Esistenza e regolarità di soluzioni di alcuni problemi ellittici

Esistenza e regolarit` a di soluzioni di alcuni problemi ellittici Lucio Boccardo1, Gisella Croce2 1 Universit` a di Ro...

Author: L. Boccardo | G. Croce

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Esistenza e regolarit` a di soluzioni di alcuni problemi ellittici Lucio Boccardo1, Gisella Croce2

1 Universit` a di Roma La Sapienza, Dipartimento di Matematica G. Castelnuovo, P.le A.Moro 2, Roma, Italia; e-mail: [email protected] 2 Universit´ e du Havre, Laboratoire de Math´ ematiques Appliqu´ ees du Havre, 25 rue Philippe Lebon, Le Havre, Francia; e-mail: [email protected]

Indice 1 Alcuni teoremi di punto fisso 1.1 Introduzione . . . . . . . . . 1.2 Teorema delle contrazioni . 1.3 Teorema di Brouwer . . . . 1.4 Teorema di Schauder . . . .

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7 7 7 8 11

2 Preliminari di analisi reale 2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Teorema di composizione di Nemitski . 2.3 Spazi di Marcinkiewicz . . . . . . . . . 2.4 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . .

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15 15 15 19 23

3 Equazioni ellittiche lineari e semilineari 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teoremi di Lax-Milgram e Stampacchia . . . . . . . . . . . 3.3 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Alcune equazioni semilineari monotone . . . . . . . . . . . . 3.5 Equazioni semilineari: metodo delle sopra e sotto-soluzioni . 3.6 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Alcuni richiami di analisi funzionale . . . . . . . . . 3.6.2 Alcuni richiami sugli spazi di Sobolev . . . . . . . .

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25 25 25 27 28 30 32 32 33

4 Teorema di Leray-Lions 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Teorema di suriettivit` a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Teorema di esistenza di Leray-Lions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 35 37

5 Sommabilit` a delle soluzioni dei problemi di Leray-Lions 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Sorgenti appartenenti a Lm (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sorgenti appartenenti a M m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Sorgenti in forma di divergenza . . . . . . . . . . . . . . . .

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41 41 42 45 48 50

6 Regolarit` a per problemi ellittici lineari 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Regolarit` a H 2 (Ω) delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 53 55

7 Analisi spettrale per operatori lineari ellittici 7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Autovalori e autofunzioni di operatori ellittici lineari . . . . . . . 7.3 Alcune conseguenze della teoria spettrale in equazioni semilineari 7.4 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 59 64 70

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I

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INDICE

1

8 Introduzione al calcolo delle variazioni e equazione 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Metodi diretti nel calcolo delle variazioni . . . . . . . 8.3 Equazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Principio variazionale di Ekeland . . . . . . . . . . . 8.5 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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71 71 71 72 76 80

9 Un problema a crescita naturale 9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Studio del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 81

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10 Problemi di Leray-Lions con sorgenti a bassa sommabilit` a 10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Stime a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Soluzioni nel senso delle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Il caso lineare: una dimostrazione alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Soluzioni di entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Confronto tra soluzioni di entropia e soluzioni nel senso delle distribuzioni 10.7 Soluzioni per problemi con sorgenti misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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87 . 87 . 88 . 93 . 94 . 95 . 99 . 100 . 101

11 Unicit` a 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Unicit` a per operatori monotoni . . . . . . . 11.3 Un risultato di unicit` a per un operatore non 11.4 Un risultato di unicit` a per sorgenti misura .

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. . . . . . . . . . . . monotono . . . . . .

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103 103 103 105 107

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INDICE

Premessa Queste note nascono da lezioni (per il corso di laurea o per il dottorato in Matematica) del primo autore all’Universit` a La Sapienza di Roma. Abbiamo cercato di illustrare risultati classici e meno classici relativi a problemi di Dirichlet per equazioni ellittiche. L’obiettivo `e infatti fornire una base per tali problematiche, anche a chi voglia avvicinarsi alla ricerca in questo campo. Il corso che abbiamo costruito `e autocontenuto. I risultati di analisi reale, analisi funzionale e spazi di Sobolev che usiamo possono essere tutti trovati nel libro Analyse fonctionnelle di Ha¨ım Brezis [9]. Per comodit` a del lettore i principali prerequisiti sono citati nelle appendici. Queste note possono essere divise in due parti. La prima `e dedicata a risultati classici di esistenza e regolarit` a di soluzioni di problemi ellittici in forma di divergenza. Dopo aver studiato equazioni semilineari, ci occupiamo del problema di Leray-Lions −div(a(x, u, ∇u)) = f in Ω u=0 su ∂Ω, dove a `e un’applicazione ellittica, cio`e a(x, s, ξ) · ξ ≥ α|ξ|2 e f appartiene a H −1 (Ω), illustrando i risultati di esistenza e di regolarit` a di Leray-Lions e di Stampacchia. Nella prima parte trattiamo inoltre la teoria spettrale degli operatori lineari e la regolarit`a delle soluzioni di problemi lineari. Sebbene questo corso sia orientato allo studio di equazioni, abbiamo dedicato un capitolo al calcolo delle variazioni, mettendo in risalto come questa teoria possa essere di aiuto allo studio di problemi differenziali. Il problema di Leray-Lions ha dato origine ad un campo di ricerca assai vasto ed attualmente attivo. Nella seconda parte di queste note ne abbiamo illustrato tre direzioni: l’esistenza di soluzioni nel caso di una sorgente f a bassa sommabilit` a (per esempio L1 (Ω) o addirittura una misura), l’unicit`a delle soluzioni e lo studio di un problema definito da un operatore ellittico con un termine a crescita lineare. Ringraziamo coloro che ci hanno sostenuto in questo lavoro: con Maria Michaela Porzio, Eugenio Montefusco, Francesco Petitta, Luigi Orsina abbiamo discusso alcune dimostrazioni; gli (a quel tempo) studenti del dottorato Agnese Di Castro, Flavia Smarrazzo, Paolo Antonini, Andrea Cristofaro, Luca Fanelli e Fabio Punzo hanno collaborato nella redazione del capitolo sulla regolarit`a H 2 delle soluzioni di problemi lineari.

3

4

INDICE

Notazioni Ω: aperto limitato di RN con N ≥ 3 ∂Ω: frontiera di Ω µ: misura di Lebesgue in RN q.o.: quasi ovunque (rispetto alla misura di Lebesgue) X 0 : duale di X (cio`e spazio dei funzionali lineari e continui su X) se X `e uno spazio di Banach < ϕ, v >= ϕ(v), se ϕ ∈ X 0 e v ∈ X Lp (Ω): spazio delle funzioni f tali che |f |p `e integrabile secondo Lebesgue su Ω C k (Ω): insieme delle funzioni k volte differenziabili con continuit`a su Ω C0k (Ω): insieme delle funzioni k volte differenziabili con continuit`a su Ω, nulle sul ∂Ω W 1,p (Ω): spazio (di Sobolev) delle funzioni con gradiente distribuzionale in (Lp (Ω))N W01,p (Ω): chiusura in norma W 1,p (Ω) delle funzioni C 1 (Ω) a supporto compatto in Ω H01 (Ω) = W01,2 (Ω) H −1 (Ω) = (H01 (Ω))0 W k,2 (Ω): spazio delle funzioni W k−1,2 (Ω), con gradiente distribuzionale in W k−1,2 (Ω) p0 =

p p−1

p∗ =

Np N −p

sia E ⊂ RN ; χE (x) =

1, 0,

se x ∈ E altrove

per indicare l’insieme {x ∈ RN : f (x) ≥ 0} per una data funzione f , scriveremo {f ≥ 0} per ogni funzione u, la funzione u+ = uχ{u≥0} sar`a detta parte positiva di u; u− = uχ{u≤0} sar`a detta parte negativa di u Tk (x) = max{min{k, x} − k} per k > 0 Gk (x) = x − Tk (x) per k > 0

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INDICE

Capitolo 1

Alcuni teoremi di punto fisso 1.1

Introduzione

Nello studio dell’esistenza ed unicit` a di soluzioni di equazioni differenziali si ricorre frequentemente ad ` infatti spesso possibile cercare le soluzioni di una classe di risultati noti come teoremi di punto fisso. E un problema differenziale fra i punti fissi di un opportuno operatore legato al problema stesso. In questo capitolo presenteremo alcuni teoremi di punto fisso che saranno utili in seguito. Ben noto, in particolare dallo studio delle equazioni differenziali ordinarie, `e il primo risultato che presenteremo: il teorema delle contrazioni. Esso lega l’esistenza di punti fissi per una funzione alla natura geometrica della stessa: afferma infatti che una funzione definita su uno spazio metrico completo a valori nello spazio stesso con la propriet` a di contrarre le distanze ammette un unico punto fisso. Il secondo risultato di punto fisso che presenteremo `e il teorema di Brouwer. A differenza del teorema delle contrazioni, esso punta l’attenzione sulle propriet`a geometriche dello spazio su cui la funzione `e definita. Nella sua versione originale, afferma l’esistenza di un punto fisso per applicazioni continue dalla palla unitaria di RN in s´e; `e poi possibile estenderlo ad una funzione definita su un qualunque insieme convesso chiuso e limitato di RN . Presenteremo infine il teorema di Schauder, essendo anch’esso uno strumento utile nello studio di alcuni problemi differenziali, come vedremo. Esso `e l’equivalente del teorema di Brouwer per funzioni definite su un qualunque spazio di Banach.

1.2

Teorema delle contrazioni

Ci accingiamo ora a dimostrare il teorema delle contrazioni: Teorema 1.1. Siano (X, d) uno spazio metrico completo ed F : X → X un’applicazione con le seguenti propriet` a: esiste θ ∈ (0, 1) tale che d(F (x), F (y)) ≤ θ d(x, y), ∀x, y ∈ X .

(1.2.1)

Allora esiste un unico x ∈ X tale che F (x) = x, ovvero un unico punto fisso di F . Osservazione 1.2. Un’applicazione F che verifica le ipotesi del teorema delle contrazioni viene spesso detta contrazione. Osservazione 1.3. Tra i teoremi di punto fisso che presenteremo in questo capitolo, solo il teorema delle contrazioni fornisce un risultato di unicit` a. La dimostrazione di questo risultato, come vedremo, `e basata su un elementare argomento di iterazione. Dimostrazione. Fissiamo un qualunque x0 ∈ X e definiamo per ricorrenza la successione xn := F (xn−1 ), 7

n ≥ 1.

(1.2.2)

8

CAPITOLO 1. ALCUNI TEOREMI DI PUNTO FISSO

Grazie all’ipotesi (1.2.1), abbiamo d(xn+1 , xn ) = d(F (xn ), F (xn−1 )) ≤ θ d(xn , xn−1 ) ≤ ... ≤ θn d(x1 , x0 )

(1.2.3)

per ogni n ≥ 0. Per la disuguaglianza triangolare, dalla (1.2.3) otteniamo, per ogni p ∈ N d(xn+p+1 , xn ) ≤

p+1 X

d(xn+i , xn+i−1 ) ≤ [θn+p + · · · + θn ] d(x1 , x0 ).

i=1

Per il criterio di Cauchy per le serie numeriche a termini positivi, applicato alla serie (convergente)

∞ P

θn ,

n=1

possiamo dire che la successione xn `e di Cauchy. La completezza dello spazio X implica che xn converge ad un elemento x ∈ X. Poich´e F `e continua per l’ipotesi (1.2.1), F (xn ) converge ad F (x). Passando al limite nella (1.2.2), si ottiene l’esistenza di un punto fisso. L’unicit` a del punto fisso segue dalla (1.2.1): infatti, siano x, y due punti fissi per F ; ne segue che: d(x, y) = d(F (x), F (y)) ≤ θ d(x, y) e quindi necessariamente x = y, visto che θ < 1.

1.3

Teorema di Brouwer

Teorema 1.4 (Brouwer). Siano K un sottinsieme convesso, chiuso e limitato di RN e f : K → K una funzione continua. Allora f ha almeno un punto fisso. Osservazione 1.5. Notiamo che le ipotesi su f non sono comparabili con quelle del teorema 1.1: nel teorema di Brouwer infatti f `e solo continua, ma si richiede l’esistenza di un convesso, chiuso e limitato che sia invariante sotto l’azione di f . Osservazione 1.6. In dimensione 1 il teorema di Brouwer afferma che se φ : [a, b] → [a, b] `e continua, allora φ ammette un punto fisso. In questo specifico caso, il teorema pu` o essere dimostrato in un modo semplicissimo: basta infatti applicare il teorema di esistenza degli zeri alla funzione (continua) ψ(t) = t − φ(t) . Ci accingiamo ora a dimostrare il teorema di Brouwer. Seguiremo la prova data in [18] (osserviamo che esistono diverse altre dimostrazioni, tra cui una che usa la nozione di grado topologico e un’altra che usa la nozione di gruppo di omologia). Utilizzeremo il teorema di retrazione, che andiamo ora ad enunciare e provare. A tale scopo, fissiamo le seguenti notazioni: B(0, r) = {x ∈ RN : |x| < r}; ∂B(0, r) = {x ∈ RN : |x| = r}; B(0, r) = {x ∈ RN : |x| ≤ r}. Teorema 1.7 (di retrazione). Sia F : B(0, 1) → ∂B(0, 1) una funzione continua. Allora esiste x ∈ ∂B(0, 1) tale che F (x) 6= x. Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che F (x) = x, per ogni x ∈ ∂B(0, 1). Definiamo la seguente estensione continua di F :   F (x), se |x| ≤ 1 , x f˜(x) = se |x| > 1;  |x| ,

1.3. TEOREMA DI BROUWER

9

osserviamo che |f˜(x)| = 1. Per il teorema di densit`a di Weierstrass, esiste f1 ∈ C 1 (RN , RN ) tale che sup

|f˜(x) − f1 (x)| <

x∈B(0,2)

1 . 2

(1.3.1)

A questo punto, consideriamo una qualunque funzione φ ∈ C 1 (R, R) tale che 0 ≤ φ ≤ 1 e 1, se t ≤ 3/2, φ(t) = 0, se t ≥ 2, con φ(t) decrescente per t ∈ (3/2, 2). Costruiamo la seguente combinazione di f˜ e di f1 : fc (x) = [1 − φ(|x|)]f˜(x) + φ(|x|)f1 (x). Definiamo infine N (x) =

fc (2x) . |fc (2x)|

Definite tali funzioni, dividiamo il resto della dimostrazione in tre passi. Passo I: dimostriamo che N `e di classe C 1 (RN , RN ) e che `e un’applicazione lipschitz. Per quello che riguarda la regolarit` a, basta dimostrare che fc ∈ C 1 (RN , RN ) e che fc 6= 0 per ogni x ∈ RN . Ora, osserviamo che se |x| > 1 x + φ(|x|)f1 (x) fc (x) = (1 − φ(|x|)) |x| che `e ovviamente una funzione di classe C 1 se |x| > 1. D’altra parte, se |x| < 3/2 si ha fc = f1 , che `e per definizione di classe C 1 (RN , RN ) ; di conseguenza fc ∈ C 1 (RN , RN ) . Dimostriamo ora che fc 6= 0 per ogni x ∈ RN . A tale scopo basta osservare che 1 |fc (x)| ≥ |f˜(x)| − |φ(|x|)[f˜(x) − f1 (x)]| ≥ 1 − |f˜(x) − f1 (x)| > , 2 grazie alla (1.3.1) . Abbiamo dunque provato che N ∈ C 1 (RN , RN ) . Verifichiamo che N `e un’applicazione lipschitz. Sicuramente lo `e nel compatto B(0, 1), visto che N ∈ C 1 (B(0, 1), RN ) ; al di fuori di B(0, 1) si ha 2x fc (2x) = [1 − φ(2|x|)]f˜(2x) + φ(2|x|)f1 (2x) = f˜(2x) = , 2|x| e dunque se |x| > 1 N (x) =

x |x|

che `e chiaramente un’applicazione lipschitz: di conseguenza esiste una costante M > 0 tale che |N (v) − N (w)| ≤ M |v − w|

∀ v, w ∈ RN .

1 Passo II: dimostriamo che I+tN `e un diffeomorfismo, per t ∈ (0, M ), tra B(0, 1) e B(0, t + 1) . Osserviamo innanzitutto che l’immagine di B(0, 1) attraverso I + tN `e effettivamente contenuta in B(0, t + 1) : se |x| ≤ 1, allora |x + tN (x)| ≤ |x| + t|N (x)| ≤ 1 + t . Dimostriamo ora che dato y ∈ B(0, t + 1), esiste un unico x ∈ B(0, 1) tale che y = x + tN (x). Basterebbe allora dimostrare che l’applicazione T : RN → RN definita da T (x) = y − tN (x) ha un unico punto fisso x0 ∈ B(0, 1) . A tale scopo, proviamo che T `e una contrazione: si ha che

|T (v) − T (w)| = t|N (v) − N (w)| ≤ tM |v − w|

∀ v, w ∈ RN :

per la scelta di t, T `e una contrazione. Grazie al teorema 1.1 esiste un unico x0 = y−tN (x0 ) . Dimostriamo che |x0 | ≤ 1. Supponiamo per assurdo che |x0 | > 1 : si avrebbe x0 = y − t |xx00 | e dunque x0 |y| = x0 + t = |x0 | + t > 1 + t , |x0 |

10

CAPITOLO 1. ALCUNI TEOREMI DI PUNTO FISSO

ma ci` o `e assurdo, visto che y ∈ B(0, t + 1) . Ci resta da dimostrare che det(D(I + tN )) 6= 0 : o in questo modo I + tN sar` a un diffeomorfismo tra B(0, 1) e B(0, t + 1) . Supponiamo per assurdo che ci` non sia vero; allora esiste un y 6= 0 tale che y = −t(DN )y. Passando ai moduli si ha |y| ≤ t|DN ||y| ≤ tM |y|. Questa relazione `e in contraddizione con la scelta di t. Passo III: siamo ora in grado di arrivare ad una contraddizione, terminando dunque la prova. Sar`a utile dimostrare che esiste un x0 ∈ B(0, 1) tale che det DN (x0 ) 6= 0. Per fare ci`o distinguiamo i due casi det(I + tDN ) > 0 et det(I + tDN ) < 0 . Nel primo caso, usando il teorema del cambiamento di variabile, si ha Z Z Z (1 + t)N dy = dy = det(I + tDN (x)) dx =t

B(0,t+1) B(0,1) ZB(0,1) det(DN (x)) dx + polinomio in t di grado N − 1.

N

B(0,1)

Per il principio di identit` a fra polinomi, Z

Z dy =

B(0,1)

det(DN (x))dx. B(0,1)

Questa identit` a implica che esiste un x0 ∈ B(0, 1) tale che det DN (x0 ) 6= 0 . Nel caso in cui det(I +DN ) < 0, basta scrivere Z Z Z (1 + t)N dy = dy = − det(I + tDN (x)) dx N

B(0,1) Z

= −t

B(0,t+1)

B(0,1)

det(DN (x)) dx + polinomio in t di grado N − 1. B(0,1)

Per il principio di identit` a fra polinomi, Z

Z dy = −

B(0,1)

det(DN (x))dx.

B(0,1)

Come prima, esiste x0 ∈ B(0, 1) tale che det DN (x0 ) 6= 0 . Ora, essendo DN un isomorfismo, il suo nucleo `e costituito dal solo vettore nullo; N (x0 ) appartiene al nucleo di DN (x0 ): infatti, differenziando l’identit` a (N (x)|N (x)) = 1, otteniamo DN (x) N (x) = 0 per ogni x ∈ RN . Ne deduciamo dunque che N (x0 ) = 0, ma ci`o `e assurdo, perch´e |N (x)| = 1 per ogni x ∈ RN . Ci` o conclude la prova. Possiamo ora dimostrare il teorema di Brouwer. Dimostrazione. Le dimostrazione `e suddivisa in due passi. Passo I: dimostriamo il teorema nel caso K = B(0, 1). Supponiamo, per assurdo, che f (x) 6= x, per ogni x in B(0, 1). Definiamo, per ogni x ∈ B(0, 1), F (x) come l’intersezione della semiretta f (x) + λ(x − f (x)), λ ≥ 0 con ∂B(0, 1). Dimostriamo che F `e continua. Possiamo scrivere x = t(x)F (x) + (1 − t(x))f (x) , t(x) ∈ (0, 1] da cui si ricava che F (x) = s(x)x + (1 − s(x))f (x)

(1.3.2)

1.4. TEOREMA DI SCHAUDER

11

1 dove s(x) = t(x) ≥ 1 `e tale che |F (x)| = 1. Dimostriamo che s(x) `e ben definita e continua: ci`o implicher` a che F `e continua. Si ha che

1 = |F (x)|2 = s2 (x)|x − f (x)|2 + |f (x)|2 + 2s(x)(x − f (x)|f (x)) , ovvero s2 (x)|x − f (x)|2 + 2s(x)(x − f (x)|f (x)) + |f (x)|2 − 1 = 0 . Ora, per x fissato, la funzione ψ(s) = s2 |x − f (x)|2 + 2s(x − f (x)|f (x)) + |f (x)|2 − 1 `e un polinomio di secondo grado, quindi ammette al pi` u due zeri. Poich´e ψ(1) ≤ 0 e lim ψ(s) = +∞, ψ s→∞

ammette un solo zero, per s ≥ 1 . Ci` o implica che s(x) `e ben definita. Inoltre s `e continua, essendo uno zero di un polinomio di secondo grado a coefficienti continui. Dimostriamo che se |x| = 1 allora F (x) = x. Grazie alla (1.3.2), ci`o `e equivalente a dimostrare che t(x) = 1. Se t(x) 6= 1, dalla (1.3.2) ricaviamo che t2 (x) + (1 − t(x))2 |f (x)|2 + 2t(x)(1 − t(x))(F (x)|f (x)) = 1 cio`e (1 − t(x))2 |f (x)|2 + 2t(x)(1 − t(x))(F (x)|f (x)) = (1 − t(x))(1 + t(x)) . Dividendo per 1 − t(x) otteniamo che t(x)[2(F (x)|f (x)) − 1 − |f (x)|2 ] = 1 − |f (x)|2 , che `e equivalente a t(x)|F (x) − f (x)|2 = −1 + |f (x)|2 : ci` o `e assurdo, perch´e |f |2 − 1 < 0. Pertanto t(x) = 1 e x = F (x) . Abbiamo dunque costruito un’applicazione F : B(0, 1) → ∂B(0, 1) continua che lascia fissi tutti i punti della sfera ∂B(0, 1) : ci`o `e in contraddizione con il teorema di retrazione 1.7. Passo II: trattiamo ora il caso in cui K `e un convesso compatto qualsiasi. Per la limitatezza di K, esiste R > 0 tale K ⊂ B(0, R). Siano PK l’applicazione proiezione su K e f˜ : B(0, R) → K ⊂ B(0, R) x → f (PK (x)) Per quanto dimostrato nella prima parte, f˜ ha un punto fisso x ∈ B(0, R); ma f˜ ha immagine in K, perci` o x ∈ K. Ne segue che x = f (x).

1.4

Teorema di Schauder

In questo paragrafo dimostriamo il teorema di Schauder, che `e l’estensione naturale del teorema di Brouwer a funzioni definite su spazi di Banach di dimensione infinita. Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, nel teorema di Brouwer si richiede che l’insieme invariante sia chiuso e limitato, cio`e compatto, visto che si lavora in RN . In spazi di dimensione infinita, sappiamo bene, grazie a un teorema dovuto a Riesz, che i chiusi e limitati non sono in genere compatti (vedere [9]). L’esempio che segue, dovuto a Kakutani [15], mostra effettivamente che si pu`o costruire in l2 un operatore continuo che lascia invariata la palla unitaria, ma non vi ammette punti fissi. Esempio 1.8. Consideriamo T : l2 → l2 definito da 1 2 T (x) = (1 − kxk ), x1 , x2 , . . . , 2

12

CAPITOLO 1. ALCUNI TEOREMI DI PUNTO FISSO

per ogni x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ l2 , dove kxk2 =

∞ P

|xi |2 . L’operatore T `e continuo: infatti

i=1

kT (x) − T (y)k2 =

1 [kyk2 − kxk2 ]2 + kx − yk2 ; 4

inoltre, la palla unitaria, cio`e l’insieme {x ∈ l2 : kxk ≤ 1} `e invariante. Infatti, se kxk ≤ 1 allora 2 1 kT (x)k2 = (1 − kxk2 ) + kxk2 ≤ 1, 2 essendo la funzione t → 1 − 41 (1 − t2 )2 − t2 positiva e decrescente per t ∈ [0, 1]. D’altra parte, si vede facilmente che T non ha punti fissi nella palla unitaria. Infatti, se kxk = 1, si ha T (x) = (0, x1 , x2 . . . ); se fosse T (x) = x, si avrebbe xj = 0, per ogni j, quindi kxk = 0 6= 1. Nei punti interni alla palla unitaria, ossia se kxk = θ < 1, allora T (x) = ( 21 (1 − θ2 ), x1 , x2 , . . . ); se fosse T (x) = x, si avrebbe xj = 21 (1 − θ2 ), per ogni j, ma questo `e assurdo, in quanto x ∈ l2 . In tutto il paragrafo X sar` a uno spazio di Banach e kxk denoter`a la norma di un elemento x ∈ X. Ci accingiamo a presentare il teorema di Schauder (per la dimostrazione originale vedere [24]). Ne presenteremo due versioni: nella prima si richiede la compattezza del convesso invariante. Teorema 1.9. Siano F : K ⊂ X → X una funzione continua e K un convesso compatto invariante per F . Allora F ammette un punto fisso in K. Dimostrazione.

Fissiamo ε > 0. Essendo K compatto, esistono x1 , ..., xNε ∈ K tali che K⊂

Nε [

B(xi , ε).

i=1

Ora, siano Eε lo spazio vettoriale generato da {x1 , . . . , xNε } e bj : K → R, j = 1, ..Nε le funzioni definite da bj (x) = (ε − kx − xj k)+ . Poich´e, per x ∈ K, non tutte le bj (x) possono essere nulle, possiamo definire Nε X

Gε (x) =

bj (x)xj

j=1 Nε X

bj (x)

j=1

che `e una combinazione convessa di punti di K e una combinazione lineare di {x1 , ..xnε }. Ci`o implica che Gε (K) ⊂ Eε ∩ K. Notiamo inoltre che la funzione Gε `e continua. Possiamo allora applicare il teorema di Brouwer alla funzione Gε ◦ F e al convesso compatto Eε ∩ K e dire che esiste xε ∈ K ∩ Eε tale che Gε (F (xε )) = xε . Osserviamo che per ogni x ∈ K

N

Nε ε

X

X

b (x)(x − x)

bj (x)xj j j

j=1

j=1

kGε (x) − xk = Nε − x = N ε

X

X

bj (x) bj (x)

j=1 j=1 Nε Nε (1.4.1) X X bj (x)kxj − xk bj (x) ≤

j=1 Nε X j=1

≤ bj (x)

j=1 Nε X j=1

ε = ε. bj (x)

1.4. TEOREMA DI SCHAUDER

13

Essendo K ∩Eε compatto, esiste una sottosuccessione che continuiamo a denotare con xε tale che xε → x0 per un certo x0 ; per la continuit` a di F , F (xε ) → F (x0 ) . D’altra parte, per la (1.4.1), poich´e F (xε ) ∈ K ε > kGε (F (xε )) − F (xε )k = kxε − F (xε )k . Ci` o implica che x0 = F (x0 ) . Nella seconda versione del teorema di Schauder viene richiesta la compattezza nella funzione. Definizione 1.10. Un’applicazione T di X in X `e detta completamente continua se `e continua e se per ogni B ⊂ X limitato, T (B) `e compatto. Teorema 1.11. Siano F una funzione completamente continua e K un sottoinsieme di X, convesso, chiuso, limitato e invariante per F . Allora F ammette un punto fisso su K. Dimostrazione.

Fissiamo ε > 0. Essendo F (K) compatto, esistono v1 , ..., vNε ∈ F (K) ⊂ K tali che F (K) ⊂

Nε [

B(vi , ε).

i=1

Ora, siano Eε lo spazio vettoriale generato da {v1 , . . . , vNε } e bj : K → R le funzioni definite da bj (x) = (ε − kx − vj k)+ . Per ogni u ∈ F (K), possiamo definire Nε X

Gε (u) =

bj (u)vj

j=1 Nε X

bj (u)

j=1

che `e una combinazione convessa di punti di K e una combinazione lineare di {v1 , . . . , vNε }: ci`o implica che Gε ◦ F (K ∩ Eε ) ⊂ K ∩ Eε . Osserviamo inoltre che Gε ◦ F `e continua. Grazie al teorema di Brouwer, esiste xε ∈ K ∩ Eε tale che Gε (F (xε )) = xε . Osserviamo che per ogni x ∈ K

kGε (F (x)) − F (x)k =

Nε

X

bj (F (x))(vj

j=1 Nε X

−

F (x))

bj (F (x))

j=1 Nε X

≤

bj (F (x))kvj − F (x)k

j=1 Nε X

≤ ε. bj (F (x))

j=1

Questa stima e il fatto che Gε (F (xε )) = xε implicano che kF (xε ) − xε k → 0, ε → 0 . D’altra parte F (xε ) ∈ F (K) che `e un compatto, e dunque a meno di una sottosuccessione F (xε ) → x0 . Ora, kxε − x0 k ≤ kxε − F (xε )k + kF (xε ) − x0 k → 0 ε → 0 . Ci` o implica, per la continuit` a di F , che F (xε ) → F (x0 ); abbiamo gi`a visto che F (xε ) → x0 e quindi x0 = F (x0 ) per l’unicit` a del limite.

14

CAPITOLO 1. ALCUNI TEOREMI DI PUNTO FISSO

Capitolo 2

Preliminari di analisi reale 2.1

Introduzione

Questo capitolo in cui studiamo alcuni importanti risultati di analisi reale, `e diviso in due parti. La prima parte `e dedicata al teorema di composizione di Nemitski; tale risultato stabilisce la continuit` a di un operatore definito mediante composizione con una funzione reale tra due spazi di Lebesgue. Nella seconda parte del capitolo definiremo gli spazi di Marcinkiewicz M p , particolari spazi di funzioni: saranno utili per stabilire dei risultati di regolarit`a.

2.2

Teorema di composizione di Nemitski

Scopo di questo paragrafo `e lo studio della continuit`a dell’operatore φ : Lp (Ω) u(x)

7 → Lq (Ω) 7→ f (x, u(x))

definito tra due spazi di Lebesgue mediante composizione con una funzione f . Ci saranno utili diversi risultati di analisi reale. I due teoremi che seguono studiano alcune propriet` a di convergenza negli spazi Lp . Teorema 2.1. Siano fn una successione di funzioni e f una funzione in Lp (Ω), per p > 1. Supponiamo che 1. fn `e uniformemente limitata in Lp (Ω); 2. fn → f q.o. in Ω. Allora fn → f in Lq (Ω), per ogni q ∈ [1, p) e debolmente in Lp (Ω). Dimostrazione.

Possiamo dire che esiste una costante L positiva tale che kfn − f kLp (Ω) ≤ L

∀n ∈ N.

(2.2.1)

Sia k ∈ R+ . Risulta Z

k p µ({|fn − f | > k}) ≤

|fn − f |p

{|fn −f |>k}

Z ≤ Ω

15

|fn − f |p ≤ Lp .

(2.2.2)

16

CAPITOLO 2. PRELIMINARI DI ANALISI REALE

Per ogni q ∈ [1, p), abbiamo Z |fn − f |q = Ω

Z

Z

al primo addendo, otteniamo

q  |fn − f |p  µ({|fn − f | > k})1− p +

 ≤ 

Ω

p q

 pq

 |fn − f |q

|fn − f |q .

{|fn −f |≤k}

{|fn −f |>k}

Applicando la disuguaglianza di H¨ older con esponente

Z

Z

|fn − f |q +

{|fn −f |>k}

Z

|fn − f |q .

+ {|fn −f |≤k}

Grazie alle disuguaglianze (2.2.1), (2.2.2) applicate al secondo membro, la disuguaglianza preedente implica che p−q Z Z L q q |fn − f |q . + |fn − f | ≤ L k Ω

{|fn −f |≤k} +

Osserviamo che fissato k ∈ R il teorema di Lebesgue ci assicura che il secondo addendo del secondo membro tende a 0. Dunque, fissato ε > 0 esiste k tale che il primo addendo `e minore di ε; per tale k, esiste n tale che il secondo addendo `e minore di ε per ogni n ≥ n; in conclusione fn → f in Lq (Ω) se q < p. Dimostriamo che fn → f debolmente in Lp (Ω). Sicuramente possiamo estrarre una sottosuccessione debolmente convergente in Lp (Ω). Per l’unicit`a del limite debole la sottosuccessione converge a f. Per dimostrare che fn → f debolmente in Lp (Ω) basta ragionare per assurdo. Il seguente teorema ci fornisce delle condizioni sufficienti per la convergenza in Lp (Ω) . Teorema 2.2 (Vitali). Siano fn una successione di funzioni e f una funzione in Lp (Ω). Supponiamo che 1. fn → f q.o. in Ω; Z 2. lim |fn |p = 0, uniformemente rispetto a n, se E `e un sottinsieme misurabile di Ω. µ(E)→0

Ω

Allora fn → f in Lp (Ω). Andiamo ora a dimostrare il teorema di Vitali. Dimostrazione. Fissiamo ε > 0. Sia E ⊂ Ω misurabile (che fisseremo dopo); possiamo scrivere Z Z Z |fn − f |p ≤ |fn − f |p + 2p−1 [|fn |p + |f |p ]. (2.2.3) Ω

E

Ω\E

Grazie all’ipotesi 2, esiste δ1 (ε) > 0 tale che, se µ(E) < δ1 (ε), allora Z |fn |p < ε ∀ n ∈ N . E

Per l’assoluta continuit` a dell’integrale, esiste δ2 (ε) > 0 tale che, se µ(E) < δ2 (ε), allora Z |f |p < ε. E

2.2. TEOREMA DI COMPOSIZIONE DI NEMITSKI

17

In conclusione il secondo addendo del secondo membro della (2.2.3) `e minore di 2p ε . Occupiamoci del primo: ponendo δ = min{δ1 (ε), δ2 (ε)} e applicando il teorema di Egorov, troviamo νε ∈ N e un insieme misurabile E0 ⊂ Ω tali che µ(E0 ) < δ e Z |fn − f |p < ε, Ω\E0

per ogni n > νε . Scegliendo allora E = E0 , otteniamo la tesi. Corollario del teorema di Vitali `e il seguente risultato. Teorema 2.3. Siano fn una successione di funzioni e f una funzione in Lp (Ω). Allora fn → f in Lp (Ω) se e soltanto se 1. fn → f in misura; Z 2. lim |fn |p = 0 uniformemente rispetto a n, con E sottoinsieme misurabile di Ω. µ(E)→0

E

Dimostrazione. Dividiamo la dimostrazione in due parti. ` evidente che Parte I: supponiamo che fn → f in Lp (Ω) : vogliamo dimostrare le condizioni 1 e 2. E fn → f in misura. Inoltre, se E `e un qualunque sottoinsieme misurabile di Ω, si ha Z Z Z Z |fn |p = |fn − f + f |p ≤ 2p−1 |fn − f |p + 2p−1 |f |p . E

E

E

E

Fissiamo ε > 0; per l’assoluta continuit` a dell’integrale, esiste δ > 0 tale che, se µ(E) < δ, allora Z |f |p < ε; E p

d’altra parte, poich´e fn → f in L (Ω), esiste νε in N tale che  p  p  p Z Z Z  |fn |p  −  |f |p  ≤  |fn − f |p  < ε ∀ n > νε . E

E

(2.2.4)

E

Cio` o implica che ∀ n > νε , se µ(E) < δ(ε)  p  p Z Z  |fn |p  ≤ ε +  |f |p  ≤ 2ε . E

E

Per l’assoluta continuit` a dell’integrale applicata a f1 , ..., fνε ∈ Lp (Ω), esiste δ1 (ε) tale che µ(E) < δ1 (ε) Z |fj |p < ε ∀ j = 1, .., νε . E

Ci` o dimostra la tesi. Parte II: dimostriamo che le ipotesi 1 e 2 implicano che fn → f in Lp (Ω). Poich´e fn → f in misura, si pu` o estrarre una sottosuccessione tale che fnk → f q.o. in Ω. Il teorema di Vitali implica che fnk → f in Lp (Ω). Per dimostrare che fn → f in Lp (Ω) e non solo una sottosuccessione, si ragiona per assurdo: infatti, se esistessero una sottosuccessione fnj ed ε0 > 0 tali che kfnj − f kLp (Ω) ≥ ε0 ,

(2.2.5)

ripetendo il ragionamento appena fatto, si potrebbe estrarre da fnj una sottosuccessione convergente ad f in Lp (Ω); questo `e in contraddizione con la (2.2.5). Diamo ora la definizione di funzione di Carath´eodory che useremo spesso in queste note.

18

CAPITOLO 2. PRELIMINARI DI ANALISI REALE

Definizione 2.4. Una funzione g(x, ξ) : Ω × Rm → R `e una funzione di Carath´eodory se `e continua in ξ, per quasi ogni x in Ω e misurabile in x per ogni ξ in Rm . Lemma 2.5. Sia f (x, t) : Ω × R → R una funzione di Carath´eodory. Siano un una successione di funzioni e u0 una funzione misurabile tali che un → u0 in misura. Allora f (x, un ) → f (x, u0 ) in misura. Dimostrazione.

Sia ε arbitrario e u una funzione misurabile fissata arbitrariamente. Poniamo 1 Ωk = x ∈ Ω : |u0 (x) − u(x)| < ⇒ |f (x, u0 (x)) − f (x, u(x))| < ε . k S Poich´e f `e continua nella seconda variabile, si ha k∈N Ωk = Ω. Essendo Ωi ⊂ Ωj , per i < j, si ha η lim µ(Ωk ) = µ(Ω); quindi, fissato η, esiste k0 tale che µ(Ω) − µ(Ωk0 ) < . Poniamo k→∞ 2 1 An = x ∈ Ω : |un (x) − u0 (x)| < ; k0 η . Poniamo infine 2 ⊂ Dn e da ci`o si ricava

poich´e un → u0 in misura, esiste n0 tale che, per ogni n > n0 , risulta µ(Ω) − µ(An ) < Dn = {x ∈ Ω : |f (x, un (x)) − f (x, u0 (x))| < ε}. Per definizione si ha che An ∩ Ωk0 µ(Ω) − µ(Dn ) < [µ(Ω) − µ(An )] + [µ(Ω) − µ(Ωk0 )] <

η η + = η. 2 2

Ci` o dimostra la tesi. Siamo ora in grado di dimostrare il teorema di composizione di Nemitski. Teorema 2.6 (composizione di Nemitski). Sia f (x, t) : Ω × R → R una funzione di Carath´eodory. Supponiamo che esistano una funzione positiva a ∈ Lq (Ω) ed una costante γ > 0 tale che p

|f (x, t)| ≤ a(x) + γ|t| q .

(2.2.6)

Allora l’operatore φ : Lp (Ω) u(x)

7 → Lq (Ω) 7→ f (x, u(x))

`e continuo. Dimostrazione. Supponiamo che un → u in Lp (Ω): vogliamo dimostrare che φ(un ) → φ(u) in Lq (Ω). Per fare ci` o dimostreremo che φ(un ) soddisfa le ipotesi 1 e 2 del teorema 2.3. Sicuramente un → u in misura e dunque, per il lemma precedente si ha che f (x, un (x)) → f (x, u(x)) in misura, cio`e φ(un ) → φ(u) in misura. Dimostriamo ora che Z lim |φ(un )|q = 0 µ(E)→0

E

uniformemente rispetto a n. Se E `e un sottoinsieme misurabile di Ω, integrando su E, grazie alla (2.2.6), otteniamo Z Z Z q q−1 q q−1 |f (x, un (x))| ≤ 2 a(x) + γ 2 |un (x)|p , E

Z e quindi

lim µ(E)→0

E

E

|f (x, un (x))|q = 0, uniformemente rispetto a n, grazie all’assoluta continuit`a dell’inte-

E

grale applicata al primo addendo e al teorema 2.3 applicato a un . Per concludere, `e sufficiente applicare il teorema 2.3 alla successione f (x, un (x)). Concludiamo questo paragrafo con un risultato che ci sar`a utile nel capitolo 4. Teorema 2.7. Siano q > 1 e p ≥ 1. Sia f (x, t) : Ω × R → R una funzione di Carath´eodory che soddisfa la (2.2.6). Se un → u debolmente in Lp (Ω) e q.o. in Ω, allora f (x, un ) → f (x, u) debolmente in Lq (Ω).

2.3. SPAZI DI MARCINKIEWICZ

19

Dimostrazione. Poich´e un → u q.o. in Ω ed f `e una funzione di Carath´eodory, allora f (x, un ) → f (x, u) q.o. in Ω. Poich´e kun kLp (Ω) `e limitata, grazie all’ipotesi (2.2.6), kf (x, un )kLq (Ω) `e limitata. Quindi, applicando il teorema 2.1 alla successione f (x, un ), otteniamo che f (x, un ) → f (x, u) debolmente in Lq (Ω).

2.3

Spazi di Marcinkiewicz

In questo paragrafo definiremo uno spazio di funzioni che risulter`a naturale nello studio della regolarit` a delle soluzioni dei problemi differenziali che studieremo in queste note. Definizione 2.8. Sia p ≥ 0. Lo spazio di Marcinkiewicz M p (Ω) `e lo spazio delle funzioni f : Ω → R misurabili con la seguente propriet` a: esiste una costante γ > 0 tale che µ({|f | > λ}) ≤

γ λp

∀ λ > 0.

(2.3.1)

La norma di una funzione f ∈ M p (Ω) `e definita come kf kpM p (Ω) = inf{γ > 0 : vale la (2.3.1)} . Osserviamo che M p (Ω) ⊆ Lp (Ω), p ≥ 1, come dimostra la proposizione seguente. Proposizione 2.9. Sia p ≥ 1. Allora Lp (Ω) ⊂ M p (Ω). Dimostrazione.

Sia f una funzione in Lp (Ω). Allora Z Z p λp = λp µ({|f | > λ}) |f | ≥ Ω

{|f |>λ}

cio`e f appartiene a M p (Ω). Osservazione 2.10. Lp (Ω) `e strettamente contenuto in M p (Ω); basta infatti considerare in Ω = (0, 1) ⊂ 1 R la funzione f (x) = . Questa funzione non appartiene a L1 (0, 1), ma appartiene a M 1 (0, 1), perch´e x 1 1 >λ µ ≤ . x λ Vogliamo ora vedere se M p (Ω) `e incluso in qualche spazio di Lebesgue. Riferendoci ad una funzione f , indicheremo con Ak il seguente insieme: Ak = {|f | ≥ k}, e con Bk l’insieme Bk = {k ≤ |f | < k + 1}. Lemma 2.11. Siano r ≥ 1 e f una funzione misurabile. Allora f ∈ Lr (Ω) ⇐⇒

∞ X

k r−1 µ(Ak ) < +∞.

k=0

Dimostrazione. Cominciamo con delle osservazioni che ci saranno utili in seguito. Notiamo innanzitutto che possiamo scrivere Z ∞ Z X r |f | = |f |r . (2.3.2) Ω

k=0B k

20

CAPITOLO 2. PRELIMINARI DI ANALISI REALE ∞ S

D’altra parte, osserviamo anche che Ak =

Bi , e l’unione `e disgiunta; perci`o

i=k ∞ X

∞ X

k r−1 µ(Ak ) =

k=0

k r−1

k=0

∞ X

µ(Bi ) =

+∞ X

µ(Bi )

i=0

i=k

i X

k r−1 ,

(2.3.3)

k=0

potendo scambiare l’ordine di somma, visto che i termini sono positivi. Notiamo inoltre che per una qualunque funzione reale g : R+ → R+ continua e crescente si ha n X

n+1 Z

g(t) dt ≤

g(k) ≤

k=0

n X

g(k + 1).

k=0

0

In particolare useremo la funzione g(t) = tr−1 , continua e crescente su R+ per r ≥ 1: potremo dunque scrivere che Zm m−1 m−1 X X mr r−1 ≤ (j + 1)r−1 . (2.3.4) j ≤ tr−1 dt = r j=0 j=0 0

Dimostriamo ora le due implicazioni dell’enunciato. Parte I: supponiamo che f ∈ Lr (Ω). Usando la prima disuguaglianza della (2.3.4) nella (2.3.3), otteniamo ∞ X

k r−1 µ(Ak ) ≤

∞ X

µ(Bi )

i=0

k=0

(i + 1)r ; r

poich´e su Bi |f | ≥ i, usando la (2.3.2) si ha ∞ X

Z ∞ X 1

k r−1 µ(Ak ) ≤

i=0

k=0

r

r−1

2

≤

r

(1 + |f |)r =

B i

Z µ(Ω) +

Z 1 (1 + |f |)r r Ω

|f |r  .

Ω

Visto che f ∈ Lr (Ω), la serie a primo membro `e convergente. Parte II: supponiamo che ∞ X k r−1 µ(Ak ) < +∞. k=0 r

Vogliamo dimostrare che f ∈ L (Ω). Si ha, grazie alla (2.3.3) e (2.3.4) ∞ X

k r−1 µ(Ak ) =

∞ X

i X

µ(Bi )

i=0

k=0

k r−1 =

k=0

e dunque

∞ X

∞ X

µ(Bi )

i=0

i−1 X

(h + 1)r−1 ≥

h=0

∞ X

µ(Bi )

i=0

µ(Bi )ir < ∞ .

i=0

Per definizione di Bi ∞ X i=0

ci` o implica la tesi.

µ(Bi )ir ≥

∞ Z X i=2 B

i

(|f | − 1)r ≥

1

Z

2r−1 Ω\(B0 ∪B1 )

|f |r − 3µ(Ω) :

ir . r

2.3. SPAZI DI MARCINKIEWICZ

21

Proposizione 2.12. Sia p > 1 e 0 < ε ≤ p − 1. Allora M p (Ω) ⊂ Lp−ε (Ω). Dimostrazione.

Sia f ∈ M p (Ω). In base al lemma precedente, baster`a dimostrare che ∞ X

k p−ε−1 µ(Ak ) < ∞.

k=0

Poich´e µ(Ak ) ≤

γ per un certo γ > 0, si ha kp ∞ X

k p−ε−1 µ(Ak ) ≤

k=0

∞ X

k p−ε−1

k=0

γ ; kp

l’ultima serie `e convergente perch´e ε > 0 e dunque si ha la tesi. Proposizione 2.13. Sia f una funzione appartenente a M p (Ω), con p > 1. Allora esiste una costante B = B(kf kM p (Ω) , p) > 0 tale che, per ogni insieme misurabile E ⊂ Ω Z 1 |f | ≤ B µ(E)1− p . (2.3.5) E

Dimostrazione.

Cominciamo dimostrando che per ogni f ∈ L1 (Ω) si ha Z

+∞ Z µ(At ∩ E) dt. |f | =

(2.3.6)

0

E

La prova di questa identit` a sar` a suddivisa in vari passi. Passo I:Z supponiamo che f (x) = α χE (x), α > 0, dove χE (x) `e la funzione che vale 1 se x ∈ E e 0 altrove. |f (x)| = α µ(E). D’altra parte,

Allora E

At ∩ E = {x ∈ E : |f (x)| > t} =

E ∅

se t ≤ α se t > α,

(2.3.7)

e quindi +∞ Z Zα µ(At ∩ E) dt = µ(E) dt = α µ(E). 0

0

Passo II: supponiamo ora che f (x) =

M P

αi χEi , dove gli Ei sono dei sottoinsiemi misurabili di E tali che

i=1 M [

Ei ∩ Ej = ∅

Ei = E

se

i 6= j,

i=1

e αi ∈ R+ . Allora Z |f | = E

M Z X

αi χEi

i=1 E

+∞ M Z X = µ(Ai,t ) dt i=1 0

per il passo I, dove Ai,t = {x ∈ Ω : αi χEi (x) > t}. Ora, ( ) M M M M [ [ X [ At ∩ E = (At ∩ Ei ) = x ∈ Ei : αi χEi > t = Ai,t i=1

i=1

i=1

i=1

22

CAPITOLO 2. PRELIMINARI DI ANALISI REALE

che implica che +∞ +∞ M +∞ Z Z M Z X X µ(At ∩ E) dt = µ(Ai,t ) dt = µ(Ai,t ) dt . 0

0

i=1

i=1 0

Passo III: sia ora f una qualunque funzione appartenente a L1 (Ω). Allora esiste una successione di funzioni semplici positive tali che sn → |f | q.o. in Ω crescendo. Per il teorema di Beppo Levi e per il passo II, possiamo scrivere

Z

Z |f | = lim

n→∞

E

+∞ Z µ{x ∈ E : |sn (x)| > t} dt sn = lim n→∞

0

E +∞ Z

= lim

Z

dt

n→∞ 0

χ{x∈E:|sn (x)|>t} . E

Grazie al teorema di Lebesgue Z lim

Z χAt ∩E = µ(At ∩ E) .

χ{x∈E:|sn (x)|>t} =

n→∞ E

E

Poniamo Z gn (t) =

χ{x∈E:|sn (x)|>t} . E

Abbiamo dimostrato che Z

+∞ Z |f | = lim gn (t) dt n→∞

0

E

e che gn (t) → µ(At ∩ E) per n → ∞. Per dimostrare la tesi, basta allora provare che

lim

n→+∞

+∞ +∞ Z Z gn (t) dt = µ(At ∩ E) dt . 0

0

Si ha che gn (t) → µ(At ∩ E) q.o. in (0, ∞); inoltre |gn (t)| ≤ µ(E); baster`a dimostrare che µ(At ∩ E) appartiene a L1 (0, ∞), per poi applicare il teorema di Lebesgue. Dato che f ∈ M p (Ω) µ(At ) ≤ tγp e per questo +∞ +∞ +∞ Z Z1 Z Z γ µ(At ∩ E)dt ≤ µ(At ∩ E) dt + µ(At ) dt ≤ µ(E) + dt < +∞ , tp 0

in quanto p > 1.

0

1

1

2.4. APPENDICE

23

Siamo ora in grado di dimostrare la (2.3.5): infatti Z∞

Z |f |

µ(At ∩ E) dt =

= 0

E

−1 p

µ(E) Z

+∞ Z

µ(At ∩ E) dt +

= 0

µ(At ∩ E) dt

−1 µ(E) p

Z∞

1

≤ µ(E)1− p +

µ(At ) dt µ(E)

1 1− p

≤ µ(E)

+

−1 p

kf kpM p (Ω)

Z∞

t−p dt

−1 p

µ(E) 1 1− p

≤ B µ(E)

,

dove B dipende da kf kM p (Ω) e da p.

2.4

Appendice

Ricordiamo qui i principali risultati sugli spazi di Lebesgue che usiamo in questo corso (consultare [13] per maggiori dettagli). p Sia E un sottoinsieme di RN , N ≥ 1, misurabile secondo Lebesgue. Sia 1 < p < ∞; p0 denota . p−1 0

Teorema 2.14 (Disuguaglianza di H¨ older). Siano f ∈ Lp (E) e g ∈ Lp (E). Allora Z |f g| ≤ kf kLp (E) kgkLp0 (E) . E

Teorema 2.15 (Disuguaglianza di interpolazione). Siano p, q, r ∈ [1, ∞) tali che p < r < q. Sia f ∈ Lq (E). Allora kf kLr (E) ≤ kf kθLp (E) kf k1−θ Lq (E) , dove θ `e tale che

1 θ 1−θ = + . r p q

Teorema 2.16 (Beppo Levi). Sia fn una successione di funzioni L1 (E) tali che 1. fn (x) ≤ fn+1 (x) q.o. in E per ogni n ∈ N; Z 2. fn < +∞ per ogni n ∈ N. E

Allora fn → f in L1 (E). Teorema 2.17 (Lebesgue). Sia fn una successione di funzioni L1 (E) tali che 1. fn → f q.o. in E; 2. ∃ g ∈ L1 (E) tale che |fn (x)| ≤ g(x) q.o. in E. Allora fn → f in L1 (E).

24

CAPITOLO 2. PRELIMINARI DI ANALISI REALE

Teorema 2.18 (Fatou). Sia fn una successione di funzioni L1 (E) tali che 1. fn ≥ 0 q.o. in E; Z 2. fn < +∞ per ogni n ∈ N. E

Z

Z Sia f (x) = lim inf fn (x) per q.o. x ∈ E. Allora

f ≤ lim inf

n→∞

fn .

n→∞

E

E

Teorema 2.19 (Egorov). Sia fn una successione di funzioni e f una funzione definite su E, µ(E) < +∞. Supponiamo che fn → f q.o. in E. Allora per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme misurabile A di E tale che µ(E \ A) < ε e fn → f uniformemente su A. Teorema 2.20. Sia 1 < p < ∞. Una successione {fn } ∈ Lp (E) converge debolmente a f in Lp (E) se Z 0 (fn − f )g → 0 per ogni g ∈ Lp (E). Una successione {fn } ∈ L1 (E) converge debolmente a f in L1 (E) E

Z se

(fn − f )g → 0 per ogni g ∈ L∞ (E).

E

Teorema 2.21. Sia 1 < p < ∞. Allora Lp (E) `e riflessivo, cio`e ogni successione limitata {fn } in Lp (E) ha una sottosuccessione debolmente convergente a qualche f ∈ Lp (E).

Capitolo 3

Equazioni ellittiche lineari e semilineari 3.1

Introduzione

In questo capitolo studieremo alcune equazioni ellittiche, di tipo lineare e semilineare. La prima classe di problemi che affronteremo sar` a −div(M (x)∇u) = f in Ω u=0 su ∂Ω e poi aggiungeremo una nonlinearit` a sulla variabile u, studiando −div(M (x)∇u) + g(u) = f in Ω u=0 su ∂Ω . In tutto il capitolo M (x) denoter` a una matrice N × N simmetrica, ellittica, cio`e tale che esiste una costante α > 0 per cui M (x)ξ · ξ ≥ α|ξ|2 ∀ ξ ∈ RN (3.1.1) e limitata, cio`e |M (x)| ≤ β

3.2

∀x ∈ Ω.

(3.1.2)

Teoremi di Lax-Milgram e Stampacchia

In questo paragrafo presenteremo dei risultati di analisi funzionale astratta che ci saranno utili nello studio di alcuni problemi differenziali: il teorema di Lax-Milgram e il teorema di Stampacchia ( [16], [26]). Useremo le seguenti notazioni. Sia p H un spazio di Hilbert; denotiamo con (u|v) il prodotto scalare di due elementi u, v ∈ H, e con kuk = (u|u) la norma di un elemento u ∈ H . Se ϕ ∈ H 0 , indicheremo con < ϕ, v > il valore di ϕ in v ∈ H. Teorema 3.1 (Lax-Milgram). Sia H uno spazio di Hilbert ed a : H × H → R una forma lineare in entrambi gli argomenti, continua e coerciva. Allora, fissato g ∈ H 0 , esiste un unico u ∈ H tale che a(u, v) =< g, v >

∀v ∈ H .

Nella dimostrazione del teorema di Lax-Milgram faremo uso della seguente proposizione: Proposizione 3.2 (Stampacchia). Siano H uno spazio di Hilbert, K ⊆ H un insieme chiuso e convesso; sia a : K × K → R una forma lineare in entrambi gli argomenti, continua e coerciva. Allora, fissato g ∈ H 0 esiste un unico u ∈ K tale che a(u, v − u) ≥< g, v − u > 25

∀v ∈ K .

26

CAPITOLO 3. EQUAZIONI ELLITTICHE LINEARI E SEMILINEARI

Dimostrazione.

Fissato g ∈ H 0 , per il teorema 3.16 esiste un unico f ∈ H tale che < g, v >= (f |v) ∀ v ∈ H .

Inoltre, ad u fissato, l’applicazione v 7→ a(u, v) `e continua e lineare su H, e dunque, ancora grazie al teorema 3.16, esiste A(u) ∈ H tale che a(u, v) = (A(u)|v). La tesi consiste allora nel provare che esiste un unico u ∈ K tale che (A(u) − f |v − u) ≥ 0 ∀v ∈ K o equivalentemente, se λ > 0 (−λA(u) + λf )|v − u ≤ 0

∀v ∈ K .

A tale scopo, useremo il teorema della proiezione 3.15. Infatti, sia C : H → K ⊂ H l’applicazione che associa ad ogni z ∈ H la proiezione sul convesso K del punto z−λA(z)+λf, cio`e C(z) = PK (z−λA(z)+λf ) secondo le notazioni del teorema della proiezione 3.15. In base alla propriet`a (3.6.1) della proiezione, sappiamo che (z − λA(z) + λf − C(z)|v − C(z)) ≤ 0 ∀ v ∈ K . Per provare la tesi, basta allora dimostrare che l’applicazione C ha un punto fisso. A tale scopo dimostriamo che C `e una contrazione e usiamo il teorema 1.1: grazie alla propriet`a (3.6.2) della proiezione, si ha kC(z1 ) − C(z2 )k2 ≤ kz1 − z2 − λ(A(z1 ) − A(z2 ))k2 . Ora, dalle propriet` a di continuit` a e di coercivit`a di A, si ha kC(z1 ) − C(z2 )k2

≤

kz1 − z2 k2 + λ2 kA(z1 ) − A(z2 )k2 −2λ(z1 − z2 |A(z1 ) − A(z2 ))

≤

kz1 − z2 k2 + λ2 β 2 kz1 − z2 k2 − 2αλkz1 − z2 k2

=

(1 + λ2 β 2 − 2αλ)kz1 − z2 k2 .

Pertanto C ammette un unico punto fisso, a patto di scegliere λ tale che 0 < λ < 2α/β 2 . Questo conclude la dimostrazione. Siamo ora in grado di dimostrare il teorema di Lax-Milgram. Dimostrazione. Dato ϕ ∈ H 0 esiste un unico u ∈ H tale che a(u, v − u) ≥< ϕ, v − u > ∀ v ∈ H grazie alla proposizione precedente. In particolare a(u, tv − u) ≥< ϕ, tv − u >

∀v ∈ H

∀t ∈ R,

cio`e t[a(u, v)− < ϕ, v >] ≥ a(u, u)− < ϕ, u >: ci` o implica che a(u, v)− < ϕ, v >= 0 per ogni v ∈ H . Teorema 3.3 (Stampacchia). Sia H uno spazio di Hilbert. Sia a : H × H → R una forma lineare nella seconda variabile tale che 1. |a(ψ1 , w) − a(ψ2 , w)| ≤ βkψ1 − ψ2 kkwk

∀ ψ1 , ψ2 , w ∈ H;

2. a(ψ1 , ψ1 − ψ2 ) − a(ψ2 , ψ1 − ψ2 ) ≥ Ckψ1 − ψ2 k2

∀ ψ1 , ψ2 ∈ H.

Allora per ogni ϕ ∈ H 0 esiste un unico u ∈ H tale che a(u, w) = ϕ(w) ∀ w ∈ H. Dimostrazione. Divideremo la prova in due passi. Passo I: Dimostriamo che se A : H → H `e un operatore tale che

3.3. EQUAZIONI LINEARI

27

a) kA(x) − A(y)k ≤ γkx − yk

∀ x, y ∈ H

b) (x − y|A(x) − A(y)) ≥ αkx − yk2

∀ x, y ∈ H

allora, fissato f ∈ H esiste un unico u ∈ H tale che A(u) = f . A tale scopo basta dimostrare che R(v) = v − λA(v) + λf `e una contrazione per un certo λ. Vedremo che `e sufficiente scegliere 0 < λ < 2α γ 2 . Si ha infatti che kR(v) − R(w)k2

= (R(v) − R(w)|R(v) − R(w)) = kv − wk2 + λ2 kA(v) − A(w)k2 − 2λ(v − w|A(v) − A(w)) .

Sfruttando le ipotesi su A si ottiene kR(v) − R(w)k2 ≤ (1 + λ2 γ 2 − 2λα)kv − wk2 . Affinch´e R sia una contrazione basta allora scegliere 0 < λ < 2α γ2 . Passo II: In base al teorema di 3.16, fissato ϕ ∈ H 0 esiste un unico x0 ∈ H tale che ϕ(w) = (x0 |w) ∀ w ∈ H. La tesi consiste allora nel cercare u ∈ H tale che a(u, w) = (x0 |w) ∀ w ∈ H. Ora, per ogni v ∈ H possiamo considerare il funzionale lineare continuo su H definito da Tv : H w

→ R → a(v, w) .

Ancora in base al teorema 3.16 esiste un unico v0 ∈ H tale che Tv (w) = (v0 |w) ∀ w ∈ H. Possiamo allora definire A: H → H v → v0 . L’operatore cos`ı definito verifica le ipotesi a) e b) del passo I; di conseguenza dato f ∈ H esiste un unico u tale che A(u) = f, cio`e a(u, w) = (A(u)|w) = (f |w) per ogni w ∈ H .

3.3

Equazioni lineari

In questo paragrafo tratteremo il problema lineare −div(M (x)∇u) = f u=0

in Ω su ∂Ω .

(3.3.1)

Vedremo che il teorema di Lax-Milgram sar`a uno strumento fondamentale nella dimostrazione. Osserviamo che in questa classe di problemi rientra il laplaciano, ossia il problema −∆u = f in Ω u=0 su ∂Ω . Teorema 3.4. Sotto le ipotesi (3.1.1), sia f ∈ Lm (Ω), m ≥ N2N +2 . Allora esiste un’unica soluzione debole 1 u ∈ H0 (Ω) del problema (3.3.1), ossia Z Z M (x)∇u · ∇v = f v ∀ v ∈ H01 (Ω) . (3.3.2) Ω

Dimostrazione.

Ω

Definiamo la forma lineare a : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R come Z a(u, v) = M (x)∇u · ∇v. Ω

28

CAPITOLO 3. EQUAZIONI ELLITTICHE LINEARI E SEMILINEARI

Si vede facilmente che a `e continua: infatti, per la limitatezza dei coefficienti della matrice M e per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, si ha Z |a(u, v)| ≤ |M (x)∇u · ∇v| ≤ βk∇ukL2 (Ω) k∇vkL2 (Ω) . Ω

D’altra parte a `e coerciva, visto che M (x)ξ · ξ ≥ α|ξ|2 . La tesi segue dal teorema di Lax-Milgram. Osservazione 3.5. Vedremo un’altra dimostrazione di questo teorema nel capitolo 8.

3.4

Alcune equazioni semilineari monotone

In questo paragrafo ci occuperemo dello studio del seguente problema semilineare −div(M (x)∇u) + g(u) = f in Ω u=0 su ∂Ω .

(3.4.1)

Nel primo risultato che proveremo useremo il teorema di Stampacchia 3.3. Teorema 3.6. Sia g : R → R una funzione crescente, lipschitziana, cio`e tale che |g(s) − g(t)| ≤ C|s − t| per un C > 0, per ogni s, t ∈ R e tale che |g(s)| ≤ γ|s| per un γ > 0. Sia f ∈ Lm (S), m ≥ N2N +2 . Allora 1 esiste un’unica soluzione debole u ∈ H0 (Ω) del problema (3.4.1). Dimostrazione.

Definiamo la seguente forma su H01 (Ω) × H01 (Ω) Z Z a(u, w) = M (x)∇u · ∇w + g(u)w. Ω

Ω

Osserviamo che a `e ben definita, perch´e Z |a(u, w)| ≤ β

Z |∇u||∇w| + γ

Ω

|uv| Ω

per le ipotesi du M e le ipotesi di crescita su g. Dimostreremo la tesi utilizzando il teorema 3.3. La forma a `e ovviamente lineare nella seconda variabile; soddisfa l’ipotesi 1 del teorema 3.3 perch´e |a(u1 , w) − a(u2 , w)| ≤ βk∇(u1 − u2 )kL2 (Ω) k∇wkL2 (Ω) + Cku1 − u2 kL2 (Ω) kwkL2 (Ω) per la limitatezza della matrice M e la lipschitzianit`a della funzione g. Inoltre a soddisfa l’ipotesi 2 del teorema 3.3: Z a(u1 , u1 − u2 ) − a(u2 , u1 − u2 ) = M (x)∇(u1 − u2 ) · ∇(u1 − u2 ) ZΩ [g(u1 ) − g(u2 )](u1 − u2 )

+ Ω

≥ αk∇(u1 − u2 )k2L2 (Ω) per l’ellitticit` a di M e la monotonia di g. La tesi segue dunque dal teorema 3.3. Dimostreremo anche il seguente risultato, dove, a differenza del teorema precedente non facciamo ipoteri sulla crescita della funzione g: Teorema 3.7. Sia g : R → R una funzione crescente, lipschitziana e tale che g(0) = 0 . Sia f ∈ 1 Lm (Ω), m ≥ N2N +2 . Allora esiste un’unica funzione u ∈ H0 (Ω) che verifica Z Z Z M (x)∇u · ∇ϕ + g(u)ϕ = f ϕ Ω

per ogni ϕ ∈

H01 (Ω)

∞

∩ L (Ω).

Ω

Ω

3.4. ALCUNE EQUAZIONI SEMILINEARI MONOTONE

29

Nella dimostrazione faremo uso della funzione Tk (x) = max{min{k, x}, −k}, per k > 0.

(3.4.2)

Dimostrazione. Passo I: Dimostriamo l’esistenza di una soluzione. Lavoreremo per approssimazione. A tale scopo, sia gn (t) = Tn (g(t)); siano un ∈ H01 (Ω) le soluzioni dei problemi −div(M (x)∇un ) + gn (un ) = f in Ω (3.4.3) un = 0 su ∂Ω : l’esistenza `e assicurata dal teorema precedente, visto che gn `e crescente, lipschitziana e |gn (s)| ≤ |s|. Scegliendo un come funzione test nei problemi (3.4.3) si ottiene Z Z Z M (x)∇un · ∇un + un g(un ) = f un . (3.4.4) Ω

Ω

Ω

L’ellitticit` a di M e la monotonia di g implicano che αk∇un k2L2 (Ω) ≤

Z f un . Ω

Usando la disuguaglianza di H¨ older e di Poincar´e sul secondo membro si ha che kun kH01 (Ω) `e uniformemenZ te limitata. Riprendendo la (3.4.4) possiamo dire che esiste una costante C > 0 tale che un g(un ) ≤ C Ω

Z per ogni n ∈ N (visto che

Z M (x)∇un · ∇un `e positivo e

Ω

f un `e limitato uniformemente). Deduciamo Ω

che esiste una funzione u ∈ H01 (Ω) tale che un → u debolmente in H01 (Ω) e q.o., a meno di una sottosuccessione. Dimostriamo ora che gn (un ) → g(u) in L1 (Ω). Sicuramente gn (un ) → g(u) q.o. Inoltre se E `e un qualunque sottoinsieme di Ω e t ∈ R+ si ha che Z Z Z |gn (un )| = |gn (un )| + |gn (un )| E

{x∈E:|un (x)|≤t}

Z ≤

|gn (t)| +

{x∈E:|un (x)|>t}

Z

1 t

E

un g(un ) {x∈E:|un (x)|>t}

≤ |g(t)|µ(E) +

C t

grazie alle stime precedenti. Di conseguenza Z C lim |gn (un )| ≤ t µ(E)→0

∀ t > 0.

E

In base al teorema 2.2 gn (un ) → g(u) in L1 (Ω). Allora per ogni ϕ ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) `e possibile passare al limite in Z Z Z M (x)∇un · ∇ϕ + gn (un )ϕ = f ϕ Ω

e si ottiene che u verifica

Ω

Z

Z M (x)∇u · ∇ϕ +

Ω

per ogni ϕ ∈

H01 (Ω)

∞

∩ L (Ω).

Ω

Z g(u)ϕ =

Ω

fϕ Ω

30

CAPITOLO 3. EQUAZIONI ELLITTICHE LINEARI E SEMILINEARI

Passo II: Dimostriamo l’unicit` a della soluzione. Siano u1 e u2 due soluzioni. Nelle formulazioni deboli scegliamo come funzione test Tk (u1 − u2 ): in qusto modo abbiamo Z Z M (x)∇(u1 − u2 ) · ∇Tk (u1 − u2 ) + [g(u1 ) − g(u2 )]Tk (u1 − u2 ) = 0 . Ω

Ω

La monotonia di g e l’ellitticit` a di M implicano che Tk (u1 − u2 ) = 0 per ogni k, e dunque u1 = u2 q.o. in Ω. Esempio 3.8. Il precedente teorema ci permette di risolvere in H01 (Ω), per esempio, le seguenti equazioni: −div(M (x)∇u) + |u|p−2 u = f e −div(M (x)∇u) + eu − 1 = f . Osservazione 3.9. Il lavorare su problemi approssimanti, ricavarne delle stime a priori e poi passare al limite `e una tecnica che ci sar` a utile anche in seguito, in particolare nei capitoli 9 e 10.

3.5

Equazioni semilineari: metodo delle sopra e sotto-soluzioni

In questo paragrafo di occuperemo del problema semilineare −div(M (x)∇u) = g(u) + f u=0

in Ω su ∂Ω

(3.5.1)

sotto le seguenti ipotesi: 2N

1. f ∈ L N +2 (Ω); 2. g : R → R `e crescente e continua e tale che per un γ > 0 |g(s)| ≤ γ|s|α , α ≤

N +2 . N −2

Osserviamo che g `e crescente come nel paragrafo precedente, ma diversamente da prima si trova a secondo membro. Risolveremo tale problema con il cosiddetto metodo delle sopra e sotto-soluzioni ( [23]). Definizione 3.10. Una funzione u ∈ H01 (Ω) `e una sotto-soluzione di (3.5.1) se per ogni v ∈ H01 (Ω) positiva Z Z Z M (x)∇u · ∇v ≤ g(u)v + f v . Ω

Ω

Ω

Analogamente, una funzione u ∈ H01 (Ω) `e una sopra-soluzione di (3.5.1) se per ogni v ∈ H01 (Ω) positiva Z Z Z M (x)∇u · ∇v ≥ g(u)v + f v . Ω

Ω

Ω

Teorema 3.11. Sotto le ipotesi precedenti, siano u e u una sotto e una sopra-soluzione di (3.5.1) tali che u ≤ u. Allora esiste una soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema (3.5.1); inoltre u ≤ u ≤ u. Z Lemma 3.12. Sia u ∈ H01 (Ω) tale che M (x)∇u · ∇v ≤ 0 per ogni v ∈ H01 (Ω) positiva. Allora u ≤ 0. Ω

3.5. EQUAZIONI SEMILINEARI: METODO DELLE SOPRA E SOTTO-SOLUZIONI Dimostrazione.

31

Sia v = u+ . Allora Z Z + + M (x)∇u · ∇u = M (x)∇(u+ − u− ) · ∇u+ ≤ 0 Ω

Ω

Per l’ellitticit` a di M , u+ = 0 . Passiamo ora alla dimostrazione del teorema 3.11. Dimostrazione. La dimostrazione si svilupper`a in tre passi: nel primo costruiremo per ricorrenza una successione un in H01 (Ω); nel secondo dimostreremo che u ≤ u1 ≤ ..... ≤ un ≤ ... ≤ u; nel terzo proveremo che la successione converge ad una soluzione u del nostro problema. Primo passo: poniamo u1 =u e costruiamo la successione un per ricorrenza ponendo u2 ∈ H01 (Ω) : −div(M (x)∇u2 ) = g(u1 ) + f u3 ∈ H01 (Ω) : −div(M (x)∇u3 ) = g(u2 ) + f . Al passo n-simo, avremo un ∈ H01 (Ω) : −div(M (x)∇un ) = g(un−1 ) + f . Secondo passo: Dimostriamo per induzione che la successione un `e crescente. Dimostriamo che u1 = u ≤ u2 . Ricordiamo che per ogni ϕ ≥ 0 si ha  Z Z   M (x)∇u1 · ∇ϕ ≤ (g(u1 ) + f )ϕ    Ω Ω Z Z   M (x)∇u · ∇ϕ = (g(u1 ) + f )ϕ .  2   Ω

Ω

Z M (x)∇(u1 − u2 ) · ∇ϕ ≤ 0. Di conseguenza grazie al lemma

Sottraendo membro a membro si ha Ω

precedente u1 − u2 ≤ 0. Dimostriamo ora che un ≤ un+1 , supponendo che un ≥ un−1 . Possiamo scrivere Z Z M (x)∇un · ∇ϕ = (g(un−1 ) + f )ϕ Ω Z

Ω

Z

M (x)∇un+1 · ∇ϕ = Ω

(g(un ) + f )ϕ . Ω

Ricordando l’ipotesi di crescenza della funzione g, g(un ) ≥ g(un−1 ) e dunque un+1 ≥ un grazie al lemma precedente. Di conseguenza risulta provata la crescenza della successione un . Con tecniche analoghe si dimostra che un ≤ u. Terzo passo: Vogliamo provare che un converge verso una soluzione del problema (3.5.1). Cominciamo col ∗ ∗ provare che un → u in L2 (Ω) per una certa u ∈ L2 (Ω). Visto che un `e crescente, un ammette un limite ∗ q.o., diciamo u. Ora, dal secondo passo segue che |un | ≤ |u| + |u|; al limite u ∈ L2 (Ω) e |u| ≤ |u| + |u|. Di conseguenza ∗

∗

∗

∗

∗

|un − u|2 ≤ C(N )(|un |2 + |u|2 ) ≤ C(N )(|u| + |u|)2 + C(N )|u|2 ∈ L1 (Ω) . 2N

∗

Il teorema di Lebesgue implica che un → u in L2 (Ω). Grazie all’ipotesi 2, g(un ) → g(u) in L N +2 (Ω) per il teorema di composizione 2.6. Dimostriamo ora che u `e soluzione del problema (3.5.1). Ricordando la definizione di un , si ha Z Z M (x)∇un · ∇un = (g(un−1 ) + f )un . Ω

Ω

32

CAPITOLO 3. EQUAZIONI ELLITTICHE LINEARI E SEMILINEARI

Usando la disuguaglianza di H¨ older sul secondo membro e l’ipotesi di ellitticit`a di M al primo otteniamo che αk∇un k2L2 (Ω) ≤ kg(un−1 ) + f k N2N kun kL2∗ (Ω) . +2 L

(Ω)

Essendo il secondo membro uniformemente limitato in n, un ammette un limite debole in H01 (Ω), che `e necessariamente u per identificazione. Possiamo allora passare al limite in Z Z M (x)∇un+1 · ∇v = (g(un ) + f )v ∀ v ∈ H01 (Ω) Ω

Ω

per ottenere che Z

Z M (x)∇u · ∇v =

Ω

(g(u) + f )v

∀ v ∈ H01 (Ω)

Ω

cio`e una soluzione del problema (3.5.1). Esempio 3.13. Con il precedente teorema `e facile dimostrare l’esistenza di una soluzione del problema −∆u = u2 − f in Ω (3.5.2) u=0 su ∂Ω dove f ∈ L∞ (Ω) ed `e positiva q.o. in Ω. Infatti la funzione u = 0 `e una sopra-soluzione. D’altra parte per il lemma 3.12 la soluzione ψ del problema −∆ψ = −f in Ω ψ=0 su ∂Ω `e una sotto-soluzione negativa del problema (3.5.2).

3.6

Appendice

Raccogliamo qui alcuni richiami sull’analisi funzionale e sugli spazi di Sobolev (per le dimostrazioni vedere [9]).

3.6.1

Alcuni richiami di analisi funzionale

Ci sembra utile ricordare i risultati sugli spazi di Hilbert che abbiamo usato in questo capitolo. Definizione 3.14. Sia H uno spazio di Hilbert. Sia a : H × H → R una forma lineare in entrambi gli argomenti. 1. a `e continua se esiste un reale β > 0 tale che |a(u, v)| ≤ βkukkvk ∀ u, v ∈ H . 2. a `e coerciva se esiste un reale α > 0 tale che a(u, u) ≥ αkuk2 ∀ u ∈ H . Teorema 3.15 (della proiezione). Sia H uno spazio di Hilbert e K ⊂ H un convesso chiuso non vuoto. Allora per ogni g in H esiste un unico punto in K, che denoteremo con PK g, tale che kg − PK gk ≤ kg − vk ∀ v ∈ K . Inoltre PK g soddisfa le seguenti propriet` a: (g − PK g|v − PK g) ≤ 0 ∀ v ∈ K

(3.6.1)

kPK g1 − PK g2 k ≤ kg1 − g2 k ∀ g1 , g2 ∈ K .

(3.6.2)

e

3.6. APPENDICE

33

Teorema 3.16 (di rappresentazione di Riesz). Siano H uno spazio di Hilbert e ϕ : H → R un funzionale lineare continuo. Allora esiste un unico g ∈ H tale che < ϕ, v >= (g|v) ∀ v ∈ H .

3.6.2

Alcuni richiami sugli spazi di Sobolev

Sia 1 ≤ p < N ; indicheremo con p∗ il numero reale tale che 1 1 1 = − . p∗ p N Teorema 3.17 (immersioni di Sobolev). Le seguenti immersioni ∗

1. W01,p (Ω) ⊂ Lp (Ω) se 1 ≤ p < N ; 2. W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω)

∀ q ∈ [p, +∞) se p = N ;

3. W01,p (Ω) ⊂ L∞ (Ω) se p > N sono continue. In particolare, per ogni u ∈ W01,p (Ω), esiste una costante positiva S dipendente solo da N e da p tale che SkukLp∗ (Ω) ≤ k∇uk(Lp (Ω))N ; questa disuguaglianza prendre il nome di disuguaglianza di Sobolev. Teorema 3.18 (Rellich-Kondrachov). Le seguenti immersioni 1. W 1,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) ∀ q ∈ [1, p∗ ) se 1 ≤ p < N ; 2. W 1,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) ∀ q ∈ [1, +∞) se p = N ; 3. W 1,p (Ω) ⊂ C(Ω) se p > N ; sono compatte. Teorema 3.19 (disuguaglianza di Poincar´e). Sia 1 ≤ p < +∞. Allora esiste una costante positiva c = c(Ω, p) tale che kukLp (Ω) ≤ ck∇uk(Lp (Ω))N ∀ u ∈ W01,p (Ω). L’espressione k∇uk(Lp (Ω))N `e una norma su W01,p (Ω) equivalente alla norma usuale kukW 1,p (Ω) . 0

34

CAPITOLO 3. EQUAZIONI ELLITTICHE LINEARI E SEMILINEARI

Capitolo 4

Teorema di Leray-Lions 4.1

Introduzione

In questo capitolo dimostreremo un risultato di esistenza di soluzioni per una classe di problemi ellittici non lineari. Pi` u precisamente ci occuperemo del problema (che chiameremo del tipo Leray-Lions) −div(a(x, u, ∇u)) = F (x, u, ∇u) in Ω (LL) u=0 su ∂Ω dimostrando il seguente teorema ( [17]): Teorema 4.1 (Leray-Lions). Sia p ∈ (1, ∞). Siano a : Ω × R × RN → RN e F : Ω × R × RN → R due funzioni di Carath´eodory, con le seguenti propriet` a: 1. esiste β > 0 tale che |a(x, s, ξ)| ≤ β[|s|p−1 + |ξ|p−1 ]; 2. esiste α > 0 tale che a(x, s, ξ) · ξ ≥ α|ξ|p ,

∀ ξ ∈ RN ;

3. [a(x, s, ξ) − a(x, s, η)] · [ξ − η] > 0 se ξ 6= η. 0

4. esiste f ∈ Lp (Ω) tale che |F (x, s, ξ)| ≤ f (x). Allora esiste una soluzione u ∈ W01,p (Ω) del problema (LL), cio`e Z Z 0 a(x, u, ∇u) · ∇v = F (x, u, ∇u)v ∀ v ∈ W01,p (Ω) . Ω

Ω

Come vedremo, la nonlinearit` a a rende molto pi` u complesso il problema rispetto ai problemi studiati nel capitolo 3.

4.2

Teorema di suriettivit` a

La dimostrazione del teorema di Leray-Lions `e basata su un risultato astratto di suriettivit`a per operatori definiti su spazi di Banach riflessivi in dualit`a (vedere [17] e [8]). Per enunciare il teorema di suriettivit` a abbiamo bisogno delle seguenti definizioni. Lavoreremo su un generico spazio di Banach V dove indicheremo con ||x|| la norma di un elemento x ∈ V . Definizione 4.2. Sia V uno spazio di Banach riflessivo. Un operatore A : V → V 0 `e pseudomonotono se soddisfa le seguenti condizioni: 1. A `e limitato, cio`e trasforma limitati di V in limitati di V 0 ; 35

36

CAPITOLO 4. TEOREMA DI LERAY-LIONS 2. se uj → u debolmente in V e se lim sup < A(uj ), uj − u >≤ 0, allora lim inf < A(uj ), uj − v >≥< j→+∞

j→+∞

A(u), u − v > per ogni v in V . Definizione 4.3. Sia V uno spazio di Banach riflessivo. Un operatore A : V → V 0 `e detto monotono se ∀ u, v ∈ V < A(u) − A(v), u − v >≥ 0. Definizione 4.4. Sia V uno spazio di Banach riflessivo. Un operatore A : V → V 0 `e detto coercivo se < A(v), v > → +∞, kvk → +∞ kvk Nella dimostrazione del teorema di suriettivit`a useremo il seguente lemma: Lemma 4.5. Sia P : Rm → Rm un’applicazione continua. Supponiamo che esista un ρ > 0 tale che P (ξ) · ξ ≥ 0, per ogni ξ con |ξ| = ρ. Allora esiste ξ con |ξ| ≤ ρ tale che P (ξ) = 0. Dimostrazione.

Supponiamo per assurdo che P (ξ) 6= 0 in K = {ξ ∈ Rm : |ξ| ≤ ρ};

possiamo allora considerare l’applicazione continua da K in s´e ξ→

−P (ξ)ρ . |P (ξ)|

P (ξ)ρ Grazie al teorema di Brouwer 1.4 esiste un punto fisso, cio`e uno ξ tale che ξ = − |P o deduciamo (ξ)| . Da ci` che |ξ| = ρ. D’altra parte P (ξ) · ξ = −ρ|P (ξ)| < 0, ma ci`o `e in contraddizionie con le ipotesi.

Siamo ora in grado di provare il seguente teorema. Teorema 4.6 (Suriettivit` a). Sia V uno spazio di Banach riflessivo e separabile. Sia A : V → V 0 un operatore pseudomonotono e coercivo. Allora A `e suriettivo, cio`e per ogni f in V 0 esiste u in V tale che A(u) = f. Dimostrazione. Dividiamo la prova in due passi. Passo I: sia {w1 , ...wn , ...} un insieme denso e numerabile di V . Indichiamo con Vn = [w1 , ...wn ] il sottospazio di V generato da {w1 , ...wn } . Fissato n ∈ N, vogliamo trovare un ∈ Vn che verifichi < A(un ), wj >=< f, wj >

1 ≤ j ≤ n.

(4.2.1)

A tale scopo consideriamo l’applicazione T : Vn v

→ Vn → < A(v) − f, v > v .

Dimostreremo che T verifica (T (v)|v) ≥ 0 per ogni v con kvk = ρ, per un certo ρ > 0 e che T `e continuo. L’esistenza di un seguir` a dal lemma precedente. Si ha che (T (v)|v) ≥ 0, perch´e < A(v), v > − < f, v >≥< A(v), v > −kf kV 0 kvk ≥ 0 , per kvk = ρ, con ρ sufficientemente grande, grazie alla coercivit`a di A. Per dimostrare che T `e continuo, basta dimostrare che il funzionale v →< A(v), v > `e continuo su Vn . Supponiamo che wm → w : dimostreremo che A(wm ) → A(w) debolmente in V 0 : ci`o implicher`a che < A(wm ), wm >→< A(w), w > e quindi la continuit` a di T . Poich´e A `e limitato, kA(wm )k `e limitata uniformemente. Ci`o implica che lim < A(wm ), wm − w >= 0;

m→∞

passando ad una sottosuccessione A(wm ) → g debolmente in V 0 . Grazie alla pseudomonotonia lim inf < A(wmk ), wmk − v >=< g, w − v >≥< A(w), w − v > mk →∞

4.3. TEOREMA DI ESISTENZA DI LERAY-LIONS

37

per ogni v ∈ V . Allora g = A(w). Possiamo dunque dire che A(wmk ) → A(w) debolmente in V 0 . Ora, supponiamo per assurdo che A(wm ) non converga debolmente ad A(w) in V 0 : applicando il ragionamento appena fatto si arriverebbe ad un assurdo. Passo II: Poich´e < A(un ), un >=< f, un >≤ kf k kun k, usando la corcitivit` a di A, si ha che kun k `e uniformemente limitata. Per la limitatezza dell’operatore A, possiamo dire che anche kA(un )k `e uniformemente limitata. Si pu`o allora estrarre una sottosuccessione unk tale che unk → u debolmente in V, (4.2.2) A(unk ) → χ debolmente in V 0 . Passando al limite per n → ∞ nella (4.2.1), (con j fissato) si ha < χ, wj >=< f, wj > per ogni j. Dunque χ = f. Inoltre < A(unk ), unk >=< f, unk >→< f, u > e quindi < A(unk , unk ) >→< χ, u > . Dimostriamo ora che χ = A(u). Si ha che lim sup < A(unk ), unk − u >≤ 0 e dunque, per nk →∞

la pseudomonotonia < A(u), u − v >≤ lim inf < A(unk ), unk − v >≤< χ, u − v > nk →∞

per ogni v ∈ V . Otteniamo che χ = A(u) e cio`e f = A(u) .

4.3

Teorema di esistenza di Leray-Lions

Vogliamo ora dimostrare il teorema di Leray-Lions 4.1. Osserviamo che nei prossimi capitoli ci concentreremo sul caso p = 2. In particolare dunque useremo il seguente corollario: Corollario 4.7. Sia a : Ω × R × RN → RN una funzione di Carath´eodory, con le seguenti propriet` a: 1. esiste β > 0 tale che |a(x, s, ξ)| ≤ β[|s| + |ξ|]; 2. esiste α > 0 tale che a(x, s, ξ) · ξ ≥ α|ξ|2 . 3. [a(x, s, ξ) − a(x, s, η)] · [ξ − η] > 0 se ξ 6= η. Allora l’operatore A : v → −div(a(x, v, ∇v)), definito tra H01 (Ω) e H −1 (Ω) `e suriettivo. In particolare, se f ∈ Lm (Ω), con m ≥ N2N +2 , oppure f ∈ 2N m 1 M (Ω), con m > N +2 , esiste una funzione u ∈ H0 (Ω) soluzione dell’equazione −div(a(x, u, ∇u)) = f . Osservazione 4.8. Un’applicazione a che verifica l’ipotesi 2 verr` a detta ellittica. Passiamo ora alla dimostrazione del teorema di Leray-Lions: useremo il teorema di suriettivit`a. Per dimostrare che l’operatore A : W01,p (Ω) v

→ →

W −1,p (Ω) −div(a(x, v, ∇v)) − F (x, v, ∇v)

`e pseudomonotono, useremo il seguente lemma. Lemma 4.9. Supponiamo che un → u debolmente in W01,p (Ω) e che [a(x, un , ∇un )−a(x, u, ∇u)]·∇(un − u) → 0 q.o. in Ω. Allora ∇un → ∇u q.o. in Ω. Dimostrazione.

Poich´e [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) → 0

q.o. in Ω

38

CAPITOLO 4. TEOREMA DI LERAY-LIONS

si ha che |[a(x, unk , ∇unk ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(unk − u)| ≤ c(x). A meno di ragionare su un insieme Z di misura nulla, possiamo dire che le relazioni appena scritte valgono puntualmente. Proviamo che esiste una funzione C tale che

Si ha

|∇unk (x)| ≤ C(x).

(4.3.1)

c(x) ≥ [a(x, unk , ∇unk ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(unk − u) ≥ α[|∇unk |p + |∇u|p ] − |∇unk |[β(|u|p−1 + |∇u|p−1 )] − |∇u|[β(|unk |p−1 + |∇up−1 nk |)].

(4.3.2)

Poich´e un → u debolmente in W01,p (Ω), esiste una sottosuccessione (che continuiamo a denotare con n) e esiste una funzione g in L1 (Ω) per le quali |un |p−1 |∇u| ≤ g e un → u q.o. in Ω. Avendo nella (4.3.2) un polinomio in |∇un |, vale la (4.3.1). Vogliamo ora dimostrare che ∇un (x) → ∇u(x)

in Ω \ Z.

(4.3.3)

Supponiamo per assurdo che esiste x0 ∈ Ω \ Z tale che ∇un (x0 ) non converge a ∇u(x0 ). Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, a meno di passare ad una sottosuccessione, ∇un (x0 ) → b ∈ RN . Passando al limite nell’espressione [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) , otteniamo [a(x0 , u(x0 ), b) − a(x0 , u(x0 ), ∇u(x0 ))] · (b − ∇u(x0 )) = 0 , da cui deduciamo, per la monotonia di a, che b = ∇u(x0 ); dunque vale la (4.3.3). Lemma 4.10. Siano un , u in W01,p (Ω) tali che un → u debolmente in W01,p (Ω). Se Z [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) → 0,

(4.3.4)

Ω 0

allora a(x, un , ∇un ) → a(x, u, ∇u) debolmente in Lp (Ω). Dimostrazione.

Dimostriamo che in L1 (Ω).

[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) → 0

(4.3.5)

Possiamo scrivere che [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) = αn + βn dove

αn = [a(x, un , ∇un ) − a(x, un , ∇u)] · ∇(un − u) βn = [a(x, un , ∇u) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) .

Osseviamo che βn → 0 in L1 (Ω), perch´e Z |βn | ≤ ka(x, un , ∇u) − a(x, u, ∇u)kLp0 (Ω) k∇un − ∇ukLp (Ω) . Ω 0

p Ora, k∇un − ∇ukLp (Ω) `e limitata, e a(x, un , ∇u) → a(x, R u, ∇u) in L (Ω) per il teorema di composizione 2.6, visto che un → u in Lp (Ω) . Abbiamo dunque che αn + βn → 0 (per ipotesi) e βn → 0 in L1 (Ω) : ci` o Ω

4.3. TEOREMA DI ESISTENZA DI LERAY-LIONS implica che

R

39

αn → 0; poich´e αn ≥ 0 per la monotonia di a, si ha che αn + βn → 0 in L1 (Ω), cio`e abbiamo

Ω

provato la (4.3.5). Dunque a meno di una sottosuccessione, [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) → 0 q.o. in Ω. Grazie al lemma 4.9, ∇un → ∇u q.o. in Ω. Per concludere basta usare il teorema 2.7. Siamo ora in grado di dimostrare il teorema di Leray-Lions 4.1. Dimostrazione. Dimostreremo che A(v) = −div(a(x, v, ∇v)) − F (x, v, ∇v) `e coercivo e pseudomonotono; la tesi seguir` a dal teorema di suriettivit`a 4.6. La coercivit`a segue dalle ipotesi 2 e 4: infatti Z Z Z < A(v), v >≥ α |∇v|p − |f ||v| ≥ α |∇v|p − kf kLp0 (Ω) kvkLp (Ω) . Ω

Ω

Ω

Grazie alla disuguaglianza di Poincar´e ci`o implica la coercivit`a dell’operatore A. La limitatezza di A si ottiene scrivendo, grazie alle ipotesi 1 e 4, Z Z < A(v), w > = a(x, v, ∇v) · ∇w − F (x, v, ∇v)w Ω

Ω   Z Z Z ≤ β  |v|p−1 |∇w| + |∇v|p−1 |∇w| + |f ||w| Ω Ω hΩ i p−1 p ≤ β kvkp−1 k∇wk + k∇vk k∇wk p p L (Ω) Lp (Ω) + kf kLp0 (Ω) kwkLp (Ω) . L (Ω) L (Ω)

Supponiamo ora che un → u debolmente in W01,p (Ω) e che lim sup < A(un ), un − u >≤ 0 . n→+∞

Vogliamo dimostrare che ∀ w ∈ W01,p (Ω).

lim inf < A(un ), un − w >≥< A(u), u − w > n→∞

Osserviamo che Z < A(un ), un − w >=

Z a(x, un , ∇un ) · ∇(un − w) +

Ω

F (x, un , ∇un )(un − w) . Ω

Occupiamoci separatamente dei due termini dell’ultima uguaglianza. Per quanto riguarda il primo termine, sar` a utile provare che Z lim [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) = 0 . (4.3.6) n→∞

Ω

Z Osserviamo che 0

F (x, un , ∇un )(un −u) → 0 visto che un → u in Lp (Ω) e F (x, un , ∇un ) `e uniformemente

Ω

limitato in Lp (Ω) per le ipotesi su F . Ci`o implica, insieme all’ipotesi di pseudomonotonia, che Z lim sup [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) ≤ 0 . n→∞ Ω

Ma, grazie alle ipotesi su a, Z Z [a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) ≥ [a(x, un , ∇u) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u) Ω

Ω

40

CAPITOLO 4. TEOREMA DI LERAY-LIONS

e quest’ultimo termine converge a 0, visto che a(x, un , ∇u) → a(x, u, ∇u) per il teorema di composizione 2.6. Abbiamo dunque dimostrato la (4.3.6). 0 Applicando il lemma 4.10, a(x, un , ∇un ) → a(x, u, ∇u) debolmente in Lp (Ω), e quindi Z Z a(x, un , ∇un ) · ∇w → a(x, u, ∇u) · ∇w. Ω

Ω

D’altra parte, grazie al lemma 4.9, a(x, un , ∇un ) → a(x, u, ∇u) e ∇un → ∇u q.o. in Ω; usando il lemma di Fatou si ha Z Z lim inf a(x, un , ∇un ) · ∇un ≥ a(x, u, ∇u) · ∇u. n→∞

Ω

Studiamo ora

Ω

Z F (x, un , ∇un )(un − w) . Ω

Poich´e un → u e ∇un → ∇u q.o. in Ω e debolmente in Lp (Ω) applicando il teorema di composizione 2.7 0 si ha che F (x, un , ∇un ) → F (x, u, ∇u) debolmente in Lp (Ω). Ci`o implica che Z Z F (x, un , ∇un )(un − w) → F (x, u, ∇u)(u − w) Ω

Ω

visto che un → u in Lp (Ω). Otteniamo dunque Z Z lim inf < A(un ), un − w > ≥ a(x, u, ∇u) · ∇u − a(x, u, ∇u) · ∇w Ω Z

Ω

F (x, u, ∇u)(u − w)

+ Ω

= < A(u), u − w > . In conclusione l’operatore A `e pseudomonotono.

Capitolo 5

Sommabilit` a delle soluzioni dei problemi di Leray-Lions 5.1

Introduzione

Nel precedente capitolo abbiamo dimostrato l’esistenza di soluzioni deboli per problemi del tipo LerayLions −div(a(x, u, ∇u)) = F (x, u, ∇u) in Ω u=0 su ∂Ω . Vogliamo ora studiare la regolarit` a delle soluzioni, concentrandoci per`o solamente sulla sommabilit`a della soluzione e non del suo gradiente. Ovviamente la regolarit`a della soluzione dipender`a dalla regolarit`a della sorgente. In questo capitolo supporremo che la sorgente sia una funzione f appartenente a uno spazio di Lebesgue o a uno spazio di Marcinkiewicz. I due casi saranno trattati separatamente, ma con tecniche analoghe. Tratteremo inoltre il caso in cui la sorgente `e sotto forma di divergenza. Per le dimostrazioni originali, ci riferiamo a [27]. Riportiamo qui di seguito uno schema riassuntivo dei principali risultati di questo capitolo. Studieremo il problema dove a : Ω × R × RN → RN `e una funzione di Carath´eodory con le seguenti propriet`a 1. esiste β > 0 tale che |a(x, s, ξ)| ≤ β[|s| + |ξ|]; 2. esiste α > 0 tale che a(x, s, ξ) · ξ ≥ α|ξ|2 ,

∀ ξ ∈ RN ;

3. [a(x, s, ξ) − a(x, s, η)] · [ξ − η] > 0 se ξ 6= η. Dimostreremo i seguenti risultati: f ∈ Lm (Ω), m > N/2 ⇒ u ∈ L∞ (Ω) ∗∗ m f ∈ L (Ω), m ∈ [2N/(N + 2), N/2) ⇒ u ∈ Lm (Ω) ∗ N f ∈ L 2 (Ω) ⇒ eλ|u| ∈ L2 (Ω) ∀ λ > 0 (dove m∗∗ = (m∗ )∗ ). Nel caso in cui f ∈ M m (Ω) proveremo che f ∈ M m (Ω), m > N/2 ⇒ u ∈ L∞ (Ω) ∗∗ m f ∈ M (Ω), m ∈ [2N/(N + 2), N/2) ⇒ u ∈ M m Z(Ω) N

f ∈ M 2 (Ω)

⇒

eb|u| < ∞ .

∃b>0: Ω

Nel caso in cui la sorgente `e sotto forma di divergenza di un campo vettoriale F : Ω → RN tale che div F ∈ L2 (Ω), detta u la soluzione, dimostreremo che F ∈ (Lm (Ω))N , m > N F ∈ (Lm (Ω))N , 2 < m < N 41

⇒ u ∈ L∞ (Ω) ∗ ⇒ u ∈ Lm (Ω) .

` DELLE SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI LERAY-LIONS CAPITOLO 5. SOMMABILITA

42

5.2

Preliminari

Useremo spesso in questo capitolo la funzione Tk (x) gi`a definita in (3.4.2) e laZfunzione Gk (x) = x−Tk (x). |Gk (f )| e Ak = {|f | > k}.

Inoltre, riferendoci ad una funzione f useremo le seguenti notazioni: g(k) = Ω

Lemma 5.1. Sia f ∈ L1 (Ω). Allora g(k) `e derivabile quasi ovunque e g 0 (k) = −µ(Ak ) . Dimostrazione.

Dimostriamo che la funzione Z (w − k)

g˜(k) = {w−k>0}

`e derivabile rispetto a k. A tale scopo, poniamo Ak,+ = {w − k > 0}. La funzione g˜(k) `e derivabile quasi ovunque, in quanto monotona decrescente. Passiamo a valutarne la derivata. Sia h ∈ R+ ; il rapporto incrementale di f `e dato da   Z Z 1 g˜(k + h) − g˜(k)  = (w − k − h) − (w − k)  h h Ak+h,+

Ak,+

 1  h

=

 Z

Z −h −

Ak+h,+

Z =

{k<w≤k+h}

Z

1 1− h

− Ak+h,+

Abbiamo che

 (w − k) (w − k).

{k<w≤k+h}

Z

Z

0≤

(w − k) ≤

h {k<w≤k+h}

{k<w≤k+h}

e dunque 0≤

1 h

Z

Z

χ{k<w≤k+h} → 0 , h → 0+ .

(w − k) ≤ {k<w≤k+h}

Ω

Di conseguenza g˜(k + h) − g˜(k) = − lim h→0 h→0 h

Z χ{w>k+h} = −µ({w > k}),

lim

ovvero g˜0 (k) = −µ(Ak,+ ). Per il caso generale, basta osservare che Z g(k) = {f −k>0}

Ω

Z (w − k) +

−(w − k); {−(f −k)>0}

ponendo u = −f , ci riconduciamo al caso gi`a studiato. Ci sar` a utile anche il seguente lemma: Lemma 5.2. Sia f ∈ L1 (Ω) tale che la relativa funzione g(k) soddisfa la seguente disuguaglianza per ogni k: g(k) ≤ Cµ(Ak )α˜ con α ˜ > 1 e C > 0. Allora f ∈ L∞ (Ω) e vale la seguente stima: esiste una costante γ = γ(˜ α, Ω) tale che kf kL∞ (Ω) ≤ Cγ .

5.2. PRELIMINARI Dimostrazione.

43

In base al lemma 5.1 abbiamo g(k) ≤ C(−g 0 (k))α˜

cio`e 1

1

g 0 (k)[g(k)]− α˜ ≤ −

1

C α˜

.

Integrando la precedente disuguaglianza tra 0 e k otteniamo 1 1 1 1 1 k 1− α 1− α ˜ ˜ − g(0)1− α ˜ = g(k)1− α ˜ − kf k . − 1− 1 1 ≥ g(k) L (Ω) α ˜ C α˜ Di conseguenza g(k)

1 1− α ˜

≤

1 1− α ˜ kf kL1 (Ω)

1 k − 1− α ˜ C α1˜ 1

In particolare questa disuguaglianza vale per k0 = 1− 1

1

|f | ≤ k0 =

≤

1 α ˜

. Ci`o implica che g(k0 ) = 0, ossia 1− 1

1

α ˜ C α˜ kf kL1 (Ω)

1−

1− 1 α ˜ L1 (Ω) 1 1− α ˜

˜ kf k Cα

∀ k > 0.

1

C α˜ kf kL∞α˜(Ω) µ(Ω)1− α˜ 1−

1 α ˜

cio`e kf kL

∞

(Ω)

≤

1 1− α ˜

−α˜

˜ µ(Ω)α−1 C.

Osservazione 5.3. Se la disuguaglianza g(k) ≤ Cµ(Ak )α˜ vale per ogni k ≥ h0 , si pu` o ancora dimostrare che f appartiene a L∞ (Ω). N

Nel caso in cui la sorgente f appartiene a M 2 (Ω), ci saranno utili i seguenti risultati. Proposizione 5.4. Sia f una funzione misurabile definita in Ω e a una costante positiva. Allora Z

ea |f | < ∞ ⇐⇒

ea k µ(Ak ) < ∞ .

k=0

Ω

Dimostrazione.

∞ X

Osserviamo che ∞ X

ea k µ(Ak ) =

k=0

∞ X

∞ X

ea k

k=0

µ(Bi ) =

∞ X

µ(Bi )

i=0

i=k

i X

ea k

(5.2.1)

k=0

dove Bi = {i ≤ |f | < i + 1} . Poich´e la funzione t → eat `e crescente e continua, possiamo scrivere n X

e

ak

n+1 Z

≤

k=k0

Dividiamo ora la dimostrazione in due parti.

at

e dt ≤ k0

n X k=k0

ea (k+1) .

(5.2.2)

` DELLE SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI LERAY-LIONS CAPITOLO 5. SOMMABILITA

44

Z Parte I: supponiamo che

ea|f | < ∞. In base alla (5.2.2) e alla (5.2.1)

Ω ∞ X

ak

e µ(Ak ) ≤

∞ X

Zi+1 µ(Bi ) eat dt

i=0 ∞ a X

k=0

e = a ≤

ea a

=

ea a

0

1 µ(Bi ) eai − a e i=0 ∞ Z X 1 ea |f | − a e i=0 Z Bi 1 ea |f | − a < ∞. e

Ω

Parte II: supponiamo ora che

∞ X

ea k µ(Ak ) < ∞. Grazie alla (5.2.2) e alla (5.2.1)

k=0 ∞ X

ea k µ(Ak ) =

∞ X

µ(Bi )

i=0

k=0

=

≥

∞ X

µ(Bi )

i X

ea k

k=0 i−1 X

ea(j+1)

i=0

j=−1

∞ X

Zi µ(Bi )

i=0 ∞ X

eat dt

−1

ei a − e−a µ(Bi ) = a i=0 ∞ Z 1 X [ea (|f |−1) − e−a ] ≥ a i=0 Z Bi 1 = [ea (|f |−1) − e−a ], a

Ω

Z e quindi

ea|f | < ∞.

Ω

Proposizione 5.5. Sia f una funzione misurabile definita in Ω; supponiamo che esistano a, c > 0 tali c per ogni k ≥ k0 , con k0 naturale fissato. Allora che µ(Ak ) ≤ k ea k Z eb|f | < ∞ Ω

per ogni costante reale b < a. Z Dimostrazione.

Grazie alla proposizione 5.4, sappiamo che

D’altra parte, nel nostro caso abbiamo ∞ X k=0

∞ X k=k0

bk

e µ(Ak ) < ∞.

ebk µ(Ak ) ≤

∞ X k=k0

eb|f | < ∞ se e solo se

Ω

ebk

∞ P

ebk µ(Ak ) < ∞.

k=0

c < ∞ per la scelta di b, e quindi k eak

5.3. SORGENTI APPARTENENTI A LM (Ω)

5.3

45

Sorgenti appartenenti a Lm (Ω)

Ci accingiamo ora a dimostrare dei risultati di regolarit`a delle soluzioni del problema −div(a(x, u, ∇u)) = f in Ω u=0 su ∂Ω nel caso in cui la sorgente f appartiene a Lm (Ω), con m ≥

(5.3.1)

2N N +2 .

Teorema 5.6. Sia f appartenente ad Lm (Ω) con m > N/2. Allora ogni soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema di Dirichlet (5.3.1) `e limitata; vale inoltre la seguente stima: kukL∞ (Ω) ≤ Ckf kLm (Ω) , dove C = C(N, m, α) . Dimostrazione. Scegliamo v = Gk (u) come funzione test nella formulazione debole del problema (5.3.1) e trattiamo i due membri separatamente. Per quanto riguarda il primo, grazie all’ellitticit`a della funzione a e alla disuguaglianza di Sobolev, abbiamo Z Z a(x, u, ∇u) · ∇Gk (u) ≥ α |∇u|2 Ω

Ak

Z = α

|∇Gk (u)|2

Ω

 22∗

 ≥ αS 2 

Z

∗

|Gk (u)|2 

.

Ω

Occupiamoci ora del secondo membro: usando due volte la disuguaglianza di H¨older, prima con esponente 2∗ e poi con esponente m, otteniamo Z f Gk (u) ≤ Ω

+2   21∗   N2N Z Z ∗ 2N  |Gk (u)|2   |f | N +2 

Ω

Ak

Z ≤

kf kLm (Ω)

2∗

|Gk (u)|

21∗

N +2 2N µ(Ak )(1− (N +2)m ) 2N .

Ω

Ricapitolando abbiamo la seguente stima   22∗ Z 21∗ Z N +2 2N ∗ 2∗ 2 2  ≤ kf kLm (Ω) |Gk (u)| µ(Ak )(1− (N +2)m ) 2N , αS |Gk (u)| Ω

Ω

cio`e

 21∗

 αS 2 

Z

∗

|Gk (u)|2 

≤ kf kLm (Ω) µ(Ak )(1− (N +2)m ) 2N

N +2 2N

Ω

Osserviamo che grazie alla disuguaglianza di H¨older con esponente 2∗ risulta Z Ω

  21∗ Z N +2 ∗ |Gk (u)| ≤  |Gk (u)|2  µ(Ak ) 2N Ω

.

(5.3.2)

46

` DELLE SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI LERAY-LIONS CAPITOLO 5. SOMMABILITA

e dunque riprendendo la (5.3.2), vale la stima Z g(k) = |Gk (u)| ≤

2 1 1 kf kLm (Ω) µ(Ak )1+ N − m , 2 αS

Ω

Utilizzando il lemma 5.2 con α ˜ =1+

2 N

−

1 m

eC=

1 m αS 2 kf kL (Ω) ,

si ha la tesi.

Passiamo ora allo studio della regolarit`a delle soluzioni nel caso in cui f ∈ Lm (Ω), con

2N N +2

≤m<

N 2.

N 1 Teorema 5.7. Sia f ∈ Lm (Ω) con N2N +2 ≤ m < 2 . Allora ogni soluzione u ∈ H0 (Ω) del problema (5.3.1) m∗∗ appartiene a L (Ω); inoltre vale la seguente stima:

kukLm∗∗ (Ω) ≤ C kf kLm (Ω) dove C = C(N, m, α) . Dimostrazione.

Scegliamo come funzione test v=

|Tk (u)|2λ Tk (u) , 2λ + 1

con λ > 0 nel problema (5.3.1). In tutta la dimostrazione denoteremo con c(λ, α, N, Ω) ogni costante che dipende solo dalle variabili λ, α, N e Ω. Trattiamo separatamente i due membri della formulazione debole. Per il primo si ha, per l’ellitticit`a di a e la disuguaglianza di Sobolev  22∗

 1 2λ + 1

Z

a(x, u, ∇u) · ∇(|Tk (u)|2λ Tk (u)) ≥ αS 2 

Ω

Z

∗

|Tk (u)|(λ+1)2 

.

Ω

Per il secondo membro, usando la disuguaglianza di H¨older con esponente m otteniamo 1 2λ + 1

Z

  10 m Z 0 1 2λ (2λ+1)m  |Tk (u)|  f |Tk (u)| Tk (u) ≤ kf kLm (Ω) . 2λ + 1

Ω

Ω

Ricapitolando si ha h i2 h i1 ∗ 2∗ 0 m0 αS 2 (2λ + 1) |Tk (u)|(λ+1)2 ≤ |Tk (u)|(2λ+1)m kf kLm (Ω) . A questo punto, `e sufficiente scegliere λ tale che (λ + 1)2∗ = m0 (2λ + 1), ovvero λ=

−mN + 2N − 2m . 4m − 2N

In questo modo, semplificando la disuguaglianza appena scritta, in virt` u del fatto che

1 2 > 0 , si ha ∗ 2 m

kTk (u)kLm∗∗ (Ω) ≤ C(α, N, m) kf kLm (Ω) . Per concludere basta applicare il lemma di Fatou, per k → ∞. N

Passiamo ora al caso in cui la sorgente f appartiene a L 2 (Ω) . N

Teorema 5.8. Sia f ∈ L 2 (Ω). Allora ogni soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema (5.3.1) `e tale che eλ|u| ∗ appartiene a L2 (Ω) per ogni λ > 0.

5.3. SORGENTI APPARTENENTI A LM (Ω)

47

Dimostrazione. Scegliamo [e2λ |Gk (u)| − 1]sgn(Gk (u)), k > 0 come funzione test nella formulazione debole del problema (5.3.1) e trattiamo i due membri separatamente. Possiamo stimare il secondo membro grazie alla disuguaglianza seguente, valida per ogni t ≥ 0 e per ogni Q > 1: |t2 − 1| ≤ Q(t − 1)2 + Otteniamo allora Z

f [e2λ |Gk (u)| − 1]sgn(Gk (u)) ≤ Q

Ω

f [e

|f |[eλ |Gk (u)| − 1]2 +

2λ |Gk (u)|

N 2

Z

1 Q−1

|f | . Ak

Ak

La disuguaglianza di H¨ older con esponente Z

Z

1 . Q−1

implica che

− 1]sgn(Gk (u)) ≤ Qkf k

L

N 2

(Ak )

  22∗ Z ∗  [eλ |Gk (u)| − 1]2  +

Ω

1 Q−1

Ω

Z |f |. Ak

Grazie all’ellitticit` a di a, il primo membro pu`o essere stimato con Z Z 2 1 λ |Gk (u)| 2 2λ |Gk (u)| = 2λα 2λα |∇Gk (u)| e e − 1 ∇ . λ2 Ω

Ω

Usando la disuguaglianza di Sobolev otteniamo  22∗  Z 2 ∗ S 2α  [eλ |Gk (u)| − 1]2  . λ Ω

In conclusione le stime dei due membri ci portano a dire che   22∗   22∗ Z Z Z ∗ ∗ 1 S2  λ |Gk (u)| 2  λ |Gk (u)| 2   2α [e − 1] ≤ Qkf k N2 [e − 1] + |f | L (Ak ) λ Q−1 Ω

cio`e S2 λ2

Ω

Ak

 22∗  Z Z ∗ λ2 Q  [eλ |Gk (u)| − 1]2  ≤ 1 2λα − 2 kf k N2 |f | . L (Ak ) S Q−1 Ω

Ak

Sicuramente esiste un kλ tale che λ2 Qkf k

L S2

2λα − visto che kf k

L

N 2

(Ak )

N 2

(Ak )

∀ k ≥ kλ

> 0,

→ 0 se k → +∞. Inoltre la disuguaglianza precedente implica che la successione ∗

∗

{eλ |Gk (u)| − 1}k≥kλ `e limitata in L2 (Ω). Ci`o implica che eλ |u| appartiene a L2 (Ω). Infatti ∗

∗

[eλ |u| − 1]2 = [eλ |Tk (u)+Gk (u)| − 1]2 ≤ [eλk eλ |Gk (u)| − eλk + eλk − 1]2 ∗

≤ 22

−1 λk2∗

e

∗

∗

[eλ |Gk (u)| − 1]2 + 22

−1

∗

∗

[eλk − 1]2 .

Di conseguenza, per ogni k ≥ kλ abbiamo Z Z ∗ ∗ ∗ λ |u| 2∗ 2∗ −1 λk2∗ [e − 1] ≤ 2 e [eλ |Gk (u)| − 1]2 + 22 −1 [eλk − 1]2 µ(Ω) , Ω

Ω ∗

cio`e eλ |u| appartiene a L2 (Ω) per ogni λ > 0.

48

5.4

` DELLE SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI LERAY-LIONS CAPITOLO 5. SOMMABILITA

Sorgenti appartenenti a M m (Ω)

Ci accingiamo a trattare lo studio della regolarit`a delle soluzioni deboli di (5.3.1), nel caso in cui f appartiene allo spazio di Marzinkiewicz M m (Ω). N 2.

Teorema 5.9. Sia f ∈ M m (Ω), con m > limitata.

Allora ogni soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema (5.3.1) `e

Dimostrazione. La dimostrazione segue dal teorema 5.6, in virt` u dell’inclusione M m (Ω) ⊂ Lm−ε (Ω), dimostrata nella proposizione 2.12. Teorema 5.10. Sia f ∈ M m (Ω) con ∗∗ (5.3.1) appartiene a M m (Ω).

2N N +2

< m <

N 2.

Allora ogni soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema

Dimostrazione. Scegliamo come funzione test v = Gk (u) nella formulazione debole del problema (5.3.1) e trattiamo i due membri separatamente. Cominciamo dal primo: per l’ellitticit`a della funzione a e per la disuguaglianza di Sobolev, abbiamo Z Z a(x, u, ∇u) · ∇Gk (u) ≥ α |∇u|2 Ak

Ω

  22∗ Z ∗ ≥ α S 2  |Gk (u)|2  . Ω

Per il secondo membro, usando la disuguaglianza di H¨older con esponente 2∗ e la proposizione 2.13 m(N +2) 2N (applicata alla funzione |f | N +2 ∈ M 2N ), otteniamo 1/2∗ 

 Z

Z

∗

|Gk (u)|2 

f Gk (u) ≤  Ω

Ω

+2  N2N

Z 

2N

|f | N +2 

Ak

 21∗

 Z ≤ c

∗

|Gk (u)|2 

µ(Ak )[1− (N +2)m ] 2N

N +2 2N

Ω

dove c = c(m, kf kM m (Ω) ). Ricapitolando abbiamo   21∗ Z ∗  |Gk (u)|2  ≤

1 1 1 c µ(Ak ) 2 + N − m 2 αS

Ω

e dunque, grazie alla disuguaglianza di H¨older applicata al primo membro della disuguaglianza appena scritta, Z 1 2 c µ(Ak )1+ N − m . |Gk (u)| ≤ 2 αS Ω

Applicando il lemma 5.1, la disuguaglianza precedente si riscrive in questo modo: µ α S2 − ≥ g 0 (k)g(k)−µ c dove µ :=

mN . mN + 2m − N

5.4. SORGENTI APPARTENENTI A M M (Ω)

49

Integrando tra 0 e k otteniamo (µ − 1)

α S2 c

µ

k ≥ [g(k)]1−µ − [g(0)]1−µ

ovvero g(k) ≤

(µ − 1)

α S2 c

µ

1−µ

1 1−µ

≤

k + [g(0)]

C(α, N, m, Ω) 1

,

k µ−1

visto che µ > 1. Notiamo che A2k ⊂ Ak , quindi vale la disuguaglianza Z g(k) ≥

Z |Gk (u)| dx ≥

A2k

(|u| − k) dx ≥ kµ(A2k ) , A2k

e di conseguenza µ(A2k ) ≤

C(α, N, m, Ω) µ

k µ−1

,

∗∗

cio`e u ∈ M m (Ω). N

Teorema 5.11. Sia f ∈ M 2 (Ω). Allora esiste una costante b > 0 tale che Z

eb |u| < ∞

Ω

per ogni soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema (5.3.1). Dimostrazione. Scegliendo v = Gk (u) come funzione test nella formulazione debole di (5.3.1), e ragionando come nel teorema precedente, otteniamo 1≤−

c g 0 (k) . α S 2 g(k)

Integrando in k si ha Zk dt ≤ −

c α S2

0

Z 0

k

g 0 (t) dt, g(t)

ovvero kukL1 (Ω)

c c k≤− [ln g(k) − ln g(0)] = ln α S2 α S2

g(k)

Ci` o implica che ekα S

2

/c

≤

kukL1 (Ω) g(k)

,

e quindi, per k ≥ 1, si ottiene kµ(A2k ) ≤ g(k) ≤

kukL1 (Ω) ekα S 2 /c

.

Si pu` o allora concludere la dimostrazione utilizzando il lemma 5.5.

! .

50

5.5

` DELLE SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI LERAY-LIONS CAPITOLO 5. SOMMABILITA

Sorgenti in forma di divergenza

In questo paragrafo ci occuperemo del seguente problema −div(a(x, u, ∇u)) = −div F u=0

in Ω su ∂Ω

(5.5.1)

dove F : Ω → RN `e un campo vettoriale tale che divF ∈ L2 (Ω). Notiamo che l’esistenza di una soluzione debole in H01 (Ω) ci `e assicurata dallo stesso teorema di Leray-Lions 4.1. Teorema 5.12. Sia F ∈ (Lm (Ω))N , m > N . Allora ogni soluzione debole u ∈ H01 (Ω) del problema (5.5.1) `e limitata; vale inoltre la seguente stima: kukL∞ (Ω) ≤ CkF kLm (Ω) , dove C = C(N, m, α) . Dimostrazione.

Consideriamo come funzione test la funzione Gk (u): Z Z a(x, u, ∇u) · ∇Gk (u) = F · ∇Gk (u) . Ω

Ω

Utilizzando la condizione di ellitticit` a di a al primo membro e la disuguaglianza di H¨older al secondo, otteniamo la seguente stima: 1/2  1/2  Z Z Z 2 2 α |∇Gk (u)| ≤  |F |2   |∇Gk (u)|  , Ω

Ak

Ω

dove Ak = {|u| > k}. Applichiamo la disuguaglianza di H¨older di esponente m/2 al secondo membro:  21   1/m Z Z 1 1 2 α  |∇Gk (u)|  ≤  |F |m  µ(Ak ) 2 − m ; Ω

Ak

l’immersione di Sobolev permette di concludere che 1/2∗  Z ∗ 1 1 2 αS  |Gk (u)|  ≤ ||F ||Lm (Ω) µ(Ak ) 2 − m . Ω

Per il primo membro della (5.5.2) utilizziamo ancora la disuguaglianza di H¨older:

≤

 1/2∗ Z ∗ ∗  |Gk (u)|2  µ(Ak )1−1/2

=

 1/2∗ Z ∗ 2  |Gk (u)|  µ(Ak )1/2+1/N ;

Z |Gk (u)| Ω

Ω

Ω

quindi la stima (5.5.2) assicura che Z 1 1 |Gk (u)| ≤ C(α, S)||F ||Lm (Ω) µ(Ak )1− m + N . Ω

Utilizzando il lemma 5.2 con α ˜ =1+

1 N

−

1 m

e C = C(α, S)||F ||Lm (Ω) , si ha la tesi.

(5.5.2)

5.5. SORGENTI IN FORMA DI DIVERGENZA

51

Teorema 5.13. Sia F ∈ (Lm (Ω))N , 2 < m < N . Allora ogni soluzione debole u ∈ H01 (Ω) del problema ∗ (5.5.1) appartiene a Lm (Ω); vale inoltre la seguente stima: kukLm∗ (Ω) ≤ CkF kLm (Ω) , dove C = C(N, m, α). Dimostrazione. Scegliamo come funzione test la funzione v = |Tk (u)|2γ Tk (u), dove l’esponente γ sar` a scelto opportunatamente nel seguito. Abbiamo, per la condizione di ellitticit`a di a Z Z α |∇Tk (u)|2 |Tk (u)|2γ ≤ F · ∇Tk (u)|Tk (u)|2γ . Ω

Ω

Tramite la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz applicata al secondo membro otteniamo Z α

|∇Tk (u)|2 |Tk (u)|2γ

 1/2  1/2 Z Z ≤  |F |2 |Tk (u)|2γ   |∇Tk (u)|2 |Tk (u)|2γ  ,

Ω

Ω

Ω

e di conseguenza, semplificando α2

Z

|∇Tk (u)|2 |Tk (u)|2γ ≤

Ω

Z

|F |2 |Tk (u)|2γ .

Ω

Un’ulteriore applicazione della disuguaglianza di H¨older con esponente m/2 al secondo membro conduce alla stima  m−2    m Z Z m2γ 2 2 γ+1  2   m−2 . α ∇|Tk (u)| ≤ ||F ||Lm (Ω) |Tk (u)| Ω

Ω

Per il primo membro dell’ultima disuguaglianza utilizziamo l’immersione di Sobolev ed otteniamo  2/2∗   m−2 m Z Z m2γ 2 2 (γ+1)2∗  2   m−2 ≤ ||F ||Lm (Ω) |Tk (u)| α S |Tk (u)| . Ω

(5.5.3)

Ω

A questo punto scegliamo γ in modo che (γ + 1) 2∗ =

2mγ ; m−2

in questo modo la stima (5.5.3) pu` o essere scritta nella forma seguente:   22∗ − m−2 m Z ∗  |Tk (u)|m  ≤

1 ||F ||2Lm (Ω) . α2 S 2

Ω

Osserviamo che m < N implica che otteniamo

2 2∗

−

m−2 m

> 0; applicando il lemma di Fatou, al limite per k → +∞

||u||Lm∗ (Ω) ≤ C||F ||Lm (Ω) , con 0 < C = C(α, N, m).

52

` DELLE SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI LERAY-LIONS CAPITOLO 5. SOMMABILITA

Capitolo 6

Regolarit` a per problemi ellittici lineari 6.1

Introduzione

In questo capitolo ci dedicheremo allo studio della regolarit`a delle soluzioni di problemi ellittici lineari. Studieremo il problema −div(M (x)∇u) = f in Ω (6.1.1) u=0 su ∂Ω dove f appartiene a L2 (Ω) e M (x) `e una matrice in RN ×N tale che M (x)ξ · ξ ≥ α|ξ|2 per ogni ξ ∈ RN . Supporremo che i coefficienti mij di M (x) siano lipschitz, cio`e |mij (x) − mij (y)| ≤ K|x − y|

∀ x, y ∈ Ω, ∀ i, j = 1, ..N .

Nel capitolo 3 abbiamo visto che esiste una soluzione in H01 (Ω). In questo capitolo dimostreremo che u `e H 2 (Ω0 ) per ogni Ω0 ⊂⊂ Ω, seguendo [19]. Teorema 6.1. Sia u ∈ H01 (Ω) la soluzione del problema (6.1.1). Allora, per ogni Ω0 ⊂⊂ Ω, u appartiene a H 2 (Ω0 ) e vale la seguente stima: kukH 2 (Ω0 ) ≤ C(kukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )

(6.1.2)

dove C = C(Ω, K, α, d), essendo d(x) = dist(Ω0 , ∂Ω).

6.2

Preliminari

Ci sar` a utile il concetto di rapporto incrementale di una funzione. Denotiamo con ei ∈ RN il vettore avente tutte le componenti nulle, tranne la i-esima, che vale 1. Definizione 6.2. Siano f : Ω → R una funzione e h ∈ R \ {0}. Il rapporto incrementale di f rispetto a ei `e la funzione ∆hi f : {x ∈ Ω : x + hei ∈ Ω} → R, definita come f (x + hei ) − f (x) . h Osserviamo che in particolare ∆hi f risulta definita in ∆hi f (x) :=

Ω|h| := {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > |h|}. D’ora in poi scriveremo ∆h invece che ∆hi . Inoltre ∇i f sar`a la i-esima componente del vettore ∇f.

53

` PER PROBLEMI ELLITTICI LINEARI CAPITOLO 6. REGOLARITA

54

Proposizione 6.3. Il rapporto incrementale di una funzione gode delle seguenti propriet` a: 1. Se f ∈ W 1,p (Ω), allora ∆h f ∈ W 1,p (Ω|h| ) e si ha ∇i (∆h f ) = ∆h (∇i f ).

(6.2.1)

2. Se almeno una delle funzioni f o g ha supporto contenuto in Ω|h| , risulta Z Z f ∆hi g = − g∆−h i f. Ω

(6.2.2)

Ω

3. Si ha ∆hi (f g)(x) = f (x + hei )∆hi g(x) + g(x)∆hi f (x).

(6.2.3)

Lemma 6.4. Sia v ∈ W 1,p (Ω). Allora ∆h v ∈ Lp (Ω0 ) per ogni Ω0 ⊂⊂ Ω tale che h < dist(Ω0 , ∂Ω) e vale la seguente stima: k∆hi vkLp (Ω0 ) ≤ k∇i vkLp (Ω0 ) . Supponiamo inizialmente che v ∈ C 1 (Ω) ∩ W 1,p (Ω). Allora Z 1 h v(x + hei ) − v(x) ∇i v(x1 , ..., xi−1 , xi + ξ, xi+1 , ..., xN )dξ. = ∆hi v(x) = h h 0

Dimostrazione.

Grazie alla disuguaglianza di H¨ older si ha |∆hi v(x)|p ≤

1 h

Zh

|∇i v(x1 , ..., xi−1 , xi + ξ, xi+1 , ..., xN |p dξ

0

e dunque Z

|∆hi v|p

1 ≤ h

Ω0

Zh Z

Z

p

|∇i v| dξ ≤ 0

Ω0

|∇i v|p .

Ω0

Per risultati di densit` a si ha la tesi. Nel seguente lemma vediamo in che senso il risultato precedente si pu`o invertire. Lemma 6.5. Sia v ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ e supponiamo che esista una costante K tale che k∆h vkLp (Ω0 ) ≤ K per ogni h > 0 e Ω0 ⊂⊂ Ω per cui h < dist(Ω0 , ∂Ω). Allora ∇v esiste e soddisfa k∇vkLp (Ω) ≤ K. Dimostrazione.

Sia hn ⊆ R una successione infinitesima; definiamo per ogni i = 1, ..N, fissato ( h ∆i n v in Ω|hn | gn := 0 in Ω \ Ω|hn |

La successione gn `e limitata in Lp (Ω) e dunque, a meno di una sottosuccessione, gn converge debolmente ad una funzione v˜ ∈ Lp (Ω), con kv˜i kLp (Ω) ≤ K. Dunque per ogni ϕ ∈ C01 (Ω) si ha Z Z ϕ∆hi n v → ϕv˜i . Ω

Ω

D’altra parte per hn < dist(supp ϕ, ∂Ω), abbiamo, grazie alla (6.2.2) e al teoreme di Lebesgue che Z Z Z ϕ∆hi n v = − v∆i−hn ϕ → − v∇i ϕ, n → ∞. Ω

Ne segue che per ogni ϕ ∈

C01 (Ω)

Ω

Ω

Z

Z ϕv˜i = −

Ω

e perci` o v˜i = ∇i v.

v∇i ϕ Ω

` H 2 (Ω) DELLE SOLUZIONI 6.3. REGOLARITA

6.3

55

Regolarit` a H 2 (Ω) delle soluzioni

In questo paragrafo dimostreremo il teorema 6.1. Osserviamo che grazie a questo risultato, possiamo dire che u risolve l’equazione −div(M (x)∇u) = f q.o. in Ω0 ⊂⊂ Ω, visto che u ∈ H 2 (Ω0 ). In realt` a si pu` o dimostrare qualcosa di pi` u preciso (consultare [12]): Teorema 6.6. Sia u la soluzione H01 (Ω) del problema (6.1.1). 1. Supponiamo che i coefficienti di M siano C m+1 (Ω) e f ∈ W m,2 (Ω). Allora u ∈ W m+2,2 (Ω0 ) per ogni Ω0 ⊂⊂ Ω. 2. Supponiamo che i coefficienti di M siano C ∞ (Ω) e f ∈ C ∞ (Ω). Allora u ∈ C ∞ (Ω0 ) per ogni Ω0 ⊂⊂ Ω. La regolarit` a della soluzione fino al bordo richiede la regolarit`a del bordo di Ω, come il teorema seguente mostra: Teorema 6.7. Sia u la soluzione H01 (Ω) del problema (6.1.1). 1. Supponiamo che i coefficienti di M siano C m+1 (Ω) e f ∈ W m,2 (Ω). Supponiamo che ∂Ω ∈ C m+2 . Allora u ∈ W m+2,2 (Ω). 2. Supponiamo che i coefficienti di M siano C ∞ (Ω) e f ∈ C ∞ (Ω). Supponiamo che ∂Ω ∈ C ∞ . Allora u ∈ C ∞ (Ω). Passiamo ora alla dimostrazione del teorema 6.1. Dimostrazione. La soluzione u soddisfa Z N Z X mij (x)∇j u∇i v = f v i,j=1 Ω

∀ v ∈ H01 (Ω) .

Ω

Siano ϕ una funzione a supporto compatto in Ω e |2h| < dist(supp ϕ, ∂Ω). Scegliamo come funzione test v = ∆−h a (6.2.1) e (6.2.2), otteniamo k ϕ, per 1 ≤ k ≤ N : grazie alle propriet` N Z X

∆hk (mij ∇j u)∇i ϕ = −

N Z X

mij ∇j u∇i ∆−h k ϕ=−

i,j=1 Ω

i,j=1 Ω

Z

f ∆−h k ϕ.

Ω

Siccome, per la propriet` a (6.2.3), ∆hk (mij ∇j u)(x) = mij (x + hek )∆hk ∇j u(x) + ∆hk mij (x)∇j u(x) si ha che

N Z X

mij (x + hek )∆hk ∇j u(x)∇i ϕ

i,j=1 Ω N Z X h =− ∆k mij (x)∇j u(x)∇i ϕ + mij (x)∇j u(x)∇i ∆−h k ϕ i,j=1 Ω

=−

N Z X

[∆hk (mij (x))∇j u(x)∇i ϕ + f ∆−h k ϕ].

i,j=1 Ω

Dunque N Z X

mij (x +

hek )∆hk ∇j u(x)∇i ϕ

i,j=1 Ω 1

n

i

Z =−

[g · ∇ϕ + f ∆−h k ϕ],

Ω

∆hk mij ∇j u.

dove g = (g , ..., g ) con g = Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e il lemma 6.4 otteniamo N Z X mij (x + hek )∆hk ∇j u(x)∇i ϕ ≤ (Kk∇ukL2 (Ω) + kf kL2 (Ω) )k∇ϕkL2 (Ω) i,j=1 Ω

` PER PROBLEMI ELLITTICI LINEARI CAPITOLO 6. REGOLARITA

56

visto che i coefficienti mij sono lipschitz. La (6.2.1) implica che N Z X

mij (x + hek )∇j ∆hk u(x)∇i ϕ ≤ (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )k∇ϕkL2 (Ω) .

(6.3.1)

i,j=1 Ω

Ora prendiamo η ∈ C01 (Ω) tale che 0 ≤ η ≤ 1 e scegliamo ϕ = η 2 ∆hk u. Esplicitando ∇i ϕ e usando la (6.2.1), otteniamo N Z X η 2 mij (x + hek )∇i ∆hk u∇j ∆hk u i,j=1 Ω

=

N Z X

(6.3.2)

mij (x +

hek )∇j ∆hk u(∇i ϕ

−

2∆hk uη∇i η) .

i,j=1 Ω

Grazie all’ellitticit` a della matrice M si ha Z N Z X α |η∇∆hk u|2 ≤ η 2 mi,j (x + hek )∆hk ∇i u∆hk ∇j u . i,j=1 Ω

Ω

Lavoriamo ora sul secondo membro della (6.3.2): si ha, per la stima (6.3.1) e la disuguaglianza di CauchySchwartz N Z X mi,j (x + hek )∇j ∆hk u(∇i ϕ − 2∆hk uη∇i η) i,j=1 Ω

≤

N X

Z

i,j=1 Ω

Z mi,j (x + hek )∇j ∆hk u∇i ϕ + 2 mi,j (x + hek )η∇j ∆hk u∆hk u∇i η

(6.3.3)

Ω

≤ (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )k∇(η 2 ∆hk u)kL2 (Ω) + 2Kkη∇∆hk ukL2 (Ω) k∆hk u∇ηkL2 (Ω) ≤ (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )k2η∇η∆hk u + η 2 ∇∆hk ukL2 (Ω) +2Kkη∇∆hk ukL2 (Ω) k∆hk u∇ηkL2 (Ω) . Osserviamo ora che k2η∇η∆hk u + η 2 ∇∆hk ukL2 (Ω) ≤ k2∇η∆hk ukL2 (Ω) + kη∇∆hk ukL2 (Ω) visto che 0 ≤ η ≤ 1 . Grazie alle stime appena fatte, deduciamo da (6.3.3) che N Z X

mi,j (x + hek )∇j ∆hk u(∇i ϕ − 2∆hk uη∇i η)

i,j Ω

≤ (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )(k2∇η∆hk ukL2 (Ω) + kη∇∆hk ukL2 (Ω) ) +2Kkη∇∆hk ukL2 (Ω) k∆hk u∇ηkL2 (Ω) . Ricapitolando le stime fatte sui due membri della (6.3.2), abbiamo ottenuto αkη∇∆hk uk2L2 (Ω) ≤ kη∇∆hk ukL2 (Ω) (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) ) h +2k∆k u∇ηkL2 (Ω) (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) ) + 2Kkη∇∆hk ukL2 (Ω) k∆hk u∇ηkL2 (Ω)

.

Dalla disuguaglianza di Young, applicata a ciascun addendo del secondo membro della disuguaglianza precedente segue che αkη∇∆hk uk2L2 (Ω) ≤

ε 1 (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )2 + kη∇∆hk uk2L2 (Ω) + 2ε 2

` H 2 (Ω) DELLE SOLUZIONI 6.3. REGOLARITA

57

1 1 + (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )2 + εk∆hk u∇ηk2L2 (Ω) + εKkη∇∆hk uk2L2 (Ω) + k∆hk u∇ηk2L2 (Ω) , ε ε cio`e

α−

ε 3 1 − εK kη∇∆hk uk2L2 (Ω) ≤ (KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )2 + ε + k∆hk u∇ηk2L2 (Ω) . 2 2ε ε

Ora, scegliendo ε sufficientemente piccolo possiamo scrivere kη∇∆hk uk2L2 (Ω) ≤ c(KkukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) )2 + ck∆hk u∇ηk2L2 (Ω) ≤ c(kukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) + k∆hk u∇ηkL2 (Ω) )2 dove c denota una costante che dipende da α e da K. Di conseguenza, per la (6.2.1) kη∆hk ∇ukL2 (Ω) ≤ c(kukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) + sup |∇η|k∆hk ukL2 (spt η) ) Ω

dove spt η denota il supporto di η. Per il lemma 6.4 otteniamo kη∆hk ∇ukL2 (Ω) ≤ c(kukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) + sup |∇η|k∇ukL2 (Ω) ) Ω

e quindi, fissato Ω0 ⊂⊂ Ω kη∆hk ∇ukL2 (Ω0 ) ≤ c(1 + sup |∇η|)(kukH01 (Ω) + kf kL2 (Ω) ) . Ω

0

Ora, la funzione η pu` o essere scelta come una funzione cut-off, tale che η = 1 su Ω e |∇η| ≤ d2 , dove 0 0 d = dist(Ω , ∂Ω). Per il lemma 6.5 otteniamo che ∇u ∈ H 1 (Ω0 ) per ogni Ω ⊂⊂ Ω , cos`ı u ∈ H 2 (Ω) e la stima (6.1.2) `e dimostrata grazie alla disuguaglianza di Poincar´e.

58

` PER PROBLEMI ELLITTICI LINEARI CAPITOLO 6. REGOLARITA

Capitolo 7

Analisi spettrale per operatori lineari ellittici 7.1

Introduzione

In questo capitolo ci concentreremo sul problema −div(M (x)∇u) = λu u=0

in Ω su ∂Ω

(7.1.1)

dove M (x) `e una matrice simmetrica N × N , limitata e tale che M (x)ξ · ξ ≥ α|ξ|2 per ogni ξ ∈ RN . Studieremo dapprima l’esistenza e alcune propriet`a degli autovalori e delle autofunzioni dell’operatore L(v) = −div(M (x)∇v). Ci dedicheremo poi ad alcune applicazioni della teoria spettrale a problemi semilineari.

7.2

Autovalori e autofunzioni di operatori ellittici lineari

Teorema 7.1. Esiste una base ortonormale wm ∈ L2 (Ω) e una successione di numeri reali positivi λm tali che 1. λm → +∞,

per m → ∞;

2. per ogni m ∈ N, wm `e soluzione di −div(M (x)∇v) = λm v v=0

in Ω su ∂Ω .

Nella dimostrazione useremo il seguente lemma. Lemma 7.2. Sia

T : L2 (Ω) → L2 (Ω) f → u

(7.2.1)

dove u ∈ H01 (Ω) risolve −div(M (x)∇u) = f . Allora T `e compatto. Dimostrazione. T `e ben definito (per il teorema 3.4) e lineare; `e facile dimostrare che T `e autoaggiunto (vedere definizione 7.19), poich´e M `e una matrice simmetrica. Dimostriamo che T `e compatto: se T (f ) = u, abbiamo Z Z 2 αk∇ukL2 (Ω) ≤ M (x)∇u · ∇u = f u ≤ ckf kL2 (Ω) k∇ukL2 (Ω) Ω

Ω

59

60

CAPITOLO 7. ANALISI SPETTRALE PER OPERATORI LINEARI ELLITTICI

per l’ellitticit` a di M e la disuguaglianza di Poincar´e. Ne deduciamo che kT (f )kH01 (Ω) ≤

c kf kL2 (Ω) α

∀ f ∈ L2 (Ω) .

Poich´e l’immersione H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) `e compatta, T `e compatto. Possiamo ora dimostrare il teorema 7.1. Dimostrazione. Usando il lemma 7.2 e il teorema spettrale 7.22 applicato all’operatore T definito dalla (7.2.1), possiamo dire che esiste una base ortonormale wn di L2 (Ω) e una successione µn → 0, n → ∞ tale che T (wn ) = µn wn , cio`e, Z Z 1 wn ϕ ∀ ϕ ∈ H01 (Ω) . M (x)∇wn · ∇ϕ = µ n Ω Ω Osserviamo che wn ∈ H01 (Ω). Inoltre µn ≥ 0: infatti basta scegliere ϕ = wn come funzione test. D’altra parte µn 6= 0, altrimenti wn = 0 da T (wn ) = 0 . Definizione 7.3. Secondo le notazioni del teorema precedente, diremo che {λm }m∈N `e l’insieme degli autovalori di L(v) = −div(M (x)∇v) : ci` o significa che { λ1m }m∈N `e l’insieme degli autovalori di T : L2 (Ω) → f →

L2 (Ω) u

dove u ∈ H01 (Ω) verifica −div(M (x)∇u) = f . Inoltre diremo che le autofunzioni wn di T sono le autofunzioni di L(v) = −div(M (x)∇v). Il prossimo teorema concerne la rappresentazione di λ1 , il primo autovalore di L(v) = −div(M (x)∇v): Teorema 7.4. Sia λ1 il pi` u piccolo autovalore di L(v) = −div(M (x)∇v) . Allora R M (x)∇v · ∇v Ω R . λ1 = min A(v), dove A(v) = 1 (Ω) v∈H0 v2 v6=0

Ω

Inoltre ogni funzione u che minimizza A `e un’autofunzione di L relativa a λ1 . Osservazione 7.5. Per p = 2 la disuguaglianza di Poincar´e ci dice che esiste una costante positiva c = c(Ω) tale che 1 kukL2 (Ω) ≤ k∇ukL2 (Ω) ∀ u ∈ H01 (Ω). c Il teorema 7.4 ci permette di dire che il pi` u piccolo autovalore di L(v) = −∆v `e uguale alla radice quadrata della migliore costante nella disuguaglianza di Poincar´e. Useremo il seguente lemma: Lemma 7.6. A ha minimo in H01 (Ω) . Dimostrazione. A `e limitato inferiormente, per la disuguaglianza di Poincar´e. Dimostriamo che ammette minimo. Sia vn una successione minimizzante, cio`e, A(vn ) → inf A . Osserviamo che zn =

vn kvn kH01 (Ω)

`e una successione minimizzante e kzn kH01 (Ω) = 1. Ci`o implica che, a meno di una sottosuccessione, zn → z in L2 (Ω) e debolmente in H01 (Ω). Inoltre Z Z inf A ≥ lim inf M (x)∇zn · ∇zn ≥ M (x)∇z · ∇z = A(z) : (7.2.2) n→∞

Ω

Ω

7.2. AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI DI OPERATORI ELLITTICI LINEARI

61

infatti 0 ≤ M (x)∇(zn − z) · ∇(zn − z) = M (x)∇zn · ∇zn − 2M (x)∇zn · ∇z + M (x)∇z · ∇z e quindi basta passare al lim inf nella disuguaglianza Z Z Z M (x)∇zn · ∇zn ≥ 2 M (x)∇zn · ∇z − M (x)∇z · ∇z Ω

Ω

Ω

per ottenere la (7.2.2). Di conseguenza z minimizza A. Dobbiamo solo controllare che z 6= 0. Poich´e zn `e una successione minimizzante, esiste una costante C > 0 tale che A(zn ) ≤ C per ogni n, cio`e Z Z M (x)∇zn · ∇zn ≤ C zn2 . Ω

Ω

a di M e la disuguaglianza RL’ellitticit` R di Poincar´e implicano l’esistenza di una constante c˜ > 0 tale che zn2 ≥ c˜. Poich´e zn → z in L2 (Ω), z 2 ≥ c˜. Ne deduciamo che z 6= 0. Ω

Ω

Possiamo ora dimostrare il teorema 7.4. Dimostrazione. Sia u ∈ H01 (Ω) un minimo per A. Usando il lemma precedente possiamo dire che la funzione g(t) = A(u + tw), dove w ∈ H01 (Ω), ha minimo in 0. Essendo g derivabile, g 0 (0) = 0, cio`e, R M (x)∇u · ∇u Z Z Z Ω R uw = (inf A) uw ∀ w ∈ H01 (Ω) (7.2.3) M (x)∇u · ∇w = u2 Ω

Ω

Ω

Ω

R cio`e, ogni minimo u ∈

H01 (Ω)

di A `e un’autofunzione di L(v) = −div(M (x)∇v) e

Ω

M (x)∇u · ∇u R `e il u2 Ω

relativo autovalore. Dimostriamo che inf A = λ1 . Poich´e λ1 `e il pi` u piccolo autovalore di −div(M (x)∇v) si ha λ1 ≤ inf A . Dimostriamo la disuguaglianza opposta. Sia w1 un’autofunzione relativa a λ1 ; abbiamo Z Z M (x)∇w1 · ∇v = λ1 w1 v ∀ v ∈ H01 (Ω); Ω

Ω

di conseguenza scegliendo v = w1 otteniamo R R R M (x)∇v · ∇v M (x)∇w1 · ∇w1 λ1 w12 Ω Ω Ω R R 2 inf A = inf ≤ = R 2 = λ1 . v2 w1 w1 Ω

Ω

Ω

Osservazione 7.7. Come vedremo nel capitolo 8, la (7.2.3) `e l’equazione di Eulero associata a A. Corollario 7.8. Ogni autofunzione w1 di L(v) = −div(M (x)∇v) relativa a λ1 ha segno constante in Ω. Dimostrazione.

Per definizione di autofunzione relativa a λ1 , w1 risolve Z Z M (x)∇w1 · ∇v = λ1 w1 v ∀ v ∈ H01 (Ω) . Ω

Ω

Considerando v = w1+ si ha

R λ1 =

Ω

M (x)∇w1+ · ∇w1+ R + (w1 )2 Ω

62

CAPITOLO 7. ANALISI SPETTRALE PER OPERATORI LINEARI ELLITTICI

cio`e, w1+ minimizza A. Per il teorema 7.4, w1+ `e un’autofunzione di L(v) = −div(M (x)∇v) relativa a λ1 . Ovviamente aw1+ `e un’autofunzione di L(v) = −div(M (x)∇v) relativa a λ1 per ogni a ∈ R. Pi` u in generale si pu` o dimostrare la seguente rappresentazione degli autovalori. Teorema 7.9. Per ogni m > 1 si ha R R M (x)∇v · ∇v M (x)∇wm · ∇wm Ω Ω R R = inf λm = 2 v∈Pm−1 ,v6=0 wm v2 Ω

dove Pm

Ω

  Z   = v ∈ H01 (Ω) : wn v = 0, n = 1, ..m .   Ω

Passiamo ora a dimostrare l’ultim orisultato di questo paragrafo: la limitatezza delle autofunzioni del problema (7.1.1). Teorema 7.10. Sia u un’autofunzione di L(v) = −div(M (x)∇v) relativa all’autovalore λ. Allora u `e limitata e vale la seguente stima: N

kukL∞ (Ω) ≤ c(α, N )λ 2 kukL1 (Ω) ,

(7.2.4)

dove c(α, N ) indica una costante che dipende solo da α e da N . Dimostrazione.

Scegliamo Gk (u) = u − Tk (u) come funzione test nella (7.1.1): in questo modo Z Z Z 2 α |∇Gk (u)| ≤ M (x)∇u · ∇u = λ uGk (u) , Ak

Ω

Ω

per l’ellitticit` a di M . Stimiamo ora il membro destro. Scrivendo u come u − k + k, otteniamo, per la disuguaglianza di Young Z Z Z 2 λ uGk (u) ≤ λ |Gk (u)| + λ k |Gk (u)| Ω Ak Z ZAk λ 2 2 2 ≤ λ |Gk (u)| + |Gk (u)| + k µ(Ak ) 2 A Ak Zk λ λ = 3 |Gk (u)|2 + k 2 µ(Ak ) . 2 Ak 2 Abbiamo dunque dimostrato che Z Z λ λ α |∇Gk (u)|2 ≤ 3 |Gk (u)|2 + k 2 µ(Ak ) . 2 Ak 2 Ak

(7.2.5)

Usando le disuguaglianze di H¨ older e di Sobolev, abbiamo Z S

|Gk (u)|2

21

Z ≤S

Ak

∗

|Gk (u)|2

21∗

1

Z

µ(Ak ) N ≤

Ak

|∇Gk (u)|2

21

Ak

la (7.2.5) implica che Z α Ak

|∇Gk (u)|2 ≤

2 3λ µ(Ak ) N 2 2S

Z

λ |∇Gk (u)|2 + k 2 µ(Ak ) . 2 Ak

Consideriamo k ≥ k0 , dove k0 = k0 (λ) `e tale che α≥

2 3λ µ(Ak0 ) N . S2

1

µ(Ak ) N ;

(7.2.6)

7.2. AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI DI OPERATORI ELLITTICI LINEARI

63

Con questa scelta Z

|∇Gk (u)|2 ≤ k 2 λµ(Ak ) .

α

(7.2.7)

Ak

La (7.2.7) e la (7.2.6) implicano che Z Z |Gk (u)| ≤ Ak

Ponendo g(k) =

R Ak

|Gk (u)|

2

21

1

1

1

1

µ(Ak ) 2 ≤ µ(Ak )1+ N k(S 2 α)− 2 λ 2 .

Ak

|Gk (u)| e usando il lemma 5.1, la disuguaglianza precedente `e equivalente a 1

1

1

Sα 2 g(k) ≤ [−g 0 (k)]1+ N kλ 2 cio`e, N

N

N

N

1

g 0 (k)g(k)− N +1 λ 2(N +1) ≤ −k − N +1 (Sα 2 ) N +1 . Integrando su (k0 , k) abbiamo 1

1

1

N

N

1

1

1

N

N

1

1

g(k) N +1 ≤ g(k0 ) N +1 + (Sα 2 ) N +1 λ− 2(N +1) [k0N +1 − k N +1 ] . Poich´e g(k0 ) ≤ kukL1 (Ω) abbiamo 1

1

+ (Sα 2 ) N +1 λ− 2(N +1) [k0N +1 − k N +1 ] . g(k) N +1 ≤ kukLN1+1 (Ω) ˜ Si ha Osserviamo che se k˜ `e tale che il lato destro sia nullo, otteniamo kukL∞ (Ω) ≤ k. N +1 1 1 N 1 1 − N N N +1 N +1 ˜ 2(N +1) N +1 2 ≤ c(N )[(Sα 2 )−N λ 2 kukL1 (Ω) + k0 ] . kukL1 (Ω) + k0 k = (Sα ) λ 2 N2 kuk 1 N L (Ω) , basta considerare k0 . Poich´e µ(Ak0 ) ≤ Ricordiamo che k0 `e tale che µ(Ak0 ) ≤ λ− 2 αS3 k0 N N −2 −2 2 2 N N in modo che k0 ≤ λ 2 kukL1 (Ω) αS3 : sceglieremo k0 = 2λ 2 kukL1 (Ω) αS3 . In questo modo 1 N k˜ ≤ c(N )(Sα 2 )−N λ 2 kukL1 (Ω) + 2c(N )

αS 2 3

− N2

N

λ 2 kukL1 (Ω)

cio`e, N

kukL∞ (Ω) ≤ c(α, N )λ 2 kukL1 (Ω) . Osservazione 7.11. La limitatezza delle autofunzioni di L(v) = −div(M (x)∇v) pu` o essere dimostrata con una tecnica differente rispetto al teorema precedente, detta bootstrap, che ora illustriamo. Per definizione, wm ∈ H01 `e soluzione di −div(M (x)∇wm ) = λm wm in Ω wm = 0 su ∂Ω. ∗

∗∗∗

Poich´e H01 (Ω) ⊆ L2 (Ω), per il teorema 5.7 abbiamo wm ∈ L2 (Ω). Usando il teorema 5.7 iterativamente, attraverso un numero finito di passi otterremo la sommabilit` a Lp (Ω) con p > N/2, per ogni N ≥ 3. A questo scopo, definiamo   q = 2∗   0 .. .   q N qk ∗∗ k ≥ 0. k+1 = qk = N −2qk , Supponiamo per assurdo che qk ≤ N/2 per ogni k. Essendo qk strettamente monotona, esiste l := lim qk ; k→∞

l necessariamente 0 < l ≤ N/2. Passando al limite in k, otteniamo l = NN−2l : ci` o implica l = 0 che `e assurdo. Di conseguenza esiste k¯ ≥ 0 tale che qk¯ > N/2. Basta usare il teorema 5.6 per ottenere la tesi. Notiamo comunque che il teorema precedente ci d` a un’informazione supplementare: la stima (7.2.4).

64

7.3

CAPITOLO 7. ANALISI SPETTRALE PER OPERATORI LINEARI ELLITTICI

Alcune conseguenze della teoria spettrale in equazioni semilineari

In questo paragrafo studieremo alcune equazioni semilineari usando i risultati di teoria spettrale per operatori ellittici del paragrafo precedente. Pi` u precisamente studieremo il problema −div(M (x)∇u) = g(u) + f in Ω (7.3.1) u=0 su ∂Ω sotto diverse ipotesi du g. Osserviamo che abbiamo gi`a studiato alcune equazioni semilineari nel capitolo 3. Cominceremo studiando il problema lineare −div(M (x)∇u) = µu + f in Ω (7.3.2) u=0 su ∂Ω dove µ ∈ R, con una semplce applicazione dell’alternativa di Fredholm 7.24. Teorema 7.12. Sia µ ∈ R con µ 6= λk per ogni k ∈ N (dove {λk }k∈N sono gli autovalori di L(v) = −div(M (x)∇v)). Allora per ogni f ∈ L2 (Ω) esiste un’unica soluzione u del problema (7.3.2). Dimostrazione. Supponiamo che µ 6= 0, perch´e abbiamo gi`a visto nel teorema 3.4 che esiste un’unica soluzione H01 (Ω) del problema −div(M (x)∇u) = f . Sia T l’operatore definito da (7.2.1). Allora µ−1 non `e un autovalore di T . Di conseguenza usando il teorema 7.24, per ogni f ∈ L2 (Ω) esiste un’unica soluzione dell’equazione T u − µ−1 = −µ−1 T f , cio`e esiste un’unica soluzione del problema (7.3.2). Teorema 7.13. Sia µ = Z λk (dove per qualche k ∈ N, λk `e un autovalore di L(v) = −div(M (x)∇v)). 2 Sia f ∈ L (Ω) tale che f wk = 0 per ogni autofunzione wk relativa a λk . Allora esiste una soluzione Ω

del problema (7.3.2). Dimostrazione.

Come nel teorema precedente useremo l’operatore T definito da (7.2.1). Z Usando il teorema 7.24, esiste una soluzione di µ−1 u−T u = f (cio`e del problema (7.3.2)) a condizione che f ϕ = 0 Ω −1

per ogni ϕ tale che µ

−1

Z

Z M (x)∇ϕ · ∇v =

ϕ = T ϕ. Ci` o significa che µ

Ω

ϕv, cio`e ϕ `e un’autofunzione Ω

di L(v) = −div(M (x)∇v)) relativa a µ. L’esistenza delle autofunzioni di L(v) = −div(M (x)∇v) pu`o essere utile per trovare una sottosoluzione o una sopra-soluzione se si vuole applicare il teorema 3.11, come mostra il prossimo risultato. Teorema 7.14. Sia θ ∈ (0, 1). Allora esiste una soluzione positiva u ∈ H01 (Ω) del problema −∆u = uθ in Ω u=0 su ∂Ω . Dimostrazione.

(7.3.3)

Sia ψ ∈ H01 (Ω) la soluzione positiva del problema −∆ψ = 1 in Ω ψ=0 su ∂Ω . 1−θ

Sappiamo dal teorema 5.6 che ψ `e limitata; allora per ogni T > 0 tale che T θ ≥ kψkL∞ (Ω) , u = T ψ `e una sopra-soluzione del problema (7.3.3). D’altra parte, sia ϕ1 un’autofunzione relativa al primo autovalore λ1 di L(v) = −∆v: ϕ1 pu` o essere scelta positiva grazie al teorema 7.8 ed `e limitata grazie al teorema 7.10. Scegliendo t > 0 tale che λ1 (tϕ1 )1−θ ≤ 1, si ha che u = tϕ1 `e una sottosoluzione di (7.3.3). Per

7.3. ALCUNE CONSEGUENZE DELLA TEORIA SPETTRALE IN EQUAZIONI SEMILINEARI 65 dimostrare che u ≤ u, osserviamo che per linearit`a −∆(T ψ − tϕ1 ) = T − λ1 tϕ1 . Basta allora considerare T tale che T ≥ λ1 tkϕ1 kL∞ (Ω) : in questo modo u ≥ u per il lemma 3.12. Possiamo dunque applicare il teorema 3.11 per trovare una soluzione positiva del problema (7.3.3). Nei prossimi due teoremi, le ipotesi sulla funzione g del problema (7.3.1) sono in relazione agli autovalori dell’operatore L(v) = −div(M (x)∇v). Andiamo ora a enunciare il teorema di Dolph. Teorema 7.15 (Dolph). Sia g : R → R una funzione con la propriet` a che esiste δ > 0 tale che 0 < λk + δ <

g(t) − g(s) < λk+1 − δ, t−s

per qualche k ∈ N, dove {λk } sono gli autovalori di L(v) = −div(M (x)∇v). Allora, per ogni f ∈ L2 (Ω), esiste una soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema (7.3.1). Nella dimostrazione useremo il seguente risultato: Lemma 7.16. Sia µ ∈ R con µ 6= λk . Allora l’operatore S definito da S : L2 (Ω) f

→ L2 (Ω) → w

dove w risolve −div(M (x)∇w) = µw + f , `e compatto. Dimostrazione. Basta dimostrare che S : L2 (Ω) → H01 (Ω) `e continuo, visto che l’immersione H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) `e compatta. Per linearit` a dimostreremo che se fn → 0 in L2 (Ω) allora le corrispondenti soluzioni zn del problema (7.3.2) convergono a 0 in H01 (Ω). Consideriamo ϕi (le autofunzioni L(v) = −div(M (x)∇v)) come funzione test in (7.3.2): si ha Z Z Z Z (λi − µ) zn ϕi = M (x)∇zn · ∇ϕi − µ zn ϕi = fn ϕi . Ω

Poich´e fn → 0 in L2 (Ω) abbiamo

Ω

Z

Ω

Ω

zn ϕi → 0. {ϕi } `e una base ortonormale di L2 (Ω), come dimostrato

Ω

nel teorema 7.1: ci` o implica che zn → 0 debolmente in L2 (Ω). Di conseguenza zn `e limitata in L2 (Ω). Scegliendo zn come funzione test in (7.3.2), si ha Z Z Z Z α |∇zn |2 ≤ M (x)∇zn · ∇zn = µ zn2 + fn zn . (7.3.4) Ω

Ω

Ω

Ω

Essendo l’ultimo membro limitato uniformemente, possiamo dire che a meno di una sottosuccessione zn ha un limite debole in H01 (Ω) che `e necessariamente 0 e zn → 0 in L2 (Ω). Di conseguenza il membro destro della (7.3.4) tende a zero e quindi zn → 0 in H01 (Ω). Possiamo ora dimostrare il teorema di Dolph: Dimostrazione. Il problema (7.3.1) equivalente a −div(M (x)∇u) − λu = g(u) − λu + f u=0

in Ω su ∂Ω

dove λ = λk+12+λk . Osserviamo che λ 6= 0 e che λ non `e un autovalore di L, cio`e dell’operatore T definito da (7.2.1). Grazie al teorema 7.12 S : L2 (Ω) → H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) f → w

1 λ

non `e un autovalore

66

CAPITOLO 7. ANALISI SPETTRALE PER OPERATORI LINEARI ELLITTICI

dove w risolve −div(M (x)∇w) − λw = f `e ben definito. Ponendo Θ : L2 (Ω) → L2 (Ω) v → S[g(v) − λv + f ] basta dimostrare che Θ `e una contrazione. La linearit`a e la continuit`a di S implicano che kΘv − ΘwkL2 (Ω) ≤ kSkL(L2 (Ω)) kg(v) − g(w) − λ(v − w)kL2 (Ω) .

(7.3.5)

Stimiamo ora kg(v) − g(w) − λ(v − w)kL2 (Ω) . Dalle ipotesi su g deduciamo che g(v) − g(w) λk+1 − λk − λ ≤ −δ : v−w 2 ci` o `e equivalente a

λk+1 − λk − δ |v − w|, 2

λk+1 − λk − δ kv − wkL2 (Ω) . 2

|g(v) − g(w) − λ(v − w)| ≤ e quindi kg(v) − g(w) − λ(v − w)kL2 (Ω) ≤ Usando la (7.3.5), si ha kΘv − ΘwkL2 (Ω) ≤ kSkL(L2 (Ω))

λk+1 − λk − δ kv − wkL2 (Ω) . 2

(7.3.6)

Per dimostrare che Θ `e una contrazione dimostreremo che λk+1 − λk − δ < 1. kSkL(L2 (Ω)) 2 A questo scopo, stimiamo kSkL(L2 (Ω)) . Denotiamo con νk gli autovalori di −div(M (x)∇v) − λv, cio`e −div(M (x)∇zk ) − λzk = νk zk : questa uguaglianza implica che νk = λk − λ (dove λk sono gli autovalori di L(v) = −div(M (x)∇v)). Gli autovalori di S sono dunque 1 νk−1 = . λk − λ Usando il teorema 7.23, si ha 1 kSk(L2 (Ω))0 = sup (7.3.7) λi − λ i visto che S `e compatto, come dimostrato nel lemma 7.16. Poich´e 0 < . . . < λk < λ < λk+1 < . . . abbiamo 1 . kSk(L2 (Ω))0 = sup i=k,k+1 λi − λ Inoltre il fatto che λ − λk = λk+1 − λ implica che kSk(L2 (Ω))0 =

2 1 = . λk+1 − λ λk+1 − λk

Sostituendo quest’uguaglianza nella (7.3.6), otteniamo 2 λk+1 − λk kΘv − ΘwkL2 (Ω) ≤ − δ kv − wkL2 (Ω) λk+1 − λk 2 2δ ≤ 1− kv − wkL2 (Ω) . λk+1 − λk

7.3. ALCUNE CONSEGUENZE DELLA TEORIA SPETTRALE IN EQUAZIONI SEMILINEARI 67 Di conseguenza Θ `e una contrazione e deduciamo dal teorema 1.1 che esiste un’unica u ∈ L2 (Ω) tale che −div(M (x)∇u) + λu = g(u) + λu + f . Poich´e S : L2 (Ω) → H01 (Ω) abbiamo che u ∈ H01 (Ω), cio`e u `e la soluzione. Studiamo ora il seguente teorema ( [1]): Teorema 7.17 (Ambrosetti-Prodi). Sia g : R → R una funzione lipschitz tale che g(0) = 0. Supponiamo che g(s) lim = γ± , γ− < λ1 < γ+ < λ2 s→±∞ s dove λ1 e λ2 sono i primi due autovalori di L(v) = −div(M (x)∇v). Allora per ogni f ∈ L2 (Ω), esiste un t¯ ∈ R tale che: Z 1. se f ϕ1 > t¯, non esiste una soluzione del problema (7.3.1); Ω

Z 2. se

f ϕ1 = t¯, esiste una soluzione del problema (7.3.1);

Ω

Z 3. se

f ϕ1 < t¯, esistono due soluizoni del problema (7.3.1).

Ω

Useremo il seguente risultato. Lemma 7.18. Sotto le stesse ipotesi del terema 7.17 su g, siano un , u ∈ L2 (Ω) tali che un → u in L2 (Ω), per n → +∞. g(tn un ) 1. Se tn → +∞, allora → γ+ u+ − γ− u− in L2 (Ω). tn g(tn un ) → γ− u+ − γ+ u− in L2 (Ω). 2. Se tn → −∞, allora tn Dimostrazione.

Poniamo   g(tn un (x)) ρn (x) = tn un (x)  0

se un (x) 6= 0 se un (x) = 0 .

Dobbiamo dimostrare che ρn un → γ+ u+ − γ− u− . Si ha che |ρn | ≤ K q.o. per le ipotesi su g. Di conseguenza ρn (un − u) → 0 in L2 (Ω). 1. Supponiamo che tn → +∞. Studiano separatamente Ω− n = {x ∈ Ω : un (x) < 0} Ω0n = {x ∈ Ω : un (x) = 0} Ω+ n = {x ∈ Ω : un (x) > 0} si ottiene che ρn u → γ+ u+ − γ− u− q.o.; usando il teorema di Lebesgue ρn u → γ+ u+ − γ− u− in L2 (Ω). Di conseguenza ρn un → γ+ u+ − γ− u− in L2 (Ω) . 2. Il caso tn → −∞ `e simile al precedente. Dimostriamo ora il teorema 7.17. Dimostrazione. Sia ϕ1 un’autofunzione positiva di L(v) = −div(M (x)∇v) relativa al primo autovalore λ1 , tale che kϕ1 kL2 (Ω) = 1. Dimostreremo che per ogni s ∈ R esiste un’unica soluzione z = zs ∈ H01 (Ω) di Z Z Z Z M (x)∇z · ∇w = g(z + sϕ1 )w + f w ∀ w ∈ H01 (Ω) : wϕ1 = 0 (7.3.8) Ω

Ω

Ω

Ω

68 e

R

CAPITOLO 7. ANALISI SPETTRALE PER OPERATORI LINEARI ELLITTICI zϕ1 = 0. Studieremo poi l’esistenza di un reale s tale che

Ω

Z λ1 s −

Z g(z + sϕ1 )ϕ1 =

Ω

f ϕ1 .

(7.3.9)

Ω

Si vede facilmente che il problema (7.3.1) `e equivalente all’esistenza di z e s. Step I: Studiamo il problema (7.3.8). Per ogni s ∈ R fissato, troveremo un’unica soluzione zs del problema (7.3.8) grazie al teorema 3.3. Infatti, definiamo Z Z a(ψ, w) = M (x)∇ψ · ∇w − g(ψ + sϕ1 )w Ω

Ω

sullo spazio di Hilbert costituito dalle funzioni w ∈ H01 (Ω) tali che

R

wϕ1 = 0 . Questa forma `e lineare

Ω

nella seconda variabile. Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e il fatto che g `e lipschitz, possiamo dire che esiste una costante positiva C tale che |a(ψ1 , w) − a(ψ2 , w)| ≤ Ck∇wkL2 (Ω) k∇(ψ1 − ψ2 )kL2 (Ω) . Inoltre si vede facilmente che Z a(ψ1 , ψ1 − ψ2 ) − a(ψ2 , ψ1 − ψ2 ) ≥

Z M (x)∇(ψ1 − ψ2 ) · ∇(ψ1 − ψ2 ) − γ+

Ω

|ψ1 − ψ2 |2 .

Ω

Usando il teorema 7.9 e l’ellitticit` a di M a(ψ1 , ψ1 − ψ2 ) − a(ψ2 , ψ1 − ψ2 ) ≥

γ+ 1− λ2

αk∇(ψ1 − ψ2 )k2L2 (Ω) .

Possiamo allora usare il teorema 3.3 e affermare che per ogni s ∈ R esiste un’unica soluzione zs del problema (7.3.8) . Step II: Dimostriamo che Z h(s) := λ1 s − g(zs + sϕ1 )ϕ1 Ω

`e una funzione continua da R in R. Ovviamente `e sufficiente dimostrare che il secondo termine `e continuo. A questo scopo, sia sn una successione di reali. Dimostreremo che la corrispondente soluzione zsn delle soluzioni del problema (7.3.8) `e uniformemente limitata in H01 (Ω). Possiamo scrivere Z Z Z M (x)∇zsn · ∇zsn = g(zsn + sn ϕ1 )zsn + f zsn . Ω

Ω

Ω

Moltiplicando e dividendo per zsn + sn ϕ1 nell’integrale del secondo membro e usando le ipotesi sul limite di g, abbiamo Z Z M (x)∇zsn · ∇zsn ≤ γ+ zs2n + kf kL2 (Ω) kzsn kL2 (Ω) Ω

Ω

Di conseguenza, per il teorema 7.9 e l’ellitticit`a di M γ+ k∇zsn k2L2 (Ω) ≤ kf kL2 (Ω) kzsn kL2 (Ω) α 1− λ2 La disuguaglianza di Poincar´e implica che zsn `e uniformemente limitata in H01 (Ω). Ora, supponiamo che sn → s0 per n → ∞. A meno di una sottosuccessione, zsn converge debolmente ad una successione w

7.3. ALCUNE CONSEGUENZE DELLA TEORIA SPETTRALE IN EQUAZIONI SEMILINEARI 69 in H01 (Ω). Il teorema 2.6 implica che g(zsn + sn ϕ1 ) → g(w + s0 ϕ1 ) in L2 (Ω). Dobbiamo dimostrare che w = zs0 , cio`e che w risolve il problema (7.3.8) relativo a s0 . Passando al limite in Z Z Z Z M (x)∇zsn · ∇ψ = g(zsn + sn ϕ1 )ψ + f ψ ∀ ψ : ψ ϕ1 = 0 Ω

abbiamo che

Ω

Ω

Z

Z

Z

M (x)∇w · ∇ψ = Ω

Ω

g(w + s0 ϕ1 )ψ + Ω

f ψ. Ω

Dallo step I esiste un’unica soluzione del problema −div(M (x)∇zs0 ) = g(zs0Z+ s0 ϕ1 ) + f e quindi necessariamente w = zs0 . Di conseguenza a meno di una sottosuccessione g(zsn + sn ϕ1 )ϕ1 → Ω

Z g(zs0 + s0 ϕ1 )ϕ1 . Si pu` o dimostrare, ragionando per assurdo che Ω

Z

Z g(zsn + sn ϕ1 )ϕ1 →

Ω

g(zs0 + s0 ϕ1 )ϕ1 Ω

e non solo una sottosuccessione. Questo implica che h `e una funzione continua. Step III: Dimostriamo che h(s) lim = λ1 − γ± . s→±∞ s Si ha Z zs g s s + ϕ1 h(s) = λ1 − ϕ1 : s s Ω

basta dimostrare l’ultimo termine. Osserviamo che zs `e uniformemente limitata in H01 (Ω) come gi` a dimostrato nello step precedente. Di conseguenza zss → 0 in H01 (Ω) per s → ∞. Ponendo vs = zss + ϕ1 abbiamo che vs → ϕ1 in L2 (Ω). 1. Supponiamo che s → +∞. Usando il lemma 7.18 abbiamo che g(svs ) − → γ+ ϕ+ 1 − γ− ϕ1 s in L2 (Ω). Essendo ϕ1 positiva, Z

g s

zs s

+ ϕ1 s

ϕ1 → γ+ .

Ω

2. In modo simile si pu` o studiare il caso s → −∞. Step IV: Il problema (7.3.9) `e equivalente a h(s) =

R

f ϕ1 . Essendo λ1 − γ+ < 0 < λ1 − γ− , usando il

Ω

risultato dello step precedente, possiamo dire che h ha un massimo. Quindi Z 1. se f ϕ1 < max h, allra il problema (7.3.1) ha almeno due soluzioni; R Ω

Z 2. se

f ϕ1 = max h, allora il problema (7.3.1) ha almeno una soluzione; R Ω

Z 3. se

f ϕ1 > max h, allora il problema (7.3.1) non ha soluzione. R Ω

70

7.4

CAPITOLO 7. ANALISI SPETTRALE PER OPERATORI LINEARI ELLITTICI

Appendice

Richiamiamo alcuni risultati classici di teoria spettrale per operatori lineari. Per le dimostrazioni, vedere [9]. Definizione 7.19. Sia H uno spazio di Hilbert. Sia T : H → H un operatore lineare. Sia BH = {x ∈ H : kxk ≤ 1}. Diremo che 1. T `e auto-aggiunto se (T u|v) = (u|T v) per ogni u, v ∈ H; 2. T `e compatto se T (BH ) `e relativamente compatto per la topologia forte. Definizione 7.20. Sia E uno spazio di Banach. Sia T : E → E un operatore lineare. 1. poniamo ρ(T ) = {λ ∈ R : T − λI : E → E `e biunivoco}; 2. lo spettro di T is σ(T ) = R \ ρ(T ); 3. λ `e un autovalore se Ker(T − λI) 6= 0 . Denotiamo che AT (T ) l’insieme degli autovalori. Osserviamo che l’insieme degli autovalori di T `e contenuto in σ(T ), ma i due insiemi non coincidono in generale. Teorema 7.21. Sia E uno spazio di Banach. Sia T : E → E un operatore lineare compatto. Allora 1. 0 ∈ σ(T ); 2. σ(T ) \ {0} = AT (T ) \ {0}; 3. o σ(T ) \ {0} `e finito o σ(T ) \ {0} `e una successione infinitesima. Teorema 7.22 (Teorema spettrale). Sia H uno spazio di Hilbert separabile. Sia T sia un operatore lineare, compatto e autoaggiunto. Allora H possiede una base ortonormale composta da autovettori di T . Inoltrela successione dei corrispondenti autovalori λn `e tale che |λn | → 0, n → ∞ . Teorema 7.23. Sia H uno spazio di Hilbert. Sia T : H → H un operatore lineare, compatto e autoaggiunto. Allora, detti µn gli autovalori di T , si ha kT kH 0 = sup |µn | . n

Teorema 7.24 (Alternativa di Fredholm). Sia H uno spazio di Hilbert. Sia T : H → H un operatore lineare, compatto e auto-aggiunto. Sia λ ∈ R \ {0}. Allora vale la seguente alternativa: o per ogni ξ ∈ H l’equazione λx − T x = ξ ha un’unica soluzione oppure λx = T x ha una soluzione x non nulla e λx − T x = ξ ha una soluzione se ξ ⊥ Ker(λI − T ).

Capitolo 8

Introduzione al calcolo delle variazioni e equazione di Eulero 8.1

Introduzione

Nonostante questo corso sia dedicato a equazioni differenziali ci sembra utile esporre alcuni risultati di base del calcolo delle variazioni. Vedremo come la minimizzazione di un funzionale possa essere usata per studiare l’esistenza di soluzioni di problemi differenziali.

8.2

Metodi diretti nel calcolo delle variazioni

In questo paragrafo ci sembra utile ricordare alcuni risultati classici del calcolo delle variazioni che ci saranno utili in seguito per studiare la minimizzazione di un funzionale. Ci riferiamo a [10] per le relative dimostrazioni. Teorema 8.1 (Weierstrass). Sia X uno spazio di Banach riflessivo. Sia F : X → R coercivo e debolmente semicontinuo inferiormente. Allora F ammette minimo. Tratteremo essenzialmente funzionali integrali del tipo Z F (v) = f (x, v, ∇v), Ω

definiti su W01,p (Ω) con 1 < p < +∞ (che `e uno spazio di Banach riflessivo). Il seguente teorema ci d` a una condizione sufficiente affinch´e un funzionale di questo tipo sia debolmente semicontinuo inferiormente in W01,p (Ω): Teorema 8.2 (De Giorgi). Sia f (x, s, ξ) : Ω × R × RN → R una funzione di Carath´eodory, convessa in 0 ξ e tale che f (x, s, ξ) ≥ a(x) · ξ + b(x), dove a : Ω → RN appartiene a (Lp (Ω))N e b ∈ L1 (Ω). Siano 1,p un , u ∈ W0 (Ω) tali che un → u debolmente in W 1,p (Ω). Allora Z

Z f (x, u, ∇u) ≤ lim inf

f (x, un , ∇un ) .

n→∞

Ω

Ω

La dimostrazione del teorema di De Giorgi `e abbastanza complessa. Ci sembra comunque istruttivo presentare la dimostrazione per una particolare classe di funzionali. Useremo la notazione ∇ξ f per indicare il gradiente di f rispetto alla variabile ξ. 71

72CAPITOLO 8. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONE DI EULERO Teorema 8.3. Sia f (x, s, ξ) : Ω × R × RN → R una funzione di Carath´eodory convessa nell’ultima variabile. Supponiamo esistano α, β > 0 tali che α|ξ|p ≤ f (x, s, ξ) ≤ β|ξ|p . Supponiamo inoltre che per p−1 q.o. x ∈ Ω e per . Z ogni s ∈ R f (x, s, ·) sia derivabile e che esista ν > 0 tale che |∇ξ f (x, s, ξ)| ≤ ν|ξ| f (x, v, ∇v), definito su W01,p (Ω), ammette minimo.

Allora F (v) = Ω

Dimostrazione. Il funzionale F `e coercivo grazie al fatto che f (x, s, ξ) ≥ α|ξ|p . Dimostriamo ora che `e debolmente semicontinuo inferiormente. Sia vn una successione debolmente convergente a v in W01,p (Ω). Le precedenti ipotesi di convessit` a e di derivabilit`a su f permettono di scrivere f (x, s, ξ) ≥ f (x, s, η) + ∇ξ f (x, s, η) · (ξ − η) :

(8.2.1)

tale disuguaglianza implica che Z Z Z f (x, vn , ∇vn ) ≥ f (x, vn , ∇v) + ∇ξ f (x, vn , ∇v) · (∇vn − ∇v). Ω

Ω

Ω

Grazie al teorema 2.6 possiamo dire che la funzione f (x, vn , ∇v) converge in L1 (Ω) a f (x, v, ∇v) per la continuit` a di f (x, ·, ξ) e per le condizioni di crescita di f . Studiamo il secondo termine. ∇vn − ∇v converge debolmente a 0 in (Lp (Ω))N per ipotesi. Ancora grazie al teorema 2.6 la funzione ∇ξ f (x, vn , ∇v) 0 converge a ∇ξ f (x, v, ∇v) in (Lp (Ω))N sempre per la continuit`a di f (x, ·, ξ) e per le condizioni di crescita di ∇ξ f . Quindi, passando al limite inferiore nella disuguaglianza (8.2.1) si ha Z Z lim inf f (x, vn , ∇vn ) ≥ f (x, v, ∇v). n→+∞

Ω

Ω

In base al teorema 8.1 F ammette minimo.

8.3

Equazione di Eulero

Diamo ora in astratto la definizione di equazione di Eulero associata ad un funzionale. Come vedremo l’equazione di Eulero `e legata alla derivata secondo Gˆateaux del funzionale. Seguiremo le notazioni della definizione 8.18. Definizione 8.4. Sia X uno spazio di Banach. Sia J : X → R un funzionale che ammette minimo u. Supponiamo che J sia derivabile secondo Gˆ ateaux. L’equazione < J 0 (u), ϕ >= 0, ϕ ∈ X, `e l’equazione di Eulero associata a J. Enunciamo ora un teorema che ci permette di calcolare l’equazione di Eulero associata a dei funzionali integrali. Teorema 8.5. Sia f : Ω × R × RN → R di classe C 1 . Sia Z F (v) = f (x, v, ∇v) Ω

definito su W01,p (Ω). Sia u un minimo per F . Allora: 1. L’equazione di Eulero Z

Z ∇ξ f (x, u, ∇u) · ∇ϕ +

Ω

∂f (x, u, ∇u)ϕ = 0 ∂s

Ω

`e soddisfatta per ogni ϕ ∈ W01,p (Ω) se f soddisfa le seguenti condizioni:

8.3. EQUAZIONE DI EULERO

73

(a) caso p > N : per ogni |s| < R, |∇ξ f | ≤ α1 (x) + β(1 + |ξ|p−1 ) ∂f ≤ α2 (x) + β(1 + |ξ|p ) ∂s 0

dove α1 ∈ Lp (Ω), α2 ∈ L1 (Ω), β ≥ 0. (b) caso p = N : |∇ξ f | ≤ α1 (x) + β(|s|q1 + |ξ|p−1 ) ∂f ≤ α2 (x) + β(|s|r1 + |ξ|r2 ) ∂s 0

dove α1 ∈ Lp (Ω), α2 ∈ Ls (Ω), con s > 1, β ≥ 0, q1 , r1 ≥ 1 e 1 ≤ r2 < p. (c) caso 1 < p < N : |∇ξ f | ≤ α1 (x) + β(|s|q1 + |ξ|p−1 ) ∂f ≤ α2 (x) + β(|s|r1 + |ξ|r2 ) ∂s Np

0

dove α1 ∈ Lp (Ω), α2 ∈ L N p−N +p (Ω), β ≥ 0, 1 ≤ q1 ≤

N (p−1) N −p ,

1 ≤ r1 ≤ p∗ e 1 ≤ r2 < p−1+ Np .

2. L’equazione di Eulero `e soddisfatta per ogni ϕ ∈ W01,p (Ω) ∩ L∞ (Ω) se per ogni |s| < R, |∇ξ f | ≤ α1 (x) + β(1 + |ξ|p−1 ) ∂f ≤ α2 (x) + β(1 + |ξ|p ) ∂s 0

dove α1 ∈ Lp (Ω), α2 ∈ L1 (Ω), β ≥ 0. Esempio 8.6. Consideriamo il funzionale J : H01 (Ω) → R, definito da 1 J(v) = 2

Z

Z

2

M (x)|∇v| − Ω

fv Ω

dove M (x) ∈ RN ×N `e una matrice simmetrica a coefficienti limitati e tale che M (x)ξ · ξ ≥ α|ξ|2 ; inoltre ` facile vedere che J ammette minimo u usando il teorema 8.2. L’equazione di Eulero che u f ∈ L2 (Ω). E soddisfa `e −div(M (x)∇u) = f in Ω u=0 su ∂Ω. Esempio 8.7. Dimostreremo l’esistenza di soluzioni del problema −∆u = |u|p−2 u in Ω u=0 su ∂Ω con p ∈ [1, 2). A tale scopo, sia J il funzionale definito su H01 (Ω) da Z Z 1 1 2 J(v) = |∇v| − |v|p . 2 p Ω

Ω

Tale funzionale ammette minimo u per il teorema 8.2. L’equazione di Eulero che u soddisfa `e appunto Z Z ∇u · ∇v = |u|p−2 uv ∀ v ∈ H01 (Ω) . Ω

Ω

74CAPITOLO 8. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONE DI EULERO Osserviamo che le equazioni con una certa struttura non sono sempre equazioni di Eulero associate ad un funzionale. Consideriamo ad esempio il funzionale J : H01 (Ω) → R definito da J(v) =

1 2

Z

a(v)|∇v|2 −

Ω

Z fv

(8.3.1)

Ω

sotto le seguenti ipotesi: 1. 0 < α ≤ a(s) ≤ β, per certi α, β > 0; 2. a `e derivabile e ∃ γ > 0 tale che |a0 (s)| ≤ γ; 2N

3. f appartiene a L N +2 (Ω) . Osserviamo che tale funzionale ammette un minimo u (grazie al teorema 8.2) che risolve Z a(u)∇v · ∇u +

1 2

Ω

Z

a0 (u)|∇u|2 v −

Ω

Z

∀ v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω).

fv = 0 Ω

Di conseguenza l’equazione −div(a(u)∇u) + g(u)|∇u|2 = f pu` o essere vista come l’equazione di Eulero associata ad un funzionale se e solo se g = a0 /2. Esempio 8.8. Sia J il funzionale definito su H01 (Ω) da 1 J(v) = 2

Z

1 |∇v| − p 2

Ω

Z

|v|p

Ω

con 2 < p < 2∗ . Notiamo che tale funzionale, a differenza del precedente non `e coercivo; anzi si pu` o dimostrare che J non ammette minimo su H01 (Ω) : infatti, detta ϕ1 ∈ H01 (Ω) l’autofunzione relativa al primo autovalore del laplaciano (ossia −∆ϕ1 = λ1 ϕ1 ), si ha J(tϕ1 ) =

t2 2

Z Ω

|∇ϕ1 |2 −

tp p

Z

|ϕ1 |p =

Ω

t2 λ1 2

Z

ϕ21 −

Ω

tp p

Z

|ϕ1 |p .

Ω

` facile dimostrare che J Il limite per t → +∞ mostra che J `e illimitato inferiormente visto che p > 2. E ammette invece minimo sull’insieme   Z   A = v ∈ H01 (Ω) : |v|p = 1 .   Ω

Infatti J `e limitato inferiormente su A. Inoltre se vn `e una successione minimizzante, a meno di una sottosuccessione, vn converge debolmente in H01 (Ω) ad una funzione v0 in A, che `e un minimo, per debole semicontinuit` a inferiore di J. Vediamo l’equazione che soddisfa il minimo u di J su A. Per definizione di minimo abbiamo che         u + tv   J(u) ≤ J   1 ,   Z p      |u + tv|p   Ω

8.3. EQUAZIONE DI EULERO

75

per ogni t ∈ R e per ogni v ∈ H01 (Ω). Poniamo 



      u + tv   . g(t) = J   1 p   Z      |u + tv|p   Ω

Osserviamo che

  Z Z d  p |u + tv| = p |u + tv|p−2 (u + tv)v; dt Ω

Ω

di conseguenza   p1   10 p Z Z Z Z Z |u|p−2 uv 2  |u|p  2 ∇u · ∇v − |∇u|2 2  |u|p  g 0 (0) =

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

  p2 Z 4  |u|p 

.

Ω

Poich´e u ∈ A, otteniamo   Z Z Z 1 g 0 (0) = 4 ∇u · ∇v − 2 |∇u|2 |u|p−2 uv  = 0. 4 Ω

Ω

Ω

Si ha perci` o che Z

1 ∇u · ∇v − 2

Ω

Z

2

Z

|∇u| Ω

|u|p−2 uv = 0

Ω

Quindi se u `e il minimo di J, u risolve Z Z 2 2 ∇u · ∇v = kukH 1 (Ω) |u|p−2 uv. 0

Ω

Ω

Tale funzione u `e dunque un punto critico del funzionale J (che, ricordiamo, non ammette minimo). Esempio 8.9. Dimostreremo l’esistenza di una soluzione u ∈ W01,p (Ω) del seguente problema: −div(|∇u|p−2 ∇u) = b(x, u) in Ω u=0 su ∂Ω ,

(8.3.2)

dove p ≥ 2 e b(x, s) : Ω × R → R `e una funzione di Carath´eodory limitata. Osserviamo che tale problema rientra nella classe di problemi del tipo Leray-Lions studiati nel capitolo 4. Vogliamo far vedere come possa essere risolto usando il calcolo delle variazioni e il teorema di Schauder 1.11. A tale scopo, definiamo σ : W01,p (Ω) → W01,p (Ω) come l’applicazione che associa a w ∈ W01,p (Ω) la soluzione z ∈ W01,p (Ω) del problema −div(|∇z|p−2 ∇z) = b(x, w) in Ω (8.3.3) z=0 su ∂Ω . Tale applicazione `e ben definita: infatti il funzionale Z Z 1 J(v) = |∇v|p − b(x, w)v p Ω

Ω

76CAPITOLO 8. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONE DI EULERO ammette un minimo grazie al teorema 8.2, e l’equazione di Eulero associata `e appunto −div(|∇z|p−2 ∇z) = b(x, w) . Inoltre tale minimo `e unico, grazie alla stretta convessit` a del funzionale J. Dimostriamo ora che σ ammette un convesso invariante chiuso e limitato e che `e completamente continua. L’esistenza di una soluzione del problema (8.3.2) seguir` a dal teorema di Schauder. Per quanto riguarda il convesso invariante, scegliamo z nella formulazione debole del problema (8.3.3) come funzione test: otteniamo, grazie alla limitatezza della funzione b e alla disuguaglianza di Poincar´e Z Z k∇zkpLp (Ω) = |∇z|p−2 ∇z · ∇z = b(x, w)z ≤ Ck∇zkLp (Ω) : Ω

Ω

ci` o implica che esiste un R tale che se k∇wkLp (Ω) ≤ R allora k∇zkLp (Ω) ≤ R, cio`e esiste un convesso invariante chiuso e limitato per σ. Per dimostrare che σ `e completamente continua, baster` a dimostrare che se wn → w debolmente in W01,p (Ω) allora σ(wn ) → σ(w) in W01,p (Ω). A tale scopo, possiamo dire che Z Z |∇zn |p−2 ∇zn · ∇(zn − z) = b(x, wn )(zn − z) Ω

Z

Ω

|∇z|p−2 ∇z · ∇(zn − z) =

Ω

Z b(x, w)(zn − z) : Ω

sottraendo membro a membro si ha Z Z |∇zn |p−2 ∇zn − |∇z|p−2 ∇z · ∇(zn − z) = [b(x, wn ) − b(x, w)](zn − z). Ω

Ω

Sfruttando che [|s|p−2 s − |t|p−2 t](s − t) ≥ C|s − t|p per s, t ∈ R al primo membro e la disuguaglianza di H¨ older al secondo si ottiene Z |∇(zn − z)|p ≤ kb(x, wn ) − b(x, w)kLp0 (Ω) kzn − zkLp (Ω) ; Ω

grazie alla disuguaglianza di Poincar´e 0 k∇(zn − z)kp−1 Lp (Ω) ≤ kb(x, wn ) − b(x, w)kLp (Ω) . 0

Per il teorema di composizione 2.6 b(x, wn ) → b(x, w) in Lp (Ω), visto che wn → w in Lp (Ω). Di conseguenza zn → z in W01,p (Ω), cio`e σ(wn ) → σ(w) in W01,0 (Ω).

8.4

Principio variazionale di Ekeland

Abbiamo visto nel paragrafo 8.2 l’importanza delle successioni minimizzanti di un funzionale. In questo paragrafo vogliamo discutere il principio variazionale di Ekeland, che `e uno strumento utile per studiare il loro comportamento (vedere [11]). Infatti consente in un certo senso di migliorare una successione minimizzante, sostituendola con un’altra successione minimizzante i cui elementi godono di particolari propriet` a di minimo. Teorema 8.10 (Principio di Ekeland). Sia (X, d) uno spazio metrico completo. Sia Φ : X → R ∪ {∞} un funzionale semicontinuo inferiormente e limitato dal basso. Sia u ∈ X tale che Φ(u) ≤ inf Φ + X

1 . n

(8.4.1)

Allora esiste v ∈ X tale che Φ(v) ≤ Φ(u)

(8.4.2)

8.4. PRINCIPIO VARIAZIONALE DI EKELAND

77

d(v, u) ≤ 1

(8.4.3)

1 d(v, w), ∀ w ∈ X, w 6= v. (8.4.4) n Dimostrazione. Definiamo per induzione una successione uk ⊂ X nel modo che segue. Poniamo u1 = u. Supponiamo di aver definito u1 , u2 , ...uk . Sia Φ(v) < Φ(w) +

Sk = {w ∈ X : Φ(w) ≤ Φ(uk ) −

1 d(uk , w)}. n

L’insieme Sk 6= ∅ poich´e uk ∈ Sk . Per definizione di estremo inferiore, esiste un punto uk+1 ∈ Sk tale che Φ(uk+1 ) ≤

1 {Φ(uk ) + inf Φ}. Sk 2

(8.4.5)

Dimostriamo che la successione uk cos`ı costruita `e di Cauchy. Visto che uk+1 ∈ Sk allora 1 d(uk , uk+1 ) ≤ Φ(uk ) − Φ(uk+1 ) n

(8.4.6)

e dunque, per la disuguaglianza triangolare m

1X 1 d(uk , uk+m ) ≤ d(uk+j , uk+j−1 ) ≤ Φ(uk ) − Φ(uk+m ). n n j=1

(8.4.7)

Ora, dalla (8.4.6) segue che la successione Φ(uk ) `e decrescente; poich´e Φ `e limitato inferiormente in X, si ha che limk→∞ Φ(uk ) = α per qualche α ∈ R. Di conseguenza la (8.4.7) mostra che uk `e di Cauchy. Allora esiste v ∈ X tale che v = limk→∞ uk . D’altra parte, siccome Φ `e semicontinuo inferiormente Φ(v) ≤ lim inf Φ(uk+m ) = α. m→∞

Questa disuguaglianza e il limite per m → ∞ nella (8.4.7) implicano che 1 d(uk , v) ≤ Φ(uk ) − Φ(v). n

(8.4.8)

Preso k = 1 abbiamo n1 d(u, v) ≤ Φ(u) − Φ(v) ≤ Φ(u) − inf X Φ ≤ n1 grazie all’ipotesi (8.4.1) e quindi d(u, v) ≤ 1 e Φ(v) ≤ Φ(u) cio`e abbiamo dimostrato la (8.4.2) e la (8.4.3) Per dimostrare la (8.4.4) supponiamo per assurdo che esista w ∈ X tale che Φ(w) < Φ(v) −

1 d(w, v) . n

(8.4.9)

Grazie alla (8.4.8) si ha che Φ(w) < Φ(uk ) −

1 1 1 d(uk , v) − d(w, v) < Φ(uk ) − d(uk , w), n n n

e dunque w ∈ Sk , per ogni k; di conseguenza inf Φ ≤ Φ(w). Sk

Per la (8.4.5) e la (8.4.9) abbiamo 2Φ(uk+1 ) − Φ(uk ) ≤ Φ(w) < Φ(v) −

1 d(w, v); n

al limite per k → ∞ otteniamo Φ(v) ≤ Φ(w) < Φ(v) − che `e assurda.

1 d(v, w) n

78CAPITOLO 8. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONE DI EULERO q 1 e uno spazio metrico Osservazione 8.11. Introduciamo in X la distanza d1 = n d. Allora (X, d1 ) ` completo. Segue dal teorema 8.10 che se un `e una successione minimizzante, allora esiste vn ∈ X tale che 1. Φ(vn ) ≤ Φ(un ) q 2. d(un , vn ) ≤ n1 3. Φ(vn ) ≤ Φ(w) +

q

1 n d(vn , w)

∀ w ∈ X.

Quindi vn `e anch’essa una successione minimizzante i cui elementi verificano particolari propriet` a di minimo. Vedremo ora come il principio di Ekeland possa essere usato per lo studio della minimizzazione di funzionali regolari su spazi di Banach X. Proposizione 8.12. Sia (X, k · k) uno spazio di Banach e Φ : X → R un funzionale semicontinuo inferiormente e limitato dal basso. Sia Φ differenziabile secondo Gˆ ateaux in ogni direzione w ∈ X. Allora per ogni n > 0 esiste un ∈ X tale che 1 n

Φ(un ) ≤ inf Φ + X

kΦ0 (un )kX 0 ≤ Dimostrazione.

1 . n

Dal teorema 8.10 esiste un ∈ X tale che Φ(un ) ≤ Φ(v) +

1 kv − un k, n

per ogni v ∈ X.

Sia w ∈ X e t > 0 arbitrario. Prendendo v = un + tw nella disuguaglianza precedente, otteniamo Φ(un ) − Φ(un + tw) 1 ≤ kwk. t n Passando al limite per t → 0, si ha < Φ0 (un ), w >≤ disuguaglianza `e vera per w e −w otteniamo | < Φ0 (un ), w > | ≤ Allora kΦ0 (un )kX 0 =

1 n kwk

1 kwk n

per ogni dato w ∈ X. Siccome questa

∀ w ∈ X.

< Φ0 (un ), w > 1 ≤ . kwk n w6=0

sup w∈X

Nel prossimo risultato useremo una sorta di condizione di compattezza per il funzionale Φ (vedere [20]). Definizione 8.13. Sia (X, k · k) uno spazio di Banach e Φ : X → R un funzionale C 1 . Diremo che Φ soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione un in X tale che |Φ(un )| `e uniformemente 0 limitata e Φ (un ) → 0 in X 0 possiede una sottosuccessione convergente. Esempio 8.14. Sia 2 < p < 2∗ . Il funzionale 1 J(v) = 2

Z Ω

1 |∇v| − p 2

Z

|v|p

Ω

definito su H01 (Ω) soddisfa la condizione di Palais-Smale. Abbiamo gi` a visto nell’esempio 8.8 che J non `e limitato inferiormente.

8.4. PRINCIPIO VARIAZIONALE DI EKELAND

79

Teorema 8.15 (Minimizzazione con la condizione di Palais-Smale). Sia (X, k · k) uno spazio di Banach e Φ : X → R un funzionale C 1 che soddisfa la condizione di Palais-Smale. Supponiamo che Φ sia limitato inferiormente. Allora l’estremo inferiore di Φ `e assunto in un punto u0 ∈ X e u0 `e un punto critico di Φ, cio`e Φ0 (u0 ) = 0. Dimostrazione.

Usando il teorema 8.12 per ogni intero n esiste un ∈ X tale che 1 , n

Φ(un ) ≤ inf Φ + X

0

kΦ (un )kX 0 ≤

1 . n

Usando la condizione di Palais-Smale abbiamo una sottosuccessione unj e un elemento u0 ∈ X tale che 0 unj → u0 . Dalla continuit` a di Φ e Φ , passando al limite per n → ∞ otteniamo che Φ(u0 ) = inf X Φ e 0 Φ (u0 ) = 0. Vediamo ora un’applicazione del teorema precedente allo studio dei punti critici di un funzionale: Teorema 8.16. Sia λ1 il primo autovalore dell’operatore L(v) = −∆v. Sia f ∈ Lp (Ω) per 2 < p < 2∗ . Il funzionale Z Z Z Z λ1 1 1 2 2 p |∇v| − v + |v| − f v J(v) = 2 2 p Ω

definito su

H01 (Ω),

Ω

Ω

Ω

∗

per 2 < p < 2 ammette un minimo u che soddisfa u ∈ H01 (Ω) :

−∆u + |u|p−2 u = λ1 u + f .

Dimostrazione. Dimostreremo l’esistenza del minimo con l’aiuto del teorema precedente. Sicuramente il funzionale J `e di classe C 1 . Inoltre `e limitato inferiormente, perch´e Z Z 1 λ1 2 |∇v| − v2 ≥ 0 2 2 Ω

Ω

come visto nel teorema 7.4. D’altra parte, per la disuguaglianza di H¨older Z Z Z 1 1 p |v| − f v ≥ |v|p − kf kLp0 (Ω) kvkLp (Ω) p p Ω

Ω

Ω

che `e limitato inferiormente. Dimostriamo che J soddisfa la condizione di Palais-Smale. Sia un una successione tale che |J(un )| ≤ R (8.4.10) e J 0 (un ) → 0

(8.4.11)

vogliamo dimostrare che un converge in H01 (Ω) a meno di una sottosuccessione. La (8.4.10) `e equivalente a Z Z Z Z 1 λ1 1 −R ≤ |∇un |2 − u2n + |un |p − f un ≤ R; 2 2 p Ω

visto che

Ω

1 2

Z Ω

λ1 |∇un | − 2 2

Ω

Z

Ω

u2n ≥ 0

Ω

si ha, grazie alla disuguaglianza di Young Z Z Z Z 0 1 1 |un |p ≤ R + f un ≤ R + |un |p + c(p) |f |p . p 2p Ω

Ω

Ω

Ω

80CAPITOLO 8. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONE DI EULERO Di conseguenza un `e limitata uniformemente in Lp (Ω) e dunque a meno di una sottosuccessione un → u debolmente in Lp (Ω). D’altra parte la (8.4.11) ci d`a che −∆un + |un |p−2 un − λ1 un − f = yn

(8.4.12)

con yn ∈ H −1 che converge a 0 in H −1 (Ω). Scegliendo nell’equazione precedente un come funzione test, si ha Z Z Z Z Z |∇un |2 ≤ |∇un |2 + |un |p = λ1 u2n + f un + < yn , un >: Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

l’ultimo membro `e limitato uniformemente e di conseguenza un → u debolmente in H01 (Ω). Scegliendo ora come funzione test un − u si ottiene che un → u in H01 (Ω): infatti, l’equazione (8.4.12) ci d`a Z Z Z ∇(un − u) · ∇(un − u) = − |un |p−2 un (un − u) + λ1 un (un − u) Ω

Ω Z

Ω

Z

f (un − u) + yn (un − u) −

+ Ω

∇u · ∇(un − u) . Ω

` facile dimostrare che il secondo membro tende a zero, grazie al fatto che un → u debolmente in H 1 (Ω) E 0 (e fortemente in L2 (Ω)) e quindi un → u in H01 (Ω). Il teorema precedente implica che il funzionale J ammette minimo in u ∈ H01 (Ω). Scrivendo la relativa equazione d Eulero, si ottiene che u soddisfa u ∈ H01 (Ω) :

8.5

−∆u + |u|p−2 u = λ1 u + f .

Appendice

Definizione 8.17. Sia X uno spazio di Banach. Sia F : X → R un funzionale. 1. F `e debolmente semicontinuo inferiormente se lim inf F (xn ) ≥ F (x) per ogni successione xn che n→∞ converge a x debolmente. 2. F `e coercivo se lim F (x) = +∞. kxk→∞

Ricordiamo la derivazione secondo Gˆateaux di un funzionale F : X → R, dove X `e uno spazio di Banach. Denoteremo con kxk la norma di un elemento x ∈ X (vedere [1] per maggiori dettagli). Definizione 8.18. F `e differenziabile in x ∈ X secondo Gˆ ateaux nella direzione h ∈ X se esiste un funzionale lineare continuo F 0 (x) : X → R tale che F (x + th) − F (x) =< F 0 (x), h > . t→0 t Ricordiamo ora la differenziabilit` a secondo Fr´echet. lim

Definizione 8.19. F `e differenziabile in x ∈ X secondo Fr´echet se esiste Ax ∈ X 0 tale che lim

khk→0

kF (x + h) − F (x) − Ax (h)k = 0. khk

Se l’applicazione X x

→ X0 → Ax

`e continua, diremo che F `e C 1 . Ricordiamo che se F `e differenziabile secondo Fr´echet, allora lo `e anche secondo Gˆateaux. Viceversa, se l’applicazione x → F 0 (x) esiste in un intorno di un punto x0 ed `e continua in x0 , allora F `e differenziabile secondo Fr´echet in x0 e F 0 (x0 ) = Ax0 .

Capitolo 9

Un problema a crescita naturale 9.1

Introduzione

Abbiamo visto nel capitolo 8 come dalla minimizzazione del semplice funzionale Z Z F (v) = a(v)|∇v|2 − f v Ω

Ω

sorga la necessit` a dello studio dell’equazione (di Eulero associata) −div(a(u)∇u) + a0 (u)|∇u|2 = f in cui compare un termine del tipo |∇u|2 , a crescita naturale. In questo capitolo vogliamo studiare il seguente problema (non necessariamente variazionale) −div(M (x, u)∇u) + µu = b(x, u, ∇u) + f (x) in Ω (9.1.1) u=0 su ∂Ω dove appunto b ha crescita quadratica (naturale). Presenteremo il seguente teorema di esistenza e di regolarit` a seguendo la dimostrazione di [7] (cui rimandiamo anche per referenze bibliografiche): Teorema 9.1. Sia µ > 0. Sia b : Ω × R × RN → R, una funzione di Carath´eodory tale che, per un certo γ positivo |b(x, s, ξ)| ≤ γ|ξ|2 ; inoltre sia M = M (x, s) una matrice simmetrica a coefficienti di Carath´eodory che verifica M (x, s)ξ · ξ ≥ α|ξ|2 e |M (x, s)| ≤ β . Sia f appartenente a Lm (Ω), m > N2 . Allora esiste u ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) soluzione del problema (9.1.1) nel seguente senso debole: Z Z Z Z M (x, u)∇u · ∇ϕ + µ uϕ = b(x, u, ∇u)ϕ + f ϕ, ∀ ϕ ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω). Ω

Ω

Ω

Ω

Ritroviamo dunque la stessa regolarit`a delle soluzioni dei problemi di Leray-Lions.

9.2

Studio del problema

Ci accingiamo a dimostrare il teorema 9.1. Lavoreremo sui seguenti problemi approssimanti: −div(M (x, u)∇u) + µu = bn (x, u, ∇u) + fn (x) in Ω u=0 su ∂Ω , dove bn (x, s, ξ) =

b(x, s, ξ) 1 + n1 |b(x, s, ξ)| 81

(9.2.1)

82

CAPITOLO 9. UN PROBLEMA A CRESCITA NATURALE

e fn (x) =

f (x) . 1 + n1 |f (x)|

I teoremi di Leray-Lions 4.1 e di regolarit`a 5.6 implicano che per ogni n ∈ N esiste una soluzione debole un in H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω). Il primo passo della dimostrazione consister`a nel ricavare delle stime sulle norme H01 (Ω) e L∞ (Ω) di tali soluzioni; queste ci permetteranno successivamente di passare al limite e dimostrare l’esistenza di una soluzione del problema (9.1.1). Ci saranno utili i seguenti lemmi. Lemma 9.2. Sia un la successione delle soluzioni dei problemi (9.2.1). Allora un `e uniformemente limitata in norma H01 (Ω). γ , come funzione test nella formulaDimostrazione. Scegliamo ϕn = (e2λ|un | − 1)sgn(un ), con λ > 2α zione debole dei problemi approssimanti (9.2.1): tale scelta `e possibile essendo un ∈ L∞ (Ω). Sul primo membro, sfruttando l’ellitticit` a di M , si ha Z Z Z Z M (x, un )∇un · ∇ϕn + µ un ϕn ≥ 2αλ |∇un |2 e2λ|un | + µ |un |(e2λ|un | − 1) . Ω

Ω

Ω

Ω

Le ipotesi di crescita di b ci permettono di dire che Z Z Z Z b(x, un , ∇un )ϕn + fn ϕn ≤ γ|∇un |2 e2λ|un | + |f |(e2λ|un | − 1) . Ω

Ω

Osservando che

Z

Ω

|∇un |2 e2λ|un | =

Ω

1 λ2

|∇(eλ|un | − 1)|2

Ω

Ω

si ha

Z

2αλ − γ k∇(eλ|un | − 1)k2L2 (Ω) + µ λ2

Z

|un |(e2λ|un | − 1) ≤

Ω

Z

Z fn ϕn . Ω

fn ϕn . Sia R > 1. Usando la diseguaglianza e2t − 1 ≤ R (et − 1)2 +

Lavoriamo ora sul termine

1 R−1 ,

Ω

t ∈ R+ e la disuguaglianza di H¨ older abbiamo Z Z 1 fn ϕn ≤ |f | + Rkf kLm (Ω) keλ|un | − 1k2L2m0 (Ω) . R−1 Ω

(9.2.2)

Ω

∗ Notiamo che 2 < 2m0 < N2N −2 = 2 . Sfruttando la disuguaglianza di interpolazione si ha Z Z 1 2(1−θ) λ|un | fn ϕn ≤ |f | + Rkf kLm (Ω) keλ|un | − 1k2θ − 1kL2 (Ω) L2∗ (Ω) ke R−1 Ω

Ω

1 θ 1−θ dove θ `e definito da 2m 0 = 2∗ + 2 . Applicando la disuguaglianza di Young al secondo termine del secondo membro della precedente espressione, otteniamo Z Z 1 1 |f | + ε(Rkf kLm (Ω) ) θ keλ|un | − 1k2L2∗ (Ω) + Cε keλ|un | − 1k2L2 (Ω) , fn ϕn ≤ R−1 Ω

Ω θ

dove Cε = ε 1−θ . Ricapitolando le stime sui due membri abbiamo ottenuto Z 2αλ − γ λ|un | 2 k∇(e − 1)k + µ |un |(e2λ|un | − 1) 2 L (Ω) λ2 Ω

9.2. STUDIO DEL PROBLEMA 1 ≤ R−1

Z

83 1

|f | + ε(Rkf kLm (Ω) ) θ keλ|un | − 1k2L2∗ (Ω) + Cε keλ|un | − 1k2L2 (Ω) .

Ω

Usiamo ora la disuguaglianza di Sobolev al secondo termine del secondo membro e scegliamo poi ε in modo da avere 1 2λα − γ 1 = 2 ε(Rkf kLm (Ω) ) θ : 2λ2 S in questo modo Z Z Z 2αλ − γ 1 λ|un | 2 2λ|un | k∇(e |f | + Cε (eλ|un | − 1)2 . − 1)kL2 (Ω) + µ |un |(e − 1) ≤ (9.2.3) 2λ2 R−1 Ω

Visto che (e

λt

2

− 1) ≤ e

2λt

Ω

Ω

− 1, per t ≥ 0, si ha

2αλ − γ k∇(eλ|un | − 1)k2L2 (Ω) + µ 2λ2

Z

|un |(e2λ|un | − 1)

{Cε ≤µ|un |}

≤

1 R−1

Z

Z

Ω

Z

(e2λ|un | − 1) + Cε

|f | + Cε {Cε ≤µ|un |}

(e2λ|un | − 1) .

{Cε >µ|un |}

Di conseguenza kf kL1 (Ω) Cε 2αλ − γ k∇(eλ|un | − 1)k2L2 (Ω) ≤ + Cε (e2λ µ − 1)µ(Ω) . 2 2λ R−1 Z L’ultima disuguaglianza ci dice che e2λ|un | |∇un |2 `e uniformemente limitato. Essendo λ > 0, possiamo Ω

Z

2

|∇un | `e uniformemente limitato.

dire che Ω

Lemma 9.3. Sia un la successione delle soluzioni dei problemi (9.2.1). Allora un `e uniformemente limitata in norma L∞ (Ω). Dimostrazione. Scegliamo vn = (e2λ|Gk (un )| − 1)sgn(un ) come funzione test nei problemi (9.2.1). Usando esattamente gli stessi argomenti usati nel lemma precedente per arrivare alla (9.2.3) abbiamo Z 2λα − γ λ|Gk (un )| 2 k∇(e − 1)k + µ |un |(e2λ|Gk (un )| − 1) 2 L (Ω) 2λ2 {|un |≥k}

≤

1 R−1

Z

Z

(eλ|Gk (un )| − 1)2 .

|f | + Cε {|un |≥k}

{|un |≥k}

La disuguaglianza di Sobolev implica che (2λα − γ)S 2 λ|Gk (un )| ke − 1k2L2∗ (Ω) + µ 2λ2

Z

|un |(e2λ|Gk (un )| − 1)

{|un |≥k}

≤

1 R−1

Z

Sfruttando che (e

2

− 1) ≤ e

(eλ|Gk (un )| − 1)2 .

|f | + Cε {|un |≥k}

λt

Z {|un |≥k}

2λt

− 1, per t ≥ 0 sul secondo termine del primo membro si ha Z 1 (2λα − γ)S 2 λ|Gk (un )| 2 ∗ ke − 1kL2 (Ω) + µ k(eλ|Gk (un )| − 1)2 2 λ2 {|un |≥k}

84

CAPITOLO 9. UN PROBLEMA A CRESCITA NATURALE Z

1 ≤ R−1

Z

(eλ|Gk (un )| − 1)2 .

|f | + Cε {|un |≥k}

{|un |≥k}

Cε , otteniamo µ

Scegliendo k ≥

1 1 (2λα − γ)S 2 λ|Gk (un )| ke − 1k2L2∗ (Ω) ≤ 2 λ2 R−1

Z |f |. {|un |≥k}

Usiamo ora che et − 1 ≥ t per ogni t ≥ 0 e la disuguaglianza di H¨older con esponente 2∗ al primo membro per ottenere Z Z N +2 λ |Gk (un )| ≤ |eλ|Gk (un )| − 1| ≤ µ({|un | > k}) 2N keλ|Gk (un )| − 1kL2∗ (Ω) Ω

Ω

 12

 ≤

C1 µ({|un | > k})

N +2 2N

Z  |f |

  {|un |≥k}

dove C1 indica una costante che dipende da λ, α, S e R. Grazie alla disuguaglianza di H¨older con esponente m otteniamo Z 1

|Gk (un )| ≤ C1 kf kL2 m (Ω) µ({|un | > k})

λ

N +2 1 2N + 2m0

Ω

Il lemma 5.2 e l’osservazione 5.3 implicano che kun kL∞ (Ω) `e uniformemente limitata. Siamo ora in grado di dimostrare il teorema di esistenza precedentemente enunciato. Dimostrazione. La dimostrazione si divide in due passi. Passo 1: Dette un le soluzioni dei problemi (9.2.1), i lemmi precedenti ci permettono di dire che esiste u ∈ H01 (Ω) tale che ∇un → ∇u debolmente in L2 (Ω) (a meno di una sottosuccessione). Vogliamo ora dimostrare che un → u in H01 (Ω). A tale scopo, consideriamo come funzione test nei problemi approssimanti vn := ψ(un − u), dove ψ(t) = (eλ|t| − 1)sgn(t); dopo aver sommato e sottratto Z M (x, un )∇u · ∇(un − u)ψ 0 (un − u) si ottiene la seguente disuguaglianza:

Ω

Z

M (x, un )(∇un − ∇u) · (∇un − ∇u)ψ 0 (un − u)

Ω

Z

Z

= −µ Ω

Z bn (un , ∇un )vn −

un vn + Ω

Z ≤−

M (x, un )∇u · (∇un − ∇u)ψ 0 (un − u) +

Ω

M (x, un )∇u · ∇(un − u)ψ 0 (un − u) − µ

Ω

Z fn vn Ω

Z

Z un vn + γ

Ω

|∇un |2 vn +

Ω

Z f vn . Ω

Sfruttando l’ellitticit` a di M , si ottiene Z α

|∇un − ∇u|2 ψ 0 (un − u)

Ω

Z ≤− Ω

M (x, un )∇u · ∇(un − u)ψ 0 (un − u) − µ

Z

Z un vn + γ

Ω

Ω

|∇un |2 vn +

Z f vn . Ω

9.2. STUDIO DEL PROBLEMA

85

Ora |∇un |2 = |(∇un − ∇u) + ∇u|2 ≤ 2|∇un − ∇u|2 + 2|∇u|2 , che implica che Z Z 2 0 |∇un − ∇u| [αψ (un − u) − 2γ|ψ(un − u)|] ≤ 2γ |∇u|2 vn Ω

Ω

Z

Z

0

−

M (x, un )∇u · (∇un − ∇u)ψ (un − u) − µ Ω

Scegliamo λ >

2γ α

Z un vn +

Ω

f vn . Ω

(in questo modo αψ 0 (un −u)−2γ|ψ(un −u)| ≥ 1) e poniamo C = sup kψ 0 (un −u)kL∞ (Ω) : n

si ha k∇un − ∇uk2L2 (Ω) ≤ C

Z

Z M (x, un )∇u · (∇un − ∇u) − µ

Ω

Z +2γ

u n vn Ω

|∇u|2 vn +

Ω

Z f vn . Ω

Vogliamo ora dimostrare che i termini del secondo membro della precedente disuguaglianza tendono a zero. Sicuramente possiamo dire che che vn → 0 q.o. | ≤ C poich´e ψ `e continua e un , u sono Z in Ω e che |vn Z 2 ∞ limitate in norma L (Ω); dunque per Lebesgue |∇u| vn → 0 e f vn → 0. Usando la disuguaglianza Ω

Ω

Z un vn → 0. Occupiamoci ora del primo termine: si ha che

di H¨ older con esponente 2, si dimostra che Ω

M (x, un )∇u → M (x, u)∇u q.o. e quindi in L2 (Ω) per Lebesgue. Poich´e ∇un → ∇u debolmente in L2 (Ω), il primo addendo tende a zero. Riprendendo dunque l’ultima disuguaglianza scritta, si ha che k∇un − ∇ukL2 (Ω) → 0. Passo 2: Vogliamo ora passare al limite nei problemi approssimanti e dimostrare che u `e soluzione. Per ogni ϕ ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω): Z Z Z Z M (x, un )∇un · ∇ϕ + µ un ϕ = bn (x, un , ∇un )ϕ + fn ϕ. Ω

Ω

Risulta:

Ω

Z

Ω

Z M (x, un )∇un · ∇ϕ →

Ω

M (x, u)∇u · ∇ϕ Ω

H01 (Ω) Z

2 1 e perch´e M Z (x, un )∇v → M (x, u)∇v in LZ (Ω) per ogni v ∈ H0 (Ω); Z ovviamente un ϕ → µ uϕ . Osserviamo infine che bn (x, un , ∇un )ϕ → b(x, u, ∇u)ϕ.

perch´e un → Z Z u in fn ϕ → fϕ e µ Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Infatti, un → u e ∇un → ∇u q.o. e quindi bn (x, un , ∇un ) → b(x, u, ∇u) q.o.; inoltre |bn (x, un , ∇un )| ≤ γ|∇un |2 : quest’ultima successione converge fortemente in L1 (Ω). bn (x, un , ∇un )ϕ → b(x, u, ∇u)ϕ in ` quindi possibile passare al limite, ottenendo, ∀ ϕ ∈ H 1 (Ω) ∩ L∞ (Ω) L1 (Ω) per il teorema di Lebesgue. E 0 Z Z Z Z M (x, u)∇u · ∇ϕ + µ uϕ = b(x, u, ∇u)ϕ + f ϕ. Ω

Ω

Ω

Ω

Osservazione 9.4. La presenza del termine µu, con µ > 0, ha un ruolo importante per l’esistenza di soluzioni nel caso in esame. Vale infatti il seguente semplice controesempio. Consideriamo il problema −∆u = |∇u|2 + f in Ω u=0 su ∂Ω

86

CAPITOLO 9. UN PROBLEMA A CRESCITA NATURALE

dove f ∈ L∞ (Ω) ed `e strettamente positiva. Allora sia per assurdo u ∈ L∞ (Ω) una soluzione del problema precedente; osserviamo che scegliendo u− come funzione test, si vede facilmente che u `e positiva. Consideriamo z : = eu − 1: z ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω)e z `e positiva in Ω. Di conseguenza ∇z = (z + 1)∇u,

∆z = −(z + 1)[∆u + | ∇u |2 ] = f (z + 1)

in senso distribuzionale. Se scegliamo come funzione test, nell’ultima equazione scritta, ϕ1 , la prima autofunzione dell’operatore L(v) = −div∇u (vedere capitolo 7), si ottiene Z Z Z Z 0 ≤ λ1 ϕ1 z = ∇ϕ1 · ∇z = − f (z + 1)ϕ1 < − f zϕ1 ≤ 0 Ω

cio`e un assurdo.

Ω

Ω

Ω

Capitolo 10

Problemi di Leray-Lions con sorgenti a bassa sommabilit` a 10.1

Introduzione

Nel capitolo 4 ci siamo occupati dell’esistenza di soluzioni del problema −div(a(x, u, ∇u)) = f in Ω u=0 su ∂Ω,

(10.1.1)

supponendo che la sorgente f appartenesse a Lm (Ω) con m ≥ N2N +2 . In questo capitolo studieremo l’esistenza e la regolarit` a di soluzioni nel caso in cui f `e una funzione appartenente a Lm (Ω) con 1 ≤ m < N2N +2 . Non possiamo usare il teorema di Leray-Lions 4.1, visto che il dato non appartiene al duale 1 di H0 (Ω). Dimostreremo l’esistenza di soluzioni distribuzionali e in particolare l’esistenza di soluzioni di entropia u, delle soluzioni distribuzionali speciali. Ci`o significa che u sar`a una funzione in W01,1 (Ω) (almeno) tale che Z Z a(x, u, ∇u) · ∇ϕ = f ϕ ∀ ϕ ∈ C0∞ (Ω) ; Ω

Ω

inoltre soddisfer` a una condizione supplementare, che sar`a fondamentale per l’unicit`a, come vedremo nel capitolo 11. Per comodit` a del lettore riportiamo qui di seguito uno schema riassuntivo dei risultati che proveremo (seguendo le dimostrazioni di [4], [4], cui rimandiamo anche per referenze bibliografiche) sulle soluzioni di entropia u in funzione della sorgente f : f ∈ Lm (Ω), m > 1 f ∈ L1 (Ω)

=⇒ =⇒

∗

u ∈ W01,m (Ω) N N u ∈ M N −2 (Ω), |∇u| ∈ M N −1 (Ω)

In un paragrafo a parte, analizzeremo il caso in cui la sorgente `e una misura. Vedremo che essenzialmente ci` o `e equivalente ad avere come sorgente una funzione f ∈ L1 (Ω). Dimostreremo infatti con una N N tecnica del tutto simile che esiste una soluzione u ∈ M N −2 (Ω) tale che |∇u| ∈ M N −1 (Ω). Ricordiamo che le ipotesi su a sono: a : Ω × R × RN `e una funzione di Carath´eodory con le seguenti propriet` a: 1. esiste β > 0 tale che |a(x, s, ξ)| ≤ β[|s| + |ξ|]; 2. esiste α > 0 tale che a(x, s, ξ) · ξ ≥ α|ξ|2 ,

∀ ξ ∈ RN ;

3. [a(x, s, ξ) − a(x, s, η)] · [ξ − η] > 0 se ξ 6= η. 87

88

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

10.2

Stime a priori

Per dimostrare l’esistenza di soluzioni nel senso delle distribuzioni e di entropia del problema (10.1.1), lavoreremo per approssimazione. Ci` o significa che considereremo i problemi −div(a(x, un , ∇un )) = fn in Ω (10.2.1) un = 0 su ∂Ω, dove fn `e una successione di funzioni in H −1 (Ω)∩L∞ (Ω) tale che fn → f in Lm (Ω), kfn kLm (Ω) ≤ kf kLm (Ω) ed |fn (x)| ≤ |f (x)| q.o. in Ω (per esempio fn = Tn (f )). L’esistenza delle soluzioni un , per ogni n, segue dal teorema di Leray-Lions 4.1; inoltre ogni soluzione un appartiene a H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) per il teorema di regolarit` a 5.6. Ora, per ottenere una soluzione del problema (10.1.1) da questi problemi approssimanti, ricaveremo delle stime sulle norme dei ∇un : del tipo k∇un kLm∗ (Ω) ≤ C uniformemente in n nel caso m > 1 e k∇un kLq (Ω) ≤ C, con q < NN−1 uniformemente in n nel caso m = 1 . Ci`o ci permetter`a di estrarre une sottosuccessione convergente ad una funzione u. Passeremo poi al limite nei problemi approssimanti (10.2.1) per concludere che u `e soluzione. Lemma 10.1. Sia f ∈ L1 (Ω). Allora le soluzioni un dei problemi (10.2.1) sono uniformemente limitate in W01,q (Ω) con q < NN−1 . Dimostrazione.

Come funzioni test nei problemi approssimanti (10.2.1) utilizziamo le funzioni vn = [(1 + |un |)2λ−1 − 1]sgn(un ).

Scegliamo λ < 1/2, in modo che |vn | ≤ 1. Abbiamo dunque per il secondo membro Z Z fn vn ≤ |fn | ≤ kf kL1 (Ω) . Ω

Ω

Usando l’ellitticit` a di a al primo stimiamo dunque Z Z kf kL1 (Ω) ≥ a(x, un , ∇un ) · ∇vn ≥ α |∇un |2 (2λ − 1)(1 + |un |)2λ−2 Ω

Ω

=

(2λ − 1)α

Z ∇[(1 + |un |)λ ] 2 . λ Ω

Osserviamo che dalle stime precedenti si ricava dunque che Z

kf kL1 (Ω) |∇un |2 ≤ . 2(1−λ) α(2λ − 1) (1 + |un |)

(10.2.2)

Ω

D’altra parte possiamo scrivere Z Z |∇un |q = Ω

Ω

|∇un |q 2(1−λ) q2 . q (1 + |un |) 2(1−λ) 2 (1 + |un |)

Applicando la disuguaglianza di Sobolev al primo membro dell’uguaglianza precedente e la disuguaglianza di H¨ older con esponente 2/q al secondo, ricaviamo la stima  qq∗

 Sq 

Z

Ω

∗

|un |q 

Z

 Z |∇un |q ≤ 

Ω

Ω

≤

 q2  1− q2 Z (1−λ)2q |∇un |2   (1 + |un |) 2−q  . (1 + |un |)2(1−λ) Ω

10.2. STIME A PRIORI

89

Grazie alla (10.2.2), possiamo scrivere  1− q2  qq∗  Z Z Z (1−λ)2q ∗ , S q |un |q  ≤ |∇un |q ≤ C + C  |un | 2−q  Ω

Ω

(10.2.3)

Ω

dove C denota una costante che dipende da q, λ, α, kf kL1 (Ω) , indipendente da n. Scegliamo λ tale che (1 − λ)2q = q∗ ; 2−q visto che λ < 12 , tale scelta implica che q < NN−1 . In questo modo   qq∗  1− q2 Z Z ∗ ∗ S q  |un |q  ≤ C + C  |un |q  Ω

Z

q∗

|un |

e quindi

Ω

Z `e uniformemente limitato. Grazie alla (10.2.3),

Ω

|∇un |q `e uniformemente limitato.

Ω

Lemma 10.2. Sia f ∈ Lm (Ω), m > 1. Allora le soluzioni un dei problemi (10.2.1) sono uniformemente ∗ limitate in W01,m (Ω) . Dimostrazione. Dividiamo la prova in pi` u passi: ∗∗ Passo I: dimostriamo che un `e uniformemente limitata in Lm (Ω) . Prendiamo come funzione test nella formulazione debole dei problemi approssimanti (10.2.1) vn = [(1 + |un |)2λ−1 − 1]sgn(un ), con λ > 12 da fissare successivamente. Abbiamo, per il secondo membro, Z Z Z fn vn ≤ |f |[(1 + |un |)2λ−1 − 1] ≤ |f |[(1 + |un |)2λ−1 + 1] . Ω

Ω

Ω

Applicando la disuguaglianza di H¨ older con esponente m otteniamo   10 m Z Z 0 (2λ−1)m  . fn vn ≤ kf kL1 (Ω) + kf kLm (Ω)  (1 + |un |) Ω

Ω

Per quanto riguarda il primo membro della (10.2.1), sfruttando la propriet`a di ellitticit`a di a e l’immersione di Sobolev, abbiamo Z Z a(x, un , ∇un ) · ∇vn ≥ α |∇un |2 (2λ − 1)(1 + |un |)2λ−2 Ω

Ω

Z ∇[(1 + |un |)λ ] 2 = (2λ − 1)α λ Ω   22∗ Z 2 ∗ (2λ − 1)αS  ≥ [(1 + |un |)λ ]2  . λ2 Ω

Ricapitolando si ha   10 m Z 0 (2λ−1)m  kf kL1 (Ω) + kf kLm (Ω)  (1 + |un |) Ω

|∇un |2 (1 + |un |)2(1−λ) Ω   22∗ Z ∗ (2λ − 1)αS 2  ≥ [(1 + |un |)λ ]2  . λ2 Z

≥ (2λ − 1)α

Ω

(10.2.4)

90

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

A questo punto, fissiamo λ tale che λ2∗ = (2λ − 1)m0 , cio`e λ = m∗∗ /2∗ (> 1/2); con tale scelta abbiamo, dalla stima appena fatta,    22∗  10 m Z Z ∗ ∗∗ m∗∗ (2λ − 1)αS 2  2 m ∗  |(1 + |un |) 2 |  ≤ kf kL1 (Ω) + kf kLm (Ω)  |1 + un | . λ2 Ω

Poich´e

2 2∗

>

1 m0

Ω

si ha che Z |un |

m∗∗

Ω

Z ≤

∗∗

|1 + un |m

≤C,

(10.2.5)

Ω

per una certa costante C che dipende da S, m, α, kf kL1 (Ω) , kf kLm (Ω) . ∗ Passo II: dimostriamo che un `e uniformemente limitata in W01,m (Ω) . Per fare ci`o, osserviamo che dalle Z |∇un |2 `e uniformemente limitata. Supponiamo che stime (10.2.4) e (10.2.5) si ricava che (1 + |un |)2(1−λ) Ω

2N λ < 1, cio`e 1 < m < . Sia 1 ≤ q < 2 e scriviamo N +2 Z Z |∇un |q 2(1−λ) q2 . |∇un |q = q (1 + |un |) 2(1−λ) 2 (1 + |un |) Ω

Ω

Applicando la disuguaglianza di H¨ older con esponente 2/q ed utilizzando la stima precedente ricaviamo che   q2  1− q2 Z Z Z 2 q |∇u | n   (1 + |un |)2(1−λ) 2−q  . |∇un |q ≤  (1 + |un |)2(1−λ) Ω

Ω

Ω

Scegliamo q tale che (1 − λ)2q = m∗∗ ⇔ q = m∗ ; 2−q Z ∗ in questo modo, dalla (10.2.5) otteniamo che |∇un |m `e uniformemente limitata, cio`e la tesi . Ω

Ci sar` a utile anche il seguente lemma: Lemma 10.3. Siano un le soluzioni in H01 (Ω) dei problemi (10.2.1). 1. Se f ∈ L1 (Ω), allora esiste une funzione u ∈ W01,q (Ω), q < meno di una sottosuccessione.

N N −1

tale che ∇un → ∇u q.o. in Ω a

∗

2. Se f ∈ Lm (Ω), m > 1, la funzione u ∈ W01,m (Ω). Dimostrazione. Le stime dei lemmi precedenti ci permettono di determinare una sottosuccessione, che continuiamo a denotare con un , debolmente convergente ad una funzione u appartenente a W01,q (Ω), q < 1,m∗ N m (Ω). N −1 . Notiamo che se f ∈ L (Ω), m > 1, allora u appartiene a W0 Per dimostrare la tesi, dimostreremo che per θ ∈ (0, q/4) si ha Z lim {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)}θ = 0 (10.2.6) n→∞

Ω

e poi useremo il lemma 10.3. A tale scopo scriviamo Ω come unione di Ak e Ck , dove Ak := {|un | ≥ k} ,

Ck := {|un | ≤ k}.

In tutta la dimostrazione C denoter` a una costante indipendente da n (C dipender`a da β, θ e µ(Ω)).

10.2. STIME A PRIORI

91

Passo 1: Stimiamo la quantit` a Z

θ

a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u) · ∇(un − u) . Ak

Sfruttando la propriet` a 1 di a otteniamo Z |[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)|θ Ak

Z

Z |a(x, un , ∇un ) · ∇(un − u)|θ + |a(x, u, ∇u) · ∇(un − u)|θ Ak Ak Z Z Z ≤ 2β |un |θ |∇un |θ + 2β |un |θ |∇u|θ + 2β |u|θ |∇un |θ Ak Ak Ak Z Z Z Z +2β |u|θ |∇u|θ + 2β |∇un |2θ + 2β |∇u|2θ + 2β |∇u|θ |∇un |θ . ≤

Ak

Ak

Ak

Ak

Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz due volte ed usando la stima di kun kW 1,q (Ω) ottenuta 0 nei lemmi precedenti otteniamo Z |[a(x, un , ∇un ) − a(x, un , ∇u)] · ∇(un − u)|θ ≤ Cµ(Ak )1/2 . Ak

Passo 2: Stimiamo ora la quantit` a Z {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)}θ . Ck

Osservando che |u| ≤ k su Ck (visto che un → u q.o. in Ω e |un | ≤ k su Ck ) si ha Z {[a(x, un , ∇un ) − a(x, un , ∇u)] · ∇(un − u)}θ Ck Z = {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u))] · ∇(un − Tk (u))}θ C Zk ≤ {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u))] · ∇(un − Tk (u))}θ . Ω

Posto Vj := {|un − Tk (u)| ≤ j}, 0

Vj = {|un − Tk (u)| > j}, l’ultimo integrale pu` o essere stimato nel modo seguente: Z {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)}θ Ck Z ≤ {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u))] · ∇Tj (un − Tk (u))}θ + ΩZ

+

0

{[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u))] · ∇(un − Tk (u))}θ .

Vj

Ora stimiamo il primo addendo del secondo membro della disuguaglianza precedente usando la disuguaglianza di H¨ older con esponente 1/θ : in questo modo otteniamo Z {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u))] · ∇Tj (un − Tk (u))}θ Ω  θ Z ≤  {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u))] · ∇Tj (un − Tk (u))} µ(Ω)1−θ . Ω

92

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

D’altra parte possiamo stimare il secondo addendo applicando un ragionamento analogo a quello gi` a seguito per Z |[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)|θ : Ak

in questo modo otteniamo Z 0 1 |[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u)] · ∇(un − Tk (u))|θ ≤ Cµ(Vj ) 2 . Vj0

Ricapitolando abbiamo ottenuto Z 0 1 {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)}θ ≤ Cµ(Vj ) 2 +  Ck θ Z +  {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇Tk (u))] · ∇Tj (un − Tk (u))} µ(Ω)1−θ .

(10.2.7)

Ω

Ora, usando le funzioni test Tj (un − Tk (u)) nei problemi (10.2.1) abbiamo Z Z a(x, un , ∇un ) · ∇Tj (un − Tk (u)) = fn Tj (un − Tk (u)) Ω

Ω

e quindi, riprendendo la stima (10.2.7), possiamo scrivere Z {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)}θ ≤ Ck

 θ Z 0 1 ≤ C  {fn Tj (un − Tk (u)) − a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u))} + Cµ(Vj ) 2 .

(10.2.8)

Ω

Per il teorema di Lebesgue abbiamo Z Z lim fn Tj (un − Tk (u)) = f Tj (u − Tk (u)). n→∞

Ω

Ω

D’altra parte, poich´e un converge a u in misura, si ha 0

lim µ(Vj ) = µ({|u − Tk (u)| ≥ j}).

n→∞

Dimostriamo ora che per n → ∞ Z Z a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u)) → a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (u − Tk (u)). Ω

Ω

Basta dimostrare che Tj (un − Tk (u)) → Tj (u − Tk (u)) debolmente in H01 (Ω). A tale scopo osserviamo che Z Z Z |∇un − ∇Tk (u)|2 ≤ 2 |∇un |2 + 2 |∇Tk (u)|2 ; (10.2.9) |un −Tk (u)|<j

|un |<j+k

|un −Tk (u)|<j

ora, scegliendo Tj+k (un ) come funzione test nei problemi approssimanti si ha che Z Z Z Z α |∇Tj+k (un )|2 ≤ a(x, un , ∇un ) · ∇Tj+k (un ) = fn Tj+k (un ) ≤ |f |(j + k); Ω

Ω

Ω

Ω

(10.2.10)

10.3. SOLUZIONI NEL SENSO DELLE DISTRIBUZIONI

93

di conseguenza Z

|∇un |2 ≤

Z |f |(j + k) Ω

|un |<j+k

e dunque grazie alla (10.2.9) k∇Tj (un + Tk (u))k2L2 (Ω) `e uniformemente limitato in n; poich´e Tj (un − Tk (u)) → Tj (u − Tk (u)) q.o. in Ω, si ha che Tj (un − Tk (u)) → Tj (u − Tk (u)) debolmente in H01 (Ω). Possiamo allora scrivere, riprendendo la (10.2.8) Z 0 1 |[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)|θ ≤ Cµ(Vj ) 2 lim n→∞ Ck

 θ Z +C  |[f Tj (u − Tk (u)) − a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (u − Tk (u))| . Ω

Passo 3: Possiamo ora concludere: infatti Z |[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)|θ lim n→∞

Ω

Z

≤ lim

|[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)|θ

+ lim

|[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)|θ

n→∞ A Zk

n→∞ Ck

0

1

1

≤ Cµ(Ak ) 2 + Cµ(Vj ) 2 +  θ Z +C  |[f Tj (u − Tk (u)) − a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u))| . Ω

I tre addendi tendono a 0, per k → +∞ e quindi la disuguaglianza precedente prova la (10.2.6). Grazie al lemma 4.9 possiamo dire che ∇un (x) → ∇u(x) q.o. in Ω.

10.3

Soluzioni nel senso delle distribuzioni

In questa sezione studieremo l’esistenza di soluzioni nel senso delle distribuzioni del problema (10.1.1). Il risultato di questo paragrafo `e il seguente: Teorema 10.4. 1. Sia f ∈ Lm (Ω), con 1 < m < problema (10.1.1) nel senso delle distribuzioni.

2N N +2 .

∗

Allora esiste una soluzione u ∈ W01,m (Ω) del

2. Sia f ∈ L1 (Ω). Allora esiste una soluzione u ∈ W01,q (Ω), q < delle distribuzioni.

N N −1 ,

del problema (10.1.1) nel senso

Dimostrazione. Distinguiamo i casi m > 1 e m = 1. Passeremo al limite nei problemi approssimanti (10.2.1). In tutta la dimostrazione C denoter`a una costante indipenente da n. 1) Nel caso in cui m > 1, sia u la funzione trovata nel lemma 10.3. Ora, se E `e un qualunque ∗ sottoinsieme misurabile di Ω, applicando la disuguaglianza di H¨older con esponente mr , per r < m∗ , si ottiene, grazie al lemma 10.2,  mr∗

 Z E

|∇un |r ≤ 

Z

E

∗

|∇un |m 

r

r

µ(E)1− m∗ ≤ Cµ(E)1− m∗ .

94

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

Il teorema di Vitali 2.2 implica che ∇un → ∇u in Lr (Ω) per ogni r < m∗ . Inoltre, dal fatto che ∇un (x) → ∇u(x) q.o. in Ω, segue che a(x, un (x), ∇un (x)) → a(x, u(x), ∇u(x)) q.o. in Ω. L’ipotesi 1 su a e il lemma 10.2 assicurano che ka(x, un , ∇un )kLm∗ (Ω) `e uniformemente limitata, e dunque, grazie al teorema 2.1, otteniamo che a(x, un , ∇un ) → a(x, u, ∇u) N

debolmente in (Lr (Ω)) . Possiamo concludere la dimostrazione dell’esistenza di una soluzione u del problema iniziale passando al limite nei problemi approssimanti (10.2.1). 2) Nel caso in cui m = 1, detta u la funzione trovata nel lemma 10.3, analogamente a prima, se r < NN−1 ,   r−ε r Z Z ε ε r−ε r  µ(E) r ≤ Cµ(E) r |∇un | ≤ |∇un | E

E

e quindi, per il teorema di Vitali 2.2, si ha che ∇un → ∇u in Lq (Ω) per ogni q < m>1 a(x, un (x), ∇un (x)) → a(x, u(x), ∇u(x)) q.o. in Ω.

N N −1 .

Come nel caso

L’ipotesi 1 su a e il lemma 10.1 assicurano che ka(x, un , ∇un )kLq (Ω) `e uniformemente limitata, e dunque, grazie al teorema 2.1, otteniamo che a(x, un , ∇un ) → a(x, u, ∇u) N

debolmente in (Lq (Ω)) . Possiamo concludere la dimostrazione dell’esistenza di una soluzione u del problema iniziale passando al limite nei problemi approssimanti (10.2.1).

10.4

Il caso lineare: una dimostrazione alternativa

In questa sezione presentiamo una maniera alternativa per dimostrare il teorema 10.4 nel caso lineare, ossia nel caso in cui la funzione a `e rappresentata da una matrice N × N . Dimostreremo il seguente risultato, dovuto a Stampacchia: Proposizione 10.5. Sia M una matrice N × N simmetrica a coefficienti limitati; supponiamo che esista α > 0 tale che M (x)ξ · ξ ≥ α|ξ|2 ∀ξ ∈ RN . Sia f ∈ L1 (Ω). Allora esiste una soluzione u ∈ W01,q (Ω), q ∈ (1, NN−1 ) del problema −div(M (x)∇u) = f

(10.4.1)

||u||W 1,q (Ω) ≤ C||f ||L1 (Ω) ,

(10.4.2)

che verifica la seguente stima: 0

per qualche C = C(N, q, α) > 0. Dimostrazione.

Siano fn = Tn (f ) e un ∈ H01 (Ω) la soluzione debole del problema −div(M (x)∇un ) = fn .

` noto che un ∈ L∞ (Ω), per ogni n ∈ N grazie al teorema 5.6. E

(10.4.3)

10.5. SOLUZIONI DI ENTROPIA

95

A questo punto, introduciamo un problema ausiliario costruito per dualit`a: pi` u precisamente, per ogni n, sia wn la soluzione di Z Z q−2 M (x)∇wn · ∇v = χk |∇un | ∇un · ∇v, (10.4.4) Ω

Ω

per ogni v ∈ H01 (Ω), dove indichiamo con χk la funzione caratteristica dell’insieme {|∇un | ≤ k}. Osserq−2 viamo che χk |∇un | ∇un ∈ L∞ (Ω), per ogni n e quindi il problema (10.4.4) ammette una soluzione per ` inoltre possibile applicare il teorema 5.12 per concludere che wn ∈ L∞ (Ω). il teorema di Leray-Lions. E A questo punto accoppiamo i problemi (10.4.3) ed (10.4.4) scegliendo ϕ = wn e v = un rispettivamente; in questo modo otteniamo Z Z M (x)∇un · ∇wn = fn wn Ω

Ω

Z

Z M (x)∇wn · ∇un

Ω

q−2

χk |∇un |

=

∇un · ∇un .

Ω

Di conseguenza Z χk |∇un |

q

Z =

Ω

fn wn Ω

≤

||fn ||L1 (Ω) ||wn ||L∞ (Ω) .

Applichiamo ora la stima del teorema 5.12 con m =

Z

q q−1

> N : otteniamo

 q−1  q Z q q χk |∇un | ≤ C||fn ||L1 (Ω)  χk |∇un |  Ω

Ω

dove C dipende da N, q e α; quindi 1/q

 Z 

q χk |∇un | 

≤ C||fn ||L1 .

(10.4.5)

Ω

Passando al limite per k → +∞ nella (10.4.5), per il lemma di Fatou abbiamo ||∇un ||Lq (Ω) ≤ C||f ||L1 (Ω) , per ogni q ∈ (1, NN−1 ) (e di conseguenza necessariamente anche per q = 1). Quindi, la successione un `e equilimitata in W01,q (Ω) ed `e dunque possibile estrarne una sottosuccessione unh debolmente convergente in W01,q (Ω). Detto u il limite debole, si ha che u `e soluzione debole del problema (10.4.1). Inoltre la stima (10.4.2) `e verificata per il teorema di Banach-Steinhaus. Ci`o conclude la dimostrazione.

10.5

Soluzioni di entropia

In questo paragrafo introdurremo un nuovo concetto di soluzione del problema (10.1.1): il concetto di soluzione di entropia. Ne daremo la definizione, alcune propriet`a e poi ne dimostreremo l’esistenza. Capiremo l’importanza di tale concetto nel capitolo 11: infatti nell’ambito delle soluzioni di entropia saremo capaci di dare un risultato di unicit`a.

96

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

Definizione 10.6. Definiamo T (Ω) = {u : Ω → R misurabili e finite q.o. tali che Tk (u) ∈ H01 (Ω) ∀k > 0} . Occupiamoci ora del gradiente di una funzione in T (Ω). Lemma 10.7. Per ogni u ∈ T (Ω) esiste un’unica funzione misurabile v : Ω → RN tale che ∇Tk (u) = v χ{|u|
q.o. in Ω .

Inoltre, se u ∈ H01 (Ω), v coincide con il gradiente distribuzionale ∇u usuale. Dimostrazione. Siano k, ε > 0; allora Tk (Tk+ε (u)) = Tk (u); poich´e Tj (u) appartiene a H01 (Ω) per ogni j, si ha ∇Tk (Tk+ε (u)) =S ∇Tk (u). In Ωk = {|u| < k} l’uguaglianza precedente diventa ∇Tk+ε (u) = ∇Tk (u) per ogni ε > 0. Poich´e Ωk = Ω, ponendo k>0

∇u(x) = ∇Tk (u(x))

q.o. in Ωk ,

si ha la tesi. Detto ci` o, possiamo dare il concetto di soluzione di entropia del problema (10.1.1). Definizione 10.8. Sia f una funzione in L1 (Ω). Una funzione u appartenente a T (Ω) `e detta soluzione di entropia del problema (10.1.1) se Z Z a(x, u, ∇u) · ∇Tk (u − ϕ) ≤ f Tk (u − ϕ) (10.5.1) Ω Ω 1 ∞ ∀ k > 0 e ∀ ϕ ∈ H0 (Ω) ∩ L (Ω). Osservazione 10.9. Notiamo che grazie al fatto che u appartiene a T (Ω) la disuguaglianza di entropia appena scritta ha senso. Infatti il secondo membro `e ben definito, vista la limitatezza della funzione Tk (u − ϕ). Per il primo, osservando che Tk (u − ϕ) appartiene a H01 (Ω) e ∇Tk (u − ϕ) = ∇(u − ϕ) χ{|u−ϕ|≤k} , abbiamo

Z

Z a(x, u, ∇u) · ∇Tk (u − ϕ) =

Ω

a(x, u, ∇u) · ∇(u − ϕ); {|u−ϕ|≤k}

nell’insieme {|u − ϕ| ≤ k}, ∇u appartiene a L2 (Ω) e di conseguenza anche a(x, u, ∇u) appartiene a L2 (Ω). Pertanto anche il secondo membro `e ben definito. Osservazione 10.10. Una funzione u ∈ H01 (Ω) che soddisfa Z Z a(x, u, ∇u) · ∇v = f v ∀ v ∈ H01 (Ω) Ω

Ω

`e ovviamente una soluzione di entropia del problema (10.1.1). Ci` o implica che le soluzioni H01 (Ω) (nel senso delle distribuzioni) trovate nel capitolo 4 nel caso in cui il dato f ∈ Lm (Ω), m ≥ N2N +2 , sono soluzioni di entropia del problema (10.1.1). Vediamo ora le principali propriet` a delle soluzioni di entropia. Proposizione 10.11. Sia u ∈ T (Ω) una soluzione d’entropia del problema (10.1.1). Allora u appartiene N a M N −2 (Ω).

10.5. SOLUZIONI DI ENTROPIA

97

Dimostrazione. In tutta la dimostrazione c denoter`a una costante indipendente da u e da k. Prendendo ϕ = 0 nella (10.5.1) si ottiene, grazie all’ellitticit`a di a Z 2 ∀k > 0 . αk∇Tk (u)kL2 (Ω) ≤ a(x, u, ∇u) · ∇Tk (u) ≤ k kf kL1 (Ω) Ω

Grazie alla disuguaglianza di Sobolev, la disugualianza appena scritta implica che Z ∗ ∗ ∗ k 2 µ{|u| > k} < |Tk (u)|2 ≤ ck 2 /2 . {|Tk (u)|>k}

Si deduce che N

µ({|u| > k}) ≤ c k − N −2 N

ovvero u ∈ M N −2 (Ω). N

Proposizione 10.12. Sia u una soluzione di entropia del problema (10.1.1). Allora |∇u| ∈ M N −1 (Ω). Dimostrazione. In tutta la dimostrazione c sar`a una costante indipendente da u e da k. Prendendo ϕ = 0 come funzione test in (10.5.1), abbiamo Z Z αk∇Tk (u)k2L2 (Ω) ≤ a(x, u, ∇u) · ∇Tk (u) ≤ f Tk (u) ≤ kkf kL1 (Ω) . Ω

Ω

Usando la disuguaglianza di Sobolev, si ha 2/2∗

 2/2∗

k 2 S 2 µ ({|u| > k})

Z

 ≤ S2 

∗ |Tk (u)|2 

{|u|>k}

 2/2∗ Z Z ∗ ≤ S 2  |Tk (u)|2  ≤ |∇Tk (u)|2 ≤ kc Ω

Ω

che implica che

c

µ({|u| > k|}) ≤ k

N N −2

.

(10.5.2)

Inoltre, visto che Z

|∇Tk (u)|2 ≤ ck

Ω

possiamo scrivere che Z

t2 µ({|u| ≤ k, |∇u| > t}) ≤

|∇u|2 ≤ ck .

{|u|≤k,|∇u|>t}

Quest’ultima stima e la (10.5.2) implicano che µ({|u| ≤ k, |∇u| > t}) + µ({|u| > k}) ≤ c Di conseguenza µ({|∇u| > t}) ≤ c

c k + N ; t2 k N −2

k c + N . t2 N k −2

98

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

minimizzando in k la quantit` a k 1 + N 2 t k N −2 si ottiene

c

µ({|∇u| > t}) ≤

N

.

t N −1

Corollario 10.13. Sia u ∈ T (Ω) una soluzione d’entropia del problema (10.1.1). Allora |a(x, u, ∇u)| ∈ L1 (Ω). Dimostrazione.

Per le ipotesi su a, possiamo scrivere µ({|a(x, u, ∇u)| > k}) ≤ µ({|u| + |∇u| > k}) .

(10.5.3)

N

I risultati precedenti implicano che |u| + |∇u| ∈ M N −1 (Ω) e dunque dalla (10.5.3) si pu`o concludere che N |a(x, u, ∇u)| ∈ M N −1 (Ω) ⊆ L1 (Ω). Dimostriamo che le soluzioni di entropia sono particolari soluzioni nel senso delle distribuzioni: Proposizione 10.14. Sia u ∈ T (Ω) una soluzione d’entropia del problema (10.1.1). Allora u `e una soluzione nel senso delle distribuzioni, ovvero Z Z a(x, u, ∇u) · ∇ψ = f ψ ∀ ψ ∈ C0∞ (Ω) . Ω

Ω

Dimostrazione. Sia ψ ∈ C0∞ (Ω) e prendiamo ϕ = Th (u) − ψ ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) come funzione test nella (10.5.1). Allora si ha Z Z a(x, u, ∇u) · (∇u χ{|u|>h} + ∇ψ) ≤ f Tk (u − Th (u) + ψ) Ω

{|u−Th (u)+ψ|
da cui, per l’ellitticit` a di a Z

Z a(x, u, ∇u) · ∇ψ ≤

f Tk (u − Th (u) + ψ) . Ω

{|u−Th (u)+ψ|
Se prendiamo k > kψkL∞ (Ω) si ha χ{|u−Th (u)+ψ|
per h → +∞

e poich´e a(x, u, ∇u) · ∇ψ ∈ L1 (Ω) si pu`o applicare il teorema di Lebesgue e concludere, al limite per h → +∞, che Z Z a(x, u, ∇u) · ∇ψ ≤ f ψ ∀ψ ∈ C0∞ (Ω) . Ω

Ω

Prendendo −ψ al posto di ψ si ha la disuguaglianza inversa, da cui −div(a(x, u, ∇u)) = f nel senso delle distribuzioni. Vogliamo ora dimostrare l’esistenza di soluzioni di entropia per il problema (10.1.1): Teorema 10.15. Sia f ∈ Lm (Ω), con m ≥ 1. Allora esiste u ∈ T (Ω) soluzione d’entropia del problema (10.1.1).

10.6. CONFRONTO TRA SOLUZIONI DI ENTROPIA E SOLUZIONI NEL SENSO DELLE DISTRIBUZIONI99 N

N

1. Se f ∈ L1 (Ω), la funzione u appartiene a M N −2 (Ω), |∇u| ∈ M N −1 (Ω). ∗

2. Se f ∈ Lm (Ω), m > 1 allora la funzione u appartiene a W01,m (Ω). Dimostrazione. Siano un le soluzioni dei problemi (10.2.1): scegliamo come funzioni test Tk (un − ϕ). Possiamo dire grazie al lemma 10.1 che, a meno di una sottosuccessione, un converge debolmente ad una funzione u in W01,q (Ω) con q < NN−1 . Grazie al lemma 10.3 ∇un → ∇u q.o. in Ω e dunque a(x, un , ∇un ) → a(x, u, ∇u) q.o. in Ω. D’altra parte, fissati k e ϕ ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω), possiamo dire che ∇Tk (un − ϕ) → ∇Tk (u − ϕ) q.o. in Ω. Di conseguenza, il lemma di Fatou Z

Z a(x, un , ∇un ) · ∇Tk (un − ϕ)

lim inf n→∞

Ω

a(x, u, ∇u) · ∇Tk (u − ϕ) . Ω

Per il teorema di Lebesgue Z

Z fn Tk (un − ϕ) =

lim

n→∞ Ω

f Tk (u − ϕ) . Ω

Abbiamo dunque provato che u verifica la disuguaglianza (10.5.1). Per provare che Tk (u) appartiene a H01 (Ω) per ogni k > 0, basta scegliere come funzione test nei problemi aprossimanti (10.2.1) Tk (un ). 2 Infatti sfruttando l’ellitticit` a di a si ha che k∇Tk (un )kL2 (Ω) ≤ kkf kL1 (Ω) . Poich´e ∇un → ∇u q.o. in Ω, 2 passando al limite per n → ∞ si ha che k∇Tk (u)kL2 (Ω) ≤ kkf kL1 (Ω) . Per quanto riduarda le regolarit` a della funzione u: 1. se f appartiene a L1 (Ω), basta usare le proposizioni 10.11 e 10.12; 2. se f appartiene a L1 (Ω), m > 1, basta usare il lemma 10.2.

10.6

Confronto tra soluzioni di entropia e soluzioni nel senso delle distribuzioni

Nei precedenti paragrafi abbiamo visto i concetti di soluzione nel senso delle distribuzioni e soluzione di entropia del problema (10.1.1). In questo paragrafo vogliamo mettere a confronto questi due concetti, dimostrando che non si equivalgono. Ricordiamo che, come visto nella proposizione 10.14, una soluzione di entropia del problema (10.1.1) `e una particolare soluzione nel senso delle distribuzioni. Considereremo ora un problema lineare e faremo vedere che tale problema ammette una soluzione nel senso delle distribuzioni che non `e soluzione di entropia (vedere [25], [22]). N ×N Sia M = (mij )N la matrice seguente: se x = (x1 , .., xN ) i,j=1 ∈ R

con ε <

1 N −1 .

 

mij = δij +



mij = δij ,

1 − ε2 xi xj , ε2 x21 + x22

i, j = 1, 2

(10.6.1)

i, j 6= 1, 2

M `e ellittica e limitata. Osserviamo che la funzione u0 (x) =

x1 (x21 + x22 )

1+ε 2

(10.6.2)

100

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

verifica −div(M (x)∇u0 ) = 0 in RN . Infatti sia ϕ una funzione C ∞ a supporto compatto in RN ; integrando per parti si ottiene Z Z M (x)∇u0 · ∇ϕ = lim

ρ→0 {|x|≥ρ} I

RN

= − lim

M (x)∇u0 · ∇ϕ

ρ→0 {|x|=ρ} I

=−

ϕ M (x)∇u0 ·

1 lim ε ρ→0

x ds |x|

1 ϕ x1 ds ρε

{|x|=ρ}

=0 visto che l’ultimo integrale `e un o(ρ2 ) per ρ → 0. Inoltre, fissato Ω = {|x| < 1} si ha che u0 ∈ W 1,q (Ω) per q < NN−1 e Tk (u0 ) ∈ / H 1 (Ω). Di conseguenza, posto f (x) =

1 − ε2 x1 , ε2 x21 + x22

(10.6.3)

la funzione v(x) = x1 − u0 (x) `e una soluzione nel senso delle distribuzioni del problema −div(M (x)∇v) = f v=0

(10.6.4)

in Ω su ∂Ω

ma non `e una soluzione di entropia, visto che non appartiene a T (Ω).

10.7

Soluzioni per problemi con sorgenti misura

In questo paragrafo vogliamo studiare l’esistenza di soluzioni nel senso delle distribuzioni del seguente problema −div(a(x, u, ∇u)) = λ in Ω (10.7.1) u=0 su ∂Ω, dove λ ∈ M(Ω) (per la definizione vedere appendice), ossia dimostreremo l’esistenza di una funzione u ∈ W01,1 (Ω) tale che Z Z a(x, u, ∇u) · ∇ϕ = ϕdλ ∀ ϕ ∈ C0∞ (Ω) . Ω

Ω

Come nei paragrafi precedenti lavoreremo sui problemi approssimanti (10.2.1). Questa volta {fn } `e una successione di funzioni in C0∞ (Ω) tale che kfn kL1 (Ω) ≤ kλkM(Ω) e fn → λ ∗-debolmente in M(Ω) (l’esistenza di tale successione `e garantita dal teorema 10.27). Dimostreremo il seguente teorema: Teorema 10.16. Sia λ ∈ M(Ω). Allora esiste una soluzione u ∈ W01,q (Ω), q < (10.1.1) nel senso delle distribuzioni.

N N −1

del problema

Come nel caso in cui la sorgente `e una funzione L1 (Ω), avremo bisogno dei due seguenti lemmi: Lemma 10.17. Sia λ ∈ M(Ω). Allora le soluzioni un dei problemi (10.2.1) sono uniformemente limitate in W01,q (Ω) con q < NN−1 . Dimostrazione. La dimostrazione `e analoga a quella del lemma 10.1. Infatti, prendendo le stesse funzioni test nei problemi approssimanti (10.2.1), si ha per il secondo membro Z Z fn un ≤ |fn | ≤ kλkM(Ω) . Ω

Ω

10.8. APPENDICE

101

Si possono dunque usare gli stessi argomenti del lemma 10.1 per dimostrare che le soluzioni un dei problemi (10.2.1) sono uniformemente limitate in W01,q (Ω) con q < NN−1 . Analogamente si dimostra il seguente lemma: Lemma 10.18. Sia λ ∈ M(Ω). Allora, dette un le soluzioni in H01 (Ω) dei problemi (10.2.1), esiste une funzione u ∈ W01,q (Ω), q < NN−1 tale che ∇un → ∇u q.o. in Ω a meno di una sottosuccessione. Dimostrazione. La dimostrazione di questo lemma si discosta di molto poco da quella del lemma 10.3. Infatti, ripercorrendola, possiamo arrivare alla disuguaglianza (10.2.8), in cui bisogna stimare la quantit` a  θ Z 0  {fn Tj (un − Tk (u)) − a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u))} + µ(Vj ) 12 . Ω

C denoter` a una costante indipendente da n. Osserviamo che  θ Z  {fn Tj (un − Tk (u)) − a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u))} Ω

θ θ Z Z ≤ C fn Tj (un − Tk (u)) + C a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u)) Ω

Ω

θ

θ Z Z   ≤C j|fn | + C a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u)) 

Ω

Ω

θ Z ≤ Cj θ kλkθM(Ω) + C a(x, u, ∇Tk (u)) · ∇Tj (un − Tk (u)) Ω

1

Procedendo come fatto nel lemma 10.3 per il secondo termine e per µ(Vj0 ) 2 , si ottiene Z lim {[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)}θ ≤ Cj θ . n→∞

Ω

Al limite per j → 0 si ha che Z lim

n→∞

{[a(x, un , ∇un ) − a(x, u, ∇u)] · ∇(un − u)}θ = 0;

Ω

ci` o implica che, a meno di una sottosuccessione, ∇un → ∇u q.o. in Ω. Grazie ai lemmi precedenti si pu` o dimostrare il teorema 10.16 analogamente a quanto fatto per il teorema 10.4.

10.8

Appendice

Richiamiamo la definizione di M(Ω) usata nel paragrafo 10.7 (rimandiamo a [13] per maggiori dettagli). Denotiamo con P(Ω) l’insieme dei sottinsiemi di Ω. Definizione 10.19. Una σ-algebra di insiemi su Ω `e una famiglia di insiemi di Σ ⊂ P(Ω) tale che 1. ∅ ∈ Σ;

102

` CAPITOLO 10. PROBLEMI DI LERAY-LIONS CON SORGENTI A BASSA SOMMABILITA

2. se E ∈ Σ allora CE ∈ Σ, dove CE `e Ω\E; 3. per ogni successione {Ek } ⊆ Σ,

+∞ [

Ek ∈ Σ.

k=1

(Ω, Σ) `e chiamato spazio misurabile. Definizione 10.20. La σ-algebra dei boreliani di Ω, B(Ω), `e la pi` u piccola σ-algebra contenente i sottinsiemi aperti di Ω. Definizione 10.21. Sia (Ω, Σ) uno spzio misurabile. Una misura con segno λ su Σ `e una funzione da Σ a [−∞, +∞] tale che 1. λ(∅) = 0; 2. per ogni successione {Ek } ⊆ Σ di insiemi disgiunti, λ

+∞ [ k=1

! Ek

=

∞ X

λ(Ek );

k=1

3. non prende entrambi i valori −∞ e +∞. Definizione 10.22. Sia (Ω, Σ) uno spazio misurabile. Una misura λ su Σ `e chiamata una misura di Borel su Ω se B(Ω) ⊆ Σ. Definizione 10.23. Sia (Ω, Σ) uno spazio misurabile. Una misura di Borel λ `e regolare se, per ogni δ > 0 e per ogni E ∈ Σ, esiste un compatto Kδ ⊆ E e un aperto Aδ ⊇ E, tali che λ(E\Kδ ) ≤ δ e λ(Aδ \E) ≤ δ. Definizione 10.24. Sia (Ω, Σ) uno spazio misurabile. Sia λ una misura con segno su Σ. 1. La variazione positiva di λ `e λ+ (E) = sup{λ(F ) : F ∈ Σ, F ⊆ E}, per ogni insieme E ∈ Σ. 2. La variazione negativa di λ `e λ− (E) = (−λ)+ (E), per ogni insieme E ∈ Σ. 3. La variazione totale di λ `e la misura |λ| = λ+ + λ− . Definizione 10.25. M(Ω) `e l’insieme delle misure regolari con segno a variazione totale finita sulla σ-algebra dei boreliani di Ω. Su M(Ω) kλkM(Ω) = |λ|(Ω) `e una norma. Definizione 10.26. Sia {λn } una successione di misure in M(Ω). Diremo che λn converge ∗-debolmente a λ se Z Z ϕ dλn = ϕ dλ, lim n→+∞

Ω

Ω

per ogni funzione continua f su C0 (Ω). Teorema 10.27. Se λ ∈ M(Ω), allora esiste una successione {fn } di funzioni C0∞ (Ω) tale che 1. kfn kL1 (Ω) ≤ kλkM(Ω) ,

∀n ∈ N;

2. fn → λ ∗-debolmente in M(Ω).

Capitolo 11

Unicit` a 11.1

Introduzione

Nei capitoli 4 e 10 abbiamo visto dei risultati di esistenza di soluzioni del problema −div(a(x, u, ∇u)) = f in Ω u=0 su ∂Ω, con f ∈ Lm (Ω), per m ≥ 1. In questo capitolo daremo dei risultati di unicit`a. Bisogna dire che, a differenza del problema dell’esistenza, per l’unicit`a purtroppo esistono solo risultati parziali, e ci` o indipendentemente dalla sommabilit` a del dato f . Vedremo infatti che l’unicit`a `e legata per lo pi` u alla monotonia dell’operatore A(v) = −div(a(x, v, ∇v)) e non tanto alla sommabilit`a del dato f . Ci` o ci ha condotti a dividere questo capitolo in due parti: nella prima parte forniremo un risultato abbastanza generale per il problema −div(a(x, ∇u)) = f in Ω u=0 su ∂Ω, ossia per un problema definito tramite un operatore monotono. Non presenteremo la dimostrazione originale di [3], ma quella un poco pi` u semplice di [21]. Nella seconda parte presenteremo un risultato di unicit`a (vedere [2] e [6]) per un particolare operatore non monotono.

11.2

Unicit` a per operatori monotoni

In questo paragrafo ci occuperemo dell’unicit`a delle soluzioni del problema −div(a(x, ∇u)) = f in Ω u=0 su ∂Ω,

(11.2.1)

sotto le seguenti ipotesi: a : Ω × RN → RN `e una funzione di Carath´eodory, con le seguenti propriet` a: 1. esiste β > 0 tale che |a(x, ξ)| ≤ β|ξ|; 2. esiste α > 0 tale che a(x, ξ) · ξ ≥ α|ξ|2 ,

∀ ξ ∈ RN ;

3. [a(x, ξ) − a(x, η)] · [ξ − η] > 0 se ξ 6= η. Osserviamo che l’ipotesi 3 implica che l’operatore −div(a(x, ∇v)) `e monotono. 2N Nel caso in cui il dato f ∈ L N +2 (Ω), `e facile dimostrarare il seguente teorema: 103

` CAPITOLO 11. UNICITA

104 2N

Teorema 11.1. Sotto le ipotesi precedenti, sia f ∈ L N +2 (Ω). Allora il problema −div(a(x, ∇u)) = f in Ω u=0 su ∂Ω ammette un’unica soluzione u ∈ H01 (Ω). Dimostrazione. Siano u1 e u2 ∈ H01 (Ω) due soluzioni. Scegliamo nella formulazione debole del problema u1 − u2 come funzione test: Z Z a(x, ∇u1 ) · (∇u1 − ∇u2 ) = f (u1 − u2 ) Ω Z

Ω Z

a(x, ∇u2 ) · (∇u1 − ∇u2 ) = Ω

f (u1 − u2 ) . Ω

Sottraendo membro a membro e usando l’ipotesi 3 su a si ottiene che u1 = u2 q.o. in Ω. Nel caso in cui il dato f ha una sommabilit`a pi` u bassa, dimostreremo l’unicit`a delle soluzioni nell’ambito delle soluzioni di entropia (vedere [3]). Teorema 11.2. Sia f in L1 (Ω). Allora esiste un’unica soluzione di entropia del problema (11.2.1). 2N

Osservazione 11.3. Nel caso in cui f ∈ L N +2 (Ω) le soluzioni in H01 (Ω) sono soluzioni di entropia, come gi` a osservato nel capitolo 10. I teoremi 11.1 e 11.2 sono dunque coerenti fra loro. ` sufficiente Dimostrazione. Sia u una soluzione ottenuta per approssimazione come nel teorema 10.4. E mostrare che ogni soluzione di entropia coincide con u. Per questo richiamiamo brevemente la costruzione di u. Consideriamo le soluzioni deboli un ∈ H01 (Ω) dei seguenti problemi −div(a(x, ∇un )) = fn

in

Ω,

(11.2.2)

dove fn = Tn (f ); sappiamo che un ∈ L∞ (Ω) per ogni n grazie al teorema 5.6. Inoltre, un (x) e ∇un (x) convergono, rispettivamente, a u(x) e ∇u(x) q.o. in Ω (vedere lemmi 10.1, 10.3) e abbiamo dimostrato u `e una soluzione di entropia. Ora, sia z una seconda soluzione di entropia, cio`e Tk (z) ∈ H01 (Ω) per ogni k>0e Z Z a(x, ∇z) · ∇Tk (z − ϕ) ≤ f Tk (z − ϕ), Ω

per ogni ϕ ∈

H01 (Ω)

Ω

∞

∩ L (Ω). Prendiamo ϕ = un nella disuguaglianza precedente: otteniamo Z Z a(x, ∇z) · ∇Tk (z − un ) ≤ f Tk (z − un ). Ω

Scegliamo inoltre Tk (z − un ) ∈ H01 (Ω) come funzione test in (11.2.2): abbiamo Z Z − a(x, ∇un ) · ∇Tk (z − un ) = − fn Tk (z − un ). Ω

(11.2.3)

Ω

(11.2.4)

Ω

Sommando (11.2.3) e (11.2.4) otteniamo Z Z [a(x, ∇z) − a(x, ∇un )] · ∇Tk (z − un ) ≤ (f − fn )Tk (z − un ). Ω

Ω

Osserviamo che l’integrando del primo membro della precedente diseguaglianza `e positivo per la monotonia di a. Inoltre la funzione integranda [a(x, ∇z) − a(x, ∇un )] · ∇Tk (z − un ) converge q.o. in Ω a

` PER UN OPERATORE NON MONOTONO 11.3. UN RISULTATO DI UNICITA

105

[a(x, ∇z) − a(x, ∇u)] · ∇Tk (z − u). Il secondo membro tende a 0, fissato k, per il teorema di Lebesgue. Quindi usando il lemma di Fatou, possiamo passare al limite per n → +∞ ottenendo Z [a(x, ∇z) − a(x, ∇u)] · ∇Tk (z − u) ≤ 0 . Ω

Grazie alla monotonia della funzione a e all’arbitraria scelta di k ci`o implica che z = u q.o. in Ω. Il seguente esempio mostra che un problema anche lineare ammette pi` u di una soluzione distribuzionale. Osservazione 11.4. Siano M , v e f definite dalle (10.6.1), (10.6.4) e (10.6.3) respettivamente. Il problema di Dirichlet, su Ω = {x ∈ RN : |x| < 1}, −div(M (x)∇v) = f in Ω v=0 su ∂Ω ammette due soluzioni distribuzionali. Infatti v `e una soluzione, come visto nel paragrafo 10.6; inoltre esiste una soluzione v1 in H01 (Ω) dato che f ∈ L∞ (Ω). Un esempio ancora pi` u parlante `e il seguente. Con le notazioni precedenti, la funzione w = v − v1 N 1,q ) risolve per linearit` a (appartenente a W0 (Ω), con q < N −1 −div(M (x)∇w) = 0 in Ω w=0 su ∂Ω Osserviamo inoltre che 0 `e soluzione di questo problema. Dunque il problema precedente ammette due soluzioni: la soluzione identicamente nulla (soluzione distribuzionale H01 (Ω) e quindi entropica) e la soluzione distribuzionale, non entropica, w.

11.3

Un risultato di unicit` a per un operatore non monotono

In questo paragrafo presenteremo un risultato di unicit`a per i problema u ∈ H01 (Ω) : −div(M (x, u) ∇u) = f.

(11.3.1)

Osserviamo che l’operatore A(v) = −div(M (x, v) ∇v) non `e monotono. Infatti, considerando per semplicit` a il caso in cui M non dipende da x, si ha Z < A(v) − A(u), v − u >= [M (v)∇v − M (u)∇u] · ∇(v − u). Ω

Basta scegliere u = v/2 per vedere che < A(v) − A(v/2), v/2 > non `e necessariamente positivo per una qualunque scelta di M. Dimostreremo il seguente teorema: Teorema 11.5. Sia M (x, s) una matrice N × N costituita da funzioni mij di Carath´eodory, limitate e lipschitziane nella seconda variabile; supponiamo inoltre che esista una costante α > 0 tale che M (x, s)ξ · ξ ≥ α |ξ|2 . 2N

Allora, data f ∈ L N +2 (Ω) esiste un’unica u appartenente a H01 (Ω), soluzione debole di (11.3.1). Dimostrazione. L’esistenza di soluzioni segue dal teorema di Leray-Lions 4.1. Ora, siano u1 e u2 due soluzioni, cio`e u1 e u2 soddisfano Z Z M (x, u1 )∇u1 · ∇v = f v ∀ v ∈ H01 (Ω) Ω

Ω

` CAPITOLO 11. UNICITA

106 e Z

Z M (x, u2 )∇u2 · ∇v =

Ω

f v ∀ v ∈ H01 (Ω) .

Ω

Sottraendo membro a membro otteniamo Z Z M (x, u1 )∇(u1 − u2 ) · ∇v = [M (x, u2 ) − M (x, u1 )] ∇u2 · ∇v. Ω

(11.3.2)

Ω

Ora fissiamo due costanti reali b e B tali che 0 < b < B. Visto che le funzioni mij sono lipschitziane, esiste una costante L > 0 tale che |M (x, u1 ) − M (x, u2 )| ≤ L |u1 − u2 |. Scegliendo v=

u1 − u2 b + |u1 − u2 |

come funzione test nella (11.3.2), otteniamo Z M (x, u1 )∇(u1 − u2 ) · ∇(u1 − u2 )

1 = (b + |u1 − u2 |)2

Ω

Z [M (x, u2 ) − M (x, u1 )]∇u2 · ∇(u1 − u2 )

1 ; (b + |u1 − u2 |)2

Ω

di conseguenza, sfruttando al primo membro l’ellitticit`a di M e al secondo la lipschitzianeit`a di mij , otteniamo Z Z |∇(u1 − u2 )|2 L|∇u2 ||∇(u1 − u2 )| α ≤ . 2 [b + |u1 − u2 |] b + |u1 − u2 | Ω

Ω

Usando la disuguaglianza di H¨ older con esponente 2 nel secondo membro e semplificando con il primo otteniamo   2 1/2 Z |u1 − u2 |  α  ∇ log 1 + ≤ L ku2 kH01 (Ω) . b Ω

La disuguaglianza di Poincar´e applicata al primo membro implica  Z  αc

 2 1/2 |u − u | 1 2  log 1 + ≤ L ku2 kH01 (Ω) . b

Ω

Integrando su {|u1 − u2 | > B} otteniamo B α cµ{|u1 − u2 | > B} log 1 + ≤ L ku2 kH01 (Ω) . b Fissato B, se b → 0+ , l’ultima relazione ci dice che µ{|u1 − u2 | > B} = 0 ∀ B > 0, e quindi u1 = u2 q.o. in Ω.

` PER SORGENTI MISURA 11.4. UN RISULTATO DI UNICITA

11.4

107

Un risultato di unicit` a per sorgenti misura

In questo paragrafo ci occuperemo del problema −div(M (x)∇u) = λ u=0

in Ω su ∂Ω

(11.4.1)

dove λ ∈ M(Ω) e M ∈ RN ×N `e una matrice simmetrica a coefficienti funzioni L∞ (Ω) tale che M (x)ξ ·ξ ≥ α|ξ|2 . Supporremo che ∂Ω ∈ C 1 . Nel teorema 10.4 abbiamo visto che tale problema ammette una soluzione. Ricordiamo che abbiamo ottenuto tale soluzione per approssimazione. In questo paragrafo daremo appunto un risultato di unicit` a di soluzioni ottenute per approssimazione dai problemi −div(M (x)∇un ) = fn in Ω (11.4.2) un = 0 su ∂Ω dove fn `e una qualunque successione di funzioni regolari che converge debolmente nel senso delle misure a λ, limitata in L1 (Ω). Teorema 11.6. Sotto le ipotesi precedenti, siano u e v due soluzioni del problema (11.4.1) ottenute per approssimazione dal problema (11.4.2). Allora u = v. Per dimostrare il teorema abbiamo bisogno del seguente lemma: Z Lemma 11.7. Sia fn : Ω → R una successione di funzioni tale che

fn2 → 0 . Allora fn → 0 in 1 + |fn |

Ω

L1 (Ω). Dimostrazione.

Possiamo scrivere Z fn2 ≥ 1 + |fn | Ω

1 fn2 ≥ 1 + |fn | 2

Z {|fn |>1}

D’altra parte, per ogni t > 0 fissato, Z fn2 ≥ 1 + |fn | Ω

Z |fn | . {|fn |>1}

fn2 t2 ≥ µ{t < |fn | < 1} . 1 + |fn | 1+t

Z {t<|fn |<1}

Di conseguenza Z

Z

Z

|fn | = Ω

Z ≤2

|fn | + {|fn |≥1} fn2

1 + |fn | Ω Z

≤2

Z |fn | +

{t≤|fn |≤1}

|fn | {|fn |≤t}

+ µ{t ≤ |fn | ≤ 1} + tµ(Ω)

fn2 1+t + 2 1 + |fn | t

Ω

Z

fn2 + tµ(Ω) 1 + |fn |

Ω

in base alle stime precedenti. Passando al limite per n → ∞ si ha Z lim |fn | ≤ tµ(Ω) ∀ t > 0 n→∞

Ω

e dunque, vista l’arbitrariet` a di t, fn → 0 in L1 (Ω). Useremo anche il seguente teorema (per la dimostrazione vedere teorema 8.29 in [14] e teorema 5.12):

` CAPITOLO 11. UNICITA

108

Teorema 11.8. Sotto le ipotesi precedenti su M e su Ω, sia F ∈ (Lq (Ω))N , q > N . Allora la soluzione u ∈ H01 (Ω) del problema −div(M (x)∇u) = divF in Ω u=0 su ∂Ω `e h¨ olderiana in Ω e soddisfa |u(x) − u(y)| ≤ CkF kLq (Ω) |x − y|β x,y∈Ω sup

dove C = C(Ω, α, N, q) e β = β(Ω, α, N, q). Passiamo ora alla dimostrazione del teorema 11.6. Dimostrazione. Siano u e v due soluzioni ottenute per approssimazione dal problema 11.4.2. Allora esistono fn e gn , successioni di funzioni regolari che convergono debolmente nel senso delle misure a λ, limitate in L1 (Ω); inoltre, dette un e vn ∈ H01 (Ω) le rispettive soluzioni dei problemi approssimanti, un e vn convergono debolmente a u e v rispettivamente in W01,q (Ω), ∀ q < NN−1 , grazie al lemma 10.18. Per linearit` a si ha che Z Z M (x)(∇un − ∇vn ) · ∇φ = (fn − gn ) φ ∀φ ∈ H01 (Ω). (11.4.3) Ω

Ω

D’altra parte, sia zn ∈ H01 (Ω) una soluzione del problema ∇(un − vn ) . −div(M (x)∇zn ) = −div 1 + |∇(un − vn )|

(11.4.4)

∇(un − vn ) : Fn ∈ (L∞ (Ω))N e divFn ∈ L2 (Ω). Di conseguenza una soluzione 1 + |∇(un − vn )| zn ∈ H01 (Ω) esiste per ogni n grazie al teorema 4.1. Osserviamo che le funzioni zn sono equi-h¨olderiane e equilimitate per il teorema 11.8. Il teorema di Ascoli-Arzel`a implica che a meno di una sottosuccessione zn → z uniformemente in Ω per una certa funzione z continua in Ω. Abbiamo, scegliendo un − vn come funzione test in (11.4.4) Z Z |∇(un − vn )|2 = M (x)∇zn · ∇(un − vn ) 1 + |∇(un − vn )| Poniamo Fn =

Ω

Ω

Z

Z M (x)∇(un − vn ) · ∇zn =

= Ω

(fn − gn ) zn . Ω

grazie a (11.4.3). Scrivendo (fn − gn ) zn come (fn − gn ) (zn − z) + (fn − gn ) z `e facile dimostrare che l’ultimo integrale tende a 0, visto che zn → z uniformemente in Ω, che la successione fn − gn converge a 0 nel senso delle misure ed `e limitata in L1 (Ω). Ci`o implica la convergenza a zero in norma L1 (Ω) di ∇(un − vn ), grazie al lemma 11.7. Ricordando che un , vn convergono debolmente a u, v in W01,q (Ω), ∀q < NN−1 , si ha che Z Z |∇(u − v)| ≤ lim inf |∇(un − vn )| = 0 n→+∞

Ω

e quindi u = v q.o. in Ω.

Ω

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