Mathematische Modellierung

Springer-Lehrbuch Christof Eck · Harald Garcke · Peter Knabner Mathematische Modellierung 123 Prof. Dr. Christof ...

Author: Christof Eck | Harald Garcke | Peter Knabner

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Springer-Lehrbuch

Christof Eck · Harald Garcke · Peter Knabner

Mathematische Modellierung

123

Prof. Dr. Christof Eck Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Universitätsstraße 25 33615 Bielefeld [email protected]

Prof. Dr. Peter Knabner Department Mathematik Universität Erlangen-Nürnberg Martensstraße 3 91058 Erlangen [email protected]

Prof. Dr. Harald Garcke NWF I – Mathematik Universität Regensburg Universitätsstraße 31 93053 Regensburg [email protected]

ISBN 978-3-540-74967-7

e-ISBN 978-3-540-74968-4

DOI 10.1007/978-3-540-74968-4 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliograﬁsche Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classiﬁcation (2000): 34-01, 35-01, 49-01, 74-01, 76-01, 80-01 © 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverﬁlmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspﬂichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Datenerstellung durch die Autoren unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort

Unter mathematischer Modellierung verstehen wir die Beschreibung eines Ph¨ anomens aus Natur, Technik oder Wirtschaft mit Hilfe von mathematischen Strukturen. Das Ziel der Modellierung ist es, eine sinnvolle mathematische Problemformulierung zu gewinnen, aus der sich Aussagen und L¨osungen zu dem Ausgangsproblem ableiten lassen. Anwendbar“ sind prinzipiell alle ” Teilgebiete der Mathematik, oft entstehen aber gerade in technischen Anwendungen mathematische Probleme einer solchen Komplexit¨at, dass sie entweder vereinfacht werden m¨ ussen, indem gewisse Einﬂ¨ usse vernachl¨assigt werden, oder nur noch mit numerischen Methoden bearbeitet werden k¨onnen. Werden mathematische Modelle vereinfacht, etwa dadurch, dass einige kleine“ Terme ” in einer Gleichung vernachl¨ assigt werden, so ist die Aufgabe der Mathematik zu pr¨ ufen, wie stark sich das L¨ osungsverhalten dabei ¨andert. Historisch ist eine Vielzahl mathematischer Konzepte aus Anforderungen der Anwendungen heraus entstanden, insoweit ist es weder zuf¨ allig noch verwunderlich, dass Mathematik und reale Welt zusammen passen“. Mathematische Konzepte, die ” aus der Anregung eines Fachgebiets heraus entstanden sind, ﬁnden oft auch Anwendungen in ganz anderen Fachgebieten. Dar¨ uber hinaus ergibt sich bei einem konkreten Anwendungsproblem im Allgemeinen ein weiter Spielraum mathematischer Modellierung je nach gew¨ ahlter Auﬂ¨osung in der (zeitlichen oder r¨ aumlichen) Betrachtungsebene. Auf diesem Hintergrund ist eine Ausbildung in mathematischer Modellierung unverzichtbar, wenn ein Studium der Mathematik, wie jetzt auch f¨ ur die neu entstandenen Bachelor–Studieng¨ ange gefordert, berufsqualiﬁzierend sein soll, d.h. auch gerichtet auf industrielle/praktische/gesellschaftliche Probleme. Die klassischen Veranstaltungen eines Mathematik–Curriculums k¨onnen eine solche Ausbildung nur unzureichend gew¨ ahrleisten angesichts einer gerade im deutschen Sprachraum weit fortgeschrittenen Formalisierung in der Mathematiklehre, in der Anwendungsbeispiele — wenn u ¨berhaupt — nur den Stellenwert einer unverbindlichen“ Motivation einnehmen. Das klassische Neben” fachstudium kann im Allgemeinen die entstehende L¨ ucke nicht schließen, da

VI

Vorwort

die Studierenden der Mathematik oft damit u ¨ berfordert sind, gleichzeitig Inhalte aus einem Anwendungsgebiet zu erlernen und dabei auftretende mathematische Strukturen zu extrahieren, um ihr mathematisches Wissen nutzbar zu machen. Auf diesem Hintergrund sind im Rahmen der Umstrukturierung der mathematischen Studieng¨ ange und der geforderten gr¨oßeren Praxisn¨ahe eines Bachelorstudiums an vielen deutschen Universit¨aten Veranstaltungen u ¨ ber mathematische Modellierung in die Curricula der mathematischen Studieng¨ ange aufgenommen worden. In diesem Rahmen m¨ochte das vorliegende Lehrbuch eine Hilfestellung leisten. Das vorliegende Buch liefert zum einen Wissen aus dem Bereich zwischen“ ” Mathematik und Naturwissenschaften (zum Beispiel aus der Thermodynamik und der Kontinuumsmechanik), das Studierende und Dozenten der Mathematik ben¨ otigen, um Modelle aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften zu verstehen und herleiten zu k¨ onnen. Zum anderen enth¨alt das Buch eine Vielzahl interessanter, praktisch relevanter Beispiele f¨ ur die im Mathematikstudium erlernten, oft sehr abstrakt dargestellten mathematischen Theorien, und beantwortet damit die h¨ auﬁg gestellte Frage wozu ist das n¨ utzlich?“. Es soll ” dabei keines der B¨ ucher u ¨ ber die zugrunde liegenden mathematischen Strukturen wie lineare Gleichungen / lineare Algebra, gew¨ohnliche oder partielle Diﬀerentialgleichungen ersetzen, enth¨ alt aber trotzdem wesentliche Aspekte der Analysis f¨ ur die Modelle, insbesondere auch um die wichtige, im Mathematikstudium leider oft vernachl¨ assigte Wechselwirkung zwischen Mathematik und Anwendungen aufzuzeigen. Auf der anderen Seite bietet das Buch f¨ ur Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften einen Einstieg in Methoden der Angewandten Mathematik und Mechanik. Der Inhalt des Buches beschr¨ ankt sich auf deterministische Modelle mit kontinuierlichen Skalen, wie sie in den klassischen Natur- und Ingenieurwissenschaften im Zentrum stehen. Insbesondere werden stochastische Modelle nicht thematisiert; ebenso Modelle f¨ ur Prozesse auf sehr kleinen Skalen wie etwa Teilchenmodelle oder Modelle aus der Quantenmechanik und deren Approximationen. Modelle aus den Wirtschaftswissenschaften stehen ebenfalls nicht im Fokus, da stochastische Ans¨ atze dort eine wichtige Rolle spielen. Ein wesentliches Konzept dieses Buches besteht darin, die mathematischen Strukturen (und das Wissen dar¨ uber) als Ordnungsprinzip zugrunde zu legen, nicht aber die betreﬀenden Anwendungswissenschaften. Dies bringt die St¨ arke der Mathematik zum Ausdruck, dass ein und dasselbe Konzept oft f¨ ur ganz verschiedene Problemklassen und Anwendungsbereiche eingesetzt werden kann, und erm¨ oglicht es, in eﬃzienter Weise Beispiele aus den verschiedensten Anwendungsgebieten zu behandeln, ohne zu Wiederholungen derselben mathematischen Grundstrukturen gezwungen zu sein: Diese Linie wird nach dem Einf¨ uhrungskapitel 1 mit den Kapiteln 2, 4, 6 und 7 verfolgt. Darin eingebettet sind die Kapitel 3 (Thermodynamik) und 5 (Kontinuumsmechanik), die zwei notwendige Bindeglieder zu den Natur- und Ingenieurwissenschaften

Vorwort

VII

bereit stellen. Nat¨ urlich sind auch diese Kapitel von der Anwendung mathematischer Kalk¨ ule gepr¨ agt. Der Eingrenzung des Stoﬀes auf der Anwendungsebene entspricht eine Eingrenzung auf mathematischer Ebene: Durchg¨ angig werden Kenntnisse aus der linearen Algebra und der Analysis intensiv genutzt. Kapitel 4 nutzt Kenntnisse wie sie entweder die Analysis oder eine Vorlesung Gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen zur Verf¨ ugung stellt, Kapitel 5 macht wesentlich Gebrauch von den Methoden der mehrdimensionalen Diﬀerentiation und Integration (Integrals¨ atze) und damit vom fortgeschrittenem Stoﬀ der Analysis. Schließlich spielen in Kapitel 7 auch die Grundlagen der Geometrie von Kurven und Fl¨achen eine wichtige Rolle. Die Abgrenzung zur Analysis partieller Diﬀerentialgleichungen kann nicht so scharf gezogen werden. Entsprechende Kenntnisse auf diesem Gebiet und auch der linearen Funktionalanalysis sind f¨ ur das Kapitel 6 gewiss hilfreich, aber nicht notwendig. Eine Beschreibung mathematischer Sachverhalte u ¨ ber partielle Diﬀerentialgleichungen erfolgt in diesem Kapitel aber nur insoweit, wie eine enge Verﬂechtung mit der Modellinterpretation besteht. Die Darstellung kann insofern nicht vollst¨andig rigoros sein, etwaige L¨ ucken und notwendige Vertiefungen werden aber entsprechend kenntlich gemacht. Auf diese Weise setzt dieses Kapitel nicht notwendigerweise eine vertiefte Besch¨ aftigung mit der Analysis partieller Diﬀerentialgleichungen voraus, regt aber hoﬀentlich zu dieser an. Auf ein separates Kapitel u ¨ ber Optimierung wurde verzichtet, Konzepte der Optimierung werden aber in den einzelnen Kapiteln angesprochen. Dies spiegelt wider, dass Optimierungsprobleme in der Modellierung h¨ auﬁg als ¨ aquivalente Formulierung anderer Problemstellungen (variationelle Formulierung) auftreten, und zwar f¨ ur Aufgaben von verschiedenem mathematischen Typ. V¨ ollig in diesem Buch ausgeklammert wurde die Behandlung numerischer Methoden, obwohl diese bei der tats¨achlichen Bearbeitung von technischen und naturwissenschaftlichen Problemen mittlerweile ein zentrales Werkzeug darstellen. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf die umfangreiche Lehrbuchliteratur zur Numerik. Nach unserem Daf¨ urhalten kann der vorgelegte Stoﬀ in vielf¨altiger Weise sowohl im Bachelor- als auch im Masterstudium, sowohl auf elementarem als auch auf fortgeschrittenem Niveau, eingesetzt werden. Die einfachste Verwendung sind (nach entsprechenden K¨ urzungen) zwei vierst¨ undige Vorlesungen, die das gesamte Spektrum des Buches umfassen, wobei der erste Teil in der zweiten H¨ alfte einer Bachelorausbildung und der zweite Teil in einer Masterausbildung anzusiedeln w¨ are. Alternativ kann auch eine schon fr¨ uh im Bachelorstudium angesiedelte, einf¨ uhrende zweist¨ undige Vorlesung aus Teilen der Kapitel 1, 2 und 4 erfolgen, gefolgt von einer sp¨ateren, ebenfalls zweist¨ undigen Vorlesung aus Teilen der Kapitel 5 und 6. Wenn das Studium nur eine Vorlesung vorsehen soll, ist auch ein grundlegender vierst¨ undiger Kurs, aufgebaut aus Teilen der Kapitel 1, 2, 3, 4, 5 und Aspekten aus 6 m¨oglich. Alternativ kann auf die Kapitel 5, 6 und 7 auch eine Vorlesung u ¨ ber mathematische Modelle der Kontinuumsmechanik oder aber aus grundlegenden

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Vorwort

Abschnitten aus Kapitel 5 (Herleitung der Erhaltungsgleichungen) und Kapitel 6 und 7 eine Vorlesung Angewandte partielle Diﬀerentialgleichungen“ ” aufgebaut werden. Das Buch eignet sich auch sehr gut zum Selbststudium, insbesondere f¨ ur Diplomanden, Bachelor- und Masterstudierende sowie Doktoranden, die eine mathematische Arbeit mit Bezug zu den betrachteten Anwendungsph¨ anomenen verfassen m¨ ochten, und die in ihrem Studium die dazu notwendigen Grundlagen noch nicht kennengelernt haben. Ziel all der beschriebenen Kurse kann nur sein, die bestehende L¨ ucke zu den Anwendungswissenschaften zu schließen, sie k¨onnen nicht die konkre¨ te Durchf¨ uhrung von Modellierungsprojekten ersetzen. Uber die intensive ¨ Besch¨ aftigung mit den vielf¨ altigen hier vorgelegten Ubungsaufgaben hinaus kann nach unserem Daf¨ urhalten Modellierung abschließend nur durch Modellierungspraxis erlernt werden. Ein m¨ ogliches Lehrkonzept wie es vom 1. und 3. Autor in Erlangen erprobt worden ist, besteht in Problem(pro)seminaren, in denen Anwendungsaufgaben ohne jedes mathematische Material gestellt werden, wobei das Auﬃnden der zugeh¨ origen mathematischen Konzepte wesentlicher Bestandteil der Arbeit ist. Wir hoﬀen aber, dass Lehrveranstaltungen, wie sie auf das vorliegende Buch aufbauen k¨ onnen, eine wesentliche Grundlage zu einer solchen Modellierungspraxis liefern k¨ onnen. Auf dem Hintergrund des Gesagten erscheint uns das vorliegende Buch auch f¨ ur Studierende aus den Natur- (Physik, Chemie) und Ingenieurwissenschaften geeignet. Werden diesem Benutzerkreis zumindest Teile der eigentlichen Modellierungsinhalte aus ihrem konkreten Fach heraus gel¨auﬁg sein, so sollte doch deren rigorose Einbindung in eine mathematische Methodik zu tieferen Einblicken verhelfen. Ohne die verf¨ ugbaren Lehrb¨ ucher u ¨ ber mathematische Modellierung bewerten zu wollen, erscheint uns das Angebot zumindest deutschsprachiger B¨ ucher auf diesem Gebiet als recht gering. Zwar gibt es eine Reihe von Lehrb¨ uchern, ¨ insbesondere Ubersetzungen aus dem Englischen, die sich auf ein sehr elementares Niveau konzentrieren und zum Teil auch Sch¨ uler ansprechen wollen. Ein derzeit verf¨ ugbares Lehrbuch, das den Bogen von elementaren Aspekten bis hin zur Forschungsfront zu u ¨ berdecken versucht, ist uns nicht bekannt. Englischsprachige Lehrb¨ ucher folgen meistens anderen Ordnungsprinzipien. Das vorliegende Buch ist entstanden aus Lehrveranstaltungen, die der 2. Autor an der Universit¨ at Regensburg und der 1. und 3. Autor an der Universit¨at uhrt haben, und damit das Ergebnis eines vielErlangen mehrfach durchgef¨ schichtigen Entwicklungsprozess. Bei diesem haben die Autoren wesentliche Hilfe erfahren. Die Autoren danken Ihren Kolleginnen und Kollegen Bernd ur Ammann, Luise Blank, Wolfgang Dreyer, Michael Hinze und Willi Merz f¨ wertvolle Anregungen. Ein besonderer Dank gilt Barbara Niethammer, die mit dem zweiten Autor eine Vorlesung u ¨ ber Mathematische Modellierung an der Universit¨ at Bonn gehalten hat, von der vieles in das vorliegende Buch einging. F¨ ur sorgf¨ altiges Korrekturlesen des Manuskriptes danken wir Martin Butz, Daniel Depner, G¨ unther Gr¨ un, Robert Haas, Simon J¨orres, Fabian

Vorwort

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Klingbeil, David Kwak, Boris Nowak, Andre Oppitz, Alexander Prechtel und Bj¨ orn Stinner. Beim Schreiben der Tex–Vorlagen wurden wir unterst¨ utzt von Frau Silke Berghof und ganz besonders von Frau Eva R¨ utz, die einen großen Teil des Manuskripts geschrieben und mit großem Engagement die zahlreichen Graﬁken bearbeitet hat – beiden sei herzlich gedankt. F¨ ur die Covergraﬁk wurde eine numerische Simulation einer Karmanschen Wirbelstraße verwendet, die uns von Serge Kr¨ autle zur Verf¨ ugung gestellt wurde. Auch bei ihm, bei Ulrich Weikard, von dem Abbildung 6.14 stammt, und bei James D. Murray, der uns Abbildung 6.10 zur Verf¨ ugung gestellt hat, m¨ochten wir uns herzlich bedanken.

Bielefeld, Regensburg, Erlangen im Dezember 2007 Christof Eck Harald Garcke Peter Knabner

Inhaltsverzeichnis

1

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Was ist Modellierung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Asymptotische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1 Elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Stabwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3

Grundz¨ uge der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann– Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Thermodynamische Systeme, das thermodynamische Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

XII

Inhaltsverzeichnis

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie . . . . . . 81 3.5 Thermodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6 Die Legendre–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.7 Der Kalk¨ ul der Diﬀerentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential . . . . 98 3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen . . . . . . . . . . . . . . 105 3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.11 Kinetische Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.12 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4

Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1 Eindimensionale Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik . . 136 4.3 Beispiele aus der Populationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.5 Prinzip der linearisierten Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.6 Stabilit¨ at linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . 161 4.8 Optimale Steuerung gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen . . . . . 177 4.9 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5

Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.2 Teilchenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.3 Von der Teilchenmechanik zum kontinuierlichen Medium . . . . . 198 5.4 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5 Erhaltungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.6 Konstitutive Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.8 Beobachterunabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 5.9 Konstitutive Theorie f¨ ur viskose Fl¨ ussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 244

Inhaltsverzeichnis

XIII

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 5.11 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5.12 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5.13 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 5.14 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 6

Partielle Diﬀerentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 6.1 Elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 6.1.1 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 6.1.2 Die Fundamentall¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 6.1.3 Mittelwertsatz und Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 6.1.4 Ebene Potentialstr¨ omungen, die Methode der komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 6.1.5 Die Stokes–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 6.1.6 Homogenisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 6.1.7 Optimale Steuerung elliptischer Diﬀerentialgleichungen . 329 6.1.8 Parameteridentiﬁzierung und inverse Probleme . . . . . . . . 333 6.1.9 Lineare Elastizit¨ atstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 6.2 Parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 6.2.1 Eindeutigkeit von L¨ osungen, die Energiemethode . . . . . . 342 6.2.2 Verhalten f¨ ur große Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 6.2.3 Separation der Variablen und Eigenfunktionen . . . . . . . . 348 6.2.4 Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 6.2.5 Die Fundamentall¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 6.2.6 Diﬀusionszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 6.2.7 Invariante Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 6.2.8 Allgemeine Anfangswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 6.2.9 Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 6.2.10 Laufende Wellen - Travelling Waves“ . . . . . . . . . . . . . . . . 361 ” 6.2.11 Reaktions–Diﬀusions–Gleichung und Laufende Wellen . . 363 6.2.12 Turing–Instabilit¨ at und Musterbildung . . . . . . . . . . . . . . . 369 6.2.13 Cahn–Hilliard–Gleichung und Musterbildung . . . . . . . . . . 377 6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 6.4 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

XIV

Inhaltsverzeichnis

6.5 Die Navier–Stokes–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 6.6 Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 6.7 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 6.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 7

Probleme mit freiem Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 7.3 Das Stefan–Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.4 Entropieungleichung f¨ ur das Stefan–Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 449 7.5 Unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 7.6 Gibbs–Thomson–Eﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 7.7 Mullins–Sekerka–Instabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 7.8 A priori Absch¨ atzungen f¨ ur das Stefan–Problem . . . . . . . . . . . . 457 7.9 Die Phasenfeldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 7.10 Freie Oberﬂ¨ achen in der Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 467 7.11 D¨ unne Filme und Lubrikationsapproximation . . . . . . . . . . . . . . . 470 7.12 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 7.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

A

Funktionenr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

B

Kr¨ ummung von Hyperﬂ¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

1 Einfu ¨ hrung

1.1 Was ist Modellierung? Mit Modellierung bezeichnet man die Umsetzung konkreter Probleme aus Anwendungswissenschaften wie etwa der Physik, der Technik, der Chemie, der Biologie, den Wirtschaftswissenschaften, oder der Verkehrsplanung in eine wohldeﬁnierte mathematische Aufgabenstellung. Bei der mathematischen Aufgabenstellung kann es sich zum Beispiel um eine Gleichung handeln, oder ein System aus mehreren Gleichungen, eine gew¨ohnliche oder partielle Differentialgleichung, oder ein System aus solchen Gleichungen, ein Optimierungsproblem, bei komplizierteren F¨ allen auch um eine Kombination solcher Probleme. Die Aufgabenstellung ist wohldeﬁniert, wenn sie eine eindeutige L¨ osung hat, und wenn diese L¨ osung stetig von den Daten des Anwendungsproblems abh¨ angt. In der Regel sind die zu beschreibenden Ph¨anomene sehr komplex, und es ist nicht m¨ oglich oder nicht sinnvoll, alle Aspekte bei der Modellierung zu ber¨ ucksichtigen, weil zum Beispiel •

nicht alle daf¨ ur notwendigen Daten bekannt sind,

•

das gewonnene Modell sich nicht mehr l¨ osen l¨asst, oder eine numerische L¨ osung zu aufwendig ist, oder man die Existenz / Eindeutigkeit einer L¨ osung nicht nachweisen kann.

Deswegen beinhaltet fast jedes Modell Vereinfachungen und Modellannahmen. Typischerweise werden Einﬂ¨ usse mit unbekannten Daten vernachl¨assigt, oder nur n¨ aherungsweise ber¨ ucksichtigt, und es werden komplizierte Eﬀekte mit kleiner Auswirkung weggelassen oder stark vereinfacht. So ist es etwa bei der Berechnung der Flugbahn eines Fußballes sinnvoll, die klassische Newtonsche Mechanik zu verwenden, ohne die Relativit¨atstheorie zu ber¨ ucksichtigen. Letztere ist zwar streng genommen genauer, der Unterschied zur Newtonschen Mechanik ist aber f¨ ur die typischen Geschwindigkeiten eines Fußballs vernachl¨ assigbar. Dies gilt insbesondere, wenn man sonstige Ungenauigkeiten

2

1 Einf¨ uhrung

in den Daten, wie etwa leichte Variationen der Gr¨oße, des Gewichts, oder der Abschussgeschwindigkeit des Fußballs ber¨ ucksichtigt. Verf¨ ugbare Daten sind typischerweise gemessene Daten, und daher mit Messfehlern behaftet. Auch muss man bei diesem Beispiel zwar sicher die Erdanziehungskraft ber¨ ucksichtigen, kann aber getrost die Abh¨ angigkeit der Erdanziehung von der Flugh¨ohe des Balles vernachl¨ assigen. Ebenfalls vernachl¨assigen kann man den Einﬂuss der Erdrotation. Nicht vernachl¨ assigbar ist dagegen der Einﬂuss des Luftwiderstandes. Die vernachl¨ assigbaren Eﬀekte machen die Modellgleichungen komplizierter und erfordern zus¨ atzliche Daten, erh¨ohen aber die Genauigkeit der Ergebnisse nur unwesentlich. Bei der Herleitung eines Modells sollte man deshalb abw¨agen, welche Eﬀekte wichtig sind und auf jeden Fall ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen, und welche Eﬀekte vernachl¨assigbar sind. Die Antworten auf diese Fragen h¨angen von der Zielsetzung bei der Modellierung ab. Beispielsweise sind die oben erw¨ahnten Modellannahmen f¨ ur die Flugbahn eines Fußballs sinnvoll, jedoch sicher nicht f¨ ur die Flugbahn einer Rakete in die Umlaufbahn der Erde. Auch w¨are ein exaktes Modell zur Berechnung des Wetters der n¨achsten sieben Tage aus Eingabedaten des Anfangstages f¨ ur Zwecke der Wettervorhersage v¨ollig nutzlos, wenn die L¨ osung des Modells auf dem st¨arksten verf¨ ugbaren Supercomputer neun Tage ben¨ otigen w¨ urde. H¨ auﬁg ist eine Abw¨agung zwischen der gew¨ unschten Genauigkeit von Vorhersagen des Modells und dem Aufwand zur L¨osung des Modells notwendig. Der Aufwand bemisst sich zum Beispiel nach der Zeit, die man zur L¨ osung des Modells ben¨otigt, bei numerischen L¨osungen auch nach den verf¨ ugbaren Rechenkapazit¨aten; in der Praxis wird der Aufwand h¨ auﬁg in Kosten gemessen. Es kann aus diesen Gr¨ unden keine klare Trennung geben zwischen richtigen oder falschen Modellen, ein gegebenes Modell kann f¨ ur bestimmte Anwendungen und Zielsetzungen sinnvoll sein, f¨ ur andere dagegen nicht. Eine bei der Konstruktion von Modellen wichtige Frage ist, ob sich durch Weglassen bestimmter Terme die mathematische Struktur des Modells ¨andert. Beim Anfangswertproblem ε y (x) + y(x) = 0 ,

y(0) = 1

mit kleinem Parameter ε f¨ uhrt das Weglassen des Terms εy zum oﬀensichtlich unl¨ osbaren algebraischen Gleichungssystem y(x) = 0 ,

y(0) = 1 .

Der weggelassene Term ist also f¨ ur die mathematische Struktur des Problems entscheidend, unabh¨ angig davon, wie klein der Parameter ε ist. Man kann also nicht immer als klein identiﬁzierte Terme einfach weglassen. Bei der Konstruktion eines guten mathematischen Modells sollte man vielmehr auch Aspekte der Analysis und Numerik der Modelle ber¨ ucksichtigen.

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik

3

Die wesentlichen Bestandteile eines mathematischen Modells sind •

ein zu beschreibendes Anwendungsproblem,

•

eine Reihe von Modellannahmen,

•

eine mathematische Problemstellung, beispielsweise in Form einer mathematischen Relation, etwa einer Gleichung, einer Ungleichung, einer Diﬀerentialgleichung, oder mehrerer gekoppelter Relationen, oder eines Optimierungsproblems.

Die Kenntnis der Modellannahmen ist wichtig, um den Anwendungsbereich und die Genauigkeit von Vorhersagen des Modells absch¨atzen zu k¨onnen. Das Ziel eines guten Modells ist es, aus bekannten, oder eventuell auch nur gesch¨ atzten, Daten und Naturgesetzen f¨ ur ein gegebenes Anwendungsproblem und eine gegebene Fragestellung mit vertretbarem Aufwand eine m¨oglichst gute Antwort zu geben. Ein sinnvolles Modell sollte nur Daten ben¨otigen, die bekannt sind, oder f¨ ur die man zumindest plausible N¨aherungen ansetzen kann. Die Aufgabe besteht also darin, aus bekannten Daten m¨oglichst viel Information herauszuholen.

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik Wir betrachten in diesem Abschnitt zur Illustration einiger wichtiger Aspekte der Modellierung ein sehr einfaches Beispiel. Ein Bauer hat 200 Rinder und m¨ ochte diese Herde durch nat¨ urliches Wachstum, also ohne Zukauf von Tieren, auf 500 Rinder vergr¨ oßern. Nach einem Jahr stellt er fest, dass die Herde 230 Tiere z¨ ahlt. Er m¨ ochte nun absch¨ atzen, wie lange es dauert, bis er sein Ziel erreicht hat. Eine sinnvolle Modellannahme ist, dass die Zunahme der Population von der Gr¨ oße der Population abh¨ angt, da etwa eine doppelt so große Population auch doppelt so viel Nachwuchs haben sollte. Die zur Verf¨ ugung stehenden Daten sind •

die Anfangszahl x(t0 ) = 200 von Tieren zu einem Anfangszeitpunkt t0 ,

•

ein Zeitinkrement ∆t = 1 Jahr,

•

ein Wachstumsfaktor von r = 230/200 = 1,15 pro Tier und Zeitinkrement ∆t.

Setzt man tn = t0 + n∆t und bezeichnet man mit x(t) die Anzahl der Tiere zum Zeitpunkt t, so kann man u ¨ber den bekannten Wachstumsfaktor die Rekursionsformel (1.1) x(tn+1 ) = r x(tn )

4

1 Einf¨ uhrung

herleiten. Aus der Rekursionsformel erh¨ alt man x(tn ) = rn x(t0 ) . Die Aufgabe l¨ asst sich nun formulieren als: Finde ein n so dass x(tn ) = 500. Die L¨ osung ist 500 200 ≈ 6, 6. , oder n = ln(1,15)

n ln(r) = ln

x(tn ) x(t0 )

ln

Der Bauer muss also 6,6 Jahre warten. Dies ist ein einfaches Populationsmodell, das im Prinzip auch auf andere Probleme der Biologie anwendbar ist, etwa das Wachstum von anderen Tierpopulationen, von Pﬂanzen oder Bakterien; es ist auch einsetzbar f¨ ur scheinbar v¨ ollig andere Problemstellungen, wie zum Beispiel der Berechnung von Zinsen oder des Abk¨ uhlens von K¨ orpern, siehe dazu auch die Aufgaben 1.1 und 1.2. Ohne es m¨ oglicherweise zu registrieren, haben wir bei der Herleitung allerdings schon eine Reihe von wichtigen Modellannahmen getroﬀen, die manchmal erf¨ ullt sind, oft aber auch nicht. Insbesondere wurde der Einﬂuss folgender Eﬀekte vernachl¨ assigt: •

die r¨aumliche Verteilung der Population,

•

begrenzte Ressourcen, zum Beispiel in Form von Nahrung,

•

Populationsverlust durch nat¨ urliche Feinde.

Weitere, ebenfalls vernachl¨ assigte Details sind zum Beispiel die Altersverteilung in der Population, die Einﬂuss auf die Sterberate und die Geburtenrate hat, oder die Aufteilung in weibliche und m¨annliche Tiere. Auch f¨ uhrt das Modell zu nichtganzzahligen Populationsgr¨oßen, die bei der betrachteten Aufgabenstellung streng genommen unrealistisch sind. Diese Vereinfachungen und Deﬁzite machen das Modell nicht wertlos, man muss sie aber kennen und ber¨ ucksichtigen, um das Ergebnis richtig einsch¨atzen zu k¨onnen. Insbesondere sollte man unser Resultat von 6,6 Jahren nicht zu genau nehmen, sondern so interpretieren, dass der Bauer sein Ziel voraussichtlich im Verlauf des 7. Jahres erreicht. ¨ Ein aus dem Gesichtspunkt der mathematischen Asthetik nicht optimaler Aspekt des beschriebenen Modells ist das willk¨ urlich gew¨ahlte Zeitinkrement von einem Jahr. Dieses hat zwar f¨ ur die hier betrachtete Anwendung noch eine sinnvolle Bedeutung, trotzdem k¨ onnte man statt eines Inkrements von einem Jahr auch eines von drei Monaten w¨ ahlen, oder von zwei Jahren. Außerdem

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik

5

ben¨ otigen wir zwei Daten, n¨ amlich das Zeitinkrement und die Wachstumsrate. Beide Daten h¨ angen voneinander ab, was andeutet, dass man das Wachstum vielleicht auch mit nur einer Zahl beschreiben k¨onnte. Als ersten Ansatz k¨onnte man vermuten, dass der Wachstumsfaktor linear vom Zeitinkrement abh¨ angt, also r = 1 + ∆t p mit einem noch unbekannten Faktor p. Aus r = 1,15 f¨ ur ∆t = 1 Jahr folgt dann p = 0,15/Jahr. F¨ ur ∆t = 2 Jahre hat man also r = 1,3. Nach 6 Jahren, also 3 mal 2 Jahren, hat der Bauer 200 · 1,33 = 439,4 Rinder. Nach dem alten“ Modell mit ∆t = 1 Jahr hat er ” 200 · 1,156 ≈ 462,61 Tiere. Die Vermutung eines linearen Zusammenhangs zwischen r und ∆t ist also oﬀensichtlich falsch. Ein besserer Ansatz ist der Grenz¨ ubergang ∆t → 0: x(t + ∆t) ≈ (1 + ∆t p) x(t) f¨ ur kleines“ ∆t , ” oder pr¨ aziser lim

∆t→0

oder

x(t + ∆t) − x(t) = p x(t) , ∆t x (t) = p x(t) .

(1.2)

Dies ist ein kontinuierliches Modell als gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung, das kein willk¨ urlich gew¨ ahltes Zeitinkrement mehr enth¨alt. Es besitzt die exakte L¨ osung x(t) = x(t0 ) ep(t−t0 ) . F¨ ur das bekannte Zeitinkrement ∆t = 1 Jahr erh¨alt man mit dem bekannten Wachstumsfaktor r = 1,15 ep·1 Jahr = 1,15 und damit p = ln(1,15)/Jahr ≈ 0,1398/Jahr . Dies ist ein kontinuierlicher Wachstumsexponent. Das diskrete Modell (1.1) kann auch als spezielle numerische Diskretisierung des kontinuierlichen Modells aufgefasst werden. Anwendung des expliziten Euler–Verfahrens mit Zeitschritt ∆t auf (1.2) liefert x(ti+1 ) = x(ti ) + ∆t p x(ti ) , oder x(ti+1 ) = (1 + ∆t p) x(ti ) , das ist (1.1) mit r = 1 + ∆t p. Hier muss man im Fall p < 0 ein Zeitinkrement ∆t < (−p)−1 w¨ ahlen, um eine sinnvolle iterative Folge zu bekommen. Mit dem impliziten Euler–Verfahren folgt

6

1 Einf¨ uhrung

x(ti+1 ) = x(ti ) + ∆t p x(ti+1 ) , oder x(ti+1 ) = (1 − ∆t p)−1 x(ti ) , ur p > 0 muss man hier ∆t < p−1 w¨ahlen. also (1.1) mit r = (1 − ∆t p)−1 . F¨ Durch Taylor–Entwicklung sieht man, dass die beiden unterschiedlichen Fak toren f¨ ur kleines ∆t bis auf einen Fehler der Ordnung O (∆t)2 “ u ¨ berein” stimmen: (1 − ∆t p)−1 = 1 + ∆t p + O (∆t p)2 . Der Zusammenhang zwischen kontinuierlichem und diskretem Modell kann durch eine Analysis der Konvergenzeigenschaften des numerischen Verfahrens hergestellt werden. F¨ ur das (explizite oder implizite) Euler–Verfahren erh¨alt man zum Beispiel |x(ti ) − xi | ≤ C(te ) ∆t , wobei x(ti ) die exakte L¨ osung von (1.2) zur Zeit ti und xi die N¨aherungsl¨osung ur Details u des numerischen Verfahrens ist und ti ≤ te gelten soll. F¨ ¨ ber die Analyse numerischer Verfahren f¨ ur gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen verweisen wir auf die B¨ ucher von Stoer und Bulirsch [114] und Deuﬂhard und Bornemann [28]. Beide Modelle, das diskrete und das kontinuierliche, haben den scheinbaren Nachteil, dass sie auch nichtganzzahlige L¨ osungen zulassen, die beim betrachteten Beispiel oﬀensichtlich unrealistisch sind. Das Modell beschreibt — wie jedes andere Modell auch — nicht die gesamte Realit¨at, sondern liefert nur ein idealisiertes Bild. Das Modell ist f¨ ur kleine Populationen ohnehin nicht so gut, insbesondere auch, weil der Zuwachs dann stark vom Zufall abh¨angt und deterministisch sowieso nicht genau berechnet werden kann. F¨ ur kleine Populationen sind die getroﬀenen Modellannahmen fragw¨ urdig, insbesondere die Vernachl¨ assigung des Alters und des Geschlechts der Tiere. Im extremen Fall einer Herde aus zwei Tieren wird das Wachstum sehr stark davon abh¨angen, ob es sich um ein m¨ annliches und ein weibliches Tier handelt, oder nicht. Bei einer großen Population kann man mit einiger Berechtigung annehmen, dass diese eine charakteristische, gleichm¨ aßige Verteilung des Alters und des Geschlechts aufweist, so dass die Voraussetzung eines zur Population proportionalen Wachstums sinnvoll ist. Die Ersetzung von ganzzahligen Werten durch reelle Zahlen spiegelt hier auch eine Ungenauigkeit des Modells wieder. Es ist daher auch nicht sinnvoll, ganzzahlige Werte im Modell zu erzwingen, dies w¨ urde in der Praxis eine unrealistische Vorstellung von der Genauigkeit des Modells vermitteln. F¨ ur kleine Populationen ist statt des deterministischen Modells ein stochastisches Modell sinnvoll, das dann aber auch nur“ ” Aussagen u ¨ ber eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Populationsgr¨oße liefern w¨ urde. Entdimensionalisierung Die Gr¨ oßen in mathematischen Modellen haben in der Regel eine physikalische Dimension. Im Populationsmodell (1.2) haben wir eine Zahl und eine

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik

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Zeiteinheit. Wir bezeichnen mit [f ] die physikalische Dimension einer Gr¨oße f , mit A eine Anzahl und mit T eine Zeit. Es gilt [t] = T , [x(t)] = A , A [x (t)] = , T 1 [p] = . T Die Angabe einer physikalischen Dimension ist noch keine Entscheidung u ¨ ber die physikalische Maßeinheit, in der man die Gr¨oße beschreiben m¨ochte. Als Zeiteinheit kann man etwa Sekunden, Minuten, Stunden, Tage, Wochen oder Jahre nehmen. Wenn man die Zeit in Jahren misst, wird t in Jahren, x(t) durch eine Zahl, x (t) in 1/Jahre und p ebenfalls in 1/Jahre angegeben. Um einerseits m¨ oglichst einfache Modelle zu erhalten, und andererseits charakteristische Gr¨ oßen in einem Modell zu ermitteln, kann man Modellgleichungen entdimensionalisieren. Dazu deﬁniert man f¨ ur jede auftretende Dimension eine charakteristische Gr¨ oße, entsprechend einer Maßeinheit. Man w¨ahlt daf¨ ur aber keine der u ¨ blichen Einheiten wie etwa Sekunde oder Stunde, sondern w¨ ahlt problemangepasste Einheiten. Beim Populationsmodell hat man zwei Dimensionen, man ben¨ otigt also zwei charakteristische Gr¨oßen, die charakteristische Anzahl x und die charakteristische Zeit t. Diese werden zun¨achst so gew¨ ahlt, dass die Anfangsdaten t0 und x0 = x(t0 ) m¨oglichst einfach sind. Als Zeitmaß bietet sich demnach τ=

t − t0 t

ur die Anzahl mit einer noch zu speziﬁzierenden Zeiteinheit t an, als Maß f¨ x = x0 . Setzt man y=

x x

und dr¨ uckt y als Funktion von τ aus, y(τ ) =

x(tτ + t0 ) , x

so erh¨ alt man y (τ ) = und damit das Modell

t x (t) x

x y (τ ) = p x y(τ ) . t

8

1 Einf¨ uhrung

Dieses Modell wird am einfachsten f¨ ur t=

1 . p

(1.3)

Man erh¨ alt dann das Anfangswertproblem y (τ ) = y(τ ) , y(0) = 1 .

(1.4)

Dieses Modell hat die L¨ osung y(τ ) = eτ . Man kann aus dieser L¨ osung durch R¨ ucktransformation alle L¨osungen des urspr¨ unglichen Modells (1.2) gewinnen: x(t) = x y(τ ) = x0 y(p(t − t0 )) = x0 ep(t−t0 ) . Der Vorteil der Entdimensionalisierung ist hier also, dass man die L¨osung aller Populationsmodelle vom beschriebenen Typ durch Wahl der Einheiten auf ein einziges Problem zur¨ uckf¨ uhren kann. Man beachte, dass dies unabh¨angig vom Vorzeichen von p gilt, obwohl das Verhalten der L¨osung f¨ ur p > 0 und p < 0 unterschiedlich ist. F¨ ur p < 0 ist die L¨ osung von (1.2) gegeben durch die L¨ osung von (1.4) auf dem Zweig τ < 0. Die Skalierungsbedingung (1.3) kann man auch mit Hilfe einer Dimensionsanalyse gewinnen. Man stellt dazu die gesuchte charakteristische Zeit t dar als Produkt von Potenzen der anderen charakteristischen Parameter im Modell, t = pn xm 0 mit n, m ∈ Z . Durch Berechnung der Dimension folgt n

m

[t] = [p] [x0 ]

n 1 und damit T = Am . T

Diese Gleichung hat die einzige L¨ osung n = −1, m = 0, wenn man die Anzahl als eigenst¨ andige Dimension interpretiert. Wir erhalten also gerade (1.3). Bei komplexeren Modellen kann man durch Entdimensionalisierung das Modell typischerweise nicht auf ein einziges Problem reduzieren, man kann aber die Anzahl der relevanten Parameter stark reduzieren und charakteristische Parameter identiﬁzieren. Dies ist insbesondere f¨ ur Experimente wichtig, zum Beispiel kann man aus den Ergebnissen einer Entdimensionalisierung von Gleichungen f¨ ur Luftstr¨ omungen herauslesen, wie man die Umstr¨omung eines Flugzeugs an einem viel kleineren Modell experimentell messen kann. Wir werden die Dimensionsanalyse in einem der n¨achsten Abschnitte an einem aussagekr¨ aftigeren Beispiel noch einmal erl¨ autern.

1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen

9

1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen F¨ ur große Populationen in der Natur ist eine konstante Wachstumsrate nicht mehr realistisch. Durch Beschr¨ ankung des Lebensraums, der verf¨ ugbaren Nahrungsmittel oder andere Mechanismen sind dem unbeschr¨ankten Wachstum Grenzen gesetzt. Um ein f¨ ur solche Situationen geeignetes Modell zu konstruur die die ieren, nehmen wir an, dass es eine gewisse Kapazit¨at xM gibt, f¨ Ressourcen des Lebensraums gerade noch ausreichen. F¨ ur Populationsgr¨oßen ur Werte gr¨oßer als xM x kleiner als xM kann die Population noch wachsen, f¨ nimmt die Population ab. Dies bedeutet, dass die Wachstumsrate p nun von der Population x abh¨ angt, p = p(x), und dass p(x) > 0 f¨ ur 0 < p < xM , p(x) < 0 f¨ ur p > xM gelten soll. Als einfachsten Zusammenhang kann man einen linearen Ansatz f¨ ur p w¨ ahlen, ur alle x ∈ R p(x) = q(xM − x) f¨ mit einem Parameter q > 0. Mit diesem Ansatz erhalten wir das Diﬀerentialgleichungsmodell x (t) = q xM x(t) − q x(t)2 . (1.5) Der zus¨ atzliche Term −q x(t)2 ist proportional zur Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Anzahl der Kontakte zweier Exemplare der Population pro Zeiteinheit. Er beschreibt also die zunehmende Konkurrenzsituation bei zunehmender Populationsgr¨ oße, die sogenannte soziale Reibung“. Die Gleichung (1.5) wurde ” vom holl¨ andischen Biomathematiker Verhulst vorgeschlagen und wird als logistische Diﬀerentialgleichung oder als Gleichung des beschr¨ankten Wachstums bezeichnet. Gleichung (1.5) l¨ asst sich ebenfalls noch analytisch l¨osen, man vergleiche dazu auch Aufgabe 1.3. Aus x =q x(xM − x) folgt mit der Partialbruchzerlegung 1 x(xM

1 = − x) xM

1 1 + x xM − x

durch Integration ln(x(t)) − ln(xM − x(t)) = xM qt + c1 . Wir erhalten

x(t) = c2 exM qt , xM − x(t)

10

1 Einf¨ uhrung

und

xM c2 xM exM qt = . 1 + c2 exM qt 1 + c3 e−xM qt

x(t) =

Mit der Anfangsbedingung x(t0 ) = x0 folgt x(t) =

x0 + (xM

xM x0 . − x0 )e−xM q(t−t0 )

(1.6)

Aus dieser exakten L¨ osung lassen sich leicht folgende Eigenschaften ablesen: •

Die L¨ osung bleibt, wenn x0 positiv ist, immer positiv.

•

F¨ ur t → +∞ konvergiert die L¨ osung, wenn x0 positiv ist, gegen den Gleichgewichtspunkt x∞ = xM .

Den Graphen von x kann man auch ohne Kenntnis der exakten L¨osung skizzieren. Aus (1.5) folgt zun¨ achst x > 0 , falls x < xM , x < 0 , falls x > xM . Weiter gilt x = (x ) = (q (xM − x) x) = q(xM − x) x − q x x = q(xM − 2x)x = q 2 (xM − 2x)(xM − x) x . Daraus folgt x > 0 , falls x ∈ (0, xM /2) ∪ (xM , ∞) , x < 0 , falls xM /2 < x < xM . Die L¨ osungskurven haben also bei xM /2 einen Wendepunkt und sind zwischen osungen der logistischen DiﬀerenxM /2 und xM konkav und sonst konvex. L¨ tialgleichung sind in Abbildung 1.1 dargestellt. Station¨ are L¨ osungen Komplexere zeitabh¨ angige Modelle k¨ onnen h¨ auﬁg nicht analytisch gel¨ost werden. Es ist dann oft n¨ utzlich, zeitunabh¨angige L¨osungen zu identiﬁzieren. Solche L¨ osungen kann man aus dem zeitabh¨ angigen Modell berechnen, wenn man alle Zeitableitungen dort Null setzt. F¨ ur unser Modell mit beschr¨anktem Wachstum erh¨ alt man 0 = qxM x − qx2 . Diese Gleichung hat die zwei L¨ osungen x0 = 0 und x1 = xM .

1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen

11

x

xM

xM 2

t Abb. 1.1. L¨ osungen der logistischen Diﬀerentialgleichung

Dies sind L¨ osungen des urspr¨ unglichen Modells zu speziellen Anfangsdaten. Zeitunabh¨ angige L¨ osungen treten oft als sogenannter station¨arer Limes beliebiger L¨ osungen f¨ ur große Zeiten auf, also als zeitlich konstante L¨osung, gegen die eine zeitabh¨ angige L¨ osungen f¨ ur große Zeiten konvergiert. Dies passiert typischerweise nur dann, wenn die station¨ are L¨osung stabil ist im folgenden Sinn: Wenn die Anfangsdaten wenig ge¨ andert werden, dann ¨andert sich die L¨osung auch wenig. Aus der exakten L¨ osung (1.6) l¨asst sich die Frage nach der Stabilit¨ at leicht beantworten: Die L¨ osung zum Anfangswert x(t0 ) = ε mit kleinem ε > 0 ist gegeben durch xε (t) =

ε + (xM

xM ε , − ε)e−xM q(t−t0 )

sie konvergiert f¨ ur t → +∞ gegen xM , die station¨are L¨osung x0 = 0 ist also nicht stabil. F¨ ur x(t0 ) = xM + ε mit kleinem ε = 0 ist die L¨ osung xε (t) =

(xM

xM (xM + ε) , + ε) − ε e−xM q(t−t0 )

sie konvergiert f¨ ur t → +∞ gegen xM . Aus xε (t) = q xε (t)(xM − xε (t)) sieht man auch ohne exakte L¨ osung, dass der Abstand zu xM im Lauf der Zeit h¨ ochstens kleiner werden kann, denn aus xε (t) > xM folgt xε (t) < 0 und

12

1 Einf¨ uhrung

aus xε (t) < xM folgt xε (t) > 0. Die station¨ are L¨osung xM ist also stabil. Stabilit¨ at ist wichtig, weil in der Natur in der Regel keine instabilen station¨aren L¨ osungen beobachtet werden k¨ onnen, diese also f¨ ur praktische Anwendungen typischerweise irrelevant sind. F¨ ur kompliziertere Modelle kann man manchmal keine exakte L¨ osung der zeitabh¨ angigen Gleichung ausrechnen. Es gibt jedoch Techniken der Stabilit¨atsanalyse, mit deren Hilfe man h¨auﬁg trotzdem die Stabilit¨ atseigenschaften von bekannten station¨aren L¨osungen ausrechnen kann. Oft geschieht dies mit Hilfe von Linearisierungen um die station¨are L¨ osung und der Berechnung von Eigenwerten des linearisierten Operators. Dies wird in Kapitel 4 n¨ aher erl¨ autert.

1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung Wir wollen nun die Dimensionsanalyse an Hand eines etwas aussagekr¨aftigeren Beispiels erl¨ autern. Wir betrachten einen K¨orper der Masse m, der im Gravitationsfeld eines Planeten (zum Beispiel der Erde) senkrecht nach oben geworfen wird. Die Bewegung des K¨ orpers wird beschrieben durch das Newtonsche Gesetz F , a= m wobei a die Beschleunigung des K¨ orpers und F die auf den K¨orper wirkende Kraft ist. Letztere wird beschrieben durch das Gravitationsgesetz F = −G

mE m , (x + R)2

wobei G ≈ 6,674 · 10−11 N · m2 /kg2 die Gravitationskonstante ist, mE die Masse des Planeten, R der Radius des Planeten und x die H¨ohe des K¨orpers, gemessen von der Oberﬂ¨ ache des Planeten. Dabei wird der Str¨omungswiderstand in der Atmosph¨ are vernachl¨ assigt und der Planet als Kugel betrachtet. Deﬁniert man die Konstante g als GmE , R2

g= so erh¨ alt man F =−

gR2 m . (x + R)2

F¨ ur die Erde ist g = 9,80665 m/s2 die Erdbeschleunigung. Die Bewegung des K¨ orpers wird damit beschrieben durch die Diﬀerentialgleichung x (t) = −

gR2 . (x(t) + R)2

Diese wird erg¨ anzt durch zwei Anfangsbedingungen,

(1.7)

1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung

x(0) = 0 ,

13

x (0) = v0 ,

wobei v0 die Anfangsgeschwindigkeit bezeichnet. F¨ ur W¨ urfe auf der Erde wird typischerweise der Term x(t) im Nenner von (1.7) weggelassen, weil er, verglichen mit dem Erdradius, sehr klein ist. Wir wollen diesen Ansatz systematisch untersuchen. Dazu f¨ uhren wir zun¨achst eine Entdimensionalisierung durch. Als Beispiel benutzen wir die Daten 2

g = 10 m/s ,

R = 107 m und v0 = 10 m/s ,

deren Gr¨ oßenordnungen etwa denen eines Wurfes auf der Erde entsprechen. Die auftretenden Dimensionen sind L f¨ ur die L¨ ange, T f¨ ur die Zeit und M f¨ ur die Masse. Die gegebenen Daten sind die Masse m mit Dimension [m] = M , die Anfangsgeschwindigkeit v0 mit Dimension [v0 ] = L/T , die Planetenbe” schleunigung“ g mit Dimension [g] = L/T 2 und der Radius R mit Dimension [R] = L. Die Variable ist die Zeit t mit Dimension [t] = T , die gesuchte Gr¨oße die H¨ ohe x mit Dimension [x] = L. Wir suchen zun¨achst alle Darstellungen der Form Π = ma v0b g c Rd , die entweder dimensionslos sind (Fall (i)), oder die Dimension einer L¨ange haben (Fall (ii)), oder die Dimension einer Zeit haben (Fall (iii)). Aus b c L L [Π] = M Ld = M a Lb+c+d T −b−2c T T2 a

folgt: Fall (i): Es ist a = 0, b + c + d = 0, −b − 2c = 0, also b = −2c, d = c und damit c gR . Π= v02 Als charakteristischen dimensionslosen Parameter kann man also zum Beispiel v2 (1.8) ε= 0 gR identiﬁzieren; alle anderen dimensionslosen Parameter sind eine Potenz dieses Parameters. Fall (ii): Es ist a = 0, b + c + d = 1, b + 2c = 0 und damit b = −2c, d = 1 + c. Als charakteristische L¨ angeneinheit erh¨ alt man = v0−2c g c R1+c = R ε−c , mit noch nicht speziﬁzierter Konstante c.

14

1 Einf¨ uhrung

Fall (iii): Es ist a = 0, b + c + d = 0, b + 2c = −1 und damit b = −1 − 2c, d = c + 1. Eine charakteristische Zeiteinheit ist demnach τ = v0−1−2c g c Rc+1 =

R −c ε . v0

Wir werden nun versuchen, Gleichung (1.7) zu entdimensionalisieren. Dazu betrachten wir eine L¨ angeneinheit x und eine Zeiteinheit t und stellen x(t) dar als x(t) = x y(t/t) . Aus (1.7) folgt x t oder

x 2

t g

2

y (τ ) = −

y (τ ) = −

gR2 (x y(τ ) + R)2

1 . ((x/R) y(τ ) + 1)2

Diese Gleichung wird erg¨ anzt durch die Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y (0) =

t v0 . x

ahlen, dass m¨ oglichst viele der auftretenden Wir wollen nun x und t so w¨ Parameter gleich Eins sind. Es gibt hier jedoch mehr Parameter als Skalierungseinheiten, n¨ amlich die drei Parameter x 2

t g

,

x t und v0 . R x

Man kann daher nur jeweils zwei Parameter auf Eins setzen und hat somit drei verschiedene M¨ oglichkeiten: x x R = 1 folgt aus x = R, t = , der dritte Parameter ist a) 2 = 1 und R g t g √ t v0 dann v0 = √ = ε mit dem ε aus (1.8). Das Modell reduziert sich x Rg zu √ 1 y (τ ) = − , y(0) = 0 , y (0) = ε . (1.9) (y(τ ) + 1)2 b)

x t R = 1 und v0 = 1 erh¨ alt man f¨ ur x = R und t = , der dritte R x v0 x v2 Parameter ist dann 2 = 0 = ε, das dimensionslose Modell ist Rg t g ε y (τ ) = −

1 , (y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 ,

y (0) = 1 .

1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung

c)

x 2

t g ist

= 1 und

15

t v0 v2 v0 = 1 folgt f¨ und x = 0 . Der dritte Parameter ur t = x g g

x v2 = 0 = ε. Das dimensionslose Modell ist also R gR y (τ ) = −

1 , (ε y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 ,

y (0) = 1 .

(1.10)

Wir wollen nun die drei entdimensionalisierten Gleichungen f¨ ur das oben erw¨ ahnte Anwendungsbeispiel bewerten und vergleichen. F¨ ur R = 107 m, g = 10 m/s2 und v0 = 10 m/s ist der Parameter ε sehr klein, ε=

v2 = 10−6 . Rg

Wir werden daher Terme der Gr¨ oßenordnung ε in den Gleichungen vernachl¨ assigen. Modell a) ist dann y (τ ) = −

1 , (y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 ,

y (0) = 0 .

Wegen y (0) < 0 und y (0) = 0 liefert dieses Modell negative L¨osungen, es ist damit vollkommen ungenau und unbrauchbar. Der Grund liegt in der Skalierung innerhalb der Entdimensionalisierung: Die Parameter t und x sind hier R = 103 s und x = 107 m , t= g beide Skalen sind f¨ ur das untersuchte Problem viel zu groß. Die maximal erreichte H¨ ohe und der Zeitpunkt, zu dem sie erreicht wird, sind viel kleiner als die Skalen x f¨ ur L¨ ange und t f¨ ur Zeit und daher im entdimensionalisierten Modell kaum zu erkennen“. ” Modell b) wird zu 0=−

1 , (y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 , y (0) = 1 .

Dieses Problem ist nicht gut gestellt, es hat keine L¨osung. Hier sind die gew¨ahlten Zeit- und L¨ angenskalen ebenfalls viel zu groß, t=

R = 106 s und x = R = 107 m . v0

Modell c) wird zu y (τ ) = −1 ,

y(0) = 0 ,

y (0) = 1 .

(1.11)

16

1 Einf¨ uhrung

Dieses Modell hat die L¨ osung 1 y(τ ) = τ − τ 2 2 und beschreibt damit die typische parabelf¨ ormige Weg–Zeit–Kurve eines Wurfes im Schwerefeld der Erde ohne Ber¨ ucksichtigung des Luftwiderstandes. Die R¨ ucktransformation x(t) = x y(t/t) =

v02 y(gt/v0 ) g

liefert

1 x(t) = v0 t − gt2 . 2 Dies entspricht der L¨ osung von (1.7), wenn man dort den Term x(t) im Nenner vernachl¨ assigt. Die L¨ angenskalen in der Entdimensionalisierung haben hier sinnvolle Werte, v0 v2 = 1 s , x = 0 = 10 m . t= g g F¨ ur die betrachtete Anwendung ist also die Entdimensionalisierungsversion c) die richtige“. Versionen a) und b) sind zwar ebenfalls mathematisch korrekt, ” man kann aber dort den kleinen Parameter ε nicht vernachl¨assigen, weil sein Einﬂuss durch die (zu) großen Skalierungsparameter t und x verst¨arkt wird.

1.5 Asymptotische Entwicklung Wir werden nun eine Technik einf¨ uhren, mit der man das vereinfachte Modell verbessern kann. Die Grundidee dazu ist, im exakten Modell (1.10) den Term der Gr¨ oßenordnung ε nicht komplett zu vernachl¨assigen, sondern eine Reihenentwicklung f¨ ur die L¨ osung von (1.10) bez¨ uglich ε zu versuchen, um genauere L¨ osungen zu erhalten. Die Terme h¨ oherer Ordnung in ε bestimmt man, indem man die Reihenentwicklung in (1.10) einsetzt und dann die Gleichungen l¨ost, die sich zu jeder Ordnung in ε ergeben. Wir wollen dieses Vorgehen, das man als Methode der asymptotischen Entwicklung bezeichnet, zun¨ achst an einem einfachen algebraischen Beispiel diskutieren. Wir betrachten die Gleichung x2 + 0,002 x − 1 = 0 .

(1.12)

Der zweite Summand hat einen kleinen Vorfaktor. Setzen wir ε = 0,001 1, so erhalten wir (1.13) x2 + 2εx − 1 = 0 . Wir nehmen an, dass L¨ osungen dieser Gleichung eine Reihenentwicklung der Form

1.5 Asymptotische Entwicklung

17

x = x0 + εα x1 + ε2α x2 + · · · mit α > 0 besitzen. Wir setzen diese Entwicklung in (1.13) ein und erhalten x20 + 2εα x0 x1 + · · · + 2ε(x0 + εα x1 + · · · ) − 1 = 0 . Wenn diese Identit¨ at richtig sein soll, muss sie insbesondere f¨ ur kleine ε richtig sein. Alle Terme, die keinen Faktor ε (oder εα ) besitzen, m¨ ussen sich zu Null addieren. Solche Terme sind von der Ordnung 1. Wir schreiben O(1) beziehungsweise O(ε) und sammeln dabei nur die Terme, die genau von der Ordnung 1 beziehungsweise ε sind. Die Gleichung zur Ordnung 1 ist O(1) :

x20 − 1 = 0 .

Die L¨ osungen sind x0 = ±1. Insbesondere hat die Gleichung zur Ordnung O(1) genau so viele L¨ osungen wie das urspr¨ ungliche Problem. Dies ist eine Voraussetzung, um von einem regul¨ar gest¨orten Problem zu sprechen. Sp¨ater werden wir sehen, wann wir von regul¨ aren und wann wir von singul¨aren St¨orungen sprechen. Jetzt betrachten wir die Terme zur n¨ achsth¨ oheren Ordnung in ε. Welche das sind, h¨ angt davon ab, ob α < 1, α > 1 oder α = 1 gilt. Ist α < 1, so folgt achst x1 = 0, und aus den Termen der aus den Termen der Ordnung εα zun¨ ur 1 ≤ j < 1/α. Falls α = 1/k mit k ∈ N gilt, Ordnung εjα sukzessive xj = 0 f¨ dann folgt aus dem Term der Ordnung kα = 1 2x0 xk + 2x0 = 0 und damit xk = −1. Im weiteren Verlauf der asymptotischen Entwicklung stellt man fest, dass f¨ ur die Terme der Ordnung j mit αj ∈ / N immer xj = 0 herauskommt, da der Term der Ordnung εαj durch 2x0 xj gegeben ist. Somit bleiben nur die Terme xkn mit n ∈ N u ur die entsprechenden Potenzen ¨ brig. F¨ εknα gilt knα ∈ N. Der Potenzreihenansatz mit α < 1, α = 1/k, k ∈ N, f¨ uhrt also auf dasselbe Ergebnis wie der Ansatz α = 1, und ist somit unn¨otig kompliziert. Falls α = 1/k f¨ ur alle k ∈ N gilt, dann folgt f¨ ur den Term der Ordnung ε 2x0 = 0 , was im Widerspruch zu den bereits berechneten L¨osungen x0 = ±1 steht. Der Ansatz α < 1 ist demnach nicht sinnvoll. Im Fall α > 1 w¨are der Term der Ordnung ε ebenfalls durch 2x0 = 0 gegeben; dies ist aber, wie wir gerade gesehen haben, nicht m¨ oglich. Somit bleibt als einzige sinnvolle Wahl α = 1 und wir erhalten zur Ordnung ε die Gleichung O(ε) : Die einzige L¨ osung ist x1 = −1.

2x0 x1 + 2x0 = 0 .

18

1 Einf¨ uhrung

Ber¨ ucksichtigen wir auch Terme der n¨ achsth¨ oheren Ordnung ε2 , so erhalten wir x20 + 2εx0 x1 + ε2 x21 + 2ε2 x2 x0 + 2ε(x0 + εx1 + ε2 x2 ) − 1 = 0 und die Terme der Ordnung ε2 ergeben die Identit¨at O(ε2 ) :

x21 + 2x2 x0 + 2x1 = 0 .

Damit gilt x2 =

1 1 (x0 )−1 = ± . 2 2

Gleichung (1.12) entspricht (1.13) f¨ ur ε = 10−3 . Wir erwarten daher, dass die Zahlen x0 , x0 + εx1 , x0 + εx1 + ε2 x2 gute N¨ aherungen der L¨ osungen von (1.12) sind, falls wir ε = 10−3 setzen. Es folgt x0 x0 + εx1 x0 + εx1 + ε2 x2 exakte L¨osungen 1 0,999 0,9990005 0,9990005 · · · −1 −1,001 −1,0010005 −1,0010005 · · · Die Reihenentwicklung liefert also schon bei der Ber¨ ucksichtigung weniger Terme sehr gute N¨ aherungen. Interessant wird dieses Vorgehen nat¨ urlich erst bei komplexen Problemen ohne analytische L¨ osung. Wir wollen die Methode der asymptotischen Entwicklung nun am Beispiel (1.10) des Wurfes im Schwerefeld eines Planeten diskutieren. Anwendung der Taylorentwicklung um z = 1 1 = 1 − 2z + 3z 2 − 4z 3 ± · · · (1 + z)2 auf die rechte Seite der Diﬀerentialgleichung yε (τ ) = − liefert

1 (1 + ε yε (τ ))2

yε (τ ) = −1 + 2ε yε (τ ) − 3ε2 yε2 (τ ) ± · · · .

(1.14)

(1.15)

Wir nehmen an, dass die L¨ osung yε ebenfalls eine Reihenentwicklung besitzt, und zwar von der Form yε (τ ) = y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · ·

(1.16)

mit zu bestimmenden Koeﬃzientenfunktionen yj (τ ) und einem noch nicht speziﬁzierten Parameter α. Dieser Ansatz wird in (1.15) eingesetzt, dann werden die Koeﬃzienten derselben Potenzen von ε verglichen. Ziel ist es, einen

1.5 Asymptotische Entwicklung

19

sinnvollen Wert des Parameters α zu ermitteln, und l¨osbare Gleichungen f¨ ur die Koeﬃzientenfunktionen yj (τ ), j = 0, 1, 2, . . ., zu erhalten. Einsetzen von (1.16) in (1.15) liefert y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · · = −1 + 2ε y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · · 2 − 3ε2 y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · · ± · · · .

(1.17)

Entsprechend kann man die Reihenentwicklung in die Anfangsbedingungen einsetzen und erh¨ alt y0 (0) + εα y1 (0) + ε2α y2 (0) + · · · = 0 , y0 (0) + εα y1 (0) + ε2α y2 (0) + · · · = 1 . Hieraus folgt durch Vergleich der Koeﬃzienten von εkα , k ∈ N, sofort yj (0) = 0 f¨ ur j ∈ N ∪ {0} , y0 (0) = 1 und yj (0) = 0 f¨ ur j ∈ N .

(1.18)

Der Koeﬃzientenvergleich in (1.17) ist etwas komplizierter. Die niedrigste auftretende Potenz von ε ist ε0 = 1, der Vergleich der Koeﬃzienten von ε0 liefert y0 (τ ) = −1 . Zusammen mit den Anfangsbedingungen y0 (0) = 0 und y0 (0) = 1 erhalten wir das bereits bekannte Problem (1.11) mit der L¨osung 1 y0 (τ ) = τ − τ 2 . 2 Der n¨ achste Exponent h¨ angt nun von der Wahl von α ab. F¨ ur α < 1 ist dies εα , Vergleich der Koeﬃzienten liefert y1 (τ ) = 0 . Zusammen mit den Anfangsbedingungen y1 (0) = y1 (0) = 0 erh¨alt man die eindeutige L¨ osung y1 (τ ) = 0. Der Term 2εy0 in (1.17) kann nur kompensiert werden durch einen Term der Form εkα yk , k ∈ N, kα = 1. Wie im Fall von y1 folgern wir yj ≡ 0 f¨ ur 1 ≤ j ≤ k − 1. Analog erh¨alt man im weiteren Verlauf der asymptotischen Entwicklung, dass die Terme yk mit kα ∈ / N alle Null sind, so dass man von vornherein mit dem Ansatz α = 1 starten kann. F¨ ur α > 1 ist der n¨ achste Exponent ε1 , durch Koeﬃzientenvergleich folgt dann y0 (τ ) = 0. Dies ist ein Widerspruch zur oben berechneten L¨osung, also ist α > 1 sicher die falsche Wahl. Wir betrachten also den Exponenten α = 1. Die Koeﬃzienten von ε1 sind dann y1 (τ ) = 2 y0 (τ ) = 2τ − τ 2 .

20

1 Einf¨ uhrung

1

y0 + ε y1 y0 1

yε 2

Abb. 1.2. Asymptotische Entwicklung beim senkrechten Wurf f¨ ur ε = 0,2

Zusammen mit den Anfangsbedingungen y1 (0) = y1 (0) = 0 erh¨alt man die eindeutige L¨ osung 1 1 y1 (τ ) = τ 3 − τ 4 . 3 12 Die Koeﬃzienten von ε2 ergeben das Problem y2 (τ ) = 2 y1 (τ ) − 3 y02 (τ ) =

2 3 1 4 3 τ − τ − 3τ 2 + 3τ 3 − τ 4 3 6 4

und die Anfangsbedingungen y2 (0) = y2 (0) = 0. Die L¨osung ist y2 (τ ) = −

11 6 11 5 1 4 τ + τ − τ . 360 60 4

Entsprechend kann man die weiteren Koeﬃzienten y3 (τ ), y4 (τ ), · · · ausrechnen, wobei der Aufwand mit zunehmender Ordnung immer gr¨oßer wird. Die ersten drei Terme der Reihenentwicklung sind also 1 3 1 1 11 11 6 1 τ − τ 4 + ε2 − τ 4 + τ 5 − τ yε (τ ) = τ − τ 2 + ε + O ε3 . 2 3 12 4 60 360 Abbildung 1.2 zeigt die Graphen der Approximationen y0 (τ ) der Ordnung 0, y0 (τ ) + ε y1 (τ ) der Ordnung 1 und die exakte L¨osung f¨ ur ε = 0,2. Man sieht, dass die Approximation der Ordnung 1 von der exakten L¨osung optisch kaum zu unterscheiden ist, w¨ ahrend die Approximation der 0–ten Ordnung einen deutlich sichtbaren Fehler aufweist. Wir m¨ ochten nun mit Hilfe der Reihenentwicklung eine bessere Approximation f¨ ur die H¨ ohe des Wurfes ausrechnen. Dazu berechnen wir zun¨achst eine Approximation f¨ ur den Zeitpunkt τ = τε , zu dem diese H¨ohe erreicht wird, aus der Gleichung yε (τ ) = 0 . Mit yε (τ ) = y0 (τ ) + ε y1 (τ ) + ε2 y2 (τ ) + · · · folgt

1.5 Asymptotische Entwicklung

21

y0 (τ ) + ε y1 (τ ) + ε2 y2 (τ ) + O ε3 = 0 . Wir l¨ osen die Gleichung wieder n¨ aherungsweise mit dem Reihenansatz τε = τ0 + ε τ1 + ε2 τ2 + · · · . Die Koeﬃzienten von ε0 liefern y0 (τ0 ) = 1 − τ0 = 0 , und damit τ0 = 1. Aus den Koeﬃzienten von ε und der Entwicklung y0 (τε ) = alt man y0 (τ0 ) + ε y0 (τ0 )τ1 + · · · erh¨ 1 y0 (τ0 )τ1 + y1 (τ0 ) = −τ1 + τ02 − τ03 = 0 3 und somit τ1 = 2/3. Die N¨ aherung erster Ordnung von τε ist damit 2 1+ ε. 3 Die entsprechende H¨ ohe ist hε = yε (τε ) = y0 (τ0 ) + ε y0 (τ0 )τ1 + y1 (τ0 ) + O ε2 1 1 = y0 (τ0 ) + ε y1 (τ0 ) = + ε . 2 4 Wenn man die Abnahme der Gravitationskraft mit der H¨ohe ber¨ ucksichtigt, wird die H¨ ohe des Wurfes also etwas gr¨ oßer. F¨ ur unser urspr¨ ungliches Beispiel mit ε = 10−6 macht sich dieser Eﬀekt aber erst in der siebten Nachkommastelle bemerkbar. Die Existenz einer Reihenentwicklung der Form (1.16) ist a priori nicht gesichert. F¨ ur eine mathematisch abgesicherte Modellbildung ist es daher n¨otig, das Ergebnis der Reihenentwicklung zu rechtfertigen, zum Beispiel durch Herleitung einer Fehlerabsch¨ atzung der Form N j yε (τ ) − ε yj (τ ) ≤ CN εN +1 . (1.19) j=0 Wir zeigen diese Absch¨ atzung f¨ ur N = 1, also |yε (τ ) − y0 (τ ) − ε y1 (τ )| ≤ Cε2 ,

(1.20)

und zwar f¨ ur τ ∈ (0, T ) mit einer geeigneten Zeit T , falls ε klein genug ist, also ε < ε0 mit einem geeigneten, noch zu speziﬁzierenden ε0 gilt. Als ersten Schritt konstruieren wir eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur den Fehler zε (τ ) = yε (τ ) − y0 (τ ) − ε y1 (τ ) .

22

1 Einf¨ uhrung

Aus den Diﬀerentialgleichungen f¨ ur yε , y0 und y1 folgt zε (τ ) = yε (τ ) − y0 (τ ) − ε y1 (τ ) = −

1 + 1 − 2ε y0 (τ ) . (1 + ε yε (τ ))2

Taylorentwicklung mit Restglied liefert 1 1 = 1 − 2y + 3 y2 2 (1 + y) (1 + ϑy)4 mit ϑ = ϑ(y) ∈ (0, 1). Man erh¨ alt also zε (τ ) = −1 + 2ε yε (τ ) − 3ε2

1 y 2 (τ ) + 1 − 2ε y0 (τ ) . (1 + εϑ yε (τ ))4 ε

Durch Einsetzen von yε (τ ) = zε (τ ) + y0 (τ ) + ε y1 (τ ) folgt zε (τ ) = 2ε zε (τ ) + ε2 Rε (τ ) mit Rε (τ ) = −

(1.21)

3 yε2 (τ ) + 2y1 (τ ) . (1 + εϑ yε (τ ))4

Zus¨ atzlich gelten die Anfangsbedingungen zε (0) = 0 und zε (0) = 0 . otigen wir untere und obere Schranken f¨ ur Zur Absch¨ atzung von Rε (τ ) ben¨ ur yε und der yε (τ ). Diese kann man herleiten aus der Diﬀerentialgleichung f¨ Darstellung τ τ t yε (τ ) = yε (0) + yε (t) dt = yε (s) ds dt yε (0) +

0

τ

=τ+ 0

0

0

t

0

yε (s) ds dt .

Es sei tε := inf t t > 0, yε (t) < 0 . Oﬀensichtlich folgt dann aus (1.14), dass yε (τ ) ≥ −1 f¨ ur 0 < τ < tε und damit 1 yε (τ ) ≥ τ − τ 2 . 2 Da yε stetig ist, folgt insbesondere tε ≥ 2. Wegen yε (τ ) ≤ 0 f¨ ur τ < tε gilt auch yε (τ ) ≤ tε f¨ ur τ < tε . Sei nun T ≤ tε fest gew¨ahlt, zum Beispiel T = 2. Dann gilt f¨ ur τ < T |Rε (τ )| ≤ 3|yε (τ )|2 + 2|y1 (τ )| ≤ C1 mit einer Konstanten C1 = C1 (T ). Zu wir nun eine einem C0 > 0 deﬁnieren weitere Zeit τε > 0 durch τε = inf t t > 0, |zε (t)| ≥ C0 ε2 . Da zε stetig ist ur τ < min(T, τε ) folgt aus (1.21) und zε (0) = 0 gilt, folgt τε > 0. F¨

1.5 Asymptotische Entwicklung

|zε (τ )| =

τ

0

0

t zε (s) ds dt ≤

τ

0

t

|zε (s)| ds dt ≤

0

F¨ ur C0 > T 2 C1 gibt es dann ein ε0 > 0, so dass n¨ amlich 1 C1 ε0 = − . 2T 2 2C0

23

1 2 T (2C0 ε + C1 )ε2 . 2

1 2 2 T (2C0 ε0

+ C1 ) =

C0 2 ,

F¨ ur alle ε ≤ ε0 und alle t ≤ min{T, τε } gilt dann C0 2 ε . 2

|zε (t)| ≤

Da zε stetig ist, folgt daraus insbesondere τε ≥ T . Damit ist (1.20) gezeigt, mit C = C0 /2. Das Vorgehen bei der Bestimmung der asymptotischen Entwicklung kann auch allgemeiner und abstrakter in Banachr¨aumen, also vollst¨andigen, normierten R¨aumen, formuliert werden. Es seien B1 , B2 Banachr¨aume und F : B1 × [0, ε0 ) → B2 sei eine glatte Abbildung, die insbesondere so oft diﬀerenzierbar ist, wie es ¨ f¨ ur die folgenden Uberlegungen notwendig ist. Wir suchen f¨ ur ε ∈ [0, ε0 ) eine L¨ osung yε der Gleichung F (y, ε) = 0 . Wir machen den Ansatz yε =

∞

εi yi

i=0

und entwickeln F (yε , ε) =

∞ i=0

=

∞ i=0

εi Fi (yε ) =

∞

⎛ εi Fi ⎝

i=0

⎛

∞

+ 21 D2 Fi (y0 ) ⎝

εj yj ⎠

j=0

⎛

εi ⎝Fi (y0 ) + DFi (y0 ) ⎝ ⎛

⎞

∞ j=1

∞ j=1

εj yj ,

∞

⎞ εj yj ⎠ ⎞

⎞

εj yj ⎠ + . . . ⎠

j=1

= F0 (y0 ) + ε(F1 (y0 ) + DF0 (y0 )(y1 )+ + ε2 F2 (y0 ) + DF1 (y0 )(y1 ) + DF0 (y0 )(y2 ) + 12 D2 F0 (y0 )(y1 , y1 ) + ··· . Diese Gleichungen l¨ osen wir nun iterativ, mit steigender Ordnung, und erhalten

24

1 Einf¨ uhrung

F0 (y0 ) = 0 , DF0 (y0 )(y1 ) = −F1 (y0 ) , 1 DF0 (y0 )(y2 ) = −F2 (y0 ) − DF1 (y0 )(y1 ) − D2 F0 (y0 )(y1 , y1 ) , 2 .. . DF0 (y0 )(yk ) = Gk (y0 , . . . , yk−1 ) . Falls die lineare Abbildung DF0 (y0 ) : B1 → B2 eine Inverse besitzt, so k¨onnen die Werte y1 , y2 , y3 , . . . iterativ berechnet werden. Deﬁnition 1.1. Sind die Werte y0 , . . . , yN L¨osungen der obigen Gleichungen, so heißt die Reihe N N yε := εi yi i=0

formale asymptotische Entwicklung der Ordnung N . Eine wichtige Frage ist nun, ob die durch einen kleinen Parameter ε gest¨orten“ ” Probleme eine gute N¨ aherung f¨ ur das Ausgangsproblem liefern. Dazu folgende Deﬁnition. Deﬁnition 1.2. (Konsistenz) Die Gleichungen F (y, ε) = 0 ,

ε > 0,

heißen konsistent zu F (y, 0) = 0 , falls f¨ ur alle L¨osungen y0 von F (y0 , 0) = 0 gilt: lim F (y0 , ε) = 0 .

ε→0

Bemerkungen 1. Aus der Konsistenz folgt im Allgemeinen nicht die Konvergenz. F¨ ur L¨osungen yε von F (y, ε) = 0 muß nicht unbedingt yε − y0 → 0

in B1

gelten, siehe dazu auch Aufgabe 1.11. 2. Ein wichtiger Fall in der asymptotischen Analysis tritt auf, wenn der kleine Parameter als Faktor an einem f¨ ur die mathematische Struktur des Problems entscheidenden Term steht; bei Diﬀerentialgleichungen ist das in der Regel die h¨ ochste auftretende Ableitung der gesuchten Funktion. Man spricht dann von einer singul¨aren St¨orung. Wir werden entsprechende Beispiele am Ende von Kapitel 6 untersuchen.

1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik

25

K

Abb. 1.3. Umstr¨ omung eines K¨ orpers

Beispiele: (i) Die Gleichung

ε x2 − 1 = 0

andert f¨ ur ε → 0 ihre Ordnung. Insbesondere ist die Gleichung f¨ ur ε = 0 ¨ 2 unl¨ osbar und die L¨ osungen x± ur ε → 0 ε von ε x − 1 = 0 konvergieren f¨ gegen unendlich. (ii) Das Anfangswertproblem ε yε =

1 , (yε + 1)2

yε (0) = 0 ,

yε (0) = 1

andert seinen Charakter, falls man ε = 0 setzt. F¨ ur ε > 0 hat man eine ¨ Diﬀerentialgleichung und f¨ ur ε = 0 erhalten wir eine unl¨osbare algebraische Gleichung.

1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik Wir werden nun die bisher behandelten Begriﬀe Dimensionsanalyse, asymptotische Entwicklung und singul¨ are St¨ orung an einem deutlich komplizierteren Beispiel aus der Str¨ omungsmechanik diskutieren. Die verwendeten Modelle werden in Kapitel 5 systematisch im Rahmen der Kontinuumsmechanik hergeleitet. Wir betrachten folgendes Beispiel: Ein K¨ orper K wird von einem Fluid, also von einer Fl¨ ussigkeit oder einem Gas, umstr¨ omt. Wir interessieren uns f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld v = v(t, x) ∈ R3 , t ∈ R , x ∈ R3 , des Fluids. Wir nehmen an, dass weit draußen die Geschwindigkeit gegen eine konstante Geschwindigkeit konvergiert

26

1 Einf¨ uhrung

v(t, x) → V ∈ R3

f¨ ur

|x| → ∞ .

Aus Erhaltungsprinzipien und unter gewissen konstitutiven Annahmen an die Eigenschaften des Fluids kann man die Navier–Stokes–Gleichungen herleiten, siehe Kapitel 5. F¨ ur ein inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte 0 gilt bei Vernachl¨ assigung ¨ außerer Kr¨ afte 0 (∂t v + (v · ∇)v) = −∇p + µ∆v , ∇· v = 0,

(1.22) (1.23)

wobei p der Druck und µ die dynamische Viskosit¨at des Fluids ist. Die Viskosit¨ at beschreibt die Z¨ ahigkeit des Fluids, die durch innere Reibung verursacht wird. Sie ist hoch f¨ ur Honig und niedrig f¨ ur Gase. Weiterhin ist, in Koordinaten ausgedr¨ uckt, ∇·v =

3 ∂ vi ∈ R ∂xi i=1

die Divergenz eines Vektorfeldes v,

3 ∂2 3 2v ∈ R ∂x i i=1 3 (v · ∇)v = vi ∂i vj

∆v =

i=1

der Laplace–Operator und ∈ R3 .

j=1,2,3

Wir diskutieren zun¨ achst die Dimensionen der auftretenden Terme. Es gilt Variable Dimension v Geschwindigkeit L/T 0 Massendichte M/L3 p Druck = Kraft/Fl¨ ache (M · L/T 2)/L2 = M/(LT 2 ) Weiter gilt [µ] = M/(LT ) . Dies liefert dann, dass alle Terme in (1.22) von der Dimension M/(L2 T 2 ) sind. Als Beispiel f¨ ur das Potential der Dimensionsanalyse betrachten wir das Verhalten bei der Umstr¨ omung eines großen Schiﬀes. Wir m¨ochten Experimente mit einer um den Faktor 100 verkleinerten Nachbildung durchf¨ uhren. Wann k¨ onnen wir von Ergebnissen f¨ ur Experimente mit der Nachbildung auf das Verhalten des großen Schiﬀes schließen? Dazu m¨ ussen wir die Gleichung auf dimensionslose Form bringen. Die relevanten Parameter sind hier eine charakteristische L¨ange x, etwa die L¨ange des Schiﬀes, sowie die Geschwindigkeit V des Schiﬀes, die Dichte 0 und die Viskosit¨ at µ. Wir bilden durch Kombination dieser Parameter dimensionslose Gr¨ oßen, zum Beispiel

1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik

27

t , t wobei t = t(x, V, 0 , µ) eine noch zu bestimmende charakteristische Zeit ist. Weiter setzen wir v u(τ, y) = |V | y=

und q(τ, y) =

x , x

τ=

p , wobei p noch zu bestimmen ist. p

uhrt mit den Multiplikation der Navier–Stokes–Gleichungen mit t/(0 |V |) f¨ Transformationsregeln ∂t = 1t ∂τ und ∇x = x1 ∇y zur Gleichung ∂τ u +

t|V | p t µ t ∆u . (u · ∇)u = − ∇q + x 0 x|V | 0 (x)2

Wir setzen t = x/|V |, p = |V |2 0 und η = µ/0 — dies ist die kinematische Viskosit¨at — und erhalten 1 ∆u , Re |y| → ∞ .

∂τ u + (u · ∇)u = −∇q + u(τ, y) → V /|V | f¨ ur

| Dabei ist Re := x|V die Reynoldszahl. F¨ ur große |y| konvergiert der Betrag η der entdimensionalisierten Geschwindigkeit gegen 1. Außerdem gilt nat¨ urlich weiterhin ∇·u = 0.

uhren auf dieselbe dimensiStr¨ omungssituationen mit unterschiedlichem x f¨ onslose Form, wenn nur die Reynoldszahl dieselbe ist. Wenn wir die Gr¨oße des Schiﬀes um den Faktor 100 verkleinern, m¨ ussen wir zum Beispiel die Anstr¨ omgeschwindigkeit um den Faktor 10 vergr¨oßern und die kinematische Viskosit¨ at um den Faktor 10 verkleinern, um dieselbe Reynoldszahl zu bekommen. Mit Hilfe der Reynoldszahl kann man absch¨ atzen, welche Einﬂ¨ usse in einer Str¨ omung wichtig und welche unwichtig sind. Wir diskutieren dies am Beispiel zweier unterschiedlicher Modelle f¨ ur den Str¨ omungswiderstand eines K¨orpers, ¨ die wir an Hand heuristischer Uberlegungen motivieren werden. Bei geringen Reynoldszahlen, also hoher Viskosit¨ at oder geringer Str¨omungsgeschwindigkeit, dominiert die viskose Reibung den Str¨ omungswiderstand. Die charakteristischen Gr¨ oßen sind dann die Geschwindigkeit v des umstr¨omten K¨orpers relativ zur Str¨ omung, eine charakteristische Gr¨ oße x des K¨orpers, und die dynamische Viskosit¨ at µ des Fluides. Die Dimensionen sind [v] = TL , [x] = L und [µ] = FLT2 , wenn F die Dimension einer Kraft bezeichnet. Eine Kombination dieser Gr¨ oßen hat dann die Dimension a b c v x µ = La+b−2c T −a+c F c .

28

1 Einf¨ uhrung

Dieses ergibt die Dimension einer Kraft, wenn a + b − 2c = 0 ,

−a + c = 0 und c = 1

und damit a = b = c = 1. Ein Gesetz f¨ ur den Reibungswiderstand in einer viskosen Fl¨ ussigkeit muss daher die Form FR = cR µ x v

(1.24)

mit einem von der Form des K¨ orpers abh¨ angigen Reibungskoeﬃzienten cR haben. F¨ ur eine Kugel mit Radius r kann man zeigen, dass FR = 6πrµv gilt, das ist das Stokessche Gesetz. Bei hohen Reynoldszahlen wird dieser Anteil des Str¨omungswiderstandes dominiert durch eine Kraft, die ben¨ otigt wird, um den in der Bewegungsrichtung des K¨ orpers liegenden Anteil des Fluides zu beschleunigen. Die pro Zeitintervall ∆t zu beschleunigende Masse ist etwa ∆m ∼ A v ∆t mit Dichte des Fluides, Geschwindigkeit v des K¨orpers relativ zur Str¨omungsgeschwindigkeit, und Querschnittﬂ¨ ache A des K¨orpers. Hier beschreibt A v ∆t gerade das im Zeitintervall ∆t vom K¨ orper verdr¨angte Volumen. Dieses Fluidvolumen wird etwa auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, die dabei zugef¨ uhrte kinetische Energie ist etwa ∆Ekin ∼ 12 ∆m v 2 = 12 A v 3 ∆t . Die Reibungskraft ist demnach gegeben durch FR v ∆t = ∆Ekin beziehungsweise

FR ∼ 12 A v 2 .

Die Proportionalit¨ atskonstante hier wird als cW –Wert bezeichnet, und wir erhalten (1.25) FR = 12 cW Av 2 . Da diese Kraft proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, dominiert sie f¨ ur große Geschwindigkeit die viskose Reibungskraft (1.24), w¨ahrend sie f¨ ur kleine Geschwindigkeiten gegen¨ uber (1.24) vernachl¨assigbar ist. Man kann (1.25) auch durch eine Dimensionsanalysis rechtfertigen, siehe Aufgabe 1.12. Der cW –Wert wird in der Praxis durch Messungen bestimmt; eine theoretische Herleitung wie im Fall des Stokesschen Gesetzes f¨ ur eine Kugel gibt es hier nicht. Ohnehin ist (1.25) nur eine relativ grobe Approximation der Realit¨at,

1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik

29

die tats¨ achliche Abh¨ angigkeit des Str¨ omungswiderstandes von der Geschwindigkeit ist wesentlich komplexer. Demgegen¨ uber ist das Stokessche Gesetz eine recht gute Approximation, wenn nur die Geschwindigkeit klein genug ist. Um f¨ ur eine gegebene Anwendung abzusch¨ atzen, welches der beiden Gesetze (1.24) oder (1.25) sinnvoll ist, kann man den Quotienten der beiden ermittelten Reibungskr¨ afte bilden: (1.25)

FR

(1.24) FR

∼

xv = Re . µ

Dabei skalieren wir A ∼ x2 . Folglich ist bei Reynoldszahlen Re 1 das Stokessche Gesetz (1.24) sinnvoll, w¨ ahrend f¨ ur Re 1 der Str¨omungswiderstand nach (1.25) dominiert. F¨ ur Re ∼ 1 sind beide Eﬀekte gleichermaßen wichtig. Die Navier–Stokes–Gleichungen sehen sehr kompliziert aus. K¨onnen wir eventuell Terme vernachl¨ assigen? Da wir die Gleichung auf dimensionslose Form gebracht haben, k¨ onnen wir von groß und klein sprechen. Die Begriﬀe groß und klein h¨ angt jetzt nicht mehr von den gew¨ ahlten Einheiten ab, wir k¨onnen die Zahl 1 als mittlere Gr¨ oße interpretieren. Der einzige Parameter ist die Reynoldszahl und f¨ ur viele Aufgabenstellungen ist Re sehr groß. Dann ist 1 1 ein kleiner Term. Wir vernachl¨ assigen den Term ε∆u = Re ∆u und ε = Re erhalten die Euler–Gleichungen der Str¨ omungsmechanik ∂τ u + (u · ∇)u = −∇q , ∇·u = 0. Wie gut beschreibt dieses reduzierte Modell reale Str¨omungen? Wir werden sp¨ ater sehen, dass die Eulerschen Gleichungen keine Wirbelbildung erlauben. Konkret gilt ⎛ ⎞ ∂x2 u3 − ∂x3 u2 ∇ × u(t, x) = ⎝∂x3 u1 − ∂x1 u3 ⎠ = 0 ∂x1 u2 − ∂x2 u1 f¨ ur t > 0, falls ∇ × u(0, x) = 0. Außerdem zeigt sich, dass •

der Term ε∆u in der N¨ ahe des Randes ∂K nicht klein ist,

und falls die Euler–Gleichungen die Str¨ omung beschreiben w¨ urden, •

der K¨ orper der Str¨ omung keinen Widerstand entgegensetzen w¨ urde, also keine Kr¨ afte der Str¨ omung entgegenwirken; dies ist das sogenannte D’Alembertsche Paradox, und

•

keine Auftriebskr¨ afte wirken w¨ urden.

Wir sehen aber in der Praxis, dass sich bei der Umstr¨omung eines K¨orpers K Wirbel bilden k¨ onnen, die sich manchmal auch von K l¨osen. Außerdem

30

1 Einf¨ uhrung

beobachten wir sogenannte Grenzschichten, das sind d¨ unne“ Bereiche in der ” Str¨ omung nahe des K¨ orpers, in denen sich das Str¨omungsfeld drastisch ¨andert. Wo liegt der Fehler des reduzierten Modells? In den Navier–Stokes–Gleichungen treten zweite Ableitungen bez¨ uglich der Ortsvariablen auf; in den Euler– Gleichungen dagegen nur erste Ableitungen. In der Theorie partieller Differentialgleichungen unterscheidet man verschiedene Typen von Diﬀerentialgleichungen, siehe dazu etwa Evans, [36]. Nach dieser Klassiﬁkation sind die Navier–Stokes–Gleichungen parabolisch, w¨ ahrend die Euler–Gleichungen hyperbolisch sind. Das qualitative Verhalten von hyperbolischen und parabolischen Diﬀerentialgleichungen unterscheidet sich stark. So treten f¨ ur die Eulerschen Diﬀerentialgleichungen typischerweise auch bei beliebig glatten Daten Unstetigkeiten auf, w¨ ahrend man bei den Navier–Stokes–Gleichungen in der Regel glatte L¨ osungen beobachtet (auch wenn dies streng genommen theoretisch bisher nicht bewiesen ist). Der kleine Faktor ε steht also vor einem Term, der f¨ ur das Verhalten der L¨ osung entscheidend ist. Man spricht von einer singul¨aren St¨orung. Um N¨ aherungsl¨ osungen f¨ ur die Navier–Stokes–Gleichungen zu gewinnen, kann daher die Methode der asymptotischen Entwicklung in der Form, in der wir sie kennengelernt haben, nicht angewendet werden. Sie versagt in Grenzschichten, in denen sich die L¨osung stark ¨andert. In Kapitel 6 werden wir die singul¨are St¨orungstheorie kennenlernen, um asymptotische Entwicklungen auch in Grenzschichten gewinnen zu k¨onnen.

1.7 Literaturhinweise Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung und Analysis biologischer Wachstumsmodelle ﬁndet man in [95]. Zur Vertiefung der Themen Entdimensionalisierung, Skalierung und asymptotische Analysis ist [83], Chapter 6 und 7, sehr empfehlenswert, zur Skalierung und Dimensionsanalysis auch [40], Kapitel 1, und zu verschiedenen Aspekten der asymptotischen Analysis [63]. Eine Darstellung der singul¨ aren St¨ orungstheorie mit vielen Beispielen bietet [71]. Teile der Darstellung in diesem Kapitel basieren auf dem Vorlesungsskript [106].

1.8 Aufgaben Aufgabe 1.1. Eine Bank bietet vier verschiedene Varianten eines Sparbuches an: Variante A mit monatlicher Zinszahlung und Zinssatz 0,3% pro Monat, Variante B mit viertelj¨ ahrlicher Zinszahlung und Zinssatz 0,9% pro Vierteljahr, Variante C mit halbj¨ ahrlicher Zinszahlung und Zinssatz 1,8% pro Halbjahr, Variante D mit j¨ahrlicher Zinszahlung und Zinssatz 3,6% pro Jahr.

1.8 Aufgaben

31

a) Berechnen und vergleichen Sie jeweils den eﬀektiven Zins, den man nach einem Jahr (bei Wiederanlage aller bezahlten Zinsen) bekommt. b) Wie m¨ ussen die Zinss¨ atze angepasst werden, damit man jeweils denselben Jahreszins von 3,6% erh¨ alt? c) Geben Sie ein zeitlich kontinuierliches Zinsmodell an, das ohne Angabe eines Zeitinkrements f¨ ur die Zinszahlung auskommt. Aufgabe 1.2. Ein Polizeikommissar m¨ ochte den Todeszeitpunkt eines Mordopfers feststellen. Er misst die Temperatur des Opfers um 12.36 Uhr, sie beuhlungsgesetz ist die Abk¨ uhlung eines tr¨agt 27◦ C. Nach dem Newtonschen Abk¨ K¨ orpers proportional zur Diﬀerenz von K¨ orpertemperatur und Außentemperatur. Leider kennt der Kommissar die Proportionalit¨atskonstante nicht. Deshalb misst er die Temperatur um 13.06 Uhr noch einmal und kommt auf agt 20◦ C, die K¨orpertemperatur zum Todes25◦ C. Die Außentemperatur betr¨ ◦ zeitpunkt wird mit 37 C angesetzt. Wann fand der Mord statt? Aufgabe 1.3. (Trennung der Variablen, Eindeutigkeit, Fortsetzbarkeit) Zu stetigen reellen Funktionen f und g sei die gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung x (t) = f (t) g(x(t)) gegeben. Wir betrachten L¨ osungen, die durch den Punkt (t0 , x0 ) gehen, d. h. es soll x(t0 ) = x0 gelten. a) Zeigen Sie, dass im Fall g(x0 ) = 0 lokal eine eindeutige L¨osung durch den gegebenen Punkt existiert. b) Sei nun g = 0 im Intervall (x− , x+ ), g(x− ) = g(x+ ) = 0 und sei g in x− und x+ diﬀerenzierbar. Zeigen Sie, dass die L¨ osung der Diﬀerentialgleichung durch einen Punkt (t0 , x0 ) mit x0 ∈ (x− , x+ ) global existiert und eindeutig ist. Hinweis: Ist die L¨ osung durch den Punkt (t+ , x+ ) eindeutig? Aufgabe 1.4. Wir betrachten das Modell f¨ ur beschr¨anktes Wachstum von Populationen x (t) = q xM x(t) − q x2 (t) ,

x(0) = x0 .

a) Entdimensionalisieren Sie das Modell durch Wahl geeigneter Maßeinheiten f¨ ur t und x. Welche verschiedenen M¨ oglichkeiten gibt es daf¨ ur? b) Welche Entdimensionalisierung ist geeignet f¨ ur x0 xM (x0 sehr viel ” kleiner als“ xM ) in dem Sinn, dass das Weglassen kleiner Terme zu einem sinnvollen Modell f¨ uhrt?

32

1 Einf¨ uhrung

Aufgabe 1.5. (Entdimensionalisierung, Skalenanalyse) Ein K¨ orper der Masse m wird von der Erdoberﬂ¨ache mit Geschwindigkeit v senkrecht in die H¨ ohe geworfen. Der Luftwiderstand soll durch das Stour den Str¨ omungswiderstand in viskosen Fluiden kessche Gesetz FR = −cv f¨ ber¨ ucksichtigt werden, das f¨ ur kleine Geschwindigkeiten sinnvoll ist. Dabei ist c ein von der Form und der Gr¨ oße des K¨ orpers abh¨angiger Koeﬃzient. Die Bewegung h¨ ange von der Masse m, der Geschwindigkeit v, der Gravitationsbeschleunigung g und dem Reibungskoeﬃzienten c mit Dimension [c] = M/T ab. a) Bestimmen Sie die m¨ oglichen dimensionslosen Parameter und Referenzgr¨ oßen f¨ ur H¨ ohe und Zeit. b) Das Anfangswertproblem f¨ ur die H¨ ohe des K¨orpers laute mx + cx = −mg ,

x(0) = 0 ,

x (0) = v .

Entdimensionalisieren Sie die Diﬀerentialgleichung. Es gibt wieder verschiedene M¨ oglichkeiten. c) Diskutieren Sie verschiedene M¨ oglichkeiten eines reduzierten Modells, falls cv klein ist. β := mg Aufgabe 1.6. Ein Modell f¨ ur einen senkrechten Wurf auf der Erde mit Ber¨ ucksichtigung des Luftwiderstandes ist mx (t) = −mg − c|x (t)|x (t) ,

x(t0 ) = 0 ,

x (t0 ) = v0 .

Dabei wird die Gravitationskraft durch F = −mg approximiert, der Luftwiderstand bei Geschwindigkeit v ist gegeben durch cv 2 mit einer Proportionalit¨ atskonstanten c, die von der Gr¨ oße und Form des K¨orpers und der Dichte der Luft abh¨ angt. Dieses Gesetz ist f¨ ur h¨ ohere Geschwindigkeiten sinnvoll. a) Entdimensionalisieren Sie das Modell. Welche verschiedenen M¨oglichkeiten gibt es? b) Berechnen Sie die H¨ ohe des Wurfes f¨ ur die Daten m = 0,1 kg, g = 10 m/s2 , v0 = 10 m/s, c = 0,01 kg/m und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem entsprechenden Ergebnis des Modells ohne Luftwiderstand. Aufgabe 1.7. (Entdimensionalisierung) Wir m¨ ochten die Leistung P ausrechnen, die notwendig ist, um einen K¨orper mit bekannter Form (zum Beispiel ein Schiﬀ) in einer Fl¨ ussigkeit (zum Beispiel Wasser) fortzubewegen. Wir nehmen an, dass die Leistung abh¨angt von der L¨ ange und Geschwindigkeit v des Schiﬀes, der Dichte und der kinematischen Viskosit¨ at η der Fl¨ ussigkeit, sowie der Erdbeschleunigung g. Die Dimensionen der Daten sind [] = L, [] = M/L3 , [v] = L/T , [η] = L2 /T ,

1.8 Aufgaben

33

[P ] = M L2 /T 3 und [g] = L/T 2 , wobei L eine L¨ange, M eine Masse und T eine Zeit kennzeichnet. Zeigen Sie, dass die Leistung P dann gegeben ist durch P = Φ(Fr, Re) 2 v 3 mit einer Funktion Φ : R2 → R und den dimensionslosen Gr¨oßen Re =

v v (Reynoldszahl) und Fr = √ (Froudesche Zahl). η g

Aufgabe 1.8. (Formale Asymptotische Entwicklung) a) Berechnen Sie f¨ ur das Anfangswertproblem x (t) + ε x (t) = −1 ,

x(0) = 0 ,

x (0) = 1

die formale asymptotische Entwicklung der L¨osung x(t) bis zu zweiter Ordnung in ε. b) Berechnen Sie die formale asymptotische Entwicklung f¨ ur den Zeitpunkt ur den x(t∗ ) = 0 gilt, bis zu erster Ordnung in ε, indem Sie die t∗ > 0, f¨ Reihenentwicklung t∗ ∼ t0 + ε t1 + O(ε2 ) in die erhaltene N¨aherung von x einsetzen und so t0 und t1 bestimmen. Aufgabe 1.9. Ein bereits entdimensionalisiertes Modell f¨ ur einen senkrechten Wurf mit kleinem Luftwiderstand ist x (t) = −1 − ε(x (t))2 ,

x(0) = 0 , x (0) = 1 .

Das Modell beschreibt den Wurf bis zum Erreichen der maximalen H¨ohe. a) Berechnen Sie die ersten beiden Koeﬃzienten x0 (t) und x1 (t) in der asymptotischen Entwicklung x(t) = x0 (t) + ε x1 (t) + ε2 x2 (t) + · · · f¨ ur kleines ε. b) Berechnen Sie die H¨ ohe des Wurfes bis zu Termen der Ordnung ε mit Hilfe einer asymptotischen Entwicklung. c) Vergleichen Sie das Ergebnis aus b) f¨ ur die Daten von Aufgabe 1.6 b) mit dem exakten Ergebnis und dem Ergebnis ohne Ber¨ ucksichtigung des Luftwiderstandes. Aufgabe 1.10. (Mehrskalenansatz) Die Funktion y(t) l¨ ose f¨ ur t > 0 und einen kleinen Parameter ε > 0 das Anfangswertproblem y (t) + 2ε y (t) + (1 + ε2 )y(t) = 0 ,

y(0) = 0 ,

y (0) = 1 .

34

1 Einf¨ uhrung

a) Berechnen Sie eine Approximation der L¨ osung mittels formaler asymptotischer Analysis bis zu erster Ordnung in ε. b) Vergleichen Sie die in a) erhaltene Funktion mit der exakten L¨osung y(t) = e−εt sin t . F¨ ur welche Zeiten t ist die Approximation aus a) gut? c) Um eine bessere Approximation zu ﬁnden, kann man den Ansatz y ∼ y0 (t, τ ) + ε y1 (t, τ ) + ε2 y2 (t, τ ) + · · · versuchen; hierbei ist τ = εt eine langsame Zeitskala. Setzen Sie diesen Ansatz in die Diﬀerentialgleichung ein und berechnen Sie y0 , so dass Sie eine bessere Approximation erhalten. Hinweis: Die Gleichung zu niedrigster Ordnung bestimmt y0 nicht eindeutig und Koeﬃzientenfunktionen in τ kommen vor. W¨ahlen Sie diese geschickt, so dass man y1 leicht berechnen kann. Aufgabe 1.11. (Konsistenz versus Konvergenz) Zu einem Parameter ε ∈ [0, ε0 ) mit ε0 > 0 betrachten wir die Familie von Operatoren F (·, ε) : B1 := Cb2 ([0, ∞)) → B2 := Cb0 ([0, ∞)) × R2 , F (y, ε) = (y + (1 + ε)y, y(0), y (0) − 1) . Dabei sei Cbn ([0, ∞)) der Raum der n–mal diﬀerenzierbaren Funktionen, wobei die Funktionen und ihre Ableitungen bis zur Ordnung n beschr¨ankt seien. Die Normen auf den beiden R¨ aumen B1 und B2 sind gegeben durch yB1 = sup {|y(t)| + |y (t)| + |y (t)|} , t∈(0,∞)

(f, a, b)B2 = sup {|y(t)|} + |a| + |b| . t∈(0,∞)

a) Berechnen Sie f¨ ur das Problem F (y, ε) = (0, 0, 0) die exakte L¨osung yε . b) Zeigen Sie: F (·, ε) ist mit F (·, 0) konsistent, aber yε konvergiert nicht gegen ur ε → 0. y0 in B1 f¨ Aufgabe 1.12. Leiten Sie das Reibungsgesetz f¨ ur den Str¨omungswiderstand bei hohen Reynoldszahlen FR = 12 cW A v 2 durch eine Dimensionsanalyse her. Nehmen Sie dazu an, dass die Reibungskraft abh¨ angt von der Dichte der Fl¨ ussigkeit, einer charakteristischen Gr¨oße r des umstr¨ omten K¨ orpers und der Geschwindigkeit v der Str¨omung. Da der orpers abh¨ angt, d¨ urfen Sie A ∼ r2 annehmen. cW –Wert von der Form des K¨

2 Lineare Gleichungssysteme

Viele einfache Modelle basieren auf linearen Beziehungen zwischen verschiedenen Gr¨ oßen. Problemstellungen mit mehreren Variablen und linearen Beziehungen zwischen diesen Variablen f¨ uhren auf lineare Gleichungssysteme. Auch kompliziertere Prozesse mit nichtlinearen Beziehungen zwischen den relevanten Parametern lassen sich innerhalb eines f¨ ur die Praxis h¨auﬁg ausreichenden G¨ ultigkeitsbereichs durch lineare Beziehungen approximieren. Wir werden in diesem Kapitel lineare Gleichungssysteme zur Beschreibung von elektrischen Netzwerken im Gleichstromkreis und im Wechselstromkreis sowie elastischen Stabwerken kennenlernen und deren Struktur analysieren. Eine weitere wichtige Anwendung sind Systeme von Rohrleitungen, wie zum Beispiel zur Versorgung von H¨ ausern oder St¨ adten mit Wasser oder Gas; dies wird in den Aufgaben thematisiert. Große lineare Gleichungssysteme erh¨alt man auch durch numerische Diskretisierungen von partiellen Diﬀerentialgleichungen; diese Gleichungssysteme haben viele Gemeinsamkeiten mit den hier vorgestellten Systemen.

2.1 Elektrische Netzwerke Elektrische Netzwerke geh¨ oren zu den elementarsten Bausteinen der modernen Welt. Sie sind wesentlich f¨ ur die ¨ oﬀentliche Stromversorgung, aber auch f¨ ur die Wirkungsweise vieler, auch kleiner Ger¨ ate und Maschinen. Wir diskutieren zun¨ achst den einfachsten Fall eines elektrischen Netzwerks im Gleichstromkreis, das im wesentlichen aus Spannungs- oder Stromquellen und aus ohmschen Widerst¨ anden besteht. Insbesondere betrachten wir vorl¨auﬁg noch keine elektronischen Bauteile wie etwa Kondensatoren, Spulen, Dioden oder Transistoren. Als konkretes Beispiel soll das in Abbildung 2.1 gezeigte Netzwerk dienen.

36

2 Lineare Gleichungssysteme IV

R5 + U2 − 5

4 R4

3

V R3 R6

+− I

U1

6

1 R1

R2 II

III 2

Abb. 2.1. Elektrisches Netzwerk

Das Netzwerk besteht im wesentlichen aus •

Kanten in Form von elektrischen Leitungen,

•

Knoten, das sind Verbindungspunkte von zwei oder mehr Leitungen.

Zur Beschreibung des Netzwerks ben¨ otigen wir folgende Informationen u ¨ ber die Physik ﬂießender Str¨ ome: Das Kirchhoﬀsche Stromgesetz, auch 1. Kirchhoﬀsches Gesetz genannt: Die Summe der Str¨ ome in jedem Knoten ist Null. Dies beschreibt die Erhaltung der elektrischen Ladung, Elektronen k¨ onnen durch das Netzwerk wandern, aber nicht in Knoten verschwinden“ oder erzeugt werden“. ” ” Das Kirchhoﬀsche Spannungsgesetz, auch 2. Kirchhoﬀsches Gesetz genannt: Die Summe der Spannungen u ¨ber jede geschlossene Leiterschleife ist Null. Daraus folgt die Existenz von Potentialen an den Knotenpunkten; die an einem Leiterst¨ uck anliegende Spannung ist gegeben durch die Diﬀerenz der Potentiale an den Endpunkten. Das Ohmsche Gesetz : Der Spannungsabfall U am stromdurchﬂossenen Widerstand R mit Stromst¨ arke I ist U = RI. Die Stromst¨ arke wird im in Europa u ¨ blichen Einheitensystem, dem sogenannten SI–System (Syst`eme International d’ Unit´es) in Amp`ere (A) gemessen, die Spannung in Volt (V) und der ohmsche Widerstand in Ohm (Ω). Dabei ist 1Ω = (1A)/(1V). Ein Amp`ere entspricht dem Fluss von einem Coulomb pro Sekunde, ein Coulomb entspricht 6,24150965 · 1018 Elementarladungen. Wir werden in diesem Kapitel die Einheiten bis auf wenige Ausnahmen in den Aufgaben in der Notation weglassen.

2.1 Elektrische Netzwerke

37

Zur Modellierung des Netzwerks deﬁnieren wir: •

Eine Nummerierung der Knoten, in Abbildung 2.1 von I–V, sowie eine Nummerierung der Kanten, in Abbildung 2.1 von 1–6. Diese Nummerierungen k¨ onnen beliebig festgelegt werden. Sie beeinﬂussen nat¨ urlich die konkrete Darstellung des daraus konstruierten Modells und dessen L¨osung, nicht aber die physikalische Interpretation dieser L¨osung.

•

Die Festlegung einer positiven Richtung f¨ ur jede Kante. Dies ist in Abbildung 2.1 durch einen Pfeil dargestellt: Die Festlegung der positiven Richtung sagt nichts u ¨ ber die tats¨achliche Richtung des Stromes aus, die wir ja noch nicht kennen k¨onnen.

Des weiteren f¨ uhren wir Variablen ein, dies sind die Str¨ome und Spannungen entlang der Leiter und die Potentiale in den Knoten. Es gibt zwei verschiedene Typen von Variablen: •

Knotenvariablen, n¨ amlich die Potentiale xi , i = 1, ..., m, wobei m die Anzahl der Knoten ist, hier also m = 5. Diese werden in einem Potentialvektor x = (x1 , ..., xm ) der Dimension m zusammengefasst.

•

Kantenvariablen, das sind zum Beispiel die Str¨ome yj , j = 1, ..., n, wobei n die Anzahl der Kanten ist, hier also n = 6. Diese werden in einem Stromvektor y = (y1 , ..., yn ) der Dimension n zusammengefasst. Entsprechend kann man einen Vektor e = (e1 , . . . , en ) der Spannungen bilden. Die Spannungen lassen sich aus den Potentialen berechnen durch ei = xu(i) − xo(i) ,

i = 1, ..., n ,

(2.1)

wobei u(i) der Index des unteren“ Knotens und o(i) der Index des obe” ” ren“ Knotens ist. Unten“ und oben“ deﬁniert sich aus der vorhin festge” ” legten Richtung des Stromleiters, zum Beispiel ist in Abbildung 2.1 I der untere und II der obere Knoten des Leiters 1. Ein wesentlicher Schritt besteht nun darin, die Geometrie des Netzwerks und die bekannten physikalischen Gesetze in Beziehungen f¨ ur die eingef¨ uhrten Variablen umzusetzen. Dies geschieht mit Hilfe geeigneter Matrizen. Die Beziehung (2.1) zwischen Potentialen und Spannungen l¨asst sich schreiben als e = −Bx wobei die Matrix B = {bij }ni=1 m j=1 ⎧ ⎪ ⎨1 bij = −1 ⎪ ⎩ 0 Im Beispiel von Abbildung 2.1 ist

∈ Rn,m deﬁniert ist durch falls j = o(i) , falls j = u(i) und sonst.

38

2 Lineare Gleichungssysteme

⎞ ⎛ −1 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 −1 1 0 ⎟ ⎟ B=⎜ ⎜−1 0 0 1 0 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 −1 1 ⎠ 0 1 0 0 −1 Die Matrix B heißt Inzidenzmatrix des Netzwerks. Sie beschreibt ausschließlich die Geometrie des Netzwerks, konkret die Beziehungen zwischen Knoten und Kanten. Insbesondere kennt“ die Inzidenzmatrix die Anwendung ” als elektrisches Netzwerk nicht. Dieselbe Inzidenzmatrix wird man auch bei durchstr¨ omten Rohrleitungen mit derselben Geometrie bekommen. Die Inzidenzmatrix hat in jeder Zeile genau einmal den Eintrag 1 und genau einmal den Eintrag −1, alle anderen Eintr¨ age sind 0. Sie h¨angt nat¨ urlich von der Nummerierung der Knoten und Kanten und der festgelegten Richtung der Kanten ab. Der Zusammenhang zwischen Spannungsvektor e und Stromvektor y wird durch das Ohmsche Gesetz hergestellt. Dabei muss man m¨ogliche Spannungsquellen ber¨ ucksichtigen. Abbildung 2.2 zeigt ein Leiterst¨ uck mit Widerstand und Spannungsquelle. F¨ ur die Potentiale xu , xz , xo gilt mit der Spannung bj der Spannnungsquelle xz = xu − Rj yj und xo = xz + bj und damit ej = xu − xo = Rj yj − bj . Hier bezeichnet Rj yj den Spannungsabfall am stromdurchﬂossenen Widerstand und bj die von der Spannungsquelle erzeugte zus¨atzliche Potentialdiﬀerenz. In Vektorschreibweise erh¨ alt man y = C(e + b) , dabei ist C ∈ Rn,n eine Diagonalmatrix, deren Eintr¨age die Leitwerte Rj−1 sind, und b ∈ Rn der Vektor der Spannungsquellen. Bei den Eintr¨agen von b muss man das Vorzeichen beachten: Wir haben ein positives Vorzeichen, wenn die Polung von − nach + in positiver Richtung verl¨auft, wie in Abbildung 2.2, und ein negatives Vorzeichen, wenn die Polung von + nach − in positiver Richtung verl¨ auft. In unserem Beispiel ist ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0 0 0 0 1/R1 0 −U1 ⎜ 0 1/R2 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎜ U2 ⎟ 0 0 ⎟ 0 1/R3 0 ⎟ ⎜ C=⎜ und b = ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟. 0 0 1/R4 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎝ 0 ⎠ 0 0 0 1/R5 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 1/R6

2.1 Elektrische Netzwerke −+

Rj

xu

39

xz

bj

x0

Abb. 2.2. Zur Berechnung des Stromes

Es fehlt noch das Kirchhoﬀsche Stromgesetz. Dieses hat in Vektorschreibweise die Form Ay = 0 , n m,n deﬁniert ist durch wobei A = {aij }m i=1 j=1 ∈ R ⎧ ⎪ ⎨+1 falls i = o(j) , aij = −1 falls i = u (j) und ⎪ ⎩ 0 sonst.

In unserem Beispiel ist

⎛ ⎞ −1 0 0 −1 0 0 ⎜ 1 −1 0 0 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ 0 1 −1 0 0 0 ⎟ . ⎝ 0 0 1 1 −1 0 ⎠ 0 0 0 0 1 −1

Durch Vergleich mit der Inzidenzmatrix B sieht man A = B. Das ist kein Zufall, ein Vergleich der Deﬁnitionen der Eintr¨age aij und bij zeigt, dass dies f¨ ur jedes Netzwerk gilt. Das Kirchhoﬀsche Spannungsgesetz wurde bereits in das Modell eingebaut, n¨amlich u ¨ber die Existenz des Potentialvektors x. Wir haben also alle uns bekannten Informationen u ¨ ber das Netzwerk verarbeitet. Wenn man alles zusammenfasst, dann ist die Modellierung eines elektrischen Netzwerks aus m durchnummerierten Knoten und n durchnummerierten Leitungen mit vorgegebener Richtung gegeben durch •

einen Potentialvektor x ∈ Rm ,

•

einem Spannungsvektor e ∈ Rn , der berechnet werden kann durch e = −Bx mit der Inzidenzmatrix B ∈ Rn,m ,

•

einem Stromvektor y ∈ Rn , zu berechnen durch y = C(e + b) mit der Leitwertmatrix C ∈ R quellen und

n,n

und dem Vektor b ∈ Rn der Spannungs-

40

•

2 Lineare Gleichungssysteme

dem Kirchhoﬀschen Stromgesetz By = 0 .

Dabei beschreibt die Inzidenzmatrix B die Geometrie des Netzwerks, die Leitwertmatrix C die Materialeigenschaften und der Vektor b die von außen gegebenen Triebkr¨ afte“. ” Zur Berechnung der Str¨ ome, Spannungen und Potentiale im Netzwerk w¨ahlt man eine zu bestimmende Variable, zum Beispiel x, und leitet durch Kombination aller Beziehungen eine Gleichung f¨ ur x her. Man erh¨alt B C(b − Bx) = 0 oder

B CBx = B Cb .

(2.2)

Die Matrix M = B CB ist symmetrisch, wenn C symmetrisch ist. Aus x, M x = Bx, CBx mit dem euklidischen Skalarprodukt ·, · sieht man, dass M •

positiv semideﬁnit ist, falls C positiv semideﬁnit ist,

•

positiv deﬁnit ist, falls C positiv deﬁnit ist und B nur den trivialen Kern Kern B = {0} hat.

F¨ ur die meisten Netzwerke ist C in der Tat positiv deﬁnit. Die Inzidenzmatrix B hat jedoch einen nichttrivialen Kern. Man sieht leicht, dass (1, . . . , 1) ∈ Rm im Kern von B ist. Dies gilt f¨ ur jede Inzidenzmatrix, da ja jede Inzidenzmatrix in jeder Zeile genau einen Eintrag +1 sowie einen Eintrag −1 hat und alle anderen Eintr¨ age 0 sind. Dies hat zur Folge, dass das lineare Gleichungssystem keine eindeutige L¨ osung hat. Physikalisch ist der Grund leicht einzusehen: Die Potentiale sind nur bis auf eine Konstante eindeutig, oder nur dann, wenn man einen Nullpunkt“ f¨ ur das Potential festlegt. ” Da B einen nichttrivialen Kern hat, ist nicht von vornherein klar, dass das Gleichungssystem u osbar ist. Es gilt jedoch: ¨berhaupt l¨ Satz 2.1. Es sei C ∈ Rn,n symmetrisch und positiv deﬁnit und B ∈ Rn,m . Dann gilt f¨ ur M = B CB: (i) Kern M = Kern B, (ii) Das Gleichungssystem M x = B b hat f¨ ur jedes b ∈ Rn eine L¨osung. Beweis. Zu (i): Oﬀensichtlich gilt Kern B ⊂ Kern M . F¨ ur x ∈ Kern M gilt 0 = x, B CBx = Bx, CBx .

2.1 Elektrische Netzwerke

41

Da C positiv deﬁnit ist, folgt Bx = 0, also x ∈ Kern B. Zu (ii): Die Gleichung ist l¨ osbar, wenn B b ⊥ Kern(M ) gilt. F¨ ur x ∈ Kern(M ) = Kern M = Kern B gilt B b, x = b, Bx = 0 ,

somit ist die Aussage bewiesen.

In unserem Beispiel ist Kern B = span (1, 1, 1, 1, 1, 1) . Man kann deshalb ein Gleichungssystem mit positiv deﬁniter Matrix durch Festsetzen eines der Potentiale herleiten. Setzt man x5 = 0, dann muss man in der Inzidenzmatrix die 5. Spalte streichen, also ⎛ ⎞ −1 1 0 0 ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ B=⎜ ⎟ ⎜−1 0 0 1 ⎟ ⎝ 0 0 0 −1⎠ 0 1 0 0 ur das setzen, und statt x ∈ R5 den Vektor x = (x1 , ..., x4 ) ∈ R4 benutzen. F¨ Zahlenbeispiel R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1, U1 = 2, U2 = 4 hat man C = I ∈ R6,6 und b = (−2, 0, 4, 0, 0, 0), also ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 2 −1 0 −1 2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ −1 3 −1 0 −2 ⎜ ⎟ ⎟ B CB = B B = ⎜ ⎝ 0 −1 2 −1⎠ und B Cb = B b = ⎝−4⎠ . −1 0 −1 3 4 Die L¨ osung des Gleichungssystems ist ⎛

⎞ 1 ⎜−1⎟ ⎟ x=⎜ ⎝−2⎠ . 1

Daraus kann man die Spannungen und die Str¨ ome ausrechnen, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 0 ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−3⎟ ⎜ ⎟ ⎟ und y = e + b = ⎜1⎟ . e = −Bx = ⎜ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝1⎠ 1 1 Eine naheliegende Frage ist, ob die Inzidenzmatrix eines Netzwerks immer

(2.3) Kern B = span (1, 1, . . . , 1) erf¨ ullt. Die Antwort darauf h¨ angt von folgender geometrischen Eigenschaft des Netzwerks ab:

42

2 Lineare Gleichungssysteme

Deﬁnition 2.2. Ein Netzwerk heißt zusammenh¨angend, wenn man je zwei Knoten durch einen Weg aus Kanten verbinden kann. Aussage (2.3) ist ¨ aquivalent dazu, dass das Netzwerk zusammenh¨angend ist. Konkret gilt: Satz 2.3. F¨ ur ein Netzwerk mit Inzidenzmatrix B sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) Das Netzwerk ist zusammenh¨angend. (ii) B kann nicht durch Umsortieren von Zeilen und Spalten in die Form B1 0 B= 0 B2 gebracht werden mit B1 ∈ Rn1 ,m1 , B2 ∈ Rn2 ,m2 , n1 , n2 , m1 , m2 ≥ 1.

(iii) Kern B = span (1, 1, . . . , 1) . Gleichung (2.2) ist nicht die einzige M¨ oglichkeit, aus den physikalischen Zusammenh¨ angen zwischen Spannungen und Str¨omen im Netzwerk ein lineares Gleichungssysteme zu konstruieren. Man kann zum Beispiel sowohl x als auch y als zu berechnende Variable ansehen. Schreibt man das Ohmsche Gesetz in der Form Ay = e + b mit A = diag(R1 , ..., Rn ) = C −1 , so erh¨ alt man das System Bx + Ay = b , By = 0 , oder

A B B 0

y b = . x 0

(2.4)

Diese Formulierung ist insbesondere dann sinnvoll, wenn einer der ohmschen Widerst¨ ande gleich Null ist, und man daher die Matrix C nicht mehr bilden kann. Netzwerke im Wechselstromkreis Wir werden nun das beschriebene Modell auf Wechselstromkreise mit zus¨atzlichen Bauteilen erweitern. Im Wechselstromkreis hat man einen zeitlich oszillierenden Strom mit vorgegebener Frequenz, also zum Beispiel I(t) = I0 cos(ωt) .

2.1 Elektrische Netzwerke

43

Bei einem ohmschen Widerstand ist der Spannungsabfall gegeben durch U (t) = R I0 cos(ωt) = U0 cos(ωt) mit U0 = R I0 . Einen Wechselstromkreis mit ohmschen Widerst¨anden ohne weitere Bauteile kann man daher wie einen Gleichstromkreis beschreiben, wenn man die Amplituden I0 und U0 f¨ ur Stromst¨ arke und Spannung anstelle der konstanten Stromst¨ arken und Spannungen des Gleichstromkreises verwendet. Neue Effekte kommen durch weitere elektrische Bauteile hinzu. Wir betrachten hier •

. Ein Kondensator kann Kondensatoren, bezeichnet mit dem Symbol elektrische Ladungen speichern. Die Menge der gespeicherten Ladung ist proportional zur angelegten Spannung. Bei Spannungs¨anderungen kann ein Kondensator daher Str¨ ome aufnehmen oder abgeben. Dies wird beschrieben durch die Relation + + + + + + + + a

Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ

I(t) = C U˙ (t) , wobei C die Kapazit¨at des Kondensators ist. Im Wechselstromkreis mit I(t) = I0 cos(ωt) gilt also U (t) =

I0 I0 sin(ωt) = cos(ωt − π/2) . Cω Cω

Man hat hier also eine Phasenverschiebung von π/2 zwischen Strom und Spannung. •

Spulen, bezeichnet durch das Symbol . Eine stromdurchﬂossene Spule erzeugt ein Magnetfeld, dessen St¨ arke proportional zur Stromst¨arke ist. Im Magnetfeld ist Energie gespeichert, diese muss beim Aufbau des Magnetfeldes aus dem Strom der Spule entnommen werden. Dies f¨ uhrt zu ¨ einem Spannungsabfall an der Spule, der proportional zur Anderung der Stromst¨ arke ist, ˙ U (t) = L I(t) wobei L die Induktivit¨ at der Spule ist. Im Wechselstromkreis gilt also U (t) = −LI0 ω sin(ωt) = LωI0 cos(ωt + π/2) . Man hat hier also eine Phasenverschiebung von −π/2.

Die auftretenden Phasenverschiebungen machen die Berechnung hier komplizierter als beim Gleichstromkreis. Es ist n¨ utzlich, die Stromst¨arke und die Spannung mit komplexen Zahlen darzustellen. Dazu nutzt man die Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ . Es gilt dann

44

2 Lineare Gleichungssysteme

cos(ωt) = Re eiωt und sin(ωt) = Re − ieiωt . Stellt man die Stromst¨ arke dar als I(t) = Re I0 eiωt , dann folgt f¨ ur den Spannungsabfall am ohmschen Widerstand U (t) = Re RI0 eiωt , am Kondensator

i iωt I0 e U (t) = Re − ωC

und an der Spule

U (t) = Re iωLI0 eiωt .

Man kann dies durch komplexe Impedanzen R,

−

i und iωL ωC

darstellen, die die Rolle der reellen Widerst¨ ande u ¨bernehmen. Wie bei den reellen ohmschen Widerst¨ anden kann man auch komplexe Impedanzen addieren, wenn man mehr als ein Bauteil im selben Leiterst¨ uck hat. Die Gesamtimpedanz einer Leiters mit ohmschem Widerstand der St¨arke R, Kondensator der Kapazit¨ at C und Spule der Induktivit¨ at L ist also R−

i + iωL . ωC

Beispiel: Wir betrachten das in Abbildung 2.3 dargestellte Netzwerk mit m = 5 Knoten und n = 6 Kanten, die Knoten und Kanten sind dort bereits durchnummeriert, die positiven Richtungen sind vorgegeben. Die angelegten Spannungen U1 (t) und U2 (t) seien gegeben durch U1 (t) = U01 cos(ωt) und U2 (t) = U02 cos(ωt) . Es ist hier wichtig, dass die Frequenzen gleich sind, weil sonst kein Wechselstromnetz bekannter Frequenz vorhanden w¨are. Die Phasenverschiebungen von U1 und U2 sind hier ebenfalls gleich, es ist aber nicht schwierig, unterschiedliche Phasen im Modell zu ber¨ ucksichtigen. Zur Modellierung des Netzwerks benutzen wir einen Potentialvektor x ∈ Cm , einen Stromvektor y ∈ Cn und einen Spannungsvektor e ∈ Cn .

2.1 Elektrische Netzwerke

45

IV

+ U2 −

C5 L4 V

R3 R6 +− I

U1

R1 II

L2

III

Abb. 2.3. Wechselstromnetz

Es gelten die Beziehungen e = −Bx und y = C(e + b) mit der Inzidenzmatrix B des Netzwerks, der Impedanzmatrix C −1 und dem Vektor der angelegten Spannungen b. Die Inzidenzmatrix ist dieselbe wie beim Gleichstromkreis aus Abbildung 2.1, Impedanzmatrix und Vektor der angelegten Spannungen sind gegeben durch ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0 0 R1 0 0 0 −U01 ⎜ 0 iωL2 0 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ U02 ⎟ 0 0⎟ 0 0 R3 0 −1 ⎜ ⎟. ⎜ C =⎜ und b = ⎜ 0 0⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 0 iωL4 ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 (iωC5 )−1 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 R6 Wie beim Gleichstromkreis erh¨ alt man wieder das Gleichungssystem (2.2), der einzige Unterschied ist nun, dass die Koeﬃzienten von C und b im Allgemeinen komplexe Zahlen sind. Nat¨ urlich kann man auch im Wechselstromkreis die alternative Formulierung (2.4) benutzen. F¨ ur das Zahlenbeispiel R1 = R3 = R6 = 1 Ω, L2 = L4 = 0,01 H, C5 = 0,02 F , ω = 50/s mit U01 = 10 V , U02 = 5 V folgt, ohne Einheiten, C = diag(1, −2i, 1, −2i, i, 1) und b = (−10, 0, 5, 0, 0, 0) . Das resultierende Gleichungssystem B CBx = B Cb hat nun die Form

46

2 Lineare Gleichungssysteme

⎛ ⎞ ⎞ 10 1 − 2i −1 0 2i 0 ⎜−10⎟ ⎜ −1 2 − 2i 2i 0 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 2i 1 − 2i −1 0 ⎟ x = ⎜ ⎜ −5 ⎟ , ⎜ ⎝ ⎝ 2i ⎠ 5 ⎠ 0 −1 1 − i −i 0 0 −1 0 −i 1 + i ⎛

und die allgemeine L¨ osung ist ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2i 1 ⎜2i − 6⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ x=⎜ ⎜2i − 5⎟ + z ⎜1⎟ mit z ∈ C . ⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠ 4i − 2 1 Daraus kann man die Spannungen und Str¨ ome berechnen: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −4 6 ⎜ 2i ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2i ⎟ ⎜2i − 5⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e = −Bx = ⎜ ⎟ und y = C(e + b ) = ⎜ 4 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎜ 2i ⎟ ⎝4 + 2i⎠ ⎝2 − 4i⎠ 4 + 2i 4 + 2i Den zeitlichen Verlauf einer durch die komplexe Zahl z ∈ C gegebenen Gr¨oße erh¨ alt man durch z(t) = Re z eiωt , zum Beispiel ist der Strom in Leiter Nummer 5 gegeben durch y5 (t) = Re (4 + 2i)eiωt = 4 cos(ωt) − 2 sin(ωt) . Falls eine der angelegten Spannungen eine Phasenverschiebung hat, dann ist der entsprechende Eintrag im Vektor b ebenfalls Zahl. F¨ ur eine komplexe U2 (t) = U02 sin(ωt) gilt zum Beispiel U2 (t) = Re − iU02 eiωt und ⎛ ⎞ −U01 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−U02 i⎟ ⎜ ⎟. b=⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠ 0

2.2 Stabwerke Ein weiteres technisch wichtiges Beispiel, das auf lineare Gleichungssysteme f¨ uhrt, sind elastische Stabwerke, manchmal auch Fachwerke genannt. Ein

2.2 Stabwerke

111 000 000 111 000 111

47

111 000 000 111 000 111

Abb. 2.4. Einfaches Stabwerk

Stabwerk ist eine Struktur, die aus (in der Regel vielen“) miteinander verbun” denen St¨ aben besteht, ein typisches Beispiel sind manche Br¨ uckenkonstruktionen wie schematisch in Abbildung 2.4 gezeigt, oder manche Turmkonstruktionen wie etwa der Eiﬀelturm. Das Bauwerk verformt sich bei Belastung, dabei verh¨ alt sich das Material elastisch, wenn es bei Wegnahme der Belastung wieder seine urspr¨ ungliche“ Form annimmt. Die Verformung ist wichtig, um die ” Kraftverteilung“ im Bauwerk zu bestimmen, sie ist aber oft so klein, dass ” sie mit bloßem Auge nicht erkennbar ist. In diesem Fall ist h¨auﬁg ein lineares Modell sinnvoll, wie es auch hier verwendet werden soll. Zur Modellierung eines Stabwerks betrachten wir zun¨achst einen einzelnen Stab, wie in Abbildung 2.5 dargestellt. Der Einfachheit halber werden wir hier nur r¨ aumlich zweidimensionale Probleme betrachten. Die Geometrie des Stabes ist gegeben durch die L¨ ange L und den Winkel θ zu einer ausgezeichneten Richtung, zum Beispiel einer vorher festgelegten x1 –Achse.

L θ Abb. 2.5. Geometrie eines einzelnen Stabes

Wir treﬀen folgende Modellierungsannahmen: •

Der Stab kann nur in L¨angsrichtung belastet werden, nicht in Querrichtung. M¨ ogliche Ursachen hierf¨ ur k¨ onnen sein: – Der Stab ist reibungsfrei drehbar gelagert, so dass jede Querkraft sofort zu einer Drehbewegung f¨ uhrt. – Der Stab ist sehr d¨ unn, so dass jede Querkraft zu einer sehr großen Verformung f¨ uhrt und die Struktur ihre Festigkeit im Wesentlichen u angskr¨ afte erh¨ alt. ¨ ber die L¨

•

Bei Belastung wird der Stab verformt, also gedehnt oder gestaucht, die Verformung ist proportional zur Belastung. Dies nennt man lineares Materialverhalten.

48

2 Lineare Gleichungssysteme x L

θ

Abb. 2.6. Verformung eines Stabes

Wir wollen nun die Verformung eines Stabes bei einer gegebenen Verschiebung eines Stabendes ausrechnen. Die Verschiebung ist deﬁniert durch einen Verschiebungsvektor x = (x1 , x2 ) , siehe Abbildung 2.6. Die L¨ ange des verformten Stabes ist gegeben durch 2

2

2 = (L cos θ + x1 ) + (L sin θ + x2 )

= L2 + 2L(cos θ x1 + sin θ x2 ) + x21 + x22 . Die auf den Stab wirkende Kraft soll proportional zur (relativen) Dehnung e =

−L L

sein. Die Dehnung ist nun aber eine nichtlineare Funktion des Verschiebungsvektors. Falls die Verschiebung (x1 , x2 ) klein ist gegen¨ uber der L¨ange, x21 + x22 L, dann kann man die Dehnung linearisieren gem¨aß e = ( − L)/L = 1 + 2L−1 (cos θ x1 + sin θ x2 ) + L−2 (x21 + x22 ) − 1 = 1 + L−1 cos θ x1 + sin θ x2 − 1 + O (x21 + x22 )/L2 ∼ L−1 cos θ x1 + sin θ x2 . Man erh¨ alt also eine lineare Beziehung zwischen Verschiebungsvektor und Dehnung. Dies nennt man geometrische Linearisierung. Das lineare Modell beschreibt deshalb die Realit¨ at nicht exakt, sondern nur n¨aherungsweise, wir haben einen (hoﬀentlich kleinen) Modellfehler. Zur Verformung des Stabes ist eine Kraft y auf beide Stabenden notwendig. Diese ist bei linear elastischem Material proportional zur Dehnung, e , y=E eine Konstante ist, die vom Material und der Dicke (oder genauer wobei E der Querschnittﬂ¨ ache) des Stabes abh¨ angt. Die Kraft y ist positiv, wenn der Stab gedehnt wird, und negativ, wenn der Stab gestaucht wird. Gem¨aß des Newtonschen Gesetzes Actio = Reactio“ muss man bei Kr¨aften immer be” achten, wer“ die Kraft auf wen“ in welche Richtung“ aus¨ ubt. In Abbildung ” ” ” 2.7 ist dies f¨ ur einen gedehnten Stab dargestellt.

2.2 Stabwerke

49

vorher nachher Kr¨ afte, die der Stab auf die Endpunkte aus¨ ubt Kr¨ afte, die die Endpunkte auf den Stab aus¨ uben Abb. 2.7. Kr¨ afte bei einem gedehnten Stab

Die so deﬁnierte Kraft y wird (im hier vorliegenden eindimensionalen Fall) auch als (elastische) Spannung bezeichnet. Die Spannung in einem gedehnten beziehungsweise gestauchten Stab ist positiv beziehungsweise negativ. Bei einem Stab in einem Fachwerk werden typischerweise beide Endpunkte verschoben. Deﬁniert man den Verschiebungsvektor des linken“ Endpunktes ” in Abbildung 2.6 als (x1 , x2 ) und denjenigen des rechten“Endpunktes als ” alt man folgende Beziehung zwischen Verschiebungsvektoren (x3 , x4 ) , so erh¨ und (absoluter) Dehnung e: e = L e = cos θ (x3 − x1 ) + sin θ (x4 − x2 )

(2.5)

Die Relation zwischen absoluter Dehnung und Spannung ist dann . y = Ee mit E = E/L

(2.6)

Dies sind die Modellgleichungen f¨ ur einen einzelnen Stab. Die Proportionalit¨ atskonstante E wird im folgenden auch als Elastizit¨atsmodul bezeichnet. Um ein ganzes Stabwerk zu modellieren, f¨ uhrt man zuerst eine Nummerierung der St¨ abe und Knoten des Stabwerks durch, und deﬁniert dann: •

einen (globalen) Verschiebungsvektor x ∈ R2m , wobei m die Anzahl der (frei beweglichen) Knoten des Stabwerks ist. Dabei ist (x2i−1 , x2i ) der Verschiebungsvektor des Knotens mit der Nummer i,

•

einen Vektor der Dehnungen e ∈ Rn , wobei n die Anzahl der St¨abe ist,

•

einen Vektor der Spannungen y ∈ Rn .

Danach deﬁniert man globale Versionen der Modellgleichungen (2.5) und (2.6) u ¨ ber Matrix–Vektor–Multiplikationen, das sind globale Beziehungen zwischen Verschiebungen und Dehnungen e = Bx mit einer Matrix B ∈ Rn,2m , und eine globale Beziehung zwischen Dehnungen und Kr¨ aften,

50

2 Lineare Gleichungssysteme

θ Abb. 2.8. Kraft auf Einzelstab

y = Ce mit einer Matrix C ∈ Rn,n aus Materialparametern, dies wird hier eine Diagonalmatrix sein. Die Eintr¨ age von B und C erh¨alt man durch Einsortieren der Koeﬃzienten in (2.5) und (2.6) an die passenden Stellen, die von der Nummerierung der Knoten und St¨ abe abh¨ angen. Um ein Gleichungssystem zur Berechnung der Verschiebungen, Spannungen und Dehnungen auszurechnen, ben¨ otigt man noch eine weitere physikalische Gesetzm¨aßigkeit, n¨amlich das Kr¨aftegleichgewicht: Die Summe der Kr¨ afte, die in einem Punkt angreifen, ist Null. Um dieses Gesetz in Matrix–Vektor–Form zu bringen, betrachten wir zun¨achst die Kraft, die ein Endpunkt eines einzelnen Stabes der Spannung y auf diesen aus¨ ubt, zum Beispiel die Kraft, die der obere rechte Punkt des in Abbildung 2.8 gezeigten Stabes auf diesen aus¨ ubt. Diese Kraft ist gegeben durch cos θ cos θ y =: Ay mit A = ∈ R2,1 . f= sin θ sin θ Durch Vergleich mit der Beziehung zwischen Verschiebung und Dehnung x1 e = cos θ x1 + sin θ x2 =: B mit B = (cos θ sin θ) ∈ R1,2 x2 folgt A = B . Diese Beziehung kann man von einzelnen St¨aben auf beliebige Stabwerke u ¨ bertragen: f = By . Diese Gleichung beschreibt die inneren Kr¨afte, die als Folge der Spannungen der St¨ abe auftreten. Zus¨ atzlich hat man noch ¨außere Kr¨afte, zum Beispiel durch Fahrzeuge auf einer Br¨ ucke oder Menschen auf einem Turm. Auch die am Bauwerk selbst angreifende Gravitationskraft, also dessen Gewicht, ist eine außere Kraft. Diese Kr¨ afte werden in Punktkr¨afte auf die Knoten umgerechnet ¨ und in einem Kraftvektor b ∈ R2m gesammelt. Das Kr¨aftegleichgewicht wird dann beschrieben durch By = b . In dieser Gleichung beschreibt B y die Kr¨ afte, welche die Punkte an den St¨ aben aus¨ uben, w¨ ahrend b die von außen an den Punkten ausge¨ ubten Kr¨afte

2.2 Stabwerke (1, 1)I f= 1 (0, 0)

51

„ « 1 0

2

111111111111111 000000000000000 (1, 0) 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111

Abb. 2.9. Beispiel 1

angibt. Dadurch erkl¨ aren sich die unterschiedlichen Vorzeichen, beziehungsweise die Positionen links und rechts des Gleichheitszeichens. Durch Zusammenfassen aller drei Beziehungen kann man ein Gleichungssystem f¨ ur den Verschiebungsvektor x gewinnen: B CBx = b . Wir werden nun dieses theoretische Konzept an mehreren Beispielen erl¨autern und dabei auftretende Schwierigkeiten identiﬁzieren. Beispiel 1 Wir betrachten das in Abbildung 2.9 dargestellte Stabwerk mit der dort angegebenen Nummerierung der Verbindungsknoten durch r¨omische Ziﬀern und der St¨ abe durch arabische Ziﬀern sowie der skizzierten ¨außeren Kraft. Die Zahlenpaare beschreiben kartesische Koordinaten der Punkte. Das Stabwerk besteht aus zwei St¨ aben und drei Knoten, zwei der Knoten sind jedoch festgehalten und werden nicht in die Nummerierung einbezogen. Die Variablen sind der Verschiebungsvektor x = (x1 , x2 ) , der Dehnungsvektor e = (e1 , e2 ) und der Spannungsvektor y = (y1 , y2 ) . Die Verschiebungs–Dehnungs–Beziehung ist √ √ 2/2 2/2 e = Bx mit B = . 0 1 Die Dehnungs–Spannungs–Beziehung lautet E1 0 E1 0 E1 e1 = e = Ce mit C = . y= 0 E2 0 E2 E2 e2 Das Kr¨ aftegleichgewicht im Punkt I ist √ √2/2 y1 + 0 y2 = 1 1 0 2/2 oder

52

2 Lineare Gleichungssysteme

By = f . F¨ ur die spezielle Wahl der Materialkonstanten E1 = 100, E2 = 200 folgt √ √ √ 2/2 0 100 0 2/2 2/2 √ B CB = 0 200 0 1 2/2 1 √ √ √ 50√2 0 50 50 2/2 2/2 = = . 50 250 0 1 50 2 200

Man erh¨ alt also das Gleichungssystem 50 50 1 x= 50 250 0 mit der eindeutigen L¨ osung x=

5/200 . −1/200

Aus dieser L¨ osung kann man die Verzerrungen und Spannungen berechnen gem¨ aß √ √ 2/100 2 e = Bx = und y = Ce = . −1/200 −1 Bei diesem Beispiel k¨ onnte man die Verteilung der Kraft auf die zwei St¨abe auch mit einem viel einfacheren Modell ausrechnen: Zur Aufnahme des ¨außeugung, ren Kraftvektors f = (1, 0) stehen nur zwei Richtungen zur Verf¨ n¨ amlich √ 2/2 0 a= √ und b = . 1 2/2 Da {a, b} eine Basis des R2 ist, kann man f eindeutig zerlegen in f = αa + βb √ mit α = 2 und β = −1. Die Koeﬃzienten hier sind gerade die Spannungen. Deﬁnition 2.4. Ein Stabwerk, in dem es nur eine einzige M¨oglichkeit zur Verteilung der Kr¨afte auf die St¨abe gibt, heißt statisch bestimmt. Die Verteilung der Kr¨ afte auf die St¨ abe wird in unserem Modell gerade durch die L¨ osung y der Gleichung (2.7) By = f

2.2 Stabwerke (1, 1) f= 1

2

53

`1´ 0

3

11111111111111111111 00000000000000000000 (0, 0) (1, 0) (2, 0) 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 00000000000000000000 Abb. 2.10. Beispiel 2

beschrieben. Ein Stabwerk ist also genau dann statisch bestimmt, wenn das Gleichungssystem (2.7) eindeutig l¨osbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn B (oder B) eine quadratische, regul¨are Matrix ist. Insbesondere muss die Anzahl der Verschiebungsfreiheitsgrade (hier 2m = 2) gleich der Anzahl der Spannungsfreiheitsgrade (hier n = 2) sein, 2m = n . Wenn man mit m die Anzahl aller Knoten, mit n die Anzahl der St¨abe und mit k die Anzahl der Zwangsbedingungen bezeichnet, dann hat man 2m = n + k .

(2.8)

Eine Zwangsbedingung beschreibt das Festhalten eines Knotens in eine Richtung. Ber¨ ucksichtigt man in Beispiel 1 in der Nummerierung auch die beiden festgehaltenen Knoten (0, 0) und (1, 0), dann ist m = 3, n = 2 und k = 4. Eine wichtige Form von Zwangsbedingungen besteht darin, einen Knoten nur in einer Richtung (oder bei dreidimensionalen Problemen in zwei Richtungen) festzuhalten. Technisch entspricht das der F¨ uhrung des Knotens in einer Schiene, wobei die Reibung vernachl¨ assigt wird. F¨ ur r¨aumlich dreidimensionale Probleme muss man Gleichung (2.8) ab¨ andern in 3m = n + k , denn jeder Knoten entspricht nun drei Freiheitsgraden. Beispiel 2 Wir betrachten das Stabwerk aus Abbildung 2.10 mit den Materialdaten E1 = 200, E2 = 100, E3 = 200, wobei Ei der Elastizit¨atsmodul f¨ ur Stab i ist. F¨ ur den Verschiebungsvektor x ∈ R2 , den Dehnungsvektor e ∈ R3 und den Spannungsvektor y ∈ R3 gelten die Beziehungen √ ⎛√ ⎞ 2/2 2/2 ⎠ e = Bx mit B = ⎝ √0 √1 − 2/2 2/2

54

2 Lineare Gleichungssysteme

⎛ ⎞ 200 0 0 y = Ce mit C = ⎝ 0 100 0 ⎠ . 0 0 200

und

Damit ist

√ ⎞ ⎛ ⎞⎛ √ √ √ 200 0 0 2/2 2/2 2/2 0 − 2/2 ⎠ ⎝ 0 100 0 ⎠ ⎝ 0 √ B CB = √ √ √1 2/2 1 2/2 0 0 200 − 2/2 2/2 √ ⎞ ⎛√ √ √ 2/2 2/2 100√2 0 −100√ 2 ⎝ 200 0 ⎠ = = . √1 √0 0 300 100 2 100 100 2 − 2/2 2/2

Das Gleichungssystem ist demnach 200 0 1 x= , 0 300 0 es hat die eindeutige L¨ osung 1/200 x= . 0 Die Dehnungen und Spannungen erh¨ alt man aus ⎞ ⎞ ⎛√ ⎛√ 2/400 2/2 ⎠ und y = Ce = ⎝ 0 ⎠ . e = Bx = ⎝ √ 0 √ − 2/400 − 2/2 Das Stabwerk ist nicht statisch bestimmt, denn B ist keine quadratische Matrix. Es sind mehr St¨ abe als Verschiebungsfreiheitsgrade vorhanden. Mit einer einfachen Zerlegung der angreifenden Kraft auf die zur Verf¨ ugung stehenden Kraftrichtungen ist eine L¨ osung hier nicht mehr m¨oglich. Trotzdem l¨ asst sich mit unserem Modell eine eindeutige L¨osung berechnen, da B CB regul¨ ar ist. Dies liegt daran, dass Kern B = {0} gilt, beziehungsweise dass B maximalen Rang ur eine positiv deﬁnite Matrix C gilt nach Satz hat. F¨ 2.1 Kern B CB = Kern B; somit ist B CB genau dann regul¨ar, wenn C positiv deﬁnit ist und B maximalen Spaltenrang hat. Deﬁnition 2.5. Ein Stabwerk heißt statisch unbestimmt, wenn B ∈ Rn,2m mit n > 2m maximalen Rang 2m hat. Beispiel 3 Wir untersuchen das Stabwerk aus Abbildung 2.11 mit den Daten E1 = E2 = E3 = 100. Im Verschiebungsvektor x ∈ R4 bezeichnen die Komponenten

2.2 Stabwerke (0, 1)

2

I

(1, 1) II

1

f=

55

`1´ 0

3

111111111111111111111 000000000000000000000 (0, 0) (1, 0) 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 Abb. 2.11. Beispiel 3

(x1 , x2 ) die Verschiebung von Knoten I und (x3 , x4 ) die Verschiebung von Knoten II. Es gilt

⎛

⎞ ⎛ ⎞ 0 100 100 0 0 e = Bx mit B = ⎝−1 0 1 0⎠ und y = Ce mit C = ⎝ 0 100 0 ⎠ . 0 001 0 0 100

Damit ist

⎛ ⎞ 0 −1 0 ⎛ ⎜1 0 0⎟ 0 1 0 ⎟⎝ B CB = 100 ⎜ ⎝0 1 0⎠ −1 0 1 0 00 0 0 1

Das Gleichungssystem ist

⎛

1 0 ⎜0 1 ⎜ 100 ⎝ −1 0 0 0

⎛ ⎞ ⎞ 1 0 −1 0 0 ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎟ 0⎠ = 100 ⎜ ⎝−1 0 1 0⎠ . 1 0 0 0 1

⎞ ⎛ ⎞ −1 0 0 ⎜ ⎟ 0 0⎟ ⎟ x = ⎜0⎟ . ⎝1⎠ 1 0⎠ 0 1 0

Aus der ersten und dritten Zeile erkennt man sofort, dass das Gleichungssystem unl¨ osbar ist. Der Grund hierf¨ ur ist mechanisch leicht einzusehen: Wenn die St¨ abe reibungsfrei drehbar“ miteinander verbunden sind, dann kippt“ ” ” das Stabwerk nach rechts, wie in Abbildung 2.12 dargestellt. Aufgrund seiner Konstruktion kann es bestimmte Kr¨ afte nicht aufnehmen. Dies liegt nat¨ urlich auch an unseren Modellannahmen: Dasselbe Stabwerk k¨onnte die Kraft f durchaus aufnehmen, wenn die einzelnen St¨ abe auch Belastungen senkrecht zur Stabrichtung tragen k¨onnten und die Verbindungen zwischen den St¨aben Drehmomente u onnten. Das ist in unserem Modell aber nicht so ¨bertragen k¨ speziﬁziert. Ein schlecht konstruiertes Stabwerk macht sich hier mathematisch durch eine nicht l¨osbare Modellgleichung bemerkbar. Die Systemmatrix B CB ist hier nicht invertierbar, weil B einen nichttrivialen Kern hat. Dies motiviert folgende Deﬁnition:

56

2 Lineare Gleichungssysteme

1111 0000 0000 1111

111 000 000 111

111 000 000 111

111 000 000 111

Abb. 2.12. Instabiles Stabwerk

Deﬁnition 2.6. Ein Stabwerk heißt instabil, wenn B linear abh¨angige Spalten hat. Auch bei instabilen Stabwerken kann das lineare Gleichungssystem eine L¨ osung besitzen. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Vektor der ¨außeur positiv deﬁnites C ren Kr¨ afte orthogonal ist zum Kern von B CB, der f¨ nach Satz 2.1 gleich dem Kern von B ist. In unserem Beispiel ist die Bedingung b ⊥ Kern B ¨ aquivalent zu b1 + b3 = 0 . Da (b1 , b2 ) und (b3 , b4 ) die Kr¨ afte an den Knoten I und II sind, bedeutet diese Bedingung gerade, dass die resultierende Kraft in x1 –Richtung gleich Null ist. Beispiel 4 Wir betrachten das in Abbildung 2.13 dargestellte Stabwerk ohne festgehaltene Knoten. Insbesondere ist das Stabwerk nun im Raum frei beweglich. Die Materialdaten sind jeweils E1 = E2 = E3 = 100. Der globale Verschiebungsvektor x = (x1 , . . . , x6 ) ∈ R6 setzt sich zusammen aus den lokalen Verschiebungsvektoren (x2i−1 , x2i ) der Knoten i = 1, 2, 3. Der Dehnungsvektor e ∈ R3 ist gegeben durch ⎞ ⎛ x3 − x1 ⎠ = Bx , x6 − x2 e = ⎝√ 2/2 (x3 − x5 − x4 + x6 ) ⎛ ⎞ −1 0 1 0 0 0 ⎠. mit B = ⎝ 0 −1 √ 0 √0 √0 √1 0 0 2/2 − 2/2 − 2/2 2/2 Es gilt also

⎞ 2 0 −2 0 0 0 ⎜ 0 2 0 0 0 −2⎟ ⎟ ⎜ 1 ⎜−2 0 3 −1 −1 1 ⎟ ⎟. BB = ⎜ ⎟ 2⎜ ⎜ 0 0 −1 1 1 −1⎟ ⎝ 0 0 −1 1 1 −1⎠ 0 −2 1 −1 −1 3 ⎛

2.2 Stabwerke

57

(0, 1) III

3

2

(0, 0)

(1, 0) I

1

II

Abb. 2.13. Beispiel 4

Die zu l¨ osende lineare Gleichung bei einem Vektor f ∈ R6 , der die angreifenden Kr¨ afte angibt, ist also 1 f. (2.9) B Bx = 100 Man sieht hier leicht, dass diese Matrix nicht regul¨ar ist, zum Beispiel sind die vierte und f¨ unfte Spalte identisch. Das Gleichungssystem hat also nicht f¨ ur jedes f eine L¨osung, und wenn es eine L¨ osung gibt, ist diese typischerweise nicht eindeutig. Aus der linearen Algebra weiß man: B Bx = f ist l¨ osbar ⇔ f ∈ Bild(B B) ⇔ f ⊥ Kern(B B) . Der Kern der Matrix B B ist

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫ 0 ⎪ 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ 1 0 ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ Kern(B B) = span ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ =: R . ⎪ ⎪ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 0 1 0

Die ersten beiden Vektoren hier beschreiben Verschiebungen des gesamten Stabwerks in die x1 –Richtung und die x2 –Richtung. Der dritte Vektor wird als Rotation bezeichnet. Streng genommen ist eine Drehung des Stabwerks um den Nullpunkt gegeben, wenn jeder Knoten p ∈ R2 des Stabwerks abgebildet wird auf cos ϕ − sin ϕ p + x(p) = p, sin ϕ cos ϕ wobei ϕ der Drehwinkel ist. Setzt man in diese lokalen Beziehungen die Knotenvektoren unseres Stabwerks ein und sortiert die Ergebnisse in den globalen Verschiebungsvektor x ein, dann erh¨ alt man

58

2 Lineare Gleichungssysteme

⎞ ⎛ ⎞ 0 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ cos ϕ ⎟ ⎜1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ x = x(ϕ) = ⎜ ⎜ sin ϕ ⎟ − ⎜0⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝− sin ϕ⎠ ⎝0⎠ 1 cos ϕ ⎛

In der linearisierten Theorie betrachtet man nur kleine Verschiebungen, also hier kleine Drehwinkel ϕ. Linearisierung von x = x(ϕ) um ϕ = 0 liefert ⎛ ⎞ 0 ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎟ x(ϕ) ∼ x(0) + x (0)ϕ = ϕ ⎜ ⎜ 1 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ 0 Die zun¨ achst etwas seltsame Deﬁnition einer Drehung ist also die Folge unserer Modellvereinfachungen. Die Menge R wird als Menge der Starrk¨orperverschiebungen bezeichnet, denn sie beschreibt diejenigen Verschiebungsvektoren, die nicht zu Dehnungen der St¨ abe f¨ uhren. Die konkrete Deﬁnition h¨ angt nat¨ urlich vom betrachteten Stabwerk ab, und zwar im wesentlichen von dessen Knoten und deren Nummerierung. Man kann die Menge der Starrk¨ orperverschiebungen konstruieren aus den drei lokalen Abbildungen 1 0 −p2 x(p) = , x(p) = und x(p) = . (2.10) 0 1 p1 Zusammenfassend hat das lineare Gleichungssystem (2.9) genau dann eine L¨osung, wenn f senkrecht steht auf der Menge der Starrk¨orperverschiebungen, f ⊥ R. Physikalisch bedeutet diese Beziehung, dass die Summe aller angreifenden Kr¨afte gleich Null ist, und dass das angreifende Drehmoment, zum Beispiel um den Nullpunkt als Drehpunkt, ebenfalls Null ist. Die L¨osung ist dann nicht eindeutig, zwei L¨ osungen unterscheiden sich um eine Starrk¨orperverschiebung. Diese Situation wird bei jedem Stabwerk ohne festgehaltene Knoten eintreten. ¨ Man kann diese Uberlegungen auch auf drei Raumdimensionen u ¨ bertragen. Dann hat R die Dimension 6, man hat n¨ amlich drei Translationen und drei Rotationen. Analog zu (2.10) kann man die Starrk¨orperverschiebungen erhalten aus den lokalen Abbildungen

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen

59

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 x(p) = ⎝0⎠ , x(p) = ⎝1⎠ , x(p) = ⎝0⎠ , 0 0 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 0 −p3 −p2 x(p) = ⎝ p1 ⎠ , x(p) = ⎝ 0 ⎠ und x(p) = ⎝−p3 ⎠ . 0 p2 p1

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen Die in den letzten beiden Abschnitten gefundenen Gleichungssysteme f¨ ur elektrische Netzwerke und elastische Stabwerke haben dieselbe Struktur Ay + Bx = b , By = f

(2.11)

mit gegebenen Matrizen A ∈ Rn,n , B ∈ Rn,m , gegebenen Vektoren b ∈ Rn , f ∈ Rm und gesuchten Vektoren y ∈ Rn , x ∈ Rm . Diese Gleichungen erh¨alt man auch aus einem quadratischen Optimierungsproblem mit linearen Nebenbedingungen. Zur Erl¨ auterung f¨ uhren wir zun¨ achst einige grundlegende Begriﬀe der Optimierung mit Nebenbedingungen ein. Wir betrachten ein Optimierungsproblem der Form

ur j = 1, . . . , m . (2.12) min f (y) | y ∈ Rn , gj (y) = 0 f¨ Dabei sind f : Rn → R und gj : Rn → R, j = 1, . . . , m, hinreichend glatte Funktionen. Wir untersuchen hier nicht, unter welchen Voraussetzungen das Optimierungsproblem l¨ osbar ist. Eine notwendige Bedingung f¨ ur einen optimalen Wert y0 kann man aus fol¨ gender Uberlegung erhalten: Wir betrachten eine Kurve (−t0 , t0 ) t → y(t) durch den Kurve soll ganz in der zul¨assigen

optimalen Punkt y(0) = y0 . Die Menge y ∈ Rn | gj (y) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m liegen, also gj (y(t)) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m , t ∈ (−t0 , t0 ) .

(2.13)

Aus dem Diﬀerentialquotienten 1 f (y(t)) − f (y0 ) ≥ 0 t→0 t lim t>0

folgt

∇f (y0 ) · y (0) ≥ 0 .

Dies gilt f¨ ur alle zul¨ assigen Richtungen a = y (0). Aus der Ableitung von (2.13) nach t liest man heraus, dass ein a ∈ Rn genau dann eine zul¨assige Richtung ist, wenn

60

2 Lineare Gleichungssysteme

∇gj (y0 ) · a = 0 f¨ ur alle j = 1, . . . , m

gilt, also a im Orthogonalraum zu U := span ∇g1 (y0 ), . . . , ∇gm (y0 ) ist. Insgesamt folgt, dass ∇f (y0 ) orthogonal ist zum Orthogonalraum von U , und damit ein Element von U sein muss. Ein notwendiges Kriterium f¨ ur ein Optimum ist also m λj ∇gj (y0 ) = 0 . (2.14) ∇f (y0 ) + j=1

Die Koeﬃzienten λj ∈ R heißen Lagrange–Multiplikatoren. Gleichung (2.14) muss erg¨ anzt werden durch die Nebenbedingungen ur j = 1, . . . , m . gj (y0 ) = 0 f¨

(2.15)

Mit dem Lagrange–Funktional L(y, λ) = f (y) +

m

λj gj (y)

j=1

lassen sich die Bedingungen (2.14) und (2.15) kompakt schreiben als ∇λ L(y, λ) = 0 .

∇y L(y, λ) = 0,

Dies sind Optimalit¨ atskriterien f¨ ur das Sattelpunktproblem inf sup L(y, λ) .

y∈Rn λ∈Rm

(2.16)

Wir werden sehen, dass die Probleme (2.16) und (2.12) ¨aquivalent sind. In Problem (2.16) kann man unter gewissen Voraussetzungen die Reihenfolge der geschachtelten Optimierung vertauschen, man erh¨alt dann sup inf L(y, λ) .

n λ∈Rm y∈R

(2.17)

Aus diesen zwei ¨ aquivalenten Formulierungen folgen zwei ¨aquivalente Optimierungsprobleme: Problem (2.16) kann man mit der Funktion F : Rn → R ∪ {+∞} , F (y) = sup L(y, λ) = λ∈Rm

f (y) +∞

falls gj (y) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m , sonst

schreiben als min F (y) .

y∈Rn

(2.18)

Dies ist das primale Problem, es entspricht genau dem Optimierungsproblem (2.12), wobei man die Nebenbedingungen in die Deﬁnition der Funktion F einbaut. Alternativ kann man Problem (2.17) mit

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen

61

F ∗ (λ) = infn L(y, λ) y∈R

schreiben als

max F ∗ (λ) .

(2.19)

λ∈Rm

Dies ist das duale Problem. Das duale Problem hat als Variable die Lagrange– Multiplikatoren des urspr¨ unglichen Problems. Wir betrachten nun ein quadratisches Optimierungsproblem mit linearen Nebenbedingungen der Form

minn 12 y Ay − b y | B y = c (2.20) y∈R

mit symmetrischer Matrix A ∈ Rn,n , mit B ∈ Rn,m , b ∈ Rn , c ∈ Rm . Das zugeh¨ orige Lagrangefunktional ist L(y, λ) = 12 y Ay − b y + λ B y − c . Die Optimalit¨ atskriterien lauten !

∇y L(y, λ) = Ay − b + Bλ = 0 und !

∇λ L(y, λ) = B y − c = 0 . Dies entspricht, mit etwas anderer Notation, unserer allgemeinen Formulierung (2.11) der Modelle f¨ ur elektrische Netzwerke und elastische Stabwerke. Das primale Problem ist mit F (y) = sup L(y, λ) = λ∈Rm

1 y Ay − b y + 2

0 falls B y = c , +∞ sonst

aquivalent zum Optimierungsproblem (2.20). F¨ ur das duale Problem ben¨oti¨ gen wir die Funktion F ∗ (λ) = minn L(y, λ) . y∈R

Falls A positiv deﬁnit ist, wird das Minimum angenommen bei der L¨osung von Ay − b + Bλ = 0 , also y = A−1 (b − Bλ) . Nach kurzer Rechnung folgt 1 1 F ∗ (λ) = − λ B A−1 Bλ − b A−1 b + λ B A−1 b − c . 2 2 Eine notwendige Bedingung f¨ ur ein Maximum dieser Funktion ist B A−1 Bλ = B A−1 b − c .

62

2 Lineare Gleichungssysteme

F¨ ur elastische Stabwerke und elektrische Netzwerke erh¨alt man das Optimierungsproblem (2.20) mit leicht modiﬁzierten Bezeichnungen A = C −1 , λ = x, und c = f . Das Problem lautet dann

minn 12 y C −1 y − b y | B y = f . y∈R

Dieses Optimierungsproblem hat folgende physikalische Bedeutung: •

Beim elastischen Stabwerk ist y der Vektor der Spannungen, C ist die Diagonalmatrix der Elastizit¨ atsmodule Ei der Einzelst¨abe, und b = 0. Es gilt also n n 1 −1 2 1 1 −1 y C y= yj ej Ej yj = 2 2 j=1 2 j=1 mit den Dehnungen ej = Ej−1 yj . Der Term 12 yj ej beschreibt die zur Verformung des Stabes j ben¨ otigte Arbeit Wj , denn diese ist gegeben durch das Integral u ¨ ber Kraft mal Weginkrement: ej 1 1 Ej e de = Ej e2j = yj ej . Wj = 2 2 0 Hier ist Ej e die Spannung eines um e gedehnten Stabes, die ja gerade gleich der angreifenden Kraft ist, und de ist gerade das Weginkrement. Folglich gibt 12 y C −1 y die gesamte zur Verformung des Stabwerks aufgewendete Arbeit an, diese ist gleich der im Stabwerk gespeicherten elastischen Energie. Die Nebenbedingung B y = f beschreibt die Menge der Spannungen, die bei den durch f gegebenen ¨ außeren Kr¨ aften auftreten k¨onnen. Es wird also die im Stabwerk gespeicherte elastische Energie minimiert unter der Nebenbedingung der vorgegebenen Knotenkr¨afte. Der Verschiebungsvektor x kann interpretiert werden als Vektor der Lagrange–Multiplikatoren der Nebenbedingungen.

•

Beim elektrischen Netzwerk ist y der Vektor der Str¨ome, C −1 ist die Diagonalmatrix der Widerst¨ ande Ri und b der Vektor der ¨außeren Spannungen. Es ist dann n yj Rj yj . y C −1 y = j=1

Hier beschreibt yj Rj yj die am Widerstand j verbrauchte Leistung, denn Rj yj ist die Spannung am Widerstand j und die elektrische Leistung ist gegeben durch Spannung mal Stromst¨ arke. Mit Ber¨ ucksichtigung des Einﬂusses von b erh¨ alt man das Optimierungsproblem

min 12 y C −1 y − b y B y = 0 . Die physikalische Interpretation sieht man am besten am dualen Problem. Das duale Funktional ist

2.5 Aufgaben

63

1 1 1 − x B CBx + x B Cb − b Cb = − (b − Bx) C(b − Bx) 2 2 2 1 1 −1 = − (b + e) C(b + e) = − y C y . 2 2 Im elektrischen Netzwerk wird demnach die Dissipation von Energie minimiert unter der Nebenbedingung der angelegten Spannungen. Die Variablen y und x, also einerseits elektrische Str¨ome oder elastische Spannungen und andererseits elektrische Potentiale oder Verschiebungen, sind hier zueinander duale Variablen im Sinne der Optimierung mit Nebenbedingungen. In diesen beiden Beispielen wird folgender prinzipieller Unterschied sichtbar: •

Das elastische Stabwerk beschreibt einen typischen statischen Prozess: Gesucht wird das Minimum einer Energie, im L¨osungszustand bewegt sich nichts.

•

Das elektrische Netzwerk beschreibt einen typischen station¨aren Prozess: Es ﬂießt Strom, das heißt, es wird kontinuierlich Ladung bewegt, der Stromﬂuss ist aber zeitlich konstant. Es wird laufend Energie dissipiert (verbraucht), die von außen zugef¨ uhrt werden muss.

Beide Zust¨ ande kann man interpretieren als Grenzzust¨ande dynamischer, also zeitabh¨ angiger, Prozesse bei zeitlich konstanten ¨außeren Einﬂ¨ ussen f¨ ur große Zeiten.

2.4 Literaturhinweise Die Darstellung in diesem Kapitel ist angelehnt an Kapitel 2 von [115]. Weiterf¨ uhrende Literatur zu den beschriebenen Anwendungen ﬁndet man in Lehrb¨ uchern zur technischen Mechanik, etwa [105] und [117], und zur Elektrotechnik, zum Beispiel [60]. Die Mathematik linearer Gleichungssysteme ist in jedem Lehrbuch u ¨ber lineare Algebra zu ﬁnden, zum Beispiel in [38]. L¨osungsverfahren f¨ ur lineare Gleichungssysteme ﬁndet man in Numerik–Lehrb¨ uchern [107], [113], [114], speziell f¨ ur iterative L¨ osungsverfahren sei auch auf [59], [92], [102], [112] verwiesen.

2.5 Aufgaben Aufgabe 2.1. Bestimmen Sie die Str¨ ome und Spannungen in folgendem Netzwerk:

64

2 Lineare Gleichungssysteme

− 1V

1Ω + + 1V −

1Ω

1Ω

0,5 Ω 1Ω 1Ω 1Ω Aufgabe 2.2. Konstruieren Sie zu den folgenden Inzidenzmatrizen jeweils ein passendes Netzwerk ohne elektrische Bauteile: ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 1 ⎜ 0 −1 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 1 0 −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜−1 0 0 1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ −1 1 0 0 a) B = ⎜ b) B = ⎜ ⎜ 0 1 0 0 −1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 −1 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 1 0 −1⎠ 1 0 0 −1 0 0 −1 0 1 0 Aufgabe 2.3. Gegeben ist das folgende Netzwerk mit einer Spannungsquelle und einer Stromquelle: 1Ω

1Ω 1Ω −

+ −

+

1A

2V

1Ω a) Wie k¨ onnen Sie die Stromquelle in das Netzwerkmodell einbauen? Erweitern Sie das Modell aus Abschnitt 2.1 um Stromquellen. b) Berechnen Sie die Spannungen und Str¨ ome im Netzwerk. Aufgabe 2.4. Gegeben ist ein Gleichstromnetzwerk mit Inzidenzmatrix B, Leitwertmatrix C, Vektoren x der Potentiale, y der Str¨ome, e der Spannungen und b der Spannungsquellen.

2.5 Aufgaben

65

a) Die an einem Widerstand dissipierte Leistung ist bekanntlich P = U I, wenn U der Spannungsabfall am Widerstand und I der Strom ist. Stellen Sie eine Formel f¨ ur die gesamte im Netzwerk dissipierte Leistung auf. b) Die von einer Spannungsquelle zur Verf¨ ugung gestellte Leistung ist ebenfalls P = U I, wobei U die Spannung der Quelle und I die St¨arke des entnommenen Stromes ist. Stellen Sie eine Formel f¨ ur die von allen Spannungsquellen erbrachte Leistung auf. c) Zeigen Sie, dass die Gr¨ oßen aus a) und b) identisch sind. Aufgabe 2.5. Es ist das Gleichungssystem A B , A ∈ Rn,n , B ∈ Rn,m , und f ∈ Rn+m M z = f mit M = B 0 gegeben. Die Matrix A sei symmetrisch und positiv semideﬁnit. a) Zeigen Sie: y ∈ Kern A ⇔ y Ay = 0. b) Berechnen Sie den Kern von M in Abh¨ angigkeit der Kerne von A, B und B. c) Charakterisieren Sie die Vektoren f , f¨ ur die das Gleichungssystem l¨osbar ist. Aufgabe 2.6. Es sei C ∈ Rn,n symmetrisch und regul¨ar, aber nicht notwendigerweise positiv deﬁnit, und B ∈ Rn,m . Gilt dann f¨ ur M = B CB immer noch Kern M = Kern B? Begr¨ unden Sie Ihre Aussage mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel. Aufgabe 2.7. Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Spannungen und Str¨ ome im folgenden Wechselstromnetz mit Kreisfrequenz ω = 50/s auf: 0,02H 1Ω U2

− +

+ −

0,02F

U1 0,02F

1Ω 1Ω

1Ω

1Ω 0,02H Benutzen Sie die Spannungsquellen

66

2 Lineare Gleichungssysteme

a) U1 (t) = 2V cos(ωt), U2 (t) = 2V cos(ωt) , b) U1 (t) = 8V cos(ωt), U2 (t) = 8V sin(ωt) , √ c) U1 (t) = 8V cos(ωt), U2 (t) = 8 2V cos(ωt − π/4) . Aufgabe 2.8. Gegeben ist ein Wechselstromnetzwerk mit Kreisfrequenz ω, Inzidenzmatrix B ∈ Rn,m , Leitwertmatrix C ∈ Cn,n , Potentialvektor x ∈ Cm , Stromvektor y ∈ Cn , Spannungsvektor e ∈ Cn und Vektor der Spannungsquellen b ∈ Cn . a) Bestimmen Sie eine Formel f¨ ur die an allen ohmschen Widerst¨anden dissipierte Leistung P (t) zur Zeit t. b) Geben Sie eine Formel f¨ ur die aus den Spannungsquellen entnommene Leistung Q(t) zur Zeit t an. c) Warum wird im Allgemeinen P (t) = Q(t) gelten? d) Zeigen Sie, dass die in einer Periode von allen ohmschen Widerst¨anden dissipierte Leistung gleich der im selben Zeitraum von den Spannungsquellen entnommenen Leistung ist: 2π/ω 2π/ω P (t) dt = Q(t) dt . 0

0

Aufgabe 2.9. Berechnen Sie, wenn m¨ oglich, die Verschiebungen, Spannungen und Dehnungen der folgenden Stabwerke. Die Elastizit¨atsmoduli sind an den St¨ aben angegeben. b)

a)

00000 11111 11111 00000 (0, 1) 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 (0, 0) 00000 11111 00000 11111

100

(1, 2)

(2, 1)

75 0 f= −1

100

100 100

111111 000000 200 (2, 0) (0, 0) 000000 111111 000000 111111 000000 111111 0 f= −1

000000 111111 (3, 0) 000000 111111 111111 000000 000000 111111

d)

c) (1, 1) 100

11111 00000 00000 11111 (0, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

50

(1, 1) 100

200 0 f= −1

100

100 (2, 0)

11111 00000 (0, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

(2, 0) 200

1 f= 0

2.5 Aufgaben

67

Aufgabe 2.10. Entscheiden Sie, ob die abgebildeten Stabwerke statisch bestimmt, statisch unbestimmt oder instabil sind: b)

a)

11111 00000 (0, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

(1, 1)

(2, 1)

(1, 0)

111111 000000 (2, 0) 000000 111111 000000 111111 000000 111111

c)

(1, 1)

11111 00000 (0, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

d)

(1, 1)

11111 00000 (0, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

(1, 0)

(1, 0)

11111 00000 (2, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

(1, 1)

111111 000000 (2, 0) 000000 111111 000000 111111 000000 111111

11111 00000 (0, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

(1, 0)

11111 00000 (2, 0) 00000 11111 00000 11111 00000 11111

Aufgabe 2.11. a) Bestimmen Sie eine Formel f¨ ur die elastische Energie, die in einem linear elastischen Stabwerk gespeichert ist, bestehend aus der Summe der elastischen Energien der Einzelst¨abe. b) Berechnen Sie die Arbeit, die von den Knotenkr¨aften bei der Verformung eines Stabwerks geleistet wird. c) Zeigen Sie, dass die Gr¨ oßen aus a) und b) gleich sind. Aufgabe 2.12. Es ist das abgebildete Stabwerk ohne festgehaltene Knoten gegeben: f (3) =

1 1

(0, 1) 100 100 (0, 0) f

(1)

100

f (2) =

0 1

(1, 0)

=?

Bestimmen Sie die Kraft f (1) so, dass das lineare Gleichungssystem f¨ ur das Stabwerk eine L¨ osung hat, und berechnen Sie die allgemeine L¨osung. Aufgabe 2.13. Auf einen Stab der L¨ ange L mit Endpunkten x(1) und x(2) (1) wirke an der Position αx + (1 − α)x(2) die Kraft f .

68

2 Lineare Gleichungssysteme

a) Ermitteln Sie eine Aufteilung der Kraft auf die beiden Endpunkte der Art f (1) = βf ,

f (2) = (1 − β)f ,

so dass das Drehmoment der aufgeteilten Kraft (bez¨ uglich x(1) ) gleich dem Drehmoment der urspr¨ unglichen Kraft ist. Dabei bezeichne f (i) = f x(i) die Kraft an Knoten i. b) Wie k¨ onnen Sie das Gewicht eines Stabwerks durch einen Vektor aus Knotenkr¨ aften beschreiben? Aufgabe 2.14. In den folgenden dreidimensionalen Stabwerken seien die Elastizit¨ atsmoduli aller St¨ abe gleich 1. a) Berechnen Sie die Spannungsverteilung in folgendem Stabwerk mit festen Knoten (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0) und am Knoten (1, 1, 1) angreifender √ Kraft f = 3/50, 0, 0 : (1, 1, 1)

(0, 2, 0)

111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111

(0, 0, 0)

(2, 0, 0)

b) Berechnen Sie die Spannungsverteilung in folgendem Stabwerk mit festen Knoten (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0), (2, 2, 0) und am Knoten (1, 1, 1) angrei√ fender Kraft f = 3/50, 0, 0 : (1, 1, 1)

(0, 2, 0)

111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 (2, 2, 0) 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111

(0, 0, 0)

(2, 0, 0)

2.5 Aufgaben

69

c) Zeigen sie, dass das folgende Stabwerk mit festen Knoten (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) und (2, 2, 0) instabil ist. Welche Bedingungen m¨ ussen zwei an den Punkten (0, 1, 1) und (1, 1, 1) angreifende Kraftvektoren erf¨ ullen, damit das resultierende lineare Gleichungssystem trotzdem eine L¨osung hat? (1, 1, 1)

(0, 1, 1)

(0, 2, 0) 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000(2, 2, 0) 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111

(0, 0, 0)

(1, 0, 0)

Aufgabe 2.15. Bestimmen Sie eine Basis f¨ ur die Menge der Starrk¨orperverschiebungen eines dreidimensionalen Stabwerks mit den Knotenpunkten ufen p(1) = (0, 0, 0) , p(2) = (1, 0, 0), p(3) = (0, 1, 0) , p(4) = (0, 0, 1). Pr¨ sie, ob die Basisvektoren tats¨ achlich linear unabh¨angig sind. Aufgabe 2.16. Gegeben ist das folgende System von Rohrleitungen: 1m B

1m C 1m

1m A

3m

¨ In Oﬀnung A wird eine Fl¨ ussigkeit mit der Rate q = 0,001 m3 /s eingespeist, ¨ an Oﬀnung B und C betr¨ agt der Druck 105 N/m2 ; das entspricht 1 Bar. Nach dem Gesetz von Hagen–Poiseuille kann man die Durchﬂussrate durch ein Rohr mit kreisf¨ ormigem Querschnitt berechnen durch ∆V =

π R4 ∆p ∆t , 8µL

dabei ist ∆V das Volumen der Fl¨ ussigkeit, die in der Zeit ∆t durch das Rohr ﬂießt, L die L¨ ange und R der Radius des Rohres, ∆p der Druckunterschied zwischen den Endpunkten des Rohres und µ die dynamische Viskosit¨at der Fl¨ ussigkeit. a) Stellen Sie ein allgemeines Modell f¨ ur die Berechnung der Durchﬂussraten in einem Rohrsystem auf.

70

2 Lineare Gleichungssysteme

¨ b) Berechnen Sie die Ausﬂussraten an den Oﬀnungen B und C sowie den ¨ Druck an Oﬀnung A f¨ ur eine Fl¨ ussigkeit der Viskosit¨at µ = 0,001 N s/m2 (das entspricht Wasser), wenn die Rohre den Radius 10 cm haben. Hinweis: Zur Vereinfachung der Rechnung sind geeignete Skalierungen sinnvoll. Aufgabe 2.17. Bestimmen Sie mit Hilfe von Lagrange–Multiplikatoren die Minima und Maxima der Funktion f (x, y) = (x + 1)2 ey unter der Nebenbedingung a) 2(x − 1)2 + y 2 = 3 , beziehungsweise b) 2(x − 1)2 + y 2 ≤ 3 . Aufgabe 2.18. Betrachten Sie das Optimierungsproblem

min 12 y Ay − b y | y ∈ Rn , B y = c

(2.21)

mit einer symmetrischen, positiv semideﬁniten Matrix A ∈ Rn,n , mit B ∈ Rn,m , b ∈ Rn , c ∈ Rm , sowie das lineare Gleichungssystem A B y b = . (2.22) B 0 x c a) Zeigen Sie, dass beide Probleme ¨ aquivalent sind im folgenden Sinn: (i) Zu jeder L¨ osung y des Optimierungsproblems (2.21) gibt es ein x ∈ Rm , so dass (y, x) eine L¨ osung des linearen Gleichungssystems (2.22) ist. (ii) Ist (y, x) eine L¨ osung von (2.22), so ist y eine L¨osung von (2.21). b) Unter welchen Bedingungen an b, c hat (2.21) eine L¨osung?

3 Grundzu ¨ge der Thermodynamik

Die Thermodynamik befasst sich mit der Untersuchung bestimmter physikalisch beobachtbarer Eigenschaften von Materie, wie zum Beispiel der Temperatur, des Drucks, und des Volumens beziehungsweise der Dichte und deren Beziehungen zueinander. Gemeinsames Merkmal dieser Gr¨oßen ist es, dass sie die makroskopisch messbare“ Auswirkung von Bewegungen der Atome ” oder Molek¨ ule beschreiben, aus denen Gase, Fl¨ ussigkeiten und Feststoﬀe zusammengesetzt sind. Die genaue Bewegung der einzelnen Teilchen ist dabei nicht bekannt; ihre Beschreibung w¨ are auch aufgrund der großen Zahl der Teilchen viel zu kompliziert. Ziel der Thermodynamik ist es vielmehr, eine makroskopische Beschreibung f¨ ur die Wirkung der Bewegung von Teilchen und deren Wechselwirkungen mit Hilfe von relativ wenigen makroskopischen Gr¨ oßen zu ﬁnden und so gut wie m¨ oglich zu begr¨ unden. Aufgrund der im Detail unbekannten Bewegung einer sehr großen Anzahl von Teilchen spielen dabei stochastische Methoden eine wichtige Rolle. Konzepte der Thermodynamik sind bei vielen Prozessen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften wichtig, zum Beispiel bei Phasen¨ uberg¨angen wie etwa der Erstarrung von Fl¨ ussigkeiten oder dem Schmelzen von Feststoﬀen, bei Diﬀusionsprozessen, und bei chemischen Reaktionen und Verbrennungsprozessen. Eine wichtige Forderung an Modelle f¨ ur solche Prozesse ist es, dass diese thermodynamisch konsistent sind, also nicht im Widerspruch stehen zu Gesetzen der Thermodynamik. Insbesondere ist dabei die Kompatibilit¨at zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zu pr¨ ufen. Dieses Kapitel hat zum Ziel, Lesern ohne Vorkenntnissen aus der Thermodynamik die wichtigsten Begriﬀe und Gesetze der Thermodynamik nahezubringen; insbesondere die Zusammenh¨ ange einfacher thermodynamischer Gr¨oßen wie Temperatur, Druck und Volumen u ¨ber die Zustandsgleichung, den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, den Begriﬀ der Entropie, die thermodynamischen Potentiale, sowie Grundbegriﬀe der Thermodynamik f¨ ur

72

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Mischungen. Am Ende dieses Kapitels werden Modelle zur Beschreibung von chemischen Reaktionen vorgestellt.

3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung Ein ideales Gas besteht aus bewegten Massenpunkten, die nur durch elastische St¨ oße miteinander wechselwirken. Die Massenpunkte sind in einem m¨oglicherweise variablen Volumen eingeschlossen, an dessen Rand sie elastisch reﬂektiert werden. Dieses Modell ist eine idealisierte Approximation f¨ ur Gase mit relativ geringer Dichte. Obwohl das Modell sehr einfach ist, hat es sich in der Praxis erstaunlicherweise als sehr aussagekr¨ aftig erwiesen. Die Teilchen eines idealen Gases bewegen sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Es ist m¨oglich, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit aus den folgenden Annahmen herzuleiten: A1) Die Verteilung besitzt eine Dichte f : R3 → [0, ∞) := {x ∈ R | x ≥ 0}. Das bedeutet, dass f¨ ur jede (Lebesgue–messbare) Menge B ⊂ R3 die Wahrscheinlichkeit, dass v ∈ B liegt, sich wie folgt berechnet P (v ∈ B) = f (v) dv . B

Dabei gilt

f (v) dv = 1 . R3

A2) Die Verteilung jeder Komponente v der Geschwindigkeit besitzt ebenfalls eine Dichte g : P (v ∈ B) = g (v) dv B

f¨ ur jede Lebesgue–messbare Menge B ⊂ R. A3) Die Verteilungen aus A 1) und A 2) sind unabh¨angig im folgenden Sinn: (i) g1 = g2 = g3 =: g, (ii) P (v ∈ B1 × B2 × B3 ) = P (v1 ∈ B1 ) P (v2 ∈ B2 ) P (v3 ∈ B3 ), das heißt, die Verteilungen der Komponenten v1 , v2 , v3 sind unabh¨angig im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie. (iii) Es gibt eine Funktion Φ : [0, ∞) → [0, ∞), so dass f (v) = Φ |v|2 . A4) Die Funktion Φ ist stetig diﬀerenzierbar und g ist stetig. F¨ ur eine Menge der Form

3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung

73

B = [w1 , w1 + h] × [w2 , w2 + h] × [w3 , w3 + h] gilt dann P (v ∈ B) = =

w1 +h w2 +h

w1 w2 3 w +h j ! j=1

w3 +h

Φ v12 + v22 + v32 dv3 dv2 dv1

w3

g(z) dz .

wj

Division durch h3 und Grenz¨ ubergang h → 0 liefert Φ w12 + w22 + w32 = g(w1 ) g(w2 ) g(w3 ) . Dies gilt f¨ ur alle w ∈ R3 . Setzt man w1 = z und w2 = w3 = 0, so folgt Φ z 2 = g(z) g 2 (0) . F¨ ur w3 = 0 folgt dann mit y = w12 , z = w22 Φ(y + z) = g(w1 ) g(w2 ) g(0) =

Φ(y) Φ(z) Φ(y) Φ(z) g(0) = . 2 2 g (0) g (0) g 3 (0)

Dies kann man nach y ableiten und erh¨ alt Φ (y + z) =

Φ (y) Φ(z) . g 3 (0)

Einsetzen von y = 0 ergibt nun folgende Diﬀerentialgleichung f¨ ur Φ: Φ (z) = −K Φ(z) mit K = −

Φ (0) . g 3 (0)

Die allgemeine L¨ osung dieser Gleichung ist Φ(z) = C 3 e−Kz mit C ∈ R. Die Konstante C berechnet sich aus der Normierungsbedingung 1= R3

Φ |v|2 dv = C 3

e

−K|v|2

dv = C 2

R3

+∞

0

und wir erhalten C= 2

+∞

e

−Kz 2

−1 dz

=

0

Hier und weiter unten nutzen wir die Identit¨ aten

K . π

e

−Kz 2

3 dz

,

74

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

∞

2n −Kz 2

z e 0

√ 1 · 3 · · · · · (2n − 1) π dz = f¨ ur n ∈ N0 = N ∪ {0}, K > 0 . 2n+1 K n+1/2

Die Wahrscheinlichkeitsdichten der Geschwindigkeit lauten also f (v) = und

K π

3/2

g(z) = 3 Φ(3z 2 ) =

e−K|v|

2

K −Kz2 e . π H¨ auﬁg ﬁndet man in der Literatur auch die Verteilung des Betrages der Ge 3/2 −K|v|2 " schwindigkeit, die sich aus P (|v| ≤ v0 ) = {|v|≤v0 } K e dv nach π Anwendung des Transformationssatzes wie folgt ergibt: v0 F (z) dz P (|v| ≤ v0 ) = 0

wobei

2 4 F (z) = √ K 3/2 z 2 e−Kz . π

Alle diese Verteilungen h¨ angen nur von einem einzigen Parameter K ab. Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist 1 u = mA 2

1 |v| f (v) dv = mA 2 3 R 2

K π

3/2

4π 0

∞

2

z 4 e−Kz dz =

3 mA K −1 , 4

wobei mA die Masse eines Teilchens ist. Es stellt sich heraus, dass diese Gr¨oße proportional ist zur absoluten Temperatur T , konkret gilt u = 32 kB T mit der Boltzmann–Konstanten kB ≈ 1,3806504 · 10−23 J/K. Die absolute Temperatur ist genau dann Null, wenn alle Teilchen des Gases in Ruhe sind; auf der Celsius–Skala entspricht dies −273,15◦ C. In einem idealen Gas ist die absolute Temperatur ein Maß f¨ ur die mittlere kinetische Energie der Teilchen. Der Skalierungsfaktor K lautet demnach K=

mA . 2kB T

Die gesamte kinetische Energie eines Gases aus N Teilchen mit absoluter Temperatur T ist U = N u = 32 N kB T . Die Wahrscheinlichkeitsdichten der Geschwindigkeitsverteilung lauten

3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung

75

3/2 2 mA e−mA |v| /(2kB T ) , 2πkB T 3/2 2 2 mA F (z) = z 2 e−mA z /(2kB T ) , π kB T mA −mA z2 /(2kB T ) e g(z) = . 2πkB T f (v) =

(3.1) (3.2) (3.3)

¨ Aus den obigen Uberlegungen ergibt sich: Satz 3.1. (Maxwell–Boltzmann–Verteilung) Unter den Annahmen A1)–A4) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit in einem idealen Gas gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichten (3.1)–(3.3). Bei einem einatomigen idealen Gas ist die Summe der kinetischen Energie identisch zur inneren Energie des Gases. Bei mehratomigen idealen Gasen gibt es weitere Quellen der inneren Energie, zum Beispiel Rotationsbewegungen, Schwingungen von verbundenen Atomen um ihre Ruhelage, chemische Bindungsenergien; wobei allerdings nicht alle Freiheitsgrade bei jeder Temperatur aktiv sind. In einem Modell ohne Ber¨ ucksichtigung von chemischen Bindungsenergien hat die innere Energie eines idealen Gases die Form U = z2 N kB T , wobei z die Anzahl der aktiven Freiheitsgrade bezeichnet. Im Allgemeinen kann z eine von der Temperatur abh¨ angige reelle Zahl sein; wir werden die Abh¨ angigkeit von der Temperatur im Folgenden jedoch vernachl¨assigen. Im Fall eines einatomigen Gases entspricht z = 3 den drei linear unabh¨angigen Richtungen einer Bewegung im Raum. Aus der Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man den Druck eines idealen Gases berechnen. Der Einfachheit halber betrachten wir dazu einen W¨ urfel der Kantenl¨ ange L, der ein ideales Gas aus N Massenpunkten der alt, und dessen Seitenﬂ¨ achen jeweils senkrecht zu einem der Masse mA enth¨ Einheitsvektoren stehen. Es gilt dann: •

uhrt in Ein Teilchen mit Geschwindigkeitskomponente vj in Richtung j f¨ |vj | jeder Zeiteinheit im Mittel 2L voll elastische St¨oße mit einer der beiden Seitenﬂ¨ achen senkrecht zum Einheitsvektor ej aus.

•

Jeder Stoß bewirkt einen Impuls¨ ubertrag von 2mA vj , denn die j–te Komponente des Impulses ¨ andert sich von mA vj zu −mA vj .

•

Die Kraft, die alle“ Teilchen auf eine der sechs Seitenﬂ¨achen aus¨ uben, ist ” dann gegeben durch

76

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

+∞ 2 N mA K 2 g(vj ) dvj = s2 e−Ks ds L π 0 R N mA −1 N kB T 2U N mA K1 π = 2 K = = . = L π 4 K3 2L L 3L

N mA F = L

vj2

Der Druck ist also gegeben durch p=

2U 2U F = = A 3LA 3V

ache und dem Volumen V = L3 . mit dem Fl¨ acheninhalt A = L2 der Seitenﬂ¨ Dies ist die Zustandsgleichung des idealen Gases. In der Regel wird die Zustandsgleichung mit Hilfe der absoluten Temperatur ausgedr¨ uckt: pV = N kB T . Das Modell des idealen Gases ist das einfachste Beispiel f¨ ur ein sogenanntes pVT–System. Ein solches System wird beschrieben durch •

drei Variablen: Den Druck p, das Volumen V , die Temperatur T ;

•

eine Zustandsgleichung F (p, V, T ) = 0.

Ein solches System hat zwei Freiheitsgrade, da eine der drei Variablen durch die Zustandsgleichung aus den beiden anderen hervorgeht. Man kann die Variablen p, V , T in zwei Klassen einteilen: Die Temperatur T und der Druck p h¨ angen nicht von der Gr¨ oße des Systems ab, also der Zahl N der Partikel; das Volumen ist proportional zur Gr¨oße des Systems. Variablen, die unabh¨angig von der Gr¨ oße des Systems sind, heißen intensive Variablen, solche, die proportional zur Gr¨ oße des Systems sind, heißen extensiv.

3.2 Thermodynamische Systeme, das thermodynamische Gleichgewicht Viele Ergebnisse der Thermodynamik werden durch (Gedanken-) Experimente mit sogenannten thermodynamischen Systemen begr¨ undet. Der Name thermodynamisches System steht als abstrakter Oberbegriﬀ f¨ ur alle m¨oglichen Konﬁgurationen von Materie, die man in der Thermodynamik studieren kann. Der Begriﬀ umfasst insbesondere: •

Eine gegebene Menge eines bestimmten Reinstoﬀes.

•

Eine gegebene Menge einer Mischung mit bekannter Zusammensetzung.

•

Verbundsysteme, die aus mehreren Teilsystemen bestehen.

3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

77

Einem thermodynamischen System ordnet man einen Zustand zu, der im einfachsten Fall eines PVT–Systems aus der inneren Energie und dem Volumen des Systems besteht, in komplizierteren F¨ allen aber auch mehrere innere Energien und mehrere Volumina von Teilsystemen enthalten kann. Den Zustand eines thermodynamischen Systems kann man ¨ andern, zum Beispiel durch •

Expansion oder Kompression von Teilsystemen. Dadurch wird dem System Energie in korrelierter“, mechanisch nutzbarer“ Form zugef¨ uhrt oder ” ” abgenommen.

•

Zufuhr oder Abﬂuss von W¨ arme, also von Energie in unkorrelierter“ ” Form.

•

Mischen oder Entmischen von Teilsystemen. Das Entmischen kann technisch mit Hilfe von Phasen¨ uberg¨angen geschehen, wie etwa beim Destillieren von Alkohol, oder mit Hilfe von halbdurchl¨assigen Membranen.

•

Herstellen von Kontakten verschiedener Teilsysteme. Die wesentlichen M¨ oglichkeiten sind – Kontakt an einer beweglichen Wand oder einer verformbaren Membran, die den Austausch von Druck und Volumen erm¨oglicht, – Kontakt an einer w¨ armedurchl¨ assigen Wand, die den Austausch von Energie in Form von W¨ arme erm¨ oglicht.

Wenn man ein thermodynamisches System unter konstanten ¨außeren Bedingungen h¨ alt, also etwa gegebenem Druck beziehungsweise gegebenem Volumen und gegebener Temperatur beziehungsweise w¨armeisoliert, dann strebt das System gegen einen Grenzzustand, den man thermodynamisches Gleichgewicht nennt. Hinter fast allen Resultaten und Konzepten der Thermodynamik steht die Vorstellung, dass das betrachtete System bereits im Gleichgewicht ist. Das gilt beispielsweise f¨ ur die Maxwell–Boltzmann–Verteilung und die Zustandsgleichung der idealen Gase. Die bei der Herleitung der Maxwell– Boltzmann–Verteilung getroﬀenen Annahmen u ¨ber die Verteilung der Geschwindigkeit kann man interpretieren als konkrete Vorstellung dar¨ uber, wie das thermodynamische Gleichgewicht in einem idealen Gas aussieht. Auch bei Zustands¨ anderungen geht man in der Regel davon aus, dass die Systeme immer sehr nahe“ an einem Gleichgewichtszustand liegen und man deshalb den ” Unterschied zum Gleichgewichtszustand vernachl¨assigen kann. Dies ist dann sinnvoll, wenn die Zustands¨ anderungen hinreichend langsam ablaufen.

3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt die Energieerhaltung. F¨ ur eine Zustands¨ anderung in einem pVT–System vom Zustand (U1 , V1 ) zum Zuur den Druck hat er die stand (U2 , V2 ) mit Zustandsgleichung p = p(U, V ) f¨

78

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

1

2 Abb. 3.1. Beispiel 1

Form ∆U = ∆Q + ∆W , ¨ wobei ∆U = U2 − U1 die Anderung der inneren Energie ist, ∆Q die zugef¨ uhrte Energie in Form von W¨ arme, und ∆W die am System geleistete Arbeit. Hat die Zustands¨ anderung die Form [0, 1] t → (U (t), V (t)) mit stetig differenzierbaren Funktionen U (t), V (t), p(t) = p(U (t), V (t)), so hat der erste Hauptsatz die Form ˙ , U˙ = Q˙ + W wobei U (t) die innere Energie zur Zeit t, Q(t) die insgesamt bis zur Zeit t zugef¨ uhrte Energie in Form von W¨ arme und W (t) die bis zum Zeitpunkt t am System geleistete Arbeit ist und der Punkt ˙ die Ableitung nach der Zeit t kennzeichnet. Die am System geleistete Arbeit hat h¨auﬁg die Form ˙ = −p V˙ , W

(3.4)

denn Arbeit ist Kraft mal Weg“, der Druck ist Kraft durch Fl¨ache“, und ” ” Fl¨ ache mal Weg“ gibt dann gerade die Volumen¨anderung an. Formel (3.4) gilt ” dann, wenn der w¨ ahrend der Zustands¨ anderung von außen auf den Rand des thermodynamischen Systems einwirkende Druck gleich dem Druck p des thermodynamischen Systems ist, was nicht bei allen Beispielen und Anwendungen der Fall ist. Falls (3.4) g¨ ultig ist, dann ist die Energieerhaltung gegeben durch U˙ = Q˙ − pV˙ .

(3.5)

Als Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik betrachten wir die folgenden drei einfachen Beispiele: Beispiel 1: Adiabatische Expansion Wir betrachten ein in einem Kolben eingeschlossenes ideales Gas aus N Teilchen der Masse mA , siehe Abbildung 3.1. Der Kolben habe die Querschnittsﬂ¨ ache A, die L¨ange des Gasvolumens oßert. Die innere Energie ¨andert sich dabei von U1 werde von 1 nach 2 vergr¨ nach U2 , der Druck von p1 nach p2 . Das Gas tauscht keine W¨arme mit der Außenwelt aus; eine solche Zustands¨ anderung wird als adiabatisch bezeichnet. Bekannt seien U1 , p1 , gesucht sind U2 , p2 . Aus der Zustandsgleichung U= und der Energieerhaltung

z pV 2

3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

79

U˙ = −pV˙ folgt die Diﬀerentialgleichung z U˙ = (pV ˙ + pV˙ ) = −pV˙ 2 und damit

z z+2 ˙ pV ˙ =− pV . 2 2 Separation der Variablen und Integration liefert p˙ z + 2 V˙ =− p z V

und pV κ = konstant mit κ = 1 +

2 z

.

(3.6)

Man kann hier eine der Variablen u ¨ ber die Zustandsgleichung durch die innere Energie ersetzen, zum Beispiel gilt auch U V κ−1 = konstant.

(3.7)

Aus diesen beiden Gleichungen folgt κ κ V1 1 p2 = p1 = p1 V2 2 und

U2 = U1

V1 V2

κ−1

= U1

1 2

κ−1 .

Die vom Gas geleistete Arbeit ist gerade κ−1 1 U1 . W = U1 − U2 = 1 − 2 Beispiel 2: Expansion ohne mechanischen Energiegewinn Das Gas aus Beispiel 1 sei zun¨ achst eingeschlossen in das Volumen V1 . Durch Entfernen einer Wand wird das Volumen auf V2 vergr¨oßert, ohne dass das Gas dabei Energie abgibt. Die innere Energie bleibt also erhalten, das Volumen 2U1 auf vergr¨ oßert sich von V1 auf V2 und der Druck verringert sich von p1 = zV1 p2 =

2U1 V1 = p1 . zV2 V2

Dieses Beispiel zeigt insbesondere, dass auch unter adiabatischen Randbedin¨ gungen nicht jede Volumen¨ anderung eine Anderung der inneren Energie zur Folge haben muss. Insbesondere sind die Beziehungen (3.4) und (3.5) hier nicht anwendbar, da bei der Expansion kein Außendruck vorhanden ist, gegen den Arbeit geleistet werden muss. Im Unterschied zu Beispiel 1 haben wir

80

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

1

2 Abb. 3.2. Beispiel 2

hier auch keine stetig diﬀerenzierbare“ Zustands¨anderung vorliegen; in der ” Praxis wird es einige Zeit dauern, bis sich nach dem Entfernen der Trennwand wieder ein thermodynamisches Gleichgewicht eingestellt hat. Beispiel 3: Isotherme Expansion Wir betrachten wie in Beispiel 1 die Expansion eines idealen Gases aus N Teilchen der Masse mA vom Volumen V1 auf das Volumen V2 , diesmal sei der Kolben aber nicht thermisch isoliert, sondern in Kontakt mit einem Außenmedium gegebener Temperatur T . Bei der Expansion k¨ uhlt sich das Gas deshalb nicht ab, sondern nimmt W¨arme aus dem Außenmedium auf. Der Druck ist dann in Abh¨angigkeit des Volumens gegeben durch N kB T . p= V Die bei der Expansion vom System geleistete Arbeit ist demnach −∆W = W1 − W2 =

V2

p(V ) dV = N kB T ln V1

V2 . V1

Die inneren Energien vor und nach der Expansion sind gleich, U1 = U2 = N kB T . Deshalb muss die bei der Expansion geleistete Arbeit als W¨armemenge aus dem umgebenden Medium aufgenommen werden, ∆Q = Q2 − Q1 = W1 − W2 = N kB T ln

V2 . V1

(3.8)

Die in Beispiel 1 und 3 beschriebenen Beziehungen gelten auch f¨ ur entsprechende Kompressionsvorg¨ ange, wenn V2 < V1 ist. Die resultierenden negativen Vorzeichen in der gewonnenen Arbeit, beziehungsweise der aufgenommenen W¨ arme in Beispiel 3, bedeuten, dass Arbeit aufgewendet, beziehungsweise W¨ arme abgegeben wird. Der Prozess aus Beispiel 2 kann nicht in umgekehrter Richtung durchlaufen werden. Die Prozesse in Beispiel 1 und 3 sind reversibel, der Prozess in Beispiel 2 ist irreversibel.

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

81

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ist eine pr¨azise Formulierung der folgenden ¨ aquivalenten Beobachtungen: (i) W¨ arme ﬂießt nicht von selbst“, also ohne Einsatz anderer Energieformen, ” aus einem kalten in einen warmen K¨ orper. (ii) Man kann durch bloßes“ Abk¨ uhlen eines Reservoirs keine mechanische ” Energie oder Arbeit gewinnen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik postuliert, dass es einen wesentlichen physikalischen Unterschied gibt zwischen mechanisch nutzbarer“ Ener” gie und mechanisch nicht nutzbarer“ Energie, der im ersten Hauptsatz keine ” Rolle spielt. Dieser Unterschied ist auch dann wichtig, wenn gar keine Energie u ¨ bertragen wird, wie man an den beiden obigen Beispielen aus Abschnitt 3.3 sehen kann. Bei Beispiel 1 hatten wir aus der inneren Energie mechanisch nutzbare Energie durch Expansion entnommen. Bei Beispiel 2 hatten wir keine mechanisch nutzbare Energie gewonnen, daf¨ ur ist die innere Energie des expandierten“ Gases gleich geblieben, und die Temperatur ist damit h¨oher ” als beim Resultat von Beispiel 1. Nach dem zweiten Hauptsatz ist es nicht mehr ohne weiteres m¨ oglich, aus dem Endzustand von Beispiel 2 zum Endzustand von Beispiel 1 zu gelangen, da dies ja dem Gewinn von mechanisch nutzbarer Energie durch bloßes Abk¨ uhlen eines W¨armereservoirs entsprechen w¨ urde. In diesem Sinn ist durch die in Beispiel 2 beschriebene Zustands¨anderung mechanisch nutzbare Energie verlorengegangen. Umgekehrt kann man sehr wohl vom Endzustand von Beispiel 1 unter Verwendung der bei Beispiel 1 gewonnenen mechanischen Energie zum Endzustand von Beispiel 2 kommen, indem man etwa den Kolben adiabatisch komprimiert, dabei die gewonnene mechanische Energie wieder einsetzt, und danach die Zustands¨anderung von Beispiel 2 durchf¨ uhrt. Aus dieser Beobachtung folgt die Erkenntnis, dass man durch ungeschickte“ ” Zustands¨ anderungen mechanisch nutzbare Energie verlieren“ kann im Sinne, ” dass diese Energie in mechanisch nicht nutzbare“ Energie transformiert wird. ” Bei adiabatischen Zustands¨ anderungen kann als Kriterium f¨ ur diesen Verlust der Wert von U˙ + pV˙ dienen: Gilt U˙ + pV˙ = 0 ,

(3.9)

¨ der so wird keine mechanisch nutzbare Energie verloren, denn jede Anderung inneren Energie ﬂießt in oder stammt aus einer mechanischen Leistung pV˙ . Gilt dagegen U˙ + pV˙ > 0 , (3.10) so verlieren wir mechanisch nutzbare Energie.

82

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Die wissenschaftlich exakte Formulierung dieser Beobachtungen f¨ uhrt auf eine weitere wichtige Zustandsgr¨ oße, die Entropie. Zur Einf¨ uhrung der Entropie betrachten wir zun¨ achst W¨armekraftmaschinen. W¨ armekraftmaschinen W¨ armekraftmaschinen erzeugen mechanische Energie, indem sie W¨arme aus einem warmen Reservoir entnehmen und einen Teil der aufgenommenen W¨ arme in ein kaltes Reservoir abgeben. Sie verstoßen dabei nicht gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, denn sie nutzen zur Gewinnung von mechanischer Energie einen vorhandenen Temperaturunterschied aus. Die f¨ ur theoretische Zwecke wichtigste W¨ armekraftmaschine ist durch den Carnotschen Kreisprozess gegeben. Dieser ist dadurch charakterisiert, dass W¨ arme nur zu zwei verschiedenen Temperaturen T1 und T2 abgegeben oder aufgenommen wird. Der Carnot–Prozess besteht daher aus zwei isothermen Prozessschritten, an denen W¨ arme abgegeben und aufgenommen wird, und zwei adiabatischen Prozessschritten, mit denen die beiden Temperaturen T1 und T2 verbunden werden. Er ist schematisch in Abbildung 3.3 durch ein T –V –Diagramm und ein p–V –Diagramm charakterisiert. T T2

p

1

4

p1 p2

2

p4 T1

p3

3 V

V1 V4

V2

V3

V

Abb. 3.3. Der Carnotsche Kreisprozess

Die vier Prozessstufen bestehen aus 1. einer isothermen Expansion, 2. einer adiabatischen Expansion, 3. einer isothermen Kompression, 4. einer adiabatischen Kompression. Bei einem idealen Gas als Arbeitsmedium geschieht in diesen Prozessstufen folgendes:

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

83

1. Die Maschine expandiert, w¨ ahrend sie in Kontakt mit einem heißen Reservoir der Temperatur T2 ist. Dabei wird die mechanische Arbeit W1 erzeugt, die innere Energie bleibt konstant, die W¨armemenge Q1 = W1 wird aus dem heißen Reservoir aufgenommen. Die Temperatur bleibt konstant bei T2 , das Volumen wird gr¨ oßer, der Druck kleiner. 2. Die Maschine wird nun thermisch isoliert und expandiert weiter. Dabei armezufuhr von außen erfolgt, wird die Arbeit W2 erzeugt; da keine W¨ f¨ uhrt dies zur Verminderung der inneren Energie um W2 . Die Temperatur oßer, der Druck kleiner. f¨ allt von T2 auf T1 , das Volumen wird gr¨ 3. Die Maschine wird nun in Kontakt mit dem kalten Reservoir 1 der Temperatur T1 gebracht und komprimiert. Dadurch wird mechanische Arbeit −W3 zugef¨ uhrt. Die Temperatur ist konstant bei T1 , also ¨andert sich die innere Energie nicht. Die Maschine gibt die W¨armemenge −Q3 = −W3 an das kalte Reservoir ab. Das Volumen wird kleiner, der Druck gr¨oßer. 4. Die Maschine wird wieder thermisch isoliert und weiter komprimiert. Dazu muss die Arbeit −W4 aufgewendet werden. Da keine W¨arme zu- oder abﬂießt, ¨ andert dies die innere Energie um W4 . Die Temperatur erh¨oht sich von T1 auf T2 , das Volumen wird kleiner, der Druck gr¨oßer. Man kann die in einem Umlauf gewonnene Arbeit leicht aus dem Resultat (3.8) von Beispiel 3 und dem Energieerhaltungssatz ausrechnen: In Prozessschritt 1 wird die W¨ armemenge V2 Q1 = N kB T2 ln V1 aufgenommen, in Prozesschritt 3 die W¨ armemenge −Q2 mit Q2 = N kB T1 ln

V4 V3

abgegeben. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dann, dass die mechanische Arbeit V2 V4 + T1 ln W = Q1 + Q2 = N kB T2 ln V1 V3 gewonnen wird. Der Wirkungsgrad der Maschine ist das Verh¨altnis der gewonnenen mechanischen Arbeit und der aus dem heißen Reservoir entnommenen W¨ armemenge: W T1 ln(V4 /V3 ) η= . =1+ Q1 T2 ln(V2 /V1 ) Die in das kalte Reservoir abgegebene W¨ arme konnte von der W¨armekraftmaschine nicht als mechanische Energie genutzt werden. Wir werden nun den Wirkungsgrad weiter vereinfachen. Dazu ben¨otigen wir die genaue Form der Linien im Prozessdiagramm. Auf den isothermen Linien gilt pV = N kB T = konstant.

84

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Auf den adiabatischen Linien gilt nach (3.6) pV κ = konstant mit κ = 1 + 2/z. Insgesamt gilt also f¨ ur die Daten auf den Schaltpunkten“ ” des Carnot–Prozesses N kB T1 = p3 V3 = p4 V4 ,

N kB T2 = p1 V1 = p2 V2

und p1 V1κ = p4 V4κ ,

p2 V2κ = p3 V3κ .

Aus diesen Identit¨ aten ergibt sich p3 V3 p3 V3κ V31−κ V31−κ T1 = = = T2 p2 V2 p2 V2κ V21−κ V21−κ und analog

T1 p4 V4 V 1−κ = = 41−κ . T2 p1 V1 V1

Dies impliziert V3 V4 V1 V4 ln(V4 /V3 ) = −1 . = , oder = und damit V2 V1 V2 V3 ln(V2 /V1 ) Der Wirkungsgrad des Carnot–Prozesses ist demnach η =1−

T1 . T2

Die Maschine ist also um so eﬃzienter, je gr¨ oßer der Temperaturunterschied zwischen heißem und kaltem Reservoir ist, oder je n¨aher T1 am absoluten Nullpunkt T = 0 ist. Der Carnotsche Kreisprozess erlaubt es, aus vorhandenen Temperaturunterschieden mechanische Arbeit zu gewinnen. Eine wichtige Folgerung daraus ist: Wenn W¨ arme von einem heißen in einen kalten Bereich ﬂießt, wird mechanisch nutzbare Energie in mechanisch nicht nutzbare Energie umgewandelt und geht in diesem Sinne verloren“. ” Eine wesentliche Eigenschaft des Carnotschen Kreisprozesses ist der W¨armeaustausch bei gleicher Temperatur. Dies l¨ asst sich in der Praxis nicht realisieren: Wenn W¨ arme vom heißen Reservoir zur Maschine ﬂießen soll, braucht man einen Temperaturunterschied. Je kleiner der Temperaturunterschied ist, desto mehr Zeit wird f¨ ur den W¨ armetransport ben¨otigt. Ein Zyklus in einem Carnotschen Kreisprozess w¨ urde deshalb unendlich viel Zeit in Anspruch

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

85

nehmen. Der W¨ armeaustausch ohne Temperaturdiﬀerenz ist jedoch wesentlich f¨ ur reversible Prozesse: Wenn zwischen der Maschine und dem Reservoir w¨ ahrend des W¨ armeaustausches eine Temperaturdiﬀerenz besteht, kann man diesen Prozessschritt nicht mehr umkehren, da ja dann W¨arme von einem k¨ alteren in einen heißeren Bereich ﬂießen m¨ usste. In diesem Sinne sind alle reversiblen Prozesse, bei denen W¨ armetransport stattﬁndet, Idealisierungen. ¨ Man kann durch einfache Uberlegungen aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik folgern, dass alle reversiblen W¨ armekraftmaschinen aus zwei isothermen und zwei adiabatischen Prozessschritten mit denselben Arbeitstemperaturen denselben Wirkungsgrad haben m¨ ussen: Satz 3.2. Der Wirkungsgrad jeder reversiblen W¨armekraftmaschine mit zwei adiabatischen und zwei isothermen Prozessschritten und W¨armeaustausch bei den Temperaturen T1 und T2 mit T1 < T2 ist η =1−

T1 . T2

(3.11)

Begr¨ undung: Wir betrachten zwei reversible W¨armekraftmaschinen I und II vom beschriebenen Typ. Maschine I nimmt bei Temperatur T2 die W¨armemenge QI2 auf und gibt bei Temperatur T1 die W¨armemenge −QI1 ab, die II entsprechenden Daten bei Maschine II seien QII 2 und Q1 . Die in einem Prozessschritt geleistete Arbeit soll bei beiden Maschinen gleich sein, II W = QI2 + QI1 = QII 2 + Q1 .

W W f¨ ur Maschine I und η II = II f¨ ur I Q2 Q2 Maschine II. Bei unterschiedlichen Wirkungsgraden muss also

Die Wirkungsgrade sind also η I =

QI2 = QII 2 gelten. Falls zum Beispiel QI2 > QII uckw¨arts 2 gilt, dann kann man Maschine I r¨ laufen lassen und an Maschine II koppeln. Die gekoppelte Maschine ben¨otigt in der Summe keine Energie und transportiert die W¨armemenge QI2 − QII 2 > 0 vom kalten in das heiße Reservoir, im Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Deﬁnition der Entropie Wir werden nun aus dem Wirkungsgrad des Carnotschen Kreisprozesses einige wichtige Folgerungen ziehen, die f¨ ur alle pV T –Systeme g¨ ultig sind. Dazu betrachten wir einen Carnotschen Kreisprozess mit den im (V, T )–Diagramm aus Abbildung 3.3 skizzierten Schaltpunkten“ (V1 , T2 ), (V2 , T2 ), (V3 , T1 ) und ”

86

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik T2 T1 Abb. 3.4. Grenz¨ ubergang im Carnotschen Kreisprozess

(V4 , T1 ); die entsprechende Prozesskurve im (V, T )–Diagramm wird mit Γ bezeichnet. Die aus dem heißen“ Reservoir aufgenommene W¨arme kann man ” mit Hilfe des ersten Hauptsatzes (3.5) durch das Linienintegral

V2

Q1 = V1

∂U (T2 , V ) + p(T2 , V ) dV ∂V

darstellen. Die insgesamt vom System geleistete Arbeit ist W = p(T, V ) dV . Γ

Aus dem Wirkungsgrad (3.11) des Kreisprozesses folgt T1 W = 1− Q1 . T2 Es gilt also

V2 V1

∂U T2 (T2 , V ) + p(T2 , V ) dV = p(T, V ) dV . ∂V T2 − T1 Γ

Der Grenz¨ ubergang T1 → T2 =: T liefert, wie in Abbildung 3.4 skizziert, V2 V2 ∂U ∂p (T, V ) + p(T, V ) dV = T (T, V ) dV . ∂V ∂T V1 V1 Division durch V2 − V1 und Grenz¨ ubergang V1 → V2 =: V liefert die Clapeyronsche Formel ∂p ∂U (T, V ) + p(T, V ) = T (T, V ) . (3.12) ∂V ∂T Mit Hilfe dieser Formel zeigen wir folgenden Satz 3.3. Die Abbildungen (T, V ) → U (T, V ) und (T, V ) → p(T, V ) seien zweimal stetig diﬀerenzierbar. Dann besitzt das Vektorfeld 1 ∂U (T, V ) T → 1 ∂U T ∂T V T ∂V (T, V ) + p(T, V ) V ). ein Potential S = S(T,

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

87

Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass 1 ∂U ∂ 1 ∂U ∂ (T, V ) = (T, V ) + p(T, V ) . ∂V T ∂T ∂T T ∂V Die linke Seite ist gegeben durch 1 ∂ 2U , T ∂T ∂V und die rechte Seite lautet 2 1 ∂U 1 ∂p ∂ U − 2 (T, V ) + p(T, V ) + (T, V ) + (T, V ) T ∂V T ∂T ∂V ∂T 1 ∂2U = (T, V ) . T ∂T ∂V Damit ist die Aussage bewiesen.

Wir wollen nun die Gr¨ oße S als Funktion von U und V darstellen. Um Variablen und Funktionen auseinanderzuhalten, werden wir die Funktion und (T, V ) → p(T, V ) mit p bezeichnen. F¨ (T, V ) → U (T, V ) nun mit U ur S(U, V ) = S T(U, V ), V , wobei (U, V ) → T(U, V ) die bez¨ uglich T invertierte Funktion (T, V ) → (T, V ) ist, gilt dann U ∂ T ∂ T ∂S ∂ S 1 ∂U 1 (U, V ) = (U, V ) = (U, V ) = T (U, V ), V T(U, V ), V ∂U ∂T ∂U T ∂T ∂U T und ∂ T ∂S ∂ S ∂ S (U, V ) = T (U, V ), V (U, V ) + T (U, V ), V ∂V ∂T ∂V ∂V 1 ∂U ∂T 1 ∂U = T (U, V ), V (U, V ) + T(U, V ), V + p T(U, V ), V . T ∂T ∂V T ∂V Aus 0=

∂ U ∂ T ∂U ∂ U T (U, V ), V = T(U, V ), V (U, V ) + T(U, V ), V ∂V ∂T ∂V ∂V

folgt

p T(U, V ), V ∂S (U, V ) = . ∂V T

Es gilt also ∂S(U, V ) 1 ∂S(U, V ) p = und = , (3.13) ∂U T ∂V T wobei T und p hier als Funktionen von U und V aufgefasst werden. Diese Formeln heißen Gibbssche Formeln.

88

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Deﬁnition 3.4. Die Funktion (U, V ) → S(U, V ) heißt Entropie. Die Bezeichnung Entropie wurde von Rudolf Clausius gepr¨agt, sie geht zur¨ uck auf das griechische Wort f¨ ur Verwandlung. Mit Hilfe der Entropie kann man nun eine pr¨azisere Formulierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik formulieren. Wir betrachten dazu ein thermodynamisches System mit einem abstrakten Zustandsraum Z und einer Entropiefunktion S : Z → R. Ein pV T –System mit Zustandsgleichung f (T, p, V ) = 0 hat beispielsweise den Zustandsraum Z = {(T, p, V ) | T, p, V ≥ 0, f (T, p, V ) = 0}. Deﬁnition 3.5. Eine Zustands¨anderung t → z(t) ∈ Z in einem thermodynamischen System mit Zustandsraum Z und Entropiefunktion S : Z → R erf¨ ullt den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, wenn f¨ ur t → S(t) = S(z(t)) gilt: Q˙ S˙ ≥ . T

(3.14)

Dabei ist T die absolute Temperatur und Q(t) die bis zum Zeitpunkt t insgesamt zugef¨ uhrte W¨armemenge. F¨ ur adiabatische Zustands¨anderungen folgt aus (3.14) S˙ ≥ 0 . Auf der Basis der Entropie kann man auch reversible (umkehrbare) und irreversible (nicht umkehrbare) Zustands¨ anderungen charakterisieren: Deﬁnition 3.6. In einem thermodynamischen System mit Zustandsraum Z und Entropie S : Z → R heißt eine stetig diﬀerenzierbare Zustands¨anderung [0, 1] → Z Q˙ reversibel, wenn S˙ = , T

irreversibel, wenn S(1) − S(0) >

1

0

˙ Q(t) dt . T (t)

F¨ ur ein ideales Gas kann man die Entropie berechnen mit Hilfe der Zustandsgleichung pV = N kB T und der Formel U= f¨ ur die innere Energie. Es gilt

z N kB T 2

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

89

1 z ∂S 1 = = N kB und (3.15) ∂U T 2 U p N kB ∂S = = . (3.16) ∂V T V Aus der ersten Gleichung folgt S(U, V ) = z2 N kB ln UU0 + c(V ) und dann durch Einsetzen in die zweite Gleichung c (V ) = NVkB , also c(V ) = N kB ln VV0 . Die ur die innere Energie und das Gr¨ oßen U0 und V0 hier sind Referenzwerte f¨ Volumen. Sie sind insbesondere deshalb notwendig, weil U und V Gr¨oßen mit einer physikalischen Dimension sind, und deshalb Ausdr¨ ucke wie ln U und ln V nicht sinnvoll deﬁniert sind. Außerdem lassen sich die Integrationskonstanten durch geeignete Wahl von U0 und V0 deﬁnieren. Der Werte der Integrationskonstanten ist meistens unwichtig, weil in der Regel nur Entropie¨anderungen eine Rolle spielen. Insgesamt gilt z U V N kB ln + N kB ln . 2 U0 V0 Mit Hilfe der Zustandsgleichung pV = N kB T und der Formel U = z2 N kB T f¨ ur die innere Energie kann man die Entropie auch als Funktion anderer Variabler ausdr¨ ucken, zum Beispiel als Funktion von Temperatur und Volumen z T V S(T, V ) = N kB ln + N kB ln 2 T0 V0 S(U, V ) =

2U0 mit Referenztemperatur T0 = zN kB , oder als Funktion von Temperatur und Druck z+2 T p S(T, p) = N kB ln − N kB ln 2 T0 p0

mit Referenzdruck p0 = N kVB0 T0 . Die Gibbsschen Formeln (3.13) sind allerdings nur f¨ ur S als Funktion von U und V g¨ ultig. Als Anwendung bestimmen wir die Entropie¨ anderung f¨ ur die Beispiele 1 und 2 am Ende von Abschnitt 3.3. In Beispiel 1, der adiabatischen Expansion, wurde der Zustand (U1 , V1 ) mit Entropie z U1 V1 N kB ln + N kB ln 2 U0 V0 # $2/z transformiert in den Zustand (U2 , V2 ) mit U2 = U1 VV12 und Entropie S1 =

S2 =

z U2 V2 N kB ln + N kB ln . 2 U0 V0

U1 V1 2 2 Wegen ln U U0 = ln U0 + z ln V2 folgt S1 = S2 . Die Entropie hat sich also nicht ge¨ andert, die Zustands¨ anderung ist damit reversibel. In Beispiel 2 ist U2 = U1 und V2 > V1 , damit ist

z U1 V2 N kB ln + N kB ln > S1 . 2 U0 V0 Die Zustands¨ anderung ist also irreversibel. S2 =

90

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Die Temperatur als integrierender Faktor Am Beginn dieses Abschnittes haben wir reversible und irreversible Zustands¨ anderungen in einem pVT–System durch die Beziehungen (3.9) und ¨ (3.10) charakterisiert. Ein Ziel unserer Uberlegungen war es, eine skalare Gr¨ oße zu ﬁnden, die f¨ ur zwei durch eine reversible Zustands¨anderung ver” bundene“ Zust¨ ande denselben Wert hat, bei irreversiblen Zustands¨anderungen dagegen ansteigt. Aus (3.9) und (3.10) kann man als sinnvolle Wahl einer solchen Gr¨ oße ein Potential Σ des Vektorfeldes U 1 → V p(U, V ) vermuten, also eine Funktion Σ = Σ(U, V ) mit ∂Σ ∂Σ = 1 und = p. ∂U ∂V In diesem Fall gilt n¨ amlich f¨ ur jede diﬀerenzierbare Zustands¨anderung t → (U (t), V (t)) d ˙ Σ(U (t), V (t)) = U(t) + p(U (t), V (t)) V˙ (t) . dt Allerdings besitzt nicht jedes Vektorfeld ein Potential, und insbesondere wird (U, V ) → (1, p(U, V )) im Allgemeinen kein Potential haben. Aus der Deﬁnition der Entropie ist jedoch ersichtlich, dass das Vektorfeld 1 1 (U, V ) → T (U, V ) p(U, V ) ein Potential hat, wobei man die absolute Temperatur hier als Funktion von U und V auﬀassen muss. Die reziproke Temperatur 1/T spielt hier die Rolle eines sogenannten integrierenden Faktors. Deﬁnition 3.7. Es sei v : Rn → Rn ein Vektorfeld. Eine Funktion λ : Rn → R heißt integrierender Faktor des Vektorfeldes v, wenn λv ein Potential besitzt, wenn es also eine Funktion ϕ : Rn → R gibt mit ∂ϕ = λvj . ∂xj Die Rolle der reziproken Temperatur als integrierender Faktor zu (U, V ) → (1, p(U, V )) mit der Entropie als Potential kann man zu einem alternativen Zugang zur Deﬁnition der Entropie ausbauen.

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

91

Entropie und thermodynamisches Gleichgewicht Mit Hilfe der Entropie kann man eine notwendige Bedingung f¨ ur das thermodynamische Gleichgewicht eines Systems unter adiabatischen Randbedingungen formulieren, also bei Systemen, die thermisch isoliert sind, so dass keine Energie in Form von W¨ arme zu- oder abﬂießt. Wir betrachten dazu ein thermodynamisches Verbundsystem aus zwei Teilsystemen. Ein typisches Beispiel ist ein Gef¨ aß, das durch eine Trennwand oder eine Membran unterteilt ist; in den beiden Teilen sind m¨ oglicherweise verschiedene Substanzen, oder verschiedene Phasen beziehungsweise Aggregatzust¨ande (fest, ﬂ¨ ussig, gasf¨ormig) derselben Substanz. Die Trennwand kann den Austausch bestimmter Gr¨oßen erlauben oder verhindern, sie kann zum Beispiel thermisch isoliert oder thermisch durchl¨ assig sein, fest oder beweglich. Ziel ist es, das thermodynamische Gleichgewicht zu charakterisieren. Eine wichtige Anwendung des thermodynamischen Gleichgewichts zweier Teilsysteme ist die Bestimmung des Schmelzoder Siedepunktes einer Substanz, die beiden Teilsysteme entsprechen dann den beiden Phasen (die feste und die ﬂ¨ ussige oder die ﬂ¨ ussige und die gasf¨ormige) des Materials. Ein wichtiges Kriterium zur Bestimmung des thermodynamischen Gleichgewichts ist der folgende Satz: Satz 3.8. (Clausius) Ein thermodynamisches System unter adiabatischen Randbedingungen ist im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn die Entropie maximal ist. Diese Aussage folgt aus der Beobachtung, dass die Entropie bei adiabatischen Zustands¨ anderungen h¨ ochsten wachsen kann. Wenn die Entropie also ihr Maximum annimmt, dann ist keine weitere Zustands¨anderung mehr m¨oglich, und das charakterisiert gerade das thermodynamische Gleichgewicht. Als Anwendung des Satzes von Clausius betrachten wir ein Gef¨aß mit festgehaltenem Volumen V , das durch eine bewegliche Membran in zwei Teilvolumina V1 und V2 = V − V1 getrennt wird. Die Membran sei w¨armedurchl¨assig, so dass W¨ armeﬂuss von einem Teilsystem in das andere m¨oglich ist. Wir bezeichnen die Temperatur, die innere Energie, die Entropie und den Druck in Teilsystem i f¨ ur i = 1, 2 jeweils mit Ti , Ui , Si und pi . Die gesamte innere Energie ist dann U = U1 + U2 , die Entropie S = S1 + S2 . Mit Si = Si (Ui , Vi ) kann man die Entropie des Gesamtsystems schreiben als S(U1 , V1 ) = S1 (U1 , V1 ) + S2 (U − U1 , V − V1 ) . Ein notwendiges Kriterium f¨ ur ein Maximum ist ∂S1 ∂S2 1 1 ∂S = − = − = 0 und ∂U1 ∂U1 ∂U2 T1 T2 ∂S ∂S1 ∂S2 p1 p2 = − = − = 0. ∂V1 ∂V1 ∂V2 T1 T2

92

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Das Gleichgewicht ist also charakterisiert durch T1 = T2 und p1 = p2 , also der Stetigkeit von Temperatur und Druck.

3.5 Thermodynamische Potentiale Wir betrachten eine beliebige reversible Zustands¨anderung t → (U (t), V (t)) in einem pVT–System. Umstellen der Beziehung p 1 S˙ = U˙ + V˙ T T liefert

U˙ = T S˙ − pV˙ .

Wenn man U als Funktion von S und V schreibt, dann gilt ∂U ˙ ∂U ˙ U˙ = S+ V. ∂S ∂V Da diese Beziehung f¨ ur alle Zustands¨ anderungen gilt, kann man folgern, dass die Gleichungen ∂U ∂U = T, = −p ∂S ∂V erf¨ ullt sein m¨ ussen. Man kann nun durch eine einfache mathematische Transformation, der sogenannten Legendre–Transformation, die wir im n¨achsten Abschnitt kurz erl¨ autern werden, weitere energie¨ahnliche Funktionen gewinnen, bei denen die Rollen von S und V als Variable und von T und −p als partielle Ableitungen vertauscht werden: F¨ ur die freie Energie F (T, V ) := U − T S als Funktion von T und V gilt: F˙ = U˙ − T˙ S − T S˙ = −S T˙ − pV˙ und damit

∂F (T, V ) = −S , ∂T

∂F (T, V ) = −p . ∂V

F¨ ur die Enthalpie H(S, p) := U + pV als Funktion von S und p gilt: H˙ = U˙ + pV ˙ + pV˙ = T S˙ + V p˙

3.5 Thermodynamische Potentiale

und damit

∂H(S, p) =T, ∂S F¨ ur die freie Enthalpie

93

∂H(S, p) =V . ∂p

G(T, p) := U − T S + pV als Funktion von T und p gilt: G˙ = U˙ − T˙ S − T S˙ + pV ˙ + pV˙ = −S T˙ + V p˙ und damit

∂G(T, p) ∂G(T, p) = −S , =V . ∂T ∂p Die freie Enthalpie ist auch als Gibbssche freie Energie bekannt. Die Funktionen (T, V ) → F (T, V ), (S, p) → H(S, p), (T, p) → G(T, p) heißen thermodynamische Potentiale. Sie sind zum Beispiel wichtig, wenn man Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur thermodynamische Systeme unter verschiedenen Nebenbedingungen formulieren m¨ ochte. Dazu koppelt man den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik mit den Zeitableitungen von F , H, G und ¨ leitet aus daraus gewonnenen Ungleichungen durch eine ¨ahnliche Uberlegung wie in der Begr¨ undung des Satzes von Clausius die gew¨ unschten Gleichgewichtsbedingungen ab. Den ersten Hauptsatz schreibt man in der Form ˙ = Q˙ − p0 V˙ , U˙ = Q˙ + W ˙ = −p0 V˙ die Rate der dem System zugef¨ uhrten Arbeit ist. Diese wobei W Arbeit wird durch Kompressions- oder Expansionsvorg¨ange realisiert, p0 bezeichnet dabei den von außen auf den Rand des Systems einwirkenden Druck. Dieser kann, muss aber nicht mit dem Druck p im System u ¨ bereinstimmen, wie die beiden Beispiele aus Abschnitt 3.3 zeigen. In Beispiel 1 ist p0 = p, w¨ ahrend man bei Beispiel 2 keine Abfuhr von mechanischer Energie hat und deshalb p0 = 0 zu setzen ist. Kombination mit dem zweiten Hauptsatz Q˙ S˙ ≥ T liefert U˙ ≤ T S˙ − p0 V˙ . Daraus kann man folgende Gleichgewichtsbedingungen herleiten: Isothermer, isochorer Fall: Mit T˙ = 0, V˙ = 0 folgt aus d (U − T S) ≤ −S T˙ − p0 V˙ = 0 , dt dass die freie Energie F = U − T S durch m¨ogliche Zustands¨anderungen nicht zunehmen kann. Das Gleichgewicht ist also charakterisiert durch das Minimum der freien Energie F = U − T S.

94

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Adiabatischer, isobarer Fall: Aus S˙ = 0 und p˙ = 0 sowie der Annahme p0 = p folgt d (U + pV ) ≤ T S˙ + V p˙ = 0 . dt Das Gleichgewicht ist demnach durch das Minimum der Enthalpie H = U + pV bestimmt. Isothermer, isobarer Fall: Aus T˙ = 0 und p˙ = 0 sowie p = p0 folgt d (U − T S + pV ) ≤ −S T˙ + V p˙ = 0 . dt Das Gleichgewicht ist also durch das Minimum der freien Enthalpie G = U − T S + pV charakterisiert. F¨ ur die Formulierung der Gleichgewichtsbedingung muss man also gerade dasjenige thermodynamische Potential w¨ ahlen, dessen kanonische Variablen“ ” unter den betrachteten Nebenbedingungen konstant sind.

3.6 Die Legendre–Transformation Die Herleitung der thermodynamischen Potentiale aus der inneren Energie im vorhergehenden Abschnitt geschieht durch Anwendungen einer mathematischen Transformation, der sogenannten Legendre–Transformation. Die Legendre–Transformation ist nicht nur in der Thermodynamik wichtig, sondern zum Beispiel auch in der Mechanik beim Zusammenhang zwischen dem Lagrange– und dem Hamilton–Formalismus, den wir in Abschnitt 4.2 erl¨ autern werden, oder bei Optimierungsproblemen. Wir werden hier die Deﬁnition und die wichtigsten Eigenschaften der Legendre–Transformation kurz skizzieren. Deﬁnition 3.9. Es sei f : Rn → R eine stetig diﬀerenzierbare Funktion. Die Ableitung y von f mit Komponenten yj (x) :=

∂f (x) ∂xj

sei invertierbar, das heißt, es gibt eine Funktion x : Rn → Rn mit y (x (y)) = y f¨ ur alle y ∈ Rn . Dann heißt f (y) := x (y) · y − f (x (y)) die Legendre–Transformierte von f .

3.7 Der Kalk¨ ul der Diﬀerentialformen

95

F¨ ur die Legendre–Transformierte gilt die Beziehung ∂f (y) = xj (y) . ∂yj Dies sieht man durch einfaches Nachrechnen ein: n ∂x

∂f ∂f ∂x (y) = (y) y − (x (y)) (y) + xj (y) = xj (y) . ∂yj ∂yj ∂x

∂yj

=1

Die Legendre–Transformation realisiert f¨ ur hinreichend allgemeine Funktionen gerade die Vertauschung der Rolle von Variable und partieller Ableitung, die bei der Konstruktion der thermodynamischen Potentiale im vorigen Abschnitt ¨ wichtig war. Der Ubergang von der inneren Energie U zur freien Energie F , der Enthalpie H und der freien Enthalpie G entspricht bis auf das Vorzeichen gerade der Legendre–Transformation bez¨ uglich eines oder zweier zueinander dualer“ Paare von Variablen und partiellen Ableitungen. ”

3.7 Der Kalku ¨ l der Diﬀerentialformen Viele der bisher betrachteten Ergebnisse lassen sich in kurzer Form mit Hilfe von Diﬀerentialformen 1. Ordnung, im Folgenden auch kurz Diﬀerentialformen genannt, darstellen. Deﬁnition 3.10. Eine Diﬀerentialform auf dem Rn ist eine stetige Abbildung ω : U × Rn → R , (x, t ) → ω(x), t , die linear im zweiten Argument ist. Die wesentliche Operation f¨ ur Diﬀerentialformen 1. Ordnung sind Kurvenintegrale.

Deﬁnition 3.11. Sei ω eine Diﬀerentialform und Γ = x(s) | s ∈ (0, 1) eine stetig diﬀerenzierbare Kurve im Rn . Dann ist das Kurvenintegral von ω ¨ uber Γ deﬁniert durch 1

ω= Γ

0

ω(x(s)), x (s) ds .

Aufgrund der Linearit¨ at von t → ω(x), t ist diese Deﬁnition unabh¨angig von der Wahl der Parametrisierung. An Hand dieser Deﬁnition kann man auch die unterschiedliche Rolle der Argumente x und t in der Diﬀerentialform ablesen: W¨ ahrend x einen Punkt im Raum darstellt, ist t ein (m¨oglicher) Tangentialvektor einer Kurve durch x. Wir werden nun zwei M¨ oglichkeiten betrachten Diﬀerentialformen zu erhalten.

96

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

(i) Zu einem Vektorfeld y : Rn → Rn ist eine Diﬀerentialform ω=

n

yj dxj

j=1

gegeben durch ω(x), t =

n

yj (x) tj = y(x) · t .

j=1

Mit dxj bezeichnen wir die lineare Abbildung dxj (ei ) = δij , wobei ei der i– te Einheitsvektor ist. Oﬀensichtlich kann man jede Diﬀerentialform in dieser Form darstellen: Da f¨ ur jedes feste x ∈ Rn die Abbildung t → ω(x), t linear ist, gibt es ein y(x) mit ω(x), t = y(x)·t. einer

Das Kurvenintegral solchen Diﬀerentialform u ¨ ber eine Kurve Γ = x(s) | s ∈ (0, 1) ist n

yj dxj =

Γ j=1

n 1

0 j=1

yj (x(s)) xj (s) ds =:

y(x) · dx . Γ

(ii) Zu einer stetig diﬀerenzierbaren Funktion φ : Rn → R sei dφ deﬁniert durch n ∂φ dφ := dxj . ∂xj j=1 Das Kurvenintegral von dφ ist

dφ =

Γ

n 1

0 j=1

∂φ (x(s)) xj (s) ds = ∂xj

∇φ(x) · dx = φ(x(1)) − φ(x(0)) . Γ

Deﬁnition 3.12. Eine Diﬀerentialform ω auf Rn heißt vollst¨andiges Diﬀerential, wenn es eine diﬀerenzierbare, skalare Funktion φ : Rn → R gibt mit ω = dφ. Der Begriﬀ des vollst¨ andigen Diﬀerentials enth¨alt nichts, was wir nicht schon kennen: Eine Diﬀerentialform ist genau dann ein vollst¨andiges Diﬀerential, wenn das zugeh¨ orige“ Vektorfeld ein Potential besitzt. ” Einer der wesentlichen Vorteile von Diﬀerentialformen ist, dass man damit rechnen“ kann. Dazu deﬁnieren wir eine multiplikative Verkn¨ upfung einer ” Funktion φ : Rn → R mit einer Diﬀerentialform ω zu einer neuen Diﬀerentialform φω durch (φω)(x), t = φ(x)ω(x), t . Satz 3.13. F¨ ur stetig diﬀerenzierbare Funktionen φ, ψ : Rn → R und Diﬀerentialformen gelten folgende Rechenregeln:

3.7 Der Kalk¨ ul der Diﬀerentialformen

(i) d(φψ) = φ dψ + ψ dφ. (ii) Aus dφ =

n

⎛

y dx und yj = 0 folgt dxj =

=1

97

⎞

1 ⎜ ⎝dφ − yj

n

⎟ y dx ⎠.

=1

=j

Beweis. (i) folgt aus der Produktregel: n n ∂ψ ∂φ ∂ d(φψ), t = φ tj = φ dψ, t +ψ dφ, t . (φψ) tj = +ψ ∂xj ∂xj ∂xj j=1 j=1 (ii) folgt durch Nachrechnen: dxj , t = ej · t = tj und, wegen %

∂φ ∂x

= y ,

⎛

1 ⎜ ⎝dφ − yj

⎞

n

=1

=j

& n y

1 ⎟ y dx ⎠ , t = dφ, t − t

yj yj

=1

=j

=

n n 1 ∂φ y

t − t = tj . yj ∂x

yj

=1

=1

=j

Anwendung in der Thermodynamik Diﬀerentialformen sind in der Thermodynamik sehr beliebt, weil man damit viele Beziehungen ohne die Verwendung von k¨ unstlichen thermodynamischen ¨ Prozessen und die damit einhergehenden Anderungen der thermodynamischen Gr¨ oßen aufschreiben kann. Beispielsweise kann man die Evolutionsgleichung der Entropie f¨ ur reversible Zustands¨ anderungen 1 p S˙ = U˙ + V˙ T T kurz schreiben als

1 p dU + dV . T T Diese Gleichung kommt ohne Zeitableitung eines virtuellen thermodynamischen Prozesses aus und enth¨ alt gleichzeitig die Gibbsschen Formeln (3.13). Durch Anwendung der Rechenregeln aus Satz 3.13 erh¨alt man direkt dS =

dU = T dS − p dV

98

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

anstatt der Beziehung U˙ = T S˙ − pV˙ . F¨ ur die thermodynamischen Potentiale folgt, ebenfalls mit den Rechenregeln aus Satz 3.13 dF = d(U − T S) = dU − T dS − S dT = −S dT − p dV , dH = d(U + pV ) = dU + p dV + V dp = T dS + V dp , dG = d(U − T S + pV ) = dU − T dS − S dT + p dV + V dp = −S dT + V dp . Auch die Legendretransformation l¨ asst sich mit dem Kalk¨ ul der Diﬀerentialformen leicht einf¨ uhren: F¨ ur eine Funktion f mit vollst¨andigem Diﬀerential df =

n

yj dxj

j=1

ist die Legendre–Transformierte deﬁniert durch f =

n

xj yj − f .

j=1

Das vollst¨ andige Diﬀerential der Legendre–Transformierten ist df =

n j=1

(yj dxj + xj dyj ) − df =

n

xj dyj .

j=1

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential Bei vielen in der Praxis auftretenden Stoﬀen handelt es sich um Mischungen von mehreren Komponenten. Wenn sich die Zusammensetzung einer betrachteten Mischung zeitlich oder r¨ aumlich ¨ andern kann, dann muss man den Einﬂuss der Zusammensetzung auf die Thermodynamik der Mischung modellieren. Dies ist unter anderem bei Modellen f¨ ur Diﬀusionsprozesse und f¨ ur chemische Reaktionen wichtig. Wir betrachten eine Mischung aus M Komponenten mit Massen m1 , . . . , mM . Die Mischung sei in zwei Teilsysteme aufgeteilt, die durch eine Membran getrennt sind. Die Membran sei durchl¨ assig f¨ ur die Komponente 1, w¨armedurchl¨ assig und beweglich, so dass der Druck und die Temperatur in beiden Teilsystemen gleich sind. Wir m¨ ochten nun bestimmen, wie sich Komponente 1 auf die beiden Teilsysteme aufteilt. Wir setzen dabei die Temperatur T und den Druck p als konstant voraus und haben somit den isothermen, isobaren Fall. Das thermodynamische Gleichgewicht wird also durch das Minimum der freien Enthalpie G bestimmt. Wenn man wie in Abbildung 3.5 (1) skizziert die Massen der Komponenten in Teilsystem 1 und 2 mit mj und

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential (2)

99

(1)

mj = mj − mj und die freien Enthalpien der Teilsysteme mit G1 und G2 bezeichnet, dann ist die gesamte freie Enthalpie gegeben durch (1) (1) (1) (1) G T, p, m1 , . . . , mM = G1 T, p, m1 , . . . , mM (1) (1) + G2 T, p, m1 − m1 , . . . , mM − mM . Die Komponente 1 teilt sich im Gleichgewicht so auf, dass G minimal wird. Ein notwendiges Kriterium daf¨ ur ist ∂G (1) ∂m1

=

∂G1 (1) ∂m1

−

∂G2 (2) ∂m1

= 0, also

∂G1 (1) ∂m1

=

∂G2 (2)

∂m1

.

Das bedeutet, dass die Ableitung der freien Enthalpie G nach der Komponente ur eine Mischung mit m1 im thermodynamischen Gleichgewicht stetig ist. F¨ freier Enthalpie G = G(T, p, m1 , . . . , mM ) heißt ∂G =: µj ∂mj chemisches Potential der Komponente j. Wenn eine Membran, die zwei Mischungen trennt, durchl¨ assig ist f¨ ur die Komponente j der Mischungen, dann nimmt µj auf beiden Seiten der Membran denselben Wert an. Aus der Deﬁnition des chemischen Potentials folgt die diﬀerentielle Beziehung dG = −S dT + V dp +

M

µj dmj .

j=1

Durch verschiedene Versionen der Legendre–Transformation kann man folgende Beziehungen f¨ ur Mischungen herleiten: dU = T dS − p dV +

M

µj dmj ,

j=1

dF = −S dT − p dV +

M

µj dmj ,

j=1

dH = T dS + V dp +

M

µj dmj ,

j=1

µj 1 p dU + dV − dmj . T T T j=1 M

dS =

Das chemische Potential ist, trotz seines Namens, kein Potential im mathematischen Sinn. Es handelt sich dabei vielmehr um die Ableitung eines Potentials,

100

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik T, p T, p (1) (1) (2) (2) m1 , ..., mM m1 , ..., mM ` ` (1) (1) ´ (2) (2) ´ G1 T, p, m1 , . . . , mM G2 T, p, m1 , . . . , mM

(1)

(2)

mj + mj

= mj

Abb. 3.5. Zur Deﬁnition des chemischen Potentials

n¨amlich der freien Enthalpie, nach einer Variablen, n¨amlich der Masse der betrachteten Komponente. Ableitungen von Potentialen werden h¨auﬁg auch als Triebkr¨afte bezeichnet. Hinter dieser Bezeichnung steht die Vorstellung, dass das betrachtete System sich in Richtung des negativen Gradienten des Potentials bewegt und so im Laufe der Zeit gegen ein Minimum des Potentials strebt. Wir werden nun einige wichtige Eigenschaften des chemischen Potentials zusammenstellen. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden die Massen der Komponenten in einem Massevektor m = (m1 . . . , mM ) zusammengefasst. Falls die freie Enthalpie eine zweimal stetig diﬀerenzierbare Funktion ist, dann kann man gemischte zweite partielle Ableitungen vertauschen. Es folgt dann ∂µj ∂2G ∂µk = = f¨ ur j, k = 1, . . . , M . ∂mk ∂mj ∂mk ∂mj Die freie Enthalpie G ist, wie alle thermodynamischen Potentiale, eine extensive Gr¨ oße; das bedeutet, ihr Wert ist proportional zur Gr¨oße des Systems. Die Gr¨ oße des Systems wird hier durch die Massen angegeben. Es gilt also G(T, p, αm) = α G(T, p, m) f¨ ur α ≥ 0 . Dies bedeutet, dass G 1–homogen bez¨ uglich der Variablen m ist: Deﬁnition 3.14. Eine Funktion f : Rn → R heißt k–homogen, wenn f (αx) = αk f (x) f¨ ur alle x ∈ Rn , α > 0 . Aus dieser einfachen Eigenschaft kann man einige wichtige Folgerungen ableiten. Es gilt einerseits ∂ ∂G(T, p, αm) = α G(T, p, m) = G(T, p, m) ∂α ∂α und andererseits ∂G(T, p, αm) ∂G(T, p, αm) = mj . ∂α ∂mj j=1 M

F¨ ur α = 1 folgt mit µj = µj (T, p, m) =

∂G(T,p,m) ∂mj

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential

G(T, p, m) =

M

µj (T, p, m) mj .

101

(3.17)

j=1

Durch Ableiten nach mk folgt ∂G(T, p, m) ∂µj = mj + µk . ∂mk ∂mk j=1 M

µk =

Daraus folgt die Gibbs–Duhem–Beziehung M M ∂µj ∂µk mj = mj = 0 . ∂mk ∂mj j=1 j=1

(3.18)

Außerdem ist α µj (T, p, αm) =

∂G(T, p, αm) ∂G(T, p, m) =α = α µj (T, p, m) ∂mj ∂mj

und folglich µj (T, p, αm) = µj (T, p, m) f¨ ur α > 0 . uglich m. Es bedeutet auch, dass µj Das bedeutet, dass µj 0–homogen ist bez¨ eine intensive Gr¨ oße ist, die nicht von der gesamten Masse m = m1 +· · ·+mM abh¨ angt, sondern nur von den Massenanteilen, die man zum Beispiel durch m die Konzentrationen cj = mj beschreiben kann, j (T, p, c ) mit c = (c1 , . . . , cM ) , cj = µj (T, p, m) = µ

mj . m

Beispiele Das einfachste Beispiel ist ein reiner Stoﬀ. Es ist dann M = 1, m1 = m und µj (T, p, m) = µ(T, p) =

G(T, p, m) . m

Bei einem idealen Gas mit z Freiheitsgraden und Atommasse m0 ist T G(T, p, m) = z+2 + N kB T ln pp0 + αN m0 T 2 N kB T 1 − ln T0 T = z+2 + r m T ln pp0 + α m T , 2 r m T 1 − ln T0 wobei m0 die Masse eines Atoms ist, m = N m0 die gesamte Masse des Systems kB und r = m . Der Term α m T stammt von der Integrationskonstanten aus der 0 Entropie; er muss hier mit m skaliert werden, da die Entropie eine extensive Gr¨ oße ist. Das chemische Potential lautet damit T + r T ln pp0 + α T . µ(T, p) = z+2 2 r T 1 − ln T0

102

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Ein etwas aussagekr¨ aftigeres Beispiel ist eine Mischung verschiedener idealer Gase. Die Zustandsgleichung idealer Gase ist pV = N kB T . Wir betrachten eine Mischung von M verschiedenen idealen Gasen. Von Gas j (0) seien Nj Teilchen vorhanden, die Masse dieser Teilchen sei mj . Die Gesamt(0)

masse von Gas j ist mj = Nj mj . Die Zustandsgleichung der Mischung, die man ebenfalls als ideales Gas betrachtet, kann man auf zwei Arten interpretieren: Gas j f¨ ullt das gesamte Volumen V aus und u ¨bt dabei einen Partialdruck pj aus, pj V = Nj kB T . Der gesamte Druck ist dann p=

M

pj .

j=1

Andererseits kann man jedem Gas ein Partialvolumen Vj zuordnen mit pVj = Nj kB T , das Gesamtvolumen ist dann V =

M

Vj .

j=1

Aus beiden Interpretationen folgt die Zustandsgleichung pV = N kB T f¨ ur die gesamte Mischung und die Formeln Vj Nj pj = = . p V N Die innere Energie setzt sich zusammen als Summe der inneren Energien der Teilsubstanzen, M zj U= 2 Nj kB T , j=1

wobei zj die Anzahl der Freiheitsgrade von Gas j ist. Die Entropie setzt man ebenfalls an als Summe der Teilentropieen der Komponenten, wobei man allerdings f¨ ur Komponente j den zugeh¨ origen Partialdruck pj verwendet. Man erh¨ alt dann S=

M # z

j +2

2

j=1

Nj kB ln

T T0

− Nj kB ln

pj p0

(0)

− Nj mj αj

$

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential

103

(0)

mit Integrationskonstanten Nj mj αj . Die Mischung wird dabei interpretiert als Verbundsystem aus M verschiedenen, unabh¨ angigen p Teilkomponenten. p Man kann die Entropie mit der Formel ln p0j = ln pj + ln pp0 und der (0)

Abk¨ urzung rj = kB /mj

schreiben als S=

M

Sj + SMix

j=1

mit (0) − Nj kB ln pp0 − Nj mj αj # $ z +2 = mj j2 rj ln TT0 − rj ln pp0 − αj

Sj =

zj +2 2 Nj kB

ln

T T0

und der Mischungsentropie Smix = −

M

Nj kB ln

pj p

.

j=1

Mit

mj

(0) m pj Nj = = M j =: Xj (m) ' mk p N

k=1

(3.19)

(0) mk

kann man die Mischungsentropie schreiben als Funktion von m1 , . . . , mM : Smix (m) = −

M

mj rj ln(Xj (m)) .

j=1

Die Gr¨ oße Xj (m) heißt Molenbruch der Komponente j. Ein Mol bezeichnet NA ≈ 6,02214179 ·1023 Teilchen einer Substanz. Die Zahl NA heißt Avogadro– Zahl ; sie ist so gew¨ ahlt, dass ein Mol Kohlenstoﬀatomkerne, bestehend aus 6 Protonen und 6 Neutronen, genau 12 Gramm wiegen. Die ' Molzahl der SubN stanz j ist νj = NAj , die gesamte Molzahl ist ν = NNA = M j=1 νj . Es gilt also N

ν

insbesondere Xj (m) = Nj = νj . Die Messung von Substanzen in Mol ist vor allem in der Chemie gebr¨ auchlich. Man kann aus der Molzahl und der Anzahl der Kernteilchen (Protonen und Neutronen) einer Substanz einfach auf das Gewicht schließen; Molzahl mal Zahl der Kernteilchen ist, bis auf eine kleine Abweichung, gleich dem Gewicht in Gramm. Wenn man Teilchenzahlen in Mol misst, kann man auch die Konstante rj anders darstellen: rj =

kB (0) mj

=

R , Mj

104

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik (0)

wobei Mj = NA mj die Masse eines Mols aus Teilchen der Substanz j ist und R = NA kB die kinetische Gaskonstante. Die freie Enthalpie einer Mischung idealer Gase ist gegeben durch G = U − T S + pV =

M

Gj (T, p, mj ) + Gmix (T, p, m)

j=1

mit Gj (T, p, mj ) = mj

zj +2 2

rj T 1 − ln TT0 + mj rj T ln pp0 + αj mj T

und Gmix (T, p, m) = −T Smix(m) . Zur Bestimmung des chemischen Potentials berechnen wir zun¨achst M

∂ ∂ ln(Xk (m)) = N kB Xk (m) = 0 , ∂mj ∂mj M

mk rk

k=1

k=1

dies gilt wegen mk rk /Xk (m) = N kB und µj =

∂G = ∂mj

zj +2 2

'M k=1

Xk (m) = 1. Damit folgt

rj T 1 − ln TT0 + rj T ln pp0 + rj T ln(Xj (m)) + αj T

(0)

= µj (T, p) + rj T ln(Xj (m)) mit den chemischen Potentialen der entsprechenden Reinstoﬀe (0)

µj (T, p) =

zj +2 2

rj T 1 − ln TT0 + rj T ln pp0 + αj T .

(3.20)

Eine Verallgemeinerung von Mischungen idealer Gase sind ideale Mischungen. Bei idealen Mischungen setzt man zwar keine idealen Gase mehr voraus, postuliert aber trotzdem die Formeln U (T, p, m) =

M

Uj (T, p, mj ) und

j=1

S(T, p, m) =

M

Sj (T, p, mj ) + Smix (m)

j=1

f¨ ur innere Energie und Entropie, wobei Uj und Sj die innere Energie und Entropie des entsprechenden reinen Stoﬀes ist und Smix (m) = −

M j=1

mj rj ln(Xj (m))

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen

105

mit dem in (3.19) deﬁnierten Molenbruch Xj (m). Die freie Enthalpie ist G(T, p, m) =

M

Gj (T, p, mj ) − T Smix(m)

j=1

mit den freien Enthalpien Gj (T, p, mj ) der reinen Stoﬀe. Das chemische Potential lautet dann (0)

µj (T, p, m) = µj (T, p) + rj T ln(Xj (m))

(3.21)

∂Gj (0) mit µj (T, p) = (T, p, mj ) . ∂mj Die hier diskutierten Beispiele sind noch ziemlich einfach. Bei realen Mischungen beobachtet man manchmal eine Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung und eine Volumen¨ anderung w¨ ahrend des Mischvorganges. Bei solchen Mischungen ist es nicht m¨ oglich, die innere Energie und die Zustandsgleichung in der oben beschriebenen Weise additiv zu entkoppeln. Oft ﬁndet man Modelle, bei denen die Formel (3.21) f¨ ur das chemische Potential bei idealen Mischungen modiﬁziert wird, zum Beispiel, indem man den Molenbruch Xj (m) durch eine allgemeinere Funktion ersetzt, (0)

µj (T, p, m) = µj (T, p) + rj T ln(aj (T, p, m)) .

(3.22)

auﬁg wird die Aktivit¨at geschrieben Die Funktion aj (T, p, m) heißt Aktivit¨at. H¨ als aj (T, p, m) = γj (T, p, m) Xj (m) , der Faktor γj hier heißt Aktivit¨atskoeﬃzient. Er beschreibt die Abweichung der Mischung vom Fall einer idealen Mischung, wo γj (T, p, m) = 1 gilt.

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen Chemische Substanzen bestehen aus Molek¨ ulen, die ihrerseits aus Atomen zusammengesetzt sind. W¨ ahrend einer chemischen Reaktion muss die Gesamtmasse der Atome erhalten bleiben. Dies kann durch spezielle Formulierungen sichergestellt werden, die wir im Folgenden darstellen werden. Eine chemische Spezies ist charakterisiert durch ur Wasser oder C6 H12 O6 f¨ ur Glu(i) eine Molek¨ ulformel, zum Beispiel H2 O f¨ kose, (ii) eine bestimmte Molek¨ ulstruktur, falls es zur selben Molek¨ ulformel verschiedene Molek¨ ulstrukturen gibt; das ist zum Beispiel bei Glukose der Fall,

106

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

(iii) eine Phase beziehungsweise einen Aggregatzustand, also die feste, ﬂ¨ ussige oder gasf¨ ormige Phase. Von einer chemischen Substanz spricht man, wenn die Phase nicht speziﬁziert wird. Ein chemisches Element ist eine Substanz, die innerhalb der betrachteten Anwendung nicht weiter zerlegt werden kann, zum Beispiel eine Atomsorte. Ein chemisches System setzt sich zusammen aus •

einer Liste verschiedener chemischer Spezies,

•

einer Liste der Elemente, aus denen die Spezies gebildet sind.

Ein chemisches System wird durch eine geordnete Liste der Spezies und Elemente dargestellt. An der Molek¨ ulformel wird manchmal die Molek¨ ulstruktur und die Phase durch K¨ urzel in Klammern angegeben. Beispiel: Das System

(Na2 O(), NaOH(), NaCl(), H2 O()), (H, O, Na, Cl) besteht aus Natriumoxid, Natriumhydroxid, Natriumchlorid (Kochsalz) und ussig“ Wasser. Der in Klammer angeh¨ angte Zusatz () bezeichnet die Phase ﬂ¨ ” (liquid) oder das Auftreten der Substanz als L¨osung in einer Fl¨ ussigkeit. Im Folgenden lassen wir die Phase und die Molek¨ ulstruktur in der Notation weg. Wir betrachten ein chemisches System mit NS Spezies und NE Elementen, wobei die Spezies und Elemente durchnummeriert sind. Die Spezies lassen E beschreiben, dessen i–te Komposich dann durch einen Formelvektor a ∈ NN 0 nente die Anzahl der Atome des i–ten Elementes in der Molek¨ ulformel angibt. Der Molek¨ ulvektor f¨ ur Na2 O im oben angegebenen System ist beispielsweise a = (0, 1, 2, 0). Die Molek¨ ulvektoren kann man als Spalten in eine Matrix einsetzen und erh¨ alt dann die Formelmatrix A = a(1) , . . . , a(NS ) ∈ RNE ,NS ; dabei ist a(j) der Formelvektor der j–ten chemischen Spezies. F¨ ur das obige Beispiel ist ⎛ ⎞ 0102 ⎜ ⎟ E NS ⎜1 1 0 1⎟ A = (aij )N i=1 j=1 = ⎝2 1 1 0⎠ . 0010 Die Menge einer chemischen Spezies wird typischerweise in Mol angegeben. Die Zusammensetzung eines chemischen Systems wird beschrieben durch einen Element–Mol–Vektor e = (e1 , ..., eNE ) , der die insgesamt vorhandenen Molzahlen aller Elemente enth¨ alt, und einen Spezies–Mol–Vektor ν = (ν1 , ..., νNS ) , der die Molzahlen der Spezies enth¨alt. Aus dem Spezies–Mol– Vektor ν kann man den Element–Mol–Vektor berechnen: In Spezies j tritt das Element i genau aij mal auf. Es gilt also

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen

ei =

NS

107

aij νj ,

j=1

oder, in Kurzform, e = Aν .

(3.23)

In einem abgeschlossenen System, bei dem kein Zuﬂuss oder Abﬂuss von Elementen erfolgt, ist der Element–Mol–Vektor konstant, der Spezies–Mol– ¨ Vektor kann sich aber durch chemische Reaktionen ¨andern. F¨ ur die Anderungsrate ν˙ eines Spezies–Mol–Vektors gilt Aν˙ = e˙ = 0 , oder ν˙ ∈ Kern A .

(3.24)

Diese Relation beschreibt die Massenerhaltung der einzelnen Elemente w¨ahrend einer Reaktion; sie wird als Element–Masse–Einschr¨ankung, oder kurz als EME, bezeichnet. F¨ ur jede Matrix A ∈ RNE ,NS gilt die orthogonale Zerlegung RNS = Bild A + Kern A .

Es sei y(1) , .. . , y (NR ) eine Basis von Kern A, z (1) , . . . , z (NC ) eine Basis von Bild A , wobei NR = dim Kern A, NC = Rang A und Y = y (1) , . . . , y (NR ) ∈ RNS ,NR ,

Z = z (1) , . . . , z (NC ) ∈ RNS ,NC .

Man kann den Spezies–Mol–Vektor ν ∈ RNS dann eindeutig darstellen als ν = Y ξ + Zη mit ξ ∈ RNR , η ∈ RNC . Aus der Element–Masse–Einschr¨ ankung ν˙ ∈ Kern A folgt, dass sich η durch eine Reaktion nicht ¨ andern kann, es gilt also ν = Y ξ + Zη (0) mit einem Vektor η (0) ∈ RNC . Die Reaktion wird daher eindeutig durch den Vektor ξ ∈ RNR beschrieben. Die Komponenten von ξ heißen Reaktionskoordinaten. Die Dimension NR ist gerade die Anzahl der unabh¨angigen Reaktionen. Die Komponenten von η heißen Reaktionsinvarianten. Deﬁnition 3.15. Die Matrix Y heißt st¨ ochiometrische Matrix, der Koeﬃziochiometrische Koeﬃzient der i–ten Spezies in der ent yij von Y ist der st¨ j–ten unabh¨angigen chemischen Reaktion. Die Spalten y (1) , . . . , y (NR ) von Y heißen Reaktionsvektoren. Der von den Spalten von Y aufgespannte Raum Kern A ist eindeutig, die Matrix Y selbst ist aber nicht eindeutig. Es gibt in der Regel eine Freiheit

108

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

bei der Auswahl der unabh¨angigen Reaktionen. Man kann Y aus A mit dem Gauß–Verfahren bestimmen, indem man A auf die Form ( INC A ( ∈ RNC ,NR mit Einheitsmatrix INC ∈ RNC ,NC und A 0 0 transformiert. Dies ist m¨ oglich, wenn man neben Zeilen auch Spalten von A vertauschen darf. Dabei ist zu beachten, dass die Vertauschung von Spalten die Reihenfolge der chemischen Spezies in der Liste der chemischen Spezies ¨andert; das Vertauschen von Zeilen hat keine Auswirkungen. Als st¨ochiometrische Matrix kann man dann ( −A (3.25) mit Einheitsmatrix INR ∈ RNR ,NR Y = INR w¨ ahlen, denn

( ( INC A −A =0 0 0 INR

und Y hat maximalen Rang NR . Gleichung (3.25) beschreibt die kanonische Form der st¨ ochiometrischen Matrix. Beispiel 1: Wir betrachten das chemische System {(H2 O, H, OH), (H, O)}. Es ist hier NS = 3, NE = 2, die Formelmatrix lautet 211 A= . 101 Gauß–Elimination liefert # $ 10 1 (= 1 ; ( mit A = IA 0 1 −1 −1 dieses Ergebnis ist ohne Vertauschung von Spalten m¨oglich. Es ist also NC = ochiometrische Matrix besteht aus dem Reaktionsvektor 2, NR = 1, die st¨ y = Y = −1 1 1 . Dies beschreibt die einzige m¨ ogliche Reaktion H + OH H2 O . Beispiel 2: Wir betrachten das System {(Na2 O, CrCl3 , NaOH, NaCl, H2 O, Na2 CrO4 , Cl2 ), (H, O, Na, Cr, Cl)} aus Natriumoxid Na2 O, Chromchlorid CrCl3 , Natriumhydroxid NaOH, Natriumchlorid NaCl, Wasser, Natriumchromat Na2 CrO4 und Chlor. Es ist hier NS = 7, NE = 5,

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen

⎛

00 ⎜1 0 ⎜ A=⎜ ⎜2 0 ⎝0 1 03 Das Gauß–Verfahren liefert: ⎛ 1 ⎜0 ⎜ A→⎜ ⎜0 ⎝0 0 ⎛ 1 ⎜0 ⎜ →⎜ ⎜0 ⎝0 0

10 10 11 00 01

109

⎞

200 1 4 0⎟ ⎟ 0 2 0⎟ ⎟. 0 1 0⎠ 002

⎞ 0 1 0 1 4 0 (2) 1 0 0 0 1 0⎟ ⎟ (4) 0 1 0 2 0 0⎟ ⎟ (1) 0 −1 1 −2 −6 0⎠ (3) − 2(2) 0 0 1 0 −3 2 (5) − 3(4) ⎞ 0 0 0 −1 4 0 (1) − (3) 1 0 0 0 1 0⎟ ⎟ 0 1 0 2 0 0⎟ ⎟ 0 0 1 0 −6 0⎠ (4) + (3) 0 0 0 0 3 2 (5) − (4)neu

Nach Vertauschung der f¨ unften mit der siebten Spalte erh¨alt man das Ergebnis ⎛ ⎞ 1 0 0 0 0 4 −1 ⎜0 1 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 0 0 0 2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 1 0 −6 0 ⎠ 0 0 0 0 1 3/2 0 Die entsprechende Sortierung der chemischen Spezies ist (Na2 O, CrCl3 , NaOH, NaCl, Cl2 , Na2 CrO4 , H2 O) . Es ist NC = 5, NR = 2; die kanonische Form der st¨ochiometrischen Matrix lautet ⎞ ⎛ −4 1 ⎜ −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 −2⎟ ⎟ ⎜ 0⎟ Y =⎜ ⎟. ⎜ 6 ⎜−3/2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 0⎠ 0 1 Die beiden Spaltenvektoren entsprechen den beiden unabh¨angigen Reaktionen 12 NaCl + 2 Na2 CrO4 8 Na2 O + 2 CrCl3 + 3 Cl2 , Na2 O + H2 O 2 NaOH . Dabei wurde die erste Spalte der st¨ ochiometrischen Matrix mit dem Faktor 2 skaliert, um statt des Eintrags 3/2 einen ganzzahligen Wert zu bekommen.

110

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen, das Massenwirkungsgesetz Der Gleichgewichtspunkt eines chemischen Systems ist diejenige Aufteilung der Substanzen, die man bei einer chemischen Reaktion unter gegebener Temperatur und gegebenem Druck f¨ ur große Zeiten erh¨alt. Dieser Gleichgewichtspunkt wird durch das Minimum der freien Enthalpie G = G(T, p, m) beschrieben, wobei der Vektor m die Massen der chemischen Substanzen enth¨alt. Diese Massen kann man aus den Molzahlen berechnen durch mj = mj (νj ) = Mj νj (0)

(0)

mit der Molmasse Mj = NA mj der Spezies j, wobei mj die Masse eines einzelnen Molek¨ uls und NA ≈ 6,02214179 · 1023 die Avogadro–Zahl ist. Die Molzahlen m¨ ussen folgende Nebenbedingungen erf¨ ullen: (i) νj ≥ 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS . (ii) Die Element–Masse–Einschr¨ ankung ν − ν (0) ∈ Kern A; dabei ist A die (0) Formelmatrix und ν ein gegebener Molvektor, zum Beispiel mit den zu Beginn der Reaktion vorhandenen Molzahlen der chemischen Substanzen als Komponenten. Insgesamt erh¨ alt man ein Optimierungsproblem mit Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen,

ur j = 1, . . . , NS , A ν − ν (0) = 0 . min G(T, p, m(ν)) νj ≥ 0 f¨ Wird die chemische Reaktion mit Hilfe von Reaktionskoordinaten ξ beschrieben, dann ist ν(ξ) = ν (0) + Y ξ mit der st¨ ochiometrischen Matrix Y . Das zu l¨ osende Optimierungsproblem ist dann

min G(T, p, m(ξ)) νj (ξ) ≥ 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS . Dies ist ein Optimierungsproblem mit Ungleichungsnebenbedingungen. Der Massevektor ist hier gegeben durch m(ξ) = M ν (0) + M Y ξ , wobei M = diag (M1 , . . . , MNS ) die Diagonalmatrix der Molmassen ist. Wir betrachten hier den einfachsten Fall, dass im Optimum keine der Ungleichungsnebenbedingungen aktiv ist, also das Argument ξ ∗ des Minimums νj (ξ ∗ ) > 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS erf¨ ullt. Das Optimalit¨atskriterium ist dann

3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen

111

S ∂G ∂ ∂mk (ξ) G(T, p, m(ξ)) = (T, p, m(ξ)) ∂ξj ∂mk ∂ξj

N

0=

k=1

=

NS

µk (T, p, m(ξ))Mk ykj

f¨ ur j = 1, . . . , NR ,

k=1

oder, in Vektorschreibweise, Y M µ = 0 .

(3.26)

Dies ist das Massenwirkungsgesetz. Das chemische Potential ist h¨ auﬁg in der Form (0)

µj (T, p, m) = µj (T, p) + rj T ln(aj (T, p, m))

(3.27)

(0)

gegeben mit dem chemischen Potential µj (T, p) eines Reinstoﬀes, der Gas(0)

konstanten rj = kB /mj und der Aktivit¨at aj (T, p, m), siehe (3.22). Es ist dann (0) Mj µj (T, p, m) = Mj µj (T, p) + R T ln(aj ) mit der molaren Gaskonstanten R = NA kB = Mj rj . Anwendung der Exponentialfunktion auf das Massenwirkungsgesetz liefert N NS (0) S ! ykj Mk µk (T, p) ykj =: Kj (T, p) . ak (T, p, m) = exp − (3.28) RT k=1

k=1

Der Faktor Kj (T, p) ist unabh¨angig von ξ und heißt Gleichgewichtskonstante. Mit der Standard–Diﬀerenz der freien Enthalpie (0)

∆Gj (T, p) =

NS

(0)

ykj Mk µk (T, p)

k=1

hat die Gleichgewichtskonstante die Form (0)

Kj (T, p) = e−∆Gj

(T,p)/(R T )

.

Im Fall einer idealen Mischung sind die Aktivit¨ aten identisch mit den Molenbr¨ uchen νk Xk = , wobei ν = ν1 + · · · + νNS . ν Das Massenwirkungsgesetz lautet dann NS ! k=1

y

Xk kj = Kj (T, p) .

112

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Dabei h¨ angt die linke Seite nur von der Zusammensetzung der Mischung ab, die rechte Seite nur von Druck und Temperatur. Im Fall einer Mischung idealer Gase gilt zus¨ atzlich (3.20) # $ # $ (0) Mk µk (T, p) = Mk zk2+2 rk T 1 − ln TT0 + rk T ln pp0 + αk T + βk = zk2+2 R T 1 − ln TT0 + R T ln pp0 + Mk (αk T + βk ) , wobei zk die Anzahl der Freiheitsgrade eines Molek¨ uls der Substanz k ist und αk und βk Konstanten sind. Die Konstante βk ist in den bisherigen Formeln des chemischen Potentials nicht aufgetreten. Bei chemischen Reaktionen ist es jedoch notwendig, chemische Bindungsenergien in der inneren Energie zu ber¨ ucksichtigen. Dies f¨ uhrt zur modiﬁzierten Formel der inneren Energie z N kB T + N β 2

U=

f¨ ur ein ideales Gas, wobei β gerade die chemische Bindungsenergie beschreibt. (0) in der Formel des Dadurch erh¨ alt man eine zus¨ atzliche Konstante β = β/m chemischen Potentials. Die Gleichgewichtskonstante Kj (T, p) ist dann −

Kj (T, p) = exp

NS

ykj

z

k +2

2

1 − ln TT0 + ln pp0

k=1

−

1 R

NS

Mk ykj αk +

βk T

k=1 (0)

= Kj (T ) p−Y j mit der Spaltensumme Y j =

ykj und der temperaturabh¨angigen Konstan-

k=1

ten (0) Kj (T )

N 'S

=

Y p0 j

exp −

NS

ykj

z

k +2 1 − ln TT0 − 2

1 R

k=1

NS

Mk ykj αk +

βk T

.

k=1

Das Massenwirkungsgesetz hat dann die Form NS # ! νk $ykj k=1

ν

(0)

= Kj (T ) p−Y j .

(0)

Der Verlauf von Kj (T ) wird in der Regel durch Messungen bestimmt. ν

Anstelle der Molzahlen werden oft auch die molaren Konzentrationen cj = Vj verwendet, wobei V das Volumen der Gasmischung ist. Der Molenbruch ist ν dann Xj = νj = cj Vν und f¨ ur eine Mischung idealer Gase folgt

3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen NS # ! νk $ykj k=1

ν

=

NS !

y

ckkj

k=1

V ν

Y j

113

(0)

= Kj (T ) p−Y j .

Mit der Zustandsgleichung pV = N kB T = νR T folgt NS !

y ckkj

(0) (T ) mit K (0) (T ) = =K j j

k=1

(0)

Kj

(RT )Y j

.

j hier h¨ Die Gleichgewichtskonstante K angt nicht mehr vom Druck ab. Wenn die st¨ ochiometrische Matrix in der kanonischen Form ( −A Y = I gegeben ist, dann kann man das Massenwirkungsgesetz umschreiben in µNC +j =

NC

( akj

k=1

Mk µk f¨ ur j = 1, . . . , NR MNC +j

im allgemeinen Fall, oder aNC +j = Kj (T, p)

NC !

(ak (T, p, m))bakj ,

j = 1, . . . , NR

k=1

f¨ ur die Darstellung (3.28), oder XNC +j = Kj (T, p)

NC !

b a

Xk kj ,

j = 1, . . . , NR

k=1

im Fall einer idealen Mischung, oder (T ) cNC +j = K j (0)

NC !

b a

ckkj ,

j = 1, . . . , NR

k=1

im Fall einer Mischung idealer Gase. Beispiel: Ammoniaksynthese Wir untersuchen die Reaktion 3 H2 + N2 2 NH3 . Zu Beginn der Reaktion liegen 3 Mol H2 , 1 Mol N2 und kein NH3 vor. Wir benutzen die Beziehungen f¨ ur ideale Gase. Das chemische System ist

114

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

(H2 , N2 , NH3 ); (H, N) . Die zugeh¨ orige Formelmatrix lautet 203 A= , 021 nach Gauß–Elimination erh¨ alt man 1 0 3/2 , 0 1 1/2 die st¨ ochiometrische Matrix ist demnach ⎛ ⎞ −3/2 Y = ⎝−1/2⎠ . 1 Aus der Element–Masse–Einschr¨ ankung ⎧⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎫ 3 ⎨ −3/2 ⎬ ν − ν (0) ∈ Kern A = span ⎝−1/2⎠ mit ν (0) = ⎝1⎠ ⎩ ⎭ 1 0 folgt

⎞ ⎛ ⎞ −3/2 ν1 − 3 ⎝ν2 − 1⎠ = λ ⎝−1/2⎠ , ν3 1 ⎛

oder nach Elimination von λ ν1 + 32 ν3 = 3 , ν2 + 12 ν3 = 1 . Das Massenwirkungsgesetz lautet X3 3/2 1/2 X1 X2

= K(T, p)

mit Xj = νj /ν, ν = ν1 + ν2 + ν3 und der Gleichgewichtskonstanten K(T, p) = K0 (T ) p . Dies l¨ asst sich umformen in ν13 ν2 = (K0 (T ))−2 p−2 . ν32 ν 2 Wenn man alle Molzahlen in ν3 ausdr¨ uckt, kann man dies umschreiben zu

3.11 Kinetische Reaktionen

115

33 (2 − ν3 )4 = (K0 (T ))−2 p−2 . 24 ν32 (4 − ν3 )2 Wir betrachten nun bei konstanter Temperatur T die beiden Grenzf¨alle f¨ ur großen“ und kleinen“ Druck p. ” ” Im Grenzfall p → 0 lautet die Gleichgewichtsbedingung ν32 (4 − ν3 )2 = 0 , also ν3 = 0 oder ν3 = 4. Die L¨ osung ν3 = 4 ist hier nicht zul¨assig, da dies uhren w¨ urde. Die zu negativen Molzahlen ν1 = 3 − 32 ν3 und ν2 = 1 − 12 ν3 f¨ richtige L¨ osung ist also ν3 = 0, ν1 = 3 und ν2 = 1, es wird also kein Ammoniak gebildet. Im anderen Grenzfall p → +∞ wird die Gleichgewichtsbedingung zu (2 − ν3 )4 = 0 , die L¨ osung ist ν3 = 2, ν1 = ν2 = 0; es liegt also nur noch Ammoniak vor.

3.11 Kinetische Reaktionen Die Beschreibung von Reaktionen durch das Massenwirkungsgesetz ist nur sinnvoll, wenn die Reaktion sehr schnell abl¨ auft, so dass das Gleichgewicht ¨ bei Anderungen der ¨ außeren Bedingungen, insbesondere der Temperatur und des Drucks, deutlich schneller erreicht wird, als sich die ¨außeren Bedingungen andern. Langsam ablaufende Reaktionen werden als kinetische Reaktionen ¨ ¨ bezeichnet. Die Anderung der Molzahlen wird in der Regel durch gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen modelliert: j (T, p, ν) f¨ ν˙ j = R ur j = 1, . . . , NS .

(3.29)

j wird in der Praxis aus experimentellen DaDie genaue Form der Funktion R ten extrapoliert. Wir k¨ onnen jedoch aufgrund der Ergebnisse der Abschnitte formulieren: 3.9 und 3.10 folgende notwendige Bedingungen f¨ ur R j (T, p, ν) ≥ 0 gelten, da sonst im weiteren Verlauf der (i) F¨ ur νj = 0 muss R urde. Reaktion die Bedingung νj ≥ 0 verletzt w¨ (ii) Wegen ν˙ ∈ Kern A = Bild Y muss R(T, p, ν) = Y R(T, p, ν) mit NR R(T, p, ν) ∈ R gelten. j (T, p, ν) = 0 (iii) Ist (T, p, ν) bereits ein Gleichgewichtspunkt, dann muss R gelten. (iv) Die Evolution von ν bei konstanten T und p darf die freie Enthalpie nicht vergr¨ oßern, d G T, p, m(ν(t)) ≤ 0 f¨ ur feste T, p. dt

116

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Forderung (iv) wird durch die Vorstellung begr¨ undet, dass auch eine kinetische Reaktion das betrachtete Reaktionssystem in Richtung eines Gleichgewichtspunktes treiben wird; nur geschieht dies nicht schnell genug, um diesen sofort zu erreichen. Wir verlangen deshalb nicht, dass die freie Enthalpie minimiert wird, wohl aber, dass sie bei konstanten ¨ außeren Bedingungen nicht vergr¨oßert wird. Anstelle der Formulierung (3.29) kann man auch die st¨ochiometrische Formulierung mit der Darstellung ν = ν(ξ) = ν (0) + Y ξ verwenden. Man erh¨ alt dann das System gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen ξ˙j = Rj (T, p, ξ) f¨ ur j = 1, . . . , NR mit den Reaktionskoordinaten als Variablen. Hier ist Bedingung (ii) automatisch erf¨ ullt. Wir diskutieren nun m¨ ogliche Ans¨ atze f¨ ur die Funktionen Rj (T, p, ξ) im Fall, dass keine Nebenbedingungen aktiv sind, also νj (ξ) > 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS gilt. Diese Ans¨ atze sind so konstruiert, dass sie die Bedingungen (ii), (iii) und (iv) erf¨ ullen. a) R(T, p, ξ) = −K ∇ξ G(T, p, m ξ)) mit einer positiv deﬁniten Matrix K ∈ RNR ,NR . Diese Matrix kann auch von T , p und ξ abh¨angen. Diese Form von R erf¨ ullt die Bedingungen (iii) und (iv), denn d G(T, p, m(ξ(t))) = ∇ξ G(· · · ) · ξ˙ = −K∇ξ G(· · · ) · ∇ξ G(· · · ) ≤ 0 , dt und im Optimum gilt ∇ξ G(T, p, m(ξ)) = 0. Die partielle Ableitung Aj := −

∂ G(T, p, m ξ)) ∂ξj

heißt Aﬃnit¨at der j–ten Reaktion. Die Aﬃnit¨at zeigt an, wie sich die freie Enthalpie durch den Ablauf der j–ten Reaktion ¨andert, und ist deshalb ein Maß daf¨ ur, in welche Richtung und mit welcher Geschwindigkeit diese Reaktion unter den gegebenen ¨ außeren Bedingungen abl¨auft. b) In der Literatur ﬁndet man h¨ auﬁg Modelle, die direkt aus dem Massenwirkungsgesetz NS ! y (0) (T ) c j = K j

=1

f¨ ur ideale Gase abgeleitet werden. Man sortiert dazu die Eintr¨age der + st¨ ochiometrischen Matrix nach positiven und negativen Eintr¨agen, yij = − max{yij , 0}, yij = − min{yij , 0}. Eine zum Massenwirkungsgesetz passende Reaktionskinetik ist dann

3.11 Kinetische Reaktionen

Rj (T, p, c) = kjf (T, p)

NS !

y−

c j − kjb (T, p)

=1

NS !

y+

c j .

117

(3.30)

=1

Die Koeﬃzienten kjf (T, p) und kjb (T, p) beschreiben die Raten der beiden Richtungen der Reaktion. Sie m¨ ussen die Bedingung

kjf (T,p) kjb (T,p)

(0) (T ) = K j

erf¨ ullen, damit man im station¨ aren Grenzfall Rj (T, p, c) = 0 wieder das Massenwirkungsgesetz bekommt. F¨ ur dieses Gesetz gilt ebenfalls (iii) und (iv), wie in Aufgabe 3.16 gezeigt wird. Falls f¨ ur die betrachtete Variable ξ Nebenbedingungen aktiv sind, also νj (ξ) = 0 f¨ ur mindestens ein j ∈ {1, . . . , NS } gilt, dann muss die Bedingung ν˙ j ≥ 0 sichergestellt werden. Dies kann geschehen, indem man den Vektor R der Reaktionsraten zun¨ achst durch eines der beiden Modelle a) oder b) ausrechnet und dann das Ergebnis auf den Raum der zul¨ assigen Reaktionsraten

ur j ∈ IA ξ r ∈ RNR (Y r)j ≥ 0 f¨

projiziert. Mit IA (ξ) = j ∈ {1, . . . , NS } | νj ξ = 0 wird dabei die Indexmenge der aktiven Nebenbedingungen bezeichnet. Die Realisierung dieser Projektion f¨ uhrt auf ein quadratisches Optimierungsproblem, auf das wir hier jedoch nicht n¨ aher eingehen werden. Kopplung von kinetischen Reaktionen und Gleichgewichtsreaktionen In komplizierteren chemischen Systemen laufen oft kinetische Reaktionen und Gleichgewichtsreaktionen parallel ab. Man muss dann die Beschreibungen der Gleichgewichtsreaktionen durch Optimierungsprobleme und der kinetischen Reaktionen durch gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen koppeln. Dazu spaltet man den Vektor ξ der Reaktionskoordinaten und die st¨ochiometrische Matrix Y auf in Anteile der kinetischen Reaktionen und Anteile der Gleichgewichtsreaktionen: K ξ Y = YK YG ξ= G , ξ K

G

K

G

mit ξ K ∈ RNR , ξ G ∈ RNR , Y K ∈ RNS ,NR , Y G ∈ RNS ,NR . Dabei bezeichnet der obere Index K den Anteil der kinetischen Reaktionen, G den Anteil der Gleichgewichtsreaktionen, NRK und NRG sind die Anzahl der kinetischen Reaktionen beziehungsweise der Gleichgewichtsreaktionen. Es folgt dann Y ξ = Y K ξK + Y GξG . F¨ ur die kinetischen Reaktionen gilt ξ˙K = RK T, p, ξ K , ξ G

(3.31)

118

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

mit einem Vektor RK T, p, ξ K , ξ G der Reaktionsraten. Die Gleichgewichtsreaktionen werden durch das Optimierungsproblem

ξ G = arg min G T, p, m ξ K , ξ G | νj ξ K , ξ G ≥ 0 (3.32) f¨ ur j = 1, . . . , NS beschrieben. Dabei ist m ξ K , ξ G = M ν (0) + Y K ξ K + Y G ξ G . Wenn im Optimum keine der Nebenbedingungen aktiv ist, dann folgt aus (3.32) (3.33) YG M µ T, p, m ξ K , ξ G = 0 . Die Kopplung von (3.31) mit (3.33) ist dann ein Algebro–Diﬀerentialgleichungssystem. Im einfachsten Fall hat man eine Mischung idealer Gase und im Optimum der Gleichgewichtsreaktionen sind die Nebenbedingungen nicht aktiv. Die Reaktionskinetik (3.30) mit den molaren Konzentrationen c = ν /V liefert dann ξ˙jK = kjf

NS !

y−

c j − kjb

=1

NS !

y+

c j ,

j = 1, . . . , NRK

(3.34)

=1

mit den Reaktionskoeﬃzienten kjf = kjf (T, p) und kjb = kjb (T, p). Das Massenwirkungsgesetz (3.33) hat die Form NS !

(T ) , c j = K j y

(0)

j = NRK + 1, . . . , NRK + NRG

(3.35)

=1

(0) (T ) = mit der Gleichgewichtskonstanten K j

kjf (T,p) . kjb (T,p)

3.12 Literaturhinweise Die Darstellung dieses Kapitels orientiert sich zu großen Teilen an ausgew¨ahlten Abschnitten aus [93]; die Abschnitte 3.9 und 3.11 auch an [103]. Zur weiteren Vertiefung sei neben dem sehr empfehlenswerten Buch [93] mit vielen interessanten historischen Anmerkungen auch auf [77], [96], [116] sowie, speziell zur Thermodynamik von Mischungen, auf [1] verwiesen.

3.13 Aufgaben Aufgabe 3.1. Ein ideales Gas aus N1 Teilchen der Masse mA mit mittlerer kinetischer Energie u1 = 12 mA |v1 |2 der Teilchen und ein ideales Gas aus N2

3.13 Aufgaben

119

Teilchen derselben Substanz mit mittlerer kinetischer Energie u2 = 12 mA |v2 |2 werden in einem Beh¨ alter zusammengebracht. Dabei bezeichne |vj |2 jeweils den Mittelwert des Quadrates des Betrages der Geschwindigkeit der Teilchen. Vor dem Zusammenf¨ ugen sei die Verteilung der Geschwindigkeit jeweils durch das Maxwell–Boltzmann–Gesetz gegeben. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsverteilung unter der Annahme, dass alle Teilchen ihre Geschwindigkeit beibehalten. b) Ermitteln Sie die Geschwindigkeitsverteilung unter der Annahme, dass nach dem Zusammenf¨ ugen eine Maxwell–Boltzmann–Verteilung vorliegt und die gesamte innere Energie sich durch das Zusammenf¨ ugen nicht andert. ¨ c) Wie erkl¨ aren Sie sich den oﬀensichtlichen Unterschied zwischen beiden Verteilungen? Welche der Verteilungen ist die Richtige? Aufgabe 3.2. In einem zylinderf¨ ormigen Kolben mit Querschnittsﬂ¨ache 0,1 m2 beﬁnde sich ein ideales Gas. Beim Druck von p1 = 105 N/m2 (also 1 bar) und der Temperatur 27◦ C habe der Kolben die H¨ohe 50 cm. Auf den Stempel werde nun zus¨ atzlich zum Luftdruck p1 langsam eine Kraft von 10 000 N aufgebracht. Wie stark wird der Kolben komprimiert, wenn er w¨armeisoliert ist, und um wieviel Grad erh¨ oht sich dabei die Temperatur?

Hinweis: Die Gleichungen f¨ ur ein ideales Gas gelten f¨ ur die absolute Temperatur, die in Kelvin (K) gemessen wird. Dabei entspricht 0◦ C etwa 273 K. Aufgabe 3.3. Wir betrachten die Gleichung n

yj (x(t)) x˙ j (t) = 0

(3.36)

j=1

mit gegebenen Funktionen yj : Rn → R und gesuchten Funktionen xj : R → R, j = 1, . . . , n.

120

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

a) Nehmen Sie an, dass das Vektorfeld y(x) = (yj (x))nj=1 ein Potential ϕ hat und konstruieren Sie daraus eine Darstellung der L¨osungen von (3.36). b) Finden Sie eine L¨ osungsdarstellung f¨ ur den Fall, dass y(x) kein Potential hat, aber einen integrierenden Faktor λ = 0 mit Potential ϕ von λv. c) Finden Sie L¨ osungen zu den Gleichungen ˙ = 0, (i) 2 x(t) y(t) x(t) ˙ + x2 (t) y(t) (ii) 2 x(t) y(t) x(t) ˙ + y(t) ˙ = 0, (iii) y(t) cos x(t) x(t) ˙ + 2 sin x(t) y(t) ˙ = 0. Aufgabe 3.4. Der im abgebildeten Diagramm skizzierte Kreisprozess ist eine N¨ aherung f¨ ur den in einem Ottomotor ablaufenden thermodynamischen Prozess. Die Linien 1 und 3 sind adiabatisch, die Linien 2 und 4 isochor. Schritt 1 entspricht der Verdichtung, Schritt 2 der Verbrennung am oberen Totpunkt des Kolbens, Schritt 3 der Expansion und Schritt 4 dem Auslass der Abgase am unteren Totpunkt des Kolbens. p 2

3 1

V1

4

V2

V

Bestimmen Sie f¨ ur ein ideales Gas die in jedem Prozessschritt u ¨ bertragene W¨ armemenge und die geleistete Arbeit und geben Sie den Wirkungsgrad an. Zeigen Sie, dass der Wirkungsgrad nur vom Verdichtungsverh¨altnis V1 /V2 abh¨ angt. Aufgabe 3.5. Im abgebildeten Diagramm ist eine N¨aherung f¨ ur den in einem Dieselmotor ablaufenden Kreisprozess skizziert. Der wesentliche Unterschied zum Ottomotor ist die Einspritzung des Kraftstoﬀes nach der Verdichtung, die etwas Zeit in Anspruch nimmt. W¨ ahrend der Einspritzung und Verbrennung bewegt sich der Kolben, so dass man hier die Verbrennungsphase als isobar (und nicht als isochor wie beim Ottomotor) annimmt. Der Kreisprozess besteht also aus einem isobaren, einem isochoren und zwei adiabatischen Schritten. Bestimmen Sie f¨ ur ein ideales Gas die in jedem Prozessschritt u ¨bertragene W¨ armemenge und geleistete Arbeit und geben Sie den Wirkungsgrad in Abh¨ angigkeit der drei Volumina V1 , V2 und V3 an.

3.13 Aufgaben

121

p

V1 V3

V2

V

Aufgabe 3.6. Berechnen Sie die Legendre–Transformation folgender Funktionen. a) f : R → R, f (x) = 12 ax2 + bx + c mit a, b, c ∈ R, a > 0. b) f : Rn → Rn , f (x) = 12 x Ax + b x + c, wobei A ∈ Rn,n symmetrisch und positiv deﬁnit ist und b ∈ Rn , c ∈ R. c) f : R+ → R, f (x) = x ln x, d) f : R2 → R, f (x, y) = x ey . ur alle x, y ∈ Rn und Aufgabe 3.7. Eine Funktion Rn → R ist konvex, wenn f¨ alle λ ∈ (0, 1) f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) gilt. Zeigen Sie: a) F¨ ur eine stetig diﬀerenzierbare Funktion f : Rn → R sind folgende drei Aussagen ¨ aquivalent: (i) f ist konvex, (ii) f (y) − f (x) ≥ ∇f (x) · (y − x) f¨ ur alle x, y ∈ Rn , (iii) (∇f (x) − ∇f (y)) · (x − y) ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ Rn . b) Ist f : Rn → R stetig diﬀerenzierbar und konvex, so stimmt die Legendre– Transformierte f ∗ von f auf ihrem Deﬁnitionsbereich u ¨ berein mit der Funktion f(y) = sup x · y − f (x) . x∈Rn

c) Die Legendre–Transformierte im Sinne von b) einer konvexen Funktion f : Rn → R ist konvex. Aufgabe 3.8. (Speziﬁsche W¨ arme) Wenn man eine Substanz der Masse m erhitzt, dann ist die dazu notwendige W¨armemenge Q bei idealen Gasen proportional zur Temperaturdiﬀerenz, Q = c m (T2 − T1 ) . Die Proportionalit¨ atskonstante c wird als speziﬁsche W¨arme bezeichnet.

122

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

a) Berechnen Sie f¨ ur ein ideales Gas die speziﬁsche W¨arme c = cV , wenn w¨ ahrend der Erw¨ armung das Volumen konstant bleibt. b) Bestimmen Sie die speziﬁsche W¨ arme c = cp , wenn der Druck konstant bleibt. c) Zeigen Sie, dass die notwendige Zufuhr von W¨arme bei konstantem Druck ¨ identisch ist zur Anderung eines der thermodynamischen Potentiale (freie Energie, Enthalpie, freie Enthalpie). Aufgabe 3.9. Leiten Sie aus der Gibbsschen Formel dS =

1 p dU + dV T T

und der Annahme, dass die Abbildungen (U, V ) → S(U, V ), (T, V ) → U (T, V ) und (T, V ) → p(T, V ) zweimal stetig diﬀerenzierbar sind, die Clapeyronsche Formel ∂U (T, V ) ∂p(T, V ) = −p + T ∂V ∂T her. 2 Hinweis: Bestimmen Sie zun¨ achst die zweiten Ableitungen ∂T∂ ∂V S(U (T, V ), V ) 2 und ∂V∂ ∂T S(U (T, V ), V ). Aufgabe 3.10. Die Zustandsgleichung eines van–der–Waals–Gases ist p=

aN 2 N kB T − 2 . V − Nb V

Dabei beschreibt b das Eigenvolumen der Gasmolek¨ ule und a die Reduktion des Drucks durch Anziehungskr¨ afte der Molek¨ ule. Wir betrachten ein van– der–Waals–Gas, dessen speziﬁsche W¨ arme bei konstantem Volumen gleich cV =

3 kB 2 m0

ist, wobei m0 die Masse eines einzelnen Gasmolek¨ uls ist. a) Zeigen Sie, dass die innere Energie gegeben ist durch U (T, V ) =

3 aN 2 N kB T − . 2 V

b) Berechnen Sie die Entropie des Gases. Aufgabe 3.11. (Osmose) Es seien zwei thermodynamische Teilsysteme I und II gegeben, die durch eine semipermeable Membran getrennt sind. Die Membran sei durchl¨assig

3.13 Aufgaben

123

f¨ ur eine Substanz A und undurchl¨ assig f¨ ur eine Substanz B. In Teilsystem I beﬁnde sich eine Mischung mit Massen mIA der Substanz A und mB = mIB der Substanz B, in Teilsystem II sei nur die Substanz A mit Masse mII A vorhanden. Bekannt seien die Gesamtmassen mA = mIA + mII A und mB , die Volumina V I und V II der Teilsysteme und die Temperatur T . a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase und der Forderung µIA = µII A an das chemische Potential der Komponente A die Aufteilung der Masse mA auf die beiden Teilsysteme I und II sowie die (unterschiedlichen!) Dr¨ ucke pI und pII in den Teilsystemen. b) Zeigen Sie, dass der Druckunterschied pI − pII gleich dem Partialdruck der Komponente B in Teilsystem I auf die Membran ist. Benutzen Sie zur L¨ osung der Aufgabe die Beziehungen f¨ ur Mischungen idealer Gase. Aufgabe 3.12. Bestimmen Sie f¨ ur folgende chemische Reaktionssysteme jeweils eine st¨ ochiometrische Matrix und den zugeh¨origen Satz unabh¨angiger chemischer Reaktionen:

a) (CO2 , H2 O, H2 CO3 ), (C, H, O)

b) (CO2 , O2 , H2 O, C6 H12 O6 , C57 H104 O6 ), (C, H, O)

c) (N2 , O2 , H2 O, NO, NO2 , NH3 , HNO3 ), (H, N, O) Erl¨ auterung: CO2 — Kohlendioxid, H2 O — Wasser, H2 CO3 — Kohlens¨aure, O2 — Sauerstoﬀ, C6 H12 O6 — Glukose (ein Kohlenhydrat), C57 H104 O6 — Triolein (ein biologisches Fett), N2 — Stickstoﬀ, NO — Stickstoﬀmonoxid, NO2 — Stickstoﬀdioxid, NH3 — Ammoniak, HNO3 — Salpeters¨aure. Aufgabe 3.13. Manche chemische Substanzen sind elektrisch geladen. Dies wird in chemischen Formeln durch hochgestellte − oder +–Zeichen angedeutet. Bei Reaktionssystemen mit solchen Substanzen kann es sinnvoll sein, ein Elektron e− zu den Elementen dazuzunehmen. Bestimmen Sie eine st¨ochiometrische Matrix und einen Satz unabh¨ angiger Reaktionen f¨ ur das System

− + − (CO2− 3 , HCO3 , H , H2 O), (C, H, O, e ) − + aus Carbonat (CO2− 3 ), Hydrogencarbonat (HCO3 ), Oxoniumionen (H ) und Wasser.

Aufgabe 3.14. Gegeben sei die chemische Reaktion 2 CO + O2 = 2 CO2 . Zu einem Anfangszeitpunkt mit gegebener Temperatur T0 und gegebenem Druck p0 seien 2 Mol CO, 1 Mol O2 und 2 Mol CO2 vorhanden.

124

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

a) Leiten Sie mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes und der Beziehungen f¨ ur ideale Gase eine Gleichung f¨ ur die Molzahl von CO2 in Abh¨angigkeit von Druck, Temperatur und der Gleichgewichtskonstanten K(T ) her. b) Bestimmen Sie die Grenzwerte dieser Molzahl f¨ ur sehr hohen Druck (p → +∞) und f¨ ur sehr niedrigen Druck (p → 0) bei festgehaltener Temperatur T. Aufgabe 3.15. Wir m¨ ochten den Gleichgewichtspunkt einer chemischen Reaktion im adiabatisch–isobaren Fall charakterisieren. a) Zeigen Sie, dass die Ableitung der Enthalpie nach den Massen der Komponenten auch hier das chemische Potential ergibt: ∂H(S, p, m) = µj (T (S, p, m), p, m) . ∂mj b) Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingung als Optimierungsproblem. c) Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingung unter der Annahme, dass keine Nebenbedingung aktiv ist, als L¨ osung eines nichtlinearen Gleichungssystems. Welchen Unterschied sehen sie im Vergleich zum Massenwirkungsgesetz aus Abschnitt 3.10 f¨ ur den isothermen, isobaren Fall? Aufgabe 3.16. F¨ ur ideale Gase kann man das kinetische Reaktionsgesetz ξ˙j = kjf (T, p)

NS !

y− c j

−

kjb (T, p)

=1

NS !

y+

c j

=1

ν

die moV + − lare Konzentration von Spezies j, yij = max{yij , 0} und yij = − min{yij , 0} die positiven und negativen Anteile der st¨ ochiometrischen Matrix und die f k j (T, p) Koeﬃzienten kjf (T, p) und kjb (T, p) erf¨ ullen b = Kj (T ) mit der Gleichkj (T, p) gewichtskonstanten Kj (T ) aus der Formulierung

formulieren. Dabei ist ξ der Vektor der Reaktionskoordinaten, c =

NS !

y

c j = Kj (T )

=1

des Massenwirkungsgesetzes. Zeigen Sie, dass f¨ ur das oben deﬁnierte Reaktionsgesetz die Bedingungen d G(T, p, m(ξ(t))) ≤ 0 und dt b) ∇ξ G(T, p, m(ξ)) = 0 ⇒ ξ˙ = 0 a)

erf¨ ullt sind.

3.13 Aufgaben

#

$

125

'NS 1 Hinweis: Bestimmen Sie zun¨ achst exp RT

=1 y j M µ mit der Molmasse M und dem chemischen Potential µ der Spezies sowie der molaren Gaskonstanten R und schauen Sie sich die Herleitung des Massenwirkungsgesetzes f¨ ur ideale Gase in den molaren Konzentrationen noch einmal an.

4 Gewo ¨hnliche Diﬀerentialgleichungen

¨ Viele Naturgesetze dr¨ ucken die Anderung einer Gr¨oße als Folge der Wirkung ¨ anderer Gr¨ oßen aus. So ist zum Beispiel die Anderung der Geschwindigkeit eines K¨ orpers proportional zu der auf den K¨orper wirkenden Kraft, aus ¨ der Anderung eines elektrischen Feldes erh¨ alt man ein Magnetfeld, ein sich ¨ einer Gr¨oße ¨anderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld. Die Anderung wird mathematisch durch Ableitungen ausgedr¨ uckt und deshalb f¨ uhren viele Naturgesetze auf Diﬀerentialgleichungen. Im einfachsten Fall, wenn die relevanten Gr¨ oßen nur von einer Variablen abh¨ angen, hat man eine gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung, oft auch ein System gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen. In den Kapiteln 1 und 3 haben wir bereits einige Beispiele f¨ ur Modelle kennengelernt, die auf gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen f¨ uhren: Populationsmodelle, Modelle f¨ ur die Bewegung von K¨ orpern im Schwerefeld eines Planeten, und kinetische Reaktionen. Wir werden in diesem Kapitel weitere Differentialgleichungsmodelle kennenlernen und an Hand dieser Modelle wichtige qualitative Eigenschaften gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen studieren.

4.1 Eindimensionale Schwingungen Ein wichtiges Ph¨anomen, das durch gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen beschrieben wird, sind Schwingungen von elastisch verbundenen Massenpunkten. Der einfachste Fall ist ein an einer Feder befestigter Massenpunkt der Masse m, wie in Abbildung 4.1 dargestellt. Die Bewegung des Massenpunktes folgt aus dem Newtonschen Gesetz m¨ x=F,

(4.1)

wenn m die Masse, x = x(t) die Position des Massenpunktes zur Zeit t und F = F (t) die am Massenpunkt angreifende Kraft ist. Die Feder u ¨ bt eine Kraft auf den Massenpunkt aus, die von der Dehnung der Feder abh¨angt; im einfachsten Fall hat man einen linearen Zusammenhang

128

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 Abb. 4.1. Eindimensionale Schwingung

FF = −kx

(4.2)

mit der Federkonstanten k. Das Minuszeichen hier bedeutet, dass die Kraft der Feder der Auslenkung entgegenwirkt. Weitere Kr¨afte k¨onnen durch Reibung hervorgerufen werden. Wir betrachten hier Reibungskr¨afte der Form FR = −β x˙ ,

(4.3)

die linear von der Geschwindigkeit abh¨ angen. Diese Beziehung erh¨alt man zum Beispiel aus dem Stokesschen Gesetz f¨ ur die Reibung einer Kugel in einer viskosen Fl¨ ussigkeit; die Konstante β ist dann gegeben durch β = 6πµr, wenn µ die dynamische Viskosit¨ at der Fl¨ ussigkeit und r der Radius der Kugel ist. Bei K¨ orpern anderer Form muss man den Faktor 6πr durch einen anderen, von der Form und der Gr¨ oße des K¨ orpers abh¨angigen Faktor ersetzen. Das Stokessche Gesetz gilt f¨ ur große Viskosit¨ aten und kleine Geschwindigkeiten, wenn die viskose Reibung andere Eﬀekte dominiert. Die Reibung an einem festen Untergrund wird durch (4.3) nicht richtig beschrieben. Ein sinnvolles Modell hierf¨ ur ist das Coulombsche Reibungsgesetz, x˙ f¨ ur x˙ = 0 , |x| ˙ |FR | ≤ cF FN f¨ ur x˙ = 0 .

FR = −cF FN

Hier ist cF der Reibungskoeﬃzient und FN die Kraft, mit der der K¨orper auf den Untergrund gedr¨ uckt wird. Die erste Zeile hier beschreibt die Gleitreibung, die Reibungskraft ist dann der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, ihre St¨ arke h¨ angt aber nicht von der Geschwindigkeit der Bewegung ab. Die zweite Zeile modelliert die Haftreibung, der K¨ orper bewegt sich nicht, die durch Reibung verursachte Kraft kann eine beliebige Richtung haben, ihre St¨arke ist durch cF FN begrenzt. Das Coulombsche Reibungsgesetz ist nichtlinear und nicht glatt; es ist deshalb deutlich schwieriger zu analysieren als die hier betrachteten einfachen Schwingungen. Wir betrachten nun Schwingungen mit viskoser D¨ampfung nach (4.3) und m¨ ochten zus¨ atzlich ¨ außere Kr¨ afte zulassen, die auf das Feder–Masse–System einwirken, etwa durch Gravitation. Insgesamt erhalten wir dann F = FF + FR + f

(4.4)

mit ¨ außerer Kraft f . Durch Kombination der Gleichungen (4.1), (4.2), (4.3) und (4.4) erh¨ alt man folgende Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Auslenkung x der Feder:

4.1 Eindimensionale Schwingungen

x ¨(t) + 2a x(t) ˙ + b x(t) = g(t) .

129

(4.5)

Dabei ist b = k/m, a = β/(2m) und g(t) = f (t)/m. Im allgemeinsten Fall ist x(t) eine vektorwertige Variable, da die Position im Raum ein Vektor ist. Wenn die Feder, die a ¨ußere Kraft, die Anfangsauslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit jedoch dieselbe Richtung haben, dann wird x(t) f¨ ur alle Zeiten diese Richtung beibehalten, und man kann x(t) als skalare Variable interpretieren. Ein anderes wichtiges Anwendungsbeispiel f¨ ur Gleichung (4.4) sind elektromagnetische Schwingungen. Wir betrachten einen Schwingkreis, der aus einem Kondensator der Kapazit¨ at C, einer Spule der Induktivit¨at L und einem ohmschen Widerstand R zusammengesetzt ist. Wie in Abschnitt 2.1 erl¨autert, gelten f¨ ur den Spannungsabfall UR am ohmschen Widerstand, UC am Konarke I die Beziehungen densator, UL an der Spule und der Stromst¨ UR (t) = R I(t),

˙ . I(t) = C U˙ C (t) und UL (t) = L I(t)

(4.6)

Nach dem Kirchhoﬀschen Spannungsgesetz ist die Summe der Teilspannungen in einer geschlossenen Leiterschleife gleich Null. Wenn U0 die angelegte a¨ußere Spannung bezeichnet, dann gilt UL (t) + UR (t) + UC (t) = U0 (t) . Ableiten nach der Zeit und Einsetzen der Beziehungen (4.6) liefert ¨ + R I(t) ˙ + L I(t)

1 I(t) = U˙ 0 (t) . C

Bei bekanntem Verlauf der ¨ außeren Spannung U0 (t) hat diese Gleichung ebenfalls die Form (4.5), mit x(t) = I(t), a = R/(2L), b = 1/(LC) und f (t) = U˙ 0 (t)/L. Bei Gleichung (4.5) handelt es sich um eine lineare Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeﬃzienten. Da die Technik zur L¨osung solcher Gleichungen im wesentlichen nicht von der Ordnung abh¨angt, betrachten wir eine Gleichung allgemeiner Ordnung n, x(n) (t) + an−1 x(n−1) (t) + · · · + a1 x (t) + a0 x(t) = f (t) mit Koeﬃzienten a0 , . . . , an−1 . Diese Gleichung schreiben wir abstrakt in der Form Lx = f, wobei Lx deﬁniert ist durch Lx(t) = x(n) (t) +

n−1

a x( ) (t) .

(4.7)

=0

Wir interpretieren L als Abbildung, die eine n–fach stetig diﬀerenzierbare Funktion x auf die stetige Funktion Lx abbildet. Eine solche Abbildung, die

130

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Funktionen mit Hilfe von Ableitungen auf andere Funktionen abbildet, wird als Diﬀerentialoperator bezeichnet. Als Ordnung des Diﬀerentialoperators bezeichnet man die h¨ ochste auftretende Ableitungsordnung. Als Deﬁnitionsmenge eines Diﬀerentialoperators der Ordnung n kann man zum Beispiel

C n (R) := f : R → R f (k) existiert und ist stetig f¨ ur k = 1, . . . , n w¨ ahlen. Die Diﬀerentialgleichung (4.5) heißt linear, weil der zugeh¨orige Diﬀerentialoperator L linear ist, L(αx + βy) = α Lx + β Ly f¨ ur x, y ∈ C n (R) und α, β ∈ R. Aus dieser Eigenschaft resultieren zwei wichtige Folgerungen: •

osungen von Lx = f , so ist die Diﬀerenz x1 − x2 eine Sind x1 und x2 L¨ L¨ osung von Lx = 0.

•

Ist x1 eine L¨osung von Lx = f und x0 eine L¨osung von Lx = 0, so ist osung von Lx = f . x0 + x1 eine weitere L¨

Ist xp eine beliebige L¨ osung von Lx = f , eine sogenannte Partikul¨arl¨osung, so k¨ onnen wir die L¨ osungsmenge darstellen als L(f ) = xp + L(0) , wobei L(0) die L¨ osungsmenge der homogenen Gleichung Lx = 0 ist. Eine homogene lineare Diﬀerentialgleichung mit konstanten Koeﬃzienten kann mit dem Ansatz x(t) = eλt gel¨ ost werden, wobei λ ein zu bestimmender d λt

λt Parameter ist. Wegen dt e = λ e folgt Leλt = pL (λ)eλt mit dem charakteristischen Polynom pL (λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 . Die homogene Gleichung Lx = 0 ist also erf¨ ullt, wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms pL ist. Im einfachsten Fall hat pL lauter verschiedene Nullstellen λ1 , . . . , λn ; wir erhalten dann n linear unabh¨angige L¨osungen xj (t) = eλj t .

4.1 Eindimensionale Schwingungen

131

Diese bilden eine Basis von L(0). Eine solche Basis heißt ein Fundamentalsystem. Falls λj echt komplex ist, also λj = µj +i ωj mit µj , ωj ∈ R, ωj = 0, und imagin¨ arer Einheit i, dann ist xj ebenfalls komplex. Bei einer Diﬀerentialgleichung mit reellen Koeﬃzienten hat auch das charakteristische Polynom reelle Koeﬃzienten, und zu jeder komplexen Nullstelle λ = µ + iω gibt es eine dazu konjugiert komplexe Nullstelle µ − iω. Aus den beiden komplexen L¨osungen z1 (t) = e(µ+iω)t und z2 (t) = e(µ−iω)t kann man durch Linearkombination zwei linear unabh¨ angige reelle L¨ osungen bestimmen, x1 (t) = 12 (z1 (t) + z2 (t)) = eµt cos(ωt) und x2 (t) =

1 2i (z1 (t)

− z2 (t)) = eµt sin(ωt) .

Anwendung auf alle Paare konjugiert komplexer L¨osungen liefert ein reelles Fundamentalsystem. Bei mehrfachen Nullstellen bekommt man u ¨ber den Exponentialansatz kein vollst¨ andiges Fundamentalsystem, da es zu jeder mehrfachen Nullstelle λ nur eine L¨ osung der Form eλt gibt. Um weitere L¨osungen zu gewinnen, faktorisieren wir zun¨ achst den Diﬀerentialoperator. Sind λ1 , . . . , λm alle Nullstellen von p und ist rj die Vielfachheit von λj , so gilt L=

m !

d dt

− λj

rj

.

j=1

In dieser Darstellung kann die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden. Um zum Eigenwert λ mit Vielfachheit r genau r verschiedene Fundamentall¨ osungen zu gewinnen, betrachten wir die Gleichung r d (4.8) dt − λ x(t) = 0 . F¨ ur den L¨ osungsansatz x(t) = c(t) eλt gilt oﬀensichtlich

x (t) = c (t) eλt + λ c(t) eλt ,

oder anders ausgedr¨ uckt d dt

d − λ c(t)eλt = eλt dt c(t) .

(4.9)

Aus (4.8) folgt deshalb die Gleichung c(r) (t) = 0 , und somit ist c ein Polynom vom Grad r − 1. Wir erhalten also zum Eigenwert λ die r Fundamentall¨ osungen eλt , t eλt , . . . , tr−1 eλt .

132

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Wir wenden dies nun auf die Schwingungsgleichung (4.5) an. Dabei nehmen wir a, b ≥ 0 an, da dies bei den beschriebenen Anwendungen sinnvoll ist. Das charakteristische Polynom p(λ) = λ2 + 2aλ + b hat die beiden Nullstellen λ1/2 = −a ±

a2 − b .

Wir unterscheiden nun drei F¨ alle: Fall 1: b < a2 . In diesem Fall sind beide Nullstellen reell und negativ, und wir haben zwei L¨ osungen u1 (t) = eλ1 t und u2 (t) = eλ2 t . Jede andere L¨ osung ergibt sich als Linearkombination dieser beiden L¨osunur t → +∞ ab. Die gen. Da λ1 , λ2 negativ sind, klingen beide L¨osungen f¨ D¨ ampfung ist hier so stark, dass es keine Schwingung gibt; das System kriecht“ nach einer Auslenkung langsam in die Ruhelage zur¨ uck. Man ” spricht vom sogenannten Kriechfall. Fall 2: b > a2 . Wir haben dann zwei komplexe Eigenwerte λ1/2 = −a ± iω √ mit ω = b − a2 . Die zugeh¨ origen reellen L¨osungen sind x1 (t) = e−at cos(ωt) und x2 (t) = e−at sin(ωt) . Es handelt sich dabei um Schwingungen. Im Fall a = 0 bleibt die Amplitude der Schwingung konstant; die Schwingung ist dann unged¨ampft. Im Fall a > 0 verringert sich die Amplitude mit zunehmender Zeit; es handelt sich dann um eine ged¨ampfte Schwingung. Ursache der D¨ampfung ist die Reibung im mechanischen Feder–Masse System beziehungsweise der ohmsche Widerstand beim elektrischen Schwingkreis. Fall 3: b = a2 . In diesem Fall hat das charakteristische Polynom die doppelte Nullstelle λ = −a. Ein zugeh¨ origes Fundamentalsystem ist x1 (t) = e−at ,

x2 (t) = t e−at .

Es handelt sich hier um einen Grenzfall zwischen der Schwingung aus Fall 2 und der Kriechl¨ osung aus Fall 1. Beide Fundamentall¨osungen klingen ur kleine t zun¨achst an. Dies f¨ ur t → +∞ ab, L¨ osung x2 (t) steigt jedoch f¨ kann man als halbe Periode einer Schwingung interpretieren, die danach in eine Kriechl¨osung u osungen nennt man den aperiodischen ¨ bergeht. Diese L¨ Grenzfall. Mit Hilfe der Fundamentall¨ osung kann man nun f¨ ur beliebige Anfangsdaten ˙ = x1 die eindeutige L¨ osung der Diﬀerentialgleichung bex(0) = x0 und x(0) stimmen. Im Fall x0 = 1 und x1 = 0, also einer Schwingung mit vorgegebener Anfangsauslenkung 1 und Anfangsgeschwindigkeit 0, erh¨alt man etwa

4.1 Eindimensionale Schwingungen

133

x

t

Abb. 4.2. Unged¨ ampfte Schwingung, ged¨ ampfte Schwingung und aperiodischer Grenzfall

λ2 λ1 eλ1 t + eλ2 t f¨ ur b < a2 , λ2 − λ1 λ1 − λ2 # $ a ur b > a2 und x(t) = e−at cos(ωt) + sin(ωt) f¨ ω ur b = a2 . x(t) = (1 + at)e−at f¨

x(t) =

F¨ ur x0 = 0 und x1 = 1 hat man λ1 t 1 e − eλ2 t f¨ ur b < a2 , λ1 − λ2 1 ur b > a2 und x(t) = e−at sin(ωt) f¨ ω ur b = a2 . x(t) = t e−at f¨

x(t) =

Dies sind sogenannte freie Schwingungen, die ausschließlich u ¨ ber die Anfangsbedingungen generiert werden. Erzwungene Schwingungen Wir betrachten nun Schwingungen, die durch periodische Anregungen erzeugt werden. Das typische Beispiel hierf¨ ur ist ein elektrischer Schwingkreis, der an eine Wechselstromquelle angeschlossen ist; die Funktion f (t) hat dann die Form f (t) = c1 cos(ωt − ϕ) mit Kreisfrequenz ω und Phase ϕ. Wir untersuchen zun¨ achst den allgemeinen Fall Lx = eµt mit einem Diﬀerentialoperator L der Form (4.7) und einem komplexen Parameter µ. Man kann dann einen speziellen Ansatz in Form der rechten Seite versuchen,

134

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

x(t) = c eµt . Einsetzen in die Diﬀerentialgleichung liefert c p(µ) eµt = eµt mit dem charakteristischen Polynom p zu L. Falls µ keine Nullstelle von p ist, so erh¨ alt man c = 1/p(µ) und damit die Partikul¨arl¨osung xp (t) =

1 µt e . p(µ)

Falls µ eine Nullstelle von p ist, also etwa p(λ) =

m )

(λ−λ )r gilt mit µ = λm ,

=1

dann kann man den Ansatz modiﬁzieren zu x(t) = c(t) eµt . Mit Beziehung (4.9), angewendet f¨ ur λ = µ, folgt Lx =

m−1 !

d dt

− λ

r d dt

! m−1 r (rm ) rm d c(t)eµt = c −µ (t)eµt . dt − λ

=1

=1

Man kann nun eine Partikul¨ arl¨ osung ﬁnden mit c(rm ) (t) = c, also etwa c(t) = e c rm , wobei c berechnet wird aus rm ! t m−1 !

d

− λ

dt

r µt ce = eµt .

=1

Mit q(λ) :=

m−1 !

(λ − λ )r =

=1

folgt c=

1 q(µ)

p(λ) (λ − λm )rm

und man erh¨ alt die Partikul¨ arl¨osung xp (t) =

1 trm eµt . rm ! q(µ)

Wir wenden dies nun an auf die inhomogene Schwingungsgleichung (4.5) mit arer Faktor. Sind λ1 und λ2 die Nullf (t) = eiσt . Dabei sei iσ ein rein imagin¨ stellen des charakteristischen Polynoms, so erh¨alt man im Fall iσ ∈ / {λ1 , λ2 } die Partikul¨ arl¨ osung xp (t) =

1 iσt 1 e = eiσt . p(iσ) (iσ − λ1 )(iσ − λ2 )

(4.10)

Dies entspricht einer Schwingung mit Kreisfrequenz ω = σ der Anregung und 1 1 = (iσ−λ1 )(iσ−λ . komplexer Amplitude p(iσ) 2)

4.1 Eindimensionale Schwingungen

135

Der Fall iσ ∈ {λ1 , λ2 } kann hier nur f¨ ur a = 0 auftreten, also bei Anwendungen ohne D¨ ampfung.√Das charakteristische Polynom hat dann zwei komplexe Nullstellen λ1/2 = ± bi. Man erh¨ alt dann die Partikul¨arl¨osung 1 t eiσt . 2iσ Die Amplitude dieser L¨ osung divergiert f¨ ur t → +∞. Man spricht in diesem Fall von Resonanz : Die ¨ außere Anregung vergr¨oßert die Amplitude der Schwingung im Lauf der Zeit immer mehr. Resonanz in diesem engeren Sinn tritt nur bei unged¨ampften Schwingungen auf. Bei Schwingungen mit √ geringer D¨ ampfung, also bei kleinem a > 0 und λ1/2 = −a ± iω mit ω = b − a2 , kann man aus Formel (4.10) jedoch ebenfalls den Einﬂuss von Resonanz ablesen: Der Faktor 1/p(iσ) hat f¨ ur |σ| = ω den Wert 1/(a(a + 2iσ)), und f¨ ur kleines a wird der Betrag dieses Faktors sehr groß. Resonanzph¨anomene sind in vielen technischen Anwendungen sehr wichtig. Die Stabilit¨at mechanischer Strukturen bei dynamischen, also zeitlich ver¨ anderlichen, Belastungen h¨angt im wesentlichen davon ab, ob ¨ außere Lasten in Resonanz mit sogenannten Eigenschwingungen der mechanischen Struktur treten k¨onnen, und ob im Fall von Resonanz gen¨ ugend D¨ ampfung vorhanden ist, um die Zufuhr von Energie durch die ¨ außere Anregung ausgleichen zu k¨ onnen. Ganz besonders wichtig sind Resonanzph¨ anomene in der Akustik, etwa bei der Vermeidung von L¨arm. xp (t) =

Wenn man f¨ ur eine reelle rechte Seite f (t) eine reelle L¨osung gewinnen m¨ochte, kann man das wieder durch Linearkombination komplexer L¨osungen erreichen. Um die L¨ osung von (4.5) f¨ ur f (t) = cos(σt) zu ermitteln, stellt man f (t) dar als Linearkombination von f1 (t) = eiσt und f2 (t) = e−iσt , f (t) = 12 f1 (t) + f2 (t) . osungen zu f1 (t) und f2 (t), so ist Sind x1 (t) und x2 (t) L¨ x(t) = 12 (x1 (t) + x2 (t)) die L¨ osung von (4.5) zu f (t) = cos(σt). Man erh¨alt damit die Partikul¨arl¨osung ⎧ 2 ⎨ (b − σ ) cos(σt) + 2aσ sin(σt) f¨ ur iσ ∈ / {λ1 , λ2 } , (b − σ 2 )2 + 4a2 σ 2 xp (t) = √ ⎩1 f¨ ur a = 0, |σ| = b . 2σ t sin(σt) M¨ ochte man ein Anfangswertproblem l¨ osen, so muss man zu dieser Partikul¨ arl¨ osung eine L¨ osung der homogenen Schwingungsgleichung addieren, so dass die Summe die Anfangswerte erf¨ ullt. Damit kann man Einschwingvorg¨ange studieren, also etwa den Spannungsverlauf in einem elektrischen Schwingkreis nach dem Einschalten der Wechselspannungsquelle. Energieerhaltung Wir betrachten die Diﬀerentialgleichung (4.5) in der dimensionsbehafteten Form

136

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

m¨ x + β x˙ + kx = f mit beliebiger zeitabh¨ angiger rechter Seite f . Diese Gleichung beschreibt einen schwingenden Massenpunkt mit Position x, R¨ uckstellkraft FF = −kx, angreifender ¨ außerer Kraft f und viskoser D¨ ampfung“ durch die Kraft FR = −β x. ˙ ” Multiplikation der Gleichung mit x˙ und Integration bez¨ uglich der Zeit von t0 bis t1 liefert k 1 k 1 m x˙ 2 (t1 ) + x2 (t1 ) = m x˙ 2 (t0 ) + x2 (t0 ) 2 2 2 2 t1 t1 + f x˙ dt − β x˙ 2 (t) dt . t0

(4.11)

t0

Diese Gleichung beschreibt die Energiebilanz. Die im System enthaltene Energie besteht aus der kinetischen Energie T = 12 mx˙ 2 und der potentiellen Ener"t gie U = k2 x2 . Der Term t01 f x˙ dt beschreibt die dem System durch die ¨außere "t Kraft f zugef¨ uhrte Energie und t01 β x˙ 2 (t) dt ist die durch Reibung oder viskose D¨ ampfung dissipierte“ Energie. Letztere wird in der Regel in W¨arme ” umgewandelt und verschwindet“ deswegen in einer rein mechanischen Ener” giebilanz. Wir k¨ onnen die Energiebilanz leicht auf allgemeine, nichtlineare konstitutive Gesetze f¨ ur die R¨ uckstellkraft FF = FF (x) und die viskose D¨ampfung ˙ u FR = FR (x) ¨ bertragen. Dazu brauchen wir lediglich eine Stammfunktionen V von −FF . Diese Stammfunktion ist gerade die potentielle Energie. Weiterhin bezeichne T = 12 mx˙ 2 die kinetische Energie und Φ = Φ(x) ˙ = FR (x) ˙ x˙ eine Dissipationsfunktion. Aus der Gleichung ˙ + V (x) = f m¨ x − FR (x) folgt durch Multiplikation mit x˙ und Integration bez¨ uglich der Zeit t1 f x˙ + Φ(x) ˙ dt . ˙ 0 )) + V (x(t0 )) + T (x(t ˙ 1 )) + V (x(t1 )) = T (x(t t0

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik Wir werden nun zwei wichtige verallgemeinerte Formulierungen der Grundgleichungen der Mechanik f¨ ur Systeme von Punktmassen kennenlernen. Als einfaches Beispiel betrachten wir zun¨ achst eine Schwingung ohne D¨ampfung, mit nichtlinearer R¨ uckstellkraft FR (x), die durch ein Potential V gegeben ist, FR (x) = −V (x). Die zugeh¨ orige Diﬀerentialgleichung ist m¨ x = −V (x) .

(4.12)

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

137

Die linke Seite hier kann dargestellt werden als Zeitableitung der Ableitung der kinetischen Energie T = T (x, x) ˙ = 12 mx˙ 2 nach der Geschwindigkeit x, ˙ m¨ x=

d ∂T . dt ∂ x˙

Wir fassen nun x und x˙ als unabh¨angige Variable auf und interpretieren sowohl T als auch V als Funktionen von x und x. ˙ Gleichung (4.12) hat dann die Form ∂V d ∂T =− . dt ∂ x˙ ∂x Da in diesem Beispiel T unabh¨ angig von x und V unabh¨angig von x˙ ist, kann man diese Gleichung mit Hilfe der Lagrangefunktion L = L(x, x) ˙ = T (x) ˙ − V (x) umformulieren zu

∂L d ∂L = . ∂x dt ∂ x˙ Dies ist die Grundgleichung der Lagrangeschen Formulierung der Mechanik f¨ ur einen Massenpunkt. Man kann dieses Prinzip leicht erweitern auf Systeme aus einer festen Anzahl von Massenpunkten. Um die Notation auch f¨ ur den Fall von mehr als einer Raumdimension einfach zu halten, fassen wir die Komponenten der Positionsvektoren aller Massenpunkte in einem einzigen Vektor x ∈ RN zusammen. Zur ore die Masse mj . Sind xi und xj unterschiedliche KomKomponente xj geh¨ ponenten einer Position desselben Massenpunktes, so muss nat¨ urlich mi = mj gelten. Die kinetische Energie des Systems ist dann T (x, x) ˙ =

N

mj x˙ 2j .

j=1

F¨ ur die potentielle Energie lassen wir eine allgemeine Funktion V = V (x) zu; die j–te Komponente der auf das System wirkenden Kraft ist dann gegeben durch ∂V . − ∂xj Die zugeh¨ orige Lagrangefunktion ist L(x, x) ˙ = T (x, x) ˙ − V (x, x) ˙ , ∂V f¨ ur die Komponente j ist, wie man die Bewegungsgleichung m¨ xj = − ∂x j leicht nachpr¨ uft, identisch zu

∂L d ∂L = . ∂xj dt ∂ x˙ j

(4.13)

138

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Man kann in diese Formulierung auch ¨außere Kr¨afte fj = fj (t) einbinden. Dazu deﬁniert man eine verallgemeinerte potentielle Energie U (t, x, x) ˙ = V (x) − f (t) · x . Es folgt dann f¨ ur den zus¨ atzlichen Anteil UF := −f · x ∂UF d ∂UF = −fj und = 0, ∂xj dt ∂ x˙ j wir erhalten also gerade die zus¨ atzliche ¨ außere Kraft fj auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung des j–ten Massenpunktes. Die entsprechende Lagrangefunktion L = T − U h¨ angt nun auch noch von der Zeit t ab. Gleichung (4.13) kann interpretiert werden als notwendiges Kriterium f¨ ur einen station¨ aren Punkt des Optimierungsproblems * t1 L(t, x, x) ˙ dt x ∈ C 1 [t0 , t1 ], RN , x(t0 ) = x(0) , min t0 (4.14) + (1) x(t1 ) = x (1) ur eine L¨osung mit festgehaltenen Anfangs- und Endpunkten x(0) und x . F¨ x von (4.14) und eine beliebige Variation y ∈ C 1 [t0 , t1 ], RN mit y(t0 ) = amlich x + εy eine zul¨ assige Vergleichsfunktion f¨ ur das Optiy(t1 ) = 0 ist n¨ mierungsproblem. Es muss daher gelten t1 d 0= L(t, x + εy, x˙ + εy) ˙ dt dε t0 ε=0 t1 N ∂L ∂L = yj + y˙ j dt (4.15) ∂xj ∂ x˙ j t0 j=1

=

N t1

t0

j=1

∂L d ∂L yj − ∂xj dt ∂ x˙ j

yj dt ,

wobei im letzten Schritt eine partielle Integration f¨ ur den zweiten Summanden durchgef¨ uhrt wird. Gilt f¨ ur eine stetige Funktion f : [t0 , t1 ] → RN

N t1

t0

fi (x) ϕi (x) dx = 0

f¨ ur alle ϕ ∈ C01 [t0 , t1 ], RN ,

i=1

so folgt f ≡ 0. Diese Aussage heißt Fundamentallemma der Variationsrechnung und wird in Aufgabe 4.19 bewiesen. Da die Funktionen yj bis auf die Randdaten beliebig gew¨ ahlt sind, folgen also die Lagrangeschen Gleichungen (4.13) aus (4.15). Es sei hier bemerkt, dass L¨ osungen von (4.13) im Allgemeinen nur kritische Punkte des Optimierungsproblems sind und nicht notwendigerweise ein Extremum realisieren.

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

139

Ein wesentlicher Vorteil der Lagrangeschen Formulierung besteht darin, dass die Gleichungen unabh¨ angig von der Auswahl sogenannter verallgemeinerter Koordinaten sind. Wir betrachten verallgemeinerte Koordinaten qj = q(j (x), j = 1, . . . , N und die zugeh¨ orige Lagrangefunktion ( q, q) L(t, ˙ . Dabei sei q( : RN → RN eine bijektive Abbildung, deren Ableitungsmatrix $N # ∂b qi ( besteht wegen q˙ = invertierbar sei. Zwischen L und L Dx q( = ∂x j i,j=1

Dx q((x)x˙ der Zusammenhang ( t, q((x), Dx q((x)x˙ . L(t, x, x) ˙ =L Das Optimierungsproblem l¨ asst sich in den verallgemeinerten Koordinaten schreiben als + * t1 ( q, q) L(t, ˙ dt q ∈ C 1 [t0 , t1 ], RN , q(t0 ) = q (0) , q(t1 ) = q (1) min t0

mit q (0) = q( x(0) und q (1) = q( x(1) ; denn dies entspricht nur einer Umparametrisierung des Integranden L. Das zugeh¨orige Optimalit¨atskriterium ist ( ( d ∂L ∂L = . ∂qj dt ∂ q˙j ¨ Die Aquivalenz dieser Gleichungen zu (4.13) l¨asst sich unter gewissen Annahmen an die Parametrisierung auch direkt durch Umparametrisieren der Gleichungen zeigen, siehe dazu Aufgabe 4.3. Die verallgemeinerte Lagrangesche Formulierung ist besonders vorteilhaft bei Problemen mit Nebenbedingungen. Man kann dann verallgemeinerte Koordinaten w¨ ahlen, die die Nebenbedingungen automatisch erf¨ ullen, und die zugeh¨ origen Lagrangeschen Bewegungsgleichungen l¨osen. Wir begr¨ unden den Lagrange–Formalismus f¨ ur Aufgabenstellungen mit Nebenbedingungen f¨ ur ein Problem mit Ortsvariable x = x(t) ∈ RN und s Nebenbedingungen gi (t, x) = 0, i = 1, . . . , s. In die Ortsvariable seien die Komponenten aller Massenpunkte einsortiert; bei Massenpunkten im d–dimensionalen Raum ist N = d. Die Nebenbedingungen deﬁnieren eine Menge zul¨assiger Punkte

ur i = 1, . . . , s . X(t) = x ∈ RN | gi (t, x) = 0 f¨ Wir nehmen an, dass die Funktionen gi diﬀerenzierbar seien, dass die Gradienten {∇x gi (t, x) | i = 1, . . . , s} f¨ ur alle x ∈ X(t) linear unabh¨angig seien, und dass X(t) eine (N − s)–dimensionale, gen¨ ugend glatte Mannigfaltigkeit

140

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

im RN ist. Ist t → x(t) eine stetige diﬀerenzierbare Kurve mit x(t) ∈ X(t) f¨ ur alle t, so gilt d 0 = gi (t, x(t)) = ∇x gi (t, x(t)) · x(t) ˙ . dt Das bedeutet, dass die Geschwindigkeitsvektoren aller zul¨assigen Kurven im Tangentialraum

Tx(t) X(t) = y ∈ RN | ∇x gi (t, x(t)) · y = 0 f¨ ur i = 1, . . . , s zu X(t) im Punkt x(t) liegen m¨ ussen. Die Bewegungsgleichung muss zur Erf¨ ullung der Nebenbedingungen erg¨anzt werden durch noch unbekannte Zwangskr¨afte Z1 , . . . , ZN . Die Zwangskr¨afte halten die Kurve der Bewegung in der Mannigfaltigkeit der zul¨assigen Punkte; sie wirken normal zur Mannigfaltigkeit. In Komponenten geschrieben gilt mj x¨j = fj + Zj . Sind hier xi und xj verschiedene Komponenten desselben Massenpunktes, so gilt mi = mj . Wir schreiben die Bewegungsgleichung kompakt in Matrix– Vektor–Notation Mx ¨=f +Z, (4.16) wobei M die Diagonalmatrix der Punktmassen, f der Vektor der ¨außeren Kr¨ afte und Z der Vektor der Zwangskr¨ afte ist. Wir nehmen an, dass die Kraft f = f (t, x) ein Potential U = U (t, x) hat, f = −∇x U . Wir nehmen weiterhin an, dass man die Menge der zul¨ assigen Positionsvektoren X(t) parametrisieren kann, X(t) = {( x(t, q) | q ∈ Rr } . Dabei ist r = N − s die Anzahl der Freiheitsgrade. Die Ableitungen von x ((t, ·) nach den Komponenten von q liegen dann gerade im Tangentialraum, ∂( x (t, q) ∈ Txb(t,q) X(t) f¨ ur j = 1, . . . , r . ∂qj Ableiten von t → x ((t, q(t)) f¨ ur eine gegebene Kurve t → q(t) liefert d x ((t, q(t)) = ∂t x ((t, q(t)) + ∇q x ((t, q(t)) · q(t) ˙ . dt Dieser Ausdruck gibt die Geschwindigkeit x(t) ˙ der Kurve x(t) = x ((t, q(t)) an. Wir deﬁnieren daher ( ((t, q) + ∇q x ((t, q) · q˙ . x(t, ˙ q, q) ˙ = ∂t x

(4.17)

Hier und im Folgenden werden t, q und q˙ als unabh¨angige Variable der Lagrangefunktion interpretiert, dies ist insbesondere bei der Notation partieller Ableitungen zu beachten. Aus (4.17) folgt dann insbesondere

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

(˙ ∂x ∂( x (t, q, q) ˙ = (t, q) . ∂ q˙j ∂qj Multiplikation der Bewegungsgleichung (4.16) mit kannte Zwangskraft, denn alt also Txb(t,q) X(t). Man erh¨

∂b x ∂qj

(4.18) ∂b x ∂qj

eliminiert die unbe-

(t, q) ∈ Txb(t,q) X(t) und Z ist senkrecht zu

Mx ¨· Dabei ist x ¨ = als

141

∂( x ∂( x =f· . ∂qj ∂qj

(4.19)

d2 x(t, q(t))). dt2 ((

Wir schreiben die linke Seite dieser Gleichung x d d ∂( ∂( x ∂( x ( ( = − M x˙ · . Mx ¨· M x˙ · ∂qj dt ∂qj dt ∂qj

Es gilt d dt

∂( x ∂qj

=

(˙ ( ∂( x ∂x ∂2x + ∇q · q˙ = . ∂t ∂qj ∂qj ∂qj

Unter Ber¨ ucksichtigung von (4.18) folgt ( ( ( ( ∂( x ∂ x ˙ d (˙ · (˙ · ∂ x˙ = d ∂ T − ∂ T Mx ¨· Mx − Mx = ∂qj dt ∂ q˙j ∂qj dt ∂ q˙j ∂qj mit der kinetischen Energie 1( (˙ q, q) ˙ q, q) ˙ M x(t, T((t, q, q) ˙ = x(t, ˙ . 2 Außerdem gilt wegen f (t, x) = −∇x U (t, x) f·

( ∂( x ∂U =− ∂qj ∂qj

( (t, q) = U (t, x ( unabh¨ mit U ((t, q)). Da U angig ist von q, ˙ hat (4.19) gerade die Form ( ( ∂L d ∂L = ∂qj dt ∂ q˙j mit der u ¨blichen Lagrangefunktion ( q, q) ( q) . L(t, ˙ = T((t, q, q) ˙ − U(t, Beispiel: Wir betrachten ein Pendel aus einem Massenpunkt der Masse m, der mit einem masselosen starren Stab der L¨ ange am Ursprung befestigt ist und sich im Schwerefeld der Erde bewegt, siehe dazu Abbildung 4.3. Zur Beschreibung der Lage des Pendels verwenden wir den Winkel ϕ zur Vertikalen. Die Position in kartesischen Koordinaten ist dann

142

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

111111 000000 000000 111111 000000 111111 ϕ

Abb. 4.3. Eindimensionale Schwingung

sin ϕ x = x(ϕ) = . − cos ϕ Kinetische und potentielle Energie lauten ˙ 2 = 12 m2 ϕ˙ 2 und U = mgx2 = −mg cos ϕ . T = 12 m|x| Die Lagrangefunktion ist demnach L(ϕ, ϕ) ˙ = T − U = 12 m2 ϕ˙ 2 + mg cos ϕ . Mit

∂L ∂L = −mg sin ϕ und = m2 ϕ˙ ∂ϕ ∂ ϕ˙

folgen die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen m2 ϕ¨ + mg sin ϕ = 0 . Die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik erh¨alt man mit Hilfe der Legendre–Transformation der Lagrange–Funktion bez¨ uglich der verallgemeinerten Geschwindigkeiten. Die Legendre–Transformation ist in Abschnitt 3.6 erkl¨ art. Es sei ∂L pj = ∂ q˙j die zu q˙j duale Variable und H(t, q, p) = p · q(t, ˙ q, p) − L(t, q, q(t, ˙ q, p)) die Hamiltonfunktion, also gerade die Legendretransformierte zur Lagrangefunktion. Dann gilt ∂H ∂ q˙ ∂L ∂L ∂ q˙k ∂L d ∂L =p· − − =− =− = −p˙ j und ∂qj ∂qj ∂qj ∂ q˙k ∂qj ∂qj dt ∂ q˙j r

k=1 r

∂ q˙k ∂L ∂ q˙k ∂H = q˙j + pk − = q˙j . ∂pj ∂pj ∂ q˙k ∂pj r

k=1

k=1

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

143

Dies liefert die Grundgleichungen der Hamiltonschen Formulierung der Mechanik ∂H ∂H und p˙ j = − f¨ ur j = 1, . . . , r . (4.20) q˙j = ∂pj ∂qj Wie bei der Lagrangeschen Formulierung ist auch bei der Hamiltonschen Formulierung die Auswahl beliebiger verallgemeinerter Koordinaten m¨oglich. Es ist dazu lediglich n¨ otig, die kinetische Energie und die verallgemeinerte potentielle Energie in den neuen Variablen auszudr¨ ucken. Bei der Hamiltonschen Funktion handelt es sich h¨ auﬁg um die Energie des Systems, also die Summe aus potentieller und kinetischer Energie. Beim Beispiel der eindimensionalen, nichtlinearen Schwingung mit Potential V haben wir die kinetische Energie T (t, x, x) ˙ = 12 mx˙ 2 und die Lagrangefunktion L(t, x, x) ˙ =

1 m x˙ 2 − V (x) . 2

Es folgt p= und mit q = x, q˙ = x˙ =

∂L = mx˙ ∂ x˙

p m

H(t, q, p) = p

m # p $2 p p2 − + V (q) . + V (q) = m 2 m 2m

Hier ist H = T + V also tats¨ achlich die Energie des Systems. Die Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik gilt nicht nur f¨ ur Systeme von Massenpunkten, sondern kann auch auf weitere Modellklassen erweitert werden, zum Beispiel auf sogenannte Mehrk¨orpersysteme, die aus miteinander verbundenen starren K¨ orpern bestehen. Grundlage ist stets •

Eine Beschreibung alle m¨ oglicher Konﬁgurationen des Systems durch geeignete verallgemeinerte Koordinaten.

•

Darstellungen der kinetischen und potentiellen Energie des Systems.

Schwingungen von Stabwerken Wir wenden nun den Lagrange–Formalismus an, um ein Diﬀerentialgleichungssystem f¨ ur die Bewegung eines Stabwerkes herzuleiten. Man ben¨otigt dabei lediglich Darstellungen der kinetischen und der potentiellen Energie. Wir betrachten ein Stabwerk aus n durchnummerierten St¨aben mit k durchnummerierten Knoten. Die Positionen der Knoten sind in einem Vektor x ∈ Rdk

144

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

zusammengefasst, wobei d ∈ {2, 3} die betrachtete Raumdimension ist. Die Masse des j–ten Stabes sei mj , diese Masse sei gleichm¨aßig u ¨ber die L¨ange des Stabes verteilt. Die potentielle Energie des verformten Stabwerkes besteht aus der in den gedehnten St¨ aben gespeicherten Energie. Die Dehnungen werden in einen Vektor e einsortiert; dieser folgt aus den Knotenverschiebungen durch die Beziehung e = Bx mit einer von der Geometrie des Stabes abh¨ angigen Matrix B ∈ Rn,dk , siehe dazu auch Abschnitt 2.2. Ist ej die Dehnung und Ej der Elastizit¨atsmodul des j–ten Stabes, so ist die im Stab gespeicherte Energie gerade Vj = 12 Ej |ej |2 . Die gesamte potentielle Energie des Stabwerkes ist V =

n

2 1 2 Ej |ej |

= 12 e Ce = 12 x Kx

j=1

mit der Diagonalmatrix C = diag(E1 , . . . , En ) der Elastizit¨atskonstanten und der symmetrischen sogenannten Steiﬁgkeitsmatrix K = B CB. Zur Bestimmung der kinetischen Energie betrachten wir zun¨achst einen einzelnen Stab mit Masse m und Endpunkten x(0) (t) und x(1) (t). Dieser Stab wird parametrisiert durch x(t, s) = (1 − s)x(0) (t) + s x(1) (t) mit s ∈ [0, 1] . Die kinetische Energie des Stabes ist 1 (0) 2 x˙ (t) + x˙ (0) (t) · x˙ (1) (t) + x˙ (1) (t)2 . T (t) = m|x(t, ˙ s)|2 ds = m 3 0

Die kinetische Energie eines Stabwerkes entspricht der Summe der kinetischen Energien aller St¨ abe, T (t) =

n 2 2 mj (u(j)) x˙ (t) + x˙ (u(j)) (t) · x˙ (o(j)) (t) + x˙ (o(j)) (t) , 3

j=1

wobei u(j) und o(j) die Indizes der Knoten zu Stab j sind. Dies l¨asst sich kurz ausdr¨ ucken durch T (t) = 12 x(t) ˙ M x(t) ˙ mit einer symmetrischen Massematrix M der Dimension dk × dk.

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

145

Fasst man die auf die Knoten wirkenden ¨ außeren Kr¨afte in einem Vektor f ∈ Rdk zusammen, dann erh¨ alt man die Lagrangefunktion L = L(t, x, x) ˙ = T (x) ˙ − V (x) + f (t) · x = 12 x˙ M x˙ − 12 x Kx + f (t) · x . Aus (4.13) erh¨ alt man daraus die Bewegungsgleichung Mx ¨ + Kx = f .

(4.21)

Dies ist ein System gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen. Die Massematrix M ist positiv deﬁnit, die Steiﬁgkeitsmatrix K positiv semideﬁnit. Wir interessieren uns nun f¨ ur freie Schwingungen und setzen dazu f = 0. Verwendet man den u ¨ blichen exponentiellen Ansatz x(t) = eλt v mit einem komplexen Parameter λ und einem Vektor v ∈ Cdk , so erh¨alt man das verallgemeinerte Eigenwertproblem Kv = −λ2 M v .

(4.22)

Da M positiv deﬁnit und symmetrisch ist, kann man die Wurzel M 1/2 deﬁnieren. Multiplikation von (4.22) mit M −1/2 und Variablentransformation w = M 1/2 v liefert das Eigenwertproblem Aw = −λ2 w mit A = M −1/2 KM −1/2 . Die Matrix A hier ist positiv semideﬁnit und symmetrisch, sie besitzt deshalb reelle nichtnegative Eigenwerte. Dies bedeutet, dass λ rein imagin¨ar ist, also λ = iω mit ω ∈ R . Insgesamt folgt, dass es eine Basis des Rdk aus verallgemeinerten Eigenvekto2 mit ωj ≥ 0 gibt. Die allgemeine ren v1 , . . . , vdk zu Eigenwerten −ω12 , . . . , −ωdk L¨ osung von (4.21) hat deshalb die Form x(t) =

dk αj eiωj t + βj e−iωj t vj . j=1

Die reellen L¨ osungen lauten x(t) =

dk cj cos(ωj t) + dj sin(ωj t) vj . j=1

Die Werte ωj /(2π) sind die Eigenfrequenzen des Systems, die Vektoren vj beschreiben die Schwingungsmoden.

146

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen (1, 1) II 4 (0, 0)

111 000 000 111 000 111

1

5 3 I

2

(1, 0)

(2, 0)

111 000 000 111 000 111

Abb. 4.4. Beispiel f¨ ur ein Stabwerk

Beispiel: Wir betrachten das in Abbildung 4.4 dargestellte Stabwerk in zwei Raumdimensionen, mit der dort angegebenen Nummerierung der St¨abe und Knoten. Die Elastizit¨ atsmoduli und Massen der St¨abe nach einer geeigne√ = E2 = E3 = 1, E4 = E5 = 2/2, ten Entdimensionalisierung seien E1 √ m1 = m2 = m3 = 1, m4 = m5 = 2. Dies erh¨alt man, wenn die St¨abe aus dem gleichen Material bestehen und dieselbe Dicke haben; dann skalieren die Elastizit¨ atskonstanten mit der reziproken L¨ange und die Massen mit der L¨ ange der St¨ abe. Die zugeh¨ origen Matrizen lauten, vgl. Kapitel 2 ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎜0 1 0 ⎜−1 0 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ und C = ⎜ 0 0 1 0 0 ⎟ 0 −1 0 1 B=⎜ ⎜ ⎟ ⎟. ⎜ √ √ √ ⎝ 0 0 0 2/2 0 ⎠ ⎠ ⎝0 0 2/2 2/2 √ √ √ 0 0 − 2/2 2/2 0 0 0 0 2/2 Die entsprechende Steiﬁgkeitsmatrix ist ⎛ ⎞ 2 0 0 0 ⎜0 1 −1 ⎟ ⎟. √0 K := B CB = ⎜ ⎝0 0 ⎠ 2/2 0 √ 0 −1 0 1 + 2/2 Die kinetische Energie ist gegeben durch T = =

m1 ˙ 21 + x˙ 22 ) + m32 (x˙ 21 + x˙ 22 ) + m33 (x˙ 21 3 (x + m34 (x˙ 23 + x˙ 24 ) + m35 (x˙ 23 + x˙ 24 ) 1 ˙ M x˙ . 2x

+ x˙ 22 + x˙ 1 x˙ 3 + x˙ 2 x˙ 4 + x˙ 23 + x˙ 24 )

Die Matrix M lautet f¨ ur die angegebenen Massen der St¨abe ⎞ ⎛ 6 0 1 0 ⎟ 1⎜0 6 0√ 1 ⎟. M= ⎜ ⎠ ⎝ 2 0 1 0 2 + 4 3 √ 0 1 0 2+4 2 Die Eigenvektoren und Eigenwerte des verallgemeinerten Eigenwertproblems

4.3 Beispiele aus der Populationsdynamik

147

Kv = µM v sind µ1 ≈ 1,030682 , und

µ2 ≈ 0,274782 ,

µ3 ≈ 1,211484 ,

µ4 ≈ 0,116887

⎛

⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ 0,9844 0,0634 0 0 ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0,7096 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ , v4 ≈ ⎜0,8048⎟ . v1 ≈ ⎜ ⎝−0,1758⎠ , v2 ≈ ⎝1,0045⎠ , v3 ≈ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ 0 0 0 −0,7192 0,5935

Die Eigenvektoren v1 und v2 beschreiben Schwingungen in horizontaler Richtung, v3 und v4 Schwingungen in vertikaler Richtung. Bei v1 und v3 bewegen sich die Punkte I und II jeweils in entgegengesetzte Richtungen, bei v2 und v4 in dieselbe Richtung.

4.3 Beispiele aus der Populationsdynamik Wir werden nun weitere wichtige Aspekte der Modellierung mit gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen an Hand von ausgew¨ ahlten Beispielen aus der Populationsdynamik betrachten. Dazu wiederholen wir zun¨achst die einfachen Populationsmodelle aus Kapitel 1. Das Wachstum einer Population ohne nat¨ urliche Feinde bei unbeschr¨ ankten Ressourcen wird beschrieben durch x (t) = p x(t)

(4.23)

mit Wachstumsfaktor p. Die allgemeine L¨ osung dieser Gleichung ist x(t) = x(t0 ) ep(t−t0 ) . Den Wachstumsfaktor kann man daher aus der Messung der Populations$ # . gr¨ oßen zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten bestimmen, p ∆t = ln x(t+∆t) x(t) F¨ ur p > 0 und x(t0 ) > 0 konvergiert die L¨ osung f¨ ur t → +∞ gegen +∞, f¨ ur p < 0 konvergiert sie gegen 0. Populationen mit beschr¨ ankten Ressourcen kann man beschreiben, indem man die Wachstumsrate von der Populationsgr¨ oße abh¨angig macht. Ein einfacher Ansatz basiert auf einem zus¨ atzlichen Parameter xM , der die maximale Population beschreibt, die durch die vorhandenen Ressourcen ern¨ahrt werden kann. Mit p = p(x) = q(xM − x) folgt die logistische Diﬀerentialgleichung x (t) = q xM − x(t) x(t) . Diese Gleichung l¨ asst sich ebenfalls analytisch l¨osen,

148

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

x(t) =

xM x0 x0 + (xM − x0 )e−xM q(t−t0 )

mit x0 = x(t0 ). Diese L¨ osungen sind f¨ ur x0 > 0 beschr¨ankt und konvergieren f¨ ur t → +∞ gegen xM . Beide Diﬀerentialgleichungen haben die Form x (t) = f (x(t)) mit f : R → R .

(4.24)

Eine solche Diﬀerentialgleichung heißt autonom, weil die rechte Seite nicht von der Zeit t abh¨ angt, sondern nur von der L¨osung x(t). Autonome Diﬀerentialgleichungen besitzen in der Regel zeitlich konstante, sogenannte station¨are L¨ osungen. Diese kann man ausrechnen, indem man die Ableitung in der Diﬀerentialgleichung gleich Null setzt, also die im Allgemeinen nichtlineare Gleichung f (x) = 0 l¨ ost. Bei Gleichung (4.23) mit f (x) = p x hat man f¨ ur p = 0 nur eine station¨are L¨ osung x(t) = 0. Die logistische Diﬀerentialgleichung (4.24) hat (f¨ ur q = 0) zwei station¨ are L¨ osungen, x(t) = 0 und x(t) = xM . Ein wichtiges Merkmal einer station¨ aren L¨ osung ist ihre Stabilit¨at. Die L¨osung einer gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichung ist stabil, wenn sie sich bei einer klei¨ nen Anderung der Daten ebenfalls nur wenig ¨ andert. Als Daten interpretiert man hier in der Regel den Anfangswert. Aus den analytischen L¨osungen der betrachteten Diﬀerentialgleichungen kann man leicht auf die Stabilit¨at der station¨ aren L¨ osungen schließen: Die station¨ are L¨osung x(t) = 0 der Gleichung (4.23) ist •

stabil f¨ ur p < 0,

•

nicht stabil f¨ ur p > 0.

Bei der logistischen Diﬀerentialgleichung mit q = 0 ist die station¨are L¨osung x(t) = 0 instabil, w¨ ahrend die L¨ osung x(t) = xM stabil ist. H¨ auﬁg kann man Diﬀerentialgleichungen nicht analytisch l¨osen. Mit Hilfe der linearen Stabilit¨atsanalyse kann man oft dennoch die Stabilit¨at station¨arer L¨ osungen untersuchen. Dazu linearisiert man die Diﬀerentialgleichung um die station¨ are L¨ osung xS . Im Fall einer autonomen Diﬀerentialgleichung x (t) = f (x(t)) erh¨ alt man wegen f (xS ) = 0 f¨ ur die Diﬀerenz y(t) = x(t) − xS die linearisierte Gleichung y (t) ≈ f (xS ) y(t) = p∗ y(t) mit p∗ = f (xS ) . Wir nehmen hier f ∈ C 2 (R) an. Diese Gleichung kann man analytisch l¨osen, ∗

y(t) = c ep

t

mit c ∈ R .

4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits

149

Der Betrag der L¨ osung y, also die N¨ aherung an die St¨orung, w¨achst oder f¨allt, je nachdem, ob p∗ = f (xS ) > 0 oder

p∗ = f (xS ) < 0

gilt. Die station¨ are L¨ osung xS heißt deshalb •

linear stabil, wenn f (x∗ ) < 0, und

•

linear instabil, wenn f (x∗ ) > 0.

Es kann gezeigt werden, siehe zum Beispiel [6] oder die Abschnitte 4.5 und 4.6, dass f¨ ur x mit x(t0 ) nahe x∗ gilt: x(t) → x∗ , falls f (x∗ ) < 0 , und

x(t) → x∗ , wenn f (x∗ ) > 0 .

F¨ ur f (x∗ ) = 0 liefert die lineare Stabilit¨ atsanalyse keine Aussage, in diesem ¨ Fall muss man Terme h¨ oherer Ordnung in die Uberlegungen einbeziehen. In den Abschnitten 4.5 und 4.6 werden wir n¨ aher auf die lineare Stabilit¨atsanalyse eingehen, insbesondere f¨ ur Systeme aus mehreren gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen. Das qualitative Verhalten der L¨ osungen einer Diﬀerentialgleichung kann man auch an einem einfachen Phasenportrait ablesen, siehe Abbildung 4.5. Dazu tr¨agt man in jedem Punkt (x, 0) einen Vektor (f (x), 0) an. Das entsprechende Vektorfeld nennt man Richtungsfeld. Es zeigt, in welche Richtung die L¨osung sich entwickelt, und die L¨ ange des Vektors gibt an, wie schnell sich x a¨ndert. Mit Hilfe des Richtungsfeldes sieht man auch sehr sch¨on, welche Ruhepunkte (das sind die Nullstellen von f ) stabil und welche instabil sind. Dies h¨angt davon ab, ob das Vektorfeld in der N¨ ahe der Nullstelle in Richtung der Null¨ stelle zeigt oder nicht. Diese Uberlegungen zeigen schon deutlich, dass man ein sehr gutes Bild von der L¨ osungsvielfalt und dem qualitativen Verhalten von L¨ osungen erzielen kann, ohne die Diﬀerentialgleichung explizit zu l¨osen.

4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits Wir wollen nun ein sogenanntes R¨auber–Beute–Modell betrachten, das die zeitliche Entwicklung zweier Populationen beschreibt. Das Modell basiert auf folgenden Modellannahmen: 1. Es kommen zwei Populationen vor, eine ist eine R¨auber- und die andere eine Beutepopulation, also zum Beispiel

150

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen x

t Abb. 4.5. Phasenportrait einer skalaren Diﬀerentialgleichung

Hechte und Karpfen, F¨ uchse und Hasen, L¨ owen und Antilopen. Es sei x(t) die Gr¨ oße der Beutespezies zur Zeit t, y(t) die Gr¨ oße der R¨ auberspezies zur Zeit t. 2. Die R¨ auberpopulation ern¨ ahrt sich ausschließlich von der Beutespezies. Ist keine Beute vorhanden, so verhungern die R¨auber. Wir nehmen dazu eine konstante negative speziﬁsche Wachstumsrate −γ mit γ > 0 an, es gilt dann y (t) = −γ y(t) . Ist Beute vorhanden, dann ern¨ ahren sich die R¨auber von der Beute und es kommt nicht so h¨ auﬁg zum Tod durch Verhungern. Wie h¨auﬁg R¨auber Beute machen, ist proportional zur Gr¨ oße der R¨auberpopulation und zur Gr¨ oße der Beutepopulation, es muss also ein Term δ x(t) y(t)

(4.25)

zur Gleichung addiert werden. Dies dr¨ uckt folgende Tatsachen aus: Sind viele R¨ auber da, so treﬀen sie h¨ auﬁger auf Beute; doppelt so viele R¨auber reißen doppelt so h¨ auﬁg Beute. Ist viel Beute da, so triﬀt die gleiche Anzahl R¨ auber h¨ auﬁger auf Beute – ist doppelt soviel Beute vorhanden, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein R¨auber auf Beute triﬀt, doppelt so hoch. Damit vervierfachen sich die Begegnungen zwischen R¨auber und Beute, wenn sich sowohl R¨ auber als auch Beute verdoppeln. Dies dr¨ uckt der Term (4.25) aus. Insgesamt erhalten wir: y (t) = −γ y(t) + δ x(t) y(t) = y(t) (−γ + δ x(t)) . 3. Die Beutespezies hat stets ausreichend Nahrung zur Verf¨ ugung und die Geburtenrate ist, falls keine R¨ auber vorhanden sind, h¨oher als die Sterberate. Ist y = 0, so gilt

4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits

151

x (t) = α x(t) . Sind R¨ auber da, so vermindert sich die Beutepopulation durch R¨auber– ” Beute–Kontakte“ durch den Term −β x(t) y(t) . Wie bei Annahme 2 ist die Anzahl der Kontakte proportional zu x(t) und y(t). Insgesamt ergibt sich folgendes System von Diﬀerentialgleichungen x (t) = (α − β y(t))x(t),

y (t) = (δ x(t) − γ)y(t) .

(4.26)

Man hat hier ein System bestehend aus zwei Diﬀerentialgleichungen. Systeme von Diﬀerentialgleichungen treten in der Praxis sehr oft auf, n¨amlich dann, wenn ein Prozess von mehr als einer Variablen beschrieben wird. Wir berechnen zun¨ achst die Ruhepunkte des Systems. Dies sind Nullstellen des linearen Gleichungssystems (α − βy)x = 0, (δx − γ)y = 0 . Es ergeben sich zwei L¨ osungen x 0 x γ/δ = und = . y 0 y α/β Diese zwei Punkte sind konstante L¨ osungen von (4.26). Im Weiteren wollen wir versuchen, die L¨ osungsvielfalt des Diﬀerentialgleichungssystems (4.26) zu bestimmen. Dazu bietet es sich zun¨achst an, die Anzahl der Parameter durch Entdimensionalisierung zu reduzieren. Folgende Dimensionen ergeben sich: [x] = A, [y] = A, [t] = T, [α] = [γ] = 1/T, [β] = [δ] = 1/(AT ) . Dabei bezeichnet A eine Anzahl und T eine Zeit. W¨ahlt man die Gleichgewichtsl¨ osung (γ/δ, α/β) als intrinsische Referenzgr¨oße, so bietet sich folgende Entdimensionalisierung an u = x/(γ/δ) ,

v = y/(α/β) ,

τ=

t − t0 . t

Es zeigt sich, dass t = 1/α eine gute Wahl ist, und wir erhalten folgendes entdimensionalisierte System u = (1 − v)u ,

v = a(u − 1)v mit a = γ/α .

Bei der Analyse eines Systems von zwei Diﬀerentialgleichungen

(4.27)

152

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

u = f (u, v) ,

v = g(u, v)

(4.28)

ist es oft hilfreich, sich das Richtungsfeld anzusehen. Dabei heftet man jedem Punkt in der (u, v)–Ebene den Vektor (f (u, v), g(u, v)) an. Eine L¨osung von (4.28) ist dann eine parametrisierte Kurve im R2 , die in jedem Punkt den Vektor (f (u, v), g(u, v)) als Tangentialvektor besitzt. Das Richtungsfeld des Diﬀerentialgleichungssystems (4.27) ist in Abbildung 4.6 dargestellt. v u < 0 v < 0

u < 0 v > 0

u > 0 v < 0

u > 0 v > 0

1

1

u

Abb. 4.6. Richtungsfeld f¨ ur das R¨ auber–Beute–Modell

In einigen ausgezeichneten F¨ allen existiert f¨ ur ein System von zwei Diﬀerentialgleichungen ein sogenanntes erstes Integral H. Dies ist eine Funktion H, so dass d H(u(t), v(t)) = 0 dt f¨ ur alle L¨ osungen (u, v) des Diﬀerentialgleichungssystems gilt. In unserem Fall ist H(u, v) = −au − v + ln(ua ) + ln v ein erstes Integral auf der Menge (0, ∞)2 . Die Funktion H hat ein Maximum im Ruhepunkt (1, 1) und strebt gegen −∞, wenn u oder v gegen 0 konvergieren. Die Niveaulinien sind in Abbildung 4.7 skizziert. Dies erkennt man entweder durch eine genauere Analyse der Funktion H oder durch Plotten auf dem Computer. Nichtkonstante L¨ osungen des Diﬀerentialgleichungssystems (4.27) durchlaufen Niveaulinien von H. Die Gesamtheit der durch L¨osungen eines Diﬀerentialgleichungssystems parametrisierten Kurven nennt man auch das Phasenportrait der Diﬀerentialgleichung. Das Phasenportrait vermittelt einen schnellen ¨ Uberblick u osungsverhalten. ¨ber das L¨

4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits

153

R¨ auber v

1

Beute 1

u

Abb. 4.7. Phasenportrait f¨ ur das R¨ auber–Beute–Modell

Es l¨ asst sich zeigen, dass L¨ osungen von (4.26) periodisch sind, vgl. Aufgabe 4.7. Die Populationen durchlaufen also periodische Schwankungen. Sind viele R¨ auber und wenig Beute da, so nimmt die R¨auberpopulation ab, da nicht genug Nahrung vorhanden ist. Wenn dann wenig R¨auber da sind, kann die ¨ Beutepopulation wieder zunehmen, da sie nicht soviel gejagt wird. Uberschreitet die Beutepopulation einen gewissen Schwellenwert, so ist wieder gen¨ ugend Beute f¨ ur die R¨ auber da, so dass die Anzahl zunehmen kann. Sind dann aber viele R¨ auber da, so nimmt die Beute ab und wir sind wieder in der Situation wie am Periodenanfang. R¨ auber–Beute–Modelle mit beschr¨ anktem Wachstum F¨ uhren wir im Modell (4.26) soziale Reibungsterme ein, die zunehmende Konkurrenz beschreiben, so erhalten wir x = (α − βy)x − λx2 = (α − βy − λx)x , y = (δx − γ)y − µy 2 = (δx − γ − µy)y mit positiven Konstanten α, β, γ, δ, λ, µ. Zur Bestimmung des Richtungsfeldes nutzen wir, dass entlang der Geraden Gx : α − βy − λx = 0 die rechte Seite der ersten Gleichung verschwindet und entlang der Geraden Gy : δx − γ − µy = 0 die rechte Seite der zweiten Gleichung verschwindet. Die Gerade Gx hat negative Steigung als Funktion von x und die Gerade Gy hat positive Steigung, ebenfalls als Funktion von x.

154

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Falls die Geraden keinen Schnittpunkt im positiven Quadranten haben, so ist das Richtungsfeld wie in Abbildung 4.8 gegeben. In diesem Fall gibt es zwei im Sinne der Anwendungen sinnvolle, n¨ amlich nichtnegative, station¨are L¨ osungen, das sind (0, 0) und (α/λ, 0). Es l¨ asst sich zeigen, dass alle L¨osunur t → ∞ gegen (α/λ, 0) gen mit Anfangswerten (x0 , y0 ), x0 > 0, y0 ≥ 0, f¨ konvergieren. Die R¨ auberpopulation stirbt also stets aus. Dies ist Gegenstand von Aufgabe 4.9. Falls die Geraden einen Schnittpunkt im positiven Quadranten haben, so ist das Richtungsfeld in Abbildung 4.9 skizziert. y Gy Gx

α/λ

γ/δ

x

Abb. 4.8. Richtungsfeld beim R¨ auber–Beute–Modell mit beschr¨ anktem Wachstum (1. Fall)

Die station¨ aren L¨ osungen in [0, ∞)2 sind (0, 0), (α/λ, 0) und der Schnittpunkt αµ + βγ αδ − λγ (ξ, η) = , λµ + βδ λµ + βδ der Geraden Gx und Gy . Wir wollen nun untersuchen, ob die station¨ are L¨osung (ξ, η) stabil ist, ob also jede L¨ osung, die zu einem bestimmten Zeitpunkt nahe bei (ξ, η) liegt, auch zu allen sp¨ ateren Zeiten nahe bei (ξ, η) liegt. Um diese Frage zu beantworten, verwenden wir das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at.

4.5 Prinzip der linearisierten Stabilit¨ at Es sei ein System von Diﬀerentialgleichungen ur ein oﬀenes Gebiet Ω ⊂ Rn x = f (x) mit f ∈ C 2 Ω; Rn f¨

(4.29)

4.5 Prinzip der linearisierten Stabilit¨ at y

x < 0 y <0

x > 0 y <0

Gy

x < 0 y > 0

x

>0 y >0

γ/δ

155

x

α/λ Gx

Abb. 4.9. Richtungsfeld beim R¨ auber–Beute–Modell mit beschr¨ anktem Wachstum (2. Fall)

gegeben. Uns interessiert in diesem Abschnitt die Stabilit¨at von station¨aren L¨osungen, das sind die zeitunabh¨ angigen L¨ osungen x∗ von (4.29). Es gilt da∗ her f (x ) = 0. Das Studium der Stabilit¨ at von Gleichgewichtsl¨osungen ist ein wichtiger Teil der sogenannten qualitativen Theorie gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen. Wir wollen die Stabilit¨ at von station¨aren L¨osungen studieren, ohne die Diﬀerentialgleichung explizit zu l¨ osen. Es zeigt sich, dass es ausreicht, die um x∗ linearisierte Diﬀerentialgleichung zu betrachten, um schon gute Resultate u atsverhalten der station¨aren L¨osung zu erhal¨ ber das Stabilit¨ ten. Zun¨ achst aber m¨ ussen wir den Begriﬀ der Stabilit¨at pr¨azise formulieren. Deﬁnition 4.1. Eine station¨are L¨osung x∗ der Diﬀerentialgleichung x = f (x) heißt (i) stabil, wenn zu jeder Umgebung U von x∗ eine Umgebung V von x∗ existiert, so dass f¨ ur jede L¨osung der Anfangswertprobleme x = f (x) ,

x(0) = x0 ∈ V

gilt: x(t) ∈ U f¨ ur alle t > 0 , (ii) instabil, falls sie nicht stabil ist. (iii) Eine stabile station¨are L¨osung heißt asymptotisch stabil, falls eine Umgebung W von x∗ existiert, so dass f¨ ur jede L¨osung der Anfangswertprobleme x = f (x) , gilt:

x(0) = x0 ∈ W

156

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

lim x(t) = x∗ .

t→∞

Beispiele: (i) Die station¨ are L¨ osung xM der Gleichung des beschr¨ankten Wachstums x = q(xM − x)x ist stabil und die station¨ are L¨ osung 0 des gleichen Systems ist instabil. Wie wir schon anschaulich in Abschnitt 4.3 gesehen haben, bestimmt das are L¨osung x∗ stabil oder instabil Vorzeichen von f (x∗ ), ob eine station¨ ist. Die Beobachtung, dass die erste Ableitung f¨ ur die Stabilit¨at wichtig ist, werden wir in K¨ urze verallgemeinern. (ii) Der Ruhepunkt (1, 1) des entdimensionalisierten R¨auber–Beute–Modells u = (1 − v)u , v = a(u − 1)v ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil, da nicht jede L¨osung, die in der N¨ ahe von (1, 1) startet, f¨ ur große Zeiten gegen (1, 1) konvergiert. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨ at beruht darauf, dass man die Diﬀerentialgleichung um x∗ linearisiert, wie im Fall einer skalaren Gleichung in Abschnitt 4.3. F¨ ur y(t) ≈ x(t) − x∗ gilt

y = x = f (x) ≈ f (y + x∗ ) = f (x∗ ) + Df (x∗ )y + O(|y|2 ) .

Wir suchen nun y als L¨ osung des linearen N¨ aherungsproblems y = Df (x∗ ) y . Dies ist ein System von linearen Diﬀerentialgleichungen. Der Ursprung y = 0 ist station¨ are L¨ osung dieses Diﬀerentialgleichungssystems und wir k¨onnen die Stabilit¨ at dieser L¨ osung untersuchen. Deﬁnition 4.2. Die station¨are L¨osung x∗ ist linear stabil (linear instabil oder linear asymptotisch stabil), falls 0 stabile (instabile oder asymptotisch stabile) L¨osung der linearisierten Gleichung ist. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at lautet nun: (i) Ist x∗ linear asymptotisch stabil, dann ist x∗ asymptotisch stabil. (ii) Besitzt Df (x∗ ) mindestens einen Eigenwert λ mit Re λ > 0, dann ist x∗ instabil.

4.6 Stabilit¨ at linearer Systeme

157

Analoge Aussagen des obigen Prinzips lassen sich f¨ ur allgemeine Evolutionsgleichungen formulieren, zum Beispiel auch f¨ ur partielle Diﬀerentialgleichungen und f¨ ur Integralgleichungen. Diese Aussagen sind aber oft schwierig zu beweisen. F¨ ur gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen gilt folgende Aussage: Satz 4.3. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at ist in der oben formulierten Form g¨ ultig. Den Beweis von Teil (i) des Prinzips der linearisierten Stabilit¨at liefern wir in Abschnitt 4.6.

4.6 Stabilit¨ at linearer Systeme Die Aufgabe, die Stabilit¨ at station¨ arer L¨ osungen zu bestimmen, ist nun im wesentlichen darauf zur¨ uckgef¨ uhrt, die Stabilit¨ at des Nullpunktes von linearen Diﬀerentialgleichungen zu untersuchen. Gegeben sei nun das lineare Diﬀerentialgleichungssystem x = Ax mit A ∈ Cn,n .

(4.30)

In diesem Abschnitt betrachten wir Diﬀerentialgleichungen, deren L¨osungen Werte in Cn besitzen. Dies f¨ uhrt auf eine Gleichung f¨ ur den Real- und eine f¨ ur den Imagin¨ arteil. Es sei nun x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, A x = λ x. Dann ist x(t) = eλt x eine L¨ osung von (4.30), denn = Aeλt x = Ax . x = eλt λ x Bezeichnet |x| die euklidische Norm von x ∈ Cn , dann gilt x| = e(Re λ)t | |x(t)| = eλt x = e(Re λ+i Im λ)t | x| . gegen Null oder gegen unendlich Das Vorzeichen von Re λ legt fest, ob eλt x konvergiert. Annahme: Die Matrix A ist diagonalisierbar, es existiert also eine Basis {x1 , . . . , xn } aus Eigenvektoren zu Eigenwerten {λ1 , . . . , λn }, λi ∈ C, xi ∈ Cn f¨ ur i = 1, . . . , n.

158

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Sei nun x0 ∈ Cn ein beliebiger Vektor. Dann gibt es eine Darstellung von x0 in obiger Basis, n x0 = αi xi , α1 , . . . , αn ∈ C . i=1

Folglich l¨ ost x(t) =

n

αi eλi t xi

i=1

das Anfangswertproblem x = Ax ,

x(0) = x0 .

Gilt nun ur i = 1, . . . , n , Re λi < 0 f¨ dann schließen wir |x(t)| ≤

n

|αi |e(Re λi )t |xi | → 0 f¨ ur t → ∞ .

(4.31)

i=1

Dies zeigt, dass der Punkt 0 in diesem Fall asymptotisch stabil ist. Gilt andererseits ur ein j ∈ {1, . . . , n} , Re λj > 0 f¨ so gilt f¨ ur x0 = αxj , α = 0 |x(t)| = |α||xj |e(Re λj )t → ∞ f¨ ur t → ∞. Dies zeigt, dass der Punkt 0 in diesem Fall instabil ist. Es gilt der folgende Satz: Satz 4.4. Es sei A ∈ Cn×n eine beliebige Matrix. Insbesondere ist in (i) und (ii) nicht vorausgesetzt, dass A diagonalisierbar ist. (i) Der station¨are Punkt 0 ist genau dann eine asymptotisch stabile L¨osung von x = Ax, wenn Re λ < 0 f¨ ur alle Eigenwerte λ von A . (ii) Gilt Re λ > 0 f¨ ur einen Eigenwert λ von A, so ist der station¨are Punkt 0 eine instabile L¨osung von x = Ax. (iii) Ist A zus¨atzlich diagonalisierbar, so gilt: Der station¨are Punkt 0 ist genau dann eine stabile L¨osung von x = Ax, wenn Re λ ≤ 0 f¨ ur alle Eigenwerte λ von A .

4.6 Stabilit¨ at linearer Systeme

159

Bemerkungen (i) F¨ ur diagonalisierbare Matrizen A haben wir den Satz oben bewiesen. Falls A nicht diagonalisierbar ist, ist der Beweis der Aussagen (i) und (ii) etwas aufwendiger. Wir verweisen auf das Buch von Amann [6]. (ii) Zusammen mit dem Prinzip der linearisierten Stabilit¨at erlaubt dieser Satz die Analyse des Stabilit¨ atsverhaltens von station¨aren Punkten nichtlinearer Systeme. Wir weisen aber darauf hin, dass wir im Fall Re λ ≤ 0 Re λ = 0

f¨ ur alle Eigenwerte λ der Linearisierung, f¨ ur mindestens einen Eigenwert λ der Linearisierung

im Allgemeinen keine Aussage u ¨ ber die Stabilit¨at von Ruhepunkten machen k¨ onnen. Man vergleiche dazu auch die Aufgaben 4.10 und 4.12. Wir wenden nun die beschriebene Theorie an auf die Ruhepunkte in unseren R¨ auber–Beute–Modellen. Das Modell mit unbeschr¨ankten Ressourcen liefert das Diﬀerentialgleichungssystem x = (α − βy)x , y = (δx − γ)y . Dieses besitzt die station¨ aren L¨ osungen (0, 0) und (γ/δ, α/β). F¨ ur (α − βy)x f (x, y) = (δx − γ)y erhalten wir

Insbesondere gilt:

α − βy −βx Df (x, y) = . δy δx − γ α 0 Df (0, 0) = . 0 −γ

Der Punkt (0, 0) ist demnach instabil, da Df (0, 0) den positiven Eigenwert α besitzt. F¨ ur den zweiten Ruhepunkt gilt 0 −βγ/δ Df (γ/δ, α/β) = . αδ/β 0 Die Eigenwerte sind

√ λ1,2 = ±i αγ .

onnen wir mit dem Prinzip der linearisierten Da Re λ1 = Re λ2 = 0 gilt, k¨ Stabilit¨ at leider keine Aussage u ¨ ber das Stabilit¨atsverhalten des station¨aren Punktes (γ/δ, α/β) erhalten. Im Fall des R¨ auber–Beute–Systems mit beschr¨anktem Wachstum

160

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

x = (α − βy − λx)x y = (δx − γ − µy)y

+ =: f (x, y)

wollen wir die Stabilit¨ at der station¨ aren L¨ osung αµ + βγ αδ − λγ (ξ, η) = , λµ + βδ λµ + βδ untersuchen. Wir berechnen

α − βy − 2λx −βx Df (x, y) = δy δx − γ − 2µy

und Df (ξ, η) =

−λξ −βξ δη −µη

.

Als Eigenwerte von Df (ξ, η) errechnet man leicht −(λξ + µη) ± (λξ + µη)2 − 4ξη(λµ + δβ) λ1,2 = . 2 F¨ ur ξ > 0 und η > 0 ist ξη(λµ + δβ) > 0 und damit erhalten wir ur i = 1, 2 . Re λi < 0 f¨ Falls die Geraden Gx und Gy sich im positiven Quadranten schneiden, so ist der Punkt (ξ, η) stabil. Das Phasenportrait f¨ ur diesen Fall ist in Abbildung 4.10 skizziert. Qualitativ sehen die L¨ osungen in der N¨ahe des Ruhepunktes (ξ, η) aus wie die L¨ osungen des zugeh¨ origen linearisierten Systems. y

x Abb. 4.10. Phasenportrait beim R¨ auber–Beute–Modell mit beschr¨ anktem Wachstum (2. Fall)

Beweis von Satz 4.3 (Teil (i)). Nach Satz 4.4 ist x∗ linear asymptotisch stabil, falls

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

Re λ < 0

161

f¨ ur alle Eigenwerte λ von A .

In diesem Fall gilt (siehe Aufgabe 4.14): Es existiert ein α > 0, so dass y · Df (x∗ )y ≤ −α|y|2

f¨ ur alle y ∈ Rn .

Wir setzen z(t) := x(t) − x∗ . Es gilt 2 d 1 dt 2 |z(t)|

= z(t) · x (t) = z(t) · f (x(t)) = z(t) · [Df (x∗ )z(t) + R(z(t))]

(4.32)

wobei R(y) = O(|y|2 ). Aus dieser Eigenschaft von R folgt die Existenz eines ε > 0, so dass ur alle y ∈ Bε (0) . |y · R(y)| ≤ α2 |y|2 f¨ Aus (4.32) folgt somit, falls |z(t)| < ε, d |z(t)|2 ≤ −α|z(t)|2 . dt Multiplizieren wir diese Ungleichung mit eαt , so erhalten wir d αt e |z(t)|2 ≤ 0 dt und es ergibt sich

|z(t)|2 ≤ e−αt |z(0)|2 .

Wir schließen also: Ist |z(0)| < ε, so folgt z(t) → 0 f¨ ur

t→∞

und damit ist die asymptotische Stabilit¨ at von x∗ gezeigt.

4.7 Variationsprobleme fu ¨r Funktionen einer Variablen In Kapitel 4.2 haben wir die Grundgleichungen f¨ ur Massenpunkte in der Mechanik mit Hilfe eines Variationsproblems, das hieß konkret mit Hilfe der notwendigen Bedingungen eines Optimierungsproblems, formuliert. Tats¨achlich lassen sich viele mathematische Modelle als Variationsprobleme formulieren. Außerdem ist man in den Anwendungen h¨ auﬁg daran interessiert, Gr¨oßen zu maximieren oder zu minimieren, und auch in diesem Fall sind Variationsprobleme zu l¨ osen. Das Gebiet der Variationsrechnung ist sehr umfassend und wir wollen in diesem Abschnitt nur einige wenige Fragestellungen der Variationsrechnung diskutieren, die auf gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen f¨ uhren. Daher werden wir Variationsprobleme betrachten, die sich durch Funktionen

162

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

einer reellen Variablen formulieren lassen. Variationsprobleme, die mit Hilfe von Funktionen mehrerer Variabler formuliert werden, f¨ uhren auf partielle Diﬀerentialgleichungen; einige Aspekte davon werden in Kapitel 6 diskutiert. Zun¨ achst aber wollen wir gewisse Tatsachen aus der Analysis von Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher kurz in Erinnerung rufen. Nimmt eine diﬀerenzierbare Funktion f : Rn → R in einem Punkt x ∈ Rn ihr Minimum an, so folgt ∇f (x) = 0 . Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Es k¨onnen Wendepunkte, aber auch Sattelpunkte auftreten, wie die Beispiele f (x) = x3 bei x = 0 und f (x1 , x2 ) = x1 x2 bei x = (0, 0) zeigen. Punkte, in denen die Ableitung verschwindet, heißen kritische beziehungsweise station¨are Punkte. H¨ auﬁg sind Minimierungsprobleme unter Nebenbedingungen zu l¨osen, das bedeutet, wir suchen ein x0 ∈ Rn mit g1 (x0 ) = · · · = gm (x0 ) = 0, so dass ur alle x ∈ Rn f (x0 ) ≤ f (x) f¨

mit g1 (x) = · · · = gm (x) = 0 .

Dabei seien g1 , . . . , gm : Rn → R diﬀerenzierbare Funktionen. Sind ∇g1 (x0 ), angig, dann existieren Lagrangesche Multiplikato. . . , ∇gm (x0 ) linear unabh¨ ren λ1 , . . . , λm ∈ R, so dass ∇f (x0 ) + λ1 ∇g1 (x0 ) + · · · + λm ∇gm (x0 ) = 0 gilt. Sind λ1 , . . . , λm bekannt, so schließen wir: x0 ist kritischer Punkt der Funktion f + λ1 g1 + · · · + λm gm .

(4.33)

Fassen wir x0 und λ1 , . . . , λm als gesuchte Gr¨oßen auf, so folgt: (x0 , λ1 , . . . , λm ) ist kritischer Punkt der Funktion F (x0 , λ1 , . . . , λm ) := f (x0 ) + λ1 g1 (x0 ) + · · · + λm gm (x0 ) .

(4.34)

Wir wollen nun Variationsprobleme l¨ osen, bei denen die Argumente in einem Funktionenraum liegen, und wir m¨ ussen pr¨ ufen, welche der obigen Tatsachen sich auf diesen Fall u ¨ bertragen lassen. Wichtig dabei ist, dass Funktionenr¨ aume in der Regel unendlichdimensionale Vektorr¨aume sind, und die ¨ obigen Uberlegungen deshalb nicht direkt angewendet werden k¨onnen. Wir beginnen diesen Abschnitt mit einigen klassischen Variationsproblemen. (i) Minimiere die L¨ange eines Graphen: Gesucht sei eine Funktion u : [0, 1] → R mit u(0) = a und u(1) = b, so dass 1 1 + (u )2 dx (4.35) L(u) := 0

minimal wird.

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

163

(ii) Minimiere das Dirichletintegral: Ersetzen wir den Integranden in (4.35) durch die quadratische Approximation 1 + (u )2 ≈ 1 + 12 (u )2 , die gerechtfertigt ist falls u klein ist, so k¨ onnen wir statt L 1 2 1 D(u) := 2 (u ) dx 0

minimieren. Dabei vernachl¨ assigen wir eine additive Konstante, was f¨ ur das Minimierungsproblem allerdings ohne Relevanz ist. Außerdem seien wieder die Nebenbedingungen u(0) = a und u(1) = b gefordert. Eine Variante des obigen Variationsproblems, bei dem ein zus¨atzlicher x–abh¨angiger Term auftaucht, ist 1 µ(x) (u (x))2 dx , D1 (u) := 2 0 wobei µ : [0, 1] → (0, ∞) eine gegebene positive Funktion ist. In einigen Anwendungen werden keine Randwerte f¨ ur u gefordert. Außerdem treten F¨ alle auf, in denen der zu minimierende Integralausdruck Terme auf dem Rand enth¨ alt und ¨ außere Kr¨afte f wirken. Dann ergibt sich zum Beispiel folgender Ausdruck 1 µ(x) α β (u (x))2 − f (x) u(x) dx + u2 (0) + u2 (1) . D2 (u) = 2 2 2 0 (iii) Die Brachistochrone: Suche eine Kurve, die in einer Ebene zwei Punkte A und B so verbindet, dass ein Punkt mit Masse m auf dieser Kurve unter dem Einﬂuss der Schwerkraft, unter Vernachl¨assigung der Reibung, in k¨ urzester Zeit herabrollt. Dieses Problem wurde schon von daVinci und Galileo formuliert und Johann Bernoulli konnte es als Erster l¨ osen. Dieses Problem kann mit gutem Recht als ein Klassiker“ der mathematischen Modellierung be” zeichnet werden, und es begr¨ undete die Variationsrechnung. Wir formulieren dieses Problem in der (x, y)–Ebene wie folgt: W¨ahle A = (0, 0) und B = (xB , yB ), so dass xB > 0 und yB < 0. Wir suchen eine Funktion u : [0, xB ] → R f¨ ur die insbesondere u(0) = 0 ,

u(xB ) = yB

gilt. Die Gravitation m¨ oge in Richtung der negativen y–Achse wirken, und die Erdbeschleunigung sei mit g bezeichnet. Die potentielle Energie V ist dann durch mgy gegeben. Setzen wir voraus, dass die Punktmasse bei (0, 0) startet, auf einer durch u : [0, 1] → R gegebenen Kurve verl¨auft und niemals zur¨ uckl¨ auft beziehungsweise stehen bleibt, so k¨onnen wir die Bewegung als Funktion der Zeit durch eine Abbildung

164

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

t → (x(t), y(t))

mit x˙ > 0

beschreiben. Wir fordern (x(0), y(0)) = (0, 0) und (x(T ), y(T )) = (xB , yB ) sowie y(t) = u(x(t)) . Wir m¨ ochten die Fallzeit T als Funktion der gegebenen Funktion u berechnen. Um die Bewegung (x(t), y(t)) zu bestimmen, k¨onnen wir das Hamiltonsche Prinzip verwenden und m¨ ussen dabei als Nebenbedingung ber¨ ucksichtigen, dass (x(t), y(t)) auf der Kurve verlaufen muss. Die kinetische Energie berechnet sich wie folgt T (x, y, x, ˙ y) ˙ =

m m 2 x˙ + y˙ 2 = 1 + (u (x))2 x˙ 2 . 2 2

Zum Zeitpunkt t = 0 verschwinden sowohl die kinetische Energie T als auch die potentielle Energie V . Wir erhalten aus dem Energieerhaltungssatz, siehe Aufgabe 4.18, m (4.36) 1 + (u (x))2 x˙ 2 + mg u(x) = T (0) + V (0) = 0 . 2 Aus x˙ > 0 und u ≤ 0 folgt x˙ =

−2g u(x) 1 + (u (x))2

1/2 .

Wir k¨ onnen t als Funktion von x schreiben und f¨ ur t(x) gilt die gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung dt 1 (x) = 1 + (u (x))2 . dx −2g u(x) Die Gesamtfallzeit T = B(u) ergibt sich nun nach Integration von 0 bis xB als xB 1 B(u) = 1 + (u (x))2 dx . −2g u(x) 0 Die Aufgabe ist nun also B zu minimieren unter den Nebenbedingungen u(0) = 0 ,

u(xB ) = yB .

(iv) Eine Aufgabe, bei der eine mit Hilfe von Integralen formulierte Nebenbedingung eine Rolle spielt, ist: Minimiere 1 u(x) dx 0

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

unter allen Funktionen mit 1 1 + (u )2 dx = ,

u(0) = a ,

165

u(1) = b .

0

Unter allen Graphen mit vorgegebener L¨ ange suchen wir einen, bei dem die Fl¨ ache unter dem Graphen minimal wird. Es handelt sich dabei um ein klassisches isoperimetrisches Problem. (v) Wie wir sp¨ ater sehen werden, lassen sich Eigenwertprobleme f¨ ur gewisse Diﬀerentialoperatoren zweiter Ordnung wie folgt als Variationsprobleme schreiben. Suche station¨ are Punkte von 1 F (u) = µ(x)(u (x))2 + q(x) u2 (x) dx 0

unter allen gen¨ ugend glatten Funktionen u : [0, 1] → R mit u(0) = u(1) = "1 2 0 und 0 u (x) dx = 1. (vi) Balkenbiegung: Wir betrachten einen Balken, dessen Mittellinie ohne Krafteinwirkung auf einer mit x bezeichneten Koordinatenachse liegen w¨ urde. Es sei stets angenommen, dass vertikale Auslenkungen des Balkens durch eine Funktion u : [0, 1] → R , x → u(x) beschrieben werden k¨ onnen, d.h. die Mittellinie des Balkens nimmt nach der Auslenkung die Punkte (x, u(x)) mit x ∈ [0, 1] ein. Es sei angenommen, dass keine Abh¨ angigkeit von den auf der (x, u)–Ebene senkrechten Koordinaten auftritt. Außerdem w¨ ahlen wir eine geeignete L¨angeneinheit, so dass wir den Balken u ber das Einheitsintervall als Graphen darstellen ¨ k¨ onnen, siehe Abbildung 4.7. Eine Auslenkung des Balkens f¨ uhrt zu einer Dehnung beziehungsweise Stauchung der Fasern oberhalb und unterhalb der Mittellinie. Diese Dehnung oder Stauchung ist proportional zur Kr¨ ummung κ des Balkens und zum Abstand der Faser von der Mittellinie, vgl. (7.71). In Abschnitt 5.10 wird genauer ausgef¨ uhrt, dass die Spannung im Balken proportional zur Dehnung beziehungsweise Stauchung ist und demnach durch ακ = α

u ≈ αu f¨ ur |u | klein genug (1 + (u )2 )3/2

gegeben ist (vgl. Abbildung 5.16). Dabei ist α ein positiver Parameter, der vom Elastizit¨ atsmodul und von der Dicke des Balkens abh¨angt. Da die potentielle Energiedichte proportional zum Produkt aus Dehnung und Spannung ist, siehe Abschnitt 5.10, erhalten wir im Fall, dass das Material homogen ist, als potentielle Energie des Balkens

166

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

β 2

0

1

u (1 + (u )2 )3/2

2 dx ≈

β 2

1

(u )2 dx .

0

Wirken auf den Balken vertikale Kr¨ afte mit Kraftdichte f , die ein positives Vorzeichen besitzen soll, falls sie nach oben wirkt, so f¨ uhrt die durch die Kr¨ afte geleistete Arbeit auf den Energiebeitrag 1 f (x) u(x) dx . 0

Eine auf den rechten Endpunkt wirkende Kraft g liefert analog zu den ¨ oberen Uberlegungen den Beitrag g u(1). Normieren wir die Konstante β auf 1 und nehmen wir an, dass |u | klein ist, so erhalten wir das Energiefunktional 1 1 2 |u | − f u dx − g u(1) . F (u) = 2 0 Wenn der Balken im linken Endpunkt fest eingespannt ist, dann minimiert die Auslenkung des Balkens die potentielle Energie F unter den Nebenbedingungen u(0) = u (0) = 0 .

u(x)

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

1 x

−g Abb. 4.11. Balkenbiegung

Eine grundlegende Frage sollte bei jedem Minimierungs- beziehungsweise Maximierungsproblem gestellt werden, sie lautet: Existiert eine L¨osung?

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

167

Setzt man die Existenz einer L¨ osung voraus und folgert dann Eigenschaften der L¨ osung, so kann dies zu schwerwiegenden Fehlschl¨ ussen f¨ uhren. Dies zeigt schon das folgende Perronsche Paradoxon : Angenommen eine gr¨oßte nat¨ urliche Zahl n existiert, dann schließen wir n = 1. Falls n¨amlich n > 1 w¨are, so folgt n2 > n, im Widerspruch zur Annahme, dass n schon die gr¨oßte Zahl ist. Also muss n = 1 gelten. Tats¨ achlich haben viele Variationsprobleme keine L¨osung. Die Aufgabe Minimiere

F (u) :=

0

2

, 2 1 − (u (x))2 + u2 (x) dx

(4.37)

unter allen st¨ uckweise stetig diﬀerenzierbaren Funktionen besitzt keine L¨ osung. F¨ ur alle u nimmt F (u) positive Werte an. Falls F (u) = 0 "2 2 gelten w¨ urde, folgt 0 u (x) dx = 0 und somit u = 0, was im Widerspruch zu "2 2 2 dx = 0 steht. Auf der anderen Seite nimmt F beliebig kleine 0 1 − (u (x)) Werte an, wie die S¨ agezahnfolge . / 2i 2(i + 1) 2i + 1 1 , falls x ∈ , un (x) = − x − f¨ ur i = 0, . . . , n − 1 n n n n zeigt, die in Abbildung 4.12 dargestellt ist. F¨ ur diese Folge gilt, da un (x) = ±1 "2 2 fast u ur n → ∞, dass F (un ) → 0 f¨ ur n → ∞. ¨ berall und da 0 un (x) dx → 0 f¨ Es gilt also inf F = 0 und F nimmt sein Minimum nicht an. u1

u2

1

u3

1 2

2 x

1 3

1

2 x

2 3

4 3

2 x

ur n → ∞ mit Abb. 4.12. Die ersten Glieder einer Folge, f¨ ur die gilt F(un ) → 0 f¨ F aus (4.37).

Eine Folge (un )n∈N , f¨ ur die F (un ) → inf F gilt, heißt Minimalfolge. Wir haben gerade ein Beispiel gesehen, bei dem eine Minimalfolge bez¨ uglich der Supremumsnorm konvergiert, der Grenzwert aber kein Minimum realisiert. Der Grund daf¨ ur ist, dass F bez¨ uglich der Supremumsnorm nicht stetig ist. Stetigkeits- beziehungsweise sogenannte Unterhalbstetigkeitsbedingungen spielen in der Variationsrechnung eine wichtige Rolle.

168

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Um die Existenz von Minima zu zeigen, gibt es zwei M¨oglichkeiten: die direkte und die indirekte Methode der Variationsrechnung. Wir wollen die direkte Methode der Variationsrechnung kurz f¨ ur eine Funktion f : Rd → R erl¨autern. Wir setzen voraus (i) f ist stetig, (ii) f (x) → ∞ f¨ ur |x| → ∞. Wir w¨ ahlen nun eine Folge (xn )n∈N im Rd , so dass f (xn ) → inf f (x) . x∈Rd

Da inf x∈Rd f (x) < ∞ gilt, ist die Folge (f (xn ))n∈N nach oben beschr¨ankt, und wir schließen aus (ii), dass die Folge (xn )n∈N beschr¨ankt bleibt. Nun k¨onnen wir aus jeder beschr¨ ankten Folge (xn )n∈N im Rd eine konvergente Teilfolge (xnj )j∈N ausw¨ ahlen. Dieses Argument ist ein typischer Kompaktheitsschluss, das heißt, es werden Eigenschaften einer Folge nachgewiesen, die die Auswahl einer konvergenten Teilfolge erlauben. Bezeichnen wir den Grenzwert der Folge (xnj )j∈N mit x, so folgt aus der Stetigkeit von f f (x) = lim f (xnj ) = inf f (x) . j→∞

x∈Rd

Aus f (x) > −∞ folgt inf x∈Rd f (x) > −∞ und f nimmt in x sein Minimum an. In diesem Beweis haben wir von der Stetigkeitsvoraussetzung nur die sogenannte Unterhalbstetigkeit ur alle Folgen (xn )n∈N mit i’) f (x) ≤ lim inf f (xn ) f¨ n→∞

lim xn = x

n→∞

benutzt; deshalb kann man Voraussetzung (i) durch (i’) ersetzen. Die Anwendung der direkten Methode der Variationsrechnung f¨ ur unendlichdimensionale Problemstellungen liefert viele wichtige Resultate. Die Formulierung notwendiger Stetigkeits-, Unterhalbstetigkeits-, Koerzivit¨ats- und Kompaktheitseigenschaften ben¨ otigt allerdings etwas Funktionalanalysis. Wir wollen diesen Aspekt nicht vertiefen und verweisen stattdessen auf die Literatur [126], [15]. Wir m¨ ochten stattdessen auf eine praktische M¨oglichkeit hinweisen, Variationsprobleme approximativ zu l¨ osen. Dabei n¨ahert man ein zu l¨osendes Variationsproblem zun¨ achst durch ein endlichdimensionales Variationsproblem an und l¨ ost dieses dann mit den u ¨ blichen Methoden der Analysis. Wollen wir etwa 1 µ(x) (u (x))2 − f (x) u(x) dx D1 (u) = 2 0 unter der Nebenbedingung u(0) = u(1) = 0 minimieren, so k¨onnen wir zun¨ achst die Klasse der zul¨ assigen Funktionen aus einem endlichdimensionalen Unterraum w¨ ahlen. Zwei Beispiele sind:

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

169

W¨ ahle f¨ ur n ∈ N * Vn = u : [0, 1] → R u ist stetig, u(0) = u(1) = 0 und . / + i−1 i u ist linear zwischen , f¨ ur i = 1, . . . , n n n oder Vn =

n u : [0, 1] → R u(x) = ak sin(kπx), ak ∈ R, k = 1, . . . , n

0 .

k=1

Wir wollen nun die indirekte Methode der Variationsrechnung anhand von Variationsproblemen f¨ ur Funktionen einer Variablen erl¨autern. Grob gesprochen geht es bei der indirekten Methode darum, Nullstellen der Ableitung“ zu ” ﬁnden. Wir m¨ ussen dabei zun¨ achst kl¨ aren, wie wir den Begriﬀ der Ableitung auf den unendlichdimensionalen Fall erweitern. Es wird sich zeigen, dass es ausreicht, gewisse Richtungsableitungen zu berechnen. Wir betrachten dazu das folgende Variationsproblem: Minimiere F (u) =

1

F (x, u(x), u (x)) dx + α(u(0)) + β(u(1))

0

unter allen Funktionen u ∈ C 1 [0, 1], Rd . Dabei seien F : R1+2d → R und α, β : Rd → R stetig diﬀerenzierbare Funktionen. Wie inAbschnitt 4.2 k¨onnen wir Richtungsableitungen von F berechnen. Sei ϕ ∈ C 1 R, Rd , so betrachten wir f¨ ur kleine ε die Funktion g(ε) := F (u + εϕ)

(4.38)

und diﬀerenzieren nach ε. Wir deﬁnieren nun δF (u)(ϕ) := g (0)

(4.39)

und nennen diesen Ausdruck die erste Variation von F an der Stelle u in Richtung ϕ. Dieses Vorgehen entspricht der Richtungsableitung f¨ ur Funktionen f : Rd → R. Nimmt F in u sein Minimum an, so gilt 0 = g (0) = δF (u)(ϕ) . Wir wollen nun δF berechnen. Im Folgenden bezeichnen wir mit (x, z, p) ∈ R × Rd × Rd die Variablen von F , also F = F (x, z, p). Weiter sei F,x = ∂x F , F,z = (∂z1 F, . . . , ∂zd F ) , F,p = (∂p1 F, . . . , ∂pd F ) .

170

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

1+2d 1 1 d R [0, 1], R . Dann gilt f¨ ur alle Satz 4.5. Es sei F ∈ C , R und u ∈ C 1 d ϕ ∈ C [0, 1], R δF (u)(ϕ) = 0

1

[F,z (x, u(x), u (x)) · ϕ(x) + F,p (x, u(x), u (x)) · ϕ (x)] dx

+ α,z (u(0)) · ϕ(0) + β,z (u(1)) · ϕ(1) . 1 1+2d d 2 d Ist F,p ∈ C , R R und u ∈ C [0, 1], R , so folgt f¨ ur alle ϕ ∈ C 1 [0, 1], Rd δF (u)(ϕ) = 0

1

F,z (x, u(x), u (x)) −

d dx F,p (x, u(x), u (x))

+ F,p (1, u(1), u (1)) + β,z (u(1)) · ϕ(1) + − F,p (0, u(0), u (0)) + α,z (u(0)) · ϕ(0) .

· ϕ(x) dx (4.40)

Beweis. F¨ ur g aus (4.38) berechnen wir 1 d d F (x, u(x) + ε ϕ(x), u (x) + ε ϕ (x)) dx + α(u(0) + ε ϕ(0)) g (ε) = dε 0 dε d + β(u(1) + ε ϕ(1)) dε 1 = F,z (x, u(x) + ε ϕ(x), u (x) + ε ϕ (x)) · ϕ(x) 0 + F,p (x, u(x) + ε ϕ(x), u (x) + ε ϕ (x)) · ϕ (x) dx + α,z (u(0) + ε ϕ(0)) · ϕ(0) + β,z (u(1) + ε ϕ(1)) · ϕ(1) . Setzen wir ε = 0, so folgt aus der Deﬁnition (4.39) die erste Behauptung. Partielle Integration f¨ ur den Integranden F,p (x, u(x), u (x)) · ϕ (x) liefert wie folgt die zweite Behauptung: 1 1 d F,p (x, u(x), u (x)) · ϕ(x) dx F,p (x, u(x), u (x)) · ϕ (x) dx = − dx 0 0 + [F,p (x, u(x), u (x)) · ϕ(x)]x=1 x=0 . Ist nun u ein Minimum von F , so muss δF (u)(ϕ) f¨ ur alle ϕ ∈ C 1 [0, 1], Rd verschwinden. Daraus kann man folgern, dass u ein System von gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen l¨ ost. Dies ist die Aussage des folgenden Satzes. Satz 4.6. Es sei F ∈ C 1 R1+2d , R , F,p ∈ C 1 R1+2d , Rd , u ∈ C 2 [0, 1], Rd . a) Gilt δF (u)(ϕ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ C01 (0, 1), Rd , so gelten die Euler– Lagrangeschen Diﬀerentialgleichungen

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

d F,p (x, u(x), u (x)) = F,z (x, u(x), u (x)) f¨ ur alle x ∈ (0, 1) . dx

171

(4.41)

b) Gilt δF (u)(ϕ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ C 1 [0, 1], Rd , so gelten außerdem die Randbedingungen F,p (0, u(0), u (0)) − α,z (u(0)) = 0 ,

F,p (1, u(1), u (1)) + β,z (u(1)) = 0 .

(4.42) (4.43)

Beweis. Die Euler–Lagrange–Gleichungen folgen aus (4.40), wenn wir Funktionen ϕ betrachten, die auf dem Rand verschwinden, und dem Fundamentallemma der Variationsrechnung (vgl. Aufgabe 4.19). Gelten die Euler– Lagrange–Gleichungen, so folgern wir, dass der Integralausdruck in (4.40) verschwindet. Da ϕ(1) und ϕ(0) aber beliebig gew¨ahlt werden k¨onnen, folgern wir aus (4.40) die Randbedingungen (4.42) und (4.43). Bemerkung. Minimieren wir F (u) =

1

F (x, u(x), u (x)) dx

0

unter den Nebenbedingungen u(0) = a und u(1) = b, so gilt f¨ ur ein Minimum u d F (u + εϕ)|ε=0 = 0 dε

f¨ ur ϕ ∈ C01 (0, 1), Rd . Die Wahl der Funktion ϕ impliziert ϕ(0) = ϕ(1) = 0 und damit erf¨ ullt u + εϕ die geforderten Nebenbedingungen. In diesem Fall gelten die Euler–Lagrange–Gleichungen mit den Randbedingungen u(0) = a und u(1) = b. Wir wollen nun die oben formulierten Variationsprobleme (i)– (iii) mit Hilfe der indirekten Methode der Variationsrechnung analysieren. (i) Die Euler–Lagrange–Gleichungen f¨ ur das Variationsproblem zu L(u) :=

1

1 + (u (x))2 dx

0

d 1 + p2 = p/ 1 + p2 , lauten, da dp d 0= dx

u (x)

1 + (u (x))2

.

Diﬀerenzieren wir die Klammer aus, so ergibt sich u (x) = 0, (1 + (u (x))2 )3/2

172

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

das bedeutet, die Kr¨ ummung verschwindet, vgl. Anhang B. Also ist u linear. Andererseits erf¨ ullt jede lineare Funktion die Euler–Lagrange– Gleichung. Dieses Ergebnis entspricht der bekannten Tatsache, dass die k¨ urzeste Verbindung zwischen zwei Punkten durch eine Gerade gegeben ist. (ii) F¨ ur ein Minimum von / 1. µ(x) α β 2 (u (x)) − f (x) u(x) dx + u2 (0) + u2 (1) D2 (u) = 2 2 2 0 erhalten wir die Euler–Lagrange–Gleichungen d (µ(x)u (x)) = −f (x) . dx Außerdem folgern wir aus (4.42), (4.43) in Satz 4.6 die Randbedingungen µ(0) u (0) − α u(0) = 0 , und

µ(1) u (1) + β u(1) = 0 .

Bevor wir den Fall (iii) behandeln, wollen wir zun¨achst Integranden der Form F = F (z, p) behandeln. Multiplizieren wir die Euler–Lagrange–Gleichung (4.41) mit u (x), so erhalten wir . / d 0 = u (x) · F,p (u(x), u (x)) − F,z (u(x), u (x)) dx / . d = u (x) · F,p (u(x), u (x)) − F (u(x), u (x)) . dx Deﬁnieren wir G(z, p) := p · F,p (z, p) − F (z, p) , so folgt d G(u(x), u (x)) = 0 , dx das heißt, G ist ein erstes Integral der Euler–Lagrangeschen Diﬀerentialgleichung. (iii) Im Fall der Brachistochrone betrachten wir 1 F (z, p) = √ 1 + p2 , −z assigen, da dieser nicht zu anderen wobei wir den Faktor √12g vernachl¨ Minimierern f¨ uhrt. Als erstes Integral erhalten wir mit

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

173

1/2 F,p = (−z)−1/2 p/ 1 + p2 die Funktion 1/2 G(z, p) = p · (−z)−1/2 p/ 1 + p2 − (−z)−1/2 1 + p2 = (−z)−1/2 − (1 + p2 )−1/2 . Da G(u(x), u (x)) konstant ist, existiert ein c ∈ R mit 1 −u(x) 1 + (u (x))2 = . c Quadrieren wir, so folgt c2 1 + (u (x))2 u(x) = −1 .

(4.44)

Aus dieser Identit¨ at k¨ onnen wir u berechnen. Das Problem der Brachistochrone werden Sie in Aufgabe 4.20 vollst¨ andig l¨osen. Die Bedingungen, die wir hergeleitet haben, sind notwendige Bedingungen. Im Allgemeinen ist es schwer zu entscheiden, ob eine Funktion, die diese Bedingungen erf¨ ullt, ein lokaler oder sogar ein globaler Minimierer ist. Es gibt weitere notwendige Bedingungen, die ein Minimum erf¨ ullen muss. Wir wollen eine dieser Bedingungen, die zweite Ableitungen benutzt, kurz diskutieren. Ist u ein Minimum von F , so erf¨ ullt g(ε) := F (u + εϕ) die notwendigen Bedingungen g (0) = 0 , g (0) ≥ 0 . Die Bedingung an die zweite Ableitung l¨ asst sich mit Hilfe von F formulieren. Wir wollen sie im Fall 1

F (u) =

F (u (x)) dx

0

angeben. Es gilt

0 ≤ g (0) =

0

1

ϕ (x) · F,pp (u (x)) ϕ (x) dx .

Dabei ist F,pp die zweite Ableitung von F nach der Variablen p. Der Ausdruck δ 2 F (u)(ϕ) := g (0) heißt zweite Variation von F an der Stelle u in Richtung ϕ. Die zweite Variation von F an der Stelle u muss also f¨ ur alle ϕ nicht–negativ sein.

174

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Wir wollen nun Probleme mit Nebenbedingungen betrachten. In den Beispie"1 len (iv) bzw. (v) lauteten die Nebenbedingungen 0 1 + (u )2 dx = bzw. "1 2 u dx = 1. Wir betrachten allgemeine Nebenbedingungen der Form 0 G(u) :=

1

G(x, u(x), u (x)) dx = c ,

0

¨ wobei c ∈ R gegeben ist. Ahnlich wie im endlichdimensionalen Fall k¨onnen wir die notwendigen Bedingungen f¨ ur das Problem F (u) → min

unter der Nebenbedingung G(u) = c

mit Hilfe von Lagrange–Multiplikatoren formulieren. Das ist die Aussage des folgenden Satzes. Satz 4.7. Es seien F, G ∈ C 1 R1+2d , R und u ∈ C 1 [0, 1], Rd sei Mi"1 nimum der Aufgabe: Minimiere F (v) = 0 F (x, v(x), v (x)) dx unter allen v ∈ C 1 [0, 1], Rd mit v(0) = a, v(1) = b und G(v) = c. Weiter sei vorausgesetzt, dass δG(u)(ψ) = 0 ist f¨ ur ein ψ ∈ C0∞ (0, 1), Rd \ {0}. Dann existiert ein Lagrange–Multiplikator λ ∈ R, so dass δF (u)(ϕ) + λ δG(u)(ϕ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (0, 1), Rd . Gilt dar¨ uberhinaus F,p , G,p ∈ C 1 R1+2d , Rd und u ∈ C 2 [0, 1], Rd , so folgt d (F,p + λG,p ) = F,z + λG,z , dx wobei F,p , G,p , F,z und G,z von (x, u(x), u (x)) abh¨angen. Beweis. Nach Voraussetzung existiert ein ψ ∈ C0∞ (0, 1), Rd mit δG(u)(ψ) = 1. F¨ ur ein beliebiges ϕ ∈ C0∞ (0, 1), Rd deﬁnieren wir Φ(ε, δ) := F (u + εϕ + δψ) ,

Ψ (ε, δ) := G(u + εϕ + δψ) .

Da ∂δ Ψ (0, 0) = 1 gilt, liefert der Satz u ¨ber implizite Funktionen die Existenz einer stetig diﬀerenzierbaren Funktion τ : (−ε0 , ε0 ) → R mit τ (0) = 0, so dass Ψ (ε, τ (ε)) = c und

f¨ ur alle ε ∈ (−ε0 , ε0 )

τ (0) = −∂ε Ψ (0, 0) .

(4.45)

Da u + εϕ + τ (ε)ψ alle geforderten Nebenbedingungen erf¨ ullt, folgt: Die Funktion ε → Φ(ε, τ (ε)) hat an der Stelle ε = 0 ein Minimum. Wir schließen

4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen

∂ε Φ(0, 0) + ∂δ Φ(0, 0)τ (0) = 0 .

175

(4.46)

Deﬁnieren wir λ := −∂δ Φ(0, 0) = −δF (u)(ψ) , so folgt aus (4.45) und (4.46) ∂ε Φ(0, 0) + λ ∂ε Ψ (0, 0) = 0 . Die letzte Identit¨ at liefert nun δF (u)(ϕ) + λ δG(u)(ϕ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (0, 1), Rd . Dies zeigt den ersten Teil der Behauptung. Der zweite Teil folgt mit partieller Integration analog zum Beweis von Satz 4.6. Satz 4.7 erlaubt es nun, die Beispiele (iv) und (v) zu behandeln. (iv) Wir betrachten den Fall 1 F (u) := u(x) dx

und

0

G(u) :=

1

1 + (u )2 dx

0

und formulieren die Nebenbedingung G(u) = , das heißt, die L¨ange des Graphenist vorgegeben. Der Satz 4.7 liefert mit F (x, z, p) = z und ur ein Minimum die folG(x, z, p) = 1 + p2 als notwendige Bedingung f¨ gende Diﬀerentialgleichung u d = 1. λ dx 1 + (u )2 d √ u 2 gibt die Kr¨ ummung des Graphen an. Da Der Ausdruck dx 1+(u )

λ konstant ist, erhalten wir Kreisb¨ ogen als L¨osungen. Beschreibt u ein Geradenst¨ uck, so ist die Kr¨ ummung und somit δG(u) identisch Null, und wir k¨ onnen den Satz 4.7 nicht anwenden. (v) Wir wollen nun F (u) :=

1

µ(x)(u (x))2 + q(x) u2 (x) dx

0

unter den Randbedingungen u(0) = u(1) = 0 und der Nebenbedingung 1 u2 (x) r(x) dx = 1 G(u) := 0

1

minimieren. Dabei seien µ ∈ C ([0, 1], R), q, r ∈ C 0 ([0, 1], R) und µ, r > 0. Satz 4.7 liefert als notwendige Bedingung f¨ ur ein Minimum u ∈ C 2 ([0, 1]) das folgende Randwertproblem

176

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

−

d (µ(x) u (x)) + q(x) u(x) = −λ r(x) u(x) , dx u(0) = u(1) = 0 ,

wobei λ eine Konstante ist. Der negative Lagrange–Multiplikator −λ kann als verallgemeinerter Eigenwert interpretiert werden und u ist eine zugeh¨ orige Eigenfunktion, die bez¨ uglich des inneren Produkts 1 (u, v)r := u(x) v(x) r(x) dx 0

normiert ist. Sind Integrale zu minimieren, in denen h¨ ohere Ableitungen auftauchen, so lassen sich notwendige Bedingungen mit Hilfe von gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen h¨ oherer Ordnung formulieren. Wir werden sehen, dass in diesem Fall mehr als zwei Randbedingungen auftreten. Wir diskutieren dies am Fall der Balkenbiegung. In Beispiel (vi) war 1 1 2 G(u) = 2 (u ) − f u dx − g u(1) 0

unter den Nebenbedingungen u(0) = 0 ,

u (0) = 0

(4.47)

zu minimieren. Es sei nun u : [0, 1] → R ein Minimum von G. Dann erf¨ ullt u + εϕ die geforderten Nebenbedingungen am Rand, falls ϕ(0) = 0, ϕ (0) = 0 gilt. Es folgt d δG (u)(ϕ) = G(u + εϕ)|ε=0 . 0= δu dε Wir berechnen 1 δG (u)(ϕ) = (u ϕ − f ϕ) dx − g ϕ(1) . δu 0 Falls u ∈ C 4 ([0, 1]) gilt, erhalten wir durch partielle Integration und unter Ausnutzung der Bedingungen ϕ(0) = ϕ (0) = 0 1 0= (−u ϕ − f ϕ) dx + u (1) ϕ (1) − g ϕ(1) 0

=

0

1

(u(4) − f )ϕ dx − u (1) ϕ(1) + u (1) ϕ (1) − g ϕ(1) .

(4.48)

Da ϕ beliebig ist, folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung u(4) (x) = f (x) f¨ ur

x ∈ (0, 1) .

(4.49)

Aus (4.48) folgt, da der Integralausdruck verschwindet und da ϕ(1) und ϕ (1) beliebig gew¨ ahlt werden k¨ onnen: u (1) = 0

und u (1) + g = 0 .

(4.50)

Insgesamt ist also (4.49) mit den vier Randbedingungen (4.47), (4.50) zu l¨osen.

4.8 Optimale Steuerung gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen

177

4.8 Optimale Steuerung gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen H¨auﬁg sollen Vorg¨ ange, die sich mit Diﬀerentialgleichungen formulieren lassen, kontrolliert werden. Dies bedeutet, dass der Vorgang durch eine geeignete Wahl von Kontrollgr¨ oßen so gesteuert wird, dass eine gewisse Gr¨oße, etwa die Kosten, der Ertrag, der Verbrauch oder die Zeit, die der Vorgang ben¨otigt, optimiert wird. Wir wollen in diesem Kapitel knapp skizzieren, welche Fragestellungen dabei von Interesse sind, und werden mit dem Pontrjaginschen Maximumprinzip wichtige notwendige Bedingungen formulieren. Zun¨achst wollen wir drei Beispiele angeben. (i) Kontrolle von Produktion und Verbrauch. Ein Unternehmen erwirtschaftet einen Ertrag, von dem ein Teil als Gewinn ausgesch¨ uttet wird, und der Rest wieder investiert werden soll. Das Ziel ist es, bis zu einem vorgegebenen Zeitpunkt T m¨ oglichst viel Gewinn zu erreichen. Es sei vorausgesetzt, dass die investierten Mittel mit einer konstanten Rate wachsen. Wir deﬁnieren y(t) als den Gesamtertrag im Zeitintervall [0, t]. Es sei weiter u(t) der Anteil des Ertrages, der zum Zeitpunkt t ≥ 0 reinvestiert wird. Das bedeutet, wir m¨ ussen folgende Ungleichheits–Nebenbedingungen stellen: 0 ≤ u(t) ≤ 1 f¨ ur alle t ≥ 0 . Die Funktion u ist die Gr¨ oße, mit Hilfe derer wir den Vorgang steuern k¨ onnen. Es sei nun k die Rate, mit der die investierten Mittel wachsen. Ist eine Kontrolle u vorgegeben, so ist folgendes Anfangswertproblem zu l¨ osen y (t) = k u(t) y(t) , y(0) = y0 .

(4.51) (4.52)

Zu einem gegebenen Zeitpunkt t wird (1 − u(t))y(t) als Gewinn nicht wieder investiert. Wir wollen die Gr¨ oße T F (y, u) := (1 − u(t)) y(t) dt 0

maximieren unter allen y und u, die den Nebenbedingungen (4.51), (4.52) gen¨ ugen.

178

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

(ii) Kontrolle eines Fahrzeugs. Ziel ist es, ein Fahrzeug mit normierter Masse m = 1 m¨ oglichst schnell von einem Punkt in der Ebene auf geradem Weg zu einem anderen Punkt in der Ebene zu bringen. Ohne Einschr¨ankung sei das Fahrzeug zum Zeitpunkt t = 0 auf der x–Achse am Ort x = −x0 und wir wollen m¨ oglichst schnell an den Ort x = x0 . Am Startzeitpunkt und am Zielzeitpunkt soll die Geschwindigkeit Null betragen. Das Fahrzeug besitzt einen Motor, der zum Zeitpunkt t die Kraft u(t) abgibt. Diese Kraft l¨ asst sich steuern, sie ist allerdings durch die auf 1 normierte maximale Kraft beschr¨ ankt, d.h. |u(t)| ≤ 1. Wir suchen ein Minimum von T 1 dt F (x, u) = 0

unter den Nebenbedingungen x (t) = u(t) x(0) = −x0 , x(T ) = x0 , |u(t)| ≤ 1

Newtonsches Gesetz , x (0) = 0 , x (T ) = 0 , f¨ ur alle t ∈ [0, T ] .

(iii) Optimale Steuerung des Fischfangs. Wir betrachten eine Fischpopulation, die ohne Ber¨ ucksichtigung des Fischfangs gem¨aß eines Populationsmodells mit beschr¨ ankten Ressourcen wachsen w¨ urde. F¨ ur die Gesamtpopulation x(t) gilt also die Diﬀerentialgleichung x (t) = q(xM − x(t)) x(t) =: F (x) , man vergleiche dazu auch die Abschnitte 1.3 und 4.3. Ber¨ ucksichtigen wir nun den Fischfang, der mit einer Intensivit¨at u(t) angesetzt sei, so ergibt sich das Anfangswertproblem x (t) = F (x(t)) − u(t) ,

x(0) = x0 .

In diesem Fall k¨ onnen wir das System durch die Fangintensivit¨at u(t) kontrollieren. Ziel ist es, den Gesamtgewinn zu maximieren. Daf¨ ur wurde zum Beispiel das Funktional T F (x, u) := e−δt (p − k(x(t))x(t))u(t) dt 0

vorgeschlagen. Dabei sei: p der Verkaufspreis der Fische (pro Masseneinheit), k(x) die Fangkosten pro Masseneinheit bei Populationsgr¨oße x, δ ein Diskontfaktor. Der Diskontfaktor ber¨ ucksichtigt, dass die Fischer f¨ ur den Erl¨os von fr¨ uh gefangenen Fischen Zinsen bekommen k¨ onnen, wenn Sie diesen Erl¨os bei

4.8 Optimale Steuerung gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen

179

einer Bank anlegen; der Diskontfaktor δ entspricht gerade dem Wachstumsfaktor in einem kontinuierlichen Zinsmodell. Durch den Faktor e−δt werden alle Erl¨ ose auf den Zeitpunkt t = 0 zur¨ uckgerechnet, dies nennt man diskontieren. Es gibt viele weitere Bereiche, bei denen die optimale Steuerung mit gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen eine wichtige Rolle spielt. Als Beispiele seien genannt: Steuerung der Bewegung von Flugzeugen und Raumﬂugk¨orpern, Steuerung der Bewegungsabl¨ aufe von Robotern und im Sport, Steuerung chemischer Prozesse, Kontrolle der Ausbreitung von Epidemien durch Impfstrategien. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf die Literatur f¨ ur weitere Details, siehe zum Beispiel Macki und Strauss [85], Evans [35], Zeidler [126]. Wir wollen nun auf formalem Niveau notwendige Bedingungen f¨ ur die L¨osung von Optimierungsproblemen im Kontext von Steuerungsprozessen herleiten. Wir geben notwendige Bedingungen f¨ ur Problemstellungen mit einer festen Endzeit an und wollen Fragestellungen nun allgemein formulieren. Es sei A ⊂ Rm und f : Rd × A → Rd , y 0 ∈ Rd . Die Menge A beschr¨ anke die m¨ oglichen Steuerungen, das heißt wir betrachten Steuerungen der Form u : [0, T ] → A . F¨ ur ein gegebenes u sei der Zustand y : [0, T ] → Rd eine L¨osung des folgenden Anfangswertproblems y (t) = f (y(t), u(t)) , y(0) = y0 .

t ∈ [0, T ] ,

(4.53) (4.54)

Das zu optimierende Zielfunktional sei gegeben durch F (y, u) :=

T

r(y(t), u(t)) dt + g(y(T )) , 0

wobei r : Rd × A → R ,

g : Rd → R

gegebene glatte Funktionen seien. Wir betrachten folgende Fragestellung: (P): Maximiere F unter den Nebenbedingungen (4.53), (4.54) und u(t) ∈ A f¨ ur alle t ∈ [0, T ]. Formal k¨ onnen wir notwendige Bedingungen an eine L¨osung zu (P) mit Hilfe von Lagrange–Multiplikatoren wie folgt herleiten. Analog zum endlichdimensionalen Fall (4.33) wollen wir eine L¨ osung und die zugeh¨origen Lagrangeparameter als kritische Punkte einer Funktion beschreiben, die sich ergibt,

180

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

indem wir zu F einen Term addieren, der sich als ein Produkt aus Lagrangeparametern mit der die Nebenbedingung charakterisierenden Funktion ergibt. Wir multiplizieren die Nebenbedingung −y + f (y, u) = 0 f¨ ur alle Zeiten t im euklidischen Skalarprodukt mit einem Multiplikator p : [0, T ] → Rd . Um statt einer Funktion eine reelle Gr¨ oße zu erhalten, integrieren wir bez¨ uglich t und erhalten T L(y, u, p) := F (y, u) − p(t) · (y (t) − f (y(t), u(t))) dt . 0

Wir betrachten zun¨ achst A = Rm . Dann erf¨ ullen kritische Punkte (y, u, p) von L, unter der Nebenbedingung y(0) = y0 , die folgenden Gleichungen δL (y, u, p)(h) = 0 , δy δL (y, u, p)(v) = 0 , δu δL (y, u, p)(q) = 0 , δp wobei v und q beliebige Funktionen sind, wohingegen wir f¨ ur h nur Funktionen mit h(0) = 0 zulassen k¨ onnen, da die Nebenbedingung y(0) = y0 zu ber¨ ucksichtigen ist. Die erste Variation von L kann nun analog zum Abschnitt 4.6 berechnet werden und wir erhalten aus δL δy = 0 0

T

r,y (y, u) · h dt + ∇g(y(T )) · h(T ) −

0

T

p · (h − f,y (y, u)h) dt = 0

f¨ ur alle h : [0, T ] → Rd mit h(0) = 0. Partielle Integration liefert: 0

T

h · (p + f,y (y, u) p + r,y (y, u)) dt + h(T ) · (∇g(y(T )) − p(T )) = 0 . (4.55)

Mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung folgt p = −f,y (y, u) p − r,y (y, u) f¨ ur

t ∈ [0, T ] .

(4.56)

Da der Integrand in (4.55) verschwindet und h(T ) beliebig ist, folgt außerdem die Endbedingung“ ” p(T ) = ∇g(y(T )) . (4.57) Die Funktion p : [0, T ] → Rd l¨ ost bei gegebenen Funktionen y und u eine lineare gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung und statt einer Anfangsbedingung

4.8 Optimale Steuerung gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen

181

fordern wir eine Bedingung zum Endzeitpunkt T . Die Bedingung δL δp = 0 "T ur alle q, so dass (4.53) gelten muss. liefert 0 q · (y − f (y, u)) dt = 0 f¨ Die Identit¨ at δL δu = 0 liefert unter Ausnutzung des Fundamentallemmas der Variationsrechnung (y, u) p = 0 . (4.58) r,u (y, u) + f,u Ist nun A = Rm , so k¨ onnen wir δL ur beliebige v bilden. Die δu (y, u, p)(v) nicht f¨ Funktion u + εv liegt im Allgemeinen nicht punktweise in A. Ist A konvex, so folgt aber f¨ ur alle u : [0, T ] → A und ε ∈ [0, 1], dass u + ε(u − u) = εu + (1 − ε)u ∈ A gilt. Es folgt dann d L(y, u + ε(u − u), p)|ε=0 ≤ 0 dε und somit

0

T

(r,u (y, u) + p · f,u (y, u)) · (u − u) dt ≤ 0

f¨ ur alle u : [0, T ] → A. Die Bedingung (4.58) besagt gerade, dass u kritischer Punkt der Funktion v → r(y, v) + p · f (y, v) ist. Das folgende Pontrjaginsche Maximumprinzip besagt nun, dass u nicht nur kritischer Punkt, sondern sogar Maximum obiger Funktion ist. Bevor wir das Maximumprinzip formulieren, deﬁnieren wir zun¨achst: Deﬁnition 4.8. Die Hamiltonfunktion der Theorie der optimalen Steuerung ist f¨ ur alle y, p ∈ Rd , u ∈ A wie folgt deﬁniert: H(y, u, p) := f (y, u) · p + r(y, u) . Satz 4.9. (Pontrjaginsches Maximumprinzip). Es sei (y, u) eine L¨osung von Problem (P). Dann existiert ein adjungierter Zustand p : [0, T ] → Rd , so dass y (t) = H,p (y(t), u(t), p(t)), y(0) = y0 , p (t) = −H,y (y(t), u(t), p(t)), p(T ) = ∇g(y(T ))

(4.59) (4.60)

und f¨ ur alle t ∈ [0, T ] gilt: H(y(t), u(t), p(t)) = max H(y(t), v, p(t)) . v∈A

(4.61)

Außerdem ist die Abbildung t → H(y(t), u(t), p(t)) konstant.

(4.62)

182

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Der Beweis dieses Satzes ist aufwendig und wir verweisen auf die Literatur [85], [35], [126]. Wir bemerken nur, dass (4.59) auf Grund der Deﬁnition von H gerade auf (4.53), (4.54) f¨ uhrt. Die Gleichungen in (4.60) entsprechen (4.56) und (4.57). Ist A = Rm so folgt (4.58) als notwendige Bedingung aus (4.61). Setzen wir wieder A = Rm und nutzen (4.59)–(4.61), so folgt d H(y, u, p) = H,y (y, u, p) · y + H,u (y, u, p) · u + H,p (y, u, p) · p dt = −p · y + 0 + y · p = 0 . ¨ Ahnliche Maximumprinzipien k¨ onnen f¨ ur viele andere Probleme der optimalen Steuerung gezeigt werden. Insbesondere ist ein Maximumprinzip g¨ ultig f¨ ur Probleme, bei denen der Endzeitpunkt variabel ist. Grunds¨atzlich zeigt sich, dass es g¨ unstig ist, mit einem adjungierten Zustand p zu arbeiten. Oft k¨ onnen notwendige Bedingungen wie oben formal mit Hilfe von Lagrange– Multiplikatoren beziehungsweise adjungierten Zust¨anden schnell hergeleitet ¨ werden. Diese Uberlegungen rigoros durchzuf¨ uhren, ist aber h¨auﬁg mit großem analytischem Aufwand verbunden. F¨ ur Details verweisen wir auf die Literatur [85], [35], [126]. Am Beispiel der Kontrolle von Produktion und Verbrauch wollen wir skizzieren, wie das Pontrjaginsche Maximumprinzip genutzt werden kann, um Eigenschaften der L¨ osungen von Steuerungsproblemen zu zeigen. Wir benutzen die Notation aus Beispiel (i), setzen aber zur Vereinfachung k = 1. In diesem Fall ist f (y, u) = yu, r(y, u) = (1 − u)y, g = 0

und A = [0, 1] .

Aus (4.56), (4.57) ergibt sich das adjungierte Problem (wir lassen die Querstriche u ¨ ber den Variablen weg) p = −up − (1 − u) auf [0, T ] und p(T ) = 0 .

(4.63)

Das Pontrjangische Maximumprinzip liefert, da H(y, u, p) = yup + (1 − u)y: y(t) u(t) p(t) + (1 − u(t)) y(t) = max [y(t) v p(t) + (1 − v) y(t)] . 0≤v≤1

Da y(t) > 0 gilt und y(t) in der obigen Zeile als Faktor auftritt, folgt u(t)(p(t) − 1) = max [v(p(t) − 1)] . 0≤v≤1

Es folgt u(t) =

1 0

falls falls

p(t) > 1 , p(t) < 1 .

Wenn wir den adjungierten Zustand p kennen, k¨onnen wir also die Kontrolle u berechnen. Da p(T ) = 0 gilt, existiert ein t, so dass

4.9 Literaturhinweise

p(t) < 1 f¨ ur

t ∈ (t, T ]

u(t) = 0

t ∈ (t, T ] .

183

und somit gilt f¨ ur

Aus (4.63) schließen wir p (t) = −1 f¨ ur

t ∈ (t, T ] ,

p(T ) = 0

und es folgt p(t) = T − t f¨ ur t ∈ (T − 1, T ] . Aus (4.63) und der Tatsache, dass u nur Werte zwischen 0 und 1 annimmt, folgt p < 0 auf [0, T − 1). Wir erhalten also p(t) > 1 auf [0, T − 1) und aus (4.63) ergibt sich p (t) = −p(t) . Da p(T − 1) = 1 gilt, folgt p(t) = eT −1−t > 1

und u(t) = 1 f¨ ur

t ∈ [0, T − 1] .

Falls T > 1 gilt, folgt u(t) =

1 0

falls falls

0 ≤ t < T −1, T −1
Die Kontrolle schaltet also nur einmal um. Diese L¨osung ist ein Beispiel einer bang–bang Steuerung, das heißt, die Steuerung schl¨agt stets an die Ober- und Untergrenze der Kontrollschranken an.

4.9 Literaturhinweise Eine Darstellung der einfachen Schwingungen aus Abschnitt 4.1 ﬁndet man in [40] oder auch in B¨ uchern u ¨ ber Elektrotechnik oder theoretische Mechanik, etwa in [60]. Die Lagrangesche und Hamiltonsche Mechanik ist Bestandteil jedes Lehrbuches u ¨ ber theoretische Mechanik, siehe etwa [64]; eine mathematisch etwas anspruchsvollere, kurze Darstellung bietet auch Kapitel 58 von [127]. Zur Analysis gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichung verweisen wir auf [6]. Eindimensionale, auf gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen basierende Variationsproblemen werden in [15] behandelt. Eine ausf¨ uhrliche Analysis konvexer Optimierungsprobleme ist im klassischen Buch [31] enthalten. Eine tiefergehende Einf¨ uhrung in die Theorie der Steuerungs- und Kontrollprobleme ﬁndet man in [35], [85] und [126]. Numerische Verfahren zur L¨osung gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen sind in [28], [61], [107], [114] beschrieben.

184

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

4.10 Aufgaben Aufgabe 4.1. L¨ osen Sie das Anfangswertproblem y (t) + 2a y (t) + b y(t) = sin(ωt) ,

y(0) = 1 ,

y (0) = 0

f¨ ur die Schwingungsgleichung mit Hilfe einer geeigneten Fallunterscheidung f¨ ur a, b und ω. Setzen Sie dabei a ≥ 0, b, ω > 0 voraus. Aufgabe 4.2. Berechnen Sie zu folgenden Diﬀerentialgleichungen jeweils ein reelles Fundamentalsystem: a) y (t) − y (t) + y (t) − 1 = 0 , b) y (4) (t) − 1 = 0 , c) y (4) (t) + 1 = 0 . Aufgabe 4.3. Es sei eine Lagrangefunktion L = L(t, x, x) ˙ mit Variable x = (x1 , . . . , xN ) gegeben. Zu neuen Koordinaten qj = q(j (x), j = 1, . . . , N sei die ( q, q) Lagrangefunktion L(t, ˙ deﬁniert durch ( t, q((x), Dx q((x)x˙ = L(t, x, x) L ˙ . Transformieren Sie die Gleichungen ∂L d ∂L = f¨ ur j = 1, . . . , N ∂xj dt ∂ x˙ j um auf die neuen Koordinaten q. Unter welchen Bedingungen folgen die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen ( ( ∂L d ∂L = f¨ ur j = 1, . . . , N ? ∂qj dt ∂ q˙j Aufgabe 4.4. Stellen Sie mit Hilfe des Lagrangeschen Formalismus die Bewegungsgleichungen f¨ ur das abgebildete Doppelpendel mit Massen m1 und m2 und L¨ angen 1 und 2 der (massenlosen) Verbindungsst¨abe auf. Verwenden Sie dabei die eingezeichneten Winkel ϕ1 und ϕ2 als Variablen. 000000 111111 000000 111111 000000 111111 ϕ1

1 m1

2 ϕ2 m2

4.10 Aufgaben

185

Aufgabe 4.5. Berechnen Sie die Eigenschwingungen des skizzierten Stabwerks mit Elastizit¨ atskonstanten E1 = E2 = 100 und Massen m1 = m2 = 1.

000 111 111 000 000(0, 1) 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 1 000 111 000(0, 0) 111 000 111 111 000

2

(1, 0)

Aufgabe 4.6. (Stabilit¨ at) Die logistische Diﬀerentialgleichung wird nun um einen Term erg¨anzt, der die Ernte oder Jagd der Population x durch eine andere Spezies modelliert. Zu einer Ernterate e > 0 betrachten wir die Diﬀerentialgleichung x = αx − βx2 − ex,

α = xM β .

a) Bestimmen Sie alle station¨ aren L¨ osungen. Welche sind linear stabil? b) Wir betrachten nun nur noch Ernteraten e < α. Untersuchen Sie, welche Ernterate e∗ den Ernteertrag pro Zeitintervall y(e) = e x∗ (e) zu einer station¨ aren L¨ osung x∗ (e) maximiert. Wie groß ist dann die Po∗ ∗ pulation x (e )? c) Ein konstanter Ernteertrag y0 pro Zeitintervall wird durch die Diﬀerentialgleichung x = αx − βx2 − y0 modelliert. Wie sehen hier die station¨ aren L¨osungen aus und welche sind stabil? Welcher maximale Wert f¨ ur y0 ist m¨oglich? d) Diskutieren Sie die folgende Aussage: Die Erntestrategie mit konstanter Ernterate ist potentiell weniger katastrophal f¨ ur den Fortbestand der Population als die Strategie mit konstantem Ernteertrag. Hinweis: In der Realit¨ at k¨ onnten kleine Fluktuationen in den Gr¨oßen e und y0 auftreten. Aufgabe 4.7. (R¨auber–Beute–Modell) auber–Beute–Modells zu positiven Zeigen Sie, dass L¨ osungen (x, y) des R¨ Anfangsdaten x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0 periodisch sind. Argumentieren Sie dabei mit Hilfe des ersten Integrals und des Eindeutigkeitssatzes f¨ ur L¨ osungen des Anfangswertproblems.

186

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Aufgabe 4.8. (R¨ auber–Beute–Modell) In dieser Aufgabe wird das System x = x a − by 2 , y = y − c + dx2 diskutiert. Dabei werden nur L¨ osungen x > 0, y > 0 gesucht. a) Bestimmen Sie alle station¨ aren L¨ osungen und zeigen Sie Existenz und Eindeutigkeit einer L¨ osung zum Anfangswert (x, y)(0) = (x0 , y0 ) mit x0 > 0, y0 > 0; aus dem Grundstudium bekannte S¨atze k¨onnen dazu benutzt werden. b) Geben Sie ein erstes Integral H(x, y) an und skizzieren Sie das Phasenportrait. Aufgabe 4.9. (R¨ auber–Beute–Modell mit beschr¨anktem Wachstum) Wir betrachten das System x = x(α − βy − λx) ,

(4.64)

y = y(−γ + δx − µy) ,

(4.65)

wobei α, β, γ, δ, λ und µ positive reelle Konstanten sind und α/λ < γ/δ angenommen wird. Die Funktionen x und y beschreiben wieder Populationen einer Beute- beziehungsweise einer R¨ auber–Spezies, d. h. wir suchen L¨osungen (x(t), y(t)) mit x ≥ 0, y ≥ 0. Skizzieren Sie das Richtungsfeld und die Geraden Gx := {(x, y) | α − βy − λx = 0} ,

Gy := {(x, y) | − γ + δx − µy = 0} .

Zeigen Sie dann, dass f¨ ur eine L¨ osung (x(t), y(t)) zu einem Anfangswert (x0 , y0 ) mit x0 > 0 und y0 ≥ 0 gilt: ur t → ∞ . (x(t), y(t)) → αλ , 0 f¨ Hinweis: Betrachten Sie z.B. den Bereich {(x, y) | − γ + δx − µy > 0}, der ¨ unterhalb“ der Geraden Gy liegt. Uberlegen Sie nun (und zeigen sie dies ” rigoros, nicht nur anschaulich), warum eine dort startende L¨osung den Bereich u ¨ ber die genannte Gerade verlassen muss. Dann diskutieren Sie die anderen Bereiche. Aufgabe 4.10. (Parameterabh¨ angige lineare Diﬀerentialgleichung) Gegeben sei zu einem reellen Parameter α das lineare System f¨ ur z = (x, y) x (t) α α x(t) z (t) = = = Az(t) . y (t) −α α y(t)

4.10 Aufgaben

187

a) Berechnen Sie die (komplexen) Eigenwerte der Matrix A und geben Sie zwei linear unabh¨ angige L¨ osungen der Form zj (t) = cj eλj t an, wobei λj Eigenwert von A und der Anfangswert cj zu λj geh¨orender Eigenvektor ist. Geben Sie zu jeder L¨ osung außerdem Real- und Imagin¨arteil an, indem Sie λj = µj + i νj und cj = aj + i bj setzen. Geben Sie dann die Gesamtheit der reellen L¨ osungen der Diﬀerentialgleichung an. b) Skizzieren Sie die Phasenportraits f¨ ur α = 0,5 und α = −0,5. c) Welche Aussage k¨ onnen Sie u ¨ ber die Stabilit¨at des Punktes (0, 0) in Abh¨ angigkeit von α machen? Aufgabe 4.11. (Wettbewerbsmodelle) Wir betrachten eine Situation, in der zwei Spezies im Wettbewerb um Ressourcen liegen, die f¨ ur ihr Wachstum erforderlich sind. Ein einfaches Modell zur Beschreibung dieser Situation besteht aus den folgenden beiden Diﬀerentialgleichungen, die bereits in entdimensionalisierter Form vorliegen: u1 = u1 (1 − u1 − au2 ) := f1 (u1 , u2 ) ,

(4.66)

u2

(4.67)

= u2 (1 − cu2 − bu1 ) := f2 (u1 , u2 ) .

Ausgehend von einem beschr¨ ankten Wachstum der beiden Populationen beschreiben die Terme mit den positiven Konstanten a beziehungsweise b den gegenseitigen Einﬂuss durch Wettbewerb. Um die Rechnungen zu vereinfachen, nehmen wir an, dass = 1 und c = 0 ist. Wir suchen L¨ osungen (u1 , u2 ) mit ui ≥ 0, i = 1, 2. a) Skizzieren Sie die Geraden Gu1 := {(u1 , u2 ) | 1 − u1 − au2 = 0} , Gu2 := {(u1 , u2 ) | 1 − cu2 − bu1 = 0} sowie das Richtungsfeld. b) Bestimmen Sie die station¨ aren L¨ osungen der Diﬀerentialgleichung. Gibt es linear stabile L¨ osungen? c) Gibt es Bereiche f¨ ur Anfangswerte (u01 , u02 ), so dass man anhand des Richtungsfeldes mit Sicherheit sagen kann, wie sich die Populationen f¨ ur t → ∞ entwickeln? Aufgabe 4.12. a) L¨ osen sie explizit das Anfangswertproblem 3 8 2 , x(0) = . x = Ax, A = −0,5 −1 −1 b) Suchen Sie eine Matrix A ∈ R2×2 f¨ ur ein System x = Ax, so dass (0, 0) nicht stabil ist, aber f¨ ur alle Eigenwerte λ von A gilt: Re(λ) ≤ 0.

188

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Aufgabe 4.13. a) F¨ ur welche der folgenden Diﬀerentialgleichungen ist 0 eine stabile station¨ are L¨ osung? (i) x = x2 ,

(ii)

x = x3 ,

(iii)

x = −x3 .

b) Gegeben sei zu einem reellen Parameter c = 0 das System x = −y + c x5 ,

y = x + c y5 .

Untersuchen Sie in Abh¨ angigkeit von c : Ist (0, 0) (i) stabil, (ii) linear stabil? Hinweis: Wie verh¨ alt sich der Euklidische Abstand vom Ursprung? ur alle Eigenwerte λ von Aufgabe 4.14. Es sei A ∈ Rn×n , so dass Re λ < 0 f¨ A. Zeigen Sie: Es existiert eine Konstante α > 0, so dass y · Ay ≤ −α|y|2

f¨ ur alle y ∈ Rn .

Aufgabe 4.15. Zu einer Funktion f ∈ C(Rn , Rn ) untersuchen wir die Differentialgleichung x = f (x). Die glatte Funktion H sei erstes Integral der Diﬀerentialgleichung, d. h. falls x(t) eine L¨ osung ist, gilt d H(x(t)) = DH(x(t))x (t) = DH(x(t))f (x(t)) . dt are L¨ osung mit Weiterhin sei x∗ eine station¨ 0=

H(x∗ ) = 0,

DH(x∗ ) = 0,

D2 H(x∗ ) positiv deﬁnit.

a) Zeigen Sie, dass x∗ stabil ist. Hinweis: Leiten Sie aus einer Taylor–Approximation von H in x∗ her, dass f¨ ur ein ε > 0 klein genug und eine Konstante c > 0 gilt: min{H(x) | x ∈ ∂Bε (x∗ )} ≥ c ε2 . Dabei bezeichnet ∂Bε (x∗ ) den Rand der Kugel mit Radius ε um x∗ . Außerdem gibt es (warum?) ein δ > 0, so dass 1 2 c ε ∀x ∈ Bδ (x∗ ) . 2 Was folgt nun f¨ ur eine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung, deren Anfangswert in der Kugel Bδ (x∗ ) liegt? H(x) ≤

b) Wenden Sie die Tatsache aus a) auf das R¨auber–Beute–Modell (4.26) an. Aufgabe 4.16. Wir betrachten die Diﬀerentialgleichung x = y − x3 , und dazu die Funktion L(x, y) =

y = −x3 − y 3 , 1 2 1 4 y + x . 2 4

4.10 Aufgaben

189

a) Rechnen Sie nach, dass (0, 0) nicht linear stabil ist. b) Weisen Sie nach, dass L eine Ljapunov–Funktion ist, d. h. falls (x(t), y(t)) eine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung ist, dann folgt d L(x(t), y(t)) ≤ 0 . dt c) Zeigen Sie, dass (0, 0) stabil ist. (Hinweis: Man kann vorgehen wie bei Aufgabe 4.15; L u ¨bernimmt die Rolle von H. Zun¨ achst untersucht man also, wie sich L auf dem Rand eines Kreises um (0, 0) verh¨ alt.) d) Ist (0, 0) asymptotisch stabil? Aufgabe 4.17. Die Funktion t → x(t) ∈ Rn sei L¨osung der gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichung x (t) = −F (∇G(x(t))) f¨ ur t > t0

(4.68)

mit F : Rn → Rn und G : Rn → R. Die Funktion G sei stetig diﬀerenzierbar, F erf¨ ulle F (0) = 0 und eine der beiden Bedingungen n ∂Fi (x) ist positiv semi(i) F ist stetig diﬀerenzierbar und DF (x) = ∂xj i,j=1 deﬁnit f¨ ur alle x ∈ Rn , (ii) F ist Lipschitz–stetig und monoton im Sinn (F (x ) − F (y )) · (x − y ) ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ Rn . Zeigen Sie, dass G eine Ljapunov–Funktion ist, dass also jede L¨osung x(t) von (4.68) die Ungleichung d G(x(t)) ≤ 0 dt erf¨ ullt. Aufgabe 4.18. Formulieren Sie das Problem der Brachistochrone in der Legendre- und in der Hamiltonformulierung. Leiten Sie aus der Hamiltonformulierung den Energieerhaltungssatz (4.36) her. Aufgabe 4.19. (Fundamentallemma der Variationsrechnung) Es sei f : [0, 1] → Rd stetig mit 1 f (x) · ϕ(x) dx = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (0, 1), Rd . 0

Zeigen Sie: f (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ (0, 1).

190

4 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Aufgabe 4.20. L¨ osen Sie das Brachistochronen–Problem wie in Abschnitt 4.7 formuliert. Verwenden Sie dabei (4.44) und beschreiben Sie den Graph der L¨ osung als Kurve t → (x(t), u(t)). Hilft der Ansatz u(t) = −κ(1 − cos t) mit κ > 0? Interpretieren Sie die L¨ osung geometrisch. Aufgabe 4.21. Wir betrachten das Beispiel (v) in Abschnitt 4.7. a) Zeigen Sie: Der Lagrange–Multiplikator λ ist der kleinste Eigenwert des Eigenwertproblems −

d p(x) u (x) + q(x) u(x) = λ r(x) u(x) , dx u(0) = u(1) = 0 .

(4.69) (4.70)

b) Betrachten Sie das Minimumproblem F (u) → min unter den Nebenbe"1 "1 dingungen 0 r(x) u2 (x) dx = 1, 0 u(x) u1 (x) dx = 0, u(0) = u(1) = 0. Dabei sei u1 L¨ osung des Minimierungsproblems in (v) auf Seite 175. Leiten Sie notwendige Bedingungen her und zeigen Sie, dass eine Funktion, die den notwendigen Bedingungen gen¨ ugt, gerade eine Eigenfunktion zum zweitkleinsten Eigenwert des Problems (4.69), (4.70) ist. c) Wie k¨ onnen die weiteren Eigenfunktionen charakterisiert werden? Aufgabe 4.22. Betrachten Sie das Minimumproblem + * 1 1 2 min 2 (u ) − f u dx | u(−1) = u(1) = 0, u (−1) = u (1) = 0 . −1

a) Bestimmen Sie das Randwertproblem, das sich als notwendige Bedingung f¨ ur ein Minimum ergibt. b) Bestimmen Sie die L¨ osung des Randwertproblems, falls f konstant ist. Skizzieren Sie die L¨ osung. c) Diskutieren Sie die notwendigen Bedingungen, wenn f im Nullpunkt konzentriert ist, wenn also im obigen Minimierungsproblem der Term "1 f u dx durch f u(0) ersetzt wird, wobei f ∈ R eine Konstante ist. −1 Aufgabe 4.23. Formulieren Sie f¨ ur die optimale Steuerung des Fischfangs aus Abschnitt 4.8 notwendige Bedingungen.

5 Kontinuumsmechanik

5.1 Einleitung In der Kontinuumsmechanik studiert man Prozesse, die auf einer Teilmenge des d–dimensionalen euklidischen Raumes ablaufen. Die relevanten Gr¨oßen, zum Beispiel die Massendichte, die Temperatur, der Druck, das Geschwindigkeitsfeld, sind an jedem Punkt der Menge deﬁniert, es wird also angenommen, dass an jedem Punkt Materie“ vorhanden ist. Die Zusammensetzung von ” Materie wie etwa Wasser, Luft oder Metall aus Atomen oder Molek¨ ulen wird dabei vernachl¨ assigt. Die Kontinuumsmechanik beschreibt viele wichtige Ph¨anomene in den Anwendungen, zum Beispiel •

W¨ armeleitung,

•

Str¨ omungen von Gasen oder Fl¨ ussigkeiten,

•

Verformungen von Festk¨ orpern, Elastizit¨ at, Plastizit¨at,

•

Phasen¨ uberg¨ ange,

•

Kopplungen dieser Prozesse.

Sie ist daher ein wichtiges Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Wie alle mathematischen Modelle, so wird auch ein Kontinuumsmodell danach beurteilt, ob es in Einklang mit experimentellen Resultaten steht. Eine wichtige Aufgabe der Mathematik ist es, eine m¨oglichst genaue Analyse des Modells vorzunehmen, die es dann erlaubt, m¨ oglichst viele qualitative und quantitative Aussagen u ¨ ber das Modell zu treﬀen. Diese k¨onnen dann durch Experimente veriﬁziert beziehungsweise falsiﬁziert werden. Modelle, die auf Teilchen, also zum Beispiel Atomen oder Molek¨ ulen, beruhen, kann man durch geeignete Mittelung charakteristischer Gr¨oßen mit Kontinu-

192

5 Kontinuumsmechanik

umsmodellen in Verbindung bringen. Die Kontinuumsmechanik muss allerdings nicht unbedingt durch ein mikroskopisches Modell wie etwa einem Teilchenmodell begr¨ undet werden. Bisher ist es auch nur in sehr wenigen F¨allen gelungen, eine solche Begr¨ undung zu ﬁnden. Wir k¨onnen uns auch auf den Standpunkt stellen, dass das Kontinuumsmodell eine nat¨ urliche“ Beschrei” bung makroskopischer Ph¨ anomene ist. Wenn wir die Bewegung einer Fl¨ ussigkeit betrachten, nehmen wir ja die molekularen Details nicht wahr. Tats¨achlich wollen wir h¨ auﬁg auch gar nichts u ¨ber die Vorg¨ange auf dem Niveau von Teilchen wissen, und die N¨ utzlichkeit eines kontinuierlichen Modells liegt gerade darin, dass nicht s¨ amtliche molekularen Details ber¨ ucksichtigt werden. Nat¨ urlich werden gewisse mikroskopische Details auch in das makroskopische Modell eingehen. Bei Festk¨ orpern etwa wird eventuell die Kristallstruktur (ob kubisch, hexagonal, usw.) einen Einﬂuss auf die genaue Gestalt der Gleichungen der Kontinuumsmechanik haben. Es gibt daher gute Gr¨ unde, Kontinuumsmodelle auch ohne Herleitung aus Teilchenmodellen (oder anderen mikroskopischen Modellen) zu rechtfertigen. Trotzdem werden wir zun¨ achst ein einfaches Teilchenmodell vorstellen, schon um einige der im Kontinuumsmodell auftretenden Gr¨oßen zu motivieren. Dazu muss aber etwas Notation eingef¨ uhrt werden. Punkte und Vektoren Zur Beschreibung des Kontinuums wird im Allgemeinen ein dreidimensionaler euklidischer aﬃner Punktraum verwendet. Ein euklidischer Raum besteht aus einer Menge E von Punkten, einer Menge V von Vektoren und einer Abbildung, die jedem geordneten Paar von Punkten einen Verbindungsvektor zuordnet. Die Menge der Vektoren ist mit der Struktur eines euklidischen Vektorraums versehen. Dabei m¨ ussen einige Axiome erf¨ ullt sein, die aus der geometrischen Anschauung folgen, siehe zum Beispiel [38]. Der Verbindungsvektor u eines Punktes x zu einem Punkt y wird formal als Diﬀerenz“ dieser ” Punkte geschrieben, u = y − x, andere Operationen wie etwa die Summe zweier Punkte sind dagegen nicht m¨ oglich. Zu jedem Punkt x und jedem Vektor u muss ein Endpunkt y existieren, so dass u der Verbindungsvektor von x nach y ist. Dieser Punkt wird formal als Summe von x und u bezeichnet, y = x+u. Wir beschr¨ anken uns im Folgenden auf den dreidimensionalen euklidischen Raum E 3 mit zugeh¨ origem dreidimensionalen R–Vektorraum V 3 . Das Skalar3 3 produkt zwischen zwei Vektoren √ u, v ∈ V oder auch u, v ∈ R bezeichnen wir mit u · v, die Norm mit |u| = u · u. Die Auswahl eines Skalarproduktes von

5.1 Einleitung

193

V 3 legt auch eine Einheit f¨ ur die Messung von L¨angen fest, da einem Vektor u mit Norm |u| = 1 die L¨ ange 1 zugewiesen wird. Nach Auswahl einer Orthonormalbasis (e1 , e2 , e3 ) kann man V 3 mit dem R3 identiﬁzieren. Jeder Vektor u ∈ V wird dabei durch seine Koordinaten ui = u · ei beschrieben gem¨aß u=

3

u i ei =

i=1

3

(u · ei )ei

i=1

und u·v =

3

ui vi .

i=1

Die Orthonormalbasis (e1 , e2 , e3 ) von V 3 kann man durch Auswahl eines Ursprungs O ∈ E 3 zu einem Koordinatensystem (O; e1 , e2 , e3 ) von E 3 erg¨anzen. Die Koordinaten eines Punktes x ∈ E 3 sind dann xi = (x − O) · ei . Wir werden im Folgenden den V 3 mit dem R3 identiﬁzieren. Es existiert dann genau ein Vektorprodukt (u, v) → u × v mit den Eigenschaften u × v = −v × u , u×u = 0, u · (v × w) = w · (u × v) = v · (w × u) , e3 = e1 × e2 . Die Zahl |u · (v × w)| gibt das Volumen des von u, v, w aufgespannten Parallelotops an. Die Koordinaten von w = u × v bez¨ uglich der Basis {e1 , e2 , e3 } sind gegeben durch w1 = u2 v3 − u3 v2 ,

w2 = u3 v1 − u1 v3 ,

w3 = u1 v2 − u2 v1 .

Dies kann man kompakt ausdr¨ ucken mit dem Levi–Civita Symbol ⎧ ⎪ falls (i, j, k) eine gerade Permutation ist, ⎨1 , εijk = −1 , falls (i, j, k) eine ungerade Permutation ist, ⎪ ⎩ 0, falls (i, j, k) keine Permutation ist. Eine gerade oder ungerade Permutation geht dabei aus einer geraden oder ungeraden Anzahl von Vertauschungen zweier Zahlen aus (1, 2, 3) hervor. Das Vektorprodukt ist dann gegeben durch (u × v)i =

3 j,k=1

εijk uj vk .

(5.1)

194

5 Kontinuumsmechanik

5.2 Teilchenmechanik Um die Grundlagen f¨ ur das Verst¨ andnis der folgenden Kapitel zu schaﬀen, wiederholen wir hier die wichtigsten physikalischen Gesetze am Beispiel der Teilchenmechanik. Das zentrale Objekt in der Teilchenmechanik ist ein Massenpunkt, also ein mit Masse versehener Punkt im Raum E 3 . Der Zustand eines Massenpunktes zu einem gegebenen Zeitpunkt t ist charakterisiert durch die Masse m, die Position x(t) ∈ E 3 und die Geschwindigkeit v(t) = x (t). Der Impuls eines Massenpunktes ist p(t) = m v(t) = m x (t). Auf einen Massenpunkt k¨ onnen Kr¨ afte einwirken, zum Beispiel durch Wechselwirkungen mit anderen Massenpunkten oder durch ¨ außere Felder wie das Gravitationsfeld oder elektrische und magnetische Felder. Die Newtonschen Gleichungen der Punktmechanik Wir betrachten nun ein System von N Massenpunkten. Dabei sei xi (t) der Ort des Teilchens i zum Zeitpunkt t, mi die Masse des Teilchens i. Wir nehmen an, dass auf die Teilchen Kr¨ afte der folgenden Form wirken: fij (t) ∈ R3 ist die vom j–ten Teilchen auf das i–te Teilchen zum Zeitpunkt t ausge¨ ubte Kraft, fi (t) ∈ R3 ist die auf das Teilchen i wirkende ¨außere Kraft. Das zweite Newtonsche Gesetz Kraft = Masse · Beschleunigung“ oder Kraft ” ” ¨ = Anderung des Impulses“ ergibt f¨ ur die Impulse pi = mi xi pi (t) = fij (t) + fi (t), i = 1, . . . , N . j =i

Aus dem dritten Newtonschen Gesetz (dem Prinzip von Kraft und Gegenkraft, Prinzip von actio und reactio“) folgt fij = −fji . Diese Forderung ist von ” Zentralkr¨aften der Form fij (xi , xj ) =

xi − xj gij (|xi − xj |) |xi − xj |

ullt. Wir nehmen im Folgenden an, dass die Kr¨afte fij mit gij (x) = gji (x) erf¨ von dieser Form sind, und bemerken: gij > 0, wenn die Wechselwirkung abstoßend ist, gij < 0, wenn die Wechselwirkung anziehend ist.

5.2 Teilchenmechanik

195

Beispiele: 1. Wirken Gravitationskr¨ afte zwischen den Teilchen, so gilt gij (x) = −G

mi mj . |x|2

Dabei ist G ≈ 6,67428 · 10−11 Nm2 /kg2 die Gravitationskonstante. 2. Stammen die auftretenden Kr¨ afte von elektrischen Ladungen, so gilt gij (x) = K

Qi Qj , |x|2

wobei Qi die Ladung von Teilchen i und K ein Proportionalit¨atsfaktor ist. Erhaltungsgleichungen In einem Vielteilchensystem der oben beschriebenen Art gibt es Gr¨oßen, die nur durch Einwirkung von außen ver¨ andert werden k¨onnen. Ohne ¨außere Einwirkung bleiben diese Gr¨ oßen im Verlauf der Bewegung aller Teilchen konstant. Solche Gr¨ oßen nennt man deshalb Erhaltungsgr¨oßen. Die wichtigsten Erhaltungsgr¨ oßen sind Masse, Impuls, Drehimpuls und Energie. Wir werden im folgenden die wichtigsten Erhaltungsgleichungen vorstellen. Impulserhaltung F¨ ur den Gesamtimpuls p =

N '

pi des Vielteilchensystems gilt

i=1

⎛ p (t) =

N i=1

pi (t) =

N i=1

⎞

N

⎜ ⎜ ⎝

j=1 j =i

N ⎟ fij + fi ⎟ fi =: f . = ⎠ i=1

Dabei ist die Eigenschaft fij = −fji der inneren Wechselwirkungen wesentlich. Der Term f bezeichnet die Summe der ¨außeren Kr¨afte. Die Ableitung des Gesamtimpulses ist also gleich der gesamten auf das System wirkenden Kraft, unabh¨ angig von den inneren Wechselwirkungen. Diese Eigenschaft ist die Impulsbilanz f¨ ur das Gesamtsystem. Man spricht hier oft auch von der Impulserhaltungsgleichung, obwohl der Impuls nicht notwendigerweise konstant bleibt. Wenn man dem gesamten Teilchenensemble die Masse m=

N i=1

mi

196

5 Kontinuumsmechanik

und den Ort

1 mi xi m i=1 N

x=

(das ist der Ort des Schwerpunktes) zuordnet, dann ist der Gesamtimpuls p=

N

pi =

N

i=1

mi xi = mx .

i=1

F¨ ur das Teilchenensemble gilt dann auch das zweite Newtonsche Gesetz außeren Kr¨ afte gleich Null, so ¨andert sich die p = f . Ist die Summe der ¨ Geschwindigkeit des Schwerpunktes nicht, und dieser vollf¨ uhrt eine Tr¨agheitsbewegung mit konstanter Geschwindigkeit auf einer gradlinigen Bahn. Damit ist das erste Newtonsche Gesetz erf¨ ullt. Drehimpulserhaltung Sind die Wechselwirkungskr¨ afte fij Zentralkr¨afte, so folgt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ein Erhaltungssatz f¨ ur den Drehimpuls. Zu einem festen ruhenden Punkt x0 ∈ E 3 sind Li = (xi − x0 ) × pi die Drehimpulse der einzelnen Massenpunkte und Mi = (xi − x0 ) × fi die Drehmomente. F¨ ur den Gesamtdrehimpuls L=

N

Li

i=1

gilt dann L =

N

(xi − x0 ) × pi =

i=1

N N N xi × fij − x0 × fij + (xi − x0 ) × fi i=1 j=1 j =i

i=1

N N N N xi × xj gij (|xi − xj |) + =− Mi = Mi =: M |xi − xj | i=1 j=1 i=1 i=1 j =i

mit dem Gesamtdrehmoment M . Dabei wurde ausgenutzt, dass N i,j=1 i =j

fij = 0

5.2 Teilchenmechanik

197

wegen fij = −fji und N xi × xj gij (|xi − xj |) = 0 |x i − xj | i,j=1 i =j

wegen xi × xj = −xj × xi . Die Gleichung L = M beschreibt die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses. Die Wechselwirkungskr¨afte ¨ tragen nichts zur Anderung des Gesamtdrehimpulses um einen beliebigen Punkt x0 bei, und auf den Gesamtdrehimpuls wirkt sich nur die Summe der Drehmomente aus. Aus diesem Erhaltungssatz kann man das zweite Keplersche Gesetz herleiten, siehe Aufgabe 5.8. Energieerhaltung Auch f¨ ur die Energie des Gesamtsystems gilt ein Erhaltungssatz. Die kinetische Energie des Teilchensystems ist Ekin =

N

mi

i=1

|xi |2 . 2

Die von den ¨ außeren Kr¨ aften pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit ist W =

N

xi · fi .

i=1

Es gilt Ekin

=

N

xi

i=1

=

·

pi

=

N N

xi · fij + W

i=1 j=1 j =i

N (xi − xj ) · (xi − xj ) gij (|xi − xj |) + W |xi − xj | i,j=1 j
=

N i,j=1 j
gij (|xi − xj |)

d |xi − xj | + W . dt

Nun sei Gij eine Stammfunktion von gij . Wir deﬁnieren die potentielle Energie

198

5 Kontinuumsmechanik

Epot = −

N

Gij (|xi − xj |) = −

i,j=1 j
N 1 Gij (|xi − xj |) 2 i,j=1 j =i

und die Gesamtenergie E = Ekin + Epot . Es ergibt sich

E = W ,

¨ die Anderung der Gesamtenergie ist also durch die geleistete Arbeit gegeben. Insbesondere f¨ uhren die Wechselwirkungskr¨ afte nicht zu einer Ver¨anderung der Gesamtenergie.

5.3 Von der Teilchenmechanik zum kontinuierlichen Medium Wir wollen nun durch geeignete Mittelungen im Teilchenmodell zu einer kontinuierlichen Beschreibung gelangen. Unsere Darstellung wird dabei sehr oberﬂ¨achlich bleiben und hat lediglich motivierenden Charakter. Eine grundlegende Herleitung der Gleichungen aus der Kontinuumsmechanik ist sehr aufwendig, zum Beispiel im Kontext der kinetischen Gastheorie, und kann hier nicht geleistet werden. ¨ F¨ ur die folgenden Uberlegungen sei stets ein Ursprung O ∈ E 3 und eine Basis 3 {e1 , e2 , e3 } von R fest gew¨ ahlt. Um Punkte in E 3 zu identiﬁzieren, verwenden wir stets die Koordinaten des Punktes bez¨ uglich des obigen Koordinatensystems. Zu einem Punkt x(0) ∈ R3 und einer Kantenl¨ange h > 0 deﬁnieren wir den W¨ urfel 2 1 (0) (0) (0) Wh x(0) = x ∈ R3 | max x1 − x1 , x2 − x2 , x3 − x3 ≤ h2 . Wir betrachten ein großes Ensemble von Massenpunkten, N 1. Dann deﬁnieren wir die Massendichte durch eine geeignete Mittelung: 1 h t, x(0) = 3 h

mi .

xi (t)∈Wh (x(0) )

In Abh¨ angigkeit von h k¨ onnte h etwa wie in Abbildung 5.1 aussehen. Die Grundannahme der Kontinuumsmechanik ist: Es gibt einen Bereich von Werten f¨ ur h, in dem h nahezu konstant ist. Werte aus diesem Bereich kann man zur Deﬁnition einer kontinuierlichen Massendichte heranziehen. Eine solche Gr¨ oße sollte die Eigenschaft haben, dass das Integral

5.3 Von der Teilchenmechanik zum kontinuierlichen Medium

199

h

h

102

10−7 Schwankungen, da Mittelung nur u ule (f¨ allt eines ¨ ber wenige Molek¨ ¨ heraus → große Anderung)

Einﬂ¨ usse weit weg spielen eine große Rolle

Abb. 5.1. Die gemittelte Masse als Funktion der W¨ urfelgr¨ oße

h (t, x) dx Ω

als N¨ aherung f¨ ur die in Ω ⊂ R3 enthaltene Masse verwendet werden kann. Analog deﬁnieren wir eine gemittelte Impulsdichte 1 ph t, x(0) = 3 mi xi (t) h (0) xi (t)∈Wh (x

)

und damit eine mittlere Geschwindigkeit vh = ph /h , eine Dichte der kinetischen Energie 1 Ekin,h t, x(0) = 3 h

mi

xi (t)∈Wh (x(0) )

|xi (t)|2 , 2

eine Dichte der potentiellen Energie 1 Epot,h t, x(0) = − 3 h

xi (t)∈Wh (x(0) )

1 Gij (|xi (t) − xj (t)|) 2 j=1 N

j =i

und eine Energiedichte Eh = Ekin,h + Epot,h . Die kinetischen Energieanteile wollen wir nun in einen makroskopischen und einen mikroskopischen Energieanteil aufspalten. Die makroskopische kinetische Energie ist

200

5 Kontinuumsmechanik

h Der Term

kin,h t, x(0) = 1 E h3

|vh |2 . 2

mi

xi (t)∈Wh (x(0) )

|xi (t) − vh |2 2

beschreibt die kinetische Energie der Fluktuationen um die makroskopische Geschwindigkeit vh . Diesen Beitrag kann man makroskopisch als W¨armeenergie interpretieren. F¨ ur diesen Anteil an der kinetischen Energie gilt nun kin,h t, x(0) = 1 E h3 =

1 h3

mi

|xi (t) − vh |2 2

mi

|xi (t)|2 2

xi (t)∈Wh (x(0) )

xi (t)∈Wh (x(0) )

− vh ·

1 h3

xi (t)∈Wh (x(0) )

1 1 xi (t) mi + |vh |2 3 2 h

= Ekin,h t, x(0) − 12 h |vh |2 .

mi

xi (t)∈Wh (x(0) )

Damit erhalten wir f¨ ur die kinetische Energie Ekin,h =

1 kin,h , h |vh |2 + E 2

wobei der erste Term 12 h |vh |2 den makroskopischen und der zweite Term kin,h den mikroskopischen Anteil an der kinetischen Energie beschreibt. E Schließlich f¨ uhren wir die innere Energie uh pro Masseneinheit durch die Gleichung kin,h + Epot,h h u h = E ein. Die Energiedichte ist dann Eh = Ekin,h + Epot,h = h

|vh |2 + uh 2

.

Dieser Ausdruck wird bei der Formulierung der makroskopischen Energieerhaltung wieder auftauchen. Abschließend wollen wir die Herleitung der kontinuierlichen Gr¨oßen mit der Thermodynamik aus Kapitel 3 in Beziehung setzen. Gehorchen die mikroskopischen Fluktuationen xi (t) − vh einer Maxwell–Boltzmann Verteilung, so haben wir in Abschnitt 3.1 gesehen, dass Ekin,h proportional zur Temperatur ist. Diese einfache Beziehung werden wir sp¨ater wieder aufgreifen, wenn wir funktionale Zusammenh¨ ange zwischen innerer Energie und Temperatur diskutieren.

5.4 Kinematik

201

5.4 Kinematik Die Grundvoraussetzung in der Kontinuumsmechanik ist, dass alle relevanten Gr¨oßen auf einem Kontinuum“ deﬁniert sind, also einer oﬀenen Teilmenge ” des E 3 . Die oﬀene Menge wird in der Regel zeitlich variieren. Mit Kinematik bezeichnet man die Beschreibung solcher zeitlich ver¨anderlicher K¨orper oder Gebiete, ohne Ber¨ ucksichtigung der (Trieb-) Kr¨afte, die diese Ver¨anderung hervorrufen. Im Folgenden werden wir die Raumdimension 3 durch eine allgemeine Dimension d und sowohl den E 3 als auch den R3 durch den Rd ersetzen. Ein Materiepunkt im Gebiet kann beschrieben werden durch seine Position X in einer sogenannten Referenzkonﬁguration Ω ⊂ Rd . Dabei sei Ω oﬀen und zusammenh¨ angend. Die Referenzkonﬁguration kann je nach Anwendung unterschiedlich deﬁniert sein. Oft verwendet man die Konﬁguration zum Anfangszeitpunkt der Bewegung als Referenzkonﬁguration; bei der Verformung elastischer Feststoﬀe kann man auch die Konﬁguration ohne innere Kr¨afte w¨ ahlen (falls eine solche u ¨ berhaupt existiert) oder die Konﬁguration, die der K¨ orper ohne ¨ außere Lasten einnehmen w¨ urde. Der zeitliche Verlauf der Position eines Punktes X ∈ Ω wird beschrieben durch eine Abbildung t → x t, X mit einer Zeitvariablen t. Dabei sind folgende Annahmen sinnvoll: A 1) x t0 , X = X, der Punkt wird also gerade durch seine Position zur Zeit t = t0 beschrieben. A 2) Die Abbildung t, X → x t, X ist stetig diﬀerenzierbar. A 3) F¨ ur jedes t ≥ t0 ist Ω X → x t, X ∈ x(t, Ω) invertierbar. # $d ∂x ist positiv f¨ ur A 4) Die Jacobi–Determinante J t, X = det ∂Xjk t, X alle t ≥ t0 , X ∈ Ω.

j,k=1

Hinter den Bezeichnungen X und x verbergen sich zwei verschiedene Typen von Koordinaten: •

Materielle oder Lagrangesche Koordinaten X: Es wird ein bestimmter Materiepunkt betrachtet und dessen Bewegung verfolgt.

•

Eulersche Koordinaten x: Es wird ein fester Punkt im Raum betrachtet, an diesem Punkt sind zu verschiedenen Zeitpunkten in der Regel verschiedene Materiepunkte vorzuﬁnden.

202

5 Kontinuumsmechanik

x(t, ·)

Ω

Ω(t) X x(t, X) Abb. 5.2. Verformung eines Gebietes

Wir bezeichnen die Beschreibung einer (zum Beispiel physikalischen) Variablen • in Lagrangeschen Koordinaten durch Großbuchstaben Φ t, X , •

in Eulerschen Koordinaten durch Kleinbuchstaben ϕ(t, x). Sowohl Φ t, X als auch ϕ(t, x) geben den Wert der Variablen an, die sie darstellen, und zwar • Φ t, X f¨ ur den Materiepunkt“, der in der Referenzkonﬁguration am Ort ” X ist (zum Zeitpunkt t aber an einem ganz anderen Ort sein kann), und •

ϕ(t, x) f¨ ur den Materiepunkt, der zum Zeitpunkt t am Ort x ist.

Es gilt also insbesondere die Beziehung ϕ t, x t, X = Φ t, X . Daraus folgt mit der Kettenregel ∂ϕ ∂x ∂ Φ t, X = t, x t, X + ∇x ϕ t, x t, X · t, X . ∂t ∂t ∂t Es bezeichne

∂x V t, X = t, X ∂t die Geschwindigkeit des Materiepunktes X in Lagrangeschen Koordinaten und v(t, x) = V t, X(t, x)

die Geschwindigkeit in Eulerschen Koordinaten. Deﬁnition 5.1. Der Ausdruck Dt ϕ(t, x) =

∂ϕ (t, x) + ∇ϕ(t, x) · v(t, x) ∂t

heißt materielle Ableitung von ϕ nach t.

5.4 Kinematik

203

¨ Die materielle Ableitung beschreibt die Anderung der durch ϕ in Eulerschen Koordinaten beschriebenen Gr¨ oße f¨ ur einen festen Materiepunkt, der sich zum Zeitpunkt t am Ort x beﬁndet und mit Geschwindigkeit v(t, x) bewegt. Man kann nun zwei Klassen von speziellen Kurven identiﬁzieren: Bahnlinien sind die L¨ osungen der Gleichung y (t) = v(t, y(t)) , sie geben die Kurve an, die ein Materiepunkt im Verlauf der Bewegung durchl¨ auft. Stromlinien sind die L¨ osungen von z (s) = v(t, z(s)) , sie beschreiben eine Momentaufnahme des Geschwindigkeitsfeldes zum Zeitpunkt t. Das Reynoldssche Transporttheorem Wir betrachten nun die Verformung eines K¨ orpers oder Gebietes mit Referenzkonﬁguration Ω ⊂ Rd . Zum Zeitpunkt t f¨ ulle der K¨orper das Gebiet

Ω(t) = x t, X | X ∈ Ω # $d ∂xj (t,X) aus. Die Funktionaldeterminante J t, X = det ∂Xk

j,k=1

Volumen¨anderung des Gebietes, |Ω(t)| =

1 dx =

Ω(t)

beschreibt die

J t, X dX .

Ω

Satz 5.2. (Eulersche Entwicklungsformel) Wenn t, X → x t, X die Bedingungen A1)–A4) erf¨ ullt und t, X → ∂x t, X stetig diﬀerenzierbar ist, dann gilt: ∂t ∂J t, X = ∇ · v(t, x)|x=x(t,X) J t, X . ∂t Wir beweisen zun¨ achst folgendes Resultat: Lemma 5.3. Es sei t → A(t) ∈ Rd,d stetig diﬀerenzierbar und A(t) invertierbar. Dann gilt: d d −1 det A(t) = spur A (t) A(t) det A(t) . dt dt

204

5 Kontinuumsmechanik

Beweis. Es sei aj (t) die j–te Spalte von A(t). Da die Determinante linear bez¨ uglich jeder Spalte ist, folgt mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz d d det A(t) = det a1 (t), . . . , ad (t) dt dt d d = det a1 (t), . . . , aj−1 (t), dt aj (t), aj+1 (t), . . . , ad (t) j=1

=

d

(−1)i+j

d

dt aij (t)

det A(i,j) (t) ,

i,j=1

wobei A(i,j) (t) die Matrix A(t) ohne die i–te Zeile und die j–te Spalte ist. Aus der Cramerschen Regel folgt −1 (−1)i+j det A(j,i) (t) . A (t) ij = det A(t) Insgesamt erh¨ alt man d d d det A(t) = det A(t) aij (t) A−1 (t) ji dt dt i,j=1 −1 d = spur A (t) dt A(t) det A(t) .

Zum Beweis der Eulerschen Entwicklungsformel wendet man Lemma 5.3 auf ∂x die Matrix A(t) = ∂X (t, X) an. Mit der Beziehung ∂ ∂ ∂xi ∂ ∂ ∂xi (t, X) = (t, X) = Vi (t, X) = vi (t, x(t, X)) ∂t ∂Xj ∂Xj ∂t ∂Xj ∂Xj d ∂vi ∂xk (t, x(t, X)) (t, X) = ∂xk ∂Xj k=1

und d ∂aij (t) ∂ A(t) = (A−1 (t))ji spur A−1 (t) ∂t ∂t i,j=1

=

d

(A−1 (t))ji

i,j,k=1

=

d i,k=1

folgt die Behauptung.

δki

∂vi (t, x(t, X))akj (t) ∂xk

∂vi (t, x(t, X)) = ∇ · v(t, x)x=x(t,X) ∂xk

5.4 Kinematik

Folgerung: F¨ ur das Volumen |Ω(t)| =

1 dx = Ω(t)

gilt d |Ω(t)| = dt

205

J t, X dX

Ω

∇ · v(t, x) dx . Ω(t)

Mit Hilfe des Eulerschen Entwicklungssatzes kann man das folgende wichtige Resultat beweisen: Satz 5.4. (Reynoldssches Transporttheorem) Die Abbildung t, X → x t, X erf¨ ulle die Bedingungen A 1)–A 4) und die ∂x t, X und (t, x) → ϕ(t, x) seien stetig diﬀerenzierFunktionen t, X → ∂t bar. Dann gilt . / ∂ϕ d (t, x) + ∇ · ϕ(t, x) · v(t, x) dx . ϕ(t, x) dx = dt Ω(t) Ω(t) ∂t Beweis. Mit der Kettenregel und dem Eulerschen Entwicklungssatz folgt d d ϕ(t, x) dx = ϕ t, x t, X J t, X dX dt Ω(t) dt Ω d ∂ϕ ∂ϕ = t, x t, X + t, x t, X Vk t, X ∂t ∂xk Ω k=1 + ϕ t, x t, X ∇ · v t, x t, X J t, X dX = Ω(t)

∂ϕ (t, x) + ∇ · ϕ(t, x) · v(t, x) ∂t

dx .

" Im Reynoldsschen Transporttheorem beschreibt der Term Ω(t) ∂t ϕ(t, x) dx ¨ ¨ die Folge der zeitlichen Anderung von ϕ, ohne Ber¨ ucksichtigung der Anderung von Ω(t), w¨ ahrend ∇ · (ϕ(t, x) v(t, x)) dx = ϕ(t, x) v(t, x) · n(t, x) dsx Ω(t)

∂Ω(t)

¨ ¨ die Folge der Anderung von Ω(t) angibt, ohne Ber¨ ucksichtigung der Anderung von ϕ. Dabei ist ∂Ω(t) der Rand von Ω(t) und n(t, x) der (nach außen orientierte) Einheitsnormalenvektor an ∂Ω(t). Die gesamte Zeitableitung des Integrals ist die Summe dieser beiden Terme.

206

5 Kontinuumsmechanik

Dichtefunktionen In der Thermodynamik haben wir bereits den Begriﬀ einer extensiven Variablen kennengelernt, deren Wert proportional“ zur Gr¨oße des betrachteten ” Systems“ ist. In der Kontinuumsmechanik werden extensive Variablen durch ” Dichtefunktionen beschrieben. Beispiele sind die Massendichte (oder einfach nur Dichte genannt), die Dichte der inneren Energie, aber auch Kraftdichten. Man unterscheidet dabei massenbezogene, volumenbezogene und ﬂ¨achenbezogene Dichten. Die volumenbezogene Dichte einer Variablen U kann man deﬁnieren durch uV (x) = lim

r→0

U (Br (x)) , V (Br (x))

dabei ist Br (x) die Kugel mit Radius r und Mittelpunkt x, U (Br (x)) der Wert der Variablen U f¨ ur das in Br (x) enthaltene Material“ und V (Br (x)) ” ur ist die Massendichte das Volumen von Br (x). Das einfachste Beispiel hierf¨ (vgl. Abschnitt 5.3) m(Br (x)) (x) = lim r→0 V (Br (x)) mit der Masse m(Br (x)) des in Br (x) enthaltenen Materials. Die massenbezogene Dichte einer Variablen U kann man deﬁnieren durch um (x) = lim

r→0

U (Br (x)) . m(Br (x))

Falls beide Dichten existieren, gilt uV (x) = (x) um (x) . Fl¨ achenbezogene Dichten werden f¨ ur Variablen verwendet, die auf Fl¨achen deﬁniert sind, und deren Gr¨ oße sich pro Einheit Fl¨acheninhalt bezieht. Das wichtigste Beispiel hierf¨ ur sind Kr¨ afte auf Fl¨ achen, im einfachsten Fall etwa der Druck eines Gases auf die Wand eines Beh¨alters. Man betrachtet dabei eine Fl¨ ache Γ im Raum, die ﬂ¨ achenbezogene Dichte einer Variablen U in einem Punkt x ∈ Γ kann man deﬁnieren als uΓ (x) = lim

r→0

U (Γ ∩ Br (x)) , A(Γ ∩ Br (x))

wobei U (Γ ∩ Br (x)) der Wert von U f¨ ur das Fl¨achenst¨ uck Γ ∩ Br (x) (f¨ ur das Beispiel einer Kraftdichte die auf Γ ∩Br (x) wirkende Kraft) und A(Γ ∩Br (x)) der Fl¨ acheninhalt von Γ ∩ Br (x) ist. Die Bedeutung von Dichtefunktionen liegt in der M¨oglichkeit, extensive Variablen durch Integrale u ucken: Ist Ω ⊂ Rd ein ¨ ber ihre Dichtefunktionen auszudr¨

5.5 Erhaltungss¨ atze

207

gegebenes, mit Materie ausgef¨ ulltes Volumen, dann ist der Wert der Variablen U f¨ ur das in Ω enthaltene Material gerade U (Ω) = uV (x) dx = (x) um (x) dx . Ω

Ω

Die h¨ auﬁgsten Dichtefunktionen werden massenbezogene Dichten sein, da die Masse ein besseres Maß f¨ ur die Menge an Material ist als das Volumen. Im Folgenden wird eine nicht n¨ aher speziﬁzierte Dichtefunktion daher immer eine massenspeziﬁsche Dichte sein. Eine Ausnahme ist nat¨ urlich die Massendichte , die ja die volumenbezogene Dichte der Masse darstellt.

5.5 Erhaltungss¨ atze Die Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik basieren auf Erhaltungsprinzipien f¨ ur Masse, Impuls, Drehimpuls und Energie. Wir formulieren die entsprechenden Erhaltungss¨ atze in Eulerschen Koordinaten. Dabei sei

• Ω(t) = x t, X X ∈ Ω ein zeitlich ver¨ anderliches Volumen, •

v(t, x) das dazugeh¨ orige Geschwindigkeitsfeld in Eulerschen Koordinaten, und

•

(t, x) die Massendichte in Eulerschen Koordinaten.

Die Mengen Ω(t) enthalten f¨ ur alle Zeiten t dieselben Massenpunkte. Die Massenerhaltung wird daher beschrieben durch d (t, x) dx = 0 . dt Ω(t) Durch Anwendung des Reynoldsschen Transporttheorems folgt ∂ (t, x) + ∇ · ((t, x) v(t, x)) dx = 0 . Ω(t) ∂t

(5.2)

Diese Gleichung muss f¨ ur jedes geeignete Volumen Ω(t) erf¨ ullt sein, insbesondere auch f¨ ur jedes Teilvolumen eines gegebenen Volumens. Wenn die Funktionen und v glatt genug sind, zum Beispiel stetig diﬀerenzierbar, dann erh¨alt man aus (5.2) eine Formulierung als Diﬀerentialgleichung, man vergleiche dazu Aufgabe 5.5, ∂t + ∇ · ( v) = 0 . (5.3) Das ist die Kontinuit¨atsgleichung. Eine alternative Herleitung beziehungsweise Interpretation der Kontinuit¨atsgleichung erh¨ alt man durch die Anwendung der Massenerhaltung auf einen

208

5 Kontinuumsmechanik

kleinen W¨ urfel Q mit Mittelpunkt x0 und Seitenl¨ange h. Die Massenerhaltung kann man formulieren durch d (t, x) dx + (t, x) v(t, x) · n(t, x) dsx = 0 . dt Q ∂Q ¨ Dabei ist der erste Term die Anderung der Masse in Q, der zweite Term beschreibt den Fluss der Masse durch die Oberﬂ¨ache von Q aus Q heraus. Approximation aller Integrale durch die Mittelpunktsregel liefert hd ∂t t, x0 ) + O h2 d # $ + hd−1 (v) t, x0 + h2 ej · ej + (v) t, x0 − h2 ej · (−ej ) + O h2 = 0 . j=1

ubergang h → 0 liefern dann die Kontinuit¨atsDivision durch hd und Grenz¨ gleichung. Zur Formulierung der Impulserhaltung ben¨ otigt man •

eine massenbezogene Kraftdichte f : Ω(t) → Rd der auf Ω(t) wirkenden Kr¨ afte. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Gravitationskraft, f = −ge3 (f¨ ur d = 3) mit der Erdbeschleunigung g, andere Beispiele sind Kr¨afte aus elektrischen oder magnetischen Feldern.

•

eine ﬂ¨ achenbezogene Kraftdichte b : ∂Ω(t) → Rd der auf den Rand ∂Ω von Ω wirkenden Kr¨ afte.

¨ Der Impulserhaltungssatz besagt, dass die zeitliche Anderung des Impulses p = mv einer Masse m mit Geschwindigkeit v gleich der auf die Masse wirkenden Kraft F ist, d (mv) = F . dt Die kontinuumsmechanische Formulierung ist d (t, x) v(t, x) dx = (t, x) f (t, x) dx + b(t, x) dsx . dt Ω(t) Ω(t) ∂Ω(t) ¨ Das erste Integral beschreibt die zeitliche Anderung des Impulses f¨ ur das Volumen Ω(t), das zweite die gesamte auf Ω(t) wirkende Volumenkraft, das dritte die Summe der auf ∂Ω(t) wirkenden Oberﬂ¨ achenkr¨afte. Mit dem Reynoldsschen Transporttheorem folgt ∂ (t, x) vj (t, x) + ∇ · (t, x) vj (t, x) v(t, x) dx ∂t Ω(t) (5.4) = (t, x) fj (t, x) dx + bj (t, x) dsx Ω(t)

f¨ ur jede Komponente j = 1, . . . , d.

∂Ω(t)

5.5 Erhaltungss¨ atze

209

Ω2

Γ Ω1

n

Abb. 5.3. Zur Deﬁnition des Spannungstensors

Der Spannungstensor ¨ Wir ben¨ otigen nun eine genauere Kenntnis der Ubertragung von Kr¨aften in K¨ orpern. Dazu betrachten wir ein Gebiet Ω, das in Gedanken in zwei Teilgebiete Ω1 und Ω2 zerschnitten sei, wie in Abbildung 5.3 skizziert. Die Schnittﬂ¨ ache Γ sei stetig diﬀerenzierbar. L¨ angs dieser Schnittﬂ¨ache werden Kr¨afte zwischen den K¨ orpern u ¨ bertragen. Axiom (Cauchy 1827) L¨angs Γ ¨ ubt Ω2 eine Kraft auf Ω1 aus, die sich durch eine Kraftdichte b(n; x) ∈ Rd beschreiben l¨asst: FΩ2 →Ω1 = b(n; x) dsx Γ

Dabei ist n = n(x) der in Richtung von Ω2 orientierte Einheitsnormalenvektor auf Γ . Wie im folgenden Satz beschrieben, h¨ angt b linear vom

die Randkraftdichte Normalenvektor n ab. Dabei ist Sd = x ∈ Rd |x| = 1 die Menge der m¨ oglichen Einheitsnormalenvektoren. Satz 5.5. (Cauchy, Existenz des Spannungstensors) Es gelte das Axiom von Cauchy und die Funktionen , v, f , b seien glatt. d Dann gibt es zu jedem x ∈ Γ eine Matrix σ = (σij )i,j=1 , so dass ⎛ ⎞d d b(n; x) = σ(x)n = ⎝ σij (x)nj ⎠ j=1

.

i=1

Der Satz von Cauchy ist eine Folgerung aus dem Axiom von Cauchy und der Impulserhaltung. Beweis des Satzes von Cauchy f¨ ur d = 3. Es sei σ = b(1) , b(2) , b(3) mit b(j) = b(ej , x) = σ(x)ej . F¨ ur n ∈ Sd mit n ∈ / {e1 , e2 , e3 } betrachtet man den

210

5 Kontinuumsmechanik x3

n

x2 x1 Abb. 5.4. Zum Beweis des Satzes von Cauchy

in Abbildung 5.4 dargestellten Tetraeder V mit Seitenﬂ¨achen Sj = ∂V ∩ {x ∈ 3 R3 | xj = 0} und S = ∂V \ 3j=1 Sj . Die Seite S habe dabei die Normale n. Es wird dabei ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit nj > 0 f¨ ur j = 1, 2, 3 angenommen. F¨ ur die Seitenﬂ¨ achen gilt dann |Sj | = |S|nj , j = 1, 2, 3; diese Beziehungen sind Gegenstand von Aufgabe 5.13. Anwendung des Impulserhaltungssatzes (5.4) und des Mittelwertsatzes der Diﬀerentialrechnung liefert ∂ |V | (t, y)vj (t, y) + ∇ · (t, y) vj (t, y) v(t, y) − (t, y)fj (t, y) ∂t =

3

|Sk | bj −ek , x(k) + |S| bj n, x(0)

k=1

mit Punkten y ∈ V , x(k) ∈ Sk , x(0) ∈ S. Division durch |S| und Grenz¨ uber| |Sk | → 0 und = n gang |S| → 0 liefert mit |V k |S| |S| 0=

3

nk b(−ek , x) + b(n, x) .

k=1

Da b als glatt vorausgesetzt war, folgt aus den Grenz¨ uberg¨angen n → ej , j = 1, 2, 3: b −ej , x = −b ej , x . Dies impliziert das Kr¨ aftegleichgewicht FΩ2 →Ω1 = −FΩ1 →Ω2 . Insgesamt folgt damit f¨ ur allgemeine n ∈ Sd b(n, x) =

3 b ek , x nk = σ(x)n . k=1

Wir kehren nun wieder zur Formulierung des Impulserhaltungssatzes zur¨ uck. Mit dem Spannungstensor und dem Satz von Gauß l¨asst sich die Oberﬂ¨achenkraftdichte in (5.4) schreiben als

5.5 Erhaltungss¨ atze

b(x) dsx =

∂Ω(t)

211

∇ · σ(x) dx ,

σ(x) n(x) dsx = ∂Ω(t)

Ω(t)

dabei ist die Matrixdivergenz“ ∇ · σ deﬁniert durch ” d d ∇ · σ(x) = ∂xk σjk (x) . k=1

j=1

Der Impulserhaltungssatz lautet dann ∂t ( vj ) + ∇ · ( vj v) − fj − (∇ · σ)j dx = 0 . Ω(t)

Mit der Kontinuit¨ atsgleichung folgt: ( ∂t vj + v · ∇vj − (∇ · σ)j − fj ) dx = 0 ; Ω(t)

denn ∂t ( vj ) + ∇ · ( vj v) = vj (∂t + ∇ · ( v)) + (∂t vj + v · ∇vj ) . F¨ ur stetig diﬀerenzierbare , v, σ gibt es auch hier eine Formulierung als Diﬀerentialgleichung, ∂t vj + v · ∇vj − (∇ · σ)j − fj = 0 . Diese Formulierung in Komponenten kann man mit Hilfe des Diﬀerentialoped ' rators v · ∇ = vj ∂xj kompakt zusammenfassen als j=1

(∂t v + (v · ∇)v) − ∇ · σ = f .

(5.5)

Die Drehimpulserhaltung ist f¨ ur starre K¨ orper beziehungsweise starr verbundene Massenpunkte gegeben durch d L(t) = M (t) , dt mit dem Drehimpuls L(t) und dem Drehmoment M (t). F¨ ur einen Massenpunkt mit Position x, Geschwindigkeit v und Masse m sind Drehimpuls und Drehmoment bez¨ uglich des Drehpunktes x(0) gegeben durch L = x − x(0) × (mv) und M = x − x(0) × F , dabei ist F die am Massenpunkt angreifende Kraft. F¨ ur starr verbundene Massenpunkte muss man die Summe dieser Terme f¨ ur alle Massenpunkte bilden, bei starren K¨ orpern hat man eine entsprechende Integraldarstellung.

212

5 Kontinuumsmechanik

In der Kontinuumsmechanik l¨ asst sich die Drehimpulserhaltung formulieren als d x − x(0) × (v)(t, x) dx = x − x(0) × ( f )(t, x) dx dt Ω(t) Ω(t) + x − x(0) × (σn)(t, x) dsx . ∂Ω(t)

Das erste Integral hier ist der Drehimpuls des Gebietes Ω(t), das zweite und dritte Integral beschreiben die von den Volumenkr¨aften und den Oberﬂ¨achenkr¨ aften erzeugten Drehmomente. Wir wenden nun das Reynoldssche Transporttheorem auf die linke Seite an. F¨ ur den Umgang mit Vektorprodukten ist die Notation (5.1) n¨ utzlich. Es gilt dann: ∇·

3 (0) ∂xj εik xk − xk v vj ) x − x(0) × ( v) i v = j,k, =1

=

3

εik δjk v vj +

j,k, =1

3

(0) εik xk − xk ∂xj ( v vj )

j,k, =1

⎛ ⎛ ⎞⎞ 3 = ⎝ x − x(0) × ⎝ ∂xj ( vj v)⎠⎠ j=1

i

und das Reynoldssche Transporttheorem liefert d x − x(0) × ( v) dx dt Ω(t) 3 (0) x−x × ∂t ( v) + = ∂xj ( vj v) dx . Ω(t)

j=1

Der Drehimpulserhaltungssatz nimmt dann folgende Form an: 3 x − x(0) × ∂t ( v) + ∂xj ( vj v) dx

Ω(t)

= Ω(t)

j=1

x − x(0) × ( f ) dx +

x − x(0) × (σn) dsx .

∂Ω(t)

Eine Folgerung aus der Drehimpulserhaltung ist Satz 5.6. Es seien , v, f, b glatt genug und es gelte der Impulserhaltungssatz und der Drehimpulserhaltungssatz. Dann ist der Spannungstensor symmetrisch, d.h. σjk = σkj f¨ ur j, k = 1, 2, 3.

5.5 Erhaltungss¨ atze

213

Beweis. Es sei a ∈ R3 . Dann folgt aus der Drehimpulserhaltung $ # a· x − x(0) × ∂t ( v) + (∇ · ( v v ))3 =1 dx Ω(t) =a· x − x(0) × ( f ) dx + a · x − x(0) × (σn) dsx . Ω(t)

∂Ω(t)

F¨ ur den letzten Term gilt mit der Formel a · (b × c) = (a × b) · c = det(a b c) x − x(0) × (σn) dsx = a × x − x(0) · σn dsx a· ∂Ω(t)

∂Ω(t)

3

=

∂xj

Ω(t) i,j=1

a × x − x(0) i σij dx

⎛

= Ω(t)

⎞ 3 ⎝ a × x − x(0) · (∇ · σ) + ∂xj a × x − x(0) i σij ⎠ dx . i,j=1

Insgesamt erh¨ alt man a × x − x(0) · ∂t ( v) + (∇ · ( v v ))3 =1 − f − ∇ · σ dx Ω(t)

=

3

Ω(t) i,j=1

∂xj a × x − x(0) i σij dx .

Aus der Impulserhaltungsgleichung folgt, dass die linke Seite hier gleich Null ist. Dies gilt f¨ ur jedes Gebiet Ω. Folglich ist (vgl. Aufgabe 5.5) 3

∂xj a × x − x(0) i σij = 0 .

i,j=1

⎞ 0 ⎜ (0) ⎟ F¨ ur a = e1 gilt e1 × x − x(0) = ⎝− x3 − x3 ⎠ und (0) x2 − x2 ⎛

0=

3

∂xj a × x − x(0) i σij = −σ23 + σ32

i,j=1

impliziert σ23 = σ32 . Analog zeigt man σ13 = σ31 (mit a = e2 ) und σ12 = σ21 (mit a = e3 ). Bemerkung. Bei der Formulierung der Drehimpulserhaltung haben wir ein sogenanntes nichtpolares Medium vorausgesetzt, das keine inneren, d.h. mikroskopischen Drehimpulse aufnehmen kann. Medien mit internen Drehimpulsen heißen polare Medien oder Cosserat–Kontinua. In diesem Fall gilt

214

5 Kontinuumsmechanik

der Drehimpulserhaltungssatz nicht in der oben formulierten Form und der Spannungstensor ist dann nicht notwendigerweise symmetrisch. Zur Formulierung des Energieerhaltungssatzes ben¨otigt man eine massenbezogene Dichte der inneren Energie u = u(t, x), einen W¨armeﬂuss q = q(t, x) und eine massenbezogene Dichte g(t, x) der W¨armequellen. Der W¨armeﬂuss q ist eine ﬂ¨ achenbezogene Energiestromdichte, konkret beschreibt q · n = lim

∆t→0 ∆A→0

∆Q ∆t ∆A

n¨ aherungsweise die W¨ armemenge ∆Q, die pro Zeiteinheit ∆t durch eine Fl¨ ache mit Normalenvektor n und Fl¨ acheninhalt ∆A ﬂießt. Ein konkretes Beispiel f¨ ur eine W¨ armequelle g ist durch elektromagnetische Strahlung zugef¨ uhrte Energie, etwa durch Mikrowellen. Der Energieerhaltungssatz lautet dann: 1 2 d |v| + u dx = f · v dx + σn · v dsx dt Ω(t) 2 Ω(t) ∂Ω(t) − q · n dsx + g dx . ∂Ω(t)

Ω(t)

¨ Die linke Seite hier beschreibt die "zeitliche Anderung der Energie, beste1 2 hend aus der kinetischen Energie Ω(t) 2 |v| dx und der inneren Energie " Ω(t) u dx. Der erste und zweite Term auf der rechten Seite beschreibt die durch Volumenkr¨ afte und Oberﬂ¨ achenkr¨ afte zugef¨ uhrte Leistung, der dritte Term die durch den Abﬂuss von W¨ arme u ber den Rand verlorene W¨arme¨ energie, der vierte Term die durch a ußere W¨ a rmequellen zugef¨ uhrte Energie. ¨ Mit dem Reynoldsschen Transporttheorem und dem Satz von Gauß folgt: , ∂t 12 |v|2 + u + ∇ · 12 |v|2 + u v Ω(t)

− f · v − ∇ · (σ v) + ∇ · q − g dx = 0 .

Die entsprechende Formulierung als Diﬀerentialgleichung ist ∂t 12 |v|2 +u +∇· 12 |v|2 +u v − f ·v −∇·(σ v)+∇·q − g = 0 . (5.6) Durch Einsetzen der Kontinuit¨ atsgleichung (5.3) kann man dies vereinfachen zu ∂t 12 |v|2 + u + v · ∇ 12 |v|2 + u − f · v − ∇ · (σ v) + ∇ · q − g = 0 . Die kinetische Energie kann man mit Hilfe der Impulserhaltungsgleichung (5.5) eliminieren:

5.5 Erhaltungss¨ atze

∂t

⎛

215

⎞

d d 1 2 2 ⎝ vi ∂t vi + + v · ∇ = |v| |v| vi vj ∂xi vj ⎠ 2 2

1

i=1

= v · ∂t v + (v · ∇)v = v · ∇ · σ + f

j=1

Es gilt v · (∇ · σ) − ∇ · (σ v) =

d #

d $ vi ∂xj σij − ∂xj (σij vi ) = − σij ∂xj vi

i,j=1

i,j=1

=: −σ : Dv , d dabei deﬁniert Dv = ∂xj vi i,j=1 die Ableitungsmatrix von v und :“ das ” Skalarprodukt zweier Matrizen, A : B :=

d

ajk bjk .

j,k=1

Dadurch erh¨ alt man folgende Formulierung des Energieerhaltungssatzes: ∂t u + v · ∇u − σ : Dv + ∇ · q − g = 0 .

(5.7)

Erhaltungsgleichungen f¨ ur Mehrkomponentensysteme: Bei Mischungen aus mehreren Komponenten gilt zus¨ atzlich eine Erhaltungsgleichung f¨ ur jede dieser Komponenten. Die Zusammensetzung der Mischung kann durch massenbezogene Konzentrationen ci der Komponenten i ∈ {1, . . . , M } bei (Br (x)) schrieben werden. Konkret gilt ci (x) = lim m m(Br (x)) , wobei mi die Masse r→0

von Komponente i, m die Gesamtmasse aller Komponenten und Br (x) die Kugel mit Radius r und Mittelpunkt x bezeichnet. Oﬀensichtlich ist M

ci = 1 .

i=1

Außerdem ben¨ otigt man den (typischerweise durch Diﬀusion erzeugten) Fluss ji der Komponente i und eine Rate ri , mit der Komponente i produziert oder verbraucht wird, zum Beispiel durch chemische Reaktionen. Konkret gibt ji · n die Masse von Komponente i an, die pro Zeiteinheit und Fl¨acheneinheit durch eine Fl¨ ache mit Normalenvektor n ﬂießt; ri ist die volumenbezogene ¨ Anderung der Masse von Komponente i pro Zeit- und Masseneinheit (der gesamten Masse). Der Erhaltungssatz f¨ ur Komponente i ist dann d ci dx = ri dx − ji · n dsx . dt Ω(t) Ω(t) ∂Ω(t) ¨ Das erste Integral beschreibt die Anderung der Gesamtmasse der Spezies i im Gebiet Ω(t), das zweite Integral die Produktion oder den Verbrauch von

216

5 Kontinuumsmechanik

Spezies i und das dritte Integral den Fluss von Spezies i u ¨ ber den Rand des Gebietes. Anwendung des Reynoldsschen Transporttheorems und des Satzes von Gauß liefert # $ ∂t ( ci ) + ∇ · ( ci v) − ri + ∇ · ji dx = 0. Ω(t)

Unter Ber¨ ucksichtigung der Kontinuit¨ atsgleichung ergibt sich die folgende Formulierung als Diﬀerentialgleichung ∂t ci + v · ∇ci − ri + ∇ · ji = 0 . ussen Nebenbedingungen erf¨ ullen, so dass Die Fl¨ usse ji und 'Mdie Raten ri m¨ die Bedingung i=1 ci = 1 im Laufe der Evolution erf¨ ullt bleibt. Wir fordern M

∇ · ji = 0 und

i=1

M

ri = 0 .

i=1

Die erste Bedingung ist zum Beispiel erf¨ ullt, falls

'M

i=1 ji

= 0 gilt.

Zusammenfassung Wir haben nun die wesentlichen Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik in Eulerschen Koordinaten beisammen: Die Kontinuit¨atsgleichung, die aus der Massenerhaltung folgt, ∂t + ∇ · ( v) = 0 ; die Impulserhaltungsgleichung ∂t v + (v · ∇)v − ∇ · σ = f ; die Energieerhaltungsgleichung ∂t u + v · ∇u − σ : Dv + ∇ · q = g und die Spezieserhaltungsgleichungen ∂t ci + v · ∇ci + ∇ · ji = ri f¨ ur i = 1, . . . , M .

(5.8)

Die zu berechnenden Gr¨ oßen sind die Dichte , das Geschwindigkeitsfeld v, die Temperatur T und die Konzentrationen c := (c1 , . . . , cM ). Weitere noch unbestimmte Gr¨ oßen sind der Spannungstensor σ, der W¨armeﬂuss q und der Speziesﬂuss ji . Diese Gr¨ oßen m¨ ussen durch konstitutive Gesetze festgelegt werden, die das Verhalten der unterschiedlichen Materialien modellieren, und in der Regel im Zusammenhang mit experimentellen Messungen bestimmt werden.

5.6 Konstitutive Gesetze

217

5.6 Konstitutive Gesetze Die im vorhergehenden Kapitel hergeleiteten Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik sind f¨ ur alle Materialien g¨ ultig, und insbesondere auch f¨ ur verschiedene Aggregatzust¨ ande, also f¨ ur Feststoﬀe, Fl¨ ussigkeiten und Gase. Die Eigenschaften eines bestimmten Materials werden durch konstitutive Gesetze beschrieben. Ansatzpunkt hierf¨ ur sind noch unbestimmte Gr¨oßen in diesen Grundgleichungen, also •

der Spannungstensor σ,

•

der W¨ armeﬂuss q,

•

der Fluss ji der Spezies i,

•

eine thermodynamische Zustandsgleichung F (T, , p) = 0 mit der Temperatur T und dem Druck p sowie eine konstitutive Gleichung f¨ ur die innere Energie, zum Beispiel von der Form u = u(T, , c1 , . . . , cM ).

Je nach betrachtetem Ph¨ anomen ben¨ otigt man manche der oben aufgef¨ uhrten Gleichungen, andere dagegen nicht. Wir geben nun einige Beispiele f¨ ur konstitutive Gesetze an und diskutieren in den Abschnitten 5.7 und 5.8, welche Einschr¨ ankungen an konstitutive Gesetze beachtet werden m¨ ussen. •

Das Fouriersche Gesetz der W¨ armeleitung: q = −K∇T

(5.9)

mit der W¨armeleitf¨ahigkeit K. Diese wird im allgemeinen eine Matrix aus Rd,d sein, in vielen F¨ allen auch eine skalare Gr¨oße. Sie kann, je nach Anwendung, von der Temperatur T , der Dichte , dem Temperaturgradienten angen. Das Fourier∇T , und dem Konzentrationsvektor c = (ci )M i=1 abh¨ sche Gesetz folgt aus der Beobachtung, dass W¨arme von Bereichen hoher Temperatur zu Bereichen niedriger Temperatur ﬂießt; und −∇T zeigt gerade in die Richtung des st¨ arksten Abfalls der Temperatur. Bei isotropen Materialien, deren Eigenschaften in alle Richtungen des Raumes gleich sind, ist K ein skalarer Faktor; er wird dann oft auch mit λ bezeichnet. Bei anisotropen Materialien, zum Beispiel Faserverbundwerkstoﬀen, ist K eine Matrix, da die W¨ armedurchl¨ assigkeit von der Richtung abh¨angt. •

F¨ ur ein bin¨ ares System, d.h. M = 2 im Mehrkomponentensystem aus Abschnitt 5.5, k¨ onnen wir die Bedingung c1 + c2 = 1 nutzen, um den Zustand der Konzentrationen mit Hilfe von nur einer Variablen zu beschreiben. ur c gilt dann im einfachsten Fall das Wir setzen c = c1 und j = j1 . F¨ Diﬀusionsgesetz j = −D∇c

218

5 Kontinuumsmechanik

mit einer Diﬀusionskonstanten D. Diese kann von T , , c abh¨angen. Die Begr¨ undung dieses Gesetzes ist dieselbe wie beim Fourierschen Gesetz: Diffusion f¨ uhrt zum Fluss aus Bereichen h¨ oherer Konzentration zu Bereichen niedriger Konzentration. Das Diﬀusionsgesetz l¨asst sich auch stochastisch herleiten, dabei wird der Diﬀusionsprozess durch eine große Anzahl sogenannter random walker“ beschrieben; dies werden wir in Abschnitt 6.2.9 ” noch diskutieren. Eine andere M¨ oglichkeit, ein konstitutives Gesetz f¨ ur den Fluss j zu formulieren, nutzt die Thermodynamik von Mischungen. In Abschnitt 3.8 hatten wir schon diskutiert, dass in isothermen, isobaren Situationen Mischungen danach streben, die freie Enthalpie oder ¨ aquivalent dazu die freie Energie zu minimieren. Das chemische Potential, das sich als Ableitung der freien Energie nach der Konzentration ergibt, ist dann die Triebkraft f¨ ur die Diﬀusion. Ist die Dichte der freien Energie durch den funktionalen Zusammenhang f = f (c) gegeben, so postuliert man in der irreversiblen Thermodynamik j = −L∇µ mit

µ(c) = f (c) .

Dabei kann die Mobilit¨ at L ≥ 0 von c abh¨angen. L¨ost c : [0, T ] × Ω → R die Gleichung ∂t c − ∇ · (L∇µ) = 0 und gilt ∇µ · n = 0 auf ∂Ω mit der ¨ außeren Normale n, so folgt d f (c) dx ≤ 0 , dt Ω

(5.10)

das bedeutet, die freie Energie kann nur abnehmen. •

Der Spannungstensor bei reibungsfreien Str¨omungen: Bei reibungsfreien Str¨ omungen k¨ onnen nur Druckkr¨ afte u ¨bertragen werden. Die Kraftdichte auf eine Fl¨ ache mit Normalenvektor n ist dann gerade −p n. Der entsprechende Spannungstensor ist also σ = −p I

mit der Einheitsmatrix I und dem Druck p.

(5.11)

Str¨ omungen k¨ onnen als reibungsfrei angenommen werden, wenn atomare oder molekulare Wechselwirkungen benachbarter Teilchen vernachl¨assigbar sind. Dies ist insbesondere bei Gasen unter niedrigem Druck sinnvoll. •

Der Spannungstensor bei viskosen Str¨ omungen mit innerer Reibung: Auf der mikroskopischen Skala diﬀundieren Molek¨ ule vom schnelleren Teil einer Str¨ omung in den langsameren und umgekehrt, wie in Abbildung 5.5 dargestellt. Wenn molekulare Wechselwirkungen nicht vernachl¨assigt werden k¨ onnen, dann beschleunigen schnelle Teilchen benachbarte langsame Teilchen und langsame Teilchen bremsen benachbarte schnelle Teilchen.

5.6 Konstitutive Gesetze

219

Abb. 5.5. Zur Erl¨ auterung der Viskosit¨ at

Makroskopisch wird dies durch zus¨ atzliche Kraftdichten sichtbar, die im Spannungstensor auftreten. Die zus¨ atzlichen Terme h¨angen von Dv ab, da Dv die lokalen Geschwindigkeitsunterschiede beschreibt: σ = σ(p, Dv, . . .). Durch eine genauere Analysis, die wir in Abschnitt 5.9 ausf¨ uhrlicher beschreiben werden, kann man zeigen: – σ h¨ angt nur vom symmetrischen Anteil ε(v) = 12 Dv + (Dv) ab. – Wenn σ aﬃn linear von Dv abh¨ angt, dann gilt σ = 2 µ ε(v) + λ spur (ε(v)) I − p I . Man erh¨ alt dann den Spannungstensor σ = µ Dv + (Dv) + λ ∇ · v I − p I

(5.12)

mit der Volumenviskosit¨at λ und der Scherviskosit¨at µ. Die Viskosit¨aten k¨ onnen dabei von anderen Parametern abh¨angen, insbesondere von der Temperatur und eventuell dem Konzentrationsvektor. Basierend auf diesen konstitutiven Gesetzen kann man einige f¨ ur die Anwendungen wichtige Diﬀerentialgleichungsmodelle formulieren. Die W¨ armeleitungsgleichung Einen W¨ armediﬀusionsprozess ohne Str¨ omung kann man mit der Energieerhaltungsgleichung beschreiben, wenn man dort v = 0 setzt und als konstante bekannte Gr¨ oße annimmt. Da u die massenspeziﬁsche Dichte der inneren Energie ist, folgt aus der Thermodynamik ∂t u = cV (T ) ∂t T

220

5 Kontinuumsmechanik

mit der speziﬁschen W¨ arme cV (T ) bei konstantem Volumen. Die innere Energie einer Masse m mit Temperatur T ist n¨ amlich gerade U (T, m) = m u(T ), und cV (T ) ist deﬁniert durch ∂U ∂T (T, m)

= cV (T ) m .

Wenn man den W¨ armeﬂuss durch das Fouriersche Gesetz beschreibt, erh¨alt man die W¨ armeleitungsgleichung cV ∂t T − ∇ · (λ∇T ) = g mit W¨ armeleitf¨ahigkeit λ. Dies ist ein typisches Beispiel f¨ ur eine parabolische Diﬀerentialgleichung. Die speziﬁsche W¨ arme und die W¨armeleitf¨ahigkeit k¨ onnen von T abh¨ angen, werden aber in vielen Anwendungen als konstant angenommen. Die entdimensionalisierte Version der W¨armeleitungsgleichung f¨ ur konstante , cV , λ hat die Form ∂t T − ∆T = g . Bei zeitlich unabh¨ angigen Randbedingungen konvergieren die L¨osungen der W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur große Zeit in der Regel gegen eine zeitunabh¨angige Funktion; wir werden das in Abschnitt 6.2.2 zeigen. Diese ist eine L¨osung der station¨aren W¨ armeleitungsgleichung −∇ · (λ∇T ) = g .

(5.13)

Dies ist ein typisches Beispiel f¨ ur eine elliptische Diﬀerentialgleichung. Die entdimensionalisierte Version f¨ ur konstante W¨ armeleitf¨ahigkeit ist die PoissonGleichung −∆T = g . Als einfaches Beispiel betrachten wir den W¨ armeﬂuss durch eine Wand der Dicke a mit Temperatur TI an der Innenseite und TA an der Außenseite. Wir nehmen an, dass die Temperatur nur in der Richtung senkrecht zur Wand variiert, so dass man bei einer geeigneten Wahl des Koordinatensystems T = alt dann das Randwertproblem T (x1 ) voraussetzen kann. Man erh¨ T (x1 ) = 0 f¨ ur x1 ∈ (0, a) ,

T (0) = TI ,

T (a) = TA

mit L¨ osung

x1 (TA − TI ) . a Der zugeh¨ orige W¨ armeﬂuss ist parallel zur x1 –Achse und lautet T (x1 ) = TI +

q = −λ T (x1 ) =

λ (TI − TA ) . a

Der W¨ armeverlust ist also proportional zur Temperaturdiﬀerenz und zur W¨armedurchl¨assigkeit λa der Wand.

5.6 Konstitutive Gesetze

221

Die Eulerschen Gleichungen der Gasdynamik Als erstes Beispiel aus der Str¨ omungsmechanik betrachten wir Str¨omungen ohne innere Reibung, also mit dem Spannungstensor σ = −pI aus (5.11). Es gilt dann ∇ · σ = −∇p und σ : Dv =

d

σij ∂xj vi = −p ∇ · v .

i,j=1

Aus der Kontinuit¨ atsgleichung sowie den Gleichungen f¨ ur die Erhaltung von Impuls und Energie folgt: ∂t + ∇ · ( v) = 0 , ∂t v + (v · ∇)v = −∇p + f , ∂t u + v · ∇u + p ∇ · v − ∇ · (K∇T ) = g . Dabei wird der W¨ armeﬂuss durch das Fouriersche Gesetz beschrieben. Die Dichte u der inneren Energie und der Druck p m¨ ussen als Funktionen der Variablen und T bekannt sein; diese Funktionen beschreiben die thermodynamischen Eigenschaften des betrachteten Materials. F¨ ur ideale Gase gilt zum Beispiel u(, T ) = cV T mit der speziﬁschen W¨arme cV bei konstantem Volumen, die hier von T unabh¨ angig ist, und p(, T ) = cR T mit der Gaskonstanten cR = kB /m0 , wobei kB die Boltzmann–Konstante und m0 die Masse eines Gasteilchens ist. Die Gleichung f¨ ur den Druck folgt aus der Zustandsgleichung in der Form pV = N kB T f¨ ur ein System aus N Teilchen, wenn man V = m/ mit der Masse m = N m0 setzt. Bei d Raumdimensionen hat man dann d + 2 Gleichungen f¨ ur d + 2 Unbekannte , T , v1 , . . . , vd . Ein Spezialfall der Eulerschen Gleichungen beschreibt isotherme kompressible reibungsfreie Str¨ omungen, wo die Temperatur als konstant angenommen wird. Dies ist zul¨ assig, wenn nur kleine Unterschiede der Dichte auftreten, und keine außeren W¨ armequellen (zum Beispiel durch Verbrennungsprozesse) vorhanden ¨ sind. Das System der Euler–Gleichungen vereinfacht sich dann zu ∂t + ∇ · ( v) = 0 , ∂t v + (v · ∇)v = −∇p + f . Die Funktion p = p() folgt aus der thermodynamischen Zustandsgleichung f¨ ur die vorgegebene Temperatur. Ein weiterer Spezialfall sind inkompressible reibungsfreie Str¨omungen. Eine Str¨ omung ist inkompressibel, wenn die Dichte als konstant angenommen werden kann. Dies ist insbesondere bei vielen Fl¨ ussigkeiten sinnvoll, wo eine kleine ¨ ¨ Anderung der Dichte nur durch eine große Anderung des Drucks hervorgerufen werden kann. F¨ ur isotherme, inkompressible, reibungsfreie Str¨omungen erh¨ alt man die Gleichungen

222

5 Kontinuumsmechanik

∇·v = 0, ∂t v + (v · ∇)v = − 1 ∇p + f . In d Raumdimensionen sind dies d+1 Gleichungen f¨ ur d+1 unbekannte Funkotigt hier keine thermodynamische Zustandsgleitionen v1 , . . . , vd , p. Man ben¨ chung f¨ ur den Druck mehr. Das Navier–Stokes–System f¨ ur isotherme kompressible viskose Str¨ omungen Viskose Str¨ omungen sind Str¨ omungen, bei denen die innere Reibung nicht vernachl¨ assigt werden kann. Der Spannungstensor ist dann durch (5.12) gegeben. Es folgt (∇ · σ)i =

d j=1

∂xj σij =

d µ(∂xj ∂xi vj + ∂x2j vi ) + λ ∂xi ∂xj vj − ∂xi p j=1

= µ ∆vi + (λ + µ) ∂xi ∇ · v − ∂xi p . Zusammenfassung der Kontinuit¨ atsgleichung und der Impulserhaltungsgleichung liefert das Navier–Stokes–System f¨ ur kompressible, isotherme Str¨omungen ∂t + ∇ · ( v) = 0 , ∂t v + (v · ∇) v − µ ∆v − (λ + µ)∇ ∇ · v = −∇p + f . Hier wird ebenfalls eine thermodynamische Zustandsgleichung der Form p = p() ben¨ otigt. Man erh¨ alt dann d + 1 Gleichungen f¨ ur d + 1 Unbekannte , v1 . . . , vd . Die Navier–Stokes–Gleichungen f¨ ur inkompressible viskose Str¨ omungen F¨ ur konstante Dichte folgt aus der Kontinuit¨atsgleichung und der Impulserhaltungsgleichung das Navier–Stokes–System f¨ ur inkompressible viskose Str¨ omungen ∇·v = 0, ∂t v + (v · ∇)v − η ∆v = − 1 ∇p + f .

(5.14)

Die Impulserhaltungsgleichung wurde hier durch die konstante Dichte geteilt, η = µ/ ist die kinematische Viskosit¨ at, µ heißt dynamische Viskosit¨at. In der Literatur ﬁndet man h¨ auﬁg auch Varianten der Navier–Stokes–Gleichungen mit ∇p anstelle von 1 ∇p; dies entspricht einer Reskalierung des Drucks. Der

5.6 Konstitutive Gesetze

223

Term (λ + µ) ∇ ∇ · v f¨ allt weg, da ∇ · v = 0. Bei d Raumdimensionen hat man d + 1 Gleichungen f¨ ur die d + 1 Unbekannten v1 , . . . , vd und p. Man ben¨otigt also insbesondere keine thermodynamische Zustandsgleichung f¨ ur den Druck p. Trotzdem kann man dem Druck eine Bedeutung zuweisen, die mit der Nebenbedingung“ ∇ · v = 0 zusammenh¨ angt, dies wird in Abschnitt 6.5 noch ” n¨ aher erl¨ autert werden. Die Stokes–Gleichungen Bei einer station¨aren inkompressiblen viskosen Str¨omung verschwindet die Zeitableitung ∂t v im Navier–Stokes–System und man erh¨alt das System ∇·v = 0, (v · ∇)v − η ∆v = − 1 ∇p + f .

(5.15)

Wir nehmen nun an, dass |v| und |Dv| klein sind, und man deshalb den Term zweiter Ordnung (v·∇) v vernachl¨ assigen kann. Wir erhalten dann das Stokes– System ∇· v = 0, −η ∆v = − 1 ∇p + f . Wie beim zugrundeliegenden Navier–Stokes–System sind dies d + 1 Gleichungen f¨ ur d + 1 Unbekannte. Um den Anwendungsbereich des Stokes–Systems zu charakterisieren, f¨ uhren wir eine Entdimensionalisierung der station¨ aren Navier–Stokes–Gleichungen durch: Es seien V und charakteristische Gr¨ oßen f¨ ur Geschwindigkeit und = −1 x L¨ ange in einer Str¨ omung. F¨ ur v(x) = V v(−1 x) folgt mit x (v · ∇)v = und η ∆v =

V2 v ( v · ∇) ηV ∆ v, 2

und ∆ u wenn ∇ uglich x deﬁniert sind. Man ¨ ber die partiellen Ableitungen bez¨ erh¨ alt dann die Bedingung V2 V V η 2 , oder 1. η Die dimensionslose Zahl V /η heißt Reynoldszahl. Die Stokes–Gleichungen sind anwendbar f¨ ur station¨ are Str¨ omungen mit sehr kleiner Reynoldszahl. Das ist der Fall bei Fl¨ ussigkeiten mit großer Viskosit¨at, bei kleinen Str¨omungsgeschwindigkeiten und/oder bei Str¨ omungen auf kleinen Gebieten.

224

5 Kontinuumsmechanik

Einfache Beispiele Wir berechnen nun f¨ ur zwei einfache, aber technisch wichtige Beispiele exakte L¨osungen der Navier–Stokes–Gleichungen. Die Couette–Str¨ omung

a

x3 x2 x1

Abb. 5.6. Couette–Str¨ omung

Bei der Couette–Str¨ omung betrachtet man eine viskose Fl¨ ussigkeit zwischen zwei parallelen Platten mit Abstand a, wie in Abbildung 5.6 dargestellt. Eine der Platten ruht, w¨ ahrend sich die andere mit Geschwindigkeit v0 e1 bewegt. Da die Fl¨ ussigkeit viskos ist, hat man das Navier–Stokes–System in osen, die Randbedingungen sind v(t, x1 , x2 , 0) = 0 und Ω = R2 × (0, a) zu l¨ v(t, x1 , x2 , a) = v0 e1 . Wir sind am station¨ aren Fall interessiert und nehmen an, dass die Str¨ omung nur von der Reibung an der bewegten Platte getrieben wird, und nicht von zus¨ atzlichen Druckunterschieden. Eine naheliegende Vermutung ist dann, dass die Geschwindigkeit nur eine Komponente in e1 – Richtung hat und nur von x3 abh¨ angt, und dass der Druck konstant ist. Dies f¨ uhrt zum Ansatz v(t, x) = u(x3 )e1 und p(t, x) = q mit einer Funktion u : (0, a) → R und einer Konstanten q. Es gilt dann ∇ · v = ∂x1 u(x3 ) = 0, ∂t v = 0, (v · ∇)v = v1 ∂x1 v = 0, ∆v = u (x3 )e1 und ∇p = 0. Aus dem Navier–Stokes–System bleibt also die Gleichung −µ u (x3 ) = 0 u ¨ brig. Kombiniert mit den Randbedingungen u(0) = 0, u(a) = v0 erh¨alt man u(x3 ) =

v0 v0 x3 und v(x) = x3 e1 . a a

Die Geschwindigkeit w¨ achst also linear mit dem Abstand zur festen Platte, wie in Abbildung 5.7 dargestellt.

5.6 Konstitutive Gesetze

225

Abb. 5.7. Geschwindigkeitsfeld der Couette–Str¨ omung

Die Poiseuille–Str¨ omung Wir betrachten wieder eine Str¨ omung zwischen zwei parallelen Platten mit Abstand a, diese sollen nun aber beide fest sein. Die Str¨omung soll durch einen Druckunterschied getrieben werden, dazu gibt man zwei Druckwerte ur x1 = 0 , p(t, x) = p1 f¨

p(t, x) = p2 f¨ ur x1 = L mit p1 > p2

vor. Man ist an einer station¨ aren L¨ osung interessiert und nimmt an, dass die Geschwindigkeit nur eine Komponente in x1 –Richtung hat, und nur von x3 abh¨ angt, v(t, x) = u(x3 )e1 . Einsetzen in die Navier–Stokes–Gleichungen liefert −µ u (x3 )e1 = −∇p(x) und die Randbedingungen f¨ ur u sind u(0) = u(a) = 0. Es folgt zun¨achst, dass angen kann, da die zweite und dritte Komponente von ∇p p nur von x1 abh¨ gleich Null sind. Dann h¨ angt die linke Seite der resultierenden Gleichung nur von x3 ab, die rechte Seite nur von x1 ; deshalb m¨ ussen beide Seiten gleich einer Konstanten c sein: µ u (x3 ) = p (x1 ) = c . Aus p (x1 ) = c, p(0) = p1 , p(L) = p2 folgt p(x1 ) = p1 +

p2 − p1 p2 − p1 x1 und c = . L L

Aus µ u (x3 ) = c und u(0) = u(a) = 0 erh¨ alt man u(x3 ) =

p1 − p2 x3 (a − x3 ) . 2µL

Man hat also ein parabolisches Proﬁl der Geschwindigkeit in x3 –Richtung; die 1 −p2 2 a . maximale Geschwindigkeit ist vmax = u a2 = p8µL Wir werden nun ein analoges Problem f¨ ur die inkompressiblen Euler–Gleichungen l¨ osen,

226

5 Kontinuumsmechanik

Abb. 5.8. Geschwindigkeitsproﬁl der Poiseuille–Str¨ omung

∇· v = 0, ∂t v + (v · ∇)v = − 1 ∇p . Da die Euler–Gleichungen f¨ ur Medien ohne innere Reibung gelten, ist die Randbedingung v(t, x) = 0 f¨ ur x3 = 0 und x3 = a nicht sinnvoll; es gibt keinen Grund, warum die Str¨ omung in Randn¨ ahe kleiner sein soll als im Inneren. Wir suchen vielmehr eine L¨ osung, die in x2 – und x3 –Richtung konstant ist und nur eine Komponente in x1 –Richtung hat, also v(t, x) = u(t, x1 )e1 . Aus der Kontinuit¨ atsgleichung ∇ · v(t, x) = ∂x1 u(t, x1 ) = 0 angt. Die Impulserhaltungsgleichung liefert dann folgt, dass u nicht von x1 abh¨ ∂t u(t) = −∂x1 p(t, x) . Da hier die linke Seite nur von t abh¨ angt, muss p bez¨ uglich x1 eine aﬃne Funktion sein, p(t, x1 ) = c1 (t) + c2 (t) x1 . Aus den Randbedingungen p(t, 0) = p1 und p(t, L) = p2 folgt p(t, x) = p1 +

p2 − p1 x1 L

und dann

p1 − p2 t. L Die Geschwindigkeit w¨ achst also linear in der Zeit an und divergiert f¨ ur t → +∞ gegen +∞. u(t) = u(0) +

Der Unterschied zum Ergebnis der Navier–Stokes–Gleichungen erkl¨art sich aus der Vernachl¨ assigung der Viskosit¨ at: Durch die Einspeisung von Fl¨ ussigkeit unter Druck wird dem System kontinuierlich Energie zugef¨ uhrt. Bei den Navier–Stokes–Gleichungen wird im station¨ aren Grenzfall diese Energie durch die innere Reibung der Str¨ omung aufgebraucht (beziehungsweise in W¨armeenergie umgewandelt). Bei den Euler–Gleichungen gibt es keine innere Reibung, es wird daher keine Energie verbraucht und die in der Str¨omung enthaltene kinetische Energie w¨ achst kontinuierlich an.

5.6 Konstitutive Gesetze

227

Potentialstr¨ omungen Eine Str¨ omung ist eine Potentialstr¨omung, wenn das Geschwindigkeitsfeld v ein Potential besitze, also eine Funktion ϕ, so dass v(t, x) = ∇ϕ(t, x) . Potentialstr¨ omungen sind rotationsfrei, denn die Vertauschungseigenschaft f¨ ur zweite partielle Ableitungen impliziert ∇ × v = ∇ × ∇ϕ = 0 . In einem einfach zusammenh¨ angenden Gebiet ist jede rotationsfreie Str¨omung eine Potentialstr¨ omung. F¨ ur allgemeine Gebiete muss das nicht gelten, wie das folgende Beispiel zeigt: Das auf Ω = R2 \ Bε (0), ε > 0 deﬁnierte Geschwindigkeitsfeld ⎛ x2 ⎞ − ⎜ |x|2 ⎟ v(x1 , x2 ) = ⎝ x1 ⎠ |x|2 ist rotationsfrei, x1 x2 |x|2 − 2x22 |x|2 − 2x21 + = 0. + ∂ = ∂x1 x 2 |x|2 |x|2 |x|4 |x|4 Wir nehmen nun an, es gebe ein ϕ : Ω →R mit∇ϕ = v. Wir parametrisiex1 (s) cos s ren den Einheitskreis C = ∂B1 (0) durch = . Im Folgenden sin s x2 (s) bezeichnen wir mit b f · ds = f (γ(s)) · γ (s) ds a

γ

das Kurvenintegral zweiter Art u ¨ ber ein Vektorfeld f : Rd → Rd entlang einer d Kurve γ : [a, b] → R . Es ergibt sich 2π ∂x1 ϕ x1 (s) + ∂x2 ϕ x2 (s) ds ∇ϕ · ds = 0

C

=

0

2π

d ϕ(x1 (s), x2 (s)) ds = ϕ(1, 0) − ϕ(1, 0) = 0 , ds

und andererseits

v · ds = C

2π

0

=

0

2π

v1 x1 + v2 x2 ds (sin2 s + cos2 s) ds = 2π .

228

5 Kontinuumsmechanik

Damit kann die durch v beschriebene Str¨ omung keine Potentialstr¨omung sein. F¨ ur Potentialstr¨ omungen ohne innere Reibung, die den Euler–Gleichungen gen¨ ugen, gilt folgende Aussage: Satz 5.7. (Satz von Bernoulli) Es sei v das Geschwindigkeitsfeld einer Potentialstr¨omung mit Potential ϕ, die der Impulserhaltung mit Spannungstensor σ = −pI und ¨außeren Kr¨aften f = 0 gen¨ ugt. Sei C eine Kurve, die die Punkte a und b in Ω verbindet. Dann gilt ∇p 2 b 1 · ds = 0 . ∂t ϕ + 2 |v| a + C ur alle i, j und damit Beweis. Aus ∇ × v = 0 folgt ∂xi vj = ∂xj vi f¨ (v · ∇)vi =

d j=1

vj ∂xj vi =

d

vj ∂xi vj =

j=1

1 2 ∂x |v| 2 i

und man erh¨ alt aus der Impulserhaltungsgleichung 2 |v| ∇p ∇p 0= ∂t v + (v · ∇)v + ∂t ∇ϕ + ∇ · ds = + · ds 2 C C /b . ∇p |v|2 · ds . + = ∂t ϕ + 2 a C Die Verallgemeinerung des Satzes von Bernoulli auf den Fall f = 0 ist Gegenstand von Aufgabe 5.25. Man muss dabei fordern, dass f ein Potential besitzt; dies ist beispielsweise bei der Gravitationskraft der Fall. Der Satz von Bernoulli impliziert folgende Spezialf¨alle: (i) Ist die Str¨ omung inkompressibel mit konstanter 1 ∇p · ds = ∇p · ds = C C

Dichte , so gilt 1 b [p] . a

(ii) Ist v station¨ ar, das heißt v(t, x) = v(x), und konstant, so ist auch 1 2 p |v| + 2 konstant. Dies impliziert, dass in Bereichen, in denen die Geschwindigkeit h¨ oher ist, der Druck niedriger ist und umgekehrt.

5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik

229

F¨ ur inkompressible Potentialstr¨ omungen folgt aus der Kontinuit¨atsgleichung ∇ · v = ∆ϕ = 0 . Das Potential ist also eine L¨ osung der Laplace–Gleichung. Wie wir in Abschnitt 6.1, Satz 6.4, sehen werden, ist eine solche Str¨omung eindeutig gegeben durch die Normalkomponente v · n des Geschwindigkeitsfeldes am Rand. Dabei muss v · n die Bedingung v · n dsx = 0 (5.16) ∂Ω

erf¨ ullen. Diese Bedingung ist physikalisch leicht zu erkl¨aren: W¨are (5.16) verletzt, dann w¨ urde in der Gesamtbilanz Masse in das Gebiet hinein oder aus dem Gebiet herausﬂießen, und das ist bei inkompressiblen Str¨omungen nicht m¨ oglich. Inkompressible, station¨ are Potentialstr¨ omungen k¨onnen sowohl bei den (inkompressiblen) Euler–Gleichungen als auch beim Navier–Stokes–System als spezielle L¨ osungen auftreten. Der vom viskosen Anteil des Spannungstensors stammende Term −∆v im Navier–Stokes– System verschwindet wegen −∆vj = −∆∂j ϕ = −∂j ∆ϕ = 0 . Damit lautet die Impulserhaltungsgleichung (v · ∇)v + ∇p = 0 . Der Druck muss also ein Potential von (v · ∇)v sein. Dieses Potential ist gerade die negative Dichte der kinetischen Energie p = − 2 |v|2 .

5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik sagt aus, dass es nicht m¨oglich ist, durch bloße Abk¨ uhlung eines W¨ armereservoirs mechanisch nutzbare Energie ¨ zu gewinnen. Aquivalent dazu ist die Aussage, dass W¨arme nicht von selbst aus einem kalten in einen warmen Bereich ﬂießen kann. Hinter diesen Aussagen steckt eine Unterscheidung zwischen mechanisch nutzbarer und mechanisch nicht nutzbarer Energie. Zur pr¨ azisen Formulierung dieser Tatsachen wird eine weitere Zustandsgr¨ oße verwendet, die Entropie. Wir betrachten nun ein thermodynamisches System, das durch seine thermischen und mechanischen Eigenschaften beschrieben werden kann. Bei einer Evolution, die stets im thermodynamischen Gleichgewicht ist, gilt f¨ ur die Entropie

230

5 Kontinuumsmechanik

Q˙ S˙ ≥ , T wobei T die absolute Temperatur und Q die dem System (bis zum betrachteten Zeitpunkt) zugef¨ uhrte W¨ armemenge bezeichnet. Ein System bezeichnet hier eine bestimmte Menge an Materie, das thermodynamische Gleichgewicht kennzeichnet den Zustand, den dieses System bei gegebenen makroskopischen Daten wie etwa Druck oder Temperatur f¨ ur große Zeiten annimmt. Falls keine mechanisch nutzbare Energie verloren geht, dann gilt Q˙ S˙ = , T

(5.17)

solche Prozesse k¨ onnen dann auch r¨ uckw¨arts durchlaufen werden und heißen reversibel. Eine Zustands¨ anderung mit Q˙ S˙ > T ist irreversibel. Die Entropie eines gegebenen Systems ist eine Funktion von makroskopisch beobachtbaren Gr¨ oßen wie etwa dem Druck und der Temperatur. F¨ ur Gase aus Atomen gilt bei geringer Dichte und geringem Druck S = S(T, p) = 52 N kB ln TT0 − N kB ln pp0 , dabei ist N die Anzahl der Teilchen, kB die Boltzmann–Konstante, T0 , p0 sind Referenzwerte f¨ ur Druck und Temperatur. Die Entropie kann man auch als Maß f¨ ur die Unordnung in einem System interpretieren. Wenn sich in einem Gas aus N Teilchen alle Teilchen mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen, dann ist das gr¨oßtm¨ogliche Maß an Ordnung erreicht. Dies entspricht einer reinen Translationsbewegung des Gases, ohne jegliche W¨ armeenergie. Die in dieser Bewegung enthaltene kinetische Energie kann man mechanisch gut nutzen, etwa in einer Turbine. Bei einer vollkommen unkorrelierten Bewegung der Teilchen ist keinerlei makroskopische kinetische Energie im Gas enthalten, sondern nur W¨armeenergie, die mechanisch sehr begrenzt nutzbar ist. Die Translationsbewegung hat eine niedrige, die unkorrelierte Bewegung eine hohe Entropie. Als Unordnung kann man die Anzahl der Mikrozust¨ ande interpretieren, die zu den entsprechenden makroskopisch beobachteten Daten f¨ uhren. Bei der reinen Translationsbewegung sind die Mikrozust¨ ande eindeutig gegeben, bei einer unkorrelierten Bewegung gibt es sehr viele Mikrozust¨ ande, die zu denselben makroskopischen Daten wie Temperatur, Druck, Entropie f¨ uhren. Man kann der Entropie auch eine informationstheoretische Deutung geben. Bei der Translationsbewegung mit niedriger Entropie kennen wir die Bewegung aller Teilchen, bei der unkorrelierten Bewegung mit hoher Entropie wissen wir nur etwas u ¨ ber wenige gemittelte Gr¨ oßen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik sagt in dieser Interpretation aus, dass im Laufe der Zeit die Informationen u ¨ber das System nicht zunehmen k¨ onnen.

5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik

231

Die Entropie ist eine sogenannte extensive Gr¨oße, deren Wert proportional zur Anzahl der Teilchen im betrachteten System ist, und damit auch proportional zur Masse. In der Kontinuumsmechanik verwendet man deshalb eine massenbezogene Dichte der Entropie, die mit s bezeichnet wird. Kontinuumsmechanische Modelle, die thermodynamische Prozesse wie zum Beispiel die Diﬀusion von W¨ arme oder Materie beinhalten, sollten m¨oglichst kompatibel sein mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Modelle, f¨ ur die das rigoros nachgewiesen werden kann, heißen thermodynamisch konsistent. Clausius–Duhem–Ungleichung Um den zweiten Hauptsatz zu formulieren, ben¨otigen wir die absolute Temperatur T > 0, den Druck p, die massenspeziﬁsche Dichte s der Entropie und das speziﬁsche Volumen V = 1 . Der zweite Hauptsatz lautet in Worten: ¨ Entropieﬂuss Anderung der Entropieproduktion ≥ + u Gesamtentropie im Innern. ¨ber dem Rand Aus (5.17) kann man folgern, dass der Entropieﬂuss u ¨ ber den Rand gegeben ist durch W¨ armeﬂuss dividiert durch Temperatur und dass der Entropieproduktionsterm gegeben ist durch W¨ armequellen dividiert durch die absolute Temperatur. Wir erhalten dadurch q·n g d dsx + dx . s dx ≥ − dt Ω(t) T ∂Ω(t) Ω(t) T Wir bemerken allerdings hier ausdr¨ ucklich, dass der Entropieﬂuss in allgemeineren Systemen, etwa wenn mehrere Komponenten vorhanden sind, weitere Terme enthalten kann. Mit Hilfe des Reynoldsschen Transporttheorems und unter Ausnutzung der Tatsache, dass Ω(t) beliebig ist, erhalten wir #q$ g ∂ (s) + ∇ · (sv) ≥ −∇ · + f¨ ur alle t und x . ∂t T T Dies ist die Clausius–Duhem–Ungleichung. Eine fundamentale Forderung der Kontinuumsmechanik ist nun, dass in Systemen, die sich allein durch ihre thermischen und mechanischen Eigenschaften beschreiben lassen, die Clausius– Duhem–Ungleichung f¨ ur alle L¨ osungen der Erhaltungss¨atze gelten muss. Diese Forderung hat einige wichtige Konsequenzen f¨ ur die Art und Weise, in der Gr¨ oßen voneinander abh¨ angen k¨ onnen. Dissipationsungleichung ¨ F¨ ur unsere weiteren Uberlegungen ist folgende Dissipationsungleichung wichtig.

232

5 Kontinuumsmechanik

Satz 5.8. Die Erhaltungsgleichungen (5.3), (5.7) f¨ ur Masse und Energie und die Clausius–Duhem–Ungleichung implizieren die folgende Dissipationsungleichung: 1 (Dt u − T Dt s) − σ : Dv + q · ∇T ≤ 0 , T wobei Dt = ∂t + v · ∇ die materielle Ableitung aus Deﬁnition 5.1 ist. Beweis. Aus der Clausius-Duhem-Ungleichung und der Massenerhaltung folgt: Dt s ≥

1 −∇ · q + g + 2 ∇T · q . T T

(5.18)

Multiplizieren wir (5.18) mit (−T ) und addieren wir das Ergebnis zur Energieerhaltungsgleichung Dt u = −∇ · q + σ : Dv + g ,

so erhalten wir die Behauptung. Satz 5.9. Es gilt folgende Ungleichung f¨ ur die freie Energie f := u − T s: Dt f + s Dt T − σ : Dv +

1 q · ∇T ≤ 0 . T

(5.19)

Diese Aussage ist eine einfache Konsequenz aus Satz 5.8. Konsequenzen f¨ ur konstitutive Beziehungen In unserer Diskussion u ¨ ber den 2. Hauptsatz wollen wir uns auf sogenannte thermoviskoelastische Fluide beschr¨ anken. Ein thermoviskoelastisches Fluid ist ein w¨ armeleitf¨ ahiges Fluid mit viskoser Reibung. Modelle f¨ ur thermoviskoelastische Fluide basieren auf der Massenerhaltung (5.3), der Impulserhaltung (5.5) und der Energieerhaltung (5.7) und konstitutiven Gesetzen, die viskose Reibung im Spannungstensor ber¨ ucksichtigen. Die konstitutiven Beziehungen haben folgende Form: u=u ((, T, ∇T, Dv) , σ=σ ( (, T, ∇T, Dv) , s = s((, T, ∇T, Dv) , q = q((, T, ∇T, Dv) . ¨ Dabei seien u (, σ (, s( und q( glatte Funktionen. Uber die Identit¨at f = u − Ts gilt somit auch f = f((, T, ∇T, Dv) := u ((, T, ∇T, Dv) − T s((, T, ∇T, Dv) .

5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik

233

Coleman–Noll–Prozedur Der zweite Hauptsatz in der Formulierung als Clausius–Duhem–Ungleichung impliziert Einschr¨ ankungen an m¨ ogliche konstitutive Beziehungen. Diese Einschr¨ ankungen sind im folgenden Satz zusammengefasst. Im Folgenden bezeichnen wir die Variablen, die zu ∇T und Dv geh¨ oren, mit X und Y , wir schreiben also q = q((, T, X, Y ). Partielle Ableitungen von konstitutiven Beziehungen ∂ fb . werden durch untere Indizes notiert, also etwa f(,T = ∂T Satz 5.10. Gilt die Clausius–Duhem–Ungleichung f¨ ur alle L¨osungen der Erhaltungss¨atze, so m¨ ussen die konstitutiven Beziehungen notwendigerweise die folgende Form haben: f = f((, T ) , s = s((, T ) = −f(,T (, T ) , ( T, ∇T, Dv) , σ = −( p(, T )I + S(, p((, T ) = 2 f(, (, T ) , q = q((, T, ∇T, Dv) . Weiterhin muss gelten ( T, X, Y ) : Y + −S(,

1 q((, T, X, Y ) · X ≤ 0 T

f¨ ur alle (, T, X, Y ) mit , T > 0. Beweis. Aus der Ungleichung (5.19) f¨ ur die freie Energie folgt: s)Dt T + f(,X ·Dt ∇T f(, Dt + (f(,T +( 1 ( : Dv + q( · ∇T ≤ 0 . + f(,Y : Dt Dv − σ T Dabei seien f(,X beziehungsweise f(,Y die Ableitungen von f((, T, X, Y ) nach der dritten beziehungsweise vierten Variablen. Aus der Massenerhaltung Dt + ∇ · v = 0 und der obigen Ungleichung erhalten wir (f(,T +( s)Dt T + f(,X ·Dt ∇T + f(,Y : Dt Dv 1 −(( σ + 2 f(, I) : Dv + q( · ∇T ≤ 0 . T Die obige Ungleichung muss f¨ ur alle L¨ osungen der Erhaltungsgleichungen gelten. Wenn wir ausnutzen, dass die ¨ außeren Kr¨afte und W¨armequellen oder

234

5 Kontinuumsmechanik

-senken frei w¨ ahlbar sind, k¨ onnen wir beliebige Funktionen f¨ ur , T , ∇T , Dv als L¨ osungen realisieren. In einem festen Punkt (t, x) sind die Werte von , T , ∇T , Dv, Dt T , Dt ∇T , Dt Dv dann frei w¨ ahlbar; dies kann lokal etwa durch eine geeignete endliche Taylorreihe realisiert werden. Da f( und s( Funktionen von (, T, ∇T, Dv) sind, m¨ ussen die Vorfaktoren der Terme Dt T , Dt ∇T , Dt Dv verschwinden. Ansonsten k¨ onnten wir durch Wahl von Dt T , Dt ∇T , Dt Dv bei festem (, T, ∇T, Dv) die Ungleichung verletzen. Ist zum Beispiel s) < 0, so w¨ ahlen wir Dt T negativ und groß und werden einen Wider(f(,T +( spruch erhalten. Es gilt also f(,T + s( = 0 ,

f(,X = 0 und f(,Y = 0 .

Insbesondere ist f( eine Funktion von T und , f( = f((T, ). Setzen wir p((, T ) = 2 f(, (, T ), S( = σ ( + p(I und nutzen wir aus, dass (, T, ∇T, Dv) beliebig gew¨ ahlt werden k¨ onnen, so folgt auch die im Satz behauptete Ungleichung. Bemerkung. Ist σ ( unabh¨ angig von ∇T und q( unabh¨angig von Dv, so folgt ( T, Y ) : Y ≥ 0 , S(,

(5.20)

q((, T, X) · X ≤ 0

(5.21)

f¨ ur alle (, T, X, Y ) mit , T > 0. Die Gibbs–Identit¨ aten und die thermodynamischen Potentiale Die physikalischen Gr¨ oßen, die die makroskopischen Zust¨ande der K¨orper charakterisieren, nennt man thermodynamische Gr¨oßen. Wir wollen eine Reihe von Beziehungen zwischen diesen Gr¨ oßen einf¨ uhren. Diese erlauben es zum Beispiel, die gesuchten Variablen, die zur Beschreibung des Zustands des Systems gew¨ ahlt wurden, zu wechseln. Dies ist oft zweckm¨aßig und wir verweisen in diesem Zusammenhang auch auf die Abschnitte 3.5–3.7. Im vorigen Abschnitt waren und T , neben der Geschwindigkeit v, die gesuchten Gr¨ oßen. Ausgehend von der freien Energie f konnten wir die Gr¨oßen s, u und p bestimmen. Es gilt, wenn man diese Gr¨oßen als Funktionen von und T schreibt, u ( = f( + T s( , s( = −f(,T ,

(5.23)

p( = f(, (, T ) .

(5.24)

2

(5.22)

Wir lassen im Folgenden die H¨ utchen ( weg. Mit der Hilfe von totalen Differentialen (siehe dazu Abschnitt 3.7) schreiben sich die obigen Identit¨aten (5.23) und (5.24) wie folgt

5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik

df = −s dT +

235

p d . 2

In einigen F¨ allen m¨ ochte man von den unabh¨ angigen Variablen (, T ) zu anderen Variablen wechseln. Zwei Beispiele: a) Nutzen wir d( 1 ) = − 12 d und deﬁnieren das speziﬁsche Volumen V = 1 , so erhalten wir df = −s dT − p dV . b) Nutzen wir die Identit¨ at d(T s) = T ds + s dT , so erhalten wir du = d(f + T s) = df + d(T s) = −s dT − p dV + T ds + s dT = −p dV + T ds . Damit haben wir jetzt Folgendes erreicht: a) F¨ ur f = f(T, V ) folgt f,T = −s und f,V = −p. b) F¨ ur u = u∗ (V, s) folgt u∗ ,V = −p und u∗ ,s = T . Eine andere M¨ oglichkeit die Variablentransformation durchzuf¨ uhren, benutzt die Legendre–Transformation aus Abschnitt 3.6. Lagrange–Multiplikatoren Zum Abschluss des Abschnitts u ¨ ber den zweiten Hauptsatz wollen wir ein Beispiel diskutieren, in dem allgemeinere Entropieﬂ¨ usse auftreten. Wir betrachten dazu ein ruhendes System, es gilt also v = 0, mit konstanter Massendichte , in dem zwei Komponenten vorkommen. Als unabh¨angige Variablen w¨ ahlen wir die Temperatur T und die Konzentration c = c1 einer der beiden Komponenten. In dem so speziﬁzierten System gilt die Energiebilanz ∂t u + ∇ · qu = ru

(5.25)

mit dem Energieﬂuss qu und einem Quellterm ru . Weiter erf¨ ullt die Konzentration c die Bilanzgleichung ∂t c + ∇ · qc = rc

(5.26)

mit dem Fluss qc und einem Quellterm rc . Wir wollen nun f¨ ur den Entropieﬂuss qs und den Entropiequellterm rs keine bestimmten Annahmen machen. Wir fordern d s dx ≥ − qs · n dsx + rs dx . dt Ω ∂Ω Ω Da Ω beliebig gew¨ ahlt werden kann, erhalten wir die lokale Form

236

5 Kontinuumsmechanik

∂t s + ∇ · qs ≥ rs .

(5.27)

Eine M¨ oglichkeit, die Entropieungleichung auszunutzen, ohne a priori Annahmen an den Entropieﬂuss zu machen, benutzt Lagrange–Multiplikatoren und geht auf Ingo M¨ uller [94] zur¨ uck. Wir subtrahieren dabei von der Ungleichung (5.27) die mit den Lagrange–Multiplikatoren λu beziehungsweise λc multiplizierten Gleichungen (5.25) beziehungsweise (5.26). Es ergibt sich (∂t s − λu ∂t u − λc ∂t c) + ∇ · qs − rs − λu (∇ · qu − ru ) − λc (∇ · qc − rc ) ≥ 0 .

(5.28)

Wir setzen nun voraus, dass s, u, λu , λc , qu , qc , qs beliebige Funktionen in (T, c, ∇T, ∇c) sind und ru , rc , rs Funktionen sind, die von x, t, T und c abh¨ angen k¨ onnen. W¨ ahlen wir nun rs = λu ru + λc rc , so verschwinden in der Ungleichung (5.28) alle Terme, die ru , rc oder rs enthalten. Die Ungleichung (5.28) ergibt nun (s,T − λu u,T )∂t T + (s,c − λu u,c − λc )∂t c + (s,∇T − λu u,∇T )∂t ∇T (5.29) +(s,∇c − λu u,∇c )∂t ∇c + ∇ · qs − λu ∇ · qu − λc ∇ · qc ≥ 0 . Da wir die Werte von T, c und alle ihre Ableitungen wie bei der Coleman– Noll–Prozedur frei w¨ ahlen k¨ onnen, erhalten wir, dass die Faktoren von ∂t T , ∂t c, ∂t ∇T und ∂t ∇c verschwinden m¨ ussen. Somit ergibt sich s,T − λu u,T = 0 ,

s,c − λu u,c − λc = 0 ,

(5.30)

s,∇T − λu u,∇T = 0 ,

s,∇c − λu u,∇c = 0 .

(5.31)

Klassisch gilt u,T = T s,T , vgl. Kapitel 3, und wir w¨ahlen daher λu =

1 . T

Die Gleichungen (5.30), (5.31) ergeben, wenn wir die freie Energie f beziehungsweise das chemische Potential µ durch f := u − T s beziehungsweise µ := f,c deﬁnieren, f,∇T = f,∇c = 0 und die Identit¨ at λc = −

µ . T

Aus s = −f,T und u = f + T s ergibt sich, dass auch s und u nicht von ∇T und ∇c abh¨ angen. Aus (5.29) folgt dann

5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik

237

# µ$ 1 µ 1 ∇ · qs − qu + qc + ∇ · qu + ∇ − · qc ≥ 0 . T T T T Die Wahl qs =

1 µ qu − qc T T

garantiert nun die Entropieungleichung, falls # µ$ 1 · qc ≥ 0 . ∇ · qu + ∇ − T T

(5.32)

Die linke Seite hier ist die Entropieproduktion und (5.32) fordert also eine positive Entropieproduktion. Wir betrachten die Ableitung der Entropie nach den Erhaltungsgr¨ oßen, d.h. ds =

µ 1 du − dc T T

beziehungsweise ∂u s =

1 T

und ∂c s = −

µ . T

Die Gradienten ∇( T1 ) und ∇(− Tµ ) heißen thermodynamische Kr¨afte und die Entropieproduktion ist gerade die Summe der Produkte aus den thermodynamischen Kr¨ aften und den zugeh¨ origen Fl¨ ussen. Im einfachsten Fall postuliert man in der Thermodynamik einen linearen Zusammenhang zwischen den Fl¨ ussen und den thermodynamischen Kr¨aften und wir erhalten f¨ ur den Energieﬂuss und den Fluss der Komponente 1 qu := L11 ∇( T1 ) + L12 ∇(− Tµ ) ,

qc := L21 ∇( T1 ) + L22 ∇(− Tµ ) .

(5.33) (5.34)

Das Onsagersche Reziprozit¨ atsgesetz impliziert die Symmetrie der Matrix L := (Lij )i,j=1,2 und aus (5.32) ergibt sich zwangsl¨auﬁg, dass die Matrix L positiv semideﬁnit sein muss. Die Tatsache, dass man in der Speziesbilanz in (5.26) eine rechte Seite zulassen muss, ist kritisch, da die Komponenten eventuell nicht beliebig erzeugt beziehungsweise vernichtet werden k¨onnen. Auch haben wir eine bestimmte Form des Entropieﬂusses angenommen, und es ist durchaus m¨ oglich, die Entropieungleichung auch mit anderen Entropieﬂ¨ ussen zu erf¨ ullen. F¨ ur eine allgemeinere Diskussion verweisen wir zum Beispiel auf M¨ uller [94] oder Alt und Pawlow [5]. Die von uns gefundenen Ergebnisse sind dort als Spezialfall enthalten.

238

5 Kontinuumsmechanik

5.8 Beobachterunabh¨ angigkeit Zwei Beobachter, die den gleichen K¨ orper betrachten, werden unterschiedliche Bewegungen festhalten. F¨ ur jemanden, der sich mit einem K¨orper bewegt, wirkt dieser K¨ orper station¨ ar, w¨ ahrend jemand, der sich nicht mit dem K¨orper bewegt, eine Bewegung feststellen wird. Ein Beobachter ist dabei charakterisiert durch ein Koordinatensystem mit Ursprung in der aktuellen Position des Beobachters und Koordinatenachsen, die aus der Orientierung des Be¨ obachters folgen. Wir lassen dabei eine zeitliche Anderung dieses Koordinatensystems zu. Ein Beobachterwechsel entspricht demnach einem Wechsel im Koordinatensystem; er hat ganz bestimmte Eﬀekte auf die grundlegenden Variablen der Kontinuumsmechanik. Die Art und Weise, wie sich Variablen und Gleichungen transformieren, wollen wir nun herausarbeiten. Wir betrachten zun¨ achst zwei orthonormale, positiv orientierte Koordinatensysteme im d–dimensionalen euklidischen Raum,

O, e1 , . . . , ed und O∗ , e1∗ , . . . , ed∗ , unge und ej , ej∗ die Koordinatenvektowobei O und O∗ die Koordinatenurspr¨ ren bezeichnen. Jeder Punkt P hat dann zwei Darstellungen P =O+

d

xj ej = O∗ +

j=1

d

xj∗ ej∗

(5.35)

j=1

bez¨ uglich dieser beiden Basen, mit Koordinatenvektoren x = (x1 , . . . , xd ) und x ∗ = (x∗1 , . . . , x∗d ) . Die Beziehungen zwischen den Koordinaten sind x ∗ = a + Qx mit Verschiebungsvektor a und orthogonaler Matrix Q aus den Darstellungen O − O∗ =

d

aj ej∗ und ej =

j=1

d

Qij ei∗ .

(5.36)

i=1

Da beide Koordinatensysteme positiv orientiert sind, gilt det Q = 1. Im Folgenden nehmen wir an, dass a und Q ausreichend glatte Funktionen der Zeit t sind. Die Koordinaten x und x∗ werden als Lagrangesche Koordinaten u ¨ ber demselben Referenzgebiet interpretiert, (t, X) → x(t, X) , (t, X) → x∗ (t, X) . Dabei gilt

x∗ = F (t, x) mit F (t, x) = a(t) + Q(t)x .

5.8 Beobachterunabh¨ angigkeit

239

Referenzkonﬁguration (die X–Koordinaten)

R(0) x∗ (t, .)

x(t, .) R∗ (t)

R(t)

F (t, .)

x∗ –Koordinaten

x–Koordinaten Abb. 5.9. Beobachterwechsel

Die zugeh¨ origen Geschwindigkeitsfelder in Lagrangeschen Koordinaten v, v ∗ sind deﬁniert durch v(t, x(t, X)) = ∂t x(t, X) und ∗

v (t, x∗ (t, X)) = ∂t x∗ (t, X) . Damit folgt DX x∗ = Dx F DX x = QDX x , v ∗ (t, x∗ ) = ∂t x∗ = ∂t a(t) + ∂t Q(t) x + Q v(t, x) , n∗ = Qn , Dx∗ v ∗ = ∂t Q Dx∗ x + Q Dx∗ v

(5.37)

= ∂t Q Q + Q Dx v Q . Die letzte Identit¨ at gilt, da Dx∗ x = Q und Dx∗ v = Dx v Dx∗ x = Dx v Q . Das Prinzip der Beobachterunabh¨ angigkeit macht nun eine Aussage dar¨ uber, wie sich skalare Gr¨ oßen wie die Temperatur T , Vektorgr¨oßen wie der W¨armeﬂuss q und Tensoren wie der Spannungstensor σ, unter Beobachterwechseln verhalten. Es seien T , , q, b, σ und T ∗ , ∗ , q ∗ , b∗ , σ ∗ die zugeh¨origen Beschreibungen der Temperatur, der Dichte, des W¨armeﬂusses, der (ﬂ¨achenbezogenen) Kraftdichte und des Spannungstensors. Das Prinzip der Beobachterunabh¨ angigkeit fordert T (t, x) = T ∗ (t, x∗ ) = T ∗ (t, a(t) + Q(t)x) , ∗

∗

∗

q(t, x) = Q q (t, x ) = Q q (t, a(t) + Q(t)x)

(5.38) (5.39)

240

5 Kontinuumsmechanik

und

σ(t, x) = Q σ ∗ (t, x∗ )Q = Q σ ∗ (t, a(t) + Q(t)x)Q .

(5.40)

Andere skalare, vektorielle und tensorielle Gr¨oßen ¨andern sich entsprechend. Warum stellen wir diese Forderungen? Die Masse und Temperatur an einem festen Materiepunkt ¨ andern sich nicht durch Beobachterwechsel – es ¨andert sich nur die unabh¨ angige Variable. Deshalb ist Bedingung (5.38) zu stellen. Bedingung (5.39) folgt aus den Darstellungen d j=1

qj ej =

d

qj∗ e∗j

j=1

desselben Vektors im Euklidischen Raum durch die beiden 'd Koordinatensysteme mit Koeﬃzienten qj und qj∗ und der Formel ej = i=1 Qij e∗i . Bedingung (5.40) folgt aus (5.39), angewendet auf die Kraftdichten b = σn und b∗ = σ ∗ n∗ , und die Normalenvektoren n und n∗ : σQ n∗ = σn = b = Q b∗ = Q σ ∗ n∗ . Isotropie Insbesondere bei Feststoﬀen gibt es Materialien, deren Eigenschaften von der Richtung“ abh¨ angen, in die man das Material dreht, oder ¨aquivalent dazu, ” deren Antwort auf eine ¨ außere Einwirkung, zum Beispiel eine mechanische Belastung, von der Richtung dieser Einwirkung abh¨angt. Ein Beispiel hierf¨ ur ist Holz, dessen Beanspruchbarkeit in Richtung der Holzfasern beziehungsweise der Maserung deutlich st¨ arker ist als in Richtungen senkrecht zur Maserung, oder Faserverbundwerkstoﬀe wie etwa glasfaserverst¨arkte Kunststoﬀe, deren Eigenschaften von der Orientierung der Fasermatten abh¨angen. Ein solches Material heißt anisotrop. Ursache f¨ ur Anisotropien bei Modellen in der Kontinuumsmechanik sind in der Regel mikroskopisch kleine Strukturen, die man nicht auﬂ¨ osen m¨ ochte und daher durch makroskopische“ konstitutive ” Gesetze modelliert. Materialien, deren Eigenschaften nicht von der Richtung abh¨ angen, heißen isotrop, von den altgriechischen W¨ortern isos“ f¨ ur gleich“ ” ” und tropos“ f¨ ur Drehung“, Richtung“. ” ” ” Isotropes Material ist in der Kontinuumsmechanik dadurch charakterisiert, dass die konstitutiven Gesetze beobachterunabh¨angig sind. Als Beispiel betrachten wir die Abh¨ angigkeit des W¨ armeﬂusses vom Temperaturgradienten in einem isotropen Material: q = q((∇T, . . .) . Bei einem Beobachterwechsel ¨ andern sich q und ∇T zu q ∗ = Qq und ∇∗ T ∗ = Q∇T ; die Form des konstitutiven Gesetzes ¨ andert sich bei isotropem Material aber nicht:

5.8 Beobachterunabh¨ angigkeit

241

q ∗ = q((∇∗ T ∗ , . . .) . Bei anisotropem Material ¨ andert sich das konstitutive Gesetz bei einem Beobachterwechsel in der Regel: q ∗ = q(∗ (∇∗ T ∗ , . . .) mit q(∗ = q( . Beispiel: Wir betrachten ein konstitutives Gesetz f¨ ur den W¨armeﬂuss in zwei Raumdimensionen der Form ε0 q((∇T ) = ∇T 01 mit kleinem Parameter ε. Ein solches Gesetz kann man beispielsweise f¨ ur ein geschichtetes Material gem¨ aß Abbildung 5.10 bekommen, wo die W¨armeleitf¨ ahigkeit des weißen“ Materials sehr klein ist. Der W¨armeﬂuss in x2 – ” Richtung ﬁndet dann im wesentlichen im schwarzen“ Material statt, so ” dass man gemittelt eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Ordnung 1 bekommt. Der W¨ armeﬂuss in x1 –Richtung wird dagegen durch die senkrechten Lamellen aus weißem“ Material behindert, so dass man in diese Richtung gemittelt ” nur eine deutlich kleinere W¨ armeleitf¨ ahigkeit hat. Ein Beobachterwechsel von 0 1 ∗ dreht die Richtungen der Lamellen um 90 x nach x = Qx mit Q = −1 0 Grad; und man erh¨ alt das konstitutive Gesetz 10 q(∗ (∇∗ T ∗ ) = ∇∗ T ∗ . 0ε

x2

x1 Abb. 5.10. Geschichtetes Material

Konsequenzen aus Isotropie und Beobachterunabh¨ angigkeit Isotropie und Beobachterunabh¨ angigkeit haben Konsequenzen f¨ ur die Wahl von konstitutiven Gesetzen. Wir werden dies hier in verschiedenen Situationen untersuchen.

242

5 Kontinuumsmechanik

a) Wir nehmen an, dass der Spannungstensor eine Funktion der Dichte und der Temperatur ist, σ=σ ((, T ) und zeigen, dass aus dieser Annahme, der Isotropie, und dem Prinzip der Beobachterunabh¨ angigkeit folgt: σ = −( p(, T )I . Es sei (, T ) fest. Da σ symmetrisch ist, existiert eine orthogonale Matrix Q und eine Diagonalmatrix Λ, so dass σ ((, T ) = Q ΛQ . W¨ ahlen wir dieses Q in der Formulierung der Beobachterunabh¨angigkeit, und verwenden wir dabei, dass sich die Form des konstitutiven Gesetzes beim Beobachterwechsel nicht a ¨ndert, so erhalten wir σ = Q σ ∗ Q und damit Q ΛQ = σ ( (, T ) = Q σ ((∗ , T ∗ )Q = Q σ ((, T )Q . Daraus folgt σ ( (, T ) = Λ . W¨ ahlen wir die speziellen orthogonalen Matrizen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 10 0 01 1 0 0 Q = ⎝−1 0 0⎠ , Q = ⎝ 0 1 0⎠ und Q = ⎝0 0 1⎠ 0 01 −1 0 0 0 −1 0 in der Formulierung des Prinzips der Beobachterunabh¨angigkeit, so erhalten wir, dass alle Diagonalelemente von Λ gleich sind. Somit existiert eine Funktion p((, T ), so dass σ = −( p(, T )I . b) Wir nehmen an, dass der W¨armeﬂuss q in einem isotropen Material abh¨ angig ist von der Dichte , der Temperatur T und dem Temperaturgradienten ∇T , q = q((, T, ∇T ) . Das Prinzip der Beobachterunabh¨ angigkeit fordert q ∗ = Qq und daher muss

5.8 Beobachterunabh¨ angigkeit

243

q((∗ , T ∗ , ∇x∗ T ∗ ) = Q( q(, T, ∇T ) erf¨ ullt sein. Wegen

∇x∗ T ∗ = Q∇x T

impliziert dies q((, T, Q∇T ) = Q( q (, T, ∇T ) . Da ∇T beliebig ist, m¨ ussen wir q((, T, QX) = Q( q(, T, X)

(5.41)

f¨ ur alle , T, X und alle Rotationen Q fordern. Aus dieser Eigenschaft l¨asst sich der folgende Satz zeigen. Satz 5.11. Alle konstitutiven Gesetze, die der Forderung (5.41) gen¨ ugen, lassen sich auf die Form q((, T, X) = −( k(, T, |X|)X bringen. Bemerkung. Dies ist eine Verallgemeinerung des Fourierschen Gesetzes f¨ ur ein isotropes Material. Beweis. Wir geben im Folgenden die Abh¨ angigkeit des W¨armeﬂusses q von (, T ) nicht explizit an. Es ist zu zeigen, dass q(a) und a auf einer Geraden liegen. Zu jedem Vektor a ∈ R3 konstruieren wir die orthogonale Matrix Q so, dass x → Qx gerade die Drehung mit Drehachse a um den Winkel π realisiert. Dann ist a Eigenvektor von Q zum Eigenwert 1 und der zugeh¨orige Eigenraum hat die Dimension 1. Oﬀensichtlich gilt q(a) = q(Qa) = Qq(a) , es ist also auch q(a) Eigenvektor von Q zum Eigenwert 1 und damit q(a) = α(a)a . F¨ ur eine beliebige orthogonale Matrix Q mit det Q = 1 gilt dann: α(a)Qa = Qq(a) = q(Qa) = α(Qa)Qa und damit, im Fall a = 0, α(Qa) = α(a) . Zu zwei Vektoren a und b mit gleicher L¨ ange gibt es immer eine orthogonale Matrix mit b = Qa, deshalb h¨ angt α(a) nur von |a| ab.

244

5 Kontinuumsmechanik

5.9 Konstitutive Theorie fu ¨ r viskose Flu ¨ ssigkeiten In diesem Abschnitt wollen wir erl¨ autern, warum der Spannungstensor f¨ ur viskose Fl¨ ussigkeiten die in (5.12) postulierte Form hat. Dies ist insbesondere wichtig f¨ ur die Herleitung der Navier–Stokes–Gleichungen. Eine Fl¨ ussigkeit heißt viskos, wenn die innere Reibung nicht vernachl¨assigt werden kann. Solche Fl¨ ussigkeiten werden durch Spannungstensoren modelliert, deren konstitutive Gesetze eine Abh¨ angigkeit von Dv zulassen, σ=σ ( (, T, Dv) . Dies spiegelt die Erfahrungstatsache wider, dass Geschwindigkeitsvariationen im Raum Reibung verursachen, siehe Seite 219. Wir nehmen an, dass der Spannungstensor isotrop ist. Dies ist sinnvoll, da Fl¨ ussigkeiten und Gase in der Regel keine Mikrostruktur aufweisen, die zu Anisotropien f¨ uhren k¨onnen. Das konstitutive Gesetz σ=σ ((, T, Dv) ist dann unabh¨ angig vom Beobachter und muss dabei invariant unter Beobachterwechseln sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn σ ∗ = QσQ . Das bedeutet

σ ((∗ , T ∗ , Dx∗ v ∗ ) = Q( σ (, T, Dx v)Q

und mit Ber¨ ucksichtigung von (5.37) σ ( , T, ∂t Q Q + Q Dx v Q = Q( σ (, T, Dx v)Q . Im weiteren dr¨ ucken wir die Abh¨ angigkeit von (, T ) nicht explizit aus. Damit das konstitutive Gesetz f¨ ur σ beobachterinvariant ist, muss gelten (5.42) σ (A)Q σ ( ∂t Q Q + QAQ = Q( f¨ ur jede Matrix A ∈ Rd,d . Lemma 5.12. Es gilt σ ((A) = σ (

1 , 2 A+A

der Spannungstensor h¨angt also nur vom symmetrischen Anteil von Dv ab. Beweis. Wir w¨ ahlen eine schiefsymmetrische Matrix W mit W + W = 0 und setzen Q(t) = e−tW f¨ ur t ∈ R . Die linearen Abbildungen Q(t) sind Drehungen. Dies folgt, da W W = W W , und daher gelten die Potenzgesetze f¨ ur die Exponentialfunktion und es gilt

5.9 Konstitutive Theorie f¨ ur viskose Fl¨ ussigkeiten

245

QQ = e−tW e−tW = e−t(W +W ) = e0·I = I , (det Q)2 = det QQ = 1 und det Q(0) = det I = 1 . Es folgt also det Q(t) = 1 f¨ ur alle t ∈ R. Weiterhin gilt ∂t Q(t) = −W e−tW und Q(0) = I ,

∂t Q(0) = −W .

Aus (5.42) folgt f¨ ur t = 0 σ ((−W + A) = σ ((A) . Setzen wir W = 12 A − A , so folgt σ ( 12 A + A = σ ((A) und damit die Behauptung.

Es l¨ asst sich zeigen, dass σ ( in drei Raumdimensionen eine sehr spezielle Struktur haben muss. Dies ist Gegenstand des folgenden ber¨ uhmten Satzes. Satz 5.13. (Satz von Rivlin–Ericksen) Eine Funktion σ ( : {A ∈ R3,3 | A ist symmetrisch, det A > 0} → {B ∈ R3,3 | B ist symmetrisch} besitzt genau dann die Eigenschaft σ (A)Q f¨ ur alle Drehungen Q , σ ( QAQ = Q( wenn

σ ((A) = a0 (iA )I + a1 (iA )A + a2 (iA )A2 .

(5.43) (5.44)

Dabei sind a0 , a1 und a2 Funktionen der Grundinvarianten iA von A. Die Grundinvarianten einer Matrix sind die Koeﬃzienten des charakteristischen Polynoms det(A−λI). Eine Matrix A ∈ R3,3 hat drei Grundinvarianten, es ist also iA = (i1 (A), i2 (A), i3 (A)) mit det(λI − A) = λ3 − i1 (A)λ2 + i2 (A)λ − i3 (A) . Sind λ1 , λ2 , λ3 die Eigenwerte von A, so gilt i1 (A) = spur(A) = λ1 + λ2 + λ3 , i2 (A) = 12 (spur A)2 − spur A2 = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 , i3 (A) = det(A) = λ1 λ2 λ3 .

246

5 Kontinuumsmechanik

Sind die Grundinvarianten zweier Matrizen gleich, so sind auch die Eigenwerte gleich. ( Ist das konstitutive Gesetz f¨ Es sei nun σ = −( pI + S. ur S( nicht nur beobachterunabh¨ angig, sondern auch noch linear, so h¨angt S( aufgrund des Satzes von Rivlin–Ericksen nur von zwei Parametern ab und hat notwendigerweise die Form ( S(A) = 2µA + λ spur(A)I .

(5.45)

Dabei heißt µ die Scherviskosit¨at und λ die Volumenviskosit¨at. Ein Fluid mit einem solchen Spannungstensor heißt Newtonsches Fluid. Beweis des Satzes von Rivlin–Ericksen. Wir zeigen zun¨achst, dass aus (5.44) die Bedingung (5.43) folgt. Dies sieht man leicht aus der Beziehung Q(a0 I + a1 A + a2 A2 )Q = a0 I + a1 QAQ + a2 QAAQ = a0 I + a1 QAQ + a2 QAQ QAQ . Es bleibt somit zu zeigen, dass (5.43) auch (5.44) impliziert. Sei A eine symmetrische Matrix und A = QΛQ deren Transformation auf Diagonalform mit Diagonalmatrix Λ und orthogonaler Matrix Q. Unter der Annahme, dass (5.44) f¨ ur Diagonalmatrizen gilt, folgt σ (Λ)Q = Q i0 (Λ)I + i1 (Λ)Λ + i2 (Λ)Λ2 Q σ ( (A) = σ ( QΛQ = Q( = i0 (A)I + i1 (A)A + i2 (A)A2 , angt nur von den Eigenwerten von A ab und somit gilt ij (A) = denn ij (A) h¨ ij (Λ). Deshalb gen¨ ugt es, die Aussage f¨ ur Diagonalmatrizen zu beweisen. Sei ⎛ ⎞ λ1 0 0 A = ⎝ 0 λ2 0 ⎠ 0 0 λ2 mit λj ∈ R und λ = (λ1 , λ2 , λ3 ). Wir zeigen, dass σ ( (A) wieder eine Diagonalmatrix ist. Mit ⎛ ⎞ 1 0 0 Q = ⎝0 −1 0 ⎠ 0 0 −1 gilt Q = Q, Q Q = I, det Q = 1 und σ ( (A)e1 = QQ σ ((A)Qe1 = Q( σ (Q AQ)e1 = Q( σ (A)e1 . Damit ist σ ((A)e1 ein Eigenvektor von Q zum Eigenwert 1. Da der Eigenraum zu diesem Eigenwert von e1 erzeugt wird, gilt

5.9 Konstitutive Theorie f¨ ur viskose Fl¨ ussigkeiten

247

σ ((A)e1 = t1 (λ) e1 mit einer geeigneten Funktion t1 von λ. Analog zeigt man σ ((A)ej = tj (λ) ej f¨ ur j = 2, 3 . Insgesamt folgt

⎛ ⎞ t1 (λ) 0 0 σ ((A) = ⎝ 0 t2 (λ) 0 ⎠ . 0 0 t3 (λ)

Als n¨ achstes zeigen wir, dass die Vertauschung der λj zu einer entsprechenden Vertauschung der tj f¨ uhrt, dass also f¨ ur jede Permutation π von {1, 2, 3} gilt: tπ(j) (λπ(1) , λπ(2) , λπ(3) ) = tj (λ1 , λ2 , λ3 ) .

(5.46)

Es gen¨ ugt, dies f¨ ur Elementarpermutationen nachzuweisen. F¨ ur die Permutation (1, 2, 3) → (2, 1, 3) folgt mit ⎛ ⎞ 0 1 0 Q = ⎝1 0 0 ⎠ 0 0 −1 und (5.43), ⎛ λ2 σ (⎝0 0

dass

⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0 0 t1 (λ2 , λ1 , λ3 ) ⎠ Q λ1 0 ⎠ = Q ⎝ 0 t2 (λ2 , λ1 , λ3 ) 0 0 λ3 0 0 t3 (λ2 , λ1 , λ3 ) ⎛ ⎞ 0 0 t2 (λ1 , λ2 , λ3 ) ⎠. 0 t1 (λ1 , λ2 , λ3 ) 0 =⎝ 0 0 t3 (λ1 , λ2 , λ3 )

Analog zeigt man (5.46) f¨ ur (1, 2, 3) → (3, 2, 1) und (1, 2, 3) → (1, 3, 2). Im letzten Beweisschritt m¨ ochten wir folgern, dass (5.44) f¨ ur geeignete Funkullt ist. Diese Bedingung ist a¨quivalent zu tionen aj = aj (λ) erf¨ tj (λ) = a0 (λ) + a1 (λ)λj + a2 (λ)λ2j f¨ ur j = 1, 2, 3 .

(5.47)

Falls die Eigenwerte alle verschieden sind, kann man die Koeﬃzienten aj durch Polynominterpolation bestimmen. Falls zwei der Eigenwerte gleich sind, zum Beispiel λ1 = λ2 = λ3 , dann folgt aus (5.46) t1 (λ) = t1 (λ1 , λ2 , λ3 ) = t2 (λ2 , λ1 , λ3 ) = t2 (λ1 , λ2 , λ3 ) = t2 (λ) . Man kann dann (5.47) erf¨ ullen mit a2 (λ) = 0 und a0 , a1 aus tj (λ) = a0 (λ) + a1 (λ)λj f¨ ur j = 1, 3 . Wenn alle Eigenwerte gleich sind, dann gilt t1 = t2 = t3 und σ ((A) = a0 (λ)I mit a0 (λ) = t1 (λ) .

248

5 Kontinuumsmechanik

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe Feststoﬀe unterscheiden sich von Fl¨ ussigkeiten und Gasen dadurch, dass die Atome oder Molek¨ ule in einem Feststoﬀgitter“ angeordnet sind. Eine Ver” formung des Feststoﬀes deformiert zwar das Feststoﬀgitter, ¨andert aber typischerweise nicht die Nachbarschaftsbeziehungen“ der Atome und Molek¨ ule. ” Die R¨ uckstellkr¨ afte“ im verformten Zustand werden durch Verschiebungen ” der Molek¨ ule im Feststoﬀgitter und die dadurch resultierenden intermolekularen Anziehungs- oder Abstoßungskr¨ afte verursacht. Dies gilt zumindest f¨ ur elastische Festk¨ orper, wo die einwirkenden Kr¨ afte nicht so groß sind, dass sich der K¨ orper dauerhaft plastisch verformt oder Risse und Br¨ uche auftreten. F¨ ur elastische Verformungen ist es deshalb sinnvoll, eine Beschreibung in Lagrangeschen Koordinaten zu w¨ ahlen, da man in Lagrangeschen Koordinaten leichter die urspr¨ unglichen“ Nachbarschaftsbeziehungen im Feststoﬀgitter nach” vollziehen kann. In Abbildung 5.11 werden Lagrangesche Koordinaten x und Eulersche Koordinaten y graﬁsch dargestellt. Die Notation ist gegen¨ uber der bisherigen leicht ver¨ andert, weil man in der Elastizit¨atstheorie die Lagrangeschen Koordinaten u ¨ blicherweise mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Die Lagrangeschen Koordinaten x beschreiben die Position eines Materiepunktes in der Referenzkonﬁguration, das ist typischerweise die Konﬁguration, die der feste K¨ orper ohne ¨ außere Kr¨ afte einnimmt. Die Eulerschen Koordinaten y geben die Position des Materiepunktes im verformten Zustand zur Zeit t an.

Ω(t) Ω y(t, x) x

Abb. 5.11. Referenzkonﬁguration, Lagrangesche und Eulersche Koordinaten

Die Verformung von Ω zu einem Zeitpunkt t kann man beschreiben durch das Deformationsfeld y : (t, x) → y(t, x) oder durch das Verschiebungsfeld u : (t, x) → u(t, x) = y(t, x) − x . Ein lokales Maß f¨ ur die Deformation ist der Deformationsgradient d ∂yi Dy(t, x) = (t, x) . ∂xj i,j=1

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

249

Die Spalten des Deformationsgradienten enthalten die Tangentenvektoren an die Bilder der Koordinatenlinien im verformten Zustand, wie in Abbildung 5.12 dargestellt.

Abb. 5.12. Zur Deﬁnition des Deformationsgradienten

Die in verformten elastischen K¨ orpern wirkenden Kr¨afte h¨angen von den durch die Verformung hervorgerufenen L¨ angen¨ anderungen ab, die auf der atomaren Skala Verschiebungen der Positionen von Atomen oder Molek¨ ulen im Feststoﬀgitter zur Folge haben. Zur Beschreibung der L¨angen¨anderung betrachten wir zwei Punkte x und x + a mit kleinem Abstand a. Der Abstand vor der Verformung ist |a|. Den Abstand im verformten Zustand kann man mit der Taylorentwicklung berechnen als 1/2 . |y(x + a) − y(x)| ∼ |Dy(x)a| = a (Dy(x)) Dy(x) a Die Matrix

C := (Dy) Dy = (I + Du) (I + Du)

heißt Cauchy–Greenscher Verzerrungstensor, sie beschreibt die lokale L¨angenanderung. Die Matrix ¨ G := 12 (C − I) = 12 (Dy) Dy − I = 12 Du + (Du) + (Du) Du heißt Greenscher oder Green–St. Venantscher Verzerrungstensor. Eine Verfor¨ mung ohne Anderung des Abstandes von Punkten ist charakterisiert durch C = I und G = 0 . Beispiele solcher Verformungen sind Translationen: y(x) = x + a oder u(x) = a mit einem Translationsvektor a ∈ Rd . Rotationen: y(x) = xM + Q(x − xM ) mit einem Punkt xM auf der Drehachse und einer Drehmatrix Q, das ist eine orthogonale Matrix mit Determinante 1. Das entsprechende Verschiebungsfeld ist u(x) = (Q − I)(x − xM ).

250

5 Kontinuumsmechanik

Eine allgemeine Starrk¨orperbewegung ist gegeben durch y(x) = Qx + a und u(x) = (Q − I)x + a . Der Deformationsgradient einer Starrk¨ orperbewegung ist Dy = Q, die Verzerrungstensoren sind C = I und G = 0. Der Spannungstensor ¨ Der Spannungstensor beschreibt die Ubertragung von Kr¨aften im verformten K¨ orper. Er kann wie in Abschnitt 5.5 beschrieben in Eulerschen Koordinaten formuliert werden; f¨ ur die Anwendung auf elastische Feststoﬀe ist allerdings eine Beschreibung in Lagrangeschen Koordinaten besser geeignet. Wir betrachten einen K¨ orper, der in der Referenzkonﬁguration das Gebiet Ω ⊂ Rd ausf¨ ullt. Das Gebiet sei durch eine Fl¨ ache Γ in zwei Teile Ω1 und Ω2 unterteilt, wie in Abbildung 5.13 dargestellt. Wenn man den K¨orper verformt, dann wirken Kr¨ afte innerhalb des K¨ orpers, insbesondere u ¨ bt dann das verformte angs der verformten Fl¨ ache y(Γ ) auf das verformte Teilgebiet Gebiet y(Ω2 ) l¨ y(Ω1 ) eine Kraft aus. Diese ist gegeben durch FΩ2 →Ω1 = σn dsx . Γ

Diese Formel ist auf den ersten Blick dieselbe wie bei der Darstellung in Eulerschen Koordinaten, sie muss aber etwas anders interpretiert werden: Der Spannungstensor σ ist auf der Referenzkonﬁguration Ω deﬁniert und der Vektor n ist der Normalenvektor der Fl¨ ache Γ in der Referenzkonﬁguration. Die Gr¨ oße σn ist eine ﬂ¨ achenbezogene Kraftdichte, und zwar bezogen auf die Fl¨ ache in der Referenzkonﬁguration. Mit dieser Interpretation heißt σ der 1. Piola–Kirchhoﬀsche Spannungstensor. Man ﬁndet in der Literatur auch andere Spannungstensoren, insbesondere gibt es auch bei elastischen Feststoffen eine Formulierung des Spannungstensors im deformierten Gebiet, also in Eulerschen Koordinaten; dieser heißt dann Cauchyscher Spannungstensor.

Γ n Ω1 Ω2

Abb. 5.13. Zur Deﬁnition des Spannungstensors

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

251

Die Elastizit¨ atsgleichungen Die Diﬀerentialgleichungen f¨ ur elastische Feststoﬀe folgen aus dem Impulserhaltungssatz. In der Referenzkonﬁguration lautet der Impulserhaltungssatz d ∂t u dx = f dx + σn dsx . dt Ω Ω ∂Ω Dabei ist die Dichte, bezogen auf die Referenzkonﬁguration, und f ist eine volumenbezogene Kraftdichte, und zwar ebenfalls bezogen auf das Volumen der Referenzkonﬁguration. Durch Anwendung des Satzes von Gauß erh¨alt man 2 ∂t u − ∇ · σ − f dx = 0 Ω

und, da diese Gleichung auch f¨ ur jedes Teilgebiet von Ω erf¨ ullt sein muss, die Formulierung ∂t2 u − ∇ · σ = f . (5.48) Wegen der Formulierung in Lagrangeschen Koordinaten ben¨otigt man das Reynoldssche Transporttheorem hier nicht. Man hat deshalb auch keinen konvektiven Anteil in den Diﬀerentialgleichungen. F¨ ur eine vollst¨ andige Beschreibung der elastischen Verformung ben¨otigt man nun ein konstitutives Gesetz zur Bestimmung des Spannungstensors aus dem Verschiebungsfeld u, oder alternativ der Deformation y. Charakteristisch f¨ ur ein elastisches Material ist, dass sich das Material unter Belastung verformt, aber diese Verformung bei Wegnahme der Belastung wieder verschwindet. Die zur Verformung aufgewendete Arbeit wird dann im verformten K¨orper als elastische Energie gespeichert. Aus der Energieerhaltung kann man nun einen Zusammenhang zwischen Spannungstensor und elastischer Energie folgern. Wenn e die volumenbezogene Dichte der elastischen Energie bezeichnet, dann ist die Energieerhaltung gegeben durch # d 2 1 |∂t u| + e dx = f · ∂t u dx + σn · ∂t u dsx . dt Ω 2 Ω ∂Ω 1 2 "Dabei ist 2 |∂t u| die volumenbezogene Dichte " der kinetischen Energie, f · ∂ u dx die von den Volumenkr¨ a ften und t Ω ∂Ω σn · ∂t u dsx die von den Oberﬂ¨ achenkr¨ aften geleistete Arbeit. Da das Gebiet Ω hier nicht von der Zeit abh¨ angt, kann man Zeitableitung und Integration vertauschen. Anwendung des Gaußschen Integralsatzes liefert dann ∂t u · ∂t2 u + ∂t e − f · ∂t u − (∇ · σ) · ∂t u − σ : ∂t Du dx = 0 . Ω

Wegen der Impulserhaltungsgleichung fallen alle Terme weg mit Ausnahme von ∂t e − σ : ∂t Du. Es gilt also

252

5 Kontinuumsmechanik

∂t e − σ : ∂t Du = 0 . Da diese Gleichung f¨ ur alle zul¨ assigen Evolutionen von Verschiebungsfeldern gelten muss, kann man analog zur Argumentation bei der Coleman–Noll– Prozedur schließen, dass e nur von Du abh¨angt. Bezeichnen wir mit X = (Xij )di,j=1 die Variablen, die zur Matrix Du geh¨oren, so ergibt sich d i,j=1

∂e ∂ui (Du)∂t − σ : ∂t Du = 0 . ∂Xij ∂xj

Nutzen wir wieder, dass beliebige Verschiebungsfelder gew¨ahlt werden k¨onnen, so ergibt sich ∂e σij (u) = (Du) . ∂Xij Wir werden daher ein Material als elastisch bezeichnen, wenn der Spannungstensor nur vom Ortspunkt x und dem Verschiebungsgradienten Du abh¨angt, σ = σ(x, Du(x)) , und es eine Energiefunktion e = e(x; Du) gibt mit σij (u) =

∂e (Du) . ∂Xij

Bemerkung. Wir haben hier außer mechanischen Kr¨aften keine anderen Ph¨ anomene ber¨ ucksichtigt, die zur Verformung des K¨orpers f¨ uhren k¨onnen oder zur Energiebilanz beitragen. Insbesondere ist die Verformung des K¨orpers durch Temperatur¨ anderungen nicht ber¨ ucksichtigt. Das Modell ist deshalb streng genommen nur f¨ ur isotherme Situationen geeignet. Linear elastisches Material Um ein lineares Modell f¨ ur elastische Materialien zu bekommen, sind analog zur Situation bei den elastischen Stabwerken in Abschnitt 2.2 zwei Linearisierungsschritte notwendig. Bei der geometrischen Linearisierung wird der Greensche Verzerrungstensor bez¨ uglich Du linearisiert: G = G(u) =

1 1 Du + (Du) + (Du) Du ∼ Du + (Du) . 2 2

Der Tensor ε(u) = mit Komponenten εij (u) =

1 Du + (Du) 2 1 2

∂xi uj + ∂xj ui

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

253

heißt linearisierter Verzerrungstensor. In der Praxis ist die Annahme kleiner Verzerrung sehr oft sinnvoll, bei vielen Anwendungen der Elastizit¨atstheorie ist die Deformation des Festk¨ orpers so klein, dass sie mit bloßem Auge“ nicht ” zu erkennen ist; die u afte sind dagegen relativ groß. Neben ¨bertragenen Kr¨ dieser geometrischen Linearisierung ben¨ otigt man ein lineares Materialgesetz, also eine lineare Beziehung zwischen σ und ε(u): σij (u) =

d

aijk εk (u) f¨ ur i, j = 1, . . . , d .

(5.49)

k, =1

Diese Beziehung heißt Hookesches Gesetz, der Tensor vierter Stufe A = (aijk )di,j,k, =1 ∈ Rd,d,d,d heißt Hookescher Tensor. Dieses Gesetz folgt aus einer quadratischen Funktion f¨ ur die elastische Energiedichte e(u) =

d

1 2

aijk εij (u) εk (u) .

i,j,k, =1

ullen die Symmetriebedingungen Die Koeﬃzienten aijk erf¨ aijk = ajik = ak ij .

(5.50)

Dies ist keine Einschr¨ ankung an die elastische Energiedichte. F¨ ur drei Dimensionen hat A im allgemeinen Fall 21 verschiedene Parameter. Der linearisierte Verzerrungstensor hat n¨ amlich 6 unabh¨ angige Komponenten, und eine quaangige Koeﬃzienten gegeben. In zwei dratische Form in R6 ist durch 21 unabh¨ Dimensionen hat ε drei Komponenten und A sechs Koeﬃzienten. Damit die Energiedichte positiv ist, muss d

aijk ξij ξk ≥ a0 |ξ|2 mit a0 > 0

(5.51)

i,j,k, =1

'd ur ein f¨ ur jede symmetrische Matrix ξ ∈ Rd,d mit |ξ|2 = i,j=1 |ξij |2 gelten. F¨ isotropes Material folgt aus der Beobachterunabh¨angigkeit und dem Satz von Rivlin–Ericksen, dass, vgl. (5.45) σij (u) = λ (∇ · u) δij + 2µ εij (u) mit den Lam´e–Konstanten λ und µ. Der entsprechende Hookesche Tensor lautet aijk = λ δij δk + µ (δik δj + δi δjk ) . Anstelle der Lam´e–Konstanten werden oft auch der Elastizit¨atsmodul (Youngscher Modul) E und die Querkontraktionszahl (Poisson–Zahl) ν verwendet: E=

µ(3λ + 2µ) , λ+µ

ν=

λ , 2(λ + µ)

254

5 Kontinuumsmechanik

beziehungsweise λ=

Eν , (1 + ν)(1 − 2ν)

µ=

E . 2(1 + ν)

Die Diﬀerentialgleichungen der linearen Elastizit¨atstheorie sind ∂t2 ui −

d

∂xj (aijk εk ) = fi f¨ ur i = 1, . . . , d .

j,k, =1

Ein Material heißt homogen, wenn die Materialparameter nicht vom Ort x abh¨ angen. F¨ ur isotropes, homogenes Material gilt ∂t2 u − µ ∆u − (λ + µ)∇∇ · u = f

(5.52)

mit den Lam´e–Konstanten, beziehungsweise ∂t2 u −

E E ∆u − ∇∇ · u = f 2(1 + ν) 2(1 + ν)(1 − 2ν)

(5.53)

mit Elastizit¨ atsmodul und Querkontraktionszahl. Elastostatik Im statischen Grenzfall sind die Zeitableitungen gleich Null, ∂t2 u = 0, und man erh¨ alt die Gleichungen der statischen Elastizit¨atstheorie −∇ · σ(u) = f .

(5.54)

F¨ ur homogenes, isotropes Material folgt daraus das Gleichungssystem −

E E ∆u − ∇∇ · u = f . 2(1 + ν) 2(1 + ν)(1 − 2ν)

Um die Bedeutung der Konstanten E und ν zu illustrieren, konstruieren wir eine L¨ osung dieser Gleichungen f¨ ur einen Zylinder * + 3 2 2 Ω = x ∈ R | 0 < x1 < L, x2 + x3 ≤ R . mit Kraft f = 0 und den Randbedingungen σ(u)(−e1 ) = −e1 f¨ ur x1 = 0 , σ(u)e1 = e1 f¨ ur x1 = L x22 + x23 = R . und σ(u)n = 0 f¨ ur Dies bedeutet, dass am Zylinder an der linken und rechten Seite jeweils mit einer Einheitskraft gezogen wird, w¨ ahrend an den gekr¨ ummten Seiten keine Kraft einwirkt. Wir verwenden den Ansatz

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

⎛

255

⎞

a1 x1 u(x) = ⎝a2 x2 ⎠ a2 x3 mit noch unbekannten Koeﬃzienten a1 und a2 . Da ∇∇ · u = 0 und ∆u = 0, ist die Diﬀerentialgleichung erf¨ ullt. Der Spannungstensor ist E Eν Du + (Du) + ∇· uI 2(1 + ν) (1 + ν)(1 − 2ν) ⎞ ⎞⎤ ⎡⎛ ⎛ 0 0 a1 0 0 a1 + 2a2 ν ⎝ E ⎣⎝ ⎠⎦ . 0 a2 0 ⎠ + 0 a1 + 2a2 0 = 1+ν 1 − 2ν 0 0 a2 0 0 a1 + 2a2

σ(u) =

Aus σ(u)e1 = e1 folgt a1 +

ν 1+ν (a1 + 2a2 ) = , 1 − 2ν E

aus σ(u)e2 = σ(u)e3 = 0 erh¨ alt man a2 +

ν (a1 + 2a2 ) = 0 . 1 − 2ν

Die L¨ osung dieses linearen Gleichungssystems ist a1 =

1 ν und a2 = − . E E

Das Verschiebungsfeld ist also

⎞ ⎛ x 1 ⎝ 1 ⎠ −νx2 . u(x) = E −νx3

Das bedeutet, dass sich der Zylinder verl¨ angert um das E1 –fache seiner urspr¨ unglichen L¨ ange, und sich gleichzeitig der Radius um das Eν –fache reduziert, wie in Abbildung 5.14 skizziert. Die auf den Zylinder einwirkende Kraft ist gleich der Spannung am Rand, multipliziert mit der Randﬂ¨ache. Der Elastizit¨ atsmodul gibt also die Kraft pro Fl¨ ache an, mit der man an den beiden seitlichen R¨ andern ziehen muss, um die L¨ ange des Zylinders zu verdoppeln; die Querkontraktionszahl gibt an, um welchen Anteil sich der Radius dabei reduziert. Wir sehen also, dass der Elastizit¨ atsmodul in diesem Abschnitt dem Elastizit¨ atsmodul bei den Stabwerken entspricht, vgl. Abschnitt 2.2. Ebener Verzerrungszustand und ebener Spannungszustand In manchen Anwendungen kann man mit Hilfe vorhandener Symmetrien die Raumdimension von Diﬀerentialgleichungsmodellen reduzieren. Die bekanntesten Beispiele in der Elastizit¨ atstheorie sind der ebene Verzerrungszustand

256

5 Kontinuumsmechanik L ν ∆L L

L + ∆L Abb. 5.14. Zur Bedeutung von Elastizit¨ atsmodul und Querkontraktionszahl. Hier F L mit der am Zylinder angreifenden Kraft F und der Querschnittsﬂ¨ ache ist ∆L = EA A des Zylinders.

und der ebene Spannungszustand f¨ ur homogene, isotrope elastische Materialien. Beim ebenen Verzerrungszustand nimmt man an, dass der Verzerrungstensor ε in einer Raumrichtung konstant ist, die wir ohne Einschr¨ankung der Allgeahlen, und dass εi3 (u) = 0 f¨ ur i = 1, 2, 3 gilt. Ein meinheit als x3 –Richtung w¨ ebener Verzerrungszustand liegt insbesondere f¨ ur unendlich lange Zylinder mit Zylinderachse in x3 –Richtung vor, oder auch f¨ ur endlich lange Zylinder mit Randbedingungen σ13 = σ23 = 0 und u3 = 0 an der oberen“ und unte” ” ren“ Randﬂ¨ ache, wenn die einwirkenden Volumen- und Oberﬂ¨achenkr¨afte nur Komponenten in x1 - und x2 –Richtung haben. In der Praxis verwendet man den ebenen Verzerrungszustand auch f¨ ur endlich lange Zylinder, die oben und unten festgehalten sind; der ebene Verzerrungszustand ist dann n¨aherungsweise f¨ ur einen hinreichend großen Abstand von den oberen und unteren Randﬂ¨ achen erf¨ ullt. Die Komponenten des Spannungstensors σ = λ spur(ε)I + 2µε

(5.55)

haben dann die Form ur i, j = 1, 2, σij = λ(ε11 + ε22 )δij + 2µ εij f¨ ur i = 1, 2 und σi3 = σ3i = 0 f¨ σ33 = λ(ε11 + ε22 ) . Man beachte, dass hier die Komponente σ33 im allgemeinen nicht Null ist. Da ε und damit auch σ unabh¨ angig von x3 ist, gilt ∂x3 σ33 = 0 und man erh¨alt (∇ · σ)i =

2

∂xj σij = (λ + µ)∂xi (∂x1 u1 + ∂x2 u2 ) + µ ∆ui

j=1

f¨ ur i = 1, 2. Wenn man mit ∇2 = (∂x1 , ∂x2 ) den Gradienten und mit ∆2 = ∂x21 + ∂x22 den Laplace–Operator bez¨ uglich der zweidimensionalen Ortsvariablen (x1 , x2 ) bezeichnet, dann erh¨ alt man f¨ ur den ebenen Verzerrungszustand die Diﬀerentialgleichungen

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

257

∂t2 u − (λ + µ)∇2 ∇2 · u − µ ∆2 u = f f¨ ur die Komponenten u = (u1 , u2 ) des Verschiebungsfeldes. Dies entspricht der zweidimensionalen Version der Elastizit¨ atsgleichungen (5.52) oder (5.53), mit denselben Werten der Lam´e–Konstanten, beziehungsweise des Elastizit¨ atsmoduls und der Querkontraktionszahl, wie in drei Raumdimensionen. Im ebenen Spannungszustand nimmt man an, dass der Spannungstensor von angig ist, und dass σi3 = 0 f¨ ur i = 1, 2, 3 gilt. Aus (5.55) folgt dann x3 unabh¨ zun¨ achst λ spur(ε) ε13 = ε23 = 0 und ε33 = − 2µ und dann ε33 = −

λ (ε11 + ε22 ) . λ + 2µ

(5.56)

Es folgt weiter σij =

2µλ (ε11 + ε22 )δij + 2µ εij f¨ ur i, j = 1, 2 ; λ + 2µ

dies entspricht der zweidimensionalen Version des Hookeschen Gesetzes, allerdings mit einer modiﬁzierten Lam´e–Konstanten = λ

2µλ . λ + 2µ

Die Elastizit¨ atsgleichungen f¨ ur den ebenen Spannungszustand lauten ∂t2 u −

2µ2 + 3λµ ∇2 ∇2 · u − µ ∆2 u = f λ + 2µ

(5.57)

beziehungsweise ∂t2 u −

E E ∇2 ∇2 · u − ∆2 u = f . 2(1 − ν) 2(1 + ν)

Aus diesen Gleichungen kann man die Komponenten u1 und u2 des Verschiebungsfeldes ausrechnen; f¨ ur die dritte Komponente folgt aus (5.56) ∂x3 u = −

λ ν (ε11 + ε22 ) = − (∂x1 u1 + ∂x2 u2 ) . λ + 2µ 1−ν

Insbesondere ist die Verschiebung in x3 –Richtung im ebenen Spannungszustand nicht Null. Der ebene Spannungszustand ist sinnvoll f¨ ur d¨ unne, in x1 und x2 –Richtung ausgedehnte Platten, die nur in x1 - und x2 –Richtung belastet werden. Tats¨ achlich ist Gleichung (5.57) Bestandteil des Kirchhoﬀschen Plattenmodells, das neben den im ebenen Spannungszustand modellierten Belastungen in L¨ angsrichtungen allerdings auch Quer- und Biegelasten beschreiben kann.

258

5 Kontinuumsmechanik

Hyperelastisches Material Klassische Beispiele f¨ ur nichtlineare Elastizit¨ at sind hyperelastische Materialien. Ein Material heißt hyperelastisch, wenn es eine Energiedichtefunktion d W : Ω × M+ →R d die Menge der regul¨ aren Matrizen mit positiver Determinante gibt, wobei M+ ist, so dass die in einem verformten K¨ orper gespeicherte elastische Energie ausgedr¨ uckt werden kann durch W (x, Dy(x)) dx . Ω

Dabei ist y(x) = x + u(x) das Deformationsfeld. Der Spannungstensor eines hyperelastischen Materials ist gegeben durch (wir geben im Folgenden die x–Abh¨ angigkeit nicht explizit an) σij =

∂W (Dy) , ∂Xij

wenn ∂X∂ ij die partielle Ableitung von W nach der Komponente Xij = ∂xj yi des Deformationsgradienten X = Dy bezeichnet. Sinnvolle Eigenschaften der Energiedichtefunktion sind: •

Die Rahmeninvarianz W (QF ) = W (F ) f¨ ur alle orthogonalen Matrizen Q ∈ Rd,d mit det Q = 1 und alle regul¨aren Matrizen F ∈ Rd,d mit det F > 0.

•

Die Eigenschaft W (F ) → +∞ f¨ ur det F → 0 . Diese Bedingung bedeutet, dass eine vollst¨andige Komprimierung eines Materievolumens auf das Volumen 0 eine unendliche Energiedichte besitzt.

•

Ein isotropes Material ist durch eine Energiedichtefunktion gekennzeichnet, die W (F Q) = W (F ) f¨ ur alle orthogonalen Matrizen Q ∈ Rd,d mit det Q = 1 und alle regul¨aren ullt. Matrizen F ∈ Rd,d mit det F > 0 erf¨

Beispiele f¨ ur hyperelastische Materialien sind •

St. Venant–Kirchhoﬀ–Material: W (F ) =

λ 1 (spur(G))2 + µ spur(G2 ) mit G = F F − I , 2 2

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

259

y −F

F x Abb. 5.15. Biegung eines Balkens

dabei sind λ und µ die Lam´e–Konstanten. Dies entspricht gerade dem linearen Materialgesetz ohne geometrische Linearisierung. Dieses Gesetz erf¨ ullt allerdings nicht die Bedingung W (F ) → +∞ f¨ ur det F → 0. •

Ogden–Material δ/2 W (F ) = a spur F F + b spur kof F F + γ(det F ) mit Koeﬃzienten a, b > 0, einem Exponenten δ ≥ 1 und einer konvexen Funktion γ : (0, +∞) → R mit lim γ(s) = +∞. Mit kof wird hierbei die s→0

Kofaktor–Matrix bezeichnet, (kof A)ij = (−1)i+j

1 det A(i,j) , det A

dabei ist A(i,j) die Matrix A ohne die i–te Zeile und j–te Spalte. Bifurkation bei der Biegung von Balken Wir betrachten nun ein bei elastischen Verformungen h¨auﬁg auftretendes Ph¨ anomen, das zu nicht eindeutig l¨ osbaren Problemen f¨ uhrt. Der Einfachheit halber ist die Darstellung auf die einfachste Modellklasse beschr¨ankt, das ist der Euler–Bernoulli–Balken. Prinzipiell lassen sich Modelle f¨ ur Balken durch eine asymptotische Analysis bez¨ uglich der als klein angenommenen Dicke des Balkens herleiten. Man berechnet dabei den Grenzwert f¨ ur die Verformung des Balkens, wenn die Dicke gegen Null konvergiert. Dabei muss man die Belastung so skalieren, dass die Verformung des Balkens in einem geeigneten Sinn tats¨achlich konvergiert. Diese Analysis ist schon im linearen Fall recht kompliziert. Wie wir sp¨ ater sehen werden, ben¨ otigen wir f¨ ur eine aussagekr¨aftige Analysis ein geometrisch nichtlineares Modell. Wir wollen deshalb das benutzte Balkenmodell heuristisch motivieren. Dazu betrachten wir die Biegung eines Balkens, der wie in Abbildung 5.15 belastet wird. Die Verformung des Balkens besteht im wesentlichen aus einer Dehnung der Fasern“ oberhalb einer in Abbildung ” 5.15 gepunktet eingezeichneten Mittellinie und einer Stauchung unterhalb dieser Linie. Neben der dort eingezeichneten Biegung wird der Balken auch in Richtung der angreifenden Kraft gestaucht; wir werden aber sehen, dass die entsprechende Verformung bei kleiner Dicke des Balkens um eine Ordnung geringer ist und deshalb vernachl¨ assigt werden kann.

260

5 Kontinuumsmechanik

F¨ ur ein geometrisch nichtlineares Modell ist es sinnvoll, die Mittellinie durch einen Bogenl¨angenparameter darzustellen: {(x(s), y(s)) | s ∈ (0, L) . Es gen¨ ugt, die beiden Koordinaten x(s) und y(s) zu betrachten, wobei x die Koordinate in der Richtung der einwirkenden Kraft ist, die gleichzeitig der urspr¨ unglichen Richtung der Mittellinie entspricht, und y die Koordinate in Richtung der Biegung ist. Die L¨ angen¨ anderung einer Faser mit Abstand a zur Mittellinie l¨ asst sich mit Hilfe des Kr¨ ummungsradius r berechnen, man vergleiche dazu auch Abbildung 5.16. Der orientierte Abstand a wird dabei senkrecht zur Mittelfaser“ gemessen. Die Mittelfaser“ hat die L¨ange 0 = 2πr ∆ψ, ei” ” ne Faser mit Abstand a hat vor der Verformung ebenfalls die L¨ange 0 , nach der Verformung die L¨ ange 2π(r + a) ∆ψ. Die Dehnung ist dann gegeben durch ε(a) =

a (a) − 0 = . 0 r

W¨ ahlt man die Vorzeichen des orientierten Abstandes a und der Kr¨ ummung κ = ± 1r so, dass eine Faser oberhalb der Mittelfaser einen positiven Abstand hat und ein nach oben gekr¨ ummter Balken eine positive Kr¨ ummung hat, dann gilt ε(a) = −κa . Die Spannung lautet E ε(a) mit dem Elastizit¨ atsmodul E. Das an einer Querschnittsﬂ¨ache A(s) senkrecht zur Mittelfaser x(s) angreifende Drehmoment ist gegeben durch M (s) = E ε(a)a da = −E J(s) κ(s) (5.58) A(s)

mit dem zweiten Fl¨ achenmoment

J(s) =

a2 da .

(5.59)

A(s)

Die auf das Ende des Stabes einwirkende Kraft erzeugt bez¨ uglich der zum Punkt x(s) senkrechten, kleinen“ Schnittﬂ¨ ache das Drehmoment ” −F y(s) . Aus dem Gleichgewicht der Drehmomente M (s) − F y(s) = 0 folgt

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

r

261

∆Ψ

Abb. 5.16. Zur Herleitung des Drehmoments im Balken

F . (5.60) EJ Wenn der Balken die Dicke δ hat, dann skaliert das zweite Fl¨achenmoment J proportional zu δ 4 , denn die Fl¨ ache A ist proportional zu δ 2 und die Integrationsvariable a ist proportional zu δ. Um eine vertikale Auslenkung der Gr¨ oßenordnung 1 zu bekommen, muss die Kraft also proportional zu δ 4 skaliert werden. Die durch eine solche Kraft erzeugte Stauchung des Balkens ist proportional zu δ 2 , wie man aus der schematischen Formel κ(s) = −λ y(s) mit λ =

F = σA = EεA mit Spannung σ und Dehnung ε erkennt. Die Stauchung des Balkens ist somit um zwei Ordnungen geringer als die Biegung. Dies rechtfertigt, dass wir die Stauchung in unserem Modell vernachl¨ assigen. Wir werden nun statt der Auslenkung (x(s), y(s)) der Mittellinie den Winkel ϕ(s) als Variable benutzen, siehe auch Abbildung 5.17. Es gilt κ(s) = ϕ (s),

x (s) = cos ϕ(s) und y (s) = sin ϕ(s) .

Diﬀerenzieren von Gleichung (5.60) nach s liefert die Balkengleichung ϕ (s) + λ sin ϕ(s) = 0 .

(5.61)

In der in Abbildung 5.15 skizzierten Situation wird diese Gleichung erg¨anzt durch die Randbedingungen ϕ (0) = ϕ (L) = 0 , dies beschreibt ein nicht festgehaltenes Ende ohne einwirkendes Drehmoment. Wir betrachten zun¨ achst das linearisierte Modell ϕ (s) + λ ϕ(s) = 0 ,

ϕ (0) = ϕ (L) = 0 .

Die Diﬀerentialgleichung hat die allgemeine L¨ osung √ √ ϕ(s) = a cos λs + b sin λs

(5.62)

262

5 Kontinuumsmechanik y ϕ

x Abb. 5.17. Koordinaten im Balkenmodell

mit Koeﬃzienten a, b ∈ R. Es gibt genau dann eine nichttriviale L¨osung des Randwertproblems, wenn √ λL = nπ mit n ∈ N gilt. Wir haben also nichttriviale L¨ osungen f¨ ur die Lasten λn =

n2 π 2 . L2

Die zul¨ assigen Werte f¨ ur λn sind gerade die Eigenwerte des Diﬀerentialopera tors ϕ → −ϕ mit Deﬁnitionsmenge {ϕ ∈ C 2 ([0, L]) | ϕ (0) = ϕ (L) = 0 . Der kleinste Eigenwert λ1 beschreibt die kleinste Last, bei der eine Durchbiegung des Balkens auftreten kann, diese Last heißt Eulersche Knicklast. Unterhalb dieser Last wird der Balken lediglich gestaucht. Das Ergebnis, dass eine Durchbiegung nur bei genau festgelegten diskreten Werten der Belastung vorliegen kann, widerspricht unseren Erfahrungen. Wir werden daher das geometrisch nichtlineare Modell (5.61) untersuchen. Durch uglich s erh¨alt man die Gleichung Multiplikation mit ϕ (s) und Integration bez¨ erster Ordnung 2 1 2 (ϕ (s)) − λ cos ϕ(s) = −λ cos ϕ0 mit einem noch unbekannten Anfangswinkel ϕ0 = ϕ(0), beziehungsweise ϕ (s) = ± 2λ cos ϕ(s) − cos ϕ0 . (5.63) Wir nehmen hier an, dass 0 < ϕ0 < π gilt. Dann muss ϕ (0) ≤ 0 gelten, weil sonst das Argument der Wurzel in (5.63) negativ w¨ urde. Man muss also auf der rechten Seite von (5.63) das negative Vorzeichen w¨ahlen. Durch Trennung der Variablen erh¨ alt man ϕ(s) √ dϕ √ − = 2λ s . cos ϕ − cos ϕ0 ϕ0 Wir berechnen nun in Abh¨ angigkeit von ϕ0 die Position L0 auf dem Balken, an der der Winkel ϕ zum ersten Mal den Wert 0 erreicht. Dann kann man durch symmetrische Fortsetzung wie in Abbildung 5.18 skizziert die zu einem oglichen L¨ angen Ln = 2nL0 ermitteln. Die gegebenen Anfangswinkel ϕ0 m¨ L¨ ange L0 ist gegeben durch

5.10 Modellierung elastischer Feststoﬀe

ϕ0

263

dϕ . cos ϕ − cos ϕ0 0 Mit Hilfe des Additionstheorems cos ϕ = 1 − 2 sin2 ϕ2 ) folgt ϕ0 dϕ 1 L(ϕ0 ) = √ . ϕ 2 4λ 0 sin 20 − sin2 ϕ2 1 L0 (ϕ0 ) = √ 2λ

√

Das Integral auf der rechten Seite l¨ asst sich vereinfachen mit der durch ϕ(z) sin 2 = sin ϕ20 sin z deﬁnierten Variablentransformation ϕ = ϕ(z). Die Ableitung ϕ (z) berechnen wir aus ϕ(z) 1 ϕ (z) = sin ϕ20 cos z , 2 cos 2 es folgt

8 2 ϕ0 2 sin 2 1 − sin2 ϕ(z) 1 − sin z 2 ϕ0 ϕ (z) = 2 sin 2 = 2 sin 2 1 − sin2 ϕ(z) 1 − sin2 ϕ(z) 2 2 sin2 ϕ20 − sin2 ϕ(z) 2 . =2 1 − sin2 ϕ(z) 2 ϕ0

Wir erhalten damit 1 L0 (ϕ0 ) = √ λ

0

π/2

dz . 2 ϕ0 1 − sin 2 sin2 z

Aus dieser Darstellung kann man leicht folgende Eigenschaften der Funktion ϕ0 → L0 (ϕ0 ) ablesen: •

Die Funktion ist streng monoton steigend auf (0, π/2).

•

F¨ ur ϕ0 → 0 konvergiert die Funktion gegen π L0 (0) = √ . 2 λ Dies bedeutet, dass im Grenzfall die zul¨ assigen L¨angen durch nπ Ln = √ λ gegeben sind, oder dass f¨ ur eine gegebene L¨ ange eine nichttriviale L¨osung im Fall n2 π 2 λ= L2 existiert. Das sind genau die Eigenwerte der linearisierten Gleichung (5.62).

264

5 Kontinuumsmechanik

L0 Abb. 5.18. Biegung des Balkens

•

F¨ ur ϕ0 → π divergiert die L¨ ange gegen +∞, da das Integral 0

π/2

dz 2

1 − sin z

π/2

= 0

dz cos z

gegen +∞ divergiert. π Das bedeutet insbesondere, dass die Abbildung L0 : [0, π) → 2√ , ∞ biλ nπ jektiv ist. Es gibt also f¨ ur jede L¨ ange L > √ einen Anfangswinkel ϕ0 λ mit zugeh¨ origer L¨ osung des Problems (5.61), so dass der verformte Balken {(x(s), y(s)) | 0 < s < L} die x–Achse n − 1 mal schneidet. Insgesamt kann man die L¨ osungsmenge in Abh¨angigkeit von λ wie folgt beπ2 schreiben: F¨ ur kleine λ, n¨ amlich λ ≤ L 2 , hat die Aufgabe nur die triviale π2 4π 2 < λ ≤ hat man zwei L¨osungen, n¨amlich die triL¨ osung ϕ(s) = 0. F¨ ur L 2 L2 viale L¨ osung und die durch (5.61) und die Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ (0) = 0 mit der L¨ osung ϕ0 der Gleichung L0 (ϕ0 ) = L/2 gegebene L¨osung. 2 2 Bei jedem Eigenwert λn = nLπ2 der linearisierten Gleichung bekommt man eine weitere L¨ osung dazu. Die Struktur der L¨osungsmenge ist in Abbildung ¨ (5.19) skizziert. In unseren Uberlegungen sind wir von positiven Anfangswinkeln ausgegangen. Nat¨ urlich kann man alle L¨ osungen an der λ–Achse spiegeln, man erh¨ alt dann die in Abbildung (5.19) skizzierten L¨osungen in der Halbebene ϕ0 < 0. In drei Raumdimensionen werden aus den skizzierten Kurven entsprechende Rotationsﬂ¨ achen, da sich der Balken nun nicht nur nach un” ten“ oder oben“, sondern in jede Richtung senkrecht zur Belastungsrichtung ” wegbiegen“ kann. ” Das hier beschriebene Ph¨ anomen der Verzweigung“ von L¨osungen nennt man ” 2 2 Bifurkation oder Verzweigung. Die Punkte λn = nLπ2 heißen Bifurkationspunkte oder Verzweigungspunkte. Diese Punkte sind in der Regel dadurch charakterisiert, dass die linearisierte Gleichung eine nichttriviale L¨osung hat, und dass die triviale L¨ osung nicht stabil ist. Verzweigungen treten auch bei der Belastung d¨ unner Platten und sogenannter Schalen, das sind gekr¨ ummte d¨ unne Platten, auf. Die Platten und Schalen bilden Beulen“ aus, die resultierenden Deformationen k¨onnen dabei deutlich ” komplizierter sein als bei Balken.

5.11 Elektromagnetismus

265

ϕ0

λ

Abb. 5.19. Bifurkationsdiagramm

Eine systematische Einf¨ uhrung in die Verzweigungstheorie bieten die B¨ ucher Chow und Hale [23] und Kielh¨ ofer [72]. Anwendungen zur Bifurkation bei Balken und anderen Problemen der Elastizit¨ atstheorie ﬁndet man auch in Antman [7].

5.11 Elektromagnetismus Ein weiteres, in vielen technisch–naturwissenschaftlichen Anwendungen wichtiges Ph¨ anomen ist der Elektromagnetismus. Wir werden in diesem Abschnitt Modelle zur Beschreibung von elektrischen und magnetischen Wechselwirkungen in kontinuierlichen Medien kennenlernen. Insbesondere werden die Maxwellschen Gleichungen eingef¨ uhrt, die wesentliche Grundlage zur mathematischen Beschreibung elektromagnetischer Prozesse in der klassischen Physik sind. Streng genommen z¨ ahlt man den Elektromagnetismus zwar nicht zur Mechanik, und damit auch nicht zur Kontinuumsmechanik; er wird jedoch ebenfalls durch eine kontinuierliche Feldtheorie beschrieben, so dass dieser Abschnitt methodisch trotzdem gut in dieses Kapitel passt. Das elektrische Feld Eine elektrische Punktladung q0 an der Position x0 u ¨bt auf eine andere Punktladung q an der Position x eine Kraft aus. Die Richtung dieser Kraft ist gleich der Richtung der Verbindungslinie beider Punkte und die St¨arke nimmt mit der zweiten Potenz des Abstandes ab. Die Kraft ist anziehend, wenn q0 und q unterschiedliche Vorzeichen haben, und abstoßend bei gleichen Vorzeichen von q0 und q. Sie ist also gegeben durch F =k

q0 q (x − x0 ) |x − x0 |3

(5.64)

266

5 Kontinuumsmechanik

mit einer Proportionalit¨ atskonstanten k. Diese Beziehung nennt man Coulombsches Gesetz. Die Wirkung der Punktladung q0 auf andere Ladungen im Raum wird durch ein Kraftfeld beschrieben, das elektrische Feld E. Dieses ist so deﬁniert, dass auf eine Ladung q an der Stelle x gerade die Kraft F (x) = q E(x) wirkt. Durch Vergleich mit (5.64) sieht man, dass das von der Punktladung q0 an der Stelle x0 erzeugte elektrische Feld gegeben ist durch E(x) =

k q0 (x − x0 ) . |x − x0 |3

(5.65)

Die elektrischen Felder mehrerer Punktladungen q1 , . . . , qn an den Positionen x1 , . . . , xn erh¨ alt man durch Summe u ¨ber die Felder der Einzelladungen, E(x) =

n

k

j=1

Die Funktion w(x) =

1 |x−x0 |3 (x

qj (x − xj ) . |x − xj |3

− x0 ) hat folgende wichtige Eigenschaften:

(i) Die Divergenz von w ist Null, 1 ∇· (x − x0 ) = 0 f¨ ur x = x0 . |x − x0 |3 (ii) F¨ ur jede Kugel BR (x0 ) mit Radius R um x0 gilt w · n dsx = 4π , ∂BR (x0 )

und zwar unabh¨angig vom Radius R. Wegen (i) gilt sogar f¨ ur jedes C 1 – Gebiet Ω mit x0 ∈ Ω w · n dsx = 4π . ∂Ω

Es folgt n¨ amlich mit einer Kugel Br (x0 ), deren Radius so klein ist, dass Br (x0 ) ⊂ Ω gilt, durch Anwendung des Satzes von Gauß w · n dsx = ∇ · w dx + w · n dsx = 4π , ∂Ω

Ω\Br (x0 )

∂Br (x0 )

wobei der Normalenvektor auf ∂Br (x0 ) ins Außengebiet von Br (x0 ), und damit ins Innere von Ω \ Br (x0 ) gerichtet ist. F¨ ur Gebiete mit x0 ∈ / Ω gilt wegen (i) w · n dsx = 0 . ∂Ω

5.11 Elektromagnetismus

267

(iii) Die Rotation von w ist Null, ∇ × w = 0 f¨ ur x = x0 . Insbesondere besitzt w ein Potential ϕ(x) = −

1 mit ∇ϕ(x) = w(x) f¨ ur x = x0 . |x − x0 |

Aus (ii) folgt f¨ ur jede Ansammlung von Punktladungen an den Positionen x1 , . . . , xn und jedes Gebiet, dessen Rand keinen der Punkte xj enth¨alt und glatt genug ist, E(x) · n(x) dsx = 4πk Q(Ω)

(5.66)

∂Ω

mit der in Ω enthaltenen Ladung Q(Ω) =

n

qj .

j=1 xj ∈Ω

Diese Beziehung nennt man Gesetz von Gauß. Statt der Konstanten k benutzt man die Dielektrizit¨atskonstante ε = (4πk)−1 . Diese Konstante ist materialabh¨ angig, f¨ ur das Vakuum gilt ε = ε0 ≈ 8,854187817 ·10−12C2 N−1 m−2 , wobei C f¨ ur die Ladungseinheit Coulomb“ steht. ” Aus (iii) folgt f¨ ur jede geschlossene Kurve γ, die keinen der Punkte xj enth¨alt, E · dx = 0 . (5.67) γ

In einem Kontinuum haben wir statt der Punktladungen eine volumenbezogene Ladungsdichte . Die rechte Seite von (5.66) hat dann die Form Q(Ω) = dx, Ω

die entsprechende kontinuierliche Formulierung des Gesetzes von Gauß ist ε E(x) · n(x) dsx = dx . (5.68) ∂Ω

Ω

Da man keine isolierten Ladungsquellen mehr hat, gilt dies f¨ ur jedes (gen¨ ugend glatte) Gebiet Ω. Durch Anwendung des Satzes von Gauß erhalten wir ∇ · (ε E) = .

(5.69)

Aus der G¨ ultigkeit von (5.67) f¨ ur jede geschlossene Kurve folgt ∇×E = 0.

(5.70)

268

5 Kontinuumsmechanik

Daraus schließen wir die Existenz eines Potentials V zu −E, E = −∇V .

(5.71)

Einsetzen in (5.69) liefert die Potentialgleichung −∇ · (ε ∇V ) = .

(5.72)

In einem homogenen Medium h¨ angt die Dielektrizit¨atskonstante nicht von x ab und es folgt die Poisson–Gleichung −∆V = ε−1 . Dies sind die Grundgleichungen f¨ ur das elektrische Feld in der Elektrostatik. Alternativ zu diesem auf (5.67) und (5.68) basierenden Zugang kann man das von einer kontinuierlichen Ladungsverteilung erzeugte elektrische Feld auch durch eine Verallgemeinerung von (5.65) auf kontinuierliche Ladungsverteilungen herleiten: (y) 1 (x − y) dy . E(x) = 4πε |x − y|3 3 R Das zugeh¨ orige Potential ist V (x) = R3

1 (y) dy . 4πε |x − y|

(5.73)

Man kann zeigen, dass dies eine Darstellung einer L¨osung der Poissongleichung ist, und zwar durch Faltung der rechten Seite ε−1 mit der singul¨aren 1 1 Funktion ϕ(x) = 4π osung, |x| . Formel (5.73) liefert gerade die eindeutige L¨ 3 ur x → +∞ gegen die in ganz R deﬁniert ist, und deren Funktionswerte f¨ Null konvergieren. Die Funktion ϕ ist eine singul¨are L¨osung der Laplace– Gleichung, die man als Fundamentall¨osung bezeichnet. N¨aheres dazu werden wir in Abschnitt 6.1 diskutieren. Ladungsbilanz F¨ ur die Ladungsdichte gilt eine Bilanzgleichung derselben Art wie die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Massendichte in der Kontinuumsmechanik. Es sei j die elektrische Stromdichte, also j · n = lim

∆A→0 ∆t→0

∆q , ∆t ∆A

wenn ∆q die Ladung ist, die in einem Zeitintervall der L¨ange ∆t durch ein Fl¨ achenst¨ uck ∆A mit Normalenvektor n ﬂießt. Dann lautet die Ladungsbilanz

5.11 Elektromagnetismus

d dt

269

dx = − Ω

j · n dsx . ∂Ω

Das Integral auf der rechten Seite beschreibt die Ladung, die aus dem Gebiet herausﬂießt. Anwendung des Satzes von Gauß liefert (∂t + ∇ · j) dx = 0 . Ω

Da diese Gleichung f¨ ur jedes Gebiet Ω gelten muss, erh¨alt man ∂t + ∇ · j = 0 .

(5.74)

Diese Gleichung wird oft ebenfalls Kontinuit¨atsgleichung genannt. Das Ohmsche Gesetz Ein elektrisches Feld u ¨ bt eine Kraft auf Ladungen aus. Falls diese Ladungen beweglich sind, dann werden sie durch diese Kraft beschleunigt. Elektrisch leitf¨ ahige Materialien setzen der Bewegung von Ladungen einen Widerstand entgegen, so dass sich die Ladungen im Mittel mit einer vom elektrischen Feld abh¨ angigen Geschwindigkeit bewegen. Den daraus resultierenden Zusammenhang zwischen elektrischem Feld und elektrischer Stromdichte kann man formulieren als j = σE . (5.75) Die Proportionalit¨ atskonstante σ heißt elektrische Leitf¨ahigkeit. Bei sogenannten ohmschen Materialien ist σ konstant, bei nichtohmschen Materialien kann σ von E abh¨ angen. Typischerweise ist σ auch von anderen physikalischen Gr¨ oßen abh¨ angig, insbesondere von der Temperatur. Elektrostatik in Leitern, Oberﬂ¨ achenladungen Wir betrachten nun Prozesse mit zeitlich konstanter Ladungsverteilung in leitenden Medien. Die Kontinuit¨ atsgleichung lautet dann

Γ

Ω−

n−

nΓ n+

Ω+

Abb. 5.20. Zur Illustration der Sprungbedingung bei Fl¨ achenladungen

270

5 Kontinuumsmechanik

∇·j = 0. Eine zeitlich konstante Ladungsverteilung muss nicht bedeuten, dass keine Ladung transportiert wird, sondern lediglich, dass sich die Ladungsdichte zeitlich nicht ¨ andert; und dies wird gerade durch die Bedingung ∇ · j = 0 f¨ ur den Ladungstransport charakterisiert. Zusammen mit dem Ohmschen Gesetz j = σE folgt f¨ ur konstante Leitf¨ ahigkeit σ ∇· E = 0. Ein Vergleich mit (5.69) zeigt = 0. Das bedeutet, dass die Ladungsdichte im Inneren eines leitf¨ ahigen Mediums bei einer station¨aren Ladungsverteilung gleich Null ist. In einem K¨ orper aus einem leitenden Material, der von einem nicht leitenden Medium umgeben ist, wird sich Ladung im station¨aren Grenzfall also an der Oberﬂ¨ache sammeln. In einem kontinuumsmechanischen Modell wird dies durch eine ﬂ¨achenspeziﬁsche Ladungsdichte an der Oberﬂ¨ache beschrieben. Sei Γ die Oberﬂ¨ ache eines Leiters und Γ die ﬂ¨achenspeziﬁsche Ladungsdichte auf dieser Oberﬂ¨ ache. Das Gesetz von Gauß lautet dann ε E(x) · n(x) dsx = Γ dsx . (5.76) ∂Ω

Ω∩Γ

Dies gilt, wenn Γ , Ω und Γ glatt genug sind, und die Schnittmenge ∂Ω ∩ Γ das Fl¨ achenmaß 0 hat. Aus der G¨ ultigkeit von (5.76) f¨ ur beliebige Gebiete, deren Schnitt mit Γ leer ist, folgt zun¨ achst ∇ · E(x) = 0 f¨ ur x ∈ /Γ. Wir betrachten nun ein Gebiet Ω, das von Γ in zwei Teile Ω+ und Ω− zerschnitten wird, wie in Abbildung 5.20 dargestellt. Es bezeichnen n+ und n− die jeweils nach außen gerichteten Normalenvektoren von ∂Ω+ und ∂Ω− . Auf Γ gilt dann n+ = −n− =: nΓ . Wir nehmen an, dass die einseitigen Grenzwerte E+ (x) = lims→0 E(x − sn+ ) und E− (x) = lims→0 E(x − sn− ) von E s>0

s>0

f¨ ur x ∈ Γ existieren und integrierbar seien. Anwendung des Satzes von Gauß liefert dann ∇ · (ε E) dx + ∇ · (ε E) dx 0= Ω Ω − + ε E · n+ dsx + ε E · n− dsx = ∂Ω+ ∂Ω− = ε E · n dsx + (ε+ E+ · n+ + ε− E− · n− ) dsx . Γ ∩Ω

∂Ω

F¨ ur den Sprung [ε E · n] = ε+ E+ · n+ + ε− E− · n− gilt also [ε E · n] dsx = − Γ dsx . Ω∩Γ

Ω∩Γ

5.11 Elektromagnetismus

271

Da Ω frei w¨ ahlbar ist, folgt [ε E · n] = −Γ .

(5.77)

Auch im Fall ﬂ¨ achenbezogener Ladungsdichten gilt Formel (5.67) f¨ ur jede geschlossene Kurve γ, und man kann daraus die Existenz des elektrostatischen Potentials V mit E = −∇V folgern. Falls E beschr¨ankt ist, dann ist V stetig und außerhalb Γ diﬀerenzierbar, der Gradient ist wegen (5.77) jedoch nicht stetig fortsetzbar auf Γ . Die Normalenableitung des Potentials erf¨ ullt die Sprungbedingung [ε ∇V · n] = ε+ ∇V+ · n+ + ε− ∇V− · n− = −[ε E · n] = Γ . Aus der Voraussetzung, dass E+ und E− jeweils stetig auf Γ fortsetzbar sind, folgt, dass V auf beiden Seiten von Γ stetig diﬀerenzierbar ist und dass der Gradient von beiden Seiten stetig fortsetzbar auf Γ ist. Da V außerdem als Potential einer beschr¨ ankten Funktion stetig ist, muss auch die Tangentialableitung von V stetig sein. Falls ein mit einem leitenden Medium gef¨ ulltes Gebiet Ω im statischen Gleichgewicht ist, also j = −σ∇V = 0 gilt, dann muss V in Ω konstant sein. Insbesondere ist dann das elektrische Feld innerhalb des Leiters gleich Null. Beispiel 1: Kondensator. Wir betrachten zwei parallele Platten mit Abstand a, wie in Abbildung 5.21 skizziert. Wir nehmen an, dass die Platten in Richtung der x1 –x2 –Ebene orientiert sind, Platte 1 den Nullpunkt und Platte 2 den Punkt (0, 0, a) enthalte. Auf Platte 1 sei das Potential V1 , auf Platte 2 das Potential V2 gegeben. Das elektrische Feld und das Potential zwischen den Platten h¨ angen dann aus Symmetriegr¨ unden nur von x3 ab. Aus ∆V = ∂32 V = 0,

V (x3 = 0) = V1 ,

V (x3 = a) = V2

folgt V (x) = V1 + x3 (V2 − V1 )/a. Das elektrische Feld zwischen den Platten ist (V1 − V2 ) e3 . E = −∇V = a Außerhalb des von den Platten eingeschlossenen Gebietes sei V als konstant angenommen, damit gilt dort E = 0. Mit der Sprungbedingung (5.77) ist die Ladungsdichte 1 auf Platte 1 gegeben durch 1 = ε E · e3 = aε (V1 − V2 ), auf Platte 2 gilt analog 2 = aε (V2 − V1 ). Dabei ist ε die Dielektrizit¨atskonstante f¨ ur das Medium zwischen den Platten. Diese Formeln gelten auch n¨ aherungsweise f¨ ur Platten endlicher Gr¨oße mit Fl¨ acheninhalt A, wenn der Abstand a sehr klein ist. In diesem Fall weicht das elektrische Feld nur nahe des Randes der Platten vom angegebenen Feld ab. Es gibt dann folgenden Zusammenhang zwischen der Potentialdiﬀerenz U = V1 − V2 und der auf den Kondensatorplatten gespeicherten Ladung: Q=

εA U. a

272

5 Kontinuumsmechanik

Die Gr¨ oße C = εA/a ist die Kapazit¨at des Kondensators. Die Kapazit¨at ist proportional zur Fl¨ ache und umgekehrt proportional zum Abstand der Kondensatorplatten. + + + + + + + + a − − − − − − − − Abb. 5.21. Schematisches Bild eines Kondensators

Beispiel 2: Faradayscher K¨ aﬁg. Wir betrachten ein von einem leitenden Medium ausgef¨ ulltes Gebiet Ω, das einen nichtleitenden Innenraum Ω0 umschließe, wie in Abbildung 5.22 dargestellt. Im Außenraum R3 \ Ω ∪ Ω0 sei ein station¨ ares elektrisches Feld E gegeben, das zu einer station¨aren Verteilung von Oberﬂ¨ achenladungen auf ∂Ω f¨ uhrt. Das Potential in Ω ist dann konstant V = V0 , das elektrische Feld ist E = 0. In Ω0 haben wir die Potentialgleichung ∆V = 0 mit Randbedingung V = V0 zu l¨ osen. Die L¨osung ist V = V0 , folglich ist ulle Ω schirmt also auch das elektrische Feld in Ω0 gleich Null. Die leitende H¨ das ¨ außere elektrische Feld komplett ab. Ladungen verteilen sich so auf der außeren Oberﬂ¨ ache von Ω, dass sie das ¨ außere elektrische Feld kompensieren. ¨ An der inneren Fl¨ ache zwischen Ω0 und Ω sind keine Oberﬂ¨achenladungen vorhanden.

Ω0 Ω Abb. 5.22. Schematisches Bild eines Faradayschen K¨ aﬁgs

Die Energie des elektrischen Feldes Ein elektrisches Feld wird in der Elektrostatik durch Ladungen verursacht. Auf eine Ladung q in einem elektrischen Feld wirkt die Kraft F = qE = −q ∇V . Die potentielle Energie der Ladung im elektrischen Feld ist demnach qV . In einer Ladungsverteilung im Raum ist deshalb eine kumulierte potentielle Energie der Ladungen in dem von allen anderen“ Ladungen erzeugten elektrischen ”

5.11 Elektromagnetismus

273

Feld gespeichert. Zur Berechnung dieser Energie betrachten wir eine Ladungsdichte 0 im gesamten Raum mit kompaktem Tr¨ager, es gelte also 0 (x) = 0 f¨ ur |x| > R mit einem geeigneten R. Wir nehmen an, dass diese Ladungsverteilung langsam aufgebaut werde, dies werde beschrieben durch eine Funktion ur |x| > R. Sei (t, x) mit (0, x) = 0, (1, x) = 0 (x) und (t, x) = 0 f¨ E(t, x) das elektrische Feld, V (t, x) das elektrostatische Potential und W (t) die Energie des elektrischen Feldes zum Zeitpunkt t. Es gilt dann E(0, x) = 0, W (0) = 0 und W (t) =

R3

V (t, x) ∂t (t, x) dx .

Der Integrand hier beschreibt die Leistung, die ben¨otigt wird, um die Lauhren, bildlich gesprodungs¨ anderung ∂t gegen das elektrische Feld E auszuf¨ chen muss die Ladung dazu aus dem Unendlichen“ herangef¨ uhrt werden. ” Aus = ∇ · (ε E) = −∇ · (ε ∇V ) folgt W (t) = −

R3

V (t, x) ∂t ∇ · (ε ∇V (t, x)) dx =

R3

ε ∂t |∇V (t, x)|2 dx . 2

Die letzte Gleichung folgt durch partielle Integration bez¨ uglich x. Die Randterme im Unendlichen“ verschwinden dabei, weil V sich f¨ ur große |x| wie ” alt; dies kann man beispielsweise aus der O(|x|−1 ) und ∇V wie O(|x|−2 ) verh¨ Darstellungsformel (5.73) ableiten. Integration liefert ε W (1) = |E(1, x)|2 dx . 2 3 R Wir k¨ onnen also einem elektrischen Feld E die Energie ε |E(x)|2 dx W = R3 2

(5.78)

zuordnen. Diese Energie wird als Energie des elektrischen Feldes bezeichnet. Magnetostatische Wechselwirkungen Ein stromf¨ uhrender Leiter u afte auf in der N¨ahe beﬁndliche Magnetpole ¨ bt Kr¨ aus. Dies a ußert sich beispielsweise dadurch, dass sich Eisensp¨ane auf einer ¨ senkrecht zum Leiter stehenden Platte in konzentrischen Kreisen anordnen, oder dass sich drehbar gelagerte Magnetnadeln senkrecht zum Leiter ausrichten. Ursache hierf¨ ur ist eine Kraft, die mit unterschiedlichen Vorzeichen auf die beiden Pole eines Magneten wirkt und dadurch zu einem Drehmoment f¨ uhrt, das den Magneten ausrichtet. Die St¨ arke dieser Kraft ist proportional zur Stromst¨ arke und zum reziproken Abstand, die Richtung ist senkrecht

274

5 Kontinuumsmechanik

sowohl zum Leiter als auch zur Verbindungslinie zwischen dem betrachteten Magneten und der Projektion dieses Punktes auf den Leiter. Wir beschreiben dies durch ein Feld, der magnetischen Induktion B. F¨ ur einen Leiter in Form einer Geraden mit Richtungsvektor a der L¨ange 1 ist die magnetische Induktion gegeben durch B(x) =

kI a × (x − P x) , |x − P x|2

wobei k eine Proportionalit¨ atskonstante, I die Stromst¨arke und P x die Pro1 jektion von x auf den Leiter ist. Die Funktion w(x) = |x−P x|2 a × (x − P x) erf¨ ullt f¨ ur x = x0 folgende wichtige Beziehungen: Satz 5.14. Es sei γ0 eine Gerade mit Richtungsvektor a, P x die Projektion 1 ur x ∈ / γ0 . Sei γ eine glatte von x ∈ R3 auf γ0 und w(x) = |x−P x|2 a×(x−P x) f¨ orientierte geschlossene Kurve mit γ ∩ γ0 = ∅, die γ0 einmal in mathematisch positiver Richtung uml¨auft, und Ω ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand ∂Ω. Die Schnittmenge ∂Ω ∩ γ0 bestehe aus isolierten Punkten, in denen die Tangentialebene von ∂Ω nicht parallel zu γ0 sei. Dann gilt B(x) · dx = 2π , (5.79) γ B(x) · n(x) dsx = 0 . (5.80) ∂Ω

Beweis. Wir w¨ ahlen ein Koordinatensystem mit Ursprung auf γ0 und x3 – ur (x1 , x2 ) = (0, 0) Achse in Richtung von γ0 . Es gilt dann f¨ ⎛ ⎞ −x2 1 1 ⎝ x1 ⎠ , w(x) = 2 e3 × x = 2 x1 + x22 x1 + x22 0 ∇×w = 0, ∇· w = 0. Wir betrachten zun¨ achst einen orientierten Kreis γ1 in der x1 –x2 –Ebene mit Radius ⎛ r, der γ0⎞in positiver Richtung umlaufe. Mit Polarkoordinaten folgt ⎛ ⎞ r cos ϕ −r sin ϕ x(ϕ) = ⎝ r sin ϕ ⎠ und x (ϕ) = ⎝ r cos ϕ ⎠ und damit 0 0

B(x) · dsx = γ1

0

2π

−x2 (ϕ) x1 (ϕ) + x1 (ϕ) x2 (ϕ) dϕ = 2π . x21 (ϕ) + x22 (ϕ)

Zur Kurve γ existiert eine Fl¨ ache Γ mit Rand γ ∪ γ1 , wie in Abbildung 5.23 skizziert. Anwendung des Satzes von Stokes auf diese Fl¨ache liefert

5.11 Elektromagnetismus

275

γ0

γ1 γ

Abb. 5.23. Zum Beweis von (5.79) γ0

Ω

Mr Abb. 5.24. Zum Beweis von (5.79)

∇ × w · n dsx =

0= Γ

w · ds − γ

w · ds γ1

und damit Beziehung (5.79). Zu Ω sei Ωr := {x ∈ Ω | dist(x, γ0 ) > r} deﬁniert, siehe Abbildung 5.24. Wegen ∇ · w = 0 in Ωr gilt 0= ∇ · w dx = w · n dsx . Ωr

∂Ωr

Auf der Mantelﬂ¨ ache Mr = {x ∈ ∂Ωr | dist(x, γ0 ) = r} ist n(x) parallel zu x − P x = (x1 , x2 , 0) , somit gilt w(x) · n(x) = 0. Die verbleibende Fl¨ache ∂Ω \ ∂Ωr setzt sich zusammen aus den Umgebungen der Schnittpunkte von ∂Ω und γ0 . Diese lassen sich jeweils parametrisieren durch Graphen der Form ur x21 + x22 < r. Sei c1 eine obere (x1 , x2 , h(x1 , x 2 )) mit glatter Funktion h f¨ Schranke f¨ ur 1 + |∇h|2 . Dann gilt

276

5 Kontinuumsmechanik

1 w · n dx ≤ c1 ur r → 0 , dx1 dx2 → 0 f¨ 2 2 ∂Ω\∂Ωr x21 +x22 ≤r 2 | x1 + x2 | wobei die Anzahl der Schnittpunkte bezeichnet. Damit ist (5.80) gezeigt. Die von einem geraden Leiter, in dem ein Strom der St¨arke I ﬂießt, erzeugte magnetische Induktion B erf¨ ullt nach Satz 5.14 folgende Beziehungen: B · ds = µ I , (5.81) γ B · n dsx = 0 . (5.82) ∂Ω

Dabei ist µ := 2πk die magnetische Permeabilit¨at. Im Vakuum ist µ = µ0 = 4π 10−7 N/A2 . Diese Beziehungen gelten nicht nur f¨ ur gerade Leiter, sondern f¨ ur beliebige Leitergeometrien. In einer kontinuierlichen Formulierung der magnetischen Wechselwirkungen ersetzen wir die stromf¨ uhrenden Leiter durch eine Stromdichte j. Statt (5.81) formulieren wir die Beziehung B · ds = µ j · n dsx , (5.83) γ

Γ

wobei Γ eine beliebige Fl¨ ache mit Rand γ ist. Das Integral auf der rechten Seite beschreibt gerade den von der Kurve γ umschlossenen Strom. Es ist von der Wahl von Γ unabh¨ angig, falls ∇ · j = 0 gilt, also gerade im station¨aren Fall. Sind n¨ amlich Γ1 und Γ2 zwei verschiedene Fl¨achen mit demselben Rand γ, so schließen diese Fl¨ achen ein Gebiet Ω ein, und durch Anwendung des Satzes von Gauß folgt j · n1 dsx − j · n2 dsx = j · n dsx = ∇ · j dx = 0 . Γ1

Γ2

∂Ω

Ω

Anwendung des Satzes von Stokes auf (5.83) liefert (∇ × B − µj) · n dsx = 0 . Γ

Dies gilt f¨ ur jede glatte, beschr¨ ankte Fl¨ ache Γ mit glattem Rand. Falls B und j glatt genug sind, folgt ∇× B = µj ; (5.84) dies ist das Amp`eresche Gesetz. Aus (5.82) folgt mit dem Satz von Gauß und der M¨ oglichkeit, Ω beliebig zu w¨ ahlen, ∇·B = 0. Dies sind die Grundgleichungen der Magnetostatik.

(5.85)

5.11 Elektromagnetismus

277

Die Lorentz–Kraft Magnetfelder u afte auf bewegte Ladungen aus. Die Kraft auf eine ¨ ben Kr¨ Punktladung q mit Geschwindigkeit v ist senkrecht zur Bewegungsrichtung und zur Richtung des magnetischen Feldes und proportional zur Ladung, zur St¨arke des Magnetfeldes und zur Geschwindigkeit der Ladung: F = qv×B. Diese Kraft heißt Lorentz–Kraft. Eine Proportionalit¨atskonstante gibt es hier nicht; die magnetische Induktion ist gerade durch diese Beziehung skaliert. In einer kontinuierlichen Formulierung mit r¨ aumlich verteilten Ladungen wird qv durch eine elektrische Stromdichte j und F durch eine volumenbezogene Kraftdichte f ersetzt. Die Kraft FΩ auf die in dem Gebiet Ω enthaltene Ladung ist dann gegeben durch FΩ = f dx = j × B dx . Ω

Ω

Daraus folgt die Diﬀerentialgleichung f =j×B. Im Fall von stromf¨ uhrenden Kurven kann man eine analoge Variante formulieren. Es sei γ = {x(s) | s ∈ (0, 1)} eine glatte Kurve, durch die der Strom I ﬂieße. Den Strom I kann man sich realisiert denken durch eine l¨angenbezogene Ladungsdichte γ , die sich mit Geschwindigkeit v bewegt; I = γ v. Die Lorentzkraft auf eine stromdurchﬂossene Kurve ist demnach s I B(x(s)) × x (s) ds . Fγ = − I B × ds = − γ

0

Beispiel: Wir betrachten zwei parallele Leiter mit Abstand a. Durch die Leiter ﬂießen Str¨ ome der St¨ arke I1 und I2 . Wir w¨ahlen ein Koordinatensystem so, dass beide Leiter in Richtung der x3 –Achse orientiert sind, Leiter 1 den Nullpunkt und Leiter 2 den Punkt (a, 0, 0) enthalte. Die von Leiter 1 erzeugte magnetische Induktion ist gegeben durch ⎞ ⎛ −x2 I1 µ ⎝ x1 ⎠ . B1 (x) = 2π x21 + x22 0 uck γL Dieses Magnetfeld ist unabh¨ angig von x3 . Es u ¨ bt daher auf ein Teilst¨ der L¨ ange L von Leiter 2 die Kraft µLI1 I2 F1→2 (L) = I2 e3 × B1 dx = − e1 2πa γL aus. Diese Kraft ist also anziehend, falls die Str¨ ome dieselbe Richtung haben, und abstoßend bei unterschiedlicher Richtung.

278

5 Kontinuumsmechanik

Die Maxwellschen Gleichungen Ein Meilenstein in der Entwicklung des Elektromagnetismus war die Erkenntnis, dass zeitlich ver¨ anderliche Magnetfelder elektrische Felder erzeugen und umgekehrt auch zeitlich ver¨ anderliche elektrische Felder magnetische Felder erzeugen. Basis daf¨ ur sind experimentell gefundene Beobachtungen folgender Art: •

In einer geschlossenen ebenen Leiterschleife in einem r¨aumlich konstanten, aber zeitlich ver¨ anderlichen Magnetfeld B ﬂießt ein Strom I. Dieser ist ¨ proportional zur zeitlichen Anderung des Magnetfeldes ∂t B und proportional zu A⊥ , dem senkrecht zum Magnetfeld orientierten Anteil der von der Leiterschleife umschlossenen Fl¨ache: I ∼ ∂t B A⊥ .

•

In einer geschlossenen, zeitlich ver¨ anderlichen Leiterschleife in einem zeitlich und r¨ aumlich konstanten Magnetfeld B ﬂießt ebenfalls ein Strom; ¨ dieser ist proportional zur Anderung von A⊥ und zu B, I ∼ B ∂t A⊥ .

¨ Daraus kann man schließen, dass der Strom proportional ist zur Anderung der Gr¨ oße B A⊥ , dem sogenannten magnetischen Fluss durch die Leiterschleife. Der Strom wird nach dem Ohmschen Gesetz durch ein elektrisches Feld erzeugt, das proportional zur Stromst¨ arke ist. F¨ ur allgemeine Leiterschleifen mit Geometrie γ und allgemeine, auch r¨ aumlich ver¨anderliche Magnetfelder kann man daher folgendes Gesetz f¨ ur den Zusammenhang von elektrischen und magnetischen Feldern postulieren: d B · n dsx ∼ E · dx . dt Γ γ Dabei ist Γ eine von γ umschlossene Fl¨ ache mit Normale n. Durch Anwendung des Satzes von Stokes folgt f¨ ur zeitlich konstantes Γ ∂t B · n dsx ∼ ∇ × E · n dsx . Γ

Γ

Es folgt also ∂t B ∼ ∇ × E . Die magnetische Induktion B ist so skaliert, dass die Proportionalit¨atskonstante gerade gleich −1 ist. Insgesamt erh¨ alt man das Maxwell–Henrysche Gesetz (5.86) ∂t B + ∇ × E = 0 .

5.11 Elektromagnetismus

279

Maxwell hat auch ohne weitere experimentelle Basis vermutet, dass es eine ahnliche Beziehung zwischen der Zeitableitung des elektrischen Feldes und ¨ dem magnetischen Feld geben muss. Aus dem Gaußschen Gesetz (5.69) und der Ladungserhaltung (5.74) folgt ∇ · (ε ∂t E + j) = 0 . Demnach hat ε ∂t E + j ein Vektorpotential, es gilt also ε ∂t E + j = ∇ × F mit einem geeigneten Vektorfeld F . Im station¨ aren Fall folgt aus (5.84) ∇× B = µj , so dass man F = µ−1 B vermuten kann. Man erh¨alt dadurch das Amp`ere– Maxwellsche Gesetz (5.87) εµ ∂t E − ∇ × B + µ j = 0 . Wir fassen nun alle Grundgleichungen des Elektromagnetismus zusammen: ∇ · (ε E) = , ∇·B = 0,

(5.88) (5.89)

∂t B + ∇ × E = 0 , εµ ∂t E − ∇ × B + µ j = 0 .

(5.90) (5.91)

Dies sind die Maxwellschen Gleichungen. Elektromagnetismus in Materialien In aus Atomen oder Molek¨ ulen zusammengesetzten Materialien gibt es auf der Skala der Molek¨ ule ebenfalls elektromagnetische Wechselwirkungen, die in einer kontinuierlichen makroskopischen Beschreibung nicht direkt aufgel¨ost werden, aber trotzdem die makroskopischen elektromagnetischen Eigenschaften des Materials beeinﬂussen. Konkret handelt es sich dabei um • •

Verschiebung von gebundenen Ladungen“ auf der molekularen Skala, ” durch Str¨ ome auf der molekularen Skala erzeugte Magnetfelder.

Gebundene Ladungen sind Elektronen, die an Atome oder Molek¨ ule gebunden sind. Diese Ladungen werden sich bei einem anliegenden ¨außeren elektrischen Feld innerhalb ihrer Molek¨ ule verschieben, wodurch ein sogenannter elektrischer Dipol erzeugt wird. Diesen Eﬀekt nennt man Polarisierung. Weiterhin k¨ onnen bestimmte Materialien aufgrund ihrer molekularen Zusammensetzung eine permanente Polarisierung auf der molekularen Skala besitzen. Diese ist

280

5 Kontinuumsmechanik

makroskopisch zun¨ achst in der Regel nicht sichtbar, da sich die vorhandenen elektrischen Dipole gleichverteilt ausrichten. Bei einem ¨außeren elektrischen Feld werden sich diese elektrischen Dipole jedoch in Richtung dieses Feldes orientieren und so einen makroskopisch sichtbaren Eﬀekt erzeugen, der ebenfalls zur Polarisierung beitr¨ agt. Man unterscheidet nun zwischen gebundenen und freien Ladungen und modiﬁziert die Maxwellschen Gleichungen so, dass die Ladungsdichte und Stromdichte j sich nur auf die freien Ladungen beziehen. Die Polarisierung kann man makroskopisch durch eine Stromdichte jg der gebundenen Ladungen be¨ schreiben, die proportional zur Anderung des elektrischen Feldes ist, jg = χ ε0 ∂t E . Aus der Erhaltung der gebundenen Ladungen ∂t g + ∇ · jg = 0 folgt dann ∂t g + ∂t ∇ · (χε0 E) = 0 und durch Integration mit der hypothetischen Anfangsbedingung g |t=0 = 0, E|t=0 = 0 g = −∇ · (χε0 E) . Einsetzen in das Gaußsche Gesetz (5.88) mit ε = ε0 , also ∇ · (ε0 E) = + g , liefert ∇ · (ε0 (1 + χ)E) = . Durch diese Beziehung motiviert deﬁniert man das Feld D := ε0 (1 + χ)E , die dielektrische Verschiebung. Es gilt D = εE mit der Dielektrizit¨atskonstanten ε = ε0 (1 + χ). H¨ auﬁg wird ε dargestellt als ε = ε0 εr mit der relativen Dielektrizit¨atskonstanten εr = 1 + χ. Molek¨ ule k¨ onnen neben elektrischen Dipolen auch magnetische Dipole besitzen. Diese werden erzeugt durch die von bewegten Elektronen generierten Str¨ ome auf der molekularen Skala. Bei den meisten Materialien sind diese magnetischen Dipole makroskopisch zun¨ achst nicht sichtbar, weil sich die Dipole statistisch gleichverteilt ausrichten, und in ihrer Wirkung somit gegenseitig aufheben. Eine Ausnahme hiervon sind sogenannte ferromagnetische Substanzen, bei denen sich die vorhandenen magnetischen Dipole durch gegenseitige Wechselwirkung aneinander ausrichten, und so ein permanentes magnetisches Feld erzeugen. Dieser Eﬀekt f¨ uhrt zur Existenz von Permanentmagneten. In

5.11 Elektromagnetismus

281

beiden F¨ allen werden die molekularen magnetischen Dipole durch ¨außere magnetische Felder beeinﬂusst, und erfahren dadurch eine makroskopisch sichtbare Magnetisierung. Diese wird durch eine volumenbezogene Dichte des magnetischen Momentes beschrieben, die auch als Magnetisierungsvektor bezeichnet und mit m notiert wird. Man unterscheidet nun zwischen dem ¨außeren magnetischen Feld und dem durch die molekularen magnetischen Dipole erzeugten Feld. Das ¨ außere magnetische Feld wird durch die magnetische Feldst¨arke H beschrieben, die im Vakuum durch H = µ−1 0 B gegeben ist. Der Magnetisierungsvektor ist proportional zur magnetischen Feldst¨arke, m = ψH mit einer Materialkonstanten ψ. Die magnetische Induktion B ergibt sich dann aus B = µ0 (H + m) = µ0 (1 + ψ)H = µH mit der magnetischen Permeabilit¨at µ = µ0 (1 + ψ). H¨auﬁg wird µ geschrieben als µ = µ0 µr mit der relativen Permeabilit¨at µr . Die Magnetisierung erzeugt nun ebenfalls Str¨ ome der gebundenen Elektronen. In Analogie zu (5.91) erh¨ alt man die Stromdichte der gebundenen Ladungen aus jg = χ ∂t E + ∇ × m . Einsetzen in das Amp`ere–Maxwellsche Gesetz (5.91) mit Stromdichte j + jg liefert µ0 ∂t (εE) − ∇ × (B − µ0 m) + µ0 j = 0 oder, nach Division durch µ0 , ∂t D − ∇ × H + j = 0 . Insgesamt erhalten wir die Maxwellschen Gleichungen in der Form ∇· D = ,

(5.92)

∇· B = 0, ∂t B + ∇ × E = 0 ,

(5.93) (5.94)

∂t D − ∇ × H + j = 0 .

(5.95)

Diese werden erg¨anzt durch die Bestimmungsgleichungen D = εE und B = µH sowie die Kontinuit¨ atsgleichung (5.74) und das Ohmsche Gesetz (5.75). Streng genommen sind dies dieselben Gesetze wie schon in (5.88)–(5.91). Wir haben in der Darstellung lediglich die Vorg¨ ange auf der mikroskopischen Skala der Materie von den makroskopischen Feldern getrennt.

282

5 Kontinuumsmechanik

Die Energie des Magnetischen Feldes Wir betrachten ein von einer im Raum verteilten, station¨aren elektrischen Stromdichte j erzeugtes Magnetfeld H. Beim Einschalten“ dieses Magnet” feldes ist dieses nicht sofort verf¨ ugbar, sondern wird in einer gewissen Zeit langsam aufgebaut. Dies kann durch zeitabh¨ angige“ Funktionen H = H(t, x) ” ¨ und j = j(t, x) beschrieben werden. Die zeitliche Anderung des Magnetfeldes erzeugt dabei ein elektrisches Feld, dessen Wirkung auf die Stromdichte j zu einer Kraft f¨ uhrt. Als Konsequenz wird beim Aufbau des Magnetfeldes Energie ben¨ otigt, die beim Abbau wieder abgegeben wird. Diese Energie wird im Magnetfeld gespeichert. Zur Berechnung dieser Energie betrachten wir zeitabh¨angige L¨osungen der Maxwell–Gleichungen mit Ladungsdichte = 0 und gegebener, zeitabh¨angiger Stromdichte j. Es gelte j(0, x) = 0, H(0, x) = 0, E(0, x) = 0, j(t, x) = 0 f¨ ur |x| > R mit geeignetem R > 0 und ∇ · j(t, x) = 0. Die zum Zeitpunkt t notwendige Leistung zum Aufbau der Stromdichte und der elektrischen und magnetischen Felder ben¨ otigte Leistung ist E · j dx = − E · (∇ × H − ε ∂t E) dx P (t) = − R3 R3 ε 2 d |E| dx − = E · (∇ × H) dx . dt R3 2 R3 Es gilt nun E · (∇ × H) = ∇ · (H × E) + H · (∇ × E) und ∇ × E = −µ ∂t H. Das Integral u ur |x| → +∞ ¨ ber die ∇ · (H × E) verschwindet, da E und H f¨ stark genug abklingen. Weiter gilt µ d − |H|2 dx . E · (∇ × H) dx = µ H · ∂t H dx = dt R3 2 R3 R3 Insgesamt erhalten wir P (t) =

d dt

R3

ε 2 |E| dx + 2

R3

µ |H|2 dx . 2

Die Energie des elektrischen Feldes entspricht nach Formel (5.78) gerade dem ersten Integral hier. Folglich hat das Magnetfeld die Energie µ 1 |H|2 dx = |B|2 dx . W (t) = R3 2 R3 2µ Im station¨ aren Grenzfall nach dem Einschalten“ des Magnetfeldes ver” schwindet das elektrische Feld wieder, denn das zugeh¨orige Potential V l¨ost ∇ · (ε ∇V ) = 0 mit den Randbedingungen V → 0 f¨ ur |x| → ∞. Folglich ist die gesamte Energie im dann station¨ aren Magnetfeld gespeichert.

5.11 Elektromagnetismus

283

Beispiel: Wir betrachten den Einschaltvorgang einer Spule. Durch die Spule ﬂieße ein Strom I = I(t). Das von diesem Strom erzeugte station¨are Magnetfeld ist zwar r¨ aumlich inhomogen, aber proportional zur Stromst¨arke I. F¨ ur die im Magnetfeld gespeicherte Energie gilt also W (t) =

L |I(t)|2 2

mit einer von der Spule abh¨ angigen Konstanten L, der Induktivit¨at. Diese ist gegeben durch L= R3

µ|B1 (x)|2 dx ,

arke 1 erzeugte magnetische Induktion wenn B1 die von einem Strom der St¨ ¨ ist. Wir betrachten nun eine Anderung des Stromes, die so langsam ist, dass die magnetischen und elektrischen Felder nahe an station¨aren Zust¨anden sind. Die der Spule zugef¨ uhrte Leistung ist dann ˙ . P (t) = W (t) = L I(t) I(t) Diese Leistung wird durch die an der Spule anliegende Spannung U (t) gem¨aß der Formel P (t) = U (t) I(t) zur Verf¨ ugung gestellt. Daraus folgt die Formel f¨ ur den Spannungsabfall an der Spule ˙ . U (t) = L I(t) Elektromagnetische Wellen Die vielleicht wichtigste Anwendung des Elektromagnetismus sind elektromagnetische Wellen, die Grundlage des Funkens, der Radio- und Fernseh¨ ubertragung, des Radars, des R¨ ontgenger¨ ats und des Lichtes sind. Die Existenz von elektromagnetischen Wellen kann man aus den Maxwellschen Gleichungen schließen. Wir betrachten dazu die Gleichungen (5.88)–(5.91) f¨ ur = 0 und j = 0 und konstante ε, µ. Addiert man die Zeitableitung von (5.91) und die Rotation von (5.90), so erh¨ alt man εµ ∂t2 E + ∇ × ∇ × E = 0 . Mit den Formeln ∇ × ∇ × E = ∇∇ · E − ∆E und ∇ · E = 0 folgt die Wellengleichung (5.96) ∂t2 E − c2 ∆E = 0 √ mit der Lichtgeschwindigkeit c = 1/ εµ. Analog kann man die entsprechende Version f¨ ur die magnetische Induktion herleiten, ∂t2 B − c2 ∆B = 0 .

284

5 Kontinuumsmechanik

Gleichung (5.96) hat L¨ osungen in Form einer wandernden Welle der Art E(t, x) = E0 sin(k · x − t) mit konstantem E0 und Wellenvektor k, wobei |k| = 1/c gelten muss. Aus ∇ · E = 0 folgt E0 · k = 0, die Amplitude des elektrischen Feldes ist also senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die zugeh¨orige magnetische Induktion ist nach (5.90) B(t, x) = k × E0 sin(k · x − t) , sie steht also senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und zum elektrischen Feld. Die Existenz von elektromagnetischen Wellen und die korrekte Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit waren eine wichtige Best¨atigung der Maxwellschen Gesetze.

5.12 Dispersion Die Dispersion der L¨ osung einer partiellen Diﬀerentialgleichung beschreibt, wie sich harmonische Wellen der Form u(t, x) = ei(k·x−ωt)

(5.97)

mit Wellenvektor k und Kreisfrequenz ω ausbreiten. Als Beispiel betrachten wir die eindimensionale Konvektions–Diﬀusionsgleichung ∂t u + c ∂x u − a ∂x2 u = 0 . Einsetzen des Ansatzes u(t, x) = ei(kx−ωt) liefert − ωi + cki + ak 2 ei(kx−ωt) = 0 . Zwischen Wellenzahl k und Kreisfrequenz ω muss also die Beziehung ω = ck − a|k|2 i gelten. Die Beziehung k → ω = ω(k) wird Dispersionsrelation genannt. Man kann aus der Dispersionsrelation das qualitative Verhalten von L¨osungen der betrachteten Diﬀerentialgleichung ablesen. Wenn ω(k) reell ist, dann beschreibt die Gleichung die Ausbreitung einer Welle mit Wellenl¨ange 2π/|k| und Ausbreitungsgeschwindigkeit v=

ω(k) . |k|

Falls ω linear von |k| abh¨ angt, dann ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit f¨ ur alle Wellenl¨ angen gleich, das bedeutet, dass jedes Wellenpaket mit derselben Geschwindigkeit transportiert wird, unabh¨angig von seiner Form. Dies

5.14 Aufgaben

285

ist beispielsweise bei der Wellengleichung der Fall. Falls ω(k)/|k| nicht konstant ist, dann haben Wellen unterschiedlicher Wellenl¨ange unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten. Dieses Verhalten nennt man Dispersion, eine entsprechende Diﬀerentialgleichung nennt man dispersiv. Ein Wellenpaket ¨ oder ein Puls“ beliebiger Form l¨ asst sich als Uberlagerung harmonischer Wel” len darstellen. Bei dispersiven Diﬀerentialgleichungen bewegen sich Anteile unterschiedlicher Wellenl¨ ange unterschiedlich schnell, was zu einem Auseinanderlaufen des Wellenpaketes beziehungsweise des Pulses f¨ uhrt. Falls ω(k) nicht reell ist, dann nennt man die Diﬀerentialgleichung diﬀusiv. F¨ ur ω = ω1 + i ω2 hat (5.97) die Form u(t, x) = eω2 t ei(k·x−ω1 t) . Im Fall ω2 < 0 bedeutet dies, dass sich die Amplitude der harmonischen Welle vermindert, die Oszillationen der Welle werden also gegl¨attet, wie dies bei parabolischen Gleichungen der Fall ist. Im Fall ω2 > 0 ist die Gleichung r¨ uckw¨arts parabolisch, das bedeutet, Oszillationen und vorhandene Gradienten werden verst¨arkt.

5.13 Literaturhinweise Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der Kontinuumsmechanik ﬁndet man in [11], [55], [119], [121], [122], [123]. Die Mathematik elastischer und elastoplastischer Materialien wird in [7], [20] und [87] behandelt. Insbesondere sind dort auch Modelle f¨ ur Balken, Platten und Schalen beschrieben, in [7] werden auch Bifurkationsph¨ anomene f¨ ur solche Strukturen studiert. Eine Einf¨ uhrung in die Bifurkationstheorie ﬁndet man in [23] und [72]. Weiterf¨ uhrende Literatur zum Thema Elektromagnetismus ist zum Beispiel [67] und [51]. Eine Referenz f¨ ur den Abschnitt 5.2 ist das Vorlesungsskript [106].

5.14 Aufgaben Aufgabe 5.1. (Divergenz–Theorem, Nabla–Kalk¨ ul) 3 Sei Ω ⊂ R ein beschr¨ anktes, zusammenh¨ angendes Gebiet mit glattem Rand Γ = ∂Ω. Die ¨ außere Einheitsnormale auf Γ bezeichnen wir mit n. Seien f, g glatte Funktionen und u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) glatte Vektorfelder auf Ω. Die Ableitungen aller auftretenden Funktionen seien stetig fortsetzbar auf Γ . Wir bezeichnen mit ∇f den Gradienten von f . Es ist Du = (∂xj ui )3i,j=1 . Die Divergenz und die Rotation von u bezeichnen wir mit ⎞ ⎛ ∂x2 u3 − ∂x3 u2 ∇ · u = ∂x1 u1 + ∂x2 u2 + ∂x3 u3 bzw. ∇ × u = ⎝∂x3 u1 − ∂x1 u3 ⎠ . ∂x1 u2 − ∂x2 u1 Der Laplace–Operator schreibt sich dann ∆f = ∇ · (∇f ).

286

5 Kontinuumsmechanik

a) Schreiben Sie ∇ × (∇ × u) sowie ∇ × (u × v) nur unter Verwendung von ∇, D, ∇·, + und −. b) Zeigen Sie mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes: (∇ × u) · n dsx = 0 . Γ

Berechnen Sie mit dem Gaußschen Satz außerdem den Fl¨acheninhalt der Oberﬂ¨ ache des Balls mit Radius a > 0. Aufgabe 5.2. (Tensor–Analysis) a) Seien φ, v und S glatte Felder, φ skalar, v ∈ R3 und S ∈ R3,3 . Zeigen Sie: D(φ v) = φ Dv + v(∇φ) , ∇ · (S v) = S : Dv + v · (∇ · S) , ∇ · (φ S) = φ ∇ · S + S ∇φ . Hierbei ist A : B = spur(A B) das Skalarprodukt f¨ ur zwei Tensoren $3 #' 3 3,3 A, B ∈ R und ∇ · A = die Matrixdivergenz f¨ ur A ∈ j=1 ∂xj aij i=1

R3,3 .

b) Beweisen Sie folgende Aussage: F¨ ur v ∈ C 2 R3 ; R3 gilt ∇ · (Dv ) = ∇(∇ · v) . Aufgabe 5.3. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß die folgenden Formeln f¨ ur ein glattes Gebiet Ω ⊂ R3 mit Rand Γ und glatten Funktionen f, g : Ω → R, u, v : Ω → R3 ,' σ : Ω → R3,3 . Dabei ist die Divergenz einer Matrix deﬁniert 3 durch (∇ · σ)i = j=1 ∂xj σij . a)

c) d) e)

f (x) ∇ · u(x) dx =

∇f (x) · u(x) dx , ∇f (x) · ∇g(x) dx = f (x) ∇g(x) · n(x) dsx − f (x) ∆g(x) dx , Ω Γ Ω f (x) ∇g(x) dx = − ∇f (x) g(x) dx + f (x) g(x) n(x) dsx , Ω Ω Γ ∇ · σ(x) dx = σ(x)n(x) dsx , Ω Γ (∇×u(x))·v(x) dx = (u(x)×v(x))·n(x) dsx + u(x)·(∇×v(x)) dx . Ω

b)

Ω

f (x) u(x) · n(x) dsx −

Γ

Ω

Γ

Ω

Aufgabe 5.4. Wir betrachten eine Abbildung x : R × R3 → R3 von Lagrangeschen zu Eulerschen Koordinaten der Form

5.14 Aufgaben

⎛

287

⎞

X1 + t x t, X = ⎝ et X2 ⎠ . X3 + tX1 a) Berechnen Sie das zugeh¨ orige Geschwindigkeitsfeld v(t, x) in Eulerschen Koordinaten. b) Es sei die Funktion (t, x) = x1 + x2 sin t gegeben. Veriﬁzieren Sie die Formel Dt (t, x) =

d t, x t, X dt

mit der materiellen Ableitung Dt . c) Es sei nun ein zweidimensionales Geschwindigkeitsfeld der Form x2 v(t, x) = x1 gegeben. Zeigen Sie, dass die Stromlinien Hyperbeln sind, und dass die Stromlinien und die Bahnlinien gleich sind. Aufgabe 5.5. Es sei Ω ⊂ Rd ein beschr¨ anktes Gebiet mit glattem Rand und f : Ω → R eine stetige Funktion. Zeigen Sie: Falls f (x) dx = 0 U

f¨ ur jedes beschr¨ ankte Teilgebiet U ⊂ Ω mit glattem Rand gilt, dann ist f (x) = 0 f¨ ur jedes x ∈ Ω. Aufgabe 5.6. (Beobachter–Invarianz) Ein Beobachter betrachtet die Bewegung eines Massenpunktes mit Masse m, die in seinen Koordinaten x = (x1 , x2 , x3 ) durch m x (t) = K beschrieben wird. a) Ein anderer Beobachter habe die Koordinaten y = (y1 , y2 , y3 ), die durch y(t) = Q(t) x(t) + a(t) mit glatten Abbildungen t → Q(t) und t → a(t) aus den Koordinaten des 1. Beobachters hervorgehen. Dabei sei Q(t) f¨ ur jedes t eine orthogonale Matrix mit Determinante 1. Zeigen Sie, dass dieser Beob achter ebenfalls eine Beschreibung der Bewegung in der Form m y (t) = K ﬁndet, indem Sie K bestimmen. b) Sei {e1 , e2 , e3 } eine Orthonormalbasis von Beobachter 1. Die Basis von Beobachter 2 mit den Vektoren {b1 , b2 , b3 } gehe durch Drehung der Vektoren {ei }i um die e3 –Achse hervor; die Winkelgeschwindigkeit ω sei dabei

288

5 Kontinuumsmechanik

konstant. Das bedeutet, der 2. Beobachter dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit um die e3 –Achse. Bestimmen Sie die Matrix Q(t) aus a) und berechnen Sie, abh¨angig von K und ω, die Kraft K. Aufgabe 5.7. (Zwei–K¨ orper–Problem) Wir wollen die Bewegung eines Planeten der Masse mP um eine Sonne der Masse mS beschreiben. Dazu seien xP (t) und xS (t) die Positionen von Planeten und Sonne und x(t) = xP (t) − xS (t) der (orientierte) Abstand zwischen Sonne und Planeten. a) Stellen Sie die Gleichungen zur Beschreibung der Bewegung von Sonne und Planeten auf. Berechnen Sie die kinetische Energie Ekin , die potentielle Energie Epot und den Drehimpuls L des Zweik¨orpersystems und veriﬁzieren Sie, dass die Gesamtenergie E = Ekin + Epot und der Drehimpuls Erhaltungsgr¨ oßen sind. b) Zeigen Sie, dass sich die Bewegung der Erde um die Sonne durch die Gleichung x(t) mP x (t) = −G mP m |x(t)|3 mit der Gravitationskonstanten G und der Gesamtmasse m = mS + mP beschreiben l¨ asst. c) Beweisen Sie das 2. Keplersche Gesetz: Der Abstandsvektor x u ¨berstreicht in einem gegebenen Zeitintervall ∆t stets die gleiche Fl¨ache A∆t . Nutzen und begr¨ unden Sie, dass f¨ ur ∆t = t2 − t1 gilt: 1 t2 |x(t) × x (t)| dt . A∆t = 2 t1 Aufgabe 5.8. (Keplersche Gesetze) Zur Bewegung eines Planeten mit Masse mP um eine Sonne mit Masse mS wurde in Aufgabe 5.7 bereits die folgende Diﬀerentialgleichung angegeben: mP x (t) = −G mP m

x(t) , |x(t)|3

mit m = mS + mP . Die Funktion t → x(t) beschreibt die Bahn des Planeten relativ zur Sonne. Wir haben schon nachgerechnet, dass Energie und Drehimpuls, E=

−G mP m mP 2 + |x | beziehungsweise L = mP x × x , |x| 2

5.14 Aufgaben

289

Erhaltungsgr¨ oßen sind. Nehmen wir L = 0 an, dann liegt die Bahnkurve des Planeten in einer Ebene. Diese sei durch die Orthonormalbasis {e1 , e2 } aufgespannt. Wir deﬁnieren zu einem Winkel ϕ er := cos ϕ e1 + sin ϕ e2 , eϕ := − sin ϕ e1 + cos ϕ e2 . Nun betrachten wir die Bewegung in Polarkoordinaten und setzen x = rer . a) Leiten sie aus den Erhaltungss¨ atzen das folgende System her: |L| , mP E Gm =2 (r) ˙ 2 + r2 (ϕ) ˙ 2−2 . r mP r2 ϕ˙ =

(5.98) (5.99)

b) Betrachten Sie r als Funktion von ϕ und zeigen Sie, dass |L|2 2E|L|2 p mit p = , e = 1 + r= 1 + e cos(ϕ) G m m2P G2 m2 m3P den Gleichungen (5.98) und (5.99) gen¨ ugt. Wir betrachten nun den Fall E < 0 beziehungsweise e < 1. c) Beweisen Sie mit Hilfe der Koordinaten x1 = r cos ϕ und x2 = r sin ϕ das erste Keplersche Gesetz: Der Planet bewegt sich auf einer elliptischen Bahn um die Sonne. Leiten Sie dazu die Ellipsengleichung (x1 + ea)2 x22 + =1 a2 b2 mit geeigneten Konstanten a, b her. d) Rechnen Sie außerdem die Formel t=

mP |L|

ϕ(t)

r2 (ϕ) dϕ

ϕ(0)

f¨ ur die Zeit nach und leiten Sie f¨ ur die Umlaufzeit T die Formel T2 4π 2 = a3 Gm her. Unter Vernachl¨ assigung der Planetenmasse mP im Vergleich zur Sonnenmasse mS erh¨alt man dann das dritte Keplersche Gesetz T 2 /a3 = konst. mit einer Konstanten, die nicht vom jeweiligen Planeten abh¨angt.

290

5 Kontinuumsmechanik

Aufgabe 5.9. (Piola–Identit¨ at) Die Abbildung von Lagrange–Koordinaten in Euler–Koordinaten X → x(t, X) ∂x 3 mit # X$ ∈ E sei glatt und invertierbar. Wir schreiben B(t, X) := ∂X (t, X) = ∂xi ∂Xj

f¨ ur die Ableitung und setzen J(t, X) := det B(t, X). Zeigen Sie: ∇X · JB − = 0, wobei B − die transponierte Inverse von B ist. Hinweis: Sei V ⊂ E 3 oﬀen, beliebig vorgegeben und sei U = x(V ) ⊂ E 3 . Zu η ∈ C0∞ (U ) sei η(x(X)) := η(X). Zeigen Sie − ∇X · (J(t, X)B (t, X)) η(X) dX = − ∇x η(x) dx = 0 . i,j

V

U

Wie folgt nun die Behauptung? Aufgabe 5.10. (Erhaltungsgleichungen in Lagrange–Koordinaten) In Abschnitt 5.5 waren die Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse und Impuls in Euler–Koordinaten formuliert worden. Bez¨ uglich der Lagrange–Koordinaten X und der Euler–Koordinaten x benutzen wir hier dieselbe Notation wie in Aufgabe 5.9, dort wurden auch J und B deﬁniert. Zeigen Sie, dass die beiden Erhaltungsgleichungen in Lagrange–Koordinaten die folgende Form annehmen: ∂t (J) = 0 , 0 ∂t V = 0 F + ∇X · S , wobei (t, X) = (t, x(t, X)), V (t, X) = v(t, x(t, X)), F (t, X) = f (t, x(t, X)) und 0 (X) = (J)(t, X)

sowie S(t, X) = J(t, X)σ(t, x(t, X))B − (t, X) .

Warum ist 0 wohldeﬁniert? Aufgabe 5.11. (Charakteristiken–Methode) Zur L¨ osung der Kontinuit¨ atsgleichung ∂t + ∂x (v) = 0 f¨ ur (t, x) ∈ (0, ∞) × R , ur t = 0, x ∈ R = 0 f¨ in einer Raumdimension kann man die Charakteristiken–Methode verwenden: Man bestimmt die L¨ osungen von ∂t s(t, x0 ) = v(t, s(t, x0 )),

s(0, x0 ) = x0

(5.100)

f¨ ur alle x0 ∈ R und setzt z(t, x0 ) := (t, s(t, x0 )) . a) Zeigen Sie, dass t → z(t, x0 ) dann folgendes Anfangswertproblem l¨ost: ∂t z(t, x0 ) = −∂x v(t, x)|x=s(t,x0 ) z(t, x0 ),

z(0, x0 ) = 0 (x0 )

(5.101)

5.14 Aufgaben

291

b) Es sei nun v(t, x) = x/(1 + t) und 0 (x) = 1 − tanh(x). L¨osen Sie die Anfangswertprobleme (5.100) und (5.101) und skizzieren Sie die Charakteristiken s(t, x0 ) und die zugeh¨ origen L¨ osungswerte (t, s(t, x0 )). Aufgabe 5.12. (Charakteristikenverfahren f¨ ur mehrdimensionale Transportgleichungen) Es ist die Diﬀerentialgleichung ∂t u(t, x) + v(t, x) · ∇u(t, x) = f (t, x)

(5.102)

mit bekanntem Geschwindigkeitsfeld v(t, x), bekanntem Quellterm f (t, x) und Anfangsdaten u(0, x) = u0 (x) gegeben. a) Es sei s(t, y) die L¨ osung der Charakteristikengleichung d s(t, y) = v(t, s(t, y)) , dt

s(0, y) = y

und u(t, x) eine L¨ osung von (5.102). Zeigen Sie, dass w(t, y) = u(t, s(t, y)) die Gleichung d w(t, y) = f (t, s(t, y)) dt l¨ ost, und ermitteln Sie daraus eine Darstellung der L¨osung von (5.102). b) L¨ osen Sie (5.102) f¨ ur ⎛ ⎞ 1 v(t, x) = ⎝ x3 ⎠ , −x2

2

2

f (t, x) = e−(t+x1 +x2 +x3 ) und u0 (x) = 0 .

3 Aufgabe 5.13. Es

sei V ein Tetraeder im R mit Seitenﬂ¨achen S1 , S2 , S3 3 und S, wobei Sj ⊂ x ∈ R | xj = 0 gilt und S den Normalenvektor n hat. Dabei sei nj > 0 f¨ ur j = 1, 2, 3 und xj ≥ 0 f¨ ur x ∈ V und j = 1, 2, 3.

a) Zeigen Sie

|Sj | |S|

= nj .

b) Kann man diese Aussage auf Dimensionen d = 3 verallgemeinern? Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Gauß f¨ ur geeignete Funktionen. Aufgabe 5.14. Bestimmen Sie die physikalischen Dimensionen der folgenden Gr¨ oßen: Spannungstensor σ, W¨ armeﬂuss q, Spezies–Fluss ji , W¨armeleitf¨ahigkeit K, Diﬀusionskonstante D, Viskosit¨ aten µ und λ bei viskosen Str¨omungen. Aufgabe 5.15. Zeigen Sie unter den in Abschnitt 5.6 formulierten Voraussetzungen die Ungleichung 5.10. Sei nun M > 0. F¨ ur welche Anfangsdaten gilt in (5.10) Gleichheit?

292

5 Kontinuumsmechanik

Aufgabe 5.16. (Entdimensionalisierung der W¨armeleitungsgleichung) Es sei die L¨ osung des Problems ur t > 0 , x ∈ (0, 1) ∂t u(t, x) − ∂x2 u(t, x) = 0 f¨ mit u(0, x) = 0, u(t, 0) = 0, u(t, 1) = 1 bekannt. Bestimmen Sie daraus die L¨ osung von (t, x) − λ ∂x2 u (t, x) = 0 f¨ ur t > 0 , x ∈ (0, L) cV ∂t u (t, 0) = u0 , u (t, L) = u1 . mit u (0, x) = u0 , u Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz u (t, x) = a0 + a1 u(b0 t, b1 x) mit zu bestimmenden Konstanten a0 , a1 , b0 , b1 . Aufgabe 5.17. Im Inneren eines kugelf¨ ormigen Hauses mit Außenradius R = 10 m und Wanddicke a = 1 m sei die Temperatur T = 20◦ C und außerhalb der Kugel sei die Temperatur T = 0◦ C gegeben. a) L¨ osen Sie die station¨ are W¨ armeleitungsgleichung ∆T = 0 ur |x| = R−a und T = 0◦ C in der Wand mit Randbedingungen T = 20◦ C f¨ f¨ ur |x| = R. Benutzen Sie dazu den radialsymmetrischen Ansatz T (x) = u(|x|). b) Berechnen Sie den W¨ armeﬂuss durch die Wand f¨ ur die W¨armeleitf¨ahigkeit λ = 1,0 W/(mK) (Beton) und ermitteln Sie die zur Aufrechterhaltung der Temperatur notwendige Heizleistung. Aufgabe 5.18. Es sei die W¨ armeleitungsgleichung ur t > 0 , x ∈ Ω ∂t u(t, x) − ∆u(t, x) = 0 f¨

(5.103)

ur x ∈ Ω gegeben. Die Randbedingungen seien entweder mit u(0, x) = u0 (x) f¨ (i) u(t, x) = 0 f¨ ur t > 0, x ∈ Γ = ∂Ω, oder (ii) ∇u(t, x) · n(x) = 0 f¨ ur t > 0, x ∈ Γ . Das Gebiet Ω ⊂ Rd sei beschr¨ ankt und glatt genug und die L¨osung u sei ebenfalls glatt genug. a) Zeigen sie

2

u20 (x) dx

u (t, x) dx = Ω

Ω

t −

0

|∇u(s, x)|2 dx ds .

Ω

Hinweis: Multiplizieren Sie (5.103) mit u(t, x) und integrieren Sie u ¨ ber Ω.

5.14 Aufgaben

293

b) Zeigen Sie f¨ ur den Fall (ii) auch u(t, x) dx = u0 (x) dx . Ω

Ω

c) Nehmen Sie an, dass lim u(t, x) = w(x) und lim ∇u(t, x) = ∇w(x), t→+∞

t→+∞

wobei die Konvergenz jeweils gleichm¨ aßig bez¨ uglich x sei, und ermitteln Sie den Grenzwert w(x) f¨ ur die F¨ alle (i) und (ii). ur x ∈ Ω d) Betrachten Sie nun die L¨ osung von (5.103) mit u(0, x) = u0 (x) f¨ und u(t, x) = U (x) f¨ ur x ∈ Γ . Nehmen Sie an, dass lim u(t, x) = w(x) t→+∞

und lim ∇u(t, x) = ∇w(x) gleichm¨ aßig bez¨ uglich x ∈ Ω und dass u, w t→+∞

glatt genug sind. Zeigen Sie, dass w eine L¨ osung ist von ∆w = 0 f¨ ur x ∈ Ω ,

w(x) = U (x) f¨ ur x ∈ Γ .

Hinweis: Benutzen Sie c) f¨ ur ein geeignetes Hilfsproblem. Aufgabe 5.19. (W¨ armeleitung durch einen Verbundwerkstoﬀ) Wir betrachten einen aus d¨ unnen Schichten zweier unterschiedlicher Materialien zusammengesetzten Werkstoﬀ, wie in der Abbildung dargestellt. Die beiden Materialien haben die W¨ armeleitf¨ ahigkeiten k1 und k2 , die einzelnen Schichten haben die Dicken d1 und d2 . k1 k2

d1 d2

a) Wir wollen den W¨ armeﬂuss durch eine in zwei Richtungen unendlich ausgedehnte Wand berechnen, die aus dem oben beschriebenen Verbundwerkstoﬀ besteht und die Dicke d = n(d1 + d2 ) hat. Die Schichten seien (i) parallel zur Wand beziehungsweise (ii) senkrecht zur Wand angeordnet. An den beiden ¨ außeren Seitenﬂ¨ achen der Wand seien konstante Temperaturen TI und TA vorgegeben. Berechnen Sie jeweils den W¨armeﬂuss durch die Wand in Abh¨ angigkeit der Temperaturdiﬀerenz TI − TA .

294

5 Kontinuumsmechanik

¨ Hinweis: Uberlegen Sie zun¨ achst, welche Kopplungsbedingungen an den inneren Fl¨ achen zwischen zwei Schichten gelten m¨ ussen. Eine der Bedingungen folgt aus der Energieerhaltung. b) Bestimmen Sie mit Hilfe von Teil a) eine eﬀektive W¨armeleitf¨ahigkeit des Verbundwerkstoﬀes, und zwar in Richtung (i) senkrecht zu den Schichten und (ii) parallel zu den Schichten. c) Bestimmen Sie mit Hilfe von Teil b) die W¨armeleitf¨ahigkeitsmatrix, das ist die 3 × 3–Matrix K f¨ ur das W¨ armediﬀusionsgesetz q = −K∇T in einem homogenen Ersatzwerkstoﬀ f¨ ur den Verbundwerkstoﬀ. Aufgabe 5.20. Wenn man ¨ außere Kr¨ afte und die Diﬀusion von W¨arme vernachl¨ assigt, dann haben die Euler–Gleichungen der Gasdynamik die Form ∂t + ∇ · (v) = 0 , ∂t v + (v · ∇)v + ∇p = 0 , ∂t u + v · ∇u +

p

∇·v = 0

mit allgemeiner Druckfunktion p = p(, u). Zeigen sie, dass man diese Gleichungen in d Raumdimensionen schreiben kann als System hyperbolischer Erhaltungsgleichungen 1. Ordnung f¨ ur das Vektorfeld w = (w0 , . . . , wd+1 ) = , v , u + 12 |v|2 , also in der Form ∂t wj + ∇ · Fj (w) = 0 f¨ ur j = 0, . . . , d + 1 . Wie muss man die Funktionen Fj (w) w¨ ahlen? Welche physikalische Bedeutung haben die Komponenten von w? Aufgabe 5.21. Wir m¨ ochten die Str¨ omung einer inkompressiblen viskosen Fl¨ ussigkeit durch ein Rohr

Ω = x ∈ R3 0 < x1 < L, x22 + x23 < R2 mit L¨ ange L und Radius R beschreiben. a) L¨ osen sie das station¨ are Navier–Stokes–System ∇·v = 0, (v · ∇)v − µ ∆v = −∇p in Ω mit Randbedingungen p(x) = p1 f¨ ur x1 = 0, p(x) = p2 f¨ ur x1 = L, v(x) = 0 f¨ ur x22 + x23 = R2 . Verwenden Sie dazu den Ansatz v(x) = w(r(x)) e1 mit r(x) = x22 + x23 und p(x) = q(x1 ) .

5.14 Aufgaben

295

b) Berechnen Sie die Durchﬂussrate durch das Rohr und veriﬁzieren Sie so das Gesetz von Hagen–Poiseuille aus Aufgabe 2.16. Aufgabe 5.22. (Rotationsfreie Str¨ omung, Potentialstr¨omung) a) Sie v eine station¨ are, inkompressible, rotationsfreie Str¨omung; die Dichte sei konstant. Zeigen Sie, dass v eine L¨ osung der Euler–Gleichungen ist, wobei der Druck durch p = − 2 |v|2 gegeben ist. b) In R2 \ {(0, 0)} sei das Geschwindigkeitsfeld −x2 1 v(x1 , x2 ) = 2 x1 + x22 x1 gegeben. Zeigen Sie, dass v den Voraussetzungen von Teil a) gen¨ ugt. c) Zeigen Sie weiterhin, dass das Geschwindigkeitsfeld v aus Teil b) keine Potentialstr¨ omung beschreibt. Aufgabe 5.23. (Couette–Str¨ omung) Sei Ω die Region zwischen zwei konzentrischen Zylindern mit Radien R1 und R2 , wobei R1 < R2 . Ein Geschwindigkeitsfeld sei in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) gegeben durch v = − Ar + Br sin ϕ, Ar + Br cos ϕ, 0 ; dabei ist A=−

R12 R22 (ω2 − ω1 ) , R22 − R12

B=−

R12 ω1 − R22 ω2 . R22 − R12

a) Zeigen Sie: v ist station¨ are L¨ osung der Euler–Gleichungen mit ≡ 1. Wie sieht der Druck aus? b) Berechnen Sie ∇ × v. c) Welche Randwerte nimmt v an? Wie sind ω1 und ω2 zu interpretieren? Aufgabe 5.24. (Navier–Stokes–Operator, Divergenz–Theorem) In einem Gebiet Ω sei (v, p) eine glatte L¨ osung der homogenen Navier–Stokes– Gleichungen f¨ ur inkompressible Fluide: ∂t v + (v · ∇)v − µ ∆v + ∇p = 0 ∇·v = 0 v=0

in Ω , in Ω , auf Γ = ∂Ω .

Wir nehmen dabei an, dass die Massendichte und die dynamische Viskosit¨at µ positive Konstanten sind. Zeigen Sie d 2 |v| dx + µ|Dv|2 dx = 0 . dt Ω 2 Ω

296

5 Kontinuumsmechanik

' Dabei ist |Dv|2 = 3i=1 |∇vi |2 . Bemerkung: Die Gleichung zeigt, dass die kinetische Energie in einem inkompressiblen Fluid, auf das keine ¨ außeren Kr¨ afte wirken, nicht zunehmen kann. Aufgabe 5.25. (Satz von Bernoulli) Wir betrachten eine Str¨ omung beschrieben durch die Gr¨oßen (v, , T ), die den Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse und Impuls gen¨ ugt. Der Spannungstensor sei durch σ = −p I mit dem Druck p, die Kraft in der Erhaltungsgleichung f¨ ur den Impuls durch f = −∇β gegeben; β ist dann das Potential der Kraft. Leiten Sie folgende Aussagen her: a) Falls eine Potentialstr¨ omung vorliegt, falls also v = ∇ϕ gilt f¨ ur eine reelle Funktion ϕ, dann ist ∇ ∂t ϕ + 12 |v|2 + β + 1 ∇p = 0 . Hinweis: In diesem Fall ist ∇ × v = 0. b) Falls der Fluss station¨ ar ist, d.h. falls die partiellen Ableitungen nach der Zeit von (v, , σ) verschwinden, dann erh¨ alt man 1 2 1 v · ∇ 2 |v| + β + v · ∇p = 0 . Aufgabe 5.26. (Gasdynamik) Die Gleichungen f¨ ur ein nichtviskoses (der Spannungstensor enth¨alt nur den Druckanteil), nichtw¨ armeleitendes (dann ist q = 0) Gas in einer Raumdimension lauten in Eulerschen Koordinaten

2 ∂t v2

∂t + ∂x (v) = 0 , ∂t ( v) + ∂x v 2 + p = 0 , 2 + u + ∂x v v2 + u + p v = 0 .

Zeigen Sie, dass unter der Voraussetzung = 1 diese Gleichungen ¨aquivalent sind zu folgender Formulierung in Lagrange–Koordinaten:

∂t

V 2 2

∂t C − ∂X V = 0 , ∂t V + ∂X P = 0 , + U + ∂X (P V ) = 0 .

Dabei ist c(t, x) = 1/(t, x) das speziﬁsche Volumen und die groß geschriebenen Variablen entsprechen den klein geschriebenen in Lagrange–Koordinaten (z.B. V (t, X) = v(t, x(t, X))). Zeigen Sie weiterhin, dass die letzte Gleichung ¨aquivalent ist zu ∂t S = 0, wobei S die Entropie in Lagrangekoordinaten ist. Bemerkung: Es ist vorausgesetzt, dass alle auftretenden Funktionen hinreichend glatt sind.

5.14 Aufgaben

297

Aufgabe 5.27. (Variablentransformation) Gegeben sei die Abbildung Φ : (, T ) → (V, s) := ( 1 , −∂T f (, T )) , wobei die Massendichte, T die Temperatur, V das Volumen, s die Entropiedichte und f = f (, T ) die Dichte der freien Energie sind. Wir nehmen an, dass f¨ ur die freie Energiedichte gilt: ∂T f (, ·) ist streng monoton wachsend. Wir k¨ onnen Φ umkehren und so und T als Funktionen in V, s schreiben. Dann ist die innere Energiedichte u(V, s) = f ((V, s), T (V, s)) + T (V, s)s = f (Φ−1 (V, s)) + (Φ−1 )2 (V, s)s . Zeigen Sie unter Ausnutzung der bekannten thermodynamischen Beziehungen ∂V u(V, s) = −p(V, s) ,

∂s u(V, s) = T (V, s) .

Aufgabe 5.28. (Gasdynamik) F¨ ur Gase mit Temperatur nahe der Raumtemperatur und kleinen Dichten gelten zu erster Ordnung die beiden folgenden Beziehungen f¨ ur den Druck p und die speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at c = ∂T u: p = rT ,

c=

αr ; 2

dabei ist r die Gaskonstante und α eine nat¨ urliche Zahl. Zeigen Sie: u(T, ) = c T + d , s(T, ) = c ln(T 1−γ ) mit einer Konstanten d und γ = 1 + rc . Dr¨ ucken Sie außerdem u und p als Funktionen von s, V aus, wobei V = 1/ das speziﬁsche Volumen ist. Aufgabe 5.29. (Entropie–Gleichung) Vorausgesetzt seien die Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie ∂t + ∇ · (v) = 0 , ∂t (v) + ∇ · (vv − σ) = f , 2 2 |v| |v| +u + ∇ · v + u + q − σv = f · v ∂t 2 2 mit Kraftdichte f und die thermodynamischen Beziehungen

298

5 Kontinuumsmechanik

s = −∂T f ,

p = 2 ∂ f ,

u = f + Ts.

Diese Beziehungen gelten, wenn man s, p, u als Funktionen von T und schreibt. Beweisen Sie die folgende Gleichung: $ #q 1 1 ∂t (s) + ∇ · + sv = (σ + pI) : Dv + q · ∇ . T T T Aufgabe 5.30. (Transportgleichung) Der Spannungstensor sei durch σ = −p I mit einer Funktion p = p() f¨ ur den Druck gegeben. Weiterhin sei q = 0 (kein W¨armeﬂuss) und g = 0 (keine außeren W¨ armequellen). Wir betrachten die freie Energie f und die innere ¨ Energie u als Funktionen von Dichte und Temperatur (, T ). a) Zeigen Sie: f (, T ) = f1 () + f2 (T ) mit geeigneten Funktionen f1 und f2 sowie ∂ u = ∂ f . b) Leiten Sie aus der Energieerhaltungsgleichung unter Ausnutzung der Massen- und Impulserhaltung und geeigneten Voraussetzungen an die W¨armeur die Temperatur her: kapazit¨ at c = ∂T u die folgende Transportgleichung f¨ ∂t T + v · ∇T = 0 . c) Nehmen Sie an, dass die Geschwindigkeit durch v(t, x) = x e−t , x ∈ R3 , bereits gegeben ist. Außerdem sei die Temperatur zu einem Startzeitpunkt t = 0 durch T0 gegeben. L¨ osen Sie die Transportgleichung aus b) mit der Charakteristiken–Methode aus Aufgabe 5.12. Hinweis: Beachten Sie, dass die Gleichung hier eine andere, einfachere Struktur hat als die aus Aufgabe 5.12. Aufgabe 5.31. (Beobachter–Invarianz) In Abschnitt 5.5 wurde gezeigt, dass der Spannungstensor nur vom symmetrischen Anteil ε(v) = 12 Dv + (Dv) von Dv abh¨angen kann. Wir nehmen an, dass σ(, T, Dv) = −p(, T )I + S(ε(v)) ist. Mit dem Theorem von Rivlin–Ericksen wurde gezeigt, falls S linear und beobachterunabh¨ angig ist: S(E) = λ spur(E)I + 2µE , wobei µ und λ reelle Konstanten sind. √ Nehmen wir nun weiter an, dass der Scherkoeﬃzient µ nur von |E| = E : E abh¨ angt, µ = µ(|E|). Beweisen Sie, dass S dann auch beobachterunabh¨angig ist.

5.14 Aufgaben

299

Aufgabe 5.32. Es sind die Elastizit¨ atsgleichungen ∂t2 u − ∇ · σ(u) = f in einem beschr¨ ankten Gebiet Ω ⊂ Rd mit Anfangsbedingungen u(t0 , x) = u0 (x) und ∂t u(t0 , x) = u1 (x) f¨ ur x ∈ Ω und Randbedingungen σ(u; t, x)n(x) = b(t, x) f¨ ur t > 0, x ∈ Γ = ∂Ω gegeben. a) (Lineare Elastizit¨ at) Es sei σij (u) =

d

aijk ∂x uk

k, =1

mit Koeﬃzienten aijk ∈ R, die den Symmetriebedingungen aijk = ajik = ak ij gen¨ ugen. Leiten Sie folgende Energieerhaltungsgleichung her: 2 1 2 |∂t u(t1 , x)| + 2 σ(u; t1 , x) : Du(t1 , x) dx Ω 2 1 = 2 |u1 (x)| + 2 σ(u0 ; x) : Du0 (x) dx Ω / t1 . f (t, x) · ∂t u(t, x) dx + b(t, x) · ∂t u(t, x) dsx dt + t0

Ω

Γ

b) (Nichtlineare Elastizit¨ at) Wie lautet die Energieerhaltungsgleichung f¨ ur σij (u) =

∂W (Du) ∂Xij

mit W : Rd,d → R? Aufgabe 5.33. a) Bestimmen Sie f¨ ur ein isotropes, linear elastisches Material den Dehnungs- und den Spannungstensor f¨ ur u(x) = γx2 e1 . Deuten Sie u geometrisch und diskutieren Sie, warum die Lam´e–Konstante µ auch Schermodul heißt. b) Bestimmen Sie f¨ ur ein isotropes, linear elastisches Material den Dehnungsund den Spannungstensor f¨ ur u(x) = δx. Warum heißt der Ausdruck K = 2 µ + λ Kompressionsmodul? 3 Aufgabe 5.34. Berechnen Sie das elektrische Feld und das Potential f¨ ur eine geladene Kugel mit Radius R und Ladung q, wobei a) die Ladung gleichm¨ aßig im Volumen der Kugel verteilt ist, oder b) die Ladung gleichm¨ aßig auf der Oberﬂ¨ ache der Kugel verteilt ist.

300

5 Kontinuumsmechanik

Aufgabe 5.35. Gegeben sei ein Kondensator aus zwei Kugelschalen mit Radien 0 < R − a < R und Potentialdiﬀerenz U . Das Medium zwischen den Kugelschalen habe die Dielektrizit¨ atskonstante ε. Berechnen Sie das elektrische Feld zwischen den Kugelschalen und die Ladungsdichten auf den Kugelschalen und ermitteln Sie daraus die Kapazit¨ at des Kondensators.

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

In diesem Kapitel werden wir die in der Kontinuumsmechanik aufgetretenen partiellen Diﬀerentialgleichungen n¨ aher diskutieren. Es werden die Grundz¨ uge der Analysis dieser Gleichungen aufgezeigt, insbesondere mit dem Ziel, Zusammenh¨ ange zwischen den eingesetzten mathematischen Methoden und den Eigenschaften der zugeh¨ origen Anwendungsprobleme zu sehen. Dabei kann und soll dieses Kapitel kein Lehrbuch u ¨ ber partielle Diﬀerentialgleichungen ersetzen; die Analysis wird daher oft nur skizziert werden, Begr¨ undungen der Aussagen dienen der Motivation und werden h¨auﬁg nicht die sonst notwendigen Anspr¨ uche an mathematische Rigorosit¨at erf¨ ullen. F¨ ur ein tiefergehendes Verst¨ andnis partieller Diﬀerentialgleichungen wird auf die reichhaltig verf¨ ugbare Literatur zu diesem Thema verwiesen.

6.1 Elliptische Gleichungen Elliptische Diﬀerentialgleichungen treten oft als station¨are Grenzf¨alle von dynamischen Problemen auf, wichtige Beispiele sind die station¨are W¨armeleitungsgleichung (5.13), die Stokes–Gleichungen (5.15) oder die Gleichungen der Elastostatik (5.54). Ein einfaches Beispiel einer elliptischen Diﬀerentialgleichung ist (6.1) −∇ · (λ ∇u) = f f¨ ur x ∈ Ω ⊂ Rd mit einer m¨ oglicherweise vom Ort abh¨ angigen Koeﬃzientenfunktion λ : Ω → R. Ein Spezialfall ist die Poisson–Gleichung −∆u = f . Um Aussicht auf eine eindeutige L¨ osung zu haben, muss man zus¨atzlich Randbedingungen formulieren, typischerweise sind dies Dirichlet–Randbedingungen, dabei werden die Werte von u auf dem Rand von Ω vorgeschrieben,

302

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

u = u0 auf ∂Ω oder Neumann–Randbedingungen, wenn vorgegeben wird wieviel in Normalenrichtung ins Gebiet hineinﬂießt. Das heißt −λ∇u · (−n) wird vorgegeben und wir setzen λ∇u · n = g auf ∂Ω , (6.2) wobei g : ∂Ω → R den Fluss ins Gebiet angibt und n die a¨ußere Einheitsnormale an ∂Ω ist. Die Notwendigkeit von Randbedingungen kann man leicht am Beispiel der station¨ aren W¨ armeleitungsgleichung einsehen. Die Temperatur im Inneren eines K¨ orpers h¨ angt wesentlich davon ab, wie u ¨ ber den Rand W¨arme zu- oder abgef¨ uhrt wird. Konkret muss man entweder die Temperatur am Rand des K¨ orpers oder aber den W¨ armeﬂuss am Rand des K¨orpers kennen. Neben den reinen Dirichlet- oder Neumann–Bedingungen gibt es auch Mischformen, beispielsweise k¨ onnen auf einem Teil des Randes Dirichlet- und auf dem restlichen Teil Neumann–Bedingungen vorgegeben werden. Eine andere Mischform sind Randbedingungen der dritten Art, oft auch Robinsche Randbedingungen genannt, −λ ∇u · n = a(u − b) (6.3) mit Funktionen a, b : ∂Ω → R. Beim Beispiel der station¨aren W¨armeleitungsur den Kontakt eines K¨orpers mit einem w¨armegleichung ist dies ein Modell f¨ leitenden ¨ außeren Medium gegebener Temperatur. In diesem Medium stellt sich nahe des K¨ orpers eine diﬀusive Randschicht ein, so dass die Temperatur im Außenmedium nahe des betrachteten K¨ orpers von der gegebenen ¨außeren Temperatur weiter entfernt abweicht. Ein sinnvoller konstitutiver Ansatz ist dann das Newtonsche Abk¨ uhlungsgesetz. Dieses besagt, dass der W¨armeverlust am Rand des betrachteten K¨ orpers proportional ist zur Diﬀerenz zwischen der Temperatur am Rand und der Temperatur des Außenmediums. Die Funktion b beschreibt die Temperatur des umgebenden Mediums, a ist der sogenannte W¨armetransferkoeﬃzient, der insbesondere von den Materialdaten des Außenmediums abh¨ angt. 6.1.1 Variationsrechnung Die klassische Interpretation von Gleichung (6.1) verlangt, dass beide Seiten der Gleichung stetige Funktionen darstellen, und die Gleichung an jedem Punkt x ∈ Ω des Gebietes erf¨ ullt ist. Dazu muss man voraussetzen, dass die Funktion u zweimal stetig diﬀerenzierbar ist, also u ∈ C 2 (Ω) gilt. Man spricht in diesem Fall von einer klassischen L¨ osung. Elliptische Diﬀerentialgleichungen beschreiben oft die L¨osung eines ¨aquivalenten Optimierungsproblems. Im folgenden Satz wird das f¨ ur Dirichlet– Randbedingungen formuliert.

6.1 Elliptische Gleichungen

303

Satz 6.1. Es sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand, die Funktionen f : Ω → R, u0 : ∂Ω → R und λ : Ω → R seien glatt und es gelte λ0 ≤ λ(x) ≤ λ1 mit 0 < λ0 ≤ λ1 < ∞. Dann ist Problem (6.1) mit der Randbedingung u(x) = u0 (x) f¨ ur x ∈ ∂Ω ¨aquivalent zum Optimierungsproblem + * λ 2 u ∈ V , (6.4) |∇u| − f u dx min 2 u∈V

Ω

wobei V = {v ∈ C 2 (Ω) | v(x) = u0 (x) f¨ ur x ∈ ∂Ω}. Beweis. Wir zeigen, dass (6.1) das notwendige Kriterium f¨ ur ein Optimum von (6.4) ist. Sei u eine L¨ osung von (6.4) und v ∈ C 2 (Ω) mit v = 0 auf ∂Ω. Dann ist u + εv ∈ V f¨ ur jedes ε ∈ R eine zul¨ assige Vergleichsfunktion. Da u das Optimierungsproblem l¨ ost, muss gelten: d 0= λ|∇(u + εv)|2 − 2f (u + εv) dx dε ε=0 Ω 2λ∇u · ∇v − 2f v dx = −2 ∇ · (λ∇u) + f v dx . = Ω

Ω

Da dies f¨ ur alle v gilt, ist (6.1) erf¨ ullt. Erf¨ ullt nun u die Diﬀerentialgleichung (6.1) und gilt u = u0 auf ∂Ω, so folgt f¨ ur alle w ∈ V : 2 2 λ|∇w| − 2f w dx = λ|∇u|2 − 2f u dx λ|∇(w − u)| dx + Ω Ω Ω λ∇u · ∇(w − u) − f (w − u) dx +2 Ω ≥ λ|∇u|2 − 2f u dx − 2 ∇ · (λ∇u) + f (w − u) dx Ω Ω = λ|∇u|2 − 2f u dx . Ω

Damit ist gezeigt, dass u L¨ osung des Minimierungsproblems (6.4) ist.

Im Optimierungsproblem (6.4) ist die Bedingung u ∈ C 2 (Ω) unn¨otig, es gen¨ ugt, dass der Gradient deﬁniert und sein Quadrat integrierbar ist. Diese Beobachtung kann man zum Begriﬀ der schwachen L¨osung des Randwertproblems (6.1) ausbauen. Es sei * + 2 L2 (Ω) := [f ] | f : Ω → R messbar, f dx existiert , Ω

¨ ¨ wobei [f ] die Aquivalenzklasse der Funktion f bez¨ uglich der Aquivalenzrelation f ∼ g ⇔ f − g = 0 fast u ¨ berall

304

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

ist. Dieser Funktionenraum ist ein Hilbertraum, also ein vollst¨andiger Raum mit Skalarprodukt, wenn man das Skalarprodukt deﬁniert als f g dx . f, gL2 (Ω) = Ω

Des Weiteren sei H 1 (Ω) := {f ∈ L2 (Ω) | ∂xi f ∈ L2 (Ω) f¨ ur i = 1, . . . , d} . Dabei ist ∂xi f die i–te schwache partielle Ableitung. Die schwache Ableitung g = ∂xi f ∈ L2 (Ω) existiert falls f ∂xi ϕ dx = − g ϕ dx f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) . Ω

Ω

C0∞ (Ω)

Dabei bezeichnet die Menge aller beliebig oft diﬀerenzierbaren Funktionen mit kompaktem Tr¨ ager supp ϕ = {x ∈ Ω | ϕ(x) = 0} in Ω. Da Ω oﬀen ist, bedeutet dies, dass ϕ nahe des Randes von Ω gleich Null ist. Wenn f stetig diﬀerenzierbar ist, dann stimmt die schwache Ableitung mit der klassischen“ ” Ableitung u ¨ berein, wie man leicht durch partielle Integration sieht. In diesem Sinn ist die schwache Ableitung eine Verallgemeinerung des klassischen Ableitungsbegriﬀes. Der Funktionenraum H 1 (Ω) ist ebenfalls ein Hilbertraum, und zwar mit dem Skalarprodukt f, gH 1 (Ω) = f g + ∇f · ∇g dx . Ω

Den passenden Funktionenraum f¨ ur das Optimierungsproblem (6.4) erh¨alt man, wenn man in der Deﬁnition von V die Menge C 2 (Ω) ersetzt durch H 1 (Ω). Der Raum H 1 (Ω) enth¨ alt n¨ amlich gerade die Funktionen, deren erste partielle Ableitungen existieren (im Sinn einer schwachen Ableitung) und quadratintegrierbar sind. Der Raum H 2 (Ω) besteht dann aus Funktionen, bei denen die ersten Ableitungen noch quadratintegrierbare partielle Ableitungen besitzen. F¨ ur weitere Details verweisen wir auf [4], [36]. Um Problem (6.1) ebenfalls f¨ ur Funktionen aus H 1 (Ω) zu deﬁnieren, kann man eine schwache Formulierung benutzen. Dazu multipliziert man die Differentialgleichung mit einer Testfunktion“ v ∈ H 1 (Ω), f¨ ur die v = 0 auf ∂Ω ” gelten muss, integriert u ¨ber Ω und integriert partiell, ∇ · (λ∇u) v dx = λ ∇u · ∇v dx . − Ω

Ω

Deﬁnition 6.2. Eine Funktion u ∈ H 1 (Ω) mit u = u0 auf ∂Ω und λ ∇u · ∇v dx = f v dx Ω 1

Ω

f¨ ur alle v ∈ H (Ω) mit v = 0 auf ∂Ω heißt schwache L¨osung des Randwertproblems (6.1).

6.1 Elliptische Gleichungen

305

Die Bedingung u = u0 auf ∂Ω bedeutet, dass u und u0 in einem geeigneten Sinn die gleichen Randwerte auf ∂Ω besitzen. Einer Funktion u ∈ H 1 (Ω) Randwerte zuzuordnen, ist nicht trivial, denn die Werte u(x) eines Elementes u ∈ H 1 (Ω) m¨ ussen nicht wohldeﬁniert sein. Insbesondere k¨onnen die Werte verschiedener Repr¨asentanten von u auf einer Nullmenge voneinander abweichen, und der Rand eines Gebietes ist typischerweise eine Nullmenge (zumindest, wenn er glatt genug ist). Trotzdem kann man zeigen, dass f¨ ur Funktionen ur aus H 1 (Ω) in eindeutiger Weise Randwerte identiﬁziert werden k¨onnen; daf¨ wird in der Mathematik der Begriﬀ Spur verwendet, siehe z.B. [4], [36]. Im Folgenden benutzen wir außerdem den Funktionenraum H01 (Ω) := {v ∈ H 1 (Ω) | v = 0

auf ∂Ω} .

Die Diﬀerentialgleichung (6.1) ist elliptisch, weil die Abbildung (u, v) → a(u, v) = λ ∇u · ∇v dx Ω

positiv deﬁnit ist im folgenden Sinn: Es gilt a(u, u) ≥ 0,

a(u, u) = 0 ⇔ u = 0

f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω). Elliptische Diﬀerentialgleichungen kann man interpretieren als unendlichdimensionale Verallgemeinerungen von linearen Gleichungssystemen mit positiv semideﬁniter Systemmatrix. Es gibt eine deutliche Analogie zwischen der station¨ aren W¨ armeleitungsgleichung (6.1) und den linearen Gleichungssystemen f¨ ur elektrische Netzwerke, elastische Stabwerke und Rohrleitungssysteme aus Kapitel 2. Diese Gleichungssysteme haben eine gemeinsame Struktur, bestehend aus folgenden Komponenten: •

Einem Vektor x ∈ Rn der primalen“ Variablen. Der Vektor x enth¨alt die ” elektrischen Potentiale im elektrischen Netzwerk, die Verschiebungen im elastischen Stabwerk, oder die Dr¨ ucke im Rohrleitungssystem.

•

Einem Vektor e = −Ax ∈ Rm der Triebkr¨afte. Dieser Vektor beschreibt die Spannungen im elektrischen Netzwerk, die Dehnungen im elastischen Stabwerk, oder die Druckdiﬀerenzen im Rohrleitungssystem.

•

Einem Vektor y = Ce + b der dualen“ Variablen, bestehend aus den elek” trischen Str¨ omen im elektrischen Netzwerk, den elastischen Spannungen im elastischen Stabwerk, oder den Durchﬂussraten im Rohrleitungssystem.

•

Dem Gleichungssystem A y = f , das typischerweise aus einem Erhaltungssatz oder einer Gleichgewichtsbedingung resultiert. F¨ ur das elektrische Netzwerk beschreibt dieses System die Erhaltung von Ladung, beim elastischen Stabwerk das Kr¨ aftegleichgewicht, und beim Rohrleitungssystem die Erhaltung von Masse.

306

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Bei der station¨ aren W¨ armeleitungsgleichung haben wir: • •

Die Temperaturfunktion u : Ω → R als primale Variable“, also u ∼ x“. ” ” Den negativen Temperaturgradienten −∇u als Triebkraft“ f¨ ur den W¨ar” meﬂuss, also ∇u ∼ e “ und ∇ ∼ A“. Diese Analogie ist durchaus sinnvoll: ” ” Die Matrix A beschreibt typischerweise die Diﬀerenz von Werten an den Endpunkten von Kanten des Netzwerkes, und ∇u setzt sich als Vektor der partiellen Ableitungen zusammen aus den inﬁnitesimalen Diﬀerenzenquo” tienten“ der Werte von u.

•

Den W¨ armeﬂuss q = −λ∇T als duale“ Variable, also q ∼ y“ und λ ∼ ” ” ” C“.

•

Die Energieerhaltungsgleichung −∇ · q = f als Erhaltungssatz, und damit −∇· ∼ A“. In der Tat kann die negative Divergenz −∇·“ aufgefasst ” ” werden als adjungierter Operator zum Gradienten ∇“ bez¨ uglich des Ska” larproduktes in L2 (Ω). Durch partielle Integration folgt n¨amlich −∇ · q, uL2 (Ω) = − ∇ · q u dx = q · ∇u dx = q, ∇uL2 (Ω) , Ω

Ω

falls entweder q · n = 0 oder u = 0 auf dem Rand ∂Ω gilt. Aus der schwachen Formulierung und der Bedingung 0 < λ0 ≤ λ(x) ≤ λ1 f¨ ur (fast) alle x ∈ Ω kann man leicht eine sogenannte Energieabsch¨atzung herleiten. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass die Randdaten u0 im gesamten Gebiet Ω deﬁniert und glatt genug sind. Einsetzen der Testfunktion v = u − u0 in die schwache Formulierung liefert zun¨achst λ ∇u · ∇(u − u0 ) dx = f (u − u0 ) dx . Ω

Ω

Mit der Cauchy–Schwarz–Ungleichung

v w dx ≤ Ω

1/2 1/2 v 2 dx w2 dx

Ω

Ω 2

und der Youngschen Ungleichung |2ab| ≤ η|a| + η −1 |b|2 mit beliebigem η > 0 folgt dann η1 λ1 λ1 2 2 |∇u| dx ≤ |∇u| dx + |∇u0 |2 dx λ0 2 2η Ω Ω 1 Ω η2 1 2 + |f | dx + |u − u0 |2 dx . 2 Ω 2η2 Ω Unter Ausnutzung der Poincar´eschen Ungleichung (vgl. [4], [36]) |v|2 dx ≤ cP |∇v|2 dx , Ω

Ω

6.1 Elliptische Gleichungen

307

die f¨ ur jedes v ∈ H01 (Ω) mit einer nur von Ω abh¨angigen Konstanten cP gilt, sowie der Formel |∇(u − u0 )|2 ≤ 2|∇u|2 + 2|∇u0 |2 erh¨alt man: cP η1 λ1 η2 − |∇u|2 dx ≤ |f |2 dx λ0 − 2 η2 2 Ω Ω λ1 cP + + |∇u0 |2 dx . 2η1 η2 Ω Dies l¨ asst sich durch geeignete Wahl von η1 und η2 vereinfachen zu 2 2 |f | + |∇u0 |2 dx |∇u| dx ≤ c Ω

(6.5)

Ω

mit einer nur vom Gebiet Ω und den Konstanten λ0 , λ1 abh¨angigen Konstanten c. Aus dieser Absch¨ atzung kann man nun leicht die Eindeutigkeit schwacher L¨ osungen eines elliptischen Randwertproblems ableiten. Sind u1 und u2 zwei L¨ osungen von (6.1) zur gleichen Funktion f mit denselben Dirichlet– Randdaten u1 = u2 auf ∂Ω, so ist die Diﬀerenz u1 − u2 eine L¨osung von −∇ · (λ∇(u1 − u2 )) = 0 in Ω, u1 − u2 = 0 auf ∂Ω . Anwendung des Absch¨ atzung (6.5) auf dieses Randwertproblem liefert |∇(u1 − u2 )|2 dx ≤ 0 . Ω

Es folgt, dass u1 − u2 auf jeder Zusammenhangskomponente von Ω konstant sein muss. Da auf dem Rand von Ω die Gleichung u1 = u2 gilt, folgt u1 = u2 im gesamten Gebiet. Man kann unter sehr allgemeinen Voraussetzungen auch die Existenz einer schwachen L¨ osung beweisen, siehe etwa [4], [36]. Insgesamt erh¨alt man dann folgenden Satz Satz 6.3. Es sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand, die Koeﬃzientenfunktion λ : Ω → R sei messbar und erf¨ ulle 0 < λ0 ≤ λ(x) ≤ λ1 mit ur fast alle x ∈ Ω, es gelte f ∈ L2 (Ω) und u0 ∈ H 1 (Ω). 0 < λ0 ≤ λ1 < ∞ f¨ Dann hat (6.1) mit der Randbedingung u = u0 auf ∂Ω genau eine schwache L¨osung u ∈ H 1 (Ω). In der Formulierung dieses Satzes wurden die Randdaten u0 als im gesamten Gebiet Ω deﬁniert vorausgesetzt. Wir werden nun Gleichung (6.1) mit Neumann–Bedingungen (6.2) diskutieren. Eine schwache Formulierung dieses Randwertproblems erh¨alt man durch

308

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Multiplikation der Diﬀerentialgleichung mit einer Testfunktion v und Integration u ¨ ber Ω. Mit der partiellen Integration − ∇ · (λ∇u) v dx = λ ∇u · ∇v dx − λ ∇u · n v dsx Ω

Ω

∂Ω

folgt unter Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen λ ∇u · ∇v dx = f v dx + g v dsx . Ω

Ω

(6.6)

∂Ω

Ist nun (6.6) f¨ ur alle v ∈ H 1 (Ω) erf¨ ullt, so sagen wir: u ist schwache L¨osung der elliptischen Diﬀerentialgleichung (6.1) mit der Neumann–Randbedingung (6.2). Setzt man in (6.6) die Testfunktion v = 1 ein, so folgt f dx + g dsx = 0 . (6.7) Ω

∂Ω

Da hier die gesuchte Funktion u gar nicht mehr auftritt, handelt es sich bei (6.7) um eine Bedingung an die Daten f und g, die erf¨ ullt sein muss, damit wir u osung hoﬀen d¨ urfen. Da (6.1), (6.2) ¨ berhaupt auf die Existenz einer L¨ nicht direkt von u, sondern nur von ∇u abh¨ angt, und es keine weitere Bedingung an u gibt, ist zu jeder L¨ osung u und jeder Konstanten c auch u + c eine L¨ osung. Im Gegensatz zum Dirichlet–Problem existiert also nicht f¨ ur alle rechten Seiten eine L¨ osung, und die L¨ osung ist, falls sie existiert, nicht eindeutig. Man kann jedoch zeigen, dass die Bedingung (6.7) in Verbindung mit zus¨atzlichen Annahmen u ¨ber die Glattheit des Gebietes Ω und der Daten f und g f¨ ur die Existenz einer L¨ osung des Neumann–Problems ausreicht. Konkret gilt folgender Satz: Satz 6.4. Es sei Ω ein zusammenh¨angendes, beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand ∂Ω, f : Ω → R und g : ∂Ω → R seien gegebene, glatte Funktionen. Dann hat das Randwertproblem (6.1), (6.2) genau dann eine schwache ullt ist. Die L¨osung ist eindeutig bis auf L¨osung, wenn die Bedingung (6.7) erf¨ eine Konstante: Sind u1 und u2 zwei L¨osungen, dann ist u1 − u2 konstant. Den Beweis dieses Satzes ﬁndet man in B¨ uchern u ¨ ber partielle Diﬀerentialgleichungen, zum Beispiel in [36]. Die L¨ osbarkeitsbedingung (6.7) ist analog zur Bedingung f¨ ur die L¨ osbarkeit linearer Gleichungssysteme mit symmetrischer Matrix. Dies sieht man am besten u ¨ ber die schwache Formulierung (6.6) des Randwertproblems. Die linke Seite dort kann als Operator A aufgefasst werden, der jedem Element u ∈ V = H 1 (Ω) des Funktionenraums V ein Element Au des sogenannten Dualraums V ∗ von V zuordnet. Der Dualraum V ∗ ist die Menge der linearen, stetigen Abbildungen von V nach R (der sogenannten Funktionale auf V ). In der Tat deﬁniert v → Au, v := λ ∇u · ∇v dx (6.8) Ω

6.1 Elliptische Gleichungen

309

ein lineares Funktional auf V . Die rechte Seite der schwachen Formulierung deﬁniert ebenfalls ein lineares Funktional b ∈ V ∗ wie folgt v → b, v := f v dx + g v dsx . Ω

Γ

Die schwache Formulierung ist dann a ¨quivalent zur Operatorgleichung Au = b im Dualraum V ∗ . Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit symmetrischer Matrix A ∈ Rn,n hat bekanntlich genau dann eine L¨osung, wenn b orthogonal zum Kern der Matrix A ist. Der Kern des in (6.8) deﬁnierten Operators A besteht gerade aus den konstanten Funktionen u(x) = c. In der Tat gilt f¨ ur jede konstante Funktion u(x) = c und jedes v ∈ V λ ∇u · ∇v dx = 0 , Au, v = Ω

somit ist Au das Nullfunktional“ Au = 0 ∈ V ∗ und u ein Element des Kernes ” von A. Ist umgekehrt u im Kern von A, dann gilt insbesondere λ ∇u · ∇u dx , 0 = Au, u = Ω

und da Ω zusammenh¨ angend ist, folgt u = c mit einer Konstanten c. Die L¨ osbarkeitsbedingung (6.7) entspricht gerade der Orthogonalit¨atsbeziehung b, c = 0 f¨ ur jede Konstante c. Wir werden nun die Aussage von Satz 6.4 f¨ ur zwei verschiedene Anwendungen interpretieren und sehen, dass sich dahinter oﬀensichtliche physikalische Tatsachen verbergen. Bei der station¨ aren W¨ armeleitungsgleichung ist f die Volumendichte der zugef¨ uhrten W¨ arme und g die Fl¨ achendichte des W¨armezuﬂusses u ¨ber den Rand. Der Term f dx + g dsx (6.9) Ω

∂Ω

beschreibt damit die insgesamt pro Zeiteinheit zugef¨ uhrte W¨armemenge. Das station¨ are Problem beschreibt aber gerade den Zustand, gegen den ein dynamisches Problem f¨ ur sehr große Zeit konvergiert; dies wird noch in Abschnitt 6.2.2 diskutiert werden. Wenn man einem K¨orper aber kontinuierlich W¨ arme zuf¨ uhrt, oder W¨ arme entnimmt, dann wird die mittlere Temperatur entweder kontinuierlich steigen oder kontinuierlich fallen, und es gibt keinen station¨ aren Grenzzustand. Deshalb muss die Bilanz der W¨armezufuhr (6.9) gleich Null sein, damit eine L¨ osung der station¨aren W¨armeleitungsgleichung

310

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

existiert. Die L¨osung ist nur bis auf eine Konstante eindeutig, weil die im K¨ orper vorhandene mittlere Temperatur u dx Ω

durch die Temperatur zu Beginn des dynamischen Prozesses gegeben ist; und ¨ die Information u zur stati¨ber die Anfangsbedingung geht beim Ubergang on¨ aren Gleichung verloren. Die L¨ osungen der station¨aren Gleichung beschreiben deshalb die station¨ aren Grenzwerte f¨ ur alle m¨oglichen Anfangstemperaturen. Bei einer Potentialstr¨omung l¨ osen wir ∆u = 0 und u beschreibt das Potential eines Geschwindigkeitsfeldes v = ∇u, g ist damit die Normalkomponente des Geschwindigkeitsfeldes am Rand, und f = 0. Damit gibt g dsx = v · n dsx ∂Ω

∂Ω

gerade an, wieviel Masse aus dem Gebiet herausﬂießt oder in das Gebiet hineinﬂießt (vgl. Abschnitt 5.6). Um in einem zeitabh¨angigen Str¨omungsmodell einen station¨ aren Grenzwert zu bekommen, darf nicht kontinuierlich Masse in das Gebiet hinein- oder herausﬂießen. Die L¨osung u ist nur bis auf eine Konstante eindeutig, da sie ein Potential beschreibt, und Potentiale nur bis auf eine Integrationskonstante eindeutig sind. Die Anwendung von Satz 6.4 auf Potentialstr¨omungen zeigt auch die Aussage auf S. 229. Auch die Minimaleigenschaft von Satz 6.1 kann auf das Problem mit Neumann–Randbedingungen u ¨ bertragen werden. Satz 6.5. Es sei u eine L¨osung von (6.1) mit Randbedingung λ∇u · n = g auf ∂Ω. Die Funktionen f und g erf¨ ullen die L¨osbarkeitsbedingung (6.7). Dann ist u eine L¨osung des Optimierungsproblems 1 2 λ|∇u| − f u dx − g u ds . min x 2 1 u∈H (Ω)

Ω

∂Ω

Das Minimum im obigen Minimierungsproblem wird nicht angenommen, wenn die Bedingung (6.7) nicht ullt ullt, so kann der Aus erf¨ " ist. Ist (6.7) nicht erf¨ " klein druck Ω 12 λ|∇u|2 − f u dx − ∂Ω gu dsx beliebig " " werden, wenn man u konstant w¨ ahlt und, je nach Vorzeichen von Ω f dx + ∂Ω g dsx , beliebig groß oder klein w¨ ahlt. F¨ ur station¨ are inkompressible Str¨ omungen kann man zeigen, dass bei vorgegebenem Normalanteil der Geschwindigkeit am Rand des betrachteten Gebietes das Minimum der kinetischen Energie nur f¨ ur ein rotationsfreies Geschwindigkeitsfeld angenommen werden kann, also f¨ ur eine Potentialstr¨omung. Dies bedeutet, dass Wirbel die kinetische Energie nur vergr¨oßern w¨ urden.

6.1 Elliptische Gleichungen

311

Satz 6.6. Es sei Ω ein zusammenh¨angendes, beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand ∂Ω, g : ∂Ω → R eine gegebene, glatte Funktion und v = ∇ϕ sei glatt mit ∆ϕ = 0 in Ω sowie v · n = g auf ∂Ω. Dann ist v auch L¨osung des Optimierungsproblems + * 2 1 v ∈ L2 (Ω)d , ∇ · v = 0 in Ω, v · n = g auf ∂Ω . |v| dx min 2 Ω

Die Bedingungen ∇ · v = 0 in Ω und v · n = g auf ∂Ω f¨ ur eine Funktion ussen in einem verallgemeinerten, sogenannten distributionellen v ∈ L2 (Ω)d m¨ Sinn interpretiert werden. Beide Bedingungen zusammengenommen sind f¨ ur glatte Funktionen genau dann erf¨ ullt, wenn v · ∇ψ dx = g ψ dsx f¨ ur alle ψ ∈ H 1 (Ω) . (6.10) Ω

∂Ω

F¨ ur eine gen¨ ugend glatte Funktion v gilt n¨ amlich v · ∇ψ dx = − ∇ · v ψ dx + Ω

Ω

v · n ψ dsx .

∂Ω

ullt ∇ · v = 0 in Ω und v · n = g auf ∂Ω im Wir sagen nun v ∈ L2 (Ω)d erf¨ schwachen Sinn genau dann, wenn (6.10) erf¨ ullt ist. Beweis von Satz 6.6. Es sei

J(w) := Ω

1 2 |w| dx 2

das zu minimierende Funktional. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass J(v + w) ≥ J(v) f¨ ur die gegebene L¨ osung v und jede Funktion w ∈ L2 (Ω)d gilt, die im schwachen Sinn ∇ · w = 0 in Ω und w · n = 0 auf ∂Ω erf¨ ullt. Es gilt 2 1 1 J(v + w) = |v| + 2 v · w + |w|2 dx |v + w|2 dx = 2 Ω 2 Ω ≥ J(v) + v · w dx . Ω

Durch partielle Integration folgt aus v = ∇ϕ und (6.10) v · w dx = ∇ϕ · w dx = 0 . Ω

Damit ist die Aussage bewiesen.

Ω

In beschr¨ ankten, zusammenh¨ angenden Gebieten Ω gilt: Die einzige inkompressible, station¨are Str¨ omung mit v · n = 0 auf ∂Ω ist v ≡ 0. Dies folgt aus der Tatsache, dass v ≡ 0 die kinetische Energie minimiert.

312

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

6.1.2 Die Fundamentall¨ osung Wir werden in diesem Abschnitt eine wichtige spezielle L¨osung der Laplace– Gleichung ∆u = 0 in Rd f¨ ur d ≥ 2 kennenlernen. Wir machen dazu einen radialsymmetrischen Ansatz u(x) = w(|x|) = w(r) mit r = |x| . Mit ∂xi |x| = xi /|x| folgt ∇u(x) =

w (|x|) d−1 x und ∆u(x) = w (|x|) + w (|x|) . |x| |x|

(6.11)

Durch Trennung der Variablen erh¨ alt man w (r) = c r−(d−1) und, nach Integration, w(r) =

a r2−d + b f¨ ur d > 2, a ln r + b f¨ ur d = 2,

f¨ ur geeignete Konstanten a, b. Wir interessieren uns f¨ ur eine L¨osung, die f¨ ur r → +∞ verschwindet, und setzen daher b = 0. Dies liefert die spezielle L¨ osung u(x) = cd ln r f¨ ur d = 2 und u(x) = cd |x|2−d f¨ ur d > 2 . Diese L¨ osung hat bei r = 0 eine Singularit¨ at. Zur Bestimmung des Faktor cd verwendet man die Bedingung ∇u · n dsx , 1 = − lim r→0

(6.12)

|x|=r

wobei n der nach außen orientierte Normalenvektor auf der Oberﬂ¨ache der Sph¨ are {|x| = r} ist. Die Bedeutung dieser Bedingung wird uns im Beweis zu Satz 6.7 klar werden. Mit n = x/|x| und ∇u(x) = w (|x|)x/|x| folgt |x|=r

∇u · n dsx = ωd rd−1 w (r) =

c2 ω 2 f¨ ur d = 2 , cd ωd (2 − d) f¨ ur d ≥ 3 ,

ache der Einheitssph¨ are im Rd ist. Man erh¨alt also wobei ωd die Oberﬂ¨ cd =

f¨ ur d = 2 , −1/ω2 ur d ≥ 3 . −1/((2 − d)ωd ) f¨

6.1 Elliptische Gleichungen

313

Damit lautet die Fundamentall¨ osung Φ(x) =

1 − 2π ln |x| 1 2−d (d−2)ωd |x|

f¨ ur d = 2, f¨ ur d ≥ 3 .

Die Bedeutung der Fundamentall¨ osung besteht darin, dass man mit ihrer Hilfe eine Darstellungsformel f¨ ur L¨ osungen der Poisson–Gleichung −∆u = f in Rd

(6.13)

formulieren kann. Satz 6.7. Es sei f : Rd → R zweimal stetig diﬀerenzierbar und es gelte f = 0 außerhalb einer Kugel mit Radius R. Dann ist u(x) = Φ(y − x) f (y) dy (6.14) Rd

eine L¨osung von (6.13). Beweis. Durch eine einfache Variablentransformation folgt, da Φ(y) = Φ(−y) u(x) = Φ(y − x) f (y) dy = Φ(y) f (x − y) dy . Rd

Rd

Anwendung des Laplace–Operators liefert Φ(y) ∆x f (x − y) dy = −∆u(x) = − Rd

Rd

Φ(y) ∆y f (x − y) dy .

Dass man hier Integration und Diﬀerentiation vertauschen darf, kann man durch die Deﬁnition der Ableitungen u ¨ ber Grenzwerte von Diﬀerenzenquotienten zeigen: u(x − hei ) − 2u(x) + u(x + hei ) h→0 h2 f (x − hei − y) − 2f (x − y) + f (x + hei − y) = lim Φ(y) dy h→0 Rd h2 f (x − hei − y) − 2f (x − y) + f (x + hei − y) = Φ(y) lim dy h→0 h2 d R = Φ(y) ∂x2i f (x − y) dy .

∂x2i u(x) = lim

Rd

Die Vertauschung von Grenzwert und Integral ist zul¨assig, da die Konvergenz h−2 (f (x − hei ) − 2f (x) + f (x + hei )) → ∂x2i f gleichm¨aßig ist. Wir schneiden nun einen Ball Bε (0) um die Singularit¨ at y = 0 heraus und betrachten die beiden Anteile

314

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Iε (x) =

Bε (0)

Φ(y) ∆y f (x − y) dy und Jε (x) =

Rd \Bε (0)

Φ(y) ∆y f (x − y) dy .

Da ∆y f beschr¨ankt ist, folgt aufgrund der speziellen Form der Fundamen ur d ≥ 3 tall¨ osung Φ(x) = Φ(r) mit Φ(r) ∼ ln r f¨ ur d = 2 und Φ(r) ∼ r2−d f¨ ε |Φ(r)| rd−1 dr → 0 f¨ ur ε → 0 . |Iε (x)| ≤ C1 0

Durch Anwendung der Greenschen Formel folgt Jε (x) = ∆y Φ(y) f (x − y) dy Rd \Bε (0) + Φ(y) ∇y f (x − y) · n − ∇y Φ(y) · n f (x − y) dsy . ∂Bε (0)

Dabei ist n der nach außen orientierte Normalenvektor auf ∂Bε (0). Das erste Integral auf der rechten Seite verschwindet wegen ∆Φ(y) = 0 f¨ ur y = 0. Den ersten Anteil am zweiten Integral kann man absch¨atzen durch Φ(y) ∇y f (x − y) · n dsy ≤ C |Φ(ε)| ur ε → 0 . εd−1 → 0 f¨ ∂Bε (0) F¨ ur den verbleibenden Term folgt − ∇y Φ(y) · n f (x − y) dsy = −f (x) ∇y Φ(y) · n dsy ∂Bε (0) ∂Bε (0) − ∇y Φ(y) · n (f (x − y) − f (x)) dsy . ∂Bε (0)

Das letzte Integral hier l¨ aßt sich mit |f (x − y) − f (x)| ≤ Cε f¨ ur y ∈ ∂Bε (0) absch¨ atzen durch ∇y Φ(y) · n (f (x − y) − f (x)) dsy ∂Bε (0) ≤ Cε |∇y Φ(y) · n| dsy → 0 f¨ ur ε → 0 . ∂Bε (0)

Insgesamt folgt mit (6.12) lim Jε (x) = f (x)

ε→0

und damit die Behauptung.

6.1 Elliptische Gleichungen

315

Bemerkungen 1. Die Abklingbedingung

lim

|x|→+∞

Φ(x) = 0 impliziert, dass die L¨osung (6.14)

f¨ ur |x| → +∞ ebenfalls abklingt. Formel (6.14) liefert also eine L¨osung mit Randbedingung lim u(x) = 0 im Unendlichen“. Es kann gezeigt ” |x|→+∞ werden, dass es nur eine L¨ osung von −∆u = f mit dieser Eigenschaft gibt. 2. Man kann die Darstellungsformel auch unter wesentlich schw¨acheren Voraussetzungen an die Funktion f beweisen, siehe etwa [47]. 3. Die Darstellungsformel dr¨ uckt aus, wie sich die Funktionswerte von f auf die L¨ osung der Poisson–Gleichung auswirken. Die Fundamentall¨osung kann man als distributionelle L¨ osung von −∆Φ = δ mit der Dirac–Distribution δ interpretieren. Die Funktion f l¨aßt sich formal schreiben als δ(y − x) f (y) dy , f (x) = δ(· − x), f = Rd

wobei das Integral hier streng genommen nur als formale Schreibweise f¨ ur die Anwendung einer Distribution auf eine Funktion, im Sinne einer Verallgemeinerung des Skalarproduktes im L2 (R3 ), gesehen werden darf. Die Darstellungsformel ergibt sich dann durch Superposition“ der L¨osungen ” zu allen“ Werten f (x), ” Φ(y − x) f (y) dx . u(x) = Rd

6.1.3 Mittelwertsatz und Maximumprinzip L¨ osungen u der Laplace–Gleichung ∆u = 0 besitzen die interessante Eigenschaft, dass u(x) gleich dem Mittelwert von u u ¨ ber jedem Ball mit Zentrum x ist. Es gilt: Satz 6.8. Es sei u eine zweimal stetige L¨osung von ∆u = 0 auf einem Gebiet Ω und BR (x) ⊂ Ω ein Ball mit Radius R. Dann gilt 1 1 u(y) dy = u(y) dsy = u(x) , |BR (x)| BR (x) |∂BR (x)| ∂BR (x) wobei |BR (x)| das d–dimensionale Volumen und |∂BR (x)| den (d − 1)–dimensionalen Fl¨acheninhalt bezeichnet.

316

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Beweis. Es sei ωd (r) := |∂Br (0)| und 1 1 u(y) dsy = u(x + rz) dsz . ϕ(r) := ωd (r) ∂Br (x) ωd (1) ∂B1 (0) Mit Hilfe des Satzes von Gauß folgt 1 1 ϕ (r) = ∇u(x + rz) · z dsz = ∇u(y) · n dsy ωd (1) ∂B1 (0) ωd (r) ∂Br (x) 1 = ∆u(y) dy = 0 . ωd (r) Br (x) Folglich ist r → ϕ(r) konstant. Grenz¨ ubergang r → 0 liefert ϕ(r) = u(x) f¨ ur alle r < R. Mit verallgemeinerten Polarkoordinaten folgt R R u(y) dy = u(y) dsy dr = ωd (r) ϕ(r) dr = u(x)|BR (x)| . BR (x)

0

∂Br (x)

0

Aus dieser Eigenschaft der L¨ osungen der Laplace–Gleichung kann man nun leicht das Maximumprinzip f¨ ur die Laplace–Gleichung herleiten. Dieses besagt, dass die L¨ osung ihr Maximum (und auch ihr Minimum) am Rand jedes betrachteten Gebietes annehmen muss. Satz 6.9. Es sei Ω ⊂ Rd ein zusammenh¨angendes Gebiet und u : Ω → R eine zweimal stetig diﬀerenzierbare L¨osung der Laplace–Gleichung in Ω. Dann gilt (i) u nimmt sein Maximum auf dem Rand an, maxx∈Ω u(x) = maxx∈∂Ω u(x). (ii)Gibt es ein x ∈ Ω mit u(x) = maxy∈Ω u(y), so ist u konstant. Beweis. Es reicht aus, (ii) zu zeigen. Falls es ein x ∈ Ω mit u(x) = ur jedes r > 0 maxy∈Ω u(y) gibt, dann folgt aus der Mittelwerteigenschaft f¨ mit Br (x) ⊂ Ω 1 u(y) dy . u(x) = |Br (x)| Br (x) Wegen u(y) ≤ u(x) folgt daraus u(y) = u(x) f¨ ur alle y ∈ Br (x) .

(6.15)

Wir betrachten nun die Menge M := {y ∈ Ω | u(y) = u(x)} . Diese Menge ist oﬀen, da es zu jedem y ∈ M einen Ball Br (y) gibt mit Br (y) ⊂ Ω und wegen (6.15) dann auch Br (y) ⊂ M gilt. Andererseits ist M relativ zu Ω abgeschlossen, denn aus yn ∈ M mit lim yn = y ∈ Ω folgt n→+∞

wegen der Stetigkeit von u auch y ∈ M . Da Ω zusammenh¨angend ist, folgt M = Ω.

6.1 Elliptische Gleichungen

317

6.1.4 Ebene Potentialstr¨ omungen, die Methode der komplexen Variablen Eine wichtige Anwendung der Laplace–Gleichung sind Potentialstr¨omungen. F¨ ur zweidimensionale Potentialstr¨ omungen kann man mit Hilfsmitteln der komplexen Analysis einige interessante Folgerungen herleiten. In zwei Dimensionen sind die Bedingungen ∇×v = 0, ∇·v = 0 f¨ ur wirbelfreie inkompressible Str¨ omungen gegeben durch ∂x2 v1 − ∂x1 v2 = 0 , ∂x1 v1 + ∂x2 v2 = 0 . ost deshalb die Cauchy–Riemannschen DiﬀerentialDas Vektorfeld (v1 , −v2 ) l¨ gleichungen ∂x1 v1 = ∂x2 (−v2 ) , ∂x2 v1 = −∂x1 (−v2 ) . Daraus folgt, dass w : C → C,

w(x1 + i x2 ) := v1 (x1 , x2 ) − i v2 (x1 , x2 )

eine holomorphe Funktion ist. Deﬁnition 6.10. Die Funktion w heißt komplexe Geschwindigkeit. Umgekehrt gilt, dass jede holomorphe Funktion w mittels v1 = Re w und v2 = −Im w eine inkompressible, station¨ are Potentialstr¨omung deﬁniert. Man kann deshalb mit Mitteln der komplexen Analysis einige interessante Schlussfolgerungen u ¨ ber inkompressible Potentialstr¨omungen gewinnen.

B n

Abb. 6.1. Str¨ omung um ein ebenes Hindernis

Wir betrachten nun eine reibungsfreie Str¨ omung um ein Hindernis B, wie in Abbildung 6.1 dargestellt. Im Folgenden setzen wir stets voraus, dass sich ∂B durch eine glatte, geschlossene Kurve parametrisieren l¨asst. Die auf das

318

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Hindernis wirkende Kraft f ist gegeben durch das Integral u ¨ ber die Normalspannung am Rand, f= σ(x) n(x) dsx = − p n dsx . (6.16) ∂B

∂B

a1 ∈ R2 mit komplexen Zahlen a1 + i a2 Im Folgenden werden Vektoren a2 identiﬁziert. Insbesondere fassen wir f als komplexe Zahl auf. Der folgende Satz liefert eine M¨ oglichkeit, die Kraft f mittels der komplexen Geschwindigkeit w zu berechnen. Satz 6.11. (Satz von Blasius) Es sei B ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand. Weiter sei v eine Potentialstr¨omung, die den Euler–Gleichungen mit konstanter Dichte sowie den Bedingungen ∇ · v = 0 außerhalb von B und v · n = 0 auf ∂B gen¨ ugt. Dann gilt: −i w2 dz . f= 2 ∂B Beweis. Es sei γ : [0, L] → ∂B eine Bogenl¨ angenparametrisierung des Randes ∂B. Nach Identiﬁzierung von Vektoren im R2 mit komplexen Zahlen lassen sich die Tangente t(s) und die Normale n(s) an ∂B ausdr¨ ucken durch t(s) = γ (s) = γ1 (s) + i γ2 (s) , n(s) = γ2 (s) − i γ1 (s) . Dabei sei γ so orientiert, dass ¨ußere Normale an B ist. Aus dem Satz n(s)a von Bernoulli folgt p = − 2 v12 + v22 (siehe S. 228). Damit erhalten wir

f =−

p(n1 + i n2 ) dsx =

∂B L

=i 0

=−

i 2

0

L

p(γ(s))(−γ2 (s) + i γ1 (s)) ds

p(γ(s))(γ1 (s) + i γ2 (s)) ds

0

L

2 v1 + v22 (γ1 (s) + i γ2 (s)) ds .

Die Randbedingung v · n = 0 impliziert 0 = v1 γ2 (s) − v2 γ1 (s) auf ∂B und somit folgt aus w2 = (v1 − i v2 )2 = v12 − v22 − 2i v1 v2 , dass

(6.17)

6.1 Elliptische Gleichungen

319

w2 (γ1 (s) + i γ2 (s)) = v12 − v22 − 2i v1 v2 (γ1 (s) + i γ2 (s)) = v12 + v22 (γ1 (s) − i γ2 (s)) . Mit (6.17) folgt i f =− 2

L

w2 0

γ (s) ds

i =− 2

w2 dz . ∂B

Dies zeigt die Behauptung.

Wir betrachten jetzt eine Situation, in der die Str¨omung f¨ ur x → ∞ einen konstanten Wert V annimmt, siehe Abbildung 6.2. Dies entspricht zum Beispiel einer Situation, in der ein K¨ orper sich durch ein ruhendes Fluid bewegt, also etwa der Umstr¨ omung eines Flugzeuges, wobei man das Koordinatensystem mit dem K¨ orper bewegt.

V

V

V

V B

V

V

V

Abb. 6.2. Str¨ omung um ein ebenes Hindernis

Der folgende Satz sagt aus, dass die Kraft, die auf B wirkt, stets orthogonal zur Richtung von V ist. Satz 6.12. (Satz von Kutta–Joukowski) Gegeben sei eine inkompressible Potentialstr¨omung v außerhalb eines glatt berandeten Gebietes B. Es gelte v · n = 0 auf ∂B und v(x) → V f¨ ur |x| → ∞ mit V ∈ R2 . Dann ist die Kraft, die auf den K¨orper B wirkt, gegeben durch f = Γ∂B |V |n

320

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

mit der Zirkulation

v · t dsx

Γ∂B = ∂B

des Vektorfeldes v um B und der Einheitsnormalen n =

(V2 ,−V1 ) |V |

zu V .

Beweis. Die komplexe Geschwindigkeit w = v1 − i v2 ist analytisch außerhalb B. Daher k¨ onnen wir w außerhalb jeder Kreisscheibe, die B enth¨alt, in eine Laurentreihe ∞ w(z) = ak z k , z = x1 + i x2 k=−∞

mit ak ∈ C entwickeln. Aus w → V1 − iV2 f¨ ur |z| → ∞ folgt ak = 0 f¨ ur alle k > 0 und a0 = V1 − iV2 . 0 '

Integrieren wir die Reihe

ak z k u ¨ ber den Rand eines großen Kreises

k=−∞

BR (0), so erhalten wir, da wir Term f¨ ur Term integrieren d¨ urfen, w(z) dz = ∂BR (0)

0 k=−∞

=

z k dz

ak

0

∂BR (0)

ak

k=−∞

2π 0

Rk eiks Ri eis ds = a−1 2πi .

Dabei haben wir die Parametrisierung γ : [0, 2π] → C, s → R eis verwendet und ausgenutzt, dass f¨ ur = 0

2π

ei s ds = 0 0

gilt. Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt, dass Integration bez¨ uglich ∂BR (0) und ∂B das gleiche Ergebnis liefert. Somit folgt w(z) dz = 2πi a−1 . ∂B

Weiter gilt, da v1 γ2 = v2 γ1 auf ∂B,

6.1 Elliptische Gleichungen

2π

w dz = 0

∂B

2π

= 0

2π

= 0

321

(v1 − i v2 )(γ1 + i γ2 ) ds (v1 γ1 + v2 γ2 + i v1 γ2 − i v2 γ1 ) ds (v1 γ1 + v2 γ2 ) ds =

v · t dsx = Γ∂B . ∂B

Daraus folgt Γ∂B . 2πi Quadrieren wir w, so erhalten wir die Laurent-Reihe a−1 =

w2 = a20 +

2 a0 a−2 + a2−1 2 a0 a−1 + + ··· . z z2

Aus Satz 6.11 folgt i i f =− w2 dz = − 2πi 2 a0 a−1 = Γ∂B (V2 − iV1 ) . 2 ∂B 2 Dies beweist den Satz.

Bemerkung. Der Satz von Kutta–Joukowski beschreibt das sogenannte d’Alembertsche Paradox in zwei Dimensionen. Es besagt, dass kein Kraftanteil in Richtung der Geschwindigkeit V auf den K¨ orper B wirkt, es gibt also keinen Luftwiderstand. Das d’Alembertsche Paradox in drei Dimensionen besagt sogar, dass die Kraft auf einen umstr¨ omten K¨orper gleich Null ist. Es gibt also weder einen Luftwiderstand noch einen Auftrieb, da auch die Komponenten orthogonal zur Anstr¨ omgeschwindigkeit Null sind. Dies widerspricht unserer Erfahrung, beispielsweise wenn uns beim Fahrrad fahren ein starker Wind gegen den K¨ orper weht. Realistischere Modelle wie die Navier–Stokes– Gleichungen ber¨ ucksichtigen Reibung. Welche Auswirkungen die Reibung bei der Umstr¨ omung eines K¨ orpers hat, wird in Abschnitt 6.6 betrachtet; dort werden Grenzschichten untersucht, die in der N¨ahe von B auftreten. Komplexe Potentiale und Stromfunktionen Wir nehmen nun an, dass die komplexe Geschwindigkeit w = v1 − i v2 einer v1 inkompressiblen, wirbelfreien Str¨ omung v = eine Stammfunktion W v2 besitzt, dW . w= dz Diese Stammfunktion heißt komplexes Geschwindigkeitspotential zu w. Deﬁnieren wir ϕ und ψ durch

322

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

W = ϕ+iψ, dann gilt v1 = ∂x1 ϕ = ∂x2 ψ , v2 = ∂x2 ϕ = −∂x1 ψ . Daraus folgt v = ∇ϕ , und es kann gezeigt werden, dass ψ eine sogenannte Stromfunktion ist. Eine Funktion ψ heißt Stromfunktion, wenn die Stromlinien der Str¨omung gerade Niveaulinien von ψ sind. Wir geben ein einfaches Beispiel an, etwas interessantere Beispiele ﬁndet man in den Aufgaben. U1 Beispiel: Es sei U = ∈ R2 eine konstante Geschwindigkeit. Setzen wir U2 w = U1 − i U2 , dann gilt W (z) = wz = (w1 + i w2 )(x1 + i x2 ) = (w1 x1 − w2 x2 ) + i(w2 x1 + w1 x2 ) . Damit ist ϕ = w1 x1 − w2 x2 ein Potential und ψ = w2 x1 + w1 x2 eine Stromfunktion. F¨ ur U =

1 0

erhalten wir die in Abbildung 6.3 dargestellte Situation. ϕ = const ψ = const

Abb. 6.3. Potential und Stromfunktion f¨ ur eine einfache Str¨ omung

6.1.5 Die Stokes–Gleichungen Wir betrachten nun ein Dirichlet–Randwertproblem f¨ ur die Stokes–Gleichungen (vgl. Kapitel 5.6),

6.1 Elliptische Gleichungen

∇· v = 0,

323

(6.18)

−µ ∆v + ∇p = f

in einem beschr¨ ankten Gebiet Ω ⊂ Rd mit vorgegebenen Randdaten v = b auf dem Rand ∂Ω von Ω. Wir werden zeigen, dass dieses System gerade die notwendigen Kriterien f¨ ur eine L¨ osung des Optimierungsproblems

(6.19) min J(v) v ∈ H 1 (Ω)d , ∇ · v = 0 in Ω, v = b auf ∂Ω mit dem Funktional

# $ µ J(v) := |Dv |2 − f · v dx Ω 2

beschreibt. Es handelt sich hierbei um ein Optimierungsproblem in einem unendlichdimensionalen Raum. Man kann die Technik der Lagrange–Multiplikatoren auf unendlichdimensionale Hilbertr¨ aume u ¨ bertragen, wenn man geeignete Skalarprodukte benutzt. Hier kann die Nebenbedingung ∇ · v = 0 mit einem Lagrange–Multiplikator −p ∈ L2 (Ω) mittels des Skalarproduktes in L2 (Ω) angekoppelt werden. Das entsprechende Lagrange–Funktional ist # $ µ L(v, p) = J(v) + −p, ∇ · vL2 (Ω) = |Dv|2 − f · v − p ∇ · v dx . Ω 2 Das L2 (Ω)–Skalarprodukt ersetzt hier also das Skalarprodukt zweier Vektoren im Rm , das man bei einem Optimierungsproblem mit m Nebenbedingungen h¨ atte. Die Optimalit¨ atskriterien muss man nun mit Richtungsableitungen formulieren: : 9 δL(v, p) d , w := L(v + ε w, p) = 0 und δv dε ε=0 : 9 δL(v, p) d , q := L(v, p + ε q) = 0. δp dε ε=0 Dies muss f¨ ur alle w ∈ H 1 (Ω)d mit w = 0 auf ∂Ω und alle q ∈ L2 (Ω) gelten. Die Ableitung δL(v) δv , w kann man mit der Formel d d 1 d 1 d |D(v + εw)|2 = |∂xi (vj + εwj )|2 = ∂xi vj ∂xi wj 2 dε 2 dε i,j=1 ε=0 ε=0 i,j=1

=

d , ∂xi (∂xi vj wj ) − ∂x2i vj wj i,j=1

und unter Ausnutzung der Identit¨ at d ∆v · w dx = − ∂x2i vj wj dx = − Ω

Ω i,j=1

Dv : Dw dx

= Ω

d

Ω i,j=1

∂xi vj ∂xi wj dx (6.20)

324

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

formulieren als # $ d µ |D(v + ε w)|2 − f · (v + ε w) − p ∇ · (v + ε w) dx dε Ω 2 ε=0 ! = (−µ ∆v − f + ∇p) · w dx = 0 . Ω

Da dies f¨ ur alle geeigneten Testfunktionen w gelten muss, folgt −µ ∆v = −∇p + f . Die Richtungsableitung nach p lautet # $ µ d |Dv|2 − f · v − (p + ε q) ∇ · v dx = − q ∇ · v dx = 0 , dε Ω 2 Ω und, da dies ebenfalls f¨ ur alle Testfunktionen q gelten muss, ∇·v = 0. Dies zeigt, dass das Stokes–System die notwendige Bedingung f¨ ur einen kritischen Punkt von (6.19) darstellt. Der Druck spielt dabei die Rolle eines Lagrange–Parameters der Nebenbedingung ∇ · v = 0. Diese Eigenschaft deutet an, dass es sich beim Stokes–System ebenfalls um ein elliptisches System handelt. Dies ist in der Tat der Fall. Bei der Herleitung der schwachen Formulierung ist es sinnvoll, die Nebenbedingung ∇ · v = 0 in die Deﬁnition des zugrundeliegenden Funktionenraums einzubauen. Sei also

V = v ∈ H 1 (Ω)d | ∇ · v = 0 in Ω, v = 0 auf ∂Ω . Skalarmultiplikation des Stokes–Systems (6.18) mit einer Testfunktion w ∈ V und partielle Integration liefert mit (6.20) und ∇p · w dx = − p ∇ · w dx = 0 Ω

die Gleichung

Ω

f · v dx .

µ Dv : Dw dx = Ω

Ω

Der Druck verschwindet hier v¨ ollig aus der schwachen Formulierung, da wir die Nebenbedingung in die Funktionenmenge V integriert haben und deshalb auch den Lagrange–Parameter nicht mehr ben¨otigen. Man kann nun leicht sehen, dass die Bilinearform a(v, w) = Dv : Dw dx Ω

symmetrisch und positiv deﬁnit ist und das Stokes–System in diesem Sinne elliptisch ist.

6.1 Elliptische Gleichungen

325

6.1.6 Homogenisierung In vielen Anwendungen tauchen Medien mit komplexer Struktur auf, in denen Parameter, wie zum Beispiel Diﬀusionskonstanten, stark variieren k¨onnen. Ein einfaches Beispiel ist etwa ein aus verschiedenen Materialien zusammengesetzter, geschichteter K¨ orper. In solchen Situationen spielen verschiedene L¨ angenskalen eine Rolle. Ziel der Homogenisierung ist es, aus Gleichungen f¨ ur Prozesse, bei denen kleine Skalen eine Rolle spielen, Gesetze auf gr¨oßeren Skalen herzuleiten. Dabei ergeben sich in der Regel einfachere Gleichungen, da u ¨ ber mikroskopische Informationen geeignet gemittelt wird. Wir wollen nun ein einfaches Beispiel diskutieren, bei dem zwei Skalen auftauchen, eine mikroskopische der Ordnung ε und eine makroskopische der Ordnung 1, wobei wir voraussetzen, dass die Abh¨ angigkeit von der mikroskopischen Variablen periodisch ist. Es sei Ω ⊂ Rd ein glattes Gebiet und f : Ω → R glatt. Dann betrachten wir * −∇ · (λ( xε )∇uε ) = f f¨ ur x ∈ Ω , (P ε ) uε = 0 f¨ ur x ∈ ∂Ω . uglich aller Koordinatenrichtungen periodisch mit Dabei sei λ : Rd → R bez¨ der Periode 1 und es sei weiter vorausgesetzt, dass λ0 , λ1 ∈ R existieren mit 0 < λ0 < λ(y) ≤ λ1

f¨ ur alle y ∈ Rd .

Der Diﬀusionskoeﬃzient in (P ε ) variiert also f¨ ur kleine ε, und wir wollen ein Grenzproblem f¨ ur ε → 0 identiﬁzieren. Dazu betrachten wir folgenden Zweiskalenansatz (wie schon in Aufgabe 1.10) (6.21) uε (x) = u0 x, xε + ε u1 x, xε + ε2 u2 x, xε + · · · mit u i : Ω × Rd → R ,

i = 0, 1, 2, . . .

ur alle x ∈ Ω periodisch bez¨ uglich aller Koordinaten in y mit wobei ui (x, y) f¨ Periode 1 sei. Wir setzen diesen Ansatz in (P ε ) ein und da 1 ∇ ui x, xε = ∇y ui x, xε + ∇x ui x, xε ε gilt, erhalten wir zu den Ordnungen O(ε−2 ), O(ε−1 ) und O(1) 0 = −∇y · (λ(y)∇y u0 (x, y)) ,

(6.22)

0 = −∇y · (λ(y)∇y u1 (x, y)) − ∇y · (λ(y)∇x u0 (x, y)) − ∇x · (λ(y)∇y u0 (x, y)) ,

(6.23)

f (x) = −∇y · (λ(y)∇y u2 (x, y)) − ∇y · (λ(y)∇x u1 (x, y)) − ∇x · (λ(y)∇y u1 (x, y)) − ∇x · (λ(y)∇x u0 (x, y)) .

(6.24)

326

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Die Gleichung (6.22) besitzt, da u0 (x, ·) periodisch ist, nur L¨osungen, die bez¨ uglich y konstant sind. Das folgt zum Beispiel mit Hilfe eines Energiearguments: Multiplizieren wir (6.22) mit u0 (x, ·), so erhalten wir nach Integration u ¨ ber Y = [0, 1]d und Anwendung des Satzes von Gauß λ(y)|∇y u0 (x, y)|2 dy = 0 f¨ ur alle x ∈ Ω . (6.25) Y

Die Randintegrale bei der partiellen Integration verschwinden hier wegen der periodischen Randbedingungen. Da λ positiv ist, folgt also u0 (x, y) = u(x) f¨ ur alle x ∈ Ω mit einer Funktion u : Ω → R. Unser Ziel ist es, eine Gleichung f¨ ur u herzuleiten. Die Gleichung (6.23) vereinfacht sich zu −∇y · (λ(y)∇y u1 (x, y)) = ∇y λ(y) · ∇x u(x) =

d

∂yi λ(y) ∂xi u(x) .

i=1

F¨ ur alle x ∈ Ω haben wir also eine lineare partielle Diﬀerentialgleichung zu l¨ osen, um u1 (x, ·) zu bestimmen. Da die rechte Seite der Diﬀerentialgleichung sich als Summe schreiben l¨ asst, machen wir f¨ ur u1 den Ansatz u1 (x, y) =

d

v (i) (x, y) ,

i=1

ur alle x ∈ Ω die Gleichung wobei v (i) f¨ −∇y · λ(y)∇y v (i) (x, y) = ∂yi λ(y) ∂xi u(x)

(6.26)

in Y mit periodischen Randbedingungen l¨ ost. Die Produktstruktur der rechten ahlen Seite legt nahe, v (i) wie folgt zu w¨ v (i) (x, y) = g (i) (x) h(i) (y) + f (i) (x) mit

g (i) (x) = −∂xi u(x)

und L¨ osungen h(i) , i = 1, . . . , d, der Diﬀerentialgleichungen −∇y · λ(y)∇y h(i) (y) = −∂yi λ(y) .

(6.27)

Der Diﬀerentialoperator auf der linken Seite besitzt konstante Funktionen als einzige periodische homogene L¨ osungen. Aus der Fredholmschen Alternative (siehe Alt [4] und Evans [36]) folgt, dass es nur dann eine periodische L¨osung von (6.27) gibt, falls die rechte Seite bez¨ uglich des L2 –Skalarprodukts senkrecht auf allen homogenen L¨ osungen steht. Dies impliziert die Forderung

6.1 Elliptische Gleichungen

327

∂yi λ(y) dy = 0

mit Y = [0, 1]d .

Y

Da λ periodisch ist, verschwindet das Integral, und die Existenz einer L¨osung ist gesichert. Wir erhalten somit eine L¨ osung u1 (x, y) = −

d

h(i) (y) ∂xi u(x) + u 1 (x)

i=1

mit einer beliebigen Funktion u 1 : Ω → R. Aus Gleichung (6.24) folgt dann −∇y · (λ(y)∇y u2 (x, y)) = f (x) + ∇y · (λ(y)∇x u1 (x, y)) + ∇x · (λ(y)∇y u1 (x, y)) + ∇x · (λ(y)∇x u(x)) . Als L¨ osbarkeitsbedingung ergibt sich wieder, dass das Integral der rechten Seite u ¨ ber Y verschwinden muss. Wir erhalten unter Ausnutzung der Periodizit¨at von λ und u1 (x, ·) f (x) = f (x) dy Y =− ∇x · (λ(y)∇y u1 (x, y)) dy − ∇x · (λ(y)∇x u(x)) dy Y

=

d

Y

∇x · ∂xi u(x) λ(y)∇y h(i) (y) dy − λ(y) dy ∆u(x) . Y

i=1

Y

Deﬁnieren wir eine Matrix K = (kij ) mit kij = λ(y) dy − λ(y) ∂yi hj (y) dy , Y

so l¨ ost u 0

(P )

*

Y

−∇ · (K∇u(x)) = f (x) in Ω , u=0 auf ∂Ω .

(P 0 ) heißt homogenisiertes Problem zu (6.27). Die L¨osung u = u0 des homogenisierten Problems ist eine gute Approximation der L¨osung uε des Problems mit Skala ε, falls ε klein ist. Die elliptische Diﬀerentialgleichung (6.27) zusammen mit periodischen Randbedingungen nennt man das zugeh¨orige Korrektorproblem. Aus den L¨ osungen des Korrektorproblems kann man eine verbesserte Approximation uε,1 (x) = u0 (x) + ε u1 (x, x/ε) der L¨ osung des urspr¨ unglichen Problems konstruieren. Insbesondere approximieren partielle Ableitungen erster Ordnung von uε,1 die entsprechenden partiellen Ableitungen von uε ,

328

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

∂xj uε,1 (x) ∼ ∂xj uε (x) , was f¨ ur u0 im Allgemeinen nicht gelten kann. Dies wird schon durch den Ansatz (6.21) angedeutet: F¨ ur uε (x) ∼ u0 (x) + ε u1 (x, x/ε) gilt ∂xi uε (x) ∼ ∂xi u0 (x) + ∂yi u1 (x, y)|y=x/ε , so dass u1 f¨ ur eine Approximation der Ableitungen wesentlich ist. Bemerkungen 1. K h¨ angt nicht von x ab und ist im Allgemeinen nicht diagonal. 2. Betrachten wir Medien, die nur in einer Richtung variieren, etwa λ(y) = λ(y1 )

f¨ ur alle y = (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd ,

so liefert das Korrektorproblem (6.27) nur f¨ ur h1 nichtkonstante L¨osungen. 1 Wir erhalten h (y1 , . . . , yd ) = h(y1 ), wobei eine h periodische L¨osung von

−(λh ) = −λ ist. Es folgt h(y1 ) = y1 − c

0

y1

1 dz λ(z)

mit

1

c= 0

Folglich ist K eine Diagonalmatrix mit 1 −1 1 1 K11 = und Kii = λ(z) dz dz 0 λ(z) 0

1 dz λ(z)

f¨ ur

−1 .

i = 2, . . . , d .

In der x1 -Richtung erhalten wir also nicht den arithmetischen Mittelwert, sondern den harmonischen Mittelwert. Dieses Resultat erh¨alt man mit ¨ etwas anderen Uberlegungen auch aus Aufgabe 5.19. Tats¨achlich ist die Diﬀusionskonstante K11 im Allgemeinen kleiner als der Mittelwert. Dies folgt mit Hilfe der Cauchy–Schwarz–Ungleichung wie folgt 1 1/2 1 1/2 1 1 1 √ 1= λ(z) dz ≤ λ(z) dz . dz λ(z) 0 0 0 λ(z) Da in der Cauchy–Schwarz–Ungleichung die Gleichheit nur dann gilt, wenn die Faktoren linear abh¨ angig sind, folgt im Fall eines nicht konstanten λ 1 −1 1 1 K11 = < λ(z) dz = Kii f¨ ur i = 2, . . . , d . dz 0 λ(z) 0 Die Diﬀusion in x1 –Richtung ist demnach langsamer als die Diﬀusion in den anderen Koordinatenrichtungen.

6.1 Elliptische Gleichungen

329

6.1.7 Optimale Steuerung elliptischer Diﬀerentialgleichungen In Abschnitt 4.8 haben wir die optimale Steuerung gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen behandelt. Wie wir gesehen haben, f¨ uhren viele Anwendungen allerdings auf Modelle, die mit Hilfe partieller Diﬀerentialgleichungen formuliert werden. Daher ist die Steuerung von Prozessen, die durch partielle Differentialgleichungen modelliert werden, von großem praktischen Interesse. In diesem Buch werden nur einige wenige Aspekte dargestellt, und wir verweisen auf die B¨ ucher von Tr¨ oltzsch [120] und Lions [84] f¨ ur weitere Informationen u ¨ ber die optimale Steuerung partieller Diﬀerentialgleichungen. Wir wollen einfache Steuerungsprobleme behandeln, bei denen es darum geht, die Temperaturverteilung in einer Menge Ω ⊂ Rd zu steuern. Die Temperatur sei durch eine geeignet skalierte Variable y : Ω → R beschrieben, und wir wollen die Temperatur in Ω steuern, indem wir den K¨orper Ω etwa durch elektromagnetische Induktion oder Mikrowellen aufheizen. Die gezielte Steuerung der Temperatur durch Mikrowellen ist zum Beispiel eine M¨oglichkeit der W¨ armebehandlung (Hyperthermie) von Tumoren. In einem einfachen Fall wollen wir eine gegebene Temperaturverteilung z : Ω → R erreichen. Es sei nun m¨ oglich, W¨ armequellen im K¨orper gezielt zu erzeugen, wobei die W¨ armequellen durch eine Funktion u : Ω → R gegeben seien. Unser Ziel ist es, folgendes Problem zu l¨osen (P1 ) Minimiere F (y, u) :=

1 2

(y(x) − z(x))2 dx +

Ω

α 2

u2 (x) dx

Ω

unter den Nebenbedingungen −∆y = u in

Ω,

y = 0 auf ∂Ω , u− (x) ≤ u(x) ≤ u+ (x)

(6.28) (6.29) f¨ ur alle x ∈ Ω .

Dabei seien u"− , u+ : Ω → R ∪ {−∞, ∞} mit u− ≤ u+ gegebene Funktionen. ucksichtigt anfallende Energiekosten f¨ ur Heizen Der Term α2 Ω u2 (x) dx ber¨ und Abk¨ uhlen. Die Ungleichungsnebenbedingungen an die Steuerung u : Ω → R spiegeln beschr¨ankte Aufheizungs- beziehungsweise Abk¨ uhlungskapazit¨aten wieder. Tats¨ achlich sind in der Praxis auch Ungleichungsnebenbedingungen an den Zustand y sinnvoll – man denke etwa an den Krebspatienten, der sich einer W¨ armebehandlung unterzieht. Diese Nebenbedingungen f¨ uhren auf maßwertige Lagrange–Multiplikatoren und sollen hier nicht weiter behandelt werden, sie werden z.B. in Casas [17] betrachtet. H¨ auﬁg ist es realistischer, die Temperatur durch eine Steuerung am Rand zu kontrollieren. In diesem Fall geben wir eine Temperatur im umgebenden Medium vor und nehmen an, dass der W¨ armeverlust am Rand proportional

330

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

zur Temperaturdiﬀerenz am Rand ist, vgl. (6.3). Es sei u : ∂Ω → R die Temperatur des umgebenden Mediums am Rand von Ω und a : ∂Ω → R sei der W¨ armetransferkoeﬃzient, vgl. (6.3). Wir betrachten u : ∂Ω → R als Steuergr¨ oße und wollen folgende Aufgabe l¨ osen. (P2 ) Minimiere F (y, u) :=

1 2

(y(x) − z(x))2 dx +

Ω

α 2

u2 (x) dsx

∂Ω

unter den Nebenbedingungen −∆y = 0 −∇y · n = a(y − u)

in Ω , auf ∂Ω ,

u− (x) ≤ u(x) ≤ u+ (x)

(6.30) (6.31)

f¨ ur alle x ∈ ∂Ω .

Dabei sind u− , u+ : ∂Ω → R ∪ {−∞, ∞} mit u− ≤ u+ gegebene Funktionen auf ∂Ω. Wir wollen wie im Fall der optimalen Steuerung bei gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen nun notwendige Bedingungen f¨ ur L¨osungen obiger Steuerungsprobleme herleiten. Dabei werden wir auf formalem Niveau argumentieren und wir verweisen auf das Buch von Tr¨ oltzsch [120] f¨ ur eine rigorose Herleitung. Wir leiten die notwendigen Bedingungen zun¨achst f¨ ur das Problem (P1 ) her. Analog zum Fall der optimalen Steuerung gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen multiplizieren wir die Nebenbedingung ∆y + u = 0 mit einem Lagrange– Multiplikator p, integrieren und addieren den entstehenden Term zum Funktional F . Wir erhalten die Lagrange–Funktion L(y, u, p) = F (y, u) − (−∆y − u) p dx . Ω

Setzen wir nun voraus, dass p einmal diﬀerenzierbar ist und am Rand verschwindet, so ergibt sich nach partieller Integration L(y, u, p) = F (y, u) − (∇y · ∇p − up) dx . Ω

Dabei kann L als Funktional auf der Menge H01 (Ω) × L2 (Ω) × H01 (Ω) deﬁ¨ niert werden. Motiviert durch unsere Uberlegung im Fall gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen vermuten wir, dass wir die notwendigen Bedingungen an eine L¨ osung (y, u) von (P1 ) mit Hilfe eines adjungierten Zustands (Lagrange– Multiplikators) p sowie mit Hilfe der ersten Variation der Lagrange–Funktion formulieren k¨ onnen. Wir erhalten in Analogie zum Fall bei gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen:

6.1 Elliptische Gleichungen

δL (y, u, p)(y) = 0 δy δL (y, u, p)(u − u) ≥ 0 δu δL (y, u, p)(p) = 0 δp Es folgt δL (y, u, p)(y) = δy

331

f¨ ur alle y ∈ H01 (Ω) ,

(6.32)

f¨ ur alle u ∈ L2 (Ω) mit u− ≤ u ≤ u+ ,

(6.33)

f¨ ur alle p ∈ H01 (Ω) .

(6.34)

(y(x) − z(x)) y(x) − ∇p · ∇y dx = 0

Ω

f¨ ur alle y ∈ H01 (Ω). Da wir p ∈ H01 (Ω) fordern, ist p also gerade eine schwache L¨ osung des Randwertproblems −∆p = y − z p=0 Die Bedingung

δL δp (y, u, p)

in

Ω,

auf ∂Ω .

(6.35) (6.36)

= 0 liefert (∇y · ∇p − u p) = 0 Ω

H01 (Ω)

f¨ ur alle p ∈ und somit eine schwache Formulierung des Randwertproblems (6.28), (6.29). Schließlich ergibt (6.33) (α u(x) + p(x))(u(x) − u(x)) dx ≥ 0

(6.37)

Ω

f¨ ur alle u mit u− (x) ≤ u(x) ≤ u+ (x), x ∈ Ω. Diese Variationsungleichung besagt gerade, dass die zul¨ assige Kontrolle u sich gerade als L2 –Projektion von α1 p auf die Menge der zul¨ assigen Kontrollen ergibt, vgl. Aufgabe 6.7. Es kann nun gezeigt werden (siehe Aufgabe 6.9), dass (6.37) genau dann gilt, wenn punktweise die folgende Variationsungleichung erf¨ ullt ist: (α u(x) + p(x))(v − u(x)) ≥ 0

f¨ ur alle v ∈ [u− (x), u+ (x)] .

(6.38)

Nun l¨ asst sich die letzte Aussage wie folgt uminterpretieren (Aufgabe 6.8). Die Abbildung v → p(x)v + α2 v 2 (6.39) nimmt ihr Minimum im Punkte u(x) an. Im Fall einer Maximierungsaufgabe bei der optimalen Steuerung gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen haben wir das Pontrjaginsche Maximumprinzip diskutiert. H¨atten wir statt eines Maximums ein Minimum gesucht, so h¨ atten wir ein entsprechendes Minimumprinzip formulieren k¨onnen. Im Fall des Steuerungsproblems (P1 ) gilt nun analog ein Minimumprinzip. Um die Analogie herauszuarbeiten, deﬁnieren wir die Hamiltonfunktion H(u, p) = pu + α2 u2 .

332

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Satz 6.13. Eine schwache L¨osung (y, u) ∈ H01 (Ω) × U von (6.28), (6.29) mit U = {u ∈ L2 (Ω) | u− (x) ≤ u(x) ≤ u+ (x) f¨ ur fast alle x ∈ Ω} l¨ost (P1 ), genau dann wenn ein adjungierter Zustand p ∈ H01 (Ω) existiert, der das Randwertproblem −∆p = y − z p=0

in Ω , auf ∂Ω

im schwachen Sinne l¨ost und das Minimumprinzip H(u(x), p(x)) =

min

v∈[u− (x),u+ (x)]

H(v, p(x))

gilt. F¨ ur einen Beweis dieser Aussage verweisen wir auf das Buch von Tr¨oltzsch [120]. In diesem Fall sind die formulierten Bedingungen sogar hinreichend. Das Problem (P1 ) ist aufgefasst als Minimierungsaufgabe f¨ ur u strikt konvex und diese Tatsache ist daf¨ ur verantwortlich, dass die obige Charakterisierung von kritischen Punkten nur eine L¨ osung zul¨ asst, die dann ein Minimum sein muss. Die Steuerungsprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen, wie wir sie in Kapitel 4 behandelt haben, sind im Allgemeinen nicht konvex und die Menge der kritischen Punkte kann groß sein. Insbesondere k¨onnen viele Maxima beziehungsweise Minima auftreten. Zum Abschluss wollen wir noch kurz skizzieren, wie wir das Problem (P2 ) behandeln k¨ onnen. Wir wollen an F2 die Nebenbedingungen (6.30) und (6.31) mittels Lagrange–Multiplikatoren anbinden. Dazu w¨ahlen wir eine Funktion p1 : Ω → R und berechnen ∆y p1 dx = − ∇y · ∇p1 dx + (∇y · n) p1 dsx . Ω

Ω

∂Ω

Die zweite Nebenbedingung binden wir mit einer Funktion p2 : ∂Ω → R mit Hilfe des Ausdrucks (−∇y · n − a(y − u))p2 dsx ∂Ω

an. Als Lagrange-Funktion ergibt sich L(y, u, p1 , p2 ) = F (y, u) − ∇y · ∇p1 dx + (∇y · n)(p1 − p2 ) dsx Ω ∂Ω − a(y − u)p2 dsx . ∂Ω

Die Bedingung

C0∞ (Ω)

= 0 f¨ ur y ∈ liefert (y(x) − z(x)) y(x) dx − ∇p1 · ∇y dx = 0 . δL δy (y, u, p1 , p2 )(y)

Ω

Ω

6.1 Elliptische Gleichungen

333

Demnach ist p1 schwache L¨ osung der elliptischen Diﬀerentialgleichung −∆p1 = y − z

in Ω .

ur Funktionen y, f¨ ur die y = 0 oder Betrachten wir δL δy (y, u, p1 , p2 )(y) = 0 f¨ ∇y · n = 0 auf ∂Ω gilt, so ergibt sich, falls p1 glatt genug ist, mittels partieller Integration y(x) − z(x) + ∆p1 (x) y(x) dx − (∇p1 · n) y dsx Ω ∂Ω (6.40) + (∇y · n)(p1 − p2 ) dsx − a y p2 dsx = 0 . ∂Ω

∂Ω

Das erste Integral verschwindet, da der Integrand Null ist. W¨ahlen wir Testfunktionen y mit y = 0 auf ∂Ω, so k¨ onnen wir immer noch ∇y · n frei w¨ahlen und es folgt p1 = p2 auf ∂Ω . Wir deﬁnieren nun p := p1 und es gilt p = p2 auf ∂Ω. Da y auf ∂Ω frei gew¨ahlt werden kann, folgt aus (6.40) −∇p · n = ap auf ∂Ω . Der adjungierte Zustand ist also schwache L¨ osung des Randwertproblems −∆p = y − z −∇p · n = ap

in Ω , auf ∂Ω .

F¨ ur Problem (P2 ) kann nun ein Minimumprinzip analog zu Satz 6.13 formuliert werden. Die Details sind in Aufgabe 6.10 auszuarbeiten. 6.1.8 Parameteridentiﬁzierung und inverse Probleme In den in diesem Buch diskutierten mathematischen Modellen tauchen stets ein oder mehrere Parameter auf. F¨ ur viele Anwendungsgebiete ist es charakteristisch, dass die auftretenden Parameter sich selten quantitativ oder qualitativ befriedigend herleiten lassen. So ist die genaue Struktur eines Mediums, sei es der Erdboden, der menschliche K¨ orper oder ein aus der Schmelze gegossenes Metallst¨ uck, unbekannt. Es ist daher notwendig, die Parameter eines Modells zu identiﬁzieren beziehungsweise m¨ oglichst genau zu sch¨atzen. Wir wollen in diesem Abschnitt kurz relevante Fragestellungen diskutieren und Probleme, die bei ihrer mathematischen Behandlung auftreten, aufzeigen. Wir betrachten einen station¨ aren W¨ armeleitungsprozess in einem K¨orper, der armequelle f : Ω → R wirkt und ein Gebiet Ω ⊂ Rd einnimmt, auf den eine W¨ deren Temperatur am Rand durch u0 : ∂Ω → R vorgegeben sei. Dies wird durch folgendes Randwertproblem beschrieben:

334

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

−∇ · (λ(x)∇u(x)) = f (x) u(x) = u0 (x)

f¨ ur x ∈ Ω , f¨ ur x ∈ ∂Ω .

Wir gehen nun davon aus, dass wir den W¨armeleitungskoeﬃzienten λ : Ω → R nicht kennen. Da der betrachtete K¨orper im Allgemeinen nicht r¨ aumlich homogen ist, wird λ von der Raumvariablen x abh¨angen. Kennen wir bei gegebenem f und u0 eine Temperaturverteilung z durch Messungen, so stellt sich die Frage, ob der W¨ armeleitungskoeﬃzient λ durch z schon bestimmt ist. Im Allgemeinen ist die Antwort negativ wie das Beispiel u0 ≡ 0, f ≡ 0 zeigt. In diesem Fall ist u ≡ 0 L¨ osung f¨ ur beliebige W¨armeleitungskoeﬃzienten λ. Die Fragestellung, die Daten eines Problems aus der Kenntnis einer oder mehrerer L¨ osungen zu rekonstruieren, ist ein typisches inverses Problem. Die L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung zu bestimmen, ist das direkte Problem beziehungsweise das urspr¨ unglich studierte Problem und die Umkehrung dieses Problems, n¨ amlich aus der L¨ osung etwas u ¨ ber die Problemstellung zu schließen, wird dann das inverse Problem genannt. Inverse Probleme sind h¨auﬁg schlecht gestellte Probleme, das bedeutet, eine der folgenden Bedingungen •

es existiert eine L¨ osung,

•

die L¨ osung ist eindeutig,

•

die L¨ osung h¨ angt stetig von den Daten ab

ist verletzt. Diese drei Bedingungen forderte Hadamard, damit man von einem gut gestellten Problem sprechen kann. Auf einen Aspekt sei hier noch hingewiesen. Existiert stets eine eindeutige L¨osung, h¨angt diese aber unstetig von den Daten ab, so hat dies schwerwiegende Konsequenzen. Wollen wir diese L¨ osung approximativ, zum Beispiel mit Hilfe eines numerischen Verfahrens, berechnen, so sind wir zum Scheitern verurteilt, da L¨osungen zu leicht ver¨ anderten Daten weit von der gesuchten L¨ osung entfernt liegen k¨onnen, das Problem ist instabil. In diesem Fall werden sogenannte Regularisierungstechniken angewendet, die das Problem leicht“ ver¨andern und dabei Stabilit¨at ” liefern sollen. Wir wollen die unstetige Abh¨ angigkeit von den Daten an einem Beispiel erl¨ autern. Dazu betrachten wir folgendes eindimensionales Diﬀusionsproblem ¨ in Abschnitt 6.1.4 u auf Ω = (0, 1) und erinnern uns an die Uberlegungen ¨ ber Homogenisierung: d dx (λ(x)u (x))

=0 u(0) = 0 ,

f¨ ur x ∈ (0, 1) , u(1) = 1 .

Der Fluss q(x) = −λ(x)u (x) ist also konstant in Ω und wir bezeichnen diese Konstante mit q. Wir erhalten u (x) = −

q λ(x)

6.1 Elliptische Gleichungen

335

und somit unter Ausnutzung der Randbedingung f¨ ur x = 0 x 1 dy . u(x) = −q 0 λ(y) Da u(1) = 1 gelten muss, folgt q=−

1

0

1 dy λ(y)

−1 .

Betrachten wir nun wie im Kapitel u ur ε = ¨ ber Homogenisierung f¨ Funktionen mit λ : R → R 1–periodisch λε (x) = λ xε so erhalten wir als L¨ osung von d d ε ε dx λ (x) dx u (x) = 0 uε (0) = 0 , die Funktion "x ε

u (x) =

1 0 λε (y) "1 1 0 λε (y)

dy dy

=

" nx

0

0

Da λ periodisch ist, bleibt erhalten mit u(x) = x uε → u

f¨ ur

" nx 0

ε→0

1 λ(y)

n ∈ N,

f¨ ur x ∈ (0, 1) , uε (1) = 1 ,

" nx

1 λ(y) dy "n 1 0 λ(y) dy

1 n,

=x+

dy − xn

"1

"1 dy − xn 0 "1 1 n 0 λ(y) dy

1 λ(y)

1 0 λ(y)

1 λ(y)

dy

.

dy beschr¨ankt, und wir

gleichm¨ aßig im Intervall [0, 1] .

aßig, obwohl λε , falls λ nicht konstant Das bedeutet, uε konvergiert gleichm¨ ist, noch nicht einmal punktweise fast u ¨ berall konvergiert. Ob ein Problem schlecht gestellt ist oder nicht, h¨angt auch von der Wahl der Normen beziehungsweise Funktionenr¨ aume ab, oder noch allgemeiner der Topologien, bez¨ uglich der die stetige Abh¨ angigkeit gemessen wird. Im obigen Beispiel gilt zum Beispiel lim uε = u im Raum L∞ (0, 1), jedoch nicht in ε→0

H 1 (0, 1). Weiterhin kann man zeigen, dass λε zwar nicht in L2 (Ω), wohl aber im Dualraum zu H 1 (0, 1) konvergiert. Inverse Probleme zeichnen sich jedoch dadurch aus, dass die Normen, bez¨ uglich derer das Problem gut gestellt ist, im Vergleich zu den in der Praxis vorhandenen Datenfehlern viel zu stark sind, da letztere h¨ochstens in der L2 – oder der L∞ –Norm abgesch¨atzt werden k¨ onnen. Wie kann das Problem der Parameteridentiﬁkation behandelt werden? Eine Variante f¨ uhrt auf Problemstellungen ganz ¨ ahnlich wie im Abschnitt u ¨ ber optimale Steuerung. Ein erster Vorschlag w¨ are das folgende Problem zu l¨osen.

336

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

(Q) Minimiere F (u, λ) =

1 2

(u(x) − z(x))2 dx

Ω

unter den Nebenbedingungen −∇ · (λ(x)∇u(x)) = f (x) u(x) = u0 (x)

f¨ ur x ∈ Ω , f¨ ur x ∈ ∂Ω

aßig positiv . Dabei u bez¨ uglich λ ∈ µ ∈ L∞ (Ω) | µ gleichm¨ ¨ bernimmt λ die Rolle der Steuerung. Da es sich hier nur um eine ¨ aquivalente Umformulierung der urspr¨ unglichen Aufgabenstellung handelt, ist Problem (Q) im Allgemeinen ebenfalls schlecht gestellt. Eine Strategie, trotzdem eine L¨ osung zu ermitteln, besteht darin, zu einem benachbarten“ Problem u ¨ berzugehen, das korrekt gestellt ist. Dies ” nennt man Regularisierung. Dadurch wird der Modell- beziehungsweise Approximationsfehler zwar vergr¨ oßert, die Fortpﬂanzung von Datenfehlern aber vermindert. Es wird also darauf ankommen, einen optimalen Ausgleich“ zwi” schen den Fehlergr¨ oßen zu erreichen. Regularisierung bei (Q) erfolgt etwa durch Einschr¨ ankung der zul¨ assigen Menge f¨ ur λ. Hilfreich sind hier zum Beispiel die Kenntnis von Schranken 0 < λ, λ so dass ur fast alle x ∈ Ω λ ≤ λ(x) ≤ λ f¨

(6.41)

oder weitere qualitative a priori Informationen. Regularisierung kann auch durch Diskretisierung erfolgen, also durch Einschr¨ankung von λ auf einen endlichdimensionalen Vektorraum. Verwandt zur Einschr¨ankung durch L∞ – Schranken ist die sogenannte Tichonov–Regularisierung. Diese addiert zum Zielfunktional F einen quadratischen Term. Wir erhalten zum Beispiel 1 Fr (u, λ) = 2 (u(x) − z(x))2 dx + α2 λ2 , Ω

wobei · eine geeignete Norm ist. Im Fall des obigen Diﬀusionsproblems muss die Norm so stark gew¨ ahlt werden, dass sie die Supremumsnorm von λ kontrolliert. Eine m¨ ogliche Norm ist die L∞ –Norm und in drei Raumdimensionen ahlt werden. Die Norm uH 2 ist a¨quivalent kann die Sobolevnorm .H 2 gew¨ zur Summe der L2 –Normen von u, ∇u, D2 u. Tats¨achlich ist die Regularisierung mit solch hohen Sobolevnormen nur eine Kr¨ ucke und kann in der Praxis nur eingeschr¨ ankt empfohlen werden. Wichtig ist die Positivit¨at des W¨armeleitkoeﬃzienten zu garantieren. Das kann zum Beispiel durch eine Nebenbedingung (6.41) erfolgen und in diesem Fall reicht als Tichonov–Regularisierung anktheit von λ durch die Nebenbedingunschon die L2 –Norm, da die Beschr¨ gen garantiert wird. Auf Grund der obigen Bemerkungen u ¨ ber das Verhalten der verschiedenen Fehlertypen ist keine Konvergenz f¨ ur α → 0 zu erwarten. Vielmehr gibt es zu gegebenem Datenfehlerniveau einen optimalen Regularisierungsparameter α. F¨ ur weitere Informationen u ¨ ber Parametersch¨atzung

6.1 Elliptische Gleichungen

337

bei partiellen Diﬀerentialgleichungen verweisen wir auf das Buch von Banks und Kunisch [10]. Regularisierungstechniken werden ausf¨ uhrlich im Buch von Engl, Hanke und Neubauer [33] behandelt. 6.1.9 Lineare Elastizit¨ atstheorie Wir wollen nun einige Aspekte der Analysis der Grundgleichungen der linearen Elastostatik diskutieren. Dazu betrachten wir ein Randwertproblem −∇ · σ(u) = f

(6.42)

in einem beschr¨ ankten Gebiet Ω ⊂ Rd mit Randbedingungen u = u0 auf dem Rand ∂Ω. Dabei ist u das Verschiebungsfeld, σ der Spannungstensor und f eine volumenbezogene Dichte der ¨ außeren Kr¨ afte. Der Spannungstensor sei durch das Hookesche Gesetz gegeben, σij (u) =

d

aijk εk (u) ,

k, =1

wobei εij (u) = 12 (∂i uj + ∂j ui ) die Komponenten des linearisierten Verzerullen die rungstensors sind. Die Koeﬃzienten aijk seien beschr¨ankt und erf¨ Symmetriebeziehung aijk = ajik = ak ij . Weitere Informationen zum Modell sind in Abschnitt 5.10 zu ﬁnden. Durch Skalarmultiplikation der Gleichung (6.42) mit einer Testfunktion v und Integration u alt man nach partieller Integration die schwache For¨ ber Ω erh¨ mulierung: ur alle v ∈ H 1 (Ω)d mit Finde ein u ∈ H 1 (Ω)d mit u = u0 auf ∂Ω, so dass f¨ v = 0 auf ∂Ω gilt σ(u) : Dv dx = f · v dx . Ω

Ω

Die linke Seite hier lautet f¨ ur ein linear elastisches Material a(u, v) =

σ(u) : Dv dx =

Ω

=

d

aijk εk (u)∂xj vi dx

Ω i,j,k, =1 d

Ω i,j,k, =1

aijk εk (u) εij (v) dx =

d

Ω i,j,k, =1

aijk ∂x uk ∂xj vi dx .

Die letzten beiden Gleichungen folgen aus der Symmetrie aijk = ajik = aij k . Es handelt sich bei der Abbildung (u, v) → a(u, v) um eine Bilinearform auf dem Raum H 1 (Ω)d . Eine Bilinearform ist eine Funktion, die zwei Elemente eines Vektorraums V auf eine reelle Zahl abbildet, und die linear in jedem der beiden Argumente ist, das heißt

338

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

a(αu+βv, w) = α a(u, w)+β a(v, w) und a(u, αv+βw) = α a(u, v)+β a(u, w) f¨ ur alle u, v, w ∈ V und alle α, β ∈ R. Aufgrund der Symmetriebedingung aijk = ak ij ist die Bilinearform der linearen Elastizit¨at symmetrisch, es gilt also a(u, v) = a(v, u). Wie wir schon gesehen haben, ist eine wichtige m¨ogliche Eigenschaft einer Bilinearform die positive Deﬁnitheit a(u, u) ≥ 0, a(u, u) = 0 ⇔ u = 0 . Eine symmetrische, positiv deﬁnite Bilinearform deﬁniert ein Skalarprodukt. Die positive Deﬁnitheit der Bilinearform aus der schwachen Formulierung eines Diﬀerentialgleichungssystems ist die charakteristische Eigenschaft eines elliptischen Systems: Ein Diﬀerentialoperator ⎛

d

u → ⎝−

⎞d ∂xj bijk ∂x uk ⎠

j,k, =1

i=1

ist genau dann elliptisch, wenn die zugeh¨ orige Bilinearform b(u, v) =

d

Ω i,j,k, =1

bijk ∂x uk ∂xj ui dx

positiv deﬁnit ist. Die Bilinearform der Elastostatik ist positiv deﬁnit, wenn die Koeﬃzienten des Hookeschen Tensors die Bedingung (5.51) erf¨ ullen: Es folgt dann d |εij (u)|2 dx a(u, u) ≥ a0 Ω i,j=1

und die positive Deﬁnitheit von a(·, ·) ist dann a¨quivalent zur Eigenschaft

d

|εij (u)|2 dx = 0 genau dann wenn u = 0 .

Ω i,j=1

Die Bedingung auf der linken Seite ist a ur alle i, j = ¨quivalent zu εij (u) = 0 f¨ 1, . . . , d. Dies ist wiederum a quivalent dazu, dass u ein Element der Menge ¨ der linearisierten Starrk¨orperverschiebungen ist,

R = x → Bx + a B ∈ Rd,d , B = −B, a ∈ Rd,d . Ist n¨ amlich u ∈ R, dann gilt oﬀensichtlich εij (u) = 12 (bij + bji ) = 0. Gilt umgekehrt εij (u) = 0 f¨ ur alle i, j, dann folgt ∂i uj = −∂j ui und damit ∂i ∂j uk = −∂i ∂k uj = ∂k ∂j ui = −∂j ∂i uk .

6.1 Elliptische Gleichungen

339

Es folgt also ∂i ∂j uk = −∂i ∂j uk und ∂i ∂j uk = 0 f¨ ur alle i, j, k. Ist Ω zusammenh¨ angend, so ist u dann eine aﬃne Funktion, u(x) = Bx + a mit B ∈ Rd,d , a ∈ Rd . Aus εij (u) = 12 (bij + bji ) = 0 f¨ ur alle i, j folgt dann, dass B schiefsymmetrisch ¨ ist, B = −B. Aus diesen Uberlegungen kann man mit einigen Hilfsmitteln aus der Funktionalanalysis das folgende wichtige Resultat erhalten: Satz 6.14. (Kornsche Ungleichung) Es sei Ω ⊂ Rd ein beschr¨anktes, zusammenh¨angendes Gebiet mit glattem Rand ∂Ω. Dann existieren Konstanten c0 , c1 , c2 , so dass (i)

d

2

|εij (u)| dx ≥ c0

Ω i,j=1

2 |u| + |Du|2 dx f¨ ur alle u ∈ H 1 (Ω)d mit

Ω

u = 0 auf ∂Ω. d |εij (u)|2 dx + c1 |u|2 dx ≥ c2 |Du|2 dx f¨ ur alle u ∈ H 1 (Ω)d . (ii) Ω i,j=1

Ω

Ω

Die Konstanten c0 , c1 , c2 h¨angen dabei vom Gebiet Ω ab. Beweis. Wir zeigen die Kornsche Ungleichung f¨ ur den Fall (i) unter der verur einen einfachenden Annahme, dass u in H 2 (Ω) liegt, siehe Zeidler [127] f¨ Beweis in der allgemeinen Situation. Durch zweifache partielle Integration folgt wegen der Randbedingung u = 0 auf ∂Ω leicht ∂i uj ∂j ui dx = ∂i ui ∂j uj dx . Ω

Damit gilt d Ω i,j=1

2

Ω

d 1 (∂i uj )2 + (∂j ui )2 + 2 ∂i uj ∂j ui dx Ω 4 i,j=1 ⎡ ⎞⎤ d ⎛ d d 1⎣ (∂i uj )2 + ∂i ui ⎝ ∂j uj ⎠⎦ dx = 2 Ω i,j=1 i=1 j=1 = 12 Du2L2(Ω) + ∇ · u2L2 (Ω) ≥ 12 Du2L2 (Ω) .

|εij (u)| dx =

Aus der Poincar´e–Ungleichung ϕL2 (Ω) ≤ cP DϕL2 (Ω)

f¨ ur alle ϕ ∈ H 1 (Ω)

mit einer vom Gebiet Ω abh¨ angigen Konstante cP folgt dann: 1 1 u2L2(Ω) + Du2L2(Ω) , ε(u)2L2 (Ω) ≥ Du2L2 (Ω) ≥ 2 2(1 + c2P ) das ist die Kornsche Ungleichung mit c0 = 1/(2(1 + c2P )).

340

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Wie der Name schon andeutet, kann die Menge R der linearisierten Starrk¨orperverschiebungen aufgefasst werden als Menge der Linearisierungen aller echten“ Starrk¨ orperverschiebungen ” x → (Q − I)x , wo Q eine orthogonale Matrix mit Determinante det Q = 1 ist. Zur Erl¨auterung des Zusammenhangs zwischen der Matrix Q und der schiefsymmetrischen Matrix B betrachten wir eine Schar von orthogonalen Matrizen Qδ , δ ∈ R, die f¨ ur δ → 0 gegen die Einheitsmatrix I konvergieren und sich dabei asymptotisch wie Qδ = I + δB + O(δ 2 ) verhalten. Aus der Orthogonalit¨atsbeziehung Q δ Qδ = I folgt 0 = lim

δ→0

1 1 Qδ Qδ − I = lim δB I + δIB + O(δ 2 ) = B + B . δ→0 δ δ

In diesem Sinne k¨ onnen schiefsymmetrische Matrizen als Linearisierung von Drehmatrizen aufgefasst werden. Das Randwertproblem der Elastostatik ist ¨ aquivalent zum Optimierungsproblem

min J(u) u ∈ H 1 (Ω)d , u = u0 auf ∂Ω mit dem Funktional

⎡

⎣1

J(u) =

2

Ω

Dabei ist

d

⎤ aijk εk (u) εij (u) − f · u⎦ dx .

i,j,k, =1

Ω

1 2

d

aijk εk (u) εij (u) dx

i,j,k, =1

die im verformten K¨ orper gespeicherte elastische Energie und f · u dx Ω

die durch die Volumenkr¨ afte aufgewendete Arbeit.

6.2 Parabolische Gleichungen In diesem Abschnitt untersuchen wir als Modellbeispiel f¨ ur eine parabolische Gleichung die W¨armeleitungsgleichung ∂t u − D∆u = f

(6.43)

6.2 Parabolische Gleichungen

341

mit einer Diﬀusionskonstanten D > 0. Diese Gleichung beschreibt allgemeine Diﬀusionsprozesse. Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass eine durch u beschriebene physikalische Gr¨ oße, zum Beispiel die Temperatur oder die Konzentration einer Substanz, von Gebieten ﬂießt, in denen sie große Werte annimmt, zu Gebieten ﬂießt, in denen sie kleine Werte annimmt, . Die spezielle Form (6.43) erh¨ alt man aus dem konstitutiven Gesetz q = −D∇u f¨ ur den Fluss q der Gr¨ oße; man nimmt also an, dass der Fluss direkt proportional zum Gef¨ alle der Gr¨ oße ist, man vergleiche dazu auch (5.9). Es sind hier physikalisch auch andere, insbesondere nichtlineare konstitutive Gesetze denkbar, die auf m¨ oglicherweise nichtlineare Varianten von (6.43) f¨ uhren k¨onnen; die entsprechenden Gleichungen heißen dann ebenfalls parabolisch. Der Term f kann eine W¨ armequelle beschreiben, zum Beispiel durch elektromagnetische Strahlung (wie in der Mikrowelle), durch elektrische Str¨ome oder durch chemische Reaktionen. Bei der Spezies–Diﬀusion gibt f einen Quellterm f¨ ur die diﬀundierende Substanz an, Ursache k¨ onnten ebenfalls chemische Reaktionen sein. Bei den elliptischen Gleichungen im vorhergehenden Kapitel waren Randbedingungen notwendig, um eine sinnvolle Aufgabenstellung zu haben. Bei parabolischen Problemen sind ebenfalls Randbedingungen notwendig, zus¨atzlich ben¨ otigt man noch Anfangsbedingungen, die den Zustand des betrachteten Systems zu einem gegebenen Zeitpunkt beschreiben. Um den zeitlichen Verlauf der Temperatur in einem Gebiet zu bestimmen, muss man sowohl die Temperaturverteilung zu Beginn kennen als auch Daten zur Beschreibung der W¨ armezufuhr u ¨ ber den Rand im Verlauf des Prozesses. Die Anfangsbedinur jeden Ort des gung gibt die Werte der L¨ osung u zum festen Zeitpunkt t0 f¨ Gebietes an, u(t0 , x) = u0 (x), x ∈ Ω . Als Randbedingungen kommen dieselben Bedingungen in Frage, die wir auch schon bei den elliptischen Gleichungen hatten, n¨amlich: •

Dirichletsche Randbedingungen u(t, x) = u∂Ω (t, x) f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > t0 mit einer fest vorgegebenen Funktion u∂Ω . Dies beschreibt Vorgaben f¨ ur die Temperatur oder die Konzentration am Rand des betrachteten Gebietes.

•

Neumannsche Randbedingungen −D∇u · n = g f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > t0 . Dies sind Vorgaben f¨ ur den Fluss der Temperatur oder der Spezies. H¨auﬁg wird hier g = 0 sein; das Gebiet ist dann am Rand isoliert.

342

•

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Mischformen, insbesondere Randbedingungen der dritten Art −D∇u · n = a(u − b) f¨ ur alle x ∈ ∂Ω und t > t0 . Beim Beispiel der W¨ armeleitungsgleichung bedeutet diese Bedingung, dass der W¨ armeverlust am Rand proportional zur Diﬀerenz der Temperatur und einer vorgegebenen Umgebungstemperatur b ist; dies entspricht dem Newtonsche Abk¨ uhlungsgesetz.

Es stellt sich nun die Frage, ob die oben speziﬁzierten Randbedingungen die Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung garantieren. Es k¨onnte ja auch sein, dass mehr oder weniger Bedingungen gestellt werden m¨ ussen. Solche Fragen zu beantworten ist nat¨ urlich eine wichtige Aufgabe im Zusammenhang mit der Mathematischen Modellierung, da in der realen naturwissenschaftlichen Situation eben genau ein Zustand auftritt. Es ist f¨ ur alle drei Randbedingungen m¨ oglich, die Existenz einer eindeutigen L¨ osung zu zeigen. Die Existenz von L¨ osungen zu zeigen ist etwas aufwendiger, wir werden aber im folgenden Abschnitt einen Eindeutigkeitssatz nachweisen. 6.2.1 Eindeutigkeit von L¨ osungen, die Energiemethode Satz 6.15. Es sei Ω ⊂ Rd ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand, die Funktionen f : R+ × Ω → R, u0 : Ω → R, a, b : R+ × ∂Ω → R seien glatt und es gelte a ≥ 0. Dann hat die W¨armeleitungsgleichung ∂t u − D∆u = f mit der Anfangsbedingung ur alle x ∈ Ω u(0, x) = u0 (x) f¨ und einer der drei Randbedingungen u(t, x) = b(t, x) f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > 0 , oder −D∇u(t, x) · n(x) = b(t, x) f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > 0 , oder −D∇u(t, x) · n(x) = a(t, x)(u(t, x) − b(t, x)) f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > 0 h¨ochstens eine L¨osung. Bemerkung. Wir haben hier weder speziﬁziert, in welchem Sinn die W¨armeleitungsgleichung und die Randbedingungen gelten sollen, noch die genauen Bedingungen an die gegebenen Daten f , u0 , a, b. Der Einfachheit halber gehen wir von klassischen L¨ osungen aus. Dies bedeutet, dass alle auftauchenden Ableitungen existieren und die Diﬀerentialgleichungen und die Randbedingungen punktweise erf¨ ullt sind. Es gibt aber auch einen Eindeutigkeitssatz f¨ ur verallgemeinerte (sogenannte schwache) L¨ osungen in einem ¨ahnlichen Sinn, wie dies f¨ ur die elliptischen Gleichungen im vorherigen Abschnitt beschrieben worden ist.

6.2 Parabolische Gleichungen

343

Beweis. Der Beweis beruht auf der sogenannten Energiemethode. Die dabei auftretenden Gr¨ oßen m¨ ussen jedoch nichts mit der physikalischen Energie zu tun haben. ur deren Diﬀerenz Wir nehmen an, es g¨ abe zwei L¨ osungen u1 und u2 . F¨ w = u1 − u2 gilt dann wegen der Linearit¨ at des Problems ebenfalls eine parabolische Gleichung, ∂t w = D∆w

f¨ ur alle x ∈ Ω , t > 0 , f¨ ur alle x ∈ Ω ,

w(0, x) = 0

sowie eine der drei folgenden Bedingungen w=0 ∇w · n = 0 −D∇w · n = a w

f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > 0 , oder f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > 0 , oder

(6.44) (6.45)

f¨ ur alle x ∈ ∂Ω , t > 0 .

(6.46)

Multiplizieren wir die Gleichung ∂t w − D∆w = 0 mit w und integrieren u ¨ ber QT = (0, T ) × Ω, so erhalten wir ∂t w w − D∆w w dx dt = 0 . QT

Mit Hilfe der Gleichung ∂t w w = 12 ∂t w2 , des Satzes von Gauß und der Identit¨at ∇ · (∇w w) = ∆w w + |∇w|2 folgt T 1 2 ∂t w + D|∇w|2 dx dt − w D∇w · n dsx dt = 0 . 2 0 QT ∂Ω Der Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung und die Gleichung w(0, x) ≡ 0 implizieren 1 |w(T, x)|2 dx + D |∇w|2 dx dt 2 Ω QT ⎧ f¨ ur Bedingung (6.44) oder (6.45), ⎨0 T = ⎩−a w2 dsx dt f¨ ur Bedingung (6.46). 0

∂Ω

Es gilt also 1 2

|w(T, x)|2 dx ≤ 0

Ω

und damit w ≡ 0. Dies impliziert u1 = u2 und damit die Eindeutigkeit der L¨ osung.

344

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Bemerkung. Die Bedingung a ≥ 0 war in unserer Beweisf¨ uhrung notwendig. Durch gewisse Verfeinerungen der Techniken kann man den Eindeutigkeitssatz allerdings auch ohne diese Bedingung zeigen. 6.2.2 Verhalten f¨ ur große Zeiten Wenn man bei der Diﬀusionsgleichung zeitlich konstante Daten a, b, f vorgibt, dann konvergiert die L¨ osung f¨ ur t → ∞ gegen eine L¨osung der station¨aren Diﬀusionsgleichung −D∆u = f mit der entsprechenden Randbedingung. Wir wollen diese Eigenschaft nun mathematisch rigoroser begr¨ unden und dabei insbesondere auch Informationen u ¨ber die Konvergenzgeschwindigkeit in Abh¨angigkeit von D und der Gr¨ oße von Ω erhalten. Als Beispiel untersuchen wir ein Dirichletproblem ur x ∈ Ω und Randdaten mit vorgegebenen Anfangsdaten u(0, x) = u0 (x) f¨ u(t, x) = b(t, x) f¨ ur x ∈ ∂Ω, t > 0. Das zeitabh¨angige parabolische Problem ist dann ∂t u(t, x) − D∆u(t, x) = f (x) u(0, x) = u0 (x) u(t, x) = b(x)

f¨ ur x ∈ Ω , t > 0 ,

(6.47)

f¨ ur x ∈ Ω , f¨ ur x ∈ ∂Ω ,

(6.48) (6.49)

der station¨ are Grenzwert ist deﬁniert durch −D∆u(x) = f (x) u(x) = b(x)

f¨ ur x ∈ Ω , f¨ ur x ∈ ∂Ω .

(6.50) (6.51)

Die Diﬀerenz w(t, x) = u(t, x) − u(x) ist oﬀensichtlich eine L¨osung des parabolischen Problems ∂t w(t, x) − D∆w(t, x) = 0 w(0, x) = u0 (x) − u(x) w(t, x) = 0

f¨ ur x ∈ Ω , t > 0 ,

(6.52)

f¨ ur x ∈ Ω , f¨ ur x ∈ ∂Ω .

(6.53) (6.54)

Durch Multiplikation der Diﬀerentialgleichung mit w und Integration u ¨ ber QT = (0, T ) × Ω folgt wie beim Beweis des Eindeutigkeitssatzes d 1 2 w dx = −D |∇w|2 dx . dt 2 Ω Ω Da w = 0 auf ∂Ω gilt, k¨ onnen wir die Poincar´e–Ungleichung ausnutzen, w2 dx ≤ cP |∇w|2 dx Ω

Ω

6.2 Parabolische Gleichungen

345

mit einer vom Gebiet Ω abh¨ angigen Konstanten cP , siehe zum Beispiel [4]. Dabei soll cP die kleinste Konstante sein, f¨ ur die diese Ungleichung f¨ ur alle Funktionen mit Nullranddaten richtig ist. Es folgt dann d 2D w2 dx ≤ − w2 dx , dt Ω cP Ω " oder, mit y(t) = Ω w2 (t, x) dx, y (t) ≤ −

2D y(t) . cP

Multiplikation mit e2Dt/cP ergibt $ d # y(t) e2Dt/cP ≤ 0 . dt Nach Integration bez¨ uglich t folgt 2 2 w (t, x) dx ≤ w (0, x) dx e−2Dt/cP . Ω

(6.55)

Ω

Bemerkung. Es l¨ asst sich zeigen, dass die Gleichheit in der Poincar´e– Ungleichung 2 w dx ≤ cP |∇w|2 dx Ω

Ω

gerade f¨ ur die Eigenfunktionen w zum kleinsten Eigenwert µ1 des Laplace– Operators gilt. Dabei ist w ≡ 0 Eigenfunktion, falls −∆w = µ w w=0

in Ω , auf ∂Ω .

ur die obiges Problem eine L¨osung w ≡ 0 besitzt. Sei nun µ1 die kleinste Zahl, f¨ Dann gilt 1 1 w 2 dx = − w ∆w dx = |∇w|2 dx µ1 Ω µ1 Ω Ω und damit cP =

1 . µ1

Gilt w(0, x) = w(x) , so folgen f¨ ur die Identit¨ aten

w(t, x) = e−Dµ1 t w(x)

346

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

∂t w = −Dµ1 w , −D∆w = Dµ1 w und damit ∂t w − D∆w = 0 . Außerdem gilt

2

w (t, x) dx = e

−2Dµ1 t

Ω

w2 (0, x) dx .

Ω

atzung (6.55) scharf ist. Die KonDa cP = µ11 ist, zeigt dies, dass die Absch¨ vergenz gegen Null ist also im Allgemeinen nicht schneller. Insgesamt haben wir gezeigt, dass die W¨ armeleitungsgleichung tats¨achlich Temperaturunterschiede ausgleicht und L¨ osungen f¨ ur große Zeiten gegen ein Gleichgewichtsproﬁl konvergieren. Tats¨ achlich m¨ ussen die Zeiten gar nicht so groß“ sein, da die Konvergenz exponentiell schnell ist. ” Wir wollen nun diskutieren, wie die Konvergenzgeschwindigkeit von D und der Gr¨ oße von Ω abh¨ angt. Dazu bemerken wir, dass wir auch cP eine Dimension zuordnen k¨ onnen. In der Ungleichung w2 dx ≤ cP |∇w|2 dx Ω

Ω

hat w2 hat Dimension [w]2 und |∇w|2 die Dimension [w]2 /[L]2 . Daraus folgt, dass cP die Dimension [L]2 besitzen muss. Eine etwas mathematischere Sichtweise folgt aus einer Streckung des Gebietes Ω nach ΩL = LΩ, die man durch die Variablentransformation xalt = xneu /L realisieren kann. Es gilt dann x wL (x) = w L , x 1 ∇wL (x) = L ∇w L und die Ungleichung

w2 (x) dx ≤ cP

Ω

transformiert sich zu ΩL

2 wL (x) dx

|∇w(x)|2 dx

Ω

≤ cP L

2

|∇wL (x)|2 dx .

ΩL

Es folgt cP L = cP L2 , wenn cP L die Poincar´e–Konstante des Gebiets ΩL bezeichnet. Die Rate, mit der die L¨ osung mit homogenen Randwerten gegen Null strebt, ist also 2D − cP

6.2 Parabolische Gleichungen

347

mit Dimension 1/[T ]. Skalieren wir das Gebiet mit L, so erh¨alt man die neue Konvergenzrate 2D . − cP L 2 Die Konvergenzrate nimmt also quadratisch mit dem Durchmesser des Gebiets ab. Zur Diﬀusionskonstante ist die Rate proportional. Mit gr¨oßerem Gebiet nimmt die Konvergenzrate also drastisch ab. Entdimensionalisierung Dass die Gr¨ oße LD2 f¨ ur das zeitliche Verhalten wichtig ist, k¨ onnen wir auch durch Entdimensionalisierung der Gleichung erkennen. Es sei u(t, x) eine L¨ osung von ∂t u − D∆u = 0 u(t, x) = 0 u(0, x) = u0 (x)

f¨ ur x ∈ Ω , t > 0 , f¨ ur x ∈ ∂Ω , t > 0 , f¨ ur x ∈ Ω .

Wir f¨ uhren die folgenden entdimensionalisierten Gr¨oßen ein: x , L t t= , τ

x =

wobei L eine charakteristische L¨ange, zum Beispiel der Durchmesser des Gebietes Ω, und τ eine charakteristische Zeit ist. Da D die Dimension [L2 ]/[T ] 2 ahlen. Weiter setzen wir besitzt, liegt es nahe, τ = LD zu w¨ w= Es gilt dann

u mit einer Referenzgr¨oße u . u u w( t, x ) = u(t, x) .

Die Gleichung ∂t u − D∆u = 0 impliziert u Du ∂et w − 2 ∆xew = 0 τ L und damit ∂et w − Die Wahl τ =

L2 D

τ D∆xew = 0 . L2

liefert die entdimensionalisierte W¨armeleitungsgleichung ∂et w − ∆xew = 0 .

Alle Aussagen f¨ ur die entdimensionalisierte Gleichung gelten auf der um modiﬁzierten Zeitskala auch f¨ ur die dimensionsbehaftete Gleichung.

L2 D

348

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

6.2.3 Separation der Variablen und Eigenfunktionen Wir werden nun eine elementare Technik kennenlernen, um L¨osungen der W¨ armeleitungsgleichung auf speziellen Gebieten auszurechnen. Dieselbe Technik ist auch f¨ ur viele andere Gleichungen unterschiedlichen Typs n¨ utzlich. Wir demonstrieren diese Technik am Beispiel des Anfangswertproblems mit Dirichlet–Randdaten ∂t u − ∆u = 0 u(t, x) = 0 u(0, x) = u0 (x)

f¨ ur x ∈ Ω , t > 0 , f¨ ur x ∈ ∂Ω , t > 0 , f¨ ur x ∈ Ω .

(6.56)

Die Separation der Variablen basiert auf einem L¨osungsansatz der Form u(t, x) = v(t) w(x) uhrt auf mit Funktionen v : R+ → R, w : Ω → R. Dies f¨ v (t) w(x) − v(t) ∆w(x) = 0 , oder, nach Division durch v(t) w(x), ∆w(x) v (t) = . v(t) w(x) Da die linke Seite hier nur von t, die rechte Seite nur von x abh¨angt, m¨ ussen beide Seiten gleich einer festen Konstanten sein, die wir im Folgenden −µ nennen. Die Gleichung zerf¨ allt dann in zwei Teile, v = −µ v , ∆w = −µ w . F¨ ur w m¨ ussen außerdem die Randbedingungen gelten w(x) = 0 f¨ ur x ∈ ∂Ω . Funktionen w = 0 mit −∆w = µ w in Ω und w(x) = 0 auf ∂Ω

(6.57)

sind gerade die Eigenfunktionen des Laplace–Operators mit Dirichlet–Randdaten 0. Mit Hilfe des Spektralsatzes f¨ ur kompakte, selbstadjungierte Operatoren aus der Funktionalanalysis, siehe zum Beispiel [4], kann man zeigen, dass Folgen ur n → +∞ {wn }n∈N , {µn }n∈N mit 0 < µ1 ≤ µ2 ≤ µ3 ≤ · · · , µn → +∞ f¨ aus Eigenfunktionen wn mit Eigenwerten µn existieren. Die Menge der Eigenfunktionen

6.2 Parabolische Gleichungen

349

{w1 , w2 , w3 , . . . } ur an ∈ R ist liegt dabei dicht in L2 (Ω) (und auch in H01 (Ω)). F¨ an e−µn t wn (x) eine L¨ osung von ∂t u − ∆u = 0 .

(6.58)

Dies bedeutet, dass Anfangsdaten u(0, x) = wn (x) exponentiell mit Rate µn abklingen. Weiterhin ist jede endliche Linearkombination N

an e−µn t wn (x)

n=1

ebenfalls eine L¨ osung von (6.58). Allgemein kann man zeigen, dass f¨ ur alle u0 ∈ L2 (Ω) eine Darstellung u0 (x) =

∞

an wn (x)

n=1

existiert. Die L¨ osung des Anfangs–Randwertproblems (6.56) ist dann gegeben durch ∞ u(t, x) = an e−µn t wn (x) . (6.59) n=1

Dies ist eine Verallgemeinerung einer Methode, die Fourier entwickelt hat, um die W¨ armeleitungsgleichung zu l¨ osen. Dieses Vorgehen f¨ uhrte zur Fourieranalysis, also den Fourierreihen und der Fouriertransformation. Die einzelnen Terme in der Entwicklung (6.59) klingen unterschiedlich schnell ab. Am langsamsten klingt der Term a1 e−µ1 t w1 (x) ab. Wir hatten ja vorher schon gesehen, dass der kleinste Eigenwert des Laplace–Operators f¨ ur das langsamste Abklingverhalten verantwortlich war. Bemerkung. Falls man zeigen kann, dass ∞

an e−µn t wn (x)

n=1

die Gleichung ∂t u − ∆u = 0 l¨ ost, hat man die W¨armeleitungsgleichung tats¨ achlich f¨ ur beliebige Anfangsdaten u0 ∈ L2 (Ω) und Randbedingung u = 0 gel¨ ost. Um dies rigoros durchzuf¨ uhren, ben¨ otigt man ein wenig Funktionalanalysis, siehe z.B. Evans [36]. Will man L¨ osungen konkret angeben, muss man die Eigenfunktionen des Laplace–Operators ausrechnen. Dies ist f¨ ur spezielle Gebiete leicht m¨oglich.

350

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Beispiel: Es sei d = 1 und Ω = (0, 1). Dann gilt wn (x) = sin(nπx) und µn = (nπ)2 . Die L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung ist dann gegeben durch u(t, x) =

∞

2

an e−(nπ) t sin(nπx) ,

n=1

wobei die Koeﬃzienten an aus der Fourierreihe der Anfangsdaten u(0, x) =

∞

an sin(nπx)

n=1

stammen. Je niedriger die Frequenz“ n eines Terms ist, desto langsamer ” klingt der entsprechende L¨ osungsanteil ab. Terme mit vielen Oszillationen werden schnell ged¨ ampft. 6.2.4 Das Maximumprinzip Die charakteristische Eigenschaft der Diﬀusionsgleichung ist, dass der (W¨armeoder Spezies-) Fluss stets in Richtung des (Temperatur- oder Konzentrations-) Gradienten zeigt. Dies hat zur Folge, dass im Fall verschwindender Volumenquellen f = 0 der Maximalwert der Temperatur oder Konzentration stets am parabolischen Rand“ ” Γ = ([0, T ] × ∂Ω) ∪ ({0} × Ω) des Raum–Zeit–Gebietes QT = (0, T ) × Ω angenommen wird, also zum Anfangszeitpunkt oder am Rand der r¨ aumlichen Gebietes ( there are no hot ” spots in the interior“). Satz 6.16. Es sei u eine klassische L¨osung der W¨armeleitungsgleichung ∂t u = D∆u f¨ ur x ∈ Ω, 0 < t ≤ T .

(6.60)

Dann nimmt u sein Maximum (und sein Minimum) entweder zur Zeit t = 0 oder auf [0, T ] × ∂Ω an. Beweis. Falls u sein Maximum nicht auf dem parabolischen Rand annimmt, so existiert ein Punkt (t0 , x0 ) ∈ QT \ Γ , so dass B = u(t0 , x0 ) = und es folgt

max u(t, x) > max u(t, x) = A ,

(t,x)∈QT

(t,x)∈Γ

6.2 Parabolische Gleichungen

351

∇u(t0 , x0 ) = 0 , D2 u(t0 , x0 ) ist negativ semideﬁnit und damit ∆u(t0 , x0 ) = spur D2 u(t0 , x0 ) ≤ 0 . Außerdem folgt aus t0 > 0 und u(t, x) ≤ u(t0 , x) f¨ ur t < t0 ∂t u(t0 , x0 ) ≥ 0 . W¨ urde ∆u(t0 , x0 ) < 0 oder ∂t u(t0 , x0 ) > 0

(6.61)

gelten, so h¨ atten wir einen Widerspruch zur Gleichung (6.60). Allerdings ¨ k¨ onnen wir aus den bisherigen Uberlegungen nicht die G¨ ultigkeit von (6.61) f¨ ur u schließen. Deshalb betrachten wir w(t, x) = u(t, x) − ε(t − t0 ) . Es gilt max w(t, x) ≥ u(t0 , x0 ) = B

(t,x)∈Qt0

und max w(t, x) = max (u(t, x) − ε(t − t0 )) ≤ max u(t, x) + εt0 = A + εt0 .

(t,x)∈Γ

(t,x)∈Γ

(t,x)∈Γ

W¨ ahlen wir ε so klein, dass B > A + εt0 , das bedeutet

B−A > ε, t0

so nimmt w sein Maximum nicht auf Γ , sondern im Inneren an einer Stelle (t1 , x1 ) an. Dies impliziert f¨ ur ε klein genug ∂t w(t1 , x1 ) ≥ 0 , ∆w(t1 , x1 ) ≤ 0 , und damit ∂t w(t1 , x1 ) − D∆w(t1 , x1 ) ≥ 0 . Wir erhalten einen Widerspruch zu ∂t w(t1 , x1 ) − D∆w(t1 , x1 ) = ∂t u(t1 , x1 ) − ε − D∆u(t1 , x1 ) = −ε < 0 . Damit ist die Aussage bewiesen.

352

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

6.2.5 Die Fundamentall¨ osung Wir wollen nun u ¨ berlegen, was passiert, wenn an einer Stelle konzentriert W¨ arme an ein System abgegeben wird. Dazu suchen wir eine L¨osung von ∂t u = D ∆u

f¨ ur

t > 0 , x ∈ Rd ,

mit den Eigenschaften

u(0, x) = 0

f¨ ur

x = 0 ,

u(t, x) = Q . Rd

Dabei sei Q eine Konstante, die proportional zur zugegebenen Gesamtw¨armemenge ist. Eine solche L¨ osung kann dazu genutzt werden, um L¨osungen zu Problemstellungen mit allgemeineren W¨ armezugaben durch allgemeinere Anfangswerte beziehungsweise W¨ armequellen zu konstruieren, indem wir alle Einﬂ¨ usse mittels Faltung addieren“. ” Wir wollen nun einen L¨ osungsansatz mittels Dimensionsanalyse ﬁnden. Eine L¨ osung kann von (t, x) und den Parametern D und Q abh¨angen. Wir suchen dimensionslose Kombinationen und, falls m¨ oglich, typische L¨angen- und Zeitskalen. Da das Gebiet, auf dem wir die Gleichung l¨osen wollen, unbeschr¨ankt ist, gibt es keinen Parameter, der etwas u ¨ ber die Gr¨oße des Gebietes aussagt und sich als L¨ angenskala anbietet. Die auftretenden Gr¨oßen haben folgende Dimensionen x t D Q u Gr¨ oße Dimension L T L2 /T KLd K wobei K f¨ ur die Dimension einer Temperatur steht. F¨ ur eine dimensionslose Gr¨ oße Π = xa tb Dc Qe , a, b, c, e ∈ Z gilt

Dimension von Π = La T b L2c T −c K e Lde

und somit folgt e = 0, a + 2c = 0, b = c. Wir erhalten also a x Π= √ Dt und bis auf Potenzen ist √xDt die einzige dimensionslose Kombination der unabh¨ angigen Variablen“. Eine dimensionslose Kombination der unabh¨angigen ” Variablen“ im L¨ osungsansatz ” u(t, x, D, Q)

6.2 Parabolische Gleichungen

353

kann Q demnach nicht enthalten. Was ist nun eine gute Skalierung der abh¨ angigen Variablen u? Da nur die Gr¨ oße Q die Einheit Kelvin enth¨alt, bieten sich die Skalierungsterme Q Q beziehungsweise d x (Dt)d/2 an. Die W¨ armeausbreitung der Punktquelle sollte eine L¨osungsdarstellung besitzen, die invariant unter dem Wechsel der Dimension sein sollte. Daher machen wir den Ansatz x Q u(t, x) = U √ . (6.62) (Dt)d/2 Dt Eine solche L¨ osung nennen wir selbst¨ahnlich. Die Form von u(t, ·) ¨andert sich bez¨ uglich der Zeit im Wesentlichen nicht. Kennt man die L¨osung zu einem Zeitpunkt, so kennt man sie zu allen anderen Zeitpunkten, indem man eine ¨ einfache Skalierung (Ahnlichkeitstransformation) vornimmt. Insbesondere ist das Problem um eine Dimension reduziert. Wir wollen nun eine Gleichung f¨ ur U herleiten. Setzen wir y = √xDt und bezeichnen mit Dy beziehungsweise Dy2 Diﬀerentiationen nach der Variablen y, so folgt f¨ ur eine Funktion u der Form (6.62) x Q 1 √ √ ∇u = ∇ U , y (Dt)d/2 Dt Dt x 1 2 Q √ D U , D2 u = (Dt)d/2 Dt y Dt Q x √ ∆ U , ∆u = spur D2 u = y (Dt)(d+2)/2 Dt dQU Q x · ∇y U . ∂t u = − d/2+1 d/2 − (d+1)/2 2t D 2D t(d+3)/2 Aus −∂t u + D∆u = 0 folgt dQ Q Q U+ y · ∇y U + ∆y U = 0 d/2 d/2 2 (Dt) t 2 (Dt) t (Dt)d/2 t und damit d 2

U+

1 2

y · ∇y U + ∆y U = 0 .

(6.63)

Außerdem ist die Gesamtw¨ armemenge zu allen Zeiten gegeben durch die am Anfang zugegebene W¨ armemenge und wir erhalten aus u(t, x) dx = Q Rd

indem wir Dt = 1 setzen

354

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

U (y) dy = 1 . Rd

Da die Gleichung, oder physikalisch gesprochen der betrachtete K¨orper, isotrop ist, vermuten wir, dass sich die W¨ arme in alle Richtungen gleich ausbreitet und machen den Ansatz U (y) = v(|y|) . Aus (6.63) folgt mit r = |y| und (6.11) d 2v

+ 12 v r + v +

d−1 r v

= 0.

Multiplizieren wir mit rd−1 , so ergibt sich (rd−1 v ) + 12 (rd v) = 0 . Integration liefert rd−1 v + 12 rd v = a

mit a ∈ R .

(6.64)

Damit wir eine L¨ osung u erhalten, die in 0 glatt ist, fordern wir v (0) = 0. Setzen wir r = 0 in (6.64), so folgt a = 0 und somit v + 12 rv = 0 . Als L¨ osung erh¨ alt man v(r) = b e− Aus der Gleichung

.

1=

e−|y|

U (y) dy = b Rd

bestimmen wir b und erhalten mit u(t, x) =

r2 4

2

/4

dy

Rd

" Rd

e−|y|

2 Q e−|x| /(4Dt) (4πDt)d/2

2

/4

dy = (4π)d/2 die L¨osung t > 0, x ∈ Rd .

f¨ ur

Es gilt

lim u(t, x) = 0

f¨ ur

x = 0 ,

u(t, x) dx = Q

f¨ ur

t > 0.

t0

Rd

Tats¨ achlich gilt im Distributionssinn ∂t u − D∆u = Qδ(0,0) , wobei δ(0,0) die in (0, 0) konzentrierte Dirac–Distribution im Raum R × Rd ist.

6.2 Parabolische Gleichungen

355

6.2.6 Diﬀusionszeiten In diesem Abschnitt wollen wir die Zeit absch¨ atzen, die der Diﬀusionsprozess ben¨ otigt, damit W¨ arme beziehungsweise Stoﬀ eine gegebene Distanz diﬀundiert. Wir werden eine Aussage herleiten, die nach dem klassischen Buch von Lin und Segel [83], ein fundamental fact concerning diﬀusion“ ist. ” Bemerkung. Wir untersuchen im Folgenden ganz bestimmte Anfangsdaten. Indem man eine L¨ osungsdarstellung aus einem der folgenden Abschnitte verwendet, kann man das Resultat aber in einem allgemeineren Kontext interpretieren. Sei nun u die selbst¨ ahnliche L¨ osung aus dem vorigen Abschnitt. Wir m¨ochten wissen, wieviel Zeit vergeht, bis 50% der W¨ armemenge aus einem Ball mit Radius L herausdiﬀundiert sind. Diese Dauer wollen wir mit tL,D bezeichnen. Wir wissen, dass die selbst¨ ahnliche L¨ osung die Form 2 x 1 1 u(t, x) = U √ e−|x| /(4Dt) = d/2 d/2 (Dt) (4πDt) Dt besitzt. Sei nun Lref so gew¨ ahlt, dass U (y) dy = Rd \BLref

(0)

Wir suchen tL,D , so dass

1

Rd \BL (0)

(DtL,D )d/2

U

1 2

.

x DtL,D

gilt. Mit der Variablentransformation y = √

x DtL,D

Rd \BL/√Dt (0) L,D

U (y) dy =

dx =

1 2

folgt 1 . 2

Damit ergibt sich L = Lref

DtL,D

und tL,D =

1 L2 . L2ref D

Wir fassen das Ergebnis zusammen: 2

1. Diﬀusion u otigt ∼ LD Zeiteinheiten. ¨ber eine Distanz L ben¨ √ 2. In einer Zeit t diﬀundiert W¨ arme ∼ Dt Ortseinheiten. Diese Aussagen ergeben sich auch als einfache Folgerungen aus dem Skalierungsverhalten, also den Invarianztransformationen, der W¨armeleitungsgleichung. Im folgenden Abschnitt wollen wir das Skalierungsverhalten der W¨armeleitungsgleichung daher n¨ aher untersuchen.

356

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

6.2.7 Invariante Transformationen Ein weiterer Zugang, der auf die Fundamentall¨osung f¨ uhrt, benutzt invariante Transformationen. Wir fragen uns dabei, wann eine Streckung, also eine einfache Transformation, der Variablen u, x beziehungsweise t das Problem ∂t u = D∆u u(0, x) = 0

f¨ ur f¨ ur

x ∈ Rd , t > 0 , x ∈ Rd , x = 0,

u(t, x) dx = Q Rd

invariant l¨ asst. Es sei u∗ (t∗ , x∗ ) = γ u(t, x) , t∗ = αt, x∗ = βx . In den neuen Variablen erhalten wir ∂t∗ u∗ =

γ γ β2 ∂t u = D∆x u = D∆x∗ u∗ . α α α

Es gilt

u∗ (0, x∗ ) = 0 ∗ ∗ ∗ ∗ u (t , x ) dx =

Rd

f¨ ur x∗ = 0 , ∗ ∗ t x ∗ , γu β d γ u(t, x) dx = β d γQ . dx = α β Rd Rd

Es ergibt sich also, dass die Gleichung ∂t u = D∆u invariant bleibt, falls α = β 2 gilt, und die Integralnebenbedingung invariant bleibt, falls β d γ = 1 erf¨ ullt ist. M¨ ogliche invariante Streckungstransformationen sind also √ u∗ = α−d/2 u , t∗ = α , x∗ = α x mit α ∈ R . W¨ are die L¨ osung eindeutig, so m¨ usste gelten t x u(t, x) = γ u , α β mit α, β, γ so, dass β=

√ α

und γ = α−d/2 .

Setzen wir t = α, so erhalten wir u(t, x) = t

−d/2

x √ u 1, . t

Wir haben das Problem also um eine Variable reduziert und sehen, dass U (y) = u(1, y) der Funktion U aus Abschnitt 6.2.5 entspricht.

6.2 Parabolische Gleichungen

357

6.2.8 Allgemeine Anfangswerte Das Anfangstemperaturproﬁl sei nun durch eine Funktion g gegeben und wir setzen zur Vereinfachung d = 1, d.h. wir betrachten die W¨armeleitung in einem Stab. Welche Funktion u erf¨ ullt ∂t u − ∂xx u = 0 , u(0, x) = g(x) ? Um dies zu erreichen, betrachten wir W¨ armequellen an den Punkten yi = ih,

i = 0, ±1, · · · , ±M ,

die jeweils die W¨ armemenge g(yi ) h besitzen sollen. Dabei sei h > 0 gegeben. Diese endlich vielen W¨ armequellen sollen die kontinuierliche Verteilung g ann¨ ahern. W¨ urden wir nur eine W¨ armequelle der W¨armemenge 1 in yi betrachten, so w¨ are die L¨ osung 2 1 v(t, x − yi ) = √ e−(x−yi ) /(4t) . 4πt

Wir k¨ onnen nun diese L¨ osungen linear kombinieren und erhalten M

v(t, x − yi ) g(yi ) h

(6.65)

i=−M

als L¨ osung zu Anfangsdaten mit endlich vielen W¨armequellen, die wir oben vorgegeben hatten. Die Darstellung (6.65) kann aber nun als N¨aherungsformel f¨ ur ein Integral aufgefasst werden. Im Limes M → ∞, h → 0 erhalten wir, falls g f¨ ur |x| → ∞ gen¨ ugend schnell abklingt und stetig ist, die folgende Funktion ∞ v(t, x − y)g(y) dy . (6.66) u(t, x) = −∞

Die Gesamtheit der W¨ armequellen konvergiert, im Sinne von Maßen beziehungsweise als Distributionen, gegen die Funktion g. Wir erwarten also, dass u die W¨ armeleitungsgleichung mit Anfangswerten g l¨ost. F¨ ur einen Beweis dieser Tatsache verweisen wir auf das Buch von Evans [36]. An der Darstellungsformel (6.66) kann abgelesen werden, dass die W¨armeleitungsgleichung die Eigenschaft der unendlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzt. Starten wir mit Anfangswerten g mit g ≥ 0, g ≡ 0, die kompakten Tr¨ager besitzen, so folgt: u(t, x) > 0

f¨ ur alle t > 0, x ∈ R .

Eine W¨ armequelle, die zum Zeitpunkt t = 0 in der N¨ahe des Ursprungs lokalisiert ist, sp¨ uren wir f¨ ur positive Zeiten sofort im ganzen Raum.

358

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

6.2.9 Brownsche Bewegung Die scheinbar v¨ ollig regellose Bewegung kleinster, in einer Fl¨ ussigkeit oder einem Gas suspendierter Teilchen nennt man Brownsche Molekularbewegung. Ist die Gesamtheit der Teilchen zun¨ achst in bestimmten Regionen konzentriert, so werden sich die Teilchen wegen der ungeordneten Bewegung der einzelnen Partikel ausbreiten. Dieser sogenannte Diﬀusionsprozess ist ein mikroskopischer Prozess. Die makroskopische Gr¨ oße Dichte der Partikel“ gen¨ ugt unter ” gewissen Voraussetzungen einer Diﬀusionsgleichung. Wir wollen hier ein sehr vereinfachtes Modell f¨ ur einen stochastischen mikroskopischen Prozess betrachten und eine deterministische makroskopische Beschreibung herleiten. Wir machen folgende Annahmen: •

Die Partikel springen zuf¨ allig auf der Zahlengeraden um einen Schritt h vor und zur¨ uck.

•

Nach einem Zeitintervall τ wird ein neuer Schritt ausgef¨ uhrt.

•

Spr¨ unge nach links oder rechts sind gleich wahrscheinlich.

Nach einer Zeit nτ kann ein Partikel, der im Punkt x = 0 startet, in einem der Punkte −nh, . . . , −1, 0, 1, . . . , nh liegen. Die Punkte werden allerdings mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten angelaufen“. Es sei p(n, m) die Wahrscheinlichkeit, dass ein bei x = 0 ” gestartetes Partikel nach n Zeitschritten den Punkt x = mh einnimmt. Ein Partikel erreicht den Punkt mh durch a Spr¨ unge nach rechts und b Spr¨ unge nach links, wobei * + a = n+m m = a −b, 2 , und damit b = n − a. n = a +b, Die Anzahl m¨ oglicher Pfade, um den Punkt x = mh zu erreichen, berechnet sich mit etwas Kombinatorik als n! n! n n n! = = = . = b a! (n − a)! a! b! b! (n − b)! a Die Gesamtanzahl aller Pfade ist 2n . Es folgt 1 n p(n, m) = n 2 a mit a = n+m oße p beschreibt bei festem n in 2 , falls n + m gerade ist. Die Gr¨ Abh¨ angigkeit von a gerade die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung. F¨ ur große n besagt die Stirlingsche Formel n! ≈ (2πn)1/2 nn e−n

f¨ ur

n → ∞.

6.2 Parabolische Gleichungen

359

Der Beweis nutzt die Integraldarstellung der Γ -Funktion; genauer ausgedr¨ uckt ergibt sich: F¨ ur jedes n ∈ N existiert ein ϑ(n) ∈ (0, 1), so dass n! = (2πn)1/2 nn e−n eϑ(n)/(12n) . Sind n, n + m, n − m groß und m + n gerade, so folgt 2 1/2 −m2 /(2n) 1 n p(n, m) = n m+n ≈ πn e . 2 2 Dies ist Teil der Aussage des Grenzwertsatzes von deMoivre–Laplace und kann mit Hilfe der Stirlingschen Formel bewiesen werden. Jetzt setzen wir nτ = t , mh = x . Wir wollen formal den Grenz¨ ubergang τ, h → 0 vollziehen. Dazu f¨ uhren wir die Dichte p(n, m) uτ,h (nτ, mh) = 2h mit m + n gerade ein. Dann ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, das Teilchen zur Zeit t = nτ im Intervall [ih, kh] zu ﬁnden, gegeben durch k

uτ,h (nτ, mh) 2h .

m=i

' Dabei summiert nur u ur den m + n gerade ist und ¨ ber jeden Index m, f¨ i und k seien beide gerade, falls n gerade ist, und beide ungerade, falls n ungerade ist. Es gilt f¨ ur t = nτ , x = mh und m + n gerade p( t , x ) 1 uτ,h (t, x) = τ h ≈ 2h 2h

2τ πt

1/2 e

2 τ h2

− x2t

=

τ 1 h2 2πt

1/2

x2 τ h2

e− 2t

.

Nun betrachten wir den Grenzwert τ, h → 0, wobei τ und h so gew¨ahlt sein sollen, dass h2 = D = 0 (6.67) lim τ,h→0 2τ gilt. Dann folgt

uτ,h →

1 4πDt

1/2

e−x

2

/(4Dt)

.

Als Grenzwert erhalten wir also die Fundamentall¨osung zur W¨armeleitungsgleichung. Die Fundamentall¨ osung kann demnach als Wahrscheinlichkeitsdichte daf¨ ur interpretiert werden, dass Teilchen, die im Ursprung starten, nach der 2 Zeit t am Ort x sind. Der Diﬀusionskoeﬃzient D mit der Einheit LT gibt an, wie eﬃzient Partikel diﬀundieren. Falls die Zeitintervalle, in denen Partikel springen, klein sind im Vergleich zum Quadrat der Ortsintervalle, dann ist D groß.

360

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Im Folgenden wollen wir heuristisch begr¨ unden, warum wir f¨ ur τ, h → 0 die Bedingung (6.67) fordern. Um die Stirlingsche Formel anwenden zu k¨onnen, ben¨ otigen wir, dass n, n + m und n − m groß sind. Also muss m n klein sein → 0 fordern, und f¨ ur festes (t, x) = (nτ, mh) ergibt sich, falls wir m n m mhτ xτ = = →0 n nτh th W¨ ahlen wir nun

h2 2τ

f¨ ur n → ∞ .

(6.68)

= D mit D > 0 fest, so folgt 1 h τ = → 0, h D2

und da xt fest ist, ergibt sich der Grenz¨ ubergang in (6.68). Die Verschiebung x = mh vom Ursprung muss also klein sein im Vergleich zum insgesamt zur¨ uckgelegten Weg. Diese Voraussetzung l¨ asst gen¨ ugend stochastische Varia¨ tionen zu. Genauer l¨ asst sich diese Uberlegung mit etwas Statistik begr¨ unden. Die Varianz der Auslenkung zum Zeitpunkt t = nτ betr¨agt nh2 = t

h2 τ

2 und die Voraussetzung h√ /τ → D besagt, dass die Varianz, und damit auch die Standardabweichung n h, einen wohldeﬁnierten Grenzwert besitzt. Falls die Varianz gegen 0 oder ∞ streben w¨ urde, w¨ urde sich im Grenzwert keine wohldeﬁnierte Verteilungsfunktion ergeben.

Wir wollen zum Abschluss noch eine weitere M¨oglichkeit angeben, die Diﬀusionsgleichung heuristisch aus einem einfachen Modell einer Brownschen Bewegung herzuleiten. Wir betrachten wieder Gitterpunkte 0, ±h, ±2h, . . . und bezeichnen mit u(t, x) die Wahrscheinlichkeit, ein Partikel zum Zeitpunkt t am Ort x zu ﬁnden. Es sei α die Wahrscheinlichkeit, in einem Zeitschritt τ um einen Punkt nach links beziehungsweise rechts zu springen, das heißt, beide Richtungen werden als gleichwahrscheinlich angenommen. Weiter sei 1 − 2α die Wahrscheinlichkeit im bisherigen Punkt zu verharren. Dann ergibt sich nach einem Zeitschritt τ u(t + τ, x) = α u(t, x − h) + (1 − 2α) u(t, x) + α u(t, x + h) f¨ ur alle x = 0, ±h, ±2h, . . . . Daraus folgt u(t + τ, x) − u(t, x) = α(u(t, x − h) − 2 u(t, x) + u(t, x + h)) . Wir w¨ ahlen nun α = hτ2 D und nehmen an, dass u zu einer kontinuierlichen glatten Funktion fortgesetzt werden kann. Dann folgt mittels Taylorentwicklung in der Identit¨ at u(t, x − h) − 2 u(t, x) + u(t, x + h) u(t + τ, x) − u(t, x) =D τ h2

6.2 Parabolische Gleichungen

die Gleichung

361

∂t u = D ∂x2 u + O |τ | + |h|2 .

Zu f¨ uhrender Ordnung in τ und h ist demnach die W¨armeleitungsgleichung erf¨ ullt. 6.2.10 Laufende Wellen - Travelling Waves“ ” Viele nichtlineare parabolische Diﬀerentialgleichungen besitzen laufende Wel” len“ ( travelling waves“) als L¨ osungen. Solche L¨osungen besitzen die Form ” u(t, x) = U (x · n − V t) , U : R → R wobei V die Geschwindigkeit der Welle ist und n ∈ Rd mit |n| = 1 die Richtung angibt, in die die Welle l¨ auft. Solche L¨ osungen werden also durch ein Proﬁl beschrieben, das durch die Funktion U gegeben ist, und dieses Proﬁl bewegt sich mit Geschwindigkeit V . Derartige L¨osungen tauchen insbesondere in vielen biologischen und chemischen Anwendungen auf. So gibt es zum Beispiel Modelle in der Mathematischen Biologie, bei denen travelling wa” ve“ L¨ osungen die Ausbreitung von Infektionen oder die Heilung von Wunden beschreiben. Die Funktion u beschreibt dabei etwa eine chemische Konzentration, ein elektrisches Signal, die Dichte einer Population oder eine mechanische Deformation. Laufenden Wellen kommt auch deshalb eine so große Bedeutung zu, weil L¨ osungen zu allgemeinen Anfangsdaten h¨auﬁg f¨ ur große Zeiten gegen eine travelling–wave–L¨ osung konvergieren. Wir betrachten nun travelling waves f¨ ur die Gleichung ∂t u + ∂x f (u) = η ∂xx u , η > 0 .

(6.69)

Im Fall f (u) = u2 /2 ist dies die viskose Burgers–Gleichung, die sich in der Str¨ omungsmechanik als einfaches r¨ aumlich eindimensionales Modell ergibt. In diesem Fall ist u die Geschwindigkeit, ∂x (u2 /2) der Konvektionsterm und η ∂xx u der viskose Term. Wir suchen nun eine L¨ osung der Form u(t, x) = U (x − V t) , V ∈ R

(6.70)

mit lim u(t, x) = u−

x→−∞

und

lim u(t, x) = u+ .

x→∞

(6.71)

¨ Diese laufende Welle realisiert einen Ubergang zwischen den Werten u− und u+ . Setzen wir den Ansatz (6.70) in (6.69) ein, so ergibt sich f¨ ur U (z) mit z = x − V t: −V U + f (U ) = η U . Integration liefert

362

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

ηU = −V U + f (U ) + V u− − f (u− ) wobei wir

(6.72)

lim U (z) = 0 als notwendige Konsequenz von (6.71) benutzt

z→−∞

haben. Eine notwendige Bedingung f¨ ur die Existenz einer L¨osung dieser gew¨ohnlichen ultigkeit von Diﬀerentialgleichung mit der Eigenschaft lim U (z) = u+ ist die G¨ z→∞

lim U (z) = u+ und somit

z→∞

0 = −V u+ + f (u+ ) + V u− − f (u− ) und damit, falls u− = u+ , V =

f (u+ ) − f (u− ) . u+ − u−

Betrachten wir nun den Fall u− > u+ , so muss eine L¨ osung von (6.71), (6.72) notwendigerweise U (z) < 0 , z ∈ R ur ein z ∈ R, so w¨ urde die eindeutige L¨osbarkeit des erf¨ ullen. W¨ are U (z) = 0 f¨ Anfangswertproblems (6.72) mit gegebenem U (z) liefern, dass U konstant sein m¨ usste, was im Widerspruch zu den Randbedingungen steht. Daraus erhalten wir die notwendige Bedingung ur alle u ∈ (u+ , u− ) −V u + f (u) + V u− − f (u− ) < 0 f¨ beziehungsweise f (u+ ) − f (u− ) f (u) − f (u− ) >V = u − u− u+ − u−

f¨ ur alle u ∈ (u+ , u− ) .

(6.73)

Ist die Bedingung (6.73) erf¨ ullt, dann folgt leicht die Existenz einer laufenden Welle, indem wir das Anfangswertproblem ηU = −V U + f (U ) + V u− − f (u− ) ,

U (0) =

u− + u+ 2

l¨ osen. Da die rechte Seite in der Diﬀerentialgleichung f¨ ur u ∈ (u+ , u− ) positiv ist, ist U streng monoton und lim U (z) = u± folgt dann aus einem z→±∞

Monotonieargument und der Tatsache, dass die rechte Seite in der obigen Diﬀerentialgleichung im Intervall (u+ , u− ) keine Nullstelle besitzt. Die Bedingung (6.73) charakterisiert also im Fall u− ≥ u+ die Existenz einer monotonen, u− und u+ verbindenden laufenden Welle, im Folgenden kurz Wellenfront genannt. Die Sekante der Funktion f zwischen den Punkten u−

6.2 Parabolische Gleichungen

363

und u+ muss also oberhalb des Graphen von f liegen, damit eine travelling– wave–L¨ osung existiert. Hinreichend daf¨ ur ist die strikte Konvexit¨at von f . In der Abbildung 6.4 sehen wir links ein Beispiel f¨ ur eine Situation in der eine laufende Welle existiert. In der Situation im rechten Bild k¨onnen die Punkte u− und u+ nicht durch eine laufende Welle verbunden werden. Es existiert allerdings eine laufende Welle, die u− und u∗ verbindet. Eine analoge Diskussion kann f¨ ur den Fall u+ > u− durchgef¨ uhrt werden, und wir erhalten travelling–wave–L¨ osungen, falls die Sekante unterhalb des Graphen liegt.

f

u+

u−

f

u+

u∗

u−

Abb. 6.4. Zur Existenz von travelling waves

6.2.11 Reaktions–Diﬀusions–Gleichung und Laufende Wellen In Kapitel 3 haben wir chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen behan¨ delt und gesehen, dass sich die Anderung der Molzahlen durch gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen beschreiben l¨ asst. Betrachten wir nun Konzentrationen u(t, x) ∈ RN von diﬀundierenden und reagierenden chemischen Substan¨ zen im Raum, so ergibt sich durch Kombination der Uberlegungen aus den Abschnitten u ¨ber Reaktionskinetik und Diﬀusion das System von Reaktions– Diﬀusionsgleichungen ∂t u = D∆u + F (u) , (6.74) wobei D eine Matrix mit Diﬀusionskoeﬃzienten und F : RN → RN eine Funktion ist, die wie in Kapitel 3 die auftretenden Reaktionen beschreibt. Setzen wir D = 0, so erhalten wir die Reaktionsgleichungen aus Kapitel 3 und im Fall F ≡ 0 ergeben sich einfache Diﬀusionsgleichungen. ¨ Ahnliche Gleichungen ﬁndet man in der Mathematischen Biologie. Ber¨ ucksichtigen wir etwa im Populationsmodell mit beschr¨ankten Ressourcen oder im R¨ auber–Beute–Modell ungeordnete Wanderungsbewegungen der Populationen, so ergeben sich f¨ ur die Dichte u der Population Gleichungen der Form

364

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

(6.74). Wir k¨ onnen an dieser Stelle nicht auf weitere Details bei der Modellierung eingehen und verweisen Interessierte auf das exzellente Buch von Murray [95]. Dort werden auch viele Situationen geschildert, in denen laufende Wellen f¨ ur Reaktions–Diﬀusionssysteme eine wichtige Rolle in den Anwendungen spielen. Wir wollen jetzt f¨ ur den Fall der Fisher–Gleichung ∂t u = D∂xx u + qu(1 − u) , D, q, u, x, t ∈ R

(6.75)

die Existenz von travelling waves diskutieren. Die Fisher–Gleichung wurde urspr¨ unglich als Modell f¨ ur die Ausbreitung von mutierten Genen eingef¨ uhrt. Sie hat aber dar¨ uberhinaus Anwendungen, unter anderem in der Neurophysiologie, bei autokatalytischen chemischen Reaktionen und, wie schon oben angedeutet, als Populationsmodell bei beschr¨ anktem Wachstum. Wir erhalten im Fall D = 0 die Gleichung des beschr¨ ankten Wachstums oder logistische Diﬀerentialgleichung und im Fall q = 0 die Diﬀusionsgleichung. Zur Vereinfachung reskalieren wir (6.75) durch t∗ = qt , x∗ = x

q 1/2 D

und erhalten ∂t u = ∂xx u + u(1 − u)

(6.76)

wobei wir die Sternchen zur Vereinfachung weggelassen haben. Die station¨aren konstanten L¨ osungen u ≡ 0 und u ≡ 1 kennen wir schon aus Kapitel 1. Wir suchen nun eine L¨osung mit u(t, x) = U (z) , z = x − V t und lim U (z) = 0 , lim U (z) = 1

z→−∞

z→∞

mit der Wellengeschwindigkeit V . In den Anwendungen beschreibt eine solche L¨ osung u wie und mit welcher Geschwindigkeit sich eine Front, zum Beispiel der Bereich der schon mutierten Gene, ausbreitet. Setzen wir den travelling– wave–Ansatz in (6.76) ein, so erhalten wir U + V U + U (1 − U ) = 0 . Mit W = U gilt demnach das System von gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen U = W ,

(6.77)

W = −V W − U (1 − U ) .

(6.78)

6.2 Parabolische Gleichungen

365

Das Problem, eine die station¨ aren Werte verbindende laufende Welle zu ﬁnden, ist also ¨ aquivalent dazu, eine Kurve in der (U, W )–Ebene zu ﬁnden, die die Punkte (0, 0) und (1, 0) verbindet, so dass eine geeignete Parametrisierung (6.77), (6.78) erf¨ ullt. In der Sprache der dynamischen Systeme heißt dies: Wir suchen einen heteroklinen Orbit, der die station¨aren Punkte (0, 0) und (1, 0) verbindet, man vergleiche dazu auch [6]. Wir wollen uns nun das Phasenportrait zu (6.77), (6.78) ansehen, siehe dazu auch Abschnitt 4.4. Dazu linearisieren wir die Gleichung zun¨ achst in der N¨ahe der station¨aren Punkte. Betrachten wir den Punkt (0, 0), so erhalten wir 0 1 U U = . W −1 −V W

(6.79)

Die Eigenwerte der obigen Matrix sind # $ λ1,2 = 12 −V ± V 2 − 4 . Besitzt die Linearisierung um einen station¨ aren Punkt nur Eigenwerte, deren Realteil verschieden von Null ist, so nennt man den station¨aren Punkt hyperbolisch. Die qualitative Theorie gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen besagt, dass das Phasenportrait in der N¨ ahe hyperbolischer station¨arer Punkte die gleiche Struktur besitzt wie die linearisierte Gleichung, wie etwa in Amann [6] beschrieben. Wir schauen uns nun das Phasenportrait von (6.79) f¨ ur V = 0 an. In Aufgabe 6.12 zeigen Sie, dass im Fall V = 0 keine travelling–wave–L¨osung existiert. Fall 1: 0 < V 2 < 4. In diesem Fall sind alle komplexen L¨ osungen der linearen Gleichung gegeben durch (vgl. Abschnitt 4.6) √ √ 1 1 1 u 1 u 2 u 1 u 2 2 2 eλ1 t + eλ2 t = e− 2 V t e 2 i 4−V t + e− 2 i 4−V t , w 1 w 2 w 1 w 2 wobei ( u1 , w 1 ) , ( u2 , w 2 ) ∈ C2 Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ1 und λ2 sind. Als reelle L¨osungen ergeben sich, wie man leicht nachrechnet . / 1 cos(ωt) − sin(ωt) e− 2 V t α +β mit ω = 12 4 − V 2 . sin(ωt) cos(ωt) 1

− Vt Ein Anfangswert (α, β) wird √ demnach mit dem Faktor e 2 gestreckt und 1 2 um den Winkel ωt mit ω = 2 4 − V gedreht. Daher ergibt sich f¨ ur V > 0 ein Phasenportrait wie in Abbildung 6.5 dargestellt. Einen hyperbolischen Punkt mit konjugiert komplexen Eigenwerten der Linearisierung nennt man stabilen Strudel beziehungsweise stabile Spirale, je nachdem, ob die L¨osungen gegen Null konvergieren oder aus der Null herauslaufen.

366

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

.

Abb. 6.5. Das Phasenportrait eines stabilen Strudels

Fall 2: V 2 ≥ 4. In diesem Fall ergeben sich zwei reelle Eigenwerte mit gleichem Vorzeichen, man spricht von einem Knoten. Die Darstellungsformel aus Abschnitt 4.6 liefert uns, dass alle L¨ osungen gegen Null streben, falls die Eigenwerte negativ sind. Falls beide Eigenwerte positiv sind, streben alle L¨osungen von Null weg, siehe dazu Abbildung 6.6. Da wir L¨ osungen mit lim U (z) = 0 und U (z) ≥ 0, z ∈ R suchen, k¨ onnen wir uns auf den Fall

z→−∞

V ≤ −2 onnen wir wegen des um Null oszilliebeschr¨ anken. Falls V 2 ∈ (0, 4) liegt, k¨ renden Verhaltens von L¨ osungen keine nichtnegativen L¨osungen erhalten. F¨ ur ullbar, da alle L¨osungen f¨ ur V > 2 ist die Bedingung lim U (z) = 0 nicht erf¨ z→−∞

z → −∞ von Null weg streben. Linearisierung um den Punkt (U, W ) = (1, 0) ergibt U 0 1 U = W 1 −V W und wir erhalten die Eigenwerte λ1,2 =

1 2

#

−V ±

$ V2+4 .

Demnach besitzen die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen und eine Analyse der L¨ osungsdarstellung aus Abschnitt 4.6 ergibt ein Phasenportrait wie in Abbildung 6.7. Einen station¨ aren Punkt, dessen Linearisierung Eigenwerte verschiedenen Vorzeichens hat, nennt man Sattel. In einem Sattelpunkt in der Ebene gibt es eine eindimensionale Kurve Ms durch den station¨ aren Punkt, so dass alle L¨osungen zu Anfangsdaten auf

6.2 Parabolische Gleichungen

367

Abb. 6.6. Phasenportrait eines Knotens

Abb. 6.7. Phasenportrait eines Sattels

dieser Kurve asymptotisch f¨ ur große positive Zeiten gegen den station¨aren Punkt laufen (siehe Amann [6]). Diese Kurve heißt stabile Mannigfaltigkeit des station¨ aren Punktes. Sie triﬀt den Punkt (1, 0) mit einer Tangente, die durch die Richtung des Eigenvektors zum negativen Eigenwert gegeben ist. In unserem Fall erhalten wir im Punkt (1, 0) # $ (1, λ2 ) ist Eigenvektor von λ2 = 12 −V − V 2 + 4 < 0 . Analog existiert eine instabile Mannigfaltigkeit aus Anfangsdaten zu L¨osungen, die f¨ ur t → −∞ gegen den station¨ aren Punkt konvergieren. Unser Ziel ist es nun, eine L¨ osungskurve zu ﬁnden, die den Knoten (0, 0) mit dem hy-

368

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

.

W

A

W = µU

MS

.

0

B = (1, 0) U

Abb. 6.8. Phasenportrait zur Konstruktion der travelling–wave–L¨ osung

perbolischen Punkt (1, 0) verbindet. Eine Inspektion des Phasenportraits in der N¨ ahe des Punktes (1, 0) ergibt, dass die L¨osungskurve Teil der stabilen Mannigfaltigkeit des Punktes (1, 0) sein muss. Da der Eigenraum zum negativen Eigenwert λ2 durch den Vektor (1, λ2 ) aufgespannt wird, triﬀt die stabile Mannigfaltigkeit den Punkt (1, 0) also wie in Abbildung 6.8 skizziert von links oben“. ” Wir wollen nun zeigen, dass die instabile Mannigfaltigkeit den Ursprung (0, 0) triﬀt. Wenn wir die stabile Mannigfaltigkeit in Abbildung 6.8 zur¨ uckverfolgen, so gibt es zwei M¨ oglichkeiten. Entweder konvergiert Ms gegen einen station¨ aren Punkt im abgeschlossenen Dreieck ∆(0, A, B) oder Ms verl¨asst das Dreieck. Weitere M¨ oglichkeiten kann es nicht geben, weil U (z) = W (z) ≥ 0 gilt, solange eine L¨ osung (U, W ) im Dreieck liegt. Wir wollen nun zeigen, dass es ein µ > 0 gibt, so dass die stabile Mannigfaltigkeit zu B das Dreieck nicht verlassen kann. Sei (U, W )(z) eine L¨osung von (6.77), (6.78), deren Bild auf der stabilen Mannigfaltigkeit liegt. Da U (z) ≥ 0 in ∆(0, A, B) gilt, kann die stabile Mannigfaltigkeit das Dreieck nicht u ¨ ber die Strecke AB verlassen. Solange U (z) = W (z) > 0 k¨onnen wir W als Funktion von U schreiben und erhalten W dW U (1 − U ) = = −V − <0 dU U W

f¨ ur

W klein , U ∈ (0, 1) .

L¨ osungskurven in der (U, W )–Ebene k¨ onnen sich deshalb Punkten (U, 0) mit U ∈ (0, 1) nur von links n¨ ahern, und damit kann die stabile Mannigfaltigkeit die Strecke 0B nicht durch einen Punkt mit U > 0 verlassen.

6.2 Parabolische Gleichungen

369

Auf der Geraden 0A gilt U (1 − U ) 1 dW = −V − = −V − (1 − U ) . dU W µ Wir wollen nun µ so w¨ ahlen, dass auf der Geraden 0A dW >µ dU gilt. Diese Bedingung ist ¨ aquivalent zu ur alle U ∈ (0, 1) −V − µ1 (1 − U ) > µ f¨ und

U > µ2 + V µ + 1 f¨ ur alle U ∈ (0, 1) .

Wird µ groß genug gew¨ ahlt, ist diese Aussage falsch. Daraus k¨onnen wir schließen, dass die stabile Mannigfaltigkeit zu B das Dreieck ∆(0, A, B) nicht durch einen Punkt (U, W ) auf 0A mit U > 0 verlassen kann. Als einzige M¨ oglichkeit verbleibt, dass die instabile Mannigfaltigkeit den Punkt (0, 0) triﬀt und damit ist die Existenz einer travelling wave f¨ ur alle V ≤ −2 gezeigt. Die Existenz einer travelling wave kann auch elementarer ohne Resultate u ¨ ber stabile Mannigfaltigkeiten gezeigt werden, siehe Aufgabe 6.14. Die L¨ osung mit V = −2 besitzt eine besondere Bedeutung. Starten wir etwa mit Anfangsdaten mit kompaktem Tr¨ ager, so breitet sich die L¨osung asymptotisch f¨ ur große Zeiten mit zwei laufenden Wellen mit Geschwindigkeit 2 aus (siehe Abbildung 6.9). Eine Welle strebt gegen −∞ und die andere gegen ∞ und beide Wellen haben asymptotisch das travelling–wave–Proﬁl der oben diskutierten L¨ osung mit V = −2, wobei sich die nach rechts laufende Welle durch Spiegelung der oben diskutierten Welle ergibt. Dieses Beispiel macht deutlich, dass travelling–wave–L¨ osungen auch f¨ ur allgemeine Anfangsdaten relevant sind. F¨ ur weitere Details verweisen wir auf Murray [95], Band 1, Seite 443. 6.2.12 Turing–Instabilit¨ at und Musterbildung Wir betrachten zun¨ achst lineare Systeme gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen der Form x (t) = Ax(t) ,

x (t) = Bx(t)

mit

x(t) ∈ R2 , A, B ∈ R2×2 .

Ist x ≡ 0 stabile L¨ osung f¨ ur beide Diﬀerentialgleichungssysteme, so w¨ urden wir naiverweise erwarten, dass x ≡ 0 auch stabile L¨osung von x = (A + B)x

370

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen u

u

1

1

t=0

u 1 V = −2

t>0

V =2 t0

Abb. 6.9. F¨ ur große Zeiten bilden sich bei L¨ osungen der Fisher–Gleichung mit kompakten Anfangsdaten Wellen aus, deren Geschwindigkeit −2 beziehungsweise 2 ist. Das Proﬁl der einzelnen Wellen entspricht der in Abschnitt 6.2.11 betrachteten travelling–wave–L¨ osung.

ist. Dies ist allerdings nicht der Fall, wie wir nun sehen werden. Falls die Matrizen A beziehungsweise B Eigenwerte mit negativen Realteilen haben, so ist x ≡ 0 stabile L¨ osung. Existiert dagegen ein Eigenwert mit positivem Realteil, so ist x ≡ 0 instabil. Diese Aussagen haben wir in Abschnitt 4.6 diskutiert. Wir k¨ onnen den Fall negativer Eigenwerte λ1 , λ2 durch die Bedingungen λ1 + λ2 = spur B < 0 und

λ1 λ2 = det B > 0

charakterisieren. Wir wollen nun zeigen, dass folgender Fall m¨oglich ist + spur A < 0 , det A > 0 aber det (A + B) < 0 . (6.80) spur B < 0 , det B > 0 In diesem Fall muss einer der Eigenwerte von A + B einen positiven Realteil besitzen. Zur Vereinfachung betrachten wir −1 0 ae A= mit d > 0 und B = , a, b, c, e ∈ R . 0 −d cb Damit (6.80) gilt, verlangen wir a + b < 0 , ab > ce

und (a − 1)(b − d) < ce .

Diese Bedingungen k¨ onnen wir auf vielf¨ altige Weise erf¨ ullen. Es ergibt sich zum Beispiel im Fall −1 0 2 3 A= ,B= , 0 −8 −3 −3 dass x ≡ 0 f¨ ur x = (A + B)x instabil ist.

6.2 Parabolische Gleichungen

371

Die Beobachtung, dass Systeme, die f¨ ur sich alleine genommen stabil sind, zu Instabilit¨ aten f¨ uhren k¨ onnen, wenn sie zusammengef¨ uhrt werden, ist der Kern einer Idee von Turing aus dem Jahre 1952. Turing betrachtete ein ¨ahnliches Ph¨ anomen f¨ ur Reaktions–Diﬀusionssysteme und leitete vielf¨altige Musterbildungsszenarien her. Instabilit¨ aten vom oben diskutierten Charakter werden ¨ Turing–Instabilit¨aten genannt, und wir wollen im Folgenden diese Uberlegungen f¨ ur Reaktions–Diﬀusionssysteme skizzieren. Wir betrachten dazu ein schon entdimensionalisiertes Reaktions–Diﬀusionssystem in einem Gebiet Ω von der Form ur x ∈ Ω , t ≥ 0 , ∂t u = ∆u + γ f (u, v) f¨

(6.81)

∂t v = d∆v + γ g(u, v) f¨ ur x ∈ Ω , t ≥ 0

(6.82)

mit Neumann–Randbedingungen ∇u · n = 0 ,

∇v · n = 0 f¨ ur x ∈ ∂Ω , t ≥ 0 .

Die Diﬀusionskonstante d sei positiv und die Funktionen f und g beschreiben die Reaktionskinetik oder etwa andere Wechselwirkungen zwischen u und v. Die Konstante γ > 0 gibt die relative St¨ arke der Reaktionsterme im Vergleich zu den Diﬀusionstermen wieder. Im Fall γ = 0 entkoppeln die Gleichungen und L¨osungen konvergieren f¨ ur t → ∞ gegen einen konstanten Zustand (vergleiche dazu Aufgabe 6.15). Das w¨ urden wir auch erwarten, da Diﬀusion Unterschiede in der Konzentration ausgleicht. Wir erhalten also, dass station¨ are L¨osungen (u, v) ≡ (u0 , v0 ) ∈ R2 stabil sind. Turing beobachtete nun, dass es Zust¨ ande (u0 , v0 ) ∈ R2 geben kann, die instabil f¨ ur das volle System (6.81), (6.82) sind, obwohl sie stabile L¨osungen des Diﬀerentialgleichungssystems ∂t u = γ f (u, v) ,

∂t v = γ g(u, v)

(6.83)

sind. Es liegt also eine ¨ ahnliche Situation vor, wie am Anfang dieses Abschnitts diskutiert. Der Zustand (u0 , v0 ) ist stabil f¨ ur die einzelnen Systeme, kombinieren wir aber Reaktion und Diﬀusion, so wird (u0 , v0 ) instabil. Diese diﬀusionsgetriebene Instabilit¨at f¨ uhrt zu r¨ aumlich inhomogenen Mustern (siehe z.B. Murray [95]). Man spricht von Selbstorganisation, da die Neumannrandbedingungen implizieren, dass kein Einﬂuss von außen auf das System genommen wird. Wir wollen nun im Einzelnen diskutieren, wann es zu solchen Instabilit¨ aten kommen kann. Wir betrachten (u0 , v0 ) ∈ R2 mit f (u0 , v0 ) = 0 ,

g(u0 , v0 ) = 0 .

Damit (u0 , v0 ) stabile L¨ osung von (6.83) ist, verlangen wir, dass

372

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

A=

f,u (u0 , v0 ) f,v (u0 , v0 ) g,u (u0 , v0 ) g,v (u0 , v0 )

nur Eigenwerte mit negativem Realteil besitzt. Dabei bezeichnen f,u , f,v , usw. partielle Ableitungen nach den Variablen u beziehungsweise v. Nach unseren ¨ Uberlegungen weiter oben ist dies garantiert, falls det A = f,u g,v − f,v g,u > 0 .

spur A = f,u + g,v < 0 ,

Linearisieren wir nun das volle System (6.81), (6.82) um (u0 , v0 ), so erhalten wir das System linearer partieller Diﬀerentialgleichungen 10 ∂t W = D∆W + γAW mit D = 0d u − u0 W = . v − v0

f¨ ur

Zur Vereinfachung wollen wir uns im Folgenden auf den r¨aumlich eindimensionalen Fall Ω = (0, a), a > 0 beschr¨ anken. Mit dem Separationsansatz W (t, x) = h(t) g(x) c

c ∈ R2

mit

(6.84)

erhalten wir eine L¨ osung der linearisierten Gleichung, genau dann wenn h gc = hg Dc + γhgAc .

(6.85)

Im Fall h(t) = 0, g(x) = 0 ist diese Identit¨ at ¨ aquivalent zu g (x) h (t) c= Dc + γAc . h(t) g(x) Da die linke Seite nur von t und die rechte Seite nur von x abh¨angt, m¨ ussen Konstanten λ, µ ∈ R existieren, so dass h = λh , g = −µg ,

g (0) = g (a) = 0 .

Die letzte Gleichung besitzt L¨ osungen, falls µ = µk =

kπ a

2 ,

k = 0, 1, 2, 3, . . .

und die L¨ osungen sind Vielfache von gk (x) = cos

kπx a

.

(6.86)

6.2 Parabolische Gleichungen

373

Gleichung (6.85) besitzt L¨ osungen, falls f¨ ur k ∈ N Werte λ ∈ R und Vektoren c ∈ R2 existieren mit (−µk D + γA)c = λc . (6.87) Damit eine L¨ osung W der Darstellung (6.84) im Lauf der Zeit w¨achst, muss diese Gleichung L¨ osungen mit Re λ > 0 besitzen. Gleichung (6.87) besitzt nichttriviale L¨ osungen, falls λ die Gleichung det (λ Id − γA + µk D) = 0 l¨ ost. Dies entspricht der quadratischen Gleichung λ2 + a1 (µk ) λ + a0 (µk ) = 0

(6.88)

mit Koeﬃzienten a0 (s) = d s2 − γ(d f,u + g,v )s + γ 2 det A , a1 (s) = s(1 + d) − γ(f,u + g,v ) . Als L¨ osung erhalten wir λ1,2 = −

a1 (µK ) 1 ± 2 (a1 (µK ))2 − 4a0 (µK ) . 2

Die Bedingungen f,u + g,v < 0 und d > 0 implizieren a1 (µK ) ≥ 0 f¨ ur

µK ≥ 0 .

Eine L¨ osung von (6.88) mit positivem Realteil kann deshalb nur dann existieren, wenn a0 (µK ) < 0 gilt. Wegen det A > 0, µK ≥ 0 und d > 0 kann dieser Fall aber nur eintreten, wenn d f,u + g,v > 0

(6.89)

gilt. Da f,u + g,v < 0 ist, erhalten wir die notwendige Bedingung d = 1 . Gilt nun f,u > 0

und g,v < 0 ,

so k¨ onnen wir hoﬀen (6.89) zu erf¨ ullen, falls d > 1. ur mindeDamit wir L¨ osungen mit positivem Realteil erhalten, muss a0 (s) f¨ stens ein positives s negativ sein. Als Minimum von a0 erhalten wir . / d f,u + g,v (d f,u + g,v )2 2 mit a0 (smin ) = γ det A − smin = γ , 2d 4d wobei der letzte Term negativ werden muss, damit wir L¨osungen λ mit Re λ > 0 erhalten. Da det A = f,u g,v −f,v g,u gilt, haben wir insgesamt also die folgenden Bedingungen zu erf¨ ullen, um eine Turing–Instabilit¨at zu erhalten

374

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

f,u + g,v < 0 , f,u g,v − f,v g,u > 0 , d f,u + g,v > 0 , (d f,u + g,v )2 − 4d (f,u g,v − f,v g,u ) > 0 . Falls die Bedingungen der ersten Zeile hier erf¨ ullt sind, dann gelten die Bedingungen der zweiten Zeile im Fall f,u > 0 und g,v < 0 genau dann, wenn d groß genug ist. Eine genauere Untersuchung ergibt die Existenz eines kritischen ur alle d > dc Instabilit¨aten vorkommen. Diﬀusionskoeﬃzienten dc , so dass f¨ In Abbildung 6.11 zeigen wir, wie a0 f¨ ur verschiedene Diﬀusionskoeﬃzienten d aussieht. In Abbildung 6.12 stellen wir den gr¨oßeren der beiden Realteile der L¨ osungen von (6.88) als Funktion von µ dar und wir sehen, dass es f¨ ur d > dc ein ganzes Intervall mit instabilen Wellenzahlen gibt. F¨ ur eine detailliertere Analyse verweisen wir auf Murray [95]. Ein einfaches Reaktions–Diﬀusionssystem mit einer Turing–Instabilit¨at ist das Schnakenberg–System ∂t u = ∆u + γ(a − u + u2 v) , 2

∂t v = d∆v + γ(β − u v) , α, β ∈ R , d > 0 ,

(6.90) (6.91)

das in Aufgabe 6.16 diskutiert wird. Dort wird auch die Frage untersucht, wie groß Ω sein muss, damit eine Turing–Instabilit¨at beobachtet werden kann. Es 2 im muss n¨ amlich garantiert sein, dass ein k ∈ N existiert, so dass µk = kπ a instabilen Bereich liegt, siehe dazu Abbildung 6.12. Allgemeinere L¨osungen des linearisierten Systems k¨ onnen durch unendliche Linearkombinationen von L¨ osungen der Form (6.84) erhalten werden. Nach einer gewissen Zeit werden Anteile der L¨ osung, die einem µ entsprechen, f¨ ur das Re λ > 0 groß ist, besonders verst¨ arkt werden, wohingegen die Anteile mit Re λ < 0 ged¨ampft werden. Die Anteile, die besonders verst¨ arkt werden, pr¨agen der allgemeinen L¨osung dann ihr Muster auf. Das Muster entsteht dadurch, dass die Wellenl¨ange, die besonders verst¨ arkt wird, f¨ ur große Zeiten die Form der L¨osung dominiert, wie in Abbildung 6.13 angedeutet. Wir werden dieses Ph¨anomen im n¨achsten Abschnitt am Beispiel einer skalaren Gleichung verdeutlichen. Im Buch von Murray [95] wird auch der zweidimensionale Fall diskutiert und es wird gezeigt, wie die Turing-Instabilit¨ at zu einer Vielfalt von Mustern f¨ uhren kann. Als Beispiele werden die Entstehung von Fellmustern bei Tieren (Zebras, Leoparden,...), Schmetterlingsﬂ¨ ugel, chemische Reaktionsmuster und Muster auf Schneckengeh¨ ausen diskutiert. Komplexe Muster entstehen zum Beispiel dadurch, dass auf komplizierteren Gebieten die Eigenfunktionen zum Randwertproblem, vgl. (6.86), ∆g = −µg in Ω ,

∇g · n = 0 auf ∂Ω

vielf¨ altige Nullniveaulinien (sogenannte Knotenlinien) haben k¨onnen. Diese k¨ onnen Streifen- beziehungsweise Punktmuster oder Kombinationen aus solchen aufweisen. Geh¨ oren die Eigenfunktionen zu einem Eigenwert µ, der besonders verst¨ arkt wird, so werden wir gerade dieses Muster als Ergebnis des

6.2 Parabolische Gleichungen

375

Reaktions–Diﬀusionsprozesses beobachten. Abbildung 6.10 zeigt in (a)–(c) numerische Simulationen von Murray [95] f¨ ur das Reaktions–Diﬀusions–System ∂t u = ∆u + γ f (u, v) , f (u, v) = a − u − h(u, v) , uv h(u, v) = 1 + u + Ku2

∂t v = d∆v + γ g(u, v) , g(u, v) = α(b − v) − h(u, v) ,

(6.92) (6.93) (6.94)

mit positiven Konstanten a, b, α, , K und d > 1.

Abb. 6.10. (aus Murray [95]). Die Abbildungen (a)–(c) zeigen numerische Simulationen f¨ ur das System (6.92)–(6.94) mit Neumann–Randbedingungen. Die Abbildungen (d)–(g) zeigen typische Fellzeichnungen: (d) erwachsener Cheetah (e) erwachsener Jaguar (f) Kleinﬂeck–Ginsterkatze (pr¨ anatal) (g) erwachsener Leopard.

Das System wurde mit Neumann–Randbedingungen f¨ ur die Parameter α = 1,5 , K = 0,1 , = 18,5 , a = 92 , b = 64 und d = 10 gel¨ost. Mit diesen Werten ist (u0 , v0 ) = (10, 9) eine station¨ are L¨ osung. Als Anfangsdaten wurde ur positive Zeiten eine St¨ orung der station¨ aren L¨ osung (u0 , v0 ) gew¨ahlt und f¨ wurden Bereiche mit u > us (in den Abbildungen (a) und (b)) beziehungsweise mit u < us (in Abbildung (c)) dunkel dargestellt. Es zeigt sich klar, dass sich in Abh¨ angigkeit von der Gebietsgr¨ oße verschiedene Muster bilden, die an Fellmuster von unterschiedlichen Großkatzen erinnern. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auch auf einen Artikel von Fiedler [37], in dem Fragen zur Turing–Instabilit¨ at und zur Selbstorganisation in Zusammenhang mit Romeo und Julia gebracht werden und auf Arbeiten von

376

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Gierer und Meinhardt [46] und Meinhardt [88], die eine Reihe sch¨oner Computersimulationen von Turing–Systemen zeigen und die entstehenden Muster mit denen von Schneckengeh¨ ausen vergleichen. a0 (µ)

d < dc d = dc d > dc

detA

0

µ1

µc

µ2

µ

Abb. 6.11. Turing–Instabilit¨ at: Falls der Diﬀusionskoeﬃzient d gr¨ oßer als dc wird, k¨ onnen Instabilit¨ aten auftreten.

Re λ f¨ uhrt zu instabilen Wellenl¨ angen

0

µ1 µc

µ2

µ

d > dc d < dc d = dc Abb. 6.12. Turing–Instabilit¨ at: F¨ ur große d gibt es Eigenwerte λ in (6.87) mit positivem Realteil, so dass instabile Wellenl¨ angen auftreten k¨ onnen.

6.2 Parabolische Gleichungen

377

Wachstumsrate u

Re λ Die instabilste“ ” Wellenzahl

3

4 Wellenzahl k (1/L¨ ange)

u

Abb. 6.13. Diese Abbildung zeigt ein typisches Resultat einer linearen Stabilit¨ atsanalyse. Gewisse Wellenl¨ angen werden ged¨ ampft, andere verst¨ arkt.

6.2.13 Cahn–Hilliard–Gleichung und Musterbildung In diesem Abschnitt wollen wir Musterbildungsprozesse in einer skalaren Gleichung vierter Ordnung untersuchen. Die Cahn–Hilliard–Gleichung beschreibt Diﬀusionsvorg¨ ange f¨ ur eine zweikomponentige Mischung. Es seien c1 und c2 die Konzentrationen der beiden auftretenden Komponenten und wir setzen voraus, dass das betrachtete System isotherm und isobar ist und ein Gebiet Ω ⊂ Rd einnimmt. Dann gelten wie in Abschnitt 5.5 die Erhaltungss¨atze ∂t ci + ∇ · ji = 0 , i = 1, 2 .

(6.95)

In (5.8) setzen wir dabei M = 2, v = 0, r1 = r2 = 0 und = 1. Die Konzentrationen c1 , c2 geben den lokalen Anteil der Konzentrationen an, und daher fordern wir c1 + c2 = 1 und, damit ∂t (c1 + c2 ) = 0 gew¨ahrleistet ist, j1 + j2 = 0. Wir k¨ onnen das System dann auf die unabh¨angigen Variablen c = c1 − c2

und j = j1 − j2

reduzieren. In Abschnitt 6.6 haben wir schon diskutiert, dass das chemische Potential die treibende ur die Evolution ist. Betrachten wir nun " Kraft f¨ freie Energien der Form Ω f (c) dx, so ergibt sich der Fluss j = −L∇µ mit µ = f (c) und einer Mobilit¨ at L ≥ 0. Ist f (c) < 0, so ﬂießt Masse von Bereichen niedriger Konzentration in Bereiche hoher Konzentration ( uphill“– ” Diﬀusion). Es zeigt sich, dass L¨ osungen zu der entstehenden partiellen Diﬀe rentialgleichung ∂t c = ∇ · (Lf (c)∇c) nicht mehr stetig von den Anfangsdaten abh¨ angen, siehe z.B. Aufgabe 6.20. F¨ ur nichtkonvexe Energiedichten f ist die Gleichung nicht mehr parabolisch und kann im Allgemeinen nicht gel¨ost werden, vgl. [36], [69], [100]. In vielen F¨ allen und insbesondere immer dann, wenn Phasen¨ uberg¨ ange zu modellieren sind, treten allerdings nichtkonvexe

378

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

freie Energien auf. Cahn und Hilliard schlugen vor, die gesamte freie Energie in solchen Situationen durch # $ γ f (c) + |∇c|2 dx mit γ > 0 konstant F (c) = 2 Ω zu modellieren. Es zeigt sich, dass der zus¨ atzliche Gradiententerm als Energie von Phasengrenzen interpretiert werden kann, vgl. Abschnitt 7.9. In diesem Fall deﬁnieren wir das chemische Potential als Variationsableitung wie folgt ; δF < d µ, v := , v := F (c + εv)|ε=0 f¨ ur alle v ∈ C01 (Ω) . δc dε ¨ Nach partieller Integration ergibt sich analog zu den Uberlegungen in Abschnitt 6.1 µ = −γ∆c + f (c) . Im Folgenden sei f ein nichtkonvexes Potential, wie zum Beispiel das sogenannte Doppelmuldenpotential 2 f (c) = α c2 − a2 , α, a ∈ R+ . Insgesamt ergibt sich die Cahn–Hilliard–Gleichung als ∂t c = L∆(−γ∆c + f (c)) .

(6.96)

Wir betrachten nun die Cahn–Hilliard–Gleichung im Quader Ω = [0, ]d ,

> 0,

mit periodischen Randbedingungen. Dann pr¨ ufen wir einfach nach (Aufgabe 6.17) d c dx = 0 , (6.97) dt Ω # $ γ d |∇c|2 + f (c) dx ≤ 0 . (6.98) dt Ω 2 Der Integralausdruck in (6.98) ist die freie Energie und (6.98) bedeutet also, dass die freie Energie nicht wachsen kann. Wir betrachten homogene station¨ are L¨ osungen c ≡ c m , cm ∈ R mit

f (cm ) < 0

und werden sehen, dass diese L¨ osungen instabil sein k¨onnen. Tats¨achlich kann eine kleine St¨ orung zu einer Bildung von Mustern im Cahn–Hilliard–Modell f¨ uhren. Da die Gesamtmasse erhalten bleiben muss, betrachten wir St¨orungen

6.2 Parabolische Gleichungen

379

c = cm + u

mit

u dx = 0 .

(6.99)

Ω

Linearisierung von (6.96) um cm ergibt f¨ ur L = 1 ∂t u = (−∆) γ∆u − f (cm )u .

(6.100)

Die Eigenfunktionen des Operators u → (−∆) γ∆u − f (cm )u sind bei periodischen Randbedingungen gegeben durch ϕk (x) = eik·x mit k ∈

2π d

Z

\ {0}. Die zugeh¨ origen Eigenwerte sind λk = |k|2 − γ|k|2 − f (cm ) .

(6.101)

Allgemeine L¨ osungen von (6.100) mit der Eigenschaft (6.99) lassen sich durch unendliche Linearkombinationen wie folgt konstruieren eλk t eik·x . (6.102) u(t, x) = d k∈ 2π Z \{0}

Die Funktion u ≡ 0 ist nun instabile L¨ osung von (6.100), falls der gr¨oßte Eigenwert positiv ist. Wir sehen schon, dass dies nicht auftreten kann, wenn f (cm ) > 0 gilt.

(a) t = 0,01

(b) t = 0,05

(c) t = 1,5

(d) t = 3

Abb. 6.14. L¨ osung der Cahn–Hilliard–Gleichung mit Neumann–Randdaten f¨ ur c und ∆c mit einer leichten St¨ orung eines instabilen station¨ aren Zustandes als Startwert.

Es folgt aus (6.101) . /2 f (cm ) f (cm )2 + λk = −γ |k|2 + 2γ 4γ

(6.103)

380

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

und wir erhalten aus (6.101) und (6.102), dass die instabilste Wellenl¨ange = 2π/|k| im Fall f (cm ) < 0 durch 2γ (6.104) = 2π − f (cm ) gegeben ist. Tats¨ achlich beobachtet man diese L¨angenskala in numerischen Simulationen. In Abbildung 6.14 ist eine numerische Simulation der Cahn– Hilliard–Gleichung dargestellt. Dort wurde zum Zeitpunkt t = 0 eine leichte St¨ orung einer konstanten instabilen L¨ osung als Anfangsdaten gegeben, und die L¨ osung wird zu verschiedenen positiven Zeiten gezeigt. Die Werte von c sind auf einer Grauskala angedeutet. Die L¨ osungsskala, die im ersten Bild (a) zu sehen ist, ergibt sich aus Formel (6.104). In Abbildung 6.15 ist λk gegen |k|2 aufgetragen. Wir sehen insbesondere, dass es ein Intervall von Werten von |k|2 gibt, die zu Instabilit¨ aten f¨ uhrt. Wir sehen auch, dass λk genau dann stabil ist, wenn f (cm ) < |k|2 . − γ Falls also f¨ ur gilt f (cm ) 4π 2 γ − < 2 beziehungsweise < 2π − , γ f (cm ) dann werden wir die Instabilit¨ at nicht beobachten. Insbesondere folgt also, dass das Gebiet Ω groß genug sein muss, um die Instabilit¨at zuzulassen. λk

−f

(c

m)

4γ

−f

(cm ) 2γ

|k|2

Abb. 6.15. Zur linearen Stabilit¨ atsanalyse der Cahn–Hilliard–Gleichung: die Abh¨ angigkeit der Eigenwerte von der Wellenzahl

6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen Die dritte wichtige Klasse partieller Diﬀerentialgleichungen sind hyperbolische Diﬀerentialgleichungen. In Kapitel 5 hatten wir zwei leicht unterschiedliche

6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen

381

Typen hyperbolischer Gleichungen kennengelernt: Das Euler–System ist ein Beispiel f¨ ur ein hyperbolisches System erster Ordnung, w¨ahrend die Wellengleichung ein hyperbolisches System zweiter Ordnung ist. Die Analysis beider Systeme weist deutliche Unterschiede auf. In diesem Abschnitt betrachten wir ausschließlich hyperbolische Gleichungen erster Ordnung. Wir beschr¨anken uns dabei auf den einfachsten Fall einer skalaren Gleichung. Wir betrachten die nichtlineare skalare hyperbolische Erhaltungsgleichung f¨ ur t > 0 , x ∈ R , ∂t u(t, x) + ∂x F (u(t, x)) = 0 (6.105) u(0, x) = g(x) f¨ ur x ∈ R mit einer im Allgemeinen nichtlinearen Funktion F : R → R. F¨ ur F (u) = 12 u2 , d.h. ∂x F (u) = u ∂x u, spricht man von der Burgers–Gleichung. Diese Gleichung kann man als stark vereinfachte skalare Variante der Euler–Gleichungen ∂t + ∇ · ( v) = 0 , ∂t v + v · ∇v = −∇(p()) f¨ ur isotherme inkompressible Gase auﬀassen. L¨ osung mit der Methode der Charakteristiken Partielle Diﬀerentialgleichungen erster Ordnung k¨onnen mit der Charakteristikenmethode gel¨ ost werden. Eine Charakteristik s → x(s) ist in diesem Fall eine Kurve, l¨angs derer sich eine L¨ osung u einer partiellen Diﬀerentialgleichung durch die L¨ osung einer gew¨ o hnlichen Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Funktion s → z(s) = u s, x(s) darstellen l¨ asst. Im Fall der hyperbolischen Erhaltungsgleichung (6.105) gilt z (s) = ∂t u s, x(s) + ∂x u s, x(s) x (s) . W¨ ahlt man s → x(s) als L¨ osung von x (s) = F (z(s)) ,

(6.106)

dann ist z (s) = 0; es gilt also z(s) = u(s, x(s)) = z(0) = g(x(0)) . Man erh¨ alt dadurch die L¨ osungsformel u(t, x(t)) = g(x(0)) f¨ ur alle t > 0 . Dies bedeutet, dass die L¨ osung entlang einer charakteristischen Kurve s → x(s) konstant ist. Die charakteristischen Kurven selbst sind dann aﬃn linear.

382

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Beispiel 1: Die Transportgleichung. F¨ ur F (u) = cu gilt F (u) = c, damit folgt x (s) = c, also x(s) = cs + x0 mit x0 = x(0). Die L¨ osung der Gleichung lautet also u(t, ct + x0 ) = g(x0 ) oder, mit der R¨ ucktransformation x0 = x − ct, u(t, x) = g(x − ct) .

(6.107)

Beispiel 2: Die Burgersgleichung. F¨ ur F (u) = 12 u2 erh¨alt man die Charakteristikengleichung x (s) = z(s) = z(0) = g(x0 ) , also x(s) = x0 + s g(x0 ) und damit u(t, x0 + t g(x0 )) = g(x0 ) .

(6.108)

Die Charakteristiken sind Geraden in der (x, t)–Ebene mit Steigung 1/g(x0 ). Zur Herleitung einer L¨ osungsformel (t, x) → u(t, x) muss man hier die Gleichung x = x0 + t g(x0 ) nach x0 = x0 (t, x) auﬂ¨osen. Wir betrachten im Folgenden ein sogenanntes Riemann–Problem, das ist ein Problem mit st¨ uckweise konstanten Anfangsdaten g(x) =

a b

f¨ ur x < 0 , f¨ ur x > 0 .

Die zugeh¨ origen Charakteristiken sind in Abbildung 6.16 skizziert. Im Fall a > b gibt es einen Bereich, in dem sich die Charakteristiken schneiden. F¨ ur jeden Punkt aus diesem Bereich schl¨ agt die Formel (6.108) zwei verschiedene Werte der L¨ osung vor. Im Fall a < b gibt es einen Bereich, in dem Formel (6.108) u ur die L¨ osung liefert, da es keine Charakteri¨ berhaupt keine Werte f¨ stiken gibt, die Punkte aus diesem Bereich mit Anfangsdaten verbinden. Bei nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen liefern die Charakteristiken also nur ein unvollst¨ andiges Bild der L¨ osung. Ein Grund hierf¨ ur ist, dass die Gleichung x = x0 + t g(x0 ) im Allgemeinen nicht nach x0 aufgel¨ ost werden kann. Die durch sich schneidende Charakteristiken entstehenden Schwierigkeiten treten im u ¨brigen auch bei glatten Anfangsdaten auf. Beispielsweise werden sich f¨ ur die Anfangsdaten g(x) =

1 −1

f¨ ur x < −1 , f¨ ur x > 1

6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen t

383

t

x

x

Abb. 6.16. Charakteristiken des Riemann–Problems zur Burgers–Gleichung f¨ ur Anfangsdaten a > b (links) und a < b (rechts). Die Steigung der Charakteristiken ist reziprok zu den entsprechenden Anfangsdaten.

eine Charakteristik mit Anfangspunkt (0, x1 ) f¨ ur x1 < −1 und eine Charakteristik mit Anfangspunkt (0, x2 ) f¨ ur x2 > 1 immer schneiden, unabh¨angig davon, wie die Anfangsdaten auf dem fehlenden Intervall (−1, 1) deﬁniert sind. Dieses Beispiel zeigt, dass f¨ ur nichtlineare hyperbolische Gleichungen der klassische L¨ osungsbegriﬀ nicht ausreichend ist. Schwache L¨ osungen, die Rankine–Hugoniot–Bedingung Einen schw¨ acheren L¨ osungsbegriﬀ bekommt man, wenn man Gleichung (6.105) mit einer glatten Testfunktion multipliziert, bez¨ uglich Raum und Zeit integriert, und bez¨ uglich aller auftretenden Ableitungen partiell integriert. Die Voraussetzungen an die L¨ osungen kann man dann darauf reduzieren, dass die gesuchte Funktion lokal integrierbar sein muss, die Funktion also im Raum L1,loc (R+ × R) liegt. Deﬁnition 6.17. Eine Funktion u ∈ L1,loc (R+ × R) heißt schwache L¨osung von (6.105), wenn f¨ ur alle w ∈ C01 ([0, ∞) × R) u ∂t w + F (u) ∂x w dx dt + g w(0, ·) dx = 0 . R+

R

R

Diese Formulierung l¨ asst Unstetigkeiten der L¨ osung zu. Wir werden nun zeigen, dass an Unstetigkeiten eine spezielle Bedingung erf¨ ullt sein muss, die sogenannte Rankine–Hugoniot–Bedingung. Wir betrachten dazu eine schwache L¨ osung u, die l¨ angs einer Kurve Γ unstetig sein kann, außerhalb Γ aber glatt genug ist. Die Kurve Γ sei gegeben durch

Γ = (t, s(t)) | t ∈ R+ mit einer geeigneten, glatten Funktion t → s(t). Insbesondere teilt die Kurve das Gebiet R+ × R in die drei Mengen Γ ,

384

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Q− = (t, x) | x < s(t), t ∈ R+ und Q+ = (t, x) | x > s(t), t ∈ R+ . Es sei vorausgesetzt, dass u|Q− und u|Q+ sich stetig diﬀerenzierbar auf Q− bzw. Q+ fortsetzen lassen. Aus der schwachen Formulierung folgt f¨ ur eine Testfunktion w mit w(0, x) = 0 durch partielle Integration in Q− und in Q+ u ∂t w + F (u) ∂x w dx dt 0= R R + u ∂t w + F (u) ∂x w dx dt + u ∂t w + F (u) ∂x w dx dt = Q− Q + ∂t u + ∂x F (u) w dx dt + u− nt,− + F (u− )nx,− ds(t,x) =− Q− Γ ∂t u + ∂x F (u) w dx dt + u+ nt,+ + F (u+ )nx,+ ds(t,x) . − Q+

Γ

Dabei bezeichnen u− und u+ die Grenzwerte von u aus Q− und Q+ auf Γ und n± = (nt,± , nx,± ) sind die Normalenvektoren auf Γ , orientiert ins Außengebiet von Q± . Diese Normalenvektoren lassen sich darstellen als 1 −s(t) ˙ n− = und n+ = −n− . 1 1 + s˙ 2 (t) W¨ ahlen wir Testfunktionen, die auf Γ verschwinden, so folgt, dass die Diﬀerentialgleichung ∂t u+∂x F (u) = 0 in Q− und Q+ gilt. Da die Volumenintegrale in obiger Formel also gleich Null sind, folgt 0= (u− − u+ )nt,− + (F (u− ) − F (u+ ))nx,− w ds(t,x) Γ

f¨ ur jede Testfunktion w. Es gilt also punktweise auf Γ (u− − u+ )nt,− + (F (u− ) − F (u+ ))nx,− . Bezeichnet man mit V := s˙ die Geschwindigkeit, mit der sich die Unstetigkeitsstelle fortbewegt, so folgt die Bedingung (6.109) F (u+ ) − F (u− ) = V (u+ − u− ) . Das ist die Rankine–Hugoniot–Bedingung. Sie besagt, dass der Sprung im Fluss F (u) gleich der Geschwindigkeit der Unstetigkeitsstelle mal dem Sprung der L¨ osung ist. Bedingung (6.109) hatten wir schon einmal formuliert, siehe (6.73). Dort wurde gezeigt, dass sich als notwendige Bedingung daf¨ ur, dass sich zwei konstante osung der Gleichung Grenzwerte lim u(t, x) der L¨ x→±∞

6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen

∂t u + ∂x (f (u)) = η ∂x2 u

385

(6.110)

durch eine wandernde Welle verbinden lassen, die Rankine–Hugoniot Bedingung gelten muss. Aus (6.110) erhalten wir (6.105) durch einen Grenz¨ ubergang η → 0. In diesem Sinne l¨ aßt sich die hyperbolische Erhaltungsgleichung als singul¨arer Limes einer Familie von Gleichungen parabolischen Typs interpretieren. Wie wir auch sp¨ ater noch sehen werden, h¨angen die meisten Schwierigkeiten bei der Analysis hyperbolischer Erhaltungsgleichungen damit ucksichtigt wird. F¨ ur Dezusammen, dass der Viskosit¨ atsterm η ∂x2 u nicht ber¨ tails verweisen wir auf das Buch von Smoller [109]. Mit Hilfe der Rankine–Hugoniot–Bedingung k¨ onnen wir nun eine eindeutige L¨ osung f¨ ur das Riemannproblem zur Burgersgleichung im Fall a > b ﬁnden. Wir erwarten eine Unstetigkeit der L¨ osung entlang einer Kurve, die L¨osungswerte u− = a und u+ = b trennt. Aus der Rankine–Hugoniot–Bedingung folgt daraus die Geschwindigkeit der Unstetigkeitsstelle V =

a+b 1 b 2 − a2 F (u+ ) − F (u− ) = . = u+ − u− 2 b−a 2

Die zugeh¨ orige L¨ osung lautet u(t, x) =

a b

f¨ ur x < f¨ ur x >

a+b 2 t, a+b 2 t.

(6.111)

Die Unstetigkeit einer solchen L¨ osung nennt man einen Schock. Die Entropiebedingung Wir betrachten nun die Burgers–Gleichung mit Anfangsbedingungen u(0, x) = a f¨ ur x < 0 und u(0, x) = b f¨ ur x > 0 mit a < b. In diesem Fall kann man mit der Rankine–Hugoniot–Bedingung eine unstetige L¨osung konstruieren, die Geschwindigkeit des entsprechenden Schocks lautet V = a+b 2 : u(t, x) =

a b

f¨ ur x < f¨ ur x >

a+b 2 t, a+b 2 t.

Die Charakteristiken dieser L¨ osung sind in Abbildung 6.17 rechts skizziert. Neben dieser unstetigen L¨ osung existiert aber auch eine stetige L¨osung, die man durch lineare Interpolation der Werte u(t, at) = a und u(t, bt) = b f¨ ur x ∈ (at, bt) erh¨ alt: ⎧ ⎪ ur x < at , ⎨a f¨ x u(t, x) = t f¨ (6.112) ur at < x < bt , ⎪ ⎩ b f¨ ur x > bt .

386

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen t

t

x

x

Abb. 6.17. Verd¨ unnungswelle (links) und unphysikalischer Schock (rechts). Abgebildet sind die Schocklinie und ausgew¨ ahlte Charakteristiken. Der unphysikalische Schock erf¨ ullt die Entropiebedingung nicht.

Man pr¨ uft leicht nach, dass diese L¨ osung f¨ ur x ∈ / {at, bt} die Diﬀerentialgleichung erf¨ ullt und dass auf den Linien x = at und x = bt wegen u+ = u− und F (u+ ) = F (u− ) die Rankine–Hugoniot–Bedingung gilt. Die Charakteristiken der L¨ osung sind in Abbildung 6.17 links skizziert. Die L¨osung hat eine Verd¨ unnungswelle im Bereich x ∈ (at, bt). Es gibt noch viele weitere L¨osungen, beispielsweise kann man eine weitere unstetige L¨osung mit zwei Schocks konstruieren, indem man einen weiteren L¨ osungswert c ∈ (a, b) ausw¨ahlt und einen Bereich mit konstanter L¨ osung u(t, x) = c bestimmt. Aus der Rankine– Hugoniot–Bedingung folgen die Schockgeschwindigkeiten Va,c =

a+c c+b und Vc,b = . 2 2

Die entsprechende L¨ osung lautet also ⎧ ⎪ ur x < a+c ⎨a f¨ 2 t, a+c u(t, x) = c f¨ ur 2 t < x < ⎪ ⎩ b f¨ ur x > c+b 2 t.

c+b 2 t,

(6.113)

Durch analoge Konstruktionsprinzipien kann man L¨osungen durch Kombinationen beliebiger Anzahlen von Schocks und auch Verd¨ unnungswellen konstruieren. Wir stehen nun vor der Frage, aus dieser Vielzahl von L¨osungen eine sinnvolle L¨ osung auszuw¨ ahlen. Eine naheliegende Vermutung ist, dass die stetige L¨ osung (6.112) die sinnvollste ist. Wir werden daf¨ ur nun einige Argumente vorbringen. •

Die Charakteristiken sind die Kurven, l¨ angs derer die Informationen u ¨ ber die Anfangsdaten transportiert werden. Bei der unstetigen L¨osung (6.111) f¨ ur a > b enden die Charakteristiken im Schock, und der Verlauf des Schocks ergibt sich aus den Informationen u ¨ ber die Anfangsdaten, die durch die Charakteristiken in den Schock hineintransportiert werden. Bei allen unstetigen L¨ osungen f¨ ur a < b laufen Charakteristiken aus dem Schock heraus. Das bedeutet, dass der Schock keine Informationen erh¨alt, sondern Informationen quasi aus nichts“ erzeugt. ”

6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen

387

b

a ε 2

ε 2

Abb. 6.18. Approximation unstetiger Anfangsdaten.

•

Wir k¨ onnen die Anfangsdaten durch glatte Anfangsdaten approximieren, wie etwa in Abbildung 6.18 skizziert dargestellt durch ⎧ ⎪ f¨ ur x < − 2ε , ⎨a b−a u0 (x) = a+b f¨ ur − 2ε < x < ε2 , 2 + ε x ⎪ ⎩ b f¨ ur x > 2ε . Mit der Methode der Charakteristiken erh¨alt man dann die eindeutige stetige L¨ osung ⎧ ⎪ f¨ ur x < at − 2ε , ⎨a t x 1 − t+ε/(b−a) + t+ε/(b−a) f¨ ur at − ε2 < x < bt + ε2 , u(t, x) = a+b 2 ⎪ ⎩ b f¨ ur x > at + 2ε . Diese L¨ osung konvergiert f¨ ur ε → 0 gegen die stetige L¨osung (6.112). Dies liefert auch eine sinnvolle Interpretation f¨ ur die Schar der Charakteristiken, die bei der Verd¨ unnungswelle aus dem Nullpunkt herauslaufen: Diese Schar transportiert die Information u ¨ ber die unstetigen Anfangsdaten in das Gebiet {(t, x) | t > 0, at < x < bt} hinein.

Wir stellen also an eine sinnvolle L¨ osung die Bedingung, dass aus vorhandenen Schocks keine Charakteristik herauslaufen darf. Im Fall der skalaren hyperbolischen Erhaltungsgleichung (6.105) l¨ asst sich diese Bedingung sehr einfach pr¨ azisieren. Eine Charakteristik, l¨ angs derer der L¨osungswert u transportiert ur einen wird, hat nach Gleichung (6.106) die Form {(t, F (u(t))) | t > 0}. F¨ Schock mit Ausbreitungsgeschwindigkeit V und Funktionswerten u− und u+ links und rechts des Schocks muss also gelten: F (u− ) ≥ V ≥ F (u+ ) .

(6.114)

Diese Bedingung heißt Entropiebedingung. Man kann zeigen, dass eine skalare hyperbolische Erhaltungsgleichungen mit konvexer, ausreichend regul¨arer Flussfunktion F f¨ ur beschr¨ ankte Anfangsdaten genau eine schwache L¨osung hat, die gleichzeitig die Entropiebedingung l¨ angs jeder Schockkurve erf¨ ullt. Es gibt ein weiteres wichtiges Argument f¨ ur die Entropiebedingung. Bei der Herleitung der Euler–Gleichungen, also des physikalisch wichtigsten Beispiels

388

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

eines Systems hyperbolischer Erhaltungsgleichungen, hatten wir den Einﬂuss der Viskosit¨at des Gases vernachl¨ assigt. Die Viskosit¨at eines Gases ist zwar oft sehr klein, nie jedoch Null. Bei den Navier–Stokes–Gleichungen f¨ uhrte die Viskosit¨ at zu einem zus¨ atzlichen Term mit zweiten Ableitungen. Wenn man dies auf unsere skalaren Gleichungen in einer Raumdimension u ¨ bersetzt, dann bekommt man die Diﬀerentialgleichung ∂t u + ∂x (F (u)) − ε ∂x2 u = 0

(6.115)

mit kleinem Parameter ε. Der Parameter ε steht in (6.115) gerade vor dem Term mit der h¨ochsten (Ableitungs-) Ordnung. Weglassen dieses Terms ¨andert den Typ der partiellen Diﬀerentialgleichung von parabolisch zu hyperbolisch; man erh¨ alt die Gleichung ∂t u + ∂x (F (u)) = 0 .

(6.116)

Die L¨ osungen von Gleichung (6.115) sind stetig und, bei sinnvollen Rand- und Anfangsdaten eindeutig, w¨ ahrend dies bei L¨ osungen von (6.116) oﬀensichtlich nicht der Fall ist. Dadurch motiviert k¨ onnen wir an L¨osungen von (6.116) die Forderung stellen, dass diese als Grenzwerte von L¨osungen der Gleichung (6.115) f¨ ur ε → 0 auftreten m¨ ussen. Eine solche L¨osung von (6.116) nennt man Viskosit¨atsl¨osung. Man kann zeigen, dass jede Viskosit¨atsl¨osung eine Entropiebedingung erf¨ ullen muss, die im Fall einer skalaren Gleichung die Form (6.114) hat. Ein Schock, bei dem die Charakteristiken auf mindestens einer Seite des Schocks die gleiche Steigung haben wie die Schockkurve selbst, heißt auch eine Kontaktunstetigkeit. Das einfachste Beispiel einer Kontaktunstetigkeit erh¨ alt man f¨ ur die Transportgleichung mit unstetigen Anfangsbedingungen, zum Beispiel u(0, x) = a f¨ ur x < 0 und u(0, x) = b f¨ ur x > 0. Aus der L¨ osungsformel (6.107) folgt dann u(t, x) =

a b

f¨ ur x < ct , ur x > ct . f¨

Die Flussfunktion ist F (u) = cu, die L¨ osung erf¨ ullt also die Rankine– Hugoniot–Bedingung F (u+ ) − F (u− ) = c(u+ − u− ) und die Entropiebedingung in der Form F (u− ) = c = F (u+ ). Die Charakteristiken haben hier auf beiden Seiten der Schockkurve die gleiche Steigung wie die Schockkurve. Durch die Kontaktunstetigkeit werden hier lediglich unstetige Anfangsdaten transportiert. Kontaktunstetigkeiten mit unterschiedlichen Steigungen der Charakteristiken auf den beiden Seiten des Schocks kann man f¨ ur nichtlineare Gleichungen mit nichtkonvexer Flussfunktion bekommen. Ein Kriterium daf¨ ur kann man aus der Rankine–Hugoniot–Bedingung und der Entropiebedingung herauslesen. F¨ ur eine Kontaktunstetigkeit, bei der die Charakteristik links des Schocks die gleiche Steigung wie der Schock hat, muss gelten:

6.4 Die Wellengleichung

F (u− ) = V =

389

F (u+ ) − F (u− ) ≥ F (u+ ) . u+ − u−

F¨ ur F (u+ ) < V folgt aus dieser Formel und dem Mittelwertsatz der Diﬀerentialrechnung, dass F nicht konvex sein kann. In Abbildung 6.19 sind die Flussfunktionen und die Werte der L¨ osung links und rechts des Schocks f¨ ur eine zul¨ assige (links) und eine nicht zul¨ assige (rechts) Kontaktunstetigkeit dargestellt; die nicht zul¨ assige Kontaktunstetigkeit verletzt die Entropiebedingung.

u−

u+

u−

u+

Abb. 6.19. Nichtkonvexe Flussfunktion und Anfangsdaten einer zul¨ assigen (links) und einer nicht zul¨ assigen (rechts) Kontaktunstetigkeit.

6.4 Die Wellengleichung Wellenph¨ anomene treten in Anwendungen h¨ auﬁg auf, zum Beispiel in kompressiblen Str¨ omungen bei der Ausbreitung von Schall in Gasen und Fl¨ ussigkeiten, bei elektromagnetischen Wellen, oder als elastische Wellen in Festk¨orpern. Wellen werden h¨ auﬁg durch Systeme von Diﬀerentialgleichungen modelliert. Um die Eigenschaften von Wellengleichungen zu diskutieren, betrachten wir jedoch nur die mathematisch einfachste, skalare Version, ∂t2 u − ∆u = f .

(6.117)

Diese Gleichung beschreibt zum Beispiel •

eine in einer Ebene schwingende Seite, oder die Ausbreitung einer Longitudinalwelle oder einer ebenen Transversalwelle in einem elastischen Stab, oder die Welle einer Lufts¨ aule in einem Rohr f¨ ur Raumdimension d = 1, beziehungsweise

•

eine schwingende Membran f¨ ur Raumdimension d = 2.

Das eindimensionale Cauchy–Problem Wir betrachten zun¨ achst die Wellengleichung in einer Raumdimension mit Anfangsbedingungen auf der gesamten reellen Achse:

390

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

∂t2 u − ∂x2 u = 0 f¨ ur (t, x) ∈ (0, ∞) × R , u = g und ∂t u = h f¨ ur t = 0, x ∈ R .

(6.118) (6.119)

Eine L¨ osung von (6.118) kann man aus folgender Beobachtung gewinnen: Der asst sich faktorisieren, Diﬀerentialoperator ∂t2 − ∂x2 l¨ ∂t2 − ∂x2 = (∂t + ∂x )(∂t − ∂x ) . Ist u eine L¨ osung von (6.118), dann ist v(t, x) = (∂t − ∂x )u(t, x) eine L¨ osung der Transportgleichung ∂t v(t, x) + ∂x v(t, x) = 0 mit der Anfangsbedingung v(0, x) = ∂t u(0, x)|t=0 − ∂x u(0, x) = h(x) − ∂x g(x) =: a(x) . Die Transportgleichung wurde bereits in (6.107) gel¨ost. Es gilt v(t, x) = w(x − t) mit einer beliebigen Funktion w : R → R. Aus der Anfangsbedingung folgt v(t, x) = a(x − t), also ∂t u(t, x) − ∂x u(t, x) = a(x − t) . Dies ist eine inhomogene Transportgleichung mit der L¨osung t 1 x+t u(t, x) = u(0, x + t) + a x + t − 2s ds = g(x + t) + a(y) dy . 2 x−t 0 Einsetzen von a liefert 1 u(t, x) = g(x + t) + 2 also

x+t

h(y) dy − x−t

1 1 u(t, x) = g(x + t) + g(x − t) + 2 2

Dies ist die d’Alembertsche Formel.

1 g(x + t) − g(x − t) , 2

x+t

h(y) dy . x−t

(6.120)

6.4 Die Wellengleichung

391

Eindeutigkeit der L¨ osung Die Eindeutigkeit der L¨ osung kann man, wie bei parabolischen Gleichungen, u atzung nachweisen. ¨ ber eine Energieabsch¨ Satz 6.18. Es sei Ω ⊂ Rd ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand, g, h : Ω → R glatt und T ) × ∂Ω → R glatt. Dann gibt es h¨ochstens eine u∂Ω : (0, L¨osung u ∈ C 2 [0, T ] × Ω des Anfangsrandwertproblems ∂t2 u − ∆u = f u = u∂Ω u = g und ∂t u = h

in (0, T ) × Ω , auf (0, T ) × ∂Ω , auf {0} × Ω .

(6.121)

Beweis. Angenommen, u1 und u2 l¨ osen (6.121). Dann ist w := u1 − u2 eine L¨ osung von ∂t2 w − ∆w = 0 w=0 w=0 F¨ ur die Energie“ ” E(t) :=

1 2

in (0, T ) × Ω , auf (0, T ) × ∂Ω , auf {0} × Ω .

|∂t w|2 + |∇w|2 dx

Ω

folgt mit partieller Integration und unter Ausnutzung der Tatsache, dass ∂t w = 0 auf (0, T ) × ∂Ω, ∂t E(t) = ∂t w · ∂t2 w + ∇w · ∂t ∇w dx Ω = ∂t w ∂t2 w − ∆w dx + ∂t w ∇w · n dsx = 0 . Ω

∂Ω

Damit ist E(t) = E(0) = 0 f¨ ur alle t > 0; also w = 0 und u1 = u2 .

Bemerkungen 1. Bei der hier abgesch¨ atzten Gr¨ oße E(t) kann es sich, je nach betrachteter Anwendung, tats¨ achlich um die physikalische Energie des betrachteten Systems handeln; im Gegensatz zur Diﬀusionsgleichung, wo " die entsprechende Gr¨ oße in der Regel" keine Energie ist. Der Anteil 12 Ω |∂t w|2 dx ist die kinetische Energie, 12 Ω |∇w|2 dx beschreibt eine Deformationsener” gie“.

392

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

2. Die Bedingung u ∈ C 2 ([0, T ] × Ω) entspricht einer Voraussetzung an die Regularit¨ at der L¨ osung. Streng genommen haben wir also nur die Eindeutigkeit einer L¨ osung mit ausreichender Regularit¨at formuliert. Man kann diese Bedingung aber noch abschw¨ achen und die Eindeutigkeit einer L¨ osung unter der Bedingung zeigen, dass die Energie zu fast jedem Zeitpunkt beschr¨ ankt sein muss. Abh¨ angigkeitsgebiet Eine charakteristische Eigenschaft der Wellengleichung ist die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von Informationen“. ” 2 Satz 6.19. Es sei u ∈ C R+ × Rd eine L¨osung von ∂t2 u − ∆u = 0

in R+ × Rd

mit Anfangsbedingung u(0, x) = 0

f¨ ur x ∈ Bt0 (x0 ) ,

wobei Bt0 (x0 ) ein Ball mit Radius t0 um den Mittelpunkt x0 ist. Dann gilt

u(t, x) = 0 f¨ ur (t, x) ∈ C := (t, x) | 0 ≤ t ≤ t0 , |x − x0 | < t0 − t . Beweis. F¨ ur E(t) = gilt

1 2

Bt0 −t (x0 )

∂t E(t) =

Bt0 −t (x0 )

−

1 2

∂t u ∂t2 u + ∇u · ∇∂t u dx

∂Bt0 −t (x0 )

= Bt0 −t (x0 )

|∂t u(t, x)|2 + |∇u(t, x)|2 dx

|∂t u|2 + |∇u|2 dsx

∂t u (∂t2 u − ∆u) dx

1 2 2 ∂t u ∇u · n − |∂t u| + |∇u| + dsx 2 ∂Bt0 −t (x0 )

≤ 0. Die letzte Ungleichung hier folgt mit der H¨ older–Ungleichung 1 |∂t u||∇u · n| ≤ 2 |∂t u|2 + |∇u|2 . Damit ist E(t) ≤ E(0) = 0, und wegen E(t) ≥ 0 folgt E(t) = 0 und damit u = 0 in C.

6.4 Die Wellengleichung

393

Die Wellengleichung ist ein einfaches Beispiel f¨ ur eine hyperbolische Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung. Charakteristisch f¨ ur hyperbolische Gleichungen ist, dass die L¨ osung nicht glatter ist als die Anfangs- beziehungsweise Randdaten (vgl. (6.120)), wie dies insbesondere bei parabolischen Gleichungen der Fall ist, und dass sich die Information“ der Anfangs- und Randdaten mit ” endlicher Geschwindigkeit ausbreitet. Akustische Approximation der Euler–Gleichungen Die Ausbreitung von Schall in Gasen zeigt, dass Wellen auch in Gasen auftreten. In der Tat kann man durch eine geeignete Linearisierung der Euler– Gleichungen eine Wellengleichung herleiten. Wir nehmen dazu an, dass die Geschwindigkeit und die Schwankung der Dichte um ihren Mittelwert 0 sehr klein sind. Die Euler–Gleichungen f¨ ur isotherme Str¨omungen lauten ∂t + ∇ · (v) = 0 , 1 ∂t v + (v · ∇)v + ∇(p()) = 0 . Der Ansatz = 0 (1 + g) mit einer kleinen, dimensionslosen Gr¨ oße g ergibt ∂t g + (1 + g) ∇ · v + v · ∇g = 0 , 1 ∇(p()) = 0 . ∂t v + (v · ∇)v + 0 (1 + g) Wir nehmen an, dass g, ∇g, v und ∇v klein sind, und linearisieren das System. Die Terme zweiter Ordnung g ∇ · v, v · ∇g und (v · ∇)v treten im linearisierten System nicht mehr auf. Der Gradient des Drucks wird linearisiert durch ∇p() = p (0 )∇g, und da dieser Term von erster Ordnung ist, bleibt vom 1 nur der Term 10 nullter Ordnung u Vorfaktor 0 (1+g) ¨ brig. Man erh¨alt also ∂t g + ∇ · v = 0 , ∂t v + c2 ∇g = 0 mit der Schallgeschwindigkeit c=

p (0 ) . 0

Subtrahiert man die Divergenz der zweiten Gleichung von der Zeitableitung der ersten Gleichung, so erh¨ alt man die akustische Approximation der Euler– Gleichungen

394

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

∂t2 g − c2 ∆g = 0 . Im Fall eines idealen Gases unter adiabatischen Nebenbedingungen gilt die Zustandsgleichung p() = Kγ . Die Schallgeschwindigkeit ist dann gegeben durch c2 =

p (0 ) γKγ−1 γ p(0 ) 0 = = . 0 0 20

Sph¨ arische Wellen Die Ausbreitung von Wellen, die von einer Punktquelle erzeugt werden, kann man aus der dreidimensionalen Wellengleichung ∂t2 u − c2 ∆u = 0 durch Verwendung eines radialsymmetrischen Ansatzes ausrechnen. F¨ ur u(t, x) = w(t, |x|) mit w : R+ × R+ → R folgt mit (6.11) und damit

∆u = ∂r2 w + ∂t2 w − c2 ∂r2 w +

2 r

2 r

∂r w

∂r w = 0 .

Diese Gleichung kann man auf die eindimensionale Wellengleichung transformieren durch den Ansatz z(t, r) . w(t, r) = r Es folgt ∂t2 z − c2 ∂r2 z = 0 . Die allgemeine L¨ osung ist gegeben durch z(t, r) = f (r − ct) − g(r + ct) mit beliebigen Funktionen f und g. Dabei beschreibt f eine herauslaufende Welle und g eine hereinlaufende Welle. R¨ ucktransformation liefert u(t, x) =

f (|x| − ct) g(|x| + ct) + . |x| |x|

Diese L¨ osung hat bei |x| = 0 eine Singularit¨at. Die auf einer Kugeloberﬂ¨ ache verteilte Energiedichte einer in den Nullpunkt hineinlaufenden Welle konzentriert sich beim Erreichen des Nullpunktes auf einem einzigen Punkt. Im Fall der auslaufenden Welle kann man diese Singularit¨at durch die Bedingung f (r) = 0 f¨ ur r ≤ 0 vermeiden.

6.4 Die Wellengleichung

395

Streuung von Wellen Wir wollen nun eine eindimensionale Welle betrachten, die von einem homoatskonstante a− in ein anderes genen Medium mit Dichte − und Elastizit¨ Medium mit Dichte + und Elastizit¨ atskonstante a+ wechselt. An der Trennﬂ¨ ache beider Medien, die bei x = 0 liegen soll, m¨ ussen die Verschiebungen und die u ¨bertragenen Kr¨afte beziehungsweise die Spannungen gleich sein. Dies liefert die Diﬀerentialgleichung ur x < 0, ∂t2 u − c2− ∂x2 u = 0 f¨ mit den Schallgeschwindigkeiten c− =

∂t2 u − c2+ ∂x2 u = 0 f¨ ur x > 0

a− −

und c+ =

a+ +

und die Kopp-

lungsbedingungen u(t, 0−) = u(t, 0+) und a− ∂x u(t, 0−) = a+ ∂x u(t, 0+) . Dabei bezeichnet u(t, 0±) den Grenzwert lim u(t, ±x). Eine von links einlaux→0 x>0

fende Welle ist dann gegeben durch u(t, x) = f (x − c− t) f¨ ur t < 0 , x ∈ R , wobei f (x) = 0 f¨ ur x > 0 gelte. Die zugeh¨ origen Anfangsbedingungen sind u(0, x) = f (x), ∂t u(0, x) = −c− f (x) . Ein sinnvoller L¨ osungsansatz ist u(t, x) =

f (x − c− t) + g(x + c− t) f¨ ur x < 0 , h(x − c+ t) f¨ ur x > 0 .

Dabei beschreibt die Funktion g eine durch Reﬂexion an der Trennﬂ¨ache erzeugte, nach links laufende Welle, und h den nach rechts weiterlaufenden Anteil der Welle. Die Diﬀerentialgleichungen sind durch diese Ans¨atze nat¨ urlicherweise erf¨ ullt. Aus den Kopplungsbedingungen erh¨alt man das lineare Gleichungssystem f (−c− t) + g(c− t) = h(−c+ t) ,

a− f (−c− t) + a− g (c− t) = a+ h (−c+ t) .

(6.122)

Wenn man die erste Gleichung nach t ableitet, das Ergebnis mit a− multipliziert und vom c− –fachen der zweiten Gleichung subtrahiert, dann erh¨alt man 2 a− c− f (−c− t) = (a− c+ + a+ c− ) h (−c+ t) . Wegen f (0) = h(0) = 0 folgt durch Integration

396

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

h(x) =

2 a − c+ f a − c+ + a + c−

c− x . c+

Aus der ersten Gleichung in (6.122) erh¨ alt man dann g(x) =

a − c+ − a + c− f (−x) . a − c+ + a + c−

Die Faktoren hier geben an, welche Anteile der Welle reﬂektiert werden und welche durch die Trennﬂ¨ ache hindurchlaufen.

6.5 Die Navier–Stokes–Gleichungen Die Navier–Stokes–Gleichungen beschreiben Str¨omungen mit viskoser Reibung. Sie basieren auf der Massenerhaltung und der Impulserhaltung sowie einem konstitutiven Gesetz f¨ ur den Spannungstensor, der neben dem Druck auch viskose Kr¨ afte modelliert. Wir betrachten hier die Variante f¨ ur inkompressible Str¨ omungen, ∇· v = 0, ∂t v + (v · ∇)v − η ∆v = −∇p + f .

(6.123) (6.124)

Verglichen mit der urspr¨ unglichen Version (5.14) der Navier–Stokes Gleichungen haben wir hier den Faktor 1/ vor ∇p in die Deﬁnition des Drucks integriert. Diese Gleichung hat zwei charakteristische Eigenheiten: Die Nebenbedingung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes und den konvektiven Term (v · ∇)v. Der Druck h¨ angt, wie schon beim Stokes–System, eng mit der Bedingung ∇ · v = 0 zusammen, was wir im Folgenden noch erl¨autern werden. Der konvektive Term f¨ uhrt zu erheblichen Schwierigkeiten bei der Analysis des Systems. Er ist nichtlinear und, was weitaus gr¨oßere Probleme bereitet, es handelt sich dabei um den Term mit dem st¨arksten Wachstum f¨ ur große Geschwindigkeiten: Skaliert man das Geschwindigkeitsfeld mit einer Konstanten α, so w¨ achst der konvektive Term quadratisch in α, w¨ahrend alle anderen Terme linear sind. Die Impulserhaltungsgleichung (6.124) kann man als Evolutionsgleichung f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld sehen, ∂t v = −(v · ∇)v + η ∆v + f − ∇p .

(6.125)

Wenn das Geschwindigkeitsfeld zu einem Zeitpunkt t0 divergenzfrei ist, also ∇ · v(t0 , ·) = 0 gilt, dann muss im weiteren Verlauf der Evolution noch ∇ · ∂t v = 0 sichergestellt werden, um die Nebenbedingung ∇ · v = 0 f¨ ur alle uhrt auf eine Poisson–Gleichung f¨ ur t > t0 zu erhalten. Diese Beobachtung f¨ den Druck,

6.5 Die Navier–Stokes–Gleichungen

397

−∆p = ∇ · (v · ∇)v − η ∆v − f . Wenn man geeignete Randbedingungen f¨ ur p vorgibt, dann kann man aus dieser Gleichung f¨ ur ein gegebenes Geschwindigkeitsfeld den dazu passenden“ ” Druck ausrechnen, dieser ist typischerweise bis auf eine additive Konstante eindeutig. Der Gradient des Drucks realisiert hier eine Projektion auf die Menge der divergenzfreien Funktionen. Den mathematischen Hintergrund hierf¨ ur liefert der folgende Satz. Satz 6.20. (Helmholtz–Hodge Zerlegung) Es sei Ω ⊂ Rd ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand. Jedes Vektorfeld w ∈ C 2 Ω, Rd erlaubt eine eindeutige orthogonale Zerlegung in L2 Ω; Rd der Form w = u + ∇p , wobei ∇ · u = 0 in Ω und u · n = 0 auf ∂Ω. Diese Zerlegung heißt Helmholtz– Hodge–Zerlegung. Beweis. Zun¨ achst zeigen wir, dass u und ∇p orthogonal zueinander sind. Es gilt ∇ · (p u) = p ∇ · u + u · ∇p = u · ∇p . Der Satz von Gauß liefert dann u · ∇p dx = ∇ · (p u) dx = Ω

Ω

p u · n dsx = 0 .

∂Ω

Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Zerlegung und nehmen dazu an, w erlaube zwei Zerlegungen w = u1 + ∇p1 = u2 + ∇p2 mit den Eigenschaften aus der Helmholtz–Hodge–Zerlegung. Dann gilt 0 = u1 − u2 + ∇(p1 − p2 ) . Dies impliziert nach Multiplikation mit u1 − u2 und Integration u ¨ ber Ω 0= |u1 − u2 |2 dx + (u1 − u2 ) · ∇(p1 − p2 ) dx . Ω

Ω

Das zweite Integral ist Null wegen der Orthogonalit¨at von u1 − u2 und ∇(p1 − p2 ). Es folgt u1 = u2 und damit auch ∇p1 = ∇p2 . Es bleibt die Existenz der Zerlegung nachzuweisen. Anwendung des Divergenzoperators auf w = u + ∇p liefert die Poisson–Gleichung

398

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

∆p = ∇ · w in Ω . Versehen mit der Randbedingung ∇p · n = w · n hat diese Gleichung nach Satz 6.4 eine L¨ osung p. Diese ist bis auf eine Konstante eindeutig ist, falls Ω zusammenh¨ angend ist. Die dazu notwendige L¨osbarkeitsbedingung ∇ · w dx − w · n dsx = 0 Ω

∂Ω

ist durch die Wahl der Randdaten erf¨ ullt. Regularit¨atstheorie [47] liefert p ∈ C 2 (Ω). Deﬁnieren wir nun u = w − ∇p, so folgt ∇ · u = 0 in Ω , u · n = 0 auf ∂Ω .

Dies zeigt die Behauptung des Satzes.

Aus den Navier–Stokes–Gleichungen kann man eine Absch¨atzung f¨ ur die kinetische Energie der Str¨ omung herleiten. Daf¨ ur ben¨otigen wir folgenden wichtigen Hilfssatz. Satz 6.21. (Gronwallsche Ungleichung). Es sei y : [0, T ] → R nichtnegativ und stetig diﬀerenzierbar, so dass y (t) ≤ α(t) y(t) + β(t)

t ∈ [0, T ] ,

f¨ ur alle

(6.126)

mit stetigen, nichtnegativen Funktionen α, β : [0, T ] → R. Dann gilt: t Rt β(s) ds f¨ ur alle t ∈ [0, T ] . y(t) ≤ e 0 α(s) ds y(0) + 0

Beweis. Multiplizieren wir (6.126) mit e−

Rt 0

α(s) ds

, so erhalten wir

$ Rt Rt d # y(t)e− 0 α(s) ds ≤ e− 0 α(s) ds β(t) . dt Integration liefert y(t) e

−

Rt 0

α(s) ds

≤ y(0) +

t

e

−

Rr 0

α(s)ds

0

und dies zeigt nach Multiplikation mit e

Rt 0

β(r) dr ≤ y(0) +

α(s) ds

t

β(s) ds 0

die Behauptung.

Nun sind wir in der Lage, die Energieabsch¨atzung f¨ ur die Navier–Stokes– Gleichungen zu zeigen.

6.5 Die Navier–Stokes–Gleichungen

399

Satz 6.22. Es sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand und v eine gen¨ ugend glatte L¨osung der Navier–Stokes–Gleichungen in Ω mit Dirichlet– Randbedingungen v = 0 auf ∂Ω. Dann gilt: t 2 1 |v(t, x)| dx + η |Dv(s, x)|2 dx ds 2 0 Ω Ω t 2 2 1 |v(0, x)| dx + |f (s, x)| dx ds ≤C 2 0

Ω

Ω

mit einer nur von t abh¨angigen Konstanten C. Beweis. Wir multiplizieren Gleichung (6.124) mit v und integrieren u ¨ ber das Gebiet Ω. Mit

d

(v · ∇)v · v dx = Ω

=−

Ω i,j=1 d

Ω i,j=1

d 1 vj ∂xj vi2 dx Ω i,j=1 2

vj ∂xj vi vi dx =

1 ∂x vj vi2 dx = − 2 j

1 ∇ · v |v|2 dx = 0 2 Ω

und der partiellen Integration

η ∆v v dx = −

− Ω

η Ω

d

∂x2i vj vj dx =

i,j=1

η Ω

d

∂xi vj ∂xi vj dx

i,j=1

η |Dv|2 dx

= Ω

folgt 1 d 2 dt

Ω

|v|2 dx +

η |Dv|2 dx =

Ω

f · v dx .

(6.127)

Ω

¨ Diese Gleichung dr¨ uckt die Erhaltung der Energie aus: Die zeitliche Anderung der kinetischen Energie plus die zur Zeit t durch viskose Reibung dissipierte Energie ist gleich der von außen zugef¨ uhrten Leistung. Anwendung der elementaren Ungleichung 1 2 2 f · v dx ≤ |f | dx + |v| dx (6.128) 2 Ω Ω Ω " d liefert f¨ ur y(t) = 12 dt |v|2 dx Ω 1 y ≤y+ 2 |f |2 dx . Ω

Mit der Gronwallschen Ungleichung folgt

400

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen 1 2

2

|v(t, x)| dx ≤ e Ω

2

|v(0, x)| dx +

t Ω

t 0

Ω

2 1 2 |f (s, x)|

dx ds

Die Behauptung folgt nun zusammen mit (6.127) und (6.128).

.

Diese Absch¨ atzung liefert die wesentliche Voraussetzung f¨ ur den Beweis der Existenz von schwachen L¨ osungen der Navier–Stokes–Gleichungen mit Methoden aus der Funktionalanalysis. F¨ ur gen¨ ugend glatte L¨osungen kann man auch die Eindeutigkeit der L¨ osung beweisen. Satz 6.23. Es sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand. Dann gibt es h¨ochstens eine zweimal stetig diﬀerenzierbare L¨osung der Navier–Stokes– Gleichungen zu denselben Anfangsdaten und denselben Dirichlet–Randbedingungen. Beweis. Wir nehmen an, dass v (1) und v (2) zwei L¨osungen seien. Multipliziert man die Gleichung f¨ ur v (1) mit v (1) −v (2) , die Gleichung f¨ ur v (2) mit v (2) −v (1) , addiert beide Gleichungen, integriert dann u ¨ ber Ω und integriert den viskosen Term partiell, so erh¨ alt man die Gleichung . ∂t v (1) − v (2) · v (1) − v (2) Ω $ # + v (1) · ∇ v (1) − v (2) · ∇ v (2) · v (1) − v (2) / (1) (1) (2) (2) + ηD v −v :D v −v dx = 0 . Den konvektiven Term kann man mit Hilfe der Zerlegung (1) v · ∇ v (1) − v (2) · ∇ v (2) = v (1) · ∇ v (1) − v (2) + v (1) − v (2) · ∇ v (2) absch¨ atzen durch (1) v · ∇ v (1) − v (2) · ∇ v (2) ≤ v (1) D v (1) − v (2) + Dv (2) v (1) − v (2) | . Man erh¨ alt dann # (1) (1) (2) (2) $ (1) (2) v · v dx · ∇ v − v · ∇ v − v Ω (1) D v − v (2) + v (1) − v (2) v (1) − v (2) dx ≤ C1 Ω 2 (1) η D v − v (2) 2 dx + C1 v (1) − v (2) 2 dx . ≤ 2 Ω 2η Ω

6.6 Grenzschichten

401

Insgesamt folgt 1 d 2 dt

Ω

(1) v − v (2) 2 dx +

≤C

(1) v − v (2) 2 dx .

Ω

2 η (1) D v − v (2) dx 2

Ω

Anwendung der Gronwall–Ungleichung mit y(0) = 0 und β(t) = 0 liefert v (1) = v (2) . Die im Eindeutigkeitsbeweis verlangten Anforderungen an die Glattheit der L¨ osung lassen sich noch deutlich abschw¨ achen. Insbesondere kann man zeigen, dass nur eine L¨ osung glatt genug sein muss, um die Existenz einer weiteren schwachen L¨ osung auszuschließen. Trotzdem ist es bisher nicht gelungen, unter hinreichend allgemeinen Voraussetzungen an die Daten die im Existenzbeweis ben¨ otigte Regularit¨ at der L¨ osung rigoros zu beweisen. Grund hierf¨ ur ist der konvektive Term (v · ∇)v, der f¨ ur große v st¨arker w¨achst als alle anderen Terme. F¨ ur weitere Details verweisen wir auf das Buch von Temam [118].

6.6 Grenzschichten In Kapitel 5 haben wir zwei Modelle f¨ ur Str¨omungen kennengelernt, die Euler–Gleichungen und die Navier–Stokes–Gleichungen. Die Modelle unterscheiden sich dadurch, dass die innere Reibung“ der Str¨omung in den Euler– ” Gleichungen vernachl¨ assigt wird, in den Navier–Stokes–Gleichungen dagegen durch die Viskosit¨ at modelliert wird. Wenn die Viskosit¨at sehr klein ist, dann erwarten wir, dass L¨ osungen der Navier–Stokes–Gleichungen denen der Euler– Gleichungen immer ¨ ahnlicher werden. Wir werden dies im Folgenden n¨aher untersuchen. Wir betrachten die Navier–Stokes–Gleichungen in entdimensionalisierter Form + 1 ∆v + ∇p = 0 , ∂t v + (v · ∇)v − Re in Ω , ∇·v = 0 v=0

auf ∂Ω ,

und die Euler–Gleichungen f¨ ur inkompressible Str¨omungen, ebenfalls entdimensionalisiert + ∂t v + (v · ∇)v + ∇p = 0 in Ω , ∇·v =0 v·n= 0

auf ∂Ω .

Es zeigt sich, dass L¨ osungen der Navier–Stokes–Gleichungen Grenzschichten ausbilden. Zum Rand des betrachteten Gebietes hin ver¨andert sich das

402

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Str¨ omungsproﬁl drastisch, um zu gew¨ ahrleisten, dass die Randbedingungen angenommen werden. In den Euler–Gleichungen ﬁnden sich diese Randschichten nicht. Der Grund f¨ ur das unterschiedliche Verhalten beider Gleichungen liegt in der Tatsache, dass in den Navier–Stokes–Gleichungen Terme auftreten, die von h¨ oherer Diﬀerenzierbarkeitsordnung sind als die h¨ochsten Ableitungen in den Euler–Gleichungen. Die Navier–Stokes–Gleichungen sind eine singul¨are St¨orung der Euler–Gleichungen. Die Auswirkungen verschiedener Ableitungsordnungen auf das qualitative Verhalten von L¨osungen wollen wir zun¨ achst an einem einfachen Beispiel diskutieren. Beispiel 1: Wir betrachten das Randwertproblem y (x) = a ,

y(1) = 1 ,

wobei a ∈ R konstant ist und x ∈ (0, 1). Die L¨osung ist y(x) = a(x − 1) + 1 . Jetzt addieren wir einen kleinen“ Term εy mit kleinem ε > 0 zu obiger ” Diﬀerentialgleichung und verlangen eine weitere Bedingung am Rande. Wir betrachten nun ε y + y = a mit y(0) = 0 , y(1) = 1 . Wir rechnen einfach nach, dass yε (x) =

1−a 1 − e−x/ε + ax 1 − e−1/ε

dieses Problem l¨ ost. F¨ ur 0 < a < 1 ist die L¨ osung in Abbildung 6.20 skizziert. Die L¨ osung yε des gest¨ orten Problems unterscheidet sich von y wesentlich nur auf einem Streifen mit der Dicke O(ε) um den Punkt x = 0. Beispiel 2: Str¨ omung u ¨ ber einer Platte Im folgenden Beispiel berechnen wir eine Grenzschicht f¨ ur die Navier–Stokes– Gleichungen. Wir betrachten eine zweidimensionale Str¨omung in der oberen Halbebene {x ∈ R2 | x2 ≥ 0} und nehmen an, dass der untere Rand, die Platte“, fest ist, siehe Abbildung 6.21. Weiter nehmen wir an, dass ” U1 f¨ ur x2 → ∞ v(t, x1 , x2 ) → 0 gilt. Wir suchen eine L¨ osung mit den folgenden Eigenschaften

6.6 Grenzschichten

403

y

y=1 y = 1−a

x=1 x ε Abb. 6.20. Eine Grenzschicht in der L¨ osung eines Randwertproblems x2 U

1111111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000000 x1 0000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111 feste Platte 0000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111 Abb. 6.21. Str¨ omung u ¨ ber einer festen Platte

v(t, x1 , x2 ) =

u(t, x2 ) , ∇p(t, x1 , x2 ) = 0 . 0

Dann gilt, da (v · ∇)v = v1 ∂x1 v + v2 ∂x2 v = 0 und ∇p = 0, die Gleichung 1 2 ∂ u, Re x2 u(t, 0) = 0 , ∂t u =

(6.129)

u(t, x2 ) → U1 f¨ ur x2 → ∞ . Dieses Problem hat folgende Skalierungseigenschaft: Ist u eine L¨osung, so erf¨ ullt w(t, x2 ) = u Tt , xL2 mit festen T, L ∈ R die Diﬀerentialgleichung ∂t w =

1 1 2 ∂t u 1 L2 2 = ∂x2 u = ∂ w. T Re T Re T x2

Gilt L2 = T , so erf¨ ullt w das System (6.129). Insbesondere gelten dieselben Randbedingungen.

404

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Wir nehmen nun an, dass (6.129) eine eindeutige L¨osung besitzt. Dann m¨ ussen w und u u ¨ bereinstimmen. Somit haben wir u Tt , xL2 = u(t, x2 ) , falls L2 = T . √ Setzen wir f¨ ur festes t die Werte T = t und L = t ein, so erhalten wir x 2 u 1, √ = u(t, x2 ) . t Dies impliziert also, dass eine L¨ osung selbst¨ahnlich sein m¨ ußte: Kennen wir die L¨ osung zu einem Zeitpunkt, so ergibt sich die L¨osung zu anderen Zeitpunkten durch eine einfache Streckung der unabh¨ angigen Variablen. Wir f¨ uhren nun die Variable η = f (η) =

√ x2 Re √ 2 t

ein und deﬁnieren

√ 1 1 2 2 tη . u 1, √ η = u t, √ U1 U1 Re Re

Es gilt dann f (0) = 0 ,

f (∞) = 1 .

Welche Gleichung erf¨ ullt f ? Mit ∂ 1√ x2 1η η=− Re 3/2 = − ∂t 4 2t t √ ∂ Re η= √ ∂x2 2 t

und

erhalten wir 1 0= U1

# η$ 1 Re 1 2 ∂x2 u = f (η) − − f (η) . ∂t u − Re 2t Re 4t

Es gilt somit 0 = 2η f (η) + f (η) ,

f (0) = 0 ,

Daraus folgt f (η) = c e−η

f (∞) = 1 .

2

und Integration liefert mit f (∞) = 1 2 f (η) = erf(η) = √ π Dabei haben wir

0

∞

2

e−s ds =

η

2

e−s ds .

0

√ π 2

6.6 Grenzschichten

405

u U1

x2 Randschicht Abb. 6.22. Randschicht f¨ ur die Str¨ omung u ¨ber einer festen Platte

benutzt. F¨ ur u erhalten wir √ x2 √2Re √ t 2 Re x2 2 √ = U1 √ e−s ds . u(t, x2 ) = U1 erf 2 π 0 t Wir sagen, wir beﬁnden uns in der Randschicht, falls u < (1 − ε)U1 mit einem fest gew¨ahlten ε . Es gibt genau ein η0 mit

erf (η0 ) = 1 − ε .

ur die Dann ist die Randschicht durch alle x2 gegeben, f¨ √ Re x2 √ < η0 2 t oder, a ¨quivalent dazu, x2 < 2η0

t/Re

gilt. Die Randschicht ist demnach proportional zur Wurzel des kleinen“ Pa” 1 . rameters Re Asymptotische Entwicklungen f¨ ur Grenzschichten Wir wollen nun an Hand eines einfachen Beispiels eine Methode kennenlernen, die es erlaubt, auch f¨ ur sehr komplexe Probleme Grenzschichten auszurechnen. Wir betrachten das Problem ur x ∈ (0, 1) mit y(0) = 0, y(1) = 1 . εy + 2y + 2y = 0 f¨ Dabei sei ε > 0 ein kleiner Parameter. Die L¨ osung hat die Form y(x) = a eαx/ε + b eβx/ε

(6.130)

406

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

mit √ 1 − 2ε ≈ −ε und √ β = −1 − 1 − 2ε ≈ −2 + ε .

α = −1 +

Die Randbedingungen liefern 0 = a+b, $ # $ # 1 = a eα/ε − eβ/ε ≈ a e−1 − e−2/ε ≈ a e−1 . Daraus folgt

y(x) ≈ e1−x − e1−2x/ε .

Diese N¨ aherungsl¨ osung ist in Abbildung 6.23 skizziert. y

1

0

1

x

Abb. 6.23. L¨ osung des Randwertproblems (6.130)

In diesem einfachen Fall kann man das L¨ osungsverhalten ohne großen Aufwand erkennen. Anhand dieses Beispiels wollen wir nun eine asymptotische Analysis vornehmen, die Entwicklungen in der Grenzschicht und in Bereichen entfernt von der Grenzschicht beinhaltet. Dabei wollen wir nat¨ urlich ausnutzen, dass der Parameter ε klein ist. Bemerkung. F¨ ur ε = 0 erhalten wir y0 + y0 = 0 und damit y0 (x) = a e−x . Wir k¨ onnen somit nicht beide Randbedingungen erf¨ ullen. Es liegt eine singul¨ are St¨ orung vor, und wir werden mit einem Reihenansatz, der dem Auftreten von Randschichten keine Beachtung zukommen l¨asst, nicht weiterkommen.

6.6 Grenzschichten

407

Unser Ansatz f¨ ur die asymptotische Entwicklung ist nun wie folgt: Wir versuchen, f¨ ur x ≥ δ(ε) > 0 und f¨ ur x ∈ [0, δ(ε)] getrennt Entwicklungen zu konstruieren. Diese m¨ ussen dann geeignet zusammengesetzt werden. Wir gehen in mehreren Schritten vor: 1. Schritt: Die ¨ außere Entwicklung. Wir nehmen an, dass die L¨ osung im gr¨ oßten Teil des Intervalls [0, 1] eine Entwicklung der Form y(x) = y0 (x) + ε y1 (x) + · · · besitzt. Setzen wir diesen Ansatz in die Diﬀerentialgleichung (6.130) ein, so erhalten wir 2(y0 + y0 ) + ε(· · · ) + ε2 (· · · ) = 0 . Zur Ordnung O(1) muss die Gleichung y0 + y0 = 0 zusammen mit den Randbedingungen y0 (0) = 0 und y0 (1) = 1 erf¨ ullt sein. Es ergibt sich

y0 (x) = a e−x .

Wir k¨ onnen nur eine Randbedingung erf¨ ullen und entscheiden uns f¨ ur die Randbedingung an der Stelle x = 1. Es l¨ asst sich zeigen, dass das nachfolgende Vorgehen keine sinnvolle L¨ osung liefert, wenn wir eine Randschicht an der Stelle x = 1 voraussetzen. Damit ergibt sich y0 (1) = 1 und y0 (x) = e1−x . Diese L¨ osung ist in Abbildung 6.24 dargestellt. y0

1

1

x

Abb. 6.24. Die ¨ außere L¨ osung zu niedrigster Ordnung

408

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

2. Schritt: Die innere Entwicklung. Wir f¨ uhren neue Koordinaten z = εxα f¨ ur ein α > 0 ein, und setzen Y (z) = y(x). Es folgt nach Einsetzen in die Diﬀerentialgleichung ε1−2α

d2 d Y + 2ε−α Y + 2Y = 0 und Y (0) = 0 . 2 dz dz

Der Ansatz Y (z) = Y0 (z) + εγ Y1 (z) + · · · mit γ > 0 liefert

ε1−2α Y0 + εγ Y1 + · · · + 2ε−α Y0 + εγ Y1 + · · · +2 Y0 + εγ Y1 + · · · = 0 .

(6.131)

Als Terme niedrigster Ordnung ergeben sich ε1−2α Y0 und/oder 2ε−α Y0 . Eine Balance f¨ ur diese Terme ist nur m¨ oglich, falls α = 1. Wir erhalten dann zur Ordnung ε−1 in (6.131) Y0 + 2Y0 = 0 f¨ ur 0 < z < ∞ und Y0 (0) = 0 . Dies ergibt

Y0 (z) = a 1 − e−2z ,

wobei die Zahl a noch zu bestimmen ist. y0 ( xε )

Y0 (z) a

a

z

x

Abb. 6.25. Die innere L¨ osung zur niedrigsten Ordnung in den inneren Variablen (links) und in den ¨ außeren Variablen (rechts)

3. Schritt: Matching“, Anpassen der inneren und ¨außeren Entwicklungen ” Wir suchen nun ein a so, dass Y0 und y0 zusammenpassen, wie in Abbildung 6.26 skizziert. Dazu f¨ uhren wir eine Zwischenvariable“ xη = εxβ = zε1−β ein mit 0 < β < ” α = 1. Wir betrachten f¨ ur festes aber beliebiges xη den Limes ε → 0; dies

6.6 Grenzschichten

409

y a

Y0

1

außere Entwicklung ¨

1

x

1

x

innere Entwicklung 0

¨ Uberlappung

¨ Abb. 6.26. In einem Ubergangsbereich m¨ ussen beide Entwicklungen u ¨ bereinstimmen

bedeutet dann z → ∞ und x → 0. Die inneren und ¨außeren Entwicklungen sollen u uckt werden. Wir deﬁnieren ¨bereinstimmen, wenn sie durch xη ausgedr¨ y0 (xη ) = y0 εβ xη und Y0 (xη ) = Y0 εβ−1 xη . Es gilt dann y0 (xη ) = e1−ε xη → e1 f¨ ur ε → 0 und β−1 Y0 (xη ) = a 1 − e−2ε xη → a f¨ ur ε → 0 . β

Daraus folgt a = e. 4. Schritt: Zusammensetzen Jetzt wollen wir die beiden Teile zusammensetzen. Dies tun wir einfach dadurch, dass wir beide L¨ osungen addieren und den gemeinsamen Teil dann wieder abziehen. Wir erhalten y(x) ≈ y0 (x) + Y0 xε − y0 (0) + O(ε) ≈ e1−x + e 1 − e−2x/ε − e + O(ε) ≈ e1−x − e1−2x/ε .

410

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Wir addieren L¨ osungen, die wir in unterschiedlichen Teilbereichen gewonnen haben. Nun gilt aber, dass y0 in der N¨ ahe des Randes nahezu konstant ist. Zur Ordnung O(ε) stimmt y0 mit y0 (0) u ¨ berein. Diesen Teil ziehen wir wieder ab. Weiter entfernt vom Rand stimmt Y0 zur Ordnung O(ε) mit y0 (0) u ¨berein. Diesen Teil ziehen wir aber gerade wieder ab. Es zeigt sich, dass die so gewonnene N¨ aherungsl¨ osung sehr gut mit der exakten L¨osung u ¨ bereinstimmt. 5. Schritt: Zweiter Term in der Entwicklung Wenn die Gleichung y0 +y0 = 0 erf¨ ullt ist, dann lautet die ¨außere Entwicklung ε(y0 + 2y1 + 2y1 ) + ε2 (· · · ) = 0 . Zur Ordnung O(ε) erhalten wir 1 1 y1 + y1 = − y0 = − e1−x , 2 2

(6.132)

sowie die Randbedingung y1 (1) = 0. Um eine L¨osung zu erhalten, kann man die Methode der Variation der Konstanten“ benutzen. Eine L¨osung der ho” mogenen Gleichung ist x → e−x . Mit dem Ansatz y1 (x) = e−x h(x) folgt aus (6.132) dann die Identit¨ at 1 −e−x h(x) + e−x h (x) + e−x h(x) = − e1−x . 2 Es folgt

1 h (x) = − e 2

und mit h(1) = 0 1 e(1 − x) . 2 Gleichung (6.132) besitzt also die L¨ osung h(x) =

y1 (x) = 12 (1 − x) e1−x . In der inneren Entwicklung erh¨ alt man ε−1 Y0 + εγ Y1 + · · · + 2ε−1 Y0 + εγ Y1 + · · · + 2 Y0 + εγ Y1 + · · · = 0 . Da Y0 schon so bestimmt wurde, dass die Terme der Ordnung O(ε−1 ) wegfallen, ist der Term niedrigster Ordnung nun entweder von der Ordnung O(εγ−1 ) oder von der Ordnung O(1). Diese beiden Terme m¨ ussen sich ausbalancieren, urde. Somit folgt γ = 1 und wir erhalten da sonst Y1 ≡ 0 folgen w¨ Y1 + 2Y1 = −2Y0 = −2e 1 − e−2z und Y1 (0) = 0 .

6.6 Grenzschichten

Es folgt

411

Y1 (z) = c 1 − e−2z − z e 1 + e−2z .

Die Konstante c ist durch Anpassen ( matching“) zu bestimmen. Es gilt ” β y0 (xη ) + ε y1 (xη ) = y0 ε xη + ε y1 εβ xη ε = e 1 − εβ xη + 1 − εβ xη e 1 − εβ xη + · · · 2 ε 1 β = e − e ε xη + e − ε1+β e xη + ε1+2β e x2η + · · · 2 2 und Y0 (xη ) + ε Y1 (xη ) = Y0 ε−1+β xη + ε Y1 ε−1+β xη $ , # $ $# β−1 β−1 β−1 xη e # = e 1 − e−2ε xη + ε c 1 − e−2ε xη − 1−β 1 + e−2ε xη ε ≈ e + εc − εβ e xη . Es folgt

e . 2 Diese Entwicklungen k¨ onnen wir nun wieder zusammensetzen: y(x) ≈ y0 (x) + ε y1 (x) + Y0 xε + ε Y1 xε − e − εβ e xη + 2ε e ε ≈ e1−x − (1 + x)e1−2x/ε + (1 − x)e1−x − e1−2x/ε . 2 c=

Der Term in den eckigen Klammern ist dabei der gemeinsame Teil beider Entwicklungen. Die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen Wir wollen jetzt asymptotische Entwicklungen f¨ ur die Navier–Stokes–Gleichungen in der N¨ ahe eines festen K¨ orpers machen. Zur Vereinfachung betrachten wir einen ﬂachen K¨ orper. Außerdem beschr¨anken wir uns auf den r¨ aumlich zweidimensionalen Fall. Eine Verallgemeinerung auf drei Dimension ist m¨ oglich. In diesem Abschnitt sei der Geschwindigkeitsvektor durch (u, v) ∈ R2 gegeben und die r¨ aumlichen Variablen seien (x, y) ∈ R2 . Dann lauten die Navier–Stokes–Gleichungen in entdimensionalisierter Form wie folgt: 1 ∆u , Re 1 ∂t v + u ∂x v + v ∂y v = −∂y p + ∆v , Re ∂x u + ∂y v = 0

∂t u + u ∂x u + v ∂y u = −∂x p +

412

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

f¨ ur y > 0 und u = v = 0 f¨ ur y = 0 . Wir betrachten Str¨ omungen f¨ ur große Reynoldszahlen Re. In den meisten praktischen Anwendungen bei Gasstr¨ omungen ist die Reynoldszahl tats¨achlich sehr groß. Der Parameter 1 ε= Re wird im Folgenden unser kleiner Parameter sein. 1. Schritt: Die ¨außere Entwicklung. In Bereichen weit entfernt von der Grenzschicht betrachten wir eine ¨außere Entwicklung f¨ ur (u, v) der Form u = u 0 + ε u 1 + ε2 u 2 + · · · , v = v0 + ε v1 + ε2 v2 + · · · , p = p0 + ε p1 + ε 2 p2 + · · · . Zur niedrigsten Ordnung erhalten wir f¨ ur u0 , v0 die Euler–Gleichungen ∂t u0 + u0 ∂x u0 + v0 ∂y u0 = −∂x p0 , ∂t v0 + u0 ∂x v0 + v0 ∂y v0 = −∂y p0 ,

(6.133)

∂x u0 + ∂y v0 = 0 . 2. Schritt: Die innere Entwicklung. In y–Richtung ¨ andert sich die L¨ osung vermutlich stark. Die Geschwindigkeit ur y = 0 und ¨ andert ihren Wert schnell in y–Richtung. (u, v) verschwindet f¨ Deshalb machen wir f¨ ur die innere Entwicklung nahe {y = 0} den Ansatz t = t, X = x, Y =

y εk

und U (t, X, Y ) = u t, X, εk Y , V (t, X, Y ) = v t, X, εk Y , P (t, X, Y ) = p t, X, εk Y . F¨ ur die gesuchten Funktionen U, V, P nehmen wir eine asymptotische Entwicklung der folgenden Form an: U = U0 + εm U1 + ε2m U2 + · · · , V = V0 + εm V1 + ε2m V2 + · · · , P = P0 + εm P1 + ε2m P2 + · · · .

6.6 Grenzschichten

413

Die Divergenzgleichung ∂x u + ∂y v = 0 liefert ∂X U0 + εm ∂X U1 + · · · + ε−k ∂Y V0 + εm ∂Y V1 + · · · = 0 . Dies impliziert ∂Y V0 = 0 , und da V0 (t, x, 0) = 0 gilt, folgt V0 ≡ 0 . Eine sinnvolle Gleichung zur n¨ achsth¨ oheren Ordnung erhalten wir nur, falls m = k. Nur dann ergibt sich eine sinnvolle Balance zwischen ∂X U0 und anderen Termen in der Gleichung. Diese lautet dann ∂X U0 + ∂Y V1 = 0 .

(6.134)

Die Impulserhaltung liefert ∂t U0 + U0 ∂X U0 + εk V1 ∂Y U0 ε−k + · · · 2 = −∂X P0 + ε ∂X U0 + ε1−2k ∂Y2 U0 + · · · ,

εk ∂t V1 + εk U0 ∂X V1 + ε2k V1 ∂Y V1 ε−k + · · · 2 V1 + εk+1−2k ∂Y2 V1 + · · · . = −ε−k ∂Y P0 + εk+1 ∂X

In der ersten Gleichung wird der Term ε1−2k ∂Y2 U0 nur dann sinnvoll balanciert, wenn k = 12 ist. Dies liefert uns insbesondere, dass Reibungsterme zu h¨ ochster Ordnung auftreten. Wir vermuteten ja schon, dass Reibung am festen K¨ orper f¨ ur die Grenzschichtbildung verantwortlich ist. Daher ist es sinnvoll, einen Reibungsterm so zu skalieren, dass er zu niedrigster Ordnung erhal¨ ten bleibt. Eine weitere Motivation ergibt sich aus unseren vorherigen Uberlegungen zu Grenzschichten in den Navier–Stokes–Gleichungen. Wir hatten 1 1/2 die Grenzschichtdicke bestimmt. schon gesehen, dass der Term ε1/2 = Re ahlen, so w¨ are der Term ∂Y2 U0 dominierend und wir erW¨ urden wir k > 12 w¨ hielten ∂Y2 U0 = 0 . In diesem Fall w¨ urden nur viskose Terme ber¨ ucksichtigt werden und die Beschleunigungsterme w¨ urden vernachl¨ assigt werden. Wir w¨ urden die Str¨omung zu nahe am festen K¨ orper betrachten und Reibungsterme w¨ urden zu sehr dominieren. Die Potenz k deﬁniert ja u ¨ ber Y = εk y , wie weit wir uns vom Rand weg beﬁnden. F¨ ur k < 12 w¨ urden wir die viskosen Terme vernachl¨ assigen und in diesem Fall w¨ aren wir zu weit weg vom Rand, um die Reibung zu sp¨ uren. Insgesamt erhalten wir, wenn wir k = 12 w¨ahlen, zu niedrigster Ordnung

414

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

∂t U0 + U0 ∂X U0 + V1 ∂Y U0 = −∂X P0 + ∂Y2 U0 , ∂Y P0 = 0 . Diese Gleichungen m¨ ussen zusammen mit der Gleichung (6.134) gel¨ost werden. Als Randbedingungen am unteren Rand erhalten wir ur Y = 0 . U0 = V1 = 0 f¨ Insbesondere gilt P0 = P0 (t, x) . 3. Schritt: Matching Es sei yη =

y = ε1/2−β Y εβ

mit y = ε1/2 Y und

1 . 2 Im Folgenden dr¨ ucken wir die Abh¨ angigkeit von t und x nicht explizit aus. Wir deﬁnieren u 0 (yη ) = u0 εβ yη , v0 (yη ) = v0 εβ yη , p0 (yη ) = p0 εβ yη 0<β<

und 0 (yη ) = U0 εβ−1/2 yη , U V0 (yη ) = V0 εβ−1/2 yη ≡ 0 , P0 (yη ) = P0 εβ−1/2 yη . 0 , V0 , P0 ) im Limes ε → 0 u Wir verlangen nun, dass ( u0 , v0 , p0 ) und (U ¨ bereinstimmen. Daraus folgt: ur alle t und x . lim v0 (y) = 0 f¨

y→0

Aus (6.133) folgt dann ∂t u0 (t, x, 0) + u0 (t, x, 0) ∂x u0 (t, x, 0) = −∂x p0 (t, x, 0) . Außerdem gilt u0 (t, x, 0) = U0 (t, x, ∞) , p0 (t, x, 0) = P0 (t, x, ∞) .

6.6 Grenzschichten

415

Wegen ∂Y P0 = 0 folgt p0 (t, x, 0) = P0 (t, x, Y ) f¨ ur alle Y > 0 . In der Grenzschicht erhalten wir somit die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ∂t U0 + U0 ∂X U0 + V1 ∂Y U0 = ∂t u0 + u0 ∂x u0 + ∂Y2 U0 , ∂X U0 + ∂Y V1 = 0 . Als Randbedingungen haben wir ur Y = 0 , U0 = V1 = 0 f¨ und U0 (t, x, Y ) = u0 (t, x, 0) f¨ ur Y = ∞ . Dies ist ein System von Gleichungen f¨ ur U0 , V1 . F¨ ur V1 ergibt sich nur eine Randbedingung. Dies ist jedoch ausreichend, da nur erste Ableitungen von V1 auftreten, und nach unseren Erfahrungen reicht dann eine Randbedingung aus. F¨ ur die a osen wir die Euler–Gleichungen mit den ¨ußere Entwicklung l¨ Randbedingungen v0 = 0 . Dies entspricht der u ur die Euler–Gleichungen, die ja ¨ blichen Randbedingung f¨ gerade fordert, dass die Normalkomponente der Geschwindigkeit verschwindet. Zusammenfassung: Außerhalb einer Grenzschicht sind die Euler–Gleichungen ∂t u0 + u0 ∂x u0 + v0 ∂y u0 = −∂x p0 , ∂t v0 + u0 ∂x v0 + v0 ∂y v0 = −∂y p0 , ∂x u0 + ∂y v0 = 0 mit der u ¨blichen Randbedingung u0 · n = 0 f¨ ur y = 0 v0 zu l¨ osen. In der Grenzschicht gelten die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ∂t U0 + U0 ∂X U0 + V1 ∂Y U0 = ∂Y2 U0 + ∂t u0 + u0 ∂x u0 , ∂X U0 + ∂Y V1 = 0 f¨ ur t, Y > 0 mit den Randbedingungen

416

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

U0 = V1 = 0 f¨ ur Y = 0 und ur alle t, X = x . U0 (t, X, Y = ∞) = u0 (t, x, 0) f¨ Bemerkungen 1. Leichte Kr¨ ummungen des Gebietsrandes k¨onnen wir vernachl¨assigen; bei st¨ arkeren Kr¨ ummungen treten zus¨ atzliche Terme in den Gleichungen auf. 2. Der Fehler zwischen den Navier–Stokes–Gleichungen und den Grenzschichtgleichungen in der Grenzschicht ist, gemessen in einer geeigneten Norm, von der Ordnung O ε1/2 .

6.7 Literaturhinweise ¨ Einen guten Uberblick u ¨ber die mathematische Analysis partieller Diﬀerentialgleichungen gibt [36] und [69]. Zu verschiedenen Klassen von Diﬀerentialgleichungen gibt es spezielle Literatur, wie etwa [47] f¨ ur elliptische Gleichungen und [43], [110] und [118] zur Analysis der Navier–Stokes–Gleichungen. Ein Panoptikum von Anwendungen f¨ ur partielle Diﬀerentialgleichungen ist in [86] zu ﬁnden. Anwendungen der asymptotischen Analysis auf partielle Diﬀerentialgleichungen ﬁndet man in [63] und [71]. Die Homogenisierung partieller Diﬀerentialgleichung ist ausf¨ uhrlich beschrieben in [21], [22], [65] und [128]. Numerische Verfahren zur L¨ osung partieller Diﬀerentialgleichungen werden in [52], [58], [68], [75], [91], [99] beschrieben und analysiert. F¨ ur manche Gleichungen gibt es spezielle numerische Verfahren, etwa die in [50] beschriebenen f¨ ur die Navier–Stokes–Gleichungen und die aus [78], [81] f¨ ur hyperbolische Probleme.

6.8 Aufgaben Aufgabe 6.1. Es ist folgende elliptische Diﬀerentialgleichung mit Robin– Randbedingungen gegeben: −∇ · (λ∇u) = f λ ∇u · n = b − au

in Ω , auf ∂Ω .

Dabei sei Ω ein beschr¨ anktes Gebiet mit glattem Rand und λ, f , a, b seien glatte Funktionen mit λ ≥ λ0 > 0 und a ≥ a0 > 0. a) Leiten Sie ein zu dieser Randwertaufgabe ¨aquivalentes Minimierungsproblem her.

6.8 Aufgaben

417

b) Zeigen Sie, dass das zu optimierende Funktional J aus Aufgabenteil a) koerzitiv ist im folgenden Sinn: J(u) ≥ c1 u2H 1 (Ω) − c2 mit c1 , c2 > 0 . Benutzen Sie dazu die folgende Version der Poincar´eschen Ungleichung: 2 |∇u| dx + |u|2 dsx ≥ cP u2H 1 (Ω) . Ω

∂Ω

Diese Ungleichung muss nicht bewiesen werden. c) Gilt die Aussage aus Teil b) auch, wenn man auf die Bedingung a ≥ a0 > 0 verzichtet? Aufgabe 6.2. (Existenz von Potentialen) Sei Ω ein einfach zusammenh¨ angendes oﬀenes Gebiet des R3 und f ein rotationsfreies Vektorfeld. Wir wollen zeigen, dass ein Potential ϕ mit ∇ϕ = f existiert. Sei a ∈ Ω beliebig vorgegeben. Wir w¨ ahlen ϕ(a) = 0; oﬀenbar a¨ndert sich die Potential–Eigenschaft einer Funktion ϕ nicht durch Hinzuaddieren einer Konstanten, deswegen ist diese Wahl zul¨ assig. Zu b ∈ Ω w¨ahlen wir einen C ∞ –Weg c : [0, 1] → Ω , c(0) = a , c(1) = b von a nach b und setzen ϕ(b) := 0

1

f (c(t)) · c (t) dt .

Zeigen Sie: Diese Deﬁnition ist unabh¨ angig vom gew¨ahlten Weg und es gilt ∇ϕ = f . Hinweis: Benutzen Sie den Integralsatz von Stokes. Aufgabe 6.3. (Komplexes Str¨ omungspotential I) Außerhalb der Scheibe Ba (0) mit Radius a > 0 um 0 sei das komplexe Potential a2 w(z) := U z + z mit U ∈ R gegeben. a) Es sei w = ϕ + iψ mit dem reellen Potential ϕ und der Stromfunktion ψ. Geben Sie ϕ und ψ in Zylinderkoordinaten (r, β) ∈ [a, ∞) × [0, 2π) an. Nutzen Sie dabei z = r exp(iβ) = r(cos β + i sin β). b) Berechnen Sie die komplexe Str¨ omung F und geben Sie Real- und Imagin¨ arteil v1 beziehungsweise v2 in Zylinderkoordinaten an.

418

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

c) Betrachten Sie nun den Rand ∂Ba (0). In welchen Punkten ist der Betrag von F am gr¨ oßten beziehungsweise am kleinsten? Was gilt in diesen Punkten f¨ ur den Druck? d) Skizzieren Sie die Stromlinien sowie die Linien, auf denen ϕ konstant ist. e) Zeigen Sie, dass keine Kraft auf die Scheibe ausge¨ ubt wird. Aufgabe 6.4. (Komplexes Str¨ omungspotential II) a) Betrachten Sie nun außerhalb von Ba (0) das komplexe Potential w(z) :=

Γ ln z 2πi

mit Γ ∈ R und l¨ osen Sie a) und b) aus Aufgabe 6.3. b) Nun sei das folgende komplexe Potential gegeben: # a2 $ Γ w(z) ( := w(z) + w(z) =U z+ ln z . + z 2πi Bestimmen Sie alle Staupunkte mit F( = 0. Dabei ist F( die zu w ( geh¨orende komplexe Geschwindigkeit. Hinweis: Es ist v( = ∇x ϕ; ( es reicht oﬀenbar, ∂r ϕ ( = 0 und ∂β ϕ ( = 0 zu untersuchen. Aufgabe 6.5. (Stromlinien) Sei F = v1 − iv2 eine komplexe Str¨ omung mit komplexem Potential w in einem Gebiet Ω ⊂ C. Weiterhin sei c : [0, 1] → Ω eine glatt eingebettete Kurve. Eine solche Kurve wird Segment einer Stromlinie s genannt, falls es eine Umparametrisierung β von [0, 1] auf den Deﬁnitionsbereich von s gibt, so dass s(β(τ )) = c(τ ) ist. Wir nehmen an, dass F auf c nicht verschwindet. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen ¨ aquivalent sind: ur 0 ≤ τ ≤ 1, (i) v1 (c(τ )) c2 (τ ) = v2 (c(τ )) c1 (τ ) f¨ ur 0 ≤ τ ≤ 1, (ii) v(c(τ )) = (v1 , v2 )(c(τ )) ist parallel zu c (τ ) = (c1 , c2 )(τ ) f¨ (iii) c ist ein Segment einer Stromlinie, (iv) die Stromfunktion ψ ist auf c konstant. Aufgabe 6.6. (D’Alembertsches Paradox) Zeigen Sie, dass durch das Potential 3 a +1 U ·x ϕ(x) = 2|x|3

6.8 Aufgaben

419

in R3 \Ba (0) eine divergenzfreie Str¨ omung gegeben ist, wobei U die Geschwindigkeit f¨ ur |x| → ∞ ist. Veriﬁzieren sie außerdem, dass die auf die Kugel wirkende Kraft f =− ϕ n ds ∂Ba (0)

verschwindet. Aufgabe 6.7. Es seien u− , u+ , w ∈ L2 (Ω) mit u− ≤ u+ gegeben. Weiter sei K = {v ∈ L2 (Ω) | u− (x) ≤ v(x) ≤ u+ (x)

fast u ¨ berall} .

Gesucht sei die L¨ osung P w des Minimierungsproblems min{v − wL2 (Ω) | v ∈ K} . Zeigen Sie: Es existiert genau eine L¨ osung des Minimierungsproblems und es ur alle v ∈ K. Die L¨osung P w heißt orthogilt (v − P w, w − P w)L2 (Ω) ≤ 0 f¨ gonale Projektion von w auf K. Zusatz: Formulieren und beweisen Sie ein entsprechendes Resultat f¨ ur allgemeine Hilbertr¨ aume H. Ersetzen Sie dabei L2 (Ω) durch H und K durch eine abgeschlossene, konvexe Menge. Aufgabe 6.8. Zeigen Sie, dass die Variationsungleichung (6.38) ¨aquivalent ist zur Aussage, dass die Abbildung (6.39) ihr Minimum in u(x) annimmt. Aufgabe 6.9. Es seien u, p, u− , u+ : Ω → R stetig und u− (x) < u+ (x) f¨ ur alle x ∈ Ω. Zeigen Sie: Es gilt (α u(x) + p(x))(u(x) − u(x)) dx ≥ 0 Ω

f¨ ur alle stetigen u : Ω → R mit u− (x) ≤ u(x) ≤ u+ (x) genau dann, wenn f¨ ur alle x ∈ Ω die folgende Variationsungleichung erf¨ ullt ist: ur alle v ∈ [u− (x), u+ (x)] . (α u(x) + p(x))(v − u(x)) ≥ 0 f¨ Zusatzfrage: Wie lautet die entsprechende Aussage, falls alle auftretenden Funktionen nur quadratintegrierbar sind? Aufgabe 6.10. Formulieren Sie ein Minimumprinzip f¨ ur Problem (P2 ) aus Abschnitt 6.1.7 analog zu Satz 6.13. Aufgabe 6.11. a) Es sei u(t, x) die Wahrscheinlichkeit, ein Partikel zum Zeitpunkt t = 0, τ, 2τ, . . . an einem Gitterpunkt x = 0, ±h, ±2h, . . . zu ﬁnden. Es sei angenommen, dass von einem Zeitschritt zum n¨achsten Partikel mit einer Wahrscheinlichkeit α1 nach links und mit einer Wahrscheinlichonnen. Die Wahrscheinlichkeit im bisherigen keit α2 nach rechts springen k¨

420

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Punkt zu verharren sei (1− α1 − α2 ). Welche partielle Diﬀerentialgleichung ergibt sich zu f¨ uhrender Ordnung in τ und h, falls wir α1 , α2 so w¨ahlen, dass (α1 + α2 )h2 (α2 − α1 )h = E und =D τ 2τ gilt? Anleitung: Gehen Sie vor wie am Ende von Abschnitt 6.2.9. b) Verallgemeinern Sie das Vorgehen am Ende von Abschnitt 6.2.9 auf den Fall von mehreren Raumdimensionen. Aufgabe 6.12. Es sei V ≤ −2. Zeigen Sie: Es existiert keine Funktion U : R → R, so dass U + V U + U (1 − U ) = 0 , lim U (z) = 0 , lim U (z) = 1 .

z→−∞

z→∞

Hinweis: Multiplizieren Sie die Diﬀerentialgleichung mit U (z). Aufgabe 6.13. Es sei A eine reelle (2 × 2)-Matrix ohne reelle Eigenwerte und u + iv, u, v ∈ R2 sei Eigenvektor zum Eigenwert γ + iω. a) Zeigen Sie: Die Vektoren u und v sind linear unabh¨angig und alle L¨osungen von x = Ax sind gegeben durch c1 x1 (t) + c2 x2 (t) , c1 , c2 ∈ R mit x1 (t) = eγt (cos(ωt) u − sin(ωt) v) x2 (t) = eγt (sin(ωt) u + cos(ωt) v) . b) Zeichnen Sie das Phasenportrait des Diﬀerentialgleichungssystems x = Ax f¨ ur −1 −1 A= . 1 −1 Aufgabe 6.14. Zeigen Sie die Existenz einer L¨osung (U, W ) zu (6.77), (6.78) mit lim (U, W )(z) = (0, 0) , lim (U, W )(z) = (1, 0) , (6.135) z→−∞

z→∞

indem Sie wie folgt vorgehen: a) Zeigen Sie mit Stetigkeitsargumenten, dass ein W ∈ R+ existiert, so dass das Anfangswertproblem U (1 − U ) dW (U ) = −V − , W ( 12 ) = W dU W eine L¨ osung W : 12 , 1 → [0, ∞) besitzt mit W (1) = 0.

(6.136)

6.8 Aufgaben

421

b) Zeigen Sie, dass sich dieses W zu einer L¨ osung W ∗ : [0, 1] → [0, ∞) mit ∗ W (0) = 0 fortsetzen l¨ asst. c) Weisen Sie nach, dass die L¨ osung von U (z) = W ∗ (U (z)) ,

U (0) =

1 2

nun eine L¨ osung (U (z), W ∗ (U (z))) von (6.77), (6.78) mit (6.135) liefert. Aufgabe 6.15. Es sei u : [0, ∞) × Ω → R eine glatte L¨osung des Anfangsrandwertproblems ∂t u = d ∆u ∇u · n = 0 u(0, x) = u0 (x)

f¨ ur x ∈ Ω , t ≥ 0 , f¨ ur x ∈ ∂Ω , t ≥ 0 , f¨ ur x ∈ Ω .

Zeigen Sie: d a) u(t, x) dx = 0. dt Ω b) Es existiert eine Konstante c > 0, so dass (u(t, x) − c)2 dx → 0 f¨ ur

t → ∞.

Ω

Hinweis: Es "existiert eine Konstante C0 > 0, so dass f¨ ur alle Funktionen v ∈ H 1 (Ω) mit Ω v(x) dx = 0 die folgende Variante der Poincar´e–Ungleichung gilt: v 2 (x) dx ≤ C0

Ω

|∇v(x)|2 dx .

(6.137)

Ω

Diese Aussage gilt damit insbesondere f¨ ur Funktionen v ∈ C 1 (Ω) mit " v(x) dx = 0. Die Ungleichung (6.137) muss nicht bewiesen werden. Ω Aufgabe 6.16. Bestimmen Sie f¨ ur das Schnakenbergsystem (6.90), (6.91) die positiven station¨ aren L¨ osungen (U0 , V0 ). Geben Sie notwendige Bedingungen daf¨ ur an, dass eine Turing–Instabilit¨ at auftritt. Wie groß muss Ω = (0, a) sein, damit wir in Ω eine Turing–Instabilit¨ at beobachten k¨onnen? Aufgabe 6.17. Zeigen Sie f¨ ur periodische L¨osungen der Cahn–Hilliard– Gleichung (6.96) auf Ω = [0, ]d , > 0 die Massenerhaltung (6.97) und die Ungleichung f¨ ur die freie Energie (6.98). Gibt es andere Randbedingungen f¨ ur die (6.97) und (6.98) richtig sind? Aufgabe 6.18. Berechnen Sie die Entropiel¨ osungen der hyperbolischen Erhaltungsgleichung ∂t u + u ∂x u = 0 auf R+ × R mit den Anfangsbedingungen

422

6 Partielle Diﬀerentialgleichungen

⎧ ⎪ ⎨0 a) u(0, x) = x + 1 ⎪ ⎩ 2 ⎧ ⎪ ⎨2 b) u(0, x) = 1 − x ⎪ ⎩ 0

f¨ ur x < −1, f¨ ur − 1 ≤ x ≤ 1, f¨ ur x > 1, f¨ ur x < −1, f¨ ur − 1 ≤ x ≤ 1, f¨ ur x > 1.

Aufgabe 6.19. Berechnen Sie zu den folgenden Diﬀerentialgleichungen jeweils alle m¨ oglichen L¨ osungen u = u(t, x), t > 0, x ∈ R, vom Typ einer travelling wave“, also u(t, x) = w(x − vt) mit einer geeigneten Funktion ” w : R → R und einer passenden Ausbreitungsgeschwindigkeit v ∈ R: a) ∂t u + ∂x u = 0, b) ∂t u − ∂x2 u = 0, c) ∂t2 u − ∂x2 u = 0, d) ∂t2 u + ∂x2 u = 0. Bei welchen Gleichungen gibt es L¨ osungen f¨ ur jede Wahl der Funktion w? Aufgabe 6.20. Konstruieren Sie eine Folge un : [0, ∞) × [0, 1] → R von L¨ osungen der Gleichung ∂t u + ∂xx u = 0 mit u(t, 0) = u(t, 1) = 0 f¨ ur alle t > 0, so dass lim

n→∞

und lim

→0

n→∞

sup un (0, x) x∈[0,1]

sup un (t, x)

→ ∞ f¨ ur alle t > 0 .

x∈[0,1]

Dies zeigt, dass L¨ osungen des Problems ∂t u+∂xxu = 0 mit u(t, 0) = u(t, 1) = 0 f¨ ur alle t > 0 nicht stetig von den Anfangsdaten abh¨angen. Hinweis: Machen Sie einen Separationsansatz u(t, x) = v(t) w(x).

7 Probleme mit freiem Rand

Viele Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik f¨ uhren auf Problemstellungen, bei denen die Geometrie des Gebietes, auf dem eine Gleichung gel¨ ost werden soll, a priori unbestimmt ist. Ist eine partielle Diﬀerentialgleichung in einem Gebiet zu l¨ osen, von dem ein Teil des Randes unbekannt ist, so spricht man von einem Problem mit freiem Rand. Zus¨atzlich zu den u ¨ blichen Randbedingungen, die gebraucht werden, um die partielle Diﬀerentialgleichung zu l¨ osen, sind in diesem Fall weitere Bedingungen am freien Rand zu stellen. Probleme mit freiem Rand tauchen unter anderem bei folgenden Fragestellungen auf: Schmelz- und Erstarrungsph¨ anomene (Stefan–Problem), Hindernisprobleme f¨ ur elastische Membranen, Kontaktprobleme bei elastischen Verformungen, Wachstum von Tumoren, Str¨ omungen mit freien Oberﬂ¨achen und Bewertung von Finanzderivaten. Wir wollen in diesem Kapitel einige klassische Probleme mit freiem Rand diskutieren, die viele der Entwicklungen auf diesem Gebiet angeregt haben. Zum einen behandeln wir Hindernisprobleme f¨ ur elastische Membranen und Kontaktprobleme f¨ ur elastische K¨ orper und werden dabei lernen, dass Variationszug¨ ange auch f¨ ur Probleme mit freiem Rand sehr erfolgreich sind. Außerdem diskutieren wir das Stefan–Problem, das unter anderem Schmelzvorg¨ange und Kristallwachstum beschreibt, als Beispiel f¨ ur ein zeitabh¨angiges Problem mit freiem Rand. Weitere Probleme mit freiem Rand, die in diesem Kapitel diskutiert werden, entstammen der Modellierung von Str¨omungen in por¨osen Medien und dem Gebiet der Str¨ omungen mit freien Oberﬂ¨achen. In Kapitel 6 haben wir Randwertprobleme f¨ ur elliptische Diﬀerentialgleichungen behandelt. F¨ ur ein festes Gebiet Ω ⊂ Rd mit Rand Γ = ∂Ω und einer gegebenen Funktion f : Ω → R haben wir dort folgende Aufgabe betrachtet: Finde ein u : Ω → R, so dass −∆u = f in Ω , u = 0 auf Γ = ∂Ω .

424

7 Probleme mit freiem Rand

Viele Anwendungen f¨ uhren auf Problemstellungen, bei denen das Gebiet Ω und damit der Rand Γ = ∂Ω a priori unbekannt sind. In diesem Fall ist etwa eine Funktion f : Rd → R gegeben, und wir suchen eine Menge Γ , die ein Gebiet Ω ⊂ Rd berandet und eine Funktion u : Ω → R, so dass ⎧ ⎪ in Ω , ⎨−∆u = f (7.1) u = 0 auf Γ = ∂Ω , ⎪ ⎩ ∇u · n = 0 auf Γ = ∂Ω . Dabei sei n der nach außen orientierte Normalenvektor von ∂Ω. Da wir mit dem Rand einen weiteren Freiheitsgrad in der Problemstellung haben, fordern wir eine weitere Randbedingung, um diesen Freiheitsgrad festzulegen. In diesem Kapitel werden an einigen Stellen Kenntnisse u ¨ ber Hyperﬂ¨achen im Rd vorausgesetzt. Insbesondere wird Vertrautheit mit folgenden Begriﬀen und Konzepten vorausgesetzt: Tangentialraum, tangentiale Ableitung beziehungsweise Ableitung l¨ angs eines Vektorfeldes, Integration auf Mannigfaltigkeiten. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf die Analysis–Grundvorlesungen beziehungsweise auf die B¨ ucher von Hildebrandt [62] und K¨onigsberger [76].

7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme Wir betrachten eine elastische Membran, die sich als Graph einer Funktion u : Ω → R mit einem Gebiet Ω ⊂ Rd schreiben l¨asst und die am Rand fest ﬁxiert sei, d.h. u(x) = u0 (x) f¨ ur x ∈ ∂Ω mit einer gegebenen Funktion u0 : ∂Ω → R. Wir nehmen weiter an, dass auf die Membran Kr¨afte wirken. Diese Kr¨ afte seien durch eine Funktion f : Ω → R gegeben, die angibt, wie stark die Kr¨ afte von unten in vertikaler Richtung wirken. Wir wollen nun die potentielle Energie der Membran angeben. Um die Oberﬂ¨ache der Membran zu vergr¨ oßern, muss Energie aufgewendet werden, so dass die potentielle Energie sich bis auf eine additive Konstante durch den Term / . 1 + |∇u|2 − 1 − f u dx λ Ω

beschreiben l¨ asst. Dabei ist λ > 0 ein " Parameter, der die Dichte der Oberﬂ¨ achenenergie beschreibt. Der Term Ω f u dx beschreibt die durch die ¨außeren Kr¨ afte verrichtete Arbeit. Setzen wir voraus, dass |∇u| klein ist, so k¨onnen wir nach Taylorentwicklung und Vernachl¨ assigung von Termen h¨oherer Ordnung die Energie λ |∇u|2 − f u dx Ω 2 betrachten (vgl. Abschnitt 4.7 f¨ ur den Fall d = 1). Wir suchen nun Zust¨ande minimaler potentieller Energie, denn diese werden wir in der Natur beobachten. Diese Aufgabe f¨ uhrt auf das Minimierungsproblem

7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme

* min Ω

λ |∇u|2 − f u dx u ∈ V 2

425

+ (7.2)

mit V = {v ∈ H 1 (Ω) | v = u0 auf ∂Ω}. Dieses Problem haben wir schon in Abschnitt 6.1 behandelt. Ist die Bewegung der Membran nun nach unten durch ein Hindernis eingeschr¨ ankt, das durch eine Funktion ψ : Ω → R beschrieben ist, so ergibt sich folgendes Problem + * λ 2 (7.3) |∇u| − f u dx u ∈ V und u ≥ ψ . min 2 Ω Wir setzen im Folgenden ψ ∈ L2 (Ω) voraus und deﬁnieren eine Menge von zul¨ assigen Funktionen K = {v ∈ H 1 (Ω) | v = u0 auf ∂Ω und v ≥ ψ} , wobei u0 ∈ H 1 (Ω) die Randwerte deﬁniert und u0 ≥ ψ vorausgesetzt sei. Weiter sei λ 2 E(v) := |∇v| − f v dx 2 Ω und u ∈ K ein absolutes Minimum von E auf K, d.h. E(u) = min E(v) . v∈K

F¨ ur v ∈ K folgt nun, da K konvex ist, dass (1 − ε)u + εv = u + ε(v − u) f¨ ur ε ∈ [0, 1] in K liegt. Daher gilt E(u + ε(v − u)) ≥ E(u) und wir erhalten f¨ ur alle v ∈ K d E(u + ε(v − u))|ε=0 = λ∇u · ∇(v − u) − f (v − u) dx . (7.4) 0≤ dε Ω Wir nennen nun eine Funktion u ∈ K L¨ osung der Variationsungleichung zu E und K, falls die Ungleichung (7.4) f¨ ur alle v ∈ K erf¨ ullt ist. Es gilt nun folgendes Lemma (siehe auch [4]). Lemma 7.1. Es sei λ ≥ 0. Dann sind die absoluten Minima von E auf K genau die L¨osungen der Variationsungleichung (7.4) von E auf K. Beweis. Wir haben schon gezeigt, dass jedes absolute Minimum L¨osung der Variationsungleichung ist. Ist nun u ∈ K L¨ osung der Variationsungleichung, so gilt f¨ ur alle v ∈ K λ E(v) = E(u) + |∇(v − u)|2 dx λ∇u · ∇(v − u) − f (v − u) dx + Ω Ω 2 λ ≥ E(u) + |∇(v − u)|2 dx . 2 Ω Da λ nichtnegativ ist folgt somit die Behauptung.

426

7 Probleme mit freiem Rand u0 (1)

u0 (−1)

−1

1

A

Abb. 7.1. L¨ osung eines Hindernisproblems mit f negativ, Ω = (−1, 1) und ψ ≡ 0. Die aktive Menge ist gegeben durch A = {x ∈ (−1, 1) | u(x) = 0}.

Im Weiteren setzen wir stets voraus, dass Konstanten λ0 und λ1 existieren, so ur alle x ∈ Ω. Unter geeigneten Glattheitsvordass 0 < λ0 ≤ λ(x) < λ1 < ∞ f¨ aussetzungen an λ, f, ψ, u0 und ∂Ω kann gezeigt werden (siehe [41] und [73]), dass L¨ osungen u der obigen Variationsungleichung in H 2 (Ω) liegen. Das bedeutet, es existieren auch zweite Ableitungen im schwachen Sinn und diese sind quadratintegrierbar. Tats¨ achlich gilt sogar, dass zweite Ableitungen in L∞ (Ω) liegen und erste Ableitungen klassisch existieren und Lipschitzstetig sind. Dann ergibt sich aus der Variationsungleichung und der Tatsache, dass u und v dieselben Randdaten besitzen [∇ · (λ∇u) + f ](v − u) dx ≤ 0 f¨ ur alle v ∈ K . (7.5) Ω

Falls u und ψ stetig sind, ist die Menge N := {x ∈ Ω | u(x) > ψ(x)} oﬀen. F¨ ur Funktionen ζ ∈ C0∞ (N ) und ε klein genug liegen dann die Funktionen v = u ± εζ in K. Setzen wir diese v in (7.5) ein, so folgt [∇ · (λ∇u) + f ] · ζ dx = 0 f¨ ur alle ζ ∈ C0∞ (N ) Ω

und damit, da ζ ∈ C0∞ (N ) beliebig gew¨ ahlt werden kann, ∇ · (λ∇u) + f = 0

in N .

ager, der nicht ganz in N liegt, so folgt im Hat nun ζ ∈ C0∞ (Ω) einen Tr¨ Allgemeinen v = u + ζ ∈ K nur falls ζ ≥ 0 gilt. Wir erhalten [∇ · (λ∇u) + f ] · ζ dx ≤ 0 f¨ ur alle ζ ∈ C0∞ (Ω) mit ζ ≥ 0 Ω

und somit

7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme

∇ · (λ∇u) + f ≤ 0

427

f¨ ur fast alle x ∈ Ω .

Da L¨ osungen der Variationsungleichung im Fall glatter Daten in C 1 (Ω) liegen, gilt dann u = ψ und ∇u = ∇ψ auf A := Ω \ N . Falls Γ := ∂N ∩ ∂A eine Normale n besitzt, folgt somit insbesondere u = ψ,

λ∇u · n = λ∇ψ · n auf Γ .

Insgesamt erhalten wir

⎫ ∇ · (λ∇u) + f ≤ 0 ⎬ u≥ψ ⎭ (∇ · (λ∇u) + f )(u − ψ) = 0 u = u0 u=ψ λ∇u · n = λ∇ψ · n

in Ω , auf ∂Ω , auf Γ , auf Γ .

Diese Formulierung des Hindernisproblems wird auch als Komplementarit¨atsformulierung bezeichnet. F¨ ur die Namensgebung sind die ersten drei Bedingungen verantwortlich (siehe dazu auch die Literatur zur Optimierung, z.B. [120]). Da das Hindernis in A := Ω \ N aktiv ist, nennen wir A die aktive Menge und N ist die inaktive ( nicht aktive“) Menge. Einige Autoren nennen ” A auch Koinzidenzmenge. Der gemeinsame Rand Γ = ∂A ∩ ∂N wird als freier Rand bezeichnet, da er a priori unbekannt ist. Deﬁnieren wir einen sogenannten Lagrange–Multiplikator µ ∈ L2 (Ω) durch µ(x) =

0 −∇ · (λ(x)∇u(x)) − f (x)

falls x ∈ N , falls x ∈ A ,

so k¨ onnen wir die ersten drei Bedingungen des Komplementarit¨atssystems wie folgt umformulieren: ∇ · (λ∇u) + f + µ = u≥ µ≥ µ(u − ψ) =

⎫ 0⎪ ⎪ ⎬ ψ 0⎪ ⎪ ⎭ 0

in Ω .

Im Folgenden wollen wir eine Umformulierung des Hindernisproblems als Problem mit freiem Rand f¨ ur den Operator ∇ · (λ∇u) angeben. Gesucht ist ein Gebiet N ⊂ Ω, ein freier Rand Γ = ∂N ∪ Ω und eine Funktion u : N → R, so dass ∇ · (λ∇u) + f u u = ψ, λ∇u · n u ∇ · (λ∇ψ) + f

=0 = u0 = λ∇ψ · n ≥ψ ≤0

in N , auf ∂Ω ∩ N , auf Γ , in N , in Ω \ N .

428

7 Probleme mit freiem Rand

Das Hindernisproblem kann also als •

Minimierungsproblem,

•

Variationsungleichung,

•

Komplementarit¨atsproblem,

•

Problem mit freiem Rand

oder mit Hilfe von •

Lagrange–Multiplikatoren

formuliert werden. In Aufgabe 7.2 werden Sie dar¨ uberhinaus eine weitere Formulierung kennenlernen, die ganz ohne Ungleichungen auskommt. Setzen wir ψ ≡ 0, λ ≡ 1 und Ω = Rd , so erhalten wir mit einer L¨osung des Hindernisproblems gerade eine L¨ osung des zu Anfang des Kapitels formulierten Problems (7.1). Dabei spielt Ω die Rolle der inaktiven Menge und Rd \ Ω die Rolle der aktiven Menge; die Funktion u muss dazu durch u = 0 auf R3 \ Ω fortgesetzt werden. Betrachten wir in diesem Fall die notwendigen Bedingungen, so sehen wir, dass alle in (7.1) formulierten Bedingungen erf¨ ullt sind. F¨ ur die Analysis eines Hindernisproblems sind insbesondere die Formulierungen (7.3) als Optimierungsproblem und (7.4) als Variationsungleichung n¨ utzlich. Die Eindeutigkeit einer L¨ osung kann man einfach aus der Variationsungleichung (7.4) ableiten: Sind u1 und u2 zwei L¨osungen, so setzen wir v = u2 in die Variationsungleichung mit L¨ osung u1 und v = u1 in die Variationsungleichung mit L¨ osung u2 ein und addieren die Ergebnisse. Es folgt 0≤ λ ∇u1 · ∇(u2 − u1 ) + λ ∇u2 · ∇(u1 − u2 ) dx Ω =− λ|∇(u1 − u2 )|2 dx Ω

und mit λ(x) ≥ λ0 > 0 folgt ∇u1 = ∇u2 in Ω. Da u1 und u2 auf dem Rand von Ω dieselben Werte annehmen, folgt u1 = u2 . Die Existenz von L¨osungen kann man durch Anwendung der direkten Methode der Variationsrechnung auf (7.3) nachweisen; f¨ ur Details verweisen wir auf [41], [73]. Eine weitere Problemklasse, die auf Variationsungleichungen sehr ¨ahnlicher Struktur f¨ uhrt, sind Kontaktprobleme f¨ ur elastische K¨orper. Wir betrachten einen K¨ orper aus linear elastischem Material, dessen Verformung durch das Verschiebungsfeld u beschrieben wird. Die Materialeigenschaften seien durch das Hookesche Gesetz σij (u) =

d k, =1

aijk εk (u)

7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme

429

mit dem linearisierten Verzerrungstensor εij (u) = 12 (∂i uj + ∂j ui ) gegeben. Wirkt auf den K¨ orper eine durch die volumenbezogene Kraftdichte f beschriebene ¨ außere Kraft, und sind die Verschiebungen am Rand ∂Ω des K¨orpers durch eine Funktion u0 vorgegeben, dann ist der Gleichgewichtszustand eine L¨ osung des Minimierungsproblems

min J(u) | u − u0 ∈ H01 (Ω)d mit dem Funktional

1

J(u) = Ω

2 a(u, u) −

wobei a(u, v) = σ(u) : ε(v) =

d

f · u dx ,

aijk εij (u) εk (v) .

i,j,k, =1

Die Randbedingung u0 sei dabei auf das gesamte Gebiet Ω fortgesetzt, und es gelte u0 ∈ H 1 (Ω)d . Bei einem Kontaktproblem ist auf einem Teil ΓC des Randes ein Hindernis gegeben, so dass die Komponente uν in Richtung des Hindernisses durch eine Funktion g beschr¨ ankt ist, uν := u · ν ≤ g auf ΓC . Dabei sei ν ein Einheitsvektor, der die Richtung des k¨ urzesten Abstandes zum Hindernis beschreibt; h¨ auﬁg w¨ ahlt man ν auch als Normalenvektor von ∂Ω. Auf dem restlichen Teil ΓU = ∂Ω \ ΓC sei weiterhin das Verschiebungsfeld u = u0 vorgeschrieben. Das statische Gleichgewicht des elastischen K¨orpers ist dann gegeben durch eine L¨ osung des Minimierungsproblems

min J(u) | u ∈ K (7.6) mit demselben Funktional J, aber einer anderen Menge zul¨assiger Funktionen

K := u ∈ H 1 (Ω)d | u = u0 auf ΓU , uν ≤ g auf ΓC . Diese Menge ist, wie man leicht u uft, konvex. Ist u eine L¨osung von (7.6) ¨berpr¨ und v ∈ K, dann ist f¨ ur jedes δ ∈ (0, 1) auch u + δ(v − u) ∈ K und es folgt mit derselben Rechnung wie beim Hindernisproblem d 0≤ J(u + δ(v − u))δ=0 = σ(u) : ε(v − u) − f · (v − u) dx . (7.7) dδ Ω Dies ist die Formulierung des Kontaktproblems als Variationsungleichung. Man kann mit einer zum Beweis von Lemma 7.1 analogen Rechnung zeigen, dass die Formulierungen (7.6) und (7.7) ¨ aquivalent sind.

430

7 Probleme mit freiem Rand

Wir leiten nun eine ¨ aquivalente Formulierung als Komplementarit¨atsproblem her. F¨ ur w ∈ C0∞ (Ω)d gilt oﬀensichtlich u ± w ∈ K, deshalb folgt σ(u) : ε(w) − f · w dx = 0 Ω

und nach partieller Integration − ∇ · σ(u) − f · w dx = 0 . Ω

Da dies f¨ ur beliebige w ∈ C0∞ (Ω)d gilt, erhalten wir das Gleichungssystem der statischen linearen Elastizit¨ at −∇ · σ(u) = f in Ω .

(7.8)

Weiterhin folgt mit partieller Integration f¨ ur eine allgemeine Testfunktion v∈K 0≤ σ n (u)·(v−u) dsx −∇·σ(u)−f ·(v−u) dx+ σ n (u)·(v−u) dsx = Ω

Γ

ΓC

n

mit der Randspannung σ (u) = σ(u)n. Dabei ist n der Normalenvektor von ∂Ω. Das Integral u ¨ ber ΓU ist Null wegen u = v = u0 auf ΓU . Setzen wir hier eine Testfunktion v = u ± w mit wν = 0 auf ΓC ein, so folgt στn (u) · w dsx = 0 , ΓC

wobei στn = σ n − σ n · ν ν der Anteil von σ n (u) ist, der senkrecht zu ν steht. ahlt werden kann, folgt Da w mit wν = 0 beliebig gew¨ στn = 0 auf ΓC .

(7.9)

F¨ ur eine allgemeine Testfunktion haben wir nun mit σνn := σ n · ν σνn (u) · (vν − uν ) dsx ≥ 0 . ΓC

W¨ ahlen wir nun ζ mit ζ · ν ≤ 0 auf ΓC und setzen v = u + ζ, so gilt v · ν ≤ g und wir erhalten σνn (u) · ζν ≥ 0 auf ΓC f¨ ur alle ζ mit ζ · ν ≤ 0. Falls in einem Punkt uν < g gilt, dann kann ζν ein beliebiges Vorzeichen annehmen und in diesem Punkt gilt σνn (u) = 0. Im Fall uν = g folgt lediglich σνn (u) ≤ 0. Insgesamt gilt die Komplementarit¨atsbedingung (7.10) uν ≤ g , σνn ≤ 0 , σνn (uν − g) = 0 . Das Kontaktproblem ist damit gegeben durch die Gleichungen (7.8), (7.9), die Komplementarit¨ atsbedingung (7.10) und die Randbedingung u = u0 auf ΓU . Die Eindeutigkeit einer L¨ osung des Kontaktproblems kann mit demselben Beweis wie beim Hindernisproblem mit Hilfe der Kornschen Ungleichung gezeigt werden, siehe Aufgabe 7.4. Die Existenz einer L¨osung folgt durch Anwendung der direkten Methode der Variationsrechnung.

7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien

431

7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien In diesem Abschnitt sollen Fließ- und Transportprozesse in por¨osen Medien betrachtet werden. Das wichtigste Beispiel f¨ ur ein por¨oses Medium ist der Erdboden. Es handelt sich dabei um ein Mehrphasensystem, bestehend aus dem Feststoﬀskelett, der sogenannten Matrix, und den die Hohlr¨aume, den sogenannten Porenraum, ausf¨ ullenden Fluiden. Die auftretenden ﬂuiden Phasen sind als ﬂ¨ ussige Phase das Bodenwasser und als gasf¨ormige Phase die Bodenluft. Wegen der inh¨ arenten mikroskopischen Inhomogenit¨at eines por¨osen Mediums muss mindestens zwischen zwei Ebenen der Betrachtungsweise unterschieden werden. Die erste ist die mikroskopische Ebene oder Mikroskala, in der ein aus einzelnen zusammenh¨ angenden Poren bestehendes geometrisches Gebilde das Gebiet darstellt. Bei kontinuierlicher Betrachtungsweise k¨onnen nun etwa die str¨ omungsmechanischen Gesetze formuliert werden. Diese Ebene ist aber nicht ausreichend, da weder die Porengeometrie mit den hochkomplexen R¨ andern zwischen Porenraum und Porenmatrix beschrieben werden kann noch die in einer solchen mikroskopischen Beschreibung auftretenden Gr¨oßen den messbaren Gr¨ oßen entsprechen. Die Messgr¨oßen sind vielmehr als Mittel der entsprechenden mikroskopischen Gr¨ oßen u ¨ ber kleine Volumina zu interpretieren, die immer Anteile aus Porenraum und Porenmatrix enthalten. Um ¨ zur Ubereinstimmung zwischen Modellierungs- und Messgr¨oßen zu gelangen, ¨ muss durch Ubergang auf eine zweite, makroskopische Ebene (Makroskala) dieser Mittelungsprozess nachvollzogen werden. Dies kann unter verschiedenen Voraussetzungen und mit unterschiedlicher Rigorosit¨at mit Volumenmittelung oder mit Homogenisierung (siehe Abschnitt 6.1.6) ausge¨ ubt werden. Auftretende Gr¨ oßen m¨ ussen also interpretiert werden als Mittel u ¨ ber ein sogenanntes repr¨asentatives Elementarvolumen (REV), dessen Gr¨oße klein ist in Relation zum gesamten makroskopischen Gebiet, aber groß im Vergleich zu einer Kenngr¨ oße der Mikroskala, wie Korngr¨oße oder dem Volumen einer Pore. Ein makroskopisches Modell f¨ ur Str¨ omungen in por¨osen Medien ist das Gesetz von Darcy v = −K∇(p + G) (7.11) mit einer gemittelten Geschwindigkeit v, der sogenannten Darcy–Geschwindigkeit, dem Druck p, einem Leitf¨ ahigkeitstensor K, der im Allgemeinen eine symmetrische, positiv deﬁnite Matrix ist, und einem Gravitationspotential G = gx3 , wobei x = (x1 , x2 , x3 ) die Ortskoordinaten bezeichnet. Die gemittelte Geschwindigkeit v kann man auch als ﬂ¨ achenspeziﬁsche Durchﬂussrate interpretieren, konkret gibt v ∆A ∆t das Fl¨ ussigkeitsvolumen an, das in der Zeiteinheit ∆t durch ein Fl¨ achenst¨ uck senkrecht zur Flussrichtung mit Fl¨acheninhalt ∆A str¨ omt. Statt v wird oft auch die Notation q verwendet. F¨ ur ein homogenes, isotropes por¨ oses Medium ist K ein Skalar, den wir im Folgenden mit λ

432

7 Probleme mit freiem Rand

bezeichnen. Das Gesetz von Darcy wurde schon im 19. Jahrhundert aus experimentellen Daten gefolgert. Man kann es auch mathematisch rigoros durch Methoden der Homogenisierung aus einem Diﬀerentialgleichungssystem zur Beschreibung der Str¨ omung auf der Skala der Porenstruktur herleiten; dies ist zum Beispiel in [65], Kapitel 1 und Kapitel 3 mit dem Stokes–System als Modell f¨ ur die Str¨ omung in der Porengeometrie ausgef¨ uhrt. Eine weitere heuristische Rechtfertigung k¨ onnen wir aus dem Gesetz von Hagen–Poiseuille f¨ ur die Str¨ omung durch ein Rohr ableiten, das wir in Aufgabe 5.21 hergeleitet haben. In einem idealisierten Sinn kann man sich das por¨ose Medium als ein mehr oder weniger gleichm¨ aßiges Netzwerk aus Rohren vorstellen, wobei jeweils ein Drittel der Rohre in eine der drei Koordinatenrichtungen orientiert sind. Die Durchﬂussrate durch die Rohre ist nach dem Gesetz von Hagen– Poiseuille proportional zum Verh¨ altnis aus Druckdiﬀerenz und L¨ange. Nimmt man eine kontinuierliche, diﬀerenzierbare Druckverteilung im por¨osen Medium an, dann folgt daraus f¨ ur die Flussrate qj in Koordinatenrichtung j gerade die Beziehung qj = −kj ∂j (p + G) mit einer Konstanten kj , die von der Porengeometrie und der Viskosit¨at des Fluides abh¨ angt. Bei einer gleichm¨ aßig in alle Richtungen verteilten Porengeometrie ist kj nicht von der Koordinatenrichtung j abh¨angig, und die Flussrate qj in Richtung j ist proportional zur Komponente vj der Geschwindigkeit in Richtung j. Es folgt also das Gesetz von Darcy (7.11). Da die charakteristische L¨ ange der Porenstruktur sehr klein ist, und der Porendurchmesser mit der vierten Potenz in das Gesetz von Hagen–Poiseuille eingeht, sind K und damit auch v sehr klein. Dies rechtfertigt auch die Verwendung der Stokes– Gleichungen als Modell f¨ ur die Str¨ omung in der Porengeometrie selbst f¨ ur Gasstr¨ omungen, da die Reynoldszahl LV /η mit charakteristischer L¨ange L, charakteristischer Geschwindigkeit V und kinematischer Viskosit¨at η selbst f¨ ur kleine Viskosit¨ aten noch klein sein kann. Wir betrachten nun die Str¨ omung eines Gases in einem por¨osen Medium und vernachl¨ assigen dabei das Gravitationspotential. Bei n¨aherungsweise als konstant angenommener Temperatur sind klassische Zustandsgleichungen f¨ ur Gase gegeben durch p = kγ , k > 0 , γ > 0 , wobei die Dichte bezeichnet. Mit dem Massenerhaltungsgesetz ∂t + ∇ · (v) = 0 und dem Gesetz von Darcy v = −λ ∇p erhalten wir die Gleichung ∂t − λk∇ · (∇γ ) = 0 . γ W¨ ahlen wir die normierte Dichte u = c mit cγ = λk γ+1 als zu berechnende Funktion, so erhalten wir

7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien

∂t u − ∆um = 0 ,

m = γ +1 > 1.

433

(7.12)

Die Gleichung (7.12) heißt Por¨ose–Medien–Gleichung und wir wollen uns nun u uhrt. ¨ berzeugen, dass diese Gleichung auf ein Problem mit freiem Rand f¨ Wir suchen eine L¨ osung, die invariant ist unter einfachen Streckungstransformationen. Analog zu Abschnitt 6.2.7 u ¨ber invariante Transformationen der W¨ armeleitungsgleichung machen wir den Ansatz u(t, x) = t−α U (t−β x)

f¨ ur x ∈ Rn , t > 0

mit α, β > 0. Wir wollen L¨ osungen suchen, welche die Gesamtmasse erhalten, und verlangen daher t−α U (t−β x) dx = U (x) dx f¨ ur alle t > 0 . Rd

Rd

Aus der Transformationsformel folgt t−α+dβ = 1 und damit α = dβ . Setzen wir y = t−β x und bezeichnen wir mit ∇y den Gradienten bez¨ uglich y, so ergibt sich ∇um (t, x) = t−αm t−β ∇y U m (t−β x) , ∆um (t, x) = t−αm t−2β ∆y U m (t−β x) , ∂t u(t, x) = (−α)t−α−1 U (t−β x) + t−α (−β)t−β−1 x · ∇y U (t−β x) . Damit u(t, x) = t−α U (t−β x) die Por¨ ose–Medien–Gleichung erf¨ ullt, fordern wir 0 = α t−(α+1) U (y) + β t−(α+1) y · ∇y U (y) + t−(αm+2β) ∆y U m (y) . Diese Gleichung kann nur dann f¨ ur alle t > 0 richtig sein, wenn alle t–Potenzen u ¨ bereinstimmen. Daher fordern wir α + 1 = αm + 2β . Suchen wir nun eine radialsymmetrische L¨ osung U (y) = v(|y|), so folgt aus den Identit¨ aten ∇y U (y) = v (|y|)

y , |y|

∆y U m (y) = (v m ) (|y|) +

d−1 m (v ) (|y|) , |y|

und α = dβ mit der Notation r := |y| 0 = βd v(r) + βr v (r) + (v m ) (r) +

d−1 m (v ) (r) . r

434

7 Probleme mit freiem Rand

Nach Multiplikation mit rd−1 erhalten wir 0 = β(rd v) + (rd−1 (v m ) ) . Integration liefert die Existenz einer Konstanten a mit a = βrd v + rd−1 (v m ) . Wollen wir L¨ osungen erhalten, f¨ ur die v, v im Unendlichen verschwinden, so folgt a = 0 und damit erhalten wir 0 = βrv + (v m ) und wegen (v m ) =

m m−1 ) m−1 v(v

(v m−1 ) = − m−1 m βr . Elementare Integration liefert eine Konstante b > 0, so dass v m−1 (r) = b −

m−1 2 βr , 2m

solange v positiv bleibt. Wir setzen diese L¨ osung durch Null fort und erhalten v(r) =

1/(m−1) m−1 2 βr . b− 2m +

Dabei sei (a)+ := max(a, 0) . Wir betrachten nur den positiven Anteil der Klammer, um die Nichtnegativit¨ at der L¨ osung zu garantieren. Es kann leicht veriﬁziert werden, dass die entstehende L¨osung u(t, x) =

1 tα

1/(m−1) m − 1 |x|2 b− β 2β 2m t +

(7.13)

die Por¨ ose–Medien–Gleichung im Distributionssinn erf¨ ullt (siehe Aufgabe 7.5). Die Funktion (7.13) heißt Barenblattl¨osung und sie besitzt einen kompakten Tr¨ ager. Die L¨ osung zeigt, dass die Por¨ ose–Medien–Gleichung L¨osungen mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit produziert. Dies steht im Gegensatz zur W¨ armeleitungsgleichung, bei der wir gesehen haben, dass L¨osungen zu Anfangsdaten mit kompaktem Tr¨ ager f¨ ur alle positiven Zeiten echt positiv sind. Die Por¨ ose–Medien–Gleichung l¨ asst dagegen L¨ osungen mit kompaktem Tr¨ager zu, da die Gleichung f¨ ur u beziehungsweise → 0 degeneriert. Dies dr¨ uckt ur u → 0 verschwinsich darin aus, dass der Fluss −∇um = −m um−1 ∇u f¨ det, weil der entsprechende, l¨ osungsabh¨ angige Diﬀusionskoeﬃzient m um−1

7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien

435

gegen Null konvergiert. Außergew¨ ohnliches“ Verhalten von L¨osungen u ist ” also h¨ ochstens bei u = 0 zu erwarten. Wegen des bei u = 0 verschwindenden Diﬀusionskoeﬃzienten spricht man bei solchen Gleichungen auch von langsamer Diﬀusion. F¨ ur eine allgemeine L¨ osung u von (7.12) nennen wir

Γ (t) = ∂ x ∈ Rd | u(t, x) > 0 den freien Rand der Por¨ ose–Medien–Gleichung. Die Barenblattl¨osung besitzt den freien Rand 1/2 2m b β Γ (t) = ∂Br(t) (0) mit r(t) = t . m−1β Die Bedeutung spezieller L¨ osungen mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit liegt darin, dass durch Vergleich einer allgemeinen L¨osung mit einer geeigneten speziellen diese Eigenschaft auch allgemein veriﬁziert werden kann. Dazu muss f¨ ur die Diﬀerentialgleichung ein Vergleichsprinzip gelten, das besagt, dass eine (punktweise) Ordnung der Anfangs- und Dirichlet–Randdaten eine entsprechende Ordnung der L¨ osungen nach sich zieht. F¨ ur die W¨armeleitungsgleichung (auch mit einem konvektiven Anteil) folgt ein Vergleichsprinzip sofort aus dem g¨ ultigen Maximumsprinzip (siehe Abschnitt 6.2.4). Auch f¨ ur (7.12) und die weiteren in diesem Abschnitt noch zu behandelnden Diﬀerentialgleichungen gelten Vergleichsprinzipien, so dass die Eigenschaften spezieller L¨ osungen hinsichtlich endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit im Wesentlichen schon das allgemeine Bild darstellen. F¨ ur L¨osungen von (7.12) zu allgemeinen Anfangsdaten mit kompaktem Tr¨ager gilt, dass sich der Tr¨ager mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet, und dass die Geschwindigkeit des Tr¨ agers f¨ ur große Zeiten die gleiche Zeitasymptotik wie die Barenblattl¨osung besitzt. Außerdem entspricht auch das Abklingverhalten bez¨ uglich der L∞ – Norm dem der Barenblattl¨ osung. Um eine aufwendige Existenz- und Regularit¨ atstheorie zu vermeiden (die f¨ ur die allgemeineren zu diskutierenden Diﬀerentialgleichungen f¨ ur d > 1 noch nicht vollst¨ andig ist), diskutieren wir im Folgenden nur spezielle L¨osungen. Noch einfacher als (7.13) sind (f¨ ur d = 1 beziehungsweise in ebener Ausbreitung) laufende Wellen, wie sie in Form von Wellenfronten in Abschnitt 6.2.10 behandelt worden sind. F¨ ur (7.12) (und d = 1) liefert der Ansatz u(t, x) = U (x − V t) zun¨ achst −V U − (U m ) = 0 und unter Ber¨ ucksichtigung von lim u(t, x) = u+ = 0

x→∞

folgt nach Integration die Gleichung

(7.14)

436

7 Probleme mit freiem Rand

V U + (U m ) = 0 .

(7.15)

Wellenfronten, d.h. L¨ osungen, die auch f¨ ur x → −∞ beschr¨ankt bleiben, k¨ onnen also h¨ ochstens f¨ ur V = 0 existieren, f¨ ur die genannten Vergleichszwecke reichen aber auch Semiwellenfronten, das sind monotone laufende Wellen, die (7.14) erf¨ ullen. Aufgrund der Interpretation von U als Dichte beschr¨ anken wir uns auf nichtnegative L¨ osungen. F¨ ur V ≥ 0 erhalten wir eine solche Semiwellenfront explizit durch U (ξ) :=

− m−1 m Vξ 0

1/(m−1)

f¨ ur ξ < 0 , f¨ ur ξ ≥ 0 .

(7.16)

Somit ist U eine L¨ osung mit dem freien Rand x = V t, die dort stetig ist, mit stetigem Fluss wegen (m) (0−) = 0 , U die aber wegen U (0−) =

V m

m−1 (2−m)/(m−1) − m Vξ

(7.17)

f¨ ur m ≥ 2 keine klassische L¨ osung mit stetiger Ortsableitung ux darstellt. Eine implizite Darstellung von U aus (7.15) ist f¨ ur V > 0 −

m V

U(ξ)

sm−2 ds = ξ

f¨ ur ξ < 0 ,

0

so dass das Auftreten des freien Randes hier der Integrierbarkeit bei 0 der ur m > 1 geschuldet ist. Da Gleichungen von geFunktion f (s) = sm−2 f¨ nau dieser Form f¨ ur andere Fließ- und Transportprobleme in por¨osen Medien auftreten, betrachten wir die verallgemeinerte Por¨ose–Medien–Gleichung mit Konvektion in einer Raumdimension: ∂t u − ∂xx (a(u)) − ∂x (b(u)) = 0 .

(7.18)

Typische Beispiele f¨ ur a und b sollen sein a(u) = um , m > 1 , b(u) = λ un , λ ∈ R , n > 0 ,

(7.19)

so dass wir voraussetzen a, b sind stetig f¨ ur u ≥ 0, stetig diﬀerenzierbar f¨ ur u > 0 , a(0) = b(0) = 0 , a (u) > 0 f¨ ur u > 0 ,

(7.20)

denn wir interessieren uns weiterhin nur f¨ ur nichtnegative L¨osungen und die osungsverhalten bei u = 0. Eine SemiwelAuswirkung von a (0) = 0 auf das L¨ ullen lenfront f¨ ur (7.18) bei u+ = 0 muss erf¨ V U + (a(U )) + b(U ) = 0 . Um eine monotone L¨ osung zu erhalten, muss

(7.21)

7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien

V s + b(s) > 0 f¨ ur 0 < s ≤ δ

437

(7.22)

mit einer Konstanten δ > 0 gelten. Monotone Semiwellenfronten k¨onnen also nur f¨ ur b(s) (7.23) V > V ∗ := lim sup − s s→0+ existieren und tun dies auch immer f¨ ur V > V ∗ . Eine implizite L¨osungsdarstellung ist dann f¨ ur U (ξ) > 0 f¨ ur ξ < 0 : U(ξ) a (s) ds = ξ , (7.24) − V s + b(s) 0 so dass eine Semiwellenfront mit freiem Rand dann auftritt, wenn der Integrand auf der linken Seite von (7.24) nahe bei 0 integrierbar ist, bzw. hier aquivalent dazu (siehe Satz 5.2 in [48]) ¨ δ a (s) ds < ∞ f¨ ur δ > 0 . (7.25) 0 max(s, b(s)) F¨ ur den Modellfall (7.19) bedeuten diese Resultate: Es gibt eine Wellenfront f¨ ur V > 0 ⇔ n > 1 und λ < 0 . Es gilt dann

(7.26)

u− = (−V /λ)1/(n−1) .

Unbeschr¨ ankte Semiwellenfronten f¨ ur V > 0 gibt es zus¨atzlich f¨ ur n = 1 , λ > 0 oder n = 1 , λ > −V . Die Wellenfront hat einen freien Rand U = 0, genau dann wenn m > 1; die unbeschr¨ ankte Semiwellenfront genau dann, wenn m > 1 f¨ ur n > 1, λ > 0 beziehungsweise m > n sonst. Wenden wir uns dem Fließen von Wasser oder Wasser und Luft in einem por¨ osen Medium zu. In der Hydrologie wird Druck gew¨ohnlich in L¨angeneinheiten angegeben, d.h. mit 1/(g) skaliert, im Folgenden mit Ψ bezeichnet, wobei die (konstante) Dichte des Wassers und g die Erdbeschleunigung bezeichnet. Wenn nicht der gesamte Porenraum mit Wasser gef¨ ullt (ges¨attigt ) ist, man aber vereinfachend annimmt, dass die Gasphase zusammenh¨angend ist und konstanten atmosph¨ arischen Druck hat, so muss die Gasphase nicht explizit weiter betrachtet werden. Man muss aber (7.11) erweitern f¨ ur die unges¨attigte Situation, in der mikroskopisch Luft und Wasser vorhanden sind. Wir nehmen an, dass der Druck der Gasphase auf Ψ = 0 skaliert wird. Durch Kapillareﬀekte tritt eine Saugspannung auf, die zu einem negativen Druck Ψ im unges¨ attigten Bereich f¨ uhrt; es gilt also ges¨ attigt ⇔ Ψ ≥ 0, unges¨attigt ⇔ Ψ < 0 .

438

7 Probleme mit freiem Rand

Durch das sukzessive Entleeren der Poren f¨ ur kleiner werdendes Ψ < 0 nimmt auch die Leitf¨ ahigkeit ab, so dass K zu einer monoton wachsenden Funktion von Ψ wird f¨ ur Ψ ≤ 0. Dadurch nimmt das Darcy–Gesetz die Form q = −Kk(Ψ ) ∇(Ψ + x3 ) (7.27) f¨ ur die volumetrische Fließrate q an, die die Dimension einer Geschwindigkeit hat, und mit einem festen Leitf¨ ahigkeitstensor K und einer skalaren unges¨attigten Leitf¨ ahigkeitsfunktion k. Letztere erf¨ ullt k ist strikt monoton wachsend f¨ ur Ψ < 0 , lim k(Ψ ) = 0 . Ψ →−∞

(7.28)

F¨ ur Ψ ≥ 0 wird k mit ks := k(0) konstant fortgesetzt und wir erhalten wieder (7.11). Massenerhaltung nimmt hier die Form von Volumenerhaltung an und lautet ∂t θ + ∇ · q = 0 ,

(7.29)

wobei θ den Wassergehalt, d.h. den Volumenanteil des Wassers in einem repr¨ asentativen Elementarvolumen in Relation zum Gesamtvolumen bezeichnet. Da Absenken von Ψ < 0 mit sukzessiver Entleerung der Poren verbunden ist, erweist sich θ als Funktion von Ψ , θ = Θ(Ψ ) , so dass gilt: Θ ist strikt monoton wachsend f¨ ur Ψ < 0 ,

lim Θ(Ψ ) := θr ≥ 0 .

Ψ →−∞

(7.30)

F¨ ur Ψ ≥ 0 wird Θ mit θs := Θ(0), was gerade der Porosit¨at entspricht, fortgesetzt. Im Folgenden wird (durch Skalierung) θr = 0 angenommen. Zusammenfassend erhalten wir als Modell f¨ ur ges¨attigt–unges¨attigtes Fließen die Richards–Gleichung ∂t Θ(Ψ ) − ∇ · K k(Ψ ) ∇(Ψ + x3 ) = 0 . (7.31) Neben der Darcy–Geschwindigkeit q ist auch die Porengeschwindigkeit v := q/θ von Bedeutung, womit (7.29) eine zu (5.3) analoge Form erh¨alt. Die Gleichung ¨ (7.31) ist nicht gleichm¨ aßig parabolisch aus zwei Gr¨ unden: Beim Ubergang von Ψ < 0 zu Ψ ≥ 0 reduziert sie sich auf die elliptische Gleichung −∇ · Kks ∇(Ψ + x3 ) = 0 , (7.32) das Modell f¨ ur Grundwasserﬂießen.

7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien

439

Formales Ausdiﬀerenzieren zeigt, dass −1 ∂t Ψ − Θ (Ψ ) ∇ · Kk(Ψ )∇(Ψ + x3 ) = 0 , d.h. dass f¨ ur Ψ → 0 im Allgemeinen ein unbeschr¨ankter Diﬀusionskoeﬃzient ¨ vorliegt. Man spricht daher beim Ubergang von unges¨attigt zu ges¨attigt auch von schneller Diﬀusion. ¨ Wir betrachten nun den Ubergang von unges¨attigt zu trocken, also den Grenz¨ ubergang Ψ → −∞, und beschr¨ anken uns auf Ψ < 0. Dann bietet es sich an, θ statt Ψ als abh¨ angige Variable zu betrachten und man erh¨alt die Form einer nichtlinearen Diﬀusions–Konvektions–Gleichung # $ (7.33) k(θ) e3 = 0 , ∂t θ − ∇ · K D(θ) ∇θ + wobei k(θ) := k Θ−1 (θ) d D(θ) : = k(θ) Θ−1 (θ) . dθ nicht nur strikt monoton wachsend ist (mit Experimente legen nahe, dass k ¨ ur den Ubergang von unk(0) = 0, k(θs ) = ks ), sondern auch konvex. F¨ ges¨ attigt zu trocken ist das Verhalten bei θ → 0 zu untersuchen, was wieder f¨ ur ebene laufende Wellen, also f¨ ur L¨ osungen der Form θ(t, x) = θ(x · n − V t)

(7.34)

ange 1 erfolgen soll. Dies ist ¨aquivalent dazu, bei einer Richtung n ∈ Rd der L¨ laufende Wellen f¨ ur ein eindimensionales Problem zu untersuchen, das die Form (7.18) hat mit d k(u) du Θ−1 (u) =: D(u) a (u) = n · (K D(u) n) = (n · Kn) b(u) = λ k(u) mit λ = n · Ke3 .

(7.35)

Im isotropen Fall K = I ist also λ = sin α , wobei α der Winkel zwischen Fließrichtung und horizontaler Ebene ist, d.h. λ > 0 ⇔ entgegen Gravitationsrichtung λ < 0 ⇔ in Gravitationsrichtung λ = 0 ⇔ horizontal Es reicht, Wellengeschwindigkeiten V > 0 zu betrachten. Anwendung der obigen Ergebnisse u ¨ber Semiwellenfronten (mit freiem Rand), hier kurz Befeuchtungsfront genannt, zeigt dass:

440

•

•

7 Probleme mit freiem Rand

F¨ ur λ > 0 : Befeuchtungsfronten existieren, genau dann wenn D(θ)/ max θ, k(θ) integrierbar ist in der N¨ahe von θ = 0 . F¨ ur λ = 0 : Befeuchtungsfronten existieren, genau dann wenn D(θ)/θ integrierbar ist in der N¨ahe von θ = 0 .

•

(7.36)

(7.37)

F¨ ur λ < 0 : Befeuchtungsfronten existieren, genau dann wenn: D(θ)/ max(θ, k(θ)) integrierbar ist und −λk(θ) < V θ f¨ ur ein V > 0 in der N¨ahe von θ = 0 .

Die letzte Bedingung ist erf¨ ullt, wenn k (0) = 0, was bei Konvexit¨at nahegelegt ist. Zusammenfassend k¨ onnen wir also unter der Voraussetzung (7.36) in alle Richtungen mit Befeuchtungsfronten rechnen, auch in allgemeinen Situationen. Voraussetzung (7.37) ist hinreichend daf¨ ur und besonders einfach: k(Ψ ) f¨ ur θ = Θ(Ψ ) . D(θ)/θ = n · Kn Θ (Ψ ) ¨ Uber die Eigenschaften des freien Randes Γ (t) in allgemeinen Situationen ist noch wenig bekannt. In einer Raumdimension ist x = Γ (t) stetig und die naheliegende Freie–Rand–Bedingung Γ (t) =

lim

x→Γ (t)+

q(t, x)/θ(t, x)

gilt im Wesentlichen (siehe [49]). Fronten treten auch bei reaktivem Stoﬀtransport in por¨osen Medien auf, wobei dann laufende Wellen ¨ ahnlich zu Abschnitt 6.2.11 entstehen, und zus¨atzlich die fehlende Lipschitzstetigkeit der Nichtlinearit¨at die Endlichkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit zur Folge haben kann. Wird ein gel¨ oster Stoﬀ durch eine zugrunde liegende Str¨omung mit Volumenﬂuss q (etwa beschrieben durch die Richards–Gleichung (7.31)) transportiert, so ergibt sich im Fall ohne chemischen Reaktionen auf der makroskopischen Ebene die lineare Konvektions–Diﬀusionsgleichung ∂t (θc) − ∇ · (θD ∇c − qc) = 0

(7.38)

f¨ ur die gel¨ oste Konzentration c (bezogen auf den wassergef¨ ullten Anteil eines REV). Dabei ist θ der Wassergehalt und der mittlere Term beinhaltet neben der molekularen Diﬀusion das makroskopische Ph¨anomen der Dispersion, durch das D von q abh¨ angig und matrixwertig wird. Eine nichtlineare Variante dieses Gleichungstyps in einer Raumdimension ist (6.69). Bei einer chemischen

7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien

441

Reaktion nur in L¨ osung und im Gleichgewicht, die nur in der einen Spezies mit Konzentration c beschreibbar ist, wird die rechte Seite durch eine (nichtlineare) Funktion F (c) ersetzt in Verallgemeinerung von (6.69). Wichtiger sind (Gleichgewichts-) Reaktionen, die die ﬂuide und die feste Phase betreﬀen. Ein solcher f¨ ur die Ausbreitung etwa von Schadstoﬀen im Grundwasser wesentlicher Prozess ist die (Gleichgewichts-)Sorption, d.h. die Anlagerung des gel¨osten Stoﬀs an den inneren Oberﬂ¨ achen des Feststoﬀskeletts, wof¨ ur gilt F (c) = −∂t ϕ(c) ,

(7.39)

wobei ϕ(c), die Sorptions–Isotherme, die (auf das Gesamtvolumen eines REV bezogene) sorbierte Masse darstellt. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Massendichte des Feststoﬀes konstant ist. Die Funktion ϕ ist monoton wachsend mit ϕ(0) = 0. Eine viele Datens¨ atze beschreibende Form von ϕ ist die Freundlich–Isotherme ϕ(c) = a cp , a > 0 , 0 < p < 1 .

(7.40)

Also lautet die entstehende Diﬀerentialgleichung f¨ ur d = 1 und konstantes θ(= 1), q und D in der Variablen u = c: ∂t u + ϕ(u) + q ∂x u − D ∂xx u = 0 . (7.41) Analog zu Abschnitt 6.2.10 besitzt diese Gleichung Wellenfronten, die u− > u+ verbinden: Die Wellengeschwindigkeit V ist dann notwendigerweise V =

u+ − u− q, u+ − u− + ϕ(u+ ) − ϕ(u− )

woraus die retardierende Wirkung von Sorption ersichtlich ist, was die Bedeutung dieses Prozesses ausmacht. Eine Wellenfront mit Geschwindigkeit V existiert genau dann, wenn die Bedingung (6.73) gilt. Analog zu den obigen ¨ Uberlegungen gilt f¨ ur u− = 0 (und ebenso im Abschnitt 6.2.10): Die Wellenfront hat einen freien Rand u = 0 genau dann, wenn 1/ϕ integrierbar ist in der N¨ ahe von u = 0. Dies schließt also bei u = 0 Lipschitzstetige ϕ aus, ist aber f¨ ur (7.40) erf¨ ullt. Analoge Aussagen k¨ onnen auch f¨ ur kinetische oder Mehrkomponentenreaktionsprozesse entwickelt werden (siehe z.B. [74]). Allgemein sind laufende Wellen (mit oder ohne freien Rand) ein einfaches Werkzeug, um die aus dem Zusammenspiel konkurrierender Prozesse entstehende Ausbreitungsgeschwindigkeit absch¨ atzen zu k¨onnen.

442

7 Probleme mit freiem Rand

7.3 Das Stefan–Problem Im Kapitel u ¨ber Kontinuumsmechanik haben wir die W¨armeleitungsgleichung cV ∂t T − ∇ · (λ∇T ) = 0 f¨ ur die absolute Temperatur T > 0 hergeleitet. Die W¨armeleitungsgleichung muss allerdings modiﬁziert werden, wenn Phasen¨ uberg¨ange, wie zum Beispiel Schmelz- und Erstarrungsvorg¨ ange, auftreten. Verschiedene Phasen unterscheiden sich durch den konstitutiven Zusammenhang zwischen innerer Energie und Temperatur. Wir wollen diesen Aspekt nun f¨ ur den fest–ﬂ¨ ussig Phasen¨ ubergang mit einfachen konstitutiven Beziehungen diskutieren. Wir setzen f¨ ur die innere Energie u(T ) =

cV T cV T + L

in der festen Phase , in der ﬂ¨ ussigen Phase .

(7.42)

Dieser konstitutive Zusammenhang spiegelt folgende experimentell veriﬁzierbare Tatsache wider. Es gibt Temperaturen, bei denen einem physikalischen System W¨ armeenergie zugef¨ uhrt werden kann, ohne dass ein Temperaturanstieg beobachtet wird. Bei einer solchen Temperatur ﬁndet ein Phasen¨ ubergang statt. Die W¨ armemenge, die ben¨ otigt wird, um eine Einheit Masse von einer Phase in die andere u uhren, heißt latente W¨armemenge, oder kurz ¨ berzuf¨ latente W¨arme; sie ist in der obigen konstitutiven Gleichung mit L bezeich¨ net worden. Beim Ubergang von fest nach ﬂ¨ ussig am Schmelzpunkt muss die latente W¨ armemenge aufgebracht werden, damit der K¨orper schmilzt, und damit seine Phase ¨ andert. Dieser Eﬀekt wird beim K¨ uhlen von Fl¨ ussigkeiten mit Eisw¨ urfeln ausgenutzt, da der schmelzende Eisw¨ urfel der Umgebung W¨ armeenergie entzieht. Wir betrachten nun einen ruhenden K¨orper konstanter Dichte und nehmen an, dass es keine W¨ arme- oder Kraftquellen gibt. Dann lautet der Energieerhaltungssatz aus Abschnitt 5.5 d u dx + q · n dsx = 0 , (7.43) dt Ω ∂Ω wobei wir die Annahme machen, dass keine innere Energie auf dem freien Rand konzentriert ist. Wir wollen nun untersuchen, welche lokalen Gleichungen aus dem Energieerhaltungssatz folgen. In Punkten x, die in der ﬂ¨ ussigen beziehungsweise der festen Phase liegen, k¨ onnen wir unter Glattheitsannahmen an , T und q wie in Kapitel 6 die Diﬀerentialgleichung ∂t (u) + ∇ · q = 0 herleiten. Im Folgenden sei jetzt stets q = −λ∇T

(7.44)

7.3 Das Stefan–Problem

443

vorausgesetzt. Außerdem nehmen wir vereinfachend an, dass λ und die speziﬁsche W¨ armemenge cV konstant sind und insbesondere jeweils in beiden Phasen gleich sind. Somit folgt also, dass die W¨armeleitungsgleichung cV ∂t T = λ∆T

(7.45)

in beiden Phasen erf¨ ullt ist. Welche Gleichungen sind aber nun an der Phasengrenze, die wir mit Γ bezeichnen wollen, zu fordern? Finden Phasen¨ uberg¨ange nicht zu schnell statt, so hat das System Zeit, am Phasen¨ ubergang ins thermodynamische Gleichge¨ wicht zu ﬁnden. Motiviert durch die Uberlegungen in Abschnitt 3 fordern wir daher die Temperatur T ist an der Phasengrenze stetig .

(7.46)

Die innere Energie und damit der Integrand u sind an der Phasengrenze " d u dx die Zeitableitung unstetig, siehe (7.42), und wir k¨ onnen im Term dt Ω und das Integral nicht mehr vertauschen. Wir wollen nun eine weitere Bedingung am freien Rand aus der Energieerhaltung herleiten. Dazu ben¨ otigen wir ein Transporttheorem, das wir im Folgenden herleiten wollen. Es sei nun Q := (0, T ) × Ω = Q ∪ Γ ∪ Qs , wobei die Mengen Q , Γ und Qs paarweise disjunkt seien. Weiter seien Ω ⊂ Rd und Q , Qs ⊂ Rd+1 Gebiete mit Lipschitzrand und Γ sei eine glatte evolvierende Hyperﬂ¨ ache des Rd . Deﬁnition 7.2. Γ heißt glatte evolvierende Hyperﬂ¨ache des Rd , falls ein T > 0 existiert, so dass (i) Γ eine glatte Hyperﬂ¨ache des R × Rd ist, (ii) glatte Hyperﬂ¨achen Γ (t) des Rd existieren, so dass Γ = {(t, x) | t ∈ (0, T ), x ∈ Γ (t)} , (iii) die Tangentialr¨aume T(t,x) Γ von Γ nirgends raumartig sind, d.h. T(t,x) Γ = {0} × Rd

f¨ ur alle (t, x) ∈ Γ .

Zur Vereinfachung setzen wir im Folgenden stets voraus, dass Γ eine glatte evolvierende Hyperﬂ¨ ache ist und Γ (t) ⊂⊂ Ω f¨ ur alle t ∈ (0, T ) gilt. Dabei bedeutet Γ (t) ⊂⊂ Ω, dass Γ (t) beschr¨ ankt ist und der Abschluss Γ (t) von Γ (t) in Ω enthalten ist. Da Ω oﬀen ist, bedeutet dies insbesondere Γ (t) ∩ ∂Ω = ∅. Um die Aussage des Transporttheorems zu formulieren, ben¨otigen wir die in

444

7 Probleme mit freiem Rand

das Gebiet Ω (t) := {x | (t, x) ∈ Q } zeigende Einheitsnormale ν an Γ (t) und die Normalgeschwindigkeit V . Um die Normalgeschwindigkeit in einem Punkt (t0 , x0 ) ∈ Γ deﬁnieren zu k¨ onnen, w¨ ahlen wir eine Kurve x : (t0 − δ, t0 + δ) → Rd mit x(t) ∈ Γ (t) und x(t0 ) = x0 . Mit diesem x deﬁnieren wir V (t0 , x0 ) = ν(t0 , x0 ) ·

dx (t0 ) . dt

(7.47)

Dabei h¨ angt V nicht von der Wahl der Kurve ab (siehe Aufgabe 7.6). t

T(t,x) Γ

Γ

x Abb. 7.2. Diese Situation einer raumartigen Tangentialebene ist in der Deﬁnition einer glatten evolvierenden Hyperﬂ¨ ache ausgeschlossen.

Satz 7.3. (Transporttheorem) Es sei u : Q → R, so dass u|Q beziehungsweise u|Qs stetig diﬀerenzierbar auf Q beziehungsweise Qs fortgesetzt werden k¨onnen. Dann gilt d u(t, x) dx = ∂t u(t, x) dx + ∂t u(t, x) dx dt Ω Ω (t) Ωs (t) (7.48) [u] s V dsx . − Γ (t)

Dabei sei f¨ ur x ∈ Γ (t) [u] s (t, x) :=

lim u(t, y) − y→x lim u(t, y) .

y→x y∈Ω (t)

y∈Ωs (t)

Beweis. Die Aussage (7.48) folgt aus dem Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung, falls wir

7.3 Das Stefan–Problem

u(t2 , x) dx − Ω

t2

+ t1

t2

u(t1 , x) dx = Ω

Ωs (t)

Ω (t)

t1

∂t u(t, x) dx dt −

445

t2

t1

∂t u(t, x) dx dt

Γ (t)

(7.49) [u] s V

dsx dt

zeigen k¨ onnen. Die Identit¨ at (7.49) muss daf¨ ur nach t2 diﬀerenziert werden. Wenden wir den Satz von Gauß auf die Menge {(t, x) | t ∈ (t1 , t2 ), x ∈ Ωs (t)} und das Vektorfeld F = (u, 0, . . . , 0) an, so erhalten wir

t2

t1

Ωs (t)

∂t u(t, x) dx dt =

Ωs (t2 )

u(t2 , x) dx −

+

Ωs (t1 )

u(t1 , x) dx

u(t, x) νt ds(t,x) . Γt1 ,t2

Dabei ist Γt1 ,t2 = {(t, x) | t ∈ (t1 , t2 ), x ∈ Γ (t)} , νΓ = (νt , νx ) ∈ R × Rd die in Richtung Q zeigende Raum–Zeit–Einheitsnormale an Γ und ds(t,x) bezeichne die Integration bez¨ uglich des d–dimensionalen Fl¨ achenmaßes im Rd+1 . Wir wollen nun dem Integral u ¨ ber Γt1 ,t2 eine etwas andere Form geben. Eventuell nach einer orthogonalen Transformation k¨onnen wir Γ lokal in der N¨ ahe eines Punktes (t0 , x0 ) ∈ Γ als Graph einer Funktion h : (t1 , t2 ) × D → R , t1 < t0 < t2 , D ⊂ Rd−1 oﬀen , darstellen. Das bedeutet, ein Punkt (t, x , xd ) ∈ R × Rd−1 × R aus einer geeigneten Umgebung von (t0 , x0 ) liegt genau dann auf Γ , wenn xd = h(t, x ) mit t ∈ (t1 , t2 ) , x ∈ D . Ohne Einschr¨ ankung sei die ﬂ¨ ussige Phase oberhalb des Graphen. Somit folgt 1 (−∂t h, −∇x h, 1) . νΓ = 1 + |∂t h|2 + |∇x h|2 Außerdem ist das Fl¨ achenelement von Γ bez¨ uglich der durch h gege1 + |∂t h|2 + |∇x h|2 . Es sei nun benen Parametrisierung gegeben durch (t0 , x , h(t0 , x )) ∈ Γ . Dann gilt im Punkt (x , h(t0 , x )) 1 ν= (−∇x h, 1) , V = ∂t h/ 1 + |∇x h|2 . 1 + |∇x h|2 Dabei folgt die zweite Identit¨ at indem wir die Kurve

446

7 Probleme mit freiem Rand

x(t) = (x , h(t, x )) betrachten. Es folgt d x(t) = (0, ∂t h(t, x )) dt und mit (7.47)

V = ∂t h/ 1 + |∇x h|2 .

Daraus folgt f¨ ur Funktionen u, die einen Tr¨ ager lokal um (t0 , x0 ) haben

u(t, x) νt ds(t,x) = −

Γt1 ,t2

t2

t1

=−

t2

u(t, x , h(t, x )) ∂t h(t, x ) dx dt

D

Γ (t)

t1

uV dsx dt .

Dabei folgt die letzte Identit¨ at aus der Tatsache, dass V = ∂t h/ 1 + |∇x h|2 gilt achenelement bez¨ uglich der Integration auf Γ (t) durch und das Oberﬂ¨ 1 + |∇x h|2 gegeben ist. Mittels einer Partition der Eins k¨onnen wir dieses lokale Resultat nun zu einer globalen Identit¨ at zusammensetzen. F¨ uhren wir ussen wir ber¨ ucksichtigen, dass sich das dasselbe Argument f¨ ur Ω (t) aus, so m¨ Vorzeichen von νt umdreht. Somit ist (7.49) und damit das Transporttheorem bewiesen.

Γ ussige Phase Ω ﬂ¨ n

ν

Ωs feste Phase

Abb. 7.3. Zur Illustration der Geometrie beim Stefan–Problem

Aus der Identit¨ at

d dt

q · n dsx = 0

u dx + Ω

∂Ω

folgt nun mit dem eben bewiesenen Transporttheorem, dem Satz von Gauß und der Energieerhaltung in der festen und ﬂ¨ ussigen Phase

7.3 Das Stefan–Problem

( ∂t u + ∇ · q) dx +

0= Ω

= Γ (t)

Γ (t)

447

− [u] s V + [q] s · ν dsx

− [u] s V + [q] s · ν dsx .

Die obige Identit¨ at gilt auch f¨ ur geeignete Teilvolumina eines gegebenen Volumens und daher k¨ onnen wir Teilﬂ¨ achen von Γ (t) w¨ahlen und erhalten die folgende lokale Form der Energieerhaltung auf dem freien Rand [u] s V = [q] s · ν auf Γ (t) .

(7.50)

Diese Bedingung entspricht der Rankine–Hugoniot–Bedingung f¨ ur hyperbolische Erhaltungsgleichungen und im Kontext von Phasen¨ uberg¨angen heißt sie Stefan–Bedingung. Es gilt nun [u] s = (cV T + L − cV T ) = L . Seien nun qs beziehungsweise q der Fluss in Ω s beziehungsweise Ω und außeren Einheitsnormalen an Ωs bezieνs = ν beziehungsweise ν = −ν die ¨ hungsweise Ω , so erhalten wir q · ν + qs · νs = −LV . Dabei gibt der Ausdruck auf der linken Seite die W¨armemenge an, die in die Phasengrenze ﬂießt. Je mehr W¨ armemenge in die Phasengrenze ﬂießt, desto schneller kann der Schmelzvorgang vor sich gehen, in diesem Fall ist V negativ, und die Geschwindigkeit der Phasengrenze ist dann proportional zum Betrag des Gesamtenergieﬂusses. Die W¨ armemenge, die in die Phasengrenze ﬂießt, liefert die latente W¨ armemenge der entstehenden ﬂ¨ ussigen Phase. Ist der Gesamtenergieﬂuss in die Phasengrenze allerdings negativ, wird also der Phasengrenze W¨ armeenergie entzogen, so kommt es zur Erstarrung. Dadurch wird latente W¨ arme frei, die den negativen Gesamtenergieﬂuss kompensiert. Wir haben nun zwei Bedingungen am freien Rand hergeleitet, n¨amlich die Bedingungen (7.46) und (7.50). F¨ ur die W¨ armeleitungsgleichung in der ﬂ¨ ussigen und in der festen Phase ben¨ otigen wir jeweils eine Bedingung auf dem freien Rand. Ein weiterer Freiheitsgrad ergibt sich, weil die Phasengrenze sich bewegen kann. Beim klassischen Stefan–Problem fordert man, dass in jedem Punkt die Phase angenommen wird, f¨ ur die die freie Energie kleiner ist. Wir wollen im Folgenden den Fall betrachten, in dem die Dichten der inneren Energie u, der freien Energie f und der Entropie s f¨ ur die feste (α = ) und ﬂ¨ ussige (α = s) Phase wie folgt gegeben sind: u(T ) = cV T + Lα , T T − TM − 1 − Lα , f (T ) = −cV T ln TM TM T Lα s(T ) = cV ln + . TM TM

448

7 Probleme mit freiem Rand

Dabei ist TM > 0 und L und Ls seien die latenten W¨armemengen in der ﬂ¨ ussigen und der festen Phase. Diese Wahl von u, f und s entspricht der Deﬁnition der inneren Energie u in (7.42) und den Gibbs–Identit¨aten s = −f,T und u = f + T s. Da nur die Diﬀerenz L = L − Ls im Folgenden eine Rolle spielt, setzen wir wie oben L = L und Ls = 0. Da L = L > Ls = 0 ur ist, besitzt die feste Phase f¨ ur T < TM eine kleinere freie Energie und f¨ T > TM besitzt die ﬂ¨ ussige Phase die kleinere freie Energie. Folglich ist TM die Schmelztemperatur, Punkte mit T > TM sind in der ﬂ¨ ussigen Phase und Punkte mit T < TM sind in der festen Phase. Weiter gilt T = TM

auf Γ (t) ,

an der Phasengrenze wird also die Schmelztemperatur angenommen. Insgesamt erhalten wir folgendes Problem: Finde die ﬂ¨ ussige Phase Q , die feste Phase Qs , den freien Rand Γ und die Temperatur T : Q → R, so dass cV ∂t T − λ ∆T = 0 LV + [λ∇T ] s · ν = 0

in Qs und Q , auf Γ (t) ,

T = TM auf Γ (t) .

(7.51) (7.52) (7.53)

Außerdem m¨ ussen Anfangsbedingungen f¨ ur T und Γ gesetzt werden und f¨ ur T m¨ ussen Randbedingungen auf ∂Ω gefordert werden. Wir setzen im Folgenden den W¨ armeﬂuss durch den Rand Null, −λ∇T · n = 0 auf ∂Ω × (0, T ) . An der Bedingung (7.52) lesen wir ab, dass ∇T u ¨ber Γ springen muss, falls V = 0 gilt, also immer dann, wenn die Phasengrenze sich bewegt. Das aus (7.51)–(7.53) bestehende freie Randwertproblem ist das klassische Stefan–Problem f¨ ur Schmelz- und Erstarrungsvorg¨ange. Bei diesem Modell wird verlangt, wie oben ausgef¨ uhrt, dass in der festen Phase T < TM gilt und in der ﬂ¨ ussigen Phase T > TM erf¨ ullt ist. In diesem Fall l¨asst sich das Stefan–Problem kompakt in der sogenannten Enthalpieformulierung (7.54) ∂t cV T + Lχ{T >TM } = λ ∆T schreiben. Der Ausdruck χ{T >TM } bezeichnet die charakteristische Funktion der Menge {(t, x) | T (t, x) > TM }, das bedeutet, χ{T >TM } ist 1 in der ﬂ¨ ussigen Phase und 0 in der festen Phase. Diese Formulierung folgt aus u(T ) = cV T + Lχ{T >TM } . Da der Term χ{T >TM } nicht diﬀerenzierbar ist, kann die Gleichung (7.54) nicht klassisch interpretiert werden. Daher fassen wir die Identit¨ at (7.54) im Distributionssinn auf, d.h. f¨ ur alle ζ ∈ C0∞ (Q), Q = (0, ∞) × Ω, soll gelten cV T + Lχ{T >TM } ∂t ζ + λT ∆ζ dx dt = 0 . (7.55) Q

7.4 Entropieungleichung f¨ ur das Stefan–Problem

449

Gesucht ist nun eine Funktion T (t, x), die der Gleichung (7.54) im Distributionssinn gen¨ ugt. Haben wir T gefunden, so ergeben sich die feste und ﬂ¨ ussige Phase a posteriori als die Menge Ω (t) = {x | T (t, x) > TM } und Ωs (t) = {x | T (t, x) < TM }. Die Phasengrenze wird beschrieben durch Γ (t) = {x | T (t, x) = TM }. Es gibt allerdings Situationen, in denen Γ (t) keine Hyperﬂ¨ ache mehr ist und stattdessen ein Inneres ausbildet. Dieses Ph¨anomen nennt man die Bildung von mushy regions“ . ” F¨ uhren wir die Gr¨ oße e=

cV T (cV T + L)

ein und deﬁnieren ⎧ ⎪ ⎨e/(cV ) β(e) := TM ⎪ ⎩ (e/ − L)/cV

f¨ ur T ≤ TM , f¨ ur T > TM

f¨ ur e < cV TM , f¨ ur cV TM ≤ e ≤ (cV TM + L) , f¨ ur e > (cV TM + L) ,

so k¨ onnen wir die Gleichung (7.54) formal umschreiben als ∂t e = λ ∆β(e) .

(7.56)

Wichtig dabei ist, dass β nicht streng monoton steigend ist. Dadurch wird die Formulierung (7.56) eine degeneriert parabolische Gleichung. F¨ ur die numerische Approximation von L¨ osungen des Stefan–Problems bietet die Formulierung (7.56) aber viele Vorteile. So kann etwa schon eine einfache explizite Zeitdiskretisierung benutzt werden, um N¨ aherungsl¨osungen zu konstruieren.

7.4 Entropieungleichung fu ¨r das Stefan–Problem Es sei nun stets q·n=0

auf ∂Ω

vorausgesetzt, d.h. es gibt keinen W¨ armeﬂuss in das Gebiet Ω. Dann ergibt sich die folgende Gesamtbilanz f¨ ur die innere Energie, siehe (7.43), d u dx = 0 . dt Ω Wir wollen ur die Gesamt" nun außerdem eine Entropieungleichung herleiten. F¨ entropie Ω s dx ergibt sich mit Hilfe des Transporttheorems (Satz 7.3) und partieller Integration

450

7 Probleme mit freiem Rand

d dt

∂t T ∂t T dx + dx − cV [s] s V dsx T T Ω (t) Ωs (t) Γ (t) λ∆T λ∆T

dx + dx − [s]s V dsx Ω (t) T Ωs (t) T Γ 1 − λ∇T · ∇ T dx − λ∇T · ∇ T1 dx Ω (t) Ωs (t)

1 − λ T [∇T ]s · ν dsx − [s] s V dsx Γ (t) Γ (t)

2 1 2 λ T |∇( T )| dx + Tu − s s V dsx Ω Γ (t) λ T 2 |∇( T1 )|2 dx ≥ 0 .

s dx = Ω

= =

= =

cV

Ω

Dabei geht die freie–Rand–Bedingung (7.52) ein und die letzte Identit¨at folgt, da auf dem freien Rand die freie Energie f = u − T s stetig ist, d.h. u T

−s

s

, -

=

f T

s

=

cV T M + L L cV T M − − = 0. TM TM TM

Wir haben also nachgewiesen, dass die Gesamtentropie nicht abnehmen kann. Diese Bedingung ist notwendig, um den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zu erf¨ ullen. Tats¨ achlich gilt aber noch eine weitere, f¨ ur die Analysis oft wichtigere Absch¨ atzung. Mit dem Transporttheorem folgt d cV 21 (T − TM )2 dx = cV (T − TM ) ∂t T dx dt Ω Ω (t)

+ cV 21 (T − TM )2 s V dsx cV (T − TM ) ∂t T dx − Ωs (t) Γ (t) = λ(T − TM )∆T dx + λ(T − TM )∆T dx Ω (t) Ωs (t) 2 2 =− λ|∇T | dx − λ|∇T | dx − λ[∇T ] s · ν (T − TM ) dsx . Ω (t)

Ωs (t)

Γ (t)

Die Integrale bez¨ uglich Γ (t) verschwinden jeweils, da T = TM auf Γ (t) gilt. Insgesamt erhalten wir also d 2 1 cV 2 (T − TM ) dx + λ|∇T |2 dx = 0 . dt Ω Ω Diese Absch¨ atzung ist die Grundlage f¨ ur den Nachweis einer schwachen L¨ osung des Stefan–Problems mit Techniken aus der Funktionalanalysis.

7.5 Unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeiten

451

7.5 Unterku ¨hlte Flu ¨ ssigkeiten Bisher sind wir davon ausgegangen, dass in der ﬂ¨ ussigen Phase T > TM gilt und f¨ ur T < TM die feste Phase angenommen wird. Tats¨achlich ist es m¨oglich, Fl¨ ussigkeiten zu unterk¨ uhlen und Festk¨ orper zu u ¨berhitzen. Es kann zum Beispiel vorkommen, dass eine Fl¨ ussigkeit auch bei Temperaturen unterhalb der Schmelztemperatur noch in der ﬂ¨ ussigen Phase bleibt. Wir wollen diese Situation nun an einem idealisierten Modellproblem studieren. Es sei u = T −TM , wobei also u hier und in den Abschnitten 7.5–7.7 nicht die Dichte der inneren Energie bezeichnet. Wir betrachten das Wachstum eines Kristallkeims, der zum Zeitpunkt t = 0 nur aus einem Punkt besteht, und machen dazu folgende Annahmen: •

Temperaturschwankungen gibt es nur in einer Richtung und es sei u = u(t, x) mit x ∈ [0, 1].

•

Die Phasengrenze ist orthogonal zur x-Achse.

•

Die Phasengrenze sei mit y(t) ∈ [0, 1] bezeichnet und es gelte y(0) = 0. Im Bereich x < y(t) liege die feste Phase und in x > y(t) die ﬂ¨ ussige Phase vor.

•

Die Diﬀusionskonstante sei groß, oder, um genau zu sein, cλV sei klein. In diesem Fall k¨ onnen wir approximativ statt der W¨armeleitungsgleichung die quasistation¨ are Gleichung uxx (t, x) = 0 , x ∈ (0, 1) , x = y(t) , t > 0 betrachten.

•

Der linke Rand sei isoliert und am rechten Rand sei eine konstante Temperatur U vorgegeben, d.h. f¨ ur ein U ∈ R sei ux (t, 0) = 0 , u(t, 1) = U , t > 0 .

Bezeichnen wir mit u(t, x−) beziehungsweise u(t, x+) die linksseitigen beziehungsweise rechtsseitigen Grenzwerte bez¨ uglich x, so erhalten wir folgendes Problem: uxx (t, x) = 0 f¨ ur x ∈ (0, 1) , x = y(t) , t > 0 , u(t, y(t)) = 0 f¨ ur t > 0 , LV = Ly (t) = λ(ux (t, y(t)−) − ux (t, y(t)+)) f¨ ur t > 0 , y(0) = 0 , ux (t, 0) = 0 , u(t, 1) = U . Die L¨ osung lautet

452

7 Probleme mit freiem Rand

f¨ ur 0 ≤ x ≤ y(t) , x − y(t) f¨ ur y(t) < x ≤ 1 . u(t, x) = U 1 − y(t)

u(t, x) = 0

Weiter gilt Ly (t) = −λ

U , 1 − y(t)

y(0) = 0 . Ist also U = 0, so bewegt sich die Phasengrenze nicht. Gilt U > 0, so folgt y (0) ≤ 0 und keine Bewegung der Phasengrenze in die Fl¨ ussigkeit ist m¨oglich. Ist dagegen U < 0, so folgt 1/2 λ y(t) = 1 − 1 + 2 U t . L Wir beobachten also, dass der Kristallisationskeim nur wachsen kann, wenn die Fl¨ ussigkeit unterk¨ uhlt ist. Bei der Erstarrung spielt die Form der Phasengrenze eine wichtige Rolle. Ist die Phasengrenze gekr¨ ummt, so weicht die Temperatur an der Phasengrenze ur einen runwegen Kapillareﬀekten von der Schmelztemperatur TM ab. F¨ den Erstarrungskeim ist die Erstarrungstemperatur unterhalb der Schmelztemperatur. Tats¨ achlich h¨ angt die Temperatur an der Phasengrenze von der Kr¨ ummung der Phasengrenze ab (Gibbs–Thomson–Eﬀekt). Wir werden sehen, dass der Gibbs–Thomson–Eﬀekt einen stabilisierenden Eﬀekt hat. Um die Gibbs–Thomson–Bedingung an der Phasengrenze formulieren zu k¨onnen, ben¨ otigen wir den Begriﬀ der mittleren Kr¨ ummung, der im Anhang B eingef¨ uhrt ist.

7.6 Gibbs–Thomson–Eﬀekt ¨ Wir wollen jetzt Unterk¨ uhlungs- beziehungsweise Uberhitzungsph¨ anomene zulassen und dabei ber¨ ucksichtigen, dass die Schmelztemperatur an der Phasengrenze von der Kr¨ ummung abh¨ angen kann. Dazu untersuchen wir das λ (T − TM ) Mullins–Sekerka–Problem f¨ ur die skalierte Temperatur u = L ⎧ ⎨ ∆u = 0 V = −[∇u] s · ν ⎩ u = γκ

in Ωs (t) ∪ Ω (t) , auf Γ (t) , auf Γ (t) .

(7.57)

Dabei ist γ eine geeignet skalierte Oberﬂ¨ achenspannung beziehungsweise Oberﬂ¨ achenenergiedichte und κ die Summe der Hauptkr¨ ummungen, die wir im Folgenden auch als mittlere Kr¨ ummung bezeichnen, siehe Anhang B. Das

7.6 Gibbs–Thomson–Eﬀekt

453

Vorzeichen von κ sei so gew¨ ahlt, dass κ < 0 f¨ ur einen strikt konvexen Feststoﬀanteil gilt. Die Laplace–Gleichung ergibt sich als quasistation¨are Variante des in den vorigen Abschnitten hergeleiteten Stefan–Problems, d.h. wir nehmen wieder an, dass cλV klein ist, so dass wir die Zeitableitung in der W¨armeleitungsgleichung vernachl¨ assigen k¨ onnen. Die letzte Gleichung in (7.57) ist die Gibbs–Thomson–Bedingung und sie l¨ asst nun eine Kr¨ ummungsunterk¨ uhlung zu. Das bedeutet zum Beispiel, dass die Temperatur an der Phasengrenze f¨ ur einen konvexen Keim einer festen Phase unterhalb der Schmelztemperatur sein kann. Wir wollen untersuchen, unter welchen Bedingungen ein Kristallisationskeim wachsen kann. Dazu betrachten wir das Mullins–Sekerka–Problem (7.57) mit Ω = BR (0) ⊂ R3 , Ωs (0) = Br0 (0) , Γ (0) = ∂Br0 (0) , Ω (0) = BR (0)\Br0 (0) , wobei 0 < r0 < R < ∞. Auf dem ¨ außeren Rand geben wir eine feste Unterk¨ uhlungstemperatur vor u(t, x) = u0 ≡ konst < 0

f¨ ur

x ∈ ∂Ω , t > 0 .

(7.58)

Wir suchen nun eine radialsymmetrische L¨ osung u(t, x) = v(t, |x|) mit Γ (t) = 2 ∂Br(t) (0). Da κ(t) = − r(t) auf Γ (t), erhalten wir in der festen Phase v(t, r) = −

2γ r(t)

F¨ ur d = 3 gilt ∆x v(|x|) = v (|x|) +

f¨ ur

r ∈ [0, r(t)] .

2 |x| v (|x|),

vgl. (6.11), und aus (7.57) folgt

0 = v + 2r v beziehungsweise 0 = (r2 v ) . Wir erhalten also v(t, r) = c1 (t) 1r + c2 (t) , c1 (t), c2 (t) ∈ R . Die Gibbs–Thomson–Bedingung und die Randbedingung (7.58) liefern die folgenden Randbedingungen in der ﬂ¨ ussigen Phase c1 (t) R1 + c2 (t) = u0

2γ 1 und c1 (t) r(t) + c2 (t) = − r(t) .

Daraus berechnen wir $ # # 2γ / R1 − c1 (t) = u0 + r(t)

1 r(t)

$

= (γ κ(t) − u0 )/

#

1 r(t)

−

1 R

$ ,

1 c2 (t) = − r(t) (2γ + c1 ) .

Da V = r(t) ˙ folgt aus der Stefan–Bedingung in (7.57) # 1 1 r(t) ˙ = c1 (t) r(t) 2 = (γ κ(t) − u0 )/ r(t)3 −

1 r(t)2 R

$ .

(7.59)

454

7 Probleme mit freiem Rand

Die rechte Seite wird Null genau dann, wenn γκ = u0 und damit r = −

2γ . u0

ur r0 < rkrit ist die rechte Der Radius rkrit = − u2γ0 heißt kritischer Radius. F¨ Seite in (7.59) zum Anfangszeitpunkt negativ und ein zu kleiner Kristallisationskeim verschwindet in endlicher Zeit. Ist r0 > rkrit so w¨achst der Keim. Weiter gilt f¨ ur starke Unterk¨ uhlung ist rkrit klein, f¨ ur kleinere Unterk¨ uhlung ist rkrit groß. Ein Kristallisationskeim muss eine gewisse Gr¨oße besitzen, um wachsen zu k¨ onnen, und bei starker Unterk¨ uhlung k¨ onnen auch schon kleinere Keime wachsen.

7.7 Mullins–Sekerka–Instabilit¨ at Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, dass ein Kristallisationskeim nur w¨achst, wenn die umgebende Fl¨ ussigkeit unterk¨ uhlt ist. Wie die Analysis in diesem Abschnitt zeigt, ist eine Phasengrenze, die sich in eine unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeit hinein bewegt, instabil. Wir betrachten einen Erstarrungsprozess im R2 , wobei wir die Koordinaten mit (x, y) bezeichnen. Gegeben sei eine zur x–Achse parallele Erstarrungsfront, die sich mit Geschwindigkeit V0 in Richtung der y-Achse bewegt. Wir betrachten ein sich mit der Erstarrungsfront bewegendes Koordinatensystem, so dass Ω (t) = {(x, y) | y > 0} , Ωs (t) = {(x, y) | y < 0} . In dieser Geometrie betrachten wir folgende L¨osung des Mullins–Sekerka– Problems (7.57) ur y < 0 , us (x, y) = gs y f¨ u (x, y) = g y f¨ ur y > 0 . Mit ∇us = (0, gs ) f¨ ur y < 0, ∇u = (0, g ) f¨ ur y > 0 und ν = (0, 1) ergibt sich [∇u] s · ν = g − gs , und damit V0 = gs − g . Außerdem gilt die Bedingung u = 0 auf der Phasengrenze Γ = {(x, y) | y = 0}.

7.7 Mullins–Sekerka–Instabilit¨ at

455

Wir wollen nun untersuchen, ob diese Phasengrenze stabil ist gegen kleine St¨orungen. Im mitbewegten Koordinatensystem sei eine gest¨orte Phasengrenze durch y = h(t, x) = δ(t) sin(ωx) mit ω > 0 gegeben. Wir st¨ oren also die ﬂache Phasengrenze zum Anfangszeitpunkt mit einer Sinusschwingung der kleinen Amplitude δ(0) und der Periode 2π ω . Da wir die Phasengrenze mit einer gewissen Wellenl¨ange gest¨ort haben, machen wir einen L¨ osungsansatz mit der gleichen Wellenl¨ange. Dieser Ansatz w¨ urde sich allerdings auch aus einem Ansatz mit Separation der Variablen ergeben. Wir setzen also us (t, x, y) = gs y + cs (t) eωy sin(ωx) , u (t, x, y) = g y + c (t) e−ωy sin(ωx) . Diese Funktionen l¨ osen die Laplace–Gleichung ∆u = 0 und geben f¨ ur großes |y| das Verhalten der ungest¨ orten L¨ osung wieder. Wir geben damit weit weg von der Phasengrenze den Temperaturgradienten und dadurch den W¨armeﬂuss vor. Wir wollen garantieren, dass u und us die Bedingungen am freien Rand n¨ aherungsweise erf¨ ullen. Um die Gleichung u = γκ auf Γ approximativ zu l¨ osen, berechnen wir us und u auf der Phasengrenze als us (t, x, h(t, x)) = gs h(t, x) + cs (t) eωh(t,x) sin(ωx) = gs δ(t) sin(ωx) + cs (t) eωh(t,x) sin(ωx) , u (t, x, h(t, x)) = g h(t, x) + c (t) e−ωh(t,x) sin(ωx) = g δ(t) sin(ωx) + c (t) e−ωh(t,x) sin(ωx) . Bezeichnen wir mit κ(t, x) die Kr¨ ummung in (x, h(t, x)), so erhalten wir (vgl. Anhang B) κ(t, x) =

∂xx h = ∂xx h + O(δ 2 ) ≈ −δ(t) ω 2 sin(ωx) . (1 + (∂x h)2 )3/2

ullen, verlangen wir Um u = γκ bis auf einen Fehler der Ordnung δ 2 zu erf¨ cs (t) = −(γω 2 + gs )δ(t) , c (t) = −(γω 2 + g )δ(t) .

(7.60) (7.61)

Wir werten nun die Sprungbedingung V = −[∇u] s · ν aus. Mit dem Normalenvektor 1/2 (−∂x h, 1) ν = 1/ 1 + (∂x h)2 folgt zun¨ achst ∇us = ω cs (t) eωy cos(ωx) , gs + ω cs (t) eωy sin(ωx)

456

7 Probleme mit freiem Rand

und dann mit (7.60) ∇us · ν|y=h = gs − δ(t)(γω 2 + gs )ω sin(ωx) + O(δ 2 ) . Analog berechnen wir mit (7.61) ∇u · ν|y=h = g + δ(t)(γω 2 + g )ω sin(ωx) + O(δ 2 ) . Es folgt

−[∇u] s · ν = gs − g − δ(2γω 2 + gs + g )ω sin(ωx) .

(7.62)

Außerdem ergibt sich wie in Abschnitt 7.3 f¨ ur die Normalgeschwindigkeit V (t, x) im Punkte (x, h(t, x)) 1 −∂x h 0 · V (t, x) = V0 + ∂t h 1 (1 + (∂x h)2 )1/2 V0 + ∂t h = = V0 + δ (t) sin(ωx) + O(δ 2 ) . (1 + (∂x h)2 )1/2 Zusammen mit (7.62) erhalten wir δ (t) = −λ(ω) δ(t) mit

λ(ω) = ω{2γω 2 + gs + g } .

Die St¨ orungen werden also exponentiell in der Zeit verst¨arkt, falls λ(ω) < 0 und ged¨ ampft, falls λ(ω) > 0. Jetzt sei gs ≥ 0, d.h. die Temperatur in der ussigkeit nicht unterk¨ uhlt, festen Phase sei negativ. Ist nun g ≥ 0, so ist die Fl¨ und wir erhalten λ(ω) > 0 und somit Stabilit¨ at. ussigkeit unterk¨ uhlt. Im Fall g < 0 ist die Fl¨ (i) Der Fall γ = 0 ohne Kapillarit¨ atsterm. Im Fall von Unterk¨ uhlung g + gs < 0 werden alle Wellenl¨ angen verst¨ arkt und wir erhalten eine stark instabile Situation. Ist g + gs > 0 , so erhalten wir eine stabile Situation. (ii) Der Fall γ > 0. In diesem Fall werden kleine Wellenl¨angen, also St¨orungen mit großem ω, ged¨ ampft. Im Fall starker Unterk¨ uhlung, wenn g sehr negativ ist, sind allerdings gewisse große Wellenl¨angen instabil. Die am st¨ arksten instabilen Wellenl¨ angen liegen in der N¨ahe des positiven lokalen Minimums ωsi von λ. Wir erhalten −(gs + g ) ωsi = 6γ

7.8 A priori Absch¨ atzungen f¨ ur das Stefan–Problem

457

und wir w¨ urden nach unseren Erfahrungen in den Abschnitten 6.2.12 und 6.2.13 erwarten, dass die durch ωsi deﬁnierte L¨angenskala in realen Erstarrungsszenarien f¨ ur planare Fronten eine wichtige Rolle spielt. Zusammenfassend beobachten wir im Fall ohne Kapillarit¨atsterm γκ bei starker Unterk¨ uhlung eine sehr instabile Phasengrenze. Da die Bildung neuer Oberﬂ¨ ache Energie kostet, hat der Kapillarit¨ atsterm eine stabilisierende Wirkung, so dass kleine Wellenl¨ angen ged¨ ampft werden. Die Tatsache, dass unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeiten sehr instabile Phasengrenzen besitzen, f¨ uhrt zu sehr stark verzweigten Phasengrenzen. Viele Erstarrungsfronten bilden dendritische (baumartige) Strukturen aus. Varianten der Mullins– Sekerka–Stabilit¨ atsanalyse werden sogar als Erkl¨arung f¨ ur die vielf¨altigen Muster bei Schneekristallen herangezogen (siehe zum Beispiel Libbrecht [82]).

7.8 A priori Absch¨ atzungen fu ¨r das Stefan–Problem mit Gibbs–Thomson–Bedingung Wir haben die Gibbs–Thomson–Bedingung eingef¨ uhrt, die eine Kr¨ ummungsunterk¨ uhlung zul¨asst. Außerdem wird h¨ auﬁg eine kinetische Unterk¨ uhlung betrachtet, die ber¨ ucksichtigt, dass das System an der Phasengrenze eventuell Zeit ben¨ otigt, die lokalen Gleichgewichtsbedingungen T = TM beziehungsweise T − TM = γκ zu erreichen. Daher betrachten wir nun die Relaxierungsdynamik (7.63) βV = γκ − L(T − TM ) mit β ≥ 0 . Dabei ist γ eine geeignet skalierte Oberﬂ¨ achenenergiedichte, wobei die Skalierung hier anders ist als in Abschnitt 7.6, und β ist ein Parameter, der die St¨ arke der kinetischen Unterk¨ uhlung widerspiegelt. Es ist leicht nachzupr¨ ufen, dass auch mit der Bedingung (7.63) die Energieerhaltung (7.43) richtig ist. Wir wollen nun den regularisierenden Eﬀekt der Terme βV und γκ besser verstehen. Dazu zeigen wir, dass das Gesetz (7.63) die Absch¨atzung des Oberﬂ¨ acheninhalts der Phasengrenze erlaubt. Daher kann die Phasengrenze ¨ nicht beliebig irregul¨ ar werden. Uberhaupt beobachten wir in der Natur h¨auﬁg einen gl¨ attenden Eﬀekt der Kapillarit¨ at. Wir ben¨otigen zun¨achst das folgende Resultat. Satz 7.4. F¨ ur eine glatte, kompakte evolvierende Hyperﬂ¨ache ohne Rand gilt d 1 dsx = − κV dsx . dt Γ (t) Γ (t) Beweis. Wir wollen diese Aussage zun¨ achst f¨ ur geschlossene Kurven in der Ebene zeigen, da sich der Beweis in diesem Fall elementar f¨ uhren l¨asst. Es sei dazu f¨ ur t1 < t2 und a < b

458

7 Probleme mit freiem Rand

y : [t1 , t2 ] × [a, b] → R2 , (t, p) → y(t, p) glatt, so dass y(t, ·) eine regul¨ are Parametrisierung von Γ (t)#ist. Dann gilt, da $ ∂p y 1 das L¨ angenelement durch |∂p y| gegeben ist und da |∂p y| ∂p |∂p y| = κν, vgl. Anhang B b d ∂p y d b · ∂t ∂p y (t, p) dp 1 dsx = |∂p y(t, p)| dp = dt Γ (t) dt a |∂p y| a b b ∂p y · ∂t y (t, p) dp = − =− (κν · ∂t y |∂p y|) (t, p) dp ∂p |∂p y| a a =− κV dsx . Γ (t)

1+d Im allgemeinen Fall w¨ ahlen wir eine Partition der Eins {ζi }M , so i=1 des R dass sich die Fl¨ achenst¨ ucke Γ ∩ supp ζi als Graph wie im Beweis von Satz 7.3 schreiben lassen. Es gilt dann

d dt

Γ (t)

1 dsx =

M d ζi (t, x) dsx . dt Γ (t) i=1

Da sich supp ζi ∩ Γ als Graph h : (t1 , t2 ) × D → R , t1 < t2 , D ⊂ Rd−1

oﬀen

schreiben l¨ asst, berechnen wir: d d ζi (t, x) dsx = ζi (t, x , h(t, x )) 1 + |∇x h(t, x )|2 dx dt Γ (t) dt D = (∂t ζi + ∂xd ζi ∂t h) 1 + |∇x h|2 dx D ζi + ∇x h · ∇x ∂t h dx 1 + |∇x h|2 D = (∂t ζi + ∂xd ζi ∂t h) 1 + |∇x h|2 dx D ∇x h − ∂t h ζi ∇x · dx 1 + ∇x h|2 D ∇x h − (∇x ζi + ∂xd ζi ∇x h) · ∂t h dx . 2 1 + |∇x h| D ∇x h 1 √ √ (−∇x h, 1) , κ = ∇x · Aus ν = und V = √ ∂t h 2 2 1+|∇x h|

folgt

1+|∇x h|

1+|∇x h|2

7.8 A priori Absch¨ atzungen f¨ ur das Stefan–Problem

d dt

Γ (t)

459

ζi (t, x) dsx =

Γ (t)

(∇ζi · ν V + ∂t ζi − ζi V κ) dsx .

Summieren wir u ¨ ber i, so erhalten wir die Behauptung, da

'M

i=1 ζi

= 1.

Um eine Absch¨ atzung f¨ ur das Stefan–Problem mit Gibbs–Thomson–Bedingung und kinetischer Unterk¨ uhlung zu erhalten, berechnen wir zun¨achst d γ dsx = − γκV dsx dt Γ (t) Γ (t) 2 =− βV dsx − LV (T − TM ) dsx . Γ (t)

Γ (t)

Wie in Abschnitt 7.4 ergibt sich, da T stetig auf Γ (t) ist, d 2 2 1 cV 2 (T − TM ) dx = − λ|∇T | dx − (T − TM )λ[∇T ] s · ν dsx . dt Ω Ω Γ (t) Kombinieren wir die beiden letzten Identit¨ aten so erhalten wir mit (7.52) d cV 21 (T − TM )2 dx + γ dsx dt Ω Γ (t) (7.64) 2 2 =− βV dsx − λ|∇T | dx . Γ (t)

Ω

Der Kapillarit¨ atsterm in der Gibbs–Thomson–Gleichung liefert also die Oberﬂ¨ ache der Phasengrenze als zus¨ atzlichen Term in der a–priori Absch¨atzung. Als weiteren dissipativen Term erhalten wir neben dem Dirichletintegral der Temperatur die L2 –Norm der Geschwindigkeit auf dem Rand. Wir haben hier nur eine einfache Variante des Stefan–Problems mit Unterk¨ uhlungsregularisierung durch Kapillarit¨ at und kinetische Beitr¨age diskutiert. F¨ ur eine systematische Herleitung auch allgemeinerer Modelle verweisen wir auf das Buch von Gurtin [56]. Die bisher formulierte Variante des Stefan–Problems mit Gibbs–Thomson– Bedingung wird u ¨blicherweise in der Praxis verwendet. Die oben skizzierte Version ist allerdings nur eine approximative Theorie und erf¨ ullt insbesondere nicht den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Eine einfache Modiﬁzierung, die dann dem zweiten Hauptsatz gen¨ ugt, ergibt sich wie folgt. Die Relaxierungsdynamik (7.63) wird ersetzt durch 1 1 ( =γ − (7.65) βV (κ + L T TM (γ wobei β, ( Konstanten sind, die jetzt eine andere physikalische Dimension haben als die Gr¨ oßen β und γ in (7.63). Es kann gezeigt werden (Aufgabe 7.13)

460

7 Probleme mit freiem Rand

d dt

s dx −

Ω

Γ (t)

γ ( dsx

≥ 0,

(7.66)

wobei s die Entropiedichte aus Abschnitt 7.3 ist. Die Konstante ( γ ist in diesem Fall eine ﬂ¨ achenbezogene Entropiedichte. Wir haben also gezeigt, dass mit der modiﬁzierten Bedingung am freien Rand die Gesamtentropie nur zunehmen kann.

7.9 Die Phasenfeldgleichungen Beim Stefan–Problem wird die Phasengrenze durch einen freien Rand in Form einer Hyperﬂ¨ ache beschrieben. Falls der freie Rand seine Topologie ¨andert, etwa wenn sich zwei Bereiche fester Phase vereinigen oder wenn beim Aufschmelzen eine zusammenh¨ angende feste Phase sich in zwei oder mehr Teile aufspaltet, so hat dieser Ansatz Nachteile. Egal wie wir die Hyperﬂ¨ache beschreiben, werden wir eine Singularit¨ at in der Beschreibungsform beobachten, wenn sich der topologische Typ ¨ andert. Daher werden in letzter Zeit zunehmend Phasenfeldgleichungen verwendet, um Erstarrungsph¨anomene zu beschreiben. Im Phasenfeldmodell wird eine glatte Phasenfeldvariable ϕ eingef¨ uhrt, die in der festen Phase Werte nahe −1 und in der ﬂ¨ ussigen Phase Werte nahe bei 1 annimmt. In Bereichen, in denen die Phase wechselt, bilden sich innere Grenzschichten aus, an denen sich der Wert von ϕ stark ¨andert. Außerdem bleiben L¨ osungen der Phasenfeldgleichungen glatt, selbst wenn sich die Struktur der Phasen¨ uberg¨ ange ¨ andert. Die innere Energie ist im Phasenfeldmodell gegeben durch u(T, ϕ) = cV T + L ϕ+1 armemenge linear. Wir erhalten 2 , d.h. wir interpolieren die latente W¨ dann folgende Energiebilanz ϕ+1 = λ ∆T . (7.67) ∂t cV T + L 2 Die Gleichung (7.63) f¨ ur den freien Rand wird ersetzt durch die Gleichung εβ ∂t ϕ = εγ ∆ϕ −

γ L ψ (ϕ) + (T − TM ) . ε 2

(7.68)

9 Dabei sei ψ(ϕ) = 32 (ϕ2 − 1)2 und ε > 0 ist ein Parameter, von dem sich sp¨ ater herausstellen wird, dass er proportional zur Grenzschichtdicke ist. Wir werden außerdem sehen, dass in einer asymptotischen Entwicklung f¨ ur ε → 0 uhrt der Term ∂t ϕ geeignet skaliert auf die negative Normalgeschwindigkeit f¨ und der Term εγ∆ϕ − γε ψ (ϕ) wird die negative mittlere Kr¨ ummung liefern.

Setzen wir f¨ ur T und ϕ Neumann–Randbedingungen voraus, so erhalten wir f¨ ur glatte L¨ osungen von (7.67), (7.68)

7.9 Die Phasenfeldgleichungen

d dt

Ω

cV 21 (T − TM )2 dx +

Ω

461

γ 2ε |∇ϕ|2 + 1ε ψ(ϕ) dx

cV (T − TM ) ∂t T dx + γ ε∇ϕ · ∂t ∇ϕ + 1ε ψ (ϕ)∂t ϕ dx Ω Ω L (T − TM ) ∂t ϕ dx + λ∆T (T − TM ) dx =− 2 Ω Ω + γ − ε∆ϕ + 1ε ψ (ϕ) ∂t ϕ dx Ω =− εβ|∂t ϕ|2 dx − λ|∇T |2 dx . =

Ω

(7.69)

Ω

Vergleichen wir diese Identit¨ at mit (7.64) so vermuten wir, dass der Term ε 1 2 |∇ϕ| + ψ(ϕ) dx γ 2 ε Ω " dem Kapillarit¨ atsterm Γ γ dsx entspricht. Dies l¨asst sich tats¨achlich durch eine geeignete Grenzbetrachtung zeigen. Wir wollen mit Hilfe von formaler asymptotischer Analysis zeigen, dass L¨ osungen von (7.67)–(7.68) gegen L¨ osungen des Stefan–Problems mit Gibbs–Thomson–Bedingung und kinetischer Unterk¨ uhlung konvergieren. Es seien also (T ε , ϕε ) L¨osungen von (7.67), (7.68). Zur Vereinfachung sei Ω ⊂ R2 und wir nehmen an, dass die Mengen Γ ε = {(t, x) ∈ [0, T ] × Ω | ϕε (t, x) = 0} f¨ ur ε > 0 evolvierende Hyperﬂ¨ achen sind, die zu jedem Zeitpunkt den Rand von Ω nicht ber¨ uhren. Weiter sei angenommen, dass Γ ε gegen eine evolvierende Hyperﬂ¨ ache Γ 0 konvergiert. Es sei nun y(t, s) eine glatte Funktion, die f¨ ur jedes t eine Bogenl¨ angenparametrisierung von Γ 0 (t) darstellt. Weiter sei ν(t, s) die Einheitsnormale im Punkt y(t, s) an Γ 0 (t), die in die ﬂ¨ ussige Phase zeigt. Die Parametrisierung durchlaufe die Kurve Γ 0 (t) so, dass das Vektorsystem (ν, τ ) mit der Tangente τ (t, s) = ∂s y(t, s) positiv orientiert ist. Wir nehmen weiter an, dass wir Γ ε (t) u ¨ ber Γ 0 (t) wie folgt parametrisieren k¨ onnen y ε (t, s) = y(t, s) + dε (t, s) ν(t, s) . Wir machen den Ansatz dε (t, s) = d0 (t, s) + ε d1 (t, s) + · · · . Da Γ ε gegen Γ 0 strebt, schließen wir d0 ≡ 0 .

462

7 Probleme mit freiem Rand

Wir wollen nun in Ω \ Γ 0 (t) eine ¨ außere Entwicklung ansetzen und in der N¨ ahe von Γ 0 eine innere Entwicklung wie in Abschnitt 6.6. F¨ ur die ¨außere Entwicklung machen wir den Ansatz T ε (t, x) = T0 (t, x) + ε T1 (t, x) + · · · , ϕε (t, x) = ϕ0 (t, x) + ε ϕ1 (t, x) + · · · . Gehen wir mit diesem Ansatz in die Gleichung (7.68), so erhalten wir nach Taylorentwicklung zu f¨ uhrender Ordnung ψ (ϕ0 ) = 0 . Wir erhalten die L¨ osungen ϕ0 = −1, ϕ0 = 0 und ϕ0 = 1. Die L¨osungen ϕ0 = 1 und ϕ0 = −1 entsprechen der ﬂ¨ ussigen und der festen Phase. Die L¨ osung ϕ0 = 0 ist instabile L¨ osung von εβ ∂t ϕ = − γε ψ (ϕ), und da wir nicht erwarten, instabile L¨ osungen in der Natur zu beobachten, betrachten wir diese L¨ osung nicht weiter. Die ﬂ¨ ussige Phase zur Zeit t entspricht der Menge Ω (t) := {x ∈ Ω | ϕ0 (t, x) = 1} und der festen Phase zur Zeit t entspricht die Menge Ωs (t) := {x ∈ Ω | ϕ0 (t, x) = −1} . Sowohl in der festen als auch in der ﬂ¨ ussigen Phase liefert (7.67) zu f¨ uhrender Ordnung cV ∂t T0 = λ∆T0 . Innere Entwicklung In der N¨ ahe der Phasengrenze Γ 0 f¨ uhren wir nun ein neues Koordinatensystem ein. Wir betrachten die Parametertransformationen F ε (t, s, z) := (t, y(t, s) + ε z ν(t, s)) . Die Variable z gibt die mit ε skalierte orientierte Distanz zu Γ 0 an, wobei wir ein negatives Vorzeichen f¨ ur Punkte in der festen Phase w¨ahlen (vgl. Aufgabe 7.14). Es sei nun V = ∂t y · ν und Vtan = ∂t y · τ die Normalgeschwindigkeit beziehungsweise Tangentialgeschwindigkeit der Paummung. Es gilt rametrisierung der evolvierenden Kurve Γ 0 und κ deren Kr¨ (vgl. Aufgabe 7.15) ∂s τ = κν und ∂s ν = −κτ Damit ergibt sich

(Frenet–Formeln) .

(7.70)

7.9 Die Phasenfeldgleichungen

D(t,s,z) F ε (t, s, z) =

1 0 0 ∂t y + εz ∂t ν (1 − εzκ)τ εν

463

.

(7.71)

Aus ν · ∂t ν = 12 ∂t |ν|2 = 12 ∂t 1 = 0 folgt mit (t, x) = F ε (t, s, z) beziehungsweise (F ε )−1 (t, x) =: (t, s(t, x), z(t, x)) ⎞ ⎛ ∂t t(t, x) Dx t(t, x) ⎝∂t s(t, x) Dx s(t, x)⎠ = (DFε )−1 (t, s(t, x), z(t, x)) ∂t z(t, x) Dx z(t, x) ⎛ ⎞ (7.72) 1 (0, 0) 1 1 (Vtan + εz τ · ∂t ν) 1−εκz τ ⎠ . = ⎝− 1−εκz 1 1 −εV εν Damit ergibt sich f¨ ur eine Funktion b(t, s, z) und ein Vektorfeld j(t, s, z) mit der Kettenregel d b(t, s(t, x), z(t, x)) = − 1ε V ∂z b + O(1) , dt ∇x b(t, s(t, x), z(t, x)) = 1ε ∂z b ν + 1 + εκz + O ε2 ∂s b τ , ∇x · j(t, s(t, x), z(t, x)) = 1ε ∂z j · ν + (1 + εκz)∂s j · τ + O ε2 , ∆x b(t, s(t, x), z(t, x)) = ∇x · ∇x b(t, s(t, x), z(t, x)) 1 1 = 2 ∂zz b − κ ∂z b − κ2 z ∂z b + ∂ss b + O(ε) . ε ε In der N¨ ahe der Phasengrenze f¨ uhren wir die neuen Koordinaten ein und machen den Ansatz T ε (t, x) = Θε (t, s, z) , ϕε (t, x) = Φε (t, s, z) . Wir entwickeln nun Θε und Φε in diesen neuen Variablen Θε (t, s, z) = Θ0 (t, s, z) + ε Θ1 (t, s, z) + · · · , Φε (t, s, z) = Φ0 (t, s, z) + ε Φ1 (t, s, z) + · · · . Die Phasenfeldgleichung (7.68) liefert zu f¨ uhrender Ordnung 0 = ∂zz Φ0 − ψ (Φ0 ) .

(7.73)

Jetzt und auch sp¨ ater ben¨ otigen wir matching“–Bedingungen (Kopplungs” bedingungen) zwischen innerer und ¨ außerer L¨ osung, um Randbedingungen f¨ ur z → ±∞ zu erhalten. Wir wollen diese Bedingungen nun gleich f¨ ur alle ben¨ otigten Ordnungen herleiten.

464

7 Probleme mit freiem Rand

Matching–Bedingungen Wir f¨ uhren nun die Variable r = zε ein und schreiben die Funktionen ϕk in den Variablen (t, s, r) wie folgt ϕk (t, x) = ϕ (k (t, s, r), k = 0, 1, 2, . . . . Weiter nehmen wir an, dass sich die Funktionen ϕk jeweils von beiden Seiten glatt auf Γ 0 fortsetzen lassen. Taylorentwicklung nahe r = 0 liefert (k (t, s, 0+) + ∂r ϕ (k (t, s, 0+)r + · · · ϕ (k (t, s, r) = ϕ ϕ (k (t, s, r) = ϕ (k (t, s, 0−) + ∂r ϕ (k (t, s, 0−)r + · · ·

f¨ ur f¨ ur

r>0 r<0

klein , klein .

ur große z durch Von den Funktionen Φk (t, s, z) nehmen wir an, dass sie sich f¨ ein Polynom in z ann¨ ahern lassen, d.h. f¨ ur alle k ∈ N0 existiert ein nk ∈ N, so dass ± ± nk Φk (t, s, z) ≈ Φ± k,0 (t, s) + Φk,1 (t, s) z + · · · + Φk,nk (t, s) z

f¨ ur

z → ±∞ .

Dabei sei f ≈ g f¨ ur z → ±∞, falls f − g samt aller Ableitungen f¨ ur z → ±∞ gegen Null strebt. Um die Kopplungsbedingung herzuleiten betrachten wir wie in Abschnitt 6.6 eine Zwischenvariable“ rη = εrα = ε1−α z mit 0 < α < 1 und ” untersuchen f¨ ur festes rη den Limes ε → 0. Um die Notation zu vereinfachen, unterdr¨ ucken wir f¨ ur den Rest dieses Abschnitts die Abh¨angigkeit von t und s. Wir erhalten auf der Seite der ﬂ¨ ussigen Phase (1 (0+) + O ε1+α + · · · ϕ ( ε (εα rη ) = ϕ (0 (0+) + εα ∂r ϕ (0 (0+) rη + O ε2α + ε ϕ und (ε (εα−1 rη ) = Φ+ + εα−1 Φ+ rη + · · · + εn0 (α−1) Φ+ (rη )n0 Φ 0,0 0,1 0,n0 α + 1+n1 (α−1) + +ε Φ+ Φ1,n1 (rη )n1 + · · · . 1,0 + ε Φ1,1 rη + · · · + ε

(ε in allen Wir sagen, dass die Entwicklungen zusammenpassen, falls ϕ ( ε und Φ bereinstimmen. Koeﬃzientenvergleich in den EntOrdnungen in ε und rη u ¨ wicklungen ergibt: Φ+ (0 (0+) , 0,0 = ϕ

Φ+ ur 1 ≤ i ≤ n0 , 0,i = 0 f¨

(+ = ϕ Φ (1 (0+) , 1,0

Φ+ (0 (0+) , 1,1 = ∂r ϕ

Φ+ ur 2 ≤ i ≤ n1 . 1,i = 0 f¨

Entsprechende Gleichungen gelten f¨ ur die feste Phase. F¨ ur x ∈ Γt bezeichnen ϕ0 (x±), ∇ϕ0 (x±), usw. die Grenzwerte der Gr¨oßen ϕ0 , ∇ϕ0 , usw. von der ﬂ¨ ussigen beziehungsweise festen Phase, wobei wir zur (0 (0±) = Vereinfachung der Notation die t–Abh¨ angigkeit unterdr¨ ucken. Da ∂r ϕ (∇ϕ0 (x±) · ν) gilt und da

7.9 Die Phasenfeldgleichungen ± Φ1 (t, s, z) ≈ Φ± 1,0 (t, s) + Φ1,1 (t, s) z

465

f¨ ur z → ±∞

gilt, folgen die matching–Bedingungen Φ0 (z) ≈ ϕ0 (x±) , Φ1 (z) ≈ ϕ1 (x±) + (∇ϕ0 (x±) · ν)z , ∂z Φ1 (z) ≈ ∇ϕ0 (x±) · ν jeweils f¨ ur z → ±∞. Analoge Bedingungen lassen sich f¨ ur die Temperatur zeigen. Bedingungen an der Phasengrenze F¨ ur Φ0 ergeben sich die Bedingungen Φ0 (t, s, z) → ±1

f¨ ur

z → ±∞ .

Multiplizieren wir (7.73) mit ∂z Φ0 , so erhalten wir 0=

d 1 (∂z Φ0 )2 − ψ(Φ0 ) . dz 2

Nutzen wir die Randbedingung, so folgt 2 1 2 (∂z Φ0 )

= ψ(Φ0 )

und da Φ0 monoton steigend sein muss, erhalten wir ∂z Φ0 = 2ψ(Φ0 ) . 9 W¨ ahlen wir nun, wie oben angegeben ψ(ϕ) = 32 (ϕ2 − 1)2 , so lautet eine L¨ osung Φ0 (t, s, z) = tanh 34 z .

Prinzipiell ist auch jede Translationen in z dieser Funktion eine L¨osung; wir werden jedoch sehen, dass unser Ergebnis unabh¨angig ist von der Wahl dieser Translation. Betrachten wir (7.67) zu f¨ uhrender Ordnung, so ergibt sich 0 = ∂zz Θ0 . ur z → ±∞ beschr¨ankt bleibt. Die matching–Bedingungen liefern, dass Θ0 (z) f¨ Folglich ist Θ0 (z) konstant und die matching–Bedingung liefert T0 ist stetig u ¨ber Γ0 . Die Gleichung (7.68) liefert zur Ordnung O(1) folgende Bedingung β L ∂zz Φ1 − ψ (Φ0 )Φ1 = κ − V ∂z Φ0 − T0 − TM . γ 2γ

(7.74)

466

7 Probleme mit freiem Rand

Die linke Seite ist die Linearisierung des Operators auf der rechten Seite in (7.73). Die Gleichung (7.73) ist translationsinvariant und diese Tatsache impliziert, dass die Linearisierung einen nichttrivialen Kern besitzt: Ist Φ0 (z) ur alle y ∈ R eine L¨osung. eine L¨ osung von (7.73), so ist auch Φ0 (z + y) f¨ Daraus folgt d [∂zz Φ0 (z + y) − ψ (Φ0 (z + y))] dy = ∂zz (∂z Φ0 (z + y)) − ψ (Φ0 (z + y)) ∂z Φ0 (z + y) .

0=

Setzen wir y = 0 so folgt: ∂z Φ0 liegt im Kern des Diﬀerentialoperators ∂zz Φ − ur jede L¨ osung Φ1 von (7.74) mit Φ1 (±∞) = 0 mittels ψ (Φ0 )Φ. Wir erhalten f¨ partieller Integration, dass ∂zz Φ1 − ψ (Φ0 )Φ1 ∂z Φ0 dz = Φ1 ∂zz (∂z Φ0 ) − ψ (Φ0 ∂z Φ0 dz = 0 R

R

gilt. Also muss die rechte Seite in (7.74) eine L¨osbarkeitsbedingung erf¨ ullen. Diese lautet β L κ− V |∂z Φ0 |2 dz − ∂z Φ0 dz = 0 . T0 − TM γ 2γ R R Nutzen wir R

2

|∂z Φ0 | dz =

∂z Φ0

R 1

=

−1

2ψ(Φ0 ) dz

2ψ(y) dy =

1

−1

3 4

1 − y 2 dy = 1 ,

so folgt γκ − βV − L T0 − TM = 0 . Wir wollen nun noch die Stefan–Bedingung an der herleiten. Phasengrenze Die Energieerhaltung (7.67) ergibt zur Ordnung O 1ε L −V ∂z Φ0 = λ ∂zz Θ1 . 2 Es folgt L Φ0 = λ ∂z Θ1 + α(t, s) . 2 Aus Φ0 (z) → ±1 und ∂z Θ1 (z) → ∇T0 (x±) · ν f¨ ur z → ±∞ folgt −V

−LV = [λ∇T0 · ν] s . Damit sind alle Bedingungen nachgewiesen, die beim Stefan–Problem gefordert werden.

7.10 Freie Oberﬂ¨ achen in der Str¨ omungsmechanik

467

Die Absch¨ atzung (7.69) entspricht analog zum Stefan–Problem nicht der Entropieabsch¨ atzung. Wollen wir eine Entropieabsch¨atzung sicherstellen, so muss die Phasenfeldgleichung durch 1 γ ( L 1 ( εβ ∂t ϕ = ε( − γ ∆ϕ − ψ (ϕ) − (7.75) ε 2 T TM ersetzt werden (vgl. Aufgabe 7.18). Das System (7.67), (7.75) wurde von Penrose und Fife vorgeschlagen, siehe [97], [14]. Die Phasenfeldmethode hat inzwischen viele Anwendungen gefunden und wir verweisen auf Chen [18], Eck, Garcke und Stinner [30], Garcke, Nestler und Stinner [45] und Garcke [44] f¨ ur weitere Details.

7.10 Freie Oberﬂ¨ achen in der Str¨ omungsmechanik Wir wollen nun die Bewegung einer Fl¨ ussigkeit mit einer freien Oberﬂ¨ache studieren. Zur Vereinfachung betrachten wir folgende Geometrie: Die Fl¨ ussigkeit f¨ ullt zum Zeitpunkt t das Gebiet

Ω(t) = (x , x3 ) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x ∈ Ω , 0 < x3 < h(t, x ) (7.76) aus, wobei Ω ⊂ R2 ein beschr¨ anktes Gebiet sei und h : [0, T ] × Ω → R eine glatte Funktion, die nur positive Werte annimmt. Die Fl¨ ussigkeit nimmt also einen Teil eines zylinderf¨ ormigen Volumens mit Grundﬂ¨ache Ω ein. In Q = {(t, x) | x ∈ Ω(t)} seien die Navier–Stokes–Gleichungen f¨ ur inkompressible Str¨omungen erf¨ ullt, (∂t v + (v · ∇)v) = µ∆v − ∇p + f , ∇·v = 0.

(7.77) (7.78)

Wir m¨ ussen nun noch Bedingungen auf ∂Ω(t) speziﬁzieren. Auf dem festen Rand, d.h f¨ ur Punkte x = (x , x3 ) mit x ∈ ∂Ω oder x3 = 0, verlangen wir die no–slip Bedingung v(t, x , x3 ) = 0 , falls x ∈ ∂Ω oder x3 = 0 .

(7.79)

Die Fl¨ ussigkeit haftet also am Containerrand. Diese Bedingung ist nicht immer sinnvoll und in der Literatur werden auch slip–Bedingungen diskutiert, die zulassen, dass die Geschwindigkeit am Rande verschieden von Null ist, vgl. Aufgabe 7.24. An der freien Oberﬂ¨ ache

Γ (t) = (x , x3 ) ∈ R3 | x ∈ Ω , x3 = h(t, x )

468

7 Probleme mit freiem Rand

verlangen wir eine kinematische Bedingung. Diese besagt, dass sich der freie Rand mit der Geschwindigkeit der Fl¨ ussigkeit bewegt. Ein Punkt auf der Oberﬂ¨ ache, der sich mit der Geschwindigkeit der Fl¨ ussigkeit bewegt, l¨asst sich beschreiben durch (x (t), h(t, x (t))), so dass ∂t x (t) = (v1 , v2 )(t, x (t), h(t, x (t))) , d h(t, x (t)) = v3 (t, x (t), h(t, x (t))) . dt Wir erhalten also die kinematische Randbedingung v3 = ∂t h + v1 ∂1 h + v2 ∂2 h

auf Γ (t) .

(7.80)

Die Kr¨ afte, die von der Fl¨ ussigkeit auf Γ (t) wirken, sind, wie wir in den Abschnitten 5.5 und 5.6 gesehen haben, gegeben durch σ(−ν) mit dem Spannungstensor σ = µ(Dv + (Dv) ) − pI und dem Normalenvektor ν = √

1 1+|∇x h|2

− ∇x h, 1

(7.81)

. Diese Kr¨afte m¨ ussen

an der freien Oberﬂ¨ ache durch die Kapillarkr¨afte ausgeglichen werden. Die Kapillarkr¨ afte versuchen die Gesamtoberﬂ¨ ache zu verringern. Sie wirken in Richtung der Normalen ν und sind proportional zur mittleren Kr¨ ummung. Wir erhalten also die Kraftbilanz σν = γκν .

(7.82)

Die tangentialen Anteile von σν sind also Null und der Normalanteil ist proportional zur mittleren Kr¨ ummung. Wir wollen nun zeigen, dass f¨ ur L¨osungen der Navier–Stokes–Gleichungen in Ω mit den Randbedingungen (7.79)–(7.82) eine Energieungleichung gilt, falls f¨ ur den Winkel zwischen der freien Oberﬂ¨ ache und dem Rand des Containers, in dem sich die Fl¨ ussigkeit beﬁndet (Γ (t), ∂Ω) = 90◦

(7.83)

gilt. Die Bedingung (7.83) kann als Randbedingung f¨ ur den Kr¨ ummungsoperator κ aufgefasst werden. Aus Anhang B folgt ∇x h κ = ∇x · . 1 + |∇x h|2 Die Bedingung (7.83) bedeutet ∇x h · n∂Ω = 0 und kann als Randbedingung f¨ ur den Operator ∇x ·

√

∇x h

1+|∇x h|2

(7.84) aufge-

fasst werden. In Aufgabe 7.21 werden Sie diskutieren, wie sich allgemeinere Winkelbedingungen modellieren lassen.

7.10 Freie Oberﬂ¨ achen in der Str¨ omungsmechanik

469

Satz 7.5. Eine glatte L¨osung von (7.77)–(7.83) erf¨ ullt im Fall f = 0 die Identit¨at > = d 2 γ dsx = − σ : Dv dx |v(t, x)| dx + dt Ω(t) 2 Γ (t) Ω(t) µ =− Dv + Dv : Dv + Dv dx Ω(t) 2 ≤ 0. Beweis. Wir geben hier nur einen Beweis f¨ ur den Fall, dass sich Γ (t) f¨ ur alle relevanten Zeitpunkte t als Graph wie in (7.76) schreiben l¨asst. Da ∇ · σ = µ∆v − ∇p gilt, folgt mit Satz 7.3 2 2 d |v| dx = |v| V dsx v · ∂t v dx + dt Ω(t) 2 Ω(t) Γ (t) 2 2 |v| V dsx . − v · (v · ∇)v + (∇ · σ) · v dx + = Ω(t) Γ (t) 2 Dabei u ¨ bernimmt Ω die Rolle von Ωs in Satz 7.3 und R3 \ Ω die Rolle von Ω , und 2 |v|2 sei durch Null auf R3 \ Ω fortgesetzt. Es gilt v · (v · ∇)v = 12 v · ∇|v|2 und da v divergenzfrei ist, erhalten wir nach partieller Integration und unter Ausnutzung der Randbedingungen d 2 2 |v| dx = − |v| (V − v · ν) dsx σ : Dv dx + dt Ω(t) 2 Ω(t) Γ (t) 2 + v · σν dsx Γ (t) =− σ : Dv dx + (v · ν)γκ dsx . Ω(t)

Γ (t)

Hier wurde im letzten Schritt benutzt, dass aus ν = √

1 (−∇x h, 1) 1+|∇x h|2

folgt ∂t h 1 (−v1 ∂1 h − v2 ∂2 h + v3 ) = =V . v·ν = 1 + |∇x h|2 1 + |∇x h|2 Unter Ausnutzung der Winkelbedingung (7.83) beziehungsweise (7.84) ergibt sich d d γ dsx = γ 1 + |∇x h|2 dx dt Γ (t) dt Ω ∇x h γ √ = ∇x h · ∇∂t h dx = − γ ∇x · √ ∂t h dx 1+|∇x h|2 1+|∇x h|2 Ω Ω ∂t h 2 √ =− γκ 1 + |∇x h| dx = − γκV dsx . 2 Ω

1+|∇x h|

Γ (t)

470

7 Probleme mit freiem Rand

Insgesamt erhalten wir mit (7.78), (7.81) > = d 2 |v| dx + γ ds σ : Dv dx = − x dt Ω(t) 2 Γ (t) Ω(t) = p ∇ · v dx − µ Dv + Dv : Dv dx Ω(t) Ω(t) µ : Dv + Dv dx, =− 2 Dv + Dv Ω(t)

wobei wir bei der letzten Identit¨ at ausgenutzt haben, dass Dv : Dv = Dv : Dv. Ber¨ ucksichtigen wir also bei freien Oberﬂ¨ achen in der Str¨omungsmechanik Kapillarit¨ atsterme, so erhalten wir wie eben gesehen a¨hnlich wie beim Stefan– Problem einen Oberﬂ¨ achenterm als zus¨ atzlichen Beitrag in der Energie. Betrachten wir freie Oberﬂ¨ achen f¨ ur die Euler–Gleichungen , so setzen wir in (7.77) µ = 0 und die Randbedingung (7.82) vereinfacht sich dann zu p = −γκ .

(7.85)

Außerdem wird die Bedingung (7.79) zu v(t, x , x3 ) · n = 0 falls

x ∈ ∂Ω

oder x3 = 0 ,

(7.86)

wobei n die a ur das ¨ußere Einheitsnormale ist. In diesem Fall ergibt sich f¨ Problem mit freier Oberﬂ¨ ache f¨ ur die Euler–Gleichungen (siehe Aufgabe 7.22) = > d 2 |v| dx + γ dsx = 0 . (7.87) dt Ω(t) 2 Γ (t)

7.11 Du ¨nne Filme und Lubrikationsapproximation In vielen Anwendungen ist die H¨ ohe einer Fl¨ ussigkeit klein im Vergleich zu ihrer horizontalen Ausdehnung. Dies gilt zum Beispiel f¨ ur benetzende Filme oder Farbanstriche. In diesem Fall ist es h¨ auﬁg m¨oglich, das Problem mit freier Oberﬂ¨ ache, das wir im letzten Abschnitt betrachtet haben, deutlich zu vereinfachen. Es sei H eine typische H¨ ohe des Films, L eine typische L¨angenskala in hooßenordnung der vertikalen Gerizontaler Richtung und V eine typische Gr¨ schwindigkeitskomponenten. Es sei weiter ε :=

H L

1.

7.11 D¨ unne Filme und Lubrikationsapproximation

471

Wir setzen die dimensionsbehafteten Variablen wie folgt mit entdimensionalisierten Variablen, die durch ein ( gekennzeichnet sind, in Beziehung: (x1 , x2 ) = L(( x1 , x (2 ) , x3 = H x (3 , t = (L/V ) ( t, ( ( v1 , v(2 )(t, x () , v3 (t, x) = εV v(3 (t, x () , (v1 , v2 )(t, x) = V (( h(t, x1 , x2 ) = H ( h(( t, x (1 , x (2 ) , p(t, x) = p p((( t, x () . ur den Druck sp¨ater fest. Dabei legen wir einen typischen Wert p f¨ Im Folgenden sind alle Diﬀerentialoperatoren mit einem ( bezeichnet, falls sie sich auf die Variablen x ( und ( t beziehen. Wir bezeichnen ∂t vi = V

V (i tv L ∂b

∂t v3 = εV

,

V (3 tv L ∂b

i = 1, 2 , ,

∂xi vj =

V (j bi v L ∂x

∂x3 vj =

V −1 ∂xb3 v(j Lε

∂xi v3 =

V (3 bi v L ε ∂x

∂x3 v3 = ε V

1 H

,

i, j = 1, 2 , ,

,

i = 1, 2 ,

∂xb3 v(3 =

∂xi xi vj =

V (j bi x bi v L2 ∂x

∂x3 x3 vj =

V −2 ∂xb3 xb3 v(j L2 ε

∂xi xi v3 =

V (3 bi x bi v L2 ε ∂x

∂x3 x3 v3 =

V −1 ∂xb3 xb3 v(3 L2 ε p (, bi p L ∂x p −1 ∂xb3 p( . Lε

∂xi p = ∂x3 p =

j = 1, 2 ,

V (3 b3 v L ∂x

,

, i, j = 1, 2 ,

,

,

j = 1, 2 , i = 1, 2 ,

, i = 1, 2 ,

Weiter gilt H (( (( ∇h = ε ∇ h, L ⎛ ⎞ 0 1 −∇h ν= = ⎝0⎠ + O(ε) , 1 1 + |∇h|2 1 ∇h 1 (( h + O ε2 . κ =∇· = ε∆ 2 L 1 + |∇h|

∇h =

Wir werden nun Terme h¨ oherer Ordnung in ε vernachl¨assigen. Dabei m¨ ussen auch V und p geeignet skaliert werden. In der Navier–Stokes–Gleichung m¨ ussen der viskose Anteil des Spannungstensors und der Druck gleich skalieren, µ ∆v ∼ ∇p .

472

7 Probleme mit freiem Rand

Aus den ersten beiden Komponenten k¨ onnen wir schließen, dass die Skalierung µ

V −2 p ε = 2 L L

sinnvoll ist; also V =

ε2 L p. µ

Die tangentiale Komponente der Kraftbilanz (7.82) am oberen Rand ergibt zu f¨ uhrender Ordnung ∂xb3 v(j = 0 f¨ ur j = 1, 2 . In (7.82) haben die Terme der niedrigsten Ordnung die Faktoren γε/L und p, so dass wir εγ p= L w¨ ahlen. Aus der Normalkomponente von (7.82) folgt dann (( p( = −∆ h + O(ε) f¨ ur

x (3 = ( h(( t, x (1 , x (2 ) .

Die Navier–Stokes–Gleichungen liefern nach Multiplikation mit ε2 Re ∂ bt v(1 + v(1 ∂xb1 v(1 + v(2 ∂xb2 ( v1 + ( v3 ∂xb3 v(1

L2 ε2 Vµ

= −∂xb1 p( + ε2 ∂xb1 xb1 v(1 + ε2 ∂xb2 xb2 v(1 + ∂xb3 xb3 v(1 mit Reynoldszahl Re = LV /µ und eine analoge Gleichung f¨ ur v(2 . F¨ ur ( v3 gilt ε3 Re ∂ bt v(3 + v(1 ∂xb1 v(3 + v(2 ∂xb2 v(3 + v(3 ∂xb3 v(3 = −ε−1 ∂xb3 p( + ε3 ∂xb1 xb1 v(3 + ε3 ∂xb2 xb2 v(3 + ε ∂xb3 xb3 v(3 . Die Gleichung ∇ · v = 0 ergibt nach Multiplikation mit L/V ( · v( = 0 . ∇ Unter den Annahmen

ε2 Re 1 und ε 1

erhalten wir als Gleichungen zu f¨ uhrender Ordnung in der Fl¨ ussigkeit vi = ∂xbi p( f¨ ur i = 1, 2 , ∂xb3 xb3 ( 0 = ∂xb3 p( , und auf dem freien Rand x (3 = ( h(( t, x (1 , x (2 ) erhalten wir ur i = 1, 2 , ∂xb3 v(i = 0 f¨ ( p( = −∆ ( h, v(3 = ∂ bt ( h + (∂xb1 ( h)( v1 + (∂xb2 ( h)( v2 ,

(7.88)

7.11 D¨ unne Filme und Lubrikationsapproximation

473

wobei die letzte Bedingung die kinematische Randbedingung (7.80) ist, die sich unter der angegebenen Skalierung in ihrer Form nicht ¨andert. Wir werden von nun an die H¨ utchen ( in der Notation weglassen. Da p nicht von x3 abh¨ angt, erhalten wir p(t, x1 , x2 , x3 ) = −∆h(t, x1 , x2 ) . Integrieren wir die Gleichung ∇ · v = 0 bez¨ uglich x3 , so erhalten wir h(t,x1 ,x2 ) 0= (∂x1 v1 + ∂x2 v2 ) dx3 + v3 (t, x1 , x2 , h(t, x1 , x2 )) − v3 (t, x1 , x2 , 0) . 0

Da v3 = 0 f¨ ur x3 = 0 gilt, folgt aus der kinematischen Randbedingung (7.88) h(t,x1 ,x2 ) ∂t h = − (∂x1 v1 + ∂x2 v2 ) dx3 − (∂x1 h)v1 − (∂x2 h)v2 0 h(t,x1 ,x2 ) v1 = −∇ · dx3 . v2 0 Die Gleichungen ∂x3 x3 vi = ∂xi p, i = 1, 2, lassen sich unter Ausnutzung der ur x3 = 0 und ∂x3 vi = 0 f¨ ur x3 = h(t, x1 , x2 ) wie Randbedingungen vi = 0 f¨ folgt l¨ osen . 2 / x3 vi (t, x1 , x2 , x3 ) = ∂xi p(t, x1 , x2 ) − h(t, x1 , x2 )x3 . 2 Es folgt

h(t,x1 ,x2 ) 0

3 h vi dx3 = ∂xi p(t, x1 , x2 ) − . 3

Wir erhalten ∂t h = ∇ · beziehungsweise

∂t h = −∇ ·

h3 ∇p 3

h3 ∇∆h 3

.

(7.89)

Wir haben das Problem mit freier Oberﬂ¨ ache also zur¨ uckgef¨ uhrt auf eine Gleichung allein f¨ ur die H¨ ohe. Die Gleichung (7.89) heißt D¨ unnﬁlmgleichung. Gleichungen der Form ∂t h = −∇ · (chn ∇∆h) mit c > 0 , n > 0 , lassen wie die Por¨ ose–Medien–Gleichung L¨ osungen mit kompaktem Tr¨ager zu (siehe Aufgabe 7.25). Solche L¨ osungen beschreiben Fl¨ ussigkeitsﬁlme auf einer horizontalen Fl¨ ache, die einen Teil der unteren Begrenzung unbenetzt lassen. Der Rand des Tr¨ agers kann dabei wie bei der Por¨ose–Medien–Gleichung als freier Rand aufgefasst werden.

474

7 Probleme mit freiem Rand

7.12 Literaturhinweise Klassische Lehrb¨ ucher zu Problemen mit freiem Rand und Variationsungleichungen sind die B¨ ucher von Duvaut und Lions [29], Friedman [41], Kinderlehrer und Stampacchia [73] und Elliott und Ockendon [32]. Eine gute Referenz zur Analysis von konvexen Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen ist das Buch von Ekeland und Temam [31]. Weitere Informationen zum Stefan– Problem und zu den Phasenfeldgleichungen enthalten die B¨ ucher von Brokate und Sprekels [14], Davis [25] und Visintin [125]. Eine sch¨one Einf¨ uhrung in die Theorie der Phasen¨ uberg¨ ange bietet Gurtin [56]. F¨ ur Informationen u ¨ber die Geometrie von Kurven und Fl¨ achen verweisen wir auf die Lehrb¨ ucher zur Differentialgeometrie [9], [17], [34]. Weitere Informationen zu freien Oberﬂ¨achen ﬁndet man im Buch von Segel [108].

7.13 Aufgaben Aufgabe 7.1. Bestimmen Sie die L¨ osung des Minimierungsproblems + * 1 2 1 (u ) + 2u dx | u ∈ H (−1, 1), u ≥ 0, u(−1) = a, u(1) = b . min −1

Geben Sie die aktive und inaktive Menge sowie den freien Rand in Abh¨angigkeit von a und b an und bestimmen Sie den zugeh¨origen Lagrange–Multiplikator µ. Aufgabe 7.2. Wir betrachten das Minimierungsproblem * + λ min |∇u|2 − f u dx | u ∈ V und u ≥ ψ (7.90) 2 Ω

mit V = v ∈ H 1 (Ω) | v = u0 auf ∂Ω unter der Voraussetzung, dass f , λ, uralle x ∈ Ω gilt. ψ, u0 glatt sind, Ω glatt berandet ist, und λ(x)

≥ λ0 > 0 f¨ Zeigen Sie: u ∈ H 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ∩ K mit K = v ∈ V | v ≥ ψ ist L¨osung von (7.90), genau dann wenn ein µ ∈ L2 (Ω) existiert, so dass λ ∇u · ∇v dx + f v dx + µv dx = 0 f¨ ur alle v ∈ H01 (Ω) , Ω

Ω

Ω

µ = max(0, µ − c(u − ψ)) fast u ¨ berall in Ω , wobei c > 0 vorausgesetzt sei. Bemerkung: Diese Formulierung kommt ganz ohne Ungleichungen aus.

7.13 Aufgaben

475

Aufgabe 7.3. Wir betrachten das Minimierungsproblem + * λ |∇u|2 − f u dx | u ∈ V und u ≥ ψ min 2 Ω

mit V = v ∈ H 1 (Ω) | v = u0 auf ∂Ω unter der Voraussetzung, dass f , λ, ψ, u0 glatt sind und Ω glatt berandet ist. Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 7.1 sei angenommen, dass Γ = ∂A∩∂N eine glatte ache ist, die ganz in Hyperﬂ¨ Ω liegt. Weiter sei angenommen, dass u|N ∈ C 2 N . Zeigen Sie unter diesen Voraussetzungen: u = ψ,

λ ∇u · n = λ ∇ψ · n auf Γ .

Bemerkung: u ∈ C 1 (Ω) darf hier nicht vorausgesetzt werden. Aufgabe 7.4. Es sei Ω ⊂ Rd ein zusammenh¨angendes Gebiet mit glattem Rand, der aus zwei glatten Teilﬂ¨ achen ΓU und ΓC zusammengesetzt sei, beide Teilﬂ¨ achen haben positiven Fl¨ acheninhalt. Weiter seien f, u0 : Ω → Rd , g : d ΓC → R, ν : ΓC → genug. Wir betrachten folgendes Kontaktproblem:

R glatt Finde u ∈ K = v ∈ H 1 (Ω)d | v = u0 auf ΓU , v · ν ≤ g auf ΓC , so dass f¨ ur alle v ∈ K σ(u) : ε(v − u) dx ≥ f · (v − u) dx . Ω

Ω

Dabei gelte das Hookesche Gesetz (5.49) mit Koeﬃzienten, die beschr¨ankt, symmetrisch und positiv deﬁnit im Sinn von (5.50), (5.51) sind. Zeigen Sie: Das Kontaktproblem hat h¨ ochstens eine L¨osung. Hinweis: Verwenden Sie, dass der Schnitt der

Menge der Starrk¨orperverschie

bungen R := u ∈ H 1 (Ω)d | ε(u) = 0 mit u ∈ H 1 (Ω)d | u = 0 auf ΓU nur die Funktion v = 0 enth¨ alt. Dies folgt daraus, dass ΓU positiven Fl¨acheninhalt hat und Ω zusammenh¨ angend ist. Aufgabe 7.5. Zeigen Sie: Die Barenblattl¨ osung (7.13) l¨ost die Por¨ose–Medien–Gleichung ∂t u = ∆um im Distributionssinn, d.h. es gilt ∞ (u ∂t ζ + um ∆ζ) dx dt = 0 0

Rd

f¨ ur alle ζ ∈ C0∞ (0, ∞) × Rd . Aufgabe 7.6. Es sei Γ eine evolvierende Hyperﬂ¨ache im Rd . Zeigen Sie: Die Deﬁnition (7.47) der Normalgeschwindigkeit in Abschnitt 7.3 h¨angt nicht von der zur Deﬁnition gew¨ ahlten Kurve ab. Hinweis: Stellen Sie Γ lokal um (t0 , x0 ) als Niveaumenge einer Funktion v : R × Rd → R dar.

476

7 Probleme mit freiem Rand

Aufgabe 7.7. Zeigen Sie, dass die kleinste und gr¨oßte Hauptkr¨ ummung κ1 und κd−1 einer Hyperﬂ¨ ache im Rd die zweite Fundamentalform minimiert beziehungsweise maximiert. Aufgabe 7.8. Es sei Ω ⊂ Rd ein Gebiet und T : (0, T ) × Ω → R eine stetige distributionelle L¨ osung von ∂t cV T + Lχ{T >TM } = λ∆T , vgl. (7.55). Die Menge Γ = {(t, x) | T (t, x) = TM } sei eine glatte evolvierende Hyperﬂ¨ ache mit Γ (t) ⊂⊂ Ω f¨ ur alle t ∈ (0, T ). Weiter sei Ωs (t) = {x ∈ Ω | T < TM } und Ω (t) = {x ∈ Ω | T > TM }. Wir setzen voraus, dass T|Ωs beziehungsweise T|Ω sich zweimal stetig diﬀerenzierbar auf Γ (t) fortsetzen lassen. Zeigen Sie: Es gilt LV = [−λ∇T ] s · ν

auf Γ (t) .

Aufgabe 7.9. Eine Fl¨ ussigkeit in einem Halbraum Ω = (0, ∞) × R mit Schmelzpunkt TM und Anfangstemperatur TM werde am Rand von Ω auf uhlt. Finden Sie die Temperatur T0 < TM unterhalb des Schmelzpunktes gek¨ eine L¨ osung des zugeh¨ origen Stefan–Problems cV ∂t T − λ ∂x2 T = 0 T = TM λ ∂x T = La(t) ˙

f¨ ur 0 < x < a(t) , f¨ ur x = a(t) , f¨ ur x = a(t) ,

wobei a(t) die Position der Phasengrenze beschreibt. Benutzen Sie dazu den Ansatz der Form T (t, x) = T0 + (TM − T0 ) u(s) V mit reskalierter Variablen s = c4λt x. Aufgabe 7.10. Sei u L¨ osung des folgenden eindimensionalen einseitigen Stefan–Problems ∂t u = u= ∂x u = ∂x u = s(0) = s0 , u(0, x) =

∂xx u 0 −s (t) 0 u0 (x) < 0

f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur

0 < x < s(t) , x ≥ s(t) , x = s(t) , x = 0, 0 < x < s0 .

Dabei liegt in 0 < x < s(t) eine unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeit und in x > s(t) ein Feststoﬀ vor.

7.13 Aufgaben

477

Zeigen Sie: a) Es gilt d dt

s(t)

u(t, x) dx + s(t)

=0.

0

Bemerkung: s(t) ist die L¨ ange der von der ﬂ¨ ussigen Phase eingenommenen Menge zum Zeitpunkt t. b) Es gilt außerdem: d dt

s(t)

2

u dx + 0

0

s(t)

2|∂x u|2 dx = 0 .

Aufgabe 7.11. Sei u eine L¨ osung des eindimensionalen einseitigen Stefan– Problems aus Aufgabe 7.10. Zeigen Sie a) Es gilt u(t, x) ≤ 0 f¨ ur alle t > 0 , 0 < x < s(t) . Hinweis: Berechnen Sie

d dt

" s(t) 0

u2+ dx mit u+ = max(u, 0).

b) Zeigen Sie s (t) ≤ 0. c) Zeigen Sie d dt

1 (s(t))2 + 2

s(t)

x u(t, x) dx 0

= u(t, 0) ≤ 0

und folgern Sie daraus: Falls 1 2 s + 2 0

0

s0

x u0 (x) dx < 0

(7.91)

gilt, so existiert kein Zeitpunkt t0 , f¨ ur den entweder u(t0 , x) ≡ 0 oder s(t0 ) = 0 gilt. d) F¨ uhren Sie unter der Voraussetzung (7.91) folgende Konvergenzen ur t → ∞ , s(t) → s∞ f¨ ur t → ∞ in der H 1 − Norm u(t, ·) → u∞ f¨ zum Widerspruch. Hinweis: Benutzen Sie die u ¨ber die Zeit auﬁntegrierte Aussage aus Aufgabe 7.10, Teil b).

478

7 Probleme mit freiem Rand

Aufgabe 7.12. Betrachten Sie das Mullins–Sekerka–Problem (7.57) auf dem Gebiet Ω = BR (0). Auf ∂Ω seien Neumannranddaten ∇u · n = 0 vorgegeben und zum Zeitpunkt t = 0 sei die ﬂ¨ ussige Phase durch Ω (0) = Br2 (0) \ Br1 (0) ussige Phase hat f¨ ur positive Zeiten die mit 0 < r1 < r2 < R gegeben. Die ﬂ¨ Form Ω (t) = Br2 (t) (0) \ Br1 (t) (0). Welche gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen erf¨ ullen r1 (t) und r2 (t)? Hinweis: Nehmen Sie an, dass u radialsymmetrisch ist. Aufgabe 7.13. Zeigen Sie f¨ ur das Stefan–Problem die Entropieungleichung (7.66) analog zur Gleichung (7.64) im Fall, dass die Relaxierungsdynamik (7.63) durch (7.65) ersetzt wird. Aufgabe 7.14. Es sei y : [a, b] → R2 eine Bogenl¨angenparametrisierung einer geschlossenen glatten Kurve Γ und ν : [a, b] → R2 eine Einheitsnormale an Γ . Zeigen Sie: a) Die Abbildung F : [a, b] × (−ε, ε) → R2 (s, d) → y(s) + d ν(s) ist f¨ ur ε gen¨ ugend klein einmal stetig diﬀerenzierbar, b) F ist invertierbar, c) Gilt x = F (s, d), so ist |d| der Abstand von x zu Γ . Aufgabe 7.15. a) Zeigen Sie die Frenet–Formeln (7.70). b) Weisen Sie die Gleichungen (7.71) und (7.72) nach. Aufgabe 7.16. Betrachten Sie den mittleren Kr¨ ummungsﬂuss in der Ebene R2 V = κ auf Γ (t) , wobei Γ = ∪t≥0 Γ (t) evolvierende Kurve in R2 sei. Wir wollen eine L¨osung in Form einer travelling–wave“ ﬁnden. Machen Sie dazu den Ansatz ” Γ (t) = {(x, u(t, x)) | x ∈ I} mit einer Funktion u der Form u(t, x) = h(x) + ct , c ∈ R . Stellen Sie eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur h auf und l¨osen Sie diese.

7.13 Aufgaben

479

Aufgabe 7.17. a) Wir suchen eine radialsymmetrische L¨osung des mittleren Kr¨ ummungsﬂusses V = κ auf Γ (t) , wobei Γ = ∪t≥0 Γ (t) evolvierende Fl¨ ache in Rd ist. Machen Sie dazu einen Ansatz Γ (t) = ∂Br(t) (0), stellen Sie eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur r(t) auf und l¨ osen Sie diese. Wie verh¨ alt sich die L¨ osung f¨ ur wachsende t? b) Betrachten Sie nun mit dem Ansatz aus a) folgendes Evolutionsgesetz: V =κ+c

auf Γ (t) ,

wobei c ∈ R konstant sei. Machen Sie qualitative Aussagen u ¨ber das Verhalten der L¨ osung f¨ ur wachsende t abh¨ angig von c. Unterscheiden Sie dazu die F¨ alle: Es existiert beziehungsweise es existiert keine L¨osung f¨ ur t → ∞. Aufgabe 7.18. Es sei s(T, ϕ) := cV ln TTM + TLM 1+ϕ und T, ϕ sei L¨osung 2 von (7.67), (7.75) mit Neumannrandbedingungen f¨ ur T und ϕ. Zeigen Sie die Absch¨ atzung / . d ε 1 |∇ϕ|2 + ψ(ϕ) dx ≥ 0 . s − γ ( dt 2 ε Ω Aufgabe 7.19. F¨ uhren Sie f¨ ur (7.67), (7.75) eine formale asymptotische Entwicklung analog zum Vorgehen in Abschnitt 7.9 durch. Aufgabe 7.20. F¨ uhren Sie f¨ ur die Cahn–Hilliard–Gleichung ∂t c = L∆w w = −γε∆c +

γ f (c) ε

mit f (c) = α(c2 − a2 )2 eine formale asymptotische Entwicklung analog zum Phasenfeldmodell durch. Aufgabe 7.21. Sei Ω ⊂ Rd beschr¨ anktes Gebiet mit glattem Rand. Weiter seien γ1 , γ2 , γ3 > 0 mit |γ1 − γ2 | < γ3 , m ∈ R und + * h dx = m . K = h ∈ C 2 (Ω) | Ω

Betrachten Sie das Funktional 2 E(h) = γ3 1 + |∇h| dx + (γ2 − γ1 ) Ω

h dsx

f¨ ur

h∈K.

∂Ω

Zeigen Sie: Falls h ∈ K ein Minimum von E ist, so hat der Graph von h, also die Fl¨ ache

480

7 Probleme mit freiem Rand

Γ = {(x, h(x)) | x ∈ Ω} ⊂ Rd+1 konstante mittlere Kr¨ ummung und triﬀt auf dem Zylinder Z = {(x, z) | x ∈ ∂Ω , z ∈ R} = ∂Ω × R 2 auf. mit Winkel arccos γ1γ−γ 3 Hinweis: Schreiben Sie die Randbedingung aus der Euler–Lagrange–Gleichung um in eine Bedingung f¨ ur die Normalen an Z und Γ .

Aufgabe 7.22. Weisen Sie f¨ ur die Euler–Gleichungen mit freier Oberﬂ¨ache die Identit¨ at (7.87) her. Dabei seien die in Abschnitt 7.10 speziﬁzierten Randbedingungen (7.80), (7.85), (7.86) und die Winkelbedingung (7.84) vorausgesetzt. Aufgabe 7.23. Betrachten Sie eine Str¨ omung mit freier Oberﬂ¨ache wie in Abschnitt 7.10, wobei die Winkelbedingung (7.83) durch die Bedingung (Γ (t), ∂Ω) = ϕ $ # 2 und das Kr¨ aftegleichgewicht an der freien Oberﬂ¨ache mit ϕ = arccos γ1γ−γ 3 durch σν = γ3 κν ersetzt sei. Dabei seien γ1 , γ2 , γ3 > 0, so dass |γ1 − γ2 | < γ3 gilt. Zeigen Sie im Fall, dass sich Γ (t) f¨ ur alle t als Graph schreiben l¨asst, die Ungleichung d 2 |v(t, x)| dx + γ3 dsx + (γ2 − γ1 ) h(t, x ) dsx ≤ 0 . dt Ω(t) 2 Γ (t) ∂Ω Wie ist der Beweis zu f¨ uhren, falls Γ eine evolvierende Hyperﬂ¨ache ist, sich aber nicht notwendigerweise global als Graph schreiben l¨asst? Diskutieren Sie dar¨ uber hinaus den Fall allgemeinerer Containergeometrien. Bemerkung: Die Gr¨ oßen γ1 und γ2 sind die Oberﬂ¨achenenergiedichten der Grenzﬂ¨ achen zwischen fester und gasf¨ " ormiger beziehungsweise fester und ﬂ¨ ussiger Phase. Der Term (γ2 − γ1 ) ∂Ω h(t, x ) dsx beschreibt somit einen Beitrag zur Energie, der sich aus den Grenzﬂ¨achen zwischen fester und gasf¨ ormiger beziehungsweise fest und ﬂ¨ ussiger Phase ergibt. Aufgabe 7.24. Betrachten Sie das Problem aus der Str¨omungsmechanik aus Abschnitt 7.10 mit einer slip“–Bedingung, das heißt ersetzen Sie in (7.77)– ” (7.84) die no–slip Bedingung (7.79) durch ur x ∈ ∂Ω oder x3 = 0 . (σν)τ (t, x , x3 ) = −β v(t, x , x3 ) f¨ Dabei ist β > 0 eine Konstante und f¨ ur ein Vektorfeld j auf ∂Ω(t) deﬁnieren außere Normale an ∂Ω(t) ist. Zeigen Sie wir (j)τ = j − (j · n)n, wobei n die ¨ f¨ ur den Fall f = 0 die Energieungleichung

7.13 Aufgaben

d dt

Ω(t)

|v(t, x)|2 dx + 2

481

Γ (t)

γ dsx

≤ 0.

Aufgabe 7.25. Zeigen Sie: Die Funktion h(t, x) = t−dβ f (r) mit r = und

1 8(2+d)(4+d)

f (r) =

2 2 a − r2 ,

0,

|x| 1 , β= tβ 4+d falls

0 ≤ r < a,

sonst

l¨ ost die Gleichung ∂t h + ∇ · (h∇∆h) = 0 auf R+ × Rd im schwachen Sinn, d.h. ∞ (h ∂t ϕ + h ∇∆h · ∇ϕ) dx dt = 0 0

Rd

uckweise zu deﬁnieren. Zeigen f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (0, ∞) × Rd . Dabei ist ∇∆h st¨ Sie: Es existiert ein α > 0, so dass h(t, ·) → αδ0 f¨ ur t 0 im Distributionssinne, d.h. f¨ ur alle ζ ∈ C0∞ (Rd ) gilt h(t, x) ζ(x) dx → α ζ(0) f¨ ur t 0 . Ω

Berechnen Sie ein a > 0, so dass

" Rd

h(t, x) dx = 1.

Aufgabe 7.26. (Filme auf einer vertikalen bzw. einer schiefen Ebene) F¨ uhren Sie eine Lubrikationsapproximation wie in Abschnitt 7.11 f¨ ur die Gleichungen der Str¨ omungsmechanik aus Abschnitt 7.10 unter folgenden Ver¨anderungen durch: In den Navier–Stokes Gleichungen wird Gravitation in eine feste ucksichtigt, d.h. f¨ ur g > 0 konstant gilt: Richtung (1 , 2 , 3 ) ∈ R3 mitber¨ (∂t v + (v · ∇)v) = µ∆v − ∇p − g(1 , 2 , 3 ) , ∇· v = 0. Die Kr¨ aftebilanz am freien Rand sei nun σν = 0 , d.h. es wird in (7.82) γ = 0 gesetzt. Die no–slip Bedingung (7.79) und die kinematische Bedingung (7.80) bleiben unver¨ andert. Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 7.11 setzen Sie nun p = εµV 2 L und mulL2 ε2 tiplizieren die Navier–Stokes Gleichungen mit V µ und die Kr¨aftebilanz mit Lε2 . Vµ

Leiten Sie in den folgenden beiden F¨ allen die Gleichungen zu f¨ uhrender Ordnung her, wobei die Divergenzfreiheit, die no–slip Bedingung und die kinematische Bedingung jeweils erhalten bleiben (das ( aus Abschnitt 7.11 wird weggelassen):

482

7 Probleme mit freiem Rand 3

2

(i) F¨ ur V = ε Lµ g : In der Fl¨ ussigkeit: ∂x3 x3 vi = ∂xi p , i = 1, 2 , −∂x3 p = 3 . Am freien Rand (x3 = h(t, x1 , x2 )): ∂x3 vi = 0 , i = 1, 2 , p = 0. 2

2

(ii) F¨ ur V = ε Lµ g : In der Fl¨ ussigkeit: ∂x3 x3 vi = ∂xi p + i , i = 1, 2 , −∂x3 p = 0 . Am freien Rand (x3 = h(t, x1 , x2 )): ∂x3 vi = 0 , i = 1, 2 , p = 0. Aufgabe 7.27. Leiten Sie f¨ ur die beiden in Aufgabe 7.26 betrachteten Skalierungen eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die H¨ ohe h her.

A Funktionenr¨ aume

Wir bezeichnen den Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktionen auf einer oﬀenen Menge Ω ⊂ Rd mit C 0 (Ω). Stetige Funktionen mit Deﬁnitionsbereich Ω und Werten in Rm , C oder Cm bezeichnen wir mit C 0 (Ω, Rm ), C 0 (Ω, C) beziehungsweise C 0 (Ω, Cm ) und eine entsprechende Schreibweise werden wir f¨ ur die folgenden Funktionenr¨ aume verwenden. F¨ ur jede Zahl k ∈ N deﬁnieren wir C k (Ω) als den Raum der k–mal stetig diﬀerenzierbaren reellwertigen Funktionen auf Ω. Die Menge aller beliebig oft diﬀerenzierbaur eine Funktion ϕ : Ω → R ren Funktionen bezeichnen wir mit C ∞ (Ω). F¨ deﬁnieren wir ihren Tr¨ ager als supp ϕ := {x ∈ Ω | ϕ(x) = 0} . Die Menge C0∞ (Ω) sei nun die Menge aller beliebig oft diﬀerenzierbaren Funktionen, deren Tr¨ ager eine kompakte Teilmenge von Ω ist. Wir verwenden außerdem die Funktionenr¨ aume

k C (Ω) := u : Ω → R | u ist stetig, u|Ω ∈ C k (Ω) und alle partiellen Ableitungen bis zur

Ordnung k lassen sich stetig auf Ω fortsetzen .

ankt, so sind die R¨ aume C k (Ω) Banachr¨aume, d.h. vollst¨andiIst Ω beschr¨ ge normierte R¨ aume. Ein normierter Raum ist ein Vektorraum X mit einer Abbildung, die jedem x ∈ X eine reelle Zahl x zuordnet, so dass (1) x = 0 genau dann, wenn x = 0, (2) αx = |α| x f¨ ur alle Skalare α und alle x ∈ X, (3) x + y ≤ x + y f¨ ur alle x, y ∈ X (Dreiecksungleichung). Eine Folge (xk )k∈N in einem normierten Raum X konvergiert genau dann, wenn ein x ∈ X existiert, so dass folgendes gilt: F¨ ur alle ε > 0 existiert ein M ∈ N, so dass

484

A Funktionenr¨ aume

xk − x < ε f¨ ur alle k > M . Eine Folge (xk )k∈N in einem normierten Raum X ist eine Cauchyfolge, genau dann wenn f¨ ur alle ε > 0 ein M ∈ N existiert, so dass xk − x < ε f¨ ur alle k, > M . Ein normierter Raum X ist vollst¨ andig und damit ein Banachraum, falls jede Cauchyfolge in X gegen einen Grenzwert x ∈ X konvergiert. Ist Ω beschr¨ankt, so kann gezeigt werden, dass C k (Ω) mit der Norm uC k (Ω) := max sup |∂ α u(x)| α∈Nd 0 x∈Ω |α|≤k

zu einem Banachraum wird. Dabei ist α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Nd0 ein Multiindex und |α| = α1 + · · · + αd . Es sei bemerkt, dass uC 0 (Ω) gerade das Supremum von |u| ist. Mit Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, bezeichnen wir die Menge aller reellwertigen messbaren Funktionen, so dass |u|p Lebesgue–integrierbar ist. Lp (Ω) wird mit der Norm 1/p |u(x)|p dx f¨ ur 1 ≤ p < ∞ , uLp(Ω) := Ω

uL∞(Ω) :=

inf

sup |u(x)| f¨ ur p = ∞

N ⊂Ω x∈Ω\N N Nullmenge

zu einem Banachraum. Die Bedingung (1) in der Deﬁnition der Norm ist erf¨ ullt, wenn wir Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, ¨ ¨ zu Aquivalenzklassen zusammenfassen. Dabei geh¨ort v zur Aquivalenzklasse [u] der Funktion u, d.h. v ∼ u, falls u = v fast u ¨berall in Ω . Die Menge der lokal integrierbaren Funktionen ist L1,loc (Ω) := {u : Ω → R | f¨ ur alle D ⊂⊂ Ω ist u|D ∈ L1 (D)} . Dabei bedeutet D ⊂⊂ Ω, dass D beschr¨ ankt ist und D ⊂ Ω. F¨ ur Funktionen u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lq (Ω) mit p1 + 1q = 1 gilt die H¨older–Ungleichung

|u(x) v(x)| dx ≤ Ω

1/p 1/q q |u(x)| dx |v(x)| dx . p

Ω

Ω

F¨ ur p = q = 2 heißt diese Ungleichung auch Cauchy–Schwarz–Ungleichung. Auf dem Raum L2 (Ω) kann das Skalarprodukt

A Funktionenr¨ aume

485

u, vL2 (Ω) :=

u(x) v(x) dx Ω

eingef¨ uhrt werden. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum H ist eine reellwertige Funktion (x, y) → x, y, so dass (i)

x, y = y, x f¨ ur alle x, y ∈ H,

(ii)

αx + βy, z = αx, z + βy, z f¨ ur alle α, β ∈ R und x, y, z ∈ H,

(iii) x, x ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ X, (iv) x, x = 0 genau dann, wenn x = 0. In einem reellen Vektorraum H mit Skalarprodukt deﬁniert x = x, x eine Norm. Ist H bez¨ uglich dieser Norm vollst¨andig, so nennen wir H einen Hilbertraum. Der Raum L2 (Ω) ist versehen mit dem obigen Skalarprodukt ein Hilbertraum. H¨ auﬁg ist es sinnvoll, den klassischen Ableitungsbegriﬀ abzuschw¨achen. Existiert zu einer integrierbaren Funktion u : Ω → R und einem Multiindex α eine integrierbare Funktion vα : Ω → R, so dass u(x) ∂ α ϕ(x) dx = (−1)|α| vα (x) ϕ(x) dx Ω

Ω

C0∞ (Ω),

so heißt ∂ u := vα schwache Ableitung von u (oder f¨ ur alle ϕ ∈ genauer die α–te schwache partielle Ableitung). α

Der Sobolevraum H 1 (Ω) besteht aus allen Funktionen u ∈ L2 (Ω), deren erste partielle Ableitungen im schwachen Sinn existieren und quadratintegrierbar sind. Der Raum H 1 (Ω) wird mit dem Skalarprodukt u, vH 1 (Ω) := (u(x) v(x) + ∇u(x) · ∇v(x)) dx Ω

zu einem Hilbertraum. Entsprechend k¨ onnen wir Sobolevr¨ aume H m (Ω), m ≥ 2, deﬁnieren, indem wir verlangen, dass auch h¨ ohere schwache Ableitungen quadratintegrierbar sind. Bei Funktionen in L2 (Ω) und H 1 (Ω) fassen wir Funktionen, die sich nur auf ¨ einer Nullmenge unterscheiden, zu einer Aquivalenzklasse zusammen. Daher hat es zun¨ achst keinen Sinn, f¨ ur Funktionen in diesen R¨aumen Randwerte zu deﬁnieren, da der Rand typischerweise eine Nullmenge ist. Es zeigt sich aber, dass wir Funktionen in H 1 (Ω) unter geeigneten Bedingungen an ∂Ω Randwerte zuordnen k¨ onnen. Eine einfache M¨oglichkeit, Nullrandwerte zu deﬁnieren, besteht darin, C0∞ (Ω) in H 1 (Ω) abzuschließen. Wir deﬁnieren

486

A Funktionenr¨ aume

H01 (Ω) := {u ∈ H 1 (Ω) | es existiert eine Folge (uk )k∈N , so dass uk − uH 1 (Ω) → 0} und interpretieren diesen Raum als die Menge aller H 1 (Ω)–Funktionen mit Null–Randwerten. Die Tatsache, dass Funktionen in H01 (Ω) in einem gewissen Sinn Nullrandwerte besitzen, kann pr¨ aziser gerechtfertigt werden. Falls Ω beschr¨ ankt ist, gilt f¨ ur Funktionen aus H01 (Ω) die Poincar´e–Ungleichung, d.h. es existiert eine Konstante cP > 0, die nur von Ω abh¨angt, so dass |v|2 dx ≤ cP |∇v|2 dx Ω

Ω

angend, so gelten entsprechende Unf¨ ur alle v ∈ H01 (Ω). Ist Ω zusammenh¨ " ur gleichungen auch f¨ ur Funktionen u ∈ H 1 (Ω) mit Ω u(x) dx = 0, oder f¨ Funktionen u ∈ H 1 (Ω), die nur auf einem Teil des Randes ∂Ω mit positivem Fl¨ acheninhalt Null sind. Schließlich sei noch bemerkt, dass f¨ ur Funktionen u ∈ H m (Ω) im Fall m− d2 > 0 0 eine stetige Funktion v ∈ C (Ω) existiert, so dass u = v fast u ¨ berall in Ω. F¨ ur weitere Details und Beweise der oben angegebenen Resultate verweisen wir auf die B¨ ucher von Alt [4] und Adams [2].

B Kru achen ¨mmung von Hyperﬂ¨

Unter der Kr¨ ummung einer Kurve in der Ebene versteht man die Richtungs¨ anderung pro L¨ angeneinheit. Es sei I ⊂ R ein Intervall und y : I → R2 eine diﬀerenzierbare ebene Kurve, die nach der Bogenl¨ange parametrisiert ist, ur alle s ∈ I. Dann ist τ := y (s) eine Einheitstangente an die d.h. |y (s)| = 1 f¨ ¨ Kurve und y (s) misst die lokale Anderungsrate der Tangente pro L¨angenein heit. Je gr¨ oßer |y (s)| ist, desto st¨ arker ¨ andert sich die Tangente. Die Gr¨oße ummt ist. y (s) beschreibt also, wie stark die Kurve y gekr¨ Ist nun y eine lokale Parametrisierung einer Kurve Γ ⊂ R2 mit Normalen ν, so w¨ ahlen wir y so, dass (ν, y (s)) positiv orientiert ist, d.h. det(ν, y (s)) > 0. Diﬀerentiation der Identit¨ at |y (s)|2 = 1 ergibt d |y (s)|2 = 2 y (s) · y (s) . ds Deshalb ist y (s) ein Vielfaches von ν und wir deﬁnieren 0=

κ = y (s) · ν als die Kr¨ ummung der Kurve Γ . W¨ ahlen wir statt ν die Normale −ν, so ¨andert sich das Vorzeichen von κ. Es sei nun Γ eine glatte Fl¨ ache im R3 mit Einheitsnormale ν. Dann kann jeder Tangentialrichtung τ eine Normalkr¨ ummung zugeordnet werden. Darunter versteht man die Kr¨ ummung der ebenen Kurve, die sich als Schnitt der von ν und τ aufgespannten Ebene mit Γ ergibt. Dabei w¨ahlen wir in dieser Ebene ν als Normale an die Kurve. Es seien nun κ1 und κ2 der minimale beziehungsweise der maximale Wert, den die Normalkr¨ ummung annehmen kann. κ1 und κ2 heißen Hauptkr¨ ummungen und die mittlere Kr¨ ummung κ ist dann deﬁniert durch (B.1) κ = κ1 + κ2 . ummung, inzwischen Streng genommen ist nat¨ urlich 12 (κ1 +κ2 ) die mittlere Kr¨ wird allerdings h¨ auﬁger obige Deﬁnition benutzt, da sie in vielen F¨allen zu einfacheren Ausdr¨ ucken f¨ uhrt.

488

B Kr¨ ummung von Hyperﬂ¨ achen

Wir wollen nun Kr¨ ummungen allgemein f¨ ur Hyperﬂ¨achen Υ des Rd , das sind glatte (d − 1)–dimensionale Teilmengen des Rd , deﬁnieren. Dazu betrachten wir zun¨ achst Tangentialableitungen von Funktionen, die auf Υ deﬁniert sind. F¨ ur x ∈ Υ bezeichne Tx Υ den Raum der Tangentialvektoren an Υ im Punkt x. Sei f : Υ → R eine glatte Funktion, x ∈ Υ und τ ∈ Tx Υ . Wir w¨ahlen eine Kurve y : (−ε, ε) → Υ mit y(0) = x und y (0) = τ und deﬁnieren d ∂τ f (x) = ds f (y(s))s=0 . Man kann zeigen, dass diese Deﬁnition von der speziellen Wahl der Kurve y unabh¨ angig ist, solange nur y (0) = τ gilt. Weiter folgt, dass die Abbildung τ → ∂τ f linear bez¨ uglich τ ist; es gilt also f¨ ur τ1 , τ2 , τ ∈ Tx Υ mit τ = α1 τ1 + α2 τ2 ∂τ f (x) = α1 ∂τ1 f (x) + α2 ∂τ2 f (x) . Wir k¨ onnen nun Tangentialableitungen des Normalenvektors ν betrachten. Die Abbildung Wx : Tx Υ → Tx Υ , τ → −∂τ ν heißt Weingartenabbildung von Υ im Punkt x. Da ∂τ linear bez¨ uglich τ ist, ist die Weingartenabbildung Wx linear. Aus (∂τ ν) · ν = ∂τ 21 |ν|2 = ∂τ 21 = 0 folgt, dass ∂τ ν im Tangentialraum Tx Υ liegt. Somit ist −∂τ ν als Funktion von τ eine Abbildung, die den Tangentialraum Tx Υ in sich abbildet. Sind τ1 , τ2 : Υ → Rd zwei glatte Vektorfelder mit τ1 (x), τ2 (x) ∈ Tx Υ f¨ ur alle x, so folgt wegen τ2 · ν = 0 (∂τ1 τ2 ) · ν = (∂τ1 τ2 ) · ν − ∂τ1 (τ2 · ν) = −τ2 · ∂τ1 ν .

(B.2)

Betrachten wir nun eine lokale Parametrisierung F : D → Υ , so ergibt sich aus der Symmetrie der zweiten Ableitungen von F die Symmetrie der Weingartenabbildung bez¨ uglich des euklidischen Skalarprodukts im Rd wie folgt. Die Vektoren t1 = ∂1 F, . . . , td−1 = ∂d−1 F bilden eine Basis des Tangentialraums. F¨ ur beliebige Tangentialvektoren ﬁnden wir eine Darstellung τ1 =

d−1 i=1

αi ∂i F ,

τ2 =

d−1

βi ∂i F

i=1

und wir berechnen mit Hilfe von ν · ∂i F = 0, ∂ti F = ∂i F f¨ ur i = 1, . . . , d − 1 und der Linearit¨ at der Tangentialableitung

B Kr¨ ummung von Hyperﬂ¨ achen

Wx (τ1 ) · τ2 = − (∂τ1 ν) · τ2 = ν · ∂τ1 τ2 = ν ·

d−1

489

αi βj ∂ti (∂j F )

i,j=1

=ν·

d−1

αi βj ∂i ∂j F = ν ·

i,j=1

d−1

αi βj ∂j ∂i F

i,j=1

= ν · ∂τ2 τ1 = −τ1 · ∂τ2 ν = τ1 · Wx (τ2 ) . Da die Weingartenabbildung symmetrisch ist, existieren reelle Eigenwerte origen orthonormalen Eigenvektoren v1 , . . . , vd−1 ∈ κ1 ≤ · · · ≤ κd−1 mit zugeh¨ Tx Υ . Es gilt κi = κi |vi |2 = − (∂vi ν) · vi = (∂vi vi ) · ν . Das bedeutet, κi ist die Normalkr¨ ummung in Richtung vi . Die Gr¨oßen ummungen. Die Kr¨ ummungen κ1 beziehungsweiκ1 , . . . , κd−1 heißen Hauptkr¨ se κd−1 minimieren beziehungsweise maximieren die zur Weingartenabbildung geh¨ orende quadratische Form (τ, τ ) → (−∂τ ν) · τ = (∂τ τ ) · ν unter allen τ ∈ Tx Υ mit |τ | = 1, siehe Aufgabe 7.7. Die Bilinearform (τ1 , τ2 ) → (−∂τ1 ν) · τ2 heißt zweite Fundamentalform von Υ . Es ergibt sich, dass κ(x) = spur Wx =

d−1

κi

i=1

f¨ ur d = 3 gerade der Deﬁnition (B.1) entspricht. Die Gr¨oße κ(x) nennen wir im Folgenden die mittlere Kr¨ ummung von Υ in x. Ist {τ1 , . . . , τd−1 } eine Orthonormalbasis des Tangentialraums Tx Υ , so berechnet sich die mittlere Kr¨ ummung wie folgt κ(x) = spur Wx = −

d−1

(∂τi ν) · τi =

i=1

d−1

(∂τi τi ) · ν .

i=1

Deﬁnieren wir die Fl¨ achendivergenz ∇Υ · eines Vektorfelds f auf Υ durch ∇Υ · f =

d−1

τi · ∂τi f

i=1

so folgt die kompaktere Form κ = −∇Υ · ν . Die mittlere Kr¨ ummung ist also gerade das Negative der Divergenz der Normalen.

490

B Kr¨ ummung von Hyperﬂ¨ achen

H¨auﬁg muss die mittlere Kr¨ ummung berechnet werden f¨ ur Situationen, in denen eine nat¨ urliche, nicht notwendigerweise orthonormale Basis {t1 , . . . , td−1 } des Tangentialraums vorliegt. Wir wollen kurz die dazu ben¨otigte Lineare Algebra diskutieren, und als Spezialfall die mittlere Kr¨ ummung eines Graphen berechnen. Es sei {τ1 , . . . , τd−1 } eine Orthonormalbasis des Tangentialraums. Dann existiert eine Matrix A = (aij )d−1 i,j=1 , so dass τk =

d−1

aki ti .

i=1

Da {τ1 , . . . , τd−1 } orthonormal ist, folgt δkl = τk · τ =

d−1

aki a j ti · tj = (AGA )k

i,j=1

mit d−1 G = (gij )d−1 i,j=1 := (ti · tj )i,j=1 .

Es gilt also AGA = Id und damit G = A−1 (A−1 ) ,

G−1 =: (g ij )d−1 i,j=1 = A A .

uglich τ ist: F¨ ur ein Vektorfeld f : Υ → Rd ergibt sich nun, da ∂τ f linear bez¨ ∇Υ · f =

d−1 k=1

τk · ∂τk f =

d−1

aki akj tj · ∂ti f =

d−1

g ij tj · ∂ti f .

i,j=1

i,j,k=1

Jetzt sei Υ als Graph gegeben,

Υ = x = (x , xd ) ∈ Rd−1 × R | xd = h(x ) , x ∈ D , wobei h : D → R,

D ⊂ Rd−1 oﬀen ,

zweimal stetig diﬀerenzierbar sei. Eine Basis aus Tangentialvektoren ist dann gegeben durch t1 = (e1 , ∂1 h), . . . , td−1 = (ed−1 , ∂d−1 h) , wobei e1 , . . . , ed−1 ∈ Rd−1 die Standardbasisvektoren im Rd−1 seien. In diesem Fall ist gij = δij + ∂i h ∂j h und durch Nachrechnen veriﬁzieren wir g ij = δij −

∂i h ∂j h . 1 + |∇x h|2

B Kr¨ ummung von Hyperﬂ¨ achen

491

Als Einheitsnormale ergibt sich 1 (−∇x h, 1) . ν= 1 + |∇x h|2 F¨ ur eine Gr¨ oße f : Υ → R mit f (x) = f (x , h(x )) = f((x ) ergibt sich ∂ti f = ( ∂i f und wir berechnen κ=−

d−1

d−1 1 g ij tj · ∂ti ν = g ij tj · ∂i (∇x h, −1) h|2 1 + |∇ x i,j=1 i,j=1

d−1 1 = g ij ∂ij h 1 + |∇x h|2 i,j=1 d−1 ∆x h ∂i h = − ∂j h ∂ij h 2 (1 + |∇x h|2 )3/2 1 + |∇x h| i,j=1 ∇x h = ∇x · . 1 + |∇x h|2

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Sachverzeichnis

adiabatische Zustands¨ anderung, 78 Aﬃnit¨ at, 116 aktive Menge, 427 Aktivit¨ at, 105 Aktivit¨ atskoeﬃzient, 105 akustische Approximation, 393 Amp`ere–Maxwellsches Gesetz, 279 Amp`eresches Gesetz, 276 anisotrop, 240 aperiodischer Grenzfall, 132 asymptotisch stabil, 155 asymptotische Entwicklung, 16 asymptotische Entwicklung, zusammengesetzte, 405 außere Entwicklung, 407, 462 ¨ autonome Diﬀerentialgleichung, 148 Avogadro–Zahl, 103 Axiom von Cauchy, 209 Bahnlinien, 203 Banachraum, 483 bang–bang Steuerung, 183 Barenblattl¨ osung, 434 Beobachterunabh¨ angigkeit, 238 Bifurkation, 264 Boltzmann–Konstante, 74 Brachistochrone, 163, 172 Brownsche Bewegung, 358 Burgers–Gleichung, 361, 381 Cahn–Hilliard–Gleichung, 377 Carnotscher Kreisprozess, 82 Cauchy–Problem, 389 Cauchy–Schwarz–Ungleichung, 484

Cauchyfolge, 484 Charakteristiken, 381 charakteristisches Polynom, 130 chemische Spezies, 105 chemische Substanz, 106 chemisches Element, 106 chemisches Potential, 99 Clausius–Duhem–Ungleichung, 231 Cosserat–Kontinuum, 213 Couette–Str¨ omung, 224 Coulombsches Gesetz, 266 Coulombsches Reibungsgesetz, 128 D’Alembertsche Formel, 390 D’Alembertsches Paradox, 29, 321 Deformationsfeld, 248 Deformationsgradient, 248 Dichte, ﬂ¨ achenbezogen, 206 Dichte, massenbezogen, 206 Dichte, volumenbezogen, 206 dielektrische Verschiebung, 280 Dielektrizit¨ atskonstante, 267 Diﬀerentialform, 95 Diﬀerentialoperator, 130 Diﬀusionsgesetz, 217 Diﬀusionszeiten, 355 Dimension, physikalische, 6 Dimensionsanalyse, 8, 12, 352 Dirichlet–Randbedingungen, 301, 341 Dispersionsrelation, 284 Drehimpuls, 196, 211 Drehimpulserhaltung, 196, 211 Drehmoment, 196, 211

500

Sachverzeichnis

duales Problem, 61 Dualraum, 308 d¨ unne Filme, 470 D¨ unnﬁlmgleichung, 473 ebener Spannungszustand, 257 ebener Verzerrungszustand, 256 Eigenfunktion, 348, 379 Eigenschwingung, 135 elastische Energie, 251 elastische Membran, 424 Elastizit¨ atsmodul, 253 elektrische Leitf¨ ahigkeit, 269 elektrisches Feld, 266 elektromagnetische Schwingung, 129 elektromagnetische Wellen, 283 elliptische Gleichung, 220, 301, 305 Energie des elektrischen Feldes, 273 Energieerhaltung, 77, 135, 197, 214, 447 Energiemethode, 343 Entdimensionalisierung, 7, 151, 347 Enthalpieformulierung, 448 Entropie, 82, 88, 229 Entropiebedingung, 385, 387 Entropieungleichung, 449 erster Hauptsatz der Thermodynamik, 77 erstes Integral, 172 Euler–Bernoulli–Balken, 259 Euler–Gleichungen, 29, 221, 470 Euler–Lagrangesche Diﬀerentialgleichungen, 170 Eulersche Entwicklungsformel, 203 Eulersche Knicklast, 262 Eulersche Koordinaten, 201 evolvierende Hyperﬂ¨ ache, 443 extensive Variable, 76, 206 Fachwerk, 46 Formelmatrix, 106 Formelvektor, 106 Fouriersches Gesetz, 217 freie Energie, 92, 448 freie Enthalpie, 93 freie Oberﬂ¨ achen, 467 Fundamentall¨ osung, 268, 312, 352 Fundamentalsystem, 131 Funktional, 308

ged¨ ampfte Schwingung, 132 geometrische Linearisierung, 48, 252 Gesetz von Darcy, 431 Gesetz von Gauß, 267 Gibbs–Duhem–Beziehung, 101 Gibbs–Thomson–Bedingung, 453, 457, 461 Gibbs–Thomson–Eﬀekt, 452 Gibbssche Formeln, 87 Gibbssche freie Energie, 93 Gleichgewichtskonstante, 111 Gleichung des beschr¨ ankten Wachstums, 9 Gravitation, 195 Gravitationsgesetz, 12 Gravitationskonstante, 195 Grenzschichten, 401, 463 Grundinvarianten einer Matrix, 245 Hamiltonfunktion, 142 Hamiltonsche Mechanik, 142 Hauptkr¨ ummungen, 487, 489 heterokliner Orbit, 365 Hilbertraum, 485 Hindernisproblem, 424 H¨ older–Ungleichung, 484 homogen, 100 Homogenisierung, 325 Hookesches Gesetz, 253 hyperbolische Gleichungen, 294, 380 ideale Mischung, 104 Impedanz, 44 Impulserhaltung, 195, 208 Induktivit¨ at einer Spule, 43, 283 innere Entwicklung, 408, 412, 462 innere Reibung, 218 instabil, 148 instabile L¨ osung, 155 instabile Mannigfaltigkeit, 367 instabiles Stabwerk, 56 Instabilit¨ at, 371 intensive Variable, 76 inverses Problem, 334 Inzidenzmatrix, 38 irreversible Zustands¨ anderung, 88 isoperimetrisches Problem, 165 isotrop, 217, 240

Sachverzeichnis Kapazit¨ at eines Kondensators, 43, 272 Kapillarit¨ at, 457, 461 Kapillarkr¨ afte, 468 kinematische Randbedingung, 468, 473 kinetische Energie, 136, 137, 144, 197 kinetische Gaskonstante, 104 kinetische Reaktion, 115 kinetische Unterk¨ uhlung, 457 Kirchhoﬀsches Spannungsgesetz, 36 Kirchhoﬀsches Stromgesetz, 36 Koerzivit¨ at, 168 Komplementarit¨ atsproblem, 427 Komplementarit¨ atssystem, 427 komplexe Geschwindigkeit, 317 komplexes Geschwindigkeitspotential, 321 Kondensator, 43, 271 Kontaktproblem, 428 Kontaktunstetigkeit, 388 Kontinuit¨ atsgleichung, 207, 269 Konzentration, 215 Kornsche Ungleichung, 339 Kr¨ aftegleichgewicht, 50, 210 Kriechfall, 132 kritische Punkte, 162 kritischer Radius, 454 Kr¨ ummung, 487 Lagrange–Funktional, 60 Lagrange–Multiplikator, 60, 174, 179, 235, 323, 330, 427 Lagrangefunktion, 137, 330 Lagrangesche Koordinaten, 201 Lam´e–Konstanten, 253 Laplace–Gleichung, 229, 312, 315 latente W¨ arme, 442, 447 Legendre–Transformation, 92 Levi–Civita Symbol, 193 linear asymptotisch stabil, 156 linear instabil, 149, 156 linear stabil, 149, 156 linearisierter Verzerrungstensor, 253 logistische Diﬀerentialgleichung, 9, 147 Lorentz–Kraft, 277 magnetische Feldst¨ arke, 281 magnetische Induktion, 274 magnetischer Fluss, 278 Massendichte, 198, 206

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Massenpunkt, 194 Massenwirkungsgesetz, 111 matching–Bedingungen, 464 materielle Ableitung, 202 materielle Koordinaten, 201 Matrixdivergenz, 211 Maximumprinzip, 316, 350 Maxwell–Boltzmann–Verteilung, 75 Maxwell–Henrysches Gesetz, 278 Mehrkomponentensystem, 215 Minimalfolge, 167 Mischungsentropie, 103 mittlere Kr¨ ummung, 468, 487, 489 molare Konzentration, 112 Molenbruch, 103 Mullins–Sekerka–Instabilit¨ at, 454 Mullins–Sekerka–Problem, 452, 478 mushy region, 449 Musterbildung, 369, 377 Navier–Stokes–Gleichungen, 26, 467, 472 Navier–Stokes–Gleichungen, inkompressibel, 222 Navier–Stokes–Gleichungen, kompressibel, 222 Neumann–Randbedingungen, 302, 341 Newtonsches Abk¨ uhlungsgesetz, 302 Newtonsches Fluid, 246 Newtonsches Gesetz, drittes, 194 Newtonsches Gesetz, zweites, 194 nichtpolares Material, 213 Normalgeschwindigkeit, 444 Normalkr¨ ummung, 487 Oberﬂ¨ achenenergie, 424 Ohmsches Gesetz, 36, 269 parabolische Gleichung, 220, 340 parabolischer Rand, 350 Partialdruck, 102 Partialvolumen, 102 Partikul¨ arl¨ osung, 130 Penrose–Fife–Modell, 467 Phasenfeldgleichungen, 460 Phasenportrait, 149, 152 Phasenverschiebung, 43 Poincar´e–Ungleichung, 306, 339, 486 Poiseuille–Str¨ omung, 225

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Sachverzeichnis

Poisson–Gleichung, 220, 301 Poisson–Zahl, 253 polares Material, 213 Polarisierung, 279 Pontrjaginsches Maximumprinzip, 181, 331 Populationsdynamik, 3, 147 Populationsmodell, 4, 147 Por¨ ose–Medien–Gleichung, 433 Potential, 36, 86, 268 Potentialstr¨ omung, 227 potentielle Energie, 136, 197 Prandtlsche Grenzschichtgleichungen, 415 primales Problem, 60 Prinzip der Beobachterunabh¨ angigkeit, 239 Prinzip der linearisierten Stabilit¨ at, 156 pVT–System, 76 Querkontraktionszahl, 253 Rankine–Hugoniot–Bedingung, 384, 447 Reaktions–Diﬀusionssysteme, 371 Reaktionsinvarianten, 107 Reaktionskoordinaten, 107 Referenzkonﬁguration, 201, 248 Regularisierung, 336 Resonanz, 135 reversible Zustands¨ anderung, 88 Reynoldssches Transporttheorem, 205 Reynoldszahl, 27, 223 Richards–Gleichung, 438 Richtungsfeld, 149, 152 Riemann–Problem, 382 Robinsche Randbedingungen, 302 Sattelpunktproblem, 60 Satz von Bernoulli, 228, 296 Satz von Blasius, 318 Satz von Kutta–Joukowski, 319 Schallgeschwindigkeit, 393 Scherviskosit¨ at, 219, 246 schlecht gestelltes Problem, 334 Schnakenberg–System, 374 Schock, 385 schwache Ableitung, 304 schwache L¨ osung, 304, 383 Schwingkreis, 129

selbst¨ ahnlich, 353 Selbstorganisation, 371 Separation der Variablen, 348 singul¨ are St¨ orung, 24, 30, 402 Skalarprodukt, 485 slip–Bedingung, 467 Sobolevraum, 485 Spannung, elastische, 49 Spannungstensor, 250 Spule, 43, 283 stabil, 148 stabile L¨ osung, 155 stabile Mannigfaltigkeit, 367 stabile Spirale, 365 stabiler Strudel, 365 Stabilit¨ at, 11, 148 Stabilit¨ atsanalyse, 12, 457 Stabilit¨ atsanalyse, lineare, 148 Stabwerk, 47, 143 Starrk¨ orperbewegung, 250 Starrk¨ orperverschiebung, linearisierte, 338 station¨ are L¨ osung, 10, 148 station¨ are Punkte, 162 station¨ arer Prozess, 63 statisch bestimmt, 52 statisch unbestimmt, 54 statischer Prozess, 63 Stefan–Bedingung, 447, 466 Stefan–Problem, 442, 449, 457, 476 st¨ ochiometrische Matrix, 107 st¨ ochiometrischer Koeﬃzient, 107 Stokes–Gleichungen, 223, 322 Stokessches Gesetz, 28, 128 Stromfunktion, 322 Stromlinien, 203 Teilchenmechanik, 194 Temperatur, absolute, 74 thermodynamisch konsistent, 231 thermodynamische Potentiale, 93 thermodynamisches Gleichgewicht, 91 thermoviskoelastisches Fluid, 232 Tichonov–Regularisierung, 336 Transportgleichung, 382 Transporttheorem, 444 travelling wave, 361 Turing–Instabilit¨ at, 369

Sachverzeichnis unged¨ ampfte Schwingung, 132 unterhalbstetig, 168 unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeit, 451 Unterk¨ uhlung, 454 van–der–Waals–Gas, 122 Variation, 169 Variation, zweite, 173 Variationsungleichung, 425 Verd¨ unnungswelle, 386 Verschiebungsfeld, 248 Verzerrungstensor, 249 Verzweigung, 264 viskose Str¨ omung, 218 Viskosit¨ at, dynamische, 26, 222 Viskosit¨ at, kinematische, 27, 222 Viskosit¨ atsl¨ osung, 388 vollst¨ andig, 484 vollst¨ andiges Diﬀerential, 96 Volumenviskosit¨ at, 219, 246

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W¨ armeenergie, 200 W¨ armeﬂuss, 214, 448 W¨ armekraftmaschine, 82 W¨ armeleitf¨ ahigkeit, 217 W¨ armeleitungsgleichung, 220, 340 W¨ armeleitungsgleichung, station¨ ar, 220 W¨ armetransferkoeﬃzient, 302 Weingartenabbildung, 488 Wellengleichung, 283, 389 Winkelbedingung, 468 Wirkungsgrad, 83 Youngscher Modul, 253 Zentralkraft, 194 Zustandsgleichung, 76 zweite Fundamentalform, 489 zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, 81, 229, 459