Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

УДК 330.4(075.8)

Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 3. Линейная алгебра (тетрадь 5): Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов. — М.: Международный университет в Москве, 2005. — 51 с. Тетрадь 5 учебно-методического пособия посвящена линейной алгебре. Приводятся основные сведения из теории операторов, понятия базиса линейного векторного пространства, решений системы линейных уравнений и линейных моделей в экономике. Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе с домашними заданиями и как справочник для менеджера и экономиста по прикладной математике. Для студентов Международного университета в Москве, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

© Международный университет в Москве, 2005 © Э.Ф.Казанцев, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ 3.3 Линейное векторное пространство 3.3.1 Операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3.2 Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.3 Решение системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . 25 3.3.4 Линейные экономические модели . . . . . . . . . . . . . . 36 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 ЛИ НЕЙ НОЕ ВЕК ТОР НОЕ ПРО СТРАН СТ ВО 3.3.1 Операции над векторами 1) Скалярное поле Скалярное поле — это поле скалярных величин (давление, температура). Геометрически скалярное поле изображается с помощью поверхностей равного уровня. Пример: Распределение температуры на карте погоды — это скалярное поле j(T ) = const (эквипотенциальная поверхность). Пусть задано скалярное поле в виде поверхности равного уровня. j( x , y , z) = const — уравнение поверхности в пространстве. j = R 2 - x 2 - y 2 - z 2 — это сфера. Возьмем некоторое приращение скалярного поля: Dj = j(T1 ) - j(T ). Зафиксируем на поверхности некоторый единичный вектор: r r r r l = i cos a + j cos b + k cos t . Dj Отношение называется средней скоростью изменения поля в Dl r направлении l . Эта скорость есть скаляр, так как мы берем отношение скалярных величин. Пре r дел этого отношения называется производной поля по направлению l : ¶j D j ¶j ¶j ¶j = cos a + cos b + cos g. r = Dlim l ®0 D l ¶x ¶y ¶z ¶l

r Построим нормаль к поверхно r сти скалярного поля n. Тогда производную поля j по направлению l можно представить как скалярное произведение: ¶j r r r = (n,l ), ¶l где r ¶j r ¶j r ¶j r n= i + j + k. ¶x ¶y ¶z 4

r Вектор n называется градиентом скалярного поля j: ¶j r ¶j r ¶j r gradj = i + j + k. ¶x ¶y ¶z Соответственно, проекции градиента на оси координат: grad x j =

¶j ¶j ¶j ; grad y j = ; grad z j = . ¶x ¶y ¶z

Таким образом, скорость изменения скалярного поля j по заданному направлению равна скалярному произведению градиента этого поля на единичный вектор данного направления. Ñj есть вектор, направленный по нормали к поверхности равного уровня в сторону возрастания j и численно равен скорости изменения j по этому направлению. Свойства градиента: а) градиент алгебраической суммы скалярных функций: grad(j1 + j 2 ) = gradj1 + gradj 2 . б) градиент произведения скалярных функций: grad(j1 j 2 ) = j 2 gradj1 + j1 gradj 2 . в) градиент частного: grad

j1 j2

=

j 2 gradj1 + j1 gradj 2 (j 2 ) 2

.

г) градиент сложной функции: gradF (j) =

dF gradj. dj

Пример: Найти градиент потенциала j электростатического поля e e точечного заряда е: j = = . 2 r x + y 2 + z2 Найдем проекции градиента: ¶j e ¶r =- 2 ; ¶x r ¶x r 2 = x 2 + y 2 + z2 . 5

Берем производную: 2 r¶r = 2 x¶x , откуда:

¶r x = . ¶x r

¶j ex =- 3. ¶x r ¶j ey ¶j ez Аналогично: =- 3; =- 3. ¶y ¶z r r Таким образом: r & r e ex r ey r ez e r r e r grad = - 3 i - 3 j - 3 k = - 3 ( xi + yj + zk ) = - 3 r . r r r r r r r ì¶ ¶ ¶ü Введем символический вектор «набла» Ñ = í ; ; ý называеî ¶x ¶y ¶z þ мый оператором Гамильтона. Таким образом: Следовательно

gradj = Ñj. 2) Векторное поле Задание векторного поля — это когда каждой точке про r странства поставлено в соответствии значение векторной величины F . Например, r e r F = - 3 r — сила взаимодействия зарядов. Поэтому векторное поле наr зывается силовым. Графически векторное поле изображается в виде векторных (силовых) линий. Силовой (векторной) линией векторного поля называется кривая, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением векторного поля в точке касания. Например, для магнитного поля силовые линии выходят из северного полюса входят в южный. а)Поток векторного поля. r Пусть дана поверх r ность S и задано направление нормали n. Пусть задано поле вектора a — поле скоростей движения жидкости через S. Надо определить количество жидкости r проходящей в единицу времени через поверхность S в направлении n. Разобьем поверхность S rна участки DS i , выберем точку M i и построим в ней единичный вектор n i . Составим интегральную сумму: k r r r r å(ai DS i ), где DS i = DS i n i . i =1

6

r r Предел этой суммы при DS i ® 0 называется потоком P вектора a, через поверхность S k r r r r P = lim å(ai DS i ) = òò adS . D S i ®0

i =1

S

r r Это поверхностный интеграл второго рода. Так как dS = ndS , то: r r rr òò adS = òò (an)dS , S

S

r r где (a , n) скалярное произведение. Таким образом, поток вектора есть скалярная величина. Пусть поток вектора проходит через замкнутую поверхность. Так как нормаль меняет свое направление, то поток состоит из положительной и отрицательной частей. Если P > 0, то это значит, что в замкнутом объеме V есть источники векторного поля. Если P< 0, то это значит, что в замкнутом объеме V есть стоки. Если P = 0, то это значит, что внутри объема V источники и стоки компенсируют друг друга. б) Дивергенция поля Чтобы определить плотность источников и стоков поля в данной точке, возьмем отношение потока векторного поля к объему, ограниченному поверхностью S: r r adS òò P S . = V V Предел этого отношения при V ® 0 называется дивергенцией или расходимостью поля в данной точке: r r adS òò r . diva = lim S V ®0 V По теореме Гаусса-Остроградского: æ ¶ax

òò (a dydz + a dzdx + a dxdy ) = òòò çç ¶x x

y

z

S

S

è

+

¶a y ¶y

+

¶a z ö ÷dxdydz = ¶z ÷ø

или, применяя теорему о среднем: 7

æ ¶a ¶a y ¶a z ö ÷V . =ç x + + ç ¶x ¶y ¶z ÷ø è r ¶a ¶a y ¶a z Таким образом diva = x + . + ¶x ¶y ¶z r rr Не трудно видеть, что diva = (Ña ) — скаляр. Свойства дивергенции: r r r r div(a + b ) = diva + divb ; r r r div(ja ) = jdiva + a Ñj. Действительно:

r r r r (ja ) = jax i + ja y j + ja z k .

ay a r (jax ) (ja y ) (ja z ) a j j j div(ja ) = + + = j x + ax + j + a y + j z + a z = x y z x x y y z z æ ¶a ¶a y ¶a z = jç x + + ç ¶x ¶y ¶z è

ö æ ¶j r r ¶j ¶j ö ÷ + ç ax ÷÷ = jdiva + a gradj. + ay + az ÷ ç ¶x ¶y ¶z ø ø è

в) Уравнение неразрывности Пусть через объем V течет r. r жидкость с плотностью r r r r Пусть v = v x i + v y j + v z k — скорость течения. rv — поток вектора — это масса жидкости, вытекающей через поверхность dS за единицу времени. Тогда через всю поверхность за единицу времени вытекает r òò rvdS . S

По теореме Гаусса-Остроградского: r r r r vdS = òòò divrvdV . òò S

V

¶r — это также скорость уменьшения массы ¶t жидкости в объеме dV за единицу времени. Тогда во всем объеме масса r ¶r æ ¶r ö изменяется на òòò ç - ÷dV . Значит: òòò divrVdV = -òòò dV . ¶ t ¶t ø V è V V С другой стороны:

8

rö æ ¶r Или òòò ç + divrV ÷dV = 0. ¶t ø V è r ¶r То есть: + divrV = 0. Это уравнение неразрывности, выражаю¶t щее закон сохранения массы. Можно перейти к полной производной: r r r v ¶r v y ¶r v z ¶r r divrv = v Ñr + rdivv = x + + + rdivv, ¶x ¶y ¶z r ¶r dx ¶r dy ¶r dz r dy dx dz ; v y = ; v z = , поэтому divrv = + + + rdivv. dt dt dt ¶x dt ¶y dt ¶z dt Подставим в уравнение неразрывности:

но v x =

r ¶r ¶r dx ¶r dy ¶r dz + + + + rdivv = 0. ¶t ¶x dt ¶y dt ¶z dt То есть:

r dr + rdivv = 0. dt

г) Циркуляция векторного поля r Пусть задан поток векторного поля F . Надо найти работу по перемещению точки в этом силовом поле. Пусть движение происходит по замкнутому контуру L. Работа по перемещению точки по замкнутому контуру выражается через криво r линейный интеграл второго рода и называется циркуляцией вектора F вдоль контура L: r r A = ò Fdr L

или A = ò (F x dx + F y dy + F z dz). L

Положительные значения циркуляции — против часовой стрелки. Величина циркуляции зависит от ориентации контура в поле. 9

д) Ротор поля r Ротором поля F в точке М называется вектор, про r екция которого r на направлении n 0 равна плотности циркуляции поля F в точке М по наr правлению n 0 : r r

ò Fdr

Anr 0 (M ) = lim L S ®0

S

r = rotF (M ) nr 0 .

r r r r r Найдем чему равен rotF (F = F x i + F y j + F z k ). r r Рассмотрим проекции rotF на направление вектора k, по контуру MNPQ в плоскости XOY:

Рис. 1

r r Ak = ò Fdr =

ò (F dx + F x

MNPQ

y

r r dy ). Так как на линиях MN и PQ: dr = i dx ,

r r r r r r Fdr = F x dx , а на линиях MN и QМ: dr = j dy б Fdr = F y dx . 10

Да лее при ме ним тео ре му Гри на-Ост ро град ско го: æ ¶F y ¶F x ö ÷dxdy . И наконец, применим теорему о среднем, полуAkr = òò ç ç ¶x ¶y ÷ø S è æ ¶F y ¶F x ö ÷S , так как dS = S . чим: Akr = ç òòS ç ¶x ÷ ¶ y è ø r æ ¶F y ¶F x ö ÷ = (rotF ) nr . Таким образом: Ak = ç k ç ¶x ¶y ÷ø è r r Аналогично находим проекции на направления i и j . В итоге получаем: r æ ¶F ¶F y ö r æ ¶F ¶F z ö r æ ¶F y ¶F ö r x ÷ ÷i + ç x ÷ j +ç rotF = ç z ÷ ç ¶x - ¶y ÷ k . ç ¶y ÷ ç ¶z ¶ z ¶ x ø è è ø è ø r r r i j k r ¶ ¶ ¶ Или символически: rotF = . ¶x ¶y ¶z Fx F y F z То есть формула Стокса может быть записана так: r r r r . Fdr = rot FdS ò òò L

S

е) Общие формулы r ¶j r ¶j r ¶j r gradj = i +j +k = Ñj; ¶x ¶y ¶z r ¶ rr ¶ ¶ divF = F x + F y + F z = (ÑF ); ¶x ¶y ¶z r r rr æ ¶ r ¶ r ¶ rör çç i + j + k ÷÷(i F x + j F y + kF z ) = (ÑF ); ¶y ¶z ø è ¶x r r r i j k r ¶ rr ¶ ¶ rotF = = [ÑF ]. ¶x ¶y ¶z Fx F y F z 11

Дифференциальные операции второго порядка: æ r ¶j r ¶j r ¶j ö ÷= divgrad j = divçç i +j +k ¶y ¶z ÷ø è ¶x ¶ æ ¶j ö ¶ æ ¶j ö ¶ æ ¶j ö ¶ 2 j ¶ 2 j ¶ 2 j = ç ÷ + çç ÷÷ + ç ÷ = 2 + 2 + 2 = Dj. ¶x è ¶x ø ¶y è ¶y ø ¶z è ¶z ø ¶x ¶y ¶z D — оператор Лапласа (лапласиан). Таким образом: r rr divgrad j = (Ñgradj) = (ÑÑj) = Dj; rr ¶2 ¶2 ¶2 ÑÑ = D = Ñ 2 = 2 + 2 + 2 . ¶x ¶y ¶z r rr rr rotgrad j = [Ñgradj] = [ÑÑj] = [ÑÑ]j = 0, rr так как j — скаляр, а [ÑÑ] = 0 (векторное произведение двух коллинеарных векторов). r r r r rr r rr r rr r r r rotrot F = [ÑrotF ] = Ñ[ÑF ] = Ñ(ÑF ) - F (ÑÑ) = ÑdivF - DF = r r = graddivF - DF .

[

]

r r r r rr rr r divrotF = (ÑrotF ) = Ñ[ÑF ] = 0, так как [ÑF ] ^ Ñ, а скалярное про-

(

)

изведение взаимно перпендиr куляр r ных векторов равно нулю. Однако, не всегда rotF ^ F , поэтому такой вывод надо проверять аналитически: r ¶ r r r ¶ ¶ divrot F = (rotF ) x + (rotF ) y + (rotF ) z = ¶x ¶y ¶z ö ¶ æ ¶F x ¶F z ö ¶ æ ¶F y ¶F x ÷+ ç ÷+ ç ÷ ¶z ç ¶x - ¶y ÷ ¶y ç ¶z ¶ x è ø ø è 2 2 2 2 2 ¶ F z ¶ F y ¶ Fx ¶ F z ¶ F y ¶ 2 Fx = + + = 0. ¶ x¶ y ¶ x¶ z ¶ y ¶ z ¶ x¶ y ¶ x¶ z ¶ y ¶ z =

12

¶ æç ¶F z ¶F y ¶x çè ¶y ¶z

ö ÷= ÷ ø

r Правила пользования оператором Ñ: r r r r r r r r r r r r r r r r r div[F1 F 2 ] = Ñ[F1 F 2 ] = Ñ[F1 F 2 ] +Ñ[F1 F 2 ] = Ñ[F1 F 2 ] -Ñ[F1 F 2 ] = rr r rr r r r r r = [ÑF1 ]F 2 -[ÑF 2 ]F1 = F 2 rotF1 - F1 rotF 2 .

(

)

r r r r r rr r r rotj F = [ÑjF ] = [ÑjF ] +[jÑF ] = [ÑjF ] + jrotF . 3) Потенциальноеrполе Векторное поле F называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля j: r ¶j r ¶j r ¶j r F = -Ñj = - i j - k. ¶x ¶y ¶z r Знак «минус» выбран для удобства, так как векторные линии F обычно направлены в сторону убыванияrj. j называется потенциалом поля F или потенциальной функцией — это поверхность равного значения. Очевидно, что j определена с точностью до постоянного множителя. Обычно принимают значение j = 0 на бесконечности. Разность значений потенциала в двух точках не зависит от этой неоднозначности, так как константы сокращаются. Произвольное векторное поле задается тремя скалярными величинами-проекциями. А потенциальное поле задается одной скалярной функцией-потенциалом. r Для того, чтобы векторное поле F было потенциальным r необходимо и достаточно, что бы оно бы ло без вих ре вым, то есть rot F = 0. r r Заметим, что ò Fdr — это работа по замкнутому контуру. Значит, векторное поле будет потенциаль если работа поля вдоль любой r ным, r замкнутой кривой равна нулю: ò Fdr = 0 . 4) Соленоидальное r поле Поле вектора F называется соленоидаль r ным или трубчатым, если в поле нет источников и стоков, то есть divF = 0. r Например, divrot F = 0, то есть векторное поле вихрей является соленоидальным. 13

В соленоидальных полях векторные линии нигде не кончаются и нигде не начинаются. Они уходят в бесконечность или замыкаются на себя. r Если нет источников, то divF = 0, то есть div grad j = 0 или Ñ 2 j = 0 = Dj. Dj = 0 — это уравнение Лапласса. Если есть источники (с плотностью r): Dj = -4pr — это уравнение Пуассона. 3.3.2. Базис линейного пространства 1) Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов Операции сложения векторов и умножения вектора на число лежат в основе обширного и богатого приложениями раздела математики, называемого линейной алгеброй. Одним из центральных понятий линейной алгебры является понятие линейной зависимости. Сначала заметим следующее: если при рассмотрении некоторого вопроса приходится иметь дело с несколькими векторами, то, как правило, их обозначают одной и той же буквой а с разными индексами: a1 ,a2 ,.... Весь набор {a1 ,a2 ,...} называют системой векторов. Определение 1. Пусть даны векторы a1 ,a2 ,Kas из R n . Любой вектор a вида a = k1 a1 + k2 a2 +K+ks as ,

(1)

где k1 , k2 ,K, k — какие угодно числа, называется линейной комбинацией векторов a1 ,a2 ,K,as . При наличии равенства (1) также говорят, что вектор а линейно выражается через векторы a1 ,a2 ,K,as или что а разлагается по векторам a1 ,a2 ,K,as Например, если a1 = (2, 2, 3), a2 = (0, - 4, 5), a3 = (3, 13, - 8), то 3a1 - 5a2 - 2a3 = (6, 6, 9) - (0, - 20, 25) - (6, 26, -16) = (0, 0, 0). Таким образом, вектор (0, 0, 0) является линейной комбинацией векторов a1 , a2 , a3 . 14

Определение 2. Система векторов a1 ,a2 ,K,as из R n называется линейно зависимой, если существуют такие числа c1 ,c 2 ,K,c s , неравные одновременно нулю, что справедливо равенство c1 a1 + c 2 a2 +... + c s as = 0.

(2)

В частности, система a1 ,a2 ,a3 из предыдущего примера линейно зависима. Определение 3. Если система векторов a1 ,a2 ,K,as такова, что равенство (2) возможно только при c1 = c 2 = ... = c s = 0,то эта система называется линейно независимой. Перечислим ряд свойств линейной зависимости. 1. Система из одного вектора a линейно зависима : a = 0. Доказательство. Пусть система {а}, состоящая из одного вектора а, линейно зависима. Тогда найдется число c ¹ 0, такое, что ca = 0. Умножим обе части этого равенства (оба вектора) на число c -1 . Получим c -1 (ca) = c -1 × 0 или (c -1 c)a= 0. Таким образом, 1× a = 0 или a = 0. Обратно, если вектор a равен 0, то очевидное равенство 1× a = 0 показывает, что система {a} линейно зависима. 2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные. Доказательство. Пусть среди данных векторов a1 ,a2 ,K,as имеется такой, например, вектор а, который линейно выражается через остальные: a1 = k2 a2 +K+ks as . Прибавляя к обеим частям равенства вектор (-a) получим: -a1 + k2 a2 +K+ks as = 0, т.е. линейная комбинация векторов a1 ,a2 ,K,as равна нулю, причем среди коэффициентов имеются коэффициенты, не равные нулю (коэффициент при a1 равен -1). Следовательно, система a1 ,a2 ,K,as линейно зависима. 15

Обратно, пусть векторы a1 ,a2 ,K,as линейно зависимы, т.е. имеет место равенство (2) с не равными нулю одновременно коэффициентами c1 ,c 2 ,K,c s . . Пусть, скажем, c1 ¹ 0 . Перепишем равенство (2) в виде -c1 a1 = c 2 a2 +K+c s as и, умножив обе части на -c1-1 , получим равенство æc a1 = -ç 2 çc è 1

ö æc ÷a2 -K-ç s ÷ çc ø è 1

ö ÷as , ÷ ø

означающее, что вектор a1 линейно выражается через остальные векторы системы. 3. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Следствие: система, включающая вектор 0, линейно зависима. Доказательство. Пусть дана система, например, из трех векторов a1 ,a2 ,a3 , причем часть системы, состоящая из двух векторов a1 ,a2 , линейно зависима, т.е. справедливо равенство c 2 a2 + c 3 a3 = 0, где c 2 или c 3 отличны от нуля. Добавив к обеим частям вектор 0 = 0 ×a1 , получим равенство 0 × a1 + c 2 a2 + c 3 a3 = 0, означающее линейную зависимость всей системы a1 ,a2 ,a3 . 4. Если система {a1 ,a2 ,K,as } линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то вектор а линейно выражается через a1 ,a2 ,K,as . Доказательство. По условию справедливо равенство вида c1 a1 + c 2 a2 +K+c s as + ca = 0

(3)

где не все числа c1 ,c 2 ,K,c s ,c равны нулю. Нетрудно видеть, что именно c ¹ 0. В про тив ном слу чае мы по лу чи ли бы ра вен ст во c1 a1 + c 2 a2 +K+c s as = 0, означающее линейную зависимость системы a1 ,a2 ,K,as . Пользуясь тем, что c ¹ 0, можно из равенства (3) выразить а через векторы a1 ,a2 ,K,as . 16

Пример. Рассмотрим систему из векторов a = (a 1 ,a 2 ,a 3 K,a n ) b = (0, b 2 ,b 3 ,K,b n ) , c = (0, 0, g 3 ,K, g n ) где a i ,b j , g k ,K обозначают какие-то числа. Причем a 1 ,b 2 , g 3 ,K (числа, стоящие на «диагонали») отличны от нуля. Такая система векторов называется лестничной. Понятно, что число векторов в лестничной системе не превосходит n (число координат в каждом векторе). Докажем, что любая лестничная система векторов линейно независима. Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, a линейно выражается через b,c,...: a = kb + lc +K Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора kb + lc +K равна нулю. Полученное противоречие доказывает, что система a,b,c,... линейно независима. Определение 4. Векторы а и b называются коллинеарными, если a = kb или b = ka. Если один из векторов а или b равен нулю, то такие векторы заведомо коллинеарны. Если, например, a = 0, то имеем a = 0 × b. Практически распознать коллинеарность совсем просто: координаты a1 ,Kan вектора a должны быть пропорциональны координатам b1 ,K bn вектора b. Пример коллинеарных векторов дает любая таблица обменных курсов валют. Чтобы лучше «прочувствовать» смысл понятия линейной зависимости, обратимся к векторам из R 3 . 1. Пусть дана система из двух векторов a и b. Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a, линейно выражается через другой: a = kb. 17

Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R 3 , но и к любому R n . 2. Пусть система в R 3 состоит из трех векторов a,b,c. Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем а, линейно выражается через остальные: (4)

a = kb + lc

Если считать, что все векторы a,b,c имеют общее начало, то из (4) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости. Определение 5. Три вектора a,b,c в R 3 , лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными (рис. 2, где слева указаны векторы a,b,c из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).

Рис. 2

Итак, если три вектора в R 3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a,b,c из R 3 компланарны, то они линейно зависимы. Пусть теперь дана система из s векторов в R s , где s > 3. В этом случае система обязательно линейно зависима. Это вытекает из следующей общей теоремы. Теорема. В пространстве R n любая система из s векторов, где s > n, линейно зависима. 18

Пример 1. Векторы из R 3 : a1 = (-1, 3, 7), a2 = (0, 4, 6), a3 = (0, 7, 1), a4 = (1, 0, 0) линейно зависимы, так как их число больше 3. Если дана конкретная система векторов, то установить, будет ли эта система линейно зависима, вообще говоря, не так просто (исключая разве лишь тот случай, когда число векторов больше числа координат в каждом векторе, т.е. s > n). Например, в системе a1 = (2, - 5, 1, -1), a2 = (1, 3, 6, 5), a3 = (-1, 4, 1, 2) при поверхностном рассмотрении трудно заметить какие-либо зависимости, хотя на самом деле эти векторы связаны соотношением 7a1 - 3a2 +11a3 = 0. Практический способ решения вопроса о линейной зависимости будет дан ниже. 2) Базис линейного пространства Определение 6. Базисом линейного пространства называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия: 1) эта система векторов линейно независима; 2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы. Пусть b1 ,K, bn — базис в линейном пространстве. Мы знаем, что любой вектор х в данном пространстве может быть записан следующим образом: x = x 1 b1 +K+ x n bn . Такую запись называют разложением вектора х по базису b1 ,K, bn . Данное здесь определение базиса согласовывается с понятием базиса в пространстве свободных векторов . Например, в трехмерном пространстве базисом была любая тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносиль19

на компланарности трех векторов. Но, кроме того, мы знаем, что любой вектор в пространстве можно выразить через произвольные три некомпланараных вектора в виде их линейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в трехмерном пространстве, так как лю бая ли ней ная комби на ция та ких век торов даст вектор, им компланарный. В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно. Действительно, выберем в линейном пространстве произвольный базис b1 ,K, bn и предположим, что вектор х имеет в этом базисе два разложения x = x 1 b1 +K x n bn , x = x 1¢ b1 +K+ x n¢ bn . Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая записанные равенства почленно, получим ( x 1 - x 1¢ )b1 +K+( x n - x n¢ )bn = 0. Так как базис — это линейно независимая система векторов, то ее линейная комбинация равна 0, когда она тривиальная . Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю: x 1 - x 1¢ = 0 ,..., x n - x n¢ = 0. Таким образом, x 1 = x 1¢ , ..., x n = x n¢ и два разложения вектора х в базисе b1 ,K, bn совпадают. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно тривиальное: все коэффициенты этого разложения равны нулю. Из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора. Согласно данному определению, базис является упорядоченной системой векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в системе, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией. 20

Определение 7. Коэффициенты разложения вектора по базису линейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют координатами вектора в этом базисе. Пример 2. В линейном пространстве многочленов переменной х степени не выше 2 элементы х и x 2 линейно независимы: их линейная комбинация ax + bx 2 есть многочлен, который равен нулю (нулевому многочлену) лишь при a = b = 0. В то же время пара этих элементов не образует базиса. Действительно, многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом пространства многочленов, нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов х и x 2 . Дело в том, что линейная комбинация ax + bx 2 многочленов х и x 2 есть либо многочлен второй степени , либо многочлен первой степени , либо нулевой многочлен. Значит, равенство 1 = ax + bx 2 двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов. В то же время три многочлена 1, х, x 2 образуют базис линейного пространства многочленов. Докажем это. Во-первых, система многочленов 1, х, x 2 линейно независима. Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами a ,b, g и приравняем нулю: a ×1 + bx + gx 2 = 0. Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, a = b = g = 0. Во-вторых, через многочлены 1, х, x 2 можно выразить любой многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного пространства многочленов можно представить в виде линейной комбинации указанных трех элементов. Возьмем произвольный многочлен p( x ) = a + bx 2 + gx 2 . Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию многочленов 1, х, x 2 , причем коэффициенты многочлена в то же время являются коэффициентами линейной комбинации. Итак, система трех многочленов 1, х, x 2 линейно независима, а любой элемент линейного пространства многочленов является линейной комбинацией указанной системы. Согласно определению 1, система многочленов 1, х, x 2 есть базис в пространстве многочленов. 21

3) Линейные операции в координатной форме Фиксация порядка векторов в базисе преследует еще одну цель — ввести матричные способы записи векторных соотношений. Базис b1 ,K, bn в данном линейном пространстве удобно записывать как матрицу-строку b = (b1 K bn ), а координаты вектора х в этом базисе — как матрицу-столбец: æ x1 ç x =ç M çx è n

ö ÷ ÷ ÷ ø

Тогда разложение x = x 1 b1 +K+ x n bn вектора х по базису b1 ,K, bn можно записать как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец: x = bx . Пример 3. Векторы ортонормированного базиса в трехмерном пространстве имеют стандартное обозначение и порядок: i, j , k. В матричной записи это будет выглядеть так: b = (i j k). Запись линейных операций над свободными векторами в координатной форме обобщается на случай произвольного линейного пространства. При сложении любых двух векторов в линейном пространстве их координаты в одном и том же базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Рассмотрим в линейном пространстве базис b = (b1 K bn ). Пусть даны разложения векторов x и y в этом базисе: x = x 1 b1 +K+ x n bn , y = y 1 b1 +K+y n bn . В силу аксиом линейного пространства x + y = ( x 1 b1 +K+ x n bn ) + (y 1 b1 +K+y n bn ) = ( x 1 + y 1 )b1 +K+( x n + y n )bn . Таким образом, при сложении двух векторов их координаты, отвечающие одному базисному вектору, складываются. В матричной записи координат этому соответствует матричная сумма столбцов координат. 22

Аналогично для произвольного действительного числа l l x = l( x 1 b1 +K+ x n bn ) = (l x 1 )b1 +K+(l x n )bn , т.е. при умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число. Запись координат векторов в матричной форме снимает вопрос о том, что понимать, например, под сложением координат: координаты складываются как матрицы-столбцы. Аналогично столбец координат умножается на число по правилам умножения матрицы на число. Запись bx + by = b( x + y ), lbx = b(l x ) соответствует свойствам матричных операций: дистрибутивности сложения относительно умножения и ассоциативности умножения. Линейная независимость (зависимость) векторов линейного пространства эквивалентна линейной независимости (зависимости) их столбцов координат в одном и том же базисе этого линейного пространства. Если вектор а равен линейной комбинации векторов a1 ,K,ak , ..., тo есть a = a 1 a1 +K+a k ak , то его столбец координат а в заданном базисе b равен такой же линейной комбинации столбцов координат a 1 ,K,a k ,..., векторов a1 ,K,ak в этом же базисе: a = a 1 a1 +K+a k ak . Это следует из равенств: ba = a 1 a1 +K+a k ak = a 1 (ba1 )+K+a k (bak ) = b(a 1 a1 +K+a k ak ). Пример 3. В линейном R n пространстве векторы e1 = (1, 0, ..., 0), e 2 = (0, 1, ...,0), ..................... e n = (0, 0, ..., 1) r образуют r базис e = (e1 K e n ), так как они линейно независимы и любой вектор x = ( x 1 ,K x n ), принадлежащий R n , представим в виде x = x 1 e1 +K+ x n e n . Данный базис в пространстве R n называют стандартным. 23

r Пример 4. Покажем, что в R 3 система векторов a1 = (1, -1, 2), r r a2 = (2, 1, 0), a3 = (4, -1, 1) образует базис и найдем в этом базисе координаr ты вектора c = (2, 1, 3). Для того чтобы доказать, что система векторов a1 ,a2 ,a3 образует базис, надо убедиться в линейной независимости этих векторов и в том, что любой вектор b = (b1 , b2 , b3 ), принадлежащий R 3 , является их линейной комбинацией. В стандартном базисе e в R 3 векторы a1 ,a2 ,a3 , b,c имеют следующие столбцы координат: æ 1 ö æ2 ö æ 4ö æ b1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç a1 = ç -1 ÷, a2 = ç 1 ÷, a3 = ç -1 ÷, b = ç b2 ç2 ÷ ç0÷ ç 1 ÷ çb è ø è ø è ø è 3

ö æ2 ö ÷ ç ÷ ÷, c = ç 1 ÷. ÷ ç3÷ ø è ø

Из столбцов координат векторов a1 ,a2 ,a3 составим матрицу æ 1 2 4ö ç ÷ A = ç -1 1 -1 ÷ ç2 0 1 ÷ è ø и рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Ax = b, x = ( x 1 x 2 x 3 )T . Так как det A = -9, то матрица A невырожденная, ее ранг равен 3, и все ее столбцы являются базисными. Поэтому, во-первых, эти столбцы линейно независимы, что означает линейную независимость векторов a1 ,a2 ,a3 , а во-вторых, СЛАУ Ax = b при любом столбце b правых частей имеет решение x = ( x 1¢ x 2¢ x 3¢ )T , что после записи этой СЛАУ в векторной форме a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 = b позволяет сделать вывод о выполнении равенства x 1¢ a1 + x 2¢ a2 + x 3¢ a3 = b. В частности, решив СЛАУ Ax = c, которая в координатной форме имеет вид x1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 2 - x1 + x 2 - x 3 = 1 2 x 1 + x 3 = 3, находим координаты вектора с в базисе (a1 a2 a3 ): x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = -1. 24

3.3.3 Решение системы линейных уравнений 1) Система m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить, система m ´ n, запишется в общем виде так: a11 x 1 + a12 x 2 +K+a1 n x n = b1 a21 x 1 + a22 x 2 +K+a2 n x n = b2

(1)

.............................. am1 x 1 + am 2 x 2 +K+amn x n = bm Для сокращения этой записи можно использовать следующую таблицу, которая содержит всю информацию о системе (1). x1

x2

…

xn

a11

a12

…

a1 n

b1

a21

a22

…

a2 n

b2

…

…

…

…

…

am1

am 2

…

amn

bm

Решением системы (1) является любой набор значений неизвестных: x1 = a 1 , x 2 = a 2 , K , x n = a n , удовлетворяющий всем уравнениям системы. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными x 1 ,..., x n называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Отметим, что для любой системы (1) возможны только три случая: а) система не имеет ни одного решения; б) система имеет единственное решение; в) система имеет бесчисленное множество решений. Множество всех решений системы (1) называется ее общим решением. Решить систему (1) означает найти ее общее решение. Опишем некоторые действия над системой (1), называемые элементарными преобразованиями. Это: а) перестановка уравнений; 25

б) вычеркивание из системы (1) уравнения вида 0 x 1 + 0 x 2 +K+0 x n = 0, или, проще, 0 = 0; в) умножение обеих частей одного из уравнений системы на число l ¹ 0; г) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число. Например, пусть дана система 5 x1 - 3 x 2 = 4 -2 x 1 + 6 x 2 = 0 К обеим частям второго уравнения прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на 2, получим систему 5 x1 - 3 x 2 = 4 8 x1 = 0 4 Не трудно видеть, что решениями системы будут x 1 = 0, x 2 = - . 3 Очевидно, что любое из элементарных преобразований, совершенное над системой уравнений, приводит к системе, равносильной исходной системе. При выполнении элементарных преобразований над системой может возникнуть уравнение вида 0 x 1 + 0 x 2 +K+0 x n = b, где b ¹ 0. Ясно, что это уравнение не имеет решений. Будем называть такое уравнение противоречивым. Система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна; заниматься решением такой системы нет смысла. Для нахождения общего решения системы (1) имеется простой и удобный метод Гаусса. 2) Метод Гаусса Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований системы (1) либо получают систему, содержащую противоречивое уравнение (и тогда система (1) оказывается несовместной), 26

либо система (1) приводится к некоторому специальному виду. Особенность этого вида заключается в том, что для каждого уравнения имеется неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, не равным нулю, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Если для каждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется базисным, а весь набор базисных неизвестных — базисом неизвестных. Остальные неизвестные (если они имеются) называются свободными. Пример: 2 x1 + x 2 - 5 x 3 + x 6 = 7 3 x 1 + 4 x 3 + x 5 - 3 x 6 = -2

(2)

x1 - x 3 + x 4 - 2 x 6 = 8 Здесь х2, х4, х5 — базисные неизвестные, х1, х3, х6 — свободные неизвестные. Заметим, что коэффициенты при базисных неизвестных в соответствующих уравнениях системы (2) равны 1. В общем случае это необязательно, но можно этого добиться с помощью элементарного преобразования типа 4. Переписав систему (2) в виде: x 2 = 7 - 2 x1 + 5 x 3 - x 6 x 5 = -2 - 3 x 1 - 4 x 3 + 3 x 6 ,

(3)

x 4 = 8 - x1 + x 3 + 2 x 6 (в левых частях системы стоят базисные неизвестные, в правых частях — свободные неизвестные), получаем фактически общее решение. Действительно, уравнения (3) показывают, что вместо свободных неизвестных x 1 , x 3 , x 6 можно подставить любые числа и затем найти из уравнений (3) значения базисных неизвестных х2, х4, х5. Например, взяв x 1 = 0, x 3 = 1, x 6 = 2, найдем x 2 = 10, x 4 = 13, x 5 = 0, а значит, получим конкретное (частное) решение x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 1, x 4 = 13, x 5 = 0, x 6 = 2. Таким образом, запись системы в виде (3) позволяет непосредственно получить любое частное решение системы; в этом смысле запись (3) можно считать общим решением. Очевидно, что при наличии хотя бы одного свободного неизвестного система имеет бесчисленное множество решений. Если свободных 27

не из вест ных нет (все не из вест ные — ба зисные), то решение единственно. Изложим теперь алгоритм метода Гаусса. Для этого дадим описание очередного k-го шага (k =1, 2,K). Итак, очередной k-й шаг состоит из следующих действий: 1. Из системы, полученной ранее (после k -1 предыдущих шагов) удаляем уравнения 0 = 0. Если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система несовместна — работа с ней прекращается. 2. Пусть противоречивых уравнений не оказалось. Тогда одно из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие два требования: • на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим; • в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля; этот коэффициент называют разрешающим элементом. 3. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разрешающее неизвестное. Для этого к каждому из таких уравнений прибавляем разрешающее уравнение, умноженное на подходящее число. Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя выбрать за разрешающее (т.е. все уравнения перебывали в этой роли). Тогда для каждого уравнения имеется свое базисное неизвестное, входящее в это уравнение с коэффициентом, отличным от нуля, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Таким образом, процесс прекращается после получения базиса неизвестных. Из полученной системы находим (как в указанном примере) общее решение. Разберем несколько примеров. В каждом примере весь процесс решения записан в виде вертикальной последовательности таблиц. Каждому шагу метода Гаусса соответствует переход от очередной таблицы к следующей. Разрешающие элементы выделены жирным шрифтом. Пример 1. x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 2 x 1 - x 2 - x 3 = -2 x 1 + 3 x 2 - x 3 = -2 28

x1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

x2 2 -1 3 2 -3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1

x3 3 -1 -1 3 -4 -4 11 -16 -4 11 1 -4 0 1 0

2 -2 -2 2 -4 -4 10 -16 -4 10 1 -4 -1 1 0

Последней таблице соответствует система x 1 = -1, x 3 = 1, x 2 = 0. Ответ: решение единственно, x 1 = -1, x 2 = 0, x 3 = 1. Пример 2. x1 - 3 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 1 3 x1 - 8 x 2 + 8 x 3 + 7 x 4 = 3 2 x1 - 4 x 2 + 8 x 3 + 8 x 4 = 0 2 x 1 - 3 x 2 +10 x 3 + 8 x 4 = 1 29

x1 1 3 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

x2 -3 -8 -4 -3 -3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0

x3 2 8 8 10 2 2 4 6 8 2 0 0 8 2 0 0

x4 2 7 8 8 2 1 4 4 5 1 2 1 0 0 0 1

1 3 0 1 1 0 -2 -1 1 0 -2 -1 6 1 0 -1

Последней таблице соответствует система x1 + 8 x 3 = 6 x2 +2 x3 =1 x 4 = -1 с базисными неизвестными x 1 , x 2 , x 4 и свободным x 3 . Общее решение дается формулами x1 = 6 - 8 x 3 x 2 =1-2 x 3 x 4 = -1. Система имеет бесчисленное множество решений, которые можно охватить записью x = (6 - 8 x 3 , 1 - 2 x 3 , x 3 -1), где x 3 — любое число. 30

3) Применения метода Гаусса Определение 1. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной. Общий вид однородной системы т уравнений с п неизвестными: a11 x 1 + a12 x 2 +K+a1 n x n = 0 a21 x 1 + a22 x 2 +K+a2 n x n = 0 ............................. am1 x 1 + am 2 x 2 +K+amn x n = 0 Однородная система всегда совместна: одно из ее решений есть x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n = 0. Это решение называется нулевым. Особую важность представляет вопрос, имеет ли данная однородная система ненулевые решения. Частичный ответ дает следующая теорема. Теорема. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение. Доказательство. Применим к данной системе метод Гаусса. В процессе преобразований не могут появиться противоречивые уравнения 0 x 1 + 0 x 2 +K+0 x n = b, где b ¹ 0, поскольку все свободные члены уравнений — нули. Значит, после некоторого числа шагов получим систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Поскольку число уравнений меньше числа п неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше n. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные. Система имеет бесчисленное множество решений, в том числе ненулевые решения. Доказанная теорема имеет многочисленные применения. В частности докажем с ее помощью следующую теорему. Теорема. В пространстве R n любая система из s векторов, где s > n, линейно зависима. Доказательство. Для сокращения записей рассмотрим случай n = 2, s = 3, т.е. систему из трех векторов в R 2 . Те же рассуждения можно повторить в общем случае. Итак, пусть a1 = (a 1 ,b1 ), a2 = (a 2 ,b 2 ), a3 = (a 3 ,b 3 ), 31

— три вектора из R 2 . Наша цель — показать, что система a1 , a2 , a3 линейно зависима, т.е. что уравнение x 1 a1 + x 2 a2 + x 3 a3 = 0 имеет ненулевые решения. Координатами вектора x 1 a1 + x 2 a2 + x 3 a3 являются числа a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ; b1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 , поэтому мы должны показать, что система a 1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 b1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0 имеет ненулевые решения. Но это прямо следует из предыдущей теоремы. По поводу общего случая (n и s — любые, s > n) заметим, что соответствующая однородная система будет содержать n уравнений (столько, сколько координат у вектора из R n ) и s неизвестных (столько, сколько векторов в системе). Поскольку n < s, ненулевые решения существуют. В заключение отметим, что метод Гаусса может быть с успехом использован для решения вопроса о том, является ли данная система векторов a1 ,a2 , K , as линейно зависимой. В этом случае вопрос заключается в том, имеет ли уравнение x 1 a1 + x 2 a2 +K+ x s as = 0

(4)

ненулевые решения. Уравнение (4) в координатной записи означает систему п линейных уравнений с s неизвестными. Для решения системы можно воспользоваться методом Гаусса. Если окажется, что решение единственное (т.е. нулевое), то система a1 ,a2 , K , as линейно независима; в противном случае эта система линейно зависима. Пример. Дана система из четырех векторов в R 5 : a1 = (-1; 3; 3; 2; 5), a2 = (-3; 5; 2; 3; 4), a3 = (-3; 1; - 5; 0; - 7), a4 = (-5; 7; 1; 4; 1). 32

(5)

Выяснить, является ли эта система линейно зависимой. Решение. Пишем уравнение x 1 a1 + x 2 a2 + x 3 a3 + x 4 a4 = 0 или, в координатной записи, — систему уравнений - x1 - 3 x 2 - 3 x 3 - 5 x 4 = 0 3 x1 + 5 x 2 + x 3 + 7 x 4 = 0 3 x1 + 2 x 2 - 5 x 3 + x 4 = 0 2 x1 + 3 x 2 + 4 x 4 = 0 5 x1 + 4 x 2 - 7 x 3 + x 4 = 0 Если эта система имеет только нулевое решение, то система векторов (5) линейно независима. Если же имеются и ненулевые решения, то система (5) линейно зависима. Применим к данной системе уравнений метод Гаусса: x1

x2

x3

x4

-1

-3

-3

-5

0

3

5

1

1

0

3

2

-5

1

0

2

3

0

4

0

5

4

-7

1

0

-1

-3

-3

-5

0

0

-4

-8

-8

0

0

-7

-14

-14

0

0

-3

-6

-6

0

0

-11

-22

-24

0

-1

-3

-3

-5

0

0

1

2

2

0

0

0

0

-2

0 33

-1

0

3

1

0

0

1

2

2

0

0

0

0

1

0

-1

0

3

0

0

0

1

2

0

0

0

0

0

1

0

Процесс преобразований закончен. Получилась система уравнений с базисными неизвестными x 1 , x 2 , x 3 и свободным неизвестным x 3 Наличие свободного неизвестного означает, что решений — бесчисленное множество. Значит, система векторов (5) — линейно зависима. 4) Формулы Крамера Для сокращения записей рассмотрим случай n = 2. Итак, пусть дана система a11 x 1 + a12 x 2 = b1 a21 x 1 + a22 x 2 = b2 или в матричной записи: AX = B,

(6)

где æa A = çç 11 è a21

a12 ö æx ö æb ÷; X =ç 1 ÷; B =ç 1 ç ÷ çb ÷ a22 ø è x2 ø è 2

ö ÷÷ . ø

Предположим, что матрица А является невырожденной: A ¹ 0. Тогда существует обратная матрица A -1 , равная 1 æ A11 ç A çè A12

A21 ö ÷. A22 ÷ø

Умножив обе части уравнения (6) слева на A -1 , получим X = A -1 B = 34

1 æ A11 ç | A| çè A12

A21 öæ b1 ÷ç A22 ÷øçè b2

ö ÷÷. ø

т.е. x1 =

1 ( A b + A b2 ); | A| 11 1 21

x2 =

1 ( A b + A22 b2 ). | A| 12 1

Полученные выражения дня неизвестных допускают интересную интерпретацию. Рассмотрим наряду с матрицей А еще две матрицы: a12 ö æa ÷÷; A2 = ç 11 ça a22 ø è 21

æb A1 = çç 1 è b2

b1 ö ÷. b2 ÷ø

Каждая из них получается из А заменой соответствующего столбца столбцом В. Тогда будем иметь:

| A1 | = b1 A11 + b2 A22 (разложение определителя | A1 | по первому столбцу) и | A2 | = b1 A12 + b2 A22 (разложение по второму столбцу). Таким образом, x1 =

| A1 | ; A

x2 =

| A2 | . A

Написанные формулы носят название правила Крамера для системы 2 ´ 2. Аналогичным путем можно получить правило Крамера для системы n ´ n. Правило Крамера для системы n ´ n. Пусть дана система AX = B n линейных уравнений с n неизвестными. Если | A| ¹ 0, то система имеет единственное решение. x1 =

| A1 | ; x A

2

=

| A2 | ; K , x A

n

=

| An | ; A

(7)

где Ai означает матрицу, полученную из А заменой i-го столбца столбцом В (i =1, 2, K , n). Формулы Крамера (7) имеют скорее теоретическое, чем практическое значение, так как для нахождения x 1 ,..., x n требуется вычислить n +1 определителей: | A|, | A1 |, K , | An |, что при достаточно больших n является громоздким делом. 35

5) Необходимое и достаточное условие существования ненулевого решения однородной системы n ´ n Мы уже говорили о важности решения такого вопроса: имеет ли данная однородная система линейных уравнений ненулевые решения? Для однородной системы пхп справедлива следующая теорема. Теорема. Однородная система n ´ n AX = B имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда | A| = 0, т.е. когда матрица А — вырожденная. 3.3.4. Линейные экономические модели Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 1) Уравнение линейного межотраслевого баланса Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой — как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами, называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована ЦСУ в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах американского экономиста В.Леонтьева . Предположим, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отрасли является в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике отрасль определяется не только названием выпускаемого продукта, но и ведомственной принадлежностью своих предприятий (например, данному министерству, тресту и т.п.). Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структу36

ры народного хозяйства, изучить функционирование народного хозяйства «в первом приближении». Итак, предполагаем, что имеется n различных отраслей O1 ,K,On, каждая из которых производит свой продукт. В дальнейшем отрасль Oi будем коротко называть «i-я отрасль». В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [T 0 ,T1 ] (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения: x i — общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени — так называемый валовой выпуск отрасли i; x ij — объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства; y i — объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере — объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт. Указанные величины можно свести в таблицу. Производственное потребление

Конечное потребление

Валовой выпуск

x 11 x 12 K x 1 n

y1

x1

x 21 x 22 K x 2 n

y2

x2

...

...

...

x n1 x n 2 K x nn

yn

xn

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i =1, K , n должно выполняться соотношение x i = x i 1 + x i 2 +K+ x in + y i ,

(1)

означающее, что валовой выпуск x i расходуется на производственное потребление, равное x i 1 + x i 2 +K+ x in + y i , и непроизводственное потребление, равное y i . Будем называть (1) соотношениями баланса. 37

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс. В.Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, величины aij =

x ij xj

остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии. В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема x j продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aij x j где aij — постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например на оплату труда, а также на нормативную прибыль. Итак, согласно гипотезе линейности имеем x ij = aij x j (i, j =1, K , n)

(2)

Коэффициенты aij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости). В предположении линейности, соотношения (1) принимают вид: x 1 = a11 x 1 + a12 x 2 +K+a1 n x n + y 1 x 2 = a21 x 1 + a22 x 2 +K+a2 n x n + y 2 ................................... x n = an1 x 1 + an 2 x 2 +K+ann x n + y n или, в матричной записи: x = Ax + y , где 38

(3)

æ a11 ç ça A = ç 21 K ç ça è n1

a12 a22 K an 2

K a1 n ö æ x1 ö æ y1 ö ÷ ç ÷ ç ÷ K a2 n ÷ ç x2 ÷ çy ÷ , x = ç ÷, y = ç 2 ÷. ÷ K K K K ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ K ann ø è xn ø è yn ø

Вектор x называется вектором валового выпуска, вектор y — вектором конечного потребления, а матрица A — матрицей прямых затрат. Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов x и y это соотношение называют также моделью Леонтьева. Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [T 0 ,T1 ] задается вектор у конечного потребления. Требуется определить вектор валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (3) с неизвестным вектором x при заданных матрице А и векторе y . При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (3): 1. Все компоненты матрицы А и вектора y неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и y ). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора y и записывать это так: A ³ 0, y ³ 0. 2. Все компоненты вектора x также должны быть неотрицательными: x ³ 0. Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов aij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (2) видно, что aij совпадает со значением x ij при x j = 1 (1 руб.). Таким образом, aij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции отрасли j. Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т.е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 руб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производ39

ство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения. 2) Продуктивные модели Леонтьева Определение. Матрица A > 0 называется продуктивной, если для любого вектора y ³ 0 существует решение x ³ 0 уравнения x = Ax +y

(4)

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор y ³ 0 конечного потребления можно получить при подходящем валовом выпуске x ³ 0. Покажем, что нет необходимости требовать существования решения x ³ 0 уравнения (4) для любого вектора y ³ 0. Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора 0. Условимся в дальнейшем писать y ³ 0 и называть вектор y положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны. Теорема 1 (первый критерий продуктивности). Если A ³ 0 и для некоторого положительного вектора y * уравнение (4) имеет решение x * ³ 0, то матрица А продуктивна. Заметим, что на самом деле x * > 0, что следует из x * = A x * + y * и A ³ 0, x * > 0, y * > 0. Уравнение Леонтьева (4) можно записать следующим образом: (E - A) x = y ,

(5)

где Е — единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы E - A. Понятно, что если обратная матрица (E - A) -1 существует, то из (5) вытекает x = (E - A) -1 y .

40

(6)

Теорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица A ³ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E - A) -1 существует и неотрицательна. Пример 1. Исследуем на продуктивность матрицу æ 0,2 0,6 ö ÷÷. A = çç è 0,9 0,7 ø В данном случае æ 0,8 -0,6 ö ÷÷. E - A = çç è -0,9 0,7 ø Проведя необходимые вычисления, получим матрицу (E - A) -1 , которая существует и равна æ 35 30 ö çç ÷÷. è 45 40 ø Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, А продуктивна. Продолжим анализ продуктивности модели Леонтьева. Пусть а — некоторое число. Из курса математического анализа известно, что если ряд 1+ a + a2 + K (бесконечная геометрическая прогрессия) сходится (условием этого является a < 1), то его сумма равна (1 - a) -1 . Аналогичное предложение имеет место при замене числа а матрицей А. Лемма. Если бесконечный ряд (из матриц) 1+ A + A 2 +K

(7)

сходится, то его сумма есть матрица (E - A) -1 . Теорема 3 (третий критерий продуктивности). Матрица A > 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд E + A + A2 +K

(8) 41

Пример 2. Для матрицы , 0 0,6 ö æ 01 ç ÷ A = ç 0,2 0,7 0 ÷ ç 0,4 0,2 0,3 ÷ è ø сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно, А продуктивна. Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна. Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: если продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица A T , что следует из теоремы 2. Пусть A > 0 — продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число a > 0, что все матрицы l A, где 1 £ l £ 1 + a, продуктивны, а матрица (1+a ) A — непродуктивна. Пример 3. Выясним, какой запас продуктивности имеет матрица А из примера 1. Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы (E - A) -1 ). В данном случае æ 1 - 0,2l -0,6l ö ÷÷. E - lA = çç è -0,9l 1 - 0,3l ø Определитель этой матрицы D = |E - lA| = (1 - 0,2l)(1 - 0,3l) = -0,48l 2 - 0,5l +1. Обратной матрицей будет (E - lA)

-1

æ 1 - 0,3l ç =ç D ç 0,9l ç è D

0,6l D 1 - 0,2l D

ö ÷ ÷. ÷ ÷ ø

Для продуктивности матрицы l A нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны. Это возможно лишь если D > 0, 1- 0,2l > 0, 1 - 0,3l > 0. Приближенные корни уравнения D = 0 суть l 1 = 2,06 и l 2 = 1015 , , поэтому (E - l A) -1 если l < 1,015. При l < l 2 матри42

ца l A будет продуктивной, при l = l 2 — нет. Запас продуктивности матрицы А равен 0,015. Мы видим, что матрица А находится где-то «на пределе» продуктивности. Обычно матрицы А межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности. Например, для межотраслевых балансов в бывшем СССР такой запас, как правило, был больше 0,4. Рост производственных расходов (в частности, учет затрат на преодоление негативных воздействий производства на окружающую среду) вызывает увеличение элементов матрицы А и, как следствие, снижение ее запаса продуктивности. 3) Модель равновесных цен Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева — так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А — матрица прямых затрат, x = ( x 1 , x 2 ,K , x n ) — вектор валового выпуска. Обозначим через p = ( p1 , p2 ,K , pn ) — вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный p1 x 1 . Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме a11 , второй отрасли в объеме a21 , n-ой отрасли в объеме an1 и т.д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a11 p1 + a21 p2 +K+an1 pn . Следовательно, для выпуска продукции в объеме x 1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную x 1 (a11 p1 + a21 p2 +Kan1 pn ). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции). Таким образом, имеет место следующее равенство: x 1 p1 = x 1 (a11 p1 + a21 p2 +K+an1 pn ) +V1 . Разделив это равенство на x 1 , получаем p1 = (a11 p1 + a21 p2 +K+an1 pn ) + v1 , где v1 =

V1

— норма добавленной стоимости (величина добавленной x1 стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей 43

p2 = a12 p1 + a22 p2 +K+an 2 pn + v 2 ................................... pn = a1 n p1 + a2 n p2 +K+ann pn + v n . Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом: p = A T p + v, где v = ( v1 , v 2 , K , v n ) — вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что x заменен на p, y —на v, A — на A T . Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей. Пример. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть , 01 , 0,2 ö æ 01 ç ÷ A T = ç 0,3 0,2 0,2 ÷ ç 0,2 0,3 0,3 ÷ è ø — транспонированная матрица прямых затрат, v = (4; 10; 4) — вектор норм добавленной стоимости. Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой p = C T v, где C T = (E - A T ) -1 — транспонированная матрица полных затрат. После необходимых вычислений имеем: , 018 , ö æ 0,58 014 ÷ 1 ç C = ç 0,28 0,68 0,24 ÷. 0,444 ç ÷ è 0,25 0,29 0,69 ø T

44

æ 10 ö ç ÷ Отсюда получаем, что p = C v = ç 20 ÷. ç 15 ÷ è ø Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что v = (511 , ; 10; 4), находим, что T

æ 11,45 ö ç ÷ p = C v = ç 20,7 ÷. ç 15,625 ÷ è ø T

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй — на 3,5%, третьей отрасли — на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию. 4) Модель международной торговли. Собственные векторы и собственные значения матриц Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц. Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны. Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами X 1 , X 2 , X 3 , которые условно назовем США, Германия и Кувейт. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, 1/4 бюджета — на товары из Германии, оставшуюся 1/4 бюджета — на товары из Кувейта. Германия тратит поровну свой бюджет на закупку товаров в США, внутри страны и у Кувейта. Кувейт, в свою очередь, тратит 1/2 бюджета на закупку товаров у США, 1/2 бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны. Введем структурную матрицу торговли: 45

США Германия Кувейт æ1 ç ç2 1 A =ç ç4 ç1 ç è4

1 3 1 3 1 3

1ö ÷ 2÷ 1÷ 2÷ ÷ 0÷ ø

Вообще, пусть aij — часть госбюджета, которую j-я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице. После подведения итогов торговли за год страна под номером i получит выручку pi = ai 1 X 1 + ai 2 X 2 + ai 3 X 3 . Например, США будут иметь выручку p1 =

1 1 1 X1 + X 2 + X 3 2 3 2

доля США + доля Германии + доля Кувейта Для того чтобы торговля, была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны: pi ³ X i для всех i

(9)

Условием бездефицитной торговли являются равенства pi = X i ; i = 1, 2, 3. В матричной форме данное утверждение, выглядит следующим образом: AX = X ,

(10)

где æ X1 ç X =ç X2 çX è 3

ö ÷ T ÷ = ( X1 , X 2 , X 3 ) . ÷ ø

Обобщая равенство (10), рассмотрим следующее. 46

æ x1 ö ç ÷ çx ÷ Определение 1. Ненулевой вектор x = ç 2 ÷ называется собственK ç ÷ çx ÷ è nø ным вектором квадратной матрицы А порядка n, если A x = l x,

(11)

где l — некоторое число. При этом число l называется собственным значением матрицы А. Говорят так: x есть собственный вектор матрицы A принадлежащий ее собственному значению l. Таким образом, в разбираемом примере из соотношения (10) следует, что «вектор бюджетов» X является собственным вектором структурной матрицы торговли А, а соответствующее собственное значение равно 1. Существование такого собственного вектора вытекает из следующей теоремы. Теорема. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1. Пример 1. Найдем собственные векторы и собственные значения следующей матрицы порядка 2: æ 1 2ö ÷÷. A = çç è -1 4 ø Положим, x = ( x 1 , x 2 )T — вектор-столбец. Тогда из соотношения (11) следует, что æ 1 2 öæ x 1 çç ÷÷çç è -1 4 øè x 2

ö æ x1 ÷÷ = lçç ø è x2

ö ÷÷, ø

т.е. x1 + 2 x 2 = l x1 - x1 + 4 x 2 = l x 2 или 47

(1 - l) x 1 + 2 x 2 = 0

(12)

- x 1 + (4 - l) x 2 = 0 Если вектор x — собственный, то это означает, что однородная система уравнений (12) имеет ненулевое решение. Это условие эквивалентно тому, что определитель системы (12) равен нулю: 1-l ½ ½ ½ -1

2 ½ ½ 4 - l½

или l 2 - 5l + 6 = 0, l 1 = 2, l 2 = 3. Таким образом, собственными значениями матрицы А будут числа 2 и 3. Найдем соответствующие собственные векторы. Подставим l = 2, l = 3 в систему (12): l =2 - x1 + 2 x 2 = 0 - x1 + 2 x 2 = 0 - x 1 + 2 x 2 = 0, x 1 = 2t , x 2 = t x = t (2,1), t ¹ 0. l =3 -2 x 1 + 2 x 2 = 0 - x1 + x 2 = 0 x1 = t , x 2 = t x = t (11 , ), t ¹ 0. Рассуждения из примера 1 можно обобщить на случай произвольной матрицы А порядка n. Условие (11) можно переписать в виде: Ax - lx = 0 или ( A - lE ) x = 0.

(13)

Однородная система уравнений (13) тогда и только тогда имеет ненулевое решение , когда ее определитель равен нулю: 48

| A - l E| = 0

(14)

Если раскрыть данный определитель, как в рассмотренном примере 1, то получится многочлен степени n относительно l, называемый характеристическим многочленом матрицы А. Определение 2. Уравнение | A - lE| = 0 называется характеристическим уравнением матрицы А. Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения. Замечание 1. Если вектор x является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению l, то для любого числа k ¹ 0 вектор k x — тоже собственный вектор А, принадлежащий l. Действительно, если x — решение уравнения (12), то ( A - lE ) x = 0. Но тогда ( A - lE )(k x ) = k( A - lE ) x = k0 = 0. Замечание 2. Одному собственному значению может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.

ЛИТЕРАТУРА 1. Солодовников А.С. и др. Математика в экономике. Ч. 1. М.: Финансы и статистика, 2003. 383 с. 2. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Теория и прикладные аспекты. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2003. 575 с. 3. Григорьев С.Г. Линейная алгебра. Учебное пособие. М., 1999. 84 с. 4. Канатиков А.Н. Линейная алгебра. Учебник для ВУЗов. М.: МГТУ им. Баумана, 1999. 336 с. 5. Рублев А.Н. Линейная алгебра. Учебное пособие для ВУЗов. М.: Высшая школа. 1968. 84 с. 6. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.: ИНФРА-М, 1998. 463 с.

Эдуард Федорович Казанцев МАТЕМАТИКА РАЗДЕЛ 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (Тетрадь 5)

Учебно-методическое пособие Печатается по решению Редакционно-издательского совета Международного университета в Москве Компьютерная верстка и дизайн: Д.А.Глазков Печатается в авторской редакции Подписано в печать 28.03.05 Гарнитура Times New Roman Формат 60´90 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая Усл. печ. л. 3,2. Тираж 150 экз. Изд. № 18 Издательский дом Международного университета в Москве Москва, Ленинградский проспект, 17 Международный университет в Москве Тел. (095) 250-45-42