Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten. Modelle fur die Praxis

Puck Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten

Alfred Puck

Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten Modelle für die Praxis

Carl Hanser Verlag München Wien

Der Autor:

Professor Dr. -Ing. Alfred Puck, lmmenhausen-Mariendorf

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Puck, Alfred: Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten : Modelle für die Praxis / Alfred Puck. - München Wien : Hanser, 1996 ISBN 3-446-18194-6

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V

Geleitwort und Widmung In den 50-er Jahren studierte der Antor an der Ingenieurschuie Hamburg und der Technischen Hochschuie Darmstadt Maschinenban mit dem Vertiefnngsfach Leichtban, und zwnr sowohi in der Theorie als anch in der Praxis. Die Konstrnktions-Praxis erlebte ich schon als Student, als ich bei der Konstruktion der ersten Segeiflugzeuge aus Glasfaserkunststoff mitwirken konnte. Wahrend dieses Lernens von der Pike anf hOrte ich von meinen Lehrmeistern haufig den Satz "Konstruieren ist keine Wissenschaft, Konstruieren ist eine Kunst!" Diese Behanptung hat vielleicht auch hente noch eine gewisse Gultigkeit, wenn wir auch inzwischen die wissenschaftliche Basis des Konstruierens etwas hoher bewerten als damals. Mit der Zeit dtirfte sich immer mehr der Ausspruch bewahrheiten, der von Ludwig Prandtl tiberliefert wird: "Es gibt nichts Praktischeres ais eine gute Theorie!", wobei die Betonnng sicher auf dem Wtirtchen gute liegen mnfi. Ich hoffe, dad die vorliegende Arbeit sich in diesem Sinne ais em "praktisches" Buch erweisen wird.

Wenn es bereits beim Konstruieren mit konventionellen Werkstoffen berechtigt sein soil, von einer Knnst zn sprechen, danu nähern wir uns mit einer Faserverbnnd-Struktur schon allmkhlich elnem "Gesamt-Kunstwerk". Jetzt sind auch die Fesseln gesprengt, die dem Konstrnktenr dnrch die in engen Grenzen vorgegebenen Eigenschaften der Standnrd-Werkstoffe angelegt waren. Nun kann er nach dem grol3artigeu Vorbild der Natnr den "Stoff", aus dem das Bauteil entstehen soil, nach semen Vorsteliungen von idealen Kraftflllssen nnd "intelligenten" Verformungen selbst gestalten. Sogar em Laie wird nnchempfinden können, welch starke Faszination diese neue Freiheit auf den konstrnierenden Ingenieur ausubt. Es soilte uns aber stets bewndt bieiben, dad die Fnserverbundtechnik — genan so wie jede andere moderne Technologie — ambivalent ist. So kOnnen ihre Ergebnisse in Form wunderschoner Segelfiugzeuge erscheinen, mit denen Menschen sich fiber den Alltag erheben, in Form ultraleichter Prothesen, die Behinderten den Alitag meistern helfen, oder als robuste und aerodynamisch hochwertige Rotorblktter in ressonrcenschonenden Windkraftaniagen, aber eben auch in Form von Tarnkappen-Bombern und furchtbaren Raketenwaffen. Kanm jemand, der sich der Faserverbundtechnik verschreibt, wird dieser Problematik und den dnmit verbundenen Entscheidungen ausweichen kOnnen. Dies Buch ist all jenen Menschen gewidmet, die sich bei ihren Entscheidnngen nicht von der Faszination der modernen Technik, sondern allein von ihrem Gewissen leiten lassen.

Immenhausen, im Dezember 1995

Alfred Puck

VI

Vorwort Hochbeanspruchte Bauteile aus Faserkunststoffverbunden sind nun schon seit Jahrzehnten irn Einsatz, und zwar als Sportgerate, Segelflugzeuge, Boote, Hubschrauber- und Windkraftrotoren, Satellitenstrukturen und Leitwerke von Grol3raumflugzeugen, urn nur die bekanntesten zu nennen. Deshaib dllrfte rnan gar nicht rnehr von einer "neuen Technologie" sprechen, wie es irnrner noch geschieht. Anch existiert bereits eine soiche Ftille von Literatur zur Faserverbundtechnologie, daB sie anch für den Experten nicht rnehr tiberschaubar ist. Urn so verwunderlicher ist es, daB es irn Know-how der Faserverbundtechnik irnrner noch unterentwickelte Gebiete gibt. Zn diesen gehört die Festigkeitsanalyse der Larninate. Obwohl es sich hierbei zweifeilos urn einen zentralen Problernkreis handelt, ist dies Gebiet rnöglieherweise das nrn weitesten zuruckgebliebene. Dies hat viele Grllnde: Festigkeitsverhalten der Faser-Matrix-Larninate, inshesondere wenn es sich urn vielschichtige Larninate handelt, ist analytisch anf3erordentlich schwer zu erfassen, weil sich sukzessive Bruchvorgänge abspielen, hei denen nacheinander sehr unterschiedliche Versagensvorgange eintreten, die sich hanfig auch noch gegenseitig beeinflnssen.

—

Das

—

Bei den frllhen wissenschaftlichen Arheiten zurn Probiern der Brnchkriterien für Fa-

serverhunde hat rnan sich zu sehr von den so erfoigreichen FlieBkriterien für duktile rnetaliische Werkstoffe leiten lassen anstatt von dern ganz anders gearteten Sprodbruchverhalten, das bei fast alien Hochleistungs-Faserverbnndstoffen zu heohachten ist. —

Nachdern die unter rnehr rnathernatischen als werkstofflcundlichen Aspekten entstan-

denen "anisotrop gernachten" FiieBkriterien Eingang in kornrnerziell vertriehene Rechenprograrnme gefunden hatten, waren sie offenbar weitgehend der Kritik entzogen. —

Experirnente rnit rnehreren gleichzeitig wirkenden Spannungen rnit denen rnan die

Gflitigkeit von Bruchkriterien uberprüfen konnte, sind auflerordentlich schwierig. Dies rnacht es verstkndlich, weshaib die Unhaitbarkeit rnancher Bruchkriterien und Degradationsrnodelle flber Jahrzehnte nnbernerkt blieb.

Bei der Entwicklung festigkeitsrndl3ig you ausgenutzter Faserverhund-Bauteile und den dahei unurngknglichen Bruchversuchen an Prototyphanteilen sind hduflg Erfahrungen gemacht worden, die sieh rnit den gkngigen Festigkeitstheorien nicht in Einklang bringen lieBen. So geht auch dies Buch anf AnstoBe aus der Praxis der Bauteilentwicklung in Industrie und Forschnngseinrichtungen zuruck. Es ist in erster Linie für Praktiker geschrieben. Die anstehenden Fragen sind jedoch zu schwierig, als daB sie in einer theoretisch anspruchslosen Forrn behandelt werden khnnten. Als didaktische Leitlinie gait deshaib: "So praxisnah wie rnoglich, so theoretisch wie nhtig!" Darflberhinaus ist versucht worden, weitestgehend das

Vorwort

VII

Hhlfsrnittel der Visualisierung einzusetzen, urn so — irn wahrsten Sinue des Wortes — "Einsich-

ten" zu vermittelu. Es solite keiue Forrnelsarnrnlung eutsteheu sondern stattdessen vertieftes Verständnis für die schwierigen Zusarnrneuhänge geweckt werdeu, das die TJrteilsfähigkeit gegenüber Theorien verbessert und vor Fehianwendungen kornrnerzieller Software bewahrt.

Wegen des heterogeueu Aufhaus und des Sprodbruchcharakters der meisten Faserverbundwerkstoffe, die technisch/wirtschaftliche Bedeutung besitzen, wären unter wissenschaftlichen Gesichtspunkten die Mikrornechanik und die Bruchrnechanik angernessene theoretische Werkzeuge. Für den entwerfenden uud dimensioniereuden Ingenieur ist aber eine auf einern rnehr rnakrorneehanischen Niveau angesiedelte Betrachtungsweise zweckmaflig. Als das praktischste Modell erweist sich aus dieser Sicht der Schichtenverbund aus Einzelschichten, die als homogenes, anisotropes Kontinuurn behandelt werdeu und bei denen die beiden grundverschiedenen Brucharten Faserbruch und Zwischenfaserbntch unterschiedeu werden.

Mit Teil I wird, ausgeheud vorn Larninataufbau, der das Bruchverhalten wesentlich rnitbestirnmt, flber Hinweise zur Spannuugsanalyse und grundlegende Betrachtungen zu Bruchkriterien auch dern noch unerfahrenen Leser em "Einstieg" in die nicht gauz einfache Materie ermoglicht. Von zentraler Bedeutung ist Teil II, in dern eine schichtenweise Bruchanalyse für ebene Beanspruchung in der Schichtebene dargestelit wird, die sich in der Praxis der Bauteilkonstruktion entwickelt hat, aber auch theoretischen Ansprüchen genflgt. Tm Teil III wird über neue Forschungsergebnisse des Autors herichtet, die inshesondere für raumliche Beanspruchungen zu realistischen Modellen geführt haben, die zusatzliche Informationen über Bruch-Modus und Bruchrichtung liefern. Teil IV befafit sich schlielllich rnit einigen Speziaiproblemen der Forschung und versucht, bei den vielen ungelösten Problernen und offenen Fragen Prioritäten zu setzen sowie em wenig die Zukunftsaussichten zu ergründen. Faserverbund-Experten stimrnen heute darin überein, die anfknglich in die FaserverbundBauweisen gesetzten — teilweise sicher übertriebenen — Erwartungen sich nicht erfüllt haben. Ebenso hesteht jedoch auch weitgehende Ubereinstimrnung darin, dalI das tatsächliche Potential der Faserverbundtechnik erst zu einem kleinen Teil genutzt wird. Em wesentlicher Grund dafür, warurn festigkeitsrnkllig ausgereizte Faserverbund-Bauteile irn Wettbewerb mit konventionellen Bauteilen oft nicht zurn Zuge karnen, bestand in den viel zu langen Entwicklungszeiten und zu hohen Entwicklungskosten. Mit Hilfe einer realistischen Bruchanalyse lassen sich beide verringern. Sie erlaubt es zum einen, erst mit ausgereifteren Prototypen in die Festigkeitserprobung zu gehen, und zurn anderen, unbefriedigende Prüfergebnisse richtig zu interpretieren, urn dann zielsicher Verbesserungen vorzunehrnen. Es ist das vorrangige Ziel dieses Buches, einen Beitrag znr Entwicklung dieser Fhhigkeiten zu leisten.

VIII

Vorwort

Das Zustandekommen des Buches ist ganz wesentlich einigen Frauen zu verdanken:

Frau Univ-Prof. Dr. Rita Jeltsch-Fricker, die der Arbeitsgruppe Ingenieurmathematik der Universitkt Gesamthochschule Kassel angehdrt, hat den ersten Ansto]3 zu dieser Verdifentlichung gegeben und mir mit wissenschaftlicher Diskussion und wertvollen Anregungen, inshesondere zur Visualisierung, sehr geholfen. Frau Cerhild Heldmann-Corge hat unermlldlich immer neue Textversionen geschrieben, bis eadlich eine auch aus didaktischer Sicht hefriedigende Form gefunden war. Die vielen Zeichnungen wurden in liebevoller Handarbeit von Frau Cerlinde Fischer angefertigt. Und — last, not least — hat meine Frau, Hannelore Puck, mich mit Versthndnis und Einfuhlungsvermogen hei der Arbeit am Buch untersttitzt und mir im sogenannten Ruhestand fur mein technisch/wissenschaftliches Steckenpferd viel Zeit zugestanden, die eigeutlich bereits anders versprochen war. Mein Dank gilt auch Frau Dr. Christine Strohm vom Carl Hanser Verlag, die mir mit Zuspruch, sachkundigem Rat und vial Varsthndnis für spazialle Wllnsche sahr gaholfan hat. Die vialan bai der elektronischan Datanvararhaitung anfallenden Problame und das schwierige Layout wurden von Harm Dipl.-Ing. Andraas Ranchhans gemaistart. Etliche Fachkollegan, danan ich das Manuskript mit der Bitte um kritischa Durchsicht überlassan hatte, haban mir wichtige fachliche Hinweisa und Anregungen fur ama verbesserte Didaktik gagaban, für die ich sehr dankhar bin. Es waren dies (von A bis Z): Dipl.-Ing. U. Ahrend, Inst.LKunststoffverarb. (1KV), Aachen; Dr.-Ing. (habil) B. C. Ctmtze, MAN-Technologie, Munchen/Karlsfeld; Dipl.-Ing. S. Fabisch, Univ. Gb Kassel; Dipl.-Ing. J. CaMe, Frannhofer-Inst. (LBF), Darmstadt; Dr.-Ing. B. Ceier, Inst.f. Strnkturmech., DLR, Brannschweig; Dr.-Ing. K. Cliesche, Inst.f. Pnlymerforsch., Dresden; Dr.-Ing. D. Hnybrechts, Inst.f.Knnststnffverarb. (1KV), Aachen; Dr.-Ing. B. Jakobi, BASF, Lndwigshafen; Dipl.-Ing. J. Kopp, Inst.f.Knnststnffverarb. (1KV), Aachen; Dr.-Ing. U. Knanst, AUDI, Ingnlstadt; Dr.-Ing. C. Kress, Inst.f.Knnstr.n.Banweisen, ETH Zurich; Dr.-Ing. L. Kroll, Inst.f.Leichtb.n.Knnstst., TU Dresden; Univ.-Prof.Dr.mont. B. W. Lang, Mnntanoniv. Leoben, Osterreich; Dipl.-Ing. C. Lot; Geislinger & Cn, Salzbnrg, Osterreich; Prof. dip!. Ing. ETH U. Meier, Eigen.Mat.prdf.-n.Forschanst. (EMPA), Ddbendnrf, Schweiz; Dipl.-Ing. B. Pontet, Inst.f.Kunststnffverarb. (1KV), Aachen; Univ-Prof. Dr.-Ing. H. Schdrmann, Fachgeb.Leichtbanknnstr.n.Banweisen, T.H. Darrnstadt; Dr.-Ing. K. Stellbrink, Inst.f. Banweisen-nnd Konstr.forsch., DLR, Stnttgart; Dip!.-Ing. 0. Wellerns, Inst.f.Knnststnffverarb. (1KV), Aachen; Ing. P. Voirol, STESALIT, Znwil! (Basel), Schweiz; Dip!.-Ing. B. Zeise, Knntec, Knrntal-MUnchingen.

Immenhausen, im Dazamber 1995

A. Puck

Inhaltsverzeichnis I 1

Einfflhrende Betrachtungen und Grundlagen Einfuhruug

3

Der Problemkreis 1.2 Gegenwärtige Situation 1.3 Zielsetzung

3

10

Briichgeschehen in Laminaten

11

1.1

2

6

2.1

Zum Aufban von Laminaten

11

2.2

Zwischenfaserbrllche Delaminationen Faserbrflche Laminat-Versagen

14

2.3

2.4 2.5

15 21

23

3 Anmerkungen zur Spannungsanalyse 3.1

3.2 3.3

3.4 3.5

31

Vorbemerkungen Hinweise zur Netztheorie Probleme bei der klassischen Laminattheorie Anmerknngen zn interlaminaren Spannungen Hinweise anf analytische Lösungen

31 31

35

40

44

4 Aligemeine Betrachtungen uber Bruchkriterien 4.1

4.2 4.3

II 5

1

Begriffe und Definitionen Visualisiernng und mathematische Aspekte Knrzer geschichtlicher Rllckblick

45 45

.

.

.

.

Entwicklungsstand bei den 2D-Bruchanalyse-Modellen

49

53

57

Bruchbedingungen

59

Bruchbedingungen für Zwischenfaserbruch 5.1.1 Wege zu erhohter Anssagekraft 5.1.2 Empfehlenswerte Zwischenfaserbrnch-Bedingungen 5.1.3 Einflul3 der faserparallelen Spannnng 5.2 Bruchbedingungen fur Faserbruch

59

5.1

59 60 66 71

X Inhaltsverzeichnis 5.3

5.4

Bruchkorper Berllcksichtigung von Eigenspannurigen

75

6 Degradation nach der Rifibildung 6.1

6.2

81

"Verschmieren" der Risse Abminderungsfunktion fur Elastizitätsgrofien. 6.2.1 Bruch-Modus A 6.2.2 Bruch-Modi B und C

7 Durchführung und Auswertung der Bruchanalyse 7.1

7.2 7.3 7.4 7.5

91

Rillbildung uud Verformungsverhalten Delaminationsgefahr Lamillat-Versagen Anwendung auf gewebeartige Struktureri "Schrielle Programme" für den Laminat-Entwurf

91 91

95

95 99

HI Neue Wege zu realistischen 3D-Bruchbedingungen 8

Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse 8.1

8.2

8.3

103 105

Wesen und Vorgeschichte der neuen Bruchanalyse 8.1.1 Sprodbruch und Mohrsche Festigkeitshypothese 8.1.2 Hashin's Idee zum neuen Verfahren Physikalische Grundlagen 8.2.1 Bruchmechanischer Hintergrund 8.2.2 Erweiterte Bruchhypothese Die neuen "Festigkeits"-Parameter 8.3.1 Grundsatzliche Uberlegungeri 8.3.2 Einfdhrung des Bruchwiderstands der Wirkebene 8.3.3 IJbereinstimmungen mit Festigkeiten 8.3.4 Empfehlungen zur Fehiervermeidung 8.3.5 Die "Neigungs"-Parameter 8.3.6 Auhaltswerte für Werkstoffparameter Mathematische Grundlagen 8.4.1 Mathematisch ausgerichtete Arbeiten 8.4.2 Die Bruchfunktion 8.4.3 Ubergangsmöglichkeiten zwischen den Spannungsraumen 8.4.4 Bruchwinkel-Ermittlung Mechanische Zusammenhange 8.5.1 Spannungen auf "schragen" Schnitten 8.5.2 Auswirkungen des Vorzeichens von Spannungen 8.5.3 Haupt-Normalspannungen und "resultiereilde" Schubspannungen.

105

105

107 110 110 112 116

.

8.4

8.5

119 122 122 123 123 123 124 125 126

129 129 131

132

Inhaltsverzeichnis

9

Bruchbedingungen der neuen Art

9.3

9.4

Sekundare

153

9.4.1

153

9.2

9.4.2 9.5

Einflüsse Einflull der faserparallelen Spannung Einfiufl von Eigenspannungen

9.6

137 137 138 142

148 150

156

Anwendungsempfehlungen

158

Ailgemeine Hinweise und Empfehlungen 9.5.2 Vereinfachung bei 2D-Beanspruchung Ergebnisdarstellung und -diskussion 9.6.1 Beispiele für Zfb-BrnchkOrper 9.6.2 Unterscheiden verschiedener Bruch-Modi

158

9.5.1

Spezialprobleme, offene Fragen, Zukunftsaussichten

10 Spezialprobleme der Master-Bruchflâche 10.1 Vorbemerknngen 10.2 Der Vektorenfacher und seine Randkurve 10.3 Sensitivitkt des Brnchwinkels 10.4 "Blinde Flecken" und "tote Rdume" 10.5 Vorüberlegungen zu Fragen der Probabilistik 10.6 Versnch einer Beurteilung 11 Offene Fragen

161

165 165 170

171 173 173

173 178 178 181

184 187

11.1 Anwendbarkeit für verschiedene Beanspruchungsarten

187

11.2 Einige ungeklkrte Fragen

191

11.3

12

137

Bruchbedingung fur eine druckbeansprnchte Bruchebene 9.1.1 Vorbemerkungen 9.1.2 Einflud der Druckspannung auf den Schubbruch 9.1.3 Interaktionsansdtze für die Schubspannungen Bruchbedingung für eine zugbeanspruchte Bruchebene Anwendung als Delaminations-Bedingungen

9.1

IV

XI

Versuch einer Prioritdtensetzung

Zukunftsaussichten

13 Anhang 13.1 Literaturverzeichnis 13.2 Verzeichnis der verwendeten Formeizeichen 13.3 Fachwortverzeichnis 13.4 Stichwortverzeichnis

193

195 199 199

206

209 211

Tell I

Einführende Betrachtungen und Grundlagen

1

Einführung

1.1

Der Problemkreis

Die theoretische Behandlung der "Festigkeit" von Faser-Matrix-Laminaten ist em recht schwieriges Problem. Es wird in der Literatur unter sehr verschiedenen Blickwinkeln und mit sehr unterschiedlichen Interessensschwerpunkten behandelt. Das vorliegende Buch ist in erster Linie auf die Tatigkeit des entwerfenden und berechnenden Ingenieurs ausgerichtet, der

bestrebt ist, bezuglich der "Festigkeit" moglichst gut ausgelegte Faserverbund-Bauteile zu entwickeln und zu dimensionieren. Das Schadigungs- und Bruchverhalten eines Bauteils soilte im Idealfall rein rechnerisch ohne aufwendige Belastungs- und Bruchversuche an PrototypBauteilen vorhersagbar sein. In der Faserverbundtechnik ist man von diesem Ziel noch sehr weit entfernt. Woran dies liegt, wird bei der Lektbre deutlich werden. Konstrukteure konnen bei ihren Berechnungen nicht im Gebiet der Mikromechanik beder Elementarfaserginnen, mit der die Schädigungs- und Bruchvorgange im durchmesser betrachtet und mit Hilfe entsprechender mikromechanischer Modelle beschrieben werden. Allerdings ist es aul3erordentlich hilfreich, wenn auch der Bauteil-Konstrukteur mit mikromechanischen Vorstellungen und Erkenntnissen vertraut ist. Dies ermoglicht ihm, die mikromechanischen Hintergrllnde der "makromechanisch" sichtbar werdenden Bruchvorghnge zu erkennen und dadurch die Chancen und Grenzen der Faserverbundwerkstoffe realistischer einzuschätzen. Für die eigentliche Konstruktionsarbeit bedarf es euler etwas "vergroberten" Betrachder Elementarfasern, sondern in mmtungsweise, bei der nicht mehr in Dimensionen der Einzelschichtdicken des Laminats gedacht und gerechnet wird. Typisch für die ingenieurmhffige Betrachtungsweise ist das in Bud 1.1 dargesteilte Grundelement eines unidirektional faserversthrkten Faser-Matrix-Verbunds (UD-Schicht), bei dem Fasern und Matrix "homogenisiert", d.h. als feinstverteilt, behandelt werden. Dementsprechend werden nicht die tatsachlich auftretenden, teilweise sehr unterschiedlich hohen Spannungen im Faser- und Matrixmaterial betrachtet, sondern rechnerisch über den aus Faser- und MatrixQuerschnitten bestehenden Gesamtquerschnitt gemittelte Spanriungen ai, a2, 'p23, r31, mi.

4

1 Einfflhrung

Bud 1.1: Spannuogen am TJD-Verbund. Die Normaispannungen a1, a2, a3 und die Schubspannungen r23 = r32,r53 = r31,r12 = rn sind auf das (zs,z2,x3)-Koordinatensystem der UD-Schicht bezogen. Die (xi, x2)-Ebene ist die Schichtebene, x3 ist die Dickenrichtung. Spannungen mit dem im Bud

gezeigten Richtungssion werden als positive, mit omgekehrtem Richtongssioo als oegative Werte angegebeo.

Bud 1.2: Beausprochoogen des UD-Verboods.

= Läogsbeaosprochoog,

aI =

Qoerbeaospruchoog;

dabei siod Zugbeaospruchoog (+) nod Druckbeaosprochoog zo uoterscheideo. rjj = Qoer/QoerSchubbeanspruchung. = Quer/Ldngs-Schobbeaosproehoog, = Längs/Qoer-Schobbeansprochong. Die zogehdrigen Festigkeiten R11, werden sdmtlich als positive Werte angegebeo, aoch die Drockfestigkeiteo.

Weil die Bauteile hdufig Flachentragwerke sind, in denen ebene Spannungszustände vorcr2, r21 mit Kraftwirkungen in der Schichtebene herrschen, fiberwiegen die Spannungen gegenflber den Spannungen cc3, mit Kraftwirkung in Dickenrichtung. Bud 1.2 stelit die typischen Beanspruchnngen dar, die an einem UD-Verbund auftreten konnen.

1.1 Der Problemkreis

5

Aus mikromechanischer Sicht existieren in jedem Faserverbundbanteil bereits nnmittelbar nach seiner Herstellung Myriaden von kleinen "BrUchen", die von Verspannungen zwischen Fasern und Matrix infolge des Reaktionsschwunds des Matrixmaterials und von Abkuhlspannnngen verursacht wurden. Sphtestens bei den ersten Belastungen des Banteils treten weitere Mikro-Schhdigungen hinzu, meist in Form kleiner — mit dem Auge nicht feststelibarer Risse in der Matrix und stellenweiser Abldsnngen der Matrix von der Faser. Da soiche Mikroschhden optisch kaum wahrnehmbar sind, benutzt man in der Werkstoffprufnng hanfig die Schallemissions-Analyse, nm den Beginn nnd den Ablauf soicher Mikroschadigungen zu untersuchen. Anch das Erscheinen einer ausgeprkgten Schadigungs-Hysterese bei mehrmaliger Belastung gibt Aufschlui3 dber das Auftreten und das Ansmal3 soicher Mikroschadigungen. Bud 1.3 zeigt dies am Beispiel einer reinen

Bud

1.3: Schubspannungs, Schiebungs-Diagramm bei Quer/Langs-Schubbeanspruchung TIH für Be- und Entlastungsvorghnge mit stufenweise gesteigerter Hdchstlast. H = Hysterese infolge Mikroschhdigungeo

Mikroschadignngen dieser Art khnnen sich bei einer Belastnngssteigerung oder bei wiederholter Belastuog zu grhl3eren Rissen vereioigen, die, wenn sie eine gewisse Grdl3e erreicht hahen, pldtzlich eine UD-Schicht — meistens in Dickenrichtnng verlaufend — volistandig durchtrennen. Beim Eintritt dieser "makromechanischen", d.h. mit Mitteispannungen a1, a2, 121 usw. beschreibbaren, Brnchvorgknge beginnt die "ingenieurmhl3ige" Betrachtung.

Soiche drtlich begrenzten, aber die Einzelschicht auf ihrer ganzen Dicke durchtrennenden Teilbrtiche werden "Zwischenfaserbrtiche" genannt; bei Laminaten spricht man anch von "Zwischenfaserrissen". Sie spielen in diesem Buch eine wichtige Rolle. Weil sie bei einem gut konzipierten Bauteil normalerweise nicht nnmittelbar zur Erschdpfnng dec Tragfkhigkeit ftihren, sind sie in dec Vergangenheit zu wenig beachtet worden. In der Praxis hat sich aber gezeigt, daB es verschiedene Arten von Zwischenfaserbriichen gibt, von denen einige

6

1 Einfuhrung

relativ harmios, andere jedoch sehr gefhhrlich sind. In jedem Fall bewirken diese "MakroSchadigongen" in Form von Zwischenfaserbrllchen ortliche Spannungskonzentrationen, die eine Schichtentrennung, eine sogenannte Delamination, und eine verstarkte Anfalligkeit gegen Faserbrdche — insbesondere bel schwingender Beansprnchung zur Folge haben konnen. Wenn bei der ingenieurmdl3igen Betrnchtungsweise von "Faserbruch" gesprochen wird, ist

damit nicht der Bruch einer Elementarfaser oder einiger weniger Elementarfasern gemeint, sondern em gehaufter Elementarfaserbruch, bei dem Zigtausende von Elementarfasern fast gleichzeitig brechen.

Da die meistens parallel orientierten Fasern der Einzelschichten im Laminat in verschiedenen Richtungen angeordnet sind, erfahren die einzelnen Schichten in der Regel sehr unterschiedliche Beanspruchungen, so dalI sie ihre Zwischenfaserbruch- oder Faserbruchgrenzen llicht gleichzeitig erreichen. Deshalb stellt sich bei einer allmahlichen Laststeigerung oder bei schwingender Langzeitbeanspruchung em sukzessives Bruchgeschehen em. Dies vor allem ist es, was die Bruchanalyse von Laminaten so schwierig macht, und nicht — wie vielfach ailgenommen wird die Anisotropie. Um em solches fortschreitendes Brnchgeschehen rechnerisch einigermallen realistisch verfolgen zu können, benotigt man 1. eine schichtenweise Spannungs- und Verzerrungsanalyse,

2. Bruchkriterien für die Einzelschichten der Laminate, 3. Degradationsmodelle zum Erfassen der Auswirknng von Teilbrllchen (meist Zwischenfaserrissen), die noch nicht zum Totalbruch des Laminats fuhren, Prozedere (im allgemeinen em Rechenprogramm), das die genannten Teilbereiche in eine sinnvolle Abfolge bringt, damit das sukzessive Brnchgeschehen wirklichkeitsnah simuliert wird.

4. em

hermit ist in groben Zfigen der Problemkreis umrissen, der im Buch behandelt wird. Die "Kunst" besteht darin, für die Alltagspraxis des Ingenieurs Rechenmodelle zu finden, die einfach zu handhaben sind und geringen Rechenanfwand verursachen nod dennoch die physikalische Realitht in guter Nhherung wiedergeben.

1.2

Gegenwärtige Situation

Der augenblickliche Znstand wird treffend durch die folgende Bemerkung zn FaserverbundBruchkriterien charakterisiert, die sich in einem Entwurf zum neuen Structural Materials Handbook der ESA/ESTEC findet: "Die meisten Festigkeitstheorien können sich nur auf ganz wenige Versuchsergebnisse stützen, werden aber offensichtlich trotzdem mit diesen gerechtfertigt. So neigen die Konstrukteure dazu, exakte Spannnngsanalysen dnrchzufdhren, bei

1.2 Gegenwartige Situation

7

denen sie sorgfaltig ermittelte Elastizitatsgrollen benutzen; sie sind dana aber gezwungea, Festigkeitea für einachsige Beanspruchuag in Verbinduag mit Braehtheorien anzawenden, flber die weuig bekaunt 1st." Nachdem man in der Frflhzeit der Faserverbundtechnik versaeht hat, Brachkriterien für gauze Laminate aafzustellen, stimmen Forscher und Konstrukteure heute weitgehend darin überein, dali — wegen des sukzessivea Bruchgeschehens — nur eine schichtenweise Spaanungs-

and Brachanalyse in Betracht kommt. Etliche, für eine wirklichkeitsnahe Brachanalyse von Lamiaaten gauz weseatliche Gesichtspankte nad Erkenntnisse warden schoa in zwei mehr als 25 Jahre zarückliegeadea Veröffentlichangen [1,2] dargestellt. Die wichtigsten waren: —

müssea gleichzeitig zwei weitgehend voaeinander aaabhängige Brachkriterien beaatzt werdea, und zwar eines für Faserbruch (Fb) and eines für Zwischenfaserbruch (Zfb), dean die Aaswirkangen der beidea Bracharten siad grandverschieden and ebenso die konstruktiven Gegenmallnahmen gegen die eine oder andere Brachart. Es

Bei der Beurteilang der Gefhhrlichkeit von Zwischenfaserrissen mull zwischen der relativ harmiosen Rilibildang infolge Qaer-Zagspaaaangen (a2 > 0) and den mit einer "Sprengwirknag" aaf das Laminat verbundenen keilformigen BrOchen bei Oberwiegeader Qaer-Druckbeaasprachuag (a2 <0) uaterschieden werden. —

Festigkeitsverhaltea im Druckbereich (52 < 0) wird nicht von der Zugfestigkeit beeinüallt and das Festigkeitsverhalten im Zugbereich (52 > 0) aicht von der Das

Drackfestigkeit. Deshaib soilte eine (a2,r21)-Bruchkarve, die dieses Festigkeitsverhalten besehreibt, aicht mit einer einzigea Gleichang formaliert werden, in der sowohi die Quer-Zagfestigkeit als aach die Quer-Drackfestigkeit vorkommt.

Die darch Zfb verarsachte Rilibildung "erweieht" clue Sehicht sukzessive and nicht schiagartig. Deshaib solite die Degradation von Steifigkeiten mittels "Versehmierea" der Risse nach dem Uberschreitea von Rillbildangsgrenzen allmhhlieh und nieht sprungartig erfolgen, and sic mull vor allem selektiv darchgefOhrt werden, d.h. bei <0 anders als bei > 0.

Obwohl diese grandlegenden Erkenataisse darch Experimeate vielfach besthtigt and in den letzten beidea Jahrzehoten aach von aaderea Autorea, z.B. von Hashim [3] and HartSmzth [4] in khalicher Weise dargelegt worden siad, werden sie bei den heate gebräuchliehen Modellen and Rechenprogrammen zar Laminat-Brachanalyse keiaeswegs darehgkngig beachtet. So werden beispielsweise immer noch Festigkeiten des UD-Verbunds, die eiaem Zwisehen-

faserbrach zageordact siad, mit Faserbraeh-Festigkeiten in einem einzigea "globalea" oder paasehalea" Brachkriteriam vereiaigt [5], 80 dalI keiae kiare Eatscheidang darüber gefallt werden kann, oh die erhalteac Information "Brach" eiaem Zwischeafaserbruch oder einem

8

1 Einführung

Faserbruch zuzuordnen ist. Durch eine unrealistische Degradation von Steifigkeiten aller im Laminat vereinigten Einzelschichten wird dann nach dem "Bruch" der ersten Schicht (First Ply Failure, FPF) versucht, das ursprünglich nicht differenziereude Bruchkriterium in eine Art Fnserbruch-Kriterium umzuwandeln. Das tatshchliche sukzessive Bruchgeschehen kann so aber nicht realistisch rechnerisch simuliert werden, und es verbleiben grol3e Unsicherheiten bei der Interpretation der Ergebnisse, wie in [6] dargelegt wnrde.

In den letzten drei Jahrzehnten sind laufend neue Bruchkriterien für Faser-MatrixVerbnnde publiziert worden. In einer 1986 erschienenen Ubersicht gab Nohes [7] bereits uber

30 Kriterien an. Hentige Lehrbücher und Handbücher, die sich mit dem Dimensionieren von Banteilen aus Faser-Matrix-Verbnnden befassen, fübren eine verwirrend grofle Anzahl von Brnchkriterien auf, die z.T. zu unterschiedlichsten Festigkeitsvorhersagen fOhren. In der nenesten Ausgabe eines Handbnches [8] werden allein etwa 20 Gruppen von Bruchkriterien mit jeweils bis zu vier Varianten aufgezhhlt. Den Anwendern kann dazn aber keinerlei Empfehlung für eine vernünftige Wahl gegeben werden, weil keines der Kriterien hinreichend experimentell abgesichert ist und für eine Bewertnng der Brnchkriterien eine physikalische Grundlage fehlt. Diese frustrierende nod die Nutzung des Potentials der Faserverhundwerkstoffe hemmende Situation mul3 dringend überwunden werden.

Vergleichsweise günstig stellt sich die Situation dagegen bei der schicbtenweisen Spannungs- und Verzerrungsanalyse von Laminaten dar. Es darf wohl angenommen werden, daB heutzutage jeder professionell mit der Eutwicklung von Faserverbundbauteilen befaflte Konstrukteur über Rechenprogramme verfOgt, die auf der klassischen Laminat-Theorie (Classical Laminate Theory, CLT) basieren. Die Eutwicklung der Finite Elemente Methode (FEM) bedeutete auch für die Spannungsanalyse der Laminate einen enormen Fortschritt. Für die zuverlhssige und rationelle Berechnung raumlicher (3D)-Spanuungszustande in relativ dicken Laminaten bedarf es allerdings noch der Eutwicklung für die Ingenieurspraxis geeigneter Elemente. her kommt es vor allem darauf an, zu verhindern, daB der Rechenaufwand bei dicken und vielschichtigen Laminaten "explodiert". Es zeichnen sich aber bereits Naherungsverfahren ab, die den Rechenaufwand in vertretharen Creuzen halteu [9,10].

Problem, das bei den Spannungsanalysen jeglicher Art noch Schwierigkeiten bereitet, ist die Berücksichtigung nicht-linearer Spannungs-Verzerrungs-Beziehungen, wie sic insbesondere in den (r21, -y21)-Diagrammen und (a2, a2)-Diagrammen, wenn a2 eine Druckspannung ist, zum Ausdruck kommen. Die meisten kommerziell vertriebenen Rechenprogramme sind auflerstande, nicht-lineare orthotrope Stoffgesetze zu berücksichtigen, die das Verformungsverhalten von Faser-Matrix-Verbunden richtig beschreiben. Dadurch können beachtliche Fehler entstehen, s. Abschnitt 3.3 Em

Besonders unbefriedigend ist die Situation bei den Degradatiousmodellen. In der erwahnten Ubersicht [7] werden im Vergleich zu den zahlreichen Bruchkriterien nur wenige Degra-

/ 1.2 Gegenwärtige Situation

9

dationsrnodelle aufgefOhrt, und von denen erscheinen manche auch noch recht unrealistisch. Gerade bei den Degradationsmodellen besteht deshaib Forschungsbedarf. In kommerziellen Rechenprogrammen ist eine dem sukzessiven Bruchgeschehen angemes-

sene Degradation von Steiflgkeiten nod Festigkeiten tiberhaupt nicht vorgesehen. Deshaib erhdlt man hkuflg our his zum FPF einigerrnal3eo verlaI3liche Ergebnisse. FPF der harmiosen Art wird aber haufig schon bei etwa 10% der zurn Totaibruch fiihrenden Last erreicht so dati in hochbeanspruchten Leichtbauteilen auch bei normalen Betriebszustknden die FPF-Last weit tiberschritten werden maE. Deshaib ist es wichtig, mit Hilfe einer tiber FPF hinausgehenden Bruchanalyse zu erfahren, hei weichen Lasten nod in weichen Schichten weitere Teilbrtiche zu erwarten sind, urn durch einen geschickten Larninataufhau deren Auswirkungen mildern zu konnen. Die "hunten Bilder", die manche Rechenprograrnrne erzeugen, urn so die bei einern gegehenen Belastungszustand auftretende "Material-Anstrengung" sichthar zu machen, basieren haufig auf unrealistischen Bruchkriterien und geben dern Konstrukteur meistens keine Handhabe, das entworfene Larninat gezielt schrittweise zn verbessern. Alles in allem stelit sich die heutige Situation bei der Festigkeits- oder Brnchanalyse von Laminaten als hOchst unbefriedigend dar. In der Forschong auf diesern Gebiet hat es haufig

Phasen der Stagnation gegeben. In den letzten Jahren sind aber wieder nene Aktivitaten, insbesondere bei der Entwicklung physikalisch begrtindeter Zwischenfaserbruch-Kriterien zu verzeichnen [11 his 16]. Hiertiber wird ausftihrlich irn Teil III des Buches berichtet. Vertiefte Einblicke und neue Erkenntnisse zum Problemkreis der Schkdignngs- und Bruchvorghnge in Laminaten sind aus dem Forschangsgebiet "Schadigungs-Mechanik" (Damage Mechanics) Zn erwarten, das sich in den letzten Jahren rasant entwickelt [17]. Auf diesern Gebiet wird versucht, die Schadigungs- und Bruchvorgange auf einer soliden thermornechanischen Grundlage sehr "korrekt" zo beschreiben. Dabei werden verstandlicherweise wegen des vielfach beobachteten Sprodbruch-Verhaltens — besonders bei ZwischenfaserbrOchen — weitgehend bruchrnechanische Anshtze benutzt. Es ist nicht verwnnderlich, daB infolge der Kompliziertheit der Zusammenhhnge anch die theoretischen Forrnuliernngen nicht so einfach nod Obersichtlich sein kdnnen, wie man sie sich für die Konstrnktionspraxis wtinscht. Die Arbeiten auf diesern Gebiet sind noch stark im FluB, und so ist noch nicht absehbar, oh man fiber die Damage Mechanics schiudendlich anch ZU Brncbkriterien und Degradationsmodellen gelangen kann, die fur die Konstrnktionspraxis geeignet sind. Vorerst scheint dies aus der Sicht des Autors noch nicht der Fall ZU sein. Vermutlich bedarf es für die Konstrnktionspraxis ooch auf lkogere Sicht eioer mehr phhoornenologisch ausgerichtetcn Betrachtoogsweise nod Modelliernng als der in der Schadiguogsmechanik tiblichen. Die Modelle sollteo jedoch — so weit wie irgend mtiglich -. eine physikalische Basis haben. Hierftir wird die Schkdigungsmechanik sicher fortan wichtige Einsichten und Hilfen liefern.

10

1.3

1 Einführung

Zielsetzung

Die zum umrissenen Problemkreis in den letzten Jahrzehnten erschienenen Publikationen sind auth für den Experten nicht mehr llbersehaubar und in ihren Aussagen oft recht widersprUchlich. Es durfte deshaib kaum dnrchfllhrbar — aber auch wenig sinnvoll — sein, einen

breit angelegten historischen Abrill der wissenschaftlichen Entwicklung dieses Gebiets zu geben. Stattdessen erschien es zweckmai3ig, auf der Basis der im Teil I behandelten Grundlagen im Tell II des Buches eine Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten vorzustellen, die sich in der Praxis der Bauteilentwicklung im Verlaufe vieler Jahre herausgebildet und bewhhrt hnt. Es werden Probleme aus alien vier in Betracht kommenden Bereichen (Spannungsanalyse, Bruchkriterien, Degradationsmodelle und deren Verkettung durch em Rechenprogramm) behandelt. Dadnrch, dali stets die Verbiodung zwischen dem Rechenmodeli nnd der im Experiment zu beobachtenden Realitkt hergesteilt wird, soil vor allem die Urteilsfdhigkeit bezllglich der Branchbarkeit von Rechenmodellen gesthrkt werden. Bei der Lektflre von Teil I und II des Bnches wird deutlich werden, daB es in der Festigkeitsanalyse von Laminaten noch manche Schwachstelle nnd nuch erhebliche Wissenslflcken gibt. In der Forschung zeichnen sich aber z . Zt. neue Losnngen nb auf die sich der "Anweoder" mdglichst frllhzeitig einstellen sollte. Deshaib wird im Teil III em Einblick in die Entwicklnng eioer nenartigen Zifi-Analyse gegeben, die physikalisch plausibler ist als die hentige Vorgehensweise nnd aollerdem noch interessnote Zusatzinformationen flber die Brnchrichtnng und

den Bruch-Modns liefert. Für den ebenen (ai, a2, r21)-Spannungsznstand sind einige dieser nenartigen Anshtze schon so weit nusgereift, dali sie in Teil II aufgenommen werden konnten. Einschrankend mull dnrauf hingewiesen werden, dali die dargestellten Modelle sich bei Arbeiten mit Fnser-Kunststoff-Verbunden, insbesondere an GFK-Banteilen, entwickelt haben. Sie sind deshaib sicher nicht direkt nnf beliebige andere Faser-Matrix-Kombinationen llbertragbar. Dennoch dllrfte manches generelle Gflltigkeit besitzen, sofern die Fasern (in ihrer Lkngsrichtung) erheblich hohere Elastizitktsmodnln nnd Festigkeiten anfweisen als der Mntrix-Werkstoff und die Bruchdehnung der Matrix grdfler ist als die der Fasern. Neben der Stkrkung der Ijrteils- und Kritikfhhigkeit hnt die vorliegende Arbeit das Ziel, für die praktische Anwendung bewkhrte Modelle und Rechenverfnhren zur Festigkeitsanalyse aligemein bekanntzumachen, die dazu beitragen kdnnen, die Festigkeitsanalyse zuverlkssiger und die Entwurfsarbeit zielgerichteter so gestalten und somit die Entwicklungszeiten und -kosten bei Faserverbundbauteilen zu verringern.

2

Bruchgeschehen in Laminaten

2.1

Zum Aufbau von Laminaten

Das Bruchgeschehen in Faser—Matrix-Laminaten wird in hohem MaBe voni stofflichen und geometrischen Aufhau der Einzelschichten und des Laminats mitbestimmt. Tm Zusammenhang mit Fragen der Bruchanalyse interessieren nattir]ich in erster Linie soiche Laminate, mit denen sich relativ hohe Festigkeiten erzielen lassen. Urn hohe Schadigungsgrenzen und Festigkeiten xii erreichen. moB man darauf achteri, daB die Fasern oder Faserstrhnge moglichst gestreckt -- im Idealfall auf geoddtischen Linien des Bauteils — im Laminat plaziert wer-

den. Nicht vorteilhaft sind unter diesem Aspekt Gewebe, hei denen der Wehprozef3 eine gewisse Welligkeit der Fdden hewirkt. Ahnliches gilt für Wickellaminate, wenn bei grof3en Wickelkdrpern mit relativ schmalen Wickelbhnderri gearbeitet werden muf1, die sich hherkreuzen rind dahei — jedenfalls stellenweise -- zu einer "verflochtenen" Faserstruktur flihren.

Bud

Ringfaxlenauge mit 48 Glasfaser-

Rovings für das Wickein von Pkw-Antriehswellen [27[

Bei kleirieren Wickelkhrpern wird eine \Velligkeit dci abgelegten Wickelbknder dadurch vermieden, daB mit Hilfe eines sogenannten Ring-Fadenauges, Bud so viele Faserstrhnge

_______________________________________

12

2 Bruchgeschehen in Laminaten

gleichzeitig anf dem Wickelkdrper abgelegt werden, daB sich bei jeder Hill- oder Herbewegung des Ring-Fadenauges eille Itickenlose Bedecknng des Wickelkerns mit Faserstrkngen ergiht,

die als eine Wickellage bezeichnet wird. Weil es das Schadignngsverhalten girnstig beeinfluOt, wenn em Laminat aus vielen dtinnen Schichten mit unterschiedlicher Faserrichtnng aufgebaut ist, sorgt man moglichst daftir, daB jede Wickellage eme andere Faserorientierung erhalt als die vorangegangene. So gelangt man Zn einem feinschichtigen Laminat, bei dem jede Wickellage eiae UD-Schicht darstelit. Diese ist in der Regel zwischen 0,1 mm und höchstens 1 mm dick. Die Dicke VOll Wickellaminaten midt im aligemeinen Zwischen 1 mm und 10 mm, in Ansnahmefallen his etwa 50 mm. Die AnZahl der in einem Wickellaminat vereinigtell UD-Schichten betrkgt mindestens 2, in der Regel aber etwa 10 bis 20, in seltenen Ansnahmefkllen bis zu 100. Die meisten im Wickelverfahren hergesteilten Banteile haben die Form eines kreiszylindrischen Rohres. Das Verhkltnis von Innen- zn Autienradins kann aus techaologischen Grtinden einen GrenZwert nicht wesentlich nnterschreiten, der etwa bei ri/Ta = 0, 75 liegt. Das bedentet, daB das Verhaltnis von Wanddicke zum mittleren Radins nnr etwa f/Tm < 1: 3, 5 sein kann. Bud 2.2 Zeigt die Qnerschnitte von zwei mit diesem Grenz-Verhkltnis ansgefOhrten GFK-Drehrohrfedern, die wegen ihrer verschiedenen Beansprnchungsarten (schwellend bZw. wechselnd) mit extrem nnterschiedlicher Schichtung aufgebaut wurden [18 his 20].

Bud 2.2: Querschnitte VOll gewickelten GFKDrehrohrfedern; (a) Pkw-Tragfeder mit Rifistopperschicht R, (b) Lkw-Stabilisator

Wkhrend sich die Wickeltechnik besonders für die Herstellung von rOhrenformigen Teilen oder andersartigen HohikOrpern eignet, werden platten- oder schalenftirmige Bauteile, an die hohe Festigkeitsanfordernngen gestelit werden, vorteilhaft ans sogenannten Prepregs gefertigt. Dabei handelt es sich um Bahnen aus Fasermaterial — hknfig parallel gerichtetea Faserstrkngen — die mit Matrixmaterial vorimprkgniert wnrden. Durch eine gewisse Vorreaktion wurde das Matrixmaterial schon ans dem flllssigen in einen pastos-klebrigen Zustand flberfllhrt, was die Handhabung sehr erleichtert. Em Prepreg-Laminat entsteht, iadem

2.1 Zum Aufbau von Laminaten

13

Prepreg-Zuschnitte nach einem Verlegeplan geschichtet werden und anschliel3end unter Hitze und leichtem Druck das Matrixmaterial ausgehkrtet wird [2122].

Die einzelnen UD-Schichten eines Prepreg-Laminats konnen jeweils aus einer oder mehreren Prepreglagen gebildet werden, so dad auch hier wie in Wickelteilen Dicken der einzelnen UD-Schichten von etwa 0,1 mm his maximal 1 mm die Regel sind. Laminatdicken zwischen 1 mm und 10 mm sind tiblich, jedoch sind auch dunnere und dickere Laminate herstellbar.

Auch bei solchen Laminaten wird man bestrebt sein, die Faserrichtung von Lage Zn Lage zu variieren. Wenn für das Laminat ebene Beanspruchnngen zu erwarten sind, strebt man eine "homogene" Schichtung an, d.h. die Lagen mit jeweils gleicher Faserrichtnng werden möglichst gleichmal3ig flber die Dicke des Laminats verteilt. Anl3erdem ist eine symmetrische Schichtnng beziiglich der Mittelebene vorteilhaft. Dadurch ktinnen unerwllnschte Krllmmungen und Verwindungen der Laminate bei der Belastnng, aber auch bei Andernngen der Temperatur nnd des Feuchtegehalts vermieden werden. Wird das Laminat jedoch auch durch Biege- nnd Torsionsmomente belastet, ist man nP. gezwungen, eine sandwichartige Schichtnng vorznnehmen, d.h. mehrere Prepreglagen mit gleicher (oder besser: fast gleicher) Faserrichtung zusammenzufassen. Wenn irgend moglich, wird man auch in soichen Fallen znmindest eine kleine Winkeldifferenz von etwa 10° bis 20° zwischen den Faserrichtungen der einzelnen Prepreglagen vorsehen, damit em in einer Schicht entstandener Rid an den Fasern der nächsten Schicht gestoppt wird. (Oh hierftir noch kleinere Winkeldifferenzen ansreichen, mtil3te experimentell geklärt werden.) Meistens findet sich in allen Schichten eines Laminats der gleiche Fasertyp. Gelegentlich kommen aber anch sogenannte Hybrid-Laminate vor, bei denen auch im Hinblick auf einen erwOnschten Sandwicheffekt — z.B. die inneren Schichten mit Glasfasern und die aul3eren mit Kohlenstoffasern ausgeftihrt werden. Bei modernen Segelflugzengen werden die Tragfltigel nnd Rllmpfe fast ausschliefflich als Faserverbnndbanteile ausgefllhrt. Diese werden ans KostengrOnden vorwiegend in handwerklichen Laminierverfahren iinter Verwendung von Glasseiden- nnd Kohienstoffasergeweben hergestellt. Um sthrkere Fadenwelligkeit zu vermeiden, verwendet man vorzngsweise kett-

starke Gewebe, s. Bild 7.3 auf S. 96, bei denen die hauptskchlich lasttragenden Kettfaden nur eine sehr geringe Welligkeit aufweisen. Statt einer einzelnen Gewebelage mit gleich vielen Kett- und Schui3faden werden zwei unter 90° gekreuzte Lagen kettstarken Gewebes eingesetzt. So werden beipielsweise +45°-Laminate für torsionssteife Schalen hergestellt.

Man darf somit annehmen, dad hochfeste Laminate, die einer Festigkeitsanalyse bedtirfen, keine ausgeprtigte Fadenwelligkeit aufweisen, deren Modellierung [23] Schwierigkeiten bereiten wtirde. Bei den meisten hochbeanspruchten Laminaten dtirfte der Schichtenverhund aus TJD-Schichten em gut an die Wirklichkeit angepafltes Modell darstellen.

2 Bruchgeschehen in Laminaten

14

2.2

Zwischenfaserbruche

Tm Hinblick auf die Entwicklung einer Theorie zum Festigkeitsverhalten von Laminaten wird hier ausschlielllich das Bruchverhalten einer innerhaib eines Laminats und nicht einer einzelnen UD-Schicht betrachtet. Unter Zwischenfaserbruch (Zfb) wird — wie eingangs sehon erwähnt — eine Werkstofftrennung verstanden, die zwisehen den Fasern, d.h. vorwiegend dumb das Matrixmaterial, aber gelegentlich auch lhngs der Faser/Matrix-Grenzflachen verlänft und die IJD-Schicht in ihrer gesamten Dicke durchtrennt. Wie weit sich em Zfb in der Faserrichtnng erstreckt, hangt von verschiedenen Einfiullgrollen wie Homogenitat des Spannnngszustands, Sprodigkeit des Werkstoffs usw. ab. Beim Bruchversuch an einem UD-Probekorper wflrde em soldier Zth natfirlich zu einem Totnibruch des Probekorpers fflhren, der meistens em ansgesprochener Sprodbruch ist, was man bei der Zug/Druck-Torsionsprtifung an rohrformigen TJD-Probekorpern [24] beobachten kann. In einem Laminat wird aber durch einen Zfb allenfalls der Zusammenhalt der Schichten in einem kleinen ortlich begrenzten Bereich etwas gestört. Die vom Zib betroffene Schicht bleibt weiterhin mit ihren Nachbarschichten verbunden; d.h. em Zfb macht sich zundchst nur als RiB in der betroffenen Schicht bemerkbar. Dadurch wird der Kraftflnll der Schicht an der Brnchstelle unterbroehen oder zumindest gestort, es erfolgt eine ortliche Umleitung der Sehichtkraft fiber die Nachbarschichten. Meistens verliuft der Rib ziemlich gmadlinig in Dickenrichtnng, aber sB. bei Uberwiegender Quer-Dmnckbeanspruchnng ist die Ribebene nm etwa +45° oder —45° gegen die Dickenrichtung geneigt. Em Rib infolge Zfb in einer UDSchicht wird fast immer an den Fasern der Nachbarschichten gestoppt, weil nicht hinreichend Energie zur Verffignng steht, um hochfeste und steife Fasemn zn durchtrennen. Dabei ent-

stehen an den Fasern die den Rib stoppen, "Kerbspannungen". Diese werden spkter noch eingehend erdrtert. Wenn, nachdem der erste Rib infolge Zfb in einer UD-Schicht anfgetreten ist, die Belastung weiter gesteigert wird, bilden sich in dieser Schicht in dichter Folge mehr und mehr Risse, und zwar in beinahe regelmafligen geometrischen Abstanden. Bei GFK-Laminaten kann man beobachten, dab — falls die Risse im wesentlichen durch eine Quer-Zugbeanspruchung vemnrsacht werden — die Ribdichte sich schliefihich trotz weiterer Laststeigerung kanm noch erhoht. Man spricht davon, dab die Schicht nun mit Rissen "geskttigt" sei. Es hat sich dann bei nahezu regelmkbiger Verteilung der Risse em mittlerer Ribabstand eingestellt, der, grob gesprochen, etwa das 0,5- his 1,5-fache der Schichtdicke betrkgt. Dieser Zustand wird in dem Litematum hbnflg als dem chamaktemistische Schadigungsznstand (Characteristic Damage State, CDS) bezeichnet, weil em offenbam auf vemschiedene Weise, auch unabhkngig von dem Belastungsgeschichte, emmeicht wemden kanu.

Die Tatsache, dab vemschiedene Kombinationen von Quem-Nommaispannung a2 und Q uem/Lkngs-Schubspannnng v21 sehm untemschiedliche Anspmagungen (Modi) von Zwischen-

2.2 Zwischerifaserbriiche

15

faseihrllchen zur Folge hahen können, wird in der Literatur viel zu wenig heachtet. Wenn man sich zunächst auf dee ebenen (ar. a2, a21)-Spannungszustand euler 1]D-Schicht beschränkt, solite man hei der makromechamschen Betrachtungsweise drei Bruch-Modi untersclieiden. Modsis A

mmcl eine Quer/LangsDee Zfb wird gemeinsam dureb eine Quer-Zugheanspruchung bewirkt, d.h. bei dem hier betrachteten Spannungszustand durch Schuhheanspruchung oder jeweils allein den Auch die Grenzfklle, in denen die Spannungen a2 und Bruch erzeugt, gehoren dazu. Die Risse verlaufen in Dickeririchtung, sie entstehen also in irn der Wirkebene von a2 und T21, Bud 2.3. Sic dffnen sich urn so mnehr, je hbher ist. Dadurch werden die Rif3ufer spannungsfrei. Erst nach einer gewissen Vergleich zu Anlaufstrecke" wird iii der gerissenen Schicht infolge der interlaminaren Schubspannungen, die zwischen der gerissenen Schicht und den Nachharschichten entstehen, wieder cine Spannurigshöhe erreicht, (lie zur Entstehung eines neuen Risses genligt. So erklkrt sich auch, dal3 der Ril3abstand nicht heliehig klein werden kann, s. auch Bud 2.6 auf S. 20.

Bud 2.3:

Risse infolge von

Zwi chen acer-

bruchen des Modus A in euc r c ielschchtigen GFK Drehrohrfeder (Beau pruchungsrichl ung wac ger eht)

die

Sic difuen sich

urn, o nielir

je hol er

mi Vergleich zur

Bei einer gleichfdrrnigeri I astsleigeiung entatehen nach den1 Eracheinen do ersten Zfh zunach t gehkufl aeitere Ris e was sich auch duich eine intensi\ e Schallemission anzeigt. Spkter chbt die Ril3hildung rnerklich ab. Die Talsache, daB die betroffene Schicht an den gerissenen Stellen kraftfrei geworden ist uncl erst nach einer Anlaufstrecke wieder mehr oder weniger stark mnittrkgt, huBert sich nach auf3en bin so. als oh sich die Quer-Steiflgkeiten' der Schicht im Mittel verringert batten, und iccar urn so rnelir je mehr Risse entatanden in Diese Beohachtung wird spkter hei der Formuliesung der entsprechenden Degradationsrnodelle genutzt. Die Fasern der betroffenen durch die Zwischenlaser-Ril3bildung kaumn in Mitleidenschaft gezogen, so daB Schichi die Lang steifigkeit und —festigkeit der Schicht nahezu unverkndert erhalteim bleiben.

16

2 Bruchgeschehen in Larninaten

Modus B

Die Zwischenfaserrisse, die diesern Bruch-Modus zuzuordnen sind, verlaufen ebenso wie die

nach Modus A in der Wirkebene von a2 und 'r21, aber sie kdnnen sich nicht dffnen, denn auf den Rillufern wirkt eine Quer-Druckbeanspruchung Diese ist beim Modus B aber kleiner als nder hochstens gleich groB wie die die im Grunde die alleinige Ursache des Bruches ist. Die fordert namlich nieht den Bruch, wie es bei einer der Fall ist, sondern im Gegenteil, sie behindert ihn. In der Werkstoffkunde sprieht man vnn einer "inneren Reibung", die mit der Hdhe der -Druckbeanspruchung anwhchst und den r1 H-Sehubbruch zunehmend erschwert. Risse, die bei Modus B entstehen, bringen der Sehieht kaum eine Druck-Entlastung, weil sie sich nieht dffnen konnen. Tm Mittel erseheint der Sehubmodul einer solehen Sehicht etwas verringert, aber je hoher die ist, um sn mehr Sehubkraft kann aueh dureh Reibung der aufeinandergepreliten Rif3flaehen dbertragen werden.

In Laminaten mit drei und mehr Faserrichtungen kommeri Zfb des Modus B selten vnr, weil hierftir Spannungszustande ndtig sind bei denen TI!F dem Betrage naeh groller ist als Wegen der ausgeprkgt nieht-linearen (T21,721)-Zusammenhange können die zu hohen T21-Spannungen gehorenden grollen Sehubverforrnungen 722 nur in seltenen Ausnahmefallen auftreten, weil meist vnrher die Bruehdehnung der Fasern im Laminat erreicht wird. Modu.s C

Diese Bruchart tritt beirn ebenen (a2, v22)-Spannungszustand dann auf, wenn a2 eine QuerDruekspannung ist und sie dem Betrage naeh — grob gesprochen — gleich oder gröfler als die Sehubspannung '121 ist. Das bestimmende Merkmal eines Zfb naeh Modus C besteht darin, daB bei einer knmbinierten Beanspruchung durch a2 <0 und T21 der Bruch nicht

in der in Diekenriehtung verlaufenden gemeinsamen Wirkebene der beiden Spannungen a2 und T21 stattfindet, snndern in einer gegenllber der Wirkebene von und urn einen Winkel (fp 1 fracture plane) geneigten Bruehebene. In dieser wirken nicht mehr allein eine und sondern zusatzlich eine Quer/QuerSchubbeanspruchung 'r11. Hierauf wird sphter uoch ausfdhrlich eingegangen. Der Bruchwinkel (Winkel zwischen der Wirkebene von cr2 T21 und der Bruchebene) kann je nach der Grofle des Verhkltnisses a2/T22 von 00 beim Ubergang vom Modus B zurn Modus C auf etwa +50° bei reiner Quer-Druckbeanspruchung anwachsen. Mit den bereits kurz erwkhnten neuartigen Zfb-Kriterien konnen all diese Zusamrnenhange auch rechneriseb erfallt werden. '121

Hier ist zundchst die Feststellong wichtig, dad Zwischenfaserbrtiche des Modus C im Gegensatz zu solehen nach Modus A (und B), die relativ "harmlos" sind, für em Laminat sehr gefahrlich werden kdnnen, weil die Keilwirkung des sebragen Bruches im Laminat in Dickenrichtung wirkende Sprengkrafte hervorruft. Dad all dies keine blode Theorie ist, hat sich an

2.2 Zwischenfaserbrllche

17

einem sehr lehrreichen Beispiel aus der Praxis der Bauteilentwicklung der letzten Jahre für den Pkw-Bereich gezeigt, und zwar an der gewickelten Drehrohrfeder, deren Querschnitt aus Bud 2.2 hervorgeht. Es war eine sehr kurze Drehfeder mit einer Einbaulänge 500 mm zu entwickeln, die bei einem maximalen Verdrehwinkel von 30° als Tragfeder an der Hinterachse eines Pkw fnngieren soilte [18 bis 20,25]. Das machte eine auflerst hohe Werkstoffausnutzung erforderlich, die nur mit einem unkonventionellen Laminataufhau erzielt werden konnte. Am Beginn dieser Bauteilentwicklung bestand die Wandung des Drehrohres ans einer dunnen neren TJD-Schicht aus drei Wickellagen mit einem Wickeiwinkel von —45° und einer dickeren aufleren 1IJD-Schicht aus sieben Wickellagen mit einem Wickeiwinkel von +45°. Zwischen

beiden Schichten war eine Aramidfaserlage als "RiEstopperschicht" eingefdgt, weiche die Kerbwirkung mildern soilte, die von den frOhzeitig in der Tnnenschicht entstehenden Zwischenfaserbrllchen vom Modus A auf die hoch zugbeanspruchten Fasern der Auf3enschicht ansgeflbt wird, Bud 2.4.

Bud 2.4: Pkw-Drehrohrfeder mit Zwischenfaserrissen des Mndus A in der Innenschicht und einem Zfb vom Modus C in der AulTenschicht. Zwischen Innen- und Anllenschicht ist die R.illstopperschicht R eingefugt.

Die Modus A-Risse in der Tnnenschicht erwiesen sich bei diesem Bauteil als vOllig harmios;

obwohl sic bereits nach wenigen Schwingspielen entstanden, ertrug die Drehfeder im Mittel 2 106 Schwingspiele mit Hochstlnst, ohne daB weitere sichtbare Schkden eintraten. Tm Gegensatz dazn fuhrte em einziger RiB vom Modus C in der AnBenschicht, der sich als Folge der dort herrschenden hohen Qner-Druckspannung einstellte, zu einem abrnpten Versagen der Drehfeder. Die gleiche Erscheinung wurde an vielen geprOften Prototypen beobachtet. Die Brochwinkel der Zfb nach Modus C lagen stets bei etwa +50°. Daraus resultierte, weil trotz des Risses weiter Ober die RiBflkchen flbertragen wnrde, die hohe Druckspaonung eine Art Keilwirkung mit einer radial nach innen gerichteten Kraftkomponente. Diese ver-

18

2

Bruchgeschehen in Laminaten

ursachte einen schiagartigen "Kollaps" der dllnnen Illnenschlcht und damit den Totaibruch des voiltordierten Rohres. Irn Abschnitt 2.5 wird dieser Vorgang näher erläutert. Auch bei aligernein rhurnlichen Spannungszustanden a2, a3, r31, kann die Unterscheidung der Zfb-Modi A, B, C beibehalten werden. Allerdings kann der sich einstellende Bruchwinkel oder Bruchwinkelbereich — z.B. bei der (a2, 00 bzw. 00 his ±500 — nun nicht mehr a priori den Modi zugeordnet werden. Die verschiedenen Bruch-Modi

lassen sich im aligemeinen Fall nur noch durch die auf der Bruchebene wirkende Beanspruchungskombination charakterisieren. Modus A: Auf der Bruchebene wirkt eine Kombination von

und TI]p (oder es wirkt

bzw. yjjp allein).

Modus B: Auf der Bruchebene wirkt eine Kombination von

und

Modus C: Auf der Bruchebene wirkt eine Kombination von erkombination

und

oder eine Drei-

Beim aligemeinen räurnlichen Spannungszustand kann noch eine vierte Bruchart auftreten,

die folgendermal3en gekennzeichet ist:

Modus A*: Auf der Bruchebene wirkt eine Beanspruchungskornbination

2.3

Delaminationen

Ebenso wie die zu Zwischenfaserbrllchen neigenden faserparallelen Schnittebenen der UDSchicht sind auch die Grenzflächen, mit denen Schichten in einern Laminat an ihre Nachbarschichten grenzen, ausgesprochene Schwachstellen, weil in ihnen keine Faserverstärkung wirksam wird. In beiden Fallen wird wenig Energie benotigt, urn einen Bruch zu erzeugen, denn es müssen dabei keine hochfesten und steifen Fasern durchtrennt werden. Wenn vorher der Begriff "Zwischenfaserbrflche" benutzt worden ist, liegt es nahe, bei Werkstofftrennullgen zwischen Einzelschichten eines Laminats von "Zwischenschichtbruchen" zu sprechen. Dies 1st aber unüblich, der gebrauchliche Begriff ist "Delamination". Eine Schichtentrennung kann eigentlich nur von Spannungen bewirkt werden, die als Zugspannung serikrecht zur Schichtgrenzflache oder als Schubspannungen in der Grenzfläche der Schichten wirken. Beim allgemeinen rburnlichen Spannungszustand (ai, a2, a3, r23, T21) können dies nur die Spannungen a3 (sofern positiv) (richtiger und T31 sein. Man nennt sie die "interlaminaren Spannungen". (Dieser Begriff ist an sich irrefflhrend, denn aus Gleichgewichtsgrllnden konnen diese Spannungen nicht nur zwischen den Schichten aultreten, sondern mllssen auch in die Schichteri hineinwirken.) Spannungsanalysen an Faserverbundbauteilen, die nicht auBergewohnlich "dickwandig" sind und deren Wandungen keine extrem

____________________________________________

2.3 Delaminationen

19

kleinen Krhmmnngsradien aufweisea, zeigen aher stels, daB sieh in nngestorten Bereiehen verhaltmsmafhg niedrige Werte für r32 iind r31 erreehnen, so daB man anfgrnnd ühli eher Festigkeitsbetraehtungen auf keinen Fall doe Brnehansldsnng von ihnen erwarten kann, wenn nicht schon Anrisse vorhanden sind. Bei znkhnBigen experimenlellen TJntersnrhnngen sollte man sorgfkltig prüfen. oh den zn beohaehtenden Delaminationen nieht immer Z\visehenfaserrisse vnransgehen, die erst die für die Delamination erfnrderliehen interlaminaren Spannongen hervorrufen. Dci jahrelangen Entwieklungsarbeiten an heehbeanspruehten Faserverbnndhauteilen. wie z.B. weehselnd heanspriichlen fiFE Drehrohrfedern, die als Lkw-Stabilisatoren eingesetzt werden snilen [261, nnd Pkss Antriehswellen [27J hat sieh mimer wieder gezeigt, daB, man von Sehlaghesehadigimgen (impact) nnd Benivorgangen einmal ahsieht, intensive Delaminationen meist erst eintreten. wenn sorher Z\visehenfaserhrhehe entstanden sind. Es hedarf also offenhar zur Auslhsnng von Delaininationen der Spannnngskonzentrationen im Bereich der RiBspitze von Zwisehenfaserhrdehen. An Krenzverhnnden ans TJD-Sehiehten ((9°, 90°)-Laminaten) kann man fast immer heohachten, daB em Modns A-Zwischenfaserhrneh znnachst keine Fasern der Naehharsehieht dnrchtrennt, sondern slatt dessen zn einer kleinen, von der RiBspitze ansgehenden Delamnination in der Grenzfldehe der Sehichten fiihrt. Diese hreitet sich oft znnaehst mix einseitig, spdter anch heidseitig von der RiBspitze her ans, Bud 2.5.

Bud 2.5: Zwischenfaserrifl voni Modus A ha Durchlicht [271. links molt einseitiger, rechts nut heidsetligei Delamination. (Vergrdderung2d: 1)

20

2 Bruchgeschehen in Laminaten

Delaminationen wachsen sowohi bei monoton ansteigender Belastung als auch bei schwingender Belastung mit konstanter Amplitude. Im Extremfall kann sich durch fortschreitende Delamination die hul3erste UD-Schicht vollstandig vom ubrigen Körper ablösen, wie es bei der Lebensdauererprobung von Pkw-Antriebswellen beobachtet wurde [27]. Es handelt sich also um RiBausbreitung, em typisches Problem der Bruchmechanik. Ausgangspunkt der Delamination sind offensichtlich nicht relativ homogene Spannungszustande, sondern äui3erst ungleichformige Spannullgsverteilungen, wie sie sich z.B. für den Bereich einer UD-Schicht zwischen zwei Modus A-Rissen errechnen lassen [17], Bild 2.6.

a, r N/mm2

60

a 20

Bild 2.6: Intra- und interlaminare Spannungen Rit3abstand

der 90°-Schicht zwischen zwei Modus A-Rissen ei(00, 90°)-Laminats bei einachsigem Zug in

0°-Richtung (nach [17,68])

Bereits diese kurzen Ausfuhrungen dürfteri deutlich gemacht haben, daB eine Festigkeitsanalyse hinsichtlich Delaminationen eine auI3erordentlich schwierige Aufgabe ist; jedenfalls ist sie um em Vielfaches schwieriger als die Zfb-Analyse. Auf diesem Gebiet ist noch viel Forschungsarbeit nOtig, denn Delaminationen sind — wenn auch meistens indirekt — mitentscheidend für das Versagen von Bauteilen. Dies trifft ganz besonders für wechselnd beanspruchte Bauteile zu [26,27]. Da die Biege- und Drillsteifigkeit eines Lamiriats durch fortgeschrittene Delamination reduziert wird, kann diese auch zu einem Versagen des Bauteils durch Beulen oder Knicken beitragen. Es sei hier noch einmal daran erinnert, daB — wie im vorigen Abschnitt dargelegt — Zwischenfaserbrllche des Modus C wegen ihrer Sprengwirkung Delaminationen und brtliches Ausbeulen von Nachbarschichten begünstigen.

2.4 Faserbrflche

2.4

21

Faserbruche

Irn Grunde genornrnen sind Faserbrtiche die einzigen "erwtinschten" Bruche in Faserverbundbauteilen, denn die Fasern sind die eigentlichen Tragelemente, und diese soilten bis zu ihrer Festigkeitsgrenze ausgelastet werden konnen, bevor irgend etwas anderes bricht. Die Fasern erfahren irn Verbund wegen ihrer vergleichsweise hohen Lkngssteifigkeit sehr hohe Spannungen in der Lkngsrichtung. In Querrichtung konnen die auf die Fasern einwirkenden Spannungen nicht hoher werden als diejenigen, die von der Matrix oder der Faser/MatrixGrenzschicht ertragen werden. Diese sind in der Regel urn eine Grol3enordnung kleiner als die ertragbaren Spannungen in faserparalleler Richtung. Fur die isotropen Glasfasern erseheinen die "Querspannungen" a3, r23, r31, r21 deshaib ziernlich belanglos; bei stark anisotropen Kohienstoffasern und Fasern aus arornatischern Polyarnid (Ararnid) rnag sich dies etwas anders verhalten [28,29].

Wie bereits erwähnt, wird hier unter Faserbruch (Fb) keinesfalls der Bruch einzelner Elernentarfasern verstanden, sondern das nahezu gleichzeitige "Brechen" einer sehr grol3en Zahi von Elernentarfasern, durch das die Tragfahigkeit einer Schicht in Faserrichtung fiber eine gröl3ere Breite (Groflenordnung crn) weitgehend verschwindet. Irn Falle einer Zugbeanspruchung in Faserrichtung ist es durchaus berechtigt, von "Brechen" oder "Zerreiflen" zu sprechen, wahrend bei Ldngs-Druckbeanspruchung vielfach die Tragfahigkeit der Fasern dadurch erschopft wird, daB ihre elastische Stutzung durch die Matrix nicht rnehr ausreicht, em Ausknicken zu verhindern. Man spricht von "innerern Knicken" oder "Mikroknicken". Hierbei spielen u.U. Schubverforrnungen der Matrix, rnit der die stfltzende Matrix der Knicktendenz der Fasern nachgibt, eine wichtige Rolle [29]. Bei stark anisotropen Kohienstoffasern ist rnoglicherweise auch deren Schubfestigkeit für die Festigkeit bei Zug- und Druck in FaserLangsrichtung rnaflgeb end [28 bis 30]. Diese Fragen sind noch nicht restlos gekldrt. Es ist ohne weiteres einleuchtend, daB der Bruch von Zigtausenden von Elernentarfasern statistischen Gesetzmafligkeiten unterliegt. Wie rnan unschwer bei einern Zerreiflversuch an einern UD-Probekorper feststellen kann, brechen keineswegs alle Elernentarfasern gleichzeitig, sondern schon ab etwa 70 bis 80% der Bruchiast rnachen sich die ersten Brflche einzelner Elernentarfasern und spkter auch von ganzen Faserbündeln bemerkbar. Anders als bei Zwischenfaserbruchen kann rnan bei Faserbrfichen kaurn von Bruchebenen sprechen. In Bereichen, in denen Faserbruch — in der hier gerneinten Bedeutung — stattfindet, wird der Verbund von Faser und Matrix infolge der hohen Energiefreisetzung oft vollstkndig aufgelost. Zugbrüche auBen liegender Schichten zeigen hauflg em pinselartiges Aussehen. Das bedeutet, daB Degradationsrnodelle, die dern Verbund nach dern Faserbruch noch Steifigkeit

und Festigkeit quer zur Faserrichtung belassen, unrealistisch sind. In vielen Fallen richtet der Faserbruch einer Schicht eines Laminats auch Schkden in den Nachbarschichten an, die u.U. sehr gravierend sein kdnnen. Es sind dies vor allern Zwi-

22

2 Bruchgeschehen in Laininaten

schenfaserbrtiche nod Del aminationen; aber anch em Faserbruch doer anderen Schicht, deren

Faserspannnng nahe an der Bruchgrenze angelangt war, kann ansgelhst werden.

Bud 2.7: Faserhruchfront in niner IJD-Srhicht cincr Pkw-Antriebswelle nnch 1, 7.106 Sclnvingspielen [27] (VergrOllernng 20:1)

Allenfalls bel schwingender Beansprnchnng entwickeln sich gelegentlich gradlinig verlanfende. Ortlich begrenzte Brnchfrnnten, Bud 2.7, inshesondere clort. wo cler Faserbruch von der Ankerhung durch eineri Zwischenfa.ser-Ri13 der Nachbarschicht inithert wurde. Faserhruch in der hier heriutzten Bedeutung tritt hei monotoner Laststeigerung nahezn schiagartig em. Es ist deshalh schwierig festzustellen, weiche Vorgknge sich irn Einzelnen ahspielen, und wie sich inshesondere cler grof3flhchige Bruch hei Zng entwickelt.

gebrocherle Faserri

BEd 2,8: DarsteHnng des Sehnbknickens (kinking) als Vnrstnfe des Faser-Drnckhrnclie.s des UDFaser-Matrix-Verhnnds

2.5 Laminat Versagen

23

Als Vorstufe des Faser Drnekbruehes lassen sick oft ortlich hegreozte Bereiche heohachten, in deoeo die Fasern em Schuhkoicken (kiokiog) erleiden [29]. Bud 2.8. Mehrere soiche Bereiche mit ahgekniekteo Fasero kdooeo zusamr000\vachsen, \vodllrclI die Naehharhereiehe zusklzlich Kraft tiheroehmeo mksseo. V/eon aueh diese pldtzlich knickeo, kano es zum Brueh knmmen. Dahei spaltet sieh TJD-Verbuod auf nod einzelne halkenad ige Partieo hrecheo infolge der auftretendeo drtlichen Biegeheaospruchuog. Es entsl ehi

meisteos eiri ziemlich ausgedehoter uid stark zerkliifteter Bruchhereich, Bud 2.9.

Bud 2.9: Fsserhrucli als Drnckbrurh irn UI) Druckgurt sines GFK-Kastentrbgers bet zbgiger Biegeheanspruchung bis zum Brush [70]

2.5 Aus dem Vorausgegaogeooo ist hereits ersichtlieh, dad selhst eio nicht zum Totalhruch ftihrcoder Faserhruch so erhebliehe Zerstdrungeo im Lamioat hewirkt, dad as dadurch nobrauchbar werden kano. Mao wird deshaib normalerweise deo Eiotritt cmos Fh ill einor Sclocht auch als die 'Brnchgrenze' des Lamioats ansehen, obwohl in einigen Fallen ooch cino gowisso Resttragfahigkoit orhalten hleiht. Das kaoo losbesondero dann der Fall solo, wono die vom Fh botroffono Schicht relativ dUnn ist und im Laminat noch miodostoos droi weitere Faserrichtongco vorkommen, in deneo die Fasero noch nichi sehr koch boaosprucht siod [31]. Aber auch in einem solcheo Fall kaon das Lamioat infolge der not dom Fh einhergeheodeo orhoblichoo drt lichen Zerstdruogoo fuoktioosoofahig gewordon soin. Es kommt relativ selteo vor, dad em Bauteil wbhreod seioer gesamton Einsatzdaocr immer our durch omen gaoz bestimoiteo Lastfall heansprucht wird. d.h. dad die an ihm angreifondon Laston (Krafte nod Moolooto) stets ontereinander in uovoraoderlicheo Vorhkltoisseo

24

2 Bruchgeschehen in Laminaten

stehen. Der ausschliel3lich durch Innendruck belastete Behalter ist eine der seltenen Ausnahmen. Tragflugel, Rflmpfe und Leitwerke von Flugzeugen mftssen hingegen einer Vielzahl von sehr verschiedenen Belastungszustanden (Lastfällen) standhalten. Wenn nicht em einzelner Lastfall mit semen Beanspruchungen absolut dominierend ist, soilten die Wandungen solcher Bauteile unbedingt mindestens drei, moglichst recht unterschiedliche Faserrichtungen aufweisen [31]. Dies folgt aus der Netztheorie, s. Abschnitt 3.2. Für eine reine Innendruckbelastung eines dunnwandigen kreiszylindrischen Rohres ist eine +55°-Wicklung eine herstelltechnisch gllnstige und zugleich beanspruchungsgerechte Ausfuhrung. Solite sich das Verhältnis von Umfangsspannung zu Axialspannung, das bei reiner Innendruckbelastung 2:1 betragt, aber einmal drastisch ändern, z.B. dahingehend, daB die Axialspannung ebenso grof3 wird wie die Umfangsspannung, ware das von den Fasern gebildete "Netzwerk" allein nicht imstande, die Belastung aufzunehmen. Es entstehen deshaib die zu massenhaft auftretenden Zwischenfaserbrllchen hohe Jj- und vom Modus A führen. Diese sind aber in diesem Fall nicht harmios wie bei einem nach der Netztheorie tragfähigen Laminat, denn die an den Zwischenfaser-Bruchstellen nicht mehr llbertragbaren Kräfte können nicht in Fasern umgelenkt werden, Bud 2.10.

Bud 2.10: Bei einem +550-Rohr unter axialer Zugspannung, die gleich hoch ist wie die Umfangsspanuung, weichen die Fasern wie bei einer Nurnberger Schere der Beanspruchung aus, bis sic die ±45°-Lage erreicht haben.

Während sich bei einem beanspruchungsgerechter ausgelegten (00, +60°)-Laminat mit fortschreitender RiBbildung die Kräfte in den Fasern konzentrieren, entziehen sich beim betrach-

2.5 Laminat-Versagen

25

teten +55°-Rohr die Fasern wie hei einer "Nllrnberger Sehere" weitgehend der Beanspruchung. Sie "versuehen" dabei in die Riehtnngen zu gelangen, die für em Netzwerk hei gleich hoher Axial- nnd Tjmfangsspannung richtig wdren, d.h. in die +45°-Riehtungen (s. 01. (3.6) auf S. 33). \Vegen der fortschreitenden RiObildung nnd, weil die Fasern die Krhfte nieht flbernehmen konnen, treten extrem grol3e Verformungen anf. Diese gehen mit zunehmenden Zersthrnngen dnrch Risse und Delaminationen einher, his sum Schlnfl durch hrtliehe Biegung and Verdrebung von Faserhflndeln aueh Fasern breehen, Bud 2.11.

Bild 2.11:

Fortschreitende: ZerstOrung does ±55°-Rohres lid gloich holier Axial- ood Umfangsspoonnog

Diese undefinierte Versagensart in Form einer fortsehreitenden Aoflosung des Laminats ldOt sich nut den heutigen Mitteln kaum einigermaden wirkliehkeitsgetren reehneriseh simolieren. Aber nieht nor deshalh vermeiden Faserverbund-Konstrukteure solehe nieht an die Beansproehung angepadten Laminate. sondern vor allem, wed in ihnen der wertvolle Faserwerkstoff hdehst unvoilkommen ausgenutzt wllrde. Bin anderes Beispiel für em nieht beanspruehungsgereeht aosgelegtes Bauteil ware em (00 90°)-Rohr, das aoeh erhebliehen Torsionsmomenten aosgesetzt ist. Wkhrend Axial- and Umfangsheanspruehung sehr gut von einer solehen Faserstruktur aufgenommen werden kann, heteiligen sieh die Fasern kaum an der Uhertragung der Torsion. Sic versehiehen sieh infolge der Sehuhbeanspruchung nor wie die Stahe eines Parallelogramm-Gestanges, Bud 2,12. Die aus der Torsion herrllhrende Sehobbeansproehong der Rohrwand mud im wesentliehen der 0°- and 90°-Sehiebten aofgenommen werdeo. Die zogehbridureb 50 his 100 N/mm2 betragen. ge Quer/Lkngs-Sehubfestigkeit der UD-Sehiebten dürfte RLIF Trotzdem ertrkgt die Rohrwandung Sehubspannungen (hezogen auf die Axial- and Umfangsriebtong), die RjH ühersteigen and zwar umso rnehr, je feinsehiehtiger die Wandung ist. Das

____________

26

2 Bruchgeschehen in Laminaten

gerissene" Laminat verhklt sich so hhnlich wie em Block aus kreuzweise geschichteten Bret-

terlagen, bei dem die Bretter nur auf ihren Breitseiten, nicht aber auf ihren Schmalseiten Riflflachen) miteinander verleimt sind. Bei einer Schubbeanspruchung spalten die Bretter immer mehr auf und danach brechen die grol3flachigen Verklebungen. Im Laminat huBert sich dieser Vorgang als fortschreitende Riflbildung und nachfolgende Delamination.

a I

Bud 2.12: Bei einem (00, 90°)-Rohr unter Torsion weichen die Fasern wie bei einem Parallelograrnmgestänge der Beanspruehung ens.

Etwas Ahnliches spielt sich ab, wenn em +45°-Rohr einachsig durch Zug oder Druck in Axialrichtung belastet wird. Die Schichten erleiden eine kombinierte (eli, Beanspruchung, und auch hier ist eine Kraftumlagerung in die Fasern kaum moglich. Wenn es sich statt um em Rohr um einen Plattenstreifen handelt, ist die Beanspruchungssitnation noch ungtinstiger, weil nun an den seitlichen Rhndern auch noch Delaminationen infolge der dort wirkenden ortlich sehr hohen interlaminaren Spannungen auftreten [31]. In der Vergangenheit sind hhuflg +w-Laminate (Ausgeglichene Winkelverbunde, Angle Ply Laminates) in Zerreiflversuchen geprflft worden, um "dem Konstrukteur Kennwerte an die Hand zu geben" und um Bruchkriterien auf ihre Brauchbarkeit zu dberprUfen, z.B. in

[32,33]. Dies ist wegen der geschilderten Vorgange in solchen Laminnten abwegig. Weder sind solche undefinierten "Festigkeiten" für eine Faserverbundkonstruktion von Bedeutung, noch

kann man mit Bruchkriterien den sich einstellenden fortschreitenden Zerstdrungsvorgang, bei dem keine wirksame Umlagerung der Krafte in die Fasern erfolgen kann, einigermaflen realistisch beschreiben. Anders verhhlt es sich mit Laminaten, die mindestens drei merklich voneinnnder verschiedene Faserrichtungen aufweisen. Fortschreitende Riflbildung infolge Zfb fflhrt hier zu einer zunehmenden Umlagerung der Krhfte in die Fasern, die sich — wie sphter gezeigt wird — auch

2.5 Laminat-Versagen

27

rechnerisch recht gut verfolgen lal3t. Mit Zfb-Kriterieu kann man den Beginn der Rifibildung in den Schichten beschreiben, Degradationsmodelle erfassen die mit der fortschreitenden RiBbildung einhergehende Verminderung bestimmter Steifigkeiten und die darans resnitierende Umlagerung der Krafte, und mit gesonderten Fb-TKriterien wird der Eintritt des Faserbrnches vorhergesagt. AbschlieBend muB hier die Frage der von einem Zfb des Modus C ansgehenden TCeil- nod Sprengwirkung noch etwas eingehender behandelt werden. Dazn sei zundchst eine einzelne, nicht in einem Laminat eingebettete UD-Schicht betrachtet. Tm ailgemeinen wirken auf einer schrägen, parallel zu den Fasern verlaufenden Schnittebene drei Spannungen, nkmlich die und Thi , Bild 2.13. Schneidet Normalspannung an und die beiden Schubspannungen man durch einen schragen Schnitt unter einem Winkel B (und einen weiteren in Dickenrichtung verlaufenden Schnitt) aus der Schicht einen Teilkorper heraus, so ist an diesem, solange noch kein Bruch eingetreten ist, znnkchst das Gleichgewicht der Krafte durch die im Werkstoff wirksamen Spannungen gewkhrleistet, Bild 2.13a. Dieses ist die Ausgangsbasis für die Herleitung der bekannten Transformationsbeziehungen für Spannungen. Tm hier betrachteten Fall eines ebenen (a2, y21)-Spannungszustands lauten diese: a,,

= a2cos26,

Tnl

= —a2sinOcos9, = r21cosd.

(2.1)

Die Schuhspannungen Tnj und Tnl ergeben zusammen eine resultierende Schnbspannnng

=

+

=

sin2 0

ens 0

+

(2.2)

fracture plane) die Lage einer Bruchebene bezeichnen, die Es soll nun der Winkel Oj (fp sich bei einem bestimmten Verhaltnis r21/a2 einstellt, Bild 2.13b. Wenn sich die betrachtete Schicht nicht in einem Laminat befande, wllrden die Bruchstilcke abgleiten, sobald der durch die Normalspannuug Un veraufeinander in Richtung von nrsachte Reibwiderstand dberwunden werden kann, d.h. wenn gilt: (2.3)

Mit den obigen Transformationsformeln und den Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen sin , ens und tan wird hieraus

(r21\2 N \U2/

+

\a2/

+1 tan

2

(2.4)

1st die gebrochene Schicht Bestaudteil eines Laminats, so kann, wenn noch keine merklichen Delaminationen vorhanden sind, die Bber die horizontale Komponente der Reibkraft

28

2 Bruchgeschehen in Laminaten

(c)

= = kJ2tSIflOfpI

(d)

Bud 2.13: Znr Erklarnng der Keilwirknng schrager Brdche des Modns C bei ebener (cc1, cr2, Tn)Beanspruchnng. (a) Spannungen auf einem schrdgen Schnitt unter dem Winkel 9: Normaispannung am, die Schnbspannungen nnd lassen sich zn znsammenfassen. (b) Wenn Tmdt* die maximale Reibkraft dberschreitet, gleiten die Brnchstucke in der Richtnng von anfeinander ab. (c) Kräftegleichgewicht an einem BrnchstUck bei r21 = = 0. Solange Trbtt* kleiner ist als die maximal mdgliche Reibkraft, gleiten die Brnchstticke nicht anfeinander ab. (d) Krbfte an einem Brnchstdck mit grodem Brnchwinkel = 0. Die maximale Reibkraft ist Oberschritten. Tm Laminat wird die Uberschndkraft An2 By bei r21 =

fiber interlaminaren Schub r32 in die Nachbarschichten eingeleitet. An3 Obt durch interlaminare Normalspannnngen eine Sprengwirknng anf des Laminat ans.

2.5 Laminat-Versagen

29

hinausgehende Kraftwirkung der Schubspannung wohi ohne weiteres durch interlaminarea Schub r31 in der TJmgebung des Risses in die Nachbarschichten umgeleitet werden, so dad für die Untersuchung der "Sprengwirkung" die Spanaungskompoaeate Tnl und damit r21 auder Betracht bleiben kann.

Wenn man nur die Spannungen betrachtet, die eine Kraftwirkung in Dickenrichtung haben, Bud 2.13c und d, erhdlt man als Abgleitbedingung aus 01. (2.4) mit r21 = 0 (2.5)

die der Bedinguag für das Abgleiten einer Masse auf einer schiefen Ebene ahnelt. Es wird später gezeigt, dad der Bruchwinkel bei (ai, a2, sehr einfach berechnet werden kann, 01(5.7) auf S. 65. Nimmt man p = 0,4 an, würde nach 01. (2.5) bei Bruchwinkeln 0h' 22° von einer gebrochenen Schicht in einem Laminat eine Kraftwirkung in Richtung der Dicke ausgehen, weiche die Tendenz hat, das Laminat zu sprengen". Für die Herstellnng des Kraftgleichgewichts anf der Bruchebene allein durch die Reihkraft fehit der schrkg gerichtete Kraftüul3 (Kraft je Breiteneinheit), Bud 2.13d,

=

pan)t*.

(2.6)

Dessen in Dickenrichtung wirkende Komponente Am3 ist die Ursache der "Sprengwirkung", während die Komponente An2 in der Umgebung des Risses interlaminare Schubspannun-

gen r32 bewirkt. Es entsteht also für die Nachbarschichten erhohte Delaminationsgefahr wenn diese unter hoher faserparalleler Druckspannung stehen — die Gefahr des Benlens einzelner Lagen, dessen untersehiedliche Formen von Prinz und Gadke in [34] beschrieben worden sind. Besonders gefahrlich sind die schragen Brüche, wean die gebrochene Schicht relativ dick ist und — was theoretisch durchaus wahrscheinlich ist — zwei schräge Brüche nahe beieiaander auftreten and der Bruchwiakel einmal einen positivea uad einmal einea negativea Wert hat, und — besonders

Bud 2.14. Aus Versuchen, die am Inst it nt für Kunststoffverarbeitung (1KV) in Aachea durchgeführt wurdea [15], geht hervor, dad bei besonders ungüastigea Verhkltnissen der schrkge Zwischeafaserbruch infolge a2-Druckspanaung in Sekundenbmchteilea eiaen schlagartigea Totalbrach

eines Laminats ausldsen kaaa, Bud 2.15.

30

2 Briicligescliehen in Laminateri

Bud 2.14: An einer schräg anfgeschnittenen GFK-Drehrohrfeder zeigen sich zwei henachbarte Brurhe des Modns C mit entgegengeselztenm Vorzeichsn des Bruchwinkels 2.5J.

Bud

2.15:

Katastrophaler Brucli eines it infolge eines Zth Modmis C in der dicken hei emachsigem Druck in Richeming

Anmerkungen zur

3

S pannungsanalyse 3.1

Vorbemerkungen

Die Methoden der Spannungsanalyse werden relativ kurz behandelt, weil sic weitgehend bekannt scm dürften. Die Problembereiche der schichtenweisen Bruchanalyse liegen auch am allerwenigsten bei der Spannungsanalyse als vielmehr bei den Bruchkriterien und Dcgradationsmodellen sowie deren sinnvoller Anwendung. Um die damit zusammenhhngenden Fragen gründlicher bearbeiten zu kdnnen, wird hier auf eine eingehende Darstellung der Spannungsanalyse verzichtet, zumal sowohl auf eine VDI-Richtlinie als auch auf einschlagige Monographien verwiesen werden kann [31, 35 bis 38].

Die Netztheorie gilt heute aus wissenschaftlicher Sicht als obsolet. Für die Konstruktionspraxis bleibt sie aber em unverzichtbares Hilfsmittel, insbesondere für den Laminat- und Bauteil-Entwurf. Dieser Aspekt wird deshalb im folgenden kurz angesprochen.

3.2

Hinweise zur Netztheorie

Etwas vereinfacht ausgedrdckt unterscheidet sich die Netztheorie von der aligemein bekannten lclassischen Laminattheorie dadurch, daB bei der Modellierung des Laminats als Schichtenverbund aus UD-Schichten alle Elastizitdtsmoduln, Schubmoduln und Querkontraktionszahlen mit Ausnahme des faserparallelen Elastizithtsmoduls zu "null" gesetzt werden. Dementsprechend konnen für die einzelnen Scluchten auch nur faserparallele Spannungen (oder a3) errechnet werden. Statt mit Spannungen rechnet man zweckmaBigerweise mit Schichtkraften Eigentlich müBte man korrekterweise von Krdften je Breitenein= 0iIk heit sprechen; sic werden auch als Kraftflüsse, Normalkraftfiufl, Schub(kraft)fluB, bezeichnet. Zum Aufstellen der drei Gleichgewichtsbedingungen zwischen den üuBeren Krhften am Laminat und den Kraften in den einzelnen Faserschichten transformiert man die Schichtkrbfte in die Richtungen x und y, auf die die auBerdn Krafte bezogen sind. Für em Laminat mit 3 Faserrichtungen cv2, a3 (Winkel positiv, wenn man aus der x-Richtung entgegen dem Uhrzeigersinn in die Faserrichtung gelangt) erhalt man für die ebene Belastung durch

32

3 Anmerkungen zur Spannungsanaiyse

das folgende Gleichungssystem:

die drei Kraftfliisse

= = =

?Lli eos2 a1

sin2 sin

+ +

2a1 +

7L2 COS Cl2

sin2 Cl2

+ +

sin 2a2 +

mu3

cos a3, sin2 a3 sin 2633

Hieraus wird sogleich ersichtlich, daB bei 3 Faserrichtungen grundsdtziich jeder beliebige ebene Beiastnngszustand m1, it5, Clad allein durch Faserkrafte aufgenommen werden kann, a2, 633 stets die für denn aus den obigen 3 Gleichungen lassen sich bei gegebenen Winkein errechnen. Damit ist alierdings das Gleichgewicht erforderlichen 3 Schichtkrdfte

noch nichts darüber ausgesagt, ob bei der getroffenen Winkeiwahi die Belastnng auch mit dem kleinstmogiichen Materiaiaufwand aufgenommen wird. Dies hkngt von der geschickten Wahi der Faserrichtungen ab, für weiche die Netztheorie bestimmte Regein liefert [31,39]. nnd 633 ausgefllhrt, entfallt in den Wird das Laminat mit nur 2 Faserrichtungen Gleichgewichtsbedingungen Gin. (3.1) jeweiis der ietzte Term mit Die 3 Gieichungen erfordern aber, wie vorher auch, 3 "Unbekannte". Wenn die beiastenden Kraftfillsse gegeben und sowie zusktziich em Fasersind, konnen dies nur die beiden Schichtkrafte richtnngswinkei a1 oder a3 sein. Durch die Wahi eines Winkeis ist damit — passend znr vorhegenden Beiastung — auch der andere Winkei festgeiegt. Tixy zueinander stehen, mdl3te anch Andert sich das Verhaitnis, in dem die Krafte eine neue Winkeiznordnung erfoigen. Em Laminat mit 2 Faserrichtungen kann nur einen ganz bestimmten Beiastungzustand — ndmiich denjenigen, für den die Winkelznordnung getroffen wnrde — aiiein durch Faserkrkfte aufnehmen. Es sei an die im Abschnitt 2.5 betrachteten Beispieie für nicht beanspruchungsgerecht ausgelegte Laminate erinnert.

Bud 3.1: Koordinatensysteme und Winkel bei der Netxtheorie

Für das Berechnea der Schichtkrafte erweist es sich ais zweckmaBig, den Beiastungszuund Ti5H zn transformxy) in die Richtungea der Hanpt-Normaikrafte stand (mx,

3.2 Hinweise zur Netztheorie

33

analog zu Gi. (8.14) auf S. 133). Damit lauten dann die 3 Gleichgewichtsbedingungen für em Laminat mit n Faserrichtungen, d.h. k = 1 bis n:

mieren (Haupt-Normalkraft-Richtung

= = =

0

COS2

n

2

k=i

ciHk

sin

wobei ciHk der Faserrichtungswinkel der k-ten Schicht in bezug auf die Richtung der HauptNormalkraft ist, Bild 3.1. Bei einem zweischichtigen Laminat (k = 1, 2) folgen hieraus für die Winkelzuordnung folgende Beziehungen [39]: sin 2aH2 =

(3.3)

,

sin 2ciH1

tan

tan —

ciH2

=

(3 4)

cotanciH2

Die für die Winkelzuordnung bedeutsame Losung der Gi. (3.4) lautet:

tan aH2 =

(3.5)

.

tan crHi

Im Fall des ausgeglichenen Winkelverbunds mit cEH1 = +w und csH2 =

—w

wird daraus (3.6)

V

Es folgen nun Beispiele dafür, daB man mit der Netztheorie mehr Informationen erhalteri kann, als gemeinhin angenommen wird. Der mehr an den ailgemeinen Zusammenhangen interessierte Leser möge auf S. 35 weiterlesen. Entgegen einer weitverbreiteten Meinung ist em torsionsbelastetes Rohr, das statt als = —90°) ebenfalls als ausgeglichener +45°-Rohr (cu = 45°, a2 = —45°; cuH1 = 0°, 450 Winkelverbund bezüglich der Axialrichtung (ai = +w; a2 = —w), aber mit w ausgeführt wird, nach der Netztheorie tragfahig. Mit flyH/flxH = —1 wird aus Gi. (3.4): tan nfl1 + cotancu111 = tan a112 + cotanaH2.

Die Bedingung (oder auch tanaH2 = aH2 = 90°

a111

cotancuH1

(3.7)

nach Gl.(3.5)) ist nach Bild 3.2 erfüllt für

.

Wählt man a111 = 30° wird cu112 = 120°, das bedeutet w = 15°; wählt man aH1 = 30°, wird cu112 = 60°, das bedeutet w = 75°.

(3.8)

34

3 Anmerkungen zur Spannungsanalyse

Bud 3.2: Faserorientierungen nach der Netztheorie für Torsionsrohre mit unterschiedlichen Biegesteifigkeiten

Der erforderliche Faseraufwand ware bei beiden Ausfllhrungen gleich hoch, jedoch doppelt so hoch wie der minimale Faseraufwand bei der "optimalen" +45°—Ansführnng. Haufig muB man aber bei der Wahi der Faserrichtungen anf zusatzliche Anforderungen Rücksicht nehmen und daher von der +45°-Anordnung abweichen. Mit w = 15° ergibt sich eine hohere LängsBiegesteifigkeit, die z.B. bei Kardanwellen wichtig ist, weil diese eine hohe kritische Drehzahl aufweisen mflssen [40]. Bei w = 75° ist die Umfangssteifigkeit erhdht. Die Netztheorie kann keine Angaben llber die Verteilung interlaminarer Schubspannungen liefern, wohi aber llber die auftretende Radialspannung die für die UD-Schichten eine interlaminare Normaispannung a3 darsteilt. Für die Innenseite der aul3eren UD-Schicht (k = ii) der Rohrwandung gilt nach [27] (dort 01. (6.2))

=

(3.9)

mit = Innenradins der n-ten UD-Schicht. Wenn man gleich dicke UD-Schichten voraussetzt, ist diese interlaminare Spannung bei w = 15° etwa 7,5 mal niedriger als bei w = 45° nnd bei a' = 75° etwa doppelt so hoch wie bei a' = 45°. In alien Fallen, in denen dies fertigungstechnisch und von der Beanspruchung her moglich ist, wird man sethstverstkndlich versnchen, an der aui3eren Schicht

niedrige Radialspannnngen oder irn Idealfall radiale Druckspannungen zu erzielen, urn so der Delaminationsgefahr entgegenzuwirken. Bei reiner Wechsellast ernpfiehlt sich zumindest, die anl3ere Schicht mit einern besonders kleinen Wickeiwinkel anszufllhren, s. 01. (3.9).

3.3 Probleme bei der klassischen Laminattheorie

35

Diese Beispiele soilten gentigen, urn den Wert der Netztheorie für den Bauteil- und Laminat-Entwurf ins rechte Licht zu rllcken. Tm Kontext dieses Buches bleibt festzuhalten, daB die Netztheorie dazu dienen kann, hochbeanspruchte Laminate beanspruchungsgerecht zu entwerfen, bei denen sich mit fortschreitender Riflbildung durch ZfL des Modus A die Krafte mehr nnd mehr in das Faser-"Netzwerk" umlagern. Nur bei soichen Laminaten ist dann auch eine wirklichkeitsnahe rechnerische Simulation des sukzessiven Bruchgeschehens durch die Anwendung von Bruchkriterien nnd Degradationsmodellen moglich.

3.3

Probleme bei der klassischen Laminattheorie

Zur Analyse der Spannungs- und Verzerrungsznstdnde der einzelnen Schichten der Laminate wird in erster Linie die klassische Laminat-Theorie (Classical Laminate Theorie, CLT) benntzt, mit der ebene (a1, r21)-Spannungsznstande bei Scheiben-, Schalen- und Plattenproblemen erfal3t werden können. Sie kann heutzutage als aligernein bekannt vorausgesetzt werden [31,35 bis 38]. Für ihre Anwendung hei einer wirklichkeitsnahen Brnchanalyse von Laminaten mnf3 sie jedoch dahingehend modifiziert werden, daB die Nichtlinearitht von Spannungs-Verzerrungs-Znsamrnenhangen berllcksichtigt wird, die sich insbesondere bei den (r21, -y22)-Diagrammen zeigt, aber anch bei (a2, s2)-Diagrammen. wenn a2 eine Druckspannung ist. Bei GFK ist diese ausgeprhgter als bei CFK. Es gibt verschiedene Mdglichkeiten, diese Nichtlinearitaten zu berllcksichtigen, aber nicht alle sind gleich geschickt. Tm allgemeinen wird znnhchst folgende grundshtzliche Annahme getroffen:

Bei der Uberlagerung der drei Spannungen

a1, r21 bleiben die nichtlinearen Spannungs,Verzerrnngs-Beziehungen dieselben wie bei alleiniger 5r Beanspruchnng bzw. a2-Beansprnchung bzw. r21-Beanspruchung.

Bud 3.3: (mi, 721 )-Schubspannungs, SchiebungsDiagrarnme bei einer kombinierten Wirkung von r21 und a2

___________________

36

3 Anmerkungen zur Spannungsanalyse

I

t ft2

mm2

=1

A

:::-0,02 Em

I

J'

-0,01

\F

0

0,01

Bud 3.4: (a2, e2)-Spannungs, Dehuungs-Diagramme bei kombinierter Wirkung von 0-2 und

('121 721 )-Diagramm mllBte foiglich unverändert bleiben, wenn sich der

noch eine zu

proportionale a2-Spannung uberlagert. DaB dies nichi zutrifft, wurde

durch die Aufnahme von Spannungs,Verzerrungs-Diagrammen bei verschiedenen kombinierten (0-2, v21)-Beanspruchungen in [41] gezeigt, Bilder 3.3 und 3.4. Die zusätzliche Mikroschädigung durch die a2-Beanspruchung verursacht einen flacheren Verlauf der ('121,721)Linie als bei reiner v21-Beanspruchung und umgekehrt. Am Fachgebiet Faserverbundiech-

nik des Autors an der Universität Gh Kassel entwickelte Rechenprogramme erlauben die Dazu müssen aber eiBerllcksichtigung soicher Interaktionen der Spannungen a2 und nige Spannungs-Verzerrungs-Diagramme für kombinierte (a2, )-Beanspruchung vorliegen. Grundsätzlich gilt, daB man bei Vernachlassigung dieser "Verzerrungs-Interaktion" bei kombinierter (ar, a2, 'r21)-Beanspruchung meist zu niedrige RiBbildungsgrenzen errechnet.

Bud 3.5: Quasi-linear-elastisches Berechnen von Spannungen '121 und Schubverformungen 'y21 durch

Iteration mit Hilfe eines veränderlichen Sekantenmoduls

Zum Berechnen von Spannungen a2 bzw.

'121

aufgrund experimenlell ermittelter

(a2, 82)- bzw. ('121, 'y21)-Diagramme kann man entweder Tangentenmoduln, beispielsweise = da2/de2, oder Sekantenmoduln, z.B. E88 = a2/e2, benutzen. Die Spannungs-

3.3 Probleme bei der klassischen Laminattheorie

37

Verzerrungs-Zusammenhänge werden zweckmaf3igerweise mit Spline-Funktionen 3. Grades angenahert, entweder im Ganzen oder abschnittweise, und es wird iterativ gerechnet. Somit stehen sowohi die Werte des Sekantenmoduls als auch des Tangentenmoduls zur Verfugung. Beim Iterieren benotigt man bei Benutzung des Sekantenmoduls em paar mehr Rechenschritte als beim Rechnen mit Tangentenmoduin, weil die Anpassung immer nur im Spannungs-

wert, aber nicht mit der richtigen Steigung des Diagramms erfolgt, Bud 3.5. Dafür ist das Rechnen mit den Sekantenmoduin jedoch insofern vorteilhaft, als es "selbst-korrigierend" ist. Hat man bei einer Belastungssteigerung für eine Laststufe eine Spannung fehierhaft berechnet, wirkt sich dies nicht auf den bei einer höheren Laststufe berechneten Spannungszustand ails, denn man benutzt keine früher berechneten Spannungswerte, sondern rechnet immer wieder auf einem "frischen Strahi" vom Nullpunkt aus. Die Vorzuge des Sekantenmoduls zeigen sich auch bei der Degradation nach dem Rif3bildungsbeginn; für ihn läi3t sich eine monotone Abklingfunktion finden. Bei ist es belanglos, ob man den Sekantenmodul von oder von 721 abhdngig abgreift. Hingegen kann bei nicht-Iinearen (a2, r2)-Zusammenhangen der Sekantenmodul E15 bei gleichzeitiger Wirkung von a1 und cr2 nicht von der errechneten Dehnung 62 abhangig gemacht werden, die wegen der Querkontraktion nicht nur von a2, sondern auch von a1 abhängt, Bud 3.6. 80

=0

N

c2

p

-

A a,

a, I

=

=5

-80 10

-160

-0,02

-0,04

0,02

0

Bud 3.6:

(a2, c2)-Spannungs, Dehnungs-Diagramme bei gleichzeitiger Wirkung von 02 und ai

Bei der Spannungs- und Verzerrungsanalyse mit der Laminattheorie tritt das Elastizitätsgesetz einer UD-Schicht in der folgenden Form auf:

a2

u1E

E

a1

=

E

0

0

mit

0

0

721

=

E1

(3.10)

38

3

Anmerkungen zur Spannungsanalyse

Für die nicht-lineare Rechnung benutzt man weiterhin dieses Elastizitatsgesetz, d.h. man rechnet "quasi-linear-elastisch" indem man in die obigen Beziehungen spannungsabhängige Eiastizithtsgrol3en einfllhrt. Wahrend der (r21, 721)-Zusammenhang vom übrigen Stoffgesetz entkoppelt ist, hangen a1

und 62, ab. Man macht deshaib den Sekantenmodul und a2 von beiden Dehnungen, erreichten a2-Wert abhhngig, und zwar folgendermaBen [2]: vom E±s Wenn bei zweiachsiger (a1, a2)-Beanspruchung em a2-Wert errechnet worden ist, wird dem vorliegenden Spannungszustand em Wert des Sekantenmoduls E15 zugeordnet, der sich beim gleichen a2-Wert aus dem (a2, z2)-Diagramm für em-

achsige a1-Beanspruchung ergibt. Der so ermittelte E13-Wert tritt im Elastizitätsgesetz (3.10) uberall an die Steile von Diese Verfahrensweise erscheint deshaib berechtigt, weil die Krümmung des (a2, 62)Diagramms bei der Erstbelastung im wesentlichen auf Mikrorif3bildung zurückgeführt werden kann [41]. Deren Ausmal3 dürfte von der erreichten Spannungshohe abhhngen, aber nicht von der erreichten Dehnung. Hohe, schadigend wirkende a2-Zugspannungen können auch bei 62 = 0 und sogar bei 62 <0 auftreten. Dies ist übrigens auch der Grund dafür, daB es nicht moglich 1st, für den Zwischenfaserbruch einfache Dehnungs-Bruchkriterien anzuwenden [42], vgl. Abschnitt 4.3. Konsequenterweise solite wegen der mit der Höhe der a2-Spannung einhergeheriden Miabgesenkt werim Verhältnis kroschadigung auch die Querkontraktionszahl den. (Dies ergibt sich aus Uberlegungen, die im Abschnitt 6.2.1 näher ausgefllhrt werden.) Wenn bei CFK das progressiv ansteigende (a1, zi )-Diagramm berücksichtigt werden soil, verfährt man volikommen analog. Auch beim Erfassen des Einfiusses von Eigenspannungen auf das Bruchgescheheri soilte die Nichtlinearitkt der Spannungs,Verzerrungs-Beziehungen berücksichtigt werden. Eigenspannungen kbnnen korrekterweise nicht -- wie in den meisten kommerziellen Rechenprogrammen vorab berechnet werden und dann als fester Sockelbetrag den Spannungen aus der Belastung zugeschiagen werden. Die Eigenspannungen verringern sich mit steigender Belastung, was man sich mit Hilfe des im folgenden beschriebenen Gedankenexperiments vergegenwkrtigen kann. Eine relativ dünne, ausgehartete UD-Schicht erhält durch eine meresidual) aufgechanische Vorrichtung, z.B. einen Schubrahmen, eine Verformung zwungen. Diese wird aufrechterhalten, wahrend die Schicht beidseitig mit weiteren, ebenfalls ausgeharteten UD-Schichten mit unterschiedlicher Faserrichtung beklebt wird, so daB em Laminat entsteht. Diese nachtraglich angebrachten Schichten seien sehr viel steifer als die vorverformte. Dann bleibt nach Entfernung der mechanischen Verspanneinrichtung die Vernahezu unverkndert erhaltén. und damit die Spannung formung

3.3 Probleme bei der kiassisehen Laminattheorie

39

121

(r)

T 21o

Bud 3.7: Verminderung einer Eigenspannung infolge von Mikrosehadigung bei einem Belastungs-

zykius

Nun wird das ganze Laminat belastet und zwar so, daB in der betraehteten Sehieht eine weitere Sehubverformung auftritt, die in den nieht-linearen Bereich des (rsi, 'y2s)-Diagramms filhrt, Bud 3.7. Bei Erreichen der Sehubverformung 721ma,. wird die Belastung wieder orniedrigt, bis das Laminat vollstkndig entlastet ist. Wir nehmen an, daB nur in der betrachteten Schieht Mikrosehaden aufgetreten sind, die tibrigen Sehiehten sieh aber ideal elastiseh verhalten. Dann wird bei vollsttindig entlastetem Laminat in der betrachteten Sehicht wieder die anfangliehe Verformung erreieht, jetzt aber bei elner Schubspannung die erheblich niedriger ist als die vor der Belastung vorhandene Spannung Die während des Belastungsvorgang aufgetretenen Mikrosehädigungen haben also einen Tell der nrsprtinglichen Elgenspannung "abgebant". Die Elgenspannung war aueh schon bel der Hochstlast auf den niedrigen Wert abgefallen. Dies folgt daraus, daB bei der erneuten jetzt ideal (r) elastisehen — Belastung bis 725 max der Betrag der Esgenspannung r211 nnveranderlich ist; sie war also auch schon am Ende der Erstbelastnng in der gleiehen Grdtie vorhanden.

Als Konsequenz folgt ans dem Gedankenexperiment, daB Eigenspannungen bei nichtlinearer Rechnnng korrekterweise bei jeder Iteration mit den jeweils benutzten Sekantenmoduln neu berechnet werden mutiten.

Generell ist festznhalten, daB alle Fehler, die bei Benutzung der heute gängigen Rechenprogamme gemacht werden, ndmlieh durch Vernachlasssigung der Nichtlinearitat der Spannnngs ,Verzerrnngs-Zusammenhknge, der "Verzerrungs-Interaktion" und des "mechanischen" Abbaus der Eigenspannnngen, sich meistens in der gleichen Richtung auswirken. Alle ftlhren normalerweise dazu, daB zu niedrige Zf-Ritibildnngsgrenzen errechnet werden. Deshalb 1st es durchaus denkbar, daB einige Abweichung zwischen Rechnung und Experiment, die von manchen Autoren dem "dUnne Schicht" - nnd "in sitn"-Effekt (Abschnitt 11.2) zugeschrieben wird, in Wirklichkeit — zumindest teilweise — von einer Summation von Fehlern bei der Spannungsanalyse herrtihrt.

40

3.4

3 Anmerkungen zur Spannungsanalyse

Anmerkungen zu interlaminaren Spannungen

AuJ3er in eng begrenzten Krafteinleitungsbereichen und an freien Laminaträndern, d.h. denen keine kuBeren Kräfte angreifen (z.B. seitlichen Rkndern von FlachRändern, probekorpern) sowie bei Schlagbeanspruchungen, treten meist keine für das Bruchgeschehen bedeutenden interlaminaren Spannungen auf. Beim Arbeiten mit der klassischen Laminattheorie werden die interlaminaren Spannungen normalerweise llberhaupt nicht erfal3t. So erklhrt es sich daB Konstrukteure und "Berechner" meist keine Erfahrurigen mit interlaminaren Spannungen sammein können. Weil sich diese Spannungen auch weitgehend cincr gefuhlsmkf3igen Beurteilung entziehen, entwickeln sich haufig recht falsche Vorstellungen

uber sie. Bereits der Name verführt zu der Fehlinterpretation, daB es sich urn Spannungen handelt, die nur zwischen den Schichten auftreten. Aus Gleichgewichtsgrllnden mOssen sie aber auch in den Schichten selbst wirken, nur erreichen sie an den Schichtgrenzen oft ihre Extremwerte, s. Bud 3.9 auf 5. 42. Auch die Aussage, daB eine gedachte, meist auch real vorhandene dünne "Zwischenschicht" aus Matrixmaterial unterschiedliche interlaminare Schubspannungen in den Grenzflkchen zweier benachbarter Schichten "ausgleicht" [43], verstöBt gegen die Gleichgewichtsbedingungen, denn em Volumenelement mit infinitesimal kleiner Dicke dz nach Bild 3.8a, das Teile von zwei Schichten und eine Zwischenschicht enthalt, kann auf seiner Ober- und Unterseite und damit auch in den beiden Grenzfihchen aufweisen.1 nur gleich grofie Spannungen Dort, wo der intralaminare Spannungszustand einer Schicht homogen ist, d.h. sich über groBere Bereiche nicht ändert, kOnnen aus GleichgewichtsgrOnden keine interlaminaren Schubspannungen entstehen. Dies geht aus Bild 3.8b hervor. Der Ubersichtlichkeit halber sind nur diejenigen Spannungen eingezeichnet worden, die eine Kraftwirkung in x-Richtung ausllben. Aus dem Gleichgewicht der Krhfte in x-Richtung folgt: ax

+

Tyx

+

= 0, (3.12)

auf Vorder- und ROckseite bzw. Ober- und Unterseite des EleDie Spannungen ments stehen unter sich im Gleichgewicht. Für die Entstehung einer interlaminaren Schubauftreten. Eine spannung ist erforderlich, daB Spannungsgradienten landlkufige" Meinung, daB hohe interlaminare Spannungen zwischen Schichten wirken, in denen sehr unterschiedliche Spannungen herrschen, trifft nicht zu! 'Auch gelegentlich bei Flachprobekorpern an den freien Rändern zwischen den Schichten eingefflgte schubweiche Elastomer-Streifen können keine unterschiedlichen interlarninaren Spannungen "ausgleichen", sondern nur interlaminare Spannungen mildern, indem sie im Bereich des freien Randes gewisse Relativverschiebungen der Einzelschichten ermoglichen, die normalerweise durch eine starre Verkiebung verhindert sind.

3.4 Anmerkungen zu interlaminaren Spannungen

41

(b)

dy

Bud 3.8: Spannnngen und Spannungsanderungen an einem infinitesimalen Volnmenelement. (a) Da die Gradienten der interlaminaren Spannungen in Dickenrichtung z endlich sind, können die interlaminaren nicht durch eine dünne Matrix-Zwischenschicht i zwischen zwei UD-Schichten a und Spannungen b "ansgeglichen" werden. (b) Spannungen und Spannnngszuwachse mit Kraftwirkung in z-Richtung

Ans der Gi. (3.12) und der folgenden analogen Gleichung 3z

=

+

(3.13)

dx

erhält man nur die GrdBe der Gradienten in z-Richtung der interlaminaren Spannungen in einem Punkt (x, y, a) des Laminats. Ihre Grdl3e an der Stelle z1 folgt dana ails: und

=

dz,

J

[1

0x)

(3.14)

(3.15)

Bei der Integration geht man zweckmal3igerweise von euler schnbspannungsfreien Oberflkche (Stelle zo) aus, z.B. bei einem Rohr von der Innenseite oder AuBenseite. Jakobi hat eine exakte elastizitktstheoretische Berechnung interlaminarer Schubspannuhgen an einem gewickelten [+45°/O°/ ± 45°]-Rohr unter Qnerkraftbiegung [44] einer naherungsweisen Berechnung [45]

gegenubergestellt. Das Ergebnis ist in Bud 3.9 dargestellt.

42

3 Anmerkungen zur Spannungsanalyse

Bud 3.9: Interlaminare Schubspannungen über dem Radius eines kreiszylindrischen Rohres

+ 45°J-Wandaufbau bei Beanspruchung als Kragtrager mit Einzellast am freien Ende. Die durchgezogeuen Linien zeigen die exakte mit

Losung nach [44], die gestrichelten Linien die Ndherung nach [451.

Bei der exakten Ldsung sind die intralaminaren Schichtspannungen von der z-Koordinate abhängig, bei der Naherung nicht. Deshaib ist die Steigung der llber dem Radius aufgetragenen interlaminaren Schubspannung bei der Naherung abschnittweise konstant, nicht jedoch bei der exakten Ldsung. Wichtig ist hier, daB die maximalen interlaminaren Schubspannungen an den Schichtgrenzen, absolut gesehen, sehr klein sind, unter 1 N/mm2 , wkhrend in der 0°-Schicht die intralaminare Schichtspanung = a5 300 N/mm2 betrhgt. Sie wächst aol einer Lange von 500 mm (von der Krafteinleitung am freien Ende bis zur Einspannstelle) auf diese Werte an; d.h. der Spannungsgradient 1st sehr klein. Der Gradient 1st ebenso klein2, und der Integrationsweg über die Schichtdicke betragt nur maximal etwa 6 mm statt 500 mm bei der intralaminaren Spannung Deshalb bleibt SO klein. Die Abmessungen des als Beispiel gewahlten Rohres (Durchmesser 100 mm, Wanddicke 8 mm, Lange 500 mm) erlauben es, theses als dflnnwandig und schlank einzustufen. In [45]

wurden auch dickwandigere und gedrungenere Rohre mit verschiedenen Laminatauthauten untersucht; für alle konnte aber folgende generelle Aussage gemacht werden: "Die Beanspruchungen durch interlaminare Schubspannungen sind bei allen Laminattypen sehr klein und ohne maBgeblichen EinfluB auf die errechnete Bruchgefahr."

Eine gänzlich andere Situation existiert an den freien Rhndern eines Laminats, die man sich sehr leicht an einem streifenformigen Probekdrper aus einem (0°, 90°)- oder einem ±wLaminat vergegenwartigen kann, Bud 3.10. Gi. (3.12). Die Betrage von

und

heben sich sogar teilweise gegenseitig auf.

3.4 Anmerkungen zu interlaminaren Spannungen

43

(a) z

(b)

000 rxy

Bud 3.10: Verspannungen infolge unterschiedlichen Spannungs,Verformungs-Verhaltens der UD-Schichten beim (0°, 90°)—Laminat (a) und ±w-Laminat (b) sind die Ursache für interlaminare Spannungen an den kraftfreien seitlichen Rändern. Gezeigt sind die unvertraglichen Verformungen, die sich einstellen, wenn die Schichten nicht verbunden sind, und die zu ihrer Rückstellung erforderlichen Spannungen a5 bzw.

in der der Laminattheorie errechnen sich für das (0°, 90°)-Laminat Spannungen Breitenrichtung. Am kraftfreien Rand kdnnen diese aber nicht existieren; ale müssen erst in die Schichten eingeleitet werden. Bei dem durch interlaminare Schubspannungen Laminat ergeben sich zwar keine Spannungen a5 , statt dessen aber in den +w-Schichten und Die Ursache für die Verspan—w-Schichten entgegensetzt gerichtete Schubspannungen nung der Schichten liegt darin, daB sich beim (0°, 90°)-Laminat die unterschiedlich groBen Querkontraktionen und —vHJao) der 0°-Schicht bzw. 90°-Schicht nicht frei ausbilden kdnnen, während beim ±w-Laminat die mit der Dehnung in x-Richtung gekoppelte die für die +w-Schicht und die —w-Schicht unterschiedlich gerichtet Schubverformung zwi1st, im Laminat unterdrückt wird, Bud 3.10. Durch interlaminare Schubspannungell schen den Schichten belasten sich die Schichten gegenseitig mit euler Schubspannung kompensiert. Für die interlaminareri verursachte Schubverformung weiche die durch Schubspannungen des (0°, 90°)-Laminat gilt nach Gi. (3.15): Nach

=

(01 Jzo

(3.16)

3 Anmerkungen zur Spannungsanalyse

44

und für das +w-Laminat nach Gi. (3.14):

= (3.17) Gleichzeitig entstehen znr Herstellung des Momenten-Gleichgewichts an den Einzelschichten

interlaminare Zug- oder Drnckspannnngen die als Zugspannnngen (" Schalspannnngen") eine Delamination vom Rand her sehr begOnstigen.

Es sind in den letzten 25 Jahren sehr viele Arbeiten znr Berechnnng der Verteilung der intra- und interlaminaren Spannnngen am freien Rand ersehienen. Exemplarisch werden bier nnr fOnf Arheiten genannt [46 bis 50], die sich nicht nur mit der Spannnngsberechnung befassen, sondern auch mit der in diesem Bnch besonders interessierenden Frage der Delaminationsgefahr. Hervorzuheben ist, daB weitgehende Ubereinstimmung darOber herrscht, daB die interlaminaren Spannungen in einer Entfernung vom freien Rand, die etwa gleich der Laminatdicke ist, abgeklungen sind. Das heiflt auch, daB in diesem relativ kleinen Abstand vom freien Rand die aus der Laminatthenrie folgenden intralaminaren Spannnngen bzw. you anfgebaut sind. In dem schmalen Randbereich gibt es also sehr hohe Gradienten

(3a5/35) nnd Ahnlich hohe Gradienten von intralaminaren Spannnngen treten in ungestOrten Laminatbereichen nur anf, wenn Zwischenfaserbrüche entstanden sind, s. auch Bud 2.6 anf S. 20. Hieranf wird in Abschnitt 7.2 eingegangen.

3.5

Hinweise auf analytische Losungen

Meistens wird heute anch die Spannungsanalyse von Banteilen mit einfacher Geometrie wie z.B. von dickwandigen kreiszylindrischen Rohren mit Hilfe der FEM ausgefuhrt, obwohl seit einigen Jahren analytische LOsungen verfllgbar sind. Diese sind fur Parameterstndien und Optimierungsprozednren viel hesser geeignet als die FEM. Jacobi [44] hat 1987 LOsnngen fur intra- nnd interlaminare Spannungen in dickwandigen Rohren für die folgenden Beanspruchnngen erarheitet: Innen- nnd AuBendrnck, Axialkraft, Torsion, qnerkraftfreie Biegung und Biegnng mit konstanter Querkraft. Anch die hygrothermischen Beanspruchnngen konnen unter bestimmten Voranssetzungen analytisch erfaBt werden. Mit dieser Methode laBt sich z.B. die Zfb-Anstrengung bei dickwandigen Rohren über der Wanddicke durch Wickelwinkelvariation konstant halten [19,20,27,44]. Für die Spannnngsverteilnng in einer sogenannten uberlappenden Welle/NabeVerhindung dickwandiger Torsionsrohre hat Schreibcr [27] ebenfalls 1987 analytische Losungen erarheitet, ans denen sich wichtige Hinweise für die Gestaltnng und Dimensioniernng leistungsfahiger und kostengBnstiger Krafteinleitungen ergeben. Sie vermitteln erhehlich mehr Einsichten in die Zusammenhknge als numerische Methoden.

4

Aligemeine Betrachtungen über Bruchkriterien

4.1

Begriffe und Definitionen

Der in diesern Kapitel zu erorternde Fragenkomplex ist schon von der Sache her schwierig genug, aber leider wird die Auseinandersetzung mit der Materie noch zusktzlich dadurch erschwert, daB die benotigten Begriffe in der Literatur teilweise mit unterschiedlicher Bedeutung benutzt werden, oder daB der normale Wortsinn und die technisch-wissenschaftliche Definition eines Terminus technicus gelegentlich erheblich voneinander abweichen. Dies trifft bereits auf den zentralen Begriff "Bruchkriterium" zu. Die Bezeichnung Kriterinrn ist eigentlich nnr ffir em nnterscheidendes Merkrnal angebracht. Deshnib wird er in diesern Bnch von nun nn auch nur noch dann benutzt, wenn eine Formulierung der folgenden Art gemeint ist: 1.

(4.1)

Dieses Bruchkriterium unterscheidet zusamrnengesetzte Spannungsznstande (a, r), die vorn Werkstoffaufgrnnd seiner Festigkeiten (Ra, H,.) ohne Brnch ertragen werden konnen (in diesem Fall gilt das <-Zeichen), von solchen, die nicht erreichbnr sind, weil vorher Bruch

eintritt (es gilt das >-Zeichen). Wenn Werte für die Spannungen, welche in die links vom Gleichheitszeichen stehende Funktion eingesetzt werden, dazu fflhren, daB der Zahlenwert der Funktion "1" wird (d.h., daB in der obigen Beziehung das Gleichheitszeichen gilt), handelt es sich urn einen Spannungszustaud, der einen Bruch bewirkt (oder auch je nach Betrachtungsweise — gerade noch ohne Bruch ertragen werden kann). Das Gleichheitszeichen rnarkiert also einen Grenzzustand, und zwar denjenigen, bei dem der Brnch eintreten kann. Zur Unterscheidung von der Formulierung nach (4.1), die em Bruchkriterium darstellt, wird von einer Bruchgrenzbedingung [51] oder in diesem Buch — der Kürze wegen — von einer

Bruchbedingung gesprochen, wenn eine Formulierung der folgenden Art gerneint ist:

=

1.

(4.2)

Der links vom Gleichheitszeichen stehende mathernatische Ansdruck ist eine Funktion, die alle zum Bruch fuhrenden Spannnngszusthnde beschreibt. Man könnte sie des-

46

4 Aligemeine Betrachtungen uber Bruchkriterien

haib als die "alle Bruchzusthnde charakterisierende Funktion" oder "Bruchzustdndefunktion" bezeichnen. Der Kflrze halber wird sie im folgenden die Bruchfunktion genannt. Sie enthalt die Normaispannungen a und die Schubspannungen r, sofern diese Einflul3 auf die Bruchentstehung haben. Beim aligemeinen Spannungszustand einer UD-Schicht konnen dies a3, a2, a3, y23, 'r31, 'r21 sein. Als Werkstoffparameter erscheinen in den verschiedenen Bruchbedingungen meistens mehrere Zug- und Druckfestigkeiten B,. sowie Schubfestigkeiten z.B. bei einer UD-Schicht die zu den Beanspruchnngen nach Bud 1.2 gehorenden Festigkeiten B11, Bei der Wahi der Bruchfunktion gibt es zwei Moglichkeiten. Entweder wird sie lediglich nnter dem Gesichtspnnkt einfacher Handhabbarkeit und guter Anpal3barkeit an Versnchsergebnisse gewahit, oder die Formulierung basiert -- mehr oder weniger ausgeprdgt — auf einer physikalischen Vorstellung von den Vorgangen, die den Bruch bewirken. Eine physikalisch plausible Annabme fiber die den Bruch verursachenden Zusthnde und Vorgknge nennt

man eine Bruehhypothese und denkt dabei zundchst an ihre verbale Formulierung. Zur Unterscheidung davon sollte ibre spezielle mathematische Auspragung als Bruchkriterium bzw. Bruchbedingung bezeichnet werden und nicht als Bruchhypothese, wie es in der dlteren Literatur haufig anzutreffen ist. Beim Dimensionieren von Bauteilen und beim anschlief3enden "Sicherheits"-Nachweis werden Bruchbedingungen dazu benutzt, rechnerisch festzustellen, wie weit die auftretenden Spannungszustande noch vom Bruchzustand entfernt sind. Dabei moB meistens voransgesetzt werden, daB sowohl beim herrschenden Spannungszustand als auch bei dem zum Bruch fflhrenden erhohten Spannungszustand die einzelnen Spannungen untereinander im gleichen

festen Verhaltnis stehen. Der gemeinsame positive Faktor, mit dem unter dieser Voraussetzung alle herrschenden Spannungen erhoht werden muBten, damit die Bruchbedingung erffillt ware, d.h. damit die Spannungen zum Bruch fubren wurden, wird Reservefaktor The. genannt. Wenn sich fRe. = 1 errechnet, bedeutet dies, daB bereits der berrschende Spannungszustand gerade zum Bruch fflhrt. Deshalb kann man jede Bruchbedingung alternativ zu (4.2) auch folgendermaf3en schreiben:

fR.,(a,T,R,.,RT) =

1.

(4.3)

Bisher ist noch vorausgesetzt worden, daB im Werkstoff keine Eigenspannungen vorhanden sind, d.h., daB, solange keine huBere Belastung wirkt, auch keine Spannungen existieren.

Nor unter dieser Voraussetzung ist der Kehrwert des Reservefaktors der Ausnutzungsgrad oder die Material-Anstrengung oder kurz Anstrengung (Efficiency ratio oder Effort, ()1

=

1

fR.s(a, r,R,,,

(4.4)

'Die Anstrengung wird mit S bezeichnet, urn einer Verwechslung mit dem E-Modul E vorzubeugen.

4.1 Begriffe und Definitionen

47

Damit kann eine Bruchbedingung auch folgenderma]3en formuliert werden:

= 1.

(4.5)

Buck auf (4.2), (4.3), (4.5) zeigt, daB für die gleiche Bruchbedingung verschiedene Bruchfunktionen benutzt werden können. So sind z.B. die Bruchfunktion F(a, r, Re,, Rr) (4.2) und die Bruchfunktion r, RT) in (4.5) nur in Ausnahmefällen identisch. Em

Bud 4.1: Darstellung der als "verschobene" Ellipse nach Gl. (4.6) und Veranschaulichung des Reservefaktors

Meistens enthält die Bruchfunktion F Spannungen in unterschiedlicher Potenz, z.B. wurvon vielen Autoren, u.a. von Hoffmann in [52], de für kombinierte (a2, die Bruchbedingung folgendermaBen angesetzt, Bud 4.1:

+

F=

=1.

+

(4.6)

In dieser Formulierung sind die darin vorkommenden Spannungen — im vorliegenden diejenigen, die zum Bruch führen. Sie werden zur Kennzeichnung dieses Fall a2 und Sachverhalts nicht durch einen Index oder anderweitig markiert! Leider ist es llblich, auch Spannungen, die nicht zum Bruch führen, sondern erst mit dem erhdht werden mlissen, damit die Bruchbedingung erfllhlt wird, genau so Reservefaktor zu bezeichnen. Man schreibt also auch

+ (

1

1

\ )

+

=

1

(4.7)

48

4 Aligemeine Betrachtungen über Bruchkriterien

und meint nun mit a2 und die herrschenden Spannungen, die normalerweise nicht gleichzeitig die zum Bruch filhrenden Spannungen sind, weil im aligemeinen Fall nicht zu erwarten ist, daB sich gerade fins = 1 ergibt. Auch in diesem Buch wird wie aligemein ublich — keine Indizierung zum Unterscheiden von Spannungen nach Gl. (4.6) und Gl. (4.7) vorgenommen.

Hier ist erhöhte Aufmerksamkeit geboten, wenn man nicht unterschiedliche Symbole für ziim Bruch führende und herrschende Spannungen einführen will! Mit den gegebenen herrschenden Spannungen cr2,

und Festigkeiten R11[ stelit Gl. (4.7) eine quadratische Gleichung für den Reservefaktor fR5. dar. Als Kehrwert VOfl deren Losung erhalt man die Anstrengung Sehr haufig kommen in den Bruchfunktionen wie z.B. ill GI. (4.6) nur Spannungsterme 1. und 2. Ordnung vor. Bezeichnet man die Summe der Terme 1. Ordnung mit > L und die Summe der Terme 2. Ordnung mit Q, so schreibt sich die Bruchbedingung mit der ursprllnglichen Bruchfunktion und den zum Bruch fuhrenden Spannungen >11

F=

L = 1,

Q+

mit dem Reservefaktor und den noch nicht zum Bruch fuhrenden Spannungen

10 oder alternativ mit der Anstrengung E (nach Division durch L

Q

= 0.

Die Ldsungen der quadratischen Gleichungen für fRes

=

2

Q

(

und Vorzeichenumkehr)

L+

L)2 + 4

bzw.

sind: (4.8)

DefinitionsgemaB sind fRes und g stets positiv! Setzt man nun fins = 1 oder = 1, hat man damit eine neue Schreibweise der Bruchbedingungen gefunden. Nun sind die Spannungen in Gin. (4.8) und (4.9) die zum Bruch fllhrenden! Eine haufige Fehlerquelle ist die irrige Annahme, daB sich in jedem Falle durch Einsetzen der herrschenden Spannungen in die Bruchfunktion em Zahienwert errechnen wilrde, der die Anstrengung angibt. Das ist aber nur dann der Fall, wenn die Bruchfunktion bezuglich der Spannungen homogen vom Grad 1 ist.2 2Die Bruchfunktion ist bezuglich der Spannungen homogen vom Grad r, wenn man bei Vergrollerung aller Spannungen mit dem Faktor ..\ aus der Bruchfunktion den Faktor auskiammern kann.

4.2 Visualisierung und mathematische Aspekte

49

= 0, Wenn man für eine einfache Beispielrechnung auf der Basis von Gi. (4.6) a2 = wählt, ergibt sich mit Cl. (4.9) für die Anstrengung = 0,375. = 0, sowie =

Setzt man jedoch fälschlicherweise die herrschenden Spannungen in die Bruchfunktion auf der linken Seite von Cl. (4.6) em, so erhält man F = Q + L = 0,22. Mif3deutet man den F-Wert als Anstrengullg, wird die Anstrengung urn 41% unterschätzt! Der mit den Werten für die herrschenden Spannungen errechnete Zahienwert der Bruchfunktion sagt, wenn diese bezllglich der Spannungen nicht homogen vom Grad 1 ist, nichts über die HOhe der Anstrengung, sondern nur darüber etwas aus, oh die herrschenden Spannungen ohne Bruch ertragen werden (Zahienwert < 1) oder riicht ertragen werden kOnnen (Zahienwert 1). Leider wird der MiBdeutung dieses Zahlenwertes als Anstrengung dadurch Vorschub geleistet, daB er gelegentlich bei der Benutzung von Rechenprogrammen als "Failure Index" (Fl) ausgegeben wird [53], während andere Autoren, z.B. in [5], mit "Failure Index" die Anstrengung bezeichnen.

4.2

Visualisierung und mathematische Aspekte

Für das Verstandnis der teilweise ziemlich abstrakten mathematischen Behandlung der Bruchgrenzen von Werkstoffen ist es hilfreich, gewisse Visualisierungsmoglichkeiten durch die Darstellung von Bruchbedingungen als Flkche oder Körper in Spannungsraurnen zu nutzen. Ausgangspunkt der Betrachtung sind in jedern Fall Spannungszustknde, die aus mehreren Spannungen zusammengesetzt sind. Es wird dann die Frage gestelit, welche Grenzen (Bruch-Grenzen) der HOhe der Spannungszustande gesetzt sind.

0

a2

Bild 4.2: Darstellung eines

(o-i a2, y21)-Span-

nungszustands als Spannungszustandsvektor {a}

50

4 Aligemeine Betrachtungen uber Bruchkriterien

Es ist Ublich, Spannnngszustande als Vektoren oder Tensoren darzustellen. Bei der Bruchanalyse macht man haufig von der Vektordarstellung Gebrauch. Em Vektor im sechsdimensionalen (ai, c'-2, cr3 'r23, r31, r21)-Raum entzieht sich dem Vorstellungsvermogen, aber beim wichtigen ebenen (ai, cr2 r21)-Spannungszustand gelingt die Visualisierung im (ai, a2, Spannungsranm.

Der (a1, a2, r21)-Spannungszustand wird durch einen Spannungszustandsvektor mit den rechtwinklig zueinander gerichteten Komponenten a1, a2, r21 dargesteilt, so daB sich seine Lange aus ergibt, Bud 4.2 auf S. 49. Dieser Vektor besitzt aber kein + + physikalisches Pendant in Gestalt einer "resultierenden Spannung".

•__

x2

Bud 4.3: Darstellnng der Zfh-relevanten Spannungen

mit gemeinsamer Wirkebene als Spannungsvektor {a}

Anders verhhlt es sich mit einem Vektor, der Spannungen repräsentiert, die auf em und derselben Schnittebene wirken; man spricht von deren gemeinsamer Wirkebene.3 Das ist z.B. bei einer (a2, r21)-Kombination der Fall. DaB a2 und die gleiche Wirkebene besitzen, geht aus dem gemeinsamen Index 2 hervor. Noch eine weitere Spannung kann auf derselben Wirkebene auftreten, namlich die Schubspannung r23. Die von soichen Spannungen mit gemeinsamer Wirkebene auf em Fidchenelement ausgeiibten Krafte lassen sich zn einer Resultante zusammenfassen. Obwohl der Ausdrnck nicht ganz korrekt ist, spricht man deshaib anch von einer resuitierenden Spannnng. Diese korrespondiert sowohi nach ihrer GroBe, z.B. ais auch nach ihrer Richtung volikommen mit dem zu ihrer + + Darsteilung benntzten Vektor. Für diesen gebraucht man nicht die Bezeichnung Spannnngs3Der Begriff der Wirkebene hat in dieser Arbeit eine andere Bedeutung als in [1 1J Dort bezeichnete er eine Ebene, in der die zn einem ebenen Spannnngsznstand gehhrenden Krhfte wirken. Hier ist eine Schnittebene gemeint, anf der eine Normaispannung und/oder eine Schnbspannnng wirkt. -

4.2 Visualisierung und rnathernatische Aspekte

51

zustandsvektor sondern Spannungsvektor. Tm Teil ITT des Buches ist haufig von den für den Zwischenfaserbruch entscheidenden Spannungen vat, Tnl die Rede, die auf einer senkrecht stehenden faserparallelen Schnittebene wirken. Sie erlauben eine Darstellung zur Bud 4.3. als Spannungsvektor im Durch die werkstoffspezifischen Bruchgrenzen ist die Höhe der realisierbaren Spannungszustande begrenzt. Die Spannungs(zustands)vektoren, die ihren Ursprung im KoordinatenNullpunkt des Spannungsraumes haben, können dementsprechend nur his zur Bruch-Grenze anwachsen, die durch die Bruchbedingung (oder Bruchbedingungen, wenn es mehrere BruchModi gibt) angegeben wird. In ihrer Gesamtheit bilden die Spitzen dieser "Bruch-Vektoren" eine — moglicherweise aus Teilflächen zusammengesetzte — Fläche im Spannungsraum, nämlich die Bruchgrenzflache [51]. Der Kürze halber wird sie hier Bruchfläche genannt. Dies hat allerdings den Nachteil, dal3 der Begriff wenn er aus dem Sinnzusammenhang gelöst ist — auch als reale Werkstoff-Bruchfläche, die bei der Werkstoff-Trennung entsteht, miBverstanden werden kann. Urn einer soichen Verwechslung vorzubeugen, wird in diesem

Buch von der "Bruchebene" gesprochen, wenn die beim Bruch entstehende Bruchoberfläche gemeint ist, obwohl diese in Wirklichkeit naturlich Unebenheiten aufweist. Man denke deshaib vielleicht an eine durch die reale Bruchoberflkche gelegte "mittlere" Ebene.

Schnittkiirven, die beim Schnitt der Bruchflache durch bestimmte Ebenen entstehen, werden Bruchkurven genannt. Es war z.B. schon von der (o-2,T21)-Bruchkurve die Rede, also der Schnittkurve der (a1, a2, v21)-Bruchflache mit der Ebene a1 = 0. Solange von Eigenspannungen abgesehen wird, d.h. solange die Vektoren vom Koordinatell-Ursprung ausgehen, findet der Reservefaktor auf folgende Weise seine anschauliche Darstellung, s. auch Bud 4.1 auf S. 47: Lange des Vektors der zum Bruch fllhrenden Spannungen Res

Lange des Vektors der vorhandenen Spannungen

Gelegentlich richtet sich das Interesse weniger auf die Bruchgrenzen als vielmehr auf die ertragbaren Spannungszustande. Die Menge aller ertragbaren Spannungszustande wird durch den von der Bruchflache umschlossenen Raum verkorpert. Man spricht deshaib auch vom

Bruchkörper. Die Bruchfläche umhüllt alle Vektoren, die ertragbare Spannungszustande darstellen. Deshaib wird gelegentlich auch von der "Einhullenden" gesprochen. Gelaufig ist allerdings nur der Ausdruck "Hüllkurve" für eine (a,v)-Bruchkurve, wie sie z.B. zur Darstellung der Festigkeitshypothese von 0. Mohr [54] dient. Uber die Gestalt der Bruchflhche kann a priori wenig ausgesagt werden. Vielfach wird aus Grllnden der Eindeutigkeit der Ldsung gefordert, daB sie konvex sein soilte. Nur in Ausnahmefkllen wird sie sich als eine glatte, geschlossene Flkche darstellen, die sich durch eine einzige Funktion beschreiben lal3t. Eine der wenigen Ausnahmen steilt die von MisesBedingung als Versagensbedingung für den "FlieBbeginn" duktiler isotroper Werkstoffe dar.

52

4 Ailgemeine Betraehtungen tiLer Bruchkriterien

Der entsprechende Versagenskorper 1st em Ellipsoid im (alH,

53H)-Spannungsraum, 53H die Haupt-Normalspannungen sind. Unabhängig vom Spannungszustand bei 51H, fuhrt immer der gleiche Vorgang zum Versagen, nämlich Fliefien. Ganz anders als em duk-

tiler, isotroper und homogener Werkstoff verhalt sich eine UD-Schicht aus Faser-MatrixVerbundstoff. Wie bereits ausfllhrlich erörtert, kdnnen die unterschiedlichsten Brucharten auftreten, wobei die gravierendsten Unterschiede zwischen Fb und Zfh existieren. Aber selbst helm Zfh lassen sich wieder drei his vier Bruch-Modi unterseheiden. Deshalb ist die Bruchfiache des UD-Verbunds aus Teilfikehen zusammengesetzt, die jeweils einem bestimmten Bruchmodus zugeordnet sind, s. Bild 5.7 auf S. 77. Die Teilfidehen werden mathematisch mit Hilfe von versehiedenen Bruchfunktionen beschrieben. Eine Funktion, die — von der Bruchart her gesehen — zusammengehdrige BruchSpannungszustartde beschreibt, mufi stetig differenzierbar sein und dartiber hinaus folgende Eigensehaft besitzen: 1st für einen Spannungszustand die Bruchbedingung erfullt, d.h. der zugehdrige Spannungszustandsvektor bertihrt mit seiner Spitze gerade die Bruchflache, so mud die zur Formulierung der Bruchbedingung benutzte Bruchfunktion fur einen Spannungszustand, dessen Komponenten alle im gleichen Mad verkleinert worden sind, einen Zahlenwert < 1 liefern und entsprechend für gleichmaf3ig vergrdf3erte Komponenten einen Wert > 1. Wie bereits bei der Diskussion der Gln. (4.2), (4.3), (4.5) erwkhnt, kann em und dieselbe Bruchfiache dureh untersehiedliche Funktionen beschrieben werden, denn nicht auf die Furiktion als soiche kommt es sondern nur auf die Fläche F(a, r, F(a, T,Ra, Kr) = 1.

Zum direktell Ausrechnen des Reservefaktors fRe, oder der Anstrengung mud die FunktiOll jedoch bezflglich der Spannnngen homogen vom Grad —1 bzw. 1 scm. (Logischerweise steigt bei der vorgenommenen Definition die Anstrengung eines Werkstoffs linear mit der Spannungshohe an.) Die Gi. (4.6) 1st nicht homogen. Erst die Ldsung der zugehdrigen quadratisehen Gleichung fflhrt dann auf eine Funktion für die in den Spannungen homogen vom Grad —list, also für S = 1/fRes homogen vom Grad 1. Schreibt man die Bruchbedingung nun mit fRe. = 1 oder S = 1, hat man die ursprllnglich inhomogene Bruchfunktion in Gi. (4.6) durch eine homogene ersetzt. Findet man eine Bruchbedingung vor, deren Bruchfunktion bezflglich der Spannungen homogen vom Grad —1 oder 1 ist, so kann man sicher sein, dad diese die einzige existierende homogene Funktion vom Grad —1 bzw. list, mit der die betreffende Bruchfiache beschrieben werden kann, und dad sie den Reservefaktor fR., bzw. die Anstrengung S darstellt [55]. Eine UD-Schicht wird — jedenfalls im idealisierten Modell

in der (x2, x3)-Ehene, d.h. in

der quer zur Faserrichtung stehenden Ebene, als isotrop betrachtet. Man bezeichnet omen solehen Werkstoff als transversal-isotrop. Die errechneten zum Bruch fllhrenden Spannungen dtirfen nicht davon ahhangen, wie man in der transversalen Ebene die Lage des Koordinatensystems wählt, auf das die Spannungen bezogen werden. Mathematisch bedeutet dies:

4.3 Kurzer geschichtlicher Rflckblick

53

Die Bruchfunktion mul3 invariant gegenuber euler Drehung des Koordinatensystems urn die Faserrichtung sein. Dies kann auf zweierlei Weise erreicht werden: Man formuliert eniweder

die Bruchfunktion von vornherein als Funktion von Invarianten, die für den transversalisotropen Werkstoff passend sind (wie z.B. in [3]), oder man sorgt nachtraglich dafür, daB durch Pararneterverknüpfung die transversale Isotropie erreicht wird (wie z.B. in [5] und [6].)

Kurzer geschicht licher Rückblick

4.3

Im Ganzen gesehen hat die Entwicklung der Bruchkriterien für Faser-Matrix-Verbunde in den letzten Jahrzehnten keinen glücklichen Verlauf genommen. Weil Verstärkungsfasern in dürinwandigen Scheiben und Schalen, d.h. bei vorherrschenden ebenen (a1 , a2 Thi) - Beanspruchungen, am wirksamsten sind und deshaib soiche Anwendungen in der Frühzeit der Faserverbijndtechnik vorherrschten, wurden die meisten Bruchbedingungen für UD-Schichten zunächst auch nur für eine soiche 2D-Beanspruchung aufgestellt. Man benutzte statt echter Bruchbedingungen für zusarnmengesetzte Beanspruchung drei voneinander unabhangige Grenzwerte, z.B. in Spannungen ausgedruckt [56]: ,

'

—1

()2

'

für für

a1>0

für für

a2 >0 a2 <0

(410)

a1 <0

(411)

= 1.

(4.12)

R111

Diese errnöglichen es, Fb und Zfb zu unterscheiden, denn man weiB, dad a1 zu Fb fuhrt und dad a2 ebenso wie Zfb verursacht. Sie berücksichtigen jedoch nicht, dad a2 und T21 bei der Erzeugung eines Zfb zusammenwirken. Dies wurde erst 1969 durch Angabe von nur zwei voneinander unabhangigen Bruchbedingungen erfadt [1,2], Bud 4.4: für für

Fb

Zth:

+

=

für für

a1>0 a1 <0 a2 >

0

a2 <0

(4.13)

Diese gesonderten Bruchbedingungen für den Zug- und Druckbereich von a2 sind zwar insofern physikalisch plausibel, als die Festigkeit im Zugbereich nicht von der Druckfestigkeit abhängt und die Festigkeit irn Druckbereich nicht von der Zugfestigkeit Die

54

4 Aligemeine Betrachtungen llber Bruchkriterien

a2

Fb (a1

Zfb(a2>O, 121)

a,

Zfb(a2
0) Bud 4.4: Darstellung der Fb-Bedingung (4.10)

und der Zfb-Bedingung (4.13) als Bruchkdrper, dessen

Oberfiache ans 4 Teil-Bruchflachen zusammengesetzt 1st

Gi. (4.13) berllcksichtigt aber noch nicht die "innere Reibung" durch a2 < 0, die Zn ertragbaren Schubspannungen r21 fiihrt, die hoher ais Rjri sind. Hashin und Rotem publizierten 1973 eine Arbeit [57] zur Entwicklung einer Bruchbedingung für schweiiende Beanspruchung, in der sic ebenfalis hervorhoben, dad Fb und Zfb unterschieden werden mUssen. Als gut geeignet zur Beschreibung von UD-Verbunden bei schwellender (ar, )-Beanspruchung empfahlen sie gieichfails die Gin. (4.10) und (4.13). Fine besser an Versnchsergebnisse angepadte Form der Bruchkurve ist die "versehobene" Ellipse nach Gi. (4.6) auf S. 47, die na. von Hoff mann benutzt wurde, die aflerdings den physikaiischen Widerspruch aufweist, dali die Festigkeit im Zugbereich von der Druckfestigkeit nnd das Festigkeitsverhaiten im Drnckbereich auch von der Zngfestigkeit abhangt: Die beiden Spannungen cr2 und r21 wirken anf amer gemeinsamen Schnittebene. Diese wird, sofern a2 eine Zugspannnng ist, beim Zfb anch zur Bruchebene. Hieran wird bei den späteren Uberiegungen zu einer verbesserten Bruchanaiyse im Teil III des Bnches angeknupft. Eine ganz anders geartete Gattung steiien die 50g. "pauschaien" oder "giobaien" Brnchbedingnngen dar, die anf die verschiedenen Brnchmechanismen Fb und Zfh keine Rucksicht nehmen. Sie vereinigen eine Anzahl von Spannnngen nnd experimenteii ermitteiten Festigkeiten

in einer einzigen stetig differenzierbaren Fnnktion, d.h. die Bruchbedingnng steiit sich ais "giatte" Brnchflhche im his zu sechsdimensionaien Spannungsranm dar. Der "Stammvater" dieser Generation von Brnchbedinnngen ist die 1948 von Hill auf den Fail ieicht anisotro-

4.3 Kurzer geschichtlicher Ruckblick

55

per duktiler Metalle erweiterte von Mises- Flief3bedingung aus dem Jahre 1913. Ohne die heterogene Struktur und das andersartige Bruchverhalten zu berucksichtigen, ubertrugen Tsai und Azzi [58] 1965 in den USA die Hillschen Ansktze auf Faserverbunde. Damit war es — aus der Sicht des Autors — zu einer falschen Weichenstellung gekommen, denn nun folgte man vielerorts dieser mehr mathematischen als werkstoffkundlichen Betrachtungsweise. Eine vergleichbare Fehlentwicklung gab es auch in der Sowjetunion. Em Ansatz für 3D-Beanspruchung dieser Kategorie "anisotropes homogenes Kontinuum mit einheitlichem Bruchgeschehen", der beliebig viele Koeffizienten enthalten kann, stammt von Gol'denblat und Kopnov [59]:

+

i,j,k,l,m,n=1,2,3

+ (Fjjklmnaijaklamn)7 +... = 1,

a=1,

(4.14)

usw.

Weiteste Verbreitung hat eine Vereinfachung der Col 'denblat, Kopnov-Bruchbedingung gefunden. Mit a = /3 = 1 beschränkt sie sich auf quadratische und lineare Spannungsterme. Sie wurde 1963 von Zaeharov [60] veroffentlicht und ab 1971 von Tsai und Wu [61] weitweit als

"die llberlegene Faserverbund-Bruchbedingung" herausgestelit. Für (a1, a2)-Beanspruchung stelit sie eine verschobene und gedrehte Ellipse dar, Bud 4.5.

Bud [61]

4.5: (ai,a2)-Bruchkurve nach Tsai, Wn für CFK nach [38], dort S. 263. Im 3.

Quadranten wird die faserparallele Druckfestigkeit mit einem Faktor 2,5 flberschritten! (Basis= Festigkeiten: = 1500 N/mm2; = 40 N/mm2; = 246 N/mm2)

Bestechend an dieser im Westen als Tsai, Wu-Bruchbedingung bekannt gewordenen Formulierung ist ihre mathematische Eleganz. Man hat our eine einzige Gleichung zu bearbeiten, und sie lhBt sich mit den bekannten Tensortransformationen in verschiedene Richtungen transformieren. Auch verleitet die Tatsache, daB zwischen fast allen Spannungen "Interaktionen" bestehen, zu der Vermutung, daB die Physik wohi ganz gut berllcksichtigt sei; alle Spannungen werden formal volikommen gleich behandelt. In Wirklichkeit sind aber einige der Interaktionen höchst fragwBrdig, wie auch aus Bild 4.5 hervorgeht.

56

4 Aligemeine Betrachtungen flber Bruchkriterien

Da soiche "anisotrop gemachten Fliel3-Bedingungen", die em einheitliches Bruchgeschehen bei alien Spannurigszustanden voraussetzen, naturgemal3 keine Angabe über die tatskchliche Bruchart bei Faser-Matrix-Verbunden liefern, kann man mit ihnen bei der schichtweisen Bruchanalyse von Laminaten auch nicht in physikalisch vertretbarer Weise über den Beginn der mit den ersten Zwischenfaserbrllchen einsetzenden RiBbildung hinweg rechnen.

In den 70-er Jahren herrschte in Deutschland, basierend auf Vorstellungen von einer "universellen" kritischen Dehnung bei Thermoplasten, zeitweilig die Meinung vor, daB Dehnungs-Kriterien" sich auch für Faser-Kunststoff-Verbunde besser eignen würden als die bisherigen "Spannungs-Kriterien" [62]. Es wurden analog zu den mit Spannungen formulierten Grenzbedingungen (4.10) bis (4.12) entsprechende Bedingungen mit den Verzerrungen aufgestellt. Diese aus dem Gebiet der isotropen Kunststoffe llbernommene Betrachtungsweise scheitert aber, wenn sie auf Zfb angewandt wird, letztendlich an der "Tücke" der Orthotropie der stark anisotropell Faser-Matrix-Verbunde [42]. Bei der jüngsten der bisherigen Bruchbedingungs-Generationen werden Fb und Zfb wieder, wie schon in der Frflhzeit, unterschieden. Sie sind für 2D- und 3D-Beanspruchung anwendbar. Zwei bekannte Vertreter dieser Gattung sind die Polynome von Hashin [3] und Puck,Knaust [6,63]. Bei diesen werden für Fb — zumindest bei isotropen Fasern wie Glasfasern — nach wie vor einfache Ansktze wie GL (4.10) auf S. 53 benutzt, oder stattdessen auch:4 2

Fb:

= '

Hierin ist

für für

>0

<0.

(4.15)

die Bruchdehnung des UD-Verhunds in Faserichtung.

Bei stark anisotropen Fasern wie Kohlenstoffasern und Fasern aus aromatischem Polyamid (Aramid) müsseri u.U. auch Querspannungen und Schubspannungen berucksichtigt werden [6,11,28,64].

Die Zfb-Bedingungen dieser bisher jüngsten Generation "konventioneller" Bruchbedingungen sind Interpolationspolynome der Form von Gi. (4.14), in denen aber anders als in dieser — nur Spannungen und Festigkeiten vereinigt werden, die zum Zfb gehoren. So tritt in der Zfb-Bedingung von Hashin [3] die Spannung u1 gar nicht auf, und es wird beim Zfb sogar auch rioch Zugversagen und Druckversagen der Matrix unterschieden. Insofern lassen sich diese Bruchbedingungen aus physikalischer Sicht im Vergleich zu den Fb und Zfb vermischenden Polynomen nach Tsai, Wu und anderen Autoren noch am ehesten vertreten. Sie weisen aber doch noch erhebliche Ungereimtheiten auf, vor allem bei 3D-Beanspruchung, die erst durch die im Teil III dargestelite neue Art von Zfb-Bedingungen überwiinden werden.

(4.15) für Fb 1st der einzige bekannte Fall, in dem sich eine echte Dehnungs-Bruchbedingung bewthrt.

Teil II

Entwicklungsstand bei den Bruchanalyse-Modellen für Beanspruchung in der Schichtebene

5

Bruchbedingungen

5.1

Bruchbedingungen für Zwischenfaserbruch

5.1.1

Wege zu erhöhter Aussagekraft

Der entwerfende und dimensionierende Konstrukteur kann sich heutzutage nicht mehr damit zufriedengeben, daB eine Bruchbedingung ihm nur die Information liefert, daB eine Spannungskombination zu irgendeinern Bruch führt. Zumindest muB er, urn zielgerichtet erfoigversprechende Anderungen am Laminat-Entwurf vornehrnen zu können, eindeutig darllber AufschluB erhalten, ob es sich urn Faserbruch oder Zwischenfaserbruch handelt. Bei Fb ist eine VergroBerung der Dicke der betroffenen Schicht angeraten1, während dies bei Zfb normalerweise keine wirksarne Abhilfe schaift. Den Zfb in einer Schicht kann man meistens nur dadurch unterdrllcken oder zu höheren Belastungen verschieben, daB man Schichten mit anderen Faserrichtungen, die sich urn 900 bzw. +450 von der Faserrichtung der betroffenen Schicht unterscheiden, entweder neu anordnet oder vorhandene mit ungefahr passender Faserrichtung dicker ausfflhrt. Aber selbst wenn die Information "Zfb" eindeutig ist, möchte man zusätzlich erfahren, um weichen Modus es sich handelt. 1st es der Modus C, interessiert die GröBe des Bruchwinkels, damit die von dem schrkgen Bruch ausgehende Sprengwirkung irn Laminat beurteilt werden kann. Alle diese Wllnsche blieben bislang weitgehend unerftillt; ganz besonders natllrlich bei der Benutzung einer Global-Bruchbedingung in Verbindung mit dem First Ply Failure-Konzept. Dieses basiert lediglich auf der Vermutung, daB der erste Schicht-Bruch im Larninat em Zth ist. Die Erfahrung lehrt aber, daB dies nicht immer zutrifft. Zwischen FPF und Totalbruch erhklt man mit diesem Konzept keine Information llber das sukzessive Bruchgeschehen. wesentlicher Fortschritt konnte in neuerer Zeit durch eine neuartige BruchanalyseEm Methode erzielt werden, in die Teil III des Buches einen Einblick vermittelt. Die damit gewonnenen Zfb-Bedingungen basieren auf der Erfahrung, daB die allermeisten Faserverbundstoffe sich beim Zwischenfaserbruch ausgesprochen sprod verhalten, so daB auf sic die altbekannte 'Eine Ausnahme stellen Federelemente dar. Bei diesen mtissen ganz bestimmte Steifigkeiten eingehalteri werden. Deshaib kann im allgemeinen die Fasermenge nicht erhdht werden. Hier hilft u.U. eine geschicktere Faserorientierung [19,20,27,44].

60

5 Bruchbedingungen

Festigkeitshypothese von 0. Mohr [54] angewandt werden kann, die folgendermaBen lautet:

Die Bruchgrenze eines Materials wird durch die Spannungen der Bruchebene bestimmt. Hashin hat schon in einer 1980 erschienenen Publikation [3] den Gedanken geanl3ert, dad man Brnchbedingungen für UD-Faserverbunde auf eine gesnnde physikalische Basis stellen konne, wenn man die Mohrsche Festigkeitshypothese sinngemkl3 auf UD-Verbunde übertragen wllrde. Er hat die Idee jedoch nicht umgesetzt, weil er den mit solchen "wirkebenehezogenen" Bruchbedingungen verhundenen numerischen Aufwand scheute. Nachdem heute auch im Konstruktionsbhro eine unvergleichlich grol3ere Rechenkapazitat verfflgbar ist als in den 80-er Jahren, spielt der numerische Aufwand keine so grade Rolle mehr. Uberraschenderweise wurde nun sogar gefunden, dad im Vergleich zn den heute gebrauchlichen Bruchbedingungen llherhaupt kein znsktzlicher Rechenaufwand entsteht, solange nur der für Faserverbundbauteile oft mal3gebende (ai, a2, r21)-Spannnngszustand behandelt zu werden braucht. Deshalb werden im folgenden Ahschnitt hereits Bruchhedingungen der neuen Art empfohlen. Sie liefern nicht nur physikalisch plausible Spannungen heim Bruch, sondern zusktzlich auch noch die Informationen "Bruch-Modus" und "Bruchwinkel".

5.1.2

Empfehlenswerte Zwischenfaserbruch-Bedingungen

Obwohl die hier aufgeführten Zfb-Bedingungen auf einer recht anspruchsvollen Betrachtnngsweise beruhen, die aus der Anwendung der Mohrschen Festigkeitshypothese resnltiert, sind sie für die Konstruktionspraxis wegen ihrer einfachen Handhabbarkeit bestens geeignet. Am leichtesten erkennt man ans Bud 5.1, wodurch sie sich von den bisher gebrhuchlichen Bruchbedingungen nnterscheiden. Gezeigt ist die vollstandige (a2, r21)-Brnchkurve in der Schnittebene a1 = 0. Sie setzt sich aus je einem Abschnitt von zwei Ellipsen für die Modi A nnd C nnd zwei Abschnitten einer Parabel für den Modus B zusammen. Die Schnittpnnkte mit den Achsen sind selbstverstandlich wie bei herkdmmlichen Bruchbedingungen auch durch die Quer-Zngfestigkeit die Quer-Druckfestigkeit nnd die Qner/Langs-Schubfestigkeit gegeben, aber die Festigkeit bei kombinierter Beanspruchung im Bereich a2 > 0 wird nicht von und die Festigkeit im Bereich a2 < 0 nicht durch beeinfludt. Als Parameter erscheinen in den Bruchbedingungen neben den Festigkeiten die Neigungen und der Bruchkurve an der Stelle a2 = 0. Die drei eigenstandigen Bruchbedingungen für die Bruchmodi A, B, C lanten: ,

()2

=

1

für Modns A,

5.1 Bruchbedingungen für Zwischenfaserbruch

61

1dr21\

cos e fp =

Bud 5.1: (a2,

= 0, zusammengesetzt aus Ellipsen- und Parabeiabschnitten nach )-Bruchkurve für A, B, C. den Gin. (5.1) his (5.3). Zu beachten sind die Bereichsgrenzen der

=1

+

/

\2 1

/ +

(

für Modus B,

(5.2)

für Modus C.

(5.3)

\2 Ha2)

=1

In der Tabelle 5.1 auf S. 62 sind für die drei Bruchbedingungen die jeweiligen Gllltig-

keitsbereiche angegeben die auch aus Bud 5.1 ersichtlich werden. Mit Hilfe von Bud 5.1 und der bzw. und der Tabelle kann man aufgrund des Verhältnisses entscheidung a2 0 oder a2 < 0 sehr einfach feststellen, weicher Bruch-Modus auftreten wird und weiche Bruchbedingung dementsprechend anzuwenden ist. Auch die wichtigsten Beziehungen für die in den Bruchbedingungen enthaltenen werkstoffspezifischen Parameter sind in der Tabelle aufgeführt.

Ojp =

9fp

V

—a2

= 0°

L

I

1

+

/dr2j\

=

I

I(121\

2

+

+

I

I

(

H

)+

2

1

\

(5.6)

I

RA±±

der(a2,121)-

1

j

)

2

=

R11

(

Kurve fiira2

'

/

=

/ a2

Bruchbedingung

1 +

>0

=i

+

I

a2

(a2,

=

=1

I

I

I

i) I

I

(5.8)

(5.3)

(52)

(5.1)

G1.nr.

I

I

und Beziehungen

und

0 <

0

a2

T21

"A

=

+ I

I

I

I

(5.9)

der(a2,r21)- Kurve füra2 <0

a2 <0

a2 <0 und

a2 > 0

2=0

0

Gültigkeitsbereich

-Beanspruchung beia1 =

Moglichkeiten zur BerUcksichtigung eines Einflusses von a1 finden sich in den Abschnitten 5.1.3 und 9.4.1

ParameterBeziehungen

tion

Defini-

C

B

A

Bruch-Modus

zwischen den werkstoffspeziflschen Parametern.

Tabelle 5.1 Zwischenfaserbruchbedingungen für kombinierte

5.1 Bruchbedingungen für Zwischenfaserbruch

63

der an der (a2, mi)In der Gi. (5.3) für den Modus C erscheint der Parameter Bruchkurve nicht unmittelbar in Erscheinung tritt. Er bezieht sich auf die Bruchkurve für eine kombinierte (ar, T11)-Beanspruchung, die beim schragen Bruch nach Modus C eine bestimmt auch die Höhe des Maximums der ertragbaren Rolle spielt. Der Wert von

Schubspannung im Bereich a2 < 0 (s. Cl. (5.10)). Die Bruchbedingungen für die Modi A, B, C haben ihren Ursprung in zwei "wirkebenebezogenen" Anshtzen für die auf einer beliebigen faserparallelen Schnittebene auftretende

Anstrengung in bezug auf Zfb (Inter Fibre Fracture, 1FF) infolge der dort herrschenden Dabei müssen die Fhlle a,, > 0 und a,, <0 unterschieden werden. Spannungen ar,, Die schnittwinkelabhangige Zfb-Anstrengung ist

=

=

II

+

+

+

+

(an)2

(i

+

va,,

+

füra,,

0, (5.4)

füra,, <0.

(5.5)

Bei dem den Bruchbedingungen für die Modi B und C zugrundeliegenden "parabolischen Ansatz" nach Gi. (5.5) 1st von einer vorausgesetzten Kopplung der Neigungsparameter der folgenden Art Gebrauch gemacht worden: und Pu DA

1111

(-) D '.IH

Zur Festlegung der Parameter aufgrund vorliegender Versuchsergebllisse bestimmt man

aus der Neigung der (a2, v21)-Bruchkurve für a2 < 0 im Schnittsind auch die Koordinaten des UrnDurch die Wahi von schlagpunkts c festgelegt, s. Gi. (5.9) und Bud 5.1 .In diesem schlief3en sich die Parabel für Modus B und die Ellipse für Modus C knickfrei, d.h. mit gleicher Neigung, aneinander an. Dies hat semen Grund dana, daB beide Kurven in der Cl. (5.5) ihren gemeinsamen Urmeistens zwischen 0,1 und 0,3. sprung haben. Bei Faser-Kunststoff-Verbunden liegt der Bruchkurve für den Etwas höher ergibt sich oft der Wert des Neigungspararneters Modus A. Gegenüber der heute meistens als (a2, y21)-Bruchkurve benutzten verschobenen Ellipse nach Gl. (4.6) auf S. 47 stehen für die Anpassung an Versuchsergebnisse aul3er den zur Verfügung. und zushtzlich die freien Parameter Festigkeiten Damit ist in der Regel eine wesentlich bessere Anpassung an Versuchsergebnisse als mit der Tsai, Wu-Bruchbedingung möglich; em Beispiel zeigt Bud 5.2. zweckmaBigerweise

punkt mit der

64

5 Bruchbedingungen

Bud 5.2: Anpassung der Bruchbedingungen nach Gin. (5.1), (5.2) und (5.3) an Versuchsergebnisse von Knappe nnd Schneider [87] mit Neigungsparameteru = 0,43 nod = 0, 16. Dec thenretisch zu erwartende Bruchwiokel words mit B!. (5.7) berechnet.

Der zu erwartende Bruchwinkel wird reehnerisch ermittelt, indem man unter alien als Bruchebene in Betracht kommenden faserparallelen Schnittebenen zwischen 0 = —90° und 0 = +90° diejenige mit der maximalen schnittwinkelabhangigen Anstrengung sucht. Der Schnittwinkel, unter dem sich das Maximum von ELFF(O) errechnet, 1st der sich beim Modell einsteilende Bruchwinkel Solange sich bei einer (52, r2s)-Beanspruchung = 00 ergibt, lassen sich die Bruchbedingungen (5.4) und (5.5) aus dem (an, Of p in die (52, r21)-Ebene llbertragen, dean mit den Transformationsformein nach GI. (2.1) auf S. 27 ist a,2 = = 0, = r21 Beim Vergleich von (5.1) mit (5.4) sowie (5.2) mit (5.5) werden diese Zusammenhänge sogleich offenbar. .

Der Bruchbedingung (5.3) für den Modus C kann man nicht ansehen, sic genanso wie (5.2) ihren Ursprung in dem "parabolischen Ansatz" nach Cl. (5.5) hat. Beim Modus C 1st der Bruchwinkel 0°, so dalI die Spannungs-Transformation nach Ci. (2.1) nicht so einfache

Ergebnisse liefert wie beim Modns A und B. Es ist deshaib sehr iiberraschend, dalI sich auch für den Modns C eine hochst einfache Bruchbedingnng in Form einer Ellipsengleichung

ergibt. Womit dies znsammenhangt, wird im foigenden knrz erlautert. (Eine ausfllhrhche Darsteiinng mit dem erforderhchen mathematischen Beweis findet sich im Abschnitt 9.5.2).

Wandert man auf der Bruchkurve in Bud 5.1 vom Punkt b, der zur reinen Beanspruchnng gehort, zum "Umschiagspunkt" c, an dem der Bruch vom "geraden" Bruch = 0°) in einen "schrägen" Bruch 0°) umschihgt, so whchst dabei die Druckspannung auf der Bruchebene (0k, = 0°) von = 0 his a,, = = an. = Eigenartigerweise zeigt sich nun, daB (hei dem gewhhiten Modeli) bei Uherschreitung des Punktes c die erreichte Druckspannung auf der Bruchebene, a,, = , konstant bieibt. Dies kommt dadorch zustande, daB sich die Bruchebene umso "schrager" einstelit, je hbher die Druckspannung wird. Dies Phanomen hat zur Folge, daB sich der Brnchwinkel helm Modus C ganz einfach berechnen lkBt, denn es gilt a,, = = Die überraschend simple Beziehung ,,

5.1 Bruchbedingungen für Zwischenfaserbruch

65

für den Bruchwinkel beim Modus C lautet daher:

füra1=O.

(5.7)

1st em FestigkeitspaHierin ist a2 der Wert der Druckspannung beim Bruch! rameter, der in den neuen Bruchbedingungen in Verbindung mit der Schubspannung 1st der Bruchwiderstand, den die auftaucht, die eine T,,-Beanspruchung darsteilt. Spannungswirkebene ihrem Bruch durch eine in ihr wirkende alleinige

entgegensetzt). Es besteht eine Beziehung zwischen RA,, und der Quer-Druckfestigkeit Gi. (9.13) auf S. 142, die vom gewkhlten Bruchmodell abhangt. Aus ihr folgt mit Gi. (5.6):

(

A

I'—

2(1

(_) + p11)

+

(

.

'H

N

Es ist zu beachten, daB bei Berucksichtigung eines die Zth-relevantell Festigkeiten in der Gi. (5.7) für den Bruchschwkchenden Einflusses der faserparallelen Spannung winkel bei RA,, em Vorfaktor (Schwachungsfaktor) f,. erscheint, der dafür sorgt, daB ai keinen Einflul3 auf den Bruchwinkel gewinnt. Ndhere Einzelheiten hierzu können dem Abschnitt 9.5.2 im Teil III entnommen werden. = 0 hat der Umschlagspunkt c die Koordinaten: Auf der Bruchkurve für

a2, =

und

+

T21, =

für

= 0.

(5.9)

Da die zum Modus C gehorende Ellipse stets durch den Koordinaten-Nullpunkt verläuft, und ihre Bud 5.1, findet sich die hOchste ertragbare Schubspannung bei a2 = —0, Höhe ergibt sich bei a1 = 0 aus 11 IHt1 -i-Pu)

ura1

Em Buck auf die Tabelle 5.1 bestätigt, daB bei der Anwendung der neuen Bruchbedingungen von einem erhöhten Rechenaufwand überhaupt keine Rede sein kann. Anders als bisher entscheiden, weiche der üblich muB man lediglich vorab aufgrund des Verhkltnisses drei Bruchbedingungen anzuwenden ist. Dafür erhklt man aber neben der besseren AnpaBbarkeit die wertvolle Information über den zu erwartenden Modus des Zfb. In den Bruchbedingungen (5.1) bis (5.3) sind die jeweiligen Bruchfunktionen bezüglich der Spannungen homogen vom Grad 1; der Zahienwert der Bruchfunktion gibt also bereits die Anstrengung

=

an.

66

5 Bruchbedingungen

5.1.3

Einflul3 der faserparallelen Spannung

Gemai3 der Mohrschen Festigkeitshypothese dürfte die faserparallele Spannung keinen Emfln$ auf den Zwischenfaserbrueh haben, denn dieser findet anf einer faserparallelen Ebe-

ne statt, und die dort wirkenden Spannungen hdngen nieht von a3 ab, sondern nur von Tm Experiment kann man aber Mikro-Brflehe in der Matrix bei alleiniger a1-Beansprnchung erzeugen, wenn man eine Matrix verwendet, die eine dentlich niedrigere Brnehdehnung besitzt als die Fasern. Dabei handelt es sich dann allerdings nieht nm Zfb in der hier gemeinten Bedentung, sondern um Mikro-Risse, die quer zn den Fasern verlanfen und an diesen gestoppt werden. Beim Ubersehreiten der Matrix-Brnehdehnung erseheinen solehe Risse zwisehen den Elementarfasern in grol3er Zahi; das Phhnomen wird deshaib oft als "multiple fracture" bezeichnet [6, 29]. Es hat seine TJrsache darin, bei einer a1-Beanspruchnng die Matrix mit den Fasern "parallel gesehaltet" ist; das bedeutet, daB die Matrix die gleiche Dehnung wie die Fasern erfahrt. Selbstverstandlich trachtet man stets danach, em Matrixmaterial zu verwenden, dessen Brnchdehnung groBer als die der Fasern ist, aher wenn hohe Wärmebeständigkeit verlangt wird, ist dies oft nicht moglich. In solehen Fallen vermindern die sich einstellenden Mikroschäden dnrch a3 nattirlich die "Zfb-Festigkeiten". In fruheren Arheiten [1, 2, 6, 42, 63] wurde auch für Faser-Matrix-Kombinationen, bei denen die Matrix eine deutlich hohere Bruchdehnung als die Fasern hatte, "vorsichtshalher" em vermindernder Einflull der a1-Beanspruchung auf die zur Zfb-Grenze gehorenden Spannungen angenommen. Bei einer "quadratischen" Zfh-Bedingnng geschah dies, indem den Termen mit a3, a3, r33, c33 r23 em Zusatzterm Z(ai) hinzugefflgt wurde, wobei zwei verschiedene Formen benutzt wurden, und zwar entweder a3, a3, r23,

I

für

<0

oder

Z(aj)

=

+

(5.12)

Hierin sind und die a3-Spannungen des UD-Verbunds, hei der die ZugBruchdehnnng bzw. Druck-Brnchdehnnng der Matrix erreicht wird. Ohne diesen Zusatzterm ware der in [2] beschriebene (ai, a3, r33)-Bruchkorper em sich in

a1-Richtung erstreckender Zylinder mit elliptisehem Querschnitt nach Bild 4.4 auf S. 54. Mit dem Zusatzterm Z(ai) wird er mit Gi. (5.12) zn einem sehr langgestreckten Ellipsoid [6,42,63], mit Gl. (5.11) zu einem Bruchkorper aus zwei Halb-Ellipsoiden [1,2]. Die Endkuppen dieser Zfb-Ellipsoide werden dureh die Faserbruchfltichen weggeschnitten. Für diese Form des (ai, a3, r33 )-Bruchkorpers entstand der Ausdrnck "Bruch-Zigarre", Bild 5.3.

5.1 Bruehbedingungen für Zwischenfaserbruch

67

121

Zfb{a2>O, r21}

Fb(cr1 > 0)

Zfb{a2
EIIeM

Bud 5.3: Ms "Bruch-Zigarre" bezeichneter Bruchkbrper für ebene (ai, a2, r21)-Spannungszustande

Wahrscheinlich bleibt man bei der Berechnung des Zfb-Reservefaktors bei (aj, a2, y21 )Beanspruchung auf der "sicheren Seite", wenn man einen Zusatzterm in der Art der Gi. (5.11) oder Gi. (5.12) in die Zfb-Bedingung einfllhrt. Trotzdem ist diese Vorgehensweise unbefriedigend, denn es bestehen Zweifel, ob dies auch der Realitht gerecht wird. Es 1st nicht zu in alien Oktanten des (ai, a2, y21)-Spannungsraumes gleich auswirkt. erwarten, daB sich Bei einer a2-Druckbeanspruchung kdnnte sich eine zusatzliche a1-Druckbeanspruchnng anch erhohend statt vermindernd auf die Zfb-Festigkeit auswirken. Dieser Fragen mü]3te sich die Forschung noch annehmen.

Die Beantwortung der mit dem a1-Einfluh zusammenhangenden Fragen wird dadnrch erheblich erschwert, daB beachtliche Verspannungen zwischen Fasern und Matrix in der Faserlangsrichtnng auftreten. Erste "Mikro-Eigenspannnngen" entstehen bei der ilerstellung des Faser-Matrix-Verbunds als Folge der Reaktionsschwindung des Matrixmaterials und desweiteren bei der Abkflhlnng naeh der Hdrtung. Well der Warmeausdehnungskoeffizient des Matrixmaterials wesentlich hoher 1st als der der Fasern (Kohienstoffasern besitzen sogar einen leicht negativen Whrmeausdehnungskoeffizienten in Faserrichtnng), sind die Abktihlspannungen in der Matrix — ebenso wie die Spannungen aus der Reaktionssehwindnng — stets Zugspannnngen. Teilweise konnen diese durch Druckspannungen ausgeloscht werden, die bei der Quellung des Matrixmaterials infolge Feuchtigkeitsanfnahme entstehen. Gefahrlicher als stationdre Zustande sind für em Laminat hohe Temperatnr- und Feuchtegehalts-Gradienten. Es ist absehbar, daB in diesem Bereich trotz aller ForschnngsbemUhungen manche Einfltisse reehnerisch nur sehr ungenan erfaBbar bleiben werden.

68

5 Bruchbedingungen

Einc weitere Ursache für Mikro-Eigenspannungen, die aber etwas hesser dnrchschaiibar ist, sind die Querkontraktionshehinderungen der Matrix durch die Fasern, die bei einer Quer-

beanspruchurig des Verbunds durch a2 und/oder a3 auftritt. Weil der Quer-E-Modul der Fasern höher ist als der E-Modul der Matrix, tritt bei Querbeanspruchung eine vie! gröi3ere Dehnung in der Matrix (quer zur Faserrichtung) auf als in der Faser. Man spricht von der Dehnungs-Vergroi3erung, Bud 5.4.

Bud

5.4: Isochromaten am Makro-Modell für GFK bei Quer-Druckheanspruchung a1 maclien die Dehnungs- und Spannungsuberhohnng zwischen den Fasern sichtbar [69]. (Beanspruchungsrichtung waagerecht)

Zur Dehnurig der J\'Iatrix wllrde, wenn die Matrix allein vorhariden wdre, eine hohe Querkontraktion (—VMaM) gehoren. Sic wird aber in Faserrichtung durch die steifen Fasern nahezu

verhindert. So entsteht in der Matrix eine "Zwangsspannung" in Faserrichtung

+ a3),

(5.13)

die mit 11M = 0, 35 his etwa 70% der Matrix-Zugfestigkeit betragen karin. wobel die lokale

Dehnungsvergrol3erung noch nicht einmal berllcksichtigt ist. Wenn sich dann noch eine relativ hohe ai-Spannung liberlagert, die eine Spannung in der Matrix mit gleichem Vorzeichen wie diejenige nach Gi. (5.13) bewirkt, kann dies für die Matrix durchaus kritisch werden. Diese ietzten Betrachtungen durften erneut gezeigt haben, wie dringend in den Fragen, die mit dem Einflui3 von a1 auf den Zfb und der Verspannung von Faser und Matrix in der Faserrichtung zusan3menhangen, eine Kiarung herheigefuhrt werden muB, Em vollicommen anders gearteter Effekt, der die Zfb-Festigkeit n3indert, tritt in Erschei-

flung, wenn die a1-Beanspruchung des UD-Verbimds sich dem Fh nkhert. Das "Brechen" einer sehr grof3en Zahi von Elementarfasern unterliegt natilrlich statistischen Gesetzen. Wenn die a1-Spannung etwa die Hdhe von 70% derjenigen Spannung erreicht, die zurn Faserbruch

5.1 Bruchbedingungen für Zwischenfaserbruch

69

in seiner hier benutzten Bedeutung fllhrt, machen sich — besonders durch Schallemission die ersten Elementarfaserbrhche bemerkbar. Mit welter steigender a1-Spannnng nimmt die Hkufigkeit von soichen "vorzeitigen" Elementarfaserbrflchen zu. Mit Sicherheit 1st zu erwarten, dad in der Nahe der Elementarfaser-Brnchstellen Ablosungen an der Faser/MatrixGrenzflache und anch Mikro-Risse in der Matrix entstehen. Diese schwkchen zweifellos den Faser/Matrix-Verhnnd nnd setzen dadnrch die Zfb-Festigkeiten herab. Für den Fall der schwellenden Belastung und a1 > 0 liegen gesicherte experimentelle Erfahrungen vor, dnrch die diese Vorstellungen untermauert werden. Hierbei kann man sich inshesondere auf die bei der Entwicklung der erwkhnten schwellend beansprnchten PkwDrehrohrfeder stlltzen [25]. In der anl3eren TJD-Schicht des zweischichtigen Torsionsrohres tritt eine hohe positive Spannung a1 anf. Die dadnrch pnlsierend zugbeanspruchten Fasern dieser Schicht ermllden, so dad im Laufe der Lebensdauer der Drehfeder zunehmend Brllche einzelner Fasern auftreten. Diese hahen zwar makromechanisch gesehen znnächst keinen unmittelbaren Effekt, sie fuhren aher mit Sicherheit in der Nachharschaft der Bruchstellen einzelner Fasern zu Mikroschkden. Diese schwkchen offenbar den TJD-Verbund in seiner Widerstandsfahigkeit gegen Zwischenfaserbrnch. Um solche "Degradationen" rechnerisch zn erfassen, kann man vernünftigerweise annehmen, dad alle in den Zfb-Bedingnngen (5.1) his (5.3) enthaltenen Festigkeitsparameter, —

Rxu,

durch einen Schwkchungsfaktor

(w

weakening) herabgesetzt wer-

den; nnd zwar alle im gleichen Made. Dann lkdt sich ans den Brnchfnnktionen der Faktor (fm)—' ansklammern. Multipliziert man anschliedend die Bruchbedingnngen mit f,,, so nehmen sic folgende Form an: (5.14)

=

mit 0 <

< 1. Die Bruchkorper hehalten ihre Gestalt, werden aber mit dem Schwachongsfaktor f,. (ai) geometrisch khnlich verkleinert.

Für (a1) mud nun eine "vernünftige" Funktion von a1 gewkhlt werden. Wegen all der erwkhnten Unsicherheiten hat es keinen Sinn, einen Ansatz zn machen, der allzu "sophisticated" ist. Mangels weitergehender Erfahrungen kann hier auch nur eine Empfehlnng für Faser-Kunststoff-Verhunde gegeben werden, und zwar folgende: Bis ai/R11 = 0, 7 wird keine Abmindernng der Zfb-Festigkeiten vorgenommen.

Zwischen ai/R1/ = 0,7 und ai/Rj/ = Wert 1 anf den Wert 0,5 ah.

1

fkllt

znnehmend steiler vom

70

5 Bruchbedingungen

Bud 5.5: Angenommener Verlauf des SchwaVariable HilfsgroBen

chungsfaktors

und

oder aiD für die iterative Rechnung

llber dem In Bud 5.5 1st em angenommener Verlauf des Schwachungsfaktors = 1, und von al/RH = 0, 7 an Verhältnis ai/R11 dargestelit. Bis al/RH = 0, 7 ist fallt nach folgender Ellipsengleichung auf den Wert 0,5 bei ai/R11 = 1 ab:

\

=1

(5.15)

>0,7

Wenn man den hieraus erhaltenen Ausdruck für f,,. in die Zfb-Bruchbedingungen (5.1) bis (5.3) einfllhrt, geht deren Homogenitat bezuglich der Spannungen verloren, und man kann sie nun nicht mehr zur direkten Berechnung der Anstrengung oder des Reservefaktors benutzen. Eine Moglichkeit, die Homogenitht vom Grad 1 wiederherzustellen, besteht darin, die Ellipse abschnittweise durch Geraden (d.h. durch eine lineare Abhangigkeit von a1) zu ersetzen, als auch die mit der Ellipse an der jeweils betrachteten Stelle al/RI! sowohl im Wert in der Steigung f,', ubereinstimmen, s. Bild 5.5. Die Zfb-Bruchbedingungen nehmen dann eine Form an, wie z.B. für die Gi. (5.1) gezeigt: 2

a2

( =

2

,

für Modus A,

=

—

(5.16)

a1

a11

aiD

=

(

1

alD)

der (fiktive) Wert von f,,, an der Stelle ai/R11 = 0, Hierin ist der Absolutwert der Steigung der Tangente an die Ellipse an der Stelle a1 /R1 I. Werte für und f,',, errechnen sich aus den folgenden Beziehungen: f,',

(5.17)

5.2 Bruchbedingungen für Faserbrueh

=

df =

0,7.

0,12f,.

71

(5.18)

Damit kann man nnn mit den Bruehbedingungen (5.1) bis (5.3), wenn alie gemall 01. (5.16) umgeschrieben werden wobei sie homogen vom Grad 1 bleiben — die Anstrengung für einen gegebenen (ai, a2, r21)-Spannungszastand dureb Iteration bereehnen. Für jeden neuen Reehengang bestimmt man die Groflen und f,'j mit Hulfe der Gin. (5.17) und (5.18) mit dem im vorhergegangenen Rechengang erreichten Wert und dem dazu gehürenden Wert der sich aus der Eflipsengieichung (5.15) ergibt. Weitere grundshtzliehe Erihuterungen hierzu finden sieh im Abschnitt 9.4.1 in Teil III.

5.2

Bruchbedingungen für Faserbruch

Bisher wurde als Faserbrueh-Grenze meisteus em Spannungszustand angesehen, bei dem unter kombinierter Beanspruchung eine faserparallele Spannung di des UD-Verbunds auftritt, die gieich der Längsfestigkeit (Zugfestigkeit oder Druckfestigkeit aus dem einaehsigen Bruehversuch ist, s. 01. (4.10) auf S. 53. Analog wurde auch eine Bruchbedmngang mit der unter kombinierter Beanspruchung auftretenden faserparailelen Dehnung des UD-Verbunds und der Lkngs-Bruchdehnung er bzw. formuliert, s. 01. (4.15) auf S. 56. Die Wirkliehkeit hegt etwa in der Mitte zwisehen diesen beiden Ansatzen, wie die foigenden Betrachtungen zeigen werden. Ausgegangen wird nieht von einer Bruchhypothese für den UD-Verbund, sondern von einer Bruchhypothese für die Fasern; sie iautet:

Die Fasern brechen im UD-Verbund unter einem ailgemeinen ränmlichen a2, a3, r23, r22)-Spannungszustand, wenn sie die Spannung in ihrer Längsrichtung erreichen, die bei einachsiger ar- bzw. H Beanspruchung zum Faserbruch des UD-Verbunds führt. Hieraus ieitet sieh auch zunachst noeh keiae Bruchbedingung für den UD-Verbund, sondern eine Bruchbedingung für die Fasern ab:

alF =

für

alF

<0.

(5.20)

Es wird also vorausgesetzt, dali für die Fasern die Bruehbedingung der maximaien Normalspannung in Faserlhngsriehtung gilt. Zu beaehten ist, dali und nicht an Einzeifasern oder Faserbündein gemessene Festigkeiten sind, sondern die Zugspannung bzw.

72

5 Bruchbedingungen

die Druckspannung der Fasern, die helm Bruch des UD-Verbunds erreicht wird, und zwar bel einachsiger Zug- bzw. Druckbeanspruchnng mit a1. Linear-elastisches Verhalten vorausgesetzt, errechnet sich diese folgendermafien:

=

=

und

=

=

wohi die "echte" Faser-Zugfestigkeit (im Verbund) darsteilt, 1st

Wahrend

(5.21)

hanfig

keine "echte" Druckfestigkeit der Fasern, well bei alT < 0 das Versagen meistens durch elastische Instabilitdt sogenanntes Mikroknicken — der durch die Matrix elastisch gebetteten Fasern erfolgt. Es darf jedoch angenommen werden, daB dieser innere Knickvorgang nicht von einer zusätzlichen Spannung a2 beeinfinflt wird, sondern allenfalls VOll elner zusatzlichen als eine Konstante zunachst ebenso wie Spannung r21, s. 01. (5.28). Somit kann betrachtet werden. (Anders verhalt es sich bei "hydrostatischem" Drnck a2 = a3.) Es folgt nun die etwas mOhselige Herleitung der aus den Bruchbedingungen für die Fasern resnitierenden Bruchbedingungen des UD-Verbunds. Wer sich diese ersparen mochte — das Ergebnis 1st für die groBen Zusammenhdnge nicht so wichtig — möge auf S. 75 weiterlesen. Bereits wenn a1 = 0 ist, aber a2 0, tritt wegen der unterschiedlichen Elastizitdtsmoduin und Querkontralctionszahlen eine Verspannung von Fasern und Matrix in faserparalleler

Richtnng em, bei a2 > 0 1st alE < 0, und bel a2 < 0 ist alF > 0. Dies wird dnrch das folgende Elastizitdtsgesetz mit erfafit: alE

1121F

LilT

LOT

(5.22)

Der Faktor 03aF berücksichtigt, daB wegen der unterschiedlichen Moduin von Faser und Matrix (in Richtung von a2) die Spannung a2 ungleichformig verteilt 1st; im Faserbereich 1st der 1st sie etwas hoher als im Matrixbereich, s. Bud 5.4 auf S. 68. Der Faktor mittlere Vergrofierungsfaktor (magnification factor, m) der Querspannung (Index a) für die Faser (Index F). Bei GFK dflrfte er 1,3 und bel CFK 1,1 betragen. Die faserparallele Dehnung der Fasern ist gleich derjenigen des Verbnnds: (5.23)

ElF =

Damit laBt sich aus 01. (5.22) die Langs-Spannnng a1p in den Fasern berechnen:

alE =

E1F1F

+ 021F maT a2.

(5.24)

Wean diese Spannnng den gleichen Wert erreicht wie die Spannung in den Fasern beim Bruch

des UD-Verbunds unter einachsiger Zug- bzw. Druckspannung a1, "brechen" die Fasern

5.2 Bruchbedingungen für Faserbruch

73

auch bei kombinierter (ai, a2)-Beanspruchung. Die Bruchspannungswerte ergeben sich bei vorausgesetztem linear-elastischem Verhalten der Faser als

=

= erElF

bzw.

a1p =

= —eL)EIF.

(5.25)

Damit erhhlt man als Fb-Bedingung des UD-Verbunds fur (a1, a2)-Beanspruchung

(ci + ci

ElF ElF

=

1

fur H)

=—1

0,

(5.26)

für ()
(5.27)

als positiver Zahienwert angegeben wird. wenn die Bruchstauchung In einer Erwiderung an L. J. Hart-Smith hat E. C. Edge [64] auf Versuchsergebnisse binunci damit auch gewiesen, aus denen hervorgeht, daB die faserparallele Druckfestigkeit

die Bruchstauchung eL stark herabgesetzt werden, wenn zu ai < 0 eine Schnbspannung T21-Beanspruchung das Schubknicken (kinking) hinzutritt. Dies wird damit erklhrt, der Faser hei faserparalleler Druckspannung begunstigt. Edge giht in [64] eine Interaktionsformel an, die = 0 werden laBt, wenn i21 die Zwischenfaserbruchgrenze erreicht, also wird. Dies steht im Widerspruch zu unserer experimentellen Erfahrung, nach der = in einer UD-Schicht innerhaib eines Laminats, in der sogar schon viele Risse infoige der Beanspruchung aufgetreten sind, noch erhebliche a1 -Druckspannungen übertragen werden künnen. Es erscheint deshaib angebracht, eine wesentlich schwhchere "Schnbkorrektur" ais die von Edge angegebene vorzusehen, nhmiich beispielsweise: 1

(_)

(cl +

ci

+ (10721)2 = iF

1

für () <0.

(5.28)

Bei (10721)2 handelt es sich um einen rein empirischen Ansatz. Für das Rechnen oberhaib von Zth erscheint es vorteilhaft, einen Ansatz mit '721 statt T21 zu wkhlen, weil nach der RiBbildnng keine "saubere" Angabe Ober 'r21, wohi aber üher '721 gemacht werden kann. In [64] wird auch auf einen merklichen Anstieg von

mit einem gleichzeitig wirkenden

0, a3 = 0 hydrostatischen Drnck a2 = a1 hingewiesen. Oh soiche Effekte auch bei a2 existieren, ist noch nngewill. Deshalb soilte anf die Formulierung irgendwelcher über die obigen Gleichungen hinausgehenden Interaktionen zwischen a1 und a2 beim Faserbruch vorerst verzichtet werden. Eingangs wurde schon erwhhnt, dali bei der Bedingung für Faserbrnch die Wirklichkeit = 1 und (51/eH)2 = 1 hegen würde. Dies kann man jetzt leicht zeigen, zwischen indem man die Gin. (5.26), (5.27) etwas umformt, wobei das Elastizithtsgesetz

=

a1

(5.29)

74

5 Bruchbedingungen

benutzt wird. Tm Vergleich zu den alten Bruchbedingungen (4.10) und (4.15) ergibt sich auf der rechten Seite bei der Gröl3e "1" jeweils em Korrekturglied, namlich

=

1

+ (cii

(5.30)

V21F

a2 (+)

C11

CH

.. (±) = 1 gilt. Man erkennt, daB (ai/R11(+) ) groBer als 1 sein darf, daB aber nicht ganz ) Gi. (5.30) ist bezllglich der Spannungen homogeri vom Grad 1. Somit ergibt sich für die Anstrengung bzgl. Faserbruch-(Fibre Fracture, FF) für positive Faserspannung: .

(ill

=

.

mar)

für

ai 0.

Wenn man Gl. (5.28) ebenfalls mit den Spannungen Terme in a1 und a2, aber einen quadratischen in

=

Mit

und

(ci

ElF

(5.32)

schreibt, erhält man lineare

I

Q =

(5.33)

errechnet sich in diesem Fall die

als Losung einer quadratischen

Gleichung gemaB Gi. (4.9) folgendermaBeri:

eFF =

+

für a1 <0.

(5.34)

Für die im nächsten Abschnitt vorgenommene Darstellung von Bruchkorpern im Spannungsraum eignen sich natürlich mir die Formulierungen der Bruchfunktion mit a1, a2, y21. Beim Rechnen mit nicht-linearen Stoffgesetzen sind jedoch die ursprunglichen Formulierungen mit a2, 'Yll vorteilhaft. Alle drei Gröl3en sind im Rechenprogramm bei jedem Rechenschritt abrufbar. Wegen des ausgeprdgt degressiven Verlaufs der (T21, )-Kurve wird durch die Benutzung von 'Y21 statt r2i auf einfache Weise erreicht, daB wie beabsichtigt die Schubkorrektur bei relativ hohen v21-Spannungen verstärkt ins Gewicht fällt.

Beim iterativen Rechnen kann es wegen des "ROckkopplungseffekts", der daraus resultiert, daB die Zfb-relevante Spannung die Fb-Anstrengung beeinfluBt und die FbAnstrengung wiederum Rdckwirkungen auf die Zib-Anstrengung und die daraus abgeleitete

5.3 Bruchkorper

75

Abminderung von haben kann, zu Konvergenzproblemen kommen. Diesen mul3 man u.U. durch verkleinerte Schrittweiten begegnen. In diesem Abschnitt sind eine ganze Reihe von Effekten, die den Fb beeinflussen können, aufgezeigt worden, und zugleich sind analytische Moglichkeiten zu ihrer Erfassung angegeben worden. Die Aufzahlung erhebt noch keinen Anspruch auf Vollstkndigkeit; moglicherweise ist die Schubempfindlichkeit der C-Faser [28,30] noch zu wenig beachtet worden. Vieles muB noch durch mllhselige experimentelle Kleinarbeit geklart werden. Bis dahin spricht nichts dagegen,

= 1 zu arbeiten. Die Abweichung gegenilber der mit der uralten Fb-Bedingung Gi. (5.30) bleibt normalerweise unter 5%. Im ubrigen bereitet aber das Rechnen mit den hier hergeleiteten Fb-Bedingungen (5.26) und (5.27) au]3er vielleicht bei der Bestimmung von cr2 oberhaib der Zfb-Ril3bildungsgrenzen keine besonderen Schwierigkeiten. Will man jedoch mit kleinstmoglichem Aufwand von den hier vorgesteliten Ergebnissen Gebrauch machen, empfiehlt sich eine Mittelwertbildung aus den Fb-Bedingungen (4.10) und (4.15):

=1.

(5.35)

Man scheut sich noch etwas, die verfeinerten Bruchbedingungen nach (5.26) und (5.28) zu empfehlen, solange die zugrundeliegende Bruchhypothese der maximalen Faser-Lhngsspannung noch nicht gesichert erscheint. Heftig widersprochen wird dieser Hypothese durch Hart-Smith [28], der eine merkliche Abnahme von R]IF für den Fall annimmt, daB die Faser etwa gleich groBen Langs- und Querdehnungen mit ungleichem Vorzeichen ausgesetzt ist. Dies bedarf noch der experimentellen Klhrung. Hierauf wird im Abschnitt 11.3 und in [65] nhher eingegangen. Die Hauptsache bleibt vorerst, daB llberhaupt eine eigenstandige Fb-Bedingung benutzt wird.

5.3

Bruchkörper

Ob der erste Bruch, der in einer UD-Schicht eintritt, em Zfb oder em Fb ist, hangt von den Spannungsverhhltnissen ab. Dies wird bei nhherer Betrachtung der aufgestellten Bruchbedingungen deutlich. In den Fb-Bedingungen dominiert u1, dagegell erscheinen a2 und nur in einem Korrekturterm. Bei den Zfb-Bedingungen verhhlt es sich umgekehrt, in diesen haben a2 und einen starken EinfluB und a1 hat in einem weiten Bereich zunkchst gar keine und erst bei Annaherung an den Fb eine spurbare Auswirkung auf den Zfb. Aus dem eingangs in Kapitel 2 geschilderten Bruchgeschehen in Laminaten kann man schlieBen, daB in einer Schicht innerhaib eines Laminats zuerst Zfb und später auch noch Fb eintreten kann, whhrend em Fb gleichzeitig em "katastrophaler" Zfb ist. Für den Bruchkörper bedeutet dies,

76

5 Bruchbedingungen

daB die Fb-Flachen —

es

gibt eine für Zug (a1 0) and eine für Druek (a1 <0)

vom Zfb-

Korper etwas wegschneiden und so semen Gültigskeitsbereieh begrenzen. Hingegen besitzen die Fb-Flaehen aueh auflerhaib des ZIb-Korpers noeh ihre Gültigkeit, namlich für Fb nach eingetretener Zf-Rif3bildung. Dabei kann an dieser Stelle noch nicht erklkrt werden, woher man oberhaib der RiBbildungsgrenze den in die Fb-Bedingung einzusetzenden Wert von a2 nimmt. Bei der Sehubkorrektur gibt es em solehes Problem nicht, weil sie von vornherein mit 721 statt mit r21 formuliert wurde. Der EinfluB frOhzeitiger Elementnrfnserbrflche wurde ursprunglich in (Abschnitt 5.1.3) von abhangig gemacht. Nach den inzwisehen durehgeführten Betraehtungen zum Faserbrueh erseheint es jedoch sehr viel einleuehtender, ai/Ri in den Beziehungen für

durch die Fb-Anstrengung 5FF zu ersetzen, weil der Fb and seine Vorstufen bei genauerer Betraehtung nieht our von a1 abhängen. Dies ist physikalisch sinnvoll und erleichtert auderdem das praktische Recbnen, aber es ersebwert die Visunlisierung, denn man möehte natürlieh den Bruchkörper im (ai, a2, r21)-Raum darstellen.

0

CF

Bud

5.6: BruchkOrper nach Gin. (4.6) fur Zfh nnd (4.10) für Fb für ebene (a1,a2,r21)-Beansprnchnng bei a1 7 0 nnd a1 <0, dargestelit in Abhhngigkeit vnn der Fb-Anstrengnng 8FF

Bild 5.6 zeigt zunkchst die Darstellung des Bruehkorpers im (EFF, a2, v2s)-Ranm. Für den Zfb-Kdrper gelten sinngemaB die Ausführungen des Absehnitts 5.1.3; an die Stelle von tritt EFF. Tm Bereieb 0,7 sind die (a2, r2s)-Bruchkurven in Sehnitten 8FF = eonst. geometriseh ahnliehe Verkleinerungen der (a2, r21)-Bruchknrve für 8FF = Da es deBnitionsgemaB nur positive Anstrengungswerte gibt, maE aueh der Bereieh negati-

5.3 Bruchkorper

77

ver Faserspannungen llber positiven EFF-Werten aufgetragen werden. In diesern Fall machf sich die Schubkorrektur dadurch bernerkbar, daB die Fb-Fldche nicht wie bei positiver Faserspannung eine zur (a2, r21)-Ebene parallele Ebene ist, sondern eine einfach, und zwar parabelformig, gekrürnmte Flache. In Bud 5.7 ist die übliche Darstellung des Bruchkörpers im (ai, a2, r22)-Raurn vorgenommen worden. GemaB Cl. (5.26) ist die Fb-Flache für positive Faserspannung eine auf

der (ai, a2 )-Ebene senkrecht stehende und urn einen kleinen Winkel (von etwa 5° bis 8° bei gleichen Mafistaben für a1 und a2) gegenüber der (a2, r22)-Ebene gedrehte Ebene. Nun sind die (a2, r21 )-Bruchkurven auf soichen, urn den gleichen Winkel gedrehten Schnittebenen geornetrisch ahnliche Verkleinerungen der Bruchkurve für 1FF = 0, die durch die y21-Achse verlauft. Bei uegativer Faserspannung erschwert die Schubkorrektur die geornetrische Dar-

stellung; die Durchdringungskurve von Zfh-Fldche und Fb-Flache ist keine ebene Kurve.

Fb

1)

Fb

1)

a1

—

(II

/ Bild 5.7: Bruchkorper nach Gin. (5.1) his (5.3) für Zfb nnd (5.26) nnd (5.28) für Fb fur ebene (a1, a2, Beanspruchong, dargestelit im (ai, a2, r21)-Spannnngsranm

Bernerkenswert ist, daB die Bruchfiache des UD-Verbunds sich bei Benutzung der neuen Zfh-Bedingungen aus 5 Teil-Bruchfihchen zusarnrnensetzt, narnlich 3 Flachen für die ZfhModi A, B, C (die beiden Modus B-Fldchen nur einmal gezahit) und je einer Fb-Fldehe für positive und negative Faserspannung. Derngegenüber stellen die vielen heute noch gebrkuchlichen globalen Bruchbedingungen wie diejenige von Tsai, Wit eine einzige Ellipsoid-Oberfldche dar, so als oh es nur einen einheitlichen Bruch-Modus gdbe.

78

5.4

5 Bruchbedingungen

Berucksichtigung von Elgenspannungen

Bei der Festigkeitsanalyse von Laminaten mtissen in vielen Fallen die Eigenspannungen berucksichtigt werden, die durch die gegenseitige Verspannung der Einzelschichten bei Ande-

rung der Temperatur und der Feuehtekonzentration entstehen. Dabei mul3 man allerdings gegen eine Grundvoraussetzung verstoilen, die bei der Aufstellung von Bruchbedingungen getroffen wird, nämlich, daB die beteiligten Spannungen stets in einem unverhnderlichen Verhältnis zueinander verbleiben, d.h. daB der Spannungszustandsvektor unter Beibehaltung seiner Richtung aus dem Koordinatenursprung des Spannungsraumes herauswachst. Auch bei der experimentellen Ermittlung von Festigkeiten und Bruchkurven ist man stets bemtiht, diese Voraussetzung zu erfhhien, weil eine Abhangigkeit der Ergebnisse vom Lastpfad

zu erwarten ist [66]. Man ist demzufolge normalerweise gezwungen, stets mit der gleichen Bruchkurve bzw. dem gleichen Bruchkorper zu rechnen, oh nun Eigenspannungen vorhanden sind oder nicht. Solange die Eigenspannungen gegenuber den zum Bruch fflhrenden Spannungen relativ klein bleiben, dUrfte der Fehier sich in tolerierbaren Grenzen halten. Beim Vorhandensein von Eigenspannungen kann man die Begriffe Reservefaktor und Anstrengung nicht mehr in der gewohnten Weise anwenden. Dies soil durch Bild 5.8 veranschauhicht werden. Um das Grundsatzliche zu zeigen, genügt es, einen einfach darstehlbaren (a2, r21)-Spannungzustand zu betrachten. Gezeigt sind zwei gleich lange Spannungsvektoren (1 steht für lastbedingt, load dependent) Beide rllhren von einer gleich hohen Belastung her, aber einmal geht vom Koordinatenursprung aus, wkhrend im anderen Fall sich einem bestehenden Eigenspannungszustand {5}(r) (residual stress, r) llberlagert, wodurch der Spannungsvektor {a} entsteht. Ohne Eigenspannungen ergibt sich der Reservefaktor in gewohnter Weise. Wenn aber Eigenspannungen vorhiegen, kann man nur einen Reservefaktor der lastbedingten Spaunungen definieren:

Der Reservefaktor der lastbedingten Spannungen ist derjenige positive Faktor, mit dem alle lastbedingten Spannungen erhoht werden mllBteu, damit Bruch eintreten würde. Wkhrend es sinnvoil ist, einen Reservefaktor der lastbedingten Spannungen emzufUhren, ware es unsinnig, bei Existenz von Eigenspannungen von einer "WerkstoffAnstrengung" der lastbedingten Spannungen {cr}(1) zu sprechen, denn es kann ja nicht Teil der im Werkstoff wirkenden Spannungen, nämhich der lastbedingte, für dessen Anstrengung maBgebhich sein. Bei Berücksichtigung der Eigenspannungeu wird unter "Anstrengung" nicht der Kehrwert verstanden, sondern der Kehrwert des Faktors, um den sich der Spannungsvektor {a} = {a}(T) + unter Beibehaltung seiner Richtung verlangern mflBte, damit Bruch eintreten würde, vgl. (1) —* (2) und (1) —* (3) in Bild 5.8. nur em

5.4 Berflcksichtigung von Eigenspannungen

79

der lastbedingten Spanoungen und der Anstrengung S

Bud 5.8: Zur Definition des Reservefaktors

Tm Falle des hier betrachteten ebenen Spannungszustands setzten sich die herrschenden Spannnngen as, a2, r21 folgendermal3en zusammen: (r) Y21T21 +r21(1)

a2=a2(r) +a2

a5=a1(r) +a1(1)

(1)

(5.36)

Die zum Bruch fuhrenden Spannungen ergeben sich dann mit den als konstant angenommenen Eigenspannungen, den momentan herrschenden "Last-Spannungen" und dem Reservefaktor der lastbedingten Spannungen folgendermaBen: (r)

f(1)

(1)

a2 =

U5 + Res55

(r) a2

(1)

(r)

(1)

+fR€8a2

'151

41)

(I)

(5.37)

T25 +JResI2l

Der besseren TJbersichtlichkeit halber wird znnachst an einer einfachen konventionellen Bruchbedingnng, nkmlich Gi. (4.6) von S. 47 gezeigt, was sich dndert, wenn Eigenspannnngen berucksichtigt werden. Mit den Abktizungen a

(1

1

1

=

schreibt sTe sich folgendermaBen:

a

+ Sc2 +

= 1.

80

Em

5 Bruchbedingungen

Spannungszustand

(1)

(1)

a2 + fResa2

(r)

(1)

+

(1)

soil die Bruchbedingung erfullen. Die ergibt eine quadratische Gleichung für

((l))2 [a (0))2 ((i))2] +c

+

+

+

+

+a

+

+c

((r))2

38)

= 1.

Die ietzten drei Terme auf der hnken Seite der Gleichung weisen darauf hin, dal3 auch der Eigenspannungszustand allein schon eine (eigentiich Langzeit-)Bruchgefahr darsteilt. Beachtenswert ist auch, daf3 jetzt in der Bruchbedingung nicht nur quadratisch, sondern auch linear auftritt. Jetzt nimmt demnach das Vorzeichen der Schubspannung Einflu]3 auf das Ergebnis. Dies kann man sich auch anhand von Bud 5.8 vergegenwartigen. Mit den neuen Bruchbedingungen (5.1) bis (5.3) erhhit man auf gleiche Weise: (±))2

+

+

=

+ =

(+)

[f

(5.39)

2

((r) +

für Modus A,

+ +

+ +

= 1

( (r) +

= für Modus B,

+

+

1

( (r) + JReSUI

}

(5.41)

=

+

+

für Modus C.

Wenn a1 = 0 ist oder nicht berOcksichtigt wird, ist = 1 und = 0 zu setzen! Die Gin. (5.39) bis (5.41) stelien in jedem Fail quadratische Gleichungen für dar.

Nun wird, wie auch aus dem Bud 5.8 hervorgeht, die Entscheidung darüber, weicher Bruch-Modus eintritt, erschwert. Dies ist durch den Ausgangspunkt des Lastspannungsvektors (= Spitze des Eigenspannungsvektors) und seine Richtung vorbestimmt. Es ist also eine kieine "geometrische" Rechenoperation nötig, um ZU entscheiden, weicher Modus auftritt.

6

Degradation nach der Ril3bildung "Verschmieren" der Risse

Anfang der 60-er Jahre begann in Deutschland eine intensive Entwicklnng von GFKHochleistnrigs-Segelflngzengen. Aus der extremen Schlankheit der Tragfiugel clieser Flogzeuge, die aus Bud 6.1 erkennbar wird, resultieren auf3ergewohnlich hobo Festigkeitsanforderungen, insbesondcre natlirlich im Bereich der Flugelwurzel beim Ubergang in den Rumpf.

Bud 6.1: Bei modernen Hochleistungs-Segelflugzeugen resultieren aus

der imgewohnlichen Schlankheit

der Tragflugel extreme Festigkeitsanforderungen.

Nachdem anfanglich mittragcnde Sandwichkerne aus Balsaliolz an der Lastaufnalirne heteiligt waren, ging marl bald dazu fiber, die gesarnte Primdrstruktur, Tragflilgel. Rumpf und Leitwerk, in reiner Faserverbundhamveise ausziiffihren. Bei der Entwicklung und der Festigkeits-Erprohung der friihen GFK-Flugzeuge steilte sich heraus, dal3 in der Festig-

82

6 Degradation nach der Riflbildung

keitsanalyse der Laminate noch eine riesige Lllcke klaffte, und zwar für den sehr weiten Beanspruchungsbereich zwischen beginnender Rifibildung und dem Totalbruch. Zwar war die klassische Laminat-Theorie 1960 schon in ihren Ansatzen vorhanden — sie wurde damals znr Unterscheidung von der Netztheorie "Kontinunmstheorie" genannt — aber man sah keine Mbglichkeit, mit ihr uber die Entstehung der ersten Risse hinans zu rechnen, weil dann ja kein "Kontinuum" mehr existierte. Die kitere Netztheorie konnte zwar gewisse Anhaltspunkte fur

das Tragverhalten der "total gerissenen" Struktur geben, aber insgesamt war die Situation dullerst unbefriedigend, denn der "Nach-Rifibildungs-Bereich" erwies sich als um em Vielfaches grdller als der ri]lfrei ertragbare Lastbereich. Dies veranlafite den Autor 1968/69 zur Suche nach einer Abhilfe, die in erster Linie den Bedurfnissen der GFK-Konstruktionspraxis gerecht werden soilte [1,2]. Die folgende in [2] getroffene Aussage ist aber auch heute noch Grundlage aller realistischen "Post-Failure" -Theorien für Laminate: "Es liegt nahe, ebenso wie man bisher schon in den einzelnen IJD-Schichten die Auswirkung der unterschiedlichen Moduln von Fasern nnd Harz auf die Elastizitkt der UD-Schicht durch "Verschmieren" der Faser/Harz-Struktur zu einem homogenen Kontinuum makroskopisch — d.h. im Mittelwert richtig — erfalite, anch die Risse Zn "verschmieren" und so jedenfalls makroskopisch die Auswirkung der Risse auf die Steifigkeit der "gerissenen" UD-Schicht und damit anf die Steifigkeit des ganzen Mehrschichtenverbunds rechnerisch zu erfassen. Die Risse au]lern sich dann in einer Abminderung einiger Elastizitatsgrd]len der betroffenen UD-Schicht."

Genau genommen werden auch schon bei der Spannnngsanalyse unterhaib der RiBbildnngsgrenze, wenn nicht-lineare Spannungs-Verzerrungs-Zusammenhange berucksichtigt werden, nicht nur Fasern und Matrix verschmiert, sondern auch Risse. In diesem Fall handelt es sich allerdings um unsichtbare "Mikrorisse", denn diese vernrsachen im wesentlichen die Nichtlinearitkt, vgl. Bilder 1.3 auf 5. 5 und 3.7 auf 5. 39. Das kann man unter anderem daraus schlieflen, dali bel einem der Entlastnng folgenden zweiten Belastungszyklus bis zur gleichen Lasthdhe keine Nichtlinearitdt und Schkdigungshysterese mehr anftritt [67]. Nat ürlich stellt das Verschmieren von "Makrorissen", die elne Schicht vollstandig durchtrennen, em wesentlich grdberes Vorgehen dar als das Verschmieren von Mikrorissen. Man mull sich darflber im klaren sein, daB die bei dieser Verfahrensweise unvermeidliche Vernachlassigung der Spannungskonzentration an den Riflspitzen gravierend sein kann, insbesondere hem Laminaten, die nur aus sehr wenigen, dicken Schichten bestehen. Solche kommen allerdings sehr selten vor und erfordern ggf. besondere Malinabmen wie das Einfügen einer "Rillstopperschicht", s. Bild 2.4 auf 5. 17. Für die vorherrschenden femn- und vielschichtigen Laminate in Bauteilen steilt das Verschmieren der Zwischenfaser-Risse sicher eine "vernünftige" Annaherung an die Wirklichkeit dar. Vermutlich ist sie für die Konstruktionspraxis

6.2 Abminderungsfunktion für Elastizitatsgrol3en

83

sogar die einzige Vorgehensweise, die noch einfach genug handhabbar und doch hinreichend wirklichkeitsnah ist. Auf die lokale Kerbwirkung wird im Abschnitt 11.1 nochmals einge-

gangen. her geht es zundchst darum, die Last-Umverteilung unter den Schichten im Laminat " im Mittel richtig" berechenbar zu machen. Durch das Verschmieren der Risse wird erreicht, dai3 der Algorithmus der schichtenweisen Spannungsanalyse auch nach eingetretener RiBbildung weiterbenutzt werden kann. Die diskontinuierlich mit Rissen durchsetzten Schichten werden durch em homogenes Kontinuum ersetzt, dessen Eigenschaften in erster Linie die "Quer-Steifigkeiten" sich abhangig vom AusmaB der Rilibildung stetig hndern. Im Sinne der Damage Mechanics stelit sich somit erstens die Frage nach dem Evolutionsgesetz, weiches das Ausmaf3 der Rif3bildung bestimmt (Bruchmechanik!), und zweitens nach dem zu euler bestimmten RiJidichte gehorenden Steifigkeitsverlust. Für den Spezialfall der reinen o-2-Zugbeanspruchung liegen bereits analytische Lösungen vor die auch weitgehend experimentell bestatigt werden konriten [68]. Für die Bruchanalyse im Zuge einer Bauteilentwicklung müssen aber zumindest alle denkbaren (a1, a2, in in der Konstruktionspraxis wohi noch für einige Zeit mit phknomenologischen Modellen wird vorliebnehmen müssen.

6.2 6.2.1

Abminderungsfunktion für Elastizitätsgröf3en Bruch-Modus A

Aus dem Erscheinungsbild der Zf-RiBbildung und aufgrund mikromechanischer Vorstellungen vom KraftfluB im Verbund ergibt sich, daB der Elastizithtsmodul ElF in der Faserrichtung einer UD-Schicht nicht nennenswert durch die faserparallelen Risse beeinfluBt wird. Der KraftfluB bei und wird an jedem RiB unterbrochen, so daB er im RiBbereich flber die Nachbarschichten umgeleitet werden muB. Foiglich , wenn sic die Quersteimüssen bei verschmierten Rissen die "Quer-Moduin" und figkeiten im Mittel richtig angeben sollen, abgemindert werden. Auch der Mechanismus der (es handelt sich um die groBeQuerkontraktion, der sich in der Querkontraktionszahl re) ausdrllckt, wird durch die Risse verhndert. Die mikromechanische Berechnung von

geschieht mit einer einfachen "Mischungsregel", die auf der Annahme basiert, daB bei der Querkontraktion von Fasern und Matrix keine Hohlrkume entstehen. Soiche sind aber durch zi) erfolgt nicht mehr "en bloc", sondern die Risse vorgegeben; die Querkontraktion streifenweise, wobei sich die Risse öffnen. Mit fortschreitender RiBbildung wird sich foiglich der Wert von verkleinern; bei einem reinen Netzwerk ist = 0. Bei der Abminderung von Eis, G111s und vhF soil als extremer Grenzfall die Situation des reinen Netzwerks erreichbar sein.

6 Degradation nach der Rilibildung

84

In

[2]

wurde für die durch kombinierte

)-Beanspruchung hervorgerufene

Bruchart nach Modus A folgende Annahme getroffen: E11 bleibt von der Ril3bildung unbeeinflul3t. E15, werden in gleichem Made mit einem Faktor abgemindert, der von der Riddichte abhhngt.

Das Problem bestand darin, bei lJnkenntnis des Zusammenhangs zwischen Ril3dichte und mittlerem Steifigkeitsverlust und unbekanntem Evolutionsgesetz der Ril3bildung einen Ansatz für zu finden. Eine Losung ergab sich aus der folgenden Uberlegung: Wenn man mit einer Zfb-Bruchbedingung — bei zunhchst vorausgesetztem linear-elastischen Verhalten — -Werte > 1 errechnet, bedeutet dies, dad die Zfb-Grenze tiberschritten wurde, und zwar um so mehr, je hoher der Wert fur ausfhllt. Grundsatzlich kann man also die "Uberanstrengung" (SIFF 1) als eine Variable benntzen, welche die Riddichte und damit die Modulabminderung steuert. Anstrengungswerte SIFF> 1 kann man auch als Uberschreitungsgrad der Ridbildungsgrenze bezeichnen. Gesucht also ist eine Abminderungsfunktion 7) =

1)

oder

= n(SIFF).

Für 1 1 1 gilt 0 < ij < 1. Die Parameter der Funktion mOssen natürlich dureh geeignete Versuche an verschiedenen Laminaten und bei untersehiedlichen Belastungen ermittelt werden. Generell kann man aber bereits aus experimenteller Erfahrung vorhersagen, dad ij nach dem Uberschreiten der Ridbildungsgrenze znnkchst nur sehr schwach abfallt geringe Rif3bildungsrate), dann folgt em steiler Abfall gehdufte Ridbildung) und anschliedend wieder em abgeflachter Verlauf abebbende Riflbildung).

Bud 6.2: Abminderungsfaktor ij für die Elastizitatsgröflen E13, Ci>, in Abhangigkeit vom "Uberschreitungsgrad" 8IFF > 1 des Beginns der Zwischenfaserrillbildung

=

1)

nach [2]

Bild 6.2 gibt den in [2] gewahiten Verlauf VOll 1/ = 7)(SiFF) wieder. Aus dem Bild geht auch hervor, dad bei kombinierter r111)-Beanspruchung, d.h. bei den Bruch-Modi B und C, keine starke Abminderung erfolgen darf, weil die Risse sich nicht offnen kbnnen und die

6.2 Abminderungsfunktion für Elastizithtsgrollen

85

Riliflachen sich auch nach dem Zfb beruhren und Druckkraft ffbertragen. Es war erwartet worden, daB nach dem Bekanatwerden dieser Methode vielerorts bei den Bruchversuchen ij-Verlaufe ermittelt wUrden, was aber leider bis hente nnr vereinzelt geschehen 1st.

Bud 6.3: "Nach-Bruch-Theorien", zusammengesteilt von Nahas [7]: (a) Hahn, Tsai-Methode, (b) Petit,

Waddoops-Modell, (d) Nahas-Modell

(c) Chin-Model!,

Wie in [68] kommt auch in der Ubersicht von Nahas [7] bei der Erwhhnnng der NachBruch-Theorien nur der Sonderfall der einachsigen a2-Zugbeanspruchnng vor. Bud 6.3 gibt die in [7] erwahnten Modellannahmen für den Verlauf der llber der Lange gemittelten Spannung a2 bei fortschreitender RiBbildung wieder. Keiner der gezeigten Verlaufe erscheint realistisch. Gegen die Annahme einer nach dem RiBbildungsbeginn konstant bleibenden mittleren Spannung a2 spricht die Vorstellung, dad an jeder Ridstelle die ortliche Spannung zu "null" wird, und dad es einer gewissen Anlaufstrecke bedarf, his sich die Spannung wieder so weit aufgebaut hat, dad erneut die Festigkeit erreicht ist, und somit em neuer Rid entstehen kann. Ware eine Konstante, so mlldte demnach die mittlere Spannung a2 nach dem Ridbildungsbeginn kleiner als sein. Nun ist allerdings in Wirklichkeit Uber die Lange der Schicht statistisch verteilt, so daB zuerst Risse an "schwacheren" Stellen und spitter an "festeren" Stellen entstehen. So kann man sich durchaus vorstellen, dad nach der Entstehnng der allerersten Risse, die auch von Fehistellen ausgelost sein konnen, die uber die Lange gemittelte Spannung a2 eine Weile konstant bleibt oder sogar noch etwas ansteigt, um erst spitter abzufallen. Die llbrigen a2-Verlitufe enden alle mehr oder weniger abrupt bei a2 = 0. Dies ist nun wiederum nicht mit der Vorstellung vom charakteristischen Schadigungszustand (CDS) in Einklang zu bringen, denn wean sich nach dem Erreichen des CDS keine neuen Risse mehr bilden koanen, bedeutet dies, dad die gerissene Schicht von nun an eine konstaate Reststeifigkeit behitlt und somit die Spanaung mit weiter wachseader Dehaung wieder proportional zu den Verzerrungen ansteigen mud. Experimente zur Ermittluag des tatsachlichen Steifigkeitsabfalls nach Einsetzea der Ridbilduag müdten u.a. an (0°, 90°)-Laminatea durchgeftihrt werden, bei deaen die 90°-Schicht erheblich dicker ist als die O°-Schichten. Einige solche Versuche mit empfindlicher Deh-

6 Degradation nach der Riflbildung

86

nungsaufnahme sind in den 60-er Jahren am Deutsehen Kunststoff-Instztut in Darmstadt durchgeführt worden [69], wenn auch zu einem anderem Zweck. Dennoch kann man aus der Abb. 17 in [69] einige Anhaltspunkte zum Verlauf der mittleren a2-Spannung entnehmen.

tax 150 N

mm2

100

50 Bud 6.4: (a) Spannungs,Dehnungs-Diagramm eines

0 0

0,005

0,01

(Verhältnis von Dicke der

90°-Schicht zur Gesamtdicke 0,75) bei einachsiger Zugbeanspruchung in Richtung der 00-Fasern bis zu = 1,1% (b) Spannungs, Deheiner Dehnung nungslinie für nur noch allein tragende 0°-Schicht

Bud 6.4 gibt Einzelheiten aus der erwähnten Abb. 17 in etwas vereinfachter Form wieder. Man kann deutlich erkennen, daB a2 nicht im Mittel konstant bleibt, denn sonst müBte die Spannungs,Dehnungs-Linie des Laminats nach dem "Knie", das den RiBbildungsbeginn anzeigt, parallel zu der Linie verlaufen, die sich bei nur noch allein tragender 0°-Schicht des Laminats gilt mit den Schichtdicken t ergibt. Denn für die Spannung + t900) =

U100

t0o

+

a2900 t900

.

Aus dem Abstand der aufgenommenen (ar,

(6.2)

und der Linie für die allein tragende

0°-Schicht erhält man also AufschluB flber den Verlauf von a2950 in Abhängigkeit von 6295. = a,,, wobei in diesem Fall die Zfb-Anstrengung der 90°-Schicht naherungsweise proportional ZU 62 ist. Ob em CDS mit der zugehorigen Reststeifigkeit der 90°-Schicht auftritt, kann nicht

mit Sicherheit festgestellt werden; man gewinnt den Eindruck, daB hei einer Anstrengung 10%) vorhanden ist. 4, 5 noch eine kleine Reststeifigkeit EIFF Aufgrund des aligemeinen Wissens llber den Ablauf der fortschreilenden Ril3bildung und der Anhaltspunkte aus Bild 6.4 gelangt man zu einem Ansatz für die ElastizitatsgröBenAbminderungsfunktion 7)(eJFF) für den Bruch-Modus A der folgenden Art: (6.3)

6.2 Abminderungsfunktion für Elastizitatsgroflen

87

6

Bud 6.5: (a) Abminderungsfaktor

naeh Gi. (6.3) mit c = 4 und = 2. (b) Verlauf der mittleren, "verschmiert" betrachteten Spannung a2 in der 90°-Schiclit eines [O°/90°/O° (-Laminate, linear elastisch gerechnet. Die mittlere Spannnng a2 ist auf die beim Erreichen der Rillbildnngs-Grenze anftretende Spannnng a2 (Zfh) bezogen.

Durch die Grol3e Pr wird erfafit, daB eine kleine Reststeifigkeit erhalten bleibt. Die Konstante c und der Exponent dienen zur Anpassung an Versuchsergebnisse. Die Messungen nach Bud 6.4 gestatten nur eine sehr unzulangliche Anpassung; c = 4 nnd e = 2 erscheinen "vernflnftig". Mit diesen Werten sind die in Bud 6.5 dargesteilten Verlkufe berechnet worden, die allerdings nur exemplarisch betrachtet werden soilten. Bemerkenswert ist vor allem der anderordentliche starke Einflnfl des Wertes Pr auf die mittlere Spannung cr2. Er beeinfluBt die Spannnngsanfnahme der gerissenen Schicht bei hohen "Uberschreitungsgraden" der Riflbildungsgrenze sehr stark. Eine 8-fache Uberschreitung einer Zfh-Dehnungsgrenze von 0,3 % ist bei (0°, 90°)-GFK-Laminaten durchans denkbar. Solange keine verlaflhichen Messungen llber Reststeifigkeiten vorliegen, kann allenfalls empfohlen werden, bei GFK mit 0, 03 his 0,05 zu rechnen (vorzngsweise mit 0,03 für annahernde Spannnngskonstanz Pr auf niedrigem Nivean) und bei CFK Pr = 0 zu setzen, denn bei CFK kann kanm eine Sattignng mit Rissen festgestellt werden [68]. Dies mag allerdings anch daran liegen, dad ganz so weite Uberschreitungen der Riflbildnngsgrenze wie bei GFK-Laminaten bei CFK-Laminaten wegen der meistens etwas niedrigeren Faser-Bruchdehnnng nicht realisierbar sind. Versuche znr Klarung des Nach-Zfh-Verhaltens bei

sind viel schwie-

riger als die beschriebenen Versuche an (0°, 90°)-Laminaten, weil znr Ridhildung relativ grode Schubverformungen 725 0,04 his 0,05 gehoren, s. Bud 3.3 auf S. 35. Man kann am ehesten an rohrformige Probekorper mit (90°, +75°)-Wicklnng denken, bei denen die zn nntersuchende audenliegende 90°-Schicht durch eine Ridstopperschicht gegen die anch in

6 Degradation nach der Ril3bildung

88

der +75°-Wicklung zu erwartende Ril3bildung "isoliert" ist. Vorerst erscheint es verntinftig, für r511-Beanspruchung die gleiche Abminderung vorzusehen wie bei und T111 die Moduin E15 und GIE gleich und somit auch bei Kombinationen von abzumindern.

Mit der in [2] vorgenommenen Einführung der Anstrengung 5IFF oder Uberanstren— 1) als derjenigen Variablen, weiche die Abmindernng der Elastizitatsgrollen

gung E15,

steuert, wurde die für kombinierte Beansprnchungen erforderliche Verailgemeinerung erreicht. Sie bewahrt sich insbesondere auch dann, wenn sich das Verhaitnis der Spannungen untereinander bei einer Belastungssteigerung oder im Laufe der Zeit andert. Für die Durchführung der Spannungsanalyse nach eingetretener Ril3bildung infolge Zfb nach Modus A bedarf es noch einiger Präsisierungen:

mull, damit überhaupt die Uberanstrengung (oder Die Zfb-Anstrengung "Uberdehnung") in Erscheinnng tritt, mit Elastizithtsgrol3en berechnet werden, die noch nicht mit ij abgemindert sind. Da man in der Regel bereits vor der Ril3bildung mit Sekantenmoduln E15, G1115 gerechnet abhdngig gemacht wurden, steilt sich die Frahat, die von den erreichten Spannungen a2, ge, mit welchen Sekantenmoduln nach Eintritt der Rii3bildung gerechnet werden soil. Eine halbwegs "exakte" Losnng ist bier wegen des inhomogenen Spannungszustands in der gerissenen Schicht nicht angebbar. Vernünftig erscheint es, mit dem Sekantenmodul E15 bzw. zu rechnen, welcher zu der über der Lange gemittelten Spannung a2 (Bud 6.5) bzw. r21 gehdrt. D.h., daB nach dem Beginn der p-Abminderung die Sekantenmoduln E55 und

bei den Spannungen a2 bzw. r21 im Spannungs,Verzerrungs-Diagramm abzugreifen sind, die sich unter Verwendung der mit p abgeminderten Elastizitatsgrollen errechnen. (In [2] war empfohlen worden, nach Einsetzen der p-Abminderung die Uberanstrengung mit den Sekantenmoduln zu berechnen, die bei Erreichen der Rillbildungsgreuze vorlagen. Dies erscheint aber bei genauerer Uberlegung nicht mehr plansibel.) Hier kann nun auch die noch offen gebliebene Frage beantwortet werden, welcher Wert für a2 oberhalb der Rillbildungsgrenze in die Faserbruchbedingung eingesetzt werden soll. Will man moglichst korrekt vorgehen, sollte man in die Fb-Bedingung den Wert für a2 einsetzen, der sich mit der p-Abminderung errechnet. Es sei darauf hingewiesen, daB in dieser Arbeit em Hochstmall an "physikalischer Korrektheit", das in der Konstruktionspraxis gerade noch praktikabel erscheint, dargesteilt wird. Oh es immer sinnvoll ist, dies in den Rechenprogrammen in vollem Umfang umzusetzen, mull von Fall zu Fall geprüft werden. Man sollte sich stets dessen bewuflt sein, wieviel Willkür z.B. vorerst noch in der angesetzten p-Funktion steckt. Deshalb erscheint es durchaus angebracht, in Rechenprogrammen, wenn nötig oder wünschenswert, aufgrund der Kenntnis der Zusammenhange Vereinfachungen vorzunehmen. Darauf wird in Kapitel 7 noch elugegangen.

6.2 Abminderungsfunktion für Elastizitatsgrol3en

6.2.2

89

Bruch-Modi B und C

Wenn bei einer kombinierten (a2, a2 eine Druckspannung 1st, können entstehende sich nicht öffnen; die gespeicherte Formanderungsenergie sorgt dafflr, daB die RiBfldchen aufeinandergeprel3t bleiben. Eine nennenswerte Druck-Entspannung kann also nicht stattfinden, selbst werin bei der RiBentstehung etwas Material "zerbröselt". Wohl aber können die beiden RiBflachen sich unter der Wirkung der etwas gegeneinander verschieben. Dort, wo die gerissene Schicht mit den Nachbarschichten verklebt ist, ist keine soiche Relativbewegung möglich, in der Schichtdickenmitte 1st sie am grol3ten. Die Relativbewegung bel Schub 1st analog zum Offnen der Risse bei Zug zu betrachten. Dies berechtigte im Bereich cr2 > 0 dazu, und in gleichem Mafle mit abzumindern. Insofern wird der in [2] gemachte Vorschlag, im Bereich a2 <0 sowohi E12 als auch

nur sehr schwach abzumindern, vgl. Bud 6.2 auf S. 84, der Realitkt nicht gartz gerecht. Es gibt keinen Grund, zwei fast reine einmal mit euler zusätzlichen sehr

kleinen Spannung a2 >

0

und em

anderes Mal mit euler sehr kleinen Spannung a2 < 0,

unterschiedlich zii beharideln. Mit anderen Worten: Die Abminderungsfunktion sollte beim Durchgang durch a2 = 0 keinen Sprung aufweisen. Wenn die beim Bruch erreichbare a2-Druckspannung anwächst, nimmt mit ihr gleichzeitig der Reibwiderstand /ia2 zu, der die Relativbewegung der RiBflkchen erschwert. Em Tell

muf3 dann gar nicht mehr über die Nachbarschichten umgeleitet werden, sondern wird durch Reibkräfte direkt llber die RiBflachen llbertragen. Will man sehr konsequent vorgehen, muB man dementsprechend die für mit zunehmender a2-Druckspannung beim Bruch allmahlich zurllcknehmen. Ohne an dieser Stelle die Frage zu erörtern, "ob sich der Aufwand lohnt", wird für die im Bereich a2 < 0 folgende unterschiedliche Abminderung vorgeschlagen: des

Der Sekantenmodul E18 erfährt uberhaupt keine

Er wird am

(a2, E2)-Diagramm abgegriffen, das bei Bedarf zu diesem Zweck "verlangert" wird. —

Für die Abminderung von

wird der gleiche Fullktionsverlauf von ij wie im mit wachsender a2-

Bereich a2 0 benutzt; jedoch wird die Abminderung

Druckspannung allmdhlich weniger wirksam gemacht. Dazu wird folgende Interpolation zwischen den Werten und 1 vorgeschlagen:

= q(+)cos2p+ lsin2p für

a2 <0 mit p =

.

und p(+) sind hierin die einander entsprechenden p-Werte (bei gleichem

für a2<0 bzw. a2>0.

(6.4)

Wert)

7

Durchfuhrung und Auswertung der Bruchanalyse

7.1

Rif3bildung und Verformungsverhalten

Nachdem nun die Werkzeuge der schichtenweisen Bruchanalyse, nämlich Spannungsanalyse, Bruchbedingungen und Degradationsmodelle, vorgesteilt worden sind, mul3 noch kurz ihre Anwendung erörtert werden. Einen Uberblick llber den Ablauf kann man sich am ehesten aus einem FluB-Schema verschaffen; em soiches zeigt Bud 7.1 auf S. 92. Wenn man die Modelle und Methoden in der dargesteilten relativ "perfekten" Form anwendet wird damit em Belastungsvorgang eines Laminats vom Belastungsbeginn bis zum

Totaibruch recht wirklichkeitsnah auf dem Rechner simulierbar. All die Nichtlinearitaten und Interaktionen bedingen allerdings viele Iterationen. Wenn man z.B. "in einem Zug", d.h. nicht durch Steigerung der Belastung in kleinen Schritten, die Ril3bildungsgrenze einer Schicht ermittein will, wählt man für die erste Rechnung normalerweise erheblich zu hohe Sekantenmoduin und benotigt dann einige Iterationsschleifen, bis Moduln, Spannungen und Verzerrungen sowie ggf. auch p-Abminderungsfaktoren hinreichend in Einklang gebracht sind [2]. Die Anzahl der je Laststufe notigen Iterationen ist geringer, wenn man die Belastung rechnerisch in kleinen Inkrementen steigert. Dies ist ohnehin immer dann nötig, wenn man das nicht-lineare Spannungs,Verzerrungs-Diagramm des Laminats berechnen will. Em soiches erhdlt man einschlieBlich der Information über den RiBbildungsbeginn aller nacheinander betroffenen Schichten. Hierbei ist vorallem auch die Angabe llber den Bruch-Modus (A, B, C) von groBtem Interesse. Der RiBbildungsbeginn euler Schicht zeigt sich im Spannungs,Verzerrungs-Diagramm des Laminats durch eine mehr oder weniger ausgeprkgte Steigungsknderung, em sogenanntes "Knie" an [69], s. auch Bud 6.4 auf S. 86.

7.2

Delaminationsgefahr

Em Delaminationsbeginn kann mit Hilfe der schichtenweisen Bruchananlyse nicht annhhernd so zuverlassig vorhergesagt werden wie die "intralaminaren" Zwischenfaserbrüche. Die Fra-

ge, oh intralaminare oder interlaminare Brllche auftreten, kann naturgemaB nur mit Hilfe

92

7 Durchfflhrung und Auswertung der Bruchanalyse

=

Bud 7.1: FluBdiagramm der schichtenweisen

und Bruchanalyse

7.2 Delaminationsgefahr

93

einer kompletten 3D-Bruchanalyse untersucht werden, die erst im Teil III behandelt wird. Mit den dort angegebenen Delaminationsbedingungen lkBt sich feststellen, oh primär, d.h. bevor em intralaminarer Bruch eintritt, eine Delamination zu erwarten ist. Die Erfahrung lehrt, daB dies in "ungestörten" Bereichen von Bauteilen auflerst selten der Fall ist. Dies erkldrt sich sehr einfach daraus, daB sich dort, d.h. in einiger Entfernung von Krafteinleitungsstellen und "freien Randern", keine gefkhrlichen interlaminaren Spannungen entwickeln kOnnen, weil hierfllr die aus Gleichgewichtsgründen nötigen hohen Gradienten der intralaminaren Spannungen (s. Abschnitt 3.4) fehlen. Dies ging bereits mit groBter Deutlichkeit aus einer elementaren Betrachtung an biegebeanspruchten GFK- und CFK-Rohren [45] hervor. SchwinIn [70] wird über eine 1,6 Jahre (netto!) andauernde Schwingbeanspruchung mit gungsspielen eines GFK-Kastentragers berichtet, bei dem bei der Konstruktion besonders auf "sanfte" Ubergange zwischen Gurt und Steg geachtet worden war. Nur bei einem etwas zu klein ausgefallenen Rundungsradius entwickelte sich eine Ortlich begrenzte Delamination zwischen dem +45°-Steg-Laminat und dem 0°-Gurt. Aus den vielen Schwingversuchen an GFK-Antriebswellen, llber die in [27] berichtet wird, wurde vor allem folgende Erfahrung gewonnen: Nennenswerte Delaminationen entwickeln

sich an solchen "glatten" Bauteilen mit relativ homogenen Spannungszustanden und ohne freie Rknder offenbar immer erst dann, wenn zuvor intralaminare Zf-Risse entstanden sind. Dadurch, dad an den Rissen, insbesondere solchen vom Modus A, der Kraftflufl einer Schicht plotzlich unterbrochen wird, werden die intralaminaren Spannungen a2 und bei grollerer Riddichte auch an dieser Stelle gleich "null". Nach einigen Millimetern schon uach Bruchteilen eines Millimeters erreichen a2 und 'r21 aber durch die Wirkung von interlaminaren Schubspannungen wieder eine solche Hohe, dalI erneut em Rid entstehen kann. An den Rifistellen existieren nun plotzlich die für die Entstehung interlaminarer Schubspannungen nbtigen hohen Gradienten der intralaminaren Spannungen, s. Bild 2.6 auf S. 20. Der ursprflngliche Beanspruchungszustand in der Schichtebene verwandelt sich durch die Zf-Ridbildung lokal in einen raumlichen Beanspruchungszustand! Die Umgebung der Kreuzungspunkte von Risseu benachbarter Schichten sind Orte besonders hoher Spannungskonzentrationen und deshalb oft der Ausgangspunkt von Delaminationen. Die Auswertungen der in [27] beschriebenen Versucbe legt die Vermutung nahe, dad nahezu eine "Skttigung" mit intralaminaren Rissen eingetreten sein mud, bevor sich eine "ausgeprägte" Delamination bemerkbar macht. Darüber, wann und in welchen Schichten des Laminats hohe Riddichten erreicht werden, kann der Uberschreitungsgrad (EIpF> 1) aus der Zfb-Analyse Aufschlud geben. Damit bietet sicb eine Moglichkeit, Ort und BelastungshOhe (oder Schwingspielzahl) anzugeben, für die eine erhOhte Delaminationsgefahr zu erwarten ist. In Bild 7.2 ist der Versuch unternommen worden, für (a2, r21)-Beanspruchung eine Markierungslinie für den Grenzzustand "Erhohte Delaminationsgefahr" festzulegen. Wie hoch

94

7 Durchfuhrung und Auswertung der Bruchanalyse

Modus

Bud 7.2: (a) Darstellung der "Warngrenzen" für hohe Delaminationsgefahr (Danger of Delamination, Do. Del.) und Gefahr des Laminatversagens (Danger of Laminate Failure, Do. Lam-F.) in einem Polardiagramm; (b) Figur cur Herstellung der Verbindung zwischem dem Winkel p im Polardiagramm nnd den Winkelu an der (a2, r21)-Brnchkurve

für bestimmte Faser-Matrix-Kombinationen und Hersteilverfabren der Uberschreitungsgrad (SIFF > 1) anzusetzen ist, ab dem eine erhdhte Delaminationsgefahr besteht, kann nur aus experimenteller Erfahrung entschieden werden; deshaib sind die im Bud gewahiten Zahlenwerte exemplarisch zu werten. Wegen der mit grol3en Bruchwinkeln verbundenen Sprengkraft" beginnt die Markierungslinie bei reiner Quer-Druckbeanspruchung bereits bei 81FF5 = 1, 25. His zur reinen Quer/Langs-Schubbeanspruchung nimmt der delaminationskritische Wert von 8IFF dann gleichmaffig nach folgender Beziehung

=

(m cog2 p + sin2

für a2 <0 mit p =

arctan

I a2

I

(7.1)

bis auf den m-fachen Wert zu. Tm Bereich des Modus A bleibt er konstant. Has Bud 7.2 zeigt den Verlauf von für in = 2 in Form eines Polardiagramms. Mehr als dieses "Aufmerksammachen" anf den Ort und die Belastungshohe, bei denen mit einer erhohten Delaminationsgefahr gerechnet werden mu]3, kann die hier dargesteilte elementare Betrachtungsweise nicht leisten. Aber selbst dies stelit schon einen nicht geringznschätzenden Fortschritt dar. Im Rahmen der im Teil TTT behandelten Bruchanalyse bei ränmlichen Spannungszustanden wird im Abschnitt 9.3 noch einmal auf die Delaminationsproblematik eingegangen.

7.3 Laminat4Tersagen

7.3

95

Laminat-Versagen

Wegen der grol3en Zerstorungen, die mit einem Faserbruch — im hier benutzten Wortsinn — einhergehen, wird man in der Regel Fb in einer Schicht mit Laminatversagen gleichsetzen. Dies erscheint insbesondere dann angebracht, wenn sich Fb nicht nur für eine eng begrenzte Stelle, sondern für einen grol3eren Bauteilbereich errechnet. Ob nach eingetretenem Fb noch eine Resttragfkhigkeit vorhanden ist, oder die verbleibenden Schichten sogar noch eine Laststeigerung ermoglichen, kann man prUfen, indem man alle Elastizitdtsgröl3en der vom Fb

betroffenen Schicht zu "null" setzt, aber ihre geometrischen Daten nnverandert laSt. Man sollte jedoch bei der Bewertung von Rechenergebnissen oberhalb einer Belastung, bei der bereits em Fb eingetreten ist, bedenken, daB der Fb einer Schicht normalerweise auch Schdden in Nachbarschichten bewirkt. Beim Auftreten von Zfb des Modus C, und zwar insbesondere solchen mit stark llberfUhrt, ist nicht nur wiegender cr2-Druckbeanspruchung, die zu groBen Brnchwinkeln die Spannungskonzentration an der Rifistelle, sondern die von der Keilwirkung herrllhrende "Sprengkraft" zu beachten, die nach erfolgter Delamination das Beulen einzelner abgeloster Schichten begünstigen kann. Wie hoch die von einem schrkgen Bruch nach Modus C ausvor allem von der gehende Gefahr einzuschktzen ist, hkngt aufler vom Bruchwinkel relativen Dicke (Verhaltnis von Schichtendicke zu Laminatdicke) der betroffenen Schicht oder Schichten und ihrer Plazierung im Laminat ab. Sollte sich bei groBen Bruchwinkeln = 1, 25 und groBer relativer Dicke em Uberschreitnngsgrad ergeben, der dentlich über hinausgeht, kann auch dies Laminatversagen bedeuten. In Bild 7.2 ist deshalb im Bereich des Modus C anBer der Linie für erhohte Delaminationsgefahr eine weitere Linie, diesmal für mögliches Laminatversagen, eingezeichnet, und zwar für Werte, die sich als aus den £FF-Werten nach Cl. (7.1) errechnen. Wenn sich die dnrch die Warnungslinie angezeigte als kritisch hinsichtlich Laminatversagen betrachtete Situation nicht durch einen veränderten Laminataufbau beseitigen laSt, mufl sie detaillierter, evtl. auch experimentell abgeklärt werden.

7.4

Anwendung auf gewebeartige Strukturen

Obwohl man zur Erzielung hoher Schkdigungs- und Bruchgrenzen, wie bereits im Abschnitt 2.1 erlkutert, eine gestreckte Fadenführung anstrebt, kommt man oft ans herstelltechnischen Cründen nicht umhin, Cewebe, Wickelstrukturen mit Wickelbandüberkreuzungen oder geflochtene Faserstruktnren einzusetzen [21,22]. Glnsseidengewebe spielen beispielsweise in der Hochspannungs-Elektrotechnik eine bedeutende Rolle, wo neben guten mechanischen Eigenschaften eine hervorragende elektrische Cute (Durchschlagfestigkeit, Glimmentladungsfreiheit usw.) unabdingbar ist. Em typisches Beispiel sind mit feinen Classeidengeweben im

96

7 Durchführung und Auswertung der Bruchanalyse

Vakuum-Irnpragnierverfahren hergesteilte Lichtbogen-Loschkammern, die mechanisch und elektrisch hochbelastbare Innendruckbehhlter darstellen. Es fragt sich deshaib, inwieweit die vorgesteilten, mit idealisierten UD-Schichten aufgebauten Modelle auch auf gewebeartige Strukturen ubertragbar sind. In [2] 1st dazu folgendes ausgefilhrt worden:

Wir vermuten und erste experimentelle Erfahrungen bestdtigen dies daB man auch das Verhalten von Gewebelaminaten oder im Faser-Wickel-Verfahren hergesteliten Verbunden, bei denen die Fasern gleicher Richtung nicht in geschiossenen UD-Schichten liegen, recht gut mit dem Modell "Schichtenverbund aus UD- Schichten" erfassen kann.

Bud 7.3: Kettstarkes Glasseidengewebe

Inzwischen ist diese Auffassung durch weitere Experimente bestatigt worden, wobei es sich allerdings um Strukturen mit relativ geringer Fadenwelligkeit handelte, wie sic für hochbeanspruchte Bauteile, z.B. Segelflugzeugteile, in Betracht kommen. Bud 7.3 zeigt em kettstarkes Gewebe, bei dem mehr als 90% aller Fasern parallel orienhiert in den Kettfäden vereinigt sind. Es versteht sich von selbst, daB Laminate aus solchen Geweben, auch wenn in ihnen die einzelnen Gewebelagen unterschiedlich orientiert sind, so daB die Laminate solchen aus UD-Prepreglagen ähneln, recht gut mit dem Modell "Schichteriverbund aus UD-Schichten" beschrieben werden können. Die Brauchbarkeit des Modells wird urn so fragwurdiger, je mehr sich die Fasermengen in Kett- und SchuBrichtung dern Verhkltnis 1:1 nhhern und je ausgeprkgter die Fadenwelligkeit ist, die durch die Art der Bindung (Atlas-, Kbper-, Leinwandbindung) bestirnrnt wird. Die nicht gestreckte Fadenlage ist sowohi bei Zug- als auch bel Druckbeanspruchung nachteilig. Bei Zug tendieren die Fäden dazu, sich zu strecken, so daB im Bereich der Fadenkrurnmung unerwünschte Zusatzbeanspruchungen entstehen. Unter Druckbeanspruchung neigen die gekrflrnmten Fkden zum Knicken, so daB an den Uberkreuzungspunkten von Kett- und Schui3fkden auch leicht Delarninationen entstehen können.

Bud 7.4 zeigt schematisch die Struktur eines Gewebes aus gleichen Kett- und SchuBfdden, bei dem der "SchuB" beim Webvorgang (abwechselnd llber 2 und unter 2 Kettfkden) eine Koperbindung erzeugt hat. In Bud 7.5 sind Kett- und Schuflfkden gedanklich "entflochben" worden. Die beiden Fadenlagen mit jeweils gleichgerichteten Fasern unter-

7.4 Anwendung auf gewebeartige Strukturen

97

scheiden sich von einer UD-Schicht des Modells dadurch, daf3 die Fasern nicht gleichmal3ig, sondern in Fäden gebundelt' auftreten, und vor allem durch den regelmal3igen Wechsel der Hohenlage. Jeder Faden wechselt standig in euler "sanften Welle" seine Lage zwischen Oberund Unterseite des Gewebes. Trotzdem legt das Bud der zwei gekreuzten Schichten es nahe, das bewhhrte Modell "Schichtenverbund aus UD-Schichten" beizubehalten.

S

Bud 7.4:

Gewebestruktur in Koperbindung, KettfSden K und SchuBfaden S

Bud 7.5: Kett- und Schuflfaden des Gewebes nach Bud 7.4 gedanklich "entflochten"

Wenn die Abweichungen zwischen der wirklichen Faserstruktur und dem Modell relativ grof3 sind, empfiehlt es sich allerdings, eine spezielle "Kalibrierung" des Modells vorzunehmen, indem man Modeliparameter an Versuchsergebnisse anpaBt, die man an einem eatsprechenden Gewebelaminat ermittelt. Als Rechenmodell für die Gewebelage wird hierfflr 'Eine gewisse Fadenbundelung ist allerdings auch meistens in UD-Schichten zu beobachten, die mit UDPrepregs oder im Wickelverfahren mit Rovings hergesteilt werden.

98

7 Durchftihrung und Auswertung der Bruchanalyse

(0°, 90°)-Laminat aus einer grol3eren Anzahl von UD-Schichten gewdhlt (nicht zwei unverbundene UD-Schichten!). Am realen Gewebelaminat mfissen dann mindestens drei Belastungsversuche mit genauer Dehnungs- bzw. Schubwinkelmessung his zum Bruch durchgefuhrt werden. Um stdrende Randeffekte auszuschalten und um eine Schubbeanspruchung gleichmtd3ig und stdrungsfrei in den Probekorper einleiten zu konnen, empfiehlt es sich, Zug/Druck-Torsions-Prufungen [24] an rohrformigen Probekorpern vorzunehmen, bei denen die Fdden in Axial- und Umfangsrichtung verlaufen (x-Richtung = Axialrichtung = Kettrichtnng K, Schnl3richtung S). Bei der Kalibrierung des Rechen-Modells entstehen gewisse Schwierigkeiten daraus, daB zundchst auch die für die Rechnung zu benutzenden ElastizitatsgroBen nicht genau bekannt sind. Es empflehlt sich das folgende schrittweise Vorgehen: em

1. Torsionsversuch Aufgenommen wird dabei das

das gleichzeitig das

ist. Daraus erhalt man Vor alien Dingen wird das Torsionsmoment bei Beginn der Ridbildung registriert. Daraus und mit den geometrischen Abmessungen RiOt sich = berechnen. Bei der weiteren Belastung Ober die RiBbildungsgrenze hinaus erhalt man erste Anhaltspunkte für die in Betracht kommende Abminderungsfnnktion ü(SIFF). Wie im Abschnitt 2.5 ausfllhrlich erdrtert, macht es aber keinen Sinn, die Torsionsbelastung allzuweit uber den RiBbildungsbeginn hinaus zn steigern, weil sich dann nnr noch undefinierte und unberechenbare Zerstdrungsvorgange abspielen; eine echte Schubfestigkeit RKS des Gewebelaminats gibt es nicht! 2. Zugversuch

Es wird das (as, aufgenommen. Seine Auswertung gestaltet sich etwas schwieriger als heim weil die Verteilung der Last auf die Schichten nun "statisch unbestimmt" ist und deshaib mehrere ElastizitktsgroBen, namlich E11, E18, ej4 ins Spiel kommen, und weil man weit flher den Zfh-Riflhildungsbeginn hinaus his zum Faserhruch helasten mull Man wird für die ElastizitatsgroBen zundchst Erfahrungswerte ansetzen mllssen, die man dann sukzessive mit Versuchswerten korrigiert. Aus den registrierten Lasten hei Riflbildungsbeginn (in den Schul3fdden!) sowie hei Faserbrnch (der Kettfaden) und dem Vergleich mit den am Modell errechneten Spannungen cr28 (bei Riflbildungsbeginn) und 51K (bei Faserbruch) erhhlt man die beiden Modeilparameter und 3. Dntckversuch Dieser wird genau so wie der Zugversuch durchgeführt, und zwar his zum Totaibruch. Damit wird erhalten. MOglicherweise erhdlt man aus MeBwerten für Zfh des Modus C in den SchuBfkden auch einen Anhaltswert für Falls vor dem Totaibruch keine Zfh des Modus C beobachtet werden, kann man soiche eventuell in einem weiteren Versuch mit zusätziicher Torsionshelastung herbeiführen.

7.5 "Schnelle Programme" für den Laminat-Entwurf

99

Wenn das zu modellierende Gewebe nicht in Kette und Schul3 ganz gleich ausgeführt ist, mnl3 man den 2. und 3. Versuch zusatzlich an Probekorpern ausführen, bei denen die Schul3faden in Axialrichtung verlaufen. Selbstverstandlich wird man, wenn bei den Versuchen gewebespezifische Schadigungs-

grenzen beobachtet werden, z.B. Delamination an Fadenkreuzungspnnkten, diese auch in das Rechen-Modell einbanen. Wenn man vorwiegend oder ansschlieJ3lich mit Gewebelaminaten arbeitet, kann es sinnvoll sein, die Modelle noch welter im Hinblick auf spezifische Gewebeeigenschaften abzuwandeln, wobei n.U. Ergebnisse strukturmechanischer Untersuchungen [23,71] genutzt werden kdnnen. Keinesfalls sollte man aber die Homogenisierung so welt treiben, daB die Schadigungs- und

Bruchvorgänge nicht mehr eindeutig den Kettfaden bzw. Schuflfaden zugeordnet werden konnen. Sonst ware man helm Laminat-Entwurf wieder an]3erstande, gezielte Verbesserungen vorzunehmen.

Im llbrigen besteht kein Zweifel, daB sich innerhalb eines Kett- oder SchuBfadens genan die gleichen Schadigungs- und Bruchvorgange abspielen wie in einer ausgedehnten UDSchicht. Nur sind die geometrischen Abmessungen der zu betrachtenden UD-Bereiche sehr viel kleiner, so daB sich der "dünne Schicht"- und "in sitn"-Effekt (s. Abschnitt 11.2) wahrscheinlich sehr stark bemerkbar machen wird. Vielleicht erklart dies die bisweilen erstaunlich hohen RiBbildungsgrenzen, die mit Laminaten aus sehr feinen Glasseidengewehen erreicht werden.

7.5

"Schnelle Programme" fur den Laminat-Entwurf

Wenn man beim Rohentwurf eines Laminats die netztheoretischen Regeln beachtet, kann man sicher sein, em Laminat mit einem "verndnftigen" FasergerUst zu erhalten. Mdglichst bald sollte sich aber dann eine eventuell noch grobe — schichtenweise Bruchanalyse mit einer Bestimmung der verschiedenen Brnch-Modi anschlieBen. Das frühe Entwurfsstadium stelit eine der schwierigsten aber auch wichtigsten Phasen bei der Bauteilentwicklung dar, denn oft entscheidet der Entwurf bereits über Erfolg oder MiBerfoig eines Faserverbundbauteils. Herstelltechnische Probleme und die damit eng verbundene Kostenentwicklnng mllssen ehenso wie die hier behandelten auch nicht gerade einfachen Festigkeitsprobleme in eine Harmonie gebracht werden. Dabei ist es eine groBe Hilfe für den Konstrukteur, wenn ibm für die Beurteilung der Festigkeitsfragen elne benutzerfreundliche Software zur Verfllgung steht, die ibm schnell und zuverlassig die kritischen Stellen seines Laminatentwurfs aufzeigt. Für die vielen Entscheidungen, die wahrend der Entwurfsphase getroffen werden müssen, braucht man vor allem Programme, die schnell sind, und die Auswirkung der vorgenommenen Veranderungen am Schichtauthau deutlich erkennbar darstellen. Zu Gunsten der Schnelligkeit, Anschaulich-

100

7

Durchfuhrung und Auswertung der Bruchanalyse

keit und Dialogfahigkeit kann man in der Entwurfsphase ohne weiteres auf manche Feinheit der Spannungs- und Bruchanalyse verzichten. So ist es z.B. durchaus denkbar, bei der Verformungsanalyse viele Rechenoperationen einzusparen, indem man nicht-lineares Rechnen, dort wo es zulkssig erscheint, vermeidet. Hierzu kann man die folgenden Uberlegungen anstellen. Bei der Beurteilung der Auswirkung der Moduin E13 und Gins auf die Rechenergebnisse treten zwei Bereiche mit gans unterschiedlicher Sensitivitat auf.

1. Die gewahlten Moduin E15 und C15 haben Einflufl auf die errechneten Verformungen des Laminats. Wenn dieses netztheoretisch gut konzipiert ist, wirken sich die gewahiten Moduin für a1- und aber nur geringfflgig auf die errechneten Verformungen des Laminats aus, weil diese ganz uberwiegend durch die faserdominierten Steifigkeiten (richtiger: Nachgiebigkeiten) bestimmt werden. Insbesondere bei netztheoretisch tragfahigen CFK-Laminaten spielt es für die Laminatverformung fast keine Rolle, oh die Nichtlinearitat bei E15 und Gins beachtet wird. Hier kann es eher von Belang sein, oh das schwach progressive (air, 6ni )-Diagramm bei der Verformungsrechnung berflcksichtigt wird.

2. Bei der Berechnung der Spannungen a2 und

in den einzelnen Schichten zwecks Beurteilung ihrer Zfb-Anstrengung kommt es sehr darauf an, daB man mit den richtigen Sekantenmoduin E15 und Gins rechnet, weil man sonst zu hohe Spannungen und damit auch zu hohe Zfh-Anstrengungen 51F5 ermittelt.

Wenn man es ausschlief3lich mit netztheoretisch tragfahigen CFK-Laminaten zn tun hat, wie beispielsweise in der Luftfahrtindustrie, die nur mit (0°, 90°, +45°)-CFK-Laminaten ar-

beitet, kann man durchaus daran denken, die gesamte Verzerrungsanalyse des Laminats linear-elastisch durchzuführen. Um hierbei die Nichtlinearität der Spannungs,VerzerrungsBeziehungen aber zumindest näherungsweise zu herOcksichtigen, empflehlt es sich, nicht mit den Anfangsmoduln Em, E1, Gin zu rechnen, sondern statt dessen z.B. mit dem Mitteiwert aus Anfangsmodul und Sekantenmodul heim Bruch (aus den einachsigen Versuchen). Die zur Bruchanalyse dienende Spannungsherechnung für die einzelnen Schichten mufl dann aher sehr wohi iterativ unter Benutzung der tatskchlichen nicht-linearen SpannungsVerzerrnngs-Beziehnngen durchgefuhrt werden. Da die mit der Spannungshohe veränderlichen Sekantenmodnin hei dieser "aufgespaltenen" Rechnung keine Rückwirkung auf die Laminatverformung haben, braucht man unvergleichlich viel weniger Iterationen durchzuführen als bei einem Rechenlauf gemaB dem FluBdiagramm nach Bud 7.1 auf S. 92. Weil es wegen der fehienden "ROckkopplungen" keine Konvergenzprobleme gibt, braucht man vor allem nicht in kleinen Laststnfen his zur tatskchlich wirkenden Belastung hochzurechnen, sondern kann direkt die zur gegebenen Belastung gehörenden Laminatverformungen ausrechnen.

7.5 "Schnelle Programme" fur den Laminat-Entwurf

101

Man kann in der Auslegungsphase eines Bauteils sogar daran denken, zunkchst auch die ij-Abminderung nach eingetretener Ril3bildung gar nicht vorzunehmen. Hierzu soilte man sich noch einmal bewul3t machen, daB die ii-Abminderung ausschlieflhich dazu dient, die Verformungen des Laminats nach der Uberschreitung von Riflbildungsgrenzen möglichst korrekt zu berechnen. Die Uberschreitungsgrade (S}pp > 1) der Riflbildungsgrenzen der einzelnen Schichten werden hingegen mit Moduin berechnet, die nicht mit 7] abgemindert sind! Eine ij-Abminderung wflrde die p-Werte foiglich nur mittelbar beeinflussen, und zwar dadurch, daB mit dieser die Laminatverzerrungen em wenig grflfler ausfallen würden als ohne sie. Die Unterschiede zwischen Rechnungen mit und ohne ij-Abminderungen sind

nathrlich dann besonders klein, wenn die Kräfte zum weit tiberwiegenden Teil von den Fasern aufgenommen werden. Bei CFK 15 his 30: 1) ist dies noch viel ansgeprdgter der Fall als bei GFK 3 1). :

Weil man mit gesonderten Bruchhedingungen für Zfb und Fb arheitet, kann man sich gleichzeitig einen Uberblick fiber die Zfb-Anstrengungen und Fb-Anstrengungen aller Schichten verschaffen, ohne irgend eine Abminderung zwischenschalten zu mflssen. Aus einem solchen Uberblick erkennt man dann meistens sehr schnell, an welchen Stellen eine verfeinerte Rechnung vonnöten ist.

Wenn man mit der Genauigkeit dieses ersten Uberblicks nicht zufrieden ist, kann man in einem zweiten Schritt die Moduln derjenigen Schichten, in denen em hoher Wert > 1 beim Modus A errechnet wurde, einmal drastisch abmindern, indem man z.B. 'q = fir setzt, s. Gl. (6.3) auf 5. 86.

Anhand der mit den Methoden dieses Buches erhaltenen Informationen Ober 5ipp und 5FF mit der zugehorigen Angabe Ober den Bruch-Modus ist es relativ einfach, Verbesserungen am Laminatentwurf vorzunehmen. Wenn man an den Faserrichtungen nichts hndern will oder kann, Hot sich em zu hoher Spp-Wert dadurch herabsetzen, daB man die Fasermenge der betroffenen Schicht oder Schichten erhoht. Bei einem zu hohen Sjpp-Wert ist dies jedoch ganz unwirksam. In diesem Fall mufl man zusatzliche Fasern unter etwa 90° oder etwa +45° zur Faserrichtung der betroffenen Schicht anordnen, je nachdem, oh sich die Herabsetzung von a2 oder von r21 der betroffenen Schicht als wirksamer erweist. Es mufl aber auch der erforderliche Faseraufwand betrachtet werden, der zur Herabsetzung der einen oder anderen Spannung erforderlich ist, denn das Laminat als Ganzes soll ja "optimal" werden.

Diese wenigen Bemerkungen haben schon aufgezeigt, daB eine echte LaminatOptimierung em sehr schwieriges Unterfangen ist. Will man dieses "von Hand" bewhltigen, gehort neben exzellenten Rechenwerkzeugen langjhhrige Erfahrung dazu. Deshalb wird

zunehmend versucht, mit "automatischer Optimierung" zu arbeiten. Manche der heute verfOgbaren Optimierungsprogramme kranken aber noch daran, daB sie mit unzulknglichen Bruchanalysen ansgestattet sind.

102

7 Durchfuhrung und Auswertung der Bruchanalyse

sei noch folgendes Zurückkommend auf die Frage des Verzichts auf die erwhhnt: Beim Arbeiten mit der von Tsai [5] empfohlenen Last Ply Failure (LPF)-Methode ist em Verzicht auf Abminderung der Quersteifigkeiten nach dem First Ply Failure (FPF), wie er für die Berechnung in der Entwurfsphase ratsam erscheint, gar nicht denkbar. Hier

mflssen die Quersteifigkeiten aller Schichten degradiert werden, damit die Zfb und Fb nicht unterscheidende "Einheits" -Bruchbedingung nach dem ersten Schichtbruch nur noch annähernd wie eine Fb-Bedingung reagiert. Das wird dadurch erreicht, daB bei der Spannungsanalyse alle Zth-relevanten Spannungen durch eine sehr starke Degradation, die der Netztheorie nahekommt, unterdrllckt werden. Tsai schreibt deshalb in [5] eine rigorose Abin alien Schichten auch den druckbeanspruchten vor, nachminderung von E1, G±El, dem der FPF eingetreten ist. Diese Vorgehensweise birgt die Gefahr in sich, daB katastrophale Brllche des Modus C vollkommen llbersehen werden!

Teil III Neue Wege zu realistischen Zwischenfaserbruch-Bedingungen für räumliche Beanspruchung

8

Grundlagen elner neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

8.1

Wesen und Vorgeschichte der neuen B ruchanalyse

8.1.1

Sprodbruch und Mohrsche Festigkeitshypothese

Die hier vorgestelite Forschungsarbeit soil keineswegs die Flut der existierenden Bruchbedingungen weiter vermehren. Sie verfolgt im Gegenteil das Ziel, die Zahi der in Betracht kommenden Bruchbedingungen auf einige wenige, dafllr aber physikalisch begrtindete, zu begrenzen. Dazu ist eine unkonventionelle Betrachtungsweise nötig, die zu einer neuartigen Bruchanalyse-Methode führt. Diese unterscheidet sich grundsktzlich von dem bisher üblichen Vorgehen. Voraussetzung für die Anwendbarkeit der neuen Methode ist, daB in der UD-Schicht kiar erkennbare Bruchebenen auftreten. Bei den in der Leichtbautechnik vorherrschenden Faserverbundwerkstoffen mit Polymer-Matrix und hohen Faservolumenanteilen 1st dies in der Regel der Fall. Die schon bestehende Sprodheit des Matrixmaterials wird noch durch die Fehlstellen verstkrkt, die zwangslaufig durch das Einfllgen der Fasern entstehen. Deshalb 1st es denkbar, daB selbst em "von Hause aus" duktiles Matrixmaterial wie bestimmte Thermoplaste, sich im Faser-Matrix-Verbund, makromechanisch gesehen, sprode verhält. Viele Faser-Matrix-Verbunde brechen sowohl bei Fb als auch bei Zfb sprode, d.h., ohne auBerlich feststellbare plastische Verformungen treten Werkstofftrennungen auf bestimmten Ebenen em. Bei Fb sind die "Bruchebenen" allerdings haufig sehr zerkluftet; demgegenllber führt Zfb, der hier betrachtet werden soll, zu relativ glatten Bruchebenen. Inwieweit sich die neue Betrachtungsweise für UD-Verbunde aus verschiedensten Materialien eignet, mul3 unter dem Gesichtspunkt des Sprodbruches von Fall zu Fall geprüft werden. Der Sprodbruch-Charakter der für normale technische Anwendungen vor allem in Betracht kommenden Faser-Kunststoff-Verbunde legte es nahe, sich beim Aufstellen von Bruchbedingungen nicht — wie in der Vergangenheit vielfach geschehen — an die Flief3kriterien für

duktile Werkstoffe, sondern eher an die für Stoffe mit Sprodbruch-Charakter aufgestellten Festigkeitshypothesen von Coulomb [72] und Mohr [54] anzulehnen.

106

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

Der neuen Methode liegt eine rnakrornechanische oder eher als "halb-rnakrornechanisch" Zn bezeichnende Betrachtungsweise zugrunde. D.h., zur Beschreibung des Bruchzustands werden — wie in der Ingenieurpraxis ailgernein tiblich — tiber Faser- und Matrixquerschnitder UD-Schicht und die zugehorigen "Festigte gemittelte Beanspruchungen a1 , benutzt; es werden aber verrnehrt rnikrornechanische Vorstellungen keiten" berllcksichtigt. Der Index A bei den "Festigkeiten" weist bereits darauf hin, daB es sich hier nicht urn die gewdhnlichen Festigkeiten handelt, sondern urn Widerstknde gegenuber einem Bruch in der Wirkebene (Action plane, A), in der die betreffende Beansprnehung wirkt. Dies wird irn Abschnitt 8.3 erlkutert. ,

,

,

x3

0-n

xl

x2

(e=-90°) Bud 8.1: Bei der neuen Zfb-Bruchanalyse wird em urn die faserparallele x1-Aehse drehbares (xi, xt)-Achsenkreuzes sowie die Koordinatensystern beuutzt. Gexeigt sind einige spezielle Stelluugen des auf das (xi, x2, x3)-Kuordiuateusystern und des (xi, x,,, xt)-Kourdiuateusystern bezogenen Spannuugen bei xt)-Achseukreuz ist urn deu eiuern ailgerneinen raurnlicheu Spannungszustaud eiues TJD-Verbunds. Das senkrecht zur Bruchebeue steht. Auf dieser wirkeu die SpanBruchwiukel so gedreht worden, dali nuugeu Cn,T,a,T,il.

8.1 Wesen und Vorgeschichte der neuen Bruchanalyse

107

Wahrend in alien bisherigen 3D-Bruchkriterien die auf das feste (x1, x2, x3) Schichtkoordinatensystern bezogenen Spannungen erscheinen, wie sie sich direkt aus der schichtenweise Spannungsanalyse ergeben, erfordert die Mohrsche Hypothese, daB die neuen

3D-Bruchbedingungen mit Hulfe einer Funktion der drei auf der Bruchebene wirkenausgedrückt werden. Es wird mit einern urn die Faserrichden Spannungen an, mt, tong x1 drehbaren (x1, x,,, xt) -Koordinatensystern gearbeitet, dessen Stellung vorn örtlichen Spannungszustand abhdngt, Bud 8.1. Durch eine besondere Rechenoperation wird das (x1, xt) -Koordinatensystern so gedreht, daB die xn-Richtung zur Flachennormalen der zu erwartenden Bruchebene wird. Der Grund für die Wahi des drehbaren Koordinatensysterns ist der, daB sich gernaB der Mohrschen Hypothese nor für die Bruchebene, die je nach Spannungszustand eine andere Lage einnimrnt, physikaiisch begrUndete Bruchbedingungen aufstellen lassen. Die Festigkeitshypothese, die Mohr [54] am Anfang dieses Jahrhunderts für isotrope Stoffe aufstellte, lautet: Die Bruchgrenze (und die FlieBgrenze)1 eines Materials wird durch die Spannungen der Bruchebene (und der Gleitebene) bestimrnt. Nur beim ebenen (a1 , a2 r21)-Spannungszustand kann man die Lage der Bruchebene manchrnal auf einfache Weise den für den Bruch verantwortlichen Spannungen zuordnen. Bei einem allgemeinen raumlichen Spannungszustand laBt sich grundsatzlich nur noch aussagen, daB a1 (und theoretisch gernaB der Mohrschen Hypothese auch noch r12 nnd r13) die Ursa,

che für Fb auf einer zur x1- Richtung senkrechten Ehene sind, nnd daB die Spannnngen a2, a3, r23, r31, bei der Erzeugung des Zfb mehr oder weniger zusamrnenwirken, Bud 1.1 auf S. 4. Uber die Lage der Bruchebene beim Zfh weifl man a priori nur, daB der Bruch auf irgendeiner faserparallelen Stthnittebene erfoigen wird [1,2]. Die Fidchennormaie der Bruchebene (fracture plane, fp) bei Zfb wird im allgemeinen — je nach der auftretenden Spannung oder Spannungskornbination — urn einen Winkel gegenüber der Schichtebene, d.h. gegenOber der x2- Richtung, geneigt sein, wohei 9h. zwischen —90° und +90° variieren kann. Das Anfsuchen der Bruchebene innerhalb einer Winkeispanne von 180° spielt bei der neuen Bruchanalyse-Methode eine wesentliche Rolle.

8.1.2

Hashin's Idee zum neuen Verfahren

entscheidender Impuls für die neuartige Bruchanalyse ging von Hashin aus, der in einer 1980 erschienenen Arheit [3] erstmals den Gedanken auBerte, daB die sinngemafle TJberEm

tragung der Mohrschen Festigkeitshypothese anf UD-Verbunde eine solide physikalische Basis 'Mohr benutzte den Ausdruck "Elastizitatsgrenze". Hier interessiert cur des Bruchverhalteu, nicht jedoch das Fliefiverhalten.

108

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

fur UD-Bruchbedingungen darstellen könne. Er regte an, die teilweise schon bei der 2DBeanspruchung praktizierte Zuordnung von Bruchebene und bruchrelevanten Spannungen [1,2] durch die Anwendung der Mohrschen Festigkeitshypothese auf UD-Verbunde bei 3DBeanspruchung auszndehnen. Hashin formulierte die auf UD-Verbunde sowohi für Fb als auch fur Zfb anzuwendende Bruchhypothese für Sprodbruchverhalten folgendermal3en: Wenn eine Versagensebene2 identifiziert werden kann, wird das Versagen von der Normalspnnnung and den Schubspannungen auf der betreffenden Ebene bewirkt. Für die rechnerische Behandlung des Zfb wird unter dieser Voraussetzuog das schon erwhhnte

drehbare Koordinatensystem nötig, das in die jeweils zu erwartende faserparallele Bruchebene gedreht werden kann. Hashin führte hierzu das auf eine faserparallele Schnittebene bezogene (xi, xi,, xt)-Koordinatensystem em, das zurn Aufsuchen der Bruchebene mit einem Winkel 9 zwischen —90° und +90° urn die x1-Achse gedreht wird, Bud 8.1. Bei der Spannungsanalyse von Larninaten erhhlt man zunächst die auf das (xj , x3 x3) Schichtkoordinatensystern bezogenen "Schichtspannungen" 53 ,53 , , r33. Der Spannungszustandsvektor transformiert sich gernkE der Transformationsformel (wenn 9 von der x2-Achse aus gernessen wird) folgenderrna]3en in das (xi, ,

,

cr1

1

0

0

c2

52

cos

0

0

0

2sc

0

0

c2

—2sc

0

0

0

—Sc

SC

(c2—s2)

0

0

0

0

0

0

C5

0

0

SLf9

00 (c =

0

,

53

53

(81)

T31

9, s = sin 9)

Sowohi die soeben zitierte, von Hashirt formulierte Bruchhypothese als auch eine im Abschnitt 8.2.2 aufgestellte erweiterte Zfb-Hypothese basieren auf der Vorstellung, daB der Zfb ausschliefflich durch die auf der faserparallelen Bruchebene wirkenden (bei der Transformationsformel mit einem Pfeil markierten) Spannungen a,. , 'r,.l verursacht wird, ,

21n der vorliegenden Arbeit werden abweichend von Hashio's Nomenklatur die Bezeichnungen Bruch und das Versageu (failure) in Form eiuer Werkstofftreonuug

Bruchebene benutzt, weil vorausgesetzt wird, (fracture) aoftritt.

3HlIuflg erweist es sich als zweckmhllig, die Trausformationsformel mit den folgenden Additionstheoremeu umzuschreibeu (z.B. zwerks Beuutzuug des Mohrschen Spauuuugskreises):

siu2fl =

—

cos2fl),

ros29 =

+ cos2O),

2siuOcosfl = sin29,

cos29 — siu2O = cos2G.

8.1 Wesen und Vorgeschichte der nenen Bruchanalyse

109

wahrend die gleichzeitig auf dell beiden zur Bruchebene senkrechten Schnittebenen auftretendas Bruchgeschehen nicht beeinflussen. Die anf der Bruchebene den Spannungen a1 , at eine Quer/Quersteilt eine Querbeanspruchung (ui) wirkende Normaispannung dar. eine Quer/Langs-Schubbeanspruchung Schubbeanspruchung (r11) und ,

Die Bruchbedingung erhalt unter dieser Voraussetzung die ailgemeine Form = 1,

oder in den (a2 , a3

,

,

(8.2) ,

, 0)-

Raum transformiert: (8.3)

Ungewohnlich ist, daB sich die Bruchbedingungen der neuen Art zunhchst als Bruchdarstellen. Zur Konstruktion der entsprechenden Bruchflachen im Spannungsraum, s. Bilder 9.16 und 9.17 auf S. 167, müssen flachen im (a2 , a3 , rfl)bekannt sein. Zur besseren Unterscheidung der Bruchfiachen bezeichdie Bruchwinkel beschriebene Bruchnen wir die durch die Bruchbedingung im (ar, ,

,

,

,

flache als Master-Bruchfläche, dellll sie beherrscht als dbergeordnete dreidimensionale Gesetzmaffigkeit das Bruchgeschehen aller Spannungszusthnde im fflnfdimensionalen Spannungsraum. Die Hauptschwierigkeit bei der Anwendung von Bruchbedingungen, die auf der Mohr-

schell Festigkeitshypothese beruhen, besteht darin, daB zur Bestimmung der zum Bruch durch die Lösung eines Extremwertführenden Spannungen zunhchst der Bruchwinkel problems ermittelt werden muB. Und zwar mud der Hochstwert der vom Winkel 0 abhangigen "Bruchgefahr" gesncht werden. Dies dllrfte der Grund dafllr sein, weshaib Hashzn seine Idee nicht umgesetzt hat und offenbar seine Anregung auch bis 1992 [11] nirgends aufgegriffen wurde. Hashin selbst hat nur für den Spezialfall einer in den Spannungen homogenen4 0 angegeben, wie sich der Bruchwinkel für den Bereich Fnnktion nimmt ndmlich in bestimmen lhBt. Bei einem festen Spannnngszustand (a2 , a3 diesem Fall die linke Seite der Gl. (8.3) für den bei proportionaler Erhühung der Spannnngen ihren Maximalwert an. eintretenden Bruch unter dem Winkel Tm Abschnitt 8.4.4 wird gezeigt, wie prinzipiell bei einem beliebigen Ansatz der neuen Art der Bruchwinkel gefnnden wird. Eine analytische Ldsnng wird nur in Sonderfallen müglich sein. Beim allgemeinen rhumlichen Spannungszustand wird man auf numerische Methoden zurOckgreifen müssen, was aber angesichts der hente zur Verfügnng stehenden Rechenkapazitht kein Hindernis mehr darstellt. ,

,

,

,

,

4Eine Bruchfunktion ist bezflglich der Spannungen homogen vom Grad r, wenn sich bei Erhdhung alTer auskiammern thAt. Spannungen mit einem Fakter A ant der Brnchfunktion der Faktor

110

8

Grundlagen euler neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

Physikalische Grundlagen

8.2 8.2.1

Bruchmechanischer Hintergrund

Von Festigkeitsprtifungen an UD-Verbnndstoffen mit Polymer-Matrix in Verbindung mit Untersuchungen der Mikrostruktur des Verbundstoffs ist seit langem bekannt, daB die QuerZugfestigkeit und die Quer/Langs-Schubfestigkeit RIH ungekerbter Proben stark vom Vorhandensein sowie der Grof3e und Form innerer Defekte wie Poren, Hkrtungsrissen und unverbundenen Bereichen an der Faser/Matrix-Grenzl1lache abhangen. Ebenso wie sprdde homogene Stoffe zeigen UD-Verbundstoffe, wenn sie einen kunstlich angebrachten, parallel zu den Fasern verlaufenden RiB enthalten, im wesentlichen em Bruchverhalten, das sich mit der linear-elastischen Bruchmechanik beschreiben laSt [73,74]. Von dort her gesehen erscheint es ratsam, sich vor der Aufstellung von Bruchbedingungen für Zfb ihren bruchmechanischen Hintergrund zu vergegenwkrtigen. Hierzu kann vor allem em Beitrag von Hahn, Erikson und Tsoz [75] aus dem Jahre 1982 dienen, der eine wichtige Ergknzung zu den 1980 von Hashin [3] angesteliten Uberlegungen darstelit.

Bei der bruchmechanischen Betrachtungsweise geht man von der Vorstellung aus, dad em innerer Defekt der Ausgangspunkt für einen Rid ist, beispielsweise für einen Zfb, der eine UD-Schicht unter einem bestimmten Winkel durchihuft. Die Entstehung neuer Oberflachen wkhrend der Ridbildung und vor allem die dabei auftretenden plastischen Deformationen erlordern Energie, die aus der bei der Rifibildung freigesetzten "Dehnungsenergie" gewonnen wird. Deshaib spielt bei bruchmechanischen Betrachtungen die "DehnungsenergieFreisetzungsrate" eine wichtige Rolle. In [75] wurde gezeigt, dad sich mit Hulfe eines Ansatzes auf der Basis der Dehnungsenergie-Freisetzungsrate em Zf-Bruchkriterium für kombinierte (a2, r21)-Beanspruchung gewinnen laSt, das em quadratisches Polynom der Spannungen a2 und r21 ist. Auch kann man aus einem soichen Ansatz zu einer Aussage llber den sich

einstellenden Bruchwinkel gelangen; z.B. ergibt er sich ohne Berflcksichtigung von "innerer Reibung" (Reibkrafte auf den Ridflachen) bei einachsiger Quer-Druckbeanspruchung zu ±45°. Wenn die ridauslosenden inneren Defekte als für den Werkstoff typische Risse betrachtet werden, kann die "ungekerbte" Festigkeit mit Hilfe der Bruchzahigkeit nnd der Grode des Defekts vorhergesagt werden. Vorausgesetzt, dad diese Vorstellungen zutreffend sind, ergibt sich eine Korrelation zwischen den Festigkeiten und Wenn für kombinierte (a2, v21)-Beanspruchung eine Bruchbedingung (Gi. (4.6) auf S. 47) F2a2 +

=

+

(8.4)

1

aufgestellt wurde, so kann diese mit den nominellen Spannungsintensitatsfaktoren in folgende Form umgeschrieben werden:

+

+

=

1

und

(8.5)

__________________________________________

8.2 Phvsikalische Grundlagen

/

un

K'

ill

121

Hierin ist a0 die halbe Lange eines im Verbund vorhandenen faserparallelen Risses, von dam angenommen wird, dad von ihm der Zfb ausgaht, Bud 8.2.

a2

Bild 8.2: Urn den Winkel B geneigter RIB (Fehlin elnern UD-Verbnnd bei stelle) der Lange kombinierter Beansprnchnng dnrch cr2 nnd r21

Bud 8.3: Rifldffnnngs-Mndi I, IT, III der Brnch— rnechanik. Bel Mnde I nnd II behSlt der RIB bei selner Ansbreitnng seine nrsprdngliche Lage. Bel der Beansprnchnng nach Mode III wurde, wenn kein AusgangsriB bestbnde, der erste Anrifi nnter 450 znr Richtnng der Schubspannnng entstehen. Der sich ansbreitende Rib mtlbte sich elgentlich ans der Ansgangslage allrnahlich in die 45°-Lage drehen!

Model Mode II

zu den für Mode I bzw. Mode II, ist, warden und Bud 8.3, geltenden Spannungsintensitätsfaktoren K1 bzw. K11. Foiglich kann GI. (8.5) im ersten Quadranten auch als ama sogenannte Mixed Mode-Bruchzähigkeitskurve für ebene

Wenn a2 > 0 und 0 =

0°

(a2, v21 ) -Beanspruchung aufgefal3t warden.

und lal3t sich mit Hilfe bekannter Aus den gemessenen Festigkeitan Bruchzähigkeits-Werte K10 (Mode I) und K110 (Mode II) die Grdl3e a0 des inneren Defekts und R111. (Wenn a2 < 0 ist, errechnen. Hieraus ergibt sich die Korrelation zwischen besteht keine Tendenz zur Ril3dffnung; in diesem Fall ist K1 = 0.) Das Studium der Arbeit [75] zeigt, dad die bruchmechanische Betrachtungsweise für die Weiterentwicklung der Bruchbedingungen der neuen Art hilfreiche Hinweise geben kann. Wegen experimenteller und theoretischer Unzulhnglichkeiten erzielten die Autoren mit der "gemischten" Betrachtungsweise aber noch keine befriedigenden Ergebnisse. Sie bekiagen, dali die Hauptschwierigkeit bei der Aufstellung von Beziehungen zwischen Festigkeiten und Bruchzkhigkeiten im Mangel an geeigneten Bruchbedingungen begründet sei.

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

112

Im Grunde genommen erscheint es rflckblickend recht verwunderlich, daB die durch die Arbeiten von Hashin [3] und Hahn et al. [75] gegebenen Anregungen nicht frllher zu einer intensiven Neubearbeitung des "Problemkreises Bruchkriterien" gefllhrt haben. Vermutlich erkiart sich dies vor allem daraus, daB Bruchversuche mit kombiniert wirkenden Spannungen auBerordentlich schwierig durchzufllhren sind, so daB die Unzulanglichkeiten der meisten existierenden Bruchbedingungen bislang nicht offenbar geworden sind. Für die hier zu entwickeinden Ansatze zu Zfb-Bedingungen lassen sich aus [75] folgende Schlüsse ziehen: —

Wegen des bruchmechanischen Hintergrunds ist bei den Zfb-Festigkeiten em

merklicher

GroBen-EinfluB zu erwarten, s. hierzu auch [24].

Die der Arbeit von Hashin [3] zugrundeliegende Vorstellung vom Zusammenwirken der Spannungen bei der Zfb-Erzeugnng korrespondiert weitgehend mit der bruchmechanischen Vorstellung von Mixed Mode-Bruchvorgangen aus Mode I, Mode III und Mode II nach Bud 8.3. besteht eine gewisse Gleichwertigkeit der bruchmechanischen Formuliernngen und der "klassischen" Ansatze der Bruchbedingnngen mit Spannungen nnd Festigkeiten. Von dort her gesehen gibt es somit keine schwerwiegenden Bedenken dagegen, die in der Ingenieurpraxis gelkufige "klassische" Form der Bruchbedingungen beizubehalten.

—

Es

—

Wegen des Znsnmmenhangs mit der Dehnungsenergie-Freisetzungsrate ist zu erwarten,

daB bei den Zfb-Bedingungen eine befriedigende Ubereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen am ehesten mit Ansatzen in Form von Polynomen erreicht werden kann, in denen die Spannungen in der 2. Ordnung auftreten. —

Auch für die Beantwortung noch offener Fragen der Statistik, die sich im Zusammen-

hang mit der Anwendung von Bruchkriterien stellen, worauf Hashin in [3] hingewiesen hat, konnen die hruchmechanischen Modelle hilfreich sein [75].

8.2.2

Erweiterte Bruchhypothese

Has/un hat in [3] darauf aufmerksam gemacht, daB für den Fall einer auf der Bruchehene wirkenden Druckspannnng < ü em anderer Ansatz ndtig sei als für den Fall der Zugspannnng an ü, für den er exemplarisch einen einfachen Ansatz angegeben hatte. Deshaib erschien es vordringlich, einen physikalisch plausiblen Ansatz für an < ü zu entwickeln. Dazu sind bereits in [11] einige Uberlegungen angesteilt worden, die hier vertieft werden. Zu diesem Zweck wird zunkchst em UD-Verbund betrachtet, von dem man sich modeilhaft vorsteilt, daB er aus homogener, transversal-isotroper Materie (mit Rotationssymmetrie bezüglich der xi-Achse) besteht. Er sei mit einer einachsigen Quer-Druckspannung, z.B. mit

8.2 Physikalische Grundlagen

113

a2 < 0 beansprucht, alle anderen Spannungen seien "null". In Schnittebenen, in denen a2 wirkt, besteht gewil3 keine Tendenz zu einem Bruch, denn es 1st kein Grund ersichtlich, Warum sich beidseitig an eine Wirkebene von a2 angrenzende Werkstoffpartien voneinander trennen soliten. Im Gegenteil, die Druckspannung a2 nkhert die ihrer Wirkebene benachbarten Werkstoffpartien einander an, so daI3 man stattdessen eher eine mit dieser "Verdichtung" einliergehende Festigkeitserhöhung erwarten könnte.

X1

—

Bild 8 4

Schrage Bruche elnes sich sprod ver

haltenden Stoffes unter einachsiger Druckbeanspru-

chung a2

Aus Versuchen an quader- oder zylinderforrnigen Probekörpern aus Stoffen, die sich spröd

verhalten, 1st bekannt, daB der Bruch nie in einer Schnittebene auftritt, in der die "huBewirkt. Stattdessen entsteht em Bruch auf "schragen" Schnittebere" Druckspannung 45° gegen die Richtung der "äuf3eren" nen, die — grob gesprochen — um etwa +45° oder Druckspannung geneigt sind, Bild 8.4. (Spater wird gezeigt, daB der Winkelbetrag meistens etwas groBer als 45° 1st). Auf diesen Schnittebenen tritt die maximale Schubspannung auf, vgl. (8.1) auf S. 108. Sie 1st dem Betrage nach halb so hoch wie die sin (+ "duBere" Druckspannung. Man muB hieraus schlieBen, daB em sogenannter "Druckbruch" in Wirklichkeit em durch Schub verursachter Bruch ist. Auf den urn +45° geneigten Bruchebenen wirkt nach (8.1) zusätzlich zur maxirnalen die — ebenso wie die maximaSchubspannung eine "innere" Druckspannung (a2 cos2 so hoch ist, wie die "kuBere" Druckspannung cr2. Diese auf der le Schubspannung — halb Bruchebene wirkende Druckspannung wird in Anbetracht der Vorstellung von einer Verdichtung des Werkstoffs sicher nicht den Bruch rnitverursachen; wenn sie uberhaupt EinfluB auf das Bruchgeschehen nimmt, behindert sie eher die Ausbildung des Schubbruches durch einen reibungskhnlichen Widerstand. Darauf, daB em solcher den Bruch behindernder Einflufl der Druckspannung vorhanden ist, deutet hin, daB Bruchwinkel gemessen werden, z.B. bei GrauguB [76], die etwas groBer als 45° sind. Dies erklkrt sich aus Bud 8.5. Indiz dafllr, daB eine solche Behinderung des Schubbruches durch eine gleichzeitig mit der Schubspannung auf der Bruchebene wirkende Druckspannung auch bei UDFKV auftritt. Und zwar 1st dies die bekannte Tatsache, daB bei der (a2 ,r21) -Bruchkurve im Bereich kleiner Druckspannungen a2 < 0 die ertragbare Schubspannung T21 zunhchst mit Es gibt em

zunehmender Druckspannung ansteigt, und zwar bis zu Werten, die 10 bis 30 % hber der

114

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

Schubfestigkeit

bei reiner r21 -Beanspruchung liegen kOnnen. Erst wenn die Druckspannung cr2 dem Betrage nach groder wird als etwa die halbe Quer-Druckfestigkeit falit die ertragbare Schubspannung r25 wieder ab, s. Bud 5.2 auf S. 64. Aufgrund von Berechnungen für den Bruchwinkel mit Hulfe des spdter beschriebenen Modells gelangt man zu dem Ergebnis, daB im Bereich der Bruchkurve, in der r21 mit a2 ansteigt, der Bruch= 00 ist, d.h., daB der Bruch auf der Schnittebene eintritt, auf der r21 und a2 winkel gemeinsam wirken. Wenn dies zutrifft, laSt sich der Anstieg der ertragbaren Schubspannnng r21 mit einer Behinderung des Schubbruchs durch "innere Reibung" infolge a2 <0 deuten.

Bud 8.5: Spannungen anf einem schragen Schnitt unter dem Winkel 9 bei einachsiger Druckbeanspruchung a2. Bei 9 = ±450 sind a0 und dem Betrage nach gleich grod. Vergrddert sich der Winkelbetrag auf 9j, > 45°, so nimmt die bruchwirk-

same Schnbspanung r0,, nur wenig ab, die bruchbehindernde Drnckspannung aber sehr stark. Deshaib stelit sich em Brnchwinkel

> 450 em.

Bud 8.6: Mikromechanisch betrachtetes Bruchbei kombmnierter nnd Beanspruchung (Grafik: K. Strnbe) geschehen

Mikromechanische Betrachtungen erhärten die Vorstellung, daB Druckspannung <0 den Schubbruch infolge 'Tnl erschwert. Bei fester Haftung zwischen Faser und Matrix spielt sich das Mikro-Bruchgeschehen bei vorwiegend in der Matrix ab. In einer sproden Matrix treten die ersten Mikrorisse infolge der Haupt-Zugspannung unter et-

wa 45° zur Faserrichtung auf, Bud 8.6. Die für die Entstehung dieser ersten Mikrorisse

8.2 Physikalische Grundlagen

115

verantwortliche Haupt-Zugspannung in der Matrix wird durch eine quer zu den Fasern wirkende Druckspannung herabgesetzt.5 Die Mikrorisse werden, sobald sie auf die hochfesten Fasern treffen, gestoppt. Mehrere Mikrorisse können sich zu kammartigen Teilbrüchen vereiwirkende a,. -Druckspannung ineinander nigen. Diese werden durch eine zusammen mit gedruckt, so daB auch diese gebrochenen Bereiche noch Schubkraft ubertragen. Ferner kann man sich vorstellen, daB an Fehistellen wie Lufteinschlussen und unverbundenen Stellen der Faser/Matrix-Grenzflkche auftretende lokale Zugspannungsspitzen durch die uberlagerte Druckspannung gemildert werden, so daB der bruchfördernde Einflul3 dieser Fehistellen verringert wird. Die Wirkung all dieser mikromechanischen Effekte kann man makromechanisch als eine Art "inneren Reibungswiderstand" beschreiben der mit steigender Druckspannung zunimmt und sich zum ursprllnglichen, d.h. dem bei reiner Schubbeanspruchung wirksamen, Schubbruchwiderstand der Wirkebene addiert. Damit gelangt man zu der folgenden prkzisierten und erweiterten Bruchhypothese:

1. Wenn rinter der Wirkung euler Quer-Zugspannung (a,. 0) eine faserparallele Bruchebene auftritt, so wird der Bruch gemeinsam von der auf der Bruchebene (im Augenblick des Bruches) wirkenden Quer-Zugspannung a,. verurund den dort gleichzeitig wirkenden Schubspannungen 'r,.t und sacht.

< 0) trägt 2. Eine auf einer Bruchebene wirkende Quer-Druckspannung nicht zur Erzeugung des Bruches bei, sondern erschwert den durch die verursachten Schubbruch, indem sie einen und Schubspannungen anwachsenden zusatzlichen Widerstand mit steigender Druckspannung der Spannungs-Wirkebene gegen Schubbruch hervorruft. 3. Bei ebener

in der transversal-isotropen Ebene tritt der

Bruch entweder als em durch Druckspannung a,. behinderter Schubbruch oder als reiner Zugbruch infolge von a,. als gröl3ter Hauptinfolge

Zugspannung em, je nachdem, welche Bruchmoglichkeit zuerst erreicht wird. Die dritte Aussage beruht auf der Erkenntnis, daB die Coulomb,Mohr-Bruchhypothese für isotrope Stoffe, die sich "wahrhaft" sprode (intrinsically brittle) verhalten, das Bruchgeschehen bei reiner Schubbeanspruchung nicht richtig beschreibt [76]. Diese Stoffe brechen nkmlich bei reinem Schub unter der Wirkung der maximalen Haupt-Normaispannung, d.h. 5Schon dieser Effekt allein kdnnte den Anstieg der ertragbaren Schubspannung r21 mit steigender Druckerklären. spannung

116

8 Grundiagen euler neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

unter +450 zur Richtung der Schubspannung. Der 3. Satz der erweiterten Bruchhypothese stelit eine auf die Situation am UD-Verbund umgeschriebene Fassung der von Paul [76] 1961 publizierten Modifikation der Coulomb, Mohr-Bruchhypothese dar. Die dreiteilige Bruchhypothese ist die Basis der spkter aufgestellten Bruchbedingungen. Es ist zu hoffen, daB wegen der Verwandtschaft zwischen den bruchrelevanten Spannungen und den bruchmechanischen Modi I, III, II erstmalig em Brllckenschlag zwischen den "klassischen" Ingenieur-Bruchbedingungen und den bruchmechanischen Ansatzen [74,75] gelingt. ci,,, 'r,,t,

8.3 8.3.1

Die neuen "Festigkeits"-Parameter Grundsätzliche Uberlegungen

Die Anwendung der Mohrschen Festigkeitshypothese erfordert nicht nur das "Umsteigen" vom Schicht-Koordinaterisystem in das bewegliche, wirkebenebezogene Koordinatensystem, sondern auch em Umdenken bei den "Festigkeits"-Parametern, mit denen die Bruchbedingungen an den jeweiligen Werkstoff angepal3t werden müssen. Weil dies offenbar wie die Erfahrung lehrt gewisse Schwierigkeiten bereitet, soil bereits an dieser Stelie, noch bevor konkrete Ansatze für Bruchbedingungen gemacht werden, eine prinzipiefle Kikrung erfoigen. Generell gilt, daB sowohi das reale Bruchverhalten eines Werkstoffs bei kombinierter Beanspruchung ais auch die zu dessen Modellierung benutzte Bruchbedingung sich im Spannungsraum jeweiis als eine Bruchflhche darstelit, bei der jeder Punkt einer soichen Fihche zu einem Spannungszustandsvektor gehort, der real bzw. theoretisch zum Bruch führt (oder auch gerade noch ohne Bruch ertragen werden kann). Eine volistandige Ubereinstimmung der modeilierten Bruchflhche mit derjenigen, die das reaie Bruchverhalten darsteilt, ist nicht erreichbar, weil das mathematische Modeil (die Bruchbedingung) das komplizierte reale Bruchgeschehen allenfalls grob vereinfacht wiedergeben kann. Nur wenn die Bruchfunktion6 auf einer physikalischen Modelivorsteflung (Bruchhypothese) beruht, wie es bei den Bruchbedingungen der neuen Art der Fall ist, darf man uberhaupt eine hiniangiiche Annaherung an die Wirklichkeit erwarten. Dies ist vor aflem für solche Spannungskombinationen von Bedeutung, die versuchstechnisch nicht oder nur schwer verwirklicht werden körinen. Eine Anpassung des Modells an die Realitkt kann immer nur punktuell vorgenommen werden. Dies geschieht, indem einige wenige Punkte der modellierten Bruchflhche mit Ergebnissen von Bruchversuchen zur Deckung gebracht werden. Hierzu dienen einige in der Bruchfunktion enthaltene werkstoffspezifische Parameter. Bei den herkömmlichen Bruch6Mit Bruchfunktion wird hier die auf der linken Seite der Bruchbedingung stehende Funktion der für den Bruch relevanten Spannungen bezeichnet.

8.3 Die neuen "Festigkeits"-Parameter

117

bedingungen werden zur Anpassung in erster Linie die Punkte benutzt, in denen die Spannungsachsen die Bruchflache durchstoJ3en. Diese reprhsentieren die Spannungen a bzw. c die bei einachsiger Zug- oder Druckbeanspruchung oder bei einer reinen Schubbeanspruchung des Werkstoffs zum Bruch, d.h. zn einer Anstrengung S = 1, fuhren. Das Gesetz vom Gleichgewicht der Krafte besagt, dad nur dana eine Kraft auf einen Korper einwirken kann, wenn der Kdrper der einwirkenden Kraft (actio) eine gleich grof3e, aber umgekehrt gerichtete Gegenkraft (reactio) entgegensetzt. Deshaib darf eine zum Bruch fUhrende, auf den Kdrper einwirkende Bruchspannung a oder r mit der entsprechenden hdchstmdglichen Gegenwirkung (Resistance) R gleichgesetzt werden, die der Kdrper der Brnchnrsache a bzw. r entgegenzusetzen vermag und die hberwnnden werden mud, damit der Bruch entsteht. So erkiart es sich, dad bei herkdmmlichen Bruchbedingungen als Parameter in der Bruchfuaktion für Zfb die Festigkeiten erscheinen.7 Die Brnchbedingungea werden mit den Spannungen a1 a2 a3 , r21 und den Festigkeiten so abgefal3t, dad, wean nnr eine dieser Spaannngen allein auftritt, lediglich = 1 bzw. = 1; (desgi. für a3) oder (r23/Rjj) = 1 usw. ubrigbleibt. ,

,

,

8.3.2

,

,

,

,

Einführung des Bruchwiderstands der Wirkebene

Bei den Brnchbedingungen der neuen Art wird in analoger Weise wie bei den herkommlichen Bruchbedingnngen verfahren. Hierbei mud jedoch beachtet werden, dad Pnnkte einer Master-Bruchflache im Spannungsraum aicht einfach nur Spannungea darstellen, bei denen irgendwo im Kdrper der Brnch stattfindet, sondern dad es sich bei nm diejeaigen Spannungen handelt, die auf der sich einstellenden Bruchebene auftreten. Die Spaaaungskombination aus hat zur Folge, dad, wenn die Bruchhedingung ,

,

,

erfllhlt ist, der Bruch in der gemeinsamen Wirkebene der drei Spannungen eintritt. Durch die Bruchbedingung mud deshaib eine Beziehung zwischen diesen drei Spannnngen

und den Bruchwiderstiinden ihrer Wirkebene hergesteilt werden. Hierzu wird der Begriff "Bruchwiderstand der Wirkebene" eingefllhrt nnd folgendermaden definiert:

Der Bruchwiderstand der Wirkebene5 ist derjenige Widerstand, den eine Schnittebene ihrem Bruch infolge einer einzelnen auf ihr wirkenden Spannung oder oder entgegensetzt. 7Dnrch eine Festsgkest wird nur die Hdhe der beim Bruch (Versagen) infolge einer einachsigen Beanspruchung oder reinen Scbubbeanspruchung auftretenden Spannung angegeben; sie vermittelt keine Information bber die Bruchart und den Ort des Bruches. 5Der Begriffder Wirkebene hat in dieser Arbeit eine andere Bedeutnng als in [11]. Dort bezeichnet er eine Ebene, in der die so einem ehenen Spannungszustand gehdrenden Kritfte wirken. Hier ist eine Schnittebene gemeint, auf der eine Normaispannung und/oder eine Schubspannung wirkt.

118

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

Zur Unterscheidung von einer Festigkeit R wird em Bruchwiderstand der Wirkebene (Action plane, A), der die gleiche Dimension wie eine Spannung hat, mit dem Symbol RA bezeichnet. gibt verkörperten drei Beanspruchungen Entsprechend den durch es drei verschiedene Bruchwiderstände der Wirkebene:

= Bruchwiderstand der Wirkebene gegen einen Bruch infolge QuerZugbeanspruchung

= Bruchwiderstand der Wirkebene gegen einen Bruch infolge Quer/QuerSchubbeanspruchung = Bruchwiderstand der Wirkebene gegen einen Bruch infolge Quer/Langs=

keinen Bruch in ihrer Wirk-

weil eine

ebene verursachen kann.) Wegen des für das idealisierte Modell angenommenen gleichmalligen rotationssymmetrischen Aufbaus des UD-Verbunds sind die Bruchwiderstdnde RA auf allen faserparallelen Schnitten gleich grof3; sie werden deshaib als vom Winkel 0 unabhhngige Gröllen eingefuhrt. Damit ist die transversale Isotropie modelliert. Die Forderung nach Invarianz wird — wie sich spater zeigt — dadurch erfllllt, dali in einem 180°-Winkelbereich immer die am hdch-

sten bruchgefkhrdete Schnittebene gefunden wird, unabhängig von der Ausgangsstellung des drehbaren Koordinatensystems.

Ebenso wie die Festigkeiten R werden die Bruchwiderstände RA stets als positive Werte angegeben. Damit gelangt man nun schon zu einer ersten Vorstellung davori, wie eine Bruchbedingung

der neuen Art aussehen kann. Da sie nach Abschnitt 8.2.1 moglichst 2. Ordnung in den Spannungen sein sollte, kommt als einfachster Ansatz der folgende in Betracht [11]: /

R1

+

ii

"

\2

/

2

2

±

+

=

1

fur

\ =1 für

o,

(8.6)

<0.

(8.7)

\ J-i/

< 0 zum Ausdruck. Da der Bruchwiderstand der Wirkebene gegen Quer-Druckbeanspruchung RY)A = cc ist, offen, Bud 8.7; sie ist bleibt die Master-Bruchfläche in Richtung negativer im Bereich a,. < 0 em Zylinder mit elliptischem Querschnitt. Gi. (8.7) bringt noch nicht die "innere Reibung" bei

8.3 Die neuen "Festigkeits" -Parameter

119

Bud gen

8.7: Darstellnng der Bruchbedingun(8.6) und (8.7) als Master-Bruchflache im

(an,

8.3.3

Ubereinstimmungen mit Festigkeiten

Bei der Bestimmung des Bruchwiderstands der Wirkebene treten dadurch Schwierigkeiten auf, dali bei reiner Quer/Quer-Schubbeanspruchung der Bruch nicht in der Wirkebene der betreffenden Spannung erfolgt, sondern auf einer gegentiber der Wirkebene geneigten Schnittebene. Es gibt aber durchaus Fhule, in denen em Bruchwiderstand RA mit der entsprechenden konventionellen Festigkeit R identisch 1st, und zwar ist dies deflnitionsgemaul dann der Fall, wenn beim Bruchversuch mit einer einzelnen an einem UD-Verbund wirkenden Spannung der Bruch in ihrer Wirkebene eintritt. Wann dies zu erwarten 1st, soil im folgenden für die drei in Betracht kommenden Beanspruchungen theoretisch untersucht werden.

8.3.3.1

Quer/Längs-Schubbeanspruchung

Man kann sich relativ einfach davon llberzeugen, dali = Ru gelten mull, d.h. dali bei reiner der Bruchwiderstand der Wirkebene und die Festigkeit identisch sind. Dazu sei angenommen r21 0 und alle anderen Spannungen "null". Auf Schnittebenen, die gegen die Wirkebene von r21 um einen Winkel 8 geneigt sind, 1st die dort auftretende Schubbeanspruchung (r21 cos 8) kleiner ais in der Wirkebene von r21, und es wirkt dort auch keine weitere Spannung, Bud 8.8. Da der Bruchwiderstand flber dem Winkel 8 konstant ist, mull der Bruch beim Hdchstwert der Schubspannung, also bei = 00 eintreten, d.h. auf der Wirkebene von r21. Der Bruch erfoigt, sobald v21 = Riir wird. Aus der Bruchbedingung, Gi. (8.6) oder (8.7), folgt somit: =

(8.8)

Da sich dies unabhängig von den Festigkeitsverhaltnissen ergibt, gilt (8.8) genereil; deshaib wird auch in den noch folgenden Bruchbedingungen RIlE anstelle von benutzt.

120

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

e

(a)

(b)

(C)

Bud 8.8: Spannungen auf einem schragen Schnitt unter dem Winkel 9; Beanspruchung;

(b) bei reiner r11-Beanspruchung;

(a) bei einachsiger

(c) bei reiner

Bei dieser Art der Schubbeanspruchung laJ3t sich der Unterschied zwischen euler Festigkeit und einem Bruchwiderstand sehr gut verdeutlichen. So gibt es natdrlich nur eille aber zwei verschiedene Bruchwiderstände der Wirkebene, Quer/Langs-Schubfestigkeit Dabei ist auf der faserparallelen Schnittebene, wie soeben gezeigt, und nämlich > aber auf der quer durch die Fasern verlaufenden Schnittebene ist = weshaib der Bruch immer auf der faserparallelen Ebene erfolgt. Auf dieser wirkt eine gleich hohe Schubspannung, aber sie hat den niedrigeren Bruchwiderstand der Wirkebene, weil bei ihrem Bruch keine Fasern durchtrennt werden mllssen, s. auch Bud 1.2 auf S. 4. Bei der TorsionsprUfung an 90°-Rohren erfolgt der Bruch stets in Umfangsrichtung [24].

8.3.3.2

Quer-Zugbeanspruchung

wird man normalerweise, insbesondere bei Bei einer einachsigen sich spröd verhaltenden Stoffen, einen Bruch in der Wirkebene der angebrachten QuerZugspannung erwarten; für eine einachsige cr2-Zugbeanspruchung wflrde das heiflen bei = 00. Es kann aber nicht grundsatzlich ausgeschlossen werden, daB der Bruch auf ei00, erfolgt. Auf einem soichen Schnitt wirkt gemaB nem "schrkgen" Schnitt, d.h. bei (a2 cos2 9) und (8.1) eine kombinierte Beanspruchung, die sich aus der sin 29) zusammensetzt, Bud 8.8. Somit ist die Bruchder

8.3 Die neuen "Festigkeits"-Parameter

121

gefahr nicht allein von abhangig, sondern wird von mitbestimmt. Vorausgesetzt, die Gin. (8.6) und (8.7) wllrden das Bruchgeschehen bei kombinierter Beanspruchung richtig beschreiben, so würden "schrkge Brüche" nur dann auftreten, wenn < ware. Soiche Verhältnisse, in denen der Bruchwiderstand der Wirkebene gegen kleiner 1st als derjenige gegen sind aber für die Betrachtungen in diesern Buch durch den 3. Satz der erweiterten Bruchhypothese (S. 115) ausgeschlossen. Dieser hat nkmlich zur Voraussetzung, dal3 der Bruchwiderstand der Wirkebene gegen gröl3er ist als gegen Deshaib wird in dieser Arbeit durch ersetzt, wohi wissend, daB dies nicht generell, sondern nur bei Voraussetzung des 3. Satzes der erweiterten Bruchhypothese gilt, durch den der schrage" Zugbruch ausgeschlossen wird. ,

8.3.3.3

Quer/Quer-Schubbeanspruchung

Bei einer reinen z.B. realisiert durch eine Schubbeanspruchung Y23, Bud 8.8, gibt es zwei ausgezeichnete faserparallele Schnittebenen, auf denen nur eine einzige Spannung wirkt, die einen Bruch verursachen könnte. Das ist zum einen die Wirkebene von 'r23 bei 0 = 00 (oder 132 bei 0 = +90°,) zum anderen die Schnittebene bei 0 = +45°, auf der die maxirnale Haupt-Zugspannung herrscht, die dem Betrage nach gleich hoch ist wie die angelegte Schubspannung vgl. (8.1), s. hierzu auch Bud 8.11 auf 5. 128. Vorausgesetzt, daB unsere Bruchhypothese zutrifft, tritt der Bruch in der Schnittebene em, die den kleineren Bruchwiderstand der Wirkebene aufweist. Bei Versuchen an UD-FKV wurden bisher offenbar stets Brüche bei = +45° beobachtet, woraus geschlossen werden mul3, daB in diesen Fallen war. Aus dem reinen r11-Bruchversuch würde man also in einem solchen Fall einen Wert für nicht aber für erhalten.

Wenn der 3. Satz der erweiterten Bruchhypothese gilt, kann man keinen Beanspruchungszustand realisieren, bei dern auf einer Schnittebene als einzige Spannung eine r11 -Schubbeanspruchung auftritt und gleichzeitig (bei der Bruch in dieser Wirk> ebene der stattfindet. Als Notbehelf für die Ermittlung von bietet sich deshaib nur die indirekte Bestimmung aus einern einfach durchzuführenden einachsigen an, z.B. mit a2 <0, alle anderen Spannungen "null". Bei einem solchen +450. Druckversuch erfolgt der Bruch auf Schnittebenen mit einem Neigungswinkel Dort tritt unvermeidlich eine Kombination von und auf, so daB man eine sicher mit Fehlern behaftete Bruchbedingung für kombinierte Beanspruchung heranziehen mul3, urn zumindest eine RechengroBe für RL aus der gemessenen Quer-Druckfestigkeit zu ermittein. Benutzt man hierzu die Gi. (8.7), so erhalt man = +45° und = Wenn aber die "innere Reibung" berucksichtigt wird, ergibt sich etwas kleiner als 1

(-)

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

122

8.3.4

Empfehlungen zur Fehiervermeidung

Unsicherheiten bei der Bestimmung der in den neuartigen Bruchbedingungen enthaltenen Festigkeitsparameter soilten moglichst dadurch ausgeschlossen werden, daf3 bei den zur Parameterbestimmung benutzten Bruchversuchen nicht nur die zum Bruch fuhrenden Spannungen, sondern auch die auftretenden Bruchwinkel gemessen werden. Wie weit dies versuchstechnisch moglich ist, wird z. Zt. untersucht [15]. benutzt wird, anstelle Wenn in den später aufzustellenden Bruchbedingungen solite man sich stets dessen bewufit sein, daB dies nicht generell, sondern nur bei Voraussetzung des 3. Satzes der erweiterten Bruchhypothese zulassig ist!

8.3.5

Die "Neigungs"-Parameter

Zur Anpassung der Modelle an die Realitht werden später noch weitere Parameter benutzt, die Neigungen an bestimmten Stellen von Bruchkurven angeben, vgl. Abschnitt 5.1.2. - bzw. aus Bruchversuchen mit einachsiger9 Während die Parameter und aus einem Bruchversuch mit reiner v111-Beanspruchung stammen, experimentell benotigt man zur Festlegung der Neigungs-Parameter ermittelte Neigungen von Bruchkurven für kombinierte Beanspruchungen. finden sich als die Neigung der (a2, 'r21)-Bruchkurve an der und Die Werte die die Neigung der Kurve für den Bereich cr2 > 0 ist und Stelle a2 = 0, wobei Neigung der Kurve für a2 0, s. Bud 5.1 auf S. 61. 0, 10 his 0, 30 und Für UD-Glasfaserkunststoff mit Epoxidharz-Matrix wurde ,

,

gefunden. —Beanspruchung, z.B. im Druckversuch, Weil sich beim Wirkebenen-Bruch durch wahrscheinlich eine etwas weniger zerklüftete Bruchebene ergibt als beim Bruch durch -Wert etwas kleiner als der Beanspruchung, kann vermutet werden, daB der Wert für ist. Erwartet wird

0,5

1. pj-]I

Für die Bestimmung der p-Parameter zweckmaBig erscheinende Versuchstechniken werden z.Zt. entwickelt [15]. = 0, durchgeftihrt werden könnten, würde man mit 9Wenn zweiachsige Zugversuche mit 03 = a3, ermitteln, auch wenn der einachsige Zugversuch zu schrägen Brhchen fflhrt. Sicherheit das richtige

8.4 Mathematische Grundlagen

8.3.6

123

Anhaltswerte für Werkstoffparameter

Solange für einen bestimmten UD-Verbundwerkstoff noch keine speziellen experimentellen Ergebnisse vorliegen, empfiehlt es sich, folgende Schätzwerte anzunehmen:

=

= 0, 15

;

= 0,30.

= 0,20

Die Tabelle 8.1 enthält Anhaltswerte für

die wichtigsten in den Bruchbedingungen vorkommenden Parameter. Diese stammen im wesentlichen aus Experimenten mit Glasfaser/Epoxidharz-Verbunden. Ahnliche Werte werden im aligemeinen für CFK erhalten, oft ist allerdings etwas niedriger und etwas hOher. Tabelle 8.1: Anhaltswerte für in den Bruchbedingungen als Parameter enthaltene Werkstoffeigenschaften

Werkstoffeigenschaft Quer-Zugfestigkeit Quer-Druckfestigkeit Bruchwiderstand der Wirkebene Quer/Langs-Schubfestigkeit Neigungsmai3 Neigungsmaf3

Bereich 40 ± 80 N/mm2

Mit teiwert

50 ÷ 100 N/mm2 60 ÷ 100 N/mm2

N/mm2 N/mm2 75 N/mm2 80 N/mm2

0, 1 ÷ 0,3

0,2

120

240

0, 15

N/mm2

0,45

60

180

0,3

Für die spater angefllhrten Rechenbeispiele werden Rechenwerte benutzt, die weitgehend gesetzt, den in der Tabelle angeführten Mitteiwerten entsprechen, und es wird = angenommen wird. wobei =

8.4 8.4.1

Mathematische Grundlagen Mathematisch ausgerichtete Arbeiten

Mathematische Aspekte der neuartigen Bruchanalyse werden eingehend von Jeltsch-Fricker in [55] behandelt. Sie untersucht die topologischen Beziehungen zwischen dem Bruchkörper Die daT21)-Raum und dem Master-Bruchkorper im (ar,, im (a2, a3, bei gewonnenen Erkenntnisse besitzen groBe prinzipielle Bedeutung. Hier können jedoch nur für die praktische Anwendung der neuen Bruchanalyse wichtige Gesichtspunkte besprochen werden.

Eine für die Visualisierung der teilweise recht komplizierten Zusammenhhnge sehr hiifreiche Software ist in Form der Rechenprogramme Brukan (Bruchkurvenanaiyse) [77] und Brukan- Visual 3D [78] erarbeitet worden. Eine zum praktischen Arbeiten mit der neuen Bruchanalyse nützliche Software soil auch im Rahmen eines vom BMBF geforderten Forschungsprojekts [79] entwickeit werden.

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

124

8.4.2

Die Bruchfunktion

Die im Abschnitt 8.2.2 aufgestellte Bruchhypothese ermoglicht es zur Formulierung der Bruchbedingung Bruchfunktionen mit den Spannungen an, anf der Bruchebene anznsetzen. Mit den auf das Schichtkoordinatensystem bezogenen Spannungen cr2, a3, r23, 'r31, r21,

man sie direkt aus der Spannungsanalyse erhält, ist eine entsprechende physikalisch begrflndete mathematische Formulierung a priori nicht moglich. In diesen Spannungsranm gelangt man immer nur, wenn zuvor im (an, ermittelt rni)-Raum der Brnchwinkel worden ist. wie

Bei der Brnchhypothese nach Abschnitt 8.2.2 mul3ten die Falle an 0 und an < 0 unterschieden werden. Demgemafl wird man für diese beiden Falle voraussichtlich auch bei der Formuliernng der Bruchbedingnng zwei verschiedene Fnnktionen benutzen mllssen. Die Brnchhypothese allein kann znnachst nur eine vage Vorstellung von den beiden Teilen des Master-Brnchkorpers vermittein, die an der Stelle a,. = 0 moglichst "nahtlos" ineinander llbergehen soliten. Tm Fall an > 0 wirken an, bei der Ausbildung des Bruches zusammen. Die Bruchallein einen Bruch in ihrer hypothese schlie]3t nicht aus, daB auch die Normalspannung Wirkebene hervorrnfen kann, nnd die alltagliche Erfahrung beim Qner-Zngversnch bestatigt dies. Insofern kann man bereits aus der Bruchhypothese und den weiteren Betrachtungen im Abschnitt 8.2 herleiten, daB die Bruchflhche im Bereich a,. 0 die Form einer geschlossenen Kuppel hat. Da eine Druckspannung an <0 ohne die Wirkung von Schubspannungen und/oder Tnl keinen Bruch in ihrer Wirkebene erzeugen kann, sondern statt dessen beim Vorhandensein von Tnt nnd/oder 'Tnl nur den Schnbbrnch erschwert, wird die MasterTnt

Bruchflache im Bereich an < 0 die Form eines in negativer an-Richtung sich offnenden Trichters haben, Bud 8.9.

A

Bud 8.9: Die Master-Bruchflache ist im Bereich an < 0 eine sich trichterfOrmig offnende Flhche im (a,., Tnfl

8.4 Mathematische Grundlagen

125

In jedem Fall sind die neuartigen Bruchbedingungen von der generellen Form der Gl. (8.2), oder in korrekterer Schreibweise:

=

(8.9)

1.

Die auf der linken Seite der Bruchbedingung stehende Funktion wird als die "Bruchzustände charakterisierende Funktion" oder kurz "Bruchfunktion" bezeichnet. Für sie gelten sinngema]3 die Ausführurtgen nach Abschnitt 4.1 und 4.2. Sie soll stetig differenzierbar sein und maO folgende Eigenschaft besitzen: die Gl. (8.9) erfüllt, d.h. geornetrisch geseheri, 1st für einen Spannungzustand (o,,, auf der durch die Gl. (8.9) definierten Master-Bruchfläche, so liegt der Punkt (an,

< 1 für 0 <

ist

> 1 für )i>

< 1 und

1.

ist, dal3 sich zur Beschreibung em und derselben Master-Bruchfläche eignen. Dies wird verschiedene Funktionen im (ar,, später im Abschnitt 9.1.3.2 verdeutlicht. Für die Berechnung der vom Winkel 0 abhängigen Anstrengung ist aber wie spkter gezeigt wird — eine Form der Bruchfunktion praktisch, die bezuglich der Spannungen homogen vom Grad 1 ist.

8.4.3

Ubergangsmöglichkeiten zwischen den Spannungsräumen

An dieser Stelle sei daran erinnert, daB em Vektor

mit semen 3 Komponenten

keinen kompletten räumlichen Spannungszustand beschreibt, denn hierfür fehien die dazudie aber gemaB der Bruchhypothese keinen EinfluB gehorenden 3 Komponenten auf das Bruchgeschehen haben. Dies geht aus der Gi. (8.1) auf S. 108 und der anschlieBenden bereits bekannt ware, kOnnte man aus Diskussion hervor. Selbst wenn der Bruchwinkel allein nicht auf einen bestimmten zugehorigen Spannungsden Zahienwerten für schlieBen. Em Weg, der eingeschlagen werden kann, r31, zustand im (az, a3, urn eine Verbindung zwischen den beiden Spannungsräumen herzustellen, ist folgender: —

Der Ausgangspunkt der Betrachtung ist em

bekannter) Spannungzustand a3, —

—

(aus der schichtenweisen Spannungsanalyse

r31, 'r21

wird mit Hilfe von (8.1) in das (x1, wobei für die Bruchanalyse nur die 3 Spannungen Dieser

transforrniert, benötigt werden.

= 1 emwerden in eine Bruchbedingung gesetzt, und es wird auf eine noch zu beschreibende Weise die Stellung des x1, Xt hervorgerufene "BruchKoordinatensystems gesucht, für welche die durch gefahr" am groBten ist. Die Spannungen

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

126

—

Mit dem nun bekanuten Bruchwinkel lal3t sich der Reservefaktor fRe. berechnen, der — well alle Spannungen nach (8.1) in festen Verhaitnissen zueinander stehen — nicht nur für a,,, 'rat, sondern auch fur a2, a3, 121, 121 gilt. Mit dem nun bekannten Reservefaktor fR., sind somit auch die sum Bruch führenden Spnnnungen im (a2, a3, T22, r31, r21)-Raum angebbar.

Obwohl man von einem (an, Tnt, rni)-Bruchzustand nicht unmittelbar auf einen bestimmten zugehorigen Bruchzustand im (a2, a3, T23, r21)-Spannungsraum schlieflen kann, laI3t sich zu letzterem doch auf dem beschriebenen umgekehrten Weg, z.B. mit Hilfe des Rechenprogramms Brukart [77] eine Verbindung herstellen. Auch lassen sich, wie in [55] beschrieben, mit Hilfe der Topologie allgemeingültige Gesetzma]3igkeiten erkennen, die zwischen den beiden Bruchkdrpern im (a2,a3,T22,T31,T21)-Raum und dem (an,rnt,rni)-Raum bestehen.

8.4.4

Bruchwinkel-Ermittlung

8.4.4.1

Grundsätzliche tJberlegungen

Sind die für Zfb mailgebenden "aul3eren" Spannungen a2 a3 noch so niedrig, daB auf keiner Schnittebene unter einem beliebigen Winkel 0 em Zfb eintritt, so bedeutet dies geometrisch gesehen daB keiner der zu den faserparallelen Schnittebenen gehörenden Spannungsvektoren {an(0) Ty,t(O) Tni(O)} die Master-Bruchflache erreicht oder gar durchstoBt. Würde man den "aufleren" Spannungszustand (a2, a3 , , T21) kontinuierlich proportional erhdhen, so würden auch die Spannungsvektoren {an(0) Tnj(0) , Tni(0)} kontinuierlich gestreckt, und zwar gemaB der Trnnsformntionsformel (8.1) mit dem gleichen Proportionalitatsfaktor wie a2, a3, i22 r21, r21. Offensichtlich würde dann diejenige Schnittebene zur renlen Bruchebene, deren Spannungsvektor zuerst die Master-Bruchflache erreichen würde. Dns heiBt: Diejenige faserparallele Schnittebene ist dafür prddestiniert, zur Bruchebene zu werden, deren Spannungsvektor {an (0) Tnt (0) (0) } am wenigsten gestreckt werden muB, damit die Vektorspitze die Master-Bruchflhche berührt. Für diese Schnittebene ist beim gegebenen Spannungszustand die "Bruchgefahr" am grdflten. Man findet demnach bei festgehaltenem Spannungszustand (a2 a3 ,T31 T21) den Bruchwin,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

kel

,

,

auf folgende Weise:

Für jede Schnittebene unter einem beliebigen Winkel 0 wird der positive Faktor bestimmt, mit dem der Spannungsvektor {an(0) Tnt(O) TnJJO)} gestreckt werden müflte, damit er die ,

,

Master-Bruchflache erreicht; dieser Faktor wird als schllittwinkelabhängiger Reservefaktor fRes(O) oder auch kurz als Streckungsfaktor fRes(O), < 0 < +90°, bezeichnet, Bud 8.10. Nach den obigen Aosführungen wird diejenige Schnittebene zur Bruchebene, für die der Streckungsfaktor am kleinsten ist.

8.4 Mathematische Grundlagen

127

Bud 8.10: Zur Definition des schnittwinkelab(9) und der schnitthangigen Reservefaktors bei einem winkelabhängigen Anstrengung anspruchungszustand ohne Eigenspannungen

Der kleinste Streckungsfaktor 1st derjenige Wert, den man bei den konventionellen Bruchbedingungen als Reservefaktor fR0. bezeichnet. Mit anderen Worten:

ist globale Minimaistelle des schnittwinkelabhängigen Reservefaktors fReo(O) , —90" < 9 < +90°. Das globale ist der Reservefaktor fR0,• Minimum

Der Bruchwinkel

ebenfalls für Für Schnittebenen, auf denen keine Spannung herrscht, wird fRe. (9) = Schnittebenen mit Spailnungen, die keinen Bruch bewirken kdnnen, z.B. a,, < 0 als wirkende Spannung. Für die Ergebnisdarstellung ist deshaib der Kehrwert von fRes (9) 1cm zweckmä]3iger. Dieser stelit die schnittwinkelabhängige Anstrengung (Effort) E(O) dar:

E(O) =

1 ,

—90°

9

+90°.

fRee (9)

Zur Ermittlung des Bruchwinkels kann man demnach auch das gbder schnittwinkelabhängigen Anstrengung bale Maximum aufsuchen. Dies wird in Bud 8.11 für den Fall einer reinen Schubbeanspruchung durch r23 gezeigt. Die schnittwinkelabhängige Anstrengung E(9) 1st an der Stelle 9 = +45° hdher abs an den ist (s. auch Abschnitt 8.3.3.3). Stellen 9 = 0° und + 90°, weil

128

8 Grundlagen euler neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

xn

0

Bud 8.11: Schnittwinkelabhangige Anstrengung E(O) bei reiner spannung r23. Der Bruch erfolgt bei = 1 unter dem Bruchwinkel 6h. = herrschenden Haupt-Zugspannung 0r1, die dem Betrage nach gleich groB ist wie r23.

8.4.4.2

Rechnerisehe Bruchwinkel-Ermittlung, Streckungsfaktors

durch eine Schub-

infolge der dort

analytische Definition des

Für die Berechnung von benotigt man eine analytische Definition des Streckungsfaktors fRes(0). Gemal3 seiner geometrischen Definition kann man schreiben: F(fRes(O)Un(9)

,

,

fRes(e)Tnl(0)) =

1

(8.10)

In Fallen, in denen sich für F(...) em negativer Zahienwert ergibt, ist gemafi Definition fRes(e) = cc, d.h. es ist = 0 zu setzen. Falls GI. (8.10) für einen vorgegebenen Spannungsvektor nicht lösbar ist, wird = cc gesetzt. Geometrisch bedeutet dies, dal3 der Spannungsvektor auch bei beliebig grol3er Streckung, die Bruchflache nie durchstöl3t, vgl. Bud 8.7 auf S. 119 für a,. <0, = = 0. Die Funktion fRes(9) ist durch Gi. (8.10) implizit definiert. Ob auch in expliziter Form angegeben werden kann, hangt von der Art der Bruchfunktion F ab. ,

,

Homogene Bruchfunktion

Besonders einfach werden die dargesteliten Zusammenhange, well die Bruchfunktion F bezüglich der Spannungen homogen ist.

8.5 Mechanische Zusammenhänge

129

Es sei F homogen vom Grad r, d.h. für eine Vergrof3erung aller Spannungen, beispielsweise mit dem schnittwinkelabhangigen Reservefaktor fRe. (s), gelte

= (fRes(0)YF(am,Tnt,Tfll). Daraus

folgt:

fRes(0)

=

bzw.

(8.11)

E(8) =

(8.12)

homogener Bruchfunktion stimmen die globalen Maximaistellen der schnittwinkelabmit den hangigen Anstrengung bei festgehaltenem Spannungszustand (a2 , a3 und der transformierten globalen Maximaistellen der Bruchfunktion , 0) überein. Foiglich liefern auch die globalen MaximalBruchfunktion F(a2 , a2 Dies gilt beispielsweise für die Gln. (8.6) und stellen von F bzw. F den Bruchwinkel (8.7). Auch konnte in [3, 11] der Bruchwinkel auf einfache Weise durch Aufsuchen der Ma, 121) -Raum transformierten Bruchfunktion ermittelt ximalstellen der in den (a2 ,a3 werden, denn die dort benutzten Funktionen waren homogen vom Grad 2. Bei

,

,

,

8.5 Bei

,

,

,

,

,

Mechanische Zusammenhänge

der Aufstellung und Visualisierung der neuen Zfb-Bruchbedingungen im Kapitel 9 werden

Spannungstransformationen, Beziehungen für Haupt-Normaispannungen resultierenSchubspannungen u. dergi. benötigt. Tm Abschnitt 8.5 findet der daran interessierte Leser die entsprechenden Herleitungen. allerlei

de

8.5.1

Spannungen auf "schrägen" Schnitten

MaBgebend

für Zwischenfaserbruch sind

die Spannungen a2, a3, T23,

r31, T21,

weil diese — an-

als die faserparallele Spannung a1 — in voller Höhe die Matrix und die Faser/MatrixGrenzfläche beanspruchen. Tatsachlich treten infolge der Unterschiede zwischen den Moduin von Faser und Matrix (quer zur Faserrichtung) Ortlich sogar noch überhöhte Spannungen auf, s. Bud 5.4 auf S. 68. Auch in herkömmlichen Zfb-Kriterien für ailgemein raumliche SpanJedoch hat man sich bei nungszustande erscheinen alle fürif Spannungen a2, a3, 123, T31, deren Aufstellung keine Gedanken darüber gemacht, wie und vor allem wo der Bruch erfolgt. Tm Gegensatz dazu geht man bei dell neuen Bruchbedingungen davon ails, daB der Bruch auf derjenigen Schnittebene entsteht, in der die "gefährlichste" Kombination von 'Tnt, (00, +90°) auftritt. Tm aligemeinen ist dies auf euler "schrägen" Schnittebene, d.h. bei ders

i..,

der Fall. Es dürfte deshaib nützlich sein, eine graphische Darstellung der auf Schnitten in Abhangigkeit von den Spannun+900 auftretenden Spannungen Tat, —90° 0 gen a2,a3,r23,r31,T21 zu betrachten. Mit der Transformationsformel (8.1) ergeben sich die

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

130

Verlaufe der Spannungen an,

Bud 8.12: Spannungen a,,, a2 =

a3

=

= fl31

fiber dem Schnittwinkel 0

gemaB

Bud 8.12.

in Abhangigkeit vom Schnittwinkel 9 für gleichhohe Spnnnungen

=

Bemerkenswert ist folgendes:

Die Spannungen an und 'mt haben nur eine Kraftwirkung in der (x2, x3)-Ebene. an und 'mnt hängen deshaib auch nur von den Spannungen a2, a3, 'm33 ab. —

Jede einzelne der drei Spannungen a2, a3, 'r23 ruft aufjedem beliebigen schragen Schnitt eine Normaispannung an hervor. Die Spannnngen a3 nnd a3 rufen aufjedem schragen Schnitt auch eine Schnbspannung 'mnt hervor; die Spannung Y33 ebenfalls, anfler an den beiden Stellen 0 = —45° und 0 = +45°.

Die Spannung 'ml hangt wegen ihrer Kraftwirkung in x3-Riehtnng lediglich mit den Spannungen 'm31 nnd 'm21 zusammen.

8.5 Mechanische Zusammenhange

131

Jede der beiden Schubspannungen r31 und r21 ruft auf jedem beliebigen schragen Schnitt eine Schubspannung Tnl hervor. —

Aus der Periodizität der Spannungsverlaufe geht hervor, daB es beim Aufsuehen der

Schnittebene mit der hochsten schnittwinkelabhangigen Anstrengung genllgt, einen Schnittwinkelbereich von 1800 Zn untersuchen.

8.5.2

Auswirkungen des Vorzeichens von Spannungen

Beim Arbeiten mit den neuen Bruchbedingungen werden wie Oblich Zugspannungen mit positiven und Druckspannungen mit negativen Zahlenwerten angegeben. Das Vorzeichen von

an dient auch zur wichtigen Unterscheidung der Fälle a,. 0 und a,, < 0, für die nach Abschnitt 8.2.2 jeweils eine anders geartete Bruchhypothese gilt und dementsprechend wohl auch eine andere Bruchbedingung ndtig sein wird.

Bud 8.13: Durch Drehung des (x0,xt)-Koordinatensystems um 900 bzw. 180° ändert sich bei festgehaltenem Spannungszustand das Vorzeichen der Schubspannungen r,., und r,,s, vgl. Bud 8.12.

Anders verhalt es sich bei den beiden Schubspannungen Tnt und Tni; dies geht aus dem Bild 8.13 hervor. Dieses zeigt, daB man allein durch eine Drehung des (x1, Xn, Xt) Koordinatensystems eine positive Schubspannung in eine negative verwandeln kann. Der Be-

anspruchungszustand und damit die von ihm ansgehende Anstrengung des Werkstoffs kann aber keinesfalls von der willkürlich wählbaren Stellnng des Koordinatensystems abhängen.

132

8 Grundlagen einer neuen

Deshaib mllssen die Schubspannungen in den anzusetzenden Bruchbedingungen in einer solchen Form erscheinen, daB ihr Vorzeichen das Ergebnis nicht beeinfluBt. Mit Termen, in denen und nur quadratisch auftreten — wie es bereits die Uberlegungen des Abschnitts 8.2.1 nahelegten ist diese Forderung auf einfache Weise zu erfllhlen.

8.5.3

Haupt-Normaispannungen und "resultierende" Schubspannungen

Jeder beliebige, ails 3 Normaispannungen and 3 Schubspannungen zusammengesetzte SpanlkBt sich auch durch drei Haupt-Normaispannungen nungszustand (ar, alH, a2H, a3H (und die Angabe von deren Richtung) beschreiben. Sofern die Festigkeiten wie bei vielen konventionellen Werkstoffen — nicht richtungsabhangig sind, kann man die Bruchbedingungen am einfachsten mit den drei Haupt-Normaispannungen formulieren. Besonders einfach ist dies natürlich, wenri die Bruchhypothese der maximalen HauptNormaispannung zutreffend ist.'0 Bei den orthotropen oder transversal-isotropen Faserverbunden ist em soiches "Umsteigen" in die Koordinatenrichtungen der Haupt-Normaispannungen, die sich ails den Spannungen a2, a3, 'r21 errechnen, nicht sinnvoll, denn man kennt die Festigkeiten für die im aligemeinen bezuglich der Faserrichtung und der transversal-isotropen Ebene "schragen" Richtungen X1H, X2H, X3H nicht. Es sind immer nur die für das natllrliche, auf die Faserrichtung ausgerichtete, (x1, x2, x3)-Koordinatensytem geltenden "Basis-Festigkeiten" bekannt. Deshaib muf3 man mit einern Koordinatensystem arbeiten, von dern zumindest eine Achse in Richtung der Fasern verlauft, d.h. von dern die x1-Achse festliegt.

Bei den UD-Verbunden kann man aber in der Ebene der transversalen Isotropie, der (x2, x3)-Ebene, die Achsenrichtungen beliebig wählen and somit auch auf die Koordinatenrichtungen x11 and x111 ubergehen, ill denen die beiden aus den drei Spannungen a2, c13, 123 gebildeten "Haupt-Normaispannungen der transversal-isotropen Ebene" a11 and a111 wirken. Das (x11, xijj)-Achsenkreuz wird urn den Winkel irn mathematisch positiven Sinn aus der x2-Richtung herausgedreht, Bud 8.14. Auf den Schnittebenen, auf denen die "HauptNormaispannungen" a11 und a111 auftreten, ist die Schubspannung 'riiiu = Till11 = 0. Mit den Transformationsformein, vgl. (8.1), errechnen sich die Spannungen in x11-und xiii'°Ohne daB dies besonders hervorgehoben wurde, arbeitete man also bei isotropen Stoffen auch schon in der Vergangenheit gelegentlich mit einem beweglichen Koordinatensystem, denn die Orientierung der HauptNormalspannungs-Richtungen gegeniiber den (x, y, z)-Koordinaten hangt natUrlich vom Spannungszustand ab.

8.5 Mechanische Zusammenhange

133

a2

Bud 8.14: (a) Tftansformation eines (a2, a3, r23)-Spannungszustands in den zngehorigen Hanpt-Normalspannnngsznstand (aj,, ajjj, 0). (b) Znsammenfassen dee beiden Schubspannnngen r12 nnd zur Schnbspannnng deren korrespondierende Schubspannnng ist

Richtung aus den gegebenen Spannungen a2, a3, r33 folgendermal3en:

2sin ycos y

cos2p a111

=

cos2y

—sin ycos

U

—2sin ycos

sin

çi

a3 a3

(8.13)

r33

Aus der letzten der drei Gleichungen erhhlt man mit sin y cos = sin nnd sin2 = cos 2ço eine Beziehung, aus dec sich zunächst der Winkel y bestimmen laSt,

cos2

mit dem sich anschliel3end nus den ersten beiden Gleichungen

und a111 berechnen lassen.

Es ergibt sich für die Richtung der "Haupt-Normaispannungen dec transversal-isotropen Ebene":

y=

1

2y33

2

a3—a3

— arctan

(8.14)

Mit a11 nnd a111 nnch (8.13) kann in dec ZIb-Bedingung die Zahi dec auftretenden Spannungen von fllnf auf vier reduziert werden, wenn man vom (x3, x3, x3)-Koordinatensystem in das (xi, x11, hinUberwechselt. Statt a2, a3, 'r33, 'r21 erscheinen dann in den Bruchbedingnngen a11, aIlJ, 'ipj3, 'r111. Daran, daB zushtzlich zu a11 nnd a111 anch Schubspannnngen r1111 und r111 auftreten konnen, zeigt sich, daB aH und a111

134

8 Grundlagen einer neuen Zwischenfaserbruch-Analyse

nicht die Haupt-Normaispannungen cI2H, U3H sind, die sich aus dem kompletten Spannungserrechnen würden, denn auf Schnittebenen, auf denen "echte" zustand 03, Haupt-Normaispannungen wirken, gibt es keine Schubspannungen. Urn moglichen Mil3verstandnissen vorzubeugen, soil an dieser Stelle ausdruckiich festgestelit werden, daB nicht beabsichtigt ist, die neuen Bruchbedingungen mit Haupt-

Norrnalspannungen anzusetzen. Diese sollen ausschliel3lich die Visualisierung der neuen Bruchbedingungen erleichtern; man gelangt damit vom funfdirnensionalen Spanriungsraum in einen dreidimensionalen. Mit (8.1), erhklt man die Schubspannungen Trill und TJJ1 folgendermal3en: =

sin

cos

1

sin

j

cos

ço

(8.15) T21

J

Eine weitere Vereinfachung, die besonders für die Visualisierung der Bruchbedingung in einem dreidimensionalen Spannungsraurn von Bedeutung ist, 14l3t sich dadurch erzielen, daB und Till) durch die aus ihnen resuldie beiden Schubspannungen T31 und T21 (oder ersetzt werden. Diese Moglichkeit wird erkennbar, wenn man tierende Schubspannung und (oder Thu statt der auf faserparallelen Schnitten wirkenden Schubspannungen auf und (bzw. die korrespondierenden Schubspannungen T13 und und einem zu den Fasern senkrechten Schnitt betrachtet, Bud 8.14. Weil die beiden Schubspanund auf einer gemeinsamen Wirkebene angreifen, kann (bzw. nungen T31 und man sie zu einer "Resultierenden" zusammenfassen:

/2 T13 +

T1111

2 + TiH

Ihre Richtung wird durch den Winkel w angegeben; für diesen gilt w = arctan

Tj3

= arctan

T31 T21

Gi. (8.16) sagt folgendes ails: Die auf der zur Faserrichtung senkrechten Ebene wirkende laBt sich aus den auf der gleichen Ebene wirkenden Schubresultierende Schubspannung spannungen Ti3 und T12 oder ebenso aus den Schubspannungen Tiluu und T111 berechnen, und sie hat die gleiche GroBe wie die für die Zth-Betrachtung relevante korrespondierende auf der entsprechenden faserparallelen Ebene. Schubspannung Die soeben durchgefllhrte Betrachtung der Spannungen auf der zur Faserrichtung senkrechten Ebene diente nur zur Herleitung der Beziehungen; für das praktische Rechnen bei der Zfb-Analyse benutzt man die Zfb-relevanten korrespondierenden Schubspannungen auf faserparallelen Flächen und erhält damit

/2

2_ VTIJI1 /2 + T111.

VT31 + T21

2

8.5 Mechanische Zusammenhänge

135

Schliel3lich kann man anch noch die Schubspannungen und die auf der znr Richtung senkrechten faserparallelen Ebene wirken, zn einer "resultierenden" Schubspannung zusammenfassen. Für deren Grol3e und Richtung gilt:

=

+

(8.19)

= arctan

(8.20)

Die zugehorige Spannnng

hat für die Zfb-Entstehnng keine Bedeutung, denn sie

wirkt in einer schrhg dnrch die Fnsern verlaufenden Ebene, Bud 8.15.

x3

Bud 8.15: Zusammenfassen der beiden Schubspannungen und zu dierende Schubspannung jet

Deren korrespon-

Die auf einer Bruchebene wirkenden Spannungen konnten somit statt durch a,,,

auch durch a,, und sowie angegeben werden. Bei den beiden Komponenten von stellt aber eine r11-Beanspruchung und eine dar. Man muI3 für moglich halten, daB die "Festigkeitseigenschaften" bei r11-Beanspruchnng andere sind als bei r111-Beanspruchnng, weil das mikromechanische Geschehen in den beiden Fallen recht unterschiedlich ist. Nur aus diesem Grunde werden die beiden Komponenten von und y,,1 in den Brnchbedingnngen gesondert anfgeführt. Man kann aber nicht prinzipiell ausschliel3en, daB n.U. bei einem UD-Verbundstoff die "Festigkeitseigenschaften" bei r11nnd praktiseh gleich sind. In diesem Fall erscheint die Annahme berechtigt, daB die "Festigkeit" von der Richtung der resnltierenden Schubspannung unabhkngig ist. Deshaib wird man die Brnchbedingnngen wohl so formulieren, daB sic für = R111 und PSJ = anf Schnitten a,, = cortst. in Kreisgleichungen Obergehen, d.h. der Bruchkdrper zn einem Rotationskorper wird, s. Bild 9.10 anf S. 149.

9

Bruchbedingungen der neuen Art

9.1

Bruchbedingung für eine druckbeanspruchte Bruchebene

9.1.1

Vorbemerkungen

mathematischer Ansatz, der als physikalisch begrundete Bruchbedingung für Zfb dienen soil, muf3 selbstverständlich der zugrundeliegenden Bruchhypothese nach Abschnitt 8.2.2 entsprechen und den Anforderungen nach Abschnitt 8.2.1 genügen, ansonsten verbleiben aber für die Formulierung der Bruchfunktion viele Freiheiten. Auch kann man — wie schon erwdhnt verschiedene Funktionen zur Beschreibung em und derselben Bruchfläche benutzen [55]. Aus der zugrundegelegten Bruchhypothese allein folgt nur, dai3 bei gleichzeitiger Wirkung von > 0 und sowie Tnl alle drei Spannungen einen positiven Beitrag zur und Bruchgefahr" E(9) liefern, wahrend sich die Bruchgefahr verringert, wenn ZU eine Normalspannung < 0 hinzutritt. Wie die Funktion angesetzt wird, muf3 aufgrund experimenteller Erfahrungen und mathematischer Zweckmaüigkeit entschieden werden. Bei der mathematischen Formuherung einer Bruchbedingung für < 0 gemaO der Bruchhypothese nach Abschnitt 8.2.2 sind zwei Aufgaben zu lösen: Em

realistischer und mathematisch gut handhabbarer Ansatz für den zushtzlichen, durch eine Spannung <0 hervorgerufenen, Widerstand gegen Schubbruch gemacht werden, (Abschnitt 9.1.2). infolge oder

1. Es muf3 em

zweckmal3iger "Interaktionsansatz" für das Zusammenwirken von Tnl bei der Brucherzeugung gefunden werden, (Abschnitt 9.1.3).

2. Es mul3 em

und

Zu 1. werden der lineare Ansatz und em realistischerer parabolischer Ansatz gemacht. Bei

2. gelingt der Druchbruch zu mathematisch einfach handhabbaren Lösungen erst durch Ansätze für Langsschnitte statt für Querschnitte des Master-Bruchkorpers.

9 Bruchbedingungen der neuen Art

138

9.1.2

Einfluf3 der Druckspannung auf den Schubbruch

9.1.2.1

Lineare Bruchkurven Tn1

p11

(—)

Bud 9.1:

und

< 0 bei linearem Druckspan-

Bruchkurve für nungseinflufl

Als einfachster Ansatz bietet sich in Anlehnung an die Festigkeitshypothese von Coulomb [72] eine lineare Zunahme des zusätzlichen Schubbruchwiderstands mit steigender Druck-

spannung an, Bud 9.1. Für eine Spannungskombination, die nur aus Tnl und besteht, lautet damit die Bruchbedingung =

=

oder

+

1

R111

=

1

<0.

<0

(9.1)

sind hierin die beim Bruch auftretenden Spannungen! der nach Coulomb als "Reibungsbeiwert" geist der Proportionalitatsfaktor bei deutet werden kann. und

= 0° ist, kann Sofern bei einer (a2 T21) -Beanspruchung der Bruchwinkel als Nei-Bruchkurve für den Bereich a2 0 an der Stelle a2 = 0 erhalten werden, gung der (a2 , s. Bud 5.1 auf S. 61.

Die zweite Form von Gi. (9.1.) findet sich in der Gl. (9.14) wieder, die dritte Form von Gl. (9.1) in Gi. (9.20). Tm Hinblick auf eine spatere Kombination von und ertragbare Schubspannung ebenso anzusetzen, Bild 9.1: oder

A R11

=1

ii

erscheint es zweckmaffig, die

II

Die zweite Form von Cl. (9.2.) findet sich in Gl. (9.14) wieder, die dritte Form von Gl. (9.2) in Gi. (9.20).

9.1 Bruchbedingung für eine druckbeanspruchte Bruchebene

139

treten auf einer faserparallelen Ebene bei Beanspruchungen und Spannungen durch "äul3ere" Normaispanriungen a2 und (13 auf. Für die Betrachtungen in diesem Abschnitt sollen und (13 gleichzeitig die Haupt-Normaispannungen der trallsversal-isotropen bezeichnet. und Ebene sein (d.h. es ist 123 = 0); sie werden deshaib mit

Auf den Beziehungen (8.13) und (8.14) in Abschnitt 8.5.3 für die HauptNormaispannungen basiert die Darstellung des Mohrschen Spannungskreises und der cx,.)-Bruchkurve, z.B. nach (9.2), schen "Hllhl-Linie"[80], die im Bereich a,. < 0 mit der identisch ist. (Der Mohrsche Spannungskreis wird im Teil III anhand des Bildes 10.1 auf S. 174 erläutert.) ,

Bud 9.2: Mohrscher Spannungskreis für em-

0

achsige Quer-Druckbeanspruchung zur Herleitung von Beziehungen zwischen dem Bruchwinkel bei linearem und und den Parametern DruckspannungseinfluB

Dem Bud 9.2 liegt der Beanspruchungsfall der einachsigen Quer-Druckbeanspruchung mit = 0 zugrunde. Die "Hüll"-Linie nach Gi. (9.2) stelit die Grenze der an = ertragbaren Schubspannung Tnt auf irgendeiner schragen Schnittebene dar. Der Mittelpunkt des Mohrschen Spannungskreises liegt auf der a -Achse; der Kreis schneidet die a-Achse Die Koordinaten eines Punktes P des Kreises, der nicht auf der a-Achse und bei liegt, stellen einen Spannungszustand auf einem "schragen" Schnitt dar, die Normaispannung (auf der Ordinate), die auf einer urn ci,. (auf der Abszisse) und die Schubspannung geneigten Schnittebene auftreten. (Zur den Winkel e gegenuber der Richtung von Kennzeichnung der Lage einer Schnittebene wird, wenn von den Ebenen der Haupt-Normalspannungen ausgegangen wird, e statt 9 benutzt, urn zu zeigen, daB der Winkel von der aus.) aus gemessen wird und nicht von der Richiung von Richtung von -Kombinationen angibt, die Weil die Bruchlinie (oder "Hüll-Linie") diejenigen (a,., beim Bruch auftreten, kann kein Spannungskreis diese Linie uberschreiten, sondern sie allenfalls (beim Bruchzustand) gerade berühren. Die Koordinaten des Beruhrungspunktes S beirn Bruch dar. Auch der und (für Schubbruch, Shear fracture) stellen kann der graphischen Darstellung nach Mohr entnomrnen werden. Bruchwinkel ,

9 Bruchbedingungen der neuen Art

140

Es erweist sich hierbei als zweckmal3ig, den Bruchwinkel

bei

Quer-

Druckbeanspruchung folgendermal3en anzugeben: 450

fp___

93

fp

1

Aus Gi. (9.2) ergibt sich die Steigung der Bruchkurve, die hier eine Gerade ist, als

=-pYi.

(9.4)

Die Bruchgerade ist auch Tangente des Mohrschen Spannungskreises im Berllhrungspunkt S; es gilt deshaib:

= cotan 2

tan

(9.5)

=

Aus den geometrischen Gegebenheiten in Bild 9.2 ist weiterhin ersichtlich, wie der benOtigte Parameter winkel

und dem zugehorigen Bruch-

mit der Quer-Druckfestigkeit

zusammenhangt1

=

= cotan

(9.6)

+

Zum gleichen Ergebnis gelangt man selbstverständlich auch — aber umsthndlicher — indem man analytisch das globale Maximum von bestimmt und dann in die Bruchbedingung (9.2) einsetzt.

Parabolische Bruchkurven

9.1.2.2

Mohr hat als Bruchkurve T(a) die er Hüllkurve nennt, eine gekrummte Linie empfohlen, bei der die ertragbare Schubspannung r degressiv mit — absolut betrachtet —wachsender Druckspannung ansteigt, und die sich bei sehr hohen Druckspannungen allmählich einer Parallelen zur cx -Achse nahert. Die einfachste gekrümmte Linie, die diese Forderungen erfüilt (Steigung = "null" allerdings erst für ci —* —oc), ist eine Parabel [80]. Für eine Kombination von und < 0, Bild 9.3, lautet die Bruchbedingung in diesem Fall oder

= 2

oder

\2

\R11j

2

—

()

=

(9.7)

1

(—)

für

'Die zweite Fassung ergibt sich mit Gi. (9.5) und dem Additionstheorem

=

9.1 Bruchbedingung für eine druckbeanspruchte Bruchebene

Bud 9.3:

141

und (a-,,, bei parabolischem Druck-

(a-,,, T,,1)-Bruchkurve

Bruchkurve für a-,, < spannungseinfluB

0

Die zweite Form von (9.7) findet sich in (9.15) wieder, die dritte Form in (9.23). < 0, Bud 9.3, angesetzt: und Entsprechend wird für die Kombination von 2

-I-nt

= —

oder

(

P±i

A

=1

(9.8)

±j9n

2

für

cT,,<0

Die zweite Form von (9.8) findet sich in (9.15) wieder, die dritte Form in (9.23). Bei der parabelformigen Hllhlkurve nach (9.8) ist an der Stelle ci,, = 0 die Schubspannung und die Steigung = beim Bruch =

Bud 9.4: Mohrscher Spannungskreis für einachsige Quer-Druckbeanspruchung zur Herleitung von und Beziehungen zwischen dem Bruchwinkel bei parabolischem und den Parametern -

DruckspannungseinfluB

bei Bruchwinkel Bud 9.4 zeigt, wie die Zusammenhänge zwischen Steigungsmal3 der Wirkebene sich und Bruchwiderstand einachsigem Druck, Druckfestigkeit wieder am einfachsten mit Hilfe des Mohrschen Kreises und der parabelformigen Hllhlkurve

9 Bruchbedingungen der neuen Art

142

ermittein lassen. Der Berllhrungspunkt S von Kreis und Parabel hat die Koordinaten

an =

(9.9)

=

COS

Diese können in die Parabeigleichung (9.8) eingesetzt werden. Eine weitere Gleichung für die beiden Unbekannten und liefert die TJbereinstimmung der Steigungen von Kreis

und Parabel im Punkt S:

=

=

tan

=

A R11

2p11a

Man findet aus den beiden Gleichungen:

=

sin

cos 2

=

(9.12) 1

=

=

(9.13)

2p11

Weil die parabelformige Bruchkurve den Vorstellungen von Mohr über die Form der Hullkurve recht nahe kommt, wird sic spkter bevorzugt behandelt.

9.1.3

Interaktionsansätze für die Schubspannungen

Nun gilt es, den zweiten Teil der Aufgabe zu bewaitigen, nämlich für eine kombinierte Tni) -Beanspruchung einen einfachen Interaktionsansatz zu finden, der die Bruchbedingungen für die Einzelbeanspruchungen < 0) und Tnl (jeweils in Kombination mit miteinander verknllpft. Bei linearem Einflul3 der Druckspannung Un sind dies die Bruchbedingungen nach den Gin. (9.1) und (9.2), bei parabelformigem Verlauf der ,an) - und die Bruchbedingungen nach den Gin. (9.7) und (9.8).

9.1.3.1

Master—Bruchkörper mit elliptischen Querschnitten

Der "klassische" Interaktionsansatz 1st der "quadratisch additive", der für die Querschnitte = const. auf elliptische führt. Obwohl abzusehen 1st, daf3 soiche Ansätze mathematisch ungeschickt sind, soil mit diesen begonnen werden, weil sic die "Physik" gut sichtbar machen. ,

143

9.1 Bruchbedingung für eine druckbeanspruchte Bruchebene

Auf (9.1) und (9.2) angewandt ergibt sich damit als Bruchbedingung für eine kombinierte -Beanspruchung [81]: I

T,,j I 'RA \ II — (-)

+

i

(-) ci,,

\

=

I

fur

1

ofl,,

< ü.

Auf (9.7) und (9.8) angewandt lautet die Bruchbedingung

=1

+

für

a,,
(9.15)

R111a,,

Die beiden Halbachsen der durch (9.14) oder (9.15) beschriebenen elliptischen und Bruchkurven an Stellen ci,, = corist. wachsen bei verschiedenen Werten für an, Bilder 9.5 und 9.6. und R111) unterschiedlich stark mit (sowie Tn1

(d)

= - P111

- PJL 0

<0 mit elliptischen Querschnitten und geradlinigen Kontur= 0 und linien in den beiden Langsschnitten Bud 9.5: Master-Bruchfläche für

T,,1

=0

Bud 9.6: Master-Bruchfläche für ci,, <0 mit elliptischen Querschnitten und parabolischen Kontur= 0 und linien in den beiden Langsschnitten =0

werden die Querschnitte kreisformig. und Für = = sind die Anshtze Für das Aufsuchen des Bruchwinkels mit Hilfe von fRes(e) oder (9.14) und (9.15) schlecht geeignet, denn für den schnittwinkelabhangigen Reservefaktor

144

9 Bruchbedingungen der neuen Art

fRes(0) erhält man aus (9.14) eine Gleichung 4. Grades, aus (9.15) eine 3. Grades. Deren Lösungen müBten nach dem globalen Minimum für fR00(8) abgesucht werden. Es hat sich somit als nicht sonderlich zweckmal3ig erwiesen, für Querschnitte a,. = const. em einfaches Polynom zu wählen. Urn den Rechenaufwand zu reduzieren, der für die Anwendbarkeit der neuen Bruchbedingungen in grof3en FEM-Modellen sicherlich eine Rolle spielt, soil deshaib im folgenden nach geschickteren Anshtzen gesucht werden.

Master-Bruchkorper mit geraden oder parabeiförmigen Längsschnitten

9.1.3.2

Vorteiihaft dürfte es sein, nicht für Querschnitte a,. = const., sondern für Längsschnitte = const. em einfaches Polynom zur Beschreibung der Schnittkurve zu = wählen, denn die Streckung des Spannungsvektors mit dern schnittwinkelabhangigen Reservefaktor (9) erfolgt in einem soichen Langsschnitt = const. Auf diese Weise soilte es daher am ehesten gelingen, eine einfache Beziehung für fRe. (9) zu erhalten. = 900 Geraden (Gln. Weil man für die Bruchkurven in den Schnitten = 00 und (9.1) und (9.2)) oder Parabeln (Gln. (9.7) und (9.8)) benutzt hat, erscheint es sinnvoll, analog auch für Schnitte unter einem beliebigen Winkel Geraden bzw. Parabeln zu wahlen.

Ausgangsquerschnitt bei a,. = 0 An der Stelle a,. = 0 wird der eiliptische Querschnitt des Master-Bruchkorpers nach (9.14) oder (9.15) beibehaiten. (Die Querschnitte nach (9.14) und (9.15) unterscheiden sich dadurch, daB der lineare und der parabohsche DruckspannungseinfluB zu etwas unterschiedlichen Werten für führen.) Mit und r,.10 die gerneinsam eine Bruchgefahr = 1 erzeugen, wenn a,. = 0 ist, iautet die Gleichung des "Ausgangsquerschnitts": ,

=

+

1

a,. = 0.

für

(9.16)

Für die aus T,.to und resultierende Schubspannung wird die Bezeichung eingeführt und für den zugehörigen Bruchwiderstand der Wirkebene das Symbol Durch die Gin. (8.19) und (9.16) sind dann foigende Zusammenhange gegeben, Bild 9.7:

\2

/

2

2 T,.t.+T,.i. —1 2

\

I

\ 1111 2

1

2

'Ti 'It (—v-) + R11 = (—i)

2

ID

2

+

—1

für

a,. = 0.

(9.17)

145

9.1 Bruchbedingung für eine druckbeanspruchte Bruchebene

Tni

Tnt

Bud 9.7: Elliptischer Ausgangsquerschnitt bei =

= =

Mit und

cos

=

=

H2 H2 H2 [H2 =

für alle Master-Bruchkorper

=0 an der Stelle 0 an einer Stelle auch folgendermaBen angeben (s. auch (8.19)): und

cos 't/,' und

lal3t sich

0

sin

sin

+ =

+

[H2 +

(9.18)

+

=

dieser Ellipse an der Stelle a,. = 0 gehen nun in negativer o-,,-Richtung gerade bzw. parabelformige Konturlinien aus, so daB eine Bruchfläche für a,. <0 entsteht.

Von

Master-Brachkorper mit geradlinig begrenzten Längsschnitten

=-

= coast.

(—)

nt

Bud 9.8: Gerade Konturlinie in einem Langsschnitt

= const. einer Master-Bruchfläche für

<0

Die Gleichung einer geraden Konturlinie in einem Schnitt

=

oder

+

pa,. =

1

für

= const., Bud 9.8, lautet

<0.

(9.19)

___________________________________________

146

9 Bruchbedingirngen der neuen Art

Mit Hilfe von (9.18) wird hieraus eine sehr einfache Bruchbedingung, nämlich

H2 R11

+

+

=

1

<0

für

(9.20)

mit nach (9.24) auf S. 147. Da die Bruchfunktion in Gi. (9.20) bezuglich der Spannungen homogen vom Grad list, stelit sie die Anstrengung dar. Man kann diese Funktion somit auch zum Aufsuchen des Bruchwinkels benutzen, indem man das globale Minimum der Funktion bestimmt.

Master-Bruchkorper mit parabclformig begrenzten Lärigsschnitten

/

= coast.

Tnt!, (_)

k

Bud 9.9: an

Langsschnitt

für o,, <0

Die Gleichung einer parabolischen Konturlinie im Schnitt

=

Parabolische Konturlinie in einem = const. einer Master-Bruchflache

oder

= const., Bud 9.9, lautet

=

+

1

für

<0.

(9.21)

Sie ist nicht homogen bezUglich der Spannungen und kann deshaib in dieser Form nicht zur Bruchwinkeiermittlung herangezogen werden. Wenn und mit dem Reservefaktor fRes vergrof3ert werden, damit die Bruchbedingung erfullt wird, ergibt sich für die quadratische Gleichung / \2 (H

1ft41 \

:2

Zur LOsung der Gleichung kann man sich der Gin. (4.8) oder (4.9) auf S. 48 bedierien. Gi. (4.9) ist "angenehmer", weil bei ihr keine Spannungen im Nenner erscheinen. Man erhält:

()2

=1

für

<0.

(9.22)

9.1 Bruchbedingung für eine druckbeanspruchte Bruchebene

147

Mit der GI. (9.18) ergibt sich aus (9.22) die Bruchbedingung, die zugleich die Anstrengung darstelit:

H2 R11

+

+

+

Riü

=

1

für

a,. <0

(9.23)

nach (9.24). mit An diesem Beispiel ist einmal deutlich geworden, daB verschiedene Bruchfunktionen zur Beschreibung em und derselben Bruchfläche dienen konnen. Tm vorliegenden Fall waren es die

in der zweiten Form der G1.(9.21) und die in (9.23) enthaltenen Funktionen. in Abhängigkeit voin Winkel

Wahi des Neigungsrnaj3es

= 900, d.h. von für die Langsschnitte = 0° und aufgrund experimenteller Erfahrung gewahlt werden.

Die Werte des NeigungsmaBes

p(j und

Interpolatzonsformel

soliten — soweit möglich

=

und = 90° muf3 dann so interpoliert werden, daB die durch die Bruchbedingungen (9.20) oder (9.23) beschriebenen Bruchflächen keine Sprunge aufweisen; sie sollen glatte Flkchen" sein. Das heil3t, daB auch die Bruchkurven in Querschnitten a,. = const. an keiner Stelle einen Knick aufweisen soliten. Dies schrankt die in Betracht kommenden Interpolationsansktze stark em. Da in den Bruchbedingungen immer nur das Verhkltnis erscheint, bietet sich als eine zweckmaBige Losung an, für dieses Verhältnis folgenden einfachen Interpolationsansatz zu wählen: Zwischen

(-)

=

Riü

(-)

(-)

R11

cos2

+

sin2

= arctan

mit

(9.24)

über dem Winkel 'i/i bereits durch (9.18) vorgegeben ist, führt Da der Verlauf von vom Winkel (9.24) zu der folgenden Abhkngigkeit des Neigungsmal3es

= J_i_

II

hF

(9.25)

Beziehung wird für das praktische Rechnen nicht benotigt; es genügt (9.24). überhaupt nötig ist, über dem Winkel Die Frage, ob eine Variation von zu = unabhangigen Verhältnis oder ob es genügt, z.B. mit einem von rechnen, kann mangels experimenteller Erfahrung noch nicht beantwortet werden. Vermutlich eine sehr gute Nkherung. = const. = ist für die meisten Fklle der Praxis Diese

9.1.3.3

Sonderfall

= const.

auch mit dem Winkel ist, und sich das Verhkltnis = nicht kndert, ist es belanglos, ob man bei der Entwicklung der Bruchbedingung von der

Wenn

9 Bruchbedingungen der neuen Art

148

Vorgabe elliptischer Querschnitte durch die Gin. (9.14) bzw. (9.15) oder von der Vorgabe gerader oder parabelformiger Langsschnitte durch die Gin. (9.20) bzw. (9.23) ausgeht, denn man gelangt stets zum gleichen Ergebnis. Dies hat semen Grund darin, daB sich mit = die Gin. (9.14) und (9.15) folgendermaBen verein= fachen: -2 [

const

2 const

+

=1

R11

[()2

für

<0,

(9.26)

+

R11

=1

für

<0.

(9.27)

Gi. (9.26) ist identisch mit Gi. (9.20), und Gi. (9.27) stimmt mit Gi. (9.23) überein.

In diesem Fall ist der durch die Gl. (9.20) bzw. (9.23) mit ne Master-Bruchkorper em Kegei mit elliptischen Querschnitten bzw. em eiliptischen Querschnitten an alien Steilen = consL.

Für den Fall, daB

sich mit dem Winkel

beschriebe-

Paraboloid mit

ändert, gilt folgendes:

Die Master-Bruchkorper mit elliptischen Querschnitten nach den Gin. (9.14) und (9.15) haben jetzt nur bei = 0° und bei = 90°, d.h. in der und in der (un, gerade bzw. parabelformige Konturlinien im Lhngsschnitt. Bei jedem beliebigen Winkel zwischen 0° und 90° ist die Längsschnitt-Konturhnie nicht gerade bzw. parabelformig.

Die Master-Bruchkorper mit geraden bzw. parabolischen Lhngsschnitten nach Gl. (9.20) bzw. (9.24) haben, wenn nicht über dem Winkel konstant ist, nur an der Stelle = 0 einen eiliptischen Querschnitt; in allen übrigen Schnitten a7, = const. ist der Querschnitt des Master-Bruchkorpers keine Ellipse. = 1st = und ergibt sich als Master-Bruchkörper in jedem Fall em Kreiskegel bzw. em Rotationsparaboloid mit der a7,- Achse als Rotationsachse, Bud 9.10.

9.2

Bruchbedingung für eine zugbeanspruchte Bruchebene

Ebenso wie schon bei a7, < 0 erscheint es zweckmaBig, em einfaches Poiynom für die Bruchkurven in Lhngsschnitten = const. zu whhlen, damit sich daraus eine gleichfails einfache Beziehung für die Streckung des Spannungsvektors in der Langsschnittebene = coast. ergibt. In diesem Fail kommen als Bruchkurven, die sowohl der 1. ais auch der 3. Aussage der Bruchhypothese entsprechen und gut an experimenteii ermittelte (a2, 'r21)-Bruchkurven

9.2 Bruchbedingung für eine zugbeanspruchte Bruchebene

Tn1

149

Tn1

an an Bud 9.10: Im Sonderfall

=

und

wird der Master-Bruchkorper zu einem Kreiskegel

=

bzw. Rotationsparaboloid.

anpaf3bar sind, Ellipsen in Betracht, die bei ci,, =

die a,, -Achse schneiden, und deren

Mittelpunkte auf der a,, -Achse im Bereich a,, < 0 liegen, Bud 9.11.

Bud 9.11:

Efliptische Konturlinie in einem Langsschnitt 4 = const. einer für cr,, > 0

Als Querschnitt des Bruchkorpers bei a,, = 0 wird der elliptische Querschnitt nach (9.14) bzw. (9.15) beibehalten, je nachdem, mit weicher Bruchbedingung man im Bereich a,, < 0 arbeitet. Damit lautet die Gleichung der elliptischen Schnittkurve für = const. 2

C2

mit

2

+

C1

+

nach (9.18) auf S. 145.

=1

für

a,, 0

(9.28)

9 Bruchbedingungen der neuen Art

150

()2()

Zum Berechnen der Anstrengung nutzen wir Gi. (4.9) auf S. 48 und erhalten:

H2 =

Für

0

(9.29)

ergeben. Daraus folgt nach Gi. (9.28)

=

muf3 sich

=1 für

C2+C1 =1.

(9.30)

der von

Für die weitere Anpassung empfiehlt es sich wiederum, für die Steigung einzuführen, wobei = 0 ellen Parameter Bruchkurve an der Stelle = 0° bis = +90° zwischen variieren kann. und = = 0 und Aus (9.28) oder (9.29) folgt für c1

(.9 31

Mit (9.30) und (9.31) sowie (9.18) auf S. 145 erhält man schliel3lich als Bruchbedingung (+)) 2

2

2

+

=1

für

>0.

(9.32)

empfiehlt sich eine gleichartige Interpolation wie (9.24), nämlich

Für (+)

(+)

(+)

=

cos2

+

sin2

mit

= arctan

(9.33) Tnt

muf3 gewarnt werden, = const. = denn sie kann zu einem Verstof3 gegen den 3. Satz der Bruchhypothese führen, wenn bei zu die Bruchellipse den Grenzkreis (nach Bud 10.5 auf S. 179) berührt oder grof3en zu setzen. <0,2 ist, empfiehlt sich, schneidet. Wenn =

Achtung: Vor einer Annahme

9.3

Anwendung als Delaminations-Bedingungen

Publikationen zu Delaminations-Bruchbedingungen stimmen darin überein, daB Delamina-

tionen durch die sogenannten interlaminaren Spannungen verursacht werden, die in der Grenzflkche zwischen benachbarten Einzelschichten eines Laminats auftreten. Für die Beurteilung der Delaminationsgefahr (der "interlaminaren Anstrengung") wird von den meisten Autoren — abweichend von deren Vorgehen bei der Beurteilung der Bruchgefahr in der Schicht (der "illtralaminaren Anstrengung") — eine wirkebenebezogene Bruchbedingung angesetzt,

9.3 Anwendung als Delaminations-Bedingungen

151

d.h. eine soiche Bruchbedingung, in der nur die drei in der interlaminaren Grerizflhche wirkenden Spannungen erscheinen. Dabei wird wie in [43] meist em parabolischer Ansatz

7-2+T2

a 1

für

a0>0

(9.34)

und sind hierin die "interlaminare Schubfestigkeit" bzw. "interlaminare Zugfestigkeit", deren experimentelle Bestimmung allerdings problematisch ist [38]. Die interlaminaren Spannungen (a2, r22) sind auf das globale (a, y, z)-Koordinatensystem des Laminats bezogen, d.h., dali die Bruchbedingung (9.34) keine Rllcksicht auf die Faserrichtungen in den beiden aneinandergrenzenden Schichten nimmt. Die Schubspannungen konnen zu einer "resultierenden" Schubspannung r2w zusammengefalit werden; es und gewahlt.

=

+

(9.35)

Bei der Anfstellung der Delaminations-Bruchbedingung (9.34) und ahnlicher Ansatze ist, obwohl dies nirgends explizit zum Ansdruck kommt, offensichtlich die Mohrsche Festigkeitshypothese [54] zugrundegelegt worden, die besagt, dali die Bruchgrenze durch die Spannungen der Brnchebene bestimmt wird. In diesem Buch wird die Mohrsche Festigkeitshypothese selbstverstandlich konsequent sowohi auf intralaminare als auch auf interlaminare Brllche angewandt, so dali die Delamination von dort her gesehen llberhaupt keiner aullergewohnlichen Behandlung bedarf. Beim ailgemeinen raumlichen (ciai, a3, a33, a31, aii)-Spannungszustand kann dec Bruchwinkel beim Zfb nnr dnrch em numerisches Snchverfahren gefunden werden. Für jede denkbare Lage der Brochebene zwischen U = —90° nnd U = +90° mllssen die drei Spannungen berechnet werden, nnd es mull durch Einsetzen dieser Spannungen in die Bruchbedingung herausgefunden werden, auf weicher Schnittebene die Anstrengung E(O) am hOchsten ist. Wenn dies bei einem Winkel +90° der Fall ist,

tritt intralaminarer Bruch em. Ergibt sich jedoch die hochste schnittwinkelabhkngige An= +90°, heillt das, dali interlaminarer Bruch eintritt, also Delamination. strengnng bei (Für 0 = —90° und +90° errechnet sich stets die gleiche Anstrengung, denn die beiden Spannungszustande unterscheidea sich allenfalls dnrch das Vorzeichen bei einer Schubspannung, und dies kann die Anstrengung nicht beeinflussen.) Aus dem Vorausgegangenen geht hervor, dali es bei dec konsequenten Anwendung der Mohrschen Hypothese keiner gesonderten Delaminations-Bedingung bedarf, denn die Delamination wird als Grenzfall des Zwischenfaserbruches aufgefallt. Allerdings gibt es gute Grllnde dafur, in diesem Grenzfall mit etwas herabgesetzten Bruchwiderstanden in dec Wirkebene zu rechnen. Dort, wo zwei UD-Schichten aneinandergrenzen, entstehen bei der Fertigong — durch die Faserkreuzung bedingt — eher Fehlstellen in Form kleiner Lufteinschlllsse

__________________________________________________

152

9 Bruchbedingungen der neuen Art

und Fadenwelligkeit als innerhaib der Schichten. Auch werden, mikromechanisch gesehen, an Fadenkreuzungen Spannungskonzentrationen auftreten. Deshaib durfte es angebracht sein, die in der Bruchbedingung erscheinenden Bruchwiderstände in dem Grenzfall 9 = der Wirkebene durch einen Schwachungsfaktor (weakening factor) der Schichtengrenzflache (Interface, If) j,(Jf) auf etwa 90 bis 80% der intralaminaren Werte herabzusetzen. Ansonsten gehen die Delaminations-Bedingungen aus den Zfb-Bedingungen für den aligemeinen rhumlichen Spannungszustand hervor. > 0 wird (9.32) benutzt und für <0 der parabolische Ansatz nach (9.23). Für Mit 0 = 900 wird Un = cr3, Tnt = 733, = T31 und man erhält:

()2

+

+

+

(±)

mit

=

(+)

+

+

=1

+

= lfdra3 0, (9.36)

füra3 <0,

(9.37)

(±)

und

R11

(9.38)

B

A b

Bud 9.12: Elliptische (r32,r31)-Bruchkurveu A und B der Grenzschichten zweier benachbarter UD-

a

x

Schichten a und b. Für die Delaminationsfestigkeit gegenuber euler interlaminaren Schubspannung ist

der Uberlappungsbereich AB der beiden

Bruchellipsen maBgebend. (a ist der Kreuzungswinkel der Faserrichtungen der beiden Schichten).

Bruchkurven für a3 = const. stellen bei = const. Ellipsen dar, Bud 9.12. Wenn sich die Fasern zweier benachbarter UD-Schichten unter dem Winkel ic kreuzen, bilden auch

9.4 Sekundare Einflüsse

153

die Hauptachsen der Bruchellipsen der beiden Grenzschichten einen Winkel ic. Bei der Betrachtung der Delaminationsgefahr mllssen die beiden Bruchellipsen flberlagert werden, denn der Bruch kann entweder in der "Grenzschicht" der einen oder der anderen UD-Schicht erfolden kleineren Brnchgen, je nachdem weiche Schicht der auftretenden Schubspannung widerstand entgegensetzt. Wenn keine Richtungsabhangigkeit des Schub-Bruchwiderstands

zn erwarten ware, hätte es in den Bruchbedingungen (9.36) und (9.37) gar nicht zweier bedurft, sondern man hktte von folgender Beziehung Schubspannungsterme, r32 und Gebranch machen konnen: TzW =

+

=

+ 'ila =

+

(9.39)

Die Indizes a und S dienen zur Kennzeichnung der beiden benachbarten Schichten, deren Koordinaten-Richtungen X1,,, Xlb nicht zusammenfallen, sondern sich um den Faserkreuzungswinkel ic nnterscheiden. Als Ergebnis der Betrachtung 1st festzuhalten, daB die Delaminations-Bedingungen, was die "physikalische Fundierung" anbelangt, das gleiche Niveau wie die 3D-Zfb-Bedingnngen

haben, und daB hal der numerischen Zfb-TJntersuchung antomatisch die DelaminationsAnstrengung mitberechnet wird. Dazu mnB man aber die Spannungen in zusammengehOrigen Punkten der "Grenzschichten" zweier benachbarter UD-Schichten analysieren. Die "Festigkeits"-Bruchbedingungen (9.36) und (9.37) soliten nicht auf stark inhomogene Spannungszustdnde mit hohen ortlichen Spannungsspitzen, wie sie an freien Rändern auftreten [82], angewandt werden. Sie wllrden moglicherweise "Bruch" vorhersagen, obwohl für die Entwicklung des Bruches die nötige Energiefreisetzung fehit. In soichen Fallen rechnet man gelegentlich mit bruchrelevanten Durchschnittsspannungen (average stress failure criteria), die dann in Bruchbedingungen wie (9.36), (9.37) eingesetzt werden. Dies erfordert aber vial Erfahrnng.

Für die Beurteilung der Delaminationsgefahr, die von relativ gleichmaBig llber die Schichten-Grenzflache verteilten interlaminaren Spannungen ausgeht, wie sie in groBfiachigen

Krafteinleitungen, in ungestörten aber stark gekrümmten Laminatpartien oder unter Querkraftbelastung auftreten, sind die Gin. (9.36) und (9.37) gut geeignet. Die Erfahrung lehrt aber, daB sich — auch bei dickwandigen Bauteilen — auBerst selten Delaminationen errechnen, bevor sich Zwischenfaserbruche eingesteilt haben.

9.4 9.4.1

Sekundäre Einflusse Einfluf3 der faserparallelen Spannung

Im Abschnitt 5.1.3 ist dargeiegt worden, warum beim Auftreten hoher a1-Spannungen mit einer Herabsetzung ("Degradation") der Bruchwiderstande der Wirkebene zu rechnen ist. Man

154

9 Bruchbedingungen der neuen Art

stellt sich eine homogene, bezUglich der Faserrichtung rotations-symmetrische Mikroschddigung durch die faserparallele Spannung vor. Dieser kann dadurch Rechnung getragen werden, dad alle Bruchwiderstknde der Wirkebene in einer Brnchbedingung mit dem gleichen < 1 erniedrigt werden. Seine AbhängigSchwachungsfaktor (weakening factor) 0 <

keit von di mud experimentell ermittelt und dann durch eine einfache Funktion approximiert werden. Diese solite so angesetzt werden, dali sie erst bei einer Annaherung an den Faserbruch merklich wirksam wird. Eine einfache Funktion, die hierftir in Frage kommt, ist beispielsweise

=

bzw. linearisiert

1

51d

=1

aiD

(9.40)

mit einem hohen Exponenten n, wobei sowohi der für die Degradation maligebende Spana experimentell bestimmt werden mudten. In [83] nungswert wurde = 1, und a = 6 bis 8 angenommen. diD wird iterativ verkndert. Eine Alternative hierzn ist bereits im Abschnitt 5.1.3 vorgestellt worden. Dort wurde his llberhaupt keine Degradation vorgesehen und anschliellend eine durch einen = 0, elliptischen Kurvenast beschriebene, Bild 5.5 auf S. 70. eine recht einfache Funktion. Wenn man sie aber in die In beiden Fallen ist Bruchfunktion der Gln. (9.20), (9.23), (9.32) einfflhrt, bleiben diese bezOglich der Spannicht mehr homogen. tEe Homogenitkt vom Grad 1 mud aber anfnungen (a1, rechterhalten werden, wenn die Bruchfunktionen weiterhin zur direkten Berechnung der ZfbAnstrengnng benutzt werden sollen.2 Dann darf a1 nur in der 1. Potenz erscheinen, und der nnd ai mull linearisiert und durch in Wirklichkeit nicht-lineare Zusammenhang zwischen Iteration berticksichtigt werden. Bild 9.13 zeigt hierzu zwei Mdglichkeiten auf. (a):

wird nur in dem gerade errechneten Funktionswert angepadt,

(b): ft. wird im Funktionswert und in der Steignng

angepalit.

Die Variante (b) erfordert weniger Iterationen. Es mOssen aber für den jeweils bei der Rechnung erreichten Wert und den zugehorigen Wert f,,, (nach der richtigen Funktion) die und berechnet werden, s. z.B. Gln. (5.17) nnd (5.18) anf 5. 70 nnd 71. Hilfsgrdllen nnd sich nicht mehr nennenswert andern. Es wird so lange iteriert, bis Mit dem Schwachungsfaktor fm nehmen die Bruchbedingungen folgende Form an: = 1.

(9.41)

durch Anfsnchen des globalen Maximnms der schnittwin2Bei der Ermittinog des Bruchwinkels kelabhängigen Anstrengung 8(9) stdrt der Term mit a1 nicht, demo er fallt bei der Bildnng von dS(9)/dO zur Bestimmnng der heraos, weil a5 nicht von 9 abhangt. Anschliel3end wird aber die Anstreogung Ridbildongsgrenze bendtigt.

155

9.4 Sekundare Einflusse

(a) 1

0

0

Bud 9.13: Linearisierung des Einflusses der faserparallelen Spannung (a) Anpassung nur im Funktionswert

(b)

auf den Zwischenfaserbruch. und in der Steigung

Anpassung im Funktionswert

Nach Bud 9.13b 1st

=

f

(9.42)

=

Damit wird aus den Bruchbedingungen (9.20) bzw. (9.23) bzw. (9.32): (9.43)

für

r

2

2

(Pith /

(9.44)

\\

2

2

(+)

=1

+

156

9 Bruchbedingungen der neuen Art

Achtung: Anders ais eine Festigkeit ist aiD eine vorzeichenbehaftete Grol3e; bei a1 > 0 ist

aiD positiv, bei a1 <0 negativ! Die Gin. (9.41) bis (9.45) zeigen, daB die Master-Bruchflachen, die den Einfiufl von berüeksichtigen, durch geometrisch dhnliehe Verkleinerung mit dem Faktor aus den Master-BrnchflBchen, in denen a1 nicht enthaiten ist, hervorgehen. Wenn der EinfluB von a1 in der beschriebenen Weise erfaBt werden kann, beeinflnBt die fnserpnrnllele Spannung a1 das Ergebnis der Brnehwinkelermittlung nicht, weii a1 für aiie Schnittebenen mit Winkein —90° B +90° gleich groB ist, vgl. Transformationsformel (8.1). Man kann also den Bruchwinkel in gewohnter Weise suchen, ohne auf a1 Rllcksicht zu nehmen, d.h., daB man für die Bruchwinkelsuche a1 = 0 setzen kann. cr1

9.4.2

EinfluI3 von Eigenspannungen

Tm Abschnitt 5.4 wurde am Beispiel der (a2, r21)-Beansprnchung aufgezeigt, wie man bei der Anwendung von Bruchbedingungen grnndsdtzlich verfahrt, wenn Eigenspannnngen berücksichtigt werden sollen. Bei den Bruchbedingungen im (an, geht man genauso vor. Nnr wenn man nicht unter dec Voraussetzung = eonst. rechnen kann, ergibt sich eine Besonderheit. Dies soil hier kurz skizziert werden. Dec Zfb-relevante Spannungsvektor setzt sich aus einem nach

GroBe und Richtung konstanten Eigenspannungsvektor (residnal stress, r) und einem mit der Hohe der Belastnng anwachsenden Lastspannungsvektor (load dependent stress, 1) zusammen. Aus der Transformationsformel (8.1) ergibt sich somit 2cs

c2

=

—SC SC

0

(c2

0

—

s2)

0

0

0

0

0

s

c

(r)

Obwohl der Eigenspannungs-Vektor {a)[) (1) () (1) (r) (1)

(9.46)

+ + + + +

+

+

= r,Y111

+

} und der von dec Beiastungshdhe } im Normalfali verschiedene Rich(0)Tnt , tungen haben3, wird der zum Bruch fOhrende zusammengesetzte Vektor genau so behandelt, als wenn er — wie bisher stets voransgesetzt — ans dem Koordinatenursprung geradlinig heransgewachsen ware, bis er die Master-Bruchflache berührt. D.h., man rechnet ,

abhangige Vektor {fRes

,

(r)

.

,

1Anders verhalt es sich beim Puck/Schiirmamm-Verfahren, bei dem gezielt dem Zfb entgegenwirkende Eigenspannnngen eingebracht werden, nnd zwar soiche, wie lie im Betriebszustand auftreten, jedoch mit umgekehrten Vorzeichen. Dci Betriebsbelastnng durchlauft die resultierende Spannung den Nullpnnkt [41].

9.4 Sekundäre Einflusse

157

unabhängig vom Lastweg immer mit derselben Master-Bruchfläche, weil man den Einfluf3 des Lastwegs auf die Bruchkurve nicht kennt. Der wesentliche Unterschied gegenuber einem Spannungszustand ohne Eigenspannungen, untereinander nicht konstant besteht darin, daB die Verhaltnisse der Spannungen abhängen, d.h., sind, sondern von der Höhe der lastbedingten Spannungen, also von kndert. Deshalb kann in einem ersten RedaB die Richtung des Vektors sich mit nur em vorlaufiger Wert angesetzt werden, weil bzw. chenschritt für bestimmte Lkngsschnitt unter dem Winkel der durch den Winkel = in dem der Vektor auftritt, der schlieflhich mit seiner Spitze die Master-Bruchfläche berdhrt, nicht von vornherein bekannt ist. AnschlieBend muB dann iteriert werden. < 0 1st etwas schwieriger geworden, 0 oder Auch die Fall-Unterscheidung, die zu wählende Bruchbedingung llber = well nunmehr der Wert von + entscheidet, der von abhangt. Aus den Gin. (9.23) für das Bruch-Paraboloid bzw. (9.32) für das Bruch-Ellipsoid erhalt man unter den getroffenenen Voraussetzungen quadratische Gleichungen für den schnittwin(s): kelabhängigen Reservefaktor ,

,

,

2

(1)

2

(1)

(r)

(1)

+2

+

(r)

(I)

(—)

+

+ 7

+

/ ()\2

(r) \2

\ 11/ (

)

+

(

\

(_)

=

)

1

<0

für

(9.47)

IHJ

= coast. bzw. nach Gi. (9.24),

mit

(r)

(r)

(1)

(r)

(1)

+2 [c2n(+)n + (RA)2 + (

i

ii

)

(+)

(1)

'ii

(9.48)

+

2

+C2

+

R11

+

R111

+

=

1

für

+

>0

nach Gi. (9.33). und mit c2 = 1 — und Wean angenommen werden darf, daB die Werte derGroBen nicht sehr verschieden sind, wird man bei der Benutzung der obigen Gi. (9.47) zum Aufsumit einem konstanten chen des minimalen schnittwinkelabhkngigen Reservefaktors rechnen. oder auch einfach mit mittleren Wert

9 Bruchbedingungen der neuen Art

158

Unterscheiden sich die Werte und erheblich und werden hdhere Anforderungen an die Genauigkeit gesteilt, so mull iteriert werden. Verschiedene Iterationsprozeduren sind vorstelibar; grundsktzlich solite man aber den Aufwand nicht zu weit treiben, denn die Verlklllichkeit der Rechenergebnisse ist bereits dadurch beeintrdchtigt, dali der Lastweg in Wirklichkeit nicht mehr geradlinig vom Nulipunkt zum Bruchpunkt verlkuft. Zweckmallig erscheint das folgende Vorgehen. Der Winkel unter dem der Langsschnitt beim gerade durchgefflhrten Rechenschritt liegt, foigt aus (r)

= arctan

(r)

'Gt

(9\ (1) )Tni

+ ;(t)

(9.49)

(1)

Beim ersten Rechenschritt wird zur Bestimmung des Winkels zunachst = 1 gesetzt, d.h. es wird mit den aus der Spannungsanaiyse vorliegenden Eigenspannungen und Lastspannungen gerechnet. Aus der erstmahgen Losung der quadratischen Gin. (9.47) und (9.48) erhalt man damit einen emten Anhaltspunkt für den tatsächhchen Wert von Dann wird im ndchsten Rechenschritt mit dem Wert für gerechnet, der sich soeben mit den Lösungen der quadratischen Gleichung (9.47) bzw. (9.48) ergeben hat, u.s.w.. Da der Einflull von bzw. auf das Ergebnis für nicht sehr stark ist, dürften 1 his 3 Iterationen genügen. Ungewohnlich ist nehen der andersartigen Faliunterscheidung und der iterativen Annkherung an die richtigen Werte für bzw. dali das Vorzeichen der lastbedingten Schubspannungen und Einflull auf die Bruchgefahr erhkit, sobald Schubeigenspannungen auftreten (s. die gemischten Glieder Deshaib mull sorgfkitig auf die Vorzeichen der Eigen- und Last-Schubspannungen geachtet werden! Wenn aus einer der obigen Gieichungen der Reservefaktor für die iastbedingten Spannungen berechnet worden ist, macht es keinen Sinn, dessen Kehrwert als "Anstrengung" zu berechnen, vgl. Diskussion im Abschnitt 5.4. Eigentlich müllte man — zusktziich zur hier beschriebenen Kurzzeit-Bruchanaiyse -- auch noch eine Langzeit-Bruchanalyse für den Eigenspannungszustand durchführen. Bei einer ailgemeinen schwingenden Beanspruchung tritt die bier aufgezeigte Eigenspannungs-Problematik nicht auf, denn in diesem Fail werden die Eigenspannungen den ohnehin zu berücksichtigenden ruhenden Last-Mittelspannungen zugeschlagen [25]. ,

,

9.5 9.5.1

Anwendungsempfehlungen Ailgemeine ilinweise und Empfehlungen

Grundsbtzlicb empfiehlt es sich — wie auch aus den folgenden Ausführungen deutlich wird — sich

vor der Anwendung von Bruchbedingungen gründlich mit ibrem theoretischen Hinter-

9.5 Anwendungsempfehlungen

159

grund vertraut zu machen, damit man ihre Aussagekraft, aber vor allem auch die Voraussetzungen für ihre Gültigkeit richtig einzuschdtzen vermag. Mit den aufgestellten Bruchbedingungen steht nun em äuf3erst anpassungsfahiges Modell zur Verfügung. mit bis zu sieben Parametern, nämlich Ob man in der Praxis tatsächlich alle vier p-Parameter benötigt, mflssen die geplanten Expeund rimente und Beispielrechnungen [83] zeigen. Vermutlich wird man bei den Werten Gebrauch machen und auBerdem = normalerweise von der Kopplung ,

,

,

setzen. Damit enthhlt das Modell nur noch fllnf Parameter. = Für den Fall < 0 kommen die "klassischen" Ansdtze (9.14) und (9.15) mit elliptischen Querschllitten weniger in Betracht, weil sie einen unnotigen Rechenaufwand verursa= const., chen. Man wird ihnen wohl stets die geschickteren Ansatze für Langsschnitte nkmlich (9.20) und vor allem (9.23), vorziehen. Diese reduzieren den Rechenaufwand erheblich und sind aus physikalischer Sicht genau so akzeptabel wie die "klassischen" Anshtze nach (9.14) und (9.15). Voraussichtlich wird man bei den allermeisten Rechnungen aber airnehmen dürfen, womit die obige Unterscheidung ohnehin ge= genstandsios wird, und sich wesentliche Vereinfachungen ergeben. Grundsdtzlich erscheint der parabolische Ansatz (9.23) realistischer als der lineare Ansatz (9.20). Er hat gegenüber auftreten und (9.20) u.a. noch den Vorteil, daB keine negativen Werte für wllrden eine Umkehr des Richtungssinnes aller Spannungen können. Werte fRes (0) < 0 nicht zulassig, weil die in Betracht kommenden Bruchfordern. Eine soiche ist aber für bedingungen jeweils nur für ci,. < 0 oder ci,. 0 gelten. Somit spricht einiges für eine bevorzugte Anwendung des parabolischen Ansatzes nach Gi. (9.23). In der Tabelle 9.1 sind die wichtigsten Beziehungen für die Anwendungspraxis zusammengesteilt. Dabei wurde davon ausgegangen, daB aus dem einachsigen Quer-Druckversuch sondern auch der auftretende Bruchwinkel nicht nur die Quer-Druckfestigkeit aus und den Parameter bekannt ist. In diesem Fall kann man den Bruchwiderstand

meistens

aus nicht bekannt ist, muB man berechnen. Wenn der Bruchwinkel und = errechnen, z.B. aus und einen angenommenen Wert für In dieser Arbeit ist auBer bei der Behandlung von Eigenspannungen vorausgesetzt worauch ci,. Tnt Tnl unabhängig und , a3 den, daB die Spannungen von ihren Absolutwerten in einem unveränderlichen Verhkltnis zueinander stehen. Das bedeutet u.a. auch, daB bei Versuchen zur Ermittlung werkstoffabhangiger Parameter ebenso ,

,

,

,

,

,

wie bei Bruchversuchen zur Uberprufung der Brauchbarkeit einer Bruchbedingung diese Voraussetzung gleichfalls erfüllt werden muB. Damit ist der "Last pfad" strikt vorgeschrieben. Diese Grundvoraussetzung muB unbedingt beachtet werden, denn es ist durchaus eine Abhangigkeit der Ergebnisse von Bruchversuchen vom Lastpfad zu erwarten [66].

0

für

a2+ n

,

2

Ru

=

2

cotan

2

2

P11

+

()

cos2

a,,=1

linearer Druckspannungs-Einflul3

—

(+))2

+

2

+

=

2

2

+

(+)

= 1

(

mit

s

Tnt \

2

+

,

Tnt

cos 2

2

+

= arctan

2

2

+

H

parabolischer Druckspannungs-Einflul3

\

Sill i/'

E

/

Zusammenstellung der wichtigsten Beziehungen fur die Anwendungspraxis

Die auf der linken Seite der Bruchbedingung stehenden, den Bruchzustand den Funktionen Tnt Tni) können als schnittwinkelabhãngige Anstrengung E(O) zur Ermittlung des Bruchwinkels benutzt werden. Moglichkeiten zur Berucksichtigung eines Einflusses von finden sich im Abschnitt 9.4.1.

Neigungs— mal3 (-)

Bruchbedingung

für

Tabelle 9.1:

=1

H

C

CD

C

CD

C

H

CD

C

CD

is

C

25

CD

C,

H

9.5 Anwenduogsempfehlungen

161

In der Praxis der Bruchanalyse von Laminaten wird man diese in der Theorie vorausgesetzte Idealbedingung selten vorfinden. Sie ist bereits verletzt, wenn Stoffgesetze nicht-linear sind, oder wenn Eigenspannnngen auftreten. Dies ist em generelles Problem bei der Anwendung von Bruebbedingungen beliebiger Art und kein spezielles Problem der bier vorgestellten Brncbbedingungen. Grnndsatzlieh sollten die nenen Bruebbedingungen nieht nur für zügig von "nnll" bis zum Bruch gesteigerte Belastungen nnwendbar sein, aber sieher wird man bei der experimentellen Uberprllfnng der Bruebbedingungen mit dieser Beanspruchungsart beginnen [15,84]. Hinweise zu speziellen Problemen und Losungsmoglichkeiten bei schwingender Beansprnehung konnen der Arbeit [25] nnd den Ausführungen im Absehnitt 11.1 entnommen werden. Bei der Benrteilung von Ergebnissen, die mit Bruebbedingungen erhalten werden, soilte stets folgendes bedaeht werden: Eine Bruebbedingung in der bier vorgestellten Form kann einen Brueb der UD-Sehieht anzeigen, jedoch nichts über eine Scbkdigung im Mikrobereieh aussngen, die moglicherweise lange vor Erreichen der Bruchgrenze stattfindet. So kann eine Erstbelastnng bis nabe an die Bruehgrenze natürlich zur Folge haben, dali bei einer Zweitbelastung bis zum Brucb eine herabgesetzte Bruehgrenze gefnnden wird. Grundsktzlieh betraebtet ist es durehans denkbar, dali sich die vorgestellten Bruchbedingungen so modifizieren lnssen, dali mit ihneo aneh Schadignngen bei kombinierter Beanspruehnng behnndelt werden

kdnnen, wenn statt der Festigkeitsparameter Sebbdigungsgrenzspannungen als Parameter benutzt warden. Das ist aber nieht Gegenstand der bier angestellten Betraehtungen.

9.5.2

Vereinfachung bei 2D-Beanspruchung

Obwohl "2D"-Beanspruchung nnr em Kürzel für ebene Beanspruehnng ist, wird bier — wie allgemein üblieb — darnnter der Sonderfall der ebenen (ai, a2, r21)-Beansprnehung verstanden,

der in der Faserverbnndtechnik die allergrollte Bedentnng bat. Wenngleieh die vorgestellte Forschungsarbeit nrsprünglieh in erster Linie auf 3D-Beansprnehung ansgeriebtet war, haben sieb in ibrem Verlauf überrasehende Perspektiven für die 2D-Beansprucbung ergeben. Es hat sich als sebr empfehlenswert erwiesen, bei 2D-Beanspruchung die Parameterkopplnng voranszusetzen, weil sich damit erstaunliehe Vereinfachungen er= zielen lassen. Dies wird im folgenden erlautert. Für die Fhlle, in denen der Bruchwinkel Oj = 00 ist, d.h. in denen der Brneh in der Wirkebene der Spannungen a2 und r21 erfolgt, kann mao die ursprünglicb mit mi sebreiben, denn es ist angesetzten Bruehbedingungen ohne weiteres aueh mit a2 und 'r21 = r21. Dies ist in Absebnitt 5.1.2 für die Modi A und B ge= = 0 und = = (p/R) = eortst. ergibt sich sehehen. Unter der Voraussetzung aueh für den dureb "sehrage" Brüehe (Bk, 0) gekennzeiehneten Modus C eine unerwarerübrigt. Auf tete Vereinfaehung, so dali sieb em numerisehes Suehen des Bruehwinkels

162

9 Bruchbedingungen der neuen Art

das Bestehen einer Vereinfachungsmoglichkeit wiesen Ergebnisse des Programms Brukan [77] hin, die zeigten, daB die Bruchebene sich immer gerade so weit aus der Wirkebene von a2 und 121 herausdreht, daB die auf der Bruchebene im Augenblick des Bruches wirkende Druckspannung (unabhangig von der HOhe der Druckspannung a2 beim Bruch) stets einen konstanten Wert annimmt. Beim parabolischen Ansatz und ullter der Voraussetzung = = (p/R) = coust. ist bei = 0 der konstante Wert der Druckspannung auf der Bruchebene im Augenblick des Bruches Bud 9.14. =

Bud 9.14: Verlauf der Bruch-Linie für (0-2, r21)Beanspruchung auf der Master-Bruchfläche mit elliptischen Querschnitten und parabolischen Langsschnitten bei vorausgesetzter Parameterkopplung =

Dies gilt unabhangig von der GroBe des sich im Bereich der Modus C einstellenden Bruchwinkels Damit wird der beim Bruch nach Modus C zu erwartende Bruchwinkel auf eine = 0-2 cos2 Ofl,, und foiglich überraschend einfache Weise berecheilbar, denn nach (8.1) ist ergibt sich mit der beim Bruch wirkenden Spannung a,. = für den Bruchwinkel

=

arccos

für Modus C bei

= 0.

(9.50)

Achtung: Hierin ist a2 die beim Bruch nach Modus C erreichte Spannung. Damit lk]3t sich nun auch für den Bruch-Modus C eine einfache analytische Lhsung für die (a2, T21)-Bruchkurve angeben; sie ist als Gi. (5.3) in der Tabelle 5.1 auf S. 62 erschienen und stelit eine Ellipse dar, die — unabhangig von den sonstigen Werkstoffeigenschaften — durch den Punkt (a2 = = 0) und durch den Koordinaten-Nullpunkt verlkuft, Bild 5.1 auf S. 61. Wenn man für vorliegendes Verhdltnis v21/a2 mit Hilfe der Gi. (5.3)

die Druckspannung a2 beim Bruch nach Modus C bestimmt hat, kann man mit Gi. (9.50) den Bruchwinkel 0h' berechnen. Der mathematisch interessierte Leser findet hier zu dieser "Entdeckung" den Beweis. Der Ausgangspunkt hierfllr ist der parabolische Ansatz (9.23), der sich unter der Vorausset-

zung (p/R) =

const.

und mit a,. =

a2

C052 0; T,.j =

a2

sin 0 cos 0 und T,.1 =

C05 0 bei

9.5 Anwendungsempfehlungen

nach Gin. (9.42) und (9.44) mit den Abkürzungen

Berllcksichtigung eines Einflusses von a

/

1

2

(

b

U2

=

163

C

+

=

=

foigendermai3en schreiben iaEt:

= Es wird em

(cos

= 1.

+ b + c cos2

cos2

(9.51)

Bruchzustand betrachtet, deshaib gilt: mit der hOchsten schnittwinkelabhangi-

1. Der Bruch erfoigt auf der Schnittebene 9 = es mul3 also sein gen Anstrengung

(9.52)

die Bruchbedingung erfüiit:

2. Bei Oj ist für den Spannungszustand (ai, a2,

= 1.

(9.53)

Aus der 1. Bedingung folgt, weii

dcos9 dcos(9)

=

keine

Funktion von 0 ist:

+2c cosofP) (—sin

CO52Ofp + b+

= 0.

(9.54)

b

= 0°, wurde zur Formuherung der Bruchbedirigung für Modus B Die erste LOsung, benutzt. Zu euler zweiten LOsung geiangt man, wenn man aus (9.54) dell Wurzeiausdruck mit Hiife der Bruchbedingung (9.51) elimiriiert: (9.55) COSOfp

Damit wird aus Gi. (9.54) mit

=

c2a

=

00:

Die angesetzte Bruchbedingung gilt nur für cos

=

(9.56)

.

für Modus C.

=

a2

(q.e.d.)

cos2 0 < 0, foighch muB sein: (9.57)

über f,. = Auf den ersten Buck erweckt Gm. (9.57) den Eindruck, als hinge von der Spannung a1 ab. Dies trifft aber nicht zu, denn nicht nur der Zähier ist proportional

164

9 Bruchbedingungen der neuen Art

sonderil auch die im Nenner stehende Spannung a2 (beim Bruchzustand!) nimmt unter der Einwirkung von oi proportional zum Schwachungsfaktor f,,. ab. Das Einfuhren von (9.57) in (9.44) fllhrt mit (9.42) auf die Bruchbedingung

zu

2

1

T21

(

+

(—a2)J

+

aiD

=

1

für Modus C

(9.58)

Die entsprechende Gl. (5.3) in der Tabelle 5.1 auf S. 62 gilt für a1 = 0. Damit der Bruchwinkel beim Modus C nach Gi. (9.57) berechnet werden kann, muB zuvor für das vorliegende Verhaltnis v2i/o-2 die Spannung a2 beim Bruch mit Hhlfe der Bruchbedingung (9.58) ermittelt werden. Es sei daran erinnert, daB die Gin. (9.57) und (9.58) unter der Voraussetzung der Parameterkopplung = const. hergeleitet wurden. Diese Kopplung ist nicht = physikalisch begrundet, sondern dient lediglich dazu, Rechenerleichterungen zu erzielen. Es steiit sich deshaib die Frage, weichen Einfluf3 Abweichungen von der obigen Parameterkopplung auf die Bruchkurve und den Bruchwinkel haben.

Durch die Gin. (9.12) und (9.13) auf S. 142 sind die foigeilden physikalischen Zusammenhknge mit dem meBbaren [15,84] Bruchwinkei aus dem einachsigen QuerDruckbereich gegeben:

=

cos

cos

() 1

+ cos

Daraus ergibt sich mit dem Additionstheorem cos RA

J

C05

=

2

cos2

1

die Beziehung

2_(-)

Aufgrund der Zusammenhänge (-)

a2

Uflu

a2 C05

wird erkennbar, daB auch uriabhangig von der Parameterkopplung — für die Druckspannung auf der schragen Bruchebene für die einachsige Quer-Druckbeanspruchung gilt;

=

(9.60)

=

für a2 =

(9.61)

9.6 Ergebnisdarstellung und -diskussion

165

Zwischen der reinen Druekbearispruchung im Punkt d nach Bud 5.1 auf S. 61 und dem Umschlagpunkt c, wo der "schrkge" Bruch des Modus C in einen "geraden" Bruch des Modus B umschlkgt, bleibt auf der schragen Bruchebene null allerdings uicht mehr konstant, wie man leicht mit dem Rechenprogramm Brukan feststellen kann. Uber die (a2, r21 )-Bruchkurve ohne vorausgesetzte Parameterkopplung lafit sich folgendes aussagen: —

Die den Modus B beschreibende Parabel wird nur von den Parametern nicht aber von und bestimmt; sie bleibt also unbeeinflul3t.

und

—

Die Parameter

—

Der Umschlagpunkt c, der die Crenze zwischen den Modi B und C darstelit, wandert bei

und beeiufiussen den für den Modus C geltenden Kurvenast. Dieser verlauft nach wie vor durch den für die einachsige Quer-Druckbeanspruchung geltenden Punkt 0), aber durch einen verschobenen Umschlagpunkt c.

der groBer ist als der aus der Parameterkopplung folgeride zu (absolut gesehen) niedrigeren Quer-Druckspannungen; ist der niedriger als der gekoppelte Wert, schlkgt der Bruch-Modus bei (absolut gesehen) hoheren QuerDruckspannungen um. einem

Dies "Auswandern" des Umschlagpunktes BAit bei den in Betracht kommenden Werten für nur so geringfügig aus, daB audi die Kurvenkste für den Bruch-Modus C bei realistischen Veranderungen des sich nur unwesentlich von demjenigen für gekoppelte p-Werte unterscheiden, Bud 9.15 auf S. 166. Die Bruchbedingung (9.58) für gekoppelte p-Werte kann noch als sehr gute Naherung benutzt werden, wenn die Kopplung nicht gegeben ist. Auch die Cl. (9.57) für den Bruchwinkel kann als gute Niherung betrachtet werden; im Punkt d ist sie die exakte Losung. Durch einen Korrekturterm kanu die Niherung noch verbessert werden. Naheres wird in [65] ausgeführt.

9.6 9.6.1

Ergebnisdarstellung und -diskussion Beispiele für Zfb-Bruchkorper

Mit der Möglichkeit, gemiB Abschnitt 8.5.3 Spannungen zu Haupt-Normaispannungeri und resultierenden Schubspannungen "zusammenzufassen", kann die Zahi der Spannungen, die zur Angabe eines Zfb-relevanten Spannungszustands erforderlich sind, auf 3 reduziert werden. Durch die Benutzung von a11, a111, und dem Parameter S (Differenzwinkel zwischen den Richtungen von und a11) wird eine Visualisierung in einem dreidimensionalen Spannungsraum müglich. Sogar em Einflufl der faserparallelen Spannung a1 kann

9 Bruchbedingungen der neuen Art

166

P11

RA LI

1 (P 3 "R

V21

Pll

fP

B

RI: PJ.IN)

80 N

mm2

P

=

40 — —

(P "R

0,2

80N/mm2 a2

-160

-120

Bud 9.15: (a2,r21)-Bruchkurve für gegenüber

mit den Faktoren

-80

-40

= o• Selbst bei einer extremen Veranderung von bzw. 3 zeigt sich beim Modus C nur em geringfugiger EinfluI3.

noch durch eine "Schrumpfung" des Bruchkorpers, die einer Mal3stabsanderung gleichkommt, berucksichtigt werden. So ist es grundsatzlich moglich, den nicht visualisierbaren Zfb-Bruchkörper im (ai, a2, cr3, r23, r31, r21)-Spannungsraum durch eine Vielzahl von mit 6 als Parameter darzustellen. Man Bruchkorpern im (ai, a11, a111, konnte sozusagen em "Album" solcher Brnchkorper anlegen. Prinzipiell ist es auch denkbar, em entsprechendes "elektronisches Album" zu erstellen, d.b. sehr viele Daten der Bruchkorper em für allemal vorab zu berechnen und abzuspeichern, um dann spkter bei 6-Werten des einer Bruchanalyse die benotigten Daten entsprechend den a1, a11, a111, Spannungszustands abznrufen. Dann mUl3te man nicht bei jedem zn analysierenden Spannnngszustand anfwendig den Bruchwinkel suchen. Statt dessen ware aber eine InterpolationsProzedur erforderlich. Ob sich deshaib tatsachlich eine lohnende Einsparung an Rechenzeit ergibt, mlli3te noch geklart werden.

Die Bilder 9.16 und 9.17 zeigen zwei Beispiele von Bruchkörpern im (an, a111, Spannungsraum mit S als Parameter, die mit dem Programm Brukan- Visual 3D [78] dargestellt und anscbliefiend grafisch nachbearbeitet wurden. d.h. die Richtungen mit S = Beim Bild 9.16 handelt es sich um den Fall (an, aIIl,

9.6 Ergebnisdarstellung und -diskussion

Bud 9.16: Bruchkorper im

=

= 0, °2

167

ojj;a3 =

6 Bud 9.17: Bruchkorper im r21 wirkt eine Schubspannung r31

)-Spannungsraum. Zusätzlich zu den Spannungen cr2 ojj, c73 r21, w = = 45g. Aus r31 wird =

168

9 Bruchbedingungen der neuen Art

und = o. Em fallen zusammen, oder anders ausgedruckt: von 07j und = solcher Beanspruchungszustalld tritt z.B. bei GFK-Drehrohrfedern auf, und zwar in Form -Spannungszustands [20]. Em Einflui3 von a1 blieb unberucksichtigt. 0,0, eines (ai, Der dem Bild 9.17 zugrundeliegende Spannungszustand unterscheidet sich vom vorherhinzugetreten ist, und zwar ist der Sonderfall gehenden nur dadurch, daB eine Spannung gewahlt worden. Dadurch wird 8 = 45°. Die Richtung der resultierenden SchubT31 = = a2 verlauft also mittig zwischen den Richtungen von spannung = + = so daB eine Symmetrie des Bruchkdrpers bezflglich der Winkelhalbierenden und und der a111-Richtung zu erwarten ist, die sich im Bild auch zeigt. zwischen der

V

(a)

(b)

= 0 und 773 = 0 durch (o-3,u3,r31)-Bruchkdrper. (a) Schnitte durch den Bruchkdrper nach Bud 9.16; angegeben sind die Bruch-Modi A, B, C. Beim Modus A und B ist dec Bruch= 0°, deshaib findet bei den Spannungen und r2i, die beide auf der Bruchebene wirken, eine winkel und r21 haben keine gemeinsame Wirkebene und müssen daher bei Interaktion statt. Die Spannungen = 0° jeweils allein den Bruch bewirken. (b) Bei der Tsai, Wu-Bruchbedingung, die keine physikalische r3s)-Bruchkurve und die (773, r3s)-Bruchkurve nicht. Basis hat, unterscheiden sich die

Bild 9.18: Schnitte

Auffallend an beiden Bildern ist, daB die Bruchkorper "Ecken und Kanten" aufweisen, was man beispielsweise von den ringsherum "glatten" Tsai, Wn-Bruchkörpern nicht kennt. Diese Ecken und Kanten zeigen em "Umschlagen" von einem zu einem anderen Bruchgeschehen an. Dies wird beispielsweise durch Bud 9.18 verdeutlicht, wobei 9.18a zwei Schnitte durch den Bruchkorper von Bild 9.16 zeigt, und zwar die Schnitte a3 = 0 und a2 = 0. Besonders kraB silld die Unterschiede der Bruchkurven im 1. Quadranten. Diese erklären sich

9.6 Ergebnisdarstellung und -diskussion

169

darans, dali cr3 und r21 eine gemeinsame Wirkebene haben und deshaib bei der Brucherzeugung zusammenwirken, cr3 und r31 aber nicht. Nach dem Tsai, Wu-Kriterinm sind die Bruchkurven für (53, v31)-Beanspruchung und (cr3, v31)-Beanspruchung voilkommen gleich, Bud 9.18b. Wenn man nicht llber eine Bruchhypothese verfllgt, bleibt auch nichts anderes llbrig, als cr3 und gleich zu behandein, weil beide c1-Beaaspruchungen darstellea.

Ungewohnt ist auch, dali die Bruchkorper nach Bud 9.16 und 9.17 in Richtung der Spannungszustände cr3 < (I offen sind. Dies bedeutet natllrlich nicht, dali der Werkstoil bei soichen Beanspruchungszustknden unbeschadet beliebig hohe Spannnngen erträgt.

Das benutzte Modell führt aber zu der Aussage, dali keine bruchauslosende (ca, Tnt, Kombination anftritt. In Wirklichkeit sind wegen des — mikromechanisch gesehen —inhomogenen Spannungszustands, Bud 5.4 auf S. 68, ab einer gewissen Beanspruchungshohe gravierende mikromechanische Schadigungen zu erwarten, die z.B. bei Entlastung nach einer nicht zum Bruch fuhrenden Erstbelastung und einer anschliellenden Quer-Zugbeanspruchnng zu einer erniedrigten Quer-Zugfestigkeit führen müssen. Entsprechende Experimente werden z.Zt. entwickelt [79,84]. DM3 für die Visualisierung von Brnchkorpern für (53,

r33, r31, r33 )-Spannungszustande

die Transformation in (Si, cii, ciii, cl)-Spannungszustande vorgenommen wurde, darf nicht in dem Sinne miliverstanden werden, dali eine soiche Transformation auch beim praktischen Rechnen, beispielsweise zur Ermittlung eines Reservefaktors fxe. vorgenommen würde. Für einen normalen Rechenablauf ist em soiches "Umsteigen" in andere Koordinatensysteme nicht ndtig. Die Spannungen werden direkt aus dem r33)-Spannungszustand berechnet und in die Bruchbedingung eingesetzt. (53,53,53, r33, Wenn der Bruchwinkel gefunden ist, wird mit diesem der Reservefaktor fR6. oder berechnet. Aufgrund der Angaben über die auf der Bruchebene wirkenden Spannungen kann auch der vorliegende Brnch-Modus erkannt werden, s. nachsten Abschnitt. mt

Als "Nebenprodukt" der Bruchwinkelsuche erhält man den Verlauf der schnittwinkelabhängigen Anstrengung SJFF(O) über dem Winkel 0, wie z.B. in Bud 8.11 auf S. 128.

Es ist recht erstaunlich, dali nur zwei Bruchbedingungen, eine für a,. 0 und cine für a,. < 0, imstande sind, viele verschiedene Teil-Bruchflkchen des Bruehkorpers im (53,53, r33, r33, v33)-Spannungsraum zu beschreiben. Dies erklart sieb letztendlieh daraus, dali dureb die Bruehwinkelsuehe das (x,., xt)-Aehsenkreuz für jeden Spannungszustand (53,53, r33, r31, i-33) in die Riehtnng der hdehsten sehnittwinkelabhängigen Anstrengung ge-

dreht wird. Dabei zeigt sich in bestimmten Bereichen die Bruehbedingnng als ilauptNormaispannungs-Bedingung, gelegentlich als Bruehbedingung der maximalen Quer/LangsSehubspannung und in den meisten Fallen als "Mixed Mode-Kriterium".

9 Bruchbedingungen der neuen Art

170

9.6 2 *

Unterscheiden verschiedener Bruch-Modi

Bei Gllltigkeit der Bruchhypothese nach Abschnitt 8.2.2 lassen sich Bruch-Modi unterschei-

den. Als Kriterium für diese dient die auf der Bruchebene auftretende Beanspruchungskombination. Zunächst sind zwei grol3ere Gruppen zu unterscheiden, und zwar entsprechend der Fallund diejenige mit > 0 die Gruppe mit unterscheidung < 0 und kann in Kombination Bud 9.19. Jede der beiden auftreten oder in der Dreierkombinamit euler der beiden Schubspannungen 'r11 oder bzw. tion

allein zu einem Bruch in der Der 2. Satz der Bruchbedingung schliel3t aus, dal3 Wirkebene führt. Durch den 3. Satz 1st em Bruch der Wirkebene allein durch eine und y11. Beanspruchung ausgeschlossen und ebenfalls durch eine Kombination von

Bud 9.19: Unterscheidung von Bruch-Modi aufgnind aller moglichen Beanspruchungskombinationen, die und auf einer Bruchebene wirken kdnnen. Die Beanspruchungen und nicht. jeweils allein auf einer Bruchebene auftreten,

(dick ausgezogene Kreise) kdnnen

Damit bleiben die Bruch-Modi A, A*, B und C nach Bud 9.19 ubrig. Die unsystematische Bezeichnung der Modi rührt daher, daB die Modi-Unterscheidung anfanglich nur für den (ai, a2, T21)-Spannungszustand vorgenommen wurde; in Tell I und Tell II wurde hierzu eingehend die Bruchfolgenabschatzung mit Hilfe der Modi A, B und C erörtert. Dabei war es = 0° bzw. 0°) den Modi A und B bzw. C zuzuordnen. moglich, die Bruchwinkel Dies gelingt bei ailgemeinen Spannungszustanden nicht mehr; der ermittelte Bruch-Modus mul3 in Verbindung mit dem errechneten Bruchwinkel im Einzelfall beurteilt werden.

Tell IV

Spezialprobleme, offene Fragen, Zukunftsaussichten

10 Spezialprobleme der Master-B ruchfläche 10.1

Vorbemerkungen

Während es sich bei den in Teil III vorgesteliten Forschungsergebnissen grol3tenteils urn weitgehend gesicherte Erkenntnisse handelte, werden die hier angesprochenen Spezialprobleme

in der Forschung teilweise noch kontrovers diskutiert [79]. Sie werden voraussichtlich für die praktische Anwendung der neuen Bruchbedingungen keine grol3e Rolle spielen, sie sind deshaib vor allern für diejenigen Leser von Bedeutung, die sich an der Weiterentwicklung der neuen Modelle beteiligen oder sich zurnindest einen tieferen Einblick verschaffen wollen. Dabei wird sich erneut zeigen, wie hilfreich für das Verständnis mancher Phhnomene eine weitgehende Visualisierung sein kann.

10.2

Der Vektorenfächer und seine Randkurve

wird hier vorausgesetzt, T31, Für einen Spannungszustandsvektor irn (a2, a3, daB er unter Beibehaltung seiner Richtung aus dem Koordinatenursprung herauswhchst, bis er rnit seiner Spitze die Bruchfläche beruhrt. Die Bahn der Vektorspitze, der sog. "Lastpfad" ist also em im Koordinaten-Nullpunkt entspringender Strahl. stelit Auch die zum Bruch fflhrende Spannungskornbination im (an, Tnt, Tni)-Raum einen von "null" bis zur Beruhrung mit der Master-Bruchfläche anbestimrnte Richwachsenden Spannungsvektor dar, aber seine durch den Bruchwinkel tung ist nicht von vornherein bekannt. Urn diese zu findell, rnuB der ganze denkbare Winkelbereich —90° < 9 < +900, in dern Oj auftreten kann, nach dernjenigen Vektor abgesucht werden, der rnit dern kleinsten Streckungsfaktor verlängert werden muB, darnit er die Master-Bruchflhche berührt. In diesem 180°-Winkelbereich gibt es unendlich viele Vektoren von denen irn aligemeinen jeder in eine andere Richtung aus dem Ko{an(9), ordinatenursprung herauswkchst, denn die Komponenten an(O), Tnt(0), Tni(O) hhngen über zusammen, Gl. (8.1). verschiedene Winkelfunktionen mit den Spannungen a2, a3, T23, mi, Alle in dem Winkelbereich —90° < 9 < +90° auftretenden Spannungsvektoren, die einen

174

10 Spezialprobleme der Master-Bruchfläche

festen Spannungszustand (a2, a3, torenfacher" im (an,

r31, r21) repräsentieren,

bilden zusammen einen "Vek-

Bud 10.1: Mohrscher Spannungskreis zur Ermittlung der Spannung a und r auf einem schragen Schmitt unter dem Winkel 0, ausgehend von den beiden Haupt-Normaispannungen und CrIH

Dessen Visualisierung

gelingt am ehesten, wenn man den

(a2, a3, 'r23, T31,

Spannungszustand, wie in Abschnitt 8.5.3 beschrieben, durch die beiden HauptNormaispannungen der transversal-isotropen Ebene a111 (aus a2, a3, und die resultierende Schubspannung (aus T31 und Thi) ausdrückt. Da = 0 ist, lassen sich die Transformationsformein fur und mit Hilfe der bei Gi. (8.1) angegebenen Additionstheoreme stark vereinfachen. Wenn T23 0 ist, fallen die Richtungen von a2 und a11 nicht zusammen; sie unterscheiden sich durch den Winkel nach Gi. (8.14) voneinander. Deshalb wird, wenn man von den Ebenen ausgeht, auf denen a11 bzw. a111 wirkt, nicht mehr der Winkel 0 zwischen der x2-Achse und der sondern der Winkel e zwischeri der x11-Achse und der benutzt. Zum Auffinden des Bruchwinkels wird nun auch nicht mehr der Winkelbereich —90° < 0 < +90°, sondern der Winkelbereich

10.2 Der Vektorenfächer und seine Randkurve

175

0 <+900 abgesucht, was zurn gleichen Ergebnis fllhrt, denn es wird in jedern Fall die Schnittebene mit dern höchsten S(8)-Wert gefunden. Die so vereinfachten Beziehungen für a,. und 'mt lauten: —90°

=

+ aj,i) +

=

a,11)

a") cos20, sin 20.

(10.1) (10.2)

(0) mit Hilfe des sogenannten MohrSie ermoglichen die Bestimmung von a,.(0) und schen Spannungskreises, Bud 10.1. Er hat semen Mittelpunkt auf der a-Achse und schneidet GemhB (10.1) und (10.2) hat em Punkt P die Koordidiese an den Stellen a11 und wenn man in geeigneter Weise am Mohrschen Kreis einen Winkel naten a,.(0) und 20 abtragt, Bud 10.lb. Den Punkt P mit semen — auch mit dem korrekten Vorzeichen verauf der Ordinate findet man, sehenen — Koordinaten a,.(0) auf der Abszisse und indem man einen Radius des Kreises im mathernatisch negativen Drehsinn (wegen des ne-

gativen Vorzeichens von T,.t(O)) urn einen Winkel 20 aus der a,,-Richtung herausdreht. > a111 zeigt, so daB sich für Der Winkel 20 zählt von der Richtung aus, die nach der Winkel 20 an der Stelle nach Bild 10.lc (links), für a11 < a111 aber an der Stelle gemaB Bud 10.lc (rechts) findet. Am Werkstoffelernent, Bud lOla, gelangt man durch cine mathernatisch positive Drehung urn 90° von der Wirkebene der Spannung a11 in die Wirkebene der Spannung a111; irn Mohrschen Kreis gehort eine irn rnathematisch negativen Sinne ausgefllhrte Drehung urn 180° dazu, urn von a11 nach a111 zu gelangen.

Tnt

-15°

an

0=150

Bud 10.2: Ebener Vektorenfächer für

einen

(a2, a3, i-23)-Spannungszustand. Jeder Punkt des Mohrschell Spannungskreises wird von der Spitze eines Spannungsvektors beruhrt.

176

10 Spezialprobleme der Master-Bruchflache

Wenn bei einem festgehaltenen ebenen Spannungszustand {a2, a3, r23} (gleichbedeutend mit {aii, a111 0}) die Spannungen auf alien Schnittebenen unter Winkein —90° < e +90° betrachtet werden, wird jeder Punkt P des Mohrschen Kreises von der Spitze eines Vektors berllhrt, dessen Ful3punkt der Koordinaten-Nullpunkt ist. Bei = =0

(d.h. auch = 0) ist der Vektorenfkcher, von dessen geometrischer Gestalt man eine Vorstellung gewinnen mochte, demnach eine ebene Figur, Bud 10.2 auf S. 175. Sein Rand ist der Mohrsche Spannungskreis. Das Bud dndert sich, wenn zusktzlich eine Schubspannung wirkt. Nnn tritt zn den bereits vorhandenen Vektorkomponenten am(e) und Tmt(e) als dritte Komponente Tmi(e) hinzu. Am realen Werkstoffelement wirkt die Schnbspannung in einer Richtung, die senkrecht anf der aus am(e) und gebildeten Ebene steht, s. Bud 4.3 auf S. 50. Genan die gleiche Situntion kann man bei der Visualisierung der drei Spannungen erzeugen, wenn man senkrecht llber der Zeichenebene des Mohrschen Kreises anftragt. Wenn für das Auftragen von der gleiche Spannungsmal3stab gewkhlt wird wie für den Mohrschen Spannungskreis, bildet der Spannungsvektor {am(e), Tmt(e), Tmi(e)} die Spannungen des Werkstoffelements, die auf der zur xm-Richtung senkrechten Schnittebene wirken, natnrgetreu ab. (Weil am realen Werkstoffelement die 3 Spannungen ar,, mt, eine gemeinsame Wirkebene haben, kann man auch sie zu einer schrag anf der Wirkebene stehenden resultierenden Spannung {a} zusammenfassen, s. Bud 4.3.) Nur in Ausnahmefallen wirken die Hnupt-Normalspannung a11 nnd die resnltierende Schubspannung auf der gleichen Schnittebene. Das ware nur der Fall, wenn die Winkel y nnd w nach Gi. (8.14) bzw. Gl. (8.17) gleich wkren. Meistens tritt eine Winkeldifferenz

auf. In einer Schnittebene, die um einen Winkel e gegenllber der Wirkebene von a11 gedreht ist, wirkt im aligemeinen Fall neben den Spnnnungen am(e) und nnch den Gln. (10.1) nnd (10.2) anch noch die Schubspannung Tmi(e). Sie errechnet sich ans Tmi(e) =

6)

=

+

6).

(10.4)

Diese einfache Transformation ergibt sich, weil in der gegenllber der um 90° gedrehten Richtung die Schnbspannung = 0 ist, s. Bud 8.14 anf 5. 133. Wenn man bei der Bruchwinkelsuche den Winkel e von —90° his +90° laufen laiR, stellt sich gemal3 Gl. (10.4) die Schubspannnng Tmi(e) als em 180°-Abschnitt einer Gosinus-Kurve mit der Amplitude = dar. Diese Gosinus-Halbweile wird senkrecht uber dem Mobrschen Spannungskreis anfgetrngen. Zu einer Drehung der Schnittebene von e = 0° his +90° gehort im Mohrschen Spannnngskreis eine Drehung um 180° im mathematisch negativen Sinn, und zn einer realen Drehung von e = 0° his —90° am Mohrschen Kreis eine Drehnng um 180° im mathematisch positiven Sinn. Die Gosinns-Halbwelle erstreckt sich

177

10.2 Der Vektorenfacher und seine Randkurve

also llber4en ganzen TJmfang des Mohrschen Kreises; man kann sich zur Veranschaulichung vorstellen, dali em 1800 -Abschnitt einer Cosinuskurve auf die Mantelfläche eines Zylinders aufgewickelt 1st, der llber dem Mohrschen Kreis errichtet wird. znsammenfallen, d.h. 6 = 00 1st, hat die CosinnsWenn die Richtungen von a11 und

Kurve ihren Extremwert an der Stelle, an der Cii auftritt. Falls zwischen x11 und eine Winkeldifferenz 6 existiert, zeigt die Cosinus-Welle llber dem Mohrschen Kreis eine "Phasenverschiehung" um 26, Bud 10.3. (Wenn hei der Bruchwinkelsuche e von —90° an der Stelle his +90° lauft, wechselt die Cosinus-Halbwelle, d.h. die Schubspannung a111 ihr Vorzeichen. Dies hat aber keinen Einfluli auf die Bruchgefahr. Man konnte die immer positiv.) —6) <90° ansfllhren; dann bleibt Bruchwinkelsuche auch mit —90° <

XII

x2

2e Bud 10.3: Berandnngskurve eines raumlichen Vektorenfachers for einen (a2, a3, c23 zustand

y21)-Spannungs-

Jeder Punkt der auf den "Mohrschen Zylinder" aufgewickelten Cosinus-Halbwelle wird berllhrt. Sobald elne Schubvon der Spitze eines Spannungsvektors auftritt, 1st demznfolge der Vektorenfacher keine ebene Figur mehr, sondern spannung eine raumliche Flhche. Der Rand des Vektorenfkchers 1st die auf einen Kreiszylinder "aufgewickelte" 180° -Cosinus-Linie. Bud 10.4 zeigt Vektorenfkcher für den wichtigen Sonderfall

der ebenen (a2, r21)-Beanspruchnng, und zwar für a3 <0 und a2 > 0. Die gewonnene Vorstellung von der Randkurve des Vektorenfachers im (an, Raum ist die Voraussetzung für das Verstehen der Probleme der folgenden Abschnitte.

178

10 Spezialprobleme der Master-Bruchflache

Bud 10.4: Raumlicher Vektorenfacher für kombinierte (a2, r21)-Beanspruchungen (b) für a2 > 0

10.3

(a) für a2 < 0 und

Sensitivität des Bruchwinkels

Aus den vorausgegangenen Betrachtungen ergeben sich einige wichtige Schlul3folgerungen. Es hat sich gezeigt, dal3 die Berandung des zu einem bruchauslösenden (a1, a2, a3, m3, m1, Spannungszustand gehörenden Vektorenfhchers, die von innen her an einer Stelle die Master-

Bruchfläche berllhrt, eine "sanft geschwungene" rhumliche Kurve ist. Man kann sich Situationen vorstellen, in denen das Stuck der Cosinus-Halbwelle, auf dem der Berllhrungspunkt mit der Master-Bruchfläche zu finden ist, sich nahezu an die Master-Bruchflache anschmiegt. Kleine Veranderungen der Form der Master-Bruchflache würden in einem soichen Fall den Beruhrungspunkt merklich verschieben. Dies bedeutet, daB abhangig von der gewahlten Bruchbedingung und ihren Parametern — für einige Spannungszusthnde eine relativ hohe Sensitivitkt des Bruchwinkels ,, gegenuber der Gestalt der Master-Bruchflhche auftreten kann. Viel weniger empfindlich werden die für den Bruchzustand errechneten Spannungen auf kleine Veränderungen der Form der Master-Bruchflkche reagieren.

10.4

"Blinde Flecken" und "tote Räume"

Man kann sich sehr gut vorstellen, daB es an der Kuppel der Master-Bruchflkche für 0 ausgebuchtete" Bereiche gibt, die starker gekrummt sind als die Randkurven der Vekto-

10.4 "Blinde Flecken" und "tote Raume"

179

renfächer, die in diesem Bereich auftreten, so daB die Cosinus-Halbwellen bestimmte Teile der Master-Bruchfläche nicht berffhren können, weil der Kontakt vorher an anderer Stelle erfolgt. Rechenbeispiele mit Parametern für GFK bzw. CFK haben gezeigt, daB in einigen Oberflachenpartien der Master-Bruchflache keine Beruhrpunkte, d.h. keine Bruchzustände auftreten. Diese unberührbaren Gebiete oder sogenannten "blinden Flecken" auf der Master0 gültigen Kuppel. Bruchflhche befinden sich groBtenteils auf der für Zum gleichen Ergebnis gelangt Jeltsch-Fricker [55] folgendermaBen: Wenn eine MasterBruchflhche mathematisch formuliert wurde, z.B. durch die Angabe der Bruchbedingungen 0, kann damit der Bruchkörper im (52,53, T23, (9.23) für < 0 und (9.32) für Raum berechnet werden. Wird dieser nun (z.B. in Form einer unendlich groBen Menge von zurllckllbertragen, Cosinus-Halbwellen über Mohrschen Kreisen) in den (an, zeigt es sich, daB die Fläche, die alle moglichen Vektorenfacher einhBllt, stellenweise kleiner sein kann als die Master-Bruchflhche, von der ausgegangen wurde. Zwischen beiden entsteht örtlich "toter Raum". Dieser Sachverhalt läl3t sich am ehesten am ebenen Sonderfall demonstrieren [85].

Tnt

0111

"Toter Bereich"

(a)

(b)

Bud 10.5: Zfb-Bruchkurven für eine ebene Beauspruchung in der transversal-isotropen (r2, x3)-Ebene. (b) (afl, afli)(a) (a,,, r,a)-Bruchkurve mit Grenzkreis LC (Limiting Circle) und "totem Bereich"; Bruchkurve; S (Shear) bedeutet Schubbruch, T (Tension) Zugbruch.

= 0 darIn Bud 10.5 ist unter (a) der Schnitt durch die Master-Bruchfiäche bei r23)Mit dieser kann die Bruchfläche im (52,53, gesteilt, d.h. die Raum berechnet werden, die aber durch den Ubergang auf den zu (52,53, v23) gehoren-

180

10 Spezialprobleme der Master-Bruehflache

den Haupt-Normalspannungzustand cliii, 0) auch als ciii, auii-Bruehkurve dargestelit werden kann, Bud 1O.5b. Wenn man die durch diese Bruehkurve umschlossenen, nicht zum Bruch ftihrenden Spannungszustande in das Bud 10.5a rllekObertrhgt, fllhlt sieh die von der Master-Bruchkurve umgebene Flhche mit Mohrschen Spannungskreisen (Cosinus-Halbweilen mit Amplitude "null"), mit Ausnahme des sehraffierten "toten" Bereiehs [85]. Falls man die (an, so korrigieren wllrde, daB dieser tote Bereich versehwindet, wllrde dies an der sich errechnenden (aiI, auii)-Bruchkurve niehts Ondern. Diese am "ebenen" Beispiel gezeigten Zusammenhhnge kOnnen auch in den (an, Obertragen werden. Jeltsch-Frielcer [55] definiert als "Totraum" das Volumen des Master-Bruchkorpers, das man entfernen kann, ohne daB sich damit am Bruchkorper im (52,53, r23, r31, r21)-Ranm irgend etwas hndert. Wenn Totrhume auch keinen EinfluB auf die Brueh-Spannungszusthnde haben, so beeinfiussen sie doch die errechnete Bruchgefahr 5(0) fore Die Form der Kurve "Bruchgefahr llber dem Winkel 0", die evtl. für probabilistische Auswertungen herangezogen werden soil, fdllt mit eiuem Totraum weniger "vollig" aus als ohne Totraum [55]. Wenn man durch mathematisehe Modifikation der Bruchbedingung dafOr sorgen wllrde, daB kein Totranm mehr auftritt, wurde man Oberail in Abhhngigkeit von 0 die hOchstmOgliche Bruchgefahr errechnen. Ob man damit jedoch der Wirkhchkeit nhher kommt als bei Existenz des Totraumes, ist schwer zu sagen. Die zur Klhrung dieser Frage erforderhchen experimentellen Untersuehungen sind deshaib so sehwierig, weii man immer nur Brllehe (bei = 1) erzengen, aber keine Anstrengungen 5(0) <1 messen kann.

Tnt

Bud 10.6: Alternativer (an,

an dem kein "Totraum" auftreten kann.

10.5 Vorflberlegungen zu Fragen der Probabilistik

181

Mit Bud 10.6 wird demonstriert, weiche Auswirkungen die Wegnahme des Totraums hat. Es ist em Master-Bruchkorper gezeigt, der keinen Totraum hat. In der bildet der Grenzkreis LC zwischen den Punkten S und T (vgl. Bud 10.5) die Bruchkurve. Tm Punkt S schliel3t an den Grenzkreis, (LC), bei dem sowohi Schubbruch (S) als auch Zugbruch

(T) erfolgen kann, die parabolische "Hllhlkurve" mit gleicher Steigung an. Den endgilltigen Master-Bruchkorper kann man sich nun in zwei Schritten erzeugt denken. Tm ersten Schritt laBt man die aus Grenzkreis und Parabel bestehende Bruchkurve iim die rotierell. Der dadurch erzeugte Körper aus Kugelkalotte und anschlief3endem Rotationsparaboloid wird in einem zweiten Schritt in Richtung der so "verstreckt" dali die Oberflhche die bei RI[j schneidet. Damit ist em Korper entstanden, dessen Oberflache firgends eine Unstetigkeit aufweist. Die Fallunterscheidung ware nicht mehr an der Stelle vorzunehmen. Rechts von dieser Stelle sind alle Schnitte = 0, sondern an der Stelle = const. Grenz-Kreise, nicht nur in der (ofl,,, bei = 0. Es gibt also keine unberührbaren Gebiete. Dort wo die Master-Bruchflhche aus Grenzkreisen gebildet wird, kann der Bruchwinkel jeden Wert zwischen 00 beim Zugbruch und dem zum Berllhrpunkt S (Bud 10.5) gehörenden Bruchwinkel annehmen. Dies steht im Widerspruch zum 3. Satz der Bruchhypothese. (Bei dem gezeigten Bruchkhrper gilt die llbliche Kopplung der p-Parameter = und (p/R) = const. und es ist =

10.5

Voruberlegungen zu Fragen der Probabilistik

Aus Grdnden der Probabilistik können die Ecken und Kanten der Bruchkörper in Wirklichkeit nicht so scharf ausfallen, wie sie in den Bildern 9.16 und 9.17 erscheinen. Dies kann man sich besonders leicht durch den Vergleich der einachsigen Zugbeanspruchung mit dem sogenannten isotropen Zug-Spannungszustand = = a > 0 vergegenwartigen. Tm letztgenannten Fall ist a und damit auch die Bruchgefahr in jeder Richtung 0 gleich groll. Fehlstellen in Form von Hdrtungsrissen, "flachgedrflckten" Luftblasen und unverbundenen Partien der Faser/Matrix-Grenzflkche haben einen "Richtungssinn". Bei (a2 = a3)-Beanspruchung kann jede in irgendeiner Richtung 0 verlaufende gravierende Fehlstelle bruchauslösend wirken, wkhrend bei einachsiger a2-Beanspruchung eine entsprechende Fehlstelle nur dann bruchwirksam wird, wenn sie ungefahr in der Richtung 0 = 00 orientiert ist. Die Wahrscheinlichkeit eines Bruches bei isotroper Quer-Zugbeanspruchung mull demnach hhher sein als bei einachsiger Quer-Zugbeanspruchung. Deshalb ist zu erwarten, dali der Mittelwert der Bruchspannung niedriger 1st als helm einachsigen Zug. Da man von der Bruchwinkelsiiche her den Verlauf der schnittwinkelabhäiigigen Anstrengung oder Bruchgefahr S(0) über dem Winkel 0 kennt, erscheint es moglich, das Modell auch für statistische Vorhersagen zu benutzen.

182

10 Spezialprobleme der Master-Bruehflache

gesucht, indem eine VielBeim Rechenprograrnm Brukan [77] wird der Bruchwinkel zahi von Werten E(O) im Bereich —90° < 0 +90° berechnet und miteinander verglichen werden. Es liegt deshaib nahe, sich einen ersten Einblick in die angesprochenen Fragen zu verschaffen, indem man Flhcheninhalte unter der E(O)-Kurve aufsummiert, dabei aber nur den Anteil von E(0) berticksichtigt, der einen gewahiten "Schwellenwert" (threshold) von z.B. = 0, 5 tiberschreitet. Je grdfler der berechnete Flacheninhalt, urn so grader dflrfte die Wahrscheinlichkeit sein, dad eine gravierende Fehistelle einen "vorzeitigen" Bruch ausldst. So erwartet man z.B. auch bei einachsiger Qner-Druckbeanspruchung, bei dem sowohi der —50° auftreten kann, eine etwas 50° als auch der Bruchwinkel Brnchwinkel , hdhere Wahrscheinlichkeit der Bruchausldsung als beim einachsigen Qner-Zugversuch, bei = 0° erfolgen kann. dem der Bruch nur bei Ba nhher bei E(O) = 1 liegende Flachenelemente hdher zu hewerten sind als soiche, die in der Nahe des Schwellenwertes liegen, solite man eigentlich nicht die Fiacheninhalte, sondern ihre statischen Momente (Flache x Ahstand des Schwerpunkts vom Schwellenwert) vergleichen. So \vird beim Bild 10.7 verfahren [86].

t

0 0 0

45°

90°

Bud 10.7: Zur Berechnung des "statischen Moments" der Flache oberhaib eines Sehwellenwerts der schnittwinkelabhangigen Anstrengung 5(9) am Beispiel des corn Grenzkreis nach Bud 10.5 gehdrenden (a11, a111 )-Spannnngsznstands

Ausgegangen wird von einer Kurve 8(0), —90° < 9 < 90°, die heim Bruchwinkel = 1 aufweist. Als Schwellenwert, ab dein 8(9) als relevant für ciden Wert ,, ne Brnchausldsung durch Fehistellen angesehen wird, ist S(O)jhr = 0, 5 gewhhlt worden.

10.5 Vorflberlegungen Zn Fragen der Probabilistik

183

Das "statische Moment" der Flache oberhaib dieses Schwellenwertes, bezogen auf die Linie = 0,5, ist:

5(0)

(5(0)

=

(10.5)

zu schaffen, wertet man die 5(0)-IKurve für einachsige Quer-

Um einen Bezugswert

Zugbeanspruchung gemal3 Gi. (10.5) aus. Mit den Bezeichnungen S für den zu beurteilenden Spannungzustand und 5* für die einachsige Quer-Zugbeanspruchung sowie 5** für die isotrope zweiachsige Zugbeanspruchung wird dann folgender Ansatz gemacht:

[i

=

.

(10.6)

Hierin sind: {

die

Gro0e des "probabilistisch" reduzierten Bruchspannuagszustands-Vektors

für einen beliebig gewahlten(ai, a2, a3, 'r23'r31, r23)-Spannungszustand, {a}mos die Grol3e des mit dem Bruch-Modell ermittelten Bruchvektors, 5**

das statische Moment nach Gi. (10.5) für einachsige Zugspannunga2, das statische Moment nach Gi. (10.5) für den Spannungszustanda2 = alle anderen Spannungen "null", die relative Abweichung zwischen Versuchsergebnissen und Modell bei zweiachsiger Zugbeanspruchunga3 = a3.

a3,

Für die bier durchgeführte Beispielrechnung wurde als aus Versuchen bekannt angenommen,

daB bei zweiachsiger Zugbeanspruchung mit a2 = a3 die reale Festigkeit um 20% gegenüber dem mit der Bruchbedingung errechneten theoretischen Wert reduziert ist, wbhrend bei emachsiger a3-Beanspruchung das Modell durch den Parameter an die Versuchsergebnisse angepasst ist. Damit ergibt sich in Gl. (10.6) der Wert L1 = 0,2. Nach dieser "Kalibrierung" kann nun die Reduzierung der mit dem Modell berechnetea Bruchspaanungen für jeden beliebigen Spaanungszustand gemhfi Gl. (10.6) vorgenommen werden. Jeder Spannungszustand, dessen S(0)-Verteilung "volliger" ist als diejenige für einachsige a3-Beanspruchung, d.h. für den S > ist, erfbhrt somit eine Reduzierung der theoretischen Festigkeit. Auf diese Weise und mit den angenommenen Werten sind die (a2, a3)- und die (a3, r33)Bruchkurve nach Bild 10.8 berechaet worden, bei denea nun "gerundete Ecken" auftreten.

184

10 Spezialprobleme der Master-Bruchflache

.1DDO3

t21

-. tScEtO3

(a)

(b)

Bud 10.8: (a2,a3)-Bruchkurve (a) und (a3,r21)-Bruchkurve (b) mit durch Gi. (10.6) "gerundeten Ecken"

10.6

Versuch einer Beurteilung

Im folgenden wird versucht, die Ergebnisse der Abschnitte 10.3 his 10.5 kritisch zu bewerten. In der Frage der Sensitivitat des Bruchwinkels, die sich aufgrund der Modelivorstellung von der Master-Bruchfldche und der Berandung des Vektorenfachers in Form eioer rkumlichen Cosinus-Halbwelle ergab, kann man annehmen, dad es auch in der Wirklichkeit be-

stimmte Spannungszustknde gibt, bei denen der Bruchwinkel sehr empflndlich auf kleine Unregelmadigkeiten am realen Verbundstoff reagiert. Wenn soiche Bereiche erkannt werden kdnnen, wird man diese tunlichst für die experimentelle Verifikation der Modelle meiden. Zur Problematik der "blinden Flecken" oder 'toten Rhume" ist zunachst zu bemerken, dasselbe Phanomen angesprochen dad mit den beiden verschiedenen Bezeichnungen em wird, namlich die Unberuhrbarkeit bestimmter Teile der Master-Bruchflache durch CosinusHalbwelien oder — anders ausgedruckt — das Auftreten von "Hohiraum" zwischen der MasterBruchfldche und dem dnrch die Menge aller ohne Bruch ertragharen Spannungszustdnde gebildeten "Bruch" -Kdrper. Es stelit sich nun die Frage, oh diese Erscheinungen eine Entsprechung in der Realitat besitzen oder oh man danach trachten soilte, die Toträume an der Master-Bruchfikche durch entsprechende mathematische Modifikation der Bruebbedingungen zu beseitigen [79,85]. Diese Frage kann definitiv nur durch Experimente geklart werden. Aus der Sicht des Autors hesteht aber — his zum Beweis des Gegenteils — der Totraum an der Master-Bruchfldche zu

10.6 Versuch einer Beurteilung

185

Recht. Der Totraum zwingt den Bruchwinkel bei kleinen Veranderungen bestimmter Spannungsznstande zu "springen", statt sich kontinuierlich mit dem Spannungszustand zu andern. Das wird besonders bei dem schon mehrfach diskutierten Spannungszustand deutlich, der durch den Grenzkreis reprksentiert wird, vgl. Bilder 10.5 auf S. 179 und 10.7 auf S. 182. so modifizieren, dali der Grenzkreis znr Bruchkurve WOrde man die (an, wird, ware bei dem zngehorigen (cii, a1n/-Spannungszustand jeder Brnchwinkel moglich, was aber gegen den 3.Satz der Bruchhypothese verstollen wdrde. Deshaib wird man wohl nur dann an die Wegnahme des Totraums denken mflssen, wenn die Experimente wider Erwarten keine Hanfung der Bruchwinkelergebnisse bei 0° und etwa 50° zeigen soliten. Es sei nochmals daran erinnert, dali Totraum keinen Einflull auf die errechneten Spannnngen beim Bruch nimmt, wohi aber auf den Verlauf der schnittwinkelabhangigen Anstrengung 8(9) llber dem Winkel 6, wie beispielsweise aus Bud 10.7 auf S. 182. hervorgeht. Leider lassen sich Anstrengnngen 8(6) < 1 nicht experimentell nachweisen, so dali für die hier angesprochenen Bereiche wohi auf Dauer einige Ungewiliheiten hingenommen werden mOssen.

= 60 N/mm2; = fllhren dazu, = 0,189) = = = dali sich zwischen den beiden Maxima der schnittwinkelabhangigen Anstrengnng 8(6) bei

Die dem Bud 10.7 zugrundeliegenden Parameter

80N/mm2;RY) =

180

+500 und = +90° nur em ganz flacher Abfall zu einem lokalen Minimum ansbildet. Der Unterschied der "Anstrengnngsknrve" 8(9) Ober 0 gegendber derjenigen, die entstehen

wdrde, wenn man den toten Bereich entfernt, indem man den Grenzkreis znr Bruchknrve macht (die Bruchgefahr zwischen den Maxima bliebe dann konstant bei "1") ist in diesem Fall, wie ans Bild 10.7 ersichtlich, sehr gering. Die im Abschnitt 10.5 angestellten Betrachtungen zu Fragen der Probabilistik sind nur als Nebenprodukt der Bruchwinkelsuche zn betrachten, durch die man sozusagen "gratis" em einige Anhaltspnnkte bekommt. Für eine solide Bearbeitnng der probabilistischen Fragen sollten "professionellere" Methoden angewandt werden, wie sie z.B. in [75] angesprochen werden.

11 Offene Fragen 11.1

Anwendbarkeit für verschiedene Beanspruchungsarten

Eine weitverbreitete irrige Meinung 1st die, dali Bruchbedingungen — wie auch die her vorgesteliten — nur auf monoton von "null" his zum Bruch gesteigerte (sogenannte "zugige")

Beanspruchnng angewandt werden dtirfteu. Wahrscheinlich rührt dieser Irrtum daher, daB die meisten Versuche zur Verifikation von Bruchbedingnngen aus Grllnden der Einfachheit sowie der Kosten- und Zeitersparnis mit kurzzeitiger, ztigiger Belastnng his znm Bruch durchgefllhrt werden. Bruchbedingungen werden aber selten ausschlieBuich für nur eine Beanspruchnngsart konzipiert, die Arbeit [57] dllrfte in dieser Beziehung eine Ansnahme darstellen. Bei den hisher gdngigen Brnchbedingungen wnrde nie der Anspruch erhoben, daB sie physikalisch begründet selen, sonderu sie soliten nur dazu dienen, em Interpolationspolynom durch einige experimentell ermittelte Stützpunkte zu legen. Dabei spielt die Beanspruchungsart keine Rolle. Selbstverstandlich konnen die Versuchspnnkte auch aus Versuchen mit langzeitiger ruhender oder schwingender Beanspruchung stammen [25,87]. Anders verhält es sich mit den in Kapitel 5 und 9 vorgesteliten Bruchbedingungen. Sie basieren im wesentlichen auf der Mohrschen Festigkeitshypothese und es stellt sich somit die Frage, ob diese für alle Beansprnchnngsarten gleichermalien gilt. Es 1st kanm zu erwarten, dali sich das Bruchverhalten der hier betrachteten sprod-brechenden Faserverbnndstoffe mit der Beanspruchungsart gravierend andert. Folglich bestehen auch keine Bedenken dagegen, die entsprechenden Bruchbedingnngen nicht nur bel monoton gesteigerter Beansprnchung, sondern anch bel rnhender (statischer) uud schwingender Langzeitbeanspruchung anzuwenden. Selbst wenn die physikalische Begründung in diesen Fallen noch angezweifelt werden kann, znm "curve fitting" eignen sich die angegebenen Formuliernngen allemal recht gnt. Vor allem sind sie mnsofern "werkstoffgerecht", als sic Zfb und Fb unterscheiden, was für alle Beanspruchnngsarten richtig 1st. Allerdings 1st bel schwingender Beansprnchnng zn erwarten, daB em

Zfb in

einer Schicht den Fb in Nachbarschichten viel starker durch Kerbwirkung stimuliert als bei zügiger nnd rnhender Beanspruchung. Die neuen physikalisch fnndierten Bruchbedingungen sind anch insofern angenehm, als man dnrch sic nicht zu einer anfwendigen Bestimmung von Festigkeitsparametern gezwnn-

188

11 Offenc Fragen

gen wird, die zwar zum curve fitting in die Bruchfunktion aufgenommen wurden, dort aher — physikalisch gesehen — überhaupt nicht hingehoren. Em Beispiel hicrfür wird in der Arbeit [25] beschrieben, in der flber Erfahrungen mit Bruchbedingungen bei schwellender Beansprnchung berichtet wird. Will man die Festigkeit einer IJD-Schicht bei schwingender Beanspruchung berechnen, braucht man bei den neuen Bruchbedingnngen eine WohlerKurve für und eine Wöhler-Kurve fir r1jp-Beanspruchung. Bei Anwendung der Thai, 14/u- Brnchbedingung benotigt man aber zusdtzlich noch die Kurve, obwohl keinen Einfiuf3 auf den Schwingbruch unter kombinierter (ar, r.uu)Bcanspruchung hat.

Der wohl schwerwiegendste Mangel der vorgestellten "elementaren" Bruchanalyse ist der, dad sic die von Zfb-Risscn auf Nachbarschichtcn ausgeübtc Kcrbwirkung nicht crfaf3t. Glücklicherweise wird diese durch die an der Ril3spitzc bci hoher Belastung bzw. grofier Schwingspiclzahl auftrctcndc Delamination etwas gcmildcrt. Trotzdem solltc sic insbcsondere bei schwiogcndcr Beanspruchung — in ihrcr Auswirkung auf crr-bcanspruchte Schichten mdglichst nicht vollstandig nnbcrücksichtigt blciben. Weun die schichtcnwcise Analyse bcispiclswcise zeigt, dad clue Schicht (z.B. cinc O°-Schicht), die für die Tragfühigkeit clues Laminats clue cntschcidcndc Bcdcutuug hat, mit zwci nicht ganz dünncn Nachbarschichtcn (z.B. 90°-Schichten) in Bcrührung stcht, in dencn massive RiBhildung vom Modus A auftritt, danu 1st cs sicher nicht richtig, bci der "Lcbcnsdaucr-Bcrcchnung" für das Laminat hci der d°-Schicht mit Wcrtcn aus ciner zu rcchncn, die an cincm uugckcrbten UD-Probckorpcr crmittclt wurde. Falls aber nur clue solchc vorlicgt, solltc man dcrcu Werte für die Anwcndung auf clue Schicht im Laminat, die von ihrcn Nachharschichtcn angckcrbt wird, mit ciucm gcschatztcn Faktor < 1 crnicdrigcn. Jc nach Schwcrc dcr Ankcrbung konntc cm solchcr Faktor etwa ü,8 his d,5 scm. So würdc die Kcrbwirkung jedenfalls nkherungswcisc bcrücksichtigt. Für das Schdtzcn clues solchcn Abmindcrungsfaktors 1st cs natürlich günstig, die Ergcbuissc cincr rcalistischcn Zfb-Rcchnung für die Nachbarschichtcn mit den augcgcbcncn Bruch-Modi und IJbcrschrcitungsgradcn IJIFF> 1 nutzcn zu konncn.

Trotz allcr Fortschrittc in der schichtcuwciscn Bruchanalyse von Laminatcn wird von Schwingfcstigkcits-Expcrtcn und Bruchmcchanikcrn viclfach — z.B. in [88] — die Ansicht vcrtrctcn, dad die schichtcnwcisc Bruchanalysc dcr Laminate für die Bchandlung schwiugcndcr

Bcauspruchungcu nicht anwcndbar sd. Zwcifcllos 1st cs hcutc noch nicht mdglich — nicht cinmal für cincn simplcn Einstufcuvcrsuch — die zu crwartcndc Bruch-Schwingspiclzahl clues Laminats mit bcfricdigcndcr Gcnauigkcit mit Hilfc cincr schichtcnwciscn Bruchanalyse vorhcrzubcrcchncn. Darauf kommt cs abcr auch nicht in crstcr Linic an. Am wichtigstcn 1st cs dad man bcim Entwurf clues Laminats für schwingcndc Bcanspruchung mit Hilfe dcr schichtcnwciscn Bruchanalysc crkcnnt, wclchc Schichtcn bcsondcrs kcrb- und damit crmüdungsgcfahrdct sind, damit man durch "IJmschichtung" odcr Fascrrichtungsdndcrungcn

11.1 Anwendbarkeit fur verschiedene Beanspruchungsarten

189

und moglicherweise Einbau von RiEstopperschichten" schon beirn Entwurf alles Erdenkliche tun kann, urn em rnöglichst schwingfestes Larninat Zn erzielen. Auf diese Weise konnte rnan sich etliche kostspielige Schwingfestigkeitsversuche an Bauteilen ersparen!

Die Bruchanalyse bei schwingender Beanspruchnng wird durch das "Weglaufen" von rnatrixdorninierten Spannungen bei langdauernder Belastung erschwert. Bei der Schwingfestigkeitserprobung irn Zuge der Entwicklnng der scion rnehrfach erwkhnten Pkw-Drehfeder aus GFK haben sich einige grnndsatzliche Erkenntnisse dber das zweckrnal3ige Arbeiten rnit Bruchbedingungen bei schwingender Beanspruchung ergeben [25]. Arn Beginn der Entwicklnng wurde die GFK-Drehfeder in einern Einstufenversuch rnit einern Zwischen den Werten 1700 Nrn und 170 Nrn pulsierenden Drehrnoment belastet. Das Fasergertist hielt die rnaxi(nnd rnale nnd rninirnale Verdrehung der Feder etwa konstant, obwohl die Spannungen und Unr21) sich wdhrend der Versnchsdauer dnderten. Die Zwischen Oberspannung der anl3eren UD-Schicht verEinderte sich terspannung a2,, pulsierende irn Laufe der Zeit so sehr, daB die anfangs negative Unterspannung his in den positiven Beeiner Zugspannnng wurde. So karn es hei reich "weglief", also von einer Druckspannung den Versuchen zu den zunachst "nnerklarlichen" Qner-ZugbrOchen nach Modns A. Erwartet wnrden nur dnrch die Druck-Oberspannung vernrsachte Modns C-Brtiche. Diese traten = 0,1 anf dann auch nur noch auf, nachdern das Drehrnornent-Verhältnis von 0,36 erhdht wurde, was den Betriehshedingnngen hesser entsprach. Es erscheint fast aussichtslos, das "Weglaufen" der rnatrixdorninierten Spannungen bei schwingender Beansprnchung rechnerisch zu verfolgen. Deshaib wurde in [25] vorgeschlagen, sich folgenderrnaBen zn behelfen: — Man benutzt als Festigkeitspararneter Schwingfestigkeiten bzw. oder die nicht rnit konstanter starnrnen, Beansprnchung errnittelt werden, sondern aus wdhrend der ganzen Versnchsdauer konstant ist. bzw. in denen die Verzerrung

werden weiterhin die rnit den Spannnngen Bruchbedingnngen benutzt.

—

Es

—

Als Spannnngswerte für a2 und

—

Als Schwingfestigkeitswerte

a2, y21

usw.

formulierten Zfh-

setzt rnan in die Zfb-Brnchbedingnngen diejenigen em, die sich rnit den für den Belastungsbeginn, d.h. für die ersten Lastzyklen, geltenden errechnen. bzw. Sekantenrnodnln

setzt rnan in die ZfbBedingungen diejenigen Werte ans der rnit konstanten VerZerrungen a1 bzw. rnit den gleichen Sekanbzw. aufgenornrnenen Wöhler-Kurve em, die sich aus tenrnoduln errechnen, wie rnan sie auch zur Berechnung der Schichtspannungen des Larninats benutzt hat.

190

11 Offene Fragen

Auf diese Weise wird so ist zu hoffen — das im Bauteil auftretende "Weglaufen" der Spannungen dadurch zumindest ndherungsweise erfal3t, daB man bei der Ermittlung der Festigkeiten im Probekorper em ahnliehes "Weglaufen" zulaflt, statt die Spannung konstant zu halten. Tate man dies nicht, sondern benutzte wie tiblieh Festigkeitswerte aus WdhlerLinien, die bei konstanter Spannung aufgenommen wurden, mti]3te man in Zeitintervallen

rechnen, in denen man absehnittweise die Moduin und damit die Spannungen knnstaat halt. Dazu wOrden schwingspielzahlabhkngige Moduin und schlul3endlich eine SchadensAkkumulationshypothese benötigt, was alles zu einem kaum realisierbaren Aufwand ftihrt. Um mit der vorgesehiagenen Nkherungsmethode die zu erwartende Schwingspielzahl his zum Beginn der Zfh-Rii3bildung bei einer Einstufen-Belastung abzuschatzen, mul3 man itorativ so lange zusammengehorige Werte d.h. soiche, die shmtlich ZU einer gleichen Bruch-Schwingspielzahl N gehoren, in die Bruchbedingung einset-

zen, bis diese erftillt ist, d.h. die Bruchfunktion den Wert 1 annimmt. Diejenige BruchSchwingspielzahl NB der Festigkeitswerte, mit denen die Brnchbedingung schlieflhich erfOilt wird, ist dann die zu erwartende Schwiagspielzahl his zum Einsetzen der Zth-Riflbildung der betrachteten Schicht im Laminat.

Bei der Benutzung der Fb-Bedingungen zur Abschatzung der Lebensdauer (BruchSchwingspielzahl) des Laminats wird in konventioneller Weise verfahren, indem (N)Werte einer bei konstanter Spannung ermittelten WOhler-Linie benutzt werden. Manche der hier angesteilten Betrachtungen konnen sinngemhB auf langdauernde ruhende (statische) Beanspruchungen llbertragen werden [25].

Obwohl also zur Anwendnag der Bruchbedingungen auf verschiedene Beanspruchungsarten schon Vorarbeit geleistet worden ist, sind auf diesem weiten Fold doch noch viele Fragen offen.

Eine Beanspruchungsart, die voilkommen auf3erhalb der Reichweite der in diesem Buch behandelten Methode der schichtenweisen Bruchanalyse liegt, ist die StoB- oder Schlagbeanspruchung (Impact). Gerade gegenOber dieser Beanspruchungsart sind die FaserverbundLaminate aufierordentlich empfindlich. Dies stout oft eines der groBten Hemmnisse für ihren Einsatz in Bauteilen dar, bei denen soiche Beanspruchungen nicht auszuschlieBen sind; man deake z.B. an Steinschlag bei Autos oder bei Flugzeugen whhrend Start und Landung auf unbefestigten Pisten. Obwohl auch bei Impact-Beanspruchung Zwischenfaserbrflche eine groBe Rolle spielen, kann nicht erwartet werden, daB allein mit den hier beschriebenen Methoden das Bruchgeschehen angemessen erfaBt werden könnte. Die Unzulhnglichkeit beginnt bereits bei der Spannungsanalyse; denn bei hohen Auftreffgeschwindigkeiten spielen bereits die Ausbreitung und Reflexion der Stoflwellen eine Rolle. Auch die Stoffgesetze bei extrem hohen Deformationsgeschwindigkeiten sind natürlich gegenUber der Situation bei ztigiger oder schwingender Belastung sehr verdndert. In einem hohen MaBe hilden sich Schlagschaden in

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11.2 Einige ungekiarte Fragen

191

Form von Delaminationen ans, für die — wie schon mehrfach erwähnt die hier vorgesteilten Bruchanalysemethoden our sehr begrenzt brauchbar sind. Diese können deshaib allenfalls in einer untergeordneten Fnnktion in em aufwendigeres Modell für die Schlagschadensanalyse mit eingebunden werden. Vermutlich werden brnchmechanische Ansatze auf diesem Gebiet eine überragende Bedeutung — insbesondere zur Beschreibung der Delaminationsvorgbnge erlangen.

11.2

Einige ungeklärte Fragen

Tm folgenden sollen einige wichtige, aber nnbefriedrigend geibste Probleme und nngeklarte Fragen unter entsprechenden Schlüsselworten zumindest einmal kurz angesprochen werden. Nichtlinearitdt nod Verzerrnngs-Interaktionen 'yj1j)-Diagramme zeigen sich Die starken Krümmnngen der (ar, e1)-Diagramme nod nor bei der Erstbelastung, s. Bud 1.3 anf S. 5. Bei der anschliel3enden Entlastnng fuhrt

die Entlastnngslinie vom Endpnnkt der Erstbelastung nahezn geradlinig in den BelastnngsNnllpnnkt znrück, wenn man einmal von einer meist anftretenden kleinen bleibenden Delinnng bzw. Schubverformung nbsieht. Die Zweitbelastnngs-Linie Gilt dann nngefahr mit der Entlastnngslinie des ersten Zykins znsammen. Bei mehrfacher Belastnng his zur stets gleichen Hochstlast spielt die hier angesprochene Nichtlinearitkt also keine nennenswerte Rolle mehr. Von dort her hetraclitet, wird das Problem der Nichtlinearitkt bei melirfacher Belastung etwas differenzierter zn betracliten sein, als in dieser Arheit geschehen. Wichtiger aber anfjeden Fall schwieriger zn berucksichtigen ist n.E. der in den Bildern 3.3 und 3.4 anf S. 35 nod 36 znm Ansdrnck kommende Befnnd, daB sick die Spannnngen a2 nnd r21 gegenseitig beim Verformungsverhalten beeinflussen, wenn sie kombiniert anftreten. Vermntlich ist aber auch dies nnr bei der Erstbelastnng so ansgeprägt der Fall, denn our bei dieser treten die für die gegenseitige Beeinflnssnng ursachuichen Mikroschhdignngen auf. Die anfgeworfenen Fragen sollten bald geklärt werden, weil angenblicklich noch nine gewisse Unsicherheit bei der Walil der Modnln für die Spannnngs- nnd Brnchanalyse besteht. Des "diAnne Schicht"- nnd "in sitn"-Probleni Em den Rahmen dieses Bnches niclit zn sprengen, wurde nnr am Rande anf die Frage der Ermittlnng der Festigkeitsparameter eingegangen, die in den Brnchbedingnngen erscheinen. Es wnrde im allgemeinen voransgesetzt, daB diese an UD-Probekdrpern ermittelt werden. Dagegen gibt es aber ernst zn nelimende Einwande. Es ist seit langem bekannt [89], daB die Riflbildnng in Laminaten — inshesondere in dOnnen Schichten — durch die richtnngsabhkngige Steifigkeit der Nachbarschichten nicht nnerheblich beeinflnBt wird. Peters [90] erklart dies anschanlich mit dem Vorhandensein einer gewissen konstanten Eindringtiefe einer die RiBoffnnng behindernden Wirknng dnrch die Nachbarschichten, die sick nm so starker answirkt,

192

11 Offene Fragen

je kleiner das Verhaitnis der Dicke der Schicht zur Eindringtiefe ist. Auch der GrOl3eneindull (size effect, Weibull-Effekt) mag eine gewisse Rolle spielen [17]. Die Behinderung der Ri]loffnung dflrfte im tibrigen am sttirksten sein, wenn die Fasern der Nachbarschicht mit der Faserrichtung der rillgeftihrdeten Schicht einen Wiakel von 90° bilden, so daB die grOdtmdgliche Steiflgkeit der Nachbarschicht der RidOffnuag entgegeawirkt. Inzwischen gibt es für em (0°, 90°)-Laminat eine Theorie [68] (dort Seite 219), die einen Dickeneinflufi qualitativ richtig

erfafit, für die Konstruktionstechnik aber nicht ohne weiteres benutzbar ist. Als seinerzeit die bier angesprochenen Probleme publik wurden, war man mancherorts eiae Zeitlang geaeigt, die Methoden der schichteaweisen Bruchanalyse als einen gescheiterten Versuch zu betrachten uad sie ad acta zu legen. Wenn akmlich die Festigkeitsparameter in den Bruchbedingnngen, mit denea man z.B. einea Laminataufbau optimieren will, selbst in gravierender Weise vom Laminataufbau abhdagen, ware das Modell in der Tat unbrauchbar. So schwerwiegend sind die Einfillsse allerdings nicht, dad man das Modell als Ganzes verwerfen mOIRe, aber es besteht aller Grund, die Bedenken ernst zu nehmen und nach Abhilfe zu suchen. Die nachstliegende Maflnahme konate darin bestehea, die Festigkeitsparameter nicht an UD-ProbekOrpern, sondern an speziell zu diesem Zweck konzipierten PrOflaminatea zu ermittein. Dabei handelt man sich aber sogleich die Uaaanehmlichkeit em, man nun den Spannungszustand beim Bruch in der PrOfschicht mit einer schichtenweisen, nichtlinearen Spannungsanalyse berechnen mull, wobei sich neue Fehlerquellen einstellen. Die hier anstehenden Fragen kOnnen nur in einer sehr engen Kooperation von Vertretern der Damage Mechanics, der Konstruktionstechnik und PrOftechnik befriedigend gelOst werden.

"Menschliche" end orgonisatorische Problerrie Auch auf der menschlichen Seite der Forschungs- nnd Entwicklungstatigkeit gibt es offene Fragen und ungelOste Probleme. Wie in vielen Lebeasbereichen so sind auch bei der Ingenieurtatigkeit oft gerade die meuschlichen und organisatorischen Probleme die grOflerca Hemmnisse. Die Faserverbundtechnik hatte sich vermutlich wesentlich besser entwickeln kOnnen, wenn es mehr Kommunikation und auch Kooperation unter den Vertretern der verschiedenen durch die Faserverbundtechnologie angesprochen en Fachdisziplinen gegeben hktte. Konstrukteure sind meistens nicht sehr kommunikationsfreudig. Em Grund hierfOr dOrfte die Tatsache scm, dad sic wegen ihres "Alltagsgeschafts" nicht jederzeit fiber die neuesten Erkenntnisse der Wissenscbaft im Bilde scm kOnnen. Sic zeigen deshalb haufig cine gewisse Scheu vor Fachgesprächen mit "Wissenschaftlern", insbesondere mit solchen, die in der Graadlagenforschung ttitig sind. Vielfach tragen Wissenschaftler ungewollt zu dieser Abneigung bei, indem sic iagenieurmaffige AusfOhruagea — wie beispielsweise diejenigen in diesem Buch — als "unwissenschaftlich" eiastufen. Dem kOnnten die Konstrukteure aber mit dem Hinweis begegnen, dalI man nicht wartea kana, his die Wissenschaft sich endlich auch

11.3 Versuch euler Prioritätensetzung

193

der Probleme annimmt, mit denen die Konstruktion tagtaglich zu kampfea hat. Das Bauteil muf3 hier und heute entwickelt werden and nicht erst ia ftinf oder zehn Jahren, und zwar so gut wie mdglich (and notig) anter den gegebenen Rahmeabedingaagen and nieht mit dem Ansprach hochster wissenschaftlicher Korrektheit. Auf der Basis dieses Bewal3tseins soliten Konstrakteare aber für den wissenschaftliehen Fortschritt hochst anfgeschlossen sein and jede Gesprachsmogliehkeit nutzen, allein schon deshaib, damit "die Wissenschaft" sich ihrer dringlichen Probleme annimmt. Zam Sehlal3 noch em praktiseher Rat: Man solite fortan kein anspruchsvolles Faserverbandbaateil, hei dem die "Festigkeit" eine entscheidende Rolle spielt, mehr entwiekeln, ohne in alien Entwickiangs-Etappen eine zeitgemdl3e, mit einem verntinftigen Aufwand/NatzenVerhaitnis konzipierte, Brnchanaiyse durchzufuhren. Bei den heute seibstverstandiich immer noch anverzichtbaren Belastangs- and Brachversaehen am Prototyp-Baateil soilte man dana aaeh den Prllfaufwand — mit den damit verhandenen Kosten nicht scheaen, der nötig ist, am za erfahren, wo die Theorie richtige Vorhersagen gemacht hat, and wo moglicherweise Korrektarfaktoren" angebracht werden mflssen. Nach der Einarbeitang dieses aaf die eigenen Belange ahgestimmten Erfahrungsschatzes wad die schiebtenweise Brachanalyse za einem hervorragenden Instrument, das Entwicklangszeit und -kosten sparen hiift. Die hier angeratene innige Verqaickang von "Bereehnang" and "Prllfang" setzt ailerdings aach eiae eage Vernetzung dieser beiden Bereiche im Unternehmea voraas. Die in Groi3unternehmea meist anzatreffeode persoaelle arid gar räamliehe Trenaang des Prflfbereichs vom Berechnungsbereieh ist für ihr enges Zasammenwirkea oft sehr erschwerend.

11.3

Versuch einer Prioritätensetzung

Die hisherigen Aasführungen soliten bereits deatlich gemacht haben, daI3 es in der Festigkeitsanalyse der Faser-Matrix-Laminate nicht nar einige "blinde Flecken", sondern grof3e unerforschte Gehiete giht. Das bisher zar Verfügang stehende Know-how macht einen sehr inhomogenen and anaasgewogenen Eindrack. Einerseits existieren für manche Probleme hereits sehr verfeinerte Modelle, andererseits sind aber noch etliche Voraassetzangen, die von grandlegender Bedeatang sind, bei weitem nieht hinreichend geklhrt. Für die Forsehang kann es deshaib aas der Sicht des Aators — vorerst nicht am weitere Verfeinerangen der Modelle gehen, sondern mit hdehster Priorität mül3ten zankehst deren elementare Grundiagen gesiehert werden. Aus dieser Sieht fallt es nieht sehwer, eine Prioritkten-Liste za erstelien. Das Bach befafit sich sehr eingehend mit der Zwisehenfaserbraeh-Problematik. Dafür gibt es gate Gründe; diese Frage war in der Vergangenheit za sehr vernaehlkssigt worden and die angebotenen Losangen warden oft der Realitat nieht gereeht. Auch spielen die Zwiseheafaserrisse beim Braehgeschehea eine weit wichtigere Rolle als laadlaafig angenommen wird.

194

11 Offene Fragen

Die entscheidende Voranssetzung der Zf-Bruchanalyse ist die, daB sich eine Sehieht in einem

Laminat genau so verhdlt wie die isoliert untersuehte Einzelsehicht. Dies wird dnreh den "dunne Schieht"- nnd "in situ"-Effekt in Frage gestelit. Deshaib moB mit hoher Dringlichkeit dieser Problemkreis abgekldrt werden. Dabei wird es wie eingehend erörtert wurde — unumgknglieh sein, die Zfh-Versnche mit einer sehr verfeinerten, nicht-linearen Spannungsanalyse ansznwerten. Die in diesem Buch in den Vordergrnnd gerückte Disknssion der ZwischenfaserbrnchProblematik darf nicht den Buck datllr verstellen, daB die Tragfahigkeit eines gnt konzipierten Laminats vom Faserbrneh bestimmt wird. Auch hier gibt es noch eine gravierende Unsieherheit bei der Voranssetznng der Bruchhypothese der maximalen Faser-Ldngsspannung, wie bei der Diskussion der Bruchbedingnngen für Faserbrnch anf S. 75 ausgefllhrt wurde. Hart-Smith weist in [28] nnd vielen weiteren Arbeiten darauf hin, daB eine Abhängigkeit der ertragbaren Faser-Lkngsspannung von der Querbeanspruchnng der Faser anftritt. Dies ist schwer zu erkidren. Man kann anch niebt ausschlieBen, daB die vermeintliche Abhangigkeit auf nnzulängliche Versnchsteehniken znrOckznfdhren ist [91]. Behauptet wird, daB an einem ansgeglichenen (0°, 90°)-Laminat bei einer Beanspruchung, die zu dem Betrage naeh gleich hohen Dehnnngen mit entgegengesetzten Vorzeichen in den beiden Faserrichtungen fOhrt, aur eine etwa haib so hohe Faser-Langsspannnng verwirklieht werden konne wie bei einachsiger Beanspruchnng in einer Faserrichtnng. Weil diese Frage z.B. für die Belastbarkeit von Torsionsrohren aller Art von hochster Bedentung ist, solite sic dringend geklart werden. VerlaBliehe Ergebnisse sind aber nnr zn erreichen, wenn die zn vergleiehenden Spannnngsznstande an gleichen ProbekOrpern realisiert werden, z.B. an rohrfdrmigen ProbekOrpern. An einem +45°-Rohr ldBt sieh im Torsionsversnch der Schubspannnngszustand realisieren, bei dem die Dehnnngen der +45°- nnd —45°-Richtnng dam Betrage nach gleieh groB sind aber entgegengesetzte Vorzeichen haben. Mit dem gleichen ProbekOrper ldBt sieh aber auch der korrespondierende Zngversnch verwirklichen, indem gleichzeitig Axial-, Umfangs- nnd Torsionsspannnng erzengt wird, wobei alle drei dam Betrage nach gleich groB sam mOssen, damit ans ihnen ama einachsige Beansprnchnng in amer Faserrichtung rasnltiart, Erst wenn die hier angesprochenen Grundvoranssetznngen der Fb- nnd Zfb-Analyse gesichert erscheinan oder die anzustellenden Untersuchungen zn amer vielleicht ndtigen Modifikation gefOhrt haben, erseheint ama Waitarentwicklnng der Fb-Modalle sinnvoll. Dringlich sind anch die Untersuchungen zum Zth im Bereich, in dam sowohl a2 < 0 ais aueh a3 < 0 ist (vgl. S. 169). Ebenfalls muB noch grhndhcher als bisher [64] geklart warden, wie sich solehe Spannungsznstknde anf die faserparallele Drnckfestigkeit auswirken. SchlieBlich moB noch an die Probleme des a1-Emnfinsses anf den Zwischenfaserbruch und

an die mit dar Verspannnng von Faser nod Matrix zusammenhkngendan Fragen erinnert warden (vgu. 5. 67, 68).

12 Zukunftsaussichten Offenbar wird der in Tell I und II geschilderte Stand der Bruchanalyse, obwohl die Crnndlagen schon vor Jahrzehnten pnbliziert wurden, bisher nur an wenigen Stellen bei der Entwicklung von Faserverbundbauteilen genutzt, so daB es nicht gerechtfertigt 1st, ihn als "Stand der Technik" zn bezeichnen. Der Hauptgrund hierftir dllrfte darin bestehen, dad die vorgesteilten Methoden nnd Modelle bisher nicht in kommerzielle Software umgesetzt wurden. An einigen TJniversitdten und Forschungs-Instituten werden aber Bruchanalyse-Programme benutzt, die den hier entwickelten Vorstellnngen sehr nahekommen [S3,92J. Es besteht nicht der geringste Zweifel daran, dad die nenen Modelle nur dann doe Chance haben, eine weitverbreitete Anwendnng zu finden, wenn sic in kommerzielle Rechenprogramme implementiert werden. Deshalb 1st zu hoffen, dad die Ergebnisse der angelaufenen Versnche zur Verifikation der neuen Modelle so llberzengend ansfallen werden, dad gentigend Motivation für in Betracht kommende Softwarehauser zu einer Nenbearbeitung ihrer CompositeAnalyse-Programme entsteht. Sicherlich darf man sich aber im Hinblick nuf die Marktsitnation im Faserverbnndbereich keinen dbertriebenen Erwartungen hingeben. Deshaib wird wohl der eine oder andere Anwender, für den die Nutzung der nenen Methoden wichtig ist, doch zur Selbsthilfe schreiten und — jedenfnlls furs erste eigene Rechenprozednren in bestehende Programme einbinden mdssen, was aher auch nicht auf besonders grode Schwierigkeiten stoden durfte. Die bisher im Rnhmen der Uberprtifung der Modeilvorstellungen durchgeftihrten Experimente an IJD-CFK [15,16,84] zur Bestimmung von Bruchspannungen und Bruchwinkeln stehen weitgehend mit den Modell-Vorhersagen in Einklang. Die meisten der geplanten, z.T. anllerordentlich schwierigen Experimente befinden sich aber noch in der Entwicklnngsphase. Eine vollstandige experimentelle IJberprtifung eines Brnchkriteriums 1st praktisch gar nicht durchfuhrbar. Die Versuche werden im (a2, a3, y23, r31, r21)-Ranm nusgefuhrt, wobei mehrere Spannnngszustande zu em und demselben Bruchpunkt auf der (ar, Tnt, Master-Bruchflhche fuhren ktinnen; es durfte deshalb nur eine relativ "dtmnne" experimentelle Belegung der Master-Brnchflhche moglich scm. Andererseits sind die neuen Ansdtze nber derartig physikalisch plausibel, dad eine in einigen wesentlichen Punkten brauchbare TJbereinstimmung zwischen Experiment und Theorie in den Bruchspannungen und vor allem den Bruchwinkeln bereits em hohes Mad an Vertrauen in die nene Methode rechtfertigen wurde.

196

12 Zukunftsaussichten

Die Aufbereitung der neuen Zfh-Analyse für FEM-Programme wird eine der wichtigsten Aufgaben bei der weiteren Entwicklungsarbeit sein mbssen. Bei einer FEM-Spannungs- und -Bruchanalyse wird es normalerweise viele Elemente geben, in denen die Anstrengung sehr niedrig ist, so weder eine genaue Angabe der Anstrengung noch eine Aussage llber den zu erwartenden Bruchwinkel interessiert. Deshaib steilt sich grundsbtzlich die Frage, oh sich nicht eine "stufenweise Verfeinerung" der Rechnung empfehlen wllrde. Eine soiche khnnte darin bestehen, dali man die Berechnung mit einer als konventionelles Polynom angesetzten Bruchfunktion F(a1, a2, cr3, r33, r21) beginnt, die eine grobe Approxima-

tion des mit ililfe der (an,

ermittelten (a1, a2, a3, 133, 131,

Bruchkorpers darsteilt. Wenn sich dann bei der Rechnung eine Anstrengung S 0, 6 his 0, 8 ergibt, konnte man auf das Rechnen mit der Master-Bruchflache "umschalten".

Mhglicherweise werden aber diese und andere Uberlegungen zur Reduzierung von Rechenzeitea wie das auf S. 166 erwkhnte "elektronische Album" bald gegenstandslos, wenn die Ausstattung der Konstruktions- und Entwicklungsabteilungen mit Rechenkapazitkt weiter so fortschreitet wie gegenwbrtig. Ahnliches mag für einen Vorschlag von Crirmtze ]93] gelten, der von der Vorstellung ausgeht, dali man Teil-Bruchfiachen, die einem bestimmten Bruch-Modus zugeordnet sind, mit Invarianten der Spannungen a3, a3, a3, v33, 'r31 approximieren khnnte, um sich die Bruchwinkelsuche zu ersparen. Es ist aber schwer vorstelibar, sollte, im allgemeinen Fall des fOnfdimensionalen (a3, a3, v23, c33 Spannungszustands obne die Anwendung elnes Rechenprogramms wie Brukon [77] herausdali es mdglich scm

zufinden, welcher Bruch-Modus beim betrachteten Spannungszustand auftreten wird. Dies ist aber die Voraussetzung dafOr, dali man den jeweils passenden Invariantensatz zur Anwendung bringen kann. Das Hauptanwendungsgebiet der neuen Methode wird sicherlich vorerst bei den Faserverbundwerkstoffen mit Polymermatrix liegen, well zum einen diese bisher die grdllte technisch/wirtschaftliche Bedeutung erlangt haben und zum anderen die neue Methode auch zunüchst em wenig für diese Stofflclasse "mallgeschneidert" wurde. Man wird sorgfbltig prOfen

müssen, inwieweit sie auch für andere sich sprhd verhaltende Verbunde geeignet ist. Wean man beispielsweise an faserverstarkte Keramik mit einer extrem niedrigen Zugfestigkeit der Matrix denkt, 1st vorhersebbar, dali der Einflull der faserparallelen Spannung erhohte Beachtung verlangen wird. Grundsatzlich 1st zu erwarten, dali die neue Bruchanalyse-Methode grolie praktische Bedeutung erlangen wird, well sie erstmalig physikalisch plausible Spannungswerte beim Bruch — auch bei raumlichen Spannungszustknden — liefert, und darOber hinaus fur die Bruchfolgenabschktzung sehr wichtige Zusatzinformationen bietet. Mit dem zu erwartenden Fortschritt

in der Numerik und bei der vermehrt verfOgbaren Rechenkapazitat wird auch der heute möglicherweise noch etwas "abschreckende" Rechenaufwand für die Bruchwinkelsuche bald

197

bedeutungslos werden, zumal bei 2D-Beanspruchung — wie im Tell II gezeigt wurde — von einem nennenswerten zushtzlichen Rechenaufwand llberhaupt keine Rede sein kann.

Lkngerfristig gesehen wird man anstreben, das Schadignngs- und Bruchverhalten von Laminaten nicht our für elofache Beanspruchnngszustknde wie zllgige Belastnng his zum Bruch oder schwiogende Belastung mit konstnnter Ober- und Unterspannung zu behandein, sondern dieses anch bei einer komphzierten Beiastungsgeschichte vorhersagen zn konnen, beispieisweise auch bei mehreren nacheinander auftretenden unterschiedlichen Lastfhllen. In einer so erweiterten Festigkeitsanaiyse werden die in diesem Buch behnndeiten Vorstellnngen und Modelle sicher em wichtiger Baustein scm, nber wesentliche andere Elemente müssen hinzutreten. Beispielsweise wird dann doe Art "Registrier- und Speicherwerk" benotigt, mit dem die im Lanfe der Belastungsgeschichte eingetretenen Schkdigungen nnd Brllche, z.B. ZfRisse, festgehaiten werden. Soil das anspruchsvoiie nnd schwierige Unterfangen gehngen, das Verhaiten von FaserMatrix-Laminaten, angefangen bei der Mikromechanik [94] his hin zum Schhdigungs- und Bruchverhaiten ganzer Bauteiie "berechenbar" zu machen, so hedarf es zweifeiios einer intensiven Bündeinng von Know-how nus der Schadignngs- und Schadensmechanik, der Bruchmechanik und der in diesem Buch dargesteiiten ingenieurmkf3igen Methoden sowie einer engen Kooperation mit der Werkstoffknnde nod Prllftechnik.

13 Anhang 13.1

Literaturverzeichnis

[1] Puck, A.; Schneider, W.: On Failure Mechanisms and Failure Criteria of Filamentwound Glass-Fibre/Resin Composites. Plast Polym. (Febr. 1969), S. 33-43 [2] Puck, A.: Festigkeitsberechnung an Glasfaser/Kunststoff-Laminaten bei zusammengesetzter Beanspruchung. Kunststoffe 59 (1969) 11, 5. 780-787

[3] Hashin, Z.: Failure Criteria for Unidirectional Fiber Composites. J. Appi. Mech. 47 (1980), S. 329-334

[4] Hart-Smith, L. J.: The Role of Biaxial Stresses in Discriminating between Meaningfull and Illusory Composite Failure Theories. Composite Structures 25 (1993), 5. 3-20

[5] Tsai, S. W.: Theory of Composites Design. Think Composites, Dayton, Ohio / Paris / Tokyo 1992

[6] Puck, A.: Praxis gerechte Bruchkriterien für hochbeanspruchte Faser-KunststoffVerbunde. Kunststoffe 82 (1992) 2, S. 149-155

[7] Nahas, M. N.:

Survey

of Failure and Post-Failure Theories of Laminated Fibre-

Reinforced Composites. J. Comp. Techn. & Res. Vol. 8 (1986) 4, 5. 138-153 [8] N. N.: ESA Structural Materials Handbook, Vol. 1, Polymer Composites, Section III Design Calculation Methods, Chapt. 11 - Strength Prediction & Failure Criteria

[9] Rohwer, K.: Computional Models for Laminated Composites Z. Flugwiss. Weltraumforsch. 17 (1993), 5. 323-330

[10] Christensen, R. M.: Tensor Transformations and Failure Criteria for the Analysis of Fiber Composite Materials. J. Comp. Mat. 22 (1988) 9, 5. 874-897 [11] Puck, A.: Em Bruchkriterium gibt die Richtung an. Kunststoffe 82 (1992) 7, 5. 607-610

200

13 Anhang

[12] Michaeli, W.; Huybrechts, D.: A New Approach for the Dimensioning of Thick Laminates using Physically Based Strength Criteria. Proc. 39. Conf. SAMPE 1994 Anaheim, CA, USA Vol. 2, S. 2829-2840 [13] Michaeli, W.; Huybrechts, D.: A new Approach for the Dimensioning of Thick Larrunates. Tnt. Mech. Eng. Congr. (IMECE) of ASME. Nov. 1994 Chicago, IL, USA, Proc. MD Vol. 49, 5. 307-319

[14] Cuntze, R. G.: Evaluation and Application of a New Physically Based 2D/SD InterFibre-Fracture (1FF) Strength Criterion. Proc. Internat. Symp. Advanced Materials for Lightweight Structures, ESTEC, Noordwijk 1994, ESA-WPP-070, 5. 133-139 [15] Huybrechts, D.; Michaeli, W.: Dimensioning of "Thick" Laminates. 16. Conf. of the Europ. Chap. of the Soc. for the Advancement of Mat. and Proc. Engen. (SAMPE); 30. Mai - 1. Juni 1995, Salzburg, Proc., S. 211-222 [16] Kroll, L.; Hufenbach, W.: New Proof of Laminate Design by a Physically Based Failure Criterion. Proceedings of ICCM-10, Whistler (Kanada) 1995 Vol. 1, S. 715-722

[17] Taireja, R. (Hrsg.): Damage Mechanics of Composite Materials. Elsevier, Amsterdam / London

/

New York / Tokyo 1994

[18] Puck, A.: Neue Hochleistungs-CFK-Bauteile Drehstabfedern, Stabilisatoren,und drehelastische Wellen. Vortrag 22. AVK-Tagung, Mainz 1989, S. 5.1-5.10

[19] Puck, A.: Entwicklung von GFK-Drehrohrfedern. Jug. Werkst. 3 (1991) 4, S. 66 und 69-71 sowie 6, S. 66-67

[20] Puck, A.: CFK-Drehrohrfedern sollen hochstbeanspruchte Stahlfedern substituieren. Kunststoffe 80 (1990) 12, S. 1380-1384 [21] Michaeli, V.1.; Wegener, M.: Einfiihrung in die Technologie der Faserverbundwerkstoffe. Hanser, Mllnchen / Wien 1990

[22] Ehrenstein, G. W.: Faserverbundkunststoffe. Hanser, Miinchen / Wien 1992

[23] Raju, I. S.; Foye, R. L.; Avva, V. S.: "A Review of the Analytical Methods for Fabric and Textile Composites". Proceedings of the Judo-U.S. Workshop on Composites for Aerospace Application, Part I, July 1990, Bangalore, S. 129-159

[24] Puck, A.; Schürmann, H.: Die Zug/Druck-Torsionspriifung an rohrforrnigen Probekörpern. Kunststoffe 72 (1982) 9, 5. 554-561

13.1 Literaturverzeichnis

201

[25] Garbe, J.; Puck, A.: Erfahrungen mit Bruchkriterien an schwellend belasteten GFKDrehfedern. Kunststoffe 83 (1993) 5, S. 406-411

[26] Hochbein, H.: Bericht zum Entwicklungsprojekt "Lkw-Stabilisator aus GFK". Universitkt Gh Kassel / Böhler AG, Düsseldorf, 1989 (uriverbffentlicht)

[27] Schreiber, W.: Zur Gestaltung und Dimensionierung von Antriebswellen ens FaserKunststoff-Verbunden. Diss. Univ. Gh Kassel 1988; Fortschr.-Ber. VDI R.1 Nr. 184, VDI-Verlag, Düsseldorf 1990

[28] Hart-Smith, L. J.: Fibrous Composite Failure Criteria — Fact and Fantasy. 7. mt. Conf. on Comp. Structures, Paisley, UK, July 1993. Mc Donnell Douglas MDC 93 K 0047

[29] Hull, D.: An Introduction to Composite Materials. Cambridge University Press, Cambridge / London / New York 1981 [30] Ewius, P. D.; Ham, A. C.: The Nature of Compressive Failure in Unidirectional Carbon Fibre Reinforced Plastics. AIAA/ASME/SAE 15. Structures, Structural Dynamics and Materials Conf., Las Vegas, USA, April 1974, 5. 1-11

[31] Michaeli, W.; Huybrechts, D.; Wegener, M.: Dimensionieren mit Faserverbundkunststoffen. Hanser, Mllnchen / Wien 1995 [32] Ikegami, K.; Nose, Y.; Yasunaga, T.; Shiratori, E.: Failure Criterion of Angle Ply Laminates of Fibre Reinforced Plastics and Application to Optimise the Strength. Fibre Science and Technology 16 (1982), S. 175-190

[33] Tsai, S. W.: Theory of Composites Design. Think Composites, Dayton, Ohio / Paris / Tokyo 1992, 5. 9.5-9.6

[34] Prinz, R.; Ghdke, M.: Characterization of Interlaminar Mode I and Mode II Fracture in CFRP Laminates. Proc. Intern. Couf. "Spacecraft Structures and Mechanical Testing" Noordwijk, April 1991, 5. 97-102 [35] N. N.: VDI-Richtlinie 2014: Entwicklung von Bauteilen aus Faser-Kunststoff- Verbund, Blatt 3. Beuth-Verlag, Berlin, erscheint demnkchst

[36] Vinson, J. R.; Sierakowski, R. L.: The Behavior of Composite Materials. Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht / Bosten / Lancaster 1986 [37] Tsai, S. W.: Composites Design. Think Composites, Dayton, Ohio / Paris / Tokyo 1988 [38] Moser, K.: Faser-Kunstst off- Verbund. VDI-Verlag, Düsseldorf 1992

202

13 Anhang

[39] Puck, A.: Einfiihrung in das Gestalten und Dimensionieren in: Ehrenstein, G. W. und Martin, H.-D. (Hrsg.): Konstruieren und Berechnen von GFK-Teilen. Beiheft zur Zeitschrift Kunststoff-Berater, ljmschau-Verlag, Frankfurt a. M. 1969, S. 44-66 [40] Ruegg, Ch.: Kardanwellen in CFK- und Hybridbauweise in: Verarbeiten und Anwenden kohlenstoffaserverstarkter Kunststoffe. VDI-Verlag, Düsseldorf 1981

[41] Schllrmann, H.: Zur Erhdhung der Belastbarkeit von Banteilen arts Faser-KunststoffVerbunden durch gezielt eingebrachte Eigenspannnngen. Diss. Univ. Gh Kassel 1986; Fortschr.-Ber. VDI R.1 Nr. 170, VDI-Verlag, Düsseldorf 1989 [42] Puck, A.: Faser-Kunststoff-Verbunde mit Dehnungs- oder Spannungs-Kriterien ausleyen? Kunststoffe 82 (1992) 5, S. 431-434 [43] Moser, K.: Faser-Kunststoff- Verbund. VDI-Verlag, Düsseldorf 1992, S. 314-319 [44] Jakobi, R.: Zur Spannungs-, Verformungs- und Bruchanalyse an dickwandigen, rohrformigen Bauteilen aus Faser-Kunststoff- Verbunden. Diss. Univ. Gb Kassel 1987; Fortschr.-Ber. VDI R.5 Nr. 126, VDI-Verlag Düsseldorf 1987 [45] Jakobi, R.; Puck, A.: Zur Konstrnktion und Berechnung von rohrenforrnigen Faserverbund-Biegeträgern. Vortrag, 18. AVK-Tagung, Freudenstadt 1982, S. 10.1-10.10

[46] Herakovich, C. T.: On the Relationship between Engineering Properties and Delamination of Composite Materials. J. Comp. Mat. Vol. 15 (1981), S. 336-348

[47] Herakovich, C. T.: Free Edge Effects in Laminated Composites in: Rabotnov, Y. u. N. (Hrsg.): Handbook of Composites, Volume 2. Structures and Design. North-Holland, Amsterdam / New York / Oxford / Tokyo 1992, S. 187-230

[48] Kim, R. Y.; Soni, S. R.: Experimental and Analytical Studies on the Onset of Delamination in Laminated Composites. J. Comp. Mat. Vol. 18 (1984), 5. 70-80 [49] Soni, S. R.; Kim, R. Y.: Delamination of Composite Laminates Stimulated by Interlaminar Shear. Comp. Mat.: Testing and Design (7. Conf.) ASTM STP 893. J. M. Whitney, Ed., ASTM, Philadelphia 1986, 5. 286-307

[50] Kress, G.: Free Edge Influence on CFRP-Laminate Strength. mt. J. Damage Mech. Vol. 3, April 1994, 5. 192-211 [51] Kothe, E.: Kombinierte Beanspruchungen in: Knauer, B.; Wende, A. (Hrsg.): Konstruktionstechnik. Akademie-Verlag, Berlin 1988, S. 447-481

13.1 Literaturverzeichnis

203

[52] Hoffmann, 0.: The Brittle Strength of Orthotropic Materials. J. Comp. Mat. Vol. 1 (1967), S. 200-206

[53] Reddy, Y. S.; Reddy, J. N.: Three-Dimensional Finite Element Progressive Failure Aria-

lysis of Composite Laminates under Axial Extention. J. of Comp. Techn. & Res. 15 (1993), S. 73-87

[54] Mohr, 0.: Welche Umsthnde bedingen die Elastizitatsgrerize rind den Bruch eiries Materials? Z. d. VDI 24 (1900) 45, S. 1524-1530 u. 46, S. 1572-1577

[55] Jeltsch-Fricker, R.: Brnchbedingungen vom Mohrschen Typ fur transversal isot rope Werkstoffe am Beispiel der Faser-Kunststoff-Verbnnde. Kasseler Schriften zur Angewandten Mathematik . Preprint Nr. 1 (2) 1995, Univ. Gh Kassel [56] Stowell, E. Z.; Lin, T. S.: On the Mechanical Behavior of Fibre-Reinforced Crystalline Materials. J. Mech. Phys. Solids 9 (1961), S.242-260

[57] Hashin, Z.; Rotem, A.: A Fatigue Failure Criterion for Fibre Reinforced Materials. J. Comp. Mat. 7 (1973), S. 448-464 [58] Azzi, V. D.; Tsai, S. W.: Anisotropic Strength of Composites. Experimental Mechanics, Sept. 1965, S. 283-288

[59] Gol'denblat, I. I.; Kopnov, V. A.: Strength of Glass-Reinforced Plastics in the Complex Stress State. Mekhanika Polimerov 1 (1965) 2, 5. 70-78 [60] Zacharov, K. V.: Strength of Laminated Plastics. Plastische Massen (6, 1963), S. 48-51

[61] Tsai, S. W.; Wu, E. M.: A General Theory of Strength for Anisotropic Materials. J. Comp. Mat. 5 (1971) 1, S. 58-80 [62] Menges, G.: Erleichtertes Verstandnis des Werkstoffverhaltens bei verformurigsbezogener Betrachtungsweise. Fortschr.-Ber. d. VDI-Z R.5 Nr. 12, VDI-Verlag, Düsseldorf 1971

[63] Knaust, U.: Zur Analyse mid Optimierung von Faserverbund- Leichtbantezlen. Diss. Univ. Gh Kassel 1988; Fortschr.-Ber. VDI R.20 Nr. 11, VDI- Verlag, Düsseldorf 1989

[64] Edge, E. C.: Does Transverse and Shear Loading affect the Compression Strength of Unidirectional CFC? Composites 25 (1994) 2, S. 159-161 [65] Puck, A.: Progress in Composites Component Design by Advanced Failure Models 17. Conf. of the Europ. Chap. of the Soc. for the Advancement of Mat. and Proc. Engen. (SAMPE); 28-30. Mai 1996, Basel, (In Vorbereitung)

204

13 Anhang

[66] Choo, V. K. S.: Effect of Loading Path on the Failure of Fibre Reinforced Composite Tubes. J. Comp. Mat. 19 (1985), S. 525-532 [67] Schröder, B.: Untersuchungen zum Spannungs- Verformungs- Verhalten von UD-CFK bei Quer-und Quer/Lhngs-Beanspruchung. Dipl.-Arbeit Univ. Gh. Kassel, Fachgebiet Faserverbundtechnik (Prof. Dr.-Ing. A. Puck) 1983

[68] Nairn, J. A.; Hu, S.: Matrix Microcracking in: [17], 5. 187-243 [69] Puck, A.: Zur Beanspruchung und Verformung von CFK-MehrschichtverbundBanelementen. Kunststoffe 57 (1967) 12, 5. 965-973

[70] Meier, U.; Muller, R.; Puck, A.: CFK-Biegetrhger unter quasistatzscher und schwingender Beanspruchvng. Vortrag, 18. AVK-Tagung, Freudenstadt 1982, 5. 35.1-35.7 [71] Chou, T. W.; Ishikawa, T.: Analysis and Modeling of Two-Dimensional Fabric Composites in: Textile Structural Composites. T. W. Chou and F. K. Ko. eds., Elsevier Science Publishers, Amsterdam 1989, 5. 209-264 [72] Coulomb, C. A.: Stir une Application des Regles de Maximis et Minimis a quelques Problemes de Statique, relatifs a l'Architecture. Memoires de Mathematique et de Physique, Academic Royal des Sciences par divers Savans, Anne 1773, Paris, France, 1776

[73] Griffith, A. A.: The Phenomena of Rupture and Flow in Solids. Phil. Trans. Roy. Soc., London, A221 (1920), 5. 163-198 [74] Friedrich, K. (Hrsg.): Application of Fracture Mechanics •to Composite Materials. Elsevier, Amsterdam/Oxford/New York/Tokyo 1989 [75] Hahn, H. T.; Erikson, J. B.; Tsai, S. W.: Characterisation of Matrix/Interface-Controlled Strength of Unidirectional Composites in: Fracture of Composite Materials. M. Nijhoff PubI. Den Haag, NL 1982, S. 197- 214

[76] Paul, B.: A Modification of the Coulomb Mohr Theory of Fracture. J. Appi. Mech. June 1961, S. 259-286

[77] Rechenprogramm zur Bruchkurven-Analyse (Brukan). Prof. Dr. R. Jeltsch-Fricker, Universitkt Gh Kassel, AG Ing.math. [78] Rechenprograrnm Brukan- Visual SD zur Darstellung von Teil-Bruchfiachen und Bruchwinkein. Prof. Dr.-Ing. A. Puck, Immenhausen u. Dipl.-Ing. D. Zeise, Stuttgart

[79] BMBF-gefordertes Projekt: Zum verbesserten Festigkeitsnachweis von Bauteilen ens Faser-Kunststoff- Verbunden. Förderkennz. 03N8002

13.1 Literaturverzeichnis

205

[80] Leon, A.: Uber die Scherfestigkeit des Betons. Beton und Eisen 34 (1935) 8, S. 130-135

[81] Puck, A.: Physikalisch begründete SD-Bruchkriterien für UD- Verb'unde. Vortrag, Arbeitskreis "Neue Bruchkriterien". Universität Gh Kassel, AG Ing.math., 2. Jurii 1993 [82] Kress, G. R.: Anal ytische and experimentelle Untersuchung Zn Versagensvorgangen in Faserverbundwerkstoffen mit besonderer Berhcksichtigung der Randeffekte. Fortschr.Ber. VDI R.18 Nr. 130, VDI-Verlag, Düsseldorf 1993 [83]

A.; Schllrmann, H.: Failure Analysis of FRP Lamvnates by Means of Physzcally Based Phenomenological Models. Special Issue of Comp. Sc. and Techn. 1996, im Druck erster Beitrag zur Verifikation des wirkeberiebezogenen Zwischenfaserbrnchkriteriums nach Puck. Diss. R.W.T.H. Aachen 1996

[84] Huybrechts, D.: Em

[85] Jeltsch-Fricker, R.: Die Totraum-Problematik. Vortrag im Rahmen des Projektes [79], Universität Gh Kassel, AG Ingenieurmathematik, 12. März 1994 [86] Fabisch, S.; Puck, A.: Voruberlegungen zur Pro babilistik bei wirkebenebezogenen Bruchbedingungen für UD-Faser/Matrix-Verbunde. Unveröffentlichte Studie, Kassel 1995

[87) Knappe, W.; Schneider, W.: Bruchkriterien für unidirektionalen Glasfaser/Kunststoff nuter ebener Kurzzeit- and Langzeitbeanspruchnng. Kunststoffe 62 (1972) 12, 5. 864-868 [88] Huth, H.: Vorgehensweisen beirn Betriebsfestigkeitsnachweis für Faserverbundbauteile. Vortrag, 25. AVK-Tagung, Berlin 1993, S. B10.1-B10.8

[89] Flaggs, DL.; Kural, M.H.: "Experimental Determination of the In Sztu Transverse Lamina Strength in Graphite Epoxy Laminates". J. Comp. Mat. Vol. 16 (1982), 5. 103-116 [90] Peters, P. W. M.: Die Festigkeit von Glas-, Aramid- and Kohienstoff-Epoxid senkrecht zur Paver. Vortrag, 21. AVK-Tagung, Mainz 1987, 5. 30.1-30.8

[91] Hart-Smith, L.J.: Persönliche Mitteilungen an den Autor, August 1994

[92] Gkdke, M.: Crack Initiation and Groth in Notched CFRE-Lamznates. Proc. Internat. Conf. Spacecr. Struct. and Mech. Testing. 24-26. Apr. 1991 (ESA SP-321), Oct. 1991 [93] Cuntze, R.G.: Bruchtyp-Festigkeitskriterien, formuliert mit Invarianten, die die Werkstoffsymmetrie des jeweiligen iso-/anisotropen Werkstoffs beinhalten. Vortr. 8. Worksh. Comp. Forsch. i. d. Mech., Lab. f. Techn. Mech., Univ. Paderborn, 5-6. Dez. 1995 [94] Stelibrink, K.K.U.: Micromechanics of Composites. Hanser, MOnchen/Wien 1996

13 Anhang

206

13.2

Verzeichnis der verwendeten Formeizeichen

Wegen des grundlegenden Charakters der Arbeit werden durchweg Symbole benutzt, die sich an der heute vorherrschenden anglo-amerikanischen Fachsprache orientieren. Bei den betreffenden Symbolen ist jeweils im Text vermerkt, von weichem englischen Begriff sie sich herleiten.

Abkurzungen: unidirektional faserverstarkt FKV Faser-Kunststoff-Verbund CFK Kohlenstoffaser-Kunststoff GFK Glasfaser-Kunststoff Fb Faserbruch UD

Zfb

Zwischenfaserbruch

CLT Classical Laminte Theory (klassische Laminat-Theorie) CDS Characteric Damage State (charakteristischer Schadigungszustand) FEM Finite Elemente Methode FPF First Ply Failure (erste Schicht-Bruch) LPF Last Ply Failure (letzte Schicht-Bruch)

Koordinatensysteme: Laminat-Koordinatensystem (in der Schichtebene) Laminat-Koordinatensystem bezogen auf die Richtung der HauptXH, YH Normalspannungen bei ebener Beanspruchung iu der Schichtebene X1H X2H, X3H Koordinateusystem in den Richtungen der Haupt-Normaispannungen bei raumlicher Beanspruchung x1, x2, x3 Schicht-Koordinatensystem (cartesisches Rechts-Koordinatensystem), x1 parallel zur Faserrichtung, x2 parallel zur Schichtebene, senkrecht zur Faserrichtung, x3 in Dickenrichtung x1, x11, x111 auf die "Haupt-Normaispannungen" aji und a111 (aris a2, a3, r23) in einem Pnnkt der IJD-Schicht bezogenes Koordinatensystem, x1 parallel zur Faserrichtung, x11 in Richtung der "Haupt-Normalspannung" x111 in Richtung der "Haupt-Normalspaunung" a111. x1, auf eine faserparallele Bruchebene bezogenes Koordinatensystem, x1 parallel Xt zur Faserrichtung, senkrecht (normal) zur Schnittebene oder Bruchebene, parallel zur Schnittebene oder Bruchebene, senkrecht (transversal) zur Faserrichtung. x, p

,

13.2 Verzeichnis der verwendeten Formeizeichen

207

Lateinische Formeizeichen: e

F S

Bruchdehnung oder Bruchstauchung (positiver Zahienwert!) Elastizithtsmodul Anstrengung (Ausnutzungsgrad)

f

Zahlenfaktor

F F

S

Bruchfunktion transformierte Bruchfunktion Schubmodul Nummer einer Schicht Steifigkeitsmatrix Nachgiebigkeitsmatrix Zahlenfaktor; Vergrol3erungsfaktor Feuchtegehalt Kraftfiul3, Schichtzahl eines Laminats, Exponent Neigungsmafl Proportionalithtsfaktor bei Radius; Homogenitatsgrad Festigkeit Bruchwiderstand der Wirkebene statisches Moment einer Flhche

t

Dicke

C k

K K—'

m M ii

p

r R RA

Temperatur T x, y, z Koordinaten(richtungen)

Griechische Formeizeichen: a

Winkel zwischen x-Richtung und Faserrichtung bei der Netztheorie oder Laminattheorie Schubwinkel Winkeldifferenz w —45°; relative Abweichung zwischen Modell und Versuch, Differenz Winkeldifferenz Dehnung, (Stauchung: negativer Wert) Abminderungsfaktor für Elastizitatsgrol3en Winkel zwischen den Richtungen x2 und Xn Winkel zwischen den Richtungen x11 und .xn Faserkreuzungswinkel Zahlenfaktor Reibungsbeiwert Querkontraktionszahl (der 1. Index bezeichnet die Kontraktionsrichtung) Winkel arctan Normalspannung Schubspannung

208

13 Anhang

y

Winkel zwischen x2 und x11 Winkel zwischen x and XH Winkel

W

Winkel arctan Winkel arctany3i/r21

w

Indizes: hochgestellte Indizes: die Wirkebene von Spannungen betreffend (+) Zugbeanspruchung betreffend (—) Druckbeanspruchung betreffend (If) die Schichtgrenzfldche betreffend (1) lastbedingt (r) verspannungsbedingt (Eigenspannung) Uber die Dicke eines Laminats gemittelt

A

*

**

auf einachsige auf zweiachsige, isotrope

tiefgestellte Indizes:

U..

parallel zur Faserrichtung quer zur Faserrichtung Quer/Langs-... Quer/Quer-... Quer/xg-Richturig

I IM

II e

auf3en

i

innen

d

D

degradiert (exponentiell) Degradation (linearisiert)

F

Faser

M

Matrix

mod Modell Res red

Reserve-... reduziert

1FF Zwischenfaserbruch FF Faserbruch mech mechanisch verursacht therm thermiseh verursaeht

thr w

Sehwellenwert Schwachungs-...

bezogen bezogen

13.3 Fachwortverzeichnis

13.3

209

Fachwortverzeichnis

Anstrengung: Zahienwert zur Kennzeichnung des relativen Ausnutzungsgrades eines Werkstoffs hinsichtlich seiner Festigkeit

anisotrop: riehtungsabhhngig Bruch: Werkstofftrennung durch Spannungseinwirkung Bruchebene: bei einem Bruch entstehende Werkstoffoberfibche Bruchfläche: Flache im Spannungsraum, die alle ohne Bruch ertragbaren Spannungszustbnde umschliellt Bruchgefahr: Kurzform für schnittwinkelabhbngige Anstrengung Bruchhypothese: plausible Annahme llber die Bruch verursachenden Zustdnde

Bruchkriterium: mathematische Beziehung

die ohne Bruch ertragbare Spannungs-

zustande von solchen unterscheidet, die nicht ertragbar sind Bruchmechanik: Teilgebiet der Mechanik, das sich mit der Rillentstehung an inneren Defekten und der Rillausbreitung in sproden Werkstoffen befaflt Bruchwiderstand der Wirkebene: Widerstand einer Spannungs-Wirkebene gegen ihren Bruch infolge einer einzelnen in ihr wirkenden Normal- oder Schubspannung Delamination: (ortliche) Schichtentrennung in einem Laminat Degradation: Herabsetzung von Eigenschaften bei Uberschreitung bestimmter Beanspruchungsgrenzen, z . B. der Zwischenfaserbruch- Grenze

Eigenspannungen: Spannungen, die ohne auulere Krafteinwirkung in einem Werkstoff oder Bauteil existieren Elementarfaser: Einzelfaser (im Durchmesserbereich von 5 his 50 pm) Einzelschicht: sehiehtformiger Bestandteil ("Bauelement") eines Laminats Faserbruch: Bruch einer Einzelschicht, bei dem Zigtausende von Elementarfasern brechen

Festigkeit: Zahlenangabe flber die von einem Werkstoff ohne Bruch (oder gravierende Veranderung, die seine Tragfbhigkeit begrenzt) ertragen werden kann Festigkeitsanalyse: Rechnerische Beschreibung der Bruchgrenzen und des Bruchverhaltens von Werkstoffen bei mehrachsiger Beanspruchung Fehistelle: ungewoilte Unregelmafligkeit (Hohiraum, RiB, Einschlufl) in einem Werkstoff homogen: 1. in bezug auf einen Werkstoff: Aus Gleichartigem aufgebaut. 2. in bezug auf eine Spannung: Uber grollere Bereiche relativ unverbnderlich. 3. in bezug auf eine Funktion: Sie ist beztiglicb bestimmter Variabler homogen vom Grad i-, wenn bei Vergroflerung alier dieser Variablen mit dem Faktor A aus der Funktion .V ausgekiammert werden kann Hysterese: bier: Nichtzusammenfallen von Be- und Entlastungskurve in einem Kraft,WegDiagramm

isotrop: nicht richtungsabhängig invariant: unveranderlich bei Verknderung des Koordinatensystems

210

13 Anhang

Funktion von Spannungen (z.B. Summe der HauptNormaispannungen), deren Wert nicht vom gewdhlten Koordinatensystem abhangt Laminat: hier: Schichtenverbund, bei dem die einzelnen Schichten unterscheidbar sind (z.B. durch unterschiedliche Faserrichtung) Invariante:

hier

speziell:

Laminatversagen: Unbrauchbarwerden oder Bruch eines Laminats Laminat-Theorie: Rechenverfahren zur Ermittlung der Spannungen und Verformungen der einzelnen Schichten eines Laminats und des Laminats als Ganzem Matrix: Stoff, durch den Fasern zu einem Faser-Matrix-Verbund geftigt werden und der Krafttibertragung zwischen den Fasern ermöglicht Modell: Vereinfachte theoretische Vorstellung von einem realen Vorgang, z.B. einem Bruchvorgang. Auch die entsprechende mathematische Formulierung wird gelegentlich als "Mo deli" bezeichnet Makromechanik: hier: Betrachtungsweise, bei der die Einzelschichten als homogen angesehen werden Mikromeehanik: Betrachtungsweise im Grol3enbereich von pm, in der Faser- und Matrixbereiche unterschieden werden

Mikroschädignngen: Feinste (meist nnsichtbare) Risse in Einzelschichten Mohrscher Kreis: Graphische Konstruktion zur Ermittlung der Spannungen auf einer zu den Haupt-Normalspannnngs-Richtungen schrag verlaufenden Schnittebene Nachgiebigkeiten: Elastizitatsgrol3en, durch die Verformungen mit Kraften gekoppelt sind Netztheorie: Vereinfachte Laminattheorie, die das Mittragen der Matrix unberucksichtigt laSt

Reservefaktor: Faktor, mit dem Spannungen erhoht werden konnen, bevor Bruch eintritt Roving: Strang aus einigen Tausend Elementarfasern Steifigkeiten: Elastizitatsgrol3en, durch die Krhfte mit Verformungen gekoppelt sind Streckungsfaktor: Kurzform für schnittwinkelabhangige Anstrengnng UD-Schicht: unidirektional faserverstarkte Schicht aus Faser-Matrix-Verbnnd Wirkebene: Schnittebene, auf der eine oder mehrere Spannnngen wirken Widerstand der Wirkebene: Widerstand (angegeben z.B. in N/mm2), den eine Wirkebene ihrem Brnch durch eine einzelne in ihr wirkende Normal- oder Schubspannnng entgegensetzt Verschmieren: Theoretische Verwandlung eines Mediums mit Diskontinuithten (wie z.B. Zwischenfaserrissen) in em Kontinuum Wöhler-Kurve oder Wöhler Linie: Graphische Darsteilung des Zusammenhangs zwischen der beim Schwingfestigkeitsversuch wirksamen Beanspruchungshohe und der Schwingspielzahl bis zum Bruch

Zwischenfaserbrnch: zwischen Fasern verlaufender Bruch, der eine UD-Schicht auf ihrer gesamten Dicke durchtrennt

13.4 Stichwortverzeichnis

13.4

211

Stichwortverzeichnis E A

Abminderungsfaktor Album, elektronisches analytische Losungen Anpassung an Versuchsergebnisse Anwendungsempfehlungen Aufbau von Laminaten ausgeglichener Winkelverbund Ausknicken (von Fasern)

83ff 166

44 63f 158ff 11ff 26 21

B

Basisfestigkeiten Bauteil-Entwurf Beanspruchung des UD-Verbunds Beanspruchungsarten Begriffe Beulen Blinde Flecken Bruchbedingung (Definition) Bruchdehnung Bruchfunktion (Definition) Bruchhypothese (Definition) Bruchhypothese, erweiterte Bruchkorper Bruchkriterium (Definition) Bruchmechanischer Hintergrund Bruch-Modus Bruchstauchung Bruchwiderstand der Wirkebene Bruchwinkel-Ermittlung Bruchzahigkeit

152

99 4 187ff

37 166 84

F 6,21ff 53,56,7 1ff 4,116ff 116ff

Faserbruch Faserbruch-Bedingungen Festigkeiten Festigkeitsparameter Feuchtekonzentration First Ply Failure (FPL) FluBdiagramm

78 9

92

H

45ff 29

38f,78ff, 156ff

Eigenspaimungen Elastizitätsgesetz elektronisches Album Evolutionsgesetz

Hashin'sldee

178ff,184f Haupt-Normaispannungen 4Sf 73

46 46 112ff 67,75ff, 165ff 45

Hof/lnann-Bruchbedingungen

HülI-Linie Hybrid-Laminat

107

132f 47 55 13

Hysterese

5

I

110

15ff,83ff, 170 73 117ff 126ff 1 lOf

C

charakteristischer Schadigungszustand (CDS).. 14 Cosinus-Halbwelle 175ff Coulombsche Hypothese 105,116

Impact 'in situ"-Effekt Interaktion interlaminare Spannungen Interpolationsformel intralaminare Spannungen invariant Invarianten Isochromaten Iteration

190f 191f 142ff

20,40ff 147,150 20 53 196 68 36

K D Damage Mechanics Definitionen Degradation Dehnungsenergie-Freisetzungsrate Dehnungs-Uberhohung Delamination Delaminations-Bedingung Delaminationsgefahr dickwandig Drehrohrfeder Druckbruch

'dUnne Schicht'-Effekt

9

45ff 6,81ff 1 lOf

68 18ff 150ff

91ff 44 12,15, 17f 23

191f

Keilwirkung Kerbwirkung kinking konmierzielle Rechenprogramine Kontinuumstheorie Knicken, inneres KraftfluB

27f 188ff 21f 9 82

21f 31f

L Laminat-Theorie Laminatversagen Lastfälle

35ff 23ff,95 23f

212

13 Anhang

.78 Schubknicken. 21f

Lastpfad Last Ply Failure (LPF) Linearer Ansatz

102

138ff

M Master Bruchfläche

109

'Menschliche' Probleme

192f

Mikromechanik Mikroschadigung Mode I, II, III Modus Mohrsche Hypothese Mohrscher Kreis

3

539 1 lOf

s. Bruch-Modus 60,107 139f 174f

N Nach-Bruch-Theorien Neigungs-Parameter Nicht-Linearität Nurnberger Schere

Schubkorrektur Schwachungsfaktor Schwingende Beanspruchung Sekantenmodul Sensitivität des Bruchwinkels Spannungsanalyse Spannungsintensitatsfaktoren Spannungsuberhohung

Spannungs,Verzerrungs-Diagramme

Sprengwirkung Sprodbruch Stollbeanspruchung Streckungsfaktor Sukzessives Bruchgeschehen Symmetriseher Laminatauthau

24

0 Optimierung Organisatorische Probleme

Tangentenmodul Tsai,Wu-Bruchbedingung Transformationsformel transversal-isotrop Toter Raum

10! 192f

178

30ff 1 lOf

68

5,86 23f 105 190

126f 6 13

36f 55 108 52

178ff,! 84f

U 84f 84f

Uberanstrengung Uberschreitungsgrad Parabolischer Ansatz Parallelogrammgestange

191ff 36f

T

85

122f

73f 69,153ff

140ff 25f

V

Vektorenfacher

173ff

Vereinfachung bei

2D-Beanspruchung

Q quasi-linear-elastisch Querkontraktion (s Zahl)

36

72,83f

91

Verspannung zwischen Fasern und Matrix Visualisierung

67f 49ff

w

R Radienverhältnis

12 51

Reservefaktor Resttragfahigkeit Ringfadenauge

Schadigungshypothese Schädigungsmechanik

Schlagbeanspruchung Schnelle Programme Schubflull

Wickeltechnik Winkelwahl

1 if

32f

95

Ii

Wirkebene-Bruchwiderstand

50 117ff

z

S Sandwicheffekt

161ff

Verformungsverhalten

13

5 9

190f 99 31

Zacharov-Bruchbedingung Zukunftsaussichten Zwischenfaserbruch Zwischenfaser-Bruchbedingung Zwischenfaser-Risse

55 19Sf

5,14ff 59ff 5