Analisis No Estandar

Carlos Ivorra ´ ´ ANALISIS NO ESTANDAR Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜ na que resultara menor que cualqu...

Author: Ivorra Castillo Carlos

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Carlos Ivorra

´ ´ ANALISIS NO ESTANDAR

Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜ na que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ıa ser sino cero. A quienes preguntan qu´e es una cantidad inﬁnitamente peque˜ na en matem´aticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. As´ı pues, no hay tantos misterios ocultos es este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el c´ alculo de lo inﬁnitamente peque˜ no en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las p´ aginas siguientes, donde explicaremos este c´alculo. Leonhard Euler

´Indice General Introducci´ on

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Tema I: Teor´ıa de conjuntos no est´ andar

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Tema II: An´ alisis de una variable 2.1 N´ umeros ﬁnitos e inﬁnitesimales 2.2 Continuidad . . . . . . . . . . . . 2.3 La topolog´ıa de R . . . . . . . . 2.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . 2.5 La integral de Riemann . . . . .

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Tema III: Topolog´ıa 3.1 Conceptos b´ asicos . . . . . 3.2 Topolog´ıa elemental . . . . 3.3 Compacidad y completitud 3.4 Espacios de funciones . . .

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Tema IV: An´ alisis de varias variables Tema V: Conceptos y t´ ecnicas no 5.1 Principios de permanencia . . 5.2 La sombra de un conjunto . . 5.3 Funciones S-continuas . . . . 5.4 Funciones de clase S 1 . . . .

est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ap´ endice A: La teor´ıa de Hrbacek

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Ap´ endice B: El teorema de conservaci´ on B.1 Modelos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Ultrapotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 L´ımites inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 El teorema de conservaci´on para la teor´ıa de Hrbacek

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Bibliograf´ıa

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´ Indice de Materias

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Introducci´ on En la historia de las matem´ aticas nos encontramos con muchos momentos en que los matem´aticos han manejado con seguridad —por no decir con virtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades b´ asicas eran incapaces de precisar. El ejemplo t´ıpico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVII y XVIII, que eran capaces de encontrar ra´ıces reales de polinomios pasando, en caso de ser necesario, por ra´ıces “imaginarias” de otros polinomios que aparec´ıan a lo largo del c´ alculo. Los n´ umeros imaginarios eran concebidos como unos conceptos ﬁcticios en los que, sin saber c´omo ni por qu´e, se pod´ıa “conﬁar”, en el sentido de que al incluirlos en los c´ alculos llevaban a conclusiones correctas. Naturalmente, la raz´ on por la que los c´ alculos con n´ umeros complejos eran correctos es que es posible construir los n´ umeros complejos, de tal modo que lo que hac´ıan los algebristas —aunque no lo supieran— era usar una serie de teoremas que no sab´ıan demostrar o siquiera enunciar (los n´ umeros complejos forman un cuerpo, etc.) Hay muchos otros casos similares: los f´ısicos han estado derivando funciones no derivables durante mucho tiempo, con la convicci´ on de que las derivadas eran unas “funciones generalizadas” que no sab´ıan deﬁnir, pero en la que tambi´en “se pod´ıa conﬁar”. La raz´ on por la que estos c´alculos con funciones misteriosas que no eran funciones no llevaban a paradojas y contradicciones es, por supuesto, que es posible construir unos objetos (las distribuciones) con las propiedades que los f´ısicos postulaban impl´ıcitamente en el uso que hac´ıan de sus funciones generalizadas. Tambi´en Kummer us´o unos “divisores primos ideales” que no exist´ıan, y que ﬁnalmente formaliz´ o Dedekind a trav´es de la noci´on de ideal de un anillo, los propios n´ umeros reales no estuvieron exentos de pol´emicas sobre sus propiedades hasta que Dedekind y Cantor dieron las primeras construcciones expl´ıcitas, etc. El an´ alisis no est´andar es la respuesta u ´ltima a una asignatura pendiente que ten´ıa la matem´atica. En su origen, el c´ alculo diferencial se bas´ o tambi´en en unos “n´ umeros ideales” que nadie sab´ıa deﬁnir porque ten´ıan que ser no nulos y a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los inﬁnit´esimos. Por ejemplo, Leibniz explicaba as´ı el c´alculo de la derivada de f (x) = x2 : tomamos un inﬁnit´esimo dx, calculamos el incremento df = f (x + dx) − f (x) y lo dividimos entre la cantidad (no nula) dx. Resulta df = 2x + dx. dx Ahora bien, puesto que dx es una cantidad inﬁnitesimal, la presencia del u ´ltimo t´ermino es insigniﬁcante, por lo que podemos eliminarla y as´ı df = 2x + dx = 2x. dx Leibniz era consciente de las contradicciones de este argumento: primero suponemos que dx = 0 pero luego lo eliminamos como si fuera dx = 0. Pese a ello, tambi´en era consciente de que los resultados a los que se llegaba con este tipo de razonamientos eran correctos y estaba convencido de que los argumentos con inﬁnit´esimos ten´ıan que poder reformularse a argumentos “del estilo de Arqu´ımedes”, lo cual hoy es f´ acil traducir a “mediante pasos al l´ımite”. vii

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Introducci´ on

Uno de los grandes virtuosos de los inﬁnit´esimos fue Euler, quien parec´ıa convencido de que bastaba concebirlos como n´ umeros arbitrariamente peque˜ nos (pero no nulos) en lugar de como n´ umeros inﬁnitamente peque˜ nos. Sin embargo sus razonamientos est´an bastante lejos del estilo moderno − δ. Al contrario de lo que sucedi´ o con los n´ umeros reales, los n´ umeros complejos, las distribuciones o los n´ umeros ideales de Kummer, los matem´aticos del siglo XIX y la primera mitad del siglo XX fueron incapaces de construir unos objetos que se comportaran como deb´ıan comportarse los inﬁnit´esimos, y el resultado fue que los erradicaron de la matem´ atica te´orica. Cauchy introdujo (con inﬁnit´esimos a´ un) la noci´ on de l´ımite y mostr´o que los restantes conceptos del an´alisis pod´ıan expresarse en t´erminos de l´ımites. Posteriormente Weierstrass introdujo las deﬁniciones y los razonamientos − δ. Ahora bien, la rebeld´ıa de los inﬁnit´esimos a dejarse formalizar no los hac´ıa menos pr´ acticos, por lo que los f´ısicos siguieron us´ andolos, con la convicci´ on de que son mucho m´ as intuitivos y c´ omodos que los ´epsilons y las deltas. El hecho de que los inﬁnit´esimos “funcionaran” indicaba claramente que deb´ıan poder construirse. Hubo algunos intentos previos poco satisfactorios, pero s´ olo a ﬁnales de los 60, Abraham Robinson consigui´ o este objetivo. Del trabajo de Robinson se sigue que es posible formalizar el c´ alculo diferencial deﬁniendo las derivadas como cocientes de incrementos inﬁnitesimales, porque, si bien en R no hay inﬁnit´esimos (como tampoco hay n´ umeros con ra´ız cuadrada negativa), lo cierto es que es posible extender R a un cuerpo que los tenga (igual que puede extenderse a C). Por desgracia, los inﬁnit´esimos de Robinson se constru´ıan y se manejaban mediante t´ecnicas de l´ ogica matem´atica, que resultan bastante complejas y artiﬁciales para los matem´ aticos no familiarizados con esta disciplina. No obstante, a ﬁnales de los 60 y principios de los 70 surgieron aproximaciones axiom´ aticas al an´ alisis no est´andar, es decir, en lugar de construir los inﬁnit´esimos, que es complicado, lo que se hace es postular mediante unos axiomas sencillos su existencia y sus propiedades. Es como si en un curso de introducci´ on al an´ alisis no construimos los n´ umeros reales sino que postulamos la existencia de un cuerpo ordenado completo y arquimediano. El resultado es que partimos exactamente del mismo punto a donde habr´ıamos llegado si hubi´esemos empezado por la construcci´on de R. Naturalmente, al eliminar la construcci´ on perdemos una informaci´ on, y es que el axioma que postula la existencia de R es en realidad un axioma inesencial, en el sentido de que todo lo que se demuestra con ´el, se puede demostrar tambi´en sin ´el (simplemente, demostr´andolo y convirti´endolo as´ı en un teorema). Lo mismo sucede con el an´alisis no est´andar: Nosotros partiremos de una versi´ on axiom´ atica, pero debemos tener presente que los objetos cuya existencia postulan estos axiomas pueden ser construidos, de modo que los axiomas del an´ alisis no est´andar no son como otros axiomas que pueden a˜ nadirse a los usuales (tales como la hip´ otesis del continuo, el axioma de Martin, etc.) sino que son “eliminables”, en el sentido de que cualquier aﬁrmaci´ on “est´andar” que pueda demostrarse con ellos, puede demostrarse tambi´en sin ellos. La prueba de este hecho (junto con algunas precisiones al enunciado que aqu´ı ser´ıa dif´ıcil explicar) la hemos incluido como ap´endice. Para comprender c´ omo han de ser entendidos los inﬁnit´esimos del an´alisis no est´andar, conviene compararlos con otros objetos ideales que no cost´o tanto formalizar: los puntos inﬁnitos de la geometr´ıa proyectiva. La geometr´ıa proyectiva (plana) parte del supuesto de que las rectas paralelas tienen un punto en com´ un en el inﬁnito. De este modo, dos rectas cualesquiera se cortan en un punto: ´este ser´a un punto ﬁnito si son realmente secantes y ser´a un punto inﬁnito si son paralelas. Con la introducci´ on de los puntos inﬁnitos la “l´ ogica” de la geometr´ıa se vuelve mucho m´as simple y es posible tratar uniﬁcadamente casos que en la geometr´ıa eucl´ıdea plana son muy diferentes (por ejemplo, todas las c´ onicas son iguales: una par´ abola es una elipse con un punto en el inﬁnito y una hip´erbola es una elipse con dos puntos en el inﬁnito, las as´ıntotas son las tangentes en el inﬁnito, etc.) Si consideramos que “los objetos geom´etricos reales” son los puntos del plano eucl´ıdeo, entonces los puntos inﬁnitos son “ideales” y, efectivamente, por mucho que prolonguemos dos rectas paralelas nunca encontraremos ese punto inﬁnito en el que se supone que se cortan. Desde este punto de vista, los puntos inﬁnitos son una invenci´ on u ´til para estudiar los objetos geom´etricos. Similarmente, la base del an´ alisis no est´andar consiste en postular la existencia de “n´ umeros naturales inﬁnitos”, es decir,

ix n´ umeros naturales mayores que 0, 1, 2, . . . y que nunca encontraremos por m´ as que avancemos en la sucesi´on de los n´ umeros naturales. Estos n´ umeros inﬁnitos son como los puntos inﬁnitos, un auxiliar espectacularmente u ´til para razonar con los objetos ﬁnitos. Debemos comprender que estos n´ umeros pueden ser construidos, exactamente igual que se construyen n´ umeros con ra´ız cuadrada negativa o derivadas de funciones discontinuas (distribuciones). El hecho de que su construcci´ on sea complicada no signiﬁca nada. Una vez admitimos su existencia, de aqu´ı obtenemos muchas consecuencias. Si µ es un n´ umero natural inﬁnito, entre µ y µ + 1 tiene que haber inﬁnitos n´ umeros racionales e irracionales inﬁnitos, si ρ es un n´ umero real inﬁnito (digamos positivo) entonces ξ = 1/ρ es un inﬁnit´esimo, es decir, un n´ umero real no nulo pero menor que 1/2, y que 1/3, y que 1/4, y que cualquier n´ umero real que podamos “ver” en una recta. Los axiomas que vamos a dar garantizan que estos n´ umeros inﬁnitos e inﬁnitesimales se comportan exactamente como deben comportarse para que podamos deﬁnir o caracterizar los l´ımites, las derivadas y las integrales en t´erminos muy similares a como lo hac´ıan Leibniz o Euler. En realidad, la teor´ıa no est´andar que vamos a desarrollar es una teor´ıa de conjuntos no est´ andar, capaz de tratar con los mismos principios los n´ umeros reales y los espacios topol´ogicos en general, con lo que tenemos realmente una topolog´ıa no est´andar, un an´ alisis funcional no est´ andar, una teor´ıa de la medida no est´andar, una geometr´ıa diferencial no est´ andar etc. De todos modos, el prop´ osito de este curso es meramente introductorio, as´ı que nos limitaremos a exponer cu´ al es el tratamiento no est´andar del c´alculo inﬁnitesimal de una y varias variables y la topolog´ıa b´ asica. Con ello esperamos mostrar que las t´ecnicas no est´andar son a menudo mucho m´ as intuitivas y a´giles que las t´ecnicas est´andar usuales. Uno de los inconvenientes principales del an´ alisis est´andar es que a menudo hay que precisar locuciones como “suﬁcientemente peque˜ no” mediante condiciones del estilo de |x| < 2 /3M . Esto obliga a hacer cuentas m´ as o menos engorrosas cuyos resultados deben ir formalmente al principio de las pruebas cuando realmente s´ olo pueden obtenerse al ﬁnal, lo que vuelve artiﬁciales los argumentos. En an´ alisis no est´andar “suﬁcientemente peque˜ no” se sustituye por “inﬁnitesimal”, lo cual no requiere ninguna precisi´ on. Por ejemplo, para mostrar la continuidad de x2 no necesitamos estudiar cu´anto podemos aumentar x sin que x2 aumente m´as de , sino que basta observar que si ξ es un n´ umero inﬁnitesimal entonces (x + ξ)2 = x2 + 2xξ + ξ 2 , con lo que el incremento ha sido de 2xξ + ξ 2 , que es inﬁnitesimal, porque el producto de un n´ umero ﬁnito por otro inﬁnitesimal es inﬁnitesimal y la suma de n´ umeros inﬁnitesimales es inﬁnitesimal. As´ı, incrementos inﬁnitesimales producen incrementos inﬁnitesimales, y eso es la continuidad. Una cuesti´on delicada es si el an´alisis no est´andar ofrece ventajas frente al an´ alisis cl´asico de cara a la investigaci´ on. Hasta la fecha no hay ning´ un resultado demostrado con t´ecnicas no est´andar y que no pueda demostrarse de forma razonablemente pareja en diﬁcultad mediante t´ecnicas est´andar. En cualquier caso, no ser mejor no signiﬁca ser peor. Al contrario, como ya hemos comentado, las t´ecnicas no est´andar aportan por regla general sencillez y claridad y, en deﬁnitiva, elegancia. Aspectos no esenciales, sin duda, pero nada desde˜ nables en matem´aticas. Por citar un ejemplo concreto, el quinto problema de Hilbert consist´ıa en determinar si todo grupo topol´ ogico localmente eucl´ıdeo es un grupo de Lie. El problema fue resuelto aﬁrmativamente en 1952 por Montgomery, Zippin y Gleason. En 1964 Kaplanski public´ o otra demostraci´on. Sin embargo, en 1976 se celebr´o un congreso sobre los problemas de Hilbert en el que un especialista de cada rama deb´ıa explicar la soluci´ on de los que ya hab´ıan sido resueltos, pero el correspondiente a este problema dijo que las demostraciones conocidas eran tan t´ecnicas y tan complejas que no pod´ıa siquiera esbozarlas. En 1990 J. Hirschfeld public´ o1 una prueba no est´ andar mucho m´ as simple y, cuanto menos, esbozable. Por otra parte el an´ alisis no est´andar era, seg´ un dec´ıamos, una “asignatura pendiente” que ten´ıa la matem´atica te´orica, pues el an´ alisis era no est´andar cuando naci´ o y nunca ha dejado de existir en forma no est´ andar pese a su falta de rigor, por lo que no es descabellado decir que muchas de las ideas subyacentes bajo los ´epsilon y los delta modernos no pueden entenderse plenamente sin conocer la versi´ on 1 J.

Hirschfeld, The nostandard treatment of Hilbert’s ﬁfth problem, Trans. Amer. Math. Soc. 321 (1) (1990).

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Introducci´ on

rigurosa del marco conceptual en que surgieron. La u ´nica diferencia entre el an´ alisis no est´andar y la teor´ıa de los n´ umeros complejos, las distribuciones o la geometr´ıa proyectiva es que, para el momento en se dispuso de una ter´ıa rigurosa sobre los inﬁnit´esimos, los matem´aticos ya hac´ıa mucho que se hab´ıan rendido ante el problema y hab´ıan buscado una teor´ıa sustitutiva que hac´ıa prescindible a la otra.

Tema I

Teor´ıa de conjuntos no est´ andar La matem´atica trata con una inmensa variedad de conceptos: espacios vectoriales, funciones continuas, variedades diferenciales, fractales, etc. Por regla general, cada una de estas nociones est´ a determinada por una deﬁnici´ on que reduce el concepto deﬁnido a otros conceptos conocidos. Podemos entender que una deﬁnici´ on noes m´as que una mera abreviatura. Por ejemplo, el concepto de “inclusi´ on” se deﬁne como x ⊂ y ≡ u(u ∈ x → u ∈ y). Esto signiﬁca que cada vez que escribimos algo como N ⊂ R debemos entender que no es sino una forma abreviada de escribir u(u ∈ N → u ∈ R). Si tomamos cualquier enunciado matem´ atico y vamos sustituyendo en ´el cada t´ermino deﬁnido por su deﬁnici´ on, iremos obteniendo enunciados cada vez m´ as largos, pero tras un n´ umero ﬁnito de pasos llegaremos a un enunciado en el que no habr´ a m´as t´erminos que sustituir. Esto suceder´ a cuando los u ´nicos signos que aparezcan sean variables x, y, z, . . . , los signos l´ ogicos, como →, ¬, , =, etc. y el ´ relator de pertenencia ∈. Estos son los signos del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos propiamente dicho. Cualquier otro signo no forma parte de este lenguaje, sino que es una abreviatura de signos de este lenguaje. Mientras que las propiedades de un concepto deﬁnido se deducen de su deﬁnici´ on, las propiedades de los signos no deﬁnidos est´ an determinadas axiom´ aticamente. Los axiomas l´ogicos determinan las propiedades de los signos l´ ogicos, tales como que α ∧ β ↔ β ∧ α, mientras que las propiedades de ∈ est´an determinadas por los axiomas de la teor´ıa de conjuntos. Aunque hay varias teor´ıas de conjuntos m´ as o menos equivalentes, nosotros consideraremos u ´nicamente la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). No es necesario especiﬁcar sus axiomas. Basta saber que a partir de ellos se pueden demostrar todos los teoremas que los matem´aticos reconocen como tales.1 Nosotros vamos a trabajar en la axiom´ atica de Nelson [5] para la teor´ıa de conjuntos no est´ andar. El lenguaje de esta teor´ıa consta de los mismos signos que el de la teor´ıa de conjuntos cl´ asica m´as un nuevo signo st, de modo que la f´ ormula st x se leer´a “x es est´andar”. Seg´ un estamos diciendo, no hay una deﬁnici´ on de “est´andar”, pero, al igual que x ∈ y se interpreta informalmente como que el conjunto x es un elemento del conjunto y, la f´ ormula st x se interpreta como que x es un conjunto deﬁnible en la matem´atica cl´asica de ZFC. No obstante, hemos de recalcar que esto no es una deﬁnici´on. As´ı, seg´ un esta interpretaci´ on informal, el conjunto N “debe” ser un conjunto est´ andar, pero en u ´ltima instancia esto habr´ a que demostrarlo a partir de los axiomas que daremos sobre conjuntos est´ andar y no est´ andar. Podemos dividir las f´ ormulas2 del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar en internas y 1 En realidad existen axiomas adicionales, como el axioma de Martin, el axioma de constructibilidad, la existencia de cardinales inaccesibles, etc. que tienen consecuencias adicionales no demostrables en ZFC, pero a´ un as´ı podemos considerar que estos resultados son teoremas de ZFC de la forma “el axioma de Martin implica que . . . ” 2 Aunque no va a ser necesario ning´ un conocimiento importante de l´ ogica matem´ atica, s´ı conviene usar algunos conceptos t´ ecnicos del ´ area: las f´ ormulas de un lenguaje son todas las combinaciones de signos sint´ acticamente correctas que “aﬁrman”

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Tema 1. Teor´ıa de conjuntos no est´ andar

externas. Llamaremos f´ormulas internas a aquellas que no contienen el nuevo signo st, es decir, a las f´ ormulas de la teor´ıa de conjuntos cl´ asica (ZFC). Por el contrario, las f´ ormulas externas son las que s´ı contienen el signo st. Pasemos ahora a describir los axiomas de la teor´ıa no est´andar. En primer lugar: Todos los axiomas de ZFC son tambi´en axiomas de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar. Como consecuencia, todos los teoremas cl´asicos siguen siendo teoremas de la teor´ıa de conjuntos no est´andar sin cambio o precisi´ on alguna. Ahora bien, hay una falacia en la que es muy importante no caer: Los matem´aticos deﬁnen con toda libertad conjuntos como {x ∈ R | x2 > 5}. Formalmente, esto est´a justiﬁcado por los axiomas de ZFC, que permiten demostrar que, bajo condiciones m´ınimas, cualquier propiedad deﬁne un conjunto. Ahora bien, los axiomas de ZFC son todos f´ ormulas internas, por lo que no dicen nada sobre en qu´e condiciones una f´ ormula externa deﬁne un conjunto. As´ı, el hecho de suponer estos axiomas no nos da derecho a postular la existencia de algo as´ı como {x ∈ R | st x ∧ x2 > 5}. La f´ ormula st x ∧ x2 > 5 es externa, luego no podemos ampararnos en ning´ un axioma o teorema de ZFC para justiﬁcar la existencia de este conjunto. Cuando introduzcamos los axiomas adicionales que regulan el uso del signo st veremos en qu´e condiciones podemos hacer algo similar a esto, pero de momento conviene pensar que las f´ ormulas externas NO deﬁnen conjuntos. El “conjunto” anterior simplemente no existe. Para enunciar los axiomas restantes de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar conviene introducir la siguiente notaci´ on: si α es una f´ ormula, escribiremos st st xα ≡ x(st x → α), xα ≡ x(st x ∧ α). El primer axioma adicional es el siguiente: Principio de Transferencia Si α(x, x1 , . . . , xn ) es una f´ ormula interna cuyas variables libres sean exactamente las indicadas, la f´ ormula siguiente es un axioma:3 st st x1 · · · xn ( xα(x, x1 , . . . , xn ) → xα(x, x1 , . . . , xn )). Equivalentemente, (considerando el axioma correspondiente a ¬α e invirtiendo la implicaci´ on) st st x1 · · · xn ( xα(x, x1 , . . . , xn ) → xα(x, x1 , . . . , xn )). Informalmente, el principio de transferencia puede enunciarse as´ı: Si todo conjunto est´ andar cumple una propiedad interna que depende a lo sumo de par´ ametros est´ andar, entonces todo conjunto (est´ andar o no) cumple dicha propiedad. Equivalentemente, si existe un conjunto (est´ andar o no) que cumple una propiedad interna con par´ ametros est´ andar, entonces existe un conjunto est´ andar que tambi´en la cumple. algo, no necesariamente f´ ormulas matem´ aticas del estilo de x2 + y 2 = z 2 . Por ejemplo, todos los teoremas son f´ ormulas. As´ı mismo hablaremos de variables libres y ligadas en una f´ ormula. Por ejemplo, en la f´ormula u(u ∈ x → u ∈ y) la variable u est´ a ligada (porque est´ a afectada por el cuantiﬁcador ) mientras que las variables x e y est´ an libres. 3 En t´ erminos estrictos, el principio de transferencia no es un axioma, sino un grupo de inﬁnitos axiomas, uno por cada α(x, x1 , . . . , xn ). Lo mismo vale para los otros dos principios que vamos a introducir luego.

3 Como primera consecuencia: Todo conjunto deﬁnible expl´ıcitamente en ZFC es est´ andar. Consideremos por ejemplo el conjunto vac´ıo. La f´ ormula x = ∅ es interna y no tiene par´ ametros (su u ´nica variable libre es x). Por lo tanto podemos aplicarle el principio de transferencia, en virtud del cual

xx = ∅ →

st

x x = ∅.

Ahora bien, la hip´ otesis es trivialmente cierta (es un teorema de ZFC), luego tambi´en lo es la tesis, que a su vez implica claramente st ∅. El mismo razonamiento aplicado a la f´ ormula x = N nos da que N es un conjunto est´ andar, y lo √ mismo vale para Z, Q, R, C, 0, 1, 2, π, 3/4, 3, etc. Si consideramos f´ ormulas con par´ ametros tenemos un resultado m´as general: Todo conjunto deﬁnible expl´ıcitamente (en ZFC) a partir de conjuntos est´ andar es est´ andar. Por ejemplo, la uni´ on de conjuntos est´ andar es est´andar. Para probarlo basta considerar la f´ ormula interna x = y ∪ z, donde consideramos a y y a z como par´ametros. El principio de transferencia dice que st st yz( x x = y ∪ z → x x = y ∪ z). As´ı pues, ﬁjados dos conjuntos est´ andar y y z, trivialmente tenemos que x x = y ∪ z y por transfest rencia x x = y ∪ z, lo que equivale a que y ∪ z es est´andar. El mismo razonamiento nos da que si y y z son est´andar tambi´en lo son {y, z}, (y, z), y ∩ z, y × z, Py, etc. Igualmente podemos considerar propiedades que no tengan sentido para par´ ametros arbitrarios. Por ejemplo, veamos que la suma de n´ umeros reales est´andar es est´andar. Consideramos la f´ ormula interna x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z. El principio de transferencia nos da que st yz( x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z) → st

x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z))

As´ı pues, ﬁjados y, z ∈ R est´andar, trivialmente tenemos x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z), luego se cumple la tesis, que claramente implica que y + z es est´andar. Veamos otro ejemplo: Si f : y −→ z es una funci´ on est´andar y u ∈ y es est´andar, entonces f (u) es est´andar. Basta aplicar el principio de transferencia a la f´ ormula interna f es una funci´ on ∧ u ∈ dominio de f ∧ x = f (u), con par´ ametros f y u. Similarmente se prueba que el dominio de una funci´ on est´andar es un conjunto est´ andar, que un intervalo [a, b] de n´ umeros reales es est´andar si y s´ olo si lo son sus extremos a y b, etc. El segundo axioma nos da la existencia de conjuntos no est´ andar.

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Tema 1. Teor´ıa de conjuntos no est´ andar

Principio de Idealizaci´ on Si α(x, y) es una f´ ormula interna con al menos las variables libres x, y, entonces la f´ ormula siguiente es un axioma: st st z(z ﬁnito → x y ∈ z α(x, y)) ↔ x yα(x, y). El miembro izquierdo del axioma aﬁrma que la f´ ormula interna α(x, y) determina una relaci´ on concurrente, es decir, que dado cualquier familia est´ andar ﬁnita z de conjuntos existe un conjunto x relacionado con todos ellos. As´ı, el principio de idealizaci´ on puede leerse as´ı: Una relaci´ on interna (tal vez con par´ ametros no est´ andar) es concurrente si y s´ olo si hay un conjunto relacionado con todos los conjuntos est´ andar. El resultado b´ asico sobre existencia de conjuntos no est´andar es el siguiente: Teorema 1.1 Un conjunto es est´ andar y ﬁnito si y s´ olo si todos sus elementos son est´ andar. ´ n: Sea A un conjunto. Aplicamos el principio de idealizaci´ Demostracio on a la relaci´ on interna α(x, y) = x ∈ A ∧ x = y, donde A aparece como par´ametro (no necesariamente est´andar). La relaci´ on α es concurrente si y s´olo si st z(z ﬁnito → x y ∈ z(x ∈ A ∧ x = y)) o equivalentemente, si A no est´a contenido en ning´ un conjunto est´ andar y ﬁnito z. Por tanto, si A es est´andar y ﬁnito, por el principio de idealizaci´ on, st x y(x ∈ A ∧ x = y), pero esto equivale a que todos los elementos de A son est´andar. Rec´ıprocamente, si todos los elementos de A son est´andar tenemos que la relaci´ on α no es concurrente, y por tanto A est´a contenido en un conjunto est´ andar y ﬁnito z. Entonces A es ﬁnito y A ∈ Pz. Por el principio de transferencia, Pz es est´andar y, como tambi´en es ﬁnito, la parte ya probada permite concluir que Pz s´olo tiene elementos est´andar. Luego A es tambi´en est´andar. En la pr´ actica no es frecuente trabajar con relaciones deﬁnidas sobre todos los conjuntos, sino s´ olo sobre un conjunto preﬁjado. Por ello suele ser m´ as u ´til la siguiente versi´ on relativizada del principio: Teorema 1.2 Si α(x, y) es una f´ ormula interna con al menos las variables libres x, y, entonces la f´ ormula siguiente es un teorema: st st A z(z ⊂ A ∧ z ﬁnito → x y ∈ z α(x, y)) ↔ x y ∈ Aα(x, y) . ´ n: Aplicamos el principio de idealizaci´ Demostracio on a la f´ ormula β(x, y) ≡ y ∈ A → α(x, y). Si la relaci´ on α es concurrente en A, es decir, si cumple el miembro izquierdo del enunciado, entonces, para cada conjunto z est´andar y ﬁnito tenemos que el conjunto z = z ∩ A es est´andar (por el teorema anterior), es ﬁnito y est´ a contenido en A. Por hip´ otesis x y ∈ z α(x, y)), y esto es equivalente a que st x y ∈ z β(x, y). As´ı pues, β es concurrente, luego por el principio de idealizaci´ on x y β(x, y), lo st cual equivale a x y ∈ Aα(x, y). El rec´ıproco se prueba igualmente. Por ejemplo, aunque del teorema 1.1 ya se sigue que N contiene elementos no est´andar, podemos probarlo directamente con el teorema anterior para A = N y la relaci´ on α(x, y) ≡ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ y < x.

5 La relaci´on es concurrente en N, pues dado un conjunto ﬁnito de n´ umeros naturales siempre st existe x ∈ N mayor que todos sus elementos. Por consiguiente deducimos que existe µ ∈ N tal que n ∈ N n < µ, es decir, µ es un n´ umero natural mayor que todos los n´ umeros naturales est´andar. En realidad, todo n´ umero natural no est´ andar es mayor que todos los n´ umeros naturales est´andar, pues si n ∈ N es est´andar el conjunto {m ∈ N | m < n} es est´andar (porque est´ a deﬁnido a partir de un par´ ametro est´andar n) y ﬁnito, luego por el teorema 1.1 todos sus elementos son est´andar. Deﬁnici´ on 1.3 Los n´ umeros naturales no est´andar se llaman tambi´en n´ umeros naturales inﬁnitos, mientras que los n´ umeros naturales est´andar se llaman n´ umeros naturales ﬁnitos. Esta deﬁnici´ on requiere ciertas precauciones: si µ es un n´ umero natural no est´ andar, decimos que es inﬁnito para reﬂejar que I = {n ∈ N | n < µ} contiene al 0 y al 1, y al 2, y a todos los n´ umeros naturales que podemos nombrar, es decir, contiene “inﬁnitos” n´ umeros naturales. Ahora bien, es un teorema de la teor´ıa de conjuntos que cada n´ umero natural deja bajo s´ı una cantidad ﬁnita de n´ umeros naturales, por lo que el conjunto I es ﬁnito. De hecho, su cardinal es un n´ umero natural, a saber, µ. Expresaremos esto diciendo que I es “internamente ﬁnito” pero “externamente inﬁnito”. Con esto queremos indicar que te´ oricamente es ﬁnito, es decir, le podemos aplicar cualquier resultado v´ alido para conjuntos ﬁnitos, pero, visto metamatem´ aticamente, lo cierto es que contiene inﬁnitos elementos (tenemos inﬁnitos teoremas 0 ∈ I, 1 ∈ I, 2 ∈ I, etc. que muestran que en I hay inﬁnitos elementos, pero no tenemos un u ´nico teorema que exprese que I es inﬁnito). Vemos, pues, que no debe sorprendernos que un conjunto del que sabemos que tiene inﬁnitos elementos pueda ser internamente ﬁnito. De hecho, tenemos el siguiente resultado: Teorema 1.4 Existe un conjunto ﬁnito que contiene a todos los conjuntos est´ andar. ´ n: Basta aplicar el principio de idealizaci´ Demostracio on a la f´ ormula α(x, y) ≡ y ∈ x ∧ x es ﬁnito.

Existen varias aproximaciones a la teor´ıa de conjuntos no est´ andar en las que no se cumplen exactamente los mismos hechos b´asicos. En la teor´ıa que estamos estudiando el principio de idealizaci´ on es especialmente fuerte, por lo que de cara a traducir los resultados a otras aproximaciones al an´ alisis no est´andar, conviene observar que en ning´ un momento usaremos el principio de idealizaci´ on en toda su generalidad, sino que nos bastar´ a usar los teoremas 1.1, 1.2 y la siguiente versi´on d´ebil del teorema anterior: Teorema 1.5 Todo conjunto A tiene un subconjunto ﬁnito B que contiene a todos sus elementos est´ andar. ´ n: Basta tomar F ∩ A, donde F es un conjunto ﬁnito que contenga a todos los Demostracio conjuntos est´ andar. Conjuntos externos Los resultados que acabamos de ver originar´ an sin duda vacilaciones en todos aquellos que no est´en familiarizados con el an´ alisis no est´andar. Para erradicarlas, debemos insistir ante todo en que todos los teoremas cl´asicos est´an a nuestra disposici´ on en la teor´ıa no est´andar. Por ejemplo, es un teorema de la teor´ıa de conjuntos que dos n´ umeros naturales cualesquiera se pueden sumar, y esto sigue valiendo ahora (tanto para n´ umeros est´andar como no est´ andar), de modo que no tendr´ıa sentido cuestionarse si est´a deﬁnida la suma de n´ umeros naturales no est´andar. Similarmente, a todo n´ umero natural se le puede restar otro menor, etc.

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Tema 1. Teor´ıa de conjuntos no est´ andar

Por otra parte, el principio de de n´ umeros est´andar es transferencia nos garantiza que la suma st est´andar: tenemos que xy ∈ N z ∈ N z = x + y, luego en particular xy ∈ N z ∈ N z = x + y y st st por transferencia concluimos que xy ∈ N z ∈ N z = x + y. Ejercicio: Demostrar que la suma de un n´ umero natural ﬁnito y un n´ umero inﬁnito es inﬁnita. ´Idem con la suma de dos n´ umeros inﬁnitos.

Vemos as´ı que si µ es un n´ umero natural inﬁnito, entonces 1 < µ, luego podemos calcular µ − 1 y el resultado es inﬁnito (porque en caso contrario µ = 1 + (µ − 1) ser´ıa ﬁnito). A partir de aqu´ı es f´acil llegar a una falacia: Puesto que todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros naturales tiene un m´ınimo elemento, debe existir el m´ınimo n´ umero natural inﬁnito µ, pero por otra parte, µ − 1 deber´ıa ser un n´ umero inﬁnito menor, y tenemos una contradicci´ on. El error est´ a en que aqu´ı estamos considerando impl´ıcitamente el conjunto de todos los n´ umeros naturales inﬁnitos I = {n ∈ N | ¬ st n}, (1.1) pero la f´ ormula ¬ st n es externa, y ya hab´ıamos advertido que ning´ un axioma garantiza que se puedan deﬁnir conjuntos mediante f´ ormulas externas. De hecho, el razonamiento anterior es una prueba de que, en este caso concreto, no es posible: Es un teorema de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar que no existe ning´ un conjunto cuyos elementos sean exactamente los n´ umeros naturales inﬁnitos. Pese a ello, es conveniente mantener la notaci´on (1.1): podemos escribir cosas como 4 ∈ / I, I ⊂ N, I ∩(N\I) = ∅ como forma abreviada de indicar que 4 no es un n´ umero inﬁnito, que todo n´ umero inﬁnito es un n´ umero natural o que ning´ un n´ umero natural es a la vez ﬁnito o inﬁnito. Todas estas aﬁrmaciones tienen completo sentido en el marco de la teor´ıa, pese a que el propio I no lo tenga en sentido estricto. A estos “conjuntos”, que se puede demostrar que no existen, pero de los que podemos hablar en este sentido, los llamaremos conjuntos estrictamente externos. Esta noci´ on es equivalente a la noci´ on de “clase propia” en la teor´ıa de conjuntos de ZFC: la clase V de todos los espacios vectoriales, o la clase B de todos los espacios de Banach “no existen”, en el sentido de que se puede demostrar que ning´ un conjunto contiene a todos los espacios vectoriales, o a todos los espacios de Banach.4 No obstante tiene sentido aﬁrmar que B ⊂ V . Cuando queramos hablar de un conjunto sin distinguir si es interno o estrictamente externo diremos que es externo. Por ejemplo, conviene deﬁnir, para cada conjunto A, el conjunto externo ◦

A = {x ∈ A | st x}.

Seg´ un el teorema 1.1, si A es est´andar ﬁnito entonces ◦ A = A, en cambio ◦ N es estrictamente externo, pues si fuera interno I = N \ ◦N tambi´en lo ser´ıa. Por otra parte, si µ es un n´ umero natural inﬁnito, ◦ {n ∈ N | n ≥ µ} = ∅. El u ´ltimo axioma de la teor´ıa nos permite, en cierto sentido, deﬁnir conjuntos mediante f´ ormulas externas. Principio de Estandarizaci´ on Si α(x) es una f´ ormula (interna o externa) con al menos la variable libre x, entonces la f´ ormula siguiente es un axioma: st st st x y z(z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ α(z)).

4 Hay que tener en cuenta que en ZFC las “clases propias” son colecciones de conjuntos “demasiado grandes” como para estar contenidas en un conjunto, mientras que la noci´ on de conjunto externo no tiene nada que ver con su magnitud.

7 Por el principio de transferencia, dos conjuntos est´ andar st con los mismos elementos est´andar son iguales. En efecto, si x e y son est´andar y cumplen que u(u ∈ x ↔ u ∈ y), por el principio de transferencia u(u ∈ x ↔ u ∈ y), luego x = y. Como consecuencia, dado un conjunto est´ andar x, el conjunto y que postula el principio de estandarizaci´on es u ´nico, y podemos llamarlo S {z ∈ x | α(z)}. La S nos recuerda que un elemento de este conjunto no tiene por qu´e cumplir α(z) salvo que sea est´andar. Por ejemplo, S {z ∈ x | st z} = x, ya que el conjunto x es ciertamente un conjunto est´andar que tiene los mismos elementos est´andar que x. Un caso particular especialmente frecuente del principio de estandarizaci´ on es el siguiente: Teorema 1.6 (Principio de extensi´ on) Si X e Y son conjuntos est´ andar y f : ◦X −→ ◦Y es una ¯ aplicaci´ on externa, entonces existe una aplicaci´ on est´ andar f : X −→ Y que extiende a f . ´ n: Hay que entender que f es cualquier criterio que asigna a cada elemento est´andar Demostracio de X un u ´nico elemento est´andar de Y . M´ as concretamente, el enunciado supone que existe una f´ ormula α(x, y) (tal vez con par´ ametros) de modo que se demuestra que st

x∈X

1 st

y ∈ Y α(x, y).

Deﬁnimos f¯ = S {(x, y) ∈ X × Y | α(x, y)}. As´ı los elementos est´andar de f¯ son pares ordenados de X × Y y para todo x ∈ X est´andar existe un u ´nico y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f¯. Aplicando el principio de ¯ transferencia a estos hechos concluimos que f : X −→ Y , y claramente extiende a f . El teorema de conservaci´ on Aparte del inter´es en s´ı mismo del an´alisis no est´andar, lo cierto es que puede considerarse como una herramienta m´ as para demostrar teoremas cl´asicos. Ello se debe al teorema de conservaci´on, que aﬁrma lo siguiente: Todo teorema interno de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar es un teorema de ZFC. En otras palabras, que cualquier teorema cl´ asico que pueda demostrarse con el apoyo de los tres principios que hemos a˜ nadido a ZFC puede demostrarse tambi´en sin ellos. La prueba est´ a en el ap´endice B, y requiere t´ecnicas de la l´ogica matem´atica. Destacamos su car´acter constructivo, es decir, proporciona un algoritmo para transformar expl´ıcitamente cualquier demostraci´on de un teorema interno a partir de los axiomas de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar en una demostraci´ on del mismo teorema en ZFC. Por otra parte tambi´en conviene observar que la prueba en ZFC usar´ a el axioma de elecci´on tanto si la prueba original lo usa o no (pues se basa en la construcci´ on de ultrapotencias y, por consiguiente, en la existencia de ultraﬁltros sobre un conjunto dado).

Tema II

An´ alisis de una variable Aunque podr´ıamos realizar una construcci´ on no est´andar de R a partir de Q, ´esta constar´ıa de pasos t´ecnicos similares a los de la construcci´on cl´ asica, as´ı que supondremos conocido el cuerpo R de los n´ umeros reales, que es un cuerpo ordenado completo (en el sentido de que todo subconjunto no vac´ıo y acotado superiormente tiene supremo) y arquimediano. No supondremos ninguna otra propiedad algebraica o topol´ ogica1 sobre R.

2.1

N´ umeros ﬁnitos e inﬁnitesimales

En el tema anterior hemos visto que los n´ umeros naturales no est´andar son inﬁnitos en el sentido de que son mayores que todo n´ umero natural est´ andar. As´ı pues, para n´ umeros naturales podemos identiﬁcar las nociones de “ﬁnito” y “est´ andar”. Tambi´en podemos dividir los n´ umeros reales en ﬁnitos e inﬁnitos, pero ahora esta divisi´ on no va a coincidir con est´ andar/no est´ andar. Deﬁnici´ on 2.1 Un n´ umero real r es inﬁnito si existe un n´ umero natural inﬁnito µ tal que |r| ≥ µ. Por el contrario, r es ﬁnito si existe un n´ umero natural est´ andar n tal que |r| ≤ n. Ante todo, observemos que, de acuerdo con estas deﬁniciones, “inﬁnito” equivale a “no ﬁnito”. La clave est´a en que podemos tomar partes enteras, de modo que 0 ≤ E(|r|) ≤ |r| ≤ E(|r|) + 1. As´ı, si E(|r|) es un n´ umero natural inﬁnito tenemos que r es inﬁnito por deﬁnici´ on, mientras que si E(|r|) es ﬁnito (est´andar) tambi´en lo es E(|r|) + 1 por transferencia, luego r es ﬁnito. De esta relaci´on se sigue a su vez otra caracterizaci´on interesante: Teorema 2.2 Un n´ umero real r es ﬁnito si y s´ olo si existe un n´ umero real est´ andar M tal que |r| ≤ M . ´ n: Si r es ﬁnito tomamos M = E(|r|) + 1 y si |r| ≤ M entonces E(M ) + 1 es un Demostracio n´ umero natural est´ andar mayor que |r|. En particular todo n´ umero real est´andar es ﬁnito (basta tomar M = |r|). As´ı mismo es f´acil demostrar que la suma y el producto de n´ umeros ﬁnitos es ﬁnito. (Si |r| ≤ M y |s| ≤ N entonces |r + s| ≤ M + N y |rs| ≤ M N .) 1 Supondremos conocidos aquellos conceptos y propiedades elementales que se construyen o demuestran sin necesidad de t´ ecnicas anal´ıticas, como la parte entera o el valor absoluto, o que podemos considerar Q ⊂ R.

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Tema 2. An´alisis de una variable

Conviene observar que el conjunto O de los n´ umeros reales ﬁnitos es estrictamente externo (es decir, no existe), porque si fuera interno podr´ıamos deﬁnir O ∩ N = ◦N, y ya vimos en el tema anterior que ◦N es externo. Deﬁnici´ on 2.3 Diremos que un n´ umero real r es inﬁnitesimal si para todo n´ umero est´andar > 0 se cumple |r| < . Llamaremos inﬁnit´esimos a los n´ umeros inﬁnitesimales distintos de 0. Obviamente todo n´ umero inﬁnitesimal es ﬁnito. Los n´ umeros ﬁnitos no inﬁnitesimales se llaman apreciables. Ciertamente existen inﬁnit´esimos, pues si r es un n´ umero real inﬁnito entonces 1/r es un inﬁnit´esimo. En efecto, si > 0 es est´andar entonces 1/ tambi´en lo es, luego es ﬁnito y 1/ < |r|. Por consiguiente |1/r| < . Igualmente se prueba que los inversos de los inﬁnit´esimos son los n´ umeros reales inﬁnitos. El 0 es el u ´nico inﬁnitesimal est´ andar, pues si r = 0 es est´andar entonces = |r|/2 > 0 es est´andar y no se cumple |r| < . Se comprueba inmediatamente que la suma de inﬁnitesimales es inﬁnitesimal, que la suma de un n´ umero ﬁnito y otro inﬁnitesimal es ﬁnita, y que el producto de un n´ umero ﬁnito por un n´ umero inﬁnitesimal es inﬁnitesimal. Por ejemplo, si |r| < M (con M est´andar) y ξ es inﬁnitesimal, entonces para todo > 0 est´andar se cumple que |ξ| < /|r|, luego |rξ| < . Similarmente, si ξ1 y ξ2 son inﬁnitesimales y > 0 es est´andar, entonces |ξ| < 1 y |ξ | < . Por lo tanto |ξξ | < . El conjunto o de todos los n´ umeros inﬁnitesimales es estrictamente externo, pues si fuera interno se podr´ıa probar la existencia de ◦ N = {n ∈ N | 1/n ∈ / o}. Podemos resumir las propiedades que acabamos de comentar diciendo que o es un ideal del anillo O de los n´ umeros reales ﬁnitos. Las unidades de o, es decir, los n´ umeros ﬁnitos con inverso en O, son precisamente los n´ umeros apreciables. Deﬁnici´ on 2.4 Diremos que dos n´ umeros reales r y s est´an inﬁnitamente pr´ oximos, y lo representaremos por r ≈ s, si r − s ∈ o. Es inmediato comprobar que se trata de una relaci´ on de equivalencia. Es claro que r y s est´an inﬁnitamente pr´ oximos si y s´olo si su distancia en el sentido usual, |r − s|, es inﬁnitesimal. Veamos las propiedades inmediatas: Teorema 2.5 Para todos los n´ umeros reales r, r , s, s se cumple: a) Si r ≈ s y r ≈ s entonces r + r ≈ s + s , b) si r ≈ s, r ≈ s y adem´ as r y r son ﬁnitos entonces rr ≈ ss , c) si r ≈ s, r ≈ s , r es ﬁnito y r no es inﬁnitesimal, entonces r/r ≈ s/s , d) si r ≈ s, r ≈ s , r < r y r − r es apreciable, entonces s < s . ´ n: a) es inmediato. Demostracio Para probar b) observamos que s = r + ξ, s = r + ξ , donde ξ y ξ son inﬁnitesimales, luego ss = rr + rξ + r ξ + ξξ ≈ rr .

2.1. N´ umeros ﬁnitos e inﬁnitesimales

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Para c) tenemos en cuenta que s tampoco es inﬁnitesimal, con lo que 1/r y 1/s son ﬁnitos y 1 1 s − r − = ≈ 0, r s r s y basta aplicar b). d) Digamos que s = r + ξ, s = r + ξ. Entonces ξ − ξ < r − r, pues si fuera 0 < r − r ≤ ξ − ξ tendr´ıamos que r − r ser´ıa un inﬁnit´esimo. Por consiguiente 0 < s − s. Ejemplo Vamos a probar que todo n´ umero real x > 0 tiene ra´ız n-sima para todo natural n. Por transferencia podemos suponer que x y n son est´andar. Con m´ as detalle: queremos demostrar que xn(x ∈ R ∧ n ∈ N → x tiene ra´ız n-sima), st y por el principio de transferencia podemos cambiar por . Sea A = {x ∈ R | xn ≤ r}, que es un conjunto est´ andar no vac´ıo y acotado superiormente por m´ax{1, r}. Por consiguiente tiene supremo s ≥ 0 est´andar. Observemos que s > 0. Para probarlo tomamos un inﬁnit´esimo ξ > 0, de modo que ξ n < ξ < r, luego ξ ∈ A y 0 < ξ ≤ s. Por consiguiente, 0 < s − ξ < s < s + ξ, luego (s − ξ)n ≤ r ≤ (s + ξ)n . Desarrollando los binomios vemos que n n n i n i n−i n n−i s ≈ s (−ξ) sξ ≤r≤ ≈ sn , i i=0 i=0 i luego claramente sn −r ≈ 0. Como esta diferencia es a la vez inﬁnitesimal y est´andar, ha de ser sn −r = 0 (en particular s > 0). Para terminar de perﬁlar el comportamiento b´ asico de los n´ umeros ﬁnitos e inﬁnitesimales demostramos el siguiente teorema fundamental: Teorema 2.6 Un n´ umero real r es ﬁnito si y s´ olo si est´ a inﬁnitamente cerca de un n´ umero est´ andar, que en tal caso es u ´nico. Una implicaci´ on es obvia: si r est´a inﬁnitamente cerca de un n´ umero est´andar, ´este ser´a ﬁnito y r tambi´en. Supongamos ahora que r es ﬁnito. Sea M est´andar tal que |r| ≤ M . El conjunto A = S {x ∈ R | x ≤ r} cumple

st

x(x ∈ A → x ≤ M ),

luego por transferencia A est´a acotado por M . Adem´as es no vac´ıo, pues claramente −M ∈ A, luego tiene supremo s est´andar. Vamos a ver que r ≈ s. En caso contrario |r − s| > > 0, para cierto n´ umero est´andar . Si s < r entonces s + < r, por lo que s + ∈ A, contradicci´ on. Si r < s entonces r < s − luego, al igual que M , tenemos que s − es una cota superior de A, lo cual es absurdo. La unicidad es obvia: dos n´ umeros est´andar distintos no pueden estar inﬁnitamente cerca de un mismo n´ umero real, pues su diferencia ser´ıa inﬁnitesimal y est´ andar, luego nula. Deﬁnici´ on 2.7 Si r es un n´ umero real ﬁnito, llamaremos parte est´ andar de r al u ´nico n´ umero real est´andar ∗ r tal que ∗ r ≈ r.

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Tema 2. An´alisis de una variable

2.2

Continuidad

En esta secci´on esbozamos un estudio no est´andar de la continuidad y la continuidad uniforme. Teorema 2.8 Una funci´ on est´ andar f : A ⊂ R −→ R es continua en un punto est´ andar x0 ∈ A si y s´ olo si para todo x ∈ A tal que x ≈ x0 se cumple que f (x) ≈ f (x0 ). ´ n: Si f es continua en x0 y > 0 es est´andar, tomamos un δ > 0 tal que si x ∈ A Demostracio cumple |x − x0 | < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < . Si x ∈ A cumple x ≈ x0 entonces |x − x0 | < δ (porque es inﬁnitesimal), luego |f (x) − f (x0 )| < . Esto prueba que f (x) ≈ f (x0 ). Rec´ıprocamente, si f y x0 cumplen el enunciado, hemos de probar que

( ∈ R ∧ > 0 →

δ · · ·),

donde la f´ ormula que sigue tiene u ´nicamente los par´ ametros (est´andar) f y x0 . Por el principio de transferencia podemos tomar > 0 est´andar. As´ı, si tomamos δ > 0 inﬁnitesimal, tenemos ciertamente que si x ∈ A cumple |x − x0 | < δ entonces x ≈ x0 , luego f (x) ≈ f (x0 ), luego |f (x) − f (x0 )| < .

Ejemplo

La funci´ on f (x) = x2 − 2x + 1 es continua en R.

Por el principio de transferencia, basta probar que f es continua en un punto est´ andar arbitrario x. Ahora bien, si ξ es inﬁnitesimal, f (x + ξ) = x2 + 2xξ + ξ 2 − 2x − 2ξ + 1 ≈ x2 − 2x + 1 = f (x).

Ejemplo

La funci´ on f (x) =

x es continua en R \ {±1}. x2 − 1

Como en el ejemplo anterior tomamos x = ±1 est´andar y ξ inﬁnitesimal. As´ı (x + ξ)2 ≈ x2 = 1, luego (x + ξ)2 − 1 es apreciable: f (x + ξ) =

Ejemplo que

x+ξ x ≈ 2 = f (x). 2 (x + ξ) − 1 x −1

Si µ es un n´ umero natural inﬁnito, la funci´ on f (x) = µx es continua. En general se prueba

f µ(f : R −→ R ∧ µ ∈ R ∧

x ∈ R f (x) = µx → f es continua).

Para ello usamos el principio de transferencia y suponemos que f y µ son est´andar, con lo que es aplicable el teorema 2.8. M´ as en general, podemos probar as´ı que toda aplicaci´ on lineal o todo polinomio es una funci´ on continua. Sin embargo f no cumple la caracterizaci´on del teorema 2.8 para x = 1, pues tomando ξ = 1/µ tenemos que 1 ≈ 1 + ξ pero f (1 + ξ) = µ + 1 ≈ µ = f (1).

2.2. Continuidad

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Nota En este u ´ltimo ejemplo hemos visto que, aunque la caracterizaci´ on dada por el teorema 2.8 s´ olo es v´alida para funciones est´ andar, en realidad, combinada con el principio de transferencia nos permite obtener resultados sobre funciones arbitrarias. Veamos un ejemplo t´ıpico: Teorema 2.9 Si f es una funci´ on real continua en un punto x y g es una funci´ on real continua en f (x) entonces f ◦ g es continua en x. ´ n: Hemos de probar una aﬁrmaci´ Demostracio on del tipo f gx(· · ·), donde los puntos suspensivos representan a la f´ ormula interna que aﬁrma que x ∈ R, f es una funci´ on continua st en x, etc. Aplicando (tres veces) el principio de transferencia podemos cambiar el cuantiﬁcador por f gx, es decir, podemos tomar dos funciones est´ andar f y g y un punto est´ andar x. Esto nos permite aplicar el teorema 2.8: si y est´a en el dominio de f ◦ g y cumple y ≈ x, en particular est´ a en el dominio de f , por lo que f (y) ≈ f (x). La continuidad de g en f (x) nos da entonces que g(f (y)) ≈ g(f (x)). Podr´ıa objetarse que, aunque en la pr´ actica podamos trabajar con el teorema 2.8, en teor´ıa hemos necesitado la deﬁnici´ on est´andar −δ de continuidad para deﬁnir la noci´ on de continuidad sobre funciones arbitrarias. No es as´ı. Si queremos, podemos deﬁnir la noci´ on de continuidad de forma no est´ andar sin necesidad de recurrir en ning´ un momento a la caracterizaci´on est´andar: Deﬁnici´ on 2.10 Deﬁnimos el conjunto C = S {(f, x) ∈

RA × R |

A(f : A −→ R ∧ x ∈ A∧

A∈PR

y ∈ A(x ≈ y → f (x) ≈ f (y)))}.

Diremos que una funci´ on f : A −→ R es continua en un punto x ∈ A si y s´olo si (f, x) ∈ C. Con esta deﬁnici´ on, una funci´ on est´andar f es continua en un punto est´ andar x si y s´olo si cumple el teorema 2.8, si y s´olo si cumple la deﬁnici´ on − δ. Puesto que la continuidad en este sentido equivale a la continuidad − δ para funciones est´ andar en puntos est´ andar, por el principio de transferencia la equivalencia vale para toda funci´ on en todo punto. En la pr´ actica no es necesario hacer este tipo de construcciones. Basta saber que el principio de estandarizaci´ on nos permite deﬁnir impl´ıcitamente un concepto para conjuntos arbitrarios deﬁni´endolo expl´ıcitamente para el caso de conjuntos est´andar (y en la deﬁnici´ on podemos usar conceptos externos). El teorema siguiente caracteriza la continuidad uniforme. Alternativamente puede tomarse como una deﬁnici´ on no est´ andar. Teorema 2.11 Una funci´ on est´ andar f : A ⊂ R −→ R es uniformemente continua en A si y s´ olo si para todo x, y ∈ A tales que x ≈ y, se cumple f (x) ≈ f (y). ´ n: Si f es uniformemente continua (en el sentido cl´ Demostracio asico), tomamos x, y ∈ A tales que x ≈ y y hemos de ver que f (x) ≈ f (y). Sea > 0 est´andar. Existe un δ > 0 (que podemos tomar est´andar) tal que si |x − y| < δ entonces |f (x) − f (y)| < . Ahora bien, |x − y| es inﬁnitesimal, luego ciertamente |x − y| < δ. Por lo tanto |f (x) − f (y)| < para todo est´andar, luego f (x) ≈ f (y). Rec´ıprocamente, si f cumple la condici´ on del enunciado, hemos de probar que δ · · ·, pero por el principio de estandarizaci´ on podemos tomar > 0 est´andar. Tomamos cualquier inﬁnit´esimo δ > 0, de modo que si x, y ∈ A cumplen |x − y| < δ entonces x ≈ y, luego f (x) ≈ f (y), luego |f (x) − f (y)| < .

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Tema 2. An´alisis de una variable

Ejemplo

La funci´ on x2 no es uniformemente continua en R.

En efecto, si x ∈ R y ξ es un inﬁnit´esimo, tenemos que f (x + ξ) − f (x) = 2xξ + ξ 2 , y esto no es inﬁnitesimal, por ejemplo, si x = 1/ξ. (No obstante, si restringimos f a [0, 1] entonces s´ı que es uniformemente continua, pues si x est´a en este intervalo el incremento s´ı que es inﬁnitesimal.) Ejemplo

La funci´ on 1/x no es uniformemente continua en ]0, 1].

Si x, x + ξ ∈ ]0, 1] y ξ es inﬁnitesimal, tenemos que f (x + ξ) − f (x) =

1 1 −ξ − = x+ξ x (x + ξ)x

y esto no es inﬁnitesimal si tomamos x = ξ > 0. Ejemplo

La funci´ on f (x) = 1/(x2 + 1) es uniformemente continua en R.

Si x, y ∈ R cumplen x ≈ y, entonces x2 + 1 ≈ y 2 + 1 ≈ 0, luego f (x) ≈ f (y). Ejemplo

La funci´ on f : Q −→ R dada por f (q) =

√ 0 si q < √2, 1 si q > 2,

es continua, pero no uniformemente continua. En efecto,√si q ∈ Q es est´andar y r ∈ Q cumple r ≈ q, entonces q y r son ambos menores o ambos mayores que 2, luego f (q) = f (r). √ Sin embargo, podemos tomar ξ1 , ξ2 ∈ Q tales que ξ1 < 2 < ξ2 , ξ1 ≈ ξ2 , con lo que f (ξ1 ) ≈ f (ξ2 ). Teorema 2.12 (Heine-Cantor) Toda funci´ on continua en un intervalo [a, b] es uniformemente continua. ´ n: Sea f una funci´ Demostracio on continua en [a, b]. Por transferencia podemos suponer que f es est´andar (con lo que tambi´en lo ser´an a y b). Si x, y ∈ [a, b] cumplen x ≈ y, entonces x ≈ ∗ x = ∗ y ≈ y. Adem´as ∗ x ∈ [a, b], pues si fuera, por ejemplo, ∗ x < a, tambi´en ser´ıa x < a. Por la continuidad de f en el punto est´ andar ∗ x concluimos que f (x) ≈ f (∗ x) = f (∗ y) ≈ f (y). Veamos ahora una de las t´ecnicas m´as potentes que aporta el an´ alisis no est´andar: Teorema 2.13 (Teorema de Bolzano) Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on continua tal que f (a) < 0 y f (b) > 0 entonces existe a < c < b tal que f (c) = 0. ´ n: Podemos suponer que f (y por consiguiente a y b) son est´andar. Tomamos una Demostracio partici´ on inﬁnitesimal de [a, b], por ejemplo la dada por xi = a + i(b − a)/µ, donde µ es un n´ umero natural inﬁnito. As´ı a = x0 < x1 < · · · < xµ = b y xi−1 ≈ xi para todo i = 1, . . . , µ. Sea i el menor ´ındice tal que f (xi ) ≥ 0. Ciertamente i = 0, luego ha de ser f (xi−1 ) < 0. Como f es uniformemente continua, f (xi−1 ) ≈ f (xi ) ≈ f (∗ xi ). Vemos que si c = ∗ xi ∈ [a, b] entonces f (c) es un n´ umero est´andar que est´ a inﬁnitamente cerca de un n´ umero ≥ 0 y de un n´ umero < 0. Esto s´olo es posible si f (c) = 0.

2.3. La topolog´ıa de R

2.3

15

La topolog´ıa de R

Veamos las caracterizaciones no est´andar de los principales conceptos topol´ ogicos. Conviene introducir la noci´ on siguiente: Deﬁnici´ on 2.14 Si x ∈ R, se llama halo o m´ onada de x al conjunto de todos los n´ umeros reales inﬁnitamente cercanos a x. Lo representaremos por h(x). Claramente el halo de un n´ umero real x es un conjunto estrictamente externo, pues si fuera interno podr´ıamos deﬁnir ◦N = {n ∈ N | x + 1/n ∈ / h(x)}. Teorema 2.15 Un conjunto est´ andar A ⊂ R es un entorno de un punto est´ andar x ∈ R si y s´ olo si h(x) ⊂ A. ´ n: Si A es un entorno de x existe un n´ Demostracio umero real > 0 tal que ]x − , x + [ ⊂ A, y por el principio de transferencia podemos tomar est´andar. Es claro entonces que h(x) ⊂ ]x − , x + [ ⊂ A. Rec´ıprocamente, si h(x) ⊂ A tenemos que existe un inﬁnit´esimo > 0 tal que ]x − , x + [ ⊂ A, luego A es entorno de x. Este teorema caracteriza a los abiertos est´andar, pues un conjunto est´ andar es abierto si y s´ olo si es un entorno de todos sus puntos (est´ andar). Teorema 2.16 Un punto est´ andar x ∈ R es un punto adherente de un conjunto est´ andar A ⊂ R si y s´ olo si existe un y ∈ A tal que x ≈ y. ´ n: Si x es un punto adherente de A entonces todo entorno de x corta a A. Tomamos Demostracio un inﬁnit´esimo > 0 y un y ∈ A ∩ ]x − , x + [. Rec´ıprocamente, si se cumple la condici´on del enunciado, hemos de probar que para todo > 0 la intersecci´on A ∩ ]x − , x + [ es no vac´ıa. Por transferencia podemos suponer est´andar, pero entonces la intersecci´on contiene al conjunto y del enunciado. Teorema 2.17 Un subconjunto est´ andar de R es cerrado si y s´ olo si contiene a la parte est´ andar de cada uno de sus elementos ﬁnitos. ´ n: Si A ⊂ R es cerrado y x ∈ A es ﬁnito, entonces ∗ x est´a en la clausura de A por el Demostracio teorema anterior, luego est´a en A. Rec´ıprocamente, si A cumple la condici´ on del enunciado y x es un punto de adherente est´ andar de A, por el teorema anterior existe un y ∈ A tal que x ≈ y, luego y es ﬁnito y su parte est´ andar es x. Por hip´ otesis x ∈ A. As´ı pues, A contiene a todos sus puntos adherentes est´andar, y por transferencia tambi´en a los no est´andar. Esto quiere decir que A es cerrado. Teorema 2.18 R es conexo. ´ n: Si R = A ∪ B, donde A y B son cerrados disjuntos no vac´ıos, podemos suponer que Demostracio A y B son est´andar. Sea x0 < x1 < · · · xµ un subconjunto ﬁnito de R que contenga a todos los n´ umeros est´andar. Tiene que haber un i tal que xi ∈ A y xi+1 ∈ B o viceversa. Ahora bien x = ∗ xi = ∗ xi+1 es un punto adherente de A y B, luego est´a en ambos. Teorema 2.19 Un conjunto est´ andar A ⊂ R es relativamente compacto si y s´ olo si todos sus elementos son ﬁnitos, y es compacto si adem´ as contiene a la parte est´ andar de cada uno de sus elementos.

16

Tema 2. An´alisis de una variable

´ n: La compacidad relativa equivale a la acotaci´ Demostracio on. Si A est´a acotado entonces por transferencia tiene una cota est´ andar, luego sus elementos son ﬁnitos. Si los elementos de A son ﬁnitos entonces A est´a acotado por un n´ umero inﬁnito cualquiera. Si A es compacto, entonces es cerrado, por lo que, dado x ∈ A, la parte est´andar ∗ x es adherente a A, luego est´a en A. Rec´ıprocamente, si A cumple esta propiedad, para probar que A es cerrado basta ver que todo punto adherente est´ andar x de A est´a en A. Que sea adherente quiere decir que existe y ∈ A tal que x ≈ y, pero entonces x = ∗ y ∈ A. Veamos un ejemplo del uso no est´andar de la compacidad: Teorema 2.20 Si f : A ⊂ R −→ R es continua y A es compacto, entonces f alcanza su m´ aximo y su m´ınimo. ´ n: Podemos suponer que f (y por lo tanto A) es est´andar. Sea x0 < x1 < · · · < xµ Demostracio un subconjunto ﬁnito de A que contenga a todos sus elementos est´andar. Sea i el ´ındice en el que f (xi ) toma el valor m´aximo. Por compacidad c = ∗ xi ∈ A. Veamos que M = f (c) es el m´aximo de f . Hemos de ver que x ∈ A f (x) ≤ M , pero por transferencia podemos tomar x ∈ A est´andar. Entonces x = xj para cierto j, luego f (x) ≤ f (xi ) ≈ M . Como f (x) es est´andar ha de ser f (x) ≤ M . Teorema 2.21 Una sucesi´ on est´ andar {xn }n de n´ umeros reales converge a un n´ umero est´ andar l ∈ R si y s´ olo si para todo natural inﬁnito µ se cumple xµ ≈ l. ´ n: Si la sucesi´on converge y > 0 es est´andar, existe un n0 (que podemos tomar Demostracio est´andar) tal que para todo n ≥ n0 se cumple |xn − l| < . En particular, si µ es inﬁnito tenemos que |xµ − l| < , luego xµ ≈ l. Rec´ıprocamente, si la sucesi´on cumple el enunciado, hemos de probar que δ · · · Por transferencia podemos tomar > 0 est´andar. Ahora basta elegir un natural inﬁnito µ0 y se cumple que para todo n ≥ µ0 tenemos |xn − l| < . Es inmediato comprobar que el l´ımite es u ´nico, as´ı como que el l´ımite de la suma es la suma de los l´ımites, etc. Ejemplo

Si x ≥ 0 entonces l´ım xn /n! = 0. n

Podemos suponer que x es est´andar. Si µ es un n´ umero natural inﬁnito y n es el menor natural mayor que x, entonces µ−1 xµ xn x x = · ≈ 0. µ! n! k µ k=n+1

En efecto, el primer factor es ﬁnito porque es est´ andar, el segundo tambi´en porque todos los t´erminos son menores que 1 y el tercero es inﬁnitesimal. Teorema 2.22 Un n´ umero est´ andar x ∈ R es un punto de acumulaci´ on de una sucesi´ on est´ andar {xn } si y s´ olo si existe un natural inﬁnito µ tal que xµ ≈ x. ´ n: Si x es un punto de acumulaci´ Demostracio on, ﬁjado > 0 inﬁnitesimal y ν inﬁnito, ha de existir µ ≥ ν tal que |xµ − x| < , con lo que xµ ≈ x. Rec´ıprocamente, si xµ ≈ x, entonces para todo > 0 (que podemos suponer est´andar) y para todo natural n (que podemos suponer ﬁnito) existe un natural µ ≥ n tal que |xµ − x| < , luego x es un punto de acumulaci´ on. Ahora es trivial que toda sucesi´ on acotada tiene un punto de acumulaci´ on.

2.3. La topolog´ıa de R

17

Teorema 2.23 Una sucesi´ on est´ andar {xn } de n´ umeros reales de de Cauchy si y s´ olo si para todos los naturales inﬁnitos µ y ν se cumple que xµ ≈ xν . ´ n: Supongamos que la sucesi´ Demostracio on es de Cauchy. Dados µ y ν, sea > 0 est´andar. Entonces existe un natural m0 , que podemos tomar est´andar, de modo que si m, n ≥ m0 se cumple |xm − xn | < . En particular |xµ − xν | < , luego xµ ≈ xν . Rec´ıprocamente, para probar que la sucesi´ on es de Cauchy tomamos > 0 est´andar y µ inﬁnito, de modo que si m, n ≥ µ se cumple |xm − xn | < (porque es inﬁnitesimal). Es claro que si una sucesi´on de Cauchy {xn } tiene un punto de acumulaci´ on x entonces converge a x: podemos tomarlo todo est´andar y si xµ ≈ x, entonces para todo ν inﬁnito se cumple xν ≈ xµ ≈ x. Teorema 2.24 Una sucesi´ on de n´ umeros reales es convergente si y s´ olo si es de Cauchy. ´ n: Toda sucesi´on convergente es trivialmente de Cauchy. Supongamos que {xn } es Demostracio de Cauchy (podemos tomarla est´andar). Tomemos un n´ umero natural inﬁnito µ. El conjunto {n ∈ N | |xn − xµ | ≤ 1} contiene todos los n´ umeros naturales inﬁnitos, pero no puede contenerlos s´ olo a ellos, pues entonces ◦N ser´ıa interno. As´ı pues, existe un n ∈ N est´andar tal que |xn − xµ | ≤ 1. Esto implica que xµ es ﬁnito, luego tiene una parte est´ andar l = ∗ xµ . Por lo tanto l es un punto de acumulaci´ on y la sucesi´on converge a l. Teorema 2.25 La serie ex =

∞ xn n=0 n!

converge en todo R. ´ n: Fijamos x ∈ R est´andar y vamos a ver que la serie es de Cauchy. Para ello Demostracio tomamos dos n´ umeros naturales inﬁnitos µ < ν y hemos de probar que la diferencia de las sumas parciales correspondientes es inﬁnitesimal. ν ν ν

xn |x|n |x|µ xn−µ = ≤ n! n! µ! n=µ n!/µ! n=µ n=µ ≤

ν |x|µ |x|µ 1 − (|x|/µ)ν−µ+1 (x/µ)n−µ = ≈ 0. µ! n=µ µ! 1 − |x|/µ

Aqu´ı usamos que el segundo factor es claramente ﬁnito y el primero es inﬁnitesimal, como hemos visto en un ejemplo anterior. La ecuaci´on funcional de la funci´ on exponencial es f´ acil de probar (notemos que todas las manipulaciones son con sumas ﬁnitas, por lo que no necesitamos ning´ un teorema sobre intercambio de sumatorios, etc.) Fijemos x, y ∈ R est´andar y µ un n´ umero natural inﬁnito. Entonces ex ey

≈

=

µ µ 2µ n

xi y j 1 = xk y n−k i! j! k!(n − k)! n=0 i=0 j=0 2µ

1 n! n=0

n

k=0

k=0

2µ n k n−k (x + y)n = x y ≈ ex+y . k n! n=0

18

Tema 2. An´alisis de una variable Como el primer y el u ´ltimo t´ermino son est´andar, tenemos ex+y = ex ey .

Para demostrar la continuidad de la exponencial basta ver que si ξ es inﬁnitesimal entonces eξ ≈ 1, pues entonces ex+ξ = ex eξ ≈ ex . Como ξ no es est´andar, no podemos evaluar la serie en ξ. En su lugar tomamos x est´andar con |x| < 1. As´ı µ µ xn |x| − |x|µ+1 |x| x |e − 1| ≈ |x|n = ≈ . < n! 1 − |x| 1 − |x| n=1 n=1 Por lo tanto |ex − 1| < |x|/(1 − |x|) para todo x est´andar con |x| < 1. Por transferencia vale para incluso para un inﬁnit´esimo ξ, con lo que |eξ − 1| <

|ξ| ≈ 0, 1 − |ξ|

luego eξ ≈ 1, como hab´ıa que probar. A partir de aqu´ı supondremos conocidas las funciones trigonom´etricas, que pueden tratarse an´ alogamente. Para estudiar la derivaci´ on en la secci´on siguiente caracterizamos ahora el concepto de l´ımite de una funci´ on. Teorema 2.26 Una funci´ on est´ andar f : ]a, b[ \ {x} −→ R tiene l´ımite l en el punto est´ andar x si para todo inﬁnit´esimo ξ se cumple f (x + ξ) ≈ l. ´ n: Si existe el l´ımite, para todo > 0 est´andar existe un δ > 0 est´andar tal que si Demostracio |y − x| < δ entonces |f (y) − l| < . En particular, tomando y = x + ξ tenemos que |f (x + ξ) − l| < , luego f (x + ξ) ≈ l. Rec´ıprocamente, si se cumple la condici´on del enunciado y > 0 es est´andar, tomando cualquier δ > 0 inﬁnitesimal tenemos que si |y − x| < δ entonces |f (y) − l| < , luego se cumple la deﬁnici´ on de l´ımite para todo est´andar y, por transferencia, para todo . Ejemplo

Se cumple que

ex − 1 = 1. x→0 x l´ım

En efecto, hemos de probar que si ξ es un inﬁnit´esimo entonces (eξ − 1)/ξ ≈ 1. Tomamos primero un x est´andar tal que 0 < |x| < 1. Entonces, para todo natural inﬁnito µ, se cumple ex ≈ 1 +

x2 xµ x + + ··· + , 1! 2! µ!

y as´ı (usando que 1/x es est´andar, luego ﬁnito) ex − 1 x xµ−1 −1≈ + ··· + . x 2! µ! Por consiguiente x µ−1 e − 1 |x| ≈< |x| + · · · + |x|µ−2 = |x| − |x| − 1 ≈ x 1 − |x| 1 − |x|

2.4. Derivadas

19

y, como los extremos son est´andar, tenemos la desigualdad x e − 1 < |x| . − 1 x 1 − |x| En principio vale para todo x est´andar tal que 0 < |x| < 1, pero por transferencia vale incluso para el inﬁnit´esimo ξ, es decir, ξ e − 1 |ξ| x < 1 − |ξ| ≈ 0.

2.4

Derivadas

Seg´ un el u ´ltimo teorema de la secci´on anterior es evidente la siguiente caracterizaci´on no est´andar de la derivabilidad: Teorema 2.27 Una funci´ on est´ andar f : ]a, b[ −→ R es derivable en un punto x de su dominio si existe un n´ umero est´ andar f (x) tal que para todo inﬁnit´esimo ξ se cumple f (x + ξ) − f (x) ≈ f (x). ξ Est´ a claro que f (x) en el sentido del teorema anterior es la derivada en el sentido usual. De la condici´ on del teorema se desprende la unicidad por la unicidad de la parte est´ andar. Si f es derivable en todo su dominio podemos hablar de la funci´ on derivada f . Ejemplo

Calculemos la derivada de f (x) = 1/x.

Si x ∈ R \ {0} es est´andar y ξ es un inﬁnit´esimo, f (x + ξ) − f (x) = ξ

1 x+ξ

− ξ

1 x

=−

ξ 1 1 =− ≈ − 2. ξ(x + ξ)x (x + ξ)x x

As´ı pues, f (x) = −1/x2 . Ejemplo

La derivada de ex es ex .

Si ξ es un inﬁnit´esimo, tenemos que ex+ξ − ex eξ − 1 = ex ≈ ex , ξ ξ por el u ´ltimo ejemplo de la secci´on anterior. Ejercicio: Dar pruebas no est´ andar de las reglas de derivaci´ on de la suma, el producto, el cociente y la regla de la cadena.

Teorema 2.28 Toda funci´ on derivable en un punto es continua en dicho punto.

20

Tema 2. An´alisis de una variable

´ n: Podemos tomar una funci´ Demostracio on est´andar f y un punto est´ andar x. Para todo inﬁnit´esimo ξ tenemos que f (x + ξ) − f (x) ≈ f (x), ξ luego f (x + ξ) − f (x) ≈ ξf (x) ≈ 0, lo que prueba la continuidad. Teorema 2.29 Si una funci´ on f es derivable en un punto x y tiene un extremo local en x, entonces f (x) = 0. ´ n: Podemos suponer que f y x son est´andar. Si, por ejemplo, x es un m´aximo local Demostracio de f , entonces existe un > 0 (est´andar) tal que si |x − y| < entonces f (x) ≥ f (y). En particular si ξ es inﬁnitesimal entonces f (x) ≥ f (x + ξ). Por otra parte, si fuera f (x) > 0 tendr´ıamos que f (x + ξ) − f (x) > 0, ξ luego si ξ > 0 es f (x + ξ) − f (x) > 0 y f (x + ξ) > f (x). Si f (x) < 0 llegamos a una contradicci´ on similar tomando un inﬁnit´esimo negativo. De aqu´ı se deduce el teorema de Rolle: si una funci´ on es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el abierto y cumple f (a) = f (b), entonces por continuidad ha de alcanzar un m´ aximo local en el interior, con lo que su derivada se anula. A su vez de aqu´ı se deduce el teorema del valor medio mediante un razonamiento puramente “algebraico” (aplicando el teorema de Rolle a la funci´ on adecuada). No detallamos las pruebas porque ser´ıan las cl´ asicas. Terminamos la secci´on con un ejemplo de funci´ on continua no derivable en ning´ un punto. Vamos a necesitar este reﬁnamiento de la caracterizaci´on de la derivabilidad: Teorema 2.30 Una funci´ on est´ andar f : ]a, b[ −→ R es derivable en un punto est´ andar p ∈ ]a, b[ si y s´ olo si existe un n´ umero est´ andar f (p) tal que para todo par de n´ umeros reales tales que x ≤ p ≤ y, x ≈ y, x = y, se cumple f (y) − f (x) ≈ f (p). y−x ´ n: Si se cumple esta condici´on, tomando x = p tenemos 2.27. Rec´ıprocamente, si f Demostracio es derivable en p existen inﬁnit´esimos ξ1 y ξ2 tales que f (y) − f (p) = f (p)(y − p) + (y − p)ξ1 , f (p) − f (x) = f (p)(p − x) + (p − x)ξ2 . Sumando y dividiendo entre y − x queda f (y) − f (x) y−p p−x = f (p) + ξ1 + ξ2 ≈ f (p), y−x y−x y−x pues las fracciones del segundo miembro son menores que 1. Consideremos ahora la funci´ on φ : R −→ R dada por la ﬁgura siguiente y extendida peri´ odicamente a R. Es claro que φ es continua en R y es derivable en todo R excepto en los n´ umeros enteros. Adem´as, en todo punto existe φ+ (x) = ±1.

2.4. Derivadas

21 1

φ

0

1

Para cada natural n deﬁnimos φn (x) = funciones para los primeros valores de n:

2

1 n 2n φ(2 x).

La ﬁgura siguiente muestra las gr´ aﬁcas de estas

1

φ0 φ1 φ2

0

1

2

Es f´ acil ver que φn es continua en R y es derivable en todo R menos en los puntos de la forma k/2n , con k ∈ Z, y en cualquier punto existe φn (x) = ±1. Deﬁnimos f : R −→ R como la funci´ on dada por f (x) =

∞

φn (x).

n=0

El criterio de mayoraci´ on de Weierstrass implica que la serie converge uniformemente en R, por lo que la suma f es una funci´ on continua. (En el tema siguiente daremos una demostraci´ on no est´andar de estos resultados.) Llamemos m

fm (x) = φn (x). n=0

Es claro que si n > m y k ∈ Z entonces φn (k/2 ) = 0, luego f (k/2m ) = fm (k/2m ). m

Supongamos que f es derivable en un punto p. Tomemos un n´ umero natural inﬁnito µ y sea ν ∈ Z tal que ν ν+1 x= µ ≤p< = y. 2 2µ Claramente x ≈ y, luego por el teorema anterior f (p) ≈

f (y) − f (x) fµ (y) − fµ (x) = = fµ+ (p). y−x y−x

En el u ´ltimo paso hemos usado que fµ es lineal en el intervalo [x, y]. Ahora bien, esto vale para todo n´ umero natural inﬁnito µ, en particular para µ + 1, con lo que + + fµ+ (p) ≈ fµ+1 (p) = fµ+ (p) + φ+ µ+1 (p) = fµ (p) ± 1,

lo cual es absurdo. Por consiguiente f no es derivable en ning´ un punto.

22

Tema 2. An´alisis de una variable

2.5

La integral de Riemann

Recordemos los conceptos b´asicos que intervienen en la deﬁnici´ on cl´ asica de la integral de Riemann: Una partici´ on de un intervalo [a, b] es un conjunto ﬁnito P = {a = x0 < · · · < xn = b}. Para una partici´ on dada, deﬁnimos ∆xi = xi − xi−1 . La norma de P es el m´aximo P de las longitudes ∆xi . Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on acotada, se deﬁnen las sumas de Riemann de f respecto de una partici´ on P como n n s(f, P ) = mi (f ) ∆xi , S(f, P ) = Mi (f ) ∆xi , i=1

i=1

donde mi (f ) y Mi (f ) son, respectivamente, el ´ınﬁmo y el supremo de f en el intervalo [xi−1 , xi ]. Una partici´ on P es un reﬁnamiento de una partici´ on P si P ⊂ P . El teorema b´ asico para deﬁnir la integral es el siguiente: Teorema 2.31 Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on acotada, P es una partici´ on de [a, b] y P es un reﬁnamiento de P , entonces s(f, P ) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ s(f, P ). ´ n: La prueba es bien conocida, pero necesitamos una precisi´ Demostracio on que no suele hacerse. Supongamos que P resulta de a˜ nadir un u ´nico punto y a P , de modo que xi−1 < y < xi . Entonces las sumas s(f, P ) y s(f, P ) se diferencian u ´nicamente en que donde la primera tiene mi (f )(xi − xi−1 ) = mi (f )(xi − y) + mi (f )(y − xi−1 ), la segunda tiene m1 (xi − y) + m2 (y − xi−1 ), donde m1 y m2 son los ´ınﬁmos de f en los intervalos [xi−1 , y] e [y, xi ], respectivamente. Es claro que mi (f ) ≤ m1 , y mi (f ) ≤ m2 , de donde se sigue la desigualdad del enunciado. Pero podemos decir m´ as: s(f, P ) − s(f, P ) ≤ (m1 − mi (f ))(xi − y) + (m2 − mi (f ))(y − xi−1 ) ≤ 2KP , donde K es una cota de |f |. En general, si P y P se diferencian en n puntos tenemos la misma desigualdad y adem´ as s(f, P ) − s(f, P ) ≤ 2nKP (aqu´ı usamos que las normas de los sucesivos reﬁnamientos de la partici´on son cada vez menores, por lo que podemos acotarlas por P ). Similarmente sucede con las sumas superiores. La desigualdad central del enunciado es obvia. As´ı podemos deﬁnir las integrales de Darboux

b

f (x) dx, −a

−b f (x) dx, a

como el supremo de las sumas inferiores y el ´ınﬁmo de las sumas superiores respectivamente. Ahora demostramos: Teorema 2.32 Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on est´ andar acotada y P es una partici´ on inﬁnitesimal de [a, b] (es decir, de norma inﬁnitesimal), entonces −a

b

f (x) dx ≈ s(f, P ),

−b f (x) dx ≈ S(f, P ). a

2.5. La integral de Riemann

23

´ n: Sea > 0 est´andar. Entonces existe una partici´ Demostracio on est´andar P de [a, b] tal que b f (x) dx − < s(f, P ). a − Sea P = P ∪ P , de modo que −a

b

f (x) dx − < s(f, P ) ≤ s(f, P ).

Ahora bien, viendo a P como reﬁnamiento de P , en la demostraci´on de 2.31 hemos visto que 0 ≤ s(f, P ) − s(f, P ) ≤ 2nKP , donde n es el n´ umero de puntos a˜ nadidos a P para formar P (que es est´andar), luego la diferencia es inﬁnitesimal. As´ı pues b b f (x) dx − < s(f, P ) ≤ f (x) dx, −a −a y esto para todo > 0 est´andar. Esto prueba la aproximaci´ on del enunciado. El caso de las sumas e integrales superiores es id´entico. Como consecuencia tenemos la siguiente caracterizaci´on de la integrabilidad Riemann: Teorema 2.33 Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on est´ andar acotada y sea P una partici´ on inﬁnitesimal de [a, b]. Entonces f es integrable Riemann en [a, b] si y s´ olo si s(f, P ) ≈ S(f, P ). En tal caso la parte est´ andar de este valor no depende de P y es la integral b f (x) dx. a

´ n: Por el teorema anterior, si se da la aproximaci´ Demostracio on indicada entonces b −b f (x) dx ≈ f (x) dx, a −a y como ambas son est´andar han de ser iguales. Rec´ıprocamente, si la funci´ on es integrable entonces b b −b s(f, P ) ≈ f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx ≈ S(f, P ). a a −a Lo m´as destacable de esta caracterizaci´on es que para determinar si una funci´ on es integrable podemos ﬁjar de antemano la partici´ on. Veamos algunas aplicaciones: Teorema 2.34 Toda funci´ on continua en un intervalo [a, b] es integrable Riemann. ´ n: Podemos tomar una funci´ Demostracio on est´andar f : [a, b] −→ R. Fijamos una partici´ on inﬁnitesimal P , de modo que xi−1 ≈ xi para todo ´ındice i. Teniendo en cuenta que f alcanza su m´aximo y su m´ınimo en [xi−1 , xi ], as´ı como que f es uniformemente continua, concluimos que mi (f ) ≈ Mi (f ). Si llamamos δ al m´aximo de los n´ umeros Mi (f ) − mi (f ) tenemos que S(f, P ) − s(f, P ) =

µ i=1

(Mi (f ) − mi (f ))∆xi ≤ δ

µ i=1

∆xi = δ(b − a) ≈ 0.

24

Tema 2. An´alisis de una variable

Teorema 2.35 Toda funci´ on mon´ otona en un intervalo [a, b] es integrable Riemann. ´ n: Podemos suponer que f es est´andar y mon´ Demostracio otona creciente. Tomamos una partici´on inﬁnitesimal P de [a, b] en intervalos de la misma longitud, es decir, xi = a + As´ı, S(f, P ) − s(f, P ) =

µ

(b − a) i, µ

i = 0, . . . , µ.

(f (xi ) − f (xi−1 ))∆x = (f (b) − f (a))∆x ≈ 0.

i=1

En lugar de trabajar con sumas superiores e inferiores, podemos considerar sumas respecto a selecciones de puntos: Teorema 2.36 Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on est´ andar y acotada y sea P una partici´ on inﬁnitesimal de [a, b]. Entonces f es integrable Riemann con integral igual a un n´ umero est´ andar I si y s´ olo si para toda selecci´ on yi ∈ [xi−1 , xi ] se cumple que µ

f (yi )∆xi ≈ I.

i=1

´ n: Es claro que Demostracio s(f, P ) ≤

µ

f (yi )∆xi ≤ S(f, P ),

i=1

luego si f es integrable la suma est´a inﬁnitamente cerca de la integral. Rec´ıprocamente, si dos sumas cualesquiera est´an inﬁnitamente pr´ oximas entre s´ı, ﬁjamos un inﬁnit´esimo ξ, con lo que existen puntos yi ∈ [xi−1 , xi ] tales que mi (f ) ≤ f (yi ) ≤ mi (f ) + ξ. Entonces s(f, P ) ≤

µ

f (yi )∆xi ≤ s(f, P ) +

i=1

µ

ξ∆xi = s(f, P ) + ξ(b − a)

i=1

Por consiguiente, s(f, P ) ≈

µ

f (yi )∆xi .

i=1

Similarmente encontramos otra selecci´on {zi } tal que S(f, P ) ≈

µ

f (zi )∆xi .

i=1

Como estamos suponiendo que todas estas sumas est´an inﬁnitamente pr´ oximas, concluimos que s(f, P ) ≈ S(f, P ), luego f es integrable. Ejemplo

Es f´ acil demostrar por inducci´ on la f´ ormula µ i=1

Con ella podemos calcular

i2 =

µ(µ + 1)(2µ + 1) . 6

1

x2 dx. 0

2.5. La integral de Riemann

25

Para ello tomamos la partici´ on xi = i/µ, para i = 0, . . . , µ, donde µ es un n´ umero natural inﬁnito y aplicamos el teorema anterior: 1 µ µ i 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 x dx ≈ = 3 i = 1+ 2+ ≈ = . µ µ µ 6 µ µ 6 3 i=1 i=1 0 Las propiedades elementales de la integral se demuestran f´acilmente. Veamos dos a t´ıtulo de ejemplo: Teorema 2.37 Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on continua y g : [c, d] −→ [a, b] una funci´ on biyectiva, continua, derivable en ]c, d[ y con derivada positiva. Entonces b d f (x) dx = f (g(t))g (t) dt. a

c

´ n: Las hip´ Demostracio otesis sobre g implican que es estrictamente creciente. Por lo tanto, si {ti }µi=0 es una partici´ on inﬁnitesimal de [c, d] y hacemos xi = g(ti ) entonces {xi }µi=0 es una partici´ on de [a, b], tambi´en inﬁnitesimal porque g es (uniformemente) continua. Por el teorema del valor medio existe una selecci´on ui ∈ ]ti−1 , ti [ tal que ∆xi = g (ui )∆ti . Por lo tanto b d µ µ f (x) dx ≈ f (g(ui ))∆xi = f (g(ui ))g (ui )∆ti ≈ f (g(t))g (t) dt. i=1

a

i=1

c

Como los dos extremos son est´andar, se tiene la igualdad. Teorema 2.38 Sean a < c < b n´ umeros reales y f : [a, b] −→ R una funci´ on acotada. Entonces f es integrable en [a, b] si y s´ olo si lo es en [a, c] y en [c, b], y en tal caso b c b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx a

a

c

´ n: Podemos suponer que f , a, b y c son est´andar. Fijemos una partici´ Demostracio on inﬁnitesimal P de [a, b] que contenga a c, de modo que P = P1 ∪ P2 , donde P1 es una partici´ on de [a, c] y P2 es una partici´ on de [c, b]. Claramente S(f, P ) − s(f, P ) = [S(f, P1 ) − s(f, P1 )] + [S(f, P2 ) − s(f, P2 )], donde los t´erminos entre corchetes son mayores o iguales que 0. Es claro entonces que la suma es inﬁnitesimal si y s´ olo si lo es cada sumando. Veamos ahora la relaci´on entre integraci´ on y derivaci´ on. En primer lugar: Teorema 2.39 (Regla de Barrow) Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on continua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto. Si f es integrable Riemann en [a, b] entonces b f (x) dx = f (b) − f (a). a

´ n: Podemos suponer que f es est´andar. Fijamos una partici´ Demostracio on inﬁnitesimal y aplicamos el teorema del valor medio a cada intervalo, de modo que encontramos puntos yi ∈ [xi−1 , xi ] tales que f (xi ) − f (xi−1 ) = f (yi )(xi − xi−1 ). Entonces

a

b

f (x) dx ≈

µ i=1

f (yi )∆xi =

µ

(f (xi ) − f (xi−1 )) = f (b) − f (a).

i=1

Como el primer y el u ´ltimo t´ermino son est´andar, de hecho se tiene la igualdad.

26

Tema 2. An´alisis de una variable

Teorema 2.40 Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on continua, entonces la funci´ on x F (x) = f (t) dt a

es derivable en ]a, b[ y F = f . ´ n: Podemos suponer que f es est´andar. Si a < x < x + h < b con x, h est´andar, Demostracio entonces x+h h ´ınf f (t) ≤ f (t) dt ≤ h sup f (t) t∈[x,x+h]

t∈[x,x+h]

x

Por transferencia, lo mismo vale si cambiamos h por un inﬁnit´esimo ξ > 0. La continuidad (uniforme) de f hace que el supremo y el ´ınﬁmo de f en [x, x + ξ] est´e inﬁnitamente pr´ oximo a f (x), luego F (x + ξ) − F (x) ≈ f (x). ξ Si ξ < 0 se llega an´alogamente al mismo resultado. Por lo tanto existe F (x) = f (x). Finalmente demostramos un teorema de existencia de soluci´on de ecuaciones diferenciales. de la forma x = f (x, t). Supondremos que f est´a deﬁnida en R2 para evitar problemas t´ecnicos sobre el dominio de existencia de la soluci´ on. Teorema 2.41 Sea f : R2 −→ R una funci´ on continua y acotada y x0 ∈ R. Entonces existe una funci´ on derivable x : R −→ R tal que x (t) = f (x(t), t) y x(0) = x0 . ´ n: Podemos suponer que f y x0 son est´andar. Fijamos un inﬁnit´esimo τ > 0 y Demostracio deﬁnimos una funci´ on ξ sobre los m´ ultiplos enteros de τ mediante ξ(0) ξ((n + 1)τ )

= x0 , = ξ(nτ ) + f (ξ(nτ ), nτ )τ,

ξ(−(n + 1)τ )) = ξ(−nτ ) − f (ξ(−nτ ), −nτ )τ. Extendemos ξ a todo R mediante ξ(t) = ξ(E(t/τ )τ ). Claramente, si s < t, se cumple ξ(t) − ξ(s) = f (ξ(nτ ), nτ )τ,

(2.1)

s
donde n toma valores enteros. Si el n´ umero de sumandos es k, entonces [s, t] contiene un intervalo de longitud (k − 1)τ , luego k ≤ (t − s)/τ + 1. As´ı, si M es una cota de f tenemos que t − s |ξ(t) − ξ(s)| ≤ + 1 M τ = M (t − s) + , (2.2) τ donde ≈ 0. En particular |ξ(t)| ≤ |x0 | + |ξ(t) − ξ(0)| ≤ |x0 | + M t + , luego ξ toma valores ﬁnitos para valores ﬁnitos de t, por lo que est´ a deﬁnida la parte est´ andar ∗ ξ(t). El principio de extensi´ on nos da una funci´ on x : R −→ R tal que para todo t est´andar se cumple x(t) = ∗ ξ(t). Tomando partes est´andar en (2.2) tenemos que, para s yt est´andar, se cumple |x(t) − x(s)| ≤ M (t − s).

2.5. La integral de Riemann

27

Por transferencia lo mismo vale para todo s y t. En particular vemos que x es continua. Usando ahora (2.1) vemos que, para s y t est´andar, s < t, x(t) − x(s) ≈ f (ξ(nτ ), nτ )τ ≈ f (x(nτ ), nτ )τ. s
s
Aqu´ı hemos usado que x(nτ ) ≈ x(nτ ) y como f es continua,2 se cumple f (ξ(nτ ), nτ ) ≈ f (x(nτ ), nτ ). Si δ es el m´aximo de las diferencias inﬁnitesimales f (x(nτ ), nτ ) − f (ξ(nτ ), nτ ), la diferencia entre las dos sumas est´a acotada por δτ ((t − s)/τ + 1) ≈ 0. Si consideramos la partici´ on inﬁnitesimal de [s, t] formada por los extremos y los puntos intermedios nτ , entonces la u ´ltima suma es (salvo quiz´a dos sumandos inﬁnitesimales correspondientes a los extremos) una aproximaci´ on inﬁnitamente cercana a la integral de f , es decir, t x(t) − x(s) ≈ f (x(r), r) dr. s

Puesto que ambos miembros son est´andar, tenemos la igualdad. En particular t x(t) = x0 + f (x(r), r) dr. 0

Por el teorema anterior x es derivable y x (t) = f (x(t), t).

2 Esto es la caracterizaci´ on no est´ andar de la continuidad para una funci´ on de dos variables, que es an´ aloga a la que hemos visto para una variable.

Tema III

Topolog´ıa 3.1

Conceptos b´ asicos

Vamos a estudiar ahora un espacio topol´ ogico est´andar arbitrario desde el punto de vista no est´ andar. Los conceptos que conocemos para el caso concreto de R se generalizan en mayor o menor medida seg´ un la estructura que supongamos al espacio (una topolog´ıa, una m´etrica, una norma, . . . ) Las deﬁniciones b´ asicas son las siguientes: Deﬁnici´ on 3.1 Diremos que dos puntos x, y de un espacio m´etrico est´andar est´ an inﬁnitamente pr´ oximos si d(x, y) ≈ 0. Un punto x ∈ M es ﬁnito si est´a a una distancia ﬁnita de un punto est´ andar de M (y entonces est´a a una distancia ﬁnita de todo punto est´ andar de M ). En caso contrario se dice que x es inﬁnito. El halo m´etrico de un punto x ∈ M es el conjunto hm (x) = {y ∈ M | y ≈ x}. Si E es un espacio normado est´andar, diremos que un punto x ∈ E es inﬁnitesimal si x ≈ 0. Es claro que los puntos ﬁnitos de E son los puntos con norma ﬁnita. Es claro que todos estos conceptos se particularizan a los que ya conoc´ıamos para R. En un espacio topol´ ogico arbitrario no podemos deﬁnir ninguna de estas nociones en toda su generalidad, pero el concepto siguiente basta para desarrollar una topolog´ıa no est´andar: Deﬁnici´ on 3.2 Si X es un espacio topol´ ogico est´andar y x ∈ X, se deﬁne el halo topol´ ogico de x como la intersecci´on de todos los entornos est´andar de x. Lo representaremos por ht (x). En general, el halo topol´ ogico de un punto no tiene por qu´e coincidir con su halo m´etrico. Por ejemplo, el halo m´etrico de un inﬁnit´esimo ξ > 0 en R es simplemente el conjunto o de todos los n´ umeros inﬁnitesimales, mientras que ht (ξ) ⊂ ]0, +∞[, luego ht (ξ) = hm (ξ). No obstante, se cumple lo siguiente: Teorema 3.3 Si x es un punto est´ andar de un espacio m´etrico est´ andar M , entonces el halo topol´ ogico de x coincide con su halo m´etrico. ´ n: Si V es un entorno est´ Demostracio andar de x, por transferencia V existe un > 0 est´andar tal que B (x) ⊂ V . As´ı pues, hm (x) ⊂ B (x) ⊂ V , luego hm (x) ⊂ ht (x). Por otra parte, si y ∈ M no cumple d(x, y) ≈ 0 entonces existe un > 0 est´andar tal que y ∈ / B (x), luego y no est´a en el halo topol´ ogico de x. M´ as adelante veremos que el halo topol´ogico de un n´ umero real inﬁnito contiene puntos no inﬁnitamente cercanos. (cf. teorema 3.25). El ejemplo de R muestra tambi´en que los halos topol´ ogicos pueden 29

30

Tema 3. Topolog´ıa

ser conjuntos estrictamente externos. Por eso no tiene sentido decir que el halo topol´ ogico de un punto es un entorno del punto (s´ olo podemos decir que lo ser´ıa si existiese, tal y como muestra el teorema siguiente). Teorema 3.4 Si x es un punto de un espacio topol´ ogico est´ andar X, entonces ht (x) contiene un entorno de x. ´ n: Basta aplicar el teorema 1.2 al conjunto de los entornos de x con la relaci´ Demostracio on de inclusi´ on: para todo conjunto est´ andar ﬁnito de entornos de x existe un entorno de x contenido en todos sus miembros, luego existe un entorno de x contenido en todos los entornos est´ andar de x. La noci´ on de parte est´ andar se generaliza a espacios de Hausdorﬀ. Para verlo demostramos la caracterizaci´on siguiente: Teorema 3.5 Un espacio topol´ ogico est´ andar es de Hausdorﬀ si y s´ olo si los halos de los puntos est´ andar son disjuntos dos a dos. ´ n: Si X es un espacio de Hausdorﬀ est´andar y x, y son dos puntos est´ Demostracio andar distintos, entonces tienen entornos disjuntos, que por transferencia podemos tomar est´ andar. Como cada uno contiene al halo del punto correspondiente, los halos son disjuntos. Rec´ıprocamente, si dos puntos est´ andar tienen halos disjuntos, como cada halo contiene un entorno, los puntos tienen entornos disjuntos. Por transferencia lo mismo vale para puntos cualesquiera, no necesariamente est´andar. Deﬁnici´ on 3.6 Un punto x de un espacio topol´ ogico est´andar X es casi est´ andar si pertenece al halo de un punto est´ andar de X. Si el espacio X es de Hausdorﬀ este punto est´andar est´ a un´ıvocamente determinado, y se llama parte est´ andar de x. La representaremos por ∗ x. Los puntos que no son casi est´andar se llaman remotos. Por simplicidad en todo lo que sigue supondremos que todos los espacios topol´ ogicos son de Hausdorﬀ. Sabemos que en el caso de R los puntos casi est´andar coinciden con los puntos ﬁnitos. Esto no es cierto en general. Un ejemplo sencillo es ]0, 1[, donde todos los puntos son ﬁnitos pero no todos son casi est´andar. Otro m´ as soﬁsticado es el siguiente: Ejemplo Consideramos el espacio 7∞ con la m´etrica usual. Sea µ un n´ umero natural inﬁnito. La sucesi´on x = (un ) dada por

1 si n = µ, un = 0 si n = µ, est´a obviamente acotada, luego x ∈ 7∞ , adem´as es un punto ﬁnito, puesto que d(x, 0) = 1. Sin embargo no es casi est´andar, ya que si estuviera en el halo (topol´ ogico, luego m´etrico) de una sucesi´on est´andar y = (vn ), entonces tendr´ıamos que, para todo natural est´ andar n, |vn | = |vn − un | ≤ d(x, y) ≈ 0, luego vn = 0 (porque es inﬁnitesimal y est´ andar). Por transferencia ser´ıa vn = 0 para todo natural n, pero entonces d(x, y) = 1. Por otra parte es obvio que todo punto casi est´ andar en un espacio m´etrico es ﬁnito (est´a a distancia inﬁnitesimal de un punto est´ andar).

3.2. Topolog´ıa elemental

3.2

31

Topolog´ıa elemental

El resultado fundamental es que la topolog´ıa de un espacio est´andar est´ a determinada por sus halos. En efecto: Teorema 3.7 Un subconjunto est´ andar U de un espacio topol´ ogico est´ andar X es abierto si y s´ olo si contiene a los halos de todos sus puntos est´ andar. ´ n: Por el teorema 3.4, si se da esta condici´on entonces U contiene un entorno de Demostracio cada uno de sus puntos est´ andar, y por transferencia contiene a un entorno de cada uno de sus puntos. Rec´ıprocamente, si U es abierto contiene un entorno (est´ andar, por transferencia) de cada uno de sus puntos est´ andar, luego contiene a los halos. Por ejemplo, ahora es claro que dos m´etricas est´andar inducen la misma topolog´ıa en un conjunto est´andar si y s´ olo si determinan la misma relaci´on ≈ (pues entonces determinan los mismos halos topol´ ogicos de puntos est´andar, luego los mismos abiertos est´andar, luego los mismos abiertos). En particular, dos normas son equivalentes si y s´ olo si determinan los mismos inﬁnit´esimos. Para la topolog´ıa inducida por un espacio X en un subespacio est´andar tenemos trivialmente que el halo en Y de un punto y ∈ Y es la intersecci´on con Y de su halo en X. Respecto a la topolog´ıa producto tenemos: Teorema 3.8 Si X =

Xi es el producto de una familia est´ andar de espacios topol´ ogicos y x ∈ X es

i∈I

est´ andar, entonces y ∈ ht (x) ↔

st

i ∈ I yi ∈ ht (xi ).

´ n: Si y ∈ ht (x) e i ∈ I es est´andar, entonces para cada entorno est´ Demostracio andar U de xi se cumple que πi−1 [U ] es un entorno est´ andar de x, donde πi es la proyecci´on, luego y ∈ πi−1 [U ] y, por consiguiente, yi ∈ U . Esto prueba que yi ∈ ht (xi ). Rec´ıprocamente, si y cumple la condici´ on del enunciado y U es un entorno est´ andar (b´ asico) de x n −1 tenemos que U = πik [Uik ], donde n es un n´ umero natural est´ andar, cada ik ∈ I es est´andar y Uik k=1

es un entorno est´ andar de xik . Tenemos que yik ∈ Uik , luego y ∈ ht (x). Por ejemplo, ahora es inmediato que los puntos inﬁnitesimales de Rn (con n est´andar) para todas las normas 7p (incluyendo p = ∞) son los vectores con todas sus componentes inﬁnitesimales, luego todas ellas son equivalentes. M´ as a´ un, respecto a cualquiera de estas normas, un punto x ∈ Rn es ﬁnito si y s´olo si cada xi es un n´ umero real ﬁnito, luego casi est´ andar, y entonces ∗ x = (∗ x1 , . . . , ∗ xn ) es un punto est´andar inﬁnitamente cercano a x. As´ı pues, los puntos ﬁnitos de Rn respecto a las normas 7p coinciden con los casi est´andar. Esto basta para demostrar la equivalencia de todas las normas: Teorema 3.9 Todas las normas en Rn son equivalentes. ´ n: Consideramos en Rn una norma arbitraria (est´ Demostracio andar) y la norma supremo x∞ = m´axi {|xi |}. Hemos de probar que ambas inducen los mismos inﬁnit´esimos. Llamemos e1 , . . . , en a la base can´onica de Por una parte, si x∞ ≈ 0, entonces x ≤ |x1 | e1 + · · · + |xn | en ≈ 0, pues los ei son est´andar, luego ei ha de ser ﬁnita y xi ≈ 0.

32

Tema 3. Topolog´ıa Supongamos ahora que x ≈ 0 pero x∞ ≈ 0. Entonces 1/x∞ es ﬁnito, luego x x∞ ≈ 0. Sin embargo,

x x∞

= 1,

∞

luego x/x∞ es ﬁnito respecto a la m´etrica ∞. Por la observaci´ on previa al teorema es casi est´andar, luego podemos considerar su parte est´andar y, que cumple x x∞ − y ≈ 0. ∞ Por la parte ya probada,

x x∞ − y ≈ 0,

luego y ≈ 0 y, al ser est´andar, y = 0. Tenemos entonces que x 1= x∞ ≈ 0, ∞ contradicci´ on. Las caracterizaciones no est´andar de los conceptos topol´ ogicos que consideramos en el tema anterior se generalizan trivialmente a espacios topol´ogicos arbitrarios (o m´etricos, en el caso de los relativos a continuidad uniforme). As´ı, es f´acil ver que si A es un subconjunto est´ andar de un espacio topol´ ogico est´andar X entonces un punto est´ andar x ∈ X es adherente a A si y s´olo si su halo topol´ ogico corta a A. El conjunto A es cerrado si y s´olo si contiene las partes est´andar de todos sus puntos casi est´ andar. Teorema 3.10 Una aplicaci´ on est´ andar f : X −→ Y entre espacios topol´ ogicos es continua en un punto est´ andar x ∈ X si y s´ olo si f [ht (x)] ⊂ ht (f (x)). ´ n: Supongamos que f es continua y sea y ∈ ht (x). Entonces, para cada entorno Demostracio est´andar V de y, tenemos que f −1 [V ] es un entorno est´ andar de x, luego y ∈ ht (x) ⊂ f −1 [V ], luego f (y) ∈ V . Por consiguiente tenemos que f (y) ∈ ht (f (x)). Rec´ıprocamente, si se da esta condici´on y U es un entorno est´ andar de f (x), entonces ht (f (x)) ⊂ U , luego ht (x) ⊂ f −1 [U ], luego f −1 [U ] es un entorno de x. Por transferencia esto vale para todo entorno de f (x), est´andar o no. La prueba del teorema siguiente es id´entica a 2.11. Teorema 3.11 Una aplicaci´ on est´ andar f : M −→ N entre espacios m´etricos es uniformemente continua si y s´ olo si cuando x, y ∈ M cumplen x ≈ y, entonces f (x) ≈ f (y). Veamos una aplicaci´on interesante, para lo cual damos previamente la prueba no est´ andar de un hecho sencillo: Teorema 3.12 Si dos aplicaciones continuas coinciden sobre un conjunto denso entonces son iguales. ´ n: Podemos tomar dos aplicaciones est´andar f , g : X −→ Y y un conjunto denso Demostracio est´andar D ⊂ X. Si x ∈ X es est´andar, existe y ∈ D ∩ ht (x) y, por hip´ otesis f (y) = g(y). Por continuidad, esta imagen com´ un est´ a en ht (f (x)) ∩ ht (g(x)), luego ha de ser f (x) = g(x). Ahora demostramos una interesante caracterizaci´on no est´andar de las aplicaciones continuas que se pueden extender desde un conjunto denso:

3.3. Compacidad y completitud

33

Teorema 3.13 Sea X un espacio topol´ ogico condici´ on necesaria y suﬁciente para que una regular Y tenga una extensi´ on continua a X entonces sus im´ agenes son casi est´ andar en Y

est´ andar y D ⊂ X un subconjunto denso est´ andar. La aplicaci´ on continua est´ andar f : D −→ Y en un espacio es que si x, y ∈ D son casi est´ andar en X y ∗ x = ∗ y, y ∗ f (x) = ∗ f (y).

´ n: Si existe una extensi´ Demostracio on f¯ : X −→ Y , ´esta es u ´nica, luego es est´andar. As´ı, si x, y ∈ D cumplen ∗ x = ∗ y = z, la continuidad de f en z hace que ∗ f (x) = ∗ f (y) = f (z). Rec´ıprocamente, supongamos que f cumple esta condici´on. Para cada x ∈ X est´andar existe un y ∈ D ∩ ht (x) y por hip´ otesis el punto ∗ f (y) no depende de la elecci´on de y. As´ı tenemos deﬁnida una ◦ aplicaci´ on externa X −→ ◦Y que por el principio de extensi´ on determina una aplicaci´ on est´andar f¯ : X −→ Y determinada por que, para todo x ∈ X est´andar, se cumple f¯(x) = ∗ f (y), donde y ∈ D ∩ ht (x). En particular, si x ∈ D es est´andar podemos tomar y = x y tenemos que f¯(x) = f (x). Por transferencia f¯ extiende a f . Falta probar que la extensi´ on f¯ es continua. Basta probarlo en un punto est´ andar x ∈ X. Supongamos, por reducci´ on al absurdo, que f¯[ht (x)] no est´a contenido en ht (f¯(x)). Entonces existe un entorno est´andar U de f (x) y un punto y ∈ ht (x) de modo que f¯(y) ∈ / U . Como Y es regular, existe un abierto est´andar V tal que f (x) ∈ V ⊂ V ⊂ U . W

U

x y3 y2 D

V f¯(x)

y f (y3 ) y1 f (y2 )

f¯(y1 )

f¯(y)

Fijemos un abierto est´ andar W en X que contenga a x. Tenemos entonces que y ∈ W f¯(y) ∈ / V. Por transferencia existe un est´ andar y1 ∈ W tal que f¯(y1 ) ∈ / V . Como D es denso, existe y2 ∈ ht (y1 )∩D. Como W es abierto y2 ∈W y por deﬁnici´ on de f¯ tenemos que f¯(y1 ) = ∗ f (y2 ) ∈ / V , luego f (y2 ) ∈ / V. andar W que contenga a As´ı concluimos que y ∈ W ∩ D f (y) ∈ / V . Esto vale para todo abierto est´ x, luego tambi´en para todo entorno est´ andar de x. Por transferencia vale para todo entorno de x y por el teorema 3.4 llegamos a que y3 ∈ ht (x) ∩ D f (y3 ) ∈ / V , pero entonces f¯(x) = ∗ f (y3 ) ∈ / V , contradicci´ on. Como caso particular se tiene un teorema conocido: Teorema 3.14 Si M y N son espacios m´etricos, D ⊂ M es un subconjunto denso y f : D −→ N es uniformemente continua, entonces f se extiende a una aplicaci´ on uniformemente continua f¯ : M −→ N . Ejemplo El producto Q × Q −→ R no es una funci´ on uniformemente continua, pero s´ı que cumple la condici´ on del teorema de extensi´on: si (x, y) ≈ (x , y ) y ambos son casi est´andar en R2 (lo cual equivale a que lo sean sus componentes, es decir, a que sean ﬁnitas) entonces xy ≈ x y .

3.3

Compacidad y completitud

La caracterizaci´on no est´ andar de la compacidad es especialmente interesante porque, al contrario de lo que sucede con los conceptos que hemos considerado hasta ahora, no es una consecuencia trivial de las deﬁniciones, lo cual la hace especialmente potente.

34

Tema 3. Topolog´ıa

Teorema 3.15 Un espacio topol´ ogico est´ andar es compacto si y s´ olo si todos sus puntos son casi est´ andar. ´ n: Sea X un espacio est´andar. Si existe x ∈ X que no es casi est´andar, consideramos Demostracio la familia C de todos los abiertos est´andar de X que no contienen a x (que es un conjunto externo) y formamos su estandarizado S C. As´ı, S C es un conjunto est´ andar cuyos elementos est´andar son los abiertos est´andar que no contienen a x. Por transferencia S C es una familia de abiertos de X. Vamos a ver que es un cubrimiento. Si y ∈ X es un punto est´ andar, entonces x ∈ / ht (y), luego existe un abierto est´andar U en X tal que y ∈ U pero x ∈ / U . As´ı, U ∈ S C, luego la uni´ on de todos los elementos de S C contiene a todos los puntos est´ andar de X. Por transferencia contiene a todo X. andar ﬁnito, cuyos eleSi S C admitiera un subcubrimiento ﬁnito, admitir´ıa un subcubrimiento est´ mentos ser´ıan todos abiertos est´ andar y x tendr´ıa que pertenecer a uno de ellos, lo cual es absurdo. Rec´ıprocamente, si todos los puntos de X son casi est´andar y C es un cubrimiento abierto est´ andar de X, por el teorema 1.5 existe un subconjunto ﬁnito Y de X que contiene a todos los puntos est´ andar de X. Para cada punto y ∈ Y tomamos un abierto U ∈ C que contenga a y, con lo que formamos un subconjunto ﬁnito C de C. Se cumple que C es un cubrimiento, pues si x ∈ X entonces ∗ x ∈ Y , luego ∗ x ∈ U , para cierto U ∈ C . Claramente entonces x ∈ U . Es importante aclarar que para que un subespacio est´ andar A de un espacio est´andar X sea compacto es necesario que cada punto de K sea casi est´andar en A, lo cual equivale a que tenga parte est´ andar en X y ´esta est´e en A. La propiedad de que todos los puntos de A sean casi est´andar en X caracteriza la compacidad relativa. Ahora es inmediato que todo subespacio compacto es cerrado y que todo cerrado en un compacto es compacto. Todo compacto en un espacio m´etrico est´a acotado (si lo suponemos est´andar, est´ a contenido en cualquier bola de centro est´ andar y radio inﬁnito). As´ı mismo es f´acil ver que toda funci´ on continua en un espacio m´etrico compacto es uniformemente continua (comparar con 2.12). Teorema 3.16 (Teorema de Tychonoﬀ ) El producto de una familia arbitraria de espacios compactos es un espacio compacto. ´ n: Sea X = Demostracio

Xi el producto de una familia est´ andar de espacios compactos. Si

i∈I

x ∈ X e i ∈ I es est´andar, entonces xi es un punto del compacto est´ andar Xi , luego xi es casi est´andar. ◦ Xi dada por i → yi = ∗ xi se extiende a una Por el principio de extensi´ on, la aplicaci´ on ◦ I −→ i

aplicaci´ on est´andar y ∈ X, con la propiedad de que para todo i ∈ I est´andar xi ∈ ht (yi ). Por 3.8 concluimos que x ∈ ht (y), luego x es casi est´andar. Teorema 3.17 Toda imagen continua de un espacio compacto es compacta. ´ n: Sea f : X −→ Y una aplicaci´ Demostracio on continua y suprayectiva con X compacto. Podemos suponer que es est´andar. Si y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y. Por hip´ otesis x es casi est´andar, luego podemos considerar ∗ x ∈ X, de modo que x ∈ ht (∗ x), luego y ∈ ht (f (∗ x)). Esto prueba que y es casi est´andar, luego Y es compacto. Se dice que un espacio m´etrico es propio si todo subespacio cerrado y acotado es compacto. La caracterizaci´on no est´ andar de esta propiedad tiene especial inter´es desde el punto de vista no est´andar, pues determina la relaci´ on entre las propiedades de ser ﬁnito y casi est´ andar: Teorema 3.18 Un espacio m´etrico M es propio si y s´ olo si todos sus puntos ﬁnitos son casi est´ andar.

3.3. Compacidad y completitud

35

´ n: Si M es propio, cada punto ﬁnito de M est´a contenido en una bola cerrada de centro Demostracio est´andar y radio est´ andar. Esta bola ser´ a compacta, con lo que x ser´a casi est´andar. Rec´ıprocamente, si todos los puntos ﬁnitos de M son casi est´andar y A es un subconjunto est´ andar cerrado y acotado, entonces A est´a contenido en una bola que podemos tomar de centro y radio est´ andar. Todos los puntos de esta bola ser´an ﬁnitos, luego casi est´ andar (en la bola, por ser cerrada), luego la bola ser´ a compacta y A tambi´en. Notemos que todo espacio m´etrico propio es localmente compacto y que todo espacio normado localmente compacto es propio. Hay una caracterizaci´on u ´til de la compacidad local. Para verla introducimos el concepto siguiente: Deﬁnici´ on 3.19 Un punto de un espacio topol´ ogico est´andar es compacto si pertenece a un subespacio compacto est´andar. Es claro que todo punto est´ andar es compacto y que todo punto compacto es casi est´andar. Por consiguiente un espacio topol´ ogico est´andar es compacto si y s´olo si todos sus puntos son compactos. Teorema 3.20 Un espacio topol´ ogico est´ andar es localmente compacto si y s´ olo si todos sus puntos casi est´ andar son compactos. M´ as concretamente, un punto est´ andar tiene un entorno compacto si y s´ olo si todos los puntos de su halo topol´ ogico son compactos. ´ n: Sea X un espacio topol´ Demostracio ogico est´andar. Es obvio que si x ∈ X es un punto est´andar con un entorno (est´ andar) compacto U , entonces ht (x) ⊂ U , luego todos los puntos de ht (x) son compactos. Rec´ıprocamente, si x no tiene entornos compactos aplicamos el teorema 1.2 al conjunto de todos los pares (U, K), donde U es un entorno de x y K un compacto en X, con la relaci´ on y ∈ U \ K. Obviamente es concurrente, por lo que existe un punto y ∈ ht (x) que no es compacto. Pasemos ahora a estudiar la completitud en espacios m´etricos y su relaci´on con la compacidad. Ante todo observemos que las caracterizaciones 2.21 y 2.23 de las sucesiones convergentes y de Cauchy son v´ alidas en un espacio m´etrico arbitrario. Conviene introducir el concepto siguiente: Deﬁnici´ on 3.21 Un punto x de un espacio m´etrico est´andar M es precompacto si toda bola de centro x y radio est´ andar contiene un punto est´ andar. Es claro que todo punto casi est´ andar x de un espacio m´etrico es precompacto, pues si > 0 es est´andar la bola B (∗ x) es est´andar, luego contiene un punto est´ andar, que estar´ a tambi´en en B (x), ya que x ≈ ∗ x. Teorema 3.22 Un espacio m´etrico est´ andar M es completo si y s´ olo si todo punto precompacto es casi est´ andar. ´ n: Supongamos que M es completo y sea x ∈ M un punto precompacto. Hemos de Demostracio probar que es casi est´andar. Para cada natural est´ andar n elegimos1 un punto est´ andar yn ∈ M tal que d(x, yn ) < 1/n. Por el principio de extensi´ on esta asignaci´on se extiende a una sucesi´on est´andar {yn } en M , que es de Cauchy, pues si µ < ν son n´ umeros naturales inﬁnitos se cumple (por el principio de transferencia) que d(yµ , yν ) ≤ 2/µ ≈ 0. Por hip´ otesis converge a un punto est´ andar y ∈ M , de modo que y = ∗ yµ , para todo natural inﬁnito µ. El conjunto {n ∈ N | d(yn , x) < 1/n} contiene a todos los n´ umeros naturales est´andar, pero no puede ser igual a ◦ N, luego tambi´en contiene a un n´ umero inﬁnito µ, de modo que x ≈ yµ ≈ y, luego x es casi est´andar. 1 M´ as concretamente, tomamos una funci´ on de elecci´ on (est´ andar) deﬁnida sobre el conjunto de todas las bolas abiertas en M y la usamos para deﬁnir el punto yn .

36

Tema 3. Topolog´ıa

Supongamos ahora que M cumple la condici´ on del enunciado y sea {xn } una sucesi´on (est´andar) de Cauchy en M . Si µ es un natural inﬁnito y xµ no es casi est´andar, entonces no es precompacto, luego existe un > 0 est´andar tal que la bola B (xµ ) no contiene puntos est´ andar. En particular el conjunto umeros naturales ﬁnitos, luego ha de contener a alguno {n ∈ N | d(xn , xµ ) ≥ } contiene a todos los n´ inﬁnito, pero esto contradice a la condici´ on de Cauchy. As´ı pues xµ es casi est´andar, de donde se sigue claramente que la sucesi´on converge a ∗ xµ . Por ejemplo, si x es un punto inﬁnito de un espacio m´etrico, entonces todos los puntos de B1 (x) son inﬁnitos, luego ninguno es est´ andar, luego x no es precompacto. De aqu´ı se sigue que todo espacio m´etrico propio (en particular todo espacio m´etrico compacto) es completo. Teorema 3.23 Un espacio m´etrico est´ andar es precompacto si y s´ olo si todos sus puntos son precompactos. ´ n: Supongamos que M es un espacio m´etrico precompacto y sea x ∈ M . Dado > 0 Demostracio est´andar, existen puntos x1 , . . . xn ∈ M (est´andar) tales que M = B (x1 ) ∪ · · · ∪ B (xn ). As´ı pues x ∈ B (xi ) para cierto i, luego tambi´en xi ∈ B (x). Esto prueba que x es precompacto. Rec´ıprocamente, si todos los puntos de M son precompactos tomamos un conjunto ﬁnito F = {x1 , . . . , xµ } ⊂ M que contenga a todos los puntos est´ andar de M (teorema 1.5). Dado > 0, se ha de cumplir que M = B (x1 ) ∪ · · · ∪ B (xµ ), pues un punto que no estuviera en la uni´ on no ser´ıa precompacto. Ahora es inmediato el teorema siguiente: Teorema 3.24 Un espacio m´etrico es compacto si y s´ olo si es precompacto y completo. ´ n: Basta tener en cuenta que —para un espacio est´andar— la compacidad equivale Demostracio a que todo punto sea casi est´andar, la completitud a que precompacto implique casi est´ andar y la precompacidad a que todo punto sea precompacto. Veamos ahora otra caracterizaci´on de los puntos precompactos: Teorema 3.25 Un punto x de un espacio m´etrico est´ andar es precompacto si y s´ olo si ht (x) ⊂ hm (x). ´ n: Si existe un punto y ∈ ht (x) cuya distancia a x no es inﬁnitesimal, podemos tomar Demostracio andar, pues si z ∈ B/2 (x) un > 0 est´andar tal que d(x, y) > . Entonces B/2 (x) no contiene puntos est´ es est´andar tenemos que x ∈ B/2 (z) y, como la bola es est´andar, tambi´en y ∈ B/2 (z), pero entonces d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < , contradicci´ on. Esto prueba que x no es precompacto. Rec´ıprocamente, si ht (x) ⊂ hm (x) y > 0 es est´andar, hemos de probar que B (x) contiene puntos est´andar. En caso contrario, aplicamos el teorema 1.2 al conjunto A de todos los entornos de x y a la relaci´on α(y, U ) ≡ y ∈ U ∧ d(y, x) ≥ . Ciertamente, para cada familia est´ andar ﬁnita de entornos de x, la intersecci´on es un entorno est´ andar de x, luego contiene un punto est´ andar y cuya distancia a x ser´a mayor o igual que . Esto prueba que α es concurrente en A, luego existe un punto y que pertenece a todos los entornos est´andar de x, es decir, y ∈ ht (x) y d(y, x) ≥ . Entonces y ∈ / hm (x), contradicci´ on. Terminamos con algunas pruebas m´ as de varias propiedades conocidas:

3.4. Espacios de funciones

37

Teorema 3.26 Si M es un espacio m´etrico y A ⊂ M es completo, entonces A es cerrado en M . Si M es completo y A es cerrado, entonces A es completo. ´ n: Podemos suponer que M y A son est´andar. Si A es completo, para probar que es Demostracio cerrado hemos de ver que si x ∈ A es casi est´andar en M , entonces ∗ x ∈ A. Para ello basta probar que x es casi est´andar en A. En caso contrario existe un > 0 est´andar tal que B (x) ∩ A no contiene puntos andar est´andar. Ahora bien, x ∈ B (∗ x) ∩ A = ∅ y, como la intersecci´on es est´andar, existe un punto est´ y ∈ B (∗ x) ∩ A. Claramente y ∈ B (x) ∩ A, contradicci´ on. Si suponemos que M es completo y A es cerrado, entonces para todo x ∈ A, o bien x es casi est´andar en M (luego en A), o bien existe > 0 tal que B (x) no contiene puntos est´ andar, luego B (x) ∩ A tampoco. De la completitud de Rn con cualquier norma se sigue que todo subespacio de dimensi´ on ﬁnita de un espacio normado es completo, luego cerrado. Usando este hecho deducimos lo siguiente: Teorema 3.27 Todo espacio normado localmente compacto es de dimensi´ on ﬁnita. ´ n: Tomemos un espacio normado est´andar E de dimensi´ Demostracio on inﬁnita y sea B una base est´andar. Entonces B contiene un vector no est´ andar x, que podemos suponer de norma 1. Si E fuera localmente compacto ser´ıa propio, luego x ser´ıa casi est´andar. Sea y = ∗ x. Como y es est´andar, y pertenece al subespacio F generado por un subconjunto est´ andar ﬁnito de vectores de B. Sin embargo ∗ x∈ / F , pues x no puede estar en dicho subconjunto ﬁnito. Tenemos as´ı que x est´a en la clausura de F pero no en F , cuando por otra parte F es cerrado, contradicci´on.

3.4

Espacios de funciones

Si X e Y son dos conjuntos, llamaremos Y X al conjunto de todas las aplicaciones de X en Y . Si Y es un espacio topol´ ogico podemos considerar en Y X la topolog´ıa producto, que se conoce m´as com´ unmente como la topolog´ıa de la convergencia puntual, porque una sucesi´ on (m´ as en general, una red) de funciones converge a otra si y s´olo si converge en cada punto. Si X e Y son est´andar, el teorema 3.8 nos da que el halo topol´ ogico de una funci´ on est´andar f ∈ Y X viene dado por st x ∈ X(g(x) ∈ ht (f (x)). g ∈ ht (f ) ↔ Si X es tambi´en un espacio topol´ ogico, el espacio C(X, Y ) de las funciones continuas de X en Y no es necesariamente cerrado para la topolog´ıa de la convergencia puntual. Ejemplo

La funci´ on f : R −→ R dada por

f (x) =

0 1

si x ≤ 0, si x > 0,

no es continua, pero es adherente a C(R, R), pues su halo contiene a la funci´ on continua 0 g(x) =

donde ξ > 0 es un inﬁnit´esimo. En efecto,

st

x/ξ 1

si x ≤ 0, si 0 ≤ x ≤ ξ, si x ≥ ξ,

x ∈ R f (x) = g(x).

38

Tema 3. Topolog´ıa

Volviendo al caso general, si Y es un espacio m´etrico podemos dotar a X Y de la topolog´ıa de la convergencia uniforme, que es la inducida por la m´etrica

si x ∈ X d(f (x), g(x)) > 1, d(f, g) = 1 sup d(f (x), g(x)) en caso contrario. x∈X

El halo m´etrico de una funci´ on arbitraria f ∈ Y X respecto a esta m´etrica viene dado por g ∈ hm (f ) ↔ f ≈ g ↔ x ∈ X f (x) ≈ g(x). Si X es un espacio topol´ ogico, el conjunto C(X, Y ) s´ı que es cerrado para la convergencia uniforme. Para probarlo necesitamos un hecho elemental: Teorema 3.28 Si M es un espacio m´etrico, la distancia d : M × M −→ R es uniformemente continua, es decir, xyx y ∈ M (x ≈ x ∧ y ≈ y → d(x, y) ≈ d(x , y )). ´ n: Basta tener en cuenta que Demostracio |d(x, y) − d(x , y )| ≤ d(x, x ) + d(y, y ).

Teorema 3.29 Sea X un espacio topol´ ogico e Y un espacio m´etrico. Entonces C(X, Y ) es cerrado en Y X. ´ n: Podemos suponer que X e Y son est´andar. Hemos de probar que Demostracio si g ∈ C(X, Y ) es casi est´andar entonces f = ∗ g ∈ C(X, Y ). Tenemos que d(f, g) ≈ 0, es decir, que x ∈ X f (x) ≈ g(x). Como f es est´andar, para probar que es continua basta ver que lo es en un punto est´ andar x ∈ X. Como g no es est´andar no podemos usar la caracterizaci´ on no est´andar de la continuidad. Lo que tenemos es que st > 0 δ > 0 y ∈ X(d(x, y) < δ → d(g(x), g(y)) < ). Por el teorema anterior st > 0 δ > 0 y ∈ X(d(x, y) < δ → d(f (x), f (y)) < ) y por transferencia podemos pasar a > 0, es decir, a que f es continua en x. Teorema 3.30 Si Y es un espacio m´etrico completo, entonces Y X tambi´en es completo con la topolog´ıa de la convergencia uniforme. ´ n: Podemos suponer que X e Y son est´andar. Hemos de probar que toda funci´ Demostracio on precompacta f es casi est´andar. Fijados x ∈ X y > 0 est´andar, la precompacidad de f signiﬁca que existe g ∈ Y X est´andar tal que d(f, g) < . En particular d(f (x), g(x)) < . Esto prueba que f (x) es on est´andar precompacto en Y , luego es casi est´andar. Deﬁnimos h(x) = ∗ f (x), extendida a una funci´ en X por el principio de extensi´ o n. Vamos a probar que f ≈ h, con lo que f ser´ a casi est´ a ndar. st Lo que sabemos es que x ∈ Xf (x) ≈ h(x) y hemos de probarlo para todo x no necesariamente est´andar, pero no podemos aplicar el principio de transferencia. Dado /0 tomamos una funci´ on est´andar st g tal que d(f, g) < /2. Entonces x ∈ Xd(g(x), h(x)) < /2, pero aqu´ı s´ı que podemos aplicar el principio de transferencia, lo que nos da que d(g, h) ≤ /2, luego d(f, h) < para todo est´andar, es decir, f ≈ h. Como consecuencia inmediata tenemos:

3.4. Espacios de funciones

39

Teorema 3.31 (Criterio de mayoraci´ on de Weierstrass) Si {fn }n es una sucesi´ on de funciones fn : X −→ R, donde X es un espacio topol´ ogico y {Mn } es una sucesi´ on de n´ umeros reales tal que ∞ ∞ x ∈ X |fn (x)| ≤ Mn y la serie Mn es convergente, entonces la serie de funciones fn converge n=0

n=0

uniformemente en X a una cierta funci´ on. ´ n: Es obvio que si µ ≤ ν son n´ Demostracio umeros naturales inﬁnitos entonces d(Sµ , Sν ) ≤

ν

Mn ≈ 0,

n=µ

donde Sµ representa a la suma parcial µ-´esima de la serie funcional, luego la serie es uniformemente de Cauchy, luego uniformemente convergente. Observemos que si Y es un espacio vectorial topol´ ogico real entonces Y X tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones deﬁnidas puntualmente. Sin embargo, el producto no es continuo en general. Por ejemplo, si f es la identidad en R tenemos que el producto R × RR −→ RR no es continuo en (0, f ), pues si ξ es un inﬁnit´esimo se cumple que ξf ≈ 0f = 0 (ya que ξf (1/ξ) = 1 ≈ 0). De hecho, tampoco es continua la restricci´ on del producto a C(R, R). M´ as en general, es f´acil ver que el producto no es continuo en C(X, Y ) siempre que existe una funci´ on continua no acotada de X en Y . Esto no sucede si consideramos la convergencia uniforme en compactos. En general, si X es un espacio topol´ ogico e Y es un espacio m´etrico, la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos es la determinada por la base B(f, K, ) = {g ∈ Y X | x ∈ K d(f (x), g(x)) < }, donde f ∈ Y X , K ⊂ X compacto y > 0. Es claro que el halo topol´ ogico de una funci´ on est´andar f respecto de esta topolog´ıa viene dado por g ∈ ht (f ) ↔ x ∈ X(x compacto → f (x) ≈ g(x)). En lo sucesivo nos restringiremos al caso en que X es localmente compacto, de modo que podemos sustituir “compacto” por “casi est´andar”. Se cumple que C(X, Y ) es cerrado en Y X para esta topolog´ıa: En efecto, si g ∈ C(X, Y ) es casi andar x ∈ X y un entorno compacto K. Tenemos f (y) ≈ g(y) est´andar y f = ∗ g, ﬁjamos un punto est´ para todo punto casi est´ andar y ∈ X, luego en particular para todo punto de K. Esto signiﬁca que f |K ≈ g|K para la m´etrica de la convergencia uniforme en Y K . Adem´as g|K ∈ C(K, Y ), luego concluimos que f |K ∈ C(K, Y ). En particular f es continua en x. Ahora nos restringimos al caso en que Y = R. Escribiremos C(X) en lugar de C(X, R). Teorema 3.32 Si X es un espacio topol´ ogico localmente compacto, la suma, el producto escalar y el producto de funciones en C(X) son funciones continuas cuando consideramos en C(X) la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos. ´ n: Veamos u Demostracio ´nicamente el caso del producto escalar. Tomamos (α, f ) ∈ R × C(X) est´andar y otro par (β, g) de modo que β ≈ α, g ∈ ht (f ). Hemos de probar que βg ∈ ht (αf ), es decir, que para todo punto casi est´ andar x ∈ X se cumple αf (x) ≈ βg(x). Lo que sabemos es que f (x) ≈ g(x), as´ı como que f (x) y g(x) son n´ umeros reales ﬁnitos, porque f transforma puntos casi est´ andar en puntos casi est´andar. La conclusi´ on es obvia. Como aplicaci´on vamos a estudiar la convergencia de las series de potencias. Si {an }n es una sucesi´on acotada de n´ umeros reales deﬁnimos l´ım sup an = sup S {∗ aµ | µ ∈ N \ ◦N}. n

40

Tema 3. Topolog´ıa

Teorema 3.33 Si

∞ n=0

an (x − x0 )n es una serie de potencias y 1 = l´ım sup n |an | R n

(entendiendo que R = ∞ si el l´ımite es 0), entonces la serie converge uniformemente en los compactos del intervalo ]x0 − R, x0 + R[ (en todo R si R = ∞) y diverge en todos los puntos con |x − x0 | > R. ´ n: No perdemos generalidad si suponemos que x0 = 0. As´ı mismo podemos suponer Demostracio que la serie es est´andar y que la sucesi´ on de sus coeﬁcientes est´a acotada (si no lo est´a, el teorema se cumple trivialmente considerando R = 0). Hemos de probar que para todo n´ umero real x casi est´andar en el intervalo ]−R, R[ y todo n´ umero natural inﬁnito µ se cumple µ ∞ an xn ≈ an xn . (3.1) n=0

n=0

Ahora bien, que x sea casi est´andar en el intervalo equivale a que existe un n´ umero real est´andar r tal que |x| ≤ r < R. Entonces r l´ım sup n |an | < 1, n

luego podemos tomar otro n´ umero est´andar r l´ım sup

n

n

|an | < ρ < 1,

(3.2)

Si n es un n´ umero natural inﬁnito no s´ olo se cumplir´ a r ∗ n |an | < ρ (por la deﬁnici´ on del l´ımite superior), sino que de hecho r n |a | < ρ, pues el miembro izquierdo est´ a inﬁnitamente cerca del miembro n n n n izquierdo de (3.2). As´ı pues, |x| |an | < ρ, luego |an x | < ρ (para todo n´ umero natural inﬁnito n). Si µ < ν son n´ umeros naturales inﬁnitos tenemos que ν ν an xn ≤ ρn ≈ 0. n=µ

n=µ

Esto prueba que la serie de potencias restringida a [−r, r] es uniformemente de Cauchy, luego converge uniformemente, de donde se sigue (3.1). Para probar que la serie diverge fuera del intervalo basta considerar un punto est´ andar x y el razonamiento es pr´ acticamente el mismo que en la prueba cl´asica. As´ı, por ejemplo, ahora sabemos que la relaci´ on ex ≈

µ xn n=0 n!

es v´alida para todo n´ umero real ﬁnito x, y no s´ olo para los est´andar. Esto simpliﬁca considerablemente la comprobaci´ on de que ex es derivable.

Tema IV

An´ alisis de varias variables En este tema demostraremos a t´ıtulo de ilustraci´ on los resultados b´ asicos del c´alculo diferencial en on no est´ andar de diferenciabilidad, claramente equivalente a la est´ andar, es la siguiente: Rn . La deﬁnici´ Deﬁnici´ on 4.1 Una funci´ on est´andar f : D −→ Rm deﬁnida en un abierto D ⊂ Rn es diferenciable en un punto p ∈ D si existe una aplicaci´ on lineal est´ andar L : Rn −→ Rm tal que para todo inﬁnit´esimo n ξ ∈ R se cumple que f (p + ξ) − f (p) − L(ξ) ≈ 0. ξ Recordemos que esto deﬁne la diferenciabilidad de una funci´ on arbitraria a trav´es del principio de estandarizaci´ on. La unicidad de la aplicaci´ on L es f´acil de probar: si ei es el i-´esimo vector de la base can´onica de Rn y ξ ∈ R es un inﬁnit´esimo tenemos que f (p + ξei ) − f (p) − L(ξei ) ≈ 0. ξ (Notemos que en el denominador deber´ıa aparecer |ξ|, pero podemos eliminar el valor absoluto). Claramente entonces f (p + ξei ) − f (p) L(ei ) ≈ . ξ Esto prueba que la parte est´ andar del miembro derecho no depende de ξ, luego, por deﬁnici´ on, es la derivada parcial de f respecto a xi . En deﬁnitiva ∂f L(ei ) = . ∂xi p Por lo tanto podemos deﬁnir df (p) = L. Es claro que toda funci´ on diferenciable es continua: de la deﬁnici´ on se sigue que f (p + ξ) − f (p) ≈ df (p)(ξ) ≈ 0, porque una aplicaci´ on lineal es trivialmente continua. Vamos a demostrar que toda funci´ on de clase C 1 es diferenciable, para lo cual conviene introducir el concepto siguiente: 41

42

Tema 4. An´alisis de varias variables

Deﬁnici´ on 4.2 Una funci´ on est´andar f : D −→ Rm deﬁnida en un abierto D ⊂ RN es estrictamente diferenciable en un punto p ∈ D si existe una aplicaci´ on lineal est´ andar L : Rn −→ Rm tal que para todo par de puntos distintos x ≈ p ≈ y se cumple f (x) − f (y) − L(x − y) ≈ 0. x − y Haciendo y = p vemos que toda funci´ on estrictamente diferenciable en p es diferenciable en p. Ahora demostramos: Teorema 4.3 Toda funci´ on de clase C 1 en un punto p es estrictamente diferenciable en p. ´ n: Podemos tomar una funci´ Demostracio on est´andar f : D −→ Rm y un punto est´ andar p ∈ D. Es claro que una funci´ on f es estrictamente diferenciable o de clase C 1 si y s´olo si lo son sus funciones coordenadas, por lo que no perdemos generalidad si suponemos m = 1. Deﬁnimos L : Rn −→ R como n

∂f L(x) = xi . ∂xi i=1

p

Si x ≈ p ≈ y, x = y, aplicamos el teorema del valor medio a la funci´ on G(t) = f (y + t(x − y)), de modo que existe un n´ umero real 0 < t < 1 tal que n

∂f ∂xi

(xi − yi ) −

n

∂f ∂xi

f (x) − f (y) − L(x − y) y+t(x−y) i=1 = i=1 x − y x − y n

∂f xi − yi ∂f = ≈ 0, − ∂x ∂x x − y i y+t(x−y) i p i=1

p

(xi − yi )

donde en el u ´ltimo paso hemos usado la continuidad en p de las derivadas parciales (notemos que el cociente de la derecha es menor que 1). En la prueba hemos usado la regla de la cadena. Una prueba no est´ andar es la siguiente: Teorema 4.4 (Regla de la cadena) Si f : D ⊂ Rn −→ Rm es una funci´ on diferenciable en p ∈ D as y g : E ⊂ Rm −→ Rk es diferenciable en f (p) ∈ E, entonces f ◦ g es diferenciable en p y adem´ d(f ◦ g)(p) = df (p) ◦ dg(f (p)). ´ n: Si ξ ∈ Rn es un inﬁnit´esimo, la continuidad de f implica que ξ = f (p + ξ) − f (p) es Demostracio inﬁnitesimal. M´ as a´ un, por la diferenciabilidad de f tenemos que existe un vector inﬁnitesimal ξ1 ∈ Rm tal que ξ = df (p)(ξ) + ξξ1 . Igualmente, de la diferenciabilidad de g se sigue que existe un vector inﬁnitesimal ξ2 ∈ Rk tal que g(f (p + ξ)) = g(f (p) + ξ ) = g(f (p)) + dg(f (p))(ξ ) + ξ ξ2 = g(f (p)) + dg(f (p))(df (p)(ξ)) + ξdg(f (p))(ξ1 ) + ξ ξ2 . Llamando L = df (p) ◦ dg(f (p)) tenemos que g(f (p + ξ)) − g(f (p)) − L(ξ) ξ = dg(f (p))(ξ1 ) + ξ2 ≈ 0, ξ ξ

43 Donde hemos usado que

ξ ξ = df (p) + ξ1 ξ ξ

es ﬁnito. Demostramos ahora que la diferenciabilidad estricta est´ a muy cerca de la clase C 1 : Teorema 4.5 Si una funci´ on f : D ⊂ Rn −→ Rm es diferenciable en el abierto D y es estrictamente diferenciable en p ∈ D, entonces f tiene derivadas parciales continuas en p. En particular, si f es estrictamente diferenciable en D entonces es de clase C 1 . ´ n: Podemos suponer que f y p son est´andar, as´ı como que m = 1. Tomemos un punto Demostracio x ≈ p y sea ei el vector i-´esimo de la base can´onica de Rn . El hecho de que f sea diferenciable en x implica que f (x + λei ) − f (x) − df (x)(λei ) l´ım = 0. λ→0 λ Usando la deﬁnici´ on cl´ asica de l´ımite (la caracterizaci´on no est´andar no sirve, porque x no es est´andar), tenemos que si λ es suﬁcientemente peque˜ no (en particular inﬁnitesimal), el cociente ξ es inﬁnitesimal, de modo que ∂f f (x + λei ) − f (x) = λ + λξ. ∂xi x Por otra parte, la diferenciabilidad estricta de f en p implica que existe un n´ umero inﬁnitesimal ξ tal que ∂f f (x + λei ) − f (x) = λ + λξ . ∂xi p

Restando queda que

∂f ∂f − = ξ − ξ ≈ 0. ∂xi x ∂xi p

Una prueba incorrecta del teorema de Schwarz ser´ıa la siguiente: Si f (x, y) es una funci´ on de clase C 2 en un punto (a, b), entonces ∂f ∂f f (a+ξ,b+ξ)−f (a,b+ξ) − 2 ∂x ∂x − ∂ f (a,b+ξ) (a,b) ξ ≈ ≈ ∂x∂y (a,b) ξ ξ =

f (a+ξ,b)−f (a,b) ξ

f (a + ξ, b + ξ) − f (a, b + ξ) − f (a + ξ, b) + f (a, b) . ξ2

Si esto estuviera bien el teorema quedar´ıa probado, pues la u ´ltima expresi´ on es sim´etrica. Sin embargo el segundo paso es incorrecto, ya que estamos aplicando la caracterizaci´on no est´ andar de las derivadas parciales en un punto no est´ andar (a, b + ξ). Una prueba de que esto no es posible es observar que si estuviera bien no necesitar´ıamos la continuidad de las derivadas segundas. Sin embargo el razonamiento puede arreglarse usando el teorema del valor medio. Teorema 4.6 (Teorema de Schwarz) Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´ on de clase C 2 en un punto p ∈ D, entonces ∂ 2 f ∂ 2 f = para i, j = 1, . . . , n. ∂xi ∂xj p ∂xj ∂xi p

44

Tema 4. An´alisis de varias variables ´ n: No perdemos generalidad si suponemos que n = 2. Sea p = (a, b). Llamamos Demostracio ∆2 f (ξ) = f (a + ξ, b + ξ) − f (a, b + ξ) − f (a + ξ, b) + f (a, b). Basta probar que si ξ > 0 es un inﬁnit´esimo entonces ∂ 2 f ∆2 f (ξ) ≈ . ∂x∂y (a,b) ξ2

Si G(x) = f (x, b + ξ) − f (x, b), tenemos que ∆2 f (ξ) = G(a + ξ) − G(a). Podemos aplicar el teorema del valor medio a G, de modo que existe un inﬁnit´esimo 0 < ξ1 < ξ tal que ∂f ∂f 2 ∆ f (ξ) = ξG (a + ξ1 ) = ξ −ξ . ∂x (a+ξ1 ,b+ξ) ∂x (a+ξ1 ,b) ∂f Si ahora aplicamos el teorema del valor medio a la funci´ on obtenemos un inﬁnit´esimo ∂x (a+ξ1 ,x) 0 < ξ2 < ξ tal que 2 2 2 ∂ f ∆ f (ξ) = ξ . ∂x∂y (a+ξ1 ,b+ξ2 )

As´ı pues, usando la continuidad de la derivada segunda, ∆2 f (ξ) ∂ 2 f ∂ 2 f = ≈ . ξ2 ∂x∂y (a+ξ1 ,b+ξ2 ) ∂x∂y (a,b) Para terminar daremos una prueba no est´ andar del teorema de la funci´ on inversa debida a M. Behrens. Teorema 4.7 (De la funci´ on inversa) Sea f : D ⊂ Rn −→ Rn una aplicaci´ on estrictamente diferenciable en un punto p ∈ D. Si df (p) es biyectiva entonces existe un entorno U de p contenido en D tal que f [U ] es un entorno de f (p), la restricci´ on de f a U es biyectiva y su inversa es estrictamente diferenciable diferenciable en f (p). ´ n: Podemos suponer que f y p son est´andar. Veamos que f biyecta el halo de p con el Demostracio halo de f (p). De aqu´ı se sigue ya la existencia de U (en principio un entorno contenido en h(p), que por transferencia podemos convertir en un entorno est´ andar). S´ olo quedar´ a demostrar la diferenciabilidad de la inversa. Suponemos conocido el concepto de norma de una aplicaci´ on lineal. En primer lugar, si x, x ∈ h(p) son distintos, la diferenciabilidad estricta implica que f (x) − f (x ) df (p)(x − x ) ≈ . x − x x − x

(4.1)

x−x Como el vector x−x tiene norma 1 y df (p) es un difeomorﬁsmo, su imagen no puede ser inﬁnitesimal, luego f (x) = f (x ). Tomemos ahora y ∈ h(f (p)) y veamos que tiene antiimagen en h(p). Para ello deﬁnimos la sucesi´ on

x0 = p,

xn+1 = xn + df (p)−1 (y − f (xn )).

Para que esta sucesi´on est´e bien deﬁnida es necesario que cada xn est´e en el dominio de f . De hecho xn ∈ h(p) pues si vale para n tenemos que xn+1 − xn = df (p)−1 (y − f (xn )) ≤ df (p)−1 y − f (xn ),

(4.2)

45 luego tambi´en vale para n + 1. Si f (xn ) = y para alg´ un n ya tenemos una antiimagen para y. Podemos suponer que no se da el caso, con lo que xn+1 = xn . Vamos a demostrar la relaci´on siguiente: xn+1 − xn ≤

1 df (p)−1 y − f (p). 2n

En efecto, tenemos que y = f (xn ) + df (p)(xn+1 − xn ), luego f (xn+1 ) − y f (xn+1 ) − f (xn ) − df (p)(xn+1 − xn ) xn+1 − xn = . f (xn ) − y xn+1 − xn df (p)(xn+1 − xn ) El primer cociente es inﬁnitesimal por la diferenciabilidad estricta de f en p, el segundo es ﬁnito porque es la norma de la inversa del valor de df (p) sobre un vector de norma 1. Por consiguiente el miembro izquierdo es inﬁnitesimal. En particular f (xn+1 ) − y ≤

1 f (xn ) − y. 2

Usando (4.2) llegamos a que xn+1 − xn ≤ df (p)−1 y − f (xn ) ≤

1 1 df (p)−1 y − f (xn−1 ) ≤ · · · ≤ n df (p)−1 y − f (p). 2 2

De esta relaci´on se sigue claramente que la sucesi´on {xn } es de Cauchy, luego converge a un punto x. Tomando l´ımites en la deﬁnici´ on de xn queda que y = f (x). Ahora sabemos que f es inyectiva en un entorno est´ andar de p, por lo que tiene una inversa est´ andar f −1 que podemos considerar de nuevo restringida sobre el halo de f (p). Para probar que f −1 es estrictamente diferenciable en f (p) tomamos dos puntos y, y ∈ h(f (p)), que ser´an de la forma y = f (x), y = f (x ). Seg´ un (4.1) tenemos que y − y df (p)(x − x ) ≈ . x − x x − x De aqu´ı se sigue en particular que el cociente x − x y − y es ﬁnito, pues su inverso es df (p) actuando sobre un vector unitario. Adem´ as df (p)−1 (y − y ) x − x ≈ , x − x x − x luego

df (p)−1 (y − y ) x − x f −1 (y) − f −1 (y ) ≈ = , y − y y − y y − y

lo que prueba la diferenciabilidad estricta de f −1 en f (p) (con diferencial igual a df (p)−1 ).

Tema V

Conceptos y t´ ecnicas no est´ andar Dedicamos el u ´ltimo tema a exponer algunos conceptos, resultados y t´ecnicas de trabajo que son genuinamente no est´ andar, es decir, que no tienen un equivalente directo en la teor´ıa de conjuntos est´andar.

5.1

Principios de permanencia

Los principios de permanencia son argumentos que nos permiten concluir bajo ciertas circunstancias que si todo conjunto est´ andar cumple algo entonces alg´ un conjunto no est´ andar cumple lo mismo. El principio de permanencia b´ asico es el principio de transferencia, pero hay otros que pueden usarse cuando ´este no se puede aplicar. Uno de los m´as elementales es el siguiente: Principio de Cauchy Si todos los elementos de un subconjunto estrictamente externo E de un conjunto interno X cumplen una propiedad interna (quiz´ a con par´ ametros internos), entonces existe un x ∈ X \ E que tambi´en cumple la propiedad. Esto es trivial. Si llamamos φ(x) a la f´ ormula interna aludida en el principio (tal vez con par´ ametros), podemos formar el conjunto interno P = {x ∈ X | φ(x)}. Estamos suponiendo que E ⊂ P , pero no puede darse la igualdad porque entonces E ser´ıa interno, luego P \ E = ∅. Algunos casos particulares son: si todo n´ umero natural ﬁnito cumple una propiedad interna, entonces existe un n´ umero inﬁnito que la cumple tambi´en; si todo inﬁnit´esimo cumple una propiedad interna entonces existe un > 0 est´andar que la cumple tambi´en. Aqu´ı usamos que el conjunto de los n´ umeros naturales ﬁnitos y el conjunto de los inﬁnit´esimos son estrictamente externos. Veamos ahora otro principio de permanencia: Teorema 5.1 (Lema de Robinson) Si {xn } es una sucesi´ on de n´ umeros reales tal que para todo n ﬁnito se cumple xn ≈ 0 entonces existe un n´ umero natural inﬁnito µ tal que xn ≈ 0 para todo n ≤ µ. ´ n: No podemos aplicar directamente el principio de Cauchy porque la propiedad no Demostracio es interna. Ahora bien, consideramos el conjunto A = {m ∈ N | n ≤ m |xn | < 1/n}, que contiene a todos los n´ umeros naturales ﬁnitos, luego tambi´en contiene un n´ umero inﬁnito µ, el cual cumple claramente lo pedido. Veamos una aplicaci´on: 47

48

Tema 5. Conceptos y t´ecnicas no est´andar

Teorema 5.2 El conjunto K = {x ∈ 72 |

n ∈ N |xn | ≤ 1/n}

es un subespacio compacto de 72 . ´ n: Hemos de probar que toda sucesi´on x ∈ K es casi est´andar en K. Claramente xn Demostracio es ﬁnito cuando n es ﬁnito, luegoel principio de extensi´ on nos da una sucesi´ on est´andar y ∈ 7∞ tal que st st ∗ n ∈ N yn = xn . Claramente n ∈ N |yn | ≤ 1/n, luego por transferencia vale para todo natural n, por lo que y ∈ C. (Notemos que esta condici´on ya implica la pertenencia a 72 .) Falta demostrar que x − y2 ≈ 0. Puesto que para n ﬁnito se cumple xn ≈ yn , es claro que, para todo m ﬁnito, m

|xn − yn |2 ≈ 0,

n=0

luego por el lema de Robinson lo mismo vale para un cierto natural µ inﬁnito. As´ı, x − y22 ≈

∞

|xn − yn |2 ≤

n=µ

∞

||xn | + |yn ||2 ≤

n=µ

∞ 2 ≈ 0. 2 n=µ n

luego tambi´en x − y2 ≈ 0. Existen m´ as principios de permanencia, alguno de los cuales lo hemos usado impl´ıcitamente (al igual que los que hemos visto) en algunas demostraciones de los temas precedentes. No obstante no vamos a entrar en ello.

5.2

La sombra de un conjunto

Aun partiendo de conjuntos est´ andar, es f´ acil que en un razonamiento aparezcan conjuntos no est´andar. Por ejemplo, si partimos de una sucesi´ on est´andar de funciones continuas {fn }, las funumero natural inﬁnito, son no est´ andar, por lo que no podemos aplicarles la ciones fµ , donde µ es un n´ caracterizaci´on no est´ andar de la continuidad. En tales casos suele ser u ´til la noci´ on de sombra de un conjunto, que deﬁnimos a continuaci´ on. Deﬁnici´ on 5.3 Si X es un espacio m´etrico y A ⊂ X, se deﬁne el halo m´etrico de A como el conjunto hm [A] = {x ∈ M | y ∈ Ay ≈ x}. La sombra de A es el estandarizado de hm [A]. La representaremos por [A] = S hm [A]. Ejemplos

1) Si ξ ∈ R es un inﬁnit´esimo, la sombra de la recta y = ξx es la recta y = 0.

En efecto, si llamamos R = {(x, ξx) | x ∈ R}, entonces para todo n´ umero real est´andar x tenemos que (x, 0) ≈ (x, ξx), luego (x, 0) ∈ hm [R] y, al ser est´andar, tambi´en (x, 0) ∈ [R]. Rec´ıprocamente, si un par est´ andar (x, y) ∈ [R], entonces (x, y) ∈ hm [R], luego (x, y) ≈ (x , ξx ), para cierto x ∈ R (claramente ﬁnito), luego y ≈ ξx ≈ ξx ≈ 0, lo que implica y = 0. Por consiguiente, [R] y la recta y = 0 tienen los mismos puntos est´andar, luego son iguales. 2) M´ as en general, la sombra de la recta y − b = m(x − a), donde a, b y m son ﬁnitos es la recta y − ∗ b = ∗ m(x − ∗ a). Llamemos R a la recta de partida. Si x ∈ R es est´andar tenemos que (x, ∗ b + ∗ m(x − ∗ a) ≈ (x, b + m(x − a)) ∈ R, luego el primer par est´ a en hm [R] y, como es est´andar, tambi´en en [R].

5.2. La sombra de un conjunto

49

Rec´ıprocamente, si un par est´ andar (x, y) ∈ [R], entonces (x, y) ∈ hm [R], luego existe un par de la forma (x , b + m(x − a)) ∈ R inﬁnitamente cercano a (x, y). Por consiguiente x ≈ x e y ≈ b + m(x − a) ≈ ∗ b + ∗ m(x − ∗ a. Como los dos extremos son est´andar ha de ser y = ∗ b + ∗ m(x − ∗ a. Esto prueba que [R] tiene los mismos puntos est´andar que la recta indicada, luego coinciden. Ejercicio: Calcular la sombra de una recta que pase por un punto ﬁnito con pendiente inﬁnita.

3) Si ξ es un inﬁnit´esimo, la sombra de la gr´ aﬁca de la funci´ on lineal a trozos f indicada a la izquierda es el subconjunto de R2 indicado a la derecha. 1

ξ La comprobaci´ on es similar a la del ejemplo anterior. 4) Si ρ > 0 es un n´ umero real inﬁnito y C es la circunferencia de centro (0, ρ) y radio ρ, entonces [C] es la recta y = 0. Si (x, y) ∈ [C] es un punto est´ andar, entonces (x, y) ∈ hm [C], luego existe un par (x , y ) ∈ C tal que 2 2 2 2 2 (x, y) ≈ (x , y ). Se cumple x + (y − ρ) = ρ , de donde y = ρ − ρ − x . Por lo tanto

y ≈ y =

x2 ≈ 0, ρ + ρ2 − x2

de donde y = 0. Ahorahemos de probar que todo punto est´ andar (x, 0) est´a en [C]. Basta observar que si llamamos y = ρ − ρ2 − x2 las f´ ormulas anteriores muestran que (x, y ) ≈ (x, 0) y que (x, y ) ∈ C, luego llegamos a que (x, 0) ∈ hm [C]. 5) Si ρ > 0 es un n´ umero real inﬁnito, la sombra de la gr´ aﬁca de la funci´ on y = sen ρx es toda la banda R × [−1, 1]. Llamemos G = {(x, sen ρx) | x ∈ R}. Si (x, y) ∈ [G] es est´andar, entonces (x, y) ∈ hm [G], luego (x, y) ≈ (x , sen ρx ), para cierto x ∈ R (ﬁnito). Por consiguiente |y| ≈ | sen ρx | ≤ 1. Como y es est´andar, |y| ≤ 1. Esto prueba una inclusi´ on. Si (x, y) ∈ R × [−1, 1] es est´andar, existe un x0 ∈ R est´andar tal que y = sen x0 . Sea k el u ´nico entero tal que x0 + 2(k + 1)π x0 + 2kπ x = ≤x< . ρ ρ Claramente x ≈ x y sen ρx = sen x0 = y. Por lo tanto (x, y) ≈ (x , y) ∈ G, luego (x, y) ∈ hm [G] y, al ser est´andar, (x, y) ∈ [G]. Teorema 5.4 Si X es un espacio m´etrico y A ⊂ X, entonces [A] es cerrado en X.

50

Tema 5. Conceptos y t´ecnicas no est´andar

´ n: Como [A] es est´andar podemos usar la caracterizaci´ Demostracio on no est´andar. Tomamos, pues, x ∈ [A] casi est´andar y hemos de probar que y = ∗ x ∈ [A]. Esto equivale a probar que y ∈ hm [A]. Tenemos que st > 0 x ∈ X x ∈ [A] ∩ B (y), luego por transferencia, ﬁjado > 0 est´andar, podemos tomar x ∈ [A] ∩ B (y) est´andar. Entonces x ∈ hm [A] ∩ B (y), luego existe z ∈ A tal que z ≈ x y d(x , y) < . Como x e y son est´andar, tambi´en d(z, y) < . As´ı hemos probado que st > 0 z ∈ X z ∈ A ∩ B (y). No podemos aplicar transferencia porque A no es est´ andar, pero el principio de Cauchy nos asegura la existencia de un n´ u mero natural inﬁnito µ tal que z ∈ X(z ∈ A ∩ B1/µ (y)), lo cual equivale a z ∈ X(z ∈ A ∧ z ≈ y). Esto prueba que y ∈ hm [A]. Ejercicio: Demostrar que la sombra de un conjunto est´ andar es simplemente su clausura.

Con la ayuda del concepto de “sombra” de un conjunto podemos dar una interpretaci´ on geom´etrica no est´andar de la derivada. Necesitamos tambi´en el concepto de “lupa”. Deﬁnici´ on 5.5 Una lupa en Rn centrada en un punto c ∈ Rn es una homotecia de centro c y radio inﬁnito. Por ejemplo, la lupa en R2 de centro (a, b) y radio ρ es la aplicaci´on (x , y ) → (x, y) = (a + ρ(x − a), b + ρ(y − b)). Teorema 5.6 (Interpretaci´ on geom´ etrica de la derivada) Una funci´ on est´ andar f : A ⊂ R −→ R es derivable en un punto a ∈ A (donde A es abierto) con derivada f (a) si y s´ olo si la sombra de la imagen de f por cualquier lupa en R2 centrada en (a, f (a)) es un recta de pendiente f (a). ´ n: Llamemos fρ a la imagen de (la gr´ Demostracio aﬁca de) f por la lupa de centro (a, f (a)) y radio ρ. Es claro que se trata de una funci´ on (las lupas son biyectivas). De hecho est´ a deﬁnida sobre todo n´ umero ﬁnito x, pues si hacemos x = a + ρ(x − a), despejando vemos que x = a + (x − a)/ρ ≈ a, luego x ∈ A y podemos calcular x − a fρ (x) = f (a) + ρ(f (x ) − f (a)) = f (a) + ρ f a + − f (a) . ρ Llamando ξ = (x − a)/ρ ≈ 0 queda fρ (x) = f (a) +

f (a + ξ) − f (a) (x − a). ξ

Esto no es una recta porque ξ depende de x, pero si f es derivable la parte est´andar de la “pendiente” es siempre f (a), independientemente de x, y el razonamiento empleado en el ejemplo 2) de la p´ agina 48 se adapta m´ınimamente para probar que [fρ ] es la recta y = f (a) + f (a)(x − a). Rec´ıprocamente, si sabemos que [fρ ] es una recta de pendiente c para todo ρ, como obviamente (a, f (a)) ∈ fρ , luego (a, f (a)) ∈ [fρ ], de hecho ser´a la recta y = f (a) + c(x − a). Fijemos un inﬁnit´esimo ξ, sea x = a + 1 y tomemos ρ = (x − a)/ξ = 1/ξ, de modo que se cumplen todas las f´ ormulas anteriores. Tenemos que (a + 1, f (a) + c) ∈ hm [fρ ], luego existe un punto (x, y) ≈ (a + 1, f (a) + c) tal que (x, y) ∈ fρ . De este modo c≈

f (a + ξ) − f (a) f (a + ξ) − f (a) (x − a) ≈ . ξ ξ

Para la segunda aproximaci´ on usamos que el cociente incremental es ﬁnito (por la primera aproximaci´on). Esto prueba que existe f (a) = c.

5.3. Funciones S-continuas

5.3

51

Funciones S-continuas

Deﬁnici´ on 5.7 Una funci´ on f : X −→ Y entre espacios m´etricos est´andar es S-continua en un punto x ∈ X si para todo punto x ∈ X tal que x ≈ x se cumple f (x ) ≈ f (x). Seg´ un sabemos, una funci´ on est´andar f es continua si y s´olo si es S-continua en todo punto est´ andar, y es uniformemente continua si es S-continua en todo punto. Para funciones no est´ andar la continuidad y la S-continuidad son independientes. Por ejemplo, si ξ es un inﬁnit´esimo, la funci´ on f : R −→ R dada por

0 si x < 0, f (x) = ξ si x ≥ 0, es S-continua, pero no es continua en 0. Por el contrario, la funci´ on del ejemplo 3) de la p´ agina 49 es continua pero no S-continua en 0. La S-continuidad puede caracterizarse como una “continuidad para miopes,” en el sentido siguiente: Teorema 5.8 Una funci´ on f : X −→ Y entre espacios m´etricos est´ andar es S-continua en un punto x ∈ X si y s´ olo si st st >0 δ > 0 x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ). ´ n: Supongamos que f es S-continua y sea > 0 est´andar. La propiedad Demostracio x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ) la cumple todo inﬁnit´esimo δ > 0, luego por el principio de Cauchy la ha de cumplir un δ > 0 est´andar. Rec´ıprocamente, si f cumple la condici´ on del enunciado y x ≈ x, para todo > 0 est´andar se cumple d(x, x ) < δ, donde δ > 0 es el n´ umero est´andar que da la condici´ on, luego d(f (x), f (x )) < . Esto prueba que f (x) ≈ f (x ). Deﬁnici´ on 5.9 Una funci´ on f : X −→ Y entre espacios m´etricos est´andar es de clase S 0 en un punto x ∈ X si es S-continua en x y f (x) es casi est´andar. Diremos que f es de clase S 0 en un conjunto A ⊂ X si es de clase S 0 en todo punto casi est´ andar de A. Esto equivale a que sea casi est´ andar en A (es decir, que tome valores casi est´andar en puntos casi est´ andar) y que para todo punto casi est´ andar x ∈ A se cumpla ∗ f (x) = f (∗ x). La condici´ on de ser casi est´andar es a menudo m´ as d´ebil de lo que parece: Teorema 5.10 Sea f : X −→ Y una funci´ on S-continua entre espacios m´etricos est´ andar y supongamos que X es arcoconexo. Si f toma un valor ﬁnito sobre un punto casi est´ andar, entonces toma valores ﬁnitos sobre todos los puntos casi est´ andar. En particular, si Y es propio concluimos que f es casi est´ andar. ´ n: Sea x ∈ X un punto casi est´ Demostracio andar de X tal que f (x) sea ﬁnito y sea x cualquier otro punto casi est´ andar de X. No perdemos generalidad si suponemos que x y x son est´andar. Por el principio de Cauchy existe un > 0 est´andar tal que uv ∈ X(d(u, v) < → d(f (u), f (v)) < 1). Tomemos un arco (continuo) g : [0, 1] −→ X con extremos g(0) = x y g(1) = x . Podemos tomarla est´andar. Una partici´ on inﬁnitesimal {xi }m i=0 de [0, 1] tiene la propiedad de que si d(g(xi−1 ), g(xi )) < , y por transferencia podemos tomar una est´ andar, con m ﬁnito. As´ı, d(f (g(xi−1 )), f (g(xi )) < 1, de donde se sigue que d(f (x), f (x )) ≤ m, luego f (x ) es ﬁnito. El teorema principal sobre funciones S-continuas es el rec´ıproco del que vamos a demostrar a continuaci´ on.

52

Tema 5. Conceptos y t´ecnicas no est´andar

Teorema 5.11 Sea f : X −→ Y una aplicaci´ on entre dos espacios m´etricos est´ andar tal que existe una aplicaci´ on est´ andar continua g : X −→ Y de modo que f (x) ≈ g(x) para todo punto casi est´ andar x ∈ X. Entonces f es de clase S 0 en X. ´ n: Si x ∈ X es un punto casi est´andar, entonces f (x) ≈ g(x) ≈ g(∗ x), luego f (x) es Demostracio on f es casi est´andar. Si y ≈ x, entonces f (y) ≈ g(y) ≈ g(∗ y) = g(∗ x) ≈ g(x) ≈ f (x), luego la funci´ S-continua en x. Notemos que si X es localmente compacto entonces la funci´on g no es sino la parte est´andar de f respecto a la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos. As´ı pues, lo que dice el teorema en este caso es que si ∗ f ∈ C(X, Y ) entonces f es de clase S 0 . Para demostrar el rec´ıproco observamos que si f : X −→ Y es una funci´ on de clase S 0 podemos ˜ deﬁnir su estandarizada f : X −→ Y como la extensi´on est´andar de la aplicaci´ on ◦ X −→ ◦ Y dada por ∗ ˜ f (x) = f (x). Teorema 5.12 (Teorema de la sombra continua) Si f : X −→ Y es una aplicaci´ on de clase S 0 ˜ ˜ entre espacios m´etricos est´ andar, entonces su estandarizada f es continua y cumple f (x) ≈ f (x) para todo punto casi est´ andar x ∈ X. ´ n: Basta probar que f˜ es continua, pues la segunda parte es entonces inmediata: Demostracio f˜(x) ≈ f˜(∗ x) = ∗ f (∗ x) ≈ f (∗ x) ≈ f (x). Como f˜ es est´andar, basta probar que es continua en un punto est´ andar x ∈ X. Como f es S-continua tenemos que st st st >0 δ > 0 x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x ) < ). Fijados , el correspondiente δ y un x todos est´andar, tenemos que d(f (x), f (x )) ≈ d(f˜(x), f˜(x )), luego st st st >0 δ > 0 x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f˜(x), f˜(x ) < ). Por el principio de transferencia pasamos a x , luego cambiamos a δ y de nuevo por transferencia a . As´ı tenemos la continuidad de f˜. Uniendo los dos u ´ltimos teoremas concluimos como caso particular: Teorema 5.13 Si X e Y son espacios m´etricos est´ andar y X es localmente compacto, entonces una funci´ on f ∈ Y X es de clase S 0 si y s´ olo si es casi est´ andar y ∗ f ∈ C(X, Y ), donde en Y X consideramos la topolog´ıa de la convergencia casi uniforme. El teorema siguiente es una versi´on geom´etrica del teorema de la sombra continua, de donde le viene el nombre: Teorema 5.14 Sea f : X −→ Y una funci´ on casi est´ andar entre espacios m´etricos est´ andar. Entonces f es de clase S 0 si y s´ olo si la sombra de su gr´ aﬁca es la gr´ aﬁca de una funci´ on continua. ´ n: Si f es de clase S 0 se cumple que [f ] = f˜. En efecto, si (x, y) ∈ [f ] es un punto Demostracio est´andar, entonces (x, y) ≈ (x , f (x )) ∈ hm [f ], luego y = ∗ f (x ) = ∗ f (x) = f˜(x). Por lo tanto (x, y) ∈ f˜. Rec´ıprocamente, si (x, f˜(x)) ∈ f˜ es un par est´andar, entonces (x, f˜(x)) ≈ (x, f (x)) ∈ f , luego (x, f˜(x)) ∈ hm [f ] y al ser est´andar est´ a de hecho en [f ]. Por otra parte, si [f ] = g es una funci´ on continua, basta probar que f (x) ≈ g(x) para todo punto casi est´andar x ∈ X (pues entonces podemos aplicar 5.11). En efecto (∗ x, ∗ f (x)) ≈ (x, f (x)) ∈ f ,

5.4. Funciones de clase S 1

53

luego (∗ x, ∗ f (x)) ∈ hm [f ] y, al ser est´andar, (∗ x, ∗ f (x)) ∈ g, es decir, g(∗ x) = ∗ f (x). Por consiguiente g(x) ≈ g(∗ x) = ∗ f (x) ≈ f (x). Como aplicaci´on del teorema de la sombra continua demostraremos el teorema de Ascoli. En primer lugar caracterizamos los conjuntos de funciones uniformemente equicontinuos. Teorema 5.15 Sean X e Y dos espacios m´etricos est´ andar. Un conjunto K ⊂ C(X, Y ) es uniformemente equicontinuo si y s´ olo si est´ a compuesto por funciones S-continuas en todo punto de X, es decir, si y s´ olo si f ∈ K xx ∈ X(x ≈ x → f (x) ≈ f (x )). ´ n: Si K es uniformemente equicontinuo, tomamos f ∈ K y x, x ∈ X tales que x ≈ x . Demostracio Por hip´ otesis > 0 δ > 0 f ∈ K xx ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x ) < ). st st > 0 δ > 0. As´ı, para los puntos x ≈ x que hab´ıamos tomado Por transferencia podemos poner st concluimos que > 0 d(f (x), f (x )) < , es decir, f (x) ≈ f (x ). Rec´ıprocamente, si se da esta condici´on se cumple st

> 0 δ > 0 f ∈ K xx ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ),

pues basta tomar δ inﬁnitesimal. Ahora basta aplicar el principio de transferencia. Teorema 5.16 (Ascoli) Sean X e Y espacios m´etricos compactos y K ⊂ C(X, Y ), donde consideramos la topolog´ıa de la convergencia uniforme. Entonces K es relativamente compacto si y s´ olo si es uniformemente equicontinuo. ´ n: Si K es relativamente compacto, entonces toda f ∈ K tiene parte est´andar en Demostracio C(X, Y ), luego por el teorema 5.13 es de clase S 0 en X, es decir, es S-continua en todos los puntos de X (porque todos son casi est´andar al ser X compacto). Rec´ıprocamente, si K es uniformemente equicontinuo todas sus funciones son S-continuas en E, y tambi´en son casi est´andar (como funciones, no como puntos) porque Y es compacto. Por lo tanto son de clase S 0 y el teorema 5.13 son casi est´andar en C(X, Y ). As´ı pues, K es relativamente compacto.

5.4

Funciones de clase S 1

Las funciones de clase S 1 que pasamos a estudiar son a las funciones de clase C 1 lo que las funciones de clase S 0 que hemos estudiado son a las funciones continuas. Deﬁnici´ on 5.17 Una aplicaci´ on f : A ⊂ Rn −→ Rm deﬁnida en un abierto A es de clase S 1 en un punto p ∈ A si es casi est´andar y existe una aplicaci´ on lineal est´ andar L : Rn −→ Rm tal que cuando x, y ∈ A, x ≈ p ≈ y, x = y se cumple f (x) − f (y) − L(x − y) ≈ 0. x − y Se dice que f es de clase S 1 en A si lo es en todo punto casi est´andar de A.

54

Tema 5. Conceptos y t´ecnicas no est´andar

Seg´ un los resultados del tema anterior, es claro que una funci´ on est´andar es de clase S 1 en un punto p si y s´olo si es estrictamente diferenciable en p, y f es de clase S 1 en un abierto A si y s´olo si es de clase C 1 en A. Para el caso de funciones reales de variable real, en la deﬁnici´ on podemos sustituir la aplicaci´ on lineal est´andar L por un n´ umero est´andar a tal que f (x) − f (y) ≈ a. x−y Si ξ es un inﬁnit´esimo, la funci´ on f : R −→ R dada por

0 si x < 0, f (x) = ξx si x > 0, no es derivable en 0 pero es f´ acil ver que s´ı que es de clase S 1 en R. La funci´ on f (x) = sen(x/ξ), donde ξ es un inﬁnit´esimo, es de clase C 1 en R, pero no es de clase S 1 en 0 (ver 5.19). Veamos ahora algunos resultados an´ alogos a otros bien conocidos sobre funciones de clase C 1 . Por simplicidad nos restringimos al caso de funciones reales de variable real. Teorema 5.18 Toda funci´ on f : A ⊂ R −→ R de clase C 1 en un punto p ∈ A es de clase S 0 en p. ´ n: Por deﬁnici´ Demostracio on de clase S 1 tenemos que f (p) es casi est´andar. Falta probar que f es S-continua en p, pero si ξ es un inﬁnit´esimo entonces f (p + ξ) − f (p) ≈ f (p), ξ luego f (p + ξ) − f (p) ≈ ξf (p) ≈ 0. Teorema 5.19 Sea f : A ⊂ R −→ R una funci´ on derivable y casi est´ andar en un abierto A. Entonces olo si f es de clase S 0 en A. f es de clase S 1 en A si y s´ ´ n: Si f es de clase S 0 y p ∈ A es casi est´andar, por el teorema del valor medio, si x, Demostracio y ∈ A cumplen x ≈ p ≈ y, x = y, existe un z entre ellos (y por consiguiente z ≈ p) tal que f (y) − f (x) = f (z) ≈ f (p) ≈ ∗f (p), y−x luego f es de clase S 1 en p. Rec´ıprocamente, si f es de clase S 1 y p ∈ A es casi est´andar, entonces, para cualquier inﬁnit´esimo ξ se cumple que f (p + ξ) − f (p) f (p) ≈ , ξ y este cociente es casi est´andar por deﬁnici´ on de clase S 1 , luego f es casi est´andar. M´ as a´ un, usando la deﬁnici´ on est´andar de derivada, existe un δ > 0 suﬁcientemente peque˜ no (en particular inﬁnitesimal) tal que f (p + ξ + δ) − f (p + ξ) f (p + ξ) ≈ ≈ f (p), δ luego f es S-continua en p. Vamos a demostrar un teorema de la sombra derivable an´ alogo al teorema de la sombra continua. Para ello necesitamos la siguiente caracterizaci´on de la clase S 1 como una derivabilidad “para miopes”:

5.4. Funciones de clase S 1

55

Teorema 5.20 Una funci´ on casi est´ andar f : A ⊂ R −→ B es de clase S 1 en un punto p si y s´ olo si existe un n´ umero est´ andar b tal que st

st

>0

f (x) − f (y) δ > 0 xy ∈ A |x − p| < δ ∧ |y − p| < δ ∧ x = y → − b < . x−y

La demostraci´on es an´aloga a la de 5.8. Con esto ya podemos probar el teorema principal: Teorema 5.21 (Teorema de la sombra derivable) Sea f : A ⊂ R −→ R una funci´ on de clase S 1 1 ˜ en el abierto A. Entonces su estandarizada f es de clase C en A y si p ∈ A es casi est´ andar, x ≈ p ≈ y, x = y, entonces f (x) − f (y) ≈ f˜ (p). x−y ´ n: Ante todo, el teorema de la sombra continua nos da que f˜ es continua y est´a Demostracio inﬁnitamente pr´ oxima a f en todo punto casi est´ andar de A. Veamos que f˜ es estrictamente derivable ˜ en todo punto. Como f es est´andar podemos tomar un punto est´ andar p ∈ A. Como f es de clase S 1 , por el teorema anterior existe un n´ umero est´andar b tal que st

st

>0

st

δ>0

f (x) − f (y) − b < . xy ∈ A |x − p| < δ ∧ |y − p| < δ ∧ x = y → x−y

Ahora bien, si cambiamos f (x) y f (y) por f˜(x), f˜(y) el cociente incremental sufre una variaci´ on inﬁnitesimal, luego st

st

>0

st

δ>0

f˜(x) − f˜(y) − b < . xy ∈ A |x − p| < δ ∧ |y − p| < δ ∧ x = y → x−y

Como f˜ es est´andar podemos aplicar el principio de transferencia para eliminar las restricciones en los cuantiﬁcadores. Lo que resulta es la derivabilidad estricta de f˜. Por el teorema 4.5 concluimos que f˜ es de clase C 1 en A. M´ as a´ un, es claro que f˜ (p) = b =, luego tenemos la aproximaci´ on del enunciado cuando p es est´andar. Si, en general, p es casi est´andar, tenemos que f (x) − f (y) ≈ f˜ (∗ p) ≈ f˜ (p). x−y

Tiene especial inter´es el caso en que la funci´on de partida es derivable: Teorema 5.22 Si f : A ⊂ R −→ R es una funci´ on derivable y de clase S 1 entonces la estandarizada f˜ 1 es de clase C y f˜ es la estandarizada de f . ´ n: Basta observar que, en la prueba del teorema anterior, si f es derivable en p Demostracio entonces el n´ umero b que consideramos es simplemente f (p), luego llegamos a que f (p) ≈ f˜ (p), para todo punto est´ andar p ∈ A. Por lo tanto, si llamamos g a la estandarizada de f , tenemos que ∗ ˜ f (p) = f (p) = g(p) y, como ambas funciones son est´andar, de hecho son iguales.

56 Ejemplo

Tema 5. Conceptos y t´ecnicas no est´andar Sea ξ > 0 un inﬁnit´esimo. La funci´ on f  0 1 f (x) = ξ x  ξ

: R −→ R dada por si x ≤ 0, si 0 ≤ x ≤ ξ 2 , si x ≥ ξ 2 ,

es de clase S 0 , su estandarizada es la funci´ on constante nula, luego es de clase C 1 , pero f no es de clase S 1 en 0. Ejercicio: Demostrar el rec´ıproco del teorema de la sombra derivable, as´ı como una versi´ on geom´etrica similar a 5.14.

Terminamos con una aplicaci´ on del teorema de la sombra continua. En general no es cierto que si una sucesi´on de funciones derivables converge uniformemente a una funci´ on, entonces el l´ımite de la sucesi´on de las derivadas sea la derivada del l´ımite. Por ejemplo, la sucesi´on fn (x) =

x 1 + nx2

converge uniformemente a la funci´ on 0 en [0, 1] y las derivadas convergen a 1 en 0. M´ as a´ un, existen sucesiones de funciones de clase C ∞ que convergen uniformemente a funciones no derivables en ning´ un punto. El teorema cl´ asico sobre la relaci´on entre un l´ımite de funciones y el l´ımite de sus derivadas es el siguiente: Teorema 5.23 Sea {fn }n una sucesi´ on de funciones fn : ]a, b[ ⊂ R −→ R de clase C 1 en el abierto A y que converja puntualmente en un cierto x0 ∈ ]a, b[. Supongamos que la sucesi´ on de las derivadas {fn }n converge uniformemente a un l´ımite g. Entonces {fn }n converge uniformemente en compactos a una funci´ on f tal que f = g. ´ n: Por el principio de transferencia podemos suponer que las dos sucesiones y el punto Demostracio x0 son est´andar. Sea µ un n´ umero natural inﬁnito. Tenemos que fµ ≈ g, luego fµ es de clase S 0 por el teorema 5.11. Por otra parte, el l´ımite de la sucesi´on est´andar {fn (x0 )}n ha de ser un n´ umero est´andar y0 tal que fµ (x0 ) ≈ y0 , por lo que fµ (x0 ) es casi est´andar. Por el teorema 5.10 concluimos que fµ es casi est´andar, y ahora podemos aplicar 5.19, que nos da que fµ es de clase S 1 . El teorema anterior nos da ﬁnalmente que f = f˜µ es de clase C 1 y f = g (pues claramente g es la estandarizada de fµ ). Esto (junto con que f (x0 ) = y0 ) prueba adem´ as que f no depende de µ, con que que f (x) ≈ fµ (x) para todo x ∈ A casi est´andar (en ]a, b[), lo cual equivale a que la sucesi´ on {fn } converge uniformemente en compactos a f .

Ap´ endice A

La teor´ıa de Hrbacek En este ap´endice expondremos la teor´ıa de conjuntos no est´ andar presentada por K. Hrbacek en [2], que se diferencia de la de Nelson en que axiomatiza los conjuntos externos. Nos referiremos a ella como H. El lenguaje de ZFC est´ a formado por las variables x, y, z, . . . , por los dos relatores ∈, =, el negador ´ ¬, el implicador →, el generalizador y por el descriptor |. Este u ´ltimo aparece en expresiones como ∅ = x| y y ∈ / x (el conjunto vac´ıo es el —´ unico— x tal que, para todo y, y no pertenece a x). Convendremos en que todas las descripciones impropias, como x|x · 0 = 0 o x|x ∈ ∅, es decir, las descripciones determinadas por una condici´ on que cumplen varios conjuntos o no la cumple ninguno, representan todas un mismo conjunto arbitrario. Por simplicidad supondremos que se trata del conjunto vac´ıo. Podemos expresar esto as´ı: x|(x = x) = ∅. Formalmente esto ha de entenderse como un axioma a˜ nadido a los axiomas de ZFC, pero en realidad es una deﬁnici´ on: estamos conviniendo que todo lo que est´e mal deﬁnido es por deﬁnici´ on el conjunto vac´ıo. En la pr´ actica nunca vamos a trabajar con nociones mal deﬁnidas, pero al tratar sistem´ aticamente con expresiones arbitrarias hemos de contemplar la posibilidad de que sean descripciones impropias. En cuanto hayamos justiﬁcado la existencia del conjunto vac´ıo en H adoptaremos tambi´en este axioma en la teor´ıa de Hrbacek. Cualquier otro signo lo consideraremos como una abreviatura de una expresi´ on que contenga u ´nicamente estos signos. Por ejemplo, x ∈ y ∨ x ∈ z ≡ ¬(x ∈ y) → x ∈ z, donde ≡ es un signo metamatem´atico que indica que ambos miembros son dos formas distintas de referirnos a la misma f´ ormula. No consideramos a los par´entesis como signos de nuestro lenguaje, pues te´oricamente pueden suprimirse a condici´ on de alterar la sintaxis del lenguaje (ver [4]). El lenguaje de la teor´ıa de Hrbacek consta de los signos del lenguaje de ZFC m´as dos nuevos relatores st x (x es est´andar) e in x (x es interno). Si α es una f´ ormula, usaremos las abreviaturas st st in in xα, xα, xα, xα con los signiﬁcados obvios. Cuando hablemos de f´ ormulas de ZFC entenderemos que son f´ormulas en las que no aparecen los relatores que acabamos de introducir, mientras que si hablamos de f´ ormulas de H entenderemos que pueden contener estos relatores. Para indicar que un conjunto es arbitrario, no necesariamente interno, diremos que es externo. Cuando queramos indicar que no es interno diremos que es estrictamente externo. La idea b´ asica que debe guiarnos es que los conjuntos est´andar de H se corresponden con los conjuntos est´andar de la teor´ıa de Nelson, los conjuntos internos de H se corresponden con los conjuntos de la teor´ıa 57

58

Ap´endice A. La teor´ıa de Hrbacek

de Nelson (los que existen formalmente, es decir, los internos) y los conjuntos estrictamente externos de H se corresponden con los conjuntos externos de la teor´ıa de Nelson, de los que s´olo tiene sentido hablar metamatem´aticamente.1 Desgraciadamente no podemos suponer que los conjuntos externos satisfacen la axiom´ atica completa de ZFC. Nos tendremos que limitar a la axiom´ atica de Zermelo incluido el axioma de elecci´on, es decir, suprimimos el axioma de reemplazo e incluimos el axioma de especiﬁcaci´on. Como contrapartida, extendemos dicho axioma a f´ ormulas arbitrarias de H, luego, a diferencia de lo que sucede en la teor´ıa de Nelson, podemos usar libremente los relatores st e in para deﬁnir conjuntos (lo que suceder´ a es que por regla general los conjuntos deﬁnidos con estos relatores ser´ an estrictamente externos). Expl´ıcitamente, los axiomas b´asicos son los siguientes: Extensionalidad xy( u(u ∈ x ↔ u ∈ y) → x = y), Par xy z u(u ∈ z ↔ u = x ∨ u = y), ´n Unio x y u(u ∈ x → u ⊂ y), ´n Especificacio

Partes ´n Eleccio

Para toda f´ ormula α(u, x1 , . . . , xn ) de H, x y u(u ∈ y ↔ u ∈ x ∧ α(u, x1 , . . . , xn )), x y u(u ⊂ x → u ∈ y), Todo conjunto admite un buen orden.

El conjunto cuya existencia postula el axioma de especiﬁcaci´ on es u ´nico por extensionalidad, y es el que se representa usualmente por {u ∈ x | α(u, x1 , . . . , xn )}. Notemos que de aqu´ı se sigue la existencia de un conjunto sin elementos (tomando α(u) ≡ u = u), por lo que no hemos necesitado el axioma del conjunto vac´ıo. Tampoco hemos incluido el axioma de inﬁnitud porque se deducir´ a de los axiomas restantes. Veremos luego que el axioma del reemplazo y el axioma de regularidad son contradictorios con estos otros axiomas. La supresi´ on del axioma de reemplazo s´olo hace que la teor´ıa de conjuntos se resienta en lo concerniente a la teor´ıa de ordinales y cardinales. Por ejemplo, no es posible demostrar la existencia del ordinal ω · 2, por lo que un conjunto bien ordenado no tiene por qu´e tener asociado un ordinal. Sin embargo, los resultados que no dependen directamente de estas nociones (lo cual incluye a los resultados b´ asicos del a´lgebra, la topolog´ıa o del an´ alisis) siguen disponibles en esta teor´ıa.2 En particular disponemos de todo el lenguaje conjuntista b´ asico: aplicaciones, relaciones, etc. Introducimos ahora dos axiomas que en la teor´ıa de Nelson son triviales, pues en ella todo conjunto es interno: st ´ n: Inclusio x in x (Todo conjunto est´ andar es interno.) in Transitividad: x u(u ∈ x → in u) (Los elementos de los conjuntos internos son internos.) El axioma de transitividad aﬁrma que al introducir los conjuntos externos en la teor´ıa no estamos modiﬁcando los conjuntos internos, en el sentido de que no les a˜ nadimos elementos. Ahora debemos insistir en que una aﬁrmaci´ on que en la teor´ıa de Nelson empiece por “para todo n´ umero natural. . . ” equivale a una aﬁrmaci´ on de H que empiece por “para todo n´ umero natural interno. . . ” Para formalizar esta idea hemos de introducir la noci´ on de relativizaci´ on de una f´ ormula: 1 En realidad los axiomas de H determinan propiedades ligeramente distintas para los conjuntos internos que los axiomas de Nelson. Las diferencias son m´ınimas, pero debemos tener presente que la correspondencia entre ambas es aproximada. 2 Un uso elemental del esquema de reemplazo es la prueba de la existencia de x × y, pero teniendo en cuenta que (u, v) = {{u}{u, v}}, podemos obtener x × y por especiﬁcaci´ on desde P(P(x ∪ y)).

59 Si θ es una expresi´on de ZFC, deﬁnimos θin como la expresi´on determinada por las reglas siguientes: a) xin ≡ x, b) (x = y)in ≡ x = y,

(x ∈ y)in ≡ x ∈ y,

c) (¬α)in ≡ ¬αin , d) (α → β)in ≡ αin → β in , in in e) ( xα)in ≡ xα , f) (x|α)in ≡ x|(in x ∧ αin ). Son claras las identidades (α ∨ β)in ≡ αin ∨ β in ,

(α ∧ β)in ≡ αin ∧ β in ,

(α ↔ β)in ≡ αin ↔ β in ,

as´ı como las equivalencias l´ogicas in in ( xα)in ↔ xα ,

1 1 y ( xα)in ↔ x(in x ∧ αin ).

Por ejemplo α ∨ β ≡ ¬α → β y basta aplicar las reglas correspondientes a la implicaci´ on y a la negaci´on. Lo mismo sucede con la conjunci´ on α ∧ β ≡ ¬(¬α ∨ ¬β) y la coimplicaci´ on α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α). Para el cuantiﬁcador existencial tenemos que xα ≡ ¬ x¬α, luego in ( xα)in ≡ ¬ x¬αin . in in Esto no es exactamente lo mismo que xα , pero ambas f´ ormulas son l´ ogicamente equivalentes, in luego en la pr´ actica relativizar un cuantiﬁcador es cambiarlo por . Similarmente sucede con la existencia u ´nica. Ejemplo Veamos un ejemplo del “funcionamiento” de esta noci´ on. Todav´ıa no estamos en condiciones de justiﬁcar nada de lo que vamos a decir. Este ejemplo es meramente orientativo. Ahora tenemos que distinguir entre el conjunto N de los n´ umeros naturales y el conjunto Nin de los in n´ umeros naturales . El primero es el conjunto de los n´ umeros naturales (externos) construido a partir de los axiomas de Zermelo. Por ejemplo, podemos deﬁnir N como la intersecci´on de todos los conjuntos (externos) que contienen a 0 = ∅ y que si contienen a un conjunto n contienen tambi´en a n+1 = n∪{n}. Con esta deﬁnici´ on se prueba que N s´olo contiene n´ umeros est´andar. La prueba se basa en que podemos deﬁnir el conjunto X = {n ∈ N | st n}, (lo cual no es l´ıcito en la teor´ıa de Nelson) y demostrar que 0 ∈ X ∧ n ∈ X n + 1 ∈ X. Por deﬁnici´ on de N tenemos que N ⊂ X, luego N = X. Por otra parte, Nin es la intersecci´on de todos los conjuntos internos que contienen a 0 y que si contienen a n contienen a n ∪ {n}. El conjunto X resulta ser estrictamente externo, luego no forma parte de la intersecci´on que estamos considerando. El resultado es que N ⊂ Nin , pero el segundo

60

Ap´endice A. La teor´ıa de Hrbacek

contiene muchos conjuntos que no est´ an en N, conjuntos que son n´ umeros naturalesin , pero no son n´ umeros naturales. Demostraremos que N = {n ∈ Nin | st n}. El siguiente grupo de axiomas de H es: ZFCin : Si α es un axioma de ZFC, entonces3 αin es un axioma de H. En otras palabras, los conjuntos internos (al igual que en la teor´ıa de Nelson) cumplen ZFC. El hecho de que los conjuntos externos no cumplan todo ZFC no tiene gran importancia, pues debemos tener presente que el objeto de la teor´ıa H es estudiar los conjuntos internos como herramienta a su vez para el estudio de los conjuntos est´ andar. Los conjuntos externos son un mero auxiliar. Ejemplo El axioma del conjunto vac´ıo en ZFC aﬁrma que x y x ∈ / y, es decir, existe unconjunto sin elementos. Por el axioma de extensionalidad es u ´nico, lo que justiﬁca la deﬁnici´ on ∅ ≡ x| y y ∈ / x. in in Ahora tenemos que x yx ∈ / y es un axioma de H, es decir, existe un conjunto interno sin in elementos internos. A este conjunto lo deber´ıamos llamar ∅in ≡ x|(in x ∧ y y ∈ / x). Ahora bien, como los conjuntos internos s´ olo pueden tener elementos internos concluimos que ∅in no tiene elementos en absoluto, luego es simplemente ∅in = ∅. En particular tenemos que ∅ es interno. Veamos un resultado trivial. Recordemos que un t´ermino es una expresi´ on que nombra a un objeto, como x ∪ y, (por oposici´ on a “f´ ormula” que es una expresi´ on que aﬁrma algo, como x ⊂ y). Teorema A.1 Sea t(x1 , . . . , xn ) un t´ermino del lenguaje de ZFC con las variables libres indicadas. in Entonces se prueba en H que x1 . . . xn in tin . ´ n: Un t´ermino ha de ser necesariamente una variable t ≡ x, en cuyo caso el teorema Demostracio es trivial, o bien una descripci´ on t ≡ x|α(x, x1 , . . . , xn ), y entonces tin es el u ´nico x interno que cumple in α si es que existe (y entonces es interno) o bien es (x|x = x) = ∅ si no existe (y tambi´en es interno). En la teor´ıa de Nelson, al suponer todos los axiomas de ZFC tenemos autom´aticamente todos los teoremas de ZFC. El an´alogo para H no es igual de inmediato, pero tambi´en se cumple: Teorema A.2 Si α es un teorema de ZFC sin variables libres, entonces αin es un teorema de H. La prueba de este teorema es una comprobaci´on rutinaria basada en la deﬁnici´ on de “demostraci´on” que proporciona la l´ ogica matem´atica: una f´ ormula es un teorema de ZFC si se deduce en un n´ umero ﬁnito de pasos a partir de los axiomas de ZFC y de los axiomas l´ ogicos mediante la aplicaci´on de ciertas reglas de inferencia. Se comprueba que si α es un axioma l´ ogico (con variables libres x1 , . . . , xn ) entonces in x1 · · · xn αin es un teorema de H; por otra parte, si α es un axioma de ZFC entonces αin es un axioma de H; ﬁnalmente, se comprueba que si α se deduce de otras f´ormulas mediante una regla de inferencia, in entonces x1 · · · xn αin puede demostrarse en H a partir de las relativizaciones de las premisas. De aqu´ı se sigue f´acilmente el teorema. La demostraci´on es constructiva, en el sentido de que permite obtener expl´ıcitamente la demostraci´on en H de cualquier f´ ormula αin sin variables libres a partir de la demostraci´on de α en ZFC. Hemos demostrado que ∅in = ∅, y hemos anunciado que Nin = N. Vamos a ver ahora que la relativizaci´ on a conjuntos internos es trivial para los conceptos b´ asicos de la teor´ıa de conjuntos, es decir, que “en la medida de lo posible” los conceptos internos coinciden con los externos. Para ello introducimos el concepto siguiente: 3 Aqu´ ı suponemos que los axiomas de ZFC no tienen variables libres. En el caso del axioma del reemplazo, donde aparece una f´ ormula que puede tener par´ ametros x1 , . . . , xn , hay que entender que el axioma empieza con x1 · · · xn .

61 Deﬁnici´ on A.3 Diremos que un t´ermino t(x1 , . . . , tn ) de ZFC es absoluto si in x1 · · · xn tin (x1 , . . . , xn ) = t(x1 , . . . , xn ). Una f´ ormula α(x1 , . . . , xn ) de ZFC es absoluta si in x1 · · · xn (αin (x1 , . . . , xn ) ↔ α(x1 , . . . , xn )). Por ejemplo, hemos demostrado que ∅ es absoluto. El teorema siguiente nos permite reconocer muchas expresiones absolutas: Teorema A.4 Se cumple a) Un t´ermino t es absoluto si y s´ olo si lo es la f´ ormula x = t, donde x es una variable que no est´e libre en t. b) Si una f´ ormula α es equivalente en la teor´ıa de Zermelo Z a una f´ ormula absoluta β entonces α es absoluta. c) x = y y x ∈ y son f´ ormulas absolutas. d) Si α y β son f´ ormulas absolutas, tambi´en lo son ¬α, α → β, α ∨ β, α ∧ β, α ↔ β, 1 x ∈ y α, x ∈ y α, x|(x ∈ y ∧ α).

x ∈ y α,

e) Si θ(x1 , . . . , xn ) es una expresi´ on absoluta y t1 , . . . , tn son t´erminos absolutos, entonces θ(x1 , . . . , xn ) tambi´en es absoluta. ´ n: a) Si x = t es absoluta tenemos que Demostracio x1 · · · xn x(x = tin ↔ x = t), y sustituyendo x por tin obtenemos que tin = t. El rec´ıproco es similar. b) Si en Z tenemos x1 · · · xn (α ↔ β), entonces en H tenemos in x1 · · · xn (αin ↔ β in ), y x1 · · · xn (α ↔ β). in En particular x1 · · · xn (α ↔ β), con lo que la conclusi´ on es clara. c) es inmediato. d) La prueba para ¬α y α → β es inmediata. Para los conectores restantes se deduce de estos dos casos. Para el cuantiﬁcador universal tenemos que probar que in in x1 · · · xn y( x ∈ y α ↔ x ∈ y αin ). Como α es absoluta tenemos que in in in x1 · · · xn y( x ∈ y α ↔ x ∈ y αin ), in pero el axioma de transitividad nos permite cambiar el primer x por x, ya que los elementos de y son necesariamente internos. El caso del cuantiﬁcador existencial puede reducirse al anterior o demostrarse an´ alogamente. Para el cuantiﬁcador con unicidad tenemos que 1

x ∈ yα ↔

z ∈ y x ∈ y(α ↔ x = z),

luego tambi´en se reduce a los casos anteriores.

62

Ap´endice A. La teor´ıa de Hrbacek

Por u ´ltimo, ﬁjados x1 , . . . , xn , y internos, tenemos que un conjunto x cumple x ∈ y ∧ α si y s´olo si es interno y cumple x ∈ y ∧ αin , pues x ∈ y ya implica que x es interno y como α es absoluta αin equivale a α. Por consiguiente, o bien existe un u ´nico conjunto interno x ∈ y que cumple αin , y ´este es tambi´en el u ´nico conjunto x que cumple x ∈ y ∧ α, o bien no se da ninguna de las dos unicidades. En cualquier in caso x|(x ∈ y ∧ α) = x|(x ∈ y ∧ α) (Si no se da la unicidad ambos miembros son el conjunto vac´ıo.) e) Si θ es una f´ ormula tenemos que in x1 · · · xn (θin (x1 , . . . , xn ) ↔ θ(x1 , . . . , xn )). Por otra parte, si y1 , . . . , ym son las variables libres en los t´erminos t1 , . . . , tn , tenemos que in y1 · · · ym (tin i (y1 , . . . , ym ) = ti (y1 , . . . , ym )). Adem´as, ﬁjados y1 , . . . , ym tenemos que cada tin i es un conjunto interno, luego podemos sustituir en la f´ ormula anterior y queda in in y1 · · · ym (θin (tin 1 , . . . , tn ) ↔ θ(t1 , . . . , tm )). in in Es f´ acil ver que θin (tin on es absoluta. 1 , . . . , tn ) ≡ θ(t1 , . . . , tm ) , con lo que la composici´ Si θ es un t´ermino el resultado se sigue del caso que acabamos de probar aplicado a la f´ ormula x = θ.

Por ejemplo, ahora es claro que la uni´ on de conjuntos es absoluta, es decir, in xy (x ∪ y)in = x ∪ y. Una prueba directa es la siguiente: el miembro izquierdo es por deﬁnici´ on el u ´nico conjunto interno cuyos elementos internos son los elementos internos de x o y, pero por transitividad sobran todas las especiﬁcaciones “interno”, es decir, (x∪y)st es el u ´nico conjunto interno cuyos elementos son los elementos de x o y. As´ı pues, (x ∪ y)in = x ∪ y. En otras palabras, la uni´ on interna de conjuntos internos es simplemente su uni´ on. Por otra parte, el teorema anterior nos permite llegar mec´ anicamente a la misma conclusi´on: basta ver que z = x ∪ y ↔ u ∈ z(u ∈ x ∨ u ∈ y) y el miembro derecho es absoluto por el teorema anterior, luego el izquierdo tambi´en. Similarmente se prueba que x ∩ y, x \ y, {x}, {x, y}, x ⊂ y son absolutos. Ahora, el t´ermino (x, y) ≡ {{x}, {x, y}} es absoluto por el apartado e) del teorema. Por otra parte, z = x × y ↔ w ∈ z u ∈ x v ∈ y w = (u, v), luego x × y tambi´en es absoluto. Otros ejemplos de expresiones absolutas son f : x −→ y (inyectiva, suprayectiva, biyectiva), f (u), R es una relaci´on (reﬂexiva, sim´etrica, antisim´etrica, transitiva). Por ejemplo: f : x −→ y ↔ z ∈ f u ∈ x v ∈ y z = (u, v)∧

1 u ∈ x v ∈ y w ∈ f (w = (u, v) ∧ w ∈ f ).

Para probar que f (x) ≡ y|(x, y) ∈ f es absoluto observamos que si f y x son internos entonces f (x)in = y|(in y ∧ (x, y) ∈ f ), donde usamos que (x, y) es absoluto. Ahora bien, in y es redundante, pues si (x, y) ∈ f necesariamente y es interno, ya que y ∈ {x, y} ∈ (x, y) ∈ f , luego tenemos la igualdad. En deﬁnitiva, las propiedades y operaciones conjuntistas b´ asicas son absolutas. Esto implica en particular que al realizar dichas operaciones sobre conjuntos internos obtenemos conjuntos internos: la uni´ on, la intersecci´ on, el producto cartesiano, etc. de conjuntos internos es un conjunto interno. Por ejemplo x × y = (x × y)in , luego es interno por el teorema A.1.

63 Ejemplo

Anticipamos (sin prueba) un ejemplo de concepto no absoluto: Px.

En efecto, Pin Nin es por deﬁnici´ on el conjunto (interno) de todos los subconjuntos internos de Nin , in y no coincide con PN , que es el conjunto de todos los subconjuntos (internos y externos) de Nin . As´ı in pues, la f´ ormula x(Pin x = Px) falla cuando se aplica al conjunto interno x = Nin . Por consiguiente Px no es absoluto. Ejemplo Es un teorema de ZFC que 0 ∈ N ∧ n ∈ N n ∪ {n} ∈ N. Teniendo en cuenta que 0, ∪ y {x} son conceptos absolutos, la relativizaci´ on de este teorema es 0 ∈ Nin ∧ n ∈ Nin n ∪ {n} ∈ Nin . in Notemos que no hace falta poner n ∈ Nin porque Nin es interno, luego sus elementos son necesariamente internos. Esta f´ ormula es un teorema de H, y de ella se sigue que Nin es un conjunto inﬁnito. Por ello no hemos incluido el axioma de inﬁnitud entre los axiomas sobre los conjuntos externos. Ahora ya tenemos justiﬁcada la existencia de conjuntos (externos) inﬁnitos y, en particular, la existencia de N. Los axiomas que faltan se corresponden aproximadamente con los principios de transferencia, idealizaci´on y estandarizaci´ on de la teor´ıa de Nelson. Para enunciar el principio de idealizaci´ on necesitamos unas deﬁniciones: Deﬁnici´ on A.5 Para cada conjunto A, deﬁnimos ◦

A = {x ∈ A | st x}.

Diremos que un conjunto B tiene tama˜ no est´ andar si existe un conjunto est´ andar A y una aplicaci´ on f : ◦A −→ B suprayectiva. En particular, si A es un conjunto est´ andar entonces ◦A es un conjunto de tama˜ no est´andar. Los axiomas restantes son: Transferencia: Si α(x, x1 , . . . , xn ) es una f´ ormula interna cuyas variables libres sean exactamente las indicadas, la f´ ormula siguiente es un axioma: st st in in x1 · · · xn ( xαin (x, x1 , . . . , xn ) → xα (x, x1 , . . . , xn )). ´ n: Para toda f´ Idealizacio ormula α(x, y, x1 , . . . , xn ) del lenguaje de ZFC in no est´andar ∧ z(z ⊂ A ∧ z ﬁnito → x1 · · · xn A(A tiene tama˜ in in in in x y ∈ z αin (x, y, x1 , . . . , xn )) → x y ∈ A αin (x, y, x1 , . . . , xn )). ´ n: x st y st u(u ∈ y ↔ u ∈ x). Estandarizacio Del principio de transferencia se sigue que si dos conjuntos est´ andar tienen los mismos elementos est´andar entonces tienen los mismos elementos internos y, por transitividad, son iguales. Por consiguiente, del principio de estandarizaci´ on se sigue que para todo conjunto A existe un u ´nico conjunto est´andar SA cuyos elementos est´andar son los mismos que los de A. De principio de transferencia se sigue, an´ alogamente a como hemos hecho en la teor´ıa de Nelson, que las versiones internas de todos los conceptos deﬁnibles en ZFC son de hecho est´andar. Por ejemplo, Nin es un conjunto est´ andar. Para probarlo aplicamos el principio de transferencia a la f´ ormula (sin in st in in in par´ ametros) (z = N) , lo cual nos da que zz = N → zz = N . Similarmente, la uni´ on de conjuntos est´ andar es est´andar y, en general, cualquier conjunto deﬁnido mediante una expresi´ on de ZFC a partir de par´ ametros est´andar es est´andar.

64

Ap´endice A. La teor´ıa de Hrbacek

Los n´ umeros naturales Ahora ya podemos demostrar que, tal y como hab´ıamos anticipado, N = ◦Nin , es decir, que los n´ umeros naturales externos son los n´ umeros naturalesin est´andar. Una inclusi´ o n es simple: Relativizando teoremas de ZFC a conjuntos internos tenemos 0 = ∅ ∈ Nin y n ∈ Nin n + 1 ∈ Nin . Aqu´ı hemos usado que x ∪ {x} es un t´ermino absoluto, con lo que si n es un in conjunto interno entonces (n + 1)in = (n = n ∪ {n}. ∪ {n}) ◦ ◦ ◦ M´ as a´ un, tenemos que 0 ∈ Nin y n ∈ Nin n + 1 ∈ Nin , pues si n es est´andar entonces n + 1 es est´andar (por transferencia). El principio de inducci´ on nos da entonces que N ⊂ ◦Nin . Supongamos ahora que A = ◦N in \ N = ∅. Entonces A ⊂ S A = ∅. Todo conjunto interno que contenga n´ umeros naturalesin contiene un m´ınimo n´ umero naturalin (esto es la versi´on interna de un S S andar y m teorema de ZFC). Sea m el m´ınimo n´ umero naturalin de A. Como A es un conjunto est´ S est´a deﬁnido a partir de A, el principio de transferencia nos da que m es est´andar. En particular m ∈ ◦Nin \ N. Necesariamente m = 0, luego existe n = m − 1, que es un n´ umero naturalin que adem´as es in on, pues la minimalidad est´andar por transferencia. M´ as a´ un, (n < m) . Esto nos lleva a una contradicci´ de m fuerza a que n ∈ N, pero entonces tambi´en m = n + 1 ∈ N. No tiene sentido decir que la suma de n´ umeros naturales es absoluta. Esto ser´ıa tanto como decir que mn ∈ Nin (m + n)in = m + n, pero si m y n son n´ umeros naturalesin no est´andar, el miembro derecho no est´ a deﬁnido (o, en sentido estricto, est´a deﬁnido como el conjunto vac´ıo y, en cualquier caso, no se da la igualdad). Lo que si es cierto es algo m´as d´ebil que el car´ acter absoluto: mn ∈ N (m + n)in = m + n, es decir, la suma de n´ umeros naturalesin restringida a los n´ umeros naturales externos coincide con la usual. Esto es consecuencia de que ambas cumplen la misma relaci´on recurrente. Lo mismo vale para el producto, la exponenciaci´ on, la relaci´ on de orden, etc. La ﬁnitud El concepto de ﬁnitud dista mucho de ser absoluto. Podemos deﬁnir los conjuntos ﬁnitos como los biyectables con n´ umeros naturales. Entonces un conjunto interno es ﬁnitoin si es biyectablein con un n´ umero naturalin . Observemos que “biyectable” no es absoluto: ser biyectablein con un conjunto supone que la biyecci´ on sea interna. As´ı pues, todo n´ umero naturalin es por deﬁnici´ on ﬁnitoin , pero no tiene por qu´e ser ﬁnito. En primer lugar demostramos lo siguiente: Teorema A.6 Un conjunto interno es est´ andar y ﬁnitoin si y s´ olo si es ﬁnito y todos sus elementos son est´ andar, si y s´ olo si es est´ andar y ﬁnito. ´ n: Sea x est´andar y ﬁnitoin . Entonces su cardinalin es un n´ Demostracio umero naturalin est´andar n, luego es un n´ umero natural, y existe una biyecci´ on f : n −→ x interna que, por transferencia, podemos tomar est´andar. Como los elementos de n son todos est´andar y la imagen de un conjunto est´ andar por una aplicaci´ on est´andar es est´andar, concluimos que todos los elementos de x son est´andar. Obviamente x es ﬁnito. Rec´ıprocamente, si x es un conjunto ﬁnito formado por conjuntos est´ andar, probaremos que x es est´andar ﬁnitoin por inducci´ on sobre su cardinal. Si x = ∅ es evidente. Supuesto cierto para conjuntos de cardinal n, pongamos que x tiene cardinal n + 1. Sea y ∈ x y sea x = x \ {y}. Por hip´ otesis de inducci´ on x es est´andar y ﬁnitoin , pero {y} es interno porque el t´ e rmino {y} es absoluto, es est´andar por transferencia y es ﬁnitoin porque es un teorema de ZFC que y({y} es ﬁnito). Por otra parte, la uni´ on de conjuntos est´ andar es est´andar y la uni´ on de conjuntos ﬁnitosin es ﬁnitain , luego x es est´andar in y ﬁnito .

65 Respecto a la otra equivalencia, por la parte ya probada tenemos que todo conjunto est´ andar ﬁnitoin es est´andar y ﬁnito. Si x es est´andar y ﬁnito probamos que es ﬁnitoin por el mismo argumento inductivo sobre el cardinal conla variante siguiente: si el cardinal de x es n+1, en particular x = ∅, luego y y ∈ x st y por transferencia y y ∈ x. Tomamos, pues y ∈ x est´andar, y el resto del argumento vale igual. Para ir m´ as lejos necesitamos el principio de idealizaci´on. Vamos a demostrar el an´alogo al teorema 1.2: Teorema A.7 Sea α(x, y, x1 , . . . , xn ) una f´ ormula de ZFC. Entonces in

st in x1 · · · xn A( z(z ⊂ A ∧ z ﬁnito → x y ∈ z αin (x, y)) ↔ in st x y ∈ A αin (x, y)).

´ n: Fijados x1 , . . . , xn y A, suponemos la concurrencia y consideramos el conjunto Demostracio A, es decir, el conjunto de todos los elementos est´andar del estandarizado de A, que obviamente tiene tama˜ no est´andar. En efecto, se cumple que ◦S

z(z ⊂ ◦SA ∧ z ﬁnito →

in in x y ∈ z αin (x, y)),

pues basta tener en cuenta que si z ⊂ ◦SA ⊂ A es ﬁnito, como todos sus elementos son est´andar, el teorema anterior nos da que es est´andar, y podemos aplicar la hip´ otesis. in in x y ∈ ◦SA αin (x, y), de donde se sigue claramente que El principio de idealizaci´ on nos da que in st x y ∈ A αin (x, y). La implicaci´ on contraria es trivial, teniendo en cuenta que los elementos de un conjunto est´ andar ﬁnito son todos est´ andar. Ahora ya podemos demostrar el teorema general sobre existencia de conjuntos no est´andar: Teorema A.8 Un conjunto interno A es est´ andar y ﬁnito si y s´ olo si todos sus elementos son est´ andar. ´ n: Aplicamos el teorema anterior a la relaci´on dada por α(x, y) ≡ x ∈ A ∧ x = y. Demostracio Esta relaci´ on es concurrente en A si y s´olo si A no es est´andar y ﬁnito. Por el teorema anterior esto equivale a que A tiene un elemento no est´andar. Para completar la compatibilidad con la teor´ıa de Nelson observamos que el teorema siguiente (an´ alogo de 1.5) se deduce del teorema anterior aplicado a la relaci´ on α(x, y) ≡ y ∈ x ∧ x ⊂ A ∧ x es ﬁnito. Teorema A.9 Todo conjunto interno tiene un subconjunto ﬁnitoin que contiene a todos sus elementos est´ andar. Ahora es claro que todos los resultados que hemos demostrado en los cap´ıtulos precedentes a partir de la axiom´ atica de Nelson pueden demostrarse tambi´en en la teor´ıa de Hrbacek. El teorema de extensi´ on La versi´on general que hemos dado del principio de idealizaci´ on permite demostrar una versi´ on fuerte del principio de extensi´ on (comparar con 1.6). Teorema A.10 (Teorema de extensi´ on) Si A es un conjunto est´ andar y f es una funci´ on externa en ◦A con valores internos, entonces f se extiende a una funci´ on interna deﬁnida en A.

66

Ap´endice A. La teor´ıa de Hrbacek

´ n: La funci´ Demostracio on f , es decir, el conjunto {(x, f (x)) | x ∈ ◦A}, tiene tama˜ no est´andar, por lo que podemos aplicarle el principio de idealizaci´ on. Si z ⊂ f es ﬁnito, entonces z es una funci´ on cuyo dominio es un subconjunto ﬁnito a de ◦A. El conjunto a es ﬁnito y todos sus elementos son est´andar, luego es est´andar. Una simple inducci´ on sobre su cardinal demuestra que z es interno, y es una funci´ on que contiene a todos los elementos de f . Aplicamos el principio de idealizaci´ on a la f´ ormula “x es una funci´ on ∧y ∈ f ”, con lo que obtenemos una funci´ on F que contiene a f , luego su dominio contiene a ◦A y por transferencia a A.

Regularidad y reemplazo Es claro que el axioma de regularidad no se cumple en la teor´ıa de Hrbacek. Por ejemplo, si tenemos en cuenta que Nin no es sino el conjunto de todos los (ordinales ﬁnitos)in y que, ◦ por lo tanto, la relaci´ on de orden es la pertenencia, vemos que el conjunto Nin \ N no tiene un elemento minimal para la relaci´ on de pertenencia, lo cual contradice al axioma de regularidad. Tampoco podemos suponer el axioma de reemplazo. Para verlo observemos que si α es un ordinalin est´andar, entonces ◦α est´a bien ordenado por la relaci´ on de pertenencia. En efecto, si x ⊂ ◦α y x = ∅, S entonces x ⊂ α es un subconjunto interno no vac´ıo de α, luego contiene un m´ınimo ordinal β, que por transferencia ser´ a est´andar. As´ı pues, β ∈ x y es el m´ınimo de x. Si suponemos el axioma de reemplazo podemos considerar el (´ unico) ordinal α ˜ semejante a ◦α. Ahora ˜ probamos que si α ˜ = β entonces α = β. En efecto, tenemos una biyecci´on f : ◦α −→ ◦β que conserva S el orden y, aplicando el principio de transferencia, es f´ acil ver que f : α −→ β es una biyecci´on que conserva el orden, luego α = β. Consideremos ahora el conjunto de todos los ordinales de cardinal menor o igual que el cardinal de Nin (este cardinal tampoco puede deﬁnirse sin el axioma de reemplazo). De ´el seleccionamos el conjunto de los ordinales que son de la forma α, ˜ para cierto ordinalin est´andar α, y otra vez por el axioma del ˜ es inyectable en Nin . reemplazo formamos el conjunto A de todos los ordinalesin est´andar α tales que α in Ahora bien, el conjunto A contiene a todos los ordinales est´andar, pues si α es uno de ellos y F es un conjunto ﬁnitoin tal que ◦α ⊂ F ⊂ α, existe f : F −→ Nin inyectiva, que se restringe a ◦α y prueba que α ∈ A. Cambiando A por su estandarizado, podemos suponer que A es est´andar. Tenemos as´ı un conjunto est´ andar que contiene a todos los ordinalesin est´andar. Por transferencia A contiene a todos los ordinalesin , pero esto es imposible, pues se demuestra en ZFC que ning´ un conjunto contiene a todos los ordinales.4 Pese a esto, en el ap´endice B demostraremos que podemos suponer5 que la relaci´ on de pertenencia est´a bien fundada en la clase S de todos los conjuntos est´ a ndar, es decir, que para todo conjunto no vac´ıo A ⊂ S, x ∈ A y ∈ A y ∈ / x. Si dispusi´eramos del axioma de reemplazo, podr´ıamos deﬁnir por recursi´ on transﬁnita sobre la relaci´ on de pertenencia una aplicaci´ on que a cada conjunto est´ andar x le asigna un conjunto x ˜ determinado por la relaci´ on recurrente x ˜ = {˜ y | y ∈ x ∧ st y}. M´ as a´ un, la teor´ıa general de recursi´ on transﬁnita (ver [4]) permite demostrar que esta aplicaci´ on biyecta la clase de todos los conjuntos est´andar con una u ´nica clase transitiva (su colapso transitivo) de modo que se conserva la relaci´on de pertenencia, es decir, x ∈ y ↔ x ˜ ∈ y˜. En el ap´endice B veremos que podemos suponer todo esto y que el colapso transitivo de la clase de todos los conjuntos est´ andar es 4 Esta ´ es una diferencia entre la teor´ıa de Hrbacek y la de Nelson: en ´esta s´ı que existe un ordinal mayor que todos los ordinales est´ andar, por la versi´ on fuerte del principio de idealizaci´ on. 5 En todo este apartado “podemos suponer” signiﬁca que podemos tomarlo como axioma de modo que se sigue cumpliendo el teorema de conservaci´ on.

67 precisamente la clase R de todos los conjuntos regulares, es decir, la clase deﬁnida recurrentemente por R0 = ∅ ∧ α Rα+1 = PRα ∧ λ Rλ = Rδ ∧ R = Rα , δ<λ

α

donde α recorre todos los ordinales y λ todos los ordinales l´ımite (esta jerarqu´ıa tampoco puede deﬁnirse en general sin el axioma de reemplazo). Si suponemos todo esto, tenemos una aplicaci´on ∗ : R −→ S que es un isomorﬁsmo para la relaci´ on de pertenencia (la inversa de la funci´ on colapsante). El lector familiarizado con la teor´ıa de modelos b´ asica comprender´a el signiﬁcado de esta aplicaci´on: el principio de transferencia aﬁrma que S es un submodelo elemental de la clase I de los conjuntos internos, luego en particular satisface todos los axiomas de ZFC, y a trav´es de la funci´ on colapsante llegamos a que R tambi´en los satisface. As´ı pues, aunque no podemos suponer que todos los conjuntos externos cumplen ZFC, s´ı que podemos suponer que la existe clase de los conjuntos regulares y que cumple todo ZFC. Todos los conceptos conjuntistas son absolutos para R, por lo que, por ejemplo, R∗ = (RR )∗ = RS = RI = Rin . En general, ∗ transforma cada conjunto externo en su correspondiente interno.

Ap´ endice B

El teorema de conservaci´ on Dedicamos este ap´endice a demostrar el teorema de conservaci´on para la teor´ıa de Nelson y para la de Hrbacek. Nos referiremos a ellas como N y H, respectivamente. Para la primera aﬁrma que todo teorema interno de N es tambi´en un teorema de ZFC. Para la segunda aﬁrma que si α es una f´ ormula de ZFC tal que αin es un teorema de H, entonces α es un teorema de ZFC. Los razonamientos que emplearemos ser´an metamatem´aticos ﬁnitistas —es decir, aﬁrmaciones sobre la teor´ıa axiom´ atica de conjuntos que no pueden ser entendidos como teoremas de teor´ıa alguna— o teoremas de ZFC; en ning´ un caso han de entenderse como teoremas de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar.

B.1

Modelos internos

La herramienta b´ asica para obtener el teorema de conservaci´on ser´a la teor´ıa de modelos internos, que fue ideada por von Neumann para probar la independencia del axioma de regularidad y que despu´es uso G¨ odel para probar la consistencia de la hip´ otesis del continuo generalizada y el axioma de elecci´on. Seleccionamos cinco variables de (el lenguaje de) H, a las que llamaremos M , E, I, S y d, de modo que ninguna expresi´ on que consideremos tendr´ a estas variables salvo que lo indiquemos expl´ıcitamente. Para cada expresi´ on θ de H que no contenga estas variables, deﬁnimos su relativizaci´ on θM EISd (que M un las reglas siguientes. abreviaremos por θ ) como la expresi´on construida seg´ a) xM ≡ x, b) (t1 = t2 )M ≡ t1 = t2 , (t1 ∈ t2 )M ≡ t1 E t2 ≡ (t1 , t2 ) ∈ E, (st t)M ≡ t ∈ S, (in t)M ≡ t ∈ I. c) (¬α)M ≡ ¬αM , d) (α → β)M ≡ αM → β M , e) ( xα)M ≡ x ∈ M αM , 1 f) (x|α)M ≡ x|(( x(x ∈ M ∧ αM ) ∧ x ∈ M ∧ αM ) 1 ∨(¬( x(x ∈ M ∧ αM ) ∧ x = d).

69

70

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

En deﬁnitiva (dejando de lado las descripciones, que comentaremos enseguida) on de θ la relativizaci´ se obtiene cambiando cada ∈ por E, cada st por ∈ S, cada in por ∈ I y cada x por x ∈ M . Por ejemplo, ( u(u ∈ x → u ∈ y))M ≡ u ∈ M (u E x → u E y) Para interpretar esta deﬁnici´ on supongamos que (en ZFC) hemos ﬁjado un conjunto M , una relaci´ on E ⊂ M × M , unos subconjuntos S ⊂ I ⊂ M y un elemento d ∈ M . Entonces, si θ es una f´ ormula de H, la f´ ormula θM es lo que signiﬁca θ si llamamos “conjuntos” a los elementos de M u ´nicamente, “conjuntos est´andar” a los elementos de S, “conjuntos internos” a los conjuntos de I y consideramos que la relaci´on de pertenencia es la relaci´on E. Por ejemplo, (x ⊂ y)M es la f´ormula que acabamos de calcular, de modo que “x es un subconjunto de y visto desde M ” si todo elemento de M que “pertenece en M ” a x (es decir, que cumple u E x), tambi´en “pertenece en M ” a y. Similarmente ∅M est´a deﬁnido como “el u ´nico elemento x ∈ M que cumple u ∈ M ¬u E x, si es que existe tal elemento, o bien d si no existe”. ´ Esta es la idea subyacente a la deﬁnici´ on de relativizaci´ on, pero en sentido estricto lo u ´nico que hemos hecho ha sido asociar a cada expresi´ on θ de H otra expresi´ on θM de ZFC cuyas variables libres son las mismas de θ m´as quiz´a las variables M , E, I, S y d. Es claro que si θ es una f´ ormula de N (resp. de ZFC) entonces θM no contiene la variable I (resp. S e I), por lo que podemos hablar de θM ESd (resp. θM Ed ). Todo lo anterior ha de entenderse metamatem´aticamente, mientras que la deﬁnici´ on siguiente es una deﬁnici´ on en ZFC: Deﬁnici´ on B.1 Llamaremos modelo a toda qu´ıntupla M = (M, E, I, S, d) tal que E ⊂ M × M , d ∈ M , (S ⊂ I ⊂ M ). ´ Esta es la deﬁnici´ on de un modelo del lenguaje de H. Similarmente se deﬁne un modelo para el lenguaje de N suprimiendo la I, mientras que un modelo para el lenguaje de ZFC se obtiene suprimiendo tambi´en la S. Para referirnos a este u ´ltimo caso hablaremos de un modelo est´ andar. Cuando no indiquemos a qu´e tipo de modelo nos estamos reﬁriendo o a qu´e lenguaje pertenecen las f´ormulas que estamos considerando ser´a porque lo que digamos valdr´ a en cualquiera de los tres casos posibles. En la pr´ actica diremos que “M es un modelo” sobrentendiendo que lo es con un universo M , una relaci´on E, una descripci´ on impropia d, etc. La relativizaci´ on de los signos l´ ogicos deﬁnidos es f´acil de calcular: (α ∨ β)M ≡ αM ∨ β M ,

(α ∧ β)M ≡ αM ∧ β M ,

(α ↔ β)M ≡ αM ↔ β M .

Para el cuantiﬁcador existencial tenemos que ( xα)M ≡ x ∈ M αM ,

1 1 ( xα)M ↔ x ∈ M αM .

(Comparar con la relativizaci´ on a conjuntos internos en la teor´ıa de Hrbacek, ap´endice A) Teorema B.2 Si t(x1 , . . . , x ermino con las variables libres indicadas. se prueba en ZFC que n ) es un t´ si M es un modelo entonces x1 . . . xn ∈ M tM ∈ M . ´ n: Si t ≡ x el teorema se reduce a x ∈ M x ∈ M , lo cual es obvio, mientras que si Demostracio t ≡ x|α(x, x1 , . . . xn ) entonces tM es el u ´nico elemento de M que cumple αM si existe tal elemento (y entonces est´a en M ), o bien d si no existe (y en tal caso tambi´en est´a en M por deﬁnici´ on de modelo). Informalmente hemos de pensar que tM es lo que llamar´ıa t alguien que “creyera” que los conjuntos son los elementos de M , que la relaci´ on de pertenencia es E, etc.

B.1. Modelos internos

71

Deﬁnici´ on B.3 Sea Γ = {α1 , . . . , αm } una colecci´on ﬁnita de f´ ormulas y sean x1 , . . . xn las variables que aparezcan libres en ellas. Abreviaremos MΓ≡

M x1 . . . xn ∈ M α1M ∧ · · · ∧ αm .

De este modo, M Γ es una f´ ormula cuyas u ´nicas variables libres son M , E, I, S y d (o menos si consideramos f´ormulas y modelos de N o de ZFC). Se suele leer “M es un modelo de Γ” y tambi´en se dice que las f´ ormulas de Γ son verdaderas en M. Si tenemos una sola f´ ormula α escribiremos tambi´en M α. Es importante observar que no podemos deﬁnir de este modo qu´e signiﬁca que inﬁnitas f´ ormulas sean verdaderas en un modelo dado, pues tendr´ıamos que formar la conjunci´ on de inﬁnitas f´ ormulas. La deﬁnici´ on es posible, pero eso nos llevar´ıa a la teor´ıa de modelos propiamente dicha en vez de a la teor´ıa de modelos internos, que es la que necesitamos. El resultado fundamental sobre modelos internos es el siguiente: Teorema B.4 Sea Γ una colecci´ on ﬁnita de f´ ormulas y θ una consecuencia l´ ogica de Γ. Se demuestra en ZFC que si M Γ entonces M θ. Este teorema se demuestra con un argumento formalmente an´alogo al que prueba el teorema A.2 (ver la observaci´ on tras ´este resultado). Hemos de insistir en el car´acter constructivo de la prueba: a partir de una demostraci´ on de θ a partir de las premisas de Γ es posible obtener expl´ıcitamente una demostraci´on de que si M Γ entonces M θ. El teorema siguiente es una de las piedras angulares de nuestra demostraci´ on del teorema de conservaci´on. Recordemos que en ZFC se deﬁne la jerarqu´ıa {Vα }, donde α recorre los n´ umeros ordinales, de modo que V0 = ∅ ∧ α Vα+1 = PVα ∧ λ Vλ = Vδ , δ<λ

donde λ var´ıa en los ordinales l´ımite, y se demuestra que todo conjunto est´ a en un cierto Vα . Por conveniencia, nosotros llamaremos Vα a lo que normalmente se llama Vω+α . Los conjuntos Vα son transitivos, es decir, si x ∈ Vα entonces x ⊂ Vα , y forman una sucesi´ on creciente: si α ≤ β entonces Vα ⊂ V β . Consideraremos a Vα como un modelo est´andar con la relaci´ on de pertenencia usual y con d = ∅. Teorema B.5 (Teorema de Reﬂexi´ on) Sea Γ = {α1 , . . . , αm } una colecci´ on ﬁnita de f´ ormulas internas cuyas variables libres est´en entre x1 , . . . , xn . Entonces se demuestra en ZFC que existe un ordinal l´ımite λ tal que x1 . . . xn ∈ Vλ (αiVλ ↔ αi ), i = 1, . . . , m. ´ n: Es claro que podemos construir una sucesi´ Demostracio on ﬁnita de expresiones θ1 , . . . , θr con las propiedades siguientes: a) Las f´ ormulas α1 , . . . , αm est´an entre θ1 , . . . , θr . b) Todas las subexpresiones de cada θi aparecen previamente en la sucesi´on. c) Si θi ≡ x|α, entonces

1

x α (y, por consiguiente, α) aparece previamente en la sucesi´on.

72

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

Vamos a construir una sucesi´ on de ordinales α0 < α1 < · · · Tomamos como α0 cualquier ordinal. Supongamos deﬁnido αk . Si θi ≡ xα(x, x1 , . . . , xn ) para cada n-tupla (x1 , . . . , xn ) ∈ Vαnk deﬁnimos f (x1 , . . . , xn ) como el m´ınimo ordinal α tal que existe x ∈ Vα tal que ¬α(x, x1 , . . . , xn ) si es que existe tal x, y α = 0 en caso contrario. Sea αki el m´ınimo ordinal tal que Vαik contiene el rango de f , es decir, tal que f : Vαnk −→ Vαir . Si θi no es de esta forma, deﬁnimos αri = 0. Sea αr+1 el m´aximo entre αr + 1 y todos los αri . El supremo de la sucesi´on {αr } es un ordinal l´ımite λ. Veamos que cumple lo pedido. Por construcci´ on, (x|x = x) ∈ Vλ y si θi ≡ xα(x, x1 , . . . , xn ) y para ciertos x1 , . . . , xn ∈ Vλ existe un x tal que ¬α(x, x1 , . . . , xn ), entonces existe un x que cumple esto y adem´as est´a en Vλ . Vamos a probar por inducci´ on sobre i que si θi es un t´ermino con variables libres x1 , . . . , xn entonces x1 · · · xn ∈ Vλ (θi (x1 , . . . xn ) = θiVλ (x1 , . . . xn )) y si θi es una f´ ormula entonces x1 · · · xn ∈ Vλ (θi (x1 , . . . xn ) ↔ θiVλ (x1 , . . . xn )). Como las αj del enunciado est´ an entre las θi , el teorema quedar´ a probado. Si θi ≡ x entonces lo que hay que probar es que x ∈ Vλ x = x, lo cual es obvio. Si θi ≡ t1 ∈ t2 , entonces los t´erminos t1 y t2 aparecen antes en la sucesi´on, luego por hip´ otesis de inducci´ on x1 · · · xn ∈ Vλ (t1 = tV1 λ ∧ t2 = tV2 λ ). Lo que hemos de probar es que x1 · · · xn ∈ Vλ (t1 ∈ t2 ↔ tV1 λ ∈ tV2 λ ), lo cual es obvio. El caso en que θi ≡ t1 = t2 es id´entico a este. Si θi ≡ ¬α, por hip´ otesis de inducci´on x1 · · · xn ∈ Vλ (α ↔ αVλ ), y es claro que esto sigue siendo cierto si negamos ambos t´erminos. El caso en que θi ≡ α → β es an´alogo. otesis de inducci´on tenemos que Si θi ≡ xα, por hip´ xx1 · · · xn ∈ Vλ (α(x, x1 , . . . , xn ) ↔ αVλ (x, x1 , . . . , xn )) y hemos de probar que x1 · · · xn ∈ Vλ ( xα(x, x1 , . . . , xn ) ↔ x ∈ Vλ αVλ (x, x1 , . . . , xn )). Ahora bien, ﬁjados x1 , . . . , xn ∈ Vλ , si suponemos que xα y tomamos unx ∈ Vλ , tenemos Vλ Vλ α(x, x1 , . . . , xn ) y por hip´ otesis de inducci´on α (x, x1 , . . . , xn ), es decir, se cumple x ∈ Vλ α . on de λ existe Rec´ıprocamente, si ¬ xα existe un x que cumple ¬α(x, x1 , . . . , xn ) y por construcci´ Vλ un x ∈ V tal que ¬α(x, x , . . . , x ). Por hip´ o tesis de inducci´ o n ¬α (x, x , . . . , x ), luego no se cumple λ 1 n 1 n x ∈ Vλ αVλ . Supongamos ﬁnalmente que θi ≡ x|α. Entonces, ﬁjados x1 , . . . , xn ∈ Vλ , por hip´ otesis de inducci´on 1

x α(x, x1 , . . . , xn ) ↔

1

x ∈ Vλ αVλ (x, x1 , . . . , xn )

B.1. Modelos internos y

73

x ∈ Vλ (α(x, x1 , . . . , xn ) ↔ αVλ (x, x1 , . . . , xn )).

Supongamos que se dan las dos unicidades y sea x el u ´nico conjunto de Vλ que cumple αVλ . Entonces tambi´en cumple α, luego es de hecho el u ´nico conjunto que cumple α. Por tanto (x|α) = x = (x|α)Vλ . Si no se dan las unicidades, (x|α) = ∅ = (x|α)Vλ . El u ´ltimo concepto que necesitamos sobre modelos internos es el de inmersi´on elemental: Deﬁnici´ on B.6 Una inmersi´ on elemental j : M −→ M entre dos modelos (del mismo lenguaje) es una aplicaci´ on j : M −→ M tal que para toda f´ ormula α(x1 , . . . , xn ) con las variables libres indicadas se cumple x1 · · · xn ∈ M (αM (x1 , . . . , xn ) ↔ αM (j(x1 ), . . . , j(xn ))). (B.1) Nota Esta deﬁnici´ on carece de sentido tal y como est´a enunciada, pues la aﬁrmaci´ on “para toda f´ ormula α” carece de signiﬁcado matem´atico. Fijada una colecci´ on ﬁnita de f´ ormulas Γ, podemos deﬁnir una Γ-inmersi´ on elemental como la conjunci´ on de las equivalencias (B.1) para cada una de las f´ ormulas α de Γ. En la pr´ actica, cuando tomemos como hip´otesis que una aplicaci´ on j es una inmersi´on elemental se entender´a que lo es respecto a una colecci´on ﬁnita de f´ ormulas suﬁcientemente grande como para que se cumpla la tesis que queremos demostrar, mientras que cuando demostremos que una aplicaci´on j es una inmersi´ on elemental signiﬁcar´ a que, para toda colecci´ on ﬁnita de f´ ormulas Γ es posible demostrar que j es una Γ-inmersi´on elemental. Por ejemplo, podemos decir que toda inmersi´ on elemental es inyectiva, aplicando la deﬁnici´ on a la f´ ormula x = y, con lo cual hay que entender que toda inmersi´ on elemental respecto a una colecci´on ﬁnita de f´ ormulas que contenga a x = y es inyectiva. Teorema B.7 Si j : M −→ M es una inmersi´ on elemental tal que j(d) = d , entonces para todo t´ermino t(x1 , . . . , xn ) se cumple

x1 · · · xn ∈ M (j(tM (x1 , . . . , xn )) = tM (j(x1 ), . . . , j(xn ))).

´ n: Si t es una variable es trivial, y si t = x|α, distinguimos dos casos: Si se cumple Demostracio 1 1 que x ∈ M αM (x, x1 , . . . , xn ), entonces x ∈ M αM (x, j(x1 ), . . . , j(xn )) (pues estas f´ormulas son las 1 relativizaciones de x α a M y M ). Pero m´ as a´ un, si x ∈ M es el u ´nico que cumple αM (x, x1 , . . . , xn ), M entonces se cumple α (j(x), j(x1 ), . . . , j(xn )). Por consiguiente x = (x|α)M y j(x) = (x|α)M . Si no se da la unicidad en M entonces tampoco se da en M , luego j((x|α)M ) = j(d) = d = (x|α)M . Terminamos esbozando el plan de la prueba del teorema de conservaci´ on. Suponemos que una f´ ormula interna α es demostrable a partir de los axiomas de N. Aunque los axiomas son inﬁnitos, en una demostraci´ on s´ olo puede aparecer una cantidad ﬁnita de ellos. Sea Γ la colecci´ on de todos ellos. No perdemos generalidad si suponemos que α no tiene variables libres. El resultado principal que nos falta por probar es (aproximadamente) el siguiente: Si Γ es una colecci´ on ﬁnita de axiomas de N y α es una f´ ormula interna sin variables libres, existe una colecci´ on ﬁnita ∆ de axiomas de ZFC de modo que en ZFC se demuestra que si el modelo est´ andar M = Vλ cumple M ∆ entonces existe un modelo no est´ andar N tal que N Γ y adem´ as M α si y s´ olo si N α.

74

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

De hecho tendremos una inmersi´ on elemental j : M −→ N, de modo que los conjuntos est´ andar de N ser´an los de la imagen de j. Admitiendo esto, la prueba del teorema de conservaci´ on es como sigue: consideramos la colecci´on ∆ correspondiente a los axiomas Γ con los que se prueba α, aplicamos el teorema de reﬂexi´on a las f´ ormulas de ∆ y a α, de modo que encontramos un modelo M = Vλ tal que M ∆ y adem´as α ↔ M α. El teorema que nos falta probar nos da un modelo no est´ andar N tal que N Γ, luego N α, luego M α, luego α. En deﬁnitiva, hemos probado α en ZFC. Insistimos en que la prueba es totalmente constructiva: si tenemos una demostraci´on expl´ıcita de α a partir de los axiomas no est´ andar Γ, el teorema que vamos a probar nos da expl´ıcitamente la colecci´on ∆, el teorema de reﬂexi´on nos da una prueba expl´ıcita en ZFC de que M ∆ y de la implicaci´ on α ↔ M α. El teorema que nos falta probar nos da una prueba expl´ıcita en ZFC de que M ∆ → N Γ y M α ↔ N α, con lo que tenemos una prueba expl´ıcita de que N Γ y α ↔ N α, el teorema B.4 nos da una prueba expl´ıcita en ZFC de que N α y terminamos con una prueba expl´ıcita de α en ZFC. El argumento para H es ligeramente m´ as complicado, pero a grandes rasgos coincide con ´este.

B.2

Ultrapotencias

En esta secci´on veremos c´omo construir modelos no est´andar a partir de modelos est´ andar. Recordemos algunas deﬁniciones conjuntistas: Deﬁnici´ on B.8 Un ﬁltro en un conjunto I es una familia F de subconjuntos de I con las propiedades siguientes: a) I ∈ F , ∅ ∈ / F, b) Si X ⊂ Y ⊂ I y X ∈ F entonces Y ∈ F , c) Si X, Y ∈ F entonces X ∩ Y ∈ F . Un ultraﬁltro U en un conjunto I es un ﬁltro con la propiedad adicional de que si X ⊂ I entonces X ∈ U o I \ X ∈ U. Toda familia de subconjuntos de I con la propiedad de la intersecci´ on ﬁnita (es decir, tal que la intersecci´on de cualquier subfamilia ﬁnita es no vac´ıa) est´a contenida en un ﬁltro, a saber, en el ﬁltro de todos los subconjuntos de I que contienen una intersecci´ on ﬁnita de conjuntos de la familia. De aqu´ı se sigue f´acilmente que un ultraﬁltro es un ﬁltro maximal respecto de la inclusi´ on, por lo que el lema de Zorn nos da que todo ﬁltro est´ a contenido en un ultraﬁltro. En particular, toda familia de subconjuntos de I con la propiedad de la intersecci´ on ﬁnita est´ a contenida en un ultraﬁltro. El teorema siguiente es inmediato: Teorema B.9 Sean V e I dos conjuntos, sea U un ultraﬁltro en I y sea V I el conjunto de todas las aplicaciones de I en V . La relaci´ on f =U g ↔ {i ∈ I | f (i) = g(i)} ∈ U es una relaci´ on de equivalencia en V I . Deﬁnici´ on B.10 Si V es un conjunto y U es un ultraﬁltro en un conjunto I, llamaremos ultrapotencia de V respecto a U al conjunto cociente ∗V = V I /U de V I respecto de la relaci´on de equivalencia =U .

B.2. Ultrapotencias

75

Deﬁnimos la inmersi´ on natural j : V −→ ∗V como la aplicaci´on dada por j(x) = [cx ], donde cx : I −→ V es la aplicaci´on constante cx (i) = x. Es claro que j es inyectiva. Supongamos ahora que (V, E, d) es un modelo est´andar. Podemos deﬁnir la relaci´ on ∗E en ∗V mediante [f ] ∗E [g] ↔ {i ∈ I | f (i) E g(i)} ∈ U. Es inmediato comprobar que esta deﬁnici´ on no depende de los representantes f y g de las clases de equivalencia, as´ı como que la aplicaci´ on j cumple xy ∈ V (x E y ↔ j(x) ∗E j(y)). El teorema fundamental sobre ultrapotencias es el siguiente: Teorema B.11 Sea θ una f´ ormula interna con x1 , . . . , xn como variables libres. Entonces en ZFC se de∗ ∗ ∗ muestra lo siguiente: Si (V, E, d) es un modelo est´ andar y V es una ultrapotencia, entonces ( V, E, j(d)) es un modelo est´ andar tal que

∗ f1 · · · fn ∈ V I θkV ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I | θkV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U .

En particular j : V −→ ∗V es una inmersi´ on elemental. ´ n: Sea θ1 , . . . θr una sucesi´on de expresiones en las mismas condiciones exigidas en la Demostracio prueba del teorema de reﬂexi´ on. Veamos por inducci´ on sobre k que si θk es un t´ermino y f1 , . . . , fn ∈ V I entonces ∗ θi V ([f1 ], . . . , [fn ]) = [g], donde g : I −→ V viene dada por g(i) = θkV (f1 (i), . . . , fn (i)), mientras que si θk es una f´ ormula entonces cumple la propiedad del enunciado. Si θk ≡ x1 tenemos que g = f1 , luego el resultado es trivial. Si θk ≡ t1 ∈ t2 y f1 , . . . , fn ∈ V I , tenemos que ∗

t1V ([f1 ], . . . , [fn ]) = [g1 ],

∗

t2V ([f1 ], . . . , [fn ]) = [g2 ],

donde g1 y g2 est´an determinados por la hip´ otesis de inducci´on. As´ı, ∗

θkV ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ [g1 ] ∗E [g2 ] ↔ {i ∈ I | g1 (i) E g2 (i)} ∈ U ↔ {i ∈ I | tV1 (f1 (i), . . . , fn (i)) E tV2 (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U ↔ {i ∈ I | θkV (f1 (i), . . . , fn (i)))} ∈ U. El caso θk ≡ t1 = t2 es similar, usando la deﬁnici´ on de =U . Si θk ≡ ¬α, por hip´ otesis de inducci´on tenemos que α

∗

V

([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I | αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,

y como U es un ultraﬁltro ¬α equivale a ¬α

∗

V

∗

V

([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ V I \ {i ∈ I | αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U, pero esto

([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I | ¬αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,

que es lo que hab´ıa que probar.

76

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on Si θk ≡ α → β probaremos la coimplicaci´ on de las negaciones: ∗

¬(α → β)

V

([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ α

∗

V

([f1 ], . . . , [fn ]) ∧ ¬β

∗

V

([f1 ], . . . , [fn ]).

Usando la hip´ otesis de inducci´on y el caso anterior esto equivale a {i ∈ I | αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U ∧ {i ∈ I | ¬β V (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U ↔ {i ∈ I | (αV ∧ ¬β V )(f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U ↔ {i ∈ I | ¬(α → β)V (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U. Usando que U es un ultraﬁltro esto equivale a que {i ∈ I | θkV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ / U, que es lo que ten´ıamos que probar. Si θk ≡ xα probaremos tambi´en la coimplicaci´on de las negaciones: ∗ ∗ ¬θkV ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ f ∈ V I ¬α V ([f ], [f1 ], . . . , [fn ].) Usando la hip´ otesis de inducci´on y el caso ¬α ya probado, esto equivale a f ∈ V I {i ∈ I | ¬αV (f (i), f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U. Falta probar que esto equivale a {i ∈ I |

x ∈ V ¬αV (x, f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U.

(B.2)

(B.3)

En efecto, si existe f seg´ un (B.2) es claro que el conjunto que est´ a en U seg´ un (B.2) est´ a contenido en el conjunto que ha de estar en U seg´ un (B.3), luego se cumple (B.3). Rec´ıprocamente, si se cumple (B.3), para cada i en el conjunto indicado tomamos f (i) ∈ V de modo que se cumpla αV (f (i), f1 (i), . . . , fn (i)), y si i no est´a en el conjunto dado por (B.3) tomamos como f (i) cualquier elemento de V . Es claro que f cumple (B.2). Si θk ≡ x|α, sea g(i) = θrV (f1 (i), . . . , fn (i)). Por hip´ otesis de inducci´on 1

x ∈ ∗V α

∗

V

(x, [f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I |

1

x ∈ V αV (x, x1 , . . . , xn )} ∈ U.

Llamemos X al conjunto de la derecha. Si se da la unicidad, entonces X ∈ U y hemos de pro∗ bar que [g] es el u ´nico elemento de ∗V que cumple α V . Ahora bien, por la unicidad basta ver que α

∗

V

([g], [f1 ], . . . , [fn ]) y por hip´ otesis de inducci´on esto sucede si y s´olo si {i ∈ I | αV (g(i), f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,

pero es que X est´a contenido en este conjunto. Si no se da la unicidad, entonces I \ X ∈ U y para cada i ∈ I \ U tenemos que g(i) = d = cd (i), luego ∗

[g] = j([d]) = θr V ([f1 ], . . . , [fn ]). En particular, si θ no tiene variables libres hemos obtenido que V θ ↔ ∗V θ. A su vez esto implica que si V satisface una colecci´on ﬁnita Γ de axiomas de ZFC entonces ∗V tambi´en los satisface (los axiomas de ZFC no tienen variables libres). Podemos convertir a ∗V en un modelo no est´ andar (del lenguaje de N) deﬁniendo S = j[V ], es decir, tomando como conjuntos est´ andar las im´ agenes por j de los conjuntos de V .

B.2. Ultrapotencias

77

Teorema B.12 Si V es un modelo est´ andar y ∗V es una ultrapotencia, entonces ∗V cumple el principio de transferencia de N. ´ n: M´ Demostracio as precisamente, lo que vamos a probar es que si st st α≡ x1 · · · xn ( xθ → xθ) es un caso particular del principio de transferencia (donde θ es una f´ ormula de ZFC) entonces en ZFC se demuestra que si V es un modelo est´andar y ∗V una ultrapotencia entonces ∗V α. ∗ En efecto, hemos de probar α V , que es la f´ ormula ∗ ∗ x1 · · · xn ∈ S( x ∈ S θ V (x, x1 , . . . , xn ) → x ∈ ∗V θ V (x, x1 , . . . , xn )). ∗ Fijamos j(x1 ), . . . , j(xn ) ∈ S, donde x1 , . . . , xn ∈ V . Suponemos que x ∈ S θ V (x, j(x1 ), . . . , j(xn )) o, lo que es lo mismo, ∗ x ∈ V θ V (j(x), j(x1 ), . . . , j(xn )). Por el teorema anterior esto equivale a x ∈ V θV (x, x1 , . . . , xn ) ≡ ( xθ)V (x1 , . . . , xn ), ∗ ∗ ∗ y aplicando otra vez el teorema ( xθ) V (j(x1 ), . . . , j(xn )). As´ı pues, x ∈ V θ V (x, j(x1 ), . . . , j(xn )), como ten´ıamos que probar. ∗

Ahora probaremos que si el ultraﬁltro U se escoge adecuadamente entonces V satisface una forma d´ebil del principio de idealizaci´ on. Deﬁnici´ on B.13 Sea V un conjunto y ∗V una ultrapotencia. Para cada X ⊂ V deﬁnimos ∗X ⊂ ∗V como el conjunto dado por [f ] ∈ ∗X ↔ {i ∈ U | f (i) ∈ X} ∈ U. Se comprueba inmediatamente que la deﬁnici´ on no depende de la elecci´ on del representante f , as´ı como que se cumplen las propiedades siguientes: ∗

∗

∗

(X ∩ Y ) = X ∩ Y,

∗

∗

∗

(X ∪ Y ) = X ∪ Y,

∗

∗

∗

(V \ X) = V \ X.

x ∈ V (x ∈ X ↔ j(x) ∈ ∗X).

Llamemos V˜ al conjunto de todos los ultraﬁltros en V y sea t : ∗V −→ V˜ la aplicaci´ on dada por t(ξ) = {X ∈ PV | ξ ∈ ∗X}. Diremos que la ultrapotencia ∗V es adecuada si la aplicaci´ on t es suprayectiva. Teorema B.14 Todo conjunto tiene una ultrapotencia adecuada. ´ n: Sea V un conjunto y sea I el conjunto de todos los subconjuntos ﬁnitos de PV . Demostracio ˜ = {i ∈ I | X ∈ i}. Es claro que si X1 , . . . , Xn son subconjuntos de Para cada X ⊂ V deﬁnimos X ˜1 ∩ · · · ∩ X ˜ n = ∅, pues contiene a i = {X1 , . . . , Xn }. Por consiguiente la familia de los V entonces X ˜ est´a contenida en un ultraﬁltro U sobre I. Sea ∗V la ultrapotencia correspondiente y veamos conjuntos X que es adecuada. Para ello tomamos un ultraﬁltro F en V y para cada i ∈ I llamamos Ai a la intersecci´on de todos los elementos de i que est´an en F (entendiendo que Ai = V si no hay ninguno). As´ı Ai = ∅. Para cada i ∈ I elegimos f (i) ∈ Ai y llamamos ξ = [f ] ∈ ∗V . Basta probar que t(ξ) = F . En efecto, si X ∈ F entonces para cada i ∈ I tal que X ∈ i tenemos que Ai ⊂ X, luego f (i) ∈ X. As´ı ˜ ⊂ {i ∈ I | f (i) ∈ X}, lo que prueba que este u pues, X ´ltimo conjunto est´ a en U , es decir, ξ ∈ ∗X. Por deﬁnici´ on de t esto signiﬁca que X ∈ t(ξ). Con esto hemos probado que F ⊂ t(ξ), pero como ambos conjuntos son ultraﬁltros se ha de dar la igualdad F = t(ξ).

78

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

Teorema B.15 Sea θ(x, y, x1 , . . . , xm ) una f´ ormula de ZFC con las variables libres indicadas. Entonces en ZFC se demuestra que si V es un modelo est´ andar de una cierta colecci´ on ﬁnita ∆ de axiomas de ZFC y ∗V es una ultrapotencia adecuada entonces st st st ∗ V x1 · · · xm ( z(z ﬁnito → x y ∈ z θ(x, y)) → x y, θ(x, y)). ´ n: La relativizaci´ Demostracio on de esta f´ormula es ∗ ∗ x1 · · · xm ∈ S( z ∈ S(z ﬁnito V → x ∈ ∗V y ∈ ∗V (y E z → θ V (x, y)) →

x ∈ ∗V

y ∈Sθ

∗

V

(x, y)).

Fijamos m elementos de S, de la forma j(x1 ), . . . , j(xm ), con xi ∈ V . Suponemos

∗ ∗ z ∈ S z ﬁnito V → x ∈ ∗V y ∈ ∗V (y E z → θ V (x, y, j(x1 ), . . . , j(xm )) .

Sea ∆ la colecci´on de axiomas necesarios para demostrar en ZFC la existencia de {x}, la existencia de la uni´ on de dos conjuntos, que la uni´ on de dos conjuntos ﬁnitos es ﬁnita y que {x} es siempre un conjunto ﬁnito. Tomemos y1 , . . . , yn ∈ V . Del hecho de que V ∆ se sigue que existe un z ∈ V tal que z es ﬁnitoV y yi E z para todo i = 1, . . . , n. ∗

Como j es elemental, tenemos que j(z) es ﬁnito V y j(yi ) ∗E j(z) para todo i = 1, . . . , n. Por la ∗ hip´ otesis tenemos que x ∈ ∗V y ∈ ∗V (y E z → θ V (x, y)), y como j es elemental existe un x ∈ V tal que θV (x, yi , x1 , . . . , xm ) para todo i = 1, . . . n. En otros t´erminos, hemos probado que la familia de los conjuntos {x ∈ V | θV (x, y, x1 , . . . , xm )} para y ∈ V tiene la propiedad de la intersecci´ on ﬁnita, luego est´ an contenidos en un ultraﬁltro F de V . Como la ultrapotencia es adecuada, existe ξ ∈ ∗V tal que F = t(ξ). De este modo, si j(y) ∈ S tenemos que {x ∈ V | θV (x, y, x1 , . . . , xm )} ∈ F , luego ξ ∈ ∗{x ∈ V | θV (x, y, x1 , . . . , xm )}, y por el teorema B.11 esto implica que θ

∗

V

(ξ, j(y), j(x1 ), . . . , j(xm )). Por consiguiente

x ∈ ∗V

y ∈Sθ

∗

V

(x, y, j(x1 ), . . . , j(xm ))

(tomando x = ξ), que es lo que ten´ıamos que demostrar. ∗

Con esto tenemos que V cumple (una implicaci´ on de) el principio de idealizaci´ on de N, pero exigiendo adem´as que los par´ ametros sean est´andar. Desgraciadamente el caso general no tiene por qu´e cumplirse en ∗V , lo cual nos lleva a reﬁnar la construcci´ on.

B.3

L´ımites inductivos

Deﬁnici´ on B.16 Un sistema inductivo es una familia {Mα }α<λ de conjuntos no vac´ıos, donde λ es un ordinal l´ımite, junto con una familia de aplicaciones inyectivas jαα : Mα −→ Mα tales que si α < α < α < λ entonces se cumple la relaci´on jαα ◦ jα α = jαα . Diremos que {xα }α0 ≤α<λ es una sucesi´ on inductiva si para cada α se cumple xα ∈ Mα y para α0 ≤ α < α < λ se cumple que xα = jαα (xα ). Deﬁnimos el l´ımite inductivo de la familia como el cociente del conjunto de todas las sucesiones inductivas respecto a la relaci´ on de equivalencia que identiﬁca dos sucesiones si coinciden en su dominio com´ un.

B.3. L´ımites inductivos

79

Si llamamos M al l´ımite inductivo, deﬁnimos las aplicaciones jα : Mα −→ M mediante jα (x) = [{jαα (x)}α<α <λ ]. Es inmediato comprobar que para todos los ordinales α < α < λ se cumple la relaci´on jαα ◦ jα = jα , as´ı como que todo x ∈ M es de la forma jα (y) para un cierto α < λ y un cierto y ∈ Mα . Supongamos ahora que los conjuntos Mα son modelos est´andar y que si α < α < λ entonces xy ∈ Mα (x Eα y ↔ jαα (x) Eα jαα (y)). Supongamos tambi´en que jαα (dα ) = dα . Entonces podemos convertir al l´ımite inductivo M en un modelo est´andar con la relaci´ on x E y ↔ α < λ x y ∈ Mα (x = jα (x ) ∧ y = jα (y ) ∧ x Eα y ).

De las hip´ otesis se desprende que esta deﬁnici´on no depende de la representaci´ on de x, y como x = jα (x ), y = jα (y ). Tomamos como descripci´on impropia a jα (dα ), para cualquier α. Teorema B.17 Si M es el l´ımite inductivo de un sistema de modelos est´ andar para el que las aplicaciones jαα son inmersiones elementales, entonces las aplicaciones jα tambi´en lo son. ´ n: Vamos a probar que todas las jα satisfacen la deﬁnici´ Demostracio on de inmersi´ on elemental para una f´ ormula dada. Par ello tomamos una sucesi´ on de expresiones θ1 , . . . , θr en las mismas condiciones que en la prueba del teorema de reﬂexi´ on y que la contenga. Probaremos que si θk es una f´ ormula on de inmersi´ on elemental para ella y si es un t´ermino entonces entonces cada jα cumple la deﬁnici´ cumple el teorema B.7. En efecto, si θk ≡ x el teorema se reduce a jα (x) = jα (x). Si θk ≡ t1 ∈ t2 , usando la hip´ otesis de inducci´on vemos que Mα α θkMα (x1 , . . . , xn ) ↔ tM 1 (x1 , . . . , xn ) Eα t1 (x1 , . . . , xn ) Mα α ↔ jα (tM 1 (x1 , . . . , xn )) E jα (t1 (x1 , . . . , xn )) M ↔ tM 1 (jα (x1 ), . . . , jα (xn )) E t2 (jα (x1 ), . . . , jα (xn ))

↔ θkM (jα (x1 ), . . . , jα (xn )). El caso θk ≡ t1 = t2 es id´entico. Si θk ≡ ¬φ o θk ≡ φ → ψ la conclusi´ on se sigue inmediatamente de la hip´ otesis de inducci´on. otesis de inducci´on tenemos que Si θk ≡ xφ, por hip´ xx1 · · · xn ∈ Mα (φMα (x, x1 , . . . , xn ) ↔ φM (jα (x), jα (x1 ), . . . , jα (xn ))) y hemos de probar que

x1 · · · xn ∈ Mα ( x ∈ Mα φMα (x, x1 , . . . , xn ) ↔ x ∈ M φM (x, jα (x1 ), . . . , jα (xn ))). Una implicaci´ on es inmediata. Supongamos que x ∈ Mα φMα (x, x1 , . . . , xn ) y tomemos x ∈ M . Entonces existe un ordinal β tal que α < β < λ y x = jβ (x ), con x ∈ Mβ . Usando que jαβ es elemental concluimos que x ∈ Mβ φMβ (x, jαβ (x1 ), . . . , jαβ (xn )). En particular φMβ (x , jαβ (x1 ), . . . , jαβ (xn )). Ahora usamos la hip´ otesis de inducci´on para β, con lo que φM (jβ (x ), jβ (jαβ (x1 )), . . . , jβ (jαβ (xn ))), que es lo mismo que φM (x, jα (x1 ), . . . , jα (xn )).

80

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on Si θk ≡ x|φ, por hip´ otesis de inducci´on tenemos que 1

x ∈ Mα φMα (x, x1 , . . . , xn ) ↔

1

x ∈ M φM (jα (x1 ), . . . , jα (xn )).

Si se da la unicidad y x ∈ Mα es el u ´nico x que cumple φVα , por la hip´ otesis de inducci´on para φ ´nico que lo cumple. En deﬁnitiva jα ((x|φ)Vα ) = (x|φ)M . tenemos que jα (x) cumple φM , luego es el u Si no se da la unicidad, entonces (x|φ)Vα = dα y (x|φ)M = jα (dα ), luego tambi´en tenemos la relaci´on que buscamos. El teorema siguiente es inmediato: Teorema B.18 Si V es un modelo est´ andar arbitrario y κ es un ordinal l´ımite, existe una familia de modelos est´ andar {αV }α≤κ y una familia de inmersiones elementales jαβ : αV −→ β V , para α < β ≤ κ, de manera que a) 0V = V . b) Para cada α < κ el modelo α+1V es una ultrapotencia de αV respecto a un cierto ultraﬁltro Uα y jα α+1 es la inmersi´ on natural can´ onica de la ultrapotencia. c) Para cada ordinal l´ımite λ ≤ κ los modelos {αV }α<λ con las correspondientes inmersiones jαβ forman un sistema inductivo y λV es el correspondiente l´ımite inductivo, de modo que las inmersiones jαλ son las correspondientes a este l´ımite. En estas circunstancias diremos que el modelo κV es un ultral´ımite del modelo V . Es claro que los on de los modelos ultraﬁltros Uα pueden deﬁnirse recurrentemente a lo largo del proceso de construcci´ α α α+1 V . En particular podemos deﬁnir Uα en t´erminos de V y en particular podemos exigir que V sea α κ una ultrapotencia adecuada de V . En tal caso diremos que V es un ultral´ımite adecuado de V . En la prueba del teorema de conservaci´ on para N necesitamos u ´nicamente un ultral´ımite numerable (es decir, con κ = ω). En efecto, si partimos de cualquier modelo est´ andar V y formamos un ultral´ımite ∗ ω ∗ ∗ V = V , tenemos la inmersi´on elemental j = j0ω : V −→ V . Convertimos a V en un modelo del lenguaje de N deﬁniendo S = j[V ]. El hecho de que j sea una inmersi´on elemental permite probar, con el mismo argumento que en B.12, que ∗V cumple el principio de transferencia: Teorema B.19 Si V es un modelo est´ andar y ∗V es un ultral´ımite numerable, entonces ∗V cumple el principio de transferencia de N. La diferencia es que ahora podemos demostrar el principio de idealizaci´ on sin restricciones: Teorema B.20 Si V es un modelo est´ andar en el que se cumpla una cierta colecci´ on ﬁnita ∆ de axiomas de ZFC y ∗V es un ultral´ımite adecuado numerable, entonces ∗V cumple la implicaci´ on “→” del principio de idealizaci´ on de N. ´ n: Fijamos una f´ Demostracio ormula interna θ(x, y, x1 , . . . , xm ) y hemos de probar que st st ∗ V x1 · · · xm z(z ﬁnito → x y ∈ z θ(x, y)) → x y, θ(x, y) , es decir, que

∗ ∗ x1 · · · xm ∈ ∗V ( z ∈ S(z ﬁnito V → x ∈ ∗V y ∈ ∗V (y E z → θ V (x, y))

→

x ∈ ∗V

y ∈Sθ

∗

V

(x, y)).

B.3. L´ımites inductivos

81

Si x1 , . . . , xn ∈ ∗V existe un natural m tal que x1 , . . . , xn ∈ jm [mV ]. Digamos que xi = jm (xi ), con m xi ∈ V . Suponemos

∗

z ∈ S(z ﬁnito V →

∗

x∈V

∗

y ∈ V (y E z → θ

∗

V

(x, y, jm (x1 ), . . . , jm (xn ))).

Ahora usamos que jm+1 : m+1V −→ ∗V es una inmersi´on elemental, con lo que

m+1

z ∈ m+1S(z ﬁnito

(y En+1 z → θ donde

∗

ﬁnito

m+1 V

m+1

→

V

x ∈ m+1V

y ∈ m+1V

(x, y, jm m+1 (x1 ), . . . , jm m+1 (xn ))),

V

S = j0m+1 [V ]. En efecto: ﬁjado z ∈

m+1

m+1

S tal que z es ﬁnito

V

, entonces jm+1 (z) ∈ S y es

, luego concluimos que

x ∈∗V

∗

y ∈ V (y E z → θ

∗

V

(x, y, jm (x1 ), . . . , jm (xn )),

y ahora volvemos a aplicar que jm+1 es elemental. Aplicamos el teorema B.15 a

x ∈ m+1V

y∈

m+1

m+1

Sθ

V

m

V , lo cual nos da que

(x, y, jm m+1 (x1 ), . . . , jm m+1 (xn )).

Fijamos un x ∈ m+1V que cumpla esto y observamos que entonces

y ∈Sθ

∗

V

(jm+1 (x), y, x1 , . . . , xn ).

En efecto, todo elemento de S es de la forma j(y), para un y ∈ m+1S que ha de cumplir m+1

θ

V

(x, y, jm m+1 (x1 ), . . . , jm m+1 (xn )).

Usando de nuevo que jm+1 es elemental pasamos a θ

∗

V

(jm+1 (x), jm+1 (y), x1 , . . . , xn ).

En deﬁnitiva tenemos que

x ∈ ∗V

y ∈Sθ

∗

V

(x, y, x1 , . . . , xn ),

como ten´ıamos que probar. Para los axiomas restantes nos restringiremos al caso en que V es un modelo Vλ , para un cierto ordinal l´ımite λ. Puede probarse que si Vλ cumple suﬁcientes axiomas de ZFC y z ∈ Vλ entonces z es ﬁnitoVλ si y s´olo si z es ﬁnito, pero podemos a˜ nadir esto como hip´ otesis en lugar de demostrarlo: Teorema B.21 Existe un conjunto ﬁnito ∆ de axiomas de ZFC tal que en ZFC se demuestra que si λ es un ordinal l´ımite tal que Vλ ∆ y z ∈ Vλ (z es ﬁnitoVλ ↔ z es ﬁnito) entonces toda ultrapotencia adecuada numerable ∗V de Vλ cumple los principios de transferencia, idealizaci´ on y estandarizaci´ on de N.

82

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

´ n: Veamos que ∗V st z(z ﬁnito → y ∈ z st y). Esto equivale a probar que Demostracio ∗ z ∈ S(z ﬁnito V → y ∈ ∗V (y ∗E z → y ∈ S)). Un tal z ser´a de la forma z = j(z ), donde z ∈ Vλ y como j es elemental tenemos que z es ﬁnitoVλ . ∗ Por hip´ otesis z es ﬁnito, digamos z = {y1 , . . . , yn }. Basta probar que si y E z entonces y = j(yi ) para alg´ un i = 1, . . . , n. Lo probamos porinducci´ on sobre n. Si z = {y1 } usamos la f´ormula y(y ∈ z → y = y1 )Vλ para concluir y ∈ ∗V (y ∗E z → y = j(y1 )), como quer´ıamos probar. Si vale para n − 1 llamamos z = {y1 , . . . , yn−1 }. Como y(y ∈ z → y ∈ z ∨ y = yn )Vλ , tenemos tambi´en

y ∈ ∗V (y ∗E z → y ∗E j(z ) ∨ y = j(yn )),

y combinando esto con la hip´ otesis de inducci´on llegamos a que si y ∗E j(z ) entonces y = j(yi ) para i = 1, . . . , n − 1. La conclusi´ on es inmediata. Ahora observamosque la implicaci´ on es una consecuencia l´ogica on “←” del principio de idealizaci´ st ∗ de la sentencia ∗V z(z ﬁnito → y ∈ z st y) que acabamos de probar que se cumple en V , luego por B.4 tambi´en se cumple la implicaci´on. El rec´ıproco nos lo da el teorema anterior. Nos falta probar el principio de estandarizaci´ on, es decir, que st st st ∗ V x1 · · · xn x y z(z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ θ(z, x, y, x1 , . . . , xn )). Fijamos x1 , . . . , xn ∈ ∗V y x ∈ V . Hemos de probar que existe un y ∈ Vλ tal que ∗ z ∈ S(z ∗E j(y) ↔ z ∗E j(x) ∧ θ V (z, j(x), j(y), x1 , . . . , xn )). Sea y = {z ∈ x | θ cumple

∗

V

(j(z), j(x), j(y), x1 , . . . , xn )} ∈ Vλ . De este modo, si j(z) ∈ S, con z ∈ Vλ , se

j(z) ∗E j(y) ↔ z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ θ ↔ j(z) ∗E j(x) ∧ θ

∗

V

∗

V

(j(z), j(x), j(y), x1 , . . . , xn )

(j(z), j(x), j(y), x1 , . . . , xn ).

Con esto llegamos al resultado ﬁnal para la N: Teorema B.22 Si Γ es cualquier colecci´ on ﬁnita de axiomas de N y θ es una f´ ormula interna sin variables libres, en ZFC se demuestra que existe un modelo no est´ andar M tal que M Γ y θ ↔ M θ. ´ n: Tomamos una colecci´on ﬁnita de axiomas ∆ de ZFC que contenga a todos los Demostracio axiomas de ZFC que haya en Γ y que satisfaga el teorema B.21. Por el teorema B.5 podemos demostrar que existe un ordinal l´ımite λ tal que Vλ est´a en las hip´ otesis de B.21 y adem´as θ ↔ θVλ . Llamamos M a un ultral´ımite adecuado numerable de Vλ . Entonces M ∆, luego en particular M cumple todos los axiomas de ZFC que hay en Γ. Adem´as θV ↔ M θ. Por el teorema B.21 podemos probar que M cumple los axiomas externos que haya en Γ, con lo que tenemos todas las propiedades requeridas. Esto prueba el teorema de conservaci´on: si θ es un teorema interno de la teor´ıa de conjuntos no est´andar entonces θ se demuestra a partir de una cantidad ﬁnita de axiomas Γ. El teorema anterior nos dice c´omo demostrar en ZFC la existencia de un modelo M tal que M Γ y θ ↔ M θ, el teorema B.4 nos dice c´omo transformar la prueba que conocemos de θ a partir de los axiomas de la teor´ıa no est´andar en una prueba en ZFC de que M θ y reuniendo todo esto obtenemos una prueba de θ en ZFC.

B.4. El teorema de conservaci´on para la teor´ıa de Hrbacek

83

Nota La prueba que hemos visto puede entenderse as´ı: la colecci´on de todas las aﬁrmaciones matem´aticas (internas) que los matem´aticos han demostrado hasta la fecha o se han planteado demostrar es ﬁnita. Por el teorema de reﬂexi´ on podemos encontrar un ordinal λ tal que en Vλ se cumplen todos los teoremas demostrados hasta la fecha y, adem´as, cualquier presunto teorema que un matem´ atico pueda estar interesado en probar (dentro de una selecci´ on ﬁnita, pero arbitrariamente grande, de objetivos interesantes) se cumple en Vλ si y s´olo si se cumple de verdad. Si formamos un ultral´ımite ∗V obtenemos otro modelo donde se cumplen todos los teoremas demostrados y tal que un “objetivo” se cumple si y s´ olo si se cumple de verdad. Pero adem´ as en ∗V se cumplen los axiomas de la teor´ıa de conjuntos no est´ andar, por lo que si demostramos un “objetivo” con la ayuda de estos axiomas y de cualquier teorema conocido previamente, estamos probando que nuestro “objetivo” se cumple en ∗V , y entonces se cumple de verdad.

B.4

El teorema de conservaci´ on para la teor´ıa de Hrbacek

El teorema de conservaci´on para H requiere una construcci´ on m´as delicada que la que acabamos de emplear para N. Concretamente, hemos de demostrar que si α es una f´ ormula de ZFC tal que αin es un teorema de H, entonces α es un teorema de ZFC. Para empezar observamos que si M = (M, E, I, S, d) es un modelo del lenguaje de H entonces (I, E|I×I , d) es un modelo est´andar, y si θ(x1 , . . . , xn ) es una f´ ormula de ZFC entonces x1 · · · xn ∈ M ((θin )M (x1 , . . . , xn ) ↔ θI (x1 , . . . , xn )), pues las restricciones x ∈ M ∧ x ∈ I que aparecen en (θin )M equivalen a las restricciones x ∈ I que aparecen en θI . Se demuestra por inducci´ on sobre la longitud de θ, probando al mismo tiempo que si θ es un t´ermino entonces x1 · · · xn ∈ M ((θin )M (x1 , . . . , xn ) = θI (x1 , . . . , xn )). Partimos de un modelo Vλ que cumpla los suﬁcientes axiomas de ZFC y tal que, para la f´ ormula α que queremos demostrar en ZFC, se cumpla αVλ ↔ α. Basta construir un modelo M en el que se cumplan los axiomas de H junto con una inmersi´ on elemental j : Vλ −→ I, pues si αin es demostrable en H entonces tendremos (αin )M , luego αI , luego αVλ y, por consiguiente, α. Toda la prueba ser´ a constructiva. En realidad vamos a trabajar simult´ aneamente con todos los modelos Vα , para α < λ. Por claridad enunciamos en un teorema las caracter´ısticas de la construcci´on que vamos a realizar. Necesitamos una deﬁnici´ on adicional: Deﬁnici´ on B.23 Una on i : M −→ M entre dos modelos est´andar es una inmersi´ on inicial si aplicaci´ es inyectiva, cumple xy ∈ M (x E y ↔ i(x) E i(y)), i(d) = d y x ∈ M y ∈ M (y E i(x) → y0 ∈ M y = i(y0 )). Teorema B.24 Fijados ordinales l´ımite λ y κ, existe una sucesi´ on de modelos est´ andar Wαβ , con α < λ, β ≤ κ junto con aplicaciones inyectivas iβαα : Wαβ −→ Wαβ , (para α < α < λ, β < β ≤ κ) tales que:

a) Si β < β < β entonces jαββ ◦ jαβ β = jαββ .

jαββ : Wαβ −→ Wαβ

84

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on b) Si α < α < α entonces iβαα ◦ iβα α = iβαα . c) Si α < α , β < β el diagrama siguiente es conmutativo: Wαβ

ββ jα

W β α

iβ αα

Wαβ

ββ jα

iβ αα

W β α

d) Las aplicaciones jαββ son inmersiones elementales, y las aplicaciones iβαα son inmersiones iniciales. e) Wα0 = Vα , Eα0 es la relaci´ on de pertenencia, i0αα es la inclusi´ on. f ) Cada Wαβ+1 es una ultrapotencia de Wαβ respecto a un ultraﬁltro U β en un conjunto I β (donde ninguno de los dos depende de α).

g) Si λ ≤ κ es un ordinal l´ımite entonces Wαλ es el l´ımite inductivo de los modelos Wαβ , para β < λ . ´ ´ n: Las condiciones del teorema determinan totalmente la construcci´on. Unicamente Demostracio hemos de explicitar la construcci´ on de las inmersiones iniciales. Para β = 0, la transitividad de cada Vα implica que las inclusiones i0αα son ciertamente inmersiones iniciales. Supuestos construidos todos los modelos Wαβ para todo α < λ y un β < κ, (junto con las aplicaciones correspondientes). Fijamos arbitrariamente un conjunto I β y un ultraﬁltro U β en I β y deﬁnimos Wαβ+1 como la ultrapotencia correspondiente de Wαβ . Esto nos da autom´ aticamente las inmersiones elementales jαβ β+1 . β Deﬁnimos iβ+1 on muestra que iβ+1 a αα ([f ]) = [f ], donde f (i) = iαα (f (i)). Una simple comprobaci´ αα est´ β+1 β+1 bien deﬁnida, satisface las relaciones indicadas y es inicial. Por ejemplo, si [g] Eα iαα ([f ]), entonces {i ∈ I β | g(i) Eαβ iβαα (f (i))} ∈ U β . Como iβαα es inicial, para cada i en este conjunto, g(i) = iβαα (g (i)), donde g (i) ∈ Wαβ . Extendemos on sobre todos los ´ındices, de modo que tenemos [g ] ∈ Wαβ y claramente [g] = iβαα ([g ]). g a una funci´ Supongamos ahora construidos los modelos Wαβ (con las aplicaciones correspondientes) para todo β < λ , donde λ ≤ κ es un ordinal l´ımite. Deﬁnimos Wαλ como el l´ımite inductivo de los modelos Wαβ . Las aplicaciones iλαα se deﬁnen mediante

iλαα ([{xβ }]) = [{iβαα (xβ )}]. Se demuestra f´ acilmente que est´an bien deﬁnidas, que cumplen todas las relaciones y que son iniciales. En realidad podemos exigir algo m´ as: Teorema B.25 En las condiciones del teorema anterior, los conjuntos I β y los ultraﬁltros U β pueden elegirse de modo que cada Wαβ+1 sea una ultrapotencia adecuada de Wαβ .

B.4. El teorema de conservaci´on para la teor´ıa de Hrbacek

85

´ n: Suponemos construidos los modelos {Wαβ }α<λ , con las correspondientes inmersioDemostracio β nes iαα . Formamos el l´ımite inductivo W β y tomamos I β y U β seg´ un el teorema B.14 aplicado a W β , es β β decir, I es el conjunto de todos los subconjuntos ﬁnitos de PW . Vamos a comprobar que el argumento de B.14 se reﬁna levemente para probar que todas las ultrapotencias Wαβ+1 son adecuadas: Tomamos un ultraﬁltro F ⊂ Wαβ y para cada i ∈ I β llamamos Ai a la intersecci´on de los conjuntos β −1 (iα ) [X], donde X ∈ i e (iβα )−1 [X] ∈ F (entendiendo que Ai = Wαβ si no hay ning´ un X). En particular Ai = ∅, por lo que podemos tomar f (i) ∈ Ai y formamos as´ı un ξ = [f ] ∈ Wαβ+1 . Ahora, si Y ∈ F y X = iβα [Y ] ∈ i entonces Ai ⊂ Y , luego f (i) ∈ Y , lo que a su vez implica que ˜ ⊂ {i ∈ I | f (i) ∈ Y }, X luego el u ´ltimo conjunto est´ a en U β . Como en B.14 se concluye ahora que Y ∈ t(ξ), con lo que F ⊂ t(ξ) y al ser ultraﬁltros tenemos la igualdad. Tomamos concretamente κ = |Vλ |+ (el menor cardinal mayor que el cardinal de Vλ ). Para cada ordinal β ≤ κ deﬁnimos W β como el l´ımite inductivo del sistema formado por los modelos {Wαβ }α<λ con las aplicaciones iβαα . Esto nos da aplicaciones iβα : Wαβ −→ W β . Es f´ acil ver que son iniciales. As´ı mismo es claro que Vλ se identiﬁca con W 0 de forma natural.

Si β < β ≤ κ, deﬁnimos j ββ : W β −→ W β como la u ´nica aplicaci´ on que cumple iβα ◦j ββ = jαββ ◦iβα . ββ Es f´ acil ver que existe. Pronto veremos que j es una inmersi´on elemental, pero esto no es inmediato. Llamamos I = W κ e identiﬁcamos cada modelo Wαβ con su imagen por la aplicaci´ on jαβκ ◦ iκα . Es claro entonces que todas las inmersiones que estamos considerando se identiﬁcan con inclusiones. En particular β Wβ = Wα . α<λ

Recordemos que el ordinal λ lo proporciona el teorema de reﬂexi´ on, de modo que Vλ satisface una colecci´on ﬁnita arbitrariamente grande de axiomas de ZFC. Vamos a exigir que satisfaga tambi´en las propiedades siguientes (lo cual es posible siempre por el teorema de reﬂexi´on) a) α ∈ Vλ (α es un ordinalVλ ↔ α es un ordinal). b) α < λ(VαVλ = Vα ) (esto se obtiene por el teorema de reﬂexi´on aplicado a x = Vα ). En la prueba del teorema de reﬂexi´ on se ve que el ordinal λ se puede tomar arbitrariamente grande, es decir, para cada f´ ormula α tenemos que α λ (α ≤ λ ∧ x1 · · · xn ∈ Vλ (αVλ (x1 , . . . , xn ) ↔ α(x1 , . . . , xn )). (Aqu´ı se entiende que α representa un ordinal y λ un ordinal l´ımite.) Pues bien, vamos a suponer que Vλ cumple la relativizaci´ on de esta f´ormula a Vλ (para una colecci´ on ﬁnita arbitrariamente grande de f´ ormulas α. Teniendo en cuenta a) y b) lo que estamos suponiendo es que α < λ λ (α ≤ λ < λ ∧ x1 · · · xn ∈ Vλ (αVλ (x1 , . . . , xn ) ↔ αVλ (x1 , . . . , xn )). Pero esto es tanto como decir que la inclusi´on i0λ : Vλ −→ Vλ es una inmersi´on elemental para un conjunto de ordinales l´ımite λ no acotado en λ. Teorema B.26 En las condiciones anteriores, si i0λ es una inmersi´ on elemental, tambi´en lo es iβλ para todo β ≤ κ.

86

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

´ n: Fijada una f´ Demostracio ormula, construimos una sucesi´ on de expresiones θ1 , . . . , θr igual que en la prueba del teorema de reﬂexi´ on y demostramos que cada θk cumple la deﬁnici´ on de inmersi´ on elemental o el teorema B.7 seg´ un si es una f´ ormula o un t´ermino. Razonamos por inducci´ on sobre β. Para β = 0 es trivial. Ahora suponemos que iβλ es una inmersi´on elemental para todas las expresiones θk y siempre que i0λ lo es, y vamos a probarlo para iβ+1 λ . A su vez suponemos que se cumple para expresiones anteriores a θk y lo probamos para ´esta. no es m´as Si θk ≡ x es trivial. Si θk ≡ t1 = t2 o θk ≡ t1 ∈ t2 se sigue inmediatamente de que iβ+1 λ que la inclusi´ on. Los casos θk ≡ ¬φ o θk ≡ φ → ψ son igualmente inmediatos a partir de la hip´ otesis para φ y ψ. Supongamos ahora que θk ≡ xφ. La parte no trivial es suponer que, ﬁjados x1 , . . . , xn ∈ Wλβ+1 , si β+1 W β+1 β+1 W β+1 λ (x, x1 , . . . , xn ) entonces tambi´en x ∈ W φ (x, x1 , . . . , xn ). se cumple x ∈ Wλ φ β+1 Supongamos, por reducci´ on al absurdo, que existe x ∈ W β+1 de manera que ¬φW (x, x1 , . . . , xn ). Tomemos entonces un ordinal l´ımite λ > λ tal que i0λ sea elemental y de modo que x ∈ Wλβ+1 . β+1

Por la hip´ otesis de inducci´on para φ y λ tenemos ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ). Tomemos funciones fj : I β −→ Wλβ funciones tales que xj = [fj ]. Por el teorema B.11 tenemos que β {i ∈ I β | x ∈ Wλβ ¬φWλ (x, f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U β . Para cada ´ındice i en este conjunto aplicamos la hip´ otesis de inducci´on en virtud de la cual las β β β inclusiones iλ e iλ son elementales para θk , de donde se sigue que x ∈ Wλβ ¬φWλ (x, f1 (i), . . . , fn (i)). As´ı pues, β {i ∈ I β | x ∈ Wλβ ¬φWλ (x, f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U β . β+1 De nuevo por B.11 concluimos que x ∈ Wλβ+1 ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ), en contra de lo supuesto. El caso en que θk ≡ x|φ se trata con el mismo argumento que hemos empleado en todos los resultados similares a ´este. Ahora suponemos que β es un ordinal l´ımite y que iδλ es una inmersi´on elemental para las expresiones θk siempre que δ < β y i0λ lo es. Hemos de probarlo para iβλ , y a su vez lo suponemos cierto para las expresiones anteriores a θk . Pasamos directamente al u ´nico caso no trivial, es decir, cuando θk ≡ xφ. Fijamos x1 , . . . , xn ∈ Wλβ β y suponemos que existe un x ∈ W β de manera que ¬φW (x, x1 , . . . , xn ). Sea λ > λ un ordinal l´ımite tal que i0λ sea elemental y x, x1 , . . . , xn ∈ Wλβ . A su vez tomamos un δ < β tal que x ∈ Wλδ y x1 , . . . , xn ∈ Wλδ . β

Por la hip´ otesis de inducci´on para φ tenemos ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ), como la inclusi´ on jλδβ es eleδ mental de aqu´ı se sigue ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ), por la hip´ otesis de inducci´on para iδλ e iδλ respecto a δ θk tenemos x ∈ Wλδ ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ), y usando que la inmersi´ on jλδβ es elemental concluimos que β x ∈ Wλβ ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ). Como consecuencia tenemos:

on j ββ : W β −→ W β es una inmersi´ on elemental. Teorema B.27 Si β < β ≤ κ, la inclusi´ ´ n: Dada una f´ Demostracio ormula φ(x1 , . . . , xn ), ﬁjamos x1 , . . . , xn ∈ W β y tomamos un ordinal β l´ımite λ tal que x1 , . . . , xn ∈ Wλ y las inclusiones iβλ , iβλ sean elementales. Entonces, usando que jλββ es elemental, vemos que β

β

β

β

φW (x1 , . . . , xn ) ↔ φWλ (x1 , . . . , xn ) ↔ φWλ (x1 , . . . , xn ) ↔ φW (x1 , . . . , xn ).

B.4. El teorema de conservaci´on para la teor´ıa de Hrbacek

87

Llamaremos j = j 0κ , de modo que j : Vλ −→ I es una inmersi´on elemental. Deﬁnimos S = j[Vλ ] ⊂ I. Los elementos de I ser´an los conjuntos internos del modelo que vamos a construir. Ahora nos falta construir los conjuntos estrictamente externos. Conviene introducir el siguiente concepto: Deﬁnici´ on B.28 Si x es un elemento de un modelo est´andar M , llamaremos extensi´ on de x al conjunto x ˜ = {u ∈ M | u E x}. En la deﬁnici´ on siguiente las extensiones que aparecen hacen referencia a la relaci´on E del modelo est´andar I: Deﬁnici´ on B.29 Deﬁnimos la familia de modelos est´andar (Zαβ , Eαβ , d), para α < λ, β ≤ λ, determinada por las propiedades siguientes: a) La descripci´ on impropia de todos los modelos es la de I. b) (Zα0 , Eα0 , d) = (Wακ , Eακ , d). c) Zαβ+1 = Zαβ ∪ Aβα ∪ Bαβ , donde Aβα = {x ∈ I | x ˜ ⊂ Zαβ },

Bαβ = {x ∈ PZαβ |

y ∈ I x = y˜}.

d) Eαβ+1 = Eαβ ∪ {(x, y) ∈ Zαβ × Aβα | x E y} ∪ {(x, y) ∈ Zαβ × Bαβ | x ∈ y}. δ δ e) Si λ ≤ λ es un ordinal l´ımite, Zαλ = Zα , Eαλ = Eα . δ<λ

δ<λ

Deﬁnimos M como la uni´ on de todos los modelos Zαβ , con la relaci´ on E que resulta de unir todas las β relaciones Eα y con la descripci´ on impropia de I. Veamos algunas consecuencias de esta deﬁnici´on: Teorema B.30 Se cumple: a) S ⊂ I ⊂ M . b) Si x ∈ I entonces la extensi´ on de x en M es la misma que en I. c) Si x ∈ M \ I, entonces la extensi´ on de x es x. d) Para todo a ⊂ Zαβ existe un x ∈ Zαβ+1 tal que x ˜ = a.

e) Si α < α < λ y β < β ≤ λ, entonces Zαβ ⊂ Zαβ ∩ Zαβ . f ) Si x ∈ M , y ∈ Zαβ , x E y, entonces x ∈ Zαβ . ´ n: Las propiedades a), b) y c) son inmediatas. La propiedad d) se debe a que o bien Demostracio existe un x ∈ Aβα tal que x ˜ = a, y entonces cumple lo pedido, o bien tomamos x = a ∈ Bαβ . La propiedad e) se demuestra f´acilmente por inducci´ on. La propiedad f) se prueba por inducci´ on sobre β. El caso β = 0 es consecuencia de que la inclusi´on de Wακ en I es inicial. Tenemos as´ı un modelo M = (M, E, I, S, d). Hemos de probar que cumple (cualquier subcolecci´ on ﬁnita de) los axiomas de H.

88

Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

Extensionalidad Decir que M cumple el axioma de extensionalidad es tanto como decir que si dos conjuntos x, y ∈ M tienen la misma extensi´on entonces son iguales. Ahora bien, si x, y ∈ M \ I entonces x=x ˜ = y˜ = y, si x, y ∈ I entonces las extensiones de x e y son sus extensiones en I, y ha de ser x = y porque I satisface el axioma de extensionalidad. Por u ´ltimo, no puede ocurrir que x ∈ I e y ∈ M \ I tengan la misma extensi´on, pues si y ∈ Zαβ y β es el m´ınimo ordinal para el que esto sucede, entonces ˜. β = γ + 1 y ha de ser y ∈ Bαγ , con lo que y˜ = y = x Par El axioma del par es

xy ∈ M z ∈ M u ∈ M (u E z ↔ u = x ∨ u = y).

Sean α y β tales que x, y ∈ Zαβ . Consideremos a = {x, y} ⊂ Zαβ . Basta tomar el z ∈ Zαβ+1 cuya extensi´on es a. Uni´ on El axioma de la uni´ on es x ∈ M y ∈ M uv ∈ M (u E v ∧ v E x → u E y). Consideremos a = {u ∈ M | v ∈ M (u E v ∧ v E x)}. Si x ∈ Zαβ , entonces todo v ∈ M que cumpla v E x est´a tambi´en en Zαβ y lo mismo sucede con todo u ∈ M tal que u E v. As´ı pues, a ⊂ Zαβ . Ahora basta tomar el x ∈ Zαβ+1 cuya extensi´on es a. Partes El axioma de partes es x ∈ M y ∈ M u ∈ M ( v ∈ M (v E u → v E x) → u E y). β+1 Tomamos x ∈ M , que estar´a de hecho en un Zαβ . Sea a = {u ∈ Z |u ˜⊂x ˜} y sea y ∈ Zαβ+2 cuya α extensi´on sea a. Entonces y cumple lo pedido, pues si u ∈ M cumple v ∈ M (v E u → v E x), entonces u ˜⊂x ˜ ⊂ Zαβ , luego existe un u0 ∈ Zαβ+1 tal que u ˜=u ˜0 , luego por extensionalidad u = u0 ∈ Zαβ+1 . M´ as a´ un, u ∈ a, luego u E y.

Especiﬁcaci´ on El axioma de especiﬁcaci´on es x1 · · · xn x ∈ M y ∈ M u ∈ M (u E y ↔ u E x ∧ αM (u, x1 , . . . , xn ))) Tomamos α y β tales que x ∈ Zαβ y consideramos el conjunto a = {u ∈ Zαβ | u E x ∧ αM (u, x1 , . . . , xn )}. Es claro que el y ∈ Zαβ+1 cuya extensi´on es a cumple lo necesario. Elecci´ on Para demostrar el axioma de elecci´on tomamos un conjunto x ∈ Zαβ y ﬁjamos un buen orden R en x. Teniendo en cuenta que (u, v) ≡ {{u}, {u, v}}, es f´acil ver que si u E x ∧ v E x, entonces {u}M , {u, v}M ∈ Zαβ+1 y que (u, v)M ∈ Zαβ+2 . Llamamos a al conjunto de todos los elementos de Zαβ+2 que son de la forma (u, v)M , con (u, v) ∈ R y tomamos el conjunto y ∈ Zαβ+3 cuya extensi´on es a. Se comprueba que (y es un buen orden de x)M . Inclusi´ on y transitividad El axioma de inclusi´ on es trivial, pues S ⊂ I. El axioma de transitividad equivale a que x ∈ M y ∈ I(x E y → x ∈ I), lo cual es cierto, pues la extensi´on de un conjunto interno es su extensi´on en I.

B.4. El teorema de conservaci´on para la teor´ıa de Hrbacek

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ZFCin Podemos demostrar que M cumple cualquier cantidad ﬁnita de axiomas de ZFC relativizados a conjuntos internos gracias a la inmersi´ on elemental j : Vλ −→ I. En efecto, si α es un axioma de ZFC, podemos suponer αVλ , luego αI , pero esto equivale a (αin )M . Transferencia Para demostrar el principio de transferencia hemos de probar que x1 · · · xn ∈ S( x ∈ S αI (x, x1 , . . . , xn ) → x ∈ IαI (x, x1 , . . . , xn )). x ∈ SαI (x, j(x1 ), . . . , j(x 1 ), . . . , j(xn ) ∈ S y supongamos que Sean j(x n )) o, loV que es lo mismo, I λ λ α (j(x), j(x1 ), . . . , j(xn )). Como j es elemental, esto equivale a x ∈ Vλ α (x, x1 , . . . , xn ) ≡ x ∈ V ( xα)Vλ (x1 , . . . , xn ). Usando de nuevo que j es elemental concluimos que x ∈ IαI (x, j(x1 ), . . . , j(xn )). Idealizaci´ on Observemos que si A ∈ M cumple (A tiene tama˜ no est´andar)M , entonces existen B ∈ I ◦ M y f ∈ M tales que (f : B −→ A suprayectiva) . No es cierto que f sea exactamente una aplicaci´on ˜ −→ A. ˜ La aplicaci´ fuera de M , pero en cualquier caso determina una aplicaci´ on suprayectiva g : S ∩ B on ˜ ˜ j biyecta S ∩ B con un subconjunto de Vλ , luego |A| ≤ |Vλ | < κ. Llamemos A0 = A˜ ∩ I. Tambi´en se cumple que |A0 | < κ. Vamos a probar que existen ordinales α < λ, β < κ tales que A0 ⊂ Wαβ . Para ello necesitamos algunos hechos previos: 0β 1) Si x ∈ Wαβ , entonces iβα α+1 (x) E jα+1 (Vα ). 00 En efecto, se prueba por inducci´ on sobre β ≤ κ. Para β = 0 es trivial (entendiendo que jα+1 es la β+1 identidad). Si vale para β y x ∈ Wαβ+1 , entonces x = [f ], para cierta f : I β −→ Wαβ . Sea iα α+1 (x) = [g]. 0β Aplicando la hip´ otesis de inducci´on a f (i), tenemos que g(i) = iβα α+1 (f (i)) E jα+1 (Vα ). Tomando β+1 β β+1 0β 0β+1 β clases iα α+1 (x) E jα+1 (jα+1 (Vα )) = jα+1 (Vα ). Si β es l´ımite y x ∈ Wα , existe un δ < β tal que δβ 0δ otesis de inducci´on iδα α+1 (x ) E jα+1 (Vα ), y aplicando jα+1 tenemos x = jαδβ (x ), con x ∈ Wαδ . Por hip´ β 0β iα α+1 (x) = jα+1 (Vα ). 0 2) Si x ∈ I y x ˜ ⊂ Zα0 , entonces x ∈ Zα+2 .

En efecto, seg´ un la propiedad anterior (recordemos que Zα0 = Wακ ) tenemos que (x ⊂ j(Vα ))I , luego 0 x ∈ Pj(Vα ))I , y como j es elemental (Pj(Vα ))I = j((PVα )Vλ ) = j(Vα+1 ). As´ı pues, x E j(Vα+1 ) ∈ Zα+2 , 0 . y por el teorema B.30 f) concluimos que x ∈ Zα+2 0 3) Zαβ ∩ I ⊂ Zα+2β . 0 Por inducci´ on sobre β < λ. Para β = 0 es trivial. Si x ∈ Zαβ+1 ∩ I, entonces x ˜ ⊂ Zαβ ∩ I ⊂ Zα+2β , 0 β δ luego por el apartado anterior x ∈ Zα+2β+2 . Si β es l´ımite y x ∈ Zα ∩ I, entonces x ∈ Zα ∩ I, para un 0 0 δ < β. Por hip´ otesis de inducci´on x ∈ Zα+2δ ⊂ Zα+2β . 0 Volviendo al conjunto A de tama˜ no est´andar, si A ∈ Zαβ , ahora tenemos que A0 ⊂ Zαβ ∩ I ⊂ Zα+2β = γ κ Wα+2β , pero como κ es un cardinal regular y |A0 | < κ, ha de existir un γ < κ tal que A0 ⊂ Wα+2β . β Cambiando la notaci´ on, tenemos un ordinal α < λ y otro β < κ tales que A0 ⊂ Wα . Puesto que α se puede tomar arbitrariamente grande, podemos suponer que la inclusi´ on Wακ −→ I es elemental (ver el teorema B.26). Fijados x1 , . . . , xn ∈ I (que podemos suponer en Wαβ ) Hemos de demostrar z ∈ M (˜ z ⊂ A˜ ∧ z ﬁnitoM → x ∈ I y ∈ z˜ ∩ A0 αI (x, y, x1 , . . . , xn )) → x ∈ I y ∈ A0 αI (x, y, x1 , . . . , xn ).

Suponemos la hip´ otesis. Tomamos y1 , . . . , ym ∈ A0 . Puesto que las inclusiones Wαβ −→ Wακ −→ I son elementales, podemos suponer que Wαβ satisface cualquier cantidad ﬁnita de axiomas de ZFC. Si

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Ap´endice B. El teorema de conservaci´on

suponemos que cumple los necesarios para demostrar que existe {x} y es ﬁnito, que existe la uni´ on de conjuntos y que la uni´ on de conjuntos ﬁnitos es ﬁnita, podemos construir un z ∈ Wαβ cuya extensi´on sea {y1 , . . . , ym }. Tambi´en es f´acil ver que z es ﬁnitoM , por lo que x ∈ I y ∈ I(y E z → αI (x, y, x1 , . . . , xn )). Usando que las inclusiones son elementales pasamos a β x ∈ Wαβ y ∈ Wαβ (y E z → αWα (x, y, x1 , . . . , xn )). β

As´ı pues, tenemos que los conjuntos {x ∈ Wαβ | αWα (x, y, x1 , . . . , xn )} para y ∈ A0 tienen la propiedad de la intersecci´on ﬁnita, luego est´ an contenidos en un ultraﬁltro F en Wαβ . Como la ultrapotencia Wαβ+1 β+1 es adecuada, existe un ξ ∈ Wα tal que F = t(ξ), y as´ı, si y ∈ A0 tenemos que ξ ∈ ∗{x ∈ Wαβ | αWα (x, y, x1 , . . . , xn )}, β

lo cual, por el teorema B.11 equivale a β+1

α Wα

(ξ, jαβ β+1 (y), jαβ β+1 (x1 ), . . . , jαβ β+1 (xn )).

Si usamos que jαβ+1 κ e iκαλ son inmersiones elementales e identiﬁc´andolas con inclusiones llegamos a α (ξ, y, x1 , . . . , xn ), para todo y ∈ A0 , como ten´ıamos que probar. I

Estandarizaci´ on Hemos de probar que x ∈ M y ∈ S u ∈ S(u E y ↔ u E x). Para ello demostramos primero que si α ≤ γ < λ, u ∈ Vγ , y ∈ Wαβ y jγ0β (u) = iβαγ (y), entonces u ∈ Vα . Lo probamos por inducci´ on sobre β. Para β = 0 es trivial (entendiendo que jγ00 es la identidad). Si 0β vale para β, sea x = jγ (u), con lo que jγ0β+1 (u) = jγββ+1 (x ) = [cx ]. Por otra parte, si y = [f ], para un conjunto de ´ındices i que est´a en U β , se ha de dar la igualdad cx (i) = iβαγ (f (i)), es decir, existe un y = f (i) ∈ Wαβ tal que x = jγ0β (u) = iβαγ (y ). Por hip´ otesis de inducci´ on u ∈ Vα . Si β es un l´ımite y vale para todo δ < β, tomamos δ de modo que y = jαδβ (y ), para cierto y ∈ Wαδ . Entonces jγδβ (jγ0δ (u)) = iβαγ (jαδβ (y )) = jγδβ (iδαγ (y )), luego jγ0δ (u) = iδαγ (y ) y, por hip´ otesis de inducci´on, u ∈ Vα . En particular, para β = κ e identiﬁcando todos los modelos con subconjuntos de I tenemos que si u ∈ Vλ cumple j(u) ∈ Zα0 entonces u ∈ Vα . Ahora demostramos que si u ∈ Vλ cumple j(u) ∈ Zαβ , con α, β < λ, entonces u ∈ Vα+β . Observemos antes que podemos exigir que si α, β < λ entonces α + β < λ. En efecto, basta suponer que Vλ cumple x ∈ Vλ (x es un ordinalVλ ↔ x es un ordinal) as´ı como el teorema que aﬁrma que para cada dos ordinales existe su suma. Razonamos por inducci´ on sobre β. Para β = 0 lo acabamos de probar. Supong´ amoslo cierto para β y sea j(u) ∈ Zαβ+1 . Si v ∈ u, entonces j(v) E j(u), luego j(v) ∈ Zαβ . Por hip´ otesis de inducci´on v ∈ Vα+β , luego u ⊂ Vα+β , luego u ∈ Vα+β+1 . El caso l´ımite es trivial.

B.4. El teorema de conservaci´on para la teor´ıa de Hrbacek

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Ahora ya podemos demostrar el principio de estandarizaci´ on: dado x ∈ Zαβ , con α, β < λ, tomamos a = {u ∈ Vα+β | j(u) E x} ∈ Vα+β+1 . As´ı, para todo u ∈ Vλ tenemos que j(u) E x si y s´olo si u ∈ a, si y s´olo si j(u) ∈ j(a), luego basta tomar y = j(a) ∈ S. En deﬁnitiva, hemos demostrado lo siguiente: Teorema B.31 Si Γ es cualquier colecci´ on ﬁnita de axiomas de H y θ es una f´ ormula de ZFC sin variables libres, en ZFC se demuestra que existe un modelo M tal que M Γ y θ ↔ M θin . De aqu´ı se deduce el teorema de conservaci´on para H exactamente igual que el teorema para N se deduc´ıa de B.22. La prueba del teorema anterior —y por consiguiente del teorema de conservaci´ on— es completamente constructiva. Regularidad y reemplazo Vamos a justiﬁcar aqu´ı las aﬁrmaciones del u ´ltimo apartado del ap´endice A. Ante todo, teniendo en cuenta que todos los conjuntos de V0 son ﬁnitos, es f´ acil ver que j biyecta agenes en V0 , de modo V0 con Z00 . Por comodidad podemos sustituir los conjuntos de Z00 por sus antiim´ que V0 ⊂ M y j es la identidad en V0 . Un conjunto x ∈ I tal que x ˜ ⊂ Z00 tiene todos sus elementos est´andar, por lo que ha de ser est´ andar y ﬁnito, lo cual obliga a que est´e en Z00 . As´ı pues, Z01 no tiene m´as conjuntos internos que los de Z00 . acil demostrar en general que α < λZ0α = Vα , luego Vλ ⊂ M y Por consiguiente Z01 = PZ00 . Ahora es f´ la relaci´ on E en M se restringe a la pertenencia usual en Vλ . Se comprueba que los u ´nicos ordinalesM son los elementos de λ, y entonces es f´acil ver que en M puede construirse la jerarqu´ıa regular, de modo que los conjuntos regulares son precisamente los de Vλ . En particular en M se cumple que la relaci´on de pertenencia est´a bien fundada sobre los conjuntos regulares, y a trav´es de la inmersi´on j se prueba que tambi´en est´a bien fundada sobre los conjuntos est´andar. M´ as a´ un, en M existe el colapso transitivo de cada conjunto est´ andar x, pues no es sino ´ j −1 (x). Estos son los hechos que hab´ıamos aﬁrmado que pueden a˜ nadirse como axiomas adicionales a H sin perder por ello el teorema de conservaci´on, lo cual queda ahora demostrado porque se cumplen en M.

Bibliograf´ıa [1] Diener, F. Cours d’analyse nos standard, Universit´e d’Oran (1983). [2] Hrbacek, K. Axiomatic foundations of nonstandard analysis, Fund. Math. XCVIII (1978), pp. 1–19. [3] Hrbacek, K. Nonstandard set theory, Amer. Math. Monthly 83 (1979), pp. 659–677. [4] Ivorra, C. L´ ogica y teor´ıa de conjuntos, apuntes. (2000) [5] Nelson, E. Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis, Bull. Amer. Math. Soc. 83 (6) (1977), pp. 1165–1198. [6] Stroyan, K. D., Luxemburg, W. A. J. Introduction to the theory of inﬁnitesimals. Pure and Applied Mathematics, No. 72. Academic Press, New York (1976).

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´Indice de Materias abierto, 15, 31 acumulaci´ on (punto), 16 adherente (punto), 15, 32 apreciable, 10

n´ umero natural, 5 n´ umero real, 9 punto, 29 halo, 15 m´etrico, 29, 48 topol´ ogico, 29 Hausdorﬀ (espacio), 30

Barrow (regla de), 25 casi est´andar funci´ on, 51 punto, 30 Cauchy principio, 47 sucesi´on, 17 cerrado, 15, 32 clase S 0 , 51 clasesb clase S 1 , 53 compacto, 15, 34 punto, 35 concurrente (relaci´ on), 4 continuidad, 12, 32 uniforme, 13, 32 convergencia puntual, 37 uniforme, 38 uniforme en compactos, 39

idealizaci´on (principio), 4 inﬁnitamente pr´ oximos n´ umeros reales, 10 puntos, 29 inﬁnitesimal, 10 punto, 29 inﬁnito n´ umero natural, 5 n´ umero real, 9 punto, 29 inﬁnit´esimo, 10 inmersi´on elemental, 73 inicial, 83 integral Riemann, 23 interna (f´ ormula), 1 localmente compacto, 35 lupa, 50 l´ımite de funciones, 18 de sucesiones, 16 inductivo, 78 superior, 39

derivada, 19 diferenciabilidad, 41 estricta, 42 entorno, 15 estandarizaci´ on (principio), 6 exponencial, 17 extensi´on, 87 extensi´on (principio), 7 externa (f´ ormula), 2 externo (conjunto), 6

modelo, 70 m´onada, 15 normas equivalentes, 31 parte est´andar, 11, 30 precompacto, 35

ﬁltro, 74 ﬁnito 94

propio (espacio), 34 Regla de la cadena, 42 relativamente compacto, 15 relativizaci´ on, 58, 69 remoto (punto), 30 Robinson (lema), 47 S-continuidad, 51 serie de potencias, 40 sistema inductivo, 78 sombra, 48 Teorema de Ascoli, 53 de Bolzano, 14 de conservaci´on, 7 de Heine Cantor, 14 de la funci´ on inversa, 44 de la sombra continua, 52 de la sombra derivable, 55 de Schwarz, 43 de Tychonoﬀ, 34 topolog´ıa producto, 31 transferencia (principio), 2 ultraﬁltro, 74 ultral´ımite, 80 ultrapotencia, 74 adecuada, 77 uniformemente equicontinuo, 53 Weierstrass (criterio de mayoraci´on), 39