producto tambi´en satisface la ley asociativa. Otra Q propiedad simple es que si κi ≤ λi para todo Q i ∈ I, entonces i∈I κi ≤ i∈I λi . Si todos los factores κi son el mismo, digamos κ, entonces Y λ κi =κ | · κ{z· · ·}· = κ . i∈λ

λ veces

Las siguientes reglas que involucran exponenciaci´ on son generalizaciones del caso finito: !λ Ã Y Y κi = (κi )λ , i∈I

i∈I

P Y (κλi ) = κ i∈I λi . i∈I

10.2. Sumas y Productos Infinitos

263

Los productos infinitos de n´ umeros cardinales son m´ as dif´ıciles de evaluar que las sumas infinitas de n´ umeros cardinales. Pueden demostrarse algunas reglas simples ua el Q en algunos casos especiales; por ejemplo, cuando se eval´ umeros cardinales. producto α<λ κα de una sucesi´on creciente (κα )α<λ de n´ Consideremos el siguiente caso muy especial: κ = 1 · 2 · 3 · ··· = Primero note que κ=

∞ Y

n=1

Rec´ıprocamente, ℵ0

2

≤

n≤

∞ Y

n=1

∞ Y

n=1

2≤

∞ Y

n.

n=1

ℵ0 = ℵℵ0 0 = 2ℵ0 .

∞ Y

n=

n=2

∞ Y

n=κ

n=1

y concluimos que 1 · 2 · 3 · · · · = 2ℵ0 . En general tenemos el siguiente teorema. on no Teorema 10.15 Si λ es un cardinal infinito, (κα )α<λ es una sucesi´ decreciente de cardinales no nulos y κ = sup {κα : α < λ}, entonces Y κα = κλ . α<λ

´ n: Demostracio Como κα ≤ κ para cada α < λ, tenemos que Y Y κα ≤ κ = κλ α<λ

α<λ

Q Para probar que κλ ≤ α<λ κα , consideremos una partici´ on de λ en λ conjuntos Aα de cardinalidad λ: [ Aα λ= α<λ

(ver Ejercicio 10.2.7). Como cada Aβ debe ser no acotado en λ y dado que el producto de cardinales no nulos es mayor o igual que cada factor, tenemos que Y κα ≥ sup {κα : α ∈ Aβ } = κ, α∈Aβ

264

10. Teor´ıa de Cardinales

para cada α < λ. Usando la asociatividad del producto infinito obtenemos (ver Ejercicio 10.2.8)   Y Y Y Y  κα = κβ  ≥ κ = κλ . α<λ

α∈Aβ

β<λ

β<λ

Ahora demostraremos un importante teorema, el cual puede emplearse para derivar varias inecuaciones en aritm´etica cardinal. umeros cardinales y si Teorema 10.16 (K¨ onig) Si κi y λi para i ∈ I, son n´ κi < λi para cada i ∈ I, entonces X Y κi < λi . i∈I

i∈I

´ n: Demostracio P Q Mostraremos que i∈I κi ¤ i∈I λi . Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos tales que |Ai | = λi para cada i ∈ I.QEs suficiente mostrar que si {Bi }i∈I es una familia S de subconjuntos de A = i∈I Ai tal que |Bi | ≤ κi para cada i ∈ I, entonces i∈I Bi 6= A. Para cada i ∈ I, consideremos las proyecci´ on de Bi sobre el i-´esimo factor Si = pi (Bi ). Como |Bi | < |Ai |, tenemos que Si ⊂ Ai . Ahora sea x = (xi )i∈I ∈ A un elemento / Si . Obviamente, x no pertenece a cualquier Bi S tal que xi ∈ (i ∈ I) y as´ı i∈I Bi 6= A. El Teorema de K¨ onig es una generalizaci´ on del Teorema de Cantor el cual κ asegura que 2 > κ. Si expresamos κ como una suma infinita κ =1 |+1+ {z1 + · ·}· κ veces

y

2κ

como un producto infinito

2κ =2 | · 2 ·{z2 · · ·}·, κ veces

entonces el Teorema de K¨ onig es aplicable ya que 1 < 2, y obtenemos X Y κ= 1< 2 = 2κ . i∈κ

i∈κ

10.2. Sumas y Productos Infinitos

265

Ejercicios 10.2 1. Demuestre que si {Ji }i∈I es una familia de conjunto ajenos por pares, S umeros cardinales, entonces J = i∈I J y κj (j ∈ J) son n´ X X X ( κj ) = κj i∈I j∈Ji

(asociatividad de

P ).

j∈J

2. Pruebe que si κi ≤ λi para cada i ∈ I, entonces X X κi ≤ λi . i∈I

i∈I

3. Encuentre cardinales κnP y λn (n ∈ N) tales que κn < λn para todo P ∞ κ = n ∈ N, pero ∞ n n=0 n=0 λn . 4. Pruebe que κ + κ + · · · (λ veces) es igual a λ · κ.

5. Demuestre la ley distributiva Ã ! X X λ· κi = (λ · κi ). i∈I

6. Pruebe que

i∈I

¯ ¯ ¯[ ¯ X ¯ ¯ |Ai | . ¯ Ai ¯ ≤ ¯ ¯ i∈I

i∈I

7. Demuestre que para cualquier α, ℵα puede representarse como la uni´on de una familia de cardinalidad ℵα , formada por subconjuntos de cardinalidad ℵα . (Sugerencia: ver Teorema 9.60.) S 8. Demuestre que si {Ji }i∈I es una familia ajena por pares, J = i∈I Ji y κi son n´ umeros cardinales, entonces   Y Y Y  κj  = κj i∈I

(asociatividad de

Q ).

j∈Ji

j∈J

266

10. Teor´ıa de Cardinales

9. Pruebe que si κi ≤ λi para i ∈ I, entonces Y Y κi ≤ λi . i∈I

i∈I

10. Q Encuentre cardinales κn y λn (n ∈ N) tales que κn < λn , pero ∞ n=0 λn .

Q∞

n=0 κn

=

11. Pruebe que κ · κ · · · · (λ veces) es igual a κλ . 12. Demuestre la f´ ormula Ã Y i∈I

13. Demuestre la f´ ormula

κi

!λ

=

Y (κλi ). i∈I

P Y (κλi ) = κ i∈I λi . i∈I

14. Demuestre que si 1 < κi ≤ λi para cada i ∈ I, entonces Q i∈I λi .

15. Demuestre que la cardinalidad de Y

P

i∈I

κi ≤

α

0<α<ω1

es igual a 2ℵ1 . 16. Demuestre que: Q (a) n<ω ℵn = ℵℵω0 . Q 0 (b) α<ω+ω ℵα = ℵℵω+ω .

10.3 Cardinales Regulares y Singulares Sea (αv )v<θ una sucesi´on transfinita de n´ umeros ordinales de longitud θ. Diremos que la sucesi´on (αv )v<θ es creciente si αv < αµ siempre que ν < µ < θ. on creciente de ordinales, Si θ es un ordinal l´ımite y si (αv )v<θ es una sucesi´ definimos α = lim αv = sup {αv : v < θ} v→θ

y llamamos a α el l´ımite de la sucesi´ on creciente.

10.3. Cardinales Regulares y Singulares

267

Definici´ on 10.17 Un cardinal infinito κ se llama singular si existe una sucesi´ on transfinita creciente (αν )ν<θ de ordinales αν < κ cuya longitud θ es un ordinal l´ımite menor que κ, y κ = lim αν . ν→θ

Un cardinal infinito que no es singular se llama regular. Por ejemplo, un cardinal singular es ℵω : pues ℵω = lim ℵn , n→ω

en donde ω < ℵω y ℵn < ℵn+1 para cada n < ω. Similarmente, los cardinales ℵω+ω , ℵω·ω , ℵω1 son singulares: ya que ℵω+ω = lim ℵω+n , n→ω

ℵω·ω = lim ℵω·n , n→ω

ℵω1 = lim ℵα . α→ω1

Por otro lado, ℵ0 es un cardinal regular. El siguiente lema nos proporciona una caracterizaci´ on de los cardinales singulares. Lema 10.18 Un cardinal infinito κ es singular si y s´ olo si es igual a la suma P de menos que κ cardinales menores: κ = ι∈I κi , donde |I| < κ y κi < κ para cada i ∈ I. ´ n: Demostracio ⇒] Si κ es singular, entonces existe una sucesi´ on transfinita creciente tal que κ = limν→θ αν , donde θ < κ y αν < κ para todo ν < θ. Puesto que todo ordinal es igual al conjunto de todos los ordinales menores, puede probarse que   [ [ [ αν − αν = αξ  . κ=

Si hacemos Aν = αν −

S

ν<θ

ν<θ

ξ<ν

αξ , entonces (Aν )v<θ es una sucesi´on de menos ¯ ¯ S ¯ ¯ que κ conjuntos de cardinalidad κν = |Aν | = ¯ν − ξ<ν αξ ¯ ≤ |αν | < κ, y dado que los conjuntos Aν son ajenos por pares, esto muestra que X κν . κ= ξ<ν

ν<θ

268

10. Teor´ıa de Cardinales

P ⇐] Supongamos que κ = α<λ κα , donde λ es un cardinal menor que κ y para todo α < λ se tiene que κα < κ. Empleando el Teorema 10.11, X κα = λ · sup {κα : α < λ} . κ= α<λ

Como λ < κ, necesariamente tenemos que κ = sup {κα : α < λ}; con lo cual, el rango de la sucesi´ on transfinita (κα )α<λ tiene supremo igual a κ. Adem´ as, on transfinita, una como κα < κ para cada α < λ, podemos hallar, por inducci´ subsucesi´on creciente con l´ımite κ. Claramente la longitud de la subsucesi´ on que se obtiene es θ. Por lo tanto, κ es un cardinal singular. Definici´ on 10.19 Un cardinal infinito ℵα se llama cardinal sucesor si su un β. Si α es ´ındice α es un ordinal sucesor, es decir, ℵα = ℵβ+1 para alg´ un ordinal l´ımite, entonces ℵα se llama cardinal l´ımite. Es valioso observar que si α > 0 es un ordinal l´ımite, entonces ℵα es el l´ımite de la sucesi´on (ℵβ )β<α . Tambi´en tenemos el siguiente teorema que nos proporciona informaci´ on a cerca de los cardinales sucesores. Teorema 10.20 Cualquier cardinal sucesor ℵα+1 es un cardinal regular. ´ n: Demostracio Supongamos lo contrario, es decir, supongamos que existe un cardinal sucesor ℵα+1 que puede expresarse como suma de una cantidad menor de cardinales menores: X κi , ℵα+1 = i∈I

donde |I| < ℵα+1 , y κi < ℵα+1 para cada i ∈ I. Entonces |I| ≤ ℵα y κi ≤ ℵα para cada i ∈ I; por lo que se obtiene X X κi ≤ ℵα+1 = ℵα = ℵα · |I| ≤ ℵα · ℵα = ℵα . i∈I

i∈I

Esta es una contradicci´ on que establece el teorema. Una conclusi´ on del teorema precedente es que todo cardinal singular es un cardinal l´ımite. Podemos demostrar m´as. Proposici´ on 10.21 Hay cardinales singulares arbitrariamente grandes.

10.3. Cardinales Regulares y Singulares

269

´ n: Demostracio Sea ℵα un cardinal arbitrario. Considere la sucesi´ on ℵα , ℵα+1 , ℵα+2 , . . . , ℵα+n , . . .

(n < ω).

Entonces ℵα+ω = lim ℵα+n , n→ω

y por lo tanto, ℵα+ω es un cardinal singular mayor que ℵα . La regularidad de cardinales fue investigada por Hausdorﬀ quien se pregunt´o sobre la existencia de cardinales regulares l´ımites. Analicemos un poco este asunto: Sup´ongase que ℵα es uno de tales cardinales. Puesto que α es un ordinal l´ımite, tenemos que ℵα = lim ℵβ ; β→α

on creciente de longitud α. Ya que es decir, ℵα es el l´ımite de una sucesi´ ℵα , es regular, necesariamente tenemos que α ≥ ℵα , lo cual, aunado con α ≤ ℵα , nos proporciona (10.3.1) α = ℵα . Esta propiedad sugiere que ℵα debe ser muy grande. Por otra parte, la condici´ on (10.3.1) parece ser muy fuerte, sin embargo no lo es tanto. Proposici´ on 10.22 Hay cardinales singulares ℵα arbitrariamente grandes que tienen la propiedad α = ℵα . ´ n: Demostracio Sea ℵγ un cardinal arbitrario. Consideremos la siguiente sucesi´ on: α0 = ωγ α1 = ωα0 = ωωγ α2 = ωα1 = ωωωγ ··· αn+1 = ωαn ··· para todo n < ω, y sea α = limn→ω αn . Es claro que la sucesi´on (ℵαn )n<ω tiene l´ımite ℵα . Pero entonces tenemos que ℵα = lim ℵα = lim αn+1 = α. n→ω

n→ω

270

10. Teor´ıa de Cardinales

Puesto que ℵα es el l´ımite de una sucesi´ on de cardinales menores de longitud ω, ´este es singular. Definici´ on 10.23 Un cardinal no numerable ℵα que es a la vez un cardinal l´ımite y regular es llamado (d´ebilmente) inaccesible. Es imposible demostrar a partir de los axiomas ZFC que los cardinales inaccesibles existen; en otras palabras, puede incluirse como un axioma adicional para la Teor´ıa de Conjuntos que los cardinales inaccesibles existen. Definici´ on 10.24 Si α es un ordinal l´ımite, entonces la cofinalidad de α, denotada por cf (α), es el m´ınimo n´ umero ordinal θ tal que α es el l´ımite de una sucesi´on creciente de ordinales de longitud θ. Note que cf (α) es un ordinal l´ımite y que cf (α) ≤ α. As´ı, ℵα es singular si cf (α) < α y es regular si cf (α) = α. Proposici´ on 10.25 Si un ordinal l´ımite α no es un n´ umero cardinal, entonces cf (α) < α. ´ n: Demostracio Sea α un ordinal l´ımite que no sea un n´ umero cardinal. Si hacemos κ = |α|, entonces existe una funci´ on inyectiva de κ sobre α, o en otras palabras, existe una sucesi´on inyectiva (αν )ν<κ de longitud κ tal que {αν : ν < κ} = α. Ahora podemos hallar (por inducci´ on transfinita) una subsucesi´on que sea creciente y su l´ımite sea α. Dado que la longitud de la subsucesi´on es a lo m´ as κ, y puesto que |α| = κ < α (pues α no es un n´ umero cardinal), concluimos que cf (α) < α. Corolario 10.26 Para cualquier ordinal l´ımite α, cf (α) = α si y s´ olo si α es un cardinal regular. Proposici´ on 10.27 Para cualquier ordinal l´ımite α, cf (cf (α)) = cf (α). ´ n: Demostracio Sea θ = cf (α). Claramente, θ es un ordinal l´ımite y cf (θ) ≤ θ. Demostraremos que cf (θ) no es menor que θ. Si γ = cf (θ) < θ, entonces existe una sucesi´ on creciente de ordinales (νξ )ξ<γ tal que su l´ımite limξ→γ νξ = θ. Puesto que θ = cf (α), existe una sucesi´ on creciente (αν )ν<θ tal que limν→θ αν = α. Pero entonces la sucesi´ on (ανξ )ξ<γ tiene longitud γ, y limξ→γ ανξ = α. Como γ < θ,

10.4. La Hip´ otesis Generalizada del Continuo

271

esto es una contradicci´ on, ya que θ es la m´ınima longitud de una sucesi´ on creciente con l´ımite α. Corolario 10.28 Para cualquier ordinal l´ımite α, cf (α) es un cardinal regular.

Ejercicios 10.3 1. Demuestre que cf (ℵω ) = cf (ℵω+ω ) = ω. 2. Demuestre que cf (ℵω1 ) = ω1 , cf (ℵω2 ) = ω2 . 3. Sea α el n´ umero cardinal definido en la demostraci´ on de la Proposici´ on 10.22. Demuestre que cf (α) = ω. 4. Muestre que cf (α) es el m´ınimo γ tal que α es la uni´ on de γ conjuntos de cardinalidad menor que |α|. on cre5. Sea ℵα un cardinal l´ımite, α > 0. Demuestre que hay una sucesi´ ciente de alephs de longitud cf (ℵα ) con l´ımite ℵα . 6. Sea κ un cardinal infinito, y sea λ < κ un cardinal regular infinito. Demuestre que existe una sucesi´on creciente (αν )ν
10.4 La Hip´otesis Generalizada del Continuo Mientras la suma y multiplicaci´ on de n´ umeros cardinales es simple (debido al hecho de que ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max {ℵα , ℵβ }), la evaluaci´ on de la exponenciaci´ on de n´ umeros cardinales es muy complicada. En la presente secci´ on ℵ α. estudiaremos la operaci´ on 2 Por el Teorema de Cantor, 2ℵα > ℵα ; en otras palabras, 2ℵα ≥ ℵα+1 .

(10.4.1)

No hay mucho que pueda demostrarse acerca de 2ℵα , excepto la siguiente propiedad trivial: (10.4.2) 2ℵα ≤ 2ℵβ siempre que α ≤ β. El siguiente hecho es una consecuencia del Teorema de K¨ onig.

272

10. Teor´ıa de Cardinales

Proposici´ on 10.29 Para cualquier α, cf (2ℵα ) > ℵα .

(10.4.3)

´ n: Demostracio Sea θ = cf (2ℵα ). θ es un cardinal. As´ı, 2ℵα es el l´ımite de una sucesi´on creciente de longitud θ, y se sigue que X κν , 2ℵα = ν<θ

donde cada κν es un cardinal menor que 2ℵα . Por el Teorema de K¨ onig (donde ℵ α se pone λν = 2 para todo ν < θ), tenemos que X Y κν < 2ℵα ν<θ

ν<θ

y por lo tanto,

2ℵα < (2ℵα )θ . Ahora, si θ es menor o igual a ℵα , se tendr´ıa que

2ℵα < (2ℵα )θ = 2ℵα ·θ = 2ℵα ,

que es una contradicci´ on. Una consecuencia de la Proposici´ on 10.29 es que 2ℵ0 no puede ser ℵω (puesto que cf (ℵω ) = ℵ0 ), pero el lema no previene que 2ℵ0 sea ℵω1 . Similarmente, 2ℵ1 no puede ser ℵω1 , ℵω o ℵω+ω . Las inecuaciones (10.4.1), (10.4.2) y (10.4.3) son las u ´nicas propiedades que ℵ α pueden demostrarse para la operaci´on 2 si el cardinal ℵα es regular. Si ℵα es singular, entonces varias reglas adicionales son conocidas. Teorema 10.30 Sea ℵα un cardinal singular. Supongamos que el valor de 2ℵξ es el mismo para todo ξ < α, digamos 2ℵξ = ℵβ . Entonces tambi´en 2ℵα = ℵβ . ´ n: Demostracio Como ℵα es singular, existe por el Lema 10.18, una familia {κi }i∈I de P cardinales tales que κi < ℵα para todo i ∈ I, con |I| = ℵγ < ℵα , y ℵα = i∈I κi . Por la suposici´ on, tenemos que 2κi = ℵβ para todo i ∈ I, y que 2ℵγ = ℵβ . As´ı, P

2ℵα = Q 2 i∈I κi Q = i∈I 2κi = i∈I ℵβ ℵ = ℵβ γ = (2ℵγ )ℵγ = 2ℵγ = ℵβ .

10.4. La Hip´ otesis Generalizada del Continuo

273

La generalizaci´ on obvia de la Hip´ otesis del Continuo, la cual asegura que 2ℵ0 = ℵ1 , es la siguiente: Hip´ otesis Generalizada del Continuo: Para cualquier ordinal α, se tiene 2ℵα = ℵα+1 .

(10.4.4)

o que En los trabajos de G¨odel [G2 ] de 1939 y Cohen [C4 ] de 1963, se demostr´ la Hip´ otesis Generalizada del Continuo es consistente e independiente de los axiomas ZFC. La Hip´ otesis Generalizada del Continuo es una proposici´on muy poderosa. En la siguiente secci´ on veremos como simplifica la exponenciaci´on de n´ umeros cardinales. En la presente demostraremos que ella implica al propio Axioma de Elecci´ on; este teorema fue anunciado por A. Lindenbaun y A. Tarski en 1926, pero el primero en publicar una demostraci´ on fue Sierpi´ nski en 1947. La demostraci´on que presentaremos aqu´ı es de E. Specker, publicada en 1954. Antes de formular dicho teorema es necesario hacer una observaci´on sobre la Hip´otesis Generalizada del Continuo. La forma en que fue expresada la Hip´ otesis Generalizada del Continuo, supone ya al Axioma de Elecci´ on, pero puede ser presentada sin hacer uso de este axioma (en particular, sin necesidad de suponer que cualquier n´ umero cardinal es un aleph). En efecto, la manera de presentar la Hip´ otesis Generalizada del Continuo (HGC) sin usar el Axioma de Elecci´ on es como sigue: Para todos los cardinales infinitos κ, se tiene que (10.4.5) si κ ≤ λ ≤ 2κ , entonces λ = κ o λ = 2κ . En presencia del Axioma de Elecci´ on, (10.4.4) y (10.4.5) son obviamente equivalentes. Para demostrar el Teorema 10.32 emplearemos la segunda versi´ on. Antes un lema. Lema 10.31 Si κ ≥ 5, entonces 2κ £ κ2 . ´ n: Demostracio Sean κ un cardinal infinito y X un conjunto con |X| = κ. Sea λ = ~(X) el n´ umero de Hartog de X. Supongamos que 2κ ≤ κ2 . Vamos a obtener una contradicci´ on al construir una sucesi´ on inyectiva de elementos de X de longitud λ. Sea f : P(X) → X × X una funci´on inyectiva, y para cualquier ordinal on infinito α, sea fα : α → α × α una funci´on inyectiva (ver demostraci´ del Teorema 9.60). Vamos a construir una sucesi´on (xα )α<λ como sigue: Seleccionemos x0 , x1 , x2 x3 , x4 en X de manera arbitraria. Si n ≥ 5, sea

274

10. Teor´ıa de Cardinales

Cn = {x0 , . . . , xn−1 }. Como

|P(Cn )| = 2n > n2 = |Cn × Cn | ,

/ Cn × Cn . Sea U el primero hay un subconjunto U de Cn tal que f (U ) ∈ de tales conjuntos (es decir, U = {xn1 , . . . , xnk }, donde {n1 , . . . , nk } es el primero en un buen orden dado para la familia de subconjuntos finitos de N). Si / Cn o tomamos f (U ) = (x, y), entonces tomamos xn = x en el caso en que x ∈ / Cn . Para α un ordinal infinito xn = y si x ∈ Cn ; en cualquier caso xn ∈ on con α < λ, sea Cα = {xξ : ξ < α}. A partir de f y fα , tenemos una funci´ inyectiva g : α → P(X) tal que g(ξ) = f −1 (xη , xζ ), donde (η, ζ) = fα (ξ). Sea U = {xξ ∈ Cα : xξ ∈ / g(ξ)} , y sea (x, y) = f (U ). Se sigue que (x, y) ∈ / Cα × Cα , y as´ı podemos hacer como antes xα = x o xα = y. De esta manera tenemos la sucesi´on deseada. Obs´ervese que la elecci´ on de las funciones fα o definir un buen orden en la familia de subconjuntos finitos de N, no hace uso del Axioma de Elecci´on. En el Teorema 9.60 se demuestra que las funciones fα son definibles; por otra parte, el orden lexicogr´ afico puede modificarse para obtener a un buen orden <ℵ0 para [N] . Teorema 10.32 La Hip´ otesis Generalizada del Continuo implica el Axioma de Elecci´ on. ´ n: Demostracio Sea κ un n´ umero cardinal. Asumiendo que la Hip´ otesis Generalizada del Continuo se cumple para cualquier λ, demostraremos que κ2 = κ (ver el segundo Teorema de Tarski). Primero, se afirma que κ ≤ 2 · κ < 2κ .

En efecto, dado que κ ≤ 2 · κ y 2 · κ ≤ 2κ , y como 2 · κ ≤ κ2 , tenemos que otesis Generalizada del 2 · κ 6= 2κ por el Lema 10.31. Ahora se sigue de la Hip´ Continuo que 2 · κ = κ. Con lo cual tenemos que κ2 < 2κ . Esto es porque

κ2 ≤ (2κ )2 = 22·κ = 2κ ,

y nuevamente por el Lema 10.31, κ2 6= 2κ . As´ı tenemos que que nos lleva a concluir: κ = κ2 .

κ ≤ κ2 < 2κ ,

10.5. La HGC y los N´ umeros Cardinales

275

Ejercicios 10.4 1. Usando el Axioma de Elecci´ on, demuestre la equivalencia entre las dos versiones de la Hip´ otesis Generalizada del Continuo. 2. Pruebe que si 2ℵ0 > ℵω , entonces ℵℵω0 = 2ℵ0 .

10.5 La HGC y los N´ umeros Cardinales En esta secci´ on mostraremos como la Hip´otesis Generalizada del Continuo simplifica la exponenciaci´on de n´ umeros cardinales. ℵ

Lema 10.33 Si α ≤ β, entonces ℵαβ = 2ℵβ . ´ n: Demostracio ℵ

Claramente, 2ℵβ ≤ ℵαβ . Como ℵα ≤ 2ℵβ , tambi´en tenemos ℵ

ℵαβ ≤ (2ℵα )ℵβ = 2ℵα ·ℵβ = 2ℵβ . Lema 10.34 Sean α ≥ β y sea S la familia de todos los subconjuntos X ⊆ ωα ℵ tales que |X| = ℵβ . Entonces |S| = ℵαβ . ´ n: Demostracio ℵ

Primero probaremos que ℵαβ ≤ |S|. Sea S 0 la familia de todos los subconjuntos X ⊆ ωβ × ωα tales que |X| = ℵβ . Como ℵβ · ℵα = ℵα , tenemos que |S 0 | = |S|. Ahora, cualquier funci´on f : ωβ → ωα es un miembro de la familia S 0 y, por ω ℵ tanto, ωαβ ⊆ S 0 . Por lo tanto, ℵαβ ≤ |S|. Rec´ıprocamente, si X ∈ S, entonces existe una funci´ on f sobre ωβ tal que X es el rango de f . Tomemos una de tales f para cada X ∈ S y sea f = F (X). Claramente, si X 6= Y y f = F (X), g = F (Y ), tenemos que X = ran f y ω on Y = ran g, as´ı f 6= g. Esto nos muestra que F : S → ωαβ es una funci´ ℵβ inyectiva, y por lo tanto, |S| ≤ ℵα . ℵ

Ahora daremos una proposici´ on para evaluar ℵαβ para cardinales regulares on de la Hip´otesis Generalizada del Continuo. ℵα , bajo la suposici´ Teorema 10.35 Suponiendo la Hip´ otesis Generalizada del Continuo, si ℵα es un cardinal regular, entonces ½ si β < α, ℵα ℵβ ℵα = si β ≥ α. ℵβ+1

276

10. Teor´ıa de Cardinales

´ n: Demostracio ℵ

Si β ≥ α, entonces ℵαβ = 2ℵβ = ℵβ+1 por el Lema 10.33. Sea β < α y sea B la colecci´on de todos los subconjuntos acotados de ωα , esto es, [ P(δ). B= δ<ωα

Como ℵα es regular, se sigue que cualquier subconjunto X ⊆ ωα tal que ℵ |X| = ℵβ es un subconjunto acotado, y por el Lema 10.34, ℵαβ ≤ |B|. As´ı, es suficiente demostrar S que |B| ≤ ℵα . Dado que B = δ<ωα P(δ), tenemos que |B| ≤

X

2|δ| .

δ<ωα

Sin embargo, para cualquier cardinal ℵγ < ℵα , se tiene que 2ℵγ = ℵγ+1 ≤ ℵα y as´ı 2|δ| ≤ ℵα para todo δ < ωα , y obtenemos X X 2|δ| ≤ ℵα = ℵα · ℵα = ℵα . |B| ≤ δ<ωα

δ<ωα

Demostraremos una f´ormula similar (pero un poco m´as complicada) para on 10.29. cardinales singulares ℵα ; primero es necesario generalizar la Proposici´ Lema 10.36 Para cualquier cardinal κ > 1 y cualquier α, cf (κℵα ) > ℵα . ´ n: Demostracio Es exactamente como la demostraci´on de la Proposici´ on 10.29, excepto que ℵ ℵ α α 2 se reemplaza por κ . Los detalles los dejamos para el lector. Teorema 10.37 Suponiendo la Hip´ otesis Generalizada del Continuo, si ℵα es un cardinal singular, entonces  si ℵβ < cf (ℵα ),  ℵα ℵβ si cf (ℵα ) ≤ ℵβ ≤ ℵα , ℵα = ℵα+1  si ℵβ ≥ ℵα . ℵβ+1

10.5. La HGC y los N´ umeros Cardinales

277

´ n: Demostracio ℵ

Si β ≥ α, entonces ℵαβ = 2ℵβ = ℵβ+1 . Si ℵβ < cf(ℵα ), entonces cualquier subconjunto X ⊆ ωα tal que |X| = ℵβ es un subconjunto acotado, y tenemos ℵ que ℵαβ = ℵβ por el argumento empleado para cardinales regulares en el Teorema 10.35. As´ı, supongamos que cf (ℵα ) ≤ ℵβ ≤ ℵα . Por una parte tenemos que ℵ

ℵα = ℵα+1 . ℵα ≤ ℵαβ ≤ ℵℵα α =2 ℵ

Por otra parte, dado que ℵα es singular, cf (ℵαβ ) 6= cf (ℵα ) y por lo tanto, ℵ ℵ ℵαβ 6= ℵα . As´ı, necesariamente ℵαβ = ℵα+1 . Dos consecuencias interesantes de los teoremas anteriores, de hecho de la Hip´ otesis Generalizada del Continuo, son las siguientes igualdades ℵℵαα = ℵα+1

(10.5.1)

α = ℵα+1 . ℵℵα+1

(10.5.2)

y En seguida demostraremos que ambas (10.5.1) y (10.5.2) implican la Hip´ otesis Generalizada del Continuo. Teorema 10.38 La Hip´ otesis Generalizada del Continuo es equivalente a la proposici´ on ℵℵαα = ℵα+1 para cualquier n´ umero ordinal α. ´ n: Demostracio Sea α un n´ umero ordinal y supongamos que ℵℵαα = ℵα+1 . Entonces ℵα < 2ℵα ≤ ℵℵαα = ℵα+1 . Sin embargo, no hay n´ umeros cardinales entre ℵα y ℵα+1 , as´ı debe ocurrir que 2ℵα = ℵα+1 . La otra implicaci´ on se deja para el lector (ver Ejercicio 10.5.5). Teorema 10.39 La Hip´ otesis Generalizada del Continuo es equivalente a α = ℵα+1 para cualquier n´ umero ordinal α. ℵℵα+1 Si no suponemos la Hip´otesis Generalizada del Continuo, la situaci´ on se vuelve m´ as complicada.

278

10. Teor´ıa de Cardinales

Teorema 10.40 (F´ ormula de Hausdorﬀ ) Para cualesquiera ordinales α y β, ℵβ ℵ = ℵαβ · ℵα+1 . ℵα+1 ´ n: Demostracio ℵ

ℵ

β = 2ℵβ , ℵαβ = 2ℵβ , y ℵα+1 ≤ ℵβ < 2ℵβ ; por lo Si β ≥ α + 1, entonces ℵα+1

ℵ

tanto, la f´ ormula es v´ alida. As´ı, supongamos que β ≤ α. Como ℵαβ ≤ ℵℵβ α+1 y ℵ

β , es suficiente mostrar que ℵα+1 ≤ ℵα+1

ℵ

ℵ

β ≤ ℵαβ · ℵα+1 . ℵα+1

Cada funci´on f : ωβ → ωα+1 es acotada, es decir, existe γ < ωα+1 tal que f (ξ) < γ para todo ξ < ωβ ( puesto que ωα+1 es regular y ωβ < ωα+1 ). Por lo tanto, [ ωβ = γ ωβ . ωα+1 γ<ωα+1

Ahora, cualquier γ < ωα+1 tiene cardinalidad |γ| ≤ ℵα , y por el Ejercicio 10.2.6, ¯ ¯ ¯ ¯ [ X X ℵβ ¯ ¯ ℵ ℵβ ωβ ¯ ¯ ≤ γ |γ| ≤ ℵα = ℵαβ · ℵα+1 . ¯ ¯ ¯ γ<ωα+1 ¯ν<ωα+1 γ<ωα+1 Teorema 10.41 (F´ ormula Generalizada de Hausdorﬀ ) Para cualquier n´ umero natural n y cualesquiera ordinales α y β, ℵ

ℵ

β = ℵαβ · ℵα+n . ℵα+n

Haciendo α = 0 y usando el Lema 10.33, obtenemos el siguiente teorema. Teorema 10.42 (Formula de Bernstein) Para cualquier n´ umero natural n y cualquier n´ umero ordinal β, ℵ

ℵnβ = 2ℵβ · ℵn . Definici´ on 10.43 Un cardinal infinito ℵα es l´ımite fuerte, si 2ℵβ < ℵα para todo β < α. Claramente un cardinal que es l´ımite fuerte es un cardinal l´ımite, ya que si ℵα = ℵγ+1 , entonces 2ℵγ ≥ ℵα . No cualquier cardinal l´ımite es necesariamente l´ımite fuerte: Si 2ℵ0 fuera mayor que ℵω , entonces ℵω ser´ıa un ejemplo. Sin embargo, si suponemos la Hip´ otesis Generalizada del Continuo, entonces todo cardinal l´ımite es un cardinal l´ımite fuerte.

10.5. La HGC y los N´ umeros Cardinales

279

Lema 10.44 Si ℵα es un cardinal l´ımite fuerte y si κ y λ son cardinales infinitos tales que κ < ℵα y λ < ℵα , entonces κλ < ℵα . ´ n: Demostracio κλ ≤ (κ · λ)κ·λ = 2κ·λ < ℵα . Sierpi´ nski y Tarski introdujeron el siguiente tipo de cardinales. Definici´ on 10.45 Un n´ umero cardinal no numerable κ es fuertemente inaccesible si es regular y l´ımite fuerte. De acuerdo al comentario que precede al lema, todo cardinal fuertemente inaccesible es d´ebilmente inaccesible, y si suponemos la Hip´ otesis Generalizada del Continuo, todo cardinal d´ebilmente inaccesible es fuertemente inaccesible. La raz´on por la cual a tales cardinales se les llama inaccesibles es que ellos no pueden ser obtenidos por las operaciones conjuntistas usuales a partir de cardinales menores. Por ejemplo: Si X tiene cardinalidad menor que κ, entonces P(X) tiene cardinalidad menor que κ. S Si cada X ∈ S tiene cardinalidad menor que κ, entonces S tiene cardinalidad menor que κ. Si |X| < κ y f : X → κ es una funci´ on cualquiera, entonces sup f (X) < κ. Por lo anterior, no deber sorprender mucho que la existencia de cardinales inaccesibles sea independiente de los Axiomas ZFC.

Ejercicios 10.5 1. Pruebe el Lema 10.36. ℵ

2. Demuestre que si 2ℵβ ≥ ℵα , entonces ℵαβ = 2ℵβ . ℵ

ℵ

3. Demuestre que si existe γ < α tal que ℵγ β ≥ ℵα , digamos ℵγ β = ℵδ , ℵ entonces ℵαβ = ℵδ .

280

10. Teor´ıa de Cardinales

4. Sea α un ordinal l´ımite y sea ℵβ tal que cf (ℵβ ) < ℵα . Demuestre que si ℵ ℵ ℵξ β ≤ ℵα para todo ξ < α, entonces ℵαβ = ℵα . (Sugerencia: si X ⊆ ωα es tal que |X| = ℵβ , entonces X ⊆ ωξ para alg´ un ξ < α.) 5. Pruebe las Ecuaciones (10.5.1) y (10.5.2). 6. Demuestre el Teorema 10.39 7. Demuestre la F´ormula Generalizada de Hausdorﬀ. (Sugerencia: use inducci´ on sobre n.) 8. Demuestre la F´ormula de Bernstein. 9. Pruebe que: (a) ℵℵ1 0 = 2ℵ0 · ℵ1 .

(b) ℵℵ0 1 = 2ℵ1 .

10. Demuestre que la Hip´otesis Generalizada del Continuo es equivalente a α α < ℵℵα+2 . ℵℵα+1

para cualquier n´ umero ordinal α. ℵ

11. Si ℵα es fuertemente inaccesible y β < α, entonces ℵαβ = ℵα . (Sugerencia: aplique el Ejercicio 4.) Q 12. Demuestre que n<ω ℵn = ℵℵω0 . (Sugerencia: sean Ai (i < ω) subconjuntos infinitos mutuamente ajenos de ω. Entonces     Y Y Y Y X Y   ℵn ≥ ℵn  ≥ ℵn  ≥ ℵω = ℵℵω0 . n<ω

i<ω

i<ω

n∈Ai

i<ω

n∈Ai

La demostraci´ on de la otra desigualdad es m´ as sencilla.)

13. Demuestre que ℵℵω1 = ℵℵω0 · 2ℵ1 . (Sugerencia: ℵℵω1 = = =

¡P

n<ω

Q

n<ω

¡Q

ℵn

¢ℵ1

ℵℵn1 =

n<ω

≤

Q

¡Q

n<ω

n<ω (ℵn

ℵn

¢ℵ1

· 2ℵ1 ) =

¢ ¡ ¢ℵ ℵn · 2ℵ1 0 = ℵℵω0 · 2ℵ1 .)

10.6. Medidas y Cardinales

281

10.6 Medidas y Cardinales 1 El

concepto de medida es uno de los m´as importantes en el An´alisis Abstracto, es fundamental para el desarrollo de la moderna teor´ıa de integraci´ on. De particular importancia es la medida de Lebesgue de conjuntos de n´ umeros reales. En el Ejemplo 8.18 se estableci´ o que no cualquier conjunto de n´ umeros reales es medible. La medida de Lebesgue es sin duda muy especial ya que coincide con la longitud de los intervalos y es invariante bajo traslaciones. Una clase de medida no tan restrictiva es la siguiente.

Definici´ on 10.46 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una medida σ-aditiva sobre X es una funci´on µ : P(X) → [0, 1] tal que: (a) µ(∅) = 0, µ(X) = 1, (b) si A ⊆ B, entonces µ(A) ≤ µ(B), (c) µ({x}) = 0 para cualquier x ∈ X, (d) si {An }∞ n=0 es una familia de subconjuntos de X ajenos por pares, entonces ! Ã∞ ∞ [ X µ An = µ(An ). n=0

n=0

Como consecuencia de (c) y (d) de la definici´ on, cualquier subconjunto a lo m´ as numerable de X tiene medida 0. Por lo tanto, si hay una medida sobre X, entonces X es no numerable. Es claro que la existencia de medidas sobre X depende u ´nicamente de la cardinalidad de X: Si X tiene una medida y |X| = |X 0 | entonces X 0 tambi´en tiene una medida. Ya sabemos que la medida de Lebesgue no puede extenderse a P(R); pero la pregunta es: ¿Existe una medida σ-aditiva sobre R? o equivalentemente ¿Existe una medida σ-aditiva sobre 2ℵ0 ? Mostraremos que este cuestionamiento muy natural del An´alisis Abstracto est´ a relacionada con el problema del continuo y sorpresivamente tambi´en con la materia de los cardinales inaccesibles. Este problema es el punto de partida para la investigaci´on de los cardinales grandes, una teor´ıa que exploraremos en las siguientes secciones. El siguiente teorema fue formulado por Banach y Kuratowski en 1929. oTeorema 10.47 Si existe una medida σ-aditiva sobre 2ℵ0 , entonces la Hip´ tesis del Continuo es falsa. 1 Esta secci´ on y la siguiente requieren del material sobre ideales y filtros para el caso especial del ´ algebra Booleana P(X) expuestos en la Secci´ on 8.5.

282

10. Teor´ıa de Cardinales

´ n: Demostracio Supongamos que 2ℵ0 = ℵ1 y que existe una medida σ-aditiva sobre el conjunto ω1 . En el a´lgebra de conjuntos P(ω1 ), consideremos el ideal de todos los subconjuntos de ω1 con medida 0: I = {X ⊆ ω1 : µ(X) = 0} . Este ideal tiene las siguientes propiedades: 10.47(a) Para cualquier α ∈ ω1 , {α} ∈ I. 10.47(b) Si Xn ∈ I para todo n ∈ N, entonces

S∞

n=0 Xn

∈ I.

10.47(c) No existe J , una familia no numerable de subconjuntos mutuamente / I para cualquier X ∈ J . ajenos de ω1 , tal que X ∈ Las dos primeras se obtienen de la definici´on de medida σ-aditiva. Para 10.47(c) sup´ongase que J es una de tales familias de conjuntos mutuamente ajenos. Para cada n ∈ N \ {0}, sea ª © Jn = X ∈ J : µ(X) ≥ n1 . S Ya que µ(ω1 ) = 1, cada Jn debe ser finita; adem´as, como J = ∞ n=1 Jn , se sigue que J es a lo m´ as numerable. Ahora construiremos una “matriz” (Aαn )α∈ω1 , n∈ω de subconjuntos de ω1 como sigue: Para cada ξ < ω1 , existe una funci´on fξ :ω → ω1 tal que ξ ⊆ ran fξ . Seleccionemos una de tales fξ para cada ξ, y sea Aαn = {ξ < ω1 : fξ (n) = α}

(α < ω1, n < ω).

La matriz (Aαn )α∈ω1 , n∈ω tiene las siguientes propiedades: 10.47(d) Para cada n, si α 6= β, entonces Aαn ∩ Aβn = ∅. S as numerable. 10.47(e) Para cualquier α, ω1 \ ∞ n=0 Aαn es a lo m´

En efecto, ξ ∈ Aαn ∩ Aβn significa que fξ (n) = α y fξ (n) = β, luego α = β. Por otra parte, el conjunto en 10.47(e) es a lo m´ as numerable puesto que est´a incluido en el conjunto a lo m´as numerable α: Si ξ ∈ / Aαn para cualquier n, entonces α ∈ / ran fξ y as´ı ξ < α. on de los conjuntos Aαn y de un Sea α < ω1 fijo. El conjunto ω1 es uni´ conjunto a lo m´ as numerable. Si Aαn ∈ I para cada n, entonces ω1 ∈ I por

10.6. Medidas y Cardinales

283

10.47(e), 10.47(a) y 10.47(b). Pero µ(ω1 ) = 1, por lo cual ω1 no pertenece un nα ∈ N tal que Aαnα ∈ / I. Puesto a I. As´ı, para cada α < ω1 existe alg´ un m tal que el conjunto que ω1 es no numerable y ω s´ı lo es, debe existir alg´ {α : nα = m} es no numerable. Sea J = {Aαm : nα = m} . Esta es una familia no numerable de subconjuntos de ω1 . Por 10.47(d), los elementos de J son mutuamente ajenos, y Aαm ∈ / I para cada Aαm ∈ J . Esto contradice 10.47(c). La contradicci´ on encontrada nos muestra que la suposici´on de que 2ℵ0 = ℵ1 debe ser falsa, lo cual demuestra el teorema. La demostraci´on del teorema anterior puede modificarse para obtener un resultado m´as trascendente, a saber, la existencia de una medida σ-aditiva en un conjunto X, implica que X debe tener un cardinal gigantesco. Para llegar a establecer dicho resultado, necesitaremos de algunos resultados preliminares. Primero supongamos que para alg´ un conjunto X hay una medida σ-aditiva µ : P(X) → [0, 1]. La demostraci´ on del Teorema 10.47 nos proporcion´o un ideal I sobre X que satisface 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c). Suposici´ on 10.48 Sea κ el m´ınimo cardinal tal que para alg´ un conjunto X con |X| = κ existe un ideal sobre X con las propiedades 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c). Suposici´ on 10.49 Sea I un ideal sobre X = κ con las propiedades 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c). Lema 10.50 Para S cualquier λ < κ, si {Aη }η<λ es tal que Aη ∈ I para todo η < λ, entonces η<λ Aη ∈ I. ´ n: Demostracio

S / Si el lema es falso, existen λ < κ y {Aη }η<λ tales que Aη ∈ I, pero η<λ Aη ∈ I. Suponiendo que λ es el m´ınimo ordinal con tal propiedad, tambi´en podemos suponer que los conjuntos Aη son S ajenos por pares, puesto que podemos reemplazar cada Aη por A0η = Aη \ {Aν : ν < η}. Observe que [ [ A0η = Aη . η<λ

Sea

η<λ

    [ Aη ∈ I . J = B⊆λ:   η∈B

284

10. Teor´ıa de Cardinales

En el Ejercicio 10.6.1 se pide demostrar que J es un ideal sobre λ. Para cada η ∈ λ, {η} ∈ J ya que Aη ∈ I; as´ı, J satisface 10.47(a). Ahora, si Xn ∈ J para todo n ∈ ω, entonces [ Aη ∈ I η∈Xn

para todo n ∈ ω, y como I satisface 10.47(b) se tiene que ∞ [ [

n=0 η∈Xn

S∞

Aη ∈ I.

n=0 Xn

∈ J puesto que ) ( ∞ [ ∞ [ [ [ Aη = Aη : η ∈ Xn .

Pero esto significa que

n=0 η∈Xn

n=0

As´ı, J satisface 10.47(b). Finalmente, sea K una familia no numerable de subconjuntos mutuamente ajenos de λ tal que X ∈ / J para cualquier X ∈ K. Si X ∈ K, entonces [ / I. BX = {Aη : η ∈ X} ∈

Dado que {Aη }η<λ y K son familias ajenas por pares, K0 = {BX : X ∈ K} es una familia no numerable de subconjuntos mutuamente ajenos de κ tal que Y ∈ / I para cualquier Y ∈ K0 . Esto contradice que I satisface 10.47(c). Por lo tanto, K es a lo mas numerable. As´ı, J satisface 10.47(c). Por todo lo anterior, J es un ideal sobre λ < κ con las propiedades 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c), contradiciendo la Suposici´on 10.48. Corolario 10.51 Si Y ⊆ κ, y |Y | < κ, entonces Y ∈ I. Corolario 10.52 κ es un cardinal regular no numerable. ´ n: Demostracio κ es no numerable dado que cualquier subconjunto a lo m´as numerable pertenece a I. κ es regular, puesto que de otro modo κ ser´ıa la uni´ on de menos que κ subconjuntos de cardinalidad menor que κ, y por lo tanto, pertenecer´ıa al ideal, una contradicci´on. Teorema 10.53 κ es d´ebilmente inaccesible.

10.6. Medidas y Cardinales

285

´ n: Demostracio En vista del Corolario 10.52 es suficiente demostrar que κ es un cardinal l´ımite. Supongamos que κ = ℵν+1 . Para cada ξ < κ podemos elegir una funci´on fξ : ων → ων+1 tal que ξ ⊆ ran fξ . Para α < ων+1 y η < ων sea Aαη = {ξ < κ : fξ (η) = α} . Como en la demostraci´on del Teorema 10.47, se puede mostrar que la matriz (Aαη )α,η tiene las siguientes propiedades: 10.53(a) Para cualquier η, si α 6= β, entonces Aαη ∩ Aβη = ∅. ¯ ¯ S ¯ ¯ 10.53(b) Para cualquier α, ¯κ \ η<ων Aαν ¯ ≤ ℵν .

Siguiendo la demostraci´ on del Teorema 10.47, pero usando el Lema 10.50 en un η < ων tal lugar de 10.47(b), se muestra que para cada α < ων+1 existe alg´ / I. Y el mismo argumento que antes demuestra la existencia de una que Aαη ∈ familia J , de cardinalidad ℵν+1 (por lo tanto, no numerable), de conjuntos ajenos por pares que no pertenecen a I. Esto contradice la propiedad 10.47(c), y por lo tanto, κ no puede ser un cardinal sucesor. Finalmente tenemos el resultado que resume nuestro estudio. Corolario 10.54 Si hay una medida σ-aditiva sobre un conjunto X, entonces existe alg´ un cardinal d´ebilmente inaccesible κ ≤ |X| . Corolario 10.55 Si existe una medida σ-aditiva sobre 2ℵ0 , entonces 2ℵ0 ≥ κ para alg´ un cardinal d´ebilmente inaccesible κ.

Ejercicios 10.6 1. Pruebe que la familia     [ Aη ∈ I , J = B⊆λ:   η∈B

que apareci´ o en la demostraci´ on del Lema 10.50 es un ideal sobre λ.

286

10. Teor´ıa de Cardinales

10.7 Cardinales Medibles En la secci´ on anterior demostramos que la existencia de medidas σ-aditivas implica la existencia de cardinales d´ebilmente inaccesibles. Este resultado es solamente un ejemplo de la vasta cantidad de resultados que constituyen la teor´ıa de los llamados cardinales grandes. En esta secci´ on estudiaremos el prototipo m´ as conocido de cardinales grandes, los cardinales medibles; cuyo origen proviene de los trabajos de Banach, Kuratowski, Tarski y Ulam alrededor de 1930. Definici´ on 10.56 Sea X un conjunto y sea µ una medida σ-aditiva sobre X. Decimos que µ es una medida 2-valuada si µ(A) es 0 o 1 para cualquier A ⊆ X y satisface en (a) a (d) de la Definici´ on 10.46. Lema 10.57 Si µ es una medida 2-valuada sobre X, entonces U = {A ⊆ X : µ(A) = 1} es un ultrafiltro no principal sobre X, y si {An }∞ n=0 es tal que An ∈ U para T∞ cada n ∈ N, entonces n=0 An ∈ U.

´ n: Demostracio

La verificaci´ on de que U es un ultrafiltro es f´ acil, y la dejamos para el lector. U no es principal, dado que µ no es trivial. U satisface la segunda parte del lema porque µ es σ-aditiva. La propiedad de la segunda parte del Lema 10.57 se llama σ-completitud. El rec´ıproco de la primera parte del Lema 10.57 tambi´en es cierto: si U es un ultrafiltro σ-completo no principal, entonces la funci´ on µ : P(X) → {0, 1} definida por ½ 1 si A ∈ U, µ(A) = 0 si A ∈ / U. es una medida 2-valuada sobre X. As´ı, el problema de la existencia de una medida 2-valuada es equivalente al problema de la existencia de ultrafiltros σ-completos no principales. Investigaremos ahora este problema. Primero generalizaremos la definici´ on de σ-completitud. Definici´ on 10.58 Sea κ un cardinal no numerable. (a)Un filtro F sobre X es κ-completo si para cualquier cardinal λ < κ, si T Aα ∈ F para toda α < λ, entonces α<λ Aα ∈ F.

10.7. Cardinales Medibles

287

(b) Un ideal I sobre X es κ-completo si para cualquier cardinal λ < κ, si S Aα ∈ I para toda α < λ, entonces α<λ Aα ∈ I. La ℵ1 -completitud es de hecho la σ-completitud. Ahora formularemos un lema que est´ a estrechamente relacionado con el Lema 10.50

Lema 10.59 Si existe un ultrafiltro σ-completo no principal entonces existe un cardinal no numerable κ y un ultrafiltro κ-completo no principal. ´ n: Demostracio Sea κ el m´ınimo cardinal κ tal que existe un ultrafiltro σ-completo no principal sobre κ, y sea U uno de tales ultrafiltros. Demostraremos que U es κ-completo (note que al ser U σ-completo, se deduce que κ es no numerable). Sea I el ideal dual a U; o sea, I = P(X) \ U. I es un ideal primo σ-completo sobre κ; probaremos que I es κ-completo. Si no lo fuera, S entonces existen / I. Como λ < κ y {Aη }η<λ tales que Aη ∈ I para cada η < λ pero η<λ Aη ∈ en el Lema 10.50, podemos suponer que los Aη son mutuamente ajenos. Sea     [ Aη ∈ I . J = B⊆λ:   η∈B

J es un ideal σ-completo no principal; no es principal dado que Xη ∈ J para cada η ∈ λ. As´ı, el dual P(X) \ J de J es un ultrafiltro σ-completo no principal sobre λ. Pero λ < κ; esto contradice la suposici´ on de que κ es el m´ınimo cardinal sobre el cual existe un ultrafiltro σ-completo no principal. As´ı, U es κ-completo.

Definici´ on 10.60 Un cardinal medible es un cardinal no numerable κ sobre el cual existe un ultrafiltro κ-completo no principal. La discusi´on planteada antes de la Definici´ on 10.58 muestra que los cardinales medibles est´ an relacionados con el problema de la medida investigado en la secci´ on anterior. La existencia de un cardinal medible es equivalente a la existencia de una medida 2-valuada. Ulam y Tarski descubrieron que los cardinales medibles deben ser fuertemente inaccesibles. Teorema 10.61 Cualquier cardinal medible es fuertemente inaccesible.

288

10. Teor´ıa de Cardinales

´ n: Demostracio Sea κ un cardinal medible, y sea U un ultrafiltro κ-completo no principal sobre κ. Sea I el ideal dual de U; I es un ideal primo. Cualquier conjunto singular pertenece a I, y por la κ-completitud, cualquier A ⊂ κ de cardinalidad menor que κ pertenece a I. Si κ fuera singular, el conjunto κ tambi´en pertenecer´ıa a I, por κ-completitud; contradiciendo que I es un ideal propio (compare con el Corolario 10.52). Por lo tanto, κ es regular. Ahora supongamos que κ no es l´ımite fuerte. Entonces existe λ < κ tal que 2λ ≥ κ. As´ı, hay un conjunto X ⊆ {0, 1}λ de cardinalidad κ sobre el cual hay tambi´en un ultrafiltro κ-completo no principal, digamos V. Para cada α < λ, exactamente uno de los conjuntos {f ∈ X : f (α) = 0}

y

{f ∈ X : f (α) = 1}

(10.7.1)

pertenece a V; llamemos Aα a ese conjunto. T As´ı, para cada α < λ tenemos que Aα ∈ V, y por κ-completitud, X = α<λ Aα tambi´en es miembro de V. Pero hay a lo m´ as una funci´on f ∈ X que pertenece a todo Aα : el valor de f en α est´ a determinado por la elecci´ on de uno de los conjuntos en (10.7.1). Por lo tanto, |X| ≤ 1; lo cual es una contradicci´ on. Por lo que κ es l´ımite fuerte y por lo tanto, κ es fuertemente inaccesible.

10.8 Otros Cardinales Grandes Definici´ on 10.62 Sea κ un cardinal infinito. Un ´ arbol de altura κ es un conjunto T de sucesiones transfinitas con las siguientes propiedades: (a) dom s < κ para cualquier s ∈ T , (b) si s ⊆ t y t ∈ T , entonces s ∈ T , (c) para cualquier η < κ existe s ∈ T con dom s = η. A los elementos de un a´rbol se les suele llamar nodos. Un sucesor de un nodo s ∈ T es una t ∈ T tal que t ⊇ s y dom t = (dom s) + 1. Una rama en T es una sucesi´ on transfinita b con la propiedad de que todos los segmentos iniciales propios de b est´an en T pero b ∈ / T. Teorema 10.63 Sea κ un cardinal medible. Si T es un ´ arbol de altura κ tal que cada nodo tiene menos que κ sucesores, entonces T tiene una rama de longitud κ.

10.8. Otros Cardinales Grandes

289

´ n: Demostracio Para cada α < κ, sea Tα el conjunto de todas las s ∈ T de longitud α. Como κ es un cardinal fuertemente inaccesible, se sigue, por inducci´ on sobre α, que |Tα | < κ para todo α < κ. Por lo tanto, |T | ≤ κ. Por la Definici´on 10.62(c), |T | = κ. Sea U un ultrafiltro κ-completo no principal sobre T . Encontraremos una rama de longitud κ como sigue. Por inducci´ on sobre α mostraremos que para cada α existe un u ´nico sα ∈ T tal que {t ∈ T : sα ⊆ t} ∈ U

(10.8.1)

y que sα ⊂ sβ cuando α < β. Primero, s0 = ∅. Dada sα , y suponiendo (10.8.1), notamos que el conjunto {t ∈ T : sα ⊆ t} es la uni´ on de {sα } y los conjuntos {t ∈ T : u ⊆ t} donde u corre sobre todos los sucesores de sα . Como U es un ultrafiltro κ-completo y sα tiene menos que κ sucesores, existe un u ´nico sucesor u = sα+1 tal que {t ∈ T : sα+1 ⊆ t} ∈ U. Cuando η es un ordinal l´ımite menor que κ y si {sα }α<η ⊆ T cumple que sSα ⊂ sβ si α < β, y todos los sα satisfacen (10.8.1), entonces definimos sη = α<η sα . Tenemos que \ {t ∈ T : sη ⊆ t} = {t ∈ T : sα ⊆ t} (10.8.2) α<η

y puestoSque U es κ-completo, el conjunto de (10.8.2) pertenece a U. Es claro que b = {sα : α < κ} es una rama en T, de longitud κ. Tarski introdujo el siguiente tipo de cardinales.

Definici´ on 10.64 Un cardinal fuertemente inaccesible κ se llama d´ebilmente compacto si para cualquier a´rbol de altura κ con menos de κ sucesores en cada nodo, existe una rama de T de longitud κ. Los cardinales d´ebilmente compactos son un grupo de cardinales grandes m´as d´ebiles que los cardinales medibles, pero a´ un bastante poderosos. La raz´ on del nombre “d´ebilmente compacto” es que estos cardinales satisfacen un cierto teorema de compacidad en l´ ogica. Una pregunta natural despu´es de definir a los cardinales d´ebilmente compactos es: ¿Cu´ales son los cardinales compactos? Los cardinales compactos pueden ser definidos de varias maneras diferentes, para nosotros, la m´as sencilla es la que se da en t´erminos de una generalizaci´on del Teorema del Ultrafiltro.

290

10. Teor´ıa de Cardinales

Definici´ on 10.65 Un cardinal regular no numerable κ es compacto (o fuertemente compacto) si para cualquier conjunto X, todo filtro (propio) κ-completo sobre X puede extenderse a un ultrafiltro κ-completo sobre X. Obviamente, cualquier cardinal compacto es un cardinal medible, porque cualquier ultrafiltro sobre κ que extiende al filtro {A ⊆ κ : |κ \ A| < κ} , es no principal. Definici´ on 10.66 Sea κ un cardinal regular no numerable. Decimos que un conjunto C ⊆ κ es cerrado y no acotado en κ si: (a) Para cualquier sucesi´on de longitud γ < κ, α0 < α1 < · · · < αξ < · · ·

(ξ < γ),

de elementos de C, se tiene que limξ→γ αξ ∈ C. (C es cerrado.) (b) Para cualquier α < κ, existe un β > α tal que β ∈ C. (C es no acotado.) Ejemplo 10.67 El conjunto de todos los ordinales l´ımites α < κ es cerrado y no acotado en κ. La demostraci´on del siguiente lema es sencilla y preferimos dejarla para el lector. Lema 10.68 Si C y D son conjuntos cerrados y no acotados, entonces C ∩ D es cerrado no acotado. La familia de todos los subconjuntos cerrados y no acotados de κ tiene la propiedad de la intersecci´ on finita. El filtro generado por los conjuntos cerrados y no acotados consiste de todos los X ⊆ κ que contienen un subconjunto cerrado y no acotado. Llamaremos a este filtro el filtro cerrado y no acotado sobre κ. Definici´ on 10.69 Sea f : κ → κ una funci´on; decimos que (a) f es continua si f (α) = lim f (ξ) ξ→α

para cualquier ordinal l´ımite α < κ distinto de 0. (b) f es normal si es creciente y continua.

10.8. Otros Cardinales Grandes

291

El rango de una funci´on normal es un conjunto cerrado y no acotado: las funciones fα (β) = α + β, gα (β) = α · β y hα (β) = αβ son normales (esto se sigue de la definici´ on y su monoton´ıa). Por lo tanto, existen muchos conjuntos cerrados y no acotados. El siguiente resultado nos dice que el filtro cerrado y no acotado sobre κ es κ-completo. Proposici´ on 10.70 La intersecci´ on de menos que κ subconjuntos cerrados y no acotados es un conjunto cerrado y no acotado. ´ n: Demostracio Probaremos, por inducci´on sobre γ < κ, que la intersecci´ on de una familia {Cα }α<γ de subconjuntos cerrados no acotados de κ es cerrada y no acotada. El paso de inducci´on para ordinales sucesores lo establece el Lema 10.68. Si γ es un ordinal l´ımite, suponemos que el lema T es v´ alido para cualquier α < γ. Entonces podemos reemplazar cada Cα por ξ<α Cξ y obtener una sucesi´on decreciente con la misma intersecci´ on. As´ı, supongamos que C0 ⊇ C1 ⊇ · · · ⊇ · · · Cα ⊇ · · · (α < ξ) T son cerrados no acotados, y sea C = α<γ Cα . Es f´acil ver que C es cerrado. Para mostrar que C es no acotado, sea α < κ. Construiremos una sucesi´on β0 < β1 < · · · < βξ < · · ·

(ξ < γ)

como sigue: Sea β0 ∈ C0 tal que β0 > α, y para cada ξ < γ, sea βξ ∈ Cξ tal que βξ > sup {βν : ν < ξ} . Como κ es regular y γ < κ, tal sucesi´on existe y su l´ımite β es menor que κ. Para cada η < γ, β es el l´ımite de una sucesi´on (βξ )η<ξ<γ en Cη , y as´ı β ∈ Cη . Por lo tanto, β ∈ C. Definici´ on 10.71 Sea κ un cardinal regular no numerable. Decimos que un conjunto S ⊆ κ es estacionario en κ si S ∩ C 6= ∅ para cualquier subconjunto cerrado y no acotado de κ. Un conjunto que no es estacionario se llamar´a delgado. Note que la familia de todos los conjuntos delgados es el ideal dual del filtro cerrado y no acotado. Sea κ un cardinal fuertemente inaccesible. El conjunto de todos los cardinales menores que κ es un subconjunto cerrado y no acotado de κ, y as´ı es

292

10. Teor´ıa de Cardinales

tambi´en el conjuntos de todos los cardinales l´ımite fuerte. En efecto, el conjunto de todos los cardinales l´ımite fuerte menores que κ es cerrado; para mostrar que es no acotado, si λ < κ, un cardinal l´ımite fuerte mayor que λ λ puede obtenerse mediante el l´ımite de λ, 2λ , 22 , . . .. Si κ es el m´ınimo cardinal inaccesible (suponiendo su existencia), entonces todos los cardinales l´ımites fuerte menores que κ son singulares, y as´ı, el conjunto de todos los cardinales l´ımite fuerte y singulares menores que κ es cerrado y no acotado. Si κ es el α-´esimo cardinal fuertemente inaccesible, donde α < κ, entonces el conjunto de todos los cardinales regulares menores que κ sigue siendo delgado. En otras palabras, los cardinales regulares menores que κ forman un conjunto delgado en κ. Definici´ on 10.72 Un cardinal fuertemente inaccesible κ se llama cardinal de Mahlo si el conjunto de todos los cardinales regulares menores que κ es estacionario en κ. De la discusi´on anterior a la definici´ on, se deduce que para un cardinal de Mahlo κ, el conjunto de todos los cardinales fuertemente inaccesibles menores que κ es estacionario, y κ es el κ-´esimo cardinal inaccesible. Definici´ on 10.73 Un cardinal d´ebilmente de Mahlo, es un cardinal κ que es inaccesible y el conjunto de todos los cardinales regulares menores que κ es estacionario. Puede demostrarse que cualquier cardinal d´ebilmente compacto es un cardinal de Mahlo, desgraciadamente la demostraci´ on est´ a lejos de nuestro alcance. ´ no P. Mahlo se considera el autor de los cardinales d´ebilmente de Mahlo. El trabaj´o con cardinales fuertemente inaccesibles. Sean α, κ, λ cardinales y n < ω. La notaci´ on de flecha α → (κ)nλ denota la siguiente relaci´ on de partici´on: si {Pη }η<λ es una partici´ on de [α]n = {X ⊆ α : |X| = n} , entonces existen A ⊆ α y η < λ tales que |A| = κ,

y

[A]n ⊆ Pη .

Equivalentemente, α → (κ)nλ si para toda funci´on f : [α]n → λ, existe A ∈ [α]κ tal que f restingida a [A]n es constante. El conjunto A se llama homog´eneo para la familia {Pη }η<λ .

10.8. Otros Cardinales Grandes

α0

293

El siguiente hecho es obvio: si α0 ≥ α, κ ≤ κ0 , λ0 ≤ λ, y α → (κ)nλ entonces → (κ0 )nλ0 .

Definici´ on 10.74 Un cardinal infinito κ es un cardinal de Ramsey si κ → (κ)22 . Definici´ on 10.75 Un cardinal infinito κ es un cardinal de Hausdorﬀ si para cualquier orden lineal ¹ sobre κ existe un subconjunto de κ de cardinalidad κ el cual es, o bien ordenado por ¹ o bien ordenado por el orden dual ¹−1 . Teorema 10.76 Cualquier cardinal de Ramsey es un cardinal de Hausdorﬀ. ´ n: Demostracio Sea κ un cardinal de Ramsey y sea ¹ un orden lineal sobre κ. Pongamos P0 como el conjunto de todos los pares no ordenados {ξ, ζ} tales que o bien ξ < ζ < κ y ξ ¹ ζ o ζ < ξ < κ y ζ ¹ ξ, y P1 como el conjunto de todos los {ξ, ζ} tales que o bien ξ < ζ < κ y ζ ¹ ξ o ζ < ξ < κ y ξ < ζ. As´ı, P0 es el conjunto de pares no ordenados de distintos elementos de κ en los cuales el buen orden de κ coincide con el orden lineal ¹ y P1 es el conjunto de pares ordenados en los cuales los dos ordenes difieren. Tenemos que [κ]2 = P0 ∪ P1 , y como κ es un cardinal de Ramsey, existe A ⊆ κ tal que o bien [A]2 ⊆ P0 o [A]2 ⊆ P1 . Si [A]2 ⊆ P0 entonces A est´a bien ordenado por ¹, y si [A]2 ⊆ P1 entonces A est´ a bien ordenado por ¹−1 . Para demostrar el siguiente teorema, que nos revelar´ a el tama˜ no de los cardinales de Hausdorﬀ, necesitaremos de lo siguiente. Sea α un ordinal. Si a, b ∈ {0, 1}α y a 6= b consideremos ξ(a, b) = min {ξ < α : aξ 6= bξ } , y hacemos a ≤ b si a = b o a 6= b y aξ(a,b) < bξ(a,b) . Como α es un conjunto bien ordenado, ≤ est´ a bien definido y es un orden lineal sobre {0, 1}α . Un elemento de {0, 1}α es una sucesi´ on di´adica de longitud α y ≤ es el orden lexicogr´ afico sobre {0, 1}α . Lema 10.77 Si A es un conjunto bien ordenado bajo el orden lexicogr´ afico o bajo su dual en {0, 1}ωα , entonces |A| ≤ ℵα .

294

10. Teor´ıa de Cardinales

´ n: Demostracio Demostraremos la proposici´on cuando A es considerado con el orden lexicogr´ afico; las modificaciones de la demostraci´on para el caso en que A es bien ordenado por el orden dual se dejan para el lector. Supongamos sin p´erdida de generalidad (omitiendo si es necesario una cantidad finita de elementos), que A no tiene elemento m´aximo y que ℵα < |A|. Afirmamos que existe un ordinal ξ < ωα para el cual existen funciones f, g : ωα+1 → A tales que (i) f y g son crecientes e inyectivas, (ii) f (η) < g(η) < f (η + 1) y (iii) ξ(f (η), g(η)) = ξ para η < ωα+1 . Sea s : A → A tal que s(a) es el sucesor inmediato de a en A, y sea Aξ = {a ∈ A : ξ(a, s(a)) = ξ} S para cada ξ < ωα . Como A = ξ<ωα Aξ , existe ξ < ωα tal que |Aξ | > ωα . ´nico ordinal β y un u ´nico Como Aξ tambi´en es bien ordenado, existen un u isomorfismo de orden h : β → Aξ . Note que ωα+1 ≤ β. Hagamos f = h |ωα+1

y

g = s ◦ f.

Es claro que f, g y ξ satisfacen las condiciones (i) y (iii); y que f (η) < s(f (η)) = g(η) ≤ f (η + 1) para η < ωα+1 ; adem´ as, como f (η)ξ = 0 < 1 = g(η)ξ para η < ωα+1 , tenemos que f (η + 1) 6= g(η). La prueba de la afirmaci´on est´ a completa. Ahora sea ξ el m´ınimo ordinal menor que ωα para el cual existen las funciones f, g que satisfacen las condiciones (i), (ii) y (iii). Sea Bζ = {g(η) : η < ωα+1 y ξ(g(η), f (η + 1)) = ζ} para cada ζ < ξ. Como g(η)ξ = 1, f (η + 1)ξ = 0 y g(η) < f (η + 1), se sigue que ξ(g(η), f (η + 1)) < ξ para η < ωα+1 ; por lo tanto, ³ ´ [ g {η}η<ωα+1 = Bζ . ζ<ξ

As´ı, existe ζ < ξ tal que |Bζ | = ℵα+1 . Nuevamente, al ser Bζ un conjunto bien ordenado, existe un ordinal β 0 ≥ ωα+1 y un isomorfismo de orden h0 : β 0 → Bζ . Sea f 0 = h0 |ωα+1

10.8. Otros Cardinales Grandes

295

y definamos g 0 : ωα+1 → A mediante g 0 (η) = f (g −1 (f 0 (η)) + 1). ³ ´ ´ ³ a bien definida. Es Como f 0 {η}η<ωα+1 ⊆ g {η}η<ωα+1 , la funci´on g 0 est´

claro que f 0 y g 0 son funciones crecientes e inyectivas de ωα+1 en A, f 0 (η) < g 0 (η) para η < ωα+1 , y ξ(f 0 (η), g 0 (η)) = ζ para η < ωα+1 ; por lo tanto, g 0 (η) = f (g −1 (f 0 (η)) + 1) < g(g −1 (f 0 (η)) + 1) ≤ f 0 (η + 1). Pero como f 0 (η+1) es el sucesor inmediato de f 0 (η) en ran f 0 , g(g −1 (f 0 (η))+1) es el sucesor inmediato de f 0 (η) en ran g y ran f 0 ⊆ ran g. Se sigue que ζ, f 0 y g 0 satisfacen las condiciones (i), (ii) y (iii) con ζ < ξ; contradiciendo la elecci´ on de ξ. Teorema 10.78 Cualquier cardinal de Hausdorﬀ es fuertemente inaccesible. ´ n: Demostracio Sea κ un cardinal de Hausdorﬀ. Veamos primero que κ es regular. Sup´ ongase que cf (κ) < κ y sea {Aξ : ξ < κ} una familia de subconjuntos de κ tales que: |Aξ | < κ para cada ξ < cf (κ), Aξ ∩ Aζ = ∅ para S ξ < ζ < cf (κ), y κ = ξ
olo si o Definamos una relaci´ on ¹ en κ por la siguiente regla: η ≺ η 0 si y s´ 0 bien existen ξ < ξ < cf (κ) tales que η ∈ Aξ y η0 ∈ Aξ0 o existe ξ < cf (κ) tal que η, η 0 ∈ Aξ y η 0 < η. Entonces ¹ es un orden lineal sobre κ. Si A es un subconjunto de κ bien ordenado por ¹ entonces, puesto que ¹−1 es un buen orden sobre Aξ para cada ξ < cf (κ), tenemos que |A ∩ Aξ | < ℵ0 para ξ < cf (ξ); y por lo tanto, X |A ∩ Aξ | ≤ ℵ0 · cf (κ) < κ. |A| = ξ
Si A es ¹−1 -bien ordenado, entonces existe ζ < cf (κ) tal que el elemento S m´aximo de A (en el orden ¹) es un elemento de Aζ . Entonces A ⊆ ξ<ζ Aξ ; por lo tanto, X |A| ≤ |Aξ | < κ. ξ<ζ

As´ı, κ no es un cardinal de Hausdorﬀ; lo cual es una contradicci´on.

296

10. Teor´ıa de Cardinales

Ahora veamos que κ es l´ımite fuerte. Sea λ un cardinal tal que κ ≤ 2λ . Entonces hay un subconjunto A de {0, 1}λ tal que |A| = κ. Como A est´a linealmente ordenado (en el orden inducido por {0, 1}λ ) y κ es un cardinal de Hausdorﬀ, existe un subconjunto B de A tal que |B| = κ, y B es bien ordenado o es bien ordenado bajo el dual del orden lexicogr´ afico. De acuerdo al lema anterior, B debe tener cardinalidad a lo m´ as λ. As´ı, κ = |B| ≤ λ. Para terminar con esta secci´ on presentamos un teorema que asegura la equivalencia de tres de los tipos de cardinales antes presentados, a pesar de estar definidos de manera completamente diferente. Desafortunadamente la demostraci´on de dicho teorema requiere de un estudio m´as profundo de las propiedades de estos cardinales. Teorema 10.79 Para cualquier cardinal infinito κ las siguientes proposiciones son equivalentes: (a) κ es un cardinal d´ebilmente compacto, (b) κ es un cardinal de Ramsey, (c) κ es un cardinal de Hausdorﬀ.

Ejercicios 10.8 1. Demuestre el Lema 10.68. 2. (a) Muestre que el conjunto de puntos fijos (es decir, f (α) = α) de una funci´on normal es cerrado y no acotado. (b) Si f : κ → κ, entonces el conjunto de todos los α < κ tales que f ({ξ : ξ < α}) ⊆ α es cerrado y no acotado. ⊆ κ es cerrado y no acotado para cada α ∈ κ, 3. Demuestre o n que si Cα T entonces β ∈ κ : β ∈ α∈β Cα es cerrado y no acotado en κ.

4. Demuestre que si S ⊆ κ \ {0} es estacionario en κ y f : S → κ es una funci´on tal que f (α) < α para todo α ∈ S, entonces existe un subconjunto estacionario S 0 ⊆ S de modo que f restringida a S 0 es constante.

11 Dos T´ opicos Especiales 11.1 El Problema de Souslin Definici´ on 11.1 Sea (A, ≤) un conjunto linealmente ordenado. (a) Se dice que (A, ≤) es denso si para cualesquiera a, b ∈ A con a < b existe c ∈ A tal que a < c < b. (b) Se dice que (A, ≤) es no acotado si no tiene elementos m´aximo y m´ınimo. Vamos a dar otro teorema de Cantor, el cual muestra que cualquier conjunto numerable linealmente ordenado que es denso y no acotado es isomorfo al conjunto de los n´ umeros racionales Q con su orden usual. Teorema 11.2 Cualesquiera dos conjuntos linealmente ordenados, numerables, densos y no acotados son isomorfos. ´ n: Demostracio Sean A = {an : n ∈ N} y B = {bn : n ∈ N} conjuntos que satisfacen las suposiciones del teorema. Para simplificar la notaci´ on, usaremos el mismo s´ımbolo para denotar las relaciones de orden en ambos conjuntos. Definiremos primero dos biyecciones φ, ψ : N → N de tal manera que la funci´ on f : A → B dada por f (aφ(n) ) = bψ(n) constituya un isomorfismo de orden. Para este prop´osito, sea φ(0) = ψ(0) = 0. Ahora sean © ª Fn = k ∈ N : ak 6= aφ(j) , 0 ≤ j ≤ n © ª Gn = k ∈ N : (bψ(j) < bk ) ⇔ (aφ(j) < aφ(n+1) ), 0 ≤ j ≤ n © ª Hn = k ∈ N : bk 6= bψ(j) , 0 ≤ j ≤ n © ª Jn = k ∈ N : (aφ(j) < ak ) ⇔ (bψ(j) < bψ(n+1) ), 0 ≤ j ≤ n y definamos

  min Fn min Jn φ(n + 1) =  0

si n es par y Fn 6= ∅ si n es impar y Jn 6= ∅ en otro caso,

298

11. Dos T´ opicos Especiales

  min Gn ψ(n + 1) = min Hn  0

si n es par y Gn 6= ∅ si n es impar y Hn 6= ∅ en otro caso,

Demostraremos por inducci´ on que si n ∈ N y j < n, entonces (a) φ(n) 6= φ(j) (b) ψ(n) 6= ψ(j) olo si bψ(n) ≤ bψ(j) y aφ(n) ≥ aφ(j) si y s´ olo si (c) aφ(n) ≤ aφ(j) si y s´ bψ(n) ≥ bψ(j) . Es claro que (a), (b) y (c) se cumplen para n = 0. Sup´ ongase que n0 > 0 on y que (a), (b) y (c) se valen para n < n0 . Sea n0 = n0 + 1. La demostraci´ 0 ahora se parte en dos casos acorde a cuando n es par o impar. Consideraremos u ´nicamente el primero de los casos. Como A es infinito, existen n´ umeros k tales que ak 6= aφ(j) para j ≤ n0 . 0 umeros. Esto demuestra (a) para Por definici´on, φ(n + 1) es uno de estos n´ n0 = n0 + 1. Para demostrar (b) y (c), sean ª © ª © P = j ≤ n0 : aφ(j) < aφ(n0 ) y Q = j ≤ n0 : aφ(n0 ) < aφ(j) .

As´ı, p ∈ P y q ∈ Q implica aφ(p) < aφ(q) . Por lo tanto, (c) se cumple por la suposici´on para n < n0 ; obteniendo con esto que p ∈ P, q ∈ Q implica bψ(p) < bψ(q) .

(11.1.1)

Puesto que B es denso, (11.1.1) muestra que existen n´ umeros k tales que bψ(p) < bk para cualquier p ∈ P y bk < bψ(q) para cualquier q ∈ Q. Se sigue de umeros k. As´ı, bψ(n0 ) 6= bψ(j) para la definici´ on de ψ que ψ(n0 ) es uno de estos n´ olo si j ∈ Q si y s´ olo si aφ(n0 ) < aφ(j) ; j ∈ P ∪ Q. M´ as a´ un, bψ(n0 ) < bψ(j) si y s´ y similarmente para > (tomando j ∈ P ∪ Q). De este modo (b) y (c) est´an demostradas. ª © ª © f es un isomorfismo entre los conjuntos aφ(n) : n ∈ N y bψ(n) : n ∈ N se deduce las propiedades (a), (b) y (c). Nos resta probar que estos conjuntos son id´enticos con A y B, respectivamente. En otras palabras que φ y ψ son sobreyectivas. Consideraremos u ´nicamente φ. Sup´ongase por el contrario que N \ φ(N) 6= ∅ y sea k0 el m´ınimo de este ´nico n´ umero tal que conjunto. Claramente k0 > 0. Para h < k0 , sea nh el u φ(nh ) = h y sea n un n´ umero natural par mayor que cualquier nh , con h < k0 . Como ak0 6= aφ(j) para todo j ≤ n, y para cualquier k < k0 existe j ≤ n tal que ak = aφ(j) , a saber, j = nk , obtenemos que k0 = min Fn . Esto implica que / φ(N ). k0 = φ(n + 1), lo cual contradice que k0 ∈

11.1. El Problema de Souslin

299

Definici´ on 11.3 Sea (A, ≤) un conjunto linealmente ordenado que sea denso. (a) Decimos que (A, ≤) es completo si cualquier subconjunto acotado no vac´ıo de A tiene supremo. (b) D ⊆ A es denso en A si y s´ olo si para cualesquiera a, b ∈ A, existe d ∈ D tal que a < d < b. En la Secci´ on 6.4 hicimos notar que a pesar de que los racionales son un conjunto denso, existen subconjuntos acotados no vac´ıos que carecen de supremo. Esta motivaci´on nos llevo a extender el conjunto Q a un conjunto linealmente ordenado en el que no ocurriera este fen´ omeno; as´ı construimos a R (por medio de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy). El conjunto de los n´ umeros reales tiene las mismas propiedades (de orden) que Q y otra m´ as, la completitud. Ahora daremos otro m´etodo de llevar a cabo esta compleci´ on. Definici´ on 11.4 Una cortadura de Dedekind en un conjunto linealmente ordenado (X, ≤) es un par (A, B) de subconjuntos no vac´ıos de X tales que: (a) A ∪ B = X; (b) a < b para cualesquiera a ∈ A y b ∈ B; (c) si inf B existe, entonces inf B ∈ B (note que sup A = inf B). Teorema 11.5 Sea (X, ≤) un conjunto linealmente ordenado, denso y no acotado. Entonces existe un conjunto linealmente ordenado, completo y no acotado e ¹) tal que: (X, e ≤ y ¹ coinciden en X. (a) X ⊆ X, e (b) X es denso en X. e2 son dos e es u e1 y X El conjunto X ´nico salvo isomorfismo; m´ as a´ un, si X e2 tal que e de tales conjuntos entonces existe un isomorfismo h entre X1 y X h(a) = a para todo a ∈ X.

´ n: Demostracio

e el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind en X y sea (A, B) ¹ Sea X 0 e es completo. En efecto, (A , B 0 ) si y s´olo si A ⊆ A0 (y B ⊇ B 0 ). El conjunto X e entonces si {(Ai , Bi )}i∈I es un subconjunto acotado de X, Ã ! [ \ Ai , Bi i∈I

i∈I

es su supremo. Para cualquier p ∈ X, sean Ap = {x ∈ X : x < p}

y Bp = {x ∈ X : x ≥ p} .

300

11. Dos T´ opicos Especiales

e Entonces X 0 = {(Ap , Bp ) : p ∈ X} es isomorfo a X y es denso en X. e sean X e yX e 0 dos conjuntos linealmente Para demostrar la unicidad de X, e y ordenados, densos, completos y no acotados, sean X y X 0 densos en X 0 0 e , respectivamente, y sea f : X → X un isomorfismo. Entonces f puede X e 0 , haciendo e →X extenderse (un´ıvocamente) a un isomorfismo f ∗ : X f ∗ (y) = sup {f (x) : x ∈ X, x ≤ y} .

Esto completa la demostraci´ on A los conjuntos linealmente ordenados que poseen subconjuntos densos numerables se les llama separables. As´ı, por el teorema anterior, R es el u ´nico (salvo isomorfismo) conjunto linealmente ordenado que es denso, no acotado, completo y separable. En 1920 Souslin se pregunt´ o si la condici´ on de ser separable puede ser sustituida por una condici´on m´as d´ebil. Definici´ on 11.6 Sea (X, ≤) un conjunto linealmente ordenado. Si cada colecci´ on de intervalos abiertos ajenos es a lo m´ as numerable, entonces se dice que X satisface la condici´ on de la cadena contable (c.c.c.). Claramente cualquier conjunto linealmente ordenado que sea separable satisface la condici´on de la cadena contable. As´ı, el problema de Souslin es el siguiente: Problema de Souslin Sea S un conjunto linealmente ordenado tal que: (a) S es denso y no acotado. (b) S es completo. (c) S satisface la condici´ on de la cadena contable. ¿Es S isomorfo a la l´ınea real? Este problema no puede decidirse en la axiom´ atica de la Teor´ıa de Conjuntos. Jech en 1967 y Tennenbaum en 1968 descubrieron modelos en los cuales el Problema de Souslin tiene soluci´on. El Problema de Souslin puede reformularse como sigue: ¿Existe un conjunto linealmente ordenado S que sea denso y satisfaga la condici´ on de la cadena contable, pero que no sea separable? A tales conjuntos ordenados S los llamamos l´ıneas de Souslin. La Hip´ otesis de Souslin es la siguiente afirmaci´ on: HS No existen l´ıneas de Souslin.

11.2. El Axioma de Martin

301

Salvo la completitud, removiendo los puntos finales si es necesario, una l´ınea de Souslin proporciona un contraejemplo para el problema de Souslin. Por lo tanto, la investigaci´on se centra en la existencia de l´ıneas de Souslin. Solovay y Tennenbaum en 1971 mostraron que la existencia de una l´ınea de Souslin no se puede demostrar en ZFC; la construcci´ on de Tennenbaum tambi´en muestra que la existencia de una l´ınea de Souslin es independiente de la Hip´ otesis del Continuo y en un modelo de Jensen donde existe una l´ınea de Souslin la Hip´ otesis del Continuo es v´ alida. Las l´ıneas de Souslin han sido usadas en Topolog´ıa de Conjuntos. Muchas de las construcciones de varios tipos de espacios no separables son imposibles en ZFC si no se acepta la existencia de l´ıneas de Souslin.

11.2 El Axioma de Martin La no existencia de una l´ınea de Souslin puede demostrarse con el llamado Axioma de Martin, el cual fue estudiado e introducido por Solovay y Tennenbaum en 1971, Martin y Solovay en 1970 y Kunen en 1968. Para formularlo, introduciremos las siguientes definiciones. Definici´ on 11.7 Una relaci´on ≤ en un conjunto P es un pre-orden si es reflexiva y transitiva. Al par (P, ≤) le llamamos conjunto pre-ordenado. Como es costumbre, abusaremos de la notaci´ on y escribiremos P en vez de (P, ≤) cuando la definici´ on del pre-orden ≤ sea clara dentro del contexto. Tambi´en, es costumbre llamar a los elementos de un conjunto pre-ordenado P condiciones; y decir que una condici´on p extiende a una condici´ on q si p ≤ q. Obviamente cualquier orden (parcial) es un pre-orden. Un ejemplo trivial de un pre-orden en P es P × P , es decir, p ≤ q para cualesquiera p, q ∈ P . Otra relaci´on ¹ que es un pre-orden es la que se encuentra en el Ejemplo 4.99. Definici´ on 11.8 Sea P un conjunto pre-ordenado. (a) Dos elementos p, q ∈ P son compatibles si existe r ∈ P tal que r ≤ p y r ≤ q. (b) Dos elementos p, q ∈ P son incompatibles si no son compatibles. (c) Un subconjunto A ⊆ P es una anticadena si cualesquiera dos elementos de A son incompatibles. (d) Un subconjunto D ⊆ P es denso si para cualquier p ∈ P , existe d ∈ D tal que d ≤ p. Es bueno observar que el concepto de compatibilidad es diferente del concepto de comparabilidad que se defini´ o en la Secci´ on 4.5, pues puede ocurrir

302

11. Dos T´ opicos Especiales

que dos condiciones p y q sean compatibles pero que no sean comparables, es decir, p £ q y q £ p. Tambi´en, note que aqu´ı el uso de la palabra “denso” es diferente al uso de esta misma palabra en la secci´ on anterior; por ejemplo, en el conjunto de los n´ umeros reales con su orden usual, (−∞, 1) es un subconjunto denso seg´ un la definici´on anterior pero obviamente no lo es en el sentido de la Definici´on 11.3. Otro uso diferente al de la secci´ on anterior, aunque con la misma terminolog´ıa, es el siguiente: Definici´ on 11.9 Un conjunto pre-ordenado satisface la condici´ on de la cadena contable (c.c.c.) si toda anticadena es a lo m´as numerable. Note que trivialmente todo conjunto linealmente ordenado satisface la c.c.c. como conjunto pre-ordenado. Aqu´ı tambi´en el peso de la tradici´ on hist´orica nos obliga a llamar condici´on de la cadena contable a una propiedad que en realidad se refiere a anticadenas. El contexto nos permitir´ a distinguir con claridad a cu´al c.c.c. nos referimos. Ejemplo 11.10 Sean X un conjunto no vac´ıo y P = P(X) \ {∅} con p ≤ q si y s´ olo si p ⊆ q. Entonces dos condiciones p y q son incompatibles si y s´olo si p ∩ q = ∅. A ⊆ P es una anticadena si sus elementos son ajenos por pares; as´ı, P satisface la c.c.c. si y s´ olo si |X| ≤ ℵ0 . Ejemplo 11.11 Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y P = {p ⊆ X : p 6= ∅, p es abierto en X} .

(11.2.1)

Como en el ejemplo anterior, sea ≤ la contenci´ on de conjuntos. Entonces p, q ∈ P son incompatibles si y s´olo si p ∩ q = ∅. Si (X, ≤) es un conjunto linealmente ordenado, una topolog´ıa sobre X puede ser introducida declarando como abiertos a todos los subconjuntos de X que sean uni´ on de intervalos abiertos. X con esta topolog´ıa τ≤ , (X, τ≤ ), se llama espacio linealmente ordenado. (X, ≤) satisface la c.c.c., seg´ un la Definici´ on 11.6, si y s´ olo si el conjunto pre-ordenado P definido en el ejemplo anterior satisface la c.c.c. seg´ un la Definici´on 11.9. M´ as generalmente, se dice que un espacio topol´ ogico (X, τ ) satisface la c.c.c. si el conjunto pre-ordenado (11.2.1) satisface la c.c.c. (seg´ un la Definici´on 11.9). Ejemplo 11.12 Sean B un ´algebra booleana y P = B \ {0}, con el mismo orden como en B. Entonces dos condiciones p y q son incompatibles si y s´ olo si p · q = 0.

11.2. El Axioma de Martin

303

Definici´ on 11.13 Si D es un subconjunto denso de un conjunto pre-ordenado P , entonces un subconjunto G de P se llama filtro D-gen´erico en P si satisface las siguientes condiciones: (a) si a ∈ G y a ≤ b entonces b ∈ G, (b) si a, b ∈ G entonces existe c ∈ G tal que c ≤ a y c ≤ b, (c) D ∩ G 6= ∅. Si D es una familia de conjuntos densos en P , entonces G es un filtro Dgen´erico si es un filtro D-gen´erico para cada D ∈ D. Lema 11.14 Si (P, ≤) es un conjunto ordenado, y D es una familia a lo m´ as numerable de subconjuntos densos de P , entonces existe un filtro D-gen´erico en P . En efecto, para cualquier p ∈ P , existe un filtro D-gen´erico G en P tal que p ∈ G. ´ n: Demostracio Sea D = {D1 , D2 , . . .} una familia numerable de conjuntos densos en P . Sean p un elemento cualquiera de P y p0 = p. Para cada n > 0, sea pn tal que pn ≤ pn−1 y pn ∈ Dn . Veamos que el conjunto un n ∈ N} G = {x ∈ P : x ≥ pn para alg´ es un filtro D-gen´erico en P y que p ∈ G. En efecto, que p ∈ G es claro. Ahora si r ∈ P, q ∈ G y q ≤ r; entonces r ∈ G (puesto que q ∈ G implica la existencia de un n ∈ ω tal que pn ≤ q). Adem´as, si q1 , q2 ∈ G existen m, n ∈ ω tales que pm ≤ q1 y pn ≤ q2 . Sin p´erdida de generalidad supongamos que m ≤ n. Entonces pm ∈ G es una extensi´ on com´ un a q1 y q2 . Finalmente, es obvio que G ∩ Dn 6= ∅ para todo n ∈ ω. Consideremos la siguiente generalizaci´ on. AMκ Si κ es un cardinal infinito y (P, ≤) es un conjunto pre-ordenado que satisface la condici´ on de la cadena contable, y si D es una familia de a lo m´ as κ subconjuntos densos de P , entonces existe un filtro D-gen´erico en P . AMℵ0 es justamente el Lema 11.14 y es demostrable en ZFC. El Axioma de Martin asegura que AMκ se cumple para todo κ < 2ℵ0 . Axioma de Martin Si (P, ≤) es un conjunto pre-ordenado que satisface la condici´on de la cadena contable y si D es una colecci´ on de menos que 2ℵ0 subconjuntos densos de P , entonces existe un filtro D-gen´erico en P .

304

11. Dos T´ opicos Especiales

Como AMℵ0 siempre es cierto, se sigue que el Axioma de Martin (AM) es una consecuencia de la Hip´otesis del Continuo. El Axioma de Martin intuitivamente nos dice que los cardinales que se encuentran entre ℵ0 y 2ℵ0 tienen otesis el “mismo comportamiento” que ℵ0 , lo cual permite reemplazar a la Hip´ del Continuo en numerosas demostraciones que hacen uso de ella; esto es importante puesto que el Axioma de Martin puede cumplirse aun cuando la Hip´ otesis del Continuo falle. Tambi´en, con frecuencia, una proposici´ on que es cierta asumiendo la Hip´otesis del Continuo puede resultar falsa asumiendo el Axioma de Martin. Puesto que el Axioma de Martin m´as la negaci´ on de la Hip´ otesis del Continuo es consistente con los axiomas ZFC, cualesquiera de tales proposiciones es en s´ı misma independiente de ZFC. Para empezar nuestro estudio del Axioma de Martin analizaremos un tipo de conjunto pre-ordenado que es muy empleado para distintas aplicaciones de AM; en estaS ocasi´ on nos aclarar´ a por qu´e se pide |D| < 2ℵ0 en su formulaci´on. n Sea P = n∈ω 2 (el conjunto de todas las sucesiones finitas de ceros y unos). Para p, q ∈ P definimos p ≤ q si y s´ olo si dom p ⊇ dom q y p es una extensi´ on (como funci´on) de q. Entonces p y q son compatibles si y s´olo si para cualquier n ∈ (dom p) ∩ (dom q) se tiene que p(n) = q(n), es decir, son compatibles como funciones. Puesto que |P | = ℵ0 , P satisface la c.c.c. Ahora, sea D = {Dh : h ∈ 2ω } ∪ {En : n ∈ ω}, donde para cada h ∈ 2ω , Dh = {p ∈ P : p 6= h |dom p } , y para cada n ∈ ω,

En = {p ∈ P : n ∈ dom p} .

(11.2.2)

Cada En es un subconjunto denso en P : si p ∈ P y n ∈ / dom p, basta definir q : dom p ∪ {n} → 2 como q(k) = p(k) para cada k ∈ dom p y q(n) = 0; as´ı, q ≤ p y q ∈ En . Tambi´en cada Dh es un subconjunto denso en P : si p ∈ P \ Dh yn∈ / dom p, claramente podemos tomar q ∈ En tal que q ≤ p y q(n) 6= h(n); entonces q ∈ Dh y q ≤ p. Supongamos que G es un filtro D-gen´erico en P ; entonces, en virtud de la condici´ on (b) de la Definici´ on 11.8, G es un sistema compatible de funciones, y en virtud de la condici´ on (c) de la misma definici´ on, [ f= G:ω→2 es una funci´on. Adem´as, si h : ω → 2 es cualquier funci´on, dado que existen p ∈ G ∩ Dn y n ∈ dom p tales que p(n) 6= h(n), como f (n) = p(n) se sigue que f 6= h. En resumen, f ∈ 2ω pero, para cualquier h ∈ 2ω , f 6= h; lo cual es imposible. Hemos demostrado entonces la siguiente proposici´ on.

11.2. El Axioma de Martin

305

Proposici´ on 11.15 AM2ℵ0 es falsa. Corolario 11.16 AMℵ1 implica que la Hip´ otesis del Continuo es falsa. Un resultado inmediato es el comportamiento de AMκ para distintos κ. Proposici´ on 11.17 Si ℵ0 < κ < κ0 < 2ℵ0 , entonces AMκ0 implica AMκ . El Lema 11.14 no necesita en absoluto que P satisfaga la c.c.c. y uno estar´ıa tentado a fortalecer AMκ quitando este requerimiento. No obstante, como veremos a continuaci´ on, para κ > ℵ0 este fortalecimiento se vuelve inconsistente. S Ejemplo 11.18 Sea P = n∈ω (ω1 )n (el conjunto de todas las sucesiones olo si p ⊆ q. Para cada finitas de ω en ω1 ). Para p, q ∈ P definimos p ≤ q si y s´ α ∈ ω1 sea Dα = {p ∈ P : α ∈ ran p} . Entonces cada Dα es denso en P . Supongamos que P satisface la c.c.c. Sea D = {Dα : α < ω1 }. A partir de AM S ℵ1 podemos inferir la existencia de un filtro D-gen´erico G. Entonces f = G es una funci´ on con dominio contenido en ω y ran f = ω1 . Pero esto es imposible. Por lo tanto, no es posible omitir la c.c.c. en AMℵ1 (y por tanto, en AMκ para cualquier ℵ0 < κ < 2ℵ0 ). Hasta aqu´ı puede considerarse la discusi´ on elemental del Axioma de Martin. Procederemos ahora a dar una breve muestra de c´omo aplicar AM. Definici´ on 11.19 Una familia A ⊆ P(ω) se llama casi ajena si cualquiera de sus miembros es infinito y para cualesquiera dos distintos A, B ∈ A se tiene que |A ∩ B| < ℵ0 . Ejemplo 11.20 Si A consiste u ´nicamente del conjunto de n´ umeros naturales pares y del conjunto de los n´ umeros naturales impares, entonces A es casi ajena. M´ as generalmente, cualquier familia ajena por pares es una familia casi ajena. (r)

umeros Ejemplo 11.21 Para cada r ∈ R existe una sucesi´ on (an )n∈ω de n´ racionales que converge a r. Sean f : ω → Q una funci´on biyectiva y n o Ar = k ∈ ω : ∃n ∈ ω, f (k) = a(r) , n para cada r ∈ R. Entonces A = {Ar : r ∈ R} es una familia casi ajena de cardinalidad 2ℵ0 .

306

11. Dos T´ opicos Especiales

Definici´ on 11.22 A ⊆ P(ω) es una familia casi ajena maximal si no existe una familia casi ajena B tal que B ⊃ A. Usando el Lema de Kuratowski-Zorn puede demostrarse que siempre que A sea una familia casi ajena, existe una familia casi ajena maximal B tal que A ⊆ B. El Ejemplo 11.20 muestra una familia casi ajena maximal finita; aplicaremos AM para investigar la cardinalidad de una familia casi ajena maximal infinita. Proposici´ on 11.23 No existe una familia casi ajena maximal de cardinalidad ℵ0 . ´ n: Demostracio S Sean A = {An : n ∈ ω} una familia casi ajena S y Bn = An \ m
y dados (s1 , F1 ), (s2 , F2 ) ∈ PA definimos (s1 , F1 ) ≤ (s2 , F2 ) si y s´ olo si s2 ⊆ s1 , F2 ⊆ F1 y ∀x ∈ F2 , x ∩ s1 ⊆ s2 .

La intenci´ on de las condiciones (s, F ) ∈ PA es describir un d ⊆ ω que es casi ajeno (es decir, tiene intersecci´ on finita) con los elementos de A; (s, F ) “fuerza” a que s ⊆ d y para cualquier x ∈ F, d ∩ x ⊆ s; as´ı, (s, F ) “fuerza” n∈ / d siempre que n ∈ x \ s para alg´ un x ∈ F. Dos condiciones (s1 , F1 ), (s2 , F2 ) ∈ PA son compatibles si y s´olo si para todo x ∈ F1 , x ∩ s2 ⊆ s1 y para todo x ∈ F2 , x ∩ s1 ⊆ s2 . Si ´este es el caso un. (s1 ∪ s2 , F1 ∪ F2 ) es una extensi´on com´ PA satisface la c.c.c. pues si {(sξ , Fξ ) : ξ < ω1 } fuera una anticadena, entonces sξ 6= sξ0 para cada ξ 6= ξ 0 , que es imposible.

11.2. El Axioma de Martin

307

Ahora si G es un filtro (es decir, satisface (a) y (b) de la Definici´ on 11.8) en PA se define [ dG = {s : ∃F ∈ A, (s, F ) ∈ G} . (11.2.3)

Entonces, si G es un filtro en PA y (s, F ) ∈ G, necesariamente para todo x ∈ F, x ∩ dG ⊆ s. En efecto, si (s0 , F 0 ) ∈ G, entonces (s, F ) y (s0 , F 0 ) son compatibles. As´ı, para todo x ∈ F, x ∩ s0 ⊆ s; lo cual implica x ∩ dG ⊆ s. Para x ∈ A definimos Dx = {(s, F ) ∈ PA : x ∈ F } .

(11.2.4)

Entonces Dx es denso en PA para cada x ∈ A, pues si (s, F ) ∈ PA , (s, F ∪ {x}) ≤ (s, F ). Tambi´en, si G es un filtro en PA y G ∩ Dx 6= ∅, entonces |x ∩ dG | < ℵ0 puesto que x ∩ dG ⊆ s y |s| < ℵ0 . Sin embargo, dGSpuede ser finito e incluso vac´ıo; un porque si existiera alg´ un F ⊆ A tal que ω \ F fuera finito, entonces ning´ d infinito podr´ıa ser casi ajeno a todos los elementos de F . S A continuaci´ on se demostrar´a que si no existe F tal que ω \ F es finito, entonces podemos hacer que d sea infinito. M´ as generalmente, podemos hacer que d tenga intersecci´ on infinita con cualquier subconjunto de ω el cual no est´ a casi cubierto (es decir, a excepci´ on de una cantidad finita de elementos) por una uni´on finita de elementos de A. Teorema 11.25 Sean A, C ⊆ P(ω) tales que |A| ≤ κ, |C| ≤ κ y, para cada y ∈ C y cada F ⊆ A, ¯ [ ¯ ¯ ¯ |F | ≤ ℵ0 ⇒ ¯y \ F ¯ = ℵ0 . Entonces AMκ implica que existe d ∈ P(ω) tal que ∀x ∈ A, |d ∩ x| < ℵ0

y

∀y ∈ C, |d ∩ y| = ℵ0 .

´ n: Demostracio Para y ∈ C y n ∈ ω sea Eny = {(s, F ) ∈ PA : s ∩ y * n} . S F | = ℵ0 ; si tomamos en P ya que para cada (s, F ) ∈ P , |y \ Eny es denso A A S y on de m ∈ y \ F con m > n, entonces (s ∪ {m} , F ) ∈ En es una extensi´ (s, F ).

308

11. Dos T´ opicos Especiales

Sea D = {Dx : x ∈ A} ∪ {Eny : y ∈ C, n ∈ ω} , donde los conjuntos Dx son los que se definieron en (11.2.4). Por AMκ , hay un filtro D-gen´erico G. Ya hemos visto que si dG es como en (11.2.3), entonces dG ∩ x es finito para cada x ∈ A. Si y ∈ C, entonces dG ∩ y * n para todo n ∈ ω, ya que G ∩ Eny 6= ∅ para cada n ∈ ω. Por lo cual concluimos que dG ∩ y es infinito. Corolario 11.26 Sea A ⊆ P(ω) una familia casi ajena de cardinalidad κ, donde ℵ0 ≤ κ < 2ℵ0 . Suponiendo AMκ se tiene que A no es maximal. ´ n: Demostracio Sea C = {ω} y sea F ∈ A finito.SPuesto que |A| = κ, podemos S tomar B ∈ A\F . Como A es casi S ajena, |B ∩ F | < ℵ0 . As´ı, |B ∩ (ω \ F )| = ℵ0 ; y esto implica que |ω \ F | = ℵ0 . El teorema anterior garantiza que existe d ⊆ ω infinito y casi ajeno a cada elemento de A. Corolario 11.27 Sea B ⊆ P(ω) una familia casi ajena de cardinalidad κ, donde ℵ0 ≤ κ < 2ℵ0 . Si A ⊆ B y si suponemos AMκ , entonces existe d ⊆ ω tal que para cada x ∈ A, |d ∩ x| < ℵ0 y para cada x ∈ B \ A, |d ∩ x| = ℵ0 . ´ n: Demostracio Aplicar el teorema anterior a C = B \ A. Teorema 11.28 Si ℵ0 ≤ κ < 2ℵ0 , AMκ implica que 2κ = 2ℵ0 . ´ n: Demostracio Sea B una familia casi ajena de cardinalidad κ. Definamos Φ : P(ω) → P(B) por Φ(d) = {x ∈ B : |d ∩ x| < ℵ0 } . El corolario anterior implica que Φ es sobreyectiva; as´ı, 2κ = |P(B)| ≤ |P(ω)| = 2ℵ0 . Corolario 11.29 AM implica que 2ℵ0 es regular.

11.2. El Axioma de Martin

309

´ n: Demostracio Sea κ < 2ℵ0 . Por la Proposici´on 10.29 tenemos que κ < cf (2κ ). Adem´ as, AM implica que 2κ = 2ℵ0 , lo cual significa que κ < cf (2ℵ0 ). Por lo tanto, cf (2ℵ0 ) = 2ℵ0 . Es consistente con ZFC que 2ℵ0 sea un cardinal singular, tal como ℵω1 ; pero, como vimos en la Proposici´ on 10.29, cf (2ℵ0 ) > ℵ0 . De la siguiente aplicaci´ on de AM a la topolog´ıa se decidir´ a el problema de Souslin. ogico que satisface Lema 11.30 Supongamos AMℵ1 . Si X es un espacio topol´ la c.c.c. y {Uα : α < ω1 } es una familia de subconjuntos abiertos no vac´ıos, entonces existe A ⊆ ω1 no numerable tal que {Uα : α ∈ A} tiene la propiedad de la intersecci´ on finita. ´ n: Demostracio S Sea Vα = γ>α Uγ . Entonces α < β implica Vβ ⊆ Vα . Veamos primero que existe α tal que para todo β > α, V β = V α.

(11.2.5)

Si no hay tal α podr´ıamos encontrar una sucesi´on creciente de ordinales (αξ )ξ∈ω1 tal que para cada ξ, V αξ+1 6= V αξ , con lo cual, Vαξ \ V αξ+1 6= ∅. Entonces ª © Vαξ \ V αξ+1 : ξ < ω1

ser´ıa una familia de abiertos no vac´ıos ajena por pares contradiciendo que X satisface la c.c.c. Ahora fijemos α de tal forma que satisfaga la ecuaci´ on (11.2.5) y sea P = {p ⊆ Vα : p es abierto y p 6= ∅}

con el pre-orden p ≤ q si y s´ olo si p ⊆ q. Entonces P satisface la c.c.c. porque X la satisface y Vα es abierto. Para cada β < ω1 , sea Dβ = {p ∈ P : ∃γ > β, p ⊆ Uγ } . Entonces cada Dβ es denso en P . En efecto, por (11.2.5), V α ⊆ V β ; as´ı, si p ∈ P entonces p ∩ Vβ 6= ∅ con lo cual p ∩ Uγ 6= ∅ para alg´ un γ > β y de aqu´ı que p ∩ Uγ es una extensi´on de p en Dβ . Sea D = {Dβ : β < ω1 }. Por AMℵ1 , existe un filtro D-gen´erico G. Pongamos A = {γ < ω1 : ∃p ∈ G, p ⊆ Uγ } .

310

11. Dos T´ opicos Especiales

Como G es un filtro, G tiene la propiedad de la intersecci´ on finita y entonces on finita. M´as a´ un, tambi´en {Uγ : γ ∈ A} tiene la propiedad de la intersecci´ un γ > β, ya que G ∩ Dβ 6= ∅. Esto para cada β < ω1 , A debe contener alg´ implica que A es no acotado en ω1 y por lo tanto, |A| = ℵ1 . Teorema 11.31 Supongamos AMℵ1 . Si X y Y son espacios topol´ ogicos que satisfacen la c.c.c., entonces X × Y tambi´en satisface la c.c.c. ´ n: Demostracio Supongamos que X × Y no satisface la c.c.c. Sea {Wα : α < ω1 } una familia ajena por pares de subconjuntos abiertos no vac´ıos de X × Y . Para cada α seleccionemos Uα × Vα ⊆ Wα con Uα 6= ∅ 6= Vα . Por el lema anterior, sea A ⊆ ω1 no numerable tal que {Uα : α ∈ A} tiene la propiedad de la intersecci´on finita. Si α, β ∈ A y α 6= β, entonces Uα ∩ Uβ 6= ∅; pero (Uα × Vα ) ∩ (Uβ ∩ Vβ ) = ∅; as´ı que Vα ∩ Vβ = ∅. Entonces {Vα : α ∈ A} contradice que Y satisface la c.c.c. Si X es una l´ınea de Souslin, X puede considerarse un espacio topol´ ogico linealmente ordenado (es decir, con la topolog´ıa inducida por su relaci´on de orden). Obviamente, X como espacio topol´ogico satisface la c.c.c. pero no es separable (ver Ejemplo 11.11 y el comentario posterior). Lema 11.32 Si X es una l´ınea de Souslin, entonces X × X no satisface la c.c.c. ´ n: Demostracio Si a, b ∈ X y a < b; (a, b) denotar´a el intervalo abierto {x ∈ X : a < x < b}. El conjunto (a, b) puede ser vac´ıo. Por inducci´ on sobre α, se encontrar´an aα , bα , y cα tales que: (1) aα < bα < cα , (2) (aα , bα ) 6= ∅ y (bα , cα ) 6= ∅, (3) (aα , cα ) ∩ {bξ : ξ < α} = ∅.

11.2. El Axioma de Martin

311

Sea W el conjunto de puntos aislados de X. Como X satisface la c.c.c. |W | ≤ ℵ0 . Ahora, supongamos que se han elegido aξ , bξ , cξ para ξ < α. Como X no es separable X \ cl (W ∪ {bξ : ξ < α}) es abierto y no vac´ıo; as´ı, contiene un intervalo abierto no vac´ıo (aα , cα ). Como (aα , cα ) no tiene puntos aislados es infinito. Sea bα ∈ (aα , cα ) tal que (aα , bα ) 6= ∅ y (bα , cα ) 6= ∅. Finalmente, sea Uα = (aα , bα ) × (bα , cα ). Por (2) Uα 6= ∅ para cada α. Si ξ < α, entonces Uξ ∩ Uα = ∅ ya que por (3) o bien bξ < aξ y en tal caso (aξ , bξ ) ∩ (aα , bα ) = ∅, o bξ ≥ cα y en tal caso (bξ , cξ ) ∩ (bα , cα ) = ∅. As´ı, {Uα : α < ω1 } impide que X × X satisfaga la c.c.c. Corolario 11.33 AMℵ1 implica HS. ´ n: Demostracio AMℵ1 implica que el producto de espacios que satisfacen la c.c.c. satisface la c.c.c. Por lo tanto, el corolario se sigue del lema anterior y el Teorema 11.31. Otra aplicaci´on m´as del Axioma de Martin a la Topolog´ıa es el Teorema 11.34 que exponemos a continuaci´ on. Observe que para κ = ℵ0 , el Teorema 11.34 es conocido como el Teorema de Baire que puede ser demostrado (como el Lema 11.14) a partir de los axiomas ZFC y sin requerir la c.c.c. Teorema 11.34 Supongamos AMκ . Si X es un espacio compacto Hausdorﬀ que satisface la c.c.c. y {Uα : α < κ} es una familia de conjuntos abiertos densos en X, entonces \ {Uα : α < κ} 6= ∅. ´ n: Demostracio

Sea P = {p ⊆ X : p es abierto y p 6= ∅} con p ≤ q si y s´ olo si p ⊆ q. Entonces P satisface la c.c.c. puesto que X satisface la c.c.c. (ver Ejemplo 11.11 y el comentario posterior). Para cada α < κ, sean Dα = {p ∈ P : p ⊆ Uα } y D = {Dα : α < κ}. Vamos a demostrar que cada Dα es denso en P . Sea q ∈ P cualquiera. Como Uα es denso en el espacio X, Uα ∩ q 6= ∅. Sea x ∈ Uα ∩ q.

312

11. Dos T´ opicos Especiales

Puesto que X es Hausdorﬀ y compacto, K = X \(Uα ∩q) es compacto. Adem´ as, x∈ / K; entonces existe p ∈ P tal que x ∈ p y p ∩ K = ∅. Consecuentemente, p ≤ q y p ∈ Dα . Por lo tanto, Dα es denso en P . Si G es un filtro D-gen´erico en P , entonces G tiene la propiedad de la intersecci´ on finita y as´ı por la compacidad \ {p : p ∈ G} 6= ∅. T T Pero {p : p ∈ G} ⊆ {Uα : α < κ}. Esto demuestra el teorema.

11.3 Equivalencias del Axioma de Martin Aunque hay numerosas equivalencias del Axioma de Martin, en esta secci´ on presentaremos dos de las m´ as importantes: la topol´ ogica y la que se expresa en t´erminos de a´lgebras booleanas. Empezaremos por demostrar que es posible restringir AMκ a conjuntos pre-ordenados de cardinalidad menor o igual a κ. Definici´ on 11.35 Denotaremos por AM∗κ a la proposici´ on: Si (P, ≤) es un conjunto pre-ordenado de cardinalidad menor o igual a κ, que satisface la c.c.c. y D es una familia de a lo m´ as κ subconjuntos densos en P , entonces existe un filtro D-gen´erico en P. ª © Lema 11.36 Sea A un conjunto. Si fα ∈ AA : α < κ es una familia de funciones y g : A × A → A, entonces existe B ⊆ A con |B| ≤ κ, g(B × B) ⊆ B y fα (B) ⊆ B para cada α < κ. En este caso se dice que B es cerrado respecto a la familia {fα }α∈I ∪ {g}. ´ n: Demostracio Sean a ∈ A, C0 = {a} y Cn+1 = Cn ∪ g(Cn × Cn ) ∪

[

f (Cn ).

α<κ

Ya que la cardinalidad de la imagen de un conjunto bajo una funci´on no excede la cardinalidad de dicho conjunto, sin dificultad se demuestra, S por inducci´on sobre n, que |Cn | ≤ κ para todo n ∈ ω. Si hacemos B = n∈ω Cn , entonces |B| ≤ κ, g(B × B) ⊆ B y fα (B) ⊆ B para todo α < κ. Teorema 11.37 Para cualquier κ < 2ℵ0 , AMκ es equivalente a AM∗κ .

11.3. Equivalencias del Axioma de Martin

313

´ n: Demostracio Que AMκ implica AM∗κ es trivial. Supongamos AM∗κ y sean (Q, ≤) un conjunto pre-ordenado que satisfaga la c.c.c. y D = {Dα : α < κ} una familia de conjuntos densos en Q. Para cada α < κ, sea fα : Q → Q tal que fα (p) ∈ Dα y fα (p) ≤ p para cada p ∈ Q. Estos fα existen debido a la densidad de Dα . Sea g : Q × Q → Q tal que para cualesquiera p, q ∈ Q, p y q compatibles ⇒ g(p, q) < p y g(p, q) ≤ q. Existe P ⊆ Q de cardinalidad no mayor a κ y que es cerrado respecto a la familia {fα : α < κ} ∪ {g}. Entonces: (1) Para cada α < κ, Dα ∩ P 6= ∅ y es denso en P, (2) P satisface la c.c.c. Aplicando AM∗κ , existe un filtro D-gen´erico G en P . G puede no ser Dgen´erico en Q; pero H = {q ∈ Q : ∃p ∈ G, p ≤ q} s´ı es un filtro D-gen´erico en Q. Recordemos que si B es un ´algebra booleana hay un orden natural en B inducido por las operaciones binarias de B. A este orden nos referiremos a continuaci´ on. Definici´ on 11.38 Un ´algebra booleana B es completa si para cualquier A ⊆ B, no vac´ıo, existe el supremo de A. De manera m´ as o menos corriente se demuestra que si cada subconjunto no vac´ıo de B tiene supremo, entonces cada subconjunto no vac´ıo de B tiene ´ınfimo. Ejemplo 11.39 Sean X un espacio topol´ ogico y B = {U ⊆ X : U es abierto regular} .1 1

U es abierto regular si U = int(U).

314

11. Dos T´ opicos Especiales

Para U, V ∈ B sean: U ·V

U +V −U

= U ∩V

= int(U ∪ V )

= int(X \ U )

0 = ∅

1 = X Entonces B es un ´algebra booleana completa y para cada C ∈ P(B) \ {∅} , [ \ sup C = int( C) y inf C = int( C).

Para aplicaciones al Axioma de Martin no estaremos interesados en B sino en B \ {0}. Abusaremos de notaci´ on y diremos que una anticadena en B es un conjunto A ⊆ B \ {0} tal que para cualesquiera a, b ∈ A, a 6= b ⇒ a · b = 0 (A realmente es una anticadena en B \{0}). Decimos que B satisface la c.c.c. si y s´ olo si todas las anticadenas en B son a lo m´as numerables. Sea D una familia de conjuntos densos en B \{0}. Por un filtro D-gen´erico en B entenderemos un G ⊆ B \ {0} , el cual es un filtro, en el sentido usual para a´lgebras booleanas (ver Definici´ on 8.46), que intersecta a cada elemento de D. No es dif´ıcil ver que esta noci´on coincide con la dada en la Definici´ on 11.8. on: Si B es un ´algeDefinici´ on 11.40 Denotaremos por AMbκ a la proposici´ bra booleana completa y que satisface la c.c.c. y D es una familia de a lo m´as κ subconjuntos densos en B, entonces existe un filtro D-gen´erico en B. Teorema 11.41 Para cualquier κ < 2ℵ0 , AMκ es equivalente a AMbκ . ´ n: Demostracio Es trivial que AMκ implica AMbκ . Supongamos AMbκ y sea P un conjunto pre-ordenado de cardinalidad menor o igual a κ. Para cada p ∈ P, sea Np = {q ∈ P : q ≤ p} . Entonces, dado que para cada q ∈ P, q ∈ Np implica Nq ⊆ Np , la familia {Np : p ∈ P } es base para una topolog´ıa en P . Sea B el a´lgebra booleana de conjuntos abiertos regulares en P . Definamos i : P → B por i(p) = int(Np ) para cada p ∈ P . Entonces, para cualesquiera p, q ∈ P se tiene que p ≤ q

11.3. Equivalencias del Axioma de Martin

315

implica i(p) ≤ i(q) (es decir, i(p) · i(q) = i(p)) y si p es incompatible a q, entonces i(p) · i(q) = 0. En efecto, i(p) · i(q) = 0 si y s´ olo si int(Np ) ∩ int(Nq ) = ∅, que es equivalente a Np ∩ Nq = ∅ y que a su vez es equivalente a que p sea incompatible con q. Ahora, si U ∈ B \ {0} y p ∈ U ; entonces int(Np ) ⊆ U . Entonces i(p) ⊆ U o bien i(p) ≤ U . Por lo tanto, i(P ) es denso en B \ {0} . Sea D = {Dα : α < κ} una familia de conjuntos densos en P . Entonces, D0 = {i(Dα ) : α < κ}

es una familia de conjuntos densos en B \ {0}. Ahora, B \ {0} satisface la c.c.c. puesto que P la satisface y i(P ) es denso en B \ {0}. Para cada (p, q) ∈ P × P, sea Hp,q el conjunto de todos los r ∈ P tales que o bien r ≤ p y r ≤ q o r es incompatible con p o r es incompatible con q. Veamos que para cada (p, q) ∈ P × P, Hp,q es denso en P . Si r ∈ P y r tiene una extensi´ on r0 incompatible con p o con q, entonces r0 ∈ Hp,q y r0 ≤ r. Si por el contrario no existe tal r0 , entonces en particular r es compatible con p y as´ı existe r1 ∈ P tal que r1 ≤ r y r1 ≤ p; pero necesariamente tambi´en r1 es compatible con q y as´ı existe r2 ∈ P tal que r2 ≤ r1 y r2 ≤ q. Puesto que r2 ≤ p se tiene que r2 ∈ Hp,q y r2 ≤ r. Nuevamente i(Hp,q ) es denso en B \ {0}. Sea H = D0 ∪ {i(Hp,q ) : (p, q) ∈ P × P } .

Entonces |H| ≤ κ y usando AMbκ se infiere la existencia de un filtro H-gen´erico F en B \ {0}. Sea G = i−1 (F ). Entonces para cada α < κ, G ∩ Dα 6= ∅ y para cada as a´ un, G es un filtro en P porque si p ∈ G (p, q) ∈ P × P, G ∩ Hp,q 6= ∅. M´ y q ∈ P es tal que q ≥ p, entonces trivialmente q ∈ G. Adem´ as, si p, q ∈ G, como G ∩ Hp,q 6= ∅, existe un r ∈ G ∩ Hp,q y dado que i(p), i(q), i(r) ∈ F necesariamente p, q y r son compatibles y as´ı r ≤ p y r ≤ q. Por lo tanto, existe una extensi´on com´ un a p y q en G. Consecuentemente, G es un filtro D-gen´erico en P . Para nuestro u ´ltimo teorema necesitaremos introducir el espacio de Stone asociado a un ´algebra booleana. Si B es un ´algebra booleana, por el Teorema de Representaci´on de Stone (Ejemplo 8.57) existe un homomorfismo (de ´algebras booleanas) Φ : B → P(S(B)), donde S(B) = {U ⊆ B : U es un ultrafiltro en B}

316

11. Dos T´ opicos Especiales

y Φ(u) = {U ∈ S(B) : u ∈ U} para cada u ∈ B. El espacio de Stone asociado a B es S(B) tomando como base para una topolog´ıa en S(B) a todos los conjuntos Φ(u). Lema 11.42 S(B) es un espacio Hausdorﬀ compacto. ´ n: Demostracio Sean U, V ∈ S(B), U 6= V . Entonces U \ V 6= ∅, sea u ∈ U \ V . A partir de Φ(−u) = S(B) \ U se sigue que Φ(u) es un subconjunto abierto y cerrado de S(B) que contiene a U y no a V . As´ı, S(B) satisface el axioma de separaci´ on de Hausdorﬀ. Ahora sea A ⊆ B y sup´ongase que {Φ(a) : a ∈ A} es una cubierta de S(B) sin subcubiertas finitas. Sea A0 = {−a : a ∈ A}. Entonces para todo n ∈ ω y a1 , . . . , an ∈ A, (−a1 ) · (−a2 ) · . . . · (−an ) 6= 0, puesto que de otro modo {Φ(ak ) : 1 ≤ k ≤ n} ser´ıa una subcubierta finita. Sea F ⊆ B tal que u ∈ F si y s´ olo si existen n ∈ ω y a1 , . . . , an ∈ A tales que (−a1 ) · (−a2 ) · . . . · (−an ) ≤ u. Entonces F es un filtro en B. Por el Teorema 8.55(b), existe U ∈ S(B) tal que A0 ⊆ F ⊆ U . Como {Φ(a) : a ∈ A} es una cubierta de S(B), hay un a ∈ A tal que U ∈ Φ(a), es decir, a ∈ U . Se sigue que 0 = a · (−a) ∈ U y esto contradice que U sea un ultrafiltro. As´ı, S(B) es compacto. Teorema 11.43 Para cualquier κ < 2ℵ0 , las siguientes proposiciones son equivalentes: (a) AMκ (b) AM∗κ (c) AMbκ (d) Para todo espacio topol´ ogico compacto Hausdorﬀ que satisface la c.c.c., siempre que U sea una Tfamilia de subconjuntos abiertos densos no vac´ıos y |U| ≤ κ, se cumple que U 6= ∅.

´ n: Demostracio

La equivalencia de (a), (b) y (c) ya se ha demostrado y (a) implica (d) es el Teorema 11.34; por lo tanto, basta demostrar (d) implica (c).

11.3. Equivalencias del Axioma de Martin

317

Sea B un ´algebra booleana completa que satisface la c.c.c. y sea D = {Dα : α < κ} una familia de conjuntos densos en B \ {0}. Sea S(B) el espacio de Stone asociado a B. Por el lema anterior, S(B) es un espacio compacto Hausdorﬀ. Como Φ(u)∩Φ(v) = Φ(u ·v), tenemos que Φ(u)∩Φ(v) = ∅ si y s´ olo si u ·v = 0; por lo tanto, S(B) satisface la c.c.c. porque B la satisface. S Para cada α < κ, sea Wα = {Φ(u) : u ∈ Dα } . Entonces Wα es abierto, asico no vac´ıo. Adem´ as, Wα es denso en S(B) pues si Φ(v) es un abierto b´ de S(B), entonces existe u ∈ Dα tal que u ≤ v, luego Φ(u) ⊂ Φ(v) y as´ı Wα ∩ Φ(v) 6= ∅. Por hip´ otesis, \ {Wα : α < κ} 6= ∅. T Sea G ∈ {Wα : α < κ}. Entonces G es un filtro (de hecho un ultrafiltro) D-gen´erico en B porque si α < κ, G ∈ Wα implica que existe u ∈ Dα tal que G ∈ Φ(u) y por definici´ on de Φ(u) se tiene que u ∈ G; por lo tanto, u ∈ G∩Dα . Esto demuestra que (d) implica (c).

318

11. Dos T´ opicos Especiales

Ap´ endice A Axiomas de Zermelo-Fraenkel El tratamiento que hemos seguido de la Teor´ıa de Conjuntos dentro de la axiom´ atica de Zermelo-Fraenkel, ha sido m´ as bien informal. La raz´ on de ello, es la vaga noci´ on de propiedad que aceptamos; para formalizar (sin que esto altere los resultados expuestos) debemos dar a los axiomas una forma precisa, introduciendo las llamadas f´ ormulas y desarrollando a la Teor´ıa Axiom´ atica de Conjuntos dentro del c´ a lculo de predicados de primer orden. Todos los objetos son conjuntos. Un excelente desarrollo de esto puede encontrarse en el Cap´ıtulo 2 de [KM] o el cap´ıtulo preliminar de [D3 ]. Las f´ormulas de la Teor´ıa de Conjuntos son estructuras que parten de las f´ ormulas at´ omicas x ∈ y, x=y por medio de los conectivos l´ogicos y los cuantificadores expuestos en la Secci´ on 2.1.

Axioma 1 (de Existencia) Hay un conjunto que no tiene elementos. Axioma 2 (de Extensi´on) Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y . Axioma 3 (Esquema de Comprensi´on) Sea P una f´ormula. Para cualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y s´ olo si x ∈ A y x satisface la f´ ormula P. Axioma 4 (del Par) Para cualesquiera conjuntos a y b hay un conjunto C tal que x ∈ C si y s´ olo si x = a o x = b. Axioma 5 (de Uni´on) Para cualquier conjunto S, existe un conjunto U tal que x ∈ U si y s´ olo si x ∈ X para alg´ un X ∈ S.

Axioma 6 (del Conjunto Potencia) Para cualquier conjunto X, existe un conjunto S tal que A ∈ S si y s´ olo si A ⊆ X.

Axioma 7 (de Fundaci´on) En cada conjunto no vac´ıo A existe u ∈ A tal que u y A son ajenos.

320

Ap´endice A. Axiomas de Zermelo-Fraenkel

Axioma 8 (de Infinitud) Existe un conjunto inductivo. Axioma 9 (Esquema de Reemplazo) Sea P(x, y) una formula tal que para todo x existe un u ´nico y para el cual P(x, y) se satisface. Para todo conjunto A, existe un conjunto B tal que, para todo x ∈ A, existe y ∈ B para el cual P(x, y) se satisface. Axioma 10 (de Elecci´on) Todo conjunto no vac´ıo tiene una funci´on de elecci´ on. ZF denota los axiomas 1 a 9. ZFC denota ZF + el Axioma de Elecci´ on.

Ap´ endice B Axiomas Bernays-G¨ odel En esta axiomatizaci´on se consideran dos tipos de objetos: conjuntos y clases.

Axioma 1 (de Extensi´on de Clases) Si todo elemento de X es un elemento de Y, y todo elemento de Y es un elemento de X, entonces X = Y .

Axioma 2 Cualquier conjunto es una clase. Axioma 3 Si X ∈ Y , entonces X es un conjunto. Axioma 4 (del Par) Para cualesquiera conjuntos x y y existe un conjunto {x, y} .

Axioma 5 (de Comprensi´on) Si P(x, X1 , . . . Xn ) es una f´ormula donde los u ´nicos par´ ametros cuantificados son conjuntos, entonces existe una clase Y tal que x ∈ Y si y s´ olo si P(x, X1 , . . . Xn ).

Axioma 6 (de Infinitud) Hay un conjunto inductivo. Axioma 7 (de Uni´on) Para cualquier conjunto X,

S

X es un conjunto.

Axioma 8 (del Conjunto Potencia) Para cualquier conjunto X, P(X) es

un conjunto.

Axioma 9 (de Reemplazo) Si una clase F es una funci´on y X es un conjunto, F (X) es un conjunto.

on) En cada conjunto no vac´ıo X existe u ∈ X tal Axioma 10 (de Fundaci´ que u y X son ajenos.

Axioma 11 (de Elecci´on) Hay una funci´on F tal que F (X) ∈ X para cualquier conjunto no vac´ıo X.

BG denota los axiomas 1 a 10 y BGC denota BG + el Axioma de Elecci´ on. Puede probarse que si una proposici´ on conjuntista es demostrable en ZF o ZFC, entonces tambi´en es demostrable en BG, y respectivamente en BGC. Rec´ıprocamente, un teorema de Shoenfield asegura que si una proposici´ on

322

Ap´endice B. Axiomas Bernays-G¨ odel

que involucra u ´nicamente a conjuntos como variables es demostrable en BG, entonces ´esta tambi´en es demostrable en ZF. El resultado tambi´en puede generalizarse a BGC y ZFC usando t´ecnicas distintas a las usadas por Shoenfield.

Ap´ endice C Axiomas Adicionales Los trabajos de G¨odel y Cohen implican que se puede aumentar como un nuevo axioma para la Teor´ıa de Conjuntos la proposici´ on 2ℵ0 = ℵ1 . No obstante, tambi´en de los trabajos de Cohen y W. B. Easton se sigue que para cualquier ℵα con cf (ℵα ) > ℵ0 , tambi´en 2ℵ0 = ℵα es un posible axioma adicional para la Teor´ıa de Conjuntos. En otras palabras, el m´etodo (forcing) inventado por Cohen para la construcci´on de modelos, permite crear modelos para la Teor´ıa de Conjuntos en los cuales hay ℵα subconjuntos de n´ umeros naturales. Con todo esto, no existen razones l´ ogicas para decidir si aceptamos como un nuevo axioma la Hip´ otesis del Continuo, otra proposici´ on de la forma 2ℵ0 = ℵα , o simplemente no aceptamos alguna de estas proposiciones. El problema de elegir una de las opciones reside en que no son intuitivamente obvias como los axiomas ZFC. Existe peligro que alguna de las opciones nos conduzca a resultados no deseados; como en el caso del Axioma de Elecci´ on que tiene consecuencias “parad´ ojicas” (es decir, us´andolo podemos obtener resultados que est´ an en conflicto con nuestra intuici´ on; por ejemplo, el Teorema de BanachTarski). Sin embargo, la Hip´ otesis del Continuo, as´ı como la Hip´ otesis Generalizada del Continuo, tienen importantes aplicaciones tanto en la propia Teor´ıa de Conjuntos (ver Secci´on 10.5) como en otras ramas de la Matem´atica. En resumen, dos posibles axiomas adicionales son los siguientes: HC 2ℵ0 = ℵ1 . HGC Para cualquier α ∈ Ord,

2ℵα = ℵα+1 .

Adem´ as del famoso Axioma de Martin:

324

Ap´endice C. Axiomas Adicionales

AM Si (P, ≤) es un conjunto pre-ordenado que satisface la c.c.c. y si D es una familia de menos que 2ℵ0 subconjuntos densos de P , entonces existe un filtro D-gen´erico en P . y la Hip´ otesis de Souslin: HS No existen l´ıneas de Souslin. Las implicaciones entre estos axiomas est´ an dadas en el siguiente diagrama. HGC

⇒ HC ⇒ AM AM ⇒ HS

Igualmente el grupo de los llamados axiomas de cardinales grandes es muy empleado por las valiosas consecuencias que tambi´en aportan tanto a la Teor´ıa de Conjuntos como a otras ramas de la Matem´atica. Aqu´ı formularemos algunas hip´otesis que involucran tipos de cardinales grandes que fueron presentados en el Cap´ıtulo 10; pero existen otras proposiciones de este tipo que se sabe son tanto independientes como consistentes con los axiomas ZFC. Hay otras de las cuales s´olo se conoce la consistencia con ZFC. La idea para descubrir una de estas hip´otesis es la siguiente: Dada P(κ) una propiedad que involucre n´ umeros cardinales, se investiga cu´ ando P(κ) o no P(κ) es cierta para alguno, muchos o todos los n´ umeros cardinales. Algunas veces se descubre que una na y que particular propiedad P(κ), como κ → (κ)22 , es extremadamente extra˜ el m´ınimo n´ umero cardinal que satisface P(κ) es incre´ıblemente grande, tan grande que incluso no es posible demostrar, a partir de los axiomas ZFC, que haya un tal cardinal κ. En este caso la proposici´ on “existe un cardinal κ tal que P(κ)” es llamada hip´ otesis de cardinal grande, al menos hasta que sea refutada, pues obviamente existe la posibilidad de que P(κ) sea tan restrictiva que suponer la existencia de un κ que satisfaga P(κ) nos lleve a una contradicci´ on. Para que una hip´otesis tenga categor´ıa de axioma usualmente se necesita saber si ella es tanto consistente como independiente a ZFC. CI Existen cardinales inaccesibles. CFI Existen cardinales fuertemente inaccesibles. CM Existen cardinales medibles. CdC Existen cardinales d´ebilmente compactos. CC Existen cardinales compactos.

Ap´endice C. Axiomas Adicionales

325

CMa Existen cardinales de Mahlo. Las implicaciones que relacionan estos axiomas son las siguientes: CC ⇒ CM ⇒ CdC ⇒ CMa ⇒ CFI ⇒ CI Una muestra del poder de una de estas hip´otesis es la siguiente: Un famoso teorema de G¨odel dice que la consistencia de ZFC no pude demostrarse a partir de ZFC; sin embargo, s´ı puede ser demostrada a partir de la uni´on de ZFC y CI (que denotamos por ZFC + CI). Por otro lado, CI est´a lejos de ser lo suficientemente fuerte como para dar soluci´ on incluso a los problemas m´as cl´asicos de la Teor´ıa de Conjuntos, pero las demostraciones de independencia en ZFC mantienen su validez en ZFC + CI. Otra consecuencia de CI es que el continuo puede ser extremadamente grande. Ya comentamos que el trabajo de Cohen deja abierta la posibilidad de que 2ℵ0 = ℵ16 o 2ℵ0 = ℵω1 ; sin embargo, la consistencia de ZFC + CI es equivalente a la consistencia de ZFC + “2ℵ0 es d´ebilmente inaccesible”, y equivalente a la consistencia de ZFC + “∃κ < 2ℵ0 tal que κ es d´ebilmente inaccesible”. Tambi´en, si ZFC + CI es consistente, as´ı es ZFC + HGC. Mencionamos ahora otro resultado interesante que tiene relaci´ on con la existencia de un cardinal grande. Si hay un cardinal medible, entonces cualquier conjunto de n´ umeros reales que es la imagen continua del complemento de una imagen continua de un conjunto de Borel, es medible. Es ciertamente sorpresivo que la existencia de un cardinal grande implique la medibilidad de un conjunto de n´ umeros reales. Otro grupo de hip´otesis importantes es el conocido como principios combinatorios. No daremos aqu´ı ni siquiera una idea de c´omo ´estos surgen, adem´as de que naturalmente, no es prop´ osito de este ap´endice hacer una amplia lista de ellos; los que enunciamos se encuentran entre los m´ as famosos y que han demostrado ser de gran utilidad. 3 Existen conjuntos Aα ⊆ α, para α < ω1 , tales que para cada A ⊆ ω1 , el conjunto {α : ω1 : A ∩ α = Aα } es estacionario. 3+ Existen conjuntos Aα ⊆ P(α), para α < ω1 , tales que |Aα | ≤ ℵ0 y para A ⊆ ω1 , existe un conjunto cerrado y no acotado C ⊆ ω1 tal que (a) para cualquier α ∈ C, A ∩ α ∈ Aα , y

(b) para cualquier α ∈ C, C ∩ α ∈ Aα .

326

Ap´endice C. Axiomas Adicionales

HK Existe una familia F ⊆ P(ω1 ) tal que |F| ≥ ℵ2 y para cualquier α < ω1 , |{A ∩ α : A ∈ F}| < ℵ1 . 2 Existe un conjunto {Cα : α < ω2 , α ordinal l´ımite} tal que (a) Cα es un subconjunto cerrado y no acotado de α,

(b) si β < α y Cα ∩ β es cofinal en β, entonces Cβ = Cα ∩ β, y

(c) si cf (α) ≤ ℵ0 , entonces |Cα | ≤ ℵ0 .

Algunas de las implicaciones existentes son las siguientes: 3+ ⇒ 3 ⇒ HC ⇓ ⇓ HK ¬HS Este ap´endice de axiomas adicionales para la Teor´ıa de Conjuntos no puede finalizar sin el estelar Axioma de Constructibilidad. La noci´ on de constructibilidad en Teor´ıa de Conjuntos fue introducida por G¨ odel en 1938 para demostrar la consistencia del Axioma de Elecci´ on y de la Hip´otesis Generalizada del Continuo con los axiomas ZF y ZFC, respectivamente. La motivaci´ on para la noci´on de constructibilidad es m´as o menos como sigue. Trabajando con los axiomas ZF, el universo V de todos los conjuntos se “obtiene” comenzando con el conjunto vac´ıo ∅ e iterando la operaci´on de tomar conjunto potencia. De esta manera se obtiene la jerarqu´ıa acumulativa:

Y entonces tenemos

V0 = ∅ [ Vα = {P(Vβ ) : β < α} . V=

[

Vα .

α∈Ord

La raz´on de por qu´e ciertas cuestiones sobre la jerarqu´ıa acumulativa no son contestables con ZF o ZFC es el hecho de que la noci´ on de conjunto potencia es bastante vaga; sabemos que P(X) es el consiste de todos los subconjuntos de X; pero ¿qu´e significa aqu´ı todos? El universo constructible, L, se obtiene al “hacer preciso” el significado de todos y tomar, para cualquier conjunto A, al conjunto potencia de A lo m´ as peque˜ no posible, sin contradecir a los dem´ as axiomas. A los conjuntos que integran L se les llama conjuntos construibles. El Axioma de Constructibilidad postula que V es igual a L. Axioma de Constructividad Todo conjunto es construible.

Ap´endice C. Axiomas Adicionales

327

Este extra˜ no axioma es una herramienta fundamental para la investigaci´ on dentro de la Teor´ıa de Conjuntos. Por ejemplo, tres importantes consecuencias de V = L son: el Axioma de Elecci´ on, HGC y 3+ .

328

Ap´endice C. Axiomas Adicionales

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´Indice A

esquema de comprensi´ on, 12, 319 esquema de reemplazo, 223, 320 Axiomas de Bernays-G¨odel, 321 de cardinales grandes, 324 de Peano, 117 de Zermelo-Fraenkel, 319

Alas, O. T., 193 aleph, 248 cero, 169 ´algebra booleana, 199 booleana completa, 313 de conjuntos, 204 algoritmo de la divisi´on, 118 Andenaes, P. R., 192 Andr´eka, H., 18 anillo P(X), 28 ´arbol, 288 axioma d´ebil de existencia, 22 d´ebil de uni´on, 22 d´ebil del conjunto potencia, 22 d´ebil del par, 22 de comprensi´on, 321 de constructividad, 326 de elecci´on, 177, 320 de elecci´on n-finito, 212 de elecci´on dependiente, 211 de elecci´on para conjuntos finitos, 212 de elecciones numerables, 210 de existencia, 10, 319 de extensi´on, 10, 319, 321 de fundaci´on, 18, 319, 321 de infinitud, 102, 320 de Martin, 303 de reemplazo, 321 de uni´on, 15, 319 del conjunto potencia, 17, 319 del Par, 319

B Banach, S., 281, 286 bases de Hamel, 190 Bell, L. J., 192 Bernays, P. A., 5, 181, 210 Blass, A., 190, 204 Bolzano, B., 2

C c´ alculo de longitud α, 229 de longitud m, 107 cadena, 80 campo ordenado, 206 Cantor, G., 1—4, 170, 186, 218, 297 car´acter de un a´lgebra booleana, 208 cardinal compacto, 290 d´ebilmente compacto, 289 d´ebilmente de Mahlo, 292 d´ebilmente inaccesible, 270 de Hausdorﬀ, 293 de Mahlo, 292 de Ramsey, 293 fuertemente inaccesible, 279 l´ımite, 268 l´ımite fuerte, 278 337

338

´Indice

medible, 287 regular, 267 secesor, 268 singular, 267 clase, 13 de equivalencia, 70 clausura, 188 algebraica, 191 co-n´ ucleo, 208 cofinalidad de α, 270 Cohen, P. J., 171, 178, 323 complemento, 29 respecto de ..., 26 condici´ on de la cadena contable, 300, 302 conectivos l´ ogicos, 8 conjunto a lo m´ as numerable, 156 acotado, 109 bien ordenado, 85 cerrado y no acotado, 290 cociente, 71 completo, 299 de ´ındices, 35 de Cantor, 66 de representantes, 72 definici´ on de Cantor, 1 delgado, 291 denso, 173, 297 denso en ..., 299 estacionario, 291 finito, 113, 150 finito seg´ un Dedekind, 164 inductivo, 101 infinito, 150 infinito seg´ un Dedekind, 164 medible seg´ un Lebesgue, 189 numerable, 156 ordenado, 77

potencia, 17 pre-ordenado, 301 separable, 300 singular o unitario, 14 transitivo, 98 vac´ıo, 11 conjuntos ajenos, 24 conjuntos equipotentes, 96 conjuntos hereditariamente finitos, 226 continuaci´on de conjuntos bien ordenados, 184 continuidad secuencial, 188 cordenada, 30 cortadura de Dedekind, 299 cota inferior, 81 superior, 81 cuantificadores, 9

D Dedekind, R., 2—4, 118 diferencia de conjuntos, 25 diferencia sim´etrica, 27

E Easton, W. B., 323 elemento, 10 m´ınimo, 80 m´ aximo, 80 maximal, 80 minimal, 80 elementos comparables, 79 espacio de Stone, 316 espectro de un ´algebra Booleana, 208

F familia f -inductiva, 182

´Indice

ajena por pares, 40 casi ajena, 305 de car´acter finito, 181 de conjuntos, 15 indizada, 35 indizada de conjuntos, 65 Feferman, S., 204, 214 Felgner, U., 191 filtro, 201 κ-completo, 286 D-gen´erico, 303 cerrado y no acotado, 290 principal, 202 sobre un conjunto, 192 f´ormula de Bernstein, 278 de Hausdorﬀ, 278 f´ormulas, 319 Fraenkell, A. A., 224 Frege, G., 69, 99 Fremlin, D. H., 192 funci´ on, 49 biyectiva, 55 caracter´ıstica, 50 composici´ on, 53 constante, 50 continua, 147, 290 coordenada, 62, 68 creciente, 86 de elecci´on o selectora, 177 de Hartog, 256 decreciente, 86 extensi´on, 52 identidad, 50 inclusi´ on, 50 indizadora, 65 inversa, 56 inversa derecha, 58 inversa izquierda, 58

339

invertible, 55 inyectiva, 55 normal, 290 proyecci´ on, 50, 66 proyecci´ on natural, 73 que preserva relaciones, 73 restricci´ on, 52 sobreyectiva, 55 vac´ıa, 53 funciones compatibles, 60

G G¨odel, K., 5, 170, 178, 323, 325

H Halpern, J. D., 193, 203 Hausdorﬀ, F., 27, 43, 79, 186, 269 Hilbert, D., 170, 186 hip´ otesis de cardinal grande, 324 de Souslin, 300 del continuo, 170 generalizada del continuo, 273

I ideal, 200 κ-completo, 286 primo, 200 principal, 200 ´ınfimo, 81 intersecci´ on, 23 de una familia, 35 intervalo cerrado, 91 isomorfismo entre a´lgebras booleanas, 205 entre conjuntos ordenados, 84

J Jech, T., 300 Jensen, R. B., 301

340

´Indice

K Kakutani, S., 193 Kelley, J. L., 20, 193 Klimovski, G., 191 Kneser, H., 195 Kronecker, L., 3 Kunen, K., 301 Kuratowski, K., 31, 187, 281, 286 Kurucz, A., 18

L L¨ auchli, H., 194 l´ımite inferior de una familia, 40 superior de una familia, 40 l´ınea de Souslin, 300 Landau, E., 142 Leibniz, G. W. von, 49 lema de Kuratowski-Zorn, 183 de Tukey-Teichm¨ uller, 182 de Urysohn, 194 Lembcke, J., 192 Levy, A., 195 leyes de De Morgan, 26 l´ımite de una sucesi´on creciente de ordinales, 266 Lindenbaun, A., 273 Los, J., 193, 207 Luxemburg, W. A. J., 207

M Mahlo, P., 292 Martin, D. A., 301 mayor entero, 145 medida σ-aditiva, 281 2-valuada, 286 miembro, 10

Mirimanoﬀ, D., 20, 224 modelo, 214 Morse, A. P., 20

N N´emeti, I., 18 n´ umero algebraico, 160 cardinal, 246 de Hartog, 247, 259 de Hartog de un cardinal, 257 entero, 122 natural, 98 ordinal, 218 racional, 127 real, 138 trascendental, 160 Neumann, J. von, 4, 5, 20, 99, 224 notaci´on de flecha, 292 n´ ucleo, 208

O operaci´on binaria, 111 orden de yuxtaposici´ on, 89 dual, 89 estricto, 78 inducido, 89 lexicogr´ afico horizontal, 79 lexicogr´ afico vertical, 79 lineal o total, 79 parcial, 77 pre-, 78, 301 producto, 90 ordinal inicial, 246 l´ımite, 219 sucesor, 219

´Indice

P par no ordenado, 14 ordenado, 30 paradoja, 1 paradoja de Russell, 13 partici´on, 71 Peano, G., 10, 17, 118 pre-orden, 301 principio de extensi´on de orden, 206 de inducci´on, 103 de inducci´on transfinita, 227 maximal de Hausdorﬀ, 183 principios combinatorios, 325 producto cartesiano, 31 de una familia, 65 propiedad, 8 arquimediana, 130, 140 de densidad, 139 de la intersecci´ on finita, 202 de la m´ axima cota inferior, 91 de la m´ınima cota superior, 91

Q Quine, W. V., 20

R relaci´ on antisim´etrica, 77 asim´etrica, 78 binaria, 44 campo de una, 45 composici´ on, 47 de congruencia m´odulo n, 71 de equivalencia, 69 de inclusi´on, 45 de orden, 77 de pertenencia, 47 diferencia, 44

341

dominio de una, 45 identidad, 44 imagen de una, 45 imagen inversa de una, 45 inversa, 46 rango de una, 45 reflexiva, 69 sim´etrica, 69 transitiva, 69 vac´ıa, 44 representaci´ on decimal, 145 representante, 176 ret´ıcula, 90 Russell, B., 4, 13, 20, 99, 186 Ryll-Nardzewski, C., 193, 207

S σ-completitud, 286 Samadeni, Z., 204 Schwarz, H. M., 3 segmento inicial, 85 Sierpi´ nski, W., 180, 195, 204, 273, 279 sistema de conjuntos, 15 de funciones compatibles, 60 Skolem, T., 20, 224 Solovay, R. M., 301 Specker, E., 20, 273 Spivak, M., 142 subconjunto, 16 propio, 78 sucesi´ on, 112 de Cauchy, 132, 142 de Fibonacci, 109 finita, 112 l´ımite de una, 142 semiconstante, 160 transfinita, 228 transfinita creciente, 266

342

´Indice

sucesor de un conjunto, 101 sucesor inmediato, 86 supremo, 81 de un conjunto de ordinales, 220 Szele, T., 195

T Tarski, A., 273, 279, 286, 287 Teichm¨ uler, O., 187 Tennenbaum, S., 300, 301 teorema de Artin-Schreir, 206 de Banach-Tarski, 195 de Cantor, 163 de Cantor-Schr¨oder-Bernstein, 162 de Hahn-Banach, 191, 207 de Hartog, 257 de Hausdorﬀ, 195 de K¨ onig, 264 de Nielson-Schreir, 190 de recursi´ on, 106 de recursi´ on generalizada, 225 de recursi´ on param´etrica, 108 de recursi´ on transfinita, 229 de recursi´on transfinita param´etrica, 231 de representaci´on de Stone, 205 de Tarski, 258 de Tychonoﬀ, 192 del buen orden, 185 del ideal primo, 203 del ultrafiltro, 204 del valor intermedio (ejercicio 9), 147 f´ormula de Bernstein, 278 f´ormula de Hausdorﬀ, 278 terna no ordenada, 16 ordenada, 30

tipo de orden, 225 Tukey, J. W., 187

U Ulam, S., 286, 287 ultrafiltro, 202 uni´ on, 23 ajena, 34 de una familia, 35 unicidad del campo de los n´ umeros reales, 142

V Vitali, G., 73, 189

W Ward, L. E., 181, 193 Weiestrass, K. W. T., 3 Whitehead, A. N., 20

Z Zermelo, E., 4, 175, 186, 224 Zorn, M., 187, 190

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