Praktische Regeltechnik: Anwendungsorientierte Einführung für Maschinenbauer und Elektrotechniker, 9. Auflage

Praktische Regeltechnik

Peter F. Orlowski

Praktische Regeltechnik Anwendungsorientierte Einführung für Maschinenbauer und Elektrotechniker 9. überarbeitete Auflage

1C

Professor Dipl.-Ing. Peter F. Orlowski Technische Hochschule Mittelhessen (ehem. FH-Gießen-Friedberg) Elektrische Antriebe, Regeltechnik Angewandte Elektronik Wiesenstraße 14 35390 Gießen E-mail: [email protected]

ISBN 978-3-642-19216-6 e-ISBN 978-3-642-19217-3 DOI 10.1007/978-3-642-19217-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1994, 1999, 2007, 2008, 2009, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

w i s s e Vo l l e n d u n g g e t r e u d e n Wu r z e l n

Vor wort

Die vor lie gen de neun te Auf la ge des Bu ches wur de neu bearbeitet. Sie ent hält mo der ne re gel tech ni sche Auf ga ben stel lun gen, wel che die pra xis orien tier te An wend bar keit des Wer kes für Ba che lor-, Di plom- und auch Ma ster stu dien gän ge weiter unterstreichen. Die Re ge lung ei nes Brüc kenkrans mit Fil ter-Reg ler, die Blatt win kel re gelung (Pitch-Re ge lung) ei ner Wind kraft an la ge, die Po si tions re ge lung mit Li ne ar mo tor so wie eine Durch fluß re ge lung mit Schwe be kör per unterstreichen diesen Anspruch. Die Ka pi tel drei bis neun wur den mit ak tu el len Bei spie len versehen. Neu sind die An wen dun gen für SPS (Spei cher Pro gram mier ba re Steue run gen) und Be nutz er ober flä chen mit Si mu la tions-Bei spie len für MATLAB Simulink. Au ßer dem wur den ver schie de ne PINS-Reg ler al go rith men mit An wen dun gen eingefügt. Das im Buch ein ge setzte Si mu la tions pro gramm SIM MER-PC liegt in vier Spra chen vor und ist lauffä hig un ter al len WIND OWS-Ver sio nen. Dar in wird die pa ten tier te A RT -Wur zel re kur sion (Reg ler al go rith mus) in du strie be zo gen ange wen det und die Op ti mie rungs mög lich kei ten zur Einstellung von Regelkreisen verbessert. SIM MER-PC ist be son ders bei der On-li ne-Op ti mie rung der Reg ler-Pa ra me ter und der Füh rungs grö ße den An wen dungs mög lich kei ten von bei spiels wei se MAT LAB Simulink überlegen. Ko sten lo ser Downlo ad des Si mula tions pro gramms SIMLER-PC und der MAT LAB Si mu link Be nutz er ober flä chen für PID-Al go rith men un ter: www.me.th-mit tel hes sen.de/dienst lei stun gen/Download Da tei en: Simler-PC*.ZIP und MAT LAB-PID-Al go rithmus.ZIP

Lin den, Früh jahr 2011

Pe ter F. Or lowski

In halts ver zeich nis

1

2

Grundbegriffe der Regeltechnik ..................

1

1.1 Steue rung ..............................................................

1

1.2 Re ge lung ...............................................................

3

1.3 Be grif fe und De fi ni tio nen .......................................

5

1.4 Wirk schalt plan, Block schaltpl an .............................

7

Berechnung von Regelkreisen ....................

10

2.1 Sta tio nä r es Ver hal ten .............................................

10

2.1.1 Ver stär kun gen ..............................................

10

2.1.2 Stör grö ßen ...................................................

12

2.1.3 Sta ti sche Kenn li nien .....................................

18

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten ..........................................

3

26

2.2.1 Dif fer en ti al glei chun gen .................................

27

2.2.2 Sprung-, Ram pen- und Fahr kur ven funk tion .....

29

2.2.3 Kom ple xe Rech nung .....................................

36

2.2.4 Car son-La pla ce -Trans for ma tion ....................

38

2.2.5 Über tra gungs funk tion und Fre quenz gang ........

47

Regelkreisglieder...................................

60

3.1 Li nea re Re gel kreis gl ie der .....................................

64

3.1.1 P-Glied .....................................................

64

3.1.2 I-Glied .......................................................

67

3.1.3 D-Glied ......................................................

72

3.1.4 PI-Reg ler ...................................................

73

3.1.5 PD-Reg ler .................................................

78

3.1.6 PID-Reg ler ................................................

82

3.1.7 PT 1 -Glied .................................................

87

3.1.8 PT 2 -Glied und PTn-Glied ............................

94

3.1.9 PTt-Glied .................................................

105

3.1.10 PTa-Glied ...............................................

109

X

4

5

In halts ver zeich nis

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis gl ie der ..............................

120

3.2.1 Li nea ri sie rung .............................................

120

3.2.2 Be schrei bungs funk tion .................................

123

3.3 Um for men von Block schaltplänen ..........................

135

3.3.1 Re geln für li nea re Re gel kreis glie der .............

135

3.3.2 Re geln für nicht li nea re Re gel kreis glie der ......

136

Komponenten der Automatisierung ............

141

4.1 Reg ler ................................................................

141

4.1.1 Auf bau Wir kungs wei se ................................

142

4.1.2 Prak ti sche Reg ler ein st el lung ........................

147

4.2 Soll wert ge ber ......................................................

154

4.3 Stell ge r ä te ..........................................................

159

4.3.1 Strom rich ter ...............................................

159

4.3.2 Ven ti le .......................................................

164

4.3.3 Stell mo to ren und Li ne ar an trie be ...................

167

4.4 Me ß ein rich tun gen, Me ß um for mer ..........................

172

Stabilitätskriterien und Optimierung .........

177

5.1 Sta bi li t äts be griff ..................................................

177

5.2 Bode-Dia gramm ...................................................

181

5.3 Ny quist-Kri te ri um ...............................................

196

5.4 Zwei-Orts kur ven- Ver fah ren (Z.O.V.) ....................

211

5.5 Re gel kreis op t i mie rung .........................................

224

5.5.1 In te gral kri te r ien .........................................

224

5.5.2 Sym me tri sches Op ti mum .............................

233

5.5.3 Auf he bungs kom pen sa tion ............................

240

5.5.4 Stör grö ßen auf schal tung ...............................

245

5.5.5 Kas ka den re ge lung .......................................

248

5.5.6 Adap ti ve Re ge lung ......................................

253

5.5.7 Ab tast re ge l ung ............................................

257

Inhaltsverzeichnis

6

XI

A u s g e w ä h l t e B e i s p i e l e d e r R e g e l t e c h n i k . . . . . . 265 6.1 Kon ti nu ier li che Re ge lun gen .................................... 265 6.1.1 Tem pe ra tur re ge lun gen ...................................

265

6.1.2 Stoff ge misch re ge lun gen ................................

273

6.1.3 Zwei- und Drei punkt re ge lun gen .....................

281

6.1.4 Ge schwin dig keits re ge lung für Schacht för de rer

291

6.1.5 Dreh zahl re ge lung von Asyn chron ma schi ne .....

298

6.1.6 Re ge lung von Wic kelantri eben für Stoff bah nen

305

6.1.7 Band dic kenregelung .....................................

321

6.1.8 Re ge lung für das Streck richten .....................

328

6.2 Zeit dis kr e te Re ge lun gen ......................................... 332 6.2.1 Pie zo elek tri sche Re ge lung ei ner Meß tisch ach se

332

6.2.2 Re ge lung von Ro bo ter an tri e ben mit Rech ner....

336

6.2.3 Pitch-Re ge lung ei ner Wind kraft an la ge ...........

341

6.2.4 Di gi ta le Re ge lung von Fräs ma schi nen mit CNC

346

6.2.5 Po si tions r e ge lung mit Li ne ar mo tor .................

349

6.2.6 pH-Wert-Re ge lung zur Ab was ser-Neu tra li sa tion 351 7

Simulation, Optimierung mit SIMLER-PC.....

354

7.1 Das Pro gramm SIM LER-PC und Re gel al go ri th men....

354

7.1.1 Hard wa re und Schnitt stel len ..........................

355

7.1.2 Menü-Füh rung und Pro gramm-Hand ha bung .....

356

7.1.3 Iden ti fi ka tion und Reg ler-Op ti mie rung ...........

359

7.1.4 Sta bi li täts aus sa ge .........................................

362

7.2 An wen dun gen .......................................................

363

7.2.1 Das Bode-Dia gramm .....................................

363

PID-Reg ler und PT 1 -PT 2 -PT t -I-Str ec ke ..........

363

PID-Reg ler mit und ohne Be gren zung .............

364

7.2 2 Das Ny quist-Dia gramm ..................................... PID-Reg ler und Strec ke 4. Ord nung ................

366 367

XII

Inhaltsverzeichnis

7.2.3 Über gangs ver hal ten und Reg ler al go r ith men....

8

9

369

PID-Reg ler al go r ith men .................................

370

Sprung ant wort P-, PI- und PID-Reg ler ............

374

Fahr kur ven ant wort nicht op ti ma ler PID-Reg ler

374

Stör sprung nach PT 3 -Strec ke .........................

377

Fahr kur ven ant wort + Stö rung bei t=Tst ...........

377

Op ti mie rung All paß-Strec ke mit F R a -Reg ler ....

380

Op ti ma le Brüc kenkranrege lung mit F R a -Reg ler

382

Op ti mie rung ei ner Kas ka den re ge lung .............

384

Ein stell wer te PID-Reg ler im Ver gleich ...........

390

Reg ler al go rith mus F R t -Wur zel re kur sion...........

393

Durch fluß-Re ge lung mit Schwe be kör per .........

396

Simulation mit MATLAB Simulink .............

400

8.1 An wen dun gen........................................................

400

Lösungen zu Aufgaben und Klausuren .........

405

9.1 Auf ga ben .............................................................. 405 9.2 Klau su ren ............................................................. 463 10

11

Literaturverzeichnis ..............................

476

10.1 Ma the ma ti sche und Elek tro te ch ni sche Grund la gen

476

10.2 Bü cher zu den Grund la gen der Re gel tech nik ..........

477

10.3 Ver tie fen de Bü cher zur Re gel tech nik ....................

478

10.4 Auf sät ze und Da ten blät ter ...................................

479

10.5 Zum Rech ner ge stütz ten Re gel kreis e nt wurf ............

481

10.6 Klei ne Weg be glei tung .........................................

482

Sachverzeichnis ....................................

483

1

Grund be grif fe der Re gel tech nik

Die Lö sungs mit tel zur Füh rung in du striel ler Pro zes se bzw. An la gen sind Steue rungs- und Re gel ein rich tun gen. Bei de un ter schei den sich prin zi piell in ihrer Wirkungsweise.

1.1

Steue rung

Kenn zei chen der Steue rung ist, daß die Si gnal über tra gung nur in ei ner Rich tung er folgt. Man spricht auch von ei nem offe nen Wir kungs ab lauf. Die ein zel nen Steu erglie der sind hin ter ein an der ge schal tet zu ei ner Steu er ket te. Es er folgt kei ne Rück meldung über den augen blick lichen Zu stand des zu steu ern den Pro zes ses. Bei je dem Steu erglied steht die Ein gangs grö ße mit der Aus -

Bild 1.1 Schema einer Durchfluß-Steuerung (Volumenstrom-Steuerung) P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

2

1 Grund be grif fe der Re gel tech nik

gangs grö ße in ei nem fe sten phy si ka li schen Zu sam men hang (z.B. führt die Span nung an einer Relaisspule zum Betätigen der Kontakte). Zwei Bei spie le sol len die Funk tion ei ner Steue rung ver deut li chen hel fen. Bild 1.1 zeigt die Steue rung des Durch flus ses ei ner Flüs sig keit mit Hil fe eines Ventils. An ei nem Poten tio meter wird eine Span nung U ein ge stellt, die dem Durch fluß (Vo lu men strom) Q propor tio nal ist (Poti mit Ska la). Der Stell be reich von U liegt ge wöhn lich in der Grö ßen ord nung von 10 V- und muß da her mit ei nem Ver stär ker auf die Steu er span nung Ust des Stell motors angehoben werden. Je nach Po la ri tät von U st wird dann mit dem Motor das Ven til ge öff net oder ge schlos sen. Es er folgt zwar eine Messung der Durchfluß men ge, aber die selbst tä ti ge Kor rek tur ei ner Durch flu ß ab wei chung in fol ge von Störgrößen unterbleibt. Ge nau so ver hält es sich mit der in Bild 1.2 darge stell ten Tempe ra tur steue rung ei nes In duk tions ofens. Auch hier kön nen Tem pe ra tur schwan kun gen im Ofen, be dingt durch die Störgrö ßen z 1 und z 2 nicht selbst tä tig beseitigt werden. Ein Vor teil der Steue rung ist je doch, daß sie nicht auf Sta bi li tät un ter sucht zu wer den braucht, wenn die Steu erglie der in sich sta bil sind.

Bild 1.2 Schema einer Temperatur-Steuerung

1.2 Re ge lung

1.2

3

Re ge lung

Das typische Merk mal ei nes Re gel krei ses ist sein ge schlos se ner Wirkungsweg mit dem Ziel der An glei chung zwi schen zu re geln der Grö ße und vorge ge be ner Größe. Über nimmt der Mensch die Re ge lung ei ner tech ni schen Ein rich tung, er faßt sein ent spre chen des Sin nes organ den augen blick lichen Zu stand (Vo lu menstrom, Tempe ra tur usw.) der zu re geln den Grö ße vi su ell. Über sein Ner ven sy stem ge langt die se In for mation in das Ge hirn. Hier wird eine Ent schei dung dar über ge troffen, ob bei spiels wei se die ab ge le se ne Tempe ra tur mit dem er wünsch ten Wert über ein stimmt oder von die sem ab weicht. Bei ei ner Ab wei chung ge langt ein Befehl an die Muskulatur zur sinnvollen Korrektur. Re geln ist also ein Vorgang, bei dem eine phy si ka li sche Grö ße (Ist wert) fort lau fend er faßt und durch Vergleich mit ei ner an de ren Größe (Sollwert) im Sin ne ei ner An glei chung an die se be ein flußt wird. So ver stan den stellt jede Mensch-Ma schi ne-Kommu ni ka tion ei nen Re gel kreis dar. Die in die sem Buch be han del ten tech ni schen Re gel krei se müs sen da her Ein rich tun gen ent hal ten, die die über leg ten Handlungen des Menschen nachempfinden oder ersetzen. Be trach tet man die Bil der 1.1 und 1.2, so er hält man durch die Rück führung der ent spre chen den Ist wer te ei nen Durch fluß- und ei nen Tem pe ra tur-Re gel kreis (Bild 1.3 und 1.4).

Bild 1.3 Schema einer einfachen Durchfluß-Regelung

4

1 Grund be grif fe der Re gel tech nik

Bild 1.4 Schema einer Temperatur-Regelung Im Fal le der Durch fluß-Re ge lung ver stellt der Motor das Ven til so weit, bis Q soll - Q ist = 0 ist. Da mit ent spricht der Soll wert dem Ist wert der Durch flußmenge Q; der Mo tor bleibt stehen. Bei der Tem pe ra tur-Re ge lung wird der Spu len strom so lan ge auf recht er hal ten, bis die Ofen tempe ra tur dem ge wünsch ten Wert entspricht. Es läßt sich schon jetzt er ken nen, daß das zeit li che Ver hal ten bei der Re ge lun gen bei ei ner Störgrö ßen än de rung sehr un ter schied lich sein wird. Die Ven til stel lung kann schnell ver än dert wer den, eine ra sche Kor rek tur der Ofen tem pe ra tur ist je doch nur mit sehr hohem Energieaufwand möglich. Wäh rend bei ei ner Steue rung nur die Wir kung ei ner Störgrö ße be ob ach tet wer den kann, läßt sie sich mit ei ner Re ge lung kor ri gie ren, weil die Störgrö ße in den Re gel kreis mit einbezogen wird.

1.3 Be grif fe und De fi ni tio nen

5

Der ge schlos se ne Wir kungs ab lauf ei ner Re ge lung be darf je doch der Ab stim mung des Ver hal tens der ein zel nen Re gel kreis glie der auf ein an der. Es ist also eine Sta bi li täts be trach tung unerläßlich.

1.3

Be grif fe und De fi ni tio nen

Ein Re gel kreis wird ge wöhn lich in die Struk tu ren Re gel ein rich tung und Regel strec ke auf ge teilt. Bei de sind über ver schie de ne Grö ßen mit ein an der ver knüpft (Bild 1.5). Die er for der li chen Be griffe wer den nach fol gend er läu tert (sie he DIN EN 60027-6, 19225, 19226, 19227 und 19229). Re gel ein rich tung Die Re gel ein rich tung ist meist in meh re re Kompo nenten ge glie dert. Sie ent hält die Ele men te zum Er fas sen der Re gel diffe renz, den Reg ler und die An pas sung an die je wei li ge phy si ka li sche Stell grö ße (Strom, Span nung usw.). Auf ga be der Re gel ein rich tung ist die lau fen de Min de rung oder Be sei ti gung der Differenz zwischen Führungs- und Regelgröße. Regel strec ke Die Regel strec ke ent spricht dem zu re geln den Teil ei ner An la ge. In ihr findet die ei gent li che Be ein flus sung der Re gel grö ße statt. Kenn zeich nend ist für die Regel strec ke, daß sie vom Haupt energie fluß durch setzt ist. Zu ihr ge hört das Stell glied als Regel strec kenglied. Mo tor und Me cha nik ei ner Ma schi ne sind da her ebenfalls Regelstrecken-Glieder.

Bild 1.5

Regelung der Ventilstellung mit einem Stromrichter-Motor

6

1 Grund be grif fe der Re gel tech nik

Re gel grö ße x Die Re gel grö ße x (Ist wert) ist die Grö ße, die zum Zweck des Re gelns er faßt und der Re gel ein rich tung zu ge führt wird. Sie ist da mit Aus gangs grö ße der Regel strec ke und Ein gangs grö ße der Regeleinrichtung. Stell grö ße y Die Stell grö ße y über trägt die steu ern de Wir kung des Reg lers auf die Regel strec ke. Sie ist Aus gangs grö ße der Re gel ein rich tung so wie Ein gangs grö ße der Regelstrecke. Füh rungs grö ße w Die Füh rungs grö ße w (Soll wert) ist das Pro zeß ziel ei ner Rege lung. Ihr soll die Re gel grö ße in end li cher Zeit an ge gli chen wer den. Die Füh rungs grö ße wird dem Re gel kreis von au ßen zu ge führt und ist von der Re ge lung nicht beeinflußbar. Re ge lab wei chung x w , Re gel dif fe renz x d Die Soll-Ist wert-Ab wei chung, die aus ge re gelt (be sei tigt) wer den soll, läßt sich als die Re ge lab wei chung oder als Re gel diffe renz de fi nie ren. Die Re gel diffe renz kann auch mit dem Buch sta ben “e” bezeichnet werden.

Bild 1.6

Definition der An- und Ausregelzeit und der Überschwingweite

1.4 Wirk schalt plan, Block schaltpl an

7

x

w

= x - w

(1.1)

x

d

= w - x

(1.2)

An- und Aus re gel zeit, Über schwing wei te Die Re gel grö ße rea giert auf eine sprung haf te Än de rung der Füh rungs grö ße mit ei nem Aus gleichs vorgang (Bild 1.6). Je nach der er for der li chen Ge nau ig keit ist ein To ler anz band ver ein bart (bei SIM LER-PC sind es z.B. 2%), in ner halb des sen sich die Re gel grö ße nach ei ner bestimmten Zeit befinden soll. Die An re gel zeit T an ist da bei die Zeit span ne vom Be ginn des Füh rungs grö ßen sprungs bis zum erst mali gen Ein tritt in das To ler anz band. Die Aus re gel zeit T aus be ginnt eben falls mit dem Sprung der Füh rungs grö ße und en det, wenn die Re gel grö ße end gül tig in den To ler anz be reich ein mün det, ohne ihn wie der zu ver las sen (sie he auch Abschnitt 7.1.3). Die ma xi ma le Über schwing wei te Xm gibt den grö ß ten Be trag der Re ge lab wei chung an, nach dem die Re gel grö ße den To ler anz be reich erstmals verläßt.

1.4

Wirk schalt plan, Block schaltplan

Die ge rä te tech ni sche Dar stel lung ei nes Pro zes ses nennt man Wirk schalt plan (Schalt plan oder ein fach Schal tung). Noch mals ab stra hiert, spricht man von ei nem Über sichts schalt plan. Bei de er for dern spe ziel le Kennt nis se über Wir kung und Funk tion der ein zel nen Bau ele men te (z.B. Be triebs- bzw. Spei se span nun gen, Füh rung der Mas se-Lei tun gen, Ab schir mung, Lei tungs-Quer schnit te, Si che run gen). Sie sind für eine re gel tech ni sche Un ter su chung un ge eig net. Um sich nicht mit ge rä te tech ni schen De tails be fas sen zu müs sen, ver wen det man meist den so ge nann ten Block schaltplan (Blockschaltbild) zur Modellbildung des Pro zes ses. Die zu ge hö ri gen Schalt zei chen sind nach EN 60617, EN 736-1 und DIN 40700 Teil 14 ge normt. Ge löst von ge rä te spe zi fi schen Ein zel hei ten wird die Re ge lung ent lang des Si gnal pfa des in ein zel ne, be kann te Struk tu ren (Re gel kreis glie der) un ter teilt, die als Blöc ke darge stellt wer den. Die ein zel nen Blöc ke ent hal ten die Kau sal zusam men hän ge (Ur sa che - Wir kung) zwi schen Ein- und Aus gangs grö ße in Form ei ner Glei chung, der Sprung ant wort oder ei ner Kenn li nie. Auf die se Wei se wird das Über tra gungs ver hal ten ei nes Re gel krei ses ver an schau licht und einer regeltechnischen Berechnung zugänglich gemacht.

8

1 Grundbegriffe der Regeltec hnik

In Bild 1.7 ist eine ein fa che ana lo ge Füll stands re ge lung darge stellt, die den Übergang vom Wirk schalt plan zum Block schaltplan veranschaulicht.

Bild 1.7

Wirk- Blockschaltplan einer einfachen Füllstandsregelung

1.4 Wirk schalt plan, Block schaltpl an

9

Kurz zur Funk tion der Re ge lung: Mit ei nem Po ten tiome ter gibt man den Füll stands soll wert h soll vor. Er ge langt über den ana lo gen Reg ler und Ver stär ker auf ein Ma gnet ven til. Der Füll stand wird über einen ka pa zi ti ven Sen sor mit Span nungs aus gang als Ist wert h ist aus ge ge ben. Ent spricht der Füll stand sist wert dem Füll stands soll wert, ist die Re gel diffe renz xd = h soll - h ist = 0 und das Stell ven til ver harrt in der Null stel lung. Weicht der Ist wert vom vorge wähl ten Soll wert ab, öff net oder schließt das Ven til, je nach der Po la ri tät von x d . Der Block schaltplan der Füll stands re ge lung gibt die re ge lungs tech nisch in ter es san ten Ei gen schaf ten der ein zel nen Bau ele men te wie der (hier durch Dar stel lung der je wei li gen Sprungantwort). Er be rücks ich tigt auch wich ti ge Teil vorgän ge, die im In ne ren der Bau ele men te ab lau fen. So beispielsweise das zeit li che Ver hal ten des Ma gnet ven tils. Der Block schaltplan, der im All ge mei nen aus ei nem Wirk schalt plan ent steht, ist da her ein wich ti ges Hilfs mit tel zur Ana ly se ei ner Rege lung. Er ist hilfreich bei der Op ti mie rung von Re gel krei sen und kann di rekt in Si mu la tions mo del le umgesetzt werden.

2

Be rech nung von Re gel krei sen

Eine Aus sa ge über die Güte ei ner Re ge lung wird durch die Be trach tung des sta tio nä ren und vor al lem des dy na mi schen Ver hal tens vorgenommen. Der zeit li che Ver lauf der Re gel grö ße x ei ner op ti mal ein ge stell ten Re ge lung soll te da bei fol gen de Kri te rien er fül len: • Kur zer Aus gleichs vorgang der Re gel grö ße x (T an und T aus klein) • Ge rin ges oder kein Über schwing en • Blei ben de Re gel diffe renz x d (t ® ¥ ) = 0 • Weit ge hen de Pa ra me ter un emp find lich keit der Re ge lung • Ge rin ger Ein fluß von Störgrö ßen än de run gen auf die Re gel grö ße x.

2.1

Sta tio nä res Ver hal ten

Be trach tet man ei nen Re gel kreis im sta tio nä ren (ein ge schwun ge nen) Zu stand, läßt sich der Ein fluß von Störgrö ßen und Ver stär kung auf die Re ge lung leicht be stim men. 2.1.1

Verstärkungen

Pro por tio nal ver stär kung Kp Ist x 1 die Ein gangs- und x 2 die Aus gangs grö ße ei nes Re gel kreis glie des, be zeich net man den Fak tor, um den sich x 1 von x 2 un ter schei det, als Pro por tio nal ver stär kung bzw. Pro por tio nal bei wert K p (Bild 2.1)

K

p

=

x x

2 1

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

(2.1)

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

11

Die Pro por tio nal ver stär kung ist dem nach eine di men sions lo se Zahl. Die Ge samt ver stär kung meh re rer in Rei he lie gen der Re gel kreis glie der ent spricht der Mul ti pli kation der Ein zel-Ver stär kungen. Es sei K

p1

=

x x

2

,

K

p2

x x

=

1

3

(2.2)

2

dann ist die Ge samt ver stär kung: K

pges.

= K

p1

×K

p2

=

x x

3

.

(2.3)

1

Bild 2.1 Definition der Verstärkung Kp

Re gel kreis ver stär kung K 0 Trennt man ei nen Re gel kreis in der Rück führung auf, er hält man eine Wir kungs ket te (Bild 2.2). Die Ge samt ver stär kung des offe nen Re gel krei ses läßt sich dann durch die Mul ti pli ka tion der Ein zel ver stär kungen er mit teln (sie he Ab schnitt 3.3.1, Ta bel le 3.5, Nr. 9). Es ergibt sich die so ge nann te Re gel kreis ver stär kung bzw. der Über tra gungs bei wert K 0 K

0

= K R × P K Si . i

Bild 2.2 Prinzip eines Regelkreises

(2.4)

12

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Mit den be reits be kann ten De fi ni tio nen kann man ent spre chend Bild 2.2 fol gen de Be zie hung zwi schen der Re gel- und der Füh rungs grö ße ab lei ten. Durch läuft man den Re gel kreis ent ge gen der Si gnal fluß rich tung, dann gilt: x = y ×K

S

y = K

×x

x

d

R

, d

,

= w - x .

Es ergibt sich schließ lich

x =

K0 1 + K

×w

(2.5)

0

Die ge fun de ne Glei chung zeigt, daß Füh rungs grö ße (Soll wert) und Re gel grö ße (Ist wert) ei ner Re ge lung im sta tio nä ren Zu stand um so bes ser über ein stim men, je grö ßer die Re gel kreis ver stär kung K0 ist (Bild 2.3).

Bild 2.3

2.1.2

Die Regelgröße x als Funktion der Regelkreisverstärkung K0

Störgrößen

Grö ßen, die meist un be ab sich tigt auf die Re ge lung ein wir ken, nennt man Störgrö ßen. Sie kön nen so wohl im Über tra gungs ver hal ten der Re gel kreis glie der als auch in der Art der Si gnal über tra gung begründet sein. Störgrö ßen, die durch Summa tion mit Re gel kreis-Si gna len auf die Re ge lung ein wir ken, be zeich net man als ad di ti ve Störgrö ßen (Bild 2.4). Wirkt bei spiels wei se auf das Si gnal y2 eine Störgrö ße z, so ergibt sich aus dem Blockschaltbild für die Re gel grö ße eine Gleichung, die z enthält.

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

Bild 2.4

13

Regelkreis mit Störgröße z hinter der Regelstrecke

Es wird x = y y

2

+ z , ×K

= K

R

x =

K0 1 + K

2

S

×x

d

= K

×w

+

0

0

×( w - x ) ,

1 1 + K

×z

(2.6)

0

Das ge fun de ne Ergeb nis zeigt deut lich den Vor teil der Re ge lung ge gen über ei ner Steue rung. Die Störgrö ße, die bei ei ner Steu er ket te (ent spre chend x = y 2 + z) voll zum Si gnal y 2 ad diert wird, kann mit ei nem ge schlos se nen Re gel kreis um den Fak tor 1/(1 + K 0) vermindert werden. Für K 0 ® ¥ wird der Ein fluß von z eli miniert, und es ergibt sich wie der x = w. Al ler dings ist eine un end lich gro ße Ver stär kung K0 nicht rea li sier bar. Die Wer te von K0 lie gen bei in du striel len Re ge lun gen zwischen 1...1000. Störgrö ßen, wel che nicht hin ter dem letz ten Re gel kreis glied wir ken, son dern zwi schen zwei Re gel kreis glie dern, las sen sich wie folgt be han deln (Bild 2.5). Es wird x = K

S

×( y

1

+ z) ,

und schließ lich x =

K 0 1 + K

×w 0

+

1 1 + K

×K 0

S

×z .

(2.7)

14

Bild 2.5

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Regelung mit der Störgröße z zwischen Regler und Strecke

Auf die Re gel grö ße x wirkt in die sem Fal le die Störgrö ße z mit dem Fak tor K S / (1 + K 0 ). De fi niert man z' = K S × z als ei nen Block mit der “Störgrö ßen ver stär kung” K S , so kann man die Summations stel le der Störgrö ße hin ter die Regel strec ke ver la gern (sie he Ab schnitt 3.3.1, Ta bel le 3.5, Nr. 5). Dann sind die Glei chun gen (2.6) und (2.7) äqui va lent und es gilt:

x =

K0 1 + K

×w 0

+

1 1 + K

× z'

(2.8)

0

Die se Me tho de er laubt es, alle ad di tiv auf tre ten den Störgrö ßen auf eine Summa tions stel le hin ter der Regel strec ke ein wir ken zu lassen. Die bis her be han del ten Störgrö ßen lie ßen sich bis auf eine blei ben de Re ge lab wei chung aus re geln. Es gibt je doch auch sol che, die sich nicht kor ri gie ren las sen. Ein Bei spiel soll dies ver deut li chen (Bild 2.6). In ei ner Dreh zahl re ge lung für ei nen Gleich strommo tor mit Stromrich ter sol len die vier Störgrö ßen z1 ‘...z 4 ‘ auftreten.

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

Bild 2.6

Wirk- und Blockschaltplan einer Drehzahlregelung

Bild 2.7

Normierter Blockschaltplan der Regelung aus Bild 2.6

15

16

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Da bei sind z 1 ‘ und z 2‘ Stö run gen der Soll- bzw. Ist wert umwand lung. z 3 ‘ ent spricht ei ner Ver fäl schung der Soll-Ist wert-Diffe renz xd in fol ge Ver stär ker drift. z 4 ‘ sei die Aus wir kung ei nes Last sto ßes auf die Re ge lung. Be zieht man alle Grö ßen auf ih ren Nenn wert (z.B. auf 10 V- nor miert), ergibt sich der ver ein fach te Blockschaltplan (Bild 2.7). Im un ge stör ten Zu stand ist be kannt lich z 1 = z 2 = z3 = z 4 = 0. Bei dem durch die vier Störgrö ßen be ein flu ß ten Re gel kreis gilt dann x = K x

d

0

×x

d

= w + z

+ z 1

,

4

+ z

3

- (x + z

2

) = w - x ,

und schließ lich ergibt sich für die Re gel grö ße: x =

K 0 1 + K

×( w + z

1

+ z

3

0

- z

2

) +

1 1 + K

×z

4

(2.9)

0

Man sieht, daß die Störgrö ßen z 1...z 3 voll als Feh ler in die Re ge lung ein ge hen, weil sie, un ab hän gig von K 0 , die Füh rungs grö ße w be ein flus sen. Die Störgrö ße z 4 da ge gen wird um den Fak tor 1/(1+K 0 ) re du ziert, d.h. sie kann aus ge re gelt wer den. Für alle Re gel krei se läßt sich dar aus fol gen der Grund satz ab lei ten. Nicht korrigierbare Störgrößen sind: • Feh ler der Soll wert bil dung

(hier z 1 )

• Feh ler der Ist wert-Er fas sung

(hier z 2 )

• Drift- bzw. Ein stell feh ler des Reg lers

(hier z 3 )

Bild 2.8

Blockschaltplan einer Regelung mit verteilten Störgrößen

Auf ga be 2.1 Ein Glüh ofen soll auf 1300 °C ge re gelt wer den. Da bei tre ten drei ad di ti ve Störgrö ßen auf, die durch in duk ti ve Ein kopp lung von Stark strom lei tun gen ent ste hen und zu fol gen dem Block schaltplan führen (Bild 2.8).

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

17

Ge ge ben: K R = 10 ; K S1 = 2,5 ; K S2 = 2 w = 10V- =$ 1300 °C; z 1 = 800 mV; z 2 = 0,1 V ; z 3 = 10 mV . Es ist der ver ein fach te Block schaltplan mit nur ei ner Summa tions stel le der Störgrö ßen hin ter dem letz ten Re gel kreis glied ge sucht, so wie Re gel grö ße x/V und die Re gel diffe renz x d/°C.

Auf ga be 2.2 Der Reg ler ei ner ein fa chen ana lo gen Po si tions re ge lung (Bild 2.9) so wie der nach fol gen de Lei stungs ver stär ker wei sen eine Aus gangs fehl span nung (Off set span nung) von z 1 =z 2 = 20 mV auf. Der Fre quenz-Span nungs-Wand ler in der Rück führung für den Weg-Ist wert hat ei nen ad di ti ven Umsetz feh ler von z 3 = 30 mV. Ge ge ben: KR = 10; K S1 = 20 (Lei stungs verst.); K S2 = 1 (Rest-Glie der) w = 10 V- =$ 4 m . Ge sucht ist das Block schaltbild der Weg re ge lung so wie x d/m.

Bild 2.9

Wirkschaltplan einer Positionsregelung mit Seiltrommel

18

2.1.3

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Statische Kennlinien

Das sta ti sche Ver hal ten ei nes Re gel kreis glie des be schreibt den Zu sammen hang zwi schen Ein gangs- und Aus gangs grö ße im sta tio nä ren Zu stand. Die Kenn li nien tech nisch rea li sier ba rer phy si ka li scher Sy ste me wei sen grund sätz lich nur in ei nem be stimmten Be reich Li nea ri tät zwi schen Ein- und Aus gangs grö ße auf (siehe auch Abschnitt 3.1 und 3.2 so wie Sei ten 172, 173). Ta cho ge ner ator Be nutzt man zur Dreh zah ler fas sung in ei ner Re ge lung bei spiels wei se ei nen Ta cho ge ner ator, so ist sei ne Aus gangs span nung nur in ei nem fe sten, vom Herstel ler an ge gebe nen Be reich der Dreh zahl pro por tio nal. Nicht li nea ri tä ten tre ten be son ders im un te ren Dreh zahl be reich auf (Bild 2.10). Der obe re Dreh zahl be reich ist durch den me cha ni schen Aufbau der Maschine begrenzt (Stellgrenze). Pneu ma ti scher Ver stär ker Kenn li nien, die nur ei nen klei nen Li nea ri täts be reich be sit zen, kön nen durch Ver wen dung ei nes Ver stär kers ver bes sert wer den. Bild 2.11a und b zei gen den Wirk schalt plan und die Kenn li nie ei nes pneu ma ti schen Pro por tio na lglie des mit

Bild 2.10

Statische Kennlinie eines Tachogenerators

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

Bild 2.11

19

Statische Kennlinien eines pneumatischen Verstärkers

ei nem klei nen li nea ren Stell be reich. Durch Vergrö ßern der Ver stär kung läßt sich die Lage des je wei li gen Ar beits punk tes A in ei nem er wei ter ten Linearitätsbereich verschieben (Bild 2.11b). Ope ra tions ver stär ker (OP) Auch bei elek tro ni schen Ver stär kern ist der li nea re Stell be reich durch den phy si ka lisch-tech ni schen Auf bau ein ge schränkt, wie das Bei spiel ei nes Ope ra tions ver stär kers zeigt (Bild 2.12). Die Über tra gungs funk tion des OPs hat im linea ren Be reich eine sehr ein fa che Form, wenn er ent spre chend Bild 2.12b am Mi nus-Ein gang beschaltet wird /36/. Wich ti ge Kenn wer te ei nes rea len OPs (zB. OP07-EJ, MAX 420) sind: • Diffe renz-Ein gangs wi der stand r D > 10 7 W • Gleich takt-Wi der stand r G > 10 9 W

20

2 Be rech nung von Re gel krei se n

• Aus gangs-Wi der stand r A < 100 W • Differenzver stär kung V D > 10 5 • Off set span nung Uoff , sie liegt im mV-...mV-Be reich • Span nungs an stiegs-Ge schwin dig keit, sie be trägt ca. 0,5V/m s .

We gen der sehr gro ßen Wi der stän de r D und r G so wie der star ken Ge gen kopp lung mit der Differ en zver stär kung VD , ver hält sich der OP wie ein Regel kreis, des sen Aus gangs span nung U a durch die Art der äu ße ren Be schal tung be stimmt ist (Impe dan zen Z 1 und Z 2 - je weils von jw oder p ab hän gig). Sie he dazu Ab schnitt 2.2.3 und 2.2.4 so wie /7/, /36/.

Bild 2.12

Beschalteter Operationsverstärker und sein Ersatzschaltbild

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

21

Es gilt dann mit dem I. Kirch hoff schen Satz: I

+ I

1

2

- I

e

= 0 .

Der Ope ra tions ver stär ker re gelt für VD ® ¥ prak tisch auf Ie =0 bzw. U D =0, so daß gilt (hier Lapla ce-trans for miert): I

+ I

1

2

U e (p) U a (p) + Z 1(p) Z 2(p)

= 0 =

.

Man erhält eine sehr ein fa che Über tra gungs funk tion, die durch ent spre chen de Wahl des Quo tien ten Z 2 /Z 1 be lie bi gen Er for der nis sen an ge paßt wer den kann. An wen dun gen fin den sich in al len nachfolgenden Abschnitten.

U U

(p) Z 2 ( p) = Z 1 ( p) e (p)

a

(2.10)

Be schal tet man den OP ent spre chend Bild 2.12b nur mit Wi der stän den, ergibt sich Pro por tio na li tät zwi schen der Ein- und Aus gangs span nung. Es wird U

a

= -

R R

2

×U

e

.

(2.11)

1

Dar in ist die Pro por tio nal ver stär kung: K

p

=

R R

2

.

(2.12)

1

Für R 2 ® ¥ ge hen rein rech ne risch K p ® ¥ und U a ® ¥ , doch die Aus gangs span nung ei nes OPs kann nicht über sei ne Spei se span nung Us hin aus an wach sen. Sie geht be reits bei ca. +13,5V und -12,6V an die Stell gren ze, wenn die Spei se span nun gen auf Us1=+15V- und Us2=-15V- ein ge stellt wur den (Bild 2.13). Bei ei ner sinn vol len Nor mie rung re gel tech ni scher Grö ßen und zur Ver mei dung von Sät ti gungs er schei nun gen an der Stell gren ze ist es gün stig, den Stell be reich der Aus gangs span nung auf ±10V zu be gren zen. Dies ist mit zwei Ze ner-Di oden in der Ge gen kopp lung des OPs realisierbar. Die Aus gangs span nung U a läßt sich bei Be schal tung am Mi nus-Ein gang des OPs zü gig be rech nen, wenn man wie folgt vorgeht: 1. Ver stär kung Kp aus klammern 2. Dop pel brü che be sei ti gen 3. Zeit kon stan ten definieren

22

Bild 2.13

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Stellbereich und beschalteter OP mit Begrenzung

Ma gne ti sie rungs kenn li nie ei nes Gleich strom mo tors (GS-Mo tors) Die Ab hän gig keit des ma gne ti schen Flus ses F vom Er re ger strom I E ei nes GS-Mo tors gibt die so ge nann te Ma gne ti sie rungs-Kenn li nie wie der (Bild 2.14). Sie wird bei kon stan ter Drehzahl aufgenommen. Soll der ma gne ti sche Fluß, wel cher als Re chen grö ße in vie len Re ge lun gen er for der lich ist (sie he Ab schnitt 6), über den li nea ren Be reich hin aus aus ge nutzt wer den, ist eine Li nea ri sie rung der Kennlinie angebracht. Dazu wird die Kenn li nie auf ge nommen und durch Ge ra den zü ge stück weise nach ge bil det (Bild 2.15).

Bild 2.14

Magnetisierungs-Kennlinie eines Gleichstrommotors

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

23

Man legt eine Tan gen te durch den be treffen den Ar beits punkt und er hält x

a1

= Dx

e1

× tan a

1

x

a2

= Dx

e2

× tan a

2

für

Arbeitspunkt

A1 und

für

Arbeitspunkt

A2 .

Je wei ter man sich von den Ar beits punk ten ent fernt, umso grö ßer wird der Feh ler. Für klei ne Kenn li nien krüm mungen kann man von den rea len Wer ten auf die Ab wei chun gen D x a und D x e übergehen. Soll die Kenn li nie ganz durch lau fen wer den (Ar beits punkt A1...An), ist es sinn voll, die Ap pro xi ma tion mit Hil fe ei nes Funk tions bild ners und ent spre chend vie len Knick punkten (Tan gen ten) zu rea li sie ren. Da mit bleibt der Feh ler ver nach läs sig bar klein /36/. Eine wei te re Me tho de zur Li nea ri sie rung sta ti scher Kennli nien ist mit der Taylor-Rei he ge ge ben /1/. Im Ar beits punkt A ergibt sich die Ausgangsgröße zu:

x a = x a(A) +

x

e

- x e(A) x × x& a(A) + 1!

e

- x e(A) × &&x a (A) + . . . 2!

( 2.13 )

Bei klei nen Kenn li nien krüm mungen läßt sich die Tay lor-Rei he nach der er sten Differ en tia tion ab bre chen, so daß gilt: x

Bild 2.15

a

» x

a

(A) + x&

a

(A) × ( x

e

- x

e

(A) ) .

Linearisierung der Magnetisierungs-Kennlinie

(2.14)

24

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Steu er kenn li nie ei nes netzgführ ten Strom rich ters Der Stromrich ter ist ei nes der wich tigsten Stell ge rä te der mo der nen An triebs tech nik. Durch sein fast träg heits lo ses Ver hal ten er füllt die Dy na mik ei nes Strom rich ter an trie bes höch ste An for de run gen. Bild 2.16 zeigt eine voll ge steu er te Dreh strombrüc kenschaltung für ei nen GS-Antrieb. Mit Hil fe des Steu er win kels a, der die Zünd zeit punk te der ein zel nen Thy ri sto ren be stimmt, kann die An ker span nung des GS-An trie bes kon ti nu ier lich ge steu ert wer den, d.h. die zu ge hö ri gen Dreh span nun gen wer den zu ei nem arith me ti schen Mittelwert U A verändert /5/, /34/, /35/.

Bild 2.16

Vollgesteuerte Drehstrombrückenschaltung mit GS-Motor

Bild 2.17 stellt den Ver lauf der An ker span nung für ver schie de ne Steu er win kel ohne Be rücks ich ti gung der Kommu tie rungs vorgän ge dar. Der Steu er win kel wird durch den Vergleich der zu ge hö ri gen Dreh span nung mit der Steu ergleich span nung Ust , wel che am Reg ler aus gang an steht, erzeugt.

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

25

Bild 2.17

Verlauf von U

Bild 2.18

Zusammenhang zwischen Steuerwinkel a und Steuersp. Ust

Bild 2.19

Zusammenhang zwischen U

dia

bei verschiedenen Steuerwinkeln

dia

und dem Steuerwinkel a

26

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Es be steht ein li nea rer Zu sammen hang zwi schen a und U st (Bild 2.18). Die ge steu er te An ker span nung U d i a ent spricht bei der voll ge steu er ten Drehstrom brüc kenschaltung im nicht lüc kenden Be trieb der Gleichung: U A = U d i a = 1,35 × U L × cos a ,

U L : Leiterspg.

(2.15)

Die se Kennli nie ist in Bild 2.19 darge stellt. Steu er winkel a > 150° sind aus ge schlos sen, um die Kommu tie rungs dau er und die Frei wer de zeit der Thy ri sto ren zu be rücks ich ti gen. Bei Steu er win keln a < 10° kann das so ge nann te Leer lauf pen deln auf tre ten, da her ist auch dieser Bereich zu meiden.

2.2

Dy na mi sches Ver hal ten

Das sta tio nä re Ver hal ten ei ner Re ge lung bzw. ei nes Re gel kreis glie des ist eine un voll kom me ne Be schrei bung sei ner Über tra gungs ei gen schaf ten. Je der Re gel kreis wird durch äu ße re Ge ge ben hei ten be ein flußt, die eine Zu stands än de rung des Systems in zeit li cher und/oder räumlicher Form hervorrufen. Die sy stem ei ge nen Grö ßen ge hen da bei von ei nem ein ge schwun ge nen (sta tio nä ren) Zu stand in ei nen an de ren ein ge schwun ge nen Zu stand über. Die Übergangs pha se be zeich net man als Aus gleichs vorgang der sy stemei ge nen Energie spei cher oder all ge mein als das dynamische Verhalten des Re gel krei ses. Zeit lich kon stan te Kenn wer te ei ni ger elek tri scher und me cha ni scher Energie spei cher sind bei spiels wei se 1* : • In duk ti vi tät L • Ka pa zi tät C • Träg heits moment J • Fe der kon stan te c f

Zeit lich ver än der li che Grö ßen sind u.a.: • Strom i • Span nung u • Kraft F • Weg s

1* ————— Zeit lich kon stan te Kenn wer te (Pa ra me ter) kenn zeich nen ein zei tin va rian tes Sy stem.

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

2.2.1

27

Differentialgleichungen

Differ en ti al glei chun gen be schrei ben das dy na mi sche Ver hal ten ei nes phy si ka li schen Sy stems und sind da her auch Grund la ge des ma the ma ti schen Mo dells al ler Re gel kreis glie der. Ihre Ord nungs zahl ist gleich der Zahl der von ein an der un ab hän gi gen Energie spei cher des be trach te ten phy si ka li schen Sy stems. Sie ver knüp fen die Kenn wer te des Sy stems mit den zeitlich veränderlichen Größen /4/, /6/. So ist z.B. d i (t) dt

,

d u (t) dt

,

u (t) = L × i (t) = C ×

m (t) = 2 p J ×

d n (t) dt

(2.16)

(2.17)

.

(2.18)

Man kann da von aus ge hen, daß die mei sten Re gel kreis glie der durch eine ge wöhnli che li nea re Differ enti al glei chung mit kon stanten Ko effi zienten aus reichend be schreib bar sind. Nicht li nea re phy si ka li sche Sy ste me kön nen durch Li nea ri sie rung in der Umge bung ei nes Ar beits punk tes li nea ri siert wer den (sie he Abschnitt 2.1.3 und 3.2.1 sowie /25/). Bei spiel: Die Be rech nung des zeit li chen Ver laufs der Kon den sa tor span nung u c (t) ei nes Rei hen schwing krei ses an Gleich span nung führt auf fol gen de Differ en ti al glei chung (Bild 2.20).

Bild 2.20

Elektrischer Reihenschwingkreis an Gleichspannung

Mit S U=0 (II. Kirch hoff scher Satz) folgt bei Schlie ßen des Schal ters für t = 0:

28

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Ue = u

c

(t) + R × C ×

d u c (t) d 2 u c (t) . + L ×C × dt dt 2

(2.19)

Es ergibt sich eine li nea re Differ en ti al glei chung 2. Ord nung mit kon stan ten Ko effi zien ten und Störglied (Span nungs sprung Ue für t>0). Die Lö sung soll hier mit der in ho moge nen Teil lö sung für den Aus gleichs vorgang und der ho moge nen Teil lö sung für den stationären Zustand erfolgen. Die ho moge ne Teil lö sung ge winnt man durch den An satz u

c

(t) = A × e

at

.

Setzt man den Ex po nen ti al-An satz ent spre chend in Glei chung (2.19) ein, er hält man die cha rak ter isti sche Glei chung der ge ge be nen Differ en ti al glei chung. Je nach Art der Wur zeln der cha rak ter isti schen Glei chung (reell, kon ju giert kom plex) er hält man ver schie de ne Lö sun gen für die in ho mo ge ne Teil lö sung /1/ - /4/. Auf die Dar stel lung des Lö sungs we ges wird hier zu gun sten der Car son-La pla ce-Trans for ma tion (Abschnitt 2.2.4) verzichtet. Es wird schließ lich mit u c (0) = 0 und i L(0) = 0 (energie lo ser An fangs-zu stand) so wie U e (t)=konst. für w o > a :

u

mit

c

(t) = U

a =

e

[1 - e

R , 2L

wo

-a t

2

× ( cos w e t +

=

1 LC

a × sin w e t ) ] , we

und

w

e

2

= wo

(2.20)

2

- a

2

.

Der zeit li che Ver lauf der Kon den sa tor span nung ist für w o >> a (pe ri odi scher Fall) und w o << a (ape ri odi scher Fall) in Bild 2.21 dargestellt.

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

Bild 2.21

2.2.2

29

Zeitlicher Verlauf der Spannung Uc(t) am Reihenschwingkreis

Sprung-, Rampen- und Fahrkurvenfunktion

Den zeit li chen Ver lauf der Aus gangs grö ße x a (t) als Lö sung ei ner ge wöhn li chen li nea ren Differ en ti al glei chung mit kon stan ten Ko effi zien ten nennt man die Ant wort funk tion des Sy stems auf die an re gen de Ein gangs grö ße x e (t). Als Ein gangs si gna le sind Funk tio nen in Ge brauch, die tech nisch leicht rea li sier bar sind und gleich zei tig eine einfache Laplace-Bildfunktion besitzen. Sprung funk tion und Sprung ant wort Wie schon beim Rei hen schwing kreis ge zeigt, wird in der Re gel tech nik die Ein gangs- bzw. an re gen de Grö ße häu fig sprung haft ein ge schal tet. Der Be zug zur Rea li tät wird da bei durch aus ge wahrt (z.B. Schlie ßen ei nes Schal ters oder Umschal ten eines Sollwerts). Ei ner sol chen Sprung funk tion wird die Ein heits sprung funk tion s 0 (t) zu grun de ge legt (Bild 2.22). Sie ist defi niert als: s

0

(t) = 0

für

t<0

s

0

(t) = 1

für

t³0

(2.21)

30

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Bild 2.22

Zeitlicher Verlauf der Einheitssprungfunktion

Setzt man die Sprung funk tion als er re gen de Grö ße am Ein gang ei nes Re gel krei ses (Re gel kreis glie des) ein, er hält man am Aus gang die sog. Sprungantwort. Die Sprung funk tion x e (t) setzt sich dann aus der Ampli tu de x

^

e0

bzw. x e

(oder ein fach xe ) mul ti pli ziert mit der Ein heitssprungfunk tion zusammen. x

e

(t) = x

e0

×s

0

(t) .

(2.22)

Der Sprung ant wort kann man be stimmte Ei gen schaf ten ent neh men, die u.a. den Vergleich ver schie de ner Re gel kreis glie der un ter ein an der er leich tern hel fen. Sie ist je dem Re gel tech ni ker ein bekannter Begriff. Eine von der Höhe der Ein gangs sprung funk tion un ab hän gi ge Dar stel lung ergibt sich, wenn die Sprung ant wort durch die Ampli tu de x e0 di vi diert wird. Die se be zo ge ne Sprung ant wort heißt auch Übergangs funk tion h(t).

h (t) =

x a (t) . x e0

(2.23)

Bei spiel: Von zwei ana lo gen Me ß in stru men ten soll die Sprung ant wort be trach tet wer den (sie he auch Ab schnitt 4.4). Vie le elek tri sche und me cha ni sche Me ß in stru men te las sen sich we gen der ge rin gen Mas se des Meß wer kes durch eine ge dämpf te Fe der aus rei chend be schrei ben (Bild 2.23).

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

Bild 2.23

31

Drehspulinstrument und sein mechanisches Ersatzschaltbild

Bei ei nem Dreh spul in stru ment ist die an re gen de Kraft dem Strom I und der magne ti schen Fluß dich te B pro por tio nal. Die Kraft F e führt zur Weg än de rung s a (t) ent lang der An zei ge ska la. Es gilt: F

e

= B× I × l× N

,

l: dem Ma gnet feld aus ge setz te Spu len län ge, N: Win dungs zahl der Spu le. Ein Kraft meß in stru ment (Druck meßdose) rea giert auf den Druck p über eine kon stan te Meß werks flä che (Mem bra ne) A eben falls mit ei ner Weg än de rung s a (t). Es gilt hier für die anregende Kraft:

32

2 Be rech nung von Re gel krei se n F

e

= p×A .

Da das me cha ni sche Er satz schalt bild bei der Me ß in stru men te nur die Fe der als wirk sa men Energie spei cher ent hält, ergibt sich eine li nea re Differ en ti al glei chung 1. Or dnung mit den konstan ten Ko effi zien ten c f und r. Bei sprung haf ter An re gung mit der Kraft F e ( t ) = F e × s 0 ( t ) lau tet die Lö sung be züg lich der Aus len kung s a (t) des Me ß in strumen ten-Zei gers:

s

a

Fe (t) = ×( 1 - e cf

-

r×t cf

)

mit

T=c

f

/r.

(2.24)

Es han delt sich um eine e-Funk tion, die für t ® ¥ die Grö ße des Ein gangs si gnals F e / c f er reicht (Bild 2.24).

Bild 2.24

Sprungantwort eines Systems mit gedämpfter Feder

Auf ga be 2.3 An eine Rei hen schal tung aus Wi der stand und In duk ti vi tät wird bei t=0 die Gleich span nung U e an ge legt (Bild 2.25). Ge ge ben: R = 10W , L = 0,2 H, Ue = 20 V Ge sucht: Die Sprung ant wort des Stroms i.

Bild 2.25

R-L-Reihenschaltung an Gleichspannung

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

33

Auf ga be 2.4 Ei nem be schleu nig ten Kör per der Mas se m wirkt eine ge schwin dig keits pro por tio na le Rei bung ent ge gen (Bild 2.26). Die Rei bungs kraft ist F

r

= -r×

ds a dt

und die Be schleu ni gungs kraft nach dem Newton schen Ak tions prin zip

F

b

= - m×

d

2

s

dt

2

a

.

Ge ge ben: Fe=kon stant, r, m , Ge sucht: Die Sprung ant wort s

Bild 2.26

a

(t) des Sy stems.

Beschleunigte Masse mit Reibung

Ram penfunktion und Fahr kur ven funk tion w(t) Die Vorga be von Soll wer ten nach Art der Ein heits sprung funk tion s bei ge re gel ten An trie ben we gen der Un ste tig keits stel le bei t=0 problematisch.

0

(t) ist

Es kommt spe ziell beim Anfah ren und Brem sen von An trie ben der För der tech nik, Walz werk stech nik, bei Pa pier ma schi nen, Schie nen fahr zeu gen, In du strie ro bo tern, Meß ti schen u.ä. zu un er wünsch ten Aus gleichs vorgän gen der entsprechenden Regelgrößen. Die ste ti ge und häu fig auch zeit op ti ma le Vorga be der Füh rungs grö ße ist da her für die Be triebs si cher heit, Pro dukt qua li tät und den Fahr kom fort von gro ßer Be deu tung /35/, /39/, /59/, /60/, /77/.

34

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Eine Soll wertfunk tion, die die se An for de run gen er füllt, ist die sogenannte Fahr kur ve. Sie be steht aus stück weise ste ti gen und differ en zier ba ren Funk tio nen. In Bild 2.27 sind ver schie de ne Fahr kur ven w(t) und de ren zeit li che Ab lei tung für das An fah ren und Bremsen dargestellt. Von t=0 bis zur sog. Ver schliff zeit T VE ent spricht die Fahrkur ve ei ner Pa ra bel mit po si ti ver Stei gung. Im In ter vall TL - T VE ver läuft w(t) ent lang ei ner Ge ra den mit po si ti ver Steigung. Den ste ti gen Übergang von der kon stan ten, po si ti ven Stei gung auf den konstan ten Endwert rea li siert man mit ei ner Pa ra bel ne ga ti ver Stei gung in ner halb der Zeit T HE - T L = TVE . Die Ver schliff zeit und die sog. Hoch lauf zeit T HE sind da mit die be stim men den Pa ra me ter einer Fahrkurvenfunktion. Der Fahr kur ven ver lauf für den Bremsvorgang wird ana log zu dem des Anfahr vorgangs er zeugt. Da bei wer den häu fig für ver schie de ne Si cher heits-Stu fen Kur ven mit un ter schied li cher Stei gung rea li siert (z.B. für Halt, Schnell-Halt oder Not-Halt einer Anlage). Die Fahr kur ven funk tion für das An fah ren (Hoch lauf) lau tet: w (t) = B1 × t

2

| TVE 0

+

2 B1 ( t - T

VE

)T

TL VE | TVE

+ (2.25)

+

[ M1 - B1 ( T

HE

- t)

2

THE ] |TL

.

Das Differ en ti al der Fahr kur ve ent spricht bei spiels wei se bei Ge schwin digkeits-Re ge lun gen der Be schleu ni gung dv/dt ei nes An triebs, oder es wird bei Po si tio nier-Auf ga ben der Re ge lung als Ge schwin dig keit ds/dt zu ge führt. Die zugehörige Funktion lautet: d w (t) = 2 B1 × t | TVE 0 dt

+

2 B1 ( T

L

THE - t ) |TL

.

(2.26)

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

Bild 2.27

Verschiedene Fahrkurven und deren zeitliche Ableitung

35

36

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Setzt man die Ver schliffzeit T VE =0, ergibt sich die Rampen funk tion mit Be gren zung. Ihr zeit li cher Ver lauf ist in Bild 2.28 darge stellt und entspricht: w (t) =

Bild 2.28

2.2.3

w T

× t | 0THE

(2.27)

.

HE

Rampenfunktion und deren zeitliche Ableitung

Komplexe Rechnung

Die Be schrei bung zu sam menge setz ter phy si ka li scher Sy ste me durch Differ en ti al glei chun gen er weist sich all ge mein als sehr umständ lich. Eine Be trach tung im Fre quenz- und Bild bereich mit Hil fe der La pla ce-Trans for ma tion ist meist vor teil haf ter. We gen des en gen Zu sammen hangs zwi schen La pla ce-Trans forma tion und kom ple xer Rech nung sol len zu nächst ei ni ge komplexe Beziehungen kurz erklärt werden /2/, /3/. Eine komple xe Zahl Z und eine kon ju giert kom ple xe Zahl Z sind mit der ima gi nä ren Ein heit j = -1 de fi niert als Z = a + jb

und

Z = a - jb

.

(2.28)

Bei ei ner elek tro tech ni schen Deu tung der Glei chung (2.28) ent spricht der Real teil a dem ohmschen Wi der stand R. Der Term jb be steht aus der elek -

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

37

tri schen Schal tung der kom ple xen Wi der stän de X L und X C . Die se sind der In duk ti vi tät und der Ka pa zi tät zu ge ord net. XL = j w L

und

XC =

1 jw C

.

(2.29)

Die komple xe Zahl Z läßt sich in der Gau ß schen Zah len ebe ne als Vek tor (Zei ger) dar stel len, der durch gra phi sche Ad di tion von Real- und Ima gi när teil be schrie ben wer den kann (Bild 2.29). Die Spie ge lung von Z an der reel len Ach se ent spricht der kon ju giert kom ple xen Zahl Z . Der Vek tor Z wird auch durch sei nen Be trag (Län ge) und den Win kel zur reel len Ach se (Re) be schrie ben. Es gilt:

|Z| =

a

j = arctan

2

+ b

2

Im ( Z ) b = arctan a Re ( Z )

(2.30)

(2.31)

Die Dar stel lung von Z als tri go no me tri sche Funk tion ist be son ders in der Wech sel strom technik ver brei tet. Es ist dann: Z = | Z | × ( cos j + j × sin j ) , Mit der Eu ler schen Glei chung

Bild 2.29

Zur Definition der komplexen und konjugiert komplexen Zahl

38

2 Be rech nung von Re gel krei se n

e

± jj

= cos j ± j × sin j

(2.32)

ergibt sich schließ lich die Ex po nen ti al form ei ner kom ple xen Zahl. Z = | Z | ×e

jj

(2.33)

.

Auf ga be 2.5 Es liegt ein pas si ves Netz werk mit zwei un ab hän gi gen aber gleich gro ßen Energie spei chern C vor (Bild 2.30). Ge ge ben: U Ge sucht:

e

(t) = U

e

×s

0

( t ),

Die kom ple xe Form der Aus gangs span nung U

Bild 2.30

a

(j w ).

Elektrisches R-C-Netzwerk

Auf ga be 2.6 Es soll aus der komple xen Funk tion F der zu ge hö ri ge Pha sen win kel j er mit telt werden. Ge ge ben: F = Ge sucht:

2.2.4

1 + jw T 1 + j( w T

2

- w

1 3

T

3

3

, )

| F(jw)| , ohne die kon ju giert kom ple xe Er wei te rung zu be nut zen.

Carson-Laplace-Transformation

Die wich tigste In te gral trans for ma tion zur Al ge brais ie rung ge wöhn li cher li nearer Differ enti al glei chun gen ist die La pla ce-Trans for ma tion /8/, /9/. Sie eig net sich da her auch zur Lö sung re gel tech ni scher Auf ga ben. In die sem Buch wird je doch auf die im an glo-ame ri ka ni schen Sprach raum häu fig ver wen de te Car son-La pla ce-Trans for ma tion (Gleich di men sio nel le La pla ce-Trans for ma tion) zurück gegriffen. Die Un ter schie de zwi schen bei den Trans for ma tio nen wer den nach fol gend er läu tert. Es sind je weils nur die wich tig sten Vor aus set zun gen zur

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

39

An wend bar keit der Glei chun gen ge nannt. Für ein ver tief tes Ver ständ nis der La pla ce-Trans for ma tion sollte der Leser die einschlägige Literatur studieren (siehe Abschnitt 10.1). Eine Ori gi nal funk tion f(t), für die gilt f(t) = 0

für

t<0

und die sonst ungleich Null ist, wird mit Hil fe des La pla ce-In te grals ¥

L[ f ( t )] = F( s ) =

ò

(2.34)

f ( t ) × e -st × dt

0

in den Bild be reich transfor miert. Es liegt nun eine Bildfunk tion F(s) mit der kom ple xen Va ria blen s = s + jw vor. Für alle tech nisch rea li sier ba ren phy si ka li schen Sy ste me kon vergiert das In te gral be züg lich des ge wähl ten Wer tes von s. Da mit ist die Glei chung (2.34) eine For mel für die Trans for mation vom Zeit be reich in den Bild be reich und ord net je der Origi nal funk tion f(t) ein deu tig eine Bildfunktion F(s) zu. Die Rück transformation (auch in ver se La pla ce-Trans for ma tion ge nannt) zur Be stimmung der Ori gi nal funk tion er folgt mit dem Umkeh rin te gral. Die ses lautet für t > 0: s + j¥ 1 f(t) = F ( s ) × e st × ds . × 2p j ò s - j¥

(2.35)

Es zeigt sich aber, daß ein um p er wei ter tes La pla ce-In te gral ei ni ge Vor tei le bringt, ohne sei ne Exi stenz be rech ti gung zu ver lie ren. Im An schluß an die Ar bei ten von O. Hea vi si de ha ben J.R. Car son und vor al lem K.W. Wag ner /10/, /11/, /12/ fol gen des Laplace-Integral angegeben: ¥

L [ f ( t ) ] = F ( p ) = p × ò f ( t ) × e -pt × dt 0

.

(2.36)

40

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Die kom ple xe Va ria ble ist zur Un ter schei dung nun be nannt mit: p = s + jw . Für die Ori gi nal funk tion f(t) und die Kon vergenz des In te grals gel ten die glei chen, zu vor ge nann ten Be din gun gen. So mit ist die Glei chung (2.36) eine Trans for mations for mel für die Car sonLa pla ce-Trans for ma tion, die fol gen de Vor tei le aufweist: • Bild funk tion F(p) und Ori gi nal funk tion ha ben die glei che Di men sion • Eine La pla ce-Trans for mier te Kon stan te bleibt kon stant • Die La pla ce-Trans for mier te der Ein heits sprung funk tion s 0 ( t ) ist 1.

Ge wöhn li che li nea re Differ enti al glei chun gen wer den mit der Car son-La place-Trans for ma tion in rein al ge brai sche Glei chun gen über führt und las sen sich dann ele mentar lösen (Bild 2.31). Da bei spielt der von O. Hea vi si de und spe ziell von K.W. Wag ner ein deu tig be grün de te Ope ra to ren be griff eine große Rolle. Für li nea re Sy ste me, die sich im ein ge schwun genen Zu stand be fin den bzw. für die der energie lo se An fangs zu stand gilt, läßt sich die zu ge hö ri ge Differ en ti al glei chung mit Hil fe des Ope ra tors p di rekt in den Bildbe reich trans formie ren. Es ist dann formal zu setzen:

p =

d dt

(2.37)

In al len an de ren Fäl len gilt die all ge mei ne Form des Differ en tia tions sat zes als Trans for ma tions vor schrift (Ta bel le 2.1, Nr.1 Mitte). Die Funk tion F(p) ist zu nächst für be lie bi ge Wer te p = s + j w de fi niert. Bei rein ima gi nä rem p be fin det sich die zu ge hö ri ge Ori gi nal funk tion f(t) im ein ge schwun ge nen Zu stand mit si nus för mi gen Schwin gun gen der Kreis fre quenz w. Be kannt lich kann nach Fou rier je der nicht pe ri odi sche phy si ka li sche Vorgang als ein kon ti nu ier li ches Spek trum von Dau er schwin gun gen dargestellt werden.

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

41

Es ist da her oft an ge bracht, für kom ple xe Funk tio nen den Ope ra tor

p = jw

(2.38)

zu be nut zen. Zu mal in die sem Fall die Über tra gungs funk tion F(p) in den für die Re gel tech nik wich ti gen Fre quenz gang F ( j w ) übergeht. Die Rück transformation zur Be stim mung der Ori gi nal funk tion kann mit dem Umkeh rin te gral er fol gen. Es lau tet für t > 0:

f(t) =

s + j¥ F ( p ) ×e 1 × 2p j ò p s - j¥

pt

dp .

(2.39)

Das Umkeh rin te gral braucht je doch meist nicht be rech net zu wer den. Man be nutzt viel mehr Kor re spon denz ta bel len (Ta bel le 2.2), die mit den Re chen re geln der Car son-La pla ce-Trans for ma tion (Ta bel le 2.1) er stellt wur den. In die sen Ta bel len ist je der Bildfunk tion F(p) ein deu tig eine Originalfunktion f(t) zugeordnet. Kann die Bild funk tion nicht di rekt ta bel la risch in den Zeit be reich rück transformiert wer den, füh ren der Ent wick lungssatz von Hea vi si de, der Re si du en satz und die Parti al bruch zer le gung in der Regel zur Lösung.

Bild 2.31

Schema bei Verwendung der Carson-Laplace-Transformation

42

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Ent wick lungssatz von Hea vi si de Die ge bro che ne ra tio na le Funk tion F(p)=G(p)/H(p) er fül le fol gen de Be din gun gen 1* : • Der Grad des Po ly noms H(p) sei grö ßer oder gleich dem von G(p) • H(p) be sitzt nur ein fa che Null stel len p k mit k=1,2,3,...,n • p k =0 ist kei ne Null stel le von H(p) bzw. kei ne Pol stel le von F(p).

Die ge nann ten Be din gun gen sind für vie le tech nisch rea li sier ba re phy si ka li sche Syste me er füllt. Es ergibt sich mit H’(p)=dH(p)/dp fol gen de For mel zur Be rech nung der Originalfunktion:

G(0) + H(0)

f(t) =

n

å

k=1

[

G ( p ) × e pt ]p= p p × H' ( p )

(2.40) k

Bei spiel: Die Funktion

F( p) =

G( p) p2 + ap = H( p) p2 + w2

soll mit Glei chung (2.40) in den Zeit be reich rücktransformiert wer den. Es wird

G(0) = 0

und

H(0) = w

2

,

also

G(0) = 0 . H(0)

Wei ter folgt für H’(p)=2p. Mit den Null stel len des Nen ner po ly noms p

1,2

= ± jw

1* ————— Re gu lä re (oder ana ly ti sche) Funk tio nen sind in ei nem Ge biet C an je der Stel le von C differ en zier bar. Gan ze Funk tio nen sind re gu lär in der gan zen p-Ebe ne, mit Aus nah me un end lich vie ler p-Wer te. Funk tio nen, die über all re gu lär sind, bis auf end lich vie le Pole, hei ßen ra tio na le (oder me ro mor phe) Funk tio nen. Jede ra tio na le Funk tion ist als Quo tient zwei er gan zer Funk tio nen darstellbar.

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

43

er hält man H' ( p 1 ) = + j 2 w

und

H' ( p

) = - j2w ,

2

so wie G( p 1 ) = -w

2

+ ja w

und

G( p

2

) = -w

2

- ja w .

Mit Glei chung (2.40) ergibt sich nun die Ori gi nal funk tion zu: f(t) =

w - ja ×e 2w

jwt

+

w + ja ×e 2w

- jwt

.

Mit der Eu ler schen Glei chung (2.32) um ge formt er hält man schließ lich f ( t ) = cos w t +

a × sin w t . w

Wie man sieht, ent spricht die ses Bei spiel der Korre spon denz Nr. 21 aus der Ta bel le 2.2. Re si du en satz und Parti al bruch zer le gung Die Be rech nung der Ori gi nal funk tion f(t) ist auch mit Hil fe des Re si du en kal küls mög lich. Da bei wird F(p) ge ge be nen falls in end lich vie le Parti al brü che zer legt, de ren Zeit funk tio nen aus der Kor re spon denz ta bel le 2.2 be kannt sind oder mit dem Residuenkalkül bestimmt werden. Ist die ge bro che ne ra tio na le Funk tion F(p)=G(p)/H(p) der kom ple xen Ver än der li chen p = s + j w in ei nem ab ge schlos se nen Ge biet der Gau ß schen Zah len ebe ne mit der Rand kur ve C 0 in p ana ly tisch, mit Aus nah me endlich vie ler iso lier ter Pole pk, so ist das Li nie nin te gral ent lang C 0 gleich der Summe der Re si du en R k der Funk tion F ( p ) × e pt / p an der Stel le p =p k :

F ( p ) ×e 1 ×ò 2 p j Co p

pt

n

dp =

å

k =1

R

k

.

(2.41)

Die Pole p k (oder Null stel len p k des Nen ner po ly noms) tre ten stets reell und/oder kon ju giert kom plex auf.

44

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Für fol gen de Be din gun gen be züg lich der Funk tion F(p)=G(p)/H(p) er hält man die Re si du en und mit ih nen die ge such te Ori gi nal funk tion f(t): • Der Grad des Po ly noms H(p) sei grö ßer oder gleich dem von G(p) • G(p) und H(p) ha ben kei ne ge mein sa men Null stel len • H(p) be sitzt nur ein fa che Null stel len p k mit k=1,2,3,...,n.

R

k

=

lim [

p® pk

pt

F ( p ) ×e p

×( p - p

k

)] (2.42)

n

f(t) =

å

R

k

k=1

Tre ten mehr fa che Null stel len des Nen ners H(p) mit der Viel fach heit bzw. Po tenz m auf, können die Ko effi zien ten (Re si du en bei p=p k ) und dar aus die Ori gi nal funk tion mit ver schie de nen An sät zen zur Zer le gung von F(p)/p be stimmt wer den. Ein re la tiv all ge mein ver wend ba rer An satz soll hier ge zeigt wer den. Es gel ten nun für die Bildfunktion F(p)/p die Bedingungen: • Der Grad des Po ly noms H(p) sei grö ßer oder gleich dem von G(p) • G(p) und H(p) ha ben kei ne ge mein sa men Null stel len • p × H ( p ) be sitzt m-fa che Null stel len ( p - p k ) m mit k,m=1,2,3,...,n

so wie j=1,2,3,...,m als Lauf-Nr. der Parti al bruch-Ko effi zien ten R j .

R

j

=

d m-j F ( p ) 1 × lim ×( p - p [ ( m - j ) ! p® pk dp m-j p

k

)

m

] (2.43

m

f(t) =

å

j=1

R

j

( j - 1 )!

×t

j-1

×e

pkt

Es bleibt an zu mer ken, daß die Kor re spon denz ta bel len für die Car sonLa pla ce-Trans for ma tion bei Di vi sion der Bild funk tion durch p und Umbe nen nen der Va ria blen “p” in “s” de nen der La pla ce-Trans for ma tion entsprechen, also: F( p) p

<=>

F(s)

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

45

Bei spiel: F( p) = p

Für die Bild funk tion

p + 2 2

p

( p + 1)

2

soll die Ori gi nal funk tion f(t) mit Glei chung (2.43) er mit telt wer den. Die Null stel len des Nen ner po ly noms sind: p

1,2

= 0

und

p

= -1

3,4

Die Viel fachheit bei der Null stel len paa re ist so mit m=2. Fol gende Parti al bruch zer le gung der Funk tion F(p)/p ist hier anzusetzen: F( p)

=

p

A

1

+

p

A p

2 2

B1

+

B

+

p +1

2

( p +1)

2

.

Die Ko effi zien ten A 1 bis B 2 las sen sich nun mit der Glei chung (2.43) be stimmen: A

1

=

p + 2 1 d lim [ 1! p®0 dp ( p + 1 )

A

2

=

p + 2 1 lim [ 0 ! p®0 ( p + 1 )

B1 =

1 1!

B

1 0!

2

=

lim p®-1

2

2

] = -3 ,

] = +2 ,

d p + 2 [ ] = +3 , dp p2

lim [

p + 2

p®-1

p

2

] = +1 .

Da mit ergibt sich die Origi nal funk tion f(t) als Summe der gliedwei se rück transformierten Summan den der Parti al bruch zer le gung. f ( t ) = -3

+

2×t

+

3 ×e

-t

+

t ×e

-t

.

46 Ta bel le 2.1

2 Be rech nung von Re gel krei se n Wich ti ge Re chen re geln der Car son-La pla ce-Trans for ma tion

1* ———— Mit F(0) und sei nen Ab lei tun gen end lich, also mit vor han de nen An fangs wer ten. 2* ————— Mit F(0) und sei nen Ab lei tun gen gleich Null (d.h. energie lo ser An fangs zu stand des Sy stems vor dem Ein schal ten).

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

47

Ta bel le 2.1 (Fort set zung)

2.2.5

Übertragungsfunktion und Frequenzgang

Li nea re, zei tin va rian te phy si ka li sche Sy ste me sind durch eine ge wöhn li che li nea re Differ en ti al glei chung mit kon stan ten Ko effi zien ten aus rei chend be schrie ben. Der Quo tient aus La pla ce-Trans for mier ter Aus gangs- und Ein gangs grö ße sol cher Sy ste me stellt eine ge bro che ne ra tio na le Funk tion in p dar, die man Über tra gungs funk tion 1*

F( p) =

x x

(p) = ( e p)

a

b

0

+b

1

p + ... + b

m

a

0

+a

1

p + ... + a

n

p p

m n

(2.44)

nennt. Da mit ist die Über tra gungs funk tion eine wich ti ge Glei chung zur Be schrei bung re gel tech ni scher Fra ge stel lun gen. Nun ist es in der Re gel tech nik üb lich, die Über tra gungs ei gen schaf ten ei nes Re gel krei ses auf Füh rungs- und Störgrö ßen-Än de run gen ge trennt zu un ter su chen. Dazu die nen fol gen de Begriffbestimmungen.

1* ————— Für F(p) ei nes tech nisch rea li sier ba ren phy si ka li schen Sy stems gilt m £ n .

48

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Füh rungs verhal ten Aus dem in Bild 2.2 darge stell ten ein schlei fi gen Re gel kreis wur de die Glei chung (2.5) für eine un ge stör te Re ge lung im sta tio nä ren Zu stand ab ge lei tet. Er setzt man in die ser Glei chung die Ver stär kung K 0 = K R × K S durch das Pro dukt aus Reg ler- und Strec ken-Über tra gungs funk tion, er hält man äqui va lent dazu die Über tra gungs funk tion des offe nen Regelkreises F0 ( p ) = FR ( p ) × FS ( p ) , und dar aus die Füh rungs-Über tra gungs funk tion des ge schlos se nen Kreises

Fw ( p ) =

x (p ) F0 ( p ) = w( p) 1 + F0 ( p )

(2.45)

Sie be schreibt das Über tra gungs ver hal ten der Re gel grö ße x(p) bei Än de rung der Füh rungs grö ße w(p), also das Füh rungs ver hal ten. Stör verhal ten Eine Störgrö ße am Ende der Regelstrec ke (sie he Bild 2.4) hat im sta tio nä ren Zu stand den be reits mit der Glei chung (2.6) ge zeig ten Einfluß. Be trach tet man nun le dig lich den rech ten Term die ser Glei chung (also für w=0) und er setzt wie der K0 durch F 0(p), ergibt sich die sog. Stör-Über tra gungs funk tion

Fz ( p ) =

x (p ) 1 = z( p ) 1 + F0 ( p )

(2.46)

Der so be schrie be ne Ein fluß der Störgrö ße z(p) auf das Über tra gungs ver hal ten der Re gel grö ße x(p) wird Stör ver hal ten genannt. Fre quenz gang Die Be ur tei lung des dy na mi schen Ver hal tens von Re gel krei sen wird auch oft im Fre quenz be reich vorge nom men. An stel le der Zeit t be nutzt man die Fre quenz w als un ab hän gi ge Va ria ble. Der Fre quenz gang ist dem nach gleich dem Quo tienten aus Aus gangs- und Ein gangs grö ße mit der va ria blen Kreis fre quenz w bzw. gleich dem Quo tien ten bei si nus för mi gem Ein gangs si gnal ( x$ e × sin(wt) mit x$ e = konst.) be zo gen auf die ein ge schwun ge ne Aus gangs am pli tu de und Pha sen la ge, x$ a(w) × sin(wt + j (w)).

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

49

So mit ergibt sich:

F (j w) =

x a (j w) . x$ a(w) jj (w) = ×e x e (j w) x$ e

(2.47)

Die Par al le len zur Über tra gungs funk tion sind klar er kenn bar, denn für p=j w hat die Über tra gungs funk tion die Be deu tung des Fre quenz gangs. Da mit ist F ( j w ) ein Zei ger der Län ge (des Be tra ges) | F ( j w ) | , der in Ab hän gig keit von w die Gau ß sche Zah len ebe ne durch läuft. Die ent spre chen de punkt wei se Dar stel lung nennt man Orts kur ve des Fre quenz gangs (Bild 2.32). Die lo ga rith mi sche Dar stel lung von | F ( j w ) | über der Fre quenz wird als Am pli tu den gang be zeich net. Der je wei li ge Ab stand des Zei gers von der reel len Ach se ist durch den Phasenwinkel j gegeben.

j = arctan

Im [ F ( j w ) ] Re [ F ( j w ) ]

(2.48)

Die Dar stel lung von j über der lo ga rith misch auf ge tra ge nen Fre quenz w nennt man auch Pha sen gang.

Bild 2.32

Darstellung einer Ortskurve

50

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Auf ga be 2.7 Für die li nea re Differ enti al glei chung I. Ord nung dxa + x dt

T

a

= x e(t)

mit dem Störglied x e ( t ) = x die Sprung ant wort ge sucht.

e0

×s

0

( t ) ist die Über tra gungs funk tion so wie

Auf ga be 2.8 Ein Ma schi nen fun da ment, wie in Bild 2.33 darge stellt, führt auf ein ge dämpftes Fe der-Mas se-Sy stem. Es soll si nus för mig an ge regt werden. Der zeit li che Ver lauf des We ges x a (t) ist ge sucht für m×

Bild 2.33

d

2

x

dt

2

a

+ r×

dxa + c dt

f

×x

a

= x

Ù

e

( t ) = x e × sin w t .

Schema eines Rüttlers

Auf ga be 2.9 Ein Ope ra tions ver stär ker hat im Ein gang und der Ge gen kopp lung je ein R-C-Netz werk (Bild 2.34). Geg.: R 1 , R2 , C 1 , C 2 und U

e

(t) = U

e

×s

0

( t ) = 1V × s

0

( t ),

Ges.: Die Aus gangs span nung u a (t) für T 1=T 2 =1s und Kp=R 2 /R1 =10.

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

Bild 2.34

51

Operationsverstärkerschaltung als Bandpaß

Auf ga be 2.10 Ein elektri sches Netz werk (Bild 2.35) wird zur Zeit t=0 an Gleichspan nung ge legt. Zur Zeit t =t 1 wird die Span nung ab ge schal tet und das Netz werk über ei nen zwei ten Schal ter kurz ge schlos sen. Ge ge ben: R 1 , R 2 , L, U, Ge sucht: Ver lauf des Stro mes i(t) beim Ein- und Aus schal ten von U.

Bild 2.35

R-L-Reihenschaltun an Gleichspannung

Auf ga be 2.11 Es ist der Fre quenz gang be trag ei ner Ope ra tions ver stär ker-Schal tung zu be stim men (Bild 2.36). Ge ge ben: alle Be schal tungs-Ele men te Ge sucht: | F ( j w ) |

52

Bild 2.36

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Operationsverstärker-Schaltung mit zwei R-C-Netzwerken

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten Ta bel le 2.2 Kor re spon denz ta bel le der Car son-La pla ce-Trans for ma tion

mit m,n = 1,2,3, ... mit a,b,c,d > 0

53

54 Ta bel le 2.2 (Fort set zung)

2 Be rech nung von Re gel krei se n

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

55

Ta bel le 2.2 (Fort set zung)

Argu men te tri gon. Funk tio nen ohne Klam mer, z.B. sin wt =$ sin ( wt ) we p

2

1,2

= wo

2

- a

= -a ± w

2

w

2

= a

2

- wo

2

56 Ta bel le 2.2 (Fort set zung)

2 Be rech nung von Re gel krei se n

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

57

Ta bel le 2.2 (Fort set zung)

N

=

(p

2

+a

2

+b

2

)

2

- 4a

2

b

2

58 Ta bel le 2.2 (Fort set zung)

2 Be rech nung von Re gel krei se n

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten Ta bel le 2.2 (Fort set zung)

59

3

Re gel kreis glie der

Es wur de be reits in den vor an ge gan ge nen Ab schnit ten ge zeigt, daß es sinn voll ist, ein Re gel kreis-Mo dell in Form der bei den Haupt struk tu ren Reg ler und Strec ke zu verwenden. Ge lingt es, die ge samte Strec ke in ein zel ne rück wirkungsfreie und be kann te Struk tu ren (Re gel kreis glie der) zu zer le gen, ver ein facht sich die Be rech nung der Re ge lung bzw. des Reg lers er heb lich. Au ßer dem las sen sich Pa ra me ter än de run gen zur Ver bes se rung des Über tra gungs ver hal tens gezielt durchführen. Es gibt ei ni ge Grund struk tu ren von Re gel kreis glie dern, die aus tech nisch rea li sier ba ren Bau ele men ten bzw. Pro zes sen herge lei tet sind. Auch komple xe re Regel kreis glie der wer den mög lichst auf die se Grund struk tu ren zurück geführt, so weit da bei die vorge nom me ne Ver ein fa chung nicht zu grob aus fällt. Ent spre chen de Umfor mungs-Regeln sind im Ab schnitt 3.3 in den Tabellen 3.5, 3.6 aufgeführt. Zu je dem nach fol gend be spro che nen Re gel kreis glied wird der tech ni sche Be zug durch ei ni ge ty pi sche Bei spie le an schau lich herge stellt. Eine Zu sammen fas sung der wich tig sten Re gel kreis glie der mit der zu ge hö ri gen Mo dell-Be schrei bung (Differ en ti al glei chung, Bode-Dia gramm, Orts kur ve usw.) ist in der Ta bel le 3.1 ent hal ten. Die Grö ßen ord nung von Zeit kon stan ten ver schie de ner Regel strec ken der An triebs- und Ver fah rens tech nik kann mit Hil fe der Ta bel le 3.2 ab ge schätzt wer den. Au ßer dem be fin den sich am Ende die ses Ab schnitts in der Ta bel le 3.3 wei te re praktische Beispiele industrieller Regelstrecken und deren Modell-Beschreibung. Bei al len Her lei tun gen in die sem Ab schnitt wird als Ein gangs grö ße üb li cher wei se die Sprung funk tion (Gl. 2.23) ver wen det. Die zu ge hö ri ge Bild funk tion x e (p) wird der Ein fach heit hal ber nur x e ge nannt.

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

3 Regelkreisglieder

61

Ta bel le 3.1 Zu sammen fas sung der wich tig sten li nea ren Re gel kreis glie der

KR

( 1 + p TN ) ( 1 + p TV ) p TN

für TN >> TV

62 Ta bel le 3.1 (Fort set zung)

3 Re gel kreis glie der

3 Regelkreisglieder

63

Ta bel le 3.1 (Fort set zung)

k: 20lg K R bzw. 20lg K S oder all ge mein 20lgK p m1: -20dB/De ka de w

m2: +20dB/Deka de w

64

3.1

3 Regelkreisglieder

Li nea re Re gel kreis g lie d er

Er füllt ein phy si ka li sches Sy stem das Su per po si tions- und Ver stär kungs prin zip, ist es li ne ar (/24/ S.79...84, /26/ Bd.I, S.48...49). Wenn die Ein gangs grö ßen x 1 und x 2 die Ant wort funk tio nen f(x 1) und f(x 2 ) her vor ru fen, dann gilt das f(x1 + x2) = f(x1) +f( x2) f(K

3.1.1

p

x1) = K

p

×f ( x 1 )

Su per po si tions prin zip und Ver stär kungs prin zip.

P-Glied

Das dy na mi sche Ver hal ten bzw. die Sprung ant wort ei nes Pro por tio nal-Glie des ist be reits be kannt (verglei che mit Bild 2.1). Die Aus gangs grö ße x a ist le dig lich um die Pro por tio nal ver stär kung Kp grö ßer als die Ein gangs grö ße x e , so daß für die Sprungantwort

x

a

(t)= K

p

×x

(3.1)

e

gilt. Da mit lau tet die Über tra gungs funk tion

F( p) =

x

(p) = K x e a

(3.2) p

und der Fre quenz gang be trag lau tet dann ent spre chend Glei chung 2.30:

| F( jw )| = K

(3.3)

p

Das P-Glied wird im Blockschaltplan mit ei nem Sprung ant wort-Symbol oder sei ner Über tra gungs funk tion darge stellt (Bild 3.1). Die Dar stel lung des Fre quenz gang be tra ges er folgt meist in dB, es ist dann zu schreiben:

| F( jw )| = 20 lg K dB

p

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

65

Der Pha sen win kel des P-Glie des ist Null, denn es gilt ent spre chend der Glei chung (2.31)

j = arctan

Bild 3.1

Im F ( j w ) = 0 Re F ( j w )

(3.4)

Sprungantwort und Frequenzgangbetrag des P-Gliedes

Beispiele für P-Glieder: Druck-Span nungs-Wand ler Vie le me cha ni sche Meß füh ler, Meß ge rä te oder Ver stär ker be ru hen auf dem He bel arm-Prin zip (Waa gen, elek tro mech. Umfor mer, Flui diks usw.). Ar bei ten die se Sy ste me mit Druck, ist eine Reali sie rung mit dem Düse-Prall plat te-Sy stem mög lich. Bild 3.2 zeigt das Prin zip ei nes so auf ge bau ten Druck-Span nungs-Wand lers. Am lin ken Ende des Waa ge bal kens ist eine Prall plat te an ge bracht, auf die der Ein gangs druck p e wirkt. Das rech te Ende ist mit dem Ab griff (Schlei fer) ei nes Po ten tiome ters ver bunden. Eine Rückstellfeder hält das Sy stem bei p e = 0 in der Ru he la ge, die der Aus gangs span nung U a = 0 entspricht.

66

3 Re gel kreis glie der

Tritt nun eine Druck änderung auf, so wird über den Waa ge bal ken pro por tio nal dazu die Span nung U a am Poten tio meter ab griff ge än dert, so daß man für die Über tra gungs funk tion F( p) =

U

a

(p)

p

e

=

l2 l1

schrei ben kann. Der Druck-Span nungs-Wand ler muß so aus ge legt sein, daß für p emax × l 2 / l 1 ge ra de U amax =U s er reicht wird. Es ist aller dings eine leich te Ver fäl schung des P-Ver hal tens durch die Rück stellfeder ge ge ben (verglei che mit Abschnitt 3.1.7).

Bild 3.2

Druck-Spannungs-Wandler mit Hilfe eines Waagebalkens

Pneu ma ti scher Ver stär ker Ein pneu ma ti scher Ver stär ker mit an nä hernd P-Ver hal ten ergibt sich, wenn man den Vor druck p v über ein Düse-Prall plat te-Sy stem mit Hil fe ei ner Membran be ein flußt (Bild 3.3). Je grö ßer das Pro dukt aus Ein gangs grö ße pe und wirk sa mer Membran flä che A M ist, de sto klei ner wird die Luft säu le zwi schen Dü sen aus tritt und Prall plat te ( A R = D p h ) . Für kon stan ten Vor druck p v ergibt sich nä he rungs wei se P-Verhalten: F( p) =

p

a

p

(p) e

=

A M ×p = K A R ×p v

p

.

Ohne Prall plat te hat der Quer schnitt der Austritts dü se sein Maxi mum bei A max = d 2 p/4 er reicht, so daß A Rmax = A max ist für h = d/4. Da mit ist ein Stell be reich von h = hmin ... d/4 möglich. Die Wir kung der Mem bran als Fe der wur de in die sem Bei spiel vernachlässigt.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.3

67

Pneumatischer Verstärker mit annähernd P-Verhalten

Ope ra tions ver stär ker Be schal tet man ei nen Ope ra tions ver stär ker im Ein gang und in der Ge gen kopp lung mit Wi der stän den, ergibt sich in ner halb sei nes Span nungs-Stell be rei ches ein pro por tio na ler Zu sammenhang zwi schen Ein- und Aus gangs span nung (Bild 3.4). Ent spre chend der Gleichung 2.10 gilt dann F( p) =

Bild 3.4

3.1.2

U

a

U

(p)

= -

e

R R

2

= -K

p

.

1

Operationsverstärker als P-Glied beschaltet

I-Glied

Beim In te gral- oder I-Glied ist die Ausgangs grö ße das Inte gral der Ein gangsgrö ße über der Zeit (Bild 3.5).

x

a

(t)=

1 Ti

t

ò

0

x

e

dt

(3.5)

68

3 Re gel kreis glie der

Es han delt sich hier um ein Re gel kreis glied ohne Aus gleich, bei dem die Aus gangs grö ße kei nem Be har rungs zu stand zustrebt. Die Sprung ant wort des I-Glie des ist demnach eine Ge ra de, de ren Stei gung durch die Zeit kon stan te T i be stimmt ist. Bei t = T i ent spricht die Aus gangs grö ße ge nau der Eingangsgröße. Mit dem In te gral satz der Car son-La pla ce-Trans for ma tion (Tab. 2.1 Nr.2) er hält man aus Glei chung 3.5 die Über tra gungs funk tion des I-Gliedes.

F( p) =

x

(p)

a

x

=

e

1 pTi

(3.6)

Setzt man den La pla ce-Ope ra tor p = j w ein, ergibt sich der Fre quenz gang F( jw ) = j

-1 wTi

und schließ lich die Glei chung des Fre quenz gang be tra ges

| F( jw )| =

1 wTi

(3.7)

Der Fre quenz gang be trag fällt in lo ga rith mi scher Dar stel lung um 20dB/De ka de der Fre quenz w ab. Bei w = 1 / Ti er folgt der Null durch gang durch die Ab szis se. Der Phasen win kel ist kon stant und lautet:

j = arctan

-1 /( w T i ) = - 90 ° 0

(3.8)

Beispiele für I-Glieder: Spin delan trieb Die Po si tion ei nes Meß ti sches wird sich bei vorge ge be ner Mo tor-Dreh zahl (n=konst.) mit Hil fe ei ner Spindel li ne ar ver stel len. Es han delt sich also um ein I-Glied (Bild 3.7). Denn mit v= a ×n =

ds dt

t

bzw.

s= a ×ò nd t 0

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

69

Bild 3.5

Sprungantwort und Frequenzgangbetrag des I-Gliedes

Bild 3.6

Meßtischantrieb mit Hilfe einer Spindel

folgt F( p) =

s( p ) a = n p

.

Füll stand von Be häl tern Der Füll stand h ei nes Be häl ters steigt li ne ar an, wenn der Vo lu men strom (Durch fluß) Q in der Zu lei tung kon stant ist (Bild 3.7). Da bei wird ein kon stan ter Quer schnitt A ent lang der Füll hö he vor aus ge setzt /27/.

70

3 Re gel kreis glie der

Es gilt h =

1 A

t

ò Qd t

+ h(0 ) ,

0

die Über tra gungs funk tion lau tet für h(0)=0 F( p) =

Bild 3.7

h( p ) 1 = Q pA

.

Integrales Verhalten des Füllstandes eines Behälters

Hy drau lik-Zy linder Eine hy drau li sche Po si tio nie rung ist in vie len An la gen ge bräuch lich. Im ein fachsten Falle wird da bei ein Stell kol ben in ei nem Zy lin der mit Hil fe der Öl säu le be wegt (Bild 3.8). Der ge schlos se ne Öl kreis lauf er for dert das Ab füh ren des Öles in ei nen Tank. Die Po si tio nie rung in bei den Be we gungs rich tun gen des Kol bens er folgt mit ei nem Steu er kol ben. Wird der Steu er kol ben elek tro ma gne tisch be wegt, spricht man von einem Servoventil (siehe Abschnitt 3.1.8). Bei sprunghaft ein ge lei tetem Vo lu men strom Q e än dert sich dann re zi prok pro por tio nal zur Kol ben flä che A K der Kol ben hub s a über die Zeit, so daß ein in te gra les Verhalten vorliegt: F( p) =

s

(p) 1 = Q e p×A

a

. K

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.8

71

Positionierung mit einem Hydraulik-Zylinder

Ope ra tions ver stär ker Ein Ope ra tions ver stär ker läßt sich leicht als In te grie rer be schal ten, wenn in der Ge gen kopp lung ein Kon den sa tor und im Ein gang ein Wi der stand ein ge baut sind (Bild 3.9). Auf die se Wei se läßt sich ein I-Regler rea li sie ren bzw. eine Inte gral-Strec ke analogtechnisch simulieren. Nach Glei chung (2.10) gilt für U e =kon stant mit der In te gra tions zeit konstan ten T i = R ×C

F( p) =

U

a

U

(p) e

=

-1 pC R

=-

1 pTi

.

Die In te gra tion der Ein gangs span nung en det an der Stell gren ze des Ope ra tions ver stär kers (sie he Bild 2.13). Die mei sten Ver stär ker wer den mit U S = ± 15 V- ver sorgt, so daß es sinn voll ist, den Ein- und Aus gangs span nungs-Stell be reich auf ±10V festzulegen.

Bild 3.9

Operationsverstärker als Integrierer beschaltet

72

3.1.3

3 Re gel kreis glie der

D-Glied

Ein rein differ entiel les Ver hal ten liegt ei nem tech nisch rea li sier ba ren phy si ka li schen Sy stem nicht zu grun de. Als Reg ler ist das D-Glied aber in Ver bin dung mit dem P- oder PI-Glied sehr sinn voll. Die Differ en ti al glei chung lautet:

x

a

(t)= T

D

×

dxe dt

(3.9)

Demnach ist die Sprung ant wort des D-Glie des ein Sprung nach ¥ und zu rück auf Null an der Stel le t=0. Es ist also x a (t)=0 für t ¹ 0 . Man nennt die se Funk tion auch Ein heits stoß oder Dirac’sche Del ta funk tion d 0 ( t ). Sie hat bei der Ab ta stung von Zeit funk tio nen die Be deu tung ei ner Ge wichts funk tion (siehe Abschnitt 5.7). Eine sol che Sprung ant wort ist al ler dings nicht tech nisch rea li sier bar. Der rea le Sprung bei t=0 geht nur bis zu ei nem gerä te tech nisch be ding ten Grenz wert (Stell gren ze) und wird ent lang ei ner e-Funk tion ab klin gen (Bild 3.10). Man spricht dann vom DT 1 -Ver hal ten.

Bild 3.10

Sprungantwort und Frequenzgangbetrag des D-Gliedes

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

73

Durch di rek te La pla ce-Trans for ma tion mit dem Ope ra tor p er hält man aus der Glei chung 3.9 die Über tra gungs funk tion des D-Gliedes:

F( p) =

x

(p)

a

x

= pT

(3.10) D

e

Für den Fre quenz gang ergibt sich di rekt F ( j w ) = j w T trag lau tet:

| F( jw )| = w T

D,

so daß sein Be -

(3.11)

D

Er nimmt in lo ga rith mi scher Dar stel lung im Ge gen satz zum I-Glied um +20 dB/De ka de w zu und hat sei nen Null durch gang bei w = 1 / T D . Der Pha sen win kel ist kon stant und beträgt wT 0

j = arctan

3.1.4

(3.12)

= + 90 °

D

PI-Regler

Durch die Sum mation des P- und I-Glie des ergibt sich ein Re gel kreis glied mit PI-Ver hal ten, das aus schließ lich als Reg ler Ver wen dung fin det (Bild 3.16). Die ent spre chen de Glei chung lau tet mit der ge mein sa men Ver stär kung KR :

y( t )= K

R

[x

d

(t) +

1 TN

t

ò

x

d

(t) dt]

(3.13)

0

Die Sprung ant wort be steht so mit aus ei nem Sprung der Grö ße K R × x d , zu dem der I-Anteil ad diert wird. Beim rea len PI-Reg ler en det die In te gra tion an der Stell gren ze. Die ser Reg ler hat den Vor teil, daß jede Re gel diffe renz x d =w - x mit Hil fe des In te gral an teils be sei tigt (“we gin te griert”) wird. Die Übertragungsfunktion ist:

F( p)=

y( p ) =K xd

R

(1+

1 pT

)= K N

R

1+ p T N pT N

(3.14)

74

3 Re gel kreis glie der

Aus die ser Glei chung er hält man den Fre quenz gang F( jw ) = K

R

(1 + j

-1 ) , wT N

und schließ lich die Glei chung des Fre quenz gang be tra ges

| F( jw )| = K

1 +

R

(3.15)

1 w

2

T

N

2

Der Pha sen win kel des PI-Reg lers lau tet:

j = - arctan

1 wT

(3.16) N

Der Fre quenz gang be trag geht in lo ga rith mi scher Dar stel lung kon ti nu ier lich vom I-Anteil in den P-An teil über (Bild 3.11). Der Übergang ist durch die Eck frequenz w N = 1 / T N ge kenn zeich net, bei der sich der ex ak te Ver lauf von der asymp to ti schen Nä he rung nur um 3dB unterscheidet. Die In te gra tions zeit kon stan te des PI-Reg lers wird auch Nach stell zeit T N genannt. In den mei sten Fäl len läßt sich der Fre quenz gang be trag mit aus rei chen der Ge nau ig keit durch die Asympto ten des P- und I-An teils dar stel len. Dazu sind nur zwei Pa ra me ter not wen dig, die Ver stär kung K R und die Eck frequenz w N . Die Asymp to te des P-An teils ver läuft von w N be gin nend in Höhe des Wer tes 20lgK R . Die Asymp to te des I-An teil läuft mit ei ner Stei gung von -20dB/De ka de w in Höhe von 20lgK R auf die Eck frequenz w N zu. Der In te gral an teil kann al ler dings auch mit Hil fe der Fre quenz w 1 = K R × w N konstruiert werden. Bei der Kon struk tion des Pha sen win kels in asymp to ti scher Dar stel lung geht man wie folgt vor: Vom lin ken Ab szis sen rand bis zur Fre quenz w N / 10 ver läuft der Pha sen win kel in Höhe von -90°. Von der Fre quenz 10 × w N bis ¥ be trägt der Pha sen win kel 0°. Da zwi schen ver läuft er ge rad li nig und bei w N ge nau durch den Wert -45°.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.11

75

Sprungantwort und Bode-Diagramm des PI-Reglers

Beispiele für PI-Regler: Pneu ma tik Das pneu ma ti sche PI-Ver hal ten läßt sich durch das Düse-Prall plat te-Sy stem in Ver bin dung mit ei nem Waa ge bal ken und zwei Stell ven ti len für die ge trenn te Ein stel lung von T N und K R rea li sie ren (Bild 3.12). Die Re gel diffe renz x d ergibt sich beim pneu ma ti schen PI-Reg ler aus der Druck differenz p w - p x, die man durch ent ge gen ge setzt an ge ord ne te Fal ten bäl ge er zeugt. Bei ei ner sprung haf ten Re gel grö ßen än de rung wird über den Waa -

76

3 Re gel kreis glie der

ge bal ken die Düse zuge steu ert. Dies hat eine Druck erhöhung am Ver stär ker zur Fol ge, die sich als pro por tio na le Stell grö ßen än de rung D p y aus wirkt. Ihre Ampli tu de (Ver stär kung K R ) kann mit der Stell dros sel 1 ver stellt wer den. Mit der Dros sel 2 trägt ein Teil des Ver stär ker-Aus gangs druc kes zum wei te ren Ver schlie ßen der Düse bei und rea li siert so die Nach stell zeit TN . We gen des an ge schlos se nen Druck behälters 3 wirkt sich die ses Ver schlie ßen al ler dings nur ver zö gert aus (sie he Ab schnitt 3.1.7), so daß der zeit li che Ver lauf von p y das PI-Ver hal tens le dig lich nä he rungs wei se nach bil det (Bild 3.13). Der pneu ma ti sche PI-Reg ler ent hält also zu sätz lich ein Ver zö ge rungs glied I. Ordnung, den Druckbehälter 3. Die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems läßt sich aus der Gleichung p

y

+ T 1×

dp

y

dt

= K

R

(x

d

+

1 TN

t

ò

x

d

1 + pT N N (1 + p T

1

dt)

0

for mu lie ren und lau tet: F( p) =

Bild 3.12

p

y

x

(p) d

= K

R

×

pT

)

.

Schema eines PI-Reglers mit getrennter Einstellung von KR und TN

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.13

77

Sprungantworten eines pneumatischen PI-Reglers

Ope ra tions ver stär ker Ein Ope ra tions ver stär ker zeigt PI-Ver hal ten, wenn sei ne Ge gen kopp lung aus der Rei hen schal tung von Wi der stan d und Kon den sa tor be steht (Bild 3.14). Ab ge se hen von der ge rä te tech nisch be ding ten Stell gren ze des Ver stär kers (sie he Ab schnitt 2.1.3), er hält man mit Hil fe der Glei chung 2.10 fol gen de Über tra gungs funk tion

F( p) =

und mit K

R

=

R R

U

(p)

a

U

2

R

2

= -

e

und

T

N

=R

+

1 pC

R

1

2

C

2

2

= -

R R

2 1

×(1 +

1 pR

folgt

1

F( p) = - K

R

(1 +

1 ) . pT N

Wei terge hen de Schal tun gen wer den in Ab schnitt 4.1 be spro chen.

Bild 3.14

Operationsverstärker mit PI-Verhalten

2

C

) 2

78

3 Re gel kreis glie der

Mi kro rech ner tech nik Die Glei chung 3.13 des PI-Reg lers wird durch Di gi ta li sie ren des Inte gral-Anteils in ei nen PI-Al go rith mus über führt. Mit den Tast punk ten k und der Re chen schritt wei te T z folgt dann:

y(kT z ) = K R [x d (kT z ) +

Tz k ×å x T N i=0

d

( iT

z

)] .

Das In te gral ent spricht in die sem Al go rithmus der Summe aus in fi ni te si mal klei nen Recht ec ken. Wei te re Hin wei se über Reg ler-Al go rith men sind in den Ab schnit ten 5.5.5 und 7.1.3 zu finden.

3.1.5

PD-Regler

Das PD-Glied wird ausschließ lich als Reg ler ein ge setzt und ent spricht der Ad di tion aus ei nem P- und D-Glied. Sei ne Differ enti al glei chung lau tet mit der Ver stär kung K R und der sog. Vor halt zeit T V:

y( t )= K

R

[x

d

(t) + T

V

×

dx

d

dt

(t)

]

(3.17)

Die Sprung ant wort des idea len PD-Reg lers ist ein Sprung nach ¥ an der Stel le t=0, der an schlie ßend auf den Pro por tio nal an teil K R × x d zurück geht (Bild 3.15). Eine sol che Sprung stel le bei t=0 ist tech nisch nicht rea li sier bar. Es stellt sich viel mehr eine ge rä te tech nisch be ding te Stell gren ze ein, die nicht über schrit ten werden kann. Da nach fällt die Stell grö ße ent lang ei ner e-Funk tion bis zum Wert K R × x d ab, so daß beim rea len PD-Regler zu sätz lich eine Ver zö ge rungs glied I. Ord nung wirkt. Für die Über tra gungs funk tion des idea len PD-Reg lers er hält man aus der Glei chung 3.17 mit Hil fe des La pla ce-Ope ra tors p=d/dt sofort:

F( p) =

y( p ) = K xd

R

(1+ p T

V

)

(3.18)

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

79

Aus die ser Glei chung ergibt sich der Fre quenz gang F( jw ) = K

R

(1 + jw T

V

)

und schließ lich die Glei chung des Fre quenz gang be tra ges

| F( jw )| = K

R

1 + w

2

T

V

2

(3.19)

so wie die des Pha sen win kels

j = arctan w T

V

(3.20)

Der Fre quenz gang be trag geht im Bode-Dia gramm kon ti nu ier lich vom P- An teil in den D-An teil über. Der Übergang ist durch die Eck frequenz w V = 1 / T V mar kiert, bei der sich die Asympto te vom ex ak ten Ver lauf um 3dB un ter schei det (Bild 3.15). Die Kon struk tion der asympto ti schen Nä he rung, die in den mei sten Fäl len für eine re gel tech ni sche Be trach tung aus reicht, er for dert le dig lich die Pa ra me ter K R und w V. Da bei ver läuft der P-Anteil mit 20 lg K R bis hin zur Eck frequenz w V. Der D-Anteil kann wahl wei se mit Hil fe der Fre quenz w 2 = w V / K R oder der Stei gung die ser Asymp to te von +20dB/De ka de w kon stru iert werden. Die asymp to ti sche Dar stel lung des Pha sen win kels (Pha sen gangs) er for dert nur den Pa ra me ter w V, da in der Glei chung des Pha sen win kels die Ver stär kung K R fehlt. Der Pha sen win kel ver läuft bis zur Fre quenz w V/ 10 auf 0° und wächst dann bis zur Fre quenz 10 × w V li ne ar auf den Wert +90° an. Da nach ver läuft er un ver än dert auf +90°. Bei der Fre quenz w V stim men asymp to ti scher und ex ak ter Ver lauf des Phasen win kels genau überein.

80

Bild 3.15

3 Re gel kreis glie der

Sprungantwort und Bode-Diagramm des PD-Reglers

Beispiel für PD-Regler: Ope ra tions ver stär ker Ein Ope ra tions ver stär ker hat PD-Ver hal ten, wenn sein Ein gangs si gnal differ en ziert wird (Bild 3.16a). Dies läßt sich durch eine Paral lel schal tung aus Wi der stand und Kon den sa tor am Eingang realisieren.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.16

81

OP mit a) PD-Verhalten und b) PDT1-Verhalten

Bleibt die ge rä te tech nisch be ding te Stell gren ze des Ver stär kers un be rücks ich tigt, er hält man mit Glei chung 2.10 für die Schal tung a) fol gen de Über tra gungs funk tion:

F( p) =

und mit K

R

=

R R

U

(p)

a

U

2

= -

e

und

T

V

R

2

1 R 1× pC 1 1 R1+ pC 1

= R 1C

1

= -

R R

2

(1 + p R 1 C

1

)

1

folgt

1

F( p) = - K

R

(1 + p T

V

) .

Bei der Schal tung b) wird das PD-Ver hal ten durch ei nen Tief paß in der Ge gen kopp lung des Ver stär kers rea li siert. Zur Ver mei dung von Schwin gun gen bei Fre quen zen grö ßer als w V soll te der Tief paß mit dem Dämp fungs wi der stand R D < < R 2 , R 3 er wei tert wer den. Es ergibt sich ins ge samt ein PDT1-Ver hal ten mit der Über tra gungs funk tion

82

3 Re gel kreis glie der

U

F( p) =

mit K

3.1.6

R

=

R

a

(p)

U

+R R1

2

3

= -K

R

e

, T

V

=(

1 + pT V 1 + pT 1

R 2 ×R 3 +R R2+R3

D

,

)C

und T

1

1

=R

D

C

1

.

PID-Regler

Faßt man die drei grund le gen den Struk tu ren (P-, I- und D-Glied) zu sammen, ergibt sich der sehr uni ver sell einsetz ba re PID-Reg ler (Bild 3.17). Die entspre chen de Glei chung lau tet dann ein schließ lich der ge mein sa men Reglerver stär kung K R :

y ( t ) = KR [ x

d

(t)+

1 TN

t

ò

x

d

( t ) d t + TV

dx

d

(t)

dt

0

]

(3.21)

Die Sprung ant wort des idea len PID-Reglers be steht so mit aus ei nem Sprung der Grö ße K R × x d , zu dem der In te gral-Anteil ad diert wird. Hin zu kommt der differ en zie ren de Anteil bei t=0. Der Fre quenz gang be trag des idea len PID-Reg lers läßt sich aus der Glei chung 3.21 er mit teln.

F( p) =

y( p ) = K xd

R

(1+

1 pT

+ pT

V

)

N

(3.22)

bzw. F( p) =

y( p ) » K xd

für T

>> T

N

(1 + p T R

)(1 + p T pT N

N

V

)

V

Der rea le PID-Reg ler ent hält zu sätz lich ein Ver zö ge rungs glied I. Ord nung (PIDT1-Reg ler). Die Übergangs funk tion nä hert sich nach ei nem differ en tiel len Sprung an die Stell gren ze asymp to tisch dem I-An teil. Die In te gra tion en det an der Stell gren ze. Es wird: F( p) =

y( p ) pTV 1 = KR ( 1 + + ) xd pTN 1 + pT1

Man che Li te ra tur stel len set zen K I = K R / TN und K D = K R × TV .

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

83

Aus Glei chung 3.22 er hält man den Fre quenz gang des idea len PID-Reglers

F( jw ) = K

R

[1 + j ( w T

V

-

1 wT

)] N

und schließ lich die Glei chung des Fre quenz gang be tra ges

| F( jw )| = K

1 + (wT

R

V

-

1 ) wT N

2

(3.23)

Der Pha sen win kel des idea len PID-Reg lers lau tet:

j = arctan ( w T

V

-

1 wT

)

(3.24)

N

Der Fre quenz gang be trag geht im Bode-Dia gramm kon ti nu ier lich vom I- An teil in den Pro por tio nal- und schließ lich in den D-An teil über. Der Übergang ist durch die Eck frequenzen w N = 1 / T N und w V = 1 / T V mar kiert, bei de nen sich die je wei li ge Asympto te vom ex ak ten Ver lauf um den Wert 20 lg 2 » 3dB un ter schei det. Aus der Glei chung 3.23 läßt sich er se hen, daß bei der Fre quenz w * = 1 /

T

N

T

V

der asymp to ti sche mit dem exakten

Verlauf übereinstimmt. Die Kon struk tion der asymp to ti schen Nä he rung er for dert le dig lich die Pa ra meter K R , w N und w V. Da bei ver läuft der P-Anteil mit 20 lg K R von w N bis zur Eck frequenz w V. Der In te gral-An teil fällt mit -20dB/De ka de w ab und triff bei w N auf die Asymp to te des P-An teils. Der D-Anteil steigt von w V be gin nend mit +20dB/De ka de w an. In te gral- und D-An teil kön nen auch wahl wei se mit Hil fe der Fre quen zen w 1 = K R × w N und w 2 = w V / K R kon stru iert werden. Die asymp to ti sche Dar stel lung des Pha sen win kels er for dert nur die Pa ra me ter w N und w V, da in der Glei chung des Pha sen win kels die Ver stär kung K R fehlt. Der Pha sen win kel ver läuft bis zur Fre quenz w N / 10 auf -90° und steigt dann bis zur Fre quenz 10 × w V auf den Wert +90° an. Da nach ver läuft er un ver än dert auf +90°. Bei der Fre quenz w N be trägt der Pha sen win kel ex akt -45°, bei w * = 1 / T N T V be trägt er 0° und bei w V genau +45°.

84

Bild 3.17

3 Re gel kreis glie der

Sprungantwort und Bode-Diagramm des PID-Reglers

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

85

Beispiele für PID-Regler: Pneu ma tik Ein pneu ma ti scher PID-Reg ler ergibt sich nä he rungs wei se durch eine ver zö gert nach ge ben de Druck rückführung (Bild 3.18). Mit der Dros sel 1 kann die Ver stär kung KR ein ge stellt wer den. Ein sprung hafter Druckanstieg pxd führt zu ei nem Druck anstieg D p y , der über die Dros sel 2 und den Druck behälter 3 ver zö gert ge gen ge kop pelt wird. Dies ent spricht dem PDT1-Ver hal ten. Die Ge gen kopp lung wird gleich zei tig über die Dros sel 4 (I-An teil) wie der auf ge ho ben, je doch mit TN >TV, so daß sich ins ge samt das PIDT1-Verhalten ergibt.

Bild 3.18

Schema eines pneumatischen PID-Reglers

Ope ra tions ver stär ker Ein Ope ra tions ver stär ker hat PID-Ver hal ten, wenn sein Ein gangs si gnal differ en ziert und die Ge gen kopp lung mit ei ner Rei hen schal tung aus Wi der stand und Kon den sa tor be schal tet wird (Bild 3.19). Bleibt die ge rä te tech nisch be ding te Stell gren ze des Ver stär kers un be rücks ich tigt, er hält man mit Glei chung 2.10 für die Schal tung des idea len PID-Reg lers fol gen de Über tra gungs funk tion.

86

3 Re gel kreis glie der

Bild 3.19

Operationsverstärker mit idealem PID-Verhalten, und real (gestrichelt) mit PIDT1-Verhalten für T1=RT1C1

U (p) F(p) = a =Ue

Mit K

R

= R 2 / R1 ,

F( p) = - K

R

1 p C2 1 R1 × p C1 1 R1 + p C1

R2 +

T

(1 +

N

T T

=R V N

+

=-

2

C

R2 1 (1+ ) ( 1 + p R1C1 ) R1 p R 2C 2

2

1 pT

und

T

V

= R 1C

+ pT

V

) .

1

folgt

N

Die se Glei chung geht für die An nah me TN >>T V in die Glei chung (3.22) des idea len PID-Reg lers über. Industrielle Reg lerschal tun gen, ins be son de re die Be schal tung des Reg ler ein gangs für die Füh rungs- und Regelgröße, wer den in Ab schnitt 4.1.1 be spro chen. Mi kro rech ner tech nik In Glei chung 3.21 wer den der In te gral- und Differ en ti al an teil in Summen- und Differ enz bildung über führt. Mit dem Lauf in dex k, der Re chen schritt wei te bzw. Ab tast zeit T z und dem Ab tast zeit punkt k × Tz folgt dann für die Stellgröße: y (kTz ) = K R ×{ x d (kTz ) +

T Tz k × å x d ( iTz ) + V × [x d (kTz ) - x d (kTz - 1) ]} Tz TN i = 0

Wei te re Hin wei se zu die sem sog. Stel lungs al gor tih mus und an de ren Reg ler al go rith men fin den sich in den Ab schnit ten 5.5.5 und 7.2.3 so wie in /82/.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

3.1.7

87

PT1-Glied

Das PT 1 -Glied ist ein Ver zö ge rungs glied I. Ord nung. Es kommt prak tisch in je dem tech ni schen Pro zeß mehr fach vor. Sei ne Aus gangs grö ße folgt ei ner sprung haf ten Än de rung der Ein gangs grö ße ver zö gert und ist für t ® ¥ der Ein gangs grö ße pro por tio nal. Der ar ti ge phy si ka li sche Sy ste me ent hal ten ei nen un ab hän gi gen Energie spei cher und füh ren auf eine li nea re Differ en ti al glei chung I. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese lautet

x

a

(t) + T 1×

dx

(t)

a

dt

= K

p

×x

e

(3.25)

Mit Hil fe des La pla ce-Ope ra tors p=d/dt ergibt sich die Über tra gungs funk tion

x

F( p) =

a

(p)

x

= K

p

×

e

1 1 + pT

(3.26) 1

Teilt man Zäh ler und Nen ner der Glei chung 3.26 durch T 1 und setzt dann a=1/T 1 , lie fert die Kor re spon denz Nr. 6 Ta bel le 2.2 die Sprung ant wort die ses Re gel kreis glie des (Bild 3.20) f(t) =

x

a

(t)

x

e

= K

p

(1 - e

-t / T 1

) .

Die Aus gangs grö ße x a (t) folgt ei ner e-Funk tion mit der Zeit kon stan ten T1 der Ein gangs grö ße. Aus der Über tra gungs funk tion er hält man mit p=jw F( jw ) = K

p

×

1 - jw T 1 + w

2

T

1 1

2

und schließ lich die Glei chung des Fre quenz gang be tra ges | F( jw )| = K

p

×

1 1 + w

(3.27) 2

T

1

2

88

3 Re gel kreis glie der

Der Pha sen win kel des idea len PT 1-Glie des lau tet: j = - arctan w T

Bild 3.20

1

Sprungantwort und Bode-Diagramm des PT1-Gliedes

(3.28)

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

89

Der Fre quenz gang be trag geht im Bode-Dia gramm kon ti nu ier lich vom P- An teil in den Tief paß-An teil über. Der Übergang ist durch die Eck frequenz w E1 = 1 / T 1 mar kiert, bei der sich die Asympto te vom ex ak ten Ver lauf um 3dB unterscheidet. Die Kon struk tion der asymp to ti schen Nä he rung er for dert le dig lich die Pa ra meter K p und w E1 . Da bei ver läuft der P-Anteil mit 20 lg K p bis zur Eck frequenz w E1 . Da nach folgt der Tief paß-An teil mit ei ner Stei gung von -20dB/De ka de w . Zur asymp to ti schen Dar stel lung des Pha sen win kels be nö tigt man nur den Pa ra me ter w E1 . Der Pha sen gang ver läuft bis zur Fre quenz w E1 / 10 auf 0° und fällt dann bis zur Fre quenz 10 × w E1 li ne ar auf den Wert -90° ab. Da nach ver läuft er un ver än dert auf -90°. Bei der Fre quenz w E1 stim men asymp to ti scher und ex ak ter Ver lauf des Pha sen win kels genau überein.

Beispiele für PT1-Glieder: Druck behälter In Bild 3.21 ist ein Druck behälter mit dem Vo lu men V darge stellt. Über eine Rohr lei tung wird durch den Druck p 1 der Be häl ter druck p 2 auf recht er halten. Bei ei ner plötz li chen Druck änderung von p 1 ver läuft der Be häl ter druck ei ner e-Funk tion auf den ge än der ten Wert von p 1 . Setzt man la mi na re Strö mung vor aus, ergibt sich fol gen der Zu sam men hang zwi schen p 1 und p 2 . Der in den Druckbehälter ein tre ten de Mas sen strom ist der Druck differenz propor tio nal. Mit dem Strö mungs wi der stand K S folgt dann: dm = K dt

S

(p

1

- p

2

) .

Die Zu stands glei chung des idea len Ga ses nach der Zeit ab ge lei tet dm V dp2 = × dt R × Q dt und in die obi ge Glei chung ein ge setzt, führt auf eine li nea re Differ en ti al glei chung I. Ord nung mit kon stan ten Koeffizienten

90

3 Re gel kreis glie der

p

2

+

V R×Q×K

× S

dp2 = p dt

.

1

Die Über tra gungs funk tion lau tet schließ lich F( p) =

p

2

p

(p)

1 1 + pT

=

1

mit

T

1

1

=

V R×Q×K

. S

R: Gas kon stan te, Q: ab so lu te Tempe ra tur.

Bild 3.21

Druckbehälter (Druckspeicher)

Elek tri scher Durch lauf erhit zer Die von ei nem Heiz draht auf das durch strö men de Was ser ein wir ken de elek tri sche Lei stung PE er wärmt die Flüs sig keit. Die Tempe ra tur zu nah me D q = q a - q e zeigt PT1 -Ver hal ten, wenn fol gen de zu läs si ge Ver ein fa chun gen gelten (Bild 3.22): & sind kon stant. • Die Ein tritts tempe ra tur q e so wie der Mas sen strom m • Der Er hit zer ent hält stets die Was ser men ge mw. • Wär me ka pa zi tät von Be häl ter wand und Heiz draht sind ver nach läs sig bar. • Der Be häl ter ist ideal iso liert.

& c m

w

×Dq( t ) + m

w

c

w

×

d Dq( t ) = P dt

E

.

Die se Differ en ti al glei chung I. Ord nung mit kon stan ten Ko effi zien ten ergibt die Über tra gungs funk tion: F( p) =

mit

K

S

=

1 & cw m

D q (p ) = K PE und

T

1

S

=

×

1 1 + pT

mw & m

.

1

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.22

91

Schema eines Durchlauferhitzers

Meß tech nik Vie le ana log ar bei ten de elek tri sche und me cha ni sche Me ß in stru men te las sen sich bei gu ter Dämp fung (d > 1) des Meß wer kes als ge dämpf te Fe der dar stel len (Bild 3.23). Es liegt dann eine li nea re Differ en ti al glei chung I. Ord nung mit kon stan ten Ko effi zien ten vor d s( t ) . F e = c f ×s ( t ) + r × dt Die an re gende Kraft für ein Dreh spul in stru ment ist F e = B × I × l × N und für eine Druck meßdose F e = p × A . Die Über tra gungs funk tion mit der Zeit kon stan ten T 1=r/c f lautet dann: F( p) =

Bild 3.23

c

f

×s ( p ) 1 = Fe 1 + pT

. 1

Meßwerk als gedämpfte Feder dargestellt

92

3 Re gel kreis glie der

Elek tri sche An trie be Die An ker kreis-Glei chung ei ner GS-Ma schi ne im Mo tor be trieb bei Rechts lauf (sie he Bild 2.6) hat die Form UA = Uq + I A RA + LA

d IA dt

.

Bei ei ner sprung haf ten Än de rung der An ker span nung U A wird sich der An ker strom I A ent lang ei ner e-Funk tion dem neu en Wert nä hern. Da bei setzt man vor aus, daß die in du zier te Span nung U q = C 1 × F × n na he zu kon stant bleibt. Dies läßt sich bei kon stan ter Er re gung F und Re ge lung der Dreh zahl n leicht realisieren. Mit der An ker kreis zeit kon stan ten TA =L A /R A lau tet die Über tra gungs funk tion schließ lich F( p) =

RA × IA ( p ) 1 = UA - Uq 1 + pT

. A

All ge mei ne Elek tro tech nik In Bild 3.24 sind zwei elek tri sche Netz wer ke darge stellt, die PT 1 -Ver hal ten auf wei sen. Dies ist aus ih ren Über tra gungs funk tio nen so fort er sicht lich. Es gilt für das R-C-Netz werk mit T 1=RC

F( p) =

Bild 3.24

U

a

U

(p) e

=

1 pC 1 R + pC

=

1 1 + pT

, 1

R-C- und R-L-Netzwerk als PT1-Glied (Tiefpaß)

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

93

und für das R-L-Netzwerk gilt mit T 1 =L/R F( p) =

U

a

U

(p) e

=

R 1 = R + pL 1 + pT

. 1

Ope ra tions ver stär ker Die Ope ra tions ver stär ker-Schal tun g als PT 1-Glied (Tief paß) kann di rekt mit Glei chung 2.10 be rech net werden (Bild 3.25).

Bild 3.25

Zwei Operationsverstärker als PT1-Glied beschaltet

Es gilt: R

F( p) =

mit

K

S

=

R R

2 1

U

a

U

und

(p)

R

2

= -

e

T

1

=R

2

C

1 pC 1 + pC R1

2

2

×

.

2

2

= -K

S

×

1 1 + pT

1

94

3 Re gel kreis glie der

Mikrorechnertechnik Nach dem Differ en tia tions satz der La pla ce-Trans for ma tion ergibt sich für ein digitalisiertes PT 1 -Glied mit der An fangs be din gung y a (kTz) > 0, dem Laufin dex k, der Ab tast zeit T z und dem Ab tast zeit punkt k × Tz die fol gen de Re kur sionsglei chung: y a (kTz) = y a (kTz-1) ×e -Tz/T1 + K p × x e (kTz)(1 – ×e -Tz/T1) mit y a (kTz): x e (kTz) : Kp : T1 :

Aus gangs grö ße Ein gangs grö ße Pro por tio nal ver stär kung Zeit kon stan te des Ver zö ge rungs glie des

PT2- und PTn-Glied

3.1.8

Ver zö ge rungs glie der II. Ord nung ent hal ten zwei von ein an der un ab hän gi ge Energie spei cher. In der zu ge hö ren Differ en ti al glei chung kommt folg lich die I. und II. Ab lei tung der Aus gangs grö ße nach der Zeit vor.

x

a

(t)+ T

bzw.

x

a

mit

dx

(t)

a

1

+T

dt

d

2

x dt

a ( 2

t)

= K

×x

p

e

T1 2T 2

d=

( t )+ 2d T

2

2

dx 2

a

(3.29)

(t)

dt

+T

2

2

d

2

x dt

a ( 2

t)

= K

p

×x

e

Ge bräuch li cher ist die Glei chung bei Ver wen dung der Dämp fung d, mit der man fol gen de Über tra gungs funk tionen erhält:

F( p) = bzw.

x

a

x

x

a

x

= K

p

×

e

w

mit

F( p) =

(p)

o

(p) e

=

1 1 + 2d p T

2

+ p

2

T

2

1 T2

= K

2

(3.30)

p

×

p

2

w

o

+ 2d w

o

2

p + w

o

2

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.26

Sprungantwort und Bode-Diagramm des PT2-Gliedes

95

96

3 Re gel kreis glie der

Je nach Grö ße der Dämpfung d und der Re so nanz fre quenz w vier Fäl le be züg lich der Übergangs funk tion un ter schei den.

o

las sen sich

1. pe ri odi scher Fall, d = 0 oder T 1 = 0. Für d=0 wird in Kor re spon denz Nr.23 Ta bel le 2.2 auch a=0. Die Sprung ant wort ent spricht da mit ei ner un ge dämpften si nus för mi gen Dauerschwin gung. Die Ei gen kreis fre quenz ist w e = w o , so daß ins ge samt folgt: x

(t) = K

a

p

×x

e

× ( 1 - cos w

o

t) .

2. mehr fa ches Über schwin gen, d << 1 oder T 1 << T 2. Hier gilt w o > a und Kor re spon denz Nr.23 Ta bel le 2.2 lie fert so fort:

x

a

(t)= K

p

×x

e

×[1- e

- d × t/T 2

× ( cos w

e

t +

T

d 2 ×w

× sin w

e

t )]

e

Die se und wei te re Sprung ant wor ten sind in Bild 3.26 für Kp =1 darge stellt. Die Pa ra me ter T 2 und d las sen sich aus ei ner ex per imentell auf ge nomme nen Sprung ant wort zurück rechnen. Es gilt mit Te = 2 p / w e : ln (D h1 / D h2)

d =

und

4 p 2 + ( ln (D h1 / D h2)) 2

T2 =

Te × 1 - d 2 2p

3. ape ri odi scher Grenz fall, d=1 bzw. T 1 =2T 2 . In die sem Fall geht w

e

® 0 und man er hält mit Kor re spon denz Nr.23

x

p

× x e ×[1- e

a

(t)= K

- t/T 2

×(1 + w

o

t )] .

4. ape ri odi scher Fall, d > 1 bzw. T1 > 2T 2 . Hier gilt w x

o

a

< a und man er hält mit Kor re spon denz Nr.23 nun: (t) = K

Dar in be deu ten p

1,2

p

×x

e

×[1 +

p2 e 2w

p 1t

-

p1 e 2w

p2t

] .

= w o (- d ± d 2 - 1 ) und w = w o d 2 - 1 , so daß die

Sprung ant wort aus der Summe zwei er e-Funk tio nen be steht.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

97

Der Fre quenz gang des PT 2-Glie des ergibt sich aus Glei chung (3.30) zu F( jw ) = K

p

×

1 1 - w

2

T

2

2

+ j2d w T

. 2

So mit lau tet nach kur zer Rech nung der Fre quenz gang be trag:

| F( jw )| =

K ( 1- w

2

T

2

2

2

)

(3.31)

p

+ 4d

2

w

2

T

2

2

Für d=1 geht die Glei chung 3.31 in fol gen de Form über

| F( jw )| =

K (1+ w

2

p

T

2

2

)

K

=

2

1+ w

p 2

T

2

2

×

1 1+ w

2

T

2

2

.

Das PT2 -Glied läßt sich also für d=1 aus zwei in Rei he lie gen den PT1 -Glie dern auf bau en, da die Rei hen schal tung von Re gel kreis glie dern der Mul ti pli ka tion (z.B. ih rer Fre quenz gang be trä ge) ent spricht. Auf die se Wei se las sen sich auch Ver zö ge rungs glie der höherer Ordnung realisieren. Der Pha sen win kel des PT2 -Glie des lau tet:

j = - arctan

2d w T 1- w

2

T

(3.32)

2 2

2

Der Fre quenz gang be trag des PT 2-Glie des geht im Bode-Dia gramm kon ti nuier lich vom P- An teil in ei nen Tief paß-An teil über. Der Übergang ist durch die Re so nanz fre quenz w o = 1 / T 2 mar kiert. Bei ei ner Dämp fung von d=1 un ter schei det sich die Asymp to te vom ex ak ten Ver lauf bei w o um 6dB. Die Kon struk tion der asymp to ti schen Nä he rung er for dert nur die Pa ra me ter K p und w o . Da bei ver läuft der Pro por tio nal-Anteil mit 20 lg K p bis zur Re so nanz fre quenz w o . Dar an schließt sich ein Tiefpaß-An teil mit ei ner Stei gung von -40dB/De ka de w an.

98

3 Re gel kreis glie der

Zur asymp to ti schen Dar stel lung des Pha sen win kels be nö tigt man nur die Re so nanz fre quenz w o . Der Pha sen win kel ver läuft bis zur Fre quenz w o / 10 auf 0° und fällt dann bis zur Fre quenz 10 × w o li ne ar auf den Wert -180° ab. Da nach ver läuft er un ver än dert auf -180°. Bei der Fre quenz w o stimmen asymp to ti scher und ex ak ter Ver lauf des Phasenwinkels genau überein.

Beispiele für PT2- und PTn-Glieder: Me cha nik Das in Bild 3.27 ge zeich ne te Fe der-Mas se-Sy stem mit Dämp fung bzw. Reibung ent spricht ei nem PT2 -Glied, denn es ent hält die bei den Energie spei cher Fe der und Mas se. Mit ei ner äu ße ren Kraft F e an ge regt, er folgt eine Weg än de rung des Sy stems, die durch eine li nea re Differ en ti al glei chung II. Ord nung mit kon stan ten Koeffizienten beschreibbar ist

c

f

×s ( t )

Rück stellkraft

Bild 3.27

+

r×

d s( t ) dt

Reib kraft

+

m×

d

2

s( t )

dt

2

=

Be schleu ni gungs kraft

F

e

.

An re gen de Kraft

Feder-Masse-System mit Dämpfung

Das me cha ni sche Mo dell ei ner Schacht för der anla ge stellt bei spiels wei se ein Fe der-Mas se-Sy stem fünfter Ord nung dar /34/, /49/ (Bild 3.28). Es läßt sich je doch auf ein Sy stem II. Ord nung re du zie ren, wenn fol gen des be ach tet wird (verglei che mit Abschnitt 6.1.4): • Last un ab hän gi ge Re ge lung der Seil trom mel dreh zahl • Rut schen der För der sei le wird aus ge schlos sen.

Mit die sen rea li sier ba ren Be din gun gen sind die Schwin gungs sy ste me bei der För der kör be ent kop pelt und kön nen ge trennt betrachtet werden.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.28

Schema eines Schachtförderers und sein mechanisches Modell

99

100

3 Re gel kreis glie der

All ge mei ne Elek tro tech nik Der in Bild 3.29 ge zeig te Rei hen schwing kreis ent hält die bei den un ab hän gi gen Energie spei cher Spu le und Kon den sa tor und stellt da mit ein Ver zö ge rungs glied II. Ordnung dar. Setzt man die Kon den sa tor span nung U C in Be zie hung zur an re gen den äu ße ren Span nung, ergibt sich für den energie lo sen An fangs zu stand die Über tra gungs funk tion:

U

F( p) =

(p)

C

U

Bild 3.29

1 pC

=

e

1

=

1 R + pL + pC

1 + pRC + p

2

. LC

Elektrischer Reihenschwingkreis als PT2-Glied

An triebs tech nik Das An fahr ver hal ten ei nes Schei ben läu fer motors (per ma nent ma gne tisch er reg ter Gleich strommo tor) als Stell mo tor für ei nen Ko or di na ten-Meßtisch läßt sich wie folgt beschreiben /34/, /35/: Mit kon stan ter An ker span nung U A , kon stan tem ma gne ti schen Fluß F und M A >> M L er hält man die Glei chun gen U

A

= C 1 F n (p ) + I

M

M

(p) = C

A

(p)R

A

(1 + p T

A

)

und

Mit C

1

=2pC

2

2

FI

folgt dann

A

(p) » M

A

( p ) = 2 p J × p × n (p ) .

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

101

U A JR A = n ( p ) [1 + p × C 1F C 2 2F

2

(1 + p T

A

)] .

M A : Be schleu ni gungs mo ment, M L : Last mo ment, M M : Mo tor mo ment, J: Ge samt träg heits mo ment, C 1 , C 2 : Mo tor kon stan te. Mit den Zeit kon stan ten TA = L A / R A und TM = J × R A / ( C 2 2F 2 ) er hält man die Über tra gungs funk tion ei nes PT 2-Glie des

F( p) =

n( p ) = UA 1 + pT C 1F

1 M

+ p

2

. T

A

T

M

Ein wei te res Bei spiel der An triebs tech nik ist in Bild 3.30 darge stellt. Es han delt sich um ein ela stisch ge kop pel tes Zwei mas sen-Sy stem, bei dem ein Mo tor über eine tor sions ela sti sche Wel le mit der Ar beits wal ze ei nes Walz ge rü stes verbunden ist.

Bild 3.30

Elastisch gekoppeltes Zweimassen-System (Motor, Walze)

Be trach tet man die Aus wir kung ei nes Last sto ßes M L = k L × n L an der Ar beits wal ze auf das Mo ment M w an der Wel le, las sen sich folgen de Glei chun gen angeben:

102

3 Re gel kreis glie der

t

Mw ( t ) = 2 p k

w

× ò n w( t ) d t = k

L

× n L( t ) + 2 p J

0

L

d n L( t ) . dt

kL : Last stoß-Kon stan te in Nms, k w : Tor sions fe der konstan te der Wel le in Nm/rad, J L : Träg heits mo ment der Ar beits wal ze, J M : Träg heits moment des Mo tors. In fol ge der Dreh zahl re ge lung des An triebs hat der Last stoß kei nen Ein fluß auf die Mo tor dreh zahl n M = konstant = n w ( t ) + n L ( t ) . Die se Be din gung hat die Be deu tung von J M = ¥ und ver ein facht die Berechnung. Er setzt man nun n w (t) durch Mw (t), ergibt sich eine Differ enti al glei chung II. Ord nung mit kon stan ten Ko effi zien ten. Die ge such te Über tra gungs funk tion lau tet schließ lich für den energie lo sen Anfangs zu stand: k J

M w (p) F( p) = = k L ×n M

Man er hält für w

o

=

k

w

/J

p

2

L

k L k + ×p + 2pJ L J

> a=k

L

w

L

/( 4p J

L

. w L

) mit Kor re spon denz

Nr. 23 Ta bel le 2.2 die be kann te Übergangs funk tion ei ner ab klin gen den Schwin gung (sie he z.B. Bild 3.26). Hy drau lik In vie len An la gen ist die elek tro hy drau li sche Po si tio nie rung von gro ßer Be deu tung. Soll bei spiels wei se ein Stahl band auf eine be stimmte Dic ke ge walzt wer den, kann die Be ein flus sung der Band dic ke über ein Ser vo ven til paar mit Hy drau lik-Zy lin dern an den Walzenzapfen erreicht werden. Ein Ver än dern des Kol ben hubs (Bild 3.31a) in den Zy lin dern wird über den Vo lu menstrom (Durch fluß) Q be wirkt. Er be rech net sich aus dem Pumpen druck p u , dem Zylin der druck p z und der Ven til schie ber stel lung y zu: Q = C×y×

p

u

- p

z

mit

C : Systemkonstante

.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.31

103

Servoventil und Frequenzgang bei Klein- und Großsignalbetrieb

Die Mes sung des Fre quenz gang be tra ges (Bild 3.31b) zeigt, daß ein Ser vo ven til bei Klein- und Groß si gnal be trieb nä he rungs wei se ei nem PT 2-Glied ent spricht. An ge steu ert mit gro ßen Si gna len (z.B. 50% des Nenn wer tes) er hält man eine ge rin ge re Re so nanz fre quenz w o , so daß die Dy na mik des Ser vo ven tils merk lich ab nimmt /62 - 64/ (siehe auch Abschnitt 4.3.2). Die Pa ra me ter des Ser vo ven tils las sen sich (z.B. für Klein si gnal be trieb) mit Hil fe von Bild 3.31b be stim men. Man liest aus der Gra fik die Re so nanz fre quenz von w ok = 1 / T 2 ab; des wei te ren eine Ver stär kung von K p » 1,2 so wie bei j = - 90° eine Am pli tu de von A n » 10 dB =$ 3,162 . Die Glei chung 3.31 lie fert dann für w = w ok = 1 / T 2 eine For mel für die Dämp fung d des Servoventils. d =

K

p

2×A

mit n

A

n

= |F ( j w ) | ( w

ok

)

Im hier ge zeig ten Bei spiel er rech net sich die Dämp fung zu d » 0,19 .

104

3 Re gel kreis glie der

Ope ra tions ver stär ker Die Schal tung in Bild 3.32 ergibt ein PT 2-Glied /36/ mit

F( p) =

und

T

1

=

U

a

U

(p)

= -K

S

×

e

R1R 2 ×C R1+R 2

1

,

T

1 (1 + p T 1 )(1 + p T

2

=R

3

C

2

,

2

K

)

S

=

R3 R1+R

2

Eine Ope ra tions ver stär ker-Schal tung mit But ter worth-Ver hal ten III. Ord nung (PT 3 -Glied oder Tief paß III. Ord nung) ist in Bild 3.33 darge stellt. Wer den die drei Energie spei cher so wie die Wi der stän de gleich groß ge wählt, er hält man für den Fre quenz gang be trag eine Glei chung, die im Bode-Dia gramm schließ lich eine Stei gung von -60dB/De ka de w aufweist. | F (j w ) | =

|U |U

| = | e

a

1 1 + w

6

T

6

mit

T= RC .

Bild 3.32

Operationsverstärker als PT2-Glied beschaltet

Bild 3.33

Operationsverstärker als Tiefpaß-Filter III. Ordnung beschaltet

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

3.1.9

105

PTt-Glied

Das Tot zeit ver hal ten be schreibt Lauf zeit effek te von Si gna len bzw. Meß wert-Um wand lun gen. Es ent steht un ab hän gig von der Form des Ein gangs si gnals eine kon stan te Lauf zeit (Tot zeit) T t . Für Zei ten t
a

(t) = K

a

(t) = 0

p

×x e ( t- T

t

)

für

t³T

für

t
t

(3.33) x

t

Mit dem Ver schie bungs satz der La pla ce-Trans for ma tion er hält man die Über tra gungs funk tion des Tot zeit glie des (Ta bel le 2.1 Nr. 4)

F( p) =

x

a

x

(p)

= K

p

×e

(3.34)

-p T t

e

Der Fre quenz gang läßt sich mit der Eu ler schen Glei chung in ei nen Real- und Ima gi när teil auf spal ten F( jw ) = K

p

×e

- jwT t

= K

p

× ( cos w T

t

- j sin w T

t

) .

Mit dem Ad di tions theo rem cos 2 x + sin 2 x = 1 lau tet der Fre quenz gang be trag dann

| F( jw )| = K

p

(3.35)

Der Pha sen win kel in Grad ergibt sich zu:

j = -

w T t × 180° p

(3.36)

Im Bode-Dia gramm ver läuft der Fre quenz gang be trag auf dem kon stan ten Wert 20lgK p . Der Pha sen win kel des Tot zeit glie des nimmt mit der Frequenz sehr stark ab.

106

3 Re gel kreis glie der

Wie an Bei spie len im Ab schnitt 5.2 spä ter noch ge zeigt wird, hat die ses Ver hal ten fol gen de Kon se quenz. Re gel krei se mit Tot zeit, bei de nen Tt in der Grö ßen ord nung an de rer Regel strec ken-Zeit kon stan ten liegt, sind kaum regelbar.

Bild 3.34

Sprungantwort und Bode-Diagramm des PTt-Gliedes

Beispiele für PTt-Glieder: Stoff trans port und -mi schung Je der Ma ter ial trans port, der in eine Re ge lung ein be zo gen ist, ent hält ein Tot zeit ver hal ten. Dazu zwei ty pi sche Bei spie le. Bild 3.35 zeigt ein För der band, bei dem der Ma ter ial fluß mit ei nem Schie ber be ein flußt wer den soll. Die Stoff menge x e kommt erst nach der Totzeit

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

T

t

=

107

L v

am Be stimmungs ort an. Dar aus läßt sich schlie ßen, daß über all dort Tot zei ten auf tre ten, wo die Meß wert er fas sung der Re gel grö ße ört lich ge trennt ist von de ren phy si ka li scher Be ein flus sung, also auch bei Misch vorgän gen der Verfahrenstechnik.

Bild 3.35

Stofftransport mit einem Förderband

Dies wird be son ders deut lich bei der Re ge lung von Walz pro zes sen. Hier ist die Band dic ke der Stoff bahn (z.B. Alu mi ni um) im Walz spalt eine wich ti ge Re gel grö ße (Bild 3.36). Sie wird mit Hil fe der Walz kraft FW oder der Deh nung des Ban des beeinflußt /51/, /52/. Es ist je doch nicht mög lich, die Band dic ke di rekt im Walz spalt zu er fas sen. Er satz wei se wird die Mes sung der Dic kenabweichung Dh = h

e

- h

a

zur Re ge lung der Band dic ke be nutzt. Da bei ent steht eine Tot zeit, denn die Band dic ken-Meß ge rä te be fin den sich ca. 0,5m vom Walz spalt entfernt. Läßt man An fahr- und Brems vorgän ge des Walz vorgangs un be rücks ich tigt, ist die Tot zeit kon stant und lau tet für v 1 » v 2 = v :

T

t

=

L

1

+ L v

2

.

108

Bild 3.36

3 Re gel kreis glie der

Banddickenmessung an einem Walzgerüst

Meß tech nik Jede Si gnal wand lung und -über tra gung, sei es D/A-, A/D-, U/f- oder f/U-Wand lung, bringt eine Tot zeit mit sich. Es vergeht also vom Auf tre ten des Si gnals am Wand ler ein gang bis zur Über tra gung an den Aus gang eine fe ste, nicht zu um ge hen de Lauf zeit. Bei gu ten Wand lern liegt die Tot zeit im m s-Be reich. Sie kann aber auch ei ni ge zehn Millisekunden betragen. Liegt die Grö ßen ord nung der Tot zeit im Be reich an de rer Strekkenzeitkonstanten, ist sie in der Re ge lung zu be rücks ich ti gen und nicht ver nach läs sig bar (sie he auch Abschnitt 4.4). Elek tri sche An trie be Ein Stromrich ter ist das Stell ge rät zwi schen der Re gel ein rich tung und dem Mo tor. Er wird vom Haupt energie fluß durch setzt und stellt ei nen Stromver stär ker dar. Setzt man ei nen Gleich strom motor ein, ist die Be ein flus sung der An ker span nung U A bzw. des An ker stro mes wich tig. Dazu be dient man sich meist der voll ge steu er ten Dreh strom brüc kenschaltung (Bild 3.37). Die Netz span nung der Dreh strom sei te wird mit Hil fe der Zünd zeit punk te der Thy ri sto ren zur Bil dung der An ker span nung be nutzt (sie he auch Ab schnitt 2.1.3 Bild 2.17). An je dem Thyri stor kann nur ein mal pro Pe ri ode ein Zünd im puls wir ken. Eine Soll wert- bzw. Störgrö ßen än de rung macht sich also erst mit Be ginn der näch sten Pe ri ode be merkbar. Folg lich ist der Stromrichter ein Totzeitglied.

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

109

Die Tot zeit hängt von der Pe ri oden dau er T, der An zahl der Thy ri stor umschal tun gen (Kom mu tie run gen) pro Pe ri ode und der sta ti sti schen Ver tei lung der tat säch li chen Zünd zeit punk te ab. Die Kommu tie rungs zahl be trägt für die sen Stromrich ter p=6. Es ergibt sich etwa: T

t

»

T 2×p

.

Die Ver stär kung des Strom rich ters wird in Ab schnitt 4.3.1 be han delt.

Bild 3.37

Stromrichter als Totzeitglied

3.1.10 PTa-Glied Mit dem Kür zel PTa-Glied ist ein All paß I. Ord nung ge meint /17/, /21/. Die ses re gel tech nisch be son ders unan ge neh me Ver hal ten hat fol gen de Differ en ti al glei chung:

x a ( t ) + Ta ×

d xa ( t ) d xe = K p × ( x e - Ta × ) dt dt

(3.37)

110

3 Re gel kreis glie der

Dar aus er hält man die Über tra gungs funk tion

F( p) =

xa( p ) = K xe

p

1 - pT a 1 + pT a

×

(3.38)

Es läßt sich mit der Kor re spon denz Nr. 12 Ta bel le 2.2 di rekt die Sprung ant wort des All pas ses I. Ord nung an ge ben (Bild 3.38 für n=1)

x

a

(t) = K

p

×x

e

×( 1 - 2 e

t Ta

-

) .

Mit der Schnitt punktzeit T Sch läßt sich nä he rungs wei se an ge ben Ta » 1,5 × TSch Sie zeigt, daß die Aus gangs grö ße erst eine Re ak tion “in die fal sche Rich tung” er zeugt. Mit dem sonst fast uni ver sell ein setz ba ren PID-Reg ler sind All paßbe haf te te Regel strec ken nur un zu rei chend re gel bar. Ei nen besseren Reg lerAl gor ith mus ent hält das Pro gramm SIM LER-PC (siehe Abschnitt 7.2.3 ). Der Fre quenz gang lau tet mit dem La pla ce-Ope ra tor p = j w dann F( jw ) = K

p

×

1 - w

2

T

a

1 + w

2

- j2w T

2

T

a

2

a

,

und schließ lich der Fre quenz gang be trag:

| F( jw )| = K

(3.39)

p

Der Pha sen win kel ergibt sich zu:

j = - arctan

2w T 1 - w

2

(3.40)

a

T

a

2

Die asymp to ti sche Dar stel lung des Pha sen win kels ver läuft im Bode-Dia gramm kon ti nu ier lich von 0° bei der Fre quenz w a / 10 bis auf -180° bei der Fre quenz 10 w a . Sie beträgt bei w a = 1 / T a genau -90°. Der Fre quenz gang be trag ist mit dem des Tot zeit glie des iden tisch und ver läuft im Bode-Dia gramm in Höhe von 20lgK p (Bild 3.38).

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.38

Sprungantworten und Bode-Diagramm des PTa-Gliedes

111

112

3 Re gel kreis glie der

Die se Ähn lich keit läßt sich auch für die Si mu la tion ei nes Tot zeit glie des mit Hil fe ei nes All pas ses hö he rer Ord nung aus nut zen. Mit der sog. Pade `-Ap pro xi mation folgt dann Tt 2n n ×[ ] . T 1 + p t 2n 1 - p

F( p) = K

p

×e

-p T t

» K

p

(3.41 )

Sie be sagt, daß die Nachbil dung ei nes Laufzeit glie des sich mit stei gen der Ord nungs zahl n des All paß-Ver hal tens verbessert.

Beispiele für PTa-Glieder: Was ser kraft an la ge Eine Druck rohrleitung ver bin det eine Was ser tur bi ne mit dem hö herge le ge nen Spei cher bec ken. Auf die se Wei se kann die po ten tiel le Energie des im Spei cher an ge sammel ten Was sers mit Hil fe der Tur bi ne in me cha ni sche Ar beit umgewandelt werden (Bild 3.39). Die Leitsch auf el ver stel lung y vor dem Laufrad der Tur bi ne (hier durch ein Ven til ge kenn zeich net) dient zur Re gu lie rung der Lei stungs ab ga be. Das dy na mi sche Ver hal ten ei ner sol chen An la ge ist in /74/ näher beschrieben. Es stellt sich in fol ge der ki ne ti schen Energie des strö men den Was sers in der lan gen Rohr lei tung bei ei ner Ver klei ne rung des Ven til quer schnitts ein Druck stoß ein. Die ser führt zu nächst zu ei ner Lei stungs er hö hung, die dann all mählich in die ge wünsch te Leistungsminderung übergeht.

Bild 3.39

Vereinfachtes Schema einer Wasserkraftanlage

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

113

Dar aus ergibt sich die Über tra gungs funk tion ei nes All paß I. Ord nung

F( p) =

P T (p) 1 - pT a = T y( p ) 1 + p a 2

mit T

a

=

L ×Q g×A×h

, g: Erd beschl.

La ge re ge lung Des wei te ren tritt das All paß-Ver hal ten bei der La ge re ge lung von Schiffen und Flug zeu gen auf (sie he Ta bel le 3.3). Bei ei nem ho ri zon tal be weg ten Flug zeug wirkt sich bei spiels wei se eine Höhen ru der ver stel lung zu nächst als Sen ken des hin te ren Flug zeu gen des aus. Erst dann be wegt es sich in fol ge des ein set zen den Steigfluges nach oben. Ope ra tions ver stär ker Be schal tet man ei nen Ope ra tions ver stär ker wie in Bild 3.40 darge stellt, ergibt sich ein nich tin ver tie ren der All paß I. Ordnung. Zu nächst wer den die bei den Span nun gen U 1 und U 2 er mit telt. U

1

= (U

a

+ U

e

)×

R , R+R

U

2

= U

e

×

1 / ( p C) R + 1 / ( p C)

.

Ar bei tet der Ope ra tions ver stär ker in ner halb sei nes Stell be rei ches, wird U D =0 (sie he Bild 2.12), so daß U 1 =U 2 wird und sich schließ lich fol gen de Über tra gungs funk tion angeben läßt:

F( p) =

Bild 3.40

1 - pT a Ua( p) = U e 1 + pT a

mit

T

a

= RC .

Operationsverstärker als Allpaß I. Ordnung beschaltet

114

3 Re gel kreis glie der

Ein All paß II. Ord nung, der auch in Ab schnitt 5.5.5 zur Si mula tion ei nes Tot zeit glie des be nutzt wird, ist in Bild 3.41 darge stellt. Die Über tra gungs funk tion lau tet mit Ta = 2 R C :

Ua( p) F( p) = = U e

1 -2) + p 2 T a a 1 + 2pT a + p 2 T a 2

1 - pT

a

(

2

.

Wählt man a = 0,25 stimmt die Über tra gungs funk tion ge nau mit der Pade 'Ap pro xi mation für n=2 über ein (Glei chung 3.41).

Bild 3.41

Operationsverstärker als Allpaß II. Ordnung beschaltet

Wohl die wich tig sten Pa ra me ter ei ner Regel strec ke sind ihre Zeit kon stan ten. Ein ge teilt nach der zu re geln den Grö ße sind in der fol gen den Ta bel le Zeit kon stan ten an ge ge ben, de ren Ein fluß auf die Re ge lung je weils do mi niert (“Haupt-Zeit konstan te”).

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der

115

Ta bel le 3.2 Hin wei se zur Ab schät zung von Strec ken-Zeit kon stan ten

Re gel grö ße

Regel strec ke

Haupt zeit kon stan te

kl. Glüh ofen, gr. Kes sel gro ße Glüh öfen Raum-Zen tral hei zung Schwimmbad-Was ser

5 . . . 15 min 10 . . . 60 min 10 . . . 60 min 6...8h

Wohn raum Treib haus

1 . . .15 min 10 . . . 30 min

Gas rohr lei tung Druck behälter Fal ten balg Ma gnet ven til

50 . . .100 ms 1 . . . 60 s 1 . . . 10 ms 10 . . .100 ms

Dreh zahl

Klein mo to ren Gro ße Ma schi nen Tur bi nen (ca.1000/min)

10 . . . 100 ms 5 . . . 40 s 10 . . . 20 s

Po si tion

Meß ti sche Ro bo tik

1 . . . 30 ms 10 . . . 50 ms

Dampf kes sel Be häl ter (V>20dm3)

10 . . . 60 s 5 . . . 60 s

klei ne Ge ner ato ren gro ße Ge ner ato ren Stromrich ter

1...5s 5 . . . 10 s 1 . . . 100 ms

Tem pe ra tur

Feuch te Druck

Was ser stand, Füll stand Netz span nung

116

3 Re gel kreis glie der

Ta bel le 3.3 Bei spiele in du striel ler Regel strec ken in Kurz form

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der Ta bel le 3.3 (Fort set zung)

117

118 Ta bel le 3.3 (Fort set zung)

3 Re gel kreis glie der

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der Ta bel le 3.3 (Fort set zung)

119

120

3 Re gel kreis glie der

Auf ga be 3.1 Ein PID-Reg ler (Glei chung 3.22) liegt in Rei he mit ei nem Ver zö ge rungs glied I. Ord nung. Es sind die Über tra gungs funk tion und die Sprung ant wort die ser Rei hen schal tung gesucht. Auf ga be 3.2 Für die Rei hen schal tung aus ei nem PI-Reg ler mit ei ner PT1 -Strec ke sind die Über tra gungs funk tion und die Sprung ant wort zu ermitteln.

3.2

Nicht li nea re Re gel kreis g lie d er

Die bis her be han del ten Re gel kreis glie der zeig ten ein li nea res Ver hal ten zwi schen Aus gangs- und Ein gangs grö ße. Der Be griff der Li nea ri tät wur de be reits zu Be ginn des Ab schnitts 3.1 hin rei chend ge klärt. Schwie ri ger ist es, eine kla re Be griff be stimmung der Nicht li nea ri tät an zu geben. Bei nicht li nearen Re gelkreis glie dern kann man da von aus ge hen, daß die be treffen de Kenn li nie zu sätz lich von der Amplitude des Eingangssignals abhängt. Nicht li nea ri tä ten in ner halb ei ner Re ge lung kön nen auf tre ten als: • Rei bung, Mo men ten lo se, • Schalt ver hal ten oder Stell gren ze von Ver stär kern, • ge ziel te Be gren zung des Reg ler-Aus gangs, • als Ne ben effekt beim Ent wurf von Zwei- und Drei punkt-Reg lern, • Sät ti gungs er schei nun gen (z.B. Ma gne ti sie rung) und • durch nicht li nea re Schalt ele men te (Di oden, Thy ri storen).

Nicht li nea re Re gel kreis glie der wer den nach fol gend durch den Buch sta ben “N” in ner halb des Block schaltplanes ge kenn zeich net. Für die rech ne ri sche Betrach tung ist es sinn voll, die se in Kenn li nien ty pen ein zu tei len. Grund sätz lich las sen sich sechs ty pi sche Nicht li nea ri tä ten un ter schei den, die in der Tabelle 3.4 zusammengefaßt sind. 3.2.1

Linearisierung

Die Li nea ri sie rung ei ner nicht li nea ren Kenn li nie ge lingt, wenn die Än de rung des Ein gangs si gnals nur ge ring fü gig ist (Klein si gnal be trieb). Dann ge nügt es, wie be reits in Ab schnitt 2.1.3 be schrie ben, die Kenn li nie durch die Tan gen te im je wei li gen Ar beits punkt zu er set zen. Die se Me tho de schei tert je doch bei Kenn li nien mit Un ste tig keits stel len (Sprungstellen, Knickpunkten).

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der Ta bel le 3.4 Zu sam men fas sung der wich tig sten nicht lin. Re gel kreis glie der

121

122 Ta bel le 3.4 (Fort set zung)

3 Re gel kreis glie der

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der

123

Ver legt man die Re gel kreis be trach tung in den Fre quenz be reich, ist un ter fol gen den Be din gun gen den noch eine Li nea ri sie rung durch führ bar: • Die Re ge lung be fin det sich im ein ge schwun ge nen Zu stand; • Be schrän kung auf nur ein nicht li nea res Glied in der Re ge lung; • Die Be rech nung be zieht sich auf die idea le nicht li nea re Kenn li nie.

Bei si nus för mi gem Ein gangs si gnal füh ren die Ein- und Aus gangs grö ßen Dauer schwin gun gen aus. Das Aus gangs si gnal x a des nicht li nea ren Glie des ist dann pe ri odisch, aber nicht mehr har monisch (Bild 3.42). Es ent hält Ober schwin gun gen ver schie de ner Fre quen zen ( 2 w , 3 w K ), die sich mit der Fourier-Analyse angeben lassen. Je der Re gel kreis ent hält je doch dämp fen de PT1 -Glie der, so daß die Ober schwin gun gen ver nach läs sig bar sind. Man kann sich also auf die Betrach tung der Grund schwin gung x a1 be schrän ken und hat so eine prak tisch an wendba re Li nea ri sie rung vorgenommen.

Bild 3.42

3.2.2

Regelung mit Ansprechschwelle bei sinusförmiger Anregung

Beschreibungsfunktion

In An leh nung an den Fre quenz gang li nea rer Re gel kreis glie der de fi niert man eine Be schrei bungs funk tion für nicht li nea re Re gel kreis glie der. Die se Funk tion be rücks ich tigt die in Ab schnitt 3.2.1 be spro che ne Li nea ri sie rung und ist be son ders zur Sta bi li täts be trach tung von Re gel krei sen mit Hil fe des Zwei-Orts kur ven-Ver fah rens ge eig net (Ab schnitt 5.4). Die se, auch als har mo ni sche Ba lan ce be kann te Funk tion, ist nur noch von der Am pli tu de der Ein gangs grö ße ab hän gig. Reduziert auf die Grundschwingung der Ausgangsgröße definiert man

124

3 Re gel kreis glie der

Ù

N (x

e

x a1 ( w t ) x e(wt)

) =

(3.42)

In kom ple xer Schreib wei se lau ten Ein- und Aus gangs grö ße: x

a1

x

e

( w t ) = a 1 ×e Ù

(wt) = x

e

×e

j ( w t + p/ 2 )

+ b 1 ×e

jwt

,

jwt

Da mit ergibt sich eine Form der Be schrei bungs funk tion, die zur wei te ren Be rech nung der Nicht li nea ri tä ten ver wendet wird: Ù

N (x

e

) =

b

1

+ j×a Ù

x

1

(3.43)

e

Si gnal be gren zung (Sät ti gungs glied) Die sta ti sche Kenn li nie ei nes Re gel kreis glie des mit Si gnal be gren zung ist in Bild 3.43 darge stellt. Prak tisch be sitzt je des tech nisch rea li sier ba re Re gel kreis glied ein Ma xi mum der Aus gangs grö ße, das nicht über schrit ten wer den kann. So z.B. die Stell gren ze ei nes Ope ra tions ver stär kers (sie he Bild 2.13). Aber auch die gezielt ein ge setz te Si gnal be gren zung trifft man häu fig an (siehe Abschnitt 5.5.4 sowie Bild 7.22).

Bild 3.43

Ideale und reale Kennlinie der Signalbegrenzung (Sättigung)

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der

125

Die idea le Kenn li nie der Si gnal be gren zung ist eine un ge ra de Funk tion x a ( j ) = - x a ( - j ) , so daß für die bei den Fou rier-Ko effi zien ten gilt: a

1

b

1

= 0 p 2 = ×ò x p 0

a

( j )d j

Aus Bild 3.43 läßt sich für die idea li sier te Aus gangs grö ße ab le sen: Ù

x e × sin j

x

=

a

x

Ù

× sin j

s

=x

e

× sin j

Ù

x

e

j = [0 , j

für

für

j = [j

für

j = [j

1

1

]

1

, j

2

, p] .

2

]

(3.4 4 )

Setzt man die se Aus sa gen in die Glei chung für b 1 ein, ergibt sich:

b

1

=

Ù 2 ×( 2x e × p

j1

ò

sin

2

j dj + x s×

j2

ò sin

j dj )

j1

0

Dar aus folgt

b

1

=

2 Ù ×x p

Ç

e

×( j

1

+ sin j

1

× cos j

1

)

und für die Be schrei bungs funk tion: Ù

N (x

Mit j

1

e

) =

= arcsin

x Ù

x

Ù

N ( xe ) =

Ç x a1 ( j ) b 2 = Ù1 = ×( j x e(j ) p xe

s

bzw.

Ç

j

1

=

e

2 p [ arcsin p 180

x Ù

s

xe

+

1

+ sin j

x p arcsin Ù 180 x

x Ù

x

s e

× 1 -

s

× cos j

1

)

ergibt sich:

e

xs2 Ù

1

x e2

(3.45) ]

126

3 Re gel kreis glie der

Die Orts kur ve der vor lie gen den Be schrei bungs funk tion ver läuft nur auf der po si ti ven reel len Ach se (Bild 3.44). In Ab hän gig keit vom Quo tien ten x s / x$ e auf ge tra gen, er streckt sie sich von 0 ... 1.

Bild 3.44

Ortskurve der Beschreibungsfunktion einer Signalbegrenzung

An sprech schwel le (Tote Zone) Bei Me ß ein rich tun gen und als gezieltes Her ab set zen der Emp find lich keit um Null her um (z.B. bei ver rausch ter Dreh zah ler fas sung) fin det man die An sprech schwel le. Es ent steht prak tisch eine Si gnal pau se zwi schen Ein- und Aus gangs grö ße (Bild 3.45).

Bild 3.45

Ideale und reale Kennlinie der Ansprechschwelle (Tote Zone)

Die idea le Kenn li nie der An sprech schwel le ist eine un ge ra de Funk tion, so daß für die Fou rier-Ko effi zien ten der Glei chung 3.43 gilt: a

1

b

1

= 0 p 2 = ×ò x p 0

a

( j )d j

Aus Bild 3.45 kann man ab le sen, daß

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der

0

x

a

Ù

x

=

e

× sin j - x

t

0

127

für

j = [0 , j

für

j = [j

1

, j

für

j = [j

2

, p] .

1]

2

]

(3.46 )

Setzt man die se Aus sa gen in die Glei chung für b1 ein, ergibt sich: j

b

1

2 2 Ù × x e × ò ( sin j - x p j

=

t

) × sin j d j

1

Dar aus folgt mit x

b

Ù

t

= x e × sin j

Ù

1

2j p

= x e ×( 1 -

1

1

-

2 × sin j p

1

× cos j

1

)

und für die Be schrei bungs funk tion er hält man: Ù

N (x

e

)=

Ç x a1 ( j ) b 1 2 = Ù =1 ×( j x e(j ) p x e

1

+ sin j

1

× cos j

1

)

Mit j

1

= arcsin

x Ù

x

t

Ç

j

bzw.

1

=

e

x p arcsin Ù 180 x

t e

ergibt sich schließ lich: Ù

N (x

e

) = 1-

x 2 p [ arcsin Ù p 180 x

t e

+

x Ù

x

t e

× 1 -

x Ù

x

t e

2

]

( 3 . 47 )

2

Die in Bild 3.46 darge stell te Orts kur ve der Be schrei bungs funk tion ver läuft auf der po si ti ven reel len Ach se von 0 ... 1 bzw. in Ab hän gig keit vom Quotien ten x

Ù

t

/x

e

auf ge tra gen, von 1 ... 0.

128

3 Re gel kreis glie der

Bild 3.46

Ortskurve und Beschreibungsfunktion der Ansprechschwelle

Vor last (Off set span nung) Die sta ti sche Kenn li nie der Vor last ist in Bild 3.47 darge stellt. Man kennt dieses Ver hal ten bei spiels wei se als Aus gangs fehl span nung von Ope ra tions ver stär kern bzw. als stö ren den Gleich span nungs an teil bei der Si gnal über tra gung. Die Aus gangs grö ße x a un ter schei det sich nur durch die ad di ti ve Kon stan te x o von der Eingangsgröße.

Bild 3.47

Ideale Kennlinie der Vorlast (Offset)

Aus Bild 3.47 läßt sich für die Aus gangs grö ße ent neh men: x x

a

Ù

o

+ x

e

× sin j

für

x

e

>0

=

(3.48 ) -x

Ù

o

+ x

e

× sin j

für

x e <0 .

Auch hier wird der Fourier-Ko effi zient a 1=0. Für b 1 ergibt sich:

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der

p

b

1

1 × x p ò0

=

a

( j ) × sin j d j +

129

1 × p

2p

ò

x

a

( j ) × sin j d j .

p

Setzt man die Glei chung 3.48 in die In te gra le ein, er hält man nach kur zer Rech nung:

b

1

4×x p

=

o

Ù

+x

.

e

So mit lau tet die Be schrei bungs funk tion der Vor last: Ù

N (x

e

) =

4×x Ù

p ×x

o

+ 1

(3.49)

e

Die zu ge hö ri ge Orts kur ve (Bild 3.48) der Be schrei bungs funk tion ver läuft auf der po si ti ven reel len Ach se von 1 ... ¥ bzw. über dem Quotien ten x

Ù

o

/x

e

auf ge tra gen von 0 ... ¥ .

Bild 3.48

Ortskurve zur Beschreibungsfunktion der Vorlast

Hy ste re se Mehr deu ti ge Kenn li nien wer den als Hy ster ese kenn li nien be zeich net. Die Hy ste re se fin det man bei der Ma gne ti sie rung von Ei sen so wie als Schalt ver hal ten von Stell glie dern und nichtstetigen Reglern. Aus Bild 3.49 läßt sich ab le sen:

130

3 Re gel kreis glie der

Ù

x

× sin j - x

e

Ù

x x

a

- x

e

t

t

für

j = [- j

für

j =[p /2 , p-j

1

, p /2]

1]

(3.50)

=

Ù

x

× sin j + x

e Ù

-x

Bild 3.49

e

+ x

für

t

für

t

j =[p-j

1

, 3 p /2]

j = [3 p / 2 , 2 p - j

1

] .

Ideale Kennlinie der Hysterese

Die Fou rier-Ko effi zienten lau ten:

a

b

1

1

=

=

2 × p 2 × p

p-j1

ò

x

a

( j ) × cos j d j ,

a

( j ) × sin j d j .

-j1 p-j1

ò

x

-j1

Setzt man die Glei chung 3.50 je weils in die bei den In te gra le ein, folgt: Ù

a

1

x = - e × cos p

1

=

2

j

1

,

Ç xe p ×( + j p 2

1

+ sin j 1 × cos j

Ù

b

1

) .

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der

131

Da mit er hält man ent spre chend Glei chung 3.43 die Be schrei bungs funk tion der Hy ste re se. Ù

N (x Ç

j

Mit

1

=

e

) =

Ç 1 p ×( + j p 2

p × arcsin 180

(1 -

1

+ sin j 1 × cos j

2x Ù

x

t

)

1

) - j×

cos

2

1

2x

a = 1 -

und

j

p t

Ù

x

e

.

e

folgt schließlich: Ù

N (x

e

)=

1 1 p + ( arcsin 2 p 180

a + a 1- a

2

)- j×

1- a p

2

( 3 .51 )

Die Orts kur ve der Be schrei bungs funk tion ist komplex (Bild 3.50). Sie ver läuft vom Null punkt des Ko or di na ten sy stems durch den IV. Qua dran ten der Gau ß schen Zah len ebe ne bis zum Punkt [1;j0]. Über dem Quo tien ten x

Ù

t

/x

e

auf -

ge tra gen je doch in ent ge gen ge setz ter Richtung.

Bild 3.50

Ortskurve zur Beschreibungsfunktion der Hysterese

Zwei punkt verhal ten Das Zwei punkt ver hal ten ent spricht ei nem Schal ten zwi schen zwei fest ge leg ten Si gnal zu stän den (Bild 3.51). Man fin det ent spre chen de An wen dun gen bei Bi me tall schal tern, Ma gnet ven ti len, Schmitt-Trig gern in der Ana log und Di gi taltech nik, bei Re lais schal tun gen und auch als Zwei punkt-Reg ler (siehe Abschnitt 6.1.3). Aus Bild 3.51 läßt sich für die Aus gangs grö ße ohne Hy ste re se (durch ge zo ge ne Li nie) ent neh men:

132

3 Re gel kreis glie der

Bild 3.51

Ideale Kennlinie des Zweipunktverhaltens mit/ohne Hysterese x x

a

s

für

x

e

>0

s

für

x

e <0

=

( 3 .5 2 ) -x

Auch hier wird der Fourier-Ko effi zient a 1=0, da die sta ti sche Kenn li nie eine un ge ra de Funk tion dar stellt. Für b 1 folgt dann: p

b

1

=

2 × x p ò0

a

( j ) × sin j d j

Setzt man die Glei chung 3.52 in das In te gral ein, er hält man: b

1

=

4×x p

s

So mit lau tet die Be schrei bungs funk tion des Zwei punkt ver hal tens ohne Hy ste re se: Ù

N (x

e

) =

4×x Ù

p ×x

(3.53)

s e

Die zu ge hö ri ge Orts kur ve (Bild 3.52) der Be schrei bungs funk tion ver läuft auf der po si ti ven reel len Ach se von 0 ... ¥ für x

Ù

s

/x

e

= 0 ... ¥ . Mit Hy ste re se

ergibt sich eine kom ple xe Glei chung für die Be schrei bungs funk tion. Sie lautet:

Ù

N (x

e

) =

4×x Ù

p ×x

s e

× 1-

x Ù

x

2

t e

2

- j×

4×x p

s ×x t Ù × x e2

( 3 .5 4 )

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der

Bild 3.52

133

Ortskurve zur Beschreibungsfunktion des Zweipunktverhaltens

Drei punkt verhal ten Das Drei punkt-Ver hal ten fin det man häu fig als nicht ste ti gen Reg ler in An la gen der Ver fah rens tech nik. Ohne Hy ste re se er hält man erst bei Über schrei ten von x t ein Aus gangs si gnal (Bild 3.53). Da mit wird die un de fi nier te Nul la ge des vergleich ba ren Zweipunktverhaltens vermieden. Auch die sta ti sche Kenn li nie des Drei punkt-Ver hal tens ist eine un ge ra de Funktion, so daß nur der Fou rier-Ko effi zient b 1 zu be stim men ist. p

b

1

=

2 × x p ò0

a

( j ) × sin j d j

Aus Bild 3.53 ergibt sich für die Aus gangs grö ße (ohne Hy ste re se): 0 x

a

=

x 0

Bild 3.53

s

f ür

j = [0 , j

f ür

j = [j

f ür

j = [ p - j1 , p ]

1

1

]

, p-j

1

]

( 3 .5 5 )

Ideale Kennlinie des Dreipunktverhaltens ohne Hysterese

134

3 Re gel kreis glie der

Die Glei chung 3.55 in das In te gral von b 1 ein ge setzt führt zu b

und mit j

1

1

4 ×x p

=

s

× cos j x

= arcsin

Ù

x

b

1

4 ×x p

=

s

t

1

folgt schließ lich:

e

× 1-

2

x

t

Ù

2

x

e

Setzt man x s = k × x t ist eine an schau li che re Aus wer tung der Orts kur ve mög lich. Die Be schrei bungs funk tion lau tet somit: Ù

N (x

e

) =

4×k ×x Ù

p ×x

Für x

Ù

t

/x

e

=1/ Ù

N (x

e

e

t

× 1-

x Ù

x

t

2

e

(3.56)

2

2 hat die Glei chung 3.56 ein Ma xi mum der Grö ße:

) =

2×k p

Die zu ge hö ri ge Orts kur ve ohne Hy ste re se ist für k=2 in Bild 3.54a darge stellt. Sie ist eine Dop pel li nie auf der po si ti ven reel len Achse und er streckt sich vom Ko or di na ten-Null punkt bis zum je wei li gen Ma xi mum der Beschreibungsfunktion.

Bild 3.54

Zu den Beschreibungsfunktionen des Dreipunktverhaltens

3.3 Umformen Blockschaltpläne

135

Das Drei punkt ver hal ten mit Hy ste re se läßt sich durch die Über la ge rung zwei er Drei punkt ver hal ten ohne Hy ste re se zu sammen set zen. Man er hält mit x t * = m × x t fol gen de Beschreibungsfunktion. Ù

N (x

e

)=

2×k ×x Ù

p ×x

Dar in sind: q = 1 -

x Ù

x

t

( q + q* ) - j ×

e

und 2

e

t

2

×( 1- m )

Ù

p ×x

2 t

2×k ×x

q* = 1 -

m2 x Ù

x

( 3 .5 7 )

2 e

2 t

2 e

Die Orts kur ve mit Hy ste re se ist für k=2 und m=1/2 in Bild 3.54b darge stellt. Sie ist eine komple xe Funk tion und ver läuft im IV. Qua dran ten der Gau ß schen Zahlenebene.

Auf ga be 3.3 Ein nicht li nea res Re gel kreis glied soll den ge schwin dig keits ab hän gi gen Luftwi der stand be rücks ich ti gen. Die ser ver läuft im we sent li chen ent lang ei ner Pa ra bel. Es ist die Beschrei bungsfunk tion dieser Kennlinie zu ermitteln.

3.3

Um for men von Block schaltplänen

Be reits im Abschnitt 1.4 wur de ge zeigt, daß es für ein besse res Ver ständ nis re gel tech ni scher Zu sammen hän ge sinn voll ist, sich des Block schaltplanes zu be die nen. Da je dem Block der Kau sal zu sammenhang zwi schen Ein- und Aus gangs grö ße ei nes Re gel kreis glie des zu ge ord net ist, kön nen ge ziel te Umfor mun gen des Block schaltplanes zu ver ein fach ten Übertragungsfunktionen führen.

3.3.1

Regeln für lineare Regelkreisglieder

Sinn der Umfor mungen soll es also sein, ei nen Re gel kreis bzw. die Über tra gungs funk tion(en) über schau bar dar zu stel len. Da bei zeigt sich nicht sel ten, daß die Umfor mung des Blockschaltbildes leich ter fällt, als eine rein mathe ma ti sche Umfor mung der Übertragungsfunktion(en).

136

3 Re gel kreis glie der

Die wich tig sten Umformre geln sind in der Ta bel le 3.5 zu sammen ge stellt. Be mer kens wert sind die Umfor mungen Nr. 13 - 15. Mit der zu ge hö ri gen Rand be din gung kön nen sie zu er heb lich ver ein fach ten Über tra gungs funk tio nen bzw. Block schaltbildern bei tra gen (siehe Abschnitt 6.1.4 - 6.1.6). Die drei fol gen den Auf ga ben die nen dem Grund ver ständ nis des Umfor mens von Block schaltbildern (sie he auch Ab schnitt 5.1 Bild 5.2).

Auf ga be 3.4 Die Über tra gungs funk tion ei nes PT 1-Glie des ist für K p =2 an hand der Um for mungs re gel Nr. 11 als Block schaltbild dar zu stel len. Auf ga be 3.5 Wel ches Re gel kreis glied ent steht, wenn man ein I-Glied mit der Ge gen kopp lung 1 er wei tert? Auf ga be 3.6 Der An ker kreis ei nes fremd er reg ten Gleich strommo tors im Leer lauf be steht für F=kon stant aus der Rei hen schal tung ei nes PT 1- mit ei nem I-Glied, ein schließ lich ei ner Ge gen kopp lung 1. Für die se ver ein fach te An ord nung ist ein Ersatz block schaltplan zu berechnen.

3.3.2

Regeln für nichtlineare Regelkreisglieder

Die in Ta bel le 3.5 an ge ge be nen Umfor mungs re geln las sen sich auf nicht li nea re Re gel kreis glie der nur be dingt an wen den. Ist eine Li nea ri sie rung, wie in den Ab schnit ten 2.1.3 und 3.2.1 be schrie ben, nicht mög lich, sind die Umformre geln der Tabelle 3.6 zu beachten. So be sagt bei spiels wei se die Re gel Nr. 3, daß die Ver tausch bar keit der Rei hen fol ge ei nes li nea ren mit ei nem nicht li nea ren Glied aus ge schlos sen ist.

3.3 Umformen Blockschaltpläne Ta bel le 3.5 Umformre geln für li nea re Re gel kreis glie der

137

138 Ta bel le 3.5 (Fort set zung)

3 Re gel kreis glie der

3.3 Umformen Blockschaltpläne Ta bel le 3.5 (Fort set zung)

139

140

3 Re gel kreis glie der

Ta bel le 3.6 Umformre geln für nicht li neare Re gel kreis glie der

4

Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

In den vor an ge gan ge nen Ab schnit ten wur den die grund le gen den Struk tu ren zur Be hand lung von Re gel krei sen darge legt, die zum Ver ständ nis der Re gel tech nik un umgäng lich sind. Die ser Ab schnitt zeigt nun Wege auf, mit de nen Re gel tech nik aus der Er fah rung und An schau ung ein fach und doch effi zient be trie ben wer den kann. Aus gangs punkt ist je weils eine li nea re oder li nea ri sier te Strec ke, für die der “pas sen de” Reg ler zu ent wer fen ist. Dazu sind in der Li te ra tur vie le in der Pra xis er prob te Me tho den und Ver fah ren an ge ge ben /21/, /41/, /42/, /44/. Sie ge hen meist von der Beurteilung der sich je weils ein stel len den Sprungantwort aus.

4.1

Reg ler

Die fol gen den Be trach tun gen be zie hen sich auf den in Bild 4.1 ge zeich ne ten ein schlei fi gen Re gel kreis. Er soll auf Füh rungs- und Stör ver hal ten un ter sucht wer den. Die Reg ler-Ein stel lung er folgt hier an den klas si schen ste ti gen 1* Reg lern mit P-, PD-, PI- und PID-Ver hal ten. Wei te re ste ti ge Regler wer den anhand ver schie de ner Be ur tei lungs-Kri te rien in den Ab schnit ten 5.5 und 7.1.3 be han delt. Die Un ter suchung nicht ste ti ger Reg ler bzw. nicht li nearer Regelungen wird mit dem Zwei-Orts kur ven-Ver fah rens an Beispielen in den Abschnitten 5.4 und 6.1.3 vorgenommen. Dis kre te Reg ler-Al go rith men werden in Ab schnitt 7.2.3 und 8 be han delt.

1* ————— In ner halb sei nes Stell be reichs ±x s kann die Stell grö ße y ste ti ger Reg ler je den Wert an neh men bzw. sich auf die sen kon ti nu ier lich ein stel len. Die Stell grö ße nicht ste ti ger Reg ler nimmt da ge gen nur zwei (Zwei punkt reg ler) oder drei (Drei punkt reg ler) fe ste Wer te an.

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

142

Bild 4.1

4.1.1

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Blockschaltplan eines einschleifigen Regelkreises

Aufbau und Wirkungsweise

Be son ders in der An triebs- und Ver fah rens tech nik ver wen det man meist den PI- bzw. PID-Reg ler. Wenn die Regel strec ke haupt säch lich eine gro ße und mehre re klei ne Zeit kon stan ten ent hält, be gnügt man sich mit dem PI-Regler. Eine ana log tech ni sche Rea li sie rung des PI-Reg lers ist in Bild 4.2 darge stellt (verglei che mit Ab schnitt 3.1.4 Bild 3.14). Die Ope ra tions ver stär ker-Schal tung des PI-Ver hal tens muß je doch bei in dustriel ler An wen dung in der Ge gen kopp lung mit ei nem Paar aus an ti par al lel ge schal te ten Zener-Dioden begrenzt werden.

Bild 4.2

Einfache Operationsverstärker-Schaltung eines PI-Reglers

Mit die ser Maß nah me ver mei det man das Anfah ren der Stell gren ze des Ver stär kers, an der sich Sät ti gungs er schei nun gen (Tot zeit-Effek te, Si gnal sprün ge) ein stel len, die das PI-Ver hal ten ver fäl schen. Gleich zei tig wird da mit die Stell grö ße auf ± y max = ± U z = ± 10 V normiert.

4.1 Reg ler

143

Eine Fest le gung, die für alle phy si ka li schen Grö ßen in ner halb ei ner ana lo gen Re ge lung gilt (sie he auch Ab schnitt 2.1.3 Bild 2.13). In re gel tech ni schen Un ter su chun gen ist dar auf zu ach ten, daß die Reg ler ver stär kung bei gro ßen Si gnal än de run gen (Groß si gnal be trieb) auf die ge wähl te Ze ner span nung be grenzt wird. Es gilt dann:

K

R

= [

R R

2 1

; xs]

mit

x

s

=

Uz / V 10 V

(4.1)

Eine Reg ler schal tung mit va ria bler Be gren zung ist in Bild 4.3 ab ge bil det. Mit Hil fe von zwei Po ten tio metern und Di oden kann die Stell grö ße y in po si ti ver und ne ga ti ver Rich tung ver schie den be grenzt wer den. Al ler dings ist ein nach ge schal te ter Span nungs fol ger zur Ent kopp lung des Be gren zers von nachfolgenden Schaltungen erforderlich.

Bild 4.3

PI-Regler mit variabler Begrenzung und Reglersperre

Bei An la gen still stand muß die Ge gen kopp lung von Reg lern mit I-An teil über ein Re lais kurz ge schlos sen wer den (Reg ler sper re). Da mit er reicht man, daß der Wi der stand der Ge gen kopp lung Null ge setzt wird, so daß auch die Stell grö ße den Wert y=0 an nimmt. Auf die se Wei se wird ein “We gin te grie ren” der Stell grö ße in fol ge der un ver meid ba ren Verstärkerdrift verhindert.

144

Bild 4.4

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Analoge Regelung mit PID-Regler und drei PT1-Gliedern

4.1 Reg ler

145

Die Wir kung ver schie de ner Reg ler auf das Füh rungs- und Stör ver hal ten soll mit ei ner ana log en Si mu la tion ver an schau licht wer den. Die ge wähl te Schal tung be steht aus drei in Rei he lie gen den PT 1-Glie dern und ei nem PID-Reg ler (Bild 4.4). Reg ler mit P-, PD- oder PI-Ver hal ten erge ben sich, wenn die Kon den sa to ren C 1 und/oder C 2 weg ge las sen wer den. Der In ver ter ist not wen dig, da mit die Re gel grö ße die rich ti ge Po la ri tät aufweist (x d = +w - x ). Soll wert und Störgrö ße wer den über Schal ter vorge ge ben, so daß sich die re gel tech ni sche Be trach tung auf die je wei li ge Sprung ant wort be zieht. Bei den an ge ge be nen Zeit kon stan ten und Ver stär kun gen sind die Bau teil-To ler an zen von 10% - 20% zu be rücks ich ti gen. Die zu ge hö ri gen Os zil lo gram me sind in Bild 4.5 ab ge bil det.

Bild 4.5

Oszillogramme der Führungs- und Störsprungantworten

146

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Be trach tet man zu nächst die Sprung ant wor ten des P- und PD-Reg lers bei ei nem Führungs- bzw. Störgrö ßen sprung von 10V, fällt so fort die je weils blei ben de Re gel diffe renz x d ( ¥ ) = 5 V auf. We gen des feh len den In te gral-An teils im Reg ler ist der sta tio nä re Endwert der Re gel diffe renz nur von der Re gel kreis ver stär kung K 0 = K R × K S ab hän gig, die hier le dig lich eins be trägt (Gleichung 2.5). Wird die Regler ver stär kung bei spiels wei se auf K R =100 vergrö ßert, nimmt die blei ben de Re gel diffe renz zwar ab, die Schwin gungs nei gung der Re ge lung nimmt dann je doch stark zu. Setzt man da ge gen den PI- oder PID-Reg ler für die ge ge be ne Strec ke ein, stellt sich die Re gel grö ße nach ei nem Einschwing vorgang auf den Soll wert ein, so daß x d ( ¥ ) = 0 wird. Es ist da bei zu be ob ach ten, daß die Über schwing wei te des PID-Reg lers ge rin ger aus fällt und da mit der Ein schwing vorgang in kür ze rer Zeit ab läuft. Mit SIM LER-PC läßt sich das Füh rungs- und Störver ha lten in ei ner Grafik dar stel len (Bild 4.6). Da bei ist zu be ach ten, daß der Reg ler aus gang auf Xs=1,5 be grenzt wer den muß. Die ser Wert ent spricht etwa der Stell gren ze von Ope ra tions ver stär kern. Die Ergeb nis se von Ana log- und Rech ner si mu la tion stim men gut über ein.

Bild 4.6

Simulationen mit PI- und PID-Regler bei der PT3-Strecke für Führungs- und Störverhalten

4.1 Reg ler

4.1.2

147

Praktische Reglereinstellung

Den Ein fluß von Störgrö ßen- und Füh rungs grö ßen än de run gen auf eine Re ge lung ha ben u.a. Chien, Hro nes und Res wick für Regel strec ken hö he rer Ord nung untersucht /41/. Die ses Ver fah ren ist an wend bar, wenn die Sprung ant wort der Strec ke ohne über schwin gen ei nem endli chen Endwert zu strebt (Strec ke mit Aus gleich). Da bei wird an die ex per imen tell er mit tel te Übergangs funk tion der Strec ke die Tan gen te durch den Wen de punkt ge legt und dann die Ver zugs zeit Tu so wie die Aus gleichs zeit Tg ge mes sen (Bild 4.7a). Die dar aus ab ge lei te ten Ein stell wer te für den Reg ler sind auch für den bei Fol ge re ge lun gen not wen di gen ape ri odi schen Ver lauf aus ge legt (Ta bel le 4.1).

Bild 4.7

Sprungantworten mit/ohne Ausgleich zur Definition von Tg, Tu, Tt und KiS

148

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Ta bel le 4.1 Ein stell wer te Chien, Hrones, Res wick (Strec ken mit Aus gleich) Reg ler

Pa ra me ter Ein stellg.® für

P

PI

PID

KR

KR TN

KR TN TV

ape ri odisch Ein stellg.® X m 20%

Stö rung

Füh rung

Stö rung

Füh rung

0,3 Tg

0,3 Tg

0,7 Tg

0,7 Tg

K S Tu

K S Tu

K S Tu

K S Tu

0,6 Tg

0,35 Tg

0,7 Tg

0,6 Tg

K S Tu

K S Tu

K S Tu

K S Tu

4T u

1,2T g

2,3T u

1,0T g

0,95 Tg

0,6 Tg

1,2 Tg

0,95 Tg

K S Tu

K S Tu

K S Tu

K S Tu

2,4T u 0,42Tu

1,0T g 0,5T u

2,0T u 0,42T u

1,35T g 0,47T u

Chien, Hro nes, Res wick ge ben auch Ein stell re geln für Strec ken ohne Aus gleich, d.h. mit In te gral an teil an (Bild 4.7b). Sie orien tie ren sich be son ders an der An triebstech nik. Die zu ge höri gen Ein stell wer te zeigt Ta bel le 4.2. Ta bel le 4.2 Chien, Hro nes, Res wick (Strec ken ohne Aus gleich mit T k =Tt +T u) Reg ler

Pa ra me ter Ein stellg.® für

ape ri odisch Ein stellg.®

Stö rung

Füh rung

Stö rung

Füh rung

0,3 K iS Tk

0,7 K iS Tk

0,7 K iS Tk

ungeeignet

0,7 K iS Tk

un ge eig net

P

KR

0,3 K iS Tk

PI

KR TN

0,6 K iS Tk 4T k

PD

KR TV

PID

KR TN TV

X m 20%

2,5T k

0,9 K iS Tk

0,5 K iS Tk

1,2 K iS Tk

0,9 K iS Tk

0,4T k

0,5T k

0,4T k

0,5T k

un ge eig net

1,2 K iS Tk

un ge eig net

0,9 K iS Tk 2,4T k 0,4T k

2,0T k 0,5T k

4.1 Reg ler

149

Bei Strec ken mit Aus gleich und Über schwin gen wen det man ein Ver fah ren von Zieg ler, Ni chols an /44/. Die Regler ein stel lung basiert dann auf der kri ti schen Ver stär kung K Rkrit und der zu ge hö ri gen Zeit kon stan te T krit . Bei de wer den ex per imen tell er mit telt. Man bringt die Regel strec ke mit ei nem P-Regler durch Er hö hen der Reg ler ver stär kung bis zum Wert KR =K Rkrit an die Sta bi li täts gren ze. Dort führt die Sprung ant wort Dau er schwin gun gen mit der Zeit kon stan ten T krit aus. Die dar aus ab ge lei te ten Ein stell wer te für den Regler sind in der Ta bel le 4.3 zu sam men ge faßt. Die ses Ver fah ren ist je doch nur bei Si mu la tion der Re ge lung sinnvoll. Ta bel le 4.3 Wer te Zieg ler, Ni chols (schwin gen de Strec ken mit Aus gleich) Reg ler

Pa ra me ter

Ein stel lung

P

KR

0,50×K Rkrit

PI

KR TN

0,45×K Rkrit 0,83×T krit

PID

KR TN TV

0,60×K Rkrit 0,50×T krit 0,125×T krit

Bei spiel: Mit Hil fe des Pro gramms SIM LER-PC soll die ex per imen tell auf ge nomme ne Sprung ant wort ei ner Strec ke iden ti fi ziert und der pas sen de Reg ler entworfen wer den. Die Sprung ant wort der zu nächst un be kann ten Strec ke ist in der er sten Si mu la tion des Bil des 4.8 darge stellt. Mit den Hin wei sen zur Iden ti fi ka tion läßt sich in der drit ten Si mu la tion schließ lich eine PT 1 -PT2 -PTt-Strec ke er mit teln. Die Reg ler-Ein stel lung nach dem Ver fah ren von Chien, Hro nes und Res wick schei det hier aus, da die Regel strec ke über schwingt. Soll der Reg ler nach Zieg ler, Ni chols ein ge stellt wer den, sind zu nächst die Wer te KRkrit und T krit zu er mit teln (Bild 4.9). Mit den iden ti fi zier ten Strekkenpa ra metern und ei nem P-Regler, der auf K R =1 ein ge stellt ist, er hält man in der er sten Si mu la tion eine sta bi le Re ge lung. Aus der Li ste der Ergeb nis se läßt sich nun K Rkrit=3,88769 ab le sen. Auf die se Ver stär kung stellt man in der zwei ten Si mula tion den P-Reg ler ein und er hält eine Sprung ant wort, die Dau er schwin gun gen mit der Zeit kon stan ten TKrit aus führt. T krit läßt sich aus der Gra fik mit Hil fe des Abszis sen-Fahr strahls entneh men oder mit Hil fe der kri ti schen Fre quenz w z = 2 p f krit berechnen. Tkrit = 2 p / w z

.

(4.2)

150

Bild 4.8

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Identifikation einer Strecke höherer Ordnung

4.1 Reg ler

Bild 4.9

151

Ermitteln von KRkrit und Tkrit durch zwei Simulationen

152

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Aus der Ta bel le 4.3 las sen sich nun die Regler-Pa ra me ter ent neh men. Die Übergangs funk tio nen der Re ge lung für Füh rung und Stö rung sind in Bild 4.10 dargestellt. Nach Zieg ler, Ni chols ist der PID-Reg ler in der er sten Si mu la tion ein ge stellt wor den. Die zwei te Si mu la tion wur de mit den Reg ler-Op ti mal wer ten aus der Ergeb nis li ste vorgenommen. Im Vergleich bei der Übergangs funk tio nen zeigt die Op ti mie rung nach Zieg ler und Ni chols für Füh rungs ver hal ten ei nen stär ker schwin gen den Ver lauf. Bei Stör ver hal ten gilt dies für die Opti mie rung mit SIMLER-PC. Die drit te Si mu la tion zeigt ein drucks voll, wie sich das Füh rungs ver hal ten mit Hil fe der op ti malen Fahr kur ven wer te Tve_opt und The_opt hin zu ei nem ape ri odi schen, schwin gungs frei en Ver lauf verbessern läßt. Wei te re Bei spie le zur Iden ti fi ka tion und Op ti mie rung fin den sich in den Ab schnitten 7.2.3 und 9.1.

Auf ga be 4.1 Die fol gen de Regel strec ke soll mit ei nem PID-Reg ler (Xs ® ¥, d.h. un be grenz ter Reg ler aus gang y) bei Füh rungs- und Stör ver hal ten mit Hil fe der Ein stell wer te von Zieg ler, Ni chols (Ta bel le 4.3) op ti mal ge re gelt wer den. Ge ge be nen falls ist zu sätz lich eine Fahr kur ve zu ver wen den (Stör sprung am Ende der Strec ke von -20% be zo gen auf w). Die Streckenwerte sind: K S =0,9

T 11 =400s

T 12 =240s Ti=180s .

Auf ga be 4.2 Mit Hil fe der Ein stell wer te nach Chien, Hro nes, Res wick soll ein PID-Regler auf eine Strec ke mit Aus gleich ein ge stellt wer den. Die Para me ter lau ten:: KS =1 T 11 =0,3s T 12 =0,1s T 13 =0,04s T 2 =0,02s d=1 so wie Tt=0,002s. Es ist ein ape ri odi scher Ver lauf der Füh rungs-Sprung ant wort an zu stre ben. Au ßer dem ist mit Hil fe der Füh rungs-Über tra gungs funk tion F w (p) nach zu wei sen, daß die Re gel grö ße x im Zeit be reich ge gen w strebt.

4.1 Reg ler

Bild 4.10

153

Regler- und Fahrkurvenoptimierung bei Führung und Störung

154

4.2

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Soll wert ge ber

Soll wert ge ber, Soll wert stel ler bzw. Führungsgrößengeber sind Ein rich tungen zur Vorga be der Füh rungs grö ße und ih rer zeit li chen Ab lei tung(en). Sie werden an an de ren Stel len auch als Füh rungs ein rich tung, Fahr kur ven rech ner, Hochlauf ge ber oder Leit wert ge ber be zeich net (verglei che mit /37/, /56/, /59/). Die ein fach ste Soll wert vorga be ist die mit tels ei nes Schal ters. Da bei wird die Füh rungs grö ße sprung haft zu- oder ab ge schal tet. Die dar aus re sul tie ren de Sprung ant wort wird meist für verglei chen de re gel tech ni sche Be trach tun gen verwandt (Bild 4.11).

Bild 4.11

Verschiedene Führungsfunktionen und ihre zeitliche Ableitung

4.2 Soll wert ge ber

155

Die Vorga be des Soll wer tes als Sprung funk tion ist je doch bei ge re gel ten Antrie ben we gen der Un ste tig keits stel le bei t=0 pro ble ma tisch. Es kommt häu fig zu un er wünsch ten Schwin gun gen der Re gel grö ße, die sich ne ga tiv auf die Be triebs si cher heit, die Pro dukt qua li tät und den Fahrkomfort einer Anlage auswirken. Eine Rampen funk tion mit Be gren zung führt zwar ge gen über der Sprung funktion zu ei ner Ver bes se rung des Übergangs ver hal tens, sie ent hält al ler dings eben falls Knick punkte. Die se las sen sich durch ei nen “Ver schliff” in ner halb der Zei ten TVE be sei ti gen. Eine Ana log schal tung, die das Ver schlei fen der Knick punkte mit zwei PT 1-Glie dern rea li siert, ist in Bild 4.12 abgebildet.

Bild 4.12 Analoger Sollwertgeber mit Verschliff durch zwei PT1-Glieder Die Aus gangs span nung setzt sich da bei wie folgt zu sammen: U

= U

a

Sch

×[

t 2T

+ 3

+ [ U a( T 1+ T

Mit

T

T

1

=

3

R 5 ×R 6 ×C R5+R6

=(R

5

+R

6

1

3

T1 (e 4T 3

) + U

» 0,43 s ,

)C

3

= 11 s

Sch

- 2 t/T 1

- 1 ) ] T1+T3 + 0

×( 1 - e -

T

bei

2

=R

t+T1+T 3 ¥ ) ] T1+T3 2T1+T 3

2

U

C

2

Sch

= 0,47 s ,

=U

max

156

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

ergibt sich bei spiels wei se eine mitt le re Ver schliffs zeit von 0,45s und eine Hoch lauf zeit von THE » 12 s . Je nach dem Au to ma ti sie rungs grad ei ner An la ge sind die An for de run gen an den Soll wert ge ber ent spre chend hoch. Meist wird zu sätz lich das Differ en ti al dw/dt an die Re ge lung aus ge ge ben. Bei spiels wei se wird der Wert dw/dt im Fal le ei ner Ge schwin dig keits- oder Dreh zahl-Re ge lung zur Bil dung des Beschleunigungsmomentes verwandt. Als Funk tion für die ste ti ge und zeit op ti ma le Vorga be der Füh rungs grö ße und ih rer zeit li chen Ab lei tung eignet sich die Fahrkur ve. Sie wird aus Pa ra bel- und Ge ra den-Stüc ken ge bil det (sie he Ab schnitt 2.2.2 Bild 2.27). Ein Ge rät mit die sen Funk tio nen be zeich net man als Fahr kur ven rech ner. Die ana log tech ni sche Rea li sie rung ist in Bild 4.13 darge stellt. Da bei wer den die Hoch lauf- und Bremszeit entsprechend der Gleichung THE =

U Soll × R2 ×C2 U Sch

ein ge stellt. Mit ex ter nen Steu er be feh len kann die Schalt span nung U Sch und da mit T HE auf den ge wünsch ten Wert ein ge stellt werden. Wird dem Ver stär ker A1 ein Sollwert U Soll vorge ge ben, geht er an den durch U Sch ein ge stell ten Grenz wert. Über den Ver stär ker A2 ergibt sich die Ein gangs span nung für den er sten In te grie rer A3, der den Wert dw/dt bil det. Mit Er rei chen der Ver schliff zeit T VE wird die Aus gangs span nung von A3 kon stant, weil über die Rück führung mit dem Wi der stand R 3 nun Gleich heit zwi schen den Span nun gen U Sch und dw/dt erreicht ist. In te grier te der zwei te Ver stär ker A4 zu nächst mit li ne ar stei gen der Ein gangsspan nung, so wird mit t=T VE sei ne Ein gangs span nung kon stant. Die Fahr kur ve w(t) geht also von ei ner Pa ra bel bei T VE in eine lineare Steigung über. Mit der qua dra ti schen Rück führung A6 wird ge währ lei stet, daß der Ver schliff zur rich ti gen Zeit, vor Er rei chen des vorge ge be nen Soll wer tes USoll , wie der ein setzt. Dann näm lich wird die Aus gangs span nung des Ver stär kers A3 li ne ar bis auf Null ab neh men, so daß die Fahr kur ve ei ner Pa ra bel mit ne ga ti ver Stei gung folgt. Bei der Hoch lauf zeit T HE er reicht die Fahr kur ve w(t) schließ lich (in fol ge der Rück führung mit R4) den vorge wähl ten Soll wert U Soll . Au ßer dem hat die qua dra ti sche Rück führung die Auf ga be, ein Überschwingen des Wertes dw/dt zu ver mei den. Die fest lie gen de In te gra tions zeit kon stan te des Ver stär kers A3 hat zwangs läu fig ver schie de ne Ver schliff zei ten zur Fol ge (sie he Bild 4.13 un ten). Ist man an ei ner kon stan ten Ver schliff zeit T VE in ter es siert, muß mit dem ent spre chen den Hochlauf- oder Brems be fehl das Netzwerk R 1 -C1 je weils auf an de re Wer te umge schal tet wer den. Erst dann ent spricht die Schal tung ei nem in der industriellen Praxis einsetzbaren Gerät.

4.2 Soll wert ge ber

Bild 4.13

Analoger Fahrkurvenrechner

157

158

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Nach teil des ana lo gen Fahr kur ven rech ners ist sei ne re la tiv ge rin ge Auf lö sung von w max ( t ) / w min ( t ) » 500 so wie eine mög li che Ver stär ker drift der Aus gangs si gna le. Bei Band be ar bei tungs an la gen mit ho hem Au to ma ti sie rungs grad be trägt die Auf lö sung der Fahr kur ve w max ( t ) / w min ( t ) » 10000 . Soll der Fahr kur ven rech ner auch für Po si tio nier auf ga ben ein ge setzt wer den (Nach lauf-, Fol ge rege lung), ist zu sätz lich die zwei te zeit li che Ab lei tung d 2 w/dt 2 aus zu ge ben (Bild 4.11 un ten). Dann ist die Fahr kur ve w(t) dem Weg s(t) zu ge ord net, die er ste Ab lei tung dw/dt ent spricht der Ge schwin dig keit ds/dt=v(t) und die zwei te Ab lei tung d 2 w/dt 2 ent spricht der Be schleu ni gung d 2 s/dt 2 =a(t). Die se An for de run gen las sen sich mit Hil fe ei nes di gi ta len Fahr kur ven rech ners auf Mi kro com pu ter ba sis erfüllen, wie er in Bild 4.14 dargestellt ist /37/, /59/.

Bild 4.14

Digitaler Fahrkurvenrechner mit Mikrocomputer

4.3 Stell ge rä te

159

Ei ni ge Lei stungs merk ma le die ses Ge rä tes sind: • T VE und T HE über Ta sta tur und De ka den schal ter oder ex tern ein stell bar. • Fahr be feh le di rekt vom Ge rät oder von ex tern mög lich. • 4-de ka di ge Di gi tal- und Ana log-Aus ga be der Fahr kur ve. • 3-de ka di ge Di gi tal- und Ana log-Aus ga be von dw/dt. • Hoch lauf auf Fest wer te oder va ria blen Wer ten fol gend. • Par al lel-Aus ga be al ler Wer te nach ma xi mal 2ms.

Mit ei ner Si mu la tion läßt sich an schaulich die po si ti ve Wir kung ei ner op ti mal ein ge stell ten Fahr kur ve an hand des Füh rungs ver hal tens zei gen (Bild 4.15). Im Vergleich sind die Sprung-, Rampen- und Fahr kur ven ant wort ei ner Re ge lung mit PI-Regler und PT 1 -PT1 -I-PTt-Strec ke darge stellt. Nur mit der Fahr kur ve läuft die Re gel grö ße schwin gungs frei und ape ri odisch auf den Soll wert ein. Sie ist damit auch für Folgeregelungen ein setz bar. SIM LER-PC er laubt eben falls die Vorga be von Fahr kur ven funk tio nen und gibt Hin wei se zu de ren op ti ma ler Einstellung (sie he Ab schnitt 7.2.3).

4.3

Stell ge rä te

Stell ge rä te sind die Bin de glie der zwi schen Reg ler und dem zu be ein flus sen den Pro zeß. Sie be ste hen nach DIN 19226 aus dem Stell an trieb und dem Stellglied. Der Stell an trieb ist mei stens kon struk tiv mit dem Stell glied zu ei nem Ge rät (Stell ge rät) ver bunden - er be tä tigt das Stellglied. Das Stell glied greift di rekt in den Mas sen- bzw. Energie fluß ein. Bei spie le da für sind Stell ven ti le, Klap pen, Schie ber, Stell trans for ma to ren und Stromrich ter. Man kann sich den Stell an trieb als den letz ten Teil der Re gel ein rich tung und das Stell glied als den er sten Teil der Regel strec ke denken. Die fol gen den Bei spie le sind eine Aus wahl sehr häu fig ein ge setz ter Stell ge rä te. Wei te re An wen dun gen zu die sem The ma fin den sich in den Li te ra tur stel len /26/, /27/, /36/. 4.3.1

Stromrichter

Der ge bräuch lich ste Stromrich ter zur Re ge lung von Gleichst ro man trie ben ist die voll ge steu er te Dreh strom brüc kenschaltung. Er wur de für eine Strom rich tung bereits in Bild 2.16 darge stellt. Im All ge mei nen ent hält das Stromrich terge rät be reits den An ker strom-Reg ler, der als un ter la ger te Re gel ein rich tung in ner halb einer Kaskadenregelung eingesetzt wird.

160

Bild 4.15

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Sprung-, Rampen- und Fahrkurvenantwort einer Regelung

4.3 Stell ge rä te

161

Au ßer dem ist meist auch die Meß wert er fas sung des An ker stro mes I Ai im Stromrich ter in te griert. Die Mes sung er folgt ge wöhn lich auf der Dreh stromsei te (Bild 4.16).

Bild 4.16 Komponenten eines Stromrichters für GS-Antriebe

Bei nur po si ti ver Stromrich tung kann ein Stromrich ter-An trieb le dig lich im II-Qua dran ten-Be trieb ar bei ten (Rechts lauf, trei bend und Links lauf brem send). Wird die Dreh strom brüc kenschaltung um sechs Thy ri sto ren in Ge gen par al lel schal tung ergänzt, kann im IV-Qua dran ten-Be trieb ge fah ren wer den (Trei ben und Bremsen im Rechts- und Links lauf). Aus den ver ket te ten Span nun gen des Dreh stromnet zes U RS - U TS wird die steu er ba re Gleich span nung U d i a ge won nen. Die se kann mit Hil fe der Thy ri sto ren in ih rer Grö ße und Rich tung ver än dert wer den /4/. Der Zu sam men hang zwi schen dem Steu er win kel a und der Span nung U d i a wur de be reits in der Glei chung 2.15 be schrie ben. In Bild 4.17 ist der Ver lauf von U d i a für ver schie de ne Steu er win kel dargestellt (ohne Berücksichtigung der Kommutierungsvorgänge, für ohmsche Belastung). Zur Be rech nung ei ner Re ge lung mit Stromrich ter ist eine Aus sa ge über sei ne Ver stär kung not wen dig. Aus dem Bild 2.18 ist zu ent neh men, daß die Zünd zeit punkte bzw. Steu er winkel offen sicht lich mit Hil fe der Steu ergleich span nung Ust ge bil det wer den. Die se Funk tion, so wie der Zu sammenhang zwi schen Ust und U d i a las sen sich aus den Bildern 2.18 und 2.19 entnehmen.

162

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Bild 4.17

Verlauf von U dia als Funktion des Steuerwinkels

Setzt man nicht lüc kenden Be trieb vor aus und mei det die star ken Krümmungen der Co si nus-Funk tion (Bild 2.19), erge ben sich li nea re Zu sam men hän ge. Es gilt dann für die Pro por tio nal ver stär kung:

K

p

(a ) = k×

D U st × D cos a U stmax

Man er hält z.B. für a 1 = 90° und a Ver stär kung (Kon stan te k=2):

K

p

(a ) » 2×

2

(4.3)

= 30° mit Hil fe von Bild 2.18 fol gen de

6,41V - 0V × ( cos 30° - cos 90° ) » 1,11 10V

Der Haupt ar beits be reich ei ner voll ge steu er ten Dreh strombrüc kenschaltung liegt bei a = 30° . . .150° . In die re gel tech ni sche Be trach tung soll te je doch die grö ß te Pro por tio nal ver stär kung ein be zo gen wer den. Sie ergibt sich bei a 2 = 10° und be trägt dann K p ( a ) = 1,82. . Für die Re ge lung von Dreh stro ma syn chron mo to ren mit Kä fi gläu fer in ei nem Lei stungs be reich von ca. 0,2...50 kW läßt sich der Dreh stromstel ler ein set zen (Bild 4.18). Jede Pha se des Dreh stromnet zes ent hält ein an ti par al lel ge schal te tes Thy ri stor paar für bei de Halbwellen der Drehspannung.

4.3 Stell ge rä te

163

Bild 4.18 Wirkschaltplan eines DS-Asynchronmotors mit DS-Steller Der Steu er winkel a kann von 0° bis 180° kon ti nu ier lich ver stellt wer den. In Bild 4.19 ist der Ver lauf der ge steu er ten Dreh span nung U S a für ver schie de ne Steu er win kel (bei ohmscher Be la stung) dargestellt. Die Ab hän gig keit der Dreh pan nung U S a vom Steu er win kel bei ver schie de nen Be la stungs ar ten zeigt das Bild 4.20. Für ohm sche Be la stung ergibt sich der Zu sam men hang:

US a = UL ×

1 + cos a 2

Auch beim Dreh stromstel ler wirkt eine Än de rung des Steu er win kels an ei nem Thy ri stor nur ein mal pro Pe ri ode T . Bei ei ner Netz fre quenz von 50Hz und der Puls zahl p=3 er hält man eine Totzeit von etwa Tt =

T = 6,67 ms . p

Die Pro por tio nal ver stär kung des Dreh stromstel lers kann eben falls mit Hil fe der Glei chung 4.3 er mit telt wer den. Sie liegt je nach der Fest le gung des Wer tes U stmax in der Grö ßen ord nung von K p ( a ) » 1 .

164

Bild 4.19

Bild 4.20

4.3.2

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Verlauf der Spannung U Sa bei verschiedenen Steuerwinkeln

Abhängigkeit von U

Sa

von a bei verschiedenen Belastungen

Ventile

Zwei ty pi sche Stell ge rä te zur Be ein flus sung von Mas sen strö men sind das Ma gnet ven til und das Ser vo ven til (elek tro hy drau li sches We ge ven til). In bei den Fäl len wird durch elek tro ma gne ti sche Wir kung eine Hub be we gung er zeugt. Die se Stell ge rä te kön nen di rekt von ei nem ste ti gen Reg ler aus an ge steu ert wer den, wenn die ser über ei nen Lei stungs aus gang ver fügt. Ent spre chen de Bei spie le sind in den Abschnitten 6.1.3 und 6.1.7 aufgeführt.

4.3 Stell ge rä te

165

Das Ma gnet ven til eig net sich be son ders für klei ne Hübe. Sein sche ma ti scher Auf bau ist in Bild 4.21 ab ge bil det. Die Kraft über tra gung auf den Kol ben der Mas se m er folgt durch ma gne ti sche In duk tion. Die zu ge hö ri ge Glei chung des elek tri schen Kreises lautet dann: U

e

= I

e

×R + L×

dI e ds + B× l× N × dt dt

,

B: Fluß dich te, l: wirk sa me Spu len län ge, L: Spu len-In duk ti vi tät, N: Win dungs zahl der Spu le, R: ohm scher Wi der stand der Spu le. In die ser Glei chung ent spricht der rech te Summand der Weg än de rung des Kol bens. Für die Kraft wir kung ei nes Elek tro ma gne ten gilt (N: Win dung zahl): F = B× l× N × I

e

.

(4.4)

Die se Kraft ist gleich der Gegen kraft des me cha ni schen Krei ses aus Reib kraft und Be schleu ni gungs kraft. Die Rück stellkraft durch die Fe der c f kann hier ver nach läs sigt wer den. So mit erhält man F = r×

d 2s ds dv + m× = r ×v + m× dt dt dt 2

.

Setzt man die bei den Kräf te glei chun gen in ein an der ein, ergibt sich durch La pla ce-Trans for ma tion mit p=d/dt für den Strom:

Bild 4.21

Schema eines Magnetventils

166

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

I

e

v ( p ) ×( r + p × m ) B×l×N

(p) =

.

Nun wird die Glei chung für I e (p) in die La pla ce-Trans for mier te Glei chung für U e ein ge setzt und man erhält U

e

(p)=

( R + p×L )( r + p×m )×v( p ) + B×l×N ×v( p ) . B×l×N

Mul ti pli ziert man die ses Ergeb nis mit dem frei en Quer schnitt A der Rohr lei tung, läßt sich fol gen de Über tra gungs funk tion des Ma gnet ven tils formulieren: F( p) =

=

mit: K

p

=

v( p )×A Q( p) = = U e(p) U e(p)

1 × K p

( B× l× N ) L×m p

2

+ p ×(

2

R × r + ( B×l× N ) R r + ) + L m L×m

2

B× l× N . A

Der Quo tient aus dem Vo lu menstrom (Durchfluß) Q und der Ein gangs span nung U e stellt also ein Ver zö ge rungs glied II. Ord nung dar. Mit

w o2 =

( B × l × N )2 , L×m

2a =

R r + L m

und

R × r < < ( B × l × N )2

läßt es sich auf die be kann te Über tra gungs funk tion

F( p) =

1 × K p p

w 2

o

2

+ 2a p + w

o

2

brin gen (sie he Ab schnitt 3.1.8). Die ab ge lei te te Über tra gungs funk tion gilt auch für das elek tro hy drau li sche Ser vo ven til (Bild 4.22). Es ist le dig lich die Ver stär kung K p mit der Kraft diffe renz D F im Zäh ler und Nen ner zu multiplizieren K

p

=

D F ×B×l×N D F×A

=

Dp DI e

.

4.3 Stell ge rä te

167

Das elek tro hy drau li sche Ser vo ven til weist also eben falls PT2 -Ver hal ten auf. Sei ne Über tra gungs funk tion wur de be reits im Bild 3.31b auf ge zeich net. Dar aus läßt sich ein Wert für die Ver stär kung von K p » 1 ab le sen. Jede Stromän de rung D I e in der Ser vo ven til spu le führt zu der ge wünsch ten pro por tio na len Druck änderung D p . Die ses Ver hal ten bleibt bis zur Re so nanz fre quenz w o praktisch unverändert.

Bild 4.22

4.3.3

Schema eines elektrohydraulischen Servoventils

Stellmotoren und Linearantriebe

Für Dreh- oder Längs be we gun gen zum Po si tio nie ren der ver schie den sten Vor rich tun gen wer den Stell mo to ren und Li ne ar an trie be in den un ter schied lich sten Bauformen ver wen det. So werden bei Be ar bei tungs ma schi nen der Ro bo tik, zur Be tä ti gung von Schie bern und Ven ti len in der Ver fah rens tech nik, bei Fräs- und Gra vier ma schi nen oder an Meßtischen in der Fein werk tech nik eingesetzt. Elek tri sche Stell mo to ren sind häufig Schei ben läu fer-, Schritt- oder Li ne armoto ren klei ner Lei stung und ge rin gem Träg heits mo ment. Sie ar bei ten stets über ein Getrie be auf das Stell glied. Da mit wird die hohe Motor dreh zahl auf eine nied ri ge An triebs dreh zahl un ter setzt, so daß sich gro ße Stellmomente ergeben (Bild 4.23). Die zu rea li sie ren den Stell be we gun gen sind durch ei nen de fi nier ten An fang und ein de fi nier tes Ende ge kenn zeich net. Da her be stim men Be schleu ni gungsund Ver zö ge rungs vorgän ge die me cha ni sche, elek tri sche und ther mi sche Di mensio nie rung von Stellantrieben /19/, /27/.

168

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Bild 4.23

Prinzip eines Stellantriebs (Stellmotor mit Getriebe)

Schei ben läu fer mo tor Der Schei ben läu fer mo tor (Bild 4.24) be sitzt ei nen axia len Luft spalt. Auf die Läu fer schei be ist die Anker wick lung auf ge druckt (ähn lich wie bei ei ner Lei ter pla ti ne). Der Kommu ta tor liegt dicht an der Wel le. Das Stän der feld wird mit Per ma nent ma gne ten auf ge baut, die beid sei tig auf die Läu fer schei be ein wir ken. Die er heb li che Mas sen re duk tion des Läu fers, im Vergleich zum klas si schen Gleich strom motor, führt zu ei ner ho hen Dy na mik. Die Hochlauf- und Bremszeiten liegen im ms-Bereich. Die Über tra gungs funk tion ei nes Schei ben läu fer mo tors wur de be reits in Abschnitt 3.1.8 ab ge lei tet und stellt ein Ver zö ge rungs glied II. Ord nung mit den elek tri schen und me cha ni schen Zeit kon stan ten TA =

LA RA

und

TM =

J × RA 2

C2 F

(4.5)

2

dar. Ge wöhn lich ist die An ker in duk ti vi tät des Mo tors sehr klein, so daß sich mit TA < < TM ein gut ge dämpftes Sy stem ergibt. Durch Ko effi zien ten vergleich mit der Glei chung 3.30 er hält man die Umrech nung in ein klas si sches PT 2 -Glied mit T2 »

TA × TM

und

d »

TM 2 T2

.

(4.6)

Bei spiels wei se erge ben sich mit TA =25ms und TM =180ms eine Dämp fung von d=1,342 und eine Zeit kon stan te von T 2 =67,1ms. Po si tio nier auf ga ben mit ei nem Schei ben läu fer motor müs sen als Nach lauf re ge lun gen rea li siert wer den, denn die Re gel grö ße soll mög lichst un ver zö gert und schwin gungs frei der ver än der li chen Füh rungs grö ße fol gen. Es ist also eine Po si tions er fas sung sowie ein Sollwertgeber notwendig.

4.3 Stell ge rä te

Bild 4.24

Funktionsprinzip und Querschnitt eines Scheibenläufermotors

169

170

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Schritt mo tor Der Schritt mo tor ist größ ten teils eine Son der bau form der Syn chron ma schi ne. Er eig net sich zur Umwand lung von Strom im pul sen in eine de fi nier te Fol ge von Win kel schrit ten (Bild 4.25). Sein Läu fer be steht aus hin ter ein an der lie gen den und ge gen ein an der versetzten Permanentmagneten. Der Stän der ist aus ga bel för mig an ge ord ne ten Wick lungssträngen auf ge baut. Die se wer den mit Tran si stor schal tern im puls för mig an ge steu ert, so daß der Läu fer sich je weils nach dem Stän der feld aus rich tet. Eine Re ge lung ist nicht er for der lich. Die Vorga be der Win kel schrit te kann ohne Rück meldung bzw. Weg er fas sung er fol gen.

Bild 4.25

Schema eines vierpoligen Schrittmotors mit Ansteuerelektronik

4.3 Stell ge rä te

171

Li ne ar mo tor Elek tro dy na mi sche Li ne ar mo to ren un ter schei den sich vor nehm lich durch die Art der be weg ten Ele mente (be weg te Spu le, be weg ter Ma gnet) und die Art der Er re gung (per ma nent ma gne tisch, elek trisch) so wie die Art oder das Vor han den sein ei ner Kommu tie rung /20/. Die Aus füh rung mit be weg ten Ma gne ten in Wech sel po laus füh rung mit Kommutierung ist in Bild 4.26 darge stellt und wird nä her be schrie ben. Das Be we gungs ver hal ten elek tro dy na mi scher Li ne ar mo to ren ver hält sich be züg lich der cha rak ter isti schen Mo tor- und Be we gungs glei chun gen ana log dem der per ma nent ma gne tisch er reg ten Gleich strommo to ren. Ver nach läs sigt man Rei bungs-, Re luk tanz-, so wie La stein flüs se und geht pra xis nah von TA << TM aus, ergibt die Über tra gungs funk tion be züg lich der Stell ge schwin dig keit ein Ver zöge rungs glied I. Ord nung mit In te gral glied.

F( p) =

mit

Bild 4.26

B× l v(p) 1 = × m × R pTM (1 + pTA ) DU(p)

(4.7)

T M und T A analog zu Glei chung 4.5

Drei strän gi ger (A, B, C) Li ne ar mo tor mit be weg ten Per ma nentmagne ten in Wech sel pol aus füh rung

172

4.4

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Me ß ein rich tun gen, Meßumformer

Die Rea li sie rung tech ni scher Re gel krei se setzt eine mög lichst ex ak te und zu ver läs si ge Er fas sung der Re gel grö ße x mit Hil fe ei ner Me ß ein rich tung vor aus /4/, /26/, /27/, /36/, /37/. Da bei in ter es sie ren den Re gel tech ni ker vor al lem das sta tio nä re und dy na mi sche Ver hal ten der Me ß ein rich tung. De ren Einfluß auf die Regelung sollte gering sein. Prin zi piell ist es Auf ga be der Me ß ein rich tung bzw. Me ß um for mer, die phy si ka li sche Me ß grö ße x ph mit ei nem Meß füh ler bzw. Sen sor elek trisch ab zu bil den und an schlie ßend durch eine ge eig ne te Ver stär kung auf die Ma ß ein heit der Füh rungs grö ße (oder ei nes An zei ge ge rä tes) zu nor mie ren. Die se Auf ga ben stel lung läßt sich als Meß ket te mit dem Aus schlag ver fah ren oder als ge schlos se ner Re gel kreis mit dem Kompen sa tions ver fah ren lö sen (Bild 4.27). Da bei wird ein pro por tio na ler und li nea rer Zu sam men hang zwi schen xph und x in weiten Grenzen angestrebt.

Bild 4.27

Meßeinrichtung mit Ausschlag- und Kompensationsverfahren

4.4 Meßeinrichtungen, Meßumformer

173

Da jede Meß wertab bil dung und -Nor mie rung ei nen end li chen Endwert auf weist (Sät ti gungs effek te, me cha ni sche Be gren zun gen usw.), ist die se For de rung nur in ei nem fest ge leg ten Meß be reich rea li sier bar (Bild 4.28). Wei te re, teil wei se un ver meid li che Meß feh ler sind der Null punkt- und Li nea ri tätsfeh ler, die Tempe ra tur drift so wie die Umsetz zeit. Au ßer dem ist die Me ß grö ße x ph häu fig von Stör si gna len (Rau schen, hoch fre quen te Schwin gun gen usw.) über la gert, so daß zur Tren nung von Me ß grö ße und Stör si gnal Fil ter im Meß wert umfor mer ein ge setzt wer den.

Bild 4.28

Zum Meßbereich einer Meßeinrichtung

Die an ge spro che nen Meß feh ler und Maß nah men zu de ren Be sei ti gung so wie die Über tra gung der Me ß grö ße auf lan gen Lei tun gen wer den in /29/, /36/ nä her be han delt. Die nor mier te Me ß grö ße wird üb li cher wei se als Ana log si gnal in der Form x = 4 ... 20mA oder x = 0 ... 10V aus ge ge ben /7/, /36/. Die Ta bel le 4.4 zeigt ei ni ge Me ß ein rich tun gen mit ana lo gem bzw. di gi ta lem Aus gangs si gnal nach dem Aus schlag ver fah ren. Vor teil des Aus schlag ver fah rens ist die rück wirkungsfreie Meß wert er fas sung. In man chen Fäl len bringt das Kompen sa tions ver fah ren we gen sei nes ge schlos se nen Re gel krei ses je doch bes se re Ergeb nis se. Hier kön nen Ver stär ker- und Umfor mungs feh ler kom pensiert “aus ge re gelt” wer den, so daß die elek tri sche Ab bil dung der Me ß grö ße x M im sta tio nä ren Zu stand gleich der Kompen sa tions me ß grö ße x K ist. In der Ta bel le 4.5 sind drei Me ß ein rich tun gen mit Meß wert um for mung nach dem Kompen sa tions ver fah ren darge stellt.

174

4 Kom po nen ten der Au to ma ti sie rung

Ta bel le 4.4 Bei spie le zur Meß wert umfor mung nach dem Aus schlag ver fah ren

4.4 Me ß ein rich tun gen, Meßumformer

175

Ta bel le 4.5 Bei spie le zur Meß wert umformung nach Kompen sa tions ver fah ren

176

4 Komponenten der Automatisier ung

Für die Re ge lung von Wic kelantrieben in der Walz werk stech nik ist der Durch mes ser rech ner be so nders wichtig. Er geht in vier ter Po tenz in die Be rech nung des Träg heits mo men tes der Has peln und da mit de ren Momente ein (sie he Abschnitt 6.1.6). Eine wei te re High-Tech-Ent wick lung zur Ver bes se rung der Eigenschaften von kalt gewalz ten Bändern stellt die Plan heits mes sung dar. Mit Hil fe von Quarz sen so ren in der Plan heits mess rol le wer den Ver än de run gen in der Band längsspan nung er faßt und in ei ner op to elek tro ni schen Über tra gung und Zu ord nung zur Be ein flus sung der Ban dstruktur ei ner Plan heits re ge lung zu ge führt, die auf an de re Rege lun gen des Walz pro zes ses kor ri gie rend ein greift.

Für ei ni ge wich ti ge Meß- und Re gel grö ßen sowie Parameter sind die zu ge hö ri gen abgeleiteten SI-Ein hei ten an ge ge ben (Ta bel le 4.6). Wei te re Hin wei se und An wen dun gen fin den sich in den Ab schnit ten 6.1.4 - 6.1.6 des Bu ches. Ta bel le 4.6 Ei ni ge For meln und de ren ab ge lei te te SI-Ein hei ten

Be schleu ni gungs moment M A = 2p × J ges ×

dn dt

[

kg × m 2 s2

] = [Nm] = [Ws]

Mo tor mo ment

M M = C 2 ×F × I A

[Vs × A] = [Ws] = [Nm]

Be schleu ni gungs kraft

F = m ×a

[kg ×

Träg heits moment

J Hohlzyl. =

me chan. Zeit kon stan te

TM =

m r

elektrome chan. Zeit kon. TEM = An ker kreis zeit konstante TA =

m 2 ( ri + rA 2 ) 2

C12F 2

LA RA

Spei cher zeit kon stan te

TS = R S × C S

Spu len span nung

Ui = LA ×

dI A dt

s

2

] = [N ] = [

Ws ] m

[kg × m 2 ] = [Ws 3 ] [

J × RA

m

[

kg ] = [s] kg / s Ws 3 × V / A V 2s 2

] = [s]

[

Vs / A ] = [s] V/A

[

bar × s L × ] = [s] L bar

[

Vs A × ] = [V] A s

5

Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Im Ge gen satz zur Steue rung muß eine Re ge lung auf Sta bi li tät un ter sucht wer den, weil sie durch die Rück kopplung der Re gel grö ße zu ei nem schwingungs fä hi gen Sy stem wird. So kann es bei fal scher An pas sung des Reglers auf eine vorge ge be ne Strec ke zu un er wünsch ten Schwin gun gen der Re gel grö ße oder so gar zur In sta bi li tät kommen. Es muß da her Ziel der Sta bi li täts unter su chung sein, eine be kann te oder iden ti fi zier ba re Regel strec ke mit der pas sen den Regel ein rich tung zu ver se hen und de ren Pa ra me ter op ti mal ein zu stel len. Dazu wur den in Ab schnitt 4.1.2 für be stimmte Regel strec ken Ein stell re geln an ge ge ben, die sich in der Pra xis be währt ha ben. Ist man be strebt, zu ver läs si ge Aus sa gen über die Sta bi li tät be lie bi ger Re gel krei se zu er zie len, sind Kennt nis se der Sta bi li täts kri te rien un umgäng lich. Der Prak ti ker ent schei det sich dann für ein Sta bi li täts kri te ri um, das der Pro blemstel lung am besten angepaßt ist /18/, /43/. Bücher zu diesem und dem folgenden Kapitel sind in den Abschnitten 10.2 und 10.3 aufgeführt.

5.1

Sta bi li täts be griff

Es ist sinn voll sich zu nächst klar zu ma chen, was der Be griff Sta bi li tät ei nes Re gel krei ses bzw. ei nes tech nisch-phy si ka li schen Sy stems meint. Dazu eine De fi ni tion (Bild 5.1a). Ein Sy stem ist sta bil, wenn die an ge reg ten Sy stem grö ßen von ei nem ein ge schwun ge nen Zu stand nach end li cher Zeit in ei nen an de ren ein ge schwun ge nen Zu stand über ge hen. Das Sy stem be fin det sich an der Sta bi li täts gren ze, wenn die Sy stem grö ßen Dau er schwin gun gen aus füh ren.

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

178

Bild 5.1

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Systemantwort und deren Polverteilung

5.1 Sta bi li täts be griff

179

Es zeigt sich, daß die Ant wort funk tion ei nes tech nisch-phy si ka li schen Sy stems bei In sta bi li tät (theo re tisch) über alle Grenzen geht. Bei li nea ren, kon ti nu ier li chen, zei tin va rian ten Sy ste men läßt sich an hand der Ver tei lung der Null stel len der cha rak ter isti schen Glei chung in der p-Ebe ne di rekt die Sta bi li tät be ur tei len. Die Über tra gungs funk tion (siehe Gleichung 2.44) Z( p) = N(p)

F( p) =

b

0

+b

1

p + ... + b

m

a

0

+a

1

p + ... + a

n

m

p p

n

ei nes li nea ren, kon ti nu ier li chen, zei tin va rian ten Sy stems habe die Pole p k = s k + j w k mit k=1...n. Die Pole sind gleich be deu tend mit den Null stel len des Nen ner po ly noms N(p). Zer legt in Linearfaktoren wird N(p) = a

n

( p - p 1 )×( p - p

2

) ... ( p - p

n

)

.

(5.1)

Dar aus er hält man die cha rak ter isti sche Glei chung a

o

+ a

1

p + a

2

p

2

+ ... + a

n

p

n

= 0 .

Zur Be ur tei lung der Sta bi li tät ge nügt es, die Wur zeln die ser Glei chung, also die Pole p k der Über tra gungs funk tion F(p) zu be stim men. An hand ih rer Lage in der p-Ebe ne ergibt sich die Sta bi li täts aus sa ge (Bild 5.1b). So mit läßt sich fol gen de Sta bi li täts aus sa ge definieren. Ein li nea res, kon ti nu ier li ches, zei tin va rian tes Übertragungs sy tem ist ge nau dann sta bil, wenn alle Pole p k der Über tra gungs funk tion in der lin ken p-Halb ebe ne lie gen, d.h. Re [ p k ] < 0 ist. Das Sy stem ist in sta bil, wenn minde stens ein Mehr fach pol mit k>2 auf der ima gi nä ren Ach se liegt oder min de stens ein Pol Re [ p k ] > 0 zeigt. Ein Bei spiel soll den Sta bi li täts be griff ver deut li chen hel fen. Aus gangs punkt ist der Block schaltplan ei nes PT 1 -Glie des als Ope ra tions ver stär ker schal tung. Die se ein fa che Schal tung stellt be reits ei nen ge schlos se nen Re gel kreis dar (Bild 5.2a). Aus der Über tra gungs funk tion F(p) (sie he Sei te 93) ergibt sich mit der Rand be din gung Kp=1 x a( p ) = - p T 1 × x a( p ) - x

e

.

Das PT1 -Glied wird in ein zel ne Blöc ke zer legt und dann mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 12, Ta bel le 3.5 in ein Ge bil de mit Rück kopplung um ge stal tet.

180

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.2

Schaltung und Blockschaltplan des PT1-Gliedes

Er reicht nun die Pha sen ver schie bung zwi schen Ein- und Aus gangs si gnal mit wach sen der Fre quenz w den Wert j = - 180 °, sind die Am pli tu den der Si gna le x a und x e ge gen läu fig. Das Vor zei chen des ge gen ge kop pel ten Netz wer kes pT 1 kehrt sich da her um. Er rech net man aus dem ver än der ten Block schaltplan (Bild 5.2b) die Funk tion x a (p), so gilt nun: x a( p ) = + p T 1 × x a( p ) - x

e

f ü r K p = 1 und j = - 180 ° .

Dar aus ergibt sich die Über tra gungs funk tion F(p) nun mit a = 1 / T F( p) =

x

a

(p )

x

e

= -

1 1 - pT

= 1

-a p -a

.

1

zu: (5.2)

Die Sprung ant wort x a (t) läßt sich mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 6 aus der Ta bel le 2.2 an ge ben und ist in Bild 5.3 darge stellt. x

a

(t) = x e(e

t/T1

- 1) .

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.3

181

Sprungantwort des instabilen PT1-Gliedes

Es zeigt sich, daß die Aus gangs grö ße x a (t) des PT1 -Glie des mit den beiden Rand be din gun gen K p =1 und j = - 180° kei nem end li chen Wert zu strebt, d.h. über alle Grenzen geht. Die ser Re gel kreis ist so mit in sta bil. Der Phasen win kel j und die Pro por tio nal ver stär kung Kp spie len also eine er heb li che Rol le bei der Be ur tei lung der Stabilität einer Regelung.

5.2

Bode-Dia gramm

Ob wohl die Sta bi li täts un ter su chung mit dem Bode-Dia gramm auf das Ny quist-Kri te ri um zurück geht, also kein ei gen stän di ges Sta bi li täts-Kri te ri um dar stellt, soll mit dem Bode-Dia gramm be gon nen wer den. Es bie tet be son ders für den Prak ti ker so wie für den “Ein stieg” in die The ma tik der Sta bi li täts unter su chung ei ni ge Vor tei le. Durch die Auf tei lung des Fre quenz gangs in Be trag | F 0 ( j w ) | und Pha sen win kel j 0 las sen sich Pa ra me ter ein flüs se auf die Sta bi li tät an schau lich be ur tei len. Der Fre quenz gang be tra g ei ner Re ge lung wird im lo ga rith mi schen Ma ß stab dargestellt (Am pli tu den gang). Auf die se Wei se wird die Mul ti pli ka tion in die leicht handhabbare logarithmische Addition der Frequenzgangbeträge von Regler und Strecke überführt: |F

0

( jw )| = 20 lg | F dB

R

| + 20 lg | F

S

|

(5.3)

mit dem Pha sen gang (eben falls lo ga rith misch darge stellt) j

0

= j

R

+ j

S

(5.4)

Wie noch ge zeigt wird, läßt sich von der Sta bi li tät des offe nen auf die des ge schlos se nen Re gel krei ses schlie ßen. Man schnei det da her den Re gel kreis in der Rück führung auf und er hält eine Wir kungs ket te aus Reg ler und Strecke (Bild 5.4).

182

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.4

Blockschaltplan eines geschlossenen und offenen Regelkreises

Die aus dem Ny quist-Kri te ri um ab ge lei tete Sta bi li täts bedin gung für das Bode-Dia gramm läßt sich stark ver ein fa chen, wenn man praxis nah an nimmt, daß die Über tra gungs funk tion F 0 (p) des offe nen Re gel krei ses nur Pole in der lin ken p-Halb ebe ne und höch stens ei nen Dop pel pol im Ur sprung auf weist. Das so ver ein fach te Ny quist-Kri te ri um angewandt auf das Bode-Diagramm lautet: Ein ge schlos se ner Re gel kreis ist ge nau dann sta bil, wenn der Fre quenz gang be tr ag | F 0 ( j w ) | des of fe nen Re gel krei ses bei der Durch tritts fre quenz w (dort ist K 0 =1 bzw. | F 0 ( j w ) | = 0 dB ) den Pha senwin kel j 0 ( w D ) > - 180° auf weist.

D

Als Glei chung for mu liert gilt so mit:

j

0

(w

D

) > - 180 °

bei

|F

0

( j w ) | = 0 dB

(5.5)

Dar in ist die Durchtritts fre quenz w D ein Maß für die Re ak tions fähig keit ei ner Re ge lung auf Füh rungs- und Störgrö ßen än de run gen. Sie soll te mög lichst groß sein. Für eine Sta bi li täts aus sa ge wer den meist zwei ab ge lei te te Grö ßen her an ge zo gen, der Pha sen rand (Pha sen re ser ve) und der Ampli tu den rand (Am pli tu den re ser ve). Die Zu sammenhän ge sind in Bild 5.5 dargestellt.

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.5

Zur Stabilitätsaussage im Bode-Diagramm

183

184

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Die Pha sen re ser ve a R ist der Win kel-Ab stand zwi schen j 0 ( w -180°-Li nie. Für a R > 0° ist eine Re ge lung demnach stabil: a

= 180° + j

R

0

(w

D

D

) und der

(5.6)

)

Die Ampli tu denre ser ve A R kenn zeich net den Ab stand zwi schen der 0dB-Li nie und | F 0 ( j w ) | bei der kri ti schen Fre quenz w z . Sie ist ein Maß für die Ver stär kungs re ser ve der Re ge lung bis zum Er rei chen der Sta bi li täts gren ze bei der Fre quenz w z .

A R |F = dB

0

|( w dB

z

)

(5.7)

Die in den Glei chun gen 5.5 bis 5.7 ent hal te ne Sta bi li täts aus sa ge kann aus dem Bode-Dia gramm gra phisch er mit telt wer den. Für eine gut ein ge stell te Re gelung wer den fol gen de Werte empfohlen: A R = 4 . . . 10 a R = 40° . . . 60°

bei Füh rungs ver hal ten

A R = 1,5 . . . 3 a R = 20° . . . 50°

bei Stör ver hal ten

Be sitzt die Über tra gungs funk tion F 0 (p) des offe nen Re gel krei ses auch Pole in der rech ten p-Halb ebe ne und höch stens zwei Pole im Ursprung der p-Ebe ne, so ist das voll stän di ge Ny quist-Kri te ri um an zu wen den. Es läßt sich im Bode-Dia gramm an schau lich mit Hil fe der Schnitt punk te des Pha sen win kels j 0 durch die -180°-Li nie de fi nie ren (Ab lei tung in Ab schnitt 5.3). In Bild 5.6 sind einige markante Beispiele aufgezeigt. Sp sei die An zahl der po si ti ven und S n die An zahl der ne ga ti ven Schnitt punk te des Pha sen win kels j 0 mit der -180°-Li nie für den Fall, daß stets | F 0 ( j w ) | > 0 dB ist. n r sei die An zahl der Pole in der rech ten p-Halb ebe ne und n i die An zahl der Pole auf der ima gi nä ren Achse. So gilt:

S

p

-S

n

=

nr 2

0 ;1 Pol im Ursprung ,

n

i

= [0 ;1 ] , (5.8)

S

p

-S

n

=

n

+1 2

r

1 Doppelpol

im Ursprung ,

n i =2 .

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.6

Zur Schnittpunktform des vollständigen Nyquist-Kriteriums

185

186

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Dar aus geht her vor, daß nur Schnitt punk te ge zählt wer den, für die | F 0 ( j w ) | > 0 dB ist. Ein hal ber po si ti ver Schnitt punkt ergibt sich bei von -180° an stei gen dem Pha sen win kel; ein hal ber ne ga ti ve Schnitt punkt bei von -180° ab fal len dem Pha sen win kel j 0 ( w ) . Das ver ein fach te Ny quist-Kri te ri um in Schnitt punkt form gilt für n r =0 (nur Pole in der lin ken p-Halb ebe ne) so wie n i =[0;1;2] (0, 1 oder 2 Pole im Ur sprung der p-Ebe ne) und läßt sich aus der Glei chung 5.8 ab le sen. Es lautet: S

p

- S

n

= 0

n

1 = 2

für

n

i

= [ 0 ,1] , (5.9)

S

p

- S

für

n i =2 .

In Bild 5.6 ist die un te re Gra fik be son ders be mer kens wert. Trotz ei nes Pha sen win kels j 0 ( w D ) > - 180° ist die zu ge hö ri ge Re ge lung bei An wen dung des voll ständi gen Ny quist-Kri te ri ums (Glei chung 5.8) in sta bil. Da ein Pol (n=1) in der rech ten p-Halbebe ne vor liegt, wür de das ver ein fach te Nyquist-Kri te ri um (Glei chung 5.9) hier zu einer falschen Stabilitätsaussage führen. In Ab schnitt 3 wur de be reits ge zeigt, wie der Fre quenz gang be trag und Pha sen win kel ein zel ner Re gel kreis glie der ex akt und asymp to tisch ge zeich net wer den (sie he auch Tabelle 3.1). Zur Be ur tei lung der Sta bi li tät ei nes Re gel krei ses hat man die Kur ven ver läu fe des Fre quenz gang be tra ges und Pha sen win kels von Reg ler und Strec ke in das Bo den-Dia gramm ein zu tra gen. In vie len Fäl len ge nügt da bei die asymp to ti sche Dar stel lung für eine Abschätzung der Stabilität. Zu vor ist es not wen dig, den in ter es sie ren den Fre quenz be reich fest zu le gen, da die Ab szis se nicht bei w = 0 be gin nen kann, wegen (lg 0 = - ¥ ) . Es gilt für den Ab szis sen an fang w A die einfache Formel:

w A » 0,1 × w

Dar in ist w

Min

min

bzw.

wA »

0,1 Tmax

(5.10)

der klein ste Fre quenz-Pa ra me ter.

Man bil det nun die arith me ti sche Summe der Fre quenz gang be trä ge und er hält | F0 (j w ) | / dB . Ge nau so summiert man die Pha sen win kel und er hält j 0 . Die Sta bi li täts aus sa ge ist nun di rekt graphisch ablesbar.

5.2 Bode-Dia gramm

187

Bei spiel Ein Hy drau li kan trieb ist als Vor schub an trieb für eine Werk zeug ma schi ne ein ge setzt. Das dy na mi sche Ver hal ten ei nes elek tro hy drau li schen Vor schub an triebs wird durch das Über tra gungs ver hal ten des Hy drau lik mo tors und des Ser vo ven tils be stimmt. Auf grund der vor han de nen Mo tor mas se und der Fe der wir kung des un ter Druck ste hen den Öl vo lu mens ergibt sich für den Hy drau lik mo tor PT2 -Ver hal ten. Das Ser vo ven til zeigt zwar ge nau be trach tet eben falls PT 2 -Ver hal ten (sie he Seiten 102,103), es wird je doch hier nä he rungs wei se durch ein PT 1 -Glied rea li siert. Das zu ge höri ge Blockschaltbild für den Ein satz ei nes PI-Reg lers ist in Bild 5.7 dargestellt.

Bild 5.7

Blockschaltbild der Regelung aus PI-Regler und PT1-PT2-Strecke

Die Re ge lung soll im Bode-Dia gramm auf Sta bi li tät un ter sucht wer den. Zusätz lich ist die Ampli tu denre ser ve A R/dB und die Ge samt ver stär kung K 0krit/dB ge sucht. Die Pa ra me ter der Re ge lung lau ten: KR =3,162

w

N

K S1 =0,562

w

E1

= 8 Hz

K S2 =1,78

w

0

= 70 Hz

= 15 Hz

Aus die sen Wer ten er hält man für das dar zu stel len de Fre quenz band mit Glei chung 5.10 ei nen Ab szis sen an fang von w A » 0,1 × w E1 = 0,8 Hz, so mit wird w A = 1 Hz ge wählt. In Bild 5.8 ist das Bode-Dia gramm in asymp to ti schem Nä he rung auf ge zeich net. Es ergibt sich bei der Durch tritts fre quenz w D » 27 Hz eine Pha sen re ser ve von a R » 23° . Die Re ge lung ist demnach sta bil.

188

Bild 5.8

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bode-Diagramm für die Regelung aus Bild 5.7

Die kri ti sche Fre quenz w z » 47 Hz wird an der Sta bi li täts gren ze er reicht. Dort ist die Phasenreserve a R = 0°. Um AR und K 0krit zu er mit teln, braucht der Ver lauf von j 0 nicht ge än dert wer den, da Ver stär kun gen in den Pha sen win kel for meln nicht vor kommen. Wird nun der Graph |Fo| um A R»5dB nach oben ver scho ben (verglei che mit Bild 5.9) er hält man die kri ti sche Ver stär kung

5.2 Bode-Dia gramm

189

K 0krit K A = 0 + R »10 + 5 » 15 dB dB dB Es ist zu se hen, daß der asymp to ti sche mit dem exak ten Ver lauf des Graphen |Fo| an der Stel le w D recht gut über ein stimmt (Bil der 5.8 und 5.9).

Bild 5.9 Plot des Bode-Dia gramms zu Bild 5.8 mit SIM LER-PC

190

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bei spiel: Wie aus den Glei chun gen für die ein zel nen Pha sen win kel (Ta bel le 3.1) zu ent neh men ist, hat eine Ver stär kungs än de rung D K 0 kei nen Ein fluß auf den Ver lauf der Pha sen win kel. Eine Än de rung der Ver stär kung kann je doch eine in sta bi le Re ge lung in den sta bi len Zu stand über füh ren, eine Tat sa che, die sich im Bode-Dia gramm be son ders ein fach verwerten läßt. Als Bei spiel für die Sta bi li täts-Be trach tung dient hier die Po si tions re ge lung aus Bild 2.9 mit ge än der ten Pa ra me tern und ohne Störgrö ßen. Der zu ge hö ri ge Block schaltplan ist in Bild 5.10 abgebildet.

Bild 5.10

Blockschaltplan einer Positionsregelung nach Bild 2.9

Die Pa ra me ter von Strec ke und Regler lau ten: K K K K

R = 10 S1 = 1 S2 = 1 S3 = 1

w w

N

= 20 Hz

E1

= 15 Hz t = 0,02 s

T

Man er hält den Ab szis sen an fang mit w A » 0,1 × w E1 = 1,5 Hz , so mit w A = 1 Hz.. Die P-Strec ke des Lei stungs ver stär kers mit K S1 =1 lie fert im Bode-Dia gramm kei nen Bei trag und wird da her nicht ge zeich net. Es ergibt sich so mit das in Bild 5.11 darge stell te Bode-Dia gramm in asymp to ti scher Nä he rung. Die Re ge lung ist je doch in sta bil. Eine sta bi le Re ge lung mit ei nem Pha sen rand von beispielsweise a R * = 45° ergibt sich, wenn der Graph |F 0 | um den Wert DK 0 » 13 dB nach un ten par al lel ver scho ben wird. Die neue Durch tritts fre quenz be trägt dann w D * » 35 Hz . Die Par al lel ver schie bung • nach un ten ent spricht dem nach ei ner Ver stär kungs min de rung ( - D K 0 ) , • nach oben folg lich ei ner Ver stär kungs er hö hung ( + D K 0 ) .

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.11

191

Bode-Diagramm der Regelung aus PI-Regler und PT1-PTt-Strecke

Bei des braucht im Bode-Dia gramm je doch nicht zeich ne risch durch ge führt wer den. Die Ver stär kungs än de rung DK 0 wird ge wöhn lich als neu er Wert der Reg ler ver stär kung KR * eingesetzt, da die Strec kenverstärkung KS un ver än dert bleibt. Mit Hil fe des Bode-Dia gramms läßt sich dann K R * für ei nen ge wünsch ten Pha sen rand a R * > 0° an ge ben.

192

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Es folgt dann

Par al lel ver schie bung nach oben: KR* KR DK 0 = + dB dB dB

K R * = K R × DK 0

bzw.

Par al lel ver schie bung nach un ten: KR* KR DK 0 = dB dB dB

bzw.

KR* =

(5.11) KR D K0

Das vor lie gende Bode-Dia gramm lie fert mit DK 0 » 13 dB =$ 4,467 eine neue Reg ler ver stär kung von K R * » 2,239 . Rea li siert man die sen Wert in der hier be han del ten Re ge lung, ergibt sich der neue Graph |Fo|* bei dem ge wünsch ten Pha sen rand a R * = 45° und der neu en Durch tritts fre quenz w D * . Die Si mula tion des ex ak ten Bode-Dia gramms in Bild 5.12 zeigt, daß die Durchtritts fre quenz w D nur um weni ges hö her liegt als die der asympto ti schen Nä he rung (1. Si mu la tion). Die ex ak ten Wer te für K R * = 2,0941 und w D * = 33,3975 Hz un ter schei den sich eben falls nur we nig von de nen des asymp to ti schen Ver lau fes (2. Si mu la tion). Mit Hil fe des Ampli tu denran des A R läßt sich auch die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit bei einer sta bi len Re ge lung ab le sen (2. Si mula tion). Es ergibt sich für die vor lie gen de Re ge lung aus der Gra phik bei w z » 75,394 Hz ein Wert von A R = 2,3655 . Mit der fol gen den For mel er hält man dann

K Rkrit dB

=

K R dB

+

A R dB

bzw. als Zahlenwertgleichung K Rkrit = K

R

×A

(5.12)

R

In der Li ste der Ergeb nis se des Bil des 5.12 fin det sich für die 2. Si mula tion fol ge rich tig die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit = 2,0941 × 2,3655 = 4,9536 . Der Wert K Rkrit ist also die Reg ler ver stär kung bei Er rei chen der Sta bi li täts gren ze.

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.12

Simulation nach Bild 5.11 mit der neuen Reglerverstärkung KR*

193

194

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Auf ga be 5.1 Die Tempe ra tur ei ner Flüs sigkeit soll mit ei nem Wär me tau scher über ein Stell ven til mit tels PI-Regler ge re gelt wer den (Bild 5.13). Der Wär me tau scher zeigt PT 1 -Ver hal ten, der Ven til stell an trieb I-Ver hal ten. Die Zeit konstan te des Mo tors sei ver nach läs sig bar; eben so die Zeit kon stan te der Tempe ra tur-Er fas sung (siehe Tabelle 3.3).

Bild 5.13

Anlagenschema zur Temperatur-Regelung mittels Wärmetauscher

Die An la gen pa ra me ter sind: K K

R = 10 S = 1

w N = 50 Hz w E1 = 150 Hz T i = 0,1 s

Es ist das Blockschaltbild zu zeichnen und die Sta bi li tät im Bode-Dia gramm in asymp to ti scher Nä he rung zu un ter su chen. Au ßer dem ist die Sta bi li täts aus sa ge mit dem Schnitt punkt kri te ri um nach Gleichung 5.9 gesucht.

Auf ga be 5.2 Für je den Frei heits grad ei nes In du strie robo ters ist eine Re ge lung er for der lich. Die se soll je weils mit ei nem PI-Regler er fol gen (Bild 5.14). Die voll stän di ge Re ge lung ist hier le dig lich als ein schlei fi ger Re gel kreis zu un ter su chen. Der ge samte Ro bo ter an trieb läßt sich dann auf das PT 2 -Ver hal ten und die Ist wert er fas sung auf das PT 1 -Ver hal ten re du zie ren. Die Tot zeit der einzelnen Stromrichter sei vernachlässigbar.

5.2 Bode-Dia gramm

195

Die Pa ra me ter lau ten so mit: K K K

w N = 20 Hz w E1 = 10 Hz w 0 = 40 Hz

R = 56 S1 = 1 S2 = 0,316

d =1

Es ist die Sta bi li tät im Bode-Dia gramm in asymp to ti scher Nä he rung zu un ter su chen. Au ßer dem ist die neue Reglerverstärkung K R * für ei nen Pha sen rand von a R = 45° gesucht.

Bild 5.14

Anlagenschema eines Roboterantriebes mit fünf Freiheitsgraden

Auf ga be 5.3 Der Dreh zahlre gel kreis ei ner Fräs ma schi ne zeigt für den schwin gungs fä hi gen Teil der Me cha nik PT2 -Ver hal ten. Der Zu sammen hang zwi schen Be schleu ni gungs mo ment und Dreh zahl des An triebs hat In te gralver hal ten (s.S.116). Die Meß wert er fas sung der Dreh zahl hat PT 1 -Ver hal ten. Die Pa ra me ter der Re ge lung sind: K R = 1,778 KS1= 1 KS2= 1

w w w

N = 2,5 Hz E1 = 20 Hz 0 = 50 Hz

w

V

= 20 Hz

Xs = 10

w i = 2,5 Hz Im Bode-Dia gramm ist die Sta bi li tät der Rege lung zu un ter su chen. Zur Ver bes se rung der Re gel dy na mik soll die Reg ler ver stär kung um D K 0 = 5dB ver än dert wer den, so daß sich die neu en Wer te K R*, w D * und a R * erge ben. Des Wei te ren sind K Rkrit und w z zu er mit teln.

196

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Auf ga be 5.4 Das fol gen de Block schaltbild zeigt die ver ein fach te La ge re ge lung ei nes Flug zeugs für Dreh be we gun gen um die Längs ach se bei klei nen Aus len kun gen (Bild 5.15). Die se Be we gung ist durch den Roll win kel a ge kenn zeich net. Es wird von ei nem star ren Flug kör per aus ge gan gen. Das ae ro dy na mi sche Dreh mo ment, wel ches die Dreh be we gung dämpft und von der Dreh ge schwin dig keit d a / dt abhängt, ist vernachlässigt.

Bild 5.15

Blockschaltplan einer Rollwinkel-Regelung für ein Flugzeug

Die Be ein flus sung des Roll win kels er folgt durch das Quer ru der. Es wird von ei nem PD-Reg ler mit tels elek tro hydrau li schem Stell an trieb betätigt. Die Re ge lung weist fol gen de Pa ra me ter auf: K K

R = S =

9 1

x s = 1,5 w V = 0,8 Hz w E1 = 5 Hz wi1 = wi2 = wi = 0,4Hz ( Ti1 = Ti2 = Ti = 2,5s)

Es sind die Si mula tio nen des Bode-Dia gramms für den un be grenz ten und auf Xs=1,5 be grenz ten PD-Reg ler mit ein an der zu vergleichen.

5.3

Ny quist-Kri te ri um

Das Ny quist-Kri te ri um er mög licht, aus ge hend von dem Fre quenz gang F 0 ( j w ) des offe nen Re gel krei ses, eine Sta bi li täts aus sa ge über den ge schlos se nen Re gel kreis. Es läßt sich in Orts kur ven-Dar stel lung und im Bode-Dia gramm be han deln. Die Aus wer tung in Orts kur ven form ist so wohl gra phisch als auch rein rech ne risch mög lich. Dazu be nutzt man die in Ab schnitt 3 an ge ge be nen kom ple xen Fre quenz gang glei chun gen der Re gel kreis glie der. Ihre Dar stel lung in der kom ple xen Ebe ne nennt man Orts kur ve. Die wich tig sten Orts kur ven und die zu ge hö ri gen Glei chun gen linearer Regelkreisglieder sind in Tabelle 5.1 und Tabelle 3.1 dargestellt.

5.3 Ny quist-Kri te ri um Ta bel le 5.1

Über tra gungs funk tion, Fre quenz gang und Orts kur ve wich ti ger li nea rer Re gel kreis glie der

197

198 Ta bel le 5.1 (Fort set zung)

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

5.3 Ny quist-Kri te ri um

199

Bei der Her lei tung des Ny quist-Kri te ri ums geht man von der ge bro che nen ra tio na len Über tra gungs funk tion F0 (p) des offe nen Re gel krei ses aus. Es sei

F

0

(p) =

Z N

(p) 0(p)

0

,

mit Grad [Z 0 (p)] < Grad [N0 (p)]. Die se Be din gung ist bei al len tech nisch rea li sier ba ren phy si ka li schen Sy ste men stets erfüllt. Die Pole pk des offe nen Re gel krei ses erge ben sich ent spre chend der Glei chung 5.1 aus der cha rak ter isti schen Gleichung N 0 ( p)=0

.

Die in ter es sie ren de Sta bi li täts aus sa ge für den ge schlos se nen Re gel kreis er hält man z.B. mit Gleichung 2.45 F 0(p) = 1 + F 0 (p ) Z

Z 0(p) ( p ) + N 0(p) 0

.

Durch Null set zen des Nen ner aus drucks er hält man auch hier die Pole des geschlos se nen Re gel krei ses. Da mit ent spre chen die Null stel len der Funk tion 1 + F 0 ( p ) den Pol stel len des ge schlos se nen Re gel krei ses. Die se Pol stel len stimmen demnach mit de nen des offenen Regelkreises überein. Die Ver tei lung und Lage der Pole in der p-Ebe ne ent schei det über die Sta bi li tät der Re ge lung. Nach Nach weist /43/ ist die Pol ver tei lung von der Win kel än de rung D j ( w ) des Po ly noms N0 (p)=0 ab hän gig. Jede Wur zel des Po ly noms lie fert ei nen Bei trag + p / 2 , wenn sie in der lin ken p-Halb ebe ne liegt und ei nen von - p / 2 , wenn sie in der rech ten p-Halb ebe ne liegt. Die Win kel än de rung wird durch ei nen Fahr strahl im kri ti schen Punkt P K für den Be reich von w = 0 . . . ¥ beschrieben. Zur Er mitt lung von D j ( w ) wird die Orts kur ve der Funk tion 1+F 0 (p) meist um den Wert 1 nach links ver scho ben (Bild 5.16). In die sem Fall liegt der kri ti sche Punkt bei P K =[-1;j0]. In die sem Buch wird der kri ti sche Punkt vor nehmlich auf P K =[+1;j0] ge legt. Dies ist mög lich, wenn der Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses mit F 0 ( j w ) = - F R × F S be zeich net wird. Nimmt man für n die An zahl der Pole in der rech ten p-Halb ebe ne an, für nl die An zahl der Pole in der lin ken p-Halb ebe ne, so wie n i die An zahl der Pole auf der ima gi nä ren Ach se, ergibt sich eine all ge mei ne Fas sung des Ny quist-Kri teri ums. Die Sta bi li täts be din gung lautet dann:

200

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.16

Fahrstrahl und zugehörige Ortskurven zur Deutung von D j ( w )

Ein ge schlos se ner Re gel kreis ist ge nau dann sta bil, wenn der im kri ti schen Punkt P K =[+1;j0] an die Orts kur ve F 0 ( j w ) des of fe nen Re gel krei ses ge leg te Fahr strahl im Be reich von w = 0 . . . ¥ eine ste ti ge Win kel än de rung D j ( w ) be schreibt. Zur Ver an schau li chung sind in Bild 5.17 ei ni ge Bei spie le auf ge zeigt. Als Glei chung for mu liert lau tet die all ge mei ne Form des Ni quist-Kri te ri ums:

Dj (w ) = p ×n

r

+

p ×n 2

i

(5.13)

Hat F 0 (p) kei ne Pole auf der imagi nä ren Ach se (n i=0), be ginnt die Orts kur ve für w = 0 auf der reel len Ach se und en det für w = ¥ im Ur sprung der kom ple xen Ebe ne. Hat F 0 (p) Pole im Ur sprung (n i>0), dies deu tet auf das I-Ver hal ten

5.3 Ny quist-Kri te ri um

Bild 5.17

201

Ortskurve, Polverteilung und Stabilitätsaussage einiger Regelungen

202

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

hin, be ginnt die Orts kur ve für w = 0 im Unend li chen und en det für w = ¥ im Ur sprung. Hat F 0 (p) un end lich vie le Schnitt punkte mit der reel len Achse, dies deu tet auf ein zu sätz li ches Tot zeit ver hal ten hin, en det die Orts kur ve für w = ¥ im Ursprung bzw. geht in einen Kreis um den Ursprung über. Beim ver ein fach ten Ny quist-Kri te ri um, das für vie le Fäl le völ lig aus reicht, be trach tet man nur Re gel krei se, die kei ne Pole in der rech ten p-Halb ebe ne auf wei sen und ma xi mal zwei Pole im Ur sprung be sit zen (n= 0, n i=[0;1;2]). Dann lau tet die Stabilitätsbedingung: Gilt für die Pol ver tei lung des auf ge schnit te ne n Re gel krei ses n=0 und n i =[0;1;2], so ist der ge schlos se ne Re gel kreis ge nau dann sta bil, wenn der Fahr strahl in P K an die Orts kur ve F 0 ( j w ) ge legt, im Be reich w = 0 . . . ¥ die ste ti ge Win kelän de rung D j ( w ) be schreibt. Als Glei chung for mu liert lau tet das ver ein fach te Ni quist-Kri te ri um somit:

Dj (w) =

p ×n 2

(5.14)

i

Häu fig wird die Sta bi li täts be din gung des ver ein fach ten Ny quist-Kri te ri ums auch auf fol gen de Wei se ausgedrückt. Hat der of fe ne Re gel kreis die Pol ver tei lung n=0 und ni=[0;1;2], so ist der ge schlos se ne Re gel kreis sta bil, wenn der kri ti sche Punkt P K =[+1;j0] im Sin ne wach sen der w-Wer te rechts von der Orts kur ve F 0 ( j w ) liegt und a R > 0° ist. So mit gilt: F

0

( jw ) = - F

R

×F

S

< 1

für

a

R

> 0°

bzw. Re [F

(5.15) 0

(w z )] < 1

f ür

Im [F

0

(w z ) = 0]

Maß ge bend ist also der Teil der Orts kur ve, der dem kri ti schen Punkt am näch sten liegt. Ge nau so wie beim Bode-Dia gramm läßt sich auch aus der Orts kur ve von F 0 ( j w ) der Pha sen rand a R und der Ampli tu den rand A R ab le sen (Bild 5.18).

5.3 Ny quist-Kri te ri um

Bild 5.18

203

Ortskurven zur graphischen Definition der Stabilität nach Nachweist

Man er hält die kri ti sche Fre quenz w z für den Fall, daß Im [F 0 ] = 0 ist. Der Real teil des komple xen Zei gers F 0 ( j w ) an der Stel le w z ent spricht dann dem re zi pro ken Wert des Ampli tu den ran des A R . Wie im Bode-Dia gramm ergibt sich die Durch tritts fre quenz w D bei dem Wert | F 0 | = 1 . Dies ist der Fall, wenn die Orts kur ve den Ein heits kreis schnei det. Mit Hil fe von w D läßt sich schließ lich die Pha sen re ser ve a R er mit teln. Da die Wer te von w z und w D aus der Gra phik nicht di rekt ab les bar sind, emp fiehlt sich für die Sta bi li täts aus sa ge die An wen dung des folgenden Formelsatzes: Im F

= 0

0

®

w

z

Re [ F

0

(w

z

)] < 1

®

Regelung

Re [ F

0

(w

z

)] = 1

®

K

z

1 )] = A R

stabil =K

Rkrit

R

×A

R

(5.16) Re [ F

|F

0

a

R

0

(w

| = 1

= arctan

®

A

®

w

Im [ F 0 ( w D ) ] = j Re [ F 0 ( w D ) ]

0

R

D

(w

D

) + 180°

204

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bei spiel: Ein P-Reg ler wirkt auf eine PT1 -I-Strec ke. Die Re ge lung soll mit dem ver ein fachten Sta bi li täts-Kri te ri um nach Ni quist auf Sta bi li tät un ter sucht wer den. Die Parameter lauten: K K

R S

= 100 =1

T 1 = 1s T i = 1s

Aufge teilt in Real- und Ima gi när teil wird zunächst F F

R

= K

und

R

F

= K

S

S

×

er mit telt. Es gilt:

0

-wT

- j

1

w T i(1 + w

2

T

.

2

1

)

Da mit er hält man F

0

= -F

R

×F

= K

S

wT

×

0

+ j

1

w T i(1 + w

2

T

1

2

. )

Nun läßt sich der For melsatz 5.16 an wen den: Im F

0

= 0 = K

0

×

1 w

z

T i(1 + w

z

2

Dar aus ergibt sich eine kri ti sche Fre quenz von w Re [ F 0 ( w z ) ] = K 0 ×

w w

z

T

1

T i(1 + w

z

z

T z

2

1

2

. )

= ¥ . Es folgt dann mit

T

1

2

)

| w z® ¥ = 0

daß die Re ge lung sta bil ist und eine Ampli tu den re ser ve von A weist. Die Durchtritts fre quenz ergibt sich aus F

0

= 1 = K

0

2

×

1 w

D

2

Ti

2

(1 + w

Es ist demnach die Glei chung w

D

4

+

w

D

T

1

2 2

K

T

1

0 2

2

Ti

2

= 0

D

2

T

1

2

R

. )

= ¥ auf -

,

5.3 Ny quist-Kri te ri um zu lö sen. Mit der Sub sti tu tion z = w

205

D

2

er hält man eine Durch tritts fre quenz

von w D = 30,843 Hz . Da mit ergibt sich ein Pha sen rand von a R = 17,964° . Die se Wer te las sen sich auch aus der Ergeb nis-Li ste der Si mu la tion ent neh men (Bild 5.19). Das Ny quist-Dia gramm zeigt, daß sich der Fre quenz gang F 0 für w ® 0 der Asymp to te K 0 × T 1 / T i = 10 nä hert und für w ® ¥ im Koordinaten-Urpsrung endet.

Bild 5.19

Nyquist-Diagramm der Regelung aus P-Regler und PT1-I-Strecke

206

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bei spiel: Ein Re gel kreis aus P-Reg ler und PT 1 -PTt-Strec ke soll im Ny quist-Dia gramm auf Sta bi li tät ge prüft wer den. Au ßer dem ist die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit ge sucht. Die Parameter lauten: K K K

R S1 S2

= 5,5638 =1 =1

T 1 = 0,05 s T t = 0,016 s

Auf ge spal ten in Real- und Ima gi när teil ergibt sich für den Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses:

F0 = K 0 ×

w T 1 × sin w T t - cos w T

+ j ( w T 1 × cos w T

t

1 + w

2

T

t

+ sin w T

1

Mit Hil fe des For mel sat zes 5.16 ergibt für die kriti sche Fre quenz w Im F

= 0 = K

0

0

×

w

z

T 1 × cos w

z

1 + w

t

)

2

T z

2

+ sin w

t

T

1

z

T

z

mit

t

2

die tran szen den te Glei chung w

z

T

1

= - tan w

z

T

t

,

de ren Lö sung den Wert w z » 109,47 Hz ergibt. Da mit läßt sich die kri ti sche Reg ler ver stär kung er mit teln. Mit dem For mel satz 5.16 folgt

Re [ F 0 ( w z )] = 1 = K Rkrit × K S ×

w

z

so daß sich ein Wert von K Rkrit = 5,564

T 1 × sin w

z

1 + w

T t - cos w z

2

T

1

2

z

T

t

,

er rech nen läßt.

Die Si mula tion des Ny quist-Dia gramms in Bild 5.20 zeigt, daß die Re ge lung sich mit den ge ge be nen Pa ra me tern prak tisch an der Sta bi li täts gren ze be fin det. Es sei hier an ge merkt, daß SIM LER-PC für Wer te von a R = 1° . . . 0° das Sta te ment “Stab-Gr.”, d.h. Sta bi li täts gren ze ausgibt.

5.3 Ny quist-Kri te ri um

Bild 5.20

Nyquist-Diagramm der Regelung aus P-Regler, PT1-PTt-Strecke

207

208

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Die Sta bi li täts auss sa ge mit Hil fe der Schnitt punkt form, wie sie be reits im Bode-Dia gramm an ge wen det wur de, läßt sich auch auf die Orts kur ven-Dar stel lung des Ny quist-Kri te ri ums über tra gen. Ei ni ge Bei spie le sind in Bild 5.21 aufgeführt. S p sei die An zahl der po si ti ven und S n die An zahl der ne ga ti ven Schnitt punk te des Fre quenz gangs F 0 mit der reel len Ach se der Gau ß schen Zah len ebe ne für den Be reich rechts vom kri ti schen Punkt P K . Ein po si ti ver Schnitt punkt wird als Übergang der Orts kur ve von der un te ren in die obe re Halb ebe ne ge wer tet, ein ne ga ti ver Schnitt punkt ent spricht dem umge kehr ten Übergang der Orts kur ve mit wach sen der Fre quenz w . Für Dop pel po le im Ur sprung wird der Be ginn der Orts kur ve bei w = 0 als hal ber po si ti ver Schnitt punkt ge wer tet für Re [ F 0 ( w = 0 ) ] > 0 und als hal ber ne ga ti ver Schnitt punkt für Re [ F 0 ( w = 0 ) ] < 0 . n sei die An zahl der Pole in der rech ten p-Halb ebe ne und n i die An zahl der Pole auf der ima gi nä ren Achse. Die Sta bi li täts be din gung als ste ti ge Win kel än de rung in Schnitt punkt form formu liert lautet dann:

Dj = 2p(S

p

-S

) +

n

p n 2

i

für

n i = [0 ;1 ]

für

n i =2

(5.17) D j = 2 p ×( S

p

-S

n

)

Durch Gleich set zen der Glei chung 5.13 des voll stän di gen Ny quist-Kri te ri ums mit der Glei chung 5.17, er hält man das Schnitt punkt-Kri te ri um nach Nachweist (verglei che mit Gleichung 5.8). Ein ge schlos se ner Re gel kreis ist da nach sta bil, wenn die Be din gung S

p

- S

n

=

S

p

- S

n

=

nr 2

für

n i = [0 ;1 ]

für

n i =2

bzw.

er füllt ist.

n

+1 2

r

5.3 Ny quist-Kri te ri um

Bild 5.21

209

Ortskurve, Polverteilung und Stabilitätsaussage einiger Regelkreise

210

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Auf ga be 5.5 Es soll eine Re ge lung aus PD-Reg ler und PT 1 -PTt-Strec ke nach dem Ny quist-Kri te ri um in Orts kur ven-Dar stel lung be trach tet wer den. Die Pa ra me ter sind: K K K

R S1 S2

= 10 = 1 = 1

T V = 5 ms T 1 = 0,1 s T t = 1 ms

Auf ga be 5.6 Für ei nen Re gel kreis aus PID-Regler und PT 1 -Strec ke ist die Sta bi li tät nach Nach weist in Orts kur ven dar stel lung zu un ter su chen. Die Pa ra me ter lauten: K K

R S

=5 = 1

T T

N = 1=

0,1 s 0,05 s

T

V

= 8 ms

Auf ga be 5.7 Eine Re ge lung be ste he aus dem PD-Regler und ei ner PT 1 -I 2 -Strec ke. Es ist die Orts kur ve nach dem ver ein fach ten und voll stän di gen Ny quist-Kri te ri um zu un ter su chen. Ge ge ben sind die Werte: K K

R S

= 10 = 1

T V = 8 ms T 1 = 0,02 s T i = 0,1 s

Auf ga be 5.8 Ein PI-Reg ler soll eine I-PTt-Strec ke re geln. Es ist die Sta bi li tät nach dem Ny quist-Kri te ri um zu un ter su chen (auch mit Hil fe von SIM LER-PC). Ge ge ben sind die Werte: K K

R S

= 100 = 1,2

T N = 0,25 s T t = 0,01 s T i = 1,2 s

5.4 Z.O.V.

5.4

211

Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren (Z.O.V.)

Das Zwei-Orts kur ven-Ver fahren wird immer dann vor teil haft eingesetzt, wenn der Regel kreis Nicht li nea ri tä ten ent hält wie Si gnal be gren zung, An sprech schwel le, Hy ste rese und Tote Zone /31/. Die Orts kur ve des Re gel kreises wird dann aufge teilt in die des Reglers F R und in die der Strec ke in Form von -1 / F S . Pra xis nah ge nügt beim Z.O.V. die An wen dung des ver ein fach ten Ny quist-Kri te ri ums. Da von soll hier aus ge gan gen wer den. Da bei gibt es zwei Mög lich kei ten die Sta bi li tät zu untersuchen. Man er mit telt zu nächst die Durchtritts fre quenz w D . Es gilt nach dem For mel satz 5.16, daß der Fre quenz gang be trag | F 0 | bei der Durch tritts fre quenz Eins wird, also er hält man mit |F

0

| = |- F

R

×F

S

| = 1

eine Be stim mungs glei chung für w

|F

R

| = | -1 / F

S

D

der Form:

®

|

w

D

(5.18)

Für die gra phi sche Aus wer tung des Pha sen ran des a R nach dem Z.O.V. be nö tigt man den Pha sen win kel j R ( w D ) des Reg lers und den Pha sen win kel j S ( w D ) des in ver sen Fre quenz gangs -1 / F S . Mit j

S

(w

D

) = -(j

S

(w

D

) + 180° )

er hält man dem nach ei nen Pha sen rand von

a

R

= j

R

(w

D

) - j

S

(w

D

)

der bei Sta bi li tät der Rege lung größer als Null ist.

(5.19)

212

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Die zwei te Mög lich keit für die Sta bi li täts aus sa ge im Z.O.V. ist mit den Realund Ima gi när tei len aus der Glei chung 5.18 gegeben. Es wird zu nächst die kri ti sche Fre quenz w z er mit telt, die bekannt lich dann vor liegt, wenn a R = 0 ist. Aus der Glei chung 5.19 ergibt sich für die sen Fall j

R

(w

) - j

z

S

(w

z

) = 0

.

Es liegt da mit eine Be stim mungsglei chung für w j

R

= j

tan j

bzw.

S

R

= tan j

z

vor: ®

S

w

z

(5.20)

Mit Hil fe die ser Be zie hung läßt sich die Sta bi li tät ei nes Re gel krei ses nach dem For mel satz 5.16 fe stel len. Es gilt dort die Sta bi li täts be din gung Re [ - F

R

(w

)×F

z

S

(w

z

)] < 1

.

Wen det man die se For mel auf des Z.O.V an, ergibt sich die fol gen de Sta bi li täts aus sa ge: Re [ F

R

(w

z

) ] < Re [ - 1 / F

S

(w

z

)]

bzw.

(5.21)

Im [ F

R

(w

z

) ] < Im [ - 1 / F

S

(w

z

)]

Für die in der Pra xis am häu fig sten vor kommenden Strec ken sind die ne ga ti ven in ver sen Orts kur ven und ihre zu ge hö ri gen Fre quenz gän ge in Ta bel le 5.2 zusammengestellt. Aus dem For mel satz 5.16 läßt sich auch entneh men, wie man beim Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren die Ampli tu den re ser ve A R be rech net. Es gilt:

A

R

= Re [

-1 / F S ( w z ) ] F R (w z )

(5.22)

5.4 Z.O.V. Ta bel le 5.2

213 Ne ga ti ve in ver se Orts kur ven wich ti ger Regel strec ken und ihr zu ge hö ri ger Fre quenz gang

214

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Zur Un ter su chung von Re gel krei sen mit Nicht li nea ri tä ten ist das Z.O.V. be son ders gut ge eig net. Man er mit telt zu nächst die ne ga ti ve in ver se Orts kur ve der li nea ren Re gel kreis glie der be ste hend aus Reg ler und Strec ke, also 1 = F0

F

-1 R ×F

. S

An schlie ßend wird die Orts kur ve der Be schrei bungs funk tion N ( x$ e ) des nicht li nea ren Re gel kreis glie des darge stellt. Die Sta bi li täts aus sa ge hängt dann von der Art der Nicht li nea ri tät ab, die durch An gabe ih res Sta bi li täts ge bie tes beschrieben ist. Mit ge ge be nem Reg ler und ei ner be kann ten Strec ke läßt sich in ei ner Gra phik die Sta bi li tät bei ver schie de nen Nicht li nea ri tä ten un ter su chen. Es muß dann ent spre chend Glei chung 5.21 für Stabilität gelten: Re [N ( x$

e

) ] < Re [ - 1 / ( F

R

×F

S

)]w

z

.

(5.23)

Bei spiel: An ei nem Re gel kreis aus PI-Reg ler und PT 2 -Strec ke soll das Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren er läu tert wer den. Die Pa ra me ter lauten: K K

R S

=1 = 1

T N = 0,08 s T 2 = 0,1 s

d = 0,5

Aus der Ta bel le 3.1 las sen sich die Betrags fre quenz gän ge von Regler und Strec ke ent neh men, so daß sich mit Glei chung 5.18 für die Durch tritts fre quenz w D fol gen de Be stim mungs glei chung ergibt:

K

R

1+

1 w

D

2

T

N

2

=

1 K S

( 1- w

D

2

T

2

2

)

2

+ 4d

2

w

D

2

T

2

2

.

Man er hält ei nen Wert von w D » 12,672 Hz . Mit Hil fe der Glei chung 5.19 läßt sich nun der Pha sen rand an ge ben. a

R

= arctan

w

-1 D T

- arctan N

-2d w w

D

2

T

D 2

T 2

2

- 1

.

5.4 Z.O.V.

215

Es ergibt sich ein Wert von a

R

» 19,84° . Da mit ist die Rege lung sta bil.

Mit Hil fe der Glei chun gen 5.20 und 5.22 läßt sich auch die Am pli tu den re ser ve A R an ge ben. Man er hält mit tan j

R

=

-1 wz T

= tan j

S

-2d w

=

w

N

2 z

T

z

T 2

2

2

-1

eine kri ti sche Fre quenz von w z = 22,361 Hz . So mit hat die Ampli tu denre ser ve nach Glei chung 5.22 ei nen Wert von A R=4. Die Ergeb nis se die ses Bei spiels sind in Bild 5.22 darge stellt. Dort ist auch auf ge zeigt, wie sich die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit ab le sen läßt.

Bild 5.22

Ortskurven der Regelung aus PI-Regler und PT2-Strecke

Bei spiel: Ein Re gel kreis aus PI-Reg ler mit Hyste re se und ei ner PT 1 -PTt-Strec ke soll mit dem Z.O.V. auf Sta bi li tät un ter sucht wer den. Der zu ge hö ri ge Block schaltplan ist in Bild 5.23 darge stellt. Die Parameter sind:

K K K

R S1 S2

=5 = 1 = 1

Ù

T N = 0,2 s x e = 10 V T 1 = 0,1 s T t = 0,001 s ( 0,04 s )

216

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.23

Blockschaltplan einer Regelung mit hysteresebehaftetem PI-Regler

Wie be reits be schrie ben wird bei Re ge lun gen mit Nicht li nea ri tä ten zu nächst die ne ga ti ve in ver se Orts kur ve der li nea ren Re gel kreis glie der er mit telt. Es ergibt sich:

Re [

Im [

1 ]= F0

1 ]= F0

(

T1 - 1 ) cos w T TN K

(

0

t

2

w

- (wT

0 ×(1 +

1 wT

+

1

1

×( 1 +

T1 - 1 ) sin w T TN K

+ (wT

t

2

T

N

+

1 wT

1

1 w

2

T

2

N

) sin w T

t

N

,

)

) cos w T

t

N

.

)

Mit der Glei chung 3.51 ist die Orts kur ve der Hy ste re se ge ge ben, sie lau tet mit 2x

a =1 -

Ù

N (x

e

) =

^

x

t

:

e

1 1 + × arcsin 2 180

a+

a × 1- a p

2

+j

1 (a p

2

-1) .

Ù

In ei nem Schnitt punkt der bei den Orts kur ven, sind die bei den Zei ger N ( x

e

)

und 1 / F 0 gleich groß; dies muß für die Real- und Ima gi när tei le gel ten. Der Vergleich der Ima gi när tei le lie fert eine Glei chung zur Be rech nung von x t : Ù

x

t

xe = + 2

Ù

Ù

2

xe + 4

p x e2 [ (

T1 -1 ) sin w T T N 4K

0

t

(1+

- ( wT

1

+

1 w2 T

N

2

1 ) cos w T wT N )

t

] .

5.4 Z.O.V.

217 Ù

Die se Glei chung setzt man in den Real teil von N ( x Ù

Re [ N ( x

e

)] - Re [1 / F

0

e

) ein und er hält mit

] = 0 eine Be stim mungsglei chung für w

z

, die dann

auch den Wert von x t lie fert:

1 a + 1- a 2 p

2

T 1 ( 1 -1 ) cos w T t + ( w T 1 + arcsin a T N wT + 1 180 K 0 (1+ ) 2 w T N 2

Man er hält eine kri ti sche Fre quenz von w Wert x t » 6,75192 V .

z

» 12,15112

) sin w T N

t

=0 .

Hz und da mit ei nen

Wie sich aus dem Bild 5.24 ergibt, schnei den sich die zu ge hö ri gen Ort skur ven im Punkte P 1 bei dem er rech ne ten Wer te paar w z und x t , so daß die Re ge lung Dau er schwin gun gen der Fre quenz w z » 12,15 Hz ausführt. Wie die Be trach tung des Sta bi li täts ge bie tes der Hy ste re se zeigt, kann eine Vergrö ße rung der Ampli tu de von x e in das in sta bi le Ge biet füh ren, weil dann der Ù

Zei ger von N ( x

e

) grö ßer als 1 / F

0

ist. Nur wenn sich die bei den Orts kur -

ven nicht schnei den, ist die Re ge lung un be grenzt sta bil (falls sie ohne Hy ste re se be reits sta bil war). Dies ist auch für T t < < T 1 < T N der Fall.

Bild 5.24

Auswertung der vorliegenden Regelung mit dem Z.O.V.

218

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bei spiel: An ei ner Re ge lung aus PI-Reg ler und PT 3 -Strec ke soll der Ein fluß der Si gnal be gren zung, An sprech schwel le und Hy ste re se im Zu sammen hang auf zei gen wer den (Bild 5.25). Die ent spre chen de Ana log schal tung zur Si mu la tion der ein zel nen Ein flüs se ist in Bild 5.26 abgebildet.

Bild 5.25

Blockschaltplan einer Regelung mit nichtlinearen Gliedern

Die Pa ra me ter der li nea ren Re gel kreis glie der lauten:

K K K K

R S1 S2 S3

= 10 = 1 = 1 = 2

Ù

T N = 1,5 s T 1 = 1,5 s T 2 = 0,022 s T 3 = 0,47 s

x

e

= 10 V

Die Orts kur ve der li nea ren Glieder ergibt sich mit der Gleichung 1 / F in Real- und Ima gi när teil auf ge spal ten fol gen de Form annimmt: T 1 Re [ ]= F0

Im [

1 ]= F0

1

+T 2 +T T N

3

-1- w 2 ( K

w3 T 1T 2 T

3

- w (T

1

T

1

T T

2

T

3

-T

1

T

2

-T

1

T

3

-T

2

T

3

0 (1 +

2

+T

, die

)

N

,

1 w2 T

N

2

)

T 1T 2 T 1T 3 T 2 T 3 1 )wT T N T N T N 1 K 0 (1 + ) w2 T N 2

+T

0

3

-

N

und in Bild 5.27 darge stellt ist. Zu nächst wird der Ein fluß der Si gnal be gren zung be trach tet. Dazu ist in Bild 5.26 die Brüc ke A - B durch die Be gren zer schal tung zu ersetzen.

5.4 Z.O.V.

Bild 5.26

219

Analogschaltung der Regelung nach Bild 5.25

220

Bild 5.27

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Ortskurven der Regelung nach Bild 5.25 für zwei Nichtlinearitäten

Aus Bild 5.27 ist zu er se hen, daß es zwi schen der Orts kur ve 1 / F 0 und der Si gnal be gren zung kei nen Schnitt punkt gibt. Die Re ge lung ein schließ lich die ser Nicht li nea ri tät ist demzu fol ge sta bil. Es kommt al ler dings zu ei ner blei benden Re gel diffe renz x d , wenn die Si gnal be gren zung Xs un gün stig ge wählt wird. Dies für K S × X S < w der Fall. Die se Aus sa ge läßt sich durch ein Oszillogramm bestätigen (Bild 5.28).

Bild 5.28

Sprungantworten bei verschiedenen Signalbegrenzungen

5.4 Z.O.V.

221

Für ei nen Soll wert sprung von 10 V ist die Re gel grö ße x in Ab hän gig keit von ver schie de nen Si gnal be gren zun gen auf ge zeich net. Die Kur ven schar gibt von links nach rechts die Be gren zun gen Xs=[15V; 7,5V; 6V; 5V; 4V] wie der. Bei Xs=4V ergibt sich eine blei ben de Re gel diffe renz von x d =2V, das sind 20% des Soll wer tes. In der Pra xis wer den je doch Si gnal be gren zun gen meist auf den Ma xi mal wert der zu re geln den Grö ße be zo gen. Die ser be trägt in der Ana log tech nik häu fig Xs=10V und ist da mit un kri tisch. Wie das Bild 5.27 wei ter zeigt, er hält man auch beim Vor han den sein ei ner An sprech schwel le eine sta bi le Re ge lung, da kein Schnitt punkt der zu ge hö ri gen Orts kur ven vor liegt. Es stellt sich aber eine Ver zugs zeit ein, die die Re ak tions fä hig keit der Re ge lung auf Stör- und Füh rungs grö ßen än de run gen her ab setzt. Bild 5.29 stellt die Sprung ant wor ten der Re ge lung ohne und mit An sprech schwel le xt =1,1V dar. Nun ist die Brücke C - D in Bild 5.26 durch die Diodenschaltung zu ersetzen.

Bild 5.29

Sprungantworten mit und ohne Ansprechschwelle

Die An sprech schwel le ist oft so gar er wünscht, wenn bei spiels wei se in fol ge von Schwin gun gen der Ist wert er fa sung be stimmte Stö ram pli tu den “aus ge blen det” wer den sol len. Ohne Hy ste re se liegt die Sta bi li täts gren ze der vor lie gen den Re ge lung bei w z » 9,83 Hz . Aus Bild 5.27 geht her vor, daß der Re gel kreis mit ei ner Hy ste re se von x t=8V be reits bei w z » 1,4 Hz an die Sta bi li täts gren ze geht. Es liegt dann ein Schnitt punkt zwi schen 1 / F

Ù

0

und N ( x

e

)

vor. Eine klei ne Än de rung von x t führt zur In sta bi li tät. Da her ist x t auf 10V an ge ho ben wor den. Bild 5.30 gibt das zu ge hö ri ge Oszillogramm der Sprungantworten mit und ohne Hysterese wieder. Da bei zeigt sich eine er heb li che Ver schlech te rung des Re gel ver hal tens, denn bei w=0 (un te re Kur ve) schwingt der Ist wert mit ei ner Ampli tu de

222

Bild 5.30

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Einfluß der Hysterese auf die Sprungantwort der Regelung

von x » 0,5 V . Schal tet man eine Störgrö ße von z = ± 0,4 V hin zu, zeigt sich fol gen des Übergangs ver hal ten (Bild 5.31). Wäh rend die Sprung ant wort des Re gel krei ses ohne Hy ste re se die auf ge schal te te Störgrö ße aus re gelt (obe re Kur ve), ist das bei Vor han den sein der Hy ste rese (mitt le re Kur ve) nicht mehr der Fall. Der Ist wert schwingt dann um ei nen sta tio nä ren Wert mit ei ner Ampli tu de von x » 0,5 V. Die Schalt hy ste re se ana lo ger ste ti ger Reg ler ist je doch sehr ge ring, so daß diese Nichtlinearität kaum in Erscheinung tritt.

Bild 5.31

Einfluß der Hysterese bei Führung und Störung

5.4 Z.O.V.

223

Auf ga be 5.9 Ein Re gel kreis ent hal te eine PT 1 -PTt-Strec ke, die mit ei nem PID-Reg ler ge re gelt werden soll. Es ist die Sta bi li tät nach dem Zwei-Orts kur ven-Ver fahren zu un ter su chen und die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit zu be stimmen. Die Parameter sind: K K K

R S1 S2

= 10 = 1 = 0,5

T N = 0,05 s T 1 = 0,08 s T t = 0,01 s

T

V

= 2 ms

Auf ga be 5.10 Ein Re gel kreis aus PD-Reg ler und PTt-I 2 -Strec ke ist mit dem Z.O.V. auf Sta bi li tät zu un ter su chen. Die Pa ra me ter lauten: K K

R S

= 30 = 1

T V = 8 ms T t = 5 ms T i = 96 ms

Auf ga be 5.11 Eine PT 2 -I-Strec ke soll von ei nem PD-Reg ler ge re gelt wer den, der eine Si gnal be gren zung x S be sitzt (Bild 5.24). Der Re gel kreis ist nach dem Z.O.V. auf Sta bi li tät zu untersuchen.

Bild 5.32

Blockschaltbild einer Regelung mit Signalbegrenzung des Reglers

Da bei ist die Re gel kreis ver stär kung zu nächst K dem ist w

z

0

= 8 , dann K

zu be stim men. Die rest li chen Pa ra me ter sind:

T V = 2 ms T 2 = 0,2 s T i = 1s

Ù

x e = 10 V d = 0,5

0

*

= 4 . Au ßer -

224

5.5

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Re gel kreis o p ti mie rung

Meist liegt die Regel strec ke als tech nisch rea li sier ter Pro zeß vor. Zu den wich tig sten Auf ga ben des Re gel tech ni kers ge hört da her der Ent wurf des pas sen den Reg lers. Zahl rei che Hin wei se zu die sem The ma gibt W. Op pelt in sei nem “Klei nen Hand buch tech ni scher Re gel vorgän ge” /21/. Pro gram me zur rech nerge stütz ten Reg ler-Op ti mie rung sind in Abschnitt 10.5 aufgeführt. All ge mein gül ti ge Kri te rien für ei nen op ti mal ein ge stell ten Re gel kreis wur den be reits zu Be ginn des Ab schnitts 2. ge nannt (sie he auch Bild 1.6). Eine wei te re Mög lich keit, das Übergangs ver hal ten ei ner Re ge lung durch ein Gü te maß zu cha rak ter isie ren, ge lingt mit Hil fe der sog. In te gral kri terien. 5.5.1

Integralkriterien

Es wird die Flä che zwi schen der 100%-Ge ra den (dort ist x=w) und der Füh rungs übergangs funk tion h(t) ge bil det und als Gü te maß für eine op ti mal ein ge stell te Re ge lung be nutzt. Die se Flä che läßt sich durch In te gra tion der Re gel diffe renz x d über der Zeit bestimmen. Je nach dem ge wähl ten Kri te ri um wird die se In te gra tion in un ter schied li cher Wei se vorge nommen. Stellt die ses In te gral ein Mi ni mum dar, kann man von einem op ti mal ein ge stell ten Regelkreis sprechen. Li nea re Re gel flä che Das In te gral über der Diffe renz aus blei ben der und augen blick licher Re gel diffe renz x d , auch li nea re Re gel flä che ge nannt, lautet: ¥

I

L

=

ò [ x d ( ¥ ) - x d ( t ) ] dt = Min.

.

(5.24)

0

Demnach be steht die li nea re Re gel flä che aus po si ti ven und ne ga ti ven Halb wellen ei ner ab klin gen den Schwin gung (Bild 5.33). Ent spre chend die ser De fi ni tion wird I L =0, wenn der Re gel kreis Dau er schwin gun gen aus führt. Das Kri te ri um eig net sich also nur bei zu sätz li cher Festlegung der Dämpfung d. Eine Be rech nung von I L im Zeit be reich ist schwie rig. Man weicht da her mit Hil fe der Car son-La pla ce-Trans for ma tion in den Bild be reich aus.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.33

225

Darstellung einer linearen Regelfläche

Mit Hil fe der Glei chung (2.36) folgt für die li nea re Re gel flä che: ¥

I

L

=

lim

p® 0

ò

[x

d

( ¥ )- x

lim [ x

p® 0

=

lim p® 0

( t ) ]×e

-p t

× dt -

-p t

× dt

0 ¥

=

d

d

( ¥ )× ò e 0

¥

ò

x d( t ) × e

-p t

× dt ]

0

1 [ x d ( ¥ ) - x d ( p ) ] = Min. p

.

Der Grenz wert satz, Ta bel le 2.1 Kor re spon denz Nr. 6, lie fert schließ lich mit I

L

=

lim

p® 0

1 [ lim x d ( p ) - x d ( p ) ] = Min. p p® 0

.

( 5 . 25 )

die ge wünsch te Glei chung für die li nea re Re gel flä che im Bild be reich.

226

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bei spiel: Ge ge ben sei eine Re ge lung aus PD-Reg ler und PT2 -Strec ke, an der das Stör ver hal ten un ter sucht wer den soll. Man er hält dann fol gen de Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses F

0

(p ) = K

1 + pT 0

1 + pT

1

+ p

V 2

T

.

2

2

Ent spre chend Glei chung 2.46 gilt für Stör ver hal ten x( p ) = z( p )×

1 1 + F 0(p)

.

Nimmt man als Störgrö ße die Ein heits sprung funk tion s z ( t ) = C ×s

0

0

( t ) , also

( t ) , bzw. z ( p ) = C , so folgt für die Re gel diffe renz

x d (p)=-x(p), da w=0 ist. Es ergibt sich bei die ser Re ge lung so mit

x

d

( p) = -C×

1 + pT 1 + pT

1

+ p

2

+ p

1

T

2

2

2

T

2

+ K

0

2

. (1 + p T

V

)

Ein ge setzt in die Glei chung 5.25 folgt

I

L

= C × lim

p® 0

1 1 [ p 1+ K

1+ p T

1+ p T

0

1

+p

2

T

1

+p

2

2

2

T

2

+K

0

2

] (1+ p T

V

)

und schließ lich I

L

=

C×K

0

(T 1-T

(1+ K

0

)

2

V

)

= Min.

.

Das ab so lu te Mi ni mum der li nea ren Re gel flä che I L =0 wird bei T V =T1 bzw. K R ® ¥ er reicht. Nimmt man für die Dämpfung die ser Regelung d =

T 2T

2

1

1 + K0

an und geht von d = 1 / 2 aus, läßt sich die Reg ler ver stär kung mit

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

K

=

R

T

1

K

2 S

- T ×T

2

227

2 2

2

an ge ben. Mit die sem Wert ergibt sich ein Mi ni mum der li nea ren Re gel flä che von

I

L

(T

= C×

1

2

T

2

2

-T T

1

4

2

)( T 1 - T

V

4

)

= Min. ,

mit dem sich die Nach stell zeit T V des Reg lers bei ge ge be nen Strec ken-Pa ra me tern be stim men läßt. Be trag der li nea ren Re gel flä che Es hat sich ge zeigt, daß die li nea re Re gel flä che sich nur für gedämpf te Re gel krei se eig net. Ohne die An ga be ei ner Dämpfung d ist die Be rech nung sinn los. Bei dem fol gen den In te gral kri te ri um geht man ei nen an de ren Weg (Bild 5.34). Es wird der Betrag der li nea ren Re gel flä che gebildet, so daß die Gleichung ¥

I

B

=

ò

| x d ( ¥ ) - x d ( t ) | × dt = Min.

( 5 . 26 )

0

folgt. Aus Bild 5.34 ist zu er se hen, daß eine ge schlos se ne Lö sung des In te grals nicht mög lich ist. Da her ist die ses In te gral kri teri um nur für eine nu me ri sche Be hand lung geeignet.

Bild 5.34

Darstellung eines Betrages der linearen Regelfläche

228

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

ITAE-Kri te ri um Mul ti pli ziert man den Be trag der li nea ren Regel flä che mit der Zeit und bil det das In te gral, ergibt sich das ITAE-Kri te ri um (In te grad of Time mul ti plied Abso lu te value of Error). ¥

I

T

=

ò

t × | x d ( ¥ ) - x d ( t ) | × dt = Min. .

( 5 . 27 )

0

Auf die se Wei se er reicht man, daß die mit zu neh men der Zeit ab neh men den Be trä ge der Re gel diffe renz stär ker be rücks ich tigt wer den. Eine ge schlos se ne Lösung des In te grals ist je doch auch hier nicht mög lich. Da her ist die nu me ri sche Auswertung unumgänglich. Qua dra ti sche Re gel flä che In der Pra xis be nutzt man sehr häu fig das Mi ni mum der qua dra ti schen Re gel flä che zur Be ur tei lung und op ti ma len Ein stel lung des Übergangs ver halt ens ei ner Re ge lung (Bild 5.35). Das zugehörige In te gral

Bild 5.35

Darstellung einer quadratischen Regelfläche

¥

I

Q

=

ò

[ x d( ¥ ) - x d( t ) ]

2

× dt = Min.

.

( 5 . 28 )

0

läßt sich für die mei sten prak ti schen An wen dungs fäl le lö sen. Nach tei lig wirkt sich je doch aus, daß gro ße Schwin gungs ampli tu den, wie sie zu Be ginn der Übergangs funk tion auf tre ten, überbewertet werden.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

229

Liegt das In te gral in der Form ¥

I

Q

=

ò

x 2( t ) × dt

0

vor, läßt es sich ele men tar lö sen. Mit der Umkehr for mel der Car son-La pla ce-Trans for ma tion, Glei chung 2.39 folgt: ¥

ò

x 2( t ) × dt =

¥

ò

0

x( t )×

0

p × 2p j

s+ j¥

ò

x ( p ) ×e

pt

× dp × dt

.

s- j¥

Mit s = 0 wird p = j w . Mit der An nah me, daß bei de In te gra le kon vergie ren, er hält man beim Ver tau schen der In te gra tions rei hen fol ge ¥

ò

x 2( t ) × dt =

0

1 × 2p j

+ j¥

ò

x( p )×p

- j¥

¥

ò

x ( t ) ×e

pt

× dt × dp

0

= x(-p) Die Lö sung des In te grals ent spricht der Par se val schen Glei chung. Mit x

2

(t)=[x ¥

I

Q

=

ò

d

( ¥ )- x

x 2( t ) × dt =

0

d

( t )]

1 2p j

2

er hält man schließlich:

+ j¥

ò

x ( p ) × x ( - p ) × dp = Min. .

( 5 . 29 )

- j¥

Stellt x(p) eine ge bro che ne ra tio na le Funk tion in p dar, de ren sämt li che Pole in der lin ken p-Halb ebe ne lie gen, läßt sich die qua dra ti sche Re gel flä che mit dem Re si du en satz, Glei chung 2.42, be rech nen. Es muß gelten:

x( p ) =

a o + a 1 p + a 2 p 2 + . . . + a n-1 p a(p) = b( p ) b o + b 1 p + b 2 p 2 + ... + b n p

n-1 n

.

Für die Po ten zen n=1...4 ist die Lö sung der Glei chung 5.29 in der Ta bel le 5.3 an ge ge ben. Un ter der Vor aus set zung, daß alle par tiel len Ab lei tun gen der Funktion I Q =0 sind, er hält man Be stim mungsglei chun gen für die Regelkreisparameter.

230

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Ta bel le 5.3 Quo tien ten zur Lö sung des In te grals der qua drat. Re gel flä che Bei spiel: Es ist eine Re ge lung aus I-Reg ler und PT2 -Strec ke (T 1 =T 2 ) ge ge ben. Es soll die op ti ma le In te gra tions zeit konstan te T i des Reg lers bei Stör ver hal ten er mit telt werden. Mit F( z) =

x( p ) 1 = z( p ) 1+ F 0 ( p )

und z ( p ) = C so wie x x( p ) = C×

d

( p ) = - x ( p ) folgt pTi+ p

K

S

2

T

+ pTi+ p

1 2

Ti+ p T

1

3

T

Ti+ p

2 3

2

T

Ti 2

2

. Ti

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

231

Mit x

( ¥ ) = lim x

d

( t ) = - lim x ( p ) = 0

d

t®¥

p® 0

und Glei chung 5.29 er hält man aus Ta bel le 5.3 für n=3 die zu ge hö ri gen Ko effi zienten a a a a

=0 , bo=K S , =b1=Ti , =b 2 =T1Ti , 2 Ti . 3 =b 3 =T 2

o 1 2

So mit ergibt sich das In te gral

I

= C

Q

2

×

T i( T 2T

2

2

(T

1 1

2

+T

2

2

T i- K

S

)

T

2

2

.

= Min. )

Bil det man die par tiel len Ab lei tun gen nach T i , T 1 und T2 , erge ben sich drei Be stim mungs glei chun gen für T i : dI

Q

dTi

K

= 0 =

(T

S

T

1

1

2

T i- K

+T S

2

2

T

2

)

.

2

Da nach mü ß te T i ® ¥ ge hen. Da die ser Wert nicht rea li sier bar ist, wird die näch ste par tiel le Ab lei tung dI

Q

dT

= 0 = T i( T

1

2

-T

2

2

)- 2 K

S

T

1

T

2

2

1

be trach tet. Sie lie fert

Ti =

2K T

S 1

T 2

1

T

-T

2

2 2

2

.

Die Be stimmungs glei chung ist rea li sier bar, al ler dings er hält man für T 1 =T2 den Wert T i ® ¥ . Bei der par tiel len Ablei tung nach T 2 dI dT

Q 2

= 0 = T

1

3

Ti - 4K

S

T

2

2

(T

1

2

+T

2

2

)

232

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

ergibt sich schließ lich der op ti ma le Wert

Ti =

4K

S

T

2

2

(T T

1 3

1

2

+T

2

2

)

.

Für T 1 =T 2 er hält man Ti = 8K

S

T

1

.

Auf ga be 5.12 Ge sucht ist die li nea re Re gel flä che I L , so wie die op ti ma le Reg ler ver stär kung K R ei ner Re ge lung aus PI-Reg ler und zwei PT 1 -Strec ken bei Füh rungs ver hal ten.

Auf ga be 5.13 Es ist die op ti ma le In te gra tions zeit konstan te T i bei Stör ver hal ten mit Hil fe der Glei chung 5.28 zu be stim men, wenn: F

R

(p) =

1 pTi

und

F

S

(p)=

K

S

(1 + p T

1

)2

.

Auf ga be 5.14 Ein PI-Reg ler soll bei Stör ver hal ten für eine PT2 -Strec ke mit F

S

(p) =

K

S

(1 + p T

1

)2

op ti miert wer den. Ge sucht ist TN mit Hil fe der Glei chung 5.28 .

Auf ga be 5.15 Für eine Re ge lung aus PI-Reg ler und PT 3 -Strec ke sol len die Reg ler pa ra me ter nach Glei chung 5.28 bei Stör ver hal ten be stimmt werden.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

233

Es ist F

S

(p) =

K

S

(1 + p T

1

.

)3

Die Stö rung greift zwi schen Reg ler und Strec ke an, so daß gilt: F

5.5.2

z

(p) =

x( p ) F S(p) = z( p ) 1 + F R (p)F

S

.

(p)

Symmetrisches Optimum

Das Symme tri sche Op ti mum ist eine Me tho de zur Be rech nung der Reg ler pa rameter aus der Über tra gungs funk tion. Es zielt dar auf ab, bei der Durch tritts fre quenz w D ein Ma xi mum der Pha sen re ser ve a R zu erreichen. C. Kess ler hat die ses Ver fah ren, aus ge hend von sei nem “Be trags-Op ti mum” un ter der Vor aus set zung ent wic kelt, daß der Pha sen gang sym me trisch zur Durchtritts fre quenz verläuft /42/. Die Durch tritts fre quenz soll te im Hin blick auf eine hohe Re geldy na mik mög lichst groß sein. Dies be dingt eine klei ne Pha sen ver schie bung zwi schen x und w. Tre ten in ei nem Re gel kreis meh re re Ver zö ge rungs glie der auf, nimmt die Pha sen ver schie bung al ler dings zwangs läu fig zu. Sie kann je doch durch geschick te Wahl der Reg ler pa ra me ter teilweise kompensiert werden. Es wird da von aus ge gan gen, daß sich der zu un ter su chen de Re gel kreis auf die Über tra gungs funk tion

F

0

(p) = K

0

×

1 + pT p

2

T

N

T

a

(5.30)

N

×( 1 + p T

b

)

re du zie ren läßt. Regel strec ken hö he rer Ord nung mit/ohne I-An teil so wie mit/ohne Tot zeit las sen sich mit dem PI- oder PID-Reg ler pha sen op ti mal ein stel len, wenn die Kor re spon den zen 13 - 15 der Ta bel le 3.5 anwendbar sind.

234

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Vie le Re ge lun gen der An triebs- und Ver fah rens tech nik sind dann nach dem Symme tri schen Op ti mum ein stell bar. Die Her lei tung der For mel n zur Be stimmung der Reg ler pa ra me ter und der Durch tritts fre quenz grün det auf der Vor aus set zung des Pha sen re ser vemaximums bei w D . Fre quenz gang und Be trag der Gleichung 5.30 lauten: F

|F

0

( jw ) = -

0

K 2

w

( jw )| =

T

2

w

×

0 N

T

K

0

T

N

1 + w

2

T

T

+ jw( T

b

1 + w

a

T

N

1 + w 2 TN 2

×

1 + w 2 Tb 2

a

2

T

b

N

- T

b

)

2

,

.

Bei der Durchtritts fre quenz w D soll die Pha sen re ser ve ma xi mal sein, so daß a R nach w zu differ en zie ren und Null zu set zen ist. a

wD ( T N - T b ) Im [ F 0 ( w D ) ] = arctan Re [ F 0( w D ) ] 1 + wD 2 T N T b

= arctan

R

,

¶a R ¶z ¶ = arctan z × = 0. ¶w ¶w ¶z Mit der Sub sti tution wD ( T

- T

1 +

T

b

)

N

T

b

folgt für das Ma xi mum von a

R

z =

w

D

2

(T

N wD 2

N

T

b

2

- T

N

.

bei der Durch tritts fre quenz w 2

T

b

) + T

N

- T

b

D

dann:

= 0 .

An die ser Stel le soll zu sätz lich noch eine Nor mie rung der Regler-Nach stell zeit ein ge führt wer den. Sie lautet:

T

N

= m

2

T

b

(5.31)

Dann ergibt sich die Durch tritts fre quenz

w

D

=

1 mT

(5.32) b

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

235

Der Fre quenz gang be trag wird bei der Durch tritts fre quenz | F0 ( j w D ) | = 1 . Dar aus er hält man eine Glei chung für die Reg ler ver stär kung K R . Durch Ein set zen von Glei chung 5.32 in die Glei chung des Fre quenz gang be tra ges ergibt sich dann

K

=

R

w

D

×T

K

S

a

Ta m×K S ×T

=

(5.33) b

Der Fak tor m läßt sich aus der Pha sen re ser ve bei w a

w

= arctan

R

D

(T

1 + w

D

N 2

- T

b

T

T

N

D

be stim men.

) b

und dar aus durch Ein set zen von Glei chung 5.31 und 5.32 tan a

R

=

sin a cos a

R

=

R

m

2

- 1 . 2m

Es ergibt sich eine ge mischt qua dra ti sche Glei chung für m, mit der Lö sung:

m =

1 + sin a R cos a R

(5.34)

Setzt man die Pha sen re ser ve zwi schen 30° und 60° an, ergibt sich für die Nach stell zeit des Reg lers T N =[3...14]T b . Die se Wer te füh ren auf gute Op ti mie rungsergeb nis se.

Bei spiel: Es liegt eine Strec ke 3. Ord nung mit K S =0,9 vor. Für die zu ge hö ri gen Zeit kon stan ten soll gel ten T 11 = 5 s ; T 12 = 0,4s ; T 13 = 0,15 s . Die Op ti mie rung wird mit ei nem PID-Regler vorge nommen, so daß sich für die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses mit der Rand be din gung des Reg lers TN > TV ergibt: F

0

(p) = K

0

×

pT

N

(1 + p T N )(1 + p T V ) ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T12 ) ( 1 + p T

13

)

236

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Die se Über tra gungs funk tion muß auf die Glei chung 5.30 re du ziert wer den. Dazu ist zu nächst das PT 1 -Glied mit der grö ß ten Zeit konstan te T 11 in ein I-Glied um zu wan deln. Mit Kor re spon denz Nr. 14, Ta bel le 3.5 folgt dann: 1 1 » 1 + pT11 pT11

für

w D T11 >> 1

Da mit er hält man:

F

0

(p) = K

0

×

(1 + p T

N

)(1 + p T

2

V

)

p TN T11 ( 1 + p T12 ) ( 1 + p T

13

)

Der Term (1 + pT V ) muß ver schwin den. Dazu gibt es hier zwei Mög lich kei ten. Lö sung A: Die Vor halt zeit des Reg lers wird mit der klei nen Zeit konstan ten der Strec ke gleich geset zt. Auf die se Wei se ist die Rand be din gung des Reglers si cher er füllt. Wählt man also T V = T 13 =0,15s ergibt sich F0 ( p ) » K

0

×

(1 + p T 2

N

)

.

p TN T11 ( 1 + p T12 )

Durch Ko effi zien ten vergleich mit Glei chung 5.30, an ge wandt auf die Glei chun gen 5.31 - 5.34, kön nen die Reg ler pa ra me ter so wie die Durch tritts fre quenz berechnet werden. Man er mit telt zu nächst mit der ge wünsch ten Pha sen re ser ve den Nor mie rungsfak tor m. Für a R =45° ergibt sich m=2,414 und dar aus: TN = m2 × T12 = 2,331 s wD =

1 m × T12

KR =

T11 m × K S × T12

= 1,036 Hz

= 5,753

Die bei den Rand be din gun gen w D T11 > > 1 und TN > TV sind er füllt.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

237

Lö sung B: Hi er wird TV =T 12 =0,4s ge setzt. Man er hält die Übertragungsfunktion

F0 ( p ) » K

0

×

(1 + p T 2

N

)

.

p TN T11 ( 1 + p T13 )

Damit erge ben sich für die Durch tritts fre quenz so wie die an de ren Reg ler pa ra me ter die Wer te: TN = m 2 × T13 = 0,874 s wD =

1 m × T13

KR =

T11 m × K S × T13

= 2,761 Hz

= 15,341

Die Rand be din gung w D T11 > > 1 ist er füllt, wäh rend die Rand be din gung für den Reg ler we gen T N =2,185×T V nur mä ßig er füllt ist. Bei de Lö sungs-Va rian ten nach dem Symme tri schen Op ti mum sind mit Hil fe von SIM LER-PC in Bild 5.36 darge stellt. In ter es san ter sind je doch die Si mula tio nen des nach dem Symme tri schen Op ti mum ein ge stell ten PID-Reg lers in Ver bin dung mit der Ori gi nal strec ke drit ter Ord nung (Bild 5.37). Ob wohl in der zwei ten Si mula tion nur T N =2,185×T V vor liegt, zeigt die Rege lung bei et wa glei cher Pha sen re ser ve eine grö ße re Re gel dy na mik, da die Durch tritts fre quenz mehr als dop pelt so groß ist. Die Pha sen re ser ve liegt bei bei den Lö sungs-Va rian ten so gar um ca. 10° über der nach dem Symme tri schen Op ti mums gewünschten. Die Reg ler-Ein stel lung mit der zwei ten Lö sungsva rian te nach dem Symme tri schen Op ti mum ist dem nach zu bevorzugen.

Auf ga be 5.16 Die Reg ler pa ra me ter ei nes PI-Reg lers sind mit dem Symme tri schen Op ti mum zu be stim men. Es liegt eine PT 1 -PT1 -Strec ke mit K S =3; T 11 =1,9s und T 12 =0,01s vor. Die Pha sen re ser ve soll 55° betragen.

238

Bild 5.36

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bode-Diagramme nach dem Symmetrischen Optimum

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.37

Bode-Diagramme des optimierten Reglers mit der Originalstrecke

239

240

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Auf ga be 5.17 Es sind die Reg ler pa ra me ter K R, T N und T V mit dem Symme tri schen Op ti mum zu er mit teln ( a R = 60° ). Die Regel strec ke hat die Para me ter K S =2; T 11 =0,47s ; T 12 =0,1s ; T 13 =T 14 =0,01s. Verglei chen Sie die Ergeb nis se mit ei ner Si mu la tion der tat säch li chen Re ge lung. Er mit teln Sie K Rkrit . Auf ga be 5.18 Ge ge ben ist eine PT1 -PT1 -I-PTt-Strec ke. Die Strec kenparameter sind K S =0,75; T 11 =1s; T 12 =0,15s; T i=2,2s und Tt=25ms. Es sind die Reg ler pa rameter K R und T N nach dem Symmetri schen Op ti mum ge sucht (a R = 50° ). Die Ori gi nal-Re ge lung und die, auf das Symme tri sche Op ti mum re du zier te sind im Zeit be reich darzustellen. 5.5.3

Aufhebungskompensation

Bei der Be trach tung von Regel strec ken mit meh re ren Ver zö ge rungs glie dern I. Ord nung liegt es nahe, ei ni ge die ser PT 1 -Strec ken durch eine ent spre chen de Reg ler-Über tra gungs funk tion zu kom pen sie ren. Eine Ver bes se rung der dy na mi schen Ei gen schaf ten der Re ge lung ist mög lich, wenn die pas sen den Zeitkonstanten gewählt werden. Bei spiel: Es liegt eine Strec ke aus drei PT 1 -Glie dern vor, für die der ge eig ne te PID-Reg ler an zu ge ben ist. Die Strec ken-Pa ra me ter lauten: K

S

= 1;

T

11

= 6s;

T

12

= 2s;

T

13

= 0,4 s .

Die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses lau tet dann F

0

(p) » K

0

pT

N

(1 + p T N )(1 + p T V ) ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T 12 ) ( 1 + p T

13

)

mit der Rand be din gung T N >T V . Da mit die obi ge Rand be din gung si cher ein ge hal ten wer den kann, bie tet sich die Auf he bungs kompen sa tion T N =T 11 und T V =T 13 an. Man er hält die Über tra gungs funk tion F

0

(p) » K

0

1 p T 11 ( 1 + p T

12

)

.

Die se und zwei wei te re Lö sungs va rian ten sind in Bild 5.38 im Zeit be reich für K R =2,5 darge stellt.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.38

241

Simulation einiger Lösungsvarianten bei Aufhebungskompensation

242

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Es zeigt sich, daß die Sprung ant wort bei der oben an ge ge be nen Auf he bungs kom pen sa tion (1. Si mu la tion) im Vergleich zu den an de ren Lö sungs va rian ten we nig über schwingt und die klein ste Ausregelzeit aufweist. Ent hält die Regel strec ke be reits ein In te gral glied, schei det die Auf he bungskompen sa tion mit dem PID-Regler aus, da nach der Kompen sa tion zu sätz lich das in te gra le Rest glied 1/pT N übrig bleibt. Hier bietet sich der sog. PD 2 -Reg ler an, der ei ner Rei hen schal tung aus zwei PD-Reg lern ent spricht. Sei ne ana log tech ni sche Rea li sie rung ist in Bild 5.39 dargestellt.

Bild 5.39

Operationsverstärkerschaltung eines PD2-Reglers

Die An wen dung die ses Reg lers soll in Form ei ner Auf ga be und im folgen den Bei spiel mit Hil fe des Pro gramms SIM LER-PC ge zeigt werden.

Auf ga be 5.19 Es ist die Ver stär kung K R=6,5 ei nes PD 2 -Reg lers ge ge ben. Die Pa ra me ter der PT 1 -PT 1 -PT 1 -I-Strec ke lauten: K

S

= 0,7 ;

T

11

= 10 s ;

T

12

= 6s;

T

13

= 2s;

T i = 20 s .

Mit Hil fe ei ner Auf he bungs kompen sa tion sol len die op ti ma len Pa ra me ter T V1 und T V2 des PD2 -Reg lers durch Si mu la tion angegeben werden.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

243

Ent hält die Regel strec ke ein In te gral glied so wie ein Ver zö ge rungs glied II. Ord nung mit ei ner Dämpfung d<1 ist die op ti male Ein stel lung der Re ge lung mit dem klas si schen PID-Regler nur sehr schwer mög lich. Hier bie tet sich der sog. F Rk -Reg ler zur Kompen sa tion der PT2 -Strec ke an.

Bei spiel: Es liegt eine PT 1 -PT 2 -I 2 -Strec ke vor, für die bei Füh rungs ver hal ten und Sprung ant wort der PD 2 -Reg ler ein ge setzt wer den soll. Fol gen de Strekkenparameter sind gegeben: K

S

= 0,9 ; T

11

= 0,2 s ;

T

2

= 0,4 s ;

d = 0,7 ;

T i1 = 0,8 s ;

Ti2 = 4s .

Mit der Über tra gungs funk tion des PD 2 -Reg lers F

R

(p) = K

R

×(1 + p T

V1

)(1 + p T

V2

)

lau tet dann die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses F

0

(p)=

K 2

0

(1 + p T

p T i1 T i2 ( 1 + p T

11

V1

)(1 + p T

)(1+ 2d p T

2

V2

)

+p

2

T

2

2

. )

Wählt man zu nächst le dig lich ei nen P-Reg ler, ergibt sich nach Bild 5.40 eine in sta bi le Re ge lung. In der zwei ten Si mu la tion wur de TV2 = Ti2 ge setzt. Da mit ent steht die Wir kung ei nes PID-Reg ler, es verbleibt eine PT 1 -PT2 -I-Strec ke. Die Re ge lung sta bi li siert sich, schwingt allerdings noch stark über. Da die Dämpfung der PT2 -Strec ke in der Nähe von d=1 liegt, kann sie an nä hernd wie zwei glei che PT 1 -Strec ken an ge se hen wer den. Da her bie tet es sich an, mit TV1 qua si eine Zeit kon stan te der PT 2 -Strec ke zu kompen sie ren. Das Ergeb nis ist in der drit ten Si mu la tion dargestellt. Die Pha sen re ser ve steigt auf ca. 52° und das Über schwin gen der Re gel grö ße wird wei ter re du ziert, so daß ein recht gu tes dy na mi sches Ver hal ten bei Füh rung erzielt wurde.

244

Bild 5.40

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Anwendung des PD2-Reglers bei einer PT1-PT2-I2-Strecke

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

5.5.4

245

Störgrößenaufschaltung

Zur Ver bes se rung des Stör ver hal tens ein schlei fi ger Re gel krei se läßt sich die Störgrö ßen auf schal tung ein set zen. Da bei wird we der die Sta bi li tät, noch das Füh rungs ver hal ten des Re gel krei ses be ein flußt, da die cha rak ter isti sche Glei chung 1 + F 0 ( p ) = 0 erhalten bleibt. Liegt eine we sent li che und in ih rer Wir kung meß ba re Störgrö ße mit be kann tem An griff sort vor, kann die se Störgrö ße mit Hil fe ei nes Kompen sa tions glie des F K (p) auf ge schal tet wer den. Die Auf schal tung kann am Reg ler ein gang oder -ausgang erfolgen (Bild 5.41).

Bild 5.41

Blockschaltbilder bei Störgrößenaufschaltung vor/nach dem Regler

246

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Schal tet man das Kompen sa tions glied am Reg ler ein gang auf, ergibt sich bei ei ner hin rei chend be kann ten Stör über tra gungs funk tion F St (p) für die Regelgröße

x( p )=

F 0(p) w + 1+ F 0 ( p )

F

St

(p) - F 1+ F

(p)F 0(p)

0

K

(p)

z( p ) .

( 5 . 35 )

Aus die ser Glei chung ist zu er se hen, daß ein unge stör ter Re gel kreis vor liegt, wenn für das Kompen sa tions glied die Di men sio nie rungs vor schrift F

K

(p) =

F St ( p ) F 0(p)

gilt. Schal tet man das Kompen sa tions glied am Reg ler aus gang auf, er hält man für die Re gel grö ße

x( p )=

F 0(p) w + 1+ F 0 ( p )

F

St

(p) - F 1+ F

(p)F 0(p)

S

K

(p)

z( p ) .

( 5. 36 )

Aus die ser Glei chung ist er sicht lich, daß ein un ge stör ter Re gel kreis vor liegt, wenn das Kompen sa tions glied die Di men sio nie rungs vor schrift F

K

(p) =

F St ( p ) F S(p)

er füllt.

Bei spiel: Bei der Tempe ra tur re ge lung ei nes Durchlauf er hit zers (Bild 5.42) tre ten in fol ge des schwan ken den Was ser stro mes Q Stö run gen auf, die mit Hil fe ei ner Störgrö ßen auf schal tung am Reg ler ein gang beseitigt werden sollen. Die Regel strec ke stellt im wesent li chen ein PT 1 -I-Glied dar und die Schwan kun gen des Was ser stro mes wir ken sich wie ein Ver zö ge rungs glied I. Ord nung aus. Es soll ein PD-Reg ler ein ge setzt werden. Für die se Re ge lung ist das Kompen sa tions glied F K( p) zu rea li sie ren.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.42

247

Schema einer Temperaturregelung mit Durchlauferhitzer

Nach Glei chung 5.35 er hält man für das Kompen sa tions glied am Regler ein gang

F

K

(p) =

F St ( p ) = F 0(p)

1 1 + p T 12 K 0 (1+ p T p T i(1+ p T

) 11 )

.

V

Mit der Wahl des Reg ler-Pa ra me ter TV =T 11 ver ein facht sich die Über tra gungs funk tion zu F

mit a =

1 T

K

(p) =

K

0

pTi (1+ p T

12

)

=

K

Ti 0 ×T

× 12

p p+a

.

12

Die Übergangs funk tion die ses Kompen sa tions glie des (Ta bel le 2.2 Nr. 5) zeigt, daß es sich um ein DT1 -Glied, die sog. nach ge ben de Rück führung handelt. Die se ist als pas si ves Netz werk (Bild 5.43a) und als Ope ra tions ver stär ker schal tung (Bild 5.43b) rea li sier bar.

248

Bild 5.43

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Schaltung eines passiven und aktiven DT1-Gliedes

Die Ope ra tions ver stär ker schal tung hat den Vor teil, daß sich der Fak tor T i / ( K 0 T 12 ) als Ver stär kung K p = R 2 / R 1 be schal ten läßt. Die Zeit kon stan te T 12 der Stör über tra gungs funk tion ent spricht dann T12 =R 1 C. Die Wir kung der ab sicht li chen Auf schal tung ei ner Stör funk tion läßt sich mit dem Pro gramm SIM LER-PC auf zei gen (Ab schnitt 7.2.3). Die se Maß nah me dient zur Ver mei dung von Haf trei bung im Re gel be reich hy drau li scher An stel lun gen oder bei Po si tio nier auf ga ben mit Spindelantrieben.

5.5.5

Kaskadenregelung

Eine wei te re, sehr wir kungs vol le Me tho de zur Op ti mie rung ei ner Re ge lung ist die Ein füh rung ei ner oder meh re rer un ter la ger ter Re gel schlei fen. Sol che Struk tu ren nennt man Kas ka den re ge lun gen (Bild 5.44a). Einige ent schei den de Vor tei le sind hier zu nen nen: • Störgrö ßen kön nen be reits im un ter la ger ten Re gel kreis aus ge re gelt wer den • Die Re gel grö ße ei nes un ter la ger ten Re gel krei ses kann ge trennt von den über la ger ten Re gel krei sen be grenzt wer den • Die un ter la ger ten Re gel krei se wir ken li nea ri sie rend. Da mit wird die Aus wir kung nicht li nea rer oder nicht ste ti ger Glie der ab ge schwächt • Die Aus re gel zeiten ei ner Kas ka den re ge lung sind klei ner als die Aus re gel zeit ei nes vergleich ba ren ein schlei fi gen Re gel krei ses • die Durch tritts fre quenz w D und da mit die Dy na mik ei ner Kas ka den re ge lung ist grö ßer als die ei nes vergleich ba ren einsch lei fi gen Regelkreises

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.44

249

Blockschaltplan einer Kaskadenregelung und seine Umformung

Ty pi sches Ein satz ge biet von Kas ka den re ge lun gen sind Po si tio nier auf ga ben der An triebs tech nik so wie die Re ge lung be weg ter Stoff bah nen. Wenn je der un ter la ger te Ab schnitt der Regel strec ke nur eine gro ße Zeit kon stan te ent hält, ge nügt es, den ein zel nen Ab schnit ten je weils ei nen PI-Reg ler zuzuordnen. Die Kas ka den re ge lung wird dann mit der in ne ren Struk tur be gin nend ein ge stellt; der inne re Reg ler wird also zu erst op ti miert. Da nach läßt sich diese Schlei fe mit Hil fe der Umformre gel Nr. 12 aus der Ta bel le 3.5 in die Über tra gung sfunk tion F H (p) um wan deln und in der über la ger ten Re gel schlei fe als Er satz-Regel strec ke behandeln (Bild 5.44b).

Bei spiel: Eine Regel strec ke aus zwei PT1 -Glie dern soll mit ei ner Kas ka den re ge lung op ti mal ein ge stellt wer den (Bild 5.45). Die Stell grö ße des inne ren PI-Reg lers soll da bei auf Xs=2,5 be grenzt wer den. Die Strec ken-Para me ter sind: K K

S1 S2

=1 =1

T 11 = 0,3 s T 12 = 0,7 s

Wird die Nach stell zeit des in ne ren PI-Reg lers auf TN1 =T11 =0,3s ein ge stellt, lau tet die Über tra gungs funk tion des offe nen Regelkreises

F

01

(p) =

K

× K S1 = p T 11 R1

K 01 p T 11

.

250

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.45

Blockschaltbild einer Kaskadenregelung mit zweier PT1-Strecken

Die zu ge hö ri ge Übergangs funk tion bei Füh rungs- und Stör ver hal ten ist für eine Reg ler ver stär kung von K R1 =3 und eine Be gren zung von Xs=2,5 in Bild 5.46 (1. Si mula tion) dargestellt. Die Umformre gel Nr. 12 der Ta bel le 3.5 lie fert dann die Über tra gungs funk tion der Er satz-Regel strec ke F

H

(p) =

F 01 ( p ) = 1 + F 01 ( p )

K 01 K 01 + p T

1 T 1+ p K

= 11

11 01

für den über la ger ten Re gel kreis. Wählt man für die Nachstell zeit des äu ße ren PI-Reg lers T N2 =T 12 =0,7s, lau tet die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses hier F

02

(p) = pT

×K

K

R2

12

T (1+ p K

S2

K

= 11 01

)

pT

12

02

(1+ p

T K

. 11

)

01

Die zu ge hö ri ge Übergangs funk tion bei Füh rungs- und Stör ver hal ten ist für eine Reg ler ver stär kung von K R2 =6 in Bild 5.46 (2. Si mula tion) darge stellt. Da mit sind die Reg ler der Kas ka den re ge lung optimal eingestellt. Im Vergleich mit ei ner ein schlei fi gen Re ge lung (Bild 5.47) fällt das dy na mische Ver hal ten der Kas ka den re ge lung bei Füh rung und Stö rung deut lich besser aus. Ein Bei spiel aus der An triebs tech nik zur op ti ma len Ein stel lung ei ner Dreh zahl re ge lung mit un ter la ger tem An ker stromre gel kreis ist in Ab schnitt 7.2.3 angegeben.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.46

Führungs- und Störverhalten bei der Kaskadenregelung

251

252

Bild 5.47

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Führungs- und Störverhalten beim einschleifigen Regelkreis

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

5.5.6

253

Adaptive Regelung

Bei den bis her be han del ten klas si schen Re gel sy ste men kön nen star ke Än derun gen der Sy stem pa ra meter dazu füh ren, daß die Re ge lung nicht mehr zufr ie de nstellend ar bei tet. Im Werk zeug ma schi nen bau und in der Ro bo tik sind System ände run gen beispielsweise gegeben durch • Än de rung der Träg heits mo men te • Än de rung der Stei fig keit der Me cha nik • Än de rung der Rei bungs ver hält nis se • Vergrö ße rung ei ner Hy ste re se • Schwan kun gen der Schnitt kraft.

Adap ti ve Re gel struk tu ren er mög li chen die Selbst an pas sung des Reg lers an die Sy stem än de run gen. Die Rea li sie rung ei ner Adap tion bzw. ei nes adap ti ven Reg lers er for dert drei Schritte (Bild 5.48): •Iden ti fi ka tion der zeit va ria blen Ei gen schaf ten des Systems •Ent schei dungs pro zeß, ge won nen aus dem Vergleich des iden ti fi zier ten mit dem ge wünsch ten Zu stand des Sy stems •Ein stell pro zeß des Re gel sy stems

Bild 5.48

Blockschaltbild einer adaptiven Regelstruktur

Pa ra me ter adap ti ve Sy ste me, von de nen hier aus schließ lich ge spro chen wer den soll, be wir ken eine Selbst an pas sung des Reg lers an ver än der te Strec ken-Zeit kon stan ten und -Ver stär kun gen so wie an Än de run gen der Strec ken-Über tra gungs funk tion. An de re Me tho den und Bei spie le zur Adap tion sind in den Li te ra tur stel len /40/, /56/ aus führ lich beschrieben.

254

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bei spiel: Das gut ein ge stell te Füh rungs ver hal ten ei ner Re ge lung aus PID-Reg ler und PT 1 -PT 1 -I-Strec ke soll auch bei Än de rung zwei er Strec kenzeitkonstanten bei be hal ten wer den. Es wird vor aus ge setzt, daß sich die Strec ken-Pa ra me ter mes sen las sen. So mit ergibt sich die Über tra gungs funk tion des offenen Regelkreises F

0

K

(p) = p

2

T

0 N

×( 1 + p T

N

T i(1+ p T

)(1+ p T 11

V

)

)(1+ p T

. 12

)

Die ur sprüng li chen Pa ra me ter der Re ge lung sind aus Bild 5.49 (1. Si mu la tion) zu ent neh men. In der zwei ten Gra phik ist eine Ver dop pe lung der Ver zö ge rungs zeit T 11 si mu liert wor den. Sie führt zu ei ner deut lich schlech te ren Übergangs funk tion. Wie die drit te Si mu la tion zeigt, be wirkt eine An pas sung der Vor halt zeit des Reg lers auf den Wert T V =0,7s, daß die Re ge lung wie der zu dem gut ein ge stell ten Übergangs ver hal ten der 1. Simulation zurückfindet. Die se Maß nah me ist aus der Über tra gungs funk tion F 0 (p) er klär lich, denn eine Än de rung von T 11 wird durch eine gleich wer ti ge An pas sung von T V kompensiert. Wie sich eine ver än der te In te gra tions zeit kon stan te T i aus wirkt, ist in Bild 5.50 darge stellt. Die er ste Si mu la tion zeigt wie der die ur sprüng lich gut ein ge stell te Re ge lung. Nun wird die In te gra tions zeit kon stan te auf den Wert T i = 0,22 s re du ziert (2. Si mu la tion). Die dar aus fol gen de Übergangs funk tion schwingt über. In der drit ten Si mula tion ist zu se hen, daß eine An pas sung der Reg ler ver stär kung auf den Wert K R = 0,75 zum gewünsch ten Ergeb nis führt. Aus der Über tra gungs funk tion F 0 (p) ist er sicht lich, daß die Adap tion der Reg ler ver stär kung für ver schie de ne T i le dig lich die Be din gung K 0 / T i = konst. er fül len muß. Durch eine Mul ti pli ka tion der Reg ler ver stär kung mit dem Faktor K

A

=

T i( t +1) T i( t )

ist die se Adaption rea li sier bar.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.49

Simulation der Anpassung einer veränderten Verzögerungszeit

255

256

Bild 5.50

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Anpassung einer veränderten Integrationszeitkonstante

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

257

Der ana log tech ni sche Auf bau ei nes adap ti ven PID-Reg lers er for dert demnach eine ge trennt ein stell ba re Ver stär kung, Vor halt- und Nach stell zeit. Eine mög li che Va rian te ist in Bild 5.51 gezeichnet.

Bild 5.51

Operationsverstärkerschaltung eines adaptiven PID-Reglers

Die Reg ler-Pa ra me ter lau ten hier K

R

=K

A

R2 a ×R 1

,

T

N

=R

3

×C

1

und

T

V

=R

4

×C

2

.

Die se Schal tung ist je doch recht auf wen dig, so daß es nahe liegt, adap ti ve Reg ler bes ser mit den Mit teln der Mi kro rech ner tech nik zu rea li sie ren. Die Li te ra tur stel len /33/, /54/, /72/, /73/ und /82/ be han deln die se Thematik ausführlich.

5.5.7

Abtastregelung

Es be steht ein prin zi piel ler Un ter schied zwi schen kon ti nuier li cher und dis kre ter Si gnal ver ar bei tung. Bei kon ti nuier li cher Ar beits wei se sind die Sy stemgrößen zu je dem be lie bi gen Zeit punkt ge ge ben. Wer den die Sy stem grö ßen nur zu be stimmten dis kre ten äqui di stan ten Zei ten er faßt, spricht man von einem diskret arbeitenden System (Bild 5.52). Re gel krei se mit die ser zeit dis kre ten Ar beits wei se be zeich net man als Ab tast re ge lun gen. Hier wird der Reg ler mit ei nem Mi kro rech ner oder als Soft wa re-Bau stein in ner halb ei nes Pro zeß rech ners rea li siert. Zu die ser The ma tik sind die Li te ra tur stel len /26/, /30/, /33/, /40/ zu nennen.

258

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.52

Beispiel für ein kontinuierliches und zeitdiskretes Signal

Bild 5.53

Blockschaltbild einer Abtastregelung

Bei der in Bild 5.53 darge stell ten Ab tast re ge lung wird die Re gel diffe renz ana log ge bil det und mit Hil fe ei nes Abta sters di gi ta li siert. Es wird x d (t) zu den Zeit punk ten kT z er faßt, mit ei nem A/D-Wandler in eine Binär-

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

259

zahl um ge wan delt und dem Reg ler zu ge führt. An schlie ßend läuft der Re gel-Al go rith mus ab, der die Stell grö ße y(kT z ) be rech net. Wäh rend der fol gen den Pe ri ode steht die ser Wert über das Hal te glied der Regel strec ke als Ein gangs si gnal y(kT z ) zur Ver fü gung. Bei der Be rech nung von Ab tast re gel krei sen muß die Über tra gungs funk tion F SH (p) des Ab tast hal te glie des (Sample-Hold-Glied) be rücksich tigt wer den. Be schreibt man das ab ge ta ste te Ein gangs si gnal als Fol ge von Ein heits impul sen der Breite T z im Bild be reich (Kor re spon denz Nr. 3, Tabelle 2.2), ergibt sich mit F

SH

(p)=

1 - e - p Tz ×p T pT z

¥

z

×å x

d

(kT

z

)×e

- p k Tz

( 5 . 37 )

k=0

die Über tra gungs funk tion des Ab tast-Hal te-Vorgangs. Die se Funk tion läßt sich als sog. Sample-Hold-Schal tung rea li sie ren. Sie ist auf der A/D- und D/A-Wand ler kar te des Mir ko compu ter sy stems der Ab tast re ge lung be reits in te griert /36/. Im ein fach sten Fal le be steht die Schal tung aus ei nem Schal ter, der das Ein gangs si gnal je weils nach der Zeit kT z im puls för mig auf den Spei cher, be ste hend aus ei nem RC-Glied, schal tet (Bild 5.54). Die Ent kopp lung von Schal ter und RC-Glied ge schieht durch zwei Ope ra tions ver stär ker, die als Spannungsfolger geschaltet sind. Im Block schaltbild ei ner Ab tast re ge lung muß demnach das Hal te glied

F

H

(p) =

1 - e - p Tz pT z

be rücks ich tigt wer den, das als Teil der Regel strec ke auf ge faßt wer den kann (Bild 5.55).

Bild 5.54

Operationsverstärkerschaltung eines Sample-Hold-Gliedes

260

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.55

Vereinfachtes Blockschaltbild einer Abtastregelung

Es läßt sich zei gen, daß ein Abtast re gel kreis be züg lich der Sta bi li tät, der blei ben den Re gel diffe renz, der Re gel dy na mik usw. die glei chen Ergeb nis se auf weist, wie eine kon ti nu ier li che Re ge lung, wenn die Ab tast zeit Tz aus rei chend klein ist. Als Ab schät zung für die Grö ßen ord nung von T z kön nen wahl wei se die folgenden Faustregeln benutzt werden: Tz » 0,2 × Tmin

mit

Tmin : kleinste Streckenzeitkonstante

Tz » 0,1 6 × Tan

mit

Tan : Anregelzeit

Tz » 0,125 / w D

mit

(5.38)

w D : Durchtrittsfrequenz

Für klei ne Ab tast zei ten kann das Hal te glied nä he rungs wei se als Tot zeit glied mit der Über tra gungs funk tion

F

H

(p) »

e

- p Tz

(5.39)

2

be schrie ben wer den /21/. Auf die se Wei se ist eine Sta bi li täts be trach tung mit den bis her be han del ten Me tho den möglich. Bei spiel: Für den PI-Re gel al go rith mus ei ner Ab tast rege lung sol len K R und T N mit dem ver ein fach ten Ny quist-Kri te ri um ge fun den wer den. Ein Pha sen rand von a R = 60 ° ist ein zu stel len. Es liegt eine PT 1- Tt-Strec ke vor mit: K K

S1 S2

=1 =1

T 11 = 100 ms T t = 4 ms

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

261

Die Ab tast zeit soll T z=2ms be tra gen und liegt da mit weit un ter den oben an ge ge be nen Faust for meln. Die Nä he rungs glei chung 5.39 für das Hal te glied ist da mit zu läs sig und es folgt für die Über tra gungs funk tion des offenen Regelkreises F

0

(p) » K

mit Ter = T t + T

1 + pT N p T N (1 + p T

×

0

11

)

×e

-p T

er

/2.

z

Wählt man für die Nachstell zeit des Re gel al go rith mus T N =T 11 , läßt sich fol gen der Fre quenz gang angeben: F

0

= -F

F

0

»

×F

R

S

» -

K0 × ( cos w T j w T 11

- j sin w T

er

er

) ,

bzw. K0 × ( sin w T w T 11

+ j cos w T

er

er

) .

Der For mel satz 5.16 lie fert nun die zu ge hö ri ge Sta bi li täts aus sa ge so wie eine Be stim mungs glei chung für die Reg ler ver stär kung KR . Im F

0

= 0

cos w

z

T

®

w

z

,

ergibt

und so mit w

z

T

w

z

»

er

» 0 ,

er

»

p , so daß 2

p 2 T er

» 314,159

Hz .

Des wei te ren folgt mit |F w

0

®

| = 1

K

0

D

T

w

D

,

» 1 , 11

so daß die Glei chung für die Durch tritts fre quenz lau tet:

262

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

w

D

»

K 0 . T 11

Mit Hil fe der For mel für den ge ge be nen Pha sen rand von 60° läßt sich schließ lich die Reg ler ver stär kung be rech nen. Es gilt a Da F

0

R

= j

0

(w

D

) + 180° .

aus ei nem In te gral- und ei nem Tot zeit glied be steht, folgt somit 60° » - 90° - w

D

T

+ 180°

er

bzw. im Bogen maß und mit der Glei chung für w K 0 ×T p p » 3 2 T 11

er

D

.

Da mit läßt sich fol gen de Reg ler ver stär kung an ge ben: K

R

p × T 11 6 × K S × T er

»

» 10,472

So mit be trägt die Durchtritts fre quenz w Re [ F

0

(w

z

)] »

K

D

× 2 T er p × T 11 0

.

» 104,72 Hz und, da » 0,333

ist, liegt eine sta bi le Ab tast rege lung vor.

Bei spiel: Eine Ab tast re ge lung aus PI-Re gel al go rith mus und ei ner PT 1 -Strec ke soll mit den verschiednen Ab tast zei ten T z im Zeit be reich un ter sucht wer den. Die Pa ra me ter der Re ge lung lau ten: K K

R S

= 10 = 1

T N = 166,66 ms T 11 = 1 s

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.56

263

MATLAB-Simulation Abtastregelung aus PI-Regler, PT1-PTt-Strecke

264

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Die Si mu la tion als kon ti nuier li cher Re gel kreis ergibt laut SIM LER-PC eine Durch tritts fre quenz von w D = 11,282 Hz . Die ser Wert führt mit der Faust for mel 5.38 auf eine Abtast zeit von Tz = 0,125 / w D » 0,01 s . Mit die ser Ab tast zeit kann die Ab tast rege lung als qua si kon ti nuier li cher Regel kreis ge se hen werden. Da bei wird das Hal te glied mit der Nä he rungs glei chung 5.39 als Tot zeit glied mit T t = Tz / 2 » 0,005 s berücksichtigt. Die Sprung ant wor ten sind in Bild 5.56 als MAT LAB-Simulation darge stellt. Eine grö ße re Ab tast zeit von T z =0,1s liegt in der Grö ßen ord nung der Strekkenzeitkon stan ten und führt da her auf eine un be frie di gen des Ergeb nis.

6

Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

In den zu vor be han del ten Ab schnit ten wur den die grund le gen den Vor aus set zun gen zur Be hand lung re ge lungs tech ni scher Pro ble me ge schaffen. Hier nun sol len die ge won ne nen Er kennt nis se an hand aus ge wähl ter Bei spie le in du striel ler Re ge lun gen wei ter ver tieft wer den.

6.1

Kon ti nu ier li che Re ge lun gen

6.1.1

Temperaturregelungen

Zu nächst soll die Tempe ra tur re ge lung ei nes gas be heiz ten Glüh ofens be trach tet wer den (Bild 6.1). Die Be ein flus sung der Tem pe ra tur er folgt im ein fach sten Fall über ein Stell ven til, das den Gasstrom (Vo lu men strom) Q steu ert. Die Über tra gungs funk tion wird nä he rungs wei se durch ein PT1 -Glied darge stellt F

S1

(p) =

K S1 Q( p) = U st ( p ) 1 + pT

. 11

Als Pa ra me ter die ses Strec kenteils wer den fol gen de Wer te an ge nommen:

K

S1

= 0,2

m3 V × min

und

T

11

= 0,1 s .

Zwi schen Bren ner und zu er hit zen dem Gut er folgt die Wär me über tra gung haupt säch lich durch Strah lung. Mit gu ter Nä he rung läßt sich für die se Art des Hei zens PT 1 -Ver hal ten an set zen. Eine aus führ li che Be trach tung die ses Sach ver halts bringt W. Op pelt in /21/. In fol ge der Ent fer nung zwi schen Bren ner und Gut ergibt sich zu sätz lich eine Tot zeit. Die Über tra gungs funk tion dieses Teils der Regelstrecke lautet somit P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

266

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.1

Schema und Blockschaltplan eines gasbeheizten Glühofens

F

S2

(p) =

q(p) K S2 × e - p T t = Q( p) 1 + p T 12

.

Die zu ge hö ri gen Pa ra me ter sind K

S2

= 10

3

K × min m

3

sowie

T

12

= 5 min

und

T t = 10 s .

Die Meß wert er fas sung soll mit tels Tempe ra tur-Sen sor und Meß brüc ke er fol gen (sie he Ta bel le 4.4) und ist durch ein PT 1 -Glied dar stell bar. Es ergibt sich da mit für die sen Strec kenteil die Über tra gungs funk tion

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

F

Ui ( p ) K S3 = 1 +pT q i( p )

(p) =

S3

267

. 13

Die Pa ra me ter sind K

S3

=

10 V 10

3

und

T

K

13

= 2s .

Da mit lau tet die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses

F

(p) =

0

pT

N

K 0 ×( 1 + p T N ) ×e - p T t ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T 12 ) ( 1 + p T

13

)

.

Die Re gler ein stel lung soll mit der Auf he bungs kompen sa tion (je weils durch In dex “A” ge kenn zeich net) und dem Symme tri schen Op ti mum (durch In dex “S” ge kenn zeich net) vorge nom men wer den. Mit den Kor re spon den zen Nr. 13 - 15 der Ta bel le 3.5 läßt sich das Tot zeit glied nä he rungs wei se als PT1 -Glied dar stel len und zu der Er satz zeit kon stan ten T K =T 11 +T 13 +Tt =12,1s zu sammen fas sen. Für das Symme tri sche Op ti mum ist das PT 1 -Glied mit der grö ß ten Zeit konstan ten nä he rungs wei se in ein I-Glied umzu wan deln, es gel ten dann die Glei chun gen 5.30 - 5.34. Somit ergeben sich die beiden vereinfachten Übertragungsfunktionen F

F

0A

0S

(p)»

(p)»

pT

p

2

K 0A × ( 1 + p T NA ) NA ( 1 + p T 12 ) ( 1 + p T

K

0S

×( 1 + p T

T

NS

T

12

NS

K

)

,

)

(1+ p T

K

)

wenn ein PI-Reg ler ge wählt wird. Der Pha sen rand soll a R = 60° be tra gen. Durch die Kompen sa tion des gro ßen PT 1 -Glie des er hält man eine Reg ler-Nach stell zeit von T NA =T 12 =300s . Die Ein stel lung nach dem Symme tri schen Op ti mum lau tet da ge gen TNS =m2 T K =168,53s . Bei der Auf he bungs kompen sa tion ergibt sich fol gen de Be stim mungs glei chung für die Durchtrittsfrequenz. Mit

a

R

= 60° » - arctan w DA TK - 90° + 180°

folgt

w

DA

»

1 3 ×T

» 0,048 Hz . K

268

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Die Glei chung für die Durchtritts fre quenz beim Symme tri schen Op ti mum lautet w

DS

»

1 m×T

» 0,022 Hz . K

Mit |F 0A (jwDA )|=1 er hält man bei der Auf he bungs kompen sa tion schließ lich die For mel zur Ein stel lung der Reg ler-Ver stär kung. K

RA

»

2 × T 12 3×K S ×T

» 8,26 . K

Für die Ein stel lung nach dem Symme tri schen Op ti mum ergibt sich K

RS

»

T 12 m×K S ×T

» 3,32 . K

Aus ge hend von der nicht ver ein fach ten Über tra gungs funk tion F 0 (p) sind die Sprung ant wor ten in Bild 6.2 im Vergleich darge stellt. Die Reg ler-Ein stel lung nach dem Symme tri schen Op ti mum schnei det etwas besser ab. Ein zwei tes Bei spiel zum The ma Tempe ra tur re ge lung ist die wit te rungs ab hän gi ge Re ge lung der Raumtempe ra tur mit tels Öl bren ner und Heiz kes sel (Bild 6.3). Grundsätz lich ist dem Raumtempe ra tur-Re gel kreis der Vor lauftempe ra tur zu un ter la gern. Auf die se Wei se wird die Ein schalt dau er des Bren ners ver kürzt und eine even tu el le Kes sel über hit zung ver mie den. Da her muß die Stell grö ße y am Aus gang des Kes sel tempe ra tur-Reg lers mit ei nem Tempe ra tur wäch ter (TW) begrenzt werden /27/. Es han delt sich so mit um eine Kas ka den re ge lung, de ren in ne rer Vor lauf tem pera tur-Re gel kreis von der Raumtem pe ra tur ab wei chung und der Au ßen tem pe ra tur beeinflußt wird (Bild 6.4). Die hier ge wähl te Va rian te steu ert über ei nen Zwei punkt regler di rekt den Bren ner an, wäh rend für die Anpas sung des Heizsy stems an das sub jek ti ve Emp fin den des Be nut zers die Steil heit der Heiz kur ven und die Mi scher stel lung verändert werden können. Der Soll wert der Vor lauftempe ra tur q Vs ist von der Au ßen tem pe ra tur ab hän gig. Bei de sind über die Heiz kur ven (Bild 6.5) mit ein an der verknüpft. Des wei te ren wird q be ein flußt.

Vs

durch die überge ord ne te Raumtem pe ra tur-Re ge lung

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.2

Sprungantworten der Regelung nach Bild 6.1

269

270

Bild 6.3

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Schema einer Raumtemperatur-Regelung mit Ölbrenner

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.4

Blockschaltplan der Raumtemperatur-Regelung nach Bild 6.3

271

272

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.5

Einige Heizkurven (Vorlauf- über Außentemperatur)

Aus dem Block schaltbild der ge samten Re ge lung ist zu ent neh men, daß die Regel strec ken hö he rer Ord nung sind. Es ist da her sinn voll, die Strec ken- und Meß füh ler pa ra me ter empi risch zu er mit teln. In /45/ gibt H.O. Arend dazu einige Hin wei se. Die Über tra gungs funk tio nen der Meß füh ler sind an ge ge ben als F 1(p)= F

mit

3

(p)= F

5

K

(p)=

S1

(1+ p T

1

)

2

K S1 =K S3 =K S5 =1 und T 1 =T 3=T 5 =3,61s .

Die Bild funk tion der Strec ke aus Mi scher und Vor lauf kreis lau tet F

mit

2

K

(p)=

S2

(1+ p T

2

)

7

K S2 =3,6 und T 2 =6,12s .

Das Pro por tio nal glied K HK ist ein Ab bild der Heiz kur ve und ergibt sich aus ih rer Steil heit D q V / D q A so wie dem ge wähl ten Ar beits punkt Ap der Re ge lung K

VK

=

Dq Dq

V A

×(

Ap - 0,1 ) . 512° C

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

273

Der Ar beits punkt, bei dem K HK =0 ist, be trägt Ap=51,2 , er wird auf q A = 20° C be zo gen. Mit die sen Pa ra me tern ergibt sich der in Bild 6.6 gezeig te zeit li che Ver lauf der Tempe ra tu ren q R , q K und q V .

Bild 6.6

6.1.2

Zeitlicher Verlauf der Kessel-, Vorlauf- und Raumtemperatur

Stoffgemischregelungen

Die Mi schung von Stoffen in ei nem be stimmten Ver hält nis zu ein an der oder das Ein stel len ei ner ge wünsch ten Kon zen tra tion ge schieht durch die Be ein flus sung der Vo lu men strö me. Soll der Misch vorgang kon ti nu ier lich ver lau fen, ist eine Re ge lung un um gäng lich. Eine ein fa che Mi schungs re ge lung zur Be ein flus sung der Kon zen tra tion ei ner Flüs sig keit ist in Bild 6.7 darge stellt. Sie be steht aus ei nem Kes sel mit Rühr werk und zwei Zu flüs sen. Setzt man vor aus, daß der Zu fluß (Durch fluß) Q2 und die zu ge hö ri ge Kon zen tra tion c 2 kon stant sind und stets Q 3=Q 1+Q 2 gilt, er hält man für die Än de rung der Kon zen tra tion c 3 (t) am Ausgang des Kessels die Differ en ti al glei chung Q 1 ×c

1

+ Q

2

×c

2

- Q

3

×c

3

= v×

dc 3 dt

.

274

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.7

Schema zur Regelung einer Flüssigkeits-Konzentration

Differ en ziert man die se Glei chung nach der Zeit und La pla ce-trans for miert an schlie ßend, so folgt p ×Q 1 ×c 1 ( p ) - p ×Q F

mit

K

S1

S1

(p) =

=

Q Q

3

×c

3

(p) = p

K S1 c 3(p) = c1(p) 1+ p T

1

und

3

T

1

=

2

× v ×c

3

(p) ,

1

v . Q 3

Die Meß wert er fas sung der zu re geln den Kon zen tra tion c 3 ist meist erst in ei ni ger Ent fer nung vom ei gent li chen Misch vorgang mög lich. Dar aus re sul tiert eine Tot zeit, die von der Ent fer nung L und der Fließ ge schwin dig keit v ab hängt. Die Über tra gungs funk tion ist somit F

S2

(p) = e

-p Tt

mit

Tt =

L . v

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

275

Au ßer dem ent steht ein PT1 -Ver hal ten durch den Meß füh ler, also F

mit

K

S3

S2

K S2 1+ p T

(p) =

=

2

Uci . ci

Die Stell grö ße y wirkt auf ein elek tro mo to risch be tä tig tes Stell ven til, wel ches den Vo lu menstrom (Durch fluß) Q1 be ein flußt. Die re sul tie rende Über tra gungs funk tion ist F

mit

K

S4

S3

=

=

K S3 1+ p T

3

c1 . U st

Der Block schaltplan der Re ge lung ist in Bild 6.8 darge stellt und führt auf die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses

F

0

(p) = K

0

pT

N

( 1 + p T N ) ×e - p T t (1+ p T 1 )(1+ p T 2 )(1+ p T

3

)

.

Zur kon kre ten Be rech nung der Ver stär kun gen und Zeit kon stan ten sei en fol gen de Wer te angenommen: V=1m 3 ,

Q 1 =6 l/s ,

Q 2 =2 l/s , Q 3 =8 l/s,

v=0,6m/s , L=1m .

Bild 6.8

Blockschaltplan zu Bild 6.7

276

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Da mit erge ben sich 1m 3 = 125 s 8l/s

K

S1

=

6l/s = 0,75 8l/s

T

1

=

K

S2

=

0,1 V Mol. / l

T

2

= 2s

K

S3

=

10 Mol. / l V

T

3

= 1s

Tt=

1m = 1,67 s . 0,6 m / s

Soll die Re ge lung mit Hil fe des Symme tri schen Op ti mums ein ge stellt wer den, sind auf F 0 (p) die Kor re spon den zen 13 - 15 der Ta bel le 3.5 an zu wen den und man erhält F

mit

0

1+ p T

(p) » K

0

p

2

T

N

N

T 1 (1+ p T

K

)

T K =T 2 +T 3+Tt=4,67s .

Nun las sen sich die Glei chun gen 5.32 und 5.33 zur Be rech nung der Reg lerPa ra me ter an wen den. Man er hält dann für m 2T K =T 1 T N =T 1 =125s eine Durchtritts fre quenz von w

D

1

»

T

1

» 0,041 Hz

T

K

und kann die Reg ler ver stär kung schließ lich mit K

an ge ben.

R

»

T K

S

» 6,9

1

T

1

T

K

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

277

Oft ist es er for der lich, bei ei nem Stoff ge misch mehr als eine Grö ße zu beein flus sen. Man be zeich net sol che Re ge lun gen als Mehrgrö ßen- oder Mehr fach re ge lun gen. Ist bei spiels wei se der Vo lu men strom Q und die Tem pe ra tur q ei nes Misch vorgangs zu re geln, er hält man eine Zwei grö ßen re ge lung, bei der die Über tra gungs funk tio nen miteinander gekoppelt sind (Bild 6.9).

Bild 6.9

Zweigrößen-Mischungsregelung (Volumenstrom, Temperatur)

Wenn q 1 < q 2 gilt, kann die Tempe ra tur des Ge mi sches im Be reich q 3 = [ q 1 ; q 2 ] ge re gelt wer den. Da bei ist gleich zei tig der zu re geln de Durchfluß (Volumenstrom) Q3 =Q 1 +Q 2 . Ven til ver stel lun gen wir ken sich erst nach den Tot zei ten T t1 und Tt2 an den Me ß stel len für q i und Qi aus. Der Mi schungs vorgang selbst kann durch ein PT 1-Glied an ge nä hert wer den (T 1 und T 3 ). Die Meß wert er fas sung läßt sich eben falls durch das PT1 -Ver hal ten be schrei ben (T 2 und T 4). Es ergeben sich so die Beziehungen

q(p)=

K S11 × e - p T t1 ( 1+ p T 1 ) ( 1+ p T

Q( p) = -

mit F

S11

K S21 1+ p T 2

(p)=

q(p) , y q(p)

F

(p)=

S22

y

)

(p)+

q

F

2

S12

Q( p) . y Q(p)

y

q

(p)+

K S22 1+ p T 4

(p)=

K S12 × e - p T t2 ( 1+ p T 3 ) ( 1+ p T

y

q(p) , y Q(p)

Q

4

)

y

Q

(p) ,

(p)

F

S21

(p)=

Q( p) , y q(p)

278

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Aus Bild 6.10 läßt sich die Regel strec ken-Kopp lung ent neh men, die in der phy si ka li schen Ver knüp fung des Misch vorgangs be züg lich q und Q be grün det ist.

Bild 6.10

Strecken-Kopplung der Zweigrößen-Regelung nach Bild 6.9

Um wie der auf zwei ein schlei fi ge, ent kop pel te Re gel krei se für die bei den Regel grö ßen zu kommen, ist der Strec ke ein eben so ver masch tes Sy stem aus Haupt reg lern (F R11 , FR22 ) und Kor rektur reg lern (F R12, F R21) vor zu schal ten /46/. Dies ist in Bild 6.11a geschehen. Mit Hil fe der Ma tri zen rech nung ge langt man zu ei nem Satz von Glei chun gen, der die Ent kopp lung ei ner Zwei fach re ge lung be schreibt. Es wird FR11 ( p ) = FK1 ( p ) × FS ( p = 0 ) , FR22 ( p ) = FK2 ( p ) × FS ( p = 0 ) , FR12 ( p ) =

FS12 ( p ) × FK2 ( p ) × FS ( p = 0 ) , FS11 ( p )

FR21 ( p ) = -

FS ( p ) =

(6.1)

FS21 ( p ) × FK1 ( p ) × FS ( p = 0 ) , FS22 ( p )

1 FS12 ( p ) FS21 ( p ) 1FS11 ( p ) FS22 ( p )

.

Für F S (p) er hält man bei die ser Re ge lung mit der zu läs si gen An nah me, daß T t1 = T t2 ist,

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.11

Regelkreis nach Bild 6.9 mit Korrekturreglern entkoppelt

279

280

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

1 K S12 × K S21 ( 1 + p T1 ) 1+ K S11 × K S22 ( 1 + p T3 )

FS ( p ) =

.

Für p=0 folgt dann FS ( p = 0 ) =

1 K S12 × K S21 1+ K S11 × K S22

(6.2)

.

= Kp

Die Regel strec ken der Mi schungs re ge lung las sen sich teil wei se wei ter ver ein fa chen. Da in der Ver fah rens tech nik die Durch tritts fre quen zen meist sehr viel klei ner als eins sind, ist es zu läs sig zu schreiben: K S11 p T1 × ( 1 + p TK1 )

FS11 ( p ) »

mit

T 1>> T

2

, T t1

T

3

>> T

4

T

K1

=T

2

+ T t1 ,

K S12 p T3 × ( 1 + p TK2 )

FS12 ( p ) »

mit

und

(6.3)

, T t2

und

T

(6.4)

K2

=T

4

+ T t2 .

Die rest li chen Über tra gungs funk tio nen blei ben un ver än dert und lauten FS21 ( p ) = -

K S21 1 + p T2

,

F

S22

(p) =

K S22 1+ p T 4

.

Wählt man für F K1 (p) und F K2 (p) PI-Ver hal ten, also

FK1 ( p ) = K K1

1 + p TN1 p TN1

,

FK2 ( p ) = K K2

1 + p TN2 p TN2

,

( 6 .5 )

und setzt dann die Glei chun gen 6.3 und 6.4 in den For mel satz 6.1 ein, erge ben sich fol gen de Über tra gungs funk tio nen für die Kor rek tur reg ler. FR12 ( p ) »

K K2 × K p × K S12 × T1 × ( 1 + p TK1 ) K S11 × T3 × p TK2

(6.6)

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen mit

T

N2

=T

mit

T

N1

=T

,

K2

FR21 ( p ) »

2

281

K K1 × K p × K S21 × ( 1 + p T4 )

(6.7)

K S22 × p T2 .

Mit der glei chen Ein stel lung für die Nach stell zei ten las sen sich für die Haupt reg ler fol gen de Über tra gungs funk tio nen angeben: FR11 ( p ) » K K1 × K p

1 + p T2 p T2

FR22 ( p ) » K K2 × K p

1 + p TK2 p TK2

, (6.8) .

Da mit ist die Ent kopp lung ab ge schlos sen und es lie gen zwei ein schlei fi ge Regel krei se vor (Bild 6.11b). Die Ver stär kun gen K K1 und K K2 kön nen nach den be kann ten Ver fah ren (z.B. Symme tri sches Op ti mum) dimensioniert werden.

6.1.3

Zwei- und Dreipunktregelungen

Bei ei nem ste ti gen Reg ler wird das sta tio nä re Ver hal ten durch die Ver stär kung KR be stimmt. Die se Be zie hung ist li ne ar. Ein Zwei punkt reg ler hin ge gen be sitzt in der ein fach sten Form (ohne Hy ste re se) eine Sprung stel le bei x d=0, so daß für die Stellgröße gilt: y ma x

³0

für

x

für

xd < 0

d

y = -y ma x ( o d e r 0 )

Die ses Ver hal ten ist ty pisch für Re lais, Bi me tall schal ter, End schal ter, Schalt tran si sto ren usw. Ein fa che Re ge lun gen die ser Art fin det man bei Kühl schrän ken, Durch-lau fer hit zern, Au to ma tik-Herd plat ten und Bü gel ei sen zur Be ein flus sung der Temperatur. Aber auch bei komple xen Sy ste men, wie z.B. der Kes sel tempe ra tur-Re ge lung ei ner Hei zung, wird der Zwei punkt reg ler eingesetzt. Das Übergangs ver hal ten ei ner Zwei punkt re ge lung zeigt meist ei nen pe ri odisch um den Soll wert schwan ken den Verlauf.

282

Bild 6.12

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Temperatur-Regelung eines Elektrolytbades mit Zweipunktregler

Eine ein fa che Re ge lung ist in Bild 6.12 darge stellt. Sie dient zur Tempe ra tur-Re ge lung ei nes Elek tro lyt ba des. Der Zwei punkt regler wird mit ei nem Ope ra tions ver stär ker rea li siert, in des sen Ge gen kopp lung eine Di ode liegt /36/. Die Stell grö ße nimmt da her die Wer te y=[-U D ; U max » 28 V] an. Der Ver stär ker-Aus gang steu ert ein Re lais an, wel ches die Heiz wick lung schal tet. Es schließt bei q s > q i und öff net bei q s < q i . Die Regel strec ke läßt sich nä he rungs wei se als PT1 -Tt-Strec ke an ge ben, wor aus das in Bild 6.13 an ge ge be ne Block schaltbild resultiert.

Bild 6.13

Blockschaltbild der Regelung nach Bild 6.12

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.14

283

Zweipunktregler ohne Hysterese mit PT1-PTt-Strecke

Die Sprung ant wort die ser Re ge lung läßt sich leicht aus der An schau ung er klä ren (Bild 6.14). Bei sprung haf ter Vorga be ei nes Soll wer tes wird w>x , so daß mit y=y max das Re lais schließt. Erst nach Ab lauf der Tot zeit Tt steigt dann die Tempe ra tur des Elek tro lyten ent lang ei ner e-Funktion mit der Zeit konstanten T 1 an. Der Ent wert x E der Tem pe ra tur wird je doch nicht an ge fah ren, da beim Er rei chen von x=w der Zwei punkt reg ler in fol ge y = -U D das Relais öffnet. Das Abschal ten der Heiz wick lung wirkt sich je doch erst nach der Tot zeit Tt auf den Tempe ra tur-Ist wert aus, so daß zeit wei se x>w vor liegt. Da nach nimmt die Tempe ra tur ab. Bei er neu tem Er rei chen von w>x wird die Heiz wick lung wie der ein ge schal tet. Die Tempe ra tur zu nah me macht sich auch hier erst nach Tt bemerkbar. Es ist er kenn bar, daß die Schwan kungs brei te 2x o , in ner halb de rer sich der Ist wert um den Soll wert be wegt, von der Tot zeit T t und der Zeit kon stan ten T 1 ab hängt. Die ser Zu sammen hang läßt sich leicht ab lei ten. Mit x

E

= K

S

×y

max

er hält man für t=Tt die Wer te

284

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

x

1

= w + (x

x

2

= w ×e

E

- w )×( 1 - e

-Tt / T 1

-T t / T 1

) ,

.

Sub tra hiert man x 2 von x 1 , ergibt sich die Schwan kungs brei te 2x

o

= x

E

×( 1 - e

-T t / T 1

(6.9)

) .

Sie ist un ab hän gig vom Soll wert w und nimmt mit wach sen der Tot zeit und fal lender Zeit konstan te T 1 zu. Die Schalt fre quenz f S =1/T S des Zwei punkt reg lers ist eben falls von der Tot zeit und der Zeit kon stan ten T 1 ab hän gig und lau tet für x E > w : 1 2 Tt + Ta + Tb

fS =

fS =

,

1 2

xE 2 Tt + T1 × ln [ ( 1- e w ( xE - w )

Bild 6.15

. -T t / T 1

)+e

-2T t / T 1

]

Zweipunktregler mit Hysterese und PT1-Strecke

( 6 .10 )

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

285

Zwei punkt reg ler mit Hy ste re se ha ben prak tisch die glei che Aus wir kung auf den Ver lauf von x wie der vor her ge zeig te Ein fluß der Tot zeit. Die in Bild 6.15 darge stell te Sprung ant wort macht dies bei ei ner Re ge lung aus hy ster ese be haf te tem Zwei punkt reg ler und PT 1-Strec ke deutlich. Mit x

E

= K

S

×y

max

er hält man für t=T c die Hy ster ese brei te 2xt = (x

E

- w + x t ) ×( 1 - e

-T c / T 1

(6.11)

) .

Da mit ist die Hyster ese brei te der Sprung ant wort nicht nur von der Zeit kon stan ten T 1 und dem Soll wert w ab hän gig, son dern auch von der Hy ste re se des Zwei punkt reg lers. Die Schalt fre quenz f S des Zwei punktreg lers ist für xE > w

fS =

1 Tc+ T

= d

1 x E -w+xt w+xt T 1 × ln + T 1 × ln x E - w- xt w- xt

.

( 6 .12 )

Der Zwei punkt reg ler schal tet in fol ge der Hy ste re se erst bei x = w + x t ab. Demzu fol ge schal tet er auf y=y max , wenn der Ist wert auf x = w - x t ab ge fal len ist. Die ser Vorgang wie der holt sich mit der Pe ri oden dau er T S . Das in Bild 6.16 darge stell te Sche ma ei ner Preß luft-Druck regelung soll mit dem Zwei-Orts kur ven-Ver fahren auf Sta bi li tät un ter sucht werden. Es zeigt ei nen Zwei punkt reg ler mit Hy ste re se, der über ei nen Lei stungs trei ber die Spei cher pumpe re gelt. Mit ei nem Po ten tio me ter kann die Hy ster ese brei te 2 x t ver än dert werden /36/. Bei Vorga be ei nes Soll wer tes p s > p i bzw. bei Preß luft ent nah me der Ver brau cher, be trägt die Stell grö ße y * » + 50 V. An der Pumpe liegt also die vol le Span nung an und es er folgt ein Druck anstieg im Spei cher. Nach Über schrei ten des Druck-Soll wer tes p i > p s be trägt die Stell grö ße y * » 0 V, so daß die Pumpe abgeschaltet wird. Pumpe und Druck speicher sind je weils Ver zö ge rungs glie der I. Ord nung. Die Meß wert er fas sung mit Hil fe ei ner Druck meßdose hat eben falls PT 1 -Ver hal ten, so daß sich das in Bild 6.17 ge zeig te Block schaltbild ergibt.

286

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.16

Schema einer Druck-Regelung für eine Preßluftstation

Bild 6.17

Blockschaltbild der Zweipunktregelung nach Bild 6.16

Die Über tra gungs funk tion der Strec ke lau tet dem nach F

S

(p) =

(1+ p T

K S1 × K S2 × K S3 1 )(1+ p T 2 )(1+ p T

3

)

.

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

287

Eine Ab schät zung der ein zel nen Pa ra me ter läßt sich aus den Ta bel len 3.2 und 3.3 ent neh men. Bei ei nem Soll druck von 6 bar gilt für die Pum pe K

S1

=

p U

1

=

L

6 bar bar = 0,12 , 50 V V

T

=2s

1

Für den Druck speicher (sie he Ab schnitt 3.7) erge ben sich K

S2

=

p p

2

=

1

6 bar =1 , 6 bar

T

2

=R

×C

S

S

= 9,185 s

mit R S = 9,185×10 -5 bar× s/L , C S = 10 5 L/bar . Die Meß wert er fas sung des Druckes hat die Wer te

K

S3

=

U pi p1

=

10V V = 1,667 , 6 bar bar

T

= 10 s .

3

Die Hy ste re se des Zwei punkt reg lers soll auf x t = 0,5 V ein ge stellt wer den, die ma xi ma le Stell grö ße be trägt y = x s » 50 V . Der Zwei punktreg ler mit Hy ste re se wird durch die Be schrei bungs funk tion (Glei chung 3.54) be schrie ben. Ù

Für x

e

= 10 V erhält man Ù

N (x

e

)=

x2 20 × 1- Ù t p x e2

- j

20 × x t

.

Ù

px

e

Nun ist die ne ga ti ve in ver se Orts kur ve der Regel strec ke zu bil den, also w -1 = FS

2

( T 1T 2 + T 1T 3 + T

Die Glei chung 5.20 lie fert w - xt Ù

x e × 1-

2

xt

Ù

x

e

2

2

z

=

T3 ) - 1 + j [ ( w 3 T 1T 2 T 3- w ( T 1+ T 2 + T K S1 × K S2 × K S3

3

)]

, mit der sich die Sta bi li täts aus sa ge ergibt: w

z

w

3 z

T 2

T

2

T

3

-w

z

(T

(T

1

T

2

+T

1

T

1

1

3

+T +T

2 2

+T T

3

)

3

)

.

288

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

So mit folgt für w 5.21 er füllt ist.

z

Ù

» 5,687 Hz . Die Re ge lung ist sta bil, da die Glei chung

Re | N ( x e | Xt = 6,358

<

Re [

-1 ] FS

wz

= 2983,931 Ù

Aus Bild 6.18 ist zu er se hen, daß die bei den Orts kur ven N ( x

e

. ) und -1 / F

S

sich nicht schnei den. Da her ist die Re ge lung un be grenzt sta bil, also für je den Wert von x t .

Bild 6.18

Ortskurven der Zweipunktregelung nach Bild 6.16

In Ver bin dung mit ei nem Mo tor-Stell an trieb fin det der Drei punkt reg ler in der Ver sorgungs- und Kraft werk stech nik zum Stel len von Mi schern, Ven ti len, Klap pen usw. viel sei ti ge Ver wen dung /27/, /64/. Dies soll am Bei spiel der Spei se was ser men gen re ge lung in ei nem Dampf kraft werk ge zeigt wer den. Der zu ge hö ri ge Kreis pro zeß ist in Bild 6.19 stark ver ein facht dargestellt.

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.19

289

Vereinfachtes Anlagenschema einer Speisewassermengenregelung

Um Über hit zun gen oder Tempe ra tur stür ze der Heiz flä chen zu ver mei den, muß die Spei se was ser men ge der Frisch dampf men ge nach ge führt wer den. Dies ge schieht bei Grund last kraft wer ken am ein fach sten mit Hil fe ei nes Drei punkt reglers, der auf einen Stellmotor wirkt. Bei de Men gen wer den mit ein an der vergli chen und bei ei ner Ab wei chung ein Si gnal zur Ver stel lung des Dreh zahl soll wer tes der Spei se pumpen an triebs tur bi ne gegeben. Die Ge samt ver stär kung der Strec ke kann mit K S =1 an ge setzt wer den. Der Kes sel stellt ein PT1 -Glied mit ei ner Ver zö ge rungs zeit von T 11 » 4 s dar, eben so die Spei se pum pen an triebs tur bi ne mit T 12 » 10 s . Die Laufzeit des Stell mo tors wird mit T i = 30 s angegeben. Be zo gen auf die Frisch dampf men ge bei Vol last kann die An sprech schwel le des Drei punkt reg lers mit x t » 0,1 an ge nom men wer den. Für die ma xi ma le Stell grö ße wird y = x s = 2 festgelegt. In Bild 6.20 ist die Si mula tion die ser Re ge lung auf ge zeich net. Es zeigt das ty pi sche Pen deln der Re gel grö ße um den Soll wert der Spei se was ser men ge.

290

Bild 6.20

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Simulation der Dreipunktregelung nach Bild 6.19

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

6.1.4

291

Geschwindigkeitsregelung für Schachtförderer

Bei den bis her be han del ten Dreh zahl re ge lun gen wur de der me cha ni sche Teil des Antriebs durch ein I-Glied mit der Hoch laufzeit kon stan ten T H darge stellt. Dies ist nur dann zu läs sig, wenn zwi schen Wel len, Kupp lun gen, Ge trie be und Last eine starre Verbindung besteht. Bei vie len An trie ben (Schacht för der an la gen, Auf zü gen, Band an la gen) be steht der Me cha nik teil je doch aus ei nem ge dämpf ten Fe der-Mas se-Sy stem hö he rer Ord nung. Der Re gel kreis muß da her mit ei nem er wei ter ten Blockschaltbild, wel ches die schwin gungs fä hi ge Me cha nik berücksichtigt, dimensioniert werden. Am Bei spiel ei ner Berg bau-Schacht för der an la ge /34/, /49/ soll der auf ge zeig te Sach ver halt un ter sucht wer den (Bild 6.21). We gen der gro ßen För der hö hen sind die Seil schwin gun gen be son ders aus ge prägt und wer den nur schwach ge dämpft durch den Luft wi der stand und die Seil rei bung. Wenn die Mas se der Seil trommel mT er heb lich klei ner ist als die der Kör be und des Seils, sind die bei den Mas sen m1 und m 2 über mT mit ein an der ge kop pelt. Die Fol ge ist ein Fe der-Mas se-Sy stem mit fünf Energie spei chern (siehe Bild 3.28). Die ses Sy stem läßt sich jedoch ver ein fa chen, wenn man pra xis nah an nimmt, daß ein Rut schen des Seils ausge schlos sen ist. Da mit sind bei de Fe der-Mas se-Sy ste me (m 1 - c f1 ; m2 - c f2) ent kop pelt und las sen sich ge trennt von ein an der be trach ten. Die se Ent kopp lung ge lingt eben falls, wenn mT > m1+m2 ist. Es soll nun eine Ge schwin digkeits re ge lung mit un ter la ger ter Stromre ge lung für ei nen am lan gen Seil hän gen den För der korb di men sio niert werden. Die Differ enti al glei chung für die Ge schwin digkeit des Kor bes lau tet mit m1 =mk ; v k1 =v k ; c f1 =c f und r 1 =r 2

v

dt

2

d

m

k

k

+r

dvk + c dt

f

×v

k

= c

×v

f

ST

.

Da mit er hält man die Bild glei chung

Mit

v

k

w

0

( p )×( p

2

=

2

+ p

cf 1 = mk T2

cf r + ) = v mk mk

2

und

d=

ST

( p )×

r 2 c

f

×m

k

cf mk

.

292

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.21

Anlagenschema einer Bergbau-Schachtförderanlage

ergibt sich schließ lich die Über tra gungs funk tion ei nes PT2 -Glie des F( p) =

v k (p) 1 = v St ( p ) 1 + 2d p T 2 + p

2

T

2

2

.

Das Blockschaltbild der Ge schwin digkeits re gelung mit un ter la ger ter Stromre ge lung für ei nen fremd er reg ten Gleich strommo tor mit sechs pul si ger Dreh strom brüc kenschaltung ist in Bild 6.22 darge stellt. Da bei wird die Rück führung des Stro mist wer tes I Ai mit einem Tiefpaß geglättet. Die An la gen-Pa ra me ter lau ten: D = 4 m, c

f

v

N

L

1

= 6,667 × 10 = 20

m . s

= 400 m , 4

N , m

m

L k

=

2

= 500 m ,

Korbgewicht

G K = 1,019 × 10 g

3

2

Ns , m

G

K

= 10

r = 2,01 × 10

3

4

N,

Ns , m

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.22

Blockschaltbild zur Regelung der Schachtförderanlage

293

294

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Die ein zel nen Strec ken-Pa ra me ter sind da mit: K

K

S1

S2

=

=

Da 1-a

a

U I

=1 2

AN

AN

×R

K

S3

=j

m

=1

K

S4

=j

m

=1

K

S5

=

K

S6

D D

=K

Tt=

= 1,5

T

A

=

A

T

T

=1

H

=

2

=

d=

max

S7

T » 2 ms 2p

=1

T

g

L R

A

= 0,1 s

A

2 p J×n M N

o

= 5s

mk = 0,087 s cf r

2

c

f

×m

= 0,122 k

= 5 ms

Da es sich um eine ana log tech nisch rea li sier te Re ge lung han delt, sind alle Ver stär kun gen auf 10V bezogen. Zu nächst soll der Strom re gel kreis di mensio niert wer den. Es wird ein kon stan ter, auf den Ma xi malwert nor mier ter, magne ti scher Fluß an ge nommen (j m = konstant ). Die Über tra gungs funk tion des offe nen Strom re gel krei ses lautet somit

F

(p)= K

01

R1

K

S1

K

S2

K

S7

( 1 + p T N1 ) × e -p T t p T N1 ( 1 + p T A ) ( 1 + p T

g

)

,

wenn man ei nen PI-Regler ein setzt. Ge wöhn lich wird die Nach stell zeit des Stromreg lers auf T

N1

=T

A

= 0,1 s

ein ge stellt. Soll die Reg ler ver stär kung nach dem Symme tri schen Op ti mum di mensio niert wer den, formt man die Über tra gungs funk tion mit Hil fe der Kor re spon den zen Nr. 13 - 15, Ta bel le 3.5 um und erhält F

mit

T

01

K

(p) » K

=T

g

R1

K

S1

K

+ T t = 7 ms .

S2

K

1+ p T S7

p

2

T

A

2

A

(1+ p T

K

)

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

295

Mit Hil fe der Glei chung 5.33 er hält man schließ lich eine Ver stär kung des Stromreg lers von K

R1

»

T K

S1

K

S2

K

» 2,52 .

A

T

S7

A

T

K

Ohne Be rücks ich ti gung des Rei bungs mo men tes und im un be la ste ten Zu stand des An triebs, also M R =M L=0 , läßt sich das Block schaltbild 6.22 für eine Di men sio nie rung des Ge schwin dig keits re gel krei ses leicht umformen. Mit Hil fe der Umformre gel Nr. 12, Ta bel le 3.5, er hält man den in Bild 6.23 darge stell ten Block schaltplan. Die Über tra gungs funk tion F H (p) des umge formten Strom re gel krei ses kann mit Hil fe von SIM LER-PC nä he rungs wei se als PT 1 -PT1 -PTt-Strec ke iden ti fi ziert wer den. Es ergibt sich durch Simulation

F

mit

T

H

E

(p) »

e

-p T t

(1+ p T

E

)

2

» 0,011 s .

Die Über tra gungs funk tion des offe nen Ge schwin dig keits re gel krei ses lautet dann F

02

(p) » F

R2

( p )×F

H

( p )×F

S2

( p )×F

S3

(p) .

Mit Hil fe von SIM LER-PC soll der Ge schwin dig keits reg ler nun auf Füh rungsund Stör ver hal ten op ti mal ein ge stellt wer den (Bild 6.24). Die Stö rung soll mit ei nem Sprung von 20% des Ma xi mal wer tes am Ende der Strec ke er fol gen. Da bei wird zu nächst von ei nem PD-Reg ler aus ge gan gen (1. Si mu la tion), da die Strec ke be reits ei nen I-An teil enthält. Setzt man da nach die Op ti mal wer te der Ergeb nis li ste für die zwei te Si mu la tion ein, ist die Re ge lung mit ei nem PID-Reg ler eben falls recht gut eingestellt. In der drit ten Si mu la tion wird die Füh rungs grö ße noch als Fahr kur ve vorge ge ben, so daß ein sanftes Hoch lau fen und Bremsen des Schacht för de rers ge währ lei stet ist.

296

Bild 6.23

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Umgeformtes Blockschaltbild für den Geschwindigkeitsregelkreis

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.24

Geschwindigkeitsregelkreis auf Führung und Störung eingestellt

297

298

6.1.5

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Drehzahlregelung von Asynchronmaschinen

Die Asyn chron ma schi ne mit Kurz schluß läu fer zeich net sich durch ihre ein fa che und ro bu ste Bau wei se aus. Ihre kur ze Bau län ge (kein Kol lek tor) hat ein ge rin ges Träg heits moment zur Fol ge. Als di rekt vom Netz ge spei ste Ma schi ne ist sie am wei te sten ver brei tet (z.B. für Sche ren, Stanzen, Kreissägen usw.). Die Re ge lung von Asyn chron ma schi nen mit der den Gleichst ro man trie ben vergleich ba rer Po si tio nierge nau ig keit und Dreh zahl sta bi li tät be dingt je doch ei nen hö he ren Aufwand an Elektronik. Die Läu fer dreh zahl n ist von der Netz fre quenz f1 , der Pol paar zahl p und dem Schlupf s der Ma schi ne ab hän gig, sie ist be schrie ben durch die Gleichung n =

mit

s =

60 × f

( 1- s ) min p

1

n1-n n1

-1

und

n

1

=

60 × f p

1

min

-1

.

(6.13)

Aus der Glei chung 6.13 ist zu er se hen, wel che Mög lich kei ten zur Steue rung oder Re ge lung der Dreh zahl be ste hen. Man kann die Pol paar zahl mit ei ner Dah lan der-Schütz schal tung stu fen wei se ver än dern, eine Va rian te, die nur noch bei ein fa chen Dreh zahl steue run gen ein ge setzt wird. Die Be ein flus sung des Schlup fes, der Stän der span nung oder der Stän der fre quenz mit ei ner Stromrich ter schal tung ist heu te die meist be nutz te Me tho de zur op ti ma len Dreh zahl steue rung und -re ge lung. Ei nen Über blick ge ben die Literaturstellen /48/, /49/ und /54/, /55/. Der Asyn chron motor stellt sei ne Dreh zahl so ein, daß sein Dreh moment ge nau dem Last mo ment ent spricht (Bild 6.25). Dies ist im Arbeits punkt A der Fall. Soll der Ar beits punkt B ein ge stellt wer den, kann die Mo menten kenn li nie durch Ab sen ken der Stän der span nung U 2 be ein flußt wer den. Das Mo ment ist bestimmt durch die Gleichung M = C

3

× F × I × sin b =

P 2p ×n

.

Dar in ist C 3 eine Ma schi nen kon stan te und b der Pha sen win kel zwi schen F und I. Für M » F × I und P » U 2 × I er hält man ei nen Zu sammen hang zwi schen der Stän der span nung und der Drehzahl.

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.25

299

Lastkennlinie und Momentenkennlinie eines Asynchronmotors

n »

U 2 . F

Die ein fach ste Strom rich ter schal tung zur Steue rung der Stän der span nung ist der Dreh strom stel ler (Bild 4.18 bis 4.20). Mit die ser Schal tung kön nen die Span nungs zeit flä chen durch Ver än dern der Zünd win kel ver min dert wer den. Ein Pro blem sind die ho hen Läu fer ver lu ste P V2 . Sie sind durch P

V2

= s×P

L

= 2 p ×( n 1 - n )× M

(6.14)

ge ge ben und stel len die Ver lust lei tung durch Strom wär me dar. Dem Ein satz des Dreh stromstel lers sind da her Gren zen ge setzt. Für Dreh zahl re ge lun gen soll te die Nenn lei stung der Ma schi ne 50 kW nicht überschreiten. Für sehr gro ße Lei stun gen und gro ße An fahr mo men te eig net sich be son ders der Di rek tumrich ter. Er be steht aus drei sechs pul si gen Stromrich tern in an ti par al le ler Dreh strom brüc kenschaltung (Bild 6.26). Jede Pha se der Stän der wick lung wird dem nach über eine Dreh strom brüc kenschaltung an ge steu ert. Die Stän der span nung wird so ab schnitts wei se aus der Netz span nung ge bil det und hat die ver än der li che Fre quenz f 2. Der Zu sammen hang zwi schen der Dreh zahl und der Fre quenz ist aus Glei chung 6.13 er sicht lich. Mit stei gen der Fre quenz f2 wird die Mo menten kenn li nie so mit par al lel nach rechts ver scho ben (Bild 6.27). Es gilt je doch für den Stell be reich der Stän der fre quenz f 2 =[0; f1 /2]. Für jede Pha se sind 12 Thy ri sto ren und je ein Stromreg ler er for der lich. Die ser hohe Steu er- und Re ge lungs auf wand lohnt sich nur bei Ma schi nen gro ßer Lei stung. Vor teil haft ist je doch, daß mit dem Kipp moment MK an ge fah ren werden kann.

300

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.26

Direktumrichter zur Drehzahlregelung eines Asynchronmotors

Bild 6.27

Momentenkennlinie des Asynchronmotors bei Frequenzsteuerung

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

301

Bei nied ri ge ren Dreh zah len (n<50 min-1 ) wird der Dreh stroman trieb mit Di rek tumrich ter be vor zugt ohne Ge trie be mit der Last ver bun den. Dies soll am Bei spiel ei ner Rohr müh len re ge lung ge zeigt werden (Bild 6.28). Sie be steht aus dem Di rek tum rich ter und drei Steu er- und Re gel ein rich tun gen. Ein Hoch laufge ber lie fert den Dreh zahl soll wert für den ge mein sa men n-Reg ler. Die ser wirkt auf den Si nus ge ber, des sen fre quenz ab hän gi ge Steu er span nun gen U st den Stromsoll wert bil den. Eine Drehzahl diffe renz wird so mit ei ner Än de rung der Umrich ter fre quenz f 2 kor ri giert. Der Be trag des Luft spalt flus ses wird mit Hall son den ge mes sen und dem Fluß reg ler zu ge führt. Sein Aus gangs si gnal wirkt eben falls auf den Si nus ge ber und be ein flußt die Ampli tu den der Steuerspannungen, so daß insgesamt Ust=f(f,F) gilt. Die drei Steu er span nun gen UstR und U stS und UstT sind um 120° pha sen ver scho ben und er zeu gen dann über die Strom reg ler und Steu er sät ze das syn the ti sche Dreh stromnetz U 2R , U2S und U 2T mit ver än der li cher Frequenz f2 . Die Strom reg ler be gren zen den Umrich ter strom und re geln den Belastungsstrom der Maschine. Der Fre quenz gang be trag des Di rek tum rich ters ist durch die Glei chung Ù

u

|F U | = 20 × lg dB

2

× sin ( 180 × Ù

u

st

×

p ×f p×f

f 2 ) p×f 1

( 6 .15 )

2 1

ge ge ben /34/. Der zu ge hö ri ge Pha sen win kel ist j

2

= - 180 ×

f 2 p×f 1

(6.16)

.

Für den Stell be reich der Fre quenz f 2 =[0;25]Hz und f 1=50Hz bei p=6 wird in Glei chung (6.15) sin ( 180

f 2 p ×f ) » p×f 1 p×f

2

,

1

so daß der Fre quenz gang be trag nur noch P-Ver hal ten zeigt. Ù

|F U | u » 20 × lg Ù 2 = 20 × lg K dB u st

S1

.

302

Bild 6.28

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Drehzahlregelung einer Rohrmühle mit Direktumrichter

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

303

Der ge nä her te Fre quenz gang be trag und sein Pha sen win kel nach Glei chung 6.16 ent spre chen nun ei nem Tot zeit glied mit der Er satz zeit kon stan ten T t = 1 / ( 2pf 1 ) » 2 ms . Das Block schaltbild der Re ge lung ist in Bild 6.29 darge stellt. Es gilt für die Grund wel len von U st und I (ohne Ober schwin gun gen in fol ge der Pha sen an schnit te). Wer den die Ampli tu den der Span nun gen U 2R , U2S und U 2T üb li cher wei se pro por tio nal der Fre quenz f2 ver stellt, ist F =kon stant und der Fluß re gel kreis kann ver nach läs sigt werden. Die Über tra gungs funk tion des offe nen Strom re gel krei ses lau tet bei Ver wen dung ei nes PI-Reg lers und Nä he rung des Tot zeit glie des durch das PT 1 -Ver hal ten F

01

K R1 × K S1 × K S2 × ( 1 + p T N1 ) . p T N1 ( 1 + p T 1 ) ( 1 + p T t )

(p) »

Mit T N1 =T 1 folgt F

01

K R1 × K S1 × K S2 p T 1 (1+ p T t )

(p) »

.

Geht man von ei ner Pha sen re ser ve von a R = 60° aus, folgt für den Ge samt pha sen win kel des Strom re gel krei ses bei der Durch tritts fre quenz j

0

(w

D

) = - 120° » - arctan w D T1 - 90° .

Mit T 1 =0,05s ergibt sich eine Durch tritts fre quenz von w

D

»

3 3T

» 11,5 Hz .

1

Mit |F 0 |=1 bei w D er hält man bei ei ner Strec kenverstärkung von K S1 × K S2 = 0,5 fol gen de Ver stär kung für den Stromreg ler: Tt

2

T1 3 × K S1 × K

2

3+ K

R1

=

» 1,2 .

S2

Die Ver stär kung des Drehzahl reg lers läßt sich für M L=0 und n s =kon stant an ge ben. Die Über tra gungs funk tion des offe nen Dreh zahl re gel krei ses lau tet bei Ver wen dung eines PI-Reglers

304

Bild 6.29

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Blockschaltbild einer Rohrmühlen-Regelung mit Asynchronmotor

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

F

und mit w

02

(p) »

K

×K

R2

Fr

D

T t < < 1 schließ lich

F

02

K

(p) » p

2

T

R2

N2

×K 2

p

T

×K

T

305

S3

×( 1 + p T

N2

T

H

H

×

F 01 ( p ) 1 + F 01 ( p )

× ( 1 + p T N2 ) T1 ×( 1 + p K R1 × K S1 × K Fr

×K

)

N2

S3

. ) S2

Aus die ser Glei chung läßt sich ent spre chend dem Symme tri schen Op ti mum für T N2 =T H =3s die Dreh zahl reg ler-Ver stär kung ermitteln. K

R2

T

» K

Fr

×K

S3

×

» 6,0 .

H

THT1 K R1 × K S1 × K

S2

Die end gül ti ge Ein stel lung der Reg ler un ter Be rücks ich ti gung des Last mo men tes, der Fahr kur ve, der Fluß re ge lung und Ober schwin gun gen des Sy stems kann nur mit Rech ner si mu la tion oder em pi risch bei In be trieb nah me der An la ge er fol gen. Dazu wer den in /34/, /35/, /36/ und /51/ wertvolle Hinweise gegeben.

6.1.6

Regelung von Wickelantrieben für Stoffbahnen

In Walz wer ken wird mit Mehr mo to ren antrie ben band för mi ges Gut (Alu mi ni um, Kupfer, Stahl usw.) warm oder kalt be ar bei tet. Das Ma te ri al liegt zu Rol len (Coils) auf ge wic kelt vor und wird ge walzt (Band dic kenreduzierung), dres siert (Be ein flus sung der Ma te ri al ei genschaften) oder op ti miert (ent fet tet, gebeizt, be schich tet, blank ge glüht usw). Es ist in je dem Fall ein Ab- und Aufwic kelvorgang. Die Be triebs ge schwin dig keit sol cher An la gen ist da her re la tiv hoch, entsprechend der geforderten Produktivität (Bild 6.30). Am Bei spiel ei ner Dressier stra ße soll die Funktion ei nes Wic kelantriebs (hier ei ner Auf has pel) ge zeigt wer den. Vor aus set zun gen sind die Gül tig keit der Mas sen kon stanz /47/ und der Li nea ri täts be reich des Hoo ke sches Ge set zes. dm = r × dv = konst.

und

s = E× e

Die wich tig ste Re gel grö ße ei nes Walz pro zes ses ist der bei al len Be triebs zu stän den kon stant zu hal ten de Band zug F. Er wird durch die von der Ab- bis zur Auf has pel, von An trieb zu An trieb zu neh men de Ge schwin dig keit er zeugt. Zur in di rek ten als auch di rek ten Re ge lung des Band zu ges sind folgende Anlagengrößen erforderlich:

306

Bild 6.30

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

a ) Schema und b) Beispiel für die Prozeßführung eines eingerüstigen Walzwerkes

Band zugs oll wert F S

Band ge schwin dig keit v B

Dich te des Ban des r

Band brei te b

Bund durch mes ser D

Dorn durch mes ser D min

Träg heits momen te J ges

Ge trie be über set zung i

Ge trie be wir kung. hG

In Bild 6.31 ist das Über sichts schalt bild ei ner in di rek ten Zu gre ge lung für die Auf has pel darge stellt /51/. Sie be steht aus dem Ge schwin dig keits reg ler mit Zug-Ein stel lung, dem Mo men ten rech ner und dem un terge la ger ten Strom re gel kreis. Die Höhe des An ker stroms ist ein Maß für den Band zug F. Um ihn kon stant zu hal ten, müs sen der ma gne ti sche Fluß F der Ma schi ne und der ver än der li che Bund durch mes ser D in die An ker strom be rech nung ein ge hen. Au ßer dem ist eine Ver lust strom-Kompen sa tion, de ren Funk tion I V =f(n) empi risch auf ge nommen wird, so wie die An ker strom be gren zung vor zu se hen. Der An ker stromsoll wert wird nun wie folgt er mit telt: Mit S M = 0 er hält man das auf zu brin gen de Mo tor mo ment M M als Summe aus Last mo ment M L und Be schleu ni gungs mo ment M A .

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

307

MM = ML + MA . Da alle Mo men te auf die Mo tor wel le zu be zie hen sind, folgt MM = MLM + MAM . Mit

i = n M / nL M

M

=

ergibt sich

M L + M i×h G

.

AM

Für die wei te ren Be trach tun gen ist die De fi ni tion der ein zel nen Mas sen träg heits momente und Kräf te not wen dig (Bild 6.32). Es ist M

L

mit

= F× v

D 2

max

und

M

= D×p ×n

L

= 2 p ×J

AM

ges

×

2 × i × v max × J dnM = dt D×T H

ges

.

Die Mo men ten glei chung lau tet nun

M

M

=

2 × i × v max × J 1 ×D×F + 2×i×h G D×T H

ges

(6.17)

.

= Ca Das ge samte, auf die Mo tor wel le be zo ge ne Träg heits moment er rech net sich zu J

ges

= J

+ J

M

+ J

K

W

+ J

+

G

J

Rot1 2

i

+J

Rot2

.

×h G

Die Träg heits mo mente des ro ta tions sym me tri schen Zy lin ders und Hohl zy lin ders sind: J Rot1 =

10 3 × Dmin 4 × b × p × r kg m 2 32

J Rot2 =

10 3 × b × p × r × (D4 - Dmin 4 ) kg m 2 32

Das Ge samt träg heits mo ment er rech net sich dann mit r = [ g / cm J

ges

=J

M+

J

K+

J

W+

= Cb

J

G

+

10

3

× b × p ×r

32 × i

2

×h G

= Cd

×D

4

.

3

] zu

( 6 .18 )

308

Bild 6.31

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Übersichtsschaltbild der indirekten Zugregelung einer Aufhaspel

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

309

Bild 6.32 Me cha nik sche ma ei ner Has pel

Das auf zubrin gen de Mo tor mo ment ist schließ lich M

M

=C

a

2 × i × v max ×( C D× T H

×F +

b

+C

d

×D

4

) .

( 6 .19 )

Mit der Glei chung für das Mo ment ei nes fremd er reg ten Gleich strommo tors M

M

= C

2

×F × I

A

er hält man durch Gleich set zen mit Glei chung 6.19 den An ker strom I

Mit

A

=

D C ×[ F C

a 2

×F +

2×i×v C

2

×T

C K = C a / C 2 und C L FA =

I

A

=

D ×( C F

K

×F + C

L

×F

max

H

×D

2

×( C

2 × i × v max C 2 × TH × D

A

)

2

b

+C

d

×D

4

)] .

(C b + C d × D4 )

folgt:

( 6 . 20 )

310

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Dar in ist F A die zur Be schleu ni gung der Mas sen er for der li che Kraft, wel che vom varia blen Bund durch messer D und dv/dt ab hängt. Die Rea li sie rung der Glei chung 6.20 ist als sog. Mo menten rech ner in Bild 6.31 enthalten. Die Funk tions wei se der Has pel re ge lung mit in di rek ter Zu gre ge lung ist im Fol gen den beschrieben. Beim Ein fä deln des Ban des (ohne Be triebs zug) wird ein klei ner Soll wert vsmin auf alle Ge schwin dig keits reg ler ge ge ben; die An trie be dre hen mit Ein fä del geschwin dig keit. Er reicht der Band an fang die Auf has pel und hat den Has pel dorn kraft schlüs sig um schlun gen, wird der Be triebs zug F ein ge schal tet. Da bei wird der v-Reg ler an die Stell gren ze ge steu ert und mit dem vorge ge be nen Band zug auf den ent spre chen den Soll wert be grenzt. Der Aus gang des Ge schwin dig keits reg lers entspricht dann dem Betriebszug. Summiert mit dem Be schleu ni gungs zug F A ergibt sich nach dem Mo men ten rech ner der An ker strom soll wert nach Glei chung 6.20. Geht man von ei nem Bund durch mes ser ver hält nis von Dmax/Dmin=5/1 und ei nem Ge schwin dig keits ver hält nis von vmax /v min =35m/s / 0,4m/s aus, er hält man ei nen Dreh zahl stell be reich der Ma schi ne von n max /n min » 440 / 1. Die ser ist nur un ter Ein satz der Feld schwä chung zu be herr schen. Da her wird, wie aus Glei chung 6.20 zu er se hen ist, eine Bund durch mes ser zu nah me mit ei ner Fluß zu nah me kompen siert. Es ist also D / F = konstant (für den Bereich der Betriebsgeschwindigkeit). Zur Ver an schau li chung des Wic kelvorgangs sind die wich tig sten An la ge grö ßen und ihr zeit li cher Ver lauf, ohne Ein schwing vorgän ge, in Bild 6.33 dargestellt. Im Bereich A wird das Band mit nied ri ger Ge schwin dig keit hoch ge fah ren. Wie man sieht, er folgt die Vorga be der Band ge schwin dig keit mit ei ner Fahr kur ve. Das vom Motor auf zu brin gen de Mo ment ist die Summe aus dem Last mo ment M LM und dem Be schleu ni gungs mo ment M AM . Geht man da von aus, daß die Hoch lauf zeit ca. 15s und die Brems zeit ca. 10s be trägt, ist in die ser Zeit (bei dün nem Ma te ri al) kaum eine Bund durch mes ser än de rung zu ver zeich nen. Da her ist das Be schleu ni gungs mo ment in den Be rei chen A, B und D pro por tio nal dem Wert dv/dt. Wäh rend des ei gent li chen Nach walz- bzw. Dres sier vorgangs (Be reich C), der in der Re gel ei ni ge Mi nu ten dau ert, nimmt der Bund durch mes ser pro por tio nal zum ma gne ti schen Fluß zu. Da die Be schleu ni gung in die sem Bereich Null ist, be steht das Mo tor moment nur aus dem Last moment. Es ist bei kon stant ge re gel tem Band zug F proportional dem Bunddurchmesser D. Der An ker stromver lauf des Has pel an triebs ent spricht dann dem Mo men ten ver lauf un ter Be rücks ich ti gung des Quo tien ten D / F nach der Gleichung 6.20 .

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.33

Qualitativer Verlauf wichtiger Systemgrößen beim Walzen

311

312

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

In Bild 6.34 ist das Block schaltbild der Has pel re ge lung mit ei ner in di rek ter Zu gre ge lung darge stellt. Die ses Block schaltbild ist vergleich bar mit dem in Ab schnitt 6.1.4 ge zeig ten zur Re ge lung ei ner Schacht för der an la ge. Auch hier wird für den An ker strom- und Ge schwin digkeits-Reg ler je weils PI-Ver hal ten ge wählt. Setzt man zur Reg ler-Ein stel lung das Symme tri sche Op ti mum ein, gel ten die glei chen Di men sio nie rungs-Hin wei se wie in Ab schnitt 6.1.4 gezeigt. Mit Hil fe ei ner Rech ner-Si mu la tion oder empi risch kann bei In be trieb nah me der Has pel re ge lung, die end gül ti ge Reg ler-Op ti mie rung er fol gen. Durch die Band kopp lung von Ha spel und S-Rol le liegt ein Fe der-Mas se-Sy stem hö he rer Ord nung mit zahl rei chen Störgrö ßen vor, wel ches in Bild 6.34 nicht be rücksichtigt wur de. Au ßer dem ist das nicht li neare Ver hal ten der Ver lust kompen sa tion und die Strombegrenzung zu berücksichtigen. Mit den ge ge be nen An la ge da ten ist die Aus le gung des Ha spel-Mo tors möglich. Geht man von der klein sten Brems zeit T B und dem grö ß ten Bund durch mes ser D max bei der höch sten Band ge schwin dig keit v max aus, er hält man das vom Mo tor auf zu brin gen de Ma xi mal mo ment, sei ne Leistung und die Drehzahl. Die An la gen-Pa ra me ter sind: T

B

= 5s ,

v

F = 4000 N , h G = 0,83 J

M

= 30

max

m km = 108 , s h

F = 0,5 Vs

= 200 kg m

2

,

J

K

,

= 8 kg m

C 2

2

,

= 0,5 m ,

min

r = 7,68 × 10

b = 1,4 m ,

,

D

3

kg m

3

,

D

max

i = 1,85

,

= 2,5 m ,

= 100 ,

J

W

= 16 kg m

2

,

J

G

= 21 kg m

2

.

Mit Glei chung 6.17 und 6.18 er hält man das er for der li che Mo tor moment M M = 3,256 Nm + 131,072 Nm = 134,328 Nm . Der Haupt an teil des Mo ments ist demnach zum Bremsen oder Beschleu ni gen der Mas sen er for der lich und im we sent li chen vom Bund durch mes ser ab hän gig. Für die Mo tor lei stung ergibt sich mit n

M

=

v max × i p × D max

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.34

Blockschaltbild der Haspelregelung mit indirekter Zugregelung

313

314

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

P

M

= 2p ×n

M

×M

M

=

2 × i × v max × M D max

M

= 5,964 MW

.

Wäh rend des Nach wal zens im Be reich C (Bild 6.33) gilt für kon stan te Band ge schwin dig keit, daß die Bund durch mes ser zu nah me der Dreh zahl ab nah me pro por tio nal ist. Die grö ß te Dreh zahl ohne Feld schwä chung (Leer lauf dreh zahl) wird da her bei D min zu fahren sein. Bei die ser Dreh zahl ist in un se rem Fall v der te Leer lauf dreh zahl des Motors n

o

=

v B ×i p × D min

= 1484 min

B

-1

» 21 m / s . So mit be trägt die ge for -

.

Eine bes se re sta ti sche Ge nau ig keit des kon stant zu hal ten den Band zu ges wird mit der di rek ten Zugre ge lung der Ha spel erreicht /52/. Da bei er faßt man den Bandzug mit ei ner Druck meßdose, die an ei ner Um lenk rol le an ge bracht ist. Da mit kann ein grö ße rer Bandzugs tell be reich rea li siert wer den (F max /F min >10). Es ist je doch dar auf zu ach ten, daß der Um schlin gungs win kel der Meß rol le groß und ihre Mas se klein ist. Nur dann ist eine re la tiv ver zö ge rungs freie Zug mes sung ohne Bandrutschen möglich. Das Aus gangs si gnal des Band zu greg lers wirkt nun ent we der als Kor rek turgrö ße auf den Strom reg ler (Bild 6.35) oder man über la gert den Zu gre gel kreis dem Ge schwin dig keits re gel kreis (Bild 6.36). Die Kas ka den re ge lung mit über la ger tem Zu gre gel kreis soll hier nä her be spro chen wer den. Sie führt auf den in Bild 6.37 darge stell ten Block schaltplan. Der Übergang von der Band ge schwin dig keit zur Zug kraft ist durch fol gen den Zusammenhang beschrieben. Der Band zu gist wert er rech net sich aus der Band deh nung e = D L / L und dem Bandquer schnitt A mit dem Ela sti zi täts mo dul E. F i = A × E ×e

(6.21)

Die Län gung D L des Ban des ent spricht der Diffe renz der an der S-Rol le ge mes se nen Band län ge L R und der auf ge wic kelten Band län ge L H , also DL = L

H

- L

R

.

Die auf ge wic kelte Band län ge steht mit der Band ge schwin dig keit v B in Be zie hung, so daß gilt:

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.35

Direkte Bandzugregelung der Aufhaspel mit Bandzugkorrektur

315

316

Bild 6.36

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Direkte, überlagerte Bandzugregelung der Aufhaspel

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.37

Blockschaltplan der Haspelregelung (Zugregelkreis überlagert)

317

318

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

v

B

t

dLH dt

=

oder

L

H

ò

=

v

B

× dt .

0

Es ergibt sich demnach ein I-Glied mit der Zeitkon stan ten T W =1m/v B und ein Pro por tio nal glied mit der Ver stär kung K

S6

A×E L

=

.

Die Strec ken-Pa ra me ter sind (verglei che mit Ab schnitt 6.1.4): K

K

S1

S2

=

a

=

Da 1-a U

I

K

S3

=K

K

S5

=

AN

S4

K

S6

=

K

S7

=1

T » 2 ms 2p

Tt=

2

AN

×R

= 1,3

T

=

A

A

=j

D D

=1

m

=1

T

H

=

L R

A

= 0,1 s

A

2p J×n M N

o

= 6s

= 0,8

max

A×E = 1 L

T

W

T

g

= 50 ms

= 5 ms

Die op ti mal ein ge stel lten Re gel krei se für Strom und Geschwin digkeit sind in Bild 6.38 darge stellt. Es läßt sich mit SIM LER-PC zei gen, daß sich der unter la ger te ge schlos se ne Stromre gel kreis als PT 1-PT 1-Ersatz strec ke F HI (p) mit T11 »0,015s und T 12 »0,02s um rech nen läßt (sie he Ab schnitt 5.5.5). Der op ti mier te ge schlos se ne Ge schwindig keits regel kreis ein schließlich F HI (p) stellt in glei cher Wei se umge rech net ge nä hert eine PT1 -Ersatz strec ke F Hv (p) mit T 11 »0,65s dar. Der über la ger te Band zu gre gel kreis be steht demnach aus der Ersatz strec ke F Hv (p) und dem In te gral glied mit T W =0,05s und soll te mit einem PID-Reg ler ge fah ren werden, wenn man das Füh rungs- und Stör ver hal ten op ti mal au re geln möch te. Die Si mu la tion des Band zu gre gel krei ses ein schließ lich ei nes an genom me nen Stör im pul ses mit ei ner Ampli tu de Ast von -20% be zo gen auf den Soll wert ist in Bild 6.39 darge stellt.

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.38

Einstellung von Strom- und Geschwindigkeits-Regelkreis

319

320

Bild 6.39

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Einstellung des Bandzugregelkreises auf Führung und Störung

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

6.1.7

321

Banddickenregelung

Band dic kenregelungen wer den immer da ein ge setzt, wo es auf eine hohe Maß ge nau ig keit der Walz pro duk te an kommt (Fo lien, Fein ble che usw.). Un ter den Qua li täts an for de run gen nimmt da her die Band dic ke bei der Re ge lung von Walz pro duk ten ei nen ho hen Stel len wert ein. Sie soll ent lang des ge sam ten Band quer schnit tes mög lichst kon stant sein. Über die ver schie de nen Re gel ver fahren wird in /52/ berich tet. Wei te re Literaturstellen zu diesem Thema sind /51/ und /52/. Da es nicht mög lich ist, die Band dic ke di rekt im Walz spalt zu er fas sen, sind ver schie de ne Ver fah ren zu Dic kenmessung im Einsatz. • Mes sung des Ar beits wal zen ab stan des an den Wal zen zap fen mit Hil fe

der Hy drau lik zy lin der po si tion. • Be rüh rungs lo se Mes sung der Band dic ke hin ter und/oder vor dem

Walz spalt. • Er rech nen der Band dic ke aus der An stell po si tion der Ar beits wal zen

und der Walz kraft. Störgrö ßen der Dic kenregelung sind das Fe der-Mas se-Sy stem des Walz ge rü stes, die Wal zen bie gung, die Ex zen tri zi tät der Wal zen, die Ge schwin dig keit des Ban des vor, im und hin ter dem Walz spalt so wie die ver än der li chen Win kel a o und a s der Haft- und Gleit zo ne zwi schen Walzgut und Wal ze (Bild 6.40).

Bild 6.40

Die wichtigsten Systemgrößen des Walzvorgangs am Walzspalt

322

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Als Stell grö ßen, wie schon aus dem Bild 6.40 zu er se hen ist, kön nen zur Be ein flus sung der Dic kenregelung die Walz kraft F W und der Ab stand der Wal zen S her an ge zo gen wer den. Den Ab stands wert er faßt man gewöhn lich an den Wal zen zap fen. Er ist je doch nicht iden tisch mit dem rea len Wal zen ab stand, da sich in fol ge der Walz kraft eine Ab plat tung und Längsbiegung der Walzen ergibt. Bei har tem und dün nem Walz gut läßt sich mit S und FW die Band dic ke kaum be ein flus sen. Man greift dann zum Band zug als zu sätz li che Stell grö ße. Er führt zu ei ner pla sti schen Ver for mung und damit ei ner Dic kenabnahme des Ban des. Oder man be nutzt eine dic kenabhängige Här te be wer tung des Walzgutes. Zur Aus re ge lung schnel ler Dic kenänderungen, be dingt durch Schweiß näh te an ein an derge füg ter Bän der o.ä., be nutzt man die Dic kenabweichung D h = h s - h i . Sie wirkt auf den Walz spalt er hö hend oder ver min dernd (sie he Bild 6.42). Da der Band dic kenistwert erst in ei ni gem Ab stand vom Walz spalt ge mes sen wer den kann, ist der Ein fluß von D h mit der Lauf zeit T t des Ban des, vom Walz spalt bis zur Me ß stel le zu be wer ten (sie he Ab schnitt 3.1.9). Die Regel strec ke ist da her mit ei ner Tot zeit behaftet, die die Regeldynamik einschränkt. Eine wei te re Hilfs grö ße ist die Schräg la ge S D (Bild 6.41). Mit ihr kann ein Ver lau fen des Ban des quer zur Walz rich tung kor ri giert wer den. Man ver fährt da bei so, daß an der Re ge lung für die lin ke Wal zen sei te der Wert S D von S sub tra hiert und an der rech ten Wal zen sei te ad diert wird. Der umge kehr te Fall ist eben falls mög lich, je nach Band ver lauf. So ergibt sich ein Schwenken um die Walzenmitte.

Bild 6.41

Wirkung der Schräglage auf die Arbeitswalzen-Anstellung

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.42

Schema der Banddickenregelung eines Walzvorgangs

323

324

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Das Sche ma ei ner Po si tions- bzw. Band dic kenregelung ist in Bild 6.42 darge stellt. Als Stell glie der sind hier zwei hy drau li sche Zylin der für jede Wal zen sei te ein ge setzt. Sie wer den an ge steu ert von zwei Ser vo ven ti len SVL und SVR, die über Im pe dan zwand ler mit den zu ge hö ri gen Reg lern ver bun den sind. Durch die Tren nung in zwei un ab hän gi ge Re gel krei se (Walz spalt re ge lung, Walz kraft re ge lung) läßt sich das ge samte System veränderlichen Betriebsbedingungen gut anpassen. Im all ge mei nen reicht das Konstant hal ten des Wal zen ab stan des S mit den schnell rea gie ren den Walz spal treg lern be reits aus, um ma ter ial be ding te Auffede run gen aus zu glei chen. Trotz dem ist es an ge bracht, die walz kraft be ding ten Ge rüst schwan kun gen mit der Störgrö ßenauf schal tung F W /c G zu kom pen sie ren. Zur hoch ge nau en Re ge lung der End dic ke h 2 ist dem Walz spalt re gel kreis ein Band dic kenregelkreis über la gert. Hier wer den un ter Be rücks ich ti gung der Lauf zeit T t Kor rek tur be feh le an den Walz spalt zäh ler ge ge ben. Eben so gibt die Här te be we gung, ab hän gig von der Dic kenabweichung D h 2 und der Ge schwin dig keit v 2 , Korrekturbefehle an den Walzspaltzähler. Da mit es im Re gel be reich zu kei ner Haf trei bung der Hy drau lik zy lin der kommt, setzt man ei nen sog. Wobb ler als zu sätz li che Störgrö ßen-Auf schal tung ein. Die ser er zeugt eine kon stan te Si nus schwin gung mit ei ner Fre quenz von ca. [ 10 . . . 50 ] × w D und ei ner Ampli tu de von etwa 5% des Stellgrößeneinflusses. In der Be triebsart Walz kraft re ge lung wird auf die Summen walzkraft F W = F WiL + F WiR ge re gelt. Die Walz kraf tist wer te wer den über eine Druck messung er faßt. Oft führt man bei der Walz kraft re ge lung gleich zei tig die Walz spal tist wer te nach ( S s = S i ), so daß ein sto ß frei es Umschal ten in Walzspaltregelung möglich ist. Für die Be triebs art Walz spalt re ge lung sol len nun die Reg ler pa ra me ter be stimmt wer den. Es ge nügt, die Be rech nung auf ein Ser vo ven til zu be zie hen, da die ge samte Re ge lung symme trisch auf ge baut ist. Das Block schaltbild ent spricht ei ner Kas ka den re ge lung mit ge schwin dig keits ab hän gi ger Adap tion der Här te bewe gung, die auf den Walz spalt soll wert zähler wirkt (Bild 6.43). Alle Ge schwin dig keits ein flüs se wir ken dem nach mul ti pli ka tiv, wäh rend die Walzgerüst-Auffederung eine additive Störgröße darstellt. Die Ex zentri zi tät der Wal zen, wel che in fol ge der Ro ta tion ein si nus för mi ges Schwin gen der End dic ke h 2 zur Fol ge hat, soll hier un be rücks ich tigt blei ben. Der Walz spalt soll wert zähler stellt ein In te gral glied dar. Das Ser vo ven til zeigt etwa PT 2 -Ver hal ten (siehe Abschnitt 3.1.8). Der Ein fluß ei ner Walz spalt än de rung macht sich erst nach der Laufzeit T t am Band dic kenmeßgerät be merk bar. Die Fol ge ist ein Tot zeit glied. Bei re la tiv ge rin ger Stich ab nah me (h 1 -h 2 )/h 1 gilt v 1 » v 2 » v W » v .

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.43

Kaskadenregelung für Banddicke und Walzspalt

325

326

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Geht man von v=40m/s und ei nem Ab stand der Dic kenmeßgeräte von L=0,8m aus, liegt die Tot zeit bei T t = 20 ms . Die Band dic kenmessung stellt ein Ver zö ge rungs glied I. Ord nung dar. Der Me ß um for mer für den Walz spalt ar bei tet im Vergleich zur Band dic kenerfassung prak tisch ver zö ge rungs frei. Da mit las sen sich fol gen de Strec ken-Pa ra me ter an ge ben: K

S1

=1

T

K

S2

=1

T t = 20 ms

K

S3

=1

T

K

S4

=1

T i = 0,1 s

2

3

= 10 ms

d = 0,6

= 15 ms

Die Über tra gungs funk tion des offe nen Walz spalt re gel krei ses lau tet bei Ver wen dung ei nes PID-Reglers F

01

(p)=

K

R1

×K pT

S1

×K

N1

S4

×( 1 + p T

×( 1 + 2 d p T

2

N1

+p

)(1+ p T 2

T

2

2

V1

)

.

)

Wählt man für die Regler-Pa ra me ter K R1 =10 und T N1 =TV1 =0,01s, ergibt sich eine Durch tritts fre quenz von w D = 998 Hz (mit SIM LER-PC er mit telt). Der op ti mier te Walz spalt re gel kreis läßt sich nun als Er satz-Regel strec ke in be kann ter Wei se im Band dic kenregelkreis ein set zen. Die Er satz-Regel strec ke wur de mit Hil fe von SIM LER-PC als PT 1 -Glied mit den Wer ten KE1 =1 und TE1 =1ms iden ti fi ziert. Setzt man für den Band dic kenregler das PID-Ver hal ten ein, ergibt sich dann fol gen de Über tra gungs funk tion des offenen Dickenregelkreises

F

02

( p)»

K

R2

×K p

E1 2

×K

TiT

S2

×K

S3

×(1 + p T

N2 × ( 1 + p T

N2

)(1+ p T

E1 ) ( 1 + p T

3

)

V2

)

×e

-p Tt

. Die Einstel lung des Banddic kenreglers mit Hil fe von SIM LER-PC ist in Bild 6.44 darge stellt. Mit KR2 =2 und T N2 =0,1s so wie T V2 =0,02s er hält man eine sta bi le Re ge lung ( a R » 43° ) bei ei ner Durch tritts fre quenz von w D » 20 Hz . Da mit liegt auch die Wob bel-Fre quenz fest. Sie soll te etwa bei 200Hz liegen. Ein si mulier ter Stör sprung von 20%, der zwi schen Reg ler und Strec ke ein wirkt, macht sich kaum be merk bar, so daß auch das zu sätz li che Wob beln kei nen Einfluß auf die Regelung ausübt.

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.44

Simulation und Einstellung des Banddickenregelkreises

327

328

6.1.8

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Regelung für das Streckrichten

Bän der und Ble che wer den oft mals in Mehr rol len-Richt ma schi nen plan ge rich tet. Da bei wird das Ma te ri al mehr fach gewalkt und durch eine un ter schied li che An stel lung der Richt rol len die Bie gung be sei tigt. Der für die Richtrol len ge mein sa me An trieb ist dreh zahl ge re gelt. Nach tei lig ist, daß das Be die nungs per so nal den Richt vorgang stän dig den Ma te ri al ei gen schaf ten und der Be schaffen heit des Ban des an pas sen muß. Bes se re Ergeb nis se wer den er zielt, wenn bei durch lau fen den Bändern zusätzlich mit Hilfe des Bandzuges gestreckt wird. Der ar ti ge Streck richteinheiten be ste hen aus meh re ren S-Rol len, mit de nen über den Umschlin gungs win kel und die Rei bung der Band zug auf- und ab ge baut wer den kann (Bild 6.45). Der Zu sam menhang zwi schen dem Band zug F 1 vor und F 2 hin ter einer S-Rolle ist F

2

= F 1 ×e

m (a 1+ a 2 )

.

(6.22)

Da bei ist der Rei bungs bei wert m von der Ober flächen be schaffen heit der S-Rol le und des Ban des ab hän gig. Mit zu neh men der Ge schwin dig keit nimmt er in fol ge des auf tre ten den Ae ro pla nings ra pi de ab. Bei troc kenen ge schliffe nen Stahl rol len dürf te der Rei bungs wert zwi schen 0,15 und 0,2 lie gen. Durch die Band zug diffe renz als Fol ge der Dreh zahl diffe renz zwi schen zwei S-Rol len ergibt sich eine Län gung des Ban des, die ge re gelt wird. Da die Län gung in den mei sten Fäl len 3% nicht über schrei tet, ist die Meß wert er fas sung des Längungswertes entsprechend genau auszulegen. Das Re gel prin zip ba siert auf der di gi ta len Er fas sung der ein- und aus lau fen den Band län gen je Meß zy klus. Dar aus wird die Län gung (auch Dres siergrad ge nannt) ge bil det, wel che auf die Dreh zahl re ge lung der aus laufs ei ti gen S-Rol le band zug kor ri gierend ein greift. Die ein laufs ei ti ge S-Rol le wird gleich zei tig starr dreh zahl ge re gelt. Die gemessene Längung ist demnach definiert als li =

la - le le

(6.23)

oder auch, we gen der Gül tig keit der Mas sen kon stanz, als Ge schwin dig keits diffe renz li =

va- ve ve

.

(6.24)

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.45

329

Regelschema einer Streckrichteinheit

Der di gi ta le Teil der Re ge lung be steht aus zwei Win kel schritt ge bern mit mög lichst ho her Im puls zahl/Um dre hung (³2.500 Imp./Umdr.), die zwei Zäh ler an steu ern (Bild 6.46). Zählt der aus laufs ei ti ge Zäh ler die an kom men den Im pul se vor wärts und der ein laufs ei ti ge Zäh ler rück wärts von ei nem Fest wert aus, er hält man die Län gung, wenn bei Ze=0 der aus laufs ei ti ge Zäh ler ge stoppt wird. Dann ist Za = l i und wird in einem nachgestalteten Speicher abgelegt. Ein Sub tra hie rer bil det die Re gel diffe renz x d = l s - l i und führt sie ei nem digi ta len I-Regler zu. Die entste hen de Stell grö ße y wird D/A-ge wan delt und greift als Hilfs re gel größe auf den Dreh zahl reg ler der aus laufs ei ti gen S-Rol le band zug be ein flus send ein. Es han delt sich dem nach um eine di gi tal-ana log ar bei ten de Ab tast rege lung mit variabler Abtastzeit Tz. Die se ist von der Band ge schwin dig keit, den S-Rol len durch mes sern und der An zahl der Im pul se/Umdre hung so wie der Re chen zeit der Di gi tal schal tung abhängig.

330

Bild 6.46

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Wirkschaltplan der Streckgradmessung und -Regelung

6.1 Kon ti nu ier l i che Re ge lun gen

Bild 6.47

Blockschaltbild der Streckgradregelung mit Hilfsregelgröße D n

331

332

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Das Block schaltbild der ge samten Re ge lung ist in Bild 6.47 darge stellt. Es zeigt die Dreh zahl re ge lung mit un ter la ger tem Stromre gel kreis für den GS-An trieb der aus laufs ei ti gen S-Rol le. Auf die se Kas ka den re ge lung greift die Längungs- oder Streck gradregelung als Hilfs re gel grö ße am Drehzahl-Regler ein. Es be steht die Mög lich keit, daß die Län gungs re ge lung der Dreh zahl re ge lung den Soll wert vorgibt. In die sem Fal le han delt es sich um eine Kas ka den re ge lung aus Län gungs- Dreh zahl- und Strom re gel kreis. Nach tei lig wirkt sich dann aus, daß die Stell grö ße des Län gungs reg lers nicht nur den band zu ger zeu gen den Dreh zahl zu satz D n en thält, son dern auch den Dreh zahl wert zum Er rei chen der Band ge schwin dig keit, also y = n s + D n . Es emp fiehlt sich da her die Rege lung mit ei ner Hilfs re gel grö ße wie sie das Bild 6.47 zeigt. Geht man zu nächst von der Län gung Null und n s = n i aus, macht sich die Vorga be ei nes Län gungs soll wer tes l s > 0 wie folgt be merk bar. In fol ge l s > l i be ginnt der Län gungs reg ler zu in te grie ren und er zeugt die Stell grö ße y = D n . Da mit stei gen der Dreh zah list wert und die Ge schwin digkeit va . Bei un ver än der ter Ein lauf ge schwin dig keit v e nimmt dar auf hin die Län gung l i zu, bis l i = l s er reicht wird. Da nach bleibt der Eingriff D n=kon stant er hal ten, so lan ge sich die Soll wert vorga be der Drehzahl oder der Längung nicht ändert. Die Di men sio nie rung des Dreh zahl- und Strom re gel krei ses er folgt so, wie in den Ab schnit ten 5.5.5 und 6.1.4 be reits ge zeigt. Da die Hilfs re gel grö ße D n durch Ab ta stung ent steht und ihr Wert von der Ge schwin dig keits- bzw. Län gungs diffe renz ab hängt, läßt sich ihr Ein fluß auf die Dreh zahl re ge lung nur mit gro ber Nä he rung an ge ben (sie he Ab schnitt 5.5.7). Es empfiehlt sich da her eine Rech ner si mu la tion oder die em pi ri sche Un ter su chung bei Inbetriebnahme der Streckgradregelung.

6.2

Zeit d is kre te Re ge lun gen

6.2.1

Piezoelektrische Regelung einer Meßtischachse

Für den Ob jekt tisch ei nes Mi kro sko pes soll die Stell be we gung mit Hil fe von Nie der volt-Pie zo ele men ten im nm-Be reich ge re gelt wer den. Die fol gen den Be trach tun gen be zie hen sich auf eine Ach se der drei kar te si schen Ko or di na ten. Es hat sich ge zeigt, daß die Po si tio nierge nau ig keit we sent lich ver bes sert werden kann, wenn die Re gel diffe renz x d und der PID-Reg ler in ei nem Mi kro compu ter rea li siert wer den /84/. Alle an de ren Bau ele men te sind ana log tech nisch auf ge baut. Der Wirkschaltplan dieser Postionsregelung ist in Bild 6.48 dargestellt.

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

Bild 6.48

Wirkschaltplan einer piezoelektrischen Positionsregelung

333

334

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Die Stell grö ße y/V am Aus gang des D/A-Wand lers ist trep pen för mig und enthält da her hoch fre quen te Schwin gungs an tei le, die nicht zum er rech ne ten Stell si gnal ge hö ren. Sie wer den mit Hil fe ei nes Tief pas ses her aus ge fil tert. Die ver wen de ten Nie der volt-Pie zo ele men te ar bei ten in ei nem Span nungs be reich von 0V...100V, so daß die Stell grö ße über ei nen Lei stungs ver stär ker auf die sen Span nungs be reich an ge ho ben wird. Auf je dem Pie zo ele ment sind an zwei ge gen über lie gen den Sei ten zur Mes sung der Po si tion Deh nungs me ß strei fen (DMS) an ge klebt. Des wei te ren sind zur Ver mei dung der Tempe ra tur drift weitere DMS aufgeklebt, die jedoch keiner Längenänderung unterworfen sind. Die vier DMS sind zu ei ner Whe at sto ne schen Meß brüc ke zu sammen ge schal tet und wer den über eine sog. Elek tro me ter-Ver stär ker schal tung und eine Ver stär kungs an pas sung als Re gel grö ße x/V abgebildet. Vor dem A/D-Wand ler be fin det sich zur Ab ta stung der Re gel grö ße ein Ab tast-Hal te glied /36/ (verglei che mit Ab schnitt 5.5.7). Tritt im Meß wert x/V hoch fre quen tes Rau schen auf, kön nen die se Stör si gna le durch den Ab tast vorgang in tie fer lie gen de Fre quenz be rei che hin ein ge spie gelt wer den. Die ser Aliasing ge nann te Effekt täuscht ur sprüng lich nicht im Meß wert vor han de ne Si gnal fre quen zen vor. Daher ist ein sog. Antialiasing-Filter vorgesehen. Für die Regel strec ke, be ste hend aus den Piezo ele men ten und den DMS, läßt sich durch Mes sung das PT2 -Ver hal ten an ge ben, so daß sich ins ge samt fol gen de Strec ken-Pa ra me ter ergeben:

Bild 6.49

Blockschaltplan der piezoeletrischen Positionsregelung

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

335

K

S1

= 9,94

T

K

S2

= 0,0000542

T

2

K

S3

= 113

K

S4

1

=

R ×C 0,6436

» 155 m s

= 220 ms

/7/

d = 0,79

= 16,3

In Bild 6.49 ist der zu ge hö ri ge Block schaltplan darge stellt. Die Regel strec ke stellt demnach ein Ver zö ge rungs glied 6. Ord nung dar, auf die der PID-Reg ler (sie he Ab schnitt 7.2.3) op ti mal ein ge stellt werden soll. Mit Hil fe des Programms SIM LER-PC läßt sich die ge mes se ne Sprung ant wort der Strec ke bei ver nach läs sig ba rer Ab wei chung als ein Sy stem 5. Ord nung iden ti fi zie ren. Die dar aus re sul tie ren den Strec ken-Pa ra me ter erge ben in ei ner nach fol gen den Si mu la tion für den PID-Regler folgende Einstellung: K

R

= 1,6

T

N

= 0,9 ms

T

V

= 0,2 ms

x s = 1,35 .

Beim Vergleich der si mulier ten Sprung ant wort des ge schlos se nen Re gel krei ses mit der ge messe nen Sprung ant wort ist eine gute Über ein stim mung der Ergeb nis se fest stell bar (Bild 6.50). Da bei ent spricht die ge mes se ne Sprung ant wort ei nem nor mier ten Füh rungs sprung von 0,83V auf 9,17V.

Bild 6.50

Simulierte und normierte gemessene Sprungantwort im Vergleich

336

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Ge wöhn lich liegt die Po si tio nierge nau ig keit rein ana log ge re gel ter Mi kro skop ti sche bei ca. 500 nm. Durch den Ein satz des op ti mier ten di gi ta len PID-Reg lers und der di gi ta len Nach bil dung von x d konn te die Po si tio nierge nau ig keit auf < 50 nm verbessert werden.

6.2.2

Regelung von Roboterantrieben mit Rechner

In du strie robo ter sind frei programmier ba re Ma ni pu lato ren mit meh re ren Frei heits gra den. Ihre Ent wick lung wur de aus ge löst durch das Auf kommen der Mi kro rech ner in Ver bin dung mit hochdynamischen Antrieben. Mög li che Ein satz ge bie te der Ro bo tik sind: Mon tie ren, Schrau ben, Lö ten, Schwei ßen, Kle ben Schlei fen, Frä sen, Boh ren, Stan zen Ob jekt er ken nung, Sor tie ren, Ju stie ren, Te sten Die Steue rung wird meist mit ei nem pro blemorien tier ten Pro gramm rea li siert, das auf den üb li chen Spei cher medien abgelegt ist. Wäh rend bei ei ner Werk zeug ma schi ne mit CNC-Steue rung nur di gi ta le Schaltund Weg in for ma tio nen für die Haupt- und Ne ben an trie be pro gram miert wer den, be nö tigt ein In du strie ro bo ter zu sätz lich Kommu ni ka tions in for ma tio nen be züg lich Lage, Form, Tast kraft usw. des zu hand ha ben den Ob jek tes. Je nach Art der Pro grammie rung steigt die Anzahl der Pro grammier schrit te und da mit der Spei cher be darf stark an. Üb lich ist die sog.“Te ach-in-Pro gram mie rung”, bei der mit ver min der ter Ge schwindig keit der Roboterarm ent lang der ge wünsch ten Bahn be wegt wird und die Sen sor- bzw. We gist wer te in Soll wer te umge setzt wer den. Die Re ge lung von In du strie ro bo tern er folgt häu fig mit elek tri schen An trie ben (z.B. Schritt mo to ren, Schei ben läu fer mo to ren) in Ver bin dung mit Sen sor sy ste men und/oder Win kel co die rern zur Lage-, Form- und Weg er fas sung so wie op ti scher Sen so rik und Ge trie ben (siehe Abschnitt 4.3.3). Der Schei ben läu fer motor ist we gen sei nes ei sen lo sen Läu fers mit Flach kol lek tor be son ders gut ge eig net für schnel le An lauf- und Brems vorgän ge. Für die ge for der ten ho hen Mo men te auf der Pro zeß sei te kommt als Ge trie be meist das sog. Har mo nic-Dri ve-Ge triebe zum Ein satz. Es ist mit Über set zungs ver hält nis sen von 60...400 rea li sier bar und be sitzt in fol ge des formschlüs si gen Auf baus in Ver bin dung mit ei nem Zahn rie men prak tisch kei ne Ge trie be lo se. Der prin zi piel le Aufbau ei ner sol chen Re ge lung für eine Dreh ach se ist in Bild 6.51 darge stellt. Nor ma ler wei se ver fü gen heu ti ge In du strie ro bo ter über sechs oder mehr Frei heits gra de. Da bei ist es üb lich, die Stell an trie be in Po lar koor dina ten zu fah ren und die Ein ga ben in kartesischen Koordinaten vorzunehmen.

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

Bild 6.51

Regelschema eines Industrieroboters für einen Freiheitsgrad

337

338

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Auf ga be der Re ge lung ist das si mul ta ne Ver fah ren al ler für die je wei li ge Bewe gung not wen di gen Ach sen zum Er rei chen ei nes vorge ge be nen Punk tes ent lang ei ner vorge schrie be nen Bahn. Da bei sind die er for der li chen Be we gungs ab läu fe mit gro ßer Ge schwin dig keit und Wiederholgenauigkeit durchzuführen. Die Soll wer te sind häu fig als Punkt fol ge ge spei chert und wer den nach ein an der ab ge ru fen, mit dem Ist wert vergli chen und als Stell grö ße der Dreh zahl- und Strom re ge lung zu ge führt. Schwie rig kei ten ma chen die zahl rei chen Nicht li nea ri tä ten so wie die Kopp lung der Frei heits grad-Re ge lun gen un ter ein an der. Nicht li nea ri tä ten sind hier die er satz wei se als Tot zeit an zu neh men den Ab tastund Zy klus zeit des Rech ners, die Tot zeit der Strom rich ter, die An sprech schwel le der Getriebe und die der Robotermechanik. In Bild 6.52 ist das Prin zip der Re ge lung ei nes In du strie ro bo ters für zwei Frei heits gra de darge stellt. Es zeigt sich, daß r und j über die Zen tri pe tal-Be schleu ni gung b z und die Co rio lis-Be schleu ni gung b cor mit ein an der ge kop pelt sind. Die se Kopp lun gen ma chen sich be son ders bei ho hen Be we gungs geschwin dig kei ten be merk bar. b z und bcor sind als b

z

= r ×w

2

und

b

cor

= 2 × &r × w

(6.25)

mit w = d j / dt an ge ge ben. Die Re gel stra te gie muß da her ein alle Ach sen umfas sen des Ge samt kon zept dar stel len, bei dem eine nicht li nea re Sy stem ent kopp lung gute Ergeb nis se bringt /73/, /74/. Von zentra ler Be deu tung ist der Mi kro rech ner. Mit ihm wird der In for ma tions fluß ge steu ert, die Ko or di na ten trans for ma tion er rech net, der Re gel-Al go rith mus für alle Frei heits grad-Re ge lun gen ge bil det und die Zu stands grö ßen (Weg, Winkel usw.) überwacht. In Bild 6.53 ist die Re ge lung ei nes Ro bo ters un ter Be rücks ich ti gung der ge nann ten Aspekte für zwei Frei heits gra de de tail liert darge stellt. Die Auftei lung in Soft- und Hard wa re kom po nen ten ist ebenfalls aufgezeigt. Die beiden Stell an trie be für r und j er hal ten ihre Soll wer te vom Stromre gel kreis, dem ein Ge schwin dig keits- und ein Weg re gel kreis über la gert sind /53/. Wenn der Ein fluß der Zen tri pe tal- und Co rio lis-Be schleu ni gung als li nea re Störgrö ßen auf ge faßt wer den, läßt sich nä he rungs wei se eine Di men sio nie rung wie in Ab schnitt 5.5.5 und 5.5.7 be schrie ben vor neh men. In fol ge der stark ge schwin dig keits ab hän gi gen Sy stem kopp lun gen ergibt sich je doch ein star kes Über schwin gen der Re gel grö ßen beim Anfah ren ei nes Punk tes, so daß eine ex ak te Ein stel lung der Ro bo ter-Re ge lung vorzunehmen ist. Hier wird auf /73/ verwiesen.

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

Bild 6.52

339

Regelung eines Roboters mit Mikrorechner für zwei Freiheitsgrade

340

Bild 6.53

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Detaillierter Blockschaltplan der Roboterregelung nach Bild 6.52

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

6.2.3

341

Pitch-Regelung einer Windkraftanlage

Re gel ungstech nisch ge se hen stel len Wind kraft an la gen der Me ga watt klas se nicht li nea re Mehrgrö ßen sy ste me dar und es gibt zahl rei che Kon zep te der Ma schi nen aus le gung sowie Re ge lung /38/, /39/. Al len ge mein sam ist je doch, daß Dreh zahl, Blat tein stell win kel und die Lei stung bzw. da von ab ge lei te te Größen ge re gelt wer den (Bild 6.54). Die ge samte The ma tik ist sehr um fang reich, da her wird des wei te ren auf /54/ und /55/ ver wie sen. Die ser Ab schnitt be schränkt sich auf die Re ge lung der Blatt win kel ver stel lung (Pitch-Re ge lung) in ner halb ei ner dreh zahl star ren, an das Netz ge kop pel ten Wind kraft an la ge (Bild 6.55). Da bei wird der Dreh zahl re gel kreis nur beim Hochfah ren und danach zur Dreh zahl be gren zung be nutzt.

Bild 6.54

Regelungskonzept einer Windkraftanlage mit Asynchrongenerator

Bei der Pitch-Rege lung wer den die Ro tor blät ter längs der Blatt ach se ver stellt. Der Auf trieb wird re du ziert, wenn die Ro tor blät ter aus dem Wind ge dreht wer den, d.h. hin zu klei ne ren An ström win keln. Das Stell glied zum Dre hen der Blät ter ist üb li cher wei se auf ei nen Ar beits be reich von b = (0° ; 40° ) be schränkt. Die Ver stell ge schwin digkeit der Blät ter liegt bei ca. b = 10° / s.

342

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.55 Re gel struk tur der dreh zahl star ren netz ge kop pel ten Windkraftanlage

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

343

Zwi schen dem Blatt ein stell win kel b, der An ström rich tung d, der Pro fil aus strömung a, der Wind ge schwin dig keit am Wind rad vwr und der Umfangs ge schwin dig keit des Wind ra des v u be steht fol gen de Be zie hung: b =

v p p -d + a » - arctan wr + a 2 2 vu

(6.26)

So mit kann mit Hil fe ei nes Blatt win kel stell an triebs die Kraft an den Rotor blät tern und da mit das Dreh moment so wie die Lei stung in Ab hän gig keit von der Wind ge schwin dig keit geregelt wer den. Es emp fiehlt sich, die be tei lig ten nicht li nea ren Sy stemgrö ßen zu li nea ri sie ren. Dies ge lingt, wenn man vom Klein si gnal be trieb aus geht, d.h. die zu re geln den Grö ßen be fin den sich in der Nähe ih res Arbeitspunktes /18/. Das durch den Stell an trieb an den Ro tor blät tern wirkende Mo ment M St kann mit ei ni gen ver ein fa chen den Randbedingungen nach /38/ wie folgt be schrie ben wer den: M St d (b / b N ) (6.27) = kd × dt M tN Für das nor mier te Rückstellmoment M t in An strömrich tung am Ro tor blatt, wel ches als Störgrö ße auf die Re ge lung der Blatt win kel ver stell ge schwin digkeit b& ein wirkt, er hält man fol gen de Glei chung: Mt v n = k1 + k 2 × 1 + k 3 × nN M tN v1N

(6.28)

Dar in sind k1 , k 2 und k 3 kon stan te Bei wer te für Wind ge schwin dig keits- und Dreh zahl an tei le. Die Re ge lung der Blatt win kel ver stell ge schwin dig keit b& soll mit ei nem PD-Reg ler er fol gen (Bild 6.56a). Pra xis be zo ge ne Pa ra me ter der Strec ke sind: T11 » 30ms Ti1 = J ×

Ver zö ge rungs zeit des Stell mo tors

b& N » 0,15s M tN

In te gra tionsz eit kon stan te des Blattes

Setzt man beim PD-Regler T V =T 11 , ergibt sich in ner halb der Dreh zahl be gren zung Xs=10 die Über tra gungs funk tion des offen Re gel krei ses zu: F0b& (p) = K 01 ×

1 pTi1

344

Bild 6.56

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Block schaltbilder zur Kas ka den-Pitch-Re ge lung

Für die überge ord ne te Blatt win kel verstellre ge lung (Bild 6.56b) wird der in ne re Re gel kreis ent spre chend Ab schnitt 5.5.5 in eine Er satz-Regel strec ke F H (p) um ge rech net.

FH (p) =

F0b& (p) 1 + F0b& (p)

=

(6.29)

1 T 1+ p i1 K 01

Die In te gra tions zeit kon stan te der Win kel ge schwin digkeit T i2 ergibt sich zu:

Ti2 =

b N 40° s = 4s = b& N 10°

Ver stell win kel/Ver stell ge schwin digk.

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

345

Setzt man ei nen PI-Reg ler für die Blatt win kel ver stel lung ein, er hält man fol gen de Über tra gungs funk tion des offe nen Regelkreises: F0b (p) = K 02 ×

1+ pTN

(6.30)

T p 2 TN Ti2 (1 + p i1 ) K 01

Die opti mier ten Regler für die ge samte Pitch-Re ge lung sind mit Hil fe von SIM LER-PC in Bild 6.57 darge stellt. Da bei wur de zur Dar stel lung des Störgrö ßeneinflusses M t/M tN eine Stö rung von 30% des Soll wer tes an ge nommen (erste Si mu la tion mit op ti ma lem PD-Reg ler). Die Ein stel lung des über la ger ten PI-Reglers ist in der zwei ten Si mu la tion darge stellt.

Bild 6.57

Si mula tion der Pitch-Regelung

346

6.2.4

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Digitale Regelung von Fräsmaschinen mit CNC

Bei der Ent wick lung neu er Pro duk tions me tho den in der spa nen den Fer ti gung wer den zu neh mend di gi ta le Re gel stra te gien ein ge setzt. Die Rea li sie rung mit Pro zeß rech nern oder Mi kro com pu tern führt zu lei stungs fä hi gen nu me ri schen Fer ti gungs sy ste men, die die CNC-Tech nik (Com pu teri zed Nu mer ical Con trol) er wei tern oder ergän zen hel fen. Die hier be spro che ne di gi ta le Mo men tenre ge lung übernimmt folgende Aufgaben: Ab ta sten der Re gel grö ße Schnitt mo ment, Er rech nen des Re gel al go rith mus, Spei chern und Aus ge ben der Stell grö ße, Ver wal tung der Da ten schnitt stel len Zur Wahl ei nes op ti ma len Re gel al go rith mus ge hört die ge naue Be trach tung der Regel strec ken-Über tra gungs funk tion. Sie be steht aus der Bahn steue rung, dem Fräs- bzw. Zer span pro zeß und der Meßwerterfassung. Die Über tra gungs funk tion der Bahn steue rung als La ge re gel kreis läßt sich aus dem fol gen den Block schaltplan er mit teln (Bild 6.58). Er be steht aus dem La ge reg ler mit P-Ver hal ten, dem GS-An trieb (PT 2 -Ver hal ten), der Tot zeit des Stromrich ters, die hier ver nach läs sigt wird, und dem In te gral glied mit der Hoch laufzeit TH .

Bild 6.58

Lageregelkreis einer Fräsmaschine mit GS-Motor

Nach kur zer Rech nung er hält man die Füh rungs-Über tra gungs funk tion Fw ( p ) =

1 p T H 2d p 2 T H T 1+ + K0 K0

2

+

p

3

THT K0

2

2

.

(6.31)

Der ge schlos se ne La ger re gel kreis der Bahn steue rung ent spricht demnach ei ner PT 3 -Strec ke. Pra xis na he Pa ra me ter der Regel strec ke /56/ sind: KS = 1

T2 = 10 ms

d = 0,5

T

H

= 2s

Mit ei ner Reg ler ver stär kung von KR =20 ist die ser Re gel kreis gut ein ge stellt.

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

347

Der Fräs pro zeß wird durch die Schnitt kraft glei chung von Kienz le /57/ mit dem nor mier ten Schnitt mo ment m be schrie ben. m ( t ) = 10

-3c

× a × r × k 1 × sin

-c k

×s z

(1- c )

×S ( t ) .

(6.32)

Dar in sind: c:

Werk stoff kon stan te

a: Schnit tie fe

r: Ra di us des Werk zeu ges

k 1 : Haupt wert der spe zi fi schen Schnitt kraft

k : Ein stell win kel

s z : Zahn vor schub (Schnei den vor schub) S(t): Ein griff der ein zel nen Fräs schnei den als Stör funk tion. Der Zu sam men hang zwi schen Zahn vor schub s z und der Vor schub ge schwin dig keit v i wird durch die Be zie hung an ge ge ben: t

s z = = k ò [ v i ( t ) - v i ( t - TS / z ) ] dt

( 6 . 33 )

o

mit

z : Zäh ne zahl des Frä sers , TS = n S-1 : Re zi pro ker Wert der Haupt spin del dreh zahl.

Aus den Glei chun gen 6.32 und 6.33 ist zu ent neh men, daß zwi schen der Einund Aus gangs grö ße des Fräs pro zes ses ein hoch gra dig nicht li nea rer Zu sammen hang be steht. Eine ma the ma tisch ex ak te Be hand lung ist schwie rig. Die Glei chung 6.33 kann nä he rungs wei se durch ein PT 2 -Glied darge stellt wer den. Für ei nen Mes ser kopffrä ser aus Ti tan las sen sich mit z=10 und n S =60/min die Kenn kreis fre quenz und die Dämpfung fest le gen. w 0F = p × z × n S = 31,4 Hz

und

d F = 0,7

Zwi schen der Aus gangs grö ße s i des La gere gel krei ses und der Vor schub ge schwin dig keit v i be steht eine, durch die Werk zeug-, Werk stück- und Bahn geo me trie ge ge be ne Be zie hung. Setzt man eine ge rad li ni ge Be we gung vor aus, kann s i » C × v i ge setzt wer den (C: Kon stan te). Der Schwin gungs ein fluß ein zel ner Zahn stö ße auf das Schnitt mo ment kann mit Hil fe ei ner mul ti pli ka ti ven Stör funk tion Fz = sin (2p × n S × t) si mu liert wer den. Die Schnitt mo ment-Er fas sung mit Hil fe von DMS zeigt PT1 -Ver hal ten. Die Zeit konstan te liegt bei etwa T 1 » 2 ms . Das Blockschaltbild der Schnitt mo men tre ge lung mit un ter la ger ter Bahn steue rung (La ge re gel kreis) ist in Bild 6.59 darge stellt. Es han delt sich in der vor lie gen den Form also um eine Regel strec ke 6. Ord nung, für die es den pas sen den Re gel al go rith mus zu wäh len gilt. We gen der er for der li chen Dy na mik des Zer span pro zes ses ist eine Ab tast zeit von T z £ 10 ms angebracht.

348

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Ein Maß für die Funk tions fä hig keit des Re gel al go rith mus ist si cher das Übergangs ver hal ten der Re ge lung bei sprung haf ter Än de rung der Schnit tie fe a. Kienzle /57/ hat sich mit der Ent wick lung von Al go rith men für rech nerge re gel te CNC-Werk zeug ma schi nen aus führ lich be faßt und kommt zu dem Schluß, daß der PI-Re gel al go rith mus den Ein fluß der Störgrö ßen (Schnit tie fe, spe zi fi sche Schnitt kraft, Ein griff der Fräs schnei den usw.) nicht ge nü gend gut aus re geln kann. Wei te re Re gel al go rith men wer den in /33/, /73/ und /85/ besprochen.

Bild 6.59

Digitale Momentenregelung einer Fräsmaschine

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

6.2.5

349

Positionsregelung mit Linearmotor

Die grund le gen den Glei chun gen, wel che man für eine Li ne ar po si tio nie rung her an zie hen kann, sind: F = m ×a = m ×

dv dt

Kraft wir kung be schleu nig ter Mas se

F = C1 × B × l × I

Kraft wir kung durch Magne tis mus

R A × I(p) 1 = DU(p) (1 + pTA )

Strom des Linearmotors

Dar aus ergibt sich für den Li ne ar mo tor be züg lich der Ge schwin dig keit PT 1 -I-Ver hal ten (ent spre chend Glei chung 4.7). Re ge lun gen für Po si tio nier auf ga ben mit elek tro dy na mi schen Li ne ar mo to ren wer den üb li cher wei se als Kas ka den re gel krei se aus ge führt. Die un ter la ger te Strom- bzw- Kraftre ge lung dient dabei zur Ver bes se rung der Re ak tions zeit des Antriebes. Durch Kompen sa tion der Zeit kon stan te T A mit Hil fe ei nes PI-Reg lers ergibt sich für den ge schlos se nen in ner sten Re gel kreis die Ersatz strec ke FH1(p) =

1 1+ p

TA K 01

.

Die Ge schwin dig keits re ge lung wird dazu über la gert und die äu ße re Re gel schlei fe bil det schließ lich den Lage- bzw. Po si tions re gel kreis. In Bild 6.60a ist die Re ge lung darge stellt. Er folgt die An steue rung des Li ne ar mo tors durch eine Puls-Brei ten-Mo du la tion PBM mit Lei stungs end stu fe LE, und wird die Meß wert bil dung von Ge schwin dig keit und Po si tion aus ei nem En co der si gnal ge bil det, wird das Re ge lungs sche ma leicht va ri iert (Bild 6.60b). Der Li ne ar mo tor stellt dann nach Glei chung 4.7 PT 1 -I-Ver hal ten dar. Die wei te re Ein stel lung der Reg ler er folgt in glei cher Wei se wie in Ab schnitt 5.5.5 und Ab schnitt 7.2.3 (Op ti mie rung ei ner Kas ka den re ge lung) be schrie ben. Man kann da bei pra xis nah annehmen, daß die Ab tast zeit des Mi kro rech ners für die Re gl eral go rith men sehr viel klei ner als alle beteiligten Zeit kon stan ten der Po si tions re ge lung ist.

350

Bild 6.60

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Varianten einer Kaskaden-Positionsregelung mit Linearmotor

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

6.2.6

351

pH-Wert-Regelung zur Abwasser-Neutralisation

Rest ab wäss ser aus Fa bri ka tions an la gen der Che mi schen In du strie ent hal ten häu fig zahl rei che Be stand tei le, de ren pH-Wert eine gro ße Schwan kungs brei te auf weist und die teil wei se umwelt be la stend sind. Des halb wer den die se Ab wäs ser ei ner Neu tra li sa tion zu ge führt, be vor sie in bio lo gisch arbeitenden Kläranlagen behandelt werden. Im all ge mei nen Sprach ge brauch wird durch die Be griffe sau er, neu tral und al ka lisch die Kon zen tra tion an Was ser stoffio nen ei ner wäß ri gen Lö sung be schrie ben. Bei stark ver dünn ten Lö sun gen gilt für die Kon zen tra tion von H + und OH - bei 25°C das Ionenpro dukt cH

+

-

× c OH

= 10

Bei dem Wert c H + = c OH tral, bei c H

+

> c OH

-

-

-14

( mol / l )

2

.

= 10 -7 mol / l wird die wäß ri ge Lö sung als neu -

als sau er und bei c H

+

< c OH

-

als al ka lisch be -

zeich net. Zweck mäßiger ist die Cha rak ter isie rung der Was ser stoffio nen konzen tra tion mit Hil fe des pH-Wer tes durch die Formel pH = - lg c H +

.

(6.34)

Die wäß ri ge Flüs sig keit gilt dann bei pH=7 als neu tral, bei pH<7 als sau er und bei pH>7 als al ka lisch. Die re gel tech ni sche Auf ga be bei der Ab was ser-Neu tra li sa tion be steht so mit dar in, die ge for der ten pH-Wer te (sie lie gen zwi schen pH6 und pH9) mit ei nem ent spre chen den Re gel kon zept ein zu hal ten. Ein ein fa ches Re gel sche ma ist in Bild 6.61 ab ge bil det. Es zeigt die Neu tra li sa tion in ei nem ein zi gen Be häl ter, in den ent we der sau re oder ba si sche Lö sung eingebracht wird. Viel fach wird der PI-Re gel al go rith mus ver wen det, der je nach pH-Wert die Ba sen pumpe Pb oder die Säu re pumpe Ps an steu ert. Der Soll wert wird auf den Wert pH=7 ge setzt. Ein stän di ges Zu set zen von Säu re oder Base wird durch eine tote Zone (Ansprech schwel le) ver hin dert. Die se ist meist auf den Be reich von pH=[6,5 ; 7,5] ein ge stellt, d.h. bei |x d|<0,5 spricht der Reg ler nicht an. Liegt die Re gel grö ße au ßer halb die ses Be rei ches greift der Regler ein (vergleiche mit Abschnitt 5.4). Der Reg ler-Ent wurf er folgt an hand ei nes ver ein fach ten Mo dells der Regelstrec ke, das in /60/ nä her be schrie ben ist (Bild 6.62). Das ver ein fach te Struk tur bild des Misch be häl ters bis zur Me ß stel le für den pH-Wert ent spricht ei ner PT 1 -Strec ke mit Totzeit.

352

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Bild 6.61

Regelschema einer Abwasser-Neutralisation in einem Behälter

Bild 6.62

Vereinfachter Blockschaltplan für eine Abwasser-Neutralisation

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

353

Die Pumpen dy na mik kann je weils durch ein PT 1 -Glied darge stellt wer den. Dies gilt auch für die Meßwert er fas sung des pH-Wer tes. Das bei ei ner Ab tast re ge lung not wen di ge Hal te glied kann ent spre chend Abschnitt 5.5.7 als Tot zeit glied mit Glei chung 5.38 be schrie ben wer den. Man er hält bei der in /60/ behandelten Neu tra li sa tion schließ lich fol gen de Strec ken-Pa ra me ter: KS = 1

Tt = 2,9 s + Tz = 3s

T11 = 108 s

T12 = 10 s

T13 = 8 s

Die se Strec ke soll mit ei nem PI-Al go rith mus ge re gelt werden, der auf Füh rungs- und Stör ver hal ten zu op ti mie ren ist. Die zu ge hö ri ge Si mu la tion ist in Bild 6.63 darge stellt. Wie die er ste Simu la tion zeigt, ist es sinnvoll, die Nachstell zeit T N des PI-Reg lers der Zeit kon stan ten T 11 an zu pas sen. Die Regler ver stär kung wur de zu nächst frei ge wählt. Das Ergeb nis ist eine sta bi le Re ge lung, die al ler dings weit überschwingt. Nach dem Ein set zen ei nes Mit tel wer tes für die Reg ler ver stär kung ist das Über schwin gen be sei tigt (2. Si mu la tion).

Bild 6.63

Führungs- und Störverhalten der Regelung nach Bild 6.62

7

Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Zu die sem Ka pi tel ist im Ab schnitt 10.5 vergleich ba re Li te ra tur und Soft wa re an ge ge ben (sie he auch /47/, /59/, /60/). Alle For mel zei chen wur den so ge wählt, wie sie auch im Pro gramm SIM LER-PC auf dem Bild schirm erschei nen.

7.1

Das Pro gramm SIM LER-PC u. Re gel al go rith men

Lei stungs fä hi ge PC’s und mo der ne Echt zeit pro gram me ge ben dem Re gel tech ni ker ein sinn vol les Werk zeug für den prak ti schen Ein satz re gel tech ni scher Me tho den an die Hand. Ein Bei spiel da für ist das in ter ak ti ve Pro gramm SIM LER-PC zur Si mu la tion und adap ti ven On-line-Op ti mie rung von Re gel krei sen im Frequenz- und Zeitbereich (Bild 7.1). SIM LER-PC lei stet bei spiels wei se: • Si mu la tion im Fre quenz- und Zeit be reich • Füh rungs ver hal ten, Stör ver hal ten, Füh rungs- + Stör ver hal ten +Cha os • Stör ort und Stör funk tion va ria bel (Sprung-, Im puls-, Si nus funk tion) • Adap ti ve On-line-Op ti mie rung ver schie de ner Reg ler mit/ohne Be gren zung • Op ti mie rung von Kas ka den re ge lun gen • Adap ti ve On-line-Op ti mie rung der Füh rungs grö ßen funk tion • Ein stel lung ei ner Stör funk tion (“dy na mi sche Schmie rung”) • schnel le Dar stel lung von Pa ra me ter-Ein flüs sen • Iden ti fi ka tion der Pa ra me ter unbekannter Regel strec ken • Glät tung von Gra phen mit dem Glättungsalgorithmus

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

7.1 Das Pro gramm SIM LER-PC u. Re gel al go rith men

Bild 7.1

355

Die Leistungsauswahl des Programmpakets SIMLER-PC

Das Pro gramm SIM LER-PC ist so wohl in der Lehre als auch in der Indu strie recht gut ver brei tet, da es selbst er klä rend ab läuft und we der Pro grammiernoch be son de re re gel tech ni sche Kennt nis se vor aus setzt. Die sehr ge bräuch li chen Reg ler-Ein stell wer te von Zieg ler/Ni chols /44/ so wie Chien, Hro nes, Res wick /41/ ge hen ent we der von der Sta bi li tätsgren ze der Re ge lung (bei ei nem P-Regler) aus, oder wer den von ei ner nicht über schwin gen den Sprung ant wort der Strec ke ab ge lei tet. Sie sind je doch bei gleich blei ben den Strec ken-Pa ra me tern eben falls un ver än dert gleich, also sta tisch, ein Nach teil, den es bei SIM LER-PC nicht gibt. Das Pro gramm zeigt mit zu neh mender An zahl der Si mu la tio nen deut lich ei nen “Op ti mie rungs-Trend”, der dem Anwender für seine Problemlösung sofort Nutzen bringt.

7.1.1

Hardware und Schnittstellen

Das Pro gramm liegt in vier Spra chen vor (Deutsch, Eng lisch, Fran zö sisch, Spa nisch) und ist lauffä hig un ter al len WIND OWS-Ver sio nen. Der ko sten lo se Downlo ad ist von der Ho me pa ge un se res Fach be reichs ME an der Tech ni schen Hoch schu le Mit tel hes sen (vor mals FH-Gie ßen-Fried berg) mög lich un ter: www.me.th-mittelhessen.de/dienst lei stun gen/Downlo ad Da tei Simler-PC*.ZIP

356

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Nach In stal la tion des Pro gramms SIM LER-PC kann dies über das Startmenü von WIND OWS auf ge ru fen wer den und ist wei test ge hend selbst er klä rend. Zu sätz li che In for ma tio nen un ter \Pro gramme\SimlerPC\Simlerpc51\SIM*.DOC sind ab ruf bar. Das Bild schirm fen ster kann mit Alt+En ter auf Voll bild um ge schal tet wer den. Jede Bild schirmgra fik kann wäh rend des Programmablaufs jeder zeit ge spei chert und dann in an de ren Pro gram men mit <Ein fü gen> wei ter be nutzt werden. Un ter WINDOWS wird die Bildschirmgra fik mit Strg+F5 bzw. AltGr+Druck ab ge legt im Ord ner SIM LER-PC-XP/ DOS BOX / cap tu re bzw. aus dem Start me nü heraus im Ordner Pro gram me / SIM LER PC/ Screens hots. 7.1.2

Menü-Führung und Programm-Handhabung

Für die Menü-Füh rung ist kei ne Maus er for der lich. Sämt li che Be feh le wer den über die Ta sta tur und/oder den Cur sor-Block gegeben. Der An wen der wird mit Pull-Down-Me nüs, Be fehls-Sta te ments und ge ge be nen falls mit Feh ler mel dun gen durch das Pro gramm ge führt. Die An wahl von Me nü punk ten er folgt nu me risch. Me nüs in der un te ren Bild schirm zei le wer den mit <J>, bzw. <ENTER> durchlaufen. Aus je dem hier ar chisch un terge ord ne ten Menü kann in das Haupt me nü mit dem Be fehls kür zel und in die Leistungs aus wahl mit zurück gegangen wer den. Die Pa ra me ter-Ein ga be läßt sich mit <ESC> ab bre chen und man kehrt in die Lei stungs aus wahl zurück. Das Pro gramm SIM LER-PC be steht aus fol gen den drei Tei len: BODE-Dia gramm, NY QUIST-Dia gramm, Übergangs ver hal ten (Zeit be reich). Für je den Programmteil gibt es ein Haupt me nü (Bild 7.2). Mit dem er sten Me nü punkt be ginnt der Auf ruf des Reg ler-Me nüs bzw. des Struk tur menüs bei Übergangs ver hal ten. Punkt zwei des Haupt menüs dient nur zum nochmali gen Auf ruf ei ner be reits ver las se nen Gra fik (so fern die se noch im Arbeitsspei cher des PC’s ist). Pro grammspe zi fi sche Er läu te run gen las sen sich un ter Punkt vier des Hauptmenüs aufrufen. Mit der Hilfeta ste kön nen bei der Pa ra me ter ein ga be Hin wei se zur Reg ler ein stel lung ab ge ru fen werden.

7.1 Das Pro gramm SIM LER-PC u. Re gel al go rith men

Bild 7.2

357

Das Hauptmenü (hier vom Programmteil Zeitbereich)

Wird vom Be nut zer die Aus ga be der Gra fik auf ei nen Plot ter ge wählt, folgt zu sätz lich die Fra ge, ob der Plott-Vorgang so fort auf den Plot ter er fol gen soll, oder zu nächst ein HPGL-File an zu le gen ist. Die ser File kann auf jedem Spei cher me di um ab ge legt und spä ter bei spiels wei se von ei nem DTP-Pro gramm ge la den wer den. Es kön nen bis zu drei Gra phen gleich zei tig (mit den zu ge hö ri gen Pa ra me tern, der Sta bi li täts-Aus sa ge und den Op ti mie rungs-Hin wei sen) darge stellt wer den.

Dateiverwaltung: Aus dem Haupt menü her aus er folgt der Auf ruf der Da tei ver wal tung. Es kön nen die mit ge lie fer ten Bei spiel-Fi les so wie vom An wen der er zeug te Gra fi ken ge la den, aus ge druckt, ge plot tet oder ge spei chert wer den. Der Be fehl <E> (Edi tor) ist in Ab schnitt 7.1.3 beschrieben (Bild 7.3). Die Zu ord nung der Fi les zum ent spre chen den Pro grammteil er folgt über die Er wei te run gen *.PTB für BODE-Dia gramme, *.PTN für NY QUIST-Dia gram me, *.PTZ Übergangs funk tio nen, *.PJD Iden ti fi ka tions fi les.

358

Bild 7.3

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Die Dateiverwaltung

Ein für die Da tei ver wal tung an ge leg ter Be fehls satz wird stets auf der rech ten Bild schirm hälf te an ge zeigt und er mög licht ei nen di rek ten Zu griff auf die DOS-Ebe ne im WI NODWS-Fenster aus dem Pro gramm SIMLER-PC heraus. Zum La den ei ner Grafik wird mit Hil fe des Cur sor-Blocks das Pfeil symbol auf die Höhe des gewünsch ten Fi les ge bracht. Dann wird mit der Leerta ste der File mar kiert und an schlie ßend das Be fehls kür zel betätigt. Zum Lö schen ei nes Fi les wird die ser mit dem Pfeil symbol an ge fah ren, mit der Leer ta ste mar kiert und dann das Be fehls kür zel ein ge ge ben. Es er folgt dann noch mals eine Ab fra ge “File wirk lich lö schen”, die mit <J> oder zu beantworten ist. Wenn eine Gra fik ge spei chert wer den soll, ist mit <ENTER> das Pull-Down-Menü der Gra fik be ar bei tung an zu wäh len. Geht man dort in die Zei le für “spei chern”, be fin det man sich so fort in der Da tei ver wal tung (nicht in der In ter net-Ver sion). Nun kann dem File mit Hil fe der Ta sta tur ein Name zu ge ord net wer den, der ma xi mal acht Zei chen ha ben darf. Der Punkt und die Er wei te rung (z.B. PTB) werden automatisch angefügt.

7.1 Das Pro gramm SIM LER-PC u. Re gel al go rith men

359

Soll das Ver zeich nis ge wech selt wer den (es wird je weils rechts oben an ge zeigt), ist das Be fehls kür zel

ein zu ge ben. Da nach er folgt mit der Ta sta tur und/oder dem Cur sor-Block die Ein ga be ei nes neu en Suchpfa des. Nach Be stä ti gen mit <ENTER> wird das neue Ver zeich nis auf ge sucht, falls es exi stiert. Soll nach an de ren Fi les im glei chen Ver zeich nis ge sucht wer den, ist das Be fehls kür zel für eine neue Such mas ke ein zu ge ben. Da nach er folgt mit der Ta sta tur und/oder dem Cur sor-Block die Ein ga be ei ner neu en Such mas ke (z.B. *.P*). Nach Be tä ti gen von <ENTER> wer den die zu die ser Such mas ke pas sen den Fi les angezeigt, falls solche existieren.

7.1.3

Identifikation und Regler-Optimierung

Die Ein stel lung der op ti ma len Reg ler- und Füh rungs grö ßen-Pa ra me ter er folgt on li ne am Bild schirm. Da bei wer den die Strec ken-Pa ra me ter als be kannt vorausgesetzt. Identifikation: Ist die Strec ke nicht be kannt, kann die Iden ti fi ka tion an hand der ge messe nen Sprung ant wort durch Ap pro xi ma tion vorge nom men wer den. Dies ist un ter Punkt fünf des Haupt me nüs “Übergangs ver hal ten” mög lich. Als Hilfs mit tel für die Iden ti fi ka tion kann man die drei AS CII-Fi les IDEN_1.PJD bis IDEN_3.PJD ver wen den. Sie ent hal ten den für das Pro gramm SIM LER-PC not wen di gen Da ten kopf und 1200 bei spiel haft an ge ge be ne Gra fik meß wer te im REAL-Zah len-For mat. Die se Meß wer te sind durch die tatsächlich gemessene Übergangsfunktion zu ersetzen. Wer den we ni ger als 1200 Wer te ein ge le sen, ver läuft die Gra fik da nach au to matisch auf der Null-Li nie wei ter. Au ßer dem sind an den mit Klar text ge kenn zeich ne ten Stel len der Or di na ten- und Zeit ma ß stab ein zu ge ben so wie ge ge be nen falls die Gesamt-Verstärkung Ks. Als Hilfs mit tel für die Be ar bei tung von Fi les kann der DOS-Editor der Da tei ver wal tung be nutzt wer den. Im Menü 4 “Er läu te run gen zei gen” ist die An pas sung ei nes Meß wert-Fi les nä her be schrie ben. Ist die se An pas sung er folgt, kann der File geladen werden. Be son ders bei Kur ven mit “Rau schen” oder “Brummen” ist es sinn voll, eine Glät tung der Meß wer te vor zu neh men. Dies kann in ner halb des wei te ren Me nü ab laufs mit dem in te grier ten Glät tungs-Al go rith mus er fol gen. Ist die Glät tung zufr ie de nstellend ver lau fen, soll te der File un ter ei nem neu en Na men als Iden ti fi ka tions-File umge spei chert wer den. Er liegt aber auch nach je dem Glättungs-Durchlauf als IDEN_TEM.PJD vor.

360

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Mit der Pa ra me ter-Ein ga be des Pro gramms kann man nun in ter ak tiv eine Nä he rung an den ge mes se nen Gra phen vor neh men. Da bei wer den Iden ti fi ka tions-Hin wei se ein ge blen det, die die Strec ke auf ein Mo dell bis vier ter Ord nung mit/ohne Tot zeit mit/ohne All paß re du zie ren. In vie len Fäl len sind diese Hinweise recht hilfreich. Bei zu frie den stel len der Über ein stimmung ent spre chen dann die er mit tel ten Strec ken-Pa ra me ter de nen der ge mes se nen Übergangs funk tion (Sprung ant wort). Für die se Pa ra me ter kann an schlie ßend der op ti ma le Regler gefunden werden. Regler-Optimierung mit SIMLER-PC: Als Hilfs mit tel für die Re gel kreis-Op ti mie rung ste hen dem An wen der fünf Reg ler-Ty pen (Bild 7.4) und sechs Strec ken-Va rian ten (Bild 7.5) zur Ver fü gung. Die An zahl die ser Mo del le kann je doch durch ent spre chen de Wahl der Ein stell wer te fast be lie big er wei tert wer den(sie he auch In fotex te un ter \Pro gramme\SimlerPC\Simlerpc51\SIM*.DOC). Ei ni ge Bei spiele: • Für T V =0 wird aus ei nem PID- ein PI-Regler. • Für T N® ¥ (Pa ra me ter-Ein ga be 10 mal die 9) und T V =0 wird aus dem PID- ein P-Regler. • Für T V1 =0 und/oder T V2 =0 wird aus ei nem PD 2 - ein PD- oder P-Reg ler. • Mit den Bei wer ten A, G und K kann der F Ra -Reg ler als Fil ter-Reg ler u.a. für All pa ß strec ken oder als PDT1 -Reg ler eingesetzt wer den. • Die F Rt -Wur zel re kur sion be nö tigt kei ne Reg ler pa ra me ter und re gelt Para me ter schwan kun gen selbst tä tig aus, Pa tent des Au tors: EP10166290.6-2206 • Mit den Bei wer ten xt und dx t kön nen Drei- und Zwei punkt-Reg ler mit/ohne Hy ste re se er zeugt wer den. • Mit X S = ±(0,1 - 10) kann die Stel lgrö ße y des Reg ler aus gangs zu sätz lich auf in du striell rea le Wer te be grenzt wer den. Bei X S > 10 ist der Reg ler aus gang un be grenzt. • Durch Null set zen der zu ge hö ri gen Strec kenzeitkonstante las sen sich PT 1 -, PT 2 - und PTt-Strec ken aus den Streckenmodellen eli minie ren.

Für das bes se re Ver ständ nis der Reg ler-Al go rith men ist ihre Über tra gungsbzw. Übergangs funk tion je weils rechts ne ben Reg ler sym bol auf ge führt. Au ßer dem wer den bei der erst ma li gen Pa ra me ter-Ein ga be Ein stell hin wei se für den je weils ge wähl ten Reg ler in ei nem spe ziel len Fenster angezeigt (Tabelle 7.4).

7.1 Das Pro gramm SIM LER-PC u. Re gel al go rith men

Bild 7.4

361

Das Menü für die Auswahl des Reglers

Der klas si sche PID-Regler kann auf die bereits er wähn te Wei se auch zu ei nem PI-, PD- oder P-Reg ler ver ein facht wer den. Er wird quer durch die An triebs tech nik und Ver fah rens tech nik ein ge setzt. Der PD 2 -Reg ler ist in das Pro gramm auf ge nommen wor den, weil sich mit ihm die sogenannte Aufhe bungs-Kompen sa tion sehr gut zei gen läßt. Er kann durch Null set zen sei ner Zeit kon stan ten na tür lich auch als PD- oder P-Reg ler eingesetzt werden. Der F Ra -Reg ler ist in An leh nung an Ar bei ten von W. Le on hard /17/ ent stan den und stellt ei nen Fil ter-Reg ler dar. Er ist be son ders für die Re ge lung von All paß-Strec ken ge eig net. Er läßt sich durch Ver än dern sei ner Ko effi zien ten A, G und K bei spiel wei se in den P-, PD-, PI-oder PIT 1-Reg ler umwandeln. Die F Rt -Wur zel re kur sion ist ein Re gel al go rith mus ohne jeg li che Reg ler pa ra me ter. Er re gelt be lie bi ge Strec ken hö he rer Ord nung mit/ohne Tot zeit und All paß ver hal ten völ lig selb stän dig und eig net sich auch für Strec ken mit schwan ken den Pa ra me tern /85/.

362

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Beim N 3Pt -Reg ler han delt es sich um ei nen Drei punkt-Reg ler mit Hyste re se. Durch Ver än dern sei ner Pa ra me ter kann er auch ohne Hy ste re se oder als Zwei punkt-Reg ler ein ge setzt werden. Alle Reg ler kön nen am Ausgang mit der Grö ße Xs im Bereich von ±(0,1 - 10) be grenzt wer den. Die Stell grö ße y wird dann auf den 0,1-10fa chen Wert be zo gen auf die Füh rungs grö ße w be grenzt. Bei Ein ga be von Wer ten Xs>10 geht das Pro gramm von ei nem un be grenz ten Reg ler aus gang y aus.

Bild 7.5

7.1.4

Das Menü zur Auswahl des Streckentyps

Stabilitätsaussage

Die Be rechnung der Sta bi li täts aussa ge ist für alle drei Pro grammtei le (BODE-Dia gramm, NY QUIST-Dia gramm, Übergangs ver hal ten) gleich und er folgt nach dem ver ein fach ten Sta bi li täts kri te ri um von Ny quist mit den Gleichungen 5.5 bis 5.7. Fol gen de Wer te für die Sta bi li täts aus sa ge wer den er mit telt und pas send zum ent spre chen den Si mu la tions lauf in der Grafik angezeigt:

7.2 An wen dun gen

-

363

kri ti sche Fre quenz w Z /Hz Am pli tu den re ser ve (Am pli tu den rand) Ar kri ti sche Reg lerver stär kung Kr_krit Durch tritts fre quenz w d /Hz Pha sen re ser ve (Pha sen rand) a R /Grad Sta te ment: Re ge lung sta bil / Stab.-Gren ze / in sta bil

An schlie ßend er folgt die Be rech nung und An zei ge der An- und Aus re gel zeit so wie der op ti ma len Reg ler-Pa ra me ter und (falls an ge wählt) der op ti ma len Füh rungs grö ßen wer te für eine Fahrkurve.

7.2

An wen dun gen

7.2.1

Das Bode-Diagramm

Nach der Wahl von Punkt drei in der Lei stungs aus wahl kann der Be nut zer vom Haupt me nü aus ein neu es Bode-Dia gramm er stel len. Mit dem Anwäh len des Punk tes eins er scheint auf dem Bild schirm die Reg ler-Aus wahl. Es kann un ter fünf Regler ty pen ge wählt wer den. Im dann folgen den Strec kenmenü wird der zu vor ge wähl te Reg ler typ im oberen Bildrahmen angezeigt. Die Kür zel für die ein zel nen Regel strec ken sind zum gro ßen Teil all ge mein be kannt. Nur der All paß 1. Ord nung (PTa) und der Hoch paß (DT 1 ) wer den hier noch mals mit ih rer Über tra gungs funk tion F(p) gezeigt. PID-Regler und PT1-PT2-PTt-I-Strecke: Im fol gen den Bei spiel wird an ge nom men, daß der Be nut zer ei nen PID-Reg ler und den Strec kentyp zwei ge wählt hat (Bild 7.6). Mit die ser Kon fi gu ra tion er folgt dann die Pa ra me ter-Ein ga be. Da mit sich der An wen der ein Bild von der Feh ler be hand lung des Pro gramms SIM LER-PC ma chen kann, wur de hier ein mal die Reg ler-Ver stär kung Kr=0 ge setzt. Es er scheint dann etwa in der Bild mit te ein ent spre chen des Feh ler fen ster mit den not wen di gen Korrekturhinweisen. Im Bode-Dia gramm ist aus di dak ti schen Grün den die Ein ga be des Ab szis senbe ginns w A er for der lich. Da bei ist w A =0 (we gen lg0 ® - ¥) nicht mög lich (sie he Glei chung 5.10). Hier wur de w A =0,01Hz gewählt. Wer den alle Pa ra me ter kor rekt an ge ge ben und mit <ENTER> be stä tigt, er scheint sofort die Bildschirm-Gra fik mit dem Bode-Dia gramm der er sten Si mu la tion (Bild 7.7).

364

Bild 7.6

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Der Bildschirm bei Parameter-Eingabe

Im vor lie genden Bei spiel wur de der PID-Reg ler zu nächst will kür lich ein ge stellt und ergab eine in sta bi le Re ge lung. Die zwei te Si mu la tion zeigt die Wir kung des Reg lers bei ver tausch ten Reg ler-Pa ra metern Tn und Tv so wie her ab ge setz ter Ver stär kung. Es liegt nun eine sta bi le Re ge lung vor, die in der drit ten Si mu la tion mit Hil fe der Hin wei se aus der Ergebnisliste optimal eingestellt worden ist. PID-Regler mit und ohne Begrenzung: Ein wei te res Bei spiel zeigt, wie sich im Bode-Dia gramm Fre quenz gang be trag und Pha sen gang ei nes Reg lers (ohne Strec ke) verglei chend dar stel len las sen (Bild 7.8). Bei dem ge wähl ten PID-Reg ler wur den in der er sten und zwei ten Si mula tion die Pa ra meter Tn und Tv ver tauscht. Für Tn
7.2 An wen dun gen

Bild 7.7

Regler-Einstellung bei einer PT1-PT2-PTt-I-Strecke

365

366

Bild 7.8

7.2.2

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

PID-Regler mit vertauschten Zeitkonstanten und Begrenzung

Das Nyquist-Diagramm

Über das Haupt me nü die ses Pro grammteils las sen sich in Ana lo gie zum Bode-Dia gramm Orts kur ven des offe nen Re gel krei ses er stel len. Es erge ben sich dann auch die glei chen Sta bi li täts-Aus sa gen wie im Bode-Diagramm. Der sogenannte kri ti sche Punkt im Ny quist-Dia gramm kann hier wahl wei se auf Pk = [-1;j0] oder wie in die sem Buch üblich auf Pk = [+1;j0] ein ge stellt wer den. Die Abfra ge da für er folgt je weils mit dem Auf ru fen des Punk tes zwei in der Lei stungsaus wahl. In der Bild schirm-Gra fik wird die Lage des kri ti schen Punktes stets angezeigt. Ge wöhn lich be gin nen die Orts kur ven im Ny quist-Dia gramm bei der Fre quenz w =0. Es kann ge sche hen, daß die Orts kur ve in fol ge der ge ge be nen Re gel kreis-Pa ra me ter bei dem ge wähl ten Dar stel lungs ma ß stab au ßer halb des Bild schirm-Fen sters liegt. Die An ga be der Wer te Re[Fo(w=0)] und Im[Fo(w=0)] in der Bild schirm-Gra fik sind da her un er läß lich. Mit ei ner Ma ß stabs-Än derung und/oder ei ner Ko or di na ten-Ver schie bung ist dann die Ortskurve optimal darstellbar.

7.2 An wen dun gen

367

Die Zahl der zu be rech nen den Real- und Ima gi när tei le von Fo(jw) wird durch eine Vor ab be rech nung auf das ge wähl te Bild schirm-Fen ster be grenzt. Da bei gilt der Zusammenhang: | F 0 | - 1M0 Maßstabfaktor

< 0

Auf die se Wei se wird die Re chen zeit des Pro gramms, be son ders bei Orts kur ven mit Tot zeit, er heb lich ver kürzt. Wäh rend bei ei ner Ma ß stabs än de rung alle Orts kur ven neu be rech net wer den, ist dies bei ei ner Ver schie bung des Koor di na ten-Mit tel punk tes nicht erforderlich. PID-Regler und eine Strecke 4. Ordnung: Im fol gen den Bei spiel soll eine Strec ke mit PT1-PT 1-PT 2-Ver hal ten mit tels PID-Reg ler op ti mal ein ge stellt wer den (Bild 7.9). Die zunächst frei ein ge stell ten Reg ler-Pa ra me ter ha ben bei die ser sehr schwach ge dämpf ten Strec ke eine in sta bi le Re ge lung zur Folge (erste Simulation). Setzt man je doch die in der Ergeb nis li ste nun vor lie gen den Op ti mal wer te für Tn und Tv ein, ergibt sich so fort eine sta bi le Re ge lung. Die Pha sen re ser ve beträgt nun ca. 67°. An den Wer ten der Ergeb nis li ste läßt sich der vom Pro gramm ver folg te Trend bei der Op ti mie rung ab le sen. Die Reg ler-Ver stär kung Kr so wie Tn und Tv wur den hier verkleinert. Als Fol ge des da bei an stei gen den Pha sen ran des ist al ler dings mit ei ner ge rin gen Ab nah me der Re gel dy na mik zu rech nen. Dies zeigt sich an der klei ner wer den den Durch tritts fre quenz w d . Es bleibt dem An wen der über las sen wei te re Si mu la tio nen zur Op ti mie rung vor zu neh men.

368

Bild 7.9

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Optimierung eines PID-Reglers auf eine Strecke 4. Ordnung

7.2 An wen dun gen

7.2.3

369

Übergangsverhalten und Regleralgorithmen

Den si cher lich in ter es san te sten Teil von SIM LER-PC bie ten die An wen dun gen im Zeit be reich. Das Übergangs ver hal ten ei ner Re ge lung kann hier auf ver schie den ste Wei se un ter sucht wer den (Bild 7.10). Mit Hil fe des Ver laufs der Re gel grö ße x(t) und der Sta bi li täts aus sa ge er folgt die Mo di fi ka tion und Optimierung von Regler und Fahr kur ve. So wohl bei Füh rungs- als auch bei Stör ver hal ten ist die Stör funk tion zS = A st × cos (w st Tst )

(7.1)

ein setz bar. Sie kann wahl wei se als Dauer stö rung oder Impuls hin ter dem Reg ler oder hin ter der Strec ke aufge schal tet wer den. Wird die Stör fre quenz w st Null ge setzt, ergibt sich ein Stör sprung der Am pli tu de A st , an dern falls er hält man eine si nus för mige Stör fre quenz, die zum Zeit punkt T st ein setzt. Auf diese Wei se ist es möglich, in ei nem Gra phen Füh rungs- und Stör ver hal ten gleich zei tig zu be trach ten. Zu sätz lich kann wäh rend der Zeit der Störung eine Chaosfunktion aufgeschaltet wer den. Bei ei ni gen tech ni schen Pro zes sen ist die Vorga be ei ner ge ziel ten Stör funk tion so gar er wünscht.

Bild 7.10

Auswahlmenü zur Betrachtung im Zeitbereich

370

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Bei spie le da für sind hy drau li sche An stel lun gen oder Po si tio nier auf ga ben mit Spin del an trie ben, bei de nen im Re gel be reich Haf trei bung ver mie den wer den soll. Man spricht in sol chen Fäl len häu fig von der sogenannte dy na mischen Schmie rung. SIM LER-PC ent hält für sol che ge ziel ten Stör funk tio nen eben falls eine Op ti mie rung der Funktions-Para me ter A st und w st . Als Soll wert bzw. Füh rungs grö ße las sen sich fol gen de Funk tio nen ver wen den: - Ein heits spr ung funk tion - Ram pen funk tion mit Be gren zung - Fahr kur ve mit va ria bler Hoch lauf- und Ver schliff zeit. Da bei kommt der Fahr kur ve eine be son de re Be deu tung zu. Sie trägt we sent lich zur Ver bes se rung des Über tra gungs ver hal tens ei ner Re ge lung bei, ins be son de re bei An fahr- und Brems vorgän gen für Fol ge re ge lun gen, bei Schie nen fahr zeu gen, Walz wer ken und in der För der tech nik. Für der ar ti ge Ein satz ge bie te ist es sinn voll, die Fahr kur ve aus Parabel- und Geradenstücken zusammenzusetzen. So kann bei spiels wei se bei ei ner Ge schwin dig keits re ge lung die zeit li che Ab lei tung der Fahr kur ve di rekt den An trie ben zur Be rech nung der Be schleu ni gungsmo men te zu ge führt wer den. Ähn li ches gilt bei Po si tions-Re ge lun gen. Die op ti ma len Fahr kur ven wer te, Ver schliff zeit Tve_opt und Hoch lauf zeit The_opt, ba sie ren auf: P - Regler : Tve_ opt PD- Regler : Tve_ opt PI - Regler : Tve_ opt PID- Regler : Tve_ opt alle Regler : The_ opt

» 1,0 × Kr_ opt » 1,5 × Kr_ opt » 4,0 × Kr_ opt » 1,5 × Kr_ opt » 1,1 × Taus

× Ks × Tmin × Ks × Tmin × Ks × Tmin × Ks × Tmin *

Die Zeit kon stan te Tmin* beim PID-Reg ler ent spricht der klein sten Regel kreis-Zeit kon stan te ohne die Vor halt zeit Tv. PID-Regleralgorithmen: Am Bei spiel des PID-Reg lers wird nun ge zeigt wie sich seine ana log tech ni sche Rea li sie rung als Al go rith mus in TUR BO-PAS CAL oder SPS-Pro gram mie rung darstellen läßt. Die Glei chung des PID-Reg lers (Gleichung 3.21) wird i n den PID-Stel lungsal go rith mus durch Di gi ta li sie ren von In te gral- und Dif fer en ti al an teil über führt. Es gilt dann:

y (kTz ) = K R { x d (kTz ) +

T Tz k × å x d (iTz ) + V × [x d (kTz ) - x d (kTz - 1)]} Tz TN i = 0

(7.2)

7.2 An wen dun gen

371

Die ser sog. Stel lungs al gor tih mus läßt sich di rekt als Funk tions block in STEP 7 Soft wa re zur Pro grammie rung von SPS (Spei cher-Pro grammier ba re-Steue rungen) der Simatic-7-Rei he ab bil den /82/ (Bild 7.11 und Ta bel le 7.1).

Bild 7.11 Block schaltplan des PID-Stellungsalgorithmus

Ta bel le 7.1 Funk tions block PID-Stellungsal go rith mus für SPS

IF EIN = FALSE THEN (*Pro gramm des FB70*)

FUNCTION_BLOCK FB70

END_IF;

(*PID*)

(* xd(kTz)=XD xd(kTz-1)=XD1 *) VAR_INPUT (*Va riablendefinition*) EIN: BOOL; P_SEL, I_SEL, D_SEL: BOOL; W, X: REAL; KR: REAL:=1.0; TN: REAL:=1.0;

STG:=0.0; XD1:=0.0; XDSUM:=0.0; RETURN; STG:=0.0; XD:=KR*(W - X); XDSUM:=XDSUM + XD; STGI:=XDSUM*TZ/TN; STGD:=TV/TZ*(XD - XD1); XD1:=XD;

TV: REAL:=1.0; TZ: REAL:=1.0; END_VAR

Die Programmie rung in TURBO-PAS CAL (ent spricht dem Quell text der Pro grammier soft wa re Delp hi) ist in Ta bel le 7.2 für SIM LER-PC darge stellt. Dabei wer den die Pa ra meter Tn und Tv mit Flags (a2_rTyp[nPlot]) ab ge fragt und ent schie den, ob der Be nut zer ei nen PID-, PI-, PD- oder P-Reg ler ein ge ge ben hat. Der Reg ler aus gang kann mit dem Pa ra me ter Xs im Be reich von ±(0,1 - 10) be grenzt wer den. Die Ein ga be Xs>10 be deu tet un be grenz ter Reg ler aus gang.

372

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Ta bel le 7.2 PID-Stellungsal go rith mus in TUR BO-PASCAL Pro ce du re ya_PID(Var Kr,tn,tv,xd1,xd2,xd,yaI,ya:Real); Var i,k : In te ger; Be gin h:=MAbs zis se[nPlot]/nPunkt; (*Ab szis sen ma ß stab/Punktzahl*) If (a1<>5’) Then Be gin If a2_rTyp[nPlot]=14 Then Be gin yaI:=yaI+h/tn*xd1; ya:=Kr*(yaI+xd+tv/h*dxd); xd1:=xd; End Else If a2_rTyp[nPlot]=13 Then Be gin yaI:=yaI+h/tn*xd1; ya:=Kr*(yaI+xd); xd1:=xd; End Else If a2_rTyp[nPlot]=12 Then Be gin ya:=Kr*(xd+tv/h*dxd); xd1:=xd; End Else If a2_rTyp[nPlot]=11 Then Be gin ya:=Kr*xd; xd1:=xd; End; If Xs<=10 Then Be gin If ya>=Xs Then ya:=Xs Else If ya<-Xs Then ya:=-Xs; End; End; End; Der Stel lungs al go rith mus ist nicht re kur siv. Die zu be rech nen den Wer te kön nen zu un er wünscht lan gen Re chen zy klen füh ren. Es bie tet sich da her an, je weils den Zu wachs (die zeit li che Än de rung) der Stell grö ße zu be rech nen und die sen dem be reits er mit tel ten Wert auf zu ad die ren. Man er hält so den sog. PID-Ge schwin dig keits al go rith mus, der eine re kur si ve Glei chung dar stellt. y a (kTz) = ya (kTz-1) + D y a (kTz)

(7.3)

mit der Stellgrößenänderung Dy a (kTz) = K R ×[x d (kTz)(1 + und y a (kTz): D y a (kTz): x d (kTz) : KR : Tn : Tv : Tz : kT z :

Tz Tv 2Tv Tv + ) - x d (kTz - 1)(1 + ) + x d (kTz - 2) ] Tz Tn Tz Tz

Stell grö ße Zu wachs der Stell grö ße Re gel dif fe renz Reg ler-Ver stär kung Nach stell zeit Vor halt zeit Re chen schritt wei te bzw. Abtastzeit Ab tast zeit punkt

Die Programmie rung in TURBO-PAS CAL ist in Ta bel le 7.3 darge stellt. Bei der Rea li sie rung muß der Grun dal go rith mus jeoch er wei tert wer den, um Sät tigungs- bzw. In for ma tions ver lust effek te beim Er rei chen von Stell gliedbe gren zun g zu ver mei den („Wind up-Effek t“).

7.2 An wen dun gen

373

Ta bel le 7.3 PID-Geschwindigkeitsal go rith mus in TUR BO-PAS CAL Pro ce du re ya_PID(Var Kr,tn,tv,xd1,xd2,xd,ya:Real); Var i,k : In te ger; Be gin h:=MAbs zis se[nPlot]/nPunkt; (*Ab szis sen ma ß stab/Punkt zahl*) If (a1<>5’) Then Be gin If a2_rTyp[nPlot]=14 Then Be gin xd:=w-x; dxd:=xd-xd1; dxd2:=xd-2*xd1+xd2; dy:=Kr*(dxd+h/tn*xd+tv/h*dxd2); xd2:=xd1; xd1:=xd; ya:=ya+dy; End; If Xs<=10 Then Be gin If ya>=Xs Then ya:=Xs Else If ya<-Xs Then ya:=-Xs; End; End; End; Das Struk to gramm des PID-Ge schwin dig keits al go rith mus zeigt Bild 7.12. Für den prak ti schen Ein satz sind, je nach Rech ner ar chi tek tur der SPS, ei ni ge Bedin gun gen be züg lich der Mi ni mal- und Ma xi mal wer te so wie der Meß wert auf lö sung zu be ach ten.

Bild 7.12

Struktogramm der PID-Geschwindigkeitsalgorithmus für SPS

374

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Sprungantwort P-, PI- und PID-Regler: Eine Regel strec ke 4. Ord nung mit Totzeit, de ren Zeit kon stan ten nahe bei ein an der lie gen, soll mit den drei oben ge nann ten Reg lern auf ihr Füh rungs ver hal ten hin un ter sucht wer den. Das Ergeb nis die ses Vergleichs ist in Bild 7.13 dargestellt. Die er ste Si mu la tion zeigt die Sprung ant wort ei ner sta bi len Re ge lung bei Ver wen dung des P-Reg lers (Tn = ¥ und Tv = 0). Wie zu er war ten, ist eine blei ben de Re gel diffe renz

x d(¥)=w × [ 1 -

Ko ] 1 + Ko

(7.4)

we gen des feh len den In te gral an teils in der Re ge lung un ver meid lich. Mit w =1 (ent spricht ei nem Füh rungs grö ßen sprung von 100%) und K o = K r × K s = 1 ergibt sich x d (¥)=0,5. Erst mit dem In te gral an teil des PI-Reg lers (zwei te Simulation), für den hier Tn=3s ge wählt wur de, ver schwin det die blei ben de Re gel diffe renz bei ei ner Aus re gel zeit von Taus=40,8s. We sent lich bes se re Ergeb nis se las sen sich mit dem PID-Reg ler er zie len (drit te Si mula tion), für den Tn=3s und Tv=1s ein ge stellt wurde. Der Pha sen rand steigt auf a R =54,383° und die Aus re gel zeit sinkt we gen der nach las sen den Schwin gung auf Taus=10,55s. Es sei noch dar auf hin ge wie sen, daß die Be gren zung des Reg ler aus gangs hier stets auf Xs=¥ (unbegrenzt) ein ge stellt war. Fahrkurvenantwort nicht optimierter PID-Regler: Ein frei ein ge stell ter PID-Reg ler wird auf eine tot zeit be haf te te, schwingungsfä hi ge Strec ke 3. Ord nung ge schal tet. Es soll das Füh rungs ver hal ten mit Hil fe ei ner Fahr kur ve ver bes sert wer den (Bild 7.14). Für Tve=The=0 er hält man in der er sten Si mu la tion die Sprungant wort. Die Re ge lung ist zwar sta bil, zeigt je doch ei nen sehr star ken Ein schwing vorgang. Setzt man nun die Fahr kur ven-Pa ra meter ein, die nahe bei den Op ti malwer ten liegen, ist die Schwingung völlig gedämpft. Es zeigt sich hier deut lich, wie vor teil haft die Fahrkur ve ein ge setzt werden kann, ohne di rekt eine Reg ler-Op ti mie rung vor zu neh men.

7.2 An wen dun gen

Bild 7.13

Sprungantwort von P-, PI- und PID-Regler im Vergleich

375

376

Bild 7.14

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Nicht optimierter PID-Regler mit optimaler Fahrkurve

7.2 An wen dun gen

377

Störsprung nach der PT3-Strecke: Aus Bild 7.10 ist zu er se hen, daß die Stör funk tion vor oder nach der Regel strec ke auf ge schal tet wer den kann. Der je weils ge wähl te Stör ein griff wird dem Be nut zer in der Gra fik als z1 oder z2 angezeigt. In Bild 7.15 ist die Stör sprung ant wort ei ner Strec ke drit ter Ord nung für den P-, PI- und PID-Reg ler darge stellt. Die ge wähl te Stör funk tion entspricht wegen w st =0 einem Stör sprung der Am pli tu de A st =1 (ent spricht 100%). Aus der er sten Si mula tion ist er sicht lich, daß die Stö rung ohne ei nen I-An teil im Reg ler nicht be sei tigt wer den kann. Erst beim PI- und PID-Reg ler wird der Stör sprung nach ca. 150s eli miniert. Auf eine Reg ler-Op ti mie rung wur de hier ver zich tet. Die hier frei einge setz te Vor halt zeit von Tv=2s bringt kei ne si gni fi kan te Ver bes se rung des Übergangsverhaltens. Fahrkurvenantwort + Störung bei t=Tst: Die mei sten Si mu la tions-Pro gramme las sen nur die ge trenn te Un ter su chung ver schie de ner Füh rungs grö ßen und des Stör ver hal tens zu. Hier nun ein Bei spiel für das Füh rungs ver hal ten bei Vorga be ei ner Fahr kur ve und dem Aufschal ten ei ner Stör funk tion zur Zeit t=Tst ein schließ lich der Op ti mie rung von Regler und Fahrkurve (Bild 7.16). Es wird an ge nommen, daß es sich um eine Posi tions-Re ge lung han delt. Zu nächst wird für die PT 1 -PT2 -PTt-I-Strec ke ein PD-Reg ler mit Kr=5 und Tv=0,8s ge wählt, so wie die Fahr kur ve frei auf Tve=0,2s und The=1s ein ge stellt. Dazu kommt ein Stör sprung am Ende des Reglers (zS=z1) mit der Ampli tu de Ast=0,2 nach Tst=30s. Die Übergangs funk tion schwingt in der er sten Si mu la tion un zu läs sig stark über und die auf ge schal te te Stö rung wird we gen des feh len den In te gral an teils im Reg ler nicht aus ge re gelt. Setzt man nun die op ti mier ten Reg ler-Pa ra me ter und die op ti ma len Fahr kur ven wer te ein, ver schwin det jede Schwin gung beim Hoch lauf der Re gel grö ße. Der nach 30s ein set zen de Stör sprung hat we gen des I-An teils im Regler nun einen abklingenden Verlauf. In der drit ten Si mu la tion ist auch eine op ti mier te si nus för mi ge Stör funk tion von w st =12,3Hz auf ge schal tet wor den. Im vor lie gen den Bei spiel soll die se Stör funk tion den Haf trei bungs be reich ei nes Spin del an triebs ver mei den hel fen, der zur Po si tio nie rung ein ge setzt wird. Für ei nen ver bes ser ten Vergleich der Stör funk tio nen wur de die drit te erst nach 48s auf ge schal tet. Bei sprung haf ter und si nus för mi ger Stör funk tion (zwei te und drit te Si mu la tion) er hält man die glei che Re gel dy na mik für Füh rungs ver hal ten. Es wird je doch durch die dau ernd auf ge schal te te 12,3Hz-Schwingung Haftreibung vermieden und die Störamplitude verschwindet.

378

Bild 7.15

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Störsprung nach der Strecke bei drei Reglertypen

7.2 An wen dun gen

Bild 7.16

Optimierung von PID-Regler, Fahrkurve und Störfunktion

379

380

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Optimierung Allpaß-Strecke mit FRa-Regler: Wie die Tot zeit glie der, so ge hö ren auch die All pa ß ei gen schaften ei ner Strec ke zu den “Nicht-Mi nim al pha sen-Funk tio nen”. Zwi schen Tot zeit- und All pa ß glie dern gibt es da her zahl rei che Gemeinsamkeiten. Das dy na mi sche Ver hal ten der Lei stungs ab ga be von hy drau li schen Tur bi nen in Was ser kraft an la gen soll hier als Bei spiel für die Re ge lung ei ner All pa ß strec ke auf ge führt wer den. Die de tail lier ten Zu sam men hän ge sind in /64/ be schrie ben. Prin zi piell ent ste hen bei der Lei stungs ab ga be die All pa ß ei gen schaf ten in fol ge der Wech sel wir kung zwi schen Druck p und Durch fluß (Volumenstrom) Q vor dem Tur bi nen ein lauf (sie he Ab schnitt 3.1.10). Da bei de Grö ßen mul ti pli ka tiv zur Lei stung P T bei tra gen, der Druck stoß aber um ge kehr tes Vor zei chen wie die ihn ver ur sa chen de Durch flu ß än de rung auf weist, zeigt die Übergangs funk tion der Lei stung zu nächst eine “Ge gen läu fig keit”, die für All päs se ty pisch ist. Die ver ein fach te Über tra gungs funk tion die ser Strec ke als dem Quo tien ten aus Lei stung P T (p) be zo gen auf die Ven til ver stel lung y(p) lau tet dann: F (p ) =

1 - p Ta 1 + p Ta

Dar in ist T a die An lauf zeit der Was ser säu le (sie he Ab schnitt 3.1.10). Die Differ enti al glei chung, wel che die Ge ner ator dreh zahl mit der Tur bi nenlei stung ver knüpft, führt auf ein Ver zö ge rungs glied 1. Ord nung, so daß sich für die ver ein fach te Ge samt-Regel strec ke das PTa-PT 1-Ver hal ten ergibt. Die se soll mit dem F Ra -Reg ler op ti miert wer den (Bild 7.17). In der er sten Si mu la tion sind die Reg ler-Pa ra me ter so ein ge stellt, daß sich ein PI-Reg ler mit Kr=1 und Tn=19s ergibt (sie he Ta bel le 7.4). Die Re ge lung weist zwar eine Pha sen re ser ve von ca. 43,9° auf, sie schwingt al ler dings stark über. Deut lich ist das ty pi sche Ver hal ten ei ner All paß-be haf te ten Strec ke, mit der an fäng li chen “Ge gen läu fig keit” der Re gel grö ße zu er ken nen. Stellt man den FRa -Reg ler auf die Op ti mal wer te der zwei ten Si mu la tion ein, nimmt die Re gel grö ße ei nen über schwin gungs frei en Ver lauf an. Da bei wird die an fäng li che “Ge gen läu fig keit” der Re gel grö ße eben falls stark re du ziert. Die se Über tra gungs funk tion des FRa -Reg lers hat die all ge mei ne Form:

FR a (p ) =

1 + p Tk A + 2 G p Tk + p 2 Tk 2

In Bild 7.17 wur den A=0 und G=K=1 ge setzt.

(7.5)

7.2 An wen dun gen

Bild 7.17 All paß-PT 1 -Strec ke mit F Ra -Reg ler

381

382

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Optimale Brückenkranregelung mit FRa-Regler: Die Re ge lung der Ho ri zon tal be we gung ei nes Brüc kenkrans stellt ein nicht li nea res Sy stem dar /63/. Sei ne zugehörigen Be we gungs glei chun gen kön nen je doch un ter der An nah me, daß die Pen del aus len kung als ge ring an ge nom men wird (j << 1), li nea ri siert wer den. Un ter der ver ein fach ten An nah me ei nes mas se lo sen Pen dels erge ben sich schließ lich zwei ver kop pel te Differ en ti al glei chun gen 2. Ord nung mit der Schlit ten kraft F am Ein gang (Bild 7.18). && - u = 0 (mS + mL ) ×&&z + m × &z + mL × z& + mL × l × j && + g × j = 0 &&z + l × j

Bild 7.18

Mo dell des Brückenkrans

Nach kur zer Rech nung ergibt sich die Über tra gungs funk tion des Kran mo dells. a mS FS(p) = 4 p + b × p 3 + a(1 + c) × p 2 + a × b × p

mit

a=

g ; l

b=

m ; mS

c=

mL mS

Führt man die in /63/ ein gesetz ten kon kre ten Wer te ein, läßt sich die Über tra gungs funk tion auf die Form brin gen:

7.2 An wen dun gen

FS(p) = K S

Dar in ist

383

1 pTi (1 + pT11 )(1 + 2dpT2 + p 2 T22 )

KS =0,0001666 ; T i =1s ; T 11 =1s ; T 2 =0,4472s ; d=0,4472

In /63/ wer den ver schie de ne Reg ler an sät ze vorge stellt. Der FRa -Reg ler zeigt je doch für die ge troffe nen An nah men bzw. Li nea ri sie run gen bei Füh rungs- und Stör ver hal ten bes se re Ergeb nis se (Bild 7.19).

Bild 7.19

Op ti mier te Re ge lung ei nes Brüc kenkrans mit F Ra -Reg ler

384

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Optimierung einer Kaskadenregelung: Es soll die in Bild 7.20a darge stell te Re ge lung für ei nen Gleichst ro mantrieb op ti mal ein ge stellt wer den. Es han delt sich um eine Dreh zahl re ge lung mit un ter la ger tem Ankerstromregelkreis. Der An ker kreis ent hält den tot zeit be haf te ten Stromrich ter (T t =2ms) und ein PT1 -Glied mit der An ker kreis zeit kon stan ten T A =0,22s, so wie ei nen Tief paß für die Glät tung des An ker stro mist wer tes (T 12 =10ms). Setzt man eine konstan te Er re gung F H vor aus und nimmt wei ter an, daß der Dreh zahl ein fluß auf die in du zier te Span nung Ui ge ring ist, ergibt sich der in Bild 7.20b dargestellte Ankerstromregelkreis. Die ser in ne re Re gel kreis wird üb li cher wei se mit ei nem un be grenz ten PI-Reg ler ein ge stellt. Für die Umrech nung des inne ren Re gel krei ses in eine Er satz-Regel strec ke F H (p) des äu ße ren Re gel krei ses ist fol gen de Be din gung zu be ach ten. Bei Führungsverhalten gilt bekanntlich: Fw (p) =

F0 (p) 1 + F0 (p)

Die se Über tra gungs funk tion muß sich für eine Iden ti fi ka tion in die Form

Fw (p) = FH (p) =

1 1 + pT1 + p T2 2 + × × × + p n Tn n 2

(7.6)

brin gen las sen. Im Fal le der hier vor lie gen den An ker strom re ge lung ge lingt dies, wenn man für die Nach stell zeit des PI-Reg lers T N1 =T A wählt. Die zu ge hö ri ge Si mu la tion ist in Bild 7.21 darge stellt. Die Sprung ant wort des An ker strom re gel krei ses ist nun als Iden ti fi ka tions-File zu spei chern und an schlie ßend von der Da tei ver wal tung aus zu la den. Durch die Ap proxi ma tion der ge la de nen Gra fik mit Hil fe der Pa ra me ter-Ein ga be er hält man sehr schnell die Pa ra me ter der Er satz-Regel strec ke FH (p) (Bild 7.22). Die Er satz-Regel strec ke ist demnach ein Ver zö ge rungs glied 2. Ord nung mit den Pa ra me tern K S = K H = 1 , T 2 » 0,021 s und d » 0,85 . Die se Wer te über nimmt man nun in die Si mula tion des über la ger ten Dreh zahl re gel krei ses (Bild 7.24).

7.2 An wen dun gen

Bild 7.20

Drehzahlregelung mit unerlagertem Ankerstromregelkreis

385

386

Bild 7.21

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Anker stromre gel kreis mit Reg ler-Ein stel lung T N1 =T A =T 11

7.2 An wen dun gen

Bild 7.22

Optimerter Ankerstromregelkreis als PT2-Strecke identifiziert

387

388

Bild 7.23

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Optimierung des Drehzahlregelkreises

7.2 An wen dun gen

Bild 7.24

389

Drehzahlregelkreis einschließlich der Ersatz-Regelstrecke FH(p)

Mit zwei wei te ren zu läs si gen Ver ein fa chun gen (sie he Bild 7.20b)

e

-pT t

»

1 1+ p T

sowie t

1 ( 1 + p T 12 )( 1 + p T

t

)

»

1 1+ p T

K

läßt sich der An ker stromre gel kreis auch rech ne risch in eine Er satz-Regel strekke umwan deln. Man er hält dann mit T K »T 12 +Tt 1

Fw (p) = FH (p) » 1 + p

T T TA + p2 A K 0 K0

. K

Da mit der Anker strom-Reg ler nicht an die Stell gren ze geht, wird der zu nächst ge wähl te PI-Drehzahl-Reg ler mit der Be grenzung Xs=1 (Be gren zung auf 100% von y) ver se hen. Au ßer dem soll die op ti ma le Fahr kur ve er mit telt wer den. Die Sprung ant wort des Dreh zahl-Re gel krei ses ist in Bild 7.23 auf ge zeigt (er ste Si mu la tion). Setzt man nun in der zwei ten Si mu la tion die Reg ler-Pa ra me ter für ei nen PD-Reg ler ein und be nutzt die op ti ma len Fahr kur ven-Pa ra me ter, ergibt sich eine für Füh rungs ver hal ten sehr gut eingestellte Kaskadenregelung.

390

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Einstellwerte PID-Regler im Vergleich: Die Einstell wer te für den Regler nach Zieg ler, Ni chols sol len mit de nen von SIM LER-PC an hand ei nes Bei spiels bei Füh rung und Stö rung vergli chen wer den. Die Stell grö ße soll je weils auf Xs=1,36 begrenzt wer den. Es liegt eine ver ein fach te Po si tions re ge lung mit Schei ben läu fer mo tor vor. Der Mo tor hat eine Hoch lauf zeit (In te gra tions zeit kon stan te) von Ti=0,03s. Die schwin gungs fä hi ge Me cha nik wird als Ver zö ge rungs glied zwei ter Ord nung mit T 2=0,02s und ei ner Dämpfung von d=0,5 darge stellt. Die Meß wert er fas sung der Po si tion soll durch ein Tief paß fil ter mit T 11 =0,05s ent stört wer den. Die Gesamt ver stär kung der Regelstrec ke soll K S =1 betragen. Die Ein stell wer te nach Zieg ler, Ni chols ba sie ren be kannt lich auf der kri ti schen Reg ler-Ver stär kung K r_krit (bei Ver wen dung ei nes P-Reg lers) und der zu ge hö ri gen kri ti schen Zeit konstan te T krit . Dazu wird die Regel strec ke mit ei nem P-Reg ler in Dau er schwin gung ver setzt. Wie in Bild 7.25 darge stellt, er hält man bei ei ner will kür lich ein ge stell ten Ver stär kung (er ste Si mu la tion) aus der Ergeb nis li ste die ge such te Ver stär kung Kr_krit =1,19388 und kann sie in die zwei te Si mu la tion ein set zen. Die Zeit kon stan te T krit kann di rekt am Bild schirm be stimmt wer den. Mit Hil fe des Abszis sen-Fahr strahls fährt man zum er sten Ma xi mum der Dau er schwin gungs pe ri ode und drückt , dann zum näch sten Ma xi mum und drückt . Im Bild schirm fen ster wird dann dt / s » Tkrit an ge zeigt. Aus der kri ti schen Fre quenz w Z der Ergeb nis li ste läßt sich T krit ex akt er mit teln. Es ergibt sich dann Tkrit = 2 p / w z = 0,2351s . Nach Zieg ler/Ni chols er hält man da mit fol gen de Reg ler-Ein stell wer te: K R = 0,45 × K r_krit = 0,5372 T N = 0,83 × T krit = 0,1951s

(PI-Reg ler)

K R = 0,6 × K r_krit = 0,7163 T N = 0,5 × T krit = 0,1175s T V = 0,125 × T krit = 0,0294s

(PID-Reg ler)

Die er sten zwei Si mula tionen (Bild 7.26) zei gen, daß die PI- und PID-Reg ler-Ein stel lung nach Zieg ler, Ni chols un ge eignet ist. Zur Reg ler-Ein stel lung mit SIM LER-PC wer den die op ti ma len Zeit konstan ten der er sten Si mu la tion bei be hal ten und die Reg ler ver stär kung der drit ten Si mu la tion be nutzt: K r_opt = 1,0 T n_opt = 0,23459s T v_opt = 0,02s

(PID-Reg ler)

Ver wen det man zu sätz lich die op ti mier te Fahr kur ven-Einstel lung, läßt sich ins ge samt ein sehr gu tes Füh rungs ver hal ten (ohne Über schwin gen) so wie ein pass ab les Stör ver hal ten er zie len.

7.2 An wen dun gen

Bild 7.25

Ermitteln von Kr_krit und Tkrit

391

392

Bild 7.26

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Regler-Parameter im Vergleich bei Führung und Störung

7.2 An wen dun gen

393

Regleralgorithmus FRt-Wurzelrekursion: Der Reg ler al go rith mus be steht aus ei ner re kur si ven Wur zel funk tion (für Strekken mit Aus gleich). Es sind kei ne Reg ler pa ra me ter er for der lich. Er paßt sich selb stän dig auch ver än der li chen Strec kenparametern an (Pa tent des Au tors: EP10166290.6-2206). Die Ge wich tung h wird als Fest wert (h=0,001 - 1 , empfoh len) oder adap tiv ein ge ge ben. Eine Va rian te des Pa ten tes stellt die Glei chung 7.7 dar.

y (i + 1) =

w × | y (i) / Ks + h × x d |

Strec ken mit Aus gleich

(7.7)

y (i + 1) = w 2 - w | y (i) × K S + h × x d | Strec ken ohne Aus gleich

Die ser Al go rithmus ist dem klas si schen PID-Reg ler in vie len Fäl len über le gen, be son ders dann, wenn es sich um sehr stark schwin gen de Prozesse han delt. Dazu ein Bei spiel, bei dem eine sehr schwach gedämpf te Strec ke 4. Ordnung mit Tot zeit auf Füh rung und Stör impuls am Ende der Strec ke ge re gelt wer den soll (Bild 7.27). Der PID-Regler kann nur mit ei ner Ver stär kung Kr <1 ein ge stellt werden, sonst ergibt sich ein zu star kes Schwingen. Dann reagiert die Re ge lung je doch sehr lang sam. Dies än dert sich mit der FRt -Wurzelrekursion (Bild 7.28 oben). Selbst eine Ver än de rung der Zeit kon stan ten T 2 und der Dämp fung d (hin zu stär ke rer Schwin gungs nei gung) in der Si mula tion mit MATLAB Si mulink (Bild 7.28 unten) kann die Sta bi li tät nicht ge fähr den. Die Re ge lung zeigt in bei den Fäl len bes se res Füh rungs- und Stör ver hal ten. Ein ziger Nach teil der Wurzelrekursion ist, daß ein Störimpuls am Ende der Strec ke vom Re gel algorithmus adaptiert wird (als zum System ge hö rig angenommen wird) und so mit auf meß tech ni sche Wei se eli mi niert wer den muß. Die Wurzelrekursion spie gelt auch die wirk sa men Reg ler al go rith men bio lo gi scher Sy ste me wi der, die be kannt lich ohne die Ein stel lung von Reg ler pa ra me tern aus kommen und aus sich selbst funk tio nie ren. Eben so las sen sich mit dem Algorithmus phi lo so phisch-re li giö se Grund aus sa gen er klä ren /86/. Auf ga be 7.1 Mit Hil fe der Iden ti fi ka tions hilfs mit tel von SIM LER-PC sind die Pa ra me ter ei ner un be kann ten Strec ke (File IDEN36-3.PJD , Downlo ad von SIM LER-PC) zu er mit teln und ein pas sen der Reg ler zu finden. Auf ga be 7.2 Wo her kommst Du, wer bist Du, wo hin gehst Du? /86/

394

Bild 7.27

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Der PID-Regler für eine stark schwingende Strecke 3. Ordnung

7.2 An wen dun gen

Bild 7.28

395

Die FRt-Wurzelrekursion bei stark schwingender Strecke a) SIMLER-PC und b) MATLAB Simulink u. stärkerer Schwingung

396

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Durchfluß-Regelung mit Schwebekörper: Der zu neh men de Be darf an hoch dy na mi schen und prä zi sen Durch flußmessern ver langt nach passenden Meß- und Re gel konzep ten. Die Ar beiten von Schrag und Haf lin ger /58/ haben sich aus führ lich da mit be faßt. Es geht dar in um die Meß wert bil dung und Re ge lung von hochrei nen und ag gres si ven Flüs sig kei ten in der Halb lei ter in du strie. Dort wer den ver schie de ne Me tho den zur Durch flußer fas sung ein ge setzt. • Schwe be kör per durch flußmes ser, Tur bi nen durch flußmes ser • Dros sel ge rä te, Wir bel zäh ler, Ther mi scher Durch flußmes ser • Ul tra schall-Durch flußmes ser, Ka ryo ly se-Mas se durch fluß mes ser

Das Sen sor sy stem für die Durch flu ßer fas sung be steht aus der Mess strec ke, der ein ge bet te ten Elek tro nik so wie der Si gnal aus wer tung (Bild 7.29). Das Prin zip die ser Meßtech nik basiert auf dem Differ enz druck so wie dem Schwe be kör per durch flußmes ser. Der Kern des Sen sors be steht im We sent li chen aus ei nem Schwe be kör per mit ei nem axi al po la ri sier ten Per ma nent ma gne ten und ei nem Meer ohr, wel ches von ei ner Spu le um ge ben ist. Auf den umström ten Schwe bekör per wirkt eine dem Durchfluß pro por tio na le Fluid kraft, die den Schwebe kör per aus sei ner Ru he la ge zu brin gen ver sucht. Mit tels der Spu le wird ein elek tro ma gne ti sches Feld er zeugt, wel ches den Schwe be kör per ent we der an zieht oder ab stößt. Die Po si tion des Schwe be kör pers wird über ei nen Regel kreis kon stant ge hal ten und so mit kann aus dem durch die Spu le flies senden Strom die Fluid kraft, und dar aus der Durch fluß Q ex akt be stimmt wer den.

Bild 7.29

Sensorsystem und Regelung zur Durchflußerfassung

7.2 An wen dun gen

397

Ei ne ho he Dy na mik für den Durch fluß wird mit einer Kas ka den re ge lung aus Spu len strom-, Schwe be kör per po si tions- und Durch fluß re gel kreis er reicht (Bild 7.30a). Der ge schlos se ne Spu len stromre gel kreis geht für die PI-Reg ler di men sio nie rung K 01 »1, T N1 =T Sp»1ms in eine PT 1-Ersatz strec ke über. Die wei te re Regel strec ke ent hält zwei In te gra to ren mit der ne ga ti ven Rück kopplung der Flüs sig keits dämp fung d Q und der Flüs sig keits kraft F Q als Störgrö ße (Bild 7.30b). Ent spre chend Glei chung 4.4 un ter schei det sich die magne ti sche Kraft vom Strom am Strom re gel kreis aus gang nur durch den Pro por tio nal itäts fak tor k, also FM = ki × I. Da mit ergibt sich die Über tra gungs funk tion: FS(p) =

Bild 7.30

x(p) = I(p)

ki m d Q × p(1+ p ) dQ

= KS ×

1 pTi × (1+ pT11 )

Regelstrukturen der Kaskaden-Durchflußregelung

398

7 Si mu la tion, Op ti mie rung mit SIM LER-PC

Der über la ger te PID-Po si tions reg ler hat so mit eine PT 1 -PT1 -I-Strec ke zu regeln. Die Po si tions re ge lung ist in Bild 7.31a für Füh rung- und Stör ver hal ten darge stellt. Mit SIM LER-PC läßt sich der ge schlos se ne Po si tions re gel kreis in eine PT 2 -Ersatz strec ke mit T2 » 0,0012s und d » 0,5 über füh ren, die mit ei nem PID-Durch fluß reg ler op ti mal ein gestellt wer den kann (Bild 7.31b).

Bild 7.31

Einstellung der Postions- und Durchflußregelung

7.2 An wen dun gen Ta bel le 7.4

Ein stell hin wei se für die fünf Reg ler ty pen in SIM LER-PC

399

8

Simulation mit MATLAB Simulink

Die in die sem Buch ver wen de ten Be nutz er ober flä chen für die Si mu la tion mit der F Rt -Wur zel re kur sion und dem PID-Algorithmus bei ver schie de nen Strekkentypen ba sie ren auf dem Programm MAT LAB Si mulink /13/, /23/.

8.1

An wen dun gen

Die Be nutz er ober flä che für die F Rt -Wur zel re kur sion nach Glei chung 7.7 ist in Bild 8.1 mit Beispiel darge stellt. Es kön nen Strec ken hö he rer Ord nung mit Tot zeit oder In te gral an teil auf Füh rungs- und Stör ver hal ten un ter sucht wer den.

Bild 8.1 Be nutz er ober flä che FRt -Wur zel re kur sion für ver schie de ne Wer te der Gewichtung h=[0,01; 1] bei ei ner PT 1 -PT1 -PT2- PTt-Strec ke P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

8.1 Anwendungen

401

Die zu ge hö ri gen re gel tech ni schen Mo del le zeigt Bild 8.2. Da mit er spart sich der An wen der den nicht un er heb li chen Pro gram mier auf wand.

Bild 8.2 Mo del le F Rt -Wur zel re kur sion mit PTn-Strec ke und Tot zeit / In te gral

402

8 Simulation mit MATLAB Simulink

Die Be nutz er ober flä che für den PID-Algorithmus nach Glei chung 7.2 ist in Bild 8.3 an ei nem Bei spiel darge stellt. Das gezeig te Bei spiel ist di rekt mit der Si mu la tion von SIM LER-PC (Bild 7.13 auf Seite 375) vergleich bar. Es zeigt, daß le dig lich der PID-Reg ler für die se Strec ke vierter Ord nung mit Tot zeit ge eig net ist.

Bild 8.3 Be nutz er ober flä che PID-Al go rith mus für eine Strec ke 4. Ord nung mit Tot zeit (Va ria tion P-, PI-, PID-Regler) In den re gel tech ni schen Mo del len nach Bild 8.2 ist dann le dig lich der F Rt durch den PID-Al go rith mus aus zu tau schen. Sei ne Pro grammstruk tur ist in Bild 8.4 darge stellt. Für Nach stell zei ten T N >10 5 schal tet der Al go rith mus auf PD-Ver hal ten (bei Ein ga be von T V >0) oder auf P-Ver hal ten (bei Ein ga be von T V =0) um. Auf die se Wei se werden die vier be kann ten Grund reg ler ty pen rea li siert. Die Reg ler be gren zung Xs so wie der Ein griff von Störgrö ßen (am Ende der Strec ke) wer den wie in SIM LER-PC ge hand habt (sie he dazu Ab schnit te 7.1.3 und 7.2.3). Xs wird mit ei nem Schal ter um gan gen, wenn die Be gren zung den Wert Xs>10 (zehn fa che Ampli tu de der Stell grö ße y) an nimmt.

8.1 An wen dun gen

403

Bild 8.4 Struk tur des PID-Al go rith mus mit Stell grö ßenbe gren zung Xs a) La pla ce-trans for mier te Form b) z-trans for mier te (dis kre te) Form

In ei nem wei te ren Bei spiel soll eine Strec ke drit ter Ord nung mit In te gral anteil auf Füh rungs- und Stör ver hal ten be züg lich der Reg ler pa ra me ter und der Abtast zeit T z op ti mal ein ge stellt wer den. Da die Strec ke be reits ei nen I-An teil ent hält, ist der PD-Reg ler die rich ti ge Wahl. Mit ei ner Reg ler ver stär kung von Kr=0,35 und der Vorhaltzeit von T V =0,3s kann die Re ge lung ohne Über schwin gen ein ge stellt wer den. Da bei wur de die Be gren zung der Stell grö ße auf Xs=1,2 ein ge stellt. Die im puls för mi ge Stö rgröße am Ende der Strec ke, die nach Tst=15s ein setzt, wird eben falls gut aus ge re gelt (Bild 8.5).

404

8 Simulation mit MATLAB Simulink

Bild 8.5 PD-Reg ler mit PT3 -I-Strec ke bei ver schie de nen Ab tast zei ten Er rech net man die op ti ma le Ab tast zeit anhand der Durch tritts fre quenz der Rege lung (mit Hil fe von SIM LER-PC), ergibt sich ent spre chend Ab schnitt 5.5 Glei chung 5.38 fol gen der Wert: Tz = 0,125 / w D »018 , s Eine er heb li che Vergrö ße rung dieser Ab tast zeit führt wie zu er war ten zu un er wünscht starkem Über schwin gen der Re ge lung. Die Pro gramm-Fi les für die Be nutz er ober flä che des PID-Al go rith mus ste hen auf der Ho me pa ge un se res Fach be reichs ME an der Tech ni schen Hoch schu le Mit tel hes sen (vor mals FH-Gie ßen-Fried berg) zur frei en Ver fü gung un ter: www.me.th-mitt le hes sen.de/dienst lei stun gen/Downlo ad Dort die Da tei: MAT LAB-PID-Al go rithmus.ZIP

9

Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

9.1

Auf ga ben

Aufgabe 2.1 (S. 16) Durch verl egen der Störgrö ßen hin ter die Regel strec ke er hält man das Block schaltbild (Bild 9.1) und kann so fort Glei chung 2.8 an wen den. Es wird x =

Mit K

0

=K

R

x =

K0 1 + K ×K

S

×w + 0

1 1 + K

×( z

3

+K

S2

×z

2

-K

S

×z 1 ) .

0

= 50 folgt

50 1 × 10 V + × ( 0,01 + 0,2 - 4 ) V = 9,7296 V 51 51

und so mit x d = w - x = 0,2704 V . Da mit ent spricht die Re gel diffe renz x d = 35,15 ° C . Be zo gen auf den Soll wert von 1300°C sind das le dig lich 2,7%, da der Störgrö ßen ein fluß durch den Quo tien ten 1/(1+K 0 ) fast eli mi niert wird.

Bild 9.1

Vereinfachtes Blockschaltbild der Aufgabe 2.1

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

406

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 2.2 (S. 17) Der Ope ra tions ver stär ker-Regler läßt sich mit Hil fe von Gleichung 2.10 als Reg ler-Block ein schließ lich der Summa tions stel le für x d dar stel len. Wählt man den Wi der stand für Füh rungs grö ße w und Re gel grö ße x gleich (R 1 ), wird y = - R 2 / R 1( w - x ) = - K R × x d .

Bild 9.2

Blockschaltpläne nach Bild 2.9

Der Block schaltplan der Po si tions re ge lung ent spricht dann zu nächst Bild 9.2a. Durch ver le gen der Störgrößen hin ter die Regel strec ke ergibt sich Bild 9.2b. Die Störgrö ße z 3 bleibt da von aus ge nommen (siehe Gleichung 2.9). Da mit wird x =

K 0 1 + K

×( w - z 0

3

) +

1 1 + K

×( K

S2

×z

2

+K

S

×z 1 ) .

0

Mit K 0 = K R × K S = 200 ergibt sich x = 9,9225 V . Die Re gel diffe renz be trägt dann x d = 77,51 mV =$ 3,1 cm . Der Störgrö ßen ein fluß von z1, z2 wird durch die hohe Ver stär kung Ko=200 prak tisch eli miniert. Die Störgrö ße z3 geht je doch voll in die Re ge lung ein. Zum ex ak ten An fah ren der Po si tion be nö tigt man da her den PI-Reg ler.

9.1 Auf ga ben

407

Aufgabe 2.3 (S. 32) Mit å U = 0 er hält man eine in ho mo ge ne Differ en ti al glei chung I. Ord nung mit kon stan ten Ko effi zien ten U e = i( t )×R + L×

d i( t ) dt

d i( t ) dt R

,

Ue - L× oder

i( t ) =

.

Ein ge teilt in ei nen sta tio nä ren und ei nen ab klin gen den Teil des Stromes i( t ) = i

st

+ i

f

so wie der An fangs be din gung i ( 0 ) = 0 , folgt für den sta tio nä ren Anteil i

st

=

Ue . R

Mit dem be kann ten Ex po nen ti al an satz ergibt sich schließ lich nach kur zer Rech nung die Sprung ant wort des Stromes Ue i( t ) = ×(1 - e R

R×t L

) .

Sie ist in Bild 9.3 mit den ge ge be nen Wer ten darge stellt.

Bild 9.3

Sprungantwort des Stromes i nach Bild 2.25

408

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 2.4 (S. 32) Mit

å F=0 F

e

ergibt sich die in ho mo ge ne Differ en ti al glei chung 2. Ordnung = r×

ds a d 2sa + m× dt dt 2

.

Für die ho moge ne Teil lö sung gilt der An satz s

a hom

= C 1e

p 1t

+ C

2

e

p2t

.

Die cha rak ter isti sche Glei chung lau tet p

2

+

r ×p = 0 m

bzw.

p( p +

r ) = 0 . m

Da mit erge ben sich die Null stel len zu p 1=0 und p 2 =-r/m , so daß man -

s

a hom

= C

1

+ C

2

e

r t m

er hält. Bei dem hier an ge nom me nen energie lo sen An fangs zu stand, also s a ( 0 ) = 0 folgt dann für die Kon stan ten C

1

+ C

2

= 0

bzw.

C

1

= - C

2

.

So mit lau tet die ho mo ge ne Teil lö sung -

s

a hom

= -C

2

+ C

2

e

r t m

.

Für die par ti ku läre Teil lö sung der Differ enti al glei chung wählt man hier den Ansatz s

a par

= A + B× t .

Da mit er hält man für ds

a par

dt

= B

und

d

2

s dt

a par 2

= 0 .

Ein ge setzt in die ge ge be ne Differ en ti al glei chung II. Ord nung ergibt sich

9.1 Auf ga ben

F

e

409

= r × B + m×0 .

Dar aus folgt B=F e /r und A=0 , also lau tet die par ti ku lä re Teil lö sung s

a par

=

Fe ×t r

Die Lö sung der Differ en ti al glei chung ent spricht der Summe aus par ti ku lä rer und ho moge ner Lö sung. Sie ergibt sich zu -

s

a

(t) = s

a hom

+ s

a par

= -C

2

+ C

2

e

r t m

+

Fe ×t , r

und ist in Bild 9.4 darge stellt.

Bild 9.4

Sprungantwort sa(t)

Aufgabe 2.5 (S. 38) Nach der Span nungs teil er re gel ver hal ten sich die Span nun gen wie die zu ge hö ri gen Im pe dan zen (Wech sel strom wi der stän de), so daß sich hier fol gen der Zusammenhang ergibt:

U

a ( jw ) = U e

R / jwC R +1/ jwC R / jwC 1 R+ + jwC R +1/ jwC

.

410

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Nach dem Be sei ti gen der Dop pel brü che er hält man U

( jw ) = U e

R

a

R + (1+ jw RC )( R + R

=

3 R + jw R

2

C +

,

1 ) jwC ,

1 jwC

1

=

3 + j( w T -

1 ) wT

mit T = R × C . Wen det man auf den ge sam ten Bruch die kon ju giert kom ple xe Er wei te rung an, ergibt sich schließ lich die ge such te Funk tion der Aus gangs span nung 1 - wT) wT ( jw ) = U e × 1 - wT) 2 9 + ( wT 3 + j(

U

a

.

Aufgabe 2.6 (S. 38) Für T 1 =T 2 =T 3 =T lau tet die Funk tion F =

1 + jw T 1 + j( w T - w

3

T

3

. )

Bei der Be rech nung des Fre quenz gang be tra ges geht man grund sätz lich so vor: 1. Man zer legt Zäh ler und Nen ner von F(jw) je weils in Real- und Ima gi när teil. 2. Je der Real- und Ima gi när teil von Zäh ler und Nen ner wird für sich qua driert. 3. Aus dem ge samten Bruch wird die Wur zel ge zo gen.

Auf die se Wei se er spart man sich die kon ju giert kom ple xe Er wei te rung, die sonst zur Be rech nung von |F(jw)| her an ge zo gen wird.

9.1 Auf ga ben

411

Die Lö sung lau tet so mit so fort:

F =

1 + w 2T 2 1 + (wT - w

3

T 3)2

.

Aufgabe 2.7 (S. 50) Die Stör funk tion x e (t) La pla ce-Trans formiert ist x e0 (sie he Ta bel le 2.2 Korre spon denz Nr.1). Da mit lau tet die Bild funk tion p×T×x

a

(p)+ x

a

(p) = x

e0

.

Die so al ge brais ier te Glei chung ergibt so fort die Über tra gungs funk tion F( p) =

x

a

(p)

x

e0

=

1 = 1 + pT

a p + a

mit a = 1 / T . Mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 6, Ta bel le 2.2 er hält man die ge such te Sprung ant wort x

a

(t) = x

e0

×( 1 - e

- t/T

) ,

die in Bild 9.5 darge stellt ist. Sie ent spricht der Sprung ant wort ei nes PT1 -Glie des (verglei che mit Ab schnitt 3.1.7), d.h. das Sy stem ent hält ei nen un ab hän gi gen Energie spei cher.

Bild 9.5 Sprungantwort zu der gegebenen Differentialgleichung

412

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 2.8 (S. 50) Die si nus för mi ge An re gung läßt sich mit der Kor re spon denz Nr. 18, Ta bel le 2.2 in den Bild be reich trans for mie ren. Es gilt dann x

( p ) = x$

e

×

e

wp 2

p

+ w

.

2

Für den energie lo sen An fangs zu stand läßt sich dann di rekt die Bild funk tion aus der ge ge be nen Differ en ti al glei chung an ge ben. Mit p=d/dt folgt x

( p )[ m×p

a

2

+ r×p + c

f

] = x$

e

×

wp p

2

.

2

+ w

Nach x a (p) umge stellt ergibt sich schließlich

x

x$ e (p) = × cf p

a

wp 2

+ w

2

×

Setzt man für die Kenn kreis fre quenz w 0

cf m c r + p + f m m

.

p

2

2

= c f / m und wei ter 2a=r/m , so

läßt sich mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 31, Ta bel le 2.2 der zeit li che Ver lauf x a (t) an ge ben. Läßt man nun pra xis nah die Vereinfachungen j

0

=-w

e

t=-

p 6

sowie

a=

w0 2

und

w0 = 3 w

zu, so wird die Ei gen kreis fre quenz w

e

= 0,7071 × w 0

.

Für diesen Fall er hält man

x

a

(t) =

x$ e p p × [ 0,986 × sin ( w t - ) - 0,37 × cos ( w t - ) + cf 6 6 +

w0 2

×e

- w0 t/2

× ( 1,04 × sin

2 w 0 t - 0,5 × cos

2 w0 t ) ] .

Die ser Aus gleichs vorgang ist in Bild 9.6 darge stellt. Im sta tio nä ren Zu stand bleibt le dig lich der er ste Term der Gleichung erhalten.

9.1 Auf ga ben

Bild 9.6

413

Zeitlicher Verlauf der Ausgangsgröße xa(t)

Aufgabe 2.9 (S. 50) Mit Hil fe der Glei chung 2.10 läßt sich die Bild funk tion der Aus gangs span nung be stimmen. Es han delt sich um ei nen Band paß. R

U

a

U

mit

(p) e

= -

×

2

1 pC

2

1 R2+ pC 2 1 R1+ pC 1

= -

R R

2 1

×

1 1 (1+ pT

)(1+ p T

2

)

1

K p = R 2 / R1 ; T1 = R1 × C1 ; T2 = R 2 × C 2 .

Formt man die Glei chung mit a = a 1 = a 2 = 1 / T1 = 1 / T2 = 1 / T um, folgt U

a

U

(p)

= -a K

p

e

×

p (p+a)

2

.

Die Kor re spon den zen Nr. 1 und Nr. 5, Ta bel le 2.2 lie fern dann den zeit li chen Ver lauf der Aus gangs span nung, der in Bild 9.7 darge stellt ist.

U

a

( t ) = - 10 U e ×

t ×e T

-

t T

.

414

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Bild 9.7

Zeitlicher Verlauf der Ausgangsgröße nach Bild 2.34

Aufgabe 2.10 (S. 51) Die ser Aus gleichs vorgang läßt sich durch die Über la ge rung zwei er Aus gleichs vorgän ge be rech nen (Bild 9.8); ei nen Ein schalt vorgang mit U 1 ( t ) = U ×s

0

(t)

und ei nen Aus schalt vorgang mit U

Bild 9.8

2

( t ) = U ×s

0

( t- t

1

) .

Impuls-Bildung durch Überlagerung zweier Sprungfunktionen

9.1 Auf ga ben Mit

å U=0

415

er hält man für das Einschal ten

U 1 ( p ) = i 1 ( p )( R + p L ) , bzw. i1(p) =

U 1(p) a U a × = × R p+a R p+a

mit a=1/T=R/L . Die Kor re spon denz Nr. 6, Ta bel le 2.2 lie fert den zeit li chen Ver lauf des Stromes i1(t) =

U ×( 1- e R

- t/T

) .

Für den Aus schalt vorgang gilt U

2

(p) = i

i

(p) = -

2

( p )( R + p L ) = -

U ×s R

0

( t- t

1

)( R + p L ) ,

bzw. 2

U a × ×s R p+a

0

( t- t

1

) .

Mit Hil fe des Ver schie bungs sat zes der Car son-La pla ce-Trans for ma tion (Ta bel le 2.1, Nr. 4) folgt für die Bild funk tion des Stro mes i2 (p) i

2

(p) = -

U a × ×e R p+a

-p t1

.

Die Rück transformation in den Zeit be reich er folgt eben falls mit dem Ver schie bungs satz so wie der Kor re spon denz Nr. 6, Ta bel le 2.2, so daß der zeit li che Ver lauf des Stro mes i 2 (t) lautet: i

2

(t) = -

U ×[1- e R

- ( t - t 1 )/T

]

für

t³t

1

.

Der Ge samt strom ent spricht der Zu sammen fas sung aus den bei den Teil strö men und ist in Bild 9.9 darge stellt. i( t ) = i 1 ( t ) + i

2

(t) .

416

Bild 9.9

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Zeitlicher Verlauf des Stromes i(t) nach Bild 2.35

Es wäre auch mög lich ge we sen, den ge samten Aus gleichs vorgang mit Hil fe der im puls för mi gen Span nung U ( t ) = U ×[s

0

(t) - s

( t- t

0

1

)]

di rekt zu be rech nen. Sie liegt im Bild be reich als Kor re spon denz Nr. 2 in der Ta bel le 2.2 vor.

Aufgabe 2.11 (S. 51) Mit Hil fe der Glei chung 2.10 läßt sich die Bild funk tion F(p) als Quo tient des Ge gen kopp lungs- zum Ein gangs-Netz werk be stim men. 1 ) pC r 1 Rn +Rr + pC r 1 R e ×( R g + ) pC e 1 Re+Rg+ pC e

R

F( p) =

U U

(p) = ( e p)

a

n

×( R

r

+

.

Nach dem Be sei ti gen der Dop pel brü che und dem Ein set zen von p=jw , er hält man den Fre quenz gang F( jw ) = - K mit

p

×

(1+ jw T

N

(1+ jw T

g

) [1 + j w ( T ) [1 + j w ( T

V

+T

g

)]

N

+T

k

)]

9.1 Auf ga ben

K p=

R R

n

417

TN = R r C

TV = R eC

r

T g = R gC

e

T k = R nC

e

r

e

und wie in Auf ga be 2.6 so fort:

| F( jw )| = K

p

×

[1 - w 2( T g T

N

+ T VT

[1 - w 2( T g T

N

+ T gT

2 2 2 N )] + w ( T g + T V+ T N ) 2 2 2 k )] + w ( T g + T k + T N )

.

Aufgabe 3.1 (S. 120) Die Rei hen schal tung von Re gel kreis glie dern ent spricht der Mul ti pli ka tion ih rer Über tra gungs funk tio nen. Da her folgt hier

F( p) = K

0

×

1+ p T pT

N N

+p2TNT (1+ p T 1 )

V

.

Die se ge bro che ne ra tio na le Funk tion in p läßt sich in drei Parti al brü che zerlegen. F( p) = K

0

×[

1 p

2

T

N

T

1

+ + pT

N

1 1+ p T

pT V ] . 1+ p T 1

+ 1

Mit a 1 =1/T 1 , a N =1/TN und a V =1/TV folgt F( p) = K

0

×[

a 1 ×a N a1 + p( p + a 1 ) p+a

=A

+ 1

a a

=B

1 V

×

p p+a

] 1

=C

Der Parti al bruch A läßt sich mit dem Fal tungs satz (Ta bel le 2.1, Nr. 7) lö sen, wenn man setzt:

F 1(p) = a

und

N

F

2

(p) =

a1 p+a

. 1

Oder man be nutzt die Kor re spon denz Nr. 9, Ta bel le 2.2 und er hält f

A

(t) = a

N

×t -

a N ( 1- e a1

-a1t

) .

418

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Der Parti al bruch B ist mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 6, Ta bel le 2.3 in den Zeit be reich rück transformierbar f

B

(t) = 1 - e

-a1t

.

Für den Parti al bruch C er hält man mit Kor re spon denz Nr. 5, Ta bel le 2.3 f

C

(t) =

a1 ×e a N

-a1t

.

So mit lau tet die Sprung ant wort der Rei hen schal tung aus PID-Reg ler und PT 1 -Glied

x

a

(t)= x

e

×K

0

×[1-

T1 T T t + - ( 1- 1 - V ) ×e TN TN TN T1

-t

T1

] .

Aufgabe 3.2 (S. 120) Die Über tra gungs funk tion die ser Rei hen schal tung läßt sich di rekt an ge ben mit F( p) = K

0

×

1+ p T N p T N ×(1 + p T

1

)

= K

0

×

a 1 p+a N × p p+a 1

mit a 1 =1/T 1 und a N =1/TN . Mit dem Fal tungs satz (Ta bel le 2.1, Nr. 7) läßt sich die Sprung ant wort er rech nen, wenn man setzt: F 1(p) = K

0

×a

und

1

F

2

(p) =

p+a N p+a 1

.

Ta bel le 2.2 Kor re spon denz Nr. 1 und Nr. 12 lie fern die bei den zu ge hö ri gen Ori gi nal funk tio nen

f

1

(t) =

K T

0 1

und

f

2

(t) =

T1 T + ( 1- 1 ) ×e TN TN

- t/T 1

.

9.1 Auf ga ben

419

Die bei den Ori gi nal funk tio nen wer den in das Fal tungs in te gral ein ge setzt und in te griert. Nach kur zer Rech nung er hält man die ge such te Sprungantwort

f(t)=

x

a

(t)

x

e

=K

0 ×[1-

T1 T t + - ( 1- 1 ) ×e TN TN TN

-

t T1

],

die in Bild 9.10 für T 1=T N /2 und K 0 =0,5 darge stellt ist. Es han delt sich demnach um ein Bei spiel für die Sprung ant wort ei nes rea len PI-Reg lers.

Bild 9.10

Sprungantwort eines PI-PT1-Gliedes

Aufgabe 3.3 (S. 135) Die sta ti sche Kenn li nie der Pa ra bel für po si ti ve und ne ga ti ve Ein gangs si gna le ist eine un ge ra de Funk tion, so daß für die Fou rier-Ko effi zien ten gilt a

1

= 0 ,

b

1

=

1 p

p

ò

o

x

a

( j ) × sin j × d j +

1 p

2p

ò

x

a

( j ) × sin j × d j .

o

Die Aus gangs grö ße nimmt bei der Pa ra bel fol gen de Wer te an (Bild 9.11).

420

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Bild 9.11

Statische Kennlinie einer Parabel

x

Mit x

= x

e

-x

e

2

für

x

2

für

x e <0

e

³0

=

a

Ù

e

x

e

× sin j folgt dann für die Be schrei bungs funk tion

Ù

N (x

e

) =

x x

(j ) b × sin j = Ù 1 e(j ) x e × sin j

a

.

Setzt man den Fou rier-Ko effi zien ten in die se Glei chung ein und in te griert, er hält man schließ lich die Be schrei bungs funk tion der Parabel Ù

Ù

N (x

e

) =

8 ×x e 3p

.

Aufgabe 3.4 (S. 136) Die Über tra gungs funk tion des PT1 -Glie des mit Kp =2 lau tet F( p ) = 2×

1 1+ p T

. 1

Geht man nach der Umformre gel Nr. 11, Ta bel le 3.5 vor, ent spricht die Über tra gungs funk tion ei ner Ge gen kopp lung der Grö ße pT 1 . Es ergibt sich so mit das fol gen de Block schaltbild (Bild 9.12).

9.1 Auf ga ben

Bild 9.12

421

Blockschaltbild eines umgeformten PT1-Gliedes

Aufgabe 3.5 (S. 136) Rech ne risch läßt sich aus dem Bild 9.13a die Über tra gungs funk tion des ge schlos se nen Krei ses wie folgt er mit teln.

x

a

1 pTi ( p ) = x e ( p )× 1 1+ pTi

.

Da mit lau tet die Über tra gungs funk tion F( p) =

x x

(p) 1 = 1+ p T i e(p)

a

und ent spricht der ei nes PT 1 -Glie des (verglei che mit Umformre gel Nr. 12, Ta bel le 3.5).

Bild 9.13

Blockschalbild eines I-Gliedes mit der Gegenkopplung Eins

422

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 3.6 (S. 136) Das Block schaltbild (Bild 9.14a) ent spricht dem ver ein fach ten An ker kreis ei nes fremd er reg ten Gleich strommo tors für F = konst. und Leer lauf.

Bild 9.14 Mit F

0

Umformung des Ankerkreises zu einem PT2-Glied (p) = K

F

w

0

×

(p) =

1 p T i×( 1 + p T n

M

(p)

U

A

=

1

)

folgt

F 0(p) = 1+ F 0 ( p )

1 1+ p

Ti +p K0

2

TiT 1 K0

.

Die Füh rungs-Über tra gungs funk tion F w (p) ent spricht hier ei nem PT 2 -Glied. Die ser Zu sammen hang läßt sich in glei cher Wei se auch mit der Umformre gel Nr. 12, Ta bel le 3.5 be stim men.

Aufgabe 4.1 (S. 152) Mit Hil fe von SIM LER-PC wird die ge ge be ne Strec ke mit ei nem P-Regler an die Sta bi li täts gren ze ge bracht. Es erge ben sich die not wen di gen Wer te K Rkrit=1,3333 und T Krit =2 p / w z = 1945s aus der er sten Si mu la tion. Da mit läßt sich die Reg ler-Ein stel lung nach Zieg ler und Ni chols vor neh men (siehe Tabelle 4.3). Die dar aus er rech ne ten PID-Reg ler-Pa ra me ter sind in der zwei ten Si mu la tion von Bild 9.15 rea li siert. Es ist deut lich zu se hen, daß der Stör sprung von Ast= -0.2 (20% des Soll wer tes w) am Ende der Strec ke (zS=z2) recht gut aus ge re gelt wird. SIM LER-PC lie fert in der Li ste der Ergeb nis se Op ti mal wer te für den Reg ler, die dann in der drit ten Si mula tion be nutzt wur den. Mit Hil fe der op ti malen Fahr kur ven wer te Tve_opt und The_opt kann das Füh rungs ver hal ten schließ lich op ti mal ein ge stellt werden.

9.1 Auf ga ben

Bild 9.15

Regler-Einstellung nach Ziegler/Nichols und SIMLER-PC

423

424

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 4.2 (S. 152) Aus der in Bild 9.16 darge stell ten Sprung ant wort der Strec ke mit Ausgleich las sen sich die Zeit kon stan ten Tg » 0,546 s und Tu » 0,123 s gra phisch er mit teln. Die dar aus er rech ne ten Pa ra me ter für ei nen PID-Reg ler mit ape ri odisch ver lau fen der Füh rungs sprung ant wort nach Ta bel le 4.1 sind in der 1. Si mu la tion des Bildes 8.17 rea li siert. Die Sprung ant wort schwingt un er wünscht über. Nach zwei Si mu la tio nen fin det man mit Hil fe der Ergeb nis-Li ste die op ti ma len Reg ler pa ra me ter. Die se füh ren auf den ge wünsch ten ape ri odi schen Ver lauf. Der Wert der Übergangs funk tion f w (t ® ¥) ist iden tisch mit dem der Führungs über tra gungs funk tion Fw (p ® 0) (nach Glei chung 2.45). Für die vor lie gen de x(p ® 0) x(t ® ¥ ) Re ge lung ergibt sich Fw (p ® 0) = º f w (t ® ¥ ) = = 1. w w

Bild 9.16

Bestimmen der Zeitkonstanten Tg und Tu

9.1 Auf ga ben

Bild 9.17

Regler-Einstellung nach Chien/Hrones/Reswick und SIMLER-PC

425

426

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 5.1 (S. 194) Das Block schaltbild der Tempe ra tur re ge lung mit tels Wär me tau scher ist in Bild 9.18, das zu ge hö ri ge Bode-Dia gramm in Bild 9.19 dargestellt.

Bild 9.18

Blockschaltbild der Temperaturregelung mit Wärmetauscher

Zu nächst wird der Ab szis sen an fang w A ent spre chend Glei chung 5.10 fest ge legt. Er liegt hier bei dem Wert w A » 0,1 × w i = 1 Hz . An schlie ßend zeich net man die asymp to ti sche Nä he rung des Fre quenz gang be tra ges und des Pha sen win kels der je wei li gen Re gel kreis glie der und ad diert die se. Es ergibt sich dann bei der Durchtritts fre quenz w D » 100 Hz ein Pha sen rand von a R » 24° , so daß die Re ge lung sta bil ist. Der Ampli tu den rand beträgt A R » 44 dB =$ 158,49 . Nach dem Schnitt punkt kri te ri um (Glei chung 5.9) ergibt sich aus der Über tra guns funk tion des offe nen Re gel krei ses F

0

(p) = K

0

×

1+ p T p

2

T

N

N

,

T i(1+ p T

1

)

daß kei ne Null stel le des Nen ner po ly noms in der rech ten p-Halb ebe ne vor liegt, also n r =0 ist. Es liegt je doch eine zweifa che Null stel le bei p=0 vor, also n i = 2 . Da mit lau tet die Bedin gung für die Sta bi li tät S p - S n = 0,5 . Die se ist er füllt, wie aus dem Bild 9.19 zu er se hen, denn es ergibt sich für den Be reich | F 0 | > 0 dB nur ein hal ber po si ti ver Schnitt punkt bei j 0 = - 180° .

Aufgabe 5.2 (S. 194) In diesem Bode-Dia gramm (Bild 9.20) liegt der Ab szis sen an fang liegt bei w A » 0,1 × w E1 = 1 Hz . Bei ei ner Durch tritts fre quenz von w D » 65 Hz ergibt sich ein Pha sen rand von a R < 0° , so daß die Re ge lung in sta bil ist. Der in die ser Auf ga be ge for der te Pha sen rand von a R * = 45° läßt sich rea li sie ren, wenn die Reg ler ver stär kung um den Wert DK 0 = 32 dB re du ziert wird. Mit Hilfe der Gleichung 5.11 folgt dann: KR* KR DK 0 = = 35 - 32 = 3 dB dB dB

bzw.

KR* =

KR 56,23 = » 1,41 DK 0 39,81

9.1 Auf ga ben

Bild 9.19

Bode-Diagramm der Temperaturregelung mit Wärmetauscher

427

428

Bild 9.20

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Bode-Diagramm der Regelung eines Roboter-Freiheitsgrades

9.1 Auf ga ben

429

Aufgabe 5.3 (S. 195) Das Bode-Dia gramm (Bild 9.21) ergibt eine sta bi le Re ge lung mit a R » 56,5° bei ei ner Durchtritts fre quenz von w D » 4,6 Hz . Zur Ver bes se rung der Re gel dy na mik muß DK 0 rechts von w D ab ge tra gen wer den. Der neue Graph von |F| 0 wird dann an der Stel le w D * » 8,3 Hz die Ab szis se schnei den und ei nen ähn lich gu ten Pha sen rand von a R * » 51° erge ben. Die zu ge hö ri ge Reg ler ver stär kung er rech net sich dann zu: , K R * = K R × DK 0 = 1,778 ×1,778 » 3162 mit DK 0 = 10

DK0 /dB 20

= 1,778

Die kri ti sche Ver stär kung ergibt: K Rkrit = K R × A R = 1,778 ×10 » 17,78

mit A R = 10

AR /dB 20

bei

w z » 51 Hz

= 10

Aufgabe 5.4 (S. 196) Die Ergeb nis se sind in Bild 9.22 darge stellt. Mit Hil fe von SIM LER-PC er hält man in der er sten Si mu la tion bei un be grenz tem Reg ler ei nen sta bi len Re gel kreis mit ei nem Ma xi mum von a R » 46,3° . Eine un be grenzt wir ken de Stell grö ße y ist je doch tech nisch nicht rea li sier bar, da her wird die Stell grö ße auf x s=1,5 be grenzt. Die ser Wert ent spricht 150% des ma xi mal mög li chen Soll wer tes. Da mit re du ziert sich der Pha sen rand auf a R » 25,84° bei ei ner eben falls re du zier ten Durchtritts fre quenz von w D » 0,49 Hz (zweite Si mu la tion). In der drit ten Si mu la tion wur de eine Inte gra tions zeit kon stan te durch die Vor halt zeit T V des Reg lers kompen siert. Auf die se Wei se läßt sich der Pha sen rand er hö hen und liegt nun bei a R » 45,12° .

430

Bild 9.21

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Regelung einer PT1-PT2-I-Strecke mit begrenztem PID-Regler

9.1 Auf ga ben

Bild 9.22

Rollwinkel-Regelung eines Flugzeuges

431

432

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 5.5 (S. 210) Aus der Ta bel le 3.1 kön nen die Fre quenz gang glei chun gen der ein zel nen Regel kreis glie der ent nommen wer den. Die se las sen sich zum Fre quenz gang F 0 des offe nen Re gel krei ses nach Glei chung 5.15 zusammenfassen.

F

0

= K

0

×[

(wT 1-wT

) sin w Tt - ( w

V

1+w

+ j×

(wT 1-wT

V

2

T

2 1

T

) cos w T t + ( w 2

1+ w

T

T

1

V

+ 1 ) cos w T t

2 2

1

T

1

T

V

+

+ 1 ) sin w T t

2

] .

Der Glei chungs satz 5.16 lie fert dann: Im F

®

= 0

0

w

z

Es ge nügt, den Zäh ler des Imagi när teils von F 0 Null zu set zen, so daß sich eine tran szen den te Be stim mungs glei chung für w z ergibt 0 =

w w

×( T 1 - T

z

2

z

T

1

T

V

)

+ tan

+ 1

V

180° × w p

z

Tt

.

Da mit er hält man die kri ti sche Frequenz von w z » 3080 Hz /67/. Mit die sem Wert geht man in den Glei chungs satz 5.16 und er mit telt den Real teil von F 0 .

Re [ F

0

(w

z

)] = K

-K

0

0

×

×

w

(w

(T 1-T

z

2

z

2

1+ w

z

T

V

1

) sin w

V

T

1+ w

T

1

z

Tt

2

+ 1 ) cos w

z

2

T

1

2

z

Tt

= 0,5 .

So mit ist die Re ge lung sta bil und es ergibt sich ein Ampli tu den rand von A

R

=

1 Re [ F

0

(w

z

)]

= 2 .

Eben falls mit dem Glei chungs satz 5.16 be rech net man die Durchtritts fre quenz. |F

0

| = 1

®

w

D

9.1 Auf ga ben

433

Man ent nimmt zu nächst aus der Ta bel le 3.1 die Glei chun gen der ein zel nen Fre quenz gang be trä ge und er hält sofort

|F

0

| = K0 ×

1+ w

D

1+ w

D

2

T

V

2

T

1

2

= 1 .

2

Aus die ser Be stimmungs glei chung läßt sich die Durchtritts fre quenz ex pli zi te angeben K

wD =

T

1

2

- K

Der Ge samt pha sen win kel j die ses Re gel krei ses a

R

= j

0

(w

D

2

0

-1

0

2

T

V

2

= 114,89 Hz .

an der Stel le w

0

) + 180° = j

R

(w

D

)+j

D

S

lie fert die Pha sen re ser ve

(w

D

) + 180°

» 118,3° .

Mit den ge ge be nen Pa ra me tern er hält man die in Bild 9.23 gezeich ne te Orts kur ve. Es ist der qua li ta ti ve und ex ak te Ver lauf darge stellt. Wie aus dem Bild 9.23b zu er se hen ist, kann die Pha sen re ser ve und der Ampli tu den rand auch graphisch ermittelt werden. Der Be ginn der Orts kur ve bei w = 0 ist aus dem Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses leicht zu ent neh men und wird in der Gra fik Bild 9.23a be stä tigt. Es gilt F

0

(w=0) = -K

0

+ j0 .

Da die Re ge lung ein Tot zeit glied ent hält, muß der Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses für gro ße Wer te von w in eine Spi ra le oder ei nen Kreis um Null übergehen.

434

Bild 9.23

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Ortskurven der Regelung aus PD-Regler und PT1-PTt-Strecke

9.1 Auf ga ben

435

Aufgabe 5.6 (S. 210) Aus der Ta bel le 3.1 las sen sich die Fre quenz gang glei chun gen des PID-Reg lers und der PT1-Strec ke ent neh men. Ent spre chend Glei chung 5.15 mit ein an der mul ti pli ziert er hält man den Frequenzgang

F

0

=

K 1+ w

0

2

T

2

1

×[

T1 -w TN

2

T

T

1

-1 + j( w T 1 - w T

V

V

+

1 wT

)] N

des offe nen Re gel krei ses. Der Glei chungs satz 5.16 lie fert: Im F

0 = w

®

= 0

0

z

(T 1-T

V

w

z

1 wz T

) -

. N

Wie aus dem qua li ta ti ven Ver lauf der Orts kur ve (Bild 9.24a) sicht bar ist, kommt nur die Lö sung w z = ¥ in Fra ge. Mit die sem Wert geht man in den Glei chungss atz 5.16 und er mit telt den Wert des Real teils von F 0 . Re [ F

0

(w

z

)] = - K

TV T1

×

0

= - 0,8 .

Eben falls mit Glei chungs satz 5.16 wird die Durch tritts fre quenz be rech net. |F

0

| = 1

®

w

D

.

Man ent nimmt zu nächst aus der Ta bel le 3.1 die Glei chun gen der ein zel nen Fre quenz gang be trä ge und er hält damit 1+ (w 1 = K

0

2

×

D

T

-

V

1+ w

D

2

w

1 D T

T

1

)

2

N

.

2

Es ent steht eine Glei chung 4. Gra des, für die sich eine Durch tritts fre quenz von w D = 149,49 Hz ergibt. Da mit er hält man ent spre chend dem Glei chungs satz 5.16 für den Phasenrand a

R

= j

0

(w

D

) + 180° = j

R

(w

D

)+j

S

(w

D

) + 180°

» 146,1° .

436

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Demnach ist die Re ge lung sta bil. Für den Be ginn der Orts kur ve F er hält man F

0

(w=0) = K

0

×(

0

bei w = 0

T1 - 1) . TN

Aus Bild 9.24a ist auch zu er se hen, wie eine Orts kur ve für T V >T 1 ver läuft. Es gibt in die sem Fall kei nen Schnitt punkt mit dem Ein heits kreis, so daß sich auch kein Wert für w D an ge ben läßt.

Bild 9.24

Ortskurven der Regelung aus PID-Regler und PT1-Strecke

9.1 Auf ga ben

437

Aufgabe 5.7 (S. 210) Aus der Ta bel le 3.1 ergibt sich mit dem PD-Reg ler und der PT 1 -I 2-Strec ke durch Mul ti pli ka tion der Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses

F

0

= -F

×F

R

S

= K

×

0

1+ w

2

T

w

2

1

T

Ti

V 2

+ j( w T (1+ w

2

T

V 1

-wT 2

1

)

.

)

Mit Hil fe des Glei chungs sat zes 5.16 er hält man die Be stimmungs glei chung für die kri ti sche Fre quenz w z . Im F 0 =

®

= 0

0

w w

2

z

z 2

Ti

(T +w

V z

w

z

1

)

T

1

-T 4

,

2

Ti

®

2

w

z

=¥ .

Bei die ser Re ge lung liegt ein Dop pel pol im Ur sprung vor. Es ist da her an ge bracht die Sta bi li tät mit dem voll stän di gen Ny quist-Kri te ri um zu über prüfen. Man könn te nämlich fälsch li cher wei se an neh men, daß der Regelkreis wegen Re [ F

0

(w

z

)] = 0

sta bil sei. Es zeigt sich je doch, wenn man den Phasen rand be rech net, daß dies nicht der Fall ist. Mit |F

0

®

| = 1

w

D

ergibt sich

1 = K

0

2

×

1+ w w

4

Ti

4

D

2

T

(1+ w

D

V 2

2

T

1

2

. )

Die se Glei chung führt auf die Durch tritts fre quenz von w läßt sich für den Pha sen rand a

R

= j

0

(w

D

) + 180° = j

R

(w

D

)+j

S

(w

D

D

= 29,725 Hz . So mit

) + 180°

an ge ben (sie he Bild 9.25b). Die Re ge lung ist also in sta bil.

» - 19,5°

438

Bild 9.25

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Ortskurven der Regelung aus PD-Regler und PT1-I2-Strecke

Das voll stän di ge Ny quist-Kri te ri um (Glei chung 5.13) lie fert mit n r = 0 und n i = 2 , die sich aus dem quali ta ti ven Ver lauf der Orts kur ve (Bild 9.25a) er se hen las sen, die Sta bi li täts be din gung Dj (w) = p . Die se Be din gung ist nicht er füllt, da sich aus der Gra phik eine Win kel än de rung von D j ( w ) = - p ergibt. So mit be stä tigt das voll stän di ge Ny quist-Kri te ri um, daß die Re ge lung in sta bil ist. Sie wird erst sta bil, wenn man für die Vor halt zeit des Reg lers den Wert T V >T 1 wählt (sie he Bild 9.25a).

9.1 Auf ga ben

439

Aufgabe 5.8 (S. 210) Aus der Ta bel le 3.1 ergibt sich mit dem PI-Regler und der I-PTt-Strecke durch Mul ti pli ka tion der Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses F

0

K0 cos w T t sin w T t [ sin w T t + + j ( cos w T t )] . wTi wT N wT N

=

Mit Hil fe des Glei chungs sat zes 5.16 er folgt auch hier die Be rech nung der Sta bi li täts aus sa ge Im F

®

= 0

0

0 = w zT

N

- tan w

w z

,

z

Tt .

Die se tran szen den te Glei chung ergibt w teil von F 0 Re [ F

0

(w

z

) ] = 0,65

=

z

» 155 Hz . So mit folgt für den Real -

1 A R

.

Die Re ge lung ist dem nach sta bil und es liegt eine Am pli tu den re ser ve von A R » 1,55 vor. Mit |F

0

®

| = 1

w

D

ergibt sich 1+ 1 = K

0

2

×

1 w

w

D 2 D

2

T

Ti

N 2

2

.

So mit er hält man eine Durch tritts fre quenz von w eine Pha sen re ser ve von a

R

= j

0

(w

D

) + 180° = j

R

(w

D

)+j

S

D

» 100 Hz . Die se ergibt

(w

D

) + 180°

» 30,4° .

Die se Ergeb nis se wer den auch in der Gra phik (Bild 9.26) be stä tigt. Soll die Pha sen re ser ve er höht wer den, ge nügt es, die Reg ler ver stär kung aus der Ergeb nis-Li ste der er sten Si mu la tion K R =45,58 für den zwei ten Rech ner lauf zu ver wen den. Da bei er höht sich auch der Ampli tu den rand auf A R » 3,44 bei gleich zei tig abnehmender Durchtrittsfrequenz.

440

Bild 9.26

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Simulation der Ortskurven nach Aufgabe 5.8

9.1 Auf ga ben

441

Aufgabe 5.9 (S. 223) Aus der Ta bel le 3.1 ent nimmt man die Fre quenz gang be trag-Glei chun gen für den PID-Reg ler so wie die PT1 -PTt-Strec ke und er hält mit Hil fe der For mel 5.18 eine Be stim mungs glei chung für w D K

R

2

×[1 + ( w

D

T

V

-

1 wDT

)

2

1+w

] =

2

D

K

N

T

1

2

.

S

Mit Hil fe ei nes Null stel len pro gramms ergibt sich eine Durchtritts fre quenz von w D » 30,152 Hz . Aus ge hend von den kom ple xen Gleichungen F

R

= K

R

×[1 + j ( w T

V

-

1 wT

)] , N

-1 1 = × [ w T 1 sin w T t - cos w T t - j ( w T 1 cos w T t + sin w T t ) ] FS K S läßt sich ent spre chend Glei chung 5.19 der Pha sen rand a

R

= arctan ( w

D

T V-

1 wDT

) N

- w D T 1 cos w D T t - sin w D T t w D T 1 sin w D T t - cos w D T t

- arctan = - 31,09°

- ( 84,76° - 180° ) = 64,15°

an ge ben. Die Re ge lung ist dem nach sta bil. Mit Hil fe der Glei chung 5.20 läßt sich w z be stim men. Es folgt mit w

z

T

V

-

w

1 z T

= N

w z T 1 cos w w z T 1 sin w

z z

T t + sin w z T t T t - cos w z T t

eine kri ti sche Fre quenz von w z » 190,57 Hz . Jetzt las sen sich mit Hil fe der Glei chung 5.21 die Real- und Imagi när tei le an der Stel le w z er rech nen, die eben falls zur Sta bi li täts auss sa ge her an ge zo gen werden können.

oder

Re [ F

R

(w

z

) ] = 10

<

Re [

-1 ]( w FS

Im [ F

R

(w

z

) ] = 2,76

<

Im [

-1 ]( w FS

z

z

,

) = 29,455 ) = 8,133

.

442

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Die Glei chung 5.22 lie fert den Ampli tu den rand, der den Wert A

R

= Re [

-1/ F S ]( w FR

z

) = 2,946

an nimmt und den Ver stär kungs ab stand bis zum Er rei chen der Sta bi li täts gren ze an gibt. Setzt man die komple xen Glei chun gen F R und - 1 / F S an der Stel le w z gleich, läßt sich die kri ti sche Ver stär kung K Rkrit angeben

K Rkrit =

1 × KS

1+ w 1+ (w

z

T

z

2

V-

T

1

2

1 wz T

)

2

= 29,46

.

N

Die er mit tel ten Ergeb nis se sind auch aus der Gra fik (Bild 9.27) zu er se hen. Dort ist auch die Ort skur ve des Reg lers für KR =K Rkrit darge stellt.

Bild 9.27

Ortskurven der Regelung aus PID-Regler und PT1-PTt-Strecke

9.1 Auf ga ben

443

Aufgabe 5.10 (S. 223) Aus der Ta bel le 3.1 ent nimmt man die Fre quenz gang be trag-Glei chun gen für den PD-Reg ler so wie die PTt-I2 -Strec ke und er hält mit Hil fe der For mel 5.18 eine Be stim mungs glei chung für w D K

R

2

(1+ w

D

2

T

2

V

) = K

S

2

×w

D

4

Ti

4

.

Die se Glei chung vier ten Gra des läßt sich als ge mischt qua dra ti sche Glei chung ex pli zi te lö sen und ergibt ei nen Wert von w D = 60,099 Hz . Da mit er hält man ent spre chend Glei chung 5.19 ei nen Pha sen rand von a

= arctan w

R

D

T

V

-

180° × w p

D

Tt

= 8,46°

,

so daß die Re ge lung ge ra de noch sta bil ist. Aus ge hend von den kom ple xen Glei chun gen F

= K

R

R

×( 1 + jw T

w 2 Ti -1 = FS K S

2

V

) ,

× ( cos w T t + j sin w T t )

läßt sich die kri ti sche Fre quenz w z mit Hil fe der Glei chung 5.20 be stim men. Es folgt die tran szen den te Glei chung w

z

T

V

wel che den Wert w be rech net werden A

R

= tan w z

z

Tt ,

» 204,366 Hz ergibt. Da mit kann die Ampli tu den re ser ve

= Re [

-1/ F S ] ( w z ) = 6,7 . FR

Die er rech ne ten Wer te sind in die Grafik einge tra gen (Bild 9.28).

444

Bild 9.28

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Ortskurven der Regelung aus PD-Regler und PTt-I2-Strecke

Aufgabe 5.11 (S. 223) Die Ort skur ve der Nicht li nea ri tät “Si gnal be gren zung” ist mit Hil fe der Glei^

chung 3.45 dar stell bar. Für x Ù

N (x

e

) =

e

= 10 V und x s / V erhält man

xs 1 × arcsin + 90 10 V

2×xs xs × 1 - ( ) p × 10 V 10 V

2

.

Für die Zu sam men fas sung der Fre quenz gän ge aus PD-Reg ler und PT 2 -I-Strekke ergibt sich der Ge samt fre quenz gang -1 1 = F0 F R ×F

= S

9.1 Auf ga ben

=

445

wT i( w 2 T

2

T

V

- wT

V

+ 2d w T K

0

2

) + jw T i ( w 2 T

×( 1 + w Ù

Die zu ge hö ri gen Orts kur ven für N ( x stellt. Die kri ti sche Frequenz w 1 = 0 F0

Im

z

e

2

T

V

2

2

2

- 2d w 2 T

2

T

V

-1 )

.

)

) und 1 / F

0

sind in Bild 9.29 darge -

läßt sich mit

®

w

z

T

2

ex pli zi te an ge ben. Es wird 0 = w

z

2

T

2

2

- 2d w

z

2

T

V

- 1 ,

so daß w

z

1

= T

2

2

- 2d T

2

T

» 5,025 Hz . V

Mit die ser Fre quenz führt der Re gel kreis für K 0=8 Dau er schwin gun gen aus, wie aus dem Bild 9.30 im Zeit be reich er sicht lich ist. Die Zei ger Ù

N (x

e

) und

1/ F

0

sind an der Stel le w

z

gleich groß, so daß sich dar aus

der Wert der Si gnal be gren zung x s berechnen läßt ^

Re N ( x

Bild 9.29

e

) = Re [

1 ]( w F0

z

) » 0,631 .

Ortskurven der Reglung aus PD-Regler mit x s und PT2-I-Strecke

446

Bild 9.30

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Simulationen im Zeitbereich mit K0=8 und K0*=4

9.1 Auf ga ben

447

Dar aus ergibt sich die Be stim mungs glei chung für x s xs 2×xs xs 1 × arcsin × 1 - ( + ) p × 10 V 90 10 V 10 V

2

» 0,631 .

So mit folgt x s » 5,2 V . Im Pro gramm SIM LER-PC ist die ser Wert als Regler-Be gren zung ein stell bar. Er muß auf 10V be zo gen ein ge ge ben wer den, also x s » 0,52 (sie he Bild 9.30). Ù

Bei K 0 *=4 er hält man kei nen Schnitt punkt zwi schen den Orts kur ven N ( x

e

und 1 / F 0 , so mit ist die Re ge lung sta bil. Dies läßt sich auch aus der zwei ten Si mu la tion des Bil des 8.30 ersehen.

Aufgabe 5.12 (S. 232) Mit der Einheits sprungfunk tion als Soll wert, also w ( t ) = C × s die Re gel diffe renz im Bild bereich x

d

0

( t ) , lau tet

( p ) = C - x( p ) .

Aus der Füh rungs über tra gungs funk tion (Glei chung 2.45) läßt sich x(p) be rech nen x( p ) =

F 0(p) ×C . 1+ F 0 ( p )

So mit er hält man für die Re gel diffe renz im Bild bereich F 0(p) ] . 1+ F 0 ( p )

d

( p ) = C ×[1 -

x

d

K 0 (1+ p T N ) ( N 1+ p T 1 )(1+ p T 2 ) ] , ( p ) = C ×[1 K 0 (1+ p T N ) 1 + p T N (1+ p T 1 )(1+ p T 2 )

x

d

( p) = C×

x

Und wei ter pT

pT

N

p T N (1+ p T 1 )(1+ p T 2 ) ( 1+ p T 1 ) ( 1+ p T 2 ) + K 0 ( 1+ p T

Dar aus erg ibt sich mit Glei chung 5.25 die li nea re Re gel flä che

N

)

.

)

448

I

L

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

= C × lim [ 0 p® 0

I

L

= -

pT

T N (1+ p T 1 )(1+ p T (1+ p T 1 )(1+ p T 2 ) + K

N

C×T N K R ×K S

) 0 (1+ p T

2

N

)

] ,

= Min. .

Das ab so lu te Mi ni mum der li nea ren Re gel flä che wür de sich bei K R ® ¥ erge ben. Geht man je doch von ei ner Dämpfung des Sy stems d=1 aus und setzt d =

T 2T

1

,

1+ K

2

0

er hält man aus die ser For mel ei nen rea li sier ba ren Wert der Reg ler ver stär kung K

R

=

T1 2 1 ×( - 1) , K S 4T 2 2

der eine li nea re Re gel flä che von

I

L

=

4C T 4T

2

2

2

2

T

- T

1

N 2

ergibt.

Aufgabe 5.13 (S. 232) Setzt man für die Stör funk tion die Ein heits sprung funk tion mit der Ampli tu de C an, gilt z(p)=C . Die Glei chung 2.46 der Stör über tra gungs funk tion liefert dann x( p ) = C×

1 1+ F

0

(p)

1

= C×

K

1 +

, S

p T i(1+ p T x( p ) = C×

pTi + 2p K

S

2

TiT

+ pTi + 2p

2

1

3

+ p

TiT

1

TiT

+ p

3

1

1

)

2

2

TiT

1

2

.

9.1 Auf ga ben

449

Da die Re gel diffe renz hier den Wert x d(p)=-x(p) auf weist, läßt sich der Wert x d ( ¥ ) mit Hil fe des Grenzwert sat zes (Ta bel le 2.1) be rech nen x

( ¥ ) = lim x

d

p® 0

d

( p ) = - lim x ( p ) = 0 . p® 0

Das In te gral der qua dra ti schen Re gel flä che (Glei chung 5.28) läßt sich mit der Ta bel le 5.3 lö sen. Die höch ste Po tenz der Bild funk tion x(p) ist drei, so daß sich für n=3 fol gen de Ko effi zien ten ergeben. a

0

=0 ,

b

a

1

=b

1

a

2

=b

2

=2TiT

a

3

=b

3

= TiT

I

Q

=

0

=K

S

,

=Ti , 1 2

1

, .

So mit ist 5C 2 T i 2T 1(2Ti - K

S

T

1

= Min.

)

.

Die se Glei chung stellt für T i = 0 ein Mi ni mum dar. Die ser Wert ist si cher nicht sinn voll. Eine bes se re Aus sa ge über die In te gra tions zeit kon stan te des I-Reg lers er hält man über das Differ en ti al von I Q dI

Q

dT

1

= 0 = T i( T i - K

S

T

1

Dar aus folgt der ver bes ser te Wert T i = K

) .

S

T1.

Aufgabe 5.14 (S. 232) Setzt man für die Stör funk tion die Ein heits sprung funk tion mit der Ampli tu de C an, gilt z(p)=C . Die Glei chung 2.46 der Stör über tra gungs funk tion liefert dann x( p ) = C×

1 1+ F

0(p)

= C× 1 +

K pT

1 ( 0 1+ p T

N

)

(1+ p T

1

)

N

, 2

450

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

x( p ) = C×

pT K

0

+pT

+ 2p

N N

(1+ K

2 0

T

T

N

)+2p

1 2

+ p T

N

3

T

T 1

N

+p

T 3

1

2

T

N

T

1

2

. Da die Re gel diffe renz hier den Wert x d(p)=-x(p) aufweist, läßt sich der Wert x d ( ¥ ) mit Hil fe des Grenzwert sat zes (Ta bel le 2.1) be rech nen x

( ¥ ) = lim x

d

( p ) = - lim x ( p ) = 0 .

d

p® 0

p® 0

Das In te gral der qua dra ti schen Re gel flä che (Glei chung 5.28) läßt sich mit der Ta bel le 5.3 lö sen. Die höch ste Po tenz der Bild funk tion x(p) ist drei, so daß sich für n=3 fol gen de Ko effi zien ten ergeben. a

0

=0 ,

a

1

=T

N

a

2

=b

2

=2T

a

3

=b

3

=T

I

Q

=

,

0

b

1

T

N

T

N

b

1

1 2

=K =T

0 N

, (1+ K

0

) ,

, .

So mit ist C 2 T N (5+ 4K 0 ) 2T 1(2T N + 2K 0 T N - K

0

T

1

)

= Min.

.

Mit dI dK

Q

= 0 = T

N

(4T

1

T N - 10 T

1

2

)

0

er hält man hier eine gute Ein stell for mel für die Nachstell zeit T N . Dar aus folgt T

N

=

5T 2

1

.

Aufgabe 5.15 (S.232) Setzt man für die Stör funk tion die Ein heits sprung funk tion mit der Ampli tu de C an, gilt z(p)=C . Die Stör über tra gungs funk tion für das An grei fen der Stö rung zwi schen Reg ler und Strec ke lie fert dann

9.1 Auf ga ben

451

x( p ) = C×

x( p )= C×

F S(p) 1+ F 0 ( p )

,

p K ST K 0+ p T

N

( 1+ K

0

) + 3 p 2 T 1T

N N+ 3

p2T

2 1 T N+

3 1 T N

p4 T

.

Da die Re gel diffe renz hier den Wert x d(p)=-x(p) auf weist, läßt sich der Wert x d ( ¥ ) mit Hil fe des Grenzwert sat zes (Ta bel le 2.1) be rech nen x

( ¥ ) = lim x

d

p® 0

d

( p ) = - lim x ( p ) = 0 . p® 0

Das In te gral der qua dra ti schen Re gel flä che (Glei chung 5.28) läßt sich mit der Ta bel le 5.3 lö sen. Die höch ste Po tenz der Bild funk tion x(p) ist vier, so daß sich für n=4 schließ lich ergibt

I

3C

=

Q

18 T

1

T

N

3

(1+ K

0

2

) - 18 K

K 0

2

S

T

1

2

T T

N

3

N

2

-2T

1

T

N

3

(1+ K

0

)

.

Mit

dI

Q

dT

1

= 0

er hält man eine ge mischt qua dra ti sche Glei chung für K R .

K

R

7 T N - 18 T 1 ×[ K S 2T N

=

1

±

(

7T

N - 18 T 2T N

1

)

2

+ 8 ] .

Trägt man die se über dem Quotien ten T N /T 1 auf (Bild 9.31), ergibt sich bei T

N

= 2,5714 × T

1

ein Ma xi mum der Regler ver stär kung mit dem Wert K R =2,828 . Dies gilt für eine Strec kenverstärkung von K S =1 .

2

452

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Bild 9.31

Verlauf der Reglerverstärkung als Funktion von TN / T1

Aufgabe 5.16 (S. 240) Die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses lautet F

0

(p) = K

0

×

pT

N

1+ p T N ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T

12

)

.

Da T 11 > > T 12 ist, läßt sich F 0 ( p ) mit Hil fe der Umformre gel Nr. 14, Ta bel le 3.5 auf die Form der Glei chung 5.30 brin gen. F

0

(p) » K

0

×

1+ p T p

2

T

11

T

N

N

(1+ p T

. 12

)

Die Glei chung 5.31 lie fert durch Ko effi zien ten vergleich T für a R = 55° eine Nach stell zeit von T

N

= m

2

×T

12

b

=T

12

, so daß

= 100,59 ms

er mit telt wird. Die Glei chung 5.32 er bringt damit eine Durchtritts fre quenz von

9.1 Auf ga ben

w

453

=

D

1 mT

1 mT

= b

= 31,53 Hz . 12

Die Reg ler ver stär kung läßt sich mit Hil fe der Glei chung 5.33 an ge ben K

R

=

Ta mK S T

= b

T 11 mK S T

= 19,97

.

12

Zum Schluß ist die Rand be din gung w D T 11 > > 1 der hier be nutz ten Umformre gel Nr. 14 zu prü fen. Es ergibt sich w D T 11 = 59,907 , so daß die se Umfor mung er laubt ist.

Aufgabe 5.17 (S. 240) Die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses lau tet für TN >T V

F

0

(p) »

pT

N

K 0 (1+ p T N )(1+ p T V ) ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T 12 ) ( 1 + p T 13 ) ( 1 + p T

14

)

.

Da T 11 >>T 12 ,T 13 ,T 14 ist, kann die Umformre geln Nr. 14 Ta bel le 3.5 zur Bil dung ei nes I-Glie des an ge wen det wer den, so folgt:

F

0

(p) »

K

0

(1+ p T

2

p TN T11( 1 + p T

N

)(1+ p T

)(1+ p T

12

13

V

)

)(1+ p T

14

)

Lö sung A: Wählt man T V =T 12 =0,1s , läßt sich ein Ver zö ge rungs glied mit dem Term (1+pT V ) kür zen. Mit Um formre geln Nr. 13 Ta bel le 3.5 ergibt sich dann für T K =T 13 +T 14 =0,02s F

0

(p) » K

0

×

1+ p T p

2

T

11

T

N

N

(1+ p T

. K

)

Die Glei chungssatz 5.31 - 5.34 lie fert durch Ko effi zien ten vergleich die ge such ten Pa ra me ter. T

N

= m

2

×T

K

= 0,279 s

454

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

w

K

=

D

R

=

1 mT

= 13,397 Hz . K

T 11 mK S T

= 3,148

.

K

Die bei den zu über prü fen den Rand be din gun gen T N >T V und w D T11 > > 1 sind er füllt. Wei te re Lö sun gen erge ben sich für T V =T 13 so wie T V =T K =T 13 +T14 . Die Si mula tion entsprechend Lö sung A mit der tat säch li chen PT 4-Strec ke und dem PID-Regler ist in Bild 9.32 darge stellt. Da bei zeigt sich, daß die ge forder te Pha sen re ser ve von a R = 60° so gar noch über schrit ten wird. Die Durch tritts fre quenz, die ein Maß für die Dy na mik der Reg lung dar stellt, liegt in der er rech ne ten Grö ßen ord nung. Der Ver lauf der Sprung ant wort geht für eine An trieb re ge lung si cher in Ord nung. Die kri ti sche Reg ler ver stär kung ist er reicht, wenn die Pha sen re ser ve a R = 0° ist. Dann wird m=1, so daß gilt: K Rkrit =

K

T

11

S

T

= 11,75 . K

Aufgabe 5.18 (S. 240) Die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses lautet F

0

(p) = K

0

×

1+ p T p 2 TN Ti ( 1 + p T

11

N

)(1+ p T

12

)

×e

-p Tt

.

Die se Re ge lung läßt sich nur auf die Glei chung 5.30 des Symmetri schen Op ti mums re du zie ren, wenn die Tot zeit mit Kor re spon denz Nr. 15, Ta bel le 3.5 als PT 1 -Glied dargestellt wird. Bil det man au ßer dem mit der Kor re spon denz Nr. 13, Ta bel le 3.5 die Sum me der klei nen Zeit kon stan ten, ergibt sich ein Er satz glied mit PT 1-Ver hal ten und der Er satz zeit kon stan ten TK = T11 + T12 + T t = 1,175 s . Schließ lich er hält man die ge wünsch te Über tra gungs funk tion F

0

(p) » K

0

×

1+ p T p

2

T

N

N

T i(1+ p T

. K

)

Durch Ko effi zien ten vergleich las sen sich mit Hil fe der Glei chun gen 5.31 bis 5.34 die Reg lerpa ra me ter so wie die Durch tritts fre quenz an ge ben.

9.1 Auf ga ben

Bild 9.32

Simulation der Sprungantwort mit PID-Regler und PT4-Strecke

455

456

Bild 9.33

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Simulationen der Original-Regelung und der reduzierten Regelung

9.1 Auf ga ben

457

T

N

= m

w

D

=

K

R

=

2

1 mT

T

= 8,87 s ,

K

= 0,31 Hz , K

Ti mK S T

= 0,909

.

K

Die Rand be din gung der hier be nutz ten Kor re spon denz Nr. 15, Tab. 3.5 ist er füllt, denn es ergibt sich w D T t = 0,008 < < 1 . Die Si mu la tio nen der Ori gi nal-Re ge lung und der auf Glei chung 5.30 re du zier ten Re ge lung sind in Bild 9.33 darge stellt. Es ist eine sehr gute Über ein stimmung bei der Gra phen zu er ken nen. Auch be züg lich der Durch tritts fre quenz und der Pha sen re ser ve ist die Über ein stim mung sehr gut. Es ist demnach so wohl eine Tot zeit nä he rungs wei se als PT 1 -Glied dar stell bar, als auch eine Zu sammen fas sung der klei nen Zeit kon stan ten zu ei ner Er satz zeit kon stan ten TK möglich (un ter Be ach tung der Randbedingungen). Aufgabe 5.19 (S. 242) Bei der Auf he bungs kompen sa tion mit dem PD 2 -Reg ler las sen sich zwei Regel strec ken mit PT 1-Ver hal ten kompen sie ren. Drei Si mu la tio nen zei gen im Vergleich die ver schie de nen Ein stell wer te des PD 2 -Reg lers (Bild 9.34). Bei den Wer ten T V1 =T 11=10s und T V2 =T 12 +T 13 =8s er hält man ei nen nicht über schwin gen den Verlauf.

Aufgabe 7.1 (S. 393) Die Parameter die ser Strec ke lassen sich nicht di rekt mit Hil fe der Iden ti fi ka tions hinwei se von SIM LER-PC iden ti fi zie ren (Bild 9.35). Sie zeigt star kes Rau schen und Meß wert ein brü che. Es ist je doch zu se hen, daß die Strec ke eine gro ße Verzögerungszeit kon stan te ent hält, die von ei ner ab klin gen den Schwin gung über la gert wird. Eine Tot zeit ist eben falls zu er ken nen. Die sen Sach ver halt kann man sich bei der Iden ti fi ka tion zu Nutze machen. Aus der ver rausch ten Sprung ant wort der Strec ke kann mit dem Glät tungs al go rith mus zu nächst die Haupt zeit kon stan te T 11 er mit telt wer den (Glät tung auf Fen ster brei te 100, 2 Durch läu fe). Es ergibt sich dann (Bild 9.35 oben): KS » 1

und

T11 » 9,3 s

sowie

Tt » 0,7s

458

Bild 9.34

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Simulationen zur Aufhebungskompensation

9.1 Auf ga ben

Bild 9.35

459

Ermitteln der Parameter T11, Tt, T2 und d mit Hilfe von SIMLER-PC

460

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

An schlie ßend wird der File IDEN36-3.PJD noch mals ge la den. Mit Hil fe ei ner an de ren Glät tung (Fen ster brei te 20, 1 Durch lauf) kann man die Schwin gung des PT 2 -An teils der Strec ke er ken nen (Bild 9.35 unten, File IDEN_TEM.PJD). Nun auf eine Kup pe der Schwin gung mit dem Fahrstrahl fah ren und mit der Ta ste mar kie ren, dann auf eine zeit lich nach fol gen de Kup pe fah ren und mit der Ta ste mar kie ren. Jetzt er schei nen im Fen ster un ten rechts die Wer te der Schwin gung. T 2 » 0,898 s

und die Dämp fung

d» 0,098

Lädt man den File IDEN_TEM.PJD nochmals und geht mit al len ge fun de nen Wer ten in die Pa ra me ter-Ein ga be, läßt sich nach ein paar Ver su chen eine sehr gute Über einstimmung mit der zu iden ti fi zie ren den Regelstrecke her stel len. Die Sprung ant wort des Fi les IDEN36-3.PJD stellt demnach ins ge samt eine schwach ge dämpf te PT1 -PT2 -PTt -Strec ke dar, de ren Pa ra me ter lau ten: KS » 1

T11 » 9,3 s

Tt » 0,5s

T 2 » 0,91 s d» 0,05

Bei der Wahl des Reg lers zeigt sich, daß ein PID-Regler un ge eig net ist. Erst die F Rt -Wur zel re kur sion (Gl. 7.7) bringt das ge wünschte Ergeb nis (Bild 9.36). Es wur de zu sätz lich nach 120s ein Stör impuls zwi schen Reg ler und Strec ke von 20% Ampli tu de ein ge bracht, der eben falls gut aus ge re gelt wird.

9.1 Auf ga ben

Bild 9.36 Si mula tion der Ergeb nis se mit der F Rt -Wur zel re kur sion

461

462

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Aufgabe 7.2 (S. 393) [nach: Tho mas-Evan ge li um Nr.50, GNO SIS, Patt loch-Ver lag] und /86/ Je sus sprach: Wenn man euch fragt: “Wo her seid ihr ge kom men?”, ant wor tet ih nen: “Wir ka men aus dem Licht, von dem Ort, wo das Licht aus sich selbst ent steht.” Wenn man euch fragt: “Wer seid ihr?”, so ant wor tet ih nen: “Wir sind Söh ne des Lich tes und wir sind die Er wähl ten des VATERS.” Wenn man euch fragt: “Was ist das Zei chen eu res Va ters an euch?”, so ant wor tet ih nen: “Es ist Be we gung in der Stil le aus Liebe.”

9.2 Klau su ren

9.2

463

Klau su ren

Zum wei te ren Ein üben des Stoffes sind im Fol gen den ei ni ge ty pi sche Klau su ren für Stu die ren de mit den Lö sun gen auf ge führt. Für die Auf ga ben des Symme tri schen Op ti mums hier die Zu sammen fas sung der be nö tig ten Glei chun gen 5.30 - 5.34 (sie he auch Aufg. 5.16 - 5.18):

F0 ( p ) = K 0 ×

m =

1 + pTN 2

p TN Ta × ( 1 + pTb ) 1 + sin a R cos a R

TN = m 2 × Tb wD =

1 m × Tb

KR =

Ta m × K S × Tb

Zur nä he rungs wei sen Umrech nung der PT 1- in eine I-Strec ke, des Tot zeit glie des in eine PT 1 -Strec ke und zur Zu sam men fas sung von klei nen Zeitkontanten wer den die Kor re spon den zen 13 - 15 aus Ta bel le 3.5 benötigt.

1 1 » 1 + pT1 pT1

e

- pTt

»

1 1 + pTt

mit

w D T1 > > 1

mit

w D Tt < < 1

1 1 » (1 + pT1 ) (1 + pT2 ) × × × (1 + pTn ) 1 + pTK

n

mit

TK =

å Ti i=1

464

REGELTECHNIK

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Klau sur A

1. Aufg & ge ge ben. Es ist die li nea re Differ enti al glei chung &&u + b 2 u& = b 2 w Er mit teln Sie F(p)=u(p)/w(p) so wie f(t).

2. Aufg. Für die fol gen de Schal tung ist die Über tra gungs funk tion F(p)=Ua(p)/Ue(p) ge sucht.

3. Aufg. Es wur de die Sprung ant wort ei ner Regel strec ke auf ge nommen. Er mit teln Sie die Strec kenparameter und ge ben den pas sen den Reg ler typ an.

9.2 Klau su ren

465

4. Aufg. Es sind mit dem Symme tri schen Op ti mum (S.O.) die Wer te KR , T N und T V ei nes Reg lers zu be stim men. geg.: K S=0,6

T 11 =19s

T 12 =136s

T 13 =4s

Tt=0,2s

a R = 50°

ges.: a) Fo(p); Fo(p) auf das S.O. an ge paßt; Reg ler pa ra meter u. w

D

b) Wie groß wäre die Durch tritts fre quenz für ei nen funktio nieren den Fall (Rand be din gun gen des S.O. er füllt), wenn sich die Re ge lung an der Sta bi li täts gren ze be fin det?

5. Aufg. Es ist ein Re gel kreis mit Hil fe des BODE-Diagramms zu un ter su chen. geg.:

w

K R =1,78

V

= 0,25Hz

KS1 =1

w

K S2 =0,562

w 0 = 0,4Hz

E11

X S =5,623

= 8Hz

w i = 0,7Hz ges.: a) w D ; a R ; stabil ? b) K Rkrit und w

z

c) K R * für w D *=0,35Hz so wie a

R*

.

466

REGELTECHNIK

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Klau sur B

1. Aufg. & Für die Differ enti al glei chung &&x + k × x& + m × x& + k × m × x = w F(p)=x(p)/w(p) und f(t) ge sucht.

sind

2. Aufg. Für zwei in Reihe lie gen de iden ti sche PT1 -Strec ken wur de bei der Eck frequenz w E1 ein |F|=3,162 ge mes sen. Er mit teln Sie die Gesamt strec kenverstärkung KS.

3. Aufg. Es wur de die Sprung ant wort ei ner Strec ke auf ge nommen. Ge ben Sie die Reg ler pa ram eter für ei nen PID-Reg ler bei Füh rungs ver hal ten ohne Über schwin gen mit Hil fe von Chien-Hrones-Res wick an.

9.2 Klau su ren

467

4. Aufg. Es sind mit dem Symme tri schen Op ti mum die Reg ler pa ra me ter K R , T N und T V zu be stim men. weg.: K=2 T11 =9s T 12 =0,2s T 2 =0,3s d=1

T t =0,03s a R = 30°

ges.: a) F(p); F(p) auf das S.O. an ge paßt; Reg ler pa ra meter u. w

D

b) Wie groß wäre die Er satz zeit kon stan te T (bei funk tio nierendem Fall), wenn die Rand be din gung des PID-Reg lers ge ra de noch er füllt ist? 5. Aufg. Es ist ein Re gel kreis mit Hil fe des BODE-Diagramms zu un ter su chen. geg.: K R =3,162 KS1 =KS2 =1

w

N

w

E11

K S3 =1,78

= 0,15Hz =w

E12

w

V

= 0,2 Hz

T t = 0,1s

ges.: a) w D ; a R ; stabil ? b) K Rkrit und w

z

c) K R* für w D* =0,1Hz so wie a

R*

.

= 2,5Hz

X S =5,623

468

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

REGELTECHNIK

Klau sur C

1. Aufg. Es ist die Differ enti al glei chung &&x + x& ( a + 3 ) + 3 a × x = z& ge ge ben. Er rech nen Sie die Über tra gungs funk tion F(p)=x(p)/z(p) so wie f(t).

2. Aufg. Die fol gen de Glei chung ist in ein re gu lä res PT 2 -Glied um zu rech nen (Ein hei ten un be rücks ich tigt). Ge ben Sie die Ver stär kung K S so wie die zu ge hö ri gen For meln für T2 und d an.

F(p) =

1 2

p + 2p + 5

3. Aufg. Es wur de die Sprung ant wort ei nes ge schlos se nen Re gel krei ses mit P-Reg ler auf ge nommen (K Rkrit =7). Die Re ge lung ist für ei nen PID-Reg ler nach Zieg ler-Ni chols zu op ti mie ren.

9.2 Klau su ren

469

4. Aufg. Es ist mit Hil fe des Symm. Opti mums. ein Reg ler mit K R , T N , T V zu op ti mie ren. geg.: K S =0,4 T 11 =53s und drei glei che PT 1-Glie der mit T 12 =1,8s so wie

Tt=0,15s für

a R =60°

ges.: a) Fo(p); Fo(p) auf das S.O. an ge paßt; Reg ler pa ra meter u. w

D

b) Für wel ches “m” wird die Rand be din gung des PID-Reg lers ge ra de noch er füllt (bei ei nem funk tio nie ren den Fall)?

5. Aufg. Es ist ein Re gel kreis mit Hil fe des BODE-Diagramms zu un ter su chen. geg.:

K R =3,162

w

N

K S1 =K S2 =1

w

E11

K S3 =1

w

0

= 25Hz =w

E12

w

V

= 100Hz

XS =7,5

= 30Hz

= 90Hz

ges.: a) w D ; a R ; stabil ? b) K Rkrit und w c) K R * für a

z

R * =45° bei re du zier ter Re gel dy na mik so wie w D*

470

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Lösun gen

Klau sur A

1. Aufg. F ( p) =

b2 p+ b

2t

f ( t ) = 1 - e -b

2

2. Aufg. Mit Glei chung (2.10) folgt

F ( p) = - K p ×

T1(1 + pT 2 ) T 2 (1 + pT1 )

3. Aufg. Mit den For meln aus S. 96 erge ben sich aus der Gra phik die Pa ra meter d und T 2 . Ge eig net ist für die Strec ke der PI- oder PID-Regler.

4. Aufg. (sie he Ab schnitt 5.5.2)

Fo( p) = Ko ×

(1 + pT N )(1 + pTV ) × e - pTt pT N (1 + pT11 )(1 + pT12 )(1 + pT13 )

Mit

1 1 » 1 + pT12 pT12

und

e - pTt »

folgt

Fo( p) = Ko ×

T N > TV

w D T12 >> 1

für

1 1 + pTt

für

w D Tt << 1

für

(1 + pT N )(1 + pTV ) p 2T N T12 (1 + pT11 )(1 + pT13 )(1 + pT t )

Variante 1 Für

T V =T 1 3 und T K =T 11 +T t Fo( p) » Ko ×

T N =m 2 T K

wD =

folgt

1 + pT N 2

p T N T12 (1 + pT K ) 1 m ×TK

KR =

T12 m × K S ×TK

Rand bed. er füllt

9.2 Klau su ren

471

Va rian te 2 Für

T V =T K =T 11 +T t Fo( p) » Ko ×

T N =m 2 T 1 3

folgt 1 + pT N 2

p T N T12 (1 + pT13 )

wD =

1 m × T13

und

T K =T 1 3 +T t

KR =

T12 m × K S × T13

Va rian te 3 T V =T 11

b)

wD =

5. Aufg.

1 TK

da m=1 an der Sta bi li täts gren ze

Rand bed. für den PIDReg ler nicht er füllt

472

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Lösun gen

Klau sur B

1. Aufg. F ( p) =

p ( p + k )( p + m )

f ( t) =

e -mt - e -kt k -m

2. Aufg. Mit Glei chung (2.10) folgt

| F ( jw)| = 3162 , = KS ×

1 2

d.h.

K S =6,324

3. Aufg. (sie he Ab schnitt 4.1.2 Ta bel le 4.1) KR =

0,6Tg K S Tu

T N =T g

T V =0,5T u

4. Aufg. (sie he Ab schnitt 5.5.2)

Fo( p) = Ko ×

(1 + pT N )(1 + pTV ) pT N (1 + pT11 )(1 + pT12 )(1 + pT 2 )

Mit

1 1 » 1 + pT11 pT11

und

e - pTt »

folgt

1 1 + pTt

Fo( p) = Ko ×

für

w D T11 >> 1

für

w D Tt << 1

2

× e - pTt

für

T N > TV

(1 + pT N )(1 + pTV ) 2

p T N T11(1 + pT12 )(1 + pT 2 ) 2 (1 + pT t )

Va rian te 1 Für

T V =T t

und

T K =T 1 2 +2T 2

Fo( p) » Ko ×

T N =m 2 T K

folgt

1 + pT N 2

p T N T11(1 + pT K )

wD =

1 m ×TK

KR =

T11 m × K S ×TK

Rand bed. erfüllt

9.2 Klau su ren

473

Va rian te 2 Für

T V =T 1 2

und

Fo( p) » Ko ×

T N =m 2 T K

T K =T t +2T 2

folgt

1 + pT N 2

p T N T11(1 + pT K )

wD =

1 m ×TK

KR =

Va rian te 3 T V =T K =T t +2T 2

b) T N =2,5T V =m2T K da her T K =

5. Aufg.

2,5TV m2

T11 m × K S ×TK

474

9 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Lösun gen

Klau sur C

1. Aufg. F ( p) =

p ( p + a)( p + 3)

f (t) =

e -3t - e - at a -3

2. Aufg. Durch Ko effi zien ten vergleich mit Glei chung (3.30) folgt

KS =

1 5

T2 =

1 5

d=

1 5T 2

3. Aufg. Die For meln aus Ta bel le 4.3 Sei te 149 erge ben für T Krit » 2,7s (aus der Gra phik ab ge mes sen) die Pa ra me ter des PID-Reg lers.

4. Aufg. (sie he Ab schnitt 5.5.2)

Fo( p) = Ko ×

Mit

folgt

pT N (1 + pT11 )(1 + pT12 )

3

× e - pTt

1 1 » 1 + pT11 pT11

für

w D T11 >> 1

1 1 + pTt

für

w D Tt << 1

e - pTt »

und

(1 + pT N )(1 + pTV )

Fo( p) = Ko ×

für

T N > TV

(1 + pT N )(1 + pTV ) p 2T N T11(1 + pT12 ) 3 (1 + pT t )

Va rian te 1 Für

T V =T t

und T K =3T 1 2

Fo( p) » Ko ×

T N =m 2 T K

folgt

1 + pT N 2

p T N T11(1 + pT K )

wD =

1 m ×TK

KR =

T11 m × K S ×TK

Rand bed. erfüllt

9.2 Klau su ren

475

Va rian te 2 Für

T V =T 1 2

und T K =T t +2T 1 2

Fo( p) » Ko ×

T N =m 2 T K

1 + pT N 2

p T N T11(1 + pT K )

wD =

Va rian te 3 T V =T K =T t +2T 1 2

b)

m=

5. Aufg

2,5TV TK

folgt

1 m ×TK

KR =

T11 m × K S ×TK

Rand bed. er füllt

10

Li te ra tur ver zeich nis

10.1

Ma the ma ti sche und Elek tro tech ni sche Grund la gen

(1)

Bron stein, I.; Se mend ja jew, K.: Ta schen buch der Ma the ma tik.6. Aufl. Frank furt/M.: Ver lag H. Deutsch 2005.

(2)

Bartsch, H.J.: Kleine For mel sammlung Mathematik. München: Han ser-Ver lag 2003.

(3)

Stingl, P.: Ein stieg in die Ma the matik für Fach hoch schu len. Leipzig: Fach buch ver lag 2001.

(4)

En zy klo pä die Na tur wis sen schaft und Tech nik. 2. Aufl. Wein heim: Zwei burgen-Ver lag 2003.

(5)

Heu mann, K.; Stum pe, A.C.: Thy ri sto ren-Ei gen schaf ten und An wen dung. Stutt gart: Ver lag B.G. Teub ner 1974.

(6)

Me sche de, D.; Ger the sen, Ch.: Phy sik. 23. Aufl. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 2005.

(7)

Tiet ze, U.; Schenk, C.: Halb lei ter-Schal tungs tech nik. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 2005.

(8)

Föl lin ger, O..: La pla ce-, Fou rier und z-Trans for ma tion. 8. Aufl. Heidelberg: Hüt hig-Ver lag 2003.

(9)

Do etsch, G.: An lei tung zum prak ti schen Ge brauch der La pla ceTrans for ma tion und Z-Trans for ma tion. 5. Aufl. Mün chen: R. Ol den bourg-Ver lag 1985.

(10)

Hea vi si de, O.: Elec tro ma gne tic Theo ry. Bd. 3. Lon don: 1912

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

10.2 Bü cher zu den Grund la gen der Re gel tech nik

477

(11)

Car son, J.R.: Elek tri sche Aus gleichs vorgän ge und Ope ra to renrech nung. New York: 1953

(12)

Wag ner, K.W.: Ope ra to ren rech nung und La pla ce sche Trans formation. 3. Aufl. Leip zig: J.A. Barth-Ver lag 1962.

10.2

Bü cher zu den Grund la gen der Re gel tech nik

(13)

Lutz, H.; Wendt, W.: Ta schen buch der Re ge lungs tech nik. 7. Aufl. Frank furt/M.: Har ri Deutsch-Ver lag 2007.

(14)

En ders, H.; Xan der, K.: Re ge lungs tech nik mit elek tro ni schen Bau ele men ten. 3. Aufl. Düs sel dorf: Wer ner-Ver lag 1981.

(15)

Föl lin ger, O.; Dör rschiedt, F.; Klit tich, M.: Re ge lungs tech nik. Heidelberg: Hüthig-Ver lag 2005.

(16)

Gass mann, H.: Theo rie der Re ge lungs tech nik. Eine Ein füh rung. Frank furt/M.: Ver lag H. Deutsch 2003.

(17)

Le on hard, W., Schu ma cher, W.: Re ge lung elek tri scher Antrie be. Berlin: Springer-Ver lag 2000.

(18)

Le on hard, W.: Ein füh rung in die Re ge lungs tech nik. 6. Aufl. Braun schweig: Vie weg-Ver lag 2002.

(19)

Mann, H.; Schiffel gen, H.: Ein füh rung in die Re ge lungs tech nik. 10. Aufl. Mün chen: Han ser-Ver lag 2005.

(20)

Stöl ting, H.-D.; Kal len bach, E.: Hand buch Elek tri sche Klein an trie be. 3. Aufl. Mün chen: Han ser-Ver lag 2006.

(21)

Op pelt, W.: Klei nes Hand buch tech ni scher Re gel vorgän ge. Wein heim/Bergstr.: Ver lag Che mie 1972.

(22)

Trö ster, F.: Steue rungs- und Re ge lungs tech nik für In ge ni eu re. 2. Aufl. Mün chen: Oldenbourg-Ver lag 2005.

(23)

Reu ter, M.; Za cher, S.: Re ge lungs tech nik für In ge ni eu re, Si mu la tion und Ent wurf von Re gel krei sen. 13. Aufl. Braun schweig: Vie weg Ver lag 2010.

(24)

Schlitt, H.: Re ge lungs technik, Phy si ka lisch orien tier te Dar stel lung fach übergrei fen der Prin zi pien. Würz burg: Vo gel Buch ver lag 1993.

478

10 Li te ra tur ver zeich nis

(25)

Un be hau en, H.: Re ge lungs tech nik I. 15. Aufl. Braun schweig: Vie weg-Ver lag 2008.

(26)

Wein mann, A.: Re ge lungs tech nik I. 3. Aufl. Wien: Sprin ger-Ver lag 1998.

(27)

Ar beits kreis der Do zen ten für Re gel tech nik: Re ge lungs tech nik in der Ver sorgungs tech nik. Karls ru he: C.F. Mül ler-Ver lag 2002.

10.3

Ver tie fen de Bü cher zur Re gel tech nik

(28)

Ackermann, J.: Ro bust Con trol. The Pa ra me ter Spa ce Ap pro ach. London: Sprin ger-Ver lag 2002.

(29)

Hoff mann, Jörg: Ta schen buch der Mess tech nik. 5. Aufl. Mün chen: Hanser-Ver lag 2007.

(30)

Föl lin ger, O.: Li nea re Ab tast sy ste me. 5. Aufl. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 1993.

(31)

Föl lin ger, O.: Nicht li nea re Re ge lun gen. Bd I. 8. Aufl. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 1998.

(32)

Föl lin ger, O.: Op ti mie rung dy na mi scher Sy ste me. Mün chen: R. Ol den bourg-Ver lag 1985.

(33)

Iser mann, R.: Iden ti fi ka tion dy na mi scher Sy ste me II. 2. Aufl. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 1992.

(34)

Kümmel, F.: Elek tri sche An triebs tech nik 2. Lei stungs stell glie der. Ber lin: VDE-Ver lag 2001.

(35)

Mey er, M.: Elek tri sche An triebs tech nik Bd.1 und Bd.2. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 1985, 1987.

(36)

Or lowski, P. F.: Prak ti sche Ana log tech nik. 3. Aufl. Mar burg: dia go nal-Ver lag 2008.

(37)

Or lowski, P. F.: An ge wand te Di gi tal tech nik. 6. Aufl. Mar burg: dia go nal-Ver lag 2008.

(38)

Hei er, S.: Wind kraft an la gen. Sy stem aus le gung, Net zin te gra tion und Re ge lung. 4. Aufl. Stutt gart: Teubner-Ver lag 2005.

(39)

Gasch, R.; Twe le, Jo chen: Wind kraft an la gen. Grund la gen, Ent wurf, Pla nung und Be trieb. 5. Aufl. Stutt gart: Teub ner-Ver lag 2007.

(40)

Weck, M.: Werk zeug ma schi nen 3. Me cha tro ni sche Sy ste me. Berlin: Springer-Ver lag 2006.

10.4 Auf sät ze und Da ten blät ter

479

10.4

Auf sät ze und Da ten blät ter

(41)

Chien,K.L.; Hro nes, J.R.; Res wick, J.B.: On the Au to matic Con trol of Ge ne rali zed Pas si ve Sy stems. Trans. ASME 74 (1952), S. 175...185.

(42)

Kess ler, C.: Über die Vor aus be rech nung op ti mal ab ge stimmter Re gel krei se. Re ge lungs tech nik 2 (1954), S. 274...281 und RT 3 (1955), S. 16...22; so wie: Das symme tri sche Op ti mum. Re ge lungs tech nik 6 (1958), S. 395...400 und S. 432...436.

(43)

Ny quist, H.: Re ge ner ation Theo ry. Bell Syst.-Techn. J.11 (1932), S. 126...147.

(44)

Zieg ler, J.G.; Ni chols, n.B.: Op ti mum Set tings for Au to ma tic Con trol lers. Trans. ASME 64 (1952), S. 759.

(45)

Arend, H.O.: Mi kro pro zes sorge steu er te Re ge lung für mul ti va len te Hei zungs an la gen. BMFT-For schungs be richt T 81-076, 1981.

(46)

Schwarz, H.: Vor schlä ge zur Eli mi na tion von Kopp lun gen in Mehr fach re gel krei sen. Re ge lungs tech nik (1961), S. 454...459 und S. 505...510.

(47)

Kess ler, G.; Bran den burg, G.; Schlos ser, W.; Wol fer mann, W.: Struk tur und Re ge lung bei Sy ste men mit durch lau fen den ela stischen Stoff bah nen und Mehr mo to ren-An trie ben. Re ge lungs tech nik 8 (1984), S. 251...266.

(48)

Schör ner, J.: Re ge lung von Dreh strom auf zug an la gen mit Dreh strom tel ler. Re ge lungs tech nik 4 (1980), S. 110...116.

(49)

Leh mann, H.; Mi teen zwei, K.: Mo der ne Aus rü stung für Gleichstrom-Schacht för der be trie be. BBC-Nach rich ten H.11 (1977), S. 477...484.

(50)

Or lowski, P. F.: Elek tri sche Aus rü stung und Re ge lung von Bundop ti mie rungs li nien. BBC-Nach rich ten H.8 (1979), S. 267...273.

(51)

Hü gle, K.; Or lowski, P.F.: An triebs re ge lun gen und Au to ma tisie rung ei ner zwei ge rü sti gen Dres sier stra ße. BBC-Nach rich ten H.5 (1980), S. 159...167.

(52)

Schö nert, D.; Tho me, H.J.: Hy drau li sche Wal zen an stel lung und Band dic kenregelung in Kalt walz wer ken. Son der druck aus Stahl und Ei sen H.5 (1974). BBC-Druckschrift-Be stell-Nr. D GJA 40217 D.

480

10 Li te ra tur ver zeich nis

(53)

Le on hard, W.: Elek tri sche Re gel an trie be für den Ma schi nen bau. VDI-Z 123 Nr.10 (1981), S. 423...424.

(54)

Gey ler, M.; Ca se litz, P.: Re ge lung von dreh zahl va ria blen Windkraftan la gen. at (Au to ma ti sie rungs tech nik) H.12 (2008), S. 614...635.

(55)

Bau r, M.: Mo del lie rung und Re ge lung nicht linea rer dynamischer Mehrgrößensysteme auf der Ba sis von fuz zy-ver knüpf ten lokalen li nea ren Mo del len. Diss. Technische Uni ver si tät Chemnitz 2003.

(56)

Stof, P.: La ge re ge lung- La ge re gel kreis-Grund la gen. “Die Lagerege lung an Werk zeug maschi nen". Hrsg. von Prof. Dr.-Ing. G. Stu te, Stutt gart: ISW Selbst ver lag 1975.

(57)

Kienz le, O.: Die Be stim mung von Kräf ten und Lei stun gen an spa nen den Werk zeu gen und Werk zeug ma schi nen. VDI-Z. 94 Nr.11/12 (1952), S. 229...305.

(58)

Häf lin ger, M.: Bei trä ge zur Durch fluß-Re ge lung von hoch rei nen und aggres si ven Flüs sig kei ten. Dis ser ta tion ETH Zü rich 2006. sowie Schrag, D.: Durch fluss mes ser für hoch rei ne ag gres si ve Flüs sig kei ten. Dis ser ta tion Nr. 15720 ETH Zürich 2004.

(59)

Kö nig schul te, M.; Or lowski, P.F.: Fahr kur ven rech ner mit Einpla ti nen-Compu ter. Eleklt ro nik H.19 (1985), S. 83...89. so wie: Or lowski, P. F.; Stu der, N.: Mi kro com pu terge stütz ter Fahr kur venrech ner (MFR). Elek tro tech nik Ausg. B H.6 (1988), S. 62...67.

(60)

Sommer, R.: Ent wurf ei nes Reg lers für eine Ab was serNeu tra li sa tions an la ge. Re ge lungs tech nik H.9 (1981), S. 315...320. so wie: Hu ber, D.; Rode, M.; Sjö dahl, H.: Ver ein fach tes ra tio nel les Ein stel len und op ti mier ter Be trieb von bio tech ni schen Regelkrei sen. ABB Tech nik H.2 (1993), S.9...14.

(61)

Rö per, R.: Re ge lung von elek tro hy drau li schen Ser vo ven ti len. Öl hy drau lik + Pneu matik Nr.9 (1990), S. 601...610.

(62)

Win ter hal ter, P.: Ser vo ven ti le in der Hy drau lik. Öl hy drau lik + Pneu matik Nr.6 (1991), S. 484...489.

(63)

Hert korn, K.; Kö gel, M.; Scheu, H.; Wie land, P.: Re ge lung der ho ri zon ta len Be we gung ei nes Brüc kenkrans. UNI-Stutt gart. Inst. f. Sy stem theo rie und Re ge lungs tech nik (2006).

(64)

Wuts dorff, P.: Nach weis der zu ver läs si gen Energie ver sorgung durch Kraft werks blöc ke mit Ab schalt ver su chen. VDI-Be richt Nr.454 (1982), S. 55...63.

10.5 Zum Rechnergestützten Regelkreisentwurf

481

10.5

Zum Rech ner ge stütz ten Re gel kreis ent wurf

(65)

Bos sel, H.: Sy ste me, Dy na mik, Si mu la tion. Books on De mand GmbH: 2004.

(66)

Kletpsch, Th.: Sen sor lo se Lage re ge lung per ma nent ma gnet er reg ter Syn chro ser vo mo to ren.. Sha ker-Ver lag 1995..

(67)

Desch, E.: Das Pro grammpa ket SIM DAT-PC - Meß wert er fas sung, Da ten ana ly se und Iden ti fi ka tion im Fre quenz- und Zeit be reich mit FFT und an de ren Hilfs mit teln für IBM-PC und Kom pa ti ble. Fach hoch schu le Gie ßen, Fach be reich MMEW 2006.

(68)

Dost, M.: Si mu la tion dy na mi scher Sy ste me mit DSL/VS. IBM-Hoch schul kon gress Ber lin 1987, Vor trag 712.

(69)

Dot zau er, E.: Grund la gen der Di gi ta len Si mu la tion. Mün chen: Han ser-Ver lag 1987.

(70)

Grupp, F. und F.: MAT LAB 7 für In ge ni eu re. Grund la gen und Pro grammier bei spie le. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 2004.

(71)

Scherf, H. E.: Mo dell bil dung und Si mu la tion dy na mi scher Sy ste me. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 2004.

(72)

Nel les, O.: Non li ne ar Sy stem Identification. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 2000.

(73)

Iser mann, R.: Rech nerge stütz ter Ent wurf di gi ta ler Re ge lun gen mit Pro ze ßi den ti fi ka tion. Re ge lungs tech nik H.6 (1984), S. 179...189 und H.7, S. 227...234.

(74)

Ru sin, Va dym: Adap ti ve Re ge lung von Ro bo ter sy ste men in Kon takt-. Aufgaben. Dissertation Otto-von-Gue ric ke-Uni ver si tät Mag de burg 2007.

(75)

Litz, L.; Ben nin ger, N.F.: PI LAR - Pro grammsy stem zur in ter ak tiven Lö sung von Auf ga ben stel lun gen der Re ge lungs tech nik. Re ge lungs tech nik H.10 (1984), S. 335...342.

(76)

Bos sel, H.: Mo dell bil dung und Si mu la tion. 2. Aufl. Mit dem Pro gramm SIM PAS. Braun schweig: Vieweg-Ver lag 1994.

(77)

Bern stein, H.: Pro fes sio nel le Schal tungs si mu la tion mit MultiSIM. Poing: Franzis-Ver lag 2005.

(78)

Or lowski, P. F.: In ter ak ti ve Op ti mie rung kom ple xer Re gel krei se. Mes sen Steu ern Re geln & Au to ma ti sie ren H.6 (1998), S. 56...57.

482

10 Li te ra tur ver zeich nis

(79)

Or lowski, P. F.: Das Pro grammpa ket SIM LER-PC 5.1 - Si mu la tion und Op ti mie rung von Re gel krei sen im Zeit- und Fre quenz be reich, so wie Regel strec ken-Iden ti fi ka tion (vier spra chig). TH-Mittelhessen (vor mals FH-Gie ßen), Fach be reich ME (2011). Downlo ad: www.me.th-mittelhessen.de/dienst lei stun gen/Downlo ad Da tei Simler-PC *.ZIP.

(80)

Schae del, H. M.: SI MID und SIM Tool. Pro gramme für di gi ta le Re ge lun gen. Fach hoch schu le Köln (2006).

(81)

Mül ler, J.; Neu mann, F.; Pfei fer, B.: Re geln mit SI MATIC. Pra xis buch für Re ge lun gen mit SI MATIC S7 und PCS7. Pu bli cis Cor po ra te Pu bli shing (2004).

(82)

Wel len reut her, G., Za strow, D.: Au to ma ti sie ren mit SPS. Wies ba den: Vie weg-Teub ner 4.Aufl. 2008.

(83)

Berndt, H.-J.; Kain ka, B.: Mes sen, Steu ern und Re geln mit WORD und EXEL. VBA-Mar kos für die se riel le Schnitt stel le. Poing: Fran zis-Ver lag 2001.

(84)

Po ga nietz, U.: Di gi ta le Re ge lung des Stell an triebs ei nes op ti schen Mi kro sko pes. Neu be ar bei tung. Di plom-Ar beit Fach hoch schu le Gie ßen, Fach be reich MMEW 2004.

(85)

Or lowski, P. F.: Re geln ohne Pa ra meter: Die F Rt -Wur zel re kur sion. Mes sen, Steu ern, Re geln und Au to ma ti sie ren (MSR Ma ga zin) H.5 (2000), S. 60...62.

10.6

Klei ne Weg be glei tung

(86)

Or lowski, P. F.: Wis se Voll en dung nach den Wur zeln der Hei lung. Mar burg: Dia go nal-Ver lag 2007.

11

Sach ver zeich nis

Abhas pel 306, 309 Ab tast - Hal te glied 259, 334 - Re ge lung 257 - Zeit 86, 260, 264, 329, 371, 403 Ab szis sen - an fang 186, 190, 364, 428 - Fahr strahl 149, 390 Ab was ser 351 Adap ti ve Re ge lung 253, 257 Alia sing 334 Allg. Elek tro tech nik 92, 100 Al go rith mus 78, 86, 259, 370, 393, 402 All paß 109, 113, 114, 363, 380 Ampli tu den - gang 49, 181 - rand 184, 192, 212, 433 - re ser ve 184, 192, 212, 439 An ker kreis glei chung 92 An ker kreis zeit kon stan te 92, 176, 384 An ker span nung 23, 26 An ker stromsoll wert 310 An ker strom re ge lung 384 An lauf zeit 379 An re gel zeit 7, 260, 372 An sprech schwel le 123, 126, 211, 351 ape ri odi scher Fall 96 Ap pro xi mation 23, 112, 359, 384 Ar beits punkt 23, 272, 298 Ar beits wal ze 101, 321 AS CII-File 359 Asymp to te 74, 83, 98 Asyn chron ma schi ne, -mo tor 163, 298

Auf has pel 305, 309, 316 Auf he bungs kompen sa tion 240, 267, 457 Aus gangs grö ße 7, 10, 23, 64, 123, 347 Aus gangs span nung 21 Aus gleichs vorgang 10, 28, 413 Aus gleich 147, 148, 393 Aus re gel zeit 6, 242, 363, 372 Aus schlag ver fah ren 174 Au to ma ti sie rung 141

Bahn steue rung 346 Band brei te 306 Band dic kenmessung 107, 321 Band dic kenregelung 321, 327 Band ge schwin dig keit 306, 315 Band län ge 314 Band paß 51, 413 Band sper re 364 Band zug 306, 315, 328 Band zu gre gel kreis 317 Be gren zung Xs 22, 124, 143, 173, 220, 250, 270, 343, 354, 389, 431 Berg bau-Schacht för der an la ge 291 Be schleu ni gungs mo ment 101, 176, 306 Be schrei bungs funk tion 123, 287, 420 Be trag des Vek tors 37 Bie gung 328 Bild funk tion, -glei chung 39, 44, 60, 272, 411, 413, 450 Bild schirm gra fik 355, 366 Blatt win kel ver stel lung 341 Block schaltbild, -plan 7, 15, 135, 182 BODE-Dia gramm 181, 363, 427, 429 Bund durch mes ser 306, 310, 174, 175 But ter worth-Ver hal ten 104

P. F. Orlowski, Praktische Regeltechnik, DOI 10.1007/978-3-642-19217-3_11, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

484

Car son-La pla ce-Trans for ma tion 38, 44, 53 Cha os funk tion 354, 369, 372 cha rak ter isti sche Glei chung 28, 179, 199, 245, 409 Chien-Hro nes-Res wick 147, 355, 427 CNC-Tech nik 346

11 Sachverzeichnis DT 1-Glied 247 Durch fluß 2, 69, 102, 166, 273, 275 Durch fluß re ge lung 3, 396 Durch lauf er hit zer 90, 246 Durch mes ser rech ner 174, 175 Durch tritts fre quenz 182, 203, 214, 234, 276, 303, 326, 433 Dy na mi sches Ver hal ten 26, 48

D-Glied 72 Dämp fung 94, 96, 103, 168, 226, 450, 460 Dampf kraft werk 288 Da tei ver wal tung 357 Dau er schwin gung 40, 123, 148, 177, 217, 224, 390 Dehn me ß strei fen (DMS) 174, 334 Differ en ti al glei chung 27, 72, 87, 94, 291, 382 Differ enz ver stär kung 20 Dirac’sche Delts funktion 72 Di rek tum rich ter 299, 302 Dreh mo ment 298 Dreh spul in stru ment 31, 91 Dreh strom - brüc kenschaltung 24, 108, 161, 292 - stel ler 162, 299 - sy stem Dres sier stra ße 305 Dres sier vorgang 310 Dreh zahl 18, 68, 92, 102, 167, 298, 312, 314, 341, 343, 347 Dreh zahl re ge lung 14, 115, 300, 328, 384 Drei punkt - re ge lung 281, 290 - reg ler 141, 288, 362 - ver hal ten 133 Druc ker 356 Druck - be häl ter 89 - meß do se 31, 91, 285, 314 - mes sung 31, 65 - re ge lung 115, 285

Eckfre quenz 74, 79, 83, 89 Edi tor 359 Ei gen kreis fre quenz 96, 412 Ein gangs grö ße 10, 47, 124, 371 Ein heits sprung funk tion 29, 226, 370 Ein stell feh ler 16 Ein stell wer te 147, 360, 390, 399 Ela sti zi täts mo dul 314 Elek tri sche An trie be 92, 100, 108 Elek tro lyt bad 282 energie lo ser An fang 28, 46, 100 Energie spei cher 26, 87, 94, 100 Ent wick lungssatz 42 Ergeb nis li ste 152, 295, 367, 390 Eu ler sche Glei chung 37, 105 Er satz-Regel strec ke 249, 318, 344, 349, 384, 388 Er satz zeit kon stan te 303, 454 Ex po nen ti al an satz 28, 407

F ahr kur ven funk tion 29, 33, 152, 158, 370, 372, 377, 380 Fahr kur venrechner 154, 158, 372 Fahr strahl 149, 200, 390 Fal tungs satz 47, 417, 418 Faust re geln 260 Fe der-Mas se-Sy stem 50, 98, 312, 321 Feuch te 115 File 357, 384, 393 Flug zeug 113 Fluß 294, 301, 306, 310 För der band 106 För der korb 100 Fol ge re ge lung 147, 158 Fou rier-Ko effi zien ten 125

11 Sach ver zeich nis F Ra -, F Rt- Reg ler 361, 380, 383, 393, 400, 460 Fräs ma schi ne 346 Frei heitsgra de 338 Fre quenz be reich 47, 186 Fre quenz gang 48, 199, 208, 234 Fre quenz gang be trag 64, 181, 410 Frisch dampf men ge 289 Füh rungs - grö ße 6, 12, 34, 154, 172, 370 - Über tra gungs funk tion 48, 224, 424 - ver hal ten 48, 145, 159, 184, 250, 353 Füh rungs grö ßen ge ber 154 Füll stand 8, 69, 115

485 Hy drau lik 102, 187 Hy drau lik-Zy lin der 70, 102, 324 Hy ste re se 129, 216, 221, 285, 360

I -Glied, I-Reg ler 67, 363, 449 I 2-Strec ke 374, 437 Iden ti fi ka tion 149, 359, 384, 457 In du strie ro bo ter 336 In te gral kri teri um 224 In te grie rer 71 in ver ser Fre quenz gang 211 Ist wert 6, 9, 12, 16, 222 ITAE-Kri te ri um 228 K as ka den re ge lung 248, 268, 314,

Gau ß sche Zah len ebe ne 43 Ge gen kopp lung 21, 71, 143, 413 Ge schwin dig keits-Al go rith mus 372 Ge schwin dig keits re ge lung 291, 312 Ge wichts funk tion 72 Ge wich tung 393, 400 Glät tungs al go rith mus 354, 457, 460 Gleich span nung 161 GS-Motor 14, 92, 168, 309, 422 Glüh ofen 16, 115, 265 Gra fik 355, 362 Groß si gnal be trieb 103, 143 Grund last kraft werk 289 Grund schwin gung 123

Haf trei bung 378 Haupt reg ler 278 Hard wa re 355 Hal te glied 259, 261, 334, 353 har mo ni sche Ba lan ce 123 Ha spel 309, 312 Haupt menü 356, 359, 363 Hea vi si de scher Satz 42 Heiz draht 90 Heiz kur ve 268 Hilfs re gel grö ße 329, 331 Hoch lauf zeit 34, 156, 306, 368 ho mo ge ne Teil lö sung 28, 409 Hoo ke sches Ge setz 305

332, 344, 350, 384 Kenn kreis fre quenz 412 Kenn wer te 26 Kipp mo ment 299 Kirch hoff scher Satz 21, 28 Klein si gnal be trieb 103, 343 Ko effi zien ten 27, 44, 87, 98 Kol ben hub 70 Kompen sa tions glied 245, 247 Kompen sa tions ver fah ren 175 komple xe Zahl 36 kon ju giert kom ple xe Zahl 36 Kon ti nu ier li che Re ge lun gen 265 Kon zen tra tion 273 Ko or di na ten-Trans for ma tion 338 Ko or di na ten ver schie bung 366 Kor rektur reg ler 278 Kraft 31, 91, 98, 165, 312, 349 Kreis fre quenz 40, 48, 347 kri ti sche Fre quenz 149, 188, 203, 212, 363, 390, 431 kri ti sche Ver stär kung 148, 192, 203, 363, 390 kri ti scher Punkt 199, 202, 366

Län gung 315, 328 Län gungs re ge lung 328 Läu fer dreh zahl 298 Läu fer ver lu ste 299

486 La ge re ge lung 113 La pla ce - In te gral 39 - Ope ra tor 40, 68, 78 - Trans for ma tion 44 Last moment 101, 306 Lauf zeit-Glied 105, 112, 325 Leer lauf dreh zahl 314 Lei stungs ab ga be 112, 380 Lei stungs aus wahl 355, 360, 363, 374 Leit wert ge ber 154 Li ne ar antrie be 167 Li ne ar mo tor 171, 349 Li nea re Glie der 64, 135 Li nea re Re gel flä che 225, 227, 447 Li nea ri sie rung 23, 120, 123 Li nea ri tätsbe reich 19

M ag ne ti sie rungs kenn li nie 22, 129 Ma gnet ven til 165 MATLAB Si mulink 260, 393, 400 Mas sen kon stanz 305, 328 Me cha nik 98 Mehrgrö ßen re ge lung 277 Meß - ein rich tung 172 - füh ler 65, 172, 272 - in stru ment 32, 91 - tech nik 91, 108 - tisch 68, 332 - wert 105, 173, 334, 349 - umfor mer 172 Mi kro skop 332 Mi kro rech ner 78, 86, 257, 338 Mi schungs re ge lung 280 Misch vorgang 107, 274 Mo dell 98, 382 Mo ment 101, 298, 307, 343 Mo men ten-Kenn li nie 299 Mo men ten re ge lung 346, 348 Mo men ten reg ler 348 Mo tor lei stung 312 Mo tor moment 101, 176, 306, 312

11 Sachverzeichnis

Nach lauf re ge lung 158 Nach stell zeit T N 74, 147, 234, 250, 294, 371, 452 Nach wal zen 310, 314 Nen ner po ly nom 42, 179, 199, 428 Neu tra li sa tion 351 Nicht li nea re Glie der 120, 135 Nich li nea ri tät 120, 140, 216, 218, 223 Nicht steti ge Reg ler 141 Null stel le 42, 179, 199, 428 NY QUIST-Dia gramm 205, 366, 436 Ny quist-Kri te ri um 184, 186, 196, 200 N 3Pt-Reg ler 362 O el bren ner 270 Off set span nung 17, 20, 128 Ope ra tions ver stär ker 19, 67, 71, 77, 80, 85, 93, 103, 113, 248, 282 Ope ra tor 40, 41, 68, 73 Op ti mie rung 152, 224, 235, 248, 349, 354, 360, 368, 380, 384 Or di nan ten ma ß stab 359 Ord nungs zahl 27 Ori gi nal funk tion 39, 42, 45, 419 Orts kur ve 49, 126, 196, 208, 367, 433 Os zil lo gramm 220

P ade `-Ap pro xi ma tion 112, 114 Pa ra meter 26, 96, 190, 240, 243, 257, 262, 266, 292, 312, 318, 326, 334, 343, 353 Parti al bruch zer le gung 43, 45, 417 P-Glied, P-Reg ler 64, 148 PD-Reg ler 78, , 345, 377, 430 PD2 -Reg ler 242, 244, 457 PDT 1 -Ver hal ten 81, 85 PI-Reg ler 73, 142, 267, 294, 303, 345, 361, 390 PID-Reg ler 81, 145, 254, 335, 361, 363, 370, 374, 390, 402, 435 PIDT1-Reg ler 86, 86 Plan heits re ge lung 175, 176 PT 1-Glied, PT 1-Strec ke 87, 265, 363, 371, 374, 378, 435

11 Sach ver zeich nis PT 2 -, PTn-Glied 94, 149, 167, 377, 422 PTa-, PTt-Glied 105, 109 Pha sen gang, -win kel 49, 181, 182 Pha sen rand, -re ser ve 184, 203, 211, 233, 367, 431, 439 pH-Wert 351 pH-Wert-Re ge lung 351 Pie zo elek tri sche Re ge lung 332 Plot ten 356 Pneu matik 75, 85 Pneu ma ti scher Ver stär ker 18, 66 Pole 43, 179, 182, 188, 199, 229 Pol paar zahl 298 Po ly nom 42, 179, 199 Po si tions re ge lung 115, 324, 332, 349 Po ten tio meter 2, 65, 143, 285 Preß luft sta tion 286 Pro gram mier spra che 336, 355 Pro grammstruk tur 371 Pro por tio nal ver stär kung 10, 21, 64, 162 Puls zahl 163 Pull-Down-Me nüs 356 Pumpe 285, 287

487

Re gel kreis glie der 60 Re gel kreis-Ver stär kung 11 Re ge lung der/des - An ker stro mes 291, 384 - Band dic ke 321, 325 - Band zu ges 306, 314 - Brüc kenkran 382 - Cha os 392 - Dreh zahl 14,298, 332, 384 - Druc kes 286 - Durch flus ses 3, 396 - Füll stan des 8 - Ge schwin dig keit 291, 312, 318 - Kon zen tra tion 273, 351 - Län gung 328, 332 - Mo mentes 346, 348 - pH-Wer tes 351 - Pitch (Blatt win kel) 341 - Plan heit 175, 176 - Po si tion 17, 166, 190, 324, 332, 349, 377, 390, 397 - Raumtempe ra tur 268 - Ro bo ter frei heits gra des 194, 338, 429 - Roll win kels 196, 432 - Spei se was ser men ge 288 - Stoff mi schung 273, 280 Qua dra ti sche Re gel flä che 228, 450 - Streck grades 331 - Stro mes 291, 302, 318, 332, 397 Quo tien ten 230, 310, 451 - Tempe ra tur 4, 194, 246, 265, 268, 277, 281, 427 Rampen funktion 29, 33, 155, 370 Tur bi nen lei stung 112, 380 Rand be din gung 181, 236, 453, 457 Vo lu men stro mes 3, 277 Raumtem pe ra tur-Re ge lung 268 Walz kraft, Walzspalt 324 Rau schen 126, 173, 360 Zug kraft 308, 313 ra tio na le Funk tion 42, 417 Reg ler Re gel - Al go rith mus 78, 87, 370, 393, 402 - ab wei chung 6 - Be gren zung Xs 143, 364, 447 - Al go rith mus 259, 330, 338, 393 - diffe renz 6, 10, 146, 224, 329, 371, - Ein stel lung 147, 268, 365, 390, 399 - Op ti mie rung 153, 224, 312, 359, 374 374, 405, 449 - Sper re 143 - ein rich tung 1, 5 - Ver stär kung 74, 143, 146, 192, 235, - flä che 225, 227 254, 276, 319, 320, 390, 427, 448 - grö ße 6, 12, 145, 379, 405 Rei bung 120, 328 - kreis 5 Rei hen schwing kreis 27, 100 - strec ke 5, 265, 334, 390

488

11 Sachverzeichnis

Sta bi li täts - aus sa ge 179, 182, 201, 203, 208, 212, 287, 361, 441 - be griff 177, 179 - gren ze 148, 177, 422 - kri te ri um 177, 181 Stän der - fre quenz 298 - span nung 299 - wick lung 299 S ample-Hold-Glied 259 Sta tio nä res Ver hal ten 10 Sät ti gungs glied 124 Sta ti sche Kennli nie 18 S-Rol le 306, 328 Stell Schacht för der an la ge 98, 291 - an trieb 168, 288 Schalt fre quenz 284 - be reich 22, 67, 141 Schei ben läu fer 100, 168, 336, 390 - ge rä te 159 Schlin gen re ge lung 116 - glied 167 Schnitt mo ment 347 - gren ze 18, 21, 71, 124, 142, 310 Schnitt punkt form 185, 208 - grö ße 6, 141, 281, 334, 372 Schnitt stel len 355 - motor 167, 343 Schräg la ge 322 Stel lungs-Al go rith mus 86, 370 Schritt motor 170, 336 Ste ti ge Reg ler 141 Schritt wei te 372 Steu erkenn li nie 24 Schwe be kör per 396 Steue rung 1 Schwin gung 96, 457 Steu er win kel 24, 161 Seil schwin gung 291 Stör Seil trommel 99 - funk tion 318, 369, 377 Sen sor 172, 266, 396 - grö ße 4, 12, 222, 345 Ser vo ven til 102, 164, 324 - grö ßen auf schal tung 245, 324 SI-Ein hei ten 176 - Über tra gungs funk tion 40, 246, 449 Si gnal be gren zung 124, 220, 441 - ver hal ten 48, 184, 245, 345, 369 SIM LER-PC 110, 152, 237, 326, Stoff mi schungstrans port 106 354, 393, 447 Si mula tion 159, 192, 237, 242, 264, Stoff ge misch re ge lung 273 Strec ken 289, 318, 327, 354, 390, 400, 422 Soll wert, Sollwertfunktion 6, 16, 34 - ty pen 360, 362 - Zeit kon stan te 108, 115, 147 Soll wert ge ber, Sollwertstel ler 154 Strec ken mit/ohne Aus gleich 147, 393, Spei se span nung 21 424 Spei se was ser men ge 288 Streck richteinheit 328 Spin del an trieb 68, 378 Sprung ant wort 29, 96, 146, 180, 283, Strom re ge lung 291, 332 Strom rich ter 24, 108, 159 374, 407, 411 Struk to gramm 373 Sprung funk tion 29, 155 Symme tri sches Op ti mum 233, 267, Spu le 31, 100, 165, 171, 176, 396 276, 312 SPS 370, 373 Re kur sions glei chung 94, 371 Re si du en satz 43 Re so nanz fre quenz 97, 103, 167 Ro bo ter an trieb 336 Ro bo tik 253 Rohr müh le 302 Ro tor blät ter 341, 343 Rück transformation 39, 41, 418

11 Sach ver zeich nis

Tacho ge ner ator 18 Tay lor-Rei he 23 tech nisch rea li sier ba res Sy stem 47 Tem pe ra tur re ge lung 4, 246, 268, 282, 427 Thy ri stor 26, 108, 163, 299 Tief paß 81, 89, 93, 104, 384, 390 To ler anz be reich 372 Tote Zone 126 Tot zeit 105, 163, 260, 274, 283, 326 Träg heits moment 102, 176, 307 Tur bi ne 112, 115, 289, 380 TUR BO-PAS CAL 370, 372

489

W är me tau scher 194, 427

Walz - ge rüst 101, 321 - kraft re ge lung 324 - pro zeß 107, 306 - spalt re ge lung 324 Was ser kraft an la ge 112, 380 Was ser menge 90 Wech sel pol aus füh rung 171 Wech sel strom wi der stand 37, 409 Wen de punkt 147 Werk zeug ma schi ne 336 Whe at sto ne sche Meß brüc ke 174, 334 Wic kelantrieb 305 Ueberg angs funktion 30, 96, 147, 424 Wind ge schwin dig keit 343 Wind kraft an la gen 341 Übergangs ver hal ten 155, 222, 369 Win kel än de rung 200, 202 Über schwing wei te 6, 10, 146 Wirk schalt plan 7 Über sichts schalt plan 7, 308 Über tra gungs funk tion 47, 166, 179, Wob bel fre quenz 326 Wur zelre kur sion 360, 393, 400, 460 199, 233, 250, 254, 303, 326 Wur zel ver tei lung 178 Umformre geln 137 Umkeh rin te gral 39, 41 Umrech nung SI-Ein hei ten 176 XY-Schreiber 175 um spei chern 384 Zäh ler po ly nom Z0 (p) 199 Ven til 102, 112, 164 Zei ger 37, 49 Ver schie bungs satz 46, 47, 415 Zeit be reich 41, 262, 369, 373 Ver schliff zeit 34, 156, 368 Zeit dis kre te Re ge lung 332 Ver stär ker 19, 66, 77, 156 Zeit kon stan te 108 Ver stär kung 10, 74, 143, 146, 162, zeit li cher Ver lauf 28, 413, 416 190, 242, 248, 281, 303, 429, 442 zeit va rian tes Sy stem 26, 47, 179 Ver stär kungs än de rung 190, 191, 429 Ze ner-Di ode 21, 142 Ver zö ge rungs glied 82, 87, 84 Zen tri pe tal-Be schleu ni gung 338 Ver zugs zeit 147 Zieg ler-Ni chols 148, 422 V K -PI-Re gel al go rith mus 348 Zug kraft re ge lung 308, 313, 317 Vo lu menstrom 2, 69, 102, 166, 265, Zwei grö ßen re ge lung 278 Zwei mas sen-Sy stem 101 275, 277, 380 Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren 212, Vo lu men strom re ge lung 277 215, 223 Vor halt zeit T V 78, 148, 236, 254, Zwei punkt 371, 431, 438 - re ge lung 268, 281 Vor last 128 - reg ler 141, 281, 285 Vor schub ge schwin dig keit 347 - ver hal ten 131