Einfuhrung in die Astrophysik (Vorlesung an der Universität Würzburg)

¨ Einfuhrung in die Astrophysik

Vorlesung an der Universit¨at W¨urzburg Jens Niemeyer Lehrstuhl f¨ur Astronomie Universit¨at W¨urzburg

Inhaltsverzeichnis 1

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Astrophysik in Gr¨oßenordnungen 1.1 Energieskalen . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ruhemassenenergie . . . . 1.1.2 Atomare Energieskalen . . 1.1.3 Molekulare Energieskalen 1.1.4 Nukleare Energieskalen . 1.1.5 Gravitationsenergie . . . . 1.2 Astrophysikalische Strukturen . . 1.2.1 Das Universum . . . . . . 1.2.2 Galaxien . . . . . . . . . 1.2.3 Planeten und Sterne . . . . 1.2.4 Zusammenfassung . . . .

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6 6 6 6 7 8 8 9 9 12 14 15

Materie und Strahlung 2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Beobachtungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Teilchen mit und ohne Ruhemasse . . . . . . 2.1.3 Durchl¨assigkeit der Erdatmosph¨are . . . . . 2.2 Astrophysikalische Strahlungsquellen . . . . . . . . 2.2.1 Radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Mikrowellen und Submillimeter . . . . . . . 2.2.3 Infrarot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Optisch und Ultraviolet . . . . . . . . . . . . 2.2.5 R¨ontgen und Gamma . . . . . . . . . . . . . 2.3 Freie Teilchen im thermischen Gleichgewicht . . . . 2.3.1 Dichte, Druck und Energiedichte . . . . . . . 2.3.2 Gleichgewichtsverteilungen . . . . . . . . . 2.3.3 Nichtentartetes, nichtrelativistisches Gas . . 2.3.4 Entartetes nichtrelativistisches Fermionengas 2.3.5 Ultrarelativistisches Gas . . . . . . . . . . . 2.3.6 Zusammenfassung: Zustandsgleichungen . .

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17 17 17 17 18 18 19 19 19 19 20 20 20 21 22 22 24 26

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INHALTSVERZEICHNIS

2.4

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27 27 29 30 31 31 37 38 39 40 42

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45 45 45 45 47 49 50 50 51 51 52 53 53 55 55

Sternaufbau 4.1 Die Sternaufbaugleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Massenschichtung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . 4.1.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Radiativer Energietransport . . . . . . . . . . . 4.1.5 Konvektiver Energietransport . . . . . . . . . . 4.1.6 Auftreten von Konvektionszonen, Hayashi-Linie 4.1.7 Zusammenfassung: Sternaufbaugleichungen . . . 4.2 Nukleare Energieerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Zeitskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Nukleare Reaktionsraten . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Erreichen der Brennphasen . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Wasserstoffbrennen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 H¨ohere Brennprozesse . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Neutrinoverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Thermische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Nichtthermische Prozesse . . . . . . . . . . . . 4.4 Die Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Globale Messgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Helioseismologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Das Standard-Sonnenmodell . . . . . . . . . . .

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58 58 58 58 60 60 62 63 64 64 64 65 68 69 71 73 73 76 77 77 78 80

2.5

3

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Astrophysikalische Strahlungsprozesse . . . . . . . . . 2.4.1 Atomare und molekulare Prozesse . . . . . . . 2.4.2 Strahlung im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Streuprozesse von Photonen und Elektronen . . Grundlagen des Strahlungstransports . . . . . . . . . . 2.5.1 Wesentliche Begriffe . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Die Strahlungstransportgleichung . . . . . . . 2.5.3 Lokales thermisches Gleichgewicht (LTE) . . . 2.5.4 Die Eddington-N¨aherung f¨ur Sternatmosph¨aren 2.5.5 Emissions- und Absorptionslinienspektren . . 2.5.6 Struktur von Spektrallinien . . . . . . . . . . .

Stellare Beobachtungsgr¨oßen 3.1 Gr¨oße und Entfernung . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Entfernung . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Radius . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Oberfl¨achen-Schwerebeschleunigung 3.2 Helligkeit und Leuchtkraft . . . . . . . . . . 3.2.1 Scheinbare Helligkeit . . . . . . . . . 3.2.2 Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Absolute Helligkeit . . . . . . . . . . 3.3 Sternspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Die Oberfl¨achentemperatur . . . . . . 3.3.2 Spektralklassen . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Das Hertzsprung-Russell-Diagramm . 3.3.4 Leuchtkraftklassen . . . . . . . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS

4.4.4 5

6

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Solare Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sternentwicklung 5.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . 5.1.1 Der Virialsatz . . . . . . . . . . . 5.1.2 Homologe Entwicklung . . . . . 5.2 Entwicklungsstadien im Detail . . . . . . 5.2.1 Interstellares Medium . . . . . . 5.2.2 Sternentstehung . . . . . . . . . . 5.2.3 Protosterne . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Von der Hauptreihe zum Riesenast 5.2.5 Nach dem Riesenast . . . . . . . 5.2.6 Pulsationsver¨anderliche . . . . .

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Endstadien der Sternentwicklung 6.1 Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 SNe Typ II und Ib,c: Kern-Kollaps massiver Sterne . . . . . 6.1.2 SNe Typ Ia: Thermonukleare Explosionen Weißer Zwerge . 6.1.3 Supernova-Lichtkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Weiße Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Vorkommen und Erscheinungsformen . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Charakteristische Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Entwicklung von Weißen Zwergen . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Zur Geschichte und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Vorkommen und Erscheinungsformen . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Charakteristische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Struktur von Neutronensternen . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Pulsare und ihre Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Schwarze L¨ocher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Auftreten und Erscheinungsformen von Schwarzen L¨ochern

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104 104 104 107 110 110 110 111 112 113 115 115 116 117 118 118 120 120 121

Unsere Galaxis 7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Galaktische Koordinatensysteme 7.1.2 Sternpopulationen . . . . . . . 7.2 Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Die Scheibe . . . . . . . . . . . 7.2.2 Der Bulge . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Der sichtbare (stellare) Halo . . 7.2.4 Der dunkle Halo . . . . . . . . 7.3 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Geschwindigkeit der Sonne . . 7.3.2 Die Rotationskurve . . . . . . . 7.3.3 Dunkle Materie . . . . . . . . .

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124 124 124 126 127 127 128 129 129 130 130 131 132

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INHALTSVERZEICHNIS

8

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Galaxien 8.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Elliptische Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Spiralgalaxien und Irregul¨are Galaxien . . . . . . . . 8.3 Globale Galaxieneigenschaften und ihre Korrelationen . . . . 8.3.1 Die Leuchtkraftfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Die Tully-Fisher-Relation . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Die Faber-Jackson-Relation . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Die Fundamentalebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Die Dn -σ-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Zentrale Schwarze L¨ocher und Galaxieneigenschaften 8.4 Aktive Galaxienkerne (AGN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Massenabsch¨atzung des SBH . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Galaxiengruppen und -haufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Die lokale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Morphologie von Galaxienhaufen . . . . . . . . . . . 8.5.3 Dynamische Massenbestimmung . . . . . . . . . . . . 8.5.4 Massenbestimmung durch R¨ontgenemission . . . . . . 8.5.5 Cooling Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.6 Der Sunyaev-Zeldovich-Effekt . . . . . . . . . . . . . 8.5.7 Der Butcher-Oemler-Effekt . . . . . . . . . . . . . .

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136 136 136 137 140 143 143 145 146 147 147 147 148 148 150 152 156 156 157 157 158 159 159 159

Homogene Kosmologie 9.1 Die S¨aulen der Urknalltheorie . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Das Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Universum . . 9.2.1 Die Robertson-Walker Metrik . . . . . . . . . . 9.2.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Zusammenhang zwischen Dichte und Kr¨ummung 9.3 Wichtige L¨angen- und Zeitskalen . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Horizont und Alter . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Kosmologische Entfernungsmaße . . . . . . . . 9.3.3 Das Hubble-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Skalarfeld-Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Erzeugung von St¨orungen . . . . . . . . . . . . 9.5 Thermische Entwicklung des Universums . . . . . . . . 9.5.1 Bedingung f¨ur thermisches Gleichgewicht . . . . 9.5.2 Temperaturab¨angigkeit von ρ und P . . . . . . . 9.5.3 Neutrino-Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Primodiale Nukleosynthese . . . . . . . . . . . 9.5.5 Beobachtung primordialer Isotope . . . . . . . . ¨ 9.5.6 Ubergang von Strahlungs- zu Materiedominanz . 9.5.7 Rekombination und Photonen-Entkopplung . . .

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161 161 162 163 165 166 169 170 170 173 174 175 175 178 180 180 181 182 182 183 185 187 187

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5

INHALTSVERZEICHNIS

10 Inhomogene Kosmologie 10.1 Lineares Anwachsen der St¨orungen . . . . . . . . . . . 10.1.1 Jeans-Analyse mit expandierendem Hintergrund 10.1.2 Eigenschaften der L¨osungen . . . . . . . . . . . 10.1.3 Die Transferfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Vergleich mit Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Das Materie-Leistungsspektrum . . . . . . . . . 10.2.2 Anisotropien in der Hintergrundstrahlung . . . .

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189 189 190 192 194 195 195 196

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

1

1

6

Astrophysik in Gr¨oßenordnungen

Die Astrophysik umfaßt Ph¨anomene, die sich von den kleinsten (subatomaren) bis zu den gr¨oßten (kosmologischen) Zeit- und L¨angenskalen abspielen. Deshalb ist es f¨ur Astrophysiker wichtig, sich schnell ein Bild von den relevanten Gr¨oßenordungen machen zu k¨onnen.

1.1

Energieskalen

1.1.1

Ruhemassenenergie

Teilchen mit der Ruhemasse m haben eine Ruhemassenenergie von Emass = mc2

(1.1)

Wichtige Gr¨oßenordnungen: • Elektron: Emass = me c2 ' 0.5 MeV. • Nukleon: Emass ' mp c2 ' 1 GeV. • Atomkern: Emass ' Amp c2 mit der Nukleonenzahl A. • Gesamtsystem (me vernachl¨assigbar): Emass = M c2 ' N Amp c2 mit der Teilchenzahl N .

Bem.: 1 eV entspricht ungef¨ahr der thermischen Energie kT bei T ' 104 K.

1.1.2

Atomare Energieskalen

Betrachte ein Elektron im Coulombfeld eines Atomkerns mit der Ladung Zq. Der Hamiltonoperator lautet: 2 2 ˆ = pˆ − Zq H 2me r

(1.2)

Die Wellenfunktion des Elektrons sei ψ(x, L), wobei L eine L¨angenskala bezeichnet, auf der sich ψ signifikant a¨ ndert. Dann ist

2 

 ψ|ˆ p |ψ = −~2 ψ|∇2 |ψ '

~2 L2

(1.3)

¨ (in Ubereinstimmung mit der Unsch¨arferelation Lp ' ~). Daraus folgt f¨ur die Energieeigenwerte des Elektrons: D E ˆ E(L) = ψ|H|ψ '

~2 Zq 2 − 2me L2 L

(1.4)

1

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

7

Gl. (1.4) wird minimiert bei Lmin = a0 /Z, wobei a0

≡ ≡ '

λe

≡

α

≡

~2 me q 2 λe 2πα 0.5 × 10−8 cm (Bohrradius) h (Comptonwellenl¨ange des Elektrons) me c q2 1 ' (Feinstrukturkonstante) ~c 137

(1.5)

An der Stelle Lmin ist die Energie Emin = −Z 2 a mit a

me q 4 2~2 1 2 α me c2 = 2 ' 13.6 eV (Rydberg-Energie) ≡

(1.6)

a0 und a entsprechen der Gr¨oße und Energie eines Wasserstoffatoms (Z = 1). Die Photonenwellenl¨ange, die a entspricht, ist λ

hc a 2λe = α2 ˚ ' 103 A =

(1.7)

und liegt im UV-Bereich. ˚ −1 . Bem.: Als Faustregel gilt: E/[1 eV] ≡ (λ/[12345 A]) Die atomare Bindungsenergie eines Festk¨orpers entsteht aus residualen elektromagnetischen Kr¨aften zwischen den Atomen und kann mit 0.1 . . . 1a abgesch¨atzt werden. Die Teilchenzahldichte eines Festk¨orpers ist n ∼ (2a0 )−3 ' 1024 cm−3 . 1.1.3

Molekulare Energieskalen

Betrachte ein zweiatomiges Molek¨ul mit Atomabstand ∼ a0 . Die reduzierte Masse der zwei Atomkerne sei µ ∼ mp . Es existieren zwei Freiheitsgrade und ihre entsprechenden Energieskalen: Schwingung: Bei einer Auslenkung von ∼ a0 ist die potentielle Energie ∼ a . Daraus ergibt sich die charakteristische Schwingungsfrequenz und -energie: a 2 ωosc ' µa20 Eosc ≡ ~ωosc  1/2 me ' a mp ' 0.25 eV (1.8)

1

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

8

mit a = ~2 /me a20 . Rotation: Mit dem Drehimpuls J ∼ ~ um die Verbindungsachse erh¨alt man die Rotationsenergie: J2 µa2  0  me ' a mp '

Erot

' 10−3 a ' 10−2 eV

(1.9)

¨ Die entsprechenden Wellenl¨angen von molekularen Uberg¨ angen liegen im infraroten Bereich. 1.1.4

Nukleare Energieskalen

Nukleonen werden durch die residuale starke Wechselwirkung mit einer Bindungsenergie von ∼ 8 MeV pro Nukleon zu Atomkernen gebunden. Um zwei Protonen in einer nuklearen Fusionsreaktion zu verbinden, m¨ussen sie sie in den Abstand ihrer ComptonWellenl¨ange λp ≡ h/mp c gebracht werden. Dabei muß die Coulombabstoßung vom Betrag q ' q 2 /l ' (α/2π)mp c2 ' 1 MeV

(1.10)

u¨ berwunden werden, welches der thermischen Energie bei 1010 K entspricht. Der quantenmechanische Tunnelprozess erlaubt jedoch schon Fusionsreaktionen, wenn die de Broglie-Wellenl¨angen der Protonen, λdB

h mp v c = λp v ≡

(1.11)

u¨ berlappen. Wegen q ' mp v 2 /2 ist v/c ∼ α/π und damit nuc '

α2 mp c2 ' 1 keV 2π 2

(1.12)

Man schreibt meistens nuc ' ηα2 mp c2 mit η ∼ 0.1. 1.1.5

Gravitationsenergie

In der Newtonschen Theorie der Gravitation ist die Gravitationsenergie eines Systems der Gr¨oße R und Masse M durch Gm2p N 2 GM 2 ' (1.13) Egrav ' R R gegeben, wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante ist. Bem.: Im Gegensatz zu den bisher eingef¨uhrten Bindungsenergien ist Egrav nicht extensiv, d.h. nicht proportional zur Teilchenzahl.

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

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9

Abbildung 1: Himmelsaufnahme der kosmischen Hintergrundstrahlung durch den WMAP-Satelliten. Die St¨orungen haben eine Amplitude von 10−5 .

Die Gravitationsenergie pro Teilchen lautet: grav

Egrav N  1/3 4π = Gm2p N 2/3 n1/3 3 ≡

(1.14)

mit der Teilchenzahldichte n ≡ 3N/4πR3 . Wird die Gravitationsenergie vergleichbar mit der Ruhemassenenergie aus Gl. (1.1), so m¨ussen Effekte der Allgemeinen Relativit¨atstheorie ber¨ucksichtigt werden. Da    R Egrav M (1.15) ' 0.7 Emass 1033 g 1 km sieht man, dass dies der Fall ist, wenn ein Objekt der Masse unserer Sonne auf einen Radius von ca. 1 km komprimiert wird.

1.2 1.2.1

Astrophysikalische Strukturen Das Universum

F¨ur die Physik auf sehr großen Skalen, d.h. bei sehr großen Abst¨anden, gelten eine Reihe praktischer Vereinfachungen: 1. Da alle anderen Kr¨afte entweder kurzreichweitig (starke/schwache WW) oder abgeschirmt (elektromagnetische WW) sind, dominiert allein die Gravitationswechselwirkung. 2. Die “K¨ornigkeit” der Materieverteilung kann vernachl¨assigt werden, so dass man die Materie als isotrope (keine ausgezeichnete Richtung) und homogene (kein ausgezeichneter Punkt) Fl¨ussigkeit betrachten kann (Abb. (1)). 3. Das gleiche gilt f¨ur die Geschwindigkeit der Materie, die von allen Orten aus gleich aussehen muss. Aus (3) folgt, dass v(t) = H(t)r

(1.16)

1

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

10

(v: Geschwindigkeitsvektor, r: Ortsvektor, t: Zeit). Die Funktion H(t) ist der Hubbleparameter, er hat die Einheit 1/Zeit. Da v = r˙ bekommt man durch Integration: r = a(t)x a˙ H(t) = a

(1.17)

a(t) ist der sog. Skalenfaktor des Universums. Die Koordinaten x sind zeitlich konstant f¨ur jeden Massepunkt – man kann sie sich als feste Markierungen von Galaxien vorstellen. Sie heißen “mitbewegte Koordinaten”. Alles Interessante steckt also in der Funktion a(t). Ihre Dynamik wird durch die Allgemeine Relativit¨atstheorie bestimmt, man kann sie aber auch (nat¨urlich mit Einschr¨ankungen) aus Newtonscher Sicht erkl¨aren. Die kinetische und potentielle Energie eines Massepunktes (Galaxie etc.) ist Ekin

= =

Epot

= = =

1 mv 2 2  2 a˙ 1 m a(t)2 x2 2 a GM m − r V ρ(t)Gm − r 4πGm − ρ(t) a(t)2 x2 3

(1.18)

innerhalb einer Kugel mit Radius r = a(t)x und mittlerer Dichte ρ(t). Nehmen wir an, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant ist: 1 2 4πG a˙ − ρ(t) a(t)2 = konstant 2 3

(1.19)

 2 a˙ 8πG k = ρ(t) − 2 a 3 a

(1.20)

oder H 2 (t) ≡

Gl. (1.20) heißt Friedmanngleichung und ist trotz der Newtonschen Herleitung auch in der ART g¨ultig, wenn ρ f¨ur die gesamte Energiedichte der Materie steht (nicht nur die Ruhemassendichte). In dimensionsloser Schreibweise lautet Gl. (1.20): Ω−1=

k H 2 a2

(1.21)

mit dem Dichteparameter: Ω≡

8πGρ 3H 2

(1.22)

Die Statistik der Mikrowellenhintergrund-Fluktuationen weist darauf hin, dass Ω ' 1 bzw. k ' 0. Aus Entfernungs- und Rotverschiebungsmessungen von ver¨anderlichen Sternen und Supernovae wissen wir durch Gl. (1.16), dass der heutige Hubbleparameter (t = t0 ) H0 ' 71

km s Mpc

(1.23)

1

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11

ist (1 Mpc ≈ 3 × 1024 cm, “Megaparsec”). Aus H0 erh¨alt man eine Zeit- und eine L¨angenskala. Die Zeitskala (“Hubblezeit”) ist eine grobe Absch¨atzung f¨ur das Alter des Universums: tH ∼ H0−1 ∼ 1010 Jahre (1.24) Die L¨angenskala ctH (“Hubblel¨ange”) entspricht ungef¨ahr der Strecke, die Licht seit t = 0 zur¨uckgelegt hat und begrenzt damit das der Beobachtung zug¨angliche Universum: lH ∼ cH0−1 ∼ 3000 Mpc

(1.25)

Die Anzahldichte n von (nichtrelativistischen) Teilchen mit Ruhemasse mc2  kT wird durch die kosmische Expansion im Verh¨altnis 1/V ∼ a−3 verd¨unnt. Das gleiche gilt deshalb f¨ur ihre Energiedichte, ρmat ∼ nmc2 . Bei masselosen bzw. ultrarelativistischen (mc2  kT ) Teilchen muss man zus¨atzlich beachten, dass ihre Wellenl¨ange λ im Verh¨altnis zu a gedehnt (“rotverschoben”) wird. Die Energiedichte ist deshalb ρrad ∼ nhc/λ ∼ a−4 . Da die Strahlungsenergiedichte ρrad ∼ T 4 ist, folgt, dass T ∼ a−1 . Dementsprechend (weil H > 0) war das Universum fr¨uher kleiner, dichter und heißer. Das ist der Ursprung des Wortes “Urknall”. Im sehr fr¨uhen Universum muss die Energiedichte von Strahlung dominiert gewesen sein. Man kann leicht absch¨atzen, ¨ wann der Ubergang von Strahlungs- zu Materiedominanz stattgefunden hat: • Heute misst man eine thermische kosmische Hintergrundstrahlung mit T ∼ 2.7 K (Abb. (1)); das entspricht der Energiedichte ρrad (t0 ) ∼ 5.7 × 10−13 erg/cm3 bzw. der Massendichte ρrad /c2 ∼ 5.7 × 10−34 g/cm3 . • Die heutige Massendichte ist ρmat (t0 ) ∼ 10−30 g/cm3 ∼ 1.7 × 103 ρrad /c2 . • Aus ρmat /ρrad ∼ a ∼ T −1 folgt, dass Materie begann, u¨ ber Strahlung zu dominieren, als das Universum um den Faktor ∼ 1.7 × 103 kleiner und heißer war als heute. Die Gr¨oße des Universums zur Zeit t relativ zur heutigen wird oft direkt durch die Rotverschiebung z der damals ausgesandten Strahlung ausgedr¨uckt: 1+z ≡

λ0 a0 = λt a(t)

(1.26)

Betrachten wir jetzt die Zeitentwicklung von a. Wir wissen heute, dass die Konstante k in Gl. (1.20) sehr klein bzw. = 0 ist. Mit ρ ∼ a−3 in der materiedominierten Phase liefert Gl. (1.20):  a(t) =

t t0

2/3 ,

t0 = (6πGρ0 )−1/2

(1.27)

wenn a0 = a(t0 ) ≡ 1. Nat¨urlich ist das Universum nicht v¨ollig homogen, denn auf kleinen Skalen existieren Strukturen wie Galaxien, Galaxienhaufen usw. Sie sind nach heutiger Meinung durch den Kollaps kleiner Dichtest¨orungen in der kosmischen Fl¨ussigkeit entstanden (Abb. (1)). Um zu sehen, wie diese St¨orungen in der materiedominierten Phase (ρ ∼ a−3 ) anwachsen, schreiben wir Gl. (1.20) um, indem wir beide Seiten nach der Zeit ableiten und ausn¨utzen, dass ρ˙ = −3Hρ. Ein paar Umformungen ergeben: 4πGρa  3  2 1 = − 2 9t0 a2

a ¨ = −

(1.28)

1

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12

Jetzt f¨uhren wir kleine St¨orungen des Skalenfaktors ein indem wir a durch a + δa ersetzen und linear in δa entwickeln:   d2 (δa) 4 δa = 2 2 dt 9t0 a3 4 δa = (1.29) 9 t2 Gl. (1.29) hat die anwachsende L¨osung δa ∝ t4/3 ∝ a2 . Die entsprechenden Dichtest¨orungen verhalten sich wie   δρ δa = −3 ρ a (1.30) ∝ a Sie wachsen also mit der Zeit an. Diese St¨orungen sind nichts anderes als Potentialmulden der Gravitationsenergie. Eine St¨orung mit der Gr¨oße R und Amplitude δρ entspricht dem Gravitationspotential (∇2 φ ∼ R−2 φ ∼ δρ): φ ∝ R2 δρ ∝ a2 ρ a ∝ const

(1.31)

wegen ρ ∝ a−3 f¨ur Materie. Das Gravitationspotential der St¨orungen ist also zeitlich konstant. Wir k¨onnen es deshalb mit Hilfe der gemessenen Geschwindigkeitsdispersion in Galaxienhaufen, vcluster ∼ 103 km/s, absch¨atzen: φ'

GM 2 ' vcluster R

(1.32)

Da Photonen, die aus einer Potentialmulde herausklettern, Energie verlieren (Gravitationsrotverschiebung), wirken sich die St¨orungen auf die Temperatur der oben erw¨ahnten kosmischen Hintergrundstrahlung aus: δT T

δν ν φ ' c2 v 2 cluster ' c ' 10−5 '

(1.33)

Diese Temperaturst¨orungen werden tats¨achlich beobachtet, siehe Abb. (1). Wenn die Dichtest¨orungen ausreichend groß sind, kollabieren sie durch ihre eigene Schwerkraft und werden zu gebundenen Systemen. Der Kollaps wird erst aufgehalten, wenn das Gas nicht mehr schnell genug k¨uhlen kann und einen Gegendruck aufbaut. Dies signalisiert die Entstehung von Galaxien. 1.2.2

Galaxien

Der dominante K¨uhlprozess im jungen Universum ist die thermische Bremsstrahlung von Elektronen, die im Coulombfeld von Protonen gestreut werden. Die die Abh¨angigkeit der Energieverlustrate von der Dichte, Temperatur usw. des Plasmas kann man einfach absch¨atzen:

1

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13

• Als Zweiteilchenprozess ist sie proportional zu n2 (n: Teilchenzahldichte). • Jeder Streuprozess dauert eine Zeit ∼ v −1 ∝ (kT )−1/2 . • Die Energie, die von allen streuenden Elektronen abgestrahlt wird, liefert einen weiteren Faktor kT . Zusammen ergibt das die Abh¨angigkeit ˙ ∝ n2 (kT )1/2

(1.34)

Daraus ergibt sich die charakteristische K¨uhlzeit tcool

∼

 ˙

∝

nkT n2 (kT )1/2

= n−1 (kT )1/2

(1.35)

Diese m¨ussen wir mit der Kollaps- oder Freifallzeit einer Gaswolke mit Radius R und Masse M vergleichen. Die einzige Gr¨oße mit der Einheit Zeit, die man aus R, M und G bilden kann, ist  tgrav ∼

GM R3

−1/2 (1.36)

Nur Systeme mit tcool < tgrav k¨onnen kollabieren, ohne dass sich ein thermischer Gegendruck aufbaut. Das entspricht einer Forderung an den Radius, R < Rg . Setzen wir tcool ≈ tgrav und l¨osen nach R auf, finden wir (mit Hilfe von M ∝ nmp R3 und Etherm ∼ Epot kT ∼ GM mp /R), dass Rg nur noch von Naturkonstanten und nicht von n oder T abh¨angt. Ber¨ucksichtigung aller Koeffizienten liefert: Rg

 1/2   α 3 mp λe ' αG me 2π ' 74 kpc

(1.37)

wobei wir die Gravitations-Feinstrukturkonstante αG = Gm2p /~c ' 6 × 10−39 eingef¨uhrt haben. Nehmen wir außerdem an, dass die Temperatur der kollabierenden Wolken nach unten durch das Ionisationspotential begrenzt ist (sonst k¨onnen sie nicht mehr k¨uhlen), also kT ' GM mp /R > α2 me c2 , finden wir die entsprechende Massenskala M > Mg : Mg

'

α5 2 αG



mp me

1/2

' 3 × 1044 g

mp (1.38)

Man lernt daraus folgendes: • Systeme mit R ' 70 kpc und M ' 1044 g ' 1011 M (M ' 1033 g ist eine Sonnenmasse) k¨onnen effizient k¨uhlen und fragmentieren. Das sind typische Galaxienmassen. • Nachdem das Gas langsam weitergek¨uhlt hat, erreicht es einen endg¨ultigen Radius im Bereich ∼ 10 - 20 kpc, der typischen Ausdehnung großer Galaxien. • Das ergibt eine Dichte von ρgal ∼ 10−25 g/cm3 , also ca. 105 mal gr¨oßer als die heutige mittlere Dichte des Universums.

1

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

14

• Angenommen, die Gaswolken kollabierten, als δρ ∼ 100¯ ρ. Dann war die mittlere Dichte damals ca. 1000 ρ0 bzw. der Skalenfaktor war um den Faktor 10 kleiner. Das entspricht der Rotverschiebung zgal ∼ 9, bei der der Großteil der Galaxienentstehung stattgefunden hat. • Wenn die kollabierenden Gebiete damals dicht gepackt waren, d.h. ihre Zentren ca. 150 kpc voneinander entfernt waren, haben sie jetzt typische Abst¨ande von 150(1 + z)kpc ∼ 1.5 Mpc. Das entspricht tats¨achlich dem charakteristischen Abstand großer Galaxien. • Gr¨oßere gravitativ gebundene Systeme wie Galaxienhaufen (R ∼ 10 Mpc, M ∼ 1047 g) existieren, k¨onnen aber noch nicht vollst¨andig abgek¨uhlt sein (T ∼ GM mp /Rk ∼ 4 × 107 K). Ihre (baryonische) Hauptkomponente ist daher weiterhin heißes Plasma. 1.2.3

Planeten und Sterne

Die kleinsten Strukturen des Universums werden durch atomare Bindungskr¨afte zusammengehalten, gr¨oßere durch ihre Eigengravitation. Die gr¨oßten Planeten liegen ungef¨ahr an der Grenze dieser Regimes, was uns erlaubt, ihre Masse abzusch¨atzen. Die atomare und gravitative Bindungsenergie pro Teilchen mit mittlerem Abstand a0 ∼ 10−8 cm (vgl. Gl. (1.5)) −3 ist (mit n = a−3 ): 0 = NR a

∼

grav

∼

q2 ∼ q 2 n1/3 a0 GN m2p ∼ GN 2/3 n1/3 m2p R

(1.39)

(vgl. Gl. (1.6) und Gl. (1.14)). Sie sind vergleichbar groß, wenn  N ∼ NG

≡

α αG

3/2

∼ 1054

(1.40)

mit α und αG wie in Gl. (1.37). Das ergibt eine typische Masse Mplanet ∼ NG mp ∼ 1030 g und einen typischen Radius Rplanet ∼ N 1/3 a0 ∼ 1010 cm und entspricht in etwa den Maßen von Jupiter. Bem.: Ersetzt man in Gl. (1.40) α durch die Feinstrukturkonstante der starken Wechselwirkung, αs ∼ 100α, findet man:  3/2 αs Ns ∼ ∼ 1057 αG Ms

∼ Ns mp ∼ 1033 g

Rs

∼ Ns1/3 as0 ∼ 106 cm

(1.41)

mit as0 ∼ 10−5 a0 , also einen Neutronenstern. Bei gr¨oßeren Massen (Sterne) passt sich die Dichteverteilung dem hydrostatischen Gleichgewicht an, d.h. der thermische (oder Entartungs-) Druckgradient kompensiert die Gravitationskraft. Bei kleineren Massen (Planeten, Kometen usw.) ist die Gravitation strukturell vernachl¨assigbar und die Dichte nahezu konstant, so dass M ∝ R3 .

1

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

15

Sterne k¨onnen im Zentrum Energie durch Kernfusion erzeugen. Die Fusion von H zu He ist m¨oglich, wenn kT & nuc ∼ ηα2 mp c2 mit η ∼ 0.1, vgl. Gl. (1.12). Ist der Stern ausreichend groß (massereich), kontrahiert er aufgrund seiner W¨armeabstrahlung solange, bis er im Zentrum die n¨otige Temperatur zur Kernfusion erreicht hat. Ist der Stern allerdings zu klein, verhindert der Druck entarteter Elektronen im Zentrum einen weiteren Temperaturanstieg. Diese Grenzmasse zwischen richtigen “brennenden” Sternen und sog. Braunen Zwergen k¨onnen wir absch¨atzen, indem wir die Gravitations- und Fermienergie miteinander vergleichen. Die (nichtrelativistische) Entartungsenergie pro Teilchen wird durch die Fermienergie gegeben: F =

~2 (3π 2 n)2/3 2me

(1.42)

Hydrostatisches Gleichgewicht bedeutet in diesem Fall grav ∼ F (vgl. Gl. (1.39)). Diese Beziehung k¨onnen wir ben¨utzen, um n aus der gleichzeitigen Bedingung kT ∼ grav & nuc zu eliminieren. Daraus folgt wieder eine Bedingung an die Teilchenzahl, N > N∗ mit N∗

∼ (2η)3/4 (3π 2 )1/2



mp me

3/4 

α αG

3/2

∼ 4 × 1056

(1.43)

Die zugeh¨orige Masse ist M∗ = N∗ mp ∼ 4 × 1032 g und entspricht ungef¨ahr der Masse der kleinsten Sterne. Unsere Sonne, wie oben erw¨ahnt, hat die Masse M ∼ 2 × 1033 g. Der Vergleich mit Mg aus Gl. (1.38) zeigt, dass die die typische Zahl von Sternen in einer Galaxie durch Naturkonstanten abgesch¨atzt werden kann: Ns =

Mg M∗

 =

α7 αG

1/2 

me mp

1/4

' 1012

(1.44) −1/3

Der typische Abstand zweier Sterne in einer Galaxie ist d∗ ∼ Rg Ns sie f¨ur fast alle Zwecke als Punktquellen. 1.2.4

∼ 1 pc. In dieser Entfernung erscheinen

Zusammenfassung

Universum: • Hubblezeit (Alter des Universums): tH = H −1 ∼ 1010 Jahre • Hubbleradius (Gr¨oße des beobachtbaren Universums): lH = ctH ∼ 3000 Mpc ¨ • Rotverschiebung des Strahlungs-Materie-Ubergangs: z ∼ 1000 Galaxien: • Skalenvergleich: tcool ∼ tgrav • charakteristischer Radius bei Entstehung: RG ∼ 70 kpc; endg¨ultiger Radius nach weiterer K¨uhlung ∼ 10 - 20 kpc • charakteristische Masse: MG ∼ 1044 g • charakteristischer Abstand heute: ∼ 1.5 Mpc

1

¨ ASTROPHYSIK IN GROSSENORDNUNGEN

Jupiter¨ahnliche Planeten: • Skalenvergleich: a ∼ grav • charakteristische Masse: ∼ 1030 g • charakteristischer Radius: ∼ 1010 cm Kleinste Sterne: • Skalenvergleich: F ∼ nuc ∼ grav • charakteristische Masse: ∼ 1032 g • Anzahl der Sterne in einer Galaxie: ∼ 1012 • Abstand zwischen Sternen innerhalb einer Galaxie: ∼ 1 pc Astronomische Konstanten: Sonnenmasse Sonnenradius Sonnenleuchtkraft Sonneneffektivtemperatur Erdmasse Erdradius Lichtjahr Parsek

1 M 1 R 1 L T 1 M⊕ 1 R⊕ 1 ly 1 pc

Astronomische Einheit (Siderisches) Jahr

1 AU 1y

= = = = = = = = = = = '

1.989 × 1033 g 6.9599 × 1010 cm 3.826 × 1033 erg s−1 5770 K 5.974 × 1027 g 6.378 × 108 cm 9.4605 × 1017 cm 3.0857 × 1018 cm 3.2616 ly 1.4960 × 1013 cm 3.155815 × 107 s π × 107 s

16

2

17

MATERIE UND STRAHLUNG

2

Materie und Strahlung

2.1

Allgemeines

Wir erhalten Informationen u¨ ber astrophysikalische Prozesse im Wesentlichen durch die Detektion von Strahlung mit Hilfe von Teleskopen, Satelliten oder Teilchendetektoren. 2.1.1

Beobachtungsgr¨oßen

Allgemeine beobachtbare Eigenschaften von astronomischen Strahlungsquellen: 1. Himmelsposition. 2. Helligkeit bzw. gesamter Strahlungsfluss. 3. Spektrum, d.h. Strahlungsfluss als Funktion der Wellenl¨ange bzw. Energie. 4. Zeitverlauf der Helligkeit. 5. Bei ausgedehnten Quellen (Galaxien, Galaxienhaufen): r¨aumliche Struktur bzw. Morphologie. 2.1.2

Teilchen mit und ohne Ruhemasse

Die Energie eines Teilchens ist E

p p2 c2 + m2 c4 p2 + ... = mc2 + 2m =

f¨ur v  c

(2.1)

Dabei ist • c = 2.9979 × 1010 cm/s: die Lichtgeschwindigkeit • m: die Ruhemasse. F¨ur Photonen ist m = 0. • p = |p|: Betrag des Impulses p = γmv (m > 0) bzw. p = ~k (m = 0). γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 ist der Lorentzfaktor. Obwohl es keinen strikten Unterschied zwischen Materie und Strahlung gibt, ben¨utzen wir den Begriff “Materie” in der Regel f¨ur nichtrelativistische Teilchen (v  c) w¨ahrend “Strahlung” f¨ur ultrarelativistische Teilchen (v ' c) verwendet wird. Photonen mit m = 0, also elektromagnetische Strahlung, sind in der Astronomie die wichtigsten Informationstr¨ager. Weitere Strahlungsarten mit astronomischer Relevanz sind Neutrinos, hochenergetische kosmische Teilchen und Gravitationswellen. Elektromagnetische Strahlung kann auf zwei Weisen betrachtet werden: Klassische Betrachtung: Elektromagnetische Wellen sind L¨osungen der Maxwellgleichungen. Die Quellen sind beschleunigte Ladungen. Zusammenhang zwischen Wellenl¨ange λ und Frequenz ν: λν = c

(2.2)

(z.B. λ = 1 m ≡ ν = 300 MHz). Je gr¨oßer die Wellenl¨ange, desto besser ist generell die klassische N¨aherung (diese etwas schwammige Aussage wird sp¨ater konkretisiert werden).

2

18

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 2: Durchl¨assigkeit der Erdatmosph¨are f¨ur elektromagnetische Strahlung.

Quantentheoretische Betrachtung: Gas aus Photonen = masselosen Austauschteilchen der elektromagnetischen Kraft. F¨ur die Energie von Photonen gilt: E

2.1.3

= ~|k|c = ~ω = hν hc = λ

,

h = 6.6261 × 10−27 cm2 g/s (Plancksche Konstante) (2.3)

Durchl¨assigkeit der Erdatmosph¨are

Die Erdatmosph¨are ist nur in bestimmten Wellenl¨angenbereichen f¨ur elektromagnetische Strahlung durchl¨assig (Abb. (2)): Radiofenster: λ ∼ einige mm bis ca. 50 m. Abschirmung durch die Ionosph¨are bei gr¨oßeren Wellenl¨angen: die Elektronendichte durch Sonneneinstrahlung folgt aus dem Gleichsetzen von Ionisations- und Rekombinationsrate und liefert ne ∼ 4 × 105 cm−3 . Die entsprechende Plasmafrequenz und -wellenl¨ange ist:  2 1/2 q ne νplasma = πm ' 6 MHz λ ' 50 m

(2.4)

Bei kleineren Frequenzen (gr¨oßeren Wellenl¨angen) gleichen die Elektronen des Plasmas das elektrische Feld der Strahlung aus, so dass keine elektromagnetischen Wellen propagieren k¨onnen. Infrarotfenster: λ ∼ 10µm bis ca. 1 mm. Absorption durch Molek¨ulbanden (H2 O, CO2 , O3 , . . . ). Mehrere Fenster im nahen IR. ˚ bis ca. 20000 A ˚ (sichtbarer Bereich: 3800 A ˚ – 7500 A). ˚ Optisches Fenster: λ ∼ 3000 A ˚ Fast vollst¨andige Absorption durch O3 (Ozon), sowie O, O2 , N2 . BeobachUV, R¨ontgen, Gamma: λ . 3000 A. tung nur durch Satelliten.

2.2

Astrophysikalische Strahlungsquellen

Die folgenden Quellen sind Beispiele f¨ur die Vielfalt an astronomischen Objekten, von denen wir Strahlung empfangen.

2

MATERIE UND STRAHLUNG

2.2.1

19

Radio

Bereich: λ ' 3 cm . . . 10 m ν ' 3 × 107 . . . 1010 Hz T ' 10−3 . . . 0.5 K Diskrete Quellen: ¨ Supernova-Uberreste, Radiogalaxien, Quasare, etc. Emission haupts¨achlich durch Synchrotronstrahlung. HII-Regionen in der N¨ahe massiver Sterne: Emission durch thermische Bremsstrahlung. H-Wolken (neu¨ traler Wasserstoff): 21-cm-Linie durch Hyperfein-Ubergang. Gebr¨auchliche Einheit f¨ur den Strahlungsfluss im Radiobereich (vgl. Kap. (2.5.1)): 1 Jansky = 1 Jy ≡ 10−26 W m−2 sr−1 Hz−1 . Diffuser Hintergrund: Galaktische Scheibe, Halo, unaufgel¨oste extragalaktische Quellen. 2.2.2

Mikrowellen und Submillimeter

Bereich: λ ' 0.02 . . . 3 cm ν ' 1010 . . . 3 × 1012 Hz T ' 0.5 . . . 300 K Diskrete Quellen: Staubwolken, Quasare, etc. Diffuser Hintergrund: Kosmischer Mikrowellenhintergrund, T ' 2.73 K. Vgl. Kap. (1.2.1). 2.2.3

Infrarot

Bereich: ˚ . . 0.02 cm λ ' 8000 A. ν ' 3 × 1012 . . . 1014 Hz T ' 300 . . . 4000 K Diskrete Quellen: Heiße Staubwolken, Sternentstehungsgebiete, etc. Emission u.a. durch molekulare Prozesse. Diffuser Hintergrund: Interstellarer und interplanetarischer Staub, galaktische Scheibe, rotverschobener Beitrag der Epoche der Galaxienentstehung. 2.2.4

Optisch und Ultraviolet

Bereich: ˚ λ ' 100 . . . 8000 A 14 ν ' 10 . . . 3 × 1016 Hz T ' 4000 . . . 3 × 104 K Diskrete Quellen: Sterne, Galaxien, Quasare. Ca. 1010 Quellen. Atomare Emissionsprozesse.

2

20

MATERIE UND STRAHLUNG

Diffuser Hintergrund: Unaufgel¨oste Sterne und Galaxien, R¨uckstreuung durch interstellares Gas. 2.2.5

R¨ontgen und Gamma

Bereich: ˚ λ ' . . . 100 A E ' 0.12 keV . . . T ' 3 × 104 K . . . Diskrete Quellen (R¨ontgen): ¨ Galaktisch: Supernova-Uberreste (SNR), akkretierende Bin¨arsysteme (Akkretion auf Weißen Zwerg, Neutronenstern oder Schwarzes Loch). Extragalaktisch: Quasare, intergalaktisches Gas in Galaxienhaufen. Emissionsprozesse: nuklearer Zerfall (z.B. SNR), thermisch (z.B. Akkretion), thermische Bremsstrahlung (Haufengas). Diskrete Quellen (Gamma): Keine thermischen Quellen. Nichtthermische Emission z.B. durch inverse Comptonstreuung in akkretierenden Systemen (Bin¨arsysteme, Quasare) und nukleare Prozesse. Diffuser Hintergrund: Intergalaktisches Plasma (T ∼ 109 K R¨ontgen), Wechselwirkungen von hochenergetischer kosmischer Strahlung mit interstellarem Medium (Gamma), unaufgel¨oste Punktquellen, Zerfall von 26 Al (1.8 MeV).

2.3

Freie Teilchen im thermischen Gleichgewicht

Wir betrachten jetzt ein Gas freier Teilchen, die durch St¨oße miteinander in Kontakt stehen. 2.3.1

Dichte, Druck und Energiedichte

Die Verteilungsfunktion ist die Anzahl von Teilchen dN im 6-dimensionalen Phasenraumelement d3 xd3 p: dN = f (x, p, t) d3 xd3 p

(2.5)

Aus f kann man folgende thermodynamischen Gr¨oßen berechnen (wir nehmen an, dass f im Impulsraum isotrop ist): Dichte:

Z∞ ρ(x) = mn(x) ≡ m

f (p) 4πp2 dp

(2.6)

0

Druck: Impuls¨ubertrag dp auf die Fl¨ache L2 pro Zeitintervall dt: P (x) ≡ =

1 dhpi L2 dt Z∞ 1 p vf (p) 4πp2 dp 3 0

weil vf L2 dt Teilchen w¨ahrend dt die Fl¨ache L2 durchstr¨omen.

(2.7)

2

21

MATERIE UND STRAHLUNG

Energiedichte: Z∞ e ≡

E(p) f (p) 4πp2 dp

0

≡ ρc2 + ρ

(wenn m 6= 0)

(2.8)

wobei wir  als spezifische innere Energie eingef¨uhrt haben. F¨ur nichtrelativistische Teilchen wird aus Gl. (2.8) mit Gl. (2.1): Z∞ ρ =

p2 f (p) 4πp2 dp 2m

(innere Energiedichte)

0

Z∞

=

1 2

=

3 P 2

pv f (p) 4πp2 dp

0

(2.9)

F¨ur ultrarelativistische Teilchen bzw. Photonen ist E = pc. Gl. (2.8) und Gl. (2.7) ergeben: Z∞ erad

=

pc f (p) 4πp2 dp

0

= 2.3.2

3Prad

(2.10)

Gleichgewichtsverteilungen

Das thermische Gleichgewicht (der Zustand, der die Entropiedichte maximiert) wird durch die Temperatur T gekennzeichnet. Im thermischen Gleichgewicht findet man die Verteilungsfunktion z.B. aus dem großkanonischen Ensemble (Landau & Lifschitz V): fT =

gs 1   h3 exp E−µ ± 1 kT

(2.11)

(k = 1.3807 × 10−16 erg/K: Boltzmannkonstante, gs : Spinentartungsfaktor, µ: chemisches Potential, “+” f¨ur Fermionen, “-” f¨ur Bosonen). Das chemische Potential µ wird bei gegebener Teilchenzahlerhaltung (mc2  kT ) durch Z n = fT d3 p = const (2.12) festgelegt (vgl. Gl. (2.6)). F¨ur Photonen ist µ = 0. Der Entartungsparameter η = µ/kT zeigt, ob das Gas entartet (η  1) oder nichtentartet (η  −1) ist. Wir wenden uns zuerst dem nichtentarteten Fall zu.

2

22

MATERIE UND STRAHLUNG

2.3.3

Nichtentartetes, nichtrelativistisches Gas

Wenn η  −1 ist der Exponentialfaktor in Gl. (2.11)  1 und damit:   Ek (p) − µ gs fT = 3 exp − h kT

(2.13)

mit Ek (p) = p2 /2m (Gl. (2.1); wir absorbieren mc2 in µ → µ − mc2 ). Gl. (2.12) liefert n

= =

gs (2πmkT )3/2 eη h3 gs η h e , λT ≡ √ 3 λT 2πmkT

(2.14)

λT ist die thermische Wellenl¨ange. Sie ist proportional zur de Broglie-Wellenl¨ange λdB = h/mv eines Teilchens im thermischen Gleichgewicht (kT ∼ mv 2 ). Damit folgt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung (MB):   n p2 fT = exp − 2mkT (2πmkT )3/2

(2.15)

Mit Gl. (2.15) k¨onnen wir die kinetische Energiedichte aus Gl. (2.9) ausrechnen: ρ =

3 nkT 2

(2.16)

Man kann sich den Begriff der Entartung veranschaulichen, indem man den mittleren Abstand der Teilchen, r = n−1/3 , mit der thermischen Wellenl¨ange λT vergleicht. F¨ur η  −1 gilt Gl. (2.14), so dass nach ein paar Umformungen:   λT η ∼ 3 ln (2.17) r η  −1 und damit fehlende Entartung ist gleichbedeutend mit λT  r. Wenn der mittlere Teilchenabstand viel gr¨oßer ist als die thermische Wellenl¨ange der Teilchen, kann man sie wie klassische Teilchen behandeln. Bem.: Fehlende Entartung ⇔ T groß, ρ klein.

2.3.4

Entartetes nichtrelativistisches Fermionengas

Die einzigen in der Astrophyik relevanten entarteten Gase sind fermionisch (Elektronen und Neutronen). Sie werden durch die Fermi-Dirac-Verteilung (FD) beschrieben: fT =

gs 1   h3 exp E−µ + 1 kT

Wenn η  1 wird Gl. (2.18) n¨aherungsweise zur Stufenfunktion (eine Konsequenz des Pauli-Prinzips):  1 , E k . EF ∼ µ fT → 0 , E k & EF

(2.18)

(2.19)

2

23

MATERIE UND STRAHLUNG

√ EF ist die Fermienergie, der entsprechende Impuls pF = 2mEF der Fermiimpuls. Sie markieren die Obergrenze der besetzten Zust¨ande. Mit Gl. (2.12) findet man in diesem Grenzfall, bis auf ein paar Vorfaktoren, dass n ∝ (2πmkT η)3/2 Damit ist  η∝

λT r

(2.20)

2 (2.21)

und η  1 wenn λT  r. Die Quanteneigenschaften der Teilchen k¨onnen im entarteten Fall nicht vernachl¨assigt werden. Der Fermiimpuls als Funktion der Dichte ist definiert durch Gl. (2.6): ρ

=

mgs h3

ZpF

4πp2 dp

0

pF

4πmgs 3 = pF 3h3 1/3  3 ρ1/3 = h 4πmgs

(2.22)

Der Druck eines entarteten nichtrelativistischen Fermigases folgt aus Gl. (2.7): P

=

ZpF

4πgs 3mh3

p4 dp

0

4πgs 5 p = 15mh3 F ∝ ρ5/3

(2.23)

In hochrelativistisch entarteten Gasen ist der Druck P

=

4πgs 3h3

ZpF

p3 c dp

0

πgs 4 = p 3h3 F ∝ ρ4/3

(2.24)

In der Astrophysik sind: • Hauptreihensterne (z.B. Sonne): nichtentartet, nichtrelativistisch

MB

• Weiße Zwerge: Ionen MB, Elektronen nichtrelativistisch entartet

FD

• Neutronensterne: Neutronen nichtrelativistisch entartet

FD

Wie wir sp¨ater sehen werden, f¨uhrt relativistische Entartung zu hydrostatischer Instabilit¨at und damit zur ChandrasekharGrenzmasse.

2

24

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 3: Spektrum der kosmischen Hintergrundstrahlung, aufgenommen vom COBE-Satelliten. Es ist das beste gemessene Planckspektrum u¨ berhaupt.

2.3.5

Ultrarelativistisches Gas

Wenn mc2  kT (z.B. Photonen) ist die Teilchenzahl nicht erhalten lung: fT =

gs h3 exp

1 E kT




−1

µ = 0. Gl. (2.11) wird zur Planckvertei-

(2.25)

Im speziellen Fall von Photonen ist gs = 2 (Polarisationszust¨ande) und E = pc = hν. Aus Gl. (2.8) und Gl. (2.25) folgt die Energiedichte:  2   Z hν h erad = hνfT 4π dν c c Z 4π 1 2hν 3
dν = hν c c2 exp kT −1 Z 4π ≡ Bν (T ) dν c 4 = σT 4 , σ = 5.67 × 10−8 W m−2 K−4 c (2.26) = a T 4, a = 7.566 × 10−15 erg cm−3 K−4 Die letzten zwei Zeilen sind das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Die Funktion Bν (T ) ist das bekannte Planckspektrum, das – unabh¨angig von der chemischen Zusammensetzung des strahlenden Materials – die spektrale Energiedichte eines thermischen Strahlers charakterisiert: Bν (T ) =

2hν 3 c2 exp

1 hν kT




−1

(2.27)

Thermische Strahlung wird aus historischen Gr¨unden auch “Hohlraum-” oder “Schwarzk¨orperstrahlung” genannt. Das beste gemessene Planckspektrum ist das Spektrum der kosmischen Hintergrundstrahlung (Abb. (3)).

2

25

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 4: Planckspektrum in logarithmischer Form f¨ur verschiedene Temperaturen. Beachte, dass die Kurven sich nicht u¨ berschneiden, weshalb die Messung von Bν bei einer festen Frequenz die Temperatur eindeutig festlegt.

Eigenschaften des Planckspektrums (vgl. Abb. (4)): • Bei hohen Frequenzen (hν  kT ) hat Gl. (2.27) die Form Bν (T ) '

  2hν 3 hν exp − c2 kT

(2.28)

(Wiensche N¨aherung). • Bei niedrigen Frequenzen (hν  kT ) hat Gl. (2.27) die Form Bν (T ) '

2ν 2 kT c2

(2.29)

(Raleigh-Jeans-N¨aherung). • Das Maximum von Bν verschiebt sich mit wachsender Temperatur zu h¨oheren Frequenzen (kleineren Wellenl¨angen). F¨ur die Wellenl¨ange am Maximum gilt das Wiensche Verschiebungsgesetz: λmax T = 0.2897 cm K

(2.30)

2

26

MATERIE UND STRAHLUNG

Wir k¨onnen jetzt – zumindest aus statistischer Sicht – konkretisieren, wann Photonen sich eher als Welle oder als Teilchen verhalten: • Ist hν  kT , folgt aus Gl. (2.25) die Besetzungszahl nν ≡ h3 fT /gs ' kT /hν, entsprechend der klassiP schen Erwartung, dass jede Polarisationsmode die Energie Eν = kT /2 beitr¨agt und nν = Eν /hν. • Ist hν  kT , folgt aus Gl. (2.25) die Besetzungszahl nν ' exp[−hν/kT ], entsprechend der MB-Verteilung f¨ur nichtentartete Teilchen (wegen nν  1). Folglich u¨ berwiegt f¨ur hν  kT der Teilchencharakter und f¨ur hν  kT der Wellencharakter von Photonen. 2.3.6

Zusammenfassung: Zustandsgleichungen

Die Zustandsgleichung liefert den Zusammenhang zwischen dem Druck P , der Dichte ρ (oder n), der Energiedichte e bzw. ρ und der Temperatur T . Alle Aussagen beziehen sich auf ideale Gase, d.h. freie, punktf¨ormige Teilchen, die nur durch kurzreichweitige St¨oße wechselwirken. Nichtentartet, nichtrelativistisch: (Gl. (2.9),Gl. (2.16)) P

2 ρ 3 = nkT ρ = kT µa mp =

,

µa : mittleres Atomgewicht

(2.31)

Nichtrelativistisch entartete Fermionen: (Gl. (2.9),Gl. (2.23)) P

2 ρ 3 = A1 ρ5/3

=

(2.32)

Hochrelativistisch entartete Fermionen: (Gl. (2.10),Gl. (2.24)) P

1 e 3 = A2 ρ4/3 =

(2.33)

Die Faktoren A1 und A2 sind f¨ur Elektronen und Neutronen verschieden, weil sie die Ruhemasse m enthalten. Ultrarelativistische Bosonen, Photonen: (Gl. (2.10), Gl. (2.26)) P

= =

1 e 3 4 σT 4 3c

(2.34)

Allgemein lassen sich die ersten Zeilen von Gl. (2.31) – Gl. (2.34) als P = (Γ − 1)(e − ρc2 ) schreiben, wobei Γ der jeweilige Adiabatenindex ist.

(2.35)

2

27

MATERIE UND STRAHLUNG

2.4

Astrophysikalische Strahlungsprozesse

Durch die Beobachtung des Strahlungsspektrums kann man auf die Entstehungs- und Propagationsprozesse zur¨uckschließen. Man unterscheidet, je nach Art der Wechselwirkung der Photonen mit gebundenen oder ungebundenen Elektronen: Absorption, Emission (spontan oder stimuliert) oder Streuung, jeweils mit diskretem (gebunden-gebunden) oder kontinuierichem Spektrum. Die Wechselwirkungsrate kann mit Hilfe des Streu- oder Wirkungsquerschnitts σ(E) berechnet werden. Er wird allgemein durch die Gr¨oße σ(E) ≡

Anzahl der Reaktionen/Teilchen/Zeit Anzahl der einfallenden Teilchen/Fl¨ache/Zeit

(2.36)

definiert und hat die Einheit [Fl¨ache]; seine Gr¨oßenordnung ist z.B. f¨ur ein Wasserstoffatom σ ' π(2a0 )2 ' 3.5 × 10−16 cm2 . Die charakteristische Distanz, die ein Teilchen zwischen zwei Reaktionen oder Streuprozessen zur¨ucklegt, ist die mittlere freie Wegl¨ange lmfp ≡ 1/nσ. Bem.: Wir verwenden σ je nach Zusammenhang f¨ur den Streuquerschnitt, die Stefan-Boltzmann-Konstante (vgl. Gl. (2.26)) oder ein Fl¨achenelement im Strahlungsstrom. Die jeweilige Interpretation wird dem Leser als Denksportaufgabe u¨ berlassen.

2.4.1

Atomare und molekulare Prozesse

gebunden↔gebunden: Strahlung mit diskreten Frequenzwerten ν (“Linien”), deren Energie E nach Gl. (2.3) durch den Energieunterschied zweier gebundener Zust¨ande – also solcher mit negativer Energie – von H¨ullenelektronen (Atome, Ionen) oder Rotations- bzw. Schwingungszust¨ande (Molek¨ule) gegeben ist. Man unterscheidet Absorption, spontane und stimulierte Emission, je nachdem, ob die Energie des Endzustands h¨oher oder niedriger als die des Anfangszustands ist. Vgl. Abb. (5). Das h¨aufigste Element im Universum ist der Wasserstoff. Seine atomaren Elektronenzust¨ande haben die Energieeigenwerte: q2 Z 2 En = − (2.37) 2a0 n2 Sie sind durch die Drehimpulszust¨ande entartet: gn = 2

n−1 X

(2l + 1) = 2n2

(2.38)

l=0

Die Balmer-Linien Hα , Hβ , Hγ usw. sind definiert durch n = 2 → n = 3, 4, . . . . Vgl. Abb. (6). ¨ Molekulare Uberg¨ ange sind u.a. im interstellaren Medium und in kalten Sternatmosph¨aren relevant. Sie erfolgen zwischen Schwingungszust¨anden (nahes IR) oder Rotationszust¨anden (sub-mm, mm, Radio). Die An- und Abregung der Elektronen- oder Molek¨ulzust¨ande kann auch u¨ ber Teilchenst¨oße erfolgen. Dadurch stehen sie im thermischen Kontakt mit dem Gas. Im thermischen Gleichgewicht bestimmt die MB-Verteilung (Gl. (2.15)) die relativen Besetzungszahlen ni,j der Zust¨ande mit der Energie Ei,j und den statistischen Gewichten gi,j :   ni gi Ei − Ej = exp − (2.39) nj gj kT

2

28

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 5: Strahlungsprozesse in der Atomh¨ulle. gebunden↔frei: Ionisations- oder Rekombinationsstrahlung

¨ Abbildung 6: Uberg¨ ange im Wasserstoffatom. kontinuierlich.

Die Photonenenergie hν ist die Summe aus der Ionisationsenergie und der kinetischen Energie des ionisierenden/rekombinierenden Elektrons: p2 hν = Eion + e (2.40) 2me Aus Gl. (2.14) erh¨alt man die Teilchenzahldichte der unionisierten Atome (Index A), Ionen (I) und Elektronen (e): nA

=

nI

=

ne

=

gA (2πmA kT )3/2 eηA h3 gI (2πmA kT )3/2 eηI e−Eion /kT h3 2 (2πme kT )3/2 eηe h3

(2.41)

mit ge = 2 und mI ≈ mA . Aufgrund der Energieerhaltung (e(vorher)= e(nachher)) ist die Summe der chemischen Potentiale erhalten und deshalb: ηA = ηI + ηe (2.42) Deshalb erlaubt das Produkt nI ne /nA , alle ηs zu eliminieren, und man erh¨alt die Sahagleichung f¨ur die Besetzungszahlen der Ionisationszst¨ande im thermischen Gleichgewicht:   nI ne gI 2 Eion 3/2 (2πm kT ) exp − = e nA gA h3 kT

(2.43)

2

29

MATERIE UND STRAHLUNG

Die Photoionisation von H− -Ionen ist die dominante Quelle der Kontinuumsopazit¨at in kalten Sternen. Bei heißen Sternen liefert die Photoionisation von H und He dominante Beitr¨age. Der Wirkungsquerschnitt (vgl. Gl. (2.36)) f¨ur die Photoionisation eines Wasserstoffatoms im Zustand n durch ein Photon mit der Wellenl¨ange λ lautet: σphoto = 1.31 × 10 frei↔frei: Elektrobremsstrahlung

−15

n

−5



λ ˚ 5000 A

3

cm2

(2.44)

kontinuierlich.

Ein freies Elektron wird im Coulombfeld eines Ions abgebremst. Die Photonenenergie entspricht dem Unterschied der kinetischen Energien des Elektrons vorher und nachher. Sind die Elektronen und Ionen im thermischen Gleichgewicht, ergibt sich die thermische Bremsstrahlung, die uns schon in Kap. (1.2.2) begegnet ist. Frei-Frei-Opazit¨at liefert einen wichtigen Beitrag zur Gesamtopazit¨at heißer Sterne. 2.4.2

Strahlung im Magnetfeld

Zyklotronstrahlung: Strahlung nichtrelativistischer Elektronen (E  me c2 ∼ 0.5 MeV) im Magnetfeld B. Die Strahlungsfrequenz entspricht der Umlauffrequenz der Elektronen um den senkrechten Anteil des Magnetfelds B⊥ , der sog. Zyklotronfrequenz: νzyk =

qB⊥ 2πme

(2.45)

Im interstellaren Magnetfeld (B ∼ 10−5 G) ist νzyk ∼ 28 Hz, also nicht nachweisbar. Synchrotronstrahlung: Strahlung relativistischer Elektronen (E & me c2 ) im Magnetfeld B. Kontinuierliches Spektrum mit Maximum bei νsyn =

νzyk 2



E me c2

2 (2.46)

Z.B. νsyn ∼ 1010 Hz (λ ∼ 5 cm) f¨ur E ∼ 1010 eV (weiche kosmische Strahlung) im interstellaren Magnetfeld. Wegen der Gyrationsebene der Elektronen senkrecht zur Magnetfeldrichtung ist die Synchrotronstrahlung vollst¨andig in dieser Ebene polarisiert (Abb. (7)). In astrophysikalischen Plasmen kann die Energieverteilung relativistischer Elektronen meistens durch ein Potenzgesetz ausgedr¨uckt werden: dNe ∝ E −g (2.47) dE (z.B. g ' 3.3 im interstellaren Medium unserer Galaxie). Damit l¨asst sich das Synchrotronspektrum berechnen. Synchrotronstrahlung ist ein Beispiel f¨ur nichtthermische Strahlung. Man beobachtet sie u.a. in: • Rotierenden Magnetosph¨aren von Neutronensternen. ¨ • Supernova-Uberresten. • Galaktischen Magnetfeldern von Spiralgalaxien.

2

30

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 7: Synchrotronstrahlung.

• Galaxienhaufen. • Aktiven Galaxienkernen. Landaustrahlung: In sehr starken Magnetfeldern (EB ∼ E) befinden sich die e− in diskreten Zust¨anden (“Landauniveaus”). Die Energieabst¨ande sind Elan = hνzyk = 2.4.3

~eB me

(2.48)

Streuprozesse von Photonen und Elektronen

Rayleighstreuung: Streuung niederenergetischer Photonen an gebundenen Elektronen. Ursache f¨ur den blauen ¨ Himmel. Relevant in den Atmosph¨aren von Uberriesen. σR (λ) =

8πq 4 3m2e c4



λ0 λ

4

˚ In Wasserstoff ist λ0 = 1026 A. Thomsonstreuung: Streuung niederenergetischer Photonen an freien Elektronen.

(2.49)

2

31

MATERIE UND STRAHLUNG

Der Streuquerschnitt folgt aus einer Entwicklung der Klein-Nishina-Formel f¨ur α = hν/me c2  1:   56 2 σT (ν) = σT 1 − 2α + α + . . . 5 8πq 4 (2.50) = 6.65 × 10−25 cm2 σT ≡ 3m2e c4 Thomsonstreuung ist relevant f¨ur den Strahlungstransport in Sternen, dem interstellaren Medium, Quasaren und im fr¨uhen Universum vor der Rekombination. Comptonstreuung: Streuung hochenergetischer Photonen an freien, niederenergetischen Elektronen oder umgekehrt (“inverse Comptonstreuung”). Aus der Klein-Nishina-Formel folgt: 8πq 4 3 σC (ν) = 3m2e c4 8α



1 ln(2α) + 2

 (2.51)

Inverse Comptonstreuung produziert R¨ontgen- und Gammastrahlung aus langwelligeren Photonen und tritt u.a. auf in: • R¨ontgenemission von Jets und aktiven Galaxienkernen. • Streuung der Hintergrundstrahlung an heißen Elektronen im intergalaktischen Gas von Galaxienhaufen Sunyaev-Zeldovich (SZ) Effekt.

2.5

Grundlagen des Strahlungstransports

In den meisten F¨allen erreichen uns Photonen nicht direkt vom Ort ihrer Erzeugung (z.B. Sternzentrum), sondern sie wechselwirken mit der Materie auf dem Weg zu uns durch h¨aufige Absorption und Emission. Diesen Prozess nennt man Strahlungstransport. 2.5.1

Wesentliche Begriffe

Intensit¨at: Das Strahlungsfeld wird an jedem Ort durch seine (frequenzabh¨angige) Intensit¨at Iν gekennzeichnet. Sie ist definiert durch die Strahlungsenergie dEν , die pro Zeiteinheit dt und (zur Strahlungsrichtung senkrechte) Fl¨acheneinheit dA im Frequenzintervall [ν, ν + dν] in das Raumwinkelelement dΩ = sin θdθdφ fließt (Abb. (8)): dEν

= Iν dt dA dν dΩ = Iν dt cos θdσ dν dΩ

(2.52)

Die Intensit¨at hat die Einheit [erg cm−2 s−1 Hz−1 sterad−1 ]. dσ ist ein infinitesimales Fl¨achenelement, das zur Strahlungsrichtung im Winkel θ geneigt ist; die Richtung der Winkelkoordinate φ liegt in der Ebene dσ. Im euklidischen Raum und ohne Absorption ist Iν unabh¨angig vom Abstand zur Strahlungsquelle, siehe Abb. (9). Die Energie, die durch die senkrecht zur Verbindungslinie projezierten Oberfl¨achen fließt, ist wegen der Energieerhaltung identisch: dEν = dEν0 , wobei dEν dEν0

= Iν dt cos θdσ dν dΩ = Iν0 dt cos θ0 dσ 0 dν dΩ0

(2.53)

2

32

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 8: Zur Definition der Intensit¨at.

Abbildung 9: Zur Abstandsunabh¨angigkeit der Intensit¨at.

F¨ur die Raumwinkel, unter denen die Fl¨achen erscheinen, gilt: dΩ dΩ0

= r−2 cos θ0 dσ 0 = r−2 cos θdσ

(2.54)

Daraus folgt mit Gl. (2.53): Iν = Iν0

(2.55)

Das einfachste Beispiel liefert das globale thermische Gleichgewicht. In diesem Fall ist das Strahlungsfeld isotrop (richtungsunabh¨angig) und die Intensit¨at ist die Planckverteilung Gl. (2.27): Iνtherm = Bν (T ) Die Gesamtintensit¨at ist definiert als Integral von Iν u¨ ber die Frequenz: Z I= Iν dν

(2.56)

(2.57)

2

33

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 10: Zur Definition des Strahlungsdrucks.

Die mittlere Intensit¨at findet man durch Intergrieren von Iν u¨ ber den vollen Raumwinkel und Normierung mit 1/4π: Z 1 Iν dΩ hIν i = 4π Z2π Zπ 1 (2.58) = dφ dθ Iν sin θ 4π 0

0

Strahlungsdruck: Der Strahlungsdruck im Frequenzband [ν, ν + dν] l¨asst sich aus dem Impuls¨ubertrag von Photonen auf das (fiktive) Fl¨achenelement dA herleiten, vgl. Carroll & Ostlie S.260 und Abb. (10): Z 1 Pν = Iν cos2 θ dΩ (2.59) c Im isotropen (Iν winkelunabh¨angig) bzw. thermischen (Gl. (2.56)) Strahlungsfeld wird daraus: Pνiso

=

Pνtherm

=

4π Iν 3c 4π Bν (T ) 3c

(2.60)

Das Integral von Pνtherm u¨ ber ν liefert mit Gl. (2.26), wie erwartet, Gl. (2.34). Strahlungsfluss: Der spektrale Strahlungsfluss Fν ist die Strahlungsleistung im Spektralbereich [ν, ν+dν] pro Fl¨acheneinheit. Aus Gl. (2.52) folgt: Z Fν dσ =

Iν cos θdσdΩ

(2.61)

2

34

MATERIE UND STRAHLUNG

Bem.: Vorsicht: in manchen B¨uchern wird die gleiche Funktion als πFν definiert.

Der Gesamtstrahlungsfluss (auch “bolometrischer Fluß” genannt) ist definiert als Z F= Fν dν

(2.62)

In isotropen Strahlungsfeldern fließt in beiden Richtungen gleichviel Strahlung durch die Fl¨ache, deshalb ist F = 0. An Sternoberfl¨achen ist dagegen die Einstrahlung (π/2 < θ ≤ π) vernachl¨assigbar, w¨ahrend man I out als konstant u¨ ber die Ausstrahlungshemisph¨are (0 < θ ≤ π/2) annehmen kann: Fo

Z2π =

Zπ/2 dθ I out cos θ sin θ dφ 0

0

= πI

out

(2.63)

In großer Entfernung r von einem Stern mit Radius R erscheint dieser unter einem Raumwinkel Ω = πR2 /r2 . Dann ist der beobachtete Strahlungsfluss fν in Abh¨angigkeit vom Strahlungsfluss an der Sternoberfl¨ache Fνo : R2 (2.64) fν = I out Ω = Fνo 2 r Leuchtkraft: Die Gesamtstrahlungsleistung einer Oberfl¨ache A ist die Leuchtkraft L: L = AF

(2.65)

Die Leuchtkraft hat die Einheit [Energie/Zeit], also [erg/s] in CGS- oder [W] in SI-Einheiten. An der Sternoberfl¨ache eines Sterns mit Radius R ist die Leuchtkraft L = 4πR2 F o . Im Abstand r von einem Stern mit der Leuchtkraft L misst man wegen Gl. (2.64) den Strahlungsfluss f (r) =

L 4πr2

(2.66)

Effektivtemperatur: W¨are die Sternoberfl¨ache ein perfekter Schwarzk¨orperstrahler, erg¨abe sich ihre Leuchtkraft aus Gl. (2.26), Gl. (2.56), Gl. (2.63) und Gl. (2.65). Analog wird die Effektivtemperatur Teff definiert, auch wenn der Stern nicht exakt thermisch strahlt: L = 4 Teff

=

4 4πR2 σTeff Z 1 Iν cos θ dΩdν σ

(2.67)

Absorption: Die in Kap. (2.4) diskutierten Absorptionssprozesse lassen sich durch ihren effektiven Wirkungsquerschnitt pro Volumeneinheit beschreiben, der Absorptionskoeffizient (oder Opazit¨at) κν genannt wird: κν

≡ nσν 1 = lmfp

(2.68)

2

35

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 11: log(κ/ρ) [m2 ] als Funktion von log(λ) [nm] f¨ur die Sonne (T ' 5000 K) und f¨ur τ Sco (T ' 28000 K). Er hat die Einheit [1/L¨ange] (Vorsicht: manchmal steht κν auch f¨ur den Wirkungsquerschnitt pro Masseneinheit, d.h. κν → κν ρ). Beim Durchgang der Strahlung durch eine Schicht der Dicke ds a¨ ndert sich die Intensit¨at um dIν = −Iν κν ds

(2.69)

κν h¨angt von den Besetzungszahlen (Gl. (2.39)) und dem Ionisationszustand (Gl. (2.43)) ab und ist damit eine Funktion von T , der Teilchenzahldichte n und der chemischen Zusammensetzung des Gases. ¨ Die Berechnung von κν erfordert die Ber¨ucksichtigung von mehreren 106 Linien und g-f-Uberg¨ angen. Abb. (11) zeigt das Ergebnis f¨ur zwei typische Temperaturen. Optische Tiefe: Die Integration von Gl. (2.69) entlang einer radialen Sichtlinie ergibt (Erkl¨arung folgt): Iν = Iν0 e−τν

(2.70)

d.h. das Licht verliert auf der Strecke τν ' 1 um den Faktor 1/e an Intensit¨at. τν ist die optische Tiefe, definiert als dτν ≡ −κν ds

(2.71)

2

36

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 12: Die vertikale optische Tiefe in planparallelen Sternatmosph¨aren.

Das Integral dar¨uber liefert die Differenz der optischen Tiefe am Ende des Lichtwegs (Index f) (z.B. beim Austritt aus der Atmosph¨are) und zu Beginn (Index i): τνf

−

τνi

Zs =−

κν ds0

(2.72)

0

Die optische Tiefe an der Sternoberfl¨ache sei τνf = 0. Dann folgt f¨ur die optische Tiefe an einem Punkt innerhalb der Atmosph¨are, von dem aus uns das Licht erreicht: τν ≡

τνi

Zs =

κν ds0

(2.73)

0

Ist τν  1 ist das Medium “optisch dick”, bei τν  1 wird es “optisch d¨unn” genannt. Zur Analyse von Sternatmosph¨aren, die wir hier als planparallele Schichten betrachten, ben¨otigen wir die vertikale optische Tiefe τνv , siehe Abb. (12). Es gilt: τνv = cos θ τν

(2.74)

Emission: Die Emission von Photonen mit der Frequenz ν (z.B. durch die Prozesse aus Kap. (2.4)) f¨uhrt zur Erh¨ohung der Intensit¨at. Analog zum Absorptionskoeffizienten wird sie durch den (richtungsunabh¨angigen) Emissionskoeffizienten ν beschrieben, der wiederum eine Funktion der thermischen und chemischen Zustandsgr¨oßen des Gases ist. Beim Durchgang durch eine Schicht der Dicke ds ist dIν = ν ds

(2.75)

2

37

MATERIE UND STRAHLUNG

2.5.2

Die Strahlungstransportgleichung

Wir betrachten in diesem Kapitel (und allen anderen) ausschließlich zeitlich station¨are Gase, so dass keine partiellen Zeitableitungen in den Gleichungen auftreten. Fasst man Gl. (2.69) und Gl. (2.75) zusammen, erh¨alt man: dIν = −κν Iν + ν ds

(2.76)

Im thermischen Gleichgewicht ist dIν /ds = 0, weil das Strahlungsfeld homogen und isotrop ist. Gl. (2.76) wird dann mit Hilfe von Gl. (2.56) zu ν = Bν (T ) (2.77) κν (Kirchhoffscher Satz). Selbst ohne thermisches Gleichgewicht wird eine analoge Gr¨oße definiert, die Ergiebigkeit Sν (“source function”): Sν ≡

ν κν

(2.78)

Mit Gl. (2.71) folgt daraus die Strahlungstransportgleichung: dIν = Iν (τν ) − Sν (τν ) dτν

(2.79)

oder mit Gl. (2.74): cos θ

dIν = Iν (τν ) − Sν (τνv ) dτνv

Multiplikation von Gl. (2.79) mit e−τν ergibt:   dIν − Iν e−τν = −Sν e−τν dτν d −τν (e Iν ) = −Sν e−τν dτν Z0 0 0 −τν Iν − Iν e = − Sν e−τν dτν0

(2.80)

(2.81)

τν

Im letzten Schritt haben wir von innen (optische Tiefe τν , Intensit¨at Iν0 ) nach außen (τν = 0) integriert. Daraus erh¨alt man schließlich die integrale Strahlungstransportgleichung:

Iν (τν = 0) =

Iν0 e−τν

Z0 −

0

Sν e−τν dτν0

(2.82)

τν

H¨aufig nimmt man n¨aherungsweise an, dass die Opazit¨at frequenzunabh¨angig ist. Eine solche Modellatmosph¨are wird graue Atmosph¨are genannt. R Gl. (2.80) wird dann (mit S ≡ Sν dν) zu: cos θ

dI = I(τ ) − S(τ v ) dτ v

(2.83)

2

38

MATERIE UND STRAHLUNG

Durch Integration u¨ ber den Raumwinkel folgt daraus mit Gl. (2.58), Gl. (2.61) und Gl. (2.62): dF = 4π(hIi − S) dτ v

(2.84)

Eine weitere n¨utzliche Gleichung finden Rwir durch Multiplikation von Gl. (2.83) mit cos θ und anschließende Integration u¨ ber den Raumwinkel. Wegen cos θdΩ = 0 folgt mit Gl. (2.59) und Gl. (2.61): dP 1 = F dτ v c

(2.85)

In Kugelkoordinaten wird daraus: κ dP =− F dr c Der Strahlungsfluss wird also durch den Gradienten des Strahlungsdrucks “getrieben”. 2.5.3

(2.86)

Lokales thermisches Gleichgewicht (LTE)

Das thermodynamische Gleichgewicht, von dem in Kap. (2.3) die Rede war, gilt steng genommen nur f¨ur geschlossene Systeme. Strahlende Objekte, die somit Energie verlieren, k¨onnen sich nicht im globalen thermischen Gleichgewicht befinden. Andererseits sind h¨aufig folgende Bedingungen erf¨ullt: 1. Elastische Teilchenstreuungen erzeugen eine MB Verteilung (Gl. (2.15)) f¨ur die Atome und Ionen. 2. Atomare An- und Abregungen durch anelastische St¨oße dominieren u¨ ber Strahlungsprozesse, so dass die Besetzungszahlen durch Gl. (2.39) und Gl. (2.43) gegeben sind. In diesem Fall hat die emittierte Strahlung die Planckverteilung (Gl. (2.77)): Sν = Bν (T )

(2.87)

(aber im Allgemeinen nicht Iν = Bν ) lokales thermisches Gleichgewicht (LTE). Man kann absch¨atzen, ob LTE eine gute N¨aherung ist, indem man die Energiedichte der Photonen (Gl. (2.26)) mit derjenigen der Ionen (Gl. (2.16)) vergleicht:  LTE  1 3 erad T [K] ' 1 LTE fragw¨urdig = 36.5 → (2.88)  ρ n [cm−3 ] 1 Non-LTE Im sog. Non-LTE (NLTE) m¨ussen die Besetzungszahlen und Ionisationszust¨ande explizit durch Integration der Ratengleichungen berechnet werden, was h¨aufig erhebliche numerische Kopfschmerzen verursacht. Beispiele hierf¨ur sind Sternwinde, das interstellare Medium und – besonders heimt¨uckisch – Supernovae vom Typ Ia. Manchmal macht es dennoch Sinn, von der Temperatur als Parameter zu sprechen, wenn man sie durch eine der folgenden Messvorschriften definiert: • Die Strahlungstemperatur folgt aus der N¨aherung eines Sternspektrums mit einem Planckspektrum der Temperatur T . • Die Anregungstemperatur beschreibt die Besetzungszahlen der atomaren oder molekularen Zust¨ande mit Hilfe von Gl. (2.39). • Die Ionisationstemperatur folgt aus der Sahagleichung Gl. (2.43). • Die kinetische Temperatur wird aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung Gl. (2.15) berechnet, wenn die Impulsverteilung bekannt ist.

2

39

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 13: Zur Eddington-N¨aherung.

2.5.4

¨ Sternatmosph¨aren Die Eddington-N¨aherung fur

Nach dem kurzen Abstecher ins LTE kommen wir zur¨uck zu einer wichtigen Anwendung der Strahlungstransportgleichungen: der Analyse von Sternatmosph¨aren. In aller Allgemeinheit wird diese heutzutage mit numerischen Methoden betrieben, aber man kann ein paar wichtige Eigenschaften durch vereinfachende Modellannahmen verstehen. Da dem Strahlungsfeld innnerhalb einer Sternatmosph¨are keine Energie hinzugef¨ugt oder entzogen wird, ist der Strahlungsfluss definitionsgem¨aß unabh¨angig von der optischen Tiefe. Damit folgt aus Gl. (2.84): hIi = S Gl. (2.85) l¨asst sich nun einfach integrieren: P =

τ F +C c

(2.89)

(2.90)

mit der Integrationskonstanten C. Um den Strahlungsfluss durch die Intensit¨at auszudr¨ucken, folgen wir einer N¨aherung von Sir Arthur Eddington (1882 – 1944), einem der einflussreichsten Astrophysiker des letzten Jahrhunderts, der sog. Eddington-N¨aherung: 1. Die Intensit¨at sei gegeben durch die Summe einer (jew. tiefenabh¨angigen) einfallenden (I in ) und ausfallenden (I out ) Komponente, siehe Abb. (13). 2. An der Obergrenze der Atmosph¨are sei die Einstrahlung verschwindend gering: I in (τ v = 0) = 0. Durch einfache Verallgemeinerung der Herleitung von Gl. (2.63) findet man: 1 out (I + I in ) 2 = π(I out − I in ) 2π out = (I + I in ) 3c 4π = hIi 3c

hIi = F P

(2.91) (2.92) (2.93) (2.94)

2

40

MATERIE UND STRAHLUNG

Die Integrationskonstante in Gl. (2.90) folgt aus Gl. (2.94) und hI(τ v = 0)i = F/2π: C=

2 F 3c

(2.95)

Damit wird Gl. (2.90) zu einer Gleichung f¨ur die mittlere Intensit¨at als Funktion der optischen Tiefe (zur Erinnerung: F ist unabh¨angig von τ v ):   2 3 F τv + hIi = 4π 3   3σ 4 2 = Teff τ v + (2.96) 4π 3 mit der Definition der Effektivtemperatur Gl. (2.67) und Gl. (2.65). Schließlich verwenden wir die Annahme des LTE, um mit Gl. (2.87), Gl. (2.89) und Gl. (2.26) die mittlere Intensit¨at durch die lokale (tiefenabh¨angige!) Gastemperatur T auszudr¨ucken: hIi =

σ 4 T π

(2.97)

Zusammen erh¨alt man damit Temperaturschichtung einer planparallelen Atmosph¨are in der Eddington-N¨aherung: T 4 (τ v ) =

3 4 T 4 eff



τv +

2 3

 (2.98)

Daraus lernt man folgendes u¨ ber Sternatmosph¨aren: • Die Effektivtemperatur Teff entspricht der Gastemperatur T in der optischen Tiefe τ v ' 2/3, nicht τ v = 0, wie man vielleicht vermutet h¨atte. • Die Oberfl¨ache, deren Ausstrahlung man im statistischen Mittel beobachtet, liegt bei τ v ' 2/3. Sie definiert die Photosph¨are des Sterns. • Bei Wellenl¨angen, deren Opazit¨at hoch ist, liegt τ v = 2/3 n¨aher an der Oberfl¨ache des Sterns. Wenn die Temperatur nach außen abnimmt, entspricht dies einer geringeren lokalen Gastemperatur geringerer Intensit¨at einer Absorptionslinie. • Am Rand der Sternscheibe bildet die Sichtlinie einen gr¨oßeren Winkel θ mit der Radialrichtung des Sterns, als in der Mitte. Aus Gl. (2.74) folgt wiederum, dass τ v = 2/3 dort einer geringeren radialen Tiefe und daher einer geringeren Temperatur entspricht Mitte-Rand-Verdunklung, Abb. (14).

2.5.5

Emissions- und Absorptionslinienspektren

Die Frage, in welchen Situationen Emissions- oder Absorptionslinien zu erwarten sind, kann durch einen Vergleich der Terme in der integralen Strahlungstransportgleichung Gl. (2.82) beantwortet werden. Als Vereinfachung betrachten wir ein Gas im LTE mit der r¨aumlich konstanten Temperatur T , das auf der Strecke s von einer Strahlungsquelle durchleuchtet wird. Gl. (2.82) l¨asst sich mit Hilfe von Gl. (2.87) schreiben: Iν = Iν0 e−τν + Bν (T )(1 − e−τν ) Wir betrachten folgende Grenzf¨alle:

(2.99)

2

41

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 14: Verdunklung.

Zur

Mitte-Rand-

Abbildung 15: Arten von Spektren.

Iν0 ' 0, τν  1 (Hintergrunds-Strahlungsquelle schwach, Gas ist optisch d¨unn): Taylorentwicklung von Gl. (2.99) um τν = 0 ergibt Iν ' τν Bν = κν s Bν

(2.100)

Intensit¨at ist hoch, wo κν groß ist, und umgekehrt. Da κν insbesondere in diskreten Energie¨uberg¨angen groß ist (Kap. (2.4)), sieht man ein Emissionslinienspektrum. Beispiele: Sternwinde, sp¨ate Supernovaspektren (“Nebelphase”), Quasarspektren. Iν0 ' 0, τν  1 (Hintergrunds-Strahlungsquelle schwach, Gas ist optisch dick): Dann ist Iν ' Bν

(2.101)

d.h. das Gas ist ein Schwarzk¨orperstrahler. Das beste Beispiel ist die kosmische Hintergrundstrahlung (Abb. (3)).

2

42

MATERIE UND STRAHLUNG

Abbildung 16: Form einer Absorptionsli¨ nie und ihre Aquivalenzbreite W.

Iν0 6= 0, τν  1 (Hintergrunds-Strahlungsquelle stark, Gas ist optisch d¨unn): Gl. (2.99) wird durch Entwicklung nach τν zu Iν

' Iν0 (1 − τν ) + Bν τν = Iν0 − κν s (Iν0 − Bν )

Wenn Bν < Iν0 und κν groß (Linien¨ubergang) sph¨aren, H-Wolken vor Quasaren. Wenn Bν > Iν0 und κν groß 2.5.6

(2.102)

Absorptionslinienspektrum. Beispiele: Sternatmo-

Emissionslinienspektrum. Beispiel: Sonnenkorona.

Struktur von Spektrallinien

Die Lage, Tiefe und Form von Spektrallinien als Funktion der Wellenl¨ange enthalten eine F¨ulle von Informationen u¨ ber den thermischen Zustand und die chemische Komposition eines astronomischen Objekts. Man bezeichnet die spektrale Region außerhalb von Spektrallinien als Kontinuum, gekennzeichnet durch den Kontinuumsfluss F c (z.B. ein Planckspektrum bei thermischen Strahlern). Die Tiefe einer Absorptionslinie wird durch die relative Abweichung des Flusses von F c gemessen, das Integral ¨ dar¨uber ist die sog. Aquivalenzbreite (Abb. (16): Z F c − Fλ W ≡ dλ (2.103) Fc Die folgenden Prozesse beeinflussen die Form bzw. die Breite einer Linie: ¨ Naturliche Breite: Die endliche Lebensdauer eines angeregten Zustands f¨uhrt u¨ ber das Heisenbergsche Unsch¨arfeprinzip, ∆E∆t ' ~, zu einer nat¨urlichen Breite   λ2 1 1 + (2.104) ∆λ ' 2πc ∆ti ∆tf wenn ∆ti bzw. ∆tf die Lebensdauern des Anfangs- bzw. Endzustands sind.

2

43

MATERIE UND STRAHLUNG

In der Astrophysik dominieren in der Regel die anderen Verbreiterungsmechanismen, so dass die nat¨urliche Linienbreite meistens irrelevant ist. Dopplerverbreiterung: Thermische Bewegungen der Gasteilchen entlang der Sichtlinie bewirken eine Verbreiterung u¨ ber den Dopplereffekt, ∆λ/λ = ±|vr |/c. Das Maximum der MB-Verteilung f¨ur die Geschwindigkeit liegt bei v = p ¨ 2kT /m (vgl. Ubungsaufgabe), so dass: r 2λ 2kT ∆λ ' (2.105) c m (bei λ0 + ∆λ f¨allt die Linie um den Faktor 1/e ab).

√ Der Schritt zur Halbwertsbreite liefert einen weiteren Faktor ln 2. Des weiteren k¨onnen turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen vtur zur Dopplerverbreiterung beitragen: s  2λ 2kT 2 ∆λ = + vtur ln 2 (2.106) c m Das Dopplerprofil f¨allt nach außen, der MB-Verteilung folgend, exponentiell ab und ist deshalb meistens nur im Linienkern wichtig. Druck- bzw. Stoßverbreiterung: Die An- und Abregung von Zust¨anden durch St¨oße wirkt a¨ hnlich wie die nat¨urliche Linienbreite. Die resultierende Linienverbreiterung l¨asst sich ebenso durch eine Zeitunsch¨arfe parametrisieren, die sich durch die mittlere Zeit zwischen St¨oßen absch¨atzen l¨asst: ∆t

' =

lmfp vr m 1 nσ 2kT

(2.107)

Daraus ergibt sich: ∆λ

= '

λ2 1 c π∆tr λ2 nσ 2kT c π m

(2.108)

Die Druckverbreiterung ist also direkt proprtional zur Dichte des Gases. Das Profil der Druckverbreiterung ist ein sog. Lorentzprofil (“D¨ampfungsprofil”), das in den Linienfl¨ugeln wie ∼ ν −2 abf¨allt. Dort dominiert es wegen seines langsameren Abfalls im Vergleich zur exponentiell abfallenden Dopplerverbreiterung (siehe Abb. (17)) die Breite der Linienfl¨ugel ist proportional zur Teilchenzahldichte, die Breite des Linienkerns ist proportional zur Teilchengeschwindigkeit ∼ T 1/2 . Die Faltung aus Doppler- und D¨ampfungsprofil wird Voigtprofil genannt (anschaulich: “jeder Streifen im D¨ampfungsprofil wird noch einmal dopplerverbreitert”). Es hat die Form (x ∝ ν): +∞ Z

φ(ν) ∝ −∞

exp(−y 2 ) dy α2 + (x − y)2

(2.109)

2

MATERIE UND STRAHLUNG

44

Abbildung 17: Dopplerkern und D¨ampfungsfl¨ugel einer Absorptionslinie.

Die Informationen aus der spektroskopischen Beobachtung von Sternen und anderen Objekten lassen sich mit den Werkzeugen der Atom- und Strahlungsphysik, die in diesem Kapitel vorgestellt wurden, in physikalische Aussagen u¨ bersetzen. Das geschah eine lange Zeit mit ausgefeilten analytischen Methoden, die aber inzwischen weitgehend an Bedeutung verloren haben. Statt dessen werden heute detaillierte Modellatmosph¨aren numerisch analysiert und an die Beobachtungen gefittet, um die zugrunde liegenden Parameter zu extrahieren.

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

3 3.1 3.1.1

45

Stellare Beobachtungsgr¨oßen Gr¨oße und Entfernung Entfernung

Parallaxenmethode: ¨ Die direkteste Entfernungsmessung ist die parallaktische Methode. Sie beruht auf der Anderung der Himmelsposition des Sterns als Funktion der Jahreszeit (siehe Abb. (18)).

Abbildung 18: Parallaktische Entfernungsmessung. Die Parallaxe ist der Winkel, unter dem der Erdbahnradius (1 Astronomische Einheit = 1 AU = 1.5 × 1013 cm) vom Abstand des Sterns aus erscheint. Man definiert 1 Parsec = 1 pc = 3 × 1018 cm entsprechend einer Parallaxe von 1 Bogensekunde. Mit terrestrischen Teleskopen kann man parallaktische Entfernungen bis zu 10 pc mit ca. 10% Genauigkeit messen. Der Hipparcos-Satellit misst Entfernungen bis ca. 1 kpc. Standardkerzen: Mit Hilfe der parallaktischen Entfernung kann man die n¨achste Stufe der astronomischen “Entfernungsleiter” eichen: die Cepheiden. Dabei handelt es sich um pulsierende Sterne, deren Pulsationsfrequenz mit ihrer Leuchtkraft zusammenh¨angt. Mehr dazu in Kap. (5.2.6). Cepheiden sind ein Beispiel f¨ur sog. Standardkerzen, deren Leuchtkraft man glaubt zu kennen bzw. auf unabh¨angige Weise bestimmen zu k¨onnen. Durch Messung ihres Strahlungsflusses kann man dann gem¨aß Gl. (2.66) den Abstand bestimmen. Diese Methode funktioniert auch f¨ur kosmologische Abst¨ande, bei denen die Expansion und Geometrie des Universums sp¨urbar werden. Die derzeit besten kosmologischen Standardkerzen sind Typ Ia Supernovae (Kap. (6.1.2)). 3.1.2

Radius

Bedeckungsver¨anderliche: Die Lichtkurve eines Doppelsternsystems, in dem ein Partner periodisch den anderen bedeckt, sei bekannt.

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

46

Abbildung 19: Radiusmessung mit Bedeckungsver¨anderlichen.

Dann ist (vgl. Abb. (19); D, d: Sterndurchmesser, L: Bahnl¨ange, P : Umlaufzeit): t 4 − t1 P t 3 − t2 P D L

= = ,

D+d L D−d L d L

(3.1)

Ist zudem durch spektroskopische Beobachtungen (Dopplereffekt) die Bahngeschwindigkeit v = L/P bekannt, folgen daraus d und D. Mondokkultation: Beobachtung der Lichtkurve eines Sterns bei Durchgang der Mondbahn durch die Sichtlinie liefert Sternradius mit Genauigkeit bis maximal ∼ 0.0100 .

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

47

Abbildung 20: Das VLT-Interferometriesystem Leuchtkraftradius: Sind die Leuchtkraft L eines Sterns ( seine Entfernung!) und seine Effektivtemperatur Teff (z.B. aus dem Spektrum) bekannt, kann R durch Gl. (2.67) bestimmt werden. Interferometrie: ¨ Durch Uberlagerung der Wellenz¨uge, die von gegen¨uberliegenden Seiten einer Kreisscheibe ausgestrahlt und an zwei getrennten Orten gemessen werden, kann man ein Interferenzmuster erzeugen. Daran l¨asst sich der Winkel, unter dem die Kreisscheibe erscheint, ablesen. Die theoretische Aufl¨osungsgrenze eines Interferometers, dessen Empf¨anger den Abstand D haben, ist λ D λ[400nm] ≈ 0.100 D[1m]

φ =

1.22

(3.2)

Diese Technik wurde schon lange erfolgreich an einzelnen Teleskopen durchgef¨uhrt, wo sie allerdings von der Gr¨oße des Teleskops begrenzt ist. Seit kurzem wird sie auch mit mehreren getrennten optischen Teleskopen erprobt, z.B. dem Very Large Telescope (VLT) der ESO mit Basisl¨ange bis zu 200 m (Abb. (20)).

3.1.3

Masse

Eine direkte Bestimmung der Sternmasse ist nur in Doppelsternsystemen m¨oglich. Ungef¨ahr die H¨alfte aller beobachteten Sternsysteme sind Doppelsterne. Die L¨osung des gravitativen Zweik¨orperproblems f¨uhrt zu den Keplerschen Gesetzen, die Johannes Kepler (1571 – 1630) durch Beobachtungen der Planetenbahnen im Sonnensystem fand: 1. Keplersches Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne im Brennpunkt. 2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor eines Planeten u¨ berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨achen, siehe Abb. (21).

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

48

Abbildung 21: Zum 2. Keplerschen Gesetz. Die Punkte entlang der Planetenbahn haben identische Zeitabst¨ande.

3. Keplersches Gesetz: Die Kuben der Halbachsen verhalten sich wie die Quadrate der Umlaufzeiten. Kurz darauf fand Isaac Newton die physikalische Ekl¨arung dieser Gesetze: die Bahnen von Massepunkten im 1/r-Potential sind Kegelschnitte Ellipsen f¨ur gebundene Systeme; der Schwerpunkt befindet sich in einem der Brennpunkte (1. K.G.). Die Drehimpulserhaltung (folgt aus Rotationsinvarianz) liefert das 2. K.G. und die Integration geschlossener Bahnen liefert das 3. K.G. in der Form: P2 =

4π 2 3 a GM

(3.3)

(M ≡ M1 + M2 : Gesamtmasse; a: große Halbachse des Orbits der reduzierten Masse µ ≡ M1 M2 /M um die Gesamtmasse im Schwerpunkt). Zur¨uck zur Massenbestimmung. Man klassifiziert Doppelsternsysteme nach der Art und Menge der Informationen, die man u¨ ber ihre Parameter erhalten kann: Visuelle Doppelsterne: Hier sind beide Sterne beobachtbar, d.h. man kennt die Umlaufperiode P sowie die großen Halbachsen a1 , a2 beider Sterne um den gemeinsamen Schwerpunkt (der Neigungswinkel i der Bahn zur Sichtlinie ergibt sich aus der Abweichung des Schwerpunkts vom Brennpunkt der Ellipse, siehe Abb. (22)). Aus dem 3. Keplerschen Gesetz (Gl. (3.3)) folgt mit Hilfe des Schwerpunktsatzes und a = a1 + a2 :

M1 + M2 a1 M1 M1

4π 2 (a1 + a2 )3 GP 2 = a2 M2 , M2

=

Astrometrische Doppelsterne: Hier kann nur der hellere Sterne bebachtet werden (

(3.4)

a1 , P ). Damit erh¨alt man aus Gl. (3.3) nur die

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

49

Abbildung 22: Ein auf die Sichtfl¨ache projizierter elliptischer Orbit ergibt ebenfalls einen elliptischen Orbit, dessen Brennpunkt aber nicht dem projizierten Brennpunkt entspricht.

eingeschr¨ankte Information M2 3 /M 2 : a1 a M23 M2

= =

M2 M 4π 2 a31 GP 2

(3.5)

Spektroskopische Doppelsterne: In diesem Fall beobachtet man die Dopplerverschiebung der Spektrallinien eines oder beider Sterne als Funktion der Zeit und erh¨alt daraus ihre Geschwindigkeitskurven entlang der Sichtlinie. Daraus kann man die Gr¨oße a1 sin i berechnen, wobei die Bahnneigung i jetzt unbekannt ist. Gl. (3.5) liefert: 4π 2 a31 sin3 i M 3 sin3 i = 2 2 2 GP M

(3.6)

 Die rechte Seite wird Massenfunktion genannt. F¨ur statistische Zwecke n¨utzt man aus, dass sin3 i ' 0.59. Sind beide Spektren beobachtbar, erh¨alt man auf die gleiche Weise die Massenfunktion des anderen Sterns und damit das Massenverh¨altnis M1 /M2 . Spektrale Massenbestimmung: Wie gleich gezeigt wird, l¨asst sich die Schwerebeschleunigung g=

GM R2

(3.7)

aus der Analyse von Sternspektren ableiten. Ist der Radius bekannt (s.o.), kann man daraus die Masse ausrechnen. 3.1.4

Oberfl¨achen-Schwerebeschleunigung

Es ist m¨oglich, aus dem Linienspektrum eine einfache Absch¨atzung der Gravitationsbeschleunigung g an der Sternoberfl¨ache zu erhalten (und daraus von M oder R, wenn die jew. andere Gr¨oße bekannt ist).

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

3

50

Daf¨ur verwenden wir ein Gleichung, die sp¨ater (Kap. (4.1.2)) f¨ur die Beschreibung des hydrostatischen Gleichgewichts in Sternen eingef¨uhrt wird (Gl. (4.4)): dP = −gρ (3.8) dr In der Sternatmosph¨are k¨onnen wir T ' const annehmen. Dann folgt aus Gl. (2.31): dP dr dρ dr

kT dρ µa mp dr ρ = − , lP

=

lP ≡

kT gµa mp

(3.9)

Bem.: lP = |dr/d ln P | ist die Druckskalenh¨ohe. Sie ist ein Maß f¨ur die charakteristische L¨angenskala, auf der sich P und ρ merklich a¨ ndern. Sternspektren geben Aufschluß u¨ ber die Physik in der N¨ahe der Photosph¨are, d.h. bei einer optischen Tiefe τ ∼ 2/3, vgl. Kap. (2.5.4). Aus Gl. (2.71) folgt: dτν

= −κν dr ' −ρfα,ν dr

(3.10)

wobei die Oszillatorst¨arken fα,ν aus der Atomphysik berechnet werden k¨onnen. Eingesetzt in Gl. (3.9) und integriert (lP , fα,ν ≈ const) liefert Gl. (3.10) (mit Hilfe von Gl. (2.98)): ρ(τ )

=

g

=

τ lP fα,ν 3kTeff fα,ν ρ(τ = 2/3) 2µa mp

(3.11)

Die Dichte ρ erh¨alt man aus Gl. (2.39) und Gl. (2.43) sowie aus der Form der Linien.

3.2 3.2.1

Helligkeit und Leuchtkraft Scheinbare Helligkeit

Die scheinbare Helligkeit ist ein (historisches) Maß f¨ur den gemessenen Strahlungsfluss f (Gl. (2.64)). Es lehnt sich an die griechische Magnitudenskala an, die praktisch die logarithmische Intensit¨atsempfindlichkeit des menschlichen Auges wiedergab. Sie ist definiert als:   fν mν ≡ −2.5 log (3.12) fν (Vega) In diesem sog. “‘klassischen” oder “Vega”-Helligkeitssystem ist Vega (ein A0V Stern, s.u.) der Standardstern, dessen Helligkeit in allen Frequenzen = 0 ist. ˚ u¨ bereinstimDas modernere “AB”-Helligkeitssystem ist so gew¨ahlt, dass Vega- und AB-Helligkeiten bei 5500 A men:   fν mν ≡ −2.5 log (3.13) −23 3.6308 × 10 W Hz−1 m−2

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

51

Abbildung 23: Transmissionsfunktionen f¨ur Johnson UBV und Kron-Cousins RI. Ebenfalls gezeigt ist das Spektrum eines G5V-Sterns.

In den meisten Beobachtungen misst man den integrierten Fluss in verschiedenen Filterb¨andern i, die durch ihre Transmissionsfunktion Ti (ν) charakterisiert werden:  R  fν Ti (ν)dν mi ≡ −2.5 log R (3.14) fν (Vega)Ti (ν)dν Die gebr¨auchlichsten Filter sind die Systeme von Johnson (UBVRIJHKLMN) und Kron-Cousins, siehe Abb. (23). Dabei ist U = nahes UV, B = blau, V = sichtbar (gr¨un), R = rot, I = nahes IR, JHKLMN = IR. Die bolometrische Helligkeit mbol ist die Helligkeit integriert u¨ ber das gesamte Frequenzband (f anstatt fν in Gl. (3.12)). 3.2.2

Farbe

Als Farbe oder Farbenindex definiert man die Differenz der Filterhelligkeiten in verschiedenen B¨andern, z.B. U−B B−V

≡ mU − mB ≡ mB − mV

usw.

(3.15)

Positive Werte bedeuten rote Objekte, negative bezeichnen blaue Objekte. Der Vergleich von U-B und B-V ergibt das Zweifarbendiagramm, siehe Abb. (24). 3.2.3

Absolute Helligkeit

Die absolute Helligkeit ist ein Maß f¨ur die Leuchtkraft eines Sterns. Man definiert sie als die scheinbare Helligkeit, die dieser Stern in einer Entfernung von 10 pc haben w¨urde:  M ≡ m − 2.5 log

f (r = 10pc) f

 (3.16)

Mit Gl. (2.66) folgt daraus das sog. Entfernungsmodul:  m − M = 5 log

r 10pc

 (3.17)

m ist eine Messgr¨oße, d.h. wenn M bekannt ist (z.B. aus der Lichtkurve von Supernovae), kann die Entfernung bestimmt werden ( Standardkerzen).

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

52

Abbildung 24: .Zweifarbendiagramm f¨ur verschiedene Spektraltypen. Der Verf¨arbungsweg zeigt die r¨otende Wirkung des interstellaren Staubes.

Umrechnung von absoluter Helligkeit in Leuchtkraft (z.B. in Einheiten der Sonnenleuchtkraft L ):   L Mbol − Mbol, = −2.5 log L

(3.18)

mit Mbol, = 4.72 und L = 3.9 × 1033 erg/s.

3.3

Sternspektren

Sternspektren enthalten eine F¨ulle von Informationen, u.a. u¨ ber die Oberfl¨achentemperatur, die Masse, den Radius, die Leuchtkraft und die chemische Zusammensetzung eines Sterns. Ein paar historische Daten: 1815: Entdeckung von Absorptionslinien im Sonnenspektrum durch Fraunhofer in M¨unchen (“Fraunhoferlinien”). 1859: Identifizierung von Natrium sowie Neuentdeckung von Caesium und Rubidium in Sternspektren von Kirchhoff und Bunsen in Heidelberg. 1842: Vorhersage des Doppler-Effekts durch Doppler, gefunden 1890 durch Scheiner (Potsdam) und Keeler (Lick Observatory).

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

53

Abbildung 25: Beispiele f¨ur Sternspektren und ihre Klassifikationen.

3.3.1

Die Oberfl¨achentemperatur

Die in Gl. (2.67) definierte Effektivtemperatur ist ein gutes Maß f¨ur die Temperatur der Sternoberfl¨ache, oder, genauer gesagt, der Photosph¨are (vgl. Gl. (2.98)). Sie l¨asst sich durch den Vergleich des Sternspektrums (z.B. Abb. (25)) mit einem Planckspektrum (Gl. (2.27)), dessen einziger freier Parameter die Temperatur ist, absch¨atzen. Sind die Effektivtemperatur (aus dem Spektrum) und die Leuchtkraft (aus der Helligkeit und dem Abstand) bekannt, kann man daraus den Sternradius berechnen (oder umgekehrt, bei geeigneten Kombinationen). 3.3.2

Spektralklassen

Es gibt mehrere Klassifizierungssysteme von Sternspektren (siehe z.B. Voigt). Das bekannteste davon ist das Harvard-System. Darin werden die Sterne in einer 1-dimensionalen Sequenz entsprechend ihrer Farbe, Effektivtemperatur (vgl. Gl. (2.67)) und spektralen Eigenschaften eingeordnet, siehe Abb. (26) und Abb. (27).

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

Abbildung 26: Die Harvard-Klassifikation.

Abbildung 27: Spektrale Eigenschaften der Harvard-Klassifikation.

54

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

55

Wer sich die Buchstabenreihenfolge unbedingt merken m¨ochte, kann das je nach Geschmack auf Englisch: Oh Be A Fine Girl/Guy, Kiss Me (Right Now – Smack), Deutsch: ¨ Offenbar Benutzen Astronomen Furchtbar Gerne Komische Merkspruche, oder Bayerisch tun: Ohne Bier Aus’m Fass gibt’s Koa Mass (F¨ur Fans von Monsterfilmen habe ich noch: “Overseas broadcast: A flash! Godzilla kills Mothra! (Rodan named successor.)” zu bieten.) F¨ur die Feineinteilung werden den Buchstaben noch Ziffern zwischen 0 und 9 angeh¨angt. 3.3.3

Das Hertzsprung-Russell-Diagramm

Das bekannteste Zustandsdiagramm der Astronomie ist das Hertzsprung-Russell-Diagramm, in dem die Leuchtkraft (f¨ur Theoretiker) bzw. die absolute Helligkeit (f¨ur Beobachter) als Funktion der effektiven Temperatur (Theoretiker) bzw. des Spektraltyps (Beobachter) aufgetragen wird, siehe Abb. (30).

Abbildung 28: Hertzsprung-Russel-Diagramm f¨ur Beobachter (links) und Theoretiker (rechts, die gestrichelten Linien zeigen jew. konstante Radien). Da jedoch die Farbe von Sternen oft einfacher zu bestimmen ist, als das Spektrum, wird die Leuchtkraft h¨aufig als Funktion der Farbe (z.B. V-I) gezeigt Farb-Helligkeits-Diagramm, Abb. (29). Die physikalische Bedeutung des HR-Diagramms wird in K¨urze besprochen. 3.3.4

Leuchtkraftklassen

Zus¨atzliche Information erh¨alt man aus der Leuchtkraft. Man teilt die Sterne in folgende Leuchtkraftklassen ein (Yerkes-System, vgl. Abb. (30)): Ia: Helle Superriesen Ib: Superriesen II: Helle Riesen III: Normale Riesen (“Riesenast”)

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

56

Abbildung 29: Farb-Helligkeits-Diagramm von 41453 Sternen, beobachtet vom Hipparcos-Satelliten.

IV: Unterriesen V: Hauptreihensterne/Zwergsterne VI: Unterzwerge WD: Weiße Zwerge 90 % aller Sterne befinden sich auf der Hauptreihe. Die vollst¨andige Klassifikation eines Sterns hat die Form “G2V” (Sonne) oder “A0V” (Vega).

3

¨ STELLARE BEOBACHTUNGSGROSSEN

Abbildung 30: Leuchtkraft-Klassifikation im Hertzsprung-Russell-Diagramm.

57

4

58

STERNAUFBAU

4

Sternaufbau

Wir machen folgende vereinfachenden Annahmen: • Nur Einzelsterne werden betrachtet. Obwohl ca. 50 % aller Sterne in Doppelsternsystemen leben, ist deren Evolution – soweit sie vom jew. Partnerstern beeinflusst wird – nur unvollst¨andig verstanden. • Der Massenverlust ist vernachl¨assigbar gering. • Rotation und Magnetfelder werden ebenfalls vernachl¨assigt. Folglich k¨onnen wir uns auf kugelsymmetrische Systeme beschr¨anken der einzige Ortsparameter ist der Abstand vom Sternzentrum, r. Unser Ziel ist es, das Dichte-, Temperatur- und chemische Kompositionsprofil von Sternen als Funktion von r zu verstehen. In Kap. (5) wird dann die Zeitentwicklung eines Sterns in Abh¨angigkeit von der Sternmasse skizziert. Zur Beschreibung der Sternstruktur und deren Evolution ben¨otigt man die sog. Sternaufbaugleichungen.

4.1 4.1.1

Die Sternaufbaugleichungen Massenschichtung

Wir definieren M (r) als die Masse innerhalb der Kugel mit Radius r: Zr M (r) ≡

ρ(r0 ) 4πr02 dr0

(4.1)

0

Die erste Sternaufbaugleichung ist dann einfach: dM (r) = 4πr2 ρ(r) dr

(4.2)

Alternativ kann man M als unabh¨angige und r(M ) als abh¨angige Variable w¨ahlen. Dann wird aus Gl. (4.1): dr(M ) 1 = 2 dM 4πr ρ(r)

(4.3)

Diese sog. Lagrangekoordinaten haben die sch¨one Eigenschaft, sich mit den Masseschalen des Sterns mitzubewegen. Das ist insbesondere f¨ur numerische L¨osungen der Sternaufbaugleichungen vorteilhaft. 4.1.2

Hydrostatisches Gleichgewicht

Die Gravitationskraft, die den Stern zusammenh¨alt, wird durch den Druckgradienten (nicht den Druck!!) stabilisiert, so dass sich ein hydrostatisches Gleichgewicht einstellt. Die entsprechende zweite Sternaufbaugleichung lautet: dP (r) GM (r) =− ρ(r) dr r2

(4.4)

bzw. in Lagrangekoordinaten mit Hilfe von Gl. (4.2): dP (M ) GM =− dM 4πr4

(4.5)

4

59

STERNAUFBAU

Der Druck ist Summe aus zahlreichen Beitr¨agen, von denen in der Regel einer der ersten beiden dominiert: P = Pnichtentartet + Pentartet (+Prad + Pν + PB + . . . )

(4.6)

Zur L¨osung von Gl. (4.4) braucht man noch eine Randbedingung, f¨ur die man meistens P (∞) = 0

(4.7)

w¨ahlt. Folgendes ist zu beachten: 1. Damit man von hydrostatischem Gleichgewicht ausgehen kann, muss die Entwicklungszeitskala des Sterns (meistens durch das Kernbrennen festgelegt) viel gr¨oßer sein als seine hydrodynamische Zeitskala, thyd ∼ tgrav ∼ (Gρ)−1/2 (Gl. (1.36)). Ist diese Bedingung nicht erf¨ullt (z.B. bei Explosionen) muss man die hydrodynamischen Gleichungen verwenden, um z.B. die Geschwindigkeit der Masseschalen zu berechnen. Die nukleare Entwicklungszeit der Sonne ist ca. 1010 Jahre, ihre hydrodynamische Zeitskala ∼ 25 min. 2. Gl. (4.2) und Gl. (4.4) sind 2 Gleichungen f¨ur die 3 Unbekannten M , P und ρ. Ist die Zustandsgleichung von der Form P = f (ρ) (unabh¨angig von T ), wie z.B. bei entarteten Gasen (Gl. (2.32), Gl. (2.33)), oder ist T (P ) bekannt (z.B. adiabatische Schichtung) ist das Gleichungssystem bereits vollst¨andig. Solche Systeme werden Polytrope genannt (s.u.). Im allgemeinsten Fall ist dagegen T (r) eine weitere unbekannte Funktion, ohne die die Zustandsgleichung nicht gel¨ost werden kann. Deshalb muss man den Energietransport ber¨ucksichtigen. 3. Mit ρ ∼ M/R3 macht die Absch¨atzung dP/dr ∼ Pc /R aus Gl. (4.4): Pc ∼

M2 R4

(4.8)

Wenn außerdem P ∼ ρΓ wie in entarteten Gasen, wird daraus: 2−Γ

R ∝ M 4−3Γ

(4.9)

Man sieht daran, dass bei Γ = 4/3 (relativistische Entartung, Gl. (2.33)) etwas Drastisches passieren muss. In diesem Fall existiert kein hydrostatisches Gleichgewicht und der Stern kollabiert Kern-KollapsSupernova. 4. Gl. (4.2) und Gl. (4.4) k¨onnen auch zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung kombiniert werden. Das Ergebnis ist die (kugelsymmetrische) Poissongleichung:   1 d r2 dP = −4πGρ (4.10) r2 dr ρ dr 5. Gl. (4.4) und Gl. (2.31) erlauben eine schnelle Absch¨atzung der Zentraltemperatur Tc eines (nichtentarteten) Sterns mit dem Radius R und der Masse M : P GM ρ ∼ R R2 µa mp GM Tc ∼ (4.11) k R F¨ur die Sonne ergibt das Tc ∼ 2 × 107 K. Der genaue Wert ist Tc = 1.3 × 107 K. Des weiteren zeigt Gl. (4.11), dass die Zentraltemperatur eines Stern abf¨allt, wenn sein Radius bei konstanter Masse vergr¨oßert wird.

4

60

STERNAUFBAU

4.1.3

Energieerhaltung

Nach Gl. (2.65) ist die Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Kugelschale mit dem Radius r fließt, durch die Leuchtkraft L(r) gegeben. Ohne Energiequellen oder -senken bleibt L(r) konstant. Schreibt man den lokalen Energiegewinn bzw. -verlust pro Zeit- und Masseneinheit als ±, folgt die dritte Sternaufbaugleichung: dL(r) = 4πr2 ρ(r) dr

(4.12)

Sie hat die Randbedingungen L(0) = 0 und L(∞) = Lstern .  setzt sich wieder aus mehreren Beitr¨agen zusammen:  = grav + nuk − ν − x

(4.13)

mit: grav : Energiegewinn/verlust durch adiabatische Kontraktion/Expansion: ! P˙ T˙ grav = cP T ∇ad − P T   d ln T ∇ad ≡ (adiabatischer Temperaturgradient) d ln P S=const 1 = 1− (wegen P ∼ ρΓ , T ∼ ρΓ−1 ) Γ cP Γ = (Verh¨altnis der spezifischen W¨armen) cV

(4.14)

In statischen Sternen ist P˙ = T˙ = 0 und deshalb grav = 0. nuk : Energiegewinn durch Kernfusion. Mehr dazu in Kap. (4.2). −ν : Energieverlust durch Neutrinoabstrahlung, wenn diese ungehindert durch den Stern entweichen (immer der Fall, außer im Protoneutronenstern w¨ahrend einer Kollaps-Supernova). Neutrinoverluste sind irrelevant f¨ur das Wasserstoffbrennen (Sonne), werden sp¨urbar beim Heliumbrennen und dominieren beim Kohlenstoffbrennen und in h¨oheren Brennzyklen. −x : Energieverlust durch exotische (d.h. postulierte), schwach wechselwirkende Teilchen (z.B. Axionen, KaluzaKlein-Anregungen usw.). Dieser Term kann durch astronomische Beobachtungen (z.B. K¨uhlfunktion Weisser Zwerge, Breite des Neutrinopulses von SN 1987A) nach oben begrenzt werden und liefert damit wichtige Einschr¨ankungen an die Existenz solcher Teilchen. 4.1.4

Radiativer Energietransport

In Sternen sind zwei Arten von Energietransport relevant: Strahlung und Konvektion. Wir beginnen mit dem Strahlungsenergietransport. Daf¨ur k¨onnen wir die Diffusionsn¨aherung verwenden. Warum? Die mittlere freie Wegl¨ange von Photonen ist lmfp ∼ 1/κ entsprechend einer optischen Tiefe ∼ 1. Den Absorptionskoeffizienten f¨ur Verh¨altnisse, wie sie z.B. in der Sonne herrschen, kann man mit der Thomsonstreuung absch¨atzen.

4

61

STERNAUFBAU

Die mittlere Dichte der Sonne ist


−3 ∼ 1g cm−3 ρ ∼ 1033 g 1011 cm

(4.15)

Mit mp ∼ 1 Gev ∼ 10−24 g folgt daraus die Elektronendichte ne ∼ 1024 cm−3 . Nach Gl. (2.50) ist σT = 6.65 × 10−25 cm2 und damit: κ ∼ σT ne ∼ 1 cm−1

(4.16)

Das ergibt lmfp ∼ 1 cm ∼ 10−11 R . Nat¨urlich m¨ussen wir hier aufpassen, denn innerhalb der Sonne variiert die Dichte zwischen ca. 102 bis 10−7 g cm−3 und entsprechend a¨ ndert sich κ (ganz abgesehen von der Schwierigkeit mit mittleren Opazit¨aten). In Sternen gilt aber allgemein bis zur Photosph¨are lmfp  lP = dr/d ln P (Druckskalenh¨ohe), so dass die Diffusionsn¨aherung g¨ultig ist. F¨ur Diffusionsprozesse gilt das Ficksche Gesetz: j = −D ∇n

(4.17)

(j: Fluss, D = lmfp v/3: Diffusionskoeffizient, n: Teilchenzahldichte). Im unserem Fall betrachten wir den Strahlungsfluss F = L/4πr2 der Strahlungsenergiedichte erad = aT 4 (Gl. (2.26)) mit dem Diffusionskoeffizienten D = c/3κ. Gl. (4.17) wird dann zu: c d L(r) =− (aT 4 ) 4πr2 3κ dr

(4.18)

Das ergibt die vierte Sternaufbaugleichung (Strahlung): 3κ L(r) dT (r) =− dr 16πacT 3 r2

(4.19)

Analog zu Gl. (4.14) k¨onnen wir wieder eine dimensionslose Gr¨oße berechnen, die ein Maß f¨ur die Temperaturschichtung im Falle reines Strahlungstransports ist. Der radiative Temperaturgradient ist definiert als: ∇rad

≡ = =

d ln T d ln P  −1 P dT dP T dr dr 3κL(r)P 16πacT 4 GM (r)ρ

(4.20)

Uns bleibt noch die Berechnung eines geeigneten mittleren Opazit¨atkoeffizienten κ aus den frequenzabh¨angigen κν in Kap. (2.4). Daf¨ur nehmen wir wieder LTE an, so dass nach Gl. (4.17) f¨ur jede Frequenz gilt: Fν

∝ =

1 dBν (T ) κν dr 1 dBν (T ) dT κν dT dr

(4.21)

F¨ur den Gesamtstrahlungsstrom gilt dann: Z F

= ∝ ≡

Fν dν Z 1 dBν (T ) dT dν dr κν dT Z dT 1 dBν (T ) dν dr κ dT

(4.22)

4

62

STERNAUFBAU

Daraus folgt das Rosseland-Mittel f¨ur die Opazit¨at: R 1 dBν (T ) dν 1 = RκνdB dT (T ) ν κ dν

(4.23)

dT

κν kann man aus den verschiedenen Absorptions- und Streuprozessen in Kap. (2.4) berechnen: κν = σ ν n 4.1.5

,

σν = σgg + σgf + σff + σT + . . .

(4.24)

Konvektiver Energietransport

Wir betrachten ein kleines Fl¨ussigkeitselement im Druckgleichgewicht mit seiner Umgebung, das “per Hand” ein kleines St¨uck von r0 auf r1 angehoben wird. Geschieht dies langsam genug, dehnt es sich adiabatisch aus und k¨uhlt entsprechend ab (vgl. Gl. (4.14)): T0 → T1 . Ist nun seine endg¨ultige Dichte am neuen Ort ρ1 , berechnet aus Gl. (2.31), geringer als die seiner Umgebung ρu1 , dann wird es durch die Auftriebskraft weiter steigen. Dies nennt man konvektive Instabilit¨at. Ist es dagegen am neuen Ort dichter als seine Umgebung (ρ1 > ρu1 ), sinkt es wieder ab, bis es seinen Ursprungsort erreicht. In diesem Fall ist die Schichtung konvektiv stabil. Wegen dem Druckgleichgewicht ist P1 = P1u . Das Stabilit¨atskriterium ρ1 > ρu1 ist deshalb gleichbedeutend mit T1 < T1u . Stabilit¨at heißt also:     dT > dT dr dr u   ad  d ln T > d ln T (4.25) d ln P d ln P ad u Nehmen wir jetzt an, dass die Temperaturschichtung der Umgebung durch Strahlungsenergietransport gegeben ist. Dann ist   d ln T = |∇rad | (4.26) d ln P u und wir erhalten das Schwarzschild-Kriterium f¨ur konvektive Instabilit¨at: |∇ad | < |∇rad |

=⇒

Konvektion

(4.27)

mit ∇ad aus Gl. (4.14) und ∇rad aus Gl. (4.20). Durch Fragmentierung und Mischung der konvektiven Str¨ome wird sehr effizient Energie transportiert. Es bildet sich eine turbulente, nicht-kugelsymmetrische Str¨omung aus, deren Zeitskalen wesentlich kleiner sind als die Entwicklungszeitskala des Sterns. Man hat folgende M¨oglichkeiten, den konvektiven Energietransport zu berechnen: 1. Ist die Geschwindigkeit der konvektiven Str¨omungen viel kleiner als die Schallgeschwindigkeit und die Durchmischung praktisch vollst¨andig, passt sich die Temperaturschichtung der adiabatischen Schichtung an, d.h.   d ln T 1 (4.28) d ln P → |∇ad | = 1 − Γ Mit Gl. (4.4) folgt daraus die vierte Sternaufbaugleichung (Konvektion):   dT (r) 1 T ρ GM (r) =− 1− dr Γ(ρ, T ) P r2 Diese Situation tritt haupts¨achlich bei zentraler Konvektion (M & 1.4M ) auf.

(4.29)

4

63

STERNAUFBAU

2. Erreicht die Konvektionsgeschwindigkeit z.T. Bruchteile der lokalen Schallgeschwindigkeit (haupts¨achlich in den Außenschichten, M . 1.4M ), ist die Mischung nicht mehr effizient genug, um eine adiabatische Schichtung zu erreichen. In diesem Fall l¨ost man meistens ein System von Modellgleichungen, die den konvektiven Transport n¨aherungsweise beschreiben: die sog. Mischungsweggleichungen. Sie enthalten im Wesentlichen einen freien Parameter (die “Mischungswegl¨ange” lconv ), der durch Beobachtungsgr¨oßen kalibriert werden muss (vgl. Kap. (4.4.3)). Das genauere Verst¨andnis des konvektiven Mischens in der Sternentwicklung ist eines der zentralen Probleme der heutigen stellaren Astrophysik. Dazu versucht man alles M¨ogliche, von stochastischen Modellen bis zu 3dimensionalen hydrodynamischen Simulationen. Durch Konvektion wird nat¨urlich nicht nur Energie transportiert, sondern auch die chemische Komposition durchmischt. Das kann einen mehr oder weniger starken Einfluss auf die Evolution eines Sterns haben. 4.1.6

Auftreten von Konvektionszonen, Hayashi-Linie

Aus den L¨osungen der Sternaufbaugleichungen weiss man, dass Konvektionszonen f¨ur Hauptreihensterne in den folgenden F¨allen auftreten: M & 1.4M :

konvektive Zentralregion, radiative H¨ulle. F¨ur M & 20M wird der Strahlungsdruck relevant.

M . 1.4M :

konvektive H¨ulle, radiativer Kern. F¨ur M . 0.3M ist der Stern vollst¨andig konvektiv.

Dar¨uber hinaus sind Vor-Hauptreihensterne (vgl. Kapitel u¨ ber Sternentstehung) und Sterne auf dem Riesenast vollst¨andig konvektiv. Diese Sterne haben alle, weitgehend unabh¨angig von ihrer Gr¨oße, dieselbe Effektivtemperatur und leben deshalb auf einer Linie im HR-Diagramm, der sog. Hayashi-Linie. Um diese Tatsache zu verstehen, betrachten wir das Druckgleichgewicht an der Photosph¨are, an der die Strahlung entweicht und die die konvektive Region nach außen begrenzt. Innerhalb der Photosph¨are ist der Temperaturgradient exakt adiabatisch, Gl. (4.28). Das Integral dar¨uber ergibt: Pinnen

Γ

= CT Γ−1 = CT 5/2

(Γ =

5 ) 3

(4.30)

Die Abh¨angigkeit der Integrationskonstanten C von M , R und µa k¨onnen wir mit Hilfe von Gl. (4.8) und Gl. (4.11) im Sternzentrum festlegen. Es folgt: C ∝ M −1/2 R−3/2 µ−5/2 (4.31) a An der Photosph¨are gilt Gl. (3.11) bzw. g ∝ M/R2 ∝ P hκi /ρ. Des weiteren liefert die Atomphysik (hier ohne Herleitung), dass hκi ∝ ρP 0.7 T 5.3 , so dass insgesamt: Paußen ∝ T −3.1 M 0.6 R−1.2

(4.32)

An der Photosph¨are (T = Teff ) ist Pinnen = Paußen . Gleichsetzen von Gl. (4.30) und Gl. (4.32) ergibt: Teff ∝ M 0.2 R0.06 µ0.45 a

(4.33)

Man erkennt daran, dass die Hayashi-Linie bei nahezu konstanter Effektivtemperatur im HR-Diagramm verl¨auft, mit sehr schwacher Abh¨angigkeit von M , R und µa . Sie markiert die Grenze der hydrostatischen Stabilit¨at: • Links von der Hayashi-Linie ist Teff gr¨oßer

|∇rad | kleiner

der Stern ist teilweise radiativ.

• Rechts von der Hayashi-Linie m¨usste |∇ad | > 1 − 1/Γ sein, d.h. der Stern w¨are sofort vollst¨andig konvektiv und l¨age wieder auf der Hayashi-Linie keine hydrostatisch stabilen L¨osungen m¨oglich.

4

64

STERNAUFBAU

4.1.7

Zusammenfassung: Sternaufbaugleichungen

Ein Sternmodell besteht aus folgenden Zutaten: 1. Den Sternaufbaugleichungen Gl. (4.2), Gl. (4.4), Gl. (4.12) und Gl. (4.19) (wenn |∇ad | > |∇rad |) oder Gl. (4.29) (wenn |∇ad | < |∇rad |). 2. Einer Zustandsgleichung, z.B. Gl. (2.31). 3. Berechnungsvorschriften f¨ur die Opazit¨at κ (z.B. Gl. (4.23))

gr¨oßte Unsicherheit im Sonnenmodell!

4. Kernfusions-Ratengleichungen f¨ur nuk (Kap. (4.2)). 5. F¨ur massive Sterne (M & 8M ν .

4.2 4.2.1

O-Brennen wird erreicht): Ratengleichungen f¨ur die Neutrinoverluste

Nukleare Energieerzeugung Zeitskalen

Wir wissen durch Radioaktivit¨ats-Altersbestimmungen von Meteoriten und auf der Erde, dass die Sonne mindestens 4.6 × 109 Jahre alt sein muss. Chemische Reaktionen k¨onnen die heutige Sonnenleuchtkraft (L = 3.9 × 1033 erg/s) nur f¨ur ca. 104 Jahre aufrechterhalten. Eine weitere Energiequelle ist die Gravitationsenergie, die bei der Kontraktion der Sonne freigesetzt wird: Epot, ∼

2 GM R

(4.34)

Die resultierende Zeitskala ist die Kelvin-Helmholtz-Zeit der Sonne, tKH

Epot, L ' 107 Jahre ≡

(4.35)

Das R¨atsel der solaren Energiequelle konnte erst mit Hilfe der Kernphysik gel¨ost werden. Schon 1920 schlug Eddington vor, dass die Sonne durch Fusion von Wasserstoff zu Helium Energie erzeugen kann. Bei der Reaktion 4 H →4 He wird die Bindungsenergie ∆EHe

= ∆m c2 = 26.72 MeV = 4.288 × 10−5 erg

(4.36)

frei. Ber¨ucksichtigt man, dass nur 75 % der Sonnenmasse aus H besteht (der Rest ist im wesentlichen primordiales He), und dass nur ca. 10 % davon zentral genug ist, um zu verbrennen (folgt aus Sonnenmodellen, s.o.), findet man die nukleare Zeitskala der Sonne: tnuk

Enuk, L ' 1010 Jahre ≡

(4.37)

4

65

STERNAUFBAU

Abbildung 31: Potential V und Wellenfunktion Ψ eines Protons im Feld eines anderen.

4.2.2

Nukleare Reaktionsraten

In Kap. (4.1.2) wurde gezeigt, dass die Zentraltemperatur der Sonne ca. 1.3 × 107 K kT ' 1.7 keV betr¨agt. Im Gegensatz dazu hat die Coulomb-Barriere zwischen zwei Protonen eine H¨ohe im Bereich von 1 MeV, vgl. Gl. (1.10). Gl. (2.15) sagt uns, dass die Wahrscheinlichkeit eines Protons mit der kinetischen Energie von 1 MeV ungef¨ahr   E exp − ' 10−434 (4.38) kT ist. Der Sonne stehen aber nur ca. 1057 Protonen zur Verf¨ugung (Gl. (1.43)). So gesehen ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur eine erfolgreiche Fusionsreaktion verschwindend gering. Die L¨osung des Problems liegt in der Quantenmechanik, wie Gamow erkannte. Der quantenmechanische Tunnelprozess f¨uhrt dazu, dass Atomkerne bereits verschmelzen k¨onnen, wenn ihre Wellenfunktionen u¨ berlappen (Abb. (31)). Dies tritt ein, wenn ihr Abstand von der Gr¨oßenordnung ihrer de Broglie-Wellenl¨ange λdB , definiert in Gl. (1.11), ist. Das zu u¨ berwindende Coulombpotential betr¨agt dann: q

= =

Z1 Z2 q 2 λdB Z1 Z2 q 2 mp v h

(4.39)

4

66

STERNAUFBAU

Abbildung 32: Das Produkt aus der MBVerteilung f¨ur die kinetische Energie von Protonen im Sonnenzentrum (gepunktete Linie) und der Tunnelwahrscheinlichkeit ∼ exp(−bE −1/2 ) (multipliziert mit 103 zur besseren Sichtbarkeit; gestrichelte Linie) ergibt den “Gamow-Peak” (multipliziert mit 106 ; durchgezogene Linie).

(Zi : Kernladungszahl des Kerns i). Die Tunnelwahrscheinlichkeit muß geringer werden, je gr¨oßer das Verh¨altnis aus Coulombpotential und kinetischer Energie der Teilchen ist: q 2Z1 Z2 q 2 1 = ∼√ (4.40) E hv E Eine quantenmechanische Rechnung zeigt, dass die Abh¨angigkeit von diesem Verh¨altnis exponentiell ist, ∼ exp(−E −1/2 ). F¨ur die Berechnung von nuklearen Reaktionsraten ben¨otigen wir den in Gl. (2.36) definierten Wirkungsquerschnitt. Dieser enth¨alt u.a. den Tunnelterm:   b σ(E) ∝ exp − √ E 3/2 2 2 π Z1 Z2 µ1/2 q 2 b ≡ (4.41) h (µ ist die reduzierte Masse der Atomkerne, vgl.Gl. (3.3)). Das Produkt aus Tunnel- und Maxwell-Boltzmann-Wahrscheinlichkeit ergibt den sog. Gamow-Peak, siehe Abb. (32). Man erkennt daran auch, dass die Fusion schwererer Kerne aufgrund ihrer st¨arkeren Coulombabstoßung nur bei h¨oheren Temperaturen stattfinden kann. Es ist faszinierend, dass ohne den “exotischen” quantenmechanischen Tunnelprozess Sterne nicht leuchten w¨urden (zumindest nicht sehr lange). Zur¨uck zum Wirkungsquerschnitt f¨ur nukleare Reaktionen. Seine vollst¨andige Form kann man vereinfachen, indem man die st¨arkste Abh¨angigkeit von der Energie herausfaktorisiert. Wie im Zusammenhang mit Gl. (2.36) gezeigt wurde, ist σ proportional zu einem Maß f¨ur die Oberfl¨ache des betrachteten Teilchens. Ausgedr¨uckt durch die de Broglie-Wellenl¨ange Gl. (1.11) lautet diese im nichtrelativistischen Fall (E ∝ v 2 ): σ(E) ∝ πλ2dB 1 ∝ E

(4.42)

4

67

STERNAUFBAU

Man schreibt σ(E) deshalb als Produkt aus einer Funktion S(E), die die gesamte Kernphysik beinhaltet und außerhalb von Resonanzen eine langsam variierende Funktion von E ist, mit E −1 und dem Tunnelfaktor: σ(E) ≡

S(E) exp(−bE −1/2 ) E

(4.43)

Um uns aus dem Wirkungsquerschnitt, Gl. (2.36), die Reaktionsrate rij (≡ Anzahl der Reaktionen von Teilchensorte i mit Teilchensorte j pro Zeit) pro Volumeneinheit zu beschaffen, betrachten wir anstelle einer formalen Herleitung wieder einmal nur die Abh¨angigkeiten. Wir beginnen mit dem Nenner von Gl. (2.36). Die Anzahl der Teilchen i im Energiebereich [E . . . E + dE], die auf eine Einheitsfl¨ache pro Zeiteinheit einfallen, ist proportional zu: 1. Der Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Gl. (2.15), auf der Energieschale E = p2 /2m: ≡ fT (p) p2 dp dp ∝ fT (p) E dE dE ∝ E 1/2 exp(−E/kT )dE

fT (E)dE

(4.44)

2. Der Teilchengeschwindigkeit: v ∝ E 1/2 . 3. Dem Anteil der Sorte i an der Gesamtteilchenzahldichte: ni /n. Das Produkt dieser Faktoren mit σ(E) aus Gl. (4.43) liefert die Anzahl der Reaktionen pro Teilchen j und Zeit im Energiebereich [E . . . E + dE], d.h. wir m¨ussen noch mit nj multiplizieren und u¨ ber E integrieren: Z∞ rij

=

ni n j σ(E)v(E) fT (E)dE n

0

 =

2 kT

3/2

ni nj (πµ)1/2

Z∞

    b E S(E) exp − 1/2 exp − dE kT E

(4.45)

0

Jetzt k¨onnen wir die Energie des Gamow-Peaks, dem Maximum des Integranden in Gl. (4.45), ausrechnen:  Egam =

bkT 2

2/3 (4.46)

Die Funktion S(E) wird oft – abgesehen von Resonanzen – als im Bereich des Gamow-Peaks konstant gen¨ahert (S(E) ' S(EGam )). Sie wird in Experimenten, die zumeist bei h¨oheren Teilchenenergie stattfinden als sie in Sternen relevant sind, durch Extrapolation zu niedrigeren Energien bestimmt. Treten allerdings an den betreffenden Energien Resonanzen auf, wie es z.B. bei der Produktion von 16 O der Fall ist, liefert diese Methode sehr falsche Ergebnisse (siehe Abb. (33)). Bem.: Bei hohen Dichten wird zus¨atzlich die Abschirmung des Coulombpotentials der Atomkerne durch freie Elektronen relevant (electron screening), welches die Reaktionsraten gegen¨uber den unabgeschirmten Raten signifikant erh¨oht. Gl. (4.45) l¨asst sich in der Umgebung einer gegebenen Temperatur n¨aherungsweise als Potenzgesetz schreiben. Daf¨ur f¨uhren wir den Masseanteil,Xi ≡ ni mi /ρ, der Teilchensorte i ein, dessen Summe naturgem¨aß immer gleich 1 ist (außerdem schreibt man jeweils X, Y , Z f¨ur die Masseanteile von H, He und allem anderen = “Metalle”).

4

68

STERNAUFBAU

Abbildung 33: Einfluß von nuklearen Resonanzen auf die Funktion S(E).

Wir erhalten aus Gl. (4.45): rij ' r0 Xi Xj ρ2 T β

(4.47)

(im Falle von Mehrteilchenwechselwirkungen oder Elektronenabschirmung kann die Abh¨angigkeit von ρ st¨arker werden). Der Exponent β folgt durch Taylorentwicklung aus Gl. (4.45). Wird in jeder Reaktion die Energie Qij freigesetzt, so wird die Energieerzeugungsrate pro Masseeinheit (zur Erinnerung: rij ist die Reaktionsrate pro Volumeneinheit) durch Qij rij /ρ gegeben: β ij nuk = Qij r0 Xi Xj ρT

(4.48)

in den Einheiten [erg g−1 s−1 ]. 4.2.3

Erreichen der Brennphasen

Die Coulomb–Abstoßung zwischen Atomkernen (∼ Z1 Z2 ) bewirkt eine Hierarchie der verschiedenen nuklearen Brennphasen in T (vgl. Kap. (4.2.2)). • Nukleare Brennphasen sind zeitlich und r¨aumlich getrennt. Sie f¨uhren zu einer Zwiebelschalenstruktur des Sterns in sp¨aten Entwicklungsphasen. • Die thermonukleare Asche“ einer Brennphase wird zum Brennstoff“ f¨ur die sich anschließende Brennpha” ” se. • Ob eine weitere Brennphase stattfindet, h¨angt von der erreichbaren Maximaltemperatur und daher von der Sternmasse ab Die Anzahl der thermonuklearen Brennphasen ist durch die Masse des Sterns bestimmt. • F¨ur M & 8 − 10M werden alle kernphysikalisch m¨oglichen thermonuklearen Brennphasen durchlaufen. Kontraktion des Sternzentrums f¨uhrt zur Erh¨ohung der Entartung und zur Erh¨ohung der Zentraltemperatur, solange das Gas nicht stark entartet ist. Die m¨oglichen Endstadien der Sternentwicklung sind Weiße Zwerge, Neutronensterne oder Schwarze L¨ocher. ¨ Die Zundkurven sind durch die relevanten thermonuklearen bzw. pykonuklearen Reaktionsraten bestimmt:

4

69

STERNAUFBAU

Brennphase

H–Brennen He–Brennen

Z¨undtemperatur [109 K]

Asche“ ”

Energieerzeugung [1018 erg/g]

H

0.02

4

5∼8

γ

He

0.2

12

C, 16 O, Ne

0.7

γ

Ne, 24 Mg, O, 23 Na

0.5

ν

O, 24 Mg, Si, . . .

0.1

ν

Brennstoff

1

4

He, 14 N

22

C–Brennen

12

C

20

0.8

16

Ne–Brennen

20

Ne

16

1.5

28

O–Brennen

16

Si–Brennen

28

56

K¨uhlung durch

O

2

28

Si, 32 S

0.5

ν

Si

3.5

56

Ni, A ≈ 56

0.1 − 0.3

ν

Ni

6 ∼ 10

n, 4 He, p

−8

ν

Tabelle 1: Zusammenfassung der Brennphasen mit ihrer Brennstoffen, -produkten und Z¨undtemperaturen.

• In thermonuklearen Reaktionen ist die kinetische Energie der Reaktanten durch die W¨armebewegung der Atomkerne gegeben: 3 (4.49) hEkin i = kT 2 d.h. es existiert eine Schwellentemperatur f¨ur jede Brennphase. • In pykonuklearen Reaktionen ist die kinetische Energie der Reaktanten durch die Nullpunktsenergie der Ionen gegeben:  1/2 3 4π ~e 1/2 E0 = ρ (4.50) 2 3 Amu d.h. es existiert eine Schwellendichte ρpyk f¨ur jede Reaktion. ¨ Der Ubergang zwischen beiden Brennmoden (als Funktion von ρ und T ) ist kontinuierlich. F¨ur ρ > ρpyk setzen die Kernreaktionen sehr schnell ein. Typische Werte (τpyk ' 105 a) sind: ρpyk (1 H ρpyk (4 He ρpyk (12 C 4.2.4

→ → →

He) ≈ 106 g cm−3 C) ≈ 109 g cm−3 24 Mg) ≈ 1010 g cm−3

4

12

(4.51)

Wasserstoffbrennen

Ca. 90 % aller Sterne brennen gerade Wasserstoff zu Helium geschehen:

Hauptreihensterne. Das kann auf zwei Arten

1. Die pp-Kette dominiert f¨ur M . 1.1M . Siehe Abb. (34). F¨ur die Bedingungen im Zentrum der Sonne gilt:

4

STERNAUFBAU

70

Abbildung 34: Die pp-Ketten des Wasserstoffbrennens. Beachten Sie die geringe Rate des ersten Schrittes in der ppI-Kette als Folge der schwachen Wechselwirkung.

4

71

STERNAUFBAU

Abbildung 35: Der CNO-Zyklus. Beachten Sie, dass C weder erzeugt noch vernichtet wird, es dient nur als “nuklearer Katalysator”.

• 69% des 4 He wird u¨ ber die ppI-Kette erzeugt. Von den u¨ brigen 31% entstehen: • 99.7% durch die ppII-Kette und • 0.3% durch die ppIII-Kette. Im Bereich von T ' 1.5 × 107 K (Sonnenzentrum) ergibt sich die Energieerzeugungsrate: pp ' hQrpp i X 2 ρT64

(4.52)

mit hQrpp i = 1.07 × 10−5 erg cm3 g−2 s−1 , X ≡ XH und T6 ≡ T /106 K ' 15. 2. Die CNO-Kette, entdeckt im Jahr 1938 von Hans Bethe, dominiert f¨ur M & 1.1M . Siehe Abb. (35). Die Sonne erzeugt nur ca. 1 % ihrer Energie durch CNO-Brennen, den Rest durch pp-Brennen, vgl. Abb. (38). Im Bereich von T ' 1.5 × 107 K lautet die Energieerzeugungsrate: CNO ' hQrCNO i XXCNO ρT619.9

(4.53)

mit hQrCNO i = 8.24 × 10−24 erg cm3 g−2 s−1 . Man erkennt, dass der CNO-Zyklus wesentlich st¨arker temperaturabh¨angig ist als das pp-Brennen. 4.2.5

H¨ohere Brennprozesse

Bis zum Eisen wird durch die Fusion von leichten Atomkernen zu schwereren Energie freigesetzt, schwerere Kerne als Eisen sind energetisch ung¨unstiger (Abb. (37)). Abb. (37) zeigt auch, dass die sog. α-Nuklide, die aus mehreren He-Kernen zusammengesetzt sind, besonders stabil sind (wobei 8 Be noch nicht an die Bindungsenergie von 4 He heranreicht). Deshalb laufen auch die Brennprozesse in Sternen grob gesprochen in Viererschritten ab. Auf das Wasserstoffbrennen folgen die Phasen: Heliumbrennen (T & 108 K): Wie oben erw¨ahnt wurde, ist 8 Be schw¨acher gebunden als 4 He (∆E = −95 keV), so dass Be praktisch “¨ubersprungen” werden muss.

4

72

STERNAUFBAU

Abbildung 36: Der Triple-α-Prozess (Heliumbrennen).

Genauer gesagt ist die Lebensdauer gelegentlich erzeugter 8 Be-Kerne so gering, dass sofort eine weitere Reaktion mit 4 He stattfinden muss, um das st¨arker gebundene 12 C zu erzeugen. Zusammen ergibt das den sog. triple-α-Prozess: 3 4 He →12 C, der 7.28 MeV freisetzt (Abb. (36)). Die Reaktionsrate des triple-α-Prozesses h¨angt quadratisch von der Dichte ab (3-Teilchen-Prozess!) und ist extrem temperaturempfindlich (vgl. Abb. (38). Bei T ' 108 K ist 3α ' hQr3α i Y 3 ρ2 T841

(4.54)

mit Y ≡ XHe und T8 ≡ T /108 K. Schon w¨ahrend des He-Brennens finden weitere α-Reaktionen bis hinauf zu 28 Si statt (z.B. 12 C(α, γ)16 O, 16 O(α, γ)20 Ne usw.). Bem.: Besonders kritisch ist die 12 C(α, γ)16 O-Reaktion, deren Rate aufgrund einer pikant gelegenen C-Resonanz (ohne die diese Reaktion praktisch nicht stattfinden k¨onnte) h¨ochst unsicher ist. Sie ist f¨ur einen großen Teil der bestehenden Unsicherheiten theoretischer Sternmodelle verantwortlich. Interessant: nur durch eine Reihe von kernphysikalischen “Zuf¨allen” sind C und O (unsere Lebensgrundlagen!) die Hauptprodukte der Kernfusion in Roten Riesensternen. Die Nebenreaktion 22 Ne(α, n)25 Mg ist wichtig, weil sie freie Neutronen produziert, die im sog. s-Prozess (“slow”) an schwere Kerne angelagert werden und dadurch Nuklide jenseits des Eisen synthetisieren. Kohlenstoff-Brennen (T & 6 × 108 K): Die Verschmelzung von zwei 12 C-Kernen produziert 24 Mg +γ, 23 Mg +n, 23 Na +p und 20 Ne +α. Neutrinoveluste werden erstmals vergleichbar mit der Energieerzeugungsrate, vgl. Abb. (39). Neon-Brennen (T & 109 K): Hauptreaktion: 20 Ne +γ ↔16 O +α. Die Reaktion befindet sich im Gleichgewicht zwischen Fusion und Photodissoziation. Sauerstoff-Brennen (T & 2 × 109 K): Die Verschmelzung von zwei 16 C-Kernen produziert 32 S +γ, 31 S +n, 31 P +p, 28 Si +α und 24 Mg +2α.

4

STERNAUFBAU

73

Abbildung 37: Nukleare Bindungsenergie als Funktion der Massenzahl.

Silizium-Brennen (T & 4 × 109 K): Diese letzte Phase des nicht-explosiven Kernbrennens (danach folgen nur noch Supernova-Explosionen) erzeugt 56 Ni, 56 Co und 56 Fe durch zahlreiche Reaktionen – dominiert durch α-Reaktionen – aus 28 Si.

4.3

Neutrinoverluste

Neutrinoverluste spielen eine große Rolle in der Entwicklung massiver Sterne (M & 8M ), lassen sich aber auch bei der K¨uhlung Weißer Zwerge nachweisen. Man unterscheidet thermische und nichtthermische Neutrinoprozesse. Im folgenden wird die Verlustrate pro Volumeneinheit mit Pν [erg cm−3 s−1 ] und die Verlustrate pro Masseneinheit mit ν ≡ Pν /ρ [erg g−1 s−1 ] bezeichnet (vgl. Gl. (4.12)). 4.3.1

Thermische Prozesse

Paarvernichtungs-Neutrinos: Bei kT & 0.1me c2 (T & 5 × 108 K) werden Elektronen-Positronen-Paare erzeugt, die in νe + ν¯e zerfallen

4

74

STERNAUFBAU

Abbildung 38: Energieerzeugungsrate als Funktion von T f¨ur pp-, CNO- und HeBrennen.

Abbildung 39: (T ) f¨ur nukleare Brennphasen und Neutrinoveluste

k¨onnen: e+ + e− → νe + ν¯e

(4.55)

Im nichtentarteten Fall ist Pν nur eine Funktion der Temperatur (nichtrelativistisch: Pν ∝ T 3 exp(−2me c2 /kT ), relativistisch: Pν ∝ T 9 ). Daraus folgt, dass ν ∝ ρ−1 . Im entarteten Fall ist der Phasenraum f¨ur e+ und e− besetzt

Pν unterdr¨uckt.

Photoneutrinos: Streuung von Photon an Elektron erzeugt Neutrino-Antineutrino-Paar: e− + γ → ν + ν¯ + e−

(4.56)

4

STERNAUFBAU

Abbildung 40: Aus Beaudet, Petrosian & Salpeter 1967: ApJ 150, 979.

75

4

76

STERNAUFBAU

Im nichtentarteten, nichtrelativistischen Fall ist Pν ∝ ne ∝ ρ und damit ν dichteunabh¨angig. Entartung unterdr¨uckt den Prozess (s.o.). Der Photoneutrinoprozess hat nur eine geringf¨ugige Relevanz (im He- und C-Brennen), weil bei hohen Temperaturen die Paarvernichtungs- und bei hohen Dichten die Plasmaneutrinos u¨ berwiegen. Plasmaneutrinos: Wichtig bei hohen Dichten, dominieren in entarteten Situationen (Weiße Zwerge, Neutronensterne). Plasmonen (γp ) sind quantisierte kollektive Plasmaanregungen (Plasmawellen), die sich grob gesprochen wie Photonen mit Ruhemasse benehmen. Dies folgt aus der Plasma-Dispersionsrelation (vgl. Gl. (2.4)): ω2 E 2 = ~2 ω 2

= k 2 c2 + ωplasma 2 = ~2 k 2 c2 +

~2 ωplasma 2 4 c c4

= p2 c2 + meff 2 c4

,

meff ≡

~ωplasma c2

(4.57)

Im Vakuum verbietet die Impulserhaltung den Prozess γ → ν + ν¯, aber im Plasma ist γp → ν + ν¯

(4.58)

erlaubt. Bei niedrigen Dichten w¨achst Pν mit ρ und T an, da mehr und “schwerere” Plasmonen erzeugt werden. Bei sehr hohen Dichten (~ωplasma  kT ) ist Pν ∝ exp(−~ωplasma /kT ) und f¨allt wieder ab. Siehe Abb. (40). Weitere thermische Prozesse: • Neutrino-Bremsstrahlung: e− +A Z → e− +A Z + ν + ν¯. • Photocoulomb-Neutrinos: γ +A Z →A Z + ν + ν¯. 4.3.2

Nichtthermische Prozesse

“Normale” schwache Wechselwirkung: • β-Zerfall: A Z →A (Z + 1) + e− + ν¯e • e+ -Zerfall: A Z →A (Z − 1) + e+ + νe • Elektroneneinfang: p + e− → n + ν¯e URCA-Prozess: Abregung angeregter Kernzust¨ande (z.B. thermisch) u¨ ber Zwischenkerne mittels schwacher Wechselwirkung. Beispiel: (56 Fe)∗ (e+ νe ) 56 Mn (e− ν¯e ) 56 Fe (4.59) Verlust eines Neutrino-Antineutrino-Paars pro Zyklus. In zentralen, entarteten Konvektionszonen kann es auch zum konvektiven URCA-Prozess kommen: e− -Einfang bei hohen Dichten (energetisch vorteilhaft bei hoher Fermienergie) konvektiver Transport in Region mit niedrigerer Dichte β-Zerfall energetisch g¨unstiger Verlust eines Neutrino-Antineutrino-Paars pro Zyklus. Der konvektive URCA-Prozess spielt eine wichtige Rolle in der Vorl¨auferentwicklung von Typ Ia Supernovae.

4

77

STERNAUFBAU

Abbildung 41: Die Sonne aus Sicht des SOHO-Satelliten.

4.4 4.4.1

Die Sonne Globale Messgr¨oßen

Entfernung: D = 149597870 ± 2 km ≡ 1 AU. Bekannt aus Radar-Entfernungsmessungen anderer Planeten. Masse: M = (1.9891±0.0012)×1030 kg. Bekannt aus Vermessung der Planetenbahnen und Laborbestimmung von G. Radius: R = (6.9626 ± 0.0007) × 108 m. Bekannt aus Messung des Winkeldurchmessers bei bekanntem Abstand. Daraus folgt die mittlere Dichte hρ i = 1.408 g cm−3 . Leuchtkraft: L = (3.845 ± 0.006) × 1026 W. Bekannt aus gemessenem Strahlungsfluss (Solarkonstante) bei bekanntem Abstand. Daraus folgt die Effektivtemeperatur Teff = 5777 ± 2.5 K. Alter: A = (4.55 ± 0.05) × 109 J. Bekannt aus der H¨aufigkeit von 87 Rb in Meteoriten.

4

78

STERNAUFBAU

4.4.2

Helioseismologie

Abbildung 42: Zur Helioseismologie.

Die Analyse der Schwingungsmoden der Sonne, gewissermaßen ihr “Klang”, erlaubt einen Einblick in ihr Innenleben, a¨ hnlich wie der Klang eines Musikinstruments etwas u¨ ber dessen Aufbau und Material aussagt. Seit ca. 1960 wurden sog. 5-min-Oszillationen (eigentlich ca. 3 - 12 min) durch den Dopplereffekt in Spektrallinien der Sonne beobachtet. Seit ca. 1975 weiss man, dass sie durch akustische Schwingungen (p-Moden) erkl¨art werden k¨onnen, die in der Sonne resonieren. Die Lage der “Kavit¨at” f¨ur jede Mode ist dabei von der thermodynamischen Struktur der Sonne abh¨angig. Dies erlaubt eine Vermessung der Sonnenstruktur, die unter dem Namen Helioseismologie bekannt ist. Seit 1996 hat der SOHO-Satellit der NASA, der mit speziellen Helioseismologie-Instrumenten (GOLF, MDI , VIRGO) ausger¨ustet ist, zur Pr¨azisierung dieser Methode beigetragen. Eine lineare St¨orungsanalyse der hydrdynamischen Gleichungen mit hydrostatischem Hintergrund zeigt, dass es 2 Arten von Wellen gibt, die sich in der Sonne ausbreiten k¨onnen (Abb. (42)): p-Moden: Akustische Wellen, deren R¨uckstellkraft durch den Druckgradienten geliefert wird. Propagieren in stabilen und konvektiven Regionen. p-Moden werden sowohl innen (durch die steigende Schallgeschwindigkeit) als auch außen totalreflektiert, wobei die Lage der Reflektionsgrenzen von der thermodynamischen Struktur der Sonne abh¨angt ihr Wellenspektrum ist diskret, die Eigenfrequenzen der Moden mit festen Wellenl¨angen sind Funktionen der Sonnenstruktur. g-Moden: Schwerewellen, deren R¨uckstellkraft durch die Gravitation geliefert wird. Propagieren nur in stabilen Regionen.

4

STERNAUFBAU

79

Abbildung 43: Rotationsgeschwindigkeiten und Str¨omungen in der Sonne.

Abbildung 44: Relative Abweichung der durch Helioseismologie gemessenen Schallgeschwindigkeit der Sonne von der theoretisch berechneten.

g-Moden durchlaufen auch das Sonnenzentrum und sind deshalb besonders f¨ur die thermische Struktur der Brennregion, in der auch die solaren Neutrinos erzeugt werden, relevant. Durch Invertierung der gemessenen Frequenz-Wellenl¨angen-Beziehungen, d.h. dem “Best Fit” dieser Daten an ein berechnetes Sonnenmodell, kann man die Qualit¨at des Standard-Sonnenmodells u¨ berpr¨ufen. Abb. (44) zeigt das eindrucksvolle Ergebnis am Beispiel der Schallgeschwindigkeit. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist die Vermessung der Rotationsgeschwindigkeiten der Sonne in ihrem Innern

4

STERNAUFBAU

80

(Abb. (43)). Dabei wurde u.a. ein nicht vermuteter “Jet-Stream” in der N¨ahe der Pole gefunden. 4.4.3

Das Standard-Sonnenmodell

Um ein theoretisches Modell f¨ur den Aufbau der Sonne zu erhalten, l¨ost man die Gleichungen, die in Kap. (4.1.7) zusammengefasst wurden, numerisch.

Abbildung 45: Entwicklung der Sonne seit ihrer Entste- Abbildung 46: Die Massenanteile von H, 4 He und 3 He in ¨ hung im Standard-Sonnenmodell. Aufgrund der Andeder Sonne als Funktion des Radius. rungen ihrer chemischen Zusammensetzung wurde die Sonne gr¨oßer und heller.

Abbildung 47: Temperatur- (links) und Dichtestruktur der Sonne als Funktion des Radius.

4

81

STERNAUFBAU

Abbildung 48: Leuchtkraftprofil (links) und dessen Ableitung (rechts, ∝ nuk (r)) als Funktion des Radius. Dabei geht man wie folgt vor: 1. Das Anfangsmodell ist ein chemisch homogener Stern mit M = M . 2. Man variiert die anf¨angliche He-Konzentration Y0 derart, dass f¨ur das Alter A = A die Leuchtkraft L = L ist Y0, = 0.256. 3. Ein weiterer freier Parameter ist das Verh¨altnis aus Mischungswegl¨ange und Druckskalenh¨ohe (vgl. Gl. (3.9)), α≡

lconv lP

(4.60)

das in die Mischungswegtheorie der Konvektion einfliesst. Man w¨ahlt α so, dass R = R ist

α ' 1.38.

4. Damit findet man eine L¨osung der Sternaufbaugleichungen mit einer a¨ ußeren Konvektionszone (r & 0.75R ), in der sich aber nur ca. 1.7% der Sonnenmasse befinden. Der Sonnenkern ist radiativ, H-Brennen findet innerhalb von r . 0.25R statt. 4.4.4

Solare Neutrinos

Bei der Fusion von Wasserstoff zu Helium ergibt sich folgendes Nettobudget: 4p + 2e− →4 He + 2νe + 26.2 MeV

(4.61)

F¨ur jede 26.2 MeV Energie strahlt die Sonne also 2 Neutrinos ab. Die gemessene Leuchtkraft der Sonne entspricht einem Neutrinofluss von 6.4 × 1010 cm−2 s−1 . Dieser verteilt sich wie folgt auf die nuklearen Reaktionen (Abb. (49)): p+p 7 Be + e− 8 B

→ → →

2

H + e+ + νe 7 Li + νe 8 Be + e+ + νe CNO-Brennen

, , , ,

90% 8% 0.01% 2%

(4.62)

4

82

STERNAUFBAU

Abbildung 49: Energiespektrum solarer Neutrinos.

Abbildung 50: Schematischer Aufbau des Homestake-Experiments.

4

83

STERNAUFBAU

Abbildung 51: Schematischer Aufbau eines Cherenkov-Neutrinodetektors.

Seit 1967 haben Raymond Davis Jr. (Nobelpreis 2002 zusammen mit M. Koshiba und R. Giacconi) und seine Kollegen versucht, solare Neutrinos mit 100000 Gallonen C2 Cl4 (Tetrachloro¨athylen, einer Reinigungsfl¨ussigkeit) in der Homestake-Mine South Dakota u¨ ber die Reaktion νe +37 Cl →37 Ar + e−

(4.63)

nachzuweisen (Abb. (50)). Dabei wird ca. 1 radioaktives Argon-Atom pro Tag produziert, das mit einer Halbwertszeit von 35 Tagen zerf¨allt. Die Reaktion ist nur f¨ur B und Be-Neutrinos sensitiv. Das Ergebnis war u¨ berraschend: es wurden zwar eindeutig Neutrinos nachgewiesen, aber nur mit ca. einem Drittel der vorhergesagten Rate. Die L¨osung konnte entweder in Problemen mit dem Sonnenmodell liegen, oder in einer neuen Eigenschaft von Neutrinos, der bereits postulierten Neutrino-Oszillationen. Besonders wichtig: letztere setzen eine nichtverschwindende Ruhemasse der Neutrinos voraus. Es folgten weitere Neutrino-Experimente: Kamiokande (japanischer Cherenkov-Detektor, Abb. (51)), GALLEX − 71 (europ¨aisches 71 31 Ga(νe , e )32 Ge-Experiment im Gran Sasso-Tunnel), SAGE (Russland, gleiche Reaktion) und Super-Kamiokande (Cherenkov), mit dem 1998 erstmals Neutrino-Oszillationen in der Erdatmosph¨are nachgewiesen wurden. 1999 wurde das Sudbury Neutrino Observatory (SNO) in Ontario, Kanada in Betrieb genommen (mit “geliehenen” 1000 Tonnen schwerem Wasser), mit dem erstmals auch νµ und ντ nachgewiesen werden konnten. Im Juni 2001 wurden die ersten Ergebnisse ver¨offentlicht, die eine L¨osung des solaren Neutrinoproblems durch Oszillationen nahelegten. Sie wurden im April 2002 best¨atigt, damit gilt das Problem als gel¨ost. Im Dezember 2002 fand das japanische KAMLAND-Experiment, in dem Reaktor-Antineutrinos nachgewiesen werden, ν¯-Oszillationen auf der Erde und legte dadurch die letzte verbleibende Unsicherheit, den sog. “ν-Mischungswinkel”, fest.

4

STERNAUFBAU

Abbildung 52: Gemessene Neutrinoraten aller Experimente im Vergleich mit der theoretischen Vorhersage.

84

5

85

STERNENTWICKLUNG

5 5.1 5.1.1

Sternentwicklung Allgemeine Eigenschaften Der Virialsatz

Der Virialsatz ist eine statistische Aussage u¨ ber ein System wechselwirkender Teilchen. Zur Ableitung des Virialsatzes geht man von der Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts, Gl. (4.4) bzw. Gl. (4.5), aus. Integration von Gl. (4.5) u¨ ber den Stern liefert ZM

dP 4πr dM = − dM 3

0

ZM

GM dM r

(5.1)

0

Nach partieller Integration wird daraus: M 4πr P 0 − 3

ZM

dr P dM = Egrav dM

12πr2

(5.2)

0

(Egrav : Gravitationsbindungsenergie). Da der Druck an der Sternoberfl¨ache verschwindet, ist der erste Term auf der linken Seite der obigen Gleichung gleich Null. Mit Gl. (4.3) folgt daraus der Virialsatz (f¨ur ρ 6= 0): ZM Egrav = −3

P dM ρ

(5.3)

0

Mit Gl. (2.8) und Gl. (2.35) l¨asst sich Gl. (5.3) auch als Egrav

ZM = −3 (Γ − 1)dM 0

= −3(Γ − 1) ET

(5.4)

schreiben (ET : thermische Energie). Betrachtet man ein ideales Gas (Gl. (2.31)) mit Γ = 5/3, so folgt aus dem Virialsatz: Egrav = −2ET

(5.5)

Kontrahiert ein Stern, so erh¨oht sich der Betrag seiner (negativen) Gravitationsbindungsenergie |Egrav | und seine Dichte nimmt zu. Die bei der Kontraktion freigesetzte Gravitationsbindungsenergie −δEgrav > 0 wird zur H¨alfte abgestrahlt Erad = −δEgrav /2. Die andere H¨alfte erh¨oht die thermische Energie des Sterns (δET = −δEgrav /2 > 0), d.h. der Stern wird heißer. Ein Stern kann nicht abk¨uhlen! Solange sich die Sternmaterie durch ein ideales Gas beschreiben l¨asst, f¨uhrt die durch die Gravitation angetriebene Entwicklung eines Sterns zu immer h¨oheren Dichten und Temperaturen. 5.1.2

Homologe Entwicklung

Aus Sternentwicklungsrechnungen ergibt sich, dass die Kontraktion in guter N¨aherung selbst¨ahnlich verl¨auft. F¨ur Polytrope gilt dies exakt [siehe Kippenhahn & Weigert, S. 191ff].

5

86

STERNENTWICKLUNG

Eine Entwicklung heißt selbst¨ahnlich oder homolog, wenn ˜ r˜(M ) R = = const r(M ) R

(5.6)

˜ die entsprechenden gilt, wobei r und R zwei beliebige radiale Positionen im Stern vor der Kontraktion, und r˜ und R Koordinaten der gleichen Masseschalen nach der Kontraktion sind. ˜ gilt wegen Gl. (4.2): F¨ur jede Masseschale dM = dM dM = 4πr2 ρ(r)dr

ρ(˜ r) = ρ(r)

4π˜ r2 ρ(˜ r)d˜ r  2 r˜ ρ(˜ r) r˜ = 4πr2 ρ(r) dr r ρ(r) r

=

 −3 r˜ r

(5.7)

Ebenso folgt aus Gl. (4.4): P (˜ r) = P (r)

 −4 r˜ r

(5.8)

Im Fall einer homologen Entwicklung (Gl. (5.6)) gilt deshalb: dρ ρ dP P

dr r dr = −4 r = −3

(5.9)

Parametrisiert man die Zustandsgleichung durch den Ansatz (das mittlere Molekulargewicht µa sei dabei konstant angenommen) ρ ∝ P α T −δ (5.10) so folgt dρ dP dT =α −δ ρ P T

(5.11)

Kombiniert man die Beziehungen in Gl. (5.9), so erh¨alt man d ln T 4α − 3 = d ln ρ 3δ

(5.12)

F¨ur ein ideales Gas gilt α = 1 und δ = 1, d.h. d ln T /d ln ρ = 1/3, w¨ahrend im Falle eines entarteten Elektronengas α ∈ [3/5, 3/4], δ ≈ 0 und d ln T /d ln ρ < 0 sind. Mit Hilfe von Gl. (5.12) l¨asst sich die Entwicklung eines Sterns in der T –ρ–Ebene anschaulich verstehen, vgl. Abb. (53). Abb. (53) zeigt die Entwicklungspfade der Zentren dreier Sterne (schwarze Linien) der Massen M1 > M2 > M3 in der Temperatur–Dichte–Ebene. Das Vektorfeld zeigt die Richtung an, in die sich ein homolog kontrahierender Stern entwickeln w¨urde. Im linken, oberen Teil der Figur ist die Zusandsgleichung die eines idealen Gas, d.h. die Pfeile haben den Anstieg 1/3. Die gr¨une Linie ist durch den Enartungsparameter η = 0 definiert (vgl. S.21). Unterhalb dieser Linie muss die Entartung der Elektronen ber¨ucksichtigt werden. Auf der gelben Linie gilt α = 3/4 und damit d ln T /d ln ρ = 0, d.h. auf der Linie sind die Pfeile horizontal und unterhalb der Linie zeigen sie nach unten. Oberhalb der roten, blauen bzw. rosa Linie findet H–Brennen, He–Brennen, bzw. C–Brennen statt.

5

STERNENTWICKLUNG

87

Abbildung 53: Entwicklungspfade von Sternen mit verschiedener Masse in der log T − log ρ-Ebene.

Die Entwicklung des Sterns mit der Masse M1 wird kaum durch Entartungseffekte beeinflusst; sein Zentrum heizt sich w¨ahrend der Kontraktion kontinuierlich auf. Im Zentrum des Sterns der Masse M2 (< M1 ) tritt Entartung auf; die homologe Kontraktion kann die Temperatur maximal auf einige 107 K erh¨ohen. Im Falle des Sterns der Masse M3 (< M2 ) ist die maximal erreichbare Zentraltemperatur noch geringer. F¨ur M2 und M3 wird die Z¨undtemperatur f¨ur die Heliumfusion nicht erreicht. Umfangreiche Sternentwicklungsrechnungen ergeben das folgende Bild (siehe auch Abb. (54), Abb. (63)): • Kein H–Brennen, wenn MH . 0.08M . Sterne entarten bereits bei der Kontraktion zur Hauptreihe. • Kein He–Brennen, wenn MHe . 0.35M . Entartung tritt nach dem H–Brennen auf falls M . 0.5M . Im Massenbereich 0.5 . M/M . 2.5 durchl¨auft ein Stern das He–Brennen in Form eines He–Blitzes. • Kein C–Brennen, wenn MC . 0.9M . Entartung tritt nach dem He–Brennen auf (M . 8 − 10M ).

5.2 5.2.1

Entwicklungsstadien im Detail Interstellares Medium

Das interstellare Gas tritt im wesentlichen in drei physikalischen Formen auf: der kalten (T ∼ 102 K), warmen (T ∼ 104 K) und heißen (T & 106 K) Phase.

5

STERNENTWICKLUNG

88

Abbildung 54: Entwicklung der Zentraltemperatur und Zentraldichte in der Dichte–Temperatur–Ebene von Sternen unterschiedlicher Masse (Werte in Einheiten von Sonnenmassen). Die gestrichelten Linien sind die Z¨undkurven f¨ur H-, He- und C–Brennen. Die gestrichelte Gerade markiert (bei nicht allzu hohen Temperaturen) die ungef¨ahre Grenze zwischen nicht– entartetem und entartetem Elektronengas [Iben, 1991, ApJ Suppl 76, 55].

Diese Phasen stehen im Druckgleichgewicht. Sie stehen nicht im thermischen Gleichgewicht, weil Energie durch das System fließt: das Gas wird durch Sternwinde und Supernovae aufgeheizt und k¨uhlt durch Strahlungsverluste. Das kalte interstellare Medium (ISM) hat die h¨ochste Dichte (n & 1 cm−3 ) aller Phasen. Es besteht aus folgenden Komponenten: HI-Wolken Nichtionisierter Wasserstoff (HI) bildet Wolken mit einigen pc Durchmesser und M ∼ 500M . Sie sind nicht gravitativ gebunden und existieren nur aufgrund des Druckgleichgewichts mit ihrer Umgebung. Wegen der geringen Temperatur von ca. 100 K ( ∼ 10−2 eV) kann der H-Grundzustand nicht angeregt werden, weil dazu mindestens 10 eV n¨otig sind (vgl. Gl. (2.37)). ¨ Es existiert allerdings ein Hyperfein-Ubergang zwischen den Spinzust¨anden von Proton und Elektron mit −6 ∆E = 6 × 10 eV λ = 21 cm (Radio), siehe Abb. (57). ¨ Der 21-cm-Ubergang ist streng verboten mit einer Lebensdauer von 107 Jahren. Die HI-Dichte und thermische Stoßanregung sind jedoch ausreichend, um die Linie beobachtbar zu machen. Sie ist das wichtigste Werkzeug f¨ur die Vermessung der Rotationskurve von Galaxien (einschließlich der unseren). Im Labor kann die 21-cm-Linie nicht beobachtet werden, weil die erreichbaren Dichten noch zu hoch sind Stoßabregung dominiert. ¨ Molekulwolken Molek¨ulwolken sind sehr kalte (T . 20 K) und dichte (n ∼ 102 cm−3 ) Wolken mit Massen bis zu 106 M und Radien bis zu 60 pc (Riesenmolek¨ulwolken, GMC). Sie befinden sich in den galaktischen Spiralarmen und sind bevorzugte Orte der Sternentstehung. Radio- und IR-Beobachtungen von Molek¨ulwolken zeigen eine Vielfalt an Molek¨ulen, von CO (λ = 2.6 mm ¨ Rotations¨ubergang) u¨ ber H2 O und HCN (Zyanid) bis zu Athylalkohol (CH3 CH2 OH). Die Wolken enthalten große Mengen an Staub (s.u.), der die Molek¨ule vor UV-Strahlung sch¨utzt. Molekularer Wasserstoff (H2 ) kann nur indirekt nachgewiesen werden, meistens durch die 2.6-mm-Linie von CO. Die Kollisionsraten h¨angen von der Gasdichte und -temperatur ab und lassen daher eine Aussage u¨ ber die Anwesenheit von H2 zu.

5

STERNENTWICKLUNG

89

Abbildung 55: Der Entwicklungszyklus der Sterne (von Hans Ritter, MPA).

Die innere Dynamik der Molek¨ulwolken ist sehr komplex. Sie sind hochgradig turbulent und weisen zum Teil starke Magnetfelder auf. Simulationen von kollabierenden Molek¨ulwolken geh¨oren zu den großen Herausforderungen der aktuellen Forschung im Gebiet der Sternentstehung. Interstellarer Staub Interstellarer Staub besteht haups¨achlich aus Silikaten (Sand) und Kohlenwasserstoffverbindungen (Ruß), wie man an seinem Emissionsspektrum im IR erkennen kann. In kalten Umgebungen sind die Staubk¨orner oft mit H2 O- und CO2 -Eis bedeckt. Er wird in den a¨ ußeren Atmosph¨aren von Roten Riesen produziert und in deren Sp¨atphasen in das ISM geblasen. Die Wechselwirkung mit Photonen wird durch Mie-Streuung dominiert, die auftritt, wenn die Ausdehnung der Streupartikel d mit der Wellenl¨ange des Lichts vergleichbar ist. Ihre Wellenl¨angenabh¨angigkeit ist σMie ∝ λ−1 (bei λ  d dominiert die Rayleighstreuung mit σR ∝ λ−4 , Gl. (2.49)). ˚ Beobachtete Extinktionskurven zeigen ein lokales Maximum bei 2175 A(4.6 µm), das durch makroskopische, nadelf¨ormige Graphitteilchen erkl¨art wird. Die Form folgt aus dem Polarisationsgrad (einige Prozent) des gestreuten Lichts, der durch die Ausrichtung (und Rotation) der Teilchen senkrecht zu den Feldlinien eines interstellaren Magnetfelds produziert wird. Staub absorbiert bevorzugt UV und optisches Licht, das im IR re-emittiert wird. Dieser Prozess ist wichtig

5

STERNENTWICKLUNG

90

Abbildung 56: Endprodukte der Sternentwicklung als Funktion ihrer Masse bzw. Lebenszeit auf der Hauptreihe (von Hans Ritter, MPA).

f¨ur die K¨uhlung von Sternentstehungsgebieten. Er erkl¨art auch die typische R¨otung von Sternspektren, die durch Staub hindurch beobachtet werden (vgl. den Verf¨arbungsweg in Abb. (24)). Dar¨uber hinaus wird blaues Licht wegen der Wellenl¨angenabh¨angigkeit der Mie-Streuung st¨arker aus der Sichtlinie herausgestreut als rotes, vgl. Abb. (58). Man findet es in blauen Reflexionsnebeln außerhalb der Sichtlinie zu hellen Sternen, die hinter Staubwolken liegen, wieder. HII-Wolken geh¨oren zum warmen ISM. Sie treten meistens in der N¨ahe massiver (O oder B) Sterne auf, die ihre ¨ Umgebung ionisieren. Bei der Rekombination kaskadiert das Elektron durch mehrere Uberg¨ ange im sichtbaren Spektrum, u.a. die rote Balmer (n = 3 → n = 2) Linie HII-Regionen erscheinen rot leuchtend. Die Gr¨oße einer HII-Region l¨asst sich durch die Annahme eines Gleichgewichts zwischen Rekombination und Ionisation absch¨atzen. Es seien: • N die Zahl der ionisierenden Photonen, die pro Sekunde vom Zentralstern emittiert werden. • αne nH die Anzahl der Rekombinationen pro Sekunde und Volumeneinheit (α ist hier ein quantenmechanischer Effizienzparameter ' 3 × 10−13 cm3 s−1 bei T ' 8000 K).

5

91

STERNENTWICKLUNG

¨ Abbildung 57: 21-cm-Ubergang zwischen den Hyperfeinzust¨anden des HI-Atoms.

Abbildung 58: Kleinere Wellenl¨angen werden st¨arker von Staub absorbiert und gestreut als gr¨oßere. Deshalb erscheint ein Stern hinter einer Staubwolke f¨ur Beobachter A ger¨otet, w¨ahrend das gestreute blaue Licht als Reflexionsnebel von Beobachter B gesehen wird.

• ne ' nH , wenn das Gas fast ausschließlich aus Wasserstoff besteht. • V = (4π/3)RS3 das Volumen der HII-Region mit dem Str¨omgren-Radius RS . Multiplikation der Rekombinationsrate mit dem Str¨omgren-Volumen und Gleichsetzen mit der Ionisationsrate liefert:  1/3 3N −2/3 RS = nH (5.13) 4πα (typischerweise . 1 pc). ¨ Das heiße ISM wird durch Supernova-Uberreste dominiert. Sie k¨uhlen haupts¨achlich durch thermische Brems¨ strahlung. Ein prominentes Beispiel ist der Crab-Nebel, Abb. (59), der Uberrest einer Supernova, die 1054 explodierte.

5

STERNENTWICKLUNG

92

Abbildung 59: Der Crab-Nebel, aufgenommen mit dem VLT der ESO. Das blaue Licht wird von diffuser Synchrotronstrahlung produziert.

5.2.2

Sternentstehung

Eine Gaswolke kollabiert, wenn ihre Eigengravitation den Gasdruckgradienten u¨ berwiegt. Wann dies geschieht, l¨asst sich durch eine lineare Stabilit¨atsanalyse absch¨atzen. Dazu nimmt man zun¨achst eine homogene Dichte- und Temperaturverteilung an, der eine kleine ortsabh¨angige St¨orung u¨ berlagert wird. Dann entwickelt man die hydrodynamischen Gleichungen linear nach der St¨orungsamplitude. Das resultierende System linearer Differentialgleichungen hat L¨osungen, die entweder oszillieren oder exponentiell wachsen bzw. abfallen. Die Existenz wachsender L¨osungen wird lineare Instabilit¨at genannt. Im Fall der Gravitationsinstabilit¨at von Gaswolken wurde diese Analyse von Jeans durchgef¨uhrt. Er fand heraus, dass nur St¨orungen mit Wellenl¨angen > λJ , der sog. Jeansl¨ange, anwachsen. Sobald Inhomogenit¨aten ins Spiel kommen, werden Beschleunigungen durch Druckgradienten wichtig, d.h. man betreibt Hydrodynamik. Die grundlegenden Gleichungen der Hydrodynamik idealer Fl¨ussigkeiten sind die Euler-

5

93

STERNENTWICKLUNG

gleichungen, die die Masse- und Impulserhaltung wiederspiegeln: ∂ρ ∂t ∂v ∂t ∆Φ

+ ∇(ρv) = 0 + =

1 (v∇)v = − ∇P − ∇Φ ρ 4πGρ

(5.14)

Die letzte Gleichung ist die Poissongleichung f¨ur das Gravitationspotential Φ. v bezeichnet die lokale Geschwindigkeit der Fl¨ussigkeit. Die Euler- und Poissongleichungen sind gekoppelte partielle Differentialgleichungen f¨ur die Variablen ρ, v und Φ, wobei ρ und P durch die Zustandsgleichung verbunden sind. Insbesondere sind die Gleichungen nichtlinear durch den Tr¨agheitsterm ((v∇)v) in der Impulsgleichung. Das f¨uhrt zu der faszinierenden Komplexit¨at der L¨osungen (z.B. Turbulenz), macht sie aber bis auf wenige (weitgehend langweilige) Ausnahmef¨alle analytisch unl¨osbar. Um festzustellen, ob die homogene L¨osung (ρ, P =const, v = 0) stabil ist oder ob kleine Abweichungen sofort anwachsen, teilt man die Variablen in ihre homogenen und inhomogenen Anteile auf: ρ P v Φ

→ → → →

ρ + δρ(x, t) P + δP (x, t) v + δv(x, t) Φ + φ(x, t)

(5.15)

Dabei werden die St¨orungen δρ, δP , δv und φ als klein im Vergleich zu den Hintergrundwerten angenommen. Dann kann man die Gleichungen (5.14) als Taylorreihe schreiben, in der alle Terme quadratischer und h¨oherer Ordnung in den St¨orungen vernachl¨assigt werden (Linearisierung): ∂δρ + ρ(∇δv) = 0 ∂t ∂δv c2 = − s ∇δρ − ∇φ ∂t ρ ∆φ = 4πGδρ

(5.16)

Die Gr¨oße cs in der linearisierten Eulergleichung ist die adiabatische Schallgeschwindigkeit (wir betrachten nur adiabatische St¨orungen): 1/2 ∂P = ∂ρ S=const s ΓP = ρ 

cs

(5.17)

Wir nehmen außerdem an, dass es keine r¨aumlichen Variationen der Zustandsgleichung gibt, so dass c2s =

δP δρ

(5.18)

Gl. (5.16) kann zu einer einzigen linearen PDGl zweiter Ordnung f¨ur δρ umgeformt werden: ∂ 2 δρ − c2s ∆δρ = 4πGρδρ ∂t2

(5.19)

5

94

STERNENTWICKLUNG

Ausgedr¨uckt durch den Dichtekontrast, δρ(x) ρ ρ(x) − ρ ρ

δ(x) ≡ =

(5.20)

lautet Gl. (5.19): ∂2δ − c2s ∆δ = 4πGρδ (5.21) ∂t2 Gl. (5.21) hat ganz offensichtlich die Form einer Wellengleichung. Aufgrund ihrer Linearit¨at l¨asst sie sich leicht mit dem Ansatz ebener monochromatischer Wellen l¨osen: δ(r, t) = Ae−i(kr−ωt)

(5.22)

Die Frequenz ω muss dabei die Dispersionsrelation ω 2 = c2s k 2 − 4πGρ

(5.23)

erf¨ullen. Wenn ω imagin¨ar ist, zeigt Gl. (5.22), dass exponentiell wachsende Moden existieren. Dies ist gleichbedeutend mit einer Instabilit¨at des Systems, in diesem Fall der Jeans-Instabilit¨at. Reale Frequenzen f¨uhren hingegen zu oszillierenden Moden, den Schallwellen. Man sieht in Gl. (5.23), dass ω unterhalb einer kritischen Gr¨oße der Wellenzahl imagin¨ar wird. Dieser Wert wird Jeans-Wellenzahl genannt: s 4πGρ kJ = (5.24) c2s Entsprechend ist die Jeansl¨ange definiert, λJ =

2π kJ

(5.25)

St¨orungen mit viel gr¨oßerer Wellenl¨ange (k  kJ ) wachsen bzw. zerfallen exponentiell mit der sog. dynamischen Zeitskala, 1 τd ∼ √ (5.26) 4πGρ √ τd ist, bis auf einen Faktor 3, identisch mit der Freifallzeitskala tgrav aus Gl. (1.36). Anhand von Gl. (5.26) findet man eine weitere physikalische Interpretation der Jeans-Instabilit¨at: wenn die dynamische (oder Freifall-)Zeitskala einer Dichtest¨orung kleiner wird als die Schalllaufzeit, mit der die Druck-R¨uckstellkraft kommuniziert wird (τs ∼ λ/cs ), kollabiert die St¨orung. Schließlich kann man die minimale Masse berechnen, die durch die Jeans-Instabilit¨at kollabiert, die sog. Jeansmasse. Es ist die Masse innerhalb einer Kugel mit dem Jeansradius RJ ≡ λJ /2: MJ

= =

4π 3 R ρ 3 J s

π 5 c6s 36 G3 ρ 5

' 1.37 × 10 M



T 102 K

3/2 

ρ −24 10 gcm−3

−1/2

µ−3/2

(5.27)

5

95

STERNENTWICKLUNG

Abbildung 60: Aus Hayashi C.,“Evolution of Protostars” ARAA 4, 171 (1966).

mit Hilfe von Gl. (2.31) und Γ = 5/3. Unter den Bedingungen des kalten ISM ist MJ wesentlich gr¨oßer als eine typische Sternmasse. Auf der anderen Seite scheinen GMCs ihre Jeansmasse zu u¨ berschreiten, sie m¨ussen also durch turbulenten und magnetischen Druck stabilisiert werden. Des R¨atsels L¨osung liegt in der Fragmentation kollabierender Wolken: Da die Dichte beim Kollaps bei ungef¨ahr konstanter Temperatur anw¨achst, wird die Jeansmasse kleiner kleinere Inhomogenit¨aten wachsen an der Prozess kaskadiert zu immer kleineren Skalen. Sobald das kollabierende Gas optisch dick wird, kann die thermische Energie (Virialsatz!) nicht mehr abgestrahlt werden das Wolkenfragment kollabiert adiabatisch, der Kaskadenprozess wird gestoppt: Aus T ∝ ρΓ−1 folgt mit Γ = 5/3 aus Gl. (5.27), dass MJ ∝ ρ1/2 , d.h. die Jeansmasse w¨achst mit wachsender Dichte. Trotz der Kombination komplexer Prozesse, die beim Kollaps eine Rolle spielen (Drehimpulstransport, Turbulenz, Magnetfelder, K¨uhlungsinstabilit¨aten, . . . ), beobachtet man eine nahezu universelle Massenfunktion gebildeter Sterne (“Initial Mass Function”, IMF): dN ∝ M −1.35 dM

,

Mmax ∼ 100M

(5.28)

(Salpeter-IMF). Die Universalit¨at der stellaren IMF ist ein weiteres Beispiel f¨ur die großen Fragen der aktuellen Astrophysik. 5.2.3

Protosterne

Ein kollabierendes Wolkenfragment, das sp¨ater zu einem Stern mit M ∼ 1M wird, durchl¨auft folgende Phasen: 1. Solange das Fragment optisch (bzw. IR) d¨unn ist, verl¨auft der Kollaps isotherm bei T ≈ 10 K. 2. Bei n ' 1011 cm−3 wird das Gas optisch dick und heizt sich auf. Der thermische Druck verlangsamt den Kollaps vor¨ubergehend. Das Objekt ist ab jetzt ein Protostern. 3. Bei T ' 1000 K und n ' 1016 cm−3 beginnt die Dissoziation von H2 im Zentrum. Die resultierende K¨uhlung beschleunigt den Kollaps wieder auf dynamische Zeitskalen (∼ tgrav ).

5

STERNENTWICKLUNG

96

Abbildung 61: Skizze eines T Tauri Sterns mit Akkretionsscheibe und protostellarem Jet. Die Linienprofile werden durch die u¨ berlagerte Emission der dopplerverschobenen Gasregionen produziert. Aus Snell et al. 1980, Ap.J.Lett. 239, L17.

4. Bei T ' 104 K und n ' 1022 cm−3 setzt die zweite quasi-station¨are Kontraktionsphase ein. Der Kern (10−3 M , 10 R ) ist von einer optisch dicken H¨ulle mit Radius ∼ 106 R umgeben. 5. Die weitere Entwicklung verl¨auft auf der Kelvin-Helmholtz-Zeitskala tKH . Der Stern wird zum Vor-Hauptreihenstern. Die Opazit¨at ist sehr hoch, so dass der Temperaturgradient steil und der Stern vollst¨andig konvektiv wird er bewegt sich auf der Hayashi-Linie (Abb. (60)). Beobachtete Sterne in dieser Phase im Massebereich M ' 0.5 . . . 3M , die starke Leuchtkraftschwankungen auf Zeitskalen von Tagen sowie starke Emissionslinien aufweisen, werden T Tauri Sterne genannt. Sie sind h¨aufig von Akkretionsscheiben umgeben und zeigen zum Teil starke magnetische Aktivit¨at und Jets (die wiederum mit Herbig-Haro-Objekten assoziiert werden). Siehe Abb. (61). 6. Bei T ' 107 K und n ' 1026 cm−3 beginnt schließlich das Wasserstoffbrennen im Kern (Kap. (4.2.4)). Der Stern ist jetzt auf der Hauptreihe, wo er ca. 90 % seines Lebens verbringt. 5.2.4

Von der Hauptreihe zum Riesenast

Der Ort eines Sterns auf der Hauptreihe wird durch seine Masse festgelegt. Der Einfluss der chemischen Komposition macht sich durch die “Breite” der Hauptreihe bemerkbar. Nachdem der Großteil des Wasserstoffs im Kern verbraucht ist, setzt das Wasserstoff-Schalenbrennen außerhalb des He-Kerns ein. Die brennende Schale bewegt sich nach außen, w¨ahrend der He-Kern langsam kontrahiert. Insgesamt steigt dadurch die Temperatur im Zentrum, so dass sich der Stern aufbl¨aht “Riesen” der Stern wird “rot”. Dabei bleibt die Leuchtkraft nahezu konstant, d.h. nach Gl. (2.67) sinkt Teff Am rechten Ende des HRD erreicht der Stern (nach ∼ tKH !) wieder die Hayashi-Linie und bewegt sich darauf nach oben Riesenast, siehe Abb. (63) und Abb. (62).

5

97

STERNENTWICKLUNG

Abbildung 62: HR-Diagramm des Kugelsternhaufens M3.

5.2.5

Nach dem Riesenast

Die Entwicklung nach dem Riesenast h¨angt von der Masse des Sterns ab: M . 0.5M Der Heliumkern wird vollst¨andig entartet, bevor He-Brennen (Kap. (4.2.5)) einsetzen kann. Die Kontraktion stoppt. Sp¨ater wird die H¨ulle abgestoßen, der Stern wird zum He-Weißen Zwerg. 0.5M . M . 2.5M Die Masse des He-Kerns w¨achst durch das H-Schalenbrennen. He-Brennen beginnt, aber der Kern ist schon teilweise entartet. Die Temperatur, und damit 3α ∝ T 40 , steigt schlagartig an, weil der Kern nicht durch Expansion k¨uhlen kann Kern-Helium-Blitz. Ein Kern-Helium-Blitz erreicht f¨ur wenige Sekunden L ∼ 1011 L , ist aber nicht direkt beobachtbar, weil die Energie erst langsam an die Sternoberfl¨ache diffundieren muss. Anschließend brennt He im Kern stabil. Der Stern lebt auf dem Horizontalast (Abb. (63)). Ist das Helium im Kern verbraucht, bildet sich eine He-Brennschale. Der Stern bewegt sich wieder in Richtung Hayashi-Linie Asymptotischer Riesenast (AGB). Weitere Brennphasen werden, wiederum aufgrund der Kern-Entartung, nicht erreicht. Der Stern endet als C-O-Weißer Zwerg. M & 2.5M He-Brennen im Kern setzt unter nichtentarteten Bedingungen ein bis zum AGB wie oben. (Abb. (64),Abb. (65)).

kein He-Flash. Weitere Entwicklung

In der AGB-Phase massiver Sterne k¨onnen Schalen-Helium-Blitze auftreten, wenn die H-Brennschale soviel He auf die darunter liegende He-Brennschale deponiert, dass das He kurzzeitig entartet. Diese Pulse entstehen periodisch mit einer Periode von 103 . . . 105 Jahre, je nach Sternmasse.

5

STERNENTWICKLUNG

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Abbildung 63: Entwicklungspfade von Sternen mit M . 1M im HR-Diagramm. Aus Iben I., PASP 83, 697 (1971).

5

STERNENTWICKLUNG

99

Abbildung 64: Entwicklungspfad eines Sterns mit M = 5M im HR-Diagramm. Aus Iben I. 1967, ARAA 5, 571.

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Abbildung 65: Struktur eines Sterns mit M = 5M als Funktion der Zeit (Achtung: die Zeitachse ist nichtlinear!). In den gestreiften Regionen findet Kernbrennen statt, die wolkigen Regionen sind konvektiv. Aus Kippenhahn, Thomas & Weigert 1965, Z. Astrophysik 61, 241.

Wenn der Stern die Temperatur Teff ' 2.5 × 104 K u¨ berschreitet, wird die abgestoßene H¨ulle ionisiert und emittiert (verbotene) H, O und N-Linien Planetarische Nebel, Abb. (66). Sie erreichen Ausdehnungen bis zu ∼ 0.3 pc. Ab M & 8M durchlaufen die Sterne alle Brennphasen bis zum Eisen. Die h¨oheren Brennphasen sind so kurz, dass sie im HRD nicht erscheinen. Der Fe-Kern wird bei Sternen mit M & 8M relativistisch entartet wird zur Kern- Kollaps-Supernova (Kap. (6.1.1)). 5.2.6

er kollabiert (Gl. (4.9)). Der Stern

Pulsationsver¨anderliche

In Abb. (63) schneidet der Horizontalast den sog. Instabilit¨atsstreifen. Hier leben Sterne, die hydrostatisch instabil gegen¨uber Pulsationen sind. Alle Sterne “schwingen” mit charakteristischen Frequenzen, die von den Schwingungsmoden (Multipolen) abh¨angen (vgl. Kap. (4.4.2)). F¨ur die Monopolschwingung (einfache radiale Schwingung, der “Grundton”) ist die Periode identisch mit der Freifallzeitskala aus Gl. (1.36), P ∼ tgrav

(5.29)

5

101

STERNENTWICKLUNG

Abbildung 66: Der Planetarische Nebel IC 418.

Normalerweise werden diese Schwingungen ged¨ampft, weil die Schwingungsenergie in Strahlung umgewandelt wird. Gibt es jedoch einen Mechanismus, der diese Energie wieder zur¨uckf¨uhrt, entsteht eine Instabilit¨at. Der sog. κ-Mechanismus hat diese Eigenschaft. Er beruht auf dem steilen Anstieg der effektiven Opazit¨at (vgl. Gl. (4.23)) bei T ∼ 104.5 K, der typischen Sterntemperatur im Instabilit¨atsstreifen: Bei der Kontraktion erhitzt sich das Gas κ w¨achst weniger Energie kann w¨ahrend der Kontraktionsphase nach außen transportiert werden der aufgebaute Druckgradient f¨uhrt zu einer Expansion u¨ ber die Gleichgewichtslage hinaus κ sinkt schlagartig ab, welches eine Unterk¨uhlung des Gases mit sich bringt der Druckgradient wird abgebaut, eine weitere starke Kontraktion beginnt. Dieser Prozess verl¨auft im Instabilit¨atsstreifen resonant, d.h. die Schwingung wird phasenrichtig “angeschubst”. Dadurch entstehen makroskopische Pulsationen aus kleinen St¨orungen.

5

102

STERNENTWICKLUNG

Abbildung 67: δ-Cephei-Stern in der Virgo-Galaxie M100 (HST Key Project).

Der Instabilit¨atsstreifen liegt bei ungef¨ahr konstanter Effektivtemperatur und konstanter Masse im HR-Diagramm, so dass wegen Gl. (1.36), Gl. (2.67) und Gl. (3.18): P M

∼ R3/2 ∼ L3/4 ∼ −3 log P + const

(5.30)

Die sog. Cepheiden (δ-Cephei-Sterne) haben eine beobachtete Perioden-Leuchtkraft-Beziehung von MV ' −2.7 log P [Tage] − 1.6

(5.31)

Das macht sie zu den besten Standardkerzen des lokalen Universums, d.h. in etwa bis hinaus zum Virgohaufen (. 20 Mpc) bei Beobachtungen mit dem Hubble-Weltraumteleskop, z.B. Abb. (67) “HST Key Project” zur Bestimmung der Hubblekonstanten. Die P -L-Beziehung von Cepheiden wurde 1908 von Henrietta Leavitt entdeckt und 1925 von Hubble verwendet um zu beweisen, dass der Andromedanebel eine eigenst¨andige Galaxie in einem Abstand von mehreren Hundert kpc ist. Inzwischen sind weitere Klassen pulsierender Sterne mit P -L-Beziehungen bekannt (Abb. (68)): • W Virginis Sterne, auch Population II Cepheiden genannt ( metall¨armere Sterne ), treten im Galaktischen Halo, in Kugelsternhaufen und nahe des Galaktischen Zentrums auf. • RR Lyrae Sterne (Pop II) haben die geringste Varianz in L, sind aber weniger leuchtkr¨aftig als Cepheiden nicht in großen Entfernungen beobachtbar.

5

STERNENTWICKLUNG

103

Abbildung 68: P -L-Beziehung von Pulsationsver¨anderlichen.

6

104

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 69: Klassen von Supernovae.

6

Endstadien der Sternentwicklung

6.1

Supernovae

6.1.1

SNe Typ II und Ib,c: Kern-Kollaps massiver Sterne

Wichtigste Eigenschaften: • Lichtkurven wachsen in ca. 2 Wochen auf einige % der Helligkeit einer Galaxie an (Mmax ' −18), fallen dann auf einer Zeitskala von einigen Monaten wieder ab. Starke Variationen in H¨ohe und Verlauf der Lichtkurven unterschiedliche Vorl¨aufersterne. • Treten nur in jungen Sternpopulationen auf, d.h. in Spiralarmen von Spiralgalaxien und in irregul¨aren Galaxien, nicht in elliptischen Galaxien massive Vorl¨aufersterne. • SN II: starke H-Absorbtionslinien in Spektren nahe Maximum. SN Ib: kein H ( SN I), kein Si, aber He. SN Ic: kein H, He, Si Vorl¨aufersterne haben H bzw. H und He-H¨ullen abgestoßen, bevor sie kollabierten (“Wolf-Rayet-Sterne”). • Ca. 2-3 SN II pro Galaxie pro Jahrhundert. Letzte SN II in unserer (bzw. benachbarter) Galaxie: SN 1987A in der Großen Magellanschen Wolke. Nachweis des Neutrinoflusses mit Kamiokande (12 ν) Nobelpreis 2002 f¨ur Masatoshi Koshiba. • Energie: ∼ 1049 erg in Photonen, ∼ 1051 erg in kinetischer Energie, & 1053 erg in Neutrinos selbst geringe Kopplung der Neutrinos an die Materie hat starken Einfluss, wahrscheinlich treiben Neutrinos die Explosion. • Ursprung schwerer Elemente jenseits des Fe (r-Prozess Isotope.

bisher ungekl¨arter Ursprungsort) und radioaktiver

6

105

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 70: Zwiebelschalenstruktur eines Kern-Kollaps-Supernova-Vorl¨aufersterns.

• Entstehung von Neutronenstern oder Schwarzem Loch. M¨ogliche Emission von Gravitationswellen. • M¨ogliche Verbindung mit einer Klasse von Gammablitzen durch die Entstehung von Jets bei der Akkretion in das Schwarze Loch “Hypernovae”, seit ca. 4 Jahren aktives Forschungsgebiet. Aspekte der Explosionsphysik: • Der Stern hat am Ende seiner thermonuklearen Entwicklung eine “Zwiebelschalenstruktur”, Abb. (70). • Fe-Kern (M ∼ 1.2M , ρ ∼ 1010 g cm−3 ) dissoziiert in α, n, p des Kerns.

Energie wird verbraucht

Kontraktion

• Elektroneneinf¨ange auf freie Protonen im Kern senken die Elektronendichte und damit den Entartungsdruck Kontraktion wird zu Kollaps mit Zeitskala ∼ 0.05 s. • Bei ρ & ρnuc ∼ 1015 g cm−3 wird die Zustandsgleichung abrupt inkompressibler hung.

R¨uckprall, Stoßentste-

• Stoß propagiert nach außen, dissoziert dabei Fe in α, n, p und verliert Energie durch Neutrinos stagniert in der H¨ulle!

der Stoß

• Der dichte Kern (Protoneutronenstern) emittiert Neutrinos, die teilweise innerhalb der Stoßregion absorbiert werden und ihre Energie deponieren der Stoß wird “wiederbelebt” verz¨ogerter Explosionsmechanismus. Dabei spielt insbesondere die Konvektion in der Heizregion eine wichtige Rolle, Abb. (71).

6

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

106

Abbildung 71: Konvektionszone im Zentrum einer Supernova etwa 0.1 sec nach der Stoßentstehung. Der Neutronenstern in der Mitte hat einen Radius von etwa 50 km, die Stoßfront am a¨ ußeren Rand befindet sich bei knapp 300 km (E. M¨uller und T. Janka, MPA).

6

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

107

Abbildung 72: Bolometrische Lichtkurven einiger Typ Ia Supernovae. Aus Contardo et al., A&A 359, 876 (2000)

• Die numerische Modellierung von SNe II ist aufgrund des komplizierten Neutrinotransports (keine Diffusionsn¨aherung!) eine große Herausforderung bisher gibt es keine selbstkonsistenten, funktionierenden Explosionsmodelle. 6.1.2

SNe Typ Ia: Thermonukleare Explosionen Weißer Zwerge

Wichtigste Eigenschaften: • Lichtkurven wachsen in ca. 2 Wochen auf ca. 30 % der Helligkeit einer Galaxie an (Mmax ' −19), fallen dann auf einer Zeitskala von einigen Monaten wieder ab. Familie von Ereignissen, die von kleiner absoluter Helligkeit mit schnell abfallender Lichtkurve bis zu hoher absoluter Helligkeit mit langsam abfallender Lichtkurve reicht (aber Variationsbreite immer noch kleiner als bei SN II), Abb. (72). Nach Korrektur der absoluten Helligkeit durch die Lichtkurvenform verbleibt nur noch ca. 12% Variationsbreite (Abb. (73)) hervorragende Standardkerzen bis zu kosmologischen Entfernungen, Nachweis der beschleunigten Expansion des Universums. • Treten in allen Sternpopulationen auf, d.h. auch in elliptischen Galaxien (allerdings keine der sehr hellen Ereignisse) (zum Teil?) alte Vorl¨aufersterne.

6

108

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 73: Die “Multi-Color Light Curve Shape”-Korrektur f¨ur die Helligkeiten von SNe Ia. Aus Riess et al. (1996).

• Kein H in den Spektren, aber starke Si-Absorptionslinien, außerdem Ca, Mg. In den sp¨aten (“Nebel–”)Spektren starke Fe-Emissionslinien “Tomographie” der Explosionsprodukte, d.h. außen mittelschwere Elemente, innen Eisengruppenelemente. • Ca. 1 SN Ia pro Galaxie pro Jahrhundert. Mittlerweile findet man mehrere Hundert SNe Ia pro Jahr, indem man viele Tausend Galaxien gleichzeitig beobachtet. • Gesamtenergie: ∼ 1051 erg. Das beobachtete Licht wird durch radioaktiven Zerfall von 56 Fe produziert etwa 0.5 M Ni muss w¨ahrend der Explosion erzeugt werden.

56

Ni →

56

Co →

• Hauptproduzenten von Eisengruppenelementen. ¨ • Kein kompakter Uberrest. Aspekte der Explosionsphysik: • Standardmodell: SNe Ia sind thermonukleare Explosionen von C+O Weissen Zwergen, die in einem Doppelsternsystem Materie akkretieren und bis fast zur Chandrasekhar-Masse (MCh ∼ 1.4M ) anwachsen (Hoyle & Fowler 1960).

6

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

109

Abbildung 74: Dreidimensionale Struktur der thermonuklearen Flamme in einer hydrodynamischen Simulation von Typ Ia Supernovae (M. Reinecke, MPA).

Das klingt einfach, ist aber alles andere als gekl¨art: in den meisten F¨allen wird das akkretierte Gas schon lange vorher instabil und explodiert ( klassische Novae) oder bildet eine gemeinsame H¨ulle. Sog. SuperSoft X-Ray Sources sind vielleicht gute Kandidaten. Das Vorl¨aufer-Problem von SNe Ia ist besonders wegen ihrer kosmologischen Relevanz sehr akut. • Die Verh¨altnisse im Kern (ρ ∼ 1010 g cm−3 , T ∼ 109 K) erlauben C+C-Fusion, deren Energieerzeugung irgendwann die Neutrinoverluste u¨ bersteigt thermonuklearer Runaway. • Aufgrund der Entartung kann der Stern nicht durch Expansion k¨uhlen, d.h. T w¨achst, bis die Entartung aufgehoben wird T ∼ 1010 K. Bei dieser Temperatur ist die Brennzeitskala von C nur noch ∼ 10−12 s! • Es bildet sich eine sehr d¨unne (∼ 10−5 cm) thermonukleare “Flamme”, die durch W¨armeleitung mit ∼ 106 cm/s propagiert Unterschallverbrennung = Deflagration. ¨ Die Alternative, eine stoßwellengetriebene Uberschallverbrennung (Detonation), w¨urde den gesamten Stern zu Ni verbrennen und kein Si erzeugen (Arnett 1969) nicht mit den Spektren vereinbar. • Die Flamme wird turbulent durch die Rayleigh-Taylor-Instabilit¨at (“Milch im Tee”) und vergr¨ossert dadurch ihre effektive Brenngeschwindigkeit. Die St¨arke der Explosion h¨angt wesentlich von diesem Prozess ab, der nur schwierig in Simulationen zu modellieren ist (Abb. (74)). • Durch die Unterschallverbrennung kann der Stern ein wenig expandieren, bevor er verbrennt Erzeugung ¨ von mittelschweren Elementen in den Außenregionen. M¨oglicherweise findet dann noch ein spontaner Uber-

6

110

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

gang zu einer Detonation statt (Delayed Detonation), der die hohe Geschwindigkeit der Explosionsprodukte erkl¨aren k¨onnte. • Ein weiteres schwieriges Problem ist die Berechnung synthetischer Spektren und Lichtkurven aus den Explosionsmodellen, da kein LTE angenommen werden kann und das Problem vollst¨andig zeitabh¨angig ist. 6.1.3

Supernova-Lichtkurven

Das Licht einer Supernova wird vorwiegend durch den radioaktiven Zerfall von (haupts¨achlich) 56 Ni → 56 Co → Fe produziert:

56

56 28 Ni 56 27 Co

→ →

56 + 27 Co + e + νe + γ 56 + 26 Fe + e + νe + γ

(6.1)

Die Halbwertzeit der ersten Reaktion ist τ1/2 = 6.1 Tage, die der zweiten τ1/2 = 77.7 Tage. Die Zerfallsrate λ, definiert durch die Zeitentwicklung der Teilchenzahl N (t), dN = −λN , dt

(6.2)

folgt aus der Halbwertzeit: λ=

ln 2 τ1/2

(6.3)

Die typische Form von SN-Lichtkurven – Anstieg innerhalb von Tagen, Erreichen eines Maximums, Abfall innerhalb von Monaten – wird durch den Wettbewerb zwischen Deposition und Abstrahlung der Photonen verursacht: 1. Zu Beginn wird mehr Energie deponiert, als abgestrahlt werden kann

die Leuchtkraft w¨achst an.

¨ 2. Das Gas des SN-Uberrests expandiert es wird optisch d¨unner; gleichzeitig sinkt die Depositionsrate der Anstieg geht in einen Abfall u¨ ber. Zum Zeitpunkt des Maximums ist die Depositionsrate ungef¨ahr gleich der Leuchtkraft (“Arnettsches Gesetz”). 3. Im sp¨ateren Verlauf wird das expandierende Gas vollst¨andig optisch d¨unn, so dass die gesamte Zerfallsener¨ gie praktisch sofort abgestrahlt wird (“Nebelphase”). Dann folgt f¨ur die Steigung der Lichtkurve ( Ubungsaufgabe!): d log10 L dt dMbol dt

6.2 6.2.1

= −0.434λ =

1.086λ

(6.4)

Weiße Zwerge Historische Entwicklung

1834 Bessel (1784 – 1846) entdeckt variable Eigenbewegung von Sirius ter.

Doppelstern mit unsichtbarem Beglei-

1862 A.G. Clark findet Sirius–Begleiter nahe am vorausberechneten Ort. Aus den Bahnelementen und der Paral1 L laxe folgt f¨ur Sirius B: M ∼ 1M , L ∼ 400 1915 Adams bestimmt den Spektraltyp (F) von Sirius B

T ≈ 8500 K, R ≈ R /55, hρi ≈ 61000 g cm−3 .

6

111

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG Sterntyp

Druckquelle

WD

NS

Fermidruck relativistischer entarteter Elektronen starke WW, Fermidruck nicht-relativ. entarteter Neutronen

BH Hauptreihenstern (H–Brennen)

chemische Zusammensetzung He C/O O/Ne/Mg

Masse [M ]

Radius

< 1.44

≈ 104 km

Vorl¨auferstern [M ] 0.8 – ∼ 8

n (∼ 90%), p,e− (∼ 10%)

∼ 0.1 – ∼ 3

≈ 10 km

∼ 8 – ∼ 25

–

–

&3

Rs =

Gasdruck, Strahlung

H (∼ 74%) He (∼ 24%) Metalle“ (∼ 2%) ”

0.08 – ∼ 100

0.1R – ∼ 20R

2GM c2

& 25 ? –

¨ Tabelle 2: Ubersicht u¨ ber kompakte stellare Objekte.

1924 A.S. Eddington formuliert Paradoxon: Hohe Dichte nur bei vollst¨andiger Ionisation, d.h. bei hohen Temperaturen m¨oglich. Ein Stern mit so hoher Dichte braucht Energie um abzuk¨uhlen! 1925 Adams misst die Gravitationsrotverschiebung von Sirius B (vR ≈ 20 km/s) und best¨atigt damit die Voraussagen der Allgemeinen Relativit¨atstheorie und die hohe mittlere Dichte von Sirius B. 1926 R.H. Fowler l¨ost Eddingtons Paradoxon: Vollst¨andige Ionisation nicht nur bei hoher T m¨oglich, sondern auch bei T → 0, wenn nur der Druck hoch genug ist (Druckionisation). Pauli-Prinzip, d.h. Fermi–Dirac–Statistik f¨ur das Elektronengas (Entartungsdruck) Zustandsgleichung ist Gl. (2.32) Weiße Zwerge sind Polytrope mit Γ = 5/3, d.h. aus Gl. (4.9) folgt R ∝ M −1/3 . 1931 S. Chandrasekhar verallgemeinert Fowlers Ansatz: Ber¨ucksichtigung der speziellen Relativit¨atstheorie relativistische Entartung (Gl. (2.33), Γ = 4/3) Grenzmasse f¨ur WD: Chandrasekhar-Masse MCh ' 1.4M , vgl. Gl. (4.9). Beginn der Kontroverse mit Eddington, der behauptet, relativistische Entartung g¨abe es nicht, folglich auch keine Grenzmasse. Die Masse–Radius–Beziehung sei R ∝ M −1/3 f¨ur beliebige M . Chandrasekhar sucht Unterst¨utzung bei Physikern (u.a. bei Bohr und Pauli), die sich aber nicht o¨ ffentlich zur Sache a¨ ussern. 1939 Chandrasekhar zieht Schlusstrich unter die Affaire und schreibt sein Buch An Introduction to the Study of ” Stellar Structure“. Dann wendet er sich anderen Dingen zu. Die Kontroverse endet letztlich mit Eddingtons Tod. 6.2.2

Vorkommen und Erscheinungsformen

Als Einzelsterne: Unauff¨allige, schwache, bl¨auliche Sterne (Nobs . 2000; siehe Abb. (75)). Zentralsterne Planetarischer Nebel, die sehr heiß (T & 105 K) und blau sind (N ≈ 500).

6

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

112

Abbildung 75: Das linke Bild zeigt eine irdische Aufnahme des der Erde n¨achstgelegenen (≈ 2 kpc) Kugelsternhaufens M4. Man sieht darauf vorwiegend alte, rote Riesensterne. Die HST–Aufnahme (rechts) eines kleinen Teils von M4 zeigt acht Weiße Zwerge (innerhalb der blauen Kreise) zusammen mit den viel helleren anderen Sternen des Kugelsternhaufens.

In Doppelsternsystemen: Ohne Akkretion (d.h. ohne Anlagerung von Materie): Unauff¨allige, schwache, bl¨auliche Sterne, die vom Begleitstern u¨ berstrahlt werden und daher schwer zu finden sind. Anzahl: N ≈ 10, bzw. wenn man auch Bin¨arsystem mit Radiopulsaren betrachtet N & 20 . Beispiele: Sirius B (1892 von A.C. Clark entdeckt; Bahnperiode: 49.9 a; R = 0.008 R ; M = 1.05M ; hρi = 3 × 106 g cm−3 ), Procyon B, 40 Eri B. Mit Akkretion (Abb. (76)): Novae, Zwergnovae und verwandte Objekte (sehr auff¨allige ver¨anderliche Sterne mit zum Teil starken Helligkeits-Ausbr¨uchen (Novae): N ≈ 1000 6.2.3

Charakteristische Gr¨oßen

Masse: hM i = 0.58 M mit σM ≈ 0.1, d.h. wenige WD mit M . 0.4M und M & 0.8M (siehe Abb 77). Radius: hRi = 0.012 R Dichte: hρi = 4.7 × 105 g cm−3

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113

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 76: Skizze eines Doppelsternsystem mit Akkretionsscheibe

Schwerebeschleunigung: hGM/R2 i = 1.1 × 108 g cm−3 (d.h. ≈ 105 g) Leuchtkraft: L ≈ 10−3 L . . . 10−2 L

6.2.4

Entwicklung von Weißen Zwergen

Unter der Annahme M = const folgt aus der Masse–Radius–Beziehung R(t) = const bzw. R˙ = 0. Damit gilt f¨ur ¨ die zeitliche Anderung der Gravitationsbindungsenergie: M  Z ∂ GMr (6.5) E˙ grav = −  dMr  = 0 , ∂t r 0

d.h. es wird keine Gravitationsbindungsenergie frei. Nimmt man weiterhin an, dass nuk = 0, d.h. dass keine thermonukleare Energieerzeugung stattfindet, so folgt f¨ur die Leuchtkraft L des WD: L = −E˙ T , (6.6) d.h. er bezieht seine Leuchtkraft vollst¨andig aus seinem thermischen Energiereservoir. Daher gilt: Die Entwicklung von WD besteht aus Abk¨uhlung.

6

114

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 77: Massenverteilung von Weißen Zwergen.

¨ Die Abkuhlzeit ergibt sich aus τ

= − =

ET E˙ T

ET . L

(6.7)

Aus Gl. (2.67) folgt log L = 4 log Teff + 2 log[R(M )] + const ,

(6.8)

log L = 4 log Teff + const

(6.9)

= 10−2 . . . 10−3 L ' 10−2 R ' (1 . . . 2) × 104 K

(6.10)

d.h. f¨ur eine gegebene Masse gilt:

Beobachtungen liefern als typische Werte L R Teff

6

115

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Eine Absch¨atzung der Abk¨uhlzeit von WD ergibt τ≈

3 kT0 5 µa mB L



M/M L/L

5/7 (6.11)

wobei T0 = T (r0 ) mit r0 = r(η = 0) die Temperatur am Rande des entarteten Teils des (praktisch isothermen) WD ist. F¨ur T0 ≈ 3 × 107 K und µa = 14 (C/O) erh¨alt man t = 1.7 × 10

6



M/M L/L

5/7 [Jahre] .

(6.12)

Zus¨atzliche Energiequellen und Senken f¨ur Weiße Zwerge: • Neutrinoverluste sind in WD mit L & 0.1L die dominierende Energiesenke (Plasmaneutrinos, Kap. (4.3)). • Latente W¨arme, die bei der Kristallisation der Ionen (Phasen¨ubergang 1. Art) frei wird. • Gravitationsbindungsenergie, die durch die Entmischung des WD (nach teilweiser Kristallisation) frei wird.

6.3 6.3.1

Neutronensterne Zur Geschichte und Bedeutung

Geschichte: 1931 Chandrasekhar findet maximale Masse f¨ur Weiße Zwerge: MCh = 5.76 Ye 2 M . 1932 Chadwick entdeckt das Neutron; Landau sagt NS voraus und berechnet deren maximale Masse. 1934 Baade & Zwicky: Neutronensterne entstehen in Supernovae. 1939 Oppenheimer & Volkoff: Erste Neutronensternmodelle. 1967 Hewish et al. entdecken die Radiopulsare. 1968 Gold: Pulsare sind rotierende Neutronensterne; Entdeckung des Krebspulsars im Supernova¨uberrest SNR 1054. 1969 Entdeckung des Krebspulsars im Visuellen. 1971 Entdeckung der R¨ontgenpulsare mit UHURU (z.B. Her X-1); Deutung als akkretierende Neutronensterne in engen Doppelsternsystemen. 1974 Hulse & Taylor entdecken den Bin¨arpulsar PSR 1913 + 16. 1976 Tr¨umper et al.: Erste Messung der Magnetfeldst¨arke eines Neutronensterns am R¨ontgenpulsar Her X-1. 1982 Entdeckung des ersten ms–Pulsars PSR 1937 + 214 mit einer Periode von P = 1.5578 ms. 1987 Entdeckung des ersten ms–Pulsars in einem Kugelsternhaufen (M 28). 1992 Entdeckung der ersten extrasolaren Planeten (3 St¨uck) um den ms–Pulsar PSR 1257 + 12. 2000 Entdeckung des jungen Neutronensterns (∼ 300 Jahre) im Supernova¨uberrest Cas A durch das R¨ontgenobservatorium.

CHANDRA

6

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

116

Abbildung 78: Hα –Aufnahme der Umgebung des Millisekunden–Pulsars PSR 0437-4715. Der Pfeil zeigt die Bewegungsrichtung des Pulsars an. Der leuchtschwache Stern direkt hinter der Stoßfront ist ein Weißer Zwerg, der zusammen mit dem Pulsar ein Doppelsternsystem bildet. Der Abstand zwischen Pulsar und Bugstoßwelle betr¨agt etwa 1400 AU.

Bedeutung: • Endstadium der Entwicklung massereicher Sterne (M & 8 M ) nach einer Gravitationskollaps–Supernova (SNe II, Ib, Ic). • M¨oglicherweise das Ergebnis eines akkretionsinduzierten Kollaps eines Weißen Zwergs mit M ≈ MCh . • Neutronensterne erlauben das Studium von Materie bei extrem hoher Dichte ((ρ > ρnuc = 2 × 1014 g cm−3 ) und in extrem starken Magnetfeldern (B & 1013 Gauss). • Akkretierende Neutronensterne f¨uhren zu (rekurrierenden) thermonuklearen H-Explosionen auf der Oberfl¨ache (“R¨ontgenblitze” Analogon zu den klassischen Novae). Sie geh¨oren zu den leuchtkr¨aftigsten stellaren R¨ontgenquellen in der Milchstrasse (LX & 1038 erg/s) • Radiopulsare erlauben Studium der Elektrodynamik bei starken Feldern, Beschleunigung von relativistischen Teilchen, Erzeugung von γ–Strahlung. Pulsare in engen Doppelsternen sind wichtig als relativistische Laboratorien. 6.3.2

Vorkommen und Erscheinungsformen

Als Einzelsterne: Radiopulsare (N ≈ 1300), z.B. Crab- und Vela–Pulsar; Eigenbewegung PSR J0437-4715 (Bugstoßwelle; Abb. (78)); als Gravitationslinse; sonst praktisch nicht beobachtbar! Ausnahme: RX J 1856.35-37.54 durch ROSAT- und HST–Beobachtungen wegen der großen N¨ahe des Objekts (d = 61 pc; Abb. (79)) In Doppelsternsystemen: Ohne Akkretion:

6

117

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 79: HST–Aufnahme des (nicht– pulsierenden) isolierten Neutronensterns RX J185635-3754. Er wurde zuerst durch seine intensive R¨ontgenstrahlung mit ROSAT gefunden (Walter et al. 1996, Nature 379, 233) und sp¨ater mit dem HST entdeckt (Walter & Matthews 1997, Nature 389, 358). Der Neutronenstern ist sehr heiß (T ≈ 1.2 106 K) und seine Entfernung betr¨agt nur 61 pc (Walter 2001, ApJ 549, 433). Er ist damit der uns n¨achstgelegene Neutronenstern.

Bin¨arpulsare, Millisekunden–Pulsare (N ≈ 100): PSR B1913+16: Hulse–Taylor–Pulsar; NS–NS–System geeignet zum Testen der Allgemeinen Relativit¨atstheorie PSR B1937+214: bisher k¨urzeste gemessene Pulsperiode (1.55781 ms) eines Millisekunden–Pulsar; außerdem extrem genaue Uhr (P˙ = 1.05 10−19 , d.h. Ungenauigkeit pro Jahr etwa 3 ps!); N ≈ 50 PSR B1821-24: Erster entdeckter Pulsar in Kugelsternhaufen (M28); N ≈ 50 PSR B1257+12, Millisekunden–Pulsar mit 3 Planeten! Mit Akkretion: Massereiche (HMXB) (N ≈ 70) und massearme (LMXB) (N ≈ 120) R¨ontgendoppelsterne oder R¨ontgenpulsare. 6.3.3

Charakteristische Eigenschaften

• Teff & 106 K ≈ 0.1 keV

R¨ontgenstrahlung.

• teilweise sehr starke Magnetfelder 1012 bis einige 1013 Gauß (vielleicht bis 1015 Gauß im Falle von Magnetaren). • einige mit fast kritischer Rotation (wenige msec), aber auch Spinperioden von bis zu 10 s.

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118

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 80: Schematischer Aufbau von Neutronensternen und anderen hypothetischen kompakten Sternen (mit freundlicher Genehmigung von Fridolin Weber, Univ. Notre Dame, USA).

• hohe Eigengeschwindigkeit: hvi ≈ 450 km/sec; Rekordhalter: ≈ 3000 km/sec, d.h. v ≈ 0.01c 3 1050 erg; Ursache?

Ekin ≈

¨ • Assoziation mit Supernova–Uberresten (SNR): z.B. Crab, Vela (N ≈ 10). • Population: ≈ 105 aktive Radiopulsare in der Milchstrasse; ≈ 108 insgesamt in der Milchstrasse; aus Alter der Milchstrasse (1010 Jahre) und Entstehungsrate (1 Pulsar pro 100 Jahre). 6.3.4

Struktur von Neutronensternen

Neutronensterne haben eine Art Schalenstruktur (siehe Abb. (80)). • Die a¨ ußere Kruste besteht aus einem Gitter von vollst¨andig ionisierten Eisenatomkernen und einem entarteten Elektronengas. Sie ist einige hundert Meter dick. Die Dichte in der a¨ ußeren Kruste nimmt nach innen zu. Erreicht sie die den Wert von 3 × 1011 g cm−3 , so verdampfen die Neutronen aus den Kernen (“neutron drip”). • Die sich anschließende innere Kruste besteht aus schweren Kernen, einem entarteten Elektronengas und einem Neutronengas. Sie ist etwa 1 km dick. • Oberhalb von Kerndichte und noch weiter innen im NS ist die Materie so dicht gepackt, dass die Neutronen nun eine Art Fl¨ussigkeit bilden, zusammen mit einem geringen Anteil von Elektronen, supraleitenden ¨ Protonen und Myonen. Diese superfluide Neutronen–Flussigkeit enth¨alt die meiste Masse des NS. • Im eigentlichen Zentrum massereicher NS werden die physikalischen Eigenschaften der Materie noch bizarrer. Die Dichte errecht etwa den 10–fachen Wert der Kerndichte, und die Quarks als Bausteine der Neutronen werden frei gesetzt. Das Zentrum eines NS mit 2M k¨onnte aus Quarkmaterie bestehen. 6.3.5

Pulsare und ihre Entwicklung

Die beobachteten Pulsare lassen sich in zwei Klassen einteilen (siehe Abb. (81)): normale“ Pulsare (≈ 800) mit ” Rotationsperioden 0.03 [sec] . P . 8 [sec] und Millisekundenpulsare (≈ 50) mit Rotationsperioden 1.5 [msec] .

6

119

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 81: odenverteilung.

Beobachtete Pulsarperi-

Abbildung 82: Magnetfeld–Perioden– Diagramm f¨ur Pulsare (aus Glendenning, 1998, Nuclear Physics A638, 239).

P . 30 [msec]. Man nimmt an, dass Pulsare als normale“ Pulsare geboren werden und sich auf sehr langen Zeits” kalen zu Millisekundenpulsaren entwickeln. • Der rotierende Core eines massereichen Sterns kollabiert zu einem Neutronenstern. Infolge Drehimpulserhaltung rotiert der neugeborene NS schneller und besitzt wegen der sehr hohen elektrischen Leitf¨ahigkeit des Plasmas im Core infolge von Magnetflusserhaltung ein sehr starkes Magnetfeld (B ' 1012 Gauss; sogenannte Magnetare k¨onnen sogar Magnetfelder bis einige 1014 Gauss besitzen) Ein junger NS ist ein rotierender, magnetischer Dipol, der elektromagnetische Strahlung emittiert.

6

120

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

• Der rotierende, magnetische NS ist als Pulsar beobachtbar, wenn seine gerichtete, elektromagnetische Strahlung die Erde einmal pro Rotationsperiode u¨ berstreicht. • Durch die Abstrahlung verliert der Neutronenstern Energie, die er aus seiner Rotationsenergie deckt. Dadurch wird er mit der Zeit langsamer, d.h. die Rotationsperiode nimmt zu (P˙ ' +10−15 sec/sec). Die Rotationsenergie ist ausreichend, damit der NS f¨ur etwa 107 Jahre als ( normaler“) Pulsar aktiv sein kann. ” • In einem Magnetfeld–Perioden–Diagramm bewegt sich der NS infolge des Drehimpulsverlusts durch seine Abstrahlung von links oben nach rechts, Abb. (82). Er stirbt“ als aktiver Pulsar, wenn eine bestimmte ” Kombination von Rotationsperiode und Magnetfeldst¨arke einen Grenzwert unterschreitet. • Durch Massen- und Drehimpuls–Akkretion von einem Begleitstern (entweder urspr¨unglich vorhanden oder sp¨ater eingefangen) beginnt der Pulsars wieder schneller zu rotieren (spin–up). W¨ahrend der langen Akkretionsphase reduziert sich das Magnetfeld des Pulsars durch Ohmsche Dissipation. Der Pulsar bewegt sich im Magnetfeld–Perioden–Diagramm von rechts oben nach links unten (Abb. (82)). • Der NS wird als Millisekundenpulsar wiedergeboren: Er kann wieder strahlen, da sein schw¨acheres Magnetfeld durch seine schnellere Rotation kompensiert wird. Da das Magnetfeld nun schw¨acher ist (B ' 108 Gauss), ist auch die Abbremsung sehr gering (P˙ ' +10−19 sec/sec). Das charakteristische Abbremsalter τc ≡ P/(2P˙ ) betr¨agt etwa 109 Jahre Millisekundenpulsare sind extrem genaue Uhren.

6.4

Schwarze L¨ocher

6.4.1

Schwarzschildradius

Damit ein Testteilchen der Masse m von der Oberfl¨ache eines K¨orpers der Masse M und des Radius R zu beliebig großen Abst¨anden gelangen kann, muss seine kinetische Energie mindestens gleich seiner potentiellen Energie sein: 1 GM m mv 2 = (6.13) 2 R Die entsprechende kritische Geschwindigkeit heißt Fluchtgeschwindigkeit und ist durch r 2GM v= (6.14) R gegeben. Setzt man v = c, d.h. betrachtet man die physikalisch maximale Fluchtgeschwindigkeit, so erh¨alt man bei gegebener Masse M einen kritischen Radius, den Schwarzschildradius: Rs =

2GM c2

(6.15)

Wird ein Objekt der Masse M auf die Gr¨oße seines Schwarzschildradius komprimiert, wird die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit. Objekte mit R < RS nennt man Schwarze L¨ocher. Die mittlere Dichte eines Schwarzen Lochs der Masse M kann man gem¨aß M hρi > (6.16) (4π/3)RS3 absch¨atzen.

6

121

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG Objekt Nukleon Mensch Erde Sonne WD NS

Masse [g] 10−24 105 6 1027 2 1033 2 1033 2 1033 2 1042 (109 M )

Radius [cm] 10−15 102 6 108 7 1010 109 106

Rs [cm] 10−52 10−23 0.9 3 105 3 105 3 105 3 1014 (20 AU)

Rs /R 10−37 10−25 10−9 4 10−6 3 10−4 0.3

Tabelle 3: Schwarzschildradien verschiedender Objekte.

Abbildung 83: Beobachtete Massen von Neutronensternen und Schwarzen L¨ochern (Charles, 1998, astro-ph/9806217 und Theory of Black Hole Accretion Disks, CUP, p.1). Man beachte die geringe Breite der Massenverteilung der Neutronensterne. Alle gemessenen BH–Massen liegen deutlich oberhalb der (kanonischen) Maximalmasse eines Neutronensterns von 3.2M (schraffierte vertikale Linie).

Setzt man die Definition des Schwarzschildradius ein, so folgt  6 c 3 1 hρi > 32π M 2 G3 1.84 × 1016 h g i ∼ (M/M )2 cm3

(6.17)

F¨ur ein stellares Schwarzes Loch mit M = M u¨ bersteigt die mittlere Dichte einen Wert von 2 × 1016 g cm−3 , was etwa 100-facher Kernmateriedichte entspricht. F¨ur ein massereiches Schwarzes Loch von 109 Sonnenmassen gilt hρi > 0.02 g cm−3 . Dieser Dichtewert entspricht der Sch¨uttdichte von Stroh! F¨ur die Entstehung eines Schwarzen Lochs sind daher nicht notwendigerweise sehr hohe Dichten erforderlich. 6.4.2

Auftreten und Erscheinungsformen von Schwarzen L¨ochern

Als Einzelsterne: Praktisch nicht beobachtbar, außer durch Gravitationslinseneffekt

6

122

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

Abbildung 84: Geschwindigkeitsmessung des heißen Gases der rotierenden Akkretionsscheibe im Zentrum der aktiven Galaxie M87. Das Gas bewegt sich mit bis zu 500 km/s auf uns zu (bzw. von uns weg). Diese hohen Geschwindigkeiten weisen auf ein massereiches Schwarzes Loch hin (MBH ≈ 3 109 M ).

In Doppelsternsystemen: Ohne Akkretion: Praktisch nicht beobachtbar; kein Beispiel bekannt. Mit Akkretion: R¨ontgendoppelsterne, einige Kandidaten (z.B. Cyg X-1). Als massereiche Schwarze L¨ocher: Vorkommen: in aktiven Galaxienkernen (AGN’s); Maschine“ zur Produktion extragalaktischer Jets ” Masse: 106 M . MBH . 109 M Leuchtkraft: L . 1047 erg/s; Akkretionsleuchtkraft Lac = GM M˙ /R f¨ur ein Objekt mit R ≈ RS : LBH ac ≈

h erg i c2 ˙ M˙ M ≈ 3 1046 2 M /Jahr s

Nachweis: Keplerbewegung von Gas im Akkretionsstrudel“ (Abb. (84) und Abb. (85)) ”

(6.18)

6

ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG

123

Abbildung 85: Galaxie NGC 4527, wo man die Keplerbewegung um das zentrale Schwarze Loch durch eine Reihe von Wasser–Masern genau vermessen kann.

7

UNSERE GALAXIS

124

Abbildung 86: Die Milchstraße in allen Wellenl¨angenbereichen.

7 7.1

Unsere Galaxis Allgemeines

Unsere Galaxis ist die Milchstraße. Sie ist eine Spiralgalaxie (Sbc) mit einem Scheibendurchmesser von ca. 50 kpc. Siehe Abb. (86) f¨ur eine Darstellung in allen Wellenl¨angenbereichen. Ihre Gesamtmasse in sichtbarer Materie (Sterne, Staub, etc.) betr¨agt ca. 9 × 1010 M . Ihre Leuchtkraft im B-Band betr¨agt LB ' 2.3 × 1010 L . Nimmt man den IR-Bereich (haupts¨achlich Staubemission) dazu, erh¨alt man die ungef¨ahre bolometrische Leuchtkraft Lbol ' 3.6 × 1010 L . Die Sonne befindet sich in ca. 8 kpc Entfernung vom Galaktischen Zentrum und ca. 30 pc oberhalb der Scheibenebene. 7.1.1

Galaktische Koordinatensysteme

Das Galaktische Koordinatensystem ist ein sph¨arisches Koordinatensystem mit Ursprung im Sonnensystem und ¨ Aquatorebene in der Galaktischen Ebene; Abb. (87), Abb. (88). Es besteht aus 2 Winkelkoordinaten:

7

125

UNSERE GALAXIS

Abbildung 87: Das Galaktische Koordinatensystem mit Zentrum in der Sonne.

Abbildung 88: Vergleich der galaktischen, a¨ quatorialen und ekliptischen Koordinatensysteme.

Galaktische Breite b ∈ [−90◦ , 90◦ ]: Winkel zwischen Objekt und Galaktischer Ebene. b = 90◦ : Galaktischer Nordpol (NGP), beste Richtung f¨ur die Beobachtung extragalaktischer Objekte. Bei kleinen b (. ±10◦ ) blickt man durch die Scheibe hohe Staubabsorption, viele Vordergrundsterne. Galaktische L¨ange l ∈ [0◦ , 360◦ ]: Winkelkoordinate in der Galaktischen Ebene. l = 0◦ : Galaktisches Zentrum. F¨ur die Kinematik der Milchstraße selbst ist ein zylindrisches Koordinatensystem n¨utzlich, dessen Ursprung im Galaktischen Zentrum liegt, siehe Abb. (89). Es besteht aus 3 Koordinaten: z: H¨ohe u¨ ber der Scheibe. R: Entfernung vom Galaktischen Zentrum (GZ) in der Scheibenebene. Entfernung der Sonne ≡ R0 .

7

126

UNSERE GALAXIS

Abbildung 89: Zylindrisches Galaktisches Koordinatensystem mit Ursprung im Galaktischen Zentrum.

θ: Winkel zwischen Linien GZ-Sonne und GZ-Stern in der Scheibenebene. 7.1.2

Sternpopulationen

Die chemische Zusammensetzung eines Sterns kann durch die Massenanteile von Wasserstoff X, Helium Y und “Metallen”, d.h. allem anderen, Z ausgedr¨uckt werden. Diese Gr¨oßen sind normiert, d.h. X + Y + Z = 1. F¨ur die Sonne ist X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02. Die Metallizit¨at wird genauer durch das Eisen-zu-Wasserstoff-Verh¨altnis gemessen (Grund: Fe-Linien sind leicht nachweisbar): [Fe/H] ≡ log(Fe/H)∗ − log(Fe/H) (7.1) Sterne haben eine große Bandbreite an Metallizit¨at: −4.5 . [Fe/H] . 1.0. Die mittlere Metallizit¨at ist mit dem durchschnittlichen Alter einer Gruppe von Sternen korreliert (Alter-Metallizit¨atsBeziehung). Je j¨unger ein Stern, desto mehr Generationen an Supernovae k¨onnen vor seiner Entstehung stattgefunden haben desto mehr Fe ist im ISM vorhanden, aus welchem der Stern entsteht. Dabei ist allerdings zu beachten: • Fe wird haupts¨achlich durch SNe Ia produziert, die erst nach einigen 109 Jahren auftreten. Keine instantane Durchmischung große Variationsbreite in Metallizit¨at bei gleichem Alter. • Anderer wichtiger Indikator: [O/H]. O wird haupts¨achlich durch SNe II in das ISM abgegeben ∼ 107 Jahre nach der ersten Sternentstehung, also praktisch sofort.

schon

Anhand dieser Eigenschaft lassen sich Sternpopulationen definieren (Baade, ca. 1940): Population I: Metallreich ([Fe/H] & −1, Z ' 0.02), treten in galaktischen Scheiben und offenen Sternhaufen auf. Population II: Metallarm ([Fe/H] . −1, Z ' 0.001), treten in galaktischen Halos und Kugelsternhaufen auf. Man muss auch beachten, daß die Metallizit¨at einen Einfluss auf die Farbe eines Sterns hat: mehr Fe blaues Licht wird in der Sternatmosph¨are absorbiert Stern erscheint r¨oter (außerdem werden Rote Riesen durch die h¨ohere Opazit¨at gr¨oßer und r¨oter).

7

127

UNSERE GALAXIS

Abbildung 90: Komponenten und Struktur der Galaxis.

7.2

Struktur

Die Galaxis setzt sich – wie die meisten Spiralgalaxien – aus 3 Hauptkomponenten zusammen: der Scheibe, dem zentralen Bulge und dem Halo. Siehe Abb. (90). 7.2.1

Die Scheibe

Die Scheibe besteht aus: ¨ der dunnen Scheibe: Enth¨alt das meiste Gas

Gebiet der Sternentstehung

junge Population.

Eigenschaften: • Masse ∼ 6 × 1010 M , Alter . 12 × 109 Jahre, Durchmesser ∼ 50 kpc. • Skalenh¨ohe ∼ 50 pc

Sonne ist Mitglied der d¨unnen Scheibe.

• Masse-zu-Leuchtkraft-Verh¨altnis: M M ∼3 L d¨unne Scheibe L

(7.2)

• Sterne haupts¨achlich Pop I, Z ∼ 0.02, −0.5 . [Fe/H] . 0.3. • Weitere Unterteilung in junge und alte d¨unne Scheibe. Die alte d¨unne Scheibe ist dicker (∼ 325 pc). der dicken Scheibe: ¨ Altere Sternpopulation entweder hat die Sternentstehung dort fr¨uher geendet als in der d¨unnen Scheibe, oder Sterne der d¨unnen Scheibe sind in die dicke Scheibe gewandert bzw. “verdampft”. Eigenschaften: • Masse ∼ 3 × 109 M , Durchmesser ∼ 50 kpc. Die Sterndichte ist nur ∼ 2% der d¨unnen Scheibe. • Skalenh¨ohe ∼ 1.4 kpc. • Sterne haupts¨achlich Pop II, Z ∼ 0.001, −1.6 . [Fe/H] . −0.4.

7

UNSERE GALAXIS

128

Abbildung 91: Struktur der Galaxis mit zentralem Bulge, der m¨oglicherweise balkenf¨ormig ist.

7.2.2

Der Bulge

Der Bulge ist eine zentrale Verdickung mit Skalenh¨ohe ∼ 400 pc, wahrscheinlich in Form eines Balkens (vgl. Abb. (91)). Eigenschaften: • Starke Staubextinktion (∼ 28 mag im visuellen) haupts¨achlich im IR beobachtbar, vgl. Abb. (86). Ausnahme: “Baades Fenster”, ca. 4◦ unterhalb des Galaktischen Zentrums, l ∼ 1◦ . • Masse ∼ 1010 M , Durchmesser ∼ 2 kpc. • Gemischte Sternpopulation Pop I/II, −1 . [Fe/H] . 1. Die junge Komponente k¨onnte auch Teil der d¨unnen Scheibe sein. • Die radiale Abh¨angigkeit der Fl¨achenhelligkeit I [L pc−2 ] folgt in etwa dem de Vaucouleur-Profil: " !#  1/4 R I(R) ' I(Re ) exp −7.67 −1 (7.3) Re

7

129

UNSERE GALAXIS

Dabei ist Re der Effektivradius, definiert durch den Radius, innerhalb dessen sich die H¨alfte der Gesamtleuchtkraft befindet. • Masse-zu-Leuchtkraft-Verh¨altnis:

M M ∼3 L Bulge L

(7.4)

also a¨ hnlich wie in d¨unner Scheibe. 7.2.3

Der sichtbare (stellare) Halo

Masse ∼ 109 M , Durchmesser ∼ 100 kpc, −4.5 . [Fe/H] . −0.5. Besteht aus: Kugelsternhaufen: Es gibt zwei Familien von Kugelsternhaufen (KSH) im Halo: 1. Alt, [Fe/H] < −0.8: sph¨arische Verteilung. 2. Jung, [Fe/H] > −0.8: abgeflachte Verteilung, m¨ogliche Assoziation mit der dicken Scheibe. Der Abstand der meisten KSH vom Galaktischen Zentrum ist r . 35 kpc. Es existieren wenige KSH mit 66 kpc . r . 100 kpc, die m¨oglicherweise “eingefangen” wurden. Feldsterne: Große Geschwindigkeit senkrecht zur Galaktischen Ebene. Bis zu r ∼ 50 kpc. Das Anzahldichten-Profil der metallarmen KSH und der Feldsterne hat die Form: nHalo ∝ r−3.5

(7.5)

Hochgeschwindigkeitswolken: H-Wolken bei großen |b|; hohe, negative Radialgeschwindigkeiten. “Magellanscher Strom”: folgt Magellanschen Wolken, m¨oglicherweise durch Gezeitenwechselwirkung mit Galaktischer Scheibe. 7.2.4

Der dunkle Halo

Wie im n¨achsten Kapitel gezeigt wird, existiert mit großer Wahrscheinlichkeit noch eine weitere Komponente, die aus nichtleuchtender (dunkler) Materie besteht. Sie bildet einen wesentlich gr¨oßeren Halo als die stellare Komponente. Eigenschaften: • Wahrscheinlich nahezu sph¨arische Struktur, r & 100 kpc, genauer Durchmesser unbekannt. • Dichteprofil: ρ(r) ∝ (a2 + r2 )−1

(7.6)

mit a = 2.8 kpc, folgt aus Rotationskurve (s.u.). Der Parameter a ist n¨otig, um die innere Region richtig zu beschreiben (ρ ∼ const). • Masse innerhalb r = 25 kpc ca. 1.9 × 1011 M , innerhalb r = 230 kpc (falls Profil bis dahin wie oben) ca. 1.3 × 1012 M .

7

130

UNSERE GALAXIS

7.3 7.3.1

Kinematik Geschwindigkeit der Sonne

Definition 1: Geschwindigkeitskomponenten im zylindrischen Koordinatensystem der Galaxis, Abb. (89): Π≡

dR dt

,

Θ≡R

dθ dt

Z≡

,

dz dt

(7.7)

Definition 2: Lokales Ruhesystem der Sonne (local standard of rest, LSR): Ortskoordinaten der Sonne, Geschwindigkeitskompenenten diejenigen einer perfekten Kreisbahn um das Galaktische Zentrum: ΠLSR = 0

,

ΘLSR = Θ0

,

ZLSR = 0

(7.8)

Definition 3: Pekuliargeschwindigkeit der Sonne: Sonnenbewegegung relativ zum LSR, V ≡ (Π , Θ − Θ0 , Z )

(7.9)

Abbildung 92: Schematische Darstellung der Pekuliargeschwindigkeiten von Sternen in der Sonnenumgebungen, unterteilt nach Sternpopulationen. Je a¨ lter die Sterne, desto weniger sind ihre Geschwindigkeiten mit der galaktischen Rotation korreliert. Der Mittelpunkt der Einh¨ullenden liefert die Geschwindigkeit des LSR. Man findet V durch Messung der Pekuliargeschwindigkeiten vieler Sterne relativ zur Sonne. Deren Mittelwert hat aufgrund der Stellardynamik die Form einer Kreisbahn (Radialgeschwindigkeit ∝ Geschwindigkeitsdispersion) um das Galaktische Zentrum plus V . Daraus folgt: V = (−9, 12, 7) km/s

(7.10)

Man beobachtet außerdem eine Alters-Geschwindigkeits-Beziehung: die a¨ ltesten (metall¨armsten) Sterne haben die gr¨oßten Pekuliargeschwindigkeiten. Es fehlt noch die Bestimmung von Θ0 , der Rotationsgeschwindigkeit des LSR. Sie ergibt sich aus der Asymmetrie der stellaren Pekuliargeschwindigkeiten von Halo-Sternen, von denen man annehmen kann, dass sie im Mittel nicht (bzw. sehr langsam) um das Zentrum rotieren, vgl. Abb. (92). Ergebnis: Θ0 ' 220 km/s Daraus folgen

(7.11)

7

131

UNSERE GALAXIS

Abbildung 93: Zur Tangentialpunkt-Methode.

• die Umlaufzeit der Sonne: P =

2πR0 ' 230 × 106 Jahre Θ0

(7.12)

• die Masse innerhalb des Sonnenorbits (aus dem 3. Keplergesetz Gl. (3.3) oder einfach Ekin = Epot ): M (R0 ) = 7.3.2

Θ20 R0 ' 8.8 × 1010 M G

(7.13)

Die Rotationskurve

Die Galaktische Rotationskurve Θ(R) kann f¨ur R < R0 (nach innen) mit der Tangentialpunktmethode vermessen werden. Vorgehensweise: • Messe die 21-cm-Emission von HI ( Galaxis ist optisch d¨unn) entlang eines Sehstrahls mit |l| ≤ π/2. ¨ Man sieht eine Uberlagerung von Maxima, die von verschiedenen HI-Wolken stammen, vgl. Abb. (93). • Die maximale Radialgeschwindigkeit vrmax – und damit die gr¨oßte Dopplerverschiebung der 21-cm-Linie – entspricht derjenigen Wolke, die vom Sehstrahl tangential an ihre (n¨aherungsweise) Kreisbahn geschnitten wird, R = R0 sin l. • Damit erh¨alt man: vrmax = Θ(R) − Θ0 sin l und daraus Θ(R).

(7.14)

7

UNSERE GALAXIS

132

Abbildung 94: Rotationskurve der Galaxis. Aus Clemens 1985, ApJ, 295, 422.

F¨ur R > R0 nimmt vr kein Maximum an, so dass man die Tangentialpunktmethode nicht anwenden kann. Man muss die Radialgeschwindigkeiten von Objekten messen, deren Abstand bekannt ist (z.B. Pulsationsver¨anderliche) und daraus die Rotationskurve rekonstruieren. Ergebnis (Abb. (94)): Die Rotationskurve f¨allt nach außen nicht ab sondern ist nahezu konstant! Dieses Ergebnis findet man allgemein f¨ur die Rotationskurven von Spiralgalaxien, siehe Abb. (104). Das steht im Widerspruch zum Keplergesetz, wenn die Masse der Galaxie innerhalb des Radius RG konzentriert ist: v 2 (R) = M (RG )G/R v ∼ R−1/2 f¨ur R > RG . Dies ist der Fall f¨ur die sichtbare Materie (Sterne, HI, . . . ), deren Dichte nach außen hin exponentiell abf¨allt. v(R) ∼ const deutet dagegen auf eine Masseverteilung M (R) ∼ R hin ρ ∼ r−2 (vgl. Gl. (7.6)) entweder das Gravitationsgesetz ist falsch (unwahrscheinlich und theoretisch a¨ ußerst un¨asthetisch), oder es gibt noch eine weitere, dunkle, Materiekomponente: Dunkle Materie. 7.3.3

Dunkle Materie

Neben der Beobachtung flacher Rotationskurven von Spiralgalaxien gibt es inzwischen eine Reihe unabh¨angiger Indizien f¨ur die Existenz Kalter Dunkler Materie (Cold Dark Matter, CDM): Kosmologie: Messungen der Leuchtkraft-Rotverschiebungs-Verteilung von SNe Ia und der Statistik der TemperaturAnisotropien der kosmischen Hintergrundstrahlung (Abb. (1)) ergeben das Bild eines Universums, das zu ca. 23% aus nichtbaryonischer Dunkler Materie, 4% aus baryonischer Materie und 73% aus sog. Dunkler Energie, die sp¨ater beschrieben wird, besteht.

7

UNSERE GALAXIS

133

Das ist konsistent mit dem Ergebnis der primordialen Nukleosynthese (ebenfalls sp¨ater), dass der baryonische Anteil an der Gesamtdichte des Universums Ωb ' 0.04 sein muss, um die beobachtete H¨aufigkeit von primordialem He und D zu erkl¨aren. Großskalige Struktur: Die Klumpungsstatistik von Galaxien, gemessen z.B. mit Galaxiensurveys, ist nur mit der aktuellen Theorie der Strukturentstehung vertr¨aglich, wenn es CDM in ca. der oben genannten Menge gibt. Heiße Dunkle Materie w¨urde hingegen kleinskalige Strukturen durch Diffusionseffekte zerst¨oren. Zusammensetzung von Galaxienhaufen: Die baryonische Masse von Galaxienhaufen wird durch das heiße intergalaktische Medium dominiert, welches durch Beobachtung der R¨ontgenstrahlung freier Elektronen “gewogen” werden kann. Auf der anderen Seite kennt man die Gesamtmasse einiger Haufen durch das Virialtheorem und die Temperatur der Elektronen, oder durch die Verzerrung von Hintergrundgalaxien (schwacher Gravitationslinseneffekt). Zusammen ergeben beide Messungen das Baryonen-CDM-Verh¨altnis der Galaxienhaufen. Schenkt man nun der primordialen Nukleosynthese Glauben, die ein Ergebnis f¨ur den Anteil baryonischer Materie an der Gesamtmasse des Universums liefert, folgt wieder der obige Wert von ca. 23% CDM im ganzen Universum. Alle Methoden ergeben mehr oder weniger konsistente Resultate f¨ur die Gesamtmasse der Dunklen Materie. Es f¨allt zunehmend schwerer, an ihrer Existenz zu zweifeln bzw. eine Alternative vorzuschlagen, die alle diese Beobachtungen gleichwertig erkl¨art. Dennoch steht eine positive Identifizierung der Dunklen Materie noch aus. Im Gegensatz zur Dunken Energie gibt es aber eine große Zahl sinnvoller Kandidaten, die sich grob in 2 Klassen einteilen lassen: WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles): Schwach wechselwirkende Elementarteilchen mit hoher (∼ einige 100 GeV) Ruhemasse frei”.

kalt, “druck-

Die Existenz solcher Teilchen wird u.a. von der Theorie der Supersymmetrie vorhergesagt leichtester supersymmetrischer Partner (LSP), z.B. das Neutralino χ01 . Das LSP sollte eine a¨ hnliche Ruhemasse wie das Higgs-Teilchen haben. Es ist wegen der sog. R-Parit¨at, die zur Stabilisierung des Protonenzerfalls ben¨otigt wird, stabil. Nachweism¨oglichkeiten: • Direkt: Durch Nachweis in hochempfindlichen Teilchendetektoren (z.B. CRESST, EDELWEISS , DAMA , CDMS ). Elastische St¨ oße mit Nukleonen Emission von Phononen, die in supraleitenden Detektoren nachgewisen werden. Erde “schwimmt” durch CDM-Halo jahreszeitliche Modulation erwarten, erlaubt Separation vom Hintergrund. Stand 2004: Die DAMA-Kollaboration behauptete 2000, ein Signal gefunden zu haben. Dies konnte bisher von anderen Gruppen, insbesondere CDMS, nicht best¨atigt werden. In weiterer Zukunft ist hoffentlich ein direkter Nachweis in Beschleunigern (z.B. LHC) m¨oglich. • Indirekt: Durch Nachweis hochenergetischer Photonen aus dem Zentrum massiver Galaxien, die durch seltene Paarvernichtungsereignisse von WIMPs produziert werden (z.B. MAGIC), bzw. Nachweis hochenergetischer Neutrinos im Mittelmeer (ANTARES) oder im antarktischen Eis (AMANDA). MACHOs (MAssive Compact Halo Objects): Leuchtschwache, kompakte Objekte mit ∼ stellaren Massen, z.B. Weiße Zwerge, Neutronensterne, Schwarze L¨ocher oder andere, exotische Objekte. Nachweis durch den Mikrolinseneffekt, vorgeschlagen von B. Paczy´nsky (1986):

7

UNSERE GALAXIS

134

• Die Masse eines Objekts (“Linse”) kr¨ummt den Weg von Lichtstrahlen eines dahinter gelegenen, leuchtenden Objekts (“Quelle”), so dass das Bild der Quelle verformt bzw. aufgespalten wird Gravitationslinseneffekt. • F¨ur stellare Massen im Halo der Galaxis ist die Bildaufspaltung unbeobachtbar, aber daf¨ur ist eine relative Verst¨arkung der Quelle detektierbar, wenn diese durch die optische Achse Beobachter-Linse hindurchl¨auft symmetrische, achromatische Lichtkurven unver¨anderlicher Sterne. • Die Wahrscheinlichkeit f¨ur ein solches Ereignis ist ∼ 10−7 , wenn die der Halo ausschließlich aus MACHOs besteht man muss mehrere Millionen Quellen gleichzeitig beobachten Magellansche Wolken (MACHO , EROS) oder Bulge (OGLE). p • Prim¨are Messgr¨oße: Zeitskala der Lichtkurve, tE ∼ M D/v, wobei M , D und v die Masse, Entfernung und transversale Geschwindigkeit der Linse sind keine eindeutige Messung der Masse und Entfernung m¨oglich. Ergebnisse: • 1993 wurden von den 3 oben genannten Gruppen die ersten Ereignisse gemeldet, siehe Abb. (95) • Inzwischen ∼ 20 Ereignisse in Richtung der Magellanschen Wolken, ∼ 100 in Richtung Bulge. • Die hohe Linsenwahrscheinlichkeit in Richtung Bulge kann durch die Existenz eines Balkens erkl¨art werden, siehe Abb. (91). • Bester Fit, wenn ca. 20% der Halomasse aus MACHOs best¨unde, mit hMMACHO i ∼ 0.5M . Probleme: • “Un¨asthetisches” Ergebnis, wenn es mehr als nur eine Sorte Dunkler Materie geben sollte. Aber das heißt nicht, dass es falsch ist. • Damit wissen wir immer noch nicht, was MACHOs sind. Weiße Zwerge mit hMWD i ∼ 0.5M : eher nicht, denn deren Vorl¨aufersterne h¨atten das Galaktische Gas zu stark mit Metallen angereichert Widerspruch mit beobachteten Sternpopulationen. Neutronensterne, Schwarze L¨ocher: werden in SNe II nicht mit diesen Massen erzeugt, außerdem ebenfalls Metallizit¨atsproblem. Damit bleiben exotische L¨osungen (primordiale Schwarze L¨ocher, Bosonensterne, . . . ) u¨ brig, deren Entstehungsmechanismen mehr als unklar sind. Aus diesen Gr¨unden wird die Interpretation der Linsenereignisse durch Halo-Linsen oft bezweifelt. Es gibt Hinweise durch linsende Doppelsternsysteme, dass sich zumindest ein Teil der Linsen in der N¨ahe der Quellen befindet “Self-Lensing”.

7

135

UNSERE GALAXIS

Abbildung 95:

8

136

GALAXIEN

Abbildung 96: Galaxie.

8 8.1

M31, die Andromeda-

Galaxien Historische Entwicklung

ca. 1770 Kant (1724 – 1804) und Wright (1711 – 1786) spekulieren, dass die Milchstraße eine stellare Scheibe ist, die aus vielen Sonnensystemen wie dem unseren besteht. Kant schl¨agt außerdem vor, dass die beobacheten “Nebel” weit entfernte Sternansammlungen gleicher Natur sind. William Herschel produziert die erste quantitative Sterntafel der Galaxis. Charles Messier (1730 – 1817) legt den ersten Katalog von 103 Nebeln an. Er besteht aus Gasnebeln (z.B. ¨ Orion ≡ M42), SN-Uberresten (z.B. Crab ≡ M1), offenen Sternhaufen (z.B. Pleiaden ≡ M45), Kugelsternhaufen (z.B. KSH in Herkules ≡ M13) sowie nahen Galaxien (z.B. Andromeda ≡ M31, Abb. (96)). 1845 William Parsons findet die Spiralstruktur in einigen Nebeln

“Spiralnebel”.

1912 Vesto Slipher detektiert dopplerverschobene Linien in Spiralnebeln

Rotation.

1920 Shapley und Curtis debatieren an der National Academy of Sciences in Washington D.C. die Natur der Nebel in der ersten Großen Debatte der Astronomie. Shapley ist davon u¨ berzeugt, dass sie Bestandteile der Galaxis sind, w¨ahrend Curtis die extragalaktische Interpretation bevorzugt. 1923 Edwin Hubble (1889 – 1953) findet Cepheiden in M31 und berechnet deren Entfernung mit ca. 285 kpc (heutiger Wert: 770 kpc). Damit wird endg¨ultig akzeptiert, dass es Galaxien neben der unseren gibt.

8.2

Klassifikation

Die gel¨aufigste Klassifikation von Galaxien nach ihren morphologischen Eigenschaften geht auf Hubble zur¨uck die Hubble-Sequenz. Sie entspricht nicht der zeitlichen Entwicklungsgeschichte von Galaxien. Siehe Abb. (97). Die Oberklassen sind elliptische Galaxien, Spiralgalaxien und irregul¨are Galaxien, wobei sich Spiralgalaxien in ¨ solche mit und ohne Balken unterteilen lassen. Die Ubergangsklasse von Ellipsen zu Spiralen sind linsenf¨ormige Galaxien (lenticulars), die mit S0 bzw. SB0 (mit Balken) bezeichnet werden.

8

137

GALAXIEN

Abbildung 97: Die Hubble-Sequenz zur morphologischen Galaxienklassifikation.

8.2.1

Elliptische Galaxien

Definition: Elliptische Isophoten (Konturen mit konstanter Leuchtkraft), keine geordnete Substruktur. Bezeichnung: En mit n = 10;  = 1−b/a: Elliptizit¨at; a, b: große und kleine Halbachse Klassifikation ist abh¨angig von Projektionseffekten.

E0 nahezu sph¨arisch. Beachte:

Dynamik: Mittle Stoßzeit der Sterne (“Relaxationszeit”)  1010 Jahre stoßfreies Gas. Elliptische Verteilung wegen anisotroper Verteilungsfunktion der Sterne im Impulsraum. Rotationsabplattung in der Regel unwichtig. Die Kinematik von E’s weist darauf hin, dass auch sie von einem dunklen Halo umgeben sind. Weitere Unterteilung: E’s umfassen einen weiten Bereich (ca. Faktor 106 ) an Masse und Leuchtkraft. Man unterscheidet: • cD galaxies: extrem leuchtkr¨aftig (MB ∼ −25) und groß (bis zu ∼ 1 Mpc und 1014 M ), M/LVerh¨altnis hoch (bis zu 750M /L viel Dunkle Materie), ausgedehntes Helligkeitsprofil, mehrere 104 Kugelsternhaufen. Treten nur im Zentrum dichter Galaxienhaufen auf. Beispiel: M87 im Zentrum des Virgohaufens, Abb. (98).

8

GALAXIEN

138

Abbildung 98: M87 (Virgo A), die zentrale cD-Galaxie des Virgo-Haufens.

• giant ellipticals (gE): MB ∼ −23, (normal) ellipticals (E), compact ellipticals (cE): mittlere Leuchtkraft (MB ∼ −15 bis -23), 108 – 1013 M , D ∼ 1 . . . 200 kpc. • dwarf ellipticals (dE): niedrige Leuchtkraft (MB ∼ −13 bis -19), 107 – 109 M . Geringere Metallizit¨at und Oberfl¨achenhelligkeit als vergleichbar helle E’s und cE’s. • dwarf spheroidals (dSph): geringe Leuchtkraft (MB ∼ −8 bis -15), nur in der Lokalen Gruppe beobachtbar. 107 – 108 M , D ∼ 0.1 . . . 0.5 kpc. • blue compact dwarfs (BCD): blauer und gasreicher als typische E’s: hB − V i ' 0 . . . 0.3 A-Klassen Sterne hohe Sternentstehungsrate. Entsprechend hoher Gasanteil und kleines M/L. M ∼ 109 M , D . 3 kpc. Zusammensetzung: Alte Sternpopulationen Abknickpunkt der Hauptreihe im HRD liegt bei kleinen Temperaturen E’s sind optisch rot (außer BCDs). Hohe Metallizit¨at (außer bei sehr großen z). Nur geringe Mengen an Gas und Staub (aber nicht =0 wie fr¨uher vermutet). Aufgrund eines historischen Fehlers (Hubble dachte, seine ¨ Sequenz entspr¨ache der Evolutionsreihenfolge) werden E’s auch als Fruhtyp-Galaxien bezeichnet.

8

GALAXIEN

139

Abbildung 99: Metallizit¨at von Galaxien als Funktion ihrer absoluten Helligkeit. Oberes Bild: dE’s (Quadrate), E’s (Kreise und Dreiecke). Unteres Bild: Spiralen (Kreise), Irregul¨are (Quadrate). Aus Zaritsky et al. 1994, ApJ, 420, 87.

Abbildung 100: Effektivradius Re (links) und mittlere Fl¨achenhelligkeit von Elliptischen Galaxien als Funktion ihrer absoluten Helligkeit MB .

Die Metallizit¨at in allen Galaxien (auch Spiralgalaxien) nimmt mit ihrer Leuchtkraft zu, vgl. Abb. (99) Sternentstehung in massiveren Galaxien beg¨unstigt? Helligkeitsprofil: E’s folgen weitgehend dem de Vaucouleur-Profil Gl. (7.3), nur in den Außenregionen f¨allt das Profil bei besonders leuchtkr¨aftigen Galaxien langsamer ab (und umgekehrt). Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Re und MB der Galaxien. Dabei liegen normale E’s und Zwerge auf ¨ deutlich unterschiedlichen Sequenzen. Ahnliches gilt f¨ur die Korrelation zwischen mittlerer Fl¨achenhelligkeit und MB . Siehe Abb. (100). Eine m¨ogliche Interpretation ist die geringere Gravitationsbindungsenergie von Zwergen kleinerer Gasanteil geringere Metallizit¨at.

8

140

GALAXIEN

Abbildung 101: M104 (“SombreroGalaxie”), eine Sa-Sb Galaxie von der Seite gesehen.

8.2.2

Spiralgalaxien und Irregul¨are Galaxien

Definition: Spiralgalaxien bestehen aus einer Scheibe mit Spiralarmstruktur, einem zentralen Bulge und einem ausgedehnten Halo, vgl. Kap. (7.2). Unterteilung in normale Spiralen (S) (z.B. Abb. (101), Abb. (102)) und Balkenspiralen (SB) (z.B. Abb. (103)). Irregul¨are Galaxien haben wenig (Irr I) oder keine (Irr II) innere Struktur. Bezeichnung: Sx bzw. SBx mit x = a, ab, b, bc, c, . . . “Fr¨uhtyp”- bis “Sp¨attyp”-Spiralen (wieder kein Zusammenhang mit Entwicklung; allgemein sind Spiralen “Sp¨attyp” im Vergleich zu Ellipsen). Innerhalb dieser Sequenz (fr¨uh. . . sp¨at) ist: • das Bulge-Scheiben-Verh¨altnis abnehmend: Lbulge /Ldisk ∼ 0.3 . . . 0.05 f¨ur Sa. . . Sc. ¨ • der Spiralarm-Offnungswinkel zunehmend: ∼ 6◦ . . . 18◦ f¨ur Sa. . . Sc. • die Substruktur (Klumpung) der Spiralarme zunehmend deutlich. • die maximale Rotationsgeschwindigkeit abnehmend: ∼ 300 . . . 175 km/s f¨ur Sa. . . Sc, nur ∼ 70 km/s f¨ur Irr. • die Farbe zunehmend blauer: B − V ∼ 0.75 . . . 0.52 f¨ur Sa. . . Sc, ∼ 0.4 f¨ur Irr an Sternentstehungsgebieten, d.h. heißen Sternen.

zunehmender Anteil

• der Gasanteil an der Gesamtmasse zunehmend: hMgas /Mtot i ∼ 0.04 . . . 0.16 f¨ur Sa. . . Sc, ∼ 0.25 f¨ur Irr.

8

141

GALAXIEN

Abbildung 102: NGC 4414, eine typische Spiralgalaxie.

Abbildung 103: NGC 1300, eine typische Balkenspiralgalaxie.

• die relative Anzahl der Kugelsternhaufen abnehmend (noch gr¨oßer in E’s und cD’s). Zusammensetzung: Je sp¨ater der Typ, desto gr¨oßer der Anteil junger, massiver Sterne und der Sternentstehungsrate (siehe oben). Spiralen sind im Zentrum r¨oter als außen, weil im Bulge der Gasgehalt und damit die Sternentstehungsrate geringer ist als in den Spiralarmen (außerdem ist im Zentrum die Metallizit¨at h¨oher Sterne r¨oter). Dynamik: Messung der Rotationskurven u¨ ber HI-Emission und Sternbahnen mit Hilfe des Dopplereffekts. Das Ergebnis best¨atigt die Messung innerhalb der Milchstraße (Kap. (7.3.2): Die Rotationskurven von Spiralgalaxien fallen außerhalb des sichtbaren Halos nicht ab sondern bleiben fast

8

142

GALAXIEN

Abbildung 104: Rotationskurven mehrerer Spiralgalaxien. Alle sind im beobachtbaren Außenbereich konstant oder steigen sogar an.

konstant. Ein Abfallen der Rotationsgeschwindigkeiten bei großen Radien wird nicht beobachtet, siehe Abb. (104). Die (fast) universell akzeptierte Erkl¨arung ist, wie in Kap. (7.3.2) argumentiert, dass Galaxien in einen dunklen Halo eingebettet sind, dessen Dichte nach außen mit ρ ∼ R−2 abf¨allt M (R) ∼ R. Siehe Abb. (105) und Kap. (7.3.3).

Abbildung 105: Anteile der Massenkomponenten einer Spiralgalaxie an der Rotationskurve.

8

GALAXIEN

143

Die Gr¨oße der dunklen Galaxien-Halos ist unbekannt. Spiralstruktur: Spiralarme sind blau, gasreich und enthalten die meisten massiven Sterne. Sie k¨onnen keine rotierenden Materiestr¨ome sein, weil sie dann aufgrund der differentiellen Rotation der Galaxien schon l¨angst aufgewickelt w¨aren. Vermutlich sind die Spiralarme koh¨arente Dichtewellen, die das Gas lokal komprimieren und damit die Sternentstehungsrate erh¨ohen. Helligkeitsprofil: Der Bulge folgt dem de Vaucouleur-Profil Gl. (7.3), die Scheibe hat ein ∼ exponentielles Profil.

8.3 8.3.1

Globale Galaxieneigenschaften und ihre Korrelationen Die Leuchtkraftfunktion

Definition der Leuchtkraftfunktion Φ(L): Φ(L)dL ≡ Anzahldichte von Galaxien mit Leuchtkraft ∈ [L, L + dL]. Probleme, die bei der Bestimmung zu beachten sind, sind die großr¨aumigen Strukturen der Galaxienverteilung ( vollst¨andige Stichprobe?) und der sog. Malmquist Bias: in Stichproben, die durch den Strahlungsfluss begrenzt sind (z.B. Detektionslimit), sind leuchtschwache Objekte unterrepr¨asentiert volumenbegrenzte Stichproben n¨otig.

Abbildung 106: Die Schechter-Leuchtkraftfunktion f¨ur die statistische Verteilung von Galaxienleuchtkr¨aften.

8

GALAXIEN

144

Abbildung 107: Leuchtkraftfunktionen zweier Galaxienstichproben, in der Umgebung unserer Galaxis (oben) und im VirgoGalaxienhaufen (unten). Aus Binggeli et al. 1988, ARA&A, 26, 509.

Eine gute N¨aherung f¨ur die gemessene Leuchtkraftfunktion ist die Schechter-Leuchtkraftfunktion, Abb. (106):  ∗   α   Φ L L Φ(L) = exp − ∗ (8.1) L∗ L∗ L Dabei sind typische Messwerte: • L∗B ' 1.2 × 1010 h−2 L : Charakteristische Leuchtkraft, oberhalb derer die Leuchtkraftfunktion ∼ exponentiell abf¨allt. • α ' −1: Steigung im log Φ-log L-Diagramm f¨ur kleine L. • Φ∗ ' 1.6 × 10−2 h3 Mpc−3 : Normierungsdichte, gute N¨aherung f¨ur die mittlere Dichte von L∗ -Galaxien. Bem.: Gl. (8.1) ist eine gute N¨aherung f¨ur die Leuchtkraftfunktion der Gesamtverteilung aller Galaxien; die Einzelverteilungen von Ellipsen, Spiralen usw. weichen zum Teil stark davon ab; Abb. (107).

8

145

GALAXIEN

8.3.2

Die Tully-Fisher-Relation

Beobachtet (Tully & Fisher 1977): die maximale Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien ist korreliert mit ihrer Leuchtkraft: α Lspiral ∝ vmax (8.2) , α'4

Abbildung 108: Die Tully-Fisher-Relation f¨ur Spiralgalaxien. Die TF-Relation ist besser, je langwelliger der Filter ist, in dem die Leuchtkraft gemessen wird Sternentstehung und Staub beeinflusst. Ursache der TF-Relation: • Die Kepplerbeziehung kann geschrieben werden als:   2 L vmax R L = M G  2 4 L vmax = M G2 hIi

weniger durch

(8.3)

mit der mittleren Fl¨achenhelligkeit hIi = L/R2 . • Daraus folgt die TF-Relation, wenn das Masse-Leuchtkraft-Verh¨altnis M/L und hIi f¨ur alle Galaxien gleich ist. Dabei bezieht sich M auf die Gesamtmasse, d.h. Sterne (M∗ ), Gas (Mgas ) und dunkle Materie (Mcdm ). • Da man erwarten kann, dass die Verh¨altnisse M∗ /L und Mbaryon /Mcdm = (M∗ + Mgas )/Mcdm konstant sind, sollte die TF-Relation f¨ur Galaxien mit hohem Gasanteil schlechter erf¨ullt sein als f¨ur solche mit geringem Gasanteil.

8

146

GALAXIEN

Abbildung 109: Die Faber-JacksonRelation f¨ur Ellipsen und Spiralbulges.

• Das wird tats¨achlich beobachtet, und die TF-Relation wird besser, wenn man den Gasanteil mit ber¨ucksichtigt. 8.3.3

Die Faber-Jackson-Relation

¨ Die FJ-Relation ist das Aquivalent zur TF-Relation f¨ur Ellipsen und Spiralbulges. Sie verbindet die Geschwindigkeitsdispersion im Zentrum σ0 mit ihrer Leuchtkraft (Abb. (109)): Lelliptical ∝ σ0α

,

α'4

(8.4)

Die physikalische Begr¨undung der FJ-Relation ist analog zu derjenigen der TF-Relation, wenn man die Keplerbeziehung durch den Virialsatz ersetzt. Die Beobachtungen haben allerdings eine gr¨oßere Streuung um Gl. (8.4) als bei der TF-Relation.

8

147

GALAXIEN

8.3.4

Die Fundamentalebene

Mit Hilfe der FJ-Relation k¨onnen weitere Korrelationen f¨ur elliptische Galaxien gefunden werden. Wegen Gl. (7.3) ist die mittlere Fl¨achenhelligkeit (innerhalb Re ) mit dem Effektivradius korreliert:

−0.66

Wegen L ∝ Re2 hIie ∝ hIie

Re ∝ hIie

−0.83

(8.5)

hIie ∝ L−3/2

(8.6)

ist

Mit Gl. (8.4) sind dann σ0 und Re korreliert. Insgesamt liegen alle elliptischen Galaxien im Parameterraum (Re , hIie , σ0 ) in der N¨ahe der sog. Fundamentalebene (fundamental plane) −0.85

Re ∝ σ01.4 hIie 8.3.5

(8.7)

Die Dn -σ-Relation

Sei Dn derjenige Durchmesser in einer elliptischen Galaxie, innerhalb dessen hIi den Wert 20.75 magB arcsec−2 annimmt. F¨ur ein de Vaucouleur-Profil Gl. (7.3) gilt: Dn

∝ Re Ie0.8 −0.85

∝ σ01.4 hIie mit Gl. (8.7). Da Ie ∼ hIie folgt

Ie0.8

Dn ∝ σ01.4 Ie0.05

(8.8)

(8.9)

d.h. Dn ist nahezu unabh¨angig von Ie . ¨ Die beste Ubereinstimmung mit Beobachtungen liefert Dn [kpc] = 2.05(σ0 [100km/s])1.33

(8.10)

mit nur ca. 15%Streuung, d.h. wesentlich besser als die FJ-Relation. 8.3.6

Zentrale Schwarze L¨ocher und Galaxieneigenschaften

Die Schwarzschildradien supermassiver Schwarzer L¨ocher (SBH) in Galaxienkernen sind nicht direkt aufl¨osbar. Deshalb sucht man nach kinematischen Indizien f¨ur die Anwesenheit eines SBH. p Das ist m¨oglich, wenn die typische Keplergeschwindigkeit um das SBH ∼ GMsbh /R mit der Geschwindigkeitsdispersion σ der Sterne im Galaxienzentrum vergleichbar wird, d.h. innerhalb eines Radius R

GMsbh σ2 ∼ 0.4 (Msbh [106 M ]) (σ[100km/s])−2 pc

∼

(8.11)

0.4 pc entsprechen einem Winkel von 0.1 Bogensekunden in einem Abstand von 1 Mpc, das ist mit dem HST aufl¨osbar. Man erwartet also sowohl einen Anstieg der Geschwindigkeitsdispersion, als auch (wenn vorhanden) der Rotationsgeschwindigkeit um das Zentrum in der Form ∼ (Msbh /R)1/2 , wenn ein SBH im Zentrum sitzt. Siehe Abb. (84) f¨ur ein Beispiel . Auf diese Weise hat man inzwischen mehrere Dutzend SBHs in Galaxienkernen entdeckt. Dabei wurden interessante Korrelationen von Msbh mit den Eigenschaften der Bulge-Komponente der Galaxien (Bulge bei Spiralen, ganze Galaxie bei Ellipsen) gefunden, vgl. Abb. (110):

8

148

GALAXIEN

Abbildung 110: Korrelationen der Masse des zentralen SBH mit der Leuchtkraft LB und der Geschwindigkeitsdispersion σe der Bulge-Komponente der zugeh¨origen Galaxie.

• Beziehung zwischen Msbh und Bulge-Leuchtkraft: 1.11 Msbh ∝ LB,bulge

(8.12)

(mit signifikanter Streuung). • Beziehung zwischen Msbh und Bulge-Geschwindigkeitsdispersion: 3.75 Msbh ∝ σbulge

(8.13)

mit Streuung im Bereich der Fehlerbalken der Beobachtungen, also signifikante Korrelation. Die Ursache dieser Zusammenh¨ange ist noch nicht verstanden. Sie weisen auf einen physikalischen Zusammenhang zwischen der Entstehung von Bulgekomponenten und ihren zentralen SBHs hin.

8.4 8.4.1

Aktive Galaxienkerne (AGN) Allgemeine Eigenschaften

¨ Das Licht normaler Galaxien wird von Sternen dominiert, d.h. es ist eine Uberlagerung fast thermischer Spektren ˚ im Bereich zwischen ∼ 5000 und ∼ 20000 A. Im Gegensatz dazu strahlen die Kerne mancher Galaxien in einem weitaus breiteren Spektralbereich, von Radiobis zu γ-Wellenl¨angen; Abb. (111). Man nennt sie Aktive Galaktische Kerne (Active Galactic Nuclei, AGN). Die Emission eines nichtthermischen, linear polarisierten Radiospektrums im GHz-Bereich deutet auf Synchrotronstrahlung von hochrelativistischen Elektronen hin (vgl. Gl. (2.46), Abb. (112)). Im Radiobereich l¨asst sich oftmals eine komplexe Struktur erkennen: kompakte (selbst mit VLBI nicht aufl¨osbare!) Quelle, die u¨ ber d¨unne Jets mit 2 Radiokeulen (radio lobes) verbunden ist. Ausdehnung des Systems bis zu 1 Mpc, siehe Abb. (113). Daraus l¨asst sich schließen, dass diese Systeme mindestens 1 Mpc ×c ∼ 107 Jahre alt sind.

8

GALAXIEN

149

Abbildung 111: Typisches Kontinuumsspektrum von AGNs. Der “blue bump” wird als thermische Komponente interpretiert (fehlt in Blazars). Der Turnover bei ∼ 1012 Hz wird mit SynchrotronSelbstabsorption im Plasma erkl¨art.

Abbildung 112: Synchrotronspektrum aus ¨ der Uberlagerung einzelner Elektronenspektren mit unterschiedlichen Energien. Der Turnover bei kleinen Energien ist nicht eingezeichnet.

Eine Klasse von AGNs, die Quasare, geh¨ort zu den leuchtkr¨aftigsten Objekten des beobachteten Universums (Lbol ∼ 1047 erg/s). Sie werden bis zu Rotverschiebungen z ∼ 6 gefunden; ihre Energie wird in einem Raumgebiet . 1 pc freigesetzt (genauer: Variation um mehr als 50% in . 1 Tag R . 1 Lichttag ∼ 3 × 1015 cm). Demgegen¨uber kann man durch eine Absch¨atzung wie in Kap. (4.2.1) feststellen, dass der Schwarzschildradius Gl. (6.15) einer Menge von Kernbrennstoff, die diese Leuchtkraft u¨ ber eine Zeit ∼ 107 Jahre aufrecht erhalten kann, ebenfalls von der Gr¨oßenordnung 1 Lichttag ist thermonukleare Energieerzeugung ist zu ineffizient, Gravitationseffekte dominieren. Aus diesem Grund nimmt man an, dass die Energie durch Akkretion von Masse in ein SBH im Zentrum der AGNs freigesetzt wird (siehe z.B. Abb. (114)). Dabei wird nach dem Virialtheorems Gl. (5.3) ca. die H¨alfte der gewonnenen potentiellen Energie in W¨arme umgesetzt und schließlich abgestrahlt. Diese Schlussfolgerung ist mit den folgenden Punkten konsistent:

8

150

GALAXIEN

Abbildung 113: Radiogalaxie NGC 6251 mit zunehmender Aufl¨osung betrachtet. Bei niedrigeren Frequenzen sieht man deutlich die Radio-Lobes, bei h¨oheren dominiert der Jet.

• Die Jetrichtungen bei sehr kleinen (∼ 10−3 ”) und sehr großen Abst¨anden (Radiokeulen) vom Zentrum sind identisch die Ausstr¨omrichtung muss u¨ ber ∼ 107 Jahre fast konstant sein. Erkl¨arung: Ein rotierendes SBH wirkt wie ein Gyroskop. • Man hat in Seyfert-Galaxien eine doppler- und gravitationsverschobene Eisenlinie gemessen, deren Profil darauf schließen l¨asst, dass sie aus einem Bereich mit wenigen Rs Durchmesser eines SBHs emittiert wurde. • SBHs werden auch in den Zentren normaler Galaxien vermutet, siehe Kap. (8.3.6). 8.4.2

Massenabsch¨atzung des SBH

Der Strahlungsstrom, der durch die W¨arme der Akkretionsscheibe produziert wird, u¨ bt durch Streuungen eine Kraft auf die Materie aus. Dies erzeugt einen Druckgradienten ∇Prad , der – bei grober Annahme von Kugelsymmetrie

8

151

GALAXIEN

Abbildung 114: Radio- (links) und HST- (rechts) Aufnahme der elliptischen Galaxie NGC 4261. Im Zentrum der Galaxie wird ein SBH vermutet, dessen Akkretionsscheibe im rechten Bild zu sehen ist.

– durch Gl. (2.86) und Gl. (2.65) gegeben wird: ∇Prad ≡

dP dr

κ = − F c κ L = − c 4πr2

(8.14)

Wenn die Wechselwirkungen von Thomsonstreuung (Gl. (2.50)) dominiert werden, gilt f¨ur die Opazit¨at κ nach Gl. (2.68): ρ σT (8.15) κ = n σT ' mp Andererseits wirkt auf das Scheibengas die Gravitationskraft des SBH (die Masse der Scheibe sei vernachl¨assigbar), mit dem entsprechenden Druckgradienten ∇Pgrav aus Gl. (4.4): ∇Pgrav ≡

dP GMsbh =− ρ dr r2

(8.16)

8

152

GALAXIEN

F¨ur eine gravitativ gebundene Scheibe muss daher gelten: ∇Prad

< ∇Pgrav 4πc ≡ GMsbh mp σT   Msbh erg/s ' 1.3 × 1038 M

L < Ledd

(8.17)

Ledd ist die Eddington-Leuchtkraft des SBH. Damit Masse akkretiert werden kann, muss L < Ledd sein; umgekehrt kann man aus der beobachteten Leuchtkraft eine untere Grenze an die Masse des SBH ableiten: σT L 4πGcmp  ' 8 × 107 ≡

M > Medd

L 46 10 erg/s

 M

(8.18)

leuchtkr¨aftige AGN (QSO) haben Massen Msbh & 108 M , Seyfert-Galaxien haben Msbh & 106 M . Bem.: Bei diesem Argument wurde isotrope Emission angenommen. Anisotrope Emission, z.B. entlang der Jet achsen, kann das Eddington-Limit verletzen, aber wahrscheinlich nicht um einen großen Faktor. Wird der Energiestrom der einfallenden Masse mc ˙ 2 mit der Effizienz  in Leuchtkraft umgesetzt, so dass L = 2 mc ˙ (o.H.:  ≤ 0.06 f¨ur nichtrotierende BHs,  ≤ 0.29 f¨ur maximal rotierende BHs), l¨asst sich die EddingtonAkkretionsrate definieren: m ˙ edd

≡

Ledd c2

' 2 × 10−9



Msbh Jahr



−1

(8.19)

Sie ist die maximale Akkretionsrate bei Annahme isotroper Emission. Schließlich k¨onnen wir die charakteristische Zeit absch¨atzen, in der das SBH signifikant an Masse hinzugewinnt: τsbh

≡

Msbh m ˙ 8

' 5 × 10



Ledd L

  Jahre

(8.20)

Auf kosmologischen Zeitskalen k¨onnen SBHs also selbst bei hoher Effizienz signifikant an Masse gewinnen. 8.4.3

Klassifikation

Zur Klassifikation von AGN siehe auch Abb. (115). QSOs (Quasi-stellar objects): ¨ ihre Galaxie Leuchtkr¨aftigste AGN: Lqso . 1000L∗ . Uberstrahlen

punktf¨ormige Objekte.

Eigenschaften: blaues optisches Spektrum, starke und breite Emissionslinien, hohe Rotverschiebungen. ¨ Weitere Unterteilung in radiolaute QSOs Quasare und radioruhige QSOs (ca. 90%). Der Ubergang ist allerdings kontinuierlich, wahrscheinlich keine wirklich getrennten Klassen. Quasare sind auch im γ-Bereich sichtbar.

8

153

GALAXIEN

Abbildung 115: Zusammenfassung der AGN-Klassifikation.

Seyfert-Galaxien: Historisch die ersten bekannten AGNs. Trennung von QSOs haupts¨achlich historisch, weniger physikalisch. Eigenschaften: geringere Leuchtkraft als QSOs, leben in Spiralgalaxien. Weitere Aufteilung in Seyfert 1 (breite und schmale Emissionslinien) und Seyfert 2 (nur “schmale” – ¨ i.Vgl. mit Seyfert 1 – Emissionslinien). Fließender Ubergang von Seyfert 1 zu radioruhigen QSOs ( “Typ 1 QSOs”). Radiogalaxien: Elliptische Galaxien mit aktivem Kern. Weitere Unterteilung wie bei Seyfert-Galaxien in solche mit und ohne breite Emissionslinien: BLRG (broad-

8

154

GALAXIEN

Abbildung 116: Skizzen eines aktiven Galaxienkerns, die den Ursprung der verschiedenen Strahlungskomponenten verdeutlichen. line radio galaxies) bzw. NLRG (narrow-line radio galaxies). ¨ Fließender Ubergang von BLRG zu Quasaren (h¨ohere optische Leuchtkraft). Geringe γ-Emission. Blazars: AGNs mit stark zeitlich variierender Radio- und optischer Strahlung (. Tage). Bekanntestes Mitglied: BL Lacertae

“BL Lac-Objekte”: keine starken Linien, aber hoch polarisiert.

Blazars sind ebenfalls γ-leuchtkr¨aftig. ¨ Aufgrund ihrer Ahnlichkeiten ordnet man AGNs in diese Oberklassen ein: Typ 1 Objekte: Typ 1 QSOs, Seyfert 1, BLRG, Quasare. Typ 2 Objekte: Typ 2 QSOs (bisher nur unsichere Kandidaten gefunden), Seyfert 2, NLRG. Blazars: BL Lac Objekte, OVVs (optically violent variables). Ein großes aktuelles Forschungsgebiet ist der Versuch, die Familie der AGNs physikalisch zu vereinigen oder zumindest ihre Unterschiede zu erkl¨aren. Dabei wurden in der letzten Zeit durch neue Beobachtungen der “missing links” große Fortschritte erzielt. Wie oben erl¨autert wurde, st¨utzt man sich auf die Annahme, dass alle AGNs von einem SBH, das u¨ ber eine Akkretionsscheibe Material akkretiert und senkrecht dazu einen hochenergetischen Jet produziert, angetrieben werden (Abb. (116). Die unterschiedlichen Eigenschaften der AGN-Unterklassen lassen sich wahrscheinlich durch Variation der folgenden Parameter erkl¨aren: • Masse des SBH, Msbh . • Akkretionsrate in das SBH, m ˙ sbh .

8

155

GALAXIEN

Abbildung 117: Skizze der Struktur einer Akkretionsscheibe in AGNs.

Abbildung 118: Skizzen der Struktur radioruhiger (links) und radiolauter (rechts) AGNs. • Blickwinkel in Bezug auf die Richtung des Jets. Dann ergibt sich folgendes Bild: Typ 2 Objekte: Wir blicken horizontal zur Akkretionsscheibe auf das System. Die Zentralregion ( Emission der breiten Emissionslinien) ist durch den molekularen Torus verdeckt, man sieht nur die schmalen Emissionslinien. In manchen F¨allen sieht man Licht der Kernregion, das von Gaswolken ober- oder unterhalb des Kerns reflektiert wird, Abb. (117). Typ 1 Objekte: Hier blicken wir schr¨ag auf das System, d.h. auch die heiße Innenregion ist sichtbar en.

breite Emissionslini-

Die Unterscheidung in radioruhige (Seyfert 1, QSO 1) und radiolaute (BLRG, Quasare) Objekte k¨onnte durch unterschiedliche Msbh in elliptischen und Spiralgalaxien erkl¨arbar sein, vgl. Abb. (118).

8

156

GALAXIEN

Abbildung 119: Die Lokale Gruppe. Blazars: Blick direkt auf die Jetachse sehr kurze Variabilit¨atszeiten. Manchmal werden die Emissionslinien vollst¨andig von der Jetstrahlung u¨ berdeckt BL Lac Objekte, sonst OVVs.

8.5

Galaxiengruppen und -haufen

Galaxien sind auch auf gr¨oßeren Skalen “geklumpt”, d.h. man findet sie in hierarchisch strukturierten Masseverdichtungen. Das ist konsistent mit ihrer Entstehung aus kleinen Dichtefluktuationen durch Gravitationskollaps, vgl. Kap. (1.2.1). Man definiert: Galaxiengruppen: N . 50 Mitglieder, Durchmesser D . 1.5h−1 Mpc, Masse M ∼ 3 × 1013 M . Galaxienhaufen: N & 50 Mitglieder, Durchmesser D & 1.5h−1 Mpc, Masse M & 3 × 1014 M f¨ur massive Haufen. Haufen sind die gr¨oßten gravitativ gebundenen Objekte des Universums. ¨ Der Ubergang zwischen Galaxiengruppen und -haufen ist fließend. (Regul¨are) Haufen und Gruppen enthalten bevorzugt Fr¨uhtyp-Galaxien (z.B. Coma: ca. 90%) rote Galaxien. Spiralen (Sternentstehung blaue Galaxien) sind gr¨oßtenteils sog. Feldgalaxien, d.h. sie sind keiner Struktur zugeordnet. 8.5.1

Die lokale Gruppe

Die Milchstraße ist Mitglied der Lokalen Gruppe, die ca. 35 Galaxien innerhalb von ∼ 1 Mpc enth¨alt (Abb. (119). Sie enth¨alt zwei weitere Spiralgalaxien: M31 (Andromeda, Abstand ∼ 0.77 Mpc, Abb. (96)) und M33. Die uns n¨achsten Galaxien sind die Große und Kleine Magellansche Wolke (LMC, SMC). Beide sind irregul¨are Galaxien, so wie ca. 11 weitere Mitglieder der lokalen Gruppe. Alle anderen sind Zwerggalaxien, die sich bevorzugt nahe den großen Galaxien befinden. Innerhalb von ∼ 10 Mpc befinden sich ca. 6 weitere Gruppen.

8

157

GALAXIEN

8.5.2

Morphologie von Galaxienhaufen

¨ Man unterscheidet (mit fließenden Uberg¨ angen): Regul¨are Haufen: kompakt, dominiert von Fr¨uhtyp-Galaxien, h¨aufig cD-Galaxie (ausgedehnte stellare H¨ulle, Mehrfachkerne) im Zentrum, hohe Anzahl an Mitgliedern relaxierter Zustand. Irregul¨are Haufen: offen, viele Spiralen, weniger Mitglieder, ausgepr¨agte Substruktur

nichtrelaxierter Zustand.

N¨achster Galaxienhaufen: Virgo (irregul¨arer Haufen), Entfernung ∼ 16 Mpc, ca. 250 große Galaxien, ca. 2000 kleinere. Ca. 62 % S + Irr. N¨achster regul¨arer Haufen: Coma, Entfernung ∼ 90 Mpc, ca. 1000 bekannte Mitglieder. Ca. 7 % S + Irr. 8.5.3

Dynamische Massenbestimmung

Galaxienst¨oße in Haufen sind vernachl¨assigbar selten

 f¨ur die Haufendynamik stoßfreies Gas, keine Fl¨ussigkeit. Die Geschwindigkeitsdispersion der Galaxien v 2 folgt daher nicht aus dem LTE, sondern wurde durch den Kollaps aus Dichtest¨orungen aufgepr¨agt (violent relaxation). Dennoch k¨onnen wir das Virialtheorem Gl. (5.5) anwenden, denn es gilt nicht nur f¨ur Fl¨ussigkeiten, sondern allgemein f¨ur selbstgravitierende (auch stoßfreie) Systeme. Daf¨ur definieren wir: X M ≡ mi i

2 v

rG

1 X mi vi2 ≡ M i −1  X mi mj  ≡ 2M 2  rij

(gravitativer Radius)

i6=j

ET

≡

EG

≡

1 2 M v 2 GM 2 − rG

(8.21)

Aus Gl. (5.5) folgt dann:

 rG v 2 M= G

(8.22)

 Da man v 2 und rG nicht direkt messen kann, geht man zu den projizierten Gr¨oßen u¨ ber. Sei σv2 die projizierte Geschwindigkeitsdispersion. Dann gilt f¨ur isotrope Geschwindigkeitsverteilungen:

2 v = 3σv2 Ebenso gilt, wenn Rij der projizierte Abstand der Galaxien i und j ist, dass RG = 2rG /π mit  −1 X mi mj  RG ≡ 2M 2  Rij i6=j

(8.23)

8

158

GALAXIEN

Abbildung 120: Mosaikbild des ComaHaufens im R¨ontgenlicht, aufgenommen mit der EPIC-Kamera des XMM-NewtonTeleskops.

und damit: M

3πRG σv2 2G ' 1.1 × 1015 M (σv [1000 km/s])2 (RG [Mpc])

=

in typischen Gr¨oßenordnungen. Verglichen mit der optischen Gesamtleuchtkraft der Haufengalaxien findet man: M M ∼ 300 h L Haufen L

(8.24)

(8.25)

also mehr als Faktor 10 gr¨oßer als typische Fr¨uhtyp-Galaxien. Daraus schloss schon Zwicky (1933) durch Beobachtung des Coma-Haufens, dass sich nur ein kleiner Teil der Haufenmaterie in Sternen befindet. Die dynamische Massenbestimmung wird allerdings durch Projektions- und Anisotropie-Effekte beeinflusst. 8.5.4

Massenbestimmung durch R¨ontgenemission

Wie zuerst vom UHURU-R¨ontgensatelliten entdeckt wurde, sind Galaxienhaufen starke R¨ontgenstrahler mit Leuchtkr¨aften bis zu LX ∼ 1045 erg/s. Die R¨ontgenstrahlung von Haufen ist r¨aumlich ausgedehnt (∼ Mpc) und zeitlich nicht variabel. Siehe z.B. Abb. (120). Das Spektrum der Strahlung ist konsistent mit thermischer Bremsstrahlung (frei-frei) eines heißen Gases, vgl. Kap. (1.2.2) und Kap. (2.4.1). Die Emissivit¨at ist also eine Funktion der Dichte und der Temperatur des Gases (vgl. Gl. (1.34)). Da die Schalllaufzeit durch einen typischen Galaxienhaufen, ts ∼ 7 × 108 Jahre, viel kleiner als das Alter der Haufen (∼ 109 Jahre) ist, kann man von hydrostatischem Gleichgewicht ausgehen, d.h. Gl. (4.4) ist g¨ultig.

8

GALAXIEN

Mit Gl. (2.31) l¨asst sich Gl. (4.4) (bei sph¨arischer Symmetrie) umschreiben zu:   kT r2 d ln ρ d ln T M (r) = − + Gµa mp dr dr

159

(8.26)

ρ(r) und T (r) k¨onnen durch Invertierung bzw. Fits einfacher Modelle an die Daten aus der gemessenen (projizierten) radialen Intensit¨atsverteilung bestimt werden. Damit l¨asst sich schließlich die Masse des Haufens sowie – durch Integration von ρ(r) – diejenige des Haufengases berechnen. Ergebnis: Die Masse von Galaxienhaufen besteht zu ca. 3% aus Sternen in Galaxien, ca. 15% aus intergalaktischem Gas und ∼ 82% aus dunkler Materie. Bem.: Eine dritte, unabh¨angige, Methode zur Massenbestimmung von Galaxienhaufen benutzt den Gravitationslinseneffekt. Die Ergebnisse sind konsistent mit den anderen Methoden.

8.5.5

Cooling Flows

Wie schon in Kap. (1.2.2) abgesch¨atzt wurde, ist die K¨uhlzeit (Gl. (1.35)) des Gases in Galaxienhaufen viel gr¨oßer als die dynamische Zeitskala. Dies gilt wegen tcool ∼ n−1 jedoch nicht im dichten Zentrum des Haufens. Dort kann lokal tcool < tgrav sein, d.h. das hydrostatische Gleichgewicht ist verletzt. Dann passiert folgendes: das Gas k¨uhlt effizient der Druck wird verringert weiteres Gas str¨omt von außen nach dabei wird es komprimiert und k¨uhlt ab eine nach innen gerichtete Str¨omung setzt ein: cooling flow. Cooling flows werden durch ein starkes zentrales Maximum der R¨ontgenintensit¨at beobachtet. Die Frage nach dem weiteren Schicksal des einstr¨omenden Gases ist bisher nicht v¨ollig gekl¨art – vielleicht wird es auf die zentrale cD-Galaxie akkretiert bzw. bewirkt deren Entstehung? 8.5.6

Der Sunyaev-Zeldovich-Effekt

Photonen des Mikrowellen-Hintergrundes werden an den heißen Elektronen des Haufengases gestreut (inverse Compton-Streuung, siehe Kap. (2.4.3)) und erhalten dadurch eine h¨ohere Energie. Dies f¨uhrt zu einer lokalen Abweichung vom Planck-Spektrum der Hintergrundstrahlung Sunyaev-Zeldovich (SZ)-Effekt. Der Grad der Abweichung h¨angt von der Temperatur und Dichte des Gases, integriert u¨ ber die Sichtlinie, ab. Da die Dichte und Temperatur des Gases aus der R¨ontgenintensit¨at bzw. dem R¨ontgenspektrum abgeleitet werden k¨onnen, erlaubt der SZ-Effekt eine Messung des Haufendurchmessers D entlang der Sichtlinie. Unter der Annahme sph¨arischer Symmetrie ergibt der Quotient aus D und dem Winkeldurchmesser Θ die sog. Winkelentfernung des Haufens der SZ-Effekt erlaubt die Messung der Baryonendichte und der Entfernung von Galaxienhaufen. 8.5.7

Der Butcher-Oemler-Effekt

Wie oben erw¨ahnt wurde, enthalten Haufen und Gruppen vorwiegend rote, d.h. Fr¨uhtyp-, Galaxien w¨ahrend blaue (Spiral-) Galaxien haupts¨achlich als Feldgalaxien anzutreffen sind.

8

GALAXIEN

160

Diese Eigenschaft a¨ ndert sich bei h¨oheren Rotverschiebungen: dort ist der Anteil blauer Galaxien in Haufen h¨oher als in lokalen Haufen Butcher-Oemler-Effekt. Es scheint also, als ob sich Spiralgalaxien im Laufe der Zeit in Fr¨uhtyp-Galaxien umwandeln, z.B. durch Verlust ihres Gases durch die Relativbewegung zum Haufengas. Diese Hypothese ist mit der Beobachtung konsistent, dass das Haufengas eine hohe Metallizit¨at besitzt, die aus fr¨uheren Sterngenerationen stammen muss.

9

161

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 121: Wichtigste Methoden zur Messung astronomischer Entfernungen.

9

Homogene Kosmologie

9.1

Die S¨aulen der Urknalltheorie

Der Begriff “Urknall” (big bang) geht auf Fred Hoyle zur¨uck, der sich damit u¨ ber dieses Modell lustig machen wollte (er hat es bis zu seinem Tod in 2001 nicht akzeptiert). Das Urknallmodell macht die folgende Aussage: Das Universum befand sich vor endlicher Zeit (ca. 14 Gyrs) in einem extrem heißen und dichten Zustand und expandiert seitdem, wobei es sich abk¨uhlt und verd¨unnt. Es ist konsistent mit allen bisherigen Beobachtungen und dient als Grundlage f¨ur die gesamte moderne Kosmologie. Alle Konkurrenzmodelle (z.B. das “steady state universe”) m¨ussen große Verrenkungen machen, um alle Beobachtungen erkl¨aren zu k¨onnen. Die zentralen Beobachtungen, die das Urknallmodell st¨utzen, sind: 1. Die gleichf¨ormige Expansion des Universums. Nachgewiesen 1929 durch Edwin Hubble mit Hilfe von Cepheiden-Entfernungsmessungen. Siehe Abb. (121) f¨ur eine Zusammenfassung der Methoden zur Entfernungsmessung Wichtigster Parameter: Die Hubble-Konstante H0 , die die derzeitige Expansionsrate des Universums angibt. Hubble fand das (lineare) Hubble-Gesetz, das die Rotverschiebung z (f¨ur kleine Abst¨ande u¨ ber die Dopplerverschiebung als Fluchtgeschwindigkeit interpretierbar) mit dem Abstand d verbindet: H0 d = cz

(9.1)

Mehr dazu in Kap. (9.3.3). 2. Thermische elektromagnetische Strahlung, die in allen Richtungen die gleiche Temperatur besitzt (kosmische Hintergrundstrahlung); Abb. (1). Vorausgesagt von Gamow (1946), aber damals nicht ernst genommen.

9

HOMOGENE KOSMOLOGIE

162

Gefunden 1965 durch Arno Penzias und Robert Wilson als St¨oreffekt w¨ahrend ihrer Arbeit an Antennenkalibrierungen bei den Bell-Labs. Gleichzeitig (und v¨ollig unabh¨angig) liefen Experimente an, die nach genau dieser Strahlung suchen sollten. 1992 zeigt der Satellit COBE die exakte Schwarzk¨orperstrahlung bei T ' 2.73 K und findet erstmals kleine (∼ 10−5 ) Temperaturanisotropien, die schon seit ca. 1965 vermutet wurden. 3. Die Entstehung leichter Elemente im fr¨uhen Universum (primordiale Nukleosynthese), die die beobachteten Verh¨altnisse richtig voraussagt. Erste Berechnung der Elemententstehung im jungen Universum durch George Gamow (Alpher, Bethe & Gamow 1948). Quantitative Vorhersagen durch numerische Rechnungen von Wagoner, Hoyle & Fowler 1969. Wichtigste Ergebnisse: • Es existieren nur ≤ 3 leichte Neutrinosorten. • Der Anteil der baryonischen Materie liegt (in einem mehr oder weniger flachen Universum) nur im Prozentbereich. Nachweis von primordialem Deuterium in Ly-α-Wolken durch Tytler & Burles (1998) Messung des Baryonenanteils.

bisher genaueste

Bem.: An dieser Stelle ist es vielleicht angebracht, auf ein paar h¨aufig auftretende Missverst¨andnisse hinzuweisen: 1. Der Urknall war keine Explosion im u¨ blichen Sinne, weil er nicht an einem bestimmten Punkt im Raum auftrat, sondern an allen Orten gleichzeitig. Das Universum kann problemlos zur Zeit des Urknalls eine unendliche r¨aumliche Ausdehnung gehabt haben – selbst wenn alle Punkte um uns herum in einem beliebig kleinem Volumen komprimiert waren, k¨onnen unendlich viele Punkte außerhalb dieses Volumens gewesen sein. 2. Die Expansion des Universums bedeutet nicht, dass sich alle Strukturen des Universums (inkl. Galaxien, Sonnensysteme, wir selbst etc.) gleichf¨ormig vergr¨oßern! Die kosmische Expansion bezieht sich ausschließlich auf (gravitativ oder sonstwie) ungebundene Systeme.

9.2

Das Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Universum

Der allgemeinen Konvention in der Hochenergiephysik und Kosmologie folgend, verwenden wir im folgenden ¨ naturliche Einheiten, in denen c = ~ = k = 1 ist. Damit folgt, dass es nur noch eine fundamentale Einheit gibt: Energie. Es gilt: [Energie] = [Masse] = [Temperatur] = [L¨ange]−1 = [Zeit]−1 (9.2) Des weiteren werden wir die Summenkonvention verwenden, in der implizit u¨ ber gleiche Indizes in Produkten summiert wird. Dabei laufen griechische Indizes (meistens µ, ν) von 0 . . . 3 (“Raumzeit”) und lateinische Indizes (meistens i, j) von 1 . . . 3 (“Raum”).

9

163

HOMOGENE KOSMOLOGIE Energie Temperatur Masse L¨ange Zeit Anzahldichte Massendichte Megaparsek

1 GeV 1 GeV 1 GeV 1 GeV−1 1 GeV−1 1 GeV3 1 GeV4 1 Mpc

= = = = = = = =

1.6022 × 10−3 erg 1.1605 × 1013 K 1.7827 × 10−24 g 1.9733 × 10−14 cm 6.5822 × 10−25 s 1.3014 × 1041 cm−3 2.3201 × 1017 g cm−3 1.5637 × 1038 GeV−1

Tabelle 4: Wichtigste Umrechnugsfaktoren f¨ur nat¨urliche Einheiten. 9.2.1

Die Robertson-Walker Metrik

In Kap. (1.2.1) haben wir die Dynamik des Universums auf sehr großen Skalen aus der Sicht der Newtonschen Physik beschrieben und damit Gl. (1.20) f¨ur den Skalenfaktor a(t) hergeleitet. In diesem Kapitel kehren wir zu der gleichen Fragestellung zur¨uck, behandeln sie aber jetzt mit der derzeit besten Theorie f¨ur die Physik der Raumzeit, Einsteins Allgemeiner Relativit¨atstheorie (ART). Dabei werden wir Gl. (1.20) wiederfinden (sonst w¨urde niemand das Newtonsche Argument ben¨utzen. . . ) und um weitere Gleichungen f¨ur die Energieerhaltung und Beschleunigung der Expansion erweitern. Um das Universum mathematisch beschreiben zu k¨onnen, machen wir, wie in Kap. (1.2.1), zwei wichtige Annahmen u¨ ber die Welt auf sehr großen Skalen: 1. Gravitation dominiert u¨ ber alle anderen Kr¨afte (weil nicht abschirmbar). 2. Die Materie ist homogen und isotrop verteilt (“kosmologisches Prinzip”). 1. Wir m¨ussen im Rahmen der ART arbeiten, d.h. die Metrik spielt eine zentrale Rolle. Grob gesprochen ist die Metrik ein Tensor, der den Abstand zwischen den Punkten der 4-dimensionalen Raumzeit wiedergibt. Sie l¨asst sich durch ein 4-dimensionales Linienelement ausdr¨ucken 2. Wir k¨onnen diese Symmetrien ausn¨utzen, um einen einfachen allgemeinen Ansatz f¨ur die Metrik zu bekommen die Robertson-Walker Metrik. Sie ist die allgemeinste Form einer Raumzeit mit isotropen und homogenen Raumsektionen. Isotropie bedeutet, dass es f¨ur einen Beobachter keine ausgezeichnete Richtung gibt, d.h. der Himmel sieht in alle Richtungen gleich aus. Das wird am eindrucksvollsten von der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (CMBR) demonstriert, die auf 10−5 genau u¨ berall die gleiche Temperatur (ca. 2.73 K) hat (Abb. (1)). Homogenit¨at besagt, dass kein Punkt im Raum ausgezeichnet ist. Dem Kopernikanischen Prinzip zufolge sollten auch Beobachter in anderen Galaxien die Isotropie der CMBR sehen – damit ist das Universum auch homogen. Bem.: Es gibt sowohl isotrope R¨aume, die nicht homogen sind, als auch umgekehrt. Finden Sie Beispiele!

Da sich alle Beobachter im Universum auf eine globale Zeitkoordinate t einigen k¨onnen (z.b. durch Messung der CMBR-Temperatur), ist der allgemeinste Ansatz f¨ur das Linienelement: ds2

= gµν dxµ dxν = dt2 − σij dxi dxj = dt2 − dl2

(9.3)

(gµν ist die Metrik; zum Vergleich, die statische flache (Minkowski) Raumzeit hat die Metrik gµν = ηµν = diag(1, −1, −1, −1) in kartesischen Koordinaten bzw. σij = δij in Gl. (9.3)).

9

164

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 122: M¨ogliche Geometrien der Raumsegmente einer isotropen und homogenen Raumzeit: geschlossen, offen und flach.

Die 3-Metrik σij ist isotrop und damit auch sph¨arisch symmetrisch, d.h. wir k¨onnen schreiben:   dl2 = R2 λ2 (r)dr2 + r2 dΩ2 2

2

2

mit der Metrik der 2-Kugel dΩ = dθ + sin θdφ . Homogenit¨at die skalare 3-Kr¨ummung ist r¨aumlich konstant und hat die Form 3 R = 6K/R2 2 −1/2 (1 − Kr ) (wird hier nicht gezeigt). Ausserdem bleibt Gl. (9.4) unter K r R

(9.4)

2

k = K/|K| = −1, 0, 1 p → r |K| p → R/ |K|

λ(r) =

→

(9.5)

invariant. Dementsprechend haben die Raumsektionen konstante negative (“offen” bzw. hyperbolisch), positive (“geschlossen” bzw. sph¨arisch) oder verschwindende Kr¨ummung (“flach” bzw. euklidisch). Siehe Abb. (122). Die vollst¨andige Robertson-Walker Metrik lautet: dr2 ds = dt − R (t) + r2 dΩ2 1 − kr2 2

2

2



 (9.6)

R(t) ist der Skalenfaktor. Er hat die Einheit einer L¨ange, die so normiert ist, dass ihr heutiger Wert R0 die heutige Kr¨ummung des Universums bestimmt: 6k 3 (9.7) R0 = 2 R0 Damit ist die Koordinate r dimensionslos. Wir werden h¨aufig die dimensionslose Form des Skalenfaktors verwenden, a(t) = R(t)/R0 , die auf den heutigen Wert normiert ist:   dr2 2 2 2 2 2 2 ds = dt − a (t)R0 (9.8) + r dΩ 1 − kr2

9

165

HOMOGENE KOSMOLOGIE

9.2.2

Kinematik

Physikalische Abst¨ande skalieren mit dem Skalenfaktor der RW-Metrik Gl. (9.8): l(t) = a(t)l0 . Zwei Beobachter A und B mit “kleinem” Abstand δl0 = δl/a(t) sehen den jew. anderen mit einer Geschwindigkeit d δl dt = aδl ˙  0 a˙ δl = a

δv

=

(9.9)

Strahlung der Frequenz ω, die von A ausgeht, wird von B dopplerverschoben gemessen: δω ω

= −δv   a˙ = − δl a   a˙ = − δt a   δa = − a

(9.10)

Integration ergibt ω ∝ a−1

(9.11)

Die Rotverschiebung z eines Objekts, dessen zur Zeit te emittiertes Licht uns heute erreicht, wird definiert durch 1+z ≡

ω(te ) 1 = ω0 a(te )

(9.12)

Weil die Rotverschiebung implizit die Zeit te festlegt, wird z h¨aufig als alternative (weil direkt messbare) Zeitkoordinate verwendet. Die Rotverschiebung ist nichts anderes als die Ausdehnung des Universums zur Zeit der Lichtemission relativ zur heutigen (z.B. z = 1 entspricht halber Gr¨oße usw.). Bem.: Achtung Verwechslungsgefahr! Die obige Herleitung der Rotverschiebung mit Hilfe des Dopplereffektes, den Beobachter mit kleinen Abst¨anden messen, soll nicht zur Annahme verleiten, dass die Rotverschiebung bei großen (kosmologischen) Abst¨anden mit dem relativistischen Dopplereffekt erkl¨art werden kann (wie es in manchen B¨uchern steht). Das ist falsch! Unsere Herleitung darf nur im infinitesimalen, nicht im globalen, Sinne verstanden werden. Siehe Diskussion zum Hubble-Gesetz sp¨ater. ¨ Ahnliches gilt f¨ur Teilchenimpulse: ein massives Teilchen habe bei A die Geschwindigkeit v. Wenn es bei B eine Zeit δt = δl/v sp¨ater ankommt, hat B gegen¨uber A die Geschwindigkeit   a˙ δu = δl a   δa v (9.13) = a

9

166

HOMOGENE KOSMOLOGIE

B sieht das Teilchen also um den Betrag δv

v − δu −v 1 − vδu δa = −(1 − v 2 )v + O(δu2 ) a =

(9.14)

langsamer als A. Das Verhalten des 3-Impulses folgt aus der Integration von Gl. (9.14): |p| ∝ √

1 v ∝ a 1 − v2

(9.15)

Wenn sich ein Beobachter bez¨uglich der RW-Metrik bewegt, f¨allt sein Impuls mit 1/a ab und er kommt zur Ruhe. Die Kurven konstanter RW-Raumkoordinaten sind Geod¨aten, d.h. er bleibt in Ruhe. Das RW-System wird deshalb auch mitbewegtes (“comoving”) Bezugssystem genannt. Betrachte ein Ensemble von dN Teilchen mit der Verteilungsfunktion f (x, p, t), wie sie in Gl. (2.5) definiert wurde: dN = f dV d3 p (9.16) Aus dV ∝ a3 , d3 p ∝ a−3 und dN =const folgt, dass f erhalten bleibt. Gleiches gilt f¨ur das Planckspektrum Bν (T ) masseloser Teilchen, Gl. (2.27). Da Bν (T ) ∝ ν 3 fT mit fT aus Gl. (2.25) bleibt die spektrale Form der Planckverteilung w¨ahrend der kosmologischen Expansion erhalten. Und weil fT eine Funktion von ω/T ist, folgt aus Gl. (9.11), dass T ∝ a−1 9.2.3

(9.17)

Dynamik

Bevor wir uns an die Zeitentwicklung von a(t) wagen, k¨onnen wir vieles aus dem Verhalten von Materie in einem ¨ RW-Universum lernen. Man beschreibt sie durch eine ideale Flussigkeit, d.h. Materie, die in ihrem Ruhesystem isotrop ist. Dieser Begriff ist sehr allgemein und beinhaltet u.a. Gas, Strahlung und “Staub” aus Galaxien. F¨ur praktische Zwecke ist eine ideale Fl¨ussigkeit eine solche, die im Ruhesystem vollst¨andig durch ihre Energiedichte ρ und ihren Druck P beschrieben werden kann. Bem.: Achtung Konventions¨anderung! Bisher (vgl. Kap. 2) hat ρ die Ruhemassendichte und e die Energiedichte bezeichnet. Weil in der Kosmologie die Ruhemassendichte entweder vernachl¨assigbar klein ist (strahlungsdominiertes Universum: e ∼ T 4  ρ; beachte nat¨urliche Einheiten!) oder mit der Energiedichte gleichgesetzt werden kann (materiedominiertes Universum:   1 e ' ρ), wird sie eigentlich nie gebraucht. Deshalb verwendet man ρ u¨ blicherweise f¨ur die Energiedichte; diese Konvention wird im folgenden u¨ bernommen. Daf¨ur braucht man den Energie-Impuls-Tensor T µν (die “4-Impuls-Flussdichte”). Homogenit¨at macht Tµν diagonal und Isotropie bedeutet, dass die r¨aumlichen Komponenten identisch sind. Im lokalen Intertialsystem ist also:   ρ 0 0 0  0 P 0 0   T µν =  (9.18)  0 0 P 0  0 0 0 P Die koordinatenunabh¨angige Verallgemeinerung davon lautet: T µν = (ρ + P )U µ U ν − P g µν

(9.19)

9

167

HOMOGENE KOSMOLOGIE

(U µ ist die 4-Geschwindigkeit). Gl. (9.19) ist durch die Tensorenschreibweise offensichtlich kovariant und geht im lokalen Inertialsystem (U µ = (1, 0, 0, 0), g µν = η µν ) in Gl. (9.18) u¨ ber. Im allgemeinen Ruhesystem (U µ = (1, 0, 0, 0)) ist die einfachste Schreibweise T µν = diag(ρ, −P, −P, −P ). Energie- und Impulserhaltung werden durch die verschwindende kovariante Divergenz von T µν ausgedr¨uckt: ∇ν T µν = 0

(9.20)

Die µ = 0–Komponente von Gl. (9.20) gibt in der RW-Metrik die Energieerhaltung in einem homogenen, isotropen Universum wieder: a˙ ρ˙ = −3 (ρ + P ) (9.21) a

Bem.: Wenn Ihnen die Herleitung von Gl. (9.21) zu kompliziert war, k¨onnen Sie versuchen, das gleiche Ergebnis mit Hilfe des 1. Hauptsatzes der W¨armelehre herzuleiten: dE ≡ d(ρa3 ) = −P da3 . Mit der einfachen, aber h¨aufig g¨ultigen Parametrisierung der Zustandsgleichung des Universums P = wρ

(9.22)

ρ˙ a˙ = −3 (1 + w) ρ a

(9.23)

ρ = ρ0 a−3(1+w)

(9.24)

wird Gl. (9.21) zu

und l¨asst sich integrieren (wenn w =const):

Z.B. gilt in der materiedominierten Phase des Universums, wenn die Ruhemassendichte nichtrelativistischer Teilchen u¨ ber die Strahlungsenergiedichte dominiert (T 4  ρ): P ∼ nT  ρ

(9.25)

und damit w ' 0. Die wichtigsten F¨alle in der Kosmologie sind: Strahlung: Materie (“Staub”): Vakuum-Energiedichte:

w=

1 3

w=0 w = −1

ρ ∝ a−4 ρ ∝ a−3 ρ = const

(9.26)

Bem.: In der letzten Zeile von Gl. (9.26) kann man von rechts nach links argumentieren: weil die VakuumEnergiedichte per Definition konstant ist, muss w = −1 sein. Sp¨ater werden wir sehen, dass die “kosmologische Konstante” tats¨achlich diese Eigenschaft hat. Gl. (9.24) zeigt auch, dass diejenigen Materieanteile mit dem gr¨oßten w am st¨arksten durch die Expansion verd¨unnt (“rotverschoben”) werden. Umgekehrt ausgedr¨uckt dominiert in der Fr¨uhzeit des Universums das gr¨oßte w (laut Gl. (9.26) ist das die Strahlung), w¨ahrend das kleinste w (Vakuum-Energie) erst vor kurzem eine relevante Gr¨oßenordnung erhalten haben kann.

9

168

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Wir ben¨otigen noch eine Gleichung f¨ur a(t), um ρ(t), P (t) bestimmen zu k¨onnen. Diese bekommen wir aus den Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativit¨atstheorie. Die Zeitabh¨angigkeit des Skalenfaktors folgt aus den Einsteinschen Feldgleichungen: 1 Gµν ≡ Rµν − Rgµν − Λgµν = 8πGTµν 2

(9.27)

• Gµν : der Einstein-Tensor, das dynamische Feld der Theorie, beschreibt die Geometrie der Raumzeit mit Hilfe der Metrik gµν . ¨ • Rµν = Rλµλν : der Ricci-Tensor, Kontraktion des Riemannschen Krummungstensors: Rρσµν =

1 (∂µ ∂σ gρσ − ∂µ ∂ρ gνσ − ∂ν ∂σ gρµ + ∂ν ∂ρ gµσ ) 2

(9.28)

• R = Rµµ = g µν Rµν : der Ricci-Skalar. • Λ: die kosmologische Konstante, wurde bis vor kurzem gerne = 0 gesetzt. Heute vielleicht das wichtigste Problem der theoretischen Physik. • G: die Newtonsche Gravitationskonstante. Teilchenphysiker dr¨ucken sie gerne durch die (reduzierte) Planckmasse Mpl = (8πG)−1/2 ∼ 1018 GeV aus. Die Friedmann-Gleichung (unsere alte Bekannte aus der Newtonschen Diskussion in Kap. (1.2.1), Gl. (1.20)) ist im relativistischen Zusammenhang die 0-0–Komponente von Gl. (9.27):  2 8πG Λ k a˙ = ρ+ − 2 2 H ≡ a 3 3 a R0 2

(9.29)

Darin wird die Ausdehnungsrate des Universums durch den Hubble-Parameter beschrieben: a˙ a

(9.30)

 2 a˙ k = −8πGP − 2 2 a a R0

(9.31)

H= Die i − i–Komponente von Gl. (9.27) ergibt: a ¨ 2 + a

Bem.: Aufgrund der kontrahierten Bianci-Identit¨at (∇µ Gµν = 0) sind nur zwei der Gleichungen (9.21),(9.29) und (9.31) voneinander unabh¨angig. Aus der Differenz von Gl. (9.29) und Gl. (9.31) erh¨alt man einen Ausdruck f¨ur die Beschleunigung der Expansion: a ¨ H˙ + H 2 = a

4πG Λ (ρ + 3P ) + 3 3 4πG Λ = − ρ(1 + 3w) + 3 3 = −

(9.32)

Das bedeutet, dass alle Arten der Materie mit w > −1/3 abbremsend wirken, w¨ahrend w < −1/3 die Expansion beschleunigt.

9

169

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Wir k¨onnen Λ auch einfach als Bestandteil der kosmologischen Fl¨ussigkeit ansehen, indem wir den Λ-Term in (9.27) auf die rechte Seite holen und als Teil des Energie-Impuls-Tensors interpretieren: Λ Tµν

Λ gµν 8πG = ρΛ gµν =

(9.33)

In dieser Interpretation ist Λ ein Maß f¨ur die Vakuum-Energiedichte der Raumzeit, und damit ein Fall f¨ur die Quantengravitation. Wir lernen also durch Beobachtung des ganz Großen (Kosmologie) etwas u¨ ber die Eigenschaften des ganz Kleinen (Quantenstruktur der Raumzeit). Vergleichen wir (9.19) und (9.33), finden wir PΛ = −ρΛ (9.34) d.h. w = −1, wie wir in (9.26) f¨ur die Vakuum-Energiedichte vorausgesagt haben. Im Weiteren wird angenommen, dass Λ einen Teil von ρ und P ausmacht und deshalb nicht mehr explizit in den dynamischen Gleichungen erw¨ahnt. Aus (9.32) folgt schließlich, dass eine positive Vakuum-Energiedichte beschleunigend wirkt. Dieser Effekt wurde mit großer Wahrscheinlichkeit vor kurzem nachgewiesen; man findet: 1/4

ρΛ ∼ 10−3 eV

(9.35) 1/4

Dagegen liefert die Quantenfeldtheorie die naive Absch¨atzung ρΛ ∼ Mpl = 1018 GeV. Der gemessene Wert von ρΛ ist also ca. 120 Gr¨oßenordnungen zu klein – ein Problem, das sich nicht einfach auf Beobachtungsfehler abschieben l¨asst. Jetzt sind wir in der Lage, die Zeitabh¨angigkeit von ρ und P auszurechnen. Dies geschieht am einfachsten durch Integration von Gl. (9.30): Z a(t) da t= (9.36) a H 0 wobei wir a(t = 0) = 0 angenommen haben. H(a) folgt wiederum aus der Friedmann-Gleichung (9.29) wenn ρ(a) bekannt ist. F¨ur allgemeine ρ(a) l¨asst sich das Integral nur numerisch l¨osen, aber die relevantesten F¨alle lassen sich durch ein flaches Universum (k = 0) und Zustandsgleichungen mit konstantem w ((9.24) und (9.26)) abdecken. Dann folgt: a(t) ∝ tn

9.2.4

,

n=

2 3(1 + w)

(9.37)

¨ Zusammenhang zwischen Dichte und Krummung

Der Dichteparameter Ω ist definiert als Ω

= =

8πG ρ 3H 2 ρ ρcrit

(9.38)

mit der kritischen Dichte ρcrit :

3H 2 (9.39) 8πG Der Grund f¨ur die Bezeichnung “kritische Dichte” wird klar, wenn man die Friedmann-Gleichung (9.29) umschreibt zu: ρcrit =

Ω−1

=

k H 2 a2 R02

∝ a˙ −2

(9.40)

9

170

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Ω setzt sich – ebenso wie ρ – aus Beitr¨agen von Materie, Strahlung und Vakuumenergie zusammen: Ω = Ωm + Ωr + ΩΛ

(9.41)

Das Vorzeichen von k, und damit die Kr¨ummung der RW-Metrik, ist also durch die Dichte ρ im Verh¨altnis zu ρcrit festgelegt: ρ < ρcrit ⇔ Ω < 1 ⇔ k = −1 ⇔ “offen” ρ = ρcrit ⇔ Ω = 1 ⇔ k = 0 ⇔ “flach” (9.42) ρ > ρcrit ⇔ Ω > 1 ⇔ k = +1 ⇔ “geschlossen” Die rechte Seite von (9.40) ist zeitabh¨angig. Damit ist auch Ω zeitabh¨angig, es sei denn, die rechte Seite von Gl. (9.40) verschwindet. Ω = 1 (d.h. das flache Universum) ist also ein Fixpunkt der Friedmann-Dynamik. Selbst wenn Λ > 0 war unser Universum bis vor kurzem materie- oder strahlungsdominiert. Aus Gl. (9.32) folgt dann, dass a˙ mit der Zeit kleiner wird, d.h. die Expansion verlangsamt sich. Laut Gl. (9.40) wird also |Ω−1| = |Ωk | mit der Zeit gr¨oßer. Ω = 1 ist demnach ein instabiler Fixpunkt. Alles deutet darauf hin, dass unser Universum tats¨achlich flach ist (Ω0 = 1). Die Frage, warum wir uns auf einem instabilen Fixpunkt befinden, ist als das sog. Flachheitsproblem bekannt. Offensichtlich l¨asst es sich durch eine hypothetische Beschleunigungsphase im fr¨uhen Universum (w < −1/3 a ¨ > 0) l¨osen, die sog. Inflation. Die beste Messung der r¨aumlichen Geometrie des Universums und damit von Ω0 erlaubt die Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (anschaulich: erstes Maximum des Leistungsspektrums = Horizontl¨ange w¨ahrend der Rekombination von H, deren gemessener Winkeldurchmesser von der Kr¨ummung abh¨angig ist); mehr dazu in Kap. (10.2.2). Das wahrscheinlich robusteste Ergebnis des WMAP-Satelliten ist, dass unser Universum mit hoher Wahrscheinlichkeit r¨aumlich flach ist: Ω0 = 1.02 ± 0.02 (9.43) (vgl. Abb. (1), Abb. (137) und Abb. (123)).

9.3 9.3.1

Wichtige L¨angen- und Zeitskalen Horizont und Alter

Die meistgebrauchte L¨angen- bzw. Zeitskala der Kosmologie ist der Hubbleradius c H −1 (heute c H0−1 ) bzw. die Hubblezeit H −1 (heute H0−1 ). In dieser Zeit bzw. u¨ ber diese Strecke werden kosmologische Effekte (Expansion, Kr¨ummung) sp¨urbar. Eine der fundamentalen Fragen in der Kosmologie ist diejenige nach dem Bereich des Universums, der sich in kausalem Kontakt befindet. Mit anderen Worten, wie weit war ein anderer Beobachter zur Zeit t = 0 von uns entfernt, wenn uns ein Lichtsignal, das damals ausgesandt wurde, heute erreicht? Diese Gr¨oße wird der Teilchenhorizont dhor genannt. Der physikalische Abstand zum Horizont h¨angt u¨ ber das Linienelement, Gl. (9.6), mit dem Koordinatenabstand rhor zusammen: Z rhor Z rhor dr √ √ dhor = grr dr = R(t) (9.44) 1 − kr2 0 0 Das Integral u¨ ber r auf der rechten Seite (mit der unbekannten Integrationsgrenze rhor ) l¨asst sich in ein Integral u¨ ber t umformen. Daf¨ur n¨utzen wir aus, dass sich Licht auf dem Lichtkegel ds2 = 0 ausbreitet. Nach Gl. (9.6) gilt auf Geod¨aten (dΩ = 0): Z t Z rhor dr dt˜ √ = (9.45) ˜ 1 − kr2 0 0 R(t) Der Teilchenhorizont zur Zeit t ist also durch Z dhor (t) = R(t) 0

t

dt˜ R(t˜)

(9.46)

9

171

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 123: Wahrscheinlichkeitskontouren der WMAP-Ergebnisse in der Ωm - ΩΛ -Ebene, allein (links oben) und kombiniert mit anderen CMB-Messungen (rechts oben), der Hubble-Konstanten des HST-Key-Projects (links unten) und den SN Ia-Daten (rechts unten). Die gestrichelte Linie zeigt Ω0 = 1. Aus Spergel et al. (2003).

gegeben. Wenn R(t) ∝ tn (siehe Gl. (9.37)), dann ist dhor f¨ur n < 1 (bzw. w > −1/3; vgl. Gl. (9.32)) endlich und dhor (t) =

1 t 1−n

(9.47)

Wenn dhor (t0 ) endlich ist, ist unser Vergangenheits-Lichtkegel durch einen Teilchenhorizont begrenzt, d.h. keine Informationen aus gr¨oßeren Entfernungen k¨onnen uns bisher erreicht haben. Das gilt, obwohl alle physikalischen Abst¨ande bei R → 0 gegen 0 gehen. Insbesondere ist es schwer zu verstehen, warum Gebiete ausserhalb von dhor (t), beispielsweise zur Zeit der Rekombination, im thermischen Gleichgewicht sind, wie es die Hintergrundstrahlung andeutet – das ist das sog. Horizontproblem. Genau wie das Flachheitsproblem (Kap. 9.2.4) l¨asst es sich durch eine fr¨uhe Phase mit w < −1/3 beheben. Das Alter des Universums bei einer bestimmten Rotverschiebung kann man direkt aus Gl. (9.36) ausrechnen: Z a(z) da t= (9.48) a H 0 wobei a(z) = (1 + z)−1 aus der Definition der Rotverschiebung (9.12) folgt.

9

172

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 124: Kausale Struktur des Universums ohne (links) und mit (rechts) Inflation. Die vertikale Zeitachse ist die sog. konforme Zeit η, definiert durch dη = dt/a(t). Ohne Inflation entspricht t = 0 einem endlichen η, die Inflation verschiebt t = 0 zu η → −∞. Damit u¨ berschneiden sich die R¨uckw¨arts-Lichtkegel der letzten Streufl¨ache und das Horizontproblem wird gel¨ost. Dabei kann man die vereinfachende N¨aherung machen, dass die jeweils letzte Phase der Evolution (Strahlung, Materie, etc.) zu allen Zeiten galt, da (zumindest bei n < 1) dieser Bereich das Integral dominiert. F¨ur ein fast flaches Universum (Ω0 − 1  1) ist das Ergebnis: −1/2

t ' n H0−1 (1 + z)−1/n Ω0

(9.49)

mit n aus Gl. (9.37). Das heutige Alter, t0 , ist also etwas geringer als die heutige Hubblezeit H0−1 . Zum Schluss noch ein paar echte Zahlen. Die Unsicherheit in der Messung der heutigen Hubblekonstanten wird meistens mit dem dimensionslosen h parametrisiert: H0 = 100 h

km h ≈ s Mpc 3000Mpc

(9.50)

wobei der letzte Schritt c = 1 ben¨utzt. F¨ur das heutige Alter findet man also t0 = 6.52 h−1 Gyr

(9.51)

Das ist nur am untersten Ende der zugelassenen Werte f¨ur h mit dem Alter der a¨ ltesten Kugelsternhaufen vereinbar. Dieses Problem wird gel¨ost, wenn tats¨achlich eine positive kosmologische Konstante existiert, wie j¨ungste Messungen andeuten. Dann ist das Alter erheblich gr¨oßer (hier f¨ur ein flaches Universum, ohne Herleitung): √   1 + ΩΛ 2 1 ln √ (9.52) t0 = H0−1 √ 3 ΩΛ 1 − ΩΛ Am untersten sinnvollen Ende, Ωm = 1 − ΩΛ = 0.2 ist t0 1.6 mal gr¨oßer als bei Ωm = 1 und gleichem h. Der derzeitige “Best Fit” an die Messungen des WMAP-Satelliten ergibt: h = 0.71 ± 0.04

und

t0 = 13.7 ± 0.2 Gyr

(9.53)

9

173

HOMOGENE KOSMOLOGIE

9.3.2

Kosmologische Entfernungsmaße

In einer allgemeinen gekr¨ummten Raumzeit macht das Konzept der Entfernung zweier Beobachter zu einer festen Zeit keinen Sinn. Im RW-Universum existiert zumindest eine globale Zeit, so dass die Entfernung entlang einer Kurve auf t =const Hyperfl¨achen zwar definiert, aber leider nicht messbar ist. • Die mitbewegte Entfernung zu einem Objekt im Koordinatenabstand r1 , dessen bei t1 emittiertes Licht wir gerade (r = 0, t = t0 ) empfangen, kann analog zu Gl. (9.46) berechnet werden: Z r1 dr √ χ = R(t0 ) 1 − kr2 0 Z t0 dt = R0 R(t) t1 Z t0 dt = t1 a(t) Z 1 da = (9.54) 2 H(a) a a(t1 ) F¨ur k = 0 ist χ = R0 r1 . Da χ selbst keine Messgr¨oße ist, besteht seine Hauptaufgabe in der Verkn¨upfung des Koordinatenabstands r1 (erste Zeile in Gl. (9.54)) mit den kosmologischen Parametern, die in die Berechnung der letzten Zeile einfließen. F¨ur w = 0 (Ω0 ≡ Ωm ) gibt es daf¨ur eine explizite L¨osung (die Mattig-Relation): √ 2Ω0 z + (2Ω0 − 4)( Ω0 z + 1 − 1) R 0 r1 = H0 Ω2 (1 + z) • Die Leuchtkraftentfernung wird analog zum statischen euklidischen Fall durch r L dL = 4πF

(9.55)

(9.56)

definiert, wobei L die Leuchtkraft einer geeigneten Standardkerze und F der gemessene Strahlungsfluss ist. Betrachten wir den Fluss einer (monochromatischen) Quelle im Koordinatenabstand r1 , deren Leuchtkraft L(r1 ) proportional zur Anzahl und Energie der Photonen ist, die pro Zeiteinheit eine Kugelschale mit der Oberfl¨ache 4πR02 r12 durchstr¨omen (vgl. Gl. (9.8); Achtung: der Radius dieser Kugelschale ist χ 6= R0 r1 wenn k 6= 0): L(r1 ) (9.57) F= 4πR02 r12 Im Vergleich mit der Leuchtkraft L, die lokal an der Quelle gemessen wird, wird L(r1 ) um den Faktor a2 abgeschw¨acht: Einmal durch die Vergr¨oßerung des Zeitintervalls δt ∼ 1/a, mit dem die Photonen durch die expandierende Schale str¨omen, und zum zweiten durch die Abnahme der Photonenenergie ∼ a. Aus Gl. (9.57) wird damit: La2 F= (9.58) 4πR02 r12 Mit Gl. (9.56) folgt deshalb: dL =

R 0 r1 = R0 r1 (1 + z) a

(9.59)

9

174

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 125: Drei kosmologische Entfernungsmaße in einem flachen expandierenden Universum (Bezeichnungen wie im Text). Die Linienpaare zeigen jeweils ein reines Materieuniversum (d¨unne Linien) und eines mit 70 % kosmologischer Konstante (dicke Linien). Bei fester Rotverschiebung sind die Entfernungen in einem Λ-Universum gr¨oßer als ohne Λ.

Um mit dL arbeiten zu k¨onnen, muss noch die explizite Erw¨ahnung von r1 eliminiert werden. Das geschieht allgemein mit Hilfe von Gl. (9.54) bzw. f¨ur ein w = 0-Universum mit Gl. (9.55) (leider geht das nicht ebenso einfach f¨ur ΩΛ 6= 0). Damit wird dL eine Funktion von Ωm , Ωr und ΩΛ , die durch Messung von dL (z) mit geeigneten Standardkerzen (z.B. SNe Ia) bestimmt werden k¨onnen. • Die Winkelentfernung ist wieder in Analogie zum euklidischen Raum definiert, indem die physikalische Gr¨oße A mit einer Quelle mit dem von ihr aufgespannten Winkel θ verglichen wird: dA =

A θ

(9.60)

Der beobachtete Winkeldurchmesser folgt aus Gl. (9.6): θ dA

A R(t1 )r1 = R(t1 )r1 = a R 0 r1

=

(9.61)

Es gilt: dL = (1 + z)2 dA

(9.62)

Abb. (125) zeigt, dass alle Entfernungsmaße f¨ur ein flaches Universum mit Vakuumenergie-Beitrag gr¨oßer sind als ohne. Der Grund liegt an der langsameren Expansion zu fr¨uheren Zeiten, so dass die Photonen in einem ΛUniversum l¨anger unterwegs sind Objekte erscheinen leuchtschw¨acher bei gleicher Rotverschiebung. 9.3.3

Das Hubble-Gesetz

Gl. (9.54) f¨ur r1 als Funktion der kosmologischen Parameter kann auch durch Taylorentwicklung n¨aherungsweise gel¨ost werden. Daf¨ur schreibt man: a(t) =

R(t) 1 = 1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + . . . R0 2

(9.63)

Hier wurde der Abbremsungsparameter q0 ≡ −

¨ 0) R(t R0 ˙ R2 (t0 )

(9.64)

eingef¨uhrt, dessen Vorzeichenkonvention (und Name) nur noch historische Bedeutung haben – eine Beschleunigung hatte niemand erwartet.

9

175

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Gl. (9.63) wird in die zweite Zeile von Gl. (9.54) eingesetzt, integriert, und (t − t0 ) durch z = H0 (t0 − t) + . . . substituiert. Da das Integral in der ersten Zeile von Gl. (9.54) in linearer Ordnung = r1 ist, findet man schließlich:   1 1 r1 = z − (1 + q0 )z 2 + . . . (9.65) R0 H0 2 Einsetzen in Gl. (9.59) liefert das Hubble-Gesetz: 1 H0 dL = z + (1 − q0 )z 2 + O(z 3 ) 2

(9.66)

Der erste Term auf der rechten Seite ergibt (wenn man c wieder an seine rechtm¨aßige Stelle setzt) das lineare Hubble-Gesetz Gl. (9.1), das f¨ur z  1 g¨ultig ist und bei gr¨oßeren Rotverschiebungen durch weitere Terme korrigiert werden muss. Der kubische Term (O(z 3 )) wurde erstmals 2004 signifikant gemessen (Riess et al. 2004). H¨aufig sieht man in der astronomischen Literatur, dass Entfernungen in Einheiten von [h−1 Mpc] angegeben werden. Das zeigt, dass eigentlich nur die Rotverschiebung z bekannt ist und die Entfernung aus dem HubbleGesetz Gl. (9.1) und der Parametrisierung der Hubble-Konstanten H0 , Gl. (9.50), ausgerechnet wurde.

9.4 9.4.1

Inflation Motivation und Definition

In Kap. (9.2.3) wurden einige Probleme des heißen Urknallmodells angesprochen. Hier eine kurze Wiederholung und Erweiterung: 1. Flachheitsproblem: Aus der Friedmann-Gleichung (9.29) folgt f¨ur den Dichteparameter Ω (Gl. 9.40): Ω−1=

k ∝ a˙ −2 H 2 a2 R02

(9.67)

Der Term aH = a˙ kann laut Gl. (9.32) bei Strahlungs- oder Materiedominanz (konkret: f¨ur w > −1/3) nur mit der Zeit kleiner werden, also w¨achst jede Abweichung des Dichteparameters Ω von 1 (Flachheit) mit der Zeit an. Zum Beispiel muss, um das heutige Universum zu erkl¨aren, zur Zeit der primordialen Nukleosynthese (t ∼ 1 s) gegolten haben: |Ω − 1| . 10−16 (9.68) 2. Horizontproblem: Das Horizontproblem folgt z.B. aus Gl. (9.47) und besagt, dass f¨ur w > −1/3 der in kausalem Kontakt stehende Bereich des Universums begrenzt ist. Wieder ein Beispiel: Da zrek  zeq kann man die physikalische L¨ange des Teilchenhorizonts, Gl. (9.46), gut mit reiner Materiedominanz (n = 2/3 in Gl. (9.47)) absch¨atzen: dhor (zrek ) =

2 −1/2 (1 + zrek )−3/2 Ω0 H0

(9.69)

mit Gl. (9.49). Der Winkeldurchmesser, den Regionen mit diesem physikalischen Durchmesser bei zrek heute am Himmel einnehmen, ist dhor (zrek ) θrek = (9.70) dA

9

176

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 126: Der Hubbleradius zur Zeit der Rekombination entspricht in etwa dem Winkeldurchmesser des Mondes.

mit der Winkelentfernung dA aus Gl. (9.60). Schließlich liefert Gl. (9.55) (f¨ur ein Universum ohne Λ) bei z  1 n¨aherungsweise: 2 H 0 Ω0 z r Ω0 ' ' 2◦ zrek

dA (z) ' θrek

(9.71)

Zur Zeit der Rekombination w¨aren im Falle w > −1/3 seit dem Urknall nur Gebiete von ca. 2 Winkelgrad Durchmesser kausal gekoppelt (Abb. (126)). Auf der anderen Seite ist die Temperatur des CMBR in allen Richtungen bis auf 10−4 exakt identisch. Eine andere Formulierung des Horizontproblems ist, dass der mitbewegte Hubbleradius (aH)−1 = a˙ −1 aufgrund Gl. (9.32) f¨ur w > −1/3 mit der Zeit anw¨achst. Deshalb stehen im Laufe der Zeit immer gr¨oßere Gebiete in kausalem Kontakt. 3. Problem der Relikte: Wenn der Heiße Urknall bei sehr hohen Temperaturen begann, k¨onnen evtl. Relikte fr¨uherer Phasen bis in die Gegenwart u¨ berleben und u.U. zu Widerspr¨uchen mit den Beobachtungen f¨uhren. Beispiele: • Historische Wichtigkeit haben magnetische Monopole, die in spontanen Symmetriebrechungen w¨ahrend der GUT-Phase entstanden sein k¨onnten. Ihre Abwesenheit war eines der Hauptargumente f¨ur Inflation in Guths (1981) klassischer Ver¨offentlichung. • Heute wird das Gravitino, der Spin-3/2 Supergravitationspartner des Gravitons, als das gr¨oßte Problem angesehen. Seine Masse ist in den meisten SUGRA Modellen ca. 100 GeV. Sie geraten in Konlikt mit der primordialen Nukleosynthese, falls der heiße Urknall fr¨uher als T & 109 GeV begonnen hat. • Die Superstring-Theorie sagt die Existenz von Moduli-Feldern voraus, deren Massen und Wechselwirkungsraten denen der Gravitinos a¨ hnlich sind, und damit auch ihre Konsequenzen. • Neben den oben erw¨ahnten Monopolen treten in manchen Szenarios auch topologische Defekte h¨oherer Dimension auf, wie z.B. kosmische Strings etc. Sie bereiten nur Probleme, wenn ihre Energie pro Einheitsl¨ange ca. 1016 GeV u¨ bersteigt.

9

177

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 127: Der mitbewegte Hubbleradius nimmt w¨ahrend der Inflation ab (mitbewegte Skalen “verlassen den Horizont”) und danach wieder zu (mitbewegte Skalen “treten in den Horizont ein”).

Wie zuerst von Guth (1981) erkannt wurde (obwohl schon andere, wie z.B. Starobinsky, schon fr¨uher mit a¨ hnlichen Ideen gearbeitet haben), l¨ost man alle Probleme auf einen Schlag mit Hilfe der Inflation. Im Laufe der Zeit haben sich drei – wegen Gl. (9.32) a¨ quivalente – Definitionen der Inflation eingeb¨urgert: 1. Inflation, Definition I: Inflation ist eine Epoche, in der das Universum beschleunigt expandiert: a ¨>0

(9.72)

2. Inflation, Definition II: Inflation ist eine Epoche, in der der mitbewegte Hubbleradius abnimmt: d 1 <0 dt aH

(9.73)

Das bedeutet, dass das beobachtbare Universum, in mitbewegten Koordinaten betrachtet, kleiner wird. Mit anderen Worten, mitbewegte Wellenl¨angen verlassen w¨ahrend der Inflation den Horizont. Siehe Abb. (127). 3. Inflation, Definition III: Inflation ist eine Epoche, in der ρ + 3P < 0

(9.74)

bzw. w < −1/3 f¨ur eine Zustandsgleichung der Form (2.35). Da wir in der Regel ρ ≥ 0 annehmen, ist dies gleichbedeutend mit der Forderung nach P < 0. Inzwischen sollte klar sein, warum damit das Flachheits- und das Horizontproblem gel¨ost werden k¨onnen. Das Problem der Relikte wird durch die “Verd¨unnung” aller Teilchenfelder aufgrund der starken Zunahme von a gel¨ost (nat¨urlich nur f¨ur Relikte, die vor der Inflation produziert wurden).

9

178

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Schon kurz nach ihrer Einf¨uhrung wurde erkannt, dass die Inflation noch einen weiteren n¨utzlichen “Nebeneffekt” hat: Sie erlaubt die Vorhersage von kleinen Inhomogenit¨aten auf dem flachen und homogenen Hintergrund als Folge von Quantenfluktuationen w¨ahrend der Inflation. Dies ist heute ihre wahrscheinlich wichtigste Eigenschaft. Diese kleinen St¨orungen liefern die “Anfangsbedingungen” f¨ur die Entstehung von Strukturen (Galaxien, Galaxienhaufen usw.) im Universum, siehe Kap. (10). Konkrete Voraussagen der Inflation sind, dass die St¨orungen nahezu skaleninvariant, adiabatisch (keine Entropiest¨orungen) und gaußverteilt sind. 9.4.2

Skalarfeld-Inflation

Die Eigenschaft P < 0 wird generisch von homogenen Skalarfeldern erf¨ullt. Deshalb wenden wir uns jetzt den Eigenschaften kosmologischer Skalarfelder zu. Bisher sind zwar noch keine Skalarfelder (Spin-0) in der Natur entdeckt worden, aber Theoretiker lieben sie dennoch. Zum einen braucht man sie zur Massenerzeugung durch spontane Symmetriebrechung (Higgs), zum anderen wimmelt es in supersymmetrischen Modellen geradezu von ihnen. Die Lagrangedichte L eines Skalarfeldes φ mit Potential V ist gegeben durch Lφ =

1 µν g ∂µ φ∂ν φ − V (φ) 2

(9.75)

F¨ur den Druck und die Energiedichte eines Skalarfeldes muss man zuerst dessen Energie-Impulstensor ausrechnen, der die im lokalen Ruhesystem die Form Gl. (9.18) annimmt (wen’s interessiert: bekommt man aus Variation von Gl. (9.75) nach gµν ). Daran erkennt man: ρφ = T00 Pφ δij = Tij

1 ˙2 φ + V (φ) 2  1 ˙2 = φ − V (φ) δij 2 =

(9.76)

Bei einem langsam variierenden Skalarfeld (φ˙ 2  V ) ist also tats¨achlich Pφ ≈ −ρφ und damit Definition III (9.74) erf¨ullt. Betrachten wir den Fall eines einzelnen, homogenen Skalarfeldes φ im fr¨uhen Universum, dessen Energiedichte u¨ ber alle anderen evtl. vorhandenen Felder dominiert. Wir nennen φ das Inflatonfeld. Des weiteren fordern wir, dass das Potential V “flach” ist, so dass sich der Wert von φ nur langsam a¨ ndert φ˙ 2  V . In diesem Fall “rollt das Feld langsam das Potential herunter” (slow-roll inflation). Wenn φ nicht ganz homogen ist oder nicht vollst¨andig u¨ ber alles andere dominiert, aber die Bedingungen f¨ur Inflation gegeben sind (weff < −1/3), dann werden diese Eigenschaften nach kurzer Inflationszeit gegeben sein. Das selbe gilt f¨ur die Vernachl¨assigung des Kr¨ummungsterms in der Friedmann-Gleichung. Die Friedmann-Gleichung (9.29) wird in diesem Fall zu:   1 1 ˙2 2 H = φ + V (φ) 2 3Mpl 2 '

V (φ) 2 3Mpl

(9.77)

Ein Inflationsmodell besteht aus einem geeigneten Potential und einer M¨oglichkeit, die Inflation zu beenden und das Universum “aufzuheizen” Beginn des heißen Urknalls. Eine moderne Klassifikation von Inflatonpotentialen wird in Abb. (128) gezeigt. Anfang: Man geht (mit wichtigen Ausnahmen!) davon aus, dass die Inflation in der N¨ahe der Planckskala begann: V 1/4 (φi ) ∼ Mpl

(9.78)

9

179

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 128: Klassifikation von geeigneten Potentialen f¨ur das Inflatonfeld nach dem typischen Wertebereich f¨ur φ.

In dieser Phase ist die gel¨aufige Vorstellung, dass das Universum ein “chaotischer” (A. Linde) Schaum ist, in dem φ an manchen Stellen homogen genug ist, um eine Inflationsl¨osung zu erlauben. Fr¨uher l¨asst sich das Universum nicht ohne Quantengravitation beschreiben. Wenn die Inflation sp¨ater beginnt, w¨urde ein geschlossenes Universum innerhalb einer Planckzeit kollabieren. L¨ange: Die L¨ange der inflation¨aren Phase dr¨uckt man durch die Anzahl der e-Faltungen aus:   af N ≡ ln (9.79) ai Um das Horizont- und Flachheitsproblem zu l¨osen, braucht man mindestens N ≈ 62 . . . 70, aber die meisten Modelle liefern wesentlich gr¨oßere Werte f¨ur N 1. Das Universum ist nach der Inflation mit extrem hoher Genauigkeit flach. 2. Der Bereich, der vor der Inflation in kausalem Kontakt stand, erstreckt sich weit jenseits unseres heutigen Teilchenhorizonts. Ende: Das Ende der Inflation wird erreicht, wenn die Slow-Roll-Bedingung φ˙ 2  V verletzt wird. Dies geschieht bei ausreichend kleinem V (φ) die Expansionsrate H ist klein die Evolution von φ wird nicht mehr ausreichend durch die Expansion ged¨ampft. Jetzt muss man den Zerfall des Inflatons in andere Teilchen ber¨ucksichtigen. Die (¨altere) Theorie des langsamen, thermischen Zerfalls in Fermionen wird Reheating, die des resonanten Zerfalls in Bosonen Preheating genannt. Ihre genaue Berechnung erfordert die Spezifizierung des Teilchenmodells (z.B. MSSM). Eines der wesentlichen Ziele ist die Berechnung der endg¨ultigen Temperatur nach der Thermalisierung, die den heißen Urknall einl¨autet, und die damit verbundene H¨aufigkeit evtl. entstehender Relikte.

9

HOMOGENE KOSMOLOGIE

180

Abbildung 129: Vergleich der Mechanismen f¨ur Hawkingstrahlung (links) und Inflationsst¨orungen (rechts). In beiden F¨allen wandeln sich virtuelle Teilchen durch die Eigenschaften der Raumzeit in reale Teilchen um. Im Fall der Inflation geschieht dies durch kausale Trennung der Partner außerhalb des Hubbleradius.

9.4.3

Erzeugung von St¨orungen

Eine wichtige Eigenschaft der Inflationstheorie ist ihre F¨ahigkeit, den Ursprung kleiner Fluktuationen auf einem nahezu v¨ollig homogenen und isotropen Hintergrund zu erkl¨aren. Diese Fluktuationen sieht man als Anisotropien im Mikrowellen-Hintergrund; sie bilden den Keim der großskaligen Struktur der Galaxien und Galaxienhaufen. Die Argumentation l¨auft ungef¨ahr wie folgt: 1. Quantenfluktuationen des Inflatonfeldes δφ f¨uhren zu Unterschieden in der zeitlichen Synchronisierung mitbewegter Hyperfl¨achen und damit zu (adiabatischen) Kr¨ummungsst¨orungen. 2. Kleine Inflatonst¨orungen benehmen sich lokal wie masselose, freie Skalarfelder. Deren Fourierkomponenten sind unabh¨angig und gehorchen harmonischen Oszillatorgleichungen. 3. In der semiklassischen N¨aherung werden die Inflatonst¨orungen quantisiert, w¨ahrend der homogene Anteil von φ (das “Kondensat”) klassisch beschrieben wird. Die Quantisierung f¨uhrt zu Nullpunktsschwingungen der Fouriermoden, die beim Austritt aus dem Horizont “einfrieren” (Abb. (129)). 4. Aufgrund von Gl. (9.77) bleibt H w¨ahrend der Slow-Roll-Phase nahezu konstant. Deshalb ist auch die Amplitude der Nullpunktsschwingungen beim Horizontaustritt fast zeitunabh¨angig. Damit wird das St¨orungsspektrum skaleninvariant. 5. Die Amplitude der St¨orungen erlaubt außerdem eine Absch¨atzung des Wertes von H w¨ahrend der Inflation.

9.5

Thermische Entwicklung des Universums

Mit dem Reheating (bzw. Preheating) nach der Inflation beginnt die thermische Phase der Kosmologie (dem “Urknall” im eigentlichen Sinne), in der dem Universum eine Temperatur T (t) zugeordnet werden kann. Heute ist dies die Temperatur der Hintergrundstrahlung: T0 = 2.73 K. Ab jetzt wird implizit mit einem r¨aumlich flachen Universum gerechnet (k = 0 in Gl. (9.29)). Abgesehen davon, dass neueste Messungen genau diesen Fall nahelegen, ist diese N¨aherung im fr¨uhen Universum, mit dem wir uns jetzt besch¨aftigen, auch im Falle eines offenen oder geschlossenen Universums mit Ω0 = O(1) sehr gut (warum?).

9

181

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 130: Die gesamte thermische Entwicklung des Universums gem¨aß Fermilab.

9.5.1

¨ thermisches Gleichgewicht Bedingung fur

Die Temperaturentwicklung des Universums ist wegen T ∝ a−1 durch die Hubblerate gegeben: T˙ = −H T

(9.80)

Solange die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen schnell genug sind, um mit der Expansion Schritt zu halten, durchl¨auft das Universum eine Abfolge von Zust¨anden im (nahezu) thermischen Gleichgewicht. Dazu m¨ussen wir die Wechselwirkungsrate Γ von Teilchen mit der Anzahldichte n, dem Streuquerschnitt σ und der mittleren Geschwindigkeit |v|, Γ ∼ nσ|v| (9.81) mit der Expansionsrate H vergleichen.

9

182

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Betrachte den h¨aufigen Fall Γ ∝ T n . Dann st¨oßt ein Teilchen ab der Zeit t Z ∞ Nww = Γ(t˜)dt˜ t

=

1 n−2



Γ H

 |t

(9.82)

Mal in einem strahlungsdominierten Universum. Wenn n > 2 ist die Zahl der St¨oße f¨ur Γ ≈ H kleiner als 1. Deshalb k¨onnen wir annehmen, dass sich Teilchen mit Γ  H im thermischen Gleichgewicht mit dem Universum befinden, solche mit Γ  H nicht (sie “frieren aus”). Wird die Wechselwirkung durch den Austausch massiver Eichbosonen mit Masse mX verursacht, wie z.B. durch W ± , Z 0 in der schwachen WW bei T . 300 GeV, ist σ ∼ G2X T 2 ∝

T2 m4X

(9.83)

wenn T . X. 9.5.2

Temperaturab¨angigkeit von ρ und P

Wir ben¨otigen die Energiedichte ρ und den Druck P eines idealen Gases, das aus Teilchenspezies i mit Anzahldichte ni , Ruhemasse mi , Temperatur Ti , chemischem Potential µi und gi inneren Freiheitsgraden besteht. Im nichtrelativistischen Fall (mi  Ti ) gilt f¨ur Fermionen und Bosonen: 3/2   mi T i −(mi − µi ) ni = gi exp 2π Ti X ρ = ni mi 

Spezies i

P

=

X

ni T i  ρ

(9.84)

Spezies i

F¨ur relativistische Teilchen (mi  Ti ) ist ρ = P g∗

= =

π2 g∗ T 4 30 1 π2 ρ= g∗ T 4 3 90  4 X Ti 7 gi + T 8

Bosonen i

X Fermionen i

 gi

Ti T

4 (9.85)

Hier bezeichnet g∗ die Gesamtzahl der effektiv masselosen (mi  T ) Freiheitsgrade. der Faktor 7/8 kommt von der unterschiedlichen Statistik von Bosonen und Fermionen. 9.5.3

Neutrino-Entkopplung

Das Ausfrieren relativistischer Teilchen vom thermischen Gleichgewicht kann gut anhand der Neutrino-Entkopplung demonstriert werden. Bei sehr hohen Temperaturen werden sie durch ν¯ν ↔ e+ e− usw. im thermischen Gleichgewicht gehalten. Der Streuquerschnitt ist σ ∼ G2f T 2 (Gl. 9.83) mit der Fermikonstanten Gf , und ihre Anzahldichte skaliert mit n ∝ T 3.

9

183

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Damit ist die Wechselwirkungsrate Γ = nσ|v| ∼ G2f T 5

(9.86)

2 ∼ T 4 ) ist und mit (9.29) (H 2 Mpl

Γ G2 T 5 ∼ 2f ∼ H T /Mpl



T 1 MeV

3 .

(9.87)

Bei T ∼ 1 MeV entkoppeln die (leichten) Neutrinos also vom kosmischen Plasma. Danach f¨allt die Neutrinotemperatur mit Tν ∝ a−1 ab. Kurz nach der ν-Entkopplung f¨allt die Temperatur unter die Ruhemasse von e+ -e− -Paaren, deren Entropie an die Photonen u¨ bertragen wird, aber nicht an die entkoppelten Neutrinos. Weil wegen der Entropieerhaltung g∗ T 3 = const gilt, erh¨oht dieser Vorgang die Photonen-Temperatur um den Faktor (11/4)1/3 , der dritten Wurzel aus dem Verh¨altnis der Freiheitsgrade vor und nach der e+ -e− -Paarvernichtung. Da die Photonen-Temperatur heute T ∼ 2.74 K ist, folgt f¨ur die heutige Temperatur der Neutrino-Hintergrundstrahlung: Tν ∼ 1.96 K. 9.5.4

Primodiale Nukleosynthese

Vorbedingungen (T  1 MeV, t  1 s): Da praktisch alle vorhandenen Neutronen zu 4 He verbraucht werden, ist das Verh¨altnis von p und n zur Zeit der primordialen Nukleosynthese besonders wichtig. n und p gehen durch die schwache Wechselwirkung ineinander u¨ ber: n νe + n e+ + n

↔ p + e− + ν¯e ↔ p + e− ↔ p + ν¯e

(9.88) (9.89) (9.90) (9.91)

Im chemischen Gleichgewicht ist 

nn np





Ggw

Q = exp − T

 (9.92)

mit Q ≡ mn − mp = 1.293MeV

(9.93)

Um herauszufinden, wann dieses Verh¨altnis ausfriert, ben¨otigen wir die Wechselwirkungsrate Γpe→νn . Sie a¨ hnelt derjenigen f¨ur Neutrinostreuung Gl. (9.86) und verh¨alt sich f¨ur kleine und große Temperaturen wie:   (T /me )3 Q Γpe→νn = exp − , T  Q, me τn T 7π (1 + 3ga2 ) G2f T 5 , T  Q, me = (9.94) 60 wobei τn ≈ 10.5 min/ ln(2) die mittle Zerfallszeit freier Neutronen und ga ≈ 1.26 die Axialvektorkopplung von Nukleonen bezeichnen. Vergleicht man Γ mit der Expansionsrate H ∼ 5.5T 2 /Mpl , findet man Γ ∼ H



T 0.8 MeV

3 (T & me )

d.h. bei Temperaturen oberhalb von ca. 0.8 MeV befinden sich n und p im Gleichgewicht (9.92). Kurz vor dem Beginn der primordialen Nukleosynthese herrschen also folgende Bedingungen:

(9.95)

9

184

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 131: Der Verlauf des Neutronen-Protonen-Verh¨altnisses nach dem Einfrieren im Vergleich zum Gleichgewichtswert.

1. Das Universum ist strahlungsdominiert (w = 1/3). 2. Die relativistischen Freiheitsgrade sind: e± , γ und drei leichte (m . 1 MeV) Neutrinos. Das ergibt g∗ = 10.75. 3. Die Massenanteile der leichten Elemente sind: Xn ≈ Xp XA≥2

= 0.5 ≤ 10−11

(9.96) (9.97)

Ausfrieren der Neutronen und Protonen (T ≈ 0.8 MeV, t ≈ 1 s): Kurz nachdem die Neutrinos ausgefroren sind (Kap. 9.5.3) und die γ-Temperatur durch Vernichtung der e± -Paare um den Faktor (11/4)1/3 erh¨oht wurde, frieren die schwachen Wechselwirkungen aus, die n und p im Gleichgewicht gehalten hatten. Gl. (9.92) liefert bei dieser Temperatur den Wert nn 1 ≈ np 6

(9.98)

Nach dem Ausfrieren bleibt dieser Wert nicht konstant, weil freie Neutronen mit der Halbwertszeit ln(2)τn zerfallen (Abb. 131). Nukleosynthese (T ≈ 0.3 . . . 0.1 MeV, t ≈ 1 . . . 3 min): Zu diesem Zeitpunkt ist das n/p-Verh¨altnis auf ca. 1/7 abgefallen. Zum Vergleich, der Gleichgewichtswert aus Gl. (9.92) bei T = 0.3 MeV ist 1/74. Das macht deutlich, wie sensitiv die Vorhersagen der primordialen Nukleosynthese auf den Zeitpunkt des Ausfrierens von n und p sind. Bei T ≈ 3 MeV ist im nuklearen statistischen Gleichgewicht (NSE) X4 → 1. Dieser Wert kann jedoch nicht erreicht werden, weil die zur Produktion von 4 He n¨otigen leichteren Isotope (D, 3 H und 3 He) nicht im ausreichenden Maße zur Verf¨ugung stehen. Das liegt u.a. an ihrem geringen NSE-Massenanteil von Xi . 10−12 . Erst bei T ≈ 0.1 MeV wird das Deuterium-Nadel¨or durchbrochen und praktisch alle noch vorhandenen Neutronen

9

185

HOMOGENE KOSMOLOGIE

werden zu 4 He gebunden. Der resultierende Masseanteil von He kann deshalb leicht abgesch¨atzt werden: X4

≈ = = =

4n4 nN 4(nn /2) nn + np 2(nn /np ) 1 + (nn /np ) 1 4

(9.99)

Obwohl die Bindungsenergien der h¨oheren α-Elemente (12 C, 16 O,usw.) gr¨oßer sind als die von 4 He werden diese Isotope praktisch nicht produziert, weil die Coulomb-Abstoßung die jew. Produktionsraten minimiert (außerdem fehlt die triple-α-Reaktion wegen der geringen Nukleonendichte). Es werden Spurenanteile von 7 Li produziert (X7 ≈ 10−9 ), sowie geringe Mengen an unverbranntem D und 3 He hinterlassen (X2,3 ≈ 10−4 ). Abh¨angigkeiten von kosmologischen Parametern: √ 1. g∗ : Da H ∝ g∗ T 2 f¨uhrt z.B. eine Erh¨ohung von g∗ bei gleicher Temperatur zu schnellerer Expansion, 1/6 und damit zu einem fr¨uheren Ausfrieren von n und p (Γ ∝ T 5 ∼ H Tausfrier ∝ g∗ ). Damit ist das n/p-Verh¨altnis beim Ausfrieren h¨oher (vgl. Gl. 9.92) und somit auch sp¨ater bei der Nukleosynthese. Das erh¨oht den vorhergesagten Wert von 4 He, da alle vorhandenen n verbraucht werden (Gl. 9.99). Dieser Zusammenhang erlaubte Hoyle & Tayler schon 1964, die Anzahl leichter Neutrinosorten auf Nν ≤ 4 festzulegen, lange vor den Beschleunigerdaten u¨ ber die Z 0 -Zerfallsbreite. Auch heute noch ist die primordiale Nukleosynthese eine wichtige H¨urde f¨ur neue Theorien, die zus¨atzliche leichte Teilchen vorhersagen. 2. Baryonenzahl: Eine h¨ohere Baryonenzahl f¨uhrt zu fr¨uherer und verst¨arkter Produktion von D, 3 H und 3 He und damit fr¨uherer Nukleosynthese von 4 He, d.h. bei etwas h¨oherem n/p. ¨ X4 ist nicht besonders sensitiv auf Anderungen der Baryonenzahl, weil sich das n-p-Verh¨altnis zu dieser Zeit nicht mehr stark a¨ ndert. Aber die Mengen an u¨ briggelassenen D und 3 He sinken stark mit steigender Baryonenzahl aufgrund der h¨oheren Reaktionsraten, die diese Isotope zu 4 He verbrennen. Insbesondere j¨ungste Messungen von D-Absorptionslinien in weit entfernten Wasserstoffwolken, die von Quasaren durchleutet werden, lassen eine genaue Analyse von ΩB h2 zu (Abb. 132). Das Ergebnis ist erstaunlich konsistent mit v¨ollig unabh¨angigen Resultaten aus dem CMBR-Anisotropiespektrum! Die Diskrepanz zwischen dem Wert f¨ur die Baryonendichte, der aus der primordialen Nukleosynthese folgt, ΩB ≈ 0.05

(9.100)

und der gesamten Materiedichte von Ωm ≈ 0.3 (z.B. aus R¨ontgenbeobachtungen von Galaxienhaufen) ist das st¨arkste Argument f¨ur die Existenz von ca. Ωdm ≈ 0.25 an nichtbaryonischer, nichtrelativistischer Materie, der sog. dunklen Materie. 9.5.5

Beobachtung primordialer Isotope

Die Beobachtung der Produkte der primordialen Nukleosynthese ist mit zahlreichen systematischen Unsicherheiten behaftet, die stark von der sp¨ateren Evolution der jew. H¨aufigkeiten abh¨angen. Doch dabei wurden in den letzten Jahren durch Benutzung der 10m-Klasse optischer Teleskope (Keck, VLT) und des HST große Fortschritte erzielt, weil man in immer weiteren Entfernungen suchen kann (und damit zu fr¨uheren Zeiten). ¨ Hier ein kurzer Uberblick:

9

HOMOGENE KOSMOLOGIE

186

Abbildung 132: Vergleich von Theorie und Beobachtung der primordialen Isotope D, 3 H, 3 He und 4 He. Der vertikale Balken ¨ zeigt den Bereich des Uberlapps.

Deuterium: Das “Baryometer” D wird heutzutage haupts¨achlich in entfernten (z & 3) Wasserstoffwolken, den sog. “Lymanα-Wolken”, beobachtet. Auch hier sind die Messungen sehr kompliziert, weil die Kernmassenverschiebung der D-Absorptionslinie gegen¨uber der H-Linie nicht einfach von einer Dopplerverschiebung der H-Linie zu unterscheiden ist. Aber zumindest hat man nicht das Problem der galaktischen D-Messungen, dass D in der Vorhauptreihenentwicklung von Sternen in 3 He umgewandelt wird. Helium-4: Auch hier muss man in m¨oglichst großer Entfernung suchen, um Verschmutzung durch stellares 4 He zu vermeiden. Man benutzt hierf¨ur die Emissionslinien der optischen Rekombinationslinien von 4 He in metallarmen extragalaktischen H II-Regionen. Helium-3: 3 He+ wird ebenfalls in metallarmen H II-Regionen beobachtet, allerdings mit Radioteleskopen (das a¨ quivalent zur 21 cm-Linie von H). 3 He wird in massereichen Sternen zu 4 He verbrannt, in massearmen Sternen kann unvollst¨andiges H-Brennen dagegen zu einer relativen Anreicherung von 3 He f¨uhren. Lithium-7: 7 Li wird in der Sternentwicklung abgereichert, w¨ahrend Spallation bei der Kollision von kosmischer Stahl-

9

187

HOMOGENE KOSMOLOGIE

ung mit der interstellaren Materie 7 Li produziert werden kann. Man beobachtet es am besten in den Absorptionsspektren von heissen, metallarmen Pop II Halosternen. Die genaue Modellierung dieser Sterne und ihrer Atmosph¨aren ist hierf¨ur besonders wichtig. ¨ 9.5.6 Ubergang von Strahlungs- zu Materiedominanz Als das Universum ca. 1000 Jahre alt war, begann die Materie (bzw. “Staub”, also alles Nichtrelativistische) aufgrund ihrer langsameren Rotverschiebung die Gesamtenergiedichte zu dominieren. Damit begann auch die Epoche der Strukturentstehung durch Gravitationskollaps von Dichtefluktuationen. Um diesen Zeitpunkt abzusch¨atzen, m¨ussen wir die heutigen Energiedichten von relativistischer und nichtrelativistischer Materie ausrechnen und blauverschieben, bis sie identisch sind. Aus g∗ (heute) = 3.36 lassen sich die heutige Strahlungs-Energiedichte und ihr Anteil an Ω berechnen (Gl. 9.85,9.29): ργ Ω γ h2

≈ 8 × 10−34 g cm−3 ≈ 3 × 10−5

(9.101)

Auf der anderen Seite ist die heutige Energiedichte in nichtrelativistischer Materie, ausgedr¨uckt durch ihren Anteil an Ω: ρm ≈ 1.9 × 10−29 Ωm h2 g cm−3 (9.102) Da ργ ∝ a−4 und ρm ∝ a−3 ist (mit T0 ∼ 2.75 K) ργ ρm Teq teq

=

1 = 1 + zeq ≈ 2.3 × 104 Ωm h2 aeq

= T0 (1 + zeq ) ≈ 5.5 Ωm h2 eV 2 −1 −1/2 H Ω (1 + zeq )−3/2 ≈ 3 0 m ≈ 1.4 × 103 (Ωm h2 )−1/2 Jahre

(9.103)

(F¨ur schnelle Absch¨atzungen kann man mit h ' 0.7 und Ωm ' 0.3 rechnen.) 9.5.7

Rekombination und Photonen-Entkopplung

Eine weitere entscheidende Phase im Leben des jungen Universums war die Entkopplung der Photonen von der Materie. Seitdem bewegen sich Photonen praktisch frei durch das Universum. Damit begann gewissermaßen die “dunkle Zeit” der Kosmologie, die erst mit der Entstehung der ersten Sterne endete. Wie gehabt, vergleicht man die Wechselwirkungsrate Γγ mit der Expansionsrate H, um den Zeitpunkt der Entkopplung zu berechnen. In diesem Fall wird die Wechselwirkung von Photonen mit Materie durch Thomsonstreuung an freien Elektronen mit der Anzahldichte ne dominiert (vgl. Gl. (2.50)): Γγ ≈ n e σ T

,

σT = 6.65 × 10−25 cm2

(9.104)

Damit ist klar, dass zur Zeit der Rekombination der Elektronen und Nukleonen zu Atomen die Anzahldichte ne , und damit Γγ , praktisch verschwanden. Liefe dieser Prozess im thermischen Gleichgewicht ab, k¨onnte er durch die Sahagleichung Gl. (2.43) beschrieben werden. Tats¨achlich liefert die Sahagleichung zwar eine Beschreibung der anf¨anglichen Abweichungen von der vollst¨andigen Ionisierung, aber schon bald darauf werden Nichtgleichgewichtseffekte wichtig. Einer davon ist die Tatsache, dass die Rekombinationsphotonen selbst so energetisch sind, dass sie sofort wieder zu Ionisation f¨uhren. Der ¨ Schl¨ussel sind verbotene 2-Photonen-Ubergange, die niederenergetische Photonen erzeugen. Sie sind sehr langsam und f¨uhren zu einer starken Abweichung von den Vorhersagen der Sahagleichung.

9

188

HOMOGENE KOSMOLOGIE

Abbildung 133: W¨ahrend der Rekombination bildeten sich Wasserstoff- und Heliumatome aus den Atomkernen und freien Elektronen. Anschließend konnten sich Photonen praktisch ungehindert ausbreiten.

Durch L¨osung Rder Ratengleichungen findet man das interessante Ergebnis, dass die optische Tiefe f¨ur Thomsonstreuung, τ = ne σT dr, unabh¨angig von den kosmologischen Parametern ist: τ (z) = 0.37

 z 14.25 1000

(9.105)

τ (z) variiert stark mit der Rotverschiebung. Daraus folgt, dass die Verteilungsfunktion f¨ur die Rotverschiebung, bei der die Photonen das letzte Mal gestreut haben, P (z)dz ∼ exp(−τ )dτ , ein scharfes Maximum besitzt. Sie l¨asst sich gut durch eine Gaußverteilung mit hzrek i = 1065

,

σz = 80

(9.106)

fitten. Das ist die sog. letzte Streufl¨ache, deren Struktur man heute in der Hintergrundstrahlung beobachten kann.

10

INHOMOGENE KOSMOLOGIE

189

Abbildung 134: Physikalische Gr¨oße λphys ∝ a einer St¨orung im Vergleich zum Hubbleradius H −1 ∝ a1/n (Kap. 9.3). Nach dem “Break Away”, d.h. wenn die St¨orung nichtlinear wird und sich von der kosmischen Expansion abkoppelt, bleibt λphys praktisch konstant (aus Kolb & Turner, S. 326).

¿

10

Inhomogene Kosmologie

Das heutige Universum ist auf kleinen Skalen sehr inhomogen (Galaxien, Sterne, Planeten, . . . ). Nur auf Skalen & 100 Mpc ist das Universum “glatt” und kann durch ein FRW-Modell beschrieben werden. Die mittlere Dichte von Galaxien ist ca. 105 mal, diejenige von Galaxienhaufen ca. 103 mal h¨oher als die mittlere Dichte des Universums ρ¯. Die Temperatur-Anisotropien in der kosmischen Hintergrundstrahlung haben eine Amplitude von ca. 10−4 , und die Dichteschwankungen sind von der gleichen Gr¨oßenordnung. Zur Zeit der Rekombination (T ≈ 0.26 eV, a ≈ 10−3 ) als die kosmische Hintergrundstrahlung “frei” wurde war das Universum offensichtlich wesentlich homogener als heute. Wie hat sich das Universum vom damaligen Zustand in den heutigen entwickelt? Das folgende Bild ist heute das allgemein anerkannte Standard-Szenario: • Kleine, primordiale Dichtest¨orungen wachsen durch die Gravitations- (Jeans)-Instabilit¨at zu den heutigen Galaxien, Haufen, etc. an, nachdem sie “in den Horizont eintreten”, d.h. nachdem ihre Ausdehnung kleiner wird als die Horizontl¨ange (siehe Abb. 134). • Dichtest¨orungen stoßfreier Materie (kalte dunkle Materie (CDM)) beginnen anzuwachsen, sobald das Universum materiedominiert ist. Heiße dunkle Materie (z.B. leichte Neutrinos) ist zu diesem Zeitpunkt noch relativistisch, so dass die St¨orungen “ausgewaschen” werden, im Widerspruch zu den Beobachtungen. • Baryonische Inhomogenit¨aten k¨onnen erst nach der Rekombination anwachsen, weil sie vorher an das Photonengas gekoppelt sind ihre Jeansl¨ange ist gr¨oßer als der Horizont.

10.1

Lineares Anwachsen der St¨orungen

Solange die Dichtest¨orung klein gg¨u. der Hintergrunddichte ist (bzw. der Dichtekontrast, Gl. (5.20), klein gg¨u. 1), kann man das Anwachsen der St¨orungen in linearer N¨aherung betrachten. Dies verl¨auft in a¨ hnlicher Weise wie die

10

190

INHOMOGENE KOSMOLOGIE

Jeansanalyse in Kap. (5.2.2), die Sie sich an dieser Stelle am besten noch einmal anschauen. F¨ur die nichtlineare Evolution von Dichtest¨orungen gibt es vereinfachende (semi)analytische Methoden (Zel’dovichN¨aherung, sph¨arischer Kollaps, Press-Schechter-Theorie etc.), die aber heutzutage durch massive numerische sog. N-body-Simulationen dominiert werden. Auf die Ergebnisse dieses Feldes k¨onnen wir hier nicht tiefer eingehen. Die zwei wesentlichen Unterschiede zur Betrachtung des Jeansproblems in Kap. (5.2.2) sind: 1. Die Expansion des Hintergrunds f¨uhrt eine neue L¨angen- bzw. Zeitskala ein: die Horizontskala H −1 . Weit innerhalb des Horizonts (l  H −1 ) kann weiterhin mit Newtonscher Gravitationstheorie gerechnet werden, außerhalb m¨ussten wir im Rahmen der ART arbeiten relativistische St¨orungstheorie, deren Ergebnisse unten nur kurz zusammengefasst werden. 2. Wir m¨ussen die verschiedenen Komponenten des Universums sorgf¨altig unterscheiden. St¨orungen in der Strahlungs-Energiedichte wachsen nicht an, weil ihre Jeansl¨ange immer vergleichbar mit der Horizontl¨ange √ ¨ ist (cs = 1/ 3 λJ ∼ H −1 ; Gl. (5.25)). Ahnliches gilt f¨ur St¨orungen in der baryonischen Komponente (H, He, etc.) vor der Rekombination als Folge ihrer starken Kopplung an die Photonen durch Thomsonstreuung. St¨orungen der (kalten) dunklen Materie hingegen k¨onnen schon anwachsen, sobald das Universum materiedominiert ist. 10.1.1

Jeans-Analyse mit expandierendem Hintergrund

Nachdem wir in Kap. (5.2.2) das Jeans-Problem auf einem statischen Hintergrund gel¨ost haben, wenden wir uns dem kosmologisch relevanten Fall zu, in dem der Hintergrund expandiert. Da wir mit den Newtonschen Gleichungen rechnen, m¨ussen wir uns auf Skalen innerhalb des Horizonts sowie St¨orungen von nichtrelativistischen Komponenten (CDM, Baryonen) beschr¨anken. Die Hauptrolle spielt dabei wieder der dimensionslose Dichtekontrast δ, Gl. (5.20). Da wir an der Dynamik kleiner (linearer) δs interessiert sind und sich lineare Differentialgleichungen einfach in Fourierkomponenten zerlegen lassen, brauchen wir die Fouriertransformierte von δ: Z V δ(x) = δk e−ikx d3 k (2π)3 V Z k 1 δk = δ(x)eikx d3 x (10.1) V V

Die mitbewegte Wellenzahl k = |k|, die oben eingef¨uhrt wurde, ist u¨ ber den Skalenfaktor mit der physikalischen Wellenzahl κ verbunden: k κ(t) = (10.2) a(t) Genau wie x ist auch k zeitunabh¨angig. Man kann es als “Markierung” von Strukturen, die zu einer bestimmten Zeit t die charakteristische (Wellen)l¨ange l = a(t) λ = a(t)

2π k

(10.3)

haben, verstehen. Zur¨uck zum expandierenden Jeansproblem. Wir machen den Ansatz (r(t) = a(t)x sei die physikalische Koordinate): ρ v ∆Φ

= ρ(t0 ) a(t)−3 dr a˙ = = r = Hr dt a 4π = Gρ r 3

(10.4)

10

191

INHOMOGENE KOSMOLOGIE

Dabei gehorcht H der Friedmann-Gleichung. Im inhomogenen Fall definieren wir H wie folgt: 1 ∇v 3

(10.5)

1 X ∂ ei a i ∂xi

(10.6)

H= mit ∇≡

Gl. (10.4) macht offensichtlich nur auf Skalen innerhalb des Horizonts Sinn, da die Geschwindigkeit f¨ur r ≥ H −1 gr¨oßer als die Lichtgeschwindigkeit wird. Eine weitere Erinnerung, dass die Newtonsche Theorie nur innerhalb des Horizonts funktioniert. Mit dem gleichen St¨orungsansatz (5.15) wie in Kap. (5.2.2) findet man folgende linearisierte Gleichungen: ∂δρ + 3Hδρ + v∇δρ + ρ∇δv = 0 ∂t ∂δv c2 + Hδv + (v∇)δv = − s ∇δρ − ∇φ ∂t ρ ∆φ = 4πGδρ

(10.7)

Wir k¨onnen Gl. (10.7) vereinfachen, indem wir von partiellen zu vollst¨andigen Zeitableitungen, sowie von der Orts- zur Wellenzahldarstellung (vgl. Gl. 10.1) u¨ bergehen. In unserem Fall gilt: (δρ).

≡

∇

→

dδρ ∂δρ = + v∇δρ dt ∂t k −i a

(δv ebenso) (10.8)

Des weiteren ersetzen wir wieder δρ durch δ, wobei wir jetzt nat¨urlich ber¨ucksichtigen m¨ussen, dass ρ ∼ a−3 auch zeitabh¨angig ist und damit ρ δ˙ = (δρ). + 3Hρ δ (10.9) Insgesamt wird (10.7) zu: δ˙k v˙ k φk

i kvk = 0 a i i + Hvk = c2s kδk + kφk a a 4πGρ = − 2 a2 δk k −

(10.10)

Anders ausgedr¨uckt, δ˙k = −3 δHk

(10.11)

und, im flachen Universum,

 2 2 k δk = − φk (10.12) 3 aH Genau wie im statischen Fall kann das Gleichungssystem (10.10) in eine PDGl zweiter Ordnung f¨ur δ umgeformt werden (ab hier lassen wir den Index k weg): δ¨ + 2H δ˙ +



c2s k 2 − 4πGρ a2

 δ=0

(10.13)

Diese Gleichung beschreibt das lineare Wachstum von Dichtest¨orungen nichtrelativistischer Fl¨ussigkeiten auf SubHorizontskalen. Sie l¨asst sich mit Bessel-Funktionen l¨osen, jedoch sind wir nur an einigen einfachen Grenzf¨allen interessiert.

10

192

INHOMOGENE KOSMOLOGIE

10.1.2

Eigenschaften der L¨osungen

Statischer Grenzfall: Wie erwartet, reduziert sich Gl. (10.13) zu (5.19) im Fall a =const. Ebenso sieht man, dass die JeansWellenzahl kJ = a κJ (10.14) (vgl. 5.24) hier eine a¨ hnliche Rolle spielt wie im statischen Fall. Der Unterschied zwischen dem statischen und dem expandierenden Fall liegt im Auftreten des HubbleD¨ampfungsterms 2H δ˙ im expandierenden Universum. Die Interpretation ist einfach: Je schneller das Universum expandiert, desto st¨arker wird das Anwachsen von St¨orungen ged¨ampft. Baryonische Materie: Vor der Rekombination sind die Baryonen durch Thomsonstreuungen an die Photonen gekoppelt und “sp¨uren” deren Druckkr¨afte, d.h. c2s = 1/3. Gl. (5.25) liefert in diesem Fall die Absch¨atzung , dass λJ ∼ H −1 alle Sub-Horizontskalen sind stabil. Eine genaue Rechnung zeigt, dass die baryonische Jeansmasse gr¨oßer ist als die Masse der Baryonen innerhalb des Horizonts: MJB /MhorB ≈ 26. Baryonische St¨orungen innerhalb des Horizonts oszillieren f¨ur z > zrek als Schallwelle mit δ(t) ∼ exp(±iω(t)t), wobei cs k (10.15) ω(t) = a(t)(1 − n) f¨ur a ∼ tn . Nach der Rekombination (z < zrek ) nimmt die Schallgeschwindigkeit der Baryonen schlagartig ab, so dass die St¨orungen kollabieren k¨onnen. Dabei “fallen” sie in die Potentialmulden der dunklen Materie, deren St¨orungen schon fr¨uher (z = zeq , siehe weiter unten) zu wachsen beginnen konnten. Kurze Zeit sp¨ater hat der baryonische Dichtekontrast denjenigen der dunklen Materie “eingeholt”. Bem.: Modelle ohne einen signifikanten Anteil an kalter dunkler Materie haben große Probleme, den heutigen Dichtekontrast baryonischer Materie zu erkl¨aren, weil der oben beschriebene Effekt fehlt.

Kalte dunkle Materie: Im Falle kalter (= nichtrelativistischer) dunkler Materie (z.B. WIMPs, MACHOs) k¨onnen wir den cs -Term in Gl. (10.13) vernachl¨assigen, weil P  ρ bzw. cs  1 gilt. • Materiedominierte Epoche (z < zeq ): F¨ur ein flaches, materiedominiertes Universum (H = 2/3t, ρ = (6πGt2 )−1 ) lautet Gl. (10.13): 4 2 δ¨ + δ˙ − 2 δ = 0 3t 3t

(k  kJ )

(10.16)

Gl. (10.16) hat eine wachsende und eine abfallende L¨osung: δ+ (t)



t t0

2/3



t t0

−1

= δ+ (t0 ) ∼ a(t)

δ− (t)

= δ− (t0 )

(10.17)

10

193

INHOMOGENE KOSMOLOGIE

wobei t0 eine (vorl¨aufig beliebige) Anfangszeit ist. Zu sp¨aten Zeiten ist nur die wachsende Mode wichtig. Wir sehen hier den wesentlichen Unterschied zur Jeans-Instabilit¨at im statischen Hintergrund: Die Expansion des Hintergrunds schw¨acht die Instabilit¨at ab und f¨uhrt zu algebraischem Anwachsen anstelle des exponentiellen Wachstums. • Strahlungsdominierte Epoche (z > zeq ): Betrachten wir den Fall mehrerer Komponenten ρj , so dass P ρ = ρj . Dann wird die Evolutionsgleichung f¨ur eine nichtrelativistische Komponente i zu δ¨i + 2H δ˙i +

X  ρj  c2s,i k 2 δ − 4πGρ δj = 0 i a2 ρ j

(10.18)

Nehmen wir jetzt an, i st¨unde f¨ur die nichtrelativistische (= kalte) dunkle Materie w¨ahrend der strahlungsdominierten Phase (also ρi  ρ und H = 1/2t). F¨ur Jeans-instabile Moden (k  kJ ) folgt aus Gl. (10.18), wenn die Stahlung homogen ist (δγ = 0): 1 δ¨i + δ˙i = 0 t

(10.19)

Man sieht sofort, dass nur St¨orungen mit δ˙i (t0 ) = 6 0 wachsen k¨onnen, und selbst diese nur logarithmisch:    t δi (t) = δi (t0 ) 1 + a ln (10.20) t0 Das Ergebnis ist also, dass Dichtest¨orungen auf Sub-Horizontskalen in der strahlungsdominierten Phase des fr¨uhen Universums nicht anwachsen. Der Grund liegt – im Gegensatz zum Fall der baryonischen St¨orungen vor der Rekombination – in der Expansion des Hintergrunds, die in der strahlungsdominierten Phase zu schnell ist, um das Anwachsen der St¨orungen innerhalb des Horizonts zu erlauben. St¨orungen außerhalb des Horizonts: Hierf¨ur ben¨otigen wir die relativistische St¨orungstheorie, die unseren Rahmen deutlich sprengen w¨urde. Aber ihre (f¨ur unsere Zwecke) wichtigsten Ergebnisse lassen sich recht schnell zusammenfassen. Man kann eine Gr¨oße φk definieren, die sich genau wie die Potentialst¨orung in Gl. (10.10) und Gl. (10.12) verh¨alt und folgendes zeigen: φk ist außerhalb des Horizonts nur eine Funktion von w, d.h. es ist konstant in Phasen mit konstanter Zustandsgleichung. (Das gleiche gilt u¨ brigens f¨ur φk innerhalb des Horizonts in der materiedominierten Phase, wie Sie selbst u¨ berpr¨ufen k¨onnen. Davon haben wir schon in Kap. (1.2.1) Gebrauch gemacht!) Aus Gl. (10.10) findet man durch Einsetzen von ρ(a) f¨ur die jeweilige Epoche: δksuperhorizon ∝



f¨ur St¨orungen außerhalb des Horizonts.

a2 a

(strahlungsdominierte Phase) (materiedominierte Phase)

(10.21)

10

194

INHOMOGENE KOSMOLOGIE

10.1.3

Die Transferfunktion

F¨ur den Vergleich von Theorie und Beobachtung brauchen wir eine Vorhersage f¨ur die Abh¨angigkeit der heutigen (z = 0) St¨orungsamplituden von ihrer typischen Ausdehnung bzw. von k. Man definiert eine Abbildung der St¨orungsamplitude bei beliebigen z auf δ(z = 0), die sog. (lineare) Transferfunktion Tk : δk (z = 0) ≡ Tk δk (z)D(z)

(10.22)

D(z) ist der lineare Wachstumsfaktor, den man aus Gl. (10.17), Gl. (10.20) und Gl. (10.21) erh¨alt. Er ist unabh¨angig von k er beeinflusst nur die H¨ohe, nicht die Form des Spektrums. ¨ Man sieht sofort, dass der Ubergang von Strahlungs- zu Materiedominanz bei z = zeq eine besondere Skala auszeichnet: alle St¨orungen, die vorher in den Horizont eintraten, wurden bis zu diesem Zeitpunkt an ihrem weiteren Wachstum gehindert, w¨ahrend diejenigen außerhalb des Horizonts weiterwuchsen. Die entsprechende (inverse) L¨angenskala ist keq ≡ aeq Heq ≈ 14h−2 Mpc−1 (10.23) Daran l¨asst sich das grobe Verhalten von Tk erkennen: ¨ • St¨orungen, die nach dem Strahlungs-Materie-Ubergang in den Horizont eintraten, d.h. solche mit k < keq (große Skalen), wuchsen inner- und außerhalb des Horizonts gleich schnell (∼ a, Gl. (10.17) und Gl. (10.21)) Tk = 1. ¨ • St¨orungen, die vor dem Strahlungs-Materie-Ubergang in den Horizont eintraten, d.h. solche mit k > keq (kleine Skalen), konnten nicht wachsen (δk = const) und fielen um den Faktor k −2 (Gl. (10.12)) hinter den anderen zur¨uck. Gl. (10.20) erlaubt eine etwas genauere Aussage, derzufolge die Transferfunktion noch eine logarithmische Korrektur erh¨alt, T (k) ∝ k −2 ln k. Eine genaue Berechnung der Transferfunktion auf allen Skalen erfordert die Ber¨ucksichtigung des Druckgradienten und der nichtidealen Fl¨ussigkeitseffekte (Freestreaming der dunklen Materie und Neutrinos, Photonen- und damit vebundene Baryonendiffusion,). Das macht man meistens numerisch oder mit Hilfe von Parametrisierungen. F¨ur unsere Zwecke reicht die folgende Zusammenfassung: • F¨ur kalte dunkle Materie (CDM) gilt: T (k) = 1 2  keq T (k) ≈ k

,

k < keq

,

k > keq

(10.24)

¨ Der Ubergang ist fließend. • Fr¨uher wurde auch heiße dunkle Materie (HDM), z.B. aus massiven Neutrinos, diskutiert. Da Neutrinos in ¨ diesem Fall vor dem Strahlungs-Materie-Ubergang noch relativistisch w¨aren, w¨urden sie durch Freestreaming alle St¨orungen auswaschen (T (k > keq ) ∼ exp(−k)). Das ist heute durch Beobachtungen praktisch ausgeschlossen. • Der Vollst¨andigkeit halber: es gibt noch gemischte Modelle, die mehr als eine Sorte dunkler Materie (CHDM, “Cold-Hot-Dark-Matter”) oder warme dunkle Materie mit m ∼ 1 keV (so dass Skalen unterhalb ∼ 1 Mpc relativistisch in den Horizont eintraten) postulieren. Sie sind weder n¨otig noch attraktiv, aber deshalb nicht unbedingt falsch.

10

INHOMOGENE KOSMOLOGIE

10.2

Vergleich mit Beobachtungen

10.2.1

Das Materie-Leistungsspektrum

195

Jetzt sind wir schon fast in der Lage, die lineare Theorie mit Beobachtungen zu vergleichen. Dabei ist zu beachten,

 dass Beobachtungen (z.B. durch Galaxiensurveys) nur statistische Aussagen machen k¨onnen, also z.B. u¨ ber δk2 . Den mathematischen Formalismus hierf¨ur werden wir u¨ berspringen und einfach per Dekret das Leistungsspektrum der Dichtest¨orungen,

 Pδ (k) ∝ δk2 , (10.25) einf¨uhren. Das Leistungsspektrum ist u¨ ber eine Fouriertransformation mit der Zweipunkt-Korrelationsfunktion verkn¨upft, welche mit Hilfe von großen Galaxiensurveys (z.B. 2dFGRS, SDSS) bestimmt werden kann (das ist leichter gesagt als getan, muss hier aber reichen).

Abbildung 135: Das Spektrum des Materie-Dichtekontrasts Pδ (k) , theoretisch (f¨ur das ΛCDM-Modell mit Ωm = 0.28, ΩΛ = 0.72, h = 0.72) und beobachtet. Uns interessiert an dieser Stelle nur die k-Abh¨angigkeit von Pδ , nicht die absolute Amplitude. Daf¨ur gen¨ugt es, die Potenzen von k zu z¨ahlen:

 Pδ (k, z = 0) ∝ Tk2 δk2 (z → ∞)  k4 2 ∝ Tk2 φk (z → ∞) (10.26) 4 (aH)

 Die Anfangsbedingungen f¨ur φk liefert die Inflation (Kap. (9.4.3)): φ2k (z → ∞) ∝ k −3 , damit die St¨orungsamplitude pro Dekade (∝ k 3 φ2k ) skaleninvariant ist. Zur Erinnerung: seit ihrer Entstehung befanden sich diese St¨orungen außerhalb des Horizonts φk = const. Damit liefert Gl. (10.26):  k k < keq Pδ (k) ∝ (10.27) k −3 k > keq Abb. (135) zeigt die gemessenen Daten und die vollst¨andige theoretische Vorhersage (inkl. Normierung und detaillierter Transferfunktion) f¨ur Pδ (k).

10

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Abbildung 136: Illustration der physikalischen Ursachen f¨ur CMBRTemperaturanisotropien. Neben den im Text beschriebenen Effekten treten weitere St¨orungen durch zeitabh¨angige Potentiale (Rees-Sciama-Effekt) und Streuung an heißen Elektronen (SunyaevZel’dovich-Effekt) entlang der Sichtlinie auf.

10.2.2

Anisotropien in der Hintergrundstrahlung

Die gleichen St¨orungen, die sp¨ater zu Galaxien und Galaxienhaufen anwachsen, spiegeln sich in kleinen Temperaturanisotropien in der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung (CMBR) wieder. Da sich Photonen seit der Rekombination bei z = zrek praktisch frei bewegen, l¨asst sich das Problem auf St¨orungen auf der letzten Streufl¨ache, Gl. (9.106), reduzieren. Folgende Effekte tragen zur Entstehung von Temperaturst¨orungen bei, vgl. Abb. (136): Sachs-Wolfe-Effekt: Dieser Effekt dominiert auf sehr großen Skalen, genauer gesagt f¨ur Winkeldurchmesser θ & θrek (Gl. (9.71)). Er beruht auf Gravitationseffekten durch Potentialst¨orungen auf der letzten Streufl¨ache: 1. Die Photonen verlieren Energie, wenn sie eine Potentialst¨orung verlassen, und werden daduch gek¨uhlt. Diese sog. Gravitationsrotverschiebung hat die Amplitude δT /T = φ/c2 = φ. 2. Die Potentialst¨orungen verursachen eine relativistische Zeitdilatation, so dass wir an diesen Stellen auf eine fr¨uhere und damit heißere Phase des Universums blicken. Da δt/t = φ und T ∝ 1/a ∝ t−2/3 , liefert dieser Effekt einen entgegengerichteten Term der Gr¨oße δT /T = −(2/3)φ. Insgesamt erhalten wir f¨ur den Sachs-Wolfe-Effekt: δT 1 = φ T SW 3

(10.28)

Dopplereffekt: Ein weiterer Beitrag wird durch die Streuung der Photonen an Plasma mit der Pekuliargeschwindigkeit δv produziert. Ist r der Einheitsvektor in Sichtrichtung, lautet dieser Term: δT δv · r = = δv · r T doppler c

(10.29)

Der Dopplereffekt wird ungef¨ahr bei θ ' θrek wichtig und f¨uhrt zu einem Anwachsen des Leistungsspektrums der Temperaturanisotropien bei der entsprechenden Wellenzahl. Sofort anschließend wird er auf kleinen Skalen (gr¨oßeren Wellenzahlen) von adiabatischen Effekten dominiert.

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Adiabatische Effekte: Im Prinzip sollten St¨orungen in der Photonen-Anzahldichte, nγ ∝ T 3 zu Temperaturst¨orungen der Gr¨oße δT δnγ 1 = = δ T 3nγ 3

(10.30)

Da die letzte Streufl¨ache durch eine konstante Temperatur, n¨amlich diejenige der Wasserstoffrekombination, definiert ist, erscheint das Auftreten von Temperaturst¨orungen durch lokale Dichteschwankungen eigentlich paradox. Dass sie dennoch erscheinen, liegt daran, dass dichtere (heißere) Regionen sp¨ater rekombinieren sie sind weniger rotverschoben sie erscheinen heißer. Aus T ∝ a−1 folgt δT T

δa a δnγ 3nγ

= − =

(10.31)

wegen nγ ∝ a−3 . In linearer Ordnung ist der adiabatische Beitrag also identisch mit der naiven Absch¨atzung weiter oben: δT 1 = δ T ad 3

(10.32)

Skalen mit Winkeldurchmesser θ . θrek befanden sich zur Zeit der Rekombination innerhalb des Horizonts waren in kausalem Kontakt. Hier m¨ussen weitere Effekte ber¨ucksichtigt werden:

sie

1. St¨orungen in der Strahlungsfl¨ussigkeit sind durch Photonendiffusion gegen¨uber denjenigen der Baryonen ged¨ampft (Silk-D¨ampfung). 2. CDM-St¨orungen wachsen nach zeq an, w¨ahrend baryonische St¨orungen noch bis zrek an den Strahlungsdruck gekoppelt sind und deshalb um den Faktor ∼ (1 + zeq )/(1 + zrek ) ∼ 10 unterdr¨uckt sind. In dieser Phase oszilliert das gekoppelte Baryonen-Photonengas gem¨aß Gl. (10.15) als Schallwellen man sieht akustische Oszillationen im CMBR-Spektrum. Die Kombination verschiedener Effekte auf Skalen . θrek ist zu kompliziert, um mit analytischen Methoden berechnet werden zu k¨onnen. Man behilft sich mit numerischen L¨osungen der Boltzmann-Gleichung f¨ur den Photonentransport, z.B. mit dem Standardprogramm CMBFAST. Qualitativ sind CMBR-Spektren gekennzeichnet durch: • Ein nahezu flaches Sachs-Wolfe-Plateau auf sehr großen Skalen. • Ein Anwachsen bei der Multipolzahl (entspricht k bei Kugelfl¨achenfunktionen) l ' 100 wenn Doppler- und adiabatische Prozesse wichtig werden. Dies geschieht bei θ ' θrek , welches nach Gl. (9.71) prim¨ar von Ω0 abh¨angt Die Lage des ersten Doppler- (oder akustischen) Maximums ist ein gutes Maß f¨ur die r¨aumliche Kr¨ummung des Universums. Wie in Kap. (9.2.4) erw¨ahnt wurde, sind die aktuellen Ergebnisse konsistent mit einem flachen Universum, Ω0 = 1.

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Abbildung 137: WMAP-Leistungsspektrum der CMB-Anisotropien. Die durchgezogene Linie zeigt das Best-Fit-Universum mit ΩΛ = 0.73 ± 0.04, Ωb = 0.044 ± 0.004 (konsistent mit der primordialen Nukleosynthese) und Ωm = 0.27 ± 0.04 (konsistent mit Galaxiensurveys) (Tegmark et al. 2004).

• Eine Reihe von Oszillationen bei gr¨oßeren l (kleine θ), deren Amplitude auf kleineren Skalen zunehmend st¨arker durch die endliche Breite der letzten Streufl¨ache σz (Gl. (9.106)) ged¨ampft werden. Die Lage und relative H¨ohe der akustischen Peaks h¨angt im Prinzip von allen wesentlichen kosmologischen Parametern ab. Dies ist der Grund f¨ur den gewaltigen Aufwand, der in den vergangenen 10 Jahren (und weiter bis zum Start des PLANCK-Satelliten der ESA ca. 2007) betrieben wurde bzw. wird, um das CMBR-Spektrum zu vermessen. ¨ Die Ubereinstimmung dieser Messungen mit den theoretischen Voraussagen ist sicherlich einer der H¨ohepunkte der modernen Kosmologie. Seit den Ergebnissen des WMAP-Satelliten (siehe Abb. (137)) ist keine theoretische Kurve mehr n¨otig, um die Form des Spektrums bis zum zweiten akustischen Peak klar zu erkennen!