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es de 01'(1en supe?"im' a p. G:, ) Diremos que el infinito Si es limf(x)= limq.(x)=O y la función <¡leo;) C8 'monótona; 2Q Si la función ficientes diferenciales y ti) e y'" en el punto (1.. EJEMPLOS: 4. La función x''l'(::O:) ya citada tiene en el origen y(1) =0. lit.} = 2; luego, hay concav-idacl en él, y el circulo osculador tiene radio 1 1
,,·(x)=o(Hq).
G4) Diremos que ~ (x) es por lo menos de M'den p si JIP = - O (4'). E ntonces, si q < p es H'! = o (q,), es decir o.J> es de ,,.·den superior a q. Así para x -':> 0, el infinito x .. t sen- l (1/ x) no es de or den 1, ni de orden no mayor que 1, pero es por lo mellos de orden 1. [Nótese la diferencia con (§ 24-3, Ca)]. En particular. son del mismo orden q, y 'ir si existe y es finito y no nulo el límite de su cociente: lim <1>/'11 = ex =1= O, En t~'l te caso, tendremos (§ 24-3, b 3 ) <1''''''' o:..¡i'. Cuando Ci = 1, es "(~il' : e},........¡i', diremos que cp y ..¡i' son infinitos eqúivalentes, TEOR. 1: Si a un infinito (x) se le suma uno de orden inf erior ..¡i' (x), se obtiene 'un ~:nfinito equivalen te al 1Jri-mero.
DEM,:
( + \{I)/=1 + \{I/
Como recíprocamente, para 'ir = X - <1>, de X/
494
IX. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y CON SECUENCIAl'
TEOR. 3: El orden de una 8Um,a de infinitos es el del .u. mando que lo t enga mayor, siempre que éste sea único. Este sumando se Hama p'rincipal. Lo dicho en § 24-3, nota, se aplica mutatis mutandis a la. variables infinitas. Aplicando el teorema 3 a un poJinomio, resulta : TEOR. 4: Para x ~ !lO, todo polinomio en x es ~tn infiniu. equivalente a su ténnino de gmdo más elevado ; y este grado expresa el orden de infinitud.
3. Órdenes fundamentales de infinitud. (log,) :1') 111
(b
:1." 1
> 1, In > O)
(p
+
Las funciones
(/'
«(1 >
> O)
1)
son infinitas pam x ~ 00 (¿ por qué '!); pero cada una de ellas es de orden inf erior a las siguientes, como muestran loe teoremas que siguen: TEOR. 1: El infinito exponencial a,x (a > 1) es de orden superior al infinito potencial xP(p > O) por grande que sea. p. DEM.: Poniendo =p si p es entero n ={ = [p] + 1 S1 p no es entero, y aplicando la regla de BERNOULLI - L'HosPITAL 11. veces al co· ciente. x P / a se tiene (§ 36-3. e) : X
•
P
x P- 1
hm - - = l · - (l n!) n n p = O. = ",-)1m +:r a n a xx~+CXl (~" "'~+co u' In (/ TEOR. 2: E l infinito logM'Íbmco, logl) x (b > 1). es de m'del1 infe'rior al infinito potencial, x P, pO?' peq1leño que 8ea p> O. En efecto, si llamamos y = 10gb x, r esulta: x P = ( bY ) P = (bp) y. y siendo x P una exponencial de 1J, bast a aplicar el teorema anterior y resulta que no sólo el logaritmo, sino cualquier poten.. cia del logaritmo, es de orden infe?'ior al potencial, por peQue' ño que sea el exponente p. Como el cambio de base equivale a multiplicar o dividir por una constante (módulo) que no altera el orden de infinitud tomaremos logaritmos naturales. TEOR. 3 : Cualquiera sea· el coeficiente k > O del exponente, el infinito potencial-exponencial :ffx es de oTden superio?' al infinito exponencial a~. E n efecto, la r~zón de ambos es : •
hm -
xP
=
•
1
1
.1: " (/'
}ll1esto que
neg~
R ser
,\,1'
= (~) " > (1
.
2"
> 2 a tomando ;r suficientemente grn n-
I NFINITI~SIMf)¡'¡ ),; lNt'JNITUS. A :-lfN T n 'l'AH
11
4!l5
lu litu, t'J (·()(" icnte tielle límite infinito. He aquí, pues, los t nI ti pns de illfinitud. que !Jamaremos fu I1damelltales: lo¡,rnl11ll1ifO
potencial
exponencial
(In x)"'
xP
a,x
(m > O)
(p
> O)
(a>
potencial-exponencial
x lOC
(k > O)
1)
·n.... l\'
I
I
''' ~III''I\
.....11118
imptlrtancia especial el infinito x !, fun ción que por abara sudefinida solamente para valores lIah()'ale8 de :1;, Según demos(§ 63), se verifica; Iim
:r I ("
+ :le
J' -
,
Ii m .t· --fI'
:c (
~~ x = ) .l· ! ; --'-,('
\ ' 2 0;;-.
l'
..:!...
t:1I
z· e'
fr.-
d,'d\', .r ! es del ilusmo Ol'clen Que - - '-
I' ~ UII
,--
infinito equivahmte a \ 2 o;;-
o con 111!I;.'01'
precisión:
-'-
x·.x ~
- -J
e
(STIRU r-:G ).
It,'s ulta de aqul que el infinit(l fact(lrial x! es del tipo poteflciatpues resulta de multiplicar y dividir ro por infinitos de érd,moJl inferiores, '~/'()Htmcial,
4. órdenes infinitesimales f undamentales. - Tomando las ¡11 versas de los tipos f undament ales de infinitud (§ 37-3), t en,\I'cmos los tipos infinitesimales fundamentales, para x-? 00 :
+
potenclal
logarftmico
eX}>(lnencial potencial-ex'PonenciJI)
(a> 1 ) x- kX , (k > O) y los teoremas de § 37-3 prueban que cada uno de estos infiniI./~imos es de orden inferior a los que le siguen en la enumera('¡fln anterior. (In x) -m,
(m> O)
x-D, (p> O)
a-X,
PIlI'S ,,: --'> () se tiene el sigu iente teorema : TEOR.; L(t función l/In I xl es para x --'> O inlinitésimo de orden l,,/fl'iOl' a ct(ulquier 1JOten cia ¡¡;p (p> O), 'JJ ésta liS, a BU ve::, de ord6n ¡,¡ferior a a-II /xl, (a> 1), Basta probar que tienden a cero Ins cncient es; xP In Il/x I (¡:Iv.,r (lh:)P 1:1nlz l ( l !:t)" -;;- :=; 0.11/.,1 l't't'O esto resulta de § 37-8, t ear. 2 y 1, observando los segundos m iemhtos, donde 1/x ~ 00 para x ~ O,
=
6. Escalas de infinitési rn08 é infillitos. - Tomando 'I'(x)= x como infinitésimo (inñnito) tipo para x --'> O (x ~ ce), 1/:", será infinitésimo (infinito) de orden p; pero las consideraciones de § 87-3 Y 4 muestran que esta escala, dependiente de un parámetro p, está muy lejos de ser complete.. P or ejemplo: par a x ~ + 00, xl + e. (~> O). es un infinito de orden 1 +e, y x In le lo es de orden Buperior a 1 pero inferior a 1 + e cualquiera sea e O. Como ningún número tiene esta propiedad, no es posible asignar un número a cada orden.
>
4lJU
IX. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y CONSECUENCIA!'
NOTA: Puede probarse que la relación V' = o(~) entre variables in· finitésimas o infinitas, o sea la de sus órdenes, es un orden con la pro piedad de composición o dirección (§ 2-7, nota 2) en cualquiera de lor sentidos en que se considere la relación de prioridad. Este orden es noarquimediano (§ 6-5, b) . Por otra parte, dos infinitos (o dos infinitésimos) pueden no ser como parables en cuanto al orden, como muestra el siguiente ejemplo, considerado por COURANT: ;¡.;' sen'x + x + 1 E.rEMPW: Para x -;. 00, el cociente de infinit0s _-ll' I :4iCOS X.,-x
no s6lo no tiene límite, sino que para los múltiplos enteros de 'TT: x = n 'TT, sus valores son l/(n'TT)-;'O, y pal'a x=(n+~)'TT son (n+~)'TT+1+ + (n +1 --;'00
n'TT
.
6. Asíntotas y direcciones asintóticas de las curvas planas. a) Se dice que un punto se aleja infinitamente sobre una
curva, cuando su abscisa o su ol'denada, o ambas coordenadas, crecen infinitamente. Se llama asíntota una recta t tal que tiende a cero la distancia P t a ella, de un punto P de la curva que se aleje infinitamente. Distinguiremos tres casos, según que tienda a infinito X, ó y, ó ambas, lQ Si para x -;. 00, 00, 00, es liro y = b finito. la recta y = b es una Bsíntota, paralela al eje x. 2Q Si para x -;. a finito, es y - 7 oo. 00 00, la recta X = a es una asíntota, paralela al eje y. SQ Si al alejarse infinitamente un punto sobre una rama de la curva x e y crecen infinitamente, para que la recta y =m x n sea una asíntota basta con que tienda a cero la diferencia de ordenadas de recta y curva para la misma abscisa, pues esta' diferencia da la distancia P t, a menos de un factor coseno. Por consiguiente, la ecuación de la curva puede escribirse en la forma:
+
+
t
-
+
[37-1]
y = mx
+ n + t:{x),
siendo e( x) un infinitésiroo para x -)
00,
+
00
6 -
ca.
E.rEMPLOS: 1. Consideremos la función y=(x+l)/(x-l), Si damos a x el valor 1, la función carece de valor numérico; pero si x -+ 1, el denominador x - 1 es un infinitésimo, y la función tiene limite 00, con signo ó - según sea x 1, ó bien x < 1; porque siendo positivo el numerador, la fracción tiene el mismo signo del denominador; la curva se aleja. pues, infinitamente hacia an-iba para valores próximos al x = 1, pero situados a la derecha; y hacia abajo para los valores a la izquierda del x = l. Es lim y 00, y entonces la recta x "'" 1 es una asíntota de la curva. Si hacemos crecer infinitamente x hacia la derecha o hacia la izquierda. es decir, tomando valores positivos o negativos, la ordenada y tiende hacia 1,pues difiere de 1 en la fl'acción 2: (x - 1), que es infinitésima; luego, Um y = 1. La recta y::= 1 es otra asíntota (fig. 113). x' 2 a: 2, Sea la función IX! _ 2
+
>
=
+
Con razonamiento análogo resulta.: lim y"", 00 para x -;. 2; lim y = ca
para x
--'?
oo.
INFINI'I''';B/J\WH E INl"INITOS, A~fN TOTAS
497
I.u curva (fig , 114) tiene, por lo tanto, una asíntota x = 2; para es, t.u, lill r la otra rama infinita, separemos del cociente su pade entera. y l
"dl'c¡mos: Y := x
+ 4 + - x --8- :2:-- ' +
Si construimos la recta y ::: X 4, la diferencia de ordenadas con la "tl l'va es una f racción infinitésima, para :¡; ~ 00; lu ego, también la recta
y .
y
~ p
óI
A
(X)
t
"
P'
,
-T- -- ---!
x
x FIl!'. liS,
Fil!'. 114.
y =:¡; + 4 es asíntota. quedando la curva por encima de ella, en el vrimer cuadrante; por debajo en el tercero. Para que este error sea menor que 0.01, deberá tomarse x superior a 800, es decir: la aproximación de la curva a su asíntota es muy len ta,
b)
De [37-1] resulta .JL
x
=
m
+ ..!!:.... + dx) x
x'
y entonces:
[37-2]
Jim
..JL = x
m,
para x ~ co,
+
00
ó
~
00;
pero no puede pasarse recíprocamente de [37-2] a [37-1], pues e (x) . f'IDI'téSlmo, . . que 1o sea E ( x ) . para que - sea In no es precIso
x
Cuando se verifica [37-2], diremos que la dirección (§ 1-6, ej. 1) .pe pendiente o coeficiente angular 111., es una dirección asintótica de la curva. Como la dirección de una asíntota es una dirección asintótica, se comienza por haBar estas últimas (puede haber varias, correspondientes a distintas ramas de la curva). Buscando Juego [37-3] lim (y - 7)t x), para x ~ 00, 00 Ó 00, . pueden presentarse tres casos: b 1 ) Si este límite existe y es finito n, reencontramos [37-1], y la recta y = m x n es una asíntota; la rama de la curva que tiene asíntota se llama hiperbólica. b2 ) Si el límite [37 ~3] es + 00 Ó ~ 00, la rama de la curva se llama parabólica. Tal ocurre con y = + VX, donde para
+
+
X~+ 00:
m
=
lim
+ Vx = x
0, pero y - O.x =
+ Vx~ + oo.
yx.
La otra rama de la parábola, y = ± es también parabócon Íh'1I<'t1 ctirección asintónica })/ = o. b a) Puede ocurrir, finalmente, que para una dirección asintótica no exista el límite r37 -3].
! Í("<1
NOTA: Usando el lenguaje geométrico de 1.08 elementos impropios, po· demos decir que una dirección asintótica es un 1)U1Lto impropio A r de la curva, y los casos b,), b,) Y b.) correspnnden, respectivamente, a que en A ce haya tangente propia. tangente impropia o 110 haya tangente (§ 30-4). E JEMPLOS: 3. La curva y =:1' sen '7Tlx (fig. 59) tiene la dirección asintótica del eje x, pues y: x - ? D. . , s e n 'Ulx , Como 11m y = 'ir llln I - == 'ir es y =: '7T asmtota. X~OC:
X~CO
#,
,;¡ x
=x
tiene un solo punto impropio A(f : d del 'eje Xi en él la tangente es la recta impropia. 5. La sinusoide y := sen x tiene la dirección asintótica del eje x, pues /1: x -') O. Como lim (y - O. x) = lim sen x no existe, la sinusoide no 4. La 'Parábola yO
x~OO
X-700
tiene tangente en su puntú impropio. (j. La CUl'V& y = . 1' , sen x se aleja infinitamente. 1)('1'0 ción asintótica, es decir, no tiene ningún punto impropio.
110
tiene direc-
A veces se buscan directamente las asíntotas. sin pasar por las direcciones asintóticas. como .nuestran los ejemplos 1 y 2 Y Jos que siguen: EJEMPLOS: 7. Si la ecuación es y=: P{x): Q(:t'), siendo el grado del polinom io dividendo P (x), superior en 1 al grado del polinomio divisor Q(x), efectuada la división y sacada la pal'te entera ~Il~: a, la fracci6n complementaria tiende a O, pOI' tener el numel'ador de menor grado que el denominador; luego, se tiene Ja asíntota y = 111 X + er.
+
2 x"- 3
Sea, IJor ejemplo:
y - - -- - -
x+ 1 ' la pa rte entera es 2 x - 2; luego, la ecuación de una asíntota es y == 2 x - 2, Otra asíntota es x = - 1. 8. y. = x' a, Es infinitésima la diferencia " x' a - x al crecer x infinitamente; porque multiplicando y dividiendo })or la suma, se puede escribir así: (o;' + a)-x' a ~
+
+
-¡-;·-~,'-a+ x
;::=
V x' + a +;-'
que es infinitésimo, como reciproco de una variable que crece infinitamente. Luego, la recta 1/ = x es asíntota, Análogamente: es infinitésima. al crecer x infinitamente. la diferencia ,1 (o;x -1- b)" + c - (ax + b), • y entúnces la curva y v (ax b) ' e tiene la asíntota y:::: ax + b 9. Sea la cónica : 3 x~ + y', - 4 x 11 - 8 x 2 y - 2 = O. Despejando. resulta:
=
+
+
+
1'.
IX . 1
CÁU' ULO L(l(;AldT MICO
11
= 2:l: -
1 ± V x<
+
Illego, las dos así ntotas son (ej. 8) : y
11
=
2x -
= 2x
-
+
1 (x 1 ~ (x
+ 2) + 2)
4x
+ S;
= 3;t' + 1, =
x -a.
EJERCICIOS
1. Demostrar la equivalencia, para n ~
00, de las funciones: lO¡t'+xj (x + 1)"- (x ~l)· ; (2 x' - 1)(5::r +l). 2. Ordenar las funciones siguientes por orden de infinitud pam
A!112";
2~/x';
:"/x!:
X~ OC:
e'¡Vx.
3. Calcular la parte princi pal, para ¡¡ ~ Y.>, de 7l!/ (n - ?lt) !. 4. Averiguar a qué tipo de illfini tud pertenece In (x!). 6. Probar que para x ~ 'Xl, t ofla fu nción racional, o bien tiende D una I:onstante no nula, o bien es un infinito o inIinitésimo potencial. 6. Demostrar que e' no es una Ílmción algebl'llica, basándose en su or den de crecimiento. 7. Probar que no son algebraicas las fun ciones In x, hiperbólicas, circulares (considérese sen x = O. etc.). 8. Determinar las a síntotas y representa.}·; a) y= (x + 2)/(:l:-2): b) y = ( 2 x - l ) /x; e) y :=1/ (x-2) . 9. Determinar las a~íntotas de y=x"f ( x" - l ) , y vet'ificlIr que la curo va corta a una oe ellas. 10. Determinar las asíntotas de las curva.s : a) x" ¡¡ - x' - y 1 O; b) x.' - 2 yO + 4 .1· 11- .,' -+ 1 = O. 11. Determina r las asíntota s de 1/=.r,(.,· - 1)//.,·-2 ), y veri fi car que la cur va corta a dos de ellas. 12. l,Es siempre la asíntota pQsición límite de la tangente cuyo pu nto de contacto se aleja al infinito sobre la curva? Considerar las funciones: JI :;:: x-· sen x'; y:::::; e-· sen e·.
+ =
NOTAS AL CAPfTULO
IX
J. CáJculo logarítmico. - a) Propiedades fmulamental cs. En la práctica de los cálculos numéricos, los logaritmos más \'entajosos son los decimales o de base a = 10, indicados con 19 (§ 8-8, c.) , porque siendo ] O la base. del sistema de numeración, todas las reglas se simplifican. En este sistema, todos los números enteros , excepto las p otendas 10. tO', lO', ... tienen )o¡1:al'itmo inacional (Cap. IV, nota J, d), ~. por lo tanto, sólo se pueden calcular con cierta aprox ima ción. Ll1 pal'te en t era del lQ~ritmo suele 1lama rse earactel'ística, y la parte decimal, malltisa, 4. ) El manejo de los luga l'itmo5 negativos !;e fac ili t a si se Jos tra nsforma i1ml otros de característica negativo. y mantisa positiva, del siguiente modo: Sea el loga r itmo - C, a b e . . . l, de característ ica - C y mantisa -O, ab e,., 1; se tiene : -(C,abe ... !) ===-C-O,ubc • . . /:::::;- (C+l ) + (1 - 0,ablr .. . l) , y como el l1úmero O, a' b' c' ... l' obtelli flo en el se/l:undo paréntesis es positivo y menor que 1, resulta: - ( e + 1) + 0, a' b' e' . . . t' , que suele es· cribirse convencionalmente as í : 1, (/' [/ (:' ... r. - C, (r ,) e , .. , = Observando que al l'c,;tar 0, a /¡ e ... 1 de 1, las cifras a', b', e',
c+
500
IX. 'l'EOR(;MAs DEL VALOR MEDIO Y CON::lEGlIEN!'1AS
C. JX -1
obtenidas son los complementos a 9 de las cifras a, b, c, ... , excepto 111 última cifra significativa l', que es 10 - 1, resulta esta regla : Un logaritmo negativ o se transforma en otro de ca.racteristica. negativa y manUsa. positiv a, aume1ttando en 1 el valor absoluto de la. ca.racterística, y 8'usf,itullendo cada cifra de la mantisa por S t i complemento a 9, excepto la última significativa, que se sustituye P01' SI, complemento a 10. El paso inverso se efectuará disminuyendo en 1 el valor absoluto de la ca?'acterística, y 8ustituyendo la mantisa P01' su complementaria.
=
-0,32550 = 1,67450. -3,07254 4,92746; Para evitar el trazo superior, algunos suelen incremental' en 10 la caract erística cuando esto no puede producir confusión. Así, en los. ~jem plos anteriores escriben: 6,92746 y 9,67450. El cologaritmo de un número a se define mediante: 1 colg a :::: 19 - - = - Jg a. EJEMPLO 1:
a
En la extracción de raíces de números menores que la unidad, es freo cuente t ener que dividir por un entero un logaritmo de man tisa positiva, y cuya característica negativa no sea múltiplo del divisor. Entonces se descompone la caractel'Ística en un múltiplo negativo del divisor más un entero positivo, que se agrega a la mantisa. EJEMPLO 2. 1,67450: 5 = (5 + 4,67450): 5 = 1 ,93490. ao) La clJ;racterística del logarihno de un núme1-0 ma1JOl' que 1 es el número h de cifras ele la parte entera, di8minuído en 1. La característica del logaritmo de un nú,nwro menor que 1 eB el núme¡'o tota,l k de ceros anteriores a la pTimera dfra sign ificativ a y con signo -. En el primer caso, el número est á comprendido entre ]0"-1 y lO": luego, su logaritmo está cOlUJl rendido entre h --- 1 Y Ii, Y su parte entera es, por lo tanto, h - 1. E n el segundr> raso, el número es tá compl-endido entre
1
1Qk
= 10-'
y
1
1 0.-1
=
10-'"
;
luego, el logaritmo está comprendido entre -le y - le · :· 1, es decir. es igual a - k más un número positivo mellor .que 1; luego, su característica es -- k. EJ"EMFLO 3. Los logaritmos de 2307 ,43, de 5.08, de 0,207 y de 0,00057, tienen las características 3, O. 1 y 4, respectivamente. a, ) El cálculo del logaritmo de cualquier número se reduce, pues, a la obtención de la mantisa, :y para esto basta saber hallar las mantisas de los logaritmos de todos los números compren didos enh'e dos potencias consecutivas 10 m V 10 m " . En efecto: La 'man tisa del log(p"itmo de un nümero no altera si se multiplica o divide al número por mw 1Jotencia de 10. Porque al hacer tal cosa, el logaritmo aumenta o disminuye en un entero, mod ificán dose sólo la caracteristica. b) Problema directo. Dado un número cualquiera, modificando convenientemente la posición de la coma, se puede log rar que resulte un número entero n contenido en la tabla o un número n + h comprendid(' entre dos consecutivos n y n + 1 de la tahla . En el pl'imer caso, hasta copiar la mantisa dada por la tab1a, y en el segundo caso, el logaritmo de n + h puede hallarse por interpolación I1neal, como vimos (§ 85-5, ej .) Si los logaritmos dados por las t a blas f uesen exactos, tendríamos, por consiguiente, el logaritmo de n h, conocido el de n y la diferencia tabular tl. (§ 35- 5, ej.). Pero los números L y L', que las tabJas dan como logaritmos de n v de n + 1. adolecen de
+
I ••1
501
ttll n\.&l, ( I U(I (lU l!dCII llt!ga r a media unida d de su últim o orden dec.ímal (',) ; 1u "nJ Il),licar la fÓl'mula de int er poJa cíón [35-7 ] 19( n h) = 19 n + h~, doumh¡ .Ie] error rte itlterp olacióll comete mos un el'ror e h(e' - f ); Y I 11f1f' Il1 ,í~ t omamos del número h ~ su parte entera por defecto o pOl' ex:J, .c'/.,rtÍ ll que su primera decimal sea < 5, Ó bien ;;;: 5, cometemos un 1111 'VI> error e" , inferior a media unidad. I'fl l ' consig uiente, el error total es E ( 1 - h) + he' + E", Cuyo valor I "lulo es seguramente inferior a unidad y media, ClIfuu70 la-a tablas señalan l08 logaTit,moB por exceso, convendrá to111ft . . .," menor que media unidao, como antes s e ha indiri.ldc, cuando f lungan si gnos contrarios; pero si tienen el mismo signo tomaremos ~" I < 1 con signo opuesto. El enor total es < 1,
+
+
r .'
Calc ular los logaritmos de 0,112915 y d(~ 933C()3142, Ig 112H 052694 0,1 38,4 19 9336 970Hl1 0,03 __ 1,38 0,05 1~,2q Ig 0,112915 1,052752 19 933603142 8,970162 En el p rimel' caso ha sido preciso c0I1siderar los productos de toda~ cifras decimales, porq ue todas influYer1 en el res ultado, pero con e~ ,'rihi r has ta las décimas de cada prod ucto parcial es suficiente (Cap, V, .. ,,1n n, /,), En el segund o ejemplo, las cifras 1, 4 Y 2 no influyen en el n·¡;,,)tado. Si el número 0,112915 tiene un error menor que una l.midacl de su Imimo orden, como la diferencia tabular es 384, el logal'itmo puede tener Imsta 3 m illonésimas de enol". Si el segundo número dado tiene sus eir .. n.'1 exactal' (Cap, V, nota Il. b), puede asegurarse que son exactas las .Le) logar itmo. e) P 1'oMo l l a i '( 1)('j' !::O, Dado un loga ritmo, calcula 1" el 11Úmel'O coI"I"l'~pondjente , Encontradas en la;. tabla8 dos mantisas consecutivas, L y 1, + A, que comprendan a la dada L + le, el número buscado ha de estar "I>mprendido - (§ 27-3, e) entre los dos números consecutivos 1'1 y n 1 ""TI'espondientes a dichas dos malltisas, Por lo tanto, llamando E y e' a I?s errores de los logaritmos L y L -1- ló., ha de ser: K 1F.MPLO 4,
o
=
,
__
=
h".
+
n
+ < + <
+ +
L e L k J-, ló. 1)', y la proporcionalidad supuest a en la interpolación lineal da el l'esultado ¡.;i/!,uiente, que puede considel'arse como exacto, por la razón dicha en § 85-5, ej" dentro del orden de aproximación prefij ado por las tablas:
h-
-~. ~ f>. +e' -
f
Si en vez de - e ponemo s su va lor máximo
+ ~, esto equivale a al numerado}' y al denominador un mismo númGro; luego, la fracdón aumenta; si ponemos en vez de -- e su valor mínimo -~, la fl'acción d isminuye; pOl' Jo tanto: k- ~ k ..L ! ~uma r
+
t:,. s' ,-lt < h A 1)' ~ y si en vez de " ponemos sus valores mínimo - ; y máximo T~, resulta : lc - § le 1 k 1 k+ i ~h < -----
- -- =- - - - - - <
<. + +
t>. -I+fI
-ló. + . 2A
.. En t
502
IX.
TE()~lA8
DEL VALOR MEDIO Y
c.
CON aE(,UENCIA~
Resulta, pues, que el errol' absoluto cometido al tomar valor del incremento de n, es inferior
a~~;
IX . 1
k
A
como
al calcular aquel cociente"
bien sea por la regla ordinaria de la división, bien sea pOl' las tablilllllll de partes propol'donales que acompañan a las tablas , se comet e un nuevo error, que puede hacerse inferior a media unidad del último orden con servado, incrementando la última cifra, si la siguiente fuese ~ 5. Ahor a bien, ¿hasta qué cifra puede calcularse este cociente para que todas ellas sean exactas '1 Consideremos una tabla de 6 decimales (e.) entre n =1.000 )' n :;;; 10.000; desde el nl¡mero 1000 hasta el 4308 es A > 100; luego, el error de la fÓl'mula kl A cs menor que 0,005; calculando este cociente con error absoluto menor que media centésima, el error total se.r á e < 0.01. es decir, obtenernos por interpola ción elo8 cif1'a8 exacta8. Desde 4308 hasta 9999, es 43 < 6 < 100; luego, el error de la fór1 mula klA es menor que 86 < 0,05. y pOl' lo tanto, calculando el cociente con error menor que media décima, obtenemos por inte.'polación
Ull~
sola
cif?'o, e:¡:acta. d) TablllB de looaTitmo8 de SU1nas. - Para calcular el logaritmo de una suma a· b, conocidos 19 a y 19 b. es preciso hallar los ant ilogarit· mos a y b. y luego calcular 19 (a b). Las tablas llamadas de GAUSS
+
+
permiten, como veremos, simplificar notablemente este cálculo. Constan, esencialmente, de dos columnas; en la columna A están los valores de 19 x, dispuesros en progresión arit~ética ; en la B, 108 valores de 19 (x + 1) . Conocido el logaritmo de un número se tiene. pues, en· frente (sin necesidad de hallar x) el logaritmo del mismo húmero aumen· t.ado en 1; Y buscando en la columna B un logaritmo dado. se tiene en la A el logaritmo del número disminuido en 1. Cuando el logaritmo dado no f igura en las tablas, se efectúa la interpolación, como en las tablas ordinarias de logaritmos. Dados 19 a y 19 b, se calcula fácilmente Ig (a b), observanclo que:
+
19 (a + b)
=
19 [ b (
--~ + 1)] = Ig b + 19 (
Comenzaremos, pues, por caleu lar 19 lumna B se bu sca 19
(-¡:- + 1 ) , corno
suma 19 b. El cálculo de 19 (a que 19 (a-b)
= lag [
Para obtel1er Ig- (
b), siendo b (- :
+, -
a
h-
=
Ig a -
+ 1).
:
19 b; en la co-
antes se ha explicado, y se le
eL> b,
es análogo. Basta observar
-1)] = 19 b + 19 (-:--1).
1 ) puede usarse la misma tabla, pasando de
la columna B a la A, pero algun as colecciones traen tablas separadas "de sustracción", como las de HOÜEL (e,), donde además, f rente a 19 x, fi-
,
gura, respectivamente, 19 \ 1 usan basándose en:
19(a+bl
1) + -;;-
y 19
( 1 - -;1 )" • de
mouo Que se
-1
1" (a 1111)
b) ;::; 19 [ a ( 1 -
R.TtlMPILOS:
,t
l. =: 0,23343
= 1,81620
'1 =:= _1.!381~?_ 4
~
) ]
:::,
19 { (t: ( 1 -
~
a b)
-1
J- '
3.
3,16186
'1 ::::_2,fll~43 4.
>
IIIUtllltrRl1 los ejemplos que siguen:
" =
11
503
t:ÁLct;LO LOGARÍTMICO
b ;::; C,43424
A 0,233 0,234
B O,19iJ97 O,Hl960
A = -37
A 0,4.342 . 0,4343
0,43.(-37) :::, 19 a :::, 19 (a+ b) ;;;;;
B 0,19926 ~
0,19920 A:::, ~6
0,4 . (~6) :::, 19 a 19 (a.- b)
= =
0,19997 16' 0,19981 8,16186 3,35167 0,19926 2 0,19924 1,81620 1,61696
6) Tablas de logaritmos. - e,) Algunas colecciones de tablas varias 1(;1111. VII, nota 11, d) contienen breves tablas logarítmicas . .r.) E ntre las tablas de precisión media, muchas de las cuales traen vnlurcs logar ítmicos y naturales de funciones circulares, tablas auxiliares luí," l)recisllS, etc., citaremos las siguientes. ordenadaa según su n úmero ,1 .. cifras :
H. SCHUBERT: Víerstellige Tafeln und Gegentafeln . •. (W. de Gruyter, U,u·lin y Leipzíg, 1938); O. MÜLLER y M. RAJNA: Ta'/,Jole di logaritmi con cinque decimali. (261!1',111' . .por L. GARBA: Hoeplí, Milán, 1936): .1. HOÜEL: Tables des logar'ithmcs d cinq décimales. (Ga uthier-Villars, 1'1,riS, 1~ edic. 1858, y muchas posteriores. Versión castellana, edito Mundo I : illll tífico, La Plata, 1942): V. V ÁZQUEZ QtlElPO: Tablas de los logaritmos vulgares de los númer08 1 /¡tt8 ta 20.000 y de laB líneas trigonométricas, con 6 decimale8. (32~ edic., Ill'l'nand(), Madrid, 1949). e,) De mayor pl'ecisión son las tablas siguientes: L. S()HRON: Sieben8tellige oeme·ine Logarithmen.,. (Vieweg, Brans,'hwcig; lllo edic. 1860, y muchas posteri ores, totales o parciales, y en "Lros idiomas). Números 10.000 a 100.000, 7 decimales; 100.000 a 108.000, 11 decimales; G. VON VEGA - C. BREMIKER: Logar'ithmisch-trig4)nometrisches Hund· /mch. (1856, 11!- edic. de BREMIKER = 401lo edic. del Handbuch: 1935, 94flo ",He. del Handbuch, Weidmann, Berlín). 7 decimales, números hasta 1.000.000; . J. M ENDlZÁBAL y TAMBORREL (8 dec., 10.000 a 125.000); J . BAUSCHINGER y J. PETERS (8 dec.; 20.000 a 200.000); G. VON VEGA (10 dec.; 1 a 101.000), y la obra monumental de A. J., T HOMPSON: LOfJarithmetica B?'itannica. (20 dec., 10.000 a IUO .OOO), vol. 1 (10,000 a 50.000), vol. II (50.000 a 100.000), Cambridge II fli v. Press" 1954. Ver más referencias enJa obra citada (Cap VII, nota lI, c) de FLETCJlEn, MILLER y ROSENHEAD. e.) Las tablas de logaritmos de sumas se llaman de GAUSS, con plena in justicia, pues en verdad fueron ideadas por LEONELLT. Su importancia, y la de los logaritmos de toda clase, ha decrecido mucho con la difusión de la s máquinas de calcular. Tablas especiales de logaritmos de sumlls con siete cifras, son las de T. WITTSTETN: Siebenst61lige Gau8sische Logarithmen. '. (H ahn, Han· novel', 1866).
504
IX. TEOREMAS DEL VALOH MEDlO y
CONSEC UIi NCl~
('. IX -1
Algunas de las tablas antes citadas, como las de HOÜEL y d(: MÜLLl:Ilo RAJNA, contienen tablas especiales para sumas y diferencias.
n . Relación de Pea no. - Si las funciones f (x), g (x), h (x) son derivables en (a, b), y continuas en el intervalo cerrado [a, b], vale la relación establecida por PEANO en 1884: f'(O g'H) 11'm I [IX-11 f (a) g(a) h(a) (a < ~ < b). 0, f(b) g(b) h(b)
I
En efecto, la función F(x)
=
=
I
g(x)
f (x) fea)
g(a)
f(b)
g(b)
h(x) h(a) h(b)
j
se anula (§ 13-2, e) para x = a y para x::::: b, y cumple las condiciones del teorema de ROLLE (§ 35-2), de donde l'eslllta [IX-l], siendo € un cierto valor comprendido entre a y b (no necesariamente único). , Para h (x) 1 resulta, con ciertas restricciones, el teorema de CAUCl-IY (§ 35-8), y si además g(x) x, se obtiene el teorema de LAGRANGE (§ 35-1), en forma restringi.da,
=
=
III. Criterio de Stolz, - He aquí el correlati VD de la regla de BER· L'HosPITAL: Si para x -+ 00, exiBte l¡m _f (x :1-----.!). - f<.~) _ lim .J (x) . "'" X es también
NOULLl -
+
ciones impuestas en el caso 2<'> de aquí (1<) de allí) nos permiten pasar fácilmente del límite aritmético de f(n) !Ifl(n), al funcional de f(x)/ 'P (x), con 11 = [(\:]. En particular, si en el 2 9 caso se supone 'P(x)= x, l'csulta: COROLARIO: Si f (x)- f ([x]) = o (x), y M;iste lirn 1f (x + 1)- f (x) ~ , ---" 00, es t.a'mh"ten ] Jm ' ,1\. = 1\ para x --,. - f -(x)-
=
x
x~ 00
=
ESCOLIOS: 1. Si se prescinde de la condición impuesta a f (x), el teorema puede no ver ificarse, como sucede, por ejemplo, con la función
f(x):::: tg 'lI'x.
Para ella se verifica: lim [tg'll'(x a: -+ 00
+ l)-tg'll'x]
= 0, tg'il'
x
es decir, existe el límite A = O, Y sin embargo, - - - '- carece de límite x
para a: -+ oo. 2. El l'ecíproco no es cierto; puede existh' límite del segundo cociente y no de] primero. EJEMPLOS:
l.
=
f(x) sen 'lI' x, tia: 1) - f(x) = sen 'lI'(x 1) - sen 7T x = - 2 !len 'lI' x Carece de limite para x-+oo; y Slll embargo, f(x):x--ȒL
+
+
. IV
I'HI)I'I~;llJ\[ll:S DE LA FUNCiÓN DERIVADA
505
2., '
f( x )=lnx,
."'., I'un .\
:Ii! ~ O?
In{x+l)-lnx = ln 9: +1 =In( x el lhnite es O, resulta: Um
x""'" co
~~
1+_1_). x
'
=0.
z
IV . I'ropiedades de la función derivada. - a) Veremos ante todo que ,h.. JI( u lla iUtl ción y f ( x ), la exislel1cia y continuidad de su derivada ~II lnelo inte rvalo cerrado [a, b] equivale a que 11 y / 11 x converge hacia 111 Ij ,"i te f' ( x ) ~miformwmen te en [a,b], es decir, a que para cada e>O .. Jti~ 1 \! un II O tal que:
=
>
I f(X + h)h~f(X) ' _f'(x) l <e
1I" ·2]
si
Ihl<~
+
" II"lqu iera sea x, tal que x y x h pertenezcan a [a, bl. r~l1o es consecuencia de los dos teoremas siguientes: ud Si f' (x) e8 continu a en [a, bl, la razón incn¡rnental tiende hacia ,'( x ) uniformemente en [a, b]. E n ef ecto, por el teorema del Incremento finito (§ 35-1), el primer miembro de [IX -2] puede ponerse en la forma:
°
f'(x)l,
If'(x + l!h) -
<
,t"lIde l! depende de x, pero es siempl'e < {J 1, y como f' (x), pOI' el If'.orema de HEINE-CANTOR (§ 26-6), es uniformemente continua en [a, b], lItl obtiene la conclusión. a,, ) Recíp1'ocame1zte, 8i 11 y/11 x converge unifol'memente hacia su Z'¡" ,nite f' (x) esta funci6n es continua en [a, b}. Si (\'0 P5 un ]J Ullto cualquiera de [a, b], dado ¡¡ > 0, fijemos h de modo Il lIC valga [IX-2) }Jara cualqu.ier x de un ciel'to entorno E de le. pertene· ('¡ente a [ a,h]. Como f(x) es continua, por ser derivable (§ 30-8). lo es .. ( ~ )__ T
~
POI'
f(x
+ h)h -
:f (x)
en
X o,
t
y en onces:
\rp(x)- 'P (xo)l<e, consiguiente,
si
Ix~xol
+
if'(x) - f ' ( xo)1 2 If'(x) - <¡l(X) 1 19'(x) - 'I'(x,) 1+ I '1'(xo) - f '(x.)I E f e ;::= 3 E, si Ix - xo 1 p y además x e E, es decir, f' (o;) es función continua en x , b) Si f(x) es derivable en [a, bJ. f'(x) no es necesariamente con·
<
+
< + +
t.inua, pero tiene la propiedad D (§ 26-4), como resulta del siguiente t eorema de DARBOUX; Si f(x) es derivable en 'Un inte1'v alo cer'rado [a, b), f'(x) no puede pasa,' de un valor a. otro en [a, b] sin tomar todo valor intermedio, Demostremos primero que si f' (x) toma valores de signo contrario en a y en b, entonces se anula entre a y b. En efecto, si es por ejemplo f'(a»ü, y f'(b)
SOG
IX. TEOREM AS DEL VALOR MEDIO y CONSEt' UE NCIAS
c.
IX - IV
vada en un punto, y con todos 108 valores obtenidos en los diversos p untos hemos formado 1$ función f' ( ~ ). En la práctica suele procederse a la inversa: se deriva la funci ón 1(:1:), considel'8.11do indeterminada la Il:, y en la funci6n obtenida se da a la fIC el valor numérico alo, en que se desea conocer la derivada. Este método tiene un g rave inconveniente, sobre el cual conviene llamar la atención: puede suceder que así no r esulte ningún valor, por carecer de deriva da en este punto algu na de l as funciones componentes de f (:t"), y que Bin embargo exista f ' (x.). 'l'al sucede, por ejemplo, con la. f unción ya estudiada (§ 80-8): •
'1t'
V=g(x)=:¡;'sen ---;-
La l'egla del producto
llOS
x*O,
para
g (O)=O.
da este resultadü;
, 'lT ( "'). + 2 ;¡; sen -'lTY = x' cos ~ ~ -
=-
'lT
+
'1t'
cos - - 2:t sen - a: ~ , expresión que l!al'ece de todo significado en el punto x = O, siendo discontinua en este punto. Sin embargo, en x O existe la derivada y vale O come vimes (§ 30-8, ej. 2). es decir, g' (x) existe para tode .:¡;" pero no es continua en x = OV emos, pues, que la derivada puede carec!er de Umite, incluso mterp.l, para tl: -+ :ta, y sin embargo, existir f ' (2:6) ; es decir, la derivada puede tener discontinuidad de segunda especie. T ambién puede tener discontinuidad de primera especie, como acontece en los ejemplos (§ 30-5), en que la derivada es continua a cada lado, pero con límites distintos; pero en t!ste caso la fu nción 110 puede ser derivable en el punto, En efecto, por el' t eorema de DA1lBOUX b) • si la derivada f' (~ ) existe finita en todo punto ele un iotel'valo, sólo puede tener discontinuidades de segu nda especie. En padicular, si existe finita f' (x) en todo un entol'no de :1:. y existe 1im f' (x), tal limite es f ' (xc). Obsérvese que la f Ul1ción sg x tiene derivada (+ 00) en el origen y t)ue la fun ciñn derivada tiene ahí una discontinuidad evitable (cfr. § 35, e.iercicio 2). : l e : tl
fIC
'Ir
=
V. Números derivados y funciones derivadas. - a) Aun cuando una función f (x ) no tenga derivada en x Xa, y ni- siquiera der ivadas laterales (§ 80-5), existen "iempre los corTespondientes límites de oscilación, fin itos o infinitos, ccn signo determi nado: [ IX-3]
=
D+
D
-
+
sup f (a:. h~-f(XD) ; D~ ~ lim inf f (x. + hi - f(:z:o) h ~O' h-.;. O' J' f( ~.+ h)-f(x.) . f(:r.+ h)- f(~. ) 1m sup k ' Dlim inf h
= lim
=
=
h-+ ~
h-+~
que llamaremo.s número8 de'rivadoB superiur e inferior, a derecha y a izo qtderda, respectivamente, en Xu, de la función f (:t"), continua o no en XO. EJEMPLOS: 1, Para la f unción continua f(x ) =::e x sen (l!x) , si 12):;6 0, f(O)=O, se tiene en x = O: D'=l, D.=-l. D- ::=l, D- =: -1 (figura 116). 2. En la función:
ax sen"
f(x)
1= O
l:
ex sen'
se tiene, para x = O:
..!.. + x
b¡¡;
C08~~ para ~
g:
> ° (" > b);
:c:::: O;
.J. _ + IX!
d::: coso
...!.. X
x
d);
IX - V
507
:-.-f'MEIUlS ¡,r.R1VADU:; y n:Xn(l;,\;ES DERlVA VA"
=
=
D' (1,. D, b. D- =:c. D_=d. ILItOOI'danrlo § 24-8, resulta: ni) La candición necesaria y 8uficiente para que exista deTivada la"''111 (§ 80-6) a. un lado del punt.o Xo, es que coincidcl-n 108 dos nÚ'lnm'o, ".,·juados de la func:ión a dicho lado de ~•.
y ", , "-
,, " 0_ .. =- 1
,,
, " x
-2
2
3
"2
,, 0+=-1 Fil<, 115.
Con In notación de § 30-6, si existe derivada lateral a la izquiel'da de
:ro. sería D- = D-
= f'- (xo) ,
v;:1+e'/sen (l/~) función f(:» ) si x '1'=0, f(O)== O, los números derivauos D' = D ... =: ít~ (O ) =0, D+ co,
EJ~MPLO 3. La
tiune en
x =:{)
0 _= - 00.
~.
=
=
€t.) La c:ondÍIJión neceflar1a y suficiente pent que e:rista derivada ú'li(§ 30-5) en :1:0 es que coíncidan los cttah'o númerofl derivMoB. b) Al "ariar x en el campo de existencia- de f (x), cada uno de los númer(Js derivados determina una función de x que llamaremos derivadas 8uperior e inferior, a derecha y a izquierda. e indicaremos, respectivamente, con notación de SCHEEFFER : D+f ( ~) ¡ D.f (x); D-f(x)¡ D - f(x ). Para distinguirla de éstas, la derivada antes definida (§ 30-6 ) se llama ordinaria Q única. Como hemos visto en a), si por ejemplo en X. existe derivada lateral a derecha. tendremos : IY f (x., ) = D. f (a:.) ~f'. (xo). b,) Si 1(1ot ) eB c:ontinuu en [a, b] , y una de 8'l~ funcioneB derivadas es no-negati1Ja en [a, b], con excepción de un conjunto numerable A, entonces f (a) f(b), Sea, por ej empl o, D+ f(x);;;' O, Y supongamos por absurdo que f (b ) - f (a) < 0, con lo cual existirán números K O Y P O tales que para todo ke (O,K) sea f( b )-f(a)< - k (b-a)- p, Ponie ndo cp(x,k )=f(x)-f(a) + k(x - a )+p resulta w(b, k )
<
>
<
<
>
508
c. IX -V
IX . TEOREM AS D.KL VALOR MEDIO Y OON!;EClIENCIA8
cOn xc/=a es rp(x ,k,)*'I'(x,lc,). Como ~e(a,b), €.sto )1 os dice q ue sI k . =t= le., será E(k,) :t= ~ (k.) Y por t anto se podría establecer u n a coordinación entre los val or es de k del intervalo (O, K ) con potencia del continuo y un conjunto oe ;; numerable c()ntenido en A, lo que es cont radictorio (Cap. 1I. nota n, teor. 1). Recíprocamente: ¿cuál es el signo de cada una de las fun ciones derivadas de una función monótona? b,) Cada una de las funcionc8 deTÍvado,s y las razones incTemen'tales de una función continua en [a, b] tienen las mismas cotas en dich o inter.
valo. Es declr,
.
SI
m .;;; D' f (x) .;;; 1\1 en [a, b], es m "
f (x.) -
f ( x ,)
x. ---"1
.;;; M
para Xl#X. en [a,b], y recíprocamente; Y lo mislI1() para las otras funciones derivadas. Por ejemplo: m,';;;D+f(x) en [a,b], equivale a: D+ (f(x)-m x »O, que equivale a su vez, en virtud de b,), a f( x )-mx, monótona creciente ?m en [a,bl. en sentido amplio (§ 23-11), o sea: f(x.)- f (x,) X2 - - Xl
b.) De aquí l'esulta que los extremos del conjunto de valores de la razón incremental son los mismos extremos del conjunto de valores de cualquiera de las cuatro derivadas. Por consiguiente: Las C1!ah-o funciones derivadas de una función continua en [a, b] tienen los mismos extremos en todo intervalo abierto o cerrado contenido en [a, b}, pues no es difícil demostrar que el valor de cada uno de dichos extremos 110 varía si el intervalo cerrado [ a, b] se reemplaza por el abierto (a, b). b.) Resulta de aqu í que si una de las cuatro derivadas, por ejelnplo D+ f(x), es continua en xo, los extremos superior e inferior de n·f (x) (y por lo tanto los de las otras tres derivadas) estarán tan préximos co' mo se quiera a D' f (xo) en un entorn<' suficien temen te pequeño de ,)~" Luego: Si una de las fu.nciones derivada,., de la función continua i{x) es continua en un punto, f(x) tiene dm'ivadu única en dicho punto. b,) En particular: Si una dm'i7)ada e.9 n'/Llu en lodo m t intervalo, tie1i e la función continua f(x) derivada única nula, y por lo ta nto (§ 35-3), eE f (x) = constante. e) Algunas de las propiedades de las derivadas onHnarias se generalizan con pequeila modificación. Así , de las propiedades aritmética.s, fácilmente demostl'abl(,f;, de los límites de ostilaciól1 (§ 24-8, y ejerc. 20) se deduce: D- (f + '1') .;;; D' f D' q;
+
D' (f - 'P)?> D' f - D - 9l D'ki(x)=kD' f (x), (k>O) y análogamente para las otras derivadas, con obvias n10dificaclOnes. C2) De aquí resulta el fundamental teorema de L. SCl-IEEFFER:
Si dos funciones continuas en un intervalo cerTado tienen finitas e iguales en todo el intervalo una de 1{L8 funcio nes derivadas, difieren el1 una constante en dicho intervalo; la conclusión snúsi,st e si la ioualdad (para valor finito) de una de las cuatyo ftmciones de1-ivadas se da en todo el inteTvalo, con la posible excepción de un conjunto numerable de ¡nlntos. en los q~{C nada 8e saúe r e.8pecto a (l¡c hus de1'ivada,$ Porque siendo, por ejemplo, D+ f = D+ c¡, resulta: D+(f- op) ~ D'f-D+rp=O, Y por bo) , f - q; es monótona creciente (§ 23-11). Por igual razón lo es rp ~- f; luego, debe ser f -
VI. El teorema fundamental del Cálculo integral (§ 35-3). - a) Si dils funciones tienen derivadas iguales, pero 110 siempre finitas, puede n o ser constante la diferencia entre eHas, como se ve considerando las f unciones sg x (§ 23-6, b) y 2 sg :ro
j' ,
T.Xllt~M¡\ FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTECllAL
IX -VI
509
MI!T10ll hivial es ver que oho tanto pu ede ocurrir, aun cuandQ las ~('an cQntin¡.! as, en los dos casos siguientes:
l,w"I" l/fS
1<.') Si la igualdad de las derivadas admite excepciones; se exige solamente la igtlaldad de las del'ivadas, sin sobreensean finitas. I' U I"3. ello, comencemos por introducir una notable función monótona y I:o uli nua, definida por G. CANTOR. IJ) Función ele CANTOR. - Si dividimos el intervalo (O, 1) de la x en I rm; partes iguales, asignando al t ercio central el valor 1/2, y dividimos I ..¡:¡ " II'O!; dos segmentos l'estantes en tI'es partes, asignando en el cent.ral a 111 11 (·1 valol' 1 J 2~ Ó el 3/ 2', r€~ pectivamcnte (fig;. 11(1), Y así se prosigue IllIlTiolJlln do en t.ercios ](J s intel'val()s de la :,' mientl'as se promedian lo" coIn ':Ilondientes intervalos de la y, l'es1)lta ulJa función creciente definida en tudl) punto cuya expresión en el sistema de base 3 (Cap. l, nota JI) ten, :!" ) Si 10'11010 " que
y
-----------------f 3
'4
I
2'
I
¡
~ I I
x I
2
'9
'9 Fh!. 11(1.
~ Dú~
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7
~
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'9
en la uefiniciün
f;a nÚ mero finito de cifras (por ejemplo, 0,1, 0,2, 0,01, 0,02, . , ,), y también en los que tienen infinitas cifras, entre las que hay algún 1, pues una cifra 1 indica que el punto está en eJ tercio central correspondiente a esa división, y por lo tanto, tiene asignado vaJOl' homólogo, cualesquiera sean las cifras siguientes. Observemos que a sí se establece una correspondencia entre los segmentos del eje x y los del eje y, de tal modo que al pl'Ímero y último tercio de cada división (indicados por las cifras O y 2 de la expresión ternaria) corresponde la primel'a y segunda mitad del segmento homólogo; es decir, las cifras y 1 de la expresión binaria; luego, ~i al número ternario que sólo tiene cifras (} y 2, Y por lo tanto, carece de homólogo, le asignamos el qlle tiene esas mismas cifras, cambiando el 2 p()r 1, queda completada por continuidad la f unción en el jntervalo (0,1). Si x contiene a].:una cifra 1, ésta indica que en una de las etapas Queda en el teTcio
°
;)10
CONSE(;UENC IA~
IX. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y
('. I X -VI
central, y Jlor lo tanto, le corresponde el punto medio, ee decir, esa cifn queda 1, terminando en ella la expresión de y. Así: .1' = 0,022022 20 . . . . y :o::: 0,011 011 10 . " , ,t' = 0,001 101110 . , . 'JI = 0,00l. e) Puede no ser constante la diferencia de dos fUl~cÍ!¡nes continuas en el caso 1 Q a), como lo muestra la función de CANTOR b), que sin ser fun ción constante tie1le derivada nula en todos los segmentos donde es constante, cuya longi tud total es: 1 2 2'
-
+-+ -
3
3'
3'
+ ...
=1.
Comparando la función de CANTOR f(x) con la 2 f(x), vemos que embaa tienen iguales a O las derivadas en los intervalos citados; en los
y
-- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ---, 3
0\:;,
"4
¡ t
~¡:
1
2
l
i
f'-1 ; 1
¡
, I
,~' f\-: , ,
I
,
I
I
I ,
t
I
I
I :
I
I f
I
I ,
I
I I
I
l.
o
j
I 1
I ,
t,
J
I I
,¡ ,
2
32
1
2
j
'3
'I
x Z
3~
FiJ<, )11.
pt1.11 t O$ ('u ra ah"ci"a til"ne infinita:; eif l' a~ distintas de 1, );le puede demt)~
trar que la derivada es + oz ; finalmente, en los extremos de los inter· valos citados, la derivada es nula a un lado y es 00 al otro. Las dos ftlll ciones tienen estas mismas deriva das en cada p unto, y no difieren en una constante. Tampoco basta (n, caso 2 Q) que en cada punto haya derivada única (§ 30-5) igual pal'a ambas, pues si sobre cada segmento de la curva de CANTOR se construye un par de semicir cunferencias, como indica la fig ura 117, la fu nción 8si defin ida tiene de r ivada + 00 en los extremos donde antes no había deriVArla única, y en los demás es jgual para las funciones así obtenidas a pa rtir de f(~ ) y de 2f (x). d) N o obstante. como consecuencia del teor ema de SCHEEFFER (nota
+
f ',
V,
1:< -V JJ el, ),
511
,,'UNCIIJNES CONTINUAS SIN DERIVADA
es constante la diferencia de dos f unciones si l as delivadas son fi-
1I1t.aa Y coinciden en todos los puntos, con la posible excepción de
,m
l!uuJunto numerable. Esto nos muestra que los puntos en que la fun ción 11.. C ANTOR tiene derivada no nula, no form an un conjunto numerable ''' o VII, Funciones continuas sin derivada. - Un ejemplo sencillo de f unri4\n continua que carece tie derivada fini ta en todo punto es el siguiente, 11.. VAN DER WAEIIDEN (1930): ~i f. (,1') inclica la di811lllcia cnf)'e x y el lIIill/cro lIIá.-; }J1'I),\·iIllO rl(' {rc ""'/11(1 m/l0" (111 ellf c l'o), entonce8 la f un ción cr.,
lIX-4]
f (x)
=
~
fo (x)
V"{ :::: o
~l!I
continua y Cal'ece de de,ivada f inita en todo punto. DEM , (de A. H EYTlNG) : 1Q ) COI'110 cada f n (x) (fig. 118) es continua,
x F i j!, 118, -
S, ( x )
=
{ o' (.l.')
+
f l (,, 1.
Ic-l
Jo es para cada k la suma parcial S.(x)= If,, (x) \
~ 2.~0'
l: f . (x) . Por otra parte, ,, =0
de
para cualquiel' x, resulta:
If(x)-S.(x)!';;;
-
1
1
1
( - +- - + ,.. )
5
= -
1 -~,
2 10' 10'+1 9 10' Y entonces, dado e>O, será ! f ( x ) -S~(x>I <e 1:1; k >ko(e ). Fijado así k, por la continuidad de S.(x) en x. cualquiera, exisUl un ~ tal Que si 1 x - xo ! <~, es ! S. (x)- S.(x.) ! <~, y entonces: If{x)-f(x.,)!';;; I f( x)-S.(x)! \St(x)-S .. (xo)l + I S.{Xo)-f(x. ) I e e ~:::=: 3 e, lo que prueba que f(x) es continua en xo,
>°
+ < + +
+
2Q ) Consideremos la expresi6n decimal con infinitas cifras no nulas de un número x del intervalo (0,1): O, €l., a., "" lrq, , . ' Si €lo 4 ó 9,
=
tr F. SVNYl-:U BALAGlJER ha d em os tNu]O Que sij:'; ue c un1p liendt.lE.e el t~ ..em8 fu ndamen .. 1&1 del CHJcul o intt..~ rnl a un C!uando el conjunto c~eel') cio ns\. don de tn~ del ·i \~BdR8 dej~.n de Rt'l" fl n:ta8 • iguales. pueda 8f:r t otalme nte im])el1fecto. es. dech·. no contenga ninalún '~ml). conjunto pHre.to no voci o ( Cep, VI. I'!otn Il, ,1), E~t" resultado ea el m,\ s ¡ten......1 posible, ~ olY'.o . " comprueba mediante el ejemplo 811t. ,.¡01' de la fu nción dl! CA ¡';TO R, Sin .. mbu)', )lO, hQ.l3tn. hoy s610 t!le Scohe lI{o1.EgUrR.· 111 existencia de u n conj unto to tnlmente imp@I·. r~cto n o nnmel'llbl~ n,edinnt . el IIdom l\ <1e ZERM!:lP U !14·7, a,. Vol. lJI) . P , P I CALLF.J,\ hn ExlE'l'1 di do e n s u formn J;!e..n e r8.1 el tec)'remll de incrementos linitos y BUS cOD8eCueneiu8 (n (lt8~ V y VI) B fu ncionES netorl"I,,". mediente la ¡ntl'aduccióll d ... concepto d" flúrn~ro \.lel'i\'ollOl"Il1.R.d
512
IX.
TEOREMA::>
D¡.;L VALUR MEmo y t:\l N!:l t:I ' I,JEN l'I A~
=
C. IX ·V I)
=
demos a x el incremento h -10--, Y en caso contrario, h 10-0. Entonces, si n < q, los cOl'l'espondientes números más próximos de la forma milO" difieren también en h. En la figura 118 puede estudiarse el C800 q = 1, Y la conclusión subsiste para otros q. Se tiene (ver figura 118 pa.ra q = 1): ( ~ h si n q, a,.u < 5, fu(x+h) - fn( x )= J = - h si n
<
+
l= O
n;;' q.
sí
Como consecuencia, la razón incremental es:
[IX-5]
f(x
+ h)h-:-
~(~) .
=
q _
2v
si ~ es el número de cifras ;;¡, 6 entre las al; n" ... , n., y no puede tener iímite finito para h --? O al tendel' q a infinito, pues es un entel"O par o impar conjuntamente con q. La función de VAN llER WAERDEN no tiene ta mpoco derivada latel'aJ fini t a, ni a derecha ni a izquierda, en ningún punto. Comencemos por observar que por ser f(x + 2h)-:!_(x±~L _ 2· }( x+ 2h)- f (:d IX-ti] [ h 2h f(:c+h} -
--
--h -
f(x)
-
-
5i existiera f'. (x) finita , tendría límite finito f', (x) el primer miembro para h -'Jo O'. Entonces, para estar siempre en el CRSO h > O, si IX q 4 Ó 9 se considera en vez del pl'imer miembro de [I X-5] el de [IX-el. resultando el mismo segundo miembro de [IX-5] . Análogamente se prueba que no existe f'-(x) finita. El ejemplo clásico de función continua !'.in derivada es la definida por WEIERSTRASS (1872) mediante una serie trigonométri ca. Esta función carece en todo punto de derivada finita o infinita (con signo determinado), mientras que el anterior de VAN DER WAERDEN tiene derivarla única infinita en puntos tales como x 11 . M. JASEK h a señalado la existencia de un manuscrito de BOLZANO, posiblemente de 1834, en el que se defi ne una función cont.inua en un intervalo finito, demostrándose Que no t iene derivada f inita en ningún punto. K . RYCHLIK probó en 1921 que la función de BOLZANO no tiene derivada ni finita ni infinita (con signo determinado) en ningún punto interior del intervalo donde está definida. Un método simple para construir funciones continuas 110 derivables en este sentido estricto fué dado por K. K NOPP (Math. Zeitschrift, 2; H118). Más difícil es la construcción de funciones continuas sin clel'ivada lateTal, ni finita, ni infinita, realizada por A. S. B ESICOVITCH (1925).
=
=
VI11. Bibliografía. - 1. De las obras mencionadas en el capítulo VI, nota VI, podemos señalar como especialmente adec uadas pal'a adquirir en forma más minuciosa y profunda los conceptos básicos, las de HARDY, C H. DE LA VALLÉE-POUSSJN , LEVI, LANDAU, OSTROWSKI y SEvERI (citadas en Cap. Il, nota IV, 2; Cap. VI, nota VI, 4, 2 y 5, Y Cap . IV, nota lB, 1). 2. Existen diversas obras destinadas a complementar, por los est udiantes que desean profundizar sus conocimientos matemáticos, las nociones de Análisis adquiridas en cursos de iniciación universitaria comunes con los de orientación técnica. Los objetivos de dichas obras pueden síntetizal'se así: 1 9 ) Dar una perspectiva general del campo del Análisis desde sus fundamentos; 2Q ) Pasar revista a los conceptos fundamentales, suponiendo que el lector ha alcanzado la etapa en que puede entender los enunciados precisos de estos concelltos fllndamentales y las demostraciones rigurosas de los teoremas, muchas veces expuestos en forma incompleta o equivocada en los textos elementales de Cálculo; 3 9 ) Informar al
VI II
IHllLI!JW!lwíA
513
IIdl.. IIW lIC4.l!·ca uc los teoremas y J11étodos de investigación que son funpnrn trabajar en el Análisis moderno, tanto en la matemática (!JJ la aplicada. En forma elemental responde a estos objetivos (.trrll .10 OSGOOD (citada en Cap. VI, nota VI, 4), Y más especialmente ,1". !ligllientes: I ~ M. GIUVES: The theory of functions 01 real vaTütbles. (Mc GrRw11111, N III' Vll York, 2~ ed., 1956); A. Jo:. SAGASTUME BERRA; Introducción a la tnatemática 8uper'ior ( I' uhl. J;'nc. C. Físicomat., La Plata, 1946). ¡'lrl contenido algo más elevado la primera, más extensa la segunda, ""11:11,, rons ti t uyen Ulla excelente introducción a la teoría de las funciones "1",,, en p articular a. la medida de conjuntos y teona de la integración. t 1111 itlncn t a mbién valiosísimas colecciones de ejercicios críticos, ejemplos, lAI.r()l'J\8S de demost.-ación sólo esbozada, remitiendo a tratados más comI "lu,.. a f in de no ocupar demasiado espacio con su desarrollo. Cnnstit u yen un notable y breve esquema, señll.lando los puntos capiI Mhlll Y nociones básicas, los dos fascículos: A, D ENJ'OY: lntroducf:ion a la Théorie des Fonct.iol1S de vaTiables ""11. ( Act. Sci. et Ind., no'. 451, 452; Hermann, París, 1937). a. T ratado completo, utilísimo en la consulta, por lo destacadas y 101 11 ordenadas que están sus proposiciones, y por escoger siempre los reIII'1IUS m ás elementales en las demostraciones, a pesar del carácter superfur de la obra, es: K W . H OBSON: The theory ol funct~on8 of a Teal variable a:nd the 11'.'1/11 af F OURIER'S series. (Vol. J, 3t:1 ed., 1927; vol. n. 2~ ed.. 1926; IIn iv. Press, Cambridge). De carácter supel'ior, con abulldante aportación original, rica biblio¡(runa fundamental, valiosos ejempLos criticos y teol'Ía de la integración mngníficamente desarrollada, es la famosa obra: C. CARATHtOOORY: l'orlesH71uen über Teelle Funktionen. (21l- ed. Teub!lI·r. Leipzig, 1927; Chelsea, Nueva York, 194R). La parte elemental de la obra anterior, conteniendo su primer tercio, le ha r eeditado bajo el nombre: C. CARATHÉODORY: Reelle Funkiionen. (Chelsea, Nueva York, 1939). Una concisa, clara y rigurosa exposición, orientada hacia el problefila de la medida y la integración da el primer tomo (basado en un ma, nuscrito póstumo de G. VITAL!) de 1U obl'a,.cuyo segundo volumen se rer¡f!ce a desal'l'ollos en serie de f unciones ortogonales: G. VITAL! y G. SANSONE: Muderna teona delle fwtzíoni di variabile ,...,t!r. (31l- ed., vol. 1, 1951; vol. n, 1952; Zanichelli, Bolonia). Una h'aducción ing lesa de los cuatro primeros capitulos del vol. II .1 .. e~t a obl'a , con agregados, es G. SAN SO NE: Orlhogonu.l fwwliolls (Intel'science, Nueva York y Lon.h es, 1959). Con máxima generalidad y en forma difícil y elevada se desarrolla lnmbién la teoría de funciones de variable real en la obl'a de DOURBAKI (citarla en Cap. l, nota IV, 9). Estructuradas a base de la teol'Ía de conjuntos, con conceptos también muy generalizados y empleo del simbolismo logístico en su desarrello, conteniendo excelentes citas bibliográficas de carácter muy monográfico, c:itán las obras, continuación una de otra: H . HAHN: Reelle Ftmktwne'l'!. (Akad. VerIng, Leipzig, 1932; Chelsea, Nueva York, 1948), H. HAHN y A. ROSEN1'HAL: S et .fll"ctio¡¡s. (Univ. New México Press, Albuquerc¡ue, 1948). Sobre la moderna fund a mentación del aná lis11> con orientación topológica está: J, A. DIEUDONNÉ: Fll1mclítlioHS oi modm'n Anítly~i8 (Acadcmic P,css, Nueva York y Londres, 1960). líl'IIH rol ~1I fll · ... "0
r'
514
IX. TEOREMAS DEL VALOR
MEDIO
Y t 'ONSEC IJENf'IAS
C:. J X . V J
4. Obra capital de la teoría de conjuntos, de gran influencia en el desarrollo moderno de la matemática, es la clásica: F, HAUBDORFF: Grundzüge der Mengenleh1'e. (1'1- ed., más compl que las posteriores, reimpresa por Chelsea, Nueva York, 1949; de Teubner. Leipzig, 1914). Más elemental y didáctica es la de: A. FRAENKEL: Einleitunu in die Mengenlehre. (31!- ed., Springer, Berlín, 1928 ; reimpresa por Dover, Nueva York, 1949). Una breve inu'oducción es: E. KA1IfKE: Mengenlehre (Sammlung Goschen; W. de Gruyter, BerIín; 31;1 ed., 1955). Los fundamentos de la teoría de funciones en su relación con ]a teoria de conjuntos está expuesta en la obra clásica de: E. BOREL: Le¡;ons SU?' la théone des fonctions.· (3~ ed., Gnuthier, Víllars, París 1928). El estudio y clasificación de las funciones discontinuas ha sido hecho en la importante monografía de: R. BAIRE: Lefons sur les fonctions discontinue8. (Gauthier-Vi11ars. París, 1906; reimpresa en 1930), 5. Los que deseen ampliar o profundizar en los temas de este capítulo, pueden hacerio especialmente en las obras citadas (3) de HOBSON y CARATHÉODORY.
Obra monográfica sobre el mismo es: W. H. YOUNG: The fmldamental theorems of the differential calcu· lus. (Cambridge Tracts n Q 11, Univ. Preas, Cambridge, 1910),
CAPÍTULO
X
, ItI\IULA DE TAYLOR. ECUACIONES ALGEBRAICAS § 38. DERIVADAS SUCESIVAS y APLICACIONES
, . Der ivadas sucesivas. - Dada una función y = f(x), su II UI·jón derivada y' = f'(x), por ser otra fundón de x, puede 1:\11 vez t ener una derivada. La derivada de f' (x), es decir, la .1 ,-í mtda de la deriv ada de f ( x ), se llama, como ya dij imos, U :UI-7) , derivada segunda de f(x), y se indica con la notaUm y". f" ( x ), Ó D2 f (:d . I~sta derivada segunda, que es a su vez otra función de x, ". ulrá tener una derivada, que llamaremos derivada te1'cera de
r(.e) :
y'" = f'" ( x) = Da f( X ) = D f" ( x). Análogamente se definen las demás de-rivadas sucesivas de IIIU\ f unción. La derivada de orden n se indica yln ), Ó f i n) (x) Ó D" f (x) ; de ella se obtiene la derivada de orden n 1, medianl!' una nueva derivación:
+
f('Hl)(X) = Df'1\)(x). Il'
En resumen, las derivadas sucesivas se introducen medianla siguiente definici6n por ?"eC1trrenda (§ 2-3) :
¡:~~-l]
l
~
f'(x) = Df(x) = lim f(x + h)-f(x) "'---4 o - k f l7l+11
(x)
= D flt') (x).
A la derivada f' (x) la llamaremos también de1'ivada pri~ de la función. P uede suceder que se llegue a una derivada discontinua o, llun siendo continua, no derivable; pero las funciones elementales admiten jnfinitas derivadas, 'UI'1"a
EJEM PLOS: 1. Las derivadas sucesivas de una función entera de grado n son de grados n - 1, n - 2, . .. , n - h, ". La derivada. n-sima es, lJues, constante, y las sig uientes, idénticamente nulas. En particular : Las derivadas sucesivas de In función (x-a) ", para ?t natural son: [ 38-2] l1(x_ a)"-l, n(n-l) (x-a)"-', ... , n!, 0, O, ..• ; luego, para x:::: a todas se anulan, excepto la n-sima, que vale n !. 2. Las derivadas sucesivas de ee son tAldas ig"uales a e'.
-
516
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUA CION ES
=
3. Las derivadas sucesivas de y sen x son: 'JI' = cos x, y" = - sen x, y'" = - COs x, ylV sen x ...• y se repiten periódicamente, constando el período de cuatro términos. Dado un índice cualquiera n, puesto en la f orma: 11= 4h + k, (k < 4), es y ( ') y(k). Puede darse una expresión general explicita para la derivada n-ésima, observando que la primera se puede escribir así:
=
=
D sen x
=
cos x
=
cos(-x)
=
sen
U 'ii' - ( - x )J =
lo que nos muestra que cada derivación equ¡vale en '7r/2, y por consiguiente:
[38-3]
=
y( ?l )
=
D" sen x
sen (a;
El
sen(J;
+ ~ w ),
aumentar la variable
+ ~ n "') .
4. Análogmuente, las derivadas sucesivas de 'iI = cos x son: y' = - sen x, y" = - CO!l X , y'" = sen x, ylV = cos x, y
en general:
[38-4J
1/
11 1
=:
DI! cos .1':::; co~C~·
+
J u O;¡ ).
EJF..RCTCIO: Hallar la expresión de la derivada n·-ésima para las fun· ciones: e " ; sen 2 :;: ; sen' x; ln (l 1- x) .
2. Diferenciales sucesivas. - Observando la. definición de diferencial de y = f(x) (§ 34-1) : d 11 = f' ( x) . i'l. x. vemos que d Ji depende de x [pues f' (x) es una nueva función de x ] y también del incremento b. x = d x. Si ahora dam os a t:. x 1.tn 1Jawr fijo (por ejemplo. t:. x = 2), la diferenci a l d y dependerá solamente de x, y considerada corno func'ión de x , po· drá tener a su vez una diferencial, que llamaremos dife1'r-?nci al segunda de y, y que ind icaremos con d~ y: d2 y=d(dy). Reemplazando d y por su definición, y recordando que hemos supuesto t:. x constante, tendremos: d~y = d(f'(x) . t:. x ) t:. x . d f'(x) •
= t:.X . D f' ( x )
. /j~; =
_
2
fn (:r) . b. x •
2
Observando que t:.. x = (d x ) 2, y escribiendo, como se acoso tumbra, d X2 en lugar de (d x) 2 *, la relación anterior puede escribirse así: [38-5]
I
dOy = f"(x)dx 2
[
luego: la diferencial segunda de una, función es igual al pro... F.stli n utac ió n no e'Xpon~ a 1" dife .. "m iRl d e .l·e as í: <1 (," ).
.con fm:;icne~, sierr..prc
(J ue
C(lllvc n g amt;S
E!11
l'epr":-!gentar
1" a
l't:IUVA IIA¡.¡
HUC¡':~H VAS
y A I'I.II 'At' W N E;';
517
.,.,rlo rl~ >:11, tlc"1'ivada s egunda po?' el CU(Ul1'ado del inc1'emento , - d x de 111 val'icLble independiente. 1) la relación anterior resulta la expresión de la derivada II
nda como cociente:
. i"
(x)
Allúlogamente se definen y se calclllan las diferenciales suPor ejemplo:
l' I,r:tivH.\!.
__ 2
_~
d"y
d(d~y)
= _
=
d [f"(x) , t.x]
_ 2
_
= t.x Df"(x) ,t.x =
t.x df"(x)
= B
flll(~c) AX
f'''(x) dX 3 ,
=
general, la diferencial enei'nma será por dl;:)finición
y en
f(l8-7] d" Y '""" d (d n - 1 y), V I.ondrá por expresión ¡:'~~H] d"?/ = f('" ( :r ) d :;_~", J lp aquí resulta: el" y f~ '" et') = ~.~I :U~-9] da:" NOTA: Hemos visto (§ 34-5) que la expresión de la difl?rencial "" =:: f ' (:1.') dx es la miflmn au nque x sea f unción de otra va l·jable indeIlI"lldicnte t: x = x (t), ERta import ante propiedad no .~UI)8iste peu'a las ,li{f'l'()'I1ciales ele orden supe,,·ior. Para la segul1da se tiene, a partir de ,1" f ' (fe). X ' (t) dt:
=
=
+
1f"(x)[x'(t)]" f'(x),:x"(t>rdf ;=: fn ( é< )dx' f' (x) d',; . si x es independiente, al tomm' d:<' como parámetro constante resulta él',.\; il, Y el último miembro se reduce a f" (~., ) dx". I !IB-IO)
d"y
+
=
=
3, Aceleración en un movimiento rectilíneo, - a) El estucHo de la .!oncavidad (§ 33-9) da una indicación sobre el significado geométrico de fu ael'ivada segunda. Una intel'pretación física importante de ésta nos da 1/\ aceleración en un movimiento rectilíneo. Sea e :::: f (t) la ley del movimiento de un punto TlI sobre el eje de nhscisa s O e. La velocidad v, en cada instante es (§ 31-4): r ~i8- 11] ~} :::: e' f ' (t), Y será por consi guiente una nueva función del tiempo. Delnos ahora al I iempo un incremento t. t, e indiquemos con t. v el incremento conespon,liente de la velocidad, Llamaremos acelaación media en el intervalo entt'e t y t -1- A t, a la relación t. v r38-12] Y.. --¡;-¡- ,
=
=
La aceleración "' en el instante· t será la aceleración media, cuando A t -,) O: [38-13]
!Il
La
y .-.
a~~l r:.:r'e.c ión
lim Y.. t.t-,)O es un
t t'nyec.loyia e~n un o (' 111' V a ."l,'n¡,p 011f"ttt f o ' (l't?fl {''''' ltz l de
lim
t.t-,)O
pOI'
Cl.v ---=::
llt
v'
definición el límite de =:
f"(t),
\!-~cto r (l u m i,~ tno q l a? la vcloc i
5Hi
X. FÓRMUI"A DE TAYLOR. ECUACIONES
es decir: en un movimiento rectilíneo, la aceuraci6n e8 en cada inBtantiS igual a la derivada de la velooidad, y por lo tanto, igual a la, !krivada Ilegunda de la ley del 'movimiento. b) Movimient o unifm'memente acelerado. - En el movimiento recti· . líneo, cuya ley es: {38-14] e f(t) at' + bt + e, la velocidad es v f' (t) = 2 a t b, y la aceleración y = fn (t) = 2 a, es decir, constante, por cuya l'azón el mayimiento se llama uniformemente acelente/o. EJERCICIOS: 1. PI'obar que la ley del movimiento unüol'memente ace· lerado es, llamando e. y v. al espacio y velocidad iniciales (es decir. en el instante t:::: O) : 2 [38-15] e = ~ y t + Vo t + eo. 2. Probar Que en el movimiento vibratorio armónico (§ 28-4)
=
=
=
+
2'1i"
+ a) es y = -(2 'iO/T)2 e, es decir, la aceleraT ción el! proporciona l a e, siendo la constante de proporcionalidad negativa,
e
=
f (t)
= A , sen ( - - t
4. Derivada n-ésirna de un producto_ - Derivando sucesivamente el producto y = u. v de dos funciones: y' = uv' + u"V 11" = u 17" + 2 u' v' + u" 'V vemos que los desarrollos obtenidos tienen la misma forma qué las potencias (u v) l ; (u + v) 2 ; • • • reemplazando los exponentes por Índices de derivación y conviniendo en que la del'ivada de orden cero sea la función misma, es decir, reemplazando u" = u" V po r ZG ( llfv , Vil = ?lO v" por u V ln ), ,¿¿n-Iv por u IH - 11 -¿,' , Uv" - l por U'V O,-l l, etc. Demostr aremos, por inducción completa (§ 2-2), que esta ley vale para todo n, lo que se expresa simbólicamente por la fónnula, de LEIBNIZ :
+ O
_
[88-16]
_
(nl
U.V
=
(u
Como [88-16] se verifica pal'a n válida pal'a h: y '"
:::tt. 1,(I"
+
v)
(7I¡.
= 1, sólo
f alta pr obar que. sU}luest:
+ ,.' +( k~1 )U" -l V"-"" +(~)i!") V{.-t) + .. , +
u(')v;
se ve rifica para h + 1; en efecto, al del'ivar de nuevo. el tél'mino en '1' , • •1 -.' resulta de los dos subl'syados, y su coeficiente es, por [11-16]:
U (·)
("~1) + (~)
=
(ht l ).
La fórmula [38-16] se generaliza, también por inducción, paTa un producto cllnlquiel'll., obteniéndose: [38·17] ~z, n ) = (1! + 11 + ... + % )(n) = -'" n! (al =: ., --;¡-.Gf~ U
P,)
(f3) 'ti
%
donde la suma se extiende u todos los sistemas de enteros no negativos que cumplan la condición a + f3 + .. . + )o. ::: n como en la llotencia de UIl polinomio (§ 12·2).
:UI -8
n~.;¡¡I VAn ... s
519
SVCE:lIVAf; y APLICACIONES
It 1.11 f unción de Cauchy_ - Esta función (fig. 119) está definida por (1.I1Hti l f(x) e- l/.,' .Q llldo el campo real, expttl x O, donde el expoy ,uanl" caTece de sentido. P efu r omo pa ra x~O es 11m (x ) = O, si completa.nulI la definición de f ( x), ,,!luiendo f(0 ) O r esulta: al La f unción de CAU-
=
=
=
u y es cc71tinua en todo el ,mpl) real.
X
Pal'a todo valor 2;::f: O, nlllte dedv ada que viene FIp:.1 19. d '¡IIida por la fórmula: P Ul-19] f'(x) = f(x) .2. x--., I,,-"re en el punto x = e es pl'eciso calcular directamente la derivada, pues111 o ue la demostración de la regla de del'ivación empleada no es 8Jllicable 11 este caso, ya que no existe el valor ~¡" , Según la definición de derivada, (Ul'lnnremos el cociente f(O
+ h) h
f(O)
e-1 W = - f (h) -h- = - h- -'
Y como la eXJlonencial es un infinitésimo de orden SupcI;or , r esulta el limite Ci es decir: f'(O)=O: por otra parte. In fórmula (38-19] da: e- I / ." lhn í'(x) lim 2 ~ == O: luego, podemos enunciar: b ) L a hmcf.{m de CAUCHY tiene derivacla fillila en t odo el campo real, 11 esta deriv ada es continua, sin excepción.. Obsérvese que este. derivada tiene la misma propiedad de la función. a lIalJer : para x ~ O, su yalor es infinitésimo de or den supel'ior e. cualqu ier potencia de x; es decir, su cociente por cualquier potencia de x de exponente positivo, tiene por límite cero, pues el factor exponencial f(x)
~
fl-1f""
cs de orden superior a cualquier potencia de x. Derivando el product o [38-19] tenemos: f" 2 . f ' x -O - 2 , 3 . f ' x-4, fu nción continua en todo el campo real, incluso en el p unto x Ilue f " (x) ~ O, y, por oh'a parte, l' f '(O + h) - nO) ' f '(h) O " (O) f ::: 1m h = l un - h-
=
= O;
puesto
=.
Así sig uiendo, resulta la fórmula general:
f'·'
==
2t f ,n-1)
x'" _
el ~ 1) 3
! fIM -') . x-'
+ ... ± (JI ~ 1) n
I f' .
X - IM , I .
fu nción también continua y n\lla en el origen. Resumiendo: c) La j1mción de CAUCHY admite infinitas deávadas, que son ciones continuas en todo el campo real V mda8 en el origen.
fU:)t ,
6. Ceros reales de las funciones continuas. - a) Las funciones, representadas por parábolas de eje vertical: y = f(x) = (x-l)2 , y = g( x ) = (x-1)( x -2)
520
X. FÓRMULA IJE TAYLOR. ECUACIONES
se anulan ambas para x = l. Pero en el primer caso la parábola es tangente al eje x por ser no sólo f(l) = O sino también f' (1) = O. También es para x ~ 1, f (x) infinitésimo de orden 2 con respecto a x - 1 (§ 24-3, C2)' En el caso de un polinomio cualquiera, al considerar su descomposición factorial [18-6] para valores z = x reales suponiendo (;] = Xl real: f(x) = a()(x -X1)k.(.t -
~2)k2
... (x- tj)lc¡
subsisten conclusiones análogas: 1Q ) En :;;1 [cero del polinomio f(x) (§ 18-1) con orden de multiplicidad k l (§ 18-2)] se anula no sólo f (x) sino también las k] - 1 primeras derivadas; 2 9 ) Para x ~ Xl es f(x) infinitésimo de orden k 1 con respecto a x - Xl (§ 24-3, c:¡). Esto nos permitirá extender fuera del campo algebraico la clasificación de los ceros de una función (o puntos donde ésta se anula) reemplazando el concepto de orden de multiplicidad (§ 18-2) por el de orden infinitesimal (§ 24-3, c): DEF. 1: Un número :\:1 se llama cero de U'J'd¡;n }J (p > O "eal cualquiera) de la función continua f (:d, o 'míz de 01'den 1) de la ecuación f (x) = O, si para x ~ :<:1 es f (x) infinitésimo de orden p, es decir (§ 24-3, C2), si existen dos constantes positivas, k y K, tales que: [38-20]
f(x)
=
(x -
x¡)P \O(x),
siendo en un entorno reducido de Xl: [38-21] O < k < I \O(X) I < K. DEF. 2: Diremos que el cero X] es por¡' lo 'menos de orden p, si para x ~ Xl es f (x) = O (h v ) con h = x - ;(:1, y de m'den infiníto, si es por lo menos de orden p para todo p. Caso frecuente y particularmente importante del concepto introducido en def. 1 es: DEF. 3: Un cero Xl de orden p de f (x) [38-20], se llamará de equivalencia potencial si existe lim lf (x) = a O. En tal caso es f(x) un infinitésimo equivalente (§ 24-3, e) a (x-x])p.a. b) Si la función es derivable, se pueden utilizar los criterios siguientes: b 1 ) Si Xl es ceTO de orden ]J - 1 Y equivalencia potencial de f'(xl. es cero de m'den p y equivalencia potencial de f( :x) ~f(.r]). Rcdprocampnte, S'i Xl es CC1'U de oT
'*
cido de ~; 1'
En efecto, por la regla de BERNOULLI - L'HosPITAL (§ 36-1), es (ver def. 3) : . lim f(x)-f(x~ 11m - _f'(x) . - --~ . (X -
Xl)P
p(x -
Xl)P-l
(j t:lUVA IJA ~ ~U(:Jo:!>IVAS
521
'Jl AI'LICAnOl':ES
que estas derivadas (siempre finitas, por la hipótesis b) anulan simultáneamente en un entorno reducido de X¡, p"" Rel' }.J (;1' - X I ) 1'-1 distinta de cero. Para el recíproco, derivlUl do [:38-20] tendremos: 1)11 Rto
nI> Re
f'(x) =
(~'-xJ)"--¡
[P\P(x)
=
,/ 111 (~xis tir lim f'(x) / (x-;rJ)lh
-¡
(X-XI) 11" (x)], P\P(.rI) =J=. 0, queda demos-
la teRiR.
t l':III ..
l'ropiedad análoga vale sin suponer la equivalencia potencial, pero 1111'1\ demostrarla se debe utilizar una generalización del teorema del va/ .. r medio de CAUCHY referente a los limites de oscilación (cfr. HonSON, 'lhulo en Cap. IX, nota VIII, 3),
b:¡) Si :l~l am¿Za a f(x), f'(x), '" y es f(p)(x) finita la Tt'f"Üne'm derivada que no se anula en Xl, es Xl ceTO de orden p . ,tt: f (x), y ésta es infinitési1na equivalente a (x -
~l)P p.
f(p)
(xd.
Purque será, aplicando 1) - 1 veces la reg'la de BERNOULLIluego la definición de derivada f(pI : , f(x) . f'{x) . f(p-l) (x) It m ------ = 11m -= = h ro ---:---;--- - -;_ _)o" (x Xl)" ",-7"" P (x Xl) p- 1 0:-7"', p! (X Xl) 1 . f(p-l) (x)-f(p-l) (Xl) f(p) (Xl)
.,'IIOSPITAL, y
hm
.
p.1 "'_)"',
X -
--'iJ !
Xl
De aquí resulta también: ba) Si Xl anuUL a f(x), i'(x), .. " f(p)(x), es f(x) infini. té Rimo de orden superior' a p (§ 24-3, C2) : f(x) = o [(x - XI)l'] • NOTA: Obsérvese que en (b , ) no eXIgim(ls q\le x , sea cero de equivnlencia potencial de orden nulo de f(P) [¡¡:.) , lo cual supondría ( def. 3) la cltntinuidad de ésta, sino solamente la ~ tenc¡a de f')l) ('~1) finita. E JEMPLOS: 1. La función sen x tiene todos sus ceros O. ± ... , ± 2 '[T, .. " simples; como resulta directamente de la defi.nición, o bien por el cl'i"'nio (b2), siendo además infinitésima equivalente a ( - 1) "(x + n '11'), 2, Análogamente resulta que la función 1 - cos x tiene todos sus ,'cros O, ± 2 '11', •• • , dobles, y es infinitésima equivalente a ~ (x + 211 'iT)', I.a f unción tgx -- ;¡; tiene simples sus ceros, excepto x O, que es triple, 1'11 donde es infinitésima equivalente a ~ x'. 3. La ecuaci·6n sen x re tiene la raíz ,e = O. Como rlm'a f(x) = = x -senx es f(O)=f'(O)= f" (O)=O, }lero f"'(O) = l?",O, es x==O raíz triple de la ecuación dada, siendo ahí f(x) infinitésima equivalente f¡
=
=
1
•
sT x , 4. El valor ro == O es un cero de ol'den infinito de la función e-l/,." es decir, la función es infinitésimo de orden s~l.lperior a cuaJquiel' número, 5. El v alor x;:::: O es un cero de las funciones f(x) = x sen ('11'/x) , g (x) = x/In ! x l, sin Ol'Clell determinado, aunque SI por 10 menos de orden ,) para todo 1) " 1 y ningún p> 1. No existe limf(x)lx, en cambio limg(x)h = O (§ 37-4). 6, En cambio. x O es un cero de primer orden, aunque )lO de equi-
=
'TI'
valenci.a potencial, para la función x sen -- - -
x
2 x; en eUa es cel'O ais-
522
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
!\ S8
-e
lado, como en g(i) de ej. 5, mientras que en la función f(x) de ej . S es límite de ceros.
7. Cambios de signo de f(x) y de f'(x). - a) Sea Xl UD cero de f (x) [38-20], de orden p entero y además de equivalencia potencial (§ 38-6, def. 3). Como 1" (x) conserva signo constante en un entorno de X" y al pasar x de la izquierda .. la derecha de x" la potencia (x - x,) P cambia o no de sIgno, según que p sea impar o par, resulta: Al pasar x por un cero de equivalencia potencial y orden entero de f (x), la función cambia de signo o tiene signo constante, según que el o7'den del cero sea impar o par. b) Así mismo, resulta que los ceros de equivalencia po~ tencial y orden entero son puntos aislados, es decir, en un cierto entorno suyo no hay ningún otro cero. La reciproca no es cierta, pues un cero aislado puede no ser de equivalencia potencial, como se observa en el ejemplo 6 de § 38-6. Corolario inmediato es: Si f (x) tiene núme?'o finito de ceros en (a, b), y todos son de equivalencia potencial y orden entero, el número total de ellos, contado cada uno tantas veces como indique su, orden de multiplicidad, es par o impar según que f (a) y f (b) tengan el mismo o contrario signo. c) Resulta de [38-20], suponiendo i'(x) derivable: [38-22] f'(x) = P(X-X,)P-1i'(X) + (x-x,)P~'(x), y dividi.endo pOlO [88-20] se obtienE para la derivado lago rU ¡¡¡icrl f'(.l') / f(.r) = D In f(.r): f'(x) f(x)
p
= X-Xl
+
1" (x) i'(:¡;) •
Como l' (x) se conserva acotada inferiormente en un en torno de x" por ser lim l' (x) = a"", O para X ~ x,, resulta: Si x, ~ 1tn cero de equivalencia potencial de f(x) [38-20], y 11"(x) I está acotado S1tperiormcnte, la razón f ' (x)/f(x) pasa de - 00 a + 00 al pasar x por x, en sentido creciente. Como la acotaoión de I 1'" (x) I se verifica siempre cuando f(x) es entera, pues también lo es i'(x), la propiedad (c) tiene validez general para los ceros de las funciones enteras que son siempre de equivalencia potencial. NOTA: Las propiedades a), b) y e) no subsisten si el cero, aun siendo de ol"(len entero, no es de equivalencia potencinl, como lo muestra para
a) y b) la función x'sgx, que cambia de signo al pasar x por 0, y para e) el ejemplo G de § 38-6, en que In razón f' If oscila infinitamente en todo
entorno del punto O, cambiando infinitas veces de signo. Compruébese que aunque la derivada de x' sen "'Ix + x cambie infi· nitas veces rle signo en todo entorno del origen (donde vale 1), éste es un cero de equivalencia potencial y orden 1, pero la propiedad e) tampoco s ubsiste por no conservarse acotado I
8. órdenes de contacto de dos curvas. -
a) Si las curvas
11 ·8
l>F:IlI VADAS S UCES IVAS Y
APLlCACIO:-:E~
52:3
- t ( x ) e V = 'I'(x) se cortan en un punto A de abscisa o, se I n f (a) = '1' (a). Entonces. la diferencia
[18-28J
8(h) = f(a,h) -
'I' (a+h)
linde a cero con h, es decir, es un infinitésimo para h ~
o.
• t infinitésimo representa el segmento de ordenada entre amI curvas en una abscisa próxima a a, y nos proponemos es. u dlar su orden, en caso de que existan y sean finitas en a las d.tl vadas de f(x) y de ~(x), hasta llegar a un orden en que n distintas. Entonces, el cero de ¡¡ (h) es de orden entero y eq uivalencia potencial (§ 38-6, b2 ). Si las curvas no son tangentes en A, es decir, f'(a)'* 'I" (a) , ro& ulta (§ 38-6, b2 ) 8 (h) un infinitésimo de primer orden (en h) . Si en cambio f'(a)= 'I"(a) (es decir, las curvas son tan¡entes en A) , pero f"(a) '1''' (a) , resulta ( § 38-6, be) 8(h) un infinitésimo de segundo orden; se dice que las curvas tienen· un contacto simple o de primer orden. Si es f'(a)= '1" (a) , f"(a)=~"(a), pero f"'(ah'=I""'(a), seI'é. S (h) un infinitésimo de tercer orden, y se dice que el contacto es de segundo orden. En general, diremos que dos curvas y = f(x) e y = I"(x) tienen en A un contacto de arden n, cuando el infinitésimo S (h) es de orden n 1, Y si este infinitésimo es de orden entero y equivalencia potencial, lo mismo decimos del contacto respectivo. Tal ocurre (§ 38-6, b 2 ) cuando las dos funciones tienen Iguales sus derivadas hasta la n-ésima inclusive en a, siendo finitas y distintas las de orden n + 1. Resulta, como hemos . visto, de la hipótesis hecha sobre la existencia de derivadas finitas, que el cero de 8 (h) es de orden entero y equivalencia potencial, y entonces (§ 38-7, a), si n es par, este infinitésimo de orden impar cambia de signo de uno a otro lado del punto; y si n es impar, no hay cambio de signo. En resumen, Para que dos curvas y = f(x), y = 'I'(x) tengan en un pUl1-
'*
+
to un contacto de orden n entero de equivalencia potencial, úasla Que en dicho pun to tengan igual valor las derivadas d e (1)1.bas funciones, hasta las de orden n inclusive, y sean desiguales 1) finitas las de orden n 1. Si el contacto es de oTden par, las dos cm'vas se atraviesan en el punto, y si es de orden impar, no se atravi esan. b) Cuando la existencia e igualdad de las derivadas (finitas en x = a) se ha verificado en x = a hasta la n-ésima, el contacto es de orden sU'perior' a n - 1 (§ 38-6, b,) . c) Dada una curva C, otra curva de una f((Jllili(~ dadn se llama osculatriz de C en un punto P cuando es, de entre todas las de dicha jamilia, la que tiene un contacto de orden más ele-
+
vado en P.
X. rÓR'\1ULA DE TAYLOR. E('UA<.'IUN~S
15~4
=
+
+
EJEMPLO: Determinar la parábola y a x' bx e osculatriz de la curva y :::: e' en x = O. Igualando los valores de y, y', e y" en ambas curvas para x O, se determinan a, b y e por c ·;:;: b :::: 2 a :::: 1, y entonces, la parábola oscu· latriz es y = ~ x' + x + l. NOTA : Hemos supuesto que las de:rivada~ para x = a son finitas; si las deYivadas primeras son inf initas, es decir, sí la recta tangente es paralela al eje y, tomaremos las x como ordenadas, o cualquier otra dIrección distinta de la dirección de la tangente. Si un sIstema de secantes paralelas (de dirección distinta de la recta tangen te) da segmentos infi. nitésimos oe un cierto orden, el mismo ordell l'esulta con secantes de oh'a dirección siempre que sea distinta de la tangente ; porque aplicand0 las fórmulas dE: cambio de eje y, resultan infinitksimos del mismo orden.
=
EJERCICIOS
+ 1) / (x - 1). 2. Demostrar, por inducción, que la derivada n-sima de y o::: BI'C tg ~
1. Del'ivada n -esnna de las funciones: a', x. e"', (x
puede ponel'se en la forma: Dn arc tg x = (n-l)! cos n y . sen n (y 7./2). 3. Demostrar, por inducción, esta nueva forma: (n-1) ! D" are tg x (_l)n-' - - - -.--. sen (n. al"C ctg x).
+
=
(1
+ x')nf"
4. Dúrivada n-ésima de cos a x . cos b x. 5. Demostrar las fórmulas: D" (e" cos b x) = r n • e eos {b x n
+
OQ
•
=
= +
=
:1 J'" (.1" iJ".=:: !I' x") 0 7. Las coordenadas de los puntos de una trayectoria ti eren por primeras derivadas, respecto al tiempo, las componentesdcl vector velocidad, y como segundas derivadas, las del vector aceleración. Probal' que estas últimas son :1;" ..,'x, y" "'11 en el caso de un punto que se mueva con velocidad angular constante '" 50bl'e una eircunfel'el". cia ne radio r con centro en el OI'í gen , :lo' que por lo tanto la aceleración est á dirigida hacia el centro (aceleración centrípeta), Hallar su módulo. 8. Expresar la aceleración en el movimiento vilwatorio 3nnñníco amor· tiguarlo s = a e- M sen w t, aplicando el ejercicio 5. 9. Probar que D" (x· a~) u,~ (1n a) n'" {(x In a '11)'- n] . 10. Estudial' la concavidad e inflexiones de la curva ele CAUCHY (§ 38-5). ¿Cuál es 5U parábola osculatriz en x = O? 11. Probar que los ceros de las siguientes funciones en ~. O son ele equivalencia potencial, e indicarla: x - arc tg x, tg x - sen x , 1 - cos 3 x. 12. Hallal" los órdenes de contacto mutuo en x = O, de las curvas: y=x; y=senx; Y :::: X . {,osx. 13. Órdenes de contacto de las curvas ~~. + y' :..:..: y. y = x', en sus puntos de intersección. 14. Paráb ola osc1.l1atriz de segundo gratlo y eje vertica; de la curva versiera. y = 1/ (1 x') (ej. 17 de § 33) en x O y en ~,; = 1. Orelen de <:ontacto en ambos casos. . ~y. _ _
.c' (.1" !JO" -
y' .r''') -
d~
=-
=-
=
+
=
+
=
.'f~J( M UI.A
m:
TAYLOn
525
11í. L o mipmo en x = O Jlara las curvas y = V 1 + :r, y := 1 + (1/2) x(1I 8 )x" + (l/16)x". ¿Cuál es el orden de contacto de estas dos'!' Hi. Detel'luinar los coeficientes, de modo que In curva y = a'l cos x b. sen ,x + az co!> 2 ~c + b, sen 2 x ..." oscutatriz de y :-:: 3. e'" en x = o.
+
§ 39. FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción: expresión de un polinomio por sus ded\Indas en un. punto. - En este parágrafo nos proponemos re"olver el importante problema de aproxim.a,r ~ma función f (x) f/. el ento?'1W de un mmto a, mediante un polinomio de grado p'refijado que tenga el contacto de orden más ele7Jado (polinomio osculador) , y ha.llm' el orden de, m.a gnitud del eT'tm' que se comete con esta ap?'oxi'lnación. Para abordarlo comencemos por expresar un polinomio P (x) de grado n, mediante sus derivadas en x = a, para lo cual lo escribimos en la forma: P(x) = Co + c¡(x - a) + C2 (x-aF + .,. + c,,(x - a)".
Para determinar los coeficientes, basta derivar sucesivamente, y luego hacer x = a; se obtiene: P(a)=co; P'(a)=l!cl; P"(r¡,)=2!c~; _,.; Phl'(a)=n!c de donde, reemplazando, resulta la expresión buscadu: -. ' PI ( a ) P" ( a ) [39-1] P (x) = P (a) -t(x - (t) + --2!(x - a)2 tl ,
--1r-
+ -..
-
PI") (a)
+
(x-a)'"
n! ' que puede enunciarse así: el increm.ento P (x)- P (a) de un ¡/Olinom.io es la suma de los lJroductos de las potencias del inc'remento de la variable por las derivadas sucesivas en el punto inicial, divididas por los factoriales respectivós. 2, Fórmula de Taylor. - Si f(.r) es una f unción cualquiera clefinida en un entorno E de a, y con deriya das sucesiones fi ni1
(a)
+ .,. + - -n.,- (:¡;-a)". Llamando T (:¡;) al ténnino complementa1'io que hay que agTegar a este polinomio para obtener f (x), se tiene la fóni1.ula Il
general de
TAYLOR:
x. Fón~IVLA DE TAYLOR. EC UACIONES
+
f(x) = Pn(x) TIl(x) f'(a) f(a) +----¡y- (x-a)
[39-3] =
+ ... +
f(u)(a)
,
n.
(x-a)"
+ Tb(x).
Los polinomios Pn(x) aproximan a f(x) en la vecindad d x = a, tanto mejor cuanto mayor sea n (ver figura 120), Y término complementario T n (x), que pronto estudiaremos, da el error de aproximación. . NOTAS: 1 . Cuando f(x) es ya un polinomio de grado n [39·3] reduce a [39-1], siendo Tn(x)= O. Por eso la identidad [39-1] suele lla· marse fórm711a de TAYLOR para polinomios. 2. Tom1ll1do la identidad [39-l} como punto de partida. TAYLOR logró generalí"arln para las funciones indefinidamente derivables, des anoliándolas en serie, como veremos en § 44; pero es mejor expresar la fun. ción (como lUcieron después O'ALEMBERT y LAGRANGE), en la forma [39-3], que no exige sino un número finito de derivadas. La fórmula de TAYLOR ha sido tan pl'ódiga en consecuencias importantes, que const.ituye el nú· cleo fundamental de todo el Análisis matemático durante el siglo XIX. 3. L os polinomios [39-2] t ienen la siguiente propiedad, de gran im· portancia práctica: para pasal' de Pn(x) a Pn+l(x) basta agregar un término, Bin ?llodificaT l08 coeficientes de 108 cmtenores.
3. Diversas formas de] término complementario _ ~ a) HIPÓTESIS: Existe fen) (a) finita. El t érmino complementa río es:
F orma infinitesima.l. -
[~~)--l]
T I. (y)
f( 1') -
- ... --para x = a. lo
H(() _
f,n,
f'~(;)
(u)
(.1' -
(.J' -
a)
n)".
II ! que se anula mismo que sus derivadas hasts. 11' de orden n inclusive; luego (§ 38-6, bs ) t llamando h = x - a: [39-5] T n (;¡:) = o(h n )_ En mucha s cuestiones (concavidad, inflexiones, contactos) es suficiente esta expresión, es decir, basta saber que al detener el desarrollo en la potencia hn , el término complementario es infinitésimo respecto de ella. Por otra parte, un desarrollo de esta forma permite definir derivadas sucesivas generalizadas (nota 1). b) Forma de LAGRANGE. - Impongamos ahora a f(x) la condición más restrictiva de que en un entorno de x = a sea fen) (x) continua y que exista f(OH) (x) como derivada única (§ 30-5). Tomemos un x = a h en él. Entonces [39-3] se tnmsforma en: f' ( (l ) f" (a) [39-6] f(a + h) = f(a) + - f! h --2! - h 2
+
fln' «(1.)
+ ... +--- n.--, -
+ h" + T",
+
siendo (para a y h fijos) T n una constante. Vamos a demostrar Que puede dársele la siguiente forma, atl'ibuída a LA· GRANGE:
• !I!/
f'ÚR M UJ.A DE TAYLOR
-4 flM11
[~m-7]
T.,
Para ello. pongamos b
1 :!~·8J
f'(t)
1 !-
f(t)+
(a
+ (1 h)
(n+ 1)!
r=
== a + k
(b- t) + .,.
hn+l
627
(O
< (1 < 1).
y consideremos la función de t:
f'" (t) T, +n ! - (b- t)" + ' 11,';;' (b- t)"·',
es ;ont!llua y toma el mismo valor f(b)=f( a+ h), para t=:a y En virtud del teorema de ROLLE (§ 35·2) su der ivada que existe virtud de las hipótesis hechas y es; , . '
'IUII
t e 1,. . 11
I :l!.l-!l]
f'· ' " (t)
- - - (b n!
t)" -
'r
_.:~- ( n
h" l l a anula en un punto intermedio ~ == a
+
(J
+ 1) (b - t ) "
, h, de donde resulta [39, 7].
Volviendo a la notación de [39-3], tendremos el término de en la forma f l ... 1 ) (ü [39-10] Tn(x) =
I,AGRANGE
que da a T n (x) la misma estructura de los términos del polinomio Po (x), con la sola modificación de tornar la derivada en el punto ~, que depende de x y de n. NOTA 1. Cual1do en la hipótes is M se StlpOne que f'"-to (o) es finita, d po!il1omio p " (,l') tiene con la curva un contacto de orden no meno r que 11 ( § 38·(), lJ~), pero éste puede ser mayol', como en el caso dé la figura 120, donde los polinomios son de grado impal' y los contactos 13011 dI! orden par, y pOI' eso las cUI'vas se atraviesan.
e) Ot/'as formas, - Si se modifica la f unción [39-8], reemplazando en el último término n + 1 por p (O < p < n + 1), el razonamif'nto anterior puede repetirse 1n1ltaUs 'ntuta.n dis, y se llega a la forma de T", llamada ele SCHLOMILCH: o 1 [39-11] T = f e + ) (a + eh) h n •1 (1- 8) ,t<1-P n! p
/l
y en particular para p
[39-12]
T ..
=
,
= 1 se tiene la forma
de CAUCHY:
f(nf-I)(a+8h) hnH(l_(1)". rd
NOTA 2. En d Cálculo integral (§ 51-6, e) veremos otrll expresión del termino complementario (llamada forma illtegral), donde no aparece ni ngún número desconocido. Obsérvese que para una función dada, en [39-3] f (x ) y P n(X) estún bien determinados, pór ]o que también lo esro Tn ( x ), es decir, los "di~tintos" terminos complementarios son sólo difel'entcs ex· presiones de una misma' cosa,
4. Diversas expresiones de la fórmula de Taylor. - a) Si tomamos a = O en la fórmula de TAYLOR [39-3], adopta esta forma (impropiamente llamada fórmula de MAC - LAURIN) : [39-13]
f(x)
=
f' (O) f" (O) +1 ! x + - 2!x + ... + fIn >(O) + - - n!-'--- x" + Tn'
f(O)
2
528
X. FQRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
Estando ~ en [39-10] comprendido ahora entre O y x, puede ponerse ¡; = (j x (cumpliendo (j la condición O < (j < 1), y T" tiene la expresión: f
[39-14]
T n = (n
(e x)
+ 1)!
xn+1-
b) Si en ]a forma [39-6] de la fórmula de TA YLOR tomamos para T" la forma de.LAGRANGE [39-7], y ponemos luego a = x, h = d x, aquella fórmula adopta la llamada forma dife-
rencial: [39-15]
= d f(x)
[:, f(x)
1!
+
+ ._d
f(~)
2
+
2!
d nH f(Ü
(n + i)T'
siendo ahora ~ = x + (j d x. Esta forma nos da la relación del incremento t::.. f con infinitésimos diferenciales. Para n = O resulta como caso particular el teorema del incremento finito (§ 35-1). También resulta, de [39-15], que el incremento es un infinitésimo equivalente a la primera diferencial no nula dividida por el factorial del índice. Esta forma diferencial es la más adecuada para la generalización a varias variables (cfr. § 69 en Vol. In. EJEMPLO 1. Desanollo ele MAC - LAUluN de f (.r) = r', Las derivadas
,
e
SOI1
todas e' , y para x" ;~ "
3 =
0
vale!1 1 ; luego:
= 1 + IT + '2--¡- + 3T +"'+ nT +-,,:+'-"-l) ! ~:
It·"
Tomemos el polinomio osculador p, (:r)
(11
x xC' = 1 + TI + .2T'
(JO'
c ". Y veamos
cuál es la magnitud del error cometi do para x = 0,1. El valol' aproximado de eO , 1 es P,
~ox
<
e 0.1 < 1,2,
una acotación del error cometido es la siguiente para Ixl
r '1" (x) I < (03\~
1,2
< 0,1:
= 0,0002,
lo que nos indica que el valor aproximado 1,105 tiene todas sus cifras exactas.
e) El ejemplo anterior nos muestra que aunque se desconoce el valor exacto del término complementario, en los cálculos aproximados sólo interesa hallar una cota superior para el mismo. ya sea en un punto, ya sea en un intervalo. En este último caso, si la derivada f(n+l) (x) se conserva en módulo menor que un número fijo K para todo x del intervalo, tendremos:
ITn(x)1
I x 1"+) < Tn + l)! K.
I :411 -4
529
FÓRMULA DE 'fAYLOft
1':.n:'\>T PI ,O 2. ¡,'úrmulas de MAC-LAURI N , pal'a f (x) = sen x y 71 = 2, 4, 6. I'or [3(>-3), los ValOH!S de la función y sus derivadas ell x O son: 11. l . (J. -1; 0, 1, O, -1; ... Tendl'emos. entonces:
=
l'ara
a; ~
11.;::::
Z:
sen
fe
Par a n = 4:
sen x
6:
sen x
Para
11.=
X
- TI
x-
:e. !
3
cos ex.
+
x"
I'í !
x· = :~ - SI + 5! ,1:'
cos
a:.
/j '
x'
- 7'T
cos e" x.
I .IIs errOl'es cometidos en cada caso :al despreciar el término complementarí u, tienen las cotas sUJleriores 1x 1'/6, Ix 1"/lZO y 'x "/7 ! == Ix 17 /6040. 1,11 pl'imera nos ll1uestl'a que la diferencia entl'e el arco JI su seno es me· 11' " ' que la sexta par t e del cubo del al'CO, JI da llal'a al'COS pequeños 108 "JlL'u ientes límit es de en'or: 0,017 f. < 0,000001 Arcos ¡lasta 1 2° == 0,035 e < 0.00001 " 3° 0,052 e < 0,00003 .,
= = 10° = 0,175 Q
"
E < 0,001, " " Para arcos mayores, el error va creciendo, como puede verse en la I ¡g ura 120. si se observa la sinu soide JI su tangente; pero si tomamos Il = 4 t enemos: ,~, 1< 10° = 0,175 < O,0007H:5! = 0,000001 .. . I ~\: I < 45"= 0,785 I TI , < 0,0025 BROOK TAYLOR (1685-173 1), matemático, mús ico, pintor', publicó en 1. 715 un folleto que con su centenar de paginas ha ejel'Cido pel'l! ul'able inf lu jo en el desarrollo del Análisis. a pesar de la oscuritlad de su estilo
'T, '
!J
.. \
-2
-1
TT
2 ,
X
3\y=sen
'x
x
Xl
Y=¡'-31 -1 Fig', 120. -
AproximaCÍoll de fes vclinornios suce.sh'os hacia
11
.--:....:
sen x.
y de su impresión, En él está contenida la famosa fórmula que lleva su nombre, y también la que se designa como de MAC - LAURIN, a pesar de que este insigne geómetra ]a cita en su tratado (1742) como debida a T AYLOn. Ni uno ni otro se preocupan de la evaluación del término complementario o mantisa.
X. FÓRMULA IlE TAYLOR. ECUAI:IO NES
5. Desarrollos de las funciones elementales. - Dada la utilida(1 del desarrollo ele TAYLOR para diverROS problemas, cunviene tener l'etlllidos los c01"l'espondientes a las funciones eJen1t.'fltales: a) Función €3.:ponencial y = e'. X
[39-16]
eX =
1 +1T
;t ~
+ 2T -1-
.. ,
< () <
(O
Es (§ 39-4, ej. 1) :
x"
+ nf +
X">l
(n + 1) ! e
() x
1),
b) Funciones cireulm'€s. - Reconlando las derivadas ,>u· cesivas de sen x y cos x ya obtenidas [38-3] y [38-4], resulta: x3 :r f• [39-17] sen x = x 3 ! -1- fiT - .. ,
+
(-
1) 1<-1
X 2k-l
1)1'
(-
X~"
+ ~ k-l)! + ~k) !-[39-18]
x·'
x~
2!-- + -4T - .... +
cos x = 1 (_ 1) 1, X"l,
+-
sen () x,
( _ 1) k+l
X"hl
(2k)!- + - ( 2 k + if!- sen 8 x.
e) Función pote1/cilll y = x'''. Como no es desanollable en el origen (salvo en el CflSO ele exponente natural), se aoopta la función f( i:) =(1 +x ) "' , pa ra la cual: f' ~' (O) = m ( m - l) ... (m- k +l ), r entonces el (lesunollo con la forma infinitesimal [~9-5] del términ o complementario es:
[39-19]
?11 (m - 1 ) + x)'" ,= 1 + 111. X + -2[-- - x" + ". + (m-n +1) - - - - - x" + o (x",) . + -m(1Il-1) ... ,-
(1
n.
EJ i:MpLOS (con
n
=
2) :
. ~- -
v i
+
x= 1
x
1
" 1
V (l.'
+ re = +X=
x'
+ -- --+2 8 1 a
+
r~
_
0(:>"-),
3.
2" + 8 'J + o x 2'(1. -
,,':
8'~,
+
( ") X' ,
O(X·).
d) Función logarítmica. ~ El desalTollo [39-13] de MAC· L AURIN no puede aplicarse a In x, pero sí a f(x) = In (1 x),
+-
Se tiel1e: f(O)= O; f (k\ (O)={_1)11-1(lc_l)!: (k = 1,2 . ... ) y entonces:
• I~ , . Ej.
I :t!I-20]
531
t ·ónML>..A DE T.\YLOR . ,.
.1,· :':
,'_ :'
In(l + .d - - - +·-- 1 2 ;~
+ (-1)" f'OTA:
=
(" "
I _ . -
11
+o
... +
(.1''').
Obsérvese q u e apli~ar el desalTollo de MAC - L AURIN a
+
r¡,r) 111 (1 x) es una .fo rma equivaltmte y más cómoda de aplical' a In x el desal'l'ollo [39-61 con a = 1. EJ EllCICIO:
Pl'obal' que las funciones hipel'bólica¡: sh;\' y ch
l'
a dmi.
1.' 1\ des8l'1'ollos aná1ogos a [89-17] y [39-1 8], p ero m ás sencillos que ellos,
I)u rque todos los sign(ls son
+.
6. Aplicación al cálculo de límites indeterminados. - E l mélodo más rápido y seguro para calcular límites (le cocientes y productos en los casos de indeterminación, consist e en efectuar los desarrollos taylor iano!'l de las fun ciones elementales Que compOllen la expresión, utilizando la forma infinitesimal del término complementario, que no es preciso siquiera escribir. E JE:\IPLOS: L ímite parn ,.' -- O de: .i· -
Y- Ren .l· .,' (1 -
COl' ~
.0 ' )
(
+
... -
.1'>
G1 · ..
+ . ,. )
l
~1·:1_ 2 .
) 9 .•·· .1' ( - 2 - - ' " In (1
-1- ,.-) _
1-
tu~: ~
.l·
,1 •• '~ -1- . .• ::::: -:--::-:-- - -
(...-/ 8 ) -
.0'
C
=
-
...
,t - . . ..
.f· _ ....
-~
('os
.1'
-
-! o
.....
1.
•••
.......
1
27
EJERC ¡ ('lOS;
1. Reconstruir tUl polinomio tle segundo g r ado f (l'), siendo f( O) =2. f" (O) = 6, 2. Obtener In fórmula del binomio de NEWTO!'< (§ 12 -1 ) aplieando la f órmula de TAYLOR a la función f(x) ;;:: X". 3. Demostl'ar en detalle la fórmula de SCHLOMTLCR [Sg-ll]. 4. a) Desanol1ar por )a fó rmula de TAYLOR In función f(x) = sen:t en el entorno de ~ le. b) Calcular los tres pl'imer os valores aproximadolj de sen 81 Q con todas las cifras exactas que puedan asegul'arse (cap. V, nota lI.h). 5. Des31'l'ollaJ' In (a + It) en a::=: lO, y calcular In 11 con 6 decimales. siendo In 10 == 2,302 585 09 . 6. Obsérvese que los términos com plementarios de [39-17] y [8S-18] son infinitésimos de órdenes 2k + 1 Y 2 k 2, respectivamente. Pl'obar {'(O)
=
+
que pueden reemplazarse, respectivamente, por: (-
1) '
x''''
.- -- . - cos (2k +l)!
8x'
(_1 ) 't1 ~) .,.J
' ( 2 k + 2)!
ces
(Ix.
532
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES 7. Desa nollos de lVIAC-LAURIN de (/ ( y sen" :r. 8. Halla!' los polinomios osculadores de cuarto grado para V aO
+ rxI 1/ ,,""(/;+2. 9. Demostrar las acotaciones, válidas en el primer octante: x - ~c3/6 < sen x <:C; ::o + x'/3 < tgx < x + x'/2. 10. Calcular la pal'te principal del infini tésimo para x -) O: x sen (sen x) - sen":c. 11. Límite para x -:) O de (2 - 2 cos x - x') / (tg"fC - sen"x ) , 12. Limite para x-:)O de (u" - b")/senx , 13. Límite para x--) l de (¡c" - I)/ltIx. 14, Determinar a y b, para que la función cOs x - (1 + a x') f (1 + b x') sea, para x -:) O, infinitésima del mayor orden posible, y hallar éste. 15. Dada la función y .:= ln- 1 [ (1 - ::0 2 ) / x=], infinitésima en x 0, ¿puede encontrarse un p> O suficientemente grande para que y = X'/P sea de orden inferior a ella en x = O'? Gl'Iifica correspondiente.
y
=
§ 40.
APROXIMACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA
L Aproximación lineal. - El objeto principal de la f6rmula de TAYLOR es, como hemos visto, expresar aproximadamente las funciones en forma de polinomio de grado prefijado. El errOl' viene dado por un término complementario, cuyo valor es des· conocido; pero si se salle entre qué límites se conserva la derivada (n + 1) -ésima, se puede acotar dicho término complementario (§ 39-4, e), sabiendo así el grado de aproximación logra· da con el polinomio de grado n. Limitemos el desarrollo de TA YLOR así: 1J = f (a) h f' (a) t h" f" (D . Si tomamos solamente los dos t érminos primeros, tenemos una aproximación lineal: y = f (a) h fl (a) , o sea: y = f (a) (x - a) f' (a) , que representa (§ 31-1) la tangente en el punto A (a., f (a) ) .
+
+
+
+
NOTA: En las ciencias fí sicas se pre~entaJ1 f un ciones empÍl'Íeas, dadas por experiencias, Que conviene representar an alíticamente, esto es, por fórmulas, para Inducir la mal'(~ha dI' los fenómenos !lnálog-os. Tal sucede, por ejemplo, con las deformaciones producidas en IOf1 en~ayos a In tracción, de va rillas metálicas, donde se observa que la gráfica tiene un tl'azo sensiblemente rectilíneo, que revela la proporcionalidad entre los esfuerzos y las dilataciones dentro del límite de elasticidad. Es la ley de HOOKE. Per o esta PI'Opol'cion alidad es sólo a proxima
/d'IUlJ(I:\¡I\cróN J,lN}:AL y CU ADRÁTICA
I "" -:5
533
ximado de tg 4Go , acotm' ",1 enor, y compal'ar con una tabla de tal1gen tes III1 L1u 'al es (1 ·::: 0,01745 en meclida radial) . 2. Discusión general de la ~oncavidnd e inflexiones. -- L os l'tsultados I§ 83-0) sobre el sentido de la concavidad y los puntos de inflexión se )JIIúuen 1'eencont1'a1' y completar cstudi!\)1(lo el error de la a pl'oximación lineaL En efecto, ésta nos da la tange nte, y 1511 enor mide la diferencia ,1(' onienadas entl·c la curva y la tangente. Pal'a estudia r su signo conviene escr ilJi. el ,lcsal'l'ollo en la forln!! 1:19-3, a). que sólo s upone la existencia de f" (a) j'i nita : y = f(a+h) fea) + /¡f'(a) + ~ h" f " (a.) + o(h" ) = Ha, ) + h {'(a) + ~ h" [ fU (a , + "J, ~·iendo li infinitésimo para h -c) ti. Si es fO(a»O es T, =~h'[f"(a) +B ] > 0 fl UllO y a ot ro la do elel Jl unto en un cierto E'llkrno. la curv a S(' conserva en él pOI' en cima de la tangente, y la concaviclad se dirig~~ hacia las I1 positi va ~ ( § 33-9 ). Si es f " (a) <. O, y por lo tanto T, < O en un cierto ent orno, la curva queda debaJo de la tangentt: y la concaviuad se di rige hacia las 'y negativas, Si '1\ tiene signos distintos a ambos lados del PUllto, la Cl1I:va queda atravesada por In tangente y el pu nto se llama ( § 33-9 ) de inflexión. Crmdieióll necesaria pero no suficiente nafa t al cambio de signo e~ f " (a ) =- O. E n este caso, nada puetle a segura rse a }J?'iol'i l'especto' del signo del término complemen tario que da la posición de la cm'va con Te· tación a la tanll,'ente cDando 110 es fá cil est.u dia r el rambio ,le sign o, Extenderemos el desal'Tollo de TAyy,OR ha!
=
es
+ -nh .1 [r"" (a) ft
JI
=
Ha}
+
h f' (a)
i /1 ] .
El error o difel'encia de ordenarlas entre la curva v la t-ec ta t an ge ll te viene expre~ado por el término de g l-a
+
3. Dis(:usión g-eueral de 108·máximos y núnimos relativos. Otra aplicación interesante de la fÓl~mula de TAYLOR es la discusión general de los máximos y núnimos rela.tivos de Ul1a función, cuando ésta admite derivadas sucesiva s finitas en un intervalo. Hemos demostrado que es con
X. FÓR~lULA DE TAYLOR. EtTACIül':ES
§ 4{) -3
Si n es impar, existe inflexión, y por lo mnto no hay ni máximo ni mínimo. Si n es par y fpn (a) > O, hay concavidad hacia y > O, es decir, las ordenadas son en un entorno mayores que f (a) ; luego, existe mínimo; si f""(a) < O, hay concavida d hacia y < O, es decir, las ordenadas son menores que f (a); luego, existe máximo. Resumen: La condición necesa?'ia y suficiente pum que lma /lm ción de¡'i1.¡able 81Wesiv(t1nente en 1111. punto a, tenga en él un máximo o un rnínimo, es qu e la. primera dC1'i vada que no se emule pam x = a sea d e m'den Ijar; si esta de1'ivada se hace nega tiva (positiva) para x = a, el 'I.·o lm- (/.8 má:rimo (min'inw) , 1·especfi1.'C(r mente. Calculemos los máximos y
E.JE:llPL(l:
1(:1" )
=-
t.l~ -
e-~
-
mÍltil1lo~
de la fundón
2~"('
...... ---- --..
x Desa rrollando el lHlme1'1Hlor oc la fun ción dada, r esulta:
y, por lo tanto:
f( x )
= Sx'
+ ....
= ()
luego, en el pu nto x tiene un Illl nim o. pues la pl'imera derivada se nnula y la segunda es positiva. NOTA: En genel'al, si el desa l'l'oUo de lilAC - LAl'RI~ es: f ( x)
= a x" +
hay máx.imo en el ¡mnto x
"
== O,
si JI es par y a < (); " "" " , , ( l > O; " "" impar.
4. Resolución apr oximada de ecuaciones_ - ' a.) Reglc~ (le Hemos vist o (~ 26-3) cómo el proceso de demostración del teorema de BOLZANO (§ 2G-2) permite aproxi mar las raíces de la ecuación [40-1] f(x) = O. conociendo un intervalo ele continuidad de f(x) en cuyos extremos ésta tenga signos opuestos. Si además f (x) admite derivadas hasta un cierto orden, 1<1. aproximación puede mejorarse más rápidamente si se utiliza la fórmula de T AYLOR, que al dar aproximaciones de fCe) mediante polinomios, permite sustit uir la ecuación algebraica o trascendente [40·1] por otra algebraica entera ele más fácil resolución, y cuyas r aíces será n valores aproximados de las raí· ces de [40-1], con ltn error que se puede acotar. Sea f (x ) = O una ecuación cuyo primer miembro admite derivada segunda ; si a es un valor a proximado de una raíz de esta ecuación, es decir. si exÍl';te una r aíz a y s610 una en (a, b) NEWTON. -
l'
n1inhno " inf lexión "
535
AI'f!IIXnIA\' ¡Ú:O; l..I1'\EAI. Y CtTAHRÁTU'A
Y ponemos = (1 +- .1:', aplicando el desarrollo de TAYal intervalo (a, a), la ecuación puede escribirse así: I.fU-2] f«(t) = f ( a ) + ,1." , f' ( a) + ~..r'" , f" U) = O .Irlnde la nueva incógnita ,t" es el incremento que debe asignarpj(' 11) valor o , parH tener exactamente la raíz (t = (( :- .\,', AdopI amo:,; la forma de L AGRANGE (~ 39-3. b), que l'UpOlle la contiIlllidad de f ' (x) ~T la existencia de f " ( ,r) en todo el int~rvalo 41" extt'emos (/ ~: a , que es fijo, no siendo suficiente. por lo t an[o, la forma infinitesimal del término complemenb,rio (~ 39CI
(11. fI),
('t
I.()I~
:\, a),
Natm'almente, la ecuación [40-2] no po{lernos t·eRolverla. por .I( s('{mocer el término de segundo grlHlo ; pero si prescindimos dt' él y t omamos como expresión aproxi ma da de la fu nción el polhiOrnio de primer grado, la ecuación lineal (40-3 ]
f (a)
+ x' , f' (a )
= O da:
x
,
f ( a)
= - -í'(a) .",
mientras que el valor exacto satisface a la relación = I ,'2 f" (O , . f «(( ) [40-4] x - - f;Úif - :! X -·f'(af· NmA: Cuando]a de¡-ivada !ieZ\m r\ a está acotada en el illta'valo conI'idel'ado, y se conoce u n nú meró /; nl (' ll al se conserva ¡nfel'iol' en valor nbsoluto, el e1'1'01' cometido al tOIlUll' [40-3] COlUQ t érmino ele corrección del valor a es: f" ( t ) r '/{ (40·5] ," " 2f'(~() 2 f'(l/~ ,
I<
1
llamando 1 a la longitud del inten'alo, o sea: 1 = b - o, Si, p OI' ejemplo, el intel'valo (a , b ) es <4,071 , 4,072) , Y la derivada segunda se conserva inferior a lO , siendo f' (a ) :::: 1/1 5, el error comdido con la regla de NEWTON 5el'á menor que 0,000001 X lO X 7,5 < 0.0001 , Y por lo t anto, obtendremos exnctamente la cifra de las diezmilésimas·, Al ealcular el t érmino de conección [ 40-3] , seuí inú til, pues, obtener ll1t!s cm'as que l as indicadas por la f órmula. [40-5), puesto q\le en gene ral Ilerán inexactas,
+
b) R ep1'esent a.ción geQméb -ica, - La sust itución x = a x' equivale, geométricamente, a t omar como origen de abscisas el punto a; la ecuación f "a) [40-6] y = f( a) + x' f '( a,) x" - 2--
+
)'epresenta, pues, la curva referida a este or igen, y la ecuación [40-2] representa sus inter secciones con el eje x. E n cambio, la ecuación simplificada [40-7]
y
=
f(a)
+ x' . f '(a)
representa una recta que es la tangente en el punto de abscisa a: La regla de NEWTON para obtener un valor de la raíz a, • E~ NnW 7C1f.l
Ex trsño $O€,
()UC
a.b.cl11'{)3 ti\ltO\'~ d.: n
{"l1nfO
tlOnml
obt.ienE. ,1flhlEl IlUm.cl'l1 d~ dfrl\6 e:-;l),ct8~. d" la s
!J4:' u e,ul ' l \l@
()ue con IR
reJlla
ue
tiene el lJrimer valor n.
53G
~
X. FÓRMULA DE TAYLOIL ECUACIONES
40 -4
más aproximado que el valor dado a, equivale, por lo tanto, a sustituir la curva por su tangente en el punto de abscisa a. e) Regla perfeccionada de FOURIER. El examen de la fórmula [40-4], donde las derivadas 1 1i1 y 2~ pueden tener valores cualesquiera, o la simple inspección de la figura 121, muestra claramente que el nuevo valor (tI = a x' puede ser menos aproximado que el a al verdadero valor de la raíz. Para tener la garantía de que se mejora la aproximación aplicando la regla de NEWTON, procederemos así: Suponemos que f"(x) no se anula en el intervalo, y por lo tanto, que tiene el mismo signo en a y b; en cambio, f (a) y f (b) tienen signos contrarios; luego, hay un extremo, y uno solo, tal que f(:r) y f"(:r) tienen el m ú;nw signo; 'pues bien, elegirnos ese punto, y agregándole el término complementario de NEWTON, tenemos una mejor apt'oximación, como se observa en la figura 121, donde se han puesto los cuatro casos posibles, y en todos ellos queda al entre el valor de partida y el de a, es decÍl', más aproximado al valor de la raíz buscada.
+
1:.:
f:
6
b
Fi",. 12 1.
En efecto, llamanno a SigTHJ, lo ~ dos téI-m inos de tivos. l"esulta: a a, a; en am bos casos nos hemos
< <
al ext,remo en que f( x ) y f" (x) tienen igual [40-4] tienen iguaL SigIlO; si ambos son posiy si ambos SOll negativos, a> al > a; luego, aproximado ha<-ia el valor a.
Partiendo del nuevo valor al = a + x .. aplicaremos de nuevo la regla de NEWTON y obtendremos un nuevo término de corrección: fe a ))
f'(aJ que nos da otro ValOl" a proxnnado: tenemos, en genel'l'tl: [40-81 X,,~ l = -
f(a n )
f'(a,) ;
a~ =
o sea:
al
+ x?.
f(a n )
=
Así siguiendo, - - XT<+l
f '(a n ).
Puesto que la sucesión al, a~, [(.~, ... es monótona, pero acotada, tiene un lí mite a.'. Si en la relación [40-8] tomamos límites para n -? co, como f(:1;) y f' (x) son f unciones continuas y, además. x,,+\ -? 0, resulta: fea') = 0, y como en el intervalo s610 existe, por hipótesis, la raíz a, debe ser al = ct. El valor exacto de la raíz aparece, pues, dado por la fór(JI
mula;
• ~u
53"
AJ'ltOXIMAC IÚN LII'\EAL Y eUADRÁTIl'A
_.j
f.l:
tim
=
o bien:
fl,,,
rl -) o:>
()i. =--'
a
+ + [{.~2 + + Xl
+X +
Xl!
n
I~JEl\1 PLO:
Como aplicación notable del método anterior, vamos a ha IIlIr In menor raíz positiva de la ecuación trascendente
r (l. I ()]
tg
~
== x.
1~~11 ~
26-3 hemos obtenido como primera aproximación; 257 0 27' <: ~C' < 257 0 28', E < l' = 0,00029 ... < 0,001;
, ,'omo
f"(x')
= 2 ~~ > cos' x
0,
J,,,rtiremos del valor 257 28', poniendo x':::: 257 0 28' + a;"; teniendo en "lIcnta que el error [40-5] es, apl'oxinladamente, en valor absoluto: 0
<
x'" .f:J.ll.. = X"2 . sen ~ . cos'"a < 10 x'· 0,000001. 2 f' (a.) cosa ~ . sen- a J""lremos calcular seis cifl'as decimales exactas en la corrección: 180: = 3,141593 _ ~~~i68l.. _ 0000231 47" 77 1,343903 20 23 - - , -- 28':;:: 0,008144_. a ~ 4,493640 257 28' 4,4D3640 __ 0 On. = 4,493409 :;:: 257 27' 13" tg 257 28' = 4,498323 f(257 ° 28') = 0,00468if (e < 1") f'(257 28')=20,23 ... ("')
=
=
o
••
_
0
-
0
V
EJERCICIO:
(a, b) ?
¿ Qué puede ocurrir cuando f" (x)
cambia de signo en
d) RegulCL falsi. - Así como la r~g]a de NEWTON n sustituir ]a curva por ~u tangente en un punto, muchas veces conviene más sustituir (como hicimos en el Q ~ 35-5 para calcular valores intermedios) el arco de curI va comprendido entre las f(a): abscisas a, b por la cuerna Ilue une sus extremos. Esta Rimplificación par a calcular Pig. 122. las raíces suele llamarse método de pct1-tes PTOp01'cionales, o ?'eg1.I.la falsi. Si es b l el punto del intervalo en que la cuerda eje, tenemos la proporción siguiente (fig. 122) :
[40-11]
f(b)-O
f(b)-í(a)
-b=-b~" -
-
equivale ,I
: f( b) ,
b
corta al
b~
de donde: [40-12]
, bI = b -
b-a f(b) f(b)-f(a)
af(b)- bf{o,) f(b)-f(a)
* Puesto que 8óJo ponemO:i calculal' trES cifl'ns .sígnjfieativQQ uel cociente, uss tnl'ú tomar cuatro en ,,1 dividenuo y en el divisor.
638
§ 40 -4
X. FÓR:\1ULA DE TAYLOR. ECUACIONES
Como la derivada f"( x ) no se anula en (a, b), el arco está comprendido en el áng ulo de la cuerda y la tangente en un ext remo; porque si atravesara a una u otra, por el teorema del valor medio t end ría dos t angentes paralelas, y en un punto intermedio sería f"( ~ ) = O. E l punto a en que el arco corta al eje está, pues, comprendido entre el ((1 de intersección de la tangente, dado por la regla de NEw 'roN, y el b), intersección de la cuerda, dado por la 1'egula ¡al8i; es decit·, el al mejora ]a aproximación del exh'emo (i , en que f y f N tienen igual signo; el b l sustituye al extremo b, en que f y f" tienen signo contrario, y se verifica: a
<
al
< oa <
1>1
<
b
o bien:
a
>
al
>
a
> b1 >
b
~
e ) Mé todo ,nÍirlo. - La combinación del método de NEWTON con el de p artes proporci
b
_ "n
-
Cl"f( b:L-= bn f<.~_ f (b . ) -
f(a ,, )
~
b" ~ es monótona, tiene limite {J, y tomando límit es para U-)OC , en la relación b ".~[f (b ft )-f(a. )] = = ltof ( b, ) - bn f(a n) , resulta (3f({l)=af({3); lllego, esf( {3 ) = O, ó bien' a p, y en ambos callos dC!be ser (J = a .
En efecto, puesto qu e la sucesión
=
5. Parábola osculatriz. - Estudiada ya la aproximación líneal, o sea la posición de la curva r especto de su tangente, y algunas de sus múltiples consecuencias, pasemos a la obtenida con el polinomio osculador de TAYLOR de segundo grado. Obtenemos la curva: [40-14] y = P~ ( x ) = f(a) (x-a ) f'(a) ~ ( x-aF f"«(L), que es la parábola osculatriz, entre las de eje paralelo al y (§ 38-8, e) y tiene con la curva y = f ( x ) un contacto por ]0 menos de orden -2 en el punto a, si existe f'" (a) finita, pues la diferencia de ordenadas es, por § 39-3, a, poniendo x - a = h:
+
T2 =
:!
h 3 f'''(a)
+ o(h
+
3
)
= ~f ha
[f"'(a)
+ B),
siendo 8 infinitésimo para h ~ O, Esta diferencia de ordenadas tiene un cero de orden 3 y equivalencia potencial, si í'" ( x ) es fin ita y no nula en x = a, y entonces f( x ) - P :¡ (x) cambia de signo al pasar h de negativo a positivo. Es decir: la pará-
, 411 -6
53[1
APROXIJ\l.\CIÓN" LINEAL Y CUADRÁTICA
bola a traviesa a la curva en el punto de contacto, a no ser que I contacto sea superior, por anularse la derivada 3~, Tal ocurre en x = O con y = + V1 - x~ (semicircunferencia) y con IJ = cos X, como puede verse a partir de [39-18]. Esta parábola tiene el eje paralelo al 1J; al cambiar los ejes c.Qordenados, la pa rábola varía, y por esto se prefiere la circunferencia oseuJatriz o círculo oseulador, que en el punto dado llene un contacto pOI lo mellos de orden 2 con la curva dada: es decir, que tiene comunes con la función f (:¡; ) las derivadas 1v. y 2{l. en dicho punto, el que, como veremos (§ 40-6), queda así determinado. EJERCICIOS: 1. Como aproximación de la catenaria V = ~ (eO + e-O), obtener la par ábola osctllatt-iz en el pun to más bajo (x =.: 0, V = 1). 2, ídem la parábola oseulatt'iz en el punto (a, b), 3. Detennínar la. parábola osculatl'íz de la curva 1f ~r en ei punto
=
x =1.
NOTA: Si f"(a) = O, la ap r oxi mación lineal coincide con la clIlldnítica, y la "parábola osculatriz" [40-14] se reduce a t1l18 l'E!cta (}'ccta tangente), COU10 <JcUl'l'e en y sen x para x = (fig, 120). Como en el CIt S<J general. esta "parábola" ah'av iesa la ClIl'ya, y x = a es entonces p unto de inflexión, a no ser que el ~ontacto sea s\¡periol' y de orden ilnpar (§ 40-2),
°
=
6. Circunferencia osculatriz.-Una cirt unfel'encia arbitraria . (40-15] (x - a)Z (y - (3) 2 = p2, queda unívocamente determinada dando los valores ele 1/, y', /1"
+
en un punto cualquiera de ella. En efecto, dedvanc10 los dos miembros de la ecuación p~ -
(y _ f3)2 =
(X-a)2,
que son funciones de x, se obtienen las relaciones: (y~ P )
y' = -
(y-fJ) y"
de donde: [40-16]
Y-
f3 = -
1
+ y'2
+y"y'Z ;
x-
(:r-o:) = -
1,
1 -1- 11'2 y'; ._'- '
a = !J' -
relaciones que determinan las coordenadas (ot, f3) elel . ntro. Sust ituyendo en la ecuación dada, resulta el radio, cu:, cuadrado es: [40-17]
,,2
=
(1
+ y'~) ~
y"2 Estas tres fórmulas, [40-16] y [40-17], r esuelven el problema. Dada una eurva y = f(x), los valores f(a), f'(a}, f"«(~ ) en un punto cualquiera determinan, como hemos visto (§ 40-5), una parábola de eje paralelo al Y. que tiene un contacto por lo menos de orden 2 con la curva si existe f" (a) f inita, Análogamente, entre las infinitas circunfe rencias tangentes a la r
540
X. FÓRl\1ULA DE TAYLOR. ECUACIONES
curva en dicho punto, hay una. sola que tiene con la curva un contacto por lo menos de orden 2, y es entonces (§ 38-8, e), la Ci1'C'lI,n feTencia oSC'ltlatriz o círculo osculador. En efecto, tomando como elementos determinativos de la circunferencia 108 mismos valores 1/, y', y", que en dicho punto tiene la función dada, según exige la condición de contacto por lo menos de orden 2, las fórmulas [40-16] y [40-17J determinan el centro y el radio. Este último se llama radio de curvatura (§ 55). Si la curva viene dada en forma paramólrica, [c = x(t), y = y(t), convendrá transfm'mar la fórmula anterior. No siendo ya x variable in· dependiente, se tendrá: [40-18] 11' d y/d x ú y' = [d x . d' Y ~ d 11 • d" :c] : d x' de donde: da:. d' y - d Y . d' x [ 40-19] y" = d x" y sustituyenuo resulta;
=
:1
[ 40-20]
p
( i! x ·
~i x
+ d yO) ..
-:diY-=
el
y':d'-;;-
~
(;. + ~O) ~ xy -
yx
rt'p rl'''entando por ~' , 11 la...; d eviyada::; segu nd¡¡:; re:;pccto de t. NOTAS: 1. Como e~l el casu de la parúbola osculatriz, también la CÜ'CunfE'11Oncia oseulHtl'iz &,tla\lie!;3 a la curv¡-¡ ('11 el pu nto de contact\l, a no S('I' que e;:;t ~ COll trwtO ¡;~ a de orden mayo r
EJ ERCICIOS
+ ... +
1. Mínimo dey= (X-íll)2+ (x-a.,)" (x-a,)'. 2. a) Discutir los máximos, mínimos y puntos de inflexión de y ~ x' + p x q. b) Utilizar los resultados para discutir la naturaleza de las raiees de la ecuación :1;' -1- p ce + q = O (§ 19-3, b). 3. Comportamiento en x = O de las funciones: f(x) = U +x"-a; g(x) cos 2x ,___e- H2 • 4. Sabiendo que '/Z está comprendida ent r e 1,41 y 1,42, hallar nue· vas cotas con una aplicación de la regla de N EWTON. 5. a) Probar que la ecuación 19x = l/x tiene una s ola raiz real; b) aproximarla, a partir de 2,506 < x < 2,507, con una sola aplicación de la regla de NEWToN - l?OURIER, y acotar el error. 6. Calcular la raíz positiva de x· + 6 x - 8 =: O con cinco cifras exactas (cap. V, nota n, b) 7. Hallar la menor raíz positiva de tg x == x (§ 40-4, ejemplo), por el método de partes proporcionales combinado con el ele NEWTON.
+
=
+
1
.t
541
H. ~, En t!l lIlétodo mixto, aplicando el teOl'ema Je1 incremento finito 1111 ."V,tlo ( a" , lt ••,), demostrar que no sólo convel'gen los nÚmet·os a" ha"'. C8 decir, a = a x, + x. + .. ' + x" + ' . ,. sino flue est a convergen· 11 14 IlIUy rápida, pues x.,,1 x. ~ O; b) Pl'obar lo mismo para la sucesión
+
~
• 11., . •. , bn, ...
!J, Hemostrar que la sucesión de valores obtenidos al aplicar reiteradalit ' In ?'eg¡¡la f alsi (sin combinar con la de NEWTON), converge t.ambién IIn" in la raíz; pero la razón de un térmi1'io al a ntedor en la sucesión de 'rrl!<.'ciones tiene un límite clistín lo de cero. 10. Expresar y repI'csentar eonjuntmnente con f (;r.) = sen :l'. su s do!" l,r\nIl'I'OS polinomios osculadores P, (:¡;) (recta t angente ), y P« x ) (parábola ....culnb·¡z ), para x=7T/6 (cfr. e.i. 4 de § 39). 11. Calcular el radio de curvatl1l'a de la catenal'ia y = a eh x/a = ! a (e' /" + e-<¡"). (11
& 41.
RESOLUCIÓN NUMERICA GENERAL DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
J. Función general de variable compleja. - a) Hemos visto (§ 18-1) que una ecuación algebraica de grado n en una incóguita z tiene siempre SolucIón en el campo complejo, y que sus t'níces, distintas o coincidentes, son en dicho campo precisamente n (§ 18-2). Por esto el estudio de la l'eRolución algebraica es más sencillo y natural en el campo complejo, lo que haremos dando breves nociones previas de (unción c01n?Jle.ia de fJaTiable compleja (§ 23-8. c). Una tal función: [ 41-1] W = w(z}, establece una correspondencia entre los planos cmnple.ios (fjg. 123) de las variables z = x i Y Yw = u i v, equivalente al par de correspondencias reales: [41-2] u=u(x,y), v=v(x,y).
+
+
y
plono I
z
plano
W
u
I Fi!:. 123.
Las definiciones de límite, continuidad, infinitésimos e infin itos son análogas a las vistas en el campo real. (LI) Así es: lim w(z) = 1(1" para z...., z", si para cada F > O existe un número 8 = ,~( F) > O tal que:
x. F6RUULA DE TAYLOR, EC UACIONES
542
~
41 ,1
para O < I Z - Zo I < S, Lo dicho en § 24-1 se traslada aquí, con obvias modificaciones, Uamando entorno de un punto Wo a un CÍrculo con centro en él, y entQ1'no 1'educido de un punto Zo al conjunto obtenido al suprimir dicho punto de un entorno de él. a:l) La función w (z) es continua en Zo si es [41-3] limw(z)=w(zo) para Z-"Zo, De otro modo, si 100 = Un i VOl con Uo = u (XCl, Yo), Vo = v (xo, Yo), Zo = Xo i 110, la [41-3] es equivalente a:
1w (Z)
-
'lOo
I <
e
+
+
+ V('l¿-UO)2 + (V-VO) 2 < e ,
es decir: [41-4]
lu(x,y)-u(Xo,yo)1 <e !l
V(J',lI) -
-+
(U-!l,,)"
patfl
+ ,'
(.t' - J·,,) "
v (x", y,,) I
<
O.
Las condiciones [41-1 ] e~tablecen que las funcion es [41-2] gon cmlfi ll uas eu (.r". l/u), (cfr. ~ 65 en Vol. 1I). Recíprocamente. por sel' ! /1' - 11"" S 11 - 11" + t' - V II 1, de laR [4 1-4] Re ded uce [41-3] . es deci r : 1(1 {'o udició lI 1/('(,c.'lf/l'ia y Sil ¡icien t e' l}(/ ni que la funci ón \\'" (z) sea ccmti lll/ o (, JI el pI/lito z" es (JI/ e lo ~ c a}/ en este Pll1lto la8 do~ fUI/do nes COII/ })O J/(' lItes u (,r, IJ) !J v(.r, !J). E.TEMPLO 1. E l módulo I JI: I =: + \9 + 'lf es fundón l'eal de val;able compleja, continua en todo el plan(J z. E l '{'(llar principal (§ 9-4, b) del lU"gumenw Arg JI: es función real de variable cOlnpleja JI:, t ontinua en todo
el plano z, incluso en los p untos del semieje positivo :;c > 0, pero discontin ua 4m los puntos del semieje negativo, incluido el origen: :>; ~ O. 11. ) Si w ( z) es una ' f unción continua de ;;l, y el punt(J JI: describe una cun a plana ( § 29-2 ) . defini da por dos funciones continuas: [41-5] x:;::x (t) , y=y(t) de la val'jable r eal t, CeJlllO su punt{) h(Jmólog o en el plano w, está deter, mi nado :por las coordenadas [41-2] , dando las fUlH:io'l1P8 compue8ta8 : [41-6] u :;:: u [x(t), y(t)] = <;o(t), v = v [x( t ), y(t)] = ¡!-(t); por demostrac ión a náloga a la del t eorema final del § '25-7, quedan las [ 41-6] funciones contiuuas de t, es decir, el punto w describe tambiéh una curva plana.
a4) La f unción racional entera (§ 23-7) :
[41-7]
w
=
ao
zn
+ al Z .... + .. , + a"-l Z + l
a ll ,
de va1'iable compleja z, con coeficientes ?'toles o comple.ios, es continua en todo el plano z. En efecto, para cualquier valor complejo z fij o, consideremos un incremento complejo h, y para calcular w( z+ h), podemos aplicar ( § 12-1) la potencia del binomio (z + h)p, (v= 1,2, .. . , n), dando: w( z h) - w(z) = b J h b2 h~ bn - 1 h"-1 bn h",
+
+
+ ... +
+
HJ::¡;OLt'Cl lí N DE EC'IJA fl ON¡;:¡; AI,C:":BRAICAS
onde bIt = ao. con blo b2• , ••• b"-l dependientes de z, pero n o 1'10 h. Si m = máx. <1b1 1. l b!! 1, •. " I bn 1), basta tomar I h 1< < 8 = el (n m d, para que: 1w(z h) - w(z) I <: ( \ b1 I I b 2 1 + ... I b n D.1 h 1< s, l~lImo queríamos demostrar. (t~) Se dice que w (z ) es un infinitési?no para z ~ Zo, si 11m w (z )= O para z~ Z(I , mientras que w(z ) es un infinito (lAl'a z ~ Zo si para cada H > O existe un o = o(H) > O tal que I w (z) 1 > H para O < I z - Zo I < o. b) La definición oe derivada es también la misma:
+
+
1'¿.11_8]
w' (Zo)
+
,
= 10 o =
+
l'1m ---w(zo+h)-w( Z(I ) h
para 1L -? O,
Y la función se Barna derivable o monógena en el punto Zn. si I~te límite existe y es finito, En el campo l'eal (§ 30-2), el limite de la razón incremental klh debe ser único, tanto si h es positivo como negativo, es decir, si Xo + h tiende a X o por la derecha o por la izquierda. En el campo complejo hay no dos, sino infinitos caminos para tender a un punto Zo, y es pr eciso que el cociente de incrementos /1w : 6. Z tenga el mismo límite para Áz -? O, cualquiera sea el camino elegido; cuando tal sul'ede, ese límite único 'tu' o es la derivada [41-8]. EJEMPLO 2, Pal'S del,ival' l a función 'W == z', el mismo cálculo hechtl para variables reales (§ 30-2, ej.) sirve aquí:
=
llw == (z + llz)" - :c::~ 2z . t:. z + (ol ;;; )", Y como el cociente A w : A z se compone del sumando fijo 2 z y el sumando illfinitésimo t:. z, tiene como límite 2 z para t:. z ~ O. P ór lo tanto: la derivada de :;:' es 2 z, Análogamente, la derivada de z' es n Z·' 1 (n natural).
DEF.: Las funciones que para cada punto z de una cierta l'egión .. tienen derivada, se llaman analítica.s. El teorema capital (CAUCHY) de la teoría de f unciones de variable compleja es la identificación de este concepto -con el del mismo nombre dado (§ 23-8) a las expresables por una se00
rie de potencias
~
"" = o
a" zn. (Cfr. § 114 en vol. nI). -
Son analíticas todas las funcio nes elementales, y también las compuestas con ellas, pues las reglas de d()rivación de sumas, diferencias, productos, cocientes, funciones de función , etc., conservan su validez en el campo complejo, como se observa repasando sus demostraciones. E.JERCIC1~: Comprobar que w=z, w= l zl, qu=:: R (z), w=I(z), w = Arg z son ejemplos de funciones continuas no der ivables en el cam-
po complejo,
•
• E n El \"DI. n I H 114) Pl'E<:t"' l'emOs le locución 'óel'ro n 'J!; oll ", vlen
X. FÓRMULA D~ TAYLOR. ECUACIONES
544
§ 41
~l
c) La interpretació1t geométrica de la derivada en el campo complejo es importantísima, tanto para la teoría como para las aplicaciones. Si w = w(z) es monógena en el punto Zo, y v
!I
Z
__
'.(3
,o( .J. _ _,, _ _ _ _ _ _ _
o
o
o
x
u
Fig. 124.
la derivada es w' = r
lirn
I~ 'lA! I = I w' I = !:J. z
r;
lim Arg !:J. W = Arg w' = !:J.z
rp.
Para I!:J. z I ....:¡. O Y Arg!:J. Z - a, si z tiende a Zo segUn una curva (fig. 124) cuya semitang-ente en Zo forma el ángulo a con el semieje x, es
+
Arg !:J. w
;=:
Arg !:J. z
+ Arg -!:J.w - ....:¡. a + ~: !:J.z
es decir, el punto w describe una curva con semitangente en Wn, de inclinación a' = a + "'. Si z....:¡. Zo según otra curva con semitangente en Zo de inclinación /3, la homóloga tiene inc1inación {3' {3 Restando resulta: {3' - a' = f3 - IX; luego: El ángulo de dos curvas que pa.san por Zo es igual al de las homólogas en el punto wo. Dicho brevemente: la cO?'1'espondencia es isogonaZ en los puntos de derivada no nula. ;=;
Como
+ "'.
I~:
j....:¡. r independientemente del argumento, resul-
ta que las longitudes de los vectores homólogos tienen l'azón que se aproxima indefinidamente a r. Dos triángulos homólogos (zo, zt, zz) y (wo, ~Vh W2) son, pues, sensiblemente semejantes, y por lo tanto, se conserva la forma de las figuras infinitesimales. Por esto se dice que la correspondencia o tranR· formación o representación efectuada por la función monógena es conforme directa en todo punto donde la derivada no es nula.
1
-2
RF.f;0I.UG1ÓN DE ECU ACf()Nt:::! AU:EBRAICAS
545
~:JEMPLO 3. En la corresDondencia w =:f son rectDs los ángulos que r,,'lIIan en cada plano las curvas homólogas de IRS rectas paralelas a los .. en el otro plano, Consideremos el punto z 1 i: su homólogo es w = 2 i; la derivada y In en él 2 (1 i). cuyo argumento es 'l/': 4; luego, el haz de tangentes 1,,11 curvas homólogas de las trazadas por aquel punto se deduce de él I""ltlo 45° en sentido posíl.ivo.
+
el
= +
2. Raíces múltiples. Reducción de la ecua~ión y continuidad a) Mediante la descomposición factorial (~ 18). la definición que hemos dado de raíz múltiple de una ecuaUua algebraica [18-1] de grado n es ésta: Se d~:ce que 1: es raíz múltiple de orden p, si se verifica: las raíces. -
f(z) =
41-9]
(z -
ü
P
f(Z),
,,;endo fez) 'Un polinomio de grado n - p, que no 8e amda para • - , . La fórmula [41-9] es análoga a la [38-20] , y como en • I campo complejo un producto se deriva por la misma regla '1110 en el campo real (§ 41-1, b), se obtendl"á también f'(z) = p(Z_~)P-1
+ + (z-C)It"(z)] P'l' (n =!= O para z = 1:, ·es
= (Z-C)p-l [Ptp(z)
e
t limando el corchete el valor decir ('ff raíz múltiple de m'den, p 1 de lá derivada f' (z). y por 10
lnnto: La condición necesa'ria y suficiente para Que un núm.eTo l; /-lea raíz múltiple de orden p del polinomio f (z), es que a.nule " este polinomio y a sus p - 1 primeras derivadas, pe'to no a la sig'Uiente, es decir, el o'l'den de un cero , es el índice de la I,rim e'm derivada que no se anula en C. b) Descomposición de la den~'va da log01'ítmica en f1'accioII.('S 8im.ples. Se llama así a la siguiente: f' (z) 1 1 . 1 [41-10] -f(- )- = - r - + - . -,;+ ~' Z
Z-o"l
Z -o,, 2
+ , ..
z- ."
,.btenida por derivación de la. descomposición f actorial [18-5]. En [41-10] pueden agruparse las p fracciones que corres pon.Ien a una r aíz p-ple, resultando el numerador p en vez de 1. I'or lo tanto, si f (x) es un polinomio de coefidentes 'reales, subsistirá el teorema de § 38-7. c, es decir: T EOR.: Al pasar la variable real x en sentido creciente por una raíz real g de orden cualquiera de la ecuación algebra?:ca f(z)= O de coeficientes reales, la ¡mcción f'( x)/f (x ) pasa de 00 a + oo . El cociente inveTso f (x ) / f ' (x) es continuo en t donde se anula. pasando de negativo a positivo. e) Veamo s ahora cómo, sólo mediante operaciones de derivación y di· visión, podemos reducir el problema de hallar la s raíces de una ecuacJóJ'. algebraica f (z) == O. al de ecuaciones más sencillas. que tengan sólo rai· ces SImples. En la descomposición factorial [18-5] agrupemos t()dos los factores correspondientes a raíces simples, y Ilamf>mos f, (z ) a su producto; a gru·
1546
§ 41 -2
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
pernoB igualmente 10B factores correspondientes a raíces dobles, sin tomar en cuenta el expon ente 2. y llamemos 1. (%) a su producto; BeB f.(z ) el producto de loa binomios que representan raices triples, etc. A SÍ, podemos escribir la descomposición factorial en la forma: [41-11] fez) M~) . [f.(z» )' . [4(%)],1 . .. La derivada tendr á la f orma [41-12] f ' (e) = 1. (%) . [f. (JI )]' , .. 9(Z ), donde 'P(z) no tiene rafees comunes con 1,(J:). f. (z) , , ." es de<.';r. e8 prima con ellas. El m. c. d. de fez) y f'(z) (§ 17-5, e) es: [41-13] D (z) = m. c. d. [f(z), f '(z)] = f.(z) , (:&o(z)] ' . •. , es decir, tiene las raíces [41-111. con SUB órdenes de multiplicidad disminuidos en una unidad. An Alopmente será : [41-14] D 1 (z) = m.e. el. [D(.<:) , D /( z )] 1.(2) . (f.(z )]" ... , etc. De [41-11], [41-13], [41-14], ... deduci mos, por división de cada dOL! consecutivas: fez )
=
=
D(z) = fl(z) . f.(z) . fa(Z) .,.
[41-16]
D (z )
{ D l (z) = f. (z) . f .(z ) .. .
... .. .. . .. . .. .. , ........... .. . ..
...
..
y volviendo a dividir cada dos ig ualdades consecutivas [41-15] habremos obtenido los polinomios f l { z}, f. ( z) , . . . , con ] 0 cual la resolución completa de la ecuación f ( z ) O se reduce a la de las ecuaciones: [41-16] f,< z)= O. fs (z}= 0, f.(%) ;:::: 0, ••• , que tienen todas sus raíces 8imples. O bien anulando la primera [41~16] se obtiene una ecuaci6n con t oda.a ras f'aíce.s de la eCi/(lC im~ dada y sólo ellas, pero todqs 6imples. Obsérvese que si f(z) tiene coeficientes l'acionales, los coeficientes de las [41-16] serán blUlbién racionales (§ 41-4). Sin embargo, este laborioso proceso no se tiene en cuenta en el método práctico de GRAFFE (§ 41-12 ) pan resolver ecuaciones numéricas, d) Continuidad de las r afces de una ecuación algebraica. - Comparemos ahora la ecuaci~n [18-1] con esta otra: [41-17] F(z) = A,zA + A,Z·-l A.ZO-' + ... + A. ~ O, y sea ! una rafz de ésta. Efect uando el cambio de variable: Z :=: z - ~. resultan nuevas ecuaciones (§ 39.1 ):
=
+
[41-18]
Pero si
F(z) = F(r)
+
Z'
F/~(P- +
+ Z~ :::::
0,
f(z):=: f U)
+ Zf' W + Z·
f;
+ Z·
(J.
r
Z F ' {t)
+
;;;;;;
es raíz múltiple de orden p de F (z), es: F(r)= O, F ' (r) = 0, . . " F'P-"H)=O ; y como 108 polinomios anlilogos f (O, f' ( n • .. . , f(p-l)
RDlOLUC!Ór.r lll:: ECUACmNEB Al.Ul::IJIIAICAS'
547
,l. [41 -1'7], quedarán asf determinados divenos números, 81 • 8., ... ; y I Idl) el menor de todos, que llamaremos 8, resulta que toda ecuación U)'OA eoeficlentea eJ¡tén comprendidos en los respectivos entornos de amIIwtl ~, en el entorno de cada ralz de [41-17] tiene por lo m etÍo8 tantas ... IClft como indique su multiplicidad ; pero como el número totaJ de rajel n, y la suma de ór denes de multiplicidad es también n, l'esulta que 11 ('uds entorno de una raíz quedan incluidas precisamente tantas como fUliqtte BU orden de multiplicidad. ~i convenimos en llamar a una ecuación limite de ob'a cuando sus tñ.llcientes eon respectivamente los limItes de los coeficientes de ésta, po· ,Iemoa en unciar brevemente la continuidad de las rafees diciendo : las ?'af· C!fII de la ecuacUn límite son 10B límiteB de las raícea de la. ecuación va· I'Úlbkl. o también : l
3. Búsqueda de las rafees reales. Acotación de las raiees.(() Dada una ecuación de coeficientes reales: r011-19] a,. X" + al xn -t + ' .. a + a" = 0, para calcular sus raíces rea)es conviene ante todo acot({?'la8, esto es, determinar los números entre los cuales están comprentlidas toda.s las raíces r eales de la ecuación. Lograda esta acotación de las l'aíces, el problema siguiente es sepamrlas, es decir, determinar ciertos inter valos en cada uno de los cuales esté comprendidn una raíz y sólo una, y fin almente ap1'oximarlas tanto como se q'uiera. Más aún, los tres problemas que entraña la resolución de una ecuación numérica, a saber: determinación del núme1'O de rtÚces, sepamci6n de éstas, y cálculo de ellas con erro)" menor tlUe lIn número dado, quedan r educidos a resolver este problema único:
+
IJ _ ,
PROBLEMA FUN DAMENTAL : Determina}' el mí me?'o ele mices (le una. ecuaci6n contenida8 en un intervalo dado (a, b). En efecto, resuelto este problema mediante un criterio genenl, basta aplicar éste al intervalo total (- L, L) que comprende todas las raíces, y tendremos el número de ést as; subdividido suficient emente este inter valo, y aplicando el mismo cl'iterio a los intervalos parciales, llegaremos a se para1ü¡s: y cuando la amplitud de estos intervalos sea menor que el número prefijado t, las tendremos calculadas con error menor que 1; . Nos ocuparemos ahora de la acotación de las raÍCes para abordar luego el problema f undamental (§ 41-7 a 9 ), pero si la ecuación es de coeficientes racionales aplicaremos antes los métodos de 41-4 para hanar las raíces r acionales si existen, con el propósito de rebajar el grado r1e la ecuación, simplificando así loa cálculos posteriores.
*
648
§ 41 '::
X. FÓRMULA DE TAUOR. ECUACIOl'lES
b ) Suelen acotarse separadamente las raíces positivas y las negatIvas, calculando dos números positivos, l y L, llamados cota inferior y cota superio1' de las raíces posití'lx[s, entre los que estén comprendidos éstas y otros dos números negativos, llamados cota in/e?'i01' y cota superio1' d e las negativas, entre las cuales quedan todas las raíces negativas de la ecuación. Basta dar una regla para determinar la cota super ior L de las positivas; en efecto, poniendo x = 1/ y, la ecuación: [41-20] Un y" + a....l y".l. + al y + uo = O tiene por cota superior el recíproco l/l de la cota inferior l de las raíces posIt ivas de [41-19], Análogamente. poniendo x ... - y, la ecuación [41-21] Uo y" a.,. y .....1 ~ y ..... .,. ± a" = O tiene por cota inferior A, y superior A, de sus raíces positivas, A < yp < /l., las opuestas - A > x" > - /1. de las raíces negativas, x" ~ - YI' de la ecuación [41-19]. c) Regla de LAGUERRE-THIBAULT: Si en la división de f (x) pOI' X L son positivos todos los coeficientes del cociente y también el resto, es L una cota 8upeTioT de las raíces de f (x) = O.
+ .. .
+
En efecto. por el teorema del resto (§ 16-6, b) es: f( L ) (A1-L ) (enz·-' + c,x'-' + .,. + c.-.x + eo-.) , p; valorea mayores que L, resulta f(x) > O; luego, no hay raíces superiores a L. En la prá ctica se eljgen valores enteros crec:enteB de L, aplicando en cada caso la regla de RUFFINI (§ 1(3-[», hasta que todos los coeficientes y el resto rc::mlten positivos. PU-22] f(x) y si darnos a
=
+
d) Mejor resultado, a unque de aplicación más laboriosa, da la regla, de acotación de NEWTON: Si el número L h ace positivos a los polinomios f(x), f'(x), fl1(X), .,., fln) (x ); es una cota SU]Je?'1.01· de las míces de f(x). P01' lo tanto, si un nún1e'ro hace pos'itivos a, f 1fil (x) , f 1n - 1 ) (x) • • • " fin - SI (x), todo 11úme?"o mayor tiene igual, propiedad. La rellla es consecuencia dU'ecta del desarrollo de TAYLOR (§ 39-1) :
[41-23]
f (x)
+ (~- L) f'(L) + (X-L)2 f'~~L) + (L ) + ... + (x - L)" n.l '
= f(L)
fIn)
que muestra que en las hipótesis hechas, para x f(x)
>0.
-
>L
resulta
La segunda parte de Ja regla nos dice que hemo8 de e1'npeZa?' los ensayos por f(n-l.) (x), e ir aumentando si es necesario el número, para hacer positivas las derivadas sucesivamente anteri O?'es, f(n-2) ( x) , f( n-al (x), •.. , hasta lJegar a un número que haga positiva f (x) ; ésta es la cot.a buscada. Con ello, al aumentar cada vez el número ensayado, no es preciso comprobar si hace positivas a las derivadas ya utilizadas.
549
RESOLUCIÓN VE ECUACJ ONES ALt:ElIItAICAS
• H -4
Es interesante demostrar que la cota dada po1' la regla de LAGUERRE'l'lIlhAULT es igualo mayor que la dada por la l'eglQ de NEWTON. Como
"{II'olario del teorema de ROLLE q Ue veremos en § 41 -5, resulta t.ambién '1111:' en caso de que todas las l'alces de la ecuación sean rea.les , la regla de N.:WTON da, al ensayar pnteros, la mínima cota superior entera. EJlilMPLO:
= 8:x;' -
f(x)
1
-6
18 X-
1'(x )
1
=
12 f"( x) =
-k-' f"' (x)
+ 24:x;" -
18 x
+
2:r," -
9 x'
+
8x -
8lt~
9x
+
4,
-
= 2 JI: -
73, 3,
3-
=
Desde % = 2 es f'" > O, pero f" (2) < O; sustituyendo :r 3, resulta ésta posi ti va, pero tod avía es f'(3 ) < O; finalmente, par~ x = 4 es 1'(4»0, f(4) O; luego, L=4, mientras que la regla de LAGUERRE da L=6. Aplicando B la transformada en l/x la regla de LAGtlERRE, resulta sin cálculo alguno la cota superior 1. La transformada en -:r tiene todos los términos posit ivos; luego, no hay raíces n egativas en la propuesta. En resumen, todas las l'alces de [4-1·24] son posit ivas y están comprendidas entre 1 y 4. f') E n la demolltl'ación del teoren18 f undamental del álgebra (§ 18-1) se ha determinado una cota superior, R, del módulo de todus las ra.ices complejaa de una ecuación algebraica cualquiera [18~1], mediante la desigualdad [18-2] . He aquí otra re~la de acotación de los ceros, válida también para las series: Si l08 coeficientes de la. serie o polinomi~ La p : / ' cumplen la condición ] a .. /elo];:; k- (m 1,2, ... ), 14 fun ción no t'wne ceros de m6duro i:nferior al número 11 (2 k) , . En efecto, si es I z I 11 (2 k) , resulta:
>
=
<
+ ... 1~ I a~ I + 1a.z~ I + ... + I a. z· 1+ ... < 1 1 1 . < lnol (2 +~. + -.. + 2" + .. ,);::;: 1a,,1:
1a,z + a..z' -l. , . . + a.z·
luego, no p uede anularse la función Obsél'Vese que ]a cota 11 (2 k) es la n1syor que puede darse para todas las series o polinomios, pue!! la serie 1 - 2kz 1 - k z - k" z· - ... - k" z· - ••• = ---:-l----=k,-~tiene por l'afz
le
== 11 (2 k) .
4. Investigación de las raíces racionales de una ecuación de coeficientes racionales. - No hay regla general para investigar si una ecuación tiene raíces enteras o fraccionarias. únicamente cuando los coeficientes son números racionales, una. serie de tanteos metódicos permite decidir esta cuestión y calcular dichas rafees racionales, si existen. Podemos suponer que los coeficientes racionales son enterOB, pues en caso contrario se logra ésto multiplicándolos por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
x.
550
§ 41
FÓRM1JLA VE TAYLOR. ECUACIONES
·
a) Dada por lo tanto la ecuación de coeficientes enteroa ll [41-25] Q.1) x a, Xll-~ a..-l x a,. = O,
+ ... +
+
+
vamos a dar previamente las siguientes reglas de tanteo para hallar sus raíces enteras : a.d Se acotan las raíces lJor § 41-3. a2 ) Si f(O) y f (1) son impares, no hay rawes ente'ras *. ~) En caso contrario se ensaya BZ W8 números + 1 Y - 1 satisfacen la ecuación, dividiendo po')' x ~ 1 Y x 1, según la regla de RUFFINl, todas las v eces posibles, y C()ns~rvando los últimos residuos, f(1) y f( - 1), cuando Se llegue a división
+
i'1U~ta.
a1) Se calculan los divi8ore8 positivos y negativos del término constante 0.,,, prescindiendo de l08 que n o estén dentro de la acotación estabTecida antes. Se desechan aquellos divi80res p de a" que no cumplan
.
[41-261 f( l) ..... p - l ; f(-1) = p+l. En efecto. pasando ri" al segundo miembro de [41-25], vemos que es necesario sea múltiplo de toda raíz entel~a de [41-25] ; además, si co, Cl> c.~. . .. , Cn- l son los coeficientes enteros cambiados de signo, según'nos indica la regla de RUFFINI, al dividir f (x ) p Ol' p - x, sup011iendo p raíz de [41-25], será: [41-27 ) f(x) = (p-x ) (eoxn - 1 C1X 2 + C,.-l), de donde, para x = 1. se deduce la r egla [41-26]. O-:!) Pam. cada uno de l08 divisores restantes 8e ensaya que los números sucesivos:
+
+
[4 1-28]
an = --,
C ll - l
C"-2
=
C"-l
Il
+ a,.-l ,
-
+ ...
...•
Pp
Co
=
el
.
+ al • P
sean enteros y Co + ao = O, desechando el n'41ne'i'o ensayado apenas se llegue a una división inexacta; pero· si se cumplen aquellas condiciones, el nú?nero ensayado es una rak. l08 coefi~ cientes[41-28] son 108 de [41-27] , yen el cociente, que es de grado inferior, Be ensayan los -restantes números p. El") efecto, para calcular el cociente [41-271, convieñe ordenar -el pclinomio según potencias ascendentes: a" + an- l x + a,,-2 x 2 + ... + al X .....1 ao Xn =
=
(p-X).{~....l + ~,,_~X +
+
+
•.• CI X,,-2 +COXII-J), , de donde se deducen las fót'mulas [41-28]. b) Para el cálculo de las r~J.ÍCE'S fraccionarias de [41-25], sea x = y/q la expresión irreducible oe u!la de ellas, con lo que
habrá de ser; [41-29]
aoyn
+ al q y-l + ... + a ..
-l
,
q-l y
+ a" qll
=
O;
Y por la misma razón vista en la regla a,,) debe ser: • Porq ue r U'- ) es entollea ilJ1P~r pAn I.<Jdo :r "ntero, ~n ·mlle, lra el desa rrollo de 8P]icRdo .. f l O +2 .. ) ya fU +l! .,) .
T AYUlII
I
41 -4
651
RF.:SOf.UCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
141-:W] ac = q a.. = y . Por consiguiente, una ecuación de coeficientes enteros, tU1If) primer coeficiente es la unidad, carece de raíces fracciona-
rin.,.. ,
Como ao es múltiplo de todos los denominadores de las raÍfraccionarias, puede adoptarse q = ao, Y hallar l08 numem dores desconocid08 y como raices enteras de la ecuación 1" 1-29] . Sin embargo, las raíces fraccionarias pueden tener un m. c.m. de sus denomina.dores menor que ao, y en este caso "onvendrá MIla?' el menor valo'r de q qu e en la eC11,ación [41-29] hace todo8 los coeficientes de las potencias de y divisibles por 641, pues entonces podrá tomarse para común denominador de tQda.s las rafce8 fraccionarias dicho valor q, y dividiendo 1'-11-29] pO?- QCI, las 'raíces enh1'aS de la ecuación obteuida son los numeradores de las raíces fraccionarias de la ecuación 141-25] dada. Se demuestra fácilmente que si 7,l q <:3 forma irr~dudtJie ue una raíz fraccionaria de [41-25], deb€n ',umplirse análogamente a [41-26] las Siguientes condiciones : ~
[41-31] f(l) = q-y; fI - 1) que simplifican los tanteos a efectuar.
=
q+y
EJEMI'LO: Sea la ecuación 6,4 rzT -
y
4,5 x' -
113,55 x" + 227,825 x' + 13,95 x' - 0,3 x + 3,5 ::::: O.
132,325 x" -
Multiplicando por 1 (lOO todos los coeficientes. para hacerlos entero!, suprimiendo el factor 25, resulta:
216 z· -
180 x' -
4542 x·
El ensayo previo de +1 ) +1) -1)
+ 9113 x' + 668 re" - 5293 x' 108 números + 1 Y -1 nos da
216 -180 -4542 216 +36 -4506 216 + 262 -4264 216 -180 -4-326
+9113 + 558 -5293 + 4607 + 5165 - 128 + 853 +5518 +6390 +8933 -3'HlB +364/J
12 x
+ 140
:;=:
O.
este r esultado:
- 12 +140, - 140 (O, ( + 6250, (-3780.
Los divisores llositivos de 140 son 1, 2, 4, 5, 10, 20, 7, 14, 28, 35, 70, 140; los únicos que aumentados en 1 dividen a f( - 1)=:- 3780 = - 2',5 .3" .7, Y que i!isminutd08 en l dividen a 1 (1 )=5250= 2.6' .3.7, son: positivos 2, 4, Y negativos -2. - 4, -5 . He aqul todos los ensayos necesarios, efectuando el cálculo de derecha a izquierda. como se indicó en ( a , ) :
=
te ::::: 1)
s
=
+ 2) - 2)
=-
5)
216 +36 - 4506 + 4607 +216 +468 -3570 - 2533 +216 +36 -5642 +4751 +216 - 612 - 510 +17
+6165 + 99
- 128 - 140, + 70, (O,
-~ 9502+ 18806
+ 14,
(O,
552
~
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
41
La ecuaclOn dada tiene, pues, como únicas raíces enteras + 1, - 6, Y desprovista de ellas, quedn reducida a esta más sencilla: [41-32] 216x' - 612 x' - 610 x' 17 x + 14 ::: O. Para calcular las l'a1ces fraccionarias de [41-32], poniendo x::::: ylq. resulta la ecuación t r ansformada 2",3'.y· - q .2".3z .1'i ,y" - q'.2.3.5.17.y· + q'.17.y + q'.14 :=; O; Y el menor valor posible de q que hace todos los coeficientes divisibl. por 2'.3', es q = 6; simplificada esta ecuación, resulta: 1/' -1711 - 85y' + 17 y 84 O; separadas las raiees y = 1 é 11 = - 1, obtenemos: y'-17y-84=0, cuyas dos rafees son y 4, y = 21; luego, las raíces fraccional'ias de la ecuación [41-32] son 1/6, - 1 /6, -2/3, 7/2, que junto eon las tres enteras, + 1, 2, - 6. autes haUadas, dan las siete :raíces de la ecuación propuesta.
+
+
=
=-
+
5. Teorema de Ro1Je. - El teorema de § 41-2, b, conduce a una regla sencilla, y útil en muchos casos, de separación de raí-
ces. Sean a y Ji dos raíces reales consecutivas de la ecuación de coeficientes reales: (41-33] f(x) = O, y tomemos S > O suficientemente pequeño como para que la función f/([~) /f(x) sea positiva en + s, y negativa en f3 - o (§ 41-2, b) ; como f (x) tiene igual signo en ambos p untos, pues t'X y f3 son raíces consecutivas (§ 26-2 ), f' (x) tendrá signos opuestos en ellos, y por lo tanto, tendrá por lo menos una, y en genera.l un número impar de raíces ( ~ 38-7, b), en (-a o; P- a), y por lo tanto, también en IX < X < ,8, por ser a arbitrarIamente pequeño. Esto es lo que expresa el teorema de R OLLE (generalización para funciones racionales enteras del teorema visto en § 35-2) : Entre cada dos 1'aíces consecutivas de la eC'lULción de coeficientes reales f (x) = O hay un número impar de C81·0S de su derivada f' (x), contando cada uno de ellos tantas veces como indique su o'rden de multiplicidad. COROLARIO: Entre dos míces consecutivas de la derivada f'(x) haya lo sumo una sola míz de la función (cuya existencia se decide por el teorema de BOLZANO, § 26-2). Porque si hubiera dos, tendria f'(x) una raíz intermedia, y aquéllas no serían consecutivas, y si la eventual raíz de f (x) fuese múltiple, también 10 sería de la derivada. Las raíces de f(x) quedan así separadas por las de f' (x) que por ser de menor grado se calcularán más fáci1mente; el teorema es part icularmente útil cuando todas las raíces de f' (x) son reales, pues si entonces también lo son las de f (x), existe forzosamente una en cada uno ele los intervalos determinados por las primeras. (Obsérvese que para f(x) = x 2 X 1 la ecuación f'{x) = = 2 x + 1 = O tiene raíz real, sin que f (x) tenga ceros l'eales). (l'
+
+ +
553
n¡':SUL UCIÓN DE ECUACIONES AL(;EDRAlCAS
EJlJMPI.Qs: 1. Sea:
7,08:.;' + 2,25 x + 1, 21,24 u:' + 2,25. La., rafees de la ecuación bicuadrada f'(x)=O son (§ 19-2, (1) : ± ..¡ 2,2488 ... = ± 1,499 ... ; ± "0,1112 .. _ = ± 0,333 .. _ , .ulltituidos los valores aproximados ± 1,5 y ± 1/3, obtenemos: Para - ('.O, - 3/2, - 1/3, + 1/3, + 3/2, + 00 ti lIigno de f(x) es 1 +, +, +, , -1- , h1eJ'O, f(x) tiene tre8 raices, una en cada uno de los intervalos (- 00, - 1' /2), (l/3, a{2), (3/2, + 00 ). 2. Si en la ecuaci6n anterior, el wrmino independiente, en vez de ..r 1 fuera - 1. los signos obtenidos serían: f(x)
=
f'(~)
+
-,
1,8~'
-
= 9 x' -
+,
-,
-,
+
y la ecuación tendría tres ralces, una en cada uno de los intervalos
+
1_ ('.0 , -a/2), (-3/2, -1/3), (:1/2, (0 ). Si el término independiente fuera 0,2, la ecuación tendda cinco ral· mil reales. 8. Sea la ecuaci6n
=
x" + 1.74 x" - 2,62 x - 8,97 O. Las raíces de la derivada son aproximada mente ~ y - 5/3. Sustituyendo en la ecuaci6n dstda los valores - 3, - 5 /3, !, 2, quedan separadas laB tres rafees, que son reales.
6. Función racional de coeficientes reales: exceso algebraico. de Sturm. ~ En este parágrafo anteponemos varias cuestiones cuya importancia en el problema de la resolución numérica de ecuaciones algebraicas se verá en los tres siguientes. a) Se dice que dos números reales no nulos, A y B, presentan permanencia, si son del mismo sig1w, y se dice que pr~ sentan va'l'iaci6n, si son de distinto signo. Dados varios números: A, B, . . . , H, K, eJ n(¡mero total de variaciones que ofrecen los pares de números consecutivos, prescindiendo de Jos números nulos intermedios, se representa por V[A, B. _,., H, K]. ~ucesión
= 1; V [ - 3 , O, - 2] V [-l, O, -3,4/5,0, - 7]==2
EJEMPLO 1. V [ - 3, '17"]
=
O;
b) Sea la función racional, cociente de dos polinomios de coeficientes reales:
[ 41-34]
u (x)
=
f 1 (x) = b o x m +b 1 xm-1+ ... +b.,. 1- a" • f (x ) ao X" al x~l
+
+ .. ,-
que es continua y derivable en todos los puntos que no anulan al denominador f (x). Llamaremos infinito8 de la función u (x) en el campo real, a los valores de x que anulan al denominador f(x) sin anular al numer~dor f 1 (x). De los infinitos, solamente nos interesan aquellos en que u(x) cambia de signo, y supongamos que en el intervalo (a, b).
§ 41 -6
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
564
en cuyos extremos no se anula el denominador f ( %) de u(x), ocurra que para: p valores pase u de - 00 a + 00 ; q valores pase u de 00 a 00 ; entonces llamaremos exceBO algelwaico E de la funci6n u en el intervalo (a, b) a la diferencia:
+
[41-35] E,,"u(x) "'" p -q. Los autores franceses Uaman fndice (algebraico) al exceso. 1)
+2+3
-3-2
x
Fil'. 126. EJEMPLO
2. Para la f unción
u(~) es
=
. 2 :r"- 4
Q:<-4 'Jt'
(fig. 126)
E -tu(x)=O¡ E-,·u(x)=+l. no inten:> sando el punto x =O.
el) Si el denominador es constante, es decir, u(x) es entera, su exceso es nulo en cualquier inter valo. Si el denominador f(x) de [41-34] tiene l ' raíces. en (a, b), es: 1' < E"b U
[41-37]
f d x) Hx)
=
Q(x) _
f I (x~
f(x) ,
donde Q(x} es un polinomio, ambas fracciones
~2
y
~J
tienen los mismos infinitos con signos contrarios; de donde: [41-38]
Ea&
!1+ Eal
~ = O.
• .JI .6
565
RESOLUCiÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Ca) Demostremos ahora que la suma de los excesos en el Intervalo (a, b ) de dos f racciones recíprocas:
=
u (x)
fl ( x ) f (x) ,
f(x) f1(x) ,
v(x) =
Igual al número de variaciones perdidas por el par de poli· nomios f(x), f 1 (x) al pasar del valor x = a al x = b; es decir :
NI
[41-39]
f
Eo· T
+
Eab
+ f
=
V [f(a), f¡(a)]
- V [f(b), f1(b).] - V. - V" designando abreviadamente por V« y Vt tos ~rmlnos del se.. gundo miembro. Consideremos todos Jos infinitos con cambio p veces de - 0;1 u(~) pasa { q veces de 0;1 p' veces de - 00 v(lt) pasa { q' veces de + 00
+
u{+)
a
de signo en a "; a 00;
+
a -
a
~
< b:
00;
+ 00;
a -
00 •
ul+) b
Vb= O
a
b
u( -) u{-) fil/:. 12G.
],';1/:.
121.
Como u (x) sólo puede cambiar de signo al pasar por 00 ó por O, 'Y los ceros de u (x) son Jos infinitos de v (x). tendremos (¡ue en (a, b) los cambios de signo de u(x ) sedn: u(x) pasa
P {
+ p'
V~ de -
q+q' veces de
+
a
+;
a -,
Examinemos ahora todos los casos posibles, según sean los signos de u(x) en a y b, observando que: si u(a»0, es V.=O, y si u(a)
y lo mismo para b,
En el caso de la figura 126, u (x) ha de pasar una vez más de - a que de + a-, y por lo tanto: . p p' == q + q' + 1; en el caso de la figura 127, por razón análoga B la anterior, p + p' == q + q' - 1;
+
+
x.
01>6
§ 41
FÓRMULA DE 'I'AYLOR. ECUACIONES
b
a
b
a
-(i
Vb=11 u(-) F il:. 128.
del mi smo modo, en los casos de la fi gura 128, es:
p +p'= q+ q'. Si en todos los casos obtenemos V. y V., vemos que siempre cumple (p_.q) + ( p' -q') = Va - V" es dec ir, la igualdad [4l-3ft ], que queriamos dell1osh'a r.
Be
d) Las propiedades anteriores permiten caJcular sencilla-
~\~~),
mente el exceso algebraico de una fracción
con sólo apli-
car al par f(x) , f 1 (x) el algoritmo de EUCLIDES del m.c.d. (§ 17-3, e ) , pero teniendo cuidado de cambia?' el signo a cada residuo. al tomarlo como nuevo divisor. Podemos suponer que el grado de f l es inferior al de f, pues de lo contrario, separando la parte entera de la fracción, el exceso es el mismo. En el algoritmo del m. c. d. de f, f I, llamemos f 2 , f 3 , ••• a los divisores sucesivos, obtenidos cambiando el signo a los residuos: Q"
[ 41-40J
f
f n- 1
1----- - - - -- 1: -fa
... -
o
fn
donde f ll es una constante, o bien el m. c. d. D (x) de f f 1 (x) . Sj llamamos E al exceso buscado. E
=
Ea·
-j~,
(x) y
y tene-
mos en cuenta la pl'Opiednd vista en [41-37], [41-38J, podemos
escribir:
-.!f
=
f1 f2
=
Q1
-~.
I
. -
Q2 -
fl
f3
'
-' f2 '
E a b -~ f1
+E
a
b
ff z T
= o·'
011 -11
557
m;SOLUC1ÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Sumando por columnas las segundas igualdades a Ja
Ea ll~ f y leniendo en
E
=o
-- E ,
cuenta [41-39], será:
(Ea ~l + E,,~ b
:1) + (E}
!:)+... +
~~ +En b
+ (Ea f f + Ea fn-l)= f V[f(a), f¡(a)] + V[fl(a), fz(a)] +...+ V [f b
n
ll -
b
l
n
n - l ( a), f n(a) ] - V[f(b). f.(b)] - V[fl (b), f 2 (b ) ] - ...- V [f n-d b), f n(b)] ; ea decir: [41 -41]
Ea b
~l
=
V[f(a), ílea), f 2 (a) , ... , fn Ca)]
- V[í(b), f¡{b), f 2 ( b), .. _, fn( b)], importante teorema que se enuncia así: El. exceso algebra'ico de la fracción
~ (~;
, en el in tervalo
(a, b), es igual al n ú rne1'o ele va1"iaciones pe1'didas por la SU,CCde polinomios (llamada, sucesión d e STURM) de l algO?-itmo [41-40]: f(x), fdx), f~ (x), ... f,,( x ), al 1JaSar del val07' X = a al x = b. t~ión
e) Veamos ahora las pr opiedades más intel'eSal1tes de los polinomios de STURM: e.)
La identidad
[ 41-42]
que liga a tres polinomios consecutivos, nos dice qu~ si en un punto a se anulan dos consecutivos fb(n)=f,,+l (a)= O, se anularán también el anterior y el siguiente, es decir, resultal'án todos 10B polinomios nulos en X=G, incluso f.(a)=f(a)=O; esto no es posible si f y f. son primos entre sí, porque entonces fn en una constante que no puede a nularse. e.) Si f y f. son primos entre sí, y fh se an ula en x = a o en b, los polinomios contiguos toman valores opuestos 1,,-1 == - f"H, Y x por 10 tanto, cualquiera sea el signo de fb en la proximioad de dicho valor de x, la terna f" -l, f", f".\ presenta una sola variación, lo mismo que el pal' fb-!, f".l, 8,i prescindimos del valuf' nulo ¡ llegamos al mismo resultado con esta regla, considerando el intervalo ( a , b ) que el (a + 8, b) ó (a"b-Il) ó (a+~, b-~), en cuyos exb 'emos no se anulan dichos polinomios, ~. como por otra parte los ext'esos en esos int ervalos son iguales si elegimus ti suficientemente pequeño, l'csulta:
=
558
§ 41 -6
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
La aplicación de la 1'egla· antaio1' al te01'ema [41-41] pennite calcular el e~ce80, mmq-ue algún polinomio intermediQ 8e anule para re a Ó x = b, si f y f , 80n primoB entre 8í. es) En cada una de las divisiones efectuadas para obtener
=
los polinomios f!!, f: h ••• por el algoritmo [41-40], puede multiplicarse o dividirse el dividendo o divisor por un número posUivo cualquiera, lo que sólo afecta al resto en un factor positivo; en el teorema [41-41] sólo intervienen los signos y no los valores absolutos. Ésta es una observación importante, porque para los coeficientes pueden tomarse valores aproximados, con dos o tres cifras exactas, plantear las divisiones en forma sintética (§ 16-4) Y efectuar rápidamente las operaciones, mediante la regla de cálculo, con un so]o movimiento de la reglilla para cada división parcial, como veremos en el ejemplo de ~ 41-7. EJEMPLO 3.
Calcular el exceso de fl( ~)
22: - 5 8:1:"-6 :t-4 en los intervalos deter minados por los puntos - 00 , -1, O, 2, S. Designemos sintéticamente el polinomio f por sus coeficientes (8, - e. - 4) Y efectuemos su divisi6n sintética por f. =(2, - 5): !(x)
=
2 f .... .. ... ... ...... .. - 3 f , .....•..............
6 -12 - 6 + 15
8
3
8.
Duplo del residuo anterior ........ 6 . - 16 - 3 f •............•...... '., .... -6 + 15 - f . .................................. - l. La sucesión de STURM y los signos que toma en los puntos - 1, O, 2, 3 con sus variaciones y excesos correspondientes son :
_co f := 3 x ' - 6 x - 4 ......... . f. = 2:.: - 6 •••••.••. • .•••••. 1. =1 ....... .. . .. . .... , .... . Variaciones .. . . ..... .
Excesos ..... . .... . .. .
-1
+ +2
O
+ +
2
00,
8
+
+
2
+
+O
+
1
1
~'----'>~ ~---'
O
1
O
1
+eo -
el)
Fig. 129.
NOTA: Una aplicación interesanté 13 .. 1 ('xceso algebraico es el cálcuÜ/ del número de 'Vueltas alrededor del 07 r 'C1\. de -una curva cer·m da uni· cU7'8al, esto es, una curva cuyas ecuacio \les r lramétrlcas
I .. ,
.'1
569
RESOLUCION nE ECUACIONES ALGEBRAI CAS
Q:=X(tl. y= Y(t ). (a <; t <; b) .011 funciones 1'acionales. y que p OI' ser cerrada la curva cumplen 141 -41] X(G) = X(b); Y la)== Y(b), Vemos tfig. 129) que por cada vuelta que la curva da alrededor del 14104:1]
III'iJC~n.
atraviesa el eje de las x , haciendo que
+
:
===
;~:~
pase dos veces
+
mlUl de - 00 a 00 , que de 00 a - 00 , siempre que la curva no tenlI'a puntos impropios (§ 37-6) , Cfr , ejercicio 9 de § 41. Por lo tanto, el númer o buscado, N, de vueltas serli: •
( H-45]
X(t)
N:: i E . Y(t)'
7 _ El problema fundamental. Teorema de Sturm. - Vol vamos a hora al problema fun damental planteado en § 41-3. a. nada la ecuación algebraica de coeficientes reales [41-46]
f(x) = 0,
la derivada f'(x) de su primer miembro, el teorema de § 41-2, 1" con la definición de exceso algebraico (§ 41·6, b), conduce al importante teo·t ema de STURM (1829): El número r de mice8 8imples o múltiples de f(x) contenidas en el inter'valo a < x < b, en cuyos extremos 8u~'onemos
y
no Be anula. f (x).
es:
,_
[41-47]
1 -
Ea
b
i '(x) f (x) ,
E n este cómputo, cada raíz múltiple queda contada una sola vez; así, si f(x) tiene entre a y b tres ralees confundidas en un punto, y además otra distinta, la f órmula [41-47] dará
r- 2. Para calcular el exceso [41-47], hay que aplicar el teorema [41-41], Por lo tanto, haremos el cálculo del m.c,d. de f. f' cambiando el signo de 108 re8tos, y teniendo en cuenta 'as obsel'yaciones hechas en § 41-6~ e: Ql
Q2
.........
Qn-l
Q"
f2
• , ••. fO-2
fo-1
fn
- - -[41~48]
f
f'
-- -- f2 -fs
... - fn
O
Así, el número de raíces buscado será: [41-49]
r
= -
V[f(a), f'(a), f 2 (a), ,. " f,, (a)] V[f(b), f' (b), f 2 ( b), ,."' f n(b)] .
560
§ 41 -7
X. F6RMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
E JEIIfPLO: Veamos cómo, con § 41-6, ejemplo 3, la separaci6n de [41-50] f(~) = 7x' 5,47x' mediante el teorema de STURM, se cable.
la técnica de RUNGE, aplicada en l'alCeS de la complicada ecuación + 3,330.:' + 1,72 x - 0,15 O, efectúa en forma sencilla y practl·
=
Derivando, tendremos: 16,4~'
f'(x) ::;:: 35 x' -
+
6,66x
+ 1,'72.
Para efectuar la división sintética pondremos: f
........
1 5
f'
.. . ...
-
f,
........
~
~
+'7 -7
O
-
5,47
+
8,33
+
1,72
O
+
8,28
-
1,33
-
0.34
O
-
2,19
+
2,00
+ 1,38
-
0,16
-
0,15
obteniendo: f.(x)
=
2,19~'
-
2 x' -
+ 0,15.
1,S8 o;
P ara dividir f': f" le sumaremos al dividendo el divisor multiplicado por -
2~:9
0.:, I2S
decir, halllnemos una cuarta proporcional de cada uno de
los coeficientes de f. con un solo movimiento de la reglilla de la regla de 35 cálculo cOl'respondiente a la razón 2,19; con ello obtenemos:
- ._-35 2.19
32 2,19
f' ........ + 35 f , ........ - 35
f , .. ..... .
0-16,4
= -
+
1,72
+
1,72
-
2,19
24.41 -
0.47
6,66
+
32
+
22,1 -
~
82
+
6,7
-
32
+
29,2
+ 20,15
~
34,9
+
y por lo tanto:
f , (x)
+
34,9 x· -
24,41:r
+
2,40 4,26
+ 0,47.
Dividiendo f , : f, t endremos: f , ... . ....
2,19 34,9
_
+ 2,19
-
~,OO
f ,. . ....... _ 2,19 _ 1,53
3.63 34.9
fa
-
f.
+
-
3,53 -
+
3,53
1,38 0,03
+
0,15
1,35
+
0,15
+
2,47 -
+
1,12
este es: f . (x) ::: -
1,120.: -
0,10.
+
0,05 0,10.
561
IIt::lUl.Ut-'lÚN (lE BCU ACIO NES ALGEBRAlCAS
Div idiendo fi nalmente f , : f, tendl'emos: f.
. .... " -
f. ........
+
34,9 -
24,41
+
34,9
-
-
0.47
+
0,47
3,12 21,2rJ
21,29 1.12
+
+ __2_1,_2_9_+__1,_9_0 + 2,37
f... ......____
fo ....... .
... decir: fo = -
2,37.
Obtenida ya la suceSlOn de STURM, hagamos mentalmente el cálculo tlvl exceso en · los intervalos dados por los puntos (-00,1, O, + 1, + 00), qún indica el cuadro siguiente:
5,47 x' + 3,83 x' + 1,72 x - 0,16 C' ::;: 36 x' - 16,4 x' 6,66 x + 1,72 •....... f. := 2,19:1:" - 2x' - 1,38x + 0,15 •.....•• r. := - 34,9 x' - 24,41 x + 0,47 ........... r, 1,12 x - 0,10 ..•...•..
r ::: 7 x' -
=-
r. :;::: -
+
o
o •••••••
2,37 .
o ••••
oo...... oo.......... oo... oo..• Variaciones
o
•
• • • • • • • • o'
-. +1, +00
-00, -1, 0,
-, -, +, + +, +, +, +, -r -, +, -, + -, -, +, -, +, +, -, -, -, -, -,
-.
-.
4,
4.
1,
2,
1
'--v-''--y--'~'--,,-~
Excesos ......... o. o" o.
O
2
1
O
Como no existen raíces múltiples (f, ::: - 2,37 =F O). la ecuación [ 41-50] liene tres raíces reales, de las cuales dos están en el intervalo (+ ) (-1 ; O) yla otra en el (O; +1). Co mo f(-l)< 0, f(O)< O Y f ( - j » O, las dos primeras (figo -1 O lBO) quedan separadas por x ~ (§ 26-2); en resumen, la ecuación [41-50] tiene dos raíces imaginarias conjugadas y tres reales si t u a da!! en los intel'valos f-1;-~). ( - ~;O). (0;1); (-) (-) más adelante (§ 41-10) daremos Fjg. 130. métodos para ir sucesiv a mente aproximando cada una de las tres raíces reales.
=-
=
8. Teorema de Budan~Fouriero - De la desigualdad [41-36] Y de la igualdad [41-47] deducimos que la suma de los excesos de dos funciones racionales de coeficientes reales y de igual denominador no puede ser negativa si en el numerador de una de ellas figura la derivada del denominador, ya que en ese caso el exceso alcanza BU valor máximo posible. Por lo tanto, podemos establecer:
562
X. FÓRMULA DE TA'YLOR. ECU ACIONES
§ 41 -H
[ 41-51] f'
E}- f -
=r
f f" Ea t ! ' + Eall-y- ~ O f'
f/"
Eabfil + Eabfll
>O
=
-
V[f (al. f' (a), f" (a), ... , fIn) (a)] V[f(b), f'(o), f/J(b), • .. , fIn) (b)].
Obtenemos así, como limite superior del número de raíce.s en (a, b), el de variacionc.:, perdidas, V" - V b, en la sucesi6n de derivadas al pasar del valor a al b. En)a deducción de este teorema, como en el caso del de STURM, cada raiz cuenta como una unidad, prescindiendo de su orden de multiplicidad. Pe'. o en este caso, veamos qué alteración sufren 10B signos de las ded"adas cuando se sustituye una níz múltiple por raíces sencillas, aplicando un p rincipio clásico de continuidad, debido a PONCELET; basta para ello, en la descomposición factorial, poner en vez del binomio (x - ~.)' los binomios lineales: [.n-52] (x - x . - e) (x-x.-2 e) '" (x-a:.- k a), obteniendo un polinomio cuyos coeficientes cont ienen el parámetro e y tienen como caso límite los del dado para e -7 O; lo mismo acontece para las derivadas, y tomando e suficientemente pequeño, los signos de las nuevas sucesiones seráll los olísmos que los de las que intervj('nen en [41-51], es decir, el número de raíces de f(~) ;;;;; O en el intervalo (a, b), contada cada una tantas veces como indique BU orden de mllltiplicidad, no 8upera tampoco V.(f,f',f", ... ,f(n»)-V~(f,f',f", ... ,f'O». Hagamos notar que 'esta observación no es aplicable El la sucesión de STlJRM, porque allí la modificación [41-52] hace que la última división [41-48J deje de ser exacta, y Jl(lr lo tanto, la sucesión de STURM modificada queda prolongada, lo que hará aparecer nuevas variaciones. Otra observación interesante es la de que al ser f(D) (:1:) una constante, y por lo tanto común el último término de ambas sucesiones V. Y V., tendrán V. y V ~ la nllsma o distinta paridad, según tengan f (a), f (b) igualo distinto si~rlO; de lo dicho en § 38-7, b, el número de raices, contada cada una t antas veces como indique su orden de multiplicidad, es también par ü im par, según que f(a) y f(bl tengan igualo distinto signo; compa~ando ambas observaciones: f(a)f(b»O f(a)f(b)
da da
V.-V. par y número par de raíces en (a,b), V.-V. impar y númerIJ impar de raíces en (a.b).
563
K...stlLUctÓN DE ECUACIONE::l ALGEBRAlCAS
Resulta que el nómero r de raíces vendrá dado por: C4J -S:·t] r 2 = V,, (f, fl, f", . .., fIn)~ - V&(f, f/, fll, ...• f(I1).
+
u expresa el siguiente importante teorema de BUOAN (1807) (1831): El mtmero de raíces de una ecuacWn de coeficientes 'reales o(l»&prendidas en un intervalo (a, b), contada cada una ta.n tas fl ces como indique BU orden de multiplicidad, no excede el nú,,, (lro de va'riaciones pe1'didas por la sucesi6n f (x), f' (x). . .. , r'''' (x), aZ pasar del valor a al valor b, y tiene la mwma parí,. IIMl que este número. Este teorema no nos da, como el de STURM, el número exacto de raices distintas en ( a. b) , pero en cambio la sucesión de derivadas es mucho m ás fácil de obtener que la de STURM, y además toma. en cuenta el orden de multiplicidad de las raíces. 'OUktER
9. Teorema de Harriot-Descartes. - Si aplicamos el teorema de F()URIER al intervalo (O, b), es: [41-54] fe O) = Un, f' (O ) = a,,-lo í"(O) = 2! a,,-:,¡. . •. , flDI (O) = n I no ; y si tomamos a b suficientemente grande como para que el signo del polinomio sea el de su primer término respectivo, la sucesión de derivadas tendrá 108 signos de : r41-55] D.(¡ , nao, n(n-1)ao, ... , n!ao. es decir, no presentará ninguna variación ; por lo tanto, si r~ designa el número de raíces posit ivas de la ecuación f (x) = O. será : [41-56 ] r~ = V o - 2, en que V II indica lB.¿:i val'Íaciones de la sucesión [41-54]. La fórmu la [41-56] expresa el teorema de H ARRIOT (1631) - DESCARTES (1687), que t iene la ventaja de poder ser aplicado en forma inmediata: El número de raíces positiva.s, contada, cada una, tantas veC~8 como indique su orden de multiplicidad, no supera el número de variaciones que presenta la sucesión de coeficientes (supuestos todos 1"eale8 ) . y ambos número8 tienen la misma pa.. ridad. Así, en el ejen1plo [41-501 de § 41-7, el númel'o de raíces positivas sed. 8 Ó 1: pare. obtener las nega.tivas basta poner - x en vez de ~, y los n uevos coe!icientes tienen los signos - + + - - j luego, la ecuación tione dos ",ices negativas o ninguna: el teorema de STURM permite re· solver estas dudas.
10. Cálculo de las raíces irra4!iona.les de una ecuación de coeficientes reales. - Si la ecuación dada: [41-57] f(x ) ~ a.a x" + al xn-1 all-l x Un = O.
+ .. . +
+
564
X. F ÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
§ 41 -10
tiene sus coeficientes racionales, es conveniente ante todo baIlar sus posibles I'aíces racionales ( § 41-4), Y proceder a su supresión, mediante la división de f(x) pOI' los binomios correspondientes; la reducción del grado de la ecuación abrevia considerablemente los cálculos numéricos subsiguientes. Para aproximar una determinada raíz a, cuya existencia en un intervalo (a , b ) se conoce por tener f (a ) y f (b) signos contrarios (§ 26-2). aunque sin saber si es simple o múlt iple, única en el intervalo o no,. es mejor procede!' directamente a las sustituciones de valores intermedios entre a y b vIstas al demostrar constructivamente el teor ema de B OLZANO (§ 26-3), para obtener así el valor aproximado de la raíz buscada, con error menor que un e prefijado; si en el intervalo hay más de una raíz. desde el "punto de vista de la resolución aproximada deben ellas consider arse como iguales. Para las sucesivas sustituciones del teorema de BOLZANO conviene aplicar la regla de R UFFINI ( § 16-6 ), efectuando las multiplicaciones y adiciones mediante una máquina de calculal' o tablas aritméticas. Para evitar en la aplicación de la regla de R UFFINI el manejo de muchas cifras al ir obt eniendo n uevas cifras exactas, se considera como nueva mc6gnita la diferencia x' = x - a, que se quiere determinar una vez hallado el valor aproximado a < a < a + lO-m, Ordenado [41-57] en potencias de (x - a ) : [41-58] f(x) Co (x-a)lI + Cl (x_a) n-t + .. . + C" - 1 ( x - a) + en, los coeficientes Co, Ch • .•• C"- 11 en de la ecuación transformada: [41-59] co x'" + Cl X't>-l + ... + C,,-1 x' + c" = 0, se baUarán así: Dividamos f (x) por x-a: [41-60] f( x) ~ [cO(:.c-a)1I-1 + ... + C,,-t] (x-a ) + Cn, y el residuo es Cn ; el cociente obtenido se vuelve a dividir por x - a, y el nuevo resto es C,,-I; dividiendo el cociente por x-a, el residuo es Cn-2; etc. Esto es 10 que constituye la regla de HORNER (1819 ): Para formar el polinomio transfm'mado del [41-57] mediante l.a sustitución x = a -1- x' se divide por x - a el polinomio [41-67] Y cada uno de los cocientes sucesivos; los residuos sucesivamente obtenidos 80n los coeficientes del polinomio tmnsformado [41-59], ordenado' según las potencias ascendentes de x*'. Complemento indispensable de la regla de HORNER para
==
• Un método bassdo en tos lni.smos pL"htcipiOij fue dcacu biertQ en el Big-Io ",at e miitico8 cl1 ln C>8. Jl"JJ\ 1241, eH '1N Cm\J-SHAo TEsu nj" e - z' po r u n 1) 1~O C E-SO c8 si id6nt ico 8] método de ROft-NEn..
X UI
p or Jos
+ 76:3 200 .,"-40 64 2 560 000 =0
I
~
I - 111
m¡;S(lf,tJC:lÓN DE ECUAClONE8 ALGEBRAICAS
565
h"lIar una nueva aproximación mediante la ecuación [41-59] In aplicación de la regla de NEWTON ( § 40-4, a), que susti~lIfn la curva que representa el primer miembro por su tangenl ; si se observa que en [41-59] la función de primer grado U - C"- l x' Cn es la tangente a dicha curva en x' ... 0, se tendrá que para nueva ap1'oxirnación a ag?'egar al valor a, se inl litará el valor:
+
I n-6I]
x' =
Cn-l
r,
cuyo e?'ror se'1'á rnen01' que S/ C"_l si la suma de los términos rllJ [41-59], de g'rado 8upe'rior al prirne'ro, es menor que o; esto II~rm ite casi siempre (cfr. nota al pie de § 40-4, a) duplicar de una vez el númer o de cifras exactas, pues en cada caso prácLico es fácil hallar rápidamente una cota muy baj a para a. La regla de HORNER da también el valor de las derivadas Rucesivas: fea) = Cn; f'(a) = C"-l; f" (a) = 2! C,,- 2; " . ; f(n) (a) = n! co, uc f(x ) en el punto a. E JEMPLO: Calculemos con error menor que 0,001 la raíz comprenrlida entre O y 1 (le la ecuación: 41-62] 7 x" - 5,47 :1:' + 3,33 1:! + 1,72 x - 0,15 === O ' 11lC es la [41-50], ya tratada en los §§ 41-7 Y 41 -9. Sus tituyendo x = 0,1, resulta: f(0,1)=0,0499, y como es f(O) = -0,15, la ra~ está entre O y
r
U,1 (a pl'ever, por sel'
~:~: < 0,1)
Y probablemente más próxima a 0,1
que a O. Ensayando los valores 0,06, 0.07, 0,08, resulta: f(0,06) < O, f(0,07)< O, f(0,08) > O; pondremos, pues, :f;:= 0.07 x', y aplical'emos el algoritmo de HORNER, para no tcner que m anejal' cifras demasiado al tas en la aplicación de la regla de RUFFINI, con la cual se han obtenido cada una de las líneas subsiguientes:
+
7 7 7
O 0,49 0,98 7 1.47 7 1,96 7 (2,45, (7.
- 5.470 -5,436 - 5,367 -5,264 (-5,127,
+ 3.330 + 1.720 -0,160, +2,949 +1,926 (-0,015, + 2,675 (+2,107, (+2,205.
La ecuación transformada: [ 41.63] 7 x" 2,45 x" - 6,127 x" + 2,206 x" + 2,107 x' - 0,015 :::: O, tiene pues una sola r aíz comprendida entre O y 0,01, correspondiente a la de [41-62], comprendida entre 0,07 y 0,08, Para hallar las milésimas vemos inmediatamen te que los términos de [41-63] de grado superior al primero no superan 8 =3,0,01° :::::;; 0,0003, Y que basta, por lo tanto. resol· ver la ecuación de primer gl"ado: [41-64] 2,107 x' ~ 0,015 O. cuya solución x' 0,00711. ., tiene un error menor que ~ 8, Y dado que
+
=
=
566
§ 41 -1 '
X. FORMULA PE TAYLOR. ECUACIONES
es por exceso, podremos afirmar que x:::: 0,0771 es raíz de la ecuacié 1 [41-62] con todas sus cifras exactas. Obsél'vese Que en vir tud de la l'egla de NEWTOl", sólo era necesario calcular por el alg'oritmo de HORNER los dos coeficientes, c. y C. _I, Q\ l entran en [41-64], ya que para los demás sólo interesan cotas aproximadas, con qué evaluar ~ , NOTA: El mé/ oelo cle LAGRA NGE nos da la a pl'oxímación de la raíz en fracción conthiua (Cap , V, nota 111), y es análogo 81 de HORNEU; si la
ecuación sólo tiene ulla l'l\í z entt'e
(l
y el
+1
sc pone
:t'
=a + --.!, , y la :t'
ecuación tralll;f ol' ntada tif'n t> seglU'amente una raiz, y una sola, mayo/' IJIIC
1; por sllst it\/ciones
!;c
encuentran dos enter(lS consecutivos, b y /¡
que compl'
,1' " ,
:1"
=
b
+ ~, x
+ 1,
obteniéndose otra
etc,
Resultan así lo!'. pnl'es siguientes, que COIl nllixima aproximación racional .'especto a In sencillez de los términos de la fracción apt'oxi mante (Ca p, V, nota In , ( .) com pl'enden a la ra íz buscada : (a, a
+ (u +b ~ l ' a ++) ;(a + 1);
1 l ' o. b+
c
+_ _1_1-
) ; ...
b+ c +l
11_ Cálculo de las raíces complejas de una eeuación algebraica. - a) Calculadas aprQximadamellte las r aíces r eales, si solamente hay un pal' de raíces imaginarias conj ugadas, ínmediatamente quedan determinadas su suma y su producto ( § 19-1, b. ) . L~ mitad de la suma es la par te real, y la raiz cuadrada del pr oducto es el módulo, según indica [18-8]; la parte imaginaria se calcula fácilmente por el teorema de PITÁOORAS o trigonométricamente (§ 19-1, e). Ya se dijo en el capít ulo IX, nota J, d ) cómo se efectuaba la aplicación de las tablas de los logarit mos de sumas. EJEMPLO 1: Sea la ecuación z· + 2 l I ; - J = O. PO I' l a l'egla de D ESCARTES (§ 41-!J) no puede tener l11ás que tllIl\ raíz real positiva ; evidentemente, está compren dida entre O y 1 (§ 26-2 ), Como la ecuación car ece de raíces negativas, las otra s dos son imaginarias conjugadas, y su parte l'eal está compr endida entre O y - ~ , pues al dividir por % - 0., siendo O < a < 1, }'esulta - a. como suma de 1118 raíces , E l simple examen de ulla tabla de cubos ( Cap. VII, nota lI, e) da inmediatamente, para la raíz real, %1 0,453; luego, la pllrte real de z. y z. vale - 0,226, y el módulo es ? =:;; + V I : 0,458 1,673.
=
+i Y
=
que satisfacen a la ecuación f( z ) = u(x, y) i v( ~, y) = 0, están formados por los pares de valores l'eales (x, y ) que satisfacen al par de ecuaciones u(x, y) = 0, v (x, y ) = O. Cuando se IOgl'e resolver este sistema (§ 42-4) , la ecuaclOn quedará resuelta; y en todo caso cabe dibu jar por puntos, aproximadamen te, ambas curvas, teniendo así una idea de la b) Los valol'es z =
X
+
IW:lOLUClÓN ('I~: ECUAClONEY ALGEBRAICAS
I "1 -12
667
"ltlJación de las mices, que vienen dadas como intersección t1 nmb1\s curvas. . EJEMPLO 2: Sea la ecuación de eruaelOl1es r eaJes:
~-
lrmll
+
4 z -1- 1 :::;: O, qU'l da origen 111 sis·
=+
u = :1:' - 6(1;''11 y' - 4(1; 1 v:;;: 4~ y - 4 x yf - 411 O.
=
= O.
La ecuación v == O da: 11 O, z8 - al ';l' - 1 == O, de las cuales la priPlera reduce la u O a la ecuación x' -- 4 x 1 ::; O. cuyas raíces reales tUl preciso calcular, problema previo r.l cálculo de las otras raices, o sea c~ las imaginarias, las cuales vienEon dadas por el sistema : y' :::;: x: - ;¡;-t, 4 x' + 1 + ;¡;-II O. . Como este trinomio es decreciente para x > O, Y pasa de a -, reIIUIta que esta ecuación t iene s olament~ dos r aices r eales opuestas. Con una tabla corriente de recipróeos y de cuadrados (Cap. VII, nota n, 6), resulta inmediatamente que ~ está comprendido entre 0,760 y 0,761; .lue. go, x:::;: - 0,872, puesto que el valor positivo haria I1cgativo x' - X - l . Con la misma tabla de cuadrados, resulta así el único par de raiees imaRinarias: z 0,872 ± 1,381 i.
=
+
=
+
=-
Existen métodos de 5eparación de raÍ<'es imaginarias a nálogos al de STURM para las raíces r eales ( § 41-7), que pueden estudial'Se en )11 41.' edición del Aluebm de J. REY PASTOR (citada en Cap. IV, nota III, 3). e)
12. Introducción al método de Graffe. - Los métodos de resolución dados anteriormente son r ecomendables cuando Só' (o interesa cierta raíz; pero el cálculo de todas resultaría extraordinariamente laborioso. El método de GRAFFE difiere esencialmente de los anteriofes y no exige ningún exumen previo de la ecuación, ni tanteos para la acotación de las raíce.s, ni investigación del número de raíces reales, ni separación de éstas, ni aproximaciones sucesivas. P or lo contrario, dada una ecuación ar bitraria de coeficientes reales o imaginarios, con s610 aplicarle r epetidamente una sencillísima regJa práctica, eu que únicamente intervienen las operaciones aritméticas elementales, quedan determinadas simultáneamente todas las I'aices de la ecuación, tanto reales como ímagúmrias, con aproximación más que suficiente; y ésta puede todavía mejorarse si se aplica la r egla de NEWTON (§ 41-10) a los valores así calculados. La idea f undamental del método reside en que en virtud de las relaciones [18-9] obtenidas en el § 18·2, Y que ligan las raíces y los coeficientes de una ecuación, si una raÍZ predomina de tal modo sobre las demás que éstas son despreciables respecto de el1a dentro de un cierto grado de aproximación, el valor de ésta viene dado aproximadamente por - ad ao ; al ->- - -
=
Xl
+ X~ + ...... + x"',
ao'
Despr~iables Análogamente, el producto de las dos raíces mayores es aproximadsll"PTlh:' q·~/fto :
568
§ 41 -12
X. FÓRMUI,A DE TAYLOR. ECUACIO NES
a.;.
aO
= Xl X2
+ Xl Xs + ... .. .. ... +
X n -1
al",
~---------v--------~'
Despreciables
y así sucesivamente. Dada una ecuación cualquiera de raíces desiguales, por muy próximas que estén Ullas de otras, si f ormamos la ecuación cuyas raíces sean las potencias v de aquéllas, el cociente, Xfl'!:);J", de dos cualesquiera de ellas, tales que Ix.I
I
a ser tan pequeño como se quiera, por próximo que I :; esté al; es decir, será Xi" despreciable respecto de Xi", dentro del orden de apr oximación prefijado. Para obtener ecuaciones cuyas r aíces sean potencias muy elevadas de las raíces de la ecuación: [ 4l~65] ao x" + al X1l-1 a,,-1 X + a n = 0, basta dar una regla para el exponente v = 2, pues aplicándola repetidamente obtendremos potencias de exponentes 4, 8, 16, 32, ... . . Formemos la ecuación cuyas r afees sean las de [41-65] cambiadas de signo: [41-66] ao x" - a,1 x....1 a,2 XYl-2 - + . .. -+ an -1 X :¡:; a" = O. Multiplicando ambos polinomios, la ecuación: [41-67] Ao x 2n - Al x 2 (n-l) + ... ~ A'H x 2 A" = O, en que sólo figuran potencias pares de x, tiene como raÍCes las de [41-65] y [41-66]. Si ponemos X = - x\ resulta: [41-68] Ao X" A l X'Z-l + A'l. Xn-2 + ... An-1 X A.. = 0, ecuación cuyas rafees son los cua.d'rados de las míces de [41-65] cambiados de sigilo. Los coeficientes de la ecuación transformada [41·68], son: [41-69] Ao=a()2; A ¡=a12 - 2 aOa!! A 2 =a:?-2 alas+2 a,Oa4 ...... , A n-1 = « ,._12 - 2 a,,-2 a,,; Aro = a,,2; es decir : Los coeficientes de la, ecuación que tiene por raíces a los cuadrados de las raíces de ot1'a ecuación, cambia.dos de signo, se obtienen elevando al cuadrado cada coeficiente de ésta" y restándole y sumándole, alternativamente, los duplos de los productos de cada dos coeficientes simétricos respecto del mismo. Como los coeficientes de las eeuaciones transformadas sucesivas crecen o decrecen muy rápidamente, sólo se calculan aproximadamente, tomando por ejemplo de cada uno sus h primeras cifras significativas; así, cualquier a sea la cuantía del error absoluto, el errO?' relativo (cap. V, not a n, e), será menor que 1/1011-1. . Por ejemplo, tomando cinco cifr as significativBs en vez de 2078488487.45, consjderaremos 2,0734 . 109 , y en vez de
+ ... +
+
...j._
+
+
+
569
X. FORMULA DE TAYLOR. EClJAClONJi:S
". - l2
O.()O01 7284259. consideraremos 1.7284 . 10-', siempre con error l.ativo menor que 104 • EJEMPLO 1: Veamos cómo se procede en el caso de una ecuación de 4\' "rado de coeficientes reales o imaginal'ios, con sus cuatro raíces reaItll el ímaginarias, supuestas de módulos desiguales.
I ~l
Sea k " -70]
< 1 tal que: l::!.L IXl l < k.,
\
> I x. I > I x. I > ~Ix.1 < k •
~ I x.1 < k .
Formando la ecuación transformada: 141-711 A.X· + A.X· + A. X' + A, X .lfI exponente ", cuyas raíces son:
X, :::: -
[41-72]
X. = -
" Xl;
l.
I~.
+
X. = -
" x.;
<
(k
A.
1).
O,
X. = -
" X,;
V x •.
.. deduce:
I X.I
TXJ' <
[41-73]
.. I X, I le , lx.r
,,1 X. I
< le 'TY.T <
"
k ,
y para 11 suficientemente g rande, será k" tan pequeño como se quiera. y por lo tanto se verifican las igualdades asintóticas siguientes:
-
~ A.
= x, + X. + X. +- X. -
Ao +A: =
XIX, ¡...
X~X.
- -~: =
X.X.X.
+
+ ...
~
x", X,x,.
[41-74]
X,X, X. + , .. - X, X.x..
A. + ¡;; = x. X. X, X .. donde ~ indica equivalencia de infinitos (si IXI I > 1). o de infinitésimo8 (si I XI I < 1); es decir, en ambos casos su cociente tiende a 1 para • ~ 00 (§ 37-2, c y § 24-3, c). De [41-72] y [41-74] obtenemos para raíces de [4.1-65]: 11
[41-75]
XI
JO
=~, =.Jf., x.
JO
x.
=
..Jli:.
JO
:ro
==
~.
Los errores cometidos en [41-74] son menores que:
1x. + x. + x. I < 3 I X.I ; I X, x. + ... + X. x. I < 5 I Xl x.. 1; , I Xl X. X. + X, X. X. + x. X, X.¡ < 3 I LX. X. 1, a los que, por grandes que sean, corresponderán errores relativos menorell que:
8 IXII
l x../
<
15 I Xl X. I 'ILX.I
3 k'.
<
8 I L X. X. I • IX. X. X.,
5 kV.
<
3 k"
•
)" tomando " Buficientemente grande, estos enores relativos serAn inferio-
res a la cota de error prefijada.
TABLILLA DE CÁLCULOS CORRESPONDiE NTES AL EJE MPLO
a.
2" 1)
2)
a.,
11..
+ 2(1)
+ 4 (2)
+ 3,5
-1,5 (1)
+ 1,225(1) + 0,6 (1)
+ 2,25 (2) + 3,50(2)
+ 1,825(1)
+ 5,75(2)
a.
DEL
§ 41·12
e,
~(-l)· a ..
~ a.
2
s,
(~)
S,( ** )
c.
6,13 (1)
+ 3,17(1)
-1,9432(3)
+3,50(2)
-2,50 (2)
- 8,7:;1'-)
+2,5(3)
+3 ,0933(3)
~ 1,94 32(3)
-6,0109(6)
+2 ,825(5)
- 8,75(4)
-2,412 (10)
+ 6,25(6)
+ 6,4896(6)
-6,0109(6)
-3,9008(13) + 3,2706(10)
-2,472( 10) -8,0845 rto)
+ 8,2431 (20)
- 8,0845 (20) - 6,6642 (-41,
-5,0(1)
-
+ 3,3306(2) + 3,3062(5) 4600 9125 4)
+ 1,6(3)
+ 2,8706(2) + 2,3937 (5)
+ 8,2403(4) + 5,7297(10) 765
8)
+ 2,56(6)
-
3588
+ 8,1638(4) + 5,3709 (10) + 3,9062 (13) + 3,91157 ( 13)
- 3,9008 (13) -
1,5258(27)
+ 6,6648(9) + 2,884'6(21) 2
16)
+ 6,5536 (12) + 6,6646(9) + 2,8783 (21) + 1,5258 (27)
(") s, ::
~
63
¡a. __ . lO"' , ~
JI
-1,5258 (27) JI
( U ) S,
¡ (-l )"-"'a.-_ .10 "',Z
-{j,6642 (4)
§ 41 -12
1571
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
NOTA l. Tiene gran importancia pI'áctica llevar un control de los cálculos efectuados. Según ha mostrado J. P. LoMBARDI (Rev. Fae. Ci. Fisicomat. La Plata, 1948, IV, n Q 2, págs. 195-197), si en [41-66], [41-66] Y [ 41-67] Be pone ~ = 1, resulta (e.) (¡c .. ) (¡(-l)"a .. ) ::;; :I.(-l)"A ... Como en las sucesivas transformadas, los coeficiente.s se alejan entre sí de valor muy rápidamente, este pr ocedimiento sólo controla una mitad triangulal' de la tabla de coeficientes, por ejemplo la superior derecha. JO
Si en la transfortnada con potencia de exponente 2 8ustituímos en
,
[41-65] Y [41-66] x por 102 0 ...... 10"'·2
•Y
,
cada término a.-.. x" se convierte en
r es ultará en
[41-68] sustituido
ytl
(-1 ) t7tA"_~ .1011'1·2
de manera que: p
(C,) (¡a.. ...
tom·. ) (~{-1)n-ma._ •. 101I'I·.
~
)
= 1.(-1) .....mA._... I0
pd
11l • 2
Cada término de las sumas antedores se calcula r ápidamente co· JI
rriendo ]a coma múltiplos sucesivos de 2 al ir de derecha a izquierda. En el C81lO de raíces todas reales desigua les, e.'lte procedimiento permite C
0.2 ~' + S.5 x" - 15 r: - 50 = O. Véase en la pág. 570 el CÁlculo de la!; t ranstormaciones sucesivas para ":; 0,1, 2, 3, 4 con 18s columnas de control conespondientes 11. las i.otaldades (Cl y (C:). encerrando entre pa réntesis los exponentes de las potencias de 10 llaca das como f actores. Nos detenemos cuando en cada coeficiente 71.0 influyen 110, 108 contit1UOI/; 108 coef iciente!! de las nuevas transformadas serían los cuadrados de éstos, y por lo tanto obtenemos la misma exactitud si nos detenemos en esta transformada que prosiguiendo el cálculo:
lit A. -; 12,816480 l~
A\= 9,823774
IIr A~::: 21,4591 Se
-=
19 xl" =: 21,007294 ; 19 %J = 1,312956; 19:t:.":;;:1l,685362; IgXt = O,7272l0; 19 X .IO = 6,724J162; Jg::l:. == 0,357773;
"'1= :1: 20,556
:1:.=± :1:,
=
5,8359 ± 2,2791
11{ A. 27,185498 '1 como su suma ha de ser p recisamente - 17,5, los signos son, con toda .e~ridad, éstos: :1:. 20,566, ::.:. = + 6,3859, 1.1:. == - 2,2791..
=-
NOTA 2. En la obra LeCCÚlnell de Álgebra (4" ed.), de J. REY PASTOR (citada en Cap. l V, nota IU-8), puede completarse el estudio de este método, en particular en el caBO en que l a ecuación t iene grupos de ralcea i(l'Ualos en valor absoluto, dentro del orden de a proximación pref ijado }' en el que entonces aparece una f ragmentación de la ecuación transformada, tal que cada fragmento nos dé uno de aquellos grupos de raices. 8610 añadi remos que este método de GRAFFE es objeto cada dia de nuClvoa perfeccionamientos, y es, junto con los nomográficos, el preferidO en loe pbinetea de cálculo. Los métodos gráficns, como el de LlLL. y nomográfi cos (notas IV y V-7) Bon convenientell cuando s610 8e requiere una aproximación grosera, y .irvllJl tambí6" para contr olar los numéricolI lIusuptiblea de' deslices im-
572
x.
FÓRMULA DE TAYLOR.
ECUACIONES
§ 41 -12
portantes; llero modernamente, con el auxilio de máquinas de calcular y tablas aritméticas, se prefieren éstos, puesto que permiten obtener siem· pre la aproximación deseada. Sin embargo, en la aplicación de un algo· ritmo matemático, el ingeniero no deb~ olvidar nunca que no sólo es ocioso, sino también ridículo y contraproducente, entretenerse en conseguir 811roximaciones sU{leriores a las que consientan los errorcs inherentes a los datos de que se parta. EJERCICIOS 1. a) Hallar el limite para % ~ i de VJ.l == Z + z + 1 + i (sen (i;-iz-2»/(iz-iz-2) y de w. (~ -1- ;')/ lzl'; b) Lo mismo para
=
z~o .
2. ¿Tienen derivada las funciones del ejercicio anterior en los puntos indicados? ¿Son analíticas? 3. Si f(x+iy) = xy(x + iy)'/(x'+V'), f(O)=O, probar que (f(h) - f(O» /11, ~ O, cuando h ~ O sobre un camino rectilíneo, pero no cuando h ~ O de manera arbitraria. ¿Cuál es el llmite para h=t + i ~~O! (t real). 4. ¿Qué ángulo forman los transformados de los semiejes positivos + x, + ti por la función w == :::'? ¿Contradice este resultado el de § 41-1, cY 5. Orden de multiplicidad de las raices - 2 Y v'S en la ecuación re" 6 x" + 9 x' - 10 x' - 36 :t - 24 = O. 6. Si la ecuacIón f(x) = O tiene todas sus raices reales y distintas, el polinomio (f'(x»' - f(x) .f"(:t) se conserva positivo para todo valor real de x. 7. La condición necesaria y suficiente para que un polinomio de grao do n sea potencia n-ésima exacta, es su divisibilidad por su derivada en el campo de racionalidad de sus coeficientes. 8. Hallar las raices múltiples de a:" - 6 x' + 5 :t" + 16 x' - 12 x-16=0 y resolverla . 9. Calcular el número de vueltas alrededor del origen de la curva ce· rrada _ t,' -1 . _ t· + 3f"-5t" - t,:I-~. (-1 < t < 1)
+
x_ t" +1'
1/-
t"+t
'
=
=
.
10. Por el método de STURM, hallar las partes enteras de las raíces reales de la ~cuación: f(x) == x'- 20 x'- 62 x· + 188 x - lOO = O. 11. Aplicar los teoremas de HARRIOT-DESCARTEB y BUDAN-FOURIER 8 la ecuación del ejércicio anterior. 12. Efectual' con detalles las demostraciones propuestas en § 41-3, d. 13. Probar, por el método de HORNER, Que: x'-l (x + 1)'- 4(x + 1)" + 6(x + 1)8- 4«(1; + 1). 14. Resolver completamente la ecuación: 48 x· - 340 x' - 716 'X. -1- 7063 x' - 5899 x' - 20742 x· + 33312 x' - 7776 re - 4 320 = O. 15. Hallar las raíces imaginarias de la ecuación z"+z-20=0. ¿Cuál es su raiz real? 16. Calcular, por el miltodo de GRAFFE, las eU,a tro raíces reales de x' - 56 x· + 490 x" + 11 112 x - 1174.95 O. Perfeccionar los resulta· dos mediante la regla de NEWTON-HoRNER.
=
=
•
~ l
573
ELIMI NACIÓN ALGEBRAICA
~
42. ELIMINACIÓN ALGEBRAICA
1. Eliminación: método del máximo común divisor. - Hedicho (§ 41-2, d) que u es función algeb'raica de las varialJlcM X. y, ... , t, si la correspondencia está expresada por una t.ouaci6n P( x,y, ... ,t;~t)=O, cuyo primer miembro es un poli nomio de variables x, y, ... , t, u. Se supone, en general, que '-nnto los coeficientes del polinomio como las val'Íables pueden tomar valores complejos. Las ecuaciones de un sistema (§ 15-2, a) se llaman algebraicas si vienen expresadas por ]a anulación de polinomios en (UB incógnitas con coeficientes complejos cualesquiera, como hemos visto ya (§ 18-1) para el caso de una variable. Se llama operación algebraica geneml a ]a resolución de una ecuación algebraica, con resultado en general multívoco (§ 41-2, d), Y no dable en general (Cap. IV, nota n, a) mediante una expresión algebraica (§ 15.;.1, a), es decir, por una función algeb'raica explícita (§ 23-8) de los coeficientes de la ecuación. Sin embargo, vamos a ver aquí que mediante operaciones algebraicas en el sentido general dicho, la resolución de un sistema cualquiera de ecuaciones algebraicas o la construcción de una función algebraica de una o más variables puede siempre efectuarse. Recordemos (§ 15-3) que una ecuación es consecuencia de otras que forman un sistema con cualquier número de incógnitas, si se satisface para todo conjunto de valores de las incógnitas que satisfagan al sistema. Se dice que una función R de los coeficientes de un sistema de ecuaciones es su 'resultante, si [42-1] R=O es la condición necesaria, y s~lficiente para, que el sistema tenga solución, es decir, para que el sistema sea compatible. A ella suele llegarse por eliminación de todas las incógnitas del sistema: Elim'inar una incógnita entre dos o má,s ecuaciones es IIlOS
hallar una, ecuación que no contiene esta incógnita y se satisface para todas las soluciones del sistema. EJEMPLO: En el sistema Cl< X + (q = 0, br"e + b. O, despejando x de una ecuación y reemplazando en la otra, resulta: a,bl - t.l".b. O. La resultante es a.b1 - I.hb . y su anulación es necesaria y suficiente para que el sistema tenga solución, que es x a,! a. b./b•.
=
=
=
=-
El problema general de la eliminación (§ 42-4) se r educe al caso más sencillo: eliminar x entre dos ecuaciones: f(x) = 0, [42-2] g (x) = O. es decir, hallar su resultante [42-1].
574
§ 42 -]
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
Las raíces comunes a dos polinomios son las de su m.c.d. y con igual orden de multiplicidad que en éste. Por consiguien-
te, si los polinomios f (x) y g(x) tienen comunes las rafees a (ordencx), b (ordenfi), ... , l (ordenA), el m. c.d. (§ 17-3), salvo un factor constante arbitrario, es: [42-3] D(x) = (x-a)a (x-b)/3 ... (x-l»)... El cálculo de las raíces comunes a las dos ecuaciones [42-2] se reduce a la resolución de una ecuación única: [42-4] D(x) = O, obteniéndose D(x) por operaciones racionales, al aplicar a f(x) y g(x) el algoritmo del m,c.d. Vemos entonces que la condición necesaria y suficiente para Que las ecuaciones .[42-2] tengan una solución común es que D (x) sea por ]0 menos de primer grado. Por lo tanto, la resultante de [42-2] es el último resto constante que se obtiene al aplicar el algoritmo de EUCLIDES para hallar el m. c. d. por divisiones sucesivas (§ 17-3, e). Vemos, también, que la condición necesaria y suficiente para que las dos ecuaciones [42-2] tengan r raíces comunes, es que el m. c. d. sea de grado r, es decir, que el resto de grado ')' - 1 sea idénticamente nulo y no lo sea el de grado r. Como una raíz múltiple de orden p de un polinomio es múltiple de orden p - 1 de la derivada (§ 41-2 a), tendremos que la condición necesaria y suficiente para que f (x) = O tenga
raíces múltiples, es que sea nula la resultante de f(x) = O, f'(x) = O. Otra condición puede verse en nota 111, e.
[42-5]
2. Método de eliminación de Euler. - a) Para hallar en forma de determinante la resultante del sistema:
+ +
+ + .,. +
+ +
l1l 1 aox'" alx - + ... a",-t X a m = O, n g n( X ) = bo:r. b¡X"-l bn-tx b" = O. demos previamente el siguiente lema: La condici6n necesaria y suficie·nte ·para que los polinomios f m Y gn de gmdos m y 11 tenga./t por lo m e1WS una raíz común, es que existan dos polinomio8 F m - t Y Gn - 1 de grados m - 1 Y n - 1 que satisfagan a la identidad [42-7J f m Gn- 1 = gn F m-l'
[42-6]
{
f",(X)
=
En efecto, si fno y g" tien en común un divisor d de primer grado, será f", === F.'-l . d Y g" G" .... . d, siendo los cocientes F m-l y Gn - 1 de grados m - 1 Y n - 1; de catas identidades resulta [42-7]. Recíprocamente, sj h ay dos polinomios que satisfacen [42-7], todos los m factores lineales de fn, dividen al segundo miembro de [42-7), Y suprimidos los que dividan a F m-l ( a lo sumo m - l), queda por lo menos uno que debe dividir a gm ; luego, f m y gQ tienen un wvisor común, y por lo tanto, una raíz común.
==
I d2 .2
576
ELl t.UNAC16N ALGEBRAICA
Suponiendo m = 3. n = 2, la identidad [42-7], o sea (aox' alx2 ~x+ as) • (Pox (3l)
+
+ = + uivale a l sistema lineal homogéneo de m + n (3 + 2) ecua{3o, PI (§ 16-1, b) : ciones con m + 11. (8 + 2) incógnitas, «o, (42-8]
El
(boZ2
+ + blx +
b2 )
•
(aoX 2
+
alX
(2).
al, a:¡,
Coef. de x4 ) [42-9J
ao (3o
+ ao Pl a.¿ (3o + al /31
al
"
XII)
"
X2)
"
X)
as Po +~ PI
"Xo)
aS {JI
(Jo
= bo ao = bl eto b 2 ao =
+ bo
al
+ bl al + bo "2 b 2 + b a2 al
-=
l
b 2 a2
de donde, la condición necesaria y suficiente para que exista un sistema de valores /30' {311 ao, ah a2, no todos nulos (§ 15-6), ea la anulación del determinante (cambiando filas por columnas) : ao al O ao R "", bo b1 O bo
[42-10]
O
O
al) a1
a3 O a2
as
b2 O
O
bl
b2
ba
b1
O b2
•
+
E n el caso general, a los 1ft 1 coeficientes de la ecuaci6n de grado 1n corresponden n filas de [42-10], Y a los n 1 de la de grado n corresponden m filas del determinante [42-10] de orden m n.
+
+
Al mismo resultado se llega mediante el ?nétodo dialítico de SYLVESTEIl, que consiate en eliminar x-' ·->, ~"" '=. ...• ~', x. 1 del sistema homogé· neo en los coeficientes (§ 15-6) que se obtiene al multiplicar en [42-6] la primera por :1:"-\ Q;" ••, •••• x, 1, y la segunda IJor x"", x"-s, ... X, 1. I
Así obtenemos que la condición n ecesaria y suficiente pa-
ra que el sistema [42-6] tenga una raiz común, es la anulación de la resultante [42-10]: R = o. El determinante [42-10] se llama resultante de EULER o de SYLVESTER o de CAYLEY, porque a ella negaron los tres por distintos caminos. Algunos autores modernos (A. C. AITKEN, E. T. WHITTAKER, H. W. TURNBULL) la llaman también bigra.
diente.
'
b) Forma factorial de la resultante *, Descompuestos factorial· mente (§ 18-2) los polinomios [42.6] tenemos:
[42-11]
f(x) {
g(x)
==
a.(x-X, ) (x-X,) (x->...).
=
b.(x - I'.) (x- lit).
• E'. T. WtlITTAKEIC: Pro<. Edin . lIfath. Sor, (1) JO. p.
6~-63
(1922),
576
§ 42 -2
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
Para que ambos polinomios se anulen simultáneamente, es necesario y suficiente que una de las Al coincida con una de las p.¡, es decir, que Be anule la expresión: [42-12] R, (1'1- Al) (¡.t, - Aa) (¡.t, - As) (p.. - A,) (¡.t. - A,) f¡.t, - Aa). Si designamos por A(a, b, c, ... , h, k) el determinante de VANDEKMONDE (§ 13-7 ,b), será: (42,13] Rt ___~ (A., A" Aa, P" JI.) ~ (A], A2 , As) • ~ (p." ¡.t.) •
=
=
Designando por 11= f(PI), U¡ g(A¡)' de [42-12] deducimos: [42,14] bo·.a.f.R. = b.·J,.f. == o.rU,.U•• g •. Efectuemos el siguiente pl'oducto de filas por columnas (§ 13-6): [42-16]
a. al O
b. O O
u. b, b, O
a. a. O a, a. a. b. O O b, b.
b.
b.
O b,
r .
. ",.
As'
A,'
PI'
¡.t,'
A"
Aa"
¡.tl·
¡J.,'
P,'
/41
1
)..,
A.
Aas A.
1
1
1
"'/
Po' Po 1
t, p.,t.
O O
O O
U O
¡.t,
/.
f.
'-.1' O,
A.'U. A. y, g.
Al y. A. g.
O
g.
O
O O O
=
"1 g. 01
O
Si en [42-15] expresamos el primer miembro mediante [42-10] y [42-13], mientras desarrollamos el segundo miembro por la regla de LAPLACE (§ 13-5, b ), obtenemos: R,R l .A(Al, A" Aa) ,il.(¡.t" p,) = - fl·f.· !:.. (p." Po) .0,.Us,g.,Ap." A.,"'.), y teniendo en cuenta [42-14], deducimos que en general será: [42-16] R == (-1 ) "" ". ao" ,bo'" ,R,. pOI' lo que resultan equivalentes las resultantes R y Rl. o) El lema [42-7] puede generalizarse en la siguiente forma: Es condición necesaria y suficiente, para que las ecuaciones [42-6] i m = O, gn == O tengan por lo menos r ?'aíces comunes, que existan d08 polinomios
de grado, m-r, n-r, ta-les que: [42-17]
==
f m Gn- r gn F rn-r. En efecto, si f m y g~ tienen un divisor común, dr, de grado r, será fm=F",-r.dr, gu= Gn-r.d r, de donde se dedllC€ [42-17], ya que los cocientes F Ol - r y Gn - r serán de grados 1n-r y '/'l.-7'. Recíprocamente, si hay dos polinomios Fm-r y G n-r que satisfacen [42-17], cada uno de los m factores lineales de f Ol divide al segundo miembro de [42-17J, y suprimidos los que dividen a F mor (a lo sumo m - r), quedan por lo menos T cuyo producto d r+b , de grado r+ h ';.. r, (h';.. O) será divisor de gn. Además, vemos que: L a condición necesaria y suficiente para que las dos
ecuacicrncs [42-6) tengan precisam,ente r raíces comunes, es que existan dos polinomio8 que 8atisfagan a la identidad [42-17) y no existan polinomios de 'menor U1'ado que cwmplan tal condieión. d) Si las dos ecuaciones [42-6) admiten precisamente r raíces comu, nes, su m. c. d. D ( x ) es de grado r (§ 42-1), y podremos escl'Íbir: [42-18] f",(x) == F,.-r,D; gn(X) == G.-r.D: donde: [42-19] { F m o r == ~o c;;m-r + ~1 x .. -r-! + ." + ~ .. -r, ~c =t= O:
G"-r .=: 'lJf:¡ xn-,. + 't]! X"-,.-1 + ~ ~. + 7]n-TJ 1]0 =f= O. Sustituyendo [42-18] en [42-7J, y simplificando, queda F m-r' G.-t G"-r. F .. -1, por lo cual: F m-r divide a F "' -1 Y G,- r divide a GO-l, al ser F m-' y G~-, primos entre sí (§ 17-3, d, Y e.). Por lo tanto, es:
==
I ••
-2
ELIMI NACIÓN ALGEIlJlAICA
577
+ e, x'-o+ .., + CH),
11-'+ !!lID'" -1-- .. , + a~-l == Ho xm-t + '" + ~m-,') .(Co:e , ...... + /1.~. + .. , + {J..-. == ('l. x ..- + ... + '1,,-, ) . (Co xt-l + e, x'-J + ..' + c,_,) , H
Q,
t
1..\4¡lItlficando:
{'I-ZO]
{
~=~~
{~= ~~
a, ::: c. (. + C, E., ..... ,. ,. . .. .. . . . a"-l =
. .. .
= + .............. .. . + ... +
{J,
e" 'h
C, '70
,
,.
Ce E.."" + e, ~m .... + ... + Cr -, ~"'-"
{3,,->
=
C.7}a-l
Cr-l
'1"-"
".mio eon nulos los coeficientes El y '11 de índice i> m - r y i > '11, - r, ro.pectivamente. J AlS r primeras igualdades [42-20], tomadas como ecuaciones en Co, 0.. • • • , C.-l, f orman un sistema al cual es aplicable la regla de CRAMER (1116-4), pues su determinante es E.r =1= O; entonces, en el sistema de m + 7! ecuaciones homogéneas [42-9] con m + n incógnitas ao, a" ,.', Um-h "., P" .,., f3'-l' que obtuvimos igualando coeficientes en [42-7], podemos I.nmar las 1>0, al, ... , a,_, como incógnitas no-principales, y dando a éstas VAloree a rbitrarios, las '1' pI'imeras igualdades [42-20] determinan unívoc:amente valores de Ca, eJ, . .. , C'-" que sustituidos en las ?n + n - r reslIlntes igualdades [42-20], dan los valores ya completamente determinadOIl de las otras incógnitas a r , , •• , a .. _" {3o, f3l, ... , 13.-1, tomadas como l· rinclpales, . Por lo t anto (§ 15-5, b), la característica de la matriz que forma la resultante de E ULER [42-10] es p1'ecisamen t e m + n - r. Como en vez " Q a., "., Q r-', podemos suponer arbitrari os f3., 13, • • " , f3r-l (ya que tamhién es 'ti: =1= O), Y desdeñar las r lJrimer'l.s ecuaciones de las m + n de [42-9], un menOl' }lrincipal de la resultante de EULER de caract er ística tI!. ti. l' es siempre el obtenido suprimiendo las r primeras f ilas y r Jlrimeras columnas de [42-10]. En r esumen: L a oondici6n necesaria y sufi.ciente para que el m, c. d. de dos polinomios de 01'a40s m 11 n sea de grado " (o pa. ,.a que ten,qan precisamente t' ronces comunes), es q'ue la. 1'esuUante ele EULER [4.2-10] t.enga [{1, carac· te1"Ística m 1'1. 1', obteniéndose un menor p1-in cipal no nulo po,' supresión de las r p1'imeras filas y r primeras columnas. NOTA: Obsérvese que si escribimos explícitamente [42-17], teniendo en cuenta las [42·6J y [42-19], es: [42-21] (a. lI!'" + (Z,X"'- l + .. ' am). (1JoX n -. + ... + '1"-.) == (/Jox" + b1Xl>-l + .. . + b.). (Eox. m - . + ... + ~m-. ), análoga a la [42-8], Y que equivale a un sistema de m 1'1. - r + 1 ecua· (liones homogimt:as en m n - 2 r + 2 incógnitas E., Et, ,... E.. -r, -¡., '110 , . . . 7].-r no todas nulas (E.:;io O, no '1= O), cuya matriz, de característica no euperior a ?n. -+ '11, ~ 2 r 1 (§ 15-6, a), se obtiene suprimiendo en la resultante de EULER [42-1 0] las '1'-1 primeras columnas y las filas 11)., 2~, . ... (r_1)e., (n+1) a, (1'1.+2)1\ .. , (1'1. +1' - 1)11-, pues basta su· Iloner , para pasar de [42-8] a [42-21]. que es: 0, a,.::::: El, ... , (lm-1 ~m-,..; no == a , = .. , a.-. =: O; a r -l :::: to P. :::: {J, = ,., = {3, •• == O; f3'-1 ::: 'le =F 0, f3r == '1" "., f3n-1 := '1].-. , Aunque la matriz así obtenida tenga .cRl'acterística no superior a m +n - 2r+l, la de R para ?,> t es mayor, pues vale m+n-r> > m + 7! - 2 r + 1 si r 1.
+
+
+
==
+.
+
+
*'
=
=
>
Los polinomios f(x) = 4x~ + 2 x' - 5 x + 2 Y g(x) = :::: 2 x' - 4 x· - 5:.;' 1 tienen el m. c. d. D == 2 x' 2 x - 1. Si formamos la l'esultante de E1JLER [42-10], los detel'minantes formados por ésta, o suprimiendo en ella la primera fila y la primera columna. o las dos primeras filas y las dos primeras columnas, son nulos, mientras que es distinto de cero el formado por las siete últimas filas y las siete últí· EJEMPLO:
+
+
578
X. FÓRM ULA DE TAYLOR. ECUACIONES
mas columnas. Sin embargo, la matriz formada por las filas 31)., 4IJ., l
8~, 9~t
+
3. Método de eliminación de Bézout. - Dadas dos "''''~IA''ILU. dones del nrlsmo grado m (suponiendo m = 3 para fijar jor las ideas) : f(X)
[42-22]
{
g (x)
=""
acx3
líE;
boxs
+ alx' + a~x + a. = + b x + b x + ba = 1
2
2
O,
O,
E. BÉzOU'l' dió en 1779 un método que da la resultante de bas en forma de determinante de orden m (en nuestro caso, 3) Multipliquemos sucesivamente las dos ecuaciones [42-22] por go=bo gt=box+b 1 g2 = box~ b¡x
+
+b
2
y y
fo == ao respectivamente, f 1 = aox + al,
y
f 2 ~ aox~
+
alX
+
U'2,
y restemos cada vez los productos así formados. Entonces resulta:
f Og [42-231 { flg f!!g -
donde
gof ~ lo,o bll x 2 + lao b2 1x g lf == lao b:!1 (Iao bal lal b:!/) g2f !ao b3 1xlal bslx
x: +
+
+
=
I ai b j I representa
el determinante
+ lo,o b 1 = 0, x+ lal bsl = 0, + la2 bal = 0,
l ~:~:
3
l·
El sistema [42-23] se satisface para toda solución del sistema [42-22], Y por lo tanto. si existe solución común. x = a, de [42-22], estas tres ecuaciones [42-23]. consideradas como lineales en x, x", tienen solución a, a 2 • y por lo tanto (§ 15-5) es nulo el determinante, llamado bezoutiano: lo,o bl
[42-24]
Rb
I
= i ao 62 1 I ao ba I
I ao b2 1 I ao b3 I 1 al b2 I al ba ¡
+
I
I 0,0 bs I I al b a :
•
I o,:z b3 1
El caso general para m cualquiera se trata en f orma análoga. Si las ecuaciones son de grado distinto, m > n, para formar el sistema [42-23] se ut iliza la de menor grado multiplicada por 1, x, ... , ,I:m-D-l, dando las otras n ecuaciones de dicho sistema el mismo método anterior , previamente igualados los grados de ambas ecuaciones, multiplicando la de menor grado por J,tn-n.
679
J::WMINACIÓN ALGtmltAlCA
JEMI'W:
El bezout iano del sistema : {ao~'
111
b. ~
+ a,.:¡;1 + 4.W + + b, x + b.
a- x+ a.. == O. ::: O
mil In forma: ,.. .10]
Rb
laobd = I ao b. 1
Iao b, I - a. ha + I a, b. , b,
bo O
b.
a.b.
-
-a.bo-a,b. b, b.
-
-
a.h.
a.b. O b.
VeAmos ahora. que la anulación del determinante bezoutia'42-24] es también suficiente para la existencia de ra[ces (HlIUnes de las ecuaciones [42-22], Y por lo tanto es la 'resul'(lJ,tc de dicho sistema (§ 42-1). 1111
Multiplicando las identidades [42-23] por '. , , no todos nulos, se obtiene por adición: [4::-27] F.g - G, f == Q,:l:" + Q.x
' F. { G. ~
f a fe
go to
cualesquiera. l"
+ Q.,
+ f. t. + f. ~.• + g, t, +" g.~,
ndemás:
1"2-28)
,
== ==
JlÚmel'OS
Q. { Q2
= I ao b. I t o +
= I a. bol lo +
(1
I a. b. , t. a. ha! + la. b.1> t i ! a. b~ I t.
+ I ao b. I t.
+ I a, b.1 t.
Q. ::; I ao b. I to + + I al b. J t. Por hipótesis es nulo el determinante [42-24J. por lo cual es posible (§ 16-6, b) hanar un sistema de valores, no tvdos nulos, de to, tt, t. que nllulen Q., Q., Q. en [42-28]. Aplicados a [42.27j, deducin\os fG. ¡;:::; g-F.. ~l1f iciente por el lema [42-7] para que las ecuaciones [42-22] tengan una rai1. común.
La resultante bezoutiana tiene la ventaja, sobre la de EULER, ¡le venir expresada PDr un d~terminante de ol'den inferior. NOTAS : 1. I ndiquemos los menores princip~lel! de R b == Rm mediante R.. R>. • .. , Rh . . . , Rm, expresndos esquemáticamente as! :
'~ [42-29]
-_....._--"'... Rm-¡
580
§ 42
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
es decir, R p es el menor formado por los p primeras filas y p primer columnas de Rt. . Entonces, p()r un método completamente allálogo al vis anter iormente, se demuestra que: La. condic'ián lI"eceBaria y 8u fic-iente pILra, que las dos eC1w,cumes [42-22 tengan 1Jrecisamenu r raíces comunes, es que sean nulos los r primer menores RO' , R"-l. . .. , R .. -m. 11 n o sea nulo el (r + 1) -ésimo 'lnen R .. - r de la resultante bezout'Íana R. del siste·m.a [42-22]. 2. Si la resultante de EULER (§ 42-2, a ) del sistema [42-22] se mulo tiplica (colum nas por f ilas) llor el determinante 1 O
O O
K:;:: lIe
O 1
O O 1 O O -be
O -bo -bl 110 -b. - b,
O O
O
O
O O
O O
O O
O
ao
(}
ao
al
a"
a,
(( ,
:=::: -
Uu,1
obtiene el determinante
R.K
=:;;
tI.,
a,
O O
ao a,
O O
O
""
a. a,
a.
O O (lo
O
O
a.
(Ji
(lo
O O O
O
laob, l
I no b. 1
O
la. 1>. 1
I Ch b& I
I no b.1 O l a. b.1 I (lo b. 1 + I a. bol l a, b, I
=
(4' .
R."
I no b.\
lo que prueba que tíetlEm valores opuestos las resultan tes de EULER y de B itzouT (11t> 1) .
4. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. . Teorema general de Bézout. - a) Resolver un sistema de dos ecuaciones de grados m y n con dos incógnitas. [ 42-30]
{ f(X ,Y ) : aox: + ady) x:-~1 + . .• + aro (y) : : O, g(x, y) ,= bo.'r. + b 1 (y)x + ... + b" (y) - 0,
donde a. (y ), que s en y:
b~ (y )
indican polinomios de grado no mayor
r42-311 a o =ac,Gl(Y ) = alY+ah a2{Y' =a2y2 + cl2Y+ a"2, •• . , { bu = {Ju, bdY) = ~lY + {J' h b2 (y) = {J2Y~ [3'2Y {J"~, ..• ,
+
+
es hallar todos 108 pares de valores (x, y ) que satisfacen a ambas. Cada una de estas ecuaciones [42-30] r epresenta una curva algebraica (§ 23-8), cuyo orden se define por el grado m y n, respectivamente, de dichas ecuaciones en ambas varia~ bIes. Estos pares de valores que satisfacen a las dos ecuaciones son, Jlor lo tanto, las coor denadas de los puntos comunes a ambas curvas. Por consiguiente, el problema. de ha.lla?" la inte1'secc'ión de dos curvas algebraicas 11 el de reS Ol1Jer ~m sistema de dos ecuaciones [42.30] 8011, equivalentes. Cuando una solu-
'-4
Io:I.JMINA<'IÚN hUa:Utt/lll'A
fí81
ÓU (Xh YI) del sistema es irnaginaria, convendremos en decir u Ins dos curvas tienen un punto imaginm'ÍQ común. Pura resolver el sist ema comenzaremos por separar los fae'''''('11 c(Y!nunes que pu.edan tene?' los poUnomioB en y que consli.l,tLfUJn los coeficientes; porque si If(Y) y ~ (y) son tales facl4 res, tendremos: f (x, y) ~ If (y) . f] (x, y) = O ,4~-821 { g ( x , y) :=;: 'V (y) . gl (x, y) = O, I
Itl que geomét ricamente significa que la CUl'va f se compone tllLrcialmente de las rectas paralelas al eje x repl'esentadas Ilor ~( y) = 0, y la curva g de las representadas por \}"(y) = O. 'tocordemos que todos los divisores de f(x. y) que sólo contielIen la var iable y, se obtienen hallando los divisores comunes a los coef icientes a,. (1J ) (§ 17-4, b 1) • Así, pues, las soluciones comunes de (42-32J son todas las Ih~ los sistem as:
f i
f
01Cada
[42-34]
( ~ ( y) = ~ I g\ (x,y) =0
f 42-35)
Jl
ra íz de la pl'imera sustituida en f la segunda. da tantos valores de x como indique el grado en x de g'1(X,y) ;
l
O Cada raíz de la pl'imel'a sustituída en J Ia seguuda, da tantos valores como inf l (x, y) = O dique el grado en x de idx. y) ; 'V ( y) =
J fl (x • y) =
[42-36]1
l gt (x, y)
O } Falta resolver este sistema, cuyos pl'i-
meros miembros carecen de factores que y.
= O sólo dependen de
Sí se ef ectúa la simplificación análoga, en que se separan los !actoTes en x com:wnes a las potenciAS de 11, es decu', se separan las rectas paralelas al eje y que componen las curvas f y g, resultarán dos ecuaciones cuyos primeros miembros carecen de f a ctores comunes que sólo dependen de x y de factores que sólo dependen de y. Asi, 8ulloniendo que cada línea [42-80] se componga de varias rectas paralelas a los ejes. más otra curva, hallamos separadamente: las rectas comunes que puede haber en las primeras y en las segundas; las intersecciones de las r ectas primel'8.s con las segundas; de las rectas primeras con la curva segunda; de las rectas segundas con la curva primera ; de la curva primera con la segunda. Corno los cuat- 'J lirime170B problemas se han }"esuelto ante~ riormente, basta abordar ahora la resolución del sistema [42-30] en la hipób'ms de que f(x,'1f), g(x,y) carecen de factores que sólo dependen de x o de y.
582
§42-4
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
Esto supuesto, deberíamos investigar s-i f (x, y), g (x, y) tienen atgún tactm' común V (x, y); es decir, hallaríamos su m . c. d. (§ 17-4, e) ; en tal caso, las infinitas soluciones de la ecuación [42-371
V(x, y)
=
0,
satisfarían el sistema [42-30], Y las dos curvas f y g tendrían común la curva representada por la ecuación [42-37]. Pero como la formación del m. c. d, en el caso de dos variables, es penosa, no la intentaremos sino en el caso en que los cálculos posteriores nos indiquen su existencia. Formemos la resultante R de las dos ecuaciones [42-30], considerando como variable única la x, y como entonces los elementos que componen la resultante (§ 42-2 Y 3) son los polinomios [42-31], también R será un polinomio en 'U. que designaremos por R (y) ; entonces la ecuación [42-38]
, R(y) = O
se llama la eliminante o ecuación fina~ del sistema [42-30]. Para (XI, YI), solución de [42-30], si damos a V el valor Yh las dos ecuaciones en x que resultan en [42-30] tienen la solución común Xl. lo que quiere decir que VI es raíz de la eliminante [42-38]; recíprocamente, para cada una de las raíces y I de [42-38], el sistema [42-30] resulta compatible en x. y admite por lo menos una solución común, x¡, la cual, junto con Y¡, constituye una solución (Xi'Y') del sistema [42-30]. Por lo tanto, la resolución completa del sistema [42-30] se reduce a : lQ Elimina?' una incógnita x, formando la eliminante [42.38] en y; 2Q Resolver esta ecuación eliminante [42~38]; 3Q Sustituir cada raíz Yi de [42-38] en el sistema [42-30], y hallar las raíces x comunes a ambas. b) Supuestos
=
O.x· + (y+O)x + (0 .1I'+0.y-l) O . x' + (11 + 1) x + (O. yl + .11- 2)
°
tienen R( II ) idénticamente nula, aunque t engan sólo nes el (1; 1), el impropio del eje x y el impropio Excluído este caso, veamos cuál es el grado de en la resultante de EULEn (§ 42-2. a) cada polinomio mer término, l'eSu1ta :
=:;
=
O ,
°,
como puntos comu· (doble) del eje y. R (y). Sustituyendo [ 42-31] por su pri·
I ,12 -4
ELIMINACIÓN ALGEBRAICA
[42-39]
<1:,
ll',
O
ll'o
•••
I
Y
••
a. y' «, 11
I
'"
amym
•"
"'m-J
583 O ••••••• O a .. ym '" O
ym-.
............................................. .
~
.....
{Jo
{J, y
/3.11... f3. y'
o .......
O
f3.
{J111. •• {JO-1 y"-'
(Jo y'
11. filas
..
O ,.' O
m
filas
............... ..... ............................................
El grado del producto de los elementos que en las n primeras fil as ocupan 10B lugares i" í., .•.• i. es: [42-40]
(i,-l) + (i. - 2)
+ .. .+
(in-n)
== ;
i. _
11. (11. + 1 ).
2
8=1
El grado del producto de los elementos que en las últimas filas ocupan los lugares i..J, in.:, i"... es: (42-41]
.. + m
(i •• 1-1)+(i." ~2) + ... +(i..,,,-~1t)=::;
2,;
s= .. +1
m {m
i.
+ 1)
2
Como por haber elegido un elemento de cada columna es:
..
~ ~
. =1
. + ..+",...,' m 1.. _ _ 1 + 2+
~.
a= ,,+1
' "
+ (n + m ) ___ (n + m} (n+ m + 1) 2
sumando [42-40) Y [42-41], resulta como grad,o de un término cuaIquiera del determinante [42-39]
[42-42]
(n
+ ?n) ( n2 + m + 1)
_ _o
n(n
-
+ 1)
2
-
+ 1) =
m(m
2
mn.
mientras que son inferiores los grados de todos los demás términos de la l'esulbnte R(y). Sacando factor común y"'" en todos los tér minos de [42-39], obtendremos sencillamente su coeficiente Ro hacieIldo y == 1 en [~2 -39] :
[42·43]
al!
al
a~
.. .. ....•. . . . •
O
"'.
a,
•••• • • • •• . • •• a m -, "'m •. • O
(Jo
/31 f3•..• f3n
O
{Je
U
T1\
O
• ••
4)
= Ro.
O ••••• •• •• _••. O
/31 .. , f3n-'
Pn . • • • • . . . • . •. O
que es predsamente la l'f!sultante de las ecuaciones
[42-44]
{ a (t)
/3 (t)
==
Cl',
+ a, t +
== p, +
/3d
0:.
t'
+ '" +
a", t
+ /3. t' + ... + Po
m
t"
==
O.
= O,
formadas tomando en f (x, y) y g (x, y) los términos de grado máximo en :1:,
Y. Y llamando t =
.1'-; las ecuacion~s [42-44] nos dan, respectivamente, x
las di1'eccione8 asintóticas t de cada una de las curvas [42-30], es decir, suspuntoB impropi08 (§ 37-6, b). Por lo tanto, si 108 polinomios [42-44) /10 tienen raíz C07lLÚn, e8 deet'r . 8i las curllQ;, [ 42-30] no tienen ningún punto impropio com,ú n, con lo cual R,=J= O, la ecuaci6n final R(y):::: O es ele grado m n 71 el coeficiente de yU es precisamente R. .
584
X.
F61~MULA
DE TAYLOR. ECUACIONES
§ 42 -4
Recordemos (§ 32-6) que l a derivada de un determinante cuyos elementos son fun ciones de y, se expresa como la suma de las derivadas de estos elementos multiplicadas por p:rimeros menores del determinante; po lo tanto, la derivada segunda es una suma de segundos menores multipli. cadosllor ciertos factol'es, etc. 1'oda Illíz '111 de [42-38] sustituida en [42· 30] , hará que aquellas ecuaciones tengall por lo menos Una raíz; comúl1 en x ¡ pero si tienen r ratees comunes en x, por l o dicho en § 42-2, d, hará que la l'csultante euleriana [42-38] tenga caractenstica ?n n - r, es de cir, no sólo anulará R (lI), sino también todos sus primeros, segundos, .,., (r - 1) -ésimos menores. Así, dicha uiz 1/¡ anulará, además de R (y), sus derivadas R' (y), R"(y ), ''', R(H) (y) ¡ esto es: será raíz múltiple de la ecuación final [42-38], ¡JO l' lo me n(),'! de Ol'den r (§ 41-2,a).
+
De ahí obtenemos el llamado teorema restringido de BÉZOUT: Dos C1¿rvas planas algeb1'aicas de órdenes 'in, n, tienen infinitos puntos comunes solamente cuando tienen una curva parcial comú,n de orden inferior. En caso contrar'io, el número de puntos COmWI/,e8 es finito y a lo s'u mo ?n n. e) Vemos también que si Ro =1= 0, y [42-38] no tiene }'síces múltiples, el número de puntos comunes de las cm'vas [42-30] es precisamente mn. Par!! generalizar este resultado bastará apelar al fecundo principio d.e continuidad de P ONCELET, cuyo uso se justif ica en virtud de la continuidad de las l'nices de una ecuación algebraica, como fun cíones de los coeficiente·s (§ 41-2, d) . Si los q primeros coeficientes de R (y) son nulos, quiere decir que el sistema [42-44] tiene q soluciones comunes; bastará modificar levemente uno de los coeficientes que allí figuTan, v, gr" el 0"', para que eso no OCUlTa , y entonces la curva f 8 correspondiente a (loo + ~ tendrá con la g lllla :resultante [42-38] de grado 'm, n; al tender e a O y anularse los q primeros coeficientes de [42-38] , quel'l'á decir que q de los puntos comunes a las curvas f e y g 8e van al infinito (§ 18-2). Si R(y) tiene una raíz múltiple de orden ", y ésta da origen a. menos de r puntos comunes a las curvas [42-30], ello querrá decir que al- y l1'unos de los puntos comu n es a ambas curvas es múltiple para rugUllti. de ellas (o para las dos), ya que, como antel'ioru1ente, por una modi1icación de los coeficien9 tes, ]0. R(y) no tendrá raíces D1últiples y los puntos comunes caín· cidentes se habrán desdoblado x (lig. 131), O Así, por ejemplo, supongamos Fil<. L3 1. que a y" raíz múltiple de orden t' de [42-38) I sustitu Ido 8n el sistema [42-30 J, produzca menor número de ra(ces comunes; entonces corresponderían al valo r y. menos de '1' puntos M, N, P, .,', T, de intersección de las dos CUl"Vas. Pero si modificamos convenientemen te los coeficientes al y f3, de ambas ecu.a.ciones, la nueva resultante tiene r raíces diBtintas. Tal sucede, desde luego, si se adoptan como coeficientes ()!.' " {3' I los que resultan de Gus!;ituir la primSl'B curva por ?n rectas distintas, y la segunda por otras n t~ ctas tales qu e las de un grupo no pasen por los puntos de intersección de las otras; pel'O, ¿se conseguirá lo mismo tomando coeficientes (1' . y f3', qUe difieran de sus correspondientes tan poco como se quiera? Bs,stará probar para ello que existen valores 0' ;, (J', que difiel'en de a. , f3i menos de ", y t ales que ninguna raíz de la ecuación R(y) """ O
585
ELIMINAClÓN ALGEBRAICA
• <12 -4
..,tiefaga la R' (y)::::: O; o sea tales que la resultante de ambas, que es rnnción entera de 4'1, f3' I no se anula. En efecto, si no existieran tales ,ulores a'" {3'. en losentol'nos de radio 8, es decir, si la resultante citada 110 a nulase para todos los valores a' 1, {3', de tales entornos, como es función entera sería idénticamente nula · , y para ningún sistema de coefirientes senan distintas las r raíces, contra lo antes visto. En virtud de la continuidad de las raíces como funciones de los coencientes (§ 41-2, d). resulta, pues, que la resultante de las ecuaciones modificadas tienen r raíces próximas a 1/1 que tienden a yl cuando € ~ O, Y a cada una corresponde un solo punto de intersección, real o imaginaI'io, de las nuevas curvas f e y g 11 ; corno sus abscisas deben tender hacia 188 abscisas de M, N, P, ... , 'r para e -? O, habrá cierto número Il> 1 tle punt()s que convergen hacia' M. otros " hacia N, ... , y '1" hacia T, aiendo
/10+"+ ... +'1"=1'. Parece natural. pues, por continuidad y para dar mayor sencillez al enunciado, contar 1\1 como equivalente a /lo puntos de intersección, N contarlo " veces, etc. Con este convenio, el número de puntos de ordenada ,/1 comunes a las curvas f y g es precisamente T.
Con estas ac1araciones, podemos enunciar el imp01'tantísimo teorema general de BÉZOUT: Dos C1i1'VaS planas algebraicas de órdenes m, n, que no tienen mnguna cun)a pa1'cial com~tn, se cm'tan en m n puntos propios o imp1'opios, reales o imaginarios, distintos o coincidentes. Cada una de ]as locucione~ empleadas no representa solamente un modo de hablar o convención arbitraria, sino que responde a un hecho matemático concreto: así, puntos impropios comunes significa direcciones asintóticas comunes; puntos comunes coincidentes significa que S011 múltiples pal'a u'na o ambas curvas, o que hay contacto, etc. Sean las curvas x'(2y'+y) +x2(2ys-6y'---y) +x(y'-2y·+4y '-4y) (----y'+4y):::::0 2x'y+x' (2y··-5y) +x' (y"+4y) + x(2y"-51J) +(y"+2y) =0 Sellaremos el factor y ; ordenando según las potencias de y, podemos separar el factor x -1 en todos los coeficientes de una, y el x" + 1 en la otra, y obtenemos el sistema: y(x-l)f(x,y)=O, y(x'+ l )g(x,y)=O, EJEMPLO 2,
siendo: f(x,y)
g(x,y)
+
= :t'(2y + 1) + x(2y'-4y) + = 2x' + x(2y-5) + (yc+2)
(y'-4)
• E Bto es CODf:.ecuencia de) tE!or~ma. siguiente, (lUC J(en eralil.a el dado en § 16-2:, a. Si una !H 'YI d ón ... n t(.' r a tIt! cualq,ri{!y ')'t J/.1t¡,(;'ro de t:u·ria·M.f:f1 líu anula al tiariar élltus ...:n. i-nt e1'-
¡
= 1I'.4., 11¡"
+
<¡>,(",) \I"-l
+
oo ·
+
r¡:>,, ( x)
= O
para. a < 3! < a' b < V < [J'. como para cada x: de' J)'f lrnel' intervalo s e .unula el :polinomio pal'a infin itos valores de Y. son nulos los coeficfentcs y corno s on polinomios en :::ti Que s e nnulnn para infinitos valor es, SUB (.()eficientes Jiuméricos son n ulo.e. POl' lo tanto, P ( <<,111 O. Por inducción s e pasa tI. cualquier númerO de v81'iaI:J1e.s. f
7
==
§ 42 -4
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
luego. el sistema se descompone en los siguientes:
=
+ =
y= O { x - 1 O { :1:" 1 O { f(x, JI}:::::;: O { x = cualquiera g(x, 1/)= O f(x,y)= O g(x, y)=O
La solución de los primeros es inmediata, y basta fijarnos en el iíl· timo. El bezoutiano es: (2y+l) (21/-5)-2 (2y'-4y)
(2y+1) (y'+2)-2(y"-4) (211'-4y) (JI'+2)-(2y-5) (y~-4)
I (211+1 ) (y'+2)-2(y'-4) - 6 - 1 JI + 4. 11
+
10
y'
+ 4 ti + 10 I 20 = -
:3.
n.o
ti" + 4 y' _
IJ
1 11 -
-
66'
Y -
1-
80
-
'IJ
=
O
cuyas raices son: O, (simple)
00,
(dobl e) Para
. "
y=
-4,
(doble) resulta
O
x=2 x=2
,.
..
V=-4
y=-6
x=3
-5. (simple) (simple) (simple) (simple)
It¡teT8e·cciones: Dos puntos de] infinito, y además (2,0),
(2, -4),
simple
doble
(:3, -6). simple
5. Método de Kronecker. - Un método sencillo y sistemático para eliminar gradualmente las incógnitas en un sistema de ecuaciones. sin introducir soluciones extrañas, es el siguiente. debido a L. KnoNEcKER (1882). Sea el sistema de ecuaciones algebraicas, [42-45] f 1 ( x¡,X2, ... , x T ) = O, f 2 (xlt X2, " ' 1 x r ) = O, ... , fn(xlt X2, " ' , x = O Y D = m. c. d. (f1l f 2 , ••• , f o ) ' Si los polinomios fi no son pri. mos entre sí, la ecuación D = O nos da (§ 17-4, e), por 10 pronto, un conjunto de 00 r-~ soluciones comunes a las n ecuaciones del sistema. Suprimido este factor D en todas las f .. se obtiene este sistema: [42-46] 1"1 ( X¡,XZ, ••• , x = O, 9'2 (X¡,X2, ••• , X r ) = O, ... , IP7I (Xl> X2, ••• , X r ) ~ O, en las que lPf son primas entre sí (§ 17-4, a2) ; si además son independientes de Xl , toda solución del sistema [42-46] es soluci6n del [42-45], y éste será equivalente al [42-46] asociado con la ecuación D = O. Supongamos ahora que por lo menos una de las 'Pi contenga eft.."Ctivamente la Xl; Y formemos las dos combinaciones lineales .3iguientes : [42-47J X=al'Pl+a2I"Z+'" +a,,'Pn, Y = b1'Pl+b2'f2+' •• +bn'fll' siendo las ai, bj coeficientes indeterminados. Los dos polinomios X, Y contienen efectivamente la Xl> y como polinomios en x" aj; X " b j son primos entre si. T)
T)
I
·1~
-6
ELIMI NAClÓN ALGElIRAICA
587
En efecto, todo divisor común d no contendrá las al, pues Y carece dll ellas, ni las b¡, por carecer de éstas X; luego, seria un divisor de X, Y, que dependeria sólo de las Q;, y cualesquiel'a que fu esen Jos va".res que pudieran tomar las aJ, b J• P ero esto es imposible, porque dall.Id a las al valores nulos, excepto para una cualquiera de ellali, U" el .Iivisol· d dividirá a la tpl, y como ésta es una cualquiera, dividiría a t oIIn8 las 'P ., y éstas no serían primas entre sí.
Establecido esto, determinemos la resultante R de X = Y = O .·especto a Xl; y entonces tenemos que toda solución {x'd ,\lel sistema [42-46] es solución del sistem a X = Y = 0, ~' (X'2, X'a, .•. , x'.), que forma parte de esta solución, anula le: R; Y recíprocamente toda solución (x' 2, x'8, ••• , x' r) de R = O, cualesquiera que sean las U¡ y b¡ formará parte de una $Olución de X = Y = O. En efecto, hará que X, Y, tengan un divisol' común ~ . que sen\ U1 polinomio en XI con coeficientes racionales en 0;'" x'., ... , x' r . P S I'O 1'11zommdo como anteriormente, ~ debe ser in(l.ependiente de las a" b, ; luego, A depende solamente de las X" X '2, x'" .. .• x'. y la ecuación ~ = () nos da uno o varios valores de Xl que, asociados al sistema :1"., X r constituyen unll solución del sistema X = Y =' O.
x'" ... ,
Se observa que R. como polinomio en las al, b i , debe ser idénticamente nulo por lo expuesto; luego, los coeficientC'S eh C2, ••• , eh (h > 1), que son polinomios en las x~. x~ • •. . , ~',. deben ser nulos; y esta solución (x' 2, x'S, , •• , x' r) es solución del sistema: [42-48] CI(XZ, xs, . . . , x r ) = O, C2(X2, X 3• •• " x r ) = O, ••• , Ch(X2, X 3, ••• , x.) = O. Luego, todos los sistemas de valores que anulan idénticamente al polinomio R, considerado como de las ni , b i , ~on la!; soluciones del sistema [42-48], Y reciprocamente. De aquí que la solución del sistema [42-45) venga redu cida a la del sistema [42-48]. Si en las ecuaciones del sistema [42-46] no apar ecen las incógnitas, sino que son constantes, no podrían ser nulas todas ellas, pues el polinomio R se anularía idénticamente, y los po· linomios X e Y no serían primos entre sí para valores cualesquiera de X:!, X3, ••• , x,,' y en el caso que alguna de las c, f uese una constante no nula, el sistema [42-48], Y por 10 tan to el [42-46], sería incompatible, y las ecuaciones [42-45] serían incompatibles entre sÍ, si se prescinde de las soluciones de
D = O.
En caso contrario se aplica al sistema [42-48] el miSm(l procedimiento por el cual se pasó del sistema} 42-45] al [42.48], obteniéndose un sistema de ecuaciones de r - 2 incógnitas, que o será incompatible, siéndolo el [42-45], o podrá reducirse por el mismo método a otro de r - 3 incógnitas; con todo, siempn 1 tendrá las soluciones que proceden de igualar a cero el ro . c , d . de Jos primeros miembros del sistema [42-48]. Y de los sucesi.
588
§ 42 • .
X. FÓRMULA DE TAYLQR. ECUACIONES
vos sistemas que se vayan obteniendo, hasta llegar a una ecuación con una sola incógnita. De aquí se desprende que la determinación de las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones a~geb1'aicas se reduce a la determinación de las raíces de una ecuación que sólo contiene una cualquiera de las incógnitas, operando siemp1'e con un algoritmo racional, y siendo este mismo proceso operativo el que permite saber¡' si el sistema es o no compatible. NOTA: Obsérvese que aplicado el método de KRONECKER al caso de dos ecuaciones con dos incógni tas, queda como E:liminante la obtenida anteriormente (§ 42-4). Aplicado al ejemplo 2 del § 42-4 la eliminante, ya de EULER, ya de BÉZOUT, queda multiplicada por (a,b,~a.b,)·, siendo u" a., b" b, los coeficientes de las combinaciones lineales [42-47].
EJERCrCJQS
1. Hallar la r esultante del ~istcma 2 :c:' + x· ·- 4 I~ 1 = O, L 2 x' + a; ~ 3 = O, por los métodos del m. e, d., EULER y BÉZOUT. 2. Hallar las raíces comunes de las ecuaciones: 8 x' - 4 x~ + 18 x' - 3 x + 9 = O, { 4X"+5x+3=O. 3. Averiguar si tiene raices múltiples 2 x· - 9 x' 20 rr.,s - 24 x + 28 = O. 4. Resolver el sistema: x' + 2 (y-1) x-8=::0; x' + xy - 8 O. 5. Resolver el sistema de ecuaciones: x + y z =:: 23; Y + x z = 19; z + x y 17. 6. Averiguar s: el sistema anterior puede resolverse mediante ecuaciones de segundo grado con una incógnita de coeficientes racionales.
J2 ,,,' -
+
+
= =
N OTAS AL CAPÍTULO X
l . Coeficientes diferenciales o derivadas generalizadas de Peano. a) Si se repasan las demostraciones dadas en el § 39, se observa que to-
das se basan en la expresión de la función como suma de un Jlolinomio y un término complementario que es infinitésimo respecto del último término considerado. Es decir (§ 39-3, a), poniendo Ay=:;f(x)-f(a) h=x-a: h" hn [X-l] fj, 11 = y(l) h + 1 /'1 - 2'+ ... -1- y(n,_,_ + o(h"). .
ti.
Como las demosb'aciones se apoyan exclusivamente en esta expresión, son válidas para todas las funciones cuyo incremento en el punto a admite tal descomposición, con coeficientes cualesquiera, aunque éstos no sean derivadas.
1:. x .r
589
DERlVA()A::; DE PEANO
=
DEF.: Se dice que 111 función y f (x) admite n coeficilmtes diferenmalee (en abreviatura: c. d.) ylU, y"" ... , y(") en el punto a ojo si el lucremento Ay::= f(x) - f (a) puede expresarse en la forma [X-IJ. Esta descomposición es única, porque si admite otra de coeficientes 11., 1/-, '" Y" será idénticamente: (1/' -1/ 1')10
+
(y.-yl")
h' 2! + .. . +
(1/.-y("»
h -,j+
o(h") === 0,
.Ie donde, divIdiendo por h y haciendo después h -)o 0, resulta 1Jl == ym ; ,lividiendo nuevamente por h y haciendo h -)o O, resulta y. ~ y"'; etc. Evidentemente, es para h -> O -: 11
-)o
y(1);
luego,
y(l)
= f' (a).
El primer coeficiente en a es, pues, la derivada primel'l~ en n; pero cabe que no exista derivada primera en ningún otl'O punto (ni por 10 tanto de órdenes sucesivos), y sin embargo. admita f(x) varios coeficien· tes diferenciales y aun infinitos, en el punto a. EJEMPLOS: 1. Sea 'l' (x) cualquier función continua no derivable para ningún x, y cuyo valor en el origen sea, por ej., 'P (O) = 1. La función y == x"q¡(x) tiene derivada y' = O en el punto x = O, pero no es deriv~ble en ningún ot ro. Sin embargo, como es 11
= x' (1
,,' + + Il) = 2 2T
0($').
admite los c. d. ym = O, y(');;;: 2. Análogamente, x" q¡(x) admite c. d. nulos, hasta Ilegal' al y(1I) = n!. 2. La función 11 = x' sen l/x tiene en el origen y") === 0, y(.) = O. pero no admite y" en el l"oismo, pues y' -=:; 3 x, sen l/x - x cos l/x, y su cociente por x es oscilante. 3. La función e-lizO
=
p
=
¡1 m
=""2 :
lo mismo que la parábola y =:l;' osculatriz en dicho punto. 5. La función x· 'l' (x) presenta inflexión en el origen, pues tiene /J(')
= O,
1/(1)
=== 6 =F O.
6. La función :un sen l/x no presenta en O concavidad, convexidad ni inflexión. o) Suele definine a veces la circunfe rencia osculatriz de una curva en un punto (x." y,,), como IU11ite de las circunfe reneias detel'minadas por este }J unto con otros dos de la curva que tienden a confundirse con él; entendiendo que t e7IClc?' una curva a ob'a significa q\le los coeficientes de la curva variable tiellden hacia los l'espectivos coeficientes de la curva fija (§ 41-2, (n. • l ndicar€roos la derivada con un c.d.
1:~ésima
CQn f 11l ' Lr)
cu~nd('l
hnyst
lleli~:no
de cCníundi ..Ja
5\) 0
C. X ·1
X. FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
Este concepto coincide con el definido mediante la condición de contacto de orden> 1, pues con él, mediante los c. d. Vil) e yll}, se llega a Las mi8rna8 fórmulas [40-16] y [40-17] obtenidas mediante las derivadas (ver J. REY PASTQR, Elemento8 de la Teoria de funciones. citado en Cap. VI, nota VI, 2). d) Los c. d. pueden definirse progresivamente como límites de ce. cientes para Ir, ~ O de este modo: 11(1)
=
lim A JI : Ir,
JlIII
~
Iim [t'J/-Y·') h] :
t¡!"'
:;;:!
Um [AlI_ylllh -
Ir,I
21 .. , -
yen-tI
(n ~-~)I
]
:~~
V'x.
E J EMPLO 7. La función f(x)==x+ en el punto x::O · tiene pero no tiene c. d. sucesivos. Cabe decir, en virtud de IlIs fórmulas anteriores, que es y.O) 00, pero no existen los siguientes.
,,'" == O.
=
n.
Derivadas sucesivas de una función de función. - a) Método gflr IltTal. E l cálculo de las derivadas sucesivas de F (x) equivale 6 la obtención de los coeficientes de h, h', ... en el desarrollo de F(x + h) icgún laa potencias de h, pues tales coeficientes son FIn) (x) In!, (n 1, ?, 3, .• . ).
=
.
Como la expresión general de estas derivadas de las funeiones elenentalea e!i conocida, interesa un método que permita estudiarlas en las ·unciones ele función f(u), donde u=u(~). Este método tiene alcance n llcho más a mplio, pues vale aunque estas funciones no admitan derivalas suce1livas. pero sí coeficientes diferenciales (nota 1). Sea, pues, f'(u)k
f"(tt)k"
f
f(n + k ) =f (tl );l- -- ¡ l + - -2'-+"'+ n! + o(k'), donde sustituimos k u (:¡;+ h) - u(a;) a,h + a.h' + ... + cz",h n + o(hll) para obtener el desarrollo de f[u(x + h)] ~ f[u (~)+ k] según las potencias de h. Los coeficientes de las potencias h, h' .,. en el desarrollo [X-2] Bon: (X -2]
=
=
cod o de h:
f"
coef. de h t :
f'.as
+ 2! a,'
coe!. de 11.':
f'.a:,
+ '2T 2 a,. a,. + S! 01.
f,r
flll
La expresión general se obtiene aplicando la fórmula de LEIBNI1. (§ 12-2), que da el término · general de la potencia de un polinomio, como polinomio P. de los coeficientes a" a., .•. , y el coeficiente de h" viene dado por la expresión lineal:
F·· ) (x) , - -,- .... = f (u)P 1
f "(tl)
f( q)(tt)
+ -2'P. + .. . + -1- P.; n. . n pero sI bien es f ácil dar la expresión general de tales polinomios mediante la fórmula de LEIBNIZ, la fórmula a que así se llega, dada por F AÁ DI BRUNO, carece de valor práctico si no se logra por otros medios el cAlculo de los coeficientes P •. S in embargo, O. SCHL()J1f1LCH (1858) y E. CESARO (1885) han obser[X-8]
~.
X - I1
501
m :nIVADAS DE UNA J<"UNCIÓN DE FUNCIÓN
,ado que en general puede expresarse P, (dependiente también de n) como la suma de todos los productos de r factores a .. ah • • . , a l, donde los r números naturales i, j, ... , t se obtienen mediante las ( : : ; )
+ + ... + l en r sumandos natll1:a+ 3 = 3 + 1 = 2 + 2, dando 2 a,. as + a,", a lo que también se llega me-
IIe8Composiciones posibles de 11, = i j hIt!. AsI, para n == 4 Y r 2, es n =::: 1
=
P. = a.. a. + a, a,. + a. as =: ,liante la mencionada aplicación de la fórmula de L EIBNIZ. b ) Veames cómo se obtiene esto en los casos más importantes. 6,) Funewnes F(r.)= f (e"). Siendo u= ek , k=: eO" _ e" eO(e"-l), en vez de desarrollar y después elevar el polinomio a las potencias socesi~aB convietlle proceder a la inversa, y elevar primero a la potencia r= 1, 2, S ...
=
k':::::
e" [e
r
•
_(;
)e
+ ... +
1r• 1J •
<_1)'],
y calculando el coeficiente de h" en k', que es p,
= 1~ e
r
•
A"
siendo
A, el número A,
=r
~ )(/"-1)~ + ( ; ) (1'-2)"
ft -
(
es decir: Al=l, Por lo tanto,
A.=3 n -
A.:=2n_2
i
Dn f(e') EJEMPLO: F(x)::::
D" ('c K
==
ec'
... ;
3,2"+3.
f'" (11) ?'!
A.e"
T :::O
-
1
e6 · , es decir, f(u)= e-,
[~;
e'
+ :;
e"r
+ '" + -A. nI
l~"~
]
•
ú,) FlI1lciólI F ( te ) ;;;;; C'I,":! 11 polinomios de HERMITE, - En t>Olte ca"o f(u)==e", u:::: a x', k=a(x+h)"-ax" :: ah(2x+h)¡
el coeficiente de h" en k r
= a,r h' (2 x + hV
p, :: a' (
r ) n-r
e~
es:
(2x)"-~.
y como la.s derivadas sucesivas de e" son c", resulta.:
D"c a"':::: nI e"'"
~ ~(
r > n{2 r.
r
n- r
)
(2x) ""~ ,
En pal,tkular, si es a:::: 1, los polillomios que n1uItiplicIlll a (," flon:
H,::::-2z Ha::: 4 11:"-2
H. = - 8 x' + 12 X H.=(-1)tI[(2x)"-n(n-l) (2x)n--2+~n(n-l) (n-2) (n-3) (2x)"-'-"
.J,
ee llaman 110tinomiQI de HERMITE, y sus aplicaciones son muy importantes.
592
X. FÓR:l1UL.A DE TAYLOR. ECUACIONES
C. X -11
Más general, resulta: D"f(x"):=: (2x) 1If(n) (u) +2 (
+3.4(
~ ) (2x) ;""2f(0-1) (u) +
~ )(2X)7l--4f(n--2l(u)+ ..•
b,) FWlc-iO'ites F(x)=f(ln1l;). - Un m~todo pat'a calcular los coeficientes P" P., .. , del desarrollo [X-S], que sólo dependen de la función ll(X) y no de la f(u), consiste en elegir una función sencilla f(u) para la cual se considera el desarrollo [X-3]. He aQuí un ejemplo importante: sea F(x) = i(In 11;) y elijamos la función f (u)=e··, siendo por lo tanto f(lnx)::::e""=~'
cuya del'ivada es
+
J)1l x a ::= a(a-1) ... (a-n 1)xa-". Por oh'a parte, siendo las derivadas f (u) iguales a la misma función e'·:::::;¡;" por las potencias sucesivas de a, el desarrollo [X-3] es:
D" f(1n /1;)=
x-[TI- P
l
+ ;;-P. + .,. + ~;- P.] ;
luego, los coeficientes son los que resultan al multiplicar a(a -1) ... (a-n + 1) divididos por x", y basta poner en el poJiI}omio entre paréntesis D u en vez de a, D" u en vez de a', ... , o lo que es lo mismo, multiplicar simbólicamente :¡:-nD(D-l) . __ (D-n+l)f(u). y resulta Dn f(ln x).
EJEMPLO: DS(ln x) ';;:;x-'D (D--l) (D-2)lt'::=x--ll (D"-3D"+ 2D )u'=:¡:-O(-6+4u) J y en definitiva, DS(ln ::e)':::: x-:!(4In x - 6); otros ejemplos pueden verse en la obra de V ALLÉE POUSSIN (citada en Cap. VI, nota VI. 4). IIl. FuncionEs simétricas de las raíces: discriminante. - a) Las funciones fundamentales dadas en [18-91 expresan 105 coeficientes de una ecuación como funciones de las raices. funciones que tienen la pI'opiedad de no cambiar de valor al permutar arbitrariamente las raíces XI, X " • _ •• len, por lo cual se llaman simétricas_ DEF.: Una función E' (Xl, X., ... , x N ) de n variables se llama simétrica cuando no varía al efectuar una Ilustitu,,-ión cualliuiera (§ 11-5) Imtre las n variables. Como cada susti lución es un producto de trasposiciones (§ 11-6, d), para asegurar que una funci6n es simétrica es suficiente probar que no varía al pel'mutar entre sí cada dos de sus variables. Toda función racúmal de los coeficientee de una ecuación eB función racicmal simétrica de las raícell de la ecuación, en viTtud de las fórmu1as [18-9], y recíprocamente, veremos (0' ) quo toda ftmción racional simétrica de las raíces de una ecuación se puede expresar en función racional de los coeficientes. EJEMPLO 1: Dada una ecuaci6n de 2Q grado, [X-4] aox' + a"X a. 0, la función (x, - x.)' es simétrica, y por lo tanto, podrá expresarse raci()nalmente mediante loa coeficientes. como es fácil ver en este caso:
+
=
593
X -JlI
lX-51
(x,~.)·;:::tl;"-2:tlX't+xl=
(x,+z.)'-4z ,\C,= (
= u~ ~
~)
• -4
~
;
4(Io(l~
Go"
El numerador del último miembro es lo que llamar emos (d) di.scri-
mmante de la ecuación de segundo grado [X-41 , y he aquí por qué la Ill1ulación del discriminante da la condición necesaria y suficiente para la Igualdad de las raíces de [X-4] , b ) Las funciones simétricas más sencillas de l as raiees de una ecua~ ción f (x):= O son las 8U?M8 simples: rX-61 S. "" X1P + ¡r;,? + _, _+ x.", (p == 0, 1, 2, 3, _, _) • Recordando la fórmula [41-10]: f '(x) 1 1 [X-71 f (x) + x _;, +
= --x=-x,
y desarrollando cada una de estas funciones en serie geométrica (§ 22-1, b), resulta:
1 == -:e1 + x-X,
[ X-B]
f- - = 1 x ~ - x!
:-f
1
x-
X
Xl
-'0
xx,
x,' + -x," .,. ;.;' + --+ x'
x ..' + - x~. + -ir.' + x'"- +-~C.¡
x-
1
sl l~'1 < ~;
1
o
.0.
l~o ~ ~ '~' .;~,~o .;:: ,~o ~~~ '; o'o x<
I<
'/ x, x x ..
SI -
',00'
' ~: I -;'' ¡''~' ~: .... x
X
:l.
Al sumar por columnas obtendremos la igualdad fundamental:
f'( xl. _ ~
[ X-9]
f (x)
-
x
+
..§. x'
+~ + x'
,.,'
válida para todo valor de x superior, en valor a bsoluto, a todas las raices. La igualdad [X-9] y la unicidad de] desarrollo en serie de Jlolencias (§ 44·1, b) justüican la regla de GIRARD (1629):
Las sumas simples So, S" S., o , . de las raíces de una eculUión f ( x) = O, , 1 , 1 XI 1 ' .. ., que re· 8071 108 coe,.. w1entcs d e 1as po t en ' Ct4l8 suceSl/Va8 -;-
x. ,
sultan al dividir f' (x) por f(xL ordenados según las potencias decrecientes de x. EJEMPLO 2: Sea la ecuación: [X-lO] x" + px q == O. y efectuemos la división: (3 x' + p): (x· + px + q) =3x··-2px~-3 q :1:"' + 2 p'x··+5 pq af"+ ... Según la regla de GlR.ARD resultan los valores: s. = 3; SI "'" O; S. = - 2 p: S, = - aq; S. ::::; 2 p'; S. == Ei p q;
+
e) De [X-9] deducimos: naox"-l (n-1)a.x ft - '
+
=
(a~ x"+
al a; "-1
+
+, , , + a.-l x
+ .. , + an-l = S~ + ---;; 8, + 7" S. T .', ) + a. ) (-;-
(n-2)a.x·-·
y por lo tanto, igualando coeficientes en
x·-', x·-·, ... , z,
rrf',
x...., Z-2,
c.
X
. [Jj
y simplificando se obtienen las llamadas relaciones de NEWTON
(e8
594
X. FÓIU.IULA DE TAYLOR. ECUACIONES
¡.
' (n-l)al
(n- 2 ) a.. (n-3)a.
a.S,
:=:;
aos.
+
=
a. ~
-f IhS.
~:-' ~ .~. s~-~
1
+
= (%.oS.
al SI
+ 4o.S. + a..S. + a, S.
.+~, 's"~: .~....:: '-f." ~:-: s: ...... .
a" S.-1 + + (t.-, s, + u. s., ................... ............................ .
() = no s. +
n::;
So) :
~
~
- a. = aoao S, + a, a,. :;;::;
:-:-. .n:. .: .. l:-:-. ~.~p.~.~: ~~.~ .~.~":: .:. :::..~. ~~:'.~': -
f
[X -U]
2
S~
~
~.~.~:
S,
:.~¡. ~. ~ ~~.
entendiendo que ap :::: O para sucesivamente S" S" 8., . . ..
p> n.
Estas relaciones permiten despejar
(X-12] S,
=_~ ;
a,' ~ 2
S.
no
s.
-a,."
+ 3 ao C.al(k-S ao" a, ;... ;
que pueden ser comprobadas para el ejemplo 2. d) U na función s imétrica muy notable de las raices es el cuadrado .:Iel deter minante de V ANDERMONDE, formado con ellas (~ 13-7, b): 1
1
1
•
= (X, -
x.)' ... (Xl-X.)' (x. -x.)· .,. (x.-x.)'
X.)"(XI -
La función simétrica de las raíces: [X-13] t:. = a,¡R (n-l) TI (x. -XI)", se llama discriminante de la eCHación. Aplicando, para hallar el cuadrado del determinante, la regla de mul· tiplicación de deterlllinantes efectuada por filas (§ 13-6):
s. [X-U]
S. ao,,(n-l. S.
!'l
SI
S•. S.
S. S. S.
Sn->
. .. Sn . S."
......... . . , .... . ......
S.-. S"
"
...... S.n ... S.(n-,) ~
Como, según [X-12], en la expresión de S. figura el denominador ao", y cada término del determinante [X-14] es un producto de sumas S., dondA la suma de índices es siempre n (n -1), resulta que el discriminante 6 8 u.na ffl12 ci6n entera homogénea de grado n (n - 1) de los coeficientes a'O t al, a~J ..... UlloO J
3 : Para la ecuación [ X-ID], el discriminantl': es: () -21) s. 8, S, 3 -3q -2p O S. S. S. == - 4 P' = 2 p' - 2 p -39 S. So S.
EJEMPLO
(X-15]
(:¡,
2'7 q'
• , x -In
f' UNCION€S SIM~TRICAll
595
La ecuaci
+
+
a.,x· + a,x' er.x ao = O• ..1 discriminante es la función entera homogénea de grado 6 en los coefi,-jentes : A = a.,' a,' a," + 18 a.,' a'l a< a, - 27 a,,6 rz." - 4 a..3 u," - 4 al a,' u·., y del que se deduce [X-U] para ao = 1, a, "'= O, a. ~ p, aa = q. e) De la definición [X-U;] resulta que la condición necesaria y B~L· ¡idente pa1'(t que la ecuaci6n tenga raJees igllaleB es qv.e su discriminante ,re' nulo, En una ecuación de coeficientes reales, a cada binomio x. - XI, diferencia entre dos raíces imaginarias no con jugadas, o una imagillar ia y otra real, corresponderá otro binomio conjugado (§ 18-2), Y el producto rle ambos es real y positivo; pel'O hallrá un binomio difel'encia entre las elos l'aices conj\lgadas: [(a + bi) (a = - 4 b' < O, es deeit', a cllda par de l'aices imaginarias conjugadas cOlTesponde UD factor negativo. Por lo tanto: El n úmero de pare" de rafees imagina?'itts conjugadas de una ecuación de coeficient.es reales, sin raíces iguale8, es par o im1J«r, Begú.n sea ti p08itivo o negativo, f ) Enh'e las funci ones simét}'icas de las rafees de una ecuación, a demás de las simples [X-6], tienen importancia las sumU.8 múltiples (dobles, triples, etc,):
bi»'
[X-16]
S.,. SH
= ~ x l' :e,' :::::
q, r
~ ~
x, l' CtJG
:::
XI P x.o
~.f'
+ Xl"
x,P X3~
x:/J [(:{
+ . _. + 2:.- :1:1' + ,:, rx;.' 0:;'.-,
+
~)Ji x~q ~l
+ .. + ~"p a
{lJl'ln-l r&n_»P'
donde los sumanl!os se forman mediante todas las variaciones con los indices (§ 11-1), conservando los mismos exponentes: cuando hay dos exponentes iguales, cada término aparecerá dos veces; cuando hay cres exponentes iguales, aparecerá seis veces, etc, i pero en la suma. múJtiple se toman con coefi ciente 1; la suma de los exponentes de cada ténnino se llama grado de la función s imétl'i ca, Así, por ej emplo, para el caoo de t res l'aices, a, P, 'Y. será: S", == tl f3 + f3 'Y + 'Ya grado 2. S." =: a' (Ja + ~ )" W el' + pi y' + yo ~ + yw (J" grado 6. fl) 1,8 importancia de las sumas múltiples se fun da en que toda f un. cilÍn simétrica ente1·CX es una lJum,a de sumas múltiples m1tltiplicada8 PO?' coeficientes constantes, E n e/edo, si e 2:; xl xl f igura én una función simétrica entm'a, ésta, por ser simétrica , deberá cont ener todos los términos deducidos de ésta por sustitución entre las n letras, es decir, todos los de la suma c Se,., a, y así se sigue, hasla agotar todos los términos de la función simétrica entera dada, l.) Una suma múltiple se puede expresar C01no f1mci6n ent,e!'(t eon coeficientes entfJ1'OS de las smnas si'mples &, S" S., , _. . E n efecto , si querenlOS hallar S.,., bastará efectuar el producto Sp, S., obteniendo:
+
('1; x,r) (~ x /) ::: 1: z ....Q
o sea: de donde: [X-17]
S,,. So
==
Sr.',
+
Sp, o =:: S. ' S. Obsérvese que si P =:: q, resulta: 2 Sp, p :::; S·p -
+ ~ XI" rt:,., S ••• ,
S ~ •• , ( P=I=q) ·
S.p.
596
X, FÓRMULA DE TAYLOR, ECUACIONES
e, x
-III
Análogamente puede expresal'se S •• 0' ' . formando: S. So S r = (2:: XI· ) ( 1: xl") (1: :1:..') = S.'o" Sp+." + + S ••" . + Sqtr, p S"o,r, (p ,*q =l= r,*p ) , y teniendo en cuenta [ X·17]. Lo mismo para Sp, q, r , .. etc, U.) Como, seg ún [X-12], las sumas simples se expresan como funcioIles entel'll.s de Jos coeficien tes, si fI<¡ = 1, r eRulta: Toda función Bímét1'ica en.tera de las TlJ,íces de una ecuación algeb,'aica es ex prBso,ble como ¡unc-ión entera de los coeficientes, si es a;. ~ 1, ó como función entera de 108 (;Ocien tv8 a.la, en el caso general. o.) S i w~a /'tmción 1'acion al irreducwle e8 simétrica, lo son el nume·
+
+
m do?' iI el denominador,
Observemos, ant e todo, que si dos polinomios P y Q de variables . ' 0' x. tienen un factol' común, al aplical'Jes una sustitución S, los nuevos polinomios P' = P . S, Q' = Q . S tienen común el transformado de aquél. Recíprocamente, si P y Q ca recen de factor común, tampoco lo tienen P' y Q', puesto que P y Q son a su vez transformados de éstos pOl' la sustit-ución invel'sa . La simetría de )a fl'acción P/Q viene expresada por la identidad: p _ P oS Z"
X"
(f= -Q,S' y como ambas son irrerlucibl es, deben salvo un fa ctor constallte le
~er
P y Q idénticas a P' y Q'
Sea S una trasposición; siendo P( X2, X" X3, ... , Xn) == kP( X.I, X" x ,,), y )1 01' consiguiente : P (XI, x., X" , ' . , xr.) k P(xo, XI, x" .• 0' x.), debe ser k' ~ 1; luego, k = ± 1. Pero si es k = - 1. haciendo X2 = XI, resulta 2 P (:r., X" XR , , . " x.) ~ O, es decir, el polinomio P se ar!llla pRI'a x, :::o X,; 1tlego, es divisible por x< - x, ; y análogamente el Q, contra ]a hipótesis de la irreducibilida d de ]a frac ción, Debe ser, por consiguiente, k = 1; Y no alterá.ndose P ni Q por ninguna trasposición, son funciones sim étricas, O. ) COll ello llegamos al Ual'l1aclo teo1'ema fundamental ele las fun~io ?l eB s-iméh-icas, base de la teoría de ]a resolución algebraica de ecuaciones: T oda f unción ?O aCiOllal sirflétriea d.e las raíce8 de una ecuación es función 1 acional de l08 coefi cientes de fÍ8to" y ?'e cíprocamen te. h) La solución ciásica y discusión de la ecuaci6n cuad1°ática., asi como de las que se reducen a cIJa, se h an visto en § 19-1 Y 2, Aquí, para dg-n i fic a r la impOl'ta ncía de lo dicho sobre funciones simét r icas, diremos que Como de la ecuación [X-18) (f x" + f) x + e = 0, ya se conoce la suma de su ~ r aíces (§ 18-2 ) ; b :t. &1:. = - a bastará hacer u so de] di.scriminante, función entera de los coeficientes (d) [X-1 91 A = a"(:¡: ,~x. )· = b' - 4 ttc. 00
0'
=
o
+
para que dé la diferencia X, -- x,
~
±
v'"K"
a 'y
las soluciúnes de [X-l8]: ~.~¡
==
- b ±V-S:
- - -2 a
de la suma obtengamos
I ~,
X -IV
RESOI,velóN GRÁFICA DE ECUACIONES
597
La resolución consiste en al)eJar a la resol-vente [X-191, que puesta In forma de ecuación binómica-: (1 0 z" = tJ, ti 110 por soluciones la función de dos ValO1'es:
011
Z!I.
==
x" -
Xl,
Y ctI inmediatamente resoluble por radicales,
Estas obs<>l'vaciones cobran toda su imporlancia ell In teoría de l'esoh lt'i ún algebraica superior (Cap, IV, nota 11, f). Análogo procedimiento !,uede aplicarse a la r esolución de las ecuaciones eúbicn y cllá¡ -tica, el que
IIIlC'c ver la razón profunda de la eficacia de los cálculos en apariencia Ill'Uliciosos efectuados en §~ 19-3 Y 19-4 (ver Alg e{¡m. de J, REY PASTOR, ,·,Iada en Cap, IV, nota n, 3), IV. Resolución gráfica de ecuaciones : método de LiU. -- a) El dibujo .10 diagramas para la resolución de ecuaciones es apropiado para tenel' IIna idea previa de la soluci6n y así controlar 105 métodos llumél'icos, flicmpl'c más exactos y precisos, pero susceptibles de deslices que f alseen completamente el resultado. A fin de evitar tener que efectuar una nueva construcción gráfica para cada ecuación particular, es posible construir diagramas tales que uno mismo permita hallar la solución pal'S todo un conj unto de ecuaciones de) mi~mo tipo (pOl" ejemplo, cuadrá ticas) , que sólo difieran ent re sí por el valor numérico de sus coeficientes. Tales diagramas son los llamados norno(ll'amas, cuya constl'uceÍón y manejo se estudian en la nomooyafía. y de la cual sólo dm'emos aquí (cfr, Vol. l U, Ap. V) noticia bibliográfica (cfr. nota V). Para resolver gráficamente una ecuación f ( x) = 0, debe buscarse po· nerla ingeniosamente en forma adecuada. f, (x)= f,(x ), a fin de que sea fácil la construcción de las gráficas de y = f,(x), y f , ( x ), cuya intersección dará las r afees de la ecuación propuesta, E JEMPI.O 1: Para resolver gráficamente la ecuación x' - 3 x + 1 = O, basta hallar la intersección de las curvas 11. = x', y. = S x - 1; la primel'a es una parábola cúbica, ya construí(\a en muchos diagramas; la segunda es una recta. b) M étodo de L ILL. - Un método de resolución de las eCllaciollcs algebraicas consiste en realizar gráficamente el algoritmo de RUFFINl, que permite calcular el valor f (x) del polin omio por multiplicaciones y adiciolles sucesivas (§ 4-11): f(x) « a."x + a.)x + ac)x + ... 1- a", eligiendo por tanteos al valol' x, de tal modo que resulte f (x):::=ü , b,) Entre los varios m é t o d o s de multiplicación y adición gráficas, Conviene elegir uno en que los segmentos que \ representan los coeficientes formen un \ , esqllema f ijo, del cual, con el trazado X \ más simple posible, se ded uzca f(x) para cada va lor de x, b, ) Recordemos cómo se efe ctúan gráficamente las multiplicaciones sucesivas por un número 0;. Llevando la ordenada x sobre el punto de abl'icisa 1 en el sentido que corresponda a su signo, es decir, llamando ~ Fig, 132, a la pendiente de Po Pi, resulta un punto P.; la perpendicular en P. a Po P. determina sobre el eje x un segmento O P, .= x" ; la perpendicular a P . p" en p, determina O P. = :r.' ¡
=
=
.
etc.
(fig. 132).
598
c. X
X. FÓRMULA DE TA YLOR. ECUACIONES
-J1.
Todos los triángulos rectángulos son semejantes dil'ectamente, y cad, ' nuevo cateto ocupa respecto del ant erior una posición semejante directa · mente a la que el ~ ocupa respecto de la unidad; pero esta regla, legitim: en cálculo vectorial, se presta a confusiones para apreciar el sentido d los segmentos, y por la costumbre de Geornetria Analítica es más sencill adoptar como sentidos positivos los usuales en cada eje de origen O ¡ as[, resulta que los segmentos obtenidos tienen los signos siguientes:
+ +
+
-1, x, x·, -x", -x', X", +x·, .. , b.) Si en vez de partir del seg mento 1 llevamos O Ao == UD, Y levan· tamos la perpendicular en A. hasta encontrar a la recta de pendien te x,
Fig. 133.
resultará )a Ol'denada A~ Q, == Uo Xi en vez de sumade el segmento a, a continuación (o sea por el extremo Q, ), sumémoslo p<Jr el origen, es decir. llevemos A, Ao == a" y resulta ,en magnitud y signo (fig. ] 38 ) : A, Q. = a.. z + a,La perpendicular en Q, a O Ql dete~inn sobre el nuevo eje (1; de origen Al, el segmento
A,Q. =
(ao ~ +(l,¡)x.
y sumando Aa A, == a~ r esulta: A. Q. == ( ao x + a, )x + 110 . Como en las dos transfOl'mada s siguientes los sentidos son opuestoa a los usuales, llevaremos: A.A..
después: A. A,
=::;
+ a.,
= -
U"
Ac A,
==
A. A. = - a.; y asf sucesivamente.
+ a.,
REGLA PRÁCTICA: Pum calcula¡' (jráficamcnt.e el valor f( :t) de un polinom.io ordenado, se conBtntye la poligonal O Ao A, A. ... de Begm.entoB· iguales a los coeficientes n., a" ~, , •• con los sentidoB:
+x,
[X-20]
-y,
-x, + Y. + x,
-y,
-x, _,.
La 1'ec(a, de pendiente x t'razada por O corta al segu-ndo lado A. Al en un punto Q,; la perpendicular a ella en c8te punto corta al tercer lado en Q., y así sipuiendo resulta sobre el último lado un punto Q•. • S ellltlC'I1W8
LadOIl
son las
de una ('¡uehr'l.lln fton los determin ndos por cado (le fl Ue etll;G6 ~egn_\enloB fm-man pllrte.
r ec:t.a.~
do~
vc.rti~es
c.on6EcuthO&.
f ',
X ... V
BIBLIOGRAFfA
599
El valor del polilu)1nio estd re1lrellentado 1JCJr el segmento An Qn, ca?! .l ~gno que U ccrreeponda según la e8cala [X-20]. Construido .el esquema O Ao A" .. . , A., la resolución de In ecuación
r(a:)= O se Teduce a encontrar un r ayo inicial O Ql, tal que el punto fi.
Q. de la quebl'8.da coincida con A •. La figura indica en cada caso en qué sentido conviene hacer gIra.!: dicho rayo inicial para que Q. se acerque a An; si Qn A. cambia de Ben. tldo, se ensa.y ará una posici6n intermedia del ra~'o inicial, etc. Para este tanteo puede utmzarse el papel cuadriculado transparente, QI1 sustituci6n de la quebrada O, Q" Qi, ... .i Y cuando no se dispone de 6ate, no ea necesario en la práctica dibuja r esta poligonal, bastando se· llBI8l' 108 puntos Q" Q., .. . , sin otro in8trumento de dibujo que una es· cuadra o una ~imple hoja de papel doblado. 1101
EJEMPLO 2: La figura 133 representa la construcción para la ecua· t'Í ón
5 x· + 6 :e' + 8 :e" + 7 x· - 2 ~ - 2 == O, pa r tiendo del valor :c::;: 2/6 = 0,4. A partir del origen hemos llevado sucesivamente los coeficientes, ano teponiéndoles l os signos +, -, -, +, +, -, - -, ... , es d!!cir: 6, - 6, - 8, + 7, - 2, + 2, Y aBi resulta la quebrada O Ao Al A. A, A. A, . Para x::O,4 resulta A.Q.- - I; el cálculo numérico da f(O,4)::== -0,96. Se mejorará la apl'oximación si se da a x un valor mayol' i por ejem· plo o: == 0,5, con lo cual resultará una quebrada que envuelve a la anterior, y que no hemos dibujado para no complicar la f igura, l'esultando el punto Q'. m ás próximo al A,. El cálculo numérico da f(0,5)==O,28.
V. Bibliografía. - l. Ya hemos dicho que la resolución numérica ~ clásica de ecuacione!!l está. estudiarla en las obras de J. REY PASTOR, F. CA.JORl (citadas en Cap. IV, nota 111·3), F. SEVERl (Cap. IV, nota III·I) y B. LEVI (Cap. VI, nota VI-2). De tipo c1ásico y elemental, desarrollada a partir de los conceptos de f unción, limite y derivada, está la extensa y correcta obra de: P . MIQUEL : Element08 de álgebra 8upedor. (41), ad., Cultural, La Habana. 1943}. Bien escrito, con muchos ejercicioS Sr Citas bibliográficas, está: J. VICENTE GON~ALVES: Curso de- álge bra 8uperio?·. (2 vols., Lisboa. 1960 ) .
2. Entre las innumerables obras didácticas italianas de Análisis algebraico que contienen la teoría clásica de ecuaciones, citaremos, por lo I!Ompleta y por la irradiaejón que ha tenido, la de: A. CAI'ELLI: 18tih~ioni di Analisi alge brica. (15~ ed., Pelle rano, Nápales, 1909). 3. Breve manual de introducción a la teoría clásica de ecuaciones, conciso y claro, es el de: H. W. TURNBULL; Theory 01 equaticm.s. (411- ed., Oliver and Boyd, Edimburgo, 1947). Para designar determinantes clásicos del álgebra, el manual anterior sigue la nomenclatura incluida en el inicial de la misma colección (Univer sity Mathematical Texta de Interscience Publishers, Nueva York), traducido a l castellano de la 41). edición: A. C. AITKEN; Determinantes y matrices. (Dossat, Madrid y Buenos Aires). 4. Dedica un capítulo a la solución numérica de ecuaciones algebrai· cas y trascendentes, la excelente y muy reputada obra sobl'e problemas matemáticos que surgen al tratar cuestiones con datos numéricos -: E. T. WHl'M'AKER y G. ROBINSON: The Ca/eulits 01 Observations, (4. ed., Blackie and Son, Glasgow, 1948). También dedica un capitulo a métodos g ráfic()s y técnicas operativas
600
X.
FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES
C. X-V
de r.esoludón de ecuaciones y cuestiones conexas, con adecuada evalua, ción de su utilidad, la obra repleta de ejemplos numéricos y figuras ilulr trativas: R. ZUR1>rÜHL: Praktische Mathematik lür lngenieure und Physike1'. (Springer, Berlín, 1963). 'l'l'ata asimismo estas cuestiones, la obra orienta
CAPíTULO Xl
SERIES DE POTENCIAS § 43. PROPIEDADES GENERALES 1. Campo y radio de convergencia. - a) Si a las operaciones enteras (suma, resta y multiplicación) mediante las cualea se construyen las funciones racionales enteras (§ 23-7) Elgregamos el paso al límite, obtenemos el algoritmo de las series de potencias, cuya expresión más general es la siguiente:
+
+
+ .'." +
[43-1] f(x) = ao alX a;¡x 2 a ll x'¡ + ."' donde G,¡¡, alJ .". a n , •• , son números reales o complejos cualesquiera, Sólo para cada valor de x que haga convergente la serie, tiene [43-1] significado numérico, y la suma de la serie depende del valor dado a x. E sta suma es entonces una función de x, definida en el conjunto X de valores que hacen convergente la serie, Que llamaremos campo de conve'rgencw de ésta. Las funciones representadas por series de potencias son las que hemos llamado (§ 23-8) funciones analíticas, y dan una generalización natural de los polinomios. b) Demostraremos ahora los siguientes t eoremas: b1 ) El campo de converyencia de una serie de potencias es un círculo de cent'fo 0, o todo el plano complejo, o bien sólo el origen O, En el primer caso, el radio R del círculo se llama 1"adio de convergencia, poniéndose en los otros dos casos R = c().
R
O. bz) TEOR, DE CAUCHy-HADAMARD: El radio de convergencia de la 8erie ~anxn es el número =
1
D
[43-2] R = L' siendo L = lim sup ~ para n -') oo. Cuando L = 0, la serie convC1'ye para todo x (R = 00) I Y cuando L = c(). la serie sólo converge Para x = O (R = O) . DEM.: Por el cl'iterio de CAUCHY ( § 22-2, c) aplicado a la serie ~ ¡ a x n ¡, la serie dada sel"á absolutamente convergente para todo x que haga < 1 la expresión ll
n
[43-3] lim sup es decir;
V I a'nx " I =
n
~ x llim sup ~
= I re I . L,
602
*
Xl, SERIES DE POTI;;NCIAS
19 ) para
I~ I< ~
43 ,1
si L es finito y no nulo;
29) para todo x si L = O; 39 ) sólo para x = O (como se vé por reemplazo directo en la serie) si L = oo. Si en cambio el límite [43-3] es mayor que 1, se tiene para infinitos valores de n, I a"x" I > 1, Y la serie dada no es convergente (§ 22-1, d) , e) La demostración anteriOl' prueba, también, que en todo punto interior al campo de convergencia, ésta es absoluta. Cuando el radio R es finito y no nulo, Jos puntos del plano de la variable compleja x quedan clasificados así: 19 ) En el interior del cí1'culo de convergencia: Ixl < R. hay convergencia absoluta; 29 ) En el exterior, Ix l > R, no hay convergencia y la serie es divergente, o bien oscilante (ej, 9). 39 ) En los puntos del contorno Ixl = R, caben todas las posibilidades, como veremos en el ejemplo 8. Cuando sólo se consideran valores reales de x, el campo de convergencia es un intervalo simétrico respecto del origen O. cuya semiamplitud, dada por [43-2], se ·1Iama siempre mdio de convergencia, intervalo que puede convertirse en todo el ' eje, o reducirse sólo al origen. Este algoritmo de Jas series de potencias, no sólo nos con~ duce de modo natural al campo complejo, sino que hace indispensable considerar éste pam explicar ciertas particularidades que se presentan en el campo real, y que dentro de él serían incomprensibles.
d) Casos particulares. n _
di) Si existe Um V
Como corolario resulta;
_
I a" I =
n~:>O
la serie de potencias es R = L=oa). d 2 ) Si existe lim
1a¡¡+l
n--HlO
Un
I
=
serie de potencias es R = L = 00).
L, el l'adio de convergencia de
~,
(R = 00 si L = O; R ... O si
L, el radio de convergencia de la
~. (R =
si L = O; R = O si
00
Porque, siendo , 11m
I a .. +l X,,+l I
= l'1m . x
1\ a"+l - - \ = I "'1 L ~
w
I a n x" I r a "
,
la serie de módulos converge o diverge, según sea (§ 22-2, e) ;
Ixl
1
1
Ó
Ix l >To
•
.¡~ -J.
603
PROPIEDADES GENERALES
e) Los tres tipos de series de potencias.-Llamaremo8 serieg dI! primero, segundo y tercer tipo a las que tienen radio finito positivo, infinito, o nulo, respectivamente. El campo de convergencia, en el primer tipo es· un círculo de radio R > O; en ul segundo tipo es todo el plano; en el tercero se reduce al origen. Las series de radio de convergencia infinito son las más parecidas a los polinomios, pues toman valor numérico para cualquier valor de X,' las que no se reducen a polinomio reprelIentan las funciones llamadas trascendentes enteras. tipo: Tienen radio 1 las sel'ies siguientes: x' x' x)] x+ - x' +
EJEMPLOS: PJ'illlCl'
lo
[ln(l
+
2
3
4
x" ~,o x' 2. (arctgx) x--+ - 5 - -3 7 + S egll1ulo tipo : Cornp¡'uébese, aplicando el,), que tienen radio infinito las series : 8.
(eX)
1
+ ~(~ + 2T+
4.
(cos x)
1
- 21 +4Y-
x,
:(. 11
+ -n ! + ...
.1"
x"
x:'l
.t~ I
±
x:"
J1
12;0T
:¡::
ttH1
cr (2n+ 1)! + Las series de los ejemplos 1 a 5 serán estudiadas en § 45, donde de· mO!ltrarernos que sus sumas respectivas son las anota das a la ízquieroa. E n estas series, excepto la pl'Ímel'a y la tercera, no es aplicable da) directnmente, pues hay infinitos coeficientes O; pero tomando ¡¡;o como variable (y separando eventualmente un factor x), resulta 1 como límite en la segunda; luego, R:::: 1; Y en la¡; 4 y 5, R OQ , Tercer t·ipo: Aplicando el criterio del cociente d.) resulta inmediata· mente que es nulo el radio de convergencia de las series siguientes: 6. 1 + 1! x -1- 2! x· + .. , + n! xn + 7. 2 + 2' x + 2' x~ + . . ' + 22n xn + .. ,; por consiguiente, no definen ninguna función. (En Anñlisis superIor se logra sin embargo, en ca~08 muy generales. engendrar una función, a pesar de la no convergencia; ver Cap. V, nota 1, g) 8. L as tres series: 6.
(sen
,"1:"
±
x - ' 3T+ 6!
=
=:,,;¡·n
1
11
tienen radio de convel'gencia R = 1. La pr imera no converge en ningún punto de la circunfel'encia i ,1.' I ;:::: 1 (pues el tél'n1ino gen eral no tiende a cero), la segunda converge absolutamente en t odos eno:> (como se ve si se compal'a con! lin' ), y la tercel'a converge condícionalnlente en todos los puntos, menos para el ,\: 1, en que diverge (~ 22-4, ej. 4). 9. He aquí un ejemplo en que no existe el limite del cociente de coeficientes: 2x 2:'- + 2' x' + 2" x' + ~ \1:" + ~ x· + ... ; tiene el término general 2 n xn si n es impal', y 2n-1 x" si ?t es par; luego,
=
+
xr.
604 ../~
SERIES DE POTENCIAS
n-,
\'--¡-a:¡ ::: ,,'
2" = 2; o bien 2n- > 2 ,... -lo 2; por lo tant o, es R:::; ~. La serie es, pues, absolutanlente convergente pal'a los valores que ¡xl < ~, La suma se calcula fácilmente si se observa que se l'01mnmlil de dos progresiones geométricas convlll'gentes, Para estudiar la serie fuera de su campo de convergencia, \1
Para «: =~, la Para x == - ! , P ara Ixl > ~ divergente. Para x:::: - 1
+• +
+
serie 1 1 + ! + 1 t .. , es divergente. la serie - 1 + 1 - 1 + ~ - , .. es divergente. (x =1= - 1 ) crecen infinitamente S ... y S....,; luego, es siempre S.. ;::: O y San+l ~ 00; luego, es oscilante.
Divel'gente
Convergente
Divergente
~ __-_~ ___.~========~~~========~~-========v--~====-= -=--=~~'========~ I I I I -~
- 1
t
O
Oscilante
Como ejer cicio, clasiiíquense análogamente en el plano cOluplejo loe puntoll Ixl == ~ (§ 22-1, b).
2. Operaciones con series de potencias. -- La utiJidad de las series de potencias re~J(le sobre todo en sus propiedades sencillas. análogas a las de 10 8 polinomios. Como consecuencia de los teoremas sobre operaciones con sel'Íes (§ 22-6), dentro del conjunto común a los campos de convergencia, las series de potencias se suman y restan como polinomios ordenados. También se multiplican, for mando el producto de cada término de una por cada término de la otra, y ordenando los productos según las pot encias crecientes de x, Jo que conduce al producto de CAUCH Y (§ 22-6, b R ). El círculo de convergencia de la serie que resulta comprende al menor de 108 CÍrculos de conver gencia, [lues para x interior a él, ambas ser ies convergen absolutamente, pero puede ser mayor como ¡>l'ueha el ejemplo trivial: (1 EJEf,lPf..{J:
+
+ x + + + , .. ) ;¡;2
:;;8
(1 -
Elevando al cuadrado la serie
+ x" + ."
+ ... =
x)
=
1.
<
.J.. x" 1: (1 - x) I x l 1, Y ol'denando seg-ún las potencia.s ascendentes de x. obtenemos este l'es11(,. 1
tado :
:t'
+
+
1 + 2x 3x" 4 x" + ' .. = 1: (1- x)2 Ixl 1. Análoga mente pueden dividirse las series de Jl
<
605
PROPIEDADES GENERALES
• ·13 -3
3. Series de funciones. Convergencia lUliforme. - a) Mupropiedades de las series de potencias interesan en general para series cuyos términos son funciones de x: [13-3] Uo (x) i- Ui (x) U2 (x) + Un (ce) + ... , 1101' lo cual nos referiremos a ellas, aplicando luego las conciu· Hiones al caso especial de las series enteras: Un (x) = a.,.rc n • Ante todo observemos que el campo de convergencia. de 1"48-3], ea decir, el conj unto de los puntos x en que converge la sede, no necesita ser un circulo o un segmento. Por ejemplo, l'haS
+
+ ...
00
la serie ~ sen n x sólo converge en los puntos: O, -+ 7r; o ± 21T'; • • . Supongamos ahOl'a, pal'a fijar las ideas, que la serie [43-3] converja en un intervalo (a, b) . Para cada x del intervalo. dado e> O, tendremos, llamando Sr. (x) a ]a suma parcial uo (x) U n-1 (x), Y f(x) = 1im Su (x) a la suma de la serie: n~OO [434] I Sn (x) - f( x) 1< lO para todo n> N (s, x). El número N depende, en general, no sólo de 11, sino tambIén de x, como indicamos al escribir N (E, x), pues para cada valor de x se tiene una serie numérica distinta, y la aproxima-
+ ' .. +
IJ
l! E X
O
a
b Fil'(. 13·!.
ci6n [43-4] se logrará con distinto número de tél'minos, si no > O la función de x , N (t:, x) . Diremos que la convergencia es uniforme en (o" b), cuando para cada t > O se logra la apl'oximación [43-4] desde una suma parcial en adelante y para todos los puntos del inte''rvalo (a, b) a la, vez, es decu', en el campo real (fig, 134), por d€!· gada que sea la "faja plana" comprendida entre y = f(x) - e e y = f (x) E, las gráficas y = Sn (x) quedan dentro de ella para n suficientemente gl'ande. Más generalmente:
está acotada para cada (;
+
606
§ 43
XI. SERIES DE POTENCIAS
DEF.: La converpencia de la serie [43-3] se dice unitonn
en un coniunto X, si a cada
~
>
O co'r7'esponde un número na-
tU1"ul N (d (dependiente de e pero no de x), tal Que para to-
do x del conjunto X es: ,
I Sn(x)
[43-5]
-
f(x) :
< F,
si n> N(t;}.
Es evidente que )a convergencia uniforme implica convergencia para cada x de] conjunto X, pero una serie puede ser convergente en cada punto sin serlo uniformemente. EJEMPLO
f(x)
1: La serIe
=
x
+
(x' -
x)
+
(x" - x')
+ ... +
(x n _x·\-1)
+ .. ,
es convergente para todo x r¡ue cumpla la condición Ixl < 1, pues prescindiendo del primer t érm ino, es geométrica de razón x. Como las sumll.S parciales :lon Sn ( x) x ", resulta en I x l 1 (§ 8-5, b) : I (x) O; Rn(x) f (x)- So(:\") xn. Si bien pal'~ cada ~; fijo este resto tiende a cero, no ocurre siempre
= =
=
<
=-
(,rn:::
lo mismo si al crecer n varía x; por ejemplo: R" -~, y entonces la convergencia no es uniforme en 1 x I < l. . Para x = 1 se anulan todos los términos, salvo el primero, y resulta f(l)= 1. Por consiguiente, en el intervalo [0,1) la serie dada de funciones continuas representa una función disc~mtinua, o lo que es lo mismo, la sucEsión 1~," r de funciones continuas (fig. 2fi en § 8-5) converge hacia una función di!;continun. b) La importancia de] concepto de convergencia uniforme radica no sólo en la acotación más sencilla del resto. sino también en que una serie uniformemente convergente ..le comporta en muchos aspectos como la suma de un numero finito de funciones. Por ahora, contentémonos con observar que así como la suma de un número finito de funciones continuas es una función continua (~25-7), se tiene el siguiente teorema (de
STOKES-SEIDEL, 1847-8) :
La suma f (~r) de 'una seTie [43-3] uniformemente con'vergente de funciones continua·,'; en· un coniunto X del 1Jlan.o complejo, es una función continua en dicho conjunto. DEM.: Llamando SI) (x) a la suma parcial de n términos, y Rn (x) al correspondiente resto, dado e> O existe, por la convergencia uniforme, un número N tal que J Rn (x) I < d3 para todo x de X si n > N. FUado así n, como Sn (x) es continua en X (§ 25-7). para cada punto x de X podemos elegir o tal. uue ; Sn (x') - Sn (x) I < E/3 si ¡ x' - x I < J5 Y x' está también en X. Por consiguiente: I f(x') - f(x) 1= I Sn(X') + Rn(x') -S,,(x) -Rn(x) I < ISn (X')-Sn (x)
i + I Rn (x') 1+IRn (x) 1<
-i- + -J- + -j-
= e,
lo que prueba la continuidad de f(x) en X. ESCOLIO: En una serie de funciones continuas, la convergencia uniforme es suficiente, pero no necesaria, para la continuidad de la suma, como pl'ueba el ejemplo siguiente:
I ·1:1 -3
PROPIEDAlJES GENERAL ..'S
RJEMPLO
607
2: La serie de funciones continuas
f(~)= 1 ~ x'
+
(1 :~·x'
+ (-,-.~ _ 1
+'112:1:"
-
1
~ x' ) + '"
('I1-1)x
)
1 +(n-l)'x'
H-
+ ...
tiene suma continua para todo x, sin que la convergencia sea uniforme. Basta calcular, sucesivamente: nx S.(x) :::: l+n'x' (fig.135); í(x) = R.(x)
S.(x)
lim n~
=
=
O cualquiera sea x;
00
f(x) -
Sn(X)
=
- nx 1
+
n" x'
:.
R.(~) = -
~--
i.
__ n=4
------========~~J-~~==~===---~x~n=40
e) El criterio más sencillo para asignar la convergencia uniforme en el conjunto X, es el de la serie, mayorante (§ 22-2, b) : Si para todo x del conjunto X los té'rmino8 de la serie ~ Un (x) 8e con.se,'van inferiores en valm' absoluto a los de una serie numérica convergente tan de términos positivos, la conve·rgencia de la se,'ie dada es uniforme er~ X. En efecto, tomando un número JI suficiente de términos, el resto de la serie numérica es menor que E, y por lo tanto. [48-6] I uv(x) UV+l (x) 1< av + aV+l + ... < e, para todo x de X.
+
+ .,.
NOTAS: 1. Aunque el criterio de WEIERS'l'RASS (c) da a la ve:z conver-gencía ab80lu.ta y uniforme, ambas propiedades son independientes, como lo prueban los dos ejemplos que siguen: 1<;» l::J:n es absolutamente convergente en Ixl 1, pero la conver-
<
gencia no es uniforme aUí, pues cualquiera sea n, el resto R. tiende a
00
par-B x
~
= - 1-x·-x-
1.
00 ( 1)0-1 2Q) 1: no es absolutamente convergente para ningún x real s n+~
608
§ 43 J:I
XI . SERIES DE POTENCIAS
(§ 22-2, ej. 6). Es en cambio rurlformemente convergente en todo el ej real, pues por la acotación del resto en series alternadas (§ 22-3, a) :
I Rn (x>!
< n~ x"
,, - ~-.
Diremos qu e Wla serie es m condiciona¿ uniformemente convergente ep un
= 1 +fl:
na:
~O
un iformemente en O < x
y en cambio, g,, (x)
= ~
(0,1), puea g. (l/n)
-=
x
i. (:t }
=
< 1,
1 1
l.
+ n a:-
.
pues iD (x) -)o
< -1 +1 n
-;. O,
O no uniformemente en
4. Convergeneia uniforme de series de potencias. - a) El criterio de la mayorante (§ 43-3, c) permite demostrar: Toda serie de potencias ¡ anxn , de radio no nulo, converge unifm-memente en cada circulo, I x l ::: p < R, interior al círculo de conv~rgencia ( en todo círculo, si R = ro). Basta comparar con )a serie de términos positivos ~ I a" I p71 convergente (§ 43-1, e). b) T EOR. DE ABEL: Si la serie de potencias ~ anx" convB'i'ge en un punto Xo de~ plano com plejo, converge uniformemente en todo 8egmento rectt1íneo [O, x o] . La demostración resulta del cril:erio de A REL (§§ 22-4, e, y 22-5), en que ]a convergencia simple de un a serie se deduce de la de otra, con este
I~~~~:n,:t~ :::i::~oD:: :~::~::n::e ~-N
d:i
~o:' t::::l1:se::t:aNs::~s:::
monótona [22-53] son funciones de una variable x, resulta de [22-63]: I al'< bN' + áN+. b N+p I < t b.. ~ C, es decir : ~ a" b. converge uni j orm.f!1l1ente en X, pues su resto R,. puede hacerse menor que un númel'o arbit ral-lamente prefijado, con N indepen. dien t e de :1:. En efecto, Jos térm inos de a" ~~l\ se deducen de los t ér minos de la serie convergent e ;:¡: (I n :r.,," multiplicándolos por la sucesión de números reales
+ ...
<
llositivós : t odos infer iores a 1, cualquicTa sea el punto x del segmento [O, Xo]; luego, es aplicable la observación at\terior. y la ser ie ~ a. xn converge uniformemente en dicho segmento. N OTAS: 1. Se puede amplüu' el alcance del t eorema de AUEL, demost rando que la convergencia es uniforme en t odo recinto interior al eÍl'culo c uyo contorno tenga común con la circunferencia el punto rc., a condición
=
I i;
de que se conserve acotado I ~ l' es decir, que esté contenido en un ángulo de dos cU€I'das trazadas por dicho punto (fig. 136), Éste es
609
PROPIEDADES GENERALES
111 llamado teorema de STOLZ, que amplía el alcance del teorema de ABEL. 2. En la nota I de este capitulo veremos que el recíproco del teorema .lcl ABEL sólo es cierto con alguna condici6n complementaría sobre los coeficientes a,.. S. Como corolario inmediato del teorema de A BEL resulta el tenrema tle ABEL sobre producto de series, l: U n y l: v •• con dicionalmente conver· ¡rentes (§ 22-6, b.), ya demostrarlo en el Capitulo V, nota 1, f). En efecto, se tiene para O < x < 1, IJor el teorema del producto de CAUCHY (§ 22-6, b.),
l: u. (tU. ~Vn:;cD = ~ wa:a:D, y si sUJlonemos convergente 1: 1V., resulta la con-
vergencia uniforme de las tres series en [O, 1], lo oue implica (§ 43-3, b) la continuidad de sus su-
mas, de modo que tomando límites para ¡¡; ~ 1resulta ~ lI n • ~ v. = 1: w •• EJEMPLOS : 1. La serie de § 43-1, ej. 1: z" x' ¡¡;
- 2 +3--- ... ,
" i'l. 136.
=
converge en el punto xo 1, Y por l o tanto, la convergencia es uniforme en t odo el intel'Valo [O, 1], ~gún el teorema de A BEL, o bien en todo recinto del tipo de S TOI.z. P r onto vel'emos la importancia de este resul" tado para el cálculo de logaritmos.
x:
2. La sede! (§ 43-1, ej . 8) converge uniformemente sobl'e cada n radio, inChlídos los e.lCtl'emos, pel'o en este caso la convergencia w1iforme en todo el circulo y su contorno resulta t rivialmente del criterio de C0111(!al'l~ción.
e) Como una serie uniformemente convergente de funciones continuas representa una función continua (§ 43-3, b), se tiene, por ( a) y (b) : La función f(x) = ¡ a"x", definida por una se'rw de potencias. es continua en todo punto interior al campo de convergencia; también es continua 'radialmente en t odo punto del contorno donde converge la serie. La continuidad radial en un punto Xo de) contorno: I Xo I = R, significa que f(xo) = lim f( x), siendo x/xo real y menor que l.
x-xo
3: La serie del ejemplo 1 define una función continua en todo punto interior del intet'valo (--1, ../- 1); veremos (§ 45-4, a ) que esta función es ~ a" x· In (1 + :a:). Pal'a x ~ 1, el primer miembro tiende, pOl' el teorema de la continuidad, hacia la serie convergente 1 - i + ! - ... , y el segundo hacia In 2; luego, resulta el desarl'Ollo In 2 = 1 - ~ + ! - .. . 5. Derivadas y primitivas. - a) Campo de conve1'genci(L EJEMPLO
=
de la serie dM"ivada. - La serie las derivadas de sus términos :
[43~l]
y la serie fo rmada por
+ ...
[43-7] f](x) = al +2a:!x +3a",x 2 + .. . +na"x n- 1 tienen el mismo radio de convergencia. Basta, en efecto, observar que por ser (Cap. V, nota l, ej. 2) :
n
Vn
[43-8] lim = 1, no se altera el límite que determina el radio del desarrollo de x. f I ( x ), obtenido al multiplicar por n el término general.
610
Xl. SERIES DE POTENCIAS
NOTA: Este teorema prueba que la serie obtenida derivando los términos de la serie dada, define una f u nción f, (x ) en el mismo campo (salvo el contorno) en que está definida la función f (x); pero esto no autoriza a asegurar que fl(x) sea precisamente la deriva da de f(x ) , pues la regla de derivación de una suma (§ 32-1, b) se r efiere exclusivamente a un número finito de sumandos, Y' es preciso un estudio especial para las series, que ahora vam()8 a hacer.
b) En general, una-serie no puede derivarse término a término. Por ejemplo, la serie ¡ n-2 • sen n 2 x es convel'gente para todo x real (absoluta y uniformemente), por tener la mayorante ~ n- 2 , pero la serie de las derivadas, ¡ coa n 2 x, no converge para todo x real; por ejemplo, diverge para x = O. También la serie de potencias, ~ xn/n~, converge en todo el contorno Ixl = 1 (§ 43-1, ej. 8), pero no así la serie de las derivadas ~ xn-l/n, que diverge en x = 1. Sin embargo, en el inter-w r de su campo de convergencia, toda serie de potencias puede derivarse término a término, y en la misma forma puede hallarse la primitiva. Aunque esto es consecuencia de propiedades generales de las series uniformemente convergentes (vol. n, § 85), daremos una demostración directa. Sea x un punto interior al campo de convergencia; tomando h en un cierto entorno I h I < 8. de modo que x + h quede también dentro del campo de convergencia. son absolutamente convel'gentes las series: f(x) ~ a.
+
U d!;
+ a ,~'o + ...
+a... ~n
+ .. ,
f(x+h) = /lo + a,( x + h) + cb (z+h)" + . . . +a.(x + h)~ + .... de donde, restando término a término, y dividiendo por h, se deduce la serie convergente ; f(x + h)-f(x) h == a, + a.(2x+k) +a.(3x"+3xh+ha) + .,.
+
+ .. , + +- 4 tt' h' + Ii') + .,.,
=
::: al + 2 a, x + 3 a, x' + 4 a, r;¡JJ
a,h
+
a, (3~'h+1r')
+ a· ,(6~·'h
y como la primera de estas dos series es convergente (a) y lo es la suma
de ambas, también lo es la segunda: separando el f actor h. y llamando: [43-9]
=
donde
= lim
h-O
f(x
+ h)h -f (~- )
=
f.(x).
• J!l -E j,
611
PROPIEDADE S GENERALES
La función f (x ) = ao a.l x a~ x 2 (1" XI( (f,.f inida por una se1'Íe de potendas, es cmltinll(I y de l'i-vable f'n. l oelo punto i nt c1'io-t, a su cam.po de convc?'genda. La función II(Ti'vada. se obtiene de1'ivando té1'1nino a término la sC1'ie dada: (' R deCÍ'r, [-13-11] f ' (x) = a[ 2 a2x 3 a 3 x' JI 0" X,,- l
+
+
+ .,, +
+
+ '" +
+
las de1'ivaM s sucesivas son: (48-12] f" (x) = 2 lL:! + :3 .2 . a.sX +
+ ' .. ,
+ .. '.
JI
¡.;r;lt~~ ~: : : ~: ~: :::(~:~
... + n (n -
1) a"x ..- 2
+ ... ,
:1::(:: ~ :2::: ~;~~: ~:~'
Recíprocamente : Una !1mción primitiva de mia serie de potencias se obtiene oum.entando en 1 el exponente de cada té'rmino y dividiendo 1)01' el nuevo exponerlte. La f'unción primitiva más geneml se obtiene s'/.onando 1I.n((, constan te arbitraria a esta serie. Vel'emos ejemplos en el 45.
*
E JERClCIOS
1. Ra dios de convergenci a de las series de potencias: "I. x"ln", l:n 11l 1l x ll , !:n ! x ll ln", ~(211) ! x' /(n!) ", l:n!:t", :tnl:c.... 2. Probar que si existen dos constantes positivas h y k tales que se verifique para todo n una de las acotaciones: al \ eJAXo" 1 11.11.., b) Ia. + a,~o+ ... + a,."0~1 hn", en tonce~ la serie ~ (I ,, :e' COllvel"ge absolutamente para todo x tal que
<
<
, ~: I < l:tul·
3. Demostra r que si L y 1 son los límites s uperiO)' e inferior de oscilación (§ 20-6) de I a~ .. la . l. el radio de convel·ge ncia de [43-1] está compr endido entre 1!L y l /l (P INCHERLE). 00
4, P robar que l: x"1 (nt I ~I
<
+ n)
eg
absolutamente
convergente para
I
1. 6. P robar que sj las series l: aro x' y }; b" x" tienen radios de conver. gencia R y R', el de l: a. b. x" es > R R', y el de l: (a.lb.) x~ es .( R/R', 6. Demostrar que el radio de convergencia de la suma de dos series de potencias de radios rlesiguales es el menor de ambos, pero puede ser mayor s i 'lItoB son iguales. Dar una serie que sumada a l: a,. x· dé otra de radio infinito. 7. De los desarrollos de § 43-2, ejempl o, obtener por producto o cambio de variable 108 de 11 (1 + «). 1/ (1 ± ce)-, 11 (1 ± :t') , 8. Una serie de potencias A(:d == :t A. x·, de ce Ficientes no-negativos
612
Xl. SERIES DE l'OTENCIAS
A..;;.O, se llama (cfr. § 22-2.b ) mo:yora,nú de a ( :2: ) := 2:an X· lit I a" I (; A.. Probar que si además es B (x) 1: B n x-, mayorsn te d b(o::) = l:b.~, entonces es A ( x) + E (x) mayorante de a(x) + b(x ), y A (~) . B (x ), mayorante de a (x) . b (x). 9. Probar que: a) el desarrollo (f inito) de (1 + x)" tiene por mayo. rante el de t /(l_:I)D; y b) éste el de l/U -tl x). 10. F robal'que ln sel'íef(x) = ~x /[ (l +nx)(l +(n+ l)x)] no con.verge uniformemente en ningún intervalo que contenga a cero, y hallar su suma (n desde O a 00) . 11. Utílizando la aerivación de series de potencias, sumar las series:3' x' + 4a x' + ... 1 + 2" ~ + 3' x' -1- 4' x· + .. . ; 1 + 2" x 12. Probar. a partir de la serie exponencial [45-1], que 1 2 3
=
+
2 1 + SI + -¡¡- + ... =
1.
§ 44. D ESARROLLOS EN SERIES DE POTENCIAS 1. Ddinición y unicidad. - a ) Demostradas las propiedades de las series de potencias, muy análogas a las de los polinomios, se comprende el interés que encierra la expresión de f unciones por medio de series de potencias, al!roritmo que da unidad a funciones definidas por medios muy diversos. Desarrollar una función f(x ) en se'rie de potencias de X, es obtene?' ~ma ser-ie de potencias cuyos vatO'j'es en todos 108 puntos de SU campo de conv€'rgencia coincidan con los valo'res que en ellos toma la f1mci,ón, El ejemplo más sencillo de desarrollo en serie, en el cual aparece ciaramente la restricción que este algoritmo lleva consigo, es el siguiente:
= 1 + x + x 2 + ... + .x" + ... , J x I < 1. -x El segundo miembre tiene significado numél'ico solamente para valores de x inferiores a 1 en valor absoluto, pues sólo para ellos converge la serie, y el valor de la serie coincide con el de la función. Para valores de x superiores a 1 en valor absoluto. el segundo miembro carece de valor numérico, puesto que la serie diverge, y en cambio, el primer miembro toma valores perfectamente determinados. Finalmente. para x = 1, uno y otro miembro car ecen de valor numérico; para x = - 1, el primero vale -§-, mientras que la serie es oscilante. En el campo real. la serie s610 sirve, por lo tanto, para representar un arco de la hipérbola (fig. 137) que el primer miembro define. [44-1]
-1_1_
NOTA: Se comprende bien, en el ejemplo anterior , que el campo d€ convergencia no puede sobrepasar al punto x:::::: 1, pues la función es dis· continua en él. Consideremos ahora el desarrollo en progresión g-eomé· trica: 1
1 + x'
=.:
1 -
x'
+
x' -
...,
I 44 -1
613
DE!iARR(}LLOS E N SERIES DE P OTENCIAS
'Iue también tiene en el campo real el intervalo
o
,
,,
Fig. 137.
b) Si la función f (x) ad-
mite un desarroJIo en serie de potencias: [ 44-3]
f(x) =
ao
+ al x + U2 X2 + '" + a n x" + ... ,
válido en un cierto campo de convergencia, hemos visto (§ 43-5, b) que es derivable en él, y sus derivadas son las series [43-11] y [43-12] . Haciendo en ellas x = 0, resulta: f( Q) = ao, f'(O) = l!. uh f"(O) = 2!.uz, ... , fltl) (O) =n!.am ... ; luego, los CiWi cie11 t~ del desarrollo pueden expresarse así: f' ( O)
f"(O)
= f (O) ,
[44-4]
a, = -1 '. . a:,¡ =
f(x) = f(O)
2 ,.
, ... ,
f'(O) +-nx +
Un
=
fIn ) (O)
n., " .. Si en el campo real o complejo una función f (x) es desan-ol1able en serie de potencias, este desarrollo es único y viene expresado por la fórmula: 0,0
f(lI)
(O)
+--n., -X" + '"
LJamaremos a esta fórmula desarmllo indefinido de MAC-LAURIN.
Si dos funciones desarrollables en serie toman igual,es va.lores en un ento'rno cualquiera del o'rigen, las dos series son idénticas, es decir, tienen iguales los coeficientes de las mismas potencias de x. Porque en dicho entorno constituyen una sola función, y siendo iguales sus derivadas en el punto x = O, el desarrollo es el mismo. A igual conclusión se llega con sólo suponer la coincidencia de ambas funciones en infinitos puntos con un punto de RcumuJaci6n (Cap. VI, nota 1I) en x o.
=
De este teorema, también llamado pTincipio de identidad de las series, se deduce inmediatamente: El desan-oUo en serie de una, función par sólo contiene po-
614
XI. SERIES DE POTENCIAS
§ 44 -1
tencifl,8 de x con exponentes pa7es, y el de8a77ollo de una. fun ci6n impM 8ólo contiene exponentes i m p
Porque debiendo ser, en el primer caso, en el intervalo de convergencia,
ao + a1x + ~X2 +
...
= 0,0 -
(hX
por el principio de identidad resulta: a l = as = .. . = ~k+l y análogamente en el segundo caso.
+ a 2xz -
••
' J
= O,
2. Desarrollo por la fórmula de Mac-Laurin. - El teorema de unicidad simplifica el problema del desarrollo en serie, pues lo reduce a investigar si el desarrollo de MAC-LAURIN es legítimo o no. Desde luego, dada una f unción cualquiera f(x) que admita en el origen infinitas derivadas finitas, la fórmula de MAC-LAURlN que hemos introducido en el campo real, expresa: [ 44-5]
f (x)
=
f( O)
+
fli~)
x
+ f"~~)
XZ
+ ... +
+ -fIn)11-,(O) - 3'" + T " (x), . donde el término complementario. T II ( x ), tiene cualquiera de las formas obtenidas en § 39-8. Es decir, llamando Sn (x ) a la suma de los n 1 primeros términos de 11'. 8erie de MAC-LAURIN [44-4], en el campo real siempre es cierta la ii:'ualdad:
+
+
[44-6] f(x ) = S,,(x) Tn(x), y se b'ata de averiguar cuándo coincidirá f( x ) con ]a serie in-
definida, es decir. cuando será: f (x)
= Uro S" ( x) . n~ co
La contestación es inmediata, pues esta condición equivale
a esta otra: [44-7]
Uro T" (x) ... O. n~ oo
En e] campo real (ver par a el campo complejo, nota 2), el desaTroUo de una función f(x) en serie de MAC-LAURIN es legítimo pam todo v alO1' de x que, sustituido en el té1'mino complementario T,,(x) , cumpla la condici6n lim Tu (x) = O. n~OO
Obsérvese que esta condición lleva consigo la convergencia de la serie de MAc-LAURIN, puesto que S.. ( x) tiene como límite f (x), que es finita, pero la convergencia por sí sola no implica que T I1 (x) tienda a O. (Ver nota. 1) . En la prática, conviene sin embargo comenzar examinando cuáles son los valores de x que hacen convergente la serie,
I •• -8
616
DE!;ARROLL05 ):N SERIES DE POTENCIAS
y después sustituirlos en el término complementario, para des:har aquellos que no cumplan la condición lim T" (x) = o. >t4c()
Obtenemos así esta regla pr áctica para desarrollar en serie mm función f (x): 19 Se calcula la expresión general de sus Illlrivadas, o por lo menos sus valores para x = O; 29 Se determina el campo de convergencia de la serie de MAC-LAURIN formada con estos coeficientes; 39 Se desechan los valores de x 'lile no cumplen la condición lim T" (x) = o. NOTAS : 1. Hemos visto que en el Cllnlpo real, la condición Hm T. (¡;; ) =0 lleva consigo la convergencia de la serie de MAC - LAURIN, pero la recíproca no es cierta; puede suceder que la serie sea convergente, es decir, que S. (x) tenga UI'I limite S (x), pero que este limite lIO coincida con t(x); entonces puede asegul'81"Se que la función no es desB.lTollable en serie.
Ejemplo notable es la funci6n de f( x)= e-1/"",
CAUCHY (§
38-6):
f(O) =O,
derivadas en el campo real son nulas en el ol'igtm. El desauolJo de MAC - LAuRm sería: O + O. x + O • x" + .. . + O • x" + .". convergente para todo valor de :1:, pero que no coincide con le. función en ningún intervalo, por pequeño que sea, puesto que la f unción sólo se anula para x o. La razón de esta dis<:repancia es evidente: el valor dd término conlplementario T,,(x) coincide con el Valol" f(x ), por mucho que se Ilvance en el desarrollo" 2. E n la teoría de las funciones de variable compleja se demuestra (vol. 111, § 115-10) que Ja condición necesaria y suf iciente para que una función sea desarrollable en serie de potencias, es que admita derivada finita. en un entorno de 0, cualquiera sea el incremento ccmplejo A ~ de la variable (§ 41-1, b). Por eso no es analítica e-1/",' ; pues si bien admite derivada para A x real, positivo c negativo, si se pone x == i 1/, la derivada en la direcci6n del eje 'lI es infinita. CuylUl
=
3. Función raciona1. Desarrollo por divisi6n_ - a) No siempre es la fórmula de MAc -LAURIN [44-5) el medio más expedito nara desarrollar en serie. Tal sucede, por ejemplo, con la función racional. Investiguemos si ésta es desarrollable en serie, esto es, si existe una serie convergente en un cierto circulo, tal que sea:
+ a,.x + ... + apxPm '" Co + ClX + C2XII + • " • + c"x + bIX + • • • + b X
ao
bO
n
-+.. ..
m
Desde luego, es condición necesaria que sea bo =1= 0, Y también vamos a probar que es suficiente. En efecto. suponiendo b o = 1 (para lo cual basta. dividir por él). como el producoo de los m ceros del denominador es (§ 18-2) Xl X:l ••• Xm = "'" (-1)m/b m el valor del denominador será (§ 18-2): •• , (X-X".)
( 1 - X·xm )..
= (l-~)( 1 -~) ... Xl X2
616
XI. SERIES DE I'f)'J'ENCIAS
§ 44 ,
La fracción es, pues, el producto del polinomio numerador por lI¡ fracciones
1
x =1-+-XJII,
X )' + ... + ( - x )'+ ..., l:el < Ix., 1 ; + ( -.X X m
N
o sea, es el pl'Oducto de dicho polinomio numerador por estas ?n series absolutamente convergentes, y esta igualdad es válida para todos los valores de x que cumplan las condiciones
además, por la continuidad de la función representada pOlO una serie de potencias en el interior de su círculo de convergencia (§ 43-4, e), no podrá pertenecer a dicho círculo ninguna raíz del denominador (supues· to que no lo sea del numerador); luego:
El desarrollo en serie de una función 1'ucionaJ es válido precisamente para todos los valores de x inferiores en 'Valor absoL'uto al menor de 108 módulos de las raíces del polinomio denominador. El radio del círculo de convergencia es, pues, el menor de los módulos de las raíces reales o imaginarias del polinomio denominador (cfr. § 44-1, nota). b) Demostrada la existencia del desarrollo en serie de la función racional, sus coeficientes se calculan por su condición: (en + CJX + c2 x z cnX n (b h b¡ x + ... + blllx''') =
+ ... + + ... ) + = al) + ala; + ... + apx",
y como es absoluta la convergencia de la serie en todo el interior del intervalo de convergencia, podemos ordenar los térmi· nos del primer miembl'o según las potencias de x, y en virtud del principio de identidad, sus coeficientes han de ser iguales a los del segundo miembro. Tenemos así el sistema de igualdades de condición: Co Cl C2
[44-8]
bo = bo bo
ao
+ Ce b1 = al + b + Co b Cl
1
2
= a2
617
DESARROLLOS EN SERIES DE POTENCIAS
• .t4 -3
rle donde se despeja sucesivamente: ao
b ' el o
IJI)
efl
=
a1- Co
b
b1 ' ••• , en
o
=
-
c n - 1b1-
. • . -cn-mb m
b
o
• ••• ,
decir, resultan los mismos coeficientes que si dividimos am-
hos polinomios por la regla ordinaria, prosiguiendo el proceso
indefinidamente. Luego: El desarrollo de una fu,nci6n mcional se obtiene dividiendo a( numerador por el denominador, ordenados según las potenoías c1'ecientes de x. Esto mismo vale para el cociente de dos series, porque una vez demostrado, como se hace en la Teoría de funciones de variable compleja (vol. III), que existe tal desarrollo, sus coeficientes se calculan igualmente por división. E.rEMPLOS: 1. He aquí un desarrollo dtJ función racional:
1-a: -l+x+xt -=
1 -
2x
+
x'
+ x' -
+ x' + '"
2 x'
El radio de convergencia es 1, módulo de los ceros del denominador. 2. La función tg x se desarrolla como cociente de las sel"ies del seno y coseno (§ 45-2), y se obtiene: 2 tgx = x 15 x·
+ ;- +
eu radio de convergencia es
+ .. _;
: - , "por ser el menor de los
Cel"OS
del deno-
minador. 3. Análogamente resulta:
R :;;: 4. También, por división, se obtiene: cc' 5 x, 61 x· 1385 x· 1 1 +2f+ --¡-¡- +-61+ 81
co;x-
'ir.
+ ...
Los números 1, -1, 5, - 61, 1385, ... , que, salvo los signos, aparecen en los numeradores, se llaman nÚme?'08 de EULER, y se presentan también en otros muchos desarronos. e) Series reeurl·entes. Las ecuaciones de condición [44·8] qHe determinan los coeficientes de la serie den1uestran que cada m + 1 consecutivos: Dr.-m, Crt-t.'ltl, en-j, en están ligados por una ecuación lineal de coeficientes fijos:
b", b",-l , _ .. , b" bo•
DEF.: Se llama reett1'rlmte toda serie cuyos grupos de coeficientes consecutivos, desde uno de ell08 en adelante, satisfacen a una ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes. Éstos constituyen la escala de reeurrencia de la serie. Dada una serie recurrente cualquiera, cuya escala se componga de m 1 términos, si formamos las igualdades [44-8], obtenemos p + 1 números !to, a" _.. , 07', Y al dividir el polinomio que tiene estos coeficientes por el formado con Jos b., b" .•. , bm de la escala, van resultando precio samente eo, Cl, eJ, .. _; luego;
+
618
§ 44 -
XI. SERIES DE POTENCIAS
Toda Berie rectwrente define una funcilm racional, cuyo denominador tiene por coeficiente8 l08 de la e8cala de reourreneia. EJEMPLO: La serIe 1
+
3:1:
+ 7x' + ... +
+
(2"-1)X"-1
(2n+1_1):l'n
+ ...
es recurrente, pues cada tres coeficientes consecutivos están ligado! por la relación (2f1+I - l) -
8(2''+1_1)
+
2(2"-1)
= O,
que se verifica para todo valor de n; luego, pondremos: l.l=a.
3.1-1.3==a. 7.1-8.3 + 1.2=0.,
Y como valor de la serie resulta: f(x)
=1_
1 3x
+
2~ •
NOTA: E n ocasiones se puede hallar más fácilmente una ecuación lineal no homogénea que conduzca al mismo resultado. En el ejemplo anterior, dos coeficientes consecutivos, C.-l y e", están en la relación 2 0.-1 + 1 == e., que conduce rápidamente al mismo resultado.
4. Método de Jos coeficientes indeterminados. - El método seguido para desarrollar en serie las funciones racionales puede aplicarse a muchos tipos de funciones. Consiste en designar con letras los coeficientes del desarrollo buscado, y someter la serie desconocida así formada a las condiciones que caracterizan la función dada, hasta llegar a una identidad a la cual debe satisfacer en todo su intervalo de convergencia; identificando los coeficientes en ambos miembros, resultan ecuaciones de condición que permiten calcular sucesivamente los coeficientes buscados. La condición que determina la función dada, y = f (x) , puede ser una ecuación, algebraica o trascendente, a la que satisface y. También puede ser una ecuación que liga a y con sus derivadas y', y", ... ; estas ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales. Complemento ineludible del método, en todos los casos, es el examen de la convergencia de la serie obtenida ulla vez calculados los coeficientes; }Jorque sólo en esta hipótesis son legitirn Rs las opcraciones a que se ha sometido dicha serie para determinar sus coeficientes. Además, es indispensable asegurarse si dicha ecuación algebraica, trascendente o diferencial, caracteriza completamente a la función dada, o si e.xisten otras funciones que también la satisfacen, y entonces habrá que examinar a cuál de estas funciones corresponde el desarrollo obtenido. Cuando a prio·ri pueda nsegurarse que la función es desarrollable en serie. entonces se simplifica el método. pues basta obtener una r elación cualquiera a la ella} deba satisfacer la serie, que sirva para determinar los coeficientes.
• 44 -Ej.
619
VESARflOLLOS EN SERIES DE POTENCIAS
1';J'EMt'LO ; Apliquemos el método a la función exponencial e" . Ésta IItisface, en efecto, a .le ecuación diferencial y;::: y'. Recíprocamente si ltlln función cumple la condición '
_ --1L..=
1,
ti
o sea.:
D In '11
= 1,
dILe lIer In ti :::; :c + c. de donde y = e·" = C e", poniendo por brevedad G= e Determinemos todas las series que satisfacen a dicha ecuación difetendal: ca. + lZ1 ~ + ... + a•.• ;¡;;"-1 + .,. ::::: al + 2 a.:c + ... + n Un ,. :'" 1 + ... ti" don de, identificando: D
•
.-
a
_ _a,,-l_ n
. o
la acrje obtenida es, pues, absolutamente convergente en todo el campo
rlllll, por ser lim -~ ;::: O, Y le. función así construida, por satisf acer a 4 11 "1
la eeuación diferencial, debe ser del tipo C. e" . En particular, pare. que tea e ::;;; 1, debe /ler a. = 1, Y resulta. el desarrollo conocido. E .JERCICIOS
1. Demostrar que si tas del'jvadas f' ," (:t' ) se conSel'Van acotadas en conjunto en un entorno de O, es f (;c) deslIl"l'ollable en serie de MAC. LAURIN de radio infinit o. 2. ¿Es des1l1'rollable en seri.e de MAc - LAURIN e' + e-1 f r "? S. DesarrolJar en serie, por división, a) 1I( ~- 2x+2); b) (l+5x)/(1+2x-3 ::t"), hallando las escalas de l'ecurrencia de los coeficientes y los radios de con· vergencia. 4. Sumar las series recurrentes : a) 1 + 8:0: + 6:e' + 7~' + ... + (2n 1) x· + ".
!!u
+ ... e) 1 + (2" - 8) :r: + (2" - 4.) x" + ... + (2"" - n - 2) x" + IS. Sumar 1 + 2 ¡;¡; + 3 x· + 5 x' + 8 x' + ... , donde la sucesión coeficientes es]a de FIBONACCI (§ 22-2, ej. 9) : a. =: a.-l + a..-t. h)
1+2·~ + 8· :t' + 4·"' +
... + (n+l)" xA+
de
6. Hallar el desarrollo de f(x) == Sen x a partir de f" (x) == - f(x) con las condiciones f (O) ::: 0, l ' (O) ::: 1. 7. Hallar los desarrollos de f(x)=sen:c y g( x)::=cosx a partir de f'(~) == g(x), g'(x) == - f(x); f(O) == O, g(O) = 1. 8. Desarrollar, por coeficientes indeterminados. x/(e- - 1) ::= 1 B, x + B.x·/2! + B.:c"/3! + ... ealculllndo los números B. llamados de BERNOULLI, hasta Bu, y establecer la fórmula simbólica (B + 1). - B. = O, donde se desarrolla el binomio, respecto al indlce, como si tuera exponente. (Cfr. con Cap. XVI, nota n, a), donde se da otra función generatriz). ' 9. Estableciendo fórmulas de recurrencia para las derivadas en el origen, hallar los desarronos de MAC-LAURIN de: a) y = cos (m are sen a;) ; b) ti = t g tI:; e) De este último, deducir el de In cos x y el radío de conver¡rencla de ambas series.
+
620
§ 45 -1
XI. SERIES DE POTENCIAS
§ 45. APLICACIÓN A LAS TRASCENDENTES ELEMENTALES
1. Función exponencial y = ex. - a) Anteriormente (§ 39-5, a) hemos obtenido en el campo real el desarrollo fi· nito
x
+
x2
ex = 1 + -1 1 -2' ..
x" + ... + -, n. +-
X"+l
(~- +' l~--)reex (O < 8
n
.
<
1),
La serie indefinida es absolutamente convergente pal'a todo valor real de x, pues la raz0n de un término al anterior x 1uego. (n +-1)1' Xtl+l t·lend I es ti; e a cero, ella ' qUIera sea X, y t ambién tiende a cero el término complementario. Por lo tanto: Pa1-a todo valor 1"ea~ de x es válido el desarroUo: x X2 x3 X" [45-1] eX = 1 "1! 2f 3T n! + .. ,
+
b) El núrne1'O e. la serie:
+
+ .,. +
+
En particular, para x 1
1
1
1 obtenemos
=
+ ...
1
e=l+ '1'1. +-2'. +. -3' +-n., + ... , que permite calcular e con tantas cifras decimales como se quiera. Para obtener el error cometido al tomar los n primeros términos, observemos que es exactamente: 1 1 1 ee 1< < ( 0<0<1 ' e = 1+ -1'. +2' -. + "'+C n -1)' . + -" n. 3 luego, el error cometido es por defecto y menor que [45-2]
e(l e). n!"
Como cada término se deduce del anterior por una sencilla división por un entero, y decrecen muy rápidamente, con poco trabajo se llega a una excelente aproximación. He a quí las primeras cifras del número e: e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71353 ... NOTA:
fuese
/3
La misma fórmula demuesha que e es inaC'Íonal; porque si
= .J!... q
(p y q entel·os ). tomando n;:::: q
1 1 + -1'. y l1l.ultil)Jicnndo por q!, p
-q =
1). (q - l )1 ::::
+ ... +
1
-1 q
+1
sería:
e8
+ .(q + 1).I •
número entero
/3(1
+--. q+l
igualdad imposible, pues siendo eO < 3, q + 1;;;" 3, resulta ~ < lo • q+ No es tan fácil la demostración, dada por CH. HERMITE en 1873, de que e es trascendent e (Cap. IV, nota I) ; puede verse en Ele1nentos de la Tco1·{a· de Funciones, de J. REY PASTOR (citado en Cap. VI, nota VI, 2).
§ 45 ·3
G21
APLICACIÓN A LAS TRASCENDEN TES ELEMENTALES
2. Funciones circulares e hiperbólicas. - a) Funciones sen x x. - De [39-17] y [39-18] se obtienen los desarrollos siguientes, válidos para todo valor real de x: iI COS
[45-3]
sen
x3
:-;;2
L45-4]
;r~
x = x-3T+ 5! - ... +
cos x = 1 - 2T
+
x 4! 4
... ;-
(-1)1' x 2k+l
(2
k+l)! +
(-1)1' X3k
(21c)!
+ ...
En efecto. ambas sel'ies son convergentes para todo valor de x, pues )a razón de cada término al anterior tiende a cero; x 2k X2k+l. • luego, (2 k)! Y (2 k 1) f tIenden a cero, cualqUIera sea x, y también tienden a cero los tél'minos complementarios. b) Funciones sh x 'JJ eh x. - De modo análogo se obtienen (a partir de § 39-5, ejercicio) los desarrollos siguientes, también válidos para todo valor real de x: XE x" X21<+l
+
[45-51
shx=x+ 3l +5f +
[45-6]
eh x
=
1
Xl x· + -~ + -4! 2!
+-(2k + O' +
+
3. Las trascendentes elementales en el campo complejo. a) La definición de las funciones circulares es una excepción
dentro del plan de nuest.ra obra. El único modo riguroso de de. finición admisible en Análisis es el aritmético puro, y las consideraciones geométricas deben ser relegadas a] secundario papel de imágenes que facilitan la recordación de las demosb'aciones aritméticas. No obstante, hemos introducido las funciones sen x, cos x, por medio de una definición geométrica, y tamhién con demostración geométrica l¡emos admitido el teorema lim sen :\' :<-)0
X
= 1, el]
el que nos hemos apoyado pant
calcular la del'ivada. Mediante tales consideraciones geométricas llegamos al fin a encontrar una eX.\lresión aritmética pura, en forma de serie convergente, para estas funciones cil"Culares. Si bien queda justificado este proceso desde el punto de vist.a didáctico, por razones de brevedad y sencillez, parece sin embargo forzoso, al llegar aquí, dar el medio de salvar esta excepción, que, desue el punto de vista exclusivamente lógico, constituye una deficiencia.
He aquí, pues, el método aritmético puro que puede seguirse en Análisis para introducir las funciones cir culares, sin hacer llamamiento alguno a la intuición geométrica, método también aplicable a las hiperbólicas: Como definición de tales funciones adoptamos las series convergentes de variable ?"eal o compleja [45-3] a [45-6]. b) Dentro de] campo real, las funciones circulares son in-
622
§ 46
Xl. SERIES DE POTENCIAS
dependientes de la exponencial. Por lo contrario, las fundonl hiperbólicas se redUCel) a combinaciones sencillas de exponen ciaIes, como expresan las fórmulas [29-1] y [29-2] dadas como definiciones, y fácilmente obtenibles de las definiciones por series. Expresiones análogas se obtienen en el campo complejo para las funciones circulares, si se define ex para x complejo por el desarrollo [45-1] * Aplicándolo a e i ", e- h (x rea!) , y separando partes reales e imaginarias. resultan las fórmula:> de EULER: ['15-7] el> = cosx+isenx; e-' = cosx - isenx equivalentes a éstas: X
[ 45-8]
cosx
=
sen x
- - - --
2
= - -- --
2i
que pueden servir para definir las funciones circulares mediante la exponencial, como hicimos COIl las funciones hiperbólicas. Obsérvese también que las funciones hiperóólicas quedan comprendidas en las circulares en el campo complejo, por ser ch x = cos ix y sh x = - i sen ix. La primera relación [45-7] muestra que un complejo a de módulo l' y a r gumento <; puede escribirse en la forma exponencial [9-13] : ce = re >(1) y j ustifica la nota de § 9-4. Las demostraciones de 9-5 Y 10-1 Y 2 (véanse las correspondientes notas) probarían que las leyes formales de las potencias se conservan para estos números, lo que se demuestra aritméticamente recurriendo a los desarrollos en serie.
*
*
NOTAS; 1. Las fÓl'mulas de EULER prueban que eZ es pCí'íódica., lo que no advertimos al estudiarla en el campo real, por ser imaginarios los períodos: 2 le '
[ 45-9]
• Lu defiJ1ición de las tr~SCEndentes elementale.. en el cnmpo complejo rnt'dinntc las mismas serit. 5 de potencias que- Ins reptt?sentan en (-1 campo r ea l. !:c justifica también ~lenQtnEnte con el principio de identidad en la teon u de la p rolongación analítica (cfr~ mI- Jl TI.
W
46 -8
623
APLICACiÓN Ji. LAS TRASCENDENTES ELEMENTALES
r
rórrnula subsistente para x complejo cualquiera, si el segundo miembro
ae define por [45-1]. En efecto, si se desarrolla {1
+ :
por la f6r-
mula del binomio (§ 12-1):
(1 + :)"; 1+ n
+ ( ; ) :: + ... + ( : ) :: .
:
y Sé toma:
x (n) x + n-+ 2 .+ ... + D
S·.,
+R ."lr
= 1
R ..... :; (
n x'"n m
n
)-+ ... + nO!
XX'
+11+21+
S",::;: 1
+ Roo {
x"
R .. ::
7!.
(
~
mr +
(m
dado un e > O arbitrario, sea m tal que
)X--' ~
(n) x" m - l n n
~ n"
+
(m-l) I
I
....1
+ l ) ! + .....
l-~' <: ..!-, a
; ,- .. p!
posible
pOl'
ser
[46-1] absolutamente convergente.
Entonces. al tener en cuenta
\(;)::I =!nCn-l)
"~p(n-p-l"l)
•
;;1,1;;\
(p =: m. m + l • ...• n),
se cumplirá también: e
I R .. I < 3".
[45-10] Para
n> m es:
IS .. - 8 ... 1 ==1~(1_n(n;1)_)+i~(1_n(n~~.
+ (m-l)! que para m fijo y n
~
(
1 _
n(n-l) .. , (n-m+2) n~-1
... +
)1 t
co tiende a cero; es decir, existe un valor de
JI
tal
r
n>
que para JI es I S .. -S· .. I < 3" Entonces, teniendo en cuenta [45-10], hemos probado que dado e> () arbitrario, exIste .. (e) tal que para todo I'(e) se ~onserva
n>
1e' -
(1
+ :)"1 o< I S .. -
S* ..
I + 1R .. 1 + I R* .. 1 <
e,
quedando así demostrado [45-9] para x complejo cualquiera. Ésta es la linea de pensamiento que en forma no rigurosa Bigui6 L. EULER en su Introductio -in anal7l8iB infinitorum (Lausanne, 1748, cap. VII. p. 86). para obtener la serie exponencial.
624
Xl. SERIES DE POTENCIAS
§ 45
e) De la extensión de la función exponencial al campo complejo resulta una extensión análoga para su inversa, J8 función logarítmica. Corno w = e"'+iv = &' • e111 = 1" eiv (r = er) toma todo valor complejo con Ja sola excepción de w = 0, la funclOn logarítmica quedará definida para todo el plano propio, salvo el origen. Poniendo el número en la forma exponencial:
[45-11]
'0'
= reí'P,
resulta para su logaritmo: [ 45-12] In a = In l ' 1~'f pues por la conservación de las Jeyes de cálculo para exponentes imaginarios es:
+
[45-13]
elnr+i'P = elnr.ei'P
=
r.eiq¡ = a.
Por la periodicidad de la función exponencial (nota 1), resuJtan infinitas determinaciones para el logaritmo, pues [45-12] lo determina a menos de 2 k 7r i, por la multiformidad del argumento 'P = al'g a. Llamaremos determinaci6n principal Ln a del logaritmo a la que resulta en [45-12J cuando - 7r < '1' <: '/T, es decir, cuando 'f es el valor principal -; del argumento (§ 9-4) -; = Arg a. Los logaritmos de números positivos que hemos considerado hasta ahora corresponden a esta determinación principal; entonces: [ 45-14] Ln a = Ln ¡ ex I i Arg a [45-15] (le = O, -+- 1, -+- 2, .•. ). lna=Lna+2k'/Ti
+
d) Potencias de base y exponente8 complejos. - En § 8-6 hemos definido la potencia de exponente real s610 para base pOBitiva, advirtiendo sobre Jas dificdtades que pueden presentlil'Se si consideramos base negativa, aun adoptando aprOldmaciones para el exponente real que hagan posible la potendación de exponente raeJonal en el campo real. También aqui el estudio en el campo complejo adara la cuestión. Todo número complejo a puede escribirse en forma exponencial [45-13], Y convendremos en definir la potencia de base cualquiera (t y exponeJlte (1 =:: 8 + t i del siguiente modo: [45-16] «a»O' = eO'.lna= e(s+ti)(Ln lal + iarga}::::: lals.e-t(Arga+2k'IT)ei[tLn lal s(Arga+21c'IT)], donde están puestos de manüiesto el m6dulo y argumento de la potencia obtenida. Para k = O resulta el valol' o determinación llamndo principal, para el que se reserva la notación (tU. El valor o determinación general [45-16] se designa por «<1:» Cf (CAUCHY). Cua.ndo, y sólo cuando, a es real (t = O), el módulo de [45-16] es el mismo para todas las dete:l'minaciones de la potencia. Si además es tT = B entero, Jos distintos argumentos de difieren en 2 k '1T, Y entonces, y 8610 entonces, la potencia [45-16] tend:l'á un sólo valor a' = I a l' .e is Arg ta que es la ya conocida fórmula de MOIVRE (§ lO-l). Si el exponente ea un n-dmero real y raci()nal: ti = plq, el argumento de da, s610 para la potencia considerada, q valores distintos (§ 10-2).
+
=
«a»(1
«a» a
625
AP¡,TCACXÓN A LAS TRASCENDENTES ELEMENTALES
E n cambio, si a es real e irracional, se obtienen para (a}) (1 infinitus va lores de igual módulo y distinto argumento, mientras que si a es lma¡jnarío, los infinitos valores de son de módulos distintos. Si la base a es real negativa (Arg a ::: '1T) y el exponente (1 = s es rea!, sólo paTa 8 (2 k + 1) entero tendrá determinación real. lo 41ue nunca podrá suceder si 8 es inacional o es racional de denominador IJllr en su expresión fraccionaria irreducible. Ahora se explica la paradoja de § 8-6, donde considerábamos el en-
«a» u
«a»'
caje de intel"valos del exponente + 1 = ~1 ; 1 } Y resultaba que las aproximaciones (-1) ZJI/(2n+1) := 1 no eran contiguas a (_1)1::: -1. En realidad, es:
{2 'i!2
(_1»271/(2 ...11
=
+
2 ..
e i 2 .. + 1 (2k+I)r.,
y al variar n, para mantenerse en la determinación real + 1 8C ha de va?'iar la detenninu'ión k == n de lo, potencia, mientrAs que para k fijo, cada determinación tiene por límite e. i (2 k + 1)'iT = (-1)' = -1 para n~OO.
EJEMPWS:
«~)'::::
1.
e"o.
=
:= é[Ln 1
41~
_
-1.:1:....
+
i(r./2
+
2lc 'iT)] ::::
'IT
e 2 infinitos valores reales de módulos distintos. (l)I/'IT::: e(lnl)/'1r = El i2k7r/'1r ::::: cos2k + isen21c, con· 2. junto denso de infinitos valoTes distintos sobre la circunferencia unidad.
4. Serie logarítmica. - a) La función In x no es desarrollable en serie de potencias, pues no está definida en x = O (§ 45-3, e), En cambio, para ·la función In (1 + x) podemos partir del desarrollo finito (§ 39-5, d), pero es más cómodo formal' )a primitiva de: [45-17]
TI
x
= 1
~ x + X2
-
•••
+ (- 1)
fI
x"
+ ... ~
Que nos da, una .vez determinada la constante (§ 43-5), según la determinación que adoptemos para el logaritmo (§ 45-3, e), por ejemplo, la principal: [45-18] In
(1
-1- x)
JI;;
x~ x8 x -"""2 + 3 --
...
+ (- 1) n-l .X" n ' + ....
este desarrollo es válido en el campo real o complejo como [45-17], para Ixl < 1. Como la serie converge para x = 1, por el criterio de series alternadas (§ 22-3, a), resulta del teorema de ABEL (§ 43-4, b): [45-19]
In 2
=
1-
t
+ 1- ... +
(_1)"-1
n
+ ...
Poniendo - x en vez de x resulta: X2
XS
X"
In (l-x) = -x-2"-T-'''-ny restando de [45-18]:
626
§ 46 -4
XI. SERIES DE POTENCIAS
[45-20] b) Cálculo de logaritmos ?lepen·ano8. - El cálculo de los logaritmo. neperianos se hace por medio de una fórmula recurrente, que permite baIlar cómodamente In (n + h), conocido In n; para ello basta calcular el Incremento ln(n+h)-lnn:::ln
n+h
- - - , y esto se logra con la fórmul. n [45-201. dando a x un valor conveniente para que sea: n+h l+x . h es deCIr x < 1. nI-x' • 2n+h La fórmula buscada es, pues, la siguiente: [45-21]
--- =--- .
ln(n+h)=lnn+2
=-
(2n~h + ~ (2n~hr + ! (in~hr + ... ),
y en particular.
In(n+l);::;lnn+
2(2n~I
+
3(2:'+1)" + 6(2:+1).
+ ... ).
que da el logaritmo de un número entero. conocido el del número precedente. Se comienza. pues, por calcular In 2, haciendo n =: 1, y se obtiene:
ln 2
1+ = S2( 1 + -3-'-9
1
6.9'
+
1 +... ),
7.9'
serIe que converge mucho más rápidamente que [46-19]. Con sólo ocho términos se obtienen las cifras exactas In 2 :::: 0,69314718 ... , mientras que con [45-19] serían precisos más de 100 millones de término8. Sin nuevo dilculo, tenemos Jn 4 = 2.1n 2:::: 1,3862943 .•• , y por lo tanto, 1 In 5 In 4 (1 + 3. 9' + /9' 1.6094879 .. In 10 In 5 In 2 :::: 2,3026851 '" Por consiguiente, el módulo de los logaritmos decimales es:
=
+.~ .
+ ... ) ::::
+
=
= In 110-- = 0.4842945 ...
M
e) Tablas de logar-i tmos decimales. - Para formar una tabla de logaritmos decimales con 7 cifras hasta 100 000, basta calcularlos desde lO' a 10', y para esto se toma solamente un término en las series [45-20] Ó [45-21]. Ya hicimos en § 35-6: 19(n+h)-lgn
2Mh
- 'Zn+h'
indicando con el signo ~ una igualdad aproximada. Sustituyendo [45-20] [45-21) por una serie geométrica, el error es menor que
Ó
2M
3
0;"
1-
2M x' x' < -3- 1 - x
y siendo 2 M
< 1.
h
~
1.
2M < -3- (2 n
n> 10', ~
<
+
h8 h)' 2 n2';: h
el error es:
1 24 n'
1
< 2 . 10'" -
< 2M
h" 3 ' (2 n)" ,
l\ 46 -6
APUCACIÓ N A LAS TRASCENDENTES ELEMENTALES
Comenzaremos, pues, por el valor n Ig(1t+l) ,..,
19n
627
=lO', Y con la fórmula práctica: + 2 :~ 1 •
obtenemos, por simple división, Ig 10001 con 13 cif'ras Aplicando de nuevo la relación anterior, resulta 19 ,." 19 99999. Como los errores Be Van acumulando, convendrá mente algunos logaritmos intermedios, lo cual servirá probaci6n,
exactas. 10002, 19 10003, calcular directaademás de com-
5. Serie binómica. - a) Ya sabemos (§ 39-5, e) que en el campo real, el desarrollo finito es: (1
+ x)
m
= 1
=) +
+ (7) x + (~) x~ + ... + (
x"
T" .
Para obtener el radio de convel'gencia de la serie indefini· da. prescindiremos, desde luego, del caso en que m sea un número natural, porque entonces resulta un polinomio, siendo
( : ) xm = x'" su último término (§ 12-1). Si m es cualquier número real o complejo, pero no nat ural resulta una serie cuyo término general tiene poI' coeficiente el coeficiente binomial generalizado para m cualquiera : = m(m~l) ... (m- n+1 ). n nI Como llega a ser n > I m " la razón de dos consecutivos es, en valor absoluto: J
( 1n)
a. l.m-1l.\-. n+ l
1 H 1= la,,1
1-
'
luego, el radio de convergencia es R = l. Para ver si la serie obtenida: y = 1
+ {í }x +C;)X+ ... +(~)xn + 2
representa en todo su intervalo de convergencia la función (1 a:) m, podría en el campo real estudiarse el término complementario T .., pero es mejor usar el método de § 44-4. F ormando su derivada, se comprueba fácilmente la identidad: m yy' = l+x' o sea: D In y = D In (1 +x)"',
+
y y In (1 + x)m difieren en una constante, que es O, pues ambas funciones se anulan para x = 0, y entonees, y = (1 + x)"'. Prolongada al campo complejo, la serie representa el valor principal (§ 45-3, d) de la potencia (¿por qué ?).
con lo cual (§ 35-3) In
Poniendo (a
+ x) '" :: a'" ( 1 + : )
ca o de NEWTON, en la forma:
m,
resulta la serie bin6mi-
628
XI. SERIES DE pOTENCIAS
§ 46 -5
+(;)
(a+ x)m = am --t- (~) alll- 1 x am-2 x 1 + convergente para Ixl < I al· EJEMPLOS: Para Ixl < 1 son válidos los desarrollos: [45-22]
1
•
-~-
~,., __l_x: + _~ x"-
v .L+ z _ l+ 2
2.
VT+X
1
3.
1 V 1-x'
2.4
2. 4.6
1.3.5 • 2.4.6.S x + ...
=1_~ x + .!.:!x"_1 . 3.5 x"+ 1.3.6.7 x' 2 2.4 2 .4. 6 2.4 :il.8 ...
== 1 +-~x' +.!..:..!!.x· + 1.3.5 2
2.4
XO
2.4.6
+
1.3.5. 7 2.4.6.8
x"+ ...
b) Generalizando la serie de NEWTON para m natural. se obtiene la potencia m-ésima de una serie: (a. + axx + a.x· + ., .)'" = Co + exx + c.x· Puesto que sabernos que tal serie existe, ya que a ella se puede llegar por multiplicaciones sucesivas por la serie dada, lo más cómodo para de· terminar sus coeficientes es derivar logarítmica mente, con lo que obtenemos la identidad: m(a, 2 a.x + ... + n a. x + ... ) (c. + ela; + ... + e. x· + ... ) =
+ .. ,
+ (a. + a,a; + ... + a...x· + ... ) fe,. + 2 c.x + ... + 7Hl"X'-1 + ... ), K
."
==
de donde, identificando, obtenemos las ecuaciones de condición:
=+ a.c. 2 cr, eo) ::: 2 a. c. + C:t que, juntas con ]a relación c, = a."', obtenida directamente x ::: 0, determinan sucesivamente los coeficientes del desarrollo. ma, e..
m (Al G.t
Ot
haciendo También se puede llegar por multiplicaciones sucesivas o por la fórmula de LEIBNIZ (§ 12-2).
e) Cáleulo de raíces numérica,s. - La serie binómica permite calcular con gran aproximación las raíces de los números. Sea e] número entero N, y a una raíz cuadrada por defecto (por ejemplo, la raíz entera). Poniendo N = a2 x, será:
+
v'""N =
(a2
+ x)i = a {l +~)t= a(l +_. ~ _ ~+~e _ .. _} ' a 2a 8 a 16. a 2
2
serie que converge muy rápidamente si 2
4
x
.
es pequeño; y
aZ
siendo alternada, sabemos (§ 22-3, a), que el error cometido to. mando varios términos, es menor que el siguiente. Por ejemplo, para x x2 ~= a 2 a' es E < 8 as (por exceso).
+
EJ'BMPLO 4:
Indicando con el signo -
las igualdades aproximadas,
tenemos:
V 627
=
por ]0 tanto,
V 25" +
+ 6~) ~ 25,04 , t < 25.0399 < Vfii7 < 25,0400.
2
~
25
4 8 .253
<
1 3.10';
I 4J) .6
APLlCÁUÓN
LA S TRASCENDENTES ELEMENTALES
Á
629
Con un término mAs resulta : 26,039 968 00
< ,J 621 <
25,039 968 06.
A veces convendrá efectuar mlte!' transform ll.ciol1 €s adecuadas; por IIjemplo:
Va = t "25
exactas, por ser e
+
2 -
4 8.125-
~
(5
<
+
;0 ) - 1.732 con t odas sus cifras
0,0014. 1
=
Usando el desarrollo de V2 a(1- 2 x)', siendo a un valor adecuadamente aproximado de -..12 y a':::::; 2 - 4 x, en 1950 R. COUSTAL ha CI\lculado 1032 decimales de V2, para estudiar la distribución de los digitos en f i yen 1/\i2 (cfr. nota 11, b). d) He aquí algunas fórmulas aproximadas de uso frecuente: (1 0:) " -- 1 m '1:, siendo m cualquiera y I x l < 1. Pc ella resultan inmediatamente (despreciando términos en x', x y, y' , . .. ) ; 1 x (1 x )" 1 + "JI - 1 x - '11, -(i y)K - 1 + mx - n'll.
+
+
+
+ +
+
E.rtlMPW 5: Cálculo rápido:
+
(100,2)-.9,89" 10'(1 0,002)" . (1-0,011)".10' (100,3)".20 IOu . ( 1 + 0,003)".2-'- - - 610-4(1 0,004 -0,033 - 0,016 ) = 0,0000478.
+
=
6. DesarroUos de las funciones circuJares inversas. - Todos ellos se obtienen rápidamente mediante las series derivadas. a) y . = are tg x. La derivada admite el desarrollo inmediato en serie geométrica: y' = 1/(1 X2) = 1 - XZ + X~ _ x 6 ± x 2tl :¡:: ••• convergente para Ixl < 1. Pasando a las funciones primfH~ vas. resulta (§ 43-5, b) :
+
+ ...
x e + x - "3 +5 3
[45-23]
are tg x
=
X~
X'
~ '7
+ ...
°
Haciendo x = O. el segundo miembro se reduce a C. y como entre todos los arcos que tienen la tangente se elige el menor, que es 0, resulta e = O. (Para las otras determinaciones de are tg x, resulta análogamente e = n '11") • NOTA: P ara a:: = 1, la serie converge, pues resulta alternada con un término general que tiende a O, y por el teorema de ABEL (§ 43-4, b), coincide con arc tg 1, resultando el desarrollo: '1T
( 46-24]
1
1
4" ==1-3"
1
1
+ 5 -"7 + ...
serie llamada de GREGORY o de LEIBNIZ, cuya lenta convergencia la hace inservible para el cálculo de '1T (ver nota 11).
b) Desarrollo de are sen x 11 are cos x. -
y
= are sen x es:
La derivada de
630
XI. SERIES DE POTENCIAS
Esta potencia se desarrolla como hemos visto en ejemplo 3, y pasando a la función primitiva resulta: 1
+ 1. 3 .5
x6
1. 3
XS
+
are sen X = e + x +_. 2- . 3 + 2.4 '""5 2 :4-:6' 7 ... Como la función are sen x se anula en la principal cuando el seno es x = O, el valor de la constante Xl
C=O.
La serie de arc cos x = (11'/2) - arc sen x, se deduce mente de la anterior, restándola de 11'/2. EURCICJOB
1. Demostrar en el desarrollo [ 45-1] la siguiente acotación del resto, Ix·' n+1 : I -RA (X)I < -;;t'n+l-Ixl'
. vAhdaparll Ixl
2. Probar que son irracionales sen 1, cos 1, sen al b, COB a/b , ea,., para a y b enteros a <; b. (Par a a > b, los desarrollos son l entllmente vergentea y no se puede aplicar el método dado para e en § 45-1, lIOtll). 3. Mediante división de series (§ 44-B) obtener: 1 x x' 2 x" :t" cotg x - 7 - 3'- 15 - 945 -472'5- '" rosec x
x = x1 + '"6 +
7 , 360 .1:
31
+ 1'5'12o:r:" -1- ••.
4. Demostrar que:
= ~
sen (11 +:c)
sen ( 6
" "" ()
cos
(11
+ x)
=
~
" =-= o
+n
"2' )
.
COS
~.: 11.
( 11
+ tt
) ~. n.
'1"2'
6. Demostrar que la exponencial compleja tiene también la p'ropiedad ell • el
==
e
Cl4b
"
6. Partiendo de 2" cos" ~ = (ej· + e-l.) .., 2" sen" :t ;;;; (e'· - e-") n/in, demostrar las identidades (cfr. ejercicio 8 de § 12):
2"COS"X=CO"I'nO: +(~)COS (n - 2) ~+ ... 2"sen":l.'
= (-1)"/' [
+ ... +
(-1)"cos (-n:d
= (_1)'''-''/' [
+ ... + +
cos nx - (
sen
+(:)co! (n ~)
)l:d ].
(n-2)x
+
n impar.
7. Separando partes reales e imagimu·jas en e '~ + et( ... · ~ probar las identidades: eos a: + cos (x + h) + ... + cos (x +?! h) := = 8en ~ (n+1) h. cos ( x+in h)/ sen ~ h, sen ~ + sen (x h) + . , . + sen ( x + n h ) = :::; sen ~ (n + 1) h . sen (x +i nh)/lIenlh.
eOl ~+.q ,
+
+
J. n par;
nx.-( ~ ) sen
(-1)" sen (-
cos (n- 2)x
2n)x.
+ ... +
APLI CACiÓN A LAS TRASCENDENTES ELEM ENTALES
• 45 . Ej,
631
=
8. o) Del desarrollo de ( 1 - %)-', te r. ~'9'; o bien: b) hallando es ealas de recurrencia para las series, obtener; 1 - r cos 9' ~ 1 - 2 r Cal! rp + ..9. Probar Que: .. ti
=
()J
~ '1'"
,,==0
cos n r¡;;
r sen q> 1 - 2 r cos rp + r"
-:;---;:--'-~-'---~
(r x) "
=
00
~
,,=:O
r" sen n '1' •
(rz)"
~ --,-ocosn 8; e" sen b:;o = l: --1- sen ,,=0 n. ..",,} n r = fi+b'. 8 = are tg bI a. ( Cfr. ej er cicio 5 de § 38).
COl! b ~
=
CIO
CIO
n 8;
aiendo 10. Demostrar, para variable compleja z = :JO i Y. que /jen % = sen x . ch 11 + i cos x . sh 11. eos z = cos x . ch iI - i sen x . ah ti, Isenzl' == sen':JO ah"y, I cos z l' cos':l: sh" ll. Deducir que los únicos ceros de sen z y cos z son los reales -ya conocidos. 11. Obtener Jos logaritmos de - V3 i, - i, -1 - i. Gráficas.
+
=
+ +
+
12. (-l)i, <_l)l/:r (l-i)1+i, (l+i) Vz, (3 + 2i):.!+sl. Gráficas correspondientes. 13. Se dice que la igualdad entre dos miembros multiformes se verifica completamente, si cada valor de uno es igual a algún valor del otro, y recíprocamente. Estudiar, en el campo complejo, cuáles son las igualdades: Calcu]ar'2 i ,
=
=
l Q ) lIzP .-Il; 2Q ) :e ll • w P == (z. w)P ; 39 ) z'" ZF :¡;P+ v , que se verifican completamente, lo~ casos de excepción y la correspondentia de valores principales. 14. Estudiar para x real (positivo o negativo), en qué casos es x' real, y hallar los valores reales de (13)1/8, (112)1/2, e', (-213)-~/8, (_ 1/3)-1/&. (-114)-1/., (_'1T}-'1r. 16. Demostrar que son irracionales los logaritmos decimales de los números naturales que no sean potencias de exponente entero de 10. 1G. Hallar los x para los cuales: 1Q) vale O, 2(1) vale 1, 3\1) no es real, el log log (1: Y el log log log x en los sistemas de bases e y 10. 17. Si m=l=n entel·os. es e 2m 'iTi == e 2n '17'i ::::: 1; por lo tanto, (e2mo¡rili =(e 2n '1l"i ) i,
es decir: e- 2 m 'Il" = e - 2 n '7T . e.videntemente falso. ¿Dónde está el erro}'? 18. Desarrollando de dos maneras la función In ( l - 2'1: cos 8 + X2) ::::: In ( 1 - xe ilJ ) -+ In ( 1 - xe-i1J probar que: n
~
n(n-3)
cos n e - 2"-' cosO 8 - - - 2"-' coso " e + 2"-j cos·-· 1! 21 19. Verificar que (con sumas desde ,n=l El. oo)~ lnx = l: (_l)n-l(x_l)"ln en O < x < 2; = ~(a:-l)"lnx", en x i;
= 22:
2 n~ 1 ( :
+! )
2n-1,
en
x
(J -
),
•••
> > O.
20. Acotar el resto de la serie de VT+X" (§ 45-5, ej. 1). 21. Obtener los desarrollos, válidos pa!'El. - 1 < x 1, Y estudiar el eornportamiento para z -1:
=
<
632
§ 45 -Ej .
.xl. SERIES DE POTENCIAS
~
v 1+% :::: 1
1
----::::=== ~1+~
+
1
IIX 1
1 -
--
3X 1
1.2.
-8:6:1: +
1.2.5
3.6.9-~
1.4. 1.4.7. +~3 6 ;¡: - -63 9 x ' .. 1.3. + 1.3.7.
f'1+:t:::: 1 + "x-T.8 x
1.2.5.8 • 3.6.9.12 x
I
4.8:12:1:
+
+ ...
1.4.7.10 :Jt-
3.6.9.12 1.3 . 7.11.
+
-4.8.12.16 x
1.5 ._0 1.5.9 I 1.5.9.13. - - -- x ::c 4.8 4.8.12 4.8.12.16 22. a) Probar que y;::: 1/ V 1 - 2 :1: Z 9:! es desarrollable en serie de potencias de z con coeficientes polinomios en x: y = P. + P,(::c)z + P.(x)~ P.(x)z· b) Probar que los coeficientes se determinan a partir de P. = 1, P,=x, por la fórmula de recurrencia (n + l)P••• :;;; x (2n+1)P.-nP_ y entonces son los polinomio" de LPlGBNDRE, que estudiaremos en el capItulo XVI, nota III. 23. Estudiar la serie binómiea [45-22], con Ct:::: 1 y m real. gp loa extremos del intllrvalo de convergE'-Ilcia en el campo real. Deducir que la auma de los números combinatorios cle numerador ?l1 es 2 m para todo m > - 1, Y que la suma alternada de dichos coeficientes es nula para todo O. 24. Calcular con cinco decimales V66; -( 1031, -v'2, mediante la serie binómica. 25. La. serie ::c;::: V1 -(1- :;c') ;:;:: ~ Ct. (1- x')· es uniformemente convergente para - 1 .:;;; ::c ..: l . 26. Obtener el desarrollo de are tg x mecliante las expresiones de la! derivadas sucesivas daclas en ejercicios 2 y 3 de § 38. 27. Hallar en medida. sexagesimal el ángulo cuyo seno es 1/5 me-diante la serie del arc sen x, acotando el error que se comete al detener el desarrollo en x' . 28, De [45-23] (con e O), obtener los clesarrollos vara la determi· nación principal: 'Ir 1 1 1 1 are tg x -2 - - x + -3 x• - - 5 -7 • - , . . para x ;;. 1. x ' x• 7r 1 1 1 1 ::;: - 2 - -; + 3 x' - 6 x~ + 7 x' - , .. para x 1. 29. Deducir los desarrollos, análogos a los cle § 4fí-6: 1
-==:::: -
~-
1
-
1
"x
+
+--~
+
+ ... +
+ ...
m>
=
=
+
<-
arg tgh x = x arg sh x
x'
x'
x,
+ ¡¡- + ""6 + 7 + ... , -
1 x· 1.3 x' 1.3.5 x' = x -• ~ + -- . ~--- . 2.4' 5 2.4 . 6 7 2 3
1
< -x <;
+ ., .. - 1 -<
30. Desarrollar en serie de potencias de h/l la longitud circunferencia de cuerda 2 l y flecha h.
NOTAS AL CAPíTULO l. Teoremas tauberianol!. -
1;
8
x <; 1
del arco de
XI
El reciproco del teorema de ABEL ~a. x" -'¡. 8 para. x -'¡.1-, puede no ser convel'gentel:a". Por ejemplo: l; (-1)":1)" = __ 1_ -'¡.~, pero 1 +x 2 ~(-1)" no es convergente (cfr. Cap. V, nota 1, g). En 1897 demostró A. TAUBER el siguiente célebre teorema: (§ 43-4, b) no es cierto. Si f(x)
=
XI -11
633
EL NÚMERO '1r
=
Si en el campo real la se,'ie f (x) l: a. x", de ?'adio 1, converge hacia " lJU?'a x ~ 1- Y n an ~ O para 11 ~ 00, la se?-ie converge en el punto le ::; 1 Y es ~a,. = s. Para probar que converge hacia 8 la suma de los n llrimeros términos a" formamos la diferencia: n
n
ti
91.
()
o
o
1
:!:a,-l:a,x'==Ia,{l-x'):;:::: (l-x) ~a,(I+x+ .. ,
[XI-l]
cuyo valor absoluto es menor que (1-:1;) 1: r u, x
== 1 -
(1/n). Como n Un
~
= -n1
...
2:
+ xr-l) ,
r a r si se elige
1
O, este promedio tiende también a O (Cap.
V, nota 1, b); luego, el minuendQ tendrá igual límite que el sustraendo para x :=: 1 - (1/n); éste difiere de f(x) en el resto de la serie, el cual, t omando n suficientemente grande para que sea r I a, I < E desde r > n, se acota así: 1 aro+,
x'"
2
+ ... 1 < -n
x'WJ
f.
+ ... ) = -n --< l-x
(x'"
E,
puesto que para los valores elegidos de x el denominador 'vale l/n y el numerador X" " < l. . Resulta, pues, que el sustraendo de [XI-l] converge como f (1 - 1/n) para n ~ 00, y por lo tanto, 1: a,. ;= s. Cuando de la convergencia de un cierto algol'itlllo (Call. V, nota 1, g), más una condición complementaria (en este caso, ti a. ~ O), se deduce otro tillo de convergencia, esta }lropiedad se llama teorema tauberiano, en honor de TAl/BER. 11. El nÚJnero 'TT'. - a) Ya hemos dicho que la serie [45-24] ea inservible para calcular '1r, debido a su lenta convergencia. Si por ejemplo deseamos 'lr con un error menor que 0,00] habría que calcular hasta el térmIno 3 !99 • eato es. do. mil
térmíno,~
En Vez de hallar directamente 'lr/4, es mejor descomponerlo en suma o diferencia de múltiplos de dos arcos cuyas tangentes se conozcan y que sean suficientemente pequeños para la rá}lida convergencia de la serie de are tg a: [45-23]. Partiendo del arco ex, cuya tangente es 1/5, tenemos: 2tga tg 2 a "" -1-"'-tg"--=-a-
5
==}2
ó
tg 4 a
=
2 tg 2 ex --=-1-"-'-':t'-g7.-=2-0:-
6
:=
1-~ 144
Y como es 4 a
tg {3
==
> 4 . pondremos 4 ==
tg( 4
'TT'
'TT'
a-+)
{3
4 IX -
tg.o1ex-tg
1
120
= 119 ,
==
1
'TT'
+ tg4a.tg 4
119
== 1
+
Tenemos, pues, '1r
4
=: 4 are
de donde resulta el desarrollo:
tg
1
T -
1 119:
• d sten o:
"'"4 '1r
+
1
1 are tg 239 '
1
120 = 239' 119
XI. SERIES
634 16 (
'1('=6
4 1 - 3.100
+
DE
POTENCIAS
C. XI -11
4"
4" 5.100'
7.100'
4 ( 1 1 1 ) - 239 1 - 3.57121 + 6.57121' 7.57121' + .... Con esta fórmula de J. MACHIN (1680-1752), la mas sencilla conocida, sin más que tomar: 1 ) 16 ( 4 4" 4 4 5 1 - 3.100 + 5.100' - '1 .100' - 239 .. resultan las cifras exactas, 3,141 59; con el desarrollo de LEIBNIZ [45-24] serían precisos 200000 términos. Aplicando la fórmula de MACHIN, ha calculado SHANKS (Proc. Royal Soc., London, 1873), 707 cifras de 7'. He aquí las primeras cifras decimales: '1T' ::::: 3,141 592 653 589 793 238462 643 383 279 ... b) A. SHARP, en 1699, calculó 'ir con 71 cifras decimales; en 1824, J. M. Z. DAS E obtuvo 200 cifras, y en 1860, RICHTER calculó 500 decimales. Varios trabajos realizados sobre la distribución de los dígitos en 7', en particular la sorprendente escasez de la cifra 7, deberán revisarse, por b.aber hallado D. F. F~USON, en 194.6, que las cifras de SliANKS ~on erróneas más allá de la 627, al calcular 730 decimales con la fórmula que atribuye Po R. W. MORRIS: '1f' 1 1 1 4. = 3 are tg"4 are tg -20 + arc tg 1985 •
+
Posteriormente, L. B. SMITH y J. W. WRENCH, con la fórmula de MACHIN, y el mismo FERGUSON, prolongaron el cálculo de 7T hasta 808 decimales (1948). G. W. REITVVIESNER ha calculado con la máquina electrónica llamada ENIAC el número 'ir, con 2035 cifras decimales y el número e con 2010 cifras decimales (1950), confirmando los resultados mencionados. últimamente (1958) se han llegado a calcular más de diez mil cifras de '" (independiente y concordantemente por F. GENUYS y G. E. FELTON).
IlI. Productos infinitos. - a) Dada una sucesión de números + Un =1= O (es decir, u. =F - 1), definiremos el producto infinito:
v. ;::; 1
00
[XI-2]
p::::
rr .. =1
(1
+ Un)
= (1 + U,)
•.• (1
+ u.)
como el Ifmite de la sucesión de productos parciales n
[XI-3]
p.::::
11
(1
k=l
+ u.)
=
(1
+ u,,)
••• (1
+ u,.)
cuando tiende a infinito el número de factores, es decir: [XI-4.] p:::;: lim p •• ,,~ (1J
El producto [XI-2] se llama convergente cuando, y sólo cuando, existe el limite [XI-4], llamado entonces valor del producto, y es finito y distinto de cero. Si p;::; O, se dice que el producto diverge a cero (convención cuya utilidad se verá en seguida). Si p tiende a + 00, a - 00, Ó a 00 sin signo determinado, se rJice que el producto diverge a infinito. Un producto ni convergente ni divergente a cero o a infinito, se llama oscilante. ESEMPLOS: 1. El producto (1 -
! )( +t)(1 - ! )( 1
1
+ ~) ...
±
!) = l.
es convergente con valor !. Basta observar que
(1 +
!) (1 -
n! 1) =
1,
Yque
para
n~
00
e~ lim (1
e.
XI -III
635
PRODUCTOS INFINITOS
2.
+
· . f'InI'to, pues p. :::: -n -22' a m dlverge
1_) (1 __ n+1
a. +1•
diverge a cero, pues p. = n co
4.
2cos n
TI
O"
1
'17"::::: ~.2 . L 2 .
es oscilante.
'"
.. : 1
6. Teniendo en cuenta x
x
2' sen -4- cos -4 cos
sen x
=
2 sen
:.; 2" = ... ::;:
2"
x
:¡:
"2 COS 2"" x
= x
:r:
sellF cos F cos 20'" •••
x
x
'" cos
2" cos 2;
x cos 2;"
::: -:1:-
será (§ 28-2) : p. =:: cos
para n --+
00,
x
~
2" cos 2' '"
:r:/2" '
sen (x/2") --+
sen x -:¡:--
pues con x fijo. x12" - O. ro
Por lo tanto, Si ee toma ~
sen x
=
x
TI cos ~ 2' 11:::1
;,
:::::
sen x ---e X
se obtiene como caso particular el primer ejemplo
conocl.do de producto infinito:
~ =V1 . Vi +6 .f i . J6+1 Vi + i Vf .... , 'TI' dado por F. VIETA (Leyden, 1646). En el Cálculo integral (§ 68-3) veremos otro producto infinito más sencillo, referente a -:r, debido a J. W ALLIS. Para la convergencia de [XI-2] es condición necesaria, (aunque no suficiente) que: (XI-5] lim v. == 1, o sea: lim u,. == O.
"'-'"
b) Productos infinitos de lactores positivos. - Se consideran tres casos, según que todos los factores (salvo un número finito) estén eR [1, + (lO), en (0, 1], o haya infinitos factores en uno y otro intervalo. b,) v. ~ 1 + a., con a. ;> O. Como para a # O + es ea = 1 + a + '" ;;¡. 1 + a, podemos escribir: [XI-6] a, + ... + d. < (1 + a,) ... (1 + a.) <; ea, + ... + a,. •
+
• La desigualdad ." # 1 c. vale también .¡ a < O (hacer una gráfien). como puede verse ei Be consideran por separado los ~aB08 1 < a· < O (serie alternada) Y a ..; - 1 :. 1 a ;;;; O. I
+
636
C. XI -111
XI. SERIES DE POTENCIAS
E sta doble acotación nos dice que el producto infinito (de sucesión p" monótona c1'emente): 00
rr
[XI-7]
(1
+
con
Un),
. Un
O,
;;.
es COnVe1"gente o diver gente a infinito, simultáneamente. con la serie b, ) Sea:
v n =, 1 -
O .,,;: b~
con
b",
~ an
•
< 1.
Si IJonemos: 1
[XI-8]
l-b.
1
+
1
+ a"
Un;
Un
> 0,
resultará: bn =
[XI-9]
Un
.;;:;
u, ..
Por lo tanto, si ~ b. diverge, también diverge .:!: a n , y en virtud de [XI-S] y b,), el producto infinito [XI-lO] ( 1 - b.) con O';;:; bn < 1, diverge a cero. Si ~ b" converge, sel'á b" ~ O (§ 22-1, d), Y también u" ~ 0, con lo cual, por [XI -9], llegará a ser bn ~ n •. Entonces será también ;¡: a n convergente, y por [XI-H] y b,) será [XI-lO] convergente a un producto P oF O. En resumen: El p1'oducto infinito [Xl-lO] sólo puede converger o diverger a cero, si ¡'espectivamente converge o dive·r ge 'la se?-ie ¿ b•. En los casos b, y b, ), un producto convergente es incondicionalmente conve1'gente, es decir (cfJ'. § 22-4, b), puede aplicársele la propiedad conmutativa sin alterar su carácter ni su valor.
n
>
EJEMPLOS: 6. L i .}, . .. = (l-O!!) (l - U (1-11) ... :fo O. por ser convergente ;¡: 1/2". 7. (1 - 0 (l-b) (1- · ~) ... =0 (divergente),porserdivergente :::: 11n. b ,) Si hay infinitos factores menores que 1, e infinitos mayores que 1, UllOS y ob'os se agrupan por separado, aplicándose teoremas análogos a los de DIRlCHLET y RIEMANN (§ 22-4, b) para las series de términos positivos y negativos. Así, si resultan: 1Q) Dos pI'oductos infinitos convergentes; 29) Uno convergente y uno divergente (a cero; a infinito) ; 39) Dos divergentes (forma indeterminada 0.(0); tendremos, respectivamente, para el producto dado: 19 ) E s incondicionalmente convergente; 29 ) Es divergente (a cero; a infinito); 39 ) Nada podrá afirmarse en general, y si los factores cumpl.en [XI-5], reordenándolos podrá hacerse que el producto tienda a cualqmer p del intervalo O .;;:; p ';;:; oo. Esto muestra la conveniencia de llamar absolutamente convergente al producto [XI-2] si ee convergente el producto
[XI-U]
TI " =1
(1
+ I u,. 1) ==
(1
+ I u, \) (1 + I u. 1)
porque entonces, y sólo entonces, son convergentes X a., X b., 1: I u,. l. y resulta el teorema análogo al de serios (§ 22-4, b.): PaTa que mi pro-
ducto infinito sea imondicioncum¡;nte convergente, que sea abllolut4mente convergente.
e8
n¡;cesario 11 suficiente
EJEMPLO 8:
= O ( di vergente),
e,
XI -III
PRODUCTOS INFINITOS
637
!Hlnque sea convergente la serie alternada _1
+
"2
En efecto,
1_1+
"3
"4
_1__2n' 1_ (1 _1_) (1+ _ 1n + )< (1- _1__ )(1+ ~1_) V'Z:;;- -
,,~
,,~
1
\12
y diverge la serie 2: 1/2n.
e) Pl'oducfo8 infinitos de factores cualesquiera, - La definición de convergencia absoluta (b , ) es la misma para un producto [XI-2] de factores complejos cualesquiera, y no se l'efiere al producto de los valores allsolutos de los factores, lo que sería poco interesante, como muestran los ejemplos siguientes: EJEMPLOS: 9. El producto es (trivialmente) convergente.
rr
es oscilante, pel'O
!)
rr ( 1 +
10. El producto
(_1)'
rr 1 (-1)" '
n 11 +
es oscilante. pero
+-
1
es
convergente. La no convergencia del primer producto puede obtenerse de
+ -;-) >
Arg ( 1
+-T'
y de la divergencia de W , 1 -~--;
n
4
la convergencia del segundo }'esulta de
rr 1 1 + ~, ::; ~ ,/ n (1 + ~) n n I
y (por b,) de la convergencia de la gel'ie ;;;
~. n'
Veremos, en do), que Ilubsistc en gene?'Cd el tem'ema (b,) sobre convergencia absoluta y condicional (A. PRINGSHEIM, 1889). Por abora probemos que: Un producto infinito absolutamente convergente es conve1'gente. Poniendo P. == (1 + 11h [) .. ' (1 + lu, 1,) se obtiene: [XI-12]
p" -
+ u,) .•. (1 + U -l) 11" = (1 + i 'U, 1) ... (1 + 11tH \)
==
PO -p"" {
P.-1
(1
n
1 Un 1
I p"-p,..ll",;;; P,-P.' l,
Y por ser convergente la serie
p,
+
00
~
(P. -
P"-l)
resulta absolutamente convergente la serie [XI-13]
P,
+
00
¡
.,=~
(p" -
P"l)
lim n~oo
2'.
==
p,
siendo además 1) =1= O. En efecto, por hipótesis I 'Un I ~ O. v nor lo tanto desde un valor n en adelante.
G3S
C. XI -IlI
XI. SERIES DE POTENCIAS
l:
11~. u.1 < 2 ~ I u. I < +
00,
con lo cual, por el mismo razonamiento que nos dió [XI-13], vemos que existe y es finito el limite de .
es decir, p
TI (1-~) ==....!.. 1+~h p. '
k=l
*" O.
d) Looaritmo de un producto infinito. - d,) Tornando ]oga~itmoa en [XI-3], con )a determinación principal (§ 45·3, e) en el logaritmo da cada factor, resulta: .
In p , k
l:
=
{
Ln
I p" I
= k =i
Ln(l+u.) 1
Ln 1
I 1 + 11. I
..
¡
arg p., ::;:
Al'g ( 1 + ud,
10=1
sin que podamos afirmar que la suma del segundo miembro se consel'vara en la determinación principal. Si el producto es convergente, será por [XI-5]: Arg (1 + u.)~ O. Por otra parte, será: .
(
Arg (1
; k=l
+ ti.»)
-
Arg P.
= 2 h.
'Tr,
con h. entero, y por lo tanto: 2 'Ir (h.-h.-,) Al'g (1 +u.) - (Argp. - Argpn-:l.) ~ O, por lo cual. desde un valor n en adelante, será: 2 'Ir I hn - h••] I 2 o;r. conservándose CI»l8tante el entero h.:;;; h. De aquí deducimos que para n suficientemente oran de,
=
<
n
[XI-14]
Ln p.
= ",=1 ~ Ln (1 + u.) -
2 h '1ri.
con h entero, independiente de 11., pero tal vez no ?wlo. Esto prueba que la convergencia del producto infinito equivale a la de la serie de los logaritmos de JOB factores (en determinación principal) . Si los factores son todos positivos, es h = O, Y basta tomar en ambos miembros logaritmos aritméticos (es decir, los reales correspondientes a nú. meros positivos, § 45-3, e). d.) Ahora podernos completar la demostración del teorema de PRINGSHEIM (e). Ante todo, veamos que la convergencia absoluta es incondicional, pues si I u. I < 1, resulta de la serie logaritmica (§ 45-4) :
+
, Ln (1 u.) I < Ln (1 + I Ul 1>, entonces, )a serie que resulta en [XI-U] para n ~ 00, converge absolutamente, y por lo tanto (§ 22-4, b,), incondicionalmente. Supongamos ahora que [XI-2] sea convergente, pero no absoluta mente. Por [Xl5] es 1«.1 ~ desde un n en adelante, y por lo tanto:
y
<
I
Ln(1+1t'l ) 'U n
-1;;; ILTI(1+1tn) - 1 1;;::: u"
C. XI -IV
639
BIBLIOGRAFfA
es decir:
.1.. < I Ln 2
(1
+ Un) I
1'14.1
<~
2'
Y por el criterio de comparación (§ 22-2, b), las series 1; 1 Ln (1 + u.) I y 1; 1Un I scrán ambas a la vez convergentes o divergentes. Así, si rXI-21 no es absolutamente convergente, tampoco lo es la serie que resulta en [XI-14] para n~ 00, y al ser ésta condicionalmente convergente, también lo será el producto infinito. e) Convergencia uniforme. - Cuando los factores del producto infinito [XI-2] son funciones de una variable real o compleja X, el producto se nama uniformetnenu convergente en un conjunto X de valores de x, si la sucesión de productos parciales p. p. (x) dada por [XI-S] convergc uniformemente en X hacia una función p(x) que no se anula en ningún punto de X. El criterio más simple para la conver¡,:encia uniforn1e es el siguiente, que resulta, como podrá comprobarse, de revisar la demostración dada en b) desde el punto de vista de la uniformidad en X: El producto infinito TI [l + u. (x)] 6S uniformemente convergente en todo conjunto X donde lo IJea ia 8erie 1; I u. (x) {. El análogo del teorema de continuidad de ABEL para series de potencias (§ 43-4, b y e) no vale para productos infinitos, es dccll', la convergencia de n (1 + a.) no implica que: Um II (1 + a. x") = II (1 + a.),
=
., _1-
como lo ha demostrado G. H. HARDY (Proc. London Math. Soc., 1908) al dar un ejemplo en el cual: lim II (1 + a.x") 2 (1 + a.). ~41-
= rr
IV. Bibliografía. - 1. Por la importancia fundamental del algoritmo de las series de potencias, todos lo!! grandes tratados citados en Cap[tulo VI, nota VI, contienen la teoría en forma más o menos extensa; en particular, conviene señalar el de GOURSA'I' (vol. 11, citado en 5), el de HADAMARD (tomo n, citado en 1), el de PICARD (tomo n, citado en 6) y el do VALIRON (vol. 1, citado en 5). 2. La teoria aritmética de las trascendentes elementales, con multitud de ejemplos y aclaraciones, está tratada en el último capitulo del excelente curso de matemática pura de G. H. HARl>Y (citado en Cap. 11, nota IV-2) y en un apéndice final de la clásica obra siguiente, que contiene en su segunda parte una útil exposición monográfica de cada una de las funciones trascendentes más importantes del análisis: E. T. WlIITTAKER y G. N. WATSON: A cour3e 01 modern AnalllÑ. (4' ed., Universidad de Cambridge, 1927). As( también están tratadas dichas funciones trascendentes, desde el principio, en la obra monográfica, con rica bibliografía, de: P. DIENES: The Talllor 8ene8. An introduction to the theory 01 luutiotts 01 a. compkx variable. (Univ. de Oxford, 1931). El primer libro dedicado exclusivamente al estudio de los teol'cmas tauberianos es: H. R. PlTT: Taubf?'ian theo1'e?llB (Oxford Univ. Pl'ess, Londl'es, 1958).
640
Xl. SERIES DE POTENCIAS
C. XI -IV
3. En el volumen III de nuestra obra (cap. XXIX) estudiamos más extensamente la teoría de las funciones analíticas de variable compleja, con más amplias referencias bibliográficas. Aquí sólo citaremos cursos elementales de iniciación, como los excelentes de: . K. KNOPP: F1mktionentheorie y Aufuabensammlung zur Funktione~ theor1e. (4 pequeños volúmenes, 51!- ed., W. de Gruyter, Lepzig, 1937), traducida la parte teórica de la 21!- ed. alemana: Teoría de funciones. (Labor, Barcelona - Buenos Aires, 1926); M. O. GoNZÁLEZ: Fundament08 de la Teoría de Funcio-n61l de Variable Compleja. (Min. Educación, La Habana, 1952). E. G. PHlLLIPS: Functions 01 a complex variable with application8. (Interscience Pub!., Nueva York, 71!o ed., 1951). Traducido: Funciones de una variable compleja y Sl¿S aplicacio-nes. (Dossat, Madl'id - Buenos Aires, 1943); . y el más extenso y muy didáctico de: S. PINCHERLE: Gli elementi della te01-ia delJe lunzioni analitiche. (Zanichelli, Bolonia, 1922). Uno de los mejores cursos didácticos para estudiar más a fondo la teoría es: E. C. TITCHMARSH: The theory of lunction8. (21l- ed., Univ. de Ox· ford, 1939). 4. Un amplio capítulo a los teoremas tauberianos dedica la obra pós· tuma sobre series divergentes de G. I-I. HARDY (citada en Cap. V, nota IV-2) . Una extensa monografía sobre los números 'Ir y e, con notas histó· ricas y bibliográficas, y no menos de cinco pruebas clásicas de su tras· cendencia, ha publicado recientemente el matemático venezolano F. J. DUARTE: Monografía de los números 'Ir y e. (N°'· 34 y 35 del Boletín de la Acad. Cienc. Fís. Mat. Not. de los EE. UU. de Venezuela. l1, págs. 1-252. 1949).
CAPITULO
XII
INTERPOLACIóN y DIFERENCIAS FINITAS § 46.
INTERPOLACIÓN ENTRE VALORES CUALESQUIERA
1. Teorema de existencia. - En las ciencias experimentales es preciso inducir las leyes de correspondencia, mediante un cierto número de pares de valores de x, y. En genera], una función y = f(x) sólo se conoce para determinados valores de la val'iable independiente; por ejemplo, cuando está dada (como la función logarítmica) mediante una tabla, o bien cuando resulta de determinadas medidas u observaciones, que también nos conducen a formar una tabla. Cada medida (o cada renglón de la tabla) conduce a un punto del diagrama, y el problema de haBar una función que tome esos valores, equivale al de hallar una curva que pase por esos puntos. Pero este problema está indeterminado, pues hay infinitas curvas que pasan por un determinado número de puntos, por grande que éste sea. Para que el problema de la intel'polación quede determinado, debemos prefijar el tipo de la funci6n. Por ejemplo, si la función es de primer grado en x: [46-1]
Y
=
ao x
+ ah
bastan dos puntos, pues el diagrama es una recta. Por otra parte. en [46-1] figuran sólo dos constantes a determinar. Si la función es un polinomio de segundo grado: [46-2] 11 = ao x 2 al x az, necesitamos conocer tres puntos, pues en [46-2] figuran tres constantes a determinar :
+
+
EJEMPI.(): Parábola de eje vertical, que pasa por los puntos A(-2.5), B(2,1), C(4,5). La ecuación es de la forma [46-2]. Reemplazando b", coordenadas de los puntos se ti!;lnc: 5 = ao(-2)' + lt.(--2) a,
+
1=110.2"·
=
+a,.2
5 a.. 4 + a:. ." /Jistema de ecuaciones que nos da: a. == j , a,. = por [46-2J: 2
y::::~!Y}-x+1.
+a.
+ a. -
1,
(Lo
= 1;
Y entÓnces.
642
§ 46 -1
XII . INTERPOLACIÓN Y DIFERENCIAS FINITAS
Una sinusoide de ecuación: [46-3] y = L sen (wx a) puede hacerse pasar por tres puntos prefij ados, pues en [46-3] figuran tres constantes a determinar: A, al y a. Tiene pues un gran interés práctico, y al mismo . tiempo teórico. dados n 1 puntos de abscisas distintas, determinar la curva más sencilla que pase por ellos. es decir, resolver el problema siguiente: Obtener la función más sencilla, y = f(x), que tO??W, los valores Yo, Yh ••• , Y7I, correspondientes a los valores Xo, Xlp ••• , Xn de la variable. Las curvas más simples son las algebraicas, y entre ellas las parábolas, esto es, las gráficas de polinomios: Pa (x) = ao + alX + a2x2 + ... a"x n • Como el número de condiciones impuestas es n 1, no será posible, en general, obtener parábola de grado inferior a n que pase por los n 1 puntos';', pero vamos a probar que existe una, y sólo una, de grado n que cumple estas n + 1 condiciones. Pal'a determinar los coeficientes ao, ah ... , a~, basta resolver el sistema de ecuaciones lineales
+
+
+
+
+
+ al Xo + ... + al! Xo 1:~ ~ ~~ : .~1.~1.~::: .~.~n.~l~. Y .. = ao + al x" + ... + a x
Yo
[46-4] {
=
71
ao
n
n
tt
la solución es \lnica por el principio de identidad (§ 16-1, b), ya se utilice este procedimiento u otro cualquiera.
y
• 2. FÓrmula de Lagrange. -
a) La resolución del sistema
[46-4] suministra el polinomio de orden n que resuelve el pro-
blema de la interpolación. pero puede obtenerse directamente con este artificio: formemos el polinomio de grado n que se anule en los puntos XI, X2, •••• X,,, Y que para X = Xo tome el valor Yo; otro que se anule para Xo. X2, •• • , x'" y que para X = Xl tome el valor Y1; ... ; otro que se anule en todos los puntos, excepto en el X n • donde tome el valor Yn' La suma de todos ellos es de la forma: Pn(x) = >"0(X-X1) ... (x-x n ) + Al(X -XO ) (X-X2)'" (x-x n )+
+ ... +
>"n (x- xo) ... (x- Xn-l) , y resuelve el problema si se eligen los coeficient~s A de modo • SI prescln dlmoo de la con dl cióll de Ilue la curva 8.a del tipo parábola. el orden de la curva atg"bralc .. Que PIIS8 IXlr 1t PUll tO
648
INTERPOLAcI ÓN ENTRE VALORES CUALESQUIERA
que cumplan la condición impuesta: de tomar estos términos ]oe valores Yf!> Y.. . ..• Y .. para Xo. Xl. . •• , X"' respectivamente. EBtas condiciones determinan dichos coeficientes: Ao ==
Yo
(xo -
x¡) ... ( xo -
.
• • .• A" =
.
A l - ( Xl _
x,,) t
(x" -
Xo
)
11" (
•••
x" -
Yl xo) •.. (a:l X"-l
X .. )
),
y resulta la fórmula llamada de LAGRANGE, aunque fué descu-
bierta por E. WARING: P (x) n
( x-x¡) ... ( x -x,,)
-Yo (xo _ Xl) ... ( Xo -:t..)
+
...
+ y"
+
(x-xo) ... (x-x,,) Y1 (Xl - X~) ... (Xl - Xn )
(X -
Xo) ••• (X-X,,_l)
(X" -
XO) '"
(x" -
Xn-l)
+
•
NOTA: Esta fónn ula no da el polinomio ordenado (inconveniente común a casi todas las de interpolación). y tiene s obre todo el inconveniente de hacer inútil casi todo el trabajo cuando la apl'oximación lograda con tt valores es ins uficiente y es preciso tornar nuevos valores para formar un polinomio de gl'ado superior.
P ( ) 1:;C
=
Para dos valores, 1I.=f(x. ) , /l. { (Xl), resulta: ::t; :e, + x - Xc ti. - y, ~o Yi y o :1:. ::;:: Vo :1:0 _ Xl y, -~1 _ x. = x. _ x.
EJEMPLO:
•
que es ]a f6rmula de la interpolación lineal, la más fl'ecuentemente \Isada en t oda clase de tablas (§ 35-5). b) He aquí una consecuencia mmediata de la fórmula de LAGRANGE y del teo\'ema de unicidad: b,) T(Jd08 l08 poli1tl'Yrnios de tm ?nismo {Jrado n, acotados en 7t + 1 punte, de un intervalo (a, b), es decir, que t01ltan 11. + 1 valore8 inferiore, a. un número fijo, están acotad08 en todo el intervalo, puesto que cada polinomio está determinado por estos n + 1 valores Yo, 'l/l, ••• , 'l/., multiplicados por coeficientes que son finitos, esto es, inferiores a un número fijo h; si las 11. + 1 ordenadas son menOI'es que k, al variar éstas, todos los polinomios conservan valores inferiOl'es a (11. + 1) h k. Recíprocamente: b.) Todos 108 1Wlinomioll de gmdo n acotados en un intervalo, tienen sus coeficientes acotados. En efecto, según a ), éstos vienen dados por expresiones lineales de !all ordenadas y., 'l/l, •••• Vr., con coeficientes fijo~, en que sólo intervienen las abscisas elegidas.
3. La interpolación parabólica progresin. - El segundo de loa inconvenientes señalados en la nota de § 46-2 se evita con la interpolación parabólica prog'resiva, que además conduce más cómodamente al mismo polinomio, por la unicidad ya demost rada (§ 46-1) . a.) TDmamos dos de los puntos dados y determinamos el polinomio de p1'imer grado PI ( x). cuya gráfica pasa por ellos. b} Tomando un punto más es fácil determinar, basándose
644
XII. INTERPOLACIÓN Y DIFERENCIAS . 'INITAS
en el polinomio anterior, uno de segundo gráfica pase por los tres puntos. e) P roseguimos así, hasta llegar a p" Tendremos: a) Primer grado. Pongamos: PI (x) donde: ao = Yo; al = (YI ~ ao) : (Xl -
~
46
grado: P 2 (x), cuya (x ) . = ao
+ al (x -
xo).
xo) .
Resulta así la fórmula de interpolación lineal. P 1 ( :r) = 1fn
+
Y ] - Yo X l-XII
(x -
Xn),
que representa la recta que pasa por los puntos (Xo, Yo). (Xl' Y1); suele llamarse por partes proporcionales (§§ 35-5 y 40.4, d). b) Segundo grado. Pl! (x) = ao -1- al (x-xo) + a2 (x-xo) (X-Xl). Conservando los mismos ao, ah basta calcular a2 con la con· dición que y tome el valor Y2 para X2; o sea: aQ -
'-'='
1/2- aO- ul (x~ - X(l) • = (X2 -
Xli) (X2 -
'! h - P , (x;!) (x!) - Xn) (X2 - x¡)
-----"'--='-----.,.-'-,--'--=---- - : -
Xl)
Obsérvese que la diferencia Y2 - PI (x) es el error que es preciso corregir mediante el nuevo término de coeficiente a2' Además, vemos claraméllte la ventaja de este método sobre el de LAGRANGE; una vez obtenida la función lineal mediante dos puntos, y apreciado el valor que da para X2, si es despreciable vale dicha función para los t res puntos; en caso contrario. se divide dicho error por el producto de distancias de la nueva abscisa a las otras dos, y este cociente es el coeficiente del término nuevo de segundo grado. e) Gmdo n.
P n (:¡;) = ao
+ al(x -
xo)
+ ...
+ a3(x -
xo) (x - Xl) X lI -I). Conservando los mismos coeficientes, ao, ah ... , a"-17 que tenía PII-I(x), el polinomio P n(x) pasa por Yo, 1/1 •••• Y,..-It pues es P n (Xi) = P n - 1 (Xi) = Yi. (i = O, 1, 2, ... , n -1). El nuevo
," . + a,,(x -
x o) ... (x -
coeficiente, Un, se calcula para que P" (x,,) = Yn, es decir: - P n - I (x,,) an, = -,-_____ 1/" c-'-_---'-'-'---'--'-'-'----,-_ _--::(XII -
x,,) ( x " -
xt> .. '
([G" -
x,,-d
donde el numerador es igual al error cometido al tomar para Y ... el valor Po-.(x que daría el polinomio anterior, mientras que el denominador es el producto de distancias al nuevo punto x,,, desde los anteriores. tl )
EJEMPLO:
peraturas:
Temp.: Tensiones:
He aquí las tensiones del vapor de aguR a diversas temo t P
80° 36,46
90° 52,56
1000 76,00
(centígr ados), (centímetros de mercurio).
fi 4G -4
INTERFOLACIÓN ENTRE VALORES CUALESQUIERA
La interpolación lineal entre 80· y 100· da: P, 35,46 al(t-800) donde: ao.= (76-35,46): 20 2,027; pet'o si sustituimos t = 90° resulta: P, 35,46 -1- 20,27 == 65,73 . error: 52,56 - 55,73 = - 3,18; como es excesivo, recurramos a la interpolación de segundo grado, cuyo nuevo coeficiente a. se ' deduce dividiendo ese error por (90- 80) (90 -100)=-100; luego, resulta 0,0318; la nueva fórmula es: P~= 35,46 + 2,027 ( t - 80) + 0,0318(t-80) (t-100). Por ejemplo: para t = 86 resulta P = 44,96, mientras que la observación directa del fenómeno da 46,01; el error relativo, por lo tanto, apeo nas pasa de 1: 1000.
+
=
=
=
4. Descomposición de una fracción a1gcbraica en fracciones simples. - a) Denominador de ceros simples. - Dada una fracción algebraica irreducible f(x) / Q(x), con numerador de menor grado que el denominador, si los ceros de éste son sim· pIes, es decir, si admite la descomposición: Q(x) = (X-Xl) (X - X2) ... (x - x,,), se trata de descomponer la fracción dada en la forma: Al
+
X-Xl
A2 X - X2
+ ... +
An X-x" con numel'adores constantes. Multiplicando por Q(x), esto equi. vale a descomponer el polinomio f(x), cuyo grado es menor f(x) Q(x)
que n, en suma de n polinomios, cada uno de los cuales contiene n ~ 1 de los factores binómicos; pero esta descomposición es única, y la da la fórmula de LAGRANGE, siendo los coeficientes A f(Xl) f(xl) A f(x y ) 1
= (Xl - X2) (Xl - X3)'" (Xl-X n ) =
Q'(Xl) ,
r
=
-Q'(X y ) -
b) Caso geneml. Supongamos que en el campo complejO, la fracción algebraica f (x) / Q (x) es irreducible, esto es. los polinomios f(x) y Q(x) no tienen Dlngún factor común, el cual se suprimiría en caso de existir; y que f(x) es de grado menor que el grado m de Q (x). Probemos el siguiente teorema: bl ) Una fracción algebraica irreducible f(x) /Q(x) cuyo numerador es de g?'ado m.enor que el m de su denominador, y tal ,que éste admite la miz real o compleja a, múltiple de orden a ¿ 1, es decir: Q(x) = (x -ala, Ql (x) con Ql (a) *- O, puede siempre descomponerse en la forma:
Al + 11 (X) ala (X - a)a-1 Qdx) , donde la primera fracción del segundo miembro tiene por numerador una constante, y por denominador (x - ala, mien. [46-5]
f(x) Q(x)
==
(X -
646
XII. INTERPOLACIÓN Y DIFERENCIAS FIN1TAS
tras que la última fracción tiene por numerador un polinomio. f I (x), de grado menor que el m - 1 de BU denominador, y por é8te, el resultado de rebajar en una unidad el exponente de (x-a) en Q(x).
En efecto, para obtener [46-5], basta determinar Al de manera que sea f()
AI.Q(x}
fl(x) .Q(x)
x =( x-a ) a +( x-a ) a -lQ( IX )-
A Q ( ) l.
IX
+fI{X ) • (x-a).
Si se toma Al =f(a)/QI(a), el polinomio f(x) -AI.Ql(X), a Jo más de grado m-l. resulta divisible (§ 16-5, e) por (x - a), y su cociente será un polinomio f l (x) de grado menor que m-l. De aquí resulta el teorema: b2 ) Una fracción algebraica irreducible f(x)/Q(x), cuyo nume1'ador es de grado menor que el denominador, admite la descomposición: f (x) Q (x) -
Al
(x -
a) a
+
(ir -
A2
a) a-1
+ ... +
Aa X -
a
+
BI B~ Bn +(x-b)f1+(x-b)f3-1 + ' ' ' + x-b
+ + ..................................... +
[46-6]
l
Ll
+ (x-l)}, +
L~
(x_-l)~-l
+ ... +
x-l
'
donde a, b, ... , 1 son todos l08 ceros reales o complejo8 del denominador Q (x). con el respectivo orden de multiplicidad €t, {3, .••• A. La descomposición [46-6] es única.
Para obtener [46-6] basta aplicar el mismo teorema (b l ) a la última fracción de [46-5], Y reiterar el proceso hasta obtener el denominador QI (x) sin el factor (x - a). Aplicando a la. última fracción obtenida, fa(x) /QI (x), la misma [46.5] para (x - b) f3, Y siguiendo así sucesivamente, llegaremos a un denominador que tendrá el único factor lineal x - l y corresdonderá a un numerador de grado cero, es decir, a una constante L '<, . La unicidad de la descomposici6n [46·6] se demuestra suponIendo que existiese otra con coeficientes Al', A.', ... , Ad', BI', B.', ... , Bf3", .. " L: ... , L~", correspondientes a denominadores (x_a)a', (x-el) a'-l, ... , (x-a), (x-b)f3', ... , (x-b), ... , (x-l)~', ... , (x-l). Habria de ser a':::: a, f3' = f3, •.. , ~':::~, y además, A,':::: A" ., ., A a' :::: Aa:, BI' :::: Bl, .. " L' >. :::: LA. En efecto, si fuese ( l ' > a, multipli· cando ambas del3composlcion"s por (x - aJ a' resultada:
~
46 -4.
INTERPOLACIÓN ENTRE VALORES CUALESQUIERA
(et -a) .g(:t)
64J
== A,' + (:t -a) .gl(X),
donde g (x) y gl (x) se con~ervan acotados en valor absoluto paloa x - a, y por lo tanto, A.' = 00 Análogamente, no puede ser tampoco o' > a'. Si 0:=0:', multipliquemos ambas descomposiciones por «(l;-a) o: , y resulta:
A.+
(:t-a),g(:t)
=A.'+
(Ct-a).gl(:t),
donde g(:c) y gl(X) se COnservan acotados en valor absoluto para x - a, y por lo tanto, Al Al'. Suprimidas de ambas descomposiciones las fracciones de estos numeradores, se demuestra del mismo modo A. == A;, y
=
se sigue asI sucesivamente, hasta probar L}..
=LA '.
b a) Si los polinomios primos entre sí f(x) y Q(x) tienen coeficiente8 reale8, a toda raiz imaginaria, b = ~ + i 17, de Q (x) corresponderá otra raíz imaginaria conjugada, e = ~ - i TJ = b con el mismo orden de multiplicidad {3 (§ 18-2). EntonceR CI = Bl! C2 = B 2 , ••• , C!3 = B!3, pues para obtener [46-5] hemos tomado Bl = f(b) j Qdb). que resultará (§ 18-2) conjugado de el = f(b)/Qdb}, donde Qdx) = f(x)/(x-b)f3, tiene sus coeficientes conj ugados a los de Ql (x) = f (x) / ( x - b )/1. Por 10 tanto:
+
BI (x-b)/l
B1 (x-b)/l
donde G (x), de grado no superior a {3, tiene coeficientes reales, dejará un resto lineal, Mlx + N h de coeficientes reales si lo dividimos por el trinomio de segundo grado (x - ~) 2 'T/2 =os ~ x 2 + p X + q. De aquí se deduce que:
y
+
Bl
BI (x-b)/J
M1x + N 1
Gt(x)
+ (x-b)f3 = [(X-V 2+TJ2]!3 + [(X-~)2+'T/2]/1-1
Volviendo a aplicar el proceso a la última fracción del segundo miembro, y haciendo lo mismo con B2
B2
B fJ
B f3
-{x-- --+ -----, .... ~-+ ----= b) /1-1. (x - b) /3-1 Xb x- b y los demás pares de raíces imaginarias conjugadas de Q (x) ,
habremos probado el teorema: Dada la fracción irreducible de coeficientes reales f(x)/Q(x), cuyo numerador es de grado inferior al denomina-. dor, teniendo hte cer08 reale8 a, múltiples de orden respectivo a, y cer08 imaginario-conjugados ~ ± i fJ, múltiples de orden respectivo {3, existe la de8composici6n en fraccione8 simples, del tipo: o
648
§ 46 -4
XII. INTERPOLACIÓN Y DIFERENCIAS FINiTAS
[46-7] f(x)
L
Q (x) =
+
(
a
L
~±
( ir¡
MI
X
+ (x_a)a-l A A + + ... + x-a 2
Al
(x-a)a
+ Ni
+
[(x-Ü 2+'l]2]P
a
+N
M 2x
2
I
[(X_.Ülf-7)2]f3-1
T
...
)
+
1- Mpx+ N p ) (X-0 2+'l]2 •
-
Esta descomposición es única, pues basta aplicar un razonamiento análogo al visto en b~). b4 ) Método de los coeficientes indeterminados. - La demostraCÍón de la existencia de la descomposición [46-7] es constructiva, pues puede servirnos para la determinación efectiva de los coeficientes A i , M; y N J• Sin embargo, la existencia y unicidad de dicha descomposición justifica el empleo, a vece~ más cómodo, del método de coeficientes indeterminados, ya apJlcado en otras ocasiones (§§ 16-7 Y 44-4). Escrita a pr'iori la fórmula de descomposición [46-7], con coeficientes indeterminados en los numeradores del segundo miembro, se quitan denominadores multiplicando ambos miembros por Q (x). Basta entonces igualar coeficientes de las mismas potencias de x en la igualdad que resulta para formar un sistema lineal de ecuaciones de solución única en las incógnitas buscadas: Ah Mj y N,.. Éstas son ~ a +!. (213) = m grado de Q(X), igual F. ::¡: ;'1
al número de coeficientes, eventualmente nulos, de f (x), que a lo más es de grado m-l. En el § 52 estudiaremos la aplicación de esta descomposi. ción a la integración de funciones racionales. 1. Raíces t'eale8 simples:
EJEMPLOS:
x' + 3 x x'-x'
3
1
2
=-7+~+ x-1
Caso gcnc?·al: 2.
x' + 3 re" x'+2x+l
(x-l)'
3. 4.
= re' + x x'+x
(re'
x"+ re (x"+ 2)"
+ 1)
3-1-
1 x
-
2x
re'
+1
5
+
x+ l
2 (x+l)'
2
x'+ 1 x
5x
x'+2
(re" -1- 2)'
§ 41i -E j.
649
INTERPOLACIÓN EN'fRE VALORES CUALESQUIERA
EJERCICIOS
•
16,..
l. Estudiar los ejemplos de § 46-1 Y § 46-3, con la formula de Lt--
Comparar los diversos mét{)dos. 2. Hallar el polinomio de tercer grado que para x· = -1, 1, 2, 4 vale respectivamente 3, 11, 6, 8. Comparar los métodos de LAGRANGE y de la interpolación parabólica progresiva con el de resolución del sistema [46-4]. 3. ¿Cómo se obtiene la función inversa de y=Pn(x), utilizando ¡. fórmula de LAGRANGE? Ap1icarlo a resolver la interpol~ción inver6a. consistente en encontrar un valor de x correspondiente a un valor dado de GRANGE.
y
= f(x).
4. Hallar x· -
4~
(1"
+ 4x =
b, o. siendo: (x-l) (x- 2) ( x-3)
+ a( z--l) (x-2) + b(x-l) + e.
6. Demostrar que el resto de la división de Un polinom\o P (x) el polinomio Q ( x ) es : R(x)
P (XI} Q'( )
= ~'.
~r
Q(x) X~Xi
x,
donde x I son Los cel'OS de Q (x) . 6. Si todos los ceros del polinomio Q ( x ) son reales, y entre ellos a es doble, siendo simples los demás, y el polinomio f (x) es de grado menor que Q( ,c ) y pl'imo con éste, entonces : fe ,,) Al ) + xA.- a + ...,~i x -B b ' donde: Q(- x )- ::= ( x - a'
A,=
2 f (a) Q" (a)
2 [3 f '(a)Q" (a) -
A" _
fea) 3[Q"(a)]"
. -
B =
Q:" (a)]
f(b) Q'(b)
refiriéndose la suma a todas lns raíces b de Q( x ) = O distintas de a. 7. Si el polinomio Q (.t ) tiene un par de raíces simples imaginarloconjugadas (b , = b:) dadas pOt' (x - b ,) (x- b, ) == x" ~ p x-q := 8, siendo Q(x) == (X' - 1JX-q) Q,(x ), y f (x) es un polinomio primo con Q (fe) y de grado menor que éste, entonces puede ponel'se en [46-7]:
7'0 60\ M=
1 1'\
+ 8,
Bo p
So p
8.
,
N
+ SI
s, q
s, p
80
S,
I
I
1
+
6.
+8, q
rol 1\
So 8,
I
donde r. x + T, Y 80 X 81 son respectivamente los restos de dividir f(x) y Ql(X) por x"_px - q, para 10 que puede emplearse esquema análogo (ahora con sendas :filas para p y q) al de la regla de RUFFINI (§ 16-5.6), Aplíquese a la descomposición de 2x' "-
3x' -
2x'
+ 9Q:
x· _~ + :I:· + x " - 2 '
1945). 8. Probar que si el polinomio f(x) es de graoo menor que Q(z) :: (x - :1:1) (x - x.) (x - x.), con x. distintos, y primo con él, entonces es: (DANIELA VARELA,
=
§ 46 -Ej
XII. IN'I'F.:lIPOJ,ACIÓN y DIFERENCIAS FINITAS
"5U
1
1
1
1
1
~
z.
x.
~t"
x."
xl
:1:,
:t.
x.
f(ro.!.
f(x.)
f(:e.)
X-X.
X-X.
f(~)
Q"(;.) ;;;;
1
X-
Xl
y generalizar parl' dent>minador de grado n con ceros simples.
9. Mediante deBcomposición en fracciones simples, probar que: Dln)
are tg x;;:;: H- l)n--l(n-l)! i[(x
+ i)-n -
(a:-i)-nJ.
10. Descomponer en fracciones simples: a) 1t"+~+1 b) 1 c)8~-12x"+16x-4 8x"-2x_5 l l-x'; a:·-4x·+4x· a:'
d) -;(-x--::-I7":).'""'(....,x".--+ - -- 1:) ;
e) a;'
+1
1;
f) a;"
+1 1;
g)
(xl-a')" x· + a'
11. Genel'alizar, por illducción, las exprelliones (nota I, a) de las di· ferencias divididas.
§ 47. INTERPOLACIÓN ENTRE VALORES EQUIDISTANTES
1. Diferencias suc;esivas de una función. - Dada una función f(x) y un conjunto de valores de x en progresión aritmétic..'l.: Xo, Xl = Xo + ¡'" X2 = Xo + 2 h, ••• , Xn = XO + n h, ... , a los que correspondoo 1/0, YI> Y2, ... , y" = f(x n >' ... , se llaman cLife'l'encias p'i'imeTf!.8 de ]a funci6n 1/ = f (x) a los números ob· tenidos r estando cada valor funcional del siguiente: 6, I YO=YI-YO, 6,I Y l = Y2 Yh etc. ; diferencias 8egundas, el resultado de aplicar el miflmo proceso a las diferencias primeras: 6,2yo = 6,IYl ~ - 6, l y~. fj?Yt = A'Y2 - 6, 1111, etc., y así sucesivamente. Se tiene el cuacu'o siguiente; a:/) 1 1/(' Xl YI X2 I y., Xa
-
I Y8
I
1
t:.t. 110
= VI -
Yo A 21Jo=A1 YI- A1 yo YI t:. 21/ =Aly.,_t:.1 y
I A Y. == Y211s -_ Al y~
. l · l·
.
Y2
.
.
•
'1
•
-
1
•
•
En general, se tiene: t:.'- y, = t:. ....1 Yi+l -
A"-1 Yt.
es decir, obtenida una columna de diferencias, se forma la diferenci a de orden superior a una cualquiera, restando ésta de la siguiente en BU misma columna. Suele emplearse t:.y, = t:.1y,. Si calcuJamos ha diferencias sucesivas mediante los valores funcionales ini4;.ia]eB, resulta: /12yo = (Y2 -Ú: /1ayo = AZYI -A:Y.. = Ya -
3 112
+
+
(Yt-Yo) = Y2-2Yl Yo, 2 Y2 Yl) - (Y2 - 2 Yl +110) = 3 111 - Yo
= (Ya -
+
y en general, se dem\.l,estra por inducción, mediante ]a relación fu ndamental [11-16] entre números combinatorios:
~
47 -2
lNTEI
~"Yo - Y. -( ~) Y"-l + (~) lI,' -~ -
[47-1]
Inversamente~
+
+
... + ( - l)"!}".
+ ~'Yo; ••• : + A. yo; A Y2 = . . . ; + 3 A.2'l/0 + I::.ryo; A1Ya =
= Yo ~lyo; Il?Yl = ~lyo Y2 .. Yl + A.1Yl = Yo + 2 A.lyo YB = Y2 A.1Y2 = Yo 3 A.1yo Yl
651
+
2
1
..'; y en general, se demuestra como antes ~)Or inducción:
[47-2]
1/.. - Yo
+ (~) A. 1/0 + (~) A.2yo + ... + (:) 6"yo . 1
2. Operadores simbólicos. - Las fÓt'tllulas del c.álculo de diferencias se simplifican notablemente .llediante la introducción de operadores simbólicos. Se designa por E la operación funcior.al de increm-:!ntar la variable independiente x en la constante h. es dl'CÍl': Ef(x.. ) = f(x"+h), o sea: Ey" = Y,...1, e indicando como producto la apJicación ,r eitel'ftda, tendremos las potencias: Erf(x") =f(x,,+rh), osea : Er y,, =y,,~~. Si convenimos en poner A. n = EO = 1 - o~raci6n idéntica (es decir, A.0y" = EO Y.. = y,,) tendremos A.y" = Y"' l - y" = = (E-1)y"; E Yn - Y""1 = y" + A.y" = (1 -- A. )y,,, Y por lo tanto, los operadores A. y E se relacionan mediante : [47-3] E, = 1 + II Fácilmente se demuestran las relacion~~
+M(c),
A.~f(a)+f (b)+ .. .+f (e) ~=Af (a) +Af O )-I-... A.kf(a) = ktof(a), tom A." f (a) = A.m... f {a},
y análogamente para E. ~ste y A. son f!onmutabJes: E A. y ,¡ = E (y"..t- YrI) = Yn"2 - y"H '= Ó 1}".1 - A E 1Jn. Asl, Jos operadores 1:. y E pueden mnnejarse como símboloB ó-n ) fea) =o algebraicos. Si definimos A.'" A." mediante ( tom = 1::.'" f(a) ó." f(a), es inmediato demostrar :
+
+
+
(A.m + An) (A.P+A.
que justifica (§ 12-1) : (1
+ A.) = 1+ ( ~ ) A. + ( ~ ) ~2 + ... + (: )A", n
y análogamente para E.
Entonces, las fórmulas [47-1] y [4':'-2] pueden esclibirsf.l condensadarnente: [47-1'] [47-2']
ll"yo - (E -l)"yo y,. -- (1 A) "Yo,
siendo en la última y" = E"yo.
+
6&2
§ 47 -3
XII. INTERPOLACiÓN Y DIFERENCIAS FiNITAS
8. Diferencias sucesivas de un polinomio. - Si la función es y = X", la diferencia primera correspondiente a cualquier válor de x es: (x+h)"-x" = nxf>-lh+ ... +h", polinomio de grado n - 1, e igualmente, si la función dada es Uh polinomio cualquiera de grado n, la diferencia primera viene expresada por un polinomio de ·grado n - l. Por lo tanto, las diferencias segundas vienen dadas por polinomios de grado n - 2; las diferencias terceras, por polinomios de grado n - 3; ... ; las diferencias de orden n - 1, por binomios de primer grado; las diferencias n-simas son constantes, y las siguientes son nulas. Para llegar a una diferencia n-sima bastan n 1 valores equidistantes del polinomio, y com o es constante, puede retrocederse mediante adiciones, formando la columna de diferencilla (11, -1) -ésimas; luego las anteriores, y siguiendo así se Ilep a formar la columna de valores de la función para valores posteriores y anteriores a los n + 1 dados; es decir. se hace la extrapolación fuera del intervalo de los valores dados.
+
EJEMPLO: Formemos una tabla de cubos partiendO de los cuatro prImeros; con estos se llega a formar, por sustracciones. el triángulo de diferencIas imllresas en cursiva; repitiendo la diferencia constante 6, y retrocediendo por adiciones sucesivas. la columna de cubos se prolonga: :l)
x"
- - -- . O 1
, 8 4 5 EJERCICIO:
O
1 B 27
64 125
11
-
lJ.'
!l'
6
6
- - --
1 7
19
37 61
12 18
24
6 6
Partiendo de los cubos
9!JI = (100-1)3= 970299, 100· = 1000000, 1U1' = 1030301, 102" = 1061208. prosigase la formación de cubos.
4. Diferencias sucesivas de los factoriales. - En la teoría de la interpolación son particularmente importantes los productos de factores en progl'esión aritmética llamados factoríar les (o facultades). El factorial de diferencia h = 1 Y grado p se designa así: [x]p = x(x-l) (x-2) ... (x-p+l). Su diferencia es: D.. [x]v = [x + 1]" - [x]p = -x(x-1) (x-2) ... (x - p+ 2 )[(x+l) - (x-p + l)], es decir: [4'1-4] f:,. [x]P =- P [x]l>-\ fórmula análoga a la derivarla de xP , y de la que se deduce:
~
1J7 -6
c..
l NTI!Rl'OLAClÓN ENTRE VALORES EQ,UlD1STANTES
[ :cJP _
[x+ l V
[X]P-l . (p "":'l ) l ' O sea:
PI -
(XJp
653
[x] 1>-;
p! = --Py- + (p-1) !' que permite tabular rápidamente [x]Pjp! para valores natura· les de x, en forma an áloga a como formábamos el triángulo aritmético o de T ARTAGLIA (§ 11-4). Dado un polinomio P" (x) = aox" + arx,,-l + ... + a." se simplifica notablemente el cálculo de sus diferencias sucesiva8, expresándolo como suma de factoriales: [47-5] P" (x) = a P[x] + y[xP + v[x]", donde a es el resto de dividir P,,(x) por x, es decir. P,.(x) = a X P,.-l (x) ; f3 es el resto de dividiI' P71-dx) por x-l. es decir, P,,-dx) = P + ( ;1: -1) P,,-2(:r) ; y es el resto de di. vidir P n-dx) por x -2, es decir, P,,_~(x) =o, y (x - 2) P ::(.1')' etc. Entonces, [47-4] da inmediatamente las diferencias;
+
+ ...
+
+
+
II
í;l
+ 2 y[x] + ... + n v[x]n-1, 1~:~': ~~~ .~ .~!.~. :.": .. ~ ~.(.~ ~.~). .v.[~:~~2:
[47-6]
P,. (x)
= {3
\.,t"np ,,(x) = n! v. E.rEMPLO: Sea 11 ;:::; x' - 12 x' gla de RUFFINI (§ 16·6) resulta:
O)
1
-12
+30
~-20
(+7
--::-_--'-l:-:--1_-:-o11c:----:-'+~1_:;_9 1) 1 -11 +19 (-1 +2 - 18 2)
1
-9
(+1
(!,.'y
(-6
30 :\:' -
= 7 -
= -
ó?y :::; A"y
+3 S) '·' 1
y
A y
+
20 x
2 _
= - 36 = 24,
7. Aplicando I~ re·
+. [xr + 4 [:tJ"
+
[x l" - 6 [re ]"' 2 [x] - 18 [x]" 36 [ x ] + 12 (X]8,
[x]
1
+
+
+
24 [::eJ,
t.'y :::; O.
5. Fórmula de Newton-Gregory _ ~ Si de una función desconocida se conocen sus valores en n 1 puntos. se ha visto en § 46 cómo se interpola mediante el lJolinomio de grado fl que toma los n 1 valor es dados, admitiendo que los valores de la función desconocida en los puntos intermedios son los del polinomio en estos puntos. El caso más usual (por ejemplo, en las tablas matemáticas) es aquel en el que los valores de z. son equidistantes, y si los puntos considerados son los x = .., 1, 2, ... , n, puesto el polinomio buscado P n (x) en la forma [47-5], ésta y las [47-6] dan inmediatamente para x = 0, 108 coeficientes:
+
+
11= fl" - y"-- , n! de donde resulta la fórmula:
- - --- - - -
XIl. lNTEl:POLACIÓN y DIFERENCIAS FINITAS
[47-7]
P.. (X) =
+
110
X(~ -
§ 47 -5
x x(~-1) • + TI ayo + 2! A-yo + ... + }) ••• (x - n + 1) anyo,
n!
atribuida a NEWTON, pero ya conocida por J. GREGORY (1670). Si en vez de 1015 puntos O, 1, 2, . .. , n con~ideramos xo. Xl"'" :'ta h, ;1':: = ~o +- 2 h, ...• X n = a!o n h, en vez de [47-7] se obtendrá:
+
[ 47-8]
+
P ( ) 11 X
=
+ . •• +
Yo
+ .x - 1 !xo t:J.Yoh + (x -
Xl) A~yo
:'ta) (x -
2!
h2
+
!x-Xo )(x-Xt ) ... (X-X,,-l) anYI) n! h" •
'famblén puooe deduch'se [47-8] directamente de [47-2], haciendo y swlt,ituy¡:ndo n:= (x - xo) I h, n - 1 ;:: (x - :'1:1) I h. etc.; o bien como la correl:lJlond.iente en este caso a la interpolación parabólica progresiva (§ 46-3) . pudiéndose deducir [47-8] por el cálculo sucesivo pata valores equidiBtantC'.5. mediante las diferencias suce::;ivas, de los coeficiente.
:t:
= Xc +n 11,
La fórmula [47-7] se expresa simbólicamente así: [ 47-7']
P .. (:t)
=
(1
+ t:J.)xYo
= E"yo.
teniendo en cuenta que son nulas para un polinomio de grado n las diferencias de orden superior a n. N OTAS: 1. En las te.blns usuales llega siempre a suceder que las dif Cl'ellcias de un ordell suficientemente elevado son prácticamente constan. tes dentro de la aprolCimación deseada, fijándonos dicho orden el ~rado del polinomio illterpolan~. 2. También se pl'oce.!e a interpolar funciones conocidas y tabuladas, cuando el cálculo de SU! ';ruores numéricos en puntos intermedios es muy engorroso. S. Salta a la vista L analogía de la fórmula de NEWTON - GREGORY [47-8] con la de TA\'LOR ( § 39-2), si se sustituye en ésta. (x-a)r por
( :r; -
O:o)(O:-Xt) ... ( x -
::r-l) y f(r)(a) por
A' VO --W'
Sin embargo, [47-8]
no es a plicable a infinitos valores, y no es legítimo el paso al límite sin un an iilisis eBpecial (§ 47-6). EJEMPI.O: DeterJl.lblllr 19 6,0405 mediante la tabla de las dos prime--
ras columnas siguientes: tJ!:r
6,040 6,041
6.04.2 '3,048
6.044
Ig
Xr
-1,781 0369386 },781 1088357 '),781 1807209 (·,781 2525942 (',781 324 4557
A
A'
t:.,0
718971 718852 718733 '7186Hí
-119 -119 -118
O 1
Aquí blls tará la intervo1ación cuadrática, por ser prácticamente cons· tantes las diferencias segundas, Es x = 6,0405; x. 6,040; h::::: 0,001; (r1:~",, )/h;:: l<¡ (~--«.. '. (x-x.)/ho=-!: 101°.lg6.0405=7810369SU+ + 3 .718 971 -1 i .119 == ':'81 0728886.
=
~
47 -6
655
INTERPOLACiÓN ENTRE VALORES EQUIDISTANTES
6. Término complementario y paso al Iboite. - a) Para una determinada función 11 = f (x), la fórmula de interpolación [4'7-8] da sólo une expresión aproximada de la misma, siendo realmemte f(~)= P.(x)+ R,, (x). Por analogía con la fórmula de TAYLOR (§ 47-5, nota 3), podemos intuir el
TEOR.: Una. función f (x) continua en [x., :1:,] con derivado f (.....) (:.1 ) existente (§ 80-0) en (~c, x.), tiene COnto término complementario de la fórmula [47-8]: [47-9] R.(x)=f(x)-P.(,t;) = (X-x.)(X;~'i)i·(x - x.) f( ... ~¡m, donde Xo < E< :1:•• En efecto, escribamos el término complcmental'Jo en la forrua: f(x)= P.(:d+ r.(x), (x-x.) (x-x, ) . . , (11:-:1:.). Si es el-;f= Xo, X" ••• , x. un punto cualquiera del intervalo (xo, x h ) , estará determinado r.(a) mediante: [47-10] f(a):=; P. (a) + r. (a) • (o,-x.) (a - x,) •.• (4 - x.). La función: F (x)= f(x)- P. (cd- r.(a) (x -x.) (x - x,) . . . ( ;1: -x.) se anula en los n + 2 puntos distintos xo, x" ... , "., a , y po~' el teol'ema de ROLLE (§ 36-2), su derivada F' (x) se anula en 11 + 1 puntos distinto!> intermedios, la F" (x) en n puntos distintos intermedios, y por lo ta.nto, la Ft Otl ) (~) se anula en un punto E, con Xo < E< x" es decir: FI' ,lI (n [l.") (H r. (al. (n + 1) I := O. de donde se despeja rn(a) . y sustituida en [47-10] da: f(a) ::::: PoCa) + (a - x.)(a-x,) ... (a -x,,) f(·'Il(n
=
(n
+ 1)!
con 111. < E< Xo, vAlida para todo a de [xo, x.J, y que demuestra [47-9] sin más que cambiar a por x. to Conocida la acotación +,) (n I < K, para h peQueño, el error es del orden de h·+ l • Asi, para x = Xo + ~ h, el error es: ! 6 h.h.2h ... nh K h"+l K. (n + 1) ! 2( n + 1)
'f
<
<
En § 47-5, ejemplo, el error no supera a
O OO'·
~ •
2M -;w<
lO-U,
Y hubiésemos podido tomar Ig 6,0405 = 0,781072 88!:! 637, supuestos exaCtos los valores tabulados, lo que no es cierto, pues sólo tienen sus cifras exactas (Cap. V, nota 11, b). NOTA: La fórmula [47-9] es también válida fuera del iutervalo [xo, xol, si f(x) cumple las condiciones de hipótesis, pero entonces, si x es exterior a [x." xoJ, también puede serlo ~, pues éste resulta en general un punto intermedio entre Xo, X" 111., ••• , x•. x. La fórmula [47-8], aplicada fuera del intervalo de los n valores dados, se llama de extrapolaci6n, útil si se conoce tlDa acotación de la derivada n + 1 -ésima, pero muy peligroBa en su aplicación incondiciona l, si se desconoce límite de error. Tal sucede en las leyes nat urnles cuyo proceso fuera del intervalo de observaciones queda indel-el'mint;ldo, Además, aparte del riesgo de un crecimiento rápido de la (lerivadll, el pro·· dueto de distancias al los puntos dados crece rápidamente al salir del in.. tervalo de éstos. Ast, en § . 46-3, ejemplo, la misma fórmu}t;I que tan excelente resul· tado nos ha dado para el valor t == 86, nos da pal'a t O· el resultaJ o absurdo 127,70, mientras que el valor observado es 0,46 en cent[metros de mercurio. La fórmula (47-9] es válida para interpolación entre valores cuaIea-
=
XII.
INTERPOLACIÓN
Y DI FERENCIA S FI NITAS
§ 47 -6
quiera (§ 46-3), pues en su demostración no interviene la circunstancia de que los puntos sean equidistantes. Si el polinomio interpolante P. t~J tot.a la forma de LAGRANGE (§ 46-2), por el teorema de unicidad (§ 46-1), el- resto será el mismo [47-9]. b) La función R" (~) === f (x) - F. (x) dada por [47-9], se anula en tí T 1 puntos, X., Xl, ••• , x., y aplicando el teorema de ROLLE reiteradamente, como hemos hecho en a), resultará que existe un -p unto de (:7::0, x.) tal que f(a) (é)- p" (n) (E) = O, es decir:
[.'1-11]
f(D )
m :::
A~~~
, (xo
< ~ < :r.).
En las condiciones de hipótesis del teorema [47-9], aplicando [47-11] ¡tara 11, 1, 2, 3, ... , y haciendo tender h a O, obtendremos la fórmula de -TAYLOR (§ 39-2) como caso limite de la [47-81.
=
EJERCICIOS
1. Efectuar en detaUe las demostraciones indicadas en § 47-2. 2. Mediante los valores de y;::: x' - 2 x' + :3 x' ~ 6 x + 1, para le = - 2, - 1, O, 1, 2, prosigase hallando los valores funcionales para!le 3,4,6, ... 8. Expresar y 5 x· - 3 x + 2 en la forma
=
=
P.(x) ;:;; a
+ f3[x] +
y[x]"
+
2;
f(O)
8[x]",
y formar la tabla de sus diferencias. 4. Hallar el polinomio f (x) tal que Af(n)
=
911," -
3'11 -
=
3.
5. Para la función f(x):= e-o:' se tiene f(O)= 1; f(0,05) = 0,99750: f(O~10) =:= 0,99005; f (0,15) = 0,97775; f(0,20):::: 0,96079: f(0,25) = 0,93941; f(O,80)= 0,91393. Calcular f(0,04_7 7) y f{O,2862), mediante [47-8], comprobando los resultados por el desarrollo en serie de MAC - LAURIN. 6. Mediante [47-2] probar (cfr. ejercicio 2 de !\ 2) que:
;~l (2 W =
4
+ ( n -; 1 ) -
. 16
2 ti
== S
+ ( n -; 1 ) . 20 +
(71-; 1 ) . 8 =
.
(n
+ 1) (2 n -1- 1) :
1- + 21 + ... + 11,' == n"(n + 1)"/4; l' + 2' + ... + n' = 11,(11,+1) (2n + l)(8na + 3n-1)/80. 7. Si en la tabla de valores equidistantes se toman en cuenta hasta 18. diferencias terceras, el valor correspondiente a i (Xl + X.) es: 'IJI -1- y ,
+
(11'
2
+ y ,) -
(Yo
+ y,)
16
(DE MORGAN).
NOTAS AL CAPíTULO XII
r.
Diferencias divididas. -
a) DF:l''.: Se llaman diferenCÚJ,8 dívididall f(x) en la sucesión de puntos cocientes sucesivos si¡n¡ientes:
O polinomios interpolares de la función 11 = ~ %"
:ro, .•.•
[O 1]
108
= 'Y'-~, X,-2:o
[1 2]
=
y.-y, , .. _;
~-~.
C. XII -1
657
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
[1 2] -
[O 1 2]
[O 1],
[2 3] -
[1 2 3]
[1 2]
x ,-Xo
[1 2 3]
[O 1 2 3]
[O 1 2]
~
, ... ,
, ...
x, -x,
Resulta, además: [O 1] ;;;; _-"-y,' ---_
+ _--!:.Y~I~
Xt) - X l
[O 1 2]
XI-Xo
Yo xd ( xo -
(x. -
+
+
( o::o-XO)+(O::I-XO)
+
y.
(x,--~e.) (x.---o::.)
+
yl
(x,- xo) (0::,- x,)
y, . x. ) (Xa~ ~l) ,
(x. -
(xo ~ x.)
[O 1 2 3] =( xo- x,)
+
0::,)
(x..---x.)
(o::,~ X,)
(x,- x .)+
y, (x,--a:. ) (x.-x,) (x,.--x,) ; •••
fórmula que se generaliza por inducción; por lo tanto. una diferencia dividida es una funci6n simétrica (Cap. X, nota IU) de los puntos a que se refiere.
b) Fórmula de LAGRANGE. - Si f(x) es un polinomio de grado n, debe ser [O 1 2 '" ?t x] = O, como análogamente hemos visto en § 47-8, es decir: ~__~~__~Y~__~____
(x-xo)(x-"",",,, ) ... (x-~.'
+
__-2Y~o~__~__~_+
+
(x.-a:',{xo-x,) ... (xo-x.>
~
(x.-x) (x.-xo} ... (x.--x.-,)
.. ,
+
- -O -
,
de la que se deduce inmediatamente la fórmula de LAGRANGE (§
46~2).
Fórmula de NEWTON. - Si las diferencias divididas de tercer oro den son constantes, se tendrá para cualquier x: [x O 1 2] :::;; [O 1 2 3] . y siendo e)
[x O 1 2]
resulta [ x O 1]
=
[O 1 2] -
= [O 1 2]
Como también [x
resulta: [x O] == [O 1] y por ser
+
O 1]
[x O 1]
x, - x
+
[O 1 2 3] (x-x.).
== [O 1] -
[O 1 2] (x -
[x O]
[ x O]
x,-x
Cl;':,)
+ [O
1 2 3] (x -
~)
(tt -
SI),
== Yo-'11
queda en definitiva: 'Y
= 'l/o ++rO[O1]1 (x2 8]- (xxo)- +x.)[O(o:1 -2] x,)(o: (x- -~. ):1:.). \:t: -
e,)
+
Si las diferencias divididas constantes son las de orden n, queda l. fórmula análoga debida a NEWTON (1687), coincidente con la dada en la interpo]adón parabólica progresiva (§ 46-8), siendo precisamente lo. coeficientes de la misma las sucesivas diferencias dividida.s: ~ Vo, a, = [O 1], a. = {O 1 2], ... , a. [O 1 ... n].
=
=
658
C. XII -1
XII. INTERPOLACIÓN Y DIFERENCIAS FINITAS
d) Coeficiente8 diferenciales. - Si f(a:) admite n coeficientes dife-renciales (Cap. X, nota l. a) en el punto ~, es: y'U 1/'") ft tI(R) y, = Yo + h'l"! + M 2I + .h, n! + o(h.·).
+ ...
ti-
= Yo
y(')
+ hll! +
•
h,
tI'""
""21 + ... +
•
h,
tI,·1
-;;:-¡-
+
oCh."),
y calculando las diferencias divididas, si se llama h a la mayor de lal! h" h., ...• hA en valor absoluto. resulta; 1/(0) =l"! + h'""""2! + h,' 3! + ... + y")
[O 1]
Vil)
1/'"
="""""21 + (h, + h.) 31 + (h, y(8)
[O 1 2]
en general, para m
~
=~+ 8, S.
+ O(h,·-l).
+ h, h. + h. ) """41 + ... + •
1/(0)
o (h'''') ;
n:
y("')
[O 1 2 ... n] siendo:
I
y,ft)
h'"-'"""1i1
:= h,
+ 1)! + ... + 8.-", ---nI +
o(h·· .. ).
+ h. + ... + h .. = 1: ho••
= 1: h, h..
Finalmente, para m
V'OI
y,,,+1)
(n~
8,
8,
= 1: h
r
h. h ..
== 'lt. tlr~)
[O 12
n]
y cuando los n incrementos h"
h~.
= ---;;¡ + 0(1),
• •. , h. tienden a O, se verifica;
Um [O 1 2 ... n]
1/'.' . = -,n.
Los incrementos h, = a:1 - Xo, h,:::; a:. - Q;o, h. = XI - lI:o, ••• , pueden ser cualesquiera; pero si los intervalos son iguales, Xl - Xo = x. - x, X. x.:= ... = h, Y por lo tanto, x. - x. = 11. h, se tiene: 2] (11, - 211)-(7/,-1/.) 11-- 2 ti. + ,//0 _ 1 /),.1 tlo O 1 [ 2 h" 2 h" - 2! ----¡¡,o-' /la 111 -l1" yo 1 l1'yo 1 [O 123] = 2f =31 I r ' ah' y en general,
=
= =
de donde resulta:
lim
/lR
yo
h~O---¡;jl
= 11(_) ,
que da otro importante significado a los coeficientes diferenciales. En particular, si f(x) admite derivadas sucesivas, la fórmula anterior constituye un resultado clásico.
n. Empleo de diferenda8 centrales. - a) En la interpolación de valores de una función 11 = f(x) entre Xo y Xl mediante la fórmula de NEWTON (§§ 46-3 Y 47-5), figuran únicamente las difereneÍas sucesivas de yo, en cuya formación s610 intervienen los valores de la función para Xo, Xl, X:a, ••• , pero no 108 de su izquierda. Mejor aproximación se obtiene haciendo intervenir diferencias situadas sobre una linea horizontal del cuadro de las mismas o en sus proximidades, por cuya razón reciben el nombre de diferencias centrares. Para expresar I!stBs se emplea una notación especial, debida a W. F. SHIlPPARD (1899), basada en el simbolo a. introducido como equivalente a
C. XII -II
669
EMPLEO DE DIFERENCIAS CENTRALES 1
AE~'i' (§ 47-2). A' 2/0 = 8"1/1, t:."yo {l}-.
~-l
Al ser A::::/lE 7 , podemos escribir A Yo~SY1/" ... , A" y. ::: /l" '1/.1" dando la tabla: .
= 8'1/.,", Y-2 y -l
'11-." /; 'l/-'"
/l
¡¡O yl/. S' JI. y. /; l/11t /l" Yo y, Xl B' '11' 8 8" /l" Y,/. ~. y. /l' y. Otro símbolo empleado es el p, para indicar el promedio de diferencias consecutivas del mismo orden, tales: poy. == i(IlY-l1. Sy".), IJS'lIo = H8'y-,/. 8·l/d.), etc. b) Fórmula de NEWTON - GAUSS. - Si en la fórmula de NEWTON con diferencias divididas (nota 1, e) tomamos O = Xo, 1 = x" 2 = X-l, 3 x" 4=:1:-., etc., y x=x.+uh, (x-xo)/h=u, (x-xl)/h=u-1. (x -'- !X-l)/h = u 1, etc., resulta: A Yo A" y-, A"l/-l [O 1] = -h-; [O 1 2] = -2! /¡,' ; [O 1 2 3] = 8! h" , etc., y por lo tanto: f(x) y. + UA'IIo + U(U;;-1) CJ.'1I-1+ (U+l)~(u-1) A''IJ-l + 0:;.
y.,.
y.
+
+
=
+
=
+
(tt+l)u(u-l) (u-2)
A' _.+ (1(+2) (u+l) U (u-l) (u-2) A" 11 5! 11-.+ ...
4!
debida a l. NE\VTON y usada por K. F GAUSR (a), también puede escribirse así:
Con la notación de SIlEp·
PARD
fea;)
=
+ (~ ) S ~"" + ( ~ ) 8'yo + ( U! 1 ) S'j"," + + ( utI) /l' Yo + (u ~ 2) S"1I1h + .. _.
y.
+
que muestra es conveniente para valores de x en el intervalo (x," Xo i h). Las diferencias que figuran en la fórmula son )as señaladas con vunto.51 gruesos en el esquema siguiente:
x y f:.' A2 -3
•
t? tftfLf
• -2
•
-1
•
O 1
• •
-.
• • •
•
•
• •
•
3
•
• •
• •
• 2
• •
• •
•
•
•
660
C. XII -II
XII. INTERPOLACIÓN Y DIFERENC1AS FINITAS
en donde también se han señalado con puntos finos todos los valores que intervienen en la formación de los coeficientes. Para valores a la izquierda de X., se cambia h en - h, transformándose (§ 47-1) t:..Yo en: f(xo - h) - f(x.) = - t:..y_.; t:..·Y-l no varía: A'y_" en f(x. - 2 h) - 3 f(xo - h) + 3 f(:r..) - f(xo + h) t:.."y_ .. etc., dando le. fórmula:
=-
f(x) = Yo -
(~)
+ (;) ~'Yo
j)Y-tl'
- (ut 1) a·Y-I'. +
+(ut1)a'YO_(u~2) 8"y_.I.+
(u
llamada de NEWTON - GAUSS para interpolació1t retr6grada, conveniente para valores de x en el intervalo (x. -l! h. :1)0). e) Fórmulas de BESSEL y STIRLING. La fórmula de NEWTON GAUSS (b) se puede escribir asi:
= U y. + i y.) + uAyo + [ ~ (; ) A'y_¡ + j (~ ) t:..·Y-l ] +
f(x)
+( U + 3 1)
t:.." Y-l
+ ... ,
y se sustituyen en los segundos sumandos de los paréntesis cuadrados
t '11" 6 A"y_,. b t:..< y-o por sus equivalentes obtenidos de las identidades: l/_ = '1/, - t:.. Yo. t:.." Y-, t:.." y. - t:.."1I-,. t:..' y-. == t:..' y-, - t:.." y_., etc.; reBulta:
=
.y. + '1/, = -~-~+
f(x)
+
tt(u-1) (u-Ht:..8
(
;I.)t:..
u-"
+ . U(11 21 -1)
Y.
+(u+l)u(u -L)(u-2)A"y-. y-l
3!
t:.."y_.
+
t:..1yo
---2 ---
4!
+ ""'y-, 2
+ +
fórmula darla por NEWTON (1711) y usada por F. W. BESSEL, cuyo nomo bre recibe. Con la notación de SI-IEPPARD (r:¡:), }luede escribirse así:
+ (U-~)~Y"S+(~)¡¡.lJ·y,'·+(~t~ 3 ~j)·y". + + ( U +4 1) ¡¡. j)' YI.I + ( u + 4J..) u-5 ~ ~o Y,/. + (u + 6 2) P j)" y,l. + =
f(x)
IlYI"
+ (U~2)U 7 ~ lJ'Y,II+ ...• que muestra es conveniente para. valores de x en el entorllO de x. + ~ h . La fórmula de NEWTON - GAUSS (b) puede escribhse también así: f(x)
= y. +
U2~.
]..,.
+21
u [!:J.Yo-.t:..·y-,J
t:..·Y--'l
+
[t:..' _ _ ~t:..' ~] + tt'(u -1') t:..' y~~ +. ... 3! y 1 Y4! y reemplazar en ella las difel'encias de ol'den par por diferencias de orden impar, utilizando: t:..' y _, t:..Yo-t:..y_,. t:..'y., A"Y-t -t:.." y-z, etc.; entonces resulta:
+
2
1(lt" - l ' )
=
=
_
f(:>;) -
+
I
1;"
+
t:..1!.+""11-'+~t:..2 t(
2
2!
u"«(('-l') t:..< 4! y-,
+
y-l
+
3!
u(u - l ' ) (u" _2 5! 2
+
uh~'-l')
u"{u'-l) (u.' 61
2')
2
t:..Cy,
)
t:..'y.,+t:..'y_~+
2
t:.."y_, +t:..Sy_, 2
+ ...
+
C. XII -II
EMPLEO DE DIFERENCIAS CENTllALES
661
fÓl'mula dada por NEW'I'ON ( 1711) y estudiada por J. STIRLlNG (1730), cuyo nombre r ecibe. Con la not ación de SHEFPARD (a), puede escribirse asi: f( x )
+
= Y. + v. u/ (u' -
4!
F)
¡;.
li
+
y.
11'
Y.
o
+
u (1("-1") ., 3! ¡;. u Y.
U( 1t ' - F) (u" - 2')
+
li' y.
..
2!
5!
/lo liS y.
+
+ .. .,
que muesh's es conveniente para valores de x en el entOl'no de xo. Para compal'a r la diversa utilidad de las fórmulas de NEWTONGREOORY (§ 47-5), NEWTON - BESSEL y NEW'I'ON - STIRLING, damos los siguientes esquemas: x lJ
o.
t1 ti
1:.3 t:.4
I:l'
1:16
. •• . • • . . . •• 3 .. . •. . . • •. . . . .
.
x !J 1:.' 1:1'1 1:.3 1:1' 1:15
-2
1
-1 s
1
o •
~
.
6 ..
•
I
•
2
•
3
..
.
. •
•
..
•
/:;,6
x -) -1
•
.. • . • . .
fj,1
·• ·
I:l 1:13 1:1' /:;,'
/:;,6
.
. • • • o • • • • • • • ,
-1
•
•
•
2
•.
3
GRt~GÚRY.
t¡
·. ·.
BESSEL.
STIRLING.
Las gráficas muestran claramente la marcha que debe seguirse para formar los coeficientes. Éstos son las diferencias indicadas con puntos gruesos; en las columnas en que hay dos, se toma el prompdio de ambos. También se han marcado con puntos finos todos los valores que intervienen en la formación de estos coeficientes; se observa cómo en la fórmula de GREGúRY sólo se toman en considel'ación los valores Xo. XI, X" ••• a la derecha de Xo; en la de BESSEL intervienen los equidistantes a uno y otro lado del intervalo (xo, XI); en la de STIRLING, los equidistantes a uno y otro lado de 2:0. d) Tét'mino complementario. - Teniendo en cuenta que x = Xo + u h, bajo las mismas hipótesis y razonamiento empleado en ~ 47-6, se tendrá que en la fórmula de NEWTON-:" GREGORY, el término complementario puede tomar la forma: R,,(;¡:)
=
(n ~1)
h11+1 f(Ml)
En la fórmula de STIRLING se requiere el mismo número, 2 n + 1. de ordenadas, y .. , Y-"H, •• . , y .. . •. , y.-l, yn, para llegar a. término con /lo. que al término con to...-.. por lo cual convendrá siempre detenerse en un término de orden par, 2 n. Resulta a sí: R,.( x) := (
2~",+'111
) hS"'f'M)
m·
En la fórmula de BESSEL sucede algo análogo, pero ahora conviene detenerse en un término de orden impar. 2 n + 1. Resulta así: R,.,u(x}
= ( 2 n ~n2 ) U
h 21H2 f( 2 11+2) (n.
662
XII.
IN'J'ERI'OLACI6N y DIFERENCIAS FINITAS
C. XII -11
En las tablas más usuales y aplicaciones más corrientes es inútil calcular el término complementario, porque las diferencias varian con suficiente regularidad para que las de un cierto orden sean prácticamente constantes (§ 47-6, nota 1), y así, sólo se lo tiene en cuenta cuando estQ no sucede. En la fórmula de LAGRANGE (§ 46-2 Y nota 1, a) no se podrá prescindir de él, pues en ella no intervienen diferencias, y nada nos permite determinar su grado de aproximación respecto de la función interpolada.
111. Bibliografía. - 1. La teoría de la interpolación suele exponerse como preliminar de la teoría de los errores de observación, en muchas obras de técnicas diversas, y en particular en las de Estadística. Entre las primeras, dedica tres excelentes capítulos iniciales ]a obra de WHITTAKER y ROBINSON (citada en Cap. X, nota V-4). Entre las de cálculo numérico y matemática práctica, conteniendo ineludiblemente el tema, pueden verse las citadas en Cap. V, nota IV-3; también dedican importantes capítulos ZURMÜHL (citado en Cap. X, nota V-4) y las obras: FR. A. WILLERS: Methodtn der praktischen AnalY8is. (W. de Gruyter, Leipzig, 1928), traducida al inglés: Practical Analysis (GTaphical and mtmerical method8), con sección adaptada a las modernas máq,¡inas calculadoras norteamericanas. (Dover, Nueva York, 1948); H. VON SANDEN: Pmktische Matherna.tik. (3l¡. ed., Teubner, Leipzíg, 1953) . D. R. HARTREE: Numerical· analysiB. (Clarendon Press, Oxford, 1952). J . F. STEFFENSEN: Interpola.tion. (2~ ed., Chelsea, Nueva York, 1950). W. E. MILNE: Numerical calct(lus. App,·oximatio1ls, inte?-polation, finite diffe?·ences. mmterical integration, and C10'1/6 fitting. (Princeton Univ. Press, 1949). Basadas en cursos del Instituto de Tecnología de Massachusetts están las dos obras siguientes, de las cuales la segunda es de nivel más ele~ vado: F. B. HILDEBRAND: Introduction to nmnencal analysis (McGraw-Hill Nueva York, 1956) ¡ Z. KOPAL: Numerical analysis, with e1n¡)hasis on the applico,tion 01 numel'ical techniques to p1·oblems of infinítesirnaZ calculus in single val'iables (Wiley, Nueva York, 1955). 2. Obras monográficas, completas y clásicas, sobre diferencias finitas, son las tres siguientes: N. E. NORDLUND; Differenzenrechnung. (Springer, Berlín, 1924); L. M. MILNE - THOMSON: Tite calcuhl8 of finite difference8. (MacmiHan, Londres, 1933, reimpreso en 1951): CH. JORDAN: The calculus 01 finite differences. (21). ed., Chelsea, Nueya York, 1947). Más selectiva, notable por el estudio de la relación lineal recurrente, es: T. FORT: Finite Differen~e8 and Difference Equatio1t8 in the Real Domain. (Clarendon Press, Oxford, 1948). 3. Para la aplicación de la fórmula de LAGRANGE (§ 46-2) se han construído lus siguientes Tablea 01 LagrangÍím coefficients lor sexage8imal interpolatum. (Nat. Bureau of Standard s, Applied Math. Ser.. n 9 35, Washington, D. C., 1954).
'CAPíTULO
XIII
EL ÁREA Y LA INTEGRACIóN § 48. CONCEPTO DE INTEGRAL SEGÚN CAUCHY
1. Noción de área en el plano. - En la Geometría elemental se construye la teoría de la medida de la extensión en el plano, comenzando por asignar a cada región R de una cierta clase M un número p.(R). llamado área de R, que cumple los postulados siguientes: 1) p.(R)
:>
O;
II) Regiones congruentes R y R' tienen igual área; más precisamente: si R F M Y es R' congruente con R, entonces
R' e M y ¡¡.(R) = p,(R'); HI) Una regi6n suma de varias de M, tiene 'un árl!ia suma tle las de éstas. Con estos axiomas, p.(R) queda determinado salvo un factor constante, que si M contiene un cuadrado de lado 1 (y por II
a todos) puede fijarse conviniendo en que: IV) Si C es un cuadrado de lado 1, es p.(C)
= 1.
Si la clase l\f ha de contener todos los rectángulos, deberá asignar al de lados a y fJ el área IX. f3. En efecto, por III está determinada el área m n de todo rectángulo cuyo/! lados miden m y n unidades, y tamo bién las de los rectángulos cuyos lados midan l/p y 1/ q, pues siendo p q el número de tales rectángulos contenidos en C, es 1/ (p q) el área de cada uno. Como con m n de ellos se compone un rectángulo de lados mlp y nlq, el área de éste es (mlp). (nfq). Para lados de medida real cualquiera, deberá asignarse como área el elemento Ct. f3 de separación de cla· ses o de sucesiones contiguas, por el mismo método con que se definió en § 7-5 el producto a.f3 (hágase, observando dónde se usa el axioma 1). Como el tra'pecio y el triángulo se transforman en rectángulos por descomposición (lII) Y congruencia (11), y 108 poUgonos se . descomponen en triángulos, queda resuelto completamente el problema del área para todos los polígonos planos.
2. El área del trapezoide. -
Consideremos una funciÓn
f(x) positiva y continua en un intervalo cerrado [a, b]. Su gráfica, conjuntamente con el eje x y las ordenadas x = a y x b, limita una región plana T que llamaremos trapezoide E:
(fig. 138). Su área p.(T) está dada por
]0
que llamaremos in-
tegral definida de la función f(x) entre los límites (o ext'remos) a y b. Por lo tanto, desde un punto de vista intuitivo, la
664
~ 4H
XIII. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
·1
integral definida no es más que dicha área, aun cuando desdr el punto de vista analítico el área geométrica vendrá dadll por el mismo número real que introduciremos como valor df la integral definida (§ 48-3). Y Una y otro se obtienen por aproximaciones sucesivas, por defecto y por exceso, mey=f(x) didas de áreas contenidas y continentes, que ya sepamos evaluar, y que formarán las T clases jnfel'ior y superior de x la teoría del número real. -f--aL------ - -..l- - - " ' > Estas clases tendrán un solo b elemento de separación si deFig. 138. mostramos que son contiguas, procedimiento en, esencia ya seguido por los griegos, -y a c~ya última parte le l1amaban método de exhaución (nota I). Dividamos el intervalo [a, b] en un número finito de subintervalos. iguales o desiguales, por los puntos: [48-1]
=
a
Xo
<
Xl
<
X2
< ... < X,-l < Xr < ... <
X"
= b,
obteniendo así lo que llamaremos una partición del intervalo [a. b]. Llamaremos norma de la partición [48-1] al número [48-2]: a = Máx (x, - x.-d. y
x Xn-I
b
Fj". 189.
Sean 'in Y M Jos extremos (accesibles) de la función continua f(x) en [a, b] (§ 26-5), Y llamemos 'in. al extremo inferior y M.. al extremo superior de dicha función en el subintervalo [Xr-l x.. ]. Obtendremos así (fig. 139) un conjunto de rectángulos que dará para cada partición [48-1) un área conteo nida n S = ~ m. (x,- x y _¡), [48-3] y un área continente
r==l.
~
48 -3
eONCEPTO DE INTEGRAL SEGUN CAUCHY
S
[48-4]
665
n
=
~
.. =-
l\1 r
( Xr
-
X T - 1 ),
1
al trapezoide en cuestión. La diferencia de áreas vendrá dada por la suma de los pequeños r ectángulos rayados en la figura 139. A los números [48-3], correspondientes a distintas particiones, les llamaremos sumas inferiores, y a los [48-4],
suma.s
s~tperio1·e8.
Si suponemos existente ¡;. (T), tendremos. en virtud de los axiomas geométricos 1 y III (§ 48-1) : [48-5]
s -< ¡.t(T) -< S,
por las relaciones de inclusión entre las correspondientes regiones planas, y en consecuencia, toda suma inferior será no mayor que toda suma superior (de igual o distinta partición) : [48-6] 81 -< S2. Se comprende intuitivamente que las aproximaciones de JL(T) dadas en [48-5], se pueden mejorar tanto como se quiera, tomando particiones cuyas normas tiendan a cero. Esto es lo que probaremos ahora, al definir analíticamente la integral, siendo la demostración de existencia de fL (T) el punto delicado de la cuestión. 3. La integral definida. - a) Para definir analtticamente la integral, comencemos por observar que debemos demostrar [48-6] sin recurrir a las relaciones [48-5] ni a la existencia de p.(T), que pl'obaremos justamente a partir de [48-6]. Podemos considerar como partición inicial a la definida por los únicos puntos (t, b, ampliando así el significado de la palabra partici6n; y las sumas por defecto y por exceso se reducen a un solo sumando, es decir: So = m 8, So = l\II 8, siendo para toda otra partkión: [48-7] So -< 8 < S -< So. Diremos que una partición 'Tr' de [a, b] es posterior a otra partición 'Tr cuando los intervalos que forman 'Tr' resultan de la partición de los intervalos de 'Tr, es decir, cuando se consideran todos los puntos de división, introduciendo otros intermedios. Dadas dos particiones cualesquiera, 71} y 712 de [a, b], si cada una tiene puntos de división que no pertenecen a la otra. ninguna de ellas es posterior .a la otra; pero se forma una nueva partición 7r' posterior a ambas, adoptando los puntos de división de una y otra. Ejemplo:
1t1~1-+---------+----~~ ~21~----~----------~~ ~. ~I-+--~------~----~~
666
XIII. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
§ 48 -3
En otras palabras: la relación de precedencia en el conjunto de las particiones de un intervalo tiene la propiedad de composición o dirección (§ 2-7, nota 2). Puesto que cada partición 7f' posterior a 7r se deduce subdividiendo sus intervalos, cada sumando m, 8, produce varios de suma > m, 8, en virtud de [48-7] ; y cada M r 8, da vario8 de suma < M, S,. Por lo tanto, la acotación [48-7] queda ampliada así: [48-8] 80<s<s'<8'<8<80 • De aquí resulta que toda suma SI es no mayor Que toda suma S2. pues elegida una partición 7f' posterior a ambas, es: 81 < s' < S, < 8 2 • b) Probada ya [48-6], tenemos una clase inferior de números 8, y una clase superior de números 8; si probamos que ambas clases son contigv,as, definirán un número real como elemento único de separación, número que por definición será el 'Valor de la integral definida de la función f (x) entre los
f f(x) b
límites a y b, indicado por
d x, y que según los pos-
a
tulados que definen el área, evaluará la de] travezoide en cuestión. Aquellas clases serán contiguas si probamos que para 8-')0: [48-9] tim (S -s) = O esto es, que a todo e > O corresponde un 8 tal, que para toda partición de norma menor que 8 corresponden sumas inferior s y superior S tales que S - 8 < E. Por la continuidad unifo'rme de f(x) en [a, b] (§ 26-6), para cada e > O existirá un 8 > O tal que para cualquier partición de norma menor que 8 será para todos sus subintervalos: [48-10] y entonces: [48-11] S - 8 = ~ (M~tr) (X",-Xr-l) < - b e ¡ (X, - X,-l) = e, -a, como queríamos probar.e) Por [48-6] y [48-9]) e] elemento frontera de las clases contiguas, o integral definida, será también el límite común de .,Ias sumas inferiores y superiol'es cuando tiende a cero la nor. ma de las particiones:
[48-12]
~n(X)
..
d
X
=
lim s = lim S. 1;-)0
1;-70
li 48 -3
CONCEPTO DE INTEGRAL SEGÚN CAUCHY
667
e.
Si consideramos un punto cualquiera en [~r-1t a:r ] , será: m,. < f(~r) < Mr, y en vez de las sumas inferior y superior correspondientes 8 cada partición, podemos considerar las llamadas sumas de RIEMANN: [48-13]
i
[48-14]
r=l
f(~r)(X,,-Xr-l)'
cada uno de cuyos sumandos representa un rectángulo intermedio entre el contenido y el continente. El límite de [48-14] para [) ~ O existirá también, y coincidirá con el valor [48-121, ya que por [48-13] es: [48-15] 8 <~ f(Er) (X ,. - Xr--l) < S. Por lo tanto, y por definición, el val07' de la integml definida de la función continua f(x) en [a, b], vend1'á dado por el límite común para [) ~ O: [48-161
.J~
f(x) d x
Um ~ M, (x r - X,-I). y representará el área del trapezoide c01Tespondiente. d) La demostración de existencia y definición de integral definida se puede generalizar fácilmente para el caso de una función f(x) que se con- y serve acotada en el intervalo [a, b] y sea continua en él salvo en un número finito de puntos (figur~ 140). En este caso pueden formarse t a m b i é n 1 a s sumas [48-3] Y [48-4], para las cuales se siguen cum~ ---'I--_...l.-_---L_ _ _L -_ _-!-_ _ x pliendo [48-6] y [48-9]. O a c1 C2 b y de ahí se deduce la Fi!l. 140. subsistencia de la definici6n existencial [48-16]. El método para demostrar [48-9] consiste en excluir los puntos d.e discontinuidad, mediante en· tornos de longitud total w tan pequeña como se quiera. Asi, si: [48-17] 1f(x) I < M para a ';; x ..-; ti, Y encerramos cada uno de los k puntos de discontinuidad en un entorno de longitud ,.,/k, excluyendo de la suma [48-11] todo rectángulo cuya base
668
§ 48 -3
XIlf. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
tenga algún punto común con dichos entornos, para una partición cual· quiera de norma menor que wl2 k, la suma de bases de los sumandos excluidos para cada punto de discontinuidad no será mayor que 2 wlk (fig. 141), Y en vi!'tud de [48-17], el valor de los sumandos de [48-11] correspondientes a los k puntos de discontinuidad será menor que;
e
!c.2 M.2
~ = 4 M w.
La f unción f (x), en la parte del intel'valo [a, b] restante a los entornos wlk excluidos, será uniformemente continua, y podemos en dicha parte formular [48-10]. Por lo tanto, dado ~ arbitrariamente pequeño. fijaremos'" tal que sea w < "1 (4 M ), Y entonces, para toda partición la norma ti inferiOl', tanto a wl (2 k) como a la deter minada por la condición de continuidad uniforme [48-10], corresponderán sumas [48-3] Y [48-4] tales que: Fil{. 111.
[ 48-18]
s-
8
< 4 Iv! w +
b
B
-a
(b -
a)
<2
B,
es decir, se cumplirá [48-9], y por lo tanto [48-16J. Dejamos para el § 49 una más amplia generalización de este concepto de integral definida.
e) Esta operación de integración definirla, equivalente a la cuadratura de un área. no es más que la f ormación de una suma de infinitésimos, cuyo número aumenta al infinito: el símbolo y notación [48-16] quedan j ustificados por la expresión:
fhx) d x = lim ~ f(x) .t..x, " t..X-40 donde cada uno de los sumandos del segundo miembro representa el área de un 'rectángulo elemental de la sumación [48-19].
[ 48-19]
4. Cálculo directo de algunas integrales. - Veremos en el § 50 que. por lo general, para calcular una integral no es necesario aplicar el proceso que sirve para definid a, el que resulta muy difícil por poco que se complique la función. Sin embal'go, calcularemos directamente algunas integrales muy sencillas, a modo de ejemplos para familiarizarnos con la definición, y para cercion rnos de que es constructiva. a) Para f(x)= 1, todas las sumas s valen lo mismo: 8 = 1; m. S, = ~. 1 . .s, ::::; b - a, y entonces, por [48-12]: [ 48-20] a
Discútanse las otras formas de definición [48-16]. b) Para f(x) = x dividamos [a, b] en n partes iguales, de amplitud /)=(b-u)ln. Tendremos f(xr) = x, :::::a+rB; entonces: l:f(x,.)B_ ::::; Bl:(a + rtl)
=
....
bn
a na
-+
=
B(na+tI~r)
=
(b :-a F1+2+ ... +n),
§ Ml -5
'Y como 1 olltiene:
CONCEPTO DE INTEGHAL SEGÚN CAUCl-IY
+ 2 + .. . + n ::::: ~ n (n + 1) l:f (Xr)cS r
= (b~a)(I,
669
(demuéstrese por recurrencia). se
+
II
(b~a)· -~--±.1:... n
Como el límite del segundo miembro_ para n.-4 00 es: (b-a)a + ~ (b' - 2 ab + a") = ~ (b' - a'), se tiene por [48-16]:
-f" x_dx =
[48-21]
Hb'-a').
EJERCICIO Hallar [ 48-21] formando el promedio de las sumas inferíor y superior para una partición cualquiera.
5. Propiedades de la integral definida. - a) Propiedaa aditiva de inte'rvalo. Si el intervalo [a, b] se descompone en dos por un punto intermedio c, se tiene: [48-22] DEM.: Recordemos (§ 48-3, a) que si un intervalo 8, = x, - Xr-l, se divide en dos, cS'r y S"r, la suma 8 =:8 m r Br TI{) puede decrecer. Sentado esto. haremos la demostradón en dos partes: ¡Q Como el primer miembro de [48-22] es el extremo superior de toda8 las sumas 8, y el segundo de sólo las de aquellas particiones que tienen e como punto de división, se tiene: [ 48-23] a
29 Como al intercalar en una partición el punto e, no decrece la suma 8, se tiene: [48-24] "
e
L as desigualdades [48-23] y [48-24] sólo pueden coexistil' si vale la igual dad [48·22].
Si ponemos por definición: [48-25]
J af( X ) d x
Jí (x) d x,
=-
b
"
[48-22] se puede escribil' así:
Je + ~r + J" a;
"
=
o.
•
El teorema se generaliza fácilmente para una descomposición del intervalo en un número finito cualquiera de intervalos parciales. b) Propiedad lineal respecto del integrando. ~ b 1 ) Si f(x) se multiplica por un número real k, las sumas s, S, deducidas de f (x), se transforman en las k s, k S para la nueva función
(J70
§ 48
XIIl. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
- 1)
le f(x), y si 8 y S tienen límites iguales, lim s = lim S, aquéllas convergen hacia k Um 8 = k lim S. Es decir: Si f(x) se multiplica por una constante. su integral queda multiplicada por la misma constante:
fb k f(x)
[48-26]
k J·f(X) d x •
d (x)
=
=
1, resulta:
•
D
En particular, para k
-
Funciones opuestas tienen integrales opuestas. BUS
EJEMPLO: Las ordenadas de la elipse de semiejes a, b, referidas 8 ejes de simetría, son iguales a las oraenadas correspondientes de la
circunferencia de radio a mUltiplicadas por
..!-: a
luego, el área de la
semielipse superior es igual a la del semicírculo superior multiplicada por b
- , Y por 10 tanto, el área de la elipse es: a b '1To,''1Tab. a
=
b:!) Si f(x) es suma de dos funciones integrables f{x) = f 2 (x), para cada partición de [a, b], la suma [48-14] relativa a f es suma de las correspondientes a f 1 y f 2• Y SU límite para n -+ 00 es la suma de ambos límites: luego:
= fdx)
+
fbf(X) da: = ft(x) dx a
y
+ jf
"
2 (X)
dx.
a
en general: I,
[48-27]
I.
J
f,(x) d x,
a
"
si el número de sumandos es finito. bo) De b1 y b2 resulta la propiedad lineal:
fb~ k r
fr(x).d x =
~ k, ft(x).d x,
a
a
para cualquier número finito de términos. c) Propiedade8 de monotonía. - Como la integral de una función positiva es > O, resulta del carácter lineal, por sustracción: Si
[48-28]
f(x) < g(x),
es fbf(X).d x
a
De aquí resulta, observando que
-1 f(x) I
<
1f(x) 1:
_Jif(x) Idx< fllf(X)dX < J&lf(X) Idx.
o sea:
a
Q.
a.
~
48 -6
CONCEPTO DE INTEGRAL SEGÚN CAUCHY
If~f(X) dx 1< fi
[48-29]
o
f(x)
671
I dx:
(J
brevemente: el m6dulo de la integral no supera a la integral del módulo.
6. Teorema del valor medio. - a) Como por [48-7] todas las sumas s y S están comprendidas entre 80 = m (b - a) y So = M(b-a), tendremos: nt(b-a) <: fbf(X).dX < M(b-a);
[48-30]
<1
por consiguiente, existirá un número y M (m <: J.L <: M) tal que:
jf(X) .d x
[48-31]
= J.L (b -
p.
comprendido entre m a).
a
Este número J.L se llama valor medio de f(x) en el intervalo [a, b]; su valor es: 1 [48-32] J.L=b_a f(x).dx.
fl>
G
Si suponemos f(x) continua. tomará (§ 26-4) el valor J.L en un punto ~ por lo menos, de] intervalo (gráficamente: la recta horizontal y = p. cortará a la curva) y el teorema del valor medio [48-31] puede escribirse en la siguiente forma, para funciones continuas: [48-83]
f{(X),dX
~ (b-(t).f(~),
(a<~
b) Es interesante interpretar gráficamente el teorema del valor medio y su demostración. La doble desigualdad [48-30] expresa que el área del trapezoide está comprendida (fig. 142) entre las de los rectángulos de igual base: a R S b Y a R' S' b. Y es entonces igual a la de un rectángulo a R" S" b de igual base y altura intermedia JI. (valor medio). Como R" Sil puede cortar a la curva más de una vez. la abscisa ~ no es necesariamente única (línea punteada de figura 142). NOTA: Si dividimos [a, b] en n partes iguales a h, y tomamos las ordenadas: Y" 112. "" y. de la fundón f (x). su media aritmética es: yl 71. + '" y. _ 'JI'''' 111 k + y. A
+
+
n
+
ti.
+ ...
nh
El denominador es n k := b - a. El límite del numerador para 7t -+ 00 la integnl de f (x). Por lo tanto, el limite de la media aritmética de 1&11 n ordenadas, al crecer n es preeisamente [48-32]. Tenemos asi otro slcnifkado del nú~" 11. Que hemos llamado valor medio. y es legítimo llamarlo media e1n ca. de la función en el intervalo [11. b].
~§!
~
l
672
~ 48
XITI. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
-o
e) Señalemos una generalización del teorema del valor medio (a), fundada en las propiedades de monotonía (§ 48-&, e).
y R' M -¡--------
,
:R n
¡.A.¡--¡----------.-+---'-:-,-+----lS"
',' m --
- - - - ---+- - -- - ---- S
R
:x
a
b Fig. 142.
Sea 'I'(x) ~ O Y f(x) comprendida en m. y f7t'l'(::¡;) <; f(x)'I'(x) M '1'(0;): m.
[b
-<
'l'(x)dx';;
a.
JI'
f(x) . 'l'(x)dx';; M.
a
y entonces existe un valor [48-34]
M; se tiene, por ser
l'
[b <;>(x)dx.
(L
intermedio entre m y M tal qlJe:
fbf(X) . 'i' (x) d x
= Ib'P (,;) d x. P.
a
a
Este teorema, llamado primer teorema del valo?' medio, comprende al de (a) para 'l'(x)"== 1. Se lo na demostrado suponiendo 9'(x) ~ 0, pero basta, evidentemente,que 'l'(x) no cambie de s-iqnc en [a, b].
EJERCICIOS
1. Probar que en un círculo de radio T, las áreas 8 y S de los poligonos inscritos y circunscritcs forman dos clases ccntiguas con frontera .". r". 2. Interpretar geOlllétricamente los resultados [48-20J y [48-21J. 3. Probar que
JI' (2~ +
3) • d"
==
b"
+ 3b -
(aS
+ S a):
a) direc-
a
tamente; b) utilizando los resultados [48-20] y [48-21].
J
a
4. Indicarlas relaciones que ligan a 1=
o
f(x) da; y
J=
f
O
.f(a;)dx,
-
supuestas existentes, en caso de que f(a;) sea: a) una función par, b) una función impar (§ 23-9) .
...
§ 4H -Ej ••
C()NCEPTO DE INTEGRAL SEGÚN I,
J
5. Calcular:
eXd
[(.~J
-
s-
x,
1
673
fa cos x. d x.
J"sen x . dx,
O
6. A partir de 1
CAUCHY
1
< -x'-'--X. < - XI-- ' o • probar
que
J
b
dx 1 - . - :::::: -
x
-
a
1 ', b
(a. b> O).
G
7. Tomando los puntos x , en progresión geoméb'ica, calcular la integral, ya hallada así por P. FERMAT en el siglo XVII (ver nota 1): ti
J
:tO"
dx
=
b"H _
n
a,M>
+1
n =1= ~ 1, b> a>
'
(J.
a
8. Con las mis mas subdivisiones, y usando el ejercicio 6 de § 21,
Pl'O.
bar que '!.d x ::::;; In b -
In a, (b> a> O).
x
..
=
9. Calcular el línlite de 1"
.r
a
x" d x para n
~ + oo.
Interpretación
geométrica. 10. ¿ Cuál es la integral de O a b de la función x. [x] (§ 23-3, ej. 3)? 11. Probal':
b) la suces ión 1
+ 21 + .. . + - 1v-
-
J•
dx --;-
(v ~ 1, 2, ... ), es decre-
1
ciente y acotada inferiormente (cfr. § 22-3, b). 12. T omando h = (Are sen b) I n, fe, = sen l' h, y considerando sum as de R IEMANN [48-14] con adecuado:; ~ " probar: b
J-_d~_- -- = Are
é
+ Vl- x~
sen b, s\
I b I < 1.
13. R allar la abscisa in termedia ~ del teorema del valOl' medio [48-33] lIa ra las integrales siguientes, e in terpr etar geoméu·jcamente: 19)
J
t
l.dx;
2"')
f
b
,.'-"
x.dx;
gQ)
J
~~
(a.b> O).
o
14. Demost r a r la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ para integrales: .
(f a
b
f(x) .g(:c )
. d~; )2<;
f
b
J
¡,
f' ( x ) d x.
g' ( x ) d x.
Xlii. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
§ 49. INTEGRAL DE RIEMANN
1. La integral según Riemann. - El proceso de cálculo explicado en el § 48-3, para la obtención de la integral definida de una función acotada y continua salvo un número finito de discontinuidades, cabe aplicarlo a una función acotada, prescindiendo de su continuidad; entonces, las sumas inferiores s y sumas superiores S que allí aparecían, correspondientes a cada partición del intervalo [a, b], seguirán cumpliendo la condición de ordenación [48-6], pues subsiste la demostración vista en § 48-3, a. La idea de RIEMANN consiste en prescindir de toda hipótesis de continuidad y, con la única hipótesis de la acotaci6n, ver qué clase de funciones conducen a clases contiguas de sumas, para .que resulten así integrables con el mismo proceso. DEF.: Integml de la función f(x) acotada en [a, b] es el número frontera entre las sumas 8 y S, cuando ambas 80n contiguas. Condici6n necesaria y suficiente para la existencia de la integral es que para cada E > O exista una partición del in_ tervalo de integración en un número finito de subintervalol!l de longitudes Sr, tal que: [49-1] S-s=! (Mr-m.) 11,.< e (S.= ~r-Xr-l). Llamando oscilación de una función en un intervalo a la diferencia de sus extremos superior e inferior en el mismo, designemos por = M, - m. a la de f(x) en [X,-1o x r ]; entonces, la condición de existencia de la integral se expresa así: [49-2] !<Jl,S.<E. La integral así definida suele llamarse integml de RIEMANN, o integral (R) j las funciones acotadas que verifican [49-1] o [49-2] se llaman integmbles (R). TEOR. 1: Toda función f(x) continua en [a, b] es inügrable (R). Porque es acotada y verifica [49-1] , que no es sino la [48-11] antes demostrada (§ 48-3, b). En cambio, una función continua en (a, b) puede no conservarse acotada, y no ser aplicable a ella la definición de función integrable (R). (o,
EJEMPLO: f(x)=l/x para x'FO, f(O)=O; no se conserva acotada en [O; 1], Y tampoco cumple la condición [49-2], como es fácil ver.
TEOR. 2: Toda función f(x) acotada y monótona en [a, b] integmble (R) en [a. b]. DEM.: Si f ( x ) es finita y creciente en [a, b], el máximo en cada intervalo parcial [x'-lrX,] es el valor f(x.), y el minimo ea f (xr-d ; la oscilación es la diferencia f (x r ) - f (Xr-l), y e8
675
1t<'rl:I .ltÁ J. l'l:: R1EM A:-; r-;
la suma de estas diferencias es f(b) -f(a) ; luego, si todos los intervalos tienen medida menor que h, resulta: [49-3] S-8< (Wl+(IJ~+ ' 0 . + wn)h= [f(b)-f«()] . ~, numero arbitrariamente pequeño con h. Son, por lo tanto, integrables las funciol/es crecientes; análogamente las decrecientes; y también, por lo tanto, las funciones de variación acotada, que definiremos ~n § 55-9, por Sel" ciferencia de dos crecientes (§ 65-9), En particular, toda función que ten{;a un númel"O finito de máximos y mininws y sea monótona en cada intervalo parcial que ellos determinan (cfr. ejercicio 5 de § 49). Esas funciones desempeñan un importante papel en muchas cuestiones de Análisis, y de ellas nos ocuparemos m<Ís adelal1te (§ 55-1, nota 3; § 55-9; y series de FOURIER, vol. IIl). NOTA: No basta la monotonía en (a, b); es preciso que f(a;) esté definida en a y en b para poder aplicar el critet'io [49-3]. Por ejemplo: 'nu es integrnble l /re, ni tan1poCo lnx en (O; 1), a pellar de ser monótonas en (U; 1), pOlo no tener valor finito para :¡; O.
=
2. Integrales inferior y superior. - Si no se impone la condición de contigüidad de las clases, cabe que no haya número frontera y la función se dice no integrable, pero siempre exist en las llamadas integ'ral infe-rior e integral supe'rior de DARBOUX, definidas como extremo superior (§ 23-14) de las sumas inferiores, y extremo inferior de las superioloes, respectivamente:
fb
f(x)d x = extr sup s,
a
J1' f(x)dx = extr inf S, a
siendo, por lo tanto, para todo par de sumas (ver ejercicio 3 de § 49) :
ssJ<J<s.
La condición de existencia de la integral es, por lo tanto,
la igualdad
f J. =
EJEMPLO: Si f(x) es la función de DIRICHLET en [O, 1], cualquiera sea la partición adopt
8
f
=
0.
==
O,
M, S
I
=
1:
= 1;
=1.
La función de DlRICHU'r no es, pues, integrable (R).
NOTA: Algunas de las propiedades de la integral subsisten para las integrales inf~rior y superior de DARBOUX. Tal ocurre con la aditividad respcC'to al Intervalo (§ 48-5, a), y las propiedades de monotonia 4B-5, e). l!:J\ cambio, no vale la propiedad líneal respectro del iutcg-rando (§ -1~ 5, (1), lo quc hl\ce que estas tnteiTales sean poco interesantes en
(*
676
§ 49 -2
XlII. EL ÁRE:A Y LA INTEGRA0l6N
si mismas. g( ~: )
=
Por ejemplo. si f(x) designa la función de DIRICHLET, y
l -- f ( x ), se tiene, integrando en [O; 1] :
J + J'
'g dX
1 = f'(f+g)dX =f' f'fda: + ~
~
..!:I.
•[ 1(f
1
+ g) d x ?=. f;-;-"{d x
'tI
O
g dx
= 2.
ü
U
Se tiene, en general, en virtud de las propiedades de los extremos superior e inferior. análogas a las -de los limites de oscilación (cfr. ejercicio 12 de § 20) :
>- jf.dX
f
+Jg .ctx;
I(f+g)dX
si
J(
~Jf.d X
+
.
si
Jg.dX.
y si a es una constante:
I (/.
f .d x = a
J
fi. d
,<
y análogamente para
f
a ;. O;
~ a J~
f. d x
d ;::
(t
<;
o.
a f . d x.
1. Demostrar que si f(x) es integrable (R), lo es también I f(z) l. La recíproca no vale como lo muestra la función f(x) = <¡J (x) -~, siendo rp (x) la función de DmlCHLET (§ 23-3, ej. 4). 2. Probar que el producto de dos funciones integrables (R) en [n, b] es integrable (R) en [a, b).
J
"
3. Demostrar en detalle la desigualdad
f(x) . dx
<
fb
f(x ) .dx,
a
del § 49-2. 4. Si f(x) es monówna y acotada en [0 ,1] , l a diferencia Aft:=
f
1
f(!) + f(!) +
f(X).dx-+[
... +
f( :: )]
o
cumple A. = O (l/n) para n -+ ao - Más precisamente se tiene, según que la función sea creciente o decrecifmte: feO) -f(1) ;;:: A ;;:: O o <; A, ~ ..J ~Ol- f <'!L.
n
5. Si
<¡J
~
71
~
,
1~
(x) designa la función de DIRlCIUET (§ 23-3, ej. 4), la función
f(x) =~'P(x)~i~senx,conextremos (§ 23-14) -~ Y +11 en [O ,2'IT], tiene en dicho intervalo un mlnimo en 'IT/2 y un máximo en 3 <;r /2. Hallar BUS integrales inferior y superior de ción g(x) ~'P (:1:) - i~.1 sen xl.
=
DARROUX, y
estudia!' también
la fu n-
l N T¡':I~ [(AL
677
Y PRIMITIVA
§ 50. INTEGRAL y PRIMITIVA
l. La función integral y su derh·ada. - (~) Hasta ahora. la noción de integl'al aparece como totalmente independiente de la de derivada. En este IJarágrafo probaremos que cuando f{x) es continua, ambas son en cier to modo in versas. Este resultauo nos permitu'á abol'dar sistemáticamente el cálculo de int egrales definidas. Si fijamos el origen a y hacemos variar el ext-remo superior, que llamaremos X, la integl.'al de f(;r,) en el intervalo [o, X] será una f unción de X;
ff(.:;:)
[50-1]
dx
==
F (X ),
que se llama !1l/f/.ción integl'al de f( x), y que representa, cuando f (x) > O, el área a bsoluta (§ 54) del trapezoide, variable con el extremo X. Para determinar esta función calculemos su derivada, y para ello fOl'me'rnüs '. ~ 1 il1Cl'emento: [50-2]
tJ. F (X) :..:
fX+"_ JX "
= IX ' /¡.~
h
~(,
x
siendo JI. (§ 48-6 ) un número comprendido entre los extremos inferior y superior de f(x) en el intervalo [X, X k ]. Esto nos muestra que la función integral F(x) es siempre continua. Si f ( x) es continua en el p'u.n t o X, todos los valores de f(~c) en [X, X + h ] tienden hacia f (X) para h --,) O, Y también /L ~ f (X ) ; luego, resulta;
+
[50-3]
lim kHO
POI"
lo tanto:
.l
F eX) = F' (X) = f (X) , t:" X
La !~m ció n integ7'lll de la fun ción acotada f (x) 6 S continua, y tie'ne como de?~iv(lda f( x ) en todo punto de cont'inuidad de
ésta. En particular: Si f(x ) es continua en [a, b], es F '( x ) = f (x) en todo él. ir"
b) Queda as! r esuelto el problema inverso de la derivación,
que dentro del Cálculo diferencial no encuentra solución : dada una f unción f (x) . hallar otra F (x), llamada antiderivada o f unción p1'Ímitiva, tal que su derivada sea f(x). Este problema y el de la integración coinciden en el campo de las funciones continuas, aun cuando sean problemas distintos en un campo funcional más amplio. Tenemos, ahora: Toda función c011ti1lUa tiene f unci6n. pr-irmitiva. E:sta es s u función integral, y de ella se deducen todas (§ 35-3), sumándole una constant e arbitrarja.
li78
§ 50 -1
XIII. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
NOTA 1: Al variar a en [50-1], la integral queda incremen tada en una constante, pero no para todo valor de C es F(x) + Cune. f un ci6n Integral. Por ejemplo, por [48-211: :r'
S
'l'
=2 ;
;fd3'
()
pero
x"
2 +
a
1 no se obtiene para ningún valor de a.
Tampoco es para todo a es
F(~);=C;yf;O
una flmción integral de f(x)=O, pues
jXf(x)dX=O.
"
Llamaremos illtegral indE'fúlida de f (x) a toda función integral más una constante arbitraria:
Sf(X)
[50-4]
..
dx
+ C.
Si f (x) es continua, este concepto coincide con el de fun· ción primitiva. Por esta razón se usa el símbolo de integración para indicar la primitiva F (x). o función cuya diferencial es f(x) d x:
J
[50-5]
Y(x) =
f f(x) d x
equivale a d F(x)
=
f(x) d x.
NOTA 2: Se suele llamar integral indefinida a [50-l]. Nosotros la llamaremos función integral, para llamar integral indefinida a [50-4], que puede comprender una familia más amplia de fun ciones en virtud de la nota 1. La primitiva [50-51 se lee integral de f (x) d x, y se la llama a veces integral indefinida, lo que no es apropiado, pues puede no coincidir con [50-4] si f (x) no es continua. EJERCICIO: Probar que la función integral de sg x (§ 23-6), discontinua en x:=. 0, es {Jara a O la función cont inua I x l. ¿Cuál es la función int egral, wmando a =27
=
2. RegIa de Barrow. - a) Se quiere calcular la integral definida en un intervalo [a, b], de una función f(x) continua en él. Si por un procedimiento cualquiera hemos hallado una primitiva F(x), como la función integral también es primitiva (§ 50-1), y dos primitivas difieren en una constante aditiva (§ 35-3), tendremos:
f
X
.
f(x) dx = F(X)
+ e,
fl
pero el valor de la constante e puede determinarse: haciendo X = a el primer miembro se reduce a cero, y queda: F(a) y entonces:
+e=
o
e
= -
F(a).
§ 50 -2
INTEGRAL Y PRIMITIVA
67fl
x
f f (X) d X
=
F (X) -
F «(/).
<J.
En partícular, para X = b resulta para la integral definida: /,
[50-6]
f
f(X) d x
= F(b)
-
F(C/)
=
[F(x)]lJ , (l
donde el tercer miembro es una notación cómoda para el segundo: La integral definida de una función continua f(x) en un intervalo [a, b], es igual a la diferencia de valores de una primitiva cualquim'a en los extremos 8upe'fior e inferior. EJEMPLO:
Como f( x )== x' tiene la primitiva F(x)= 'X"/3 (veriflque-
se) > se tiene: .
1
J.x'
d x '""
[- X-3]'. = .
64 -
3
1
==
2l.
Ya que otra primitiva, como (x"'3) + 5, difiere de F (x) en una constante, conduce al mismo resultado, pues la constante se simplifica al formar la diferencia de valores. NOTA 1: La importancia del resultado de BARROW no se puede ponderar suficientemente; representa la sencilla fórmula [50-6], el punto de confluencia de dos grandes corrientes del pensamiento: el cálculo integral de ARQufMEDES, qtle se proponía la evaluación de áreas por al'tificios de sumación tan ingeniosos como infecundos (nota 1). Y el Cálculo diferencial, nacido en el siglo xvn, panl la resolución del problema de la tangente, por obra de FERMAT, PASCAL, etc. (Cap. VIII, nota 1); disciplinas ambas que parecían condenadas a la esterilidad, de cuya conjunción expresada por la fórmula [50-6] nació el Análisis moderno, por obra de NEWTON y de LEIBNIZ. b) Si dos funciones continuas tienen la misma derivada f (x) en todos los puntos, excepto a lo sumo en número finito de puntos de discontinuidad de f (x), las dos funciones difieren en una constante a la derecha de cada punto de discontinuidad, y difieren en otra constante a la izquierda; pero por la supuesta continuidad, ambas constantes deben ser iguales; luego, subsiste el teorema fundamental en que se basa la regla de BARROW. Basta, pues, fijarse en que la primitiva elegida sea continua en [a, b], a pesar de las discontinuidades que pueda tener el integrando f(x) : Regla generalizada de BARROW: Si f( x ) es una función continua, excepto en un número finito de puntos del intervalo (a, b) e integrable en (a, b), y se conoce una función F(x) continua en [a, b] tal que, excepto a lo más en un número finito de puntos de (a, b), sea primitiva de f (x), entonces es válida la regla de BARROW [50-6]. NOTAS: 2. Si el conjunto de discontinuidaaes de f(x) es infinito, pero numerable, subsiste esta }"egla, en virtud de Capítulo IX, nota VI, d). 3. También alli hemos visto que el conjunto de punt<>B donde la funclon de CANTOR tiene derivada no nula no es numerable. Este conjunto,
~
XIlI. El ÁREA Y LA lNTE(;RAGIÓN
l)8(¡
5U -2
llamado conj¡¡llto terna'l-io de CAl\"'J'OR, es además ue medida nula. (nota IIl , c), pues su complemen tario en [O; 1] está formado por infinitos Eeg"mentos de longitud total 1. Defi namos la fun ción f( x) t.al que sea nula en O x 1, salvo en el conj unto de CAN1'OR, en cuyos puntos asignamos a f (x) U11 valor cualqu iera nU!(l ° no, 10 'IHe no af ecta su integr abilidad (R) (Ilota n I). La función de CANTOR 4> ( x) es continua, y verifica .1;' (;;;)= f(x) , excepto en los {ltllltos del con j unt o de CANTOR, y sin embargo, no se vel·jfjea la ngla de BARnow, [lues
< <
= Or
J'f(X)d x
'1'(1) -
"'(0)
=
1.
"
4. V. VllLTERRA dió un ejemplo famoso (ver nota IV) de ulla fun ción con t inua <1>(x), con derivada fi ni ta y acotada en todo [a, b] no mtegrablf> (R). E n est.e caso, tampoco será aplicable la regla de BAnRow, 1''''' illc':'d stpr,f'Ía de I~t jn te~)'al, ljllt' "si vemo:; que 1\(1 debe confundirse
con la primitiva.
3. Sobre ]a aplicación de la regla de Barrow. - La precipi. tada aplicac.ión de ]90 fórmula [50-6] puede llevar a gl'andes enores, sobre todo si la primitiva es Ulla función multiforme: en este caso, hemos de tener cuidado de adoptal' la fórmula pa· ra una rama continua. Así, por ejemplo si]a primitiva es una raíz cuadr ada con t Ul cierto signo, se cuidará IlO cambiar éste ; si es are sen x se adopt al'
J'
1. Es evidentemente e.rrónea:
d:ll 1 +{,'
=[urc
::::::..!'__
tg :.. ] ' _1
4
8'7r
«
=-
'TI
2'
-1
porque aun cuando es arc tg 1 =- '" f 4, Y are tg (- 1 ) = S '1T ' 4, estos valores corresponden a una detel'minaCl(Jtl de arc tg ~ que en '1T /2 es dis, continua. Si se tQllla el valor principal, continuo : - '7r 12 are tg x < 7T /2, resulta el cálculo conecto:
<
J' -,
d
1
x
+
~
• = [ are tg-
~. ] '-=-:.'!! _ ( _ '17'4 ) = . '11'2 ., 4 ,
•
2. En:
u
el pri!n<:r miembro sólo Hene sentido si a y b son del m ismo signo, mientras que el segundo tiene un valor determ inado, incluso cuando a y b son de distinto signo; en este cmo, la fórm ula [50-6] no es aplicable. s. La función
=-
f(x) = __l~
I
\tI-x" tanto para 1 > x > U, como para - 1 < x
681
INTEGRAL y PRIMITIVA
§ 50 -4
carse la regla generalizada de BARROW (§ 50-2, b), si no f1.\era '" (x) discontinua en x = O. Una f unción continua que a la vez es primitiva en [-~. + H. es (/ig. 144) :
y
y
I
"2
x
x
.fig. 143.
F'lg. 144.
Se tiene:
f~ f(,~)dx ::::: [ ~ (,d
JIz
%:-:::; 2 -
\1'3.
1
--2
mientras que con <¡>(x) hubiéramos llegado erróneamente a 143) .
4. Integrales generalizadas. Pondremos por definición: ce
[ 50-7]
f f(x) d x
=
J~r:co
a
a)
Intervalo
\1'3
infinito.
(fig.
-
x
.f f( x)
d x.
a
Según que este líinite sea finito. infinito, o no exista, la integral del primer miembro se llama convergente, divergente u oscilante, denominaciones análogas a las empleadas para las series. La teoría de estas integrales será desarrollada en el volumen 11 (§ 80) ; pero conviene establecer desde ahora la fór mula fundamental que permite el cálculo de estas integr ales, en el caso de existencia de límite, finito o infinito, y que generaliza la fÓl'mula de BARROW como consecuencia inmediata de la definición:
.f f
00
[50-8]
cr
(x) d x =
lim .p( X ) -
rI>(a) ,
X--700
fórmula que suele escribirse convencionalmente así:
!i 50 ·4
Kili . EL ÁREA Y LA INTECRACIÓ N
b) Integrando infinito. - Cor relativamente al caso (a), si una función f(x) se conserva acotada e integ rable (§ 49-1) en [a e, b], por pequeño que sea E > O, pero tal que 1 f (x) 1_00 para x ---,) a+, puede generalizarse el concepto de integral, si se define:
+
ff(X)
[50-9]
dx
=
Ji (o.;) d x.
lim f-)O" .... 2
empleándose en este caso la misma notación conocida para representar la integral definida. Según que ese límite sea f inito, infinito o no exista. la integral se llama conve'rgente, div€1'yent"e u oscilante. Si el integrando se hace infinito en un punto intermedio e, es decir. si 1 f(x) I ~ 00 para x_ e (a < e < b), la integral generalizada se define entonces mediante :
r IJ
[50-10]
f f (.d el
J
I~
/·- f
f (.1') d.r
=,
o
ti
l¡m f---ó>O
.1'
+
:l
lim f(.r) d.r. "----70 - ,. ' e:
Si se conoce una función F(x) continua en [a, b], tal que.
excepto a Jo más en un número finito de puntos de (a. b), sea primitiva de f(x), como consecuencia inmediata de las definiciones [50-9], [50-10] subsistirá ]a regla generalizada de BARROW (§ 50-2), Y podrá aplicarse la misma fórmula [50-6] . En el volumen 11 desarrollaremos detenidamente la teoría de las integrales generalizadas. E JEMPLOS:
2.
1.
.J
1I'
f
dx
-:...:.-=
=
[
]7r =
2 \ '-;:
" x
2
,¡-;¡r.
•
x · a l. d x ~
'l
r]" = 3
Xl,. _ -1
6.
.....
8. La fu nción In I re I es pl-imit i va de 1/x en O < x < 2; sin embargo, será fa lso a fh mar Que:
f" :x_= [
In
I re I
TI =
-1
porque la primitiva In I ~ I no es
(;ontinu~ en tI: ;;: O.
In 2,
1
<
.l'
<
O
C. XlIl -1
683
On fCENE:S DE LA NOCIÓN DE INTEGRAL
E.JERctcIOS
1. Función integral de 1, x, sen 2. F unción integral de I:¡: l.
f
s.
11:.
l ¡,ti
- I / V~
~]
[arc sen
dI!:
+VI-It"
1M =
t;T' 4'
_
5
'lT
•A
=
-'Ir
-l/V;:
es evidentemente falso. ¿Dónde está el error? ~ (1
• 4. Sea la función continua f( 21) :=:
nunca es ne¡rativa y es derivada de F(:x)
J
0 <; 1 =
Resulte.:
~l/
•
+."'")"
feO)
O; que
1
=
l+e'P.
1
f(:¡;) da: ::;;; F(I) -
F(- l) -
1-6
-1 + e-
<
O.
-1
¿Dónde está el error? 2
ó. Verificar si es correcto
da:
== [ Ixl ] =
1.
-J 00
6.
r
Calcular :
4 ).
dx
--;- .
b)
J Xd;T .
C)
7. Área comprendida entre la curva l.IerBiera 11 1
8. Calcular
J"
o 1
de b.
=
"ni -O
+
f 'Xsen x
d~.
u
1
= (1 + r)-l y el eje x.
dx • y aplic~r al cálculo del lfmite paYa n -to 00 1-:<" 1 1 1 Vn." 1 + "71.1 - 4 -1- oo. + " 71"-(71.- 1). '
9. Aplicando Um II~IX>
\t nI / n° = 1/e
(ejercicio 7 de § 21). cl\Icular 1
directamente la integral generalizada fin x d IX.
o
-1.
NOTAS AL CAPiTULO XIII I. Orígenes de la noción de integral. - a) P reCUf'80r e,. - La noción de integral es mucho m.á s vieja que la de derivada (ver Cap. VIII. nota n, y sus origenes pueden remontarse a los griegos en problemas de cálculo de áreas y volúmenes, tratados aisladamente. ANTlFoNTE, hacía - 430, define el á rea del circulo mediante una sucesión de poligonos r egulares inscritos, y ElIOOXO (409-356) calcula 101! volúmenes del cono y de la pirámide. como nos ha trasmitido EUCLIDES en sus ElementOB (libro 12, prop. 7 y 10). A este tipo de problemas está consagradv. casi toda la obra de ARQU.lMEDES (287-212). gran parte de la cual ha llegado inalterada hasta nosotros.
XIII. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
C. XllJ -1
b) El método "apagógico". - Se suele citar a ARQuíMEDES como el p rim el' antecesor del "Cálculo int egral. EJI su libro S o{n'e la, cnadmt1t1'O, de 1.0, par á.bola, enu ncia para áreas el axioma de ARQUÍMEDES (§ 6-6, b): "nos hemos servido del lema siguien te: Si dos superficies son desiguale8 el exceso de la may 07" Bob1'e la menm", siendo agregado a sí mismo ~¿1I cierto número (le veces, lntede llegar a sobrepasa?' una superficie pro· puesta y limitada". Aunque llamado axi oma de ARQUÍl\JEDES, es de EUDOXO, y tal vez a nterior, y fué constañtemente adoptado también IJor E UCLIDES: "Los geómetras que han vivido antes que nosotros, también han usado este lemB para probar que los círculos están entre sí '"" y las esferas '""; que una pirámide es la t ercera pa rte ... , y que un cono ... ". Es de notar que ARQuíMEDES haya sentido la necesidad de justificar el uso de este postulado : "Ahora bien, los teoremas así demostrados no han parecido menos evidentes que los demostrados en otra forma. Los que acabo de publicar tienen entonces el mismo grado de evidencia". Con este postulado, son eludidos los razonamientos dirigidos a infinitos o infin itésimos, y recon ducidos a un sistema de desigualdades, mediant e demostraciones por absurdo, método llamado apagógico en el siglo XVII. Aun en la s demostraciones de los griegos, la idea directriz encierra un teorema general sobre sucesiones monó tonas a" creciente, a' n decreciente: Si B y C son fij()B, y aH -7 B, a'. -7 B, siendo sierrtp?'(l a. menor (ya'. mayor) que B y C, entonces B = C, E n sustancia , se trata de la unicidad del límite de dos sucesiones convergentes. En varias for mas apal'ece en ft.,.RQufMEDES. en sus diferentes cuadratur a s y cubica ciones, y sin referencia a conceptos como "infinito" " tiende" , E'tc. COll este m.itodo de /J x haución (de aniq uilar la diferencia) han sistematizado los griegos los procesos infinitos. Aunque el método " a pagógico" es irreprochab le como método de demostr ación, no es constructivo, pues por cOllsisth' ell demostraciones por ab;;\ll'do, re)losa en el p l'ev io conocimiento del l'esultado a demostrar. Dice ARQubllilJES: "He descubierto e¡;te teol'ema, p rimero por consideraciones de mecánica, y lue~l'O por r azonamientos geométricos". Además de esta demost ra ción hew'Ística, destinada a "dar alguna verosimilitud al resultado", que se apoya en con sideraciones de estática, y donde no vacila en consideral" el segmento de la parábola como la sum a de una infinidad de segmen tos de 1'ecta pantlelo8, un t ercer método, basa do en principios análogos y desarrollado con todo rigor por exhaución, equivale en esencia al cálculo de la integral de x', y establece así los fundamentos del Cálculo integral. Pero para ver en la obra de ARQuíMEDES un nacien te cálculo integral, de entre las m últiples cuestiones geométricas tratadas sería necesario desentrañar algún esbozo de cla sificación según la naturaleza de la integral correspondiente. Sólo en el siglo XVIJ se llega a una tal clasificación. e) El sivlo XVII_ - En 10 B diecinueve siglos que separan a ARQufME DES de K~PLER (1 671-1640) tlO se encuent ran progresos esenciales en la via abierta por el siracusano. ¡'~lLé un problema práctico (con motivo de la gran cosecha de uva en Austria, donde KÉPLER se encontraba) el que le ind u jo a estudial' la cu bicación de toneles, y en 1615 aparece su famosa Ste1-cometr ía duliQr'um, que contiene t ooa una teoría, muy imperfecta, sin duda, de la cubica ción de sólidos de revolución, resolviendo el problema p ara 92 tilloS, que designa con los nombres de las frutas a que se asemejan. P or . cousideraciones nada rigurosas, descomponiéndolo en pequeñas cuñas 'O hllsos por planos meridianos, llega a cubicar el toro; y también aborda el problema para los CUN' pOS de revolución engendrados IJor un segmento drcuJ ar que gira alrededor de BU cuerda, cuerpos que llama m.elif ortne8 o citriform es, según qw:! el segmento sea mayor o menor que un semicll'cu}O, logrando obtener cilindros equivalentes. Finalmente, enun-
C. X III -1
onlGEN F8 DE LA NOCIÓN DE INTEGRAL
685
da una ley errónea, que sospecha exacta para este segundo caso: los vo lúmenes engendrados por el segmento circulál' al girar ahededor de su cuerda y de su eje de simetría son entre sí como la alt\ll'a y la semicuerda del segmento circular. En la misma obra hay atisbos del problema inverso de .la tangente, q\le había de dar origen al Cálculo integral; se trata de distinguir la d ase de cada cónica entre las diversas que pasan por un pun to, se"ún sea la posición de la tangente en él. BUENAVENTURA CAVALIERI (1591 ?-1647) es otro gran precursor del Cálculo integral, y BU Ge01netría indivisibilibus (1 645) significa un progreso considerable en dirección distinta de la de K ÉPLER, Mientras el gran astrónomo alemán persiste en la vía arquimediana de sumar los ele)Ilentos infinitesimales en que se descompone cada fi g ul'a, vano empeño casi siempre, el jesuíta italiano evita la sumación directa y se limita a comparar dos figuras para deducir la extensión de un a mediante la otra. Cada recinto plano lo const era como suma de infinitos segmentos paralelos, y cada cuerpo como smua de sus infinitas secciones para lelas, Tales segmentos y tales secciones planas son los indivisibles de CAVALIERt. CuAles fueran los indivisibles de GALILEO, que también estaba. en posesión de una teoría análoga, es cosa ignorada, pues nada llegó a publicar, pero en sus DiBcorei (1638) efectúa una verdadera integraci ón de la fu nóón 9 t, para llegar a la . ley de caída de los graves: (1h) g t· , El resultado capital de la Geometría de CAVALIERI es su f amoso pl.'incipio: Dos ,figm'as planas o espacU:tles que tienlf1t equivalente8 8118 seccio, nes paralelas son equivl/Untes. Con él logra cubicar los conos, cua dral' la parábola, la elipse y la espiral de ARQVÍMEDES, problemas ya l'esueltos por el sh'acusano; pero estimulado por los ataques de sus competidores, llega a perfeccionar el método, comparando figura s cuyas SeeCi01JeS son tales que la extensión de una es potencia de la otra, y a sí llega ( 1647 ) a resultados que equivalen, con el tecnicismo actual, a CalC\11ar las integra· les de las potencias x' de exponente natural, Su exposición ha sido muy censurada. llegando a decir MAmE que si hubiera pl'emios para la oscul'idad, lo ganariA sin dispu ta. Tal oscuridad, agregamos por nuestra parte, perdura a través de NEWTON y hásta nubla muchos tratados actuales - pOI' su f echa. aunque no por S11 contenido-; oscuridad inevitable mientras se pretende descomponer la s figuras en elementos invariables, sean indiv-isibles o infinitéairno8, Tales t ra t ados, esCl'itos especialn1ente para técnicos, que hablan de' puntos ctm.secu.tivo8 de una curva, y que definen la tangente por la condición de tener dos puntos de la curva confundidos en uno, y dUll defini ciones metafí sicas de los infinitésimos (cuando tan fácil es en n uestro tiempo darla sencilla y ri, gurosa) están conceptualmente atrasados respecto de CAVALlERI, quien, ron excelente sentido, no pretende def inÍ!' los indivisi bles ni explicar la pal'adoja del contin uo, limitándose a dar imág enes intui tivas y a enunciar con todo l'igor y claridad su fec undo principio ' Gran pI'ogreso estaba reservado al Cálculo integral, por obl'a de JUAN W ALLIS (1616-1703), que abandona el método geométrico de los nlstemá ticos continentales, abordando Ja integración aritmética men t e; y para poner de manifiesto su designio, titula su obra A ritlm¡.etica infinitoru'm (1655). He aquí Jos más importantes progresos debidos al genial inglés : integración de potencias de cualquier exponente (aunque sin u tilizar el simbolismo); integral de V 1 - :é, esto es, á rea del círculo en f onua de producto de infinitos factores; de otro 11lOdo: desarrollo de 7f en produ cto infinito (§ 53-3), fórmula cuya importancia basUu'ía para inmortalizarlo; demostración de la cuadratura dada por HUYGENS para la cisoide, etc. Pero con ser importantes estos hallazgos af ortu nados, el mérito más trascendental de W AUlS reside en haber establecido claramente la noción de limite, en la clara y rigurosa forma hoy vigente, esto es, con la condi-
686
C. XIII -1
XIII. EL ÁaEA y LA INTliRACCIÓN
cilin de que la difereneia entre la variable y el límite sea quaviB aBlIÍgnabili minoro 11. La integral como límite según la norma, - Es la definición de integral según CAUCH Y (§ 48-8 ) hemos logrado acotar por un O arbitrarío la diferencia S - 8 = ~ (M, -1n,) 8" con sólo remar sufi cien· temente pequeíla la máxima amplitud de los Intervalos lI " acotación que imponíamos como condición para que la f unción 'sea integrable RIEMANN (§ 49-1), pero exigiendo solamente que para cada E > O haya una partición que la verifique; pudiéndose demostrar que en tal caso basta tomar una partición cualquiera, de norma suf icientemente pequeña . La nor ma 15 suele t omarse como variable independiente para coneiderar la integral como lim 8 Ó lim S p a ra 15 ~ 0, pero nótese que 8 y S no son funciones ordinarias de .s, pues para cada 8 hay infinitas sumas 8 y S. Obsérvese también que lRS sumas [ 48-14] tienen infinitos valores para cada 15, no sólo por la infinidad de particiones de igual norma, sino "t$m. bién por las infinitas elecciones posibles del punto de cada intervalo, y debemos in sistir en que JIO se trata, por lo tanto, de funcio nes de 8. La demostración general a ntedicha, que eXJlresa la integral como línzitt. según la norma 0. suele llamarse lema. de D ARBOUX, y será expuesta más adelante en conexión con el problema equivalente de la rectificación de arcos (Cap. XV, nota I).
e>
III. Condiciones de integra bilidad (R.) . - Se puede dar a la condición necesaria y suficiente de integrabilidad (R) [49-2) otr as for mas en que aparezca más claramente el papel que juegan los puntos de discon· tinuida d de f(~). a) Si en una partición indicamos con ~ la longit ud total de los subintervalos donde la oscilación (§ 49-1 ) de f(x ) es superior a un númer() '" > O, tendremos: A.
W "
li Col. 8.,
> ()
Y como por [49-2], p ara cada ., existe una partición tal que ~ ,".8, < e . w resulta A < 6 . Reciprocamente, si A < el2, se pr uel'la [49-2] aná logamente a [48-18J y se tiene el enunciado de RIEM AN N : Para que una funy;ión acotada /jea integrable (R) en [a, b], es nece8ario y !mficiente que par,a cada par de números, w > O, € > O, exista una partición tal, que sea < f< la sum.a de subintervalos donde la oscilación supera a w. b) Llama mos oscilación de f(~) en un punto, al límite de la oscilación en un entorno del punto cuando la amplitud de éste t iende a cero. Si f(x) es acotada, este limite existe, pues la oscilación no aumen ta al decrecer el inte.rvalo. Con esta noción, puede darse a la condición de integrabilidad la siguiente forma, debida a P. Du B OIS REYMOND: Condición necesaria y suficiente para que f(x ) sea integrable (R), es que para todo par de números, w> O, ~ > O, el conjunto G(w) de los puntos donde la oscilaci6n '/lO 6 S men01' que se pueda im:luir en un nú' mero f inito de i?¡tervalos de suma < E. ff::. s d e. Es suficiente porque, como antes, e~cerrad()s los puntos de oscilaci6n ~ w en n úmero fi nito de intervalos de longitud total < f, los sumandos aportados por tales intervalos a la suma S - s = 1: w, A!t, no llegan a (M - n~) t . E n los restantes puntos que pueden comprender los extremos de los intervalos a nteriores, la oscilación es (o} (x) w, cada uno de ellos puede cubrirse por un entorno d()nde la oscilación sea también y por el lema de BOREL ( Cap. VI, nota In) , siendo cerrado el conjunre de dichos puntos, al f raccionar suficientemente l()s intervalos que forman, ~rá en cada intervalo parcial M. - m. luego, su aporte á la suma
w,
<
< "';
< '"
('. XlII . IV
OERIVADA ACOTADA NO INTEGRABLE (R)
687
~('M, - tII, )A Xr
es « b - a) w; y tomados w y ~ suficientemente pe· queños, resulta S - s menor que cualquier número positivo. E s necesaria Jl(lrque. si la función es integrable, existen particiones donde los intervalos de oscilación M . -m r ?; w tienen longitud arbitraI'i>imente pequeña ; y los puntos de oscilación '" (x) ~" están encerrados en e1l08. e) Un conjunto lineal se llama de m edida nula, cuando puede incluirse en un ndmero finito o infinito nu?tr,erable de intervalos cuya longitud total sea tan pequeña como se qtliera. P()r ejemplo, es de medida nula el conjunto R de t odos ]()s puntos raci()nales de la recta. a pesar de Ber denso. Basta numerar dichos puntos (§ 2-11 ) Y cubrir el i-ésimo con un intervalo de longitud, e/2', para tener el conjunto R cubierto por infinitos inte.rvalo8 de longitud t otal : e
e
e
2' + 21 + '" + -2' + ... cualquiera sea e > O.
=
8.
Y esto. ~ Sea f (:I:) una f unción integrable (R) . Como un punto es de discont irlUidad cuando y sólo cuando ]a oacilación es no-nula en él, el conjunto D de l08 puntos de diBCtmtinuidad es la reunión de los conjuntos G( l ). G (1/2), G (1/3). . .. , y entonces e8 de medida nula, pues por el criteri() ti) puede incluirse G(lIi) en un número finito de intervalos de longitud total e/Z', y así queda incluido D en un número finito o infinito numerable de intervalos de longitud t otal t. Por eata razón no es integrable la función de DIRICBLET (§ 49-2, ej.). Probemos que la condición hallada es también suficiente. En efecto, el conjunto A de los puntos de [a. b] donde la oscilación e s <
>
t
(~-) = ~. f(~)= O para
:l:
inacional.
Esta función es (Cap. V I, nota IV) discontinua sólo en los puntos racionales. Como el ecnjunto que éstos forman es numerable y. en consecuencia. de medida nula, es ·f(:I:) integrable (R). La integral ( R) de esta f unción es cere, por se'd o la integral inferior de DARBOIDI , pues e} extremo inferior de f(x) en cualquier subintervalo es cero. IV. Dl'rivada .acof.nda no integrable (R). - Hemos indicado (§ 50-2, nota 4) tlue V. VOLTERRA (Sui principii del calcolo integmle, Giom. di Mat. Battaglini, vol. 19, 1881, pág. 335) dió u n ejemplo de función continua 4> ( r;t' ) , con derivada finita y acotada en todo (a, b] y no-integrable (R ) . Reproduzcamos di(:h() ejemplo en la siguiente forma:
688
C. XIII .(V
XIII. EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN
El conjunto ternario de CANTOR era de medida nula. Consideremos, en ctl,mbio, el siguiente conjunto C que es cerrado y no es de medida nula: Si 9, 25, 49, son los cuadrados impares sucesivos, dividamos el intervalo [O; 1] en 9 partes iguales, y suprimamos el interior de la vrimera. Cada uno de los 8 restantes subint€rvalos, se vuelve a dividir en 25 partes iguales, suprimiendo el intel"Íor de la pI'imera parte de cada subintervalo. Las partes restantes se' vuelven a dividir en 49 partes iguales, de las cuales se suprimen las primeras, y así sucesivamente. !Al clausura del conjunto formado por los puntos de división (es decir, éstos y sus puntes de acumulación) forman el conjunto C. Los segmentos que yan quedando d.e:spués de k operaciones tienen longitud total:
3"_ 1 5"-1 7' -1 (2k + 1)1 - 1 - 9 - ~' ----¡g (2k+1)" que para k ~ o:> es un producto infinito (Cap. XI, nota III) cuyo límite según WALLIS (§ 53-3) es 'Ir /4> o. Este valor es, pues, lo que llamare· mos l1tedida del CQnjunto C. (H. J. S. SMITH en Proc. London Math. Soc., 1875, con subdivisiones sucesivas en P, p", P', ••. , v·, .. partes, dió un pl'imer ejemplo de esta clase de conjuntos generalizados de CANTOR de medida positiva . Un valor aproximado de ésta para p = 2, calculado por J. ,GUARNIERI, f ué incluído en la primera edición de este volumen). Tomemos sobre cada intervalo (a, (3) contiguo al conjunto e la función F(x,a)
7f
= (x-a)'sen - -- ,
F(a,a)
x-a
=
O,
siendo, por lo tanto:
=
_ 'Ir cps _ 7f __ , (x -=1= a). x- a x-a La función F' (x, a) se anula en infinitos puntos de (a, f1), y sea
F' (x, a)
a
+y
2 ( x - a) sen _ _ '1r_
el mayor valor de x no superior a
a+J3
- '2 - -' en el cual es nula
F ' (x, a). Defi namos ahora la fundón (x), en tal forma que sea (x)= O en los puntos del cllnjunto Cj en cada intervalo (a, (3) cont iguo a C, sen (x)= F (x, a) para a ;§ X ~ a y, (x) ~ F (a a)
+ /',
+
para a+Y ~.:r.~J3-:y y ( x )=-F(x,P) par a f3-Y~x~f3. (En la l igo 145, correspondien te al ejemplo de SMITH. se ha tomado ,,= 2 Y !J
x Z 8
Flg.
14~.
n;
se ha representado <1> (x) en [O, el proceso de formación de C se ha llevado hasta k 3). La función ~(x) es continua, y tiene en todo punt o derivada finita acotada en [O, 1.] . En 108 puntos x. de] conjunto e, su derivada <1>'(:1:0) es nula, ya que el cociente incremental es nulo si Xc + h pertenece a C; y si en cambio X() + h pertem:ce a un intervalo contiguo a e, el clJciente incremental no supera en valol' absoluto a:
=
4>(:<:0 \
+ h)
h
1:5:; -
(xo
+ h-a)" Ih I
~ I h.\.
e,
XII I . V
(j!:W
donue o: es el extremo del intel'Valo contiguo situado en [x., :1:& + hJ . La fun ción .,.' (x) tiene una discontinuidad en cada punto de e, con oscilación no menor que la de F ' ( ;¡;, a) en x = 0:, es decir, no inferior a 2 'lT; por no ser C de medida nula, la función <1>' (x) , detenninada, finita y acotada en [D; 1], no será. integrable (R) (nota IlI, e). V. Bibliografía. - 1. La integl'al de CAUCHY está eXpllesta en forma didáctica en la obra de R. COUItANT (citada en Cap. VI, nota VI-2), que introduce la noci6n de integral definida antes que la de del'ivada, y desarrolla ejemplos intereeantes de in tegración directa; y en CH. - J. DE LA VALLÉE - POU88TN (ci tado en Cap. VI, nota VI-4). 2. Para la integral de R IEMANN p ueden consultarse: S. PI NCHERLE (ciUldo en Cap. VI, notA VI-3 ) , J. RE Y PASTOR, Elementos de la TCO?'la de funcu>nes (citado en Cap. Vl , nota VI·2 ), el volumen II de F . SE\'ERI (citado en Cap . I V, nota 111-1), E. T. WHITTAKER y G. N. WATSON (citado en Cap. XI, nota IV-2) , Tratan t ambién este tema, COlno preliminar a un concepto n1ás general de integral dpbiuo a H. LEBESGUE, que veremos en el volumen IJI (Cap. XXIV), las obras siguiente¡¡: L. M. G RAVES, A. E. SAGASTU ME BERRA (citados en Cap. IX, nota VIlI-2) y: H. KESTELMANN : ModM'n theorie's of infegration. (Univ, de Oxford, 1937) . Para un estudio más completo pueden verse: E. GOURSAT (citado en Cap. VI, not a VI-5), y sobre todo E. W . HOBSON (citado en Ca p. IX, llota VIII-S) , a sí como el estudio excesivamente monográfico de R. L. GOMES: IntegnLl de RIEMANN. (,Junta de Investiga<,;ao Matem., P01·to, 1949). Un tl'atamiento completo de la integ-ral de R IEl\IANN y su generalización a la de L EBESGUE en el espaclO euclídeo, contiene: W. W. R OGOSINSKI : Voh,me nnd integral. (Oliv €l' and Boyd, Edinburgo, 1952). 3. Un estudio detenido y prof u lldo de las ampliaciones sucesivas del concepto de integral contiene la clásica obra siguiente, cuyos primeros capítulos se refieren a las integrales de CAUCHY y de RIEMA N N: H_ LEB.ESCUE: Let;ons S1l-1' l'inUg?'atiol1 et la ,'ecke¡'chc des fo nctions prÍ7nitives. (2~ ec., Gauthiel' Villal's, Paris. 1928), 4. La colección de problemas de G. POLYA y G. SZECO (citada en Cap. V, nota I V·2) dedica un capítulo !I la integl'al como limite de sumas de x€ctángu)os.
CAPÍTULO
XIV
CALCULO DE PRIMITIVAS y APLICACIONES § 51- MÉTODOS GENERALES DE INTEGRACIÓN
1. Primitivas inmediatas. - En este capítulo nos proponemos indicar la manera de hallar sistemáticamente las funcioHes primitivas de gran número de funciones que se presentan con frecuencia, pero debe tenerse presente que aunque (§ 50-1, b) toda función continua tiene primitiva, por lo general ésta no puede expresarse mediante la s funciones elementales. Tal ocurre, por ejemplo. con la primitiva de e-X., Por esta razón el proceso de integración da lugar a la creación de nuevas funciones. La tabla de derivadas de las funciones elementales (§ 32-11) nos permite formar una tabla de integrales, que debemos recordar de memoria para integrar, mediante ella y los métodos de los apartados siguientes. otras fun~iones. Por ejemplo:
J
pues:
D (-
xn~l
x"dx = X ....l
)
n+ l
si :
n+l
n+1
+ C =
*
0,
+ e (n=f=-H, (n
+
1) X" -2:" n -t- l
o sea:
n
=1=- -
1;
11 para otra variable cualquier a u, que puede ser una fun-
ción de x, tendremos la integral 1 de la tabla de la página siguiente (cfr. § 32-11) . 2. Integración por descomposición. - El carácter lineal de la derivación (§ 32-1) se traduce en el de la integración: [51-1] f [a f(x) + ,Bg(x) ] dx = Qff(x) dx + ,BJg (x) dx. En efecto, la derivada de ambos miembros es la misma: af(x) + ,Bg(x), y entonces (8 menos de constantes aditivas), ambos coinciden (§ 35-3). EJEMPLOS:
1.
J
x' -
2
'l/x + S d x =f( x, -
z
2 '1/ z
:3) + -;-
eh:
=
692
§ 51 -2
XIV. CÁLCULO DE PIUMI'IIVAS y APLICACIONES
T AHLA
DE PRIM _.I TIVAS
INM E DIA TA S . ..
U" +l
1.
_ ...L e (si n =F f U" du = _ n +l .rao d u = J du = u + e
1)
I
a)
'l¿~
b) fu du= 2 dU ) f ----=
e 2.
\/ 'u
+
e
Su-·I.! d u = 2 \Iu + e =
=
~= .r u
In
u+ e,
pues: D.(ln u
+ C) = -u1 , . d t¿
o bien : dOnu+C ) = - - . ~¿
( 0,") =
3.
pues: D• .ln a
a) J e" el 1/ = e" + 4. Ssen u d u = -
e.
u +e +e
cos
4~
fcos u d u
4','
= tg1/ + e cos u f~·
4'! '
•J sen- 'U
5.
f \ftd u du f +
6~
6','
7.
sen u
2
' -dY,
-'o -
= - cot g
- u~
1
6.
=
~ are tg u
'll}
Ssh u d u fchu d 'U
-l - e
'ti
_arc sen u + e
+e
+e
ch 1t sh u+
=
= e = tgh u + e Ch2 u f.J!..~ d i~
u +- e f- +1 = ch + e f V,u f -l --u= = al'g tgh u +- e al'g sh
y~t2
dtt ~_ = a l'g 2
7','
(l"lna ftl' Ina - .
-
11
1
d?l
2
NOTA. Se indican con letras ciertos casos particulares df'l correspondiente número.
MÉTODOS GENERALES DE INTEGRACIÓN x~
= R- 4 2. t g" X dX •[
=f sen~x
dx
cos" x
=J
1 -
dx = J--.cosa:
3.
f-
--::-=
sen'x.cos· x -
J
--' \' ~;
+ 31n x + C.
eos' x dx
eos' x
J
=J'( __cos"l x- -
] ) dx
=:
dx=tgx -x+C .
f (1
+
seno ~, x dx - cos' -sen" x. eos' x -
;::: tgx -
693
cotg x
- -cos'x
+
] ) da;-+ _. sen' x
C.
4.
f
ax 1 -
x'
=
1
J(_l - + __ 1_ ) d x l + x l-x
= ~ In ~j-~ 1-x
+ e.
Est.e r esultadc es el mismo de § 51-1, ej. 7", y análogo al de § 51-1, ej. 5', La analogía s e explicn en el campo complejo. pues aplican do la s fÓl'mulas de EULER [45-8] resulta: e, j· - 1 1 + ix x = tg y ;::: i(e'" + 1 ) , de donde: 1 - ix ;
=
11
are tg x
1 = 2T]n
1 + ix 1 _ ix
1 ( . (ix)' (ix)r. + ) = ~it x + -3- + -5... =
x" x - --
x" •
s + S -'"
vá lido para
Ixl < 1
(§ 45-4). Asi resulta que sí en
D~ln l +x== 1 l-·-x l-x' cambiamos x por i x, y derivamos (§ 41-1, b) en el campo cOD1pl ejo:
~ ( _1_ 1Dl+i x )_ 1 dx 2i 1 - i x - 1 + x'
=:
d dx
(arc tgx ).
3. Integración por sustitución, - a) Est~étodo consiste en efectuar un cambio de variables: [51-2] . x = a (t), para transformar la integral [51-8] f f (x) d x en otra más sencina, o bien inmediata, es decir, que figure en la tabla de § 51-1. ¿ Cómo se hace esta transfor mación? Simplemente, reemplazando [51-2] y d x = a'(t) el t en [51-3]. En efecto, la función
J
694
§ 51 -3
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLICACIO NES
una vez expresada en términos de x es la primitiva buscada, puesto que su diferencial vale: d G(t) = f(a(t)] eX (t ) d t = f(x) d x La notación [61-3], usada para la integral o primitiva, tiene en tonces [frent e a otras posibles notaciones, como D-o í{ :l' ); antiderivada de f(~')] la gran ventaja de indicarnos cómo debe hacerse la s ustitución, 1. J
EJEMPLOS;
=f
t
.
=3- "
:¡;
y
==
cos 3 :t. d :t. Haciendo 3:1l
=
d:t'
t, resu~
dt
te'
entonces:
= ! sen t
dt cos t - 3-
== J
+e=
~
+ c.
sen :1 x
2.
Haciendo
x
y entonces :
J y
=
dt
+2=
resulta:
t,
t-I
J
7
= f t"" d t ::: _ S
x =t - 2 1 3( x+2)"
+e =
3, K = J c··· .. , eos .l' _d ,l', Pon il'ndo sen _l' entonces: K f e' d t ::: e f + e ::::
:::
=
dx
+
dt
+ C.
t, rf>sulta: cos x d ~.
e"''''
=
= el t,
C.
NOTA 1: El método de integración p or' sustitución puede aplicarse también sin necesidad de int roducir ex plleitamente una nueva va riable t , sino haciendo aparecer su expresión en función
J= K ::::
f
f
d ll: (x+2)':=
.f e-'"'
-
(x+2)'d(x+2) ~
('os ~'
d.\'
= J c ..
e'
=
n
•
d !len
.1'
=
(x
e 'OU'
+
2 ) -. -8 + C.
+
C.
EJEMPLOS:
J sen
4.
5.
f
l'- •
-Inx- x d :x;
6.
.r
7.
f lx-dx~
=f
In
dx f x--;-:::
e"", x d x ::: ! f ex' . 2 x d x :::: _
~
f - 1 2_x dx ,a:
;:::: -
8.
f sen e·-. d e' = -
J+ 4
dx
a:"
1
4
+
C.
In' x
111 ~' d In ,\' ~ - 2-
=6f ::: _
! In (1 - a:')
dx = i J +_ .E
eos e'
+
e"" d x' ::::
~
J
d (1 -
1 -
~
x:) el.'
+ e="
C.
+ c.
=
C. x
i are tir 9:
... e
j\ ~
Mt~'onos GENERALES DE INTEGRACiÓN
61 -3
. J"9-
9
695
d:;
=
x' :¡:
= arcsen""3
J~-;" - -
10.
J~
!
+
C.
::d;_
~
f
d (9 V9 -
(tI)
_
¡¡;"
= - ~ ,2 V 9 - x' + e ::::; - V 9 - r + e, Nótese bien la diferencia entre 7 y 8, Y lo mismo entl'e 9 y 10. NOTA 2: El método de sustitución se apoya en la correspondencia ell ~ trc x y t por la expresión x = a:(t), y solamentE en el caso de que exista esta cor respon dencia puede a ,plical:'se el método; de lo contrari o, pueden r esultar absurdos. EJEMPLO 11: Sea f dxf(I - x). Pongamos t=ln(l-x). dt
=-
d A: 1 - x' d f = -- t
.!' = "'- -" In (1 - .d ; pero debe olvidarse que mientras ]a íntegl'aI propuesta tiene valor cualquiera que seR x (excepto x = 1), el r esultado carece de sentido para x> 1, pues el logaritmo de l - x sel'Ía imaginario (§ 4.5-3, e). Sin embargo, la primitiva de 1/ (l - x), para todo valor real de x =T- 1. es - In 11-x l .
y la illt~gl'al ~ transfurmil a:;i: "'10
b) Aplicación a la integml definida. - Cuando se tiene una integral definida, puede aplicarse el método de sustitución para hallar la primitiva correspondiente, pero también puede hacerse la sustitución directamente en la función integral (§ 50-1) Y por lo tanto en la integral definida; veamos bajo qué condiciones es legítima la fórmula
[51-4]
J~(x) Jt(¡
dx
=
f 'fEa
(t)] el (t) d
t,
'o
donde los extremos son correspondientes, es decir: x Xü =
=
a
(O.
a (to).
He aquí las hipótesis que hacemos: 1~ La función f(x) está acotada y es continua (salvo puntos aislados) en todo el campo de variación de t, al recorrer ésta el intervalo [ta, t], donde resulta ser función uniforme respecto de x (ver ejercicio 9 de § 51). 2{l La función a (t) y su derivada a' (t) están acotadas y son continuas (salvo puntos aislados) en [t o, t]. E l caso más senciUo es aquel en que a (t) es monótona en [tll' t] como en la figura 146; entonces hay correspondencia biunívoca entre los intervalos [to, t] Y [xo, ~], así como entre los valores de ambas funciones. Cabe sin embargo el caso más general, indicado en la figura 147 en que subsiste la validez de la transformación [51-4].
§ 51 -3
XIV. CÁLCULO DE l'JUl\flTIVAS y APLICACIONES
E n efecto, de las hipótesis 1 f,l Y 2l}. resulta que tanto f ( x ) como f[a (t)] el (t) están acotadas y son continuas, salvo, a lo sumo, en puntos aislados, y por lo tanto son integrables, sieudo funciones continuas los dos miembros de [51-4] . que llamaremos así: F(x) F[a ( t) ] y (t), funciones ambas uniformes 11
y
~-.~ . :: I
I
O
~
I
:: !
XO;
!¡ ¡
__ t~ __ ~'
------ ---
___ _ _ _ _ _ _
"
:
I
1
x
x
, ~
ti
---------
t
F il! . 1A6.
(.'jg.
147.
en [to, t]. Prescindiendo de los puntos excepcionales, que son aislados, las dos son derivables : la derivada respecto de t de la primera es: F'(x) .,l(t / = f(x ) ,~, (t) , y esta misma es la derivada <1>' (t ) : Juego, por el teol'ema de § 35-3, generalizado en § 50-2.• b, ambas funciones difieren en una constante. la cual es nula, por ser F [ a( t o)] = 0, (tu) = O,
Queda, por lo tanto, demostrada la igualdad [51-4],
NOTAS: 3. Al efectu ar el cambio de variabl e que cumpla las condiciones 11). y 2¡¡', debed. cuidarse, además, de la validez de las fórmulas elementales que se utilicen, en el intervalo considerado, 4, Si los conjuntos de puntos de discontinuirlacl
E.rERCICJO: Si en
f
~l
dx
=
2 hacernos la sustitución :r' =
f,
-1
d al
dt
= -.- - resulta
2Vt
2 ::::
f +1---¡f' dt == O. 'H
2, t
¡Dónde está el error?
e) Estando l'epresentada una integral definida por un área plana , convendrá en ocasiones aplicar una transformación de coordenadas cartesianas (o a otros sistemas, § 54-2), y ver
§ r.t -4
697
geométricamente en qué se transforma la integra l, o bien eJ área dada. EJIll'r1PLO 12: Calcular el área A del sect,()r hiperbólico O P ' P de la figura 148. Refiriendo la hipérbola equilátera x" - y' = 1 a sus asin totas como fluevos ejes ~, Ti, IJor medio de las ftírmuIas de transformación de coordenadas: y 1
{
[51-5]
V2
~
=
7]
=:: f i
(x ~y);
I
1
I I
(:1: + y),
:yo
resulta la ecuaciól1 más sencilla: ~. 7) :=: !. [61-6] Entonces, el área BAP'Q vendrá dada por:
f~D ~ = _ 2~
(V2
I IXO
In
X
I I
[ ~ e ro
I I
_ 1/\' 2
l/V 2 :=: ~ In
I
:-Yo I
Ee) == ! In (Xe+yo),
!>i ~" es la coordenada ~ del pUIItoP' de cOOl'denadas a 11 t i g u a s (x., ~YQ).
De ]a equivalencia de los triángulos O A B Y O P' Q, que resulta de [51-6], obtenemos en val 01' absoluto el área buscada:
==
A
2 (
~
J;'ig, 148,
1 In (x. -!- y .) + 2 - 1~. y 2
1 1 In - -2 E. \ 2
JJo
)
:::
bl (x. +y.).
De aquí resulta: Xc
:1:0" -
Xc
y enton ces:
eA
Xo
+
Uo' y.
-yo;:: - - e- A
= .... 2- -
= eh
+
1
A;
4. Integrales ealculables por sustitución. - a) J senp x cos x d x. Si por 10 menos un exponent€ es impar, la integral se calcuJa fácilmente 'por sustitución, separando previamente un factor de la correspondiente JlQtencia. q
EJEMPLOS:
f sen' (l: cos' rJ: d x = J sen" x . cos' X • COS Ir d f~ sen" x (l-sen"x)dsenx ::: S t'(I-tS)dt (t=senx) ... t"" 1 1 (t' - t <)d t = "3 • -- 6" e ::: -a s~n· ~...··· · - 5 sen• x + e.
1.
= f ::
f
+
698
§ 51 -4
XIV. CÁLCULO DE P RIMITIVAS Y APLICACIONES
J
2.
cos" :¡; d z
=J = S == J ::=:
COS';('
cos x d x =
(l~sen'x)'dsenx
S
(l-tO)"dt =
t -
i
t~
+
(1I6)t"
=
(t=senx)
(1-2t"+t')dt
=
+ e = ...
b) Las integrales [51-7] 1 = f cos 2 X d x; J = f sen 2 x d x no están comprendidas en el caso (a), pues los exponentes son pares. Se resuelven ambas por sustitución, previa transformación del integrando, poniéndolo en función del C08eno del arco doble. De; 1 = cos'..: + sen'.\' y cos 2x = cos':¡; - sen":¡; resultan: 1 +cos2x 2
cos" a' y entonces: 1=
J
ces",.. d :(' :::::
.r
= 2:r + 41
J =
S "'
sen- x d x
1
f
+ ~os
2x dx
cos 2 x d 2 a:
= 51
-
l-cos2x 2
sen" .\"
= ~ +
== 2x +
C09 2 x 2
dx
+f
cos 2 x d x =
sen 2 x 4
+
C.
x == 2' - -sen4-2-x
-t-
c.
e) En algunos casos deben combinarse los métodos de descomposición y de sustitución.
3:
EJEMPLO
f
dx sen x cos x
::: -
S
S
s en" x + COs' x d x= sen x cos x
d cos x
J
d sen x -- + --:: sen x
C()BX
= In ( K cos'
f
In cos x
sen a:) ::: ln cos x
sen:¡; d x cos x
~
+
+
5
In sen x
cosx d z= sen x
+ In
K
==
(Ktgx).
No obstante, es más simple di vidir numel'adol' y denominador transformando así la integn,) en J d (tg x) I (tg x).
pOl'
.t',
5. Integración por partes.- a) De la regla de diferenciavdu, resulta: ción de un producto (§ 34-4), d (uv) = udv u d v = d (u v) - v d u, de donde, integran do, se obtiene la fórmula: [51-8] Ju.d v = U.v - Jv d u, llamada de integración por partes. Podemos entOll(~es enunciar la regla de integración por partes así: La integral del producto d e una. funci6n por l.a diferencial
+
_1
699
MtTOOOg CtlNERALES DE INTEGRACiÓN
de otro 68 igual al producto de ambas funcione8 menos la integral de la segunda (ya integrada) por la diferencial de la prim era. La relación [61-8] conduce el cálculo de una integral al de otra, y se aplica cuando esta última es más sencilla. Ante todo, este método se aplica para integrar funciones trascendentes cuya derivada e8 algebraica, tales como In x, arc tg x y are sen x: EJEMPLOS: 1.
=
1
J In x . d x ~ In f& J 2: d In ~ = z In z - f f& - 2: d x = = o;ln x - f d2: = ~ln2: - fA: + C. 2, f are tg x do; = x . are tg x - f x d are tg x = al -
f
= z are t g z -
~
= x are t g z -
~
=x .r
3.
are sen
:l'
=
d ,,'
are ti'
(t'
81'C
Eell ;.: -
:::: Z are sen x
=
+ x') + :Ji = In (1 + ~) -1- C.
f
.f
""xarc aen x -
4. En una integral como 1
o; d o; 1 + gf d(1
1
I
d tire sen x =
r ,': :t:
~
d ;¡.' " V I - x'
+ ..¡ 1 -
fIi"
=
+ c.
=f
x' In x d x pueden tomarse las partes de varias maneras, Por la misma razón que antes, conviene hacerlo tomando el logaritmo como parte finita, es decir: 1t = In x: d 11 = ~'- d z 1 = -dx; x
du
E ntonces:
1
x -
IX'4
1n x -
l
~ In = 4' x'
=4
Id z --;
x'
x'ln = 4'
x'
4 + e == "4
x -
'~ f x'' d ~ =
(In z -
l)
+ e,
La aplicación de la fórmula de integración por partes se facilita preparando previamente la integral, es decir, llevándola a tener la forma fu d v. En el ejemplo 4 se tiene : x' 1 = f x" ]n x d x = f In x . X S d x = f In x.d T ; ahora, la integral está "preparada" para la integración por partes, y Ja aplicación de [51-8] nos da : 1
=
x,
In x . T -
f T' x X- d x: 1
...
700
§ 51 -5
XIV. CÁJ..cULO DE PRlMITIVAS Y APLICACIONE,9
f
5:
EJEMPLO
dx=f
InX "l/x
f
= In x . . 2 ,r¡; -
=
Vx. In
2
2
x -
f
In
= f
In
x
I
2~
=2
dx
\1 :r.
x. "l/x dx V-; l at
dx =
v'X, 1;1 x -
4
y-;; + C.
Hemos visto (ej. 4) que cuando In x aparece multiplicado por una potencia cualquiera (también fracci onaria o negativa) de. x, se integra por partes eHgiendo el' logaritmo como parte fi nita, Lo mismo vale para toda trascendente con derivada algebraica. En cambio las integr ales : J :-c" • eX el x. J x 7l sen x d x, f xn cos x d x, siendo ahora el exponente n un número natural, se calculan también por partes, pero tomando las trct8cendentes eX, sen x ó cos x dentr o de la paYte dif e'rencial. E.TEMPLOS: 6.
f x .e
dx
7.
J
= f :C" ,
:r d c~
=
J
x c" -
e<, d x
e' d ,' = J : .:' d c ' =-=- re' -
= J
x e' ',- c' P' .
2 ~.' d
+ e,
C(,
y la última inwgral e5 el doble de la :r'a calcul ada en el ejemplo anterior.
8. 9.
J x cos x d ti:
=f
=x
x d sen x = x sen x sen x cos x C.
+
+
f x sen 3 x d x =:; = - Lf x(- sen 3 :~ ) d 3 x = -"'-: -
11 [;t cos 3 x -
= -
~
J
~
J
~:
J slln x . d x =
d cos 3 x
cos 3:r el x]
[z cos 3 x -- h sen :3 xl
+
C.
A veces el método de integ1'ación llar partes se alllica acompañado de algún artificio. Por ejemplo: 1 ;:::;
.r
eor sen b x d x
= -a1
f sen b x deO. =
1 = -" . ea. sen bx - -b fe ·' cos b x d ", .
a a Integrando de nuevo por partes en la últhna integral, se llega a: 1 b b· 1 ea. sen b x - - . cO' cos b x - - . J e·' sen b x d x_ a Ir a Pero esta última integral es otra vez 1; entonces:
=-
( 1
+ Ji: )1 :::; ..!.a a
O eO
sen b x -
~ a
e·' cos b x
+
o bien:
[61-9)
[ ::::: (i.
+-¡;ó· (a sen b x
e'·
Análogamente se calcula la integral :
~ b cos b x)
+
C.
K,
~
r,l -6
701
M(:TUlIOS GENERALES DE INTEGRACIÓN
[51-10] J
= f
=.a s··+ b" (b sen b(l: + a cos b a:)
e" cos bx dx
+
C,
También pueden calcularse a mbas integrales por el método de EtJLER. observando que por la fó rmula de EULER [45-7] es: ea. cos b X + i ea> sen b ¡;c el.~ ")., cuya primitiva es e ( a+'O)m 1 (0, i b), y separando partes reales e ima.ginarias, se hallan las expresiones de 1 y de J,
=
+
b) Aplicación a la i~~tegral defini.d
fbu( x ) .dv(x)
=[u(x).v(x) J:- f~(x).du(x) , a
u
Suponíamos allí q ue u (x ) y v{z) son difel'enciables sin excepClon en el intervalo [a. b]; pero si u { x) y v(x) tienen puntos singulares en que no existe derivada (punt os en los c u a l e s pueden ser est as ftm ciones discontinuas. con discontinuidad finita) , c o m o las integrales indefinidas s o n eontimws, segtm se demost1'6 en § 50-l. , es a plicable lo d i c h o en § 50-2, siendo por lo t anto válida la fó rmu la [51-U] de integración pOI' par tes. Como la expuesta teor ía de la integral pl'esupone la a cotación de las f unciones integrando, ,(\0 podemos a bor da r por ahora el caso en
v(x)
B v( b) 1---.,--,-:--- -- -----0::;:;' ~ ~ U ll."V
v(a )1----l.A-7(" "
,,
tJ(X)
o
que u(x) y v( x) ]ll"eSenten discontinui dades infinitas.
l' == v (x}
fórmula [ íúV (
u(b) FII(.14!l.
Cuanno la curva de ecuaciones paramétricas ~~ = u(x). monótona creciente (es
+
JI>U(X )d v(x) :.= \l(b)v(b) -
u(a)v(a) ,
I
"
a
y t(!níendo presente § 51-3, b, eXJ:Il'esa (me la suma de los trapezoides oe
la" fi g ura 149 es igual a la difere ncia de los rectángulos de cliagonales OA y OB. e) Fo?'ma i n te{J1'al del ténnino complementario de la f61'mula de TAl'LOR, Sea f (x) una función contitma conjuntamen te con sus derivadas hasta el orden n + 1. Se tiem··
f(~)
-
f(O )
e integrando por partes;
= f"f'(t
== J;'(:c - t)dt, o
702
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLlCACIONES
§ 51
--5
= xf'(O) + J"'r"(X- t) t,dt.
f ( x ) - f(O)
~
Si reiteramos el t d t := (d t " ) /2, t" d f ciones por partes:
=
f(X)'
prQ&~im iento,
(d:f!) lB, . o"
tomando como parte diferencial tendremos, después de n integra-
+ n.~.;
= f(O) + xf'( O) --t 2:1': f"(O ) + ... .
f'"' (O) + T. .....,./
[51-12] {
T. = _l_fa;f ' ''+''(X~t) l"dt. n'. ()
-
Esta· es la fórmula de MAC LAURIN (§ 39-4), con la ea'pl'esión exacta del término complementario. Aplicándola a F (h) = f ( o + h), resulta pal'a la fórmula de TAYLOR [39-6]: [51-13]
T II
==
_1_fh f'··1\ /tI
(a
+h -
t) t" d
t,
()
o bien, con el cambio de var iables a [51-14]
T"
=
_1_ f af l( nI
+ h --
lO"" (7) ((1
f
=
+ h-
-r: T)" d
'T.
G
NOTAS : 2. Mediante el teorema del valor medio (§ 48. 6), se obtienen
de aqui form as más simples, aunque no exactas, de Tno Si se hace salir f(, n.,. (T) de la integral [51-14] , se l'eencuentra la forma de L AGRA NGE [39-7] . 8. La [51-12] n08 permite construir una primitiva f(x) de orden n+1 d6 una IU'lIcitm e01ltinuu dada g (%):;:;fl".\l(:t:), siendo f(O). f(O), ... , f ta ) (O) constantes arbitrArias.
EJERCICIOS
l. Hallar la curva con pendiente igual a la abscisa y que pasa por P(2¡4).
2. Un grave es lam ado en el instante t ::;:; O, verticalmente hacia arriba, desde la altura Ik, a la velocidad v •. Suponiéndolo bajo la acción de la gravedad - (f y el1 el vacío, hallar la sltm'a h en' [unción del tiempo t, el instante t .. en que alcanza la máxima altura, el instante T en que vuelve a esta)' I! la altura /¡'" y la distancia el l'econida en dicho lapso T a partir de t = O. 3. Explicar por qué una pl'Ímitiva de l/x pal'a
.~
real #- O es In
4. Hallar mediante descomposición (§ 51-2):
J f f
d« sen" x . cos tt
dtt sen" :t.con":!:
{""f'+;"
'V--¡=-;d x
1 n I tg ~
=
2 In
= IU'C
I-
I tg
sen
~.
2
1 _ sen z
x, -
+ e,
cos2tt 2 sen" 2:r
..Jl
:t:-
+
+ C.
C.
I x l.
Mtn.on¡; GENEIl~ DE I N'l'EGRACYÓ N
6. Calcular:
J~
I, = I. :::
f f
f -f
=
1+2z d x, l,
cos I!:. d«
70~
-f
sen Vx d x, ViZ
"sen x . cos z d x, 1. -
=J
x.dz 1 L 8x'dx 1 + /1:" 1 V 1+¡¡;2 ~ dx l. __ farc sen x. dx • l. =fln In x.dx • 1, ::: ~. x.ln x \ l - x' V 1-:r' 6. Probar: ' \ que tres primitivas de 11 eh x son: 2 • ~e tg 41", are tg sh x. 2 are tg tgh (x/2); b ) que estos l'esultadoll son compatibles. 7. Calcuiar por sustitución. en la integral def inida: 1•
l-sen:!: •
-
lava
c= J e·~:··
o
o
8. Mediante el cambio .":= cos 1, hallar y explicar por qué
f
1
-.f
o
f
o
'''1 x· d x = sen' t d t =1= llena t d t, o '11"/2 -'11"/2 '" pesal' de ser cos (--;;"/2) O; cos O = 1. 9. Si aplicamos la sustitución 2: = sen t a la integral definida
=
f t"
f f
7r
O
l'OS
"
cos t d t. resulta
(m'e
SI011 ,\")"
d
.1'
= 0, y
por
SlOl"
(are sen :d"
= f',
~
.".
t . contil1un!i. será o
f'
COl' I
dt
= O. ¿ Por qué es falso el razonamiento
anterior? 10. Demostrar que para cualquier función integrable g(u) es:
.r
.",2
f
=
g(cos x) dx
,.
(1
n.
Calcular: 1
=
f
7r/ 2
(1
~
g(sen x) dx =
."
J
g(sen x) d x ,
o
+ cos .d"
d .r, .1 :::
f
cotg" .t' d ....
12. Caleulat' 101 areR de un cuadrante de circulo de radio 'J ostituc:ión en la integral defi nida.
1 =
13. Calcular:
f
14. Calcular por partes 1 ::::
JV
(l' -
x' d IX
15. Utilizando el resultado !interior calcular,
=
f
mediante
x" In x d:r:. (cfr. ejercicio 12
§ 51-4,c)_
J
(l.
x are sen x d ~ .
p Oi'
)lartes:
:!'
704
§ 51 -Ej .
XIV. CÁLCULO DE PRlMITIVAS y APLICACIONES
16. 11) Expresar en form a recu rrente l. =
=
b) Aplicar al cálculo de J.
J
S
sen" x d x (n natural ) :
x" are sen x ti x (n natural).
17. Expresar en forma recurrente K.
=f
(I1:.)"
(n natural).
18. Aplicar el teorema del valor medio [48-34], hallando en cada caso
", en las integrales! 1
1
== J . x
~
d x,
.T
= f
-}
2
In x d x. -a;-
1/2 '¿'Ir
19. Proba r, tomando
J~
sen:t en K =
sen
x
d
x,
que el pri-
()
mer teorema del valor medío [48-34] no vale si t¡l (x) cambia de signo en el intervalo de integración.
§ 52.
INTEGRACIÓN DE CLASES PARTICULARES DE FUNCIONES
1. Func;ones racionales. Consideremos la integral:
f
a} U n ejemplo preparatorio.3
3x -3x+l_ dx • x2 -1 y como en ella el integrando f(x) es una f unción racional, cuyo n umerador es de grado no menor que el del denominador, podemos efectuar la división, y descomponer luego la pal'te no ent era en fracciones simples, aplicando, por ejemplo, e] método de los coeficientes indeterminados (§ 46-4, b4 ) . Tendremos, sucesivamente : [52-1]
1
=
3xJ -3x+l =
3,1;
1
1 (x. -
l) (x + 1)
[52-2] =
A (x+l) (x
+B
+
1 x"- l
A x -l
+
B x +l
(x - l )
+ 1f (x- 1) l) + B (x - l)
A (x + = 1. Como esta igualdad vale para todo x, nos permite calcular A y B. Para x = 1 se tien,e: 2A = 1 A = 1. y parax = - l - 2B = 1 B = --'- l. Reemplazando estos valores en el tercer miembro de [52-2] tenemos Ja descomposición:
INTl'!finACIÓN D)~ CLA!ill8 m: ... UNCIONES
705
!
1
zlt-i
=
x- 1
x+ 1'
y finalmente:
=-J(3 x + -~ .x -1
-~-) d x = ~ X2 + In x +1 2
V
+
z 1 e z+ l b) MétodQ genero.l. Podemos suponer siempre que el grado del numerador es in/e't io'/' al del denominador (pues en caso contrario J sta efectual' la división entera correspondiente ) . y ademá.: que ambos polinomios de coeficientes reales son primos entre si en el campo complejo (§ 17:-2, a,;) y por lo tanto en el campo real (§ 18-2) (pues siempre los podremos dividir por su m. c. d.,. Entonces podemos descomponer el integrando en fracciones simples (§ 46-4, b) más una eventual parte entera, y la dificultad de la integración r eside solamente en el problema algebraico (§ § 19 Y 41 ) de halla'r los ceros del tl€nmt~inador. Distinguiremos t res casos. según que éstos sean Aimples y reales, que haya ceros simples imaginarios, y que loa haya múltiples. bt ) Caso de ceros simples reales. - A este caso pertenece el ~jempl0 estudiado en a) , pero no es preciso usar el método de los coeficientes indeterminados, pues en vir tud de § 46-4, a, tendremos la descomposición en n 'acciones simples: I
f(x) Q(2!)
=
Al
x - x.
con la expresión de
108
+ ... +
+ .~2. _ :t - x ~
A.. ;l' -
X,, '
coeficientes : f (x¡)
A:¡ = Q' ( x ¡) . Esto da inmediatamente la integral, que es la función trasc.endente : Al In I x - Xl I + ... A n ln ! x - x" I + C.
+
EJEMPLOS: 1. Para encontrar la función primitiva de: (l/2)x' 1 (1/2)x· 1 x" + 2x" - x =-2 = ( ; - 1)(x + 1)( x + -2 ) fu A. A, x - 1 + -;+ f + -;-+2' a~ tiene : Q'(x)::::: 3 x, + 4 x 1, Y ent.onces: _ fí1) _ 3/ 2 _ J._ f(- l ) 1'1. _ f (-2) A, - Q' (l) - -8- - ., & - Q' (- l ) - 4, A3 - Q.' (-2 ) ::;:; 1:
+
+
=
luego. la primitiva es: ~ In 1X - 1 I - ~ ln I x --1- 1 ¡ In Ix + 2 2. De la descomposición § 46-4, ej. 1 resulta:
+
f
ce' x' + _ :3x;["
dx
== -
S
In I JI: I
+ 1n
IX
+1I+2
I
+
C.
l TI I' x - 1
I +e
706
§ 52 -1
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLICACIONES
b2 ) Caso en que hay ceros simples imaginario.~. - Consideremos el caso más sencillo, en que el denominador Q (x) es de segundo grado. Si sus raíces son a + bi y a - bi. se tiene: Q(x) ... ao (x-a-bi) (x-a+bi) =ao[(x-a)2- (bi)2] = ao [(x-ap + b2 ] . Por consiguiente será: p'(x) A x+ B A (x-a) Aa+B Q-( X) = (x-a)2 + b~ = (x-ap+b 2 + (x-ap + b z • _ Así transformada, la función se integra sin dificultad: --------P(X) dx =~J 2(x-a) dx + A a + B J dx Q(x) 2 (x-u)2+b' b2 (X-a)2 - b - +1
f
x-a =~J!i[(X-a)2+b2]+Aa+Bf d b 2 (x - a)2 + b' b 1 + (~ b a ) 2 =
j\- In [(x _ a) 2 + b~] 2
+ Aa+B
r
E JEMPLOS: 3.
1:::::::
•
b
arctg ~~ a b
d ,1'
,1'( /
+ 1)
La descomposición dada en § 46-4, a, sería : A' A" - x-o.-- . -¡ + -,c-'+ -i' pero agrupando los dos últimos términos y prosiguiendo l\.lego como antes, se tiene: 1 A Bx+ C x (x' 1) :::: .--;-- + x' 1 • Se halla a sí: A=l; C=O; B =-1, y entonces: x dx 1 = In x - x ' 1 In x - In " ~," + 1 + C. _---=-1__ v: ( :r'
+ 1)
A
=- - x-'
+
+
J
+
+
4. La descomposición de § 46-4, ej. 3 (x_l)2
n08
da:
+x J Caso en que hay ce?'os múltiples. - x"
d x :::: 111 x -
2 a re tg x
+ c.
bs ) Si en el denominador hay un f actor (x - a)\ esta raíz h-pIe a origina h fracciones simples: P(x) _ Ao , Al + + ~~:L, p (x) (X-a) h q (x) (x-a)h + (x-a) 11-1 ... X - a + q (x ) • Multiplicando por (x - a)". y llamando F(x) = P(x)/q(x) la descomposición: F(x) = Ao + Al (x-a) + (x-a)"p(x)/q(x) determina 108 coeficientes Ao = F(a). Al = F'(a)' Az ~ =F"(a) / 21, ...
+ ...
7{)7
INTECRAClÓN DE CLASES DE ¡"UNCIONES
• 62 -1
El método de coeficientes indeterminados, ya visto, es también útil: sobro todo cuando bay raíces imaginarias. es más breve que la ~grupa· o:ión de fracciones conjugadas obtenidas por el método anterior . Si las rafeetl Bon reales, es muy prefedble el método de la8 derivadas. EnlMPLOS:
5. Descompongamos:
B e (:1: - 1)" + (~ ~ i)i- ' Iclt-ntificados los numel'ado res en ambos miembros resulta: A = 1, - 2 A B === 0, A - B e = 0, Ilunde A 1, B 2 e = 1 ; luego, la función primitiva es : In ~- 1 1 -2 ( :I1- 1)-1-~ (x-1) " +K. Más breve es el método de las derivadas, pues en este caso es: ",(~,) = ;1', F( 1) = 1, F 'O ) :::: 2, F "( l ) 2. 6. Separemos ante todo la parte entera 1 de la fracción: x" - 2 :11"+ 1 0:1:' -16:1; + 1 :t' - 8x· + 16 :t ;:= 1 + ~ fx ~ 2r (x 2)" • La deacomposíción en f racciones simples, será por lo tanto: A B e D E x - 2- + (x-2)' + :1: + 2 + (:¡;+2)'-' Calcúlense los cinco coeficientes por ambos métodos. A
x'
(x -1) "
=
-;=1 +
+
=
+
=
+
.x- .+
NOTA: Si ee presentan alguna vez raíces
utilizar
est~
recUl'SO: 1
· im~gin(l.rias
dobles, basta
+ b',+(b'- :t") (x' + b')'
1 2 b" , que se descompone en dos f l'acciones : 111 1'! ' tiene como IIre tg (x 11)), salvo el coeficiente, y la 21!- eS 111 der ivada de ( xl
(:l:'
+ b") ' = - -
~rimit jva
ce
x'
+ b*'
E.fERCICIO: Partiendo de l a derivada de xl ( x' + ba)., apliquese el nlétodo a l caso de rafees triples; etc. Si las raíces tienen parte real el, basta escribir x - a en vez de ce.
e) Método directo de HERMITE. - En el caso bs ), de cems múltiples del denominador, veremos que es posible y conveniente descomponer el integrando en la siguiente forma:
~ = (~ )' + -~ .
[62-3] donde:
D = m.c.d. (Q,Q'), q=
~~
..--
los polinomios X, Y. de grados inferiores a D y q, respectivamente, se determinan por el método de los coeficientes indeterminados. La integral de la fracción propuesta viene dada, entonces, por la expresión siguiente :
y
(52-4]
f
J (f d X =
n + fY qd X, X
7()8
~
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLICACIONES
52 -1
que se eompone de una parte racional y una logarítmica, "por tener q todos sus ceros simples, ya que cada uno h-ple de Q es (h -l)-ple de D. Obsérvese que la determinación de D, q, X, Y es racional, no exigiendo la determinación de los ceros, y ésta sólo se necesita para el polinomio de menor grado q al calcular. la parte trascendente de la integral. DEM.: Sea : Q (x)
D (t1:)
=
(X-~I)a, ••.
=m.c.d. (Q, Q') =(x DQ = q(x)
=
grado n;
( W_X.)ú'A
x.,) a, -- 1 . ". «(1; ~ x.) a. -
(<1: -
1,
g r ado n -
h;
g rado h';: n,
:1:,) .. , (X-XA),
Veamos cómo se deter mi nan los polinomios X e Y, de g rados inferiores a D y q, respectivamente, que satisfagan a la relación [52-3]. o sen: f X' XD' y
=- n - ---no- + q
qD
;
es decir: f
= q X' - P X + D Y.
aiendll
}J
D' q = -D'
Sea X un polinomio indetermin ado de grado n - h - l, e Y otro de gr ado h - 1; el núm(;)'o total de coeficientes lndetermhmdos es n, y como el pl'imer miembro es de g1'ado n - 1, S~ tieue número suficilmte de eeuaciol1es lineales para detcnrunarIos. .estas forman un sistema dete?'· minadQ, porque si fuera l1ulo so determinante, el sistema homogéneo qu resulta tomando ténninos i.ndependientes nulos, admitiría soluci6n no f ormada Jlor ceros, es decir, habria dos poli nomios no idénticamente nulos X, y que satisfe.rían a [52-3] y [52-4] para el polinomio r:::;: O, Y resul· taría de [52-4] (cuyo primer miemhr o es nulo) la igualdad de una funX con una 1ogaI'j' t ' ClOn l"aClOn al D mICR. 01
•
EJEMPLOS:" 7, Sen el denominadO}' Q= {;¡;-l)" ( x"
+ 1),
lnmediahunente se forma: D ==(x-1)', D':;:2 (x-1), q=:(x - 1 )(x'+1 ) ; p = 2 {x·+l). La ecuación de HER1IfI'I'E es, en este raso : 1)/l-2(x· 1) (0;21 b) (x - 1)' (ex' dx + e), f =(x--l) (x' e identificando los coeficientes se calculan a, b, 0, d. e, Si es, por ejemplo, f 1, resulta: dx 2x- 3 xdx -(;;-.:.-:---:1)8(x' + 1) :::: 4 (x -1)' ~. ( x - 1:":)::': Xx-'-'-+1)-
+
+
+ +
=
J
+
+
r
y esta 61tima integral se calcula por descomposición en Il'acciones siro-
plell. a'esultanao: 2x-3 4 ((1; - 1) '
+ ~ In
Ix - 1 I - II In
( o;'
-1- 1 )
+i
Il rc tg
X.
x' ___ A_ _~ ax +b (x - l )' - x - l dx (x -1) " Al aplicar el m étodo de l os coeficientes indeterminados es ventaj oso em· nleal' exponentes negativos: 8. I ntegrar
+
• 1,1t -2
701i
[(a,x+b)(~ - l)""] =
_J,I
I r
=
2(a~+b )( x- l)-3,
a( z-l)-' -
+
a;" A{x- l) ' a(x- l) - 2 ( a:t+ b), • 1.1,'ulil'iC-;lnl!o ,'esulta : A = l . a = - 2,11 3/2, dando paTa la integral hU" ('llclll.:
J'
-=
- 2 x -l- 3/2
:l" da:
~-= l). =
(x -
«(IX
+ b) I (ex + d), R \( x,
I x-1 1 + e,
a) Funciones mdonales en
2. Irracionales algebraicos. .r y ~i
+ In
l) .
Las integrales de funciones
.if ax+ ~), cx+d
I'/lcj"nales en la variable x y en una raíz de la forma indicada, \.)'aJlsfolwan en integrales de funciones racionales, que ya "o htirnos integrar, con la sustitución que consiste en tomar didw raíz como nueva variable, P4c
I!:JElVIPLOS:
I'",deudo
=
Vx
1.
1
= .{_' _ d x--=-= ; rc-3 , f x - 2
2 = t. resulta 1
f (-
2 t -- l
+ _"/.-2 4. - ) d t
=f = -
2t d t
t~ - 3t +2 2 In
1
t -- 1
I
+ '1 In
1
t- 2
I
+ In e =
_ In S(y_ x - 2 - 2 )< , = In C(t-2)' __
U-l-)' ,
(Yx -
2-
r
1)'
3,--_ _ __=_
2, En la integral
1
= f ~(
,,1 integrando es tO, siendo t = 'iY( x 11(' x = 1/(t"-1 ) y resulta :
1= r¡UI' es una
X!
1
+l} l:¡: ,
J' " -=-
d x,
Con e~ta susti tución se lie-
3 t'
r-U'_ l)" dt,
integral de función racional,
NOTA 1, Si el integrando es función racional de x y de ud mismo subradical fracción de expresiones lineales :
=
va?~i(l,s
l'aíces
L ~ ____~~~--~~~
+
+
se l'acionaliza la integral con la sustituc ión t V (a x b) I (e x d), sielldo 1 = m,c,m, ( p, q, 1', " , ) el mínimo común múlt iplo de los índices. En efedn, todas las l'arces dadas son entonces potencias e-¡¡tcras de t. y el integrando r esulta función racional de x y de la única }'aíz t, EJEMPLO
3;
710
§ 62 -2
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLICACIONES
= m. c. m. (2, S. 6)
Se tiene: 1
=
f ta + t' t
~ iY~.
:;:: 86
==
6 t" d t
'
6 + 7-
6
f
+ tO) d t
(t'
+e=
_.r-.i
V!IJ~
= t"
:::: 6; y haciendo x
lI:
(
43
(
:::: 6 8t"
_.ro v x
resulta:
+ 7t' ) + e =
6 -) 4- -7 ~ x
+ c.
b) lnt eg1'ación de cie1'fos Í1'1'acionales cuad1·áticos. - Por el mismo procedimiento de hallar una sustitución que racionalice el integrando, pueden integrarse las funciones de forma entera o fraccionaria donde figure una raíz cuad'rada de un trinomio de segundo grado: v'a-x~:-+-:--;b;--x-+;--c
.
Si fuera a = O estaríamos en el caso de § 52-2, a. Entonces distinguiremos dos casos: ( 1) G((SO (( > O, Sacándolo del radical, éste queda en la forma Vx 3 PX q, y haremos la sustitución: [52-5] V x~ p. x ti = x + t. [52-6] x2 P X q = x2 + 2 t x + t2 • Como en [52-6] los términos en x~ se simplifican (para eSQ se dió la forma [52-5] a la sustitución), puede expresarse x como función racional de t, y el integrando se racionaliza.
+
+
+
+
EJEMPLO 4:
1
resulta; ~.
+
4
. ..
= J V a;" +
= x' + 2 t x
d x::::
f( ti·4 + T2 + 4 _:1:)'
-
x.
Poniendo
t'
.'.
x
V x'
4 - t'
-
2t
+
-
4
2~' t"
) dt
J
+
+ -¡t )
d t ~
72 -
2 ln
(V x' +
4 -
= x + t,
4
2
t
t
2
2
t
-
+
- ._-- ~---
4 2 ti
2
::: (V .IZ'
+
4 d
1 ) dt = - '2
(- 2 ti
=f (4 ~ t' + t ) ( == -
+
+
~
-
16
d t.
!:: +
ti d t ::;
r
2 In t
x) -
6
t -·8 +e=
( V x' + 4
-
xli +
NOTA 2: Así corno en ~ 51-4, e, calculamos la integral
C.
J \/ (1. x· d x la sustitución x = (l sen t, ahora podemos calcular también la del ejemplo anterior mediante la sustitución :t = 2 sh t. o bien x = 2 tg t. Si en cambio tuviéramos V x' - (l", har[amos ~ = a ch t, o bien: 1C ~ (l sec t. Análogamente pueden tratarse otros casos (irracionales o no), mediante funciones hiperbólicas o circulares inversas. m~diante
EJEMPLOS:
S
5. da:
\ ' (1"
+ :1"
=
J
\'
1
d(xfa) + (xla)"
=
Rl'g
sh{x/a)
+
C.
6. 7. (¡~)
711
INTEGRACIÓN DE CLASES DE FUNCION ES
11 62 -2
f .f a" -
fV = == .- f - - - - - = =
d .\'
. Vx'
d x/a,
a'
d:1:
--;:------=-
:t"
[x/a]" d x/a,
1
a
1 -
arg ch(xla)
1 arg tgh(xla)
[x/aJ"
a
Caso ((. < O. El radical puede llevarse V -x~
+
C.
1
El
+
C.
la forma
+px+ q.
AhOl'a no se logra nada igualando a :1' + t. pues al elevar al cuadrado no se simplifican los términos en x~ como en [62-6]. Observemos que para que la integral tenga sentido, deberá ser en el intervalo de integración: . _ X2 p X + q > 0, pero para valores grane , de x predomina el primel' término, y por consiguiente: - :r" }J x q < O. Entonces, el trinomio cambia de signo, y en consecuencia tiene raíces 1'eales Xl y X2, es decir: - X= px + q = - (X-Xl) (x-x:!). Poniendo ahora [52-7] \/·-.-¡:c~'+--:--l-)-:r-+~q-= '/ - (:r - Xl) (:1' - :l~J = (x - :l'l) t resulta:
+
+
+
+
(;¡,' -:t'd (:l:-:r~) = (:.l.~-:l; .)"t" ",X~-X = (:t:-:t:l)t~
X=
t~ XI t~
+ x~ +1
con lo cual la sustitución [52-7] racionaliza el integrando. NOTA 3: Este procedimiento conduce a cálculos largos, y con frecuencia puede calcularse In integral en forma más sencilla. EJEMPLOS:
9. :r - 1
8.
J V-x' +
=2
J ,19= ':1". ' d :r ; sustitución :~. = 3 sen t. 2~' + 3 d ,t· :::: J (.\' - 1) ' d :f; sustitución:
,'4 -
sen t .
10.
d( :r/3)
J--========= = \' 1 -
(.d3) "
are sen (.t/3) + C.
11.
dx J Y-x"+2x+3
= arc sen
+
C.
712
§ 52 -2
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLICACIONES
EJERCICIO:
1 -
-
Calcular
f xv'a:'+4 d~
=
J
f
===== d ",
_
",\Uí ~ +2x - l
NOTA 3: Si es además q > 0, se puede hacer la sustituci6n: [52-8] V - x' + p x q = t ~ + YQ, pues x;;;;;:(p~2 t}/(t"-I- l), y se racionaliza el integ-l'ando. e) In/cgrales algebraicas en general. .- Los procedimien tos de racionalización expuestos en b) son casos p ru-,ticula t"C~s de 1m método más_ general, que pasamos a exponer. S i y es u na función a lgebraica de ro (§ 23-E, a) definida por la relación P ( x , y )= O ( P polinol'Wio) y R(x, 1/ ) una función racional de Q: y de y, diremos Que: [52-9] f R (x,y)da: es una integral algebraica, también llamada abeliana. . Si la curva P (x,1/ )= O es unicursal, es decir, si admite una repl'esentncitÍn paramétrica: (52-10] x = f(t), 11 g (t), donde f y g sean funciones racionales de t; entonces la sustitución [52-10] racionaliza el integrando de [62-9], pues se obtiene; f R( f, g) . f'(t) d t . Las cÓl~ic as s()n m ¡{cw·sales. Porque cada recta de l haz y - y" == = t (x - x.) con centro e-¡ un punto (xo, Yo ) de l a cónica, corta a érla en un único punto ulter ior , que depende del parámetro t, y cuyas C001'denailas se expresan, por consiguiente. como fun ciones ¡'acionales de t. Si la c6nica ea una hipérbola, puede tomarse para (x., tlo) la dirección asintótica m ( § 87-6, b), y se tiene p.1 haz; y=m x + t. Las sustit uciones [52-5], [ 52-7] Y [ 52-8] son casos particulares de las pr ecedentes: E n la primera, la cónica y':::: ~ p x q es una hipérbola donde m = 1 es dirección asintótica, y hemos considerado el haz ti = x + t. E n la segunda. la cónica es 11:::: - (x - x.) ( x - x.), y eligiendo el punto (x. , (J) de ella, resulta el haz JI t(x - Xl). En la tercera elegimos el punto (O, v;q), resultando el haz y
+
Vq.
=
+
+
=
=t x +
=
vq.
d) Di.rc~·e'nci(( lI'B binom ias. Casos de infeg?·ubilidacl. - Se llama integral de diferencial binomia a una integral de la forma : [ 52-11] f x" (a x" + b)P dx (m, n y p racionales) . Mediante la sustitución x" t. esta integral se lleva (salvo el factor lIn) a la !o1'ma simplificada _ [52-12J con q ~ m + 1 _ 1. I(p, q) ;::: J ( at + b)" t' dt,
=
71.
L a i?tugral J (p, q) Be pu etZe 1'educir a la de una fun ci6n ,-acional, 81 uno de los tres números: p , q, p + q, 68 ent ero. E n efecto, indicando con R una función racional, tendremos los tres casos r acionalizables pOI' b) : Si 1) es entero: 1 (p, q) = J R (t, tO) d t. Si q es entero: 1(1), q)·=5R [( a,t+b)", t] dt. TEOR,:
Si p
+q
es enter'o:
1 (1), q)
= f (a t i
b
al
r
t~·i1
+b t
dt
=
)". t ] d t.
713
lNTelmAClÓN VE CLA8EH 1J,8 VUN('lONliS
1', (;mtlllClUW demostró ~n 1863 que fue1'a de estos tres casos, la inlWral no pu~ expresarse mediante las funciones elementales. represenu.n.lo por lo tanto trascendentes nuevas.
3. l.'unciones racionales de las funciones circulares. - Esfunciones son racionales en sen x y cos x (¿ por qué?). Su lule¡raci6n se logra a veces en forma muy sencilla, por sustillll!i6n inmediata (§ 51-4, a). transformando eventualmente a " .. gulo múltiplo de x (§ 51-4, b). pero el método general conlIlitiW en racionalizar el integrando, 10 que se logra mediante la t~
aUMtitución:
x
162-18]
,=
2 are tg t,
tanto
lJUCS
162-14]
como:
x
[fi2-15]
x
senx=2sen 2 cos2" =
r62-16]
f
x
2t x = I+f'
x
cost 2 + sen2 2" x
coa x = --:r. COSL!if
+ sen"/!2
-
2
x
2 sen -2 cos2
sen 2 1)_ x
COS 2 _
1\4111
x
l - t2
= 1 + t~ '
funciones r a cionales de la nueva variable.
f
d :~
sen :~
= In t + e :-:: In tg ~:.... + c.
d/
1-1-t"
2.
2
f_
+~._~ - '1-f' ___. J 1 + - 1 +(' l
dt = t
T + e = tg ""2 +
C.
3. FllndamentCl de las cartas de :r.tERCATOR es la expnsión:
d :r.
l +t"
2dt
2dt
~ =- 1 - t" .. 1+ t' = 1-.-1' cuya integral es In (1 + t) -- 111 ( 1 - t) que puede expresal'''€ I
f~x COl!
==
In
1+tg (x/ 2) l-tg(x/ 2)
+ e =- in tg
(~ + ~) 4
2
+
C.
NOTA: En las in tegrales del tipo J R(sh x, eh ,,,)d 2.', siendo R l llla función Tacional, puooe aplieRl'se la sustitución t = tgh (:1:/2), análoga a
714
~
XIV. CÁLCULO DE PRrMITlVAS y APLICACIONES
[52-13], lJefO observando que R(sh:r, eh x ) es racional en tegrando se racionaliza con la I;llstitución: x = In 11 : . d x = d ulu. EJEMPLO 4;
eh x J~
J
2
er
+ e-
1
=:
J
= 2
dx
d1f/1l = 2 + le '
1t
+ C.
2 are tg e,r
J
11=
52 -3
e', el in-
dI!
- ¡-t':-+---'1-
EJERCICIOS
1. Calculal': 3 x d :,' fC' - 6x + 8
1
-J
J x(a,d~
L =
f
J -
N ::::
f
~r" + 3 :r + S d . . x' __ 3 x + 2 x .
x') ,
M
=
K::::
J :~.~;
x'+ 2 x - - 5
f
x' d~, 1 ;
'
:1;' -
dx;
'
2x" - 4!i;"~2x+4 d"-,,
2. Calcular:
I =
dx -~-c'--:6-,r-'+-------,l'C:'S-
J
K-
J
J = J_x"... ' -____ 3_x_+-'--'S,.--d x; w-3x+2
x"+ 3x (x -
2) . ( x'
+ 2 x + 2)
d :;(.
S. Calc\llal' :
1= K =
J
J
d~"
3 = f - X'3=x+ "+ .....;..4~x'-~. d x; ' a x- 3 L = ~f (x' + 6 x + 10)' J
x' + 2x' +x
4x'-2 x' +x-l :1:' (4 xJ + 1) d x; M -
-
J
12 x' + 16 x - 4 x' - 4 x" + 4 x·
3 xn -
---:--~::'-:--:--;;---'-
4. Calcular (cfr. ejercicio 10 de § 46) :
1 ::::
f
1
~xx.
J
5. Calcular: .\'"+4 1 2 ~," (x' + 1) ~ d x;
-J
=J
J -
6. Calcular:
1-
f
x'dx v(a+bx)"
J ::::
J
x'
1/ V 4 x' -
d)
1/V4-x" -4x;
4x -
d x.
x"+2x"+5x"+x+l d x. x'(r." + 1)"
Va +
35.
J(:: ~ ~: )•
---'--'-::-c"':-;'-C-..-:7:;--~-
7. Integral' completando cuadrados: b)
=
d x.
b a; d x;
K
=
J l\/--;+ h
e)
11" x' + 2 x 1/ ,11 - 4 x".
6)
xl V 2 -
al
:1:" -
dx
+
2;
~('.
§ 62 -E j.
715
INTErmAClóN DE CLASES DE FUNCIONE8
R. Calcular
f
[=
":I:: "¡- 3x-2dx;
J
K -
= J 3x
J (1
dx
-+
-+
x) \/1
d~
-+ V _ 3 -+ 8 x x -
4 x"
_
. '
x"
9. Mediante sustituciones circulares integrar:
u) e)
V4 ".,,/\1 ~:e
~!.,'/x";
-+
b) x-o (16 x") - ln; d) x-· (~C_a")-1/2.
a';
10. Mediante sl.lstitucjones hipel'bólicas illtegrnr:
V
a) ').:"1 V ro' -+ é; e) \14 -+ 9 x';
/1) x" (l;e el) :l:" (x" -
4;
-
9) -1/~;
¿cuál ha de ser la relación que ligue las constantes de integl'Elción de las integrales d) de este ejercicio y el anterior para a = :3? 11, Probar que para la integral de diferencial binomia (52-12] se tienen las fórmula e de reducción:
-+
l (p
1. (q +
-+
1 (p
+-
l (p
-+ b) ~" r" -+ (11 -+ q -+ 2) I(p -+ l,q), =- «(( t -+ /,) /", t"·' (p + q + 2) r (1', ti --; 1) ; o q) = (a- t + /,),. t . : -+ () l' I(}J 1, 1/), =-
1) b I(p, '1) 1) b 1 (p, q) 1[
q
-+
+
(at
o
(1
1) 1(/J, 1) (( l(p, q)
=
(a
t
-+
b)" +' t' -
1 ),
b q I(p. q -
que permiten reducir 1 (p, q) a funciones a ~ebraicas, y a ott'a integral de la misma forma donde cada exponente p, q queda aumentado o dism inuido en tantas unidades como se quiera. 12, Mediante la sustitución t == sen x, convertir en integral binomia la integral
r (m,n)
=
f
sen'" x c<Js" x d x
y deducir
fórmulas de reduc-
ción para ésta. 13. Integrar 11 (a cos x + b sen x). 14. Mediante la sustitución [52-13], probar que:
1-
f
2
dx a -1- b cos x -
, 1 a' _ 11"
si -
1
==
1 In \ 1 be _ a'
f¡
+
(l
COS l'
n
a
~ I (/ -
are tg (
<
b
<
+ \ 1 b' _. + l. cos x
-V
{l
-+ e,
b tg x -) 2
-1- b
«;
a' sen x
+ e,
si
/¡
> ; a l.
15. Demostrar que si R(sen x, cos x) es función racional impar de
sen x y de cos x, su primitiva se racionaliza mediante la sustitución t= tg x. 16. Aplicar el resultado anterior a la integración de tg" x. 17, Integrar: a) (e% -+ 1) / (e' -+ 1) ; b) l/shx; e) JI (sh x + eh x) ; d) (2-shx)/(Z-+ chx).
716
§ 58 -1
XIV. CÁLCULO DE PnlMITIVAS y ÁPLlCACIONES
§ 53. C.\.L<""1..1l.0 DE ALGUNAS INTEGRALES DEFINIDAS
1. Integrales calculables mediante primitivas. - La regla de BARROW, muy útil en los problemas elementales, exige el conocimiento de una primitiva, y ya hemos visto cuán pobre es el cuadro de funciones así integrables mediante funciones elementales. Nos limitaremos en este apartado, a dar dos ejemplos de integrales definidas ca1culables de este modo, muy importantes en la teoría de las series trigonométricas (vol. m~./" § 98).
*
EJEMPLOS: 1. Si es a
f2:'s a:..'
O, se tiene :
[-¡;enaa:e
=
d ¡¡;
o
y si
R
r:
~n
!
'71'
a,
o
es Wl entero distinto de cero:
f
27r
cos a:e dz
= O.
o
Sigue de aquf que si m y n son enteros [53-1]
2w
feos
1nX.
=
cos nx . dz
f27r
l. [cos (1n-rn)x
o
+
cos (m - n )x)dx
==
O,
=
O.
o
mientras que sí m
f
[58 -2]
=
T
1(
O.
2'1T'
coso 'nI
Z
d:ll
= 1:
o
f
2'iT
(l
+
("os 2 'In x) d x ;::::
"1T.
o
2. Análogamente resulta. si [53-31
f
di!ere,~te8 :
2~
sen mn:. sen 'ox .dx
= ~f
11i
y ,~ son enteros difere7r-teB:
z~
[COl)
(m · -II) ...· -
CO&
(m
+ l1)X]
dx
()
mientras que si m·
f
[53-4)
20:/'
= n:¡b O:
sen'
'I1~ X dx = !
a y finaln1ente., para enteros [53-5]
f
o
2'71'
cos
1'ILX
sen nx dx
l1L
= ~f
f2';T
(1 - ~05 2m!\:) d x = r y n cualesquiera:
'Ir,
2'/T
[seu (m -; n)x -
sen (?n-n) x] d x = O.
(J
2. Algunas integrales calculables por partes. - Hay mulo titud de integl'ales definidas. cuyos valores son caJculables en ciertos intervalos por artificios diversos. Como muchas de ellas se presentan en cuestiones varias. es preciso obtener siquiera
lN~EGRAU::;
AL<.;UNMI
717
DEt'INlDAS
las más frecuentes, exponiendo aquí métodos sencillos y dando otros posteriormente. La integración por partes, que pennite la reducción de una integral a otra más sencilla, tiene el inconveniente de dar fórmulas complicadas cuando se aplica l'eiteradamente, pues además de la nueva integral aparece cada vez un nuevo término. Sin embargo, cuando la integral está definida entre extremos que anulan estos ténninos, resulta una expresión monomia pal'a la integl'al, como se ve en los siguientes ejemplos, que Be presentan en multitud de cuestiones. E.rEMPLOS: 1. Calculemos por parteS esta integral, que permite presar 11. 1 en forma de integral, como conviene algunas veces: la
= fcoe~fx"
d
= [ ~ e-· ] ~+ n J~"'" ¡;¡;"
X
O
¡¡:a-1
d~
:::::;
t!X-
n . 4-1,
O
por anularse el término integrado para x = O. re ~ oo. Rebaj ando sucesivamente el indice, se llega a l. = 1; luego, resulta; [6S-6] I~ = n(n - l l ... 2. 1 ~ n! 2. La r elación que liga el seno y coseno d<> x pennite simplificar la diferencial de las expresiones sen"' x . cos":1;, obteniéndose f6rmulas de recurrencia par a las integrales de § 61-4, a. Deduzcamos solamente la más importante (cfr. ejercicio 16 de § 51): D sen,"-l :r cos x = (m- t ) sen"-o x coso X - sen" x = ::::: (m-1) sen"-'::t - 17ll5en" ::t, e integrando en (O, o:r/2) a fin de qtle se anule el seno o el cosellO en uno y otro extremo, resulta la fórmula de recunenci 'Ir
'1T
J
2
aen"
:t:
= ~-;;.!....!- f-tsen.,4 x dx _
dx
o Si m es impar, se llega al exponente 1, y la. integral final vale 1; si 'In es par, se llega al exponente e, y la integral vale 'Ti" 12; luego. re· sulta:
[58-7]
f
~ 2
sen" x d re
o
=
f
{(m m'!)!!
'I!.. 2
(m impar)
cos'" x d x = " , - -
(17, -l)!!
m!!
e
'TI"
2"
(m par)
representan do por el simbolo m!! el producto de factores dec~ecielltes de dos en dos unidades. En cuanto a la integra) del coseno, es igual a ID. de] seno, como se ve pasando al arco complementario. S. Mediante las sustituciones x sen t, :r = tg t, se reducen a las anteriores estas integrales (cfr. ejercicio 17 de § 51):
=
[63-8]
f
1
(1_fC
O )"
dx =
(2~~;)~~!!
.
o
[53-91
J
-o
oo
dx ( l+a;') "
=
(2n - 3 ) I! ';r (2n -2) !!2"
718
~
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLICACIONES ~n ~
4. Pal-tiendo de la expresión general O m ismo pl'ocedimíento:
x
COs"
63 -2
x, resultn por el
'Ir
71
f 2sen"; a' cos"
ti
Jo:
l'
J""2 sen"-' m +n
=
m-l
l' COSO
x d x,
o
o
y dif;minuycndo de dos en dos el exponente del seno si
JI!
es par, se llega
a la in tegral anterio r; luego, en defin itiva resulta:
[58-10]
f
~,
(m-l)!!(n-l)!f " (m n) !I (algún exponente Impar).
+
.
sen"';r cos"
:l'
dx
=
{ (m-l)lI(n-l)!! (m n) !!
'Ir
+
11
(
2
)
m y n pares .
U primera ha resultado suponiendo m par y n impar; sí m ea impnr, no se llega a la integral de cos" x, sino a la de sen x cos "~, que es mmediata y conduce al mismo resultado, cualquiera sea la paridad de ti. 3. Fórmula de Wa1lis. - Es una aplicación importante de la integral de sen ~ x calculada en § 53-2 , ej. 2. Puesto que el número ~ viene eltpresad() por la integral de una potencia de exponente par, tratemos de acotarle. entre dos de exponente impar, y por 10 tanto. calculables mediante la p rimera f6rmula [53-7]. 'P or ser en el interior del primer cuadrante sen:t < 1 ae verifica: 'Tr
f""2 sen' ·"
'lT'
'1r
x d~
< f""2 sen'" x
dx
<
o
G
J2sen'·-l x d 11:, o
y sustituyendo los valores ya calculados de estas in tegrales: (2n)1I (2n-l)!!'1T (2n-2)! ! (2 tl)!l2 (2n - l )1! ' (2n+1) II' resulta la acotación buscada para el número ~ ;
[53-11J
")0 .
(2 n) ( (2 n-l) l!
1
'1f
2 n+l
<2 <
(
(2 n) !! ). (2n - l )!!
1
y designando por O un número posit ivo menor quel, tenemos:
[ 53-12]
~
"2 ~
(
(2 n)!! )a 1 T2-n -1) I l . 2 tt +8'
de donde, d espejando el cuadn.do dividido por 2n
2n
+O
'11,
como;
~ 1 •
r esulta: (63-18)
w
r
(
(2n )!!
~ ,,~<X> (2 n - l )!!
)~
1
n
Esta fórm ula de WALUS fue dada por él en forma de producto infinito (Ca p. Xl, nota nI ): 6 6 4 4 '" = --¡2 . 32 '2 5 ' -7 5 8 (2n - 2 ) 2", 2n (2n - l) . ( 2n - l ) . (2 tt +1) ... -
ALGUNAS INTEGRALES VW,'INlDAS
que converge hacía el mismo limite de la expr esión antericr¡ porque si se toma un número par de factores, resulta el primer término de la acotaci6n [58-11], yai se toma un número impar , relWlta el segundo, y ambos tienen el misMo limite que expresión equivalente (68-12].
1"
4. .'órmuJa de Stirling. - La f6rmula de W ALLIS puede escribirse extrayendo la l'aíz cuadrada y pasando a factoriales ordinarios : (2 n) 11 :::: (2 n ) 1!" _ 2"tl1·~ ~ fi. (2n-l ) !I Vn ( 271.) I Vn (2n) I V n P OI' ot1:a parte, existe el límite (c:Cr. § 57, ejerc. 3): n! s· l. ( 2 n) I eh . l 1m - - Q 1m " " ~ 00 n" Vn n ~ ro (2 n)a. v'2n por se.r monótona decreciente la sucesl6n a. = ni ~"I'It'I<·~ , pues: an . , (n + 1) I 6 tH1 nI e" _e---,_~
=
-;;:- =
y este cociente es
=
+ 1)7>+1.·'"
(n
< 1, f(x)
:
(1
n ....% :=
+
! ). . .,,'
por ser decreciente la f unción
=
+ x1 )'"+'"
(1
¡r;> 2,
para
como se comprueba si se estudia la derivada de su logarit mo:
2:1: ++ 11) +
D In f( !I;) = - ' 2 x ( x 1
+ 1)
1
( 1 + -;; 1) =
1
+ a x·
_ ... desarrollo válido (§ 45-4) para II/x 1< 1, ósea: I::r: 1> 1 E s D In f (x) < 0, si x> 2, lo que prueba lo dicho. Eliminando la eXJlonenci.al, para lo cual basta elevar al cuadrado la primera expresión de ~ y dividir por la segunda, resulta esta otl'a: . n!' 2" V2 (l llm - -- - = _vr.:= 2'7/' . -
2 x (x
In
=
-
2
lI~ CXl ( 2 n )1
a;"
Vn
Obtenemos así la famosa fórmula de S TffiLING [53-14 ] n! """ n" e-1I "2 '7/' 11 indispensable en t odo cálculo en que se deban manejar factoriales de números muy gran des, como acontece en. Cálculo de probabilidades.
5. Integral de P olsson. -
Una integral muy importante en Cálculo
de probabilidades es la integral convergente:
1
:=
J~-""
d ::r:,
o
que obtendremos acotando e) integrando. Evident emente. recordando el desanollo en serie de TAYLOn.
l -x'<e-"' <
+
1 1
eli~
¡tI ,
y elovando a n:
x") 1f. < e-""'- < (1 EfectuaJldo el cambio de variable a: mismo nombre a la variable, es: (1 -
1
+ ;Il')"
= rn. (1;'
•
pero conservando el
XIV. ("ÁLCULO VE PRIl\UTIVAS y APLICACIONES
720
<...rnof
00
:=: ...rn
1
e- tla' d:r
;
o
y recordando los
+:')n d
00
(1
'
de estas integ-rales ya calculadas en [53-8] y
valOl'CS
(53-9), resulta: (2n)11 r::: (2n-3)!! vn (2n+ 1 )! ! < 1 < " n (2n-2)! ! o bien cuad rando. para mayor comodidad:
_r-
(2 n) I!
n
)'
(2,, +1 )" (2,i-l)1I
<
•
1
<
n
'1T"
2'
3)
( (2?! ~ I! ) • (2n -2 )!!
y sustituyendo los cocientes de factoriales por sus expresiones [53-12];
Para n
;
(2'1~ 1) · (2 n+8 )<¡S<;
~
ca resultan
COtno
2(n - ;)+1I '1f
límites extremos 4; luego, 1
:=
..f7T
-2-'
Es decir:
J~-""
[53-15]
dx
V;.
=
o
NOTA: Además de [53-15] son muy ú tiles eu Cálculo de pwbabilidades las siguientes:
f
(53-16]
00
x e...%' d~"_ ..~, -- lt J
4
o
()
~
fi
f~:1r·2 dx =
La Pl'imera es inl1lediata, pues el integrando es la derivada de
(, -.JO' ¡ 11\ segunda se reduce a [5a-15 ] , por partE's.
Declúzcanse, como ejercicio, l as integl"ales sucesivas en que la potencia de x es x', x' , etc " En la misma torma se calcula la integral s iguient e: ~-
J e-' Vt a = -¡-. oo
[158-17]
t
o
Vi' =
pues haciendo
x se reduce a la segunda.
E.JERCICI()EJ
1. Probar: 00
J
OJ
f
' _..;.. d..-'.-fI;_
o
a" + ;¡;'
o
a
d~
a" + ri'
'7T
==='
~
f o
_ d_,;.....,..... = _ 1 _ In ~ . a;'-
,1;'
2a
a -l
2' sga;
721
AumN MI IN'('t:Ul
.r
:'..
sen b u; d x
e-<>z
= _::---b~
a' + b' ;
v
00
f
e-a. cos b
d
X
X
=
(a
>
O).
a
<
b
In ' cos 3 I
+
- - : "----::-7"
0,0
+
b" ,
O
3. Probar que 7r
J "+ o
d :x:
..,¡ a"
b cos x
7T
bT'
si
-
4, Probar que
<
,a,
71.
f
5. Ex plicar por qué
s
tg x d z =t=- -
In cos 1-
1
J"
00
6. Probar
x"
d x = nl/a
e-a~
f
M ':
(In 11 x )' d x
==
N!;
~
~
J
1
1
x·-1 (In l/x)" d:l:= n!/a"'; siendo n un número natul'al ya> O.
o
7. Calcu1ar
f
I:=:: f)
1
f -
x~
J -
d X. V l-fl:
o
1
:1:,-1
d:r
V x-x'
8. La integral definida de diferencial binomia B (p,q)
=
f
1 X·-l
( l - x)'-' da:
o
llama i'lttegral euleriana de primera especie o función Beta. Demostral' que es f unción simétrica de p y q. La integral 8e
I" (n)
=
f
CQ
e- x'-' d x
o
se llama integral euleMa:na de Begunda e8pecie o f-unci6n Gamma. Demostl'ar, mediante [53-10] y [53-6], que para p y q naturales es B(p,q) = r,(p)r(q)/r(p + q). 9. Deducir la siguiente fórmula de reducción, y con ella la expresión a nten or de B (p,q): (p+q)B(p,q+l) q B(p,q), Obtener la que ", ~ B (p + 1, q) Y B{p, q).
=
722
XIV. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLlCAClOlIOES
f"
10. Pl'obar :
X
"
-1
(a-a')O-'
d~'
~
63 -Ej.
{/" ..• ' TI (p, q).
11
11. Probar la fórmul a de l'educción: !J.
1"
=
f:1:7\ e-01l
d:1:
= ~
(n -1)1.-., (n;. 2),
()
y con ella :
I.. I.. 12. De
(11 '-:'-'1)!! 2 "." e\ '-;;;:-, (11 (1/
-
f ~-:¡:.
> 0))111'),
1)!! 2- IM" / ' , (n> 1 impar).
dx =
y::¡¡,
deducir:
:>C :lC
fe-a", . ."", d x
,r;¡¡¡;; (,b /4 a, 2
(a> O. b real).
- 00
NOTAS AL CAPtTULO
XIV
1. Tablas de integrales. - a) Algunos libros de Análisis, como GRAN(citado en Cap. VI, nota VI, 3) traen breves tablas de integrales. Otras, más completas entre las breves, se hallan en algunos formularios generales. como el de DWIGHT (citado en Cap. VII, nota n, d). b) Entre las tablas de extensión moderada, está muy bien estructurada y con tablas auxiliares la clásica de: B. O. PEIRCE: A short table 01 intel1rals. (31;\ cd., Ginn, Boston, 1929). Otra muy indicada es: G. PETIT-BOIS: Tables d'intégrales indéfinie8. (Béranger, París, 1906; edición alemana, Teubner, Leipzig, 1906). También sobre integrales indefinidas, es mucho má.s completa y con bibliografía: VILLE y SMITH
W.
MEYER ZUR CAPELLEN:
lntegraltafeln. Sammlung unbestimmte?"
lnleg1'(L!e elemenfm·er Ftmktione,n. (Springer, Berlin, 1950).
e) Conteniendo integrales indefinidas y definidas y con indicaciones para la evaluación de estas últimas, que no pueden verificarse por derivación, está la obra reciente: W. GROBNER y N. HOFREITER . lniegraltaleln. 1: Unbestimmte lntegrale; II: Bestimm,te lnlegrale. (Springer, Viena, 1949 y 1950). Sobre integrales definidas está la monumental obra de: D. BIERENS DE HAHN: Nouv elles tables d'intégra[e8 défin-ie8. (Engels, Leyden, 1867; reimpreso con correcciones por Stechert, Nueva York, 1989). Acerca de esta obra debe mencionarse: C. F, LINDl\fAN: Examen des 'nouvelles tables d'intéorale8 définies de M. BIERENS DE HAHN. (K. Svenska Vetenskaps-Akad., Handlingar. vol. 24, nr;> 6, Estocolmo, 1891. Reimpreso por Stechert, Nueva York, 1944).
CAPíTULO XV
APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FíSICAS ~
54. ÁREAS Y VOLÚMENES
1. Áreas en coordenadas cartesianas. - a) El concepto de área plana fue nuestro punto de partida para la definición de integral (§ 48), pero en la interpretación geométrica de ésta hemos supuesto f (x) > O en el intervalo de integración, es decir, que ninguna porción del diagrama está debajo del eje x. No obstante, en la definición analítica de la integral definida como límite de sumas, esta restricción es superflua y no debe hacerse. Veamos, entonces, cómo se interpreta geométricamente, mediante áreas. el caso general: la integral será la sumo algebmica de las áreas Jimitadas por la curva y el eje ;r, considerando positivas las que están arriba de y dicho eje, y negativas 'las situadas debajo del mismo (fig. 150). En muchos problemas interesa calcular un área como la sombreada, pero sin la distinción anterior, Fi",. 160. es decir, considerando toda!'! como positivas (área absoluta). En este caso habrá que hallar los puntos de intersección de la curva con el eje x, resolviendo la ecuación f (x) = O, Y luego calcular cada parte del área como valor absoluto de una integral definida. De otro modo, supuesta f (x) integrable (ver nota 2), el área absoluta en cuestión es: r.
[54-1]
A = Jlf(X) Idx,
«(1 <
b).
eL
EJEMPLOS: 1. Área de la superficie finita limitada por la pn1'l'lbola cúbica y :::;: ;.¡jI - 3 x' - 4 x. Las intersecciones con el eje ,1' son: .\", = - 1, :\'" 0, .\", = 4. Como:
=
xv- APLICACIONES
724
GE01\-lÉTRICAS
f'y
dx
y
~
FÍSICAS
-
§ &4 - 1
32.
o
el área (absoluta) vale: A En cambio,
=i
+ ¡ - 32\ = 82,'15.
- 1
2. Se[Jlllt!nto de cicloide. - Siendo, (§ 34-6), iJ d x = t.l' (l cos t )" d t, _ la integral se calcula inmediatamente pasando al arco doble. En particular, para la onda completa, resulta el área 3 'lT r". NOTAS: 1. Si la fu nción f(x) se representa en ejes oblicuos de ángulo {J, la integral ya n o representa el área; pa.ra obtener el área de cada paralelogramo hab"l'á que multiplicar f (x) t.. x por sen ff, y por lo t anto:
fO \f(X) ! da:.
A = sen (}
"
2. Puede existir la integral de R IEMANN de I f(x) ¡ sin que f(x) sea integrable (R). Por ejem plo, si g (x) es la función de DIRICHLET no integrable RIEMANN según § 49-2, ej., tampoco lo será f(x ) = g(x) - 1/2, mientras que I f(x) 1== lf2 es integrable RI~MANN, de área rectangular. a. La integral x dx [54-2] 1n x = --o
J
X
1
representa el área hajo un arco de hipérbola, a partir de .~ = 1; de ahí que el logaritmo natural s~ llame también hiperbólico. P uede t omarse [54-2] como definición de In x, y deducir de alU sus propiedades; por ejemplo, para el logaritmo de un produtco l-eslllta:
In
(a.b)::::
.rO
~x ~ fO 1
=
"
J"
dt
(t= 6~) ,
o sea: In (a _ b) = In a + In b. Sin salir del campo real no podemos definir a sí el logal'itmo de un número negativo, pues al pasar por x O se hace infinito el integrando, y la int€gral resulta divergente (§ 50-4·, b). Definida. la integración en el campo complejo (vol. ITI, § 115), podremos tomar [54-2] como definición general del logaritmo, En particular podemos definir el número e mediante:
=
[54-3]
Je~x_ =
L
1.
b) Área en t1'c dos cU?"V((s. - Si las curvas se cOI'tan en dos puntos de abscisas XI y ;;: 2. el área (abRoluta) que delimitan se calcula como düerencia de las áreas baj o cada una de ellas luego (fig. 151 ):
725
A
=
ff(X) d x-J~ (x)
d;1;
=
!r2
= ~uponiendo
f
[f(x ) -
g(x)] d :ro
que f(x) >- g ( x)
[54-4]
A
=
Si
para
Xl
g(~:) I
f(x) -
< :1' <X2, d x, (x,
y en general:
<
X2),
:r.. ~uponiendo a d e ro ás que f(x) - g(x) es integrable. Entonces, si las curvas se cortan en puntos intermedios, habrá que calcular varias integrales y sumar sus valores absolutos. E.rEl\U'LOS:
3.
x·
y
x
•
Área entre las
parábolas y = e 11 == v-;, CoFill. 151 . mo la ecuación r¡f' = ..¡-; tiene las únicas l'aices reales x,= 0, x. = 1, Y en (0.1) e8 V; do 'X. se tiene: A
= f J.(y-;¡ _ o
x") d:r;
=
+.
4. Segmento circltl.ar. - El área del segmento de circulo de centro O y radio a limitado por las rectas x = x ), X =~. es:
2Ja;~'C1 _ xi dx =
[ x
"ra. - ;.- + a' al'e sen : ]~••
~
~
5. Segmento ttlíptico. - Si SU¡; semiejell son (l. y b, como las ordenadas son las de la cu-cunferencia de radio a, multiplicadas por bla, basta multiplicar por este coeficiente el resultado a nterior. Para x, -- - a, x. cJ, resulta, respectivamente, como área del circulo y de la eli! Jt! 'ir a' y
='17ab.
6. Segmento 1Jarc.bóUeo. El desde el vértice a la abscisa a, tiene 4 _r;;--. 3 v 2 P 0,' =
segmento de pal'ábola y el án8 4 ".----8 a " 2 p a,
=
~
es decir, 2/3 elel rectángulo cuya base es la cuerda y su altura la flecha,
e) Área, limitada. por ?ma curva cerrada. - Hasta ahora sólo hemos considerado curvas dadas por funciones uniíormes, pero si una curva cerrada tiene la propiedad de que toda r ecta paralela al eje y la corte a 10 más en dos puntos, su área se determina por b), descomponiéndola en dos arcos. d) Arefl8 orientadfl8. La distinción entre les casos a) y e) radica en el papel del eje a: como parte del contorno, pues todas las áreas que estamos considerando están limitadas llor una curva cerrada C. Así como
726
XV, APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
§ 54 -1
fijamos un sentido de recorrido a la circunferencia unidad (§ 28-1), diremos que el contorno C se recorre en 8entido positivo cuando al hacerlo queda el interior del recinto a la izy quierda (o sea: el ángulo orientado desde la tangente en el sentido de recorrido hasta la normal interior, es igual al que lleva el eje x a coincidir con el eje 1/), Interesa en muchos casos considerar, en lugar del área absoluta A, el área o?'ientada o relativa A de un recinto, positiva o negativa - ' según el sentido en que se l'ecorra su c~ntorl~
Si definimos
J
= J ¡'[f.(x)~fl(X)] d:c. "
y . d x, integrnl "a lo largo del contorno orientado
e C" lIor: [54-5]
f e
v·
f
d a; =
f. (x)dx
a
tendremos: (54-6]
b
A
+
fu
n
f.(x} da:,
=~f
y , dx, e Considerando el otro sentido sobre C, cambian de signo ambos miembl'OS y subsiste [54-6], Análogamente se demu~stra que:
A=
[64-7]
J
x. d,v.-
e
y la semisuma:
=!
J
x. d y - JI ' d:IJ e ofrece la ventaja de que el integrando es invariante respecto a toda rota· ción de ejes (§ 64-2, nota). [54-8]
A
NOTA 4: Estas integrales a lo largo de uña cUl'va son cases especiales de integrales Ilamlldas cm'vilíneas, que definiremos en el volumen II (§ 88). Aquf pueden considerarse demostradaB las fórmulas [54-6] a [54-8] para el caso en que el contorno C no se corte a sí mismo, y esté formado por un número finito de arcos sobre cada uno de l os cuales x 6 y varfe en forma monótona. pudiendo también eomprend.e r un n~mero finito de segmentos paraleloB a los ejes de coordenadas.
~
64 , )
ÁnEAS Y
vOLI'lr.n:NES
727
e) Caso dB represflntacWn paramétrica. dBdo paramétricamente: ~=x(t).
[t.<;t
tI=y(t),
Si el contorno
x(t.)::::x(t1 ) .
e
viene
y(t,,)=y(t,)],
bajo la hipótesis d) subsisten las fórmulas [54-6] a [54-8], considerando efectuada en ellas la sustitución mediante la nueva variable t (§ 61-B, b). E n virtud de las condiciones que permitían la sustitución, supondremos que las funciones que definen paramétricamente e tienen derivadas acotáda8, y continuas salvo un nÚmero finito de puntos de discontinuidad en loa que pueden presentarse los llamados puntos angulosos, de tangentes laterales distintas (§ 30-5). Aun puede extenderse la validez de las fórmulas anteriores para el caso en que la curva e se corte a sí misma en un número finito de puntos, determinando asi en el plano un número finito de distintas regiones R., R., ". . Entonces se define el índice topológico p., de cada región R, como igual al número (positivo o negativo) de vueltas completas del vector que, partiendo de un punto fij o Q en R., termina en un punto que l'ecorre la curva e en el sentido adoptado para ésta como positivo (por ejemplo, t creciente). Dicho indice p., resulta independiente de la elección del punto Q e R, . En la figura 153 se han señalado los índices correspondientes a distintos casos. (Cfr. ejercicio 5 de § 64),
FiJe, 15$,
Si designamos por ¡ R. I el área absoluta ~e la correspondient e reg ión, el! inmediatamente demostrablll por descomposición que resulta:
_JIl
y(t)x'(t)dt
=
~.lld R",
te Y análogamente pal'a las fórmulas correspondientes a [54-7] y [54-8]. E.rEMPLO 7:
x
Para la elipse a cos t, y = b sen t,
=
(O
< t < 2 'Ir),
resulta:
A
=-
J
2."
"
bsent(-asent)dt
=~
J
2."
ah
fi
Véase, también, el ejemplo 4 de "§ 54-2,
(1-cos2t)dt=+'1Tab.
728
XV. APUCACIONES GEOMÉTRICAS y FíSICAS
2. Áreas en eoordenadas polares. - Para calcular el área limitada por la curva r = f ('1') Y los radios de argumentos '1'11 9'b dividamos el ángulo Que 'éstos comprenden por radios inB termedios c ualesquiera. El área limitada por cada dos radios consecutivos que forman ángulo I:lrp ( fig. 154) está comprendida entre los sectores circu lares Clk..-./ / yos radios son el máximo Mi y el mínimo ?ni de los valores de r en el intervalo tJ. '1', puesto que el sector curvilíneo está contenido en uno de estos sectores cÍl'culares y contiene al otro, y como O la f unción es continua. también será igu al al F ig. 164 . área de un sector circular del mismo ángulo y radio intermedio f (O, siendo € un cierto ángulo comprendido en el intervalo tJ.!p. Por lo tanto, el át'ea tiene por expresión : [54-9]
f
'1'1
A=Jim~lf(e)2l:llP=i
f(¡¡)2dl'=!
'1'0
Sr dtp . 1'1
2
'1'0
El área limitada por una curva cerrada (fig. 155) se caleuJa por difel'encia de expresiones como [54-9]. Si hay radios que cortan la CU1'va en más de dos puntos (fig. 155). se debe integrar más de una diferencia. Cuando el intervalo angular es mayor que 2 Tr, puede ocurrir que el área se recubra a si misma, y en Vig.156, tal caso hay regiones computadas varias veces.
= u, <;>,
E.TIlMPLO: 1. ES¡YÍ1'(l.l de ARQufMEDES : r El área coml>rendida desde el rayo origen gumento rp., es :
+f
'P.
A ;::::
o
o también: A
u,s 'P' d
= ,-,'/60,.
~ a' .
'i'
== O hasta
d
qJ
~,
J o
q¡'
==
-+
.
el rayo de ar-
a' 'P,',
'l2H
AltEAS y VOLlí l't1 &1'1 t,:H
" 1i4 -2
t'S
El área limitada por )a primera espira vale A::;; (4/8)'1r' w; E l área limitada por la segunda espira va le A = (28/3)'ir1 a"; clecir, siete veces la primera. El área de la t ercera espira vale 19 veces
~
primera. y el área de la m-ésirna espÍl'a es [m"-(m - l )"] :
~a·.
2. Espiral logarítmica ?' = k e b q¡ = le a rp • Como área del sector cOl'respondien te al intervalo angular ['P" ,.,.], ('/'1- 'Pe 2 'Ir), resulta: (k O14 b) (e 2 b 'PI - e 2 b 91,) = (r,' -- ro") / (4 b), En particular, para la espiral r = e'P , el área limitada por dos radios e s el producto de su semisuma p or su semidüerencia . N6tese que si Q?, - 'P. 2 'TI" resulta el área superpuesta a si misma. Al tender 'P. hacia - O'.) resulta (r'"/4b) (l-e - 4b 'Tl" ). Il:sta es la suma de las áreas de las infinitas regiones entre cada dos espiras que tienden hacia el origen. 3. Lemni8cata de ~ 2 NOULLI: r = 2 a cos 2 "'. x La curva está contenida en dos de los ángulos opuestos pOI' el vértice que f o r ro a n las bisectrlces a los ejes, p u e s sólo par a coa 2", ,;;. O se tienen valores reales de r. Como además es simétrica respecto a Fig. 156 los ejes :1) e 11, calculando la parte sombreada (fig. 16f3 ) se tiene:
<
>
-
A
=
4
f
w/ 4
a' cos 2 '1' d'l'
=
2 a".
O
Saliendo del ángulo en que existe curva, se obtienen result.ados erróneos; por ejemplo. integrando entre O y 'ir 12 se obtiene' O. Obsérvese que si el e.ontorno s e recorre en el sentido indicado en la figura 156, o en el sentido contJ:ario, el ÍLl'ea r elativa (§ 54-1, d) es nula. 4. Para el cara.col de PASCAL X (tig. 15'7) : r = 1 + 2 cos q¡, la ~1f\.-~-¡r---------+-':4 fórmula [54-91. aplicadll jm~!~LO y 2'ir, da :3 'TI", u n valor mayor que el del ¡hea encerrada por el contorno extel'ior, por contarse dos veces la encerrada por el lazo interior (~ 54-1, e). NOTA: La fórmula [54-9] se puede transformar, para hacerla aplicable en coo l' den adas carte· Fili:. lfi7. sianas. P uesto que: ,.. d 'P
= (x' + y") d Bre tg .J!... ==
:le d 11 11 d x, x se reencuentra [54-8]. O);Bérvese que en el primer mlembl'o, T y d tp son invariantes respecto a rotaciones de los ejes coordenados, y en consecuencia, lo es la expresión [54-8].
730
XV, APLICACIONES
GEOMÉTRICAS
§ 64 -3
Y F(SICAS
3. Volumen de un sólido de revolución. - Sea y = f ( X) la función que representa la sección meridiana de una superficie _de revolución respecto del eje x (a <: x <: b), Al girar en torno de e.se eje el trapezoide que tal curva limita, engendra un cuerpo r edondo, o cue1'po de 1'evolución, Dividido el intervalo [a b] en n partes, el trapezoide está contenido en la suma de rectángulos de bases 11 x; y alturas M.; Y a su vez contiene los de alturas mi. Estos rectángulos, al girar la meridiana, engendran cilindros cuyas sumas de volúmenes: ---/ 8 = 71' ¡ m j 2 11 Xi, S = 71' ¡ M/ A. Xi, comprenden al volumen V del sólido de revolución, y entonces: V =
[54-10]
71'
fb y2dx = fb f2 (x) dx. 71'
E/EMPLOS: 1, Volmnen de una esjeTfl de !"Ud-io puede considerar engendrada por la cll'cunfel'encia: x" + y' = 1"" ,', y ' = 1':: - x". al girar alrededor del eje ;r, Entonces: V=;
'Tf
f"
v" dx
=
'íf
JT(f" -!l" ) d:r
= ro
[
1', -
1"'X-
La esfera se
;"]:T= :
'ir? ..,
2. Análogamente. se obtiene para el volumen de un elipsoide de revolución: ro' y' z'
7 +1f +-¡¡=1 V = ....!. '::'a-b". 3
3, Voll/lnen d I' un 1UL/'Uboloide, -
V
=
'ir
J'.
21J
X
dx
Sea su meridiana: y '
= ('ir
1l
x'
):='"
=
2 p x,
1) a",
(}
En cambio. el cilindro de ig'ual base y altura tiene el volumen: 2 'ir 1) a". es decir, el paraboloide tiene como volumen la mitad del cilindro que lo comprende.
7T
11" a
=
4. Volumen por secciones,- Se podrá calcular, por una integral simple, el volumen limitado por una superficie. siempre que se pueda calcular el área de cualquier sección paralela a uno de los planos coordenados, En efecto; trazando un sistema de planos paralelos, por ejemplo, al plano y z, si sumamos los cilindros que tienen como bases las secciones de la superficie, y como alturas las distancias entre cada dos planos consecutivos, el límite de esa suma es el volumen; como el área es función de la distancia x, si es: Área = , a ( X ), resulta V = Um
}Z
a(X) A. x -
f
b
(>
a(x) d x'
~
731
M -6 . . del {'/¡psolfle:
E JEMPLO: Volllmen
x'
z'
y'
---a' + -V + (f == l·
E l área de la eli pse sección con el plano y,/; el';: ... b e, Lns secciones ('nu planos pal'alelos a l y z dan elipses semejante~ a la anterior, cuyos IIcmiejes son:
a a luego, el área de cualquier sección paralela al plano y z en función de su distancia x al mismo es: "(x) ~ '11' b c (a: -:- :t') ¡ a
luego :
V
4 d~' =3 'iin be,
= J O'(x) a
5. Área de una superficie de revolución. - Consideremos una sección meridiana de la superficie de revolución entre 108 límites x = a, x = b. Se trata de calcular el área de la superficie que engendra ese arco alrededor del eje x. Dividamos el intervalo [a, b] en un cierto número de partes, y tracemos tangentes a la curva. en ]os puntos de abscisa media
E..í b La superficie e ngendrada Flr,-, 168, por cada lado es un tronco de cono de área: 211' y l, siendo 271' y la longitud de la circunferen(fig. 158).
+
cia media y l la apotema, cuya expresión es V d %2 d y2 = = vi 1 y'2 d x; luego, el límite de esta suma, que se llama (cfr. vol. JI, § 84-4) área ele la superficie de revolución, es:
+
A =- 211'
f
b
y
..J 1 + y'l!
b
.d
x = 2". J y. d 8,
Q
•
+
representando brevemente por d 8 el infinit ésimo vid X2 d 1¡2, cuyo significado geométrico es el trozo de tangent e limitado por las ordenadas que distan d x (§ 55-1, b). E JEMPLOS: 1. Calcular el área de una esfera, E stá engendrada por una semicircunferencia, de ecuación
~.
de donde:
+ '11" = r,
y ;:::
..¡ "'-x",
Aplicando la fórmula anterior, resulta la conocida expreslOn 4'11' 1"', 2. Área de un paraboloide de revolución: Sea la ecuación de la meridiana de donde: y' 2 p,,;, 11=~.
=
Se tiene para el área entre A
(2/3)
'11'
11:
= O Y =el: Q;
\rp[(2 a +l)~/~ <_ 1l 3 n].
XV, APUCAClONES GEO~tÉTRICAS y FÍSICAS
§ 54 -Ej.
EJERCI CIOS
Área del lazo encel'rado po"!" la CUl'va a(y' - x') + x' = O. Área bajo unn ffi\da de cicloide (§ 34-6 ). Area de la cardioide r == (J, (l + cos q¡) , Area limitada por la cm'va r == 8 a. cos <¡J sen" 'P. (O <: qJ < 'Ir 12 ) , Sea la curva cerrada ¡t Y2a cos ~ t sen t; y = V2 a C()S ~ t cos t, (O';;; t '1" 4 'Ir ). / Obtener. mediante [54-8], el área A encerrada por la curva recorrida ---positivamente. Obsérvese que así resultan dos lazos c()ntados doblemente. Obtener también eJ área 8imple A. del plano limitada por el contorno exterior de la curva, a.<¡i como el área Al que resulta de agujerear A. pOI' ambos lazos. . 6. Volumen del s6lido engendrado por un circulo de radio r al gIrar alrededor de un eje de su plano, a distancia a T de su centro ( t m'o), 7. Volumen limitado por el p a raboloide elíptico z =( 2:"1a~)+ (y'lb') y el plano % %., 8. Volumen del conoide recto de altura a y base circular de radío T . (Considérense secciones planas formadas por triángulos is6sceles de altura a y bases que son cuerdas perpendiculares al diámetro paralelo a la arista superior del conoide) . 9. Volumen y área engendrados por una onda de cicloide (§ 34-6) al girar alrededor de 8U recta base, 10. Área de la superficie del eli psoide de revolución, alargadO (a>r = b) y nclu1.tado (a
=
>
=
§ 55. RECTIFICACrON DE CURVAS PLANAS 1. ümgitud de un arco. - a,) Curva plana unifortne. Dado el nrco de curva plana unüorme: [55-1] . y = f(x ), (a < x
dentes.
DEF.: Longitud de un arco es el extremo superior (§ 23-14) de los perímetros de todas las quebradas inscritas en él. Cuan-
do este e)..1;remo es finito, el arco se llama re ctificctble " cuando 00, o sea, coando hay perímetros ~u'bitraria el extremo es mente grandes, se dice que el arco no es re ctificable, o mejor, que tiene longitud infinita. La operación de calcular la longitud de un arco se llama
+
rectificación. Admitiendo por ahora que f(x) tiene derivada continua en el intervalo cerrado [a, b], probaremos que existe, y que es' igual a una integral definida. el límite de los perimetros cuan-
~
lili - 1
733
flF.<'TU'JI.'ACrÓN I"lK cunVAM I'LANAH
do tienden a cero las normas de las particiones [55-2]. Como al intercalar nuevos vértices el perímetro no puede decrecer, dicho límite será la longitud 8 del al'CO (Cfr. l1ot-a 1). La lon,ótud de cada lado es : c, = P l - 1 Pi = -/ (x; - ~lP (y, - YH)2~ :v como por el teorema de los incrementos fini tos (§ 35-1),
+
1h-Yi-l
resulta : _
=
f'(~¡) (Xi-Xi-l ),
•
< " < x,),
(:rH
c. = ~f' (E.) 2 (x, - Xi- l)Cuando tiende a cero la norma de la partición [55-2], el límite: 8 = lim ¡ ci = Um ~ VI f'(t.) 2 (Xi - Xi--,) existe, y es (§ 48--3) la integl'al defi nída de la funció n continua \Ir¡ fT(a~) 2:-
+
+
[55-3]
8
E.TEM PLOS:
= J~ 1 +f'(x) 2.d x.
..
1. Rectificar un al'CIJ de la parábola : x'
= 2 1) y.
La fórmula [56-3] es: 8
==
JU -.,¡
1
+
JI",
f'\r1
d!t =
o
+
(:r:/p)'.
d~;
u
calc ulada la primitiva (§ 52-2, b.) y sustituyendo 108 límites resulta, teniendo en cuenta que (v'~+x) (\/~-x)=p';
a
2p
Vr +
(l"
+ ~
In \1 p'
+¡'-+~
2, Rcctifiqucse la CUt'va catenaria. cuya ecuBci6n es: 11
=
~ ( e"
+ e--).
Aplicando la fórmula resulta: y' 6 (e"-e-O) . 1 1/" = t (e" 2 + e--Sa), q ue es un cllRdr~do perf('eOO; luego, J ~ (8" e--) dx = ~ (e" - e-O). f'_X1.lI'esión q ue limitada en tre las abscisas extremáS, da la longitud del ano, Utilizando las funciones hi"erb61ieas, tenemos: iI = eh x y' = ah:a: .1 + y" = ch' ti: ; luego, V 1 + y " d re = f eh '1: • do::::: ah x,
=
+
+
+
s
3. La curva ~ntinua 'lI = :1.: cos : r 11(0)== O, en O" x " 1, no es rectificable, }Jorque y(l/n)=( - l)"/n, y entonces la longitud de la quelll'ada, cuyos vél-tices tienen abscisa l/n, es: ~ ('; ~ I Y (lln) 1--= ~ l/n, tan gl'ande como se quiera, por sel' la 8\lrna }larcial de la serie atm6n ica, que es divergente (§ 22-1, (T) , Esta curva tiene derivada continua en [O; 1]. pe-ro no acotada, y la integral genet'alizada (55-3) resulta aquí di \1cl'gente (§ 50-4, b), 4.. La función de CANTOR (Cap, IX, nota VI - b) tiene del'ivlIda
>
734
XV. APLlCACIO)\;ES GEOMÉTRICAS y F[SlCAS
f'(~) nula, lIalVO en el conjunto ternario de nula, (§ 60-~, nota S), y en consecuencia.
JJ
"1
+
CANTOR,
§ 65 -1
que es de medida
f'(;1') ' d u' :::: 1-
o
En eambio, la longitud de la curva es 2, pues toda quebrada tiene longitud menor que 2, pero aquellas cuyos vértiCes son los extremos de lO!! segmentos donde f(x) es constante, tienen longitud tan próxima a 2 corno se quiera. Obsérvese que no se cumplen las condiciones dadas para la validez ----"" de [65-8]. NOTA 1: La validez de [65-3] subsiste (§ 48-3, d) si f'(x), conservándose ac.tcda, deja de ser continua o eJlistente en an número finito de puntos de [n, b]. La acotación de f' (x) se asegura si suponemos que los puntos de [a, b] en los que f' (x) deja de ser continua, son puntos angulósos (§ 30-5) con derivada lateral continua.
b) Diferencial de a'rco. - Si en la curva y = f(x) consideramos un origen fijo A (a, f (a», éste, conjuntamente con el punto M (x, f (x», variable sobre la curva, determinarán un arco A M, cuya longitud, llamada abscisa curvilínea. es. bajo la hipótesis hecha en a) : [65-4]
8
= s(x) = J ~ 1 + f i (t)2 d t. D
Su derivada es. en los puntos de continuidad del integrando, igual a su valor en el extremo superior variable (§ 50-1). Y entonces su diferencial, que llamaremos diferencial de arco,
ea:
+
+
[65-5] d 8 = V 1 f' (x) 2 d x = vi d X2 d y~ . Por consiguiente. d 8 está representada por la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos d x y d y, y recordando el significado geométrico de d y (§ 34-2), resulta: d 8 es el segmento de tangente a la CUr?)(l, comprendido entre las abscisas x y x d x. e) Curva plana general. - La definición geométrica dada en a) subsiste para un arco de curva plana cualquiera; si ésta se da en forma paramétrica, [55-6] x = x(t), y = y(t); (TO <: t < TI); a cada partición del intervalo [TO, TI] : [55-7] '-0 = t o < tI < t 2 < ... < t n -! < t n = T1 corresponde una quebrada inscrita. cuyos vértices deben considerarse en el orden indicado por [55-7]. Admitiendo también ahora que las funciones [55-6] tienen derivadas continuas en [TO, Td, probaremos que el arco es rectificable, subsistiendo la segunda expresión [55-5] de ]a diferencial de arco, que podrá escribitse también: [55-8] d8 vi x'(tp y' rtp d t, Y pOI' lo tanto:
+
+
§ 55 -1
735
RECTIFICACiÓN DE CCRVAS PLANAS
r
TI
[55-91
\/xi(tF
8
+ y' (t)2 d t.
TO
En efect.o, com paremos el infinitésimo \ 1 x" + y'" • IJ. t con la cuerda, forman do su diferen cia: () :::: V IJ. x' + IJ. y' - ,1 d x' + d y~ Que puede considerarse como diferencia de longitudes de dos vectores. la cual 110 supera a la longitud del segmento que une sus extremos, ni ésta a la suma de las diferencias de coordenadas, es decir, p;¡ 11I x - dxl + IlIy-dyl I X'(T.)-X'(t) I dt -1- IY'(T¡)-y'(t)1 dt. Siendo contmuas las derivadas, y por lo t.anto (§ 26-6) uniformemente continuas, estos incrementos son < e para todos Ins incrementos d t suficientemente pequeños; luego, resulta I 8 I < 2 e d t El perímetro de cada poligonal inscrita e!" 1: V"t:;. IJ. il :::: ~ Vx" + y ,j'. ll. t ~ 8, donde:
=
<
=
+
1~81
+
<
2e(T,-To),
y como este s egundo sumando es arbitrariamente pequeño, el limite de la suma de cuerdas es igu al al límite de la segunda suma, es decir, la integ ral [55-9], de donde r esulta [55-8] . NOTA 2: La validez de [55-9] su bsiste (§ 48-3, d) si las derivadas x'(t) é y'(t), conse}'vándose acotadas, dejan de ser continuas y aun exist entes en un número f inito de pun'.'s de [Ta, T,]. Caso partiCUlar es el de los puntos angulosos (nota 1). EJEMPLO 5: Cicloide. La fórmula [55-8] aplicada a las ecua ciones de la cicloide (§ 34-6), da: d
¡¡
=
cuya prinlitiva es -
T
v'"2{i"=- cos t) 4 r . cos t/2.
.
dt
=
2 t· . sen
-J.
de,
Por ejemplo, la longitud de una onda
es Sr. NOTAS: 3. Criterio práctico par a las CUTvas uniformes. Si la f unción uniforme y=f(x) es creciente en (a, b), como la longitud de cada cuerda es menor que la suma de y lA 1/1 , el perímecatetos 1t;, x I tro de la poli gonal es inferior a la suma de t odos estos incrementos . ..fue vf;le (b - a) + [f(b) - - f (a ) J. La curva es, por lo tanI ' to, rectificable, y s u longi tud es 'MI' mI'. 2· m2: menor que es ta cota. Lo mismo x si la función es decreciente. Si a se compone de un número finito de arcos monÓt.onos, es por lo tanF'ig. ¡59. t o rectificable; y para acotar la longitud, basta aplicar a cada uno la acotación anterior, y resulta como suma de incrementos (fji('. 150) :
+
\
:
I
. .
=
~IJ. :¡: b-a; (M.-n~) +
+
~ I Ay 1:::: [M,-f(a)] + (11,-m,) + (M.-m.) + ... + [f(b)-m f(b)-f(a) + 2~(Mr-m.). n]
:::::
suponiendo, por ejemplo, igual número de máximos y de mínimos. Cada peTImetro es mayor que esta suma dE' orden adas, y menor que la misma sumada con b - a; luego, resulta este cri terio sencillo : Cuando un arco uniforme en [a, bJ /le descompone en infinito8 arco.
736
xv. APLICACION Es GEOMÉTRICAS y FíSICAS
monótonos, la condici6n necesaria y suficiente es que se conserven acot4das las sumas
pOJ'rCL
!i [ir; -1
que ¡¡ea r6ct'ifieable
}; (Mr-?nr) .
En particular, si los máximos son "positivos y los mínimos negatlvoB, resulta como condición necesaria y suficiente la acotación de las sumas }; 111" }; 'n1r, o sea, la convergencia de las series. En el ejemplo 3, estas series son divergentes, y por eso el Elrco no es rectificable. En cambio lo es 11 ~2 COS w /:J: en cualquier intervalo, pues las series de máximos y de mínimos son convergentes. 4. No se confundan los infinitéSlffios c:::: V ÁfAjl+Ayc; Á8j ds= V d x'+ d y8; cuerda, arco, y trozo de tangente (b). Los tres son equivalentes (e y ti s por la demostración de (e); A 8 Y d 8 por § 34.-3); en especial, con las hipótesis hechas queda demostrado el teorema: La razón de '1tn aTCO infinitésimo o. su C'lt6'rda, tkne por límite 1.
=
2. Vedor ds. Cosenos direct.ol'es de la tangente. - Llamaremos vector difere?wüzl de arco d S, al vector de módulo d s (§ 65-1, b), dirección tangencial a la curva, y sentido el de recorrido sobre ést a (arcos crecientes). Sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas serán, llamando 'P a la inclinación de la tangente: d x = d 8 COS !p, d Y = d 8 sen tp. Las expresiones:
S'
P' ......... - - - - - - -~, ,, I
[55-10]
'::p ~ .. \, I
dx
"
~_B+-_-,--'
cos 'P
=
ds' sen
dy
'P =
ds
\
b
se llaman cosenos directores de 1a tangente (el segundo es el coseno del ángulo que la tallgente f orma con el eje 01/).
I I
o
x a
Fill. 160.
3. Rcctifi(!3ción de la elipse. Int.egrales elípticas. la ecuación de la elipse: :¡;z
a:
a)
Sea
ye
+ ---¡;;
1.
Podemos h acer (fjg. 160 ): x = a sen t, y = b cos t. El valor d 8 2 = d x 2 + d y2 se calcula así: d x = a cos t. d t d y = - b sen t. d t, [55-11] d 8 2 = [aZ cos 2 t+ b2 sen" t] d t 2 • Llamando le a la excentricidad, le = e/a = Jr-a--=-2-~-----=-b-=-2/a. resulta: (J.2 _ b2 = k 2 .a2 , y reemplazando en [55-11]:
737
d 8 3 = [al
=
16r.-12]
+
t a sen: t - a: Ic~ r,¡en~ a'.! [1 - k 2 sell~ tl d t 2 •
COSa
8 =
a
J
2
tJ
rJ
t~
VT= k~ sen2 t.d t.
IlIll!JP'al que da la longitud de un arco de elipse. 11) Integrale8 elípticas de p1'imem y segunda especie, - En Análisis lIullIJrior Be demuestra que no existe ninguna combinación de f unciones
,,1..III1I1Ln)ea que sea primitiva de la función V 1 - k· sen" t, p er o la funj\ I'~ 1I Ilrimitiva existe, 'i se puede calcular n umérica y gráficamcl1te. Ur. hll"1I mótodo es desa l'rollal' la f unción (1 - Ir' sen~ t) a en serie binómica (O 46-6), que resulta uniformemente convergente, e integral' término a \. mIlitO (cfr . vol. ll, § 85 ), acot ando fácilmente e1 error cometido. La integral [55-12] se llama eli.ptica, y es una combinaci6n linea'! de In" llamadas integrales eJíJlticas de pl'im era y segunda especie (según la 1'1.~e de singularidades de las funciones integrales correspondientes) . A. LEGENDRE estudió y tabuló las integrales ' siguientes :
~
=:
J-
o
d
t
V ( l - r ' ) (l - k' r')
.. ,
l~
-
-
f
•
>--
~~'-,d::"":!'----=:=-::--:---7
VÚ - f) (I - - k' r O) · 2~
11!- especie
especie
La fun ción inversa de la primera es la llamada f unci6n elíptica de snv.. (seno elipticc), que AB'EL demostró es doblemente perilltlira en el plano complejo i para k = O se convierte en la circular • sen u. Así, pues, una función elíptica es inversa de una integral ..lIplica, y no deben confundirse. Para !: sen t, d l' cos t d t, se obtiellen : t dt ., K (t,k) = ----= - .- .- . E(t , lc) ;::: vl-k'llen"t dt, V l - 1i' s en· t ' ,JACOBI, z ;:::
=
=
J
J
•
que E es combinación linea] de la s antel'l
=
¡tora
d=
l.
Sea la elipse de semiejes a = 2, b = 1 e = Vs, Su excen tr icidad es k ::: ~ V3: luego, a = 60· . Para rectificar el arce lim itado por las a bscisas :l: = e, x = 1, calcu· loremos t por la fórmu la : 1 ::::: 2 sen t, de donde: t ----= 3(}b • El valor dado por las t ablas es : 0,506; luego, la longitud del arco es 2, ¡},506 = 1,012. La longitud del cuadrante se obtendr á para t = 90°; las tablas dan 1,211 ; l ueg:o., la longitud del cuadra nte es 2,422 . E J E1;IPI.O :
4. Curvas planas en coordenadas pola.r es. - Si las coordenadas pola res, r, '1', son f unciones de un parámetro (en particular. si r es función de '1'), también lo son las coordenadas cartesianas : x = r C08 '1', y = r sen '1',
XV, APLICACIOl\ES GEO Mt'rRIt'AS y Fi~KAs
738
§ 56 -4
y
SUS derivadas son continuas si lo son las de r y 'P; luego. Ja curva es rectificable, y su longitud se calcula así: d x ;: cos ~ d r - r sen ~ d '1, d Y = sen If d r r C08 'P d r;; d 8 2 = d r 2 r 2 d r¡2 = (r 2 1"2) • d ~2;
+
+
+
'P2
[55-13]
8 -.
JVr + r'2 2
d ~.
'Pl
Obsérvese que d 8 puede considerarse como la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos infinitésimos sean d l' Y r d 'P (hágase la figura). EJEMPLOS: 1. Cardioide: r::::2a(1 +C05"). Longitud total: 16a. 2. EBpiral logaritmica: r = a . e 'YIPP • Longitud:
+m"- (1' . - r,). -V I-'--
'"
5. Curvatura de curvas planas. - Llamaremos Clll'Vatm'a media Cm. de un arco A B y (fig. 161), al cociente del ángulo 1:1'1' girado por la tangente desde A hasta B, por la longitud del arco A B : b.'P
C'" = .l s y curvatura C en el punto A. al límite de la curvatura media de] arco A B cua'ndo B tiende hacia A, o sea
x Fi", Hl.
b.8~O:
e = r1m
[55-14]
a~
'b. s
d 'P
=o
d s'
Como por el significado geométrico de la derivada (§ 30-4) es 'P = arc tg y' se tiene: d 'P = d are tg y'
=
1
+1 y'2
d y'
=
1
+y"y'2
d x.
Reemplazando en [55-14] esta expresión y la de d resulta: [55-15] e= que expresa ]a curvatura a En la circunferencia, el es igual al ángulo central a resulta: a e m
= R .a
y"
+
8
[55-5].
(1 y'2) ~/2' partir de la ecuación de la curva. ángulo de las tangentes en A y B (fig. 162), Y como el arco es R a, l
=
,
R ' .'
e
1
=
R'
'73H
- i)
'por eeta. raz6n se flama radio de CUf'vatura p de una curva un punto a l /C. por ser el radio de la circunferencia que l ' en el punto igual curvatura. Es decir: (1
1'5-16]
p
+ y'2 )'/~ y"
Entonces (§ 40-6) : el radio de curvatura e8 igual al radio • lu circunferencia osculatriz a la curva en el mismo punto. NOTAS : 1. La definición de ' IIrvatul'a puede darse para curVIUI (no tl~esariamente uniformes) ,rtull'ntadas en forma paraméIs 1:11: :c;::: x (t), y y ( t). Debe hAII.I'~e el limite para t:.. t - O (y 1111 Ilnra B A, pues la curva pue,hl tVfWl'se a sí misma' en A), Se boUI\ 881, como radio de cUfvatu· rll. el de la circunfel'encia oscuIlllriz, en forma p a r a m é tr i c a I ~
¡
=
Fig, 162 ,
=
EJEMPLOS : 1.. Curvatura de la parábola ~ 2py, en el vórtice. La murvatura ea (nota 2) : fiN = l/Pi luego, p = p. E l ,.adio de c:wtIcsfurcs en el 1J4rtice es i gtlGl al parámetro p. Dibujada una parábola (fig. 168) tenemos, pueB, el diámetro de la elrcunferencia oBculatriz, buecando la ol'denada igual a la abscisa tl::::: 'JI, para lo que baeta trazar la bisectriz. El punto medio del r adio eB el foco,
S
Id
x
I I
M
I
Q' Fig. 163
F iJ,:.
1~4.
La abscisa x de la curva corréspondiente al foco, es decir, la perpendicu· lar al eje limitada por el foco y 1& curva es preciumente el radio 'P = p. 2. CUr1Jatura de la elip3e. Las ordenadas de la elipse son las de l. circunferencia de radio a, multiplicadAs por b/(/, ; y la derivada y" queda multiplicada por bl(l; como la curvatura de la circunferencia es 1 : (1, la curvatura de la elipBe en el vértice B (Ílg. 164) es, por lo tanto, bla'; luego. el r adio de CUl'vatUl'8 es a' lb. , Cambiando las letras, el radio de curvatura ,en A es b" I a.
740
xv, APLICACIONES C.€OMtTRICAS y .I:' ÍB¡CAS
§ 55 -5
Ctl1l8tr'ucción: Desde \mo de los vértices del l'ectángulo cITcunscripto se traza la perpendicular a la diagonal; sus intersecciones con los ejes son los centros de cUl'vatura, como fácilmente se demuestl's por semejanza de triángllloa, Puesto que la ronstrucción de las cuatro circunferencias osculatrices es tan sencilla. y la curva tiene con cada una un arco que coincide sensiblomente, basta completal' estos cuatl'o arcos eon una regla flexible de acero para tener la elipse, mientras que laa construcciones compuestas de al'COS de circunferencias tangentes dal1 un y ovalo nada parecido a la elipse, pues su cllrvatunl es función cliscontinua. 3, Hipé?'bo/a, Para calCulal' el radi~l--/ de cUl'l.'ahna en los vértices (§. 55-'7) de una hipérbola, adóptese y como variable independiente. y dOl'ivando dos veces, resulta: p ~ b~/a, Basta, pues, t r a zar desde el punto (a, b), que determina una asíntota, la perl)eudicular a ésta , y corta al eje x en el centro e de curvat ura. Para el vértice de la hipél'bola equiláx tera. x ti = k", resulta Fil>:, 1Gr., p = k "2:::;:: O A (fig, 165). 4. SinmoúU ti = sen;c. La derivada segunda es y";;: - sen ~; la curvatura en los vét-tices (§ 55-7 ) vale 1 y el radio de curvatu.'a p::=. L Como el contacto con la circunferencia osculatriz es de tercer orden, hay un arco de sinusoide que sensiblemente coincide con la circunferencia (fig. 166). Además, la tangente en cada Jlllnto de intersección con el eje 2:
o
FII!:, 166,
forma ánf('l11o ::: 45° • Y conto tiene COlltacto de segl1udll Ql'rlen, también hay un trozo de sinuBoide que sensiblemente coincide con la tangente. 5, La cicloide tiene las ecuaciones (fi 34-6): fI: = ,.(t-se:nt), ti = r(l-eost). En el vértice (§ 56-'7) t = 'ir resulta:
,z'=2r,
11=0,
(&"=0,
tl';;:-r;
lue,go. p=-4",.
6. Curvatura en coordenadas polares. - Dada la e II r v a r ('f) en coordenadas polal'es, basta sustituir: x = l' • coa 1": x' = ---r . sen 'f+ r' . cos tp; y = r . sen \p; y' = r. cos 'P --t- 1" • sen ~ : y. análogamente x". y". Simplificando, resulta = J' =
KI" "I'lt'I(:AI ' IÓN Ilbl CUJ(\lAIII I·I.AN~
'141
.1
('1.~
[55-17] EJEMPLO:
r =
7'"
+ 1"~ )"-
+ 2 7"" -
Espiral logat'itmica:
1"
l' ,,,.,
=" etn.
Simplificando, resulta :
vi + 'm'. El radio de tlurva.t ura cs JWop01'"cional al radio vector.
p =1"
7, Vértices de la5 cuna."l en general. - Al moverse un punto sobre la cUl"V& 'JI f(Q:), la curvatum varia con :;c¡ los puntos en que a1eanza valores máximos y mínimos sin anularse, se llaman vértices de la curva. Si el radio es máximo o ntinimo, también lo es BU cuadrado; obtendremos sus máximos y mínimos resolviendo la ecuación: y"'. 3(1 y'S) , .21/' y" - (1 + y'")" • 2y" '11'" = O, o sea: 3 'JI' V'" = . (1 + y'") y'" . El factor suprimido, y", igualado a cet'o. representa los puntos de inflexión, donde la curvatura alcanza. su nlinimo ce1'Oj pero éstos no se consideran como vértices. Si la cu rva es simétrica respecto del eje 11. toda intersección con dicho eje es un vértice. y siendo además y' = O, resulta 'JI'" = O lo m i.!lmo que en la circunferencia oscl,llatriz, que también es simétrica; por 10 tanto, el contacto es de tercer orden. Más general, consideremos la circunferencia oscu]Qtúz en un vértice de la curva. Derivando por tercera vez la ecuaciiln de la circunierencia (§ 40-6), resulta: ('II-{1)y"' + 11'11" + 2tt'y" O, Y sustituyendo el valor de y-P, resulta. para y/" el valor: 8 '/J' 1/'"
=
+
=
l+ 'fI" que es el mismo valor que resulta en el vértice de la curva; luego: En l08 'Vértices (le una CU?"l-'o, el contacto con su circunferencia oscu.lat.,.;z cs ele O1'den s?/.1JcrioT al scgundo (§ 38-8, b).
8. Evoluf.a. - a) Se lla.tna tlvoluta de una curva C. al lugar r de los centrOl! de sus circunferencias osculatrices. La curva dada se llama flvolvente de r . Tomando ~ ('omo parámetro, las ecuaciones [40-16] dan paramétricamente las coordenadas, a, P, de 1013 pUlltos de la evoluta. Dividiendo la }lrimera por la segunda resulta (y - 13) I (rx: - a) lh/. es decir, el punto (a, {3) está sobre la normal a la curva, como ya Rabia· mos, Jl()r tener ésta y su circunferencia o!!culatriz la miBn18 t.angente. !! 111 que es normal el radio que determina su punto de contacto. El coeficiente angular de la tangente a la evoluta viene dado por:
=-
d
y'
{J
do:. ::::
1-
y~
+
D,
1 .+. V'" 11"
1 -1- V'!.! " y 1 y"
, 1 '11 D.
+ ~y
"
!J''':
:=
+
- -- ~""!:._~-~(-,(, D '1 + y" - y 11 +. 'JI"
) -
1 --" 'y
que coincide con el de la normal a la cu~a. Por lo tanto, Uu! norma.l!:'!! o la evolvente amI [c/s to,'ngenlea a la ev oltda. Veremos en el volumen n (§ 74-1, b) que dada. tilla familia de lIne.s!> dependientes de un pan'lll1etro. si existe una curva tal que en cada uno de sus puntos es tangente a una lin~ de la f"mili~. dicha cllrva se llama Ott1o/'\le-l lle de la familia.
7-12
XV. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y F(SlCAS
§ 55 -8
Asi, pues, acabamos de probar que la et'Olllta es f!11.l olvente de la familia de nOTmales tI'azadas en cada uno de l()s puntos de su evolvellte. b) Si la curva está dada en forma pal'amétl'ica, sustituyendo en [40-16] las expresiones [40-18) y [40-19] de y' e y" resultan lES eC\lR' ciones Ilaramétricas de la cvoluta en la forma: , :1:" + ¡/J (1;'. + 71'1 [65-18] a = :¡; - 11 ~'1/" _ y' x'" {3 = y + X' ~r y" _ '11' x" , que también pueden escribiroo, haciendo figurar el radio de curva. ~ ul'a : [56-19} el X : - p y' (x" + y") .,. fl = '11 p x' (x'~ + '11")-" ".
+
=
la cicloide :¡: ;:; t sen t, 1I 1 - cos t. las ecuaciones de la evoluta Bon, por [65-18]: «::::t+sent, P = - 1+cost. EJElliPLO:
En
=
Con el cambio de parámetro 'T:::: t-'1T, se obtienen las ~cuacj~nes; « - 'Ir =: 'T - sen T, (3 2 = 1 - cos ", que prueban que la evoluta es también una cicloide, obtenida de la cicloide dada por traslación, e) Usando como parámetro ]a abscir:;a eur.. iUllEa s, Sé tiene: [65-20] ;1:" + 1/'. = 1, ¡t':«:" 'JI' y" = 0, ' y entonces [65.19] se escribe: [66-21] a ::: ~ - (J 'l/o {:3 = 11 + ,,11;'. Como en virtud de [55-20], la expresión de la curvatura (§ 40-6) Be reduce a l/p == 1/"/1&' x"/y' . de donde p y" = z', P re" . = - V, resulta de [55-21]: . [55-22J a' :::: - p' y', P' = p' g;' • Si ahora indi<:l\mos con u la abscisa cur'v ilínea sobre la evoluta. ten· dremos:
+
+
=-
o_ ( .~) ds -
u""
=
a"
...L
"
{3'2
y por [65-22J y [55-20]:
[55-23]
g'J
Fig. 167,
== p";
de nlodo que si p' no cambia de signo y elegiTllos convenientemente el sentido en la absciBa curvilínea a, tendremos a' = p', e integrando, a, - (T, = p, - p.: la [Ol'l.git?ld de un arco de evoluta ent)·« d09 pun tos es igual al valor absoluto de la diferencia entre los cQrnls polldientf8 racHos de curvatu,'a., siempre qll.8 p' no cc¿"1I,¿bi.e ele signo en el arco. Esta pl'Opiedad permite efectuar una const.rucción mecánica de evolventes de unn linea r: si imaginamos un h ilo ine:xtenslhle, alTolIado sobre la curva r y prolongado tangenciahnent e a ella, entonces al desarrollar el hilo, un punto de su pl'ol ongación describe una curva C (fig. 167) evolvente (l at . evol1JlJre: deSBl'rollar). Tomando diferentes puntos del hilo. se obtienen las infinitas evolventes de \lna curva 1', considerada. como evoluta.
KEC1'WlCACIÓN 1l.K CIJIlVAII .'l.ANA8
9. Variación total y longitud. - (() Vn-riación total. - al) lntimamente ligado con el concepto de longitud de un arco está el de variacion total de una función y = f (x) en un intervalo [a, b], Dividido éste pOI' los puntos: a = X o < Xl < X2 < .. . < X"- l < X" = b, llamemos Yo = f(a), Yl = f(Xl), •.. , a ]08 valores correspon~ dientes. DEF.: Variación total de f(x) en [a,b] es el extremo su~ perior de las sumas $ I t.l.y I ocorrespondientes a las diversas pal,ticiones de [a, b] por puntos intermedios. Cuando estas sumas están acotadas, la variación es finita, y en caso contrario es infinita. En el primer caso ditemos también : hmci6n de variación acotada.
Obsérvese que : [55-24] "1.t.l. y
=
(Yl-YO)
+ ... + (1J,. -
=
Y n-l)
f(b) -
f(a),
pues los incrementos se suman con sus signos. E n cambio, por la r egla del valor absoluto: [55-25] I f (b) - f (a) I < ~ I r::. y I y solamente vale el signo = cuando la función es monótona, Estas sumas l: I r::. y 1, están acotadas inferiormente, pues son 00, que hemos llapositivas; y su extremo superior finito ó mado vm'iaci6n t ota.l, se desig¡1a así: o
+
Val> f(x) E.TEMPLO: La misma demostraci6n dada en § li5-l, ej. 8, prueba que paTa la función a: cos 'fT'1a: es infinita la variación en [O, 2] Y en todo intervalo que contenga el origen. Lo miSDlO ocurre para x'cos('7T/ a:t ) que es continua y oder ivable en x = O, supuesta nula en este punto. Sin embalogo, la del'ivada no es continua ni acotada (nota 1). ~) Si en la suma ¡ I t.l. Y 1 , cuyo extremo superior es Vah, se consideran solamente los intervalos en que es A 1/ > O y es P" su l'Ouma, o solamente' aquellos donde A y < O, Y es N Ol su suma, resulta: [55-26] ~ r::. y = Pn ~ N n = f(b) -f(a,), ~ I t. Y 1= P" N". Los extremos superiores P y N de las sumas Pl1 y N,. se llaman va?'iaci6n pOBitiva y va'riación negativa. Vel'emos en nota 1, que tanto éstas como la variación total son los limites de las respect ivas sumas, al tender a cero la n9rma S de la partición; resulta entonces de [55-26]: [55-27 ] f (b ) - f(a) = P - N, V"b f(x) = P + N. b) Criter'io de JORDAN. - Con objeto de ver la Íntima co~ nexión entre longitud y variación total, vamos a referirnos, para f ijar las ideas, a curvas planas, y utilizando afijos complejos z = x + i Y -para los -puntos de la curva, se tiene esta acotación: IA:t I <: i L\ z I <: Ir::. x ! I r::.y l· ! I t.l. xl <: l: I t.l. z I -::~ I t.l. x ! II t.l.1I1;
+
+ +
xv.
744
APLICACIONES GEOMBTRTC AS
y
§ 55
FíSICAS
~9
análogamente si en el primer miembro se pone l: I .u y 1; luego, 1lJ. Z I e:;tá acott-lda si lo están :¿ 1lJ. x 1, ~ I Á y 1, y recíprocamente, e.'< decir: TEOE.: Son rectificables las C~trv(t.8 definwas por funciones continua.s de 'I.~ariaci6n acotada, y sólo ellas. En particular, son rectificables las curvas definidas por una función monótona (por ejemplo, la curva
l:
NOTAS: l. Las curvas con tangente ccntinua en el intervalo terrado [(1. b] cumplen el criterio de JORDAN , pues puede aplicBTse el toorema de) incremento finito (§ 35-1) para establecer, por ejemplo: ~IAY I fMáxly'(t) I ~. (b-a), para t~[a,b], existiendo el máximo de y' (t) en la, b), según vimos (§ 26·5) . 2. El criterio de JORDAN, aplicable a clases de curvas más Amplias que las estudiadas en § 55-1, e, justifica se amplie el concepto de intevaI como ha r ealillado LE&ESGUE (ver Cap. XXIV ) , y es ésta tilla de sus irnpcrtantes aplicaciones.
<
e) Propiedades de la va.n ación y de 14 longitud. mediatas las siguientes: 1~ La variación total es positi'va, excepto si f(x) en cuyo caBO es nula. 20. Si a < b < e, es Vab f(x)
+
Vbc
f(x)
=
Son in=
const.,
Ve" f(x) .
Porque adopta.ndo b como punto de divisi6n, la suma 1: I 11 iI I sobre [a, e] es la suma de las correspondientes a [a, b] y [IJ, e], y su e~tremo I!1Ipenor, con b por punto de subdivisión, es la suma de los extremos de éstas; por lo tanto, V .. :> V.' V.e. Por otro "parte, a cada partición de [a, el corresponden otras dos de [a, b] y [b, el, obtenidas agregando el punto b, de manera que 1: I A 1/1 sobre [a, e] no es superior a la suma de las coneSlJondientes a [a,b] y [b,c], y por lo tanto, Va' ~ V." V,C. De ambas relaciones opuestas se deduce la igualdad que queríamos demostrar.
+
+
3(1. Si el int€rvalo [e, d] f moma parte del [a, b], es: V"df(x) <: V"bf(x). Todas estas relaciones subsisten para la longitud Lilb f (x) • pues la.s propiedades del valor absoluto valen en el campo comp)ej(), y es L } f(x)= extrsup! I t,. z I = VobZ(X) pal'a la función compleja de variable real z· ( .t!) = X i f(x). La longitud sólo es nula cuando la cUt'va se reduce a un punto pues sólo entonces es z(x)=x+if(x)=de., al110 variar x, y se aplica llil. No sucede 10 mismo con la siguiente: 4" Veb [f ( x) g(x)]
+
+
NER) :
+ +
+
+
+
~ fi/)
-Ej.
745
V. Lz, +.z.] ..; V.'z. -1- V.'.z. 6
[55-28]
+ !loo) ..; L.' ~ + !..·:to. donde z. y z. aon los afijos complejos de las curvas 11 =:; 1 ( :11). '11::; g(a;). correspondientes a un mismo x: [65.29 J z, (.r) .= x + i f (x) , z. (x) = x + i g(:c ). La desigualdad [55-28] im pliell que la curva "promedio", y = Hf ( x ) + + g (x) ], tiene una longitud que no supera a la media al'itmética de las 10ngitudes de las curvllS dadas. por lo que se dice que la longitud goza de la propiedad de convexidad. E n efecto, Vo· (z. + z, )= V:{2 x + i [f(x) + Lo'(~
+g(z)H=2Vo'~x + i f~g~ = 2 L~' f~g
= Lo" f (x)
~ V:Zl+V.'Z.=
+
L.· g (x ). La desigualda.d de S TEINER t iene implicaciones notables e interesantes; además. una de las causss de las dificultades que se presentan en el caso del área de las superficies a labeadas. se debe a que en ella no subsiste dicha propiedad.
d) Descomposici6n de JORDAN . - Si se fija a haciendo variar el extremo ~, resultan para la longitud y Jas variaciones positiva, negativa y total, funciones de x que designamos así: L(x),
P (x),
N(x) ,
V (x),
respecto de una misma función f(x). Como las cuatro son mayores o iguales que cero, resulta, de la aditividad respecto del intervalo >le, que son crecientes en sentido amplio. Las descomposiciones [55-27] adoptan abora esta forma: f(x) y
=
f(a)
+ P(x)
-
N(x), V(x ) = P(x)
+ N(x),
l'esulta:
TEOR.: Toda función de va'ria,ci6n acotada, es dtfereneia, de dos funciones crecientes. Recíprocamente, si es f(x ) diferencia de dos funciones Cl'ecientes, como éstas son de variación acotada:
.I I ~ '1 I = .I A
=
+
==
J
§ 55 -Ej.
XV . APLICACIOl\""ES GEOMÉTRICAS y FíSICAS
ella. Verifical' que para B = b = de § 64) .
~ ct
se obtiene la cardioide (cfr. ejereicio S
,.
4. Probar que (§ 5ó-S, b): E (are sen
le) =
%,
fV
_/1 -
o
k"f~ d r
'" , y que en consecuencia es combinación linea) de las integrales primeramente dadas por LEGENDRE, con cceficientes 1, - k". 6. Expresar, mediante una integTal elíptica ccmpleta K ('iT/2, k), la duración periódica T de una oscilación pendular dc amplitud 2",, :
'l' =2V2J]g
.e. JV
o
~
dI!
cos 6 -
1 -
cos 6 0
•
6. Poniendo la ecuación de la hip~rbola (x"'a' ) - (y'/ b')=l en la forma paramétrica :c = o-/sen t, y = bltp; i, hallar pat"a la longitud dl' un arco entre un vértice (t = 7r12; x = a, 11 = O) Y un punto de pa.r ámetro t= o:
e
8
=f \ a coso t + o' sennt -t , ~--2
--~
'iT/2
Y expresarla, mediante una integración por partes, en términos de las integrales K y E (§ 55-3, b) . 7. Comprobar que la integral elíptica de prhnel'a especie (§ 55-3" b) ea fini ta y determinada para todo valor de z, incluso para z :::: 00, z = ± 1, 2.' == ± 1r k , y obsét'\'ese c¡ue en cOllsee llencia defin e una trascende nte nueva. ¿ Se con ser va también finita la integral elíptíca de segunda. especie para z=OO?
8. Longitud de la espiral de ARQUÍMEDES r = a '1', (O" '1' " 9'D). 9. En la parábola 11 4 p x: 4) Calcular el rad io de ~\l rVatura y probar que es igual fll doble del segmento de normal entre el punf,o y la direetriz (C = ~ 11 : b) lIallar las ecuaciones pa Tamétricatl y cartesianas de la evoluta. 10. Radio de curvatura, y basándose ell él, puntos de inflexión de la curva vcr'siem, ji =(1 + x· )-':I . 11. Expresar el l'adio de curvatura y I.a evoJuta de la elipse [hipérbola) (:¡;"Ia") ± (y'lbO) = 1 ell ~rmitHJ s del semieje mayor [trnnsverso] a y la excentricida d e = e/a "" Va' ::¡:: b"/a. 12. Prcbar que p81"n una CUl'va en coordenadas ptl181"eS, las ecuv.ciones paramétricas (cartesianas ) de la evoluta son : ,. (y" - r r") cos 'P - r' (13 + r'O) sen ~
=
r"+ 27'" - rr" (J :::: 1'(7'" -
r TU) sen ~
tp
.. + 2 r"
+ 7' (1" + r'-) Co!! tp - r r"
13. al Aplicando el ejercicio anteticl', hallar la evoluta de la espiral logarítmica r ;:: a e m.,l; b ) hallar su ecuación en coordenadas polares, ~ probar así que es una espiro.l igual a la dada y con el mismo polo. 14. Probar que las ecuaciones paramétricas de una ev()lvente a una CUl"va ~a(t). ,8(tH sen: x = a - p a"v;¡t+ {J'I y = f3 - p fJ' I \/ ei" + P'" con
J t
P
=
\ !r-;'--;:":-+ - (3""'" U1'
f;¡
+ C.
747
AI'LlCACIONE." "" SICAH
16. Del resultado anterior: a) Obtener la cvolvente a la circunferencia a a cos t, f3 = a. sen t: trazada a partir del puntG (a, O); b) encontrar la. longitud de arco de dicha evolvente para. O t '- t,. 16. Aplicando el teorema de § 65-9, d, probar que la suma, diferencia y producto de dos funciones de variación acotada son tarubi~n de variación acotada. 17. Probar que si I 1(:Il) I ~ ¡t > O, Y es V la. variación t otal de f(lll), la de l/f(x) es V ¡pi. 18, Pr
=
<
<
<
J
lIiI
22. PI'obar que la función integral f(x ) =
g(x) d x
de una fun-
It
ci6n integl'll.ble g{x) , es de variación acotada, y V.'f(:\') =
P =
f ..
b
..
1 (!:(x) I
dz,
1>
g.(,t') d x,
N =
g.(x)
= máx [g(x); ü] =
g.(x)
min [g(x); O]
=-
J..
f"
~
=
g.(z) d x,
siendo:
(1 g(:z:) I + g(x» ; ~ (1g(x) I - g(x»
.
§ 56. APLICACIONES FíSICAS 1. Trabajo en un desplazamiento l'ectilineo. - a) Fuerza constante. - Si un punto sobl'e el cual actúa una fuerza constante, representada por el vector F, se desplaza sobre un eje X, desde x = a hasta X = b, Y llamamos F al módulo de F, 'f al ángulo con el eje x , y F 1 = F coa IF a la proyección de la fuerza sobre el eje x, el trabo,jo de la fuerza. es, en valor y signo: [56-1] T = (b-a).F1 = (b-a)F coe '{J, y puede representarse geométricamente por el área orientada de un rectángulo a b B A ·(fig. 168). ¿Cuándo es T nulo? b) Fue'l'za var-iable. - Si la fuel'za varía de modo que su proyeCción F l = f(x) es una función continua (o por lo menos integrable) de la abscisa x, el trabajo se define por un paso al límite en la siguiente forma: Si consideramos una partición del intervalo [a. b] Y en cada subinterval0 Si un punto ~" e I
748
xv,
APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
§ 56 -1
imaginamos que en Si la proyección de la f uerza es constante e igual a f ai), el trabajo estará dado por: [56-2] l: f ai) 8i ; geométricamente, como suma de rectángulos. Entonces es ade-
F1{A.
"": T>O
S
P
O
lo:
\
\,
O
,
~~~~~~~-
a
T< O
~
'
b
F.
x
A FiQ", 16H.
cuado llamar t'rabajo de la. fuerza variable F al límite de [56-2], es decir, a la integral [56-3]
T
=
J "f (x) d x,
..
B
representada geomé. tricamente por e] área orientada a b B A (fi. gura 169).
EJElMPLOS: 1. El alargamiento x de un resorte es, dentro de ciertos lími. tes, propOl'cional a la fuer· za F apUcada para estí- ' rarIo, de modo que pode. X mas escribir: -I---Ia'--_.L---'L-...Jo~L<-----'-~b- [66iJ = f (x) = k. x,
siendo k una constante. Supongamos que el reSol'te se 5 cm para F 20 Kg. Queremos
Flp:, 169.
=
ha estirado graduahnent e hasta ser x = calculal' el trabajo realizado. Ante t odo, reemplazando en [ 56-4.] , se calcula la constante le: 20 k . 6 ¡ . k:: 4, y entonces: T Jo· f(:t)d:¡: :;:: Jc· 4a: d~ = 50, kg. cm ;:: Ji kilog1'l'imetro. DerouéstTese que en las condiciones supuestas' de proporcionalidad, si a la fuena final F corresponde el alargamiento total a, el trabajo realizado vale ~ F . a. 2. De acuel'do con la ley de gravitación de NFlWTON, la atracción de una particula fija en a: = O sobre otra en IX: es: F ::::: I(x ) - 1c2/x·, (k = const.). El t r abajo de esta fuerza, cuando la serunda partícula se mueve desde OJ = r hasta x = '1'1 T, ea negativo e igual a:
=
=
=
>
[5'6-5]
_ k"
fdx'~ ::: -
r
k"
(2...r _ J:...), '1',
749
Al'LlCAClONr.8 .,hUCAI
§ r.li -2
do modo que será poeitivo el trabajo de la fUfll'Za que OCAsiona el dellplaEamiento. Su limite, para "1-+ W, es Ic-¡", y se llama potencial mutuo de las dos particula&: repreaenta el trabajo necesario para separar lall dOIl muas por completo, por e;emplo, el trabajo necesario para "arrancar" un eleetr6n de un átomo (potencial de ionización) bajo la hipótesis newtoniana.
2. Trabajo de expansión de un gas. - Consideremos una masa de gas en un cilindro cerrado por un pistón de superficie S (fig. 170). Si llamamos p a la F= pS presión del gas (fuerza por unidad de superficie), la fuerza que actúa sobre el pistón es F = p • S. Si el pistón sufre un desplazamiento d x, el trabajo del gas al exs pandirse vale: d T = F . d x = p S d x = p d v. pues el aumento del volumen es: d v "'" S. d x. Si el volumen aumenta desde Vo hasta V1, el trabajo del gas es:
}dx
T
=
f
'VI
p d v.
Fi~_
171>.
Vo
Si la expansión se ha realizado en determinadas condiciones físicas ideales, las leyes de los gascs permiten expresar p en función de v, y calcular la integral. EJEMPLOS: 1. Ea;pansi6n isotérmica. Si se t rata de un gas ideal y ee expande a temperatura constante (es decir, muy lentamente. para evitar que se enfríe). vale la ley de BoYLE - MARIO'l'TE: p •v = (constante), y entonces:
e
T
=fv; 'Va
dv
=fV' --º---dv = v
e
(In
ov)V'=e ln.!:2. = ~
~
2,30.
e .lg -~, _
v()
2. Ea;pansiótt Úlobárica. Si el gas se expande a presi6n constante (po r el. colocando un peso fijo sobre el émbolo y un mechero encendido debajo del cilindro), es: p Po (constante) y entonces:
=
T
=
'I"
J
po d V = po (v. -OVo).
Va
3. Expans-i6n adiabática. Si el gas s e expande sin intercambio de calor con el exterior (es decir, muy rápidamente) vale la ley de POISSON: p . ti· :::;; e I constante). siendo k = Cp/c. > l. una constante. Entonces:
750
§ fí(j -2
x v . APLICACIONES GEOMÉTfUCAS y FfsICAS
T
=e
d ·1;r- :::: S v. il.
tf
e
(Vl-~ ) 'ti¡ l-k
11.
::::
e
k :::l-
(1
11.1.-1
-
1 ),
v,l-'
y como e :.= 1), v•• vol - l , se tiene:
T= ~ v. (1_ (~) .-z ). k-l v.
3. Medias cuadráticas. -
De igual modo que el promedio de
n n(¡meros se generaliza para infinitos mediante la expresiÓll cartesiana del área (§ 48-6, b), el promedio de cuadrados (im portante en teoria de errores) se interpreta en coordenadas polares. . Puesto que por la expl'esión de) área en coordenadas polares (§ 54-2) es: 2A
~
=f
r2
d~
=
lim
~f(O~A~,
~o
si los radios se tornan equidistantes, es decir, si el intervalo ~1 - ~o se divide en n partes ig~lales: A.!p = (/PI /fo) ; n, la suma anterior es el producto de la amplitud !P1 - ~I) del intervalo angular pOI' la fracción I (1 (~) ) ~ : n, que es la media aritmética de los cuadrados de los radios elegidos arbitrariamente en cada intervalo, y la raíz cuadrada de su límite se llama media cuadrática de la función f (~ ). Por 10 tanto: llamando a a la media cuadrática, tendremos, independientemente de las coordertadas en que se la interprete: 1 t, [56-6] rr = tI _ t f (t) 2 d t, o
f
lo
es decir: la media cuadrática de una función es la raíz del cociente de ]a integral de su CUadl"ado por el intervalo. Gráficamente se determinará, pues, fácilmente, la media cuadrática de cualquier función, representándola e11 coordenadas polares, y midiendo con un planímetro o gráficamente el área del sector obtenido. Su duplo, dividido por el ángulo o intervalo, es el cuadrado del valor medio cuadrático en el intervalo considerado. EJ'EMPLOS: 1. En Electrotécnica, sobre todo, tiene interés capital la determinación de la media cuadrátiea de las intensidades de una cnrriente en toda una onda: su valor se llama también valor efioaz de la corriente. Sea, por ejemplo, la corriente alterna dada por esta tabla (RmIE): t· = O 0,001 0,002 O,OOS 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 i= 6 8 12 7 O - 6 - 8,8 - 8 6 Dibujada la ~"áfica poJa!" tomando t como ángulo, con unidad adecuada (p. ej., 20· = 0,001'), Y para i un c:entimetro por unidad, el área de la ~Táfiea rE'sulta ·Ret" 67,7 cm", y como el intervalo medido en r adios vale 160· = 2,'19, rellu1~: Valor eficaz = V·2 X 67,7 / 2,70 = 6,97
7Gl
el
«M!iente del valor efica~ por el vlllor máximo se nama "jiC4CÍIl, 2. La potencia luminoB!l de una Uirnpara do arco varia según la indlllftci6n tlcl cayo respecto de la horizontal, es decir, es función de la altura nhl{1llnr 'P, pero no depende del azimut ),. Basta, pues, construir la grá. flen polar de la potencia en su plano vertical, y hacerla girar alrededor d, la vortical, para tener la superficie de revolución que representa la ..."I.ncia en cualquier dirección, mediante el radio vector correspondieDte. Constrúyase, por ejemplo, el diagrama polar con 108 datos siguientes (RotIlD), llamando" a la altura angular: _ cp =: 8· lO· 20" ao· 40· 50· 60· 70° 80° 9()v. I,ol... ncia en bujias: 1000 1470 1800 1720 1200 960 800 720 600 480. Riendo la iluminación que recibe una superficie el producto de ésta 1"11' la polencia, si tt-azarnos uns. superficie esférica de ndio '1', con centro "ti In lámpal'8., cada elemento superficial d S recibe una ilumjn~ión l' . •1S, Y siendo constante '1', y por lo ta.nto, también ~ en cada zona es'''rica, podemos efectuar la íntegrsclón por zonas esféricas de área \!.". .,. COS 'P d B ;:: 2 'lt r d 11:. Entonces, la iluminación total es: ([;6-7]
2 'Ir r
J~ p d~
"'Il('tuando la integración por zonas esférical!. El cálculo práctico puede hacerSe reduciendo la gráfica polar a carlOl'liana, es decir: dibujada una semicircunferencia de centro O en la lAmpara, limitada por el diámetro vertical, lo!! puntos que en ella determinan los radios vectores se proyectan sobre dicho diámetro (o sobre una pnrale1a) y se llevan como ordenadas los valores P dados. El área de la Ilurva as! obtenida es:
J~ p d~. r,a altura media Po de esta curva resulta de dividir esta área por la
"lUle 2 r. y este valor medio, Pe, sc llama potencia lullÚnosa media, es d~ir:
2rP. :::::
J~
Pdz.
Una lámpara colocada en el mismo punto, cuya potencia fuera P. en todas direcciones, pr oyectarla 80bTe la superficie esférica de radio runa iluminación igual a: 4'lT .,.. • p, = 2 r Po. 2.". 7', expresión idéntica a la iluminación total [56-7] recibida de la lámpara Ilstudiada. Este método, que nada nuevo contiene res~cto del modo de calcular valores medios (§ 48~6). suele llamarse ampulosamente diagramta d~ ROUSSEAU.
EJERCIClOS
1. En el intervalo (1 m, 3 m) del eje x, un punto móvil ha cumplido un cido actuando una f uen:a paralela al eje x de (80 x) kg al desplazarse en sentido positivo, y otra de (15 X 2 - 30 x 45) kg al hacerlo en sentido contrario. Calcular el trabajo y hacel' un diagrama del ciclo, 2. Probar que el trabajo n.ecesari() para desalojar por arriba un líquido de peso específico p, del recipiente engendrado al girar alrededor del eje x (vertical hacia arri.ba), por el arco '11 = f b)), a ~ ~ ~ b, ~Jiendo
+
"'=-
752
xv.
f(x)
GEOMÉTRICAS
APLICACIONES
> O Y continua, es T =
p7T
f
§ 56 -Ej.
Y FíSlCAS
b
(b-x) :fI(:¡;)
d~_
a
3. Con el resultado anterior, calcular el trabajo necesario para bombear el agua (p 1000 kg/m") que llena un tanque hemisférico de 10 m de radio. 4. Expresar el trabajo de un gas que cumple la ecuación de VAN DER WAALS (p (a/t"» _(1' - b) = n R T, en una dilatación isotérmica. 5. Calcúlense los valores medie (§ 48-6, b) Y eficaz de una función sinusoidal y sen t en la semionda 0 ;;2 t ~ 'lf. 6. Calcular la media cuadrática de la función periódica: 'IJ = a, cos t + b1 sen t a,., cos 2t b. sen 2 t + a" cos 11 t + b. sen n t en el período 2 7T' _
=
+
=
+
+
NOTAS AL CAPÍTULO
+
+
XV
l. Convergencia según la norma. - a) Sea L la longitud finita de un arco, es decir, L extr sup 8., siendo 8n los perímetros de las quebradas inscritas, y elijamos una que dé (indicando con %, los afijos comple-
=
jos de
108
vértices ) :
>
== I %1 - %0 I + I %. - %, I + ... + j %. - %.-1 I L - e; tal partición w. del intervalo [a, b] por los puntos t., t!, __ ., t.-t, existe por de fi nición de ext remo superior. Consideremos ahora particiones w, t al es que las qu eb"raclas inscritas correspondientes tengan sus !,ados infer iores al número 2/2 n ; esto es posible en virtud del teorema de HlDlNE - CANTOR sobre la continuidad (§ 26-6), pues siendo I t:. $!. I <: <: I Á r: I I t:. ti 1, basta adoptar la norma de la partición suiicientemente pequeña para que lIea I t:.z I 2/2 n. Si w'" es un a de esas particiones, y suponemos que contiene todos los puntos de 7T'~ (partición p08terior, § 48-3, a), es decir, si la nueva quebrada conserva los vértices de la anterior, será 8 .. :;, 8., pues cada cuerda de aquéEa es menor o igual que la suma de cuerdas que la reemplazan; y por lo tanto será : 8 .. > L - €; pero, en general, no sucederá esto, sino que los n - 1 puntos t" t., tn-. quedarán contenidos en sendos inter- los de 8n
+
'l1" ..
<
*.
O--~~----~--~O>+'------+---~--~O~+-----~~---+I
to
t,
t2
t n -1
ln
Ahora bien: .si a los puntes de 'lT '" agregamos l~s de 'ff., se obtiene una part ición 7T" J> ·posterior a ambas, y resulta una suma 8' J> > S", pues cada uno de los n -1 sumandos, correspondíen tes a ios intervalos en que e¡¡tán t" t., . __, t.-J , se ha sustit uido pOr la suma de dos; pero como estos BUmandos son menores que 2/2 n, este aumento es inferior a 2 n E/2 n = E; ea decir, 8 .. difiere de 8' 11 en menos de 2; y como s' J' (suma pOBterior a 8.) difiere de L en menos de e, la diferencia entre 8", y L es menor que 2 e. Por lo tanto: TIlOR. : La longitud de un arco Mlinido en el intervalo [a, b] es el limitg de l08 perímetro8 de las quebradas inBcripta8 correspondiente8 a las JIlZrticiones del intervalo [a, b] al tt7Uler a O su norma. Ea decir. dado • 0, es L - s I! para todas las p&rtidones de norma 1I 8., siendo 6. un número que depende de ._
>
<
• En l.
t~
de loe de 'Ir • •
•
tJ ::; . , 7
<
1M PUDto. de 1_ p.rtlel6n 'Ir. .Un da.Uu:ada. reop.a.
e., XV . 1
UN 1.\
CUNVJo:ruiI:NCJA tia
763
N IIIlMA
OBBIlRVACIONIl8: l. Conviene inwrprlltar g.,Oln~tricamcnt.e el razonamlt:Jlto, dibujando un arco y las tres quehradas, como indica la figura 171 (flondo lile omiten las dos cuerdas que sustituyen 11 la que corresponde a "Il,ta vertice A.), y si1rI11",1I10 en ena toda la. ,t"' lIostJ'acicíll.
2. Si solamente se la condición de '1111' los lados o cuel'das l hlllllllll n cero, puede re,," llnr un límite distinto ,1" la longitud L. Basta fI jarse en el ejemp10 de 111 figtlTa 172, donde a /, y a t , > t, corresponde II--I¡~I-\-+I
1 1--+1--+\+-1-f'IIHI+-1- - -_41t-.I--),\-1-1-l.-jl~f
l
O
t
l
1
:2
t
3
l'ir: si :
1 = 1, .., I.. es
F(I) ~ F(l, )
+ F(J,).
3Q Si el intel'vnlo 1 tiende a O. también F(I) . De estas hip6tesis resulta: Si es L = extr SU11 1: F(I r ) y L a una sunla cualquiera cOl'respondir.nle aUlla pRl'tición de norma ll, se vel'i Cica: lim . L~=L para ~~O, Como corolario inmediato resulta el lema de DARBoux: La inttgral de fez) en [a, b] e8 el limite de las 81.lma/l l:f(Xr)Ax, cualquiera 8ea la partición adoptadl1. y el punto elegido en cada. intervalo, al tender a O la norma de la partici6n. Es decir, elegido un número e > 0, la diferencia entre dkhas sumas y la integral el! menor que e llar8 todas las particicnes de norma menor que un cierto número !. o) Ctlntinuidad de la longitud, - La longitud es una función creo ciente de t, pues el incremento corl'eapondiente al intervalo [t, t + h] es la longitud del arco correspondiente, que es IlClsitiva, Veamos ahDra Que eligiendo Ir. sufirientemente pequefio, este incremento del arco es nlenor que oualquier número positivo; es decir: La longitud del un:o es función cOl'!tinua dél parám etro t , Hemos visto que eligiendo la norma de la partición iT,íeriol' n un FIl!'. 172,
_ _o
754
XV. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FíSICAS
C. XV -1
cierto número ~, se logra que la diferencia entre el perimetra de la poligonal y la longitud L del arco definido en [t, t,] sea menor que t. Es decir: L - 8. e. Además, se consigue que todos los lados de dicha Jl(Jligonal sean me· nares que ~; luego, llamando 8'" " al perímetro que e
<
+
norma. La
p" (§ 55-9, «,) t·esulta de a!;ig nar a ('ada int ervalo [x" XTO,] y ,._, - y, > 0, o bien el VEl I 0 1' O cuando e~ incremento sea nega tivo, Es ésta una ful1ci ón subadit iva , plles al intercalar otro punto .r·' entre ~"<'r y X"h si el valo l' 11' = f( :¡.') es intermedio, resulta: (Ym -1/) + (y' - liT) 1/....1-1{., Y si es y' mayor que ambos o menor que amb{) s, apar ece una diferencia positiva mayor que 1{rol -1/T , Es entonces aplicable el teorema de a ), y 511ma !I,·
('1 "a1m' .l
=
=
resulta : TEOR. : Las BUTI1(I-S p" y N" (§ 55-9, a.) tienden hacia BUS e:ttremOB supflrior68 P y N al tender a cero la nm:ma. n. Principio de Ilemicontinuidad ¡merlor. - La definición de longit ud como extremo superior, dada en § 56-1, o como límite según la norma (nota 1, 4) , son los procedimient os más conocidos para introducirla, haciéndolo por abajo, es decir, por las cotaB inferiore8 ~ I r:. % 1, perímetros de las quebradas inscritas. Sin emba rgo, ninguna de estas dos definicio· nes es a pta para ser generali2ada directamente al concepto de área de una superficie alabeada mediante poliedrales inscritas, como probó, con un famoso ejemplo, H. A. S CHWARZ, según ve remos en el volumen II (Cap. XXI, nota 1) . Menos conocida es otra definición de longitud por arriba, es decir, por cotM superioreB, que aplicailll a superficies alabeadas ha servido a H. LEBESGtJfJ para introducir rigurosamente el concepto de área de dichalJ superficies correlativamente al caso de las curvas, La correspondencia entre las curvos;: z (t) ( % afijo complejo), definidas en el intervalo a; E;; t b, Y los números Lo" z( t) , determina una funcional .(0 función de línea) que es 6emicontin1ia inferiormente (Cap. VI, nota V). es decir, para toda sucesión de curvas, Zm (t) , que converJa UnifOl"Dlemente a z (t), lo Que indicaremos con flec,ha y punto endma, así: z .. (t) ~ z(t) para t~ [ a, b] ; S~ cumple:
<
=
755
C. XV -111 [XV-1}
L."z.(t) <; liminf r...' z .. (t). tu
La propiedad [XV-1l se deduce al considerar que una vez fijada cualquier partición "lI"¡ con quebrada q(t) inscrita a z(t) y q .. (t) inscrita a z., (t), por ser L. qm(t) .;;; L.'z .. (t), se cumple: L:q(t) lim L4 b q .. (t) <: liminf L.·z.(t).
=
",,-+00
•
Por ser '1f una partiCión lija, aunque RJ,'hitrariamente dada, de la nnteriol' y la definición de § 55-1, se obtiene [XV.1], que establece el princip-io de semioontinuidad inferior, básico en la generalización de la teoria a las superficies. De ahí el teorema; TEOa.. : La longitud de un arco definido en el intervalo [a, b] dada. por: [XV-2] L."z(t) ::::: extr inf 1 liminf L."q.,(t)}, q..
'lJÍ$n/l
."
donde el extremo inferior se toma respecto a t()da.8 las sut!e8ilYileS de quebradas q .. (t) no necesariamente ~1z8criÚJ8, que tienden uni/lJ1'1nemm.te a z(t) en el intervalo [a, b): [XV-3] q .. (t) ~.z(t) te [a,b). para En efecto, llamemos G al segundo miembro de [XV-2]; para una su· cesión de quebradas inscritas coh nOl'lll8 tendiendo a cero (nota 1, a), se cumple [XV~a], y por la definición de § 55-1 queda L,,' z(t) G. Por otra parte, [XV-l] da Lo' z(t) <; G, que j\lnto con la anterior demuestra [XV~2]. . _ Esta fórmula [XV-2] nos dice que una quebrada no necesariamente inecrita que se adapte (con posibles superposiciones) a la CUl'-v a z(t), tiene una longitud l imite que no puede ser inferior a la de lB curva, es decir, los limites (inferiores) de dichas quebradas son' C()ta8 BuperiO,.es de la longitud buscada.
>
m.
BibDografia. - 1. Casi tOÓ0S 10B libr()s generales de Análisis tratan, con mayor o menor extensión, las aplicaciones geométricas, y algtinClS las aplicaciones físicas. En :forma elemental u'atan unas y otras GRANVILLE - SMITB, U. ClSOTTI (citados en Cap. VI, nota VI-3) y J. REY PAS:rOR, Cálculo infinite$-imal (citado en Cap. VI, nota VI-2). Una exposición muy adecuada, que constituye uno de los aspectos que la distinguen, trae la Clbra de R. COURANT citada en Capitulo VI, nota VI-2. Estas obras incluyen otras aplicaciones, tales como determinación de centros de gravedad, momentos de inereia, etc., que nClSotros dejamos llara tratar co" más amplitud en el volumen Il (§ 84) . 2. Para rectiiicncjón de curvas, las obras anteriores se limitan a los aspectos más elementales; pueden verse, además, ca. - J. DE LA VAUJlEPOUSSlN (citado en Cap. VI, nota VI4), J. REY PASTOR: Elementos de la Teoría de funciones (citado en Cap. VI, nota VI-2) , y para un estudio más detenido, H. LrnESGUF.: (citado en Cap . XlII, nota V~3), asi como las memol'ias monográficas a que su libro citado :le refiere. Una exposición moderna de carácter 2uperior, basada en el principio de semicontinuidad inferior (nota II), trae la siguiente obra: T. RADÓ: Ltm.gth a.nd arca. (Amer. Matb. Soc., Nueva York, 1948), cuyus resultados, conjuntament e con los recientes de la escuela itaIiann de L. CESARl, están resumidos en: P. PI CAILEJA: Longitud iI área. (Revista de la Fae. de C. Exactas de TucumAn, Serie A, 7, págs. 157-242. 1950). . 3. Sobre integrales elipticas puede consultarse WHITTAKER y WATSON (citado en Cap. XI, nota IV-2) , cuya segunda párte se lla comple· tado y puesto al día en la obra siguiente, basada en Ilarte en notas de·
756
xv. ApLlCACIONES GEOMÉTRICAS y FÍSlCAS
c.
XV -111
jada:;; por H. EATF.:MAN Y compiladas IHlr el "Staf! 01 tite EAl'EMAN nlan1l8c?·ipt pro;ect": A. EROt:LVI, W. MAGNUS, F. OBERliE'ITINGER Y F. G. TRICOMI: Hiohcr tral/ce,.clental f1t1tcticm8. (Vol. 1 y JI, 1953; vol. IU, 1965; McGraw-Hil1, Nueva York). Esta obra se continúa, cubriendo un material inmenso, por las tablas: A. ERDl!íLvl, W. MAGNOS, F. OBERHETTINGER Y F. G. TRICOMI: Tables 01 integ'l"O.l f1·U¡nsfOT'm.8. (2 vo]s., McGraw-Hill, Nueva York, 1954). Una breve exposici6n sobre integrales elíptictu! y aplicaciones diver~~:
F. BOWMAN: Introdttetion ro elliptic functio1/,S with ap"plications (English Universities. Press, Londres; Wiley, Nueva York,1963). Entre las muchas obras más elementales, dedicadas al tema, citemos la reciente: P. BYRD y M. D. FRIEOMAN: Ha-ndboolc Df eUíptic illtegrCll8 fo.'I" engineers Clnd pky8icists. (Grundl. Math. Wiss., n 9 LXVII, Springer, Berlín, 19M), El cálculo con esta cl115e de funciones se reduce ~I de las funciones elípticas de J.ACOBI. de las que faltaban tablas numéricas convenientes ha.sta la publicación del excelente manual: L. M . MILNE-THoMSON: Jacobian dliptíc fundion table8. A gttide to 1n"Clctical comptltation with e1l1.ptic functiort8 a1td integrcUs t o06thev- witlt tablea oi snu. en u" dntt, Z(u). (Dovel", Nueva York, 1950) .
/
CAPiTULO XVI
I NTEGRACIóN APROXIMADA § 67. IN'L'EGRACIÓN NUMÉRICA
1. Objeto del capítulo. -
[57~1]
A =
No siempre una integral definida.,
jf(X)
d x,
• se puede calcular por los métodos que hemos visto. es decir, directamente, como en § 48-4. o mejor, mediante la regla de BARROW (§ 50-2), cuando se puede h allar una primitiva (Cap. XIV). Puede ocurrir que la primitiva de f(x) no exista o no figure entre las funciones que conocemos. o que sea dificil halJarla, 0, finalmente. que el integrando f (x) sea una función empírica ( § 23-2, d). Para estos CMOS existen métodos de cálcu.lo aproximado de) número [57-1] , que serán tanto más ventajosos cuanto más simples sean los cálculos y cuanto menor sea el error que comporten, el que deberá acotarse en cada caso. Hay un gran número de métodos, de los cuales nos limitaremos a señalar lQS más útiles y elementales. El número [57-1] mide un área ol"ientada (§ 54-1, d), pero en § 58 veremos métodos gráficos para representarlo por un segmento. o más generalmente, para trazar la gl'áfica de una función integral (§ 50-1). Uno y otra se obtienen también mecánicamente, mediante ingeniosos aparatos. llamados planímetros e integradores (§ 59). 2, Fórmula de los trapecios. - Supondremos que en [a," ] no cambia el sentido de la concavidad de la curva uniforme y = f (x), que para fijar las ideas supondremos está dirigida hacia abajo (hacia y < O). Para una partición de [a, b] en n intervalos iguales, de longitud k = (b - a) I n, las sumas (fig 173) : S" = h(YÓ+Yl+.'. + Yn-¡)
S,,'= h(Yl + Y2 + ... -+- VII)
dan valores aproximados de la integral [57-1] , que representan sumas de rectángulos (contenidos y continentes. respecti· vamente. o al revés. si la función es monótona creciente o decreciente) .
758
§ 67 -2
XVI. I:>;'r.:GRACIÓN APROXIMADA
En generaJ, lile obtiene una aproximación mucho mejor considerando la semisuma: [67-21 T n
=
+
S" 2 Sn'
(Yo +2 Y. . + Y1 + Y2 + • • • + 11"-1),
1 = ,¿
que geométricamente representa la suma de trapecios inscritos señalada en la figura 173. En efecto, la semisuma de los dos y ~ Pi-lr---,;:.....,~"...,.,..... , Pn ,./1 "
I
1
:Y,
Po
:Yo
h
h
h
h
a
O
Xi-l
h
I
b
Xi
x
¡.'¡", 178,
rectángulos correspondientes a cada intervalo parcial [X¡ - h x.] da el trapecio inscr ito X i -l x, p , P.-l ' Obsérvese que si la concavidad se dirige hacia arriba, la suma de trapecios inscr itos da área continente a la buscada. EJJ::.\fPLO : PooenHl¡; cakuJar " evalua ndo In in legrn I d :r
J
I
[67-3]
1
+
x" :;;; are t g 1
=
'lf'
4 '
('
por el método de los trapecios. Con h. == ll , de: y. :;;; 1, y, 0,941 y. C,8, 1/.:::; 0.64, exact.Qs, salvo 'l/t , resulta :
=
'1r
~
=
4 . 0,25
con h. = n,1 se obtellf.Í1'ia
'Ü -
(1~6
3,139
+ 2,381 )
"-=
y. = 0,5
3.181;
~.
La fór mula de los trapecios [57-2] da poca apl'Oximación, aun para h pequeño, pero es susceptible de un importante perfeccionamiento mediante la fórmula de EULER-MAC LAURIN (nota 11). Si f(:.;) es monótona en [a, b), el error cometido al aplicar [57-2) es (lig. 174) menor que la mitad de P Q R S, con lo que se obtiene l a cota 1nuy OT08t1'1'a ' Ht [f(b) - í(a)]. En getl Cl'!ll, pued t' d l 'SCOm p OlJt'l'o l! el in te rva lo [a, b] en V81;CS. donde f(:c) es monótona.
3. Mét odo de Simpson. - (() Á 'l'ea ba,io u'n a?·r.o d(: l)(wábola. - Para tono h menor qLle el ra dio de con vel'gencia de [57-4] f ( x) = a,o CL¡X -1- ~X2 asx· + se tiene (§ 43-5, b) :
+
+
INTt:mtACJ Ó N N UM t RIC'A
=2aoh
++
75lJ
+ -~ a4.h~ + .. .
a"1N
!I
R ~~ ~
I
1--'--1 -- - -
~
I
I
el
--f---; -- +- --
-- ~ I
I
I
-,- I
;
I
- - -t I I
-
-
I --"7 - -, - -1--,--+ - --P I
7\
:
,I
I
I
I
I
Q
h
a
..:.1-
x
b Fil<. 174.
Si la curva y = f(x ) fuese parábola de segundo grado, es decir, si el desarrollo sólo contuviese hasta el término de se. gundo grado, la expresión del área seria exactamente: h S = ,0S (6ao + 2~h"l!). y poniendo: yo= f( - h) = ao-(( J h + (/:~h~, Yl = feO) = ao, Y2 = f(h) =ao+a1k+a2h2. resulta: [57-5] que expresa el área. bajo un arco de parábola en función de las ordenadas extremas y media, como producto de un promedio ponderado de éstas: (Yo 4 YI 112) /6, por la amplitud 2 h del intervalo de integración. La expresión [57-5] es también aplicable a [67-4], con error del orden de hfi. b) Fórmula de SIMPSON. - Dividamos ahora el intervalo de integración en un número par de partes iguales de longitud h, y consideremos los correspondientes puntos P ú P 1 P 2 • •• , sobre la curva (fig. 173). El ar co de curva correspondiente a los dos primeros intervalos se puede aproximar, mediante la parábola de eje vertical que pasa por Po P 1 Y P 2 • Esta parábola queda unívocamente determinada por la condición de pa sar por los tres puntos, y el área bajo ella vale por [57-5]:
+
+
4
760
XVI . INTEGRACIÓN APROXIMADA
h
3
§ 57 -S
+ 4 Yl + Yo¿ ).
(Yl'
Análogamente podemos aproximar los arcos correspondientes a 108 demás pares de intervalos por otras tantas parábolas, que delimitan las áreas = h 3 (Y~
h
3(Y~
h
+ 4 Ys +
Y4),
+ 411J + Yu),
3(Y"-2
+- 4 y,¡-l +Y11)'
La suma de las áreas bajo los arcos parabólicos es: h '-3- [(Yo-!-y .. )+4(Yl+Ya+ .. , -1- Yn-l) 2 (Y:l Yt Yn-2)].
+
+ + ..,+
y como esta suma es un valor aproximado del área bajo la curva dada, tendremos la fórmula dada por TH. S IMPSON (17101761) : b h [57-6] y d x ,...- S ' (E + 41 + 2 P ), siendo suma de ordenadas extremas; E = Yo + Y .. suma de ordenadas de indo impar; 1 = Yl + Ya Yn-l p = 112 -1- Y4 + ... + Y"-2 suma de ordenadas de Índice par (excluyendo las extremas). Obsérvese que para la referida paridad de los índices, hay que numerarlos desde O y no desde 1. La f órmula de S IMPSON r esulta muy inexacta si la tangente a la curva se acerca a la vertical. Conviene para esos trozos intercambiar loa ejes. aproximando la curva por parábolas de eje horizontal.
f
+ ... +
E.JEMPLO 1: kp1ican do a [57-3] ]a fórmula de SIMPSON con h
y con h
= 1110,
=~
se obtiene, respectivamente : 'iT - 3,14156896; 'ir 3,14159260; esta última, con s610 la última cifra inexacta. Las aproximaciones son muchísimo mejores que las obtenidas en § 67-2, ej., con el método de loa trapecios. e) Ec¡;pre8ión de PEANO para el reBto. - Calculemos el resto o diferencia entre el valor exacto de la integral y el dado por [57-6] en el caso en que f(¡e) tenga en ta, b] derivada cuarta continua. Comencemos para ello con el caso a) de un único arco de parábola, o sea 11 ; 2 divisiones. Si F ( ~ ) es una primitiva de f (x), el resto considerado como función de h tendrá por expresión: h r(h) F(k) - F(-h) - B [f (-h) + 41 (0) + f(h)].
=
7Gl
.'::4 rl\(·\I V4! I'ifÍl'a r , hllcicndu el (·(d'·lIl.. , '1 11.· l'lfl J~ función se anula cAlnjunlll.mcnte con BUS d08 primeras derivadas para h 0, y que In derivnll. tercera vale :
=
r"'(h)
~
= -
[f"'(h) -
Y por el teorema del incremento finito (§ r"'(h)= _ 2 t fIV(E)
f"' ( - A)], 35~1 ):
(-h
Integremos ahora tres veces consecutivas entre O y h, a plicando cada vez el primer teorema del valor medio (§ 48-6, e), lo que permite sacar do la integral el f actor ftv (n, sin cambiar el significado de ~ como número comprendido entre - h y h. Resulta a:;1: h' r67-7] r(h) = -90 fIVH), (-h<~
f'" (x) =" O, Y la fórmula de l~t
=-
+ ...
y como el promedio de los fIV H,). por estar comprendido entre los extremos de la función continua fJV(x) en [a, b], es (§ 26-4), igual a f'v (1;) C011 a 1; b, resulta la expresión del resto:
< <
[67-8]
R
=
h' -180
(b_a)fJV (;),
(o.<E
Si M es una cota superior de fn' (:¡:) en [a. b], tendremos la cota. de error: h'
180 (b-a)M. NOTA: De más fácil deducción. pero con coeficiente algo mayor, es considerar en [57-4] el resto de la serie, que por ser igual al término complementario de TAYLOR se acota así:
I Q. X' + ... I :::: [ ;( fI1' m:\:41 < M :; , e integrando entre - h Y 11" resulta como cota de error para dos intervalos r(h) < M k"/60. y para todos ellos: b-a M he h' R ~ 6() = 120" (b-a ) M.
<
.
,En
nota 1, e reencontraremos la fónnula de S IMI'SON por otro camino, con otra acotación de) resto, de mág fácil aplicación. En la práctica, la aplicación de [57·8] conduce con frecuencia a acotaciones débiles, si se quieren evitar cáloolb8 laboriosos en la acotación de fJV (x) . EJEMPLO
y'
2: En el ejemplo 1 se tiene:
=-
(1
+ x" ) -a.2x,
= 8(1 + x' ) ... . x~ - 2(1 + x")-', y'" = -48(1 + rc") -'.x' ...L 24(1 + :r·)-' .x, yn" = 24[ 16(1 + x· )-e. x' - 12 (1 + x") " ":r y"
¡ y' V1
< 24 ( 16
( 1
r
~ x' + 12 ( 1 ~ x. )"+
+
1 ).
(1
+ x P) " ' ] ,
§ 67 -3
)(VI. INTEGRACiÓN APROXTMADA
y como el máximo de ~/(1+#), en [0,1], es a 'para x = I ), resulta 111" I < 24 [1 + 3 + 1] = 120, con lo cual el enor de la fórmu la en el 'ir 14
éálcuJo de
es:
<
120 (n i . 180
2 ==4'-~3
1
= -384 <
0,003,
a él debe agre¡"'ll!se el de los redondeos.
4. Integración por desarrollo en serie. admite un desarrollo en serie de potencias,
Si la función f(x)
f(x) = aO+ alx+a2~+ ... + a.. x"+...
./
una función primitiva resulta, como se vió en § 43-5, integrando cada término, y el intervalo de convergencia es el mismo de la serie dadll.. Al efectuar la integración por este método, debe cuidarse ante todo de no aplicarlo más allá del intervalo de convel'gencia, pues esto conduciría a absurdos. Además, es neceo sario calcular el grado de aproximación alcanzado al tomar algunos términos, pues bien puede suceder que los infinitos despreciados (aun siendo insignificantes los primeros que siguen a los tomados) tengan suma considerable. El desarrollo en serie de la función puede hacerse comb1nando las propiedades ya expuesta!'! en § 44, esto es, operando por suma, resta, multiplicación, etc., con las series que representan las funciones elementales que componen f·(x}, o bien con la fórmula de MAC-LAURIN. Si no hay desarrollo según potencias de x, o el intervalo de convergencia no comprende al intervalo dado, convendrá trasladar el ori gen, poniendo x = x' + a, o bien desarrollar en fórmula de TAYLOR, según las potencias de x-a. EJEMPLOS: 1. De importancia f undamental en Cálculo de probabilidades es la llamada fundón error (Pehlerintegral ) <jJ ( x), definida por
GAUSS Raí:
'1' ( ~I:)
[57-9]
~J" c· t '
:=: - . \
d t.
'TT
{\
Del desarrollo de e--
t
f"
refiulta el
~igui el)te,
t:
'
= 1-
convergente para todo t:
r'
t<
1T + 2f - "31
-1-
y de aquí, lJllr a cualquier :i::
~57-10]
2
<j -(:¡: ) ~--;¡;¡-
(
:\,'
'X"
~' -1TY -~ ~
:r'
-3!!f + '"
)
.
Para cadn :1:, la serie cumple, desde un tél'mino en adelante, las con· diócnes del cl'itel'io de series a ltemadas ( § 22-3) , lo que perm ite acotar cómodamente el resto. Para x -)o ~ , la fUllción <j- ( x ) Cl'ece, pO'c sel' po~itiv{) el intt!gl'l111do, y tiendE' a 1 (§ 53-6). 2. FlInción ·intf'f)TfI.l-seno.
Si (~()
=
f'"' (l
sen t
t
1-
l' '3! +
t'
5! -- ...
)
dt
=
~
763
&7 -6
3. La integral F (x) ::::
J~
d x no puede expresarse pOl' funciones
l·ll!mentales, y tampoco puede desarrollarse en serie de potencías de illt¡;gr ando; pero si se transf()l'ma así;
J~
d x ::::
x
f
r
d a; + x.
1
c' -
x
d x = In x
+
f
:t
el
e' - 1 d ;¡; x'
l1 iendo:
c' x
1
x'
lt
:::: 1
+ 2! + -3T + ' ., +
x'
(n
+ 1)! + .. ,
com'e'-gente para todo x, /le tiene: F( x )
=
In x
+
x
1
1
x"
x"
+ 2' . 2! + ... +-;- . Uf
-r- ...
Estu función se llama exponE~ncial-i1ltcural. Ei x. Poniendo x se expresa la integral indefinida., asi:
= In
t
Jliltdt
forma. €ll que fue estudiada pOl' BESSEL y GAUSS. E ste últi.mo halló que
el número de números primos rnenOl'es que n está próximo a tI dt
J '"""lUT ; 2
la cota de error sel'ia menor que A ...¡:;;-, In n, COIJ A constante, seg'ún probó H. VON KOCH (lWl) basándose en una famosa hipótesis de RIEMANN, aun no probada ni refutada, sobre la posición de los ceros de la función ce 1 ~(8)
=¡ ...=
1
------;, ' n
que prolonga al cam po complejlJ la serie a r mónica genenlliznda (§ 22-2, b). Bajo esta hipótesis, resultaría que la distribución de números primos alreded(lr de Ulla ley media de cl:ecimiento se hace 1l) aUll', es decir, segú l1 los resul lados del cálculo de probabilidades. Se llama lOf/(J.?-U'I1Io-i,¡teg1·a.l a la funci6n
. fa:
hx =
di ~J
o
IJbtenible de la exponencial-integral mediante Ei(ln x L
5. Fórmula de integración de Gauss. - a) El área bajo un arco de parábola está expresada en [57-5] mediante tres ordenadas equidista:ntes: Yo. YIt Y2' Ahora bien, vamos a ver que es posible elegir las tres ordenadas no equidistantes, de modo que el área venga expresada más exactamente por una expresión también lineal, de la forma: [57-11] S = Ro Yo + RI Yl + R2 'lh . Adoptando como origen el punto medio del intervalo. y tomando como unidad a la semiamplitud del mismo, tenemos (§ 67-3, a) para la integral entre -1 y + 1 de [57-4]:
764
§ 57 -6
XVI. INTEGRACIÓ N APROXIMADA
2
2
2 ao + 3 a2
+ "5 a~ + ... .
Ensayemos ahora la determinación de tres valores Xtl, x., :1:2, tres coeficientes. Ro. R¡, R 2 , tales que la expresión [57-11] es decir para cualcoincida idénticamente en aQ, al' lt2, quier función, con este desarrollo, o sea: 2 Ro (40 + a¡ :1:0 + ~ X0 + as XOS + + y
o o .,
o •• )
+ R1 (ao +
al Xl
+a:a Xl +as X16 + . o.) + ll
+ R2(aa + al:l:~+~X22+aax:l+
o •• )
-_/
:;;
2 2 = 2 ao + 3 a2 + -5- a.. + .... Las incógnitas R" X$ se calculan ahora por el método dI} coeficientes indeterminados (-§ 44-4 ); igualando los coeficientes de aG,~,~, aa, a4J Q,¡s (y despreciando los siguientes) , resultan las condiciones: Ro Ru X n
+R + R:,! ;¡;~
-+ Rl
+
2
R I Xl
Ru Xn~ - f-- R 1 X 1 2
= 2 , = O ,
+ R 2 :(~22 =
2/ 3,
Ru x"s + R¡ (1; 1 3 + R 2 x,}' = O • Ro X04 + RI Xl i + R:! x:!~ 2/ 5, RoXn~+ RI x 1,' + R 2 X 2ó = O , de donde se despeja:
=
Ro = 5/9, R¡ = 8/ 9,
=
x"
=
XI
= 0,
-
x~ . =
yS/ 5
=-
0,774 ... ,
+
V3/ 5 = 0.774 ... ; si la semiamplitud del intervalo es h, basta multiplicar por h las abscisas, y resulta: R:t
5/ 9,
Adopta.n do co mo valO1' del cí~'e~ la ex p1"€si6n: [57-12] h(5 Yo 8 '1h 5 Y2) : 9. siendo Yo, Yt> Y2 las ordenadas en los puntos de abscisas: - h V 3/5, O, h V S/5,
+
+
+
resulta un va.lar del á.rea cuyo error es del orden de h7 • Comparada esta fórmula de GAUSS con la de SIMPSON, se ve que el mayor trabajo del cálculo queda compensado con la mejor aproximación obtenida. Asi, por ejemplo, si se desea calcular con sólo tres datof1 la temperatura media de un dia (es decir, la integré-'.l de la tem~ peratura, dividida por el intervalo), deberian tomarse estas tres temperaturas a las horas siguientes: 21> 24m al m, 12h m. 9h 18111 p/ m.
§ 1i7 -11
JNTt:mtAClt1N NUM
766
U "
b) La fórmu la !le GAUSB [67-U~) puullo ""allcrnlizarse para n ordsDadas. Por ejemplo, para n = 4, la expresión 0101 Area es:
S - RoYo
siendo:
+ R'1/1 + Ro", + R'1I1,
R, = R. = 0,652145 0,8611 - :1:, = ~s = C.34tlO. P uede desarrollarse el método general utilizando las propiedades de los POliMnUos de LEGENDRIl (nota UI). Teniendo 2 n constantes a determinar ( n abscisas :1:., ~ .. "', :1:.-, Y 11 coeficientes R." R., .•. , R.-.) , podemos eleg irlas de modo que la fórmula sea exacta cuando f(x) es un polinomio arbih'ar-io de pado 2 n - 1: [57-13] f(x ) = ~ a,:¡: atn-1:1i··-'. Si la fórmula se expresa con las ordenadas 1/<, en los puntos x, antedichos, deberá dar igual valor para f(x ) y para un polinomio <¡l(:I:) que coincida con f(:¡; ) en X=X.,:el, .. . ,:e~ -1. Un tal .., (x) está dado por la fórmula de LACRANGE (§ 46-2, a) en la forma:
Ro
-
~o
=
=
= 0,347855
R,
+
~
+ ... +
+
<¡l(x)
+
=
= .-, A,<¡l, (X), ~
con :
gr<¡l.(:¡;)
~
n-l
4.0
Conlo f( x ) -9l (X) es divisible por P~(;c )
tendremos: f(x) -
=
( :I) -
XO)(X-X1) ...
<¡(:e) = Pg(x)Q(:¡;),
(x-X:-",
(grQ
~
n - l),
y deberá ser:
O.
f1p.(X)Q( X)da: -t
E sto se logra para t odo polinomio Q(x) de graao ~ n -1, si P n{o; ) es el polinomio de LEGENDRE de grado fl (nota nI, a), y entonces :¡;., ~" . .. • x n- , deben elegirse como los ceros de dicho poJinon}io. Con ello se determinan fá cilmente los coeficientes R., como veremos en [57-14] del apal·tado siguiente.
6. Aplicación de los métodos de interpolación. - Todo método de interpolación mediante polinomios (Cap. XII) da lugar a un método de integración apl'oJ>:imada al reemplazar la jntegral de la función por la Integral del polinomio de interpolación, En esta idea se basan también los métodos de los trapecios y de SIMPSON, pero en eJ108 se descompone primero el a rco en trozos. aproximando luego cada uno por un polinomio de 1Q Y 20 g r ado. respectivamente. Si F ( x)= (x - xo)(x-(l:,) .. . (x -x"), todo polillOmio f(x) de grado ~ n se expresa por la fórmula. de LACRANGE escrita en la forma (§ 46-4, a): F ( x) f ( x) = I _(_ _ -)p-.----( ) [(x . ). i x - x, x, Integrando entre - 1 y + t resulta: o
[57-14] J +'f (a') d x :::o - ]
r
R, 1/ .,
con;
R,
. . . . -c1.:.-f·' F'( ~· .)
F(:r.)
d :r,
-1
Si f( !¡:) 110 es un IlCllinomio d{' gl'ano ~ 1/. IR primera iguala ad es sólo 8,ul'oximadn. P a !'a abscisas equidistantes : 2 x, = 1, "', = - 1 -f.. -;;:-. se tiene:
766
XIII. INTEGRACiÓN APROXIMADA
=<x + l) ... (U;+1_ m -1)). (:t+ l
F(z}
2( j+l» ) ... (X _
::::( !)
n
[t(t-l) ... ( t - i
+ 1) (t - j - l ) ... (t -
'11)],
= n (u; + 1) 12. Además;
siendo t
F'(x/)
=
(x/- x. ) ... (XI
(:t/ -XI.') .. . (::e1-2 n )
-II:I-1)
l)=
n
'11
:t-~
§ 57 -O
=
=(- 1)n-t(!ri 1(n- ;)1. Tenemoll, entonces:
J
uf(x)
d~ ==
R,¡f(-
l)
+
R.f( -
1
+
! ) + ... +
R..f(1) ,
-1
Si(!IHio:
R,
(_l) n-l. (2/fL) j! (n-;) r
=:
J'
"
t(t-l) . .. (t-1+1) (t-,-l) ... (t-n)d t.
o
Pam un intervalo [a, b], si h:=.(b - a) /n:
.
J
Of( X)da: = R. f(a)
+
R f (a, + h)
+ ' .. +
R. f(b),
~on
igual expr~ ión de R /, reemplazando 2/'11 por h. Ésta es la f órmula de NEWTON - COTES, una de 111s mas antiguas de ín tegración numérica (l, NEW'rON, carta a G. G. LEIBNIz, de fecha 24 de ~~tubre de 1676; , R. COTES, Harmonía menSU'1'arum, 1'722). Esta fórmula eJe abscisas equidistantes es poco recomendable, debiendo preferirse el métodú de GAUSS (§ 57-5) de modificar convenientemente las abscisas, por. que entollces aUmenta considerablemente la aproximación.
,
EJERCICIOS
l. Calcular c<m la fórmula de los
tl'apecio~,
con
}¡
= 1/10 y
5 decimales
2
J
d:
::::: In 2, explicando por qué el resultado es por
ex~eso.
1
2. Si para
%
que la diferencia
Do
=
f
> O es
f(Ot) d{l: -
1J=í(x) creciente y cóncava hade. y
< 0,
proll8l'
U feO) + f(1)+
+U
(11) )
f(2)+ . .. + f(n -1)
o t iende a 11 n límite positivo finito cualldo n -l> ~. 3. Aplicllndo el re s ultado a n t el'ioT a v=ln (l+~), probar que n ! = nn e- n Vn 0:. con CI. _ el fi ni to (S1'IRLING). Cfr. (53-14], 4. Calcular pOl' la f órmula de SrMPsoN [5 7-6], la integral del ej el'cido 1 con la mi!'ma subdivisión e igual número de cifras, verificando que -resultan todas exa ctas. 5. Llamando P. al punto de y= f( x) de abscisa a+hr y Q. a su proyección sobre el eje x , in terp retar geométricarllente )11. fórm ula. de SlMPSON [57-6] como suma de rectángulos de be.ses Q .. Q.". y allul'Q!!
7(;7
=
Q ..., H" de modo (l Ue sea P •••, H. P.... I./8 si l, I:IS la intersección del Ilegmento P ...., Q..... con la cuerda correl:lponcllente. (Cfr. nota 1, e). (j. Siendo "'(~) = el'f JI: la función error [57-91. calc:!'Ular con do!
decimales
~ y-;¡ erf
=f
1
1
e' t' d t, probando que si se toman 4 términos,
(lo
cada uno al milésimo. el errOl es menor que l/ l OO. 7. a) Expresar !l0r una serie la integral (eliptica) t
f(t)
=
.J
d xl
V 1 + ;r:P';
b) Calcular fU) con tres decimales exactos.
8. Con el método indicado en § 56-8, b, desarrollar en series de p.o ' teneias de k las integraJes elipticas complQtse KU'lT,I<) y E( ~ 7T,k). 9. Calcular la longitud de la elipse x' -1- (4lf) /3 = 1 (§ 55-:3) con 4 cifras ~)(actas con la férmula de SIl\fPSON dividiendo (O, '1T' !2) en 6 partes. Comprobnl' con el desarrollo en sel'ie de la integml elíptica completa EU 7T, k ) (ejel'cicio 8), averiguando cuántos términos son necesarios para asegurar cuatro cifras exactas. 1
Hl. P;obar que
J
In (1- :¡;) -l d x
1 desal'l'ollando en serie de po-
'Oi
te ndas el integrando. 11. Probar que lA =
.f ;[' e
d x (JI natural) , se expresa mediHnte
funciones elementales y la exponencial-integral (§ 67-4, ej. S). 12. Calcular la integral de los ejercicios 1 y 4 por la fórmula de GAUSS [57-12], con cinco cifnl.s, siendo yp;¡y;:::: 0,7'14 60. 13. Verificat los siguientes valores de R, )HU'a la fórmula de NEWTON · COTES (§ 57-6) p ara intervalo (-1, 1): n=l: R.=R,=l; tl. =2: RD=R, = 1/8, R,=4/3: n = 3; & = R,=1!4, R, :::::R. :::: 3/4 ; JI. = 4 : R. R. :::; 7/46, R, = R. :::: 32/45, Ro = 4/15; n :: 5: Ro = R. = 19/1.44,R, == R. = 25/48, R, = Ro = 25/72.
=
§ 58. INTEGRACIÓN GRÁFICA
1. Integración gráfica de funciones escalonadas. - a) F 'unk. - En este caso, la función integral
eión constante f(x)
=
J:kdx
=
k (x-a)
~
está representada por una. recta que corta al eje x en x = a. Su inclinación
768
§ 68 -1
XVI. INTEGRACIÓN APROXIMADA
por el punto x = (~ del eje x, paralelamente a P H, Y el área orientada a b B A está representada numéricamente en vaJor y signo por el segmento JI orientado b e, es decir , por la or denada de C. Esto último puede probarse también considerando los triángulos semejalltes P O H Y ab e / (hágase) . Con strúyase otra figura para el caso k < 0, y otr as dos para b < a. E l segmenx to P O = 1 se llama baFig. 176. se de integ'raci6n o distancia polar. b) Si f(x) tiene un número finito de discontinuidades, siendo constante entre cada dos consecutivas (fig. 176) , se dice es una función escalonada" y la función integral
ff(X)
d~
eL
estará representada por la quebrada a B C D. cuyos lados son I
D
y
- ----- --- '-,- _ - :
K2
F Il!". 176.
respectivamente paralelos a los radio8 polares P K], P K~, P K.¡¡. La integral entre a y b se representa por el segmento orientado b S. NOTA: A veees conviene tomar la distancia polar P O:::: p, con lo eual las ordenadas de la quebrada integral quedarán reducidas a la p-éeirna parte de su altura, y el área bUllCada vendrá dada por p _ b S. Suelen tambIén usarse ~rfilea en los cuales las esealas borlzontal y ver-
!i fiH . 2
I N1'F.lilfAt;'{IN l illÁ l'h :A
7fi!1
tk.al son dilltintas, dando el área orientado. el valur de b S a la escala de alturae, supuesto determinado P O = 1 a 1& escala horizontal. EJEMPLO: Consideremos un perfil tal que sea U200 la escala de alturas y 1/ fí 000 la eecala horizontal. Si es cómodo elegir P O = 20 cm, y resulta b S = 15 cm, el área buscada medirá S hectáreas (porque si, por ejemplo, tomarnos el metro como unidad, es PO = 20.50; b S :::: 15 .2, dando el área p • b S :::: 1 000.30 :::: 30 000 ro') .
+
+
2. Integración gráfica de funciones cualesquiera. - Fuera de 108 casos anteriores, 1a curva integral se puede dibuiar con bastante exactitud, de la siguiente manera. Efectuando la compensación por verticale8, se sustit uye la curva por una poligona], haciendo que se vayan compensando I
y
r¿ ,,
,,
O
, J
el
x Flg. 171.
los errores, para 10 cual tendl'án que ser iguales los triángulos 1 = 1', 2 = 2' , 3 = 3', etc., lo cual se consigue en e] dibujo con suficiente exactitud (fig. 177), y luego se procede como en § 68-1, b. Si queremos construir la curva integral de la dada, observamos que los puntos A', B', e' ... , pertenecen a dicha curva integral, puesto que para las ordena das de estos puntos. las áreas de la poligonal y de Ja curva son iguales. Además, las pendientes de los radios polares rlJ 7'2, ra. '.' (fig. 177) vienen medidas por las ordenadas de la curva dada en A, B, C, ... , por lo cual los lados de la quebl'ada obtenida son tangentes a la curva integral en A', B', e' •. . ., dando asi el método de compensación por vert icales una quebrada ci'rcu'I'l..sc'r ita a la curva integral buscada. P ara obtener, pues, la curva integral, basta trazar una curva que pase por dichos puntos A', E', C', . .. , y que sea tangente en los mismos a los lados de la poligonal. NOTA : Si hacernos la oompenllaciÓ1t por horizon tales, como en la figura 1'18, obtenemos también una integral poligonal, pero ya no resulta tangente a la curva integral, sino s ólo una qU4Jbrada. inscrita a ella, y de ésta sólo se tienen puntoll, como el A', B', C', D' .
xvr.
770
~
INTECRACTÓN APROXlNAOA
58 -2
Se ve. pues, que es preferible el método anterior, que da la CUl'va integral por puntos y tangentes. Si sólo mteresa el área total encerrada por la curva, el eje O!l: :y las ordenadas extremas, viene expresada por la düerencia de las ordena·
, .,
~3 ".
,
"
da" extremas de la curva integl'al, q\lC en ambos procedimientos coinciden Coll las de le. poligor.al integraL Para in cuadrar.ura de recintos. limitados por una curva cerrada, se dell<\l)nlp.me ésta ~n d(ls al'cos. Como rlijim(¡s en ~ 41-12, c. la principal utilida.l de los mét.odos gráfiCOfo . 'fue Hóio son groseramente aproximados. es la de controlar los mé· to do!:> tlllméricos, susceptibles de deslices importantes. no filcilmente advenilJles.
E.TERCICIOS
1. Prouar ql1e si u y 1) son las unidades en x e 11, y 10 la \Inidaa en 7J pata la curva intEgral, la distancia polar p= O P es p v/w. y cons· tnlirla como cual'ta llloporcional. A11álogamente es 'IV :::: 11 1'/p. ¿Cuánto valdrá 'IV en el ejemplo de § 68-1, b. si ~e toma el metro como unidad? 2. SUjlOn(!amOs que en un diall:l'ama rle lll omentos para el cálculo de una \'i¡¡:a conviene adoptar corno escala de longi tu des 1 cm = 2 ro: COlllO escala ele fllcl'za!', 1 cm == 500 k1\'. Y como escal ~ de la cu rva integral de momentos. 1 cm = 5 000 kg X 1l1 . ¿ Qué longitud en cent.í111etl'OS debe tener p? 3. Deternünal' el polo P de lYlodo que una curva integral de í (x) pase: pOI' A, ( a, O) ~. S (1). b S), basándose e11 una estimación del valm' me· di o Jl de f(z) en Ca. b), 4. Sean t la tangente en 1\1 a llna curva C, too y '1'1. tan gente y normal R una Clln'a j-nte~ra.1 C, en el punto M. de igual abscis.R. Probar que el centro de la eircunferencin osculatriz (§ 40-6) de e, en Mt se halla trazando por la illterseccióll de t y !l' una pl\l'alela al eje 11, basta cOltar a n, en P; por P, una paralela a t " hast a cortar a !11M. en Q , y por Q, una paralela al eje :r:. hasta COI'tal' a 'It, ell R. 6. Consirle:rnndo nltel'\'alos de Jongiturl h::: 1110, trazar merli::mte compensaci6n: a ) por vel"ticlIles, b) por horizonbtles, las curvas integrales:
=.,
f
'"
Ql-l
d x. (1
l
'ií'/4 = 0,785.
~:l: ~ 2);
J
te
(1
~
+
X')-I
d~, (O ~ ft ~ 1); Y hanar In 2=== 0,693.
I
'771
11 . 1 $
6. ('e.JcuIRr ¡-ráficamente Ii
a- t i
2
=M. f d :t:/lg cr
(§ 67.-4. ej. 3)
2
ll,vidicnno el intervalo en cin/!o partes.
7. En la interpretación geométrica dada en el ejercicio 5 de § 67 para lo rormule. de SIMPS{lN basar un procedimiento de integración gráfica.
§ 59. INTEGRACIÓN MECÁNICA 1. Intégrafo de Abdallk Abakanowitz. ~ Los aparatos lla· mados intégrafos dibujan la curva integral de una función da. cJn por su gráfica. Los planímetros, de uso más frecuente, mi,len superficies planas, haciendo recorrer su contorno a un ínJire o punzón de) instrumento. Expondremos loa principios ){cnerales en que se basan unos y ob'os, sin entrar en detalles tle diferentes modelos, que sólo pueden asimilarse con el manejo de los mismos. Los integ'radores son 8pp,ratos que, al mismo tiempo que el área, calculan el momento estático y el mo· mento de inercia de un recinto, que consideraremos en el vvlllmen Il de estR obra (§ 84).
El intégrafo de ABDANK ABAKANOWITZ se basa en el mismo principio que la integración gráfica (§ 58), pero el trazado continuo del aparato permite obtener la curva integral sin pa!';ar por poligonales intermedias. Supongamos una curva dada por la función: y = f(x) ; sea F(x) una curva integral, es decir, tal que: F'(x) = f(x) ; los valores de F'(x) son las pendientes tg a de las tangentes en 105 diferentes puntos de la cm'va integral, y coinciden con Jos valores de las ordenadas de la curva f (x) en los mismos pun~ tos (fig. 179).
Adoptando como unidad un segmento Q P (fig. 179), se tiene: f(x) =tga para cada va,1or de x. A medida que f(x) toma distintos valores, según los de x, el ángulo « varía, puesto que Q P = 1. Si se tiene, pues, un medio de ir dibujando una curva y = F (x), tal que la tangente en cada punto sea paralela a la couespondiente recta Q M, dicha función cun1plirá la con· dición: F'(x) .... f(x), y por lo tanto, será una curva integral de f(x). Una barra Q' A A' se traslada conservándose perpendicu. lar al eje :1:, arrastrando dos varillas A M y A' M', perpendiculares a ella y que pueden deslizarse a 10 largo de ella. El estj- . lete M, destinado a describir la curva y = f (x). es origen de una varilla que pasa por Q, deslizándose por él según varía la hipotenusa Q M al variar la ordenada y = P M. Sobre esta varilla Q M se desliza, conservándose perpendicular, otra va1'111a e, que forma con otra igual e' un paralelogramo articulado, de modo tal que ]a ruedecilla r, situada en el centro de e'.
772
XVI. INTEGRACIÓN APROXIMADA
§ 69 -1
se conserva siempre paralela a Q M; Y como está obligada a conservarse en la misma ordenada P M por la varilla m' que resbala sobre a, resulta que dicha ruedecilla r traza una huella tal, que la tangen-re en cada punto es paralela a Q M, es d~
t
A'
m'
l
t
I
I
Iy
A
!
_______ ____ L X
P
Fig. 179.
cir, una curva 11 = F (x) tal que en cada punto es F' (x) = y, si se adopta como unidad el segmento m; luego, F(x) es una función integral de f(z). Al comenzar el trazado. puede deslizarse e sobre Q M arbitrariamente, pudiendo llor lo tanto colocarse M' arbitrariamente sobre la ordenada P M (naturalmente, dentro del límite Que permiten las dimensiones del aparato), pero una vez fijada la posición inicial M', es decir, elegida la constante de integración, la curva integral queda completamente determinada al recOfl'er M la curva dada. El segmento de ordenada, limitado por los puntos inicial y final de la curva obtenida, representa el át'ea con la u'nida.-d
773
P Q del aparato ; es decir : el r ecinto es etluivalente al rectángulo cuyos lados son P Q y aquel segmento. Para obtener el área de un recinto limitado por una curvq, cerrada. basta descomponerla en dos a rcos por los puntos de las a bscisas extremas; y obtenidas las dos curvas integrales a parth' de y,¡, N" un mismo punto, la diferencia N' N " I de las ordenadas finales mide el á.rea 1M, (fig. 180) . De igual manera, todo intégrafo puede usarse como planíI
metro.
I
NOTA: En el modelo de ABDAN K ABA-
I
KAN OWITZ, que es eJ mas conocido, el moviI miento de h'aslación se logra mediante ruedas de ancha llanta y eje a, en 105 extreI N' IU 0 5 de esta barra, La curva derivada y = f ( x ) 'no se describe con el mismo punto M, ni la integral con el 1\>1', s ino pOl ' otros puntos M, y J\!l', en N la pTolongación de ni y m' . E sto equivale a I trasladar pa r alelamente ambas cur vas en el sentidu del eje :r, pero subsist e la m:sma Fil!" 180. r elación entre am bas. E l movimiento de traslaci6n de m y m' a lo lal'go de a, se efectúa me,liante un carro de dos r uedecillas que cada varilla lleva en su extremo, '! que 1'uedan sobr e sendas ranuras de la varilla a. Estos carros, situa· do,.; en A y A'. suelen llamarse carro diferencial y carro integral, resJlectivamente.
-~
0,
2. Planímetros de r uedecUla integradora. -- a) Teoría ge, Consideremos una varilla A B, de longitud l, movién· dose de cualquier modo en un plano. Cada pequeño desplazamiento de la varilla puede considerarse (fig. 181) compuesto de una traslación (A B - ? A' E') y una rotación alrededor de 1?e'r(1.l. -
I
A~'-=~------~~---------7IB' /
,
I ,/
/
I
B
A I"i". l~l .
un eA1:remo (A' B' ~ A ' B") . Llamando t:. n al desplazamien. to orientado en un determinado sentido, según la normal a lb. t raslación, y A 'P al á ngulo girado, el área t:. S = A B B' B" A ' A barrida por la var illa es:
[59-1]
a S
=
l.t:.n
+ lI2.t:.fP.
774
XVI. INTEGRACiÓN APROXIMADA
§ 69 -2
dado en valor y signo, según el atribuído a .l n, con el de ~ 'i' que le corresponda. La varilla lleva una rueda R, que llamaremos l'lIedecilla integrad01'u, cuyo R plano está a -la dis~ ~ I B tancia e elel extre1-;_-_- _-_....._-_-1_-_-_'--_-_-~¡..1 mo A (fig. 1.82), y e a cuyo eje de giro es paralelo a la vo/ Fig. 182. rilla >i<. En la tras!ación A B --7 A' B', la ruedecilla R rueda una longitlld .l-n pues l10 gira si la varilla se desliza paralelamente a sí misma. En la rotación A' B' --7 A' B". la ruedecilla rueda C•.l '{J, de modo que a l barrer la varilla el área .lS, la ruedecilIa R rueda una longitud.
---------1
il S = ~
n
+ C•.l '(.
Si JIamamos (( a la distancia del plano de la l'lledecilla al punto medio de la varilla (fig. 182), tendremus entonces, por [59-1], que el elemento de área .l S barrido pUl' la varilla es en valor y signo:
[59-2]
.l
S
=
l.
~s
- el . .l'{J
+
t 1". j,'f = 1 . j,8 + 1(1 • .l'f.
b ) P lanúnctTO pode AMSLER. - El extremo A de la varilla está obligado a describir un arco de circunferencia, para lo cual está sujeto por B' una varilla (b 1'U Z o ]Jolor) a un centro fijo O (1)0[0). E l otro extremo, B, de la varilla (brazo ele t?'CIzclllo) lleva un estilete que l'eCOl'l'e la curva (fig. 183). Según la posición y tamaño d el áre a que se trata de medir, distinguiremos F íg.18B. dos casos: 19 Polo llf uem: El punto A describe un arco no contenido en el área. _El ángulo total descrito por la varilla 1 es nulo, 101'
• EI1 los modelos l"Orl' letltes. la l'ue (lecllla no tiene el rE'tlt ro en 111 mÍ$mQ ,-¡¡,-illu. Bino ••11 ... EAtú ~" llhul14 e n un t>j e patlllelo. e n un v el}l1eÜO bu.!oi.lhlo r. t:"tc e" .. rimí ... nhl no altera .1 Ki rQ(]u ,,;¡ ". trll, J"clótl n! en eJ giro. ~ Ctr. "J"r"¡ ~¡o 1 il.. § 59 ).
"'""O
,
,"
pUl<EI
775
1.
vuelve a su posición inicial sin haber descrito una cir-
'unt renda completa (fig, 183) .
ne::aultü, entonces. de [59-2]: El área engendrada por la variUa, de longitud l e8 ls. Ahora bien: el área total descrita por l Be compone de una ptlrte descrita dos veces en sentido contrario (y por lo tanto. do 8uma nula). más el área S. descr ita una sola vez. Resulta. ptH' lo tanto: S = ls; es decir: El área del recinto es el producto del brazo l pO?' el arco tl,'xcrito p01' la r uede cilla R, al reC01're?' con el índice su conIlIrno.
li:ste arco s se obtiene haciendo una lectura inicial en el lJl lll hor graduado de la ruedecílla R y otra lectura final al vol\ ' I!l' al punto de partida. La dir"renda entre ambas lecturas tia x; las dimensiones de la rueIIt'cilla y la var illa son tales que "I,da centésima de circunferen¡,in por l es 1 cm 2 , Si el nonio ,kl tambor permite apreciar un ,Iúcimo de dicha centésima, calla unidad del nonio representa 10 mm~, En muchos modelos Jluede hacerse variar la longilud l, y para algunos de sus va(ores viene dada la unidad de ~í.rea que corresponde a cada Fie. 184. unidad de arco de la ruedecilla, 2Q Polo adentro: El punto A describe (fig. 184) una ch-. cunferencia interior a S. Entonces, el ángulo girado por l es 27r, Y tenemos: Área engendrada por l es: ls 2 7r aL El área S es igual a ésta más el cír culo de r adio r; luego: El área del recinto se deduce sumanclo al producto l 8 la constante e = 7rr 2 27TaL Esta constante está dada en el apa rato. y no es preciso cal. cularla.
+
+
NOTAS: 1. Es preferible emplear el planímetro en el primer caso de polo afuera, porque entonces no influyen en la evaluación del área los erTIlres inherentes a 108 datos r ya . Si el área a medir es gTande, ésta se divide en partes. Además conviene situar el planímetro de manera que el polo O se encuentre cerca del plano vertical prolongado de la ruedecilla, evitando que el contorno a recorrer sea paralelo o esté próximo al arco circular A A' descrito por el extremo del brazo polar (la fig. 183 in dica una posición muy desfavorable), 2, El método pl'áctico para saber, en el caso de polo afuera, por cuál constante hay que multiplicar la diferencia de lecturas del tambor de la
776
§ 59 -2
XVI. INTEGRACiÓN APROXIMADA
ruedecilla para obtener el área. es medir directamente 1 cm' del dibujo en pape) milimetrado. Si se lo emplea con cuidado, un excelente procedimiento para controlar el resultado, y aun para ser aplicado directamente, es cubrir la fi ll'1ll'a a medir con papel milimetrado transparente, y contar el número de unidades de área que quedan encerradas por el contorno de la figura. Conviene contar primero los decímetros cuadr!:\dos de papel íntegramente contemidos en el contorno; luego, el número de centimetros cuadrados; y por fin, el número de milímetros cuadrados, suponiendo que cada uno de ellos, cortado por el contorno, deja una mitad dentro, para que los que /, dejen más se compensen con los que dejen menos. ~ 3. Cuando se requiere mucha precisión, deben tenerse en cuenta varias fuentes de error; aparte de la contracción del papel que contiene la figura, falseando y deformando las escalas con que ella está representada, las dos más importantes correspondientes al planímetro son l&s siguientes: lQ El eje de la ruedecilla integradora puede no ser paralelo al br azo de trazado. El error ocasionado se reduce esencialmente si se toma el
o
-.
. . " Al
,
,, I
Fig.1 85.
-
A
b
x
----~
Fig. 186.
promedio de dos lecturas, una con el codo a la izquierda y otra con el codo a la derecha, en posición simétrica a la anterior , recorriendo el con- . torno en el mi8mo sentido (fig. 185). Esto puede hacerse en los llamados planímetros de compen8Clción, de codo A desarmable. (Cfr. ejercicio 2 de § 59), 2Q La ruedecilla integradora puede correrse o llatinar, debido a ir.Ñgularidades del papel. Esto se evita en los pla.nítnetros de preci8ión de di8co, en los cuales la ruedecilIa l'ueda sobre un disco metálico y no sobre el papel. La precisión alcanzada uSllalmente con un plnnimetro corriente, corresponde a UDa cota de error de 1/500 del valor del áTea buscada.
e) Planímetro lineal. - Se distingue del polar en que el punto A (fig. 186) está sujeto al eje de un carro que se mueve en el plano en una direccÍón x. Como al recorrer B la curva, describe A un segmento rectilíneo dos veces en sentido contrario, la fórmula es la misma del primer caso, esto es: S = 18. ·
3. Planímetro de Prytz. - Este planímetro, inventado en 1887, es notable por su sencillez y la posibilidad de fabricarse uno, aunque sus resultados sean menos precisos. El brazo A B (fig. 187) tiene longitud variable entre CÍer-
777
tos limites, y se lo fija mediante el tornillo u p r~~ión T . Este urazo lleva en un extremo un punzón P, y en el otro W1a láT
B
e p
o ¡<'il<.
187.
mina afilada D, especie de pequeña hacha que se apoya en el plano del dibujo. Para medir un área S (fig. 188), se la divide por E F en dos partes aproximadamente iguales. Colocando el punZón en F y la lámina afilada en J, sobre la prolongación de E F y después de haber fijado la longitud del planímetro de modo que
Filt. 188.
sea F J = 1,15 E F, se recorre con el punzón el arco superior F E, llegándose con el borde filoso a un punto H y determinándose un ángulo al (que puede hallarse por su seno dividiendo H H 1 por la longitud a del planímetro). De igual manera se halla el ángulo a2, al recorrer con el punzón el arco inf erior FE. Veremos que entonces el ál'ea S está dada por: [59-3]
S
3 2'" al!
(al
+ (2),
(al
+ a2 en radianes),
o bien por: [59-4] 7r
S = 120 a~
(al
+ (2),
(al
+ a2 en
grados sexagestmales).
Nos limitaremos a bosquejar la teoría de este planímetro, basada en un principio diferente de los a.nteriores. Si un punto P, inicialmente en el origen de un sistema de coordenadas, se mueve sobre el eje x, otro punto D, rígidamente unido a P n la distancia a, e inicialmente en (O; a) I reCOrTe una curva llamada t-ractriz (fig. 189). Se tiene: du -d-
=
=-
, 1 a'
x
es decir, 1/ d x
y ,1 a" _ y"
-
,
y" d y,
XVI. l:-lTEGRACIÓN APROXI~¡AOA
778
§ 59 -3
y entQnces. el área bajo un arco de tradriz; es:
S :::
f
11 d x :::: -
! 11
Va" -
y' -
~ a' are sen ~
+. C.
Como ~ 1/ V a" - ti mide el área del triángulo D M P, que llamaremos 6, y arc sen(y/a)== e, resulta: S + t:.. == - ~ a" e + C,
y
x Fif{. 189.
y entonces el área sombreada de la figura 190 hh-ea barrida por el brazo) será: [59-5] - 1; a"(8,-8 1 ) .
Si en lugar de la curva de la figura 188 se considera un poligono inscrito, y se recorre éste con el punzón P (en dos partes, como hicimos
y
x Fil!_ 190.
con la curva). el borde filaBa D recorre curvas formadas por arcos de trae trices. Llamando: S~ : área del polígono; T' : área del sector circular, análogo al E H G; R' : área de la parte restante, análoga a H G J; se obtiene, por aplicación de [69-6]: T' + R' = S~ - l a'(al' + ai). siendo al' y a; los ángulos análogos a al y (11, al recorrer poligonales_
(; , XV I -1
77':.1
El úlJ:imo término es de nuevo T', de modo que por un paso al 1I:mite. se tiene el área S encerrada por la curva :
S ~ 2T con significados obvios para T y R.
+
R,
Se puede probar (ver bibliografía, en nota IV-3) que si a::::: 1,15 E F,
es R = T, con gran ,aproximación y amplio margen sobre la forma del contorno de S. Entonces, es S = 3 T. Y se obtiene [59-8]. EJERCICIOS
1. Si R A forma con A B (fig. 182) el ángulo B y el eje de cilla integradora, no paralelo a la varilla A B, forma con ésta el demostrar que un pequeño desplazamiento de la varilla, según miento normal t::. n, un corrimiento longitudinal t::. p, Y un giro que la ruedecilla integradora ruede una longitud:
la ruedeángulo e, un corriA '1', hace
c.6rp
n, cos e + tl. p. sen lB + --~- COl! ('" - e). cOS o Obtener (en lugar de [59-2]) que entonces la varilla barre el elemen. to de área:
=
t::. 8
A
I
+
c.::'",
.lS ::::--- ps - Llz;sene----.-cos (o-e)] ~ F.l'l'. cos ~ cos u Verificar qlle para e ~. : 0, [59-2] no depende de O. 2. Aplicar el ejercicio anteriOl' al planímetro polar de compensación en el ca~.o de polo afuera (§ 59-2, nota 3, 1Q), pm'a comprobar que al cambiar el codo A en posición simétrica, el ún gulo e cnmbia de signo, dando ahora: .:l s =
NOTAS AL CAPíTULO
XVI
l. Método de P. l'flaDBion. - a) En las hipótesis de § 57-2 consideremos una partición de [a, b] en un número par, n = 2 k, de subintervalos iguales, y llamemos f11, 0'0, •• " 0'.. a las partes en que queda dividida el área S. Como por hipótesis, la curva tiene su concavidad hacia abajo, cada trapeciQ está contenido en un área O'r, y entonces: [XVI-l] 0', > ~ h (Yr-l + Yr). Dejando a un lado los dos subintervalos extremos, los trapecios inscritos al considerar los restantes reunidoB de dos en des, nos dan asimismo (fig. 191): [XVI-2] ti.. + erl ..l h(Y"-l + '/l.... ), (i = 1, 2, .. " k -1). Agrupando ahora de dos en dos todos los subintervalos, y considerando para cada par [xo" x.....] el trapecio circuucrito que se obtiene trazando la tangente en el punto de abscisa media y ordenada (base me· dia) Y"d, logramos una acotaci6n de áreas pO?' arriba:
>
780
XVI. INTEGRACIÓN APROXI M ADA
C. XVI -1
u•••, + q~ ... < 2 h y.l+" (i::::: O, 1, ... , k -1). Estas desigualdades permiten acotar en ambo8 sentido8 el área S a calcular: l Q Sumando las [XVI-l] obtenemos ]a f6rmula de los trapecio8, que con las nota-ciones de § 57-3, b podemos escribir, indicando .ahora el sentido de la aproximación: (XVI-4] S > l = hU E P + 1). 2° Sumando, en cambio, las [XVI-3] obtenemos una cota superior L: [XV~-51 S < L ::::: 2 h I. [XVI~S]
+
y
x
o f ';g.lIH.
3Q Se puede obtener otra cota inferior 1', aplicando a la descomposición
S
= + U,
Uo.t
+
"'1 1; 'oO
(u••
+
u.I+')
las acotaciones [XVI-l] y [XVI-2], lo que da, llamando E' = y. (suma de ordenadas impares extremas) : [XVI-6]
S
> l' = h E t E' +
h(21-E'):::::
h( 21 -
E' 2
+ yn.'
~)7
fórmula que ofrece la ventaja de no hacer intervenir las ordenadas intermedias de orden par. fI) Fórmula de PONCELf:I'. medio de L y l':
Se obtiene aproximando S por el pro·
E' -4 E)
(
S-h 21- - --
[XVI-7]
>
y no necesita el cálculo de las ordenadas intermedias de orden par. El error será, en valor absoluto, menor que la semidifel'encia:
L -; l' ::: : e) Fórmula de SlMPSON. ponderada entre L y 1: [XVI-8]
S ..... L
~
2 l ::::
(E' _ E).
Se reencuentra al considerar una media
~
[E
+
41
+
2 P] "
F(il{~1l11,A))Jo; J-:UI. KU - MAC I.AllJlI N
C. XV I '11 El
l ' !"rOl'
[XVI-9]
7Hl
tiEne por cotll. supt'rjol':
L~21
L-
:= +
~ "( I- l' - ~ E ),
Si la curva es cóncava hacia arriba, resulta invertido el sentido de las .cotaciones laterales, pel'o en la fórmula de SIMPSON siempre tendre· mos como cota superior, del error la expresión de MANSION: 2 [XVI-lO] 3 h 1I - P - ~ E l.
que aunque no permite estudiar, como en la expresión de PEAN() (§ 67-3, e), el orden de magnitud del error, tiene la ventaja de su sencillez y de ser siempre aplicable utili'Zando los mismos elementos empleados en el cálculo aproximado de la integral. EJEMPLO: Para el cálculo de 'iT/4 con h § 67-3, tenemos la cota:
~.~ 11 1i81 3 4'
-
08 -
O 75
==~ ,
I
en el ejemplo
= 21'~
1
de
.
, , 6' un poco mayor que 0,005, y mayor que la calculada en § 67-3, ej. 2, con el resto de PEA NO, a pesar de que aquélla se debilitó, para no complicar los cáleulos. El enor verdadero (en 'ff/4) no )lega al/lOO 000, como se observa si se compara el primer valor hallado para 'ff en § 57-3, ej. 1, con el exacto.
n.
Fórmula sumatoria de Eulcr. Mac Laurin. a) Número8 de Se llaman así los coeficientes Bn deJ desal'rúllo de esttl función. llamada generatriz: a: a; W x" (XVI-U} - :f=- e~ Bo BLl! + B.-2 ( + .. . En n ! +.0 .. El producto de esta serie llor e- es: a: x" BERNOULLl. -
= +
Bo
+
+
(B-l) ' T !
+
(B-l)o 2 f
+ ....
conviniendo en desarrollar eBtas Bubpotencias como las potencías de bi· nomios, pero poniendo subíndices en vez de exponentes. Al identificar x con el producto de 1 - e-' por la serie resultan, pues, las relaciones: [XVI-12] En == (B-l)n, (n=2, 3, 4, ... ), y como el! Bo = 1, los Bn son racionale8 y se Vlln calculando así: t 2 B, - 1 0, Bl = 2 ;
=
3 B, 4 B. 5 B. -
1 + 1 = O, B. = 6; B. ;;:;: o; 6 B. + 4 El - 1 == O, 1 10 B. + 10 B. - 6 B + 1 = O, B_=-30 °
3 E,
Siguiendo así, se hallan (siendo nulos los B. de índke impar mayor que 1, como veremos):
Bo:=
1 1 42' B.:= -30' B'"
6
= 66 '
691 7 3617 Bu 2730' EH -6 · B" 340 • Las relaciones [XVI-12] justifican que en el primer miembro do
=-
=
=-
782
C. XVI -II
XVI, INTEGRACIÓN APROXIMADA
[XVI-U ] se pueda adopta.r .d ( t I - 1) como f unción generatriz, dando los luismos valo l'es para B" (ll 2, 3, ' , ,), pero cambiando el signo de . B" lo (pe tamb ién resulta cambiando en [XVI-l1] :1' por - x; así se efectúa en muchos textos, (Ver ejercicio 8 de § 44), Análogamente, si se multiplica. la serie [XVI-11] por e', resulta: x ~-; B .. + (B + 1)'11 -' (B + 1) ' T !
=
+
oo"
}" ~l identif icar el producto de ia serie por c' -1 con el numerador de la generatriz, que es; :1'
l -e"' resulta esta nueva relación:
[XVI-13]
'B
+
B. =
1)" -
e'
e' - l 7/
JI
= 1,2,
también sirve para cleterminar los números B" pudiendo adoptarse (X\'I-12] o [XVI-13] como definición de los mismos, De [XVI-12] )! [XVI-13] resulta: (B -- 1). - (B - 1) . :::: n,
CJUé
~. si 11 es par, (~ 11 B, c:o JI),
se obtiene una ¡'elación lineal homogénea entre R" B-" B., y como es B., O, van resultando nulos todos los números de índice il11IJaI', excepto B" La notflóón de los números de BERNOULLI no es uniforme. Por ejemplo en AlI/('ricUl¡ Standal'd MClfh ell1ccOdcu[ S/jJilbo[s, 1928 (Report Z 10 of Ame rit an Engineeríng S t andflrds Cornmitee) se lndiclln con E" B" "" Bu, ,.' los va lores absolu tús de B", B" "" B-_"" .,., de nuestra notación,
=
h) Desul'J'ollo
inliníto
ele EULER l\IAC LAlJRIN. -
= c'·J, y resulta: + eT'.'o,. + ", +
Apliquemos la fól'-
lllula de los trapecios (§ 57-2) a f(:l.')
+..fb
e< d
= ~ ero
x
+
e'·'· '"
c r la' ' 0-1)/' \
+
+
;¡ e"o.'h. + R, ¡flrlieando con R. el resto o término complementario, Calculando la inreI!;ral del pl'Ímer miembro y transfo1'mando el ~,egundo, queda: (" ., (e 1) e'" [1 + cr • + cT,n-lI> I + ~ eTC (C,nl, - 1) + R. Un '
+ ".
_
e""" -
c'o
l
+ -2-
c"- l
(c' "k _ l)
+
R.
es dedl', 1 1 1 _ _,-:-:-_R.-:-----::-:h e'" - 1 - " -- et" (c'·'· - 1) , y como por [X VI-U] y los valores de B" y B" el pl'imel' miembro es B, BB" 'I'h -T! ¡" h" - 6!~ l"h" - '." l'
-2t
resulta:
R. ::::: [e'·"' '' ' - eTO] ' ( -
B-, 2!
l'
h
-
B, (h) ' TI J'
-
B,,) Sr
(-1)' 1 ~ -".
E5ta expresión se puede ·transformar, observando que si f(x) = e'" f' (y) = J'C", f "(x) ::::: 1'"C" . Oo', y 1'esulta, ))(0'(( e[c(/so f(.d=e '·, la f ómlUla:
~s
C. XV I . TI
VÚIIMIJ LA DI: ¡:U r. ItJ\ · M" ' 1.... 11lI1f~
[XVI-l4]
Jb
f( x ) dz
= h( U (a) + f(a+h) +, .. +f[a+ (n-l)h] + H «((-t- 11h »)-
u
-
i~'
(
í'(b)-f'(a») --
~'~' (i"'(b)-f"'(a) ) - " ,
.
Si f (x) es una función cualquiera de x, y suponemos que es representable con tanta aproximación como se quiera mediante sumas de la forma:
el eT,'"
+ C2 er,p + '" +
e" er.~,
aplicando [XVI-U] a cada término, y sumando los resultados, vemos [XVI -l4] puede aplicarse a una tal f(x) en general. Esta fórmula descubierta, independientemente, por EULER y por MAC LAuRIN en años 1730-1740,' Puede escribirse así (indicando con T. la suma de trapecios) :
fb f(x) d x = T n -
[XVI·15]
-
hO 30240
(vy
v)
n-Y
:~'O ( t/". -
Y/o) +
: ; ( y'n -
6
-
oue fué los los
y'''. ) -
••••
La. serie [XVI-15] es en general divergente, si bien sus primeros términos disminuyen rápidamente, para luego aumentar, en general, más allá de todo límite, por suceder otro tanto con los números de BERNOULLI. Sin embargo, tomando los primeros términos y deteniéndose antes de que comiencen a crecer, se tiene una evaluación muy aproximada de la integral, con error acotado en d). e) Pol'inomio8 de BERNOULLI. c,) Son los polinomios nidos por el desarrollo de la función generatriz: er~ _ 1 x x" [XVI-16] e' _ 1 :::: r + 'P,(r) O + ... + 'P~(r) -;c
'l'h (r),
defi-
+ ...
Se obtiene BU expresión simbQ1ica basándose en los números de BERNOULLI (a), escribiendo el primer miembro de [XVI-16] en la forma (con BI ~):
=-
e(B-t r ).
eB~
(e'· -1) - X
_
en.
== ---=---~-~ll!J
que nos muestra que el coeficiente de x'ln! es el polinomio de grado + 1:
11.
[XVI-17] donde las 8ubpotencias indican Índices en B, pero exponentes en r. muchos textos se define como polinomio de BERNOULLI el \I>'+l(r);= (11.
En
+ ll'P.(r).
c.) De la ecuación de definición [XVI-16] resulta: Todos loe polinomio8 de BERNOULLI Be anulan para r = O y para r = 1. c~) Para r natural es:
-e'"--=-- =
1 1 e" el> + '" e('·')·. 1 Desarrollando las exponenciales y comparando con [XVI-16J, resulta: [XVI-18] 1 + 2" 3" (r-l)n = '1'n(r), que expresa la suma de po/ell c inB sC'm ejan/es de los números naturale8 8Ucesivo8. e~
-
+
+
+
+ ... +
+
784
C. X VI -II
XVI. INTEGRACIÓN APROXIMADA
Derivando [XVI-17] se obtiene:
+
=
=
+
.
J"f(X)
.
dx::: h j1f(a+ht) dt::= H
.
J2f(n+ht) d(2t-l).
-"
Integrando por partes dos veces, y teniendo en cuenta c,). resulta: [XVI-20]
J
°f"(x) dx
= ~ h[f(a + h) + fea)]
= U[f(a+h) +
fea)]
+ h'
- h ' / f'(a+ht) d'P,(t)
=
(,
/ 9, (t) . f"(a+ht) dt.
Prosiguiendo en la misma forma, resultan los desarrollos parciales de [XVI-14J, con los respectivos restos:
¡"f(;1.')
[XVI-21]
dx
+ f(a)]-
= i h [f(el. + h)
a
B.W
-~ [f' (a+h)- I'(a)]
~
+31
~
{
[XVI-22]
f"{(X)
dx
H[f.(a+h)
B. h· [f"'(a+h) _
4~
+ fea)]
f"'(a)]
+
B;~~
h 5 !'
[f'(a + h)- f'(a)]
.r
.fVl(a+ht) dt.
•
Estas expresiones muestran que si f (x) es un polinomio, el desarrollo infinito [XVI-14] se corta, obteniéndose una expresión ' exacta de la integral. Las expresiones anteriores fueron dadas por C. G. J. JACOBI en 1834, un siglo después del desarrollo infinito [XVI-14]. También pueden darse formas finitas del resto, en términos de una derivada de f (x) en un punto intermedio desconocido. 111. Polinomios de Legendre. - a) Propongámonos hallar un polinomio Pn(x) de grado n, tal que sea:
[XVI-28]
f+p.(x) . Q(a:) d:l: :::: O -,
para todo polinomio Q(x) de grado menor que n. PodemoB poner: d" [XVI-24] P~(x) da:" R(:t),
=
siendo R (:1:) un polinomio de grado 2 n, no completamente deter!llln&.do, pues puede -BumArsele un polinomiO cualquiera de grado n -1 Sin cam-
c.
"OUN OMllItI II ~~ ~ " 1l 1I
XVI . 111
786
lijar BU der ivada n·éstma. Podemos entonces illl llurlllrltl la condición de ,uLUlarsc en :l;::::;; - 1 conjun tamente con IR~ lt - I pri meras derivadas: [X Vl-25] R( - l) = R.' (-l) U'· ·" ( - 1) O. Reemplazando [XVI-24] en [XVI-23], e integrl}>l'ulo por J)artes, reBulta :
= ... :; ;
[Q
[XVI-26]
R(n-l) _
Q' R(71--2)
+ ...
=
±
+1
Q(n-llR]
= O,
-1
y por [XVI-25] y la arbitrariedad de Q(x) se obtiene:
= ...
=
= O.
[XVI-27] R(I) R.'(l) = R( · H) (1) De [XVI~25] y [XVI-27], resulta que R(x) es: (x
+ l)n(x-l)" =
(x' - l)",
salvo un factor constante, que elegiremos, siguiendo a A. M. LEGENDRE, como el recíproco de 2" n! = 2 . 4 . 6 ... 2 n. y entonces resulta: 1 dn IXVI -28] P " ( x ) = 2n n' • d x" - ( ~·-1)·. ~ b) El cálculo de los coeficientes de esws polinomios, llamados de L EGENDRE o
funciones esféricas de primera e8pecie, es muy fácil si se
desarrolla la potellcia de x2_1: (x'-l)"
= ~(-1)P
~
(
)X.
(p=O,l, ... , n),
y deriva11do término a término;
Dr. (x"- l)11 (-I)P n! n• 2" I 12n : -1- ' ,< ),(2n-2P ) (2n-2p-l), .. (n-2p+l)x ." , n. n p. n- }J . multiplicando numerador y denominador llor los factores decrecientes a
partir de n - 2 p, obtenemos:
P _ ~ j~l~~ .
(2n-2 p)! _ p!(n - p) !(n-2p)!
x'-""
' fórmula genel'al de los polinomios de LEGENDRE. en ln cual se observa que todos los términos son de orden par o todos de orden impar. Es decir : la fundón Pn(X) es par o impar, según sea el índice n llar o impar. • -
2"
e) Comparando los coeficientes de tres polinomios consecutivos, resulta la relación siguiente, válida para t odo valor de x: nP n == (2n-l)xPn- 1 - (n-1)Pn-., y desde n = 2 si convenimos en adoptar Po= 1. Esta fórmula de recurrencia permite calcular los polinomios de LECENDRD sucesivamente, paTtiendo de P. = 1, P, ~ x:
P. :::
-} .t:" -~, P.:: ;
x" -
; x,
P.=
3:~ x·_ 1;
x'+
i- , ...
d) Con el mismo método de comparación de coeficientes, resulta esta fórmula de rec1.1rrencia que determina la derivada P'n(X); (x'-l)P'n = n(\:P.' - nP.-,.
e) Dando a a:, en esta relación, el veJor 1 ó el valor - 1, obtenemos las igualdades: P.Il) = P.-,(l). P.(-l) :;;;; - P.-,(-l), y como para todo valor de x ee p, = 1, resulta. en general: Pn(l) ::::;; 1, Pn(-l) == (-1)0.
f) Puesto que la función (!II' -
l) o tiene solamente los ceros
+1
Y
- 1, ambos múltiples de orden n. la primera derivada tiene ambos de
7R6
XVI. INTEGRACIÓN APROXIMADA
C. XVI -111
~)rden n - l, y además un cero simple, x = (J, comprendido entre ellas ; la de rivada segunda tiene los dos múltiples de orden n - 2, Y aclemás, dos ~i mple s, etc. Aplicando así, repetida mente, el t eorema de ROLLE, re-
su lta: La funci6n esfémfl ele orden n tiene n ceros Teales, opuestos dos a dOfl, y todos eUos en el intm'vala ( - 1, + 1). IV. Bibliografía. - 1. La gran variedad de fórmulas y métodos de integración nu mérica, muchos de los cuales, como los de LUBROCK, C REGORY, WOOLHOUSE, CHEBlCHEV, HARDY, etc., no han sido mencionados en este capitulo, están estudiados con mayor o menor amplitud en las obras / de matemática prlictica y cálculo numérico, en especial WHlTTAKER -JI' R OBINSON (cita dv. en Cap. X, nota V-4), en WILLERS y en SANDEN (citada s en Cap. XII, nota III-!) y en SC~ BORO UGH (citada en Cap. V, nota lV-3 ). Tablas, fórmulas y gráficos referentes a las fun ciones error, integ rE\I.~lm(). E i x y li x introducidas en § 57-4, trae la obra de JAHNKE y EMDE Y otra s cita das en Cap. VII, nota TI, e. Más detalles sobre estas f uncion es y otraS r elaci onadas con ellas, pueden vel'se por ejemplo, en el volumen Il de · ERD~LYI, MAGNUS, OBERHETTINGER y TmCOMI (citado en Cap. ~V, nota III -3 L Á las dos prim el'8S de estas funciones se l"€fie ren las ooras : 'i'ables (Jf the eT)'or function und 1t8 derivative. (Nat. Bureau of Standards, Ap pl. Math. Sel'ies, n Q 41, Washington, D. e., 1D54). Table al sine and cosine intc{Jnds. (ídem. n Q 32, 1954). 2. Sobre integración gráfica pueden verse: M. D'OCAGNE: Cálculo gTáfico y nomografía. (Jorro. Madrid, 1914) FR. A. WILLERS: Gmphísche IntegTation. (S. Gosche.n; W. de Gruyter, L ei pzig, 1920 ). J . Lll'KA: GTaphical and mechanical computation. (Wiley, Nueva York, 1918). 3. Sobre in tegración mecánica trata ampliamente, no sólo la teoría, sino t ambiéll descripción de los modelos de instrumentos en u so y advertencias a cerca de su empleo, la obra de LOSADA y PUGA (citada en Cap. VI, nota VI-2 ) , y el librito de: FR. A. WILLERS: Mathematische lnst'rumente. (S. Goschen; W. de Gruyter, l.eípzig, 1926). Una Vel'~jón m1.1y aml)liada del antel'ior, con 251 fotografías y dja.... gramas, conte niendo extensa bibliografía (871 citas) eH: FR. A. WILLERS: Mathemat:ische lIfuschinen und Instrumente. (Akadem. Vlg., Berlín, 1951). También está muy bien ilustrado y claramel1te escrito el libro que a· la vez es un catálogo de los mejores instrUl'lentos que pueden adquirirse en el comerdo: W. MEYER ZUR CAPELLEN: Mathmnatis c1le Instrllmente. (2~ ed., Akadem. V lg., L eipzig, 1944; Edwards, Ann Al'bol', Mich., 1947). La exposición que hicimos del planímetro de PRYTZ está resumida de F . B. Y L. C. HAYNES : The knile-edge or hatchet 'jllanimeter. (Rev. of Scient. Inst r., 7. 1~31. mía'. :l9G). Una teoría rigurosa de este planímetro, de tan fácil construcción y manejo, exigirla desarrollos considerables, que nosotros no hemos dado. Sobr e ello trata: A . GALLE: Mathematische lnstn!mente. (Teubner, Leipzig y B"rlin, 1912). ' 4. La fórmula sumatoria de EULER - MAC LAURlN tiene interesantes aplicaciones a la sumaci ón práctica de series y a la fórmula asintótica de STIRLlNG (§ 53-4), que pueden verse en WHITTAKER y ROBINSON (citado en Cap. X nota V-4) o en LOSADA y PUGA (citado en Cap. VI, nota VI-2).
l ' . XVI -JV
7H7
Sobre los pol inomios de LECENllUE puet! VCr9l' W U1TTAKEIt y W A'rSON (citada en Cap. XI, nota IV-2). tete y otro!! Sistemas de polinomios útiles en Análisis superior están t ratados en VITALI - SANSONE (vol. lI, citada en Cap. IX, nota VIII-a); heurfsticamente, en un completo capítulo de POLYA y SZEGO (vol. II, citada en Cap. V, nota IV-2). y magist ralmente sintetizados en la básica y famosa obra de : R COURANT y D. HILBERT: Metkoden der Ma.the?nfltischen P/I,y8ik. (Vol. l. 2f¡. ed., 1931; vol. n. 1937, S pringer. Berlín; trad. inglesa: Methodg o[ mathematical physic8, vol. 1, 1953; I nterscience p ubr., Nueva York). O en la obra monográfica, de carácter superior, de: G. SZEGO: Orlhogo1w l po/tnomials_ (Ame.'. Math. Soc .• Nueva York. 21,\ ed., Hl59).
entre otms muchas que pueden citarse. (Ver vol. Ill. Cap. XXV).
RESPUESTAS A EJERCICIOS § 1. Pág. 5.
2. V) V ---7 V: Ejemplo inicial de ~ 1-2, a). F ) F ---7 V: Hipótesis: a) Todos los astros son planetas; b) El Sol es un planeta; Tesis: El Sol es un astro. F) F ---7 F: Hipótesis; a) Todos los triángulos son poliedros; b) Un círculo es un poliedro; T esis: Un círculo es un triángulo. § l. Pág. 13. 1. Necesaria. 2. a) Ninguna; b) Las b'es; e) Simétrica. 3. Puede no existí? elemento b ligado al a· por 4. No. § 2. I'ág. 17.
=
Existe pr x para x sg 1 por Jos axiomas 1 y n, Luego, se aplican los axiomas II y IV paTa, supuesto existente el pr( sg u) = pI' te, probar exist.e el sgx=sg(sgu) t al que teng'a pr(sgx)=x. POlo el axioma V queda probado para todo x natural =1= 1, x sg u.
=
§ 2. Pago 27.
Efectúese inducción respecto al conjunto finito continente, su puesto primero de un solo elemento y luego suprimiendo de él tm elemento no perteneciente al conjunto parcial. § 2. Pág. 30.
3. 23 " > 3 2" si n > 1; 32n > 2"' si n > 8; 2"- > 3....2 si n > 1; 37V' > n 8' si n > 3; 11.32 n 2' si n > l. 4. Bajo la hipótesis fundamental de que el elemento ini cial (1) de la sucesión de PEANO es el número car uinal de los conjuntos de un ele· mento (§ 1 - 1 ). aplicar inducción completa respecto al número de elementos del segundo conjunto. 6. 2'.', falso para a = 1. 7. 2'-', falso ,,1 pasar de TI = 2 a TI = 3. 8. 124 Y 210, respectivamente, 9. Apliquese el teorema del número mínimo (§ 2-7) y § 2- 11.
>
§ 3. Pág. 38. 2. Ninguna. Todas, menos la primera. 3. e-a < d-b < a < e < 2a b b+c-a < d < a-t- b < a+d < 2d. 4. e < ~c-a d-b; a+d; 2af < ~d < a+b; a < O~ < b.
< <
<
§ 4. Pág. 45. 2. a'""; - uf"'1 ; (r";
360 x 1O•
3. aon;_aon;343a"x"-'y"r;xolu"; 4. 3"; S"; S'(l + 3); 3'; 3&. 5. (a 6. (at
b)"
> O,
+ b" + ab) (a' + lY' -
ab) •
ab;
2'=128;
3:
1.
790
RESPUESTAS A EJERCICIOS
'1. S6a"
+ 24a"b + 12a'b" +
(a"lb) - (aOlb') (albO) + (1/ b') ;
-
(1,'
-
-
(x"/9)
+
+
(x 17 /289) -
(x"/25) -
+
12a'b' (a' /b O )
(x'/49) -
(x'"/361).
+
§
4 -Ej. 7
24 «b" ~ 36bo: (a 8 /b') (a 2 /h")
+
-
U
(x /121)
+
(x13 /169)
+
S. (x'y'/6) - (x'y"/7) ( ¡¡:'tf/8) _ (x"y7/9) _ (xl' y"/8) - (x' yO/9) (x' y'/10) - (x' y'/7) (x'y'/S) - (x'y"/9) (~·1I'/10) (x'1l/11). 9·. [(1/2 a) 1] . ( x/2 a)- b·]. [( ~'/2 a)+ be] , .. [(x"/2 a)_b'U];
+
+
+
+
+
+
(2/3)(5/4)(4/6)(7/6), "
10.
"4, - n--_.(-1)'''1 --- -.. _-- 71.-=---- - + 1) (2 n + 2) (6 n + 4)
(_1)0>1
tt~ 1 (2 n
-1)-
n~l (2
11. 6
n n=l
12.
tg (:r/2 ' ):
'_ (
Il
n=l
3n
) "••
3n-l
13. Probar que no se anula para n par ni pal's n impar. 14.
+ 1434.
§ 5. Pág. 64_
l.
~-r-l ;
r.
5. a=:: b = O. 6.7 = ( - 2 ).14-+1.35; 1=::(-4).11+ S.16. ft 6071-1 (71 entero). lO, Si los factores }))'hnos de 2 , 2 .3. 5", p _ - 1 f uesen todos de la fo rma 471 + 1, su producto también lo sería. 13. Utilícese la identidad X"+1 1 (x + 1) (x'· - X " - 1 + ... - x + 1). en la reducción al a bsurdo, 14. De 2"-' maneras, si m está dado por [5-19]. 15. S ti 552; P :::: 2 016u • 16. Aplicar ejercicio anteriol·. l7. Si 0< r < p, ent onces 0.'1', 1.'1', 2.1', ... , (p-l) .r, forman un sistema completo de númet·os incongruentes mód. p. lB. Si p es primo, entonces 2.3.4 ... (p-2)::;;;1 (mód. p) por el ej cl'cicio anterior.
+ =
=
19. 4.
21. a) x='4 (6); b) x=9 (10); e) x = 5 (7); d) Sin solución, § 6. Pág. 76.
2. a; + (l/x)-2 =(x~1)2Ix;;' O, 3. a' b';;' 2 a b (con > si (! i= b) aplicada reil;e."adamente. 4. 1. 5. Pónganse los elementos en un cuadro; 2 = 2 n/71; 3/5:::::: 3 nI (5 n). 6.1 0 ) x/b==(a-c)/(a-!-c); 2 0 ) xlb=a/(b+c-a); 39 ) xlb==a/(a-2b); 4 0 ) 'Xlb ~o,f (a - b).
+
7. Considérense Jos casos a, > 40, a, = 11" (7., < 0... Pal'a la genm'alización, basta tomar 108 n(n- l) /2 pares (al , a.. ), (41, (l,), . .. , (a. -I, 4. ), 'lI sumar. P or aplicación reiterada se obtiene p: a, p+q.,) /71 ;::. {(l:a,P)/n] . [(~a,') /n]. [(:ta, r) In] , y haciendo p:::: q = '1' •• • = 1, resulta la úl. tima, 9. Considerar: 10) (p - b) (p - e) "" S'/1J(p - a); 20 ) La potencia de P respecto a la circun fe renc ia : gO) ,.(1 - '1') b h , (O '1' <; 1), 4Q ) h' + 2 ~ == (a + b)' .
<
~ !I
- l':j. 7
791
§ 7. J'úg. 11 0_ 1. Aplicar § 7-1, b ; :z; = ,12 + f i veri fica ;(,0 - 6 x' - 4 x' + 12 x' _ - 24 x - 4 = O; Y Va + ~2 verifica y U - 9 y' - 471 27 ti - 36 Y - 23 = O. 2. n o:::: 26. 10° . 8.4. [ l - (1 /n )l[2 - (1/n)] / 6 ; an' [1 +(l/n )][2 +(lIn)] / 6. 4, ~x. ;y. ~= ~; ~ { 4 24 81e 577 17 a } 2 == 1 ""3 17 677 408 1'2 "2 2 •
=
+
+
=
=
v
<
<
<
< ... <
<
<
<
5. ?·h" -a.,+. < j(r.-a.) / 2 < 1/2" "; l/o;¡- = 2 ?'/C =r si C=2. 7. R (l) Y él mismo. 8. a) No se corresponden los productos; b) ,'7 no puede t ener correspondiente. 9. Considérese J.=(O; 1/n ].
§ 8. I)ág. 125. 1. x' - 13 x' 2. Ninguna. lO
4 rt? -
48:r
12
+
64
=
O;
§ 7-1, b_
lO
3. V625 a'· ; " 8 a" ba ; V:-'1:-:6=-a-;;·:-:b-::-·• 11. a) (10 Vi - 16 V2 + 6 V5 - 3 V15)/106; b) V6 + V2 + V5; e) (30 ,/s - 35 V3 -
+
d) ,,15' 3 VIO 5. a ) ±~ ; b) ± 3/2; e, ) 178 ó 142. 6. a) -2; b) 3. .
+ 2 V3 -
e,) ± 26;
9
.¡
3
49 14 . Da) ± 14 ; Co ) ± 338;
V2 +
16
3
\'2 +
84)/23;
e.) 166 ó 154: I!
7. 1 9 ) Va; 2 9 ) Vb; 3? ) Va; 40 ) V:z;"; 69 ) ( VOf + vl1)o¡o . 8. 10) loga - log b (1/6) (log e 3 lo!!, x - 2 10g rt): 29 ) - I oga (1/7) log (e - x); 39) 0,9937; 4 0 ) 0,9710; 69 ) 0,9049.
+
+
§ 9. Pág. 133. Aplicando § 9-4, a, se llega a {a,b.-a,b , ) ":;" O. § 9. Pág. 136.
Vs +
4 V2 + 4 /2i; 12 3860 = 10.9626 - i.4,8809 ; -2+i (V5) 1,,302 6' ; 1 - S i = (ffo) 2SS02G' ; (2/3) - H= (5/6)32308' ; - 8 - 1Iíi 17 241~5 6' • 2. 1<'» (3 a' -I)I(2a)j 2(» (1+6i)/ 2j g(» (6 V2/2)17J\'~2' 4 Q ) (Vsí9) 1 ~047' • 3. Arg [( :<: , - z. ) I (~- z, )] = ángulo e11 :<:5. La r azón cloble (z,. Z., Z., z.) real significa que el cuadrilátero :<:, z, z, z, tiene dos áng ulos opuestos suplementarios y es inscri"ptible, pudiendo la circunferencia degenerar en recta . 4. Formular la ig'u aldad de ángulos, tal, por ejemplo: Arg [(0' - /3) / (/3-')')] = Arg (y-O')/(O'-/1)]' 5. Z = (A. Z, Xl z,) I (Al + ".) _ 6. a) z = (~A. ;1:.) /'I. A,; b) z· = (A, Zl },2 z.) I ( A, Al ) está dentro del segmento z, Z" y análogamente, z está dentr o de ;1:' Za, 7. F') Circunferencia de centro O }' radio 3; 29 ) Ch'cunferencia de cent r o i y radio 5; gQ) Exterior del círculo de centro 1 y radio 4; 4Q) Corona circular cíe centro O y radíos 2 y 4 j 5Q) Elipse con focos en
1. 68/)9=3 10229
=
9,2718
=
+
Si;
8t:lh9
+ i . 3,7461;
= -
=
+
+
792
§ \J -Ej. 7
RESPlJEsrAS A EJERCICIOS
i Y - i Y eje mayor II a = :l; 69 ) Hipérbola con focos en 5 y - 5 eje transverso 2 a;:::: 8. 8. 19 ) CíTCunferencia de centro - 5 ifa y l:adio 4/3; 2º) Si k > 1. ci:rcunierenda de centro (-a<+k"/3)/(k"-1) y radio k l f3 - al: ( k' -1). Si k < 1 se cambian a y {J. Si k 1. mediatriz del segmento de extremos a y {J. 9. V = ~ \1'90 kmfmin; W = ~ (3 + 3 i). INDIC.: Hágase un diagrama de velocidlitdes OA OB /3. OC = 'Y, Y hállase el circuncentro de ABC mediante I ~ - a I = I z - {J I I z - 'Y l. 10. Se cumplen las leyes de tricotomia y transitiva de la desigualdad y de / monotonía de la euma. No se cumple la de monotonía del producto, ni' el teorema de ARQufMEDES - Euooxo.
=
="'.
=
=
§ 10. Pág. 143.
6 cos' 'P sen"'P + sen'Ql; sen 4 'P == 4 cos·'P sen'P tg4 'P = 4 (tg'P-tg"..,)¡(1-6tlt'P + tg'",). - i; b) 1 · -18' • 164.9 , 1120. , 1 196< • - ·i.
= cos''P 4cos'Psen"'P;
l. eos 4'i'
-
2. a) 1309 , e)
1150. ,
"
( V6) 15962',
105962',
196~62',
286962' ;
d} (Y2)-109. 609, 1109. 1709_ 2309. ZoOO • 3. a) ± 2::¡:: a i: b) ± 4::¡:: 3 i 4. Aplicar 1 e ~ ~ O. 6. 1 e ee·-1 = (en - 1 ) I (e 1 . e . e· • , • e'-' E. e •-r) (e" . E"-') , •.
+ + + + + ... +
== (
1) ;
7. Aplicar ''''=1; l + r + r +r"-1- r'=O.
B, x = v-'T±i = ( ~2"> 16 ~, 10~9. lS 5~. 2269, 2669, 8460. 9.1 9 ) (x"-v'2ax + a") (w +v'2ax+a') ; 2Q) (x-l) [ x" - ! (v'5-1) x 1] . [~ + ~ ( \ f"5
+
§ 11. Pág. 160.
Homogéneo: (m
+:
-1 ); No homogéneo:
+
(m ~ n) =
§ 11. Pág. 165. t. 5040. 120, 20: 64, 243, 3125; 40320: 2520; 210. 2. 17280. 3. 30, 4. 600. 5. (n - l) ! (UL +a.+ '.' ;-a, ) (10'-1)/9.
1)
x+ 1)
( m~
56. 20, 36;
n)
84, 495,
6. n!/(2n).
7. Si no hay letras repetidas 2(n!)", Si cada vocal se repite a., {J o, ••• , ~ . veces (01, + f3. + , .. + ~ . == n) y análogamente para las con· sonantes (a, (3, + .,. + ~, n), se podrán formar 2{nl)·¡ /(a.! ... ~.I acl ... h.!) palabras. 8. 56; 126. 9. 360360.'
+
=
10. (P ; 1) .
11. iQ~ 67; 2 9 ) 210; gO) 1088. 12. 460. U. TS = ST =(2675 ); S.=(89} (56) (27) (134); TlJ=(89) (2576) (148) 15. (567) (182),
llY.Sl'Ut:$TAH A JI..J 1I:ItC1(jJ I
§ ] 2. Pág. 169.
2. 10) 2702 ; 2(» 8898 i . 3. 10) 78750 a~fr,'y"; 20) - 122472. 5. (1: a, ) " 2:4, 2 ~(I;I al; (~a,) ' 1: a,' 3 ~a"a, + 6 1: a¡ 6/ A~i ( :!; al)' = l: al' 4 1: al a, + 6 k al al -1- 12 k a" a, G~ 241: a, al a~ a ,; (l: a, )" = ~ a." ~ a l' al 10 l: a,' al 20 ~ al Dal Ilt BOl: al a,¡' a. + 60 ~ a,' a, o.. al 120 ~ al aJ a. a, a .. . 6. 1Q ) 203490; 2Q ) 330. 7.1<» Hacer a=b=:o= ... ,,:; 1 en [12-9]; 30) Hacer a:::: b = 1 en (a b)" - ( 0 . - b)"; 4 0 ) (a b)- (b + a,)n :;:;:- (a + b)"', igualando coeficientes de a" b" en los desarrollos del binomio para el pr imer miembro y de LEIBNIZ para el segundo; 5Q) Hacer a 1, b == - i en (a+bY + (a-b)"; 6<1) Hacer 0.=1, b =i en (o.+b)"-(a-b)". 8. Desarrollar [z±(l/z)]m 1 aplica}' § 10-1.
=
=
'+ + + [; +
+
+
+
+ +
+
+
+
=
§ 13. Pág. 172. ]9) 3 (3 21/) - Y = - 6; ( - 1; 2); 2 Q) Y = 1 + 2 re 2x + ] (indetern.inado); 30~ 2 (x 2 y) - (2 x + 4 y) = - 1 (incompati. ble).
=
+
§ 13. Pág. 190. 1. A 4; B = O; e a be; D = - (a 2. La ectlación es de primer grado; x
=
3.
=
:1 1 1 e~
1;1 :1
~
b)·.
= - (0.- + b- + c-~ + d-')-l. -~ 1 ~ ~ ¡. 1
f:
1
o 1 - i 4. La necesidad es inmediata. Para la suficiencia.. se iguala. a O el polinomio y se despeja una de las variables, observando que el r adicando que aparece es un cuadra do perfecto. Si éste se anula, el polinomio P dado es un cuadl'ado ped:ectv, y entonces, y sólo entonces, A tiene nulos todos los menores de segundo orden. 1Q) Irreducible; 2 Q) x=1-y±;2 V (y - -i)", P ::: 2(x-y+1) (x + 3y-3): 39 )x=-y + 2±16; P=(x + V- 2 )·. 5. Por las dos úl timas filas es: -1
1
A=I: ~I· I ~ ~ ~+I -I: +~¡·I : +~ ~I+I: ~I· I: ~ ~ \= :::: abcde -
B=I_:
(cdex'
bdey'
beez'
bcdV ) . Por las filas 31!- y
ó~
es:
!I· I-! ~ ~ I - I -: ~I· I- ~ ~ =~ I -I! ~ 1·1 =~ ~ ~ I= -5
3
4
-5
3
O
9720 .
6. Il =
8"
1
~ -2
=843.
-
l~7
~ 1: ; :; 49 = 8 -4
1
::;
1":: - ~ O
10
1~
1'
(por filas) .
21
§ 14. Pág. 194. 1. 19 ) 2; 29 ) 3. 2. De A ee 5; de B es 3; de e es 4- n si n es el número de fBetores nulos en abe; de D eS 4 si a "¡- b, es 1 si a::= b -=#: O, es O si a==b :::0, 3. 8 si las dos primeras columnas no son proporcionales. 1 si lo son sin anularse todos BUS elementos,
ti ll'i ~
. I~j .
15. Pág. 213. IK! O vale a. y en ~ == a. vale 3 a 12. 2. 19 ) a. b; 29 ) 1 ; 3V ) b. 3. 72. 4. a. =:: b = O; v = - 4. 5. 4 gr de la l~, 4 gr de la 2~ , 12 gr de la 3~. 6. 19 ) Determi nado (5 ;3; 1) ; 2 9 ) Incompatible; 3 9 ) Indeterminado (h= 2) , y=x- (15 /9) , ~= ~ -(21/9) . 7. 19 ) Determinado (1: 2; 3); 2 9 ) I ndeterminado (h == 2 ), Y =( 7 /2)~ + + ( 11/2 ) ,2 = ( 1/2)x+ (7/ 2); 89 ) Incompatible; 4v~ Indeterminad( (h= 2), x= (5z+4t+5u+ 4)/ 11, y :=(-2z-17t+ 9u +5) /1l. 8. 10 ) h=3. solución nula ; 2 9 ) h = 3, x=-it, y = ! t, z= it. _/ 1. En
= +
§ 16. Pág. 231. 1. ± 1, :i: 4. No se cumple la ley cancelativa (§ 5·12, e); o bien el det erminante de VANDERMONDE de cada tres raíces resulta ser == O (mód. 15) . 2. O; 1; x; x + l. Es, por ejemplo, x + ti: == O; X.X x; x(x 1) == O (mód. 2). 3. No, pues 2 (mód. 4) no puede tener correspondiente. 4. 16. 5. T - ó x + 5. 6. Cociente: x' - 2 x + 3 ; k == - 15. 7. x' + 2 = (x" - 2) (x" + 2 x· + 4 x ) (8:); 2). 8. m == 3. 9. 5 x' 4~ 3 x + 2 con resto nulo. 10. - / - siempre; +/- nunca; +1+ si m impar ; -/+ sí 71L par. l ] . m impar. 12. t' A (x, t) == B( x,t ).[(tO t·)x· - f x·- 1] + [(2t' + 2tt )x' + + (2 t" - 2 f' - t + 1) x + (2 t' - 2 )1 i x'A (a:, t) == E (x, t). [2x' t + (x· - x" + 2 ) ] + [(x'-2x' + + 4 x' + 2 x) t x' + Z:);o - 2:.;· 2 x' - 2 x + 4)].
==
+
+
+
+
+
+
+
+ (-
§ 17. Pág. 245. 2. E n el campo absoluto: a); en el real: a ) y b); en el complejo: todos. 3. 1Q ) : b) e (1, Vó); e) e (1. ,t.:"i) ; 2Q ) \15 + v - 3 . 5. x' + 2 x - 1 ¡ - X ' - 2 x + 1; 2 x' ~ x - 2 : - 2 x' + x 2. 6. n~5. 7. 3 x" + 7 ::: [(- 13 ~ + 87)/ 1956J . (1 5 x~ + 71 x' + 60 x' - 56) + [ (65 x" + 241)/ 1956) . (3 ",0 - , - 1'7 x' - 20 x~ + 84 ). 8. m. c. d.: 4 x - 1 ; m.· c. 111. : 64 x' - 16 x' - 4 x' x. 9. x - y. 10. Exp resar a. como producto de los términos independientes de los hi· potétic()s f a ctores. 11. A plicar el ejercicio anterior. 12. lQ ) (x+l )\I:t-2/ [(x-l) ,l x + 2J; 2 Q ) (5/3)( x'+xll+ 1I) .
+
+
+
§ 18. Pág. 250. 1. Las dos pl'imeras [18-9J dan una ecuación de 21;1 grado que permite hanar las ra íces buscadas. 2. a) q = 4, ( l - i ~ ; 1; 1+ i V"J): b) r:::;::76882 (- 14; 49;112). 3. a) q = 8, (1; - 2; 4) ; b) r== - 10648 (4 ; 22 ;1 21). 4. CJ == - 16; ( - 8 ; ± 4). 5. Póngase tt 1'1', + t., v = ;/!, z•• . ti' = ·z. + Z., v' = z. ;¡:" y teniendo en cuenta las [18-9J y u. u' 2 (v v'), equivalente a (~1, to, ti, t.) == - 1 , dedúzcs.se la cond ición a demo ~tl"a l'. Esta es suficiente, porq ue entonces A •. , 1) A,. + q A •. " (1.: = 1,2,3 ) que con a l'" = p n.o q a,H
=
=
=
=
+
+
§ EU - I'j . 12 (¡ ~
79&
= 1, 2; /,' :::: 1, 2, 3) si !'>nn llUl rnlcIIII d 'l .r' - q = O, dan n} = Al. (l. = 0,1, 2, 3~, es dl~ it· , In \.'(!uac!c;11 es X(x + a.)' + + «,}' = O, que en E = ( x + a, )/(:t + tU da vértices de un cua-
".' +
1
Kp'sI'UKt4,."H A EJEft I ' 08 (l.,
JI~'
.". (l,
/l
¡.¡. ( w
dntdo (cua.te,r na armónica). En otros casos se obtienen fád lmente cuat"I'IIRS armónicas degeneradas. ( B. RODRÍGUEZ SALINAS). § 19. PAl:. 264.
l. 140 km; B
=
=
=
=
+
§ 20. Pág. 275. gQ ) No tiene limite;
4Q ) Límite
+ Xi;
5Q ) Lím íte oo.
§ 20. Pág. 281.
1. 2. 3. 4. 5.
1000001. Oscilante; O; O; + 00 : 00; _ co, n:; (1 + a.)~ i n (n - l) a. l ; a. < e si n> 1 + {2/rDl. 8 n/v n +- 1 > a. > n/\' n" + 11 . COn\'ergente, por ser mon6tona ~reGie nte acotada, 6.7.*1= ( a.+aH+tn-' +a, + a." n -> + , .. + a. +a••,n-') / (n + 1);;¡'
>
> [ «1 ( 1 + n") + ... + a.(1 + n-l) J/ (n + 1) =
T~
si a. es creciente ( <. si decreciente). 7. a) Es creciente y acotada., porque a. < 2 implica a n , = " 2. + a. < 2; b) Habrá de 8eT' a = ~ > O. 8. a) ApUquese el método del ejercicio anterior ; b) Si Ll. ~ r, es a••• kl (1 + a. ) S kl (1 + r) = r. Si a, r> a. Tcsulta a,••• - al n [ TI (1 r)]" ( a, - a~) : aln+l - a..... < [r/(l + r ) l A( al - a.). Análogament.e si a, < r < a•.
=
9. Si 2"-' 10. a) a n .. b) a ....
>
+
<
< m/2" < m/( ; ) -+
.-;;; 2'" es v(n) In ~
= a, +
i (a. -
-
( a.. -
a n -,)
a ,) (2-~
:
+ 1) I (8, 2
In
).
O.
11. 0, + 00: - oo. + 00 , 12. Para límites de (lscilación finitos ~ tim S\lP ( - a.) ~ - a, lim ilÜ ( - (l.) ! + I!.. <. < Uro inf (aa f1n) (; ~a + íf; -;; + P} <. lim sup (an + 13.) ~ o( "ir + 7i; !!.. -{3 <; lim ~f «(In - 13.) <. '" ~ a-13 ; -;;-:e~ <; lim 's up (o. - 13.) P. SI a > O Y f1 > -0, basta ¡roner . en vez de + y 1/ en vez de 0:-. Pa'ü límites infinitos y o.tros casos, cfr. § 21 -1,4 Y la regla de los aignos.
+
=- .;; < -; -
796
§ 21 -Ej. 1
RESPUESTAS A EJERCICIOS
§ 21. Pág. 294.
1. 8; 1 /2; 4; 1/V'3. 3. a; a,. 4-. 1/e; 1; + <Xl; 1 5. 11 \ .'7 ; e S/ 4 • 6. Será a::; [1 + (a.. / n)]" ~ ea siendo a = lim a" existente. En efecto, si a > 1, es a. > a." > 0, pOTque para b ::::: aH[" ( " +') 1 > 1 q u e d a n(b n +1 _1 ) > (n+l) (bn- l) , es decir, nb" > b"'" + bao. + ... + + b + 1. Si, O < (J, < 1 se toma e = 11 a. Paxs la aplicación ee conn G n .. ~./" sidera n ( ,\í(ib - 1) = n (Va - 1) Vb + n (V'b - 1) . 7: lim " V'-(';':;2;-;/':"' 1 )~(C:: 3'7. /2;:-:)-= ~ -:(;-; 4'7. / 3;:-:)-=·-.-.-.-:[~(;n-+ ~1:-:):-I;n-::-:] ft - lim [1 + (l/n) l":= 6 (cf r. § 58-4) . También como en ejercicio siguiente. 8. 4/6. 10. I (1 + i) 12 I 1/ ,,["'2' 1. 11 . eiko;r/S , O":; k 5. 12. Deberá ser z ;;:= l [ z (l/z)] si existe JI::: lim t •. Si R ( z,) =F O ea tg a" = 1 (Zn ) I R ( z.) =F 00, con I tg a. \ -? O, porque I tg a..... I (kn - 1) (k. 1)-' 1t g Un 1;;= (k" - 1) (k. 1)-' (k.-. - 1) (1e~1+1) -' ' .. (k, - l )(k, + l) -ll t ga'¡ (k, - l )/(Ie, 1) ]" J tg (1:, 1, donde len es el mayor de los valores 1Zn 1- y ')..1 1z. 1", con 1 < k ••• < k,.. Para I tg ". 1 < 1 es 1Z . H - (1/ Z.n ) 1 b 1 2. ( l /z.) I, equivalente a 1z." .- 1 I < 1 2,,' 1 1, de dnnde 1Z.u - zo+' I ;;;::: = ~ I z ••, - (l/z",,' 1 ~ 1z ••, - z.. l, que asegura la existencia de por lo menos un punte de acumulación fUlito de ~ z. ~. Si R (z, ) ~ O, será también R (z.) R (z,, ) = O con I (z,...., ) t iI(z. ) - [lII( z" )]~. y si exist iese lhn z" z, quedaría [I (z) J' - 1, absurdo. Para la generalización, Z" cOflVer ge hacia la Va m ás próxima a ZI. No converge, sí z, se encuentra sobre la m ediatriz del !1egmento que une ambos valores de
= <
<
+
=
+
<
<
=
=
+
=
+
<
+
= =
Va.
§ 22. Pág. 32S.
L 1; 3/4; 1/4; 28 /90. 2. R. no,; R.. n-~ (n + 1 ) -· 3. a) Diver g.; b) Diverg.; e) Converg.; d) Diverg. 4. P al'a la serie S, el crite rio del cociente da caso dudoso, y el de la raiz, oonvergencia. P or su ma de sen es geométricas resulta 8 .,..-: [ a/(l - a )] ( b/( l-b) ]. Para la serie T, el criterin de la raíz
<
=
<
+
da caso dudosn. Por series armónicas, r esulta T Ha ) 12" + t({3 ) ( 2 fJ -1) /2/1 a) Convergente ; b) Divergente. b - a > 1 con b ni nulo. ni entero negativo. De u¡';' + 1.Ik "+1 + ,., + Ukn+'-l < (Te - l ) k" u/oo" (n = 0,1, 2, ... ) se deduce :! 1t.. < (k - 1):¡ v" ; de u¡'"+1 + U;" +2 + ... + U k ... > (k - l)k"u¡,,,,,, (n=n.1, 2, ... ) se deduce 1:u", [(k - l)l1cl1:v., .Para '1' =0 esu. = n .... ; v. =k nU- • • cnn k,-a
=
6.
6. 7.
>
8•
<
9.
<
>
<
""-l.
'"
707
Hf:l>l'UD':iTA ti A BJ F.ltCIOIUIi'I
De 1 + :t < e si ti; > O (§ 21-5), para a: = 11 (11 - 1) resulta (11.-1) In ( n - l ) 1 (11. - 1) 1n n. Por lo tanto, es [(,1-1) In(n-1)] U,.- . - n In n Ur. ;iJ- t"U... - l, y podrá aplicarse el mismo ral'()· namiento empleado en § 22-2, e para el criterio de RAABE. Si a.. < 1 - a < 1, con 8> 0, será. (n - l) In ('n-l) u.. -. - n In n. u" " <: ~ 1 - In [1 + (n - 1)-1]n-l - <'l~ ~k.-l < O desde un n, por § 21-6. Asi resulta u,, /tt,.-. > (n - l) In (n - O/(n In n), suficiente para asegurar la divergencia por el criterio de comparación de 21!- especie y el ejercicio anterior. POI' éste mismo es ~ v~ divergente para V n = 1/ (1'1 In n V 'In (frl?l)) , Entonces. con 1 bn l < K independiente 'V, 1 1 1 bn de n es -:v;::- : : : : 1 - -;; - n In n - 2nlnnln(1n n) ;;'0- " O
>-
+
+-
..,.. 1 - --=: ah U. "'< 1 - - - para a n
~ l. n In n Un-l Para el caso de ser a ~ 1 en el criterio de GAUSS, basta apli· cal' el criterio de RAAJlE (§ 22-2, e) con n [1 - (U,"/u,,-l)] a + + (d. 111...., ). Si a = 1, la divergencia queda asegurada poniendo u.. /un-l = l - (l /n )-:- [l/(nlnn)] (d~ l llnln,,-1) con a.=d"lnnlnJH -,loO. 10. Convergen te si a > e, divergente Bi O < a';; e, INDIC.: Para O < a S e se a plica el criterio de RAAnE (§ 22-2, o). Para a· :;:: e, se aplica el criterio de GAUSS (ejercicio antel·jor), por ser u../tl n-1 = 1 - O/n) -
11.
=
[ n" ( Ve - l ) _ n]ln8 con dn =n"(\:r-;--l) - n < (1/ 2) [e('n. - 1)]-1 < [{, pues si 1 :Il 0, es 1 x ( :1:"/ 2) < [1 (x/m}]" < e- ~ 1 (x/ll) (~/2! ) + . ' . (x"'¡'I1tl ) 1 + a; + (r/ 2) + (:1:"/6) ( 1 - x)-" (§§ 21·5,a; 22-1,b), de don-
+
<
+ + < + < de para ro
+
> >
+
+
+ ... <
= l/n q ueda
Ve -
1 - (l /n) - (1/211.") < 1/[6 n~
+
16.
15. In 2 ,
-.r + i ( nP )= 2",
+ ...
1>=0
*
(l+x)/(I- x)"; 2; 400/4.41. 18. R( ::) > - 1; 1,11 1 < 1; l:el 1; 1,1\ 1 < e. Además, remtlta la convergencia absoluta. INDIC.: E n la pemlltima es I :e _ en' \ ;<» > 11 z 1- 11 = El . En la última, fara I z I = e, el t~rroino general ?+. no tiende a cero, pues 1 U. /U. - l e/[l + (1/1t)]" > 1. 17, l/(l _Ql)3;
=
§ 23, Pág. 872.
6. P ara k entero es: f( 21c)== 1, f(2k+1) no definida, y f(x)=O para x n o entero; g (k + ~) = 1 Y g(x);:::: O en los demás puntos; h (2 k + iI) = 1, 1l(2lc + 3/2) no definida y h(a:)"" O en los demás puntos, 7. H f( x)+f(- x )] -1- Hf(o:) -
<-
f( - tll)] .
10. a: > 1 y x l. 11. (* indica: ·'pertenece al conjunto"): a) - \110, +V1O; b) O·, +00; e) 2/3*, +00; d) 0,2*; e) - 2" , +2* f) 0,1*,1/3; (1) 1/9'''. 1*,
§ 24 - Ej. I
§ 24. Pág. 382. Para t~oo: O; 3/5; oo.
Para t""-"-1I5: -13/6,
00,
oo.
§ 24. Pág. 386. 1. a) 0=0,02; b) 0=0,0002 . 2.0=e/5. 3. a) 8 = e!7; b) /):::: e/8. 4. Basta tomar e 0,001. 5. No, de acuerdo COIl la definición de § 24-1, pues en todo entorno redu· cido de O hay puntos donde la función no está definida (cfr. ejercicio 8 de § 26). Sí. aceptando el verdadero valor de § 25-3 en aquellos puntoB. 6. Cateto opuesto, superficie, dos alturas. dos segmentos de mediatrlces. 7. a) Superiores a un ángulo fijo; b) Con límite 'lT/S. I 8. A=c-ac'-bb'+ab'a ~O; l)(x) _Xx-o. 10. 15; 5/2; O. 11. 12; n ano,; 18 ; 3/6; -1. 12. a) 1; b) n-1all-tl)/n. 13. +00; -00; oo . 14. O; 2/3; + oo. 15. -4. 16. Na existen. 17. a12. 18. INDIC.: Ejercicio 8. 19. 00; (-1)"00.
<
+
+
§ 25. Pág. 395. 1. ±Vn+1; +n"; n; ±n¡ ;t:n/2. (n=0,1,2, ... ). 2. 64/27; V 2. 4. Los "slal'es funcionales que no se conservan quedan aumentados o . disminuidos en el salto o BU mitad. según los casos. 5. f(3 -)=-00; HS')== + oo. 6. f(O')=l; f(O-)=-l; de primera es,p ecie; salto 8=2. Si b=O es g(x):;;::: h (x)= O, evitable, trivial. Para b ~ O, g(x) tiene discontInuidad infinita de primera especie; si a> O es g(O')= O y g(O-)= =(sgb)oo; si a
§ 26. Pág. 400. 2. El intervalo no es cenado. 3. El extremo superior 1 no es accesible. La función es discontinua para todo x. 4. x" =2/ (2 n+ 1), ::1: -1 - X. ~ O, I f(x.-,) - f(x,,) 1= 2. 5. [¡:::: 10-0. 6. Dividir [a, b] en un número finito de intervalos tales que en cada uno sea < B la oscilación de f(x). 7. y==3+x-3Ix-l l; y=2Ixl-3Ix-l l + lx-S I. 9. Sólo si la continuidad de f(x), definida en el campo racional, es uni· forme. bmrc.: Probar que en tal caso f (x) tiende hacia un límito f (a) cuan do x ~ a irracional. 0
§ 27. Pág. 414. ex In "'; e {)n xl/x;
e-'%' ro",_
§ 27. Pág. 414 .
.
-~--
1. o(e)= l/V -log.e. 4. La discontinuidad de segunda especie de la primera función se convierte en discontinuidad evitable en la segunda, con verdadero valor 1.
7!l!J
+
=
<
z. Ir, h. < !I, e*. - e"" :;:: e:r"(ch - 1) (lb(ell " ..¡¡Iu la (,Iln tillllidnd 1'11 0, pl'ohlu:la I;'n 8 -5. /,.
6. Si
*
l)
eon lo que
,!-; -
O Y con tinuid ad de la fUl1cion logadtmi(,fl. 1. log 2 > log3, Elunque 2 < 3 (fig. 31 en § 8-7, b). 8. ~'" = so; In", y continuidad de las funciones exponencial y logarítmica.
Ci. In
§ 28. Pág. 418. 3/4; 1/2. § 28. Pág. 424. L 4.10'/21600=1851.851. 2. (n +tpr ; n ";7; n 'U. (n entero). 4. ti < O en (O, '/T ), ti ~ - 00 para x -7 O' Ó '/T-, y no está definida ni en O ní en ['/T, 2 'IT]. 6. 6; 1; -2/9. 7. feO) = 0, f(l) = 1. 11. a) 2xV1 x"; b) x/~; e) (I+x)/(1-x); d) x/Vl+x' 12. Infinitas rectas ti = ('IT/2) - 2 x + n'IT. l3. - 1/2 ~ x + oo.
<
§ 29. Pág. 428. 3. chb::::: + V l!( chx + 1); shh:::::; (sgx)V Hchx-1) . 4. sh p ± sh q = 2 sh j (p ± q) . eh i (p:¡:: q) ; eh p + eh q = 2 eh i (p + Q) • ch A (p - q); ch p-eh q=2 sh ! (p+q) .sh 6 (p-q). 6. - 00 < x < + 00 ; x ~ 1; - 1 ~ x <; 1. § 30. Pág. 434. tl S = 2'ITr . .o.r +'IT (.o.r)";
tlS/tlr =2'ITr
+ 'Ir • .o.r.
§ 30. Pág. 434. S' = 2 'IT r :::: Longitud del incremento anular infinitesimal. § 30. Pág. <141. 1.
a)
4.641; b) -
029320987654.
2. -2/x"; llV ·x; a/(2
VaX.+b)
3. A (-1; -4); B (3;0). 5. f'.(0) =-1; f' (1) no existe. 6. lQ) Para r>~ y 8 cualq u iera o para '1
<
0
= ,'- (
= =
§ 31. Pág. 445. 1. Tangentes: Normales:
=
ti 3 x - 2; y =-x+Z. ti = - (113) x (4/3); y::;: x. 2. a) y-ax,"=1'1.ax, .-, (x~x,); b) y=2 (tll/X,) x-y,; e) y=-(y,/xl)x+2y,¡ d) y = 1'1. (y,/x,) x (1 - 1'1.) YI; luego, hay que unir (x" YI) COD [0, ( 1 - n) ti,] .
+
+
( ± 2; ±8/3),12x-3y +16=0. (±3; ±9),x+911:¡::84=O = 3°7'20". 4. S,::::3/4: t::::3VlO/4; S.=27/4; 1'1.=9Vi(I/4. 5. B= 3t-2. § 32. Pág. 456. 2. .1/'= 8 (x' - 2 x)' (3 x"-2); z' = - 'X/va' -x'; 10':::: (3x"-1)/(x"-x). 3.
IJ
800
REsPUESTAS A EJERCICIOS
3. y'=4x / (x"+2 ); z'=4x In (x' + 2)/(x"+2); w'= 2x![(x"+2 ) In (:r:" +2 )]. 5. '11'= (2;"-1) ( x" + 3) + 4x' (x' 1 ); z· = (1 - x")f( l ~).; 10' 1/ v' (x + 1)" (x-1); tL' =-1/ (x VX-2::c V-;). 6. Basta derivar los elenlen t os de la última fila. 7. y'= -2xe-a:" z':=-8e-s"ln a; 8'=e' (t-B-2t-O). S. y' = 3 ( x' 1)\~ In (:r:" 1) 6 ¡¡:" (x' 1)0.-1; z' = (ln t) ' In In t + (In t)'-l¡ w' = e"'" ~ (1 In x). 9. f'( 77"/ 3 )= 8 ; g' ('iT/2) = - 2 ; h'('lT) = 2. 10. y' 10'··· {1n 10) COI! ct:; z' = (eos::c In x x-1. sen x)x ..n o (In tg :z: 2 x sen-1 2 x) (tg x) ~ 12. y'=1I( V 1 :ti. are sen x) ; z' 1/ (2"¡ 1 x"). 13. z = 11 ('11"/4) • 14. y' = eh x e· sh e"; z':::: 1! (2 VX" ch" " ,,""";); w'= (ln ch t t t gh t ) (ch t )' . 15. y'::::: 8 x"!" ::ce+ l¡ v: = 1/ Y-¡-;-(a: - 1); w' = e- Ben2 6' / U-seu' eL). 16. La derivada es 2 x, salvo discontinuidades evitables. 17. f' ( x) = arc tg ( l!x) -!t; / (1 + xt), f ', (O) =::; + 1!'/2; f'-(O) -77"/2,
+
=
+
+ +
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
punto anguloso. § 33. Pág. 466.
'11"(0) :::; O con punto de inflexión, aunque no crezca ni decl'ezca, ni t enga máximo ni mínim o, y sea y" (:1.') discontinua en fe =-= O. § 33. Pág. 468.
=
2. f'-(O) = - 00, f'~ (O) + 00; g ' - (O ) = --1, g'.(O) = + 1. 8. No tiene máximo ni mínimo, ni crece ni decrece. a pesar de ser f ' (O) = 0, f ' ( x) continua. 4. a) Minimo en :1: = - 1. máx. en x=l ; b) Máx. en x=l, x= H - I - V5); mino en Q:'= 11(- 1 + Ys); e ) Min. en ro 1, x = 3, mAx. en !!t = 2; d) Máx. e n x =1., mÍlI. en x = a. 5. El cuadrado. 6. a) :r,= O(1I7>1}, x.= a.(n > 1), x,, = ?lla /(m + n ); b) En x,: creciente si m ef¡ impar, mínimo si t'1t es par: En :1:.: decrecient e ~ n es impar, mínimo si n es par : En x , : Má xinlo. 7. l = a "2. t' =- b V2. INDIC.: P óngast' la elipse en forma paramétriea '
=
=
8. b = d "1/3; h = d " 2/8. 9. h/ S. . 10. ll'f2. 11. V I + ( hla)"/- (a + --fI a b') .• 12. Este problema de máximo es equivalente a l anterior de mínimo. 13. a) Máx. en· :t 1 ; b) Min. en !!t = e-1 / " ; e ) Mí D. en x"'" 1. 14. Distancia del vé rtice al centro: x == (1 + ,f2) R (con la base del cono t angente a ]a esfera). 15. re = R. 16. a) Inflexiones 11:, = - 1 ~ v10/5, x. = -1 + «0/5; concavidad hacia y < O en (Xl, :1:, ) Y hacia V > O fuera; b) y" se anula creciendo en ('17'/2) 2kw y decreciendo en (71'/2 ) + (2k + 1)'lT, k entero; e) y" se SImIa creciendo en 53 7',8 + 2 k 7i, Y decreciendo en 58°'1',8 + (2lc + l)w . 17. t(x ) = f( - x ) > O, f (x) -) O para x ~ oo. Máximó (absoluto) en x = O. Inflexiones x, = - 11 x, = 11 Va. Conc&vidad hacia
=
+
y
< O en
0
,rs,
(Xl, x,,) y hacia
'JI> O fuera.
1C'11t1
tllll
§ 34. I'ág. 414. l. a) 2t dt/(t" - l); b) e' dt/(l +0"'); e) 2z"ü ~ / V1 uf'; d) 3 flrc senat dt/Vt-t": e) x···· (oos:t In x +:.:-' sen x) dx;
/) 6 ~r'P e V;; sh e y;-d :ro
6 = (1 + 3 al +.0. a: ) (t:. x)"; Il = (ti. x)"' ( x" + x" . A a) • 4. cos-a:r.. 5. Son las intersecciones de tang€ntes en puntos correspondientes a valores del parámetro que difierell en (2 k + 1 ) ?T, (le entero). '1. Jl ~ are cotR In a.
s.
§ 35. Pág. 483.
1. 19) { cualquiera ; ~) ~
==
[ (a s / ,
+
2~1) ~
o,"!"b"1'
== ~
(a
+ b) ;
+ b'/') 18]"".
4. A cualquiera, a unque la derivada no sea contlnUII en x == O. 5. Aplicar el teorema [36-1]. 7. ó. c = (a -2b cos C) klc, Q entre o, y a +IL. 8. e < 0,000 13. 9. e < 0,000044. 10. Error relativo < 0,0014. 12. Probl. di recto: Tablas de sen [cos], a r cos próx. a 'ir 12, [ O]. ProhI. inverso: Tablas de sen [cos] , arcos Jll'ÓX. a O, [.... /2].
§ 36. Pág. 491. L 11 = l. :::: 1; h. =a, h.::-::an ; k = b/a. 2_ 9/ 5; 1/2. 3. ~ ; O; O: (): 1: O. 4. ~ ; O; 1/2. 5. -2: 2 a. 6. z, = O; l,. =~ ; 1. =0 ; 1. = - 1/2. 2 '1.1. = 1, l, = e""'; h1 = h.::::: 1 ; k,=k.. =e / 1r , 1<:, =110. l == 2; h O; k = 1.
+
=
§ 37. Pág. 499. 2.. 3~ Y 4'" de igual orden, mayor que 21)0 y menor que 1110, 3. 71". 4. E quivalente a x In x. 8. a) y =1, x=2; b) y= 2, x;::O; e) y = {); x=2 . 9. y=x, x:;:::: 1, ~; =-1. Corta El la primera en ~ = O. JO. a) ti = x; b) ti =:1; ± V372 [ x - (1/6)]. 11. x = 2; Y = ± «(1; +! ) secantes. 12. Um 'JI = O; lim tI' no existe llara ti: ~ IX) , § 38. Pás::. 516. (-3)t> e- a",; 2" sen (2x + n'1T/2); 2- 1 sen [2z + (n - 1)'1T/ 2]. {_ 1 )fi (n _ 1) !(1 +x) -n . Las dos primeras subsisten para n =O si D0 1J =y .
§ 38. Pág. 524. 1. aa; (lna) "; 2-1(n +2 x)e~"' ; (_1) n2.11.!(x _1) -n.-1; las dos primeras subsisten para n = O si DO y = y . 4. Ha + b )" cos [ (a + b ) x + 71 'IT/2] + l!( a - b)1> COS [( 0,- b)x + n 'IT/2 ]. 7. 8. y::::a( h·+"")e-ht sen[..,t-2arctg( wlh )]. lO, P untos de inflexión X 1 = - V 2/3, X . = +...r2i3; concavidad hacia y> O en (Xl, XI) Y hacia y < O fU€I·S . La pal"ábola oscnlatriz de cualquier orden degenera ell el eje x. 11. 0:'/3; x'/2; 9 x·/2 . 12. Los b 'es de 2 Q orden. 13. Orden tres en (0,0). 14. E n :):=: O es y=1-x'; en x = 1 es y=(x·- 4x+5) /4. Ter cer orden. 15. Ambas t ienen parábola osculatriz y = 1 + ~ 1.1: - (11 8) x', con contacto de 2° orden. Entre si tienen contacto de Ser. orden.
"" '1'.
=- 11l;
16. a, :o:: R; (¡,
S
av= IJ" = -
5.
Contacto de 3"r, orden.
39. Pág. á:ll.
+
+
1. f(x) ;:::; 3 x' 6x 2. 4, al ~el1.r"'-~,l-~\ ':; (x--;;-/6)+ .. . + + (1 . ~¡ !)sel1 [(-;;-/6) + 17(0;'/'/2)] . (x-'lT/6)"
+ T";
T. ~· "en [~~(n --¡· 1)T./ 2].( X-1T16)"+1 1( n -'- 1)!, /J) P .. (.r,,) ::-: 0.5, 0 < T., < 0,02; P , (x. )=O,5151, p, (x,,) = 0.515038, - 0.000 000 8 T. O.
<
<
con E entre
'lf ,'(j y x. -0,000 1 < Tl< O;
5. In 11 :::o 2,397895 con toda s sus cifras exactas. 7. ao;:::: 1 Ina . x/I! +ll1"a.x"ln! + In- 1 a, a6'" . x"+l/(n+l)I ',/ Pura I/=sen' x es y (IIJ ::::2 n- 1 sen[2x+ ( n - l) 'U / 2], n 7- 1, yentonces: :;en" .r = x" - 2~ x ' / 4! + . , . + 2 n-l X " (sen !; (n-l)'iT] In! -;- 2" X'!+l sen [ 28x + ~ 1l '"l/en + 1 ) l. 8. a + ~'/ (2a)- xiI (8a'); (l/a)- x"/ (2aS ) + ax'/ (8a°). 10. ",6/18. 11. -l/12. 12. In a - In h. 13. 1. 14. a::;:: - 5 '12; b:::: 1/12; equiv¡,¡lente a ~· 1 4 80. 15. Xo, porque para x~O ' , limp:lí ·.ln[(l~x")/x·H=O .
+
+ ...
+
§ JO. Pág. 5:l3.
1,035;
0< T 1
<. sen 4Elo , cos'"
4G c
,
(0,01745)'
<
O,OOUb.
§ 40. Pág. 539.
+
1. 11 ~ x' 1. 2.11:::: ~(e·+(J-<» 3. y = ~e(x·+l).
+ H x-a)(c"-c · ")
+
,\( -'·- «) ~ (e·+e-·).
§ .t0. Pág. 540.
+ ... +
1. (al +- a. a,) In . 2. a) Ha~' ext l'emos si p o: maXITIlO en - \} 1)/3, mínimo en + \/ - p/3; inflexión en x = O. Los Eoxtremos valen: v- = q:::': 2 vi _ ¡¡B/27. b) H a y por lo menos una raíz real, pues !inl y:::: + o: (- <Xl) para .l"~+X (-<Xl); hay tres, si Y'nh >0 >y"oIn: ~=(p'/27)+ + ((/ 01 4) O. Raíz doble, si (,, = 0 : triple, 8610 si p=q=O. :.l. f(.c) = (1/2 a) a-a + (mínimo): g(x) = -(4/3)x' + ... (máximo). ,L 1.-11-118 \'2 < 1,41422. Cifras exactas 1.4142. 5. a) .dgx-l crece de - 1 ti. + eo · b) x- 2,5061843: e< 10"', 6. 1.0755.
<
<
oo
.
<
10. P,(x)- = 11. p = ¡¡'la. ~
~
+
~ Va[x-('Ir/6)l;
.tI. l'á~. 571. 1. a) l+i; -2.
P.(x)
=
P,(x)- [x-('/)'/6)]'/4 .
b) 1+i(sen 2)/2; No existe. 2. No. 3. ]. 4. 'Ir. N o, porque w' = O en z == O. :J. - 2, triple; '\/3, simple. 6. Basta deriva... [41-10]. 7. Pa ra la suficiencia, aplíquese [41-12J. 8. 2 Y -1, dobles; ,1 !J. Xi ngl.1na, porque x / y pasa una s ola vez de - O? a + 00, y no es u}lli<:able [ 41--.15] iI) t ener la Clll'va pun to impropio pal'a t = O, con asíntüta x 1. 10. Las raíces están en los in tervalos ( _ 'Y); O), (O; 1), (1; 2), (2; +00). Para la última, se ensaya 183x > X" [62 - x(x-20)] + 100, dando
=-
803 una "üíz en (2:.! ; 23). Cambian do x en - x, ee ensaya x"( x· + 20 x > 11:!3x + IDO, Y la raí~ nega ti va está en (-6; -4). P or el primer teorema r esulta una raíz negativo y una o tres positiYas. Por el seg undo teorema queda también J;lsegu rado que las raices es h i n en los intervalos (-CO ; O), (0 ;1), (1;2), (2:+00). Si L es la cota de L AGUERRE-TRlBAULT, por derivación sucesiva de f (.d= 9- (x ) . (:r - L)4- f(L ) se obtiene f' m) (L)=?n 'P· .. · l) (L) O, f UI = 0. 1, 2, . . . ,n ). Para la regla de NEW'I'ON, todos los ceros de f' (x) son también reales. -2; 3 : 3/2; -114 ; 5/ 6; tres lnacionales: 1,719; 6,546; -4.265. - 1.295852 ± 2.45717i : 2.6917 . El método de GRAFFE da 1 X1 I = 36,89: I 2:21 = 22,36; 1x.1 13,65; 1 x. = 10.46. Dos nuevas aproximaciones con el método de NEWTONHORl' ER clan las cifras exactas: x, 36.8!:160 ; x. = 22,3410; :r. = -13,6669 ; x. = 10,4302 . -6~)
11. 12.
l-t.
15.
16.
>
=
=
§ .12. Pág. 587.
1. 2. 3.
... 5.
6.
-~ I
I~
O 2 O 4 -2' ::; - 128; 4 1 - 1 1 = 128. O 1 -8 . (l ::::- i\!2il)/4, ceros del m. c. d. 2 x·-x+3. (La resultante de E ULER tiene característica 6). 1::: i, dobles, R( y)=t/ - 4 y+4 con cero doble que da dos soluciones. Además, :c = O es asín t ot a común en punt o impropio doble. Soluciones: (0;1;0) doble: ( 2 :2), (-4; 2). La eliminante en x es x· - 23 x· - 2 :t:" + 369 x' - 649 x + 300 == O, que dividi da por :c - 3 da por cociente el primer miembro de la ecuaci6n del ejercicio 10 de § 41. A cada valor de x corresponden V = (17x-19)/(x'- 1) ; ;:¿:::::::( 19 a; - 17)/(x"-1) . Las ocho soluciones del sistema son las t res i mpropias (1; O: O; O) , (O; 1 jO; O). (O; O; 1; O), Y las cinco propias ( 3: 4 ; 5), (-4,44 ; -6,07: - 5,43), (0,88 : 17,91: 1,238) J (1,146; 1,428 : 16,365). (22,416 j O,7Z5; 0,815) . No. INDIC.: La ecuación x' - 20 x' - 62 x' + 183 x-lOO = O es irreducible en el campo de los números raci(mnles , pu es si fuese di v isible por x' h x + 1" deb e ría ser · k divi s or de 100 y h ::::(188k+20 k')j(-lOO- If) ent ero (§ 17·4,0'). Basta ensayar basta k ± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10. Mediante x(y"-1)- 1 7 y -1- 23 = O: x( ~ -1)-19 :1: + 23 = 0, se prueba que n i y ni z pueden ser irracionales cuadráticos, pues lo sería x. fuera de (3; 4 ; Ó). - . ,. .)
1;
1
+
=
§ 43. Pág. 611. 1. 00; 1; e; 1/4: O; l. 2. a) Si 1 x / x. I A l, 2: an x' tiene )a mayorante convergente h ~ n t b) Resulta 1a .. xo" I " 2 h n~ y se a plica a). 3. Resulta del criterio de comparación de 21!- especie (§ 22-2 , b). 4. Mayorante convergen te l: l/(n"+n) ~[(l/11)-l/(n + l)].
< <
)..n(
=
5. lim sup V~ -(; R-'.R'-'; Ji m sup VI a, : 11, ejercicio 12 de § 20) . .6. ~(-a , )x·, o también ~ [-a. +(l/n ! )] x" . 00
OC>
7 . .::; ( o
l)nx" :
l: ( =+ 1 ) 0-1. fl==l
1;;. R-'
: R"';
(cfr.
00
~
( n"+n) x'-';
J:: (:¡: 1)" x 2". •
9. a) R esulta del caso n = 1 por n1ultilllicuciún reitemda (cj{'rdcio an· terior); b) Los desarrollo s de [1 - (1' - -1) x ] ( l - ..-) / ( l - i' x ) = l+
· 1'~.1
§ 43
~I
+ [( r -l) ~/(l -rlI; )], (r:::: 2, 8 • . . . • n ). son m ayorantes de 1Por el ejercicio anterior lo es su producto ( l - x )n / ( l - nx ). lO. Rn( l/n ) == ~; f (í!:) = sg Ixl . 11. (l + x)/O - x)" ; (1 + 4x +~ )f(1-x)·. 12. La serie es f'(l ) , aiendo f( x) = (e" -1) Iz. § 44. Pág. 619. 2. No, el desarrollo rep resenta e" (cfr. § 38-5 ). 3 +~x+t~-(x·/8 )-
3. a.)
a,.~=O;
... ; 2an - 2a,.... +
R= Y 2;
+ 8 x - 3 :z! + 16 re' - 39 x' + 123 'J!' - ... ; a., =: 3 a,. ,. - 2 ano,: R= 1/3.. a) ( 1 + x ) I (1 - x)S; b) (1 + x)/ (l - x)·: e) (1 + x - 8 x" + 2 x·)/ [ (1 - x ) ~(l - h)] . (1 + x ) I (1- x-x'); R::::: H v'5- 1 ). [45-3]. 7. [45·S] y [46,4]. a) 1I.'GtS) = (nS_ m -)y. ,nl; y =l-m'x· / 2 ! + mi (m~- 2') z"4: - ... b) 1
4.
5. 6. 9.
b) 1I.(n,ll =2 ( ;
tgx= re
+
)lJo cn
'Jl_2'(
~ ) yu(n-a) + .. .• (n ~ 2),
+ ... ;
+
(x",a ) -1- (2x"'15)
(1 7 x'/ 815) (:t'/45) - ... ;
e) ln cosx:::::-~x' - (x'/12) -
§ 45. Pág. 630. 3. ctgx - (l/x) ::::: (x cosx - senx)/(xllenx ); cosee x - ( l / x) = «(ti - sen (1;) 1 ( x sen :t). B. a) Separar partes reales e imaginarias; b ) a.. - 2
válida para ambas series. 11. Ln 2 - i [Are tg (l/Va) + 2k -r.); !Ln2 - (Sf4 + 2k )'7ii.
< a'lT .
Ix l
a o,",
cos
'P
+ :l",. =:; O,
(3'7i/2 +2 k <;¡ )i;
12. e 21o ". .eiLn2 ; e ( 2k+l)W'; e( 2/,· -!)i . \ '2 . eo;¡(2k+ l/41. e i[',!¡ L n 2-r./'J .2 1.-'V2. e i'7i V2 (2k+l/4)¡ 13e6h - 3 Arc U t2(3) .03;(3/2) LI11 3 + :1.ArClt" 12¡Sll. t3. 10) Y 2 Q) se verifican completamente, 1Q) con cor respondencia de Vfl' lOl'es principales, 2 Q ) no siempre [Arg (:nv ) =i= Argz Acgw]¡ 30 )
+
no se verifica completamente: valol'es del primer miembro pueden no tener correspondíeJ.\te en el segundo: los valores principales se eones· pon~en.
14. Si x >0: «x»:>: = x:O:.e 21c 'hio: ,real para 2kx entero , sólo k =O si x es irracional ó :r. = pI (2 q + 1): si x= p/2 q también k:::: q .'. - x'". Si fA) < O: « x» '" = (-- x)·<.e' (2 I< +l) o;¡",. red sólo si (2 k + 1 ) :1: = entero, es decir, si x = - p/ (2q+1) ; el k =q da ( - 1 )P(-x)- . ~ 1 /3; -± V 1/2; e" = 15. 15 ... ; ~ 9/4; - -fa; los otros dos n o existen. . 15. l{}l'/q =t- n, lOP =1= n· si n =t- 10 Si n =10' .a es 19n ::::: h + 19a. 16. 1
Q
e¡
)
a;
17. (e 2 •n<;T; -
·"' ,,"v.
(le
2l.:"i )i::::
e-
2.4 ... (2n)
IR
1< 1. 3 .5 ...
(le;
ee'
1010 ; lOl /)'" ; 3
- -l::el" .--- plna
l - Ix l
(2'1-3)
2.4 . .. (2n)
{
2 (m + kIO;;-=e - 2 "o;;-
IR, I <1.S .5 . (2n-S , .. -_ . . -) . "
=
= { 10; 10~O; 2Q) x
:¡;
~
y sg
R
• -
Q
z
< 1; :r <
{
6
10'
parak:= n-m.
I1 ::c: < 1, (
)
-
1) '-)
pero si O
< x <1
es
.
2J . Para x = - 1 convergen 1Q Y 3 9 pOI' el criterio de RAABE. 22. a) Poner 2xz - z':::::t, y desan-olla r ( 1 - t ) -1f', (§ 46--15, ej . 2). b) Derival' logaritmicamente y en ( :Ir - z)y::::: (1 - 2 x % + z1) y' aplicar el método de Jos coeficientes indetel'minados (§ 44-4.).
tl06
=
O, hay convergencin a bsoluta en % :1: 1. Si 7/1. < u. ha y d~ver 1; en x = 1, la serí . NI cOlldiciollnhllcnte convergente, o~c ilante o cliv t!rgente, Reg'Ún que - 1 m O, m = - 1, m l. 24 . V'66 8 Vi -t-( 2/64) = 8,1240!; f' lU:n = 10(1+0,031)'/8:::: 10,10226; :l:J.
Si
lit >
gcrlciu
=-
~n ~
< <
=
=
<-
=
fi (6/4) ~ 128/125 (5/4)[1 + (3/125)]1/' ;:::; 1,25992. 27. 11"32'13" 0,201357; error < 10..... :!I:I. are tI; x = ('lT/2) - are tg (l/x), si x ;;;. 1, etc. 311. k = h ; l; s=2l[k+ (l/k)] are tg k:=4l U+k'/(1.3)-k'/(3.5) -r ].
=
...
§ ·1ti. Pág-. 649. 2. '" -
= 3 + 4 (x + 1) -
+ 12
5 x" ..... 3 x
3 (x
+ 1) (x -
1) -t
(x-2). 't Basta intercambiar x por y. ·1. e:::: 1; b = _. 1; a = 2. 5. Se aplica a R(x)/Q(x) la fórmula de § 46-4,a, empleando P(x.) + (x -t
1) (';;-1)
== R(x.) . 6. Si Q(x)
= (x-u)'Q,(x),
para Al
= f(a)/Ql (a)
.
[f(x)
-
=2 Q,(a); para A. y B se aplIca a
=
=
se aplica Q"(a) (x-a)
A,Q1(x)] : (x-a)Q1 (x)
la fórmula de § '16-4, a con Q'" ~a) = 6 Q,' (a.) . 7. Es]'1b,t-N:=f(b.)/ Q,(bl):::: (r,b.+r.)/ (8, b, 81), (i=l; 2), con b, -t- b. == p; b, b. = - q; f(x) Al A, M.x+ N . M2X+N. -Q(;)= -x-~ l x"-2x + 2+ x" + x +l ' A , :::: f(l)/Q'(I) = 1; A.=f(- I)/Q'(-l) =1; Q, (x) (x' - 1) (x' + x + 1) = x' + x' - x -1;
+
+-x·+-1 +
-
2)
2O O 4.
83
-
2)
O O
4
-
-
21-169
2 8
_ .- -2 --4- -í - 8 1 - 9
1
- 2 -,cJ
O 11 O 16 18 11
11
-
1
16
-9
01-1
2)
1
41
-7
-1--7 11-'
M
1 12 O
-
3
-9 1= _
1 N, - !............:::.2_--,1::..:S:..,:
l'
-I=~ -~I
-2 -9
=-
-1
680 O O - 2 -6 -8
2)
1-9 2;
Análogamente M~ 1; N. = 1. 8. Verifíquese que el coeficie11te de ( x-x. )-' es f(x.) IQ'(x,).
1
10. a)
3
b) d)
1 49 8(x + l) + '24(3x-5) ; 1 :e+2 1:3 1 3(x-1) + 3(x8+x + l); e) -7+~x + ( ,; - 2 )' ; 1 1 x
2(x _ i)I 1
2(x· + 1);
+ 2(x·=-: 1)
~+V~. _ 1 x J +V2x+l 2V 2 1 Vsx+2
x-y¡
e)
2V2
f)
3(;>+ 1)-+ 6(a< ;-J'3x+1)- e(xa=-v'3x+Ü;
g)
1
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a"
+ 'ái')'¡ ' -
'-x'
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u·
+ u·
•
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-I¡ -1';1- .,
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17. I'á¡:-. 1i:i6.
i;
2. ·10: 1.')-;'; 426; 3. !J --- 2 - ~r"'l -- 15[.1']" + 5[j']" ; :"/I -:::. ;":U.3U(x); A"y=30;
+
+- 30r..r]
~V = 2 ~·y=O.
t 15[.1']";
4. f(,d ----= 3 -2[ ... ] ..... 3[;1:]" 3[.r]" = 3 .(" - 6~" + x -I-:L 5 Pura ,,' - O.\l-lj''j :;e toma x,,= 0,05; h = 0.05, dllll.lt. f(O,0477\ -- 1j,:J~772 con \(ub " su!" ('ihas exactas, sin que influyan clescle las diferel!cias ter,·'·ra.-;. Pura ;c=0,z!l6~ se toma :<'. =o.:JU; h ::::: -O,05, dando f I U.:!~lj:! J ::: (J,!I~105 con todas sus cifras exactas, sin que influyan Jcsd" la" diferencias cuartas. Ih. "iLl{. 1i72. 1. La Ol'tlt! IlRción resulta de los axiomas 1 y 111 (§ 48-1); la con tiKiiidm l dtl considerar poligúnos regulares de It lados (n -? ro): .' . = o;:' ,-' (,;ell 2 ~-) f (2 .>:) ; So = '1T r" (tI! x) ¡):, cu n ..:, i Jt • ,lo 111 I :=J; /» I --,,-J . 5. • - Po'; 1 - cos a; sen a. INDlC.: Tamal' subintervalos iguales; usar "j " l'cido .. U~ S 45. U. ('011 JI natural es lim 1. == O para - 1 ~ a;;: 1: Xl para a < - 1 'l:. pan~ 1. . . 10. ([iJ J' 12J-.6b· -«(b]+1)(2[b]+1)~,
= '"
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11.1/(1'-:-1)<
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U. Considerar el tt'inomio en t: ~
1/',
_\
vab .1 + t g(;¡;»)'dx ~ O.
20) la+b)/2;
J\f(;¡;)
3 0)
f ?-l.)
-19. P a/{, 676.
1. La (¡sdlación de 1 f (x) I no supera a la de f (x) • 2. Si if.d > O y g (x»O (notaciones de § 4.9-1, con' paya f.('lx)),.. t!n una partición tal que ~ w, 8, < el (21'<1'). ::::: 1iJ,: (j, < ti (2)-1) es ~t.~r.)I.'-1Il,m,.', 8, <e . En el caso general, considérese f(,; ) - l I l y I!'(:d~m', 5. -:! Y ~ 2 para nmbas funciones: g(x) tien e en [O; 2 'iT] dos mí ninws y ningún máximo . •>0. PUl!. 678. 30.
Pá~.
683.
1 . .·.'-- a: ~(x " - ((··I; cosa-cos x , (§ 4R-4)" eiercicio 5 de ~ 48) 2. ~" ,Osgl' _~!l°sga. 3. ( '.7'/4)-(-'.7'/4)="'/2 . .1. F'C;..' ) es tl¡ scontinua en ~. = O ( cf r , § SO-5, ej. 1) ; 1 ~ 1 - [t
Sí.
G.
H ~
+
+
+
>
1 (ej e rcicios 6 Ó 7 ele § 48); b) + 'l) (ejercicio 8 ele oscilante entre O ~' 2 (ejercicio 5
51. Pág. 696. En (O; 1) es x=:
+ \'t; en (- 1; Q) es x = - " t: 2 f~ t/2 Vt= 2 . e
~
.Jf));
fSt>7 .H. I!a.r: 702. 1. /1 (..fa ,:!, - 2 . ., It _ ~ !II· . 1.
~t U ¡l IIJht"11I'
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I
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.... / Yi -=-~ .
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r. . (~ ..'j)'¡( l- i ~ )·"¡"Ci
L= 12 / 3) (sen x)",'
L . _.- 2 ('os .¡-;:- C: l. _ vll -'¿ ...:.. C; L -= ~ an' sen .1:' + e:
l. =ln [/.-IO-sen x )]; 1.=(3/4) arctg :.:'+C¡ 1, ~ (arc sen x) ~ +
L
=-: ~
In'l!n
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U,I;¡ ( ch"
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=
;, I :! are tg' ,, ' - .', ~ are tg sh x ~ 2 arc tg tJ¡'h 7 . .\ = .1 Lí; B = 2(V3-r;;- i 3)¡ C='
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~
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f ~AI'e sen ;c)~ d:c + f~'IT o
Arc sen x)' ax ;;::; -
2
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1
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= 'IT -
lIJ. Eh·ctURl' las sustituciones: x ~ <;T t; x l. 11 . 1 = (5:2) x 4 sen x (3/4) sen 2 x - (l/3) sen" x + C: J = - ~ sen " oC - In ¡ k sen x l.
+
+
='-~M'l ( In x
I:J. 1
-.-!......l)
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n+
n+
+ e,
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+
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~ In' x + C.
si n::= -
I
14. 1 = ~ ~ x vi a'-x' a" are sen (x /a) ~ + C. L5. J = O x' are sen X . + x -vi 1 .r" 14 C. 16. a) l. = - eosx C; L :::: ~ .~. - .\ sen 2 ... + C: WI-t 1
n
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1,.
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b) J ..
17. K.
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+
x . cos x
n
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18. I=IL(e-e-').
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IL= (Hi-2 c')/(c"- 1) ;
2 ~
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2n
sen x).
K.
+
C.
J=I1 .21n2, 11=0.
19. K = - 2'ü =F O. § 52. Pág. 707.
J 1~
x
dx
-(x'
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2 ).
2n-3
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2' (n-=- t5ll
J
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(;.~ +l)i)"-1;
(n
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= 2 •
;;2. "iíg. 712.
Ptlllien,lo t _ '.'., ~" reduccn
R
otras S('mcjantes a la.s de los ejemplos
gOl->
RESPUESTAS A EJERCICIOS
5 Y 11 de § 52-2. Es ~
1 :::: -
al'g sh -
2
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x
l-x 2x
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§ 52. Pág. 714. l. 1
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f (1;-- 2 l' ';
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k(X ~1!(; - 2) l.
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____
J = - [3J ( 4x ) ] + hl .¡ I k x / ( .>: + 4) j ; K = 3; " + In ! k x, + are tg 2 x; L = - [ (12 Cl·+ 39)/(2 .•~+ 12 x +20)] - 6 are tg (x -t-3) -t- e; }l ( .\;- 2) -' -!-' 3 In k :>: . 4. 2\I2I=~ )n Ik(x"+V2x+1)/(x· - V2x .,. 1) + + arc tg (V2 x -l 1) + are tg ( \.' 2 x -- 1) ¡ J = x + [2a"x/(x" + aO)] - 2a aTC tg (x/a) + C. 5.41 71n ;k(x"+l) /x'l - [(7x'+4)/(x'+x·)]; J = In k J; I + are tg x + [(..c~ - 1) ¡ e,,' + Cl') ]. 2 r(a + b x) (e' n) / , 2 a ( a + b x ) \ 0-.) / , a' (a -t- b x ) " .• );.) 6. I=v:(, - ~ n-- + n~4 + --2 ·..:::....~-- , -t- e¡ J = (2 / b')1[ (a-l- bx)7 /"f7] - [2a(a+ bx) "'2/5] T [a"(o+[,x)''"/3 H +C: K = (6/7) x"o _ (6/5 ) X"i< -'- 2 Xl/" - 6 x' ;· ...L 6 ~ire tg x':· + C. 7. a) a r g sh (x + 1 ) -+ e ; b) ~ arg eh r(x-~) ~]""'C; e) t aresen2x ...L e; d) are sen [(.c-t-2)!(2 \/2)} + e; e) ~ are sen [(2 x" + ]) f3] + C. 8. 8 1 = (4 x -t- 6) \1 x' 3 x -2 - 17 In (2 x + 3 ..j.. 2 R -=t-3 oX- 2) -t- e; 13J = ]n! 3x 8-~ =- i xi. + (21/ \1'23) are t g ( 3v'3 2x+ +2 v' 2x-1)/ v'46x-23] - 4 are tg \1 (3 2';1')/(2.1:- 1) + -C; K = -· 2 a rc tg [(VI +,;: ~ x-::" - .c-l J 1.,-] + e (aplicar ~ ;;2-2, b, nota 2) . 9. a) -[ v' 4-:.'~/x] - are sen (x/2) + e, (x=2 sen tI; /) ~ Irtl Ikx/(4 ...!... V16-x')1, (x = 4',ent); e) ( x' -2a')V :C Ta!/3+e, (x = a tg t); d ) (l/a) are see (x/a) + el, (x = asee t). 10. a) ~ x v' x ' ·f- u' - ~ a- In x + V x~ a,21 + e, (x a sh t) ; b) ~x( x2 _ 2 ) \l'x'-= 4-' - 2111 x + ~ I+e, (x=2 eh·t);· e) ~ x v'4+9;:< + (2/3) In Ix (l/S) ...; 4 + 9 x"1 + e, (x::;::: ;:= (2/3) sh t) ; el) (2/3) arc tg [(x + ...¡ ~;2 9)/31 + e, (x = 3 eh t), Re]ación entre las constant€s: e . .- e, (4 n - 1) '71"/6. n. Intégrense las identidades. (a t + b) Pt) t" a (a t + b)P t al' b (a t b) P t q ; , D [( a t + b)'" t •• ] = (p + 1) a (a t b)" t O+1 + (q 1) (a.t + b) p+l t q •
= ;,,-' -
=
+ + v - -3-+
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12. 1 (m, n) =
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111+ 1 sen rl'''IJ X COSa .. ' X
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2):
[(111,11 -
1n + n 111 +'1 sen .. - J X COS··, X -1 1 (/11,1/) = - + litm+n 1 (m-2,n) . m + n 13, (a" + b") -1{" In I tg ~ [ x + arc tg' (alb)] I + C.
+ (1/2) In (1 + tg"~; ) + C. In I k ~é']; b) ln I tgh (x/2) I + C. d) x+[(2-V3)/VS] In Ce"+2-V3) -[(2+ Vs)/Ys] In (e"+2-1-v'3)-I-C.
16. (1 / 4) tg' x - (1 / 2) t g" x
+
17. a) fE are tg eX e) _e-x + C;
§ 53. Pág. 720. l. Primitivas: (l/a) are tg (x/a); (sg a) arc tg x II a [; (l / 2a) [jp(a + x)/Ca-x)]. 2. [51-9] · y [51.10]. 3. Ejercicio 14 de § 52. 4. Sustitución x == a (b - a) sen% t. 5. Integral no convergente (x == 11 w) • 6. § 53.2, ej. 1, y sustituciones : ax'=u; In (llx) =1L. 7. 1 se reduce a [53-7] por x sen t; J a [53-9J por V x
+
=
B. Se hace x
9.
(p
+ q) B
=1 -
x" == t
X .
'ir!'!.
t. En
J
sen' p-1 x cos' .-, x d x hacer sen' x = t.
O
(p
+ 1, q) == 1) B
(p, q).
§ 54. Pág. 732.
1. 3. 5. 6. 7. S.
80,"/15. 2. Tres círculos de rlldlo 1' . Seis círculos de diámetrl1 a. 4. Un círculo de radio a. A == 2 'ir a'; Ao = ('<7' + 2) a"; Al = 4 a'. V = 'Ir r" . 2 '7T a cilin dl'o de a.ltura igual al recorrido del centro. V '<7' a b z02/ 2 = mitad del cilindro que lo compl'ende. V= !'7í r"a . 9. V=5'<7"r"; A=64'77'r2 /3 . 10. a>T=b, A=2'7T[r"+a.r (al'e sen e)/e], con e= Va'-1,2/a~O; a<1'=b, A = 2'<7'~ r" + (0,21'/ # -0," ) .In [(1' + Vr" a')/o,H,
=
=
§ 55. Pág. 745.
1. d 8 =~ V".4:-+ ""'--::9-a-; ·dx; 8 = [ (4+9a) 3/"- 8]1 27, 2. ds=: (o,/x) ' l' dx; s ::= 6o,. 3. x=b[(k+l) cos t - cos(k+l)t], y = b [(k + 1) sen t - sen (k + 1) t]; 8=4bk-1 (k ' l- l) (l - cos ~ kt), con k = Blb. Pal'a B =: b se ha ce 'P = '7T - t con b - ro =: l' cos
+
6. s
=-
cotg
fJ V a' cos' 11 + b2 -
~ f fJ V1 k
k' sen" t d t
+
'll'/'l;
b' k ffJ +-a V1 -
dt k" sen' t
;
'k --
_0,_
_
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-
'77'/ 2
7. No.
8.
8
= ~ a [arg 8h
'1'0
_
r=a =~
V (~" + b'
+ 'Po V 1 + '1'0"]
SIC)
RESPUESTAS A EJEllt"lcW:';
2 (/> -l- :1:")" '/p\ /'; b) a 3 X + 2 p, fJ = _ 2 x"/"/ p'/"; parábo. la ~('mi{'úbica. W= 4 (a - 2 p)'f (27 p) . p = (¡j"'+4x")"y' !\6x'+21; P( ± l/va, 3/4). p = (~a' ::¡: e'x')" '"/(o' v':!: 1 '+ e')i o: e'x'/a', [3 =-6" (± a"=¡: ::;: x')"'/ (a' v-±-l ;:¡:: e') . a) a=-ame"''l' sen'P, f3=arne Ol (jl cos 'P; b) r=aem«(jl +k>, k = (l/m) In m - ~ 77. a) x = a (cos t + t sen t), y = a (sen t...:..... t cos t); 11) ti = ~ (1 tI'. P = N = ~ V 2 '112: P = N = V x.
9. a) p 10.
n. 13. 15.
19.
=
=
=
=
=
§ 56. Pág. 751.
1. 4. 5. 6.
T = 20 kgm. 3. 7853982 kgm. T=nRT In [(v.-b}/(vc -b)] - a (v,-v o)!VOV1. 2/7í 0,63663 i \'2/2 0,7071 . ~. + b/ + .. . +a." + b.'). INDlC.: Aplicar § 53-1.
=
=
§ 57. Pág. 766.
y>
o. 1. 0,69377. Concavidad hacia 2. Sea p, el punto de la curva de abscisa i (i = O, 1, 2, . .. ), CJ, el área entre el arco p, P'" Y su cuerda, y (7/ la trasladada llevando p, al origen O. Muéstrese que CJ.', (Jo', <1;, ... , no tienen partes interiores comunes. 4. 0,69315. 6. 0,74 . 7. a) f(t) = t - t'/(2A) 3 t'/(8.7) - .. . ( --1)" (2n -1)!!t''' ' /[(2n)!! (3n 1») b) Basta tomar dos tér111inOSi fn) 0,492 . 8. K (A-;;-,k) = ~-;;-[1+ Ok)" + ~3!!k'/4!!)· + (5!!k"/6!!)2 + ... J, W
+
+
=
+
+
+ ... ,
<
§ !l8. Pág. 770. 1. ~ 10-0
<
2. 5 cm.
6. 1,118.
f1':DICE DE SC\1BOLOS y ABHB"L\Tl'lUS
·:"./I.d
.
Con.hlOto. J..1.
o Conl Uflto \°D.civ. 1-1: Cero o Nulo. 3.. 2, 5-12." 7. 4, {l-2, 1l-11i
mllltipHra<..lo pur, 2. ,[(', 3.4, 6-120., 6-2a.~ 1.1Id., j-Sc, 9-2. 1I-11lc. ll-fil>. 16-7, 16-3b.
> < 2-5, 3-S.
E el~"' Ento
es
de. 1-1,
mayor QUE', 2-~. S-9. 6-5, 7·~c.
(3) c<mtenido en. 1-1 (~) comprende 8, 1·1 .
«)
menor tlue,
e5tl',clllmenle . " ledor anterior
(» {,5
il':ual a, 1-1. 3-1. 6.1. 7-4, 9-2. U-lIla. ló-l; equivale a. 1-3.
~ meno~ ~Igue
-4
irnvlka, I-Za, 1-1; Uéncle .. , 20-1, 24-1.
E
R.
2-7.
[;§:1
es parte de. 1-1 tiene llor parte ... 1-1.
6·5, 7·6c.
[<J
t\, ,
2-7. ,¡:;;
o i!fU") que. 2·7.
[<J
a, en direcc¡ón, 2-7. 'P(a)
Corre!3~cndientt'
de a, 2...S: Valor funcional. 28-~.
Relación de igualdad o eQuivalencia. 1-ti.
'I'(M)
.t
C'¡,njt,nlo correepondi.onte de M. 2·8 .
1-1
rerl'enrllc"lor n. 1-5.
COl'l'@s ponclencia biunívoca,
R
("~ l'~í.
en ]8 r e>leeión R con, 1-5; Re5to, 16-4 . :,,-:i,', XVI-lIb : Resultante de un aisle-ma. l~-J; Radio de con\~el'llenrin. 43·llJ; Re~i6n del plll no. 48-1.
Rela clf'n, l-Ej. ; Vc.riable. "'l"¡,,.. lente•• 24-:1I.; hWR h lou apro"imlida. 85-5,
nf"l
E'~tñ
1, 2, 3, 4, 5, ... , 1 2-2/,. 3-8. 3-10. n-E. n-UId, 11-5b..
sg .h",iente. 2-2b. 2-7, 3-6b; Siltno de. 28-61>. I>r~c~d.nte.
no 'Irl;tt' .
2 .. 3.
~·3.
pr 2-21>, 2-7. S-eb.
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Iltu .. l
Secció n de la 8u~es; ón n urnéricp. na tural, 2-!). Elern~ntf)g
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Cinito, 2-D.
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en h:1 rflación R <,on, l-Ej.
SlIcEsi(,n numéric8 llatur81, 2 ..14. "110.
2-8.
(1, n)
R.
2-2b.
+ li-12a, 6-2a.
'1-Sa, 'i-6c, 9-2, lI-lIlb" H-3a.
& Operación, 2-44.
Eh"nll'nto dI' 1" ni" r )' (·"I qm "'l .~. 2-11, 13-le, 13-2.
[a -
bJ
PUl' ordet'lf\do de nürncr08
n~turRIEu.
3...1.
~CL-b} Número entere. 3-1.
+a
Entero positivo, 8-2.
-a
F:ntero negativo, 3-2; Elemenw invCtrflo d. la adiciún. 5-120. 6.2/¡, !1-4,k
B Correspondencia biunivoc8, 8-15.
I I
1>16dulo o v.lor Rbaoluto
812
Í N DICE lJIe ¡oíMllOLO:; y
(lO Indet<>rmi"Bc.i6 n, 6-7, 21 -3a, 86-6.
a
aa=a.a,.,a
Potencia de exponen te natura1
n Producto de, 12:. n!
¡\¡m~;VIATUHA:'¡
CX
4-2<1..
Complemento de X, 1-1. 4-B.
Cp Negación de P. 1-1.
0, 1
Fud-'.ria¡ de n. 4-3.
~
Falsedad, Verdad, 1-1: Cota. univer.Rle., (-1
aa" , deba
Numeración romana. I-II.
1, V, X, L,
Suma de. 4-4.
¡¡¡
IL,
lim a,.
divlI:ii6n entera, 6-1. 16.. 4. U¡-iJa.
n~OO
Limite de una !3l]cenión. 7 .. 2, 20-1.
I
o(.-"s
f(1
r
J
l'
Die'l.. <mee, en aiBtema duodecimal. 1-11.
alb ue
(n
Numeración indo .. arábiga. I-II.
Suma triple o reiterado. J 4-9b.
Esquema
D, M
!!:J!.L .. · ~~
Potencia reiterada, 4-5, 4-6.
~2: Suma doble o reiterada, 4-Sb.
e,
1a ,
di"ir:;or de. 6 ... 1. 17-2a.
;
a'o)..
Encaje de inlerw.I08, 7-4.
~A
b Múltiplo de b. 5-1.
(a,b)
(a, b]
1.,1á!·Jmo común divisor . .5-5; Intervalo abierto: a < x < b, 7-7: 1 n t er v al o cerrado: x ~ b (DIRICHLET, VALLÉE POUSSIN). 7-7.
a
(!,,,
,
<
a;!
+ 0, b)
, x
<
(a,b-O) b, 7-7.
ta + O, b-O)
M;nimo (:omún múltiplo, 5-5; Intervalo cerrado: e ~ x ~ b. 7 7. 6-6.
a < x
r
b]
(a, + CO)
Mínimo comÚn múltiplo
(a
"' ;:¡ 1>. 7-7.
[ a,b)
[a,b] [a~
A'~
;
Cortadura. 7-6a.
,
[a, +ro)
Tnten'nlo infi nit.o por la oerecha, 7-".
( V/V'! I>E~ W A~RDEN), 5-50.
t-oo, a)
,
(_ 00, a]
Intervalo infinito llor la izquierda, 7-'1. M:ixirn(] t!D mun dh·¡60T. S. 5a. 17-5e;: lnterseccio n,l·l: " y". 1-1 : Iníimo, l -l.
(-00, +00) IntC'rve.lo jnfihjto bilaternl. 7-7.
Mínimo común múltipl(]~ 6 ... 5. 17-3; Unión. Y-Y : "o" . I-I; SUpl"emO, I-L
R(V2), C O ,
a
v.)
q.
q, ...
de TIlcionalidad de ba.<e 17,1",.
b
r , ...
Raíz aritmética, 8-1.
CUClPO
V'i..
7-Ej.,
V7f
!lt;"¡O
Potencia de exponente racíonal, 8-4, Algoritmo de E UCLIDF"s, 5-6a, 17-4d.
==
a
b (m)
Número::; congruentes, 5-11a.
1m Als::-ebra de
residuales. 5-12a.
c1aS€8
a a."
ala'
,
a~
8-'7a. 27-g,
lE)
Número " S-Be,. 21-5. V-lIldo, 45-1b. XI-nb, 64-1a.
In
I
7-~e,
log'o Logaritmo re.specto de la base
Lognl'itmo nntural. 8-8c~, 54:-1a; Valor multiforme del logal'itmo natural, 45-30.
"Fracción. 6-1.
dIvIdido por, 6-4.
ah Pol.cncia de exponente real, 8-5a, 27-1, 27·4.
9-5c.
(XQ
Potencia de exponente nulo, 6.. 7; 4-2b. 8-4.
a-o Pot,encia de exponente negAtivo, E..7.
19 Logaritmo decimal, 8-8... ,
M 1\l6dulo de un s¡.tema de logaritmo. (decimales), 8·8e., 45-4/).
818
,
:
( )
U uhblfl inlllllinnrln, D...t: t)-L
(ah a.)
1"Ir ordenado ll~ n úm (!roIJ reales, e-2.
R (
Número combinatorio, 11-4 ; Co~ficicnte binomial genernJizQdo, 45-5a.
)
·CI"'Jn
Combinaciones con repetición. 11-4b.
P arte real, 9-2.
1(
iikl) ( 1 2 3 4
)
Parte imaginaria} 9-2.
=
Y
l' (CüS
Complejo en
+i
fOl'TUll
sen
Sustituci6n, ll..JS.
I¡»
po!a .., 9-4.
;=Arg a
S(P)
Suotituc!6n S aplicada
B
la permutación P,
ll -oa .
U = 1
Valor prinei"al del argumento, 9-4b.
Sustitución idéntica, 11-6b.
argo: Argumento multiCorme, 9-4b.
S-l
o:
Sustitución inversn de S, lHib7.
(a"
Complejo conjU1':ado de <>. !J-4d•• 9' •
a", •••
Ciclo,
eiep
u·
Uornplejo en forma exponencial, 9-44, 4S-6b .
Potencia de un ciclo, 11-6.
( Z., :to, 2, ) Razón s imple. S-Ej.
an
alll
(Z., Zo, Z" Z.)
ChJ.
a".,
Ru.ón doble. O-Ej.
V«a»
Raíz general multiforme, 10-4a.
I
a" al
ChJ.
a",
~
a"
u:
Determina.ntes de
2~ y
i
Ser. orden, 13-2.
al'~
a.,-..
1.1tmor complementario del elemento 18-~".
Cuerpo de los números re.cionnletJ, 11-1; Cuerpo míJ1iuw o absoluto. 17-14-
+ aojo + a.i.
Vector de1 Eepncio de tres dimen8iones.
11.IIIb•• a === (a" no, ... , a. )
v oetor
an
I a.n
J
C(l)
a = a,i.
a.-, a.)
ll-~.
A ..
Adjunto del e1en1t~nto a C. J
l'Nducla ,,"colar de In fi l .. i columnn i, 13-6.
de .. dimensIones, ll-lIIb..
a11 al! •.• a,n
i. "'" (1, O, .. . , O)
l0t
Primera unidad M una b ase del espacio vectorial, lI-l Ub,.
a=ao1 +o",i+aoj+a.k
1 8-4(l~
1 Ir'
{
az:: ...
a."
all 2 • ••
a rn
pOl'
1
la
-.. · ........ · .. r a hl
.
Matriz. B.l; 8lll\titución Iineul, 15-7.
Cunternio. Il-IUd, .
a Cunlernio conjv"ado de n. lI-illd,.
E(a) Pnrte eacnlnr de un c ..aternio, U·IIlda.
Vea) ParCe vectorial d e un euuternio. U-lIJel, V~,n Variaclone., 11-1.
ECjl1ivalencia de elCpre:!lones algebraicas. 15-1b.
[x]
= E(x)
Parte .. nter .. de x, f3-S ; 15-2b•.
SP Polencia de un8 sus titución, IIJ-la.
e (a ) Adjunción de a
H.
un cuerDO
e,
1'l-la.
C (x .. Xt ,
X
••• , x,) Cuerpo de r variables independientes, l'-la..
\T' r.~t 11: Variacionee con repctici6n, 11-1.
J\.f.ñximo comün divisor 111geur8.ico. 17-3 0. 42.1.
multipliwdo por. 11-1.
Pm Permutaciones, 11-2a.
p",/X.f3, ••• ,X Permutaciones con repetición. 11-20.
Cm,,, Combinaciones, 11-34.
O!
Factorial de cero
=
1, 11-84.
D(x) M(x) Mínimo común múlti"lo nl¡¡;ebrolco. 17-Sc.
!l. Discriminante de uno. ecuaci6n. U:~-lal X-11M; error de. V-U.. ; incremento de, V -lIa, 25-14; Diferencia tabular, 55-6 .. ; OpcrlLdor .imbólic.o de diCerenciao, 47-2. '1f' Número pi. IV-Id, V-IU.,., XI-lI, 113-8.
Il\:Dln: DE SíMBOLOS Y ABREVIATl'RA8
{"" ~
Ha) SeL'ie annónica gi?oel'aliza()Il
Suce,lón, 20-1,
J
22 . . 2b~.
C==y
c.C. +ce,-ce Limite infinilo. 20-1. 2l-6b. 24-5, 24-S; EXl.I'em.$ infinitos, 2:1-Hb.
C-<JnshiJ1Ce de EULER o de MASCHERONI. 22-8b
-;; = lim SUp "'. :;:: lim o. Límit..ú superior de oscibu:ión. 20-&. " = [im ¡nt' = lim " ..
M.ltI'l.
T
'Trabajo. 56-1.
(e,1)
11,
,
Límite inferior de oecilllciún, 20-5.
ce -
1:::...
00
Limite superior o cota de error. V-Ha.
Inthh·: mhw\·¡.·..l. :~1-11I-_·.
O,
:HJ-U"
E'rt'ol' relativo, V.lIc.
Im!elerminnción, 21-lb!.'. S6-4a.
a~
oro
l. imite superior o cota de en'or telRtivo. V- Uc.
fndet(!\·mir,a
e.
36-~b. C.
21 .. 1(,4,
I!:l'lXJr apro.'\irnado. V-na~.
o" _ J o, -
(">0) )+,00,(,,<0)
ea'" C(1lD de error aproximado, V-IIt'6.
l,imlte .Inllul ... , 21·34,
1+00))'
no
_ J +'"./J, (">0) - 1 o. (}. < O)
+ ___ 1::._ _ _-
J
2]-~1,.
+ x.
I a,
< <
I
[~, aJ) ... , a ..·-l, ak, .•. , a .... n ] F"acción continua periódica. V .. Ud.
~l-~d.
1-'l· Os dl ~cI';n .
y,
X.
1mll'tcrmjnst'Íún, 21 ...3d.
< 6' =1=
Z • • ,.
Constant"", 23·1.
0-70
=:;
mant
+~
Mantisa, :ZS-S.
l .imitH ::inJ!'uh'\ree. 21-3/,
f(x)
O'lJ
Funcion. 23-4.
~¡
Oscilxcll"Tl, ~1-1f,
== + ::1:,
(+~)+:r (+~)-XJ l,hnltE'!f FiinJ.!ula ....~·B+ 21-31.
=
O
+ '" + ,., +
=
11"
1/,
+
1/0
l~¡ln c¡,·. n
Z"
+ ti.
H. Juu'cial d{l la
~{'ric
nrmilnicn. 22 .. td:
P olinomios de Hermitc. X·llb ~.
R.
~~ I'i~ r(>Sto, 22- 1~ i Reducida de Una (racei6n f!üntinua. V- liJa : Co.,tlclentee de 1.. fórmulll (iAUSS. 51-6; C""fielentea
a.·
\'11 ria\, le!.
23 .. 4.
iv z=(l:+iy
10 :=11.+
compleja de ,,'oria h1e compleja, 23-8c, 41·14.
exp
(1{)
c'. 23-8e. f[g(x) ]
Suma purda1 ele uno serie. Z2-1a. ~ : Inla
(:r. V, ., .• t)
-fe ).J
w-
+ +
U
P(X.v)
21·~f,
S.,'i". 22-1a.
=
F'uncit)n elE vxrixs
Polin(\mlo en dos "ñl'inbll"S. 23-8.
(+X)'f) Osc llución.
U ..
'P, •• . )
a. b, c. , .. (a, [3, 'P, .. ,)
2 I .~ • .
IndplcrminAci;m. 2t-3c, S8-5.
11,
e,
(p,
Vori"bl"". 23-1.
1)
lw O·.r ;::: O.
ar., ... ]
"""'-Rcei!)n conlirlun. V-IIln ,
- , + r., (O
(O
~, ... ,
[a,., ah
J O. (a> J)
(1'7,.
+ ...
a.
Fl'ncciilO contlnun, V-IJIa.
lfl.lf'tel'mjnndón . 2 1-3c.
LimltC" 5.inJlulD1',
+-
I no
+ _ 1_1
Límite !linJ.!l1im', 21-3,' ]+00
crCIJ _
+ , ..
a. + _ 1_1 + _1_1
36 ..5 .
(a> 1) (O a 1)
- 1 o.
a..
F .. acclón continua, V-lIJa.
(.Lr.) " a>O'l _
1
+
a,
LímiH' !iinJ!llltl r. 21-3b. hvleh'I'minnciún.
== (t::..A) lA
lI:
OC
!nd~t'e)" minlldun,
(C.k)
Sumnbilitlad CESARO, V -1".
F\mción de fllnelón. 23 .. 18_
f(x)...-? 1; lirnf(x)== 1 ~~(t x.....:,. a Límite funcional. 24·1.
f
=
Ü(g-)
Ccmp5raclón de variables. 24·3b
/
¡ NOJ' · ' J)~: s;I IIIJlol.f)!.\ "
= o (g)
f
r eR l)~tt)
iníinitttt/oimu
.. (a:) :::: (nftnit{'simo de u n .'t>n
de
~,
24..:U~.
O (h") 'i\lpc~ior n p. 2~ .. :k:.!
q (.t) :::::: O (h") Infinile'Si mo pn\' 10 mcn06 <.le orden 'P. !"¿f¡·3 c=,- .
x-
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~x
c¡;
= lt
;
=
linl
= 1im
SUp i(x) L imitl.!' t> u\l e d(l(" lu nciuJ"Is t. 2.J~8.
((X)
= l.;
lim f(x)
lim f(x)
x ~ (Z -
~ ~d ·
Llmi(~s
lAterales. 25-4.
f«(c) = f(a -
=
f(cr )
= 16
f' (x,,) 1'.(7,,)
M
eos ~5-3
Seno. 2li-1.
tg :! :-.~ t .
T HIl t!t'l l tt.'.
cot~
Cotang:enle, 2S-1-
sec
f'. (:I')
cosee :!~.1.
pOl' (,0I1~iJ!ni('n't{' . 28-&.
V Velt1cid;1fr (In un in~tnnte. :\1-4; V lllumen •.=>6·2.
are cotg ('(l tnn~eJlle.
A r co
'"
Pul.s~lciún .
Derh':.dns
f',,"C inirinl. 2R-4 .
are tg~:-;:-~ ,
are cos ('1)!"( ' nC'l.
28-6.
eh
dU
=
0= d X x /d Incremento, VIII·\.
y Flux ión, derlvadu, V ni-l.
1I.o=dy M"mento de fluxión, diferencial. VIII-lo
q.(X)
O(W)
R"
=
O(
(1) infinita po)' Jo menos de urden p, 87 .. 2,
ACf) Punto irnpropio, 37-6b.1.
t¡l;'h
C.lll'acterísticn
T n r.f.€nte hiperbólicu, 29·1.
arg ch,
=
¡"{(nito de ol'den n o mbyur
Seno hiperbólico. 29-1, 45-3.
sh,
d dx f(a:)
=
Del'h'nda (J nlínst'ls, 34·l.
hiperhúli<,' n. 29-1. 1.15-3,
sh
AI'JI:
en x1l • 33 .. 7, 38.. 1.
Tlife"onciul de l/. 84-1.
are sen A 1"(':0 Hl'on. 2P-5.
C(lS{'I1U
cuArta
dy
2R-4.
el
A l'CO
y
lf'l'Ce ra
Val.,,· Dmné.'ico de la diferencial, 34-1,
'2~ . -L
Al'co t'tnJ,!'C'ntc.
82-9.
y" = f"(x) := D'f(x) n ...¡"""" B.)!und8, 33-4. 38-1. y'" (x,,) , ylr (Xo)
[dyJx=xo; b.x=h
2H -:~.
k Am(lli.ttHl,
f'_(x)
Veloc1rl .. d merlin. 31-4.
dir PC'"dm((l.
,
dx = ~x InnempntQ independiente. 34-l.
S<..' t'llflh', 2 ~ -1.
./'
f'- (Xc)
1'\1 nciolles ueJ'i\"adi1s lA l€I'~les, 30.6.
!!:'-l, 4,) .. :1.
sen
en~ ~{" antl·.
•
Deri\"Julns luterul~ en cr~. 8<1-6.
Vm
e u:::. ~m. l .
)8 d~rí votla en :ro. 30 .. fL
V ul .... ,· de
M'
n H", ....a
= D f ( .1.' )
f' (:r)
Función cl~ r i\'ada . unlfnerJs. 30-fi_
dl,,·Í\-:l.lu t lt~ M. V l -lIf'.
CIIUj ll l1lu
le
De r i"'l1uo o ruinuriu. 30 .. ~.
O);
+ O)
f (a
Límirt's Jntc H~'c6. 2;")··1.
=
30 -l.
y'
c= Jim f(x) :::::: lim ini f(:c) Limite inferior flmdonol. 2.4 ·8.
L
/:::.y
lnCfemell t~r
L¡rr1ite e n el infinilO. 2-1·5IJ:1 .
arg tgh
l"unciones hiperbólico. inver8u., 29-Ej,
e
ncglit'i~a
de un logaritmo.
IX·lal,
eolg C.olo¡:uritmo, IX-la"
816
íNDICE DE SíMIlOLOS y ABREVIATURAS
D+,
D. ,
D-,
D_
Número3 derivados. IX .. Va.
D< f (x) D-f(x)
p
D +f(x); D-f (x)
,
=
Fundone.s derivndo8, IX-Vb. y (r.)
=:.:
f ( n)
Derívadn d" orden
d' y D iferenciales,
,
'n,
SS-l .
=
(1
+U
enésima~
+ V)
(U
(1
•••
1)
+ u,,)
Prod ucto pArcial, Xl-lIla.
6." y,
38-2.
Diferencias sucesivos, 47-1.
Er Opera dor tiirobóHco de incre mentar, 4.7-2.
Derivadas, eeg unda. enesimB, 38 -2.
[x]"
(n >
Factoriales o fa culwd.., 47-4.
Fórmula
Tn( x )
(1 +Ul) ., _ (1 +V-n)
dOy
ee8'u nd~.
=
+ Un) =
(1
.. =1
p.
d"y d" y ~'~ :;:¡j(n)
00
TI
Producto infi n ito, XI-IU.
= Dn f (x)
( :'t )
=
R,,(x)
= T.
Termino con1pJementario de la fót"rnu]a de TAYLOR, 39-2, 61-6c.
Ter mino complementarLo de interpolación. 47-6.
[O 1],
p Radio de curvo tu r", 40-6, 66-6, 56-6.
LO 1 2],
[O 1 2 3]
Difrl2ncias divididas. XII-l.
8" X
Difere ncia. centr ales, XII-U.
Der¡v"da sCJl und .. r""peeto de lo 40 -6.
}lS"
lim W(Z) = w.
P romEdio de diferencias cenlrale• • XIl-11 ...
z~ zo
l/IR)
Limito en el campo complejo. 41-1uL
W'(z,,) :::;
Áren de una reglón,
w'.
Norma de Una p ortición,
V [A,E, .. "H,K]
V~l1'iacione~
E ,,' u(x )
I a,
(índiceL
bl
"l-ab.
8
I
S uma inferíor, 48·2; Lomt1tud de un arcO. 6;'-1/.1; ab, ci." curvilínea, 65-lb-
Determinante a~bJ -- ni',. 42-3.
R.
S Suma superior, 48-2,
Be-rouUnno, 42-3.
R(y)
'lT1) '11'2' 7ft:. Particione.a, 48-3 ..
ElhninAnte ele un sistema. 42-4.
y(" )
f
Coeficitmte diferencial de PEA NO, X-la, XII- Id.
c. d.
f(x) . dx
definida, 48·3b; =Integral lim !lx, 4B-3e,
S.
~í(",).
!lx~O
Soma s imple de l"óJices. X-lIIb. ;
b
G
Coeficiente difcrencJa1. X-lo..
Sp, 11
48-2 ~
'TI~r , Mr Extremos del integrando. 4B-2.
m, l'rf,
Exceso al~ebrai cú
48-1.
II
Oel·j .... adn en el campo complejo, 41-1b.
SPJ Q, r
!Snnla8 tnúltip l"" de Taires. X-lJI/.
Inlegral
E"
Números d e BE;RNOULL1, 44-Ej., XVl-U
r; .nCTtlli~ada,
b lim ff(/t'd:t,
/?-')()'
(l.
e" Potencíll de ex ponente complejo. 46-3b_
Ln DeterminaciÓn principal del loguritroo nllLurnl. 16-30.
~0·4b,
flJ,
a+e
(a< b)
r.
Ua:) )'
4B-6a.
Potencia. g eneral multiforme, 41:>-3d-.
P.(a;)
Polinomios de LEO~l"DRE, 45-Ej., XVI-III; Polinomio interpolante, 46-1.
ENIAC
ElectroYlü; Nt.(tn.(;Tfcal J1tt~'fPota.tJJf"
Aut.,."atic CalClllator_ XI-lIb.
f'
Valor medio de uno funci ó n, 48-6a. (R) (lnú:grnl; Integrablel RIEVAl
/
f
11':111("; VI:: 5JM I1I~I.CI~ '{ AIII~\lIA OllA.
tl17
J
J; J
11 · 11a:
11
Inteltrlll"" Inlerior y 8upe,'ior d" DAnooU}(. 49-2.
e,
n In 'nrKfI (Iel conlHrno orlcnuulo
M- Id.
11.
fXf(X)d
Indice topológico de una región R,. M.le.
X
IR"
a Función integrru. 50-1 ...
area ab.o!utD., 54-le_
V Volumen, 54-a. 8 = s (x) Abscisa curvilinea, 66.lb.
+e
fXf(X)dX
a Integra! indefinida, 50-lb.
ds Diferen cial de arco, 56.}b.
e
Constante de integración, ~O-lb; Conjunto generalizado de CAN70R, XIII-IV; Curvatu_ rll. 55 .. 5: Longitud de la circunfenmcia, Re~p.,
7-!jj.
ds Vector diferencial de "reo. 66-2.
sn
U
Seno elíptico de JACODI. 55-Bb.
K(t,1c)
;
E(t,k)
ff(X)dX
Inte¡¡r8les l'lípticB9 de LEGENDR". 65.3b.
Primitiva. 50-lb.
CUl'\?ntul'u media, 66·5.
[ F(x)
e ..
]~
V. b f(x)
Variación total en [(l. b';. 55-9. 55-Ej.
P
F(a} ~ F(b). 60-2".
f~(x) dx Integral generalizada. lim X-400
J
f 4ir } d x.
a
fT
.p(OO)
Lon(:itud f init.. eJe un Breo. XV-la.
pan.
L
X-4C1J. 50·da.
8~
P erímetro de Quebrada inRcl'itn, XV-la. 1/.
51-1 Tabla.
R(x,y)dx
Integrol algebl'siclI o abeliana. 62-2c.
1 (p, q) Ivtegra! de dill'rencial binomi", 52-2d.
m!l Producto d
Zm (t) ~ Z(t) zrn (t) converge uniformemente XV-II.
r(n)
z(t).
la. bJ. 55·9c. XV-IJ
E, I, P
Snmas de ordenadas: extremn~. de fndicf. imper, y pnr excluyendo las extremas. 57-3b .
= erf ce
Funci ón error (Fehlerintegral).
Si (x) Funci6n Integral·seno.
Integ;al euledana de 2~ .specie o función Gammn. 53.Ej.
l\
La' z (t) Longitud de urco en
.p(X)
B(p, q) Integre) eulerionn de 1~ especie o funci6n Be!n. 53-Ej.
m-4,
~7·Ej.
~7-4 .
Ei X FuncI6n l'xp()nenci"l·;ntegral. 57-4
líx
A
Funci6n logaritmo-integral, 57-4.
b
I f(o;> Id",.
F(I) Función de intervalo. XV-lb.
D-1 f(x) Antidcrivalla de fl.,). 51-S .. ,
f
P
Presión. 66-2. I'ttedin cuadl'ática de uns f unción, 56-3.
D.
Área ab80luta,
Longitud y vo:r incionEe totnl, positiva y negativa en [ a • .,1. 65-9d.
50-4 ...
Derivada respecto a
f
l> .; .
L(x), V(X), P(X)' N(x) X
a
lim .p(X}
, N
Variaciones positiva y n~g.Ht.iva en la. 55-9b, 56-Ej.
(B-l). (a'b). 54·141.
Subpotencias. XVI-Ha.
9?(r)
,
n<,(r)
A
Polinomios de BElIINOUL¡'I. XVI-IIe.
Áren orientada o relativa, M-Id.
Der ivada de orden cer o. Resp. 3S-E.j.
DOy
==
Y
íNDICE ALFABÉTICO A. .-\.lm,\:-;K ABAKAl\"OWlTZ, 59-l. .-\IlDELHAY, J., VI-VI 2. ABEL, N. H., p. XXiV, IV-Ha,
22-4c,
22-G/', V -Il, U. 43-4b, 4.5-4a, 45-6,
XI-I. XI-IVe, 55-3b; criterio con\'Cl'g(,llcia condicional, 22-4c; le· ma. 22-4c¡ teorema, 43-4b. A bscisa curvilínea, 55-lb. Abscisas, sistema, 3-10, 7-7, 9-3. Absol'ción, ley, l-l. Acelel'ación, 38-3; centrípeta, 38-Ej ACKERMANN, W., I-IV 19. Aeuladón de laR n:ti<:es, 41-3; dual. \' -lIl', Acumulación, punto, VI-Ilb; 20-5. ADA~IS, D. P., X-V 7. Adiabático, 56-2. Adición; leyes a.s ociativa, canceJati· va y conmutativa, 2-4; modular, 3-7; monotonía, 2-5; números complejos, 9-2; 9-5; números enteros, 3-3; números naturales, 2-4; números racionales. 6-2; números l'eales, 7-5; 7-6c; vectores, 9-5. Adjunción, 17-la; IV-Uf. Afij o, 5-2b; 9-3. .-\GXESI, M, G., S3-Ej. Aisla do, punto, VI-IIb. AI1'K EN, A . · e .. 41-2a, X-V 3. .-\LEXANDROFF,
P. S., III-U 3.
A li abetos, 4-1.
Algebra, 15-2; de clases, 1-1; 1-2; 1...• 5-I2a; teorema fundamental, 18-1.
Algebl'aic/lnlente cerrado, II-IIla. Algebraico: algoritmo, e. IV, cálculo, 15-1b. Algoritmo, I-JI; indefinido, 22-1a. Alícuota. parte. 7-1a. ÁL\'AREZ VALDÉS, L., V-IV 11. Amplitud, 28-4. A!\ISLF.R. J .. 59-2b; planimetl'o. 5Ü-2b
.Angulo: de dos curvas, 30-7; orientado, 28-1. Anillo, 5-12b; conmutativo o abelie.no.5-12b. Antel'Íor, 2-7. ANTHONISZ, A., V-lIle. ANTIFONTE, XIII-la. Apagógico, XIII-1b: VIII-l. APPELL, P., VI-VI 5. Aproximación: acotada, V-Ha: cuadrática, 40-5, 6; lineal, 40-1; por defecto (exceso), 7-4. Arco: diferencial de, 55-lb: infinitésimo, razón a su cuerda, 55-le; longitud de, 55-1: rectificable, 55-la: regular, 34-6. Al'CO coseno, 28-5. Arco seno, 28-5; valor princi pal, 28-5. Arco tangente, 28-5; valor p rinci. pal, 28-5. Área, 48-1; VIII-J; absoluta. 54-!/!; arco de parábola, 57-3a; cardioide, 54-Ej.; contenida, 48-2 : continente, 48-2; coordvnadas cartesianas, 54-1; coordenadas polares, 54-2; elipsoide revolución, 54-Ej.; onda ci cloide, 54-Ej.; orientada, 54-1d¡ paraboloide revolución) 54-5; supel'ficie esférica, 54.-5; superficie 1 ~lución, 54-5 . Ar gumento, 9-4b; valo~' pl·incipal. 0-4b. ARISTÓTELES, }-2b.
Al'itmética, 4-1; teorema final, lI-lIle. ARQUÍMEDES, 6-5b, 7-7, JI-I, IV-He, V-lIle, 34-2, 34-7, VIII-I, 50-2a, XIII-I, 54-2, 55-Ej.; 9-Resp. Ej.; espirÑ, 34-7, 54-2, [rectificación, 55-Ej.]; postulado, XIII-lb; 7-7; teorema, 6-5b. ARZELA . e.. 7-6b.
320
íNDICE ALFABÉTICO
A ollllétrica, propiedad, 2-7; generaIlzuda, 2-7 Asíntota, 37-6a. A~intótíca: dirección, 37-6/); 42 -4b; igualdad, 41-12. Asociativa, ley, 1-1. Astroide, 23-9; rectificación, 55-Ej. AUMANN,
G., VI-VI 5.
Axiomas, 1-7; compatibles, 1-7; independientes. 1-7; sistema, 1-7: (categórico. 1·8; integridad, 1-7; saturación, 1-7]. Axiomática. 1-7.
B BABINI, J., V-IV 3, X-V BACHMANN, P., 7-6b. BAlRE. R., 25-Ej., VI-V,
7. IX-VIII 4;
M., [-IV 2, IV -III 3, X-V
7. BALL, R. W., 111-11 2. BARLOW, P., VII-He. BARROW, l., p. XXVI, VIlI-I, 50-~; 50-4", 63-1, 67-1; regla,
50-2, 50-2. Base: ele cuerpo o campo de números, 17-1a; espacio vectorial, II-IJlb; logaritmos, '8-7; potencias. 4-2a. BATEMAN, H .• XV-JlI S. Batido o batimiento, 28-4&. BAUSCHINGER. J., IX-lb. BEAUMONT, R. A ., III-U 2. BENlTEZ, J. D., p. XIX. BERKELEY. G., VII-lIb. VIII-!. BBRNAYS, P., 1-IV 19. BERNOULLJ, DANIEL, V -Ig, 23-6. BERNOULLl, JACOBO
(SANTIAGO).
111-11 1, 23-5, VI-VI 4, VIII-I, 44- E j., XVI-IJ: lemniscata. 54-2; números, 44-Ej., [función generat riz, XVI-I1a, e]; polinomios,
XVI-IIe. BF.RNOULLI,
J U A N, p. XXIV, 23-6,
VIII-l, S6-1, 36·2, 36-3, 36-4, 36-5, 37-3, IX-III, 38-6b; regla de BERNOUlLl-L'HoSPITAL, 36-1. BERTRAND, .J. L. F., VI-V[ l. BERZOLARI, L., p. XXVII. BESICOVITCH, A. S., IX-VII. BESSEL, F. W., p. XXVI, XII-lIe,
Bigradiente, 42-2u. Binaria, representación, I-II. Binarío, sistema, I-lI; 7-3. BINET, J. P. M., 13-6. BIRKHOFF', G., [·IV 5, U-IV 4, III n 3, IV -11l 1. BLEICHER, B., p. xxvn. BOCHENSKI, l. M., I-IV BOIS-REYMOND, P. DU,
18. p. XXVI. VI-
VII, XllI-IIIb. 1-7. B., U-II, 20-6a, 21-6e, 22-1b, 24-7, 26-2, 26-5, 26-Ej., VII, VI-V, 30-8, 33-6, IX-VII, 4.0-4, 41 -5.41-10; criterio de convergencia de BOLZANO-CAUCHY, 20-6a, 24-7; existencia de ceroS, 26-2; teoremas de HOLZANO-WEIERS'
TRASS, 26-5; VI-IIb. BOOLE, G., p. XIX, 1-2,
42-3. 424, 42-Ej .. X-V 6; método elimina-
1-1; álgebra,
1-1. E, V-lIle, V-IV 4, 26-6, VI111. IX-VIII 4, XIII-lII; lema, VI111.
BOREL,
BOUlANCER, G. R, X-V 7. BOULIGAND, G., VI-VI 6. BounnAKI, N .• I-IV 7, 9, IX-VIII 3. ROWDEN. B. "., VII-lib. BOWMAN, F., XV-III 3. EOYLE. R., 23-2. 5C-2; ley de HOYLEMARIOTTE, 23-2, 56-2. BRANDENBURG, R., VII-lIg. F,REMIKER, C., IX-le. J:mTGGS, H., 8-8e; logaritmos, S-Se. HnODE'fSKY, S., X-V 7. BROMWICH, T. J. I'A., V-IV 1 BROtJNCKER, W., V-IIId. BRUNSCHWICG, L., I-IV 20. BUDAN, F. D., 41-8, 41-Ej.; teOl'ema de BUDAN- FoURlER, 41-8. BURALI-FoRTI, C., 1-1. BYRD, P., XV·III 3.
C CAJORl,
57-
4; fórmula, X Il-II c. RETR. E. VI'., J-1V 19. BÉZOUT, E., ]l . XIX. p. XXV.
BIEBERBACH, L., VI-VI 5 . BIERENS DE I-IAHN, D., XIV-l.
BOLYAI, W., BOLZANO,
25-Ej. BALA!>:ZAT,
ción, 42-3; teorema general, 42-4; iJ. restringido, 42-4b. Bezoutiano. 42-3.
F., IV-lII 3, X-V 1-
Cálculo: diferencial, orígenes, VIII1; integrnl, teorema fundamental, 85-2; IX-VI. CÁMARA TECEDOR,
S., X-V 7.
Campo: absoluto, 17-1a; complejo,
H21 17·1 l'; ue raciollllli.h.l,ll , 1l-12d, 17la; de vs.l"i.uhili cllld, 23-1; de va¡'iación, definició n o exishmcia función, 23-3; real, 17-10.. CANTOR, G., p. XIX, p. XXIII, p_ XXIV, 2-10., 7-3, 7-4, 7·6, 7-Ej., U-l, 11n, IV -1, 20-6b, 26-6, VI-I, VI-UI, I X-IVa, IX-VI, 50-2b, XIII -IV, 56-la., XV-la.; conjunto ternario, 50-2b; función ternaria, IX-V lb; postulado geomét.rico, 7-4; sucesión fundamental, 20-6b; teoremas; [coordinabilidad, U-U; de HEINE-CANTOR, 26-6; VI-III; números algebraicos, IV -1]. CAPELLI, A., 7-6b, X-V 2. Característica: de función, 23-4; de logaritmo, 8-7a, IX-la, [decimal, 25-Ej.]; de matriz, 14-3. CARATHÉODORY, C., 26-4, IX-VII! 3. CARDANO, R., HJ-3a. Cardioide, 55-Ej.; área, 54-Ej.; rectificación, 56-4. CARNAP, R., I-IV 19. CASTELNUOVO, G., IV-He. CAS'l'ELLS, P., VI-VI 3. Catenaria, 29-1; reetüicación, 55-la. CAUCHY, A. L., p. XIX, p. XXIII, P XXVI, 7-6b, 10-4, U-IV 4, 13-6, 2()' 6, 21-6e, 22-1b, 22-2c, 22-6b, 22Ej ., V-I, V-Hg, 24-7, V I-I, VI-VI 1, VI-VI 6, 33-5, 33-7, 35-8, 36-1, 36-2, IX-H, 38-5, 38-6, 38-E j., 393c, 41-1b, 43-1b, 43-2, 43-4b, 44-2, 45-3c, § 48, 48-Ej., XIII-H, XIIIVI; criterio de convergencia, 222c, [de BOLZANO-CAUCHY, 20-6a, 24-7] ; desigualdad de CAUCHYSClIWARZ, 48-Ej.; fu nciól1, 88-5; 44-2; integt'al, § 48; regla producto series, 22-6b; sucesión regular o de, 20-Cb; teorema de CAUCHY-HADAMARD, 43-1b; teorema valor medio, 35-8; término complementario en fórmula TAYLOR, 39-4e. CAVALIERI, B., XIII-le. CAYLEY, A., 42-2([,. Cero, 3-2, 3-7, 3-8, 3-10, 3-11, 6-2b, 7-4,9-2; acotación, 41-8d; de eqllivalencia potencial, 38-6a; de f(x), 26-2; de ol"den infinito, 38-6a; de orden p, 38-6a; de polinomio, § 18, por lo menos de orden p, 38-6a: real de función continua, 38-6.
M., l-L. CESARO, E ., V-Ig, V-I1ld, X-lIa. Cicloide, 34-6: cuadratura y cubicación, 54-Ej.; curvatura, 55-5; evoluta, 55-8b; l'ectificación, 55-le. Cifras exactas, V-lIb. Círculo : cuadl'atura, IV-He; osculador, 40-6, X-le. Circunferencia; evo 1vente, 55-Ej.: oscuJatr iz, 40-6, X-le; rectüicación, 'IV-He; unidad. 28-1. CISOTT I, U., VI ~VI 3, XV-UI l. CLAIRAUT, A. C., 23-5. Clase, 1-1; inferior (superior), 76a; representante de, 1-6. Cociente, 5-1; 2-4c, 6-2a, í -5e, 9-5c; completo, V-lIla; defecto, 5-1; exceso, 5-1 ; incompleto, V-lIla; ley de, 16-5a . Coefi ciente, 4-2c; binomial, 45-5a. Coeficientes: d if e l' e nciales, X-la; estructurales, H·I1le; indetel'minados, método, 16-7; 44-4, 46-4b •. Cofaetor, 13-4a. Cologaritmo, IX-la. COI,LAR. A. R., III-lI 4. Combinación lineal, n-UI"; de líneas de una matriz, 14-l. Combinaciones, ll-3a; con repetición, 11-4b. • Complemento, 1-1. COITlpletiva, ley, 1-1. Comprensión, l·I. COMRIE, L. J., VIl-lId. Concavidad, 33-9, X-lb. C0l1cepto, 1-1, 1-4: especifico , 1-1; individu al, 1-1; pl'imitiv'o, 1-7. Conceptua ción matemática, 1-4. Condición: necesaria, 1-3; sufí ciente, 1-3. Cong ru encia, 5-11. Conjunto, 1-1; ap liC
822
iN DICE ALFABÉTICO
}'epresentndo en, 2-S; totalmente imperfecto, IX-VId. Conjuntos: comprensión. 1-2b ; coor· dlnábles, 2"8, 2-10; cuerpo, lI-I i disjuntos, 1-5; e xcl us Ió n, l-~bi ig uales o idénticos, 1-1, 1-2b ; ¡ncl usi ón, 1-1, 1-2b; intel'sección, 1-/; 1-2b; isomorfos, 3-5; lineales, 7-7; VI-Il; u nión, 1-1. Conmutativa, ley, 1-1. Conoide recto, volumen, 54-Ej. Consecuencia: algebraica, 42-1 ; lógica, l -2a. Consecutivos, elementos, 2-7. Consistencia, ley. 1-1. Constante, 23-l. Construcciones con regla y compás, IV-Ub. Contacto: orden, 36-8«; orden n, 38-8a; or den superio r a n - 1, 38-8b; simple o de primer Ol'den, 38-80"
Conta r, 2-9; 2-1a, 2-1e, 2-10. Contiguas: clases, 7-60,; sucesiones 1110nótonas, 7-4; 20-40. Continuidad : absoluta, 26-E j.; de la recta, 7-4 ; 7-7; en intervalo, 25-5 ; funcional, 25-1, [en campo complejo, 41-1]; lateral, 25-5; unif orme, 26-6. Continuo : hipótesis, lI-D; potencia del, II-ll. Contradicción, 1-1. Convcl'gellcia : a bsoluta, f2-1h ; 2~:5; aceler ación de 111, V-Ih; condICIOnal 22-4b 22-5; criterio general 20-6, 21-5~, 22-1 -g; critErios clá, sicos, 22-2e; criterios de compa ra cicín de 11!- y 21lo especie, 22-2b ; criterios de convergencia condicional, 22-4c; gener alizada, V -In, [condición dI' consistenc;a, V-If.]; segun la norma, XV-I; suceSlOn, 7-2.
Convexidad, X -I11, 66-90. C OOK E, R. G., V-IV 2. Coor denadas Jlola res, 9-40, Corrección (de en ores) , V-na. Correspondencia, 2-8; biwlÍVOca., 2S; conforme di recta, 41-1e : inver· sa, 2-8 ; isogonal, 41-1e, Cortadura en el campo : racional, 7-6a; real, 7-6d. Cosecante, 28-1. Coseno, 2g-1.
Coseno hiperb6lico, 29-1. Cotangente, 28-1. Cotas : super ior (inferior), 1-1, 23· 14a¡ universales, 1-1. COTES. n.. p. )CXVI, 67-6, 57-Ej. COU FFIGNAL, L., VII-lI b. COURANT, R., 1-7, I-IV 14, U-IV 6. VI-VJ 2,37-6, XIII-V 1, XV-III 1, XVI-IV 4. COUSTAL, R., ~-6e. . C RAMER, G., 1 6-4, 16-5, 15-0, 42-2d~
regla, 15-4. Crecimiento : infinito, 6-60; monóto· no indefinido, 6-60. CRELLE, A ., I-U, VII-He. CROISOT, R., ¡-IV 5. Cuadratul'a: ál'ea, 48-3B; con papel milimetrado, 69-2b. Cuatel'nl08 o cl.la terruones, I1-IIld; parte escalar, Il-IlId; parte vectorial, JI-IUd. Cuerda nula, VIII-l. Cuerpo•. 6-] 2d; completo, II-I ; con, mutativo, 6-12d ; constante, 17-1a; mínimo, 17-10,' numérico, 17-10,: ordenado, n -I, 6-50,; redondo o de l'evolución, 54-3; variable, 17-1a. C URRY, H. B., I-IV 11), I-IV 20, Curva: 81~ebraica, 23-8b; ima~ina·, l'ia, 23-Sb; límite de otra, X-le; Ilsculat riz, 38-Se ; plana, 29-2, [cenada, 29-2: simple, 29-2]; unicUl'sal, 41 -66, 52-20; un i f o l'm e, 2fí-1b. [arco, 25-1b]. Curvatutra de CUl'Vaa planas, 66-5; en coorden adas pola res, 55-6; media, 55-5; radio, 55-5; 40-6, 55-6. CH CHAMBERS, tablas, VII-lId. CHATELET, A ., I-IV 5. CHEBICHEV, P. L ., 52-2f, XVI-IV 1.
CHEVALLEY, C., I-IV 7, I V-In 1. CH'IN C m u-sHAo, 41-10.
o D. propiedad, 26-4. D' A DHEMAR, R., V -IV 3. D'ALEMlIERT, J., 22-20, 23.15, 39-2; cl'iterio de conver gencia , 22-20. DARBOUX:, J. G., p. XXIV, p . XXVi, 26.4, IX-IVb, D, 49-2, 4f~-Ej .• XIIIH, XIII-IIId, XV -lb; integrales
~ Ullt!rior
e infm'ior,
4~- 2;
lema,
XI' -l b; XII I-U .
VASE. J. M. Z., XI-I1b. nA nS, D. S., X-V rj. l)IWEKlND, J. W . R., 2-9, 6-3, 7-3, -; (j , 7-Ej., 1I.IV 1; cortadura, 7· tia; postulauo, 7-66. Deiinidón: axiomática, 1-7; 1-4; explicita, 1-4; im plícita, 1-7 » nominal, 1-4; por abstn> cción, 1-8 ; 1-4; por reculTenciJ., 2-3; 1-4; real, 1·4. IJI::LECOURT, A ., x-v 7. Dclos, problema, IV -I1c. lJ ~mosh'ací óll, métodos, 1-3 l>B;-,:u;.PAPIN, M., IlI·IJ 4. l)EXJOY, A., IX-VIII 2. Dellonlin ador, 6-l. Vl'IJe ndencia lineal de lineas de una nUHl"iz, 14-2. [)e r ivación: fól'nlu]as, 32-1d; gráfil'U, 35-7; n: glas , 32-1d. lJerivada, 30-2; a la derecha, 30-5; a la izquiel'da, 30-5: de fun ción IIl\'Cl"sa, 32-8; de pr(ld ucto, 32-4. :J~-4; en el campo complejo, 41-1b, [intel'pretación ge o métl"ica, 41Ji']; fun ción, 30-6, I X-IV; lateral, 30-S; logarítmica, 32-4; ?/-ésiIllII, 38-1; primera, 38-]; segunda, 38-1; 33-4 ; única . 30-3, JX -V ~. Vel"ivadas: fu ndon es, IX-V ; sucesivas, 38-1; tabl a, 32-11. Dcrh·ados. números. IX-Va. l)1-::.-!CARTES, R:, Vll I.-I, 41-9 , 41-11(" ·U-Ej. l.>e,,(·om pol'ic:ión en Íl"a<:ciollE.>s !iim!,It!H, 4(;·4. D :sigUllldad: leyes: 2-5; regla genen tl, 3-!!, 6-5; triangular, 9·5a. Des igualdad en tre números: complejos, 9-5 e, 9-Ej., Il-I; en teros, 3·;¡; na t u l ' a 1e s, 2-5; racionales, (¡-5a; reales, 7-5e. 7-6c. Determinante, § 13; e.djunto, 13-7a; adjunto de, 13·40.: adjunto de mellor, 13-5; anlisimétr ico, 13-7d; complemento algebraico, l S-4a, lit! menor, 13-5] : derivación, 82;); diagonal principal, 13-2, (5ecun rlar ia, 13-2]; elementos conjuJl."ados, 13-Sc; hemisimétríco, 137(1: menor, 13-5, [complementario, 1:I-ti; 13-4a; principal, 13-51; proelucto, 13-6, [escalar de filas, 13-
r
6]: rcc í pl"o~u. t:I-7a; simétrico, lS-7e; térm ino princi pal, 13-3b. Determinantes cal"ac~lis\'icos de un sistema lineal, 15-5b. Diádica, r epresen tacién, I-Il. Diádico, sistema, 1-11; 7-3. Dia grama de una fun ción , 23-2. Dialítico, método, 42-2a. Di AZ GERGON NF., l. , 1-2b. 1-1. D IENES, P., IX-IV 2. Di ferencia, 2-4b, 3-6a, 6-2 b, 7-M, 9-50. ; específic a, 1-1; pl'imera, 47-1; segunda, 47-1; ta bulal', 355a. Difel'enciación, fórmulas, 34-5; reg Ias, 34-4. D ifN'endal, 34; de 81"('0, 55-11.: expresión analítica , 34-1, [invar iRm:ia, i:!4-51; func ión de función, 34-5 ; sel?;"lInda, 38-2. Diferencia les sucesivas, 38-2, Diferencias : centrales, XII-Ha; de fact oriales, 47-4 ; de polinomio, 47-3; d iv id idas, XII-la; sucesi·
*
VIlS,
47-1.
DJNl, U_, VI-I, VI-VI, 80-8. O (OCLES, 23-9; ci soi de, 23-9. Di-ofántica, ecuación, V-BId •• Dirección, 1-6; propiedad de compo· sición o de, 2-7. DIRlcHu:r, P. G. L., p. XXIV. 22-4b" 22-4c, 22-5, 22-6, 23-3, 23-5, 24-8, 25-E.i., V I-I, VI-IV, VI.V, 30-6, 33-3, XI-IlI, 49-2, 49-Ej., XIIIl Ile, 54-la; cl'itel'io de convergencia condicional. 22-4c ; funci ón. 23-3. Discontil1llidad, 25-1b; de 1~ especie, 25-4b; de 2~ espede, 25-6; e\ritable, 25-2,3; finita, 25·(l; in · fini ta, 25-41>, 25·6. Discontinuidades: pu nt uales, IVIV ; totales, IV -IV. Discu sión de problemas, 15-2b. Distancia polar, 58·10.. Distributiva, ley, 1-1. Dividendo, 6-1. Dh'isibilidad , 1·5; algebraica, § 17; cl;terio ge n era l, 5-9a; criterios de. I -IlIb ; n umérica, § 5, [teorema fun damental , 5-3]. DiVisión, 2-4; a breviada, V-Hg. ; entera, 5-1. [de polinomios, 16-4J; entre números: [complejos, 9-5c: ra<,iouales, 6-4 ; .-enles, 7-5e]: regIa gen~l'al, 6-4; sintética, 16-4.
íNDICE ALFABÉTICO
Diviso r, 5-1, 5-10; intermedio, primen). último, 5-2. Divisores de un número, 5·10. D'OÜAGl'iE, M., X-V 7, XVI-IV 2. Dualidad, principio, 1-1. Dualitiva, ley, 1-1. DUARTE, F. J., XI-IV 4. DUBREIL. P., I-IV 6. DUBR.~IL-JACOTIN, M. L., I-IV 5. DUFRESNOY, J ., VI-VI 5. DUllAMEL, J. M. C., VI-VIL DUNCAN, W. J .. lII-I1 4. Duplicación del cuho, IV-He. DUSClíEK, A., VI-VI 5. DWTGHT, H. B., VII-lId, XIV-la. DWYER, P. S., V-IV 3. E
Ecuación, 15-2; algebraica, 42·1; altura, IV-la; bicuadrada, 19·2a; consecuencia de otras, 15-3a; cuadrática o de segundo g-rado, 19-1, X-IITh, [di scrim inante, 19-1a, XIlIa; resolución trigonométrica, 19-1e]; cuártica, l'€solvente, 19-4; cúbica, 19-3, [ di!lcriminante, 193u; r esolvente, 19-5a]; descomposición factorial, 18-2; diferencial, 44-4 ; di!lcl'iminante de, X-lIld; en una incógn ita, 18-1; final, 424a; limite, 41-2d; planteamiento, 15-2; r eci proca, 19-2c; resolucióll, 15-2, [por radicales, § 19; gráfica, X-IV, aproximada, 40-4; numérica, § 41]; !Solución, 15-2, 18l; transformación, 15-2. Ecuaciones: c u a d l'áticos, sistemas, 19 -2e; equivalentes, 15-2e; l3-la; lineales, sistemas, 13-la, [determinado, lS-la; equivalencia, 15-3; in compatible, LB-la; indetenninado, lS-la; principales, ecuaciones, 15-5]; paramétricas, 29-2; resultante de un sistema, IS-3a. E ficacia, 56-3_ EISENSTEIN, F. G., 17-Ej. Eje: imaginario, 9-3; l'eal, 9-3. Eliminación: algebraica, § 42, [mét odo del m. c. d., 42-1]; de una incógnita, 15-3a, 42- 1. Eliminante, la-lb, 42-4a. Elipse: cUl'vatura, 65-15, 55-Ej.; eVOluta, 55-Ej.; rectificación, 55-3. Elipsoide: volumen, 54-4; de revolución, área, 54-5.
F., VII-lId, XVI-IV l. Encaje de inter valos, 7-4. ENRIQUES, F., I-IV 13, JI-IV 1, I IV 6. Enteros mód. ?n, sistema 5-12a. Entorno 7· 7; campo complejo, 41la.,; de +oc' , -.:>::l , UJ, 24-6; lateral, 7-7; r educido, 24-1. Envolvente, 55-8a. E picicloide, 55-Ej.; rectificación,/ 55-Ej. EpSTEIN, P., p. XXVII. Equipolencia, 1-6. Equivalencia, 1-6. EMDE,
ERDÉLYI,
A., xV-In
3,
XVI-IV 1.
Error: absoluto, V-lIa; aproximado, V-lIe.; cota, V-lIa, C; de las operaciones aritméticas, V -lIe; en unu {unción, 36-4; limite superior, V-JI; por defecto (exceso), V-Ha; relativo, V-IIe. Esfel'a, área, 54-5. Espacio: lineal, II-llIb; vectorial, I1-IIIb. Espiral hiperbólica, 34-7. Espiral logarítmica, 34-7, 54..2; curvatura, 55-6; evolnta, 55-Ej.; rectificación, 55--4. Espirales, 34 -7. Estrofoide recta, 23-9. ETTINGHAUSEN, A_ V., 111-11 1. EUCLIDES, 1-7, l-Ej., 5-6, 5-8, 5-12d, 5-Ej., S-l, I-IUa, 17-3e, 17-4d, V -lIla, V-BId", 4l-6d, 42-1, XIII_ la; algoritmo, 5-6, 17-4d ; ley, 1Ej.; teol'ema, 5-6e. EUDOXO, 6-5b, lI-I, XIII-la, b, 9Resp. Ej. EULER, L., p. xxv, p. XXVI, 1-2a, 9-2, 11-4, IV-la, 22-3b, V-Ig, V-lIld, 23-5, 23-6c, VIII-I, 42-2, 42-3, 424b, 42-5, 44-3b, 45-3b, 5l-5a, 57-2, XVI-H, XVI-IV 4, 42-Resp. Ej.; constanW de, 22-3b; desarrolloll fin i tos de EULER-MACLAURIN, XVI-Ud, [infinitos. XVI-I1b]; fórmulas, ,t5-3b; método eliminación, 42-2; nÚme1'05, 44-3b; resultante, 42-2. Evoluta, 55-8; en coordenadas polares, 56-Ej.; longitud de arco, 55-8e. Evolvente, 55-80.; ecuaciones paramétricas, 55-Ej. Exceso algebraico, 41-6b.
821í Exh auciún, 4H-2. XI I 1-1/,_ Existencia , 1-4¡ 1- 1. 2-3. E x ponente, 4-2; COlllp Ic j o, 45 -3d; racional, 8-4; real, 8-6. Expresión: algorítmica de una fu nción, 23-6: aritmética, 23-3: decimal infin ita. 7-3; indetel'minada, 25-3. Expl'esión algebraica, 15-1; entera, 4-7, 15-1a.; equivalencia, 15-1b; irracional, 15-la; racional, 15-1a; valol' n uméricO', 15-1b. Expl'esjones algebraicas enteras: asociadas, 17-Za..; primas entre s í, 17-2a; producto, 16-3b; suma, 163a. Extensión, 1-1. E xtel'ior, punto, VI-lIa . E xtrapolación, 47-6a. Extremo: accesible, 23-14.b ¡ Í11ferior (superior), 1-1, 18-1; inferiol' -<Xl (superior ()~ 23-14b. Extremos: de un conjunto, 28-14; 20-5; relativos, 33-2.
+ ),
F J,'M DI BRUNO, X-lIn_ Pactores primos, descomposición; de un n úmero, 5-8b; de un polinomio , 17-5. Factorial, 4-3. Factoriales facultades, 47-4. Fehlerintegral, 57-4. FELTON, G. E., Xl-lIb. FERGUSON, D. F., p_ xxv, XI-Ub. FERIVIAT, P. DE, 1-lIla, VIII-l, 48-
Ej., 50-2a; teorema, 1-lIla. FERNÁNDEZ, G., p. XIX. FERRATER MORA, J., I-IV 19. FrnONAccI, 3-11, 22.-2c, 44-Ej. FICHERA, G., VI-VI 5. FLETCHER, A., VII-TIc, IX-lea. FLÜCGE, W., VIl-Hd.
Fl uxión, VIII-l. FOERSTER, M., VIl-lId. Forma, 4-7; lineal, 4-7. Formalismo, 1-8. FORT, T., XII-Ul 2. FOURIER, J., p. XXV, p. XXVI, 23-2, VI-VI 4, IX-VIII 3, 40-4c, 40-Ej., 41-8, 41-Ej .• 49-1 ; regla, V-Il[l¡; 40-4c. Fracción: algebraica irreducible, 17-4i; continua, V-nI; [a1Jl'oximación, V-lIle; finita de ol'den
"u.r l i1111)" '
V-UI ,,; 1"
)I
V. 111 ,,; "t'di Iluriu,
"i ~( II<:1l I"u nl),
V-1 Uri. ;
,··t!m· i,'a", V-' I 1". ,.J; t1uci muJ. 7;I¡ di : .Ji ~a, 7-:1; irred ucible, G- l. F M\ccioncs simples, tlescom posicitÍn en, 46-4; ue f'( x) If(x), 41-2b.
A., IX-VIII 4. G. (ver L'HosPITAL). FRAZIm, R. A., IlI-U 4. FRÉCHET, M., 20-6b_ FREDHOLM, E. 1., IlI-lI 4FRECE, G., 2-1a, I-IV. F RENEl', F. J., VI-VI 6. FRTCKE, R., VI-VI 5. FRIEDMAN, M. D., XV-In 3. F ROBENIUS, F. G' J p. XXIII, U-IIld" 15-5 b. Frontera, 7-4.; punto, VI-TIa. FUBINI, G., VI-VI 6. Función, 2-8; § 23; acotada, 23-14; algebl'a ica, 28-8; 15-la, 42-1, [de varias vnl'jables, 41-2d]; analítica, 23-8c, 41-1b; beta, 53-Ej .; casiperití dica, 28-4; complej a de variable compleja, 23-8c, 41-1; constante, 23-2c; continua sin derivada, IX-VII ; convergente (divergente) para x ~~, 24-7; creciente (decreciente), 23-11, [en un intel'valo, 23-11}; cuadrática, 23-7; de función, 23-13, [derivada, 32-3; derivada'3 sucesi v as, X-II; diferencial, 34-5; regla del corrimiento de la D, 32-3]; de int~rvalo, XV-lb, [sub-aditiva, XV -lb] ; de varias varia bles, 23-4; derivable o mon6gena en el campo complejo, 41-11>; discontinua, 25-1b; elíptica, 55-3b ¡ empírica 23-2; entera; [divisible, l7-2a; divisor, 17-2u; grado, 23-7]; el'l'or, 57-4; escalona d a, 58-lb ; estrictamente Cl'eciente (decr eciente) en re., 23-11; estrictamente monótona, 23-11; exponencial, 27-1, [definición en el campo· complejo, 45-3b; derivada, 32-6; desarrollo, 39-5a; id.
(N DICE ALt'ABt TICO
garitmo-integraJ, 57-4; monótona creciente (decreciente), 23-11; normalizada o regul ar, 25-Ej.; par, 23-9; p eriódica, 28-3; poligonal, 26-Ej.; potencial, 23-10, 27-4, [derivadv., 32-6; uesa1'l'ollo, 39-Se; id. en serie, 45-5]; puntualmente discontinua, VI-IV ; racional, 237, [de coeficientes l'eales, 41-3 ; desarrollo por división, 44·3; entera, 23-7; fraccionaria, 23-7; integra ción, 52-1]; semicontinua, VI. V ; signo, 23-6b; simétrica de las raíces, X-IIl, [grado, X-HIf; teo rema fundamental, X-IIIg,]; sinusoidal, 28-4; totalmente discontinua, VI-IV; trascendente analítica, 23-8e; uniforme, 23-3; valor absoluto, 23-6a. FU llciones; circulares, § 28, [definición aritmética, 45-3a; derivadas, 32-7; desarrollo, 39-5; en serie, 44-3b, 45-2a]; drculares inversas, 28-5, [derivadas, 32-9; desarrolloe en serie, 45-6]; esféricas de 111es pecie, X VI-III; hiperbólicas, § 2U, [definición aritmética, 45Sa; der ivadas, 32-10; desarrollos en serie, 45-2b]; mult if ormes, 233, [ igualdad, § 45-E j.] ; trascenden tes enteras, ,la-le.
GÓlI1ES, R. L ., XIII-V 2. TimAN, L., VI-VI l. GON~ALVES, J. VlCENTE, X-V 1. GONZÁLEZ, M. O., I-IV 2, I1-IV 6, XI-IV 3. GONZÁLEZ QUI.TANO, P., 30-Ej. GORDON, J., p. XIX. GOURSAT, E., VI-VI 5, XI-IV 1, XIII-V 2. Grado, 4-2, 4-7. GRAF'FE, C. R .• p. XIX, p. :xxv, 41-2c! 41-12. 4l·Ej., 41-Resp. Ej,; mf;todo, (1·12, [control de cálcul6s, 41-12] . GRA NDJOT, C .• 2-3. GRANVILLE, W. A., VI-VI 3, XIV-la, XV-III 1. GRAVES, L. :M., IX-VIII 2, XIlI-V 2. GREGORY, J., p. XXVI, 45·6a, 47-6, XII-lIe, XVI-IV 1; sel'ie, .d5-Sa. GROBNER, W., XIV-le. Grupo, 5-12b; aditivo, 5-3; 5-Ej.; conmutativo o abeliano, 5-12b; de sustituciones entre permutaciones, 111-1, [alternado, III-Ib"; ciclico, IIl-lb,; índice, 11I-Id; orden, IlIla,; simétrico, I11-lb.]. GUARNIERI. A. J., XIII·IV.
G
H AHN, H., IX-VIII 3. HALL, M. JR., III-U 3. HAMILTON, W. R, 9-2, 9-3, H-IIld. HANKEL, H., 2-6, U-lIle. d, SO-Ej. HARDY, G. H., II-IV 2, 5, V-Ig, V-IV
GÓMEZ DE
H HADAMARD,
J., VI-VII, 43-1b., Xl-
IV 1. G ALILEO, 671. CALOlS, E.. III-Ic.
I1I-U 3, IV-Ha., IV-IlI 3, V-UId, ; teOl-ema de GA. LOIS-LAGRANGE, UI-1 c. CARCÍA BACA, D., l-IV 19. GARNIER. R., VI-VI 5. GAUSS, K. F., p. XXVI, 1·7, 9-2, IVlId. 22-Ej ., 35-Ej., IX· Id. e, XIIlI b. c. 57-4, 57-5.57-6, 57-Ej.; crit erio de convetgencia, 22.Ej.; fórmula de integración, 57-5; logaritmos. IX-Id. Gaussiano, I-IIla. GELFOND, A., IVrld. Género pl'óximo, 1-1GENoccm , A., VI-VI 1. GENUYS, F., XI·IIb. Geometría analitica, principio fundamenta1. 7·7. GlGLI, D., p. XXVII. GIU , S., VII-JI/¡. GIRARD, A., X-IIIb;
regla, X-IIlb.
2. VI-VI 4, VI-VI 6, IX-VIII 1, XI-lIle, XI-IV 4, XVI-IV 1. HARlUOT, T., 41-9, 41-Ej.; teOl'E~l)1a de HARRWT-DESCARTES, 41-9. HARTREE, D. R, VII-lIb, XII-III 1. HASSE, H., 5-2b, 5-5c, 5-Gc, S-lOb,
1-1, I-IV 5, IV-IlI 1 ¡diagrama, 5-2b. HAUFT, O., VI-VI 5, X"V 5. . I-IAUSDORFF, F., IX-VIII 4. HAYASHI, K., VII-lIgo HAYNES, F. B. Y L. e., XVI-IV 3. HElf\E, E., 26-6, VI-I, VI-III, IXIVa, XV-la; teorema de HEINECANTOR, 26-6 j VI-IlI. HERMITE, C., 1-7, IV-Id, VI-VII, X-lIb., 45-1b. fí2-1c; método, 52l e j polinomios, X-lIb •. Hr.YTING, A., IX-VII.
ir-. llln: AI .•·"I\ I~\'I CIl
n., 1-7, 2-1n. 2-(j, l-IV 19, IV-Id, XVI-IV ~, HIL[)EBRAND, F. B., XII-U 1.
H n.HERT,
HI;>;DENBURG,
e.
F., I11-II 1.
Hipél'bola, curvatul'a, 55-Ej.; evolut a, 55-Ej_; recti ficaci ón, 55-Ej. Hipercomplejos, sistemas, II-III. Hipótesis, 1-2a. HOBSOJ\, E. W., IX-VIII 3, 38-6bl, XIII-V 2. HOF'REITER, N., XIV-le. HULDER, O., V-lll. I-IOOKE, R., 40-1. HORl':ER, J_, 41-10,
41-Ej., 41-Resp.
Ej.; l'egla, 41-10. HOÜEL, J., VI-VII, IX-Id, e•. HOl lSEHOLDER, A. S., X-V 4. H¡-S8ERL, E., I-IV l\). "HÜTTE", VII-lId. H UYGENS, VIn-l, XIII-le.
e.,
I Ideal de ex pl'esiones en teras, 17·3a. I dempotente, ley, J-I, Id(ntidad, pl'inci pio, 16-1; 16-2. Igualadó n, método, 13-1b. I g ualdad, 1-5; de expresiones a lgeLl'aieas, 15-IV; de funci ones m ultifo1'l11eS, 45-Ej. Iluminacióll, 56-3. Imagen, 2-8. IllI plica ci ón, lo!; 1-2, 1-3; relación,
1-1. Incógnitas principales de un s istema lilleal, 15-5. lnconlllenSul'able, 7-la, In cremento, 25-1Q;, 30-1; expresión, 30-2; f'Í11ito, teol'ema del, 35-1; parte princi pal, 30-2; término cOlllpleme ntario. 34-3Indeterminación, 25-3. Indicador, I-IIle. Ílldil'('; Il h..-ehl·a ico, 41-li/>; topolú,-,í. co. 54-l e. In d i....isibles, XIII-l e. Inducción: completa o matemática, 2-2, 2-3; empírica, 2-2a. Inecua ción, 15-2a; de 2\' grado, 191(/'
infímo. 1-1; 23-14b. rnfini[ésimo o infinitamente peque¡lO. 24·3;
superior u 011'0, 24-3c: exponencial, 37-3, 37-4 ¡logarítmico, 37-3, 37-4; potencial-exponencial, 37-3, 37-4; término o liarte principal, 2d-3e ; tipo o principal, 24-3c, Infí nitésimos: del mismo orden, 243e ¡ equivalentes, 24-3e.. Infini to, 37-1 ; actual, U-U; de orden inferior a otro, 87-2a,; de orden no mayor que p, 37-2a.¡ de orden }J, 37-2a.; de orden potencial, 37-3; de orden superior a p, 37-2a.; eX}JonenciaJ, 37-3; logarítm ico, 37-3; numerable, 2-11; por lo menos de orden p, 37-20,,; potencial, U-II; potencial-exponencial, 37-3; principal de una suma, 37-2: tipo o prin cipa l, 87-2. Infinitos: compa ració n, 37-2; del mismo orden, 37-2a,.; de u na fundón l'llcíonal, 41-6; equivalentes. 37-2. Inflexión, 33-9; 40-2, X-lb. In tegra bilidad (R), 49-1. XIII-III. In tegración : aproxi mada, C_ XV I; de ft¡nr:'Íon es racionales, 52-1 ; de funciones r acion ales de las circulares, 52-3 ; de irracionales algetrai eo s, 52-2: [cuadráticos, 522(1) ; g l'áfica, § 58; [base, 58-la ; compensación por verticales y pOI' hOl"izontales, 58-2; distancia polar, 58-l a ; polo, 58-la; radios polaxes, 58-lb] i lím ites o extremos de. '-B-.?/) ; 48-2; mecánica, § 59; métodos ¡;enel'ales: {por descompo~ icióll, 1>1-2; pÚl' partes, 51-5; llúr !!ustituciún , 51-3] i numél'ica, § 57. Integ r ador es, 59-1. Intégrafo, 59-1; cal'ro uiferenci al, 5!I-l ; cal'ro integral, 59-l. I nteg'l'al: abelian n, fi2-2('; .R1~~ hri.l i cn, 52-2c; rOlllo Jílllit~ ~ ... /.!"Ún la 110n n a, XIII-U ; curvilínea, 54-1(1; ele eAUCHY, § 48 ; de RIEMANN, § 49; definida, Mi-S; 4-8-2; indefinida, 50-l b; inferior, 49-2; orígenes de la , XlIl-I ; propiedades: [aditiva de intervalo, 48-5a; de monotonla, 48-5e; lineal respecto del integra ndo, 48-5b]; racionalización de Ull a, 52-2; sobre un contorno ori entado, 54-id; superior, 49-Z.
fN DICE ALJo' I\U(.:TI\·('
Integrales : cálcul o directo ue, 48-4; ele difeJ'encialeo binomia¡;, 52-2d; [fórmulas de reducción, 52· Ej.] ; elí pticas, 55-3; eulerianas, 53-Ej.; g ,m el"alizadas. 50-4. I ntegridad, dominio de, 5-l2e, 11-1; bien Ol'c1enado, II-I. [n~erés continuo, 27-Ej. Inte rior, punto, VI-Ha.. interpolación; entre valores cuales(¡uiera, § 46; entre valores equí.listan tes, § 47; inversa, § 46-Ej.; lineal. 85-5; 46-3a; parabólica progresiva, 46-3; por partes propo r cionales, 46-3a; retróg'l'ada, XJl-I1b.
intersección, 1-1; de dos curvas alg-ebraicas, 52-4; ley, 1-1. Intervalo, 7-7; abierto, 7-7; amplitud, 7-7; cerrado o segmento, 7-7; extremos, 7-7; números intel'ioI·es. 7-7. fntervalos; encajados, sucesión, 7-4; 7-(;; infinitos, 7-7. Inversión, ley, 5-12a, Involu tiva, ley, 1-1. iÑIúUEZ ALMECH, J. l\H, VI-VI 6. Irracional cuadrático, IV-lIb. Irreduci bilidad, 17-1. Ineflexivl\, propiedad, 2-7. Isobár ica, 56-2. Tsogonal, 41-1e. Isomorfismo, S-5; 1-6 ; ordenado, 3-5. Isotérmica, 56-2.
J
e.
G. J., 56·3b, XV-nI 3, XVI-lId; func ión elíptica, 55-3b. JACOBSON. N .• l-l V 7. JACOllJ,
J ACOBSTHAL, VlT ., p . XXVII. JAHNKE, E., VII-lId, XVI-IV J ASEE, 1\1., IX-VII. JOHNSON, L. R., X-V 7. JORDAN,
L
C., p. XXVI, VI-VII, 29-2,
55-9; critério, 60-9b; curva simple o de, 29-2; descomposición. 5ó-9d. JORDAN, CH., XII-lB 2JU AN DE SEVILLA, 3-11. JULIA, G., VI-VI 6.
K K AMKE,
E., IX-VIII 4.
KAIWMANN ,
A. III-U 4.
'KÚ LER, J., XIÚ-Ic.
R. B., l-IV 5. R., XIII-V 2. KHINTCHINE, A., V-IV 4. KrESSl..ER, F., X-V 7. KLEE NE, S. e., J-IV 19. KLE IN, F., I-IV 12, IIl-II 4, VI-VI. KLINE. M., I"IV 14. KN OPP , K, U-IV 3, V-IV 1, VI-VI 5, / ilO-8, IX-VIII, X I -IV 3. ./ KOCH. H. v., 57 -4. KOKSMA, .t. F .• IV-IU 2. KliNIG. H., V- IV 3. KOPAL, Z., XlI-II 1. KOSSAK, E., 7-6b. KOHIE, G., VI-VI 5. KOW.\I,EWSKI, e., llI-Il 2, V-IV 1, VI-VI 5. KRAMP, e., III-Il 1. K ERSHNER,
KE~'1'ELI\1ANN,
KRONECKER,
L.,
p.
xxv.
2-la,
5-3,
42-5; mé.odo, 42-5. KUROSCH , A. e .. 1l1-1I 3. KUZMIN, R., IV-Id.
L S. F ., VI -VI L Lados de una quebrada, X-IV/J,. LAGRANGE, J ., p. xxv, p. XXVI, III-I, V· l o, V-llId" VI-VIl, 34-1, 35-1, 35-2, IX-JI, 39-2, 3D·3, 39-4, 404a, 41-10, 46-2. 46-3b, 46-Ej., 47fja, XII-lb, XII-lId, XII-III 3, 51Se, 57-51!, 57-13; cuadro, III-Id; f Ól'm u 1a de intel'polación, ~6-2, XII-lb; teor('mn incremento finito, 35-1,2; término complementario en fórm ula TAYLOR. 39-3b. L AG UERRE, E., 41-3, 41-Res p. Ej.; regla de acotación de LAGUERRETHIBAULT, 41-3. LAINÉ. E .. VI-VI 6. LAKDAL'. E., I -IV 6, VI-VI 5. IXVIII 1. L APLACE, P. S., 13-5 ; regla, 13-5b. "Lattice" (ver Rcticltlado). L AURENT, P. M. H ., VI-VIl. LEBESGUE, H., p. XXVI, Iv-nI 3, 264. XIII-Ulo, XII I-V, 55-9b, XVII, XV-III 2. LEBLANC, H., I·IV 19. LEOERMAN, W., III-JI 3. LACROIX ,
LEFEBURE DE FÚURCY, 1'1-4./. L ECENDRR, A., p. XXVI, 4ó-Ej.,
553b, 55-Ej., 157-6b, XVI-III, XVI-
829
íl\ IJIU'; A.Ll,·AllBTICO
IV 4 ; I ntcgl'ull'!\ elípt¡I~S, 55-3b; llolinomios , 45-Ej., XVI-IlI. LEIll, D., VI-VI 6. LEIBNIZ, G. W., p. XXllJ, 2-6, 12-2, 13-1e, 22·3(l, 22-4, V-Ig, 23-5, 341, VIII-I, 28-4, X-lIa., 45-5b, 45-6a , Xl-Ha, 5()-2 a, 57-u; criterio series alternadas, 22-3a; fÓl'mula derivadas l)rodueto, 38-4; fórmula potencia polinomio, 12-2; sed e, 456a. LEJE UNE-DIRICHLET, P. G. (ver DIRICHLET).
LB LIONNAIS, F., I- IV 14. LEONARIlO DE PISA (ver FIBONACCI). LEONELLI, G. Z., IX-le. LESIEUR, L., I-IV 5. LEVI, B., I-IV 8, U-I V 8. IV-III 1, VI-VI 2. IX-VIII 1, X-V 1. LEVY, P., XI-VIL Leyes fo rmales, 2-6, 6-5a. ¡1HuSPITAL, G. F . A., p. XXIV, VIII-l , 36-'1, 36-2, 3H-S, 36-4, 36-6, 37-3, I X- IlI, 38-6a ¡ regla de BERNOULLl-J.'Ho~ PITAL, § 36. LILL, E ., p. xxv, 41-12, X-I V; método, X-IVb. Límite : arit.mético, §§ 20; 21 ; 24-9; de logaritmos y potencias, 21-2; de operaciones racionales, 21-1; de una sucesión, 7-2; en el cam po complejo, 41-1a; finito, 20-1; 216a ; fOl'ma topológica, 24-6; f uncion
LOEWY, A ., S-Ej. Logari tm ación, 8-7et. Logarítmica, sel'ie, 45-4. LOg'Rdtm ico: cálculo, 8-8, IX-!. Logal'itmo: derivada, 32-2 ; determinación pl'lllcipal, 45-3e. Logari tmos : cálculo aproximado, 35-43 ; de números positivos, 8-7; de sumas, IX-Id; de sustracción, IX-Id; decimales o de BRlGGs. 8-8e.; m ód ulo de un sistema, 88e2; natur ales o de N EPER, o neperianos o hiperbólicos, S-8e., 54let, [ cá lculo, 45-4b; valor mult iforme, 45-3e]; tablas, IX-l e, 454c. Lógica simbóLica, 1-2b. L{)}.1DARfll , J. P ., 'P. XIX, 41-1 2. L0I1¡;,"¡tud : continuidad, XV- l e; tle un arco, 65-1; infinita, 65-1. LORENZEN, P ., I -IV 18. L OSA.OA y PUGA, C. DE, Vl- VI 2, XVI-lV 3. U\S C H., F., VII-Ud, g. LUBBüCK, J . W., XVI-IV 1. LUC HINI, L. M. DE, VI-VI 6. LÜROTR, J" VI-J.
.l\t MAC D UFFEE, C. C., U-IV 4, III-JI 4. MAC LANE, S., I-IV 5, JI-IV 4, IU·
U S, IV -IlI 1. MAC-LAURlN,
e., p .
XXVI, 39-4,5, 39-
Ej., 4D-3, 44-1 b, 44-2, 44-Ej., 47, E j., 51-50, 57-2, 57-4, XV I-H, XV I-IV 4 ; desarrollo indefinid o, 44-1b, [de E U LER-MAc-LAURIN, XVI- U] ; f órmula, 39-4a. MAC M AIl ON, P . A., I n -U 1. MACHlN , J" XI-lI. MAGN US, W., xv-nI 3, XVI-IV 1. MANDI" 1\1:., VIl-Ilb. MANGOLD'I', H. v., VI-VI 5. MANSION, P., XVI-l; método. XVI-l. Manti~a, 23-3; de loga1:itmo, 8-7a, IX-la. [ decimal, 25-Ej .]. MARIE, M., XIII-le. MARIOTTE, E ., 23-2, 56-2. MASCHERONI, L., IV-III 3, 22-3b. Matemática: aplicad a, 1-8; estructnra de la, 1-8; interpr etación aplic:nción de una teoconCl'eta ría, 1-8; 1-7 ; ley, 23-2; pura, 1-8; teoría, 1-8; 1c2/l., 1-7 ; teoría ab,,tl'acta, 1-8.
°
b:DJn: ALFABÉ;TH'O
;';latriz, § 14; 13-2 ; de una sustitución lineal, 15-7; menor, 13-5; menor principal, 14-3; menor orlado ele, 14-1; mód ulo, 15-7. ~Iá }(imo, 23-14b; común divisor, 55b, [primitivo, 17-4d ; de expresio. nes enteras, 1 7-8; 1"7-4]; relativo, 83-2. !\Iayor. 2·5. :\.Jedía: aritmética, 6-9: V -lb, [de una función, 48-6bJ; al'itméticogeométrica, 7 -Ej.; armónica, 6-9 i cuadrática, 156-2 ; geométrica o pI'oporeional, 6-9; V -lb. :'IIENDIZÁBAL y TAMBORELL, J., IX· le. MI'IWI', 2-5; inicial, 13-5; principal, 14-:3 . MÉRAY, CH., 7-3, 7-6b, 20-6b,
VI-
armónico, 2B-4b; uniforme, 31-4; uniformemente acelerado, S8-3b. MUIR, TE., I lI-ll. Multiplicació n abreviada, V-lIgl. Multiplicación de números: complejos, 9-2; enteros, 3-1l; naturales, 2-40; raci Ollales, 6-2; reales, 7' -5d; 7-6c. Multiplicación, ley: asociativa, 2-4c; cancelativa, 8-4; 2.4c, 3-8; conmutativa, 2-4e; de monotonía, 2-5; / . distribu tiva re s pecto de la adi· / ción, 2-l5c, 3·4; modular, 3-7. . Multiplicidad de un factor primo, 17-5a. Múltiplo, 2-4c; inmediato, 6-2b. .MÜLLER, O., IX-le. MVRRAY, F. J., VII-IIb.
VI 1. N., 52-3. MERTENS, F., p. XXIV, 22-6b" V-le. METIUS, A., V -Illc•. Método genético, 1!-6; 1-6. Métodos: analíticos, 1-3; reductivos, 1-3. l\IEYER ZUR CAPELLEN, W., X-V 7. XIV -lb. XVI-IV 3. MILNE, W. E ., XII-nI 1. MILNE-THOMSON, L. 1\1., VII-IIg, XII-III 2, XV-III 3. \\fILLER, J. C. P ., I1I-II 1, VII-IIc, IX-le,. Mlnimo, 23-14b; común múltiplo, 5· 5b; íd. de expl'e sio nes enteras, 17-8; 17-4; relati vo, 33-2. MIQUEL, P., VI-VI 3, X-V 1. MIRANDA, C., VI-VI 6. Módulos, 5-12; de una operación. 3-7; de n úmel'os, 5-3 ; en cong ruencias. 5-11. 1\l00VRE, A. DE, 10-t, lO-E j .• 29-Ej., 45-3d; fórmula, 10-1. Momento de f luxión, VIII-I. Monomio, 4-2c. Monotonía: estricta, 7-2 j .ley, 3-4. MOr.' 1'EIRO, A., I -IV 3.
N
MERCATOR,
MONTEL, P., p. XXVII . MONTESSUS DE BALLORE, R., V -IV MOORE. E. H., 2 - 7, 5-4-, VII-1. MORAND, M., III-ll 2. MORGAN, A. DE. 47-Ej . MORRIS, R. W., XI-lIb. MORSE, J . F., U-E j.
3.
Movimiento: ley. 31-4; vibratorio
F., VI-VI. F., III-ll 2. NEPER, J., (NAPIER), 8-8e2; logarit-
i\:AVARRO BORRÁS,
l\ElsS,
mos,
8 -8~.
NETTO, E., IlI-U 1. NEWTON, l., p. -xxv, p. XXVI,
12-1, VI -I, VIII-I, SO- Ej ., 40-4, 40-Ej., 41-3(1, ,11-10, 41-12, 41-Ej., X-fIle, 45-5, 47-6, XII-le, XII-II, 50-2a, XIII-le, 56- lb, 57-6, 57-E j., 41Resp. Ej. j binomio, 12-1 ; fórmula de interpulación, XII·le, [de NElv- . TON-GAu sS, XII-lIb; de NEWTONGREGORY, 47-5; su término complementario, 47-u, XII-IId); fól'· m ti l a de NEWTON-COTES, 5í-6; regla, 40-4; regla de acotación, 41 .3d; relaciones, X-lIle. N ICOMEDES, IV-IIe. Nilpotente, I-IIIa. NIVEN, 1., U·IV 5. Nomografía, X-JV~. Nomogratna, X-IVa. NORDLUND, N. E., XII-III 2. Norma, 48-2. Normal, 31-2, 34-6; ecuación, 31-2; segmento, 31"3. N01'HER, M., III-JI 2. Numerable, 2-11. Numeración, 4-1; 2-1b; algoritmo de la, I-n; sistema de, I-II, [decimal, I-JI; 1'omnno, I-II]. N umerador, 6-1. N \Ímero, S!-6; 4-1, 7-3; nlgehl'aicfl,
IV-1; cardinal, 2-10 ; 2~ lu; Mmpiejo, § 9; 7-1b; [afijo, !J-3: ~x · presión exponencial, n-4ll j fnrriUl binómica, 9-2; fOI'ma pular C) trI. g onomét rica, 9-40 , mód ulo, D-4á i norma, 9-4a; partes real Q imaKj· naria, 9-2; valor abtl()lulo, !1-4u); e, 8-Se l , 21-5, V -BId.. 46-1, Xl· lIb, 54-la; derivonormado, IX· Vlel; entero, § 3, [negativo, .1-2 j 3-11 ; positivo, 3.2]; fraccionario, 6-.1; 3-11; hípeHomp! ej o, lI-llle; imaginario, 9-2: 7-lh; [puro, 9-2]; inacional, 7-51: 3-11, 7-1, 7-6; natural, § 2 ; ordinal, 2-1 0: 2-1a: su invariancia, 2-10; 'J, IV-Id, V-lIle, XI-lIó p rim o (absoluto),' 5-2a; racional, § 6; real, § 7; [negativo, 7-5c; positivo, 7-5c); trascendente,IV-L Números: aproximados, V-II, [problemas directo e inverso, V-lId]; asociados, 5-2a; 3-Ba: combinatorios, 11· 4 ; complejos conjugados, \)-4d; compuestos, 5-Sb; congruentes, 5-lla; incongruentes, sistema completo de, 5-12a; opuestos, 8(ia; 6-2b, 7-5b, 9-4d; primos en tre sí, 5-7b: racionales complejos, 7la; real€s, plenitud, TI-l; '7 -Gd; reales, unicidad, Il-l; 7-6d; recíprocos, 6-4; 7-5e, 9-5c.
o XV-III 3, XVIIV 1 Onda diferencial, 28-4b. Operación : algebraica general, 421; b inal'Ía, 2-4a; cerrada, 2- 4-a; conexa. 2-4a; inversa, 2-4. 5-12/i. Oper aciones: abreviadas. V -JIg ; ent e ras, 8-6b; 16-4; racion ales, 1i-4. Operadol'l's simbólicos ~ y E. 47-2. Orden, Ol'denación, f-7; 2-5, 2-10; estdcto, 2-7; parcial, 2-7; 5-2b. ó¡-rlenes: de contacto, 38-8 ; fundamentales de infillÍtud, 37-3. (Ver: ll ·' finitésimo. ft¡finito). O,
OBERHETTlNGER, F.,
J' 1'.
A , 11111.. • .. vlll ur I liD J.I u"cu la l.r llJ, 4 ; IIU,""
fl
J It : IItc' lfllc'l1b h:lI, 2:i- IIJ,
e
ción, 5ú-Ej.]. lJuaboloi¡)e: de tevo l ucl~ n, Al'4IIl, 54-.6; elíptico, vo l umen, 64~Ej.; 54:-3, P arámetro, 29-2. PARKE, N. G., 111, p. :XXV III. Parte entera, 28-$; V-lIla. Paltes p roporcionales, 40-4d, 46-3. Pal'tición, 48-2; JXlsterior, 48-30;. PASCAL, B., 1-4, 2-6, 23-9, 50-2a, 54-2 ; caracol, 23-9, M-2. PASCAL, E ., p. XXI, I1I-II 2, V I-VI. PAUC, e., VI-VI 5. PAl'LO, J , S., l- IV 3. PEANO, G., p. XXlI, p. XXIV, p. XXVI, 2-1, 2-2, 2-3 , 2-4/i, 2-5, 2-7, 3-Ej., I-I V, IO-4a , Il-IV6, VI-VII, V II· 1, IX-II, X-I , 57-3e, XVI-Ie¡ a xiomas, 2-2b; coeficien t es dife r enciales deriva das generalizadas, X1; curvas, VJI-I ; l'elación de, IXII ; resto, 57-3e. PErneE, B. O., X IV -lb. Periodo, 28-3; pJ'imitivo, 28-3. P erma nencia, 41-{;(/; principio dt',
°
2-6.
Permlltación, 11-2; clase, 1l-2b; con repetición, Il-2c ; inversiones, 112b ; principal, 11-2b. P ERRON , O., U- IV 5 , IV-IJI 2, VIl Id., V-IV 4, X-V 5. PETERS, J., VII-II 8, IX-le •. PETIT BOlS, E. G., XI-IV 3. PHlLl.lPS, E. G., X I-IV 3, Pi. s ímbolo, 4-3 . PTA7.1.0[,I,A-BELLOCH, M., I-IV 121"'1 {'AU.EJA , P., 2-3; IX- VIII, X V-
III 2.
I'I('ARn, E ., VJ-VI 5, XI-IV L
pl(an :RT, G., I-IV 7. M., V J-VI 6, 6. I'[~II. M ., 2-2h. PlI'\C11 tlnr.F.. 8., VT-V I 3, 43-Ej., X I· IV S, XUI-V 2.
r 1('11 !': E,
PITÁGQRAS , 7-1(1, 41 - 11a,
P I'J'T. H, rt., XI -IV 2. P lanímetro, § fi!J; h razos de tr'azado y polar, fin- ! : c(lmpensación. fin2b; <1(' Ilrcd ~j¡\11 de disco, 5n-2ft;
oe PRYTZ, 59-2 ; de l'uedeci1la integradora , 5fJ-2; errores, 59-2b ; lineal, 59-20; polar, 59-2b. Pla no complejo, 4l~l a . P LATÓN , 3-11.
Plen it ud, pos tulado, U-l. H., l-(j. 2-2b. f'Ol S SOl\, S. D., 63-5, 56-2 ; integ ral, 53-ti ; lcy de, 50-2 . Polinomio, 4-7 ; descomposIción no r· mal. 17 -4 b.; homogéneo, 4-7 ; idén· ti cament e nulo, 16-1; primitiVO 17- 4b ; prim o, 17-1b; redu cible, 17-l b ; l'ed u c ído, 15-lc; s implemente reduci ble o irreducible, 17lb ; tél' minos. 4-7, [ semejantes, 15-1cJ; valor numérico , 4-11. P{llinOl1lio!; : de STURM , 41-6 j equivfll en t~f;, 1/, -1; 15-l h ; idénticos, 1(1-1; in tel'pol al't~ s, XlI-In. POLLARD, B., IV-TII 2. P ÓLYA. G., V-IV 2, VI·VI (l, XIIlV 4., XVl-IV 4. P UK{'ELET, J . V ., 41 -8. 42-4c, XV I II): fórmu la, XVI-II>. P osterior, 2-7. Postulado, J -7. P otencia, 4-2a ; de binonüo. 12-1; de exponente entero, 6-7; de exponente raciona l, 8 4 ; de polinomio, 12-2; de sllstitución enb'e permutaciones, JII-Ia ; nete rm i n ación general, 45--3d ; l u m i no sa, 56-3, [ media, 56-3] . Potencial ( ver F Ullci ón ; l nfinités im.o; In finit o): mutllo, 56-l b. Potencias: de ex ponente real, 8-6: en el cam!)o complejo, § 10. Preceden tt>, 2-2b; 2-7. Presión de un gas, 56-2. P rimer elemento. 2-7. Primiti va, 50-lb. Prilrli tivas, cálculo, Cap. XI V; inmediatas, 51-1. Primit ivo, concept.o, 1-7 ; 1-1. PRlNGSHIiJIM, A., p. XXIV , 22-6b, Xl III. Priorid ad, rel ación, 2-7. Prod ucto ( ver multi plicaci6n); de sumas, 4-8 ; nulo, 3-8. Producto infin ito, XI-III; absolutamente convergente, X I-IlIb.: conver gencia uni forme, XI-IIle ; convergente, XI-lIla; de fa c to l'eS : [cualesquiera. XI-IIle; positivos , PüT~C ARÉ ,
XI -l lIb l ; d i v e rgen t e: [n l.'el·O, XI-IIJu; a infinit o, XI-lila]; incondicionalmente conve rgente, XIIlIb, ; logaritmo, XI-llId; oscilante, XI-Illa ; productos p a rciales, XI-lIla; valor, XI-lIla. Progresión geomét rica, 22-1b; razón, 22-11>. Proporciones, 6-Sa, P roposición, 1-2a ; primet'a, 1-7. PRYTZ, JI., p. XXVII, 59-3, 59-Ej., X VI-IV 3; pJanímett'O, 59-3. PueRTA, A" III-Il 2. P u m ADA M, J., I-IV 10. P ulsación, 28-4/l.. Punto : a ngu loso, 30-5; crítico. 33-4; cuspidal o de ret r oceso, 30-5; de infinito de f( :.r; ), 25-4b; imagi nario 23-SI>1, 42-4a : 00 , 21-6b; impropio, 37-G/¡, 4 2-4b; múltiple, 29-2; ordinario, 30-5 ; or igen, 7-7; unidad, 7-7. Pun t os consecutivos, VIII-l . Q Q UTNE. W. VAN O., I-IV 19.
R
A
J. L., 22-2c" 22-Ej •. 45-Resp. Ej.; c riterio, 22-2c., [generalizado, 22-Ej.] . Racionalización de el e n 0111 ¡nadores, 8-3. Ra dial, sistema. 28-1. Ra dical; doble, 19-2b; simple, 19-Zb. Radio de curvatura, 55- 5 ; 40-6; en coordenadas polares, 55-6.
RA ABE,
RADÓ, T ., XV-U! 2. Raíces: a cotación, ('()t:l" 41-3; de m'lmeros reales, 10-4 ; en el campo com plejo, § 10; fraccionarias, 419 ; i r ra c i ona le s, 41-10 ; método mixto de aproximaci6n , 40-46; num éricas, c á lcul o, 45-5<:; primitlVl:l R de 1, 10-5 ; r acionales, 41-4 ; sep¡;U'ac ión, 41-7; ~ U1n as : [múltiples, X -D lf; simples, X-Illb]. Ra íz: aritmética, 8-1 ; de orden p, 3S-6a; de una. ecua <'-ión, 15-2a; 18-1, 26-3 ; m-ésima exacta, 8-1 ; m-ésima negativa, 8-1; múltiple, 41-2; orden de multiplicidad, 18-2. R A JNA. IvI., IX-le.
IN
,ti 1"10: AU 'A n l!-I'J
R umu: hip \!rllollc8. :'7- 'jll,; [>IlrabóIi C¡\, 37-6110_ Haz6n: incr emo,lltnl. 30-1; simple, 9-Ej.; doble, ~-g j. Razonamiento, 1-2(1,. Rectificación de curvas planas, § 55; en coordenadaB polal'es, 55-4. Recurrencia ent era, 3-6c. Redondeo, V-Ha; por defecto (exceso), V-Ha. Reducción: a forma típica de las expl'esiones racionales, 15-1e; al &::Jsurdo, 1-3; método, 15-Se; l3-1b. Reflexiva, pl'opiedad, 1-5. REGNAULT, V., 23-2. Regula falsi, 40-4d. Regular, arco, 34-6. REICHENBACH, H., I-IV 19. Relación binal'.ia, 1-5. Residual, clase, 5-lIb. Residuales, sistema ele clases, 5-12a. Resolvente, IV-lI/. Resta (ver dife1'eneia). Resto, 5-1; clase, 5-11b i por defecto (exceso), 5-1 ; respecto de un módulo, 5-11; teorema del, 16-5b. Restos potenciales, I-Ina. Resultante, 42-1;' forma factorial, 42·2b. Reticulado, l-l; 5-5e; distributivo, 1-1. Revel'so, 5-5e. REY PASTOR, J., 2-1h, I-IV, U -IV 3,
IlI-1I 2, IV-H, IV-III 3, V-IIId" V-IV 3, VI·lIl, VI-VI 2, 41·llc, 41-12, X-lIe, X-IIlh. X-V. 45-1b. XIJI·V 2, XV-IU 2. RWHTER, XI-lib . RIEMANN,G. F. B., p. XXVI, 1-7, 224b" XI·IIIb" 4S-3c, 4S-Ej., 49-1, XIII-III, XII 1-V, 54-la, 67-4; integral, § 49; sumas, 48-Sc ; teorema l'eordenación .series. 22-4b, RIESZ, M., V -Ig. RINGLES, E., V-IV
3.
Rfos, S., VI-VI 3. ROBBIN S, R., 1-7, I-lV 14, U-I V 6, ROBERVAL, G. P. DEi, VIII-!. ROBINSON,
G., X-V 4, XII-U 1, XVI.
IV 1. RODRÍGUEZ SALINAS,
B., R esp. § 18,
Ej. 5. ROGOSINSKI, W. W., XIII-V 2. ROLLE, M., 35-2, 3S·Ej., 36-2, IX-Il, 41-5, 47-6, XVI-HI!; te orema, 41-5.
1;('
R(J HE. W. N., 5G--3. R OSENJlLOOM, P . C., I-IV 10. HOSENHEAD, L., VIl-lIe, IX-le, . R OSENTRAL, A., lX-VIII 3. R OSSER, J. B., I-IV 18.
ROVCHÉ, E., p. XXUJ, 15-5 ¡teorema de ROUOHÉ- F ROBENlVS, 15-5. R oussEAv, 56-3; dia.grama de, 56-3. RuedecUlI\. integl'll.dora, 69· 2a.
P., 4-11, 18-2, IV-H a , 413, 41-4«, 41 -10, X·IVf" 4G-E.i.; regla, 16·5a; 4-11. RUNGE, C., V-IV 3, 41-7. RU SSELL, B., 1-1, 2-1a, I-IV, U-IV 6. R YCHLIK, K., IX-VIL R UFIfIl NI,
-8 S ADOSKY, M., V-IV SAGASTUME TIERRA,
3, X-V 7. A. E., 2(1..4, IJ[ ..
VIII 2, XIlJ-V 2. E., p. XXVII. Salto de una :(ullci.i n, 26-41,. SAN JUAN, K. VI-VI 3. S ANDEN, H. VON, XII-U 1, XVI-IV
SALKOWS1{1,
1. SANSONE, SAN TAL6,
G., lX-VIII 3-, XVI-IX 4. L. A., IV-lIT 3, X-V 7.
SARRUS, P . F., 13-2, 13-4. SCARBOROUGH, J. B ., V-IV 3, XVIIV 1. S CIPIÓN DEL FERRO, 19-3a. S CORZA D RAGON I, G., IV-IU 1. SCH EEFFER , L., p . XIX , p. XXIV, IX-
V, IX-VId, XV-la. O., .39-3e, 39-Ej., XI1o ; término complementario fórm ula de T AYLOR, 3S-3e.
SCR L OMILCH ,
S CHOE N FLIES , A., VIl-!. SCBRON, L., IX-le. S CHUllERT, H., IX-l e. SCEULZ, G., V-IV 3. SCH WARZ, H . A., 48-E j.,
Se ORZA, G., IlI-JI
a.
xv·n.
Seca nte, 28-1.
Sección de la sucesión numérica nat u r a l. 2-9; 2-10. Segmento de una quebrnda, X-IVb. Segmentos orientados, 1-6. SElDEL, P. L" 43-3b. SEKI KOWA, l 3-le. SFlLZER, S ., VI-VI 6. Semicontinua., f unción, VI-IV, Semicon ti n uidad inferior, principio, XV-Il.
S34
í NDICE ALFABÉTICO
Semientorno lateral, 25-40,. Seno, 28-1; elíptico, 56-gb ; hiJlerbólico, 29-1; \'erso, 28-Ej. Sentido positivo, S-l O; 9-3; de giro, 9-46, 28-1. Sepau ción, elemento de, 7-4. Serie: a lternada , 22-3; armón ica. 22-1d, 22-2b, ; binómica, 45-6; con· vergencia ab sol u t a , 22-1 h ; con· vergencia u niforme, 43-3; (~{'on dicional, 43-3e]; convergente, 22la; 22-6; divergente, 22-1a; 22-5; g eométrica, 22-1b ; mayo rante. 22-2b,; minoran te, 22-2b,; oscilante, 22-1 a; 22-6; reordenación de términos, 22-6; 22-20" 22-4b; suma. 22-1 a i iS\l mllS pal'ciales, 22la; su m a i nferio r (superior). 22-2g.
Series de funciones, 43-3 . Series de potencias, Cap. XI ; campo de convergencia, 43-10, ; círculo de convergencia , 43-1; derivadas, 43· 5; desarrollos en, § 44 ; desarrollos por división, 44-3 ; mayoral)te, 43- Ej. ; primitivas, 43·5b; principio de i dentidad, 44-1b; radio de convergencia, 43-1; recu rrentes, escala de reculTencia , 44-3e. Series numéricas, § 22 ; com para~ ción, 22-2b; producto, ordenación diagonal y por cuadrados o p rincipal, 22-6b i propiedad asociativa, f¿2-le; 22-Za; propiedad conmutat iva, 22-2a; propiedad disocintivll, 22-1 e; 22-20,; propiedad distributiva, 22-6b2; 22-1 41 ; r esto, 22-1g; resto, acotación, 22-10 ; 22-2b•• SERRET, J. A., VI-VII. SEVERI, F., IV-III 1, VI-VI 2, lX·
VIII 1, X-V, VIII·V 2. SHANKS,
W., p. xxv, XII-na.
A., XII-IIb. SHEPPARD, W. F., p. XXVI, XII·U; notación, XII~IIa. SJEGEL, C. L., IV-Id, IV-DI 2. SlERPINSKI, W., 43-3e. Sigma, s'mbolo, 43-3c. Signo de f(x) y f'(x). cambios de, SRAR?,
88-7. Signos, regla, 3-9. Siguiente, 2~2"; 2-7. Simétrica, p ropiedad, 1-6. SIMPSON, TR., p. XXVI, 57-3, 67-50" 57-b. 57-E j., fi~.F.j., XVI-Ic; fór -
mula, 57-3b, XVI-le, [resto de PEA.'>W, 57-3e]; mét odo, 57-3. Sinusoide, 28-1, 28-4; f ase inicial, 28-4 ; onda, 28-3. Sistema de doble composición, 5-12b. S LUSE, R. F. DE, VIII-!. SM ITH, H . .JI. S., III-II 2, XIII-IV; conjunto, XIII-IV. S:'lITH , H. L., 2-7, 5-4. -SMlT H. L. B., XI-lib. S:\lI T H. P . F., VI-VI 3, XIV-la, XV-
1111. S P EI SER,
J" VI-VI 1. W., III-U 3. A., II I~1l 3.
S TABI.ER,
E. R., I·IV 19.
gORTEIX, SPECHT,
S TEFFEN SEN, J. F ., STEINER, J., 55-90;
XII-III 1.
desigualdad, 55ge. STJRLI1'\G, J., p. XXVI, V-le, 87-3, XII-U, 53-4, li7-Ej., XVI-IV 4; fó rmula, XlI-lIe, 53.4. STOKES. G. G., 43-3b. STOLZ, O., p. XXIV, V-Id, VI-VI l , 34-1, IX-UI, 43-4b; cr iterio de convergencia, V-Id, IX-IIl. STUR M, C., p. xxv, VI-VII, .41-6, 41-7, 41-8, 41-9, 4l-lle, 41-E j.; polil1omios, 41,6; teorema, 41·7. Subgrupo, III-Ib. Subnor mal, 81-3. Subpotencias, XVI-Ha. Subtangente, 31-3. Sucesión, 1'-11 ; 7-2; acotada, 20-5; cont enida en otra, 20-3; conver gente, f O-l; 21-6a ; cr eciente o decredenté, 7-2 ; diverg ente, 10-1; 21-6a; monótona , 7-2, 20·4; Dl1méden nll t ur al, 2-2h ; oscilante, 20-1; 21-60,; regul ar o fund am ental, 20-6b; reOl'clenación, 20-3b. Suma (ver Adición): de fJotencias de números naturales, XVI-He,; doble, 4-8b . Sumación ge neralizada, V -lO. Sumas inferiores y superiores, 48-2. SIi.NYER BALAGUER, F., IX-VId. S uprem o, 1-1; 23-14b. Sustituciól1 circular o ciclo. 11-6: g r ado, 11-6a,. S~ti tución en tre perm ¡¡ tac iones: idéntica o unida d, 11-5 ; inversa, 11-5b, ; orden, lB-la; par (impar ), 11-6/; pares componentes, 11-5.
1:\111('''; AU'AlltTlro
Sustitución li neal. 15·7; dl'gel\cl'ada, 16·7; idéntica, 15-7; inverlla, 15· 7, Sustituciones en tl'e permutaciones. 11-5; conmutables. 11..(;b, ; grupos de, 111-1; produ cto, 11-5b. Sustituciones l int>ales: conmutables, 15-7; pr()[luc to, 15·7. Sustracción, Z-4b (ve r (l¡lerendo,). S VL\'ESTER, J. J" 42-2«; métouo dia lí tico, 42·2((. SzÁsz, O., V ·IV 2. S ZEGÜ, G., V-IV 2, VI-VI 6, XI11-V 4, X VI-IV 4.
T T¡jblas de " e l'd ad, I-!. Tangente, 28-1 : a ,lila curva, 30-4, 34-6; cosmos dit'eeto l' es, 65-2; ecuaci ón , 81-1 : en coordenadas pola)'es, 84-7; hiperbólica, 29-1 ; segmen to, S l ~; única, 30-5. TAl\ NERY••J., VI-VI i. Tanto por uno, 27-Ej. T ARS J\I, A., [-IV, l !l. T ARTAGLIA, 1'<., 11-4b, 12-1. 19-3a. HI-4, 4j·h rÓl'Inula, 19-3a; triángulo, 11-4b . T AUBER. A., XI.l , T auberianos , teoremas, XI-L Tautologie . 1-1. TAYLOR, B., p. XXIU, p. xxv, 39-2, 39-4, 39-5, 30-Ej., 40-1, 40-3, 404(/, 40-5, 41-;id, 41-'¡", 47-5, 47-(;; 51-6(', 51-1). XVI-1M; f íJl'll1ula, ~9, [fOl'mll di fl'I'~lll'inl, :19-411]; tél'm i nn (' ti 111 111 (' 111 e 11 t B l' ¡ o, :39-2, [forma dI' C'1\\Jc' IIY, :!!I-:k; (le LA-
*
:HI-:{J,: ,1"
CRA l'(;e:,
~" I! LOEMIL('ll ,
!l!l-3('; in nll ile. illlUl, :l!'l-:jr,; inteSl.l'a l, ,jl-,';(' ; :\!I.:l,·I .
T eOl'eUIB: conll"u'io, 1-3; contrarre-
cí proco, 1-3; di ['klo. 1-:\: recípl'oco, 1-3, Teoremas el)uiWllcn l PR. I ...·l, T el'C el'O exl'lu íd(l, 1-1. T esis, 1-2,1. T lilllAl71:l', G •• 41-:1; .1I ·1!t!_'" I';j. THYF;;\JE, 11 .• !l-I~.i . THO MAE•• K . , :14.
r.
\. A. ,l., IX. I , TRI E, A. , IV THCRSTCI:'oI , 11 , A.. n.lv <1 , T1ETZF:, H .. tV . lI l :1. T H O~II'SON,
-,"o
T 1M ERJII X(:. 11 . 1'; .. 1'. I!. \'11 , Tl'rl'II !11 AR~Il .
E. '"
I. IV 3.
TODD, J" TOEPLlTZ,
VII-lIg. O., p. XXIV. V-l ; ma t l'Íz
T, V-l a; t ransfor mación , V-II1; tl'ansforma l'ión r egular, V-lO. L., VI-VI 2. TORA~ZOS, F. 1., I-IV 11 , U -IV (j, Toro. ,"olumen, 54-Ej, 'J'nnRH:EI,Ll. B., VIl I -T. TI'a bajo: ,le expa ns ión de un ¡1I1. 5ü-2 '- en u n desplazamiento r el'· lí neo. 5G- 1. T r actl·iz. 59-:!. TI1Hl!!iti\' a : de la mo notollfQ, 1 :l-7; p l'opi('Jad, 1-5 ; 2-7. T r apecios, fó r m u la d e loa. ", XVI-l a, Trapezoide, 41).2. T l'a!1posición , 11-2b : 11-6((. 1'l'ilÍlIgulo a r itmético, 11-411. T m COM I, F. G., XV-IJI 3, XVI IV l . T l'icotomia, ley, 2-7; 2-6 . 1'O:-;'ELLI ,
T SCHlRNHA1'S, E. W .. VIO l . TSu CH'Ur-:C-CHlH, V-JIIe..
TUR.4r-:, P., V-IV 4. T I ' H(' .\r-;. J " X-V 7, TURr-:Bl;LL, H. W., 42-2u, X . V
u último elementu. 2-7. K, YI-VI 6. Unicidad, 1- 6; 1· 4, 2-.1111, Unirlacl, 1-1; 2-2/" 5-2C1, 5·12; ,1.. hI dida, 3-10; eX)JJ't!l!ic\u enl"rn, 17. 2a.~; imaginaria. !1-2. U nirlades de 1", 2',', "" urcl'lJ, f. lI . Uniformació n de ulla ÍluH'i,¡u. :!:J .:¡ U llifol' me, ley, 2-4a, U ni ón, 1-1; )I;'y de, 1-1. Un ipotente, I. IlIa. Uno, 2-2b. UU.IUCH .
v " aeío, conjunto. 1-1. VAHLEN, T" V-lIJe.,. VALIRU!\1', o VI-V I 5, XI-IV 1. VI1)0 1': absoll1 to, 3-6(/; cficar., 56-::1 ;
e.
fu ncional. 2-8; lI1 ~S pl·(íximo. VHn; medio, 48-6, [p ri mel' t eOl'emn, (Cálculo illte~ l'!d ), 48-6c; teOl'emas del, § 35] ; relativo, I-II, VAU.¡:':fl POUSSIN, CE. J. DE LA, VIV I 4, I X-VIII 1, X-JI b" XIII-V 1, 2.
xv-m
ÍNDlC¡'; ALFABÉTICO
A. To., 16-1, XHld; determinante, 13-7b. VAIlELA, D., 46-Ej. Val'jable, 23-1; dependiente, 23-2; independ iente, 23-2; illfinita, 37-1. Variables, 15-1a,; equivalentes, 36-6, [sustitución, 3(;-6]; pertenecientes a un cuerpo, 17-1 a·, Val'Íación, 41-6a; acotada, 55 ·9; de las f unciones, § 33; de. trinomio real de 2 Q grado, 19-1c; negativa, 55-9a" XV-Id; positiva, 55-9a-" XV-Id; total, 55-9, XV-IeI. Val'iaciones, 11·1; con repet:cÍón, 11-1. V ÁZQUEZ QUEIPO, V., IX-Te •. VEDLEN, O., 1-6, 1-7. Vector: componentes, 9-3; ds, 55-2: extremo, 9-3; libre, 1-6 ; origen, U-3. VEGA, G. VON, IX-le •. Velocidad, 31-4; media, 31-4. VANDERMONDE,
VENN, VERA,
J., l-2o" F., In-II 2.
Ve rdad : forma!. 1-2a; material o r eal, 1-2a. Verdadero valor, 25-3; de una expreston algebraica, l5-lb. Vrl'siera, curva, 33-Ej.; curvatura 55-Ej. VC I'SO,
·5>5c .
Vértices de las curvas, 55-7. VmTA, F., XI-lIla. VILLA, M., U -IV 6. VITALI, G., IX-VTII 3, VIVANTl, G., p. XXVII,
V., p.
XIX,
de BoíO:ANO26-5, VI-Ir; final de la Aritmética, U-IIe. WEIERSTRASS,
J., p. XXVII. WEYL, H., I-IV 15, B·II, III-U 3. W HEELER, D, J., VII-lIb. WHITElHEAD, A. N., I-IV 18. WHITTAKER, E. T., p. xxv, I-TV 15, 42-2, X-V 4, XI-IV 2, XII-III 1, XIII-V 2, XV-In 3, XVI-IV. WILCOX, R. L., I -IV 5. WILDER, R. L., I-IV 19. WU,KES, M. V., VII-lIb. WILLERS, FR., A., XII-III 1, XVIIV 1,2, 3. WILSON, J., 5-Ej. WITTSTEIN, T., IX-l e,. WOOLHAUSE, W. S. B., XVI-IV 1. WRENCH . ,T W., XI-lIb. WRIGHT, E. ~'l., U-IV 5. Wro nskíano, 32-Ej. WELLSTEIN,
y
p.
XXVI,
50.2b,
XIII-IV. Vol umen: de un s ólido de revolución, 54-3; POl' secciones, 54-4. VOORHIS, 1\1. G. VAN, X-V 7.
w W AALS, J. WA UlDEN,
43-30; teoremas:
XVI-IV 4. VI-VI 6.
VOCEL, A., I-IV 6. VOLTERRA,
WALL, H. S., V-IV 4. WALLlS, J., V-lIla. XI-lIla, VITI-Ic, XIII-IV, 53-2; fórmula, 53-2. WARING, E., 36-Ej., 46-2a. WA'l'SON, G. N., XI-IV 2, XIII-V 2, XV-IlI 3, XVI-IV 4. WEBER, E., ll. XXVII. WEBER, R. B., p. XXVII. WEIERSTRASS, K., 7-3, 7-6c; U-UI, 21-Gb, 26--5, 26-Ej., VI-I, VI-II, VI-V, VI-VIl, 30-8,33-6, 43-3c; criterio convergencia uní f qA"me,
D. VAN DER, 23-2, 56-Ej. B. L. VAN Olm, p. XXV, 5-5e, I-IV 7, U-IV 4, 1I1-I1, IVIII 1, IX-VII, X-V (j . \VAI !'~li\:-IX . F_. I-IV (l.
YOUNG.
W. H., IX-VII1 5.
z ZAPPA, G., IJI-U 3. ZARlSKI, O., II-IV 1. ZASSENI-IAUS, H., TIJ-II ZEIPEL, V. v., 111-11 2. ZERMELO, E., IX-VId. ZORET'fI. L., VI-VI 5. ZURMÜHL, R., Ill-Il 4,
3,
X-V 4. XII-
TIl 1. 7,YGMUN'D,
A., p.
XIX.
tlr~Ja de la octava edición de esta obra, que consta de 3.000 ejempfares, en el mes
La EDITORIAL KAPELUSZ SA dio lérmino a la deCimotercera
K - 19.767
