Einfuhrung in die. Astronomie & Astrophysik Vorlesungsskript

Einfu ¨hrung in die Astronomie & Astrophysik Teil I Vorlesungsskript

Thomas Gehren Universit¨ats-Sternwarte Mu ¨nchen SS 2002

c 1986 – 2002


Thomas Gehren

INHALTSVERZEICHNIS

i

Inhaltsverzeichnis 1

2

Einleitung

1

1.1

Astronomie in der Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Hierarchien der Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Beobachtungen und Instrumente

7

2.1

Die Erdatmosph¨are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

Refraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.2

Szintillation und Seeing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.3

Extinktion und Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Satellitenastronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1

in situ-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1

Montierungen und Fokalebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.2

Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.3

Radioteleskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.1

Photometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.2

Spektrographen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.3

Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.4

Kameras und Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2 2.3

2.4

3

Strahlung

37

3.1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.1

Strahlungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1.2

Leuchtkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2 AstronomischeHelligkeitssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3

3.4

3.2.1

Interstellare Verf¨arbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2.2

Bolometrische Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.3

Absolute Helligkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Atomphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3.1

Einelektronen-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.3.2

Mehrelektronen-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.3.3

Auswahlregeln und Termschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3.4

Molek¨ulspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3.5

Kinetische Prozesse und der Begriff der Temperatur . . . . . . . . . . . . .

48

Strahlungstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

ii

4

INHALTSVERZEICHNIS Absorption und Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.4.2

Extinktion und optische Tiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.4.3

L¨osungen der Strahlungstransportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.4.4

Relativistische Modifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Dynamik

67

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.1.1

Die Mechanik Newtons und Keplers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.1.2

St¨orungsrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.1.3

Erde-Mond-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.1.4

Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.1.5

Kosmogonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Grundlagen der Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.2.1

Potentiale und Dichteverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.2.2

Sternbahnen und Bewegungsintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.2.3

Sternbahnen in axisymmetrischen und in Scheibenpotentialen . . . . . . . .

91

Stellardynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

4.3.1

Phasenraum und Boltzmanngleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

4.3.2

Virialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.3.3

Sph¨arische Systeme, Polytropen und isotherme Sph¨aren . . . . . . . . . . .

98

4.2

4.3

5

3.4.1

Stellarastronomie 5.1

5.2

101

Astronomische Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.1

Hertzsprung-Russell-Diagramm und Spektralklassifikation . . . . . . . . . . 101

5.1.2

Fundamentale Sternparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Physik der Sternatmosph¨aren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2.1

Sternatmosph¨aren im Strahlungs- gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.2

Konvektiver Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.3

Inhomogene Modelle und Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.4

Sternwinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

iii

Abbildungsverzeichnis 1

2

c Clive Ruggles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steinkreis von Stonehenge.
¨ Agyptischer Sternkalender. CAA1 p.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chinesische Sternkarte aus dem 10. Jahrhundert. CAA p.11 . . . . . . . . . . . . . .

2

4

Wandteppich von Bayeaux. CAA p.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

5

Aufhellung des Himmelsblaus zum Horizont nach Martin Schaffner (1533). BFH2 p.6

2

6

Erste Daguerrotypie der Sonne (1855). CAA p.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

7

Vom Elementarteilchen zur Superstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

8

Die Sonne, ein Zwergstern (UV-Aufnahme). CAA p.14 . . . . . . . . . . . . . . . .

3

9

c NASA/HST, STScI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eskimo-Nebel, NGC 2392.


4

10

c ESO Der Krebs-Nebel, Explosionswolke einer Supernova aus dem Jahr 1054 n.Chr.


4

11

c ESO . . . . . . . . . Schmetterlings-Nebel, ein bipolares Sternentstehungsgebiet.


4

12

c ESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tarantel-Nebel in der SMC.


5

13

c ESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugelsternhaufen NGC 6093.


5

14

c ESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiralgalaxie M83.


5

15

c ESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radiogalaxie Centaurus A (NGC 5128).


6

16

c NASA/HST . . NGC 2207 und IC 2163 und der Tanz der Sterne im Schwerefeld.


6

17

c NASA/HST . . . . . Gravitationslinsen im Feld des Galaxienhaufens Abell 2218.


6

18

c NASA/HST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hubble Deep Field.


6

19

c Pekka Parviainen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hohe Zirren am Nachthimmel


7

20

Verlauf von Temperatur und Dichte in der Erdatmosph¨are. Trotz betr¨achtlicher Variation der Temperatur in Troposph¨are und Stratosph¨are ist die barometrische H¨ohenformel (1) deutlich erkennbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

21

Das elektromagnetische Spektrum und die Ursachen seiner Extinktion. KKOPD3 p.52

8

22

Die Ablenkung des Ausbreitungsvektors einer Wellenfront in der Erdatmosph¨are. F¨ur jedes Paar benachbarter Schichten gilt das Snellnius’sche Brechungsgesetz. KKOPD p.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1

23

Abh¨angigkeit der atmosph¨arischen Refraktion von der Zenitdistanz. . . . . . . . . . ¨ Anderung des Brechungsindex mit der Wellenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Zeitliche Aufl¨osung (horizontale Achse) der atmosph¨arischen Szintillation eines Sternbilds. KKOPD p.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

26

Richtungs¨anderungen der Wellenfronten in der inhomogenen Erdatmosph¨are (Seeing)

9

27

Intensit¨atsverteilung von Seeingscheiben mit 1/e-Breiten von 0.6 und 1.0 arcsec . . .

10

28

Zenitreduktion f¨ur visuelle Helligkeiten in Abh¨angigkeit von der Zenitdistanz . . . .

10

29

Zenitextinktion der Rayleighstreuung in Abh¨angigkeit von der Wellenl¨ange . . . . .

10

24 25

1

Audouze & Isra¨el (eds.): Cambridge Atlas of Astronomy Hoeppe: Blau – die Farbe des Himmels 3 Karttunen et al.: Astronomie 2

1

9

iv

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 30

Europa bei Nacht. Die Lichtverseuchung der Atmosph¨are . . . . . . . . . . . . . . .

11

31

c Jan Curtis . . . . . . . . Aurora, Licht benachbarter St¨adte und Mond in Alaska.


11

32

Das Emissionsspektrum der hohen Erdatmosph¨are mit Nachthimmelslinien. AO4 p.52

11

33

Die f¨ur das globale Telefonnetz eingesetzten Iridium-Satelliten k¨onnen kurzzeitig eic J.W. Young (NASA) . . . . . . . . . . . . . . . . . ne extreme Reflexion zeigen.


11

34

c NASA . . . . . . . . . . . . Das Hubble Space Telescope in seiner Umlaufbahn.


12

35

c NASA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planetensonde Voyager.


14

36

Venus-Oberfl¨ache (Raumsonde Venera 13). CAA p.77 . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

37

Mars-Oberfl¨ache (Raumsonde Viking 2). CAA p.149 . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

38

Risse in der Oberfl¨ache des Jupitermondes Europa, vermutlich durch vulkanische Akc NASA . . . . . . . . tivit¨at unter der Eisoberfl¨ache erzeugt (Galileo-Aufnahme).


14

Planetare Bahnen der Pioneer- und Voyager-Raumsonden. Die farbigen Marken zeigen den Vorbeiflug (swing-by) an Jupiter und Saturn . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Detaillierte Darstellung der Jupiter und Saturn swing-bys von Voyager 1 und 2. CAA p.157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Spektrum von P/Halley im nahen IR mit Emissionslinien verschiedener Molek¨ulgase. ESS5 p.?? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

42

Verteilung von Staub und Meteoriten im Planetensystem (Erdumlaufbahn) . . . . . .

15

43

Radiale Komponente des interplanetaren Magnetfelds. ESS p.?? . . . . . . . . . . .

16

44

Azimutale Komponente des interplanetaren Magnetfelds, aufgenommen mit Pioneerund Mariner-Sonden. ESS p.?? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

45

Strahlengang in Refraktor und Reflektor. KKOPD p.54 . . . . . . . . . . . . . . . .

16

46

Reflexion an einer sph¨arischen Oberfl¨ache. SAO6 p.11 . . . . . . . . . . . . . . . .

16

47

Ideale Reflexionsfl¨ache f¨ur astronomische Punktquellen im Unendlichen. SAO p.34 .

17

48

Geometrie achsferner Strahlen. SAO p.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

49

Transversale sph¨arische Aberration am paraxialen Fokus. SAO p.44 . . . . . . . . .

18

50

Wegunterschied zwischen parabolischer und konischer Reflexion. SAO p.45 . . . . .

18

51

Zusammenhang zwischen TSA und ASA. SAO p.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

52

Kollimierter Strahl unter Einfallswinkel θ. SAO p.50 . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

53

Schematische Darstellung des Cassegrain-Teleskops. SAO p.16 . . . . . . . . . . . .

19

54

Klassisches Cassegrain-Teleskop und die modifizierten Spiegelfl¨achen. SAO p.54 . .

19

55

Aufbau des Schmidt-Teleskops. KKOPD p.63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

56

Montierung des 80cm-Teleskops der USM auf dem Wendelstein . . . . . . . . . . .

20

57

c DSAZ,MPG . . . . . . . . . Das 3.5m- Teleskop des DSAZ auf dem Calar Alto.


20

58

Herschels 48inch-Teleskop. RTO7 p.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

39 40 41

4

Walker: Astronomical Observations Encrenaz et al.: The Solar System 6 Schroeder: Astronomical Optics 7 Wilson: Reflecting Telescope Optics I 5

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

8

v

59

c ESO . . . . . . . . . . . . . . . . . Very Large Telescope der ESO (8m), Unit 4.


21

60

Prim¨arfokus. KKOPD p.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

61

c Lick Obs. . . . . . . . . . . . . . . . Prim¨arfokus-K¨afig am Lick 2.7m-Teleskop.


22

62

Cassegrain-Fokus. KKOPD p.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

63

c ESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . FORS am Cassegrain-Fokus des ESO VLT.


22

64

Coud´e-Fokus. KKOPD p.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

65

Coud´e-Ableitung durch 4. Spiegel (Vertikalschacht) am DSAZ 2.2m-Teleskop. c DSAZ,MPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


23

66

c N.E.I. Parsons . . . . . . . . . . . . Nasmyth-Plattform des WHT auf La Palma.


23

67

c Smithsonian Observatory . . . . . . . . . . . . . . . . . Multi Mirror Telescope.


24

68

Aufbau des MMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

69

c ESO . . . . . . . . . . . Very Large Telescope der ESO (VLT) auf dem Paranal.


25

70

c NRAO,VLA . . . . . . . . . . . . . . Very Large Array (VLA) in Socorro, NM.


25

71

Interferenz der Strahlen beim VLA. KKOPD p.80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

8

72

Galaktisches Zentrum, aufgenommen mit dem VLA. NK p.340 . . . . . . . . . . .

26

73

Radioquelle 3C 147, aufgenommen mit dem VLBI . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

74

Anordnung eines Multiteleskop-Interferometers. KKOPD p.81 . . . . . . . . . . . .

26

75

27

76

Kurzzeit-Speckleaufnahmen eines nicht getrennten Doppelsterns. Einzelbilddurchmesser ist  1

, scheinbarer Speckledurchmesser  0.1

. . . . . . . . . . . . . . . ¨ Uberlagerung (Addition) der einzelnen Speckles aus Abb. 75 . . . . . . . . . . . . .

77

Parabolisches Gitter des Nanc¸ay Radio Telescope . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

78

c F.D. Drake & Arecibo Observatory . . . . . . 305m-Radioteleskop von Arecibo.


28

79

Typisches Ein-Kanal-Photometer mit Nachf¨uhrungseinheit, Filtereinschub und Cryostat. AO p.230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

80

Mehrkanal-Photometer MCCP der Universit¨ats- Sternwarte M¨unchen . . . . . . . .

29

81

Breitbandfilter-System UBVRI und spektrale Energieverteilung eines k¨uhlen Sterns .

29

82

Polarimeter mit rotierendem Verschluß. KKOPD p.73 . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

83

Prinzip eines Spektrographen (Prismenspektrograph). Nach KKOPD p.72 . . . . . .

30

84

Objektivprismen-Spektrograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

85

Feldaufnahme eines Objektivprismen-Spektrographs . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

86

Reflexion am Gitter. NK p.92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

87

Aufbau des Spaltspektrographen. NK p.92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

88

Echelle-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

89

Echelle-Spektrum eines k¨uhlen Sterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

90

Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

91

Fabry-P´erot-Interferometer. Nach AO p.170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Uns¨old & Baschek: Der neue Kosmos

27

vi

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 92

Empfindlichkeit verschiedener Detektoren (QDE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

93

Wirkungsprinzip von Bildwandler und TV-Kamera . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

94

Charge Coupled Devices (CCD). NK p.91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

95

Flatfield-Belichtung eines aus vier einzelnen CCDs zusammengesetzten Mosaiks (2080 × 2048 Pixel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

96

Zur Definition der Intensit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

97

Invarianz der Intensit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

98

Strahlungsstrom eines Sterns, beobachtet außerhalb der Erdatmosph¨are . . . . . . .

38

99

Gebr¨auchliche Breitbandfilter im erweiterten Johnson-System . . . . . . . . . . . .

39

100 Energieverteilung von Sternen verschiedener Spektraltypen. Farbbalken deuten die U-, B- und V-Filter an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

101 Effektivtemperatur Teff und Farbindex B–V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

102 Zusammenhang zwischen bolometrischer und V-Helligkeit . . . . . . . . . . . . . .

41

103 Bolometrische Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

104 Definition der Parallaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 105 Energie-Eigenwerte und Uberg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 42

106 Absorptions- und Emissionsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

107 Linien¨uberg¨ange im Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

108 Abschirmung des Kern-Coulomb-Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

109 Aufhebung der Entartung in Einelektronensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

110 Triplett-Termsystem des Heliums (Grotrian-Diagramm). Es sind der Einfachheit halber nur die Terme und nicht die einzelnen Niveaus eingetragen. Der Grundzustand ¨ ¨ 1s2 1 S ist mit beiden Teilsystemen durch Ubergange verbunden, wobei die Uberg¨ ange zum Triplett-System nach den Auswahlregeln (∆S = 0) verboten sind . . . . . . . .

46

111 Singulett-Termsystem des Heliums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

112 Termsystem des Calciums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

113 Termsystem des Eisens (Fe I und Fe II). Hier sind keine Linien¨uberg¨ange eingetra¨ gen, sondern nur gebunden-frei Uberg¨ ange. Die Komplexit¨at des Fe-Termsystems sorgt f¨ur Mischzust¨ande (keine reine LS-Kopplung), so daß es kaum wirklich ”verbotene” Linien gibt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

114 Vektorkopplung im Magnetfeld. NK p.144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

115 Hyperfeinstruktur-Aufspaltung einer Mn I-Linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

116 Typische Spektren heißer Sterne im Bereich der Hα-Linie. Wega hat eine starke Absorptionslinie, w¨ahrend das Spektrum des noch heißeren Rigel ein sogenanntes P Cygni-Profil zeigt – mit einer blauverschobenen Absorption und einer rotverschobenen Emissionskomponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

117 Das Linienspektrum der Sonne in der Umgebung der Mg Ib-Linie demonstriert die außerordentliche Vielfalt von Absorptionslinien der unterschiedlichsten Elemente . .

48

118 Zur Definition des statistischen Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

119 Typischer Absorptionsquerschnitt einer Spektrallinie . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

vii

120 Voigt-Profil. Die asymptischen G¨ultigkeitsbereiche f¨ur Dopplerprofil und D¨ampfungsprofil sind deutlich zu erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

121 Typische Kantenstruktur von bf-Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

122 Logarithmische Darstellung der kontinuierlichen Absorptionskoeffizienten [Einheiten: m2 pro Kern] in k¨uhlen (oben) und heißen (unten) Plasmen. Die x-Achse ist die ˚ Oben: Photosph¨are der Sonne bei 5000 K. Unten: Photosph¨are Wellenl¨ange in [A]. von τ Sco bei 28000 K. Die in Tab. 5 beschriebenen Prozesse sind zumeist deutlich zu erkennen. Linienabsorption wurd nicht ber¨ucksichtigt. Auch einige neuere Fe IQuerschnitte fehlen. NK p.162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 123 Zur Entstehung der Synchrotron-Emission. Der Offnungswinkel ist θ  m0 c2 /E. Nach NK p.331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

124 Abschw¨achung der Intensit¨at beim Durchgang durch ein Gas . . . . . . . . . . . . .

57

125 Empirische Bestimmung der atmosph¨arischen Extinktion . . . . . . . . . . . . . . .

57

126 Entstehung von Absorptions- und Emissionsspektren beim Strahlungstransport durch ein Na-Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

127 Strahlungstransport durch ein planparallel geschichtetes Medium . . . . . . . . . . .

58

128 Strahlungstransport durch ein sph¨arisches Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

129 Zur L¨osung der Strahlungstransportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

130 Mittlerer Temperaturverlauf in der Sonnenatmosph¨are . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

131 Mitte-Rand-Verdunklung der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

132 Wellenl¨angen-Abh¨angigkeit der MRV der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

133 Das Spektrum als Tiefensonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

134 Entwicklung der Anisotropie der Intensit¨at I(τ, θ) mit der Tiefe nach der MilneEddington-N¨aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

135 Die Ablenkung des Lichtvektors im Schwerefeld der Sonne. Nach MTW9 p.1101 . .

63

136 Einfluß des Gravitationspotentials der Sonne auf die Ausbreitung des Lichts in der N¨ahe des Sonnenrands. CO10 p.637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

55

137 Phasenraumvolumen kosmologischer Photonen bei der Beobachtung. Nach MTW p.589 65

9

138 Das Zweik¨orperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

139 Der Fl¨achensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

140 Parameter elliptischer Umlaufbahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

141 Zum Ansatz bei St¨orungsrechnungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

142 St¨orungen der Planetenbahnen. CAA p.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 143 Beobachtete Schwebungen in der Anderung der Bahnexzentrizit¨at des Mondes. P11 p.165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

144 Beobachteter Aufenthaltsort der Asteroiden. P p.209 . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Misner et al.: Gravitation Carroll & Ostlie: Introduction to Modern Astrophysics 11 Peterson: Was Newton nicht wußte 10

71

viii

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 145 Bahnexzentrizit¨at eines hypothetischen Asteroiden mit chaotischen Ausbr¨uchen. P p.217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

146 Durch St¨orungen des Neptun versursachte Ortsabweichungen der Uranusposition im Verlauf l¨angerer Beobachtungen. P p.128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

147 Bestimmung des Erddurchmessers durch Triangulation (nach Erathosthenes) . . . . .

72

148 Bestimmung der Erdmasse nach Jolly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

149 Entfernungsbestimmung des Mondes durch die t¨agliche Parallaxe . . . . . . . . . .

73

150 Zur Lage des Schwerpunktes im Erde-Mond-System . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

151 Erl¨auterung des siderischen und synodischen Monats . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

152 Die Pr¨azession der Erde unter Einfluß von Mond und Sonne . . . . . . . . . . . . .

74

153 Die Gezeiten unter dem Einfluß des Mondes. S und T bezeichnen den sub- und translunaren Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

154 Bahnen der Planeten im Sonnensystem. CAA p.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

155 Epizykelbewegung des Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

156 Die Bahnelemente der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

157 Der Dopplereffekt der Erdbahnbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

158 Die Oberfl¨achen des Planeten Merkur (links) und des Jupitermondes Callisto (rechts) sind durch Krater gekennzeichnet, a¨ hnlich wie der Erdmond. CAA pp.64,65,171 . .

78

159 Die Oberfl¨achen des Planeten Venus (links) und des Saturnmondes Titan (rechts) sind verdeckt durch eine optisch dicke Atmosph¨are, ebenso wie alle großen Planeten. CAA p.70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

160 Der Asteroid Ida hat eine Gr¨oße von ∼ 30 × 20 km und einen gebundenen Trabanten, c Galileo Project,JPL,NASA 78 Dactyl, mit nur 2 km Durchmesser (im Bild ganz rechts).
161 Saturn mit Ringsystem und einigen seiner Monde (nach Aufnahmen von Voyager 1). c NASA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


79

162 Zur Stabilit¨at von K¨orpern im a¨ ußeren Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . .

79

163 Die Shepherd-Monde innerhalb des F-Rings des Saturn. CAA p.192 . . . . . . . . .

79

164 Vulkant¨atigkeit und Gasausbr¨uche auf dem Jupitermond Io. Die Ausbr¨uche sind besonders auf der Randaufnahme (rechts) zu erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

165 Altersbestimmung der Materie im Sonnensystem mit Kosmochronologie von Sr und Rb. Nach ESS p.294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

166 Kollaps der protosolaren Wolke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

167 Einfall von Gas und Staub auf das gravitative Zentrum der protosolaren Wolke. Entc Science Graphics . . . . . . . . . stehung eines abgeflachten Rotationsellipsoids.


83

168 Die Sonne im Stadium der Entstehung. Gravitative Kontraktion liefert die Leuchtc Science Graphics . kraft, die ihrerseits das Nachfallen weiterer Materie verhindert.


83

169 Das Planetensystem entstand aus Planetesimals, proto-planetaren Felsen von maxic Science Graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . mal wenigen km Durchmesser.


84

170 Teilchen im Potentialfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

ix

171 Dichteverteilungen der Potentiale von Miyamoto und Nagai (1975) f¨ur verschiedene Skalenparameter b/a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

172 Elliptische Koordinaten im axisymmetrischen System . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

173 Zur Definition der Hom¨ooide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

174 Zur Fl¨achendichte des Scheibenpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

175 Rosettenbahn im sph¨arischen Potential. Wegen ν =  k1/k2 ist die Bahn nicht geschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

176 Sternbahnen in der rotierenden Meridionalebene. BT12 p.118 . . . . . . . . . . . . .

91

177 Durchstoßfl¨ache (surface of section) einer meridionalen Sternbahn. BT p.119 . . . .

92

178 Isopotentialkurven des logarithmischen Potentials in der Meriodionalebene. BT p.116

92

179 Bahnen in ebenen zweidimensionalen Potentialen. (a) box orbit, (b) loop orbit. BT p.127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

180 Mitrotierendes effektives 2-dim Potential. BT p.137 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

181 Schleifenbahnen entlang der großen Hauptachse eines mitrotierenden 2-dim Potentials. BT p.145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

182 Zur Definition des Teilchenstroms im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

183 Prolate und oblate Sternsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

184 v0 /σ0 als Funktion der Elliptizit¨at ε oblater Sph¨aroide und verschiedener Anisotropieparameter δ . Die gestrichelten Kurven beschreiben den Einfluß des Inklinationswinkels i. BT p.217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

185 Beobachtungen elliptischer Galaxien. (a) Zwerggalaxien. (b) Riesengalaxien. BT p.218 98 186 Projizierte Intensit¨at von King-Michie-Modellen mit verschiedenen Parametern c, im Vergleich mit Fl¨achenhelligkeiten von Kugelsternhaufen und Zwerggalaxien . . . . .

99

187 Klassifikation der verschiedenen Spektraltypen mit Leuchtkraftklasse V (Hauptreihe). CO p.227/228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 188 Der Balmersprung als Kennzeichen der Spektralklassifikation . . . . . . . . . . . . . 102 189 Hertzsprung-Russell-Diagramm mit Sternen aus dem H IPPARCOS-Katalog und den hellsten Riesensternen. 1: Hauptreihe, 2: Riesen, 3: Weiße Zwerge . . . . . . . . . . 102 ¨ 191 Hertzsprung-Russell-Diagramm mit Leuchtkraftklassen Iab (Uberriesen) bis VI (Subdwarfs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 192 Farben-Helligkeits-Diagramm (FHD) der meisten Sterne n¨aher als 100 pc . . . . . . 103 190 Klassifikationsspektren von A-Sternen verschiedener Leuchtkraftklassen. CO p.247 . 104 193 Zusammenhang zwischen Spektraltyp, Effektivtemperatur und Breitbandfarben f¨ur Hauptreihensterne (Leuchtkraftklasse V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 194 Zweifarben-Diagramm mit Verf¨arbungsvektor. NK p.140 . . . . . . . . . . . . . . . 104 195 Masse-Leuchtkraft-Diagramm f¨ur Hauptreihensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 196 Relative Doppelsternbahn des visuellen Doppelsternpaars γ Vir N+S. PSS13 p.94 . . 106 197 Absolute Bahn des Doppelsternpaars Sirius A+B. KKOPD p.253 . . . . . . . . . . . 107 12 13

Binney & Tremaine: Galactic Dynamics Scheffler & Els¨asser: Physik der Sterne und der Sonne

x

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 198 Zur Geometrie der Bedeckungs-Ver¨anderlichen. Unten: Lichtkurve. Nach NK p.142 . 107 199 Das Masse-Radius-Diagramm in der Umgebung der Hauptreihe . . . . . . . . . . . 107 200 Verteilung der monochromatischen Helligkeiten mλ = −2.5 log Fλ + const in 3 optischen Tiefen τ0 der Sonnenatmosph¨are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 201 Beobachtungen der spektralen Energieverteilung von α Lyr (Wega) und der Vergleich mit einem synthetischen Flußspektrum unter Voraussetzung von LTE und ausschließlich kontinuierlicher Absorption. Nach R.L. Kurucz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 202 Einfluß des line blanketing auf die Strahlungsfluß-Verteilung . . . . . . . . . . . . . 112 203 Die Opazit¨ats-Verteilungsfunktion und das dadurch repr¨asentierte Wellenl¨angenIntervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 ˚ f¨ur verschiede204 Die Opazit¨ats-Verteilungsfunktion im Intervall λ = 3550 . . . 3647A ne Werte von thermodynamischen Variablen, log T = 3.96, log Ne = 9 . . . 17. Die Mikroturbulenz ist ξ = 2 km s−1 . Nach R.L. Kurucz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 205 Temperaturschichtung eines O9.5 V-Sterns mit Teff = 35 000 K (rechts). Links: Be(LTE) setzungszahlen b0 = N0 /N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 206 Aufsteigende konvektive Zellen (bubbles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 207 Entropie von Sternmaterie als Funktion von Druck und Temperatur. Aufgetragen ist die spezifische Entropie pro Teilchen, S/kN . Die gestrichelte Kurve dokumentiert den Strahlungsanteil. PDS14 p.230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 208 Adiabatischer Temperaturgradient ∇ad als Funktion von T und P . PDS p.231 . . . . 115 209 Zur Definition der konvektiven Temperaturgradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 210 Konvektive Geschwindigkeiten, resultierende Temperaturschichtung und Temperaturgradienten in der Sonnenatmosph¨are. vs ist die Schallgeschwindigkeit, α = 0 und 1 beschreiben die Temperaturschichtung mit reinem Strahlungsgleichgewicht und mit konvektivem Gleichgewicht f¨ur /Hp = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 211 Granulare Konvektionszelle mit 1050 km Durchmesser. Die Symmetrie wird durch die Randbedingungen erzwungen. Die Str¨omung kann sich in so kleinen Zellen nicht frei entwickeln und nimmt nach einiger Zeit einen station¨aren Zustand ein. SF15 p.48 117 212 Hydrodynamische Modellierung gr¨oßerer Konvektionszellen (oben: 2600, unten: 3600 km Durchmesser). Beide Modelle zeigen wieder die symmetrischen Randbedingungen. Im Gegensatz zu Abb. 211 bleiben die Modelle allerdings dynamisch u¨ ber große Zeiten, da sich die Str¨omung in den gr¨oßeren Zellen frei einstellen kann. Das obere Modell zeigt wieder die u¨ blichen Str¨omungen. Das untere Modell zeigt dar¨uberhinaus die Entwicklung von Instabilit¨aten, die im oberen Teil der Atmosph¨are in Stoßfronten m¨unden. Die Eigenschaften solcher Modelle h¨angen von der Wahl der Anfangs- und Randbedingungen und der Mehrdimensionalit¨at ab. SF p.49/50 . . . . 118 213 Vergleich von hydrodynamischen Modellen mit Beobachtungen der Granulation. Oben: Helligkeitsverteilung ausgew¨ahlter Zeitschritte an der Oberfl¨ache eines hydrodynamischen Modells der Sonne. Mitte: Helligkeitsverteilung des Modells nach einer durch die zum Vergleich mit Beobachtungen erforderliche Mittelung von Zeitserien bedingte Kontrastverringerung. Unten: Beobachtete Intensit¨at der solaren Granulation 119 14 15

Uns¨old: Physik der Sternatmosph¨aren Steffen & Freytag: Rev.Mod.Astr.4

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

xi

214 Hertzprung-Russell-Diagramm und die Beobachtung von stellaren Massenverlusten. Nach J.P. Cassinelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 215 Entstehung von P Cygni-Linienprofilen. Die gestrichelten Pfeile deuten die abstr¨omende Materie (Wind) an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 216 L¨osungen der Differentialgleichung f¨ur druckgetriebene Winde . . . . . . . . . . . . 121

xii

TABELLENVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis 1

Die wichtigsten Astronomie-Satelliten vor 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2

Sowjetische und Amerikanische Mars-Missionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3

Entfernungsmodul und Parallaxen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubersicht m¨oglicher Energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 45

Wichtigste Absorptionsprozesse in Sternatmosph¨aren. Ihre Bedeutung f¨ur k¨uhle und heiße Sterne wird separat angezeigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6

Parameter der Bahnformen im Zweik¨orperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

7

Bahndaten der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

8

Typologie der solaren Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

9

Zusammenfassung spektraler Eigenschaften der Harvard-Sequenz . . . . . . . . . . 102

10

Mit dem Intensit¨ats-Interferometer gemessenene Sterndurchmesser . . . . . . . . . . 106

4 5

xiii

Literatur Abell G.O. 1974, Exploration of the Universe, Holt, Rinehart & Winston, New York Audouze J., Isra¨el G. 1985, The Cambridge Atlas of Astronomy, Cambridge Univ. Press, Cambridge Binney J., Tremaine S. 1987, Galactic Dynamics, Princeton Univ. Press, Princeton Binney J., Merrifield M. 1998, Galactic Astronomy, Princeton Univ. Press, Princeton Carroll B.W., Ostlie D.A. 1996, Modern Astrophysics, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, New York Chiu H.-Y. 1968, Stellar Physics Vol. I, Blaisdell Publ., Waltham-Toronto-London Condon E.U., Shortley G.H. 1964, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, Cambridge Encrenaz T., Bibring J.-P., Blanc M. 1990, The Solar System, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg New York Hoeppe G. 1999, Blau – die Farbe des Himmels, Spektrum Akad. Verlag, Heidelberg - Berlin Karttunen H., Kr¨oger P., Oja H., Poutanen M., Donner K.J. 1990, Astronomie, Springer, BerlinHeidelberg-New York Kuiper G.P., Middlehurst B. (eds.) 1963ff, Stars and Stellar Systems, Univ. of Chicago Press, Chicago Vol. I: Telescopes Vol. II: Astronomical Techniques Vol. III: Basic Astronomical Data Mihalas D. 1970, Stellar Atmospheres, Freeman, San Francisco Mihalas D., Binney J. 1982, Galactic Astronomy, Freeman, San Francisco Misner C.W., Thorne K., Wheeler J.A. 1973, Gravitation, Freeman, San Francisco Peterson I. 1997, Was Newton nicht wußte – Chaos im Sonnensystem, Insel-Verlag, Frankfurt a.M. Leipzig Scheffler H., Els¨asser H. 1974, Physik der Sterne und der Sonne, Bibliograph. Institut, Z¨urich Scheffler H., Els¨asser H. 1982, Bau und Physik der Galaxis, Bibliograph. Institut, Z¨urich Schroeder D.J. 1987, Astronomical Optics, Academic Press, San Diego Struve O. 1967 Astronomie, 3. Auflage, de Gruyter, Berlin Uns¨old A., Baschek B. 1991, Der neue Kosmos, 4. Auflage, Springer, Berlin-Heidelberg-New York Walker G. 1987, Astronomical Observations, Cambridge Univ. Press, Cambridge Wilson R.N. 1996, Reflecting Telescope Optics I, Springer, Berlin-Heidelberg-New York

xiv

Vorbemerkung In dem hier vorgelegten Skript handelt es sich um die Dokumentation der Vorlesungen Einf¨uhrung ¨ in die Astronomie und Astrophysik I und II, die ich mit Anderungen seit 15 Jahren an der LudwigMaximilians-Universit¨at gehalten habe. Zun¨achst als handschriftliche Vervielf¨altigung, dann als gedruckte Verkleinerung von Overhead-Folien, wurde dieses Skript bislang den interessierten Studenten zur Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen u¨ berlassen. Diese – von einigen vielleicht liebgewonnene – Unterst¨utzung wird nicht weiter fortgef¨uhrt. Der Grund daf¨ur liegt nicht so sehr in der damit verbundenen Arbeit als in der Hinwendung zu aussagekr¨aftigeren Medien. Da zur Unterst¨utzung der Vorlesung bereits seit mehreren Semestern entsprechende Abbildungen auf meinen WWW-Seiten zu finden sind, erscheint es mir nur folgerichtig, die gesamte Dokumentation dorthin zu verlegen. Diese Entscheidung hat zur Folge, daß sich jeder Student nun selbst um die Nutzung eines solchen Skripts k¨ummern muß. Ich gehe dabei davon aus, daß im (bereits fortgeschrittenen) Studium der Physik jeder Student seine eigene Benutzerkennung im CIP-Pool (oder auch privat) und damit Zugriff auf das Internet hat. Die Beantragung eines Internetzugangs wird also – sofern nicht bereits vorhanden – dringend empfohlen. Der wesentliche Vorteil besteht f¨ur den Vortragenden in der M¨oglichkeit, ausf¨uhrlicher zu einigen Themenkreisen Stellung zu nehmen. Hinzu kommt eine wesentlich erleichterte M¨oglichkeit, eigene Fehler zu korrigieren (und davon haben sich viele in das alte Vorlesungsskript eingeschlichen . . . ). Es ist nicht leicht festzustellen, wozu ein Vorlesungsskript dienen sollte. Soweit mir bekannt, hat eine große Anzahl – eventuell sogar die Mehrzahl – der Studierenden das Skript bislang statt einer Vorlesung benutzt, Kenntnisse der Astrophysik f¨ur die Diplompr¨ufung zu erwerben. Diese Methode, zu der viele wegen der mittlerweile stark eingeschr¨ankten Studiendauer greifen, ist nicht optimal. Das Vorlesungsskript ist kein Lehrbuch, und es erspart weder den Besuch der Vorlesung noch das B¨ucherstudium. Es ist gedacht zum schnellen Nachschlagen bereits ”verdauter” Materie, zum Verbinden der verschiedensten Informationen, etwa von Strahlungstransport und Sternspektren, oder von Stellardynamik und extragalaktischer Astronomie. Wie in den vielen guten B¨uchern zur Einf¨uhrung in die Astronomie zu sehen ist, kann und muß eine solche Einf¨uhrung immer St¨uckwerk bleiben. Der Grund daf¨ur liegt in der extrem weit ausufernden Vielseitigkeit des Faches. Schon die Physik wird mit allen ihren Disziplinen ben¨otigt, Kern- und Elementarteilchenphysik, alle ”klassischen” F¨acher, wie die Mechanik, Elektrodynamik und Optik, Thermodynamik, Hydrodynamik, Quantenmechanik, die statistische Physik und die kinetische Theorie, und nicht zuletzt die Relativit¨atstheorie. Neben der Physik streckt die Astronomie mittlerweile ihre F¨uhler auch in die Chemie und die Biologie aus, und mit den technischen F¨achern ist sie durch die aufwendige Instrumentierung vertraut. Was also eine Einf¨uhrungs-Vorlesung leisten kann, liegt versteckt in ihrem Nutzen in der Er¨offnung des naturwis¨ senschaftlichen Uberblicks. Stil und Layout des Skripts werden bestimmt durch den Anspruch der Lesbarkeit einerseits und durch die Notwendigkeit, Text, Formeln, Tabellen und Abbildungen gleichermaßen einheitlich darzustellen und in eine druckbare Form zu bringen. LATEX ist dabei das einzig mir bekannte Satzverfahren, das allen diesen Anspr¨uchen gerecht wird. Um u¨ ber P OSTSCRIPT hinaus die Lesbarkeit zu erweitern und dabei eine minimale Datenkompression einzuhalten, wurde das Skript in das Portable Document Format (PDF) u¨ bersetzt, das mit dem Acrobat Reader bequem am Bildschirm dargestellt und zum Druck aufbereitet werden kann. Dieses Skript ist ausschließlich f¨ur Lehrzwecke gedacht und darf nicht zu kommerziellen Zwecken genutzt werden. Soweit m¨oglich werden die aus fremden Quellen stammenden Abbildungen in einem Verzeichnis angegeben. M¨unchen, den 1. April 2001 Thomas Gehren

1.1

Astronomie in der Geschichte

1

Einleitung

1

¨ Die Astronomie bildet so etwas wie einen Uberbau der Naturwissenschaft — zum einen, weil sie zu den a¨ ltesten Wissenschaften u¨ berhaupt z¨ahlt, zum anderen, weil in ihr fast alle anderen naturwissenschaftlichen Disziplinen vertreten sind. Das reicht von der Elementarteilchenphysik u¨ ber die klassischen physikalischen F¨acher bis in die Kosmologie, von der anorganischen Chemie bis in die Biologie. Dar¨uberhinaus ist die Astronomie seit Urzeiten eines der zentralen Objekte von Religion und Philosophie.

1.1

Astronomie in der Geschichte

Die Geschichte der menschlichen Kulturen orientiert sich nicht zuletzt an den Artefakten, die aus den verschiedenen Epochen der Entwicklung unserer Art zur¨uckgeblieben sind. Neben zuweilen v¨ollig unverstandenen Darstellungen steht hier etwa der pr¨ahistorische Steinkreis von Stonehenge (Abb. 1). Zwar ist das endg¨ultige Wort u¨ ber die urspr¨ungliche Bestimmung dieses ungef¨ahr 4000 Jahre alten Monuments noch nicht gesprochen; die Anordnung der Steine ist – selbst nach damaligen Kenntnissen – nicht besonders genau. Es scheint aber, als ob die Steine die Aufgabe einer Himmelsuhr zu u¨ bernehmen hatten, mit der die Sonnenwende markiert werden konnte. Damit ist Stonehenge zu Recht als eines der ersten astronomischen Observatorien zu bezeichnen, auch wenn es vielleicht haupts¨achlich kultischen Zwecken diente.

¨ Abb. 2. Agyptischer Sternkalender

sche Sternkalender (Idy-Kalender) aus einer Epoche 2200 Jahre v.Chr. (Abb. 2), der im T¨ubin¨ ger Institut f¨ur Agyptologie aufbewahrt wird. Er enth¨alt die Tageseintr¨age f¨ur den Aufgang des hellsten Sterns am Nachthimmel, Sirius. Die ¨ Agypter waren dadurch offenbar ein der Lage, im ¨ Vergleich mit dem Sonnenstand und den Uberflutungen des Nils erstmals die mittlere Jahresl¨ange von 365.25 Tagen zu bestimmen. Insbesondere die Chinesen begannen bereits sehr fr¨uh mit der Aufzeichnung von Sternkarten. Ein besonders deutliches Exemplar aus dem 10. Jahrhundert n.Chr. zeigt das Sternbild des großen B¨aren und den Purpurnen Ring (Abb. 3).

Wahrscheinlich noch etwas a¨ lter ist der a¨ gypti- Bereits betr¨achtlich j¨ungeren Datums ist der Wandteppich von Bayeaux (Abb. 4). Seine astronomische Bedeutung erh¨alt er durch die Beschreibung des Halleyschen Kometen, der im Jahr 1066 die Invasion von England durch Wilhelm den Eroberer begleitete. Wenngleich stark stilisiert, ist der Komet (und sein psychologischer Einfluß auf die Bev¨olkerung) deutlich gekennzeichnet.

Abb. 1. Steinkreis von Stonehenge

Nach einigen Jahrhunderten naturwissenschaftlichen Interregnums waren die Araber die ersten, die sich wieder der quantitativen Untersuchung der Naturerscheinungen widmeten. Hieraus resultierte ein klar geozentriertes Weltbild, wie es etwa um 1250 im Wunder der Sch¨opfung von Zakarija

2

1 EINLEITUNG

Abb. 5. Aufhellung des Himmelsblaus zum Horizont nach Martin Schaffner (1533) Abb. 3. Chinesische Sternkarte aus dem 10. Jahrhundert

Verdunklung der Oberfl¨achenstrahlung und einiibn al-Kazwini zu finden ist. Unter anderem wird ge Sonnenflecken (Abb. 6). Die Granulation der hier auch eine Mondfinsternis beschrieben (siehe photographischen Emulsion hat allerdings nichts mit der tats¨achlichen konvektiven Granulation der Frontispiz). Sonnenoberfl¨ache zu tun. Erst wesentlich sp¨ater im auslaufenden Mittelalter und in der Renaissance kam es zu einem Die Astronomie ist im Lauf der letzten 1000 Jaherneuten Schub der naturwissenschaftlichen Er- re immer mehr aus einer philosophischen zu eikenntnis. Neben den theoretischen und expe- ner materiellen Wissenschaft geworden, deren Errimentellen Großtaten von Brahe, Kopernikus, kl¨arung beobachtbarer Ph¨anomene den Anzeiger Kepler, Bruno, Galilei oder Newton gab es erste unserer Erkenntnisf¨ahigkeit bildet. Die Physik der Ans¨atze einer Untersuchung scheinbar so trivia- letzten 3 Jahrhunderte hat dann f¨ur eine Quantifiler Erscheinungen wie des Himmelsblaus, auch zierung der Naturwissenschaften gesorgt, die unwenn damals die Begriffe Streuung und Polari- ser heutiges Weltbild bestimmt. Erst die letzten 50 Jahre haben das Weltall als ein Referenzlabor sation noch v¨ollig unbekannt waren (Abb. 5). entdeckt, dessen Zust¨ande sehr weit von denen irFast 5000 Jahre lang haben sich Naturforscher discher Versuchsbedingungen abweichen k¨onnen. damit begn¨ugen m¨ussen, die von ihnen beobachteten Naturgesetze (im wahrsten Sinne des Wortes) aufzuzeichnen. Erst in der Mitte des 19. Jahrhunderts gelang die erste photographische Abbildung der Sonne durch Fizeau und Foucault. Bereits deutlich zu erkennen sind die Mitte-Rand-

Abb. 4. Wandteppich von Bayeaux

Abb. 6. Erste Daguerrotypie der Sonne (1855)

1.2

1.2

Hierarchien der Astronomie

3

Hierarchien der Astronomie

Unser Verst¨andnis der Physik umfaßt die kleinsten und gr¨oßten Objekte, auf kleinsten und gr¨oßten Zeitskalen – auch wenn in vielen Bereichen noch blanke Unkenntnis herrscht (Abb. 7). Nach unserer derzeitigen Kenntnis wird das Universum durch 4 Kr¨afte zusammengehalten, die Gravitation, das elektromagnetische Feld, die schwache und die starke Wechselwirkung. Die kleinsten Strukturen unterliegen dabei der schwachen und starken WW, mit zunehmender Gr¨oße (Molek¨ule, Kristalle, Staub, Festk¨orper) u¨ bernimmt dann das elektromagnetische Feld, w¨ahrend alle eigentlich ”astronomischen” Objekte ausschließlich durch Gravitationsfelder miteinander wechselwirken. Die Gruppe der ausschließlich gravitativ miteinander wechselwirkenden Objekte wird begrenzt durch die Bildung der kleinsten dieser Strukturen, sogenannter Planetesimals, planetarischen Kleink¨orpern von nur wenigen Metern Durchmesser bis zu Asteroiden und Planeten, wie man

Abb. 8. Die Sonne, ein Zwergstern (UV-Aufnahme)

sie auch in unserem Planetensystem kennt. Sterne ¨ wie die Sonne (Abb. 8) oder besonders die Uberriesensterne wie Mira (o Cet) geh¨oren bereits einer ganz anderen Gr¨oßenklasse an, mit Durchmessern, die etwa das 100- bis 100 000-fache des Erddurchmessers ausmachen. Davon ausgenom¨ men sind die Uberbleibsel massearmer Sterne, Weiße Zwerge und Neutronensterne, deren Masse extrem verdichtet ist, und deren Radien daher nur 10 000 km oder 15 km betragen. Hier hat man es gleich wieder mit planetaren Dimensionen zu tun, wenngleich ein cm3 Materie eines Neutronenstern rund 100 Millionen Tonnen schwer ist. Einigen Strukturen mit der Gr¨oßenordnung zwischen Sterndurchmesser (106 km) und Sternabstand (1 pc) begegnet man in den verschiedenen Entwicklungsstadien der Sterne. Zwergsterne wie unsere Sonne (mit bis zu 8M ) werfen am Ende ihrer Entwicklung eine H¨ulle ab (Planetarischer Nebel, Abb. 9), die nahezu ein Drittel ihrer Gesamtmasse enthalten kann, um sich dann zu einem Weißen Zwerg zu entwickeln. Typische Durchmesser Planetarischer Nebel (die nat¨urlich nichts) mit Planeten zu tun haben liegen in der Gr¨oßenordnung von 0.5 pc.

Abb. 7. Vom Elementarteilchen zur Superstruktur

Noch massereichere Sterne (> 10M ) bringen es zu einer Supernova-Explosion, bei der fast ihre ganze Masse mit hoher Geschwindigkeit und

4

1 EINLEITUNG

Abb. 10. Der Krebs-Nebel, Explosionswolke einer Supernova aus dem Jahr 1054 n.Chr. Abb. 9. Eskimo-Nebel, NGC 2392

einen sehr jungen Sternhaufen. Die hellen Fientsprechender kinetischer Energie in das inter- lamente sind unverbrauchtes (Wasserstoff-) Gas, stellare Medium geschossen wird (Supernova- das durch die Strahlung der benachbarten heißen ¨ Uberreste). Diese Wolken dehnen sich mit einer Sterne zum Leuchten angeregt wird. Ursprungsgeschwindigkeit von 10 000 - 20 000 Besonders auff¨allig sind Kugelsternhaufen wie km s−1 immer weiter aus, bis sie durch St¨oße der nebenstehend abgebildete NGC 6093 (Abb. mit der interstellaren Materie ihren ganzen Im- 13). Diese Sternhaufen besitzen bis zu 2 Millio¨ nen Sterne mit Massen bis zu 106 M und haben puls aufgebraucht haben. Typische SN-Uberreste haben heute Durchmesser von 10 - 20 pc (Abb. typische Durchmesser von 7 - 120 pc. Im Zentrum 10) Die andere Seite der Sternentwicklung bildet ihre Entstehung aus dem interstellaren Gas-StaubGemisch. Ein typisches bipolares Sternentstehungsgebiet ist der Schmetterlings-Nebel, in dem gerade durch gravitative Kontraktion Sterne (ein Stern . . . ) entstehen (Abb. 11). Der Durchmesser der Gaswolke ist d ∼ 0.6 pc. Die deutliche Zweiteilung des Nebels entsteht durch Extinktion der Strahlung in der N¨ahe des Zentrums durch eine sehr dichte Staubscheibe (hier als dunkler Ring sichtbar), deren Rotationsebene dem Gesamtdrehimpuls des Systems folgt. Gr¨oßere Massenansammlungen und Durchmesser bilden sich in gerade entstehenden Sternhaufen wie dem Tarantel-Nebel in der Kleinen Magellanschen Wolke (SMC) (Abb. 12), die viele 1000 Sterne enthalten k¨onnen. Der Tarantel-Nebel be- Abb. 11. Schmetterlings-Nebel, ein bipolares Sternentstesitzt einen Durchmesser von ∼ 500 pc und enth¨alt hungsgebiet

1.2

Hierarchien der Astronomie

5

Abb. 14. Spiralgalaxie M83

Abb. 12. Tarantel-Nebel in der SMC

achtbaren Objekte ausweist. Dies wird unterst¨utzt durch die in den Sternen vorhandene H¨aufigkeitsdieser Haufen herrscht die unglaubliche SternVerteilung der Elemente. dichte von > 1000 Sterne pc−3 . Kugelhaufen besitzen einige Eigenschaften, die sie zu den bevor- Eine ganz andere Gr¨oßenordnung wird durch Gazugten Objekten der Stellardynamik werden las- laxien repr¨asentiert. Ihre Durchmesser variieren sen. Ihre a¨ ußerst regul¨are Figur, die radiale Ver- zwischen 1 und 100 kpc, je nachdem, ob es teilung der Massendichte und der Bahnenergien sich um Zwerggalaxien oder Riesengalaxien hanund ihr vergleichsweise geringer Drehimpuls und delt. Messier 83 (Abb. 14) ist eine Scheibengalader Einfluß der Gezeitenkr¨afte im Gravitationspo- xie mit deutlicher Spiralstruktur mit sehr vielen tential der Milchstraße machen sie ebenso inter- (hier weißblau erscheinenden) Sternentstehungsessant wie ihr Alter, das sie etwa in unserer Ga- gebieten (H II-Regionen), die gr¨oßten darunter laxis als die wahrscheinlich a¨ ltesten noch beob- mit dem Tarantel-Nebel vergleichbar. Die Galaxie selbst ist etwa so groß wie die Milchstraße. Centaurus A (NGC 5128) ist eine Lenticulare Galaxie mit einem optischen Durchmesser von nur ∼ 20 kpc (Abb. 15). Wegen ihrer starken Radioemission wird sie auch als Radiogalaxie klassifiziert. Der dunkle Staubring um die helle Sternkugel herum deutet wieder die Existenz einer ausgezeichneten Ebene (Drehimpuls) an. Die Masse dieser Galaxie ist wahrscheinlich etwa so groß wie die der Milchstraße.

Abb. 13. Kugelsternhaufen NGC 6093

Galaxien sind selten isoliert. Der typische Aufenthaltsort ist eine Galaxiengruppe oder ein Galaxienhaufen. H¨aufig besteht die Gruppe auch nur aus zwei eng benachbarten Galaxien. An solchen Beispielen wie in Abb. 16 kann die gravitative Wechselwirkung besonders gut verfolgt werden.

6

1 EINLEITUNG

Abb. 17. Gravitationslinsen im Feld des Galaxienhaufens Abell 2218

Abb. 15. Radiogalaxie Centaurus A (NGC 5128)

Sie a¨ ußert sich h¨aufig in Gezeitenstrukturen, die deutlich vom sonst regul¨aren Aufbau abweichen. Die n¨achstgr¨oßeren Organisationsformen sind Galaxienhaufen (und -Superhaufen). Kompakte, massereiche Galaxienhaufen wie Abell 2218 (Abb. 17) lassen ihre Massenverteilung erahnen, indem sie weit dahinter liegende Galaxien durch ihre Wirkung als Gravitationslinse verst¨arken und verzerren. Diese sehr entfernten Galaxien sind dann – projiziert auf den Haufen selbst – h¨aufig als ringf¨ormig angeordnete Helligkeitsverteilungen zu erkennen. Die Durchmesser der gr¨oßten Haufen k¨onnen schon bis zu 10 Mpc erreichen.

Abb. 16. NGC 2207 und IC 2163 und der Tanz der Sterne im Schwerefeld

Sieht man noch tiefer in den Raum hinein, stellt man fest, daß die Organisation der Materie nicht bei Galaxienhaufen halt macht, sondern gelegentlich noch gr¨oßere Strukturen erreicht. Selbst im Hubble Deep Field (Abb. 18) ist das noch zu sehen. Dies war lange Zeit eines der großen R¨atsel der Astrophysik: wie konnte ein als homogen und isotrop angenommenes Universum noch auf Entfernungen von mehreren 100 Mpc so offensichtliche Inhomogenit¨at zeigen? Dieses R¨atsel ist heute noch nicht vollst¨andig gel¨ost – es verbirgt den eigentlich aufregendsten Teil der Forschung, die Entstehung und fr¨uhe Entwicklung der Materie.

Abb. 18. Hubble Deep Field

2.1

Die Erdatmosph¨are

2

Beobachtungen und Instrumente

7

250

0

T [K] 400

200

800

ρ Ionosphäre

200

T h [km]

Auch heute noch werden die meisten astronomischen Beobachtungen von der Erdoberfl¨ache aus durchgef¨uhrt. Das von Auge oder Detektor registrierte Licht muß also zun¨achst die Erdatmosph¨are durchqueren. Dabei werden die astronomischen Wellenfronten erheblich modifiziert. Abb. 19 zeigt nacht-leuchtende Wolken, wie sie unter sonst vielleicht sehr guten atmosph¨arischen Bedingungen h¨aufig anzutreffen sind. Solche Wolken sind f¨ur astronomische Beobachtungen der Unterschied zwischen photometrischen und klaren Bedingungen. Ihre Absorption stellt terrestrische Beobachter gelegentlich vor erhebliche Probleme, insbesondere weil sie ohne Restlicht nicht zu erkennen sind.

600

150

100

Stratosphäre 50

Troposphäre 0 −14

−12

−10

−8 log ρ [g/cm3]

−6

−4

−2

Abb. 20. Verlauf von Temperatur und Dichte in der Erdatmosph¨are. Trotz betr¨achtlicher Variation der Temperatur in Troposph¨are und Stratosph¨are ist die barometrische H¨ohenformel (1) deutlich erkennbar

on) durch • Gase: N2 , O2 , O3 (Ozon), CO2

2.1

Die Erdatmosph¨are

Der physikalische Aufbau der Erdatmosph¨are wird thermodynamisch durch mittlere Temperaturen und Dichten beschrieben, wie sie in Abb. 20 zu sehen sind. Je nach Einstrahlung (und damit der Sonnenaktivit¨at) k¨onnen die Temperaturen variieren. Die untere Atmosph¨are ist gekennzeichnet durch eine starke exponentielle Abnahme der Dichte. Die Temperaturschichtung durchl¨auft mit der H¨ohe u¨ ber der Erdoberfl¨ache je nach den M¨oglichkeiten lokaler Heizung und K¨uhlung eine komplexe Kurve. In der Atmosph¨are entsteht Absorption (Extinkti-

• Fl¨ussigkeite: H2 O, meist als Wasserdampf, und • Festk¨orper (Staub) mit unterschiedlichem Querschnitt f¨ur Photonen verschiedener Energie oder Wellenl¨ange. Die Durchl¨assigkeit der Erdatmosph¨are f¨ur Licht verschiedener Wellenl¨angen zeigt Abb. 21. Damit wird offensichtlich, daß die Strahlung astronomischer Objekte im UV oder im IR nur mit extraterrestrischen Methoden beobachtet werden kann. Die Erdatmosph¨are besitzt zus¨atzlich abbildende Eigenschaften. 2.1.1

Refraktion

Die Refraktion entsteht durch die Schichtung des atmosp¨arischen Gases im Schwerefeld der Erde, wobei die Gasdichte durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird (die Barometrische H¨ohenformel, vgl. Abb. 20, gestrichelte Gerade), ρ(h)  ρ0 exp(−h/h0 )

Abb. 19. Hohe Zirren am Nachthimmel

(1)

Entsprechend variiert der Brechungsindex der Erdatmosph¨are mit der Dichte. Ist die wahre Zenitdistanz eines astronomischen Objekts z, dann

8

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 21. Das elektromagnetische Spektrum und die Ursachen seiner Extinktion

ist die beobachtete Zenitdistanz ζ kleiner (vgl. N¨aherung Abb. 22). Mit sin z = sin(R + ζ)  sin z = nk sin zk  = sin R cos ζ + cos R sin ζ    nk sin zk = nk−1 sin zk−1  = n0 sin ζ , (2) ..   .    und damit n1 sin z1 = n0 sin ζ

R  sin R = (n0 − cos R) tan ζ  (n0 − 1) tan ζ .

folgt die Refraktionsgleichung n0 sin ζ = sin z

.

(4)

(5)

(3)

Als einfach zu behaltende N¨aherung entspricht Der Unterschied R = z−ζ ist dabei stark von der das R  tan ζ [arcmin] . (6) H¨ohe des Objekts u¨ ber dem Horizont (oder von der Zenitdistanz z) abh¨angig. Solange R = z − Dies wiederum ergibt einen Positionsfehler von ζ < 1Æ gilt, folgt, zumindest in der planparallelen 1 arcsec bei einer Zenitdistanz von nur 1Æ . Die

✹ n∞ = 1

z

Atmosphäre

nk

zk

nk−1

n3

zk−1

z3

ζ

n2 n1

z2 z1

N¨aherung gilt allerdings nur bis ζ  70Æ . Bei gr¨oßeren Zenitdistanzen muß die Refraktion sph¨arisch berechnet werden.

Da n0 = n0 (λ) wellenl¨angenabh¨angig ist, wird durch die Refraktion weißes Licht zus¨atzlich zerlegt, so daß eine differentielle Refraktion wirksam ¨ wird. Die Anderung des atmosph¨arischen Brechungsindex n0 u¨ ber den visuellen Bereich ist zwar nur a¨ ußerst gering, ∆n  10−5

Abb. 22. Die Ablenkung des Ausbreitungsvektors einer Wellenfront in der Erdatmosph¨are. F¨ur jedes Paar benachbarter Schichten gilt das Snellnius’sche Brechungsgesetz

,

(7)

die entsprechende Variation der scheinbaren Position zwischen 350 und 700 nm ist jedoch von der

2.1

Die Erdatmosph¨are

9

z−ζ [arcmin]

10.0

1.0

Abb. 25. Zeitliche Aufl¨osung (horizontale Achse) der atmosph¨arischen Szintillation eines Sternbilds 0.1 20

40

Zenitdistanz ζ [°]

60

80

Dieser Szintillationsanteil entsteht aus den gr¨oße-

Abb. 23. Abh¨angigkeit der atmosph¨arischen Refraktion ren konvektiven Elementen, deren horizontaler von der Zenitdistanz

Durchmesser wesentlich gr¨oßer ist als der Teleskopdurchmesser. Temperatur- und Dichteinhogleichen Gr¨oßenordnung, so daß z.B. f¨ur ζ = 45Æ mogenit¨aten auf kleineren horizontalen (und ver(tan ζ = 1 ) tikalen) Skalen sorgen daf¨ur, daß das Licht eines Sterns, das ja aus dem Unendlichen urspr¨unglich (8) ∆ζ  10−5 [rad]  2 arcsec mit einer planen Wellenfront einf¨allt, nun das Teleskop unter verschiedenen Richtungen erreicht ist. (Abb. 26). Eine Punktquelle (z.B. ein Stern) wird dadurch in ein Seeingscheibchen umgewandelt. 2.1.2 Szintillation und Seeing Die Winkelaufl¨osung wird also betr¨achtlich durch das Seeing beeinflußt. Aus einer ebenen wird so Verfolgt man die scheinbare Bewegung eines eine gest¨orte Wellenfront, und die RichtungsverSterns an der Sph¨are mit hoher zeitlicher Aufl¨o- teilung erzeugt aus der urspr¨unglichen δ-Funktion sung, so sieht man schnelle Bewegungen und Hel- des Wellenvektors einer Punktquelle eine ausgeligkeits¨anderungen, welche durch die turbulen- dehnte Seeingfunktion Σ(θ), die u¨ ber den inneren te Bewegung konvektiv aufsteigender Elemente (”Blasen”) in der Erdatmosph¨are entstehen. Dabei wird ein Lichtb¨undel an solchen Inhomoge- Abb. 26. Richtungs¨anderungen der Wellenfronten in der nit¨aten in eine andere Richtung gebrochen. Ist inhomogenen Erdatmosph¨are (Seeing) auch die Dichte solcher Blasen noch verschieden, so wird auch die Transmission zeitlich variabel (Abb. 25).

Brechungsindex n−1

3.30•10−4

3.20•10−4

3.10•10−4

3.00•10−4

2.90•10−4 0.20

0.30

0.40

0.50 Wellenlänge [µ]

0.60

0.70

0.80

¨ Abb. 24. Anderung des Brechungsindex mit der Wellenl¨ange

10

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

FWHM (0.6") FWHM (1.0")

Helligkeitsänderung m − m0

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

−2

−1

0

1

0

2

20

40 60 Zenitdistanz ζ [°]

80

Abb. 27. Intensit¨atsverteilung von Seeingscheiben mit Abb. 28. Zenitreduktion f¨ur visuelle Helligkeiten in Ab1/e-Breiten von 0.6 und 1.0 arcsec h¨angigkeit von der Zenitdistanz

Winkelbereich θ < 1 arcsec h¨aufig einer Gaussden Wert f¨ur ζ = 0Æ zu reduzieren. Ein Beispiel Funktion a¨ hnelt (Abb. 27). f¨ur die Zenitreduktion visueller Helligkeiten ist in Atmosph¨arisches Seeing – und nicht die Beu- Abb. 28 f¨ur eine Wellenl¨ange von λV ∼ 530 nm gung an der Teleskop¨offnung – bestimmt also zu sehen. Es zeigt die Abschw¨achung in Magnidie r¨aumliche Aufl¨osung jedes terrestrischen Te- tuden entlang von Lichtwegen verschiedener Zeleskops im Wellenl¨angenbereich bis zum IR. Al- nitdistanz. Daraus ist offensichtlich, daß eine Belerdings gibt es heute Techniken, mit denen die obachtung nahe dem Horizont extreme Lichtverzeitliche Mittelung der Wellenfronten aufgehoben luste unvermeidbar macht. werden kann. Teleskope mit einer solchen adaptiDie Rayleighstreuung sorgt f¨ur die Blauf¨arbung ven Optik k¨onnen die zeitabh¨angige Verformung des Taghimmels (vgl. Abb. 5) und die Rotf¨arbung der Wellenfronten zu einem gewissen Grad komder untergehenden Sonne. Das blaue Licht wird pensieren. bevorzugt aus dem direkten Lichtweg herausge¨ streut. Ahnlich funktioniert auch die Streuung an 2.1.3 Extinktion und Streuung kolloidalen Teilchen. Die Extinktion durch Rayleighstreuung ist in Abb. 29 zu sehen. Wie bereits in Abb. 21 beschrieben, wird elekH¨aufig zeigt der Nachthimmel eine u¨ berm¨aßige tromagnetische Strahlung beim Durchgang durch Helligkeit, die auf verschiedene Ursachen zur¨uckdie Atmosph¨are der Erde durch folgende Prozesse gef¨uhrt werden kann. Da ist abgeschw¨acht: • Absorption in Molek¨ulbanden

1. Die R¨uckstreuung terrestrischen Lichts. Die

• Rayleighstreuung an Luftmolek¨ulen, und

Die Absorption f¨uhrt haupts¨achlich zur Eingrenzung der beobachtbaren spektralen B¨ander. ⇒ ⇒ ⇒

sichtbares Licht: nahes Infrarot: Radiobereich:

300 - 800 nm 0.8 - 30 µm (partiell) 30 mm - 20 m

1.2 Zenitextinktion [mag]

• Streung an Staub und kolloidalen Teilchen

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 Die Streuung f¨uhrt zu einer frequenz- und wegWellenlänge [µm] abh¨angigen Schw¨achung des Lichts. Je nach Zenitdistanz sind die Lichtwege verschieden. Da- Abb. 29. Zenitextinktion der Rayleighstreuung in her ist es u¨ blich, astronomische Helligkeiten auf Abh¨angigkeit von der Wellenl¨ange

2.1

Die Erdatmosph¨are

11

Abb. 30. Europa bei Nacht. Die Lichtverseuchung der AtAbb. 32. Das Emissionsspektrum der hohen Erdatmomosph¨are sph¨are mit Nachthimmelslinien

unter dem Begriff ”light pollution” zusammengefaßte Verseuchung der astronomischen Beobachtungen mit Licht benachbarter St¨adte war noch vor einigen Jahrzehnten auf Observatorien wie den Mt. Wilson (unmittelbare Nachbarschaft zu Los Angeles) beschr¨ankt, l¨aßt sich allerdings mittlerweile auf globalen Karten darstellen (Abb. 30).

von besonderer Bedeutung, wenn astronomische Aufnahmen von besonders schwachen Objekten durchgef¨uhrt werden sollen. Zumeist wird die Beobachtung von lichtschwachen Galaxien beeinflußt, deren Helligkeit geringer ist als die des NachthimmelsHintergrunds. Insbesondere die Nachthimmelslinie [O I] 557.7 nm ist auf spektroskopischen Aufnahmen zumeist deutlich zu erkennen. Das visuelle EigenemissionsSpektrum der Erdatmosph¨are zeigt Abb. 32.

2. Stark variable elektromagnetische Entladungen im geomagnetischen Feld (Aurora, Nordlicht) sind zumindest in polaren Breiten h¨aufig anzutreffen (Abb. 31) und ver4. Nicht zuletzt ist die zunehmende Anzahl hindern dort astronomische Beobachtungen. k¨unstlicher Satelliten f¨ur die terrestrisch beAllerdings stehen n¨ordlich des Polarkreises obachtende Astronomie ein Problem (Abb. sowieso kaum astronomische Observatorien, 33). da auch die Witterungsbedingungen dort vergleichsweise schlecht sind. Die Eigenemission der Erdatmosph¨are erfolgt zu3. M¨aßig variable Emission molekularer Ban- meist in der oberen Stratosph¨are. Neben der starden und atomarer Linien (OH, O I) in ken [O I] 557.7nm-Linie st¨ort besonders der Ander oberen Atmosph¨are sind immer dann stieg der Emission zum nahen Infrarot.

Abb. 33. Die f¨ur das globale Telefonnetz eingesetzten IriAbb. 31. Aurora, Licht benachbarter St¨adte und Mond in dium-Satelliten k¨onnen kurzzeitig eine extreme Reflexion zeigen Alaska

12

2.2

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Satellitenastronomie

Wegen der beschr¨ankten Zug¨anglichkeit verschiedener Spektralbereiche astronomischer Objekte begannen schon in den 50er Jahren die ersten extraterrestrischen Experimente, zun¨achst mit Raketen. Daran anschließend wurde in den letzten 30 Jahren eine Anzahl astronomischer Beobachtungssatelliten in Erdumlaufbahnen gestartet. Eine unvollst¨andige Liste solcher SatellitenTeleskope ist in Tab. 1 zu finden. Dabei werden im allgemeinen erdnahe Bahnen bevorzugt, da diese einerseits energetisch g¨unstiger sind, andererseits die widrigen Eigenschaften Abb. 35. Planetensonde Voyager der Atmosph¨are alle innerhalb der Stratosph¨are liegen. Das Hubble Space Telescope ist in Abb. • UV-Spektrum der Supernova 1987A, Ent34 zu sehen. deckung von Winden heißer Sterne durch IUE, Einige der bedeutenden wissenschaftlichen Erkenntnisse aus Ballon-, Raketen- und Satelliten• R¨ontgenemission von Quasaren, R¨ontgenBeobachtungen sind Halo um M87 (E INSTEIN), • die Beobachtung der spektralen Energieverteilung der Galaktischen kosmischen Strahlung durch erste Ballonexperimente in den 50er Jahren,

• Starbursts in jungen Galaxien, Staubringe um Sonne und Wega (IRAS), und die • Entdeckung der extrem niedrigen Anisotropie der kosmischen Hintergrund-Strahlung durch COBE.

• Entdeckung von R¨ontgengas in Galaxienhaufen und von R¨onten-Doppelsternen Neben den Vorteilen der Satellitenbeobachtundurch UHURU, gen, die aus der nicht mehr vorhandenen Erdatmosph¨are resultieren, besteht der wesentliche • Heißes interstellares Gas (O VI) und interNachteil darin, daß stellares Deuterium, entdeckt durch C OPER NICUS , (a) die Satelliten-Teleskope und Instrumente u¨ ber Funkverbindung ferngesteuert werden m¨ussen, (b) eine Wartung der Instrumente nicht oder nur selten m¨oglich ist (z.B. HST und der mißgl¨uckte Prim¨arspiegel . . . ), und (c) die Nutzlast von Satellitenmissionen sehr eingeschr¨ankt ist (auch bei Space Shuttle Starts). Fast alle vorhandenen SatellitenTeleskope sind daher bislang klein im Vergleich zu terrestrischen Teleskopen. Ausnahme ist das HST. Satelliten-Teleskope sind also nicht grunds¨atzlich Abb. 34. Das Hubble Space Telescope in seiner Umlauf- die L¨osung aller astronomischen Beobachtungsbahn probleme.

2.2

Satellitenastronomie

13

Tab. 1. Die wichtigsten Astronomie-Satelliten vor 1992

Start 1962 1970 1972 1975 1978 1978 1983 1983 1987 1989 1989 1990 1990 1991

Name OSO UHURU Copernicus COS-B IUE Einstein IRAS EXOSAT Ginga HIPPARCOS COBE HST ROSAT GRO

Bezeichnung Orbiting Solar observatory Explorer-Serie Orbiting Astronomical Observatory

Spektralbereich Solare UV- und γ-Strahlung R¨ontgenstrahlung Stellare UV-Strahlung γ-Strahlung International Ultraviolet Explorer UV-Spektroskopie High Energy Astronomical Observatory R¨ontgenstrahlung Infrared Astronomical Satellite Infrarot European X-Ray Observatory R¨ontgenstrahlung R¨ontgenstrahlung Astrometrie Cosmic Background Explorer Mikrowellen-Strahlung Hubble Space Telescope Optischer und UV-Bereich R¨ontgensatellit R¨ontgenstrahlung Gamma Ray Observatory γ-Strahlung

Tab. 2. Sowjetische und Amerikanische Mars-Missionen

Mission Start Mars 1960A 10. Oktober 1960 Mars 1960B 14. Oktober 1960 Mars 1962A 24. Oktober 1962 Mars 1 1. November 1962 Mars 1962C 4. November 1962 Mariner 3 5. November 1964 Mariner 4 28. November 1964 Zond 2 30. November 1964 Mars 1969A 27. M¨arz 1969 Mariner 6 24. Februar 1969 Mariner 7 27. M¨arz 1969 Mariner 8 8. Mai 1971 Kosmos 419 10. Mai 1971 Mars 2 19. Mai 1971 Mars 3 28. Mai 1971 Mariner 9 30. Mai 1971 Mars 4 21. Juli 1973 Mars 5 25. Juli 1973 Mars 6 5. August 1973 Mars 7 9. August 1973 Viking 1 20. August 1975 Viking 2 9. September 1975 Phobos 1 Juli 1988 Phobos 2 Juli 1988

Ergebnis Erdorbit nicht erreicht Erdorbit nicht erreicht Erdorbit wurde nicht verlassen Kommunikation unterbrochen Erdorbit wurde nicht verlassen Mechanischer Defekt an einer Klappe verhinderte Vorbeiflug Mars-Vorbeiflug (in 9920 km Abstand) am 14.07.65 Kommunikation unterbrochen Erdorbit nicht erreicht Mars-Vorbeiflug (in 3437 km Abstand) am 1.07.69 Mars-Vorbeiflug (in 3551 km Abstand) am 5.08.69 Erdorbit nicht erreicht Erdorbit wurde nicht verlassen Marslander zerschellt Marslander u¨ bermittelt Daten nur f¨ur 20s Gelandet am 3.11.71 Marsorbit nicht erreicht Gelandet am 12.02.74 Nur Daten vom Landeanflug des Marslanders Marslander verfehlt den Planeten Gelandet vom 19.06.-20.07.76 Gelandet vom 7.08.-3.09.76 Fehlschlag Gelandet im Januar 1989, Kontakt verloren am 27.03.89

14

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 36. Venus-Oberfl¨ache (Raumsonde Venera 14)

2.2.1

in situ-Experimente

Die Untersuchung astronomischer Objekte am Ort ihres Aufenthalts ist naturgem¨aß nur f¨ur planetare K¨orper m¨oglich. Objekte der Untersuchung sind













Planetenatmosph¨aren und Magnetosph¨aren Planetenoberfl¨achen Monde Asteroiden Kometen Interplanetare Materie (Meteoriten, Staub) Interplanetare Felder Hochenergetische Teilchen Sonnenwind

Abb. 38. Risse in der Oberfl¨ache des Jupitermondes Europa, vermutlich durch vulkanische Aktivit¨at unter der Eisoberfl¨ache erzeugt (Galileo-Aufnahme)

mosph¨aren, ihre Thermodynamik, die Planetologie (vgl. Abb. 38). Der gewaltige Aufwand, den die space missions erfordert haben, a¨ ußert sich nicht zuletzt in der Anzahl der Marsmissionen, die zwischen 1960 und 1990 von der UdSSR und den USA gestartet wurden. In Tab. 2 sind Start und Schicksal dieser Unternehmungen dokumenPraktisch das gesamte Wissen u¨ ber Planetenat- tiert. mosph¨aren, Oberfl¨achen und Monde stammt aus solchen space missions wie z.B. den russischen Die ph¨anomenologische Naherkundung von Luna- und Venera-Sonden, sowie den amerikani- Planeten- und Mondoberfl¨achen wurde durch schen Explorer-, Pioneer-, Mariner- und Voyager- eine Vielzahl von Mehrfachmissionen unterst¨utzt, von denen insbesondere Pioneer 11 und 12 sowie Missionen (Abb. 35, 36, 37). die Voyager 1 und 2-Missionen durch ihre Die Planetenmissionen haben unglaublich feine spektakul¨aren Nahaufnahmen bekannt wurden. Details u¨ ber die Oberfl¨achenbeschaffenheit von All diese Mehrfachmissionen wurden so geplant, Planeten und Monden zutage gef¨ordert, so etwa daß m¨oglichst viele Vorbeifl¨uge auf m¨oglichst die chemische Zusammensetzung der Planetenat- energiearmen Bahnen erreicht wurden, wobei im Schwerefeld der einzelnen Planeten jeweils Energie aufgenommen wurde. Die planetaren Bahnen der Sonden sind in Abb. 39 dargestellt, ihre swing-bys in Abb. 40. W¨ahrend Abb. 39 nur die Bahnprojektionen (auf die Ekliptik) zeigt, wird in Abb. 40 deutlich, daß die Sondenbahnen durchaus nicht in der Ekliptik verbleiben.

Abb. 37. Mars-Oberfl¨ache (Raumsonde Viking 2)

Weitere Glanzlichter der planetaren Missionen sind die Sonden zur Untersuchung von Kometen, insbesondere die Ann¨aherungsfl¨uge an den Kometen Halley in den fr¨uhen 80er Jahren. Abb. 41

2.2

Satellitenastronomie

15

Abb. 41. Spektrum von P/Halley im nahen IR mit Emissionslinien verschiedener Molek¨ulgase

zeigt das nahe IR-Spektrum von P/Halley, aufgenommen mit der sowjetischen Vega 2-Mission. Die Kometensonden haben als erste den Aufbau und die Zusammensetzung von Kometen im DeAbb. 39. Planetare Bahnen der Pioneer- und tail untersuchen k¨onnen. Diese bestehen zu einem Voyager-Raumsonden. Die farbigen Marken zeigen großen Teil aus Eis. Sonden in Erdn¨ahe sowie die den Vorbeiflug (swing-by) an Jupiter und Saturn ¨ Mondlandungen haben einen allerersten Uberblick u¨ ber die Massenverteilung von Festk¨orpern (Meteorite und Staub) in der Erdumlaufbahn vermittelt. Dabei scheint es zwischen Meteoriten oder Meteoren einerseits und dem Staub andererseits signifikante Unterschiede in der Massenverteilung zu geben (Abb. 42). Die Mariner-Sonden 4, 5, 6 und 10, sowie Pioneer 6 und 10 haben mit den an Bord befindlichen Magnetometern haben uns u¨ ber das interplanetare Magnetfeld zwischen Venus und Jupiter

Abb. 40. Detaillierte Darstellung der Jupiter und Saturn Abb. 42. Verteilung von Staub und Meteoriten im Planeswing-bys von Voyager 1 und 2 tensystem (Erdumlaufbahn)

16

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE erste Kenntnisse geliefert. Insbesondere ist dabei die Entdeckung interessant, daß die radiale Feldkomponente mit dem Abstand von der Sonne wie r−2 zerf¨allt (Abb. 43), wohingegen die azimutale Komponente nur mit ∼ r−1 abf¨allt (Abb. 44).

Abb. 43. Radiale Komponente des interplanetaren Magnetfelds

Abb. 44. Azimutale Komponente des interplanetaren Magnetfelds, aufgenommen mit Pioneer- und Mariner-Sonden

2.3

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften

2.3

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften

17

Von ihrer optischen Funktion her unterscheidet man zwei wesentlich verschiedene Typen von astronomischen Fernrohren, Refraktoren und Reflektoren (Abb. 45). Von Bedeutung sind heute in der professionellen Astronomie nur noch die Reflektoren, da der Durchmesser optischer Linsen Abb. 46. Reflexion an einer sph¨arischen Oberfl¨ache durch das Fließen des Glases unter seinem Eigengewicht begrenzt ist und somit die EmpfindlichDie geometrischen Eigenschaften konkaver Spiekeit beschr¨ankt. gel mit gemeinsamem Brennpunkt f¨ur alle achDie einfachsten Eigenschaften reflektierender Te- senparallenen Strahlen folgen aus Abb. 47. Nach leskope werden durch die paraxiale Gleichung Fermats Prinzip m¨ussen die optischen Wege alf¨ur Reflexion an einer (konkaven) sph¨arischen ler Strahlen gleich lang sein, womit l = f + ∆. Fl¨ache bestimmt (Abb. 46). Mit den Gleichungen Gleichzeitig ist l2 = y 2 + (f − ∆)2 , so daß die f¨ur achsennahe Strahlen, Spiegeloberfl¨ache durch  i = φ−u    (12) y 2 = −4f z

  i = φ−u   φ = y/R (9) beschrieben wird.    u = y/s  ⇒ Nur ein Paraboloid erzeugt ein fehlerfrei  u
= y/s
 es Bild von astronomischen Objekten, und dies auch nur in achsenparalleler Orientierung. F¨ur und dem Reflexionsgesetz, i = −i
, erh¨alt man verschiedene reflektierende Fl¨achen (Rotations1 2 1 + = , (10) kegelschnitte) gilt im Abstand ρ von der optischen
s s R Achse woraus offensichtlich f¨ur s → ∞ folgt (paral(13) ρ2 − 2Rz + (1 + K)z 2 = 0 , lel einfallende Strahlen, also typisches astronomiwobei gilt: sches Problem . . . ), s
= R/2 .

(11)

√ F¨ur achsenferne Strahlen geht R → R2 − y 2 , wodurch s
< s
(y = 0) wird. Sph¨arische Spiegel besitzen daher große Abbildungsfehler.

Abb. 45. Strahlengang in Refraktor und Reflektor

K>0 K=0 −1 < K < 0 K = −1 K < −1

: : : : :

prolate Ellipsoide Sph¨aren oblate Ellipsoide Paraboloide, und Hyperboloide

              

(14)

Abb. 47. Ideale Reflexionsfl¨ache f¨ur astronomische Punktquellen im Unendlichen

18

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 49. Transversale sph¨arische Aberration am paraxialen Fokus

Abb. 48. Geometrie achsferner Strahlen

Die Geometrie von achsenfernen Strahlen ist in zeigt den Zusammenhang zwischen der transverAbb. 48 zu sehen. Daraus folgt salen sph¨arischen Aberration (TSA) und ρ, ρ dz = tan φ , z0 = , (15) ρ TSA dρ tan 2φ = . (21) ∆f f −z und mit Gl.(13) ist Benutzt man Gl.(13) und (20), wobei ∆f ≡ ρ dz = . (16) f (ρ) − f (0) ist, so folgt dρ R − (1 + K)z TSA ρ5 ρ3 = − 2 + 3(3 + K) 4 + . . . (22) (1 + K) 2R 8R

Mit F = z + z0 folgt somit

R (1 − K)z ρ2 + − (17) Je nach Ber¨ucksichtigung der Reihenglieder ist so 2 2 2[R − (1 + K)z] die transversale sph¨arische Aberration von 3. oder als Brennweite eines konkaven Spiegels f¨ur einen 5. Ordnung. Allgemein ist f¨ur die meisten Zwecke Strahl im Abstand ρ von der optischen Achse. z die Winkelaberration (ASA) wichtiger. Mit Abb. wird eliminiert mit Gl.(13), wonach 50 ergibt sich f¨ur die 3. Ordnung f=



R  1− z= 1+K 





 ρ2 1 − 2 (1 + K) . R

(18)

ASA = 2(φp − φ)

Reihenentwicklung von Gl.(18) ergibt, unter Vernachl¨assigung aller Potenzen von ρ h¨oher als 6, z=

ρ2 ρ4 ρ6 (19) + (1 + K) 3 + (1 − K)2 2R 8R 16R5

so daß in dieser N¨aherung f=

R (1 + K)ρ2 (1 + K)(3 + K)ρ4 − − (20) 2 4R 16R3

F¨ur Strahlenb¨undel mit verschiedenen Achsabst¨anden ρ ergibt sich demnach ein verschmiertes Bild, sofern nicht K = −1. Gl.(20) beschreibt den wichtigsten optischen Abb. 50. Wegunterschied zwischen parabolischer und koBildfehler, die sph¨arische Aberration. Abb. 49 nischer Reflexion

2.3

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften

19

Abb. 53. Schematische Darstellung des Cassegrain-Teleskops

und die Winkelaberration ist

Abb. 51. Zusammenhang zwischen TSA und ASA

d = (2∆z) dρ = −(1 + K)

AA = 3a1 ρ3 R3

(23)

y2θ yθ2 + 2a + a3 θ 3 2 R2 R

(26)

Die wichtigsten Bildfehler sind damit

a1 -Term : Koma a2 -Term : Astigmatismus TSA = (R/2) ASA . (24) a3 -Term : Bildverzeichnung . Die Winkelaberration zeigt die Abweichung von einer Punktquelle direkt in der Fokalebene eines Ihre Beseitigung wird durch genau berechnete Teleskops (Abb. 51). Korrekturen der Wellenfronten erreicht. Dies ist Bislang wurden nur achsenparallele Lichtb¨undel am Beispiel des Cassegrain-Teleskops f¨ur die ber¨ucksichtigt. Teleskope sollen jedoch zumeist sph¨arische Aberration relativ einfach zu zeigen ein Bildfeld mit Objekten auch außerhalb der (Abb. 53). Das 2-Spiegel-System wird durch noroptischen Achse erzeugen. Daher m¨ussen auch mierte Parameter beschrieben. Dabei sind R1 , die Bildfehler von schr¨ag zur Achse einfallen- R2 die Kr¨ummungsradien von Prim¨ar- und Se
den Strahlen untersucht werden. F¨ur den einfach- kund¨arspiegel im Vertex; s2 und s2 sind Objektsten Fall, das Paraboloid mit kollimiertem Strahl und Bildabstand der intermedi¨aren Abbildung; β werden die Aberrationen bei Winkel θ durch Ver- ist die r¨uckw¨artige Fokaldistanz in Einheiten von gleich der in B und B’ exakt abbildenden Parabo- f1 . loide beschrieben, mit den Koordinatensystemen Unter Benutzung der paraxialen Gleichung (10) (y,z) und (y
,z
) in den Vertices 0 und 0’. lassen sich alle Gr¨oßen miteinander verkn¨upfen, so daß mit k = y2 /y1 , ρ = R2 /R1 und m = Die Differenz ∆z = ∆z(y) zwischen beiden Pa
−s2 /s2 folgt raboloiden ergibt sich zu und

2∆z = a1

y3θ y 2 θ2 + a + a3 yθ3 2 R2 R

(25)

m=

ρ mk ρ(m − 1) , ρ= , k= (27) ρ−k m−1 m

oder 1 + β = k(m + 1) .

(28)

Bei einem solchen 2-Spiegel-System (auch als klassische Cassegrain-Konfiguration bezeichnet) ist K1 = −1 und K2 = (m + 1)2 /(m − 1)2 < −1 . Der Sekund¨arspiegel ist also ein Hyperboloid.

Abb. 52. Kollimierter Strahl unter Einfallswinkel θ

Die Form von Prim¨ar- und Sekund¨arspiegel wird nun so ver¨andert, daß u¨ berall ∆z1 = ∆z2 ist, wodurch der Prim¨arspiegel ein Ellipsoid wird (Abb. 54).

20

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE der Lichtb¨undel ist viel schwieriger. Ein Spezialfall ist die gleichzeitige Korrektur von sph¨arischer Aberration und Koma in einem modifizierten Cassegrain-System, Ritchey-Chr´etien (RC) genannt. Hier sind beide Spiegel Hyperboloide. 2.3.1

Montierungen und Fokalebenen

Abb. 54. Klassisches Cassegrain-Teleskop und die modifi- Teleskopische Beobachtungen dienen zierten Spiegelfl¨achen

(a) zur Abbildung astronomischer Bildfelder Der klassische Fall eines 1-Spiegel-Systems ist (b) zur spektroskopischen Untersuchung astrodas Schmidt-Teleskop (Abb. 55). Hier wird die nomischer Lichtquellen, punktf¨ormig (Stersph¨arische Aberration durch eine spezielle Linse ne) oder ausgedehnt (Nebel, Galaxien) korrigiert, die eine entsprechende Verformung der Wellenfront bewirkt. Die Brennebene ist dann al- (c) zur (interferometrischen) Ortsbestimmung lerdings leicht gekr¨ummt. Je nach Aufgabe gibt es verschiedene VorausBesonders problematisch sind Teleskope, die setzungen f¨ur die Montierung und die Auswahl der Fokalebene. Montierungen dienen der Lamehr als eine Fokus-Konfiguration erlauben. ⇒ Alle modernen Großteleskope besitzen einen ge¨anderung des Teleskops durch Rotation um Prim¨arfokus (Hauptspiegel), einen Sekund¨arfo- zwei (zun¨achst beliebige) Raumachsen, kus (2. Spiegel, meistens eine Cassegrain• zur Einstellung von astronomischen KoordiKonfiguration), und h¨aufig auch noch einen Ternaten zum Zeitpunkt t, ti¨arfokus (als langbrennweitiger Coud´e-Fokus etc.). • zur Nachf¨uhrung astronomischer Objekte Dabei ist der Cassegrain-Fokus durch Verformung der Hauptspiegelfigur meistens f¨ur sph¨arische Aberration korrigiert. Dieser allein ist damit nicht mehr aberrationsfrei. Der Prim¨arfokus muß f¨ur seinen Einsatz also a¨ hnlich wie ein SchmidtTeleskop durch eine Linse korrigiert werden (genauer: durch ein zumeist sehr aufwendiges Linsensystem).

auf der optischen Achse u¨ ber den Zeitraum einer Belichtung, t → t + ∆t . Nur zwei Gruppen von Montierungen (Wahl der Rotationsachsen) werden verwendet: (1) Parallaktische Montierungen (Fraunhofer-M., Polachsen-M., Gabel-M. ⇒ a¨ quatoriale M.)

Die Korrektur der Bildfehler schr¨ag einfallen- Dies war bis vor ∼ 20 Jahren die Standardmontierung mittelgroßer und großer Reflektoren in einer horseshoe-Gabel (Abb. 56 und 57 ). Die Wahl der Achsen war • Polachse (parallel zur Erdachse) • Deklinationsachse (senkrecht dazu, in der Meridianebene)

Abb. 55. Aufbau des Schmidt-Teleskops

• Vorteil: Das astronomische Objekt braucht nur in der Polachse (Stundenwinkel h) nachgef¨uhrt zu werden. Seine Deklination bleibt konstant. ⇒ Die Genauigkeit der Nachf¨uhrung verbessert die Qualit¨at astronomischer Bildfelder.

2.3

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften

21

Abb. 56. Montierung des 80cm-Teleskops der USM auf dem Wendelstein

¨ • Nachteil: Aquatoriale Montierungen m¨ussen immer f¨ur die festgelegte geographische Abb. 57. Das 3.5m- Teleskop des DSAZ auf dem Calar Alto Breite ϕ gebaut werden. (2) Azimutale Montierung Diese Montierung ist eigentlich die urspr¨ungliche Aufstellungsart von Teleskopen. Bereits 1784 hat W. Herschel bereits eine Alt-Azimut-Montierung f¨ur sein 20inch-Teleskop gew¨ahlt (Abb. 58). Die Lage der Achsen ist

Abh¨angig von der Montierung gibt es verschiedene Fokalebenen , die sich haupts¨achlich durch die ¨ Brennweite F oder das Offnungsverh¨ altnis F/D und damit durch den Durchmesser des verzeichnungsfreien Bildfeldes unterscheiden.

• Zenitachse • Horizontachse • Vorteil: Einfache, ortsunabh¨angige Aufstellung • Nachteil: Komplizierte zweiachsige Nachf¨uhrung. Bei neueren Teleskopen und wesentlich verbesserter mechanischer Technik ist dies kein Problem mehr. Mittlerweile werden praktische alle neuen Teleskope mit einer Azimutal-Montierung versehen Abb. 58. Herschels 48inch-Teleskop (Abb. 59).

22

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 60. Prim¨arfokus

¨ ge Offnungsverh¨ altnisse findet man von F/8 bis F/15, nur selten noch langbrennweitiger. Auch Cassegrain-Anordnungen findet man in a¨ quatoFolgende Fokalebenen sind am h¨aufigsten anzu- rialen und azimutalen Montierungen. treffen (hier wird jeweils die parallaktische Mon- Ein Cassegrain-Fokus bildet einen optimalen Kompromiß zwischen hoher Bildfeld-Aufl¨osung tierung zugrunde gelegt): und Lichtst¨arke. Zwar sind zus¨atzliche Lichtver(a) Prim¨arfokus luste bei Reflexion am Sekund¨arspiegel nicht zu Dies ist die Fokalebene des Hauptspiegels, mei- vermeiden, aber daf¨ur ist der Fokus auch besser ¨ stens mit Offnungsverh¨ altnissen von F/2.0 bis F/3.5, in neueren Großteleskopen bis zu F/1.0. Gelegentlich wird der Prim¨arfokus auch als Newton-Fokus ausgebildet (Abb. 60). Dieser Fokus existiert f¨ur beide Montierungen. Er ist wegen ∆x = F ∆φ besonders lichtstark und damit f¨ur schw¨achste, insbesondere ausgedehnte astronomische Objekte geeignet. Die Beobachtung im Prim¨arfokus wurde fr¨uher aus einem ”K¨afig” gesteuert, aus dem der Astronom die Positionierung und Nachf¨uhrung des Teleskops mitvollzieht (Abb. 61). Einstieg und Ausstieg erfolgten dabei in nahezu horizontaler Lage des Teleskops. Diese Art der Beobachtung war jedoch haupts¨achlich f¨ur Langzeitbelichtungen (zumeist auf photographischen Platten) gedacht; sie ist in den letzten 20 Jahren vollkommen der Fernsteuerung gewichen. Abb. 59. Very Large Telescope der ESO (8m), Unit 4

(b) Cassegrain-Fokus Der Cassegrain-Fokus liegt in der Fokalebene des Sekund¨arspiegels, wobei der konvergen¨ te Strahlengang durch eine zentrale Offnung im Hauptspiegel gef¨uhrt wird (Abb. 62). Gel¨aufi- Abb. 61. Prim¨arfokus-K¨afig am Lick 2.7m-Teleskop

2.3

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften

Abb. 62. Cassegrain-Fokus

23

Abb. 64. Coud´e-Fokus

als der Prim¨arfokus dazu geegnet, schwere und ortsfesten Fokus installieren konnte (wobei allerdings das Bildfeld bei Nachf¨uhrung mitrotiergroße Instrumente zu tragen (Abb. 63). te). Bei einer Gabelmontierung wird meistens Der Cassegrain ist daher der Standardfokus der ein weiterer Spiegel ben¨otigt (Abb. 65). Typische meisten heutigen Teleskope. ¨ Offnungsverh¨ altnisse sind extrem langbrennwei(c) Coud´e-Fokus tig, zwischen F/30 und F/40. H¨aufig werden Der Coud´e-Fokus wird mit einem dritten Spie- zum Umlenken in ein Coud´e-Labor noch 1 oder 2 gel aus der optischen Achse herausgef¨uhrt. In den weitere Spiegel ben¨otigt, bis der Strahl eine ortsa¨ lteren Teleskopen geschah dies zumeist durch feste Fokalebene erreicht. Den Coud´e-Fokus findie Polachse, da man so mit nur 3 Spiegeln einen det man bei a¨ quatorial montierten Teleskopen; bei azimutalen Montierungen wird der Strahl durch die Horizontachse geleitet und f¨allt auf den (mitrotierenden) Nasmyth-Fokus, wie beim William

Abb. 63. FORS am Cassegrain-Fokus des ESO VLT

Abb. 65. Coud´e-Ableitung durch 4. Spiegel (Vertikalschacht) am DSAZ 2.2m-Teleskop

24

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 67. Multi Mirror Telescope

Prinzipiell gibt es zwei M¨oglichkeiten, die r¨aumliche Aufl¨osung zu verbessern, Abb. 66. Nasmyth-Plattform des WHT auf La Palma

Herschel Telescope auf La Palma (Abb. 66). Er ist sehr lichtschwach und hat große Reflexionsverluste, findet daher auch nur bei großen Instrumenten Anwendung. (d) Nasmyth-Fokus Ersetzt bei azimutal montierten Teleskopen den Coud´e-Fokus (s. oben). Die Orientierung astronomischer Bildfelder bleibt wie im Coud´e-Fokus nur bei mitrotierenden Instrumenten invariant. Ortsfeste Instrumente erfahren eine Bildfeldrotation, die – bei Beobachtung ausgedehnter Objekte – durch einen Derotator kompensiert werden muß.

• bei m¨oglichst kurzen Wellenl¨angen beobachten ⇒ UV- und EUV-Teleskope ⇒ extraterrestrische Beobachtung. Damit ist diese M¨oglichkeit in ihrem Nutzen f¨ur terrestrische Beobachtungen stark eingeschr¨ankt, • m¨oglichst große Teleskope bauen ⇒ gleichzeitige Beherrschung der Bildfehler notwendig ⇒ D ≤ 10m (optisch), D ≤ 100m (Radiobereich). Die zweite Alternative erlaubt ein wichtiges Konzept, die Interferometrie mit unvollst¨andiger Apertur

Jedes Spiegelteleskop arbeitet mit einer unvollst¨andigen Apertur: der Hauptspiegel ist im Zentrum vignettiert, entweder durch ein Prim¨arfokus2.3.2 Interferometrie Instrument oder durch den Sekund¨arspiegel. Davon unabh¨angig wird das optische Aufl¨osungsIm allgemeinen begrenzt durch den Beugungs- verm¨ogen eines Teleskops durch den Durchmesdurchmesser des Hauptspiegels, ser bestimmt (Gl.29). Bei vignettierten Aperturen ist dies der gr¨oßte von der Gesamtspiegelfl¨ache φ  λ/D , (29) u¨ berdeckte Abstand (vorausgesetzt, die Wellenliegt das Aufl¨osungsverm¨ogen astronomischer Te- front ist nach Reflexion konvergent). leskope zwischen  0.05 arcsec im optischen (f¨ur Ein erster Versuch, ein Teleskop mit unvollst¨andiD = 3m) und  1Æ im Radiobereich (D = 100 ger Apertur zu bauen, resultierte im Multi Mirm). Durch das atmosph¨arische Seeing (vgl. Abb. ror Telescope (MMT), das Ende der 70er Jahre 27) ist die wahre Aufl¨osung auch im optischen auf dem Mt. Hopkins in Arizona aufgestellt wurBereich nur  1 arcsec. de (Abb. 67). Das MMT besteht aus 6 gleichen

2.3

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften

25

Abb. 70. Very Large Array (VLA) in Socorro, NM Abb. 68. Aufbau des MMT

Spiegeln von je D = 1.8m Durchmesser, die alle auf derselben Tr¨agerstruktur montiert sind (Abb. 68). Die konvergenten Strahlenb¨undel der 6 Einzelteleskope werden u¨ ber ein optisches Relais auf einen gemeinsamen Brennpunkt abgebildet. Erster Vorteil ist die Vergr¨oßerung der lichtsammelnden Teleskopfl¨ache mit relativ kleinen 1 × 4.4 m DurchHauptspiegeln: ⇒ 6 × 1.8 = messer. Als weiterreichende Idee war die phasengetreue Zusammenf¨uhrung der 6 Nasmythstrahlen in einem Coud´e-Fokus geplant. Daf¨ur muß die optische Lichtlaufstrecke f¨ur alle 6 Einheiten gleich sein, und die Strahlen k¨onnten zur Interferenz gebracht werden (z.B. als Intensit¨atsInterferometer). Zur Zeit des MMT war dies noch nicht m¨oglich.

gel des VLT der ESO geplant (Abb. 69). Die Abbildung zeigt deutlich die versetzte Anordnung der 8m-Einheitsteleskope, die durch kleinere Hilfsteleskope auf einem Schienensystem ¨ erg¨anzt werden, welche zur Uberdeckung einer 2dimensionalen Bildfl¨ache n¨otig sind. Die Hauptanwendung der Interferometrie liegt nach wie vor im Radiobereich. Hier stellt man viele kleine Radioteleskope in gr¨oßerer Entfernung auf und kombiniert die (unter festem Bildwinkel einfallenden) Wellenfronten miteinander. (Abb. 70). Die Interferenz der Strahlen erzeugt dann die in Abb. 71 dargestellten Verst¨arkungen und Ausl¨oschungen.

Zunehmend schwierig wird die Strahlzusammenf¨uhrung mit großen Entfernungen. Wenngleich die Wellenl¨angen im Radiobereich um Heute ist eine a¨ hnliche Anordnung f¨ur die 4 Spie- > 106 gr¨oßer sind als im optischen Bereich und damit die Koh¨arenz wesentlich leichter zu erreichen, wird insbesondere im Bereich der Interkontinental-Interferometrie (VLBI) mit Radioteleskopen in USA, England, Deutschland

Abb. 69. Very Large Telescope der ESO (VLT) auf dem Abb. 71. Interferenz der Strahlen beim VLA Paranal

26

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 74. Anordnung eines Multiteleskop-Interferometers

Abb. 72. Galaktisches Zentrum, aufgenommen mit dem VLA

und Australien (der Erddurchmesser bildet hier den maximalen Teleskopabstand) mit elektronisch ermittelten Laufzeit-Verz¨ogerungen gearbeitet. Typische Ergebnisse zeigen Abb. 72 (VLA, Aufl¨osung  1 arcsec) und Abb. 73 (VLBI, Aufl¨osung  10−3 arcsec).

Die Aufl¨osung des in Abb. 71 beschriebenen Radio-Interferometers mit 2 Spiegeln wird durch den Abstand benachbarter Intensit¨atsmaxima bestimmt, θB = λ, wobei B der Abstand (die Basisl¨ange) zwischen den beiden Teleskopen ist. Um bei λ = 1 cm eine Aufl¨osung von 1 arcsec = 4.8510−6 rad zu erzielen, muß die Basisl¨ange B  2 km betragen. Betrachte MultiteleskopInterferometer mit AB = 6a (Abb. 74 (a)) in Ost-West-Richtung bei Ausrichtung der Teleskope zum Nordpol. In 12 Stunden beschreiben die Teleskope an der Sph¨are einen Kreis mit Durchmesser θ1 = λ/6a, was der maximalen Aufl¨osung entspricht. Durch ein weiteres Teleskop (b) ergeben sich die zus¨atzlichen Basislinien AC = 2a und BC = 4a. F¨ugt man weitere Teleskope hin¨ zu, ergibt sich eine immer dichtere Uberdeckung des Strahlenb¨undels eines einzelnen großen Teleskops des Durchmessers 6a. Dabei ist wichtig, daß die Einzelabst¨ande der Teleskope m¨oglichst verschieden sind, da sich sonst kaum zus¨atzliche Information ergibt. Dies wird erreicht durch eine 2-dim Anordnung in ”Y”oder ”T”-Form und durch fahrbare Einheiten. Wie bereits bemerkt, ist im optischen Wellenl¨angenbereich eine phasengerechte Zusammenf¨uhrung zweier (oder mehrerer) Strahlen noch immer sehr schwierig, da die Strahll¨angen etwa das 107 -fache der Wellenl¨ange betragen. Eine andere M¨oglichkeit, die beugungsbegrenzte Winkelaufl¨osung eines großen Teleskops (φ  0.03 arcsec f¨ur ein 4m-Teleskop) zu erreichen, besteht in der Speckle-Interferometrie.

Hier macht man sich die Tatsache zunutze, daß die Phasenst¨orungen, welche die ebene elektromagnetische Welle einer unendlich weit entfernAbb. 73. Radioquelle 3C 147, aufgenommen mit dem VL- ten Punktquelle beim Durchgang durch die ErdatBI mosph¨are erf¨ahrt, eigentlich nur eine Richtungs-

2.3

Teleskope und ihre wichtigsten Eigenschaften

27

Abb. 75. Jedes einzelne Beugungsbild enth¨alt nun die Information des Objekts. Handelt es sich dabei wie in Abb. 75 um einen Doppelstern mit einem Abstand von 0.2

(der wegen des Seeings in l¨angeren Belichtungen nicht als Doppelstern erkannt w¨urde), so ist die Information in der Autokorrelationsfunktion der Einzelbilder durch ein zweites Maximum deutlich erkennbar. Addiert man die Autokorrelationen aller Einzelaufnahmen, so ergibt sich Abb. 76, in der das Signal-zuRausch-Verh¨altnis wesentlich verbessert wurde. Eine R¨ucktransformation ergibt dann ein PseudoBild des Objekts, in dem Richtung und Entfernung des Begleitsterns deutlich meßbar sind. Allerdings geht bei diesem Verfahren die Eindeutigkeit der Richtung verloren und muß gegebenenfalls durch zus¨atzliche Information bestimmt werAbb. 75. Kurzzeit-Speckleaufnahmen eines nicht getrenn- den. ten Doppelsterns. Einzelbilddurchmesser ist  1

, scheinDer Durchmesser der einzelnen Speckles (hier barer Speckledurchmesser  0.1

 0.1

) entspricht der beugungsbegrenzten Aufl¨osung des Teleskops. F¨ur Riesensterne l¨asst zerlegung einzelner Bereiche der Wellenfront be- sich mit dieser Methode sogar die Helligkeitsverwirken (vgl. Abb. 26). Macht man eine Mo- teilung der Oberfl¨ache bestimmen. mentaufnahme des Sterns, so wird man viele Das Hauptproblem der Speckle-Interferometrie Einzelbilder erhalten, die nat¨urlich entsprechend besteht in der geringen Helligkeit des einzelnen schw¨acher sind. Erst bei l¨angerer Belichtung beSpeckles. Kurzzeit-Belichtungen ergeben nur weginnt sich das Seeing-Scheibchen aus diesen einnige Photonen pro Speckle, welche daher stark zelnen Bildern zusammenzusetzen und zu ververrauscht sind. Man muß deshalb bis zu 106 Einschmieren. zelbilder analysieren. Damit wird die Methode Tats¨achlich sind solche Kurzzeit-Belichtungen auf Sterne bis etwa 15 mag beschr¨ankt. von astronomischen Objekten sehr erfolgreich, sofern die Belichtungszeiten ∆t  0.1s unterschreiten; dies ist etwa die mittlere Fluktuati- 2.3.3 Radioteleskope onszeit der atmosph¨arischen Turbulenzelemente. Damit wird die Seeingscheibe in einzelne Beu- Neben ihrem Einsatz als Einheitsteleskope in der gungsbilder der atmosph¨arischen Turbulenzele- Very Long Baseline Interferometry (VLBI) sind mente zerlegt. Eine Serie solcher ”Speckles” zeigt einzelne Radioteleskope aufgrund der großen

¨ Abb. 76. Uberlagerung (Addition) der einzelnen Speckles Abb. 77. Parabolisches Gitter des Nanc¸ ay Radio Telescope aus Abb. 75

28

Abb. 78. 305m-Radioteleskop von Arecibo

Wellenl¨angen zwar nicht f¨ur große r¨aumliche Aufl¨osung qualifiziert; daf¨ur k¨onnen sie bei hinreichendem Durchmesser und langen Belichtungen sehr gut f¨ur Strahlungsflußmessungen und Radiospektroskopie eingesetzt werden. Neben konventionellen Riesenteleskopen wie dem 100m-Teleskop auf dem Effelsberg gibt es noch gr¨oßere Teleskope, die entweder mit einer unvollst¨andigen Apertur arbeiten wie das Nanc¸ ay Radio Telescope. Dessen parabolisches Gitter wird durch einen Planspiegel beleuchtet (Abb. 77). Ein noch gr¨oßeres Teleskop mit vollst¨andiger Apertur ist die 305m-Sch¨ussel in Arecibo (Abb. 78). Hier wird der Himmel mit der Erdrotation durchmustert.

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

2.4

2.4

Instrumente

29

Instrumente

Astronomische Beobachtungsinstrumente dienen u¨ berwiegend der Registrierung elektromagnetischer Strahlung, vom γ- bis zum Radiobereich. Dabei wird zur Gewinnung zus¨atzlicher Information h¨aufig spektrale oder zeitliche Aufl¨osung erforderlich. 2.4.1

Photometer

Das einfachste Instrument ist das Photometer (Abb. 79). Die Registrierung der Photonen erfolgt in der Fokalebene des Teleskops durch einen photonenz¨ahlenden Detektor. Die Anwendung erfolgt zumeist f¨ur Punktquellen (Sterne). Dabei werden – soweit m¨oglich – andere Objekte im Bildfeld ausgeblendet. Spektrale Separation wird durch den Einsatz (breitbandiger) Filter erreicht. Die astronomische Photometrie beruht auf dem Prinzip der Eichung anhand von Standardsternen. Diese Kalibrierung ist unbedingt erforderlich, da atmosph¨arische Schwankungen eliminiert werden m¨ussen. Ebenso wichtig ist daher die Subtraktion der zum Nachthimmel geh¨orenden Photonen (vgl. Abschnitt 2.1) durch Vergleichsmessungen, die in benachbarten objektfreien Gebieten durchgef¨uhrt werden m¨ussen. Die w¨ahrend einer Beobachtungsnacht immer wieder durchzuf¨uhrenden Messungen von Vergleichssternen sind n¨otig, um einen Absolutanschluß an das astronomische Helligkeitssystem zu bekommen.

Abb. 80. Mehrkanal-Photometer MCCP der Universit¨atsSternwarte M¨unchen

(Abb. 80). Solche Photometer sind jedoch technisch aufwendig und daher nie im Standardinstrumentarium der gr¨oßeren Observatorien zu finden. Die spektrale Aufl¨osung R = λ/∆λ von g¨angigen Photometern ist sehr gering. Das gebr¨auchlichste Breitbandfilter-System besteht aus den 3 ˚ BandFiltern U, B und V mit jeweils etwa 1000 A breite (Abb. 81), dem Johnson-UBV-System, zu dem h¨aufig noch weitere Filter im nahen Infrarot gez¨ahlt werden (RIJHKLMNQ). Ein solches Breitbandfilter-System (R  4 . . . 5) beschreibt den spektralen Verlauf der Energieverteilung astronomischer Objekte. Das Filtersystem wird geeicht an dem Fundamentalstern Wega (α Lyrae). Andere photometrische Filtersysteme sind zumeist etwas schmalbandiger. Das Str¨omgrenSystem uvbyβ besitzt eine spektrale Aufl¨osung von R  10 . . . 20 f¨ur u, v, b und y, sowie  150 f¨ur β.

Optimal ist daher eine Erweiterung des EinEine Erweiterung des Photometers ist das PhoKanal-Photometers auf ein Mehrkanal-Photometer, das simultan Objekt, Vergleichsstern und Himmelshintergrund messen kann, so daß jeder einzelne Meßwert direkt kalibriert werden kann 4.0 Helligkeit mν [mag]

V

4.5

R

I

B

5.0 5.5

U

6.0 6.5 300

Abb. 79. Typisches Ein-Kanal-Photometer mit Nachf¨uhrungseinheit, Filtereinschub und Cryostat

400

500

600 700 Wellenlänge [nm]

800

900

Abb. 81. Breitbandfilter-System UBVRI und spektrale Energieverteilung eines k¨uhlen Sterns

30

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 83. Prinzip eines Spektrographen (Prismenspektrograph)

Abb. 82. Polarimeter mit rotierendem Verschluß

topolarimeter, das nach demselben Prinzip arbeitet, allerdings mit Aufteilung des Strahls in einen ordentlichen und einen außerordentlichen Strahl (Abb. 82). Polarimeter erfordern immer eine noch aufwendigere Kalibrierung, da die zu messenden Polarisationseffekte zumeist nur wenige Prozent des gesamten Lichts ausmachen. Dazu ist die Polarisation des Himmelshintergrunds sehr st¨orend. Das in Abb. 82 gezeigte Polarimeter benutzt daher einen schnell rotierenden Verschluß, um durch zwei gleiche Blenden abwechselnd Objekt- und Hintergrundphotonen durchzulassen. Die Installation eines Kalkspat-Prismas erzeugt zwei unterschiedlich polarisierte Bilder, denen jeweils beide Hintergrund-Komponenten u¨ berlagert sind. Damit wird der Einfluß der HintergrundPolarisation kompensiert.

2.4.2

Spektrographen

Das Prinzip des Spektrographen l¨aßt sich besonders einfach am Beispiel des Prismenspektrographen zeigen (Abb. 83). Durch einen Eintrittsspalt gelangt das (vom Telekopspiegel kommende) fokussierte Lichtb¨undel auf einen Kollimator. Das so kollimierte (parallel gemachte) Strahlenb¨undel durchsetzt ein dispergierendes Element (hier ein Prisma), in dem die spektrale Zerlegung stattfindet. Das austretende Licht wird durch eine Kamera auf den Detektor abgebildet, der damit ein spektral zerlegtes Bild des Eintrittsspalts aufnimmt (⇒ Spektrum).

F¨ur Spektren geringerer Aufl¨osung setzt man abbildende Spektrographen ein, so z.B. einen Objektivprismen-Spektrograph (Abb. 84). Objektivprismen-Spektrographen finden ihren Einsatz im parallelen Strahlengang eines SchmidtTeleskops. Dadurch wird jeder Stern im BildPolarimeter reagieren außerordentlich empfind- feld des Schmidtspiegels in ein spaltloses Speklich auf die allgegenw¨artige instrumentelle Polarisation insbesondere von Spiegeln jeder Art. Solange die benutzte Teleskop-Optik symmetrisch zur optischen Achse ist, kompensieren sich die Polarisationseffekte an der Spiegeloberfl¨ache weitgehend. Außerhalb von Prim¨ar- oder Cassegrain-Fokus sind Polarimeter daher praktisch nicht zu gebrauchen. Photometer werden generell f¨ur schwache Objekte benutzt. Simultan-Photometer kommen bei schnell variierenden astronomischen Quellen zur Anwendung. Wird eine h¨ohere Aufl¨osung oder Abb. 84. Objektivprismen-Spektrograph n¨otig, werden Spektrographen eingesetzt.

2.4

Instrumente

31

Abb. 85. Feldaufnahme eines Objektivprismen-Spektrographs Abb. 87. Aufbau des Spaltspektrographen

trum auseinandergezogen. Eine solche Aufnahdie Lineardispersion in der Brennfl¨ache der me zeigt Abb. 85. Nahezu alle wichtigen Surveys Spektrographen-Kamera ergibt sich aus der sowohl von Galaktischen als auch extragalakBrennweite der Kamera zu tischen Objekten wurden mit ObjektivprismenSpektrographen durchgef¨uhrt (Suche nach Quadφ dx =f . (32) saren, Halosternen). dλ dλ In den meisten Anwendungen ist jedoch das dispergierende Element ein Gitter. Dies besteht aus einem Glasblock, in dessen Oberfl¨ache in konstantem Abstand Furchen geritzt werden (Abb. 86). Ein typischer Gitterpektrograph wird in Abb. 87 vorgestellt. Je nach Austrittswinkel ergeben sich so zwischen benachbarten Strahlen bestimmte Phasendifferenzen, so daß die einzelnen Strahlen miteinander interferieren. Intensit¨atsmaxima der interferierenden Nachbarstrahlen ergeben sich so, wenn f¨ur den Gangunterschied benachbarter Strahlen gerade a(sin φ − sin φ0 ) = nλ

Das spektrale Aufl¨osungsverm¨ogen R = λ/∆λ wird durch den Abstand ∆λ definiert, in dem zwei benachbarte Spektrallinien gerade noch getrennt werden k¨onnen. Nach der Beugungstheorie gilt f¨ur ein Gitter mit Durchmesser D die maximale Winkelaufl¨osung ∆φ  λ/D

.

(33)

Mit dφ/dλ folgt daraus das spektrale Element ∆λ  a cos φ

(30) R

λ , nD

so daß

(34)

nD a cos φ

. (35) gilt, wobei n eine ganze Zahl ist, die Gitterordnung. Aus dieser Gittergleichung folgt die Win- F¨ur N = D/a (Anzahl der Gitterfurchen) und keldispersion des Gitters aus der Ableitung kleine Dispersionwinkel φ gilt dann dφ n = dλ a cos φ

,

(31)

R  nN

.

(36)

Gl. (35) zeigt die M¨oglichkeiten zur Erh¨ohung der spektralen Aufl¨osung: • Beobachtung in hoher spektraler Ordnung n • Vergr¨oßerung des Gitterdurchmessers D (beam) Abb. 86. Reflexion am Gitter

• Verringerung des Furchenabstands a, und

32

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

• Beobachtung bei großem Austrittswinkel φ, wobei die M¨oglichkeiten durch die Gittergleichung (30) und durch technologische Grenzen eingeschr¨ankt werden (a, D). Echelle-Gitter bieten eine relativ einfache M¨oglichkeit, die spektrale Aufl¨osung zu vergr¨oßern (Abb. 88). Hier sind die Furchen in Abb. 89. Echelle-Spektrum eines k¨uhlen Sterns sehr großen Blaze-Winkeln φB geritzt, so daß tan φB ≥ 2. Beobachtet wird daher (s. Gl.(30)) in 1. der direkte Lichtweg setzt sich aus wenisehr hoher Ordnung n; typisch ist n = 50 . . . 150. gen geraden Teilst¨ucken zusammen. Daher Zun¨achst liegen alle diese Ordnungen in sind h¨aufig viele Spiegel n¨otig (Ausnahme: Dispersionsrichtung u¨ bereinander, erst eine Nasmyth-Plattform), Zerlegung senkrecht zur Dispersionsrichtung 2. der direkte Lichtweg erf¨ullt die Bedingun(cross dispersion) erzeugt das zweidimensionale gen der geometrischen Optik; Lichtleiter Echelleformat (Abb. 89). zerstreuen ein Lichtb¨undel durch vielfache Kleinere Spektrographen sind meist im mitWandreflexion. bewegten Fokus montiert (fast immer im Cassegrain-Fokus). Der Vorteil besteht in der Mit konventionellen Spektrographen erreicht man direkten Lichteinkopplung ohne große Reflexispektrale Aufl¨osungsverm¨ogen von R = 1000 onsverluste. Allerdings sind auch die Nachteile (Cassegrain-Spektrographen f¨ur lichtschwache deutlich: Cassegrain-Spektrographen bedeuten Objekte) bis R = 100 000 (hochaufl¨osende ein großes, zus¨atzliches Gewicht am Teleskop, Echelle-Spektrographen). der Spektrograph ist lageabh¨angig und leidet unter Durchbiegung. Alternative ist die Entkopplung von Teleskop- 2.4.3 Interferometer Fokus und Spektrographenspalt durch Einf¨ugung eines Lichtleiters (Glasfaser-Kopplung). Dadurch F¨ur noch h¨ohere Aufl¨osungen benutzt man erreicht man eine station¨are Aufstellung des Interferometer. Im Gegensatz zu Interferometerdient ein InterferometerSpektrographen unter kontrollierten thermischen Teleskopen und mechanischen Bedingungen. Zwei wesentli- Spektrograph zur Vergr¨oßerung der spektrache Unterschiede bestehen zwischen dem direk- len Aufl¨osung. In der Astronomie werden haupts¨achlich zwei Typen eingesetzt. ten und dem fasergekoppelten Lichtweg, (A) Michelson-Interferometer

Abb. 88. Echelle-Gitter

Fourier Transform Spektrometer, wie sie von Michelson zuerst vorgeschlagen wurden, funktionieren nach dem Prinzip zweier getrennter, kollimierter Strahlen, deren verschiedene Wegl¨angen durch einen Strahlteiler erzeugt werden (Abb. 90). Der halbverspiegelte Strahlteiler reflektiert Strahl ”1” auf den station¨aren Spiegel und l¨aßt Strahl ”2” auf einen beweglichen Spiegel fallen. Im folgenden soll monochromatisches Licht betrachtet werden: seine Intensit¨at der am Ort des Detektors interferierenden Strahlen ”1” und ”2” ist eine Funktion der Phasendifferenz. Ist der

2.4

Instrumente

33 ist gleich dem maximalen Gangunterschied (also dem ”Hub” des beweglichen Spiegels), R = 4∆xmax /λ

.

(39)

˚ So ist z.B. f¨ur ∆xmax = 5 cm und λ = 5000 A: R = 400 000. (B) Fabry-P´erot-Interferometer Das Fabry-P´erot-Interferometer erlaubt eine hohe r¨aumliche und spektrale Aufl¨osung. Es wirkt wie ein Monochromator mit maximaler Intensit¨at bei Phasenverst¨arkung, mλ = 2nd cos θ

,

(40)

wobei m die Ordnung und n der Brechungsindex des Mediums zwischen den Etalons ist. Eine fl¨achenhaft ausgedehnte monochromatische Quelle erzeugt so ein System von hellen Ringen gleicher Neigung θ in meist hohen Ordnungen m. Abb. 90. Michelson-Interferometer Ist die Quelle monochrom aber inhomogen, so Wegunterschied ∆x = x1 − x2 und k = 2π/λ die muß das resultierende System von Ringen mit der Wellenzahl, dann ist der Phasenunterschied gera- Intensit¨atsverteilung der Quelle gefaltet werden. de 2k∆x. Der Bruchteil des am Detektor einfal- Das FPI erzeugt damit ein monochromes modulenden Lichts ist damit liertes Bild der ausgedehnten Quelle. Ein Spektrum erh¨alt man durch Variation des Brechungs1 (37) T (k, ∆x) = {1 + cos(2k∆x)} . index n = n(λ, P ). ⇒ Pressure scanning Fabry2 P´erot Interferometer. F¨ur ein Spektrum I(k) ist der entsprechende Strahlungsfluß am Ausgang

2.4.4 Kameras und Detektoren ˜ F = 2C I(k) T (k, ∆x)dk (38)

= C

I(k) cos(2k∆x)dk + const .

{F˜ (∆x) | 0 ≤ ∆x ≤ ∆xmax } ist ein Interferogramm, die Fourier-Transformierte des Spektrums I(k). Die spektrale Aufl¨osung des FTS

Die wichtigsten Gr¨oßen, welche die Eigenschaften von Detektoren beschreiben, sind

Empfindlichkeit (DQE)

Dynamischer Bereich

Spektraler Bereich

Linearit¨at und Dunkelstrom

Verf¨ugbare Fl¨ache

R¨aumliche oder Winkelaufl¨osung

Abb. 91. Fabry-P´erot-Interferometer

Der Vergleich der Detektoren der letzten 50 Jahre zeigt den großen Fortschritt, der seit dem Ende

34

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE wird durch

Detective Quantum Efficiency

1.000 CCD

0.100

Br− + hν → Br + e− e− + Ag+ → Ag

(41)

Photomultiplier

beschrieben. Die reduzierten Silberatome erzeugen ein latentes Bild; dadurch ergibt sich eine leichtere Reduktion von Ag+ Br− in der Umgebung (katalytische Beschleunigung) im Entwicklerbad.

Photographische Emulsion 0.010

Auge 0.001 200



400

600 Wavelength [nm]

800

1000

Abb. 92. Empfindlichkeit verschiedener Detektoren (QDE)

Der Entwicklungsprozeß ist außerordentlich komplex. Die Diffusion des latenten Bildes und die damit korrelierte inverse Diffusion des Entwicklers erzeugen starke Nachbarschaftseffekte. Zudem ist die Schw¨arzung D der Photoplatte eine nicht-lineare Funktion der Belichtung E = It. Die Genauigkeit der quantitativen Bestimmung der Intensit¨at eines astronomischen Bildes oder Spektrums ist daher entsprechend eingeschr¨ankt und erreicht auch unter besten Bedingungen selten ein S/N von 100.

der 70er Jahre mit dem Einsatz von CCDs (Charge Coupled Devices) die instrumentelle Astronomie bestimmt hat (Abb. 92). In fast allen Eigenschaften ist das CCD dem n¨achstbesten Detektor u¨ berlegen. Neuere Technologien haben die Detective Quantum Efficiency der CCDs bis nahe an die Grenze (DQE = 1) getrieben. Dennoch spielen auch die Photomultiplier und sogar die photographische Platte auch heute noch eine Rolle. (B) Bildwandler und Fernsehkameras Photographische Platten besitzen zwar eine geringe und dazu noch extrem nicht-lineare Beide arbeiten nach dem Prinzip des Photoeffekts Empfindlichkeit (< 1%), sie u¨ berdecken einen durch Herausschlagen von Prim¨arelektronen aus relativ kleinen Spektralbereich ( 100 nm), einer halb-transparenten Photokathode (Abb. 93). besitzen aber eine konkurrenzlos große Fl¨ache. Im Bildwandler wird der Elektronenstrahl durch Photomultiplier und TV-Kameras haben eine ge- ein elektromagnetisches Feld auf einen nachringere Empfindlichkeit als die CCDs (< 10%), leuchtenden Phosphor-Bildschirm fokussiert. An erreichen aber eine hohe Zeitaufl¨osung durch den Bildschirm wird dann eine Photoplatte anPhotonenz¨ahlung. (A) Photographische Emulsionen Photoplatten werden wegen ihres Gr¨oßenvorteils auch heute noch an Schmidt-Teleskopen eingesetzt, auch wenn ihre Zeit an allen anderen Teleskopen definitiv vorbei ist. Sie sind m¨aßig effiziente fl¨achenhafte Massenspeicher, bestehend aus • Tr¨ager (Glasplatte oder Film), • lichtempfindlicher Schicht (Silberhalide in Gelatine-Emulsion), • Schutzschicht Die photochemische Reaktion, die durch den Ein- Abb. 93. Wirkungsprinzip von Bildwandler und fall eines Photons der Frequenz ν ausgel¨ost wird, TV-Kamera

2.4

Instrumente

gepreßt, die durch den Phosphor belichtet wird. Ein a¨ hnliches Prinzip gilt f¨ur elektronographische Kameras. Dort befindet sich der Film (z.B. eine Kernspuremulsion) in einem HochvakuumBeh¨alter, in dem der Elektronenstrahl elektrostatisch fokussiert wird. Bei Fernsehkameras werden durch das astronomische Objektbild in der Fokalebene des Teleskops ebenfalls aus einer Kathode Elektronen emittiert, die durch ein direkt davor liegendes Gitter abgesaugt werden. Dadurch verbleibt auf der Kathode kurzzeitig ein positives Ladungsbild. Das Ladungsbild wird durch einen Elektronen-Rasterstrahl abgetastet und ausgelesen. ⇒ positive Stellen nehmen ein e− auf, neutrale reflektieren den Strahl. Reflektierte Elektronen werden am Ladungsdetektor verst¨arkt und u¨ ber A/D-Wandler gez¨ahlt. (C) CCDs Seit 20 Jahren ist das CCD der wichtigste Detektor der optischen Astronomie. CCDs sind Halbleiter-Detektoren aus n-p-dotierten Siliziumschichten, an denen ein Netz von Mikroelektroden angebracht ist (Abb. 94). Dieser Dotierung entspricht eine Potentialtopf-Struktur. Durch den Photoeffekt werden freie Elektronen in diesen Potentialt¨opfen aufgefangen. Der Ausleseprozeß erfolgt durch eine getaktete ¨ Anderung der lokalen Potentiale. Damit werden

35 die Ladungen in benachbarte Potentialt¨opfe verschoben und k¨onnen am Rand ausgelesen, danach verst¨arkt und durch einen A/D-Wandler digitalisiert werden. An der Bew¨altigung der dabei auftretenden technischen Probleme wird intensiv geforscht. • Alle ladungsgesteuerten Detektoren m¨ussen gek¨uhlt werden, da sonst ein zu starkes thermische Rauschen vorherrscht. Typische K¨uhltemperaturen f¨ur einen Einsatz in der quantitativen Spektroskopie und bei Feldaufnahmen liegen bei 140 . . . 160 K. Bei geringerer K¨uhlung geht die relative Empfindlichkeit verloren, so daß nur hellere Objekte wahrgenommen werden k¨onnen (Einsatz als TV-Kamera) • Das astronomische Signal wird neben dem thermischen auch durch das Ausleserauschen der Analogverst¨arker beeintr¨achtigt. Allerdings sind auf diesem Gebiet erhebliche Fortschritte gemacht worden, so daß das Ausleserauschen heute praktisch vernachl¨assigbar geworden ist • Die Dotierung der Detektoren ist nicht fehlerfrei. So finden sich auch bei bester Auslese auf den CCDs immer wieder einzelne Defektpixel, oder sogar insgesamt defekte Spalten. In diesen Pixeln sind die Detektoren dauerhaft zerst¨ort • Astronomische Bilder (auch Spektren) werden durch hochenergetische Ereignisse insbesondere w¨ahrend l¨angerer Belichtungen durch lokale u¨ bergroße Ladungen verf¨alscht. Solche Ladungen entstehen zum Teil durch kosmische Strahlung, zum gr¨oßeren Teil wahrscheinlich durch nat¨urliche Radioaktivit¨at der in den Instrumenten verwendeten Glassorten. Solche hot pixels lassen sich nur durch redundante Beobachtungsstrategien kompensieren.

Abb. 94. Charge Coupled Devices (CCD)

• Besonders im langwelligen Bereich (> 650 nm) wirkt ein lichtdurchl¨assiger Si-Chip wie ein D¨unnschicht-Interferometer und erzeugt manchmal sehr starke ring¨ahnliche Helligkeitsvariationen, die nur durch sorgf¨altige

36

2 BEOBACHTUNGEN UND INSTRUMENTE

Abb. 95. Flatfield-Belichtung eines großen CCDs (2080 × 2048 Pixel). Der Ausleseprozeß wird simultan u¨ ber vier verschiedene Verst¨arker durchgef¨uhrt

Kalibrierung mit Flatfield-Belichtungen entfernt werden k¨onnen • Die u¨ ber den 2-dimensionalen Bereich des Detektors variierende Empfindlichkeit (auch einzelner, benachbarter Pixel) erfordert in jedem Fall eine Kalibrierung durch eine Flatfield-Belichtung. Die Flatfield-Problematik ist deutlich in Abb. 95 zu erkennen. Neben der deutlichen Vierteilung der Fl¨ache sieht man Interferenzerscheinungen auf verschiedenen Gr¨oßenskalen. Die Standardabweichung des Flatfields betr¨agt lokal σ ∼ 1.1%. Da es sich um eine sehr lange Belichtungszeit handelt, beschreibt σ ausschließlich die tats¨achliche Variation der Pixelempfindlichkeit. Ohne eine entsprechende Flatfield-Korrektur der Objektaufnahme w¨urde diese nicht nur deutliche St¨orungen durch Interferenzen zeigen; zus¨atzlich w¨urde keines der am Objekt gemessenen Signale ein S/N > 100 ergeben, was besonders f¨ur spektroskopische Untersuchungen indiskutabel w¨are.

3.1

Grundbegriffe

3

Strahlung

37

In der Astrophysik wird bei h¨aufig etwas nachl¨assiger Definition die Abh¨angigkeit der Strahlungsfeldgr¨oßen von Ort, Richtung, Zeit, Frequenz usw. zumeist durch entsprechende Indizes beschrieben. Gelegentlich werden einzelne dieser Indizes auch weggelassen, wenn sie f¨ur das entsprechende Problem nicht wichtig sind. Generell beschreibt also z.B. Iθ,λ := I(θ, λ)) die Abb. 97. Invarianz der Intensit¨at Abh¨angigkeit von Richtung und Wellenl¨ange.

3.1

in einen Raumwinkel dω abgestrahlte Energie dEν im Frequenzbereich (ν, ν + dν) gerade Iν (r, θ, φ, t) beschreibt (Abb. 96),

Grundbegriffe

Die Intensit¨at I ist definiert u¨ ber die Ausbreitung einer Wellenfront des elektromagnetischen Feldes. In isotropen Nichtleitern (also f¨ur fast alle Probleme der Astrophysik) sind die Feldvektoren E und H Funktionen der Translation u = rs + ct. Die L¨osung der Maxwellschen Gleichungen zeigt, daß E · H = 0 ist und der Ausbreitungsvektor s senkrecht zu jeder der beiden √ Kom√ ponenten ist. Weiterhin gilt µ |H| = ε |E|, so daß die Energiedichte ε 2 W = E 4π

(42)

ist. Die Intensit¨at ist der Betrag des PoyntingVektors c (43) S = √ Ws , µε

dEν = Iν (r, θ, φ, t)dν cos θdσdωdt .

(44)

Die Dimension der Intensit¨at ist damit [erg cm−2 s−1 Hz−1 sterad−1 ]. Die Intensit¨at ist richtungsabh¨angig, falls das Strahlungsfeld anisotrop ist. Sofern zwischen Strahlungsquelle und Empf¨anger keine Absorption vorhanden ist, ist die Intensit¨at im Euklidischen Raum entfernungsunabh¨angig (Abb. 97). dEν dEν
dω dω
Iν

= = = = =

Iν dν cos θdσdωdt Iν
dν
cos θ
dσ
dω
dt r−2 cos θ
dσ
r−2 cos θdσ , und damit Iν
(falls dν = dν
)

(45)

Die Intensit¨at ist damit eine quellenspezifische so daß die pro Zeiteinheit dt durch ein Fl¨achen- Gr¨oße, die keinen Transporteigenschaften unterelement dσ am Ort r in Richtung s = (θ, φ) liegt. Allerdings gilt dies nur f¨ur den Euklidischen Raum; in nicht-Euklidischen R¨aumen verschwindet die Invarianz der Intensit¨at (s. Abschn. 3.4.4). Die Strahlungsflußdichte (Strahlungsstrom) Fν ist die insgesamt durch das Fl¨achenelement innerhalb eines Raumwinkels Ω = 4π transportierte spezifische Energie pro Zeiteinheit, definiert durch

πFν =

4π

Iν (θ, φ) cos θdω

2π

=

dφ 0

(46)

π 0

Iν (θ, φ) cos θ sin θdθ

Zerlegt in die beiden Hemisph¨aren des Fl¨achenelements ist Abb. 96. Zur Definition der Intensit¨at

πFν = πFν+ − πFν−

(47)

38

3 STRAHLUNG

2π

=

π/2

dφ 0

−

2π

0

Iν (θ, φ) cos θ sin θdθ

π/2

dφ 0

π

Iν (θ, φ) cos θ sin θdθ

∼ r−2 ab. Der auf der Erde (aber außerhalb der Atmosph¨are) beobachtete Strahlungsstrom fν h¨angt damit ab von

• πFν+ , dem Strahlungsstrom an der SternπFν gibt daher den Netto-Strahlungsstrom an, der oberfl¨ache, durch das Fl¨achelement dσ transportiert wird, die Differenz zwischen der Abstrahlung in den vor• dem Sternradius R, und deren Halbraum und der R¨uckstrahlung in den • der Entfernung r des Sterns . hinteren Halbraum. Damit ist die Dimension des Strahlungsstroms (h¨aufig auch zur Vereinfachung Es ist wichtig, sich klarzumachen, daß SternscheiStrahlungsfluß genannt) [erg cm−2 s−1 Hz−1 ]. ben sich (mit konventionellen Instrumenten) nicht r¨aumlich aufl¨osen lassen, da das Verh¨altnis R/r 3.1.1 Strahlungsstrom zu klein ist. Daher ist die Intensit¨at Iν bei Sternen im allgemeinen nicht beobachtbar (Ausname Ist definiert als Summe aller Beitr¨age zum Strah- ist die Sonne); stattdessen ist die beobachtbare lungsstrom aller dem Beobachter zugewandten Gr¨oße der Strahlungsstrom fν . Oberfl¨achenelemente des Sterns, wie er außerhalb der Erdatmosph¨are beobachtet wird (Abb. 98). Die bislang abgeleiteten Strahlungsfeldgr¨oßen Iν Wegen R  r sind alle Strahlen am Teleskop und Fν beschreiben das elektromagnetische Feld parallel. Das Oberfl¨achenelement des Sterns ist in einem Energieintervall (ν , ν + dν). Jedes dσ = R2 sin θdθdφ, und der in Richtung Beob- Sternoberfl¨achenelement dσ strahlt daher in dieachter oder Teleskop (dω = dσ
/r2 ) abgestrahlte sem Intervall pro Zeiteinheit+ in den Halbraum 0 ≤ θ ≤ π/2 die Energie πFν ab. Die insgesamt Energiebetrag ist nach Gl. (44) abgestrahlte Energieflußdichte ist damit

∞ (48) Iν (θ, φ) cos θR2 sin θdθdφdω . πF + = πFν+ dν . (51) 0 Der Beitrag aller Oberfl¨achenelemente ist dann Interessant ist der Vergleich mit thermischer 2

2π

π/2 R Strahlung bei Betrachtung eines Photonengadφ Iν cos θ sin θdθ dσ
, (49) ses im thermodynamischen Gleichgewicht (TE). r 0 0 F¨ur die Verteilung der Photonenenergien hν so daß der oberhalb der Erdatmosph¨are empfan- ist die Quantenstatistik nach Bose-Einstein gene Strahlungsstrom gerade zust¨andig, ausgedr¨uckt durch die Kirchhoff 2 Planck-Funktion R  −1 fν = πFν+ (50) r 2hν 3 hν −1 exp . (52) Bν (T ) = 2 c kT ist. Im Gegensatz zur Intensit¨at ist also der Strahlungsstrom keine Ortsinvariante, sondern nimmt Im TE ist die Strahlung isotrop und es gilt Iν (θ, φ) = Bν (T ). Integration der Planck-Funktion ergibt das Stefan-Boltzmann-Gesetz, B(T ) =

∞ 0

Bν (T )dν =

σB 4 T π

.

(53)

In Anlogie zur thermisch emittierten Strahlung B ordnet man der nicht notwendigerweise thermischen Strahlungsfeldgr¨oße F + per Definition eine Effektivtemperatur Teff zu, so daß mit den Gl. (51) und (53) Abb. 98. Strahlungsstrom eines Sterns, beobachtet außerhalb der Erdatmosph¨are

4 πF + = σB Teff

.

(54)

3.2 AstronomischeHelligkeitssysteme

39

Dabei ist σB = 5.67 10−5 erg cm−2 s−1 K−4 die Plancksche Strahlungskonstante und k = 1.3806 10−16 erg K−1 die Boltzmannkonstante. Die Interpretation dieser Definition ist nicht immer offensichtlich. Ein Stern befindet sich normalerweise nicht im TE. Damit ist auch Iν = Bν (T ); außerdem ist T = const. Teff ist dann eine mittlere Temperatur in der Sternatmosph¨are. In Analogie zum Stefan-Boltzmann-Gesetz ist Teff ein Maß f¨ur die vom Stern abgestrahlte Energie. Abb. 99. Gebr¨auchliche Breitbandfilter im erweiterten Johnson-System

3.1.2

Leuchtkraft

∆m = 1 mag entspricht also dem HelligkeitsIntegriert man die pro Fl¨acheneinheit abgestrahlte unterschied einer Gr¨oßenklasse. Umgekehrt ist Energie u¨ ber die gesamte Sternoberfl¨ache, erh¨alt f2 /f1 = 10−0.4(m2 −m1 ) , und 2.5 mag entsprechen man die Leuchtkraft zwei um einen Faktor 10 unterschiedlichen Strahlungsfl¨ussen. 4 = 4πR2 πF + . (55) L = 4πR2 σB Teff Man unterscheidet zwischen scheinbarer bolomeFast immer wird die stellare Leuchtkraft in Ein- trischer Helligkeit mbol und scheinbarer Helligheiten der Sonnenleuchtkraft, L , angegeben, keit in einem Filterbereich x,

∞ wobei 33 −1 = −2.5 log fν dν (59) m bol . (56) L = 3.82 10 erg s L, R, und Teff sind die wichtigsten Parameter der Stellarastronomie. Alle bislang beschreibenen Strahlungsfeldgr¨oßen wurden bislang traditionsgem¨aß auf Frequenzeinheiten bezogen. In der Astronomie wird eher die Wellenl¨ange als Referenz benutzt. Bei Umrechnung energie-spezifischer Gr¨oßen ist zu beachten, daß wegen λ = c/ν gilt Iν dν = −Iλ dλ und νIν = λIλ

.

mx = −2.5 log

0∞ 0

fν sx (ν)dν

mit fν , dem Strahlungsfluß des Sterns außerhalb der Erdatmosph¨are (s.Gl. 50) und der Filterfunktion sx (ν), die den Durchl¨assigkeitsbereich der Meßanordnung beschreibt.

Es gibt mehrere wichtige Filtersysteme (vgl. Abschn. 2.4). Das a¨ lteste und erfolgreichste ist das (erweiterte) UBV-System, mit sehr breitbandigen (57) Filtern (FWHM ∼ 100 nm) im nahen UV (U), im blauen (B) und im visuellen Spektralbereich (V).

3.2 AstronomischeHelligkeitssysteme Die Erweiterung betrifft die Filter R, I, J, K und In der gesamten Astronomie sind aus naheliegenden Gr¨unden logarithmische Helligkeitssysteme gebr¨auchlich, die alle das Intervall einer Magnitude (Gr¨oßenklasse) benutzen. Die so definierte Gr¨oßenklasse richtete sich urspr¨unglich nach dem Weber-Fechnerschen Gesetz der physiologischen Optik.

L im nahen Infrarot. Der Zweck des MehrfarbenSystems wird deutlich, wenn man den Verlauf fλ des Strahlungsflusses eines sonnen¨ahnlichen Sterns betrachtet (Abb. 99). Jedes der Filter schneidet ein Teil des Spektrums mit der entsprechenden Amplitude aus. ⇒ Die relativen Werte der spektral gemessenen Helligkeiten mU , mB , mV , mR und mI (zumeist kurz als U, B, V, R, I bezeichnet) beschreiben so den gesamten Verlauf von fλ .

Die Definition der scheinbaren Helligkeit m beruht auf dem Vergleich zweier Strahlungsfl¨usse. Die visuelle Helligkeit V eines Sterns beschreibt F¨ur zwei Sterne ist so damit nicht seine Leuchtkraft oder seinen bo(58) lometrischen Strahlungsfluß f , sondern nur eim2 − m1 = −2.5 log(f2 /f1 ) .

40

3 STRAHLUNG

ne spektrale Komponente im Bereich 500 . . . 650 Farben, die aus den breitbandigen Helligkeiten nm. Die Filterfunktionen sx (λ) enthalten zus¨atz- zusammengesetzt werden. So sind die Farbindilich zu den in Abb. 99 gezeigten Empfindlichkei- zes U-B und B-V definiert durch ten noch die response-Funktionen von Teleskop (60) U − B = mU − mB und und Detektor, sowie die spektrale Extinktion der Erdatmosph¨are. B − V = mB − mV . Da nach Definition (Gl. 58) der Wert der Helligkeit f¨ur hellere Sterne kleiner ist, erh¨alt man z.B. mit abnehmendem Teff immer gr¨oßere Werte f¨ur B–V. Farbindizes wie U–B oder B–V k¨onnen daher benutzt werden, um Sterntemperaturen abzusch¨atzen. 40000

Teff 20000

10000

α Lyr 5000 3000 0.0

0.5 B−V

1.0

1.5

Abb. 101. Effektivtemperatur Teff und Farbindex B–V

Farbsysteme m¨ussen immer an Standardsternen kalibriert werden. Prim¨arer Standard f¨ur UBVRI ist nicht die Sonne, sondern der A0 V-Stern Wega (= α Lyr). F¨ur diesen Stern werden alle scheinbaren Helligkeiten zu Null gesetzt, U = B = V = R = I = 0, und damit auch U–B = B–V = V–R = R–I = . . . = 0. Abb. 101 zeigt den Verlauf von Teff mit B–V f¨ur unentwickelte (junge) Sterne. 3.2.1

Interstellare Verf¨arbung

Abb. 100. Energieverteilung von Sternen verschiedener Spektraltypen. Farbbalken deuten die U-, B- und V-Filter Beobachtete Farbindizes werden – je nach Veran

Die N¨utzlichkeit des UBVRI-Helligkeitssystems l¨aßt sich am besten an Sternen verschiedener Spektraltypen (Teff ) demonstrieren (Abb. 100). Von B0 V- bis zu K5 5-Sternen a¨ ndert sich die Effektivtemperatur von Teff  30 000 bis 3 500 K. Entsprechend a¨ ndert sich die spektrale Energieverteilung (der Strahlungsfluß Fλ ). Zur Identifikation der Spektraltypen benutzt man

lauf der Sehlinie – mehr oder weniger durch die interstellare Verf¨arbung und Extinktion beeinflußt. Daran ist insbesondere Staub beteiligt, der sich zwischen Objekt und Beobachter befindet. Staub absorbiert energiereiche (blaue) Photonen. Wird diese Energie reemittiert, dann geschieht dies zum Teil isotrop (Streuprozeß). Außerdem wird die Strahlung bei einer anderen Temperatur emittiert, n¨amlich der des Staubes. Die Staubtemperatur TStaub liegt bei nur  100 K. ⇒ Urspr¨ung-

3.2 AstronomischeHelligkeitssysteme

41

lich stellare (blaue) Photonen werden ger¨otet und aus der Richtung gestreut. Dieser Verf¨arbungsprozeß bewirkt eine Schw¨achung der scheinbaren Sternhelligkeit ∆mλ = Aλ ∼ λ−1

.

(61)

Man beschreibt die Verf¨arbung durch einen Farbexzeß E,

3 BC

2

1 Sonne

0

EB−V ≡ (B−V)obs −(B−V)0 = AB −AV , (62)

B0

A0

F0

G0

K0

M0

wobei (B–V)0 die Eigenfarbe des Objekts ist. Die Abb. 103. Bolometrische Korrektur Beobachtung des interstellaren Mediums ergibt einen empirischen Zusammenhang zwischen ExUm den Gesamtstrahlungsfluß der Sterne miteintinktion (Absorption) und Verf¨arbung, ander vergleichen zu k¨onnen, muß also f¨ur je(63) den Spektraltyp eine bolometrische Korrektur BC AV  (3.0 ± 0.2) EB−V . durchgef¨uhrt werden, so daß AV ist im wesentlichen eine Funktion der Entfernung. Kennt man diese, so kann eine gen¨aher(64) mbol = mV − BC . te Verf¨arbungskorrektur der beobachteten Farben durchgef¨uhrt werden. Da bolometrische Strahlungsfl¨usse schwer zu 3.2.2

Bolometrische Korrektur

messen sind, sind die Werte f¨ur BC insbesondere f¨ur O-, B- oder M-Sterne unsicher (Abb. 103). Da sich die Korrektur auf scheinbare Helligkeiten bezieht, kann der Nullpunkt wieder willk¨urlich gew¨ahlt werden. Im Unterschied zur Eichung der Helligkeiten werden hier etwas k¨uhlere Sterne (und nicht Wega) als Referenz gew¨ahlt, wodurch die Korrektur f¨ur F0-Sterne verschwindet. Damit gilt (65) mbol, = V − 0.13 .

Zwischen scheinbarer visueller Helligkeit V und der bolometrischen Helligkeit mbol besteht eine Differenz, die als bolometrische Korrektur bezeichnet wird. Die Notwendigkeit einer solchen Korrektur wird in Abb. 102 verdeutlicht. Sehr heiße oder sehr k¨uhle Sterne strahlen vornehmlich in Frequenzbereichen, die vom V-Filter nur marginal u¨ berdeckt werden. Nur f¨ur Sterne im solaren Temperaturbereich (∼ 6000 K) registriert das V- O5-Sterne oder M5-Sterne liegen danach mit Filter das Maximum der stellaren Energievertei- mehr als 90% ihres Strahlungsflusses außerhalb des V-Filters. Prinzipiell m¨ußte die bolometrilung. sche Korrektur im fernen UV und IR beobachtet werden. Dies ist allerdings wegen der terrestrischen Extinktion und wegen der interstellaren Verf¨arbung praktisch unm¨oglich. Stattdessen leitet man die Korrekturen aus Modellen f¨ur Sternatmosph¨aren ab. 3.2.3

Absolute Helligkeiten

Wie in Gl. 50 beschrieben, h¨angt der auf der Erde beobachtete Strahlungsfluß von der Entfernung des astronomischen Objekts ab. Mit der EntferAbb. 102. Zusammenhang zwischen bolometrischer und nung d gilt fλ ∝ d−2 . Die grundlegende MethoV-Helligkeit de der Entfernungsbestimmung ist die Triangula-

42

3 STRAHLUNG

Abb. 104. Definition der Parallaxe

tion der j¨ahrlichen Parallaxe p (Abb. 104). Naturgem¨aß ist sie auf nahe Sterne beschr¨ankt. Dabei liefert die trigonometrische Parallaxe die Definition der astronomischen Entfernungsskala d [pc] = 1/p [arcsec] , 1 pc = 206 265 AE = 3.086 1018 cm

(66)

Die beobachtete, scheinbare Helligkeit eines Sterns h¨angt von seiner absoluten Helligkeit M und von seiner Entfernung d ab. M wird dabei ebenfalls auf einer Magnitudenskala bewertet. ¨ ange Bis auf eine noch zu bestimmende Konstante be- Abb. 105. Energie-Eigenwerte und Uberg¨ schreibt M die vom Stern pro Zeiteinheit abgegebene Energie. Aus historischen Gr¨unden definiert man M = scheinbare Helligkeit in Entfernung 10 3.3 Atomphysik pc, so daß Astronomische Objekte sind halboffene Systeme ∆m ≡ m − M (67) und ihr Strahlungsfeld entspricht nicht dem ther= 5 log(d/10) modynamischen Gleichgewicht (s. Abschn. 3.1). Die spektrale Energieverteilung ihrer Strahlung = −5(1 + log p) . h¨angt daher von der Wechselwirkung zwischen Damit sind absolute Helligkeiten unabh¨angig von Strahlungsfeld und Materie ab. Emission und Abder Entfernung, sorption von Photonen durch Atome, Molek¨ule oder Festk¨orper werden durch atomare ElemenM = −2.5 log L + const . (68) tarprozesse beschrieben. Entfernungsmodule ∆m sind in Tab. 3 angege- Die Atomphysik beschreibt atomare Systeme durch ein diskretes Energie-Eigenwertspektrum ben. f¨ur gebundene Elektronen (Ee < 0) und durch ein kontinuierliches Eigenwertspektrum f¨ur freie Tab. 3. Entfernungsmodul und Parallaxen Elektronen (Ee = m2 v 2 > 0) (Abb. 105). Zwi∆m –5 0 +5 +10 . . . +25 ¨ schen den Energien finden Uberg¨ ange durch Abd [pc] 1 10 100 1000 . . . 1 Mpc sorption und Emission eines Photons der Energie 1 0.1 0.01 0.001 . . . 10−6 p[

] hν = |En − Em | statt (Abb. 106).

3.3

Atomphysik

43

Abb. 107. Linien¨uberg¨ange im Wasserstoffatom

Abb. 106. Absorptions- und Emissionsprozesse

Als einfachstes Beispiel des atomaren Aufbaus gilt Wasserstoff, das mit Abstand h¨aufigste Element. Seine Energiezust¨ande werden durch 4 Quantenzahlen beschrieben, n = 1, 2, 3, . . . (Hauptquantenzahl l = 0, . . . , n − 1 (Bahndrehimpuls-Quantenzahl) ml = −l, . . . , l − 1, l (z-Komponente von l) s = ±1/2 (Elektronenspin) Neutraler Wasserstoff besteht aus einem zentralen Proton und einem Leuchtelektron, mit jeweils entgegengesetzter Elementarladung. Wasserstoff ist also ein Einelektronensystem mit exaktem Coulomb-Potential (Zentralfeld). ⇒ hieraus folgt eine Entartung der Energiezust¨ande, die Energie-Eigenwerte h¨angen nur von n ab. Alle Zust¨ande mit verschiedenem l, ml und s haben die gleiche Energie En . Jedes Energieniveau des Wasserstoffs besteht daher aus 2

n−1 

(2l + 1) = 2n2

l=0

entarteten Energiezust¨anden.

¨ F¨ur Uberg¨ ange des Wasserstoffs von n
= 2 nach n (Balmer-Linien, n = 3: Hα, n = 4: Hβ . . . ) erh¨alt man so die Frequenzen hν2n

e2 = 2a0



1 1 − 2 4 n

,

(71)

wobei e die Elementarladung ist und a0 = 0.529 ˚ der Bohrsche Atomradius. A Das Termschema des Wasserstoffs (Abb. 107) zeigt die Linienserien mit den jeweiligen Seriengrenzen. Insbesondere die Balmerlinien sind von u¨ berragender diagnostischer Bedeutung. Bei Ann¨aherung der Terme an das Kontinuum (n → ∞) werden die Energieabst¨ande immer geringer und die Wellenl¨angen der hochangeregten Linien immer langwelliger. Diese Linien sind im Radiofrequenzbereich beob¨ achtbar, z.B. als Uberg¨ ange

H166α : n = 167 → 166 (1425 MHz), oder (69) H166β : n = 168 → 166 etc. Solche Emissionslinien entstehen nur im interstellaren Medium.

Energie-Eigenwerte wasserstoff-¨ahnlicher Ionen (H, He+ , Li2+ ,. . . ) mit Kernladungszahl z sind Je nach Anzahl der H¨ullen- oder Leuchtelektronen ist der Aufbau der Ionen komplizierter gegeben durch als der des Wasserstoffs. Qualitativ unterscheidet 2 2 man Einelektronen-Systeme (mit nur 1 H¨ullenez . (70) En = − elektron außerhalb einer abgeschlossenen Schale) 2a0 n2

44

3 STRAHLUNG dienen zur Abschirmung des Kern-CoulombPotentials (Abb. 108). Das Leuchtelektron bewegt sich im Potential V (r) = Vnucl (r) − Vscreen (r) = VH (r) + Vdist (r) ,

Abb. 108. Abschirmung des Kern-Coulomb-Potentials

(72)

so daß f¨ur große Kernabst¨ande (große n) wasserstoff¨ahnliche Potentiale herrschen (Vdist (r) → 0). F¨ur kleinere Bahnabst¨ande ist wegen Vdist (r) die Entartung aufgehoben. Dies wird am Termschema der Einelektronen-Systeme deutlich (Abb. 109). Bei st¨arkerem Zentralfeld (He+ , Be+ , Mg+ ) wird das Spektrum noch wasserstoff¨ahnlicher

von Mehrelektronensystemen. Zu jedem stabilen Kern existiert gerade eine von allen anderen Ato3.3.2 men verschiedene Elektronenkonfiguration.

Mehrelektronen-Systeme

Schwieriger ist die Beschreibung von Atomen oder Ionen mit mehr als einem Elektron in der 3.3.1 Einelektronen-Systeme a¨ ußeren Schale (z.B. He, Be, Mg, Ca). Hier kopHierzu z¨ahlen die Alkali-Metalle Li, Na, und K. peln die Drehimpulse der a¨ ußeren H¨ullenelektroIhre Atomh¨ulle besteht aus voll besetzten Elektro- nen vektoriell. Dann sind nenschalen mit 2(n0 − 1)2 Elektronen und zus¨atzl1 , l2 : Bahndrehimpuls-Operatoren mit lich einem Leuchtelektron (in der n¨achst¨außel zugeh¨orige Quantenzahlen ren Schale). n0 ist dabei die Hauptquantenzahl 1 , l2 : des Grundzustands (die niedrigste Energie). Die atomphysikalische Beschreibung benutzt im ein- und f¨ur die Gesamtdrehimpulse L = l1 + l2 gilt fachsten Fall die Leuchtelektron-N¨aherung. Da- dann (73) |l1 − l2 | ≤ L ≤ |l1 + l2 | . bei wird keine Vielteilchen-Behandlung durchgef¨uhrt; die Elektronen der inneren Schale(n) Hinzu kommt nun die Kopplung der Elektronenspins. Hier gibt es zwei extreme Kopplungsmechanismen (1) LS-Kopplung (Russell-Saunders-Kopplung) In diesem Fall ist die Spin-Bahn-WW  Coulomb-WW, so daß  i

li = L ,



si = S ,

J = L + S ; (74)

i

Bahndrehimpulse und Spins koppeln zun¨achst getrennt (2) jj-Kopplung Hier ist die Spin-Bahn-WW  Coulomb-WW, und damit ji = li + si ,

J=



ji ;

(75)

i

Abb. 109. Aufhebung der Entartung in Einelektronensyste- f¨ur jedes H¨ullenelektron koppeln zun¨achst Bahnmen drehimpuls und Spin.

3.3

Atomphysik

45

Die LS-Kopplung ist f¨ur viele einfache Systeme eine brauchbare Approximation. Die Nomenklatur der LS-Kopplung besteht aus den folgenden Parametern: (a) Konfiguration Besteht aus der Angabe von Haupt- und Bahndrehimpuls-Quantenzahl f¨ur jedes Elektron aller Schalen. Ein Beispiel liefert der (relativ einfache) Aufbau des Heliums je 1 Elektron mit n = 1, l = 0 n = 2, l = 1

Der Zustand wird vollst¨andig bestimmt durch [L, S, J, MJ ]. (e) Parit¨at Zuletzt unterscheiden sich die Zust¨ande durch ihre Parit¨at. Diese wird als gerade (even) be zeichnet, wenn i li eine gerade Zahl ist, oder als  ungerade (odd), wenn i li ungerade ist. So kann es z.B. die Beschreibung eines Energieniveaus durch 2 D3/2 und durch 2 Do3/2 geben.



1s 2p

3.3.3

Auswahlregeln und Termschemata



Die Quantenmechanik gibt f¨ur die RussellSaunders-Kopplung Auswahlregeln f¨ur ”erlaub¨ te” Linien¨uberg¨ange an, welche Ubergangswahr2 2 Elektronen mit n = 1, l = 0 1s scheinlichkeiten von der Gr¨oßenordnung Aik  8 −1 Der Aufbau des Calcium-Grundzustands ist ent- 10 s besitzen, sprechend, 1. muß jeweils ein even und ein odd Term be4s2 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 teiligt sein, K− L− M− Schale 2. muß ∆L = 0, ±1 sein und ∆J = 0, ±1, und mit insgesamt 20 Elektronen in 4 Schalen. ¨ 3. sind nur Uberg¨ ange mit ∆S = 0 erlaubt (b) Term je 1 Elektron mit n = 1, l = 0 n = 3, l = 2

1s 3d

Bezeichnet ein Wertepaar L, S bei vorgegebener Konfiguration, wobei L die Quantenzahl   von li und S diejenige von si ist. Analog zur Bezeichnung der Einelektronensysteme (s. Abb. 109) gelten hier f¨ur L = 0, 1, 2, 3, . . . die Bezeichnungen S, P, D, F, . . ., wobei wieder |L − S| ≤ J ≤ |L + S| ist. Damit gibt es bei festem L insgesamt r = 2S + 1 M¨oglichkeiten, den Gesamtdrehimpuls zu koppeln. (c) Multiplizit¨at Die unter (b) beschriebenen r = 2S + 1 Kopplungsm¨oglichkeiten f¨ur L werden durch die Multiplizit¨at des Systems benannt. Hier gilt r= 1 2 3 4 Singlett Dublett Triplett Quartett und die Termbezeichnung 2 D (r = 2 hochgestellt) bedeutet L = 2, S = 1/2. (d) Energieniveau Das einzelne Energieniveau eines Terms wird bestimmt durch die vektorielle Addition von L und S. Der oben beschriebene Zustand 2 D3/2 bezieht sich auf L = 2 (daher ”D”), J = 3/2 und damit S = 1/2. Die Entartung eines Niveaus ist (2J+1)-fach, wobei −J ≤ MJ ≤ +J ist.

Ist eine der 3 Auswahlregeln verletzt, so sind ¨ ”verbotene” Uberg¨ ange betroffen, mit Aik  −8 −1 10 . . . 1 s . Allerdings gelten diese Regeln nicht mehr streng in Vielelektronen-Systemen (wie z.B. Cr, Fe), da die LS-Kopplung dort keine strenge G¨ultigkeit mehr besitzt. Eine syste¨ matische Anordnung der Ubergangsschemata ist in Tab. 4 zu finden. So enth¨alt ein Quartett FTerm die Energieniveaus 4 F3/2 4 F5/2 4 F7/2 4 F9/2 . Ob es sich um gerade oder ungerade Niveaus

¨ Tab. 4. Ubersicht m¨oglicher Energieniveaus

S=

0

1 2

1

3 2

r=

1

2

3

4

Singlett

Dublett

L

Triplett Quartett

↓ 0

S

J =0

J=

1

P

1

2

D

2

3

F

3

1 2 3 2 5 2

1 2 3 2 5 2 7 2

J =1

J=

012 123 234

1 2 3 2

1 2 3 2 5 2

3 2 5 2 7 2

3 2 5 2 7 2 9 2

46

3 STRAHLUNG

7 3 o

S

3

3 o

P

P

3

D

Do

3

3

3 o

F

1

F

1 o

S

P

1

Do

1

D

1 o

F

3

58 75

2

4p’

8

02

6

49

72

9 43

53

98

85

40

4d

5p

5f 4f 4p’

5s 714

5s

4p’

6d 5d 4p2

6p

9

644

4p 3d

3d 2721

44

4

4p’

4d

5p

4p2

7

65

4p

4226

34 27

22

4p’

22

70

4p2

61

3s

6s

8s 7s

5f 4f

671

3d

5

3d2

4318

13

3p

6d 5d

7p 6p

45

4d

4p 47

23

3

6

7d 6d 5d

7s 6s 5s 4s

657

1

2

38

21

88

Ca I 318 7

Excitation Energy [eV]

D

5588

P

4434

S

3

Excitation Energy [eV]

24

3

71

25

0

2p

4s 3

0

83

10

He I Tripletts

20 3

3 o

S

P

3 o

P

3

D

3

o

D

3

F

3 o

F

1

S

1 o

P

1

D

1

Do

1 o

F

Abb. 112. Termsystem des Calciums.

2s

19

S

3

3

P

D

Abb. 110. Triplett-Termsystem des Heliums (Grotrian-Diagramm). Es sind der Einfachheit halber nur die Terme und nicht die einzelnen Niveaus eingetragen. Der Grundzustand 1s2 1 S ist mit beiden Teilsystemen durch ¨ ¨ Ubergange verbunden, wobei die Uberg¨ ange zum Triplett-System nach den Auswahlregeln (∆S = 0) verboten sind

Fe III

eV 14

12

10

8

6

4

25

1

1 o

S

1

P

D 2

24

7d 6d 5d

6s 5s

Fe II 0

eoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeo

4d

3p

3d 49 21

3s

4p

47

23

50

72

81

2

64

Fe I

39

0

7

S 7P 7D 7F 7G 5S 5P 5D 5F 5G 5H 5I 3S 3P 3D 3F 3G 3H 3I 1P 1D 1F 1G 1H 1I

2p

50

eoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeo

0581

2

He I Singuletts

2s

20

6

4

66

22

21

S 8P 8D 6S 6P 6D 6F 6G 4S 4P 4D 4F 4G 4H 4I 4K 2S 2P 2D 2F 2G 2H 2I 2K

78

15

Excitation Energy [eV]

8

4s

1

S

1 o

P

Abb. 111. Singulett-Termsystem des Heliums

1

D

Abb. 113. Termsystem des Eisens (Fe I und Fe II). Hier sind keine Linien¨uberg¨ange eingetragen, sondern ¨ nur gebunden-frei Uberg¨ ange. Die Komplexit¨at des Fe-Termsystems sorgt f¨ur Mischzust¨ande (keine reine LS-Kopplung), so daß es kaum wirklich ”verbotene” Linien gibt

3.3

Atomphysik

Abb. 114. Vektorkopplung im Magnetfeld

47

Abb. 115. Mn I-Linie

Hyperfeinstruktur-Aufspaltung

einer

Eine zus¨atzliche komplikation entsteht durch handelt, kann erst entschieden werden, wenn die die Isotopieverschiebung von Energieniveaus. Sie vollst¨andige Konfiguration bekannt ist. entsteht, wenn ein Element in einem Gemisch Beispiele f¨ur Termsysteme des Helium sind in von verschiedenen Isotopen auftritt. Jedes Isotop Abb. 110 und 111, f¨ur Calcium in Abb. 112 und hat eine andere Kernmasse, so daß die HamiltonOperatoren verschieden sind. Kommen nun zwei f¨ur Eisen in Abb. 113 zu finden. oder mehr Isotope eines Elements etwa gleich Normalerweise sind alle Energieniveaus von h¨aufig vor, so emittieren sie die entsprechenden Mehrelektronen-Systemen (2J + 1)-fach entartet Spektrallinien bei verschiedenen Wellenl¨angen. (LS-Kopplung vorausgesetzt), da sich in einem So besteht z.B. Europium aus einem IsotopengeMagnetfeld misch von 47.77% 151 Eu und 52.23% 153 Eu. Ihr (76) mittleres (kosmisches) Atomgewicht ist 151.96. gJ = 2J + 1 verschiedene Werte f¨ur MJ einstellen k¨onnen ¨ (Abb. 114). Uberg¨ ange zwischen solchen Hyperfeinstruktur-Niveaus sind verboten, da diese immer die gleiche Parit¨at besitzen. Sie werden jedoch z.B. im interstellaren Medium beim Grundzustand des Wasserstoffs als 21cm-Linie im Radiobereich beobachtet. Dabei wird die Entartung durch das magnetische Moment des Protons aufgehoben (⇒ Hyperfeinstruktur-Aufspaltung).

3.3.4

¨ Molekulspektren

Die meisten astronomisch wichtigen Molek¨ule sind von einfacher Struktur. So handelt es sich h¨aufig um diatomische Molek¨ule, die dazu noch hom¨oopolar sind, d.h. ihr Grundzustand entspricht den Grundzust¨anden der beteiligten Atome (Ionen). Die Austausch-Wechselwirkung der H¨ullenelektronen ist quantisiert; die Energien der In einigen Ionen ist die Hyperfeinstruktur von Niveaus setzen sich aus den Bewegungen der großer Bedeutung. Sie entsteht immer durch die Elektronen, der Vibration der Atome und ihrer Wechselwirkung der Elektronenh¨ulle mit dem Rotation um eine Achse zusammen, magnetischen Moment des Kerns. Die meisten (77) E = Ee + Evib + Erot , Kerne besitzen allerdings kein magnetisches Moment, so daß Inucl = 0 ist. Im allgemeinen sind wobei E  E  E gilt. e vib rot es die ungeradzahligen Kerne, welche ein magnetisches Moment besitzen (13 Al, 25 Mn, 27 Co). Elektronische Niveaus werden durch die KonfiguEin Beispiel f¨ur die Aufhebung der Feinstruktur- rationen der einzelnen Atome bestimmt. VibratiEntartung und das daraus entstehende komplex onsniveaus ergeben sich im einfachsten Fall diaLinienbild ist in Abb. 115 zu sehen. Hier sind tomischer Molek¨ule aus den Eigenschwingungen die 2J +1 einzelnen hfs-Linien¨uberg¨ange mit den ν des harmonischen Oszillators,

˚ dargeVerschiebungen der Wellenl¨angen (in A) 1 = hν υ + , υ = 0, 1, 2, . . . (78) E vib stellt. 2

48

3 STRAHLUNG 1.2

Rigel

Residual Flux

1.0 0.8 0.6 0.4

Wega

0.2 0.0 650

652

654

656 Wellenlänge [nm]

658

660

662

Abb. 116. Typische Spektren heißer Sterne im Bereich der Hα-Linie. Wega hat eine starke Absorptionslinie, w¨ahrend das Spektrum des noch heißeren Rigel ein sogenanntes P Cygni-Profil zeigt – mit einer blauverschobenen Absorption und einer rotverschobenen Emissionskomponente

Residual Flux

1.0 0.8 0.6 0.4

Sonne

0.2 0.0 517.5

518.0

518.5 Wellenlänge [nm]

519.0

Abb. 117. Das Linienspektrum der Sonne in der Umgebung der Mg Ib-Linie demonstriert die außerordentliche Vielfalt von Absorptionslinien der unterschiedlichsten Elemente

Rotationsniveaus folgen mit der Rotationsquan- (a) die Anregung durch Absorption eines Photenzahl zu tons . (79) mit einer der Linie hνlu entsprechenden Energie (vgl Abb. 106). Sind El < Eu die beteiligten Niwobei De  B ist. Die typische Bandenstruktur veaus und A die Ubergangswahrscheinlichkeit ¨ ul entsteht aus einer Kombination von Rotation und f¨ur spontanen Zerfall von u nach l, u = I /4π ν ν Vibration. die Strahlungsdichte, und gu , gl die statistischen Typische Spektren von heißen Sternen zeigt Abb. Gewichte der oberen und unteren Niveaus, sowie 116, ein v¨ollig anderes Spektrum beobachtet man gu c2 Blu = Aul (80) bei der Sonne (Abb. 117). 3 gl 2hνlu Erot = hBJ(J + 1) + hDe J 2 (J + 1)2

3.3.5

¨ die Ubergangswahrscheinlichkeit f¨ur die AbsorpKinetische Prozesse und der Begriff der tion eines Photons vom Niveau l, so sind die entTemperatur sprechenden WW-Raten

Nur auf der Grundlage mikrophysikalischer Prozesse l¨aßt sich die Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie zufriedenstellend beschreiben. Untersucht man die M¨oglichkeiten, ein Plasma zur Emission anzuregen, st¨oßt man auf zwei wichtige Prozesse,

Aul

und Blu uν

,

(81)

(b) inelastische St¨oße mit anderen Elektronen oder Ionen. Inelastische St¨oße u¨ bertragen kinetische Energie der stoßenden Teilchen in innere Energie (Anregungs-,

3.3

Atomphysik

49

Ionisations- oder Dissoziationsenergie) des gesto- Bezeichnet man die Teilchendichten mit N , so ßenen Ions oder Molek¨uls. Hierf¨ur lassen sich werden die inelastischen Stoßraten durch

∞ Stoßquerschnitte angeben, die von der kinetiv Φ(v) σlu (v) dv (85) Clu = Ne schen Energie der stoßenden Teilchen abh¨angen. v∗ Typische Querschnitte f¨ur Elektronenst¨oße mit ei

gu Eu − El ner Energie E ≥ Eu − El sind von der Form = exp − Cul gl kTe σlu (E)  const(Eu − El )/E

.

(82) beschrieben.

Die Stoßrate erh¨alt man f¨ur E = me v 2 /2 durch Integration u¨ ber v Φ(v)σlu (v), wobei Φ(v) die Verteilungsfunktion der (Relativ-) Geschwindigkeiten zwischen Ionen und Elektronen ist. Φ(v) wird f¨ur praktisch alle astrophysikalischen Anwendungen durch eine Maxwell-Verteilung beschrieben, 4 2 Φ(x) = √ x2 exp−x dx π

In einem lokal definierten Plasmavolumen a¨ ndert sich durch die beschriebenen WW-Prozesse die Besetzung der Energieniveaus Em entsprechend Abb. 118 dNm = dt  (Amk + Cmk ) −Nm k<m

x = v/v0

und v0 =



−Nm

(83)

(Bmn uν + Cmn )

n>m

−Nm (Pm + Sm )  + Nn ((Anm + Cnm )

wobei 

(86)

2kTe m

n>m

(84)

+



Nk (Bkm uν + Ckm )

k<m

+Ne (Rm + Qm )

die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist. Die Einstellung einer Maxwell-Verteilung kommt durch die u¨ bergroße Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen zustande. ⇒ extrem viele elastische St¨oße f¨uhren zur Einstellung einer kinetischen Temperatur Te des Plasmas. kTe ist da¨ mit das thermodynamische Aquivalent der kinetischen Energie stoßender Teilchen.

Diese Prozesse erzeugen in Sternplasmen immer einen station¨aren Zustand, so daß die rechte Seite von Gl. (86) identisch verschwindet. Gl. (86) ist in diesem Fall ein in den Besetzungszahlen Nm lineares Gleichungssystem. P und R sind Photoionisations- und Rekombinationsraten, S und Q Stoßionisations- und Rekombinationsraten. F¨ur jedes Niveau m existiert eine Gleichung. Abgeschlossen wird das System durch die Erhaltung der Gesamtteilchenzahlen,  m

Em

Abb. 118. Zur Definition des statistischen Gleichgewichts

Nm +



Ni+ = εPg /kTe

,

(87)

i

wobei ε die relative Elementh¨aufigkeit und Pg der gesamte Gasdruck ist. F¨ur die Einstellung eines kinetischen Gleichgewichts nach Gl. (86) gen¨ugt es, wenn eine kinetische Temperatur Te definiert ist. Dies ist im allgemeinen die Elektronen-Temperatur (genauer: die zur Relativgeschwindigkeit von Elektronen und Ionen geh¨orende Temperatur). Ein solches Plasma ist nicht notwendigerweise auch im thermodynamischen Gleichgewicht.

50

3 STRAHLUNG

m¨oglichen Spinzust¨ande den Wert ge = 2. Da das zum ionisierten Zustand geh¨orende Elektron frei beweglich ist, muß noch mit der Zahl der Quantenzellen pro h3 multipliziert werden. Die Elektronengeschwindigkeit folgt einer MaxwellVerteilung mit exp(−me v 2 /2kT ). Integriert man die Verteilung u¨ ber Impuls- und Ortsraum, erh¨alt Wie aus dem Gleichverteilungssatz der statisti- man f¨ur das gesamte statistische Gewicht des freischen Physik folgt, ist die Verteilung der (quanti- en Elektrons sierten!) inneren Energie E in einem einatomigen (2πme kT )3/2 . (93) g Gas im thermodynamischen Gleichgewicht e h3

E , (88) Die Saha-Gleichung der thermischen Ionisation Φ(E) = exp − kT ist damit wobei E die Energie eines nicht entarteten QuanNr+1,0 tenzustands ist. Beschreibt man das Gas wie Ne = (94) Nr,0 u¨ blich anhand seiner Entartung durch das zur

gr+1,0 (2πme kT )3/2 χr+1,0 Energie Em geh¨orende statistische Gewicht gm , 2 exp − , so ist gr,0 h3 kT

Em . (89) und durch die Kombination von Gl. (92) und (94) Φ(Em ) ≡ Nm δV = gm exp − kT kann die thermische Besetzung jedes Zustands eiF¨ur die relative Besetzung zweier (entarteter) nes Elements berechnet werden. Analog zu Gl. Zust¨ande im TE folgt (92) ist in Gl. (94) χr+1,0 die Ionisationsener  gie vom Grundzustand des r + 1-fach ionisierten Nn gn |En − Em | = exp − . (90) Atoms. Nm gm kT Im TE gilt Te ≡ T , und die L¨osung des GleiDies ist das Boltzmannsche Gesetz der thermi- chungssystems (86) ergibt f¨ur diesen Fall die schen Anregung. Saha-Boltzmann-Gleichung (92, 94). TE verlangt Summiert man nun Gl. (89) u¨ ber alle diskreten immer ein abgeschlossenes thermodynamisches Anregungszust¨ande, erh¨alt man die thermodyna- System (das prinzipiell nicht beobachtbar w¨are). In einem solchen System w¨are die Strahlung isomische Zustandssumme des Ions r, trop und folgte einer Planck-Verteilung nach Gl.

∞  Er,m gr,m exp − . (91) (52). Zr (T ) = kT m=0 Im nicht abgeschlossen System kann Energie Mit dieser Gr¨oße ergibt sich der Bruchteil eines z.B. durch Strahlung verloren gehen. Dann ist Ions r, der sich im Anregungszustand m befindet, Iν = Bν (T ). Trotzdem folgt nicht zwangsl¨aufig, daß damit auch Saha- und Boltzmann-Formel zu nicht mehr gelten. Interessant und f¨ur die stellare

Nr,m gr,m Er,m exp − = . (92) Astrophysik von zentraler Bedeutung ist hier der Nr Zr (T ) kT Begriff des lokalen thermodynamischen Gleichist dadurch deSaha hat diesen Ansatz auf die Verteilung der Io- gewichts (LTE). Dieser Zustand 16 durch die Sahafiniert, daß das Plasma lokal nisationszust¨ande im TE erweitert. Dazu wird jeweils das Verh¨altnis Nr+1,0 /Nr,0 f¨ur zwei aufein- Boltzmann-Gleichung beschrieben werden kann. anderfolgende Ionisationsstufen desselben Ele- Daf¨ur muß jeweils eine lokale Temperatur T dements berechnet. Auch hier gilt f¨ur die Be- finiert werden. Befindet sich ein ideales Gas im thermodynamischen Gleichgewicht (TE), so gilt die universelle Temperatur T nicht nur f¨ur die MaxwellVerteilung der kinetischen Energie, sondern ebenso f¨ur die Verteilung der inneren Energie der Ionen und Molek¨ule und auch f¨ur die Verteilung der Strahlungsenergie der Photonen nach Gl. (52).

rechnung des statistischen Gewichts die Ber¨uck16 das bedeutet in einem Teilvolumen, dessen Durchmessichtigung des ionisierten Atoms und des frei- ser klein ist im Vergleich zur Skalenl¨ange des insgesamt been Elektrons. Letzteres hat wegen seiner beiden trachteten Volumens

3.3

Atomphysik

Betrachtet man das statistische Gleichungssystem (Gl. 86), so sind es zun¨achst die Stoßprozesse, die ins Auge fallen. Zentral ist hier Gl. (85), in der das Prinzip der Mikroreversibilit¨at der Stoßprozesse zum Ausdruck kommt. W¨urden die statistischen Gleichungen ausschließlich durch St¨oße bestimmt, m¨ußte sich daher nach Gl. (85) der LTE-Zustand ergeben, da die St¨oße immer lokale Prozesse beschreiben und daher exakt die Boltzmannsche Anregung erzeugen. Bei atomphysikalisch vorgegebenen Stoßquerschnitten sind St¨oße umso dominanter, je dichter das Plasma ist, da so die freien Wegl¨angen kleiner werden. Daraus folgt, daß Abweichungen vom LTE bevorzugt in d¨unnen Plasmen auftreten. Solche Zust¨ande werden vereinfacht als NLTE bezeichnet. In vielen Plasmen spielt der Energieaustausch durch Strahlung eine dominante Rolle (Heizung, K¨uhlung). Dort sind St¨oße entweder wegen der geringen Dichten unwichtig oder wegen der relativ großen Strahlungsraten. Der wesentliche Unterschied im Vergleich zu den St¨oßen ist: Strahlungsprozesse besitzen immer nicht-lokale Eigenschaften, sofern das Gas in der entsprechenden Frequenz ”durchsichtig” ist. So k¨onnen in k¨uhleren oder heißeren Regionen emittierte Photonen die lokale Verteilung von Anregungs- und Ionisationsenergien signifikant ver¨andern. F¨uhrt die detaillierte Berechnung durch das statistische Gleichungssystem (Gl. 86) zu NLTEZust¨anden, beschreibt man diese meistens durch normierte Besetzungszahlen bn = Nn /Nn∗ , wobei Nn∗ die durch die Saha-Boltzmann-Gleichung (92) und (94) und die Teilchenzahlerhaltung (Gl. 87) beschriebene LTE-Besetzungsdichte ist. ¨ Aquivalent dazu ist eine Beschreibung durch die Saha-Boltzmann-Formel, in der die jeweiligen Temperaturen durch Ionisations-Temperaturen Tion und Anregungstemperaturen Texc ersetzt werden. ¨ Gultigkeit von LTE Im Sterninneren existieren sehr hohe Dichten und Temperaturen. Dadurch gibt es extrem hohe Stoßraten. Alle Atome und Ionen befinden sich daher dort im LTE. Anders ist der Zustand in Sternatmosph¨aren:

51 • K¨uhle Zwergsterne haben hohe atmosph¨arische Dichten (Ngas  1016 cm−3 , Ne  5 1012 cm−3 ) mit entsprechend großen Stoßraten. Ihr kontinuierliches Strahlungsfeld ist eher schwach, Iλ  B400nm (6300K)  4 1014 cgs-Einheiten, und die nicht-lokale K¨uhlung entsprechend unwirksam. ⇒ die meisten Ionen befinden sich mit ihren Anregungszust¨anden im LTE. Abweichungen sind zu erwarten – in den a¨ ußeren Atmosph¨aren geringer Dichte (Chromosph¨aren und Koronae) – in Anregungszust¨anden, die energetisch sehr weit vom Hauptionisationsund Anregungszustand entfernt sind – also niedrig angeregte Energiezust¨ande der neutralen Metalle (die bis zu 95% ionisiert sind) – in den Atmosph¨aren extrem metallarmer Sterne, in denen wegen der geringen Absorption gr¨oßere K¨uhlung zu erwarten ist und wo gleichzeitig die Elektronenstoßraten wegen der verminderten Elektronendichte klein werden. • K¨uhle Riesensterne besitzen sehr ausgedehnte H¨ullen mit geringen Teilchendichten (Ng  5 1012 cm−3 , Ne  5 1010 cm−3 ). Bei gleichzeitig kleinen Temperaturen von Teff = 3000 bis 4000 K sind nur kleine Stoßraten m¨oglich. ⇒ Abweichungen vom LTE sind wegen der geringen Stoßraten nicht mehr zu vernachl¨assigen. • Heiße Sterne entwickeln wegen der h¨oheren Temperatur zwar auch gr¨oßere Teilchengeschwindigkeiten und damit Stoßraten; diese sind jedoch gegen¨uber k¨uhlen Sternen nicht gr¨oßer, da die Teilchendichten gleichzeitig um einen Faktor 100 kleiner sind. Das Strahlungsfeld ist nun jedoch betr¨achtlich gr¨oßer als in k¨uhlen Sternen, Iλ  B400nm (30000K)  5 1016 cgs-Einheiten, die K¨uhlung durch austretende Strahlung also extrem wirksam. ⇒ in heißen Sternen befinden sich daher praktisch alle Ionen in allen Anregungszust¨anden im NLTE.

52 Im Interstellaren Medium wiederum gibt es typische Dichten N < 1010 cm−3 und Temperaturen zwischen 5000 und 15000 K (H II-Regionen). Hier ist grunds¨atzlich immer NLTE zu erwarten.

3 STRAHLUNG

3.4

Strahlungstransport

3.4

53 1.0

Strahlungstransport

a(∆λ)bb

Der Transport von Strahlungsenergie wird beschrieben durch die Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie, die Absorption von Photonen und ihre Emission.

0.8

0.6

∆λif

3.4.1

0.4

Absorption und Emission

Die WW setzt sich aus der Summe der einzel- 0.2 nen atomaren WW-Prozesse zusammen, da diese im allgemeinen voneinander unabh¨angig sind. Im folgenden sollen die WW-Koeffizienten als An- 0.0 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 zahl der Prozesse pro cm3 und s definiert werden. ∆λ F¨ur den Absorptionskoeffizienten κ(λ) zu einem Querschnitt aif (i = initial, f = final state) gilt Abb. 119. Typischer Absorptionsquerschnitt einer Spektrallinie dann (95) κ(λ) = Ni aif (λ) . Gl. (95) gilt f¨ur gebunden-frei- (bf) und f¨ur ξ ist die Mikroturbulenz, eine quasi-statische ¨ gebunden-gebundene (bb) Uberg¨ ange des Elek- Beschreibung (granularer) Str¨omungen, die in trons. Die entsprechenden Querschnitte f¨ur die Sternatmosph¨aren von gleicher Gr¨oßenordnung beiden Prozesse sind gegeben durch den Quer- wie die thermische Geschwindigkeit sind. Dabei thermische Anteil der schnitt f¨ur Photoionisation (bf) und die Oszilla- ist zu beachten, daß der √ m Geschwindigkeit ∼ 1/ ¨ ion , ξ jedoch von der torenst¨arke (bb). (bb)-Uberg¨ ange bezeichnet man Masse der Ionen unabh¨angig ist. Das Dopplerproals Spektrallinien, f¨ur die fil beherrscht den Linienkern, also den Bereich (96) unmittelbar um das Linienzentrum λc . κ(λ)bb = const Ni fif φ(λ) Daneben spielen D¨ampfungsprozesse durch Strahlung und St¨oße eine wichtige Rolle. Im einfachsten Fall erzeugen sie eine Profilfunktion (97) von der Form

gilt (Abb. 119). Dabei ist fif =

me hν Bif πe2

die Oszillatorenst¨arke und φ(λ) die Linien1 γ . (100) φ(λ) = verbreiterungsfunktion. Die Linienverbreiterung 2π (λ − λc )2 + ( γ2 )2 kommt durch verschiedene Prozesse zustande. Zun¨achst entspricht der lokalen Temperatur T eine statistische Bewegung der absorbierenden Io- Dabei wird die St¨arke der D¨ampfung durch den nen. Mit einer Maxwell-Verteilung (Gl. 83) gilt D¨ampfungsparameter γ bestimmt. Das D¨ampwieder v02 = 2kT /mion und damit eine Gaußver- fungsprofil beeinflußt die Linienfl¨ugel und damit Bereiche, die weit vom Linienkern entfernt sind. teilung der Wellenl¨angen (⇒ Dopplerprofil) 



2  

Linienverbreiterung durch den Dopplereffekt und . (98) D¨ampfung sind unabh¨angige Prozesse. Das wah re Linienprofil ergibt sich daher durch eine Faltung von Gl. (98) und (100). Damit geht das einDie Dopplerbreite ∆λD setzt sich aus einem ther- fache Gaußprofil φ(λ) in ein Voigt-Profil V (α, x) mischen und einem hydrodynamischen Anteil zu- u¨ ber; mit den Abk¨urzungen sammen,  λ − λc 1 exp − φ(λ) = √ π∆λD ∆λD

v ∆λD = λc c



,

v=

2kT + ξ2 . mion

(99)

α=

λ − λc λ2 γ und x = 4πc ∆λD ∆λD

(101)

54

3 STRAHLUNG

1

1.0

a(λ)bf 10−1

0.8

10−2

0.6

a0

κ(λ)/κ(λC) 10−3

0.4

10−4

0.2

0.0 0.0

10−5 10−6 0

2

4

∆λ/∆λD

6

8

10

0.2

0.4

0.6 λ/λ0

0.8

1.0

Abb. 121. Typische Kantenstruktur von bf-Querschnitten

a(λ), deren typische Struktur die Absorptions-

Abb. 120. Voigt-Profil. Die asymptischen G¨ultigkeitsbereiche f¨ur Dopplerprofil und D¨ampfungsprofil sind deutlich zu kante bei der Wellenl¨ange λ0 ist (s. Abb. 121). Mit ∆E0 = hc/λ0 entspricht diese Wellenl¨ange erkennen

der Ionisationsenergie, ergibt die Faltung V (α, x) = C

∆E0 = χion − Ei

∞ −∞

(105)

2

exp(−y ) dy + (x − y)2

α2

(102) f¨ur den Energiezustand Ei . H¨aufig (insbesondere f¨ur kleine ∆E0 ) gilt die wasserstoff-¨ahnliche N¨aherung f¨ur alle λ < λ0 ,

mit der Konstanten C=√

1 α π∆λD π

.

(103)

a(λ)bf  a0 (λ/λ0 )3

,

(106)

wobei a0 der Absorptionquerschnitt an der Ionisationskante ist. Oberhalb der Kante ist a(λ) = 0, da ∆E < ∆E0 f¨ur λ > λ0 . Die Energie des Photons reicht dann nicht aus, um das Leuchtelektron aus dem Coulombfeld des Ions zu befreien. ¨ Ahnlich wie Gl. (96) wird der bf-Absorptions(104) koeffizient beschrieben durch

Die Voigt-Funktion ist identisch mit dem Realteil der komplexen Fehlerfunktion (s. Abb. 120). V (α, x) ist eine sehr allgemein g¨ultige Profilfunktion f¨ur bb-Absorptionskoeffizienten. Gl. (96) wird damit zu κ(λ)bb = const Ni fif V (αif , xif ) .

Die Beschreibung durch ein Voigtprofil ist g¨ultig f¨ur

κ(λ)bf = const Ni ai (λ)bf

.

(107)

Allerdings gilt dies nicht f¨ur die f f-Absorption. Hierbei handelt es sich um WW-Prozesse, bei de• Resonanzverbreiterung (Eigendruckverbrei- nen ein freies Elektron im Feld eines Ions durch Absorption die Energie eines Photons in eigeterung) ne kinetische Energie umwandeln kann. Diese • van der Waals-D¨ampfung und WW h¨angt also nicht nur von der Elektronendichte sondern ebenfalls von der betreffenden Ionen• quadratischen Stark-Effekt, dichte ab, so daß • Strahlungsd¨ampfung

nicht jedoch f¨ur die Linienverbreiterung durch den linearen Stark-Effekt.

κ(λ)f f = const Ne N + ai (λ)f f

,

(108)

Die Definition des Absorptionskoeffizienten wobei N + die Dichte der Ionen der n¨achsth¨oheκ(λ)bf f¨ur bf-Prozesse enth¨alt WW-Querschnitte ren Ionisationsstufe ist.

3.4

Strahlungstransport

55

Der gesamte Absorptionskoeffizient ergibt sich durch Summierung u¨ ber all WW-Prozesse, die zur Absorption eines Photons mit der Energie hν f¨uhren. Bezeichnet man mit dem Index ”α” alle Elemente, mit dem Index ”β” ihre Ionisationsstufen und mit den Indizes ”γ” und ”δ” die Energieniveaus, dann ist κ(λ) =

 α

+

Nαβγ aαβγ (λ)bf

γ

β

 α

+Ne

β

γ

 α

Nαβγ



(109)

cfαβγδ φ(λ)

δ

Nαβ aαβ (λ)f f

.

β

Der f f-Term ist nat¨urlich nur f¨ur mindestens 1fach ionisierte Atome zu berechnen. Tab. 5. Wichtigste Absorptionsprozesse in Sternatmosph¨aren. Ihre Bedeutung f¨ur k¨uhle und heiße Sterne wird separat angezeigt

Typ

Beschreibung

K¨uhle Sterne (Teff < 8000 K) ˚ H I bf Balmer-Kontinuum (λ < 3646 A) ˚ Paschen-Kontinuum (λ < 8208 A) Balmer-Linienserie ˚ Rayleighstreuung (λ > 1000 A) − St¨arkster Absorber (λ < 1.64µm) H bf λ > 1.64µm H− f f ˚ Grundzustand (λ < 2075 A) Al I bf ˚ Mg I bf Triplettzustand (λ < 2500 A) ˚ Si I bf -Kontinua (λ < 2000 A) ˚ Fe I bf -Kontinua (λ < 4000 A) Molek¨ule Absorptionsbanden (Hydride,. . . ˚ Metalle Starke Linien (λ < 6000 A) Heiße Sterne (Teff > 8000 K) ˚ H I bf Lyman-Kontinuum (λ < 912 A) ˚ Balmer-Kontinuum (λ < 3646 A) bf -Kontinua (UV) He I bf -Kontinua (EUV) He II Ionen f f -Absorption Elektronen Thomson-Streuung C, N, O Starke Linien im UV

Abb. 122. Logarithmische Darstellung der kontinuierlichen Absorptionskoeffizienten [Einheiten: m2 pro Kern] in (unten) Plasmen. Die x-Achse ist Die wichtigsten Absorptionsprozesse sind in Tab. k¨uhlen (oben) und heißen ˚ Oben: Photosph¨are der Sonne bei die Wellenl¨ange in [A]. 5 zusammengefaßt. Eine graphische Darstellung 5000 K. Unten: Photosph¨are von τ Sco bei 28000 K. Die in findet sich in Abb. 122. Die Absorption bewirkt Tab. 5 beschriebenen Prozesse sind zumeist deutlich zu er¨ eine Anderung der Intensit¨at gem¨aß kennen. Linienabsorption wurde nicht ber¨ucksichtigt. Auch einige neuere Fe I-Querschnitte fehlen

dIλabs = −κ(λ) Iλ ds

,

(110)

56

3 STRAHLUNG

wobei ds das Wegelement ist, welches die Wellenfront (das Photon) zur¨uckgelegt hat. Der zweite wichtige WW-Prozeß ist die Emission von Photonen. Sie wird beschrieben durch einen Emissionskoeffizienten G(λ), der z.B. die spontane Emission der Atome beschreibt. Hier gilt die Definition (111) dIλemi = G(λ) ds .

Magnetfeld B

Im TE (thermische Emission!) wird genauso viel Intensit¨at absorbiert wie emittiert; es gilt Iλ = Bλ (T ) und dIλ = dIλabs + dIλemi ≡ 0 = −κ(λ) Iλ ds + G(λ) ds .

Elektron

(112)

θ

−κ(λ) Bλ (T ) + G(λ) = 0 .

g

un

Daraus folgt sofort der Satz von Kirchhoff,

ah

ht lric

(113)

Str

Sch w elek ingung trisc s hen richtun Feld g vekt des ors

Im allgemeinen Fall (NLTE) muß die Emission durch eine Quellfunktion Sλ und den Absorpti- Abb. 123. Zur Entstehung der Synchrotron-Emission. Der ¨ Offnungswinkel ist θ  m0 c2 /E onskoeffizienten beschrieben werden, G(λ) = Sλ κ(λ) .

(114)

wobei nun σ(λ) der Streukoeffizient und κ(λ) der Im NLTE-Fall ist diese Quellfunktion Sλ = reine Absorptionskoeffizient ist. Bλ (T ). Stattdessen gilt z.B. f¨ur Linien¨uberg¨ange Zu den weiteren Emissions-Prozessen geh¨ort die  −1 (nicht-thermische) Synchrotron-Strahlung von 2hc2 gu Nl −1 . (115) freien Elektronen mit relativistischen GeschwinSλ = 5 λ gl N u digkeiten im (homogenen) Magnetfeld B (Abb. In den meisten F¨allen ist der Satz von Kirch- 123). hoff auch im LTE eine brauchbare N¨aherung. LTE Das Elektron mit der Ladung e und der Ruhemassetzt jedoch nicht eine thermische Verteilung des se m0 bewegt sich mit der Zyklotron-Frequenz Strahlungsfeldes voraus. ωc = 2πνe auf einer Kreisbahn mit dem Radius Ein besonderer Fall ist die Streuung von Pho- rc = v/ωc . Dabei ist sein Lorentz-Faktor tonen. Man kann sie interpretieren als Absorp 2 − 12 tion eines Photons, dessen gesamte Energie erv γ = 1− , (117) halten bleibt (nur die Richtung φ, θ a¨ ndert sich). c Da keine Strahlungsenergie in innere Energie des Atoms umgewandelt wird, kann auch keine Ther- seine Masse m = γm0 und seine Energie E = malisierung erfolgen. Die Planck-Funktion spielt γm0 c2 . Die Kreisbahnbewegung erf¨ahrt eine Zendaher bei der Streuung keine Rolle. Stattdes- trifugalkraft mv 2 /rc , welche der Lorentzkraft sen ist die Quellfunktion der gestreuten Photo- evB gleich ist, so daß nen in guter N¨aherung die mittlere Intensit¨at Jλ =  γm0 v eB Iλ (θ, r) dω/4π , d.h. die re-emittierte ist gleich rc = . (118) und ωc = eB γm 0 der einfallenden Intensit¨at. Bei gleichzeitig auftretender Absorption und Das umlaufende Elektron strahlt in einem engen Streuung (dies ist der Normalfall!) setzt sich die Kegel mit dem Offnungswinkel ¨ θ = E0 /E = 1/γ Quellfunktion aus zwei Anteilen zusammen, in tangentialer Richtung (s. Abb. 123). Der Beobachter sieht daher sehr kurze Lichtblitze der Dauκ(λ) σ(λ) Sλ∗ = Sλ + Jλ , (116) er ∆t , deren spektrale Zerlegung eine kontinuκ(λ) + σ(λ) κ(λ) + σ(λ)

3.4

Strahlungstransport

57

ierliche Verteilung der Energien mit einem Maxi- Das Integral u¨ ber den optischen Lichtweg mum bei der Synchrotronfrequenz νs ergibt, mit

s τλ = κ(λ) ds (124) 0 eB⊥ 2 γ . (119) νs = 0.069 m0 bezeichnet man als (monochromatische) optische Ist eine Vielzahl von Elektronen vorhanden, die Tiefe. Entscheidend f¨ur die Abschw¨achung der z.B. der Energieverteilung der kosmischen Strah- Strahlung ist damit das Integral u¨ ber die Absorption entlang des optischen Lichtweges. F¨ur lung folgen, τλ = 1 ist Iλ /Iλ,0 bereits um e−1  0.368 (120) geschw¨acht. Beobachtete Strahlung kann daher N (E) dE ∼ E −p dE , nicht aus Schichten kommen, deren optische Tieso ist der integrierte Emissionskoeffizient von der fe entlang des Sehstrahls (vom Beobachter aus gesehen) wesentlich gr¨oßer als 1 ist. Ebenso wird Form p+1 − p−1 2 G(ν) ∼ B⊥ ν 2 . (121) die mittlere freie Wegl¨ange sλ eines Photons der Wellenl¨ange λ durch den optischen Weg τλ = 1 Die Synchrotron-Emission spielt naturgem¨aß nur bestimmt, in hoch-relativistischen Plasmen eine Rolle.

sλ Bei noch h¨oheren Energien k¨onnen dann die 1= κ(λ) ds . (125) Compton-Streuung und die inverse Compton0 Streuung wichtig werden. Beispiel (a) Die Extinktion von Strahlung in der Erdatmosph¨are wurde bereits in Abschn. 2.1 diskutiert. Beim Durchgang durch ein absorbierendes (ho- Abgesehen von der Refraktion wird das Licht mogenes) Medium der Dicke ds erf¨ahrt die In- auch durch Absorption geschw¨acht (Abb. 125). tensit¨at eine Abschw¨achung um den Betrag dIλ , F¨ur eine Zenitdistanz ζ gilt welche durch den Absorptionskoeffizienten κ(λ) (126) Iλ = Iλ,0 exp(−τλ / cos ζ) , bestimmt wird (vgl. Abb. 124), 3.4.2

Extinktion und optische Tiefe

dIλ = −κ(λ) Iλ ds



(122) wobei τλ = κ(λ) ds die optische Tiefe der Erdatmosph¨are f¨ur den senkrechten Strahl ist. Ist s eine nicht selbst emittierende Schicht, in die In logarithmischer Darstellung ist daher (s. Abb. eine Intensit¨at Iλ,0 eingestrahlt wird, so gilt 125) .

dIλ ≡ d ln Iλ = −κ(λ) ds Iλ 

Iλ = Iλ,0 exp −

s

ln Iλ = ln Iλ,0 − τλ / cos ζ 

κ(λ) ds

.

(127)

5

.(123)

ln Iλ,0 extrapoliert

0

4 ln Iλ

ds 3 Messungen

Iλ

2

Iλ+dIλ

1 0

1

2 1 / cos ζ

3

4

Abb. 124. Abschw¨achung der Intensit¨at beim Durchgang Abb. 125. Empirische Bestimmung der atmosph¨arischen durch ein Gas Extinktion

58

3 STRAHLUNG

Findet im Plasma Emission statt, so gilt im planparallelen Fall dIλ = −κ(λ) Iλ ds + G(λ)ds

.

Iλ,0(θ)

(128)

s

Beispiel (b) Der Transport von Photonen durch ein Na-Plasma (Verunreinigungen in einer Bunsenbrennerflamme) zeigt die G¨ultigkeit von Gl. (128) (s. auch Abb. 126).

θ x Iλ(θ) Abb. 127. Strahlungstransport durch ein planparallel geschichtetes Medium

Durchl¨auft ein Strahl das planparallele Medium unter einem Winkel θ (vgl. Abb. 127), so ist mit ds = dx/ cos θ dIλ (130) = −κ(λ) Iλ (θ) + G(λ) . dx Beschreibt man das optische Tiefenelement dτλ durch cos θ

dτλ = κ(λ) dx , τλ,θ = τλ / cos θ ,

(131)

so erh¨alt man die Strahlungstransportgleichung (STG) Abb. 126. Entstehung von Absorptions- und Emissionsspektren beim Strahlungstransport durch ein Na-Plasma

Iλ nimmt zu bzw. ab je nach Verh¨altnis der Absorptions- und Emissionsglieder in Gl. (128). In der oberen H¨alfte von Abb. 126 ist die Flamme heißer als die Quelle. Absorbierte Photonen werden daher bei h¨oheren Temperaturen re-emittiert und die Na ID-Linien erscheinen in Emission gegen¨uber dem Kontinuum benachbarter Frequenzen, in denen das Plasma der Flamme durchsichtig ist.

cos θ

G(λ) dIλ = −Iλ (θ) + dτλ κ(λ) = −Iλ (θ) + Sλ .

(132)

Die STG (132) ist im planparallelen Fall eine lineare gew¨ohnliche Differentialgleichung 1. Ordnung. Strahlungstransportgleichung in sph¨arisch ausgedehnten Medien

Das Wegelement am Ort r (s. Abb. 128) in RichIst GNa (λ) = κ(λ) Bλ (TNa ) der Emissionskoeffitung θ ist ds = (dr, rdθ) mit dr = cos θ ds und zient im Plasma der Flamme, so ist ¨ rdθ = − sin θ ds. Die gesamte Anderung der InIλ − Iλ,0 = −κ(λ)[Iλ,0 − Bλ (TNa )] ds . (129) tensit¨at ist damit ∂Iλ ∂Iλ In der unteren Bildh¨alfte ist T0 > TNa , so daß dr + dθ dIλ = ∂r ∂θ re-emittierte Photonen bei geringerer Temperatur   ∂Iλ sin θ ∂Iλ entstehen. Je nachdem, ob Iλ,0 > Bλ (TNa ) oder = cos θ ds (133) − ∂r r ∂θ Iλ,0 < Bλ (TNa ) ist, zeigen sich im Spektrum Absorptions- oder Emissionslinien. Die STG in sph¨arisch ausgedehnten Medien ist dann mit der Notation µ = cos θ Strahlungstransportgleichung in planparallel ∂Iλ 1 − µ2 ∂Iλ µ + = −κ(λ) {Iλ (r, µ) − Sλ } . geschichteten Medien ∂r r ∂µ (134)

3.4

Strahlungstransport

S

59

θ+dθ

ds

τλ,1

Iλ τλ

θ dr

−dθ

τλ,2

außen

θ innen

r

Abb. 129. Zur L¨osung der Strahlungstransportgleichung

Abb. 128. Strahlungstransport durch ein sph¨arisches Medium

oder Iλ (τλ,1 , µ) = Iλ (τλ,2 , µ) e−

τλ,2 −τλ,1 µ

τ −τ Gl. (134) ist nun eine partielle Differentialglei− λ µ λ,1 dτλ + S (τ ) e . (138) λ λ chung in den Variablen r und µ (cos θ). Die allµ τλ,1 gemeine Form der STG in beliebiger Geometrie ist Der erste Term beschreibt die am inneren Rand τ eingestrahlte Intensit¨at, die exponentiell ge(s·∇)Iλ (r, s) = −κ(λ)[Iλ (r, s) −Sλ (r, s)] (135) λ,2 schw¨acht wird, der zweite Term verfolgt die Gl. (132) wird in Sternatmosph¨aren angewendet, durch die Quellfunktion zwischen τλ,2 und τλ,1 in denen ∆R/R  1 gilt. In Riesensternen kann erzeugte Intensit¨at, die von jedem Punkt τλ aus ∆R/R jedoch einen erheblichen Bruchteil von 1 ebenfalls abgeschw¨acht wird. τλ,2

erreichen. Dort muß Gl. (134) benutzt werden. 3.4.3

L¨osungen der Strahlungstransportgleichung

Die formale L¨osung der STG ist im planparallelen Fall besonders einfach. Hier ist Gl. (132) eine lineare DGl erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Bekanntlich haben solche Differentialgleichungen einen integrierenden Faktor. Durch Verifikation erh¨alt man daf¨ur die Funktion exp(−τλ / cos θ). Addition von Iλ und anschließende Multiplikation mit dem integrierenden Faktor ergibt – unter Verwendung von µ = cos θ Sλ τλ d  − τµλ  Iλ e = − e− µ . (136) dτλ µ

F¨ur die Sternatmosph¨are ist das semi-infinite Medium, also der Fall τλ,1 → 0, τλ,2 → ∞, besonders wichtig. Daf¨ur folgt aus Gl. (138)

∞

Iλ (0, µ) = 0

N¨aherungen Schichten

¨ fur

τλ

Sλ (τλ ) e− µ

dτλ µ

homogene

.

(139)

planparallele

Sterne wie die Sonne strahlen an ihrer Oberfl¨ache die im Inneren erzeugte Energie ab. Solange die aus dem Sterninneren kommende Strahlung noch lokal thermalisiert wird, muß die Temperatur nach außen abfallen. Eine solche Temperaturschichtung wird f¨ur die Sonne in Abb. 130 vorgestellt. Thermalisierung der Strahlung kann jedoch nur stattfinden, wenn die Photonen geringe freie Wegl¨angen haben, also in großen optiGl. (136) kann direkt integriert werden und ergibt schen Tiefen (τλ  1). Weiter außen herrscht in den Grenzen τλ,1 , τλ,2 (vgl. Abb. 129) h¨aufig angen¨ahert LTE, daher gilt f¨ur Gl. (139) τ λ,2 Sλ (τλ ) = Bλ [T (τλ )]. Die wichtigsten Beitr¨age f¨ur τ τ τ − µλ  λ,2 − µλ dτλ Gl. (139) kommen aus dem Bereich optischer Tie=− Sλ (τλ ) e Iλ e  (137) τλ,1 µ fen um τ = τλ /µ  1. Eine Reihenentwicklung τλ,1

60

3 STRAHLUNG 10000

Temperatur T

9000

Die Mitte-Rand-Verdunklung (MRV) der Sonne (deutlich zu erkennen auf Abb. 6) zeigt eine typische Beobachtung f¨ur die visuelle und infrarote Helligkeit der Sonne. Hier gilt Iλ (θ)/Iλ (0) < 1, die Intensit¨at nimmt zum Sonnenrand ab.

Standard GRS Solar Model

8000 7000

Da der Sonnenradius R  696 000 km ist, die optische Tiefe τ = 1 jedoch schon wenige 100 5000 km unter der Oberfl¨ache erreicht wird, gilt f¨ur 4000 die Sonne ∆R/R  1 ⇒ die Sonne hat ei−5 −4 −3 −2 −1 0 1 ne planparallele Atmosph¨are. Betrachtet man in Optische Tiefe log τ (5000 Å) Abb. 131 die nach Eddington-Barbier gen¨aherten Abb. 130. Mittlerer Temperaturverlauf in der Sonnenatmo- Entstehungstiefen der Strahlung f¨ur µ = 1 mit sph¨are der von senkrecht austretender Strahlung, dann zeigt sich, daß Iλ (θ = 0) in geringerer metrischer Tiefe entsteht. Dort ist nach Abb. 130 eine gerinergibt in erster N¨aherung gere Temperatur und damit eine kleinere Planck ∂Bλ  Funktion, also auch Iλ (θ) < Iλ (0). Generell gilt:  (τ − 1) , (140) Bλ [T (τ )] = Bλ |τ =1 + je gr¨oßer θ wird, desto kleiner ist die (metrische, ∂τ τ =1 nicht optische) vertikale Eindringtiefe wonach aus Gl. (139) 6000

0

1.0

 ∞ ∂Bλ 

−τ  e dτ + (τ − 1)e−τ dτ . ∂τ  10

(141) Das erste Integral wird 1, das zweite verschwindet. Diese N¨aherung nach Eddington-Barbier ergibt also bis zur 1. Ordnung Iλ (θ) = Bλ (T )|τλ,θ =1 .

(142)

λ [nm]

0.8 Iλ(θ)/Iλ(0)

Iλ (θ) = Bλ |1

∞

2103

0.6 660 519

0.4

415 0.2 0.0 1.0

0.8

0.6

cos θ

0.4

0.2

0.0

Die aus homogener planparalleler Schicht emittierte Intensit¨at entspricht daher ungef¨ahr der Abb. 132. Wellenl¨angen-Abh¨angigkeit der MRV der Sonne Planck-Funktion in der optischen Tiefe 1. Beispiel (A): Mitte-Rand-Verdunklung

Iλ(0)

τλ = 1

Iλ(θ) θ

Die MRV und insbesondere ihre Wellenl¨angenAbh¨angigkeit (Abb. 132) enth¨alt detaillierte Information u¨ ber die Temperaturschichtung T (τ ) der Sonne. Aus der Beobachtung folgt in guter N¨aherung f¨ur viele Wellenl¨angen im Visuellen Iλ (θ) = α + β(cos θ − 1) ,

(143)

wobei nach der Eddington-Barbier-N¨aherung 

Iλ(θ)

τλ cos θ = 1 Iλ(0)

innen außen

Abb. 131. Mitte-Rand-Verdunklung der Sonne

α = Bλ (T )|τλ =1

∂Bλ   , β= ∂τλ τλ =1

(144)

mit τλ als vertikaler optischer Tiefe. Aus α und β folgt so u¨ ber die Planck-Funktion T (τλ = 1) und dT /dτλ (τλ = 1). Damit ist T zun¨achst in der Umgebung von τλ = 1 bekannt. Man kann nun

3.4

Strahlungstransport

61

0

Iλ

τ

Eddington−Barbier

1.0

0.5

−1

−2 T(τ)

0.0 5890 Å

4000

5000

−3 7000 K

6000

Abb. 133. Das Spektrum als Tiefensonde

im Prinzip die gesamte Tiefenskala analysieren, Relation benutzt, wobei man die Reichweite der indem man die MRV an verschiedenen Frequenz- N¨aherung nicht u¨ bersch¨atzen sollte17 . punkten einer Absorptionslinie beobachtet. Beispiel (B): Spektrum als Tiefensonde F¨ur diese Untersuchung wird der Austrittswinkel θ festgehalten (z.B. indem nur ein Spektrum der Sonnenmitte, θ = 0 beobachtet wird). Der spektrale Verlauf von Iλ (0) ist f¨ur die Umgebung der Na ID-Linie in Abb. 133 aufgetragen. Da u¨ ber das Linienprofil hinweg κ(λ) = const ist, gilt auch τ (λ) = const, und man sieht in jedem spektralen Element in eine andere metrische Tiefe (oder auch in eine andere op˚ tische Referenztiefe, wie z.B. τ = τ (5000A)). Nach der Eddington-Barbier-Relation gilt auch hier Iλ (0) = Bλ (T )|τλ =1 . Die beobachtete Intensit¨at des Linienprofils (rote Punkte) werden daher (bis auf die Normierung des Kontinuums) auf Bλ u¨ bertragen, wobei noch τλ als Funktion vonτ oder h zu bestimmen ist. Erst dann kann aus Bλ (T )|τλ =1 die zugeh¨orige lokale Temperatur T (τ ) bestimmt werden.

Die graue Atmosph¨are In der Theorie der Sternatmosph¨aren wurden vor der Benutzung von Computern analytische Verfahren entwickelt, um die Temperaturschichtung zu ermitteln. Eine dieser Methoden wird gelegentlich noch heute benutzt, um Anfangsn¨aherungen f¨ur iterative Rechnermodelle zu gewinnen. Das Ergebnis dieser Methode ist die graue Atmosph¨are. Sie beruht auf der Annahme eines frequenzunabh¨angigen Absorptionskoeffizienten; daher die Bezeichnung ”grau”. Genauer wird κ(λ) = κ und τ (λ) = τ gesetzt. Gleichzeitig soll die Quellfunktion einen isotropen Streuprozeß beschreiben, S = J. Durch Integration der STG (132) u¨ ber alle Wellenl¨angen erh¨alt man wegen

∞

S(τ ) =



Sλ (τ )dλ = J(τ ) =

I(τ, θ)

Ω Damit existieren zwei Methoden, die Tempera0 turschichtung der Sonne durch Beobachtungen zu eine Integro-Differential-Gleichung f¨ur I, bestimmen

1. Mitte-Rand-Variation ⇒ Iλ (θ) bei konstantem λ, und

cos θ 17

d I(τ, θ) = I(τ, θ) − J(τ ) , dτ

dω 4π (145)

(146)

diese Methoden liefern bestenfalls brauchbare N¨aherungen. Will man eine genauere Bestimmung der Temperaturschichtung vornehmen, muß Gl. (139) ohne N¨aherung angewendet werden. In diesem Fall spielen BeitragsfunktioIn beiden F¨allen wird die Eddington-Barbier- nen eine wichtige Rolle

2. Spektrallinien ⇒ Iλ (θ) bei konstantem θ

62

3 STRAHLUNG

mit der Randbedingung f¨ur τ = 0 : πF + = πF (0), πF − = 0 (keine R¨uckstrahlung am a¨ ußeren Rand). Gl. (146) besitzt eine exakte L¨osung. Ber¨ucksichtigt man nach Gl. (46), daß das zweite Moment der Intensit¨at

I(τ, θ) cos θ

F (τ ) = 4

dω 4π

τ = 0.3

τ=0

+1

= 2

µI(τ, µ)dµ

(147)

−1

ist, so folgt durch Integration u¨ ber Gl. (146) nach einiger Umformung 3 J(τ ) = F (τ )[τ + q(τ )] . 4

τ = 10 τ=1

(148)

Dabei ist q(τ )  2/3, genauer q(τ ) = 0.7104 − Abb. 134. Entwicklung der Anisotropie der Intensit¨at 0.1331e−3.4488τ + . . .. Mit der formalen L¨osung I(τ, θ) mit der Tiefe nach der Milne-Eddington-N¨aherung (Gl. 139) folgt f¨ur die Intensit¨at der grauen Atmosph¨are Die Konstante α wird durch die a¨ ußere Randbe3 dingung bestimmt. Hier ist (149) I(τ, θ) = F (τ )[cos θ + τ + q(τ )] .

4 + πF (0) = πF (0)  cos θ I(0, θ)dω , (154) N¨aherung von Milne-Eddington und eine Integration nur u¨ ber den vorderen HalbMultiplikation von Gl. (146) mit dω/4π sowie mit raum (cos θ = 1/2) ergibt πF (0)  2πJ(0), wocos θ dω/4π und anschließende Integration u¨ ber mit

den gesamten Raum ergibt 2 3 F (τ ) τ + , und J(τ ) = 4 3 1 dF dH

= = 0 und 3 2 dτ 4 dτ I(τ, θ) = (155) . τ F (τ ) cos θ + τ + 4 3 dK = H , (150) dτ Die entsprechende MRV ist

mit den Intensit¨ats-Momenten I(0, θ) 3 2

1 + cos θ (156) = dω I(0, 0) 5 2 I(τ, θ) cos θ H(τ ) = und 4π Ω

und die Strahlungscharakteristiken in Abb. 134 dω I(τ, θ) cos2 θ K(τ ) = . (151) zeigen deutlich die Anisotropie von I(τ, θ). 4π Ω Wegen

Intensit¨atsmomente



dω 1 cos2 θ = cos2 θ = 4π 3 Ω gilt f¨ur die N¨aherung isotroper Abstrahlung 1 1 J = S , oder 3 3 3 dS = F , woraus folgt dτ 4 3 S(τ ) = τ F (τ ) + α . 4 K =

(152) Nach Definition sind die n-ten Momente der Intensit¨at gegeben durch +1 1 n Mn [Iλ ] ≡ µ Iλ dµ 2

.

(157)

−1

Damit erh¨alt man die bereits bekannten Defini(153) tionen Jλ (τλ ) = M0 [Iλ ], Hλ (τλ ) = M1 [Iλ ] und

3.4

Strahlungstransport

63

Kλ (τλ ) = M2 [Iλ ]. Zwischen dem Strahlungs- 3.4.4 Relativistische Modifikationen strom und Hλ besteht dann die einfache BezieBislang wurde der Strahlungstransport in (lokal) hung (158) Euklidischer N¨aherung untersucht. Hier propaFλ (τλ ) = 4 Hλ (τλ ) . gieren Photonen auf Geraden (abgesehen von Im folgenden wird der Index λ zur VereinfaBeugungseffekten). Im allgemein relativistischen chung weggelassen. Sowohl J(τ ) als auch F (τ ) ¨ Fall gilt wegen der Aquivalenz jeder Art von sind wichtige Strahlungstransportgr¨oßen, deren Energie (sei es Strahlung oder Materie): Photoformale L¨osung aus der STG (Gl. 132) hervornen propagieren entlang Geod¨atischer Kurven, geht. F¨ur τ = 0 enth¨alt letztere zwei Terme deren Form durch das Gravitationsfeld vorge 

∞ geben wird. Im folgenden werden zwei f¨ur die t − τ dt S(t) exp − (159) Astrophysik besonders wichtige Konfigurationen I(τ, µ) = µ µ τ vorgestellt.  

τ t − τ dt = − S(t) exp − . µ µ (A) Photonen im Zentralfeld 0

Der erste Term gilt f¨ur 0 ≤ µ ≤ 1, der zweite f¨ur −1 ≤ µ ≤ 0. Setzt man diese L¨osung in die Die Metrik des Zentralfelds wird durch das Linienelement Momentengleichung ein, so gilt

∞

+1

µn dµ

2Mn [Iλ ] =

τ

0

−

0

τ n

µ dµ

−1

0



t−τ S(t) exp − µ





t−τ S(t) exp − µ

dt µ





dt µ

(160)

Substitution von µ = ±1/x und dµ = ∓dx/x2 ergibt

∞

2Mn [Iλ ] =

S(t)dt τ

1

τ

+(−1)n

S(t)dt 0

xn+1

∞ −x(τ −t) e 1

xn+1

RS 2 2 = − 1− c dt (164) r dr2 + + r2 (dθ2 + sin2φdφ2 ) 1 − RS /r

vorgegeben. Parameter ist der SchwarzschildRadius der Masse. Speziell f¨ur die Sonne ist RS, =

∞ −x(t−τ )

e

ds

2

2GM  2.9km c2

.

(165)

dx b

dx . (161)

Die inneren Integrale lassen sich jetzt durch die Exponentialintegral-Funktionen En+1 (t − τ ) und En+1 (τ − t) ersetzen, und es folgt die L¨osung

∞

2Mn [Iλ ] =

φE

S(τ + t)En+1 (t)dt 0

τ

+(−1)n

S(τ − t)En+1 (t)dt . (162)

Sonne

0

Insbesondere der astronomisch beobachtete Strahlungsfluß an der Oberfl¨ache (τ = 0) erh¨alt die formale L¨osung

α

Erde

∞

Fλ (0) = 2

S(t)En+1 (t)dt 0

.

(163) Abb. 135. Die Ablenkung des Lichtvektors im Schwerefeld der Sonne

64

3 STRAHLUNG also die kosmologische Ausbreitung der Wellenfronten, muß im Rahmen der allgemeinen Relativit¨atstheorie durch kosmologische Modelle beschrieben werden. Einfachste Modelle sind die homogenen und isotropen Friedmann-Lemaˆıtre-Modelle. Mit Hilfe der Einsteinschen Feldgleichung(en) 

1 da a dt

2

=−

k Λ 8π + ρ(a) + a2 3 3

(169)

f¨ur den Expansionsfaktor a(t) und der RobertsonWalker-Metrik Abb. 136. Einfluß des Gravitationspotentials der Sonne auf die Ausbreitung des Lichts in der N¨ahe des Sonnenrands

Ist der urspr¨ungliche ”Abstand” der Strahlen vom Sonnenzentrum b (Stoßparameter), so wird die Ablenkung um so gr¨oßer sein je kleiner b ist. Ohne Ablenkung w¨are die Bahn euklidisch, also am Ort der Erde (mit der Phase φE ) gerade α = π − φE , tats¨achlich beobachtet man (s. Abb. 135 und 136) α = π − φE + δα

.

(170) ds2 = −dt2  2 2 2 2 2 2 +a (t) dr + σ (dφ + sin θ dφ ) , wobei

   sin r

, , σ(r) = r   sinh r ,

k = +1 (geschlossen) k=0 (flach) , k = −1 (offen) (171) folgt, daß ein Photon, das bei einer Wellenl¨ange λem emittiert wurde, ein sich mit a(t) ausdehnendes Weltall durchl¨auft und damit Energie verliert.

(166)

Dabei ist Die Auswertung der Eikonalgleichung in dieser − dE ≡ − dν ≡ dλ = z = λobs − λem . (172) E ν λ λem Metrik ergibt eine Winkel¨anderung von ¨ Durch einfache Uberlegungen kann man sich 2M (1 + cos α) . (167) klarmachen, daß die Gr¨oße λ/a(t) w¨ahrend der δα = b Propagation eine Invariante sein muß, so daß f¨ur die kosmologische Rotverschiebung gilt F¨ur Strahlen, die direkt am Sonnenrand erscheia(tobs ) nen (α  0, b  R ), ergibt sich z= −1 . (173) a(tem ) δα  1.75

. (168) Liouvilles Theorem Beobachtungen, die nat¨urlich bei einer Sonnenfinsternis durchgef¨uhrt werden m¨ussen, haben diese Voraussage der allgemeinen Relativit¨atstheorie gl¨anzend best¨atigt. ¨ Ahnlich, wenngleich etwas komplizierter, ist der Einfluß auf den Lichtweg in der Umgebung eines Schwarzen Loches oder von Gravitationslinsen.

Sei χ ein beliebiger affiner Parameter, der entlang der geod¨atischen Ausbreitung von N Photonen gemessen wird, V = {Vx , Vp } das Phasenraumvolumen, welches von den betrachteten N Photonen eingenommen wird. Dann gilt dV =0 . (174) dχ (B) Kosmologische Propagation von Photonen Das Phasenraumvolumen, das w¨ahrend der Propagation durch eine beliebige Raumzeit durch die N Photonen eingenommen wird, ist also eine InEmission und Absorption von Photonen variante. Da gleichzeitig die Anzahl N der Phosind Prozesse, die in einer lokalen Raumzeit totnen w¨ahrend der Propagation erhalten bleibt18 , (dt, dx, dy, dz) beschrieben werden k¨onnen. 18 vorausgesetzt, es findet keine Absorption statt Ihre Propagation u¨ ber große Entfernungen,

3.4

Strahlungstransport

65 z + 1 erh¨alt man schließlich f¨ur endliche Bandbreiten

ds

IB,obs = IB,em /(1 + z)4 dp

dz = dt

z

(179)

F¨ur die Propagation des Strahlungsstroms gilt ein entsprechendes Ergebnis, fobs =

x

.

Lem 2 4πR (1 +

z)2

,

(180)

wobei R der Abstand zur Quelle (entlang der geod¨atischen Linie) ist.

dΩ y

Abb. 137. Phasenraumvolumen kosmologischer Photonen bei der Beobachtung

Kosmische Hintergrundstrahlung

Ein wichtiges Ergebnis folgt f¨ur die isotrope Abist auch die Photonendichte N = N/V eine Inva- strahlung der heißen Materie nach dem Planckriante (dies entspricht der stoßfreien Boltzmann- schen Gesetz unmittelbar vor der Entkopplung von Strahlung und Materie im fr¨uhen Universum. Gleichung f¨ur Photonen). Die Photonen der kosmischen Hintergrundstrahlung (3Æ K) sind im Laufe ihrer Propagation seit der letzten Emission (vor ∼ 15 Gyr) immer einer Planck-Funktion gefolgt, da nach dem Fl¨achenhelligkeits-Theorem (Gl. 177) Iν = Bν (T ) ∼ ν −3 ist. Damit ist gleichzeitig exp(hν/kT ) − 1 eine Invariante. Da ferner ν ∼ 1/(1 + z) abf¨allt, muß sich die Strahlungstemperatur ebenso verhalten. Es gilt also (175)

W¨ahrend der Ankunft der Photonen beim Beobachter besitzen sie folgende PhasenraumKoordinaten (Abb. 137): im Zeitintervall dt vor Eintreffen der dN Photonen ist der Ortsanteil von V gerade Vx = ds dt, und der Energieimpulsanteil Vp = p2 dp dΩ. Insgesamt ist daher mit p = hν N =

dN dN = 3 2 Vx Vp h ν dsdtdνdΩ

Gleichzeitig ist die lokale Definition der Intensit¨at (Gl. 44) hνdN . (176) Iν = dsdtdνdΩ Vergleicht man die Ergebnisse in Gl. (175) und (176), so erh¨alt man das erstmals von Tolman (1932) gefundene Fl¨achenhelligkeits-Theorem N = h−4 (Iν /ν 3 ) = Invariante .

(177)

Ersetzt man die Frequenz- durch die Wellenl¨angenskala, dann ist statt Gl. (177) Iλ λ5 eine Invariante. F¨ur die Beobachtung der Intensit¨at entfernter Galaxien in einem B-Filter folgt ν

2,obs

IB,obs = const

Iν,obs dνobs .

(178)

ν1,obs

Mit Iν,obs /Iν,em = (νobs /νem )3 und νem /νobs =

1 Tobs = Tem 1+z

.

(181)

Daraus l¨aßt sich mit einer Rekombinationstemperatur des Wasserstoffs von Tem ∼ 5 000 . . . 10 000 K und der heute beobachteten Temperatur Tobs = 2.7 K des kosmischen Strahlungshintergrunds die dem Ende der Strahlungs¨ara entsprechende Rotverschiebung bestimmen, zrec  1800 . . . 3600 .

(182)

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

4

Dynamik

67 M r=

r p−

rs

Abgesehen von speziellen Methoden der Untersuchung von Vielteilchensystemen und von m Stabilit¨atsanalysen befaßt sich die Dynamik im Bereich der Astrophysik praktisch ausrs schließlich mit Punktmassen. Dies ist fast immer ausreichend, um die langreichweitirp ge Gravitations-Wechselwirkung zu beschreiben; denn die Abst¨ande zwischen astronomischen Objekten – seien es nun Planeten oder Sterne oder Galaxien – sind fast immer wesentlich gr¨oßer als ihre Ausdehnung. Abb. 138. Das Zweik¨orperproblem Diese Voraussetzung verschwindet immer dann, wenn es um Gezeiten geht, bei denen ja gerade die da mi , mk  M gilt. ⇒ Das Zweik¨orperprobetr¨achtliche Ausdehnung der betroffenen Objek- blem Sonne-Planet ist eine sehr gute erste N¨ahete die ausschlaggebende Rolle spielt. Wann im- rung der Bewegung, der verbleibende Rest kann mer die Beschreibung durch Punktmassen nicht als St¨orung behandelt werden (vgl. Abb. 138), mehr g¨ultig ist, werden die Aussagen u¨ ber den M m Zustand entweder approximativ oder k¨onnen nur m¨rp = −G 3 (rp − r ) (185) rp durch Rechnerunterst¨utzung gewonnen werden. M m M¨r = −G 3 (r − rp ) rp

4.1

Himmelsmechanik und PlanetenSubtraktion der mit m−1 bzw. M−1 multipliziersystem ten Gleichungen (185) ergibt

Ausgangspunkt der Dynamik ist das Zweik¨orperproblem, das tats¨achlich in guter N¨aherung die Bewegung der Planeten im Sonnensystem beschreibt. Dieser Komplex ist seit Jahrhunderten unter dem Begriff Himmelsmechanik bekannt. Hier werden nur die allereinfachsten Zusammenh¨ange vorgestellt. 4.1.1

Die Mechanik Newtons und Keplers

¨r = −G

M + m r r3

,

(186)

wobei sich die Sonne im Koordinatenursprung befindet. ⇒ Das Zweik¨orper-Problem wird beschrieben durch 3 gew¨ohnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung. Ihre L¨osung erfordert dementsprechend 6 Integrale (z.B. die Anfangswerte von [x, y, z] und [vx , vy , vz ]), und der L¨osungsvektor r(t) beschreibt die Relativbewegung Planet-Sonne.

Die Wechselwirkung zwischen Sonne, Planeten Da die Gravitation eine Zentralkraft ist, gilt die und anderen K¨orpern im Sonnensystem ist prak- Erhaltung des Drehimpulses. Gl. (186), vektoriell tisch ausschließlich gravitativ, multipliziert mit dem Radius, ergibt ¨r × r = 0, da Mm r r × r = 0 ist. Mit . (183) K = −G 2 r r d ¨r × r ≡ (˙r × r) (187) Ber¨ucksichtigt man die Sonne und 9 Planeten, dt erh¨alt man f¨ur jeden Planeten i die Bewegungsfolgt schließlich gleichung  rik ri r˙ × r = −h = const , (188) Gmi mk 3 − GM mi 3 (184) mi¨ri = − rik ri k=i wobei m(r× r˙ ) der Bahndrehimpuls des Planeten Die eigentliche Planeten-Wechselwirkung (der ist. Zwei Eigenschaften dieser Bewegung folgen erste Term in Gl. 184) ist vergleichsweise klein, aus der Integration

68

4

P

DYNAMIK

Benutzt man die Parameter

dr

h2 G(M + m) A e = G(M + m)

,

p =

r dφ



φ =

(A, r)

(195)

,

,

(196)

so folgt das 1. Keplersche Gesetz, das die m¨oglichen Bahnformen der Zweik¨orperbewegung beschreibt, p . (197) r= 1 + e cos φ

dF Abb. 139. Der Fl¨achensatz

Die Bahn eines planetaren K¨orpers beschreibt also in guter N¨aherung einen Kegelschnitt mit der • es handelt sich um einen ebene Bewegung wahren Anomalie φ und der Bahnexzentrizit¨at e = ε/a. Die Parameter aller Bahnformen sind • f¨ur das Problem gilt der Fl¨achensatz (2. Kepin Tab. 6 zusammengefaßt. lersches Gesetz)

Wie in Abb. 139 zu sehen, gilt unter Zuhilfenah- Tab. 6. Parameter der Bahnformen im Zweik¨orperproblem me von r × dr = 2 dF Kreis Ellipse Parabel Hyperbel 1 1 dF = r2 φ˙ = h . (189) e 0 <1 1 >1 dt 2 2 p a(e2 − 1) p a a(1 − e2 ) Die Form der Bahn im Zweik¨orperproblem folgt a a – √a √a aus der vektoriellen Multiplikation der Gl. (186) 2 – a e2 − 1 b a a 1−e und (188), a a(1 − e) p/2 a(e − 1) rP M + m a a(1 + e) ∞ ∞ rA (h × r) (190) h × ¨r = −G 3 r M + m = −G [(r × r˙ ) × r] r3 Speziell f¨ur elliptische Bahnen existiert eine weiM + m 2 tere Gesetzm¨aßigkeit. Mit 2a = rP + rA gilt (s. = −G [r r˙ − (r · r˙ ) · r˙ ] , r3 Abb. 140) und wegen p h2 rr˙ − rr ˙ d r a= = . (198) = (191) 1 − e2 G(M + m)(1 − e2 ) 2 dt r r folgt

d r h × ¨r = −G (M + m) . (192) dt r Integration ergibt r h × r˙ = −G (M + m) − A , (193) r und nach einer weiteren Multiplikation mit r folgt mit der Identit¨at (h × r˙ ) · r = h · (˙r × r) = −h2 schließlich h2 = G (M + m) r + (A · r) .

Planet

r

p φ

a

ε

rP a

b

(194) Abb. 140. Parameter elliptischer Umlaufbahnen

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

69

Aus dem Fl¨achensatz (Gl. 189) folgt f¨ur die Um- oder mit Tab. 6 laufzeit T    2 1   , e<1 

T  G (M + m) r − a √  dF 1  2  2  F = dt = hT = πab = πa 1 − e . 2 2 dt 2 ˙ = r , e=1 G (M + m) 0  r   (199)      2 1   G (M + m) Damit ist , e>1 + r a (207) πa2 h 1 , (200) wobei r˙ = (r, hT =  ˙ ˙ rφ) ist. F¨ur Kreisbahnen ist r = 2 G(M + m)a a = const, so daß sich der Virialsatz in seiner einfachsten Form ergibt, oder nach Quadrieren, T2 =

4π 2 a3 G(M + m)

.

(201)

r˙ 2 =

G (M + m) , 2 Ekin = −Epot r

(208)

Dies ist das 3. Keplersche Gesetz, das f¨ur die em- Die Kreisbahngeschwindigkeit vcirc = |˙r| wird pirische Entfernungsbestimmung im Planetensy- h¨aufig auch als Kepler-Geschwindigkeit bezeichstem geeignet ist. net. F¨ur Ellipsenbahnen (e < 1) gilt allerdings Die skalare Multiplikation der Bewegungsglei- der Virialsatz nur im Zeitmittel u¨ ber einen ganzen Umlauf. F¨ur Parabelbahnen ist stattdessen chung (186) mit r˙ liefert 

r˙ 2 2



M + m (209) Ekin = −Epot . (r · r˙ ) r3 d = −∇Φ · r˙ = (−Φ) , (202) Mit der Gesamtenergie E = 0 definiert die Paradt belbahn also gerade die Entweichgeschwindigkeit einer Masse m aus dem Schwerefeld einer Masse oder M, 1 2 M + m r˙ − G = E = const , (203)  2 r 2 G (M + m) √ = = 2 vcirc . (210) v esc als Energiesatz f¨ur das Zweik¨orperproblem. Den r Betrag der Energie berechnet man am einfachsten f¨ur r ⊥ r˙ , also z.B. im Perihel. Dort gilt nach Gl. Das Zweik¨orperproblem ist vollst¨andig l¨osbar – (188) r˙P rP = h , und mit h2 = pG(M + m) und z.B. mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus; die L¨osungen der Bewegungsgleichungen, r(t), φ(t), rP = p/(1 + e) ergibt sich sind allerdings nicht durch elementare Funktio1 2 G(M + m) E = − (1 − e ) . (204) nen darstellbar. 2 p d dt

= ¨r · r = −G

Unter Benutzung der Tab. 6 findet man so  1 G(M + m)    −    2 a 

E= 0 

  1 G(M + m)    +

2

a

, e<1

4.1.2

Die gravitative Wechselwirkung von mehr als 2 19 (205) K¨orpern (Punktmassen) ist nicht exakt l¨osbar . Im wesentlich gibt es 3 Methoden zur Behandlung von Mehrk¨orperproblemen

, e=1 , e>1

Setzt man dieses Ergebnis in den Energiesatz (Gl. 203) ein, so ergibt sich eine sehr n¨utzliche Gleichung f¨ur die Relativgeschwindigkeiten beim Zweik¨orperproblem, 

r˙ = G (M + m) 2

2 e2 − 1 + r p

St¨orungsrechnungen



,

1. Ansatz einer St¨orungstheorie, 2. numerische Behandlung des N -K¨orperProblems, und 19

exakt heiß in diesem Zusammenhang: durch ein System (206) von L¨ osungsfunktionen darstellbar

70

4

DYNAMIK

3. Anwendung von Methoden der statistischen Mechanik Da es im Planetensystem auf pr¨azise Aussagen u¨ ber einzelne Objekte ankommt, scheidet die statistische Mechanik zumeist aus. Der einfachste Fall beschreibt eine Absch¨atzung der verschiedenen Einfl¨usse von dritten K¨orpern auf die Bahnbewegung eines Planeten (Mondes) im Zentralfeld der Sonne (des Planeten). a M

d m

ms

Abb. 141. Zum Ansatz bei St¨orungsrechnungen

Seien die Massen durch M , m und die St¨ormasse ms bezeichnet, wobei es sich durch kleine St¨orungen handeln soll, so daß

Abb. 142. St¨orungen der Planetenbahnen

mit dem St¨orfaktor ms f= M

3 a

d

.

(217)

Je gr¨oßer der St¨orfaktor ist, umso wichtiger wird (211) die St¨orung und ihr Einfluß auf die Bahn. Einige Beispiele sind die St¨orungen Maximale St¨orungen treten bei Konjunktion oder der Erdbahn durch Venus f = 1/37 000 Opposition auf (Anordnung in einer Reihe, vgl. der Erdbahn durch Jupiter f = 1/53 000 Abb. 141). Hierbei spielt die Wirkung von Be- der Jupiterbahn durch Saturn f = 1/360 schleunigungsdifferenzen die zentrale Rolle. So Gl. (216) ist nat¨urlich nur die allereinfachergibt sich f¨ur die Beschleunigung von m durch ste Absch¨atzung der m¨oglichen St¨orungen. ms Die tats¨achlich im Planetensystem vorhandenen G ms bm = , (212) St¨orungen sind weitaus komplexer. Selbst f¨ur d2 große Planeten reicht eine Darstellung wie Abb. und f¨ur die Beschleunigung von M durch ms 141 nicht aus, wie man leicht in Abb. 142 feststellt. So findet eine St¨orung der Erdbahn durch G ms bM = (213) Venus, Mars und Jupiter statt. Die Bahn des Mon(a + d)2 des um die Erde ist noch wesentlich st¨oranf¨alliDie St¨orbeschleunigung f¨ur die relative Bahn von ger. Dies wird dokumentiert durch Schwankunm um M (im System von M ) ist dann die Diffe- gen der Bahnparameter, die durchaus nicht periodisch sind (Abb. 143). renz   ¨ Die Anderungen der Mondbahn unter dem Ein1 1 − , (214) ∆b = G ms fluß verschiedener St¨orer, insbesondere der Sond2 (a + d)2 ne, zeigen die typischen Anzeichen resonanter Schwingungen mit Schwebungen, die hier unso daß f¨ur a  d gilt gef¨ahr im Abstand von 7 Monaten wiederkehren.

1 2a 1 Anders als Schwebungen erzwungener Schwin 2 1− , (215) 2 gungen kommt hier allerdings eine chaotische (a + d) d d Komponente hinzu, die zeigt, daß sich auch die und somit St¨ormassen ”abwechseln”, so zum Beispiel vorbeifliegende Asteroiden, die nie auf derselben GM a (216) Bahn wiederkehren, da sie selbst noch st¨arkeren ∆b = 2 G ms 3 = 2f 2 d a ms M mM ms m ,  |rs − r|2 r2s r2

.

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

71

¨ Abb. 143. Beobachtete Schwebungen in der Anderung der Bahnexzentrizit¨at des Mondes

St¨orungen ausgesetzt sind. Das Problem der planetarischen St¨orungen zeigt sich besonders an den Asteroiden, deren Ortsverteilung in Abb. 144 zu sehen ist. Die meisten Asteroiden f¨ullen einen Kreisring etwa von der Marsbahn bis zur Mitte zwischen Mars- und Jupiterbahn. Dieser Bereich bildet ein Reservoir an leicht st¨orbaren Kleinplaneten, wobei Bahnen mit geringer Exzentrizit¨at (die mittlere Anordnung der Orte folgt schließlich ungef¨ahr einer Kreisbahn) in solche mit sehr großer Exzentrizit¨at umgewandelt werden k¨onnen.

Abb. 145. Bahnexzentrizit¨at eines hypothetischen Asteroiden mit chaotischen Ausbr¨uchen

zeigt, daß eine solche Bahn nicht mehr vorhersagbar ist.

Diese Rechnungen ergeben erstaunliche Resultate, da praktisch alle Bahnen, auch die der gr¨oßeren Planeten wie z.B. die Erde nach  100 Millionen Jahren chaotisch zerfallen k¨onnen. Da es sich dabei allerdings um eine Wahrscheinlichkeitsaussage handelt, m¨ussen die Bahnen nicht chaotisch ¨ bleibt die Aussage, daß es derEin solcher Fall wird in Abb. 145 als Rechnung werden. Ubrig zeit nicht m¨ o glich ist, eine Planetenbahn u¨ ber eieines Vielteilchensystems vorgestellt, die deutlich ne Million Jahre hinaus zuverl¨assig vorherzusagen. Alle einfachen Gesetzm¨aßigkeiten wie z.B. die Keplerschen Gesetze erweisen sich daher im Licht der St¨orungstheorie als ideale N¨aherungen und außerdem keineswegs als zeitlich invariant. Ein Spezialfall der St¨orung eines großen Planeten wurde Ende des 18. bis zur Mitte des 19. Jahrhun-

Abb. 144. Beobachteter Aufenthaltsort der Asteroiden

Abb. 146. Durch St¨orungen des Neptun versursachte Ortsabweichungen der Uranusposition im Verlauf l¨angerer Beobachtungen

72

4

DYNAMIK

derts beobachtet (Abb. 146). Gegen¨uber der berechneten Ellipsenbahn ergaben sich signifikante Abweichungen, deren Interpretation schließlich in der Entdeckung des St¨orers Neptun durch Galle (1846) gipfelte. 4.1.3

Erde-Mond-System Abb. 148. Bestimmung der Erdmasse nach Jolly

Zur Untersuchung des Erde-Mond-Systems geh¨ort die Messung der elementaren planetarischen Daten. So wurde bereits in vorchristlichen Zeiten die erste terrestrische Triangulation durchgef¨uhrt (Abb. 147). Dabei wird die Zenitdistanz

• Dopplerverschiebung von Spektrallinien Die Erdrotations-Achse ist nur n¨aherungsweise raumfest und derzeit etwa 23.5Æ gegen die Bahnumlauf-Achse geneigt. Dadurch erkl¨aren sich die Jahreszeiten.

Zenit

Eine wichtige Gr¨oße ist die Erdmasse M3 . Eine genauere Untersuchung wurde im Labor durch Jolly (1881) nach dem in Abb. 148 gezeigten Prinzip durchgef¨uhrt. Hier ist

α Alexandria l R

• Wirkung der Corioliskraft auf Luftmassen

m A M3 m A m B m A M3 m ε M3 + = + (219) 2 2 2 R3 R3 R3 d2

Syone

Daraus ergibt sich Abb. 147. Bestimmung des Erddurchmessers durch Triangulation (nach Erathosthenes)

α der Sonne bei Kulmination auf dem gleichen Meridian gemessen (hier Alexandria und Syone). Die Meridiandistanz l wird als bekannt vorausgesetzt, so daß α l = 2πR3 360Æ

2 m A R3  5.97 1027 g 2 mε d G M3 =  981.4 cm s−2 2 R3  5.5 g cm−3  11.2 km s−1 . (220)

M3 = m B g3 ρ3 v3,esc

Die Mechanik des Erde-Mond-Systems erfordert f¨ur eine exakte Behandlung einen sehr großen Aufwand, weil der Mond starken St¨orungen ausDas Ergebnis lieferte R3 = 6378 km. Wesentlich gesetzt ist. Am st¨arksten ist die St¨orung durch die genauere Ergebnisse folgen aus der direkten Tri- Sonne, mit angulation durch k¨unstliche Erdsatelliten. Dabei  3 wird auch die Abplattung der Erde zum RotatiM  aM  0.006 (221) f= onsellipsoid offenbar. So ist z.B. R3,pol = 6356 M3 a  km und (R3,equ − R3,pol )/R3,equ  0.003. Der Nachweis der Erdrotation als Ursache wird Zun¨achst ist die Bestimmung der Entfernung notwendig. Hier bedient man sich der t¨aglichen Parmit folgenden Methoden gef¨uhrt, allaxe des Mondes (¨aquatoriale Horizontalparallaxe), die etwa 2Æ betr¨agt (Abb. 149). Da diese • Foucaultsches Pendel wegen des großen Zenitabstands nur relativ unge• Geschoß-Ablenkung nau sein kann, benutzt man tats¨achlich wesentlich .

(218)

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

73

~ 2°

folgt. Der Schwerpunkt befindet sich also in der Erde. Die Bahn des Schwerpunkts um die Sona ne definiert die Ebene der Ekliptik. Der Erdmittelpunkt ”wackelt” um die Ekliptik, da die Abb. 149. Entfernungsbestimmung des Mondes durch die Mondbahnebene nicht koplanar ist; damit wird eit¨agliche Parallaxe ne scheinbare Ungleichheit der Sonnenbewegung mit der Periode 1 Monat erzeugt, deren Amplitufortschrittlichere Methoden wie z.B. die Reflexiden on von Laserstrahlen an der Mondoberfl¨ache (Lunar Laser Ranging) mit einer Lichtlaufzeit von • in L¨ange : ∆λ = 6.6

 2.56 s. Daraus ergibt sich 2R

aM = 384 000 km RM = 1 740 km

• in Breite : ∆β = 0.6



( 60 R3 ) ( 0.27 R3 )

betragen. Die Bahn des Mondes ist in erster N¨aheDie Massenbestimmung des Mondes kann nach rung eine Ellipse mit geringer Exzentrizit¨at, e = dem 3. Keplerschen Gesetz durchgef¨uhrt wer0.0549 (vgl. jedoch Abb. 143). Das Perig¨aum den20 , f¨ur das mit der Umlaufperiode TM gilt liegt bei 356 410 km, das Apog¨aum bei 406 740 2 4π gegen die EkTM2 = (222) km. Die Neigung der Bahnebene a3 , G(M3 + MM ) M liptik variiert zwischen i = 4Æ 59
und 5Æ 19
. so daß die Aufl¨osung nach MM Erde 1 synodischer MM  7 1025 g  M3 (223) 81 siderischer Monat ergibt. Auch hier wird eine genauere Bestimmung wieder durch (mondumkreisende) k¨unstliche Satelliten erreicht oder durch Berechnung des St¨orungsproblems f¨ur Asteroiden, die dem Mond Sonne sehr nahe kommen. Damit ergibt sich (224) gM  162 cm s−2 ( g3 /6) ρM  3.5 g cm−3 (Erdkruste : 3.0) Abb. 151. Erl¨auterung des siderischen und synodischen v3,esc  2.4 km s−1 . Monats

d

Man unterscheidet die Mondphasen nach siderischen und synodischen Monaten. Ersterer dauert 27.3 und der letztere 29.5 Tage (s. Abb. 151). d Die Mondbahn bleibt stets konkav zur Sonne, da 2 > M3 /RM2 gilt. St¨orungen der MondM /R3 Abb. 150. Zur Lage des Schwerpunktes im Erde-Mond-Sybahn durch Sonne und Planeten sind deutlich stem beobachtbar. Ihre Ber¨ucksichtigung erfordert eiDer Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems wird ne aufwendige Reihenentwicklung mit mehreren definiert durch M3 d3 = MM dM , woraus 100 Gliedern. Folgende Ergebnisse bestimmen die Mondbahn: MM d3 = d = 4000 km  0.75R3 M3 + M M (225) (a) Das Perig¨aum uml¨auft die Erde prograd in 8.85 Jahren 20 M

d

M

da G nur auf  0.1% genau bekannt ist, funktioniert die Methode gerade noch (kleine Differenz großer Zahlen). Normalerweise wird das 3. Keplersche Gesetz nur f¨ur die Bestimmung der jeweils gr¨oßeren Masse im Zweik¨orperproblem angewendet

(b) Die Mondbahnebene schwankt. Die Knotenlinie mit der Ekliptik l¨auft retrograd und folgt einer Nutation mit P = 18.61 Jahren

74

4

DYNAMIK

(c) Die Rotation des Mondes ist gebunden, TM = 2π/ωrot (d) Die Libration des Mondes setzt sich aus drei Anteilen zusammen, ∗ Libration in L¨ange: Zwar ist ωrot = const., aber wegen des Fl¨achensatzes (e > 0) ist Ωorbit variabel. Im Perig¨aum ist Ωorbit > ωrot und damit die Phase nach Westen verschoben, Im Apog¨aum ist Ωorbit < ωrot und die Phase nach Osten verschoben. Abb. 152. Die Pr¨azession der Erde unter Einfluß von Mond Die maximale Phasenverschiebung be- und Sonne tr¨agt 7Æ 53
∗ Libration in Breite: Die Rotationsachse des Mondes ist nicht ⊥ zur Bahnebene, die Polkappen sind daher um maximal 6Æ 40
geneigt. ∗ Parallaktische Libration: Sie kommt durch Beobachtung von verschiedenen Punkten der Erde zustande. Das Maximum entspricht der a¨ quatorialen Horizontalparallaxe (1Æ 54
). Insgesamt sind wegen der Libration etwa 60% der Mondoberfl¨ache von der Erde aus sichtbar. Die Konstellation des Sonne-Erde-MondSystems besitzt eine ungew¨ohnliche Eigenschaft, die zur Erscheinung von Finsternissen auf der Erde f¨uhrt: Mond und Sonne haben von der Erde aus ungef¨ahr den gleichen Winkeldurchmesser,  30
. Wegen der 5Æ Neigung zwischen Mondbahn und Ekliptik sind Finsternisse allerdings nur zu beobachten, wenn die Knotenlinie in Richtung Sonne zeigt. ¨ Uber das Zweik¨orperproblem hinaus erzeugt die gravitative Wechselwirkung zwischen Erde und Mond zus¨atzliche Bewegungen, da beide keine Massenpunkte sondern ausgedehnte K¨orper sind, deren Massendichte u¨ berdies nicht exakt kugelsymmetrisch ist. Die wichtigsten Ergebnisse betreffen die (a) Pr¨azession Die Erde ist durch ihre Rotation ein oblates

¨ Ellipsoid mit einem Aquatorwulst, ihre RotaÆ tionsachse 23.5 gegen die Ekliptik geneigt. Eine davon abweichende Neigung der Rotationsachse besteht zur Mondbahn. ¨ ⇒ Mond und Sonne ziehen den Aquatorwulst in Richtung Mondbahn bzw. Ekliptik. Das daraus resultierende Drehmoment f¨uhrt zur Kreiselbewegung der Polachse mit P = 25 725 Jahren (Abb. 152). Dieser Kreiselbewegung u¨ berlagert sich die oben vorgestellte Nutation der Mondbahn (b) Gezeiten Generell betrifft in der Astrophysik der Begriff Gezeiten die Wechselwirkung nicht genau punktf¨ormiger Massen. Speziell im Sonne-Erde-Mond-System erzeugen Gezeiten zwei Resultate. Mond und Sonne beeinflussen mit ihren Massen die Erdkruste und Wassermassen an der Erdoberfl¨ache. Die Berechnung wird als St¨orung des Systems starrer Erdk¨orper + Ozeane (M3 + m) durch die St¨ormasse ms (Mond oder Sonne) ausgef¨uhrt. Nach Gl. (217) ergeben sich die St¨orfaktoren f  5 10−8 f¨ur den Mond und f  2.5 10−8 f¨ur die Sonne. Die St¨orungen des Mondes sind also doppelt so groß wie die der Sonne. Berechnet man die im sub- und translunaren Punkt auftretenden Beschleunigungen (vgl. Abb. 153), so erh¨alt man zus¨atzlich zur radialen Beschleunigung durch die Erdmasse,

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

75 d

g3 , die lunaren Beschleunigungen

bT bS

R3 2 = bM / 1 + d

R3 2 = bM / 1 − d

T

.

(226)

R

S

d−R

d+R

Da R3 /d  1 ist, kann man den Bruch in Abb. 153. Die Gezeiten unter dem Einfluß des Mondes. S und T bezeichnen den sub- und translunaren Punkt eine Reihe entwickeln, so daß

bT bS

2R3  bM 1 − d

2R3  bM 1 + d

.

(227)

den Gezeitenkr¨aften. Die teilweise entgegengesetzten Kr¨afte erzeugen Reibung, die einen Verlust von Rotationsenergie und -geschwindigkeit mit sich bringt. Als Folge daraus wird der Erdtag l¨anger (∼ 2 s in 100 000 Jahren). Der bei der Rotation verlorengehende Drehimpuls wird auf die Mondbahn u¨ bertragen, und der Mond entfernt sich j¨ahrlich um ∼ 12 cm von der Erde.

Diese Terme enthalten die Beschleunigung des Mondes relativ zum Erdmittelpunkt, welche durch die entgegengesetzte Beschleunigung der Erde auf den Mond kompensiert wird. F¨ur die Beschleunigung in den Punkten ”T” und ”S” bleibt so nach vektorieller Ber¨ucksichtigung der jeweils u¨ brigblei- Mit einer Winkelgeschwindigkeit von Ω = benden Terme der gleiche Rest, 2π/T3 und dem dazugeh¨origen Drehimpuls der Erdrotation, h3 = Θ3 Ω (Θ3 ist das Drehmo2 bM R3 (228) ment), ergibt sich aus der Gezeitenreibung eine b T = b S  g3 − d Drehimpuls¨anderung Damit ist in beiden Punkten die an der Erdoberfl¨ache wirkende Beschleunigung gerin2πΘ3 = − δT3 < 0 , (229) δh 3 ger als z.B. am Pol. Der bewegliche Teil T32 der Erdkruste, des Erdinneren und die Ozeane erfahren dadurch eine Verformung (im welche bei Erhaltung des Gesamtdrehimpulses letzteren Fall einen Flutberg), die jeweils in des Erde-Mond-Systems eine entsprechende ZuRichtung des St¨orers zeigt. Die Figur der nahme des Mondbahn-Drehimpulses erzwingt,  Erde wird daher gleich zweimal deformiert:   G(M3 + MM ) 1 zum einen wird durch die Rotation ein oblaδdM . δhM = −δh3 = MM  tes (abgeflachtes) Ellipsoid erzeugt, zum an2 dM deren ergeben die Gezeiten von Sonne und (230) Mond jeweils ein prolates (zigarrenf¨ormi- Diese Ergebnisse lassen sich durch Beobachtun¨ ges) Ellipsoid, das dem Rotationsellipsoid gen u¨ berpr¨ufen. So kann die Anderung der Tau¨ berlagert ist. gesl¨ange δT3 , aus den Ringstrukturen versteinerter Korallen aus dem Devon (−370 106 Jahre) herDie durch den Mond erzeugten Flutberge wandern in einem Mondtag (24h 50m ) um angezogen werden. Sie zeigt, daß der damalige die Erde. Alle 12h 25m ist Flut. Besonders Tag ∼ 10% k¨urzer war. Noch genauer folgt dies stark wirken die Gezeiten bei Opposition von aus der Untersuchung historisch dokumentierter Mond und Sonne; es ergibt sich eine Spring- Finsternisse. Hier erh¨alt man flut. Aus der Bewegung des (nahezu) starren Erdk¨orpers gegen den Flutberg und aus der Bewegung zwischen (fl¨ussigem) Erdkern und Erdkruste ergibt sich die Gezeitenreibung. Dies ist also eine sekund¨are Wechselwirkung zwischen der Erdrotation und

δT3 = 1.64s /100 000 Jahre .

(231)

Eine Alternative dazu ist die Messung von δdM mittels des Lunar Laser Ranging Projekts, das eine Genauigkeit von 15 cm erlaubt und somit auf einer relativ kurzer Zeitbasis eine mittlere Genauigkeit von wenigen % m¨oglich macht.

76 4.1.4

4

DYNAMIK

Planeten

wahren Planetenbahnen werden selbstverst¨andlich wieder durch die Keplerschen Gesetze be99.9% der gesamten Masse des Planetensystems schrieben. Dabei werden traditionsgem¨aß die 6 befinden sich in der Sonne (1.989 1033 g), aber Integrationskonstanten (s. Abschn. 4.1.1) wie in nur 0.5% des gesamten Drehimpulses. Das Sy- Abb. 156 gew¨ahlt, stem setzt sich neben der Sonne aus 9 Planeten, einer großen Anzahl von Asteroiden und Kome• Große Halbachse a ten sowie Staub und Gas zusammen. • Bahnexzentrizit¨at e • Neigung der Bahnebene zur Ekliptik i • L¨ange des aufsteigenden Knotens Widderpunkt V

N

vom

• Perihelabstand ω von der Knotenlinie • Siderische Periode P und Zeitpunkt des Periheldurchgangs, t0 . Abb. 154. Bahnen der Planeten im Sonnensystem

a, e und t0 sind von der Pr¨azession unabh¨angig, i, N und ω h¨angen vom Koordinatensystem ab; die genaue Lage wird durch die Pr¨azession beeinflußt.

Planetenbahnen Alle Planetenbahnen liegen ungef¨ahr in der Ekliptik, zumeist mit Inklinationswinkeln unter 3Æ . Ihre wichtigsten Bahndaten, sowie die des gr¨oßten Asteroiden, Ceres, sind in Tab. 7 zusammengefaßt. Tab. 7. Bahndaten der Planeten

Planet

T [yr]

a [AE]

e

Merkur Venus Erde Mars

0.241 0.615 1 1.881

0.387 0.723 1 1.524

Ceres

4.601

Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto

11.87 29.63 84.67 165.5 251.9

Die Bestimmung der Entfernungen beruht auf der Astronomischen Einheit AE. Eine direkte Bestimmung dieser Gr¨oße aus der t¨aglichen Parallaxe der Sonne (p = 8.8

) ist wegen der atmosph¨arischen Refraktion nur sehr ungenau. Stattdessen wird die t¨agliche Parallaxe erdnaher Asteroiden mit großer Bahnexzentrizit¨at gemessen und deren Bahnelemente aast und Tast bestimmt. Aus dem 3. Keplerschen Gesetz folgt dann

[Æ ]

i

v [km/s]

0.206 0.007 0.017 0.093

7.0 3.4 0 1.8

47.9 35.0 29.8 24.1

2.766

0.077

10.6

17.9

woraus a3 = 1.495985 1013 folgt.

5.205 9.576 19.28 30.14 39.88

0.048 0.056 0.050 0.008 0.253

1.3 2.5 0.8 1.8 17.1

13.1 9.6 6.8 5.4 4.7

Ein a¨ hnliches Verfahren beruht auf Radarmessungen der Laufzeit eines Radiosignals z.B. zur Venus (und zur¨uck). Hier erh¨alt man 2 tVenus , so daß



a3 aast

3



=

T3 Tast

2

√ Wegen der mit 1/ a abfallenden Bahngeschwindigkeiten der Planeten scheinen in der N¨ahe der Konjunktion die weiter außen umlaufenden Planeten (z.B. Jupiter) ihre Richtung zu wechseln und Epizykelbahnen anzunehmen (Abb. 155). Die Abb. 155. Epizykelbewegung des Jupiter

,

(232)

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

77

Perihel

ω

i

Aufsteigender

Knoten

ae Ekliptik

F¨ur die planetare Massenbestimmung wird wieder das 3. Keplersche Gesetz herangezogen (Gl. 201). Die Sonnenmasse M = 1.989 1033 g folgt so direkt aus den Erdbahndaten – die Erdmasse ist hier ohnehin nur eine kleine Korrektur (vgl. Fußnote zu Gl. 222).

a

Aphel

Abb. 156. Die Bahnelemente der Planeten

V Stern (λ0)

θ Erde (λ)

λ−λ0

wobei λ0 bei θ = π/2 gemessen wird. Messungen ergeben v 3  30 km s−1 . F¨ur eine Kreisbahn ergibt sich so v3 T3 = 2πa3 und damit die AE. Dieses Verfahren ist einfach zu erweitern f¨ur den Fall einer Ellipsenbahn und f¨ur eine Sternposition außerhalb der Ekliptik.

Die Massenbestimmung von Planeten wird ebenfalls mit Gl. (201) durchgef¨uhrt, wobei die Bahndaten der Monde herangezogen werden k¨onnen. Sind keine Monde vorhanden, wird es schwieriger (z.B. Merkur, Venus oder Pluto). Wie mehrfach erw¨ahnt, kann die Planetenmasse nicht aus dem Zweik¨orperproblem mit der Sonne bestimmt werden, weil in

1 Jahr

mpl = t

Abb. 157. Der Dopplereffekt der Erdbahnbewegung

4π 2 a3pl − M G Tpl2

(235)

die rechte Seite aus einer kleinen Differenz großer Zahlen besteht, wobei G nur ungenau bekannt ist. Ersatzweise muß auf St¨orungsrechnungen mit anderen Planeten oder Asteroiden zur¨uckgegriffen werden.

sich die Entfernung dVenus = c tVenus und damit Planetenradien wurden urspr¨unglich durch die Bahn der Venus mit großer Genauigkeit ver- direkte Triangulation bestimmt. Bei

einer Beobachtungsgenauigkeit von δα ∼ 0.1 ergibt sich messen l¨aßt. ein Fehler von δR = 20 km f¨ur die inneren und Eine andere Methode beruht auf der Messung 200 km f¨ur die a¨ ußeren Planeten. Wesentlich besdes Dopplereffekts an Spektrallinien in Sternspek- sere Daten wurden durch die Satellitenmissionen tren (s. Abb. 157). Bewegt sich die Erde auf ih- gemessen. rer Umlaufbahn mit einem Winkel θ zur Richtug des Sterns, ergibt sich der longitudinale nichtPhysik und Aufbau der Planeten relativistische Dopplereffekt zu

v 1 + cos θ c

(233) Die Oberfl¨achen der inneren Planeten einschließlich des Mars sowie auch der meisten regul¨aren Monde der a¨ ußeren Planeten sind gekennzeichnet In der einfachsten N¨aherung l¨auft die Erde auf eidurch eine komplexe Kraterlandschaft, die einner Kreisbahn, so daß θ(t) = ω3 t. Aus der Mesdeutig auf heftige Zusammenst¨oße mit gr¨oßeren sung der Wellenl¨ange λ erh¨alt man gerade die Planetesimals hinweisen (Abb. 158). Andere pladoppelte mittlere Erdbahngeschwindigkeit aus netare K¨orper wie Venus oder der Saturnmond Titan sind ebenso wie die großen a¨ ußeren Planeten 2v3 |λmax − λmin | = λ0 , (234) mit einer Atmosph¨are bedeckt, die den direkten c λ = λ0

.

78

4

DYNAMIK

Abb. 158. Die Oberfl¨achen des Planeten Merkur (links) und des Jupitermondes Callisto (rechts) sind durch Krater gekennzeichnet, a¨ hnlich wie der Erdmond Abb. 160. Der Asteroid Ida hat eine Gr¨oße von ∼ 50 × 20

optischen Zugriff auf die Oberfl¨ache verhindert km und einen gebundenen Trabanten, Dactyl, mit nur 2 km (Abb. 159). Durchmesser (im Bild ganz rechts) Der innere Aufbau der Planeten wird durch seine Eigengravitation bestimmt. An einem Punkt mit Ist ρ(r) bekannt, l¨aßt sich Gl. (239) leicht intedem Zentrumsabstand r wird das Potential durch grieren. Eine einfache Absch¨atzung f¨ur homogene Dichte ρ(r) = ρ ergibt f¨ur den Druck im Zendie innerhalb r liegende Masse

r trum des Planeten ρ(x) 4π x2 dx (236) M (r) =

R 0 1 GM GM r 3 dr = ρ . (240) pc  ρ bestimmt. F¨ur die in der Massenschale (r, r + dr) 2 r R 2 R 0 befindliche Masse gilt daher Eine genauere Bestimmung erfordert die KenntdM (237) nis der Zustandsgleichung p = p(ρ, T, . . .). Sie = 4π r2 ρ(r) , dr ergibt extrem hohe Drucke im Inneren der Planeund die Beschleunigung ist ten. G M (r) g(r) = . (238) Nicht nur die Erde, Mars und die großen Planeten r2 besitzen Monde. Selbst vergleichsweise winzige Asteroiden wie Ida f¨uhren einen Mond mit sich (Abb. 160). Kaum ein anderes System ist jedoch so auff¨allig wie das des Saturn, f¨ur den mittlerweile mehr als 20 Monde gez¨ahlt wurden. Einige dieser Monde sind zusammen mit den Ringen in Abb. 161 zu sehen. Die Monde existieren nur (239) außerhalb eines bestimmten Abstands vom Planeten, so daß sich die Frage nach der Stabilit¨at eines K¨orpers im a¨ ußeren Gravitationsfeld erhebt. Hier hat man es genau genommen wieder mit einem Gezeitenproblem zu tun, und das Ergebnis aller Untersuchungen sagt: der Gradient eines externen Gravitationsfeldes kann so stark sein, daß ein Satellit (Mond) zerrissen wird.

Durch die Eigengravitation werden im Inneren der Planeten Druckkr¨afte aufgebaut, die im hydrostatischen Gleichgewicht gerade den gravitativen Kr¨aften entsprechen, −dp dF = ρ(r)dr dF g(r), so daß G M (r) dp . = −ρ(r) g(r) = −ρ(r) dr r2

Dazu n¨ahert man den Mond durch ein einfaches Modell: der Satellit besteht darin aus zwei Halbkugeln (Kugeln), die jeweils die halbe Masse entAbb. 159. Die Oberfl¨achen des Planeten Venus (links) und halten (vgl. Abb. 162). Damit besteht die Eigendes Saturnmondes Titan (rechts) sind verdeckt durch eine gravitation des Mondes aus der gegenseitigen Anoptisch dicke Atmosph¨are, ebenso wie alle großen Planeten ziehung seiner beiden Hemisph¨aren (innen und

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

79

Abb. 161. Saturn mit Ringsystem und einigen seiner MonAbb. 163. Die Shepherd-Monde innerhalb des F-Rings des de (nach Aufnahmen von Voyager 1) Saturn

außen), G Ms2 4 Rs2

Genauere Untersuchungen ergeben einen Faktor 2.45 (statt 1.6). ⇒ Ein Satellit mit ρs  ρpl ist geDie Gezeitenwirkung auf den Satelliten ent- gen Gezeitenkr¨afte im Gravitationsfeld eines Plasteht durch die a¨ ußeren Kr¨afte, die auf die He- neten nur dann stabil, wenn seine Umlaufbahn außerhalb von ∼ 2 Planetenradien liegt. misph¨aren einwirken, Kia =

.

(241)

G Ms Mpl G Ms Mpl , Ka = 2 , Ki = 2 2 (2d − Rs ) (2d + Rs )2 (242) so daß die Stabilit¨at im a¨ ußeren Feld gew¨ahrleistet ist, sofern Kia > Ki − Ka , oder Ms >4 Mpl



Rs d

3

.

(243)

Ersetzt man Massen und Radien durch die jeweiligen Dichten, so folgt das Stabilit¨atskriterium von Roche (1850), d > 1.6 Rpl

RPl



ρpl ρs

d

1/3

.

(244)

½ MS

Die Gezeitenkr¨afte erlauben somit nur die Existenz von Staub- und Gesteinsringen innerhalb ¨ von 2 Saturnradien, ungef¨ahr in Ubereinstimmung mit den Beobachtungen. Allerdings existieren beim Saturn auch zwei winzige Monde innerhalb des Gezeitenradius (Abb. 163), die sogenannten Hirtenplaneten. Beide laufen innerhalb der Roche-Grenze (F-Ring) um und sorgen f¨ur Resonanzen im Ringsystem (¨ahnlich wie die Resonanzl¨ucken in den Bahnperioden der Asteroiden). Der a¨ ußere Rand der Saturnringe liegt tats¨achlich bei d  2.3R6 , und innerhalb der Ringe laufen insgesamt 3 sehr kleine Monde um. Die Shepherd-Satelliten haben Durchmesser von < 20 km. Seit Jeffreys (1947) wird vermutet, daß f¨ur kleine Satelliten zus¨atzlich zur Gravitation die Zugfestigkeit kristalliner Materie eine Rolle spielt, so daß f¨ur solche Monde der RocheRadius kleiner ausfallen muß.

Auch zwei Jupitermonde (Adrastea = J14 und Metis = J16 ) fallen in diese Kategorie. Alle klassischen (großen) Monde liegen jedoch auR S ßerhalb der Roche-Grenze. Als regul¨are Monde MPl bezeichnet man h¨aufig die Satelliten mit geringer Inklination i zur Ekliptik. Meistens besitzen diese Abb. 162. Zur Stabilit¨at von K¨orpern im a¨ ußeren Gravita- dann auch eine nur geringe Exzentrizit¨at. So tionsfeld geh¨oren der Erdmond, alle großen Jupitermonde

80

4

DYNAMIK

(Io, Europa, Ganymede und Callisto), die gr¨oße- netenoberfl¨ache ren Saturnmonde (Tethys, Dione, Rhea, Titan, 2 = 2 G M/R . (248) vesc nicht jedoch Japetus) und alle Uranusmonde (Miranda, Ariel, Umbriel, Titania und Oberon) Mit diesen beiden Gr¨oßen l¨aßt sich ein Stabizu den regul¨aren Satelliten. Beide Neptunmonde lit¨atsparameter Γ definieren, sind irregul¨ar, Triton folgt sogar einer retrogra

den Umlaufbahn. vth 2 R RT 2 = , (249) Γ ≡ vesc G Mµ Energiehaushalt und Atmosph¨arentemperaso daß f¨ur Γ  1 das Gas verdampft (⇒ intur stabile Atmosph¨are), w¨ahrend f¨ur Γ  1 die Atmosph¨are stabil und angen¨ahert hydrostatisch Die Energiequelle im Inneren der Planeten ist ist. G¨unstig f¨ur die Existenz einer Planetenatmoder radioaktive Zerfall und/oder die bei der Pla- sph¨are ist daher netenentstehung freigesetzte Gravitationsenergie, ¨ mit dem inneren W¨armestrom Q. Außere Ener• eine große Planetenmasse M , giequelle ist der Strahlungsfluß der Sonne im Abstand rpl , • ein kleiner Planetenradius R, 4 2 2 2 S(r) = σB Teff RS /rpl = SS /rpl,AE

,

(245)

wobei SS = 1.37 kW/m2 die Solarkonstante und rpl,AE der Bahnradius des Planeten in Astronomischen Einheiten ist. Nur der Bruchteil 1 − A dieser Strahlungsleistung wird absorbiert, die Albedo A wird reflektiert (oder nach allen Seiten gestreut). Die Albedo h¨angt von der Beschaffenheit der Planetenoberfl¨ache (oder ihrer Atmosph¨are) ab. Ist keine Atmosph¨are vorhanden wie bei Merkur oder dem Erdmond, so ist die Albedo klein (A1 = 0.06, AM = 0.07). F¨ur d¨unne Atmosph¨aren (Mars oder Erde) ergeben sich mittlere Werte (A4 = 0.15, A3 = 0.30). F¨ur sehr dichte Atmosph¨aren (Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun oder Venus) sind die Albedo sehr groß (A6 , A5  0.5, A7 , A8  0.6 und A2 = 0.76). Die gesamte Energiebilanz der Planeten ist somit

• eine geringe Atmosph¨arentemperatur (große Albedo), und • ein großes Molekulargewicht µ (leichte Molek¨ule verdampfen eher). Die Reihenfolge der Stabilit¨at Γ von Atmosph¨aren im Planetensystem der Sonne ist damit: Jupiter > Saturn > Neptun > Uranus > Erde > Venus > Mars > Pluto > Triton (Neptun 1) > Titan (Saturn 6) > Io > Europa > Ganymed > Callisto (Jupiter 1 – 4) > Merkur > Luna (Erde) > Rhea > Japetus (Saturn 5,8) . . . Bis einschließlich Titan sind die Atmosph¨aren nachgewiesen (s. auch Abb. 159); das Gas an der Oberfl¨ache des Jupitermonds Io geht auf aktiven Vulkanismus zur¨uck, wie in Abb. 164 andeutungsweise zu sehen ist.

4

π R2 (1 − A) S(r) + 4π R2 Q = 4π R2 σB T , (246) mit der mittleren Oberfl¨achentemperatur T . Nur bei den großen Planeten (Jupiter, Saturn und Neptun) spielt Q eine Rolle, f¨ur alle anderen Objekte ist (1 − A) S(r)  4 Q. Die dauerhafte Existenz einer Atmosph¨are h¨angt vom Verh¨altnis der inneren zur Gravitationsenergie ab. So gilt f¨ur die termische Geschwindigkeit der Atome 2 = 2RT /µ , (247) Abb. 164. Vulkant¨atigkeit und Gasausbr¨uche auf dem Juvth

pitermond Io. Die Ausbr¨uche sind besonders auf der Rand-

und f¨ur die Entweichgeschwindigkeit von der Pla- aufnahme (rechts) zu erkennen

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

Tab. 8. Typologie der solaren Planeten

terrestrische Planeten

jovianische Planeten

< 1M3 3.8 – 5.5 g/cm3 0.3 – 1.0 R3 langsam schwere Molek¨ule (oxydierend) Inneres Si, Fe, Ni Satelliten wenige Masse Dichte Radius Rotation H¨ullee

10 – 300 M3 0.7 – 1.7 g/cm3 3.8 – 11.2 R3 schnell leichte Molek¨ule (reduzierend) H, He (solar) viele

81 Probleme ergeben sich bei der Beschreibung von Venus, da sich diese Atmosph¨are wegen des starken Treibhauseffekts nicht im Energiegleichgewicht befindet. Venus wird kontinuierlich durch UV-Photonen aufgeheizt, die im IR nicht abgestrahlt werden k¨onnen Insgesamt lassen sich die solaren Planeten in zwei Gruppen einteilen, die inneren (terrestrischen) und die a¨ ußeren (jovianischen) Planeten, die durch die in Tab. 8 dargestellten Eigenschaften gekennzeichnet sind. 4.1.5

Kosmogonie

Die Energiebilanz h¨angt vom W¨armetransport in Die Interpretation der im Planetensystem gefunder Atmosph¨are ab. Entscheidend ist die Rotation denen Eigenschaften der Materie und die Entstehung des Sonnensystems mit seinen Planeten hat des Planeten/Mondes, mit dem Problemkreis Sternentstehung und Sternentwicklung zu tun, der in Abschn. 6 ausf¨uhrlich (a) keine Rotation dargestellt wird. Der Ausflug in die KosmogoDie beiden Hemipsh¨aren bleiben ohne nie soll an dieser Stelle zumindest qualitative ErW¨armeaustausch; es stellt sich eine heiße kl¨arungen f¨ur die folgenden Beobachtungen lieTagseite und eine kalte Nachtseite ein. Im fern, subsolaren Punkt (Tagseite) ist die absorbierte gleich der emittierten Energie, 1. fast alle Objekte befinden sich in einer Ebene 4 (Ekliptik) (250) (1 − A)S(r) + Q = σB Tss , 2. fast alle Bahnen sind kreisf¨ormig

und damit Tss  Teff,S (1 − A)

1/4



RS r

1/2

. (251)

(b) schnelle Rotation Beide Hemisph¨aren sind durch den starken Austausch etwa gleich warm (⇒ T ). Die absorbierte Energie entspricht wieder Gl. (245), die Energiebilanz folgt jedoch Gl. (246), (1 − A)S(r) + 4 Q = 4σB T √ womit T  Tss / 2 gilt.

4

,

(252)

Die Genauigkeit einer solchen N¨aherung ist insbesondere f¨ur die großen Planeten wegen der vernachl¨assigten inneren W¨armequelle sehr gering; der wesentliche Unterschied zwischen rotierenden (r > r3 ) und nicht-rotierenden Planeten kommt jedoch heraus.

3. Bahnumlauf und Rotation der Planeten sind durchweg prograd 4. die Rotationsachsen der Planeten und ihrer Satellitensysteme verlaufen parallel zum Gesamtdrehimpuls 5. die Sonne enth¨alt 99.87% der Gesamtmasse, aber nur 0.54% des gesamten Drehimpulses 6. die Planeten fallen nach ihren physischen Unterschiede in zwei Klassen, die terrestrischen und jovianischen Planeten 7. die Anordnung der Bahnhalbachsen folgt dem Titius-Bode-Gesetz mit an ∼ 2n Einer der wichtigsten Parameter f¨ur diese Untersuchungen ist das Alter der Materie im Sonnensystem. Seine Bestimmung wird mit Methoden der Kosmochronologie durchgef¨uhrt, also durch

82

4

DYNAMIK

eingetragenen Geraden {exp(λt) − 1}, und damit 0.701 87

t = 4.55 109 yr

86

Sr/ Sr

Stannern Pasamonte

0.700

Die wichtigsten Nuklidpaare sind P

Nuevo Laredo Macibini Bereba Sioux City

K β+ → Rb β − → 238 U α... 40

Ibitira

87

0.699

0.000

0.010 87

(255)

Jonzac

Pasamonte Juvinas

.

D 40

Ar Sr 206 Pb 87

S 39

Ar Sr 204 Pb 86

λ−1 1/2 [yr] 1.3 109 4.9 1010 4.5 109

0.020 Rb/86Sr

Als Ergebnis stellt sich somit heraus, daß die Abb. 165. Altersbestimmung der Materie im Sonnensy- meteoritische Materie im Sonnensystem 4.5 Gyr stem mit Kosmochronologie von Sr und Rb alt ist. Sie hat die gleiche H¨aufigkeitszusammensetzung wie die Sonne und repr¨asentiert damit das radioaktive Datierung langlebiger Isotope in Ge- Alter des Sonnensystems. stein und Meteoriten. Die Entstehung des Sonnensystems d¨urfte wie die Betrachtet werden Eltern- und Tochterisotop ei- anderer Systeme durch den dynamischen Kollaps nes radioaktiven Elements und ihre sich mit der einer protosolaren Staub- und Gaswolke in einem Zeit t a¨ ndernden H¨aufigkeiten P (t) und D(t). Gebiet erh¨ohter Dichte vor sich gegangen sein. Das Elternisotop zerf¨allt mit −dP (t) = λP (t), Solche als Sph¨aren idealisierten Molek¨ulwolken das Tochterisotop nimmt um den gleichen Betrag sind stabil gegen gravitative Kontraktion, solange an einem beliebigen Radius R ihre innere Energie dD(t) zu, so daß gr¨oßer ist als die Eigengravitation, P (t) = P (0) exp(−λt) GM 2RT >α , α1 (256) D(t) = D(0) + P (0){1 − exp(−λt)} µ R P (t) + D(t) = const . (253) Einen gravitativen Kollaps gibt es daher erst, Bestimmt man P (t) und D(t) z.B. aus Meteori- wenn das Jeans-Kriterium, ten, so bleibt nach Elimination von P (0) immer 1 GM µ , (257) R< D(0) unbestimmt. Zus¨atzlich wird also etwa die 2 RT H¨aufigkeit S eines stabilen Isotops des Elements D ben¨otigt, f¨ur das dann immer S(t) = S(0) gilt. erf¨ullt ist. War bei Entstehung der Meteoriten die pro- F¨ur die proto-solare Wolke kann man folgende toplanetare Materie homogen durchmischt, so Parameter annehmen: m¨ussen verschiedene Meteoriten immer das glei- M  2 1033 g , µ  2.5, , T ∼ 10 − 100 K. che Verh¨altnis D(0)/S(0) enthalten, wodurch Der entsprechende Jeans-Radius ist RJ < 1017 dann cm  1/20 pc, die Jeans-Dichte ρJ  10−19 g/cm3  105 ρISM ; diese Dichte entspricht unD(0) P (t) D(t) = + {exp(λt) − 1} (254) gef¨ahr dem Orion-Nebel. Die Dauer des protoS(t) S(0) S(t) solaren Kollapses l¨aßts sich durch die Freifallzeit Die Messung von D(t), P (t) und S(t) erlaubt so tf f absch¨atzen, die aus der Bewegungsgleichung die Bestimmung des Alters t als auch des H¨aufig- folgt. Mit keitsverh¨altnisses D(0)/S(0). Abb. 165 zeigt die GM 1 R d dr = 2 (258)  r¨ = Ergebnisse f¨ur verschiedene Meteoriten (benannt dt dt tf f tf f R nach ihren Fundst¨atten) f¨ur das wichtigste Radionuklid 87 Rb, das mit einer Halbwertszeit von folgt  4.7 1010 yr zu 87 Sr zerf¨allt. Als Vergleichsisotop R3 86 . (259) t = f f dient hier Sr. Nach Gl. (254) ist die Steigung der GM

4.1

Himmelsmechanik und Planetensystem

83

ωc

ωd

Rc Rd M

(a)

(b)

(c)

Abb. 166. Kollaps der protosolaren Wolke

Die Entstehung des Sonnensystems muß daher in Abb. 168. Die Sonne im Stadium der Entstehung. Gravitative Kontraktion liefert die Leuchtkraft, die ihrerseits das ∼ 105 . . . 107 yr abgelaufen sein. Eine verein- Nachfallen weiterer Materie verhindert fachte Beschreibung beginnt mit (a) starrer Rotation ωc der sph¨arisch angenommenen proto-solaren Wolke (vgl. Abb. 166) bei Erreichen des Jeans-Kriteriums (Gl. 257). Die a¨ ußere Materie f¨allt unter Eigengravitation zun¨achst in radialer Richtung. Das Wolkengas beginnt bei zunehmender Dichte Drehimpuls durch St¨oße nach außen zu transportieren

wird durch die vom Protostern abgestrahlte Energie zur¨uckgehalten. ⇒ T Tauri-Stadium (Abb. 168)

Zu Beginn der Entwicklung ist der Drehimpuls Lc = Θc ωc , wobei Θc = 25 Mc Rc2 das Tr¨agheitsmoment einer homogenen Kugel ist. Zum Schluß ist der Drehimpuls Ld = Θd ωd mit dem Tr¨agheitsmoment Θd = 14 Md Rd2 einer Scheibe. Die Erhaltung des Drehimpulses erfordert Lc = (b) Die Wolke beginnt abzuflachen, bei weiterLd . Ersetzt man die Scheibe durch Jupiter, so ist gehender Kontraktion. Ein Teil der bereits in Mc  MS + M5  MS der zentralen Scheibe angelangten Materie Rc  0.05 pc  104 AE wird durch freigesetzte Gravitationsenergie ωc = vc (Rc )/Rc zum Leuchten angeregt (s. auch Abb. 167) Md  M 5  10−3 MS (c) Der Radius der zur Scheibe abgeflachten Rd  5 AE Wolke erh¨alt ungef¨ahr den Durchmesser ωd  vd (Rd )/Rd , vd  13 km/s des sp¨ateren Planetensystems. Die Scheiωd = ω5  8.7 10−8 s−1 be rotiert mit ωd . Nachfallende Materie (260) Die Erhaltung des Drehimpulses setzt also voraus, daß die Rotationsgeschwindigkeit der protosolaren Wolke von der Gr¨oßenordnung 1 km s−1 war. Das ist f¨ur Sternentstehungsgebiete nicht ungew¨ohnlich. Das hier skizzierte Modell erkl¨art zwanglos die weiter oben genannten Punkte 1. – 5. Das Gas-Staub-Gemisch, aus dem die inneren Planeten entstehen, befindet sich im Bereich h¨oherer Temperaturen und ist einem intensiven Strahlungsfeld der gerade entstehenden Sonne ausgesetzt. ⇒ leichte Elemente wie H und He werden verfl¨uchtigt. Staub bleibt unbeeinflußt.

Abb. 167. Einfall von Gas und Staub auf das gravitative Zentrum der protosolaren Wolke. Entstehung eines abge- Die a¨ ußeren Planeten werden hingegen vom flachten Rotationsellipsoids Strahlungsfeld der Protosonne kaum ber¨uhrt (zu

84

Abb. 169. Das Planetensystem entstand aus Planetesimals, proto-planetaren Felsen von maximal wenigen km Durchmesser

geringe Strahlungsdichte und Temperatur). ⇒ die Entstehung der a¨ ußeren Planeten schließt auch die leichten Elemente mit ein, so daß eine wesentlich geringere mittlere Massendichte entsteht. Damit ist auch Punkt 6. erkl¨art. Punkt 7., das TitiusBode-Gesetz ist mit einfachen Mitteln nicht zu erkl¨aren. Notwendig dazu sind numerische Rechnungen zur Stabilit¨at von Planetenbahnen in bestimmten Abstandsbereichen. Die Planeten scheinen aus kleineren Felsen, den Planetesimals, entstanden zu sein, die sich nach Aufnahme des Drehimpulses bildeten und durch St¨oße untereinander zu gr¨oßeren Einheiten heranwuchsen (Abb. 169).

4

DYNAMIK

4.2

4.2

Grundlagen der Potentialtheorie

85

Grundlagen der Potentialtheorie

Die Potentialtheorie vermittelt mit vergleichsweise einfachen Methoden ein Verst¨andnis der Dynamik komplizierter Systeme von Massenk¨orpern. Die dabei notwendige Beschr¨ankung erstreckt sich auf (zeitlich variable) Potentialfelder, deren Krafteinwirkung durch fk = −∇Φk bestimmt wird (Abb. 170),  ri − rk Fk = mk ¨rk = −Gmk = −mk ∇Φk 3 i=k |ri − rk | (261) Ein Stern mit der Masse m wird in diesem Potential durch seine Hamiltonfunktion H ∗ beschrieben, 1 H∗ = (p2 + p2y + p2z ) + m Φ(x, y, z, t) . 2m x (262) Ersetzt man die Impulse px = mu, py = mv und pz = mw durch ihre Geschwindigkeiten, so erh¨alt man die Hamiltonfunktion pro Masseneinheit, 1 H = (u2 + v 2 + w2 ) + Φ(x, y, z, t) , (263) 2 mit dem System kanonisch konjugierter Differentialgleichungen  ∂H    u˙ = −   ∂x    ∂H 

∂H ∂u ∂H (264) v˙ = − y˙ =  ∂v ∂y     ∂H  ∂H    w˙ = − z˙ = ∂w ∂z Die Bewegungsgleichungen f¨ur Sterne verschiedener Massen werden dadurch identisch. x˙ =

k

rk

i

Abb. 170. Teilchen im Potentialfeld

und die Anwendung der Produktregel auf den Integranden ergibt 0 f¨ur r = r
. Jeder Beitrag zum Kraftfeld am Ort r muß aus einer ε-Umgebung um r kommen. Dort ist ρ(r)  const und kann aus dem Integral herausgezogen werden. Die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes f¨uhrt dann zur Poisson-Gleichung ∇ · f (r) ≡ ∆Φ(r) = 4πGρ(r) .

(268)

Gl. (268) liefert den wichtigen Zusammenhang zwischen einem Gravitations-Potential Φ(r) und der genau dieses Potential erzeugenden Dichteverteilung ρ(r) . Die potentielle Energie W einer Massenverteilung ist die Arbeit, die aufzuwenden ist, um ρ(r) aus dem Unendlichen zu erzeugen. Jedes Dichteinkrement δρ(r) entspricht dabei einem Anteil 

δρ(r)Φ(r) d3 r

. (269) Das Gravitationsfeld pro Masseneinheit am Ort r kann im allgemeinen durch ein Integral ermittelt Ber¨ucksichtigt 2man, daß Φ(r) ∼ 1/r und ∇(δΦ) ∼ 1/r gegen ∞ gehen, verschwinden werden, die entsprechenden Terme im Oberfl¨acheninte r
− r 3

dr , (265) gral, und f (r) = G ρ(r )
|r − r|3 

1 2 3 |∇Φ| d r . (270) δ δW = − wobei auch das Potential eine kontinuierliche 8πG Funktion wird, Summation und erneute Anwendung der Poisson ρ(r
) 3
Φ(r) = −G (266) Gleichung ergibt schließlich f¨ur die potentielle dr . |r
− r| Energie Das Kraftfeld f (r) wird also durch Ableitung ei1 ρ(r) Φ(r) d3 r . (271) W = nes analytisch darstellbaren Potentials gewonnen. 2 Die Divergenz dieses Gravitationsfelds ist Durch die Gleichungen (265,266,267,268 und 
271) sind die dynamischen Funktionen Φ, f , ρ und r −r
3
∇ · f (r) = G ∇r ·
ρ(r ) d r , (267) W miteinander verkn¨upft. |r − r|3 δW =

86

4

4.2.1

Potentiale und Dichteverteilungen

DYNAMIK

Die dynamische Zeitskala (freier Fall) ist daher genau 1/4 der Pendelperiode

Die Beziehung zwischen Dichteverteilung und  3π dem daraus resultierenden Potential ist natur. (275) tdyn = 16Gρ gem¨aß besonders einfach f¨ur sph¨arische Systeme. Wie bereits Newton gezeigt hat, gelten in sph¨ariVerschwindet die Dichte außerhalb von r = a, so schen Systemen die folgenden Theoreme erh¨alt man aus der Poissongleichung das Potential I Ein K¨orper im Inneren einer sph¨arischen Massenschale erf¨ahrt durch diese keine Gravitationskraft



1 Φ(r) = −2πGρ a2 − r2 3

, f¨ ur r < a ,

(276) aus dem die Entweichgeschwindigkeit folgt.

II Die Gravitationskraft auf einen K¨orper außerhalb einer sph¨arischen Massenschale ist Beispiel 3: Isochronen-Potential gleich derjenigen einer Punktmasse im Scha- Das Potential wurde eingef¨uhrt zur N¨aherung galaktischer Potentiale, zusammengesetzt aus zwei lenmittelpunkt asymptotischen Potentialen, Daraus folgt ⇒ Jedes sph¨arische Potential kann f¨ur jeden Aufpunkt durch eine Punktmasse im • im Zentrum a¨ hnelt es dem homogenen Zentrum ersetzt werden. Sph¨aroid mit einem Radius b und einer Masse 3 M (a) Wichtige dynamische Gr¨oßen in sph¨arischen Potentialen sind die Kreisbahngeschwindigkeit, die aus vc2 = GM (r)/r folgt, und die Entweichgeschwindigkeit, die mit Ekin = −Φ(r) gerade

• f¨ur r → ∞ verh¨alt es sich wie ein Punktpotential, so daß

GM √ . (277) a + a2 + r 2 ergibt. Die folgenden drei Beispiele betreffen Hier ist a ein effektiver Radius, der geeignet ist, das Verhalten galaktischer Potentiale zu approsph¨arische Potentiale. ximieren. Die Kreisbahngeschwindigkeit beim Beispiel 1: Punktmasse (Kepler-Problem) Zentrumsabstand r ist Hier gilt  r GM   , (278) vc (r) = GM 2GM GM b+a a , vc = , vesc = . Φ(r) = − r r r (273) mit b2 (r) = a2 + r2 . Die Dichte folgt wieder aus der Poissongleichung. F¨ur große r ergibt sich Beispiel 2: Homogene Sph¨are aM Sie besitzt eine konstante Massendichte ρ und daρ(r)  . (279) 4 3 2πr4 mit M (r) = 3 πr ρ . So ergibt sich ein linearer Anstieg der Kreisbahngeschwindigkeit, F¨ur abgeflachte Systeme gibt es verschiedene Stu fen einfacher, und daher noch geschlossen dar4πGρ r . (274) stellbarer Potentiale. Diese sind besonders geeigvc (r) = 3 net zur Anwendung auf Linsen- und Scheibenga Die Bahnumlaufperiode T = 2πr/vc = 3π/Gρ laxien. h¨angt nicht vom Bahnradius ab. Die Bewegungs- Beispiel 4: Plummer-Modelle gleichung entspricht der eines harmonischen Oszillators mit r¨ = 4πGρr/3 . Jeder Testk¨orper, Die Plummer-Modelle sind dem Isochronenin einem beliebigen Abstand r zur gleichen Zeit Potential sehr a¨ hnlich, ”losgelassen”, wird das Zentrum r = 0 zur selben gM . (280) ΦP (r) = − √ 2 Zeit erreichen. r + a2 2 vesc = 2 |Φ(r)|

(272)

Φ(r) = −

4.2

Grundlagen der Potentialtheorie

b/a = 0.2

87 Hauptachsen a, b, und c aus. Man klassifiziert solche Systeme als oblate Ellipsoide (”Pfannkuchen”) ⇒ a  b  c prolate Ellipsoide (”Zigarren”) ⇒abc triaxiale Ellipsoide ⇒ a = b = c

b/a = 1.0

Die am h¨aufigsten auftretenden Systeme sind oblat. Beispiel 5: Axisymmetrische Systeme Elliptische Koordinaten u und v im axisymmetrischen System sind definiert durch R = ∆ cosh u sin v z = ∆ sinh u cos v

(283) (284)

b/a = 10.0

und erzeugen Ellipsen mit konstantem u und Hyperbeln mit konstantem v, wobei ∆ ein konstanter Abb. 171. Dichteverteilungen der Potentiale von Miyamo- Skalenparameter ist. to und Nagai (1975) f¨ur verschiedene Skalenparameter b/a Damit ergeben sich nat¨urliche Hom¨ooidPotentiale mit Φ = Φ(u). Die entsprechende Wendet man den Laplace-Operator darauf an, so Laplacegleichung ist damit sehr einfach,   ist dΦ d   cosh u =0 , (285) 1 d dΦP du du ∇2 ΦP ≡ 2 r2 r dr dr mit der (nicht-trivialen) L¨osung 2 3a GM   = = 4πGρ(r) , oder π (r2 + a2 )5/2 Φ(u) = const + arcsin(sech u) + Ψ0 ,   2 . 2 −5/2 3M r (286) ρ(r) = 1+ 2 (281) 3 4πa a

ist. Durch geeignete Wahl der Skalenparameter a und b lassen sich nahezu alle Typen von Dichteverteilungen darstellen, die in abgeflachten Systemen zu finden sind (Abb. 171).

2

1

z/∆

Plummers Modelle (1911) sind L¨osungen f¨ur Polytropenmodelle selbstgravitierender Gassph¨aren. Ihr Ergebnis a¨ hnelt den Beobachtungen von Kugelsternhaufen. Sie sind gleichzeitig Spezialf¨alle wesentlich allgemeinerer axialsymmetrischer Potentiale, mit denen galaktische Scheiben modelliert werden. Miyamoto und Nagai (1975) haben entsprechende Ans¨atze vorgestellt, deren Potential GM (282) ΦM (R, z) = −  √ 2 2 2 2 R + (a + z + b )

0

−1

−2

0

1

2

3 R/∆

4

5

Wichtig ist daneben die Untersuchung ellipsoidaler Systeme, z.B. zur Beschreibung von Ellip- Abb. 172. Elliptische Koordinaten im axisymmetrischen tischen Galaxien. Diese zeichnen sich durch 3 System

88

4

die f¨ur große radiale Abst¨ande (große u) gegen 

DYNAMIK

zum Beobachter



∆ π Φ(u) = const (287) + Ψ0 − 2 r √ geht, wobei r = R2 + z 2 wieder der sph¨arische Radius ist. Unter dieser Voraussetzung kann man elliptische Potentiale aus einzelnen Massenschalen, Hom¨ooiden, zusammensetzen, die durch a¨ hnliche (und nicht konfokale!) Ellipsoide gebildet werden (Abb. 173).

a qa 2q√(a2−R2)

R

a

ρ

s

m m+δm

Abb. 174. Zur Fl¨achendichte des Scheibenpotentials Abb. 173. Zur Definition der Hom¨ooide

gemeinsame Fl¨achendichte f¨ur alle R gerade F¨ur diese Hom¨ooide gilt Newtons drittes Theo- Σ(R) ergibt, so daß rem

∞  Σ (a) da √0 δΣ(a, R) = . Σ(R) = R a2 − R 2 a≥R III Eine Masse im Inneren eines Hom¨ooids (290) ist keiner Gravitationskraft durch dieses Einfacher ist die formale Darstellung des PotentiHom¨ooid ausgesetzt. als. Sei x
= (R
, φ
, 0) ein Ort der d¨unnen Scheibe, x = (R, φ, z) ein beliebiger Ort, so ist das PoEine wichtige Anwendung betrifft das Potential tential an diesem Ort f¨ur eine gegebene Fl¨achen¨ einer Dichteverteilung, deren Aquidensiten a¨ hn- dichte Σ(R
) liche Sph¨aroide vom Typ

∞

2π dφ



2 Σ(R ) R dR (291) Φ(x) = −G z 2 |x − x
| = m ≡ const (288) R2 + 0 0 1 − e2 1
Dabei ist ξ = cos 2 φ und ¨ sind. Dabei ist m der Gr¨oßenparameter der Aqui4RR
densitenfl¨ache. , k2 = (R + R
)2 + z 2 Beispiel 6: Scheibenpotentiale 4RR

2 | = (1 − k 2 ξ 2 ) (292) |x − x Diese Potentiale bilden den Grenzfall unendlich k2 d¨unner Hom¨ooide. Hier wird eine Fl¨achendichte Σ als S¨aulendichte des Strahls durch das abge- Nach Aufl¨osung des zweiten Integrals in Gl. (291) ergibt sich flachte Ellipsoid definiert (Abb. 174), ∞ √ 2G

K(k) k Σ(R
) R
dR
, Φ(R, z) = − √ . (289) R
0 (293) Zu diesem Ellipsoid geh¨oren jeweils die Hom¨ooide der Halbachse √ a mit einem Beitrag mit dem vollst¨andigen elliptischen Integral K(k). δΣ(a, R) = 2ρ q a da/ a2 − R2 . F¨ur eine Eine wichtige Methode bei der Untersuchung des vorgegebene Fl¨achendichte Σ(R) gilt es daher, lokalen Galaktischen Potentials ist der Separatieine Familie von Hom¨ooiden zu finden, deren onsansatz. Mit Φ(R, z) = J(R) Z(z) folgen aus

√ Σ(a, R) = 2ρq a2 − R2

4.2

Grundlagen der Potentialtheorie

89

der Laplacegleichung in zylindrischen Koordina- Vorausgesetzt wird bei all diesen Untersuchungen ten, die Existenz eines statischen, nur großr¨aumig variierenden Potentials.   1 ∂ ∂Φ ∂ 2Φ R + 2 =0, (294) R ∂R ∂R ∂z (A) Sternbahnen im sph¨arischen Potential die beiden gew¨ohnlichen Differentialgleichungen Die Erh¨altung des Bahndrehimpulses pro Einheitsmasse ergibt zun¨achst

2

dZ − k2Z = 0 , 2 dz   1 d dJ R + k2J = 0 , R dR dR mit den L¨osungen Z(z) = S exp(±kz) , J(R) = J0 (kR) .

r × r˙ = L ≡ const .

(295)

Jeder Stern bewegt sich also gem¨aß seinem Drehimpuls L in einer Bahnebene, was eine Reduzierung der Untersuchung auf 2 Koordinaten (Zentrumsabstand R) und Azimutwinkel ψ m¨oglich macht. F¨ur diese Koordinaten lautet dann die Be(296) wegungsgleichungen

Ein Spezialfall dieser L¨osungsschar ist das Potential Φk (R, z) = exp(−k|z|) J0 (kR) .

(297)

r¨ − r ψ˙ 2 = F(r) 2 r˙ ψ˙ + r ψ¨ = 0 .

(298)

(300)

Die Integration der zweiten Gleichung ergibt wieder den Fl¨achensatz. Mit

Das Potential zeigt das richtige asymptotische d L d Verhalten und l¨ost die Laplacegleichung u¨ berall = 2 außerhalb der Scheibe. F¨ur die Scheibe selbst, aldt r dψ so z = 0, erh¨alt man mit dem Gaußschen Intefolgt aus der ersten Bewegungsgleichung gralsatz die erzeugende Fl¨achendichte k J0 (kR) . Σk (R) = − 2πG

(299)

L2 d r2 dψ



1 dr r2 dψ



−

L2 = F(r) , r3

(301)

(302)

oder nach Substitution mit u = 1/r 4.2.2

Sternbahnen und Bewegungsintegrale

Eine h¨aufige Fragestellung gilt der Untersuchung der Bahnen einzelner Sterne in einem vorgegebenen Potential. Dieses Problem muß nicht selbstkonsistent gel¨ost werden, da die Masse des einzelnen Sterns zu gering ist, um signifikant zum Gesamtpotential beizutragen. Zwei Fragen sind dabei von besonderem Interesse,

d2 u F(u) +u=− 2 2 2 dψ Lu

.

(303)

Multipliziert man weiterhin mit du/dψ und integriert u¨ ber ψ, dann ergibt sich ein Erhaltungssatz. Mit dem Potential, definiert durch F(r) = u2 dΦ/du, folgt 

du dψ

2

+

2Φ 2E + u2 = 2 ≡ const , 2 L L

(304)

Welche Bahnen sind u¨ berhaupt m¨oglich ? Welche Rand- oder Nebenbedingungen oder, nach Umformung, grenzen den Aufenthaltsbereich ein ?  2  2 1 dr 1 dψ E= + r + Φ(r) . (305)

Wie reagieren die Bahnen auf St¨orungen und 2 dt 2 dt Potential¨anderungen ? Gibt es Prozesse, die – a¨ hnlich wie bei den Planetenbahnen im Die Analyse des Erhaltungssatzes (Gl. 305) f¨ordert einige wichtige Ergebnisse zutage. Die Sonnensystem – zur Bifurkation neigen ?

90

4

DYNAMIK

Bahnumkehrpunkte von Gl. (304) sind bestimmt Nur wenn Umlauf- und Azimutperiode kommendurch die Bedingung du/dψ = 0, und somit surabel sind, also ν rational (als Bruch nat¨urlicher Zahlen darstellbar) ist, ist auch die Sternbahn 2 u2 + 2 {Φ(u) − E} = 0 . (306) geschlossen; im allgemeinen Fall (vgl. Abb. L 175) ergibt sich eine Rosettenbahn. Im Verlauf Mit E < 0 f¨ur gebundene Bahnen und Φ < 0 er- beliebig großer Zeiten (t → ∞) durchl¨auft so der Stern jeden Punkt zwischen den Kreisen mit rmin geben sich zwei L¨osungen, und rmax . umax = 1/rmin ist das Perizentrum, und umin = 1/rmax das Apozentrum der Sternbahn. (B) Konstanten und Integrale der Bewegung Die Umlaufperiode Tr wird zwischen je zwei benachbarten Apozentren gemessen. Aus Gl. (304) Eine Konstante der Bewegung in einem Potential folgt Φ ist eine Funktion C(r, v, t) , die entlang jeder  dr Sternbahn konstant bleibt, (307) = ± 2[E − Φ(r)] − L2 /r2 , dt C[r(t1 ), v(t1 ), t1 ] = C[r(t2 ), v(t2 ), t2 ] . und damit (311) Ein Bewegungsintegral (Bahnintegral) ist eine r

max dr  Tr = 2 . (308) Funktion I(r, v), welche entlang jeder Sternbahn 2 2 konstant bleibt, 2[E − Φ(r)] − L /r rmin W¨ahrend dieser Zeit a¨ ndert sich der Azimutwinkel um r

max



dr

. 2[E − Φ(r)] − L2 /r2 (309) Diesem Azimutwinkel entspricht eine Azimutperiode ∆ψ = 2L

rmin

Tψ = ν Tr ,

r2

mit

ν=

2π ∆ψ

.

I[r(t1 ), v(t1 )] = I[r(t2 ), v(t2 )]

.

(312)

Daraus folgt: ⇒ Jedes Bahnintegral ist eine Bewegungskonstante, aber nicht umgekehrt! Beispiel: Im sph¨arischen Potential a¨ ndert sich die Winkelkoordinate der Kreisbahn mit ψ = Ωt+ψ0 . Da Ω und ψ0 konstant sind, gilt: C ≡ t − ψ/Ω ist eine Konstante der Bewegung. Da C jedoch explizit von t abh¨angt, ist es kein Bahnintegral.

(310) Jede Sternbahn besitzt 6 unabh¨angige Konstanten der Bewegung, die sich immer auf einen Satz Anfangswerte (r0 , v0 ) zur¨uckf¨uhren lassen. Bahnintegrale sind zumeist sehr schwierig abzuleiten, abgesehen von den folgenden Spezialf¨allen, ✹ Die Energie E im statischen Potential Φ(r) ist E(r, v) =

1 2 |v| + Φ(r) 2

(313)

✹ Die z-Komponente des Bahndrehimpulses, Lz , im axisymmetrischen Potential Φ(R, z) ist (314) Lz (R, vψ ) = R vψ ✹ Der gesamte Bahndrehimpuls im sph¨arischen Potential, Φ(r, t) ist Abb. 175. Rosettenbahn im sph¨arischen Potential. Wegen ν = k1/k2 ist die Bahn nicht geschlossen

L=r×v

(315)

4.2

Grundlagen der Potentialtheorie

91

Im sph¨arischen Potential existieren also insge- Die Gesamtenergie eines Sterns im Potential samt bereits 4 Bahnintegrale, die Energie und die Φ(R, z) ist dabei 3 Komponenten des Bahndrehimpulses. 1 ˙2 ˙ 2 + z˙ 2 ] + Φ E = [R + (Rφ) 2 4.2.3 Sternbahnen in axisymmetrischen und 1 ˙2 = (318) (R + z˙ 2 ) + Φ∗ . in Scheibenpotentialen 2 Die Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordina- Es setzt sich somit zusammen aus der kinetischen Energie des Sterns in der Meridionalebene und ten sind im axisymmetrischen Systemen dem Gravitationspotential. ∂Φ ¨ − R φ˙ 2 = − R Der zul¨assige Bahnbereich wird mit der Bedin∂R gung R˙ 2 + z˙ 2 ≥ 0 eingeschr¨ankt durch E ≥ ∂Φ . (316) Φ∗ . Dieser Nebenbedingung entspricht die Nullz¨ = − ∂z Geschwindigkeits-Kurve . Bahnen f¨ur ein logaMit dem Bahnintegral Lz = R2 φ˙ und mit Φ∗ = rithmisches Potential vom Typ Φ + L2z /2R2 folgt 1 Φ∗ = v02 ln(R2 + z 2 /q 2 ) + L2z /2R2 (319) ∂Φ∗ ∂Φ∗ ¨ 2 R=− , z¨ = − . (317) ∂R ∂z Damit kann die drei-dimensionale Bewegung in werden in Abb. 176 f¨ur gleiches E und Lz , zwei unabh¨angige Bewegungen zerlegt werden, jedoch f¨ur zwei verschiedene Anfangsbedingungen, dargestellt. • die Rotation einer Meridionalebene, und (A) Durchstoßfl¨achen • die Bahnbewegung in der Meridionalebene, die durch das effektive Potential Φ∗ beschrieSternbahnen in axisymmetrischen Systemen werben wird. den zu jedem Zeitpunkt t durch ihre Phasenraum˙ z) Koordinaten (R, z, R, ˙ beschrieben. Die Koor˙ dinaten (φ, φ) entfallen dabei wegen der Axisymmetrie. Wegen der Existenz von weiteren Bahnintegralen k¨onnen auch nicht beliebige Quadrupel angenommen werden. So kann z.B. f¨ur f¨ur jedes ˙ die verbleibende Koordinate (z) Tripel (R, z, R) ˙ ˙ z) aus dem Energie-Integral E = E(R, z, R, ˙ ≡ const bestimmt werden. ⇒ Die verbleibende Trajektorie liegt damit in einem 3-dimensionalen Unterraum des Phasenraums. Gibt es zus¨atzlich zu Lz und E ein weiteres Bahnintegral I3 , so muß man dies an der Durchstoß˙ sehen. Tr¨agt fl¨ache z = 0 der Kurven (R, z, R) man dort die Koordinaten der Durchstoßpunkte ˙ auf, so m¨ussen diese entweder auf einer (R, R) invarianten Kurve liegen oder eine endliche Anzahl diskreter Punkte bilden. Existiert jedoch kein weiteres Integral I3 , dann bedecken die Durchstoßpunkte in z = 0 mehr oder weniger einen ganzen Bereich. Ein Beispiel f¨ur eine meridionale Sternbahn ist in Abb. 177 zu Abb. 176. Sternbahnen in der rotierenden Meridionalebene sehen. Die einzelnen Durchstoßpunkte bei z =

92

4

DYNAMIK

R − Rg ein. Die Reihenentwicklung des Potentials um (x, z) = (0, 0) ergibt damit bis auf eine Konstante 



1 ∂ 2 Φ  1 ∂ 2 Φ  2 Φ∗ =   x + z 2 + O(xz 2 ) 2 ∂R2 Rg =0 2 ∂z 2 Rg =0 (320) wobei der xz-Term wegen der z-Symmetrie verschwinden muß. Vernachl¨assigt man nun O(xz 2 ), so folgt die Epizykel-Approximation der axisymmetrischen Bewegungsgleichungen. Mit der Epizykel-Frequenz 

∂ 2 Φ   κ2 = ∂R2 Rg =0

Abb. 177. Durchstoßfl¨ache (surface of section) einer meridionalen Sternbahn

(321)

0 zeigen deutlich die Existenz eines dritten In- und der Vertikal-Frequenz  tegrals an, das dem gepunktet eingezeichneten ∂ 2 Φ  2 (sph¨arischen) Integral |L| = const sehr a¨ hnlich ist.  ν = (322) ∂z 2 Rg =0 Die Isopotentialkurven des axisymmetrischen logarithmischen Potentials (Gl. 319) in der Me- erh¨alt man die symmetrischen Bewegungsgleiridionalebene besitzen ein deutliches Minimum chungen auf der z-Achse f¨ur einen Achsenabstand Rg = x¨ + κ2 x = 0 , und z¨ + ν 2 z = 0 . (323) Lz /v0 , an dem eine Kreisbahn gerade den Drehimpuls Lz besitzt (vgl. Abb. 178). Die gen¨aherte Bahnbewegung besteht danach alDa z.B. junge Sterne in Scheibengalaxien wie so aus zwei separierten harmonischen Oszillatounserer Milchstraße n¨aherungsweise Kreisbahnen ren. Mit der Kreisbahnfrequenz beschreiben, sind N¨aherungsl¨osungen der Bewe  1 L2z ∂Φ gungsgleichungen im effektiven Potential Φ∗ in  Ω2 (R) = = (324) teressant. Dazu f¨uhrt man eine neue Variable x = R ∂R (R,0) R4 ist die Epizykel-Frequenz dann 

dΩ2 κ = R + 4 Ω2 dR



2

.

(325)

Rg

In den Zentren von Galaxien ist mit starrer Rotation h¨aufig Ω  const und damit κ  2Ω. Weiter außen f¨allt die Kreisbahnfrequenz wie in einer Keplerscheibe mit Ω ∼ R−3/2 , womit κ  Ω wird. Die Epizykel-Frequenz liegt also zwischen Ω und 2Ω. So gilt z.B. f¨ur die Galaktische Bahn der Sonne κS /ΩS  1.3 ± 0.2

.

(326)

Genau wie die Planeten um die Sonne beschreibt auch die Sonne um das Galaktische Zentrum eine Epizykelbahn auf einer scheinbaren Ellipse mit Abb. 178. Isopotentialkurven des logarithmischen Potenti- dem Achsenverh¨altnis (κ/2Ω)S . als in der Meridionalebene

4.2

Grundlagen der Potentialtheorie

93

(B) Bahnen in ebenen 2-dim Potentialen

F¨ur den Normalfall inkommensurabler Frequenzen ωx /ωy = m/n wird der Stern im Lauf der Angelehnt an die Beobachtung von Sternen in Zeit jedem Punkt innerhalb eines Rechtecks (box) Balkengalaxien werden 2-dim logarithmische Po- beliebig nahe kommen. Diese Bahnen werden als box orbits bezeichnet (auch als Lissajous-Figuren tentiale vom Typ bekannt). Die box orbits besitzen zwei Bahninte  2 grale, Ex und Ey . Ihr Extremfall ist die Pendel1 y ΦL (x, y) = v02 ln Rc2 + x2 + 2 (327) bahn (Abb. 179a). 2 q Der Fall R > Rc erfordert numerische Integra¨ untersucht, wobei q ≤ 1 ist. Die Aquipotention. Ein Beispiel zeigt ein solches loop orbit in tialkurven haben damit ein konstantes Achsen- Abb. 179b. Dieser Bahntyp ergibt sich immer f¨ur verh¨altnis q. F¨ur R  Rc l¨aßt sich ΦL nach Po- R  R und v  v . Im Gegensatz zu den box c 0 tenzen von R/Rc entwickeln, so daß bis auf eine orbits haben loop orbits immer eine eindeutige Konstante Umlaufrichtung. Ihr Extremfall ist die Kreisbahn.   1 v02 y2 2 ΦL (x, y)  x + (328) 2 Rc2 q2 (C) 2-dim rotierende Potentiale gilt, also gerade wieder das Potential des 2-dim harmonischen Oszillators. Solche Potentiale werden durch homogene Ellipsoide erzeugt. F¨ur R  Rc und q = 1 ist ΦL  v02 ln R, woraus sich eine konstante Kreisbahngeschwindigkeit vc  v0 ergibt. Die einfachsten Bahnen sind die f¨ur R  Rc . Sie setzen sich dann aus unabh¨angigen Oszillationen in x- und y-Richtung zusammen, mit den Frequenzen ωx = v0 /Rc und ωy = v0 /qRc .

Der 2-dim Normalfall ist das z.B. mit konstantem Ωb = Ωb ez > 0 rotierende Potential. Hier werden die Bewegungsgleichungen durch zwei Tr¨agheitskr¨afte erg¨anzt, so daß ¨ r = −∇Φ − 2 (Ωb ×˙r) − Ωb ×(Ωb ×r) (329) Der zweite Term in Gl. (329) ist die CoriolisBeschleunigung und der letzte Term beschreibt die Zentrifugal-Beschleunigung. Durch eine Multiplikation mit r˙ erh¨alt man die Differentialgleichung E˙ J = 0 f¨ur Jacobis Integral EJ = 12 r˙ 2 + Φ − 12 |Ωb ×r|

,

Abb. 179. Bahnen in ebenen zweidimensionalen Potentialen. (a) box orbit, (b) loop orbit Abb. 180. Mitrotierendes effektives 2-dim Potential

(330)

94

4

Abb. 181. Schleifenbahnen entlang der großen Hauptachse eines mitrotierenden 2-dim Potentials

wobei die Identit¨at EJ = E− Ωb · L gilt. Im rotierenden Potential werden weder Energie E noch der Drehimpuls L erhalten, daf¨ur aber EJ . Die Definitien eines effektiven Potentials Φef f = Φ− 12 Ω2b R2 vereinfacht die Bewegungsgleichung und Jacobis Integral zu ¨r = −∇Φef f − 2(Ωb × r˙ ) , EJ = 12 |˙r2 | + Φef f .

und (331)

Dabei bezeichnet man die Fl¨ache mit Φef f = EJ als Null-Geschwindigkeits-Fl¨ache. Das mitrotierende effektive Potential (Abb. 180) zeigt eine ausgepr¨agte Struktur mit lokalen Maxima, Minima und Sattelpunkten (sogenannten LagrangePunkten, L1 . . . L5 ). In diesem Potential existieren abseits der Lagrange-Punkte Bahnen, die entlang der großen Halbachse mehrfache Schleifen bilden und so die zentrale Sternverteilung in Balkengalaxien simulieren k¨onnen (Abb. 181).

DYNAMIK

4.3

4.3

Stellardynamik

95

Stellardynamik

vorhanden ist. Summiert man den Betrag u¨ ber alle ¨ 6 Grenzfl¨achenpaare, dann ist die zeitliche AndeGravitation ist eine langreichweitige Kraft. Syste- rung der gesamten Teilchenzahl im Phasenraumme von 1000 oder mehr Sternen bewegen sich Volumen gerade ∂f dτ , und damit ∂τ daher unter dem Einfluß eines mittleren gegl¨atte3 3 ∂f  ∂(f x˙ k )  ∂(f v˙ k ) ten Potentials Φs (r, t), da lokale Potentialschwan+ = 0 . (334) + kungen in gr¨oßeren Abst¨anden nicht mehr zur ∂t k=1 ∂xk k=1 ∂vk Wirkung kommen. Wegen v = x˙ gilt f¨ur die Summen ∂ x˙ k /∂xk = 0. Außerdem ist ∂ v˙ k /∂vk = −∂(∇Φ)/∂vk , da das 4.3.1 Phasenraum und Boltzmanngleichung Potential keine Funktion von vk sein soll. Damit folgt aus Gl. (334) die stoßfreie BoltzmannDie vollst¨andige Beschreibung eines N -Stern- Gleichung Systems wird somit durch statistische Methoden 3 3  ∂f  ∂f ∂Φ ∂f m¨oglich. Solche Systeme werden durch eine Vervk + = 0 . (335) + teilungsfunktion der Phasenraum-Koordinaten ∂t k=1 ∂xk k=1 ∂xk ∂vk f (r, v, t) d3 r d3 v erfaßt, mit f als Anzahl der Sterne im Phasenraum-Volumen dτ = d3 r d3 v Die Vlasov-Gleichung (335) besagt, daß Sterne in um den Punkt (r,v). Die Eigenschaften von f sind stoßfreien Systemen durch einen inkompressiblen Teilchenfluß beschrieben werden. Sie ist zu kompliziert, um sie f¨ur die L¨osung allgemeiner Pro• f ≥ 0 f¨ur alle r, v , bleme anzuwenden. Daher kommt praktisch immer eine Vereinfachung zur Anwendung, die auf • f ist stetig, eindeutig und differenzierbar , der Bildung von Geschwindigkeitsmomenten beruht, • lim f → 0 f¨ur |r, v| → ∞ 

Dabei folgt die zeitliche Entwicklung der Phasenraum-Koordinaten Newtons Gesetz ˙ = (v, −∇Φ) . (˙r, v)

(332)

* 0. Ordnung ⇒ n = f d3 v * 1. Ordnung ⇒ v k =

1 n

* 2. Ordnung ⇒ vi v k =

 1 n

vk f d3 v 

vi vk f d3 v

Im folgenden sollen zun¨achst nur stoßfreie Pro- Die Integration der Vlasov-Gleichung u¨ ber den zesse betrachtet werden, da fast alle Probleme Geschwindigkeitsteilraum des Phasenraumes erder Stellar- und Galaxiendynamik stoßfrei sind. gibt Man betrachtet dazu einen Teilchenstrom durch



∂f 3 ∂f 3 das Phasenraumvolumen dτ = dx dsx (s. Abb. vk dv d v+ ∂t ∂xk 182). Eine simple Reihenentwicklung der Abnahk   me zeigt, daß f¨ur jede Koordinate x eine Netto ∂ ∂Φ − f d3 v = 0 . (336) Zunahme von ∂v ∂x k

−

k

k

∂ ∂ (f · x) ˙ x dx dsx = − (f · x) ˙ x dτ ∂x ∂x Zunahme

Abnahme

dsx ·

(f·x)x dsx dx

(333) Im ersten Term kann ∂/∂t vor das Integral gezogen werden, da der Integrationsbereich nicht von der Zeit abh¨angt; im zweiten Term kann man wegen vk = vk (xk ) die Ableitung ∂/∂xk herausziehen. Im dritten Term k¨onnen Summation und · (f·x)x+dx dsx Integration vertauscht sowie das Volumenintegral durch ein Oberfl¨achenintegral ersetzt werden, so daß schließlich

Abb. 182. Zur Definition des Teilchenstroms im Phasenraum

∂n  ∂(nv k ) + =0 . ∂t ∂xk k

(337)

96

4

DYNAMIK

Dies ist die 1. Jeans-Gleichung. Multipliziert man wird, und eliminiert so das Potential, so folgt erst die Vlasov-Gleichung mit vj und integriert schließlich   dann, so folgt analog f¨ur j = 1, 2, 3 ∂ 1 ∂(nv 2z ) = −4πGρ . (343) ∂z n ∂z ∂(nv j )  ∂(nvj v k ) ∂Φ + +n = 0 . (338) Kennt man nun n(z) und v 2z (z) aus Beobachtun∂t ∂xk ∂xj k gen, l¨aßt sich die Massendichte der SonnenumgeSubtrahiert man davon das vj -fache der 1. Jeans- bung dynamisch bestimmen. Solche BeobachtunGleichung, so erh¨alt man die 2. Jeans-Gleichung, gen ergeben einen Wert von (344) ρ(R0 )  0.15MS pc−3 2  ) ∂v j ∂v j ∂Φ  ∂(nσjk +n n vk = −n − . ∂t ∂xk ∂xj ∂xk k k (339) 4.3.2 Virialgleichungen Dabei wird der Mittelwert vj v k in einen Str¨omungsterm v j v k und einen Dispersionsterm Die Jeans-Gleichungen reduzieren die VlasovGleichung auf partielle Differentialgleichungen σjk zerlegt, so daß f¨ur n(x) und die Geschwindigkeitsmomente v k 2 σjk = (vk − v k )(vj − v j ) = vj v k − v j v k . (340) und vi v k . Eine erneute Multiplikation dieser Gleichungen mit xk und eine anschließende Integratin σjk ist also ein Spannungstensor, der einen ani- on u¨ ber den Ortsteilraum d3 x ergibt eine Tensorgleichung f¨ur die globalen Eigenschaften. sotropen Druck beschreibt. Die beiden Jeans-Gleichungen entsprechen den Setzt man ρ = m n, dann ist zun¨achst



Grundgleichungen der Hydrodynamik. Dabei ist  ∂(ρvi v j ) ∂(ρv j ) 3 xk d3 x d x + xk die erste Gleichung eine Kontinuit¨atsgleichung, ∂t

∂x i i und die zweite entspricht der Eulerschen Bewe∂Φ 3 ρx d x = 0 . (345) + k gungsgleichung. Der wesentliche Unterschied ist, ∂xj daß hier Stoßfreiheit vorausgesetzt wird. ∂ Im ersten Term wird wieder ∂t aus dem Integral Die Jeans-Gleichungen sind die Grundgleichun- herausgezogen. Zus¨atzlich werden die (k, j)- und gen der Stellardynamik. Ihre Einfachheit zeigt die (j, k)-Komponenten gemittelt, so daß mit dem sich in der Eigenschaft, an jedem Ort ein Tr¨agheitsmoment-Tensor Θ =  ρx x d3 x kj k j Geschwindigkeits-Ellipsoid mit drei orthogona1 ∂ 2Θ

∂(ρv j ) 3 len Hauptachsen zu definieren, in dem σ 2 diago= xk d x= 2 2 2 2 ∂t ∂t nal wird, also σjk = δjk σkk . 1∂

Eine erste Anwendung ergibt sich f¨ur die Bestimρ(xk v j + xj v k )d3 x . (346) 2 ∂t mung der Massendichte der Sonnenumgebung. Die dritte Komponente der 2. Jeans-Gleichung Der zweite Term wird wieder in ein Oberfl¨achenbeschreibt die Dynamik in Richtung der z-Achse. integral umgewandelt, dessen Rand ρ f¨ur |x| → den Kinetische Unter der Annahme eines station¨aren Zustands ∞ gegen 0 geht. Dies definiert 1  3 = ρv v d Energie-Tensor K kj k j x mit und unter Vernachl¨assigung der Terme mit vR v z 2

 erh¨alt man in Zylinderkoordinaten 2Kkj = δki ρvi v j d3 x = 1 ∂(nv 2z ) ∂Φ =− n ∂z ∂z

.

(341)

−



i

xk

 ∂(ρvi v j ) d3 x i

∂xi

(347)

Ber¨ucksichtigt man weiter, daß in flachen SysteMit der Definition der Dispersionsgeschwindig men wie der Galaktischen Scheibe die Poisson340) und mit T ρv k v j d3 x keiten σkj (Gl. kj =  Gleichung nur durch die z-Ableitung beschrieben 2 3 d x ist und Πkj = ρσkj und damit 1 ∂ 2Φ K = −4πGρ (342) = T + (348) Πkj . kj kj ∂z 2 2

4.3

Stellardynamik

97

Der letzte Term in Gl. (345) beschreibt direkt Ist nun die einzige Str¨omungskomponente die einen Potentielle Energie-Tensor, −Wkj . Mit den Rotation um die z-Achse, so ist auch Tzz = 0 und vorgestellten Definitionen erh¨alt man das Tensor- daher Virial-Theorem (Chandrasekhar 1960) 1

1 2Txx = ρv 2φ d3 x = M v02 , (354) 2 2 1¨ Θkj = 2Tkj + Πkj + Wkj . (349) 2 wobei M die Gesamtmasse und v02 die mittlere quadratische (massengewichtete) RotationsgeGl. (349) beschreibt globale kinematische und schwindigkeit ist. Ebenso ist morphologische Eigenschaften von Sternsyste

men. Bildet man seine Spur, so gilt im station¨aren (355) Πxx = ρσφ2 d3 x = M σ02 Zustand wieder der skalare Virialsatz mit der mittleren quadratischen Dispersionsge(350) schwindigkeit σ 2 . 0

2K + W = 0 .

Die Gesamtenergie eines solchen System ist dann Man kann die Anisotropie der Geschwindigkeitsdispersion durch einen Parameter δ so beschrei1 ben, daß (351) E = K + W = −K = W . 2 Πzz = (1 − δ)Πxx = (1 − δ)M σ02 . (356) Das erst in den 70er Jahren in der Stellardynamik zur Anwendung gelangte Tensor-Virial-Theorem Damit folgt aus Gl. (353) 2 ist mit großem Erfolg zur Untersuchung der RoWxx v0 = 2(1 − δ) −2. (357) tation elliptischer Galaxien benutzt worden. σ0 Wzz Man betrachtet dazu axisymmetrische elliptische Systeme, die um die z-Achse rotieren (Abb. 183). Dies ist die zentrale Folgerung aus dem TensorAus der Symmetrie folgt sofort Wxx = Wyy und Virial-Theorem. Sie beschreibt das Verh¨altnis ¨ gilt f¨ur T und aus geordneter und ungeordneter Energie. Dieses Wik = 0 f¨ur i = k. Ahnliches Π. Setzt man zudem Stationarit¨at voraus, so sind h¨angt ab von der Anisotropie δ und vom Verh¨altdie einzigen nicht-trivialen Komponenten von Gl. nis der Komponenten der potentiellen Energie (349) 2Txx + Πxx + Wxx = 0 2Tzz + Πzz + Wzz = 0



(352)

Division der beiden Gleichungen durcheinander ergibt 2Txx + Πxx Wxx = . (353) 2Tzz + Πzz Wzz

Abb. 183. Prolate und oblate Sternsysteme

Abb. 184. v0 /σ0 als Funktion der Elliptizit¨at ε oblater Sph¨aroide und verschiedener Anisotropieparameter δ . Die gestrichelten Kurven beschreiben den Einfluß des Inklinationswinkels i

98

4

DYNAMIK

Wxx /Wzz . Da man die Ellipsoide aus a¨ hnlichen Diese m¨ussen daher eine von elliptischen RieHom¨ooiden zusammensetzen kann, h¨angt W nur sengalaxien v¨ollig verschiedene Entstehungsgevon der Elliptizit¨at ε der Galaxie ab, und v0 /σ0 schichte aufweisen. wird eine Funktion von δ und ε . Abb. 184 zeigt Gl. (357) f¨ur oblate Sph¨aroide. Die Ergebnisse zeigen, daß große Elliptizi¨at entweder durch große Rotationsgeschwindigkeiten (v0 ) erreicht werden (rechter oberer Bereich des Diagramms) oder – bei kleinen v0 – durch starke Anisotropie δ der Geschwindigkeitsdispersion σ0 (Bereich rechts unten). Sie zeigen aber auch den betr¨achtlichen Einfluß der Inklination i zum Sehstrahl, der hier f¨ur wenige ausgew¨ahlte Punkte als gestrichelte Kurve angedeutet wird.

4.3.3

Sph¨arische Systeme, Polytropen und isotherme Sph¨aren

Sph¨arische Systeme besitzen 4 bekannte Integrale der Bewegung: die Energie E und die 3 Komponenten des Bahndrehimpulses L. Jeans hat gezeigt, daß jede positive Funktion f (E, Lx , Ly , Lz ) eine L¨osung der VlasovGleichung ist. Im sph¨arisch symmetrischen Fall ist speziell f = f (E, |L|). Damit ist die PoissonDie Anwendung von Gl. (357) und Abb. 184 auf Gleichung f¨ur solche Systeme beobachtete Daten f¨ur elliptische Galaxien ist in   1 d Abb. 185 zu sehen. Hier sind getrennt Zwergga2 2 dΦ r = 4πGρ (358) ∇Φ = 2 r dr dr  

1 2 = 4πGρ f v + Φ, |r × v| d3 v . 2

H¨aufig wird das Problem durch die Definition relativer Gr¨oßen vereinfacht. Man definiert daher ein relatives Potential Ψ und eine relative Energie E mit Ψ = −Φ + Φ0 Abb. 185. Beobachtungen elliptischer Galaxien. (a) Zwerggalaxien. (b) Riesengalaxien

laxien (und auch einige Bulges von Scheibengalaxien) und normale oder elliptische Riesengalaxien zusammen mit der Null-Anisotropie-Kurve aufgetragen. Diese Beobachtungen und ihre Interpretation durch das Tensor-Virial-Theorem haben Ende der 70er Jahre zu der aufsehenerregenden Entdeckung gef¨uhrt, daß die Abflachung (Elliptizi¨at) der meisten normalen elliptischen Galaxien (Riesengalaxien) nichts mit Rotation zu tun hat, sondern praktisch ausschließlich durch die Anisotropie der u¨ bergroßen Geschwindigkeitsdispersion aufrechterhalten wird (Abb. 185b). Interessanterweise gilt das Gegenteil f¨ur elliptische Zwerggalaxien und f¨ur die Bulges von Spiralgalaxien (Abb. 185a). Die Zugeh¨origkeit von Bulges zu Scheibengalaxien erkl¨art m¨oglicherweise ihre vergleichsweise hohe Rotationsgeschwindigkeit; allerdings kann dies f¨ur elliptische Zwerggalaxien nicht gelten.

(359)

1 E = −E + Φ0 = Ψ − v 2 2 Dabei wird Φ0 so gew¨ahlt, daß f > 0 f¨ur E > 0 und f = 0 f¨ur E ≤ 0 . Die dazugeh¨orige Poissongleichung ist dann ∇2 Ψ = −4πGρ

(360)

mit der Randbedingung Ψ → Φ0 f¨ur |r| → ∞. Die Untersuchung sph¨arisch symmetrischer Systeme besteht zun¨achst darin, geeignete Verteilungsfunktionen f zu finden. Eine besonders einfache Form hat die Funktion 3

f (E) = F E n− 2

, f¨ ur E ≥ 0 .

(361)

Damit ist die Dichte

∞



1 f Ψ − v 2 v 2 dv (362) ρ = 4π 2 0

3

√2Ψ 1 2 n− 2 2 Ψ− v v dv . = 4πF 2 0

4.3

Stellardynamik

99

Substituiert man v 2 = 2Ψ cos γ so folgt f¨ur Ψ > 0 9σ 2 /4πGρ0 . Setzt man die Randwerte entsprechend, so l¨aßt sich Gl. (366) numerisch integriedas Polytropen-Gesetz ren. F¨ur hinreichend große r geht die L¨osung wie3 3 2 (2π) (n − 2 )!F der gegen r−2 . Auch diese Masse divergiert al. ρ(r) = cn Ψn , mit cn = so. Dies a¨ ndert sich erst, wenn man die Vertein! (363) lungsfunktion (365) der isothermen Sph¨are entSetzt man das Polytropengesetz in die Pois- sprechend modifiziert, so daß f¨ur alle E > 0 songleichung (358) ein,  setzt Ψ0 = Ψ(0),   E ρ∗ ψ = Ψ/Ψ0 , b = 1/ 4πGcn Ψ0n−1 und s = exp 2 − 1 (368) fKing (E) = (2πσ 2 )3/2 σ r/b, so erh¨alt man schließlich die Lane-EmdenGleichung f¨ur selbstgravitierende polytropische F¨ur alle E ≤ 0 wird fKing = 0 gesetzt. DieGaskugeln, se King-Michie-Modelle besitzen die Eigenschaft,    Sterne mit zu großer Bahnenergie aus dem gravidψ 1 d −ψ n f¨ ur ψ > 0 2 s = (364) tativen System zu entfernen, wobei nat¨urlich die 0 f¨ ur ψ ≤ 0 s2 ds ds Erhaltung der Gesamtmasse nicht mehr vorausmit den Randbedingungen ψ(0) = 1 und gesetzt werden kann. Sie werden durch zwei Padψ/ds(0) = 0 . F¨ur n = 1 und n = 5 ist die Lane- rameter gesteuert, Emden-Gleichung analytisch l¨osbar. F¨ur n > 5 • die zentrale Massendichte ρ∗ f¨allt die Dichte so langsam ab, daß die Gesamtmasse nicht mehr endlich bleibt. • und die Dispersionsgeschwindigkeit σ. Setzt man stattdessen eine Verteilungsfunktion der Form Entsprechend lassen sich die normierten Profile

ρ∗ E exp (365) (2πσ 2 )3/2 σ2   Ψ − 12 v 2 ρ∗ = exp (2πσ 2 )3/2 σ2

fiso (E) =

ρ/ρ0 durch einen freien Parameter beschreiben, das Verh¨altnis c = log(rt /r0 ) von Gezeitenradius rt , f¨ur den ρ(rt ) = 0 gilt, und den Kernradius r0 , der den ”Durchmesser” der Verteilung beschreibt.

Setzt man ein konstantes Masse-Leuchtkraftan und integriert u¨ ber d3 v, so gilt ρ = Verh¨altnis Υ voraus, so ergibt sich aus der L¨osung f¨ur ρ(r) eine a¨ quivalente L¨osung f¨ur die Leuchtρ∗ exp(Ψ/σ 2 ), und die Poissongleichung ergibt kraftdichte j(r). Die beobachtete Intensit¨at I oder   4πG d ln ρ d r2 = − 2 r2 ρ . (366) dr dr σ Dies Ergebnis ist identisch mit der sph¨arischen hydrostatischen Gleichung einer isothermen Gaskugel, wobei σ 2 = kT /m. Außerdem entspricht es dem Grenz¨ubergang der Lane-EmdenGleichung f¨ur n → ∞, und fiso ist gerade die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung. Die einfachste L¨osung der Differentialgleichung (366) ist die der singul¨aren isothermen Sph¨are, σ2 ρ(r) = 2πGr2

,

(367)

allerdings mit ρ → ∞ f¨ur r → 0, also mit divergenter Gesamtmasse M (r).

Abb. 186. Projizierte Intensit¨at von King-Michie-Modellen

Die n¨achstfolgende Erweiterung ist die Vorga- mit verschiedenen Parametern c, im Vergleich mit Fl¨achenbe einer endlichen Zentraldichte ρ0 durch r02 = helligkeiten von Kugelsternhaufen und Zwerggalaxien

100

4

die Fl¨achenhelligkeit µ = −2.5 log I ergibt sich dann aus der Integration entlang der Sehlinie, I(R) = 2

∞ j(r) rdr R

√ r 2 − R2

.

(369)

Als Beispiel f¨ur die Anwendbarkeit von KingMichie-Modellen zeigt Abb. 186 den Vergleich verschiedener Modelle mit den Fl¨achenhelligkeiten der Kugelsternhaufen NGC 5053 und NGC 6388 und der elliptischen Zwerggalaxie Sculptor. Die besten Fits f¨ur elliptische Riesengalaxien liegen etwa bei c = 2.0 . . . 2.5 .

DYNAMIK

5.1

Astronomische Beobachtungen

5

Stellarastronomie

101 sorbierender H I-Teilchen mit n = 2 bei Teff  10000 K.

Die Grundlagen der Stellarastronomie beruhen auf einer Anzahl von fundamentalen Parametern, deren Beobachtung nur indirekt – d.h. durch Vergleich mit Modellen – m¨oglich ist. Die Astronomen haben sich bereits vor u¨ ber 100 Jahren auf Klassifikationsmethoden geeinigt, die auch heute ¨ noch geeignet sind, einen schnellen Uberblick zu gew¨ahren.

5.1

Astronomische Beobachtungen

5.1.1

Hertzsprung-Russell-Diagramm Spektralklassifikation

und

Die Grundz¨uge der Spektralklassifikation sind in einer Anordnung von stellaren Spektraltypen zusammengefaßt, die man die Harvard-Sequenz nennt. Dieser Typeneinteilung O–B–A–F–G–K–M entspricht im wesentlichen die Effektivtemperatur. Die Klassifikation erfolgt anhand von Spektren geringer Aufl¨osung, die den visuellen Bereich von 350 nm bis 700 nm mit R  3000 u¨ berdecken. Eine kleine Anzahl typischer Spektren werden in Abb. 187 dargestellt. Ihre spektralen Eigenschaften sind in Tab. 9 aufgef¨uhrt. Die Klassifikation nach Spektraltypen (Effektivtemperatur) korreliert mit der Anregung und Ionisation des Wasserstoffs. Bis auf die ganz sp¨aten Typen (M-Sterne) ist in allen Sternen die Balmerserie des Wasserstoffs zu sehen. Eine a¨ hnliche Klassifikation folgt dem Index DB , der den Balmersprung, also die Kante der bf Absorption durch eine Extrapolation des Kontinuums beschreibt (Abb. 188). DB f¨allt zusammen mit der St¨arke der Balmerlinien, die u¨ ber die Saha-Boltzmann-Gleichung (94) von Teff abh¨angen. Die Teilchendichte des absorbierenden Zustands n = 2 von H I steigt dabei zu h¨oheren Temperaturen relativ zur gesamten H I-Dichte an, da die Anregung zunimmt. Gleichzeitig f¨allt der Anteil der neutralen H I-Atome relativ zur Gesamtzahl von H I- und H II-Kernen. ⇒ Das Ergebnis ist ein Maximum der Zahl ab-

Abb. 187. Klassifikation der verschiedenen Spektraltypen mit Leuchtkraftklasse V (Hauptreihe)

Statt des relativ schwer zu beobachtenden DB Index oder Klassifikationsspektren benutzt man f¨ur eine schnelle Klassifikation h¨aufig Breitbandfarben wie U–B, B–V oder V–K (vgl. Abschn. 3.2). Deren Genauigkeit ist jedoch durch die interstellare Verf¨arbung beeintr¨achtigt. Neben dem Spektraltyp ist die Leuchtkraft oder die absolute Helligkeit der zweite wichtige Parameter der

102

5 STELLARASTRONOMIE

Tab. 9. Zusammenfassung spektraler Eigenschaften der Harvard-Sequenz

Typ

Stern

O5

ζ Pup

B0 A0

F0

G0

K0

M0

Spektrale Charakteristik

Sehr starke He II-Linien. Linien mehrfach ionisierter Metalle (C III, Si IV, . . . ) τ Sco He I-Linien st¨arker als He IILinien, H I m¨aßig stark α Lyr H I (Balmer-Serie) dominiert, Ca II K-Linie schwach, Fe ILinien sehr schwach γ Vir Balmerserie stark, Ca II H & K m¨aßig stark, Linien neutraler Metalle m¨aßig stark α Aur Ca II H & K sowie Linien neutraler Metalle stark, Hδ und Ca I ˚ gleich stark, Balmerserie 4226 A m¨aßig stark α Boo Ca II H & K maximal, Ca I ˚ stark, Balmerserie ex4226 A trem schwach, neutrale Metalle noch st¨arker β And Bandenspektrum des TiO vor˚ sehr herrschend, Ca I 4226 A stark

Sternklassifikation. Nach Abschn. 3.2.3 ist hierzu die Kenntnis der Entfernung notwendig (z.B. durch Messung der trigonometrischen Parallaxe). Zusammen ergibt sich das Hertzsprung-RussellDiagramm (HRD). Abb. 189 zeigt ein HRD, in

Abb. 189. Hertzsprung-Russell-Diagramm mit Sternen aus dem H IPPARCOS-Katalog und den hellsten Riesensternen. 1: Hauptreihe, 2: Riesen, 3: Weiße Zwerge

das haupts¨achlich Sterne aus dem H IPPARCOSKatalog eingetragen wurden. Daneben sind noch einige der scheinbar hellsten Sterne zu sehen, sowie einige Weiße Zwergsterne. Die Betrachtung des Hertzsprung-RussellDiagramms zeigt: ⇒ Das HRD ist ein Zustandsdiagramm; Sterne sind nicht in jeder Kombination von Spektraltyp und Leuchtkraft zu finden. Die Ph¨anomenologie des HRD unterscheidet die 1. Hauptreihe Die u¨ berwiegende Zahl aller sichtbaren Sterne befindet sich – unabh¨angig vom Spektraltyp – auf der Hauptreihe. Insbesondere die k¨uhlsten Sterne sind fast ausschließlich dort zu finden. Sie bildet ein 2 - 3 Magnituden breites Band, das diagonal durch das HRD verl¨auft. 2. Riesensterne Die hellsten Sterne geh¨oren zum Bereich der Riesensterne. Dabei gibt es sowohl heiße Riesensterne vom Spektraltyp B oder A als auch k¨uhle Riesensterne vom Spektraltyp K oder M. Der Hauptanteil der Riesensterne ist vom Spektraltyp K, die absolut hellsten Sterne vom Spektraltyp OB oder M.

Abb. 188. Der Balmersprung als Kennzeichen der Spektralklassifikation

3. Weiße Zwerge Sie bilden die Gruppe der schw¨achsten Sterne mit absoluten Helligkeiten  10 . . . 15 Magnituden unterhalb der Hauptreihe.

5.1

Astronomische Beobachtungen

103

Abb. 190. Klassifikationsspektren von A-Sternen verschiedener Leuchtkraftklassen

Ia

Rigel Deneb

−5

Canopus

α Crucis Spica

MV 5

Ib

Antares

II Regulus

0

Beteigeuze

Capella

Wega Sirius Atair

V

III

Aldebaran Arcturus Pollux

Procyon Sol

IV

VI 10

nale Spektralklassifikation, die im Yerkes- oder Morgan-Keenan-System neben den Spektraltypen mit Leuchtkraftklassen beschrieben wird (Abb. 191). Dabei handelt es sich um ¨ Ia,b Uberriesen (supergiants) II - III Riesen (giants) IV Unterriesen (subgiants) V Zwerge (dwarfs), und VI Unterzwerge (subdwarfs)

Spica (B1 V), Wega (A0 V) und die Sonne (G2 V) sind danach Zwergsterne (Hauptreihensterne). White Dwarfs 15 Arcturus und Pollux (beide K0 III) sind rote RieB0 A0 F0 G0 K0 M0 sensterne, Regulus (B7 III) ist ein blauer Riesenstern, Rigel (B7 Ia), Deneb (A2 Ib), Canopus Abb. 191. Hertzsprung-Russell-Diagramm mit Leucht(A8 Ib) und Beteigeuze (M1 Ia) sind blaue bzw. ¨ kraftklassen Iab (Uberriesen) bis VI (Subdwarfs) ¨ rote Uberriesen. Die zweidimensionale Verteilung der Sterne im Hertzsprung-Russell-Diagramm erfordert offensichtlich eine genauere Klassifikation, als es allein durch den Spektraltyp m¨oglich w¨are. So gibt es z.B. Weiße Zwerge, Hauptreihensterne und Riesen, alle mit dem gleichen Spektraltyp G0. Beobachtet man daher Sterne des gleichen Spektraltyps, so l¨aßt sich hier anhand von Klassifikationsspektren ein Unterschied feststellen, der systematisch von der absoluten Helligkeit der Sterne abh¨angt (Abb. 190). Neben den Balmerlinien des Wasserstoffs werden auch Linien ionisierter Metalle herangezogen, da diese mit zunehmender Leuchtkraft st¨arker werden. Insgesamt ergibt sich daraus eine zweidimensio-

Die Leuchtkraft nimmt von I nach V ab, die absolute Helligkeit (als Zahl) nimmt zu. Die 2-dimensionale Spektralklassifikation erm¨oglicht dadurch eine gen¨aherte Bestimmung von spektroskopischen Parallaxen. Beispiel: Beobachtet wird ein F0 V-Stern (vgl. Tab. 9) mit einer scheinbaren Helligkeit V = 14.4 . F0 V-Sterne (Hauptreihe!) besitzen eine absolute Helligkeit von MV = 3 ± 1 mag (Abb. 191). Damit ergibt sich ein Entfernungsmodul V - MV = 11.4 ± 1 mag = 5 log d/10 ⇒ d  2 ± 1 kpc. Diese Methode der Entfernungsbestimmung ist allerdings sehr unsicher. Selbst die Hauptreihe l¨aßt keine eindeutige Bestimmung von MV zu; bei Riesensternen wird dies noch problemati-

104

5 STELLARASTRONOMIE Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Abszissen der Zustandsdiagramme, Spektraltyp, Effektivtemperatur Teff und Breitbandfarben wie B–V ist in Abb. 193 zu erkennen. Die dort erkennbaren Details in der Variation von Teff oder B–V sind allerdings nicht unbedingt realistisch. Dies folgt schon aus der Unsicherheit der Bestimmung von Spektraltypen, die selbst meistens ±1 . . . 2 Unterklassen ausmachen kann.

−5 MV 0

5

10

Ein weiterer Vorteil der Breitbandfarben in der Spektralklassifikation liegt in der Darstellung und 15 Auswertung des Zweifarben-Diagramms U–B vs. B–V. In diesem Diagramm liegen alle Zwergster0.0 0.5 1.0 1.5 B−V ne (Leuchtkraftklasse V) auf einer StandardseAbb. 192. Farben-Helligkeits-Diagramm (FHD) der mei- quenz, die den Gradienten der Flußspektren zwischen U, B und V f¨ur verschiedene Teff folgt sten Sterne n¨aher als 100 pc (Abb. 194). An ihrer linken Seite sind die Spektraltypen aufgetragen, rechts die Absoluthelligscher. Außerdem muß die interstellare Extinktion keiten. Hier liegen die Weißen Zwerge in der ber¨ucksichtigt werden (vgl. Abschn. 3.2). N¨ahe der Planckschen Schwarzk¨orper-Kurve, f¨ur Eine alternative Klassifikation bedient sich statt welche Fλ = Bλ (Teff ). der doch recht ungenauen Spektraltypen der Weiter entfernte Sterne werden durch interstellare Breitbandfarben. In dieser Version wird das HRD Verf¨arbung beeinflußt, welche entsprechend Gl. auch als Farben-Helligkeits-Diagramm (FHD) (61) in Richtung des eingetragenen Pfeils zeigt. bezeichnet (Abb. 192). Abgesehen von vereinzelBeispiel: Der in Abb. 194 oben eingezeichneten Ausnahmen ist die Farbe B–V eine monote Stern m¨oge als Hauptreihenstern klassifiziert tone Funktion der Temperatur (und ebenso des Spektraltyps). Ihr Vorteil liegt darin, daß sie im Gegensatz zum Spektraltyp direkt meßbar ist, auch f¨ur sehr lichtschwache Sterne. Dadurch wird die Klassifikation betr¨achtlich genauer. Dies wird auch im Vergleich mit dem HRD (Abb. 189) deutlich. Insbesondere die Hauptreihe ist im FHD wesentlich besser definiert als im urspr¨unglichen HRD. 50 [kK] 40

B−V Teff

1.5

30

1.0

20

0.5

10

0.0

0 B0

A0

F0

G0

K0

M0

Abb. 193. Zusammenhang zwischen Spektraltyp, Effektivtemperatur und Breitbandfarben f¨ur Hauptreihensterne Abb. 194. Zweifarben-Diagramm mit Verf¨arbungsvektor (Leuchtkraftklasse V)

5.1

Astronomische Beobachtungen

105

sein. Die beobachteten Farben sind U–B = −0.72 und B–V = −0.02, womit der Stern wegen der interstellaren R¨otung weitab von der Hauptreihe zu liegen scheint. Eine entsprechende Korrektur in umgekehrter Pfeilrichtung ergibt einen B2 VStern mit einer R¨otung von EB−V  0.13. Nach Gl. (63) betr¨agt dann die Extinktion AV  0.4 mag, und das Entfernungsmodul muß um diese Differenz korrigiert werden. 5.1.2

Fundamentale Sternparameter

Nach vorl¨aufiger Auswertung der rein empirischen Klassifikations-Diagramme HRD, FHD Abb. 195. Masse-Leuchtkraft-Diagramm f¨ur Hauptreihenund Zweifarben-Diagramm stellt sich die Frage: sterne welche der hier beteiligten Sternparameter sind fundamental, so daß sie einen Stern eindeutig beWie nach der Untersuchung der Beobachtungen schreiben? schon zu vermuten ist, sind nicht alle hier vorgeUm zun¨achst eine Referenz zu definieren, bezieht stellten Parameter voneinander unabh¨angig . F¨ur man in der Stellarastronomie alle wichtigen Para- Hauptreihensterne gibt es einen empirischen Zumeter auf ihre solaren Werte, wobei die Definition sammenhang zwischen Masse M und Leuchtkraft L (vgl. Abb. 195). So gilt (370) [X] = log X/XS 

benutzt wird, in der X ein beliebiger Parameter sein kann. Die entsprechenden solaren Werte sind Teff g M R L M/L

[L] 

4[M ] f¨ ur M > 0.6MS 2[M ] − 0.4 sonst

(375)

5780 K 2.75 104 cm/s2 1.989 1033 g 6.96 1010 cm 3.85 1033 erg/s 0.521 gs/erg

Diese Masse-Leuchtkraft-Relation kann benutzt werden, um gen¨aherte Parameter von Sternen zu bestimmen. Kennt man z.B. aus der spektroskopischen Analyse eines Zwergsterns Teff und log g, so folgt [M/L] exakt aus Gl. (373). [R], [M ] und [L] erh¨alt man damit n¨aherungsweise aus Gl. Unter Ber¨ucksichtigung der Gleichungen (54) (371), (372) und (375). und (55) lassen sich die Parameter einfach mit- F¨ur Weiße Zwergsterne existiert eine a¨ hnliche einander verbinden, so daß M -L-Relation, jedoch nicht f¨ur Riesensterne. Gl. [L] = 2[R] + 4[Teff ]

.

(371)

(375) h¨angt zus¨atzlich noch von der chemischen Zusammensetzung

Das Newtonsche Gesetz (Gl. 183) wird zu [g] = [M ] − 2[R]

,



(372)

und zusammen erh¨alt man [M/L] = [g] − 4[Teff ]

.

(373)

Zur Verbindung mit Beobachtungen benutzt man schließlich noch die Definition der absoluten Helligkeit (Gl. 68) und erh¨alt [L] = −0.4 (Mbol − Mbol,S )

(374)

[εm ] = log

Nm NH



Nm NH

S

(376)

ab. Man unterscheidet als Hauptbeitr¨age zur Elementmischung • Wasserstoff mit  90% , • Helium mit  9% und • Metalle mit 0.1% der Gesamtteilchendichte.

106

5 STELLARASTRONOMIE

Da sich die H¨aufigkeitsverh¨altnisse [εm ] in ver- Tab. 10. Mit dem Intensit¨ats-Interferometer gemessenene schiedenen Sterntypen unterscheiden k¨onnen, ist Sterndurchmesser mindestens die zus¨atzlich Angabe von [εHe ] und Stern SpTyp φ [

] p [

] R/RS [εM ] notwendig, wobei hier ”M” f¨ur die Metalle α Boo K1 III 0.022 0.090 26. steht. α Tau K5 III 0.020 0.048 45. Ohne Anwendung der M -L-Relation (Gl. 375), α Sco M1 Ib 0.040 0.058 74. die ja nur f¨ur Zwergsterne gilt, sind je 3 der α Eri B5 V 0.00193 0.023 9. oben angegebenen Sternparameter voneinander γ Ori B2 III 0.00076 0.026 3.1 unabh¨angig. Fundamentale Parameter eines α Gru B5 V 0.00102 0.051 2.15 Sterns sind daher α CMa A1 V 0.00612 0.374 1.76 Masse, Radius und Leuchtkraft . α CMi F5 IV-V 0.00571 0.283 2.17 Leuchtkraft L Die Bestimmung der Leuchtkraft eines Sterns beruht auf der Beobachtung seiner scheinbaren visuellen Helligkeit V. Mit einer entsprechenden bolometrischen Korrektur erh¨alt man daraus die scheinbare bolometrische Helligkeit mbol . Nach Bestimmung der Parallaxe p (Entfernung d) durch trigonometrische oder dynamische Methoden (z.B. aus der Analyse von Bedeckungsver¨anderlichen) folgt [L] = −0.4[V+AV −BC −Mbol,S +5(1+log p)] (377) Der Fehler bei der Bestimmung der Parallaxe geht quadratisch in die Leuchtkraft ein; eine genaue Entfernungsbestimmung ist daher besonders wichtig.

K¨orper-Problem untersucht werden kann. Die M¨oglichkeiten sind sehr beschr¨ankt, da zur Bestimmung der Bahnparameter ein großer Teil eines gesamten Umlaufs vermessen sein muß. Ein klassisches Beispiel hierf¨ur ist das Doppelsternpaar γ Vir N+S, dessen Komponenten nur maximal wenige Bogensekunden voneinander entfernt sind (Abb. 196). Nach mehr als 150 Jahren kontinuierlicher Abstands- und Positionswinkelmessung sind die große Bahnhalbachse a (in Bogensekunden), die Umlaufzeit T , die Exzentrizit¨at G und der Inklinationswinkel i mit einiger Genauigkeit bekannt. Zusammen mit der sehr genau vermessenen Par-

Radius R Kann nur mit großem Aufwand in vereinzelten F¨allen direkt bestimmt werden. Dies gelingt z.B. durch die Messung des Winkeldurchmessers φ (haupts¨achlich von Riesensternen) mit einem Interferometer. Tab. 10 zeigt eine Auswahl der so bestimmten Daten. Mit der zus¨atzlich bekannten Parallaxe folgt R = 12 φ d. Masse M Die Bestimmung von Sternmassen funktioniert Abb. 196. Relative Doppelsternbahn des visuellen Doppeldirekt nur mit Doppelsternen, an denen das 2- sternpaars γ Vir N+S

5.1

Astronomische Beobachtungen

107

Abb. 197. Absolute Bahn des Doppelsternpaars Sirius A+B

allaxe 1/d folgt aus dem 3. Keplerschen Gesetz (Gl. 201) die Summe beider Massen, M1 + M2 ∼ a3 /T 2 . Prinzipiell k¨onnte hier (hinreichende Inklination vorausgesetzt) statt der Parallaxe auch die spektroskopisch aus dem Dopplereffekt gemessene Bahngeschwindigkeit v benutzt werden. So gilt f¨ur eine Kreisbahn z.B. wieder v T = 2πa. F¨ur exzentrische Bahnen w¨aren wiederum kontinuierliche Messungen notwendig.

Abb. 198. Zur Geometrie der Bedeckungs-Ver¨anderlichen. Unten: Lichtkurve

nenten, a, a1 , a2 , T , G, und i, sowie beide Radien R1 und R2 .

Bis heute ist nicht klar, inwieweit die Massen von Sternen in Doppelsternsystemen repr¨asentativ f¨ur Einzelsterne sind. Massen von Einzelsternen sind nicht meßbar, allerdings sind wahrscheinlich bis Die Einzelmassen k¨onnen mit dieser Methode zu 80% aller Sterne in Doppelsternsystemen (so nicht bestimmt werden. Man kann – falls die daß die Sonne eher eine Ausnahme ist). Helligkeiten ausreichen – Teff und log g der Ein- Mit den beobachteten Radien und Sternmaszelsterne spektroskopisch bestimmen und mittels sen kann man eine empirische Masse-Radiustheoretischer Kenntnisse u¨ ber den Entwicklungs- Relation ableiten (Abb. 199). Diese zeigt, daß zustand ein ziemlich genaues Massenverh¨altnis zwischen 0.5 und 20 MS die Schwerebeschleuableiten. nigung an der Oberfl¨ache der Hauptreihensterne ¨ Die Bestimmung von Einzelmassen f¨ur visuelle nahezu konstant bei log g ∼ 4.25 liegt. Ahnlich Doppelsterne erfordert dagegen die Beobachtung wie in Gl. (375) ergibt sich hier f¨ur Zwergsterne absoluter Bahnparameter, wie dies nur in ganz eine – allerdings wesentlich st¨arker streuende Zuwenigen F¨allen m¨oglich ist. Ein Beispiel daf¨ur ist das System Sirius A+B, das aus einem AHauptreihenstern und einem Weißen Zwerg als Begleiter besteht (Abb. 197). Hier ist in der Projektion die gleichf¨ormige Bewegung des Schwerpunkts zu erkennen, w¨ahrend A und B um den Schwerpunkt oszillieren. Aus dem Schwerpunktsatz folgt M1 /M2 = a2 /a1 , wobei a1 und a2 die großen Halbachsen der Sternbahnen um den Schwerpunkt sind. Die einzige M¨oglichkeit, weitere Information u¨ ber Doppelsternsysteme zu bekommen, besteht f¨ur Bedeckungs-Ver¨anderliche (Abb. 198). Insbesondere bei spektroskopischen Doppelsternen vom Typ SB2 (Linien beider Sterne sind getrennt) erh¨alt man zusammen mit der Lichtkurve Abb. 199. Das Masse-Radius-Diagramm in der Umgebung die vollst¨andigen Bahnelemente beider Kompo- der Hauptreihe

108

5 STELLARASTRONOMIE

satzrelation, [M ]  2[R] − 0.2

(378)

Diese Streuung ist anhand der beiden gestrichelten Linien in Abb. 199 deutlich zu erkennen. Da Masse und Radius von Sternen nur schwer zu bestimmen sind, nutzt man h¨aufig Gl. (371) und (372), um durch Ableitung von Teff und log g aus Spektralanalysen eine indirekte Bestimmung vorzunehmen. Die Bestimmung dieser Gr¨oßen folgt verschiedenen Methoden, • Teff wird aus Breitbandfarben (B–V, V–K) oder Spektraltyp gewonnen (vgl. Abb. 193), oder • aus dem Ionisationsgleichgewicht von Si IV/ Si III/Si II in heißen Sternen (heißer als A0). • In Sternen k¨uhler als A0 erh¨alt man Teff aus den Linienfl¨ugeln der Balmerlinien (da deren Linienprofile durch den Starkeffekt verbreitert werden). ✹ log g folgt wiederum aus den Linienfl¨ugeln der Balmerlinien in heißen Sternen (heißer als A0), oder ✹ aus dem Ionisationsgleichgewicht von Fe II/ Fe I in Sternen k¨uhler als A0.

5.2

5.2

Physik der Sternatmosph¨aren

Physik der Sternatmosph¨aren

Praktisch die gesamte Information u¨ ber einen Stern erhalten wir aus der spektralen Energieverteilung (Spektrum), die in der Sternatmosph¨are emittiert wird. Wegen der immer noch verh¨altnism¨aßig großen Dichten wird τλ > 1 in Zwergsternen bereits nach  500 km erreicht. Tiefer kann man also nicht in den Stern ”hineinsehen”, zumindest nicht mit elektromagnetischer Strahlung. Da f¨ur die meisten Sterne keine direkte Bestimmung der fundamentalen Parameter L, M und R m¨oglich ist, m¨ussen alle Sternparameter aus dem beobachtbaren Spektrum abgeleitet werden, das bei τλ  1 entsteht. Als einfachstes Modell einer Sternatmosph¨are f¨ur Hauptreihensterne w¨ahlt man immer die homogene, planparallele Schichtung.

109 Mit Gl. (46) und (132) folgt durch Integration d (πFλ ) = 4πκλ (Jλ − Sλ ) dz

;

(382)



dabei ist Jλ = 4π Iλ (θ, φ)dω/4π wieder die mittlere Intensit¨at. Wird die Energie durch die Sternatmosph¨are ausschließlich durch Strahlung transportiert, so folgt aus Gl. (382) als Erhaltungssatz das Strahlungsgleichgewicht

∞

κλ (Jλ − Sλ ) dλ = 0

(383)

0

in jeder Tiefe der Atmosph¨are.

Wird die im Inneren erzeugte Energie gleichzeitig auch konvektiv transportiert, muß die gesamte Energieflußdichte F f¨ur konvektives Gleichgewicht modifiziert werden, so daß nun Frad + Das homogene, planparallele Modell ist immer F conv = const, oder dann anwendbar, wenn die Tiefe der Atmo ∞ sph¨are klein gegen¨uber dem Sternradius ist, also dFconv (384) = −4π κλ (Jλ − Sλ ) dλ . δR/R  1 (s. Abschn. 3.4). In allen Sternen wird dz 0 die Leuchtkraft w¨ahrend der Nach-HauptreihenEntwicklung im Sterninneren erzeugt und durch die Atmosph¨are nach draußen transportiert. Im 5.2.1 Sternatmosph¨aren im StrahlungsBereich der Sternatmosph¨are ist daher L(R) = gleichgewicht L ≡ const. Mit Gl. (55) gilt dort δ ln F = −2δ ln R, und wegen δR/R  1 ist in der ge- Dies ist die einfachste Nebenbedingung f¨ur den Energietransport durch die Sternatmosph¨are. samten Sternatmosph¨are Im Fall von Strahlungsgleichgewicht wird der F (R)  F ≡ const . (379) Aufbau (die vertikale Schichtung) der Sternatmosph¨are durch Vorgabe der Parameter Beispiel: die Atmosph¨are der Sonne ist ∼ 500 km tief (ohne die Chromosph¨are). Mit einem Radius von 700 000 km erh¨alt man ⇒ |δF/F |  0.001. Teff , log g und {εm } In den Atmosph¨aren von Zwergsternen ist daher die Energieflußdichte F eine Erhaltungsgr¨oße. bestimmt, wobei die chemische ZusammensetDie Sternatmosph¨are steht unter dem Einfluß zung der Sternmaterie durch Gl. (376) definiert der Gravitation der gesamten Sternmasse M = wird. Damit sind die folgenden Gleichungen siM (R) , wobei der Druck gerade durch die gravi- multan zu l¨osen, tative Beschleunigung kompensiert wird, d Iλ (τλ , θ) = Iλ (τλ , θ) − Sλ (τλ ) ✹ cos θ dP dτ λ = −ρ g , (380) dz f¨ur alle λ im Bereich 0 < λ < ∞ ,

2 ∞ mit g = GM/R . F¨uhrt man eine optische Re✹ κλ (z){Jλ (z) − Sλ (z)}dλ = 0 ferenztiefe τ0 ein, so daß dτ0 = −κ0 dz (z.B. sei 0 κ0 = κ500nm ), so erh¨alt man die hydrostatische f¨ur alle Tiefen τ0 mit 0 < τ0 < τ0,max , Gleichung ρg ρg dP dP = . (381) = , ✹ dτ0 κ0 dτ0 κ0

110

5 STELLARASTRONOMIE

sowie die Materialgleichungen in jeder Tiefe τ0 , ✹ P = N kT , die Zustandsgleichung f¨ur ideale Gase, ✹ N = Ne +



Nr,i +

r,i



Nik + . . . ,

i,k

die Teilchenzahl-Erhaltung f¨ur Ionen und diatomische Molek¨ule, ✹

die Erhaltung der Kerne f¨ur jedes Element i,  wobei Ai = εi / k εk die relative H¨aufigkeit des Kerns i ist,

• Am a¨ ußeren Rand wird Fλ = Fλ+ f¨ur alle λ vorausgesetzt. Da die Strahlungsgleichgewichts-Bedingung (Gl. 383) jedoch u¨ ber Frequenzbereiche integriert wird, f¨ur die τλ (τ0,min ) > 1 ist (z.B. im extremen UV und im Radiobereich), kann hier eine gen¨aherte R¨uckstrahlung eingesetzt werden. F¨ur log τ0,min  −6 spielt die R¨uckstrahlung praktisch keine Rolle mehr.

Nr+1,i Ne Nr,i

2Zr+1 (T ) (2πmkT )3/2 −χr+1,i = exp , Zr (T ) h3 kT die Saha-Gleichung f¨ur jedes Element i, und

• Die hydrostatische Gleichung (Gl. 381) erfordert ebenfalls eine a¨ ußere Randbedingung. Bei hinreichend kleinem τ0,min ist P = 0 eine einfache N¨aherung, die gegebenenfalls iterativ verbessert wird.



Nr,i +

r

 k

(1 + δik )Nik 

= Ai N − Ne +





Nmn ,

m,n

✹

• Der innere Rand τ0,max ist so zu w¨ahlen, daß Jλ (τ0,max ) = Bλ [T (τ0,max )] f¨ur alle Wellenl¨angen λ gilt. Dies ist eine Bedingungsgleichung f¨ur τ0,max . Ein Vergleich mit der grauen Atmosph¨are (s. Gl. 155 und Abb. 134) zeigt, daß man τ0,max > 10 w¨ahlen muß, um ann¨ahernd Isotropie zu erreichen.

✹ Nik = Vik (T ) N0,i N0,k , mit der Gleichgewichtsfunktion Vik (T ) f¨ur diatomische Molek¨ule. F¨ur Temperaturen > 8000 K kann die Molek¨ulbildung im allgemeinen vernachl¨assigt werden. W¨ahrend die letzten 5 Gleichungen den lokalen Zustand des Gases in der Sternatmosph¨are beschreiben, bestimmen die ersten 3 Gleichungen den globalen Zustand und damit die Schichtung der Atmosph¨are.

Die Konstruktion von Sternatmosph¨arenmodellen besteht somit in der L¨osung des gekoppelten Integro-Differentialgleichungssystems f¨ur alle Wellenl¨angen λ, alle Richtungen θ und alle Tiefen τ0 . Dieses System ist extrem nicht-linear und – wegen des Strahlungstransports – auch extrem nicht-lokal. L¨osungen k¨onnen daher nur numerisch gewonnen werden. Ziel ist dabei die Bestimmung der Funktionen T (τ0 ) und P (τ0 ) zu vorgegebenen Werten der Parameter Teff , log g und {εm }. Damit ist die Thermodynamik der atmosph¨arischen Schichten (und im Falle von LTE auch die Emission der spektralen Energieverteilung) vollst¨andig bestimmt.

Die Strahlungsgleichgewichts-Bedingung (383) enth¨alt noch nicht den Strahlungsfluß. Zumindest in einer Tiefenschicht muß sie daher durch die Alle L¨osungsmethoden beruhen auf der Diskrea¨ quivalente Momentengleichung tisierung der Variablen θ, τ0 und λ. So wird z.B. dKλ = Fλ (385) die Variable θ durch eine geringe Anzahl diskreter 4 dτλ Winkel ersetzt, {θi , i = 1, . . . , 3 (4)}. Diese Winkel werden nach dem Gaußschen Integrationsverersetzt werden (s. Gl. 150), wodurch fahren gew¨ahlt, so daß

∞ σB 4 dKλ

+1 dλ = (386) T  dτλ 4π eff wi Iλ (µi ) . (387) Jλ = Iµ dµ = 0

−1

i

Das gesamte System von Integro-Differentialgleichungen wird erg¨anzt durch die notwendigen Entsprechende Darstellungen gelten f¨ur die h¨oheren Intensit¨atsmomente. Randbedingungen.

5.2

Physik der Sternatmosph¨aren

111

Die Variablen τ0 und λ werden durch {τ0,n , n = 1, . . . , nmax } und {λj , j = 1, . . . , jmax } ersetzt, so daß d/dτλ durch 1/(τn+1,j − τn,j ) oder durch 1/(τn,j − τn−1,j ) repr¨asentiert wird. Die L¨osungsmethoden werden nach dem Grad der Linearisierung unterschieden. Eine rigorose Methode ist die vollst¨andige Linearisierung. Dabei werden s¨amtlich auftretenden Variablen als Funktionen f (T, P ) betrachtet und durch eine Reihenentwicklung ersetzt, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird; so wird z.B. 



∂κλ  ∂κλ    δP + δT . κλ = κλ (P, T ) + ∂P (P,T ) ∂T (P,T ) (388) Die linearisierten Variablen werden in die Gleichungen eingesetzt und die Terme 0. Ordnung eliminiert, so daß aus dem gesamten System ein lineares Gleichungssystem f¨ur die Variablen δIn,j,i , δTn und δPn u¨ brig bleibt. Ausgehend von einer m¨oglichst plausiblen Anfangsn¨aherung dient dieses Gleichungssystem zur iterativen Verbesserung der L¨osung {In,j,i , Tn , Pn }, z.B. nach dem Verfahren von Newton-Raphson. Neben der vollst¨andigen Linearisierung existieren verschiedene Abstufungen von partiellen Linearisierungen. Die einfachste Methode besteht darin, ausschließlich die Quellfunktion nach der Temperatur zu linearisieren, 

∂Bλ   δT Sλ  Bλ (T ) + ∂T (T )

,

(389)

die hydrostatische Gleichung zun¨achst auszusparen und das Restsystem nach dem Vektor {In,j,i , Tn } aufzul¨osen. Ist so eine verbesserte Temperaturschichtung {Tn } erreicht, wird anschließend die hydrostatische Gleichung separat integriert. Im Falle von LTE ist das Konvergenzverhalten beider Methoden nur geringf¨ugig verschieden, so daß die partielle Linearisierung wegen ihrer Einfachheit vorzuziehen ist. Die hier beschriebene Methode der Linearisierung erzeugt ein lineares Gleichungssystem vom Rang nmax jmax imax . Typische Werte f¨ur die maximalen Indizes sind nmax  80, jmax  1000 und imax  4, womit insgesamt 320 000 Gleichungen simultan zu l¨osen sind. Allerdings sind die meisten Gleichungen vom Typ der Strahlungstransportgleichung (Gl. 132), die f¨ur jede

Abb. 200. Verteilung der monochromatischen Helligkeiten mλ = −2.5 log Fλ + const in 3 optischen Tiefen τ0 der Sonnenatmosph¨are

Wellenl¨ange λj und jede Richtung θi separat aufgel¨ost werden kann, wodurch die Verkn¨upfung der Funktion mit der optischen Tiefe durch die Linearisierung lokal wird. Dies f¨uhrt dann zu tridiagonalen Matrizen. Die Anbringung sukzessiver Korrekturen δTn und δPn ergibt eine Schichtung (Tn , Pn ), f¨ur welche die Nebenbedingung des Strahlungsgleichgewichts (Gl. 383 und 386) in jeder Tiefe τ0,n gew¨ahrleistet ist. Die spektrale Energieverteilung des Strahlungsstroms ist f¨ur verschiedene Tiefen der Sonnenatmosph¨are in Abb. 200 zu sehen, f¨ur welche allerdings nur kontinuierliche Absorption ber¨ucksichtigt wurde. Die Konsistenz solcher Modelle – und damit ihre Brauchbarkeit f¨ur die Interpretation von Beobachtungen – ist abh¨angig von verschiedenen Approximationen, I Die einfachsten Modelle ber¨ucksichtigen nur die kontinuierliche Absorption im LTE bei der Berechnung der κλ (vgl. Abb. 200) II Der n¨achste Schritt besteht in der Hinzuf¨ugung der Absorption durch Spektrallinien (⇒ line blanketing), ebenfalls im LTE III Die Aufgabe des LTE und Ber¨ucksichtigung des kinetischen Gleichgewichts f¨ur die wichtigsten Absorber ist die n¨achste Verfeinerung des Ansatzes, der schließlich IV durch die Erweiterung der Nebenbedingung auf konvektiven Energietransport verallgemeinert wird.

112

5 STELLARASTRONOMIE ken Balmer- und Paschenlinien.

Abb. 201. Beobachtungen der spektralen Energieverteilung von α Lyr (Wega) und der Vergleich mit einem synthetischen Flußspektrum unter Voraussetzung von LTE und ausschließlich kontnuierlicher Absorption

Die kontinuierliche Absorption wirkt in den meisten Sternatmosph¨aren nur in einem relativ kleinen Tiefenbereich. Die austretende Strahlung ”entsteht” haupts¨achlich in der Umgebung von τ0 = 0.5 . . . 2. (τ0 bedeutet im folgenden im˚ mer τ (5000A)). Ihr Einfluß auf die Temperaturschichtung beschr¨ankt sich daher auf genau diesen Tiefenbereich. Absorptionslinien entstehen jedoch u¨ ber einen weiten Bereich optischer Tiefen (die Zentren von Ca II H+K entstehen in der Sonne z.B. bei τ0  10−8 in der oberen Chromosph¨are). Der in Absorptionslinien austretende Strahlungsfluß stammt damit aus h¨oheren Schichten der Sternatmosph¨are als der Strahlungsfluß des Kontinuums. Die a¨ ußere Temperaturschichtung wird daher haupts¨achlich durch die Absorption in Spektrallinien beeinflußt. Dieser a¨ ußere Teil der Atmosph¨are wirkt wie eine absorbierende Schicht f¨ur das weiter innen emittierte Kontinuums-Strahlungsfeld (⇒ blanket-ing).

Die Bedeutung der verschiedenen N¨aherungen ist nicht unbedingt durch die Reihenfolge festgelegt. So ist z.B. III besonders wichtig f¨ur heiße Sterne (s. Abschn. 3.3.5), w¨ahrend IV nur f¨ur k¨uhlere Sterne wesentlich wird. Das line blanketing (II) ist jedoch f¨ur beide Sterntypen von besonderer Im Vergleich zur kontinuierlichen Absorption Wichtigkeit. sorgt das line blanketing daf¨ur, daß im nahen UV Das einfachste Modell wurde in Abb. 200 be- wegen der großen Anzahl starker Absorptionslireits vorgestellt. Sternatmosph¨arenmodelle mit nien weniger Strahlungsfluß nach außen transporkontinuierlicher Absorption im Strahlungsgleich- tiert werden kann (Abb. 202). Wegen der Erhalgewicht unter Voraussetzung von LTE sind tung von  Fλ dλ muß der dort unterdr¨uckte Fluß tats¨achlich f¨ur einige Beobachtungen verwertbar, ∆Fλ nun im visuellen oder infraroten Spektralwie am Beispiel von Abb. 201 f¨ur Wega gezeigt bereich zus¨atzlich auftauchen. Dadurch entsteht wird. Die Diskrepanzen in der langwelligen Um- gegen¨uber dem Modell mit nur kontinuierlicher gebung von Balmer- und besonders der Paschen- Absorption ein Pseudo-Kontinuum, welches ei˚ zeigen deutlich den hier nicht ner scheinbar um ∆T  100 . . . 500 K h¨oheren kante (bei 8200 A) eff ber¨ucksichtigten Einfluß der u¨ berlappenden star- Temperatur entspricht. Dies betrifft auch das in Abb. 201 vorgestellte Kontinuums-Modell f¨ur α Lyr, dessen Modelltemperatur daher  200 K zu hoch sein d¨urfte (d.h. ein Modell mit line blanketing synthetisiert das beobachtete Kontinuum im Visuellen mit einer 200 K niedrigeren Temperatur). In einem Sternspektrum findet man Tausende starker Absorptionslinien. Dar¨uberhinaus gibt es weitere Millionen schw¨acherer Linien, die ebenso zum blanketing beitragen. Der Einfluß dieser Linien auf den Strahlungstransport in Sternatmosph¨aren l¨aßt sich mit zwei Methoden ber¨ucksichtigen, Abb. 202. Einfluß des line blanketing auf die Strahlungsfluß-Verteilung

• durch direkte Berechnung der Opazit¨aten aller f¨ur das line blanketing wichtigen Linien

5.2

Physik der Sternatmosph¨aren

113 von Intervallen ( 1500 Intervalle mit 10 bis ˚ im Visuellen) die wahre Verteilung der Li100 A nienopazit¨aten durch eine Umordnung der Wellenl¨angen in ein Histogramm umgewandelt (Abb. 203). Dieses wirkt wie eine ”verschmierte” starke Linie, die dann durch eine wesentlich kleinere Anzahl repr¨asentativer Wellenl¨angen dargestellt werden kann (Abb. 204).

Abb. 203. Die Opazit¨ats-Verteilungsfunktion und das dadurch repr¨asentierte Wellenl¨angen-Intervall Der große Vorteil der ODFs besteht demnach in

⇒ opacity sampling

der M¨oglichkeit, vollst¨andige Tabellen der Linienopazit¨aten vorauszuberechnen und f¨ur weitere Modelle immer wieder zu benutzen.

• oder durch eine statistische Beschreibung Unter der Voraussetzung von LTE k¨onnen die der spektralen Verteilung der Opazit¨aten ⇒ Teilchendichten, die zur kontinuierlichen und Liopacity distribution functions (ODF). nienabsorption beitragen, einfach durch die Gleichungen in Abschn. 5.2.1 berechnet werden. Die erste Methode ist nat¨urlich extrem aufwen- Ist diese Voraussetzung ung¨ultig (also z.B. in dig, da zur realistischen Beschreibung der Lini- den Atmosph¨aren heißer Sterne), m¨ussen NLTEenopazit¨aten mindestens 50 000 bis 100 000 Li- Modelle berechnet werden, f¨ur welche die Besetnien ber¨ucksichtigt werden m¨ussen. Allerdings zungsdichten der einzelnen Energieniveaus durch m¨ussen diese Linien nicht alle spektral aufgel¨ost L¨osung des Gleichungssystems (86) ermittelt werden. Entsprechende Testrechnungen zeigen, werden k¨onnen. daß der Ansatz bei einer stochastischen Vertei- Hier ist die nicht-lineare und daher iterative lung mit erstaunlich wenigen Wellenl¨angen aus- Kopplung von Teilchendichten N und Strahm kommt ( 20 000 . . . 50 000). lungsfeld I oder u offensichtlich, so daß eiλ

λ

Dennoch hat sich der statistische Ansatz der ne Linearisierung der beteiligten TeilchenzahODFs durchgesetzt. Dabei wird f¨ur eine Anzahl len notwendig wird. Damit steigt der numerische Aufwand betr¨achtlich. Abb. 205 zeigt eine unter NLTE-Bedingungen berechnete Temperaturschichtung f¨ur den O9.5 V-Stern τ Sco. Die

50

10

b0 TE

NL

T [kK] 40

E

LT

30

1

−3

20

−2

−1 log τ0

0

1

Abb. 204. Die Opazit¨ats-Verteilungsfunktion im Intervall ˚ f¨ur verschiedene Werte von thermody- Abb. 205. Temperaturschichtung eines O9.5 V-Sterns mit λ = 3550 . . . 3647A namischen Variablen, log T = 3.96, log Ne = 9 . . . 17. Die Teff = 35 000 K (rechts). Links: Besetzungszahlen (LTE) b0 = N0 /N0 Mikroturbulenz ist ξ = 2 km s−1

114

5 STELLARASTRONOMIE

Hauptopazit¨at f¨ur so heiße Sterne ist die LymanKante von H I (Grundzustand). Wegen der großen Strahlungsverluste durch Rekombination freier Elektronen an der Sternoberfl¨ache wird N0 im Vergleich zum LTE stark u¨ berbev¨olkert. Damit wird κλ,Lyman  als im LTE. Dies hat eine a¨ hnliche Wirkung wie das line blanketing: der Temperaturgradient wird steiler (vgl. Abb. 205), und die Balmer- und Lyman-Linien werden im Zentrum tiefer eingesenkt.

ρi > ρa in diesem Fall findet kein weiterer Auftrieb statt, und die Blase f¨allt unter Einfluß der Gravitation zur¨uck. Die Atmosph¨are ist stabil gegen St¨orungen

ρi < ρa hier erfolgt ein weiterer Auftrieb; die Blase steigt weiter auf. Die Atmosph¨are ist instabil gegen konvektiven Auftrieb

Das Einsetzen des konvektiven Energietransports ist also an eine Bedingung gebunden, das StabiNeben dem Strahlungstransport gibt es weite- lit¨atskriterium von K. Schwarzschild , re M¨oglichkeiten, Energie durch die Sternatmodρa dρi > . (391) sph¨are zu transportieren, dz dz ¨ Da im Massenelement ∆M die Anderung der • durch Wellen, thermodynamischen Zustandsgr¨oßen P , T und ρ w¨ahrend des konvektiven Auftriebs um −δz mit • durch W¨armeleitung und Schallgeschwindigkeit vs  vconv vor sich geht, • durch Konvektion. gilt u¨ berall Pi (z) = Pa (z). Mit der idealen Gasgleichung gilt daher ρi Ti = ρa Ta , und somit in ¨ Die ersten beiden Prozesse spielen in Sternat- allen konvektiven Schichten Ti > Ta . Als Aquimosph¨aren allerdings keine Rolle (eventuell je- valent zu Gl. (391) folgt damit doch in Chromosph¨aren oder Koronae). In k¨uhlen dTi dTa Sternen ist jedoch der konvektive W¨armetrans< . (392) dz dz port außerordentlich wichtig. Zur Beschreibung der Konvektion betrachtet man ein Massenele- Der langsame Aufstieg der Konvektionsment ∆M in der Photosph¨are, das sich durch eine Elemente bewirkt adiabatische Zustands¨andeSt¨orung um −δz nach oben bewegt (Abb. 206). rungen mit Dabei nimmt der Umgebungsdruck ab, und die (393) ρ = a P 1/γ , γ = cp /cv . Blase dehnt sich aus,  Damit ist  ρ → ρi , T → Ti in der Blase  dρ  1 ρ dP  = . (394) (390) dz i γ P dz ρ → ρa , T → Ta in Umgebung  5.2.2

Konvektiver Energietransport

In der Umgebung der aufsteigenden Blase gilt die Bei diesem Prozess k¨onnen zwei entgegengesetz- ideale Gasgleichung, te Reaktionen auftreten, µP , (395) ρ= RT womit dann 

dρ   =ρ dz a



1 dT 1 dP − P dz T dz



.

(396)

Mit Pi = Pa folgt daraus das Schwarzschildsche Instabilit¨atskriterium 

Abb. 206. Aufsteigende konvektive Zellen (bubbles)





1 dT  1 ρ dP  −1 >− γ P dz T dz a

.

(397)

5.2

Physik der Sternatmosph¨aren

115

Setzt man ∇ = d ln T /d ln P f¨ur den Gradienten der umgebenden Atmosph¨are und ∇ad = 1 − 1/γ f¨ur den entsprechenden Gradienten der konvektiven Blasen, so folgt als Konvektionsbedingung ∇ > ∇ad

.

(398)

Eine Sternatmosph¨are ist somit immer dann instabil gegen Konvektion, wenn ∇rad sehr groß oder ∇ad sehr klein ist. Beispiel: F¨ur einatomige neutrale oder vollst¨andig ionisierte Gase gilt γ = 5/3 und damit ∇ad = 0.4. ∇ad wird < 0.4, wenn (T, P ) in den Bereich teilweiser Ionisation f¨allt, z.B. f¨ur H I → H II, oder f¨ur He I → He II, aber auch f¨ur die Molek¨ul- Abb. 208. Adiabatischer Temperaturgradient ∇ad als Funktion von T und P Dissoziation wie bei H2 → 2 H. Die Berechnung von ∇ad erfolgt durch numerider Elektronendichte). Die berechnete Entrosche Differentiation entlang von Isentropen (wepie enth¨alt die Beitr¨age s¨amtlicher Teilchen gen der Adiabasie ist S = const), einschließlich der Photonen, die allerdings in ∂S ∂S d ln P + d ln T , (399) Sternatmosph¨aren nur wenig zur gesamten EntrodS ≡ 0 = ∂ ln P ∂ ln T pie beitragen (Abb. 207). Der adiabatische Gradient ∇ad = ∂ ln T /∂ ln P |ad begrenzt die Wirkund damit   samkeit des konvektiven Energietransports. Abb.  ∂S ∂S   ∇ad = − . (400) 208 zeigt deutlich die ausgedehnten Minima der ∂ ln P ∂ ln T (P,T ) Wasserstoff- und Helium-Konvektionszonen. Die Entropie der Sternmaterie wird als Funk- Die einfachsten Theorien der (turbulenten) Kontion der thermodynamischen Variablen P und vektion wie die von Prandtl vorgeschlagene MiT berechnet. Dabei ist die Kenntnis der Ele- schungswegtheorie sind stark vereinfachend; ihr menth¨aufigkeiten notwendig, weil die Entro- Ansatz ist bereits widerspr¨uchlich, da horizonpie empfindlich vom Ionisationsgrad der einzel- tal homogene Schichtungen keine Konvektionsnen Elemente abh¨angt (insbesondere auch von Elemente enthalten k¨onnen. Dennoch ist die Mischungsweg-N¨aherung bislang die einzige erfolgreich angewandte ”Theorie”. Nach diesem Ansatz entstehen die konvektiven Elemente bei r0 (s. Abb. 209). Diese steigen

Abb. 207. Entropie von Sternmaterie als Funktion von Druck und Temperatur. Aufgetragen ist die spezifische Entropie pro Teilchen, S/kN . Die gestrichelte Kurve do- Abb. 209. Zur Definition der konvektiven Temperaturgrakumentiert den Strahlungsanteil dienten

116

5 STELLARASTRONOMIE

Abb. 210. Konvektive Geschwindigkeiten, resultierende Temperaturschichtung und Temperaturgradienten in der Sonnenatmosph¨are. vs ist die Schallgeschwindigkeit, α = 0 und 1 beschreiben die Temperaturschichtung mit reinem Strahlungsgleichgewicht und mit konvektivem Gleichgewicht f¨ur /Hp = 1

auf bis r0 +  und geben nach Zur¨ucklegen des ist, und somit    Mischungswegs  dort ihren W¨arme¨uberschuß   1 dT g dT   ∆E = cp ρ∆T an die Umgebung ab. Dabei ist  −  v 2 = 2  4 T dr a dr i immer ∇ad ≤ ∇i < ∇a < ∇rad

.

(406)

(401) Benutzt man die hydrostatische Gleichung, so ist mit der Druckskalenh¨ohe Hp = RT /µg so daß die Umgebungstemperatur bei r0 + erh¨oht dT T wird. Das aufgestiegene Element k¨uhlt sich dabei =− ∇ , (407) ab und sinkt unter Einfluß der Gravitation wieder dr Hp ab. und die konvektive Geschwindigkeit wird Der individuelle Temperaturexzeß dieser Elemen1 g te ist v 2 = 2 (∇ − ∇ad ) , (408)    4 Hp dT  dT   −  ∆r , (402) ∆T = dr a dr i wobei zur Vereinfachung ∇ = ∇a gesetzt wurde. ,

die Peclet-Zahl Γ bestimmt; setzt wobei im statistischen Mittel ∆r √ = /2 ist. Der ∇i wird u¨ ber √ 2 konvektive Energiefluß ist ∆E v , oder mit A = man hier v = v 2 , dann ist √ ρ v 2 , ∇i − ∇ 1 cp ρ2 κ v    Γ =  . (409) 1 dT  dT  ∇ad − ∇i 16 σB T 3  −  . (403) Fconv = cp A 2 dr a dr i Setzt man schließlich Gl. (407) und (409) in Gl. 2 v erh¨alt man aus der Gleichsetzung von mittlerer (403) ein, so ergibt sich der konvektive Energiefluß zu kinetischer Energie und Auftriebsarbeit,    1 Γ T dT  ρg dT  Fconv = cp A (∇ − ∇ad ) . (410)  −  ∆r K(∆r) ≡ 2 1 + Γ Hp T dr  dr  a

= (dρa − dρi ) g , wobei die Auftriebsarbeit

5/2

U= 0

1 K(∆r) d(∆r) = ρv 2 2

i

(404)

Dieser Energietransport konkurriert mit dem Strahlungsfluß (Gl. 384). Einziger freier Parameter dieser einfachen Beschreibung der Konvekti(405) on ist die Mischungswegl¨ange , die h¨aufig durch einen skalenlosen Parameter α = /Hp ersetzt

5.2

Physik der Sternatmosph¨aren

117

wird. Da die Mischungswegtheorie eine lokale strahlungshydrodynamische Modelle inhomogeTheorie ist, muß also α  1 gelten. ner Atmosph¨aren. Die Grundgleichung des verF¨ur die Sonne ergeben sich nur m¨aßige tikalen Aufbaus ist nicht mehr die hydrostatische Konvektions-Geschwindigkeiten und Fl¨usse Gleichung. Stattdessen m¨ussen die entsprechen(Abb. 210). Dennoch ist der Unterschied den hydrodynamischen Gleichungen gel¨ost werzwischen einem reinen Strahlungsgleichge- den. Dabei handelt es sich um die Kontinuit¨atswichtsmodell und einem konvektiven Modell (in gleichung (Massenerhaltung) dem Energie durch Konvektion und Strahlung transportiert wird) deutlich an der Temperaturschichtung zu erkennen.

∂ ln ρ = −v · ∇ ln ρ − ∇ · v ∂t

,

(411)

die Bewegungsgleichung (Impulserhaltung) 5.2.3

P ∂v = −v · ∇v + g − ∇ ln P ∂t ρ

Inhomogene Modelle und Konvektion

Horizontal homogene (planparallele) Sternatmosph¨arenmodelle werden mit erstaunlichem Erfolg bei der Synthese von Spektren eingesetzt. Allerdings gibt es Anzeichen daf¨ur, daß Sternatmosph¨aren nicht homogen sind. Bereits die Mischungswegtheorie setzt die Existenz heißer und kalter Gasblasen auf gleicher geometrischer H¨ohe voraus. Beobachtungen der Sonnenoberfl¨ache zeigen auch deutlich eine granulare Struktur der Atmosph¨are mit betr¨achtlichem Intensit¨atskontrast (Abb. 213 unten). Andere Beobachtungen (s. Teil 2, Abschn. 7) zeigen dar¨uberhinaus die Zeitabh¨angigkeit vieler Ereignisse. Eine kinematisch realistische Beschreibung atmosph¨arischer Str¨omungen erfordert komplexe

,

(412)

und die Energiegleichung P ∂e = −v · ∇e − ∇ · v + Qrad + Qvis . (413) ∂t ρ Dazu gilt wieder eine Zustandsgleichung, also z.B. P = P (ρ, e) (414) sowie die radiativen und viskosen Quellterme



Qrad =

λ

Ω

κλ (Iλ,Ω − Sλ )dΩdλ

und Qvis = ν

 i,k



∂vi ∂vk

(415)

2

.

(416)

Die Verkn¨upfung der Intensit¨at mit der Quellfunktion erfolgt durch die Strahlungstransportgleichung dIλ,Ω = −Iλ,Ω + Sλ dτλ

.

(417)

Dieses System partieller Differentialgleichungen ben¨otigt Anfangs- und Randbedingungen und erfordert Hochleistungsrechner zur Bew¨altigung der mehrdimensionalen Rechnungen. Die folgenden Ergebnisse zeigen T und v aus zweidimensionalen Rechnungen von Sonnenmodellen mit periodischen Randbedingungen f¨ur verschiedene Zelldurchmesser und willk¨urlich herausgegriffene Zeiten. Abb. 211. Granulare Konvektionszelle mit 1050 km Durchmesser. Die Symmetrie wird durch die Randbedingungen erzwungen. Die Str¨omung kann sich in so kleinen Zellen nicht frei entwickeln und nimmt nach einiger Zeit einen station¨aren Zustand ein

Abb. 211 zeigt das Geschwindigkeitsfeld (Vektoren) und die Isothermen in einer konvektiven Zelle von 1050 km Durchmesser. Deutlich sind die breiten Aufw¨artsstr¨omungen bei ±200 . . . 400

118

5 STELLARASTRONOMIE

Abb. 212. Hydrodynamische Modellierung gr¨oßerer Konvektionszellen (oben: 2600, unten: 3600 km Durchmesser). Beide Modelle zeigen wieder die symmetrischen Randbedingungen. Im Gegensatz zu Abb. 211 bleiben die Modelle allerdings dynamisch u¨ ber große Zeiten, da sich die Str¨omung in den gr¨oßeren Zellen frei einstellen kann. Das obere Modell zeigt wieder die u¨ blichen Str¨omungen. Das untere Modell zeigt dar¨uberhinaus die Entwicklung von Instabilit¨aten, die im oberen Teil der Atmosph¨are in Stoßfronten m¨unden. Die Eigenschaften solcher Modelle h¨angen von der Wahl der Anfangsund Randbedingungen und der Mehrdimensionalit¨at ab.

5.2

Physik der Sternatmosph¨aren

km und die Abw¨artsstr¨omungen im Zentrum und an den R¨andern zu erkennen. In der Aufw¨artsstr¨omung bilden sich Temperatursockel aus, an deren vorderen und seitlichen Kanten extrem steile Gradienten auftreten (4000 K auf 100 km). In diesen Schichten wird die konvektive Energie deponiert und schließlich abgestrahlt. In Abb. 212 dagegen bilden sich dynamische Muster aus, die neben den Auf- und Abw¨artsstr¨omungen gelegentlich zur Verwirbelung und zur Ausbildung von Stoßfronten f¨uhren. Drei-dimensionale Modellsequenzen erlauben einen weitergehenden Schritt: die Berechnung von Intensit¨atskarten zum Vergleich mit Beobachtungen (Abb. 213). Zusammengefaßt lassen

119 nach Abgabe der u¨ bersch¨ussigen W¨arme abgek¨uhlt und damit dunkler sind. Hier ist die ¨ Ubereinstimmung zwischen zeitgemitteltem Modell und Beobachtungen der Sonnenoberfl¨ache sehr gut • Die Auf- und Abw¨artsstr¨ome sind aus Gr¨unden der Kontinuit¨at in der oberen Atmosph¨are der Modell-Konvektionszellen durch horizontale Str¨omungen verbunden • In der oberen Atmosph¨are ergibt sich durch die h¨aufig entstehenden Stoßwellen eine M¨oglichkeit, kinetische Energie zu dissipieren und damit die Aufheizung auch weiter oben liegender Atmosph¨arenschichten m¨oglich zu machen. Solche Stoßfronten bilden sich oberhalb von umkippenden Str¨omungsbereichen aus • Die starken horizontalen TemperaturInhomogenit¨aten in der unteren Photosph¨are entsprechen den Konvektionszellen der Mischungswegtheorie, bewirken in dynamischen Rechnungen jedoch einen signifikant st¨arkeren Energietransport. 5.2.4

Sternwinde

In nahezu allen Bereichen des HertzsprungRussell-Diagramms beobachtet man Materie, die von Sternen abgeworfen wird (Abb. 214). Dies umfaßt die Sonne (mit dem Sonnenwind), k¨uhle ¨ und heiße Uberriesen vom Mira- oder P CygniTyp, aber auch den Abwurf Planetarischer NeAbb. 213. Vergleich von hydrodynamischen Modellen mit bel oder die Entstehungsphase von Sternen im T Beobachtungen der Granulation. Oben: Helligkeitsverteilung ausgew¨ahlter Zeitschritte an der Oberfl¨ache eines hy- Tauri-Stadium. drodynamischen Modells der Sonne. Mitte: Helligkeitsver- Da Sterne selbstgravitierende Systeme sind, muß teilung des Modells nach einer durch die zum Vergleich mit an solchen Sternoberfl¨achen eine der Gravitation Beobachtungen erforderliche Mittelung von Zeitserien bedingte Kontrastverringerung. Unten: Beobachtete Intensit¨at entgegenwirkende Kraft vorhanden sein, welche die Sternmaterie auf Entweichgeschwindigkeit der solaren Granulation beschleunigt. Damit die Materie nicht zur¨uckf¨allt, sich in den hydrodynamischen Modellrechnngen muß f¨ur jeden Radius r > R∗ dieser Beschleunigungsterm gr¨oßer sein als die Gravitation, die folgenden Eigenschaften feststellen: gr >

GM (r) r2

, (418) • Nach einfachen Absch¨atzungen (N¨aherung nach Eddington-Barbier, Gl. 142) m¨ussen wobei wieder Massen- und Impulserhaltung geldie breiten Temperaturplateaus durch eben- ten m¨ussen, so daß solche heißen und damit hellen Flecken er(419) M˙ = 4πρvr2 kennbar sein, w¨ahrend die Abw¨artsstr¨ome

120

5 STELLARASTRONOMIE

Abb. 214. Hertzprung-Russell-Diagramm und die Beobachtung von stellaren Massenverlusten

und

lungsbeschleunigung wird beschrieben durch

v

dv 1 dP GM + + 2 − gr = 0 . dr ρ dr r

(420)

Man unterscheidet die wichtigsten F¨alle des beobachteten Massenverlusts durch Sternwinde nach der Antriebsquelle, wobei es sich um entweder strahlungsgetriebene oder druckgetriebene Winde handelt. (A) Strahlungsgetriebene Winde

∞ π

κλ Fλ dλ . gr = c

(421)

0

Dabei setzt sich κλ additiv aus kontinuierlicher und Linienabsorption zusammen, und das Verh¨altnis r 2 gr Γ= (422) GM entscheidet u¨ ber die St¨arke des Windes und des damit verbundenen Massenverlusts. Die Berechnung der Strahlungsbeschleunigung auf Gasionen ist extrem frequenzabh¨angig, da die Absorption der Photonen u¨ berwiegend in Linien erfolgt, deren Zentralwellenl¨ange sich gem¨aß der nach außen zunehmenden Windgeschwindigkeit v(r) nach dem Dopplereffekt um

Diesen Modus findet man in heißen und k¨uhlen ¨ ¨ Riesen und Uberriesen. Bei heißen Uberriesen ¨ wird das ausstr¨omende Gas, bei k¨uhlen Uberrie(423) ∆λ = λ0 v(r)/c sen der Staub beschleunigt. Dazu wird der Impuls hν/c der Photonen durch Absorption auf die verschiebt. Die Impuls¨ubertragung auf Staubbeschleunigten Teilchen u¨ bertragen. Diese Strah- teilchen geschieht mit viel gr¨oßerem Wirkungs-

5.2

Physik der Sternatmosph¨aren

121 (B) Druckgetriebene Winde Solche Sternwinde kommenzustande durch eine extrem heiße Sternh¨ulle (Korona), wie sie bei k¨uhlen Sternen existiert. Benutzt man wieder die Windgleichungen (419 und 420) mit gr = 0 , so gilt mit der Schallgeschwindigkeit, vs2 = RT /µ, 2v 2 GM 1 dv 2 (v − vs2 ) = s − 2 v dr r r

.

(424)

Setzt man jetzt z.B. Werte f¨ur die a¨ ußere Atmosph¨are der Sonne (Chromosph¨are und Korona) ein, dann folgt mit Tcor  106 K, daß die rechte Seite von Gl. (424) innen < 0, aber außen > 0 ist. Im Abstand rc =

GM 2vs2

(425)

wechselt Gl. (424) das Vorzeichen. Damit existieren im Prinzip 4 L¨osungen (vgl. Abb. 216). Drei Abb. 215. Entstehung von P Cygni-Linienprofilen. Die gestrichelten Pfeile deuten die abstr¨omende Materie (Wind) an

querschnitt. Durch elektrostatische Aufladung der Staubk¨orner wird dann das umgebende Gas mitbeschleunigt. ¨ Sternwinde heißer Uberriesen erzeugen charakteristische Linienprofile, die nach dem stellaren Prototyp P Cygni-Profile genannt werden. Der Beobachter sieht aus den Hemisph¨aren A und C eine durch thermischen Dopplereffekt und Streuung verbreiterte (symmetrische) Linie, die in Emission erscheint, da kein Kontinuum im Hintergrund emittiert wird. Dieser Emissionslinie u¨ berlagert sich eine Absorptionskomponente, die in S und B erzeugt wird. In diesem Bereich bewegt sich die im Wind emittierende Materie nach außen hin mit zunehmender Geschwindigkeit auf den Beobachter zu, so daß die Absorption mit einer zunehmenden Blauverschiebung durch den kinematischen Dopplereffekt u¨ berlagert wird. Zusammen ergibt sich das P Cygni-Profil mit einer zentrierten Emission und einer blauverschobenen Absorption. Die linke Kante der Absorption bildet ein Maß f¨ur die maximal erreichte Windgeschwindigkeit.

Abb. 216. L¨osungen der Differentialgleichung f¨ur druckgetriebene Winde

der m¨oglichen L¨osungstypen widersprechen der Beobachtung, nur ein Wind mit monoton ansteigender Geschwindigkeit bietet eine vertr¨agliche L¨osung. Dies entspricht z.B. dem Sonnenwind, ¨ der zu starker Uberschallgeschwindigkeit f¨uhrt. Damit wird der Antriebsmechanismus auf die Existenz einer Korona zur¨uckgef¨uhrt, wobei wiederum die Aufheizung der Korona durch sehr komplexe, zum Teil noch nicht verstandene Prozesse erfolgt. Wichtig dabei ist insbesondere die Dissipation konvektiv transportierter Energie durch akustische und magneto-hydrodynamische

122 Wellen. Insgesamt ist der druckgetriebene Sonnenwind energetisch mit strahlungsgetriebenen Winden nicht zu vergleichen. Typische Werte sind f¨ur ¨ OB-Uberriesen 10−5 MS /yr < 106 yr ¨ K¨uhle Uberriesen 10−6 MS /yr ∼ 105 yr Sonne 10−14 MS /yr > 1010 yr Trotz aller Inhomogenit¨at und Instationarit¨at werden die Spektren der meisten Sterne mit statischen, homogenen Modellen sehr gut beschrieben.

5 STELLARASTRONOMIE