Графовое моделирование структур решений сюжетных задач в курсе алгебры 7 класса(Автореферат)

На правах рукописи

ЖИГАЧЕВА Наталья Александровна

ГРАФОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУР РЕШЕНИЙ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Омск-2000

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Омского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

кандидат педагогических наук, доцент Н.Г.Рыженко доктор физико-математических наук, профессор А.А.Колоколов; кандидат педагогических наук, доцент Т.А. Ширшова

Ведущая организация:

Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е.Евсевьева

Защита диссертации состоится «4» июля 2000 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета К 064.36.04 при Омском государственном университете по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а, зал заседаний ученого совета ОмГУ. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ. Автореферат разослан «30» мая 2000 г. Ученый секретарь диссертационного совета кандидат педагогических наук, доцент З.В.Семенова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ Научно-технический прогресс, проникновение математических методов практически во все области деятельности человека, большие возможности школьной математики для общего развития учащихся предъявляют новые требования ко всем структурным элементам методической системы обучения математике в школе. Это обусловлено ориентацией на глубокие демократические реформы и общечеловеческие, гуманистические идеалы и ценности. Главной целью школы на современном этапе развития нашего общества является воспитание личности каждого школьника, а процесс обучения знаниям, умениям и навыкам должен стать составной частью воспитания. Фактор содержания влияет на цели обучения не только в зависимости от того, какие понятия, знания и умения входят в это содержание, но и от того, как структурировано это содержание, каков характер структурных единиц школьного курса математики. В соответствии с теорией учебной деятельности, которая разрабатывалась многими психологами (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин, П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина, Е.Н.Кабанова-Меллер, А.Н.Леонтьев и др.), главным содержанием обучения должны быть общие способы действий по решению широких классов задач, при этом деятельность учащихся должна быть направлена на овладение этими способами действий. Па основе теории учебной деятельности разработана теория обучения математической деятельности (А.А.Столяр, В.А.Байдак, О.Б.Епишева), включающая три аспекта: 1) МЭМ - математизация эмпирического материала (построение математической модели); 2) ЛОММ - логическая организация математического материала (исследование моделей, полученных на первом этапе); 3) ПМТ применение математической теории. Действие моделирования (понятие модели; этапы моделирования; список умений, необходимый для осуществления моделирования; внут-римодельное решение и др.) исследуется в работах В.М.Монахова, Т.В.Малковой, Г.И.Рузавина, С.И.Шварцбурда, В.В.Фирсова, В.А.Стука-лова, Т.А.Ширшовой, З.В.Семеновой, И.И.Зубко, Т.Б.Захаровой и др. Одним из видов моделей являются графовые модели. Можно выделить несколько направлений по использованию графов, различающихся как по объектам, так и по методам исследования:

1. Графы как инструмент по решению математических задач (Ф.Папи, Ж.Папи. ММ.Тоненкова, В.Н.Рудницкая, Н.А.Волкова, Л.Ю.Березина, А.К.Ибраев, А.А.Саркисян, М.П.Барболин и др.). 2. Графы как инструмент по исследованию проблем частной методики преподавания математики (И.Б.Моргунов, В.А.Байдак, А.Ю.Уваров и др.). 3. Использование графовых моделей в специальных задачах методики преподавания математики (Н.Нильсон, В.П.Кацева, Н.Р.Ривкус, И.А.Мешкова, Нгуен За Кока, В.П.Мизинцев, А.М.Сохор, А.А.Столяр, Ю.М.Колягин, В.И.Крупич, Л.М.Фридман, М.И.Денисова и др.): а) использование графовых моделей как средства изучения математических понятий (И.А.Мешкова), б) графовая модель как основа для получения количественных характеристик учебного материала (И.А.Мешкова, В.П.Мизинцев, А.М.Сохор), в) неявное использование теории графов: построение схем, аналогичных графовым моделям и на их основе систематизация задач курса алгебры (М.И.Денисова), использование структурных формул для оценки сложности и трудности решения геометрических задач (Н.Г.Ры-женко). Содержание школьного курса математики определяется не только структурными единицами, но главным образом теми отношениями, которые связывают их в целостный единый курс (систему). Системно-структурному подходу к задаче, как к сложной системе, посвящены исследования А.А.Столяра, Ю.М.Колягина, В.И.Крупича, Л.М.Фридмана и др. Исследование структур сюжетных задач с помощью трехчленных графов позволило Л.М.Фридману выделить отношения, которые связывают структурные элементы задачи, построить исчисление сюжетных задач. В.И.Крупич провел систематизацию задач по степени возрастания сложности их структур и дал количественную оценку сложности задачи. В.И.Крупич впервые ввел понятие основного отношения, которое дало возможность выделить структурный элемент задачи. Все вышеперечисленные исследования связаны в основном с выявлением структур задач и с построением их моделей. Структурам же решения задач, их структурным элементам, отношениям между элементами, сложности решений сюжетных задач, моделям решений посвящено крайне мапо исследований.

Таким образом, актуальность данной работы определяется противоречием между декларируемыми целями современного образования, направленного на воспитание личности каждого школьника, и имеющимися достижениями психологопедагогической науки, позволяющими реализовать эти цели (с одной стороны), и реально существующей методической системой обучения, которая недостаточно учитывает и использует действие моделирования в качестве средства, оказывающего позитивное влияние на включение учащихся в процесс математической деятельности (с другой стороны). Все сказанное выше определяет проблему исследования: выявление возможностей совершенствования методики обучения решению сюжетных задач с использованием графовых моделей на основе деятельно-стного подхода. Цель исследования - разработка методического обеспечения для целенаправленного использования графового моделирования при обучении решению сюжетных задач в курсе алгебры седьмого класса. Объект исследования — процесс обучения учащихся седьмых классов решению сюжетных задач. Предмет исследования - модели структур и сложность решения сюжетных задач. В основу исследования положена гипотеза: если разработать концептуальные основы графового моделирования структур решений сюжетных задач и реализовать их в процессе обучения учащихся, то это даст возможность активизировать математическую деятельность учащихся, повысит качество и результативность обучения. Цель и предмет исследования определили необходимость решения следующих задач: 1. Раскрыть психолого-педагогические основы деятельностного подхода в обучении математике. 2. Исследовать психолого-педагогические основы обучения решению сюжетных задач с применением графовых моделей. 3. Провести структурный анализ решений сюжетных задач, содержащихся в учебниках алгебры для седьмого класса. 4. Систематизировать задачи по сложности их решения. 5. Разработать методику обучения решению сюжетных задач с применением графовых моделей, ориентированную на реализацию дея-тельностного подхода. 6. Провести экспериментальную проверку доступности и эффективности разработанной методики.

Для решения задач исследования использовались следующие методы: теоретический анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, школьных программ, учебников и учебных пособий; изучение и анализ состояния исследуемой проблемы в школьной практике (наблюдение за процессом обучения математике, анкетирование учителей и учащихся, беседы с ними, анализ письменных работ и устных ответов учащихся); педагогический эксперимент и обработка его результатов. Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем: - выявлены структурные элементы решения задачи; - выявлены отношения, связывающие эти структурные элементы; - построены семантические графы первого порядка сложности, моделирующие эти отношения; - дана количественная характеристика сложности решения задачи (а); - выявлены и систематизированы структуры решений сюжетных задач по числовой характеристике - сложности решения; - определены психолого-педагогические условия применения графовых моделей как средства обучения; - разработана методика организации обучения учащихся седьмых классов решению сюжетных задач с применением графовых моделей. Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные в диссертации теоретические положения и практические рекомендации могут быть использованы учителями математики, преподавателями педагогических вузов, авторами учебников, методических пособий и сборников задач по математике, методистами в научных исследованиях. Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается использованием различных методов исследования, адекватных предмету, целям и задачам работы: проведенным анализом сложившейся к настоящему времени практики обучения решению сюжетных задач с целью выявления неиспользованных резервов совершенствования процесса обучения в аспекте исследуемой проблемы; согласованностью полученных выводов и конкретных рекомендаций с результатами ряда психолого-педагогических и методических исследований, лежащих в русле проблемы диссертации; результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой этих результатов, положительной оценкой материалов экспертами, учителями и методистами, участвующими в экспериментальной и опытной работе.

На защиту выносятся следующие положения: 1. Использование графового моделирования способствует формированию обобщенного подхода к решению сюжетных задач и управлению математической деятельностью учащихся. 2. Методическое обеспечение графового моделирования структур решений сюжетных задач составляют обобщенные модели структур решений задач в учебниках алгебры для седьмого класса, структурные элементы графового моделирования, которые реализуются на основе деятельностного подхода. Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования обсуждались на III областной научно-практической конференции «Использование средств обучения в различных формах организации учебных заведений» (1997, г. Омск): на научно-практической конференции «От теории творчества - к педагогической практике» (1998, г.Омск); на X Международной конференции «Применение новых технологий в образовании» (1999, г. Троицк); на III Сибирских методических чтениях (1999, г. Омск); на заседании кафедры методики преподавания математики ОмГПУ. Эксперимент проводился в 1993-1999 гг. в школах № 157 и № 109 г. Омска. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулированы объект, предмет, гипотеза, задачи и методы исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы. Первая глава «Теоретические основы графового моделирования при обучении решению сюжетных, задач» посвящена изучению общих вопросов, обеспечивающих достижение поставленной цели исследования. В данной главе рассматриваются психолого-дидактические основы деятельностного подхода в обучении математике, проблема деятельностного подхода в научнометодической литературе по математике. Анализ литературы показал, что для школьного возраста важнейшей деятельностью, которая должна быть сформирована у всех учащихся, является учебная.

Структура учебной деятельности имеет следующие элементы: учебно-познавательные потребность и мотив, учебную задачу, соответствующие действия и операции. Учебная задача решается путем выполнения следующих учебных действий: - преобразование условия задачи для нахождения всеобщего отношения изучаемого объекта; - моделирование выделенного отношения; - преобразование модели отношения для изучения ею свойств; - построение частных задач, решаемых общим способом; - контроль за выполнением предыдущих действий; - оценка усвоения общего способа решения. Задача рассматривается как сложная система, имеющая состав и структуру. Состав это множество элементов, структура - это способ связи, упорядоченности элементов. В работе выделены два существенных признака задач, которые принято считать сюжетными. Первый - наличие в задаче определенного сюжета; второй - указание на зависимость между величинами, которая в той или иной степени раскрывается благодаря описываемому сюжету. Структура решения задачи отличается от структуры задачи (В.И.Крупич). Состав решения сюжетной задачи - это величины, их значения, а также результаты разностного или кратного сравнения двух значений величины. Для построения структуры решения сюжетной задачи в диссертации используются графовые модели. Вводятся понятия вершины, ребра, дуги графа, полного графа, пути, связных вершин, цикла, дерева. Для дерева рассматривается одна из числовых характеристик -сложность дерева.

Рис.

Рис.2 Под моделированием мы понимаем совокупность методов построения моделей и изучения на них соответствующих явлений, процессов (в том числе и процесса решения задачи), систем объектов (оригиналов), а также совокупность методов использования результатов изучения модели для определения или уточнения характеристик самих объектов исследования. Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование является тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть, и, во-вторых, моделирование является тем

5. Решение полученной модели. Подставим в полученную знаковую модель значения величин. 300=25 «b + 75 «b, b = 3 (ч). 6. Анализ результатов решения. Этот структурный элемент графового моделирования выполняет не только контрольную функцию, но и корректировочную. Корректировка позволяет действием перемоделирования знаковой модели получить более простую знаковую модель. Основой действия перемоделирования являются равносильные преобразования знаковой модели: с = а, • b + а2 • b, с = (а, +а2)-Ь. Из курса физики ученикам известно понятие относительной скорости: а = а, + а2. Тогда с = а • b. Результат перемоделирования знаковой модели в графовую представлен на рис. 4.

Рис.4 Сложность решения задачи: ст-2-5 + 2«3= 16. Графовая модель и сама может выступать в качестве решающей модели. Для этого, используя взаимную обратимость операций умножения и деления, найдем по графу значение Ь. 1) Ь = с/а, 2) а - а, + а2, 3) b = с/(а, + а2), b = 300/(25 + 75), b = 3 (ч). Графовая или соответствующая ей знаковая модель являются и решающими моделями взаимно обратных задач, а также других частных задач учебной задачи. 1. а1 = 25 км/ч, 2. а1 = 25 км/ч, 3. а2 = 75 км/ч, а2 = 75 км/ч, с = 300 км, с = 300 км,

В работе выделены следующие особенности графовой модели: 1. Модель выполняет контролирующую функцию. 2. Модель задает алгоритм решения и исключает возможность ошибки при описании модели (получение знаковой модели), т.е. модель выполняет функцию управления деятельностью учащихся. 3. Модель выполняет не только иллюстративную, но и когнитивную функцию, позволяющую подключить богатый потенциал образного правого полушария мозга учащихся, которого гак не хватает при традиционном «левополушарном» обучении. В последнем пункте описывается организация экспериментальной работы и ее результаты. Исследование проводилось с 1993 г. по 1999 г. и включало ряд взаимосвязанных этапов. Основному (обучающему) эксперименту предшествовали констатирующий и поисковый. Констатирующая часть экспериментальной работы (1993-1994 гг.) проводилась нами в двух направлениях: 1) теоретический анализ проблемы обучения решению сюжетных задач в средней школе, направленный на исследование состояния ее разработки в психологопедагогической и методической литературе; 2) практическая (экспериментальная) часть, цель которой состоит в том, чтобы на основании полученного фактического материала: а) установить сложившийся общий уровень умений и навыков школьников решать сюжетные задачи; б) выяснить характер усвоения учащимися знаний и способов деятельности при решении задач; в) определить уровни сформированное! и отдельных умений учащихся в структуре процесса решения задач; г) выяснить мнение учителей математики о состоянии проблемы обучения решению сюжетных задач в школьной практике. Проверка выполнения учащимися системы заданий, беседы с учителями математики, анкетирование учителей и учащихся, а также сопоставление этих данных с мнением психологов и методистов позволили сделать вывод о том, что усвоенные знания, умения и навыки носят формальный характер. Осуществить проверку уровня умений и навыков учащихся седьмых классов решать сюжетные задачи позволили результаты выполнения проверочной контрольной работы. Из предложенных 208 заданий были решены только 86 задач (41,3%). Взаимно обратные задачи составили 42 ученика (20,2%), а задачи на разностное и кратное сравнение -33 ученика (15,9%).

Поисковый этап эксперимента (1994-1995 гг.) включал разработку методического обеспечения графового моделирования структур решений сюжетных задач (структурные элементы графового моделирования, обобщенные модели структур решений задач в учебниках алгебры для седьмого класса). Экспериментальная проверка доступности и эффективности разработанной методики осуществлялась в ходе обучающего эксперимента (1995-1999 гг.). Сбор данных о ходе экспериментального обучения осуществлялся различными методами. Постоянные наблюдения, проведенные на уроках в экспериментальных классах, их анализ и подробное обсуждение с учителями, систематические проверки тетрадей учеников давали возможность судить об изменении отношения учащихся к решению задач, о степени овладения школьниками приемами построения графовых моделей и использования их при самостоятельном решении задач. Для получения объективной картины применялись статистические методы (критерий хи-квадрат, метод параметрических срезов, метод регистрации). Данные срезов, полученные в результате проверки плановых контрольных работ, подтвердили гипотезу: экспериментальная методика существенно влияет на повышение результативности обучения. Об уровне и качестве усвоения учащимися экспериментальных и контрольных классов умений и навыков, составляющих общее умение решать сюжетные задачи, мы судили по результатам итоговой контрольной работы на основании проведенного пооперационного анализа решения сюжетных задач школьниками по следующим параметрам: а) умение выявлять все структурные элементы решения задачи; б) умение устанавливать все соотношения между ними; в) умение составлять математическую модель; г) умение аргументирование объяснять решение задачи; д) умение составлять и формулировать взаимно обратные задачи; е) умение составлять и формулировать задачи на разностное и кратное сравнение. В таблице приведены показатели, отражающие число правильно выполненных учащимися операций (в процентах). Показатели Экспериментальные Контрольные классы

Исследуемый параметр 1 2 Л 4 5 6 89,3 82,5 71,8 60,2 56,3 50,5 82,2 73,3 53,5 42,6 27,7 21,8

Анализ выполнения операций осуществлялся методом регистрации. Экспериментальное исследование подтвердило, что использование графового моделирования при обучении решению сюжетных задач дает возможность активизировать математическую деятельность учащихся. Установлено, что экспериментальная целостная система сюжетных задач повышает эффективность обучения по времени. Обучение решению сюжетных задач с применением графовых моделей оказалось эффективнее традиционного, возросли его качество и результативность (процентный показатель повышения эффективности обучения в экспериментальных классах по сравнению с контрольными составляет 36%). ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В работе обоснована и экспериментально подтверждена гипотеза исследования. В ходе решения поставленных в диссертации задач получены следующие результаты и выводы: 1. Исходя из концепции деятельностного подхода в обучении математике разработана теоретическая основа методики обучения решению сюжетных задач с применением графовых моделей в курсе алгебры седьмого класса. 2. Анализ структур решений сюжетных задач, содержащихся в учебниках алгебры для седьмого класса, показал, что они имеют ряд недостатков: - не обладают свойством структурной полноты, т.е. не построены с учетом принципа целостности; - в системах задач нарушена их иерархия по сложности решения; - большое число повторов задач одной и той же структуры решения, особенно для задач малой сложности; - нарушено процентное соотношение задач по уровням сложности, а именно -- с повышением сложности структур решений резко снижается число соответствующих задач. В фабулах задач наиболее употребительны «триады» величин: а) в задачах на движение: путь, скорость, время; б) в задачах на работу: объем работы, производительность, время; в) в задачах на стоимость: общая стоимость, цена, количество. В задачах с такими триадами допускается изоморфное преобразование их фабул, что может быть основой создания однотипных сюжетных задач с тремя взаимосвязанными величинами.

3. Графовая модель структуры решения сюжетной задачи является обобщенной моделью, параметры которой характеризуют уровень сложности ее решения. Это дает возможность систематизировать задачи в существующих сборниках. В данной работе проведена систематизация сюжетных задач по сложности их решения в трех учебниках алгебры для седьмого класса. 4. Созданная нами методика способствует повышению эффективности обучения школьников решению сюжетных задач, что, в частности, проявляется в более осознанном поиске их решения. Происходит это за счет формирования в процессе обучения умений выявлять все структурные элементы решения задачи, устанавливать все соотношения между ними, составлять математическую модель. 5. Проведенный эксперимент подтвердил, что разработанная методика является средством повышения качества обучения школьников решению сюжетных задач. Наиболее важные положения и результаты исследования отражены в следующих публикациях: 1. Методика моделирования уровневых контрольных работ по математике с помощью граф-дерева поиска решения текстовых задач // Использование средств обучения в различных формах организации учебных занятий: Материалы III областной науч.практ. конф. - Омск, 1997. - С. 54-57 (в соавторстве). 2. Геометрические сочинения, построенные на основе циклов геометрических задач, как одна из форм формирования у учащихся целостных знаний по геометрии // Использование средств обучения в различных формах организации учебных занятий: Материалы III областной науч.-практ. конф. - Омск, 1997. - С. 52-54 (в соавторстве). 3. Систематизация задач в теме «Равенство треугольников» // Развитие через творчество: Сб. статей из опыта работы. - Омск: Изд-во ОмИПКРО, 1997. - С. 21-24 (в соавторстве). 4. Структура сюжетной задачи и сложность ее решения // От теории творчества - к педагогической практике: Тезисы докладов и материалов науч.-практ. конф. - Омск, 1998. - С. 97-99 (в соавторстве). 5. Структуризация и систематизация сюжетных задач по сложности их решения // Вестник Омского университета. - 1998. - № 4. - С. 111-114 (в соавторстве).

6. Структуры сюжетных задач и сложность их решения // Применение новых технологий в образовании: Материалы X Международной конф. - Троицк, 1999. - С. 93-94 (в соавторстве). 7. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач // Математические структуры и моделирование: Сб. науч. тр. / ОмГУ. -Омск, 1999.- Вып. 4,- С. 104-117 (в соавторстве). 8. Графовые модели как средство обучения учащихся решению сюжетных задач1 Сб. науч.-исслед. работ общенаучных кафедр / ОТИИ. - Омск, 1999. - Вып. 12. - С. 32-36 (в соавторстве). 9. Проблема система[изации задач в обучении математике // Современные проблемы методики преподавания математики и информатики: Материалы 111 Сибирских методических чтений (22-27 ноября 1999 г). - Омск: Изд-во ОмГУ, 2000.

Подписано в печать 24.05.00 Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1,1 Уч.-изд.л.1,0 Тираж 120 экз. Заказ 2000L097 Отпечатано: Изд-во ОмГПУ Омск, наб. Тухачевского, 14.