解析力学1 (朝倉物理学大系)

編集 荒船次郎 東京大学名誉教授

江沢 洋 学習院大学名誉教授

中村孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應 義塾大学名誉教授

は

  本 書 は,新

じ

め

に

し い数 学 的 発 展 を も取 り込 ん だ,理 学 部 や 工 学 部 の 学 部 ・大 学 院

生 レベ ル の解 析 力 学 の教 科 書 で あ る.   古 典 力 学 ・解 析 力 学 の 書 物 をあ ら た に書 く とい うか ら に は,そ れ な りの理 由 が なけ れ ば な ら な い で あ ろ う.と い うの も,世 界 中 で 現 在 出版 され て い る 力 学 の 書 物 は お び た だ しい数 に の ぼ り,日 本 語 の もの に か ぎ っ て も相 当 数 を数 え る か ら で あ る.も

ち ろ ん数 が 多 い とい う だけ で な く,質 の 面 で も,た

とえ ば 山 内

恭 彦 『一 般 力 学 』,伏 見 康 治 『古 典 力 学 』,ゴ ル ドシ ュ タ イ ン 『 古 典 力 学 』,ラ ン ダ ウ-リ フ シ ッツ 『力 学 』,な どの優 れ た 定 評 あ る書 物 も少 な くな い.   しか し これ ら の 書 物 は,い ず れ も1950年 の で あ る.と る.そ

こ ろ が そ の 後30∼40年

うい うわ け で,20世

代 あ る い は そ れ 以 前 に書 か れ た も

間 に,古 典 力 学 は大 き な 変 貌 を遂 げ て い

紀 末 の 現 在 は,客 観 的 に 見 て あ らた な 力 学 書 が 登

場 して よ い 時期 に来 て い る とい え よ う.   1960年 代,つ の 学 習 は,ほ

ま り筆 者 た ちの 学 生 時 代 に は,物 理 の 学 生 に と って 解 析 力 学

とん ど も っ ぱ ら量 子 力 学 や 統 計 物 理 学 の 学 習 の た め の 助 走 の よ う

に しか 位 置づ け られ て い な か っ た.要 す る に 力 学 は,す

で に 出 来 上 が り完 結 し

発 展 の余 地 の な い学 問 で あ り,そ の 学 習 は た だ も っぱ ら,先 に 進 ん だ段 階 で 要 求 さ れ る技 能 を 身 に つ け る た め の トレー ニ ン グ で あ る と思 わ れ て い た の で あ る.し か し現 在 で は,状 況 は 大 き く変 わ っ て い る.い まや 解 析 力 学 は,そ れ 自 身 の 内容 の 面 に お い て も,数 学 的 定 式 化 の面 に お い て も,量 子 力 学 との 関 連 に お い て も,生 き た研 究 対 象 で あ り,発 展 途 上 に あ る.   こ の 変 化 を促 した 大 き な要 因 の 一 つ は,1970年 達 と普 及 に あ る.コ

代 以 降 の コ ン ピュ ー タ の 発

ン ピ ュ ー タが 古 典 力学 に もた ら した もの の 第 一 は,一 般 の

力 学 系 理 論 や カ オ ス理 論 を発 展 させ た こ とに あ る.そ

して そ の 結 果,そ

れ との

対 比 で と くにハ ミル トン 力学 系 の 持 つ 構 造 安 定 性 な どの特 徴 が 浮 彫 りに され て い った の で あ る.第 二 に は,か つ てPoincareが

そ の 天才 的 直 観 力 で垣 間 見 た

積 分 不 可 能 な 系 の 存 在 とい う よ う な,古 典 力 学 の 深 層 が,コ 平 易 に 見 通 し う る よ うに な っ た こ と で あ る.こ 新 た な 展 開 や,可

ン ピ ュー タ に よ り

う した状 況 の なか で,摂 動 論 の

積 分 系 の 理 論 の 飛 躍 的 な 進 歩 が も た ら され た.こ

れ に は,

1960年 代 末 の堀 に よ る新 しい摂 動 法 の 開 発 や 戸 田格 子 の 発 見 も大 き な 契 機 に な っ て い る.ま

た,量 子 力 学 と解 析 力 学 の よ り深 い構造 的 関 連 が 明 らか に され

て きた こ と も,古 典 力 学 の発 展 に 数 え る こ とが で き る.   しか し,こ の 間 の 力 学 の発 展 は,こ で は な い.も

う一 つ の 大 き な 発 展 は,Lagrange以

ら,PoincareやCartenに へ の転 換 が,お

の よ う な個 々 の新 た な テ ー マ の 開拓 だ け 来 の解 析 的 な解析 力学 か

よ り先 鞭 をつ け られ た解 析 力 学 の幾 何 学 的 な定 式化

も に数 学 者 の手 で す す め ちれ た こ とで あ る.そ の 結 果,力 学 理

論 の様 相 は大 き く変 わ りつ つ あ る.Arnoldが 語 っ て い る よ うに,い

名著 『 古 典 力 学 の 数 学 的 方 法 』で

まや 「ハ ミル トン 力 学 は 相 空 間 の 幾 何 学 で あ り,… …,

ハ ミル トン力 学 は 微 分 形 式 な しに は 理 解 で き な い 」の で あ る.い わ ゆ る 「力 学 の幾 何 学 化 」 と呼 ば れ る この 新 しい 見 方 は,最 近 の場 の 量 子 論 や 重 力論 の 視 点 に通 じ る もの で あ る.   こ の よ うな 力学 理 論 の 変 貌 と発 展 に つ い て は,数 学 者 のサ イ ドか らは,こ の Arnoldの

著 書 の 翻 訳 だ け で な く,い

くつ か の 日本 語 の 書 物 も 出 さ れ て い る.

目に つ い た も の だ け を挙 げ て も,丹 羽 敏 雄 『力 学 系 』(1981),大 森 英 樹 『一 般 力 学 系 と場 の幾 何 学 』(1991),斎 藤 利 弥 『解 析 力 学 講 義 』(1991),深 谷 賢 治 『 解 析 力 学 と微 分 形 式 』(1996),伊 藤 秀 一 『常 微 分 方 程 式 と解 析 力 学 』(1998)な ど, 決 して 少 な い数 で は な い.し か し率 直 に い っ て 数 学 者 の書 い た 書物 は,物 理 屋 の もの と微 妙 に 問題 意 識 が 異 な る よ う で,力 点 の 置 き場 所 も少 しず つ 違 っ て い る だ け で な く,な に よ り も,物 理 学 科 や 工 学 部 の 諸 学 科 の学 生 や 大 学 院 生 に は とっ つ きが 悪 い.こ の こ とは数 学 者 に は な か な か 理 解 して も ら え な い よ うで あ る.   他 方 で,木 村 利 栄・ 菅 野 礼 司 『微 分 形 式 に よ る解 析 力 学 』(1988,増 補 改 訂 版 1996),大

貫 義 郎 ・吉 田春 夫 『力 学 』(1994,第2版1997)な

ど,物 理 学 者 ・天文

学 者 に よ り新 しい 立 場 で書 か れ た 良 質 の 書 物 も存在 す るが,主 題 が や や 偏 っ て い る き ら い は 否 め な い.   本 書 は,こ の30∼40年 サ イ ドか ら,で る.と

間 に な さ れ た 解 析 力 学 の 新 しい 定 式 化 を,物 理 学 の

き る だ け 広 く詳 し く,て い ね い に 展 開 し よ う と し た もの で あ

くに,状 態 空 間 ・相 空 間 上 の 力学 を,幾 何 学 的 な視 点 か らわ か りや す く

解 説 す る こ とに 主 眼 を お い た.こ れ が,筆 者 が 主 観 的 に考 え て い る,本 書 の 主 要 な 存 在 理 由 で あ る.   そ の ね らい に あ わせ て本 書 で は,数 学 者 の手 に な る書 物 で は ス マ ー トに簡 潔 に 抽 象 的 に書 か れ て い る こ とで も,あ えて 泥 臭 く具 体 的 ・例 示 的 に論 じた と こ ろが 少 な くな い.数 学 は よ り一 般 的 な場 合 に た い す る議 論 を 眼 目 とす るが,物 理 学 は,一 般 論 だ け で は な く,そ の 一 般 論 を個 別 的 ケ ー ス に適 用 し,手 間 を厭 わ ず 腕 力づ くで も計 算 し きる とい うこ と を主 要 な 関 心 とす るか らで あ る.   数 学 に つ い て は,初 等 的 な解 析 学 と線 形 代 数 学 の知 識 だ け を前 提 と し,曲 面 論 か ら簡 単 な微 分 幾 何 学,テ

ン ソ ル 解 析,多

様 体 とそ の 上 で のベ ク トル 場 理

論,さ ら に は微 分 形 式 の理 論 に い た る まで,§1.2∼ §1.6に 独 立 の 節 を設 け て 一 か ち説 明 を して お い た.こ の よ うに本 書 を読 む た め に 必 要 な数 学 は ま とめ て 記 載 して あ る の で,先 第2章

を い そ ぐ読 者 は こ こ を飛 ば して,§1.1の

後,い

きな り

に移 って,必 要 に 応 じて §1.2以 降 に 立 ち返 り該 当 す る箇 所 を参 照 して

い た だ い て も よい.逆

に §1.2∼ §1.6を,新

し い物 理 数 学 の 入 門 と して 利 用 す

る こ と も可 能 で あ る.そ の程 度 に は て い ね い に書 い た つ も りで あ る.   力 学 に つ い て は,理 論 の 幾 何 学 的 定 式 化 の 解 説 に と くに 力 を い れ た.さ

ら

に,古 典 力 学 と幾 何 光 学 の ア ナ ロ ジー や 解 析 力 学 と量 子 力 学 の 関 連 とい う問 題,ま

た摂 動 論 の 発 展 につ い て,さ

らに は 正 則 で な い 拘 束 系 の正 準理 論 な どの

個 々 の テー マ に つ い て は,一 般 の 力 学 書 よ りは 詳 し く書 き込 ん だ つ も り で あ る.そ れ ら に は ま た,一 般 論 だ け で は な く,非 線 形 振 動 か ら天 体 力 学 や 原 子物 理 学,さ

ら に は加 速 器 科 学 に い た る まで の 広 い テ ー マ に わ た る 多 くの具 体 例 に

よ る 説 明 も加 え て お い た.こ れ らの 点 も,本 書 の特 徴 と して挙 げ て よ い で あ ろ う.   率 直 に い っ て 本 書 は,ボ

リュ ー ム か らい っ て も レベ ル か らい っ て も,学 生 諸

君 に と って 気 安 く簡 単 に読 め る本 で は な い とは思 うが,し か し じ っ く り とつ き

合 っ て い た だ け れ ば,筆 者 と して は そ れ に ま さ る喜 び は な い し,ま た そ れ だ け 得 る とこ ろ もあ る で あ ろ う との 自負 も も っ て い る.   執 筆 は,と

くに 明 確 に 分 担 を決 め る こ とはせ ず,互

い に 書 い て は も ち よ り,

議 論 し て 原稿 を仕 上 げ て ゆ く とい うや りか た を と っ た.原 稿 を書 く作 業 よ りも 筆 者 自 身 が学 習 す る こ と に,は

るか に 多 くの 時 間 を か け た こ とは 事 実 で あ る.

全 般 に わ た って 学 習 院 大 学 の 江 沢 洋 氏 に,ま た 第2章 以 下 の 力 学 と くに 摂 動 論 の とこ ろ は 国 立 天 文 台 の 木 下 宙 氏 に,第1章

の数 学 に つ い て は,明 治 大 学 の 故

林 喜 代 司 氏 と駿 台予 備 学 校 の 中 村徹 氏 に,そ れ ぞ れ 初 期 の 原稿 段 階 で 眼 を通 し て い た だ き多 くの 有 益 な ア ドバ イ ス を い た だ い て い る.た は,そ

だ し原 稿 そ の もの

の後 か な り書 き込 み 書 きな お し た の で,筆 者 の 思 い ち が い な ど も潜 ん で

い るか も しれ な い が,そ れ は も ち ろん 筆 者 た ち の 責 任 で あ る.林 氏 に は,完 成 し た本 書 をお 見 せ し た か っ た が,そ

れ が で きな く な っ た こ と は 大 変 残 念 で あ

る.   忙 しい な か に 原稿 を読 む労 を と って い た だ い た これ らの 方 々,そ

して,大 部

な書 物 が 忌 避 さ れ る出 版 界 に あ っ て,こ の よ う な書 物 の 出 版 を企 画 して い た だ い た朝 倉 書 店 に,こ の 場 を借 りて お 礼 を述 べ させ て い た だ き ます. 1998年7月 山

本

義

隆

中

村

孔

一

目

1  序 章―

数学 的準備

 1.1 運 動 方 程 式  1.1.1 

ニ ュ ー

次

  1  1

トン力 学

 1.1.2  拘 束 条 件 と 配 位 空 間  1.1.3  拘 束 力 と仮 想 仕 事

 1.1.4 配 位 空 間 上 の 運 動 方 程 式  1.2 曲 面 上 の 拘 束 運動

 1

  2  5

  8  12

 1.2.1  曲 面 の パ ラ メ ー タ 表 示

 12

 1.2.2  加 速 度 ベ ク トル と運 動 方 程 式

  14

 1.2.3  拘 束 力 の 決 定

  16

 1.2.4  曲 面 上 の 運 動 方 程 式

  18

  1.2.5 慣 性 運 動 と 測 地 線

 1.3 曲 面 上 の テ ン ソル と共 変 微 分

  20

  24

 1.3.1  曲 面 上 の ベ ク トル

 24

 1.3.2  曲 面 上 の テ ン ソ ル

 28

 1.3.3  接 続 と平 行 移 動  1.3.4  共 変 微 分 と加 速 度

  30  33

 1.4 多 様 体 とベ ク ト ル 場

  37

 1.4.1  微 分 可 能 多 様 体

  37

 1.4.2  多様 体上 の 関 数 と 曲 線

  39

 1.4.3  方 向 微 分 と微 分 作 用 素

  41

 1.4.4  接 ベ ク トル と接 空 間  

43

 1.4.5  接 バ ン ドル とベ ク トル 場

  46

  1.4.6  積 分 曲線 と1径 数 変 換 群     1.4.7  引 き戻 し と微 分 写 像  1.4.8 

リ ー

微

分

49   50

 

53

  1.4.9 リー 括 弧 と リー 代 数  

55

 1.4.10 

57

リー 群

と リー 代 数  

 1.4.11  1径 数 部 分 群 と指 数 写 像  

  1.5  双 対 空 間 と共 変 テ ン ソ ル    1.5.1  双 対 空 間 と1ベ

ク トル  

60

66 66

 1.5.2  反 変 ベ ク トル と共 変 ベ ク トル  

67

 1.5.3  共 変 テ ン ソ ル  

69

 1.5.4  交 代 テ ン ソ ル とpベ

ク トル  

  1.5.5 テ ン ソ ル の 交 代 化 と外 積    1.6 余 接 バ ン ドル と微 分 形 式   1.6.1  余 接 空間 と1ベ  1.6.2  1形 式(1次

ク トル  

外 微 分 形 式) 

72

73 79 79 81

  1.6.3 テ ン ソ ル 場 と リー マ ン 計 量  

84

  1.6.4  p形 式(p次 外 微 分 形 式) 

86

 1.6.5  外

88

微

分

 

 1.6.6 ポ ア ン カ レ の 補 題  

90

 1.6.7  微 分 形 式 の 積 分  

93

 1.6.8 

95

ス トー ク ス の 定 理  

2  ラグラ ンジ ュ形 式の力学  100  2.1  ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式  

100

 2.1.1  ス ク レ ロ ノ ー マ ス な 場 合  

100

 2.1.2  一般 的 な 場 合 へ の 拡 張  

101

 2.1.3  共

106

変

性

 

 2.1.4  一 般 化 ポ テ ン シ ャ ル  

109

 2.1.5  ラ グ ラ ン ジ ア ン の ゲ ー ジ 変 換  

111

 2.2 対 称 性 と保 存 則 

118

 2.2.1 

第1積

分

 2.2.2  一 般 化 運 動 量 と そ の 保 存

 

118

 

120

 2.2.3  系 の 対 称 性 と保 存 則

  121

 2.2.4  ハ ミル トニ ア ン と エ ネ ル ギ ー 積 分

  124

 2.2.5  配 位 空 間 の 簡 約 と 自 由 度 の 削 減

  127

 2.3 ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 の幾 何 学 的 表 現

  144

 2.3.1  基 本1形

式 と基 本2形

式

 2.3.2  ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の 座 標 系 に よ ら な い 表 現

 144  

 2.4 擬 座 標 と ポ ア ン カ レ方 程 式

146

  148

 2.4.1  擬 座 標 の 導 入

  148

 2.4.2  ポ ア ン カ レ 方 程 式

 

 2.5 拘 束 条 件 と拘 束 力  2.5.1  拘

束

力

 2.5.2  拘 束 系 の ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式  2.5.3  非 ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束

3  変

分

原

理

150

  153  

153

  155   157

 

 3.1 ハ ミル ト ン の 原 理

164

  164

 3.1.1  作 用 積 分 とハ ミ ル ト ン の 原 理

  164

 3.1.2  拡 大 配 位 空 間

  166

 3.1.3  拡 大 状 態 空 間

  168

 3.1.4  基 本1形

式 と作 用 積 分

  169

 3.1.5  作 用 積 分 の 変 分 計 算

  171

 3.1.6  ハ ミル ト ン の 原 理 と ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式

  175

  3.1.7  ラ グ ラン ジュ 方 程 式 の 拡 大 配位 空 間 上 の表 現

 176

 3.1.8  ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 法

 178

 3.2 ワ イ ス の 原 理 とネ ー ター の 定 理

 182

 3.2.1  ワ イ ス の 原 理  3.2.2  拡 大 配 位 空 間 の モ ー メ ン ト関 数    3.2.3  ネ ー タ ー の 定 理 の 拡 張

 

182 184

  186

 3.3 保 存 系 と最 小 作 用 の 原 理

  195

 3.3.1  保 存 系 と 作 用 の 導 入

  195

 3.3.2  最 小 作 用 の 原 理

  196

 3.3.3  ヤ コ ビ の 原 理

  199

 3.3.4  測 地 線 の 方 程 式

  201

 3.3.5  力 学 ・光 学 ア ナ ロ ジ ー

 204

4  ハ ミル トン 形 式 の 力学

 208

 4.1 相 空 間 と正 準 方 程 式

 208

 4.1.1  ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の 狭 さ  4.1.2  正 準 方 程 式  4.1.3  相 空 間 と 正 準1形  4.1.4 

  208   209

式

リー マ ン 計 量

 4.1.5  拡 大 相 空 間

  213   215

  216

 4.2 ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場

 217

 4.2.1  シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体

  217

 4.2.2  正 準 方 程 式 の 座 標 系 に よ ら な い 表 現  4.2.3  ハ

ミル

 220

ト ニ ア ン ・ベ ク ト ル 場

  222

 4.3 力 学 系 の 考 察

 224

 4.3.1  力 学 系 と は

  224

 4.3.2  相 流 と 不 変 集 合

 226

 4.3.3  平 衡 解 ・周 期 解 と そ の 安 定 性

  227

 4.3.4  線 形 化 方 程 式

  229

 4.3.5  2次 元 で の 考 察

  231

 4.3.6  平 衡 解 の 安 定 ・不 安 定 と分 岐

 233

 4.3.7  リ ャ プ ノ フ 関 数

  238

 4.3.8  ポ ア ン カ レ写 像

 

 4.4 正 準 力 学 系

242

  255

 4.4.1  正 準 方 程 式 の 線 形 化

 255

 4.4.2  正 準 力 学 系 の 構 造 安 定 性

 256

5 

 4.4.3  相 流 に と も な う体 積 変 化  

257

 4.4.4  リ ュ ウ ヴ ィ ル の 定 理  

260

 4.4.5 ポ ア ン カ レ の 再 帰 定 理  

261

正 準変換 

267

 5.1 相 空 間 上 の ハ ミ ル トン の 原 理  5.1.1  ハ ミル トン の 原 理 の 相 空 間 へ の 持 ち 上 げ

 267   267

 5.1.2  ル ジ ャ ン ドル 変 換

  270

 5.1.3  相 空 間 上 で の ハ ミル ト ン の 原 理

  274

 5.1.4  局 所 座 標 系 に よ ら な い 表 現

  276

 5.2 積 分 不 変 式 とカ ル タ ンの 原 理

  279

 5.2.1  相 空 間 上 の ワ イ ス の 原 理

 279

 5.2.2  積 分 不 変 式

 280

 5.2.3  カ ル タ ン の 原 理  5.2.4  第1積

 

分 と 自由 度 の 削 減

 5.3 正 準 変 換―

母 関 数 に よ る定 義

 5.3.1  正 準 変 換 と は

 283

  285  

 5.3.2  変 換 の 母 関 数

 5.4.2  母 関 数 と の 関 係

 292   292  

295

 5.4.3  正 準 変 換 で あ る た め の 十 分 条 件

  296

 5.4.4  正 準 変 換 群

  299

 5.5 正 準 不 変 式

  299

 5.5.1  積 分 不 変 式

 299

 5.5.2  ラ グ ラ ン ジ ュ 括 弧

  300

 5.5.3  斜

  302

交

積

 5.5.4  リ ュ ウ ヴ ィ ル の 定 理(再 論) 

索

285   287

 5.4  シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 写 像  5.4.1  シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件

282

引

303

第Ⅱ巻 目次 6  ポ ア ソン括弧  6.1 1径 数 正 準 変 換  6.2 ポ ア ソ ン 括 弧 と正 準 方 程 式  6.3 ポ ア ソ ン の 定 理  6.4 ポ ア ソ ン 括 弧 と リー 代 数  6.5 相 空 間 の簡 約 7  ハ ミル トン-ヤ コ ビの 理 論  7.1  ハ ミル ト ン-ヤ

コ ビ方 程 式

 7.2  ヤ コ ビ の 定 理  7.3  力 学

・光 学 ア ナ ロ ジ ー

 7.4 正 準 変 換 に も とづ く考 察

8  可

積

分

系

 8.1 完 全 可 積 分 系  8.2 周 期 運 動 と作 用 変 数 ・角 変 数  8.3 多 重 周 期 系 の 運 動

9  摂

動

論

 9.1 定 数 変 化 法  9.2 ラ グ ラ ン ジ ュ の 摂 動 方 程 式  9.3 正 準 摂 動 法―

フ ォ ン ・ツ ァ イ ペ ル の 方 法

 9.4 永 年 摂 動 と解 の 不 安 定 性  9.5 リー 変 換 に よ る摂 動 法

10  拘束 系 の正準 力 学  10.1  デ ィ ラ ッ ク の 処 方

 10.2 デ ィ ラ ッ ク括 弧 と相 空 間 の 簡 約  10.3 第1種

の 拘 束 量 とゲ ー ジ変 換

11  相対 論 的力 学  11.1 ガ リレ イ の 相 対 性 原 理  11.2  ロ ー レ ン ツ 変 換

 11.3 相対 論 的運動 方程 式   11.4  相対 論 的解析 力学

例

一

覧

<第Ⅱ

<第Ⅰ 巻> 1.1.1  1.2.1  1.3.1  1.4.1 

球面振子 円錐振子 球 面 上 のベ ク トル の平 行 移 動 と接 続 R2上 のベ ク トル場 と座 標 変 換

1.5.1  応 力 テ ン ソ ル 1.5.2  クロ ネ ッカー の デ ル タ とエ デ ィ ン トン の イ プ シロ ン 2.1.1  2.1.2  2.2.1  2.2.2 

ラー モ ア の定 理 剛 体 の 回転 の方 程 式 軸 対 称 な 電磁 場 中 の 荷 電 粒 子 の 運 動 中心 力 に よ る2体 相 互 作 用

巻>

6.2.1  ハ ミル トニ ア ン と時 間移 動 6.2.2  運 動 量 と空間 移 動 6.2.3  線 形 系 と して の 調 和 振 動 子 6.2.4  角 運 動 量 と空 間 回転 6.3.1  2次 元 調 和 振 動 子― 固有値 問題 と し ての 扱 い 6.3.2  ケプ ラー 問題 と調 和 振 動 子 の 関 係 6.4.1  2次 元等 方 調 和 振 動 子 の 対称 性 6.4.2  ケプ ラー 運 動 の対 称 性

2.2.3  ケプ ラー 運 動 2.2.4  軸 対 称 な こ ま(ラ グ ラ ン ジュ の こ ま)の

7.2.1  7.3.1  7.3.2  7.4.1 

運動 2.2.5  ベ ー タ トロ ン振 動 と弱 集 束

7.4.2  フ ッ ク型 ポ テ ン シ ャ ル と遠 心 力 ポ テ ン シ ャ ル の合 成

2.3.1  2.4.1  2.5.1  2.5.2 

電磁場 剛体の 円筒 上 平面上

中 の荷 電粒 子 の 運 動 方 程 式 回転 に た い す る オ イ ラー 方 程 式 を転 が る 円 筒 を転 が る コイ ンの 運 動

調 和 振 動 子 とハ ミル トン の 主 関 数 一 様 な重 力 の も とで の放 物 運 動 ラザ フ ォー ド散 乱 減 衰 振 動 のHJ方 程 式 に よ る解

8.1.1  8.1.2  8.1.3  8.2.1  8.2.2 

中心 力 ポ テ ンシ ャ ル の も とで の 平 面 運 動 中心 力 の場 の 中 で の粒 子 の 運 動 ケプ ラー 運 動 とケ プ ラ ー の 軌 道 要 素 井 戸 型 ポ テ ンシ ャ ル と断 熱 定 理 調 和 振 動 子 と作 用変 数 ・角 変 数

3.2.3  ケ プ ラ ー 運動 の対 称 性 と レ ン ツ ・ベ ク ト ル

8.2.3  8.2.4  8.3.1  8.3.2 

ベ ー タ トロ ン振 動 の 断 熱 減 衰 モー ス ・ポ テ ン シ ャ ル の も と で の運 動 2次 元 ケ プ ラー 問題 と縮 退 マ グ ネ トロ ン内 の 電 子 の 運 動

3.3.1  2次 元 ケ プ ラ ー 問題 とヤ コ ビ の 原理

8.3.3  2次 元調 和振 動 子 と縮 退

4.3.1  剛 体 の 自由 回 転(オ イ ラー の こ ま) 4.3.2  加 速 器 の ビー ム 集 束 機 構― 強集束 4.4.1  ハ ミル トニ ア ン ・フ ロー と くま で 型分 岐 の一 例

9.1.1  ダ フ ィ ン振動 子 と定 数 変 化 法 9.2.1  地球 の偏 平性 の 人工 衛 星 の 運 動 へ の影 響

3.1.1  ダ フ ィ ン振 動 子 3.2.1  ガ リレ イ変 換 と保 存 則 3.2.2  N次 元 等 方 調 和 振 動 子 と隠 れ た 対 称 性

5.3.1  正 準変 換 の例1― 5.3.2  正 準変 換 の例2― 5.3.3  正 準変 換 の例3―

極座標への変換 ガ リレ イ変 換 ゲ ー ジ変 換

5.3.4  正 準変 換 の例4― 5.3.5  正 準 変 換 の例5―

系の時間的発展 減衰振動

9.2.2  9.2.3  9.3.1  9.3.2  9.5.1 

水 星 の近 日点 移 動― 他 惑 星 に よ る摂 動 水 星 の 近 日点 移 動― 一 般 相 対 論 の効 果 ダ フ ィ ン振 動 子 と正 準 摂 動 法 ゼ ー マ ン効 果 の 古典 模 型 フ ァ ン ・デ ル ・ポ ル 方 程 式

10.1.1  外 的 な拘 束の あ る場 合 10.3.1  ゲー ジ 自 由度 とゲー ジ 固 定 10.3.2  拡 大 相 空 間の 正 準 形 式 11.4.1  ゾ ン マー フ ェ ル トの 原 子模 型

1 序章―

数学的準備

1.1  運 動 方 程 式

  1.1.1  ニ ュ ー トン 力学   古典 物 理 学 は物 質 と場 の 二 元 論 よ りな っ て い る.つ 理 的 存 在 と見 な さ れ て い る.実 際,ニ

ま り物 質 と場 は別 種 の物

ュ ー トン 力 学 で は,力 の 作 用 の も とで の

物 質 的 物 体 の 運 動 が 論 じ られ る が,そ の さ い に 作 用 す る力 自体 の 法 則 は,通 常 は 力 学 の外 に あ る場 の 古 典 論 で 扱 わ れ るべ き もの とな っ て い るの で あ る.   そ れ ゆ え ニ ュー トン力 学 の課 題 は,与 測 す る こ と(力 → 運 動),お る こ と(運 動 → 力),と

え られ た力 の も とで の 物 体 の運 動 を予

よ び物 体 の 運 動 か ら働 い て い る力 の性 質 を推 論 す

い う両 方 向 に 設 定 され て き た.事 実,力 学 は 歴 史 的 に

は ケ プ ラー の 法 則 で 表 さ れ る惑 星 の 運 動 か ら万 有 引 力 を帰 納 す る こ と(運 動 → 力)か

ら 出 発 し た が,そ の 最 初 の 成 功 は,逆 に そ の 万 有 引 力 を既 知 と して

運 動 方 程 式 か らハ レー 彗 星 の再 帰 を予 言 す る こ と(力 → 運 動)で

あ っ た.

  力 学 の 課 題 の この 二 方 向性 は,力 学 の 原 理 で あ る運 動 方 程 式 の論 理 的 地位 を 曖 昧 な もの に して い る.そ れ は 次 の 事 情 で あ る.   3次 元 ユ ー ク リッ ド空 間R3内

のN個

Oを 定 め,α 番 目 の 質 点(質 量mα)の ニ ュ ー トンの 運 動 方 程 式(Newton's

の 質 点 の 運 動 を考 え る.R3内

に原点

位 置 をQα と す る.各 質 点 の 運 動 は

equation

of motion)と

呼 ば れ る方 程 式

(1.1.1) に 支 配 さ れ て い る.こ ト ル,Fαtotalは

こ にrα(t)=OQα

は α番 目 の 質 点 の 時 刻tで

そ の 質 点 に 働 くす べ て の 力 の 和(合

力)を

表 す.と

の位 置 ベ ク ころで この

運 動 方 程 式 は,あ

る と きは 与 え られ た 力 か ら運 動 を予 測 し決 定 す る因 果 方 程 式

と考 え ら れ,ま た あ る と きは 観 察 され た 運 動 か ら力 の 関数 形 を決 定 す る い わ ば 力 の 定 義 式 と も見 な さ れ,そ

して 現実 に は しば しば 同 時 に そ の両 者 で あ る.

  運 動 方 程 式 の こ の 両 義 性 は,ニ

ュー ト ン 力 学 が 「物 質(物 質 的 物 体)」 と

「場 」 を別 種 の 実 在 と見 な し,場 につ い て の 法 則 は 力 学 の外 に 与 え ら れ た もの と して 扱 い,そ

し て場 の個 別 物 体 へ の 作 用 を 「力 」 とい う抽 象 概 念 に ま とめ あ

げ た こ との結 果 で あ る.つ

ま り,各 物 体 は 与 え られ た場 か ら個 別 的 に 力 を受 け

る と考 え ら れ て い る.そ れ ゆ え ま た ニ ュ ー トン 力 学 で は,個 々 の 粒 子(物 体) の それ ぞ れ は,た

とえ そ れ らの 間 の相 互 作 用 が 考 慮 され る場 合 で も,基 本 的 に

は 別 個 の 力学 的 対 象 と見 な され て い るの で あ る.   この 物 質 と場 の 二 元 論 お よ び個 別 粒 子(物 体)そ れ 自体 を個 々 に 力 学 的 対 象 と し て扱 うニ ュ ー トン 力 学 の 一 面 性 と限 定 性 は,現 在 で は 場 の 量 子 論 に お い て 物 質 と場 の両 者 を量 子 化 す る とい う方 向 で の 解 決 が追 究 され て い る.場 の量 子 論 で は,個 々 の 粒 子 で は な く粒 子 系 が 単 一 の 対 象 と して 扱 わ れ,さ

ら に そ の粒

子 系 と場 が と もに 同 レベ ル の 量 子 化 され た場 と見 な され,同 種 の 基礎 方 程 式 で 統 一 的 に 扱 わ れ る の で あ る.   そ して,場 の 量 子 論 へ の こ の移 行 を可 能 と した の が,ラ

グ ラ ン ジュ 形 式 お よ

び ハ ミル トン形 式 の解 析 力 学 な の で あ る.す な わ ち,解 析 力 学 に お いて は じめ て,第1に,質 に,有

点 系(物 体 系)全 体 が 単 一 の 力 学 的 対 象 と し て 扱 わ れ,第2

限 自由 度 の 物 質 の 力 学 と無 限 自由 度 の場 の 力 学 が 同 一 の数 学 的 枠 組 み で

記 述 さ れ,そ

して 第3に,個

別 粒 子 に 働 く力 とい う概 念 を必 ず し も必 要 と し な

い,そ の よ う な力 学 の 定 式 化 に 成 功 したの で あ る.し たが っ て 以 下 の 解 析 力 学 の 考 察 は,つ ね に こ の 方 向 を 目指 して 進 め られ て ゆ くこ とに な る.

  1.1.2  拘 束 条 件 と配 位 空 間   そ の 第一 歩 と して,質 点 系(物 体 系)の 全 体 的 な 運 動 をひ と ま とめ に 表 現 す る こ とか ら始 め る.   ま ず,N個 N個

の 質 点 系 全 体 の 運 動 を記 述 す るた め に 各 質 点 の 運 動 空 間R3の

の 直 積 

全 体 の 配 置 を こ のR3Nの1点

を 導 入 す る.そ

し て こ れ を用 い て,質

点

で 表 し,こ

のxを

質 点 系 の 座 標 な い し 単 に 系 の 座 標 と い お う.

  さ て,す

べ て の 力Fαtotalが 既 知 で あ る な ら ば,つ

ま り

(1.1.2) の 関 数 形 が あ ら か じ め 与 え ら れ て い る な ら ば(xはxの (1.1.1)のN個

導 関数dx/dt),

の 方 程 式 は しか るべ き初 期 条 件 と あ わ せ て 系 の 時 間 的 発 展 を

与 え る微 分 方 程 式 と解 釈 で き る.質 点 が 既 存 の 重 力 場 や 電 場 ・磁 場 か ら力 を受 け て 運 動 し て い る と見 な し う る場 合,あ

るい は 質 点 同士 が 重 力 や クー ロ ン力 と

い っ た 既 知 の 相 互 作 用 に よ り影 響 を及 ぼ し合 って い る場 合 な どが そ うで あ る.   しか し,巨 視 的 物 体 は そ れ 以 外 に 他 の物 体 との 直 接 的 接 触 な どに よ って も力 を受 け る.そ れ らの 巨視 的 な 力,つ

ま り面 の抗 力 や 棒 の 張 力 な ど は,原 理 的 に

は分 子 間 力 の 合 力 で あ る け れ ど も,分 子 間 力 そ の も の の 関数 形 が 厳 密 に知 られ て い る わ け で は な い し,だ い い ち,巨 視 的 物 体 を構 成 す る1023個 に もお よぶ 分 子 間 力 の 合 力 を求 め る こ とは 事 実 上 不 可 能 で あ る.実 際,そ の 合 力 の 関 数 形 が 近 似 的 に で あ れ知 られ て い るの は,弾 性 ば ね に お け る フ ッ クの 法 則 の よ う な きわ め て 限 られ た ケ ー ス だ け で しか な い.   した が って,い か,変

くつ か の物 体 が 事 実 上 伸 縮 し な い棒 につ な が れ て運 動 す る と

形 しな い 面 に 接 し て 運 動 す る と い っ た 場 合,棒

の張力 や面 の抗 力 な ど

は,現 実 に は 問題 を解 い て初 め て わか る 未知 量 と し て扱 わ れ る.つ

ま り,こ れ

らの 力 に よ り,諸 物 体 の 相 互 的 位 置 関 係 に あ る制 約 が 課 せ られ る こ とに な るの だ が,こ の 場 合 は 力 そ の もの で は な く,そ の結 果 と して の質 点 の 座 標 間 の 特 定 の 関係 だ け が 与 え られ て い る の で あ る.   も と よ り巨視 的 力 学 で い う とこ ろの 物 体 な る もの 自体 が,そ の よ うな 扱 い の 上 に 成 立 して い る.た

とえ ば 剛体 とは,お び た だ し い数 の分 子 か らな る複雑 な

系 を,分 子 間 の相 互 作 用 を分 子 間 力 その もの に よ っ て で は な く分 子 間 距 離 が 一 定 とい う力 の 効 果 に よ っ て表 し,そ の こ とで構 成 粒 子 間 の相 対 運 動 を凍 結 させ る こ とで得 られ た理 想 化 概 念 な の で あ る.   一 般 的 に い う な ら ば,N個

の 物 体 が あ る相 互 作 用 を し て い る と き,相 互 作

用 そ の もの の 詳 細 は わ か ら な い け れ ど も,そ の 結 果 と して そ の 物 体 系 の座 標 成 分(x1,x2,…,x3N)が

あ る関 係 を取 り結 ぶ こ との み が 知 られ て い る,と い う こ

と で あ る.そ す)と

の 関 係 を 拘 束 条 件(constraint

conditions,「

束 縛 条 件 」 と も訳

い う.

  と くに そ の 関 係 が

(1.1.3) と い う 形 で 表 さ れ る 場 合 を ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束(holonomic う(そ

う で な い 場 合,つ

る とか,あ

constraints)と

ま り 非 ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 は,条

件 が 不 等 式 で表 され

る い は 座 標 の 微 分 の 間 の 積 分 不 可 能 な 関 係 で 与 え ら れ る 場 合 で,こ

れ ら に つ い て は 後 述).な

お 拘 束 条 件(1.1.3)で

を レ オ ノ ー マ ス(rheonomous),そ (scleronomous)と

い う.本

時 間tを

陽 に 含 む と きの 拘 束

うで ない ときの拘 束 をス ク レ ロノーマ ス

節 で は ス ク レ ロ ノ ー マ ス な 場 合 に 話 を 限 る.

  拘 束 条 件(1.1.3)か

ら 次 の こ とが い え る.

  R3N内

満 た す す べ て の 点 と そ の 近 傍 で 行 列(∂fs/∂xi)の

の(1.1.3)を

ク がk(≦p),す す る.こ

い

な わ ち 少 な く と も1個

の と きx={xi}の3N個

に よ れ ばn=3N-k個

のk×k小

行 列 の 行 列 式 が0で

の 成 分 は す べ て が 独 立 で は な く,陰

の 独 立 な パ ラ メ ー タ(q1,q2,…,qn)を   ,す

ラ ン ない と

関数 定 理

用 い て,局

所 的 に

なわ ち

(1.1.4) とパ ラ メ ト ラ イ ズ さ れ る.幾

何 学 的 に 表 現 す れ ば,拘

す 点 の 集 合  n次

は,R3Nに

元 超 曲 面 を 形 成 し,系

  こ の 超 曲 面Nは n個

の 運 動 は こ のNの

配 位 空 間(configuration

space)と

coordinate)と

を 構 成 す る す べ て の 質 点 の 位 置)と

う し て 配 位 空 間 の 導 入 に よ り,系

*1  座 標 成 分qiの

添 字iを

呼 ば れ る.そ

して こ の

学 的 に は 局 所 座 標,物

呼 ば れ る*1.そ

位 空 間 上 の 点 の 位 置 と そ の 移 動 と し て,q={qi}お れ る.こ

埋 め 込 ま れ た

の 少 な く と もあ る領 域 で の 系 の

位 置 を 特 定 す る の に 必 要 十 分 な パ ラ メ ー タ で あ り,数 的 に は 一 般 化 座 標(generalized

満 た

上 に 限 定 さ れ る の で あ る.

の パ ラ メ ー タq=(q1,q2,…,qn)が,N上

時 刻 の 配 位(系

束 条 件(1.1.3)を

理

して 系 の あ る

系 の 時 間 的 発 展 は,こ

の配

よび そ の 時 間 的 変 化 で 表 さ

の 全 体 と して の 統 一 的 な記 述 と把 握

右 下 で な く右 上 に 書 くの は

,こ

の 段 階 で は 便 宜 上 で あ る が,後

に 右 上 に つ け る 添 字 と右 下 に つ け る 添 字 の 区 別 が 意 味 を も っ て く る(§1.3.1参 照).な お, パ ラ メ ー タ{qi}の 選 び 方 は 自由 で,角 度 な ど を 用 い る こ と も可 能 ゆ え,一 般 化 座 標 の 成 分 qiが 長 さ の 次 元 を もつ と は 限 ら な い.

に 向 け て の 第 一 歩 が 踏 み 出 さ れ た こ と に な る.   な お,パ

ラ メ ー タqの

り も あ る た め で あ る.し

選 び 方 が 一 通 り で な い の は,局 か しnの

値,す

選 び 方 に よ ら な い.そ

れ ゆ え こ のnは

(degree

い わ れ る.

of freedom)と

  さ て,運

動 空 間 が 超 曲 面N上

直 す な ら ば,各

標 系 の

系 に 固 有 の 量 で あ り,系

の 自 由度

に 限 定 さ れ て い る と い う こ と は,物

理 的 に見

質 点 に は そ の 質 点 をN上

る と い う こ と で あ る.そ

所 座標 の選 択が何 通

な わ ち 配 位 空 間 の 次 元 は,座

に 拘 束 す るた め の 強 制 力 が働 い て い

れ ゆ え こ の と き 運 動 方 程 式(1.1.1)は

(1.1.5) の 形 を とる.こ

こ にFα は その 関 数 形(1.1.2)が

あ らか じめ 与 え られ て い る 力

(力 の 場)の 合 力 で あ る の に た い して,Fα'は 系 をN上

に 拘 束 す る強 制 力 で あ

り,問 題 を解 い て 初 め て 求 ま る未 知 数 で あ る.以 下 で は,Fα (applied force), Fα'を 拘 束 力(constraint (1.1.1)のFαtotalはFα

force,な

を加 え られ た 力

い し 「束 縛 力 」)と い う.

とFα'の 和 で あ る.こ の よ う に地 位 の 異 な る2種 類 の

力 が 混 在 して い る こ との な か に,ニ

ュー トンの 運 動 方程 式 の 先 述 の両 義 性 が 見

て とれ る.要 す る に 方程 式(1.1.5)は,一

方 で は 未 知 関 数 と して の拘 束 力 を

と もな い,他 方 で は運 動 を決 定 す る に は過 剰 な座 標 を含 ん で い るの で あ る.   そ こ で ま ず,拘 束 力 を運 動 方程 式 か ら消 去 す る た め,そ

の性 質 を調べ る.

  1.1.3  拘 束 力 と仮 想 仕 事   多 くの 場 合,系 た い して,拘

の 与 え られ た瞬 間 に お け る拘 束 条 件 を破 らな い 無 限小 変位 に

束 力 は 系 全 体 と して 見 る な らば 仕 事 を しな い.

  た と え ば 質 点 系 の 剛体 的 拘 束 や 伸 縮 しな い 糸 に よ る拘 束 の 場 合 が そ うで あ る.両 端 に物 体 をつ け て滑 車 に 吊 る した 糸 の 場 合,糸

が 一 方 の物 体 に す る仕 事

は 他 方 の 物 体 か ら され る仕 事 に 等 し く,そ れ ゆ え糸 の 張 力 が 系 全 体 に す る仕 事 の 和 は0で

あ る.あ る い は また物 体 が 滑 らか な面 上 に 拘 束 され て い る場 合,法

線 方 向 を向 い た 抗 力 は,面 の接 線 方 向 に しか 動 くこ との で きな い物 体 に た い し て 仕 事 を し な い.さ

らに は摩 擦 に よ り物 体 が 面 上 をすべ らず に転 が る場 合,接

点 は瞬 間 的 回転 中 心 で あ り瞬 間 的 に静 止 して い るか ら,こ の 摩 擦 力 はや は り仕

事 を しな い.他 方,物 体 が 動 摩 擦 に抗 して 面 上 を すべ る と きに は,垂 直 抗 力 を 拘 束 力 に,面 に 平 行 な 摩 擦力 成 分 を加 え られ た 力 に 割 り振 れ ば,こ の 場 合 もや は り拘 束 力 は 仕 事 を し な い.   こ こ で与 え ら れ た 瞬 間 の 拘 束 条件 を破 ら な い 系 の 変位 とは,系 が 自由 に運 動 で き る超 曲 面Nを

そ の 瞬 間 に 固定 した と きの そ の 超 曲面 上 で の 変 位 の こ とで

あ るか ら,一 般 化 座 標 の 時 間 的 変位 を含 ま な い 無 限 小 変 位 δq={δqi}を 用 い て (た だ し  と表 さ れ る*2.こ

(1.1.6)

) 

の よ う な 無 限 小 変 位 を仮 想 変 位(virtual

displacements),ま

た こ の 表 示 を 仮 想 変 位 の パ ラ メ ー タ 表 示 と い う.   こ の 仮 想 変 位 を 用 い れ ば,上

に 述 べ た 拘 束 力{Fα'}の

性質 は

(1.1.7) と 表 さ れ る*3.す

な わ ち 幾 何 学 的 に い い 表 せ ば,拘

曲 面Nと

直 交 し て い る.こ

(ideal)と

呼 び,以

束 力 の 集 合F'={Fα'}は

の よ う な 拘 束 を 滑 ら か(smooth)な

超

い し理 想 的

下 で は と くに 断 ら な い か ぎ り拘 束 は 滑 ら か と す る.

  そ こ で ま ず 静 力 学 の 場 合 に つ い て 考 え て み よ う.   系 が 釣 り合 い に あ れ ば

(1.1.8) で あ る.仮 tual work)と

想 変 位 に た い し て 加 え ら れ た 力{Fα}の い い,拘

束 が 滑 ら か で あ れ ば,そ

す る 仕 事 を 仮 想 仕 事(vir

の仕事 は

(1.1.9) と な る.   系 が 釣 り合 い に な い と き に は,と

くに静 止 状 態 か ら微 小 時 間 に 現 実 に行 う運

動 を 仮 想 変 位 と し て と る こ と が で き る.そ

*2  以 下 断 り が な け れ ば

,上

の と き に は δrα=rα δtと し て よ く,

付 き 同 一 添 字 な い し下 付 き 同 一 添 字 の 量 が 分 母 分 子 に 分 か れ て

書 か れ て い る 場 合,ま た は 上 付 き と下 付 き に 同 一 の 添 字 が 登 場 す る 場 合,そ の 同 一 添 字i に つ い て1か らnま で の 和 を と る い わ ゆ る ア イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 に し た が う.な お そ の よ う な 同 一 添 字 は,上 下 を 同 時 に 別 の 文 字 で 入 れ か え て よ い か ら,ダ ミー(み せ か け)と い わ れ る. *3  本 書 で は ,R3やR3Nの ベ ク トル はaやbやxの よ う に ボ ー ル ド ・タ イ プ(太 字)で 表 し,そ の 内積(ユ ー ク リ ッ ド内 積)をa・bな い し(a・b)で 表 記 す る.な お(1.1.7)式 の Σαは α に つ い て1か

らNま

で の 和.

加 え ら れ た 力 の す る仮 想 仕 事 は

(1.1.10) と な る(二

つ 目 の 等 号 は(1.1.7)を

  こ の 結 果(1.1.9),(1.1.10)は,「

系 が 釣 り合 う た め の 必 要 十 分 条 件 は 加 え

ら れ た 力 の す る 仮 想 仕 事 が0で

あ る 」 と ま と め ら れ る.こ

し て の 仮 想 仕 事 の 原 理(principle   こ の 仮 想 仕 事 の 原 理 は,一

使 う).

of virtual

work)に

れ が静力学 の原理 と

他 な ら な い*4.

般 化 座 標 を用 い れ ば

(1.1.11) と 表 さ れ る.こ

こ にq={qi}は

す べ て 独 立 で あ る か ら,釣

り合 い の 条 件 を

(1.1.12) と 表 し て も よ い*5.こ を 一 般 化 力(generalized 限 ら な い か ら,一   さ ら に 力Fα

のF={Fi}は force)と

既 知 の 加 え ら れ た 力 だ け で 表 さ れ,こ

れ

い う(一 般 化 座 標 は 長 さ の 次 元 を も つ と は

般 化 力 も 力 の 次 元 を も つ と は 限 ら な い).

が ポ テ ン シ ャ ルUか

ら 導 か れ る と き に は,こ

の 釣 り合 い の 条

件 は

(1.1.13) す な わ ち釣 り合 い は系 の ポ テ ン シ ャ ル が極 値(一 般 に は停 留 値)を る(∂/∂rα は ∇α=(∂/∂xα,∂/∂yα,∂/∂zα)を 表 す).こ

と る点 で あ

う して 多 数 個 の物 体 か らな

る系 の 静 力 学 を,単 一 の 関 数 で表 現 され る単 一 の 原理 で とら え る こ とに成 功 し た.   解 析 力 学 は,動 力 学 に お い て もこ の 方 向,す な わ ち 単 一 の 関 数 で 表 さ れ る単 一 の 原理 か ら運 動 を決 定 す る こ と を 目指 す もの で あ る.

*4  厳 密 に い う な ら ば

,仮 想 仕 事 の 原 理(1.1.9)は 仮 想 変 位 が 可 逆 的,つ ま り あ る δrの 変 位 が 可 能 な ら ば-δrの 変 位 も 可 能 と な る場 合 に 成 り立 つ.そ う で な い と き,つ ま り運 動 可 能 領 域 の 端 で 変 位 が 一 方 向 に しか 許 さ れ な い 場 合 は,釣

ば よ い. *5  A:=Bな

い しB=:Aは

「BでAを

り合 い の 条 件 は δW≦0で

定 義 す る 」 と い う記 号

.

あれ

  1.1.4 

配位 空間上の運動方程 式

  動 力 学 に お い て も,拘

束 が 滑 ら か で あ れ ば(1.1.7)が

べ て の δqiが 独 立 で あ る か ら,こ

成 り立 ち,さ

らに す

れ よ り拘 束 力 は

(1.1.14) を 満 た す.拘

束 力 の こ の 著 し い 性 質 を 用 い れ ば,運

動 方 程 式 か ら拘 束 力 を 消 去

す る こ と が で き る.   実 際,運

動 方 程 式(1.1.5)の

ユ ー ク リ ッ ド内 積)を

両 辺 と3次

作 り,さ

元 ベ ク トル ∂irαと の 内 積(R3で

ら に α で 和 を と る と,i=1,2,…,nに

の

た い して

(1.1.15) が 得 ら れ,こ

れ に は も は や 拘 束 力 が 含 ま れ て い な い.こ

化 座 標q=(q1,q2,…,qn)の

み で 表 し て,独

  本 節 で は 拘 束 が 時 間 に よ ら な い(ス る の で,(1.1.4)よ

立 なqに

こ で さ ら に 左 辺 を一 般

つ い て の 方 程 式 を 導 く.

ク レ ロ ノ ー マ ス な)場

合 に 話 を限 っ て い

り質 点 α の 速 度 ・加 速 度 は

(1.1.16) (1.1.17) と 表 さ れ る.そ 拘 束 力Fα'を

し て こ れ ら を(1.1.15)に

代 入 し て,ひ

と ま ず の 目 的 で あ る,

含 ま な い 自由 度 の 数 だ け の 方 程 式

(1.1.18) が 得 られ る.   こ の 方 程 式 を さ らに 書 き 直 す た め に,配 位 空 間Nの

幾 何 学 的 構 造 を調 べ て

み よ う.こ の 系 で は全 運 動 エ ネ ル ギー と し て,非 負 の 量

(1.1.19) が 定 義 さ れ て い る.そ

こで

(1.1.20)

とお く.そ して こ れ をn次

元 の 配 位 空 間Nを

動 エ ネ ル ギ ー と考 え れ ば,  見 なす こ とが で き る.こ

動 く質 量1の 仮 想 的 な質 点 の 運

を,そ の 質 点 がdt間

にN内

で 動 く距 離 と

う して 配 位 空 間Nに

(1.1.21) で 定 義 され る 計 量 を導 入 す る こ とが で き る.こ こ に

(1.1.22) こ れ ら(ds)2と{mij}は こ の 量{mij}は

§1.6.3で

一 般 に はqの

述 べ る 計 量 テ ン ソ ル と そ の 成 分 に あ た る.

関 数 でN上

の 点 ご と に 値 が 異 な る.

  こ こ で さ ら に 次 の 量 を 定 義 す る:

(1.1.23) 明 ら か にCijk=Cikjで

あ り,ま

たmijの

定 義(1.1.22)よ

同 様 に 

り

が 成 り 立 つ.そ

れ ゆ え(1.1.23)

で 定 義 され た 量 は

(1.1.24) の よ う に 表 さ れ る.こ symbols

の 量{Cijk}を

of the first kind)と

第1種

ク リ ス トッ フ ェ ル 記 号(Christoffel

い う.

  こ れ ら の 諸 量 を 用 い れ ば,系

の 運 動 エ ネ ル ギ ー(1.1.19)は

(た だ し  他 方,運 Nの

動 方 程 式(1.1.18)は,既

(1.1.25)

), 

知 の 一 般 化 力 と一 般 化 座 標qと

配位 空 間

幾 何 学 的 構 造 に 由 来 す る量 の み を用 い て,次 の よ うに 表 され る:

(1.1.26) と く に 力Fα

が 保 存 力 で,ポ

テ ン シ ャ ルU(r1,r2,…,rN)か

ら 導 か れ る 場 合,

一般化 力 の成分 は

(1.1.27)

とな り,上 の 運 動 方程 式 は次 の よ うに も表 され る:

(1.1.28)   あ る い は 次 の よ う に 書 き 直 す こ と も で き る.   い まdet(mij)≠0な 有 す る.た

ら ば,行

列(mij)はmijmjk=δikと

な る 逆 行 列(mij)を

だ し

(1.1.29) で あ り,こ

の δikを ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ(Kronecker's

ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ の 数 学 的 性 質 に つ い て は,p.29お 参 照 の こ と).そ

delta)と よ びp.78の

い う(ク 例1.5.2を

こ で この 逆 行 列 を 用 い て 量

(1.1.30) を 定 義 し,こ

れ を 第2種

の 両 辺 にmsiを に よ り,運

ク リス トッ フ ェ ル 記 号 と呼 ぶ.こ

か け てiに

つ い て 和 を と り,そ

れ を 用 い れ ば(1.1.26)

の 後 にsをiと

置 きか え るこ と

動 方 程 式 の も う一 つ の 表 現

(1.1.31) が 得 ら れ る.   以 上 に よ り,独

立 な 一 般 化 座 標qの

み で 表 さ れ,し

運 動 方 程 式(1.1.26),(1.1.28),(1.1.31)が

か も拘 束 力 を含 ま な い

得 ら れ た.こ

れ に よ り配 位 空 間

で の 系 の 運 動 が 決 定 さ れ る.   例1.1.1 

球 面振 子

  一 端 が 原 点Oに

固 定 さ れ た 長 さlの 軽 くて 変 形 し な い棒 の 他 端 に 結 び 付 け られ,

重 力 を受 け て い る 質 量mの 張 力 をSと

お も りの 運 動 方 程 式 は,お

も りに 働 く重 力 をmg,棒

の

して

(1.1.32) 棒 の 長 さ が 一 定 とい う こ とは,物

で 与 え られ,棒 は 張 力Sは

理 的に は張力 の ポテ ン シャルが

が 少 し で も伸 縮 す る と無 限 大 の 力 で 戻 さ れ る こ と で あ る が,実

際に

未 知 の 拘 束 力 と して 扱 わ れ,  拘 束 条 件:￨r￨-l=0 

の も と で 運 動 方 程 式 を解 く こ とに よ り,r(t)と

(1.1.33)

と もに 決 定 さ れ る.

  つ ま り こ の 場 合,こ

の 拘 束 条 件 に よ り 自 由 度 は2に

減 り,R3内

の この 式 で決定 さ

れ る2次 元 球 面 が 配 位 空 間 に な っ て い る.そ れ ゆ え こ の 振 子 を球 面 振 子(spherical pendulum)と

い う.こ

の 場 合,張

方 を 向 きS=-Sr/lと い.す

力Sは,そ

表 さ れ,し

の 大 き さ が 不 明 で あ る が,つ

ね に棒 の

た が っ て つ ね に こ の 球 面 に 垂 直 で,仕

事 を しな

な わ ち 拘 束 は 滑 らか で あ る.

  そ こ で,は

じめ か ら こ の2次

うに す る.球

面 上 の お も りの 位 置 は,球

で指 定 され る.こ

の(θ,φ)を

元 配 位 空 間 だ け で 考 え る本 文 の や り方 で は,次 面 の 余 緯 度 θ と経 度 φの2個

一 般 化 座 標 に採 る と,お

のよ

の パ ラ メー タ

も り の位 置 の デ カ ル ト座 標 成

分は

(1.1.34) と書 け(図2.1.2参 ギー は(θ,φ)を

照,鉛

直 上 向 き をz軸

の 正 方 向 に と る),お

も りの 運 動 エ ネ ル

用 いて

(1.1.35) と表 さ れ る.こ

れ よ り(θ,φ)=(q1,q2)と

し て4個

のmijは

(1.1.36) ま た8個

の ク リス トッ フ ェ ル 記 号 は

(1.1.37) と求 ま る.そ

して こ れ ら と重 力 の ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー

(1.1.38) を あ わ せ て,運

動 方 程 式(1.1.28)は,こ

の場合

(1.1.39) と表 さ れ る.運 動 方 程 式 は 自由 度 の 数 だ け で あ り,こ の や り方 で は 拘 束 力 と して の 棒 の 張 力 は ど こ に も現 れ な い.  な お ,得

ら れ た こ の(1.1.39)が

か れ る も の と 同 じ で あ る こ と は,次 分 の そ れ ぞ れ に(1.1.34)を

確 か に ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式(1.1.32)か

ら導

の よ う に 直 接 に 示 さ れ る.(1.1.32)のx,y,z成

代 入 し(符 号 を変 え る こ と に よ り)

(a) (b) (c) こ れ ら よ り 

の操作 で

(1.1.40) さ ら に 

で

(1.1.41) で

ま た 

(1.1.42) (1.1.41),(1.1.42)は(1.1.39)の2式 方,(1.1.40)は 大 き さSを

に 他 な ら ず,こ

の2式

加 速 度(θ や φ に 比 例 す る 項)を 含 ま ず,こ

が 運 動 を 決 定 す る.他 れ は 運 動 か ら拘 束 力 の

決 定 す る 方 程 式 で あ る.

1.2  曲 面 上 の 拘 束 運 動*1

  1.2.1 

曲面のパ ラメータ表示

  前 節 で 導 い た 拘 束 運 動 の 方 程 式(1.1.26),(1.1.28),(1.1.31)の

幾何 学 的

意 味 を 明 ら か に す る.た

何学 的 ・

だ し,数

式 の 迷 路 に は ま り こ む の を 避 け,幾

直 観 的 イ メー ジ を 明 瞭 に す る た め,一 す な わ ち 滑 ら か な2次

個 の 拘 束 条 件 に し た が う1質

点 の 運 動,

元 曲 面 上 に 拘 束 さ れ た 運 動 に つ い て 述 べ る.前

球 面 振 子(例1.1.1)は

そ の 一 例 で あ る.

  質 点 の 運 動 空 間R3内

の2次

元 曲 面N上

の 点 は,パ

節 に見 た

ラ メー タ表 示 で

(1.2.1) と な る.た

と え ば半 径aの

球 面 上 の 点 は余 緯 度 θ と経 度 φ に よ り

(1.2.2) な お 以 下 で は 上 式(1.2.1)を

簡 単に

ない し の よ う に 記 す.こ

れ は(q1,q2)平

す こ と が で き る(図1.2.1).rの

面 の あ る 領 域Dか 各 成 分 はD上

か つ 必 要 な だ け 微 分 可 能 な 関 数 で あ り,さ

の ラ ン ク がD上

で2と

*1  先 を い そ ぐ読 者 は

ら 曲 面Nへ

の 写 像 と見 な

で 定 義 さ れ た(q1,q2)の

連続

ら に こ れ ら の 関 数 の ヤ コ ビ行 列

す る(∂i:=∂/∂qi).

,第1章

の こ の 後(§1.2∼

§1.6)を

う じ て §1.2∼ §1.6の 該 当 箇 所 を参 照 し て も よ い.

飛 ば し て 第2章

に 進 み,必

要 にお

図1.2.1  曲 面 とそ の 座 標

  こ こ でq1を

固 定 しq2を

q1-曲 線 と 呼 ぼ う.同

変 化 さ せ れ ばN上

様 にq2を

q2-曲 線 と 呼 ぶ.q1とq2の 1点 が 決 ま り,逆 のq2の

固 定 しq1を

にN上

θ と経 度 φ で 指 定 さ れ,し

午 線)の

あ る か ら,こ

れ を

の 曲 線 の 交 点 と して 線 のq1の

値 とq2-曲

座 標 と す る こ とが で き る.た 網 の 目 で 覆 わ れ,そ

た が っ て(θ,φ)が

線

とえ ば

の 上 の 点 は余 緯 度

球 面 の 座 標 系 を 与 え る.

元 ベ ク トル 

 はq1-曲 ラ ン ク が2で

で こ の2本

の 各 点 は そ の 点 で 交 わ るq1-曲

球 面 は 等 緯 度 線 と 等 経 度 線(子

の3次

の 曲 線 が 決 ま る.こ

変 化 させ るこ とで決 ま る曲 線 を

値 を 決 め れ ばN上

値 で 表 さ れ る か ら(q1,q2)をNの

  そ してR3内

で1本

はq2-曲

線 の 接 ベ ク トル で あ る.し の 二 つ の 接 ベ ク トル は1次

線 の 接 ベ ク ト ル,

か も上 の ヤ コ ビ行 列 の 独 立 で あ り,し

たがって

∂1rと ∂2rが 曲 面 上 の 各 点 で 接 平 面 を 張 る.   た だ し1組

の(q1,q2)でNの

え ば 球 面 の 場 合,北 一 意 的 に 決 ま らず

す べ て の 部 分 が 表 さ れ る と は 限 ら な い.た

極 と南 極 で は 無 数 の 子 午 線 が 集 中 す る の で そ こ で は 経 度 は ,そ

の 点 で 上 の ヤ コ ビ 行 列 の ラ ン ク は1に

場 合,座

標 系 が(q1,q2)で

の で,他

の 部 分 を 含 む 曲 面 片 で は 別 の 座 標 系(q1,q2)を

表 さ れ る の はNの

あ る 部 分(曲

な る.そ

の よ うな

面 片)に

限 られ る

使 い,こ

う し てN

を そ れ ぞ れ 座 標 系 を も つ 何 枚 か の 曲 面 片 で 覆 え ば よ い(図1.2.1).た の さ い,異 φ:D→Dが

と

な る 座 標 系 が 重 な る と こ ろ で は,そ 定 め ら れ て い る とす る.

だ しそ

れ ら の 座 標 系 を つ な ぐ座 標 変 換

この曲面上 の線素 は

(1.2.3) で 表 さ れ る(本

節 で は 和 の 規 約 は1, 2に つ い て の 和 を 表 す).こ

こに量

(1.2.4) を 曲 面(1.2.1)の 形 式(1.2.3)を

第1基

本 量(first

曲 面 の 第1基

本 形 式(first

の 括 弧 内 は 質 点 の 質 量 をmと と し た と き と の 対 比,ま

fundamental

quantities),ま

fundamental

し た と き の,前

form)と

た 上 の2次 い う(上

式

節 で 定 義 し た(1.1.22)でN=1

た こ こ で のdsは(1.1.21)のdsと

は 

の

関 係 に あ る).   しか る に ∂1rと

∂2rが1次

独 立 で あ るか ら

(× は ユ ー ク リ ッ ド外 積) と な り,行

列(gij)は

  こ の 量 も 第1基

  1.2.2 

逆 を も つ の で,そ

の 逆 行 列 を(gij)で

表 す.

本 量 と い わ れ る.

加 速 度 ベ ク トル と運 動 方 程 式

  さ て 質 点 が 曲 面 上 を 運 動 す る と き,そ て ゆ くか ら,そ

の 軌 道 はR3で

の 座 標 成 分(q1,q2)は

時 々 刻 々変 化 し

の 位 置 ベ ク トル

(1.2.5) に よ り表 さ れ る.こ

れ は簡 単 に な い し

の よ う に も記 され る.こ れ は 曲 面 上 の 曲 線 の パ ラ メー タ表 示 で あ る.   この 曲線 に そ っ た運 動 のR3空

間での速度 は

(1.2.6) で あ る が,∂ir(i=1,2)は 度 は つ ね に 曲 面Nに   同様 に加 速 度 は

点rに 接 し て い る.

お け る 曲 面 の 接 ベ ク トル で あ る か ら,こ

の速

(1.2.7) とな る.右 辺 第1項

は速 度 と同様 に 曲 面Nに

て は,一 般 に 曲 面 上 の 点 で のベ ク トル(3次

接 し て い る.他 方 第2項

につ い

元 ベ ク トル)は 曲 面 に 接 す る成 分

と曲 面 に 垂 直 な 成 分 に分 解 され る の で,点rに

お け る 曲面 の 単位 法 ベ ク トル

(1.2.8) を用 い て

(1.2.9) の よ うに 展 開 され る.こ の右 辺 の 第2項

の係数 は

(1.2.10) ま た 第1項

の 係 数 Γijkは,(1.2.9)式

と ∂nrと の 内 積 を と っ て

(1.2.11) を 満 た し て い る.こ

の 左 辺 の 量 を Γnjkと

表 す と,こ

れ ら の Γijk,Γnjkは,前

節

で 定 義 し た ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号(1.123),(1.1.30)と

(1.2.12) の よ う な 関 係 に あ り,や な お こ の{Γnjk}と{Cnjk}の 用 い て(1.1.24)を

は り第1種

・第2種

関 係,お

ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号 と呼 ば れ る.

よ び(1.2.4)の{gjk}と{mjk}の

書 き 直 す と,Γijkに

関係 を

つ い て も同 様 の表 現

(1.2.13) が 得 ら れ る.   こ れ ら の 記 号 を 用 い れ ば 加 速 度(1.2.7)は,(1.2.9)よ

り

(1.2.14) し た が ってR3内

で の運 動 方 程 式mr=Fは

(1.2.15) こ こ でFは

質 点 に 働 い て い る す べ て の 力 の 和((1.1.1)のFtotal)で

の 方 程 式 は,力Fを

曲 面 に 平 行 な 成 分FTと

垂 直 な 成 分FNに

あ り,こ

分解 し

(1.2.16a)

(1.2.16b) と分 け る こ と が で き る.   前 者(1.2.16a)が,与 す る.そ

の 両 辺 と ∂lrの 内 積 を 作 れ ば

ま た は(gnlを

か け てlで

と な る.(1.1.7)の ば,こ

え ら れ た力 の も とで 質 点 が 曲 面 上 で と る運 動 を決 定

和 を と り, 

条 件 よ りFTは

れ は(1.1.26)(1.1.31)に

  1.2.3 

拘 束 力 を 含 ま ず,{Clij}と{mij}で

書 き直 せ

他 な ら な い.

拘束 力の決定

  後 者(1.2.16b)は,前 部 分 で あ り,こ   曲 面N上

の 書 き か え を し て)

節 で は拘 束 力 を消 去 す る と い う 目的 か ら消 去 さ れ た

こ で は そ の 意 味 を よ り明 確 に す る た め に,次

の 任 意 の1点r=r(q10,q20)=r0に

着 目 し,曲

の よ う に 考 え る.

面上 の関数

(た だ し )) を 考 え る(eN0は 上 で 点r0の

点r0で

の 単 位 法 ベ ク トル).内

積 ∂ir・eN=0で

あ る か ら,N

近 くの 点

で は,(1.2.10)を

考 慮す れば

(1.2.17) と な る.図1.2.2よ ら 曲 面N上

り 明 ら か な よ う に こ の 量 はr0で

の 点r(q)ま

で の 高 さ で あ る.{hjk}を

の 曲 面 の 接 平 面(TN)0か

曲 面 の 第2基

本 量,ま

た

(1.2.18)

図1.2.2  曲面 の接 平 面 と 法線 ベ ク トル

を 曲 面 の 第2基   さ てr0で

本 形 式(second

の 質 点 の 速 度r=υ

fundamental

form)と

い う.

と 法 ベ ク トルeN0を

含 む 平 面(NN)0を

考 え,

軌 道 を こ の 平 面 に 射 影 し た 曲 線 の 曲 率 半 径 を ρNと す る.   い ま 質 点 が 微 小 時 間dt=ε す る と,r0で

τ の 間 にr0=r(q0)か

の 質 点 の 速 さ を υ=￨r￨と

し て,図

らr(q0+ε

ξ)ま で 動 い た と

よ り

(1.2.19) の 関 係 が 得 ら れ る.他 (1.2.19)を(1.2.17)と よ り,r0で

方,r0で

の 速 度 成 分 は 

比 べ て 

で あ る か ら, と な る.さ

ら に(1.2.14)

の加 速 度 の 法 線 成 分 は

(1.2.20) と表 さ れ る(eNの 点r0はN上

向 きが 図 と逆 な ら右 辺 に-(マ

イ ナ ス)が つ く).も ち ろ ん

で あ れ ば 任 意 で あ る か ら,こ の 式 は 曲 面 上 の ど の 点 で も成 り立

つ.   し たが っ て,一 般 に運 動 方 程 式 の 曲 面 に 垂 直 な成 分(1.2.16b)は

(1.2.21)

と 簡 単 な 形 に な る(例1.1.1で ゆ え,(1.1.40)の

は, 

で,つ

左 辺 は 確 か にmυ2/ρNと

な る).こ

ね に ρN=l

れは質点 が与 え られ た曲

面 上 で ど の よ うに 動 こ う と も曲 面 か ら離 れ る こ とは で き な い とい う条 件 だ け か ら得 ら れ る 式 で,運

動 を決 定 す る 式 で は な く,逆

(面 の 垂 直 抗 力FN)を

に 拘 束 条 件 と運 動 か ら 拘 束 力

決 定 す る 式 と考 え る べ き で あ る.

  1.2.4  曲 面 上 の 運 動 方 程 式  他 方,質

点 の 曲 面 上 で の運 動 を調 べ る ため に は,パ

ラ メー タ と して 時 間tの

か わ りに軌 道 経 路 の 長 さ

(1.2.22) を 使 う ほ う が 便 利 で あ る.こ べ て の 点 で υ≠0な

こ で は υ=ds/dtは

ら ばs=s(t)か

任 意 の 点 で の 速 さ で あ り,す

ら 逆 にt=t(s)が

決 ま る の で,軌

道 上 の点

は

(1.2.23) で 表 さ れ る.こ

の と きr(s)に

お け る 軌 道 の 接 線 ベ ク トル は

(1.2.24) で あ り,こ で 表 す).そ

れ は 単 位 ベ ク トル で あ る(以 こ でr(s)に

下,sに

お い て 曲 面 に 接 し,か

よ る 微 分 演 算 を'(ダ つeTに

ッ シ ュ)

直 交 す る 単 位 ベ ク トル

(1.2.25) を と る.そ

う す れ ば 法 ベ ク トル はeN=eT×eGと

各 点 で 右 手 直 交 系 を作 る(も   こ の よ う に す れ ば,速

表 さ れ,(eT,eG,eN)が

軌道 の

ち ろ ん 軌 道 上 の 点 ご と に 異 な る).

度 はr=υeTで

あ る か ら,加

速度は

(1.2.26) と 表 さ れ る(第2項 使 っ た).し

は 任 意 の 関 数fに

か る にeT・eT=1で

か ら,eT'はeTに

あ り,こ

た い し てdf/dt=υdf/dsで れ をsで

あ る こ とを

微 分 す る と2eT・eT'=0と

な る

直 交 して い る こ とが わ か り

(1.2.27)

す な わ ち,加 速 度 は 次 の 簡 単 な和 で 表 さ れ る:

(1.2.28) こ こ で 前 段 の 結 果(1.2.20)を

使 うと

(1.2.29) と な り,こ

の κNを 曲 面 上 の 曲 線 の 法 曲 率(normal

半 径 と い う.平

た くい え ば,κNは

を 表 現 し て い る.こ

の 曲 率 は,曲

法 曲率

曲 面 自体 の 湾 曲 に そ っ た 軌 道 の 曲 が り 具 合 面NがR3の

立 場 で 見 た と き に の み 意 味 を も ち,曲 に へ ば りつ い て 生 き て い る2次

curvature),ρNを

中 に埋 め 込 ま れ て い る と い う

面 内 だ け で 見 る 立 場 で は(つ

元 生 物 に は)理

ま り曲 面 上

解 で き な い量 で あ る.

  ま っ た く同様 に 考 え る と

(1.2.30) は,軌

道 を 接 平 面TNに

射 影 し て 得 ら れ る 曲 線 の 曲 率 で あ り,し た が っ て そ

の 逆 数 が そ の 曲率 半 径 で あ る.実 際,軌

道 を点r0=r(S0)で

の 接 平 面(TN)0に

射 影 して得 られ る曲 線 は

と表 さ れ るか ら(添 字0はr0で

の 値),こ

の 曲 線r(s)の

曲率 円 の 半 径 を ρGと

す れ ば,前 段 と同様 に考 えて

(1.2.31) こ こ にr0は

任 意 で あ る か ら,一

曲 率(geodesic 合 を 与 え,そ

curvature)と

般 に  い う.測

れ ゆ え 曲 面 内 の2次

  以 上 よ り,R3内

が 成 り立 つ.こ

の κGを 測 地 的

地 的 曲 率 は 曲 面 内 で の 軌 道 の 曲 が り具

元 生 物 に も理 解(測

定)で

き る 量 で あ る.

で の 運 動 方 程 式mr=Fは

(1.2.32) あ る い は 成 分 に分 解 して

(1.2.33)

(1.2.34) (1.2.35) と表 され る.第1式

は加 え られ た力 に よ る軌 道 方 向 の加 速 を与 え,第2式

面 内 で の 軌 道 の 曲 げ を与 え る.他 方,第3式

は曲

に よ り,運 動 と 曲 面 の 曲 が りか

ら,質 点 に 働 い て い る拘 束 力(曲 面 か らの 垂 直 抗 力)が 決 定 され る.軌 道 曲面 にへ ば りつ い た2次 元 生 物 に とっ て は,は

  1.2.5 

慣 性 運 動 と測 地 線

  と くに,拘 る.こ

じめ の二 つ の 式 だ け が 意 味 を もつ.

束 力 を 別 と し て,曲

の と き,は

面 内 で は 力 が 働 い て い な い場 合 の 運 動 を考 え

じめ の 二 つ の 方 程 式(1.2.33),(1.2.34)よ

り

υ=一 定   か つ  

(1.2.36)

測 地 曲 率 κGが0と い う こ とは 接 平 面 に 射 影 した 曲 線 が 曲 が ら な い と い う こ と で あ るか ら,質 点 は(質 点 を曲 面 に拘 束 す る力 を の ぞ い て)曲 面 内 で 力 が 働 か な け れ ば 曲 面 上 を一 定 の速 さ で,(曲 面 自 身が もつ 曲 が り を の ぞ い て)い わ ば 「ま っす ぐ」 に 進 む.慣 性 の 法 則(law

of inertia)の 曲 面 上 で の 実 現,す

なわ

ち慣 性 運 動 で あ る.   こ こ で 測 地 的 曲率 が0に

な る条 件 は

と書 き直 され る.そ の よ うな 曲 線 と して,方 程 式

(1.2.37) の 解 曲 線 を と くに 測 地 線(geodesic

curve),ま

た この方 程 式 を測地 線の 方程

式 とい う.こ の 測 地 線 が 曲 面 上 で の 自由運 動(慣 性 運 動)の 軌 跡 を与 え る.   測 地 線 は,以 下 に 示 す よ うに 局 所 的 最 短 曲 線 で あ る,つ に近 い任 意 の2点

ま りそ の 線 上 の 十 分

を結 ぶ 曲 線 の う ち で最 も短 い 曲 線 で あ る.し たが っ て,曲 面

上 の 自 由運 動 で は,質 点 は あ る点 か らい ま一 つ の 点 ま で そ の2点

を結 ぶ最 短 距

離 で移 動 す る(一 般 に は 距 離 が停 留 値 に な る経 路 を と る).こ の こ とは 光 学 に お け る フ ェ ル マ ー の 原 理 と同様 の 原 理 が 力 学 に お い て も成 り立 つ こ と を示 唆 し て い る.質 点 の 運 動 と光 の伝 播 との この ア ナ ロ ジー は きわ め て 重 要 で,以 下 で

本 書 の 全 体 を 通 して よ り詳 し く述 べ ら れ る.   測 地 線 が 局 所 的 最 短 曲 線 で あ る こ と は 次 の よ う に 示 さ れ る*2.   曲 線Cを ら にCの

と り,そ

のCに

各 点 を 通 りCに

そ っ て 測 っ た 長 さ を 表 す パ ラ メ ー タ を η と し,さ 直 交 す る 測 地 線Gの

か ら 測 っ た 長 さ を ξ と す る.(ξ,η)が 標 系 に と る こ と が で き る.こ

族 を 描 き,そ

あ ま り大 き くな い 範 囲 で は,(ξ,η)を

 ),

こ こ で ξ は 測 地 線 に そ っ た 長 さ で あ る か ら,測 .ま

た が っ て 

た こ れ を η で 微 分 し て 

測 地 線 で あ る か ら κG=0,よ

こ れ は 曲 面 に 垂 直,他

{G}と

地 線 の 接 ベ ク トルrξ は 単 位 ベ .し

を ξで微 分 した もの は

と こ ろ がGが

∂ξgξ η=0.ゆ

座

の とき (た だ し

ク トル で あ り 

れ ら の 測 地 線 のC

直 交 し て い る か ら 

か る にC(ξ=0の ,し

曲 線)は

な り, な わ ち

測地 線 族

たが って任 意 の ξに たい

な け れ ば な ら な い.

  す な わ ち こ の 座 標 系 で は,計

の 形 を と る.そ

ξ=κNeNと

方rη は 曲 面 の 接 ベ ク ト ル ゆ え,rξ ξ・rη=0す

え にgξ ηは ξ に よ ら な い.し

し てgξ η(ξ,η)=0で

っ て(1.2.27)はrξ

れ ゆ え 図1.2.3の

量 は

測 地 線 上 に あ る2点PQを

結ぶ 任 意 の曲線 の

図1.2.3

*2  証 明 は 小 林 昭 七 逆,つ

『曲 線 と 曲 面 の 微 分 幾 何 』(裳 華 房1977)

ま り任 意 の2点

こ と は 後 に §3.3.4で

を 結 ぶ 曲 線 の う ち で,そ 示 す.

Ch .3, §6に 倣 っ た.な

お この

の 長 さが停 留 値 に な る もの が測 地 線 で あ る

長 さ は(2点PQが(ξ,η)を

座 標 とす る 曲 面 片 の 内部 に あ るか ぎ りで)

(1.2.38) この 式 の右 辺 は測 地 線 に そ っ て測 っ たPQ間

の 長 さ で あ るか ら,測 地 線 は 局 所

的 最 短 曲 線 で あ る.   ここで 「 局 所 的 」 とい うの は,次 の 例 の よ う な事 情 を指 して い る.   地 球 の 表 面 を 半 径aの

球 面 と考 え,(1.2.2)の

位 置 を指 定 す る.球 面 上 の 線 素(第1基 ゆ え,あ

るい は(1.1.36)よ

り,第1基

よ う に余 緯度 θ と経 度 φで

本 形 式)は  本量 は

(1.2.39a) (1.2.39b) ま た ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号 は,(1.2.12),(1.2.13),あ

る い は(1.1.37)よ 他 は0 

り

(1.2.40a)

他 は0. 

(1.2.40b)

し た が っ て 地 球 上 の 測 地 線 の 方 程 式(1.2.37)は

(1.2.41) 測 地 線 に そ っ て θ=θ(φ)と

す る と

し た が っ て(1.2.41)は

こ の 方 程 式 の 解 は,極(θ=0,θ=π)を

の ぞ け ば,φ=const.(子

  で あ る. 

午 線)ま

とす る と,後

たは

者の解 は

こ れ は 地 球 の 中 心 を 通 る 平 面 と 地 球 表 面 の 交 線 す な わ ち 大 円 の 方 程 式 で あ る. 実 際,こ

の 式 を 満 た す 地 表 上 の 点r=(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ)は,

定 ベ ク ト ルn=(sinθ0cosφ0,sinθ0sinφ0,cosθ0)と 平 面 上 に あ る.

直 交 し,地

球 の 中 心 を含 む

  と こ ろ で 大 円 上 の2点PQを 球 上 でPQを

考 え る と,PQを

結 ぶ 大 円 の 短 い 方 の 弧 は,地

結 ぶ 他 の す べ て の 曲 線 よ り短 い が,PQを

(地 球 の 裏 側 を 通 る 弧)は

最 短 曲 線 で は な い.そ

結 ぶ大 円の長 い方の弧

の 意 味 で,測

地 線 が最 短 曲 線

で あ る の は 局 所 的 と い わ れ る.   例1.2.1 

円錐 振 子

  球 面 振 子 の 運 動 方 程 式(1.1.39)は つ.た

を満 た す.こ

(倒 立)の 他 に,g
φ=ω(const.),θ=θ0(const.)と

だ し θ0,ωは  範 囲 で 

pendulum)で,お

軌 道 で,ω=φ>0で

は,eT(軌

が っ て,お

で あ

れ ゆ えeG=eN×eTは

も ち ろ ん 球 の 中 心(原 点O)方

も りに 働 い て い る合 力F=SeN+mgに

と書 き 直 さ れ る.こ な わ ち,運

図1.2.4a 

の 第1式

緯度

向 を向 く

子 午 線 に そ っ た θの 増 す 向 き の ベ ク トル .し

り,(1.1.42),(1.1.41),(1.1.40)は

わ か る.す

考 え よ う.

道 接 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル)は,等

線 に そ っ た φ の 増 す 向 き の ベ ク トル,eNは ベ ク トル,そ

も りは 水 平 面 内 で 等 緯 度

さ υ=lω sinα の 等 速 円 運 動 を行 う(図1.2.4a).

  こ の 運 動 に つ い て,方 程 式(1.2.33),(1.2.34),(1.2.35)を   図 のCが

立),θ0=π

と な る運 動 状 態 が 可 能 で あ

れ は 頂 角 αの 円 錐 振 子(conical

線 に そ っ て 半 径l sinα,速

い う解 を も

れ よ り θ0=0(直

そ れ ぞ れ

と 第3式

が(1.2.33),(1.2.35)で

あ る こ と は,見

れば

動 方 程 式 の 軌 道 に そ っ た 成 分 と,曲 面 に 垂 直 な 成 分 で あ る.

円錐 振 子 の 軌 道

た

た い して

図1.2.4b

  第2式

に つ い て は,次

  お も り の 位 置Qで Q点

の よ う に考 え れ ば よ い.

の 球 の 接 平 面(TN)Q上

を通 る 大 円(eNとeTが

な り,他 方,お (TN)Qに

で は 直 線Lと

も りの 軌 道 で あ る 水 平 面 上 の 半 径l sinα の 円Cは,そ

た い して α だ け 傾 い て い る か ら,(TN)Qに

短 径 

の 楕 円C'に

径 は 

射 影 さ れ れ ば,長

な る.そ

は(1.2.34)に

他 な らず,運

1.3 

  1.3.1 

の水 平 面 が 径a=l

して こ の 楕 円 の 点Qで

で あ り,こ の 逆 数 が 測 地 曲 率1/ρGで あ る.し

の 第2式

sinα, の 曲率 半

た が っ て,上

動 方 程 式 の 曲 面 内 の 軌 道 に 垂 直 な成 分 で あ る.

曲 面 上 の テ ン ソル と共 変 微 分

曲 面 上 の ベ ク トル

  前 節 で は,質 部 分 空 間(埋 R3の

へ の 軌 道 の 射 影 を考 え る(図1.2.4b).

張 る 平 面 と球 面 の 交 線)C0は,(TN)Q上

点 の 運 動 す る2次 め 込 ま れ た 曲 面)と

ベ ク トル と し て 導 入 し,そ

垂 直 な 成 分 に 分 解 し,曲

元 曲 面Nを3次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間R3の

し て 捉 え た.そ の 上 で,そ

れ ゆ え加 速 度 や 力 を 最 初 は

れ ら を曲 面 に 接 す る成 分 と曲 面 に

面 上 で は 前 者 の 成 分 だ け が 理 解 可 能 な 意 味 を も ち,後

者 の 成 分 は 曲 面 の 外 の 空 間 か ら 見 な け れ ば 意 味 を も た な い と 区 別 し た.   しか し は じめ か ら 曲 面 上 だ け で 考 察 す る な ら ば,つ や

ま り曲 面 の

「外 」 の 次 元 な る もの を知 ら な い 立 場 で 考 察 す る な ら ば,前

方 は 不 可 能 に な る.本

節 で も,2次

「外 」 の 世 界

節 の よ う な行 き

元 曲 面 に 話 を 限 る け れ ど も,曲

面上 だけで

考 察 す る と い う立 場 か ら前 節 の 結 果 を 捉 え 直 す.   曲 面N上

の 点 は,一

般 に 何 通 り も の 座 標 で 表 す こ と が で き る.す

座 標 変 換  =(q1,q2)で

に よ っ て 同 一 の 点Qが,あ 表 さ れ,他

の 座 標 系 で はq=(q1

下 で は こ の 変 換 に お い て,関 で,か

つ ヤ コ ビ 行 列 式 が 

,q2)で

数qi=φi(q1,q2)が

な わ ち,

る 座 標 系 ではq

表 さ れ る(図1.2.1).以

連 続 で必 要 なだけ 微 分可能 で あ る とす る.

  さて 一 般 に 力 学 に お け る ほ とん どの 物 理 量 は座 標 と速 度 や 加 速 度 の 関 数 で あ り,物

理 法 則 は そ の よ う な 物 理 量 の 関 係 で あ る.し

た が っ て そ の 具 体 的 ・個 別

的 表 現 の た め に は 特 定 の 座 標 系 を 用 い な け れ ば な ら な い.し 意 味 そ の も の は,使

か し法 則 の 物 理 的

用 す る 座 標 系 に よ っ て 変 化 し て は な ら な い.そ

座 標 変 換 に さ い し て 法 則 の 形 が 変 わ っ て は い け な い,い

の ためには

いか え れ ば 法 則 を表す

等 式 の 両 辺 や 各 項 は,座 標 変 換 の さ い に 同 じ よ うに 変 換 され な け れ ば な ら な い.こ の こ とは あ る関 係 が 物 理 法 則 で あ る ため に満 た され な け れ ば な ら な い大 前提 で あ り,こ の 要 請 を物 理 法 則 の共 変 性(covariance)と

い う.

  こ の 共 変 性 を数 学 的 に よ り明 確 に 表 す ため に,座 標 変 換 に と も な う各 種 の 物 理 量 の 変 換 性 を調 べ よ う.   た とえ ば 曲 面 が あ る陸 地 を表 して い る と し,陸 上 の 各 点 で 温度 や 電 位 が 決 ま る とい う物 理 法 則 が 意 味 を もつ た め に は,温 度 分 布 や 電 位 分 布 を表 す 関 数 は ど の座 標 系 を用 い て も同 一 の 地 点 で 同 一 の値 を と らな け れ ば な ら な い.す

なわち

(1.3.1) と変 換 され な け れ ば な らな い.こ のf(q)の な い 量 を 曲 面 上 の ス カ ラ ー(scalar)と

よ うに 座 標 変 換 に よ り値 の変 わ ら

い う.

  つ ぎに 曲 面 上 の 曲 線 に そ っ た質 点 の速 度 を考 え る.速 度 が 物 理 的 に 意 味 を も つ ため に は 曲 面N上 り と して,3次

だ け で定 義 で き る もの で な け れ ば な ら な い.そ

元 空 間R3で

の手 がか

の速度

(1.3.2) を 考 え る.こ (q1,q2)に

の υ(r)は 確 か に 曲 面 に 垂 直 な 成 分 を も た ず,曲

お け る 接 平 面(TN)Q上

ベ ク トルrがR3の

の ベ ク トル で あ る(図1.3.1).そ

ベ ク トル で あ る とい う こ と を忘 れ て,ベ

図1.3.1 

面 上 の 点Q= こ で,位

ク トル の 組

曲面 の 接 平 面 とそ の 基 底

置

(1.3.3) を接 平 面(TN)Qの

一 組 の 基 底 ベ ク トル を表 す 単 な る記 号 と見 る.そ

うす れ ば

(1.3.4) は 点Qで

の 速 度 υQの その 基 底 に 関 す る成 分 と解 釈 で き る.

  こ の と き座 標 変 換 

に た い し て こ の 基 底 と成 分 は,

そ れ ぞれ

(1.3.5) (1.3.6) の よ うに 変 換 され る と して よ い.そ

うす れ ば 速 度 そ の もの は

(1.3.7) の よ う に 表 さ れ,使

用 す る 座 標 系 に よ ら な い 意 味 を もつ.こ

こで

(1.3.8) で あ る こ と を 使 っ た.   そ こ で,座 (1.3.6)と

標 変 換 

に た い し て,速

度 成 分 の変 換則

同 一 の変 換 則

(1.3.9) に し た が う 成 分 か ら な る 一 組 の 量(A1,A2)を vector),Aiを

そ の 成 分 と い う.た

反 変 ベ ク トル(contravariant

とえば 座 標 成 分 の微 分 は

(1.3.10) の よ うに変 換 され るか ら,(dq1,dq2)は

反 変 ベ ク トル で あ る.

  この よ うに して 定 義 さ れ るベ ク トル は 通 常 のユ ー ク リッ ド空 間 で 導 入 され る 起 点 と先 端 を結 ぶ 矢 線 ベ ク トル の よ うな 空 間 の2点 で 決 ま る対 象 と異 な り,曲 面 の 各 点 ご とに 決 ま る対 象 で あ る.そ

して 曲 面 の 同一 の 点 で の反 変 ベ ク トルの

和 や ス カ ラー 倍 は 反 変 ベ ク トル で あ り,し たが っ て 曲 面 上 の 各 点 で の 接 平 面 の

そ れ ぞ れ が ベ ク トル 空 間 に な って い る(以 下 で は,上 は,と

くに 断 りが な い か ぎ り 「点Qに

字Qを

省 略 す る).

に述 べ た よ う な 変 換 則

お け る変 換 則 」 を表 す も の と して,添

  次 に 距 離(曲 線 上 の 線 素 の長 さ)は 座 標 変 換 で変 わ らな い量 で あ るか ら (1.3.11) を満 た す.し

た が って 第1基 本 量 の 変 換 則 は

(1.3.12) で な け れ ば な ら な い.当 な わ ちgij=ei・ejか   そ こ で,任

然 の こ と な が ら,こ

れ は 前 節 で の 定 義(1.2.4a)す

ら導 か れ る変 換 則 と一 致 し て い る.

意 の 反 変 ベ ク トル(B1,B2)に

た い して (1.3.13)

で 定 義 さ れ る 一 組 の 量 を 考 え る.こ

の量 の成分の変換 則は

(1.3.14) (1.3.15) で 与 え ら れ る(関

係(1.3.8)を

使 う).そ

こ で 成 分 が これ と同 様 の変 換 則 に し

た が う一 組 の 量 を 曲 面 上 の 共 変 ベ ク トル(covariant ば ス カ ラ ー 関 数f(q)=f(q)の

の よ り に 変 換 さ れ る の で,共

勾 配 

vector)と は,そ

い う.た

とえ

の成分 が

変 ベ ク トル で あ る*1.

  そ して一 般 に (1.3.16) はgijの

定 義 か ら わ か る よ う に 座 標 変 換 に よ り 値 を 変 え な い ス カ ラ ー で あ り,

こ れ を ベ ク ト ルA=AieiとB=Bieiと A・Bで

表 す.ま

た 

の 内 積(inner を ベ ク トルAの

product)と 長 さ,さ

い い,

らに

*1  ここ で 慧 眼で 注 意深 い読 者 は ,そ れ で は 「 共 変 ベ ク トル の 基 底 は何 か?」 な い し 「 共変 ベ ク トル の張 る空 間 は何 か?」 と問 わ れ るか も しれ な い.そ れ は重 要 な問 い だ が,そ の 点 に 関 して は後 節(§1.5.2)で 説明 す る.こ こ では共 変ベ ク トル につ いて は,そ の変 換 則 に だ け に 注 目 して も らい たい.

(1.3.17) で 決 ま る 角 度 θ をベ ク トルAとBの

な す 角 度 と い う.ベ

ク トル の 長 さ も角 度

も ス カ ラ ー で あ る.   さ て,前

節 で 座 標 系(q1,q2)に

(つ ま りgijgjk=δik)を

お い て,行

導 入 し た.そ

列(gij)の

の 変 換 則 は,定

逆 行 列 の 要 素 と し てgij 義(1.2.4b)か

ら簡 単 に

見 て とれ る よ うに

(1.3.18) で な け れ ば な ら な い.こ の とき変 換 され た座 標 系 に お い て も

(1.3.19) と な り,行

列(gij)は

や は り行 列(gij)の

  共 変 ベ ク トル(B1,B2)か

ら こ のgijを

逆 行 列 に な っ て い る. 用 い て 作 ら れ る量 (1.3.20)

は,そ

の 変 換 則 か ら わ か る よ う に 反 変 ベ ク トル で あ る.

  こ の よ う に 反 変 ベ ク トル と共 変 ベ ク トル を 添 字 の 上 付 き ・下 付 き で 区 別 し て い る.そ

し て 第1基

座 標(q1,q2)そ

本 量{gmn}お

れ 自 身 は,反

よ び{gij}は

添 字 の 上 げ 下 げ の 機 能 を もつ .

変 ・共 変 の ど ち ら の 変 換 則 に も し た が わ ず,ベ

トル で は な い.し

か し そ の 微 分(dq1,dq2)が

で あ る か ら,qの

成 分 の 添 字 を 上 付 き で 記 し て い る の で あ る.

ク

す で に 見 た よ うに 反 変 ベ ク トル

  1.3.2  曲 面 上 の テ ン ソル   こ こ で もい ち い ち断 ら な い が,曲 面 上 の 点Qで トル を考 え る.そ

の 反 変 ベ ク トル と共 変 ベ ク

して これ らの 反 変 お よ び共 変 ベ ク トル成 分 の 積 と同一 の 変 換

則 に し た が う もの の組,す

な わ ち 変 換 

に と も な っ て,そ の 成分 が

(1.3.21) の よ う に 変 換 さ れ る も の の 組T={Tij…kl…}をp階 (tensor)と

い う.ス

カ ラ ー は0階

テ ン ソ ル,ベ

反 変q階 ク トル は1階

共 変 テ ン ソル テ ン ソ ル で あ る.

と く に 上 に 見 た(gij)は2階

共 変 テ ン ソ ル,(gij)は2階

こ れ ら は 計 量 テ ン ソ ル(metric う に,(δij)は1階 1.5.2参

照,こ

反 変1階

tensor)と

反 変 テ ン ソ ル で あ り,

呼 ば れ る.ま

共 変 テ ン ソ ル(簡

た 直 接 確 か め られ る よ

単 に 混 合 テ ン ソ ル)で

こ で は ま だ 共 変 ベ ク トル に つ い て は,そ

は 語 っ て い な い の で,テ

あ る(例

の 属 す る 空 間 につ い て

ン ソ ル も そ の 変 換 則 だ け で 定 義 さ れ て い る).

  こ の よ う に テ ン ソ ル 成 分 は 上 付 き や 下 付 き の 添 字 を もつ が,添 だ か ら と い っ て テ ン ソ ル 成 分 と は 限 ら な い.た る 偏 導 関 数 は テ ン ソ ル 成 分 で は な い.変

字 が付 い た 量

と え ば ベ ク トル 成 分 のqiに

換 則(1.3.6)を

よ

微 分す れば

と な る か ら で あ る.   ま た ク リ ス トッ フ ェ ル 記 号 も テ ン ソ ル 成 分 で は な い.そ 倒 だ が 次 の よ う に す れ ば 求 ま る.共 式(ダ

ミー 添 字ijlmをjkmnで

さ らに この 式 でmnlを

の 変 換 則 は,少

変 計 量 テ ン ソ ル の 変 換 則(1.3.12)の

置 き か え た も の)をqlで

し面 第2

微 分 して

循 環 的 に 回せ ば 

を書 き下 す こ とが

で き る.こ

う して 得 ら れ た 後 の2式

の和 か ら先 の 式 を引 き,2で

と な り,こ

う して ク リス トッフ ェル 記 号 の変 換 則

割 れば

(1.3.22) あ る い は,両

辺 にgpl=gab(∂aqp)(∂bql)を

か け てlで

和 を と り

(1.3.23) が得 られ る.こ れ らは テ ン ソ ル 成 分 の 変 換 則 で は な い.   以上 が 曲 面 上 で の テ ン ソ ル の定 義 と説 明 で あ る.   同 じ形 の テ ン ソ ル の 和 や 差 を そ の 成 分 の 和 や 差 で 定 義 す る.そ た もの は,明

らか に 同 じ形 の テ ン ソル で あ る.そ

う して得 られ

して こ の よ うに 座 標 変 換 に さ

い して 決 まっ た 変 換 則 に した が っ て 変 換 され る量 は,曲 面 上 で定 義 可 能 な 量, 使 用 す る座 標 系 に よ ら な い意 味 を もつ 量 で あ り,こ の よ うな 量 を幾 何 学 的対 象 (geometrical

objects)と

い う.そ れ に た い し て,た

と え ばq1q2と

かq1+q2

の よ う な量 は ス カ ラー で もベ ク トル で もテ ン ソル で もな く,特 定 の 座 標 系 で し か 意 味 を もた な い 量 で あ り,そ れ ゆ え幾 何 学 的 対 象 で は な い.   とす る な らば,物 理 法 則 は使 用 して い る座 標 系 に よ らず 同 じ形 で表 現 され な け れ ば な らな い とい う共 変 性 の 要 請 は,物 理 量 は幾 何 学 的 対 象 で あ り,物 理 法 則 は それ らの 幾 何 学 的 対 象 の あ い だ の 関 係 で あ り,そ れ ゆ え 同型 の テ ン ソル 量 の あ い だ の 関 係 を与 え る もの で なけ れ ば な ら な い とい い 直 す こ とが で き る.実 際,物 理 法 則 に お け る等 号 は 同 型 の テ ン ソル の あ い だ に しか 成 り立 た な い.   と くに 重 要 な こ とは,曲 面 上 で定 義 され た テ ン ソル の 変 換 係 数 に現 れ る

や な ど はす べ て 座 標 の 関数 で あ るか ら,曲 面 上 の 異 な る点 のベ ク トル や テ ン ソル は 異 な る変 換 則 に支 配 され て い る とい う こ とで あ る.そ の た め,ス 別 と して,異

カ ラー 量 は

な る点 のベ ク トルや テ ン ソ ル を足 し た り引 い た りす る こ とは意 味

が な い.こ れ が 通 常 の ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け るベ ク トルや テ ン ソル との決 定 的 な違 い で あ る.

  1.3.3  接 続 と平 行 移 動   以上 の 議 論 をふ ま えて,曲 面 上 の 曲 線 に そ っ た加 速 度 を考 え る.   速 度 に つ い て は,3次

元 空 間 で の 速 度 υ=r=qiei(1.3.2),(1.3.4)が

曲

面 に垂 直 な成 分 を も た な いか ら,そ れ をそ の ま ま2次 元 曲 面 上 での 速 度 と して 定 義 す る こ とが で き た.   他 方,曲 面 上 だ け で 考 え る と きに は,加 速 度 を単 純 に 速 度 υの 変 化 率

(1.3.24) で 定 義 す る こ とは で き な い.と い うの も 

と 

は 異 な る点 で

のベ ク トル(曲 面 上 の 異 な る点 に 生 え て い るベ ク トル)で あ り,上 に 述 べ た よ うに 引 き算 が 意 味 を もた な い か らで あ る.ス カ ラー 関 数 の 偏 導 関数 がベ ク トル

の 成 分 に な る の に,ベ

ク トル 成 分 の 偏 導 関 数 が テ ン ソル 成 分 を与 え な い の は,

この た め で あ る(こ の よ うに,こ

こで は ベ ク トル が 曲 面 上 の どの 点 で の 接 空 間

の ベ ク トル か が 重 要 に な るの で,煩 わ し い け れ ど もベ ク トル が生 え て い る点 を 添 字 で 明 記 す る).   そ こ で 加 速 度 を定 義 す る た め に,座 表 さ れ る点Q'で

標 が 

の 速 度 ベ ク トル 

座 標 がq=(q1,q2)の

点Qに

で を,ひ

平 行 移 動(parallel

と ま ず何 らか の 手 段 で

displacement)し

た ベ ク トル

 を作 り,そ れ と υ(q(t))Qの 差 を考 え る.通 常 の ユ ー ク リッ ド空 間 で は,空 間 は 均 質 で あ るか ら,平 行 移 動 は単 にベ ク トル の 始 点 を移 す だ け で よ く,ベ ク トル の 成 分 は変 わ ら な い と して よか っ た.し か しそ の よ うな 単 純 な 平 行 移 動 を 曲 面N上

で見 れ ば,各

点 ご とに 基 底 ベ ク トル が 異 な る か ら,移 動

す れ ば 一 般 に 成 分 も変 化 す るで あ ろ う.そ の 上,そ

の よ うに 単 純 に移 さ れ た ベ

ク トル は,一 般 に は 曲面 の外 に 突 き出 て し ま う(曲 面 に 垂 直 な成 分 を もつ)の で,曲 面 上 だ け で考 察 す る立 場 で は は な は だ 都 合 が悪 い.   そ の た め,Q'点

で の任 意 の 接 ベ ク トル

を 無 限 小 区 間 離 れ たQ点 の1次

まで 

だ け 平 行 移 動 す れ ば,Δq

ま で とっ た とき そ の成 分 が

(1.3.25) の よ う に 変 化 す る と考 え る(多 に 点Q=qか

らQ'=q+Δqの

く の テ キ ス ト で は,「 平 行 移 動 」 を 本 書 と は 逆 向 き に 定 義 し て い る.そ

の と き に は 係 数Xijkの

符 号 が 逆 に な る こ と に 注 意).   一 般 に,曲

面 上 の2点QとQ'の

そ し てQとQ'が

十 分 接 近 し て い る と き,一

の ベ ク トル の 対 応 づ け(写 び つ け る から で あ る.と の 成 分(w1,w2)に fine

connection)と

と い う.

そ れ ぞ れ の 接 平 面 は,異

像)を

方 の 空 間 の ベ ク トル と他 方 の 空 間

接 続(connection)と

い う.異

く に 上 記 の 平 行 移 動 に よ る 写 像 

つ い て 線 形 変 換 で あ る か ら,こ 呼 び,Xijkを

な る 空 間 で あ る.

な る空 間 を結 は,w

の 接 続 を ア フ ィ ン 接 続(af

そ の 接 続 係 数(coefficients

of connection)

 上 の

「平 行 移 動 」 に よ っ て 得 ら れ た 

が 確 か に 接 平 面(TN)Qで

の ベ ク トル で あ る た め に は,(1.3.25)の

右 辺 の 成 分 がwi(q)と

の 反 変 ベ ク トル 成 分 の 変 換 則(1.3.9)に

し た が わ ね ば な ら な い.そ

は も ち ろ ん,第2式

の[ 

同 様 にQ点

の ため に

]の か か る 項 が そ の 条 件 を満 た せ ば よ い.す

とな れ ば よ い.こ れ よ りその ため の 必要 十 分 条 件 と して,接

で

なわち

続 係 数 の 次 の変 換

則 が 得 られ る:

(1.3.26) こ れ が ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号 の 変 換 則(1.3.23)と さ れ た い.こ

れ よ り

が 得 ら れ る.こ

の 式 は,Xpjk-Xpkjが

混 合 テ ン ソル の 成 分 で あ る こ と を示 し

て い る.し

た が っ て あ る 座 標 系 でXpjk-Xpkjが

で も0,つ

ま り あ る 座 標 系 でXpjkがjkに

移 っ て も や は り対 称 で あ る.そ   実 際 に は,こ さ らに

同 じ もの で あ る こ と に注 意

こ で,以

す べ て0な

ら ば,ど

関 し て 対 称 で あ れ ば,ど 下 で はXpjk=Xpkjと

の座標 系 の座 標 系 に

仮 定 す る*2.

れ だ け で は 「平 行 移 動 」 の 仕 方 は 一 義 的 に 決 ま ら な い.そ

こで

「平 行 移 動 」 に よ りベ ク トル の 長 さ が 不 変 に 保 た れ る と い う条 件

(1.3.27) *2  こ の 仮 定 の 意 味 に つ い て は な ど を参 照 の こ と.

,た

とえば 内 山龍 雄

『一 般 相 対 性 理 論 』(裳 華 房 1978)

p. 71

を 課 す.こ

の 式 でΔqの1次

ま で と っ てΔqkの

い 項 を落 とせ ば(wiな

ど は す べ て 点Qで

こ こ でgljXlki=Xjkiと

書 き直 し,さ

係 数 を 比 べ る と,両

辺 で等 し

の 値 で あ る と し て)

ら にijkを

循 環 させ た 式 を書 くと

(a) (b) (c) と な り,上

の 仮 定 よ りXpjk=Xpkjで

して(b)+(c)-(a)を

作 れ ば,接

あ る か らXpjk=Xpkjと

な るこ とに注 意

続係数

(1.3.28) (1.3.29) が 得 られ る.こ

れ は ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号 で あ る か ら,確

す べ き 変 換 則(1.3.26)を (Levi-Civita

満 足 し て い る.そ

connection)な

か に接 続 係 数 が満 た

し て こ の 接 続 を レ ビ-チ ビ タ 接 続

い し リ ー マ ン 接 続(Riemann

connection)と

い

う.

 1.3.4 

共 変 微 分 と加 速 度

  こ う し て 定 義 さ れ た 平 行 移 動 を 用 い れ ば,ベ

ク トルw=wieiの

点Qで

の微

小 変化 は

(1.3.30) と な り,こ

の

(1.3.31) はベ ク トル 成 分 の 共 変 的 な微 分 量 で あ り,そ の 微 分 係 数

(1.3.32) を 共 変 微 分(covariant

derivative)と

い う.す

で に 述 べ た よ うに 反 変 ベ ク ト

ル 成 分 の 単 な る 導 関 数 ∂jwiは テ ン ソ ル 成 分 で は な い け れ ど も,共 ン ソ ル 成 分 で あ る.

変微分 は テ

  こ れ を 用 い れ ば,Q点 度 を υ=(q1,q2)と

で の 軌 道 経 路 に そ っ た 接 ベ ク トルwの

変 化 率 は,速

して

(1.3.33) で 定 義 さ れ る.こ れ をベ ク トルwの

υに よ る 共 変 微 分 と い う(∇ υwの よ うな

書 き方 もす る).   と くに 

と

す る こ とに よ り,曲 面 上 で の加 速 度 は

(1.3.34) と 表 さ れ る.こ

れ は,前

く らべ る な ら ば,3次 き,曲

節 で 求 め たR3空

間 で の 加 速 度 の 表 式(1.2.14)と

元 加 速 度 ベ ク ト ル の う ち,曲

面 に垂 直 な 成 分 を 取 り除

面 に 接 す る 成 分 だ け を 残 し た も の に 他 な ら な い.し

ク トル の レ ビ-チ ビ タ 接 続 に よ る 平 行 移 動 と は,い

見

た が っ て 曲面 上 の ベ

わ ばR3内

で そ の ま ま平 行

移 動 し た ベ ク ト ル の 曲 面 に 垂 直 な 成 分 を 切 り 捨 て た も の と い え る(図 1.3.2).   そ し て 運 動 方 程 式 の 曲 面 に 接 す る 成 分(1.2.16a)は,簡

単 に

(1.3.35) とな り,と

くに 曲面 上 の 自由 運 動 は

図1.3.2 

ベ ク トルの 平 行 移 動

(1.3.36) で 表 さ れ る.も

ち ろ ん 成 分 で 表 せ ば,(1.3.35)は(1.1.26)に

  こ う し て 方 程 式(1.2.16a)お

一 致 す る.

よ び(1.1.26),(1.1.31)な

どが 座 標 変 換 に

よ ら な い 共 変 性 を もつ こ と が 示 さ れ た.   な お,パ

ラ メ ー タ を経 路 長sに

とれ ば

(1.3.37) と し て,測

地 線 の 方 程 式(1.2.37)は

(1.3.38) と表 さ れ る.し

た が っ て,あ

る 曲 線 が 測 地 線 で あ れ ば,あ

そ の 曲 線 に そ っ て 平 行 移 動 させ る と,移

る 点 の 接 ベ ク トル を

動 し た 先 の 点 で の 接 ベ ク トル に な る こ

と が わ か る.   次 節 で は,以

上 の2次

元 曲 面 上 で の 運 動 に つ い て の 議 論 を,一

般 の 多様 体 上

の 運 動 の 記 述 へ と広 げ て ゆ くた め の 数 学 的 道 具 立 て に つ い て 述 べ る.   例1.3.1    R3内

球 面 上 の ベ ク トル の 平 行 移 動 と接 続

部 の2次

元 曲 面 と して,(1.2.2)で

表 さ れ る 球 面 を考 え る.点Q(θ,φ)で

の

接 ベ ク トル と し て

を と る.eθ は子 午 線 に そ っ た θが 増 す 向 きの ベ ク トル,eφ 増 す 向 き の ベ ク トル で,両

者 は 直 交 し て い る.そ

は 等 緯 度 線 に そ っ た φが

し て こ れ ら は と も に,球

図1.3.3

面 に垂 直

な ベ ク トル

に 直 交 して い る(図1.3.3).Qで

の 接 平 面(TN)Q上

の 任 意 の ベ ク トル は,eθ,eφ の1

次 結 合 で 表 さ れ る(eθ,eφ は 単 位 ベ ク トル で は な い).   Qか

ら無 限 小 離 れ た 点 

で の こ れ ら の 接 ベ ク トル は,Δ θ,Δφ の

2次 以 上 を無 視 して

こ れ らは と も に,Qで

の 接 平 面(TN)Qに

直 交 す るerに

外 に 突 き 出 て い る.し

た が っ て,点Q'で

の 接 ベ ク トル

をQ点

比 例 し た 項 を 含 み,(TN)Qの

に 接 続 す るた め に は,eθ',eφ'の そ れ ぞ れ か らQ点

の 接 平 面 と直 交 す る部 分 を

取 り除 い た

で も っ てeθ',eφ'を

置 き か え て,平

とす れ ば よ い(wiはQ点 (1.3.25)式

行 移 動 し た ベ ク トル を

で の 値,i,jの2重

で 定 め られ た 接 続 係 数 は,こ

添 字 は θ,φで 和 を と る).す

の場 合

他 は0 と な る.こ

れ ら を(1.2.40b)と

が 直 接 に 示 さ れ る.

見 くらべ て

な わ ち,

1.4  多 様 体 と ベ ク トル 場

 1.4.1  微 分 可 能 多様 体   前 節 で論 じた 曲 面 概 念 の 自 然 な拡 張 と し て微 分 可 能 多 様 体(differentiable manifold)を

定 義す る.力 学 を 多次 元 の 配位 空 間や 相 空 間 に お け る点 の 運 動 と

して論 じる た め に は,こ の 拡 張 は不 可 欠 で あ る.   言 葉 の 説 明 は 後 ま わ しに して,は

じめ にm次

与 え る.Mは

次 の2条

  (ⅰ)  Mは

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で,そ

リッ ド空 間Rmの

元 微 分 可 能 多様 体Mの

定義 を

件 を満 た す 点 の 集 合 で あ る:

開 集 合Vへ

(U,φ)を 座 標 近 傍,U上

の 各 点 の 開 近 傍Uか

の 同 相 写 像 φ:U→Vが

らm次

元ユー ク

あ る.こ

こ で組

の 点QとV⊂Rmの

座 標 との φ に よ る対 応 づ け

 を局 所 座 標 系,V⊂Rmで

の 座 標(q1,q2,…,qm)を

局 所 座 標 とい う.   (ⅱ)  二 つ の 座 標 近 傍(Uα,φ α)と(Uβ,φβ)が重 な りあ う と こ ろ で は,そ 中 の点 

で表 さ れ るが,そ

は二 通 りの 座 標 系

の さ い 写像 

で 与 え られ る座 標 変 換

(1.4.1a) を φ 

と表 し た と き(図1.4.1),

図1.4.1 

多様 体 と 局所座標

の

関数

(1.4.1b) が 何 回 で も微 分 可 能 で あ る.   説 明 を少 し加 え て お こ う.点Qの ハ ウ ス ドル フ空 間(Hausdorff の2個

開 近 傍 とはQを

space)と

含 む 開 集合 の こ とで あ り,

は,位 相 空 間 で あ っ て そ の 上 の 任 意

の異 な る点 を そ れ ぞ れ 共 通 部 分 を もた な い別 々 の 開 近 傍 に属 させ る こ と

が で き る もの を い う.実 際 に は 力 学 で 扱 う空 間(配 位 空 間,状

態 空 間,相 空 間

な ど)は す べ て こ の条 件 を満 た して い るか ら,あ ま り気 に しな くて よい.   写像 φ:U→Vが

同 相 写 像(homeomorphism)と

は,φ が 全 単 射 で,さ

らに φお よ び逆 写像 φ-1が連 続 の 場 合 をい う*1.   そ の 場 合 は,Rmの

開 集 合V上

の 座 標 を φ-1でM上

り,座 標 系(q1,q2,…,qm)がU⊂M上 と もで き る.つ よ る像 がUに の 点Qを

に 引 き戻 す こ とに よ

に じ か に 書 き込 まれ て い る と考 え る こ

ま りqi=const.(i=1,2,…,m)と

い うRmの

平 面 族 の φ-1に

曲面 族 の メ ッ シ ュ と して じか に 書 き込 ま れ て い る と考 え,U上

そ のm枚

の 曲面 の 交 点 と見 な し簡 単 に(q1,q2,…,qm)で

表 し て もか

まわ な い.   条 件(ⅱ)は,異

な る座 標 近 傍 が 重 な っ て い る と こ ろ で は,そ

換 が 滑 らか に な る こ と を要 求 して い る.条 件(ⅱ)で 可 能 で あ る こ と を要 求 し て い るが,一 と もで き る.そ の 場 合 に は,そ と呼 ぶ.本

書 で はrが

般 に はr回

の間の座 標変

関 数 φkが 何 回 で も微 分

微 分 可 能 だ け を要 求 す る こ

れ で 定 義 され る 多様 体 をr回

微分 可 能 多様 体

無 限 大 の 場 合 の み を考 え る の で,以 下 で は 単 に 多様 体

な い し微 分 可 能 多様 体 とい う言葉 で,無 限 回微分 可 能 多様 体 を意 味 す る.   結 局m次

元 微 分 可 能 多様 体 とは,何 枚 もの ス ムー ズ に 重 な る近 傍 で 覆 わ れ,

ど の 点 で も そ の 点 の ま わ りに局 所 座 標 系(q1,q2,…,qm)が

書 き込 め,し

たが っ

て 局 所 的 に は ユ ー ク リッ ド空 間 の よ うに 扱 う こ とが で き る空 間(連 続 的 な 点 の 集 合)の

こ とで あ る.

*1  写 像 φ が 全 単 射(bijection)と も い い,Uの

す べ て の 点 がVの

は

,上 へ の1対1写 像(one-to-one, onto mapping)と す べ て の 点 と1対1に 対 応 す る こ と で あ る.し た が っ て

φ に は 逆 写 像 φ-1が 考 え ら れ る.な

お,上

へ の 写 像 を 全 射,1対1写

像 を 単 射 と い う.

 1.4.2  多様 体 上 の 関 数 と曲 線   多様 体Mの

あ る部 分 に 何 枚 もの 近 傍 が 重 な り,し た が っ て そ の上 の 点 が 何

通 り もの座 標 で表 され る とき,前 節 の 曲 面 論 の場 合 と同様 に,そ れ らの す べ て の座 標 系 に 共 通 した 性 質 だ け を 多 様 体Mの 次 元 が そ う で あ る(Mの

次 元 をdim Mで

性 質 とい う.た と え ば,多 様 体 の 表 す).ま

た そ れ らの 座 標 系 の あ い だ

の 座 標 変 換 に よ っ て変 わ ら な い対 象 だ け が 幾 何 学 的 対 象 で あ る.   面 倒 な 議 論 を して い る よ うだ が,こ

うす る こ と に よ っ て は じめ て,解 析 力 学

で 導 入 され る状 態 空 間 や 相 空 間 の よ う な直 接 に は 実 空 間 に結 び つ か な い抽 象 的 空 間 上 の 幾 何 学 的 対 象(た 空 間Rmに ば,こ

とえば 曲 線 や 関 数 や ベ ク トル な ど)を ユ ー ク リ ッ ド

ひ き移 し て解 析 的 に 扱 え る よ う に な る の で あ る.さ

らに い う な ら

うす る こ とで,力 学 法 則 は 使 用 す る座 標 系 に よ らな い 意 味 を も た ね ば な

ら な い とい う共 変 性の 要 請 を,直 接 的 に 表 現 し検 証 す る こ とが 可 能 とな る.  多様 体M(dim

M=m)か

ら 多様 体N(dim

N=n)へ

の写 像

(1.4.2a) を 考 え る(図1.4.2).(Ua,φa),(Uβ',ψ Φが

「滑 ら か 」 と か

β)は そ れ ぞ れ の 座 標 近 傍 で あ る.写

「微 分 可 能 」 と い う の は,そ

像

の局所座標 表示

(1.4.2b) が

「滑 ら か 」 と か

「微 分 可 能 」 の こ と を い う.ま

Φ-1が 微 分 可 能 の と き,Φ

た Φが全 単射 で Φ お よび

を 微 分 同 相 写 像(diffeomorphism)と

い う.以

図1.4.2  多 様 体 間 の写 像 と そ の 座 標 表示

下

で は写 像 につ い て 必 要 な だ け の微 分 可 能 性 は仮 定 し,そ の こ と をい ち い ち断 ら な い.   と くにNが1次 と き,Φ

をfと

元 空 間R(以

下R1をRと

記 す)で

ψ=id.(恒 等 写 像)の

記 して,写 像

(1.4.3) をM上

の 関 数(function)と

い う(図1.4.3).M上

つ ず つ 対 応 づ け る 写 像 の こ と で あ り,そ

の す べ て の 点 に 実 数 を一

の連 続 性 や 微 分 可 能 性 は局 所 座 標 表 示

 に つ い て い う.

図1.4.3 

 な お 関数fの

多様 体 上 の関数

局 所 座 標 表 示 は,数 学 的 に律 義 に 書 け ばQ∈Uに

た い して

(1.4.4a) とす べ きで あ ろ うが,φ (q1,q2,…,qm)が

が 同 相 写 像 な らば,先 述 の よ うにU上

に局所 座標 系

じか に 書 き込 ま れ て い る と して よい か ら,簡 単 に

(1.4.4b) と記 して もか ま わ な い.と い う よ り,物 理 学 で は む しろ これ が 普 通 で あ る.  逆 に,Mが1次

元 空 間RでUが

そ の 開 区 間 

.の と き

(1.4.5) をN上

の 曲 線(curve)と

い う(こ

の 場 合 Φ をcで

記 し た).日

常 用 語 で は

「曲 線 」 と は,写

像 の 結 果 得 ら れ る 点 の 連 な り な い し 動 点 の 軌 跡 を 指 す が,数

学用語 としての

「曲 線 」 は 写 像 そ の も の を指 し て い る.し

ら な く て も よ く,曲 とが あ る.そ

か しそ れ ほ ど こ だ わ

線 と し て 動 点 の 軌 跡 を イ メ ー ジ し た ほ うが わ か りや す い こ

し て(1.4.5)を

簡単 に

「曲 線c(t)」

と表 記 す る こ と も 多 い.

 1.4.3  方 向 微 分 と微 分 作 用 素  次 に 多様 体 上 で の 速 度 ベ ク トル と接 空 間 を定 義 す るた め に,方 向 微 分 の概 念 を導 入 す る.前 節 ま で の 曲 面 論 で は,曲 面 の 接 平 面 は 曲 面 上 の 曲 線 に そ っ た動 点 の 速 度 ベ ク トル の 張 る空 間 と して 与 え られ た.こ こ で も 同様 にM上

の曲線

(1.4.6) と そ の上 の 動 点 の 速 度 を手 が か りに す る.I=(-a,a)はR(t軸)上

の区 間で

あ る.   こ こ で局 所 座 標 系 に よ ら な い 形 で 速 度 を導 入 す る た め の 巧 妙 な 手 段 と して, この 曲 線 とM上

の関数

(1.4.7) の合成写像

(1.4.8) を考 え る(図1.4.4).こ

れ は1変 数tの

単 な る実 数 値 関 数 で あ るか ら,そ の

導 関 数 は解 析 学 で定 義 済 み で あ り,し か もMの

座 標 系 に よ らな い.そ こ で対 応

(1.4.9a) を,関

数fの

点Q=c(τ)(た

向 微 分(directional

だ し-a<τ<+a)に

derivative)と

い い,次

お け る 曲 線cに の よ う に 表 す:

or 

 こ の υQ≡dc/dt｜t=τ(あ

そ った方

る い は 簡 単 にc(τ)と

(1.4.9b)

も 記 す)はQ点

図1.4.4 

で 関 数fに

多様 体 上 の 曲線 と 曲線上の関数

作

用 す る微 分 作 用 素*2で あ り,次

の 性 質 を もつ:

  (ⅰ)  点Qの

十 分 小 さ い 近 傍 でf=gな

  (ⅱ)  a,bを

実 定 数 と して 

ら 

, ,

  (ⅲ)   (性 質(ⅲ)は

ラ イ プ ニ ッ ツ の 規 則(Leibniz's

  こ こ ま で は υQはMの 所 座 標 系(U,φ)を

rule)と

い わ れ る.)

局 所 座 標 系 と 無 関 係 に 定 義 さ れ て い る.こ

の υQを 局

用 い て 具 体 的 に 表 し て み よ う.

  写 像 φ:U→Rmに

よ りM上

の 曲 線cの

上 の 点Q=c(τ)は

(1.4.10) に対 応づ け られ る.し た が っ て 曲 線cの

局 所 座 標 表 示 は,丁 寧 に 書 け ば 写像

(1.4.11) で 表 さ れ る.し =q(t)と

か し 問 題 に な る こ と も な い の で,以

記 す .ま

こ の 曲 線cに

た 関 数(1.4.4a)を(1.4.4b)の

そ っ た 関 数fの

下 で は 曲 線 を 簡 単 にc(t) よ う に 表 し た の と 同 様 に,

値 の 局 所 座 標 表 示,す

なわち

(1.4.12a) も,や

は り簡 単 に

(1.4.12b) と記 し て も か ま わ な い.そ

う す れ ば,微

分 作 用 素 υQの 機 能 は

(1.4.13) と 表 さ れ る(iに

 こ こ で 関 数fは

つ い て1∼mの

和 を と る).

任 意 で あ るか ら,m個

の微 分 作 用 素

(1.4.14) を定 義 す る と,も

との微 分 作 用 素 

は

ただし と表 さ れ る.こ れ を点Q=c(τ)で

 (1.4.15)

の 曲 線Cに

そ っ た 方 向 微 分 作 用 素 と い う.

こ の 方 向微 分 作 用 素 は,操 作 的 意 味 を際 立 たせ るた め に は

*2  「微 分 作 用 素 」 は 「微 分 演 算 子 」 と も い う が

,本

書 で は 前 者 で 統 一 す る.

(1.4.16) と 表 す こ と も で き る(こ

の 式 に つ い て 詳 し く は,p.45脚

照).要

側 に く る 関 数 に 作 用 し て,そ

す る に υQは,右

そ っ た 変 化 率 の 点Q=c(τ)で

密 に は,曲

た 像 がRm上

線c(t)に

そ っ て 運 動 す る 点 を 写 像 φ に よ っ てRm上

点 の 速 度 ベ ク ト ル の 成 分 と 見 な す こ と も で き る.力 所 座 標q={qi}を

一 般 化 速 度(generalized

の 関 数 の 曲 線c(t)に

係数

で 動 く速 度 ベ ク トル の 成 分 で あ る が,そ

空 間 の 場 合,局

注9参

の 値 を 与 え る も の で あ る.

  そ し て こ の 微 分 作 用 素(1.4.15)の

は,厳

注5,p.51脚

れ をM上 学 で は,と

に移 し

を動 く も と の く にMが

配位

一 般 化 座 標 と い う の に 対 応 し て,q={qi}を

velocity)と

い う

.

  1.4.4  接 ベ ク トル と接 空 間   こ の よ うに,方 向 微 分 作 用 素 と速 度 ベ ク トル は密 に 関連 して い る.し た が っ て こ の 微 分 作 用 素 を接 空 間 の 定 義 に 用 い る こ とが で き る で あ ろ う と予 想 さ れ る.そ の こ とは先 行 す る2節(§1.2と1.3)の   §12で

は,質

点 の2次 元 運 動 曲 面 を3次 元 空 間 内 の 曲 面 と見 な し,そ の 曲

面 上 を動 く点 の位 置 を,3次 r=r(q(t))と

議 論 と比べ る とわか りや す い.

元 空 間 の位 置 ベ ク トル を用 い て パ ラ メー タ表 示 で

表 した.そ の と き動 点 の 点Q=r(q(τ))に  で 表 さ れ,こ

れ が 曲 面 の 点Qで

曲 面 が 湾 曲 し て い る と υQは曲 面 上 の 点Qか

お け る速 度 ベ ク トル は の 接 ベ ク トル に な っ た.

らそ の 外 に あ る3次 元 空 間 に い わ

ば 「突 き出 て い る」.   次 に §1.3で は,2次

元 曲 面 上 の 点 の 運 動 を,曲 面 上 だ け で,つ

ま り曲 面 に

へ ば りつ い た 生 物 の 立場 で考 察 した.そ の と きは そ の 曲 面 を 内 に含 む とこ ろ の 3次 元 空 間 な る もの は,た て  と を忘 れ,  記 号 と見 な した.そ

とえ 存 在 す るに し て も理 解 で き な い か ら,方 便 と し

を考 え,そ の 上 でrが3次

元 空 間 のベ ク トル で あ る こ

を 接 平 面 の 一 組 の 基 底 ベ ク トル を表 す 単 な る の意 味 で,一 般 に(∂ir)Qの1次

結合

(1.4.17)

が 曲 面 の 点Qで

の 接 ベ ク トル で あ っ た(υiQは(1.3.6)で(υi)Qと

記 した も

の).   本 節 の 議 論 は2次 元 曲 面 を 多次 元 の 多様 体 に 拡 大 し た もの だ が,こ

こでは多

様 体 を超 曲 面 と して 含 む と こ ろ の よ り高 次 元 の 空 間 な る もの は,理 解 で きな い だ け で な く存 在 す る と も限 らな い.し た が っ て 点Qか 出 て い る」 ベ ク トルrの い.そ

よ う な もの を考 え る こ とは,方

便 と して も許 さ れ な

こ で そ れ に代 わ る もの と して,上 の よ うに 多様 体M上

方 向 微 分 作 用 素(1.4.15)を

考 え た の で あ る.と

 か ら存 在 の保 証 され て い な いrを

と 書 い た も の に な っ て い る か ら で あ る*3.こ こ の 式 を ベ ク トル と 見 な す こ と が で き,そ の 点Qに

ら 「多様 体 の 外 に 突 き

お け る 接 空 間,(∂i)Qを

の曲線 に そった

い うの も,そ れ は,上

記の

形 式 的 に 取 り除 き,単 に

の 式 を(1.4.17)と

比 較 す れ ば,

れ ら の ベ ク トル が 張 る 空 間 を 多 様 体

そ の 接 空 間 の 基 底 ベ ク トル,qi(τ)(∂i)Qを

度 ベ ク トル と考 え る こ と は 自 然 で あ ろ う.一

速

般 的 に 書 け ば 以 下 の とお りで あ

る.   局 所 座 標 系 を 用 い る な ら ば,点Qに

お け る 微 分 作 用 素uQ=uiQ(∂i)Qは,任

意 の 関 数 に た い す る作 用

(1.4.18) で 定 義 さ れ る.二

つ の そ の よ う な 微 分 作 用 素 υQ,uQに

た い し て,和

と実 数 倍 を

(1.4.19a) に よ っ て,あ

る い は座 標 系 に よ ら な い形 で

(1.4.19b) と 定 義 す る こ と が で き る.し

た が っ て 点Qに

お け る 微 分 作 用 素 の 集 合 は,こ

の 和 と 実 数 倍 に 関 し て ベ ク ト ル 空 間 を 張 る*4.こ の 点Qに

お け る 接 空 間(tangent

*3  本 書 ではRn上

space)と

の ベ ク トル 空 間 を 多 様 体M

定 義 し て(TM)Qで

表 し,ま

た接

のベ ク トルや ベ ク トル 場 は 太 字(ボ ー ル ドタ イプ)で 表 す が ,一 般 の 多 様体 上 のベ ク トルや ベ ク トル場 に は太 字 を使 わ な い. *4  本 書 で は実 数体 上 のベ ク トル のみ を扱 うの でa∈Rと する .

空 間 の 元 υQをM上

の 点Qに

お け る 接 ベ ク トル と い う*5.こ

接 空 間 は 抽 象 的 な も の で,必

ず し も 点QでMに

接 し,そ

り 出 し て い る 現 実 的 平 面 の よ う な も の で は な い.た め,図

こで定義 され た

こ か らMの

外 に張

だ し わ か りや す くす る た

式 的 に は そ う い う 表 現 もす る.

  明 ら か に(∂i)Qは(TM)Qの

元 で あ り,ま

た す べ て の(TM)Qの

元 は

(1.4.20) の1次

結 合 で 表 さ れ る.し

か も 

際, 

で あ れ ば 

り立 つ の で,点Qに

座 標 のi成

f=q1と

と れ ば 

υi Q=0と

独 立 で あ る.実

が 任 意 の 関 数fに 分 を 対 応 づ け る 関 数(座 と と れ ば υ2Q=0,以

つ い て成

標 関 数)をqiと

書 き,

下 同様 にす れ ば すべ て の

な る か ら で あ る.

  し た が っ て 接 空 間(TM)Qの が そ の 基 底 に な っ て い る.こ

次 元 はmで,予

  さ て 点Q∈Mの

近 傍

想 ど お り(1.4.14),(1.4.20)

れ を 自 然 基 底(natural

(∂i)Qを 基 底 ベ ク トル ら し く(ei)Qと

ぶ.こ

は1次

も 表 す.す

basis)と

い い,以

下 で は

なわ ち

で 局 所 座 標 系(q1,q2,…,qm)と(q1,q2,…,qm)を

選

の と き

の張 る空 間(TM)Qと

の 張 る 空 間(TM)Qは

一 致 し て い る.実

際,座

ラ ー 関 数 の 変 換 

が 任 意 のfに *5  (1 t=τ

.4.16)式

と も な うス カ

に た い して

つ い て 成 立.し

た が っ て す べ て のiに

を 正 確 に い う と, 

で の 接 ベ ク トル,υQはM上

はt軸(R)の の 曲 線cの

は 写 像 φ:M→RmでcをRmに 間 は 異 な る が,物

標 変 換(1.4.1)に

つ いて

区 間Iを1次

点Q=c(τ)で

の 接 ベ ク トル, 

写 像 し て 得 ら れ る 曲 線 の 接 ベ ク トル を 表 し,属

理 で は 記 述 の わ ず ら わ し さ を 避 け る た め,(1.4,16)の

を事 実 上 等 し い と お く場 合 が 多 い.p.

元 多 様 体 と見 た と き の

51の

脚 注9式(c)参

照.

す る空

よ う に こ れ ら3つ

(1.4.21) が 成 り立 つ.つ .こ

ま りす べ て の(ei)Qが(ej)Qの1次 こ でqとqの

て 両 空 間 は 一 致 す る.こ で 決 ま る(用

役 割 を 入 れ か え れ ば  の こ と は,上

に つ い て,詳

  な お(1.4.21)式

は,座

換 則 と も解 釈 で き る.そ

,し

たが っ

に定 義 さ れ た接 空 間 が 多様 体 の構 造 だ け

い る 局 所 座 標 系 に よ ら な い)幾

る((1.4.21)式

結 合 で 表 さ れ る の で 

し く はp.

51脚

何 学 的 対 象 で あ る こ と を示 して い 注9(b)式

標 系 の 変 換(1.4.1)に

参 照).

と も な う接 空 間 の 基 底 の 変

こ で 接 空 間 の ベ ク トルuQ=uiQ(ei)Q自

体 が座 標 系 に

よ ら な い意 味 を もつ ため に は

とな ら な け れ ば いけ な い が,そ の ため に は ベ ク トル の 成 分 の 変 換 則 は

(1.4.22) で な け れ ば な ら な い.こ   し か る に(1.4.1)の

れ は 反 変 ベ ク トル 成 分 の 変 換 則(1.3.9)で

あ る.

座 標 変 換 に た い して

(1.4.23) で あ るか ら,qiQ=qi(τ)は

た しか に反 変 ベ ク トル 成 分 の 変 換 則 を満 た し て お

り,そ の 意 味 に お い て 

を 多 様 体 上 の 点Qに

お け る速 度 ベ ク ト

ル と見 な す こ とが 可 能 な の で あ る.   要 す るに,方

向微 分 作 用 素 

を与 え,し か も そ れ らのベ ク トルが 点Qで

が座 標 系 に よ らな い 速 度 ベ ク トル の 接 空 間(TM)Qを

張 るの で あ る.

  1.4.5  接 バ ン ドル とベ ク トル 場   M上

の す べ て の 点 の 接 空 間 の和 集 合

(1.4.24) つ ま り,M上 gent (点)と

bundle)と

の す べ て の 点 の す べ て の 接 ベ ク トル の 集 合 を 接 バ ン ドル(tan い う.M上

す る 空 間 で,そ

の 各 点Qの

接 空 間(TM)Qの

れ 自体 が 一 個 の 多 様 体 で あ る.そ

接 ベ ク ト ル υQを 元 の 上 の 点 は(Q,υQ)の

組 で 指 定 さ れ,そ

の 成 分 表 示(q1,q2,…,qm,υ1Q,υ2Q,…,υmQ)がTMの

局 所 座 標 を 与 え る.し   さ て,多

様 体Mに

た が っ てTMの

次 元 はdim

た い し て,Mの

各 点Qに

TM=2dim

自然 な Mで

あ る*6.

そ の 点 で の 接 空 間(TM)Qの

ベ

ク トル υQを 一 つ ず つ 対 応 づ け る 写 像

(1.4.25) をM上

の ベ ク トル 場(vector

は,点Qに

おいて

field)と

「値 」 υQを と るM上

  こ う し て ベ ク トル 場 に よ りM上

い う.平

た くい え ば ベ ク トル 場 υ と

の ベ ク トル 値 関 数 で あ る.

に ベ ク トル の 分 布 が 与 え ら れ る.た

時 間 的 に 変 化 し な い 定 常 的 な 水 の 流 れ を 思 い 浮 か べ る と よ い.こ の 分 子 は 各 点 ご と に 決 ま っ た 速 度 を も ち,こ

とえ ば

の 例 で は,水

れ に よ り水 の 入 れ ら れ た3次

元空

間 の な か に ベ ク トル 場 が 形 成 さ れ る の で あ る.   ベ ク トル 場uと

υの和 は

(1.4.26a) ま た実 数 倍 は,任 意 の 実 数aに

た い して

(1.4.26b) で 定 義 され,こ を張 る.さ

れ に よ りM上

ら に ま た,M上

の ベ ク トル 場 の 集 合 は実 数 体 上 の ベ ク トル 空 間

の 任 意 の 実 関 数fに

た い してベ ク トル 場

(1.4.27) を 定 義 す る こ と も で き る.   こ こ でM上

に 座 標 近 傍(U,φ)を

は υQ=υiQ(∂i)Qと 表 さ れ る.そ

と る と,ベ

こ で,標

ク トル 場 υ の 点Q∈Uで

の値

準 ベ ク トル 場

(1.4.28) を 導 入 す る(こ れ をeiと も記 す).こ を 与 え るm個

れ に よ りU上

の 各 点Qに(TM)Qの

基底

の ベ ク トル場 の 組

(1.4.29) が 定 ま る.こ

れ を 基 底 場(base

*6  詳 し く は 次 の よ う に な る

.写

い ま 

field)と

像  をMの

と 表 さ れ る,π-1(U)はU上

い う.

を 定 義 す る. 局 所 座 標 近 傍 と す る と,  の 点 か ら 生 え て い る 接 ベ ク ト ル の 全 体 で あ る.

こ う し て 写 像  定 義 さ れ,(π-1(U),Φ)がTMの

が 自 然 な 座 標 近 傍 と な る.

  この 基 底 場 とU上 え ば,ベ

の 各 点 で υiQの値 を とるU上

ク トル 場 υはU上

の 関 数 υiのm個

の 組 を使

で

(1.4.30) と 表 さ れ る.こ υm)を

の 

を ベ ク トル 場 υ の 局 所 座 標 表 示,ま

た(υ1,υ2,…,

υ の 局 所 座 標 成 分 と い う.

  次 にM上

の 滑 ら か な 関 数fに

た い し て,い

ま ひ とつ の 新 し い 関 数

(1.4.31) を定 義 す る.与 え ら れ たfに

た い し てMの

各 点Qに

け る写 像 で あ る.こ れ を 「ベ ク トル 場 υ を関 数fに と い う.局 所 座 標 表 示 で は υfの 点Qで

方 向微 分 υQ[f]を対 応づ 作 用 させ て得 られ た 関 数 」

の値 が

(1.4.32) で あ るか ら,簡 単 に

(1.4.33) と し て よ い*7.し

た が っ て ま たQの

局 所 座 標 を{q}と

す るとき

(1.4.32)' の よ うな 書 き方 もす る.   ベ ク ト ル 場 υはM→TMと (TM)Qの

元 で あ る.し

い う 写 像 で あ り,他 方,ベ

ク ト ル υQは

た が っ て ベ ク トル は どの 接 空 間 の ベ ク トル で あ る の か

を指 定 しな け れ ば 意 味 を もた な い.そ の た め これ ま でベ ク トル に つ い て は,煩 わ しさ を厭 わず そ の 生 え て い る点 を添 字 で 明示 して きた.し か し上 に 見 た よ う に,操 作 的 に は,ベ

ク トル場 に つ い て の 関係 の 大 部 分 は,そ れ を特 定 の 点 に 限

定 す れ ば その ま まベ ク トル に つ い て の 関係 に 置 きか え られ る.そ の た め と くに 混 同 ・混 乱 の お そ れ が な い 限 り,ベ ク トル に た い して,そ れ が 多様 体 の 特 定 の 点 の接 空 間 で のベ ク トル で あ る とい うこ と を前 提 と して,添 字 に よ る点 の 明示 を省 略 す る こ と も 多 い.   ま た 逆 に,ベ

ク トル 場 の 各 点 で の値(ベ

ク トル)に つ い て 成 り立 つ 関 係 は,

ベ ク トル 場 そ の もの に も成 り立 つ と して よい .し た が っ て座 標 変 換 に と もな う ベ ク トル の 基 底 と成 分 の 変 換 則(1.4.21),(1.422)か

ら添 字Qを

て,基 底 場 とベ ク トル場 成 分 の そ れ ぞ れ の 変 換 則 *7

υf(1

.4.33)とfυ(1.4.27)は

ま っ た く別 の も の で あ る.注

意!

取 り除 い

(1.4.34) が 得 ら れ る.

  1.4.6  積 分 曲線 と1径 数 変 換 群   多 様 体M上

に ベ ク トル 場wが

与 え ら れ て い る とす る.M上

の あ る点か ら

出発 し,各 点 で こ のwに

よ って 定 め られ るベ ク トル に 導 か れ て 進 む 点 の 描 く

軌 跡 を考 え る.各 点Qで

の 速 度 ベ ク トル が,ベ

ク トル 場wの

その 点 での値

wQに 一 致 す る よ う な 曲 線 で あ る.   求 め る曲 線 をc(t)と

す れ ば,c(t)は

方程 式

or 

(1.4.35)

な い し,局 所 座 標 表 示 

では

(1.4.36) を満 た して い な け れ ば な らな い.こ れ は連 立微 分 方 程 式

(1.4.36)' に 書 き 直 す こ とが で き る.   こ の 連 立 微 分 方 程 式 は 初 期 条 件 を 指 定 す れ ば 解 が 決 ま る(解 に つ い て は,適 q(0)=Q0と

の 存 在 と一 意 性

当 な 微 分 方 程 式 の テ キ ス トを 見 て い た だ き た い).初

す る 解 をc(t;q(0))と   が 決 ま る.そ

解 曲 線 と い う(図1.4.5).力

す る と,こ れ をwの

学 の 問 題 は,ど

れ に よ っ てM上

期条件 を

に一 本 の 曲線

積 分 曲 線(integral

curve)ま

たは

の 定 式 化 に せ よ,基

礎方程 式 に よ

っ て 与 え ら れ た ベ ク トル 場 に た い す る 積 分 曲 線 を 求 め る と い う形 で 表 さ れ る .

図1.4.5  多 様 体 上 の ベ ク トル場 と 積 分 曲線

  な お,任 意 の 初 期 条 件 に た い し 

の 範 囲 で積 分 曲 線 が 存 在 す

る と き,す な わ ち積 分 曲線 の定 義 域 を(-∞,+∞)に

拡 張 で き る と き,そ の ベ

ク トル 場 は完 備 で あ る とい う.力 学 に あ ら われ る大 部 分 の 問 題 で は,通 常 こ の 条 件 は 満 た され て い る の で,以 下 で はベ ク トル場 の 完備 性 を仮 定 す る.   こ の方 程 式 のq(0)を

初 期 値 とす る解 はc(t;q(0))で,Q0=q(0)か

し た 点 は ベ ク トル 場wに この 運 動 を与 え るM上

導 か れ て 時 間t後

に 点 

ら動 き出 ま で 達 す る.

の写像

(1.4.37) は,M上 (phase

の 微 分 同 相 写 像 で あ る.そ flow),な

い し 流 れ(フ

し て こ の 写 像 の 全 体 

ロ ー)と

い う.相

を相流

流 は そ の 定 義 か ら簡 単 に わ か

る よ うに

(1.4.38)

(恒 等 写 像), 

(1.4.39) (1.4.40) を す べ て 含 み,群

を構 成 す る*8.こ

群(1-parameter

transformation

参 照).与

の 群 を ベ ク ト ル 場wが group)と

い う(詳

定 め る1径

数変換

し くは §4.3.2,§6.1.1

え ら れ た 初 期 条 件 の も と で 積 分 曲 線 を 求 め る 問 題 は,対

応 す る1径

数 変 換 群 を 求 め る 問 題 で あ る と い っ て も よ い.

  1.4.7 

引 き 戻 し と微 分 写 像

  こ こ で は,ベ

ク トル 場 の 積 分 曲 線 に そ っ た 変 化 率 を 与 え る リー 微 分 の 概 念 を

導 入 す る た め の 準 備 と し て,写

像 φ に た い す る 引 き 戻 し と微 分 写 像 を 定 義 す

る.   多 様 体Mか

らNへ

の写像

(1.4.41) *8  あ る 集 合 

の 任 意 の2個

の 元(要

素)a

,bに

た い し てGの

け る 積 演 算a°b=fが 定 義 さ れ,こ の 積 演 算 が 結 合 則  ∀a∈Gに た い し てa°e=aと な る 元e(単 位 元)とa°a-1=eと にGに  

含 ま れ て い る と き,Gを

ま た 群Gの

群(group)と

部 分 集 合 

き,Hに

はz°z-1=eが

group)と

い う.

含 ま れ る の でH自

元fを

対応 づ

を 満 た し,か つ な る 元a-1(逆 元)が とも

い う.

の 任 意 の 元 がz°y∈Hか 体 が 群 に な り,こ

つz-1∈Hを のHをGの

満 たす と 部 分 群(sub

とN上

の 任 意 の 関 数g:N→Rが

と見 な して φ*gと 表 す.す

あ る と き,合 成 関 数g° φをM上

の 関数

なわち

(1.4.42) こ の φ*g:M→Rを う.関

「gの φ に よ るM上

数 φ*gは 関 数 値g(φ(Q))と

へ の 引 き 戻 し(pull

し て はg(P)に

等 し い が,そ

back)」 れ がM上

とい の関

数 で あ る と い う こ と を 明 確 に す る た め に φ*gと 書 くの で あ る(図1.4.6).

図1.4.6 

関 数 と その 引 き戻 し

 次 に 上 の 写 像 φが 微 分 同 相 写 像 で あ る とす れ ば(M=Nで と も な いMの ク トルuPを

点Qに

お け る接 ベ ク トル υQにNの

も よ い),そ れ に

点P=φ(Q)に

お け る接 ベ

対 応づ け る写 像

(1.4.43) が 定 義 で き る(図1.4.7).こ

の接 空 間 か ら接 空 間へ の 写像

(1.4.44) を 「写 像 φ の 点Qに *9  写 像(1 は(微

.4.41)を

お け る 微 分 写 像(derivative 局 所 座 標 を 用 い て 

分 作 用 素 に た い す る 添 字Pを

map)」

とい う*9.

と 表 す と,微

分 写 像(1.4.44)

省 略 し て)

と表 され る.こ れ よ り接 ベ ク トルの 成 分 と基 底 の 変換 則 が 得 られ る:

(a) (b) つ ま り写像 φに と もな う接 ベ ク トル 成 分 の 変 換 は,微 分 の 変 換 同様 に,ヤ コ ビ行 列 が

 を変 換 行 列 とす る1次 変 換 で表 さ れ る.こ の こ と

「微 分 写 像 」 と い う名 称 の 由 来 で あ る.な

写 像 φ に よ り 空 間MとNが の よ う に 書 く こ とが 多 い.逆

  と

お,写

像 φ が 同 一 空 間 の 座 標 変 換 の 場 合 や,

同 一 視 さ れ る 場 合 に は,φ*を 省 略 し(b)を に(1.4.16)は,て い ね い に書 け ば

簡 単 に(1.4.21)

(c) と な る.

図1.4.7  微 分 写 像

  これ よ り,さ ら にNの 得 ら れ る が,こ

各 点Pに 

を対 応 づ け る ベ ク トル 場uが

れ を φ*υと表 し,「 υを 写 像 φ:M→Nに

よ っ て うつ し て

得 られ るベ ク トル 場 」 と い う.   P∈Nで N上

の 接 ベ ク トル す な わ ち微 分 作 用 素 

の 任 意 の 関 数gに

の 関 数 へ の 作 用 は,

た い して

(1.4.45) で 与 え られ る.こ の 式 は 次 の よ うに証 明 され る:

  こ の 式 の 両 辺 を(1.4.31)の し,さ

ら にP=φ(Q)で

書 き 方 で 

あ る こ と を 使 え ば,後

と書 き 直 に有 用 な公 式

(1.4.46a) な い し(1.4.42)を

使 っ て 書 き 直せ ば

(1.4.46b) が得 ら れ る.QはM上 等 しい こ と を表 す.こ

の任 意 の 点 で あ る か ら,こ の 両 式 は両 辺 が 関 数 と して う い う書 き方 は 慣 れ な い と見づ らい が,関 数 もベ ク トル

場 も写 像 もすべ て 作 用 素(演 算 子)と 見 て,す え れ ば よ い.

ぐ右 に あ る もの に 作 用 す る と考

  1.4.8 

リ

ー

  さ て 多 様 体M上 そ の と き,多

微

分

に ベ ク トル 場 υ と そ の 積 分 曲 線 が 与 え ら れ て い る と す る.

様 体 上 の 関 数 や ベ ク トル 場 な ど が そ の 積 分 曲 線 に そ っ て ど の よ う

に 変 化 す る か,そ

の 変 化 率 を 与 え る の が リ ー 微 分(Lie

(以 下 で は 記 述 の 煩 わ し さ を 避 け る た め に,こ てt=0と

す る.こ

derivative)で

れ ま でt=τ

あ る.

と した とこ ろ をす べ

う し て も一 般 性 は 失 わ れ な い.)

  こ の 積 分 曲 線 に そ っ てtだ  と表 す.こ

け 動 か す 写 像 を φt,Qを

の と きM上

の 関 数fの

始 点 とす る積 分 曲 線 を

リー 微 分 は

(1.4.47) で 定 義 さ れ る.こ が,そ

の 式 は 正 確 に い う と 関 数fの

の 意 味 は 点Qで

リー 微 分 に よ る 導 関 数 を 表 す

の 値 を 考 え る と わ か りや す い.(1.4.42)よ

で あ るか ら,上 の 導 関 数 の定 義 式 の 右 辺 の 分 子 の 点Qで Q=c(0)で

の値 と そ こ か らtだ け進 ん だ 点 

り

の 値 は,関

数fの

点

で の値 の差 を とっ

て い る こ とに な る.し た が っ て

(1.4.48) 要 す る に 関 数 の リー 微 分 は 積 分 曲 線 に そ っ た 方 向 微 分 に 他 な ら な い.意 え る と 当 然 で あ る.ま

た(1.4.47)と(1.4.48)を

生 成 す る ベ ク トル 場 υ の 点Q=c(0)で

見 く ら べ れ ば,写

味 を考 像 φtを

の値 を

(1.4.49) の よ うに 記 号 的 に 表 す こ とが で き る.   次 に,ベ

ク トル 場uの

リー微 分 を

(1.4.50) で 定 義 す る.前

節 で 指 摘 し た よ う に,一

差 は 意 味 を も た な い か ら,こ た 点 φt(Q)=Q'で

般 に 多 様 体 上 の 異 な る 点 の ベ ク トル の

こ で も 点Qで

の ベ ク トルuQ'を

の ベ ク トルuQとQをtだ

直 接 比 べ る こ と は で き な い.そ

け進 め の か わ りに

こ こ で はuを

積 分 曲 線 に そ っ て-tだ

ク ト ル 場u'=φ-t*uを

作 り,そ

け 逆 向 き に ず ら して 得 ら れ る新 しい ベ

の う え で 同 一 の 点Qで

のuQとu'Qを

比べ る

の で あ る(図1.4.8).

図1.4.8

  ベ ク トル 場 は 各 点 で 微 分 作 用 素 を 与 え る か ら,上 記 の リー 微 分 の 定 義 式 (1.4.50)の

点Qで

の 任 意 の 関数fへ

の作 用 を考 え る と

(1.4.51) と 表 さ れ る.こ 点Q'に

こ で 写 像 φ-tの 微 分 写 像 に つ い て 先 に 求 め た 式(1.4.46a)を

つ い て 書 くと

こ れ をQ'=φt(Q),φ-t(Q')=Qを

用 いて書 き直す と

(1.4.46c) し た が っ て 上 式(1.4.51)の

と な り,関

右 辺 の分 子 は

数 に た い す る リー 微 分 の 公 式(1.4.47),(1.4.48)を

使 え ば,第1

項 は

他 方,第2項

は,ベ

向 微 分,す

なわ ち

ク トル 場 υ の 積 分 曲 線c(t)=φt(Q)に

そ っ た 関 数ufの

方

を 与 え る.以

上 を ま と め て(1.4.51)は

こ こ にfとQは

任 意 で あ る か ら,ベ

ク トル 場 の リー 微 分 の 公 式 と し て

(1.4.52) が得

ら れ る*10.

 1.4.9 

リー 括 弧 と リー代 数

 こ こ に 出 て き た

(1.4.53) をベ ク トル 場 υ,uの い う.も

リ ー 括 弧(Lie

bracket)な

い し 交 換 子(commutator)と

ち ろ ん こ れ は 丁 寧 に 書 く と 次 式 で 定 義 さ れ る:

(1.4.54)   局 所 座 標 表 示 で は υ,uの それ ぞ れ はM上 あ るが,そ

の 積 υuは2階

の 各 点 で1階 微 分 の微 分 作 用 素 で

微 分 作 用 素 を含 みベ ク トル 場 で は な い.し か し上 記

の リー 括 弧 は

*10 ベ ク トル 場 の リー 微 分 に つ い て は

,(1.4.50)の

定 義 か ら(1.4.52)の

を 用 い ず に 論 じ た の で 少 々 わ か りに くか っ た が,座 場 υ の 積 分 曲 線 上 の 近 接 し た2点 り,p.

51の

(こ れ はQ'で

脚 注9の

を 

と す る. 

式 を 使 え ば, 

の ベ ク ト ルuQ'=ui(q')∂i'に

こ でQ'がQを

し て よ く 

お い て,Q'で

通 る 積 分 曲 線 上 のQの で あ り,そ

注2に

の 基 底{∂i'}をQで

れ ゆ え(1.4.50)は

の υi(q)を

したが って こ の 式 の 別 の 導 き 方 は,p.318脚

標系 ク トル であ

に た い して

変 換 し た も の と考 え る こ とが で き る),そ

と表 さ れ る.こ

公 式 ま で,座

標 系 を 用 い れ ば 簡 単 に な る.ベ

あ る.

の 基 底{∂i}に

局所 座 標 表示 で

近 接 点 ゆ え,  υiと 記 す),こ

と れよ り

(1.4.55) とな り,1階

微 分 作 用 素 の み を含 み 各 点 で接 ベ ク トル を与 え る(こ の 成 分 が 各

点 で 反 変 ベ ク トル 成 分 の 変 換 則 を満 たす こ とは 自分 で 確 か め て も ら い た い). M上

のベ ク トル 場 の 集 合 はベ ク トル 空 間VMを

ク トル 場 の任 意 の2個

張 る が,(1.4.55)は,そ

のベ

の 要 素 の リー 括 弧 がや は りそ の ベ ク トル 空 間VMの

要素

で あ る こ と を示 して い る.   この よ うに リー 括 弧 は,ベ

ク トル場 の任 意 の2個

の 要 素 をベ ク トル 場 に対 応

づ け る写 像 

で あ り,次 の

性 質 を もつ: (ⅰ)

(1.4.56)

(ⅱ) (ⅲ) 性 質(ⅰ)を

双 線 形(bilinear),(ⅱ)を

を ヤ コ ビ の 恒 等 式(Jacobi

identity)と

歪 対 称(skew

symmetric),関

い う.(ⅱ)を

前 提 に す れ ば(ⅰ)の

つ の 式 は 一 方 か ら 他 方 が 導 け る.(ⅲ)の

証 明 は,(1.4.55)を

け れ ど も や や 退 屈 な 計 算 を す れ ば よ い.読   一 般 に,ベ

ク トル 空 間Vが

あ り,そ

係(ⅲ) 二

用 いて初等 的だ

者 に 委 ね よ う.

の 任 意 の2個

要 素x×y∈Vに

対 応 づ け る 双 線 形 ・歪 対 称 な 写 像(演

義 さ れ て い て,そ

の 演 算 が ヤ コ ビの 恒 等 式

の 要 素x,y∈VをVの 算)V×V→Vが

定

(1.4.57) を 満 た す と き,こ

の ベ ク トル 空 間Vは

こ の 演 算 を 積 演 算 と し て リ ー 代 数(Lie

algebra)を

構 成 す る と い う.た

と え ば3次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 の ベ ク トル の

集 合 は,ベ

ク トル 積 を 積 演 算 と して リー 代 数 を な し て い る.同

多 様 体 上 の ベ ク トル 場 の 作 る ベ ク トル 空 間 は,リ

様 に,上

で見た

ー 括 弧 を積 演 算 と し て リー 代

数 に な っ て い る.   そ し て も と の ベ ク トル 空 間 の 次 元(dim う.ま

たVの

V=n)を

基 底 ベ ク ト ル を(e1,e2,…,en)と

そ の リー 代 数 の 次 元 とい し た と き,ei×ej∈Vで

あ る

から

と 表 さ れ る.そ

し て こ のn3個

の 定 数 の 組{Cijk}を

リ ー 代 数 の 構 造 定 数 と い う.

そ れ ぞ れ の リー 代 数 は こ の 構 造 定 数 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る.   な お,リ

ー 括 弧 を使 え ば ベ ク トル 場 の リー 微 分 は リー 括 弧 で 表 さ れ る:

(1.4.58)   1.4.10 

リー群 と リー代 数

  リー 代 数 と関 係 の 深 い リー 群 を考 え る.リ ー 群(Lie

group)と

各 元 が 連 続 な 有 限個 の パ ラ メー タ の組 で 指 定 され,群G自

は,群Gの

体 が こ の パ ラ メー

タ の組 を座 標 とす る微 分 可 能 多様 体 を成 し,か つ群 の 演 算 が微 分 可 能 な 写像 で あ る もの をい う.群 演 算 が 微 分 可 能 な 写 像 で あ る とは,積gigjの

座 標 がgiと

gjの 座 標 の 微 分 可 能 な 関数 で あ り,逆 元gi-1の 座 標 がgiの 座 標 の 微 分 可 能 な 関 数 に な っ て い る こ とで あ る.な お 多様 体 と して のGの

次 元 を リー群 の 次 元

とい う.   た と え ばn次 号GL(n,R)で

の 正 則 な実 行 列 の全 体 か ら な る集 合 を考 え る(こ の 集 合 を記 記 す).こ

のGL(n,R)が

行 列 の積 を 「 積 演算 」 と して群 に な

る こ とは 容 易 に わ か る.単 位 行 列 が 単 位 元,逆 行 列 が 逆 元 に な るか らで あ る. 他 方,行 列 

の 行 列 要 素aijを 局 所 座 標 と見 なす と,GL(n,R)は

多 様 体 に な る(正 則 つ ま りdetA≠0の は一 致 しな いが,そ け られ る).さ

条 件 が あ る の で 

に

の 開部 分 集 合 で あ り,そ れ ゆ え 自然 な形 でRn×nに

ら に群 と し て の 演 算(積 演 算 と逆 を 作 る演 算)は,行

対応づ

列演 算 と

見 れ ば行 列 要 素 の 多項 式 や 有 理 式 を作 る操 作 で あ るか ら,多 様 体 の 写像 と して は い ず れ も微 分 可 能 な写 像 で あ り,し た が ってGL(n,R)は   Gを

リー 群 とす る.た だ し簡 単 の た め 以 下 で はGは

意 の 元gを

単位 元 と結 ぶG上

  Gの 任 意 の 元gに

リー 群 で あ る.

連 結,す

な わ ちGの

任

の連 続 曲 線 が 必 ず 存 在 す る とす る.

た い して,Gの

左移 動Lgを

次 の よ うに 定 義 す る:

(1.4.59) この定義 よ り

(1.4.60)

が 成 り立 つ こ と は 容 易 に わ か る(同 様 に し て 右 移 動 

が 定 義 で き,

同 様 の 式 が 成 り立 つ).   リー 群Gは

多 様 体 で あ る か ら,単

トルx∈(TG)eを

位 元eに

お け る 接 平 面(TG)e上

一 つ 考 え る こ と が で き る.Lge=ge=gで

微 分 写 像Lg*((1.4.44)参

照)に

る 接 ベ ク トル に な っ て い る.そ

よ るxの こ でgをG全

像Lg*xは

の接ベ ク

あ る か ら,Lgの 多 様 体Gの

点gに

おけ

体 に 動 か せ ば ベ ク トル 場

(1.4.61) を 作 る こ とが で き る.こ

の ベ ク トル 場 は 任 意 のh,g∈Gに

た い して

(1.4.62) を 満 た し て い る.つ Lh*で

ま りベ ク トル 場Vxのgで

移 し た 先 は,同

1.4.9).こ

じ ベ ク トル 場Vxのhgで

の よ う に ベ ク トル 場Vxは

そ れ ゆ え こ のVxを,xに vector

field)と

い う(ま

の 値Vx(g)=Lg*xを の 値Vx(hg)に

左 か ら のGの

微 分写像 な っ て い る(図

作 用 に 関 し て 不 変 で あ り,

よ り定 義 さ れ る 左 不 変 ベ ク トル 場(left っ た く 同 様 に 微 分 写 像Rg*を

使 え ば 右 不 変 ベ ク トル

場 を 作 る こ とが で き る).   さ て リー 群G上

で 定 義 さ れ た 左 不 変 な ベ ク トル 場,す

invariant

なわち

図1.4.9

(1.4.63) を満 たす ベ ク トル場Vの   gの

全 体 が 作 る集 合 を考 え,こ れ をgと

任 意 の 二 つ の 元VとWに

は ま たgの

た い し て,そ

元 に な る.た だ しa,b∈Rで

の 任 意 の1次

書 く. 結 合aV+bW

あ り,aV+bWは

(1.4.64) で 定 義 さ れ る ベ ク トル 場 を 意 味 す る.   さ ら に(1.4.53)で

定 義 さ れ る リー 括 弧[V,W]Lが

は す で に 示 さ れ て い る が((1.4.55)参 ゆ えgの

照),そ

れ が や は り左 不 変 で あ り,そ

元 で あ る こ と は 次 の よ う に 示 さ れ る.(1.4.46b)に

定 義 さ れ た 任 意 の 微 分 可 能 な 関 数fに

が 成

ベ ク トル 場 で あ る こ と

り 立 つ((1.4.46b)で,φ

右 辺 は(1.4.54)お

で

た い して

をLg,υ

よ び(1.4.46b)を

と 変 形 で き る.し

よ れ ば,G上

れ

を[V,W]L,gをfと

す れ ば よ い).

繰 り返 し 用 い る こ と で

た が って

しか る に 定 義 よ りLg*は 不 変 ベ ク トル 場Vお

全 単 射 で あ り,fは

任 意 の 微 分 可 能 な関 数 ゆ え,左

よ びW(Lg*V=V,Lg*W=W)に

た い して

(1.4.65) と な り,こ

う し て[V,W]Lも

左 不 変 で あ る こ と が 示 さ れ る.

  以 上 を ま と め る と,V,W∈gな

らば

(1.4.66) す な わ ちgは 群Gの

リー 括 弧 を積 演 算 と し て リー 代 数 に な っ て い る.こ のgを

リー代 数 と呼 ぶ(右 不 変 ベ ク トル場 に つ い て も同 様).

  リ ー群Gの

リー 代 数gの

応 させ る と,gか の 元xに

リー

元VにGの

ら接 空 間(TG)eへ

た い して ベ ク トル 場Vxを

単 位 元eで

の 値V(e)∈(TG)eを

の 写 像 が 得 ら れ る.逆 に(TG)eの 作 る と,先 に 見 た よ うに こ れ がgの

対 任意 元に

な る.し

た が っ て こ の 写 像g→(TG)eは

も 二 つ の ベ ク トル 場V,W∈gに

射)で

あ り,結

あ る.し

か

す れ ば,VもW

た い して

れ ゆ え ベ ク トル 場 と し てV=W,す

な わ ち 写 像 は1対1(単

局 こ の 写 像 は 全 単 射 で あ る こ とが わ か る.

 し た が っ て ベ ク トル 空 間 と し てgと(TG)eは

同 型 で,そ

(多 様体Gの で あ り,gの

射)で

た い し てV(e)=W(e)と

も 左 不 変 で あ る か ら 任 意 のg∈Gに

が 成 り立 ち,そ

上 へ の 写 像(全

基 底 を(V1,V2,…,Vn)と xi=Vi(e)=ベ

の 組    他 方 で[Vi,Vj]L∈gゆ

次 元)

 (1.4.67)

す る と

ク トル 場Viのeで

は(TG)eの

れ ゆ え

の値

  (1.4.68)

基 底 ベ ク トル に な る.

え

(1.4.69) と一 意 的 に 書 くこ とが で き る.{Cijk}が この リー 代 数 の構 造 定 数 で あ る.さ に こ の ベ ク トル場 の 関 係 の 単 位 元eで

ら

の 値 を とる こ とに よ り

(1.4.70) が 得 ら れ る.こ

こ に ベ ク トルxiとxjの

括 弧 積 を,リ

ー 括 弧(1.4.54)を

用 い

て

(1.4.71) で 定 義 し た.こ ル 空 間(TG)eは る.こ

の(TG)eを

の 括 弧 積 は(1.4.56)の

三 つ の 性 質 を 有 す る.そ

こ の 括 弧 積 を 積 演 算 と し てgと リ ー 群Gに

れ ゆ えベ ク ト

同 型 の リー 代 数 に な っ て い

付 随 す る リ ー 代 数 と 呼 ぶ.結

局gと(TG)e

は ベ ク トル 空 間 と し て も リー 代 数 と し て も 同 じ も の と見 な し て よ い*11.

  1.4.11 

1径 数 部 分 群 と 指 数 写 像

  リー 群Gの ト ル 場)に の,す

リー 代 数gの た い し て,こ

一 つ の 元V(す

の ベ ク トル 場Vの

な わ ちG上

の一 つ の左不 変ベ ク

積 分 曲 線 でGの

単位 元 を通 る も

なわち

*11 リー群 とそ れ に付 随 す る リー 代数 の い くつ か の 具体 例 に つ い て は ,後 述 §6.4を 見 て い ただ きた い.

(1.4.72) を満 た すG上

の 曲 線cv(λ)を

考 え る.

  こ のcv(λ)に

つ いて

が 成 り立 つ.た

だ し右 辺 の 積 は 群 の 積 演 算 を 表 す.証

(1.4.73) い.σ

を 固 定 し λ を 変 数 と 見 な す と,左

を 満 た し,し

か も λ=0でcv(σ)に

を 満 た し,λ=0で 動Lcv(σ)の

微 分 写 像,ま

わ ち(1.4.73)の く,微

辺 は

よ る左 移

左 不 変 で あ る こ と を 使 う).す

一 の 微 分 方 程 式 を 満 た し,か

な

つ 初 期 条 件 も等 し

分 方 程 式 の 解 の 一 意 性 に よ り両 者 は 一 致 す る. 合 

がGの

で あ る こ と を 表 し て い る.そ 部 分 群(1-parameter   さ て,リ

る.つ

方,右

一 致 す る(Lcv(σ)*はcv(σ)∈Gに

た 最 後 の 等 号 はVが

両 辺 は,同

  こ の(1.4.73)は,集

Vxが

辺 のcv(σ+λ)は

一 致 す る.他

や は りcv(σ)に

明 は 次 の よ うに す れ ば よ

ー 群Gに

一 つ 決 ま り,そ

部 分 群 で あ り,か

の 意 味 で こ の 集 合{cv(λ)}を

sub-group)と お い て,任

数群 数

い う*12.

意 のx∈(TG)eに

し て そ のVxに

つ1径

リ ー 群Gの1径

よ りGの1径

た い し て 左 不 変 ベ ク トル場 数 部 分 群{cvx(λ)}が

決 ま

ま り

と い う1対1の

対 応 関 係 が あ り,こ

と 呼 ば れ る(TG)eか

らGへ

れ を 使 え ば,指

数 写 像(exponential

map)

の 写像

(1.4.74) *12 (1

.4.73)と(1.4.39)は

定 義 さ れ る 写 像 が,写

よ く似 て い る が,そ

の 意 味 は 異 な る.(1.4.39)は(1.4.37)で

像 の 合 成 を 積 と し て 群 を 作 る と い う 主 張 で あ る の に た い し て,

(1.4.73)は す で にGの 群 の 演 算 と し て 定 義 さ れ て い る 積 演 算 を積 と し て,曲 の 点 に 群 構 造 が あ る と い う 主 張 で あ る.

線cv(λ)上

が 定 義 で き る.   この よ うに定 義 され た指 数 写像 は,任 意 のx∈(TG)eと

λ∈Rに

た い して

(1.4.75a) を満 た す こ と が 次 の よ う に 示 さ れ る.   い ま 任 意 の λ∈Rを

と な る か ら,σ 成 さ れ る1径

一 つ 固 定 す る と,σ ∈Rに

た い して

を 変 数 と 見 た と きcvx(σ λ)は 接 ベ ク ト ル λx∈(TG)eに

数 部 分 群 の 元cvλx(σ)に な る.す

こ の 式 で と くに σ=1と

なわち

す る と 

等 号 は 指 数 写 像 の 定 義 に よ る).こ

よ り生

が 得 ら れ る(最 う し て(1.4.75a)が

示 さ れ た.ま

後 の

た この 式

よ り (単 位 元) 

(1.4.75b)

が得 られ る.   結 局,式(1.4.75ab)は,リ xに

ー 群Gの

よ り決 ま る左 不 変ベ ク トル 場Vxの

単 位 元eに

お け る任 意 の 接 ベ ク トル

原 点 を通 る積 分 曲線,す

り生 成 さ れ る1径 数 部 分 群 が, 

な わ ちxに

よ

で表 され る こ とを示 して い

る.   最 後 に指 数 写像 の 用 語 の 由 来 を具 体 例 で 説 明 して お こ う.   リー 群Gと

し てGL(n,R)を

字 で 表 す).単 位 元I(n×n単

考 え る(こ の 場 合,元

は行 列 で あ る か ら大 文

位 行 列)を 通 る 曲 線A(λ)の

単 位 元A(0)=Iで

の接 ベ ク トル を

(1.4.76) と す る.A(λ)をB∈GL(n,R)に の 曲 線 の 元B=BA(0)で

こ う してXに

よ り左 移 動 し た 曲 線 は 

,そ

の 接 ベ ク トル は

よ り左 不 変 ベ ク トル 場

(1.4.77)

が 決 ま り,単 位 元 を通 るそ の 積 分 曲 線 は

(1.4.78) の解 で与 え られ る.そ

して この 解 は,直 接 に確 か め られ る よ うに (た だ しX0=I) 

と 表 さ れ る.こ

こ にeλXは

行 列 の べ き 級 数 で 定 義 さ れ た 指 数 関 数 で あ る が,

同 時 に 上 に 一 般 論 で 導 入 し た 指 数 写 像(1.4.74)の わ ち    例1.4.1 

.以

(1.4.79)

具 体 例 に 他 な ら な い.す

下 で は 指 数 写 像 も指 数 関 数 も,と

も にexpで

な

表 す.

R2上 の ベ ク トル 場 と座 標 変 換

  こ の 節 で は 少 々 な じみ の 薄 い 言 葉 や 記 号 が 出 て き た か も し れ な い の で,き

わめ て

簡 単 な 例 で 使 い 方 を示 して お こ う.   多様 体 と してR2自

体 を考 え,そ

の 二 つ の 局 所 座 標 系 と して

(1.4.80) を と る.両 者 は

(1.4.81a) (1.4.81b) で 結 び つ け ら れ て い る.こ ま ら な い か ら,Uβ

こ にUα はR2全

はR2か

で,φ βが 平 面 極 座 標,そ

ら 原 点 を 除 い た もの で あ る.要 し て 

 は そ の 逆 で あ る.こ (1.4.41)で   こ のR2上

体 と一 致 し て よ い が,r=0で

と くに 

す る に φαが デ カ ル ト座 標

は デ カ ル ト座 標 か ら極 座 標 へ の 座 標 変 換, の φ は,(1.4.1)の

具 体 例 で あ る が,こ

れ を写 像

の 場 合 と考 え て も よ い.

で の 二 つ の ベ ク トル 場V1,V2の

デ カ ル ト座 標 表 示 が,そ

の 座 標 変 換 の 式(1.4.81)よ

れ ぞれ

(1.4.82)

お よ び  で あ る とす る.上

は θが 決

り,座 標 変 換 に と も な う各 点 で の ベ ク

トル の 基 底 の 変 換(1.4.21)は

(1.4.83a) (1.4.83b) (丁 寧 に 書 く と,左 トル 場V1,V2の

辺 は 脚 注9(b)式

の よ う に φ*∂x,φ*∂yと

極 座 標 表 示 は,(1.4.82)の

微分 写像 に よ り

な る).そ

れ ゆ え,ベ

ク

(1.4.84a)

(1.4.84b) と 求 ま る.こ

の 二 つ の ベ ク ト ル 場 の 様 子 は,図1.4.10で

(a) 

表 さ れ る.

(b)  V2

V1

図1.4.10 

ベ ク トル 場 と 積 分 曲 線

 こ のベ ク トル 場 の積 分 曲 線 を考 え よ う.二 つ の 方 程 式 お よ び  は,デ

(1.4.85)

カ ル ト座 標 表 示 で は お よ び 

(1.4.86)

で あ り,こ れ ら は 極 座 標 で は お よ び  と表 さ れ る.極 座 標 表 示 の 方 程 式 は,い 点 とす る 積 分 曲 線 は,そ

ず れ も簡 単 に 積 分 で き, 

(1.4.87) を始

れ ぞれ

(1.4.88a) (1.4.88b)

こ れ ら は,デ

カ ル ト座 標 で は φα(Q0)=(acosδ,asinδ)を

始 点 とす る 曲 線

(1.4.89a) (1.4.89b) で あ る.前 者 はQ0を 後 者 は 原 点 とQ0を

通 り原 点 を 中 心 と す る 円 で ω>0の

結 ぶ 直 線 で,λ>0の

交 して い る.V1もV2も で は 円 を1周   な お,ベ

と き反 時 計 ま わ りに 動 き,

と き原 点 か ら遠 ざか る 向 きに 動 く.両 者 は 直

ベ ク トル の 大 き さが 中 心 か ら の 距 離 に 比 例 して い るか ら,c1

す る 時 間 は 半 径 に よ らず 一 定 で あ る. ク トル 場V2のc1に

そ っ た 変 化 率 を与 え る リー 微 分 は,極 座 標 表 示 で は

(1.4.90) ベ ク トル場V1とV2は

つ ね に 直 交 して い るか ら,こ の こ と は 当 然 で あ る.

  デ カ ル ト座 標 表 示 で の 方 程 式(1.4.86)を

直 接 積 分 す る に は,行

列 を用 い て

(1.4.91a) (1.4.91b) と表 せ ば よ い.こ

の と き, 

を始 点 とす る解 は

(1.4.92a) (1.4.92b) と得 ら れ る.こ

れ は 指 数 写 像 の具 体 例 で あ る.上 記 の 行 列 は 

して い る ゆ え,こ

を満 た

れ らは

(1.4.93a) (1.4.93b) と 表 さ れ る.も   (1.4.93)は1径

ち ろ ん こ れ ら は,は 数 変 換(1.4.37)の

じ め に 得 ら れ た 結 果(1.4.89)と 行 列 表 現 と 見 て も よ い.そ

一 致 し て い る. の と き,こ

れ らの

変 換行列

(1.4.94) が 群 の 条 件(1.4.38),(1.4.39),(1.4.40)を 明 ら か で あ る.

満 た し て い る こ と は,行

列 の性 質 よ り

  な お,こ

の 例 の よ うにMやNが

は い ち い ち 明 記 せ ず,ま

1.5 

  1.5.1 

双 対 空 間 と1ベ

  ベ ク トル 空 間Vの

事 実 上R2と

たV1,υ1,u1を

一 致 し て い る よ う な 場 合,φ αや φβ

律 義 に 区 別 せ ず 同 じ記 号 で 記 す こ とが 多 い.

双対 空 間 と共変 テ ンソル

ク トル

ベ ク トルu,υ

に 実 数 を 対 応 させ る 線 形 写 像

(1.5.1) を考 え る.写 像 ω の 線 形 性 は

(1.5.2) で 表 さ れ る.二 つ の こ の よ うな 線 形 写 像 ω,σに た い して,和

と実 数 倍 が 次 の

式 で 定 義 で き る:

(1.5.3) こ の 和 が た しか にV上

実 数 倍aω

の 線 形 写 像 で あ る こ とは,次

に つ い て も ま っ た く 同 様 に 議 論 が で き る.

  そ れ ゆ え 線 形 写 像 ω の 全 体 の 集 合V*も(1.5.3)で に 関 し て ベ ク トル 空 間 を 構 成 す る.こ (dual

space,「

1ベ ク トル(1

のV*を

定 義 され る和 と実 数 倍 ベ ク トル 空 間Vの

共 役 空 間 」 と し て い る 本 も あ る),そ vector)な

  こ こ でVをn次 ルu=uieiに

の よ うに確 か め られ る:

い し コ ベ ク トル(covector)と

元 と し て,そ 実 数uiを

し て,こ

双対 空 間

の線形 写像 ω を

い う.

の 一 つ の 基 底 〈e1,e2,…,en〉

を と り,ベ

ク ト

対 応 させ る 写 像

(1.5.4) を考 え る.こ の写 像 をベ ク トル 

と な る か ら,εiは

線 形 写 像 でV*の

に適用す ると

要 素 で あ る こ と が わ か る.と

くに ベ ク ト

ルek=δikeiに

た い し て(1.5.4)式

を 書 け ば,次

の 関 係 が 得 ら れ る:

(1.5.5) 他 方,任

意 の1ベ

ク トル ω∈V*に

た い して

(1.5.6) と お く と,ωiは

実 数 で,任

意 のu=uiei∈Vに

た い して

が 成 り立 つ か ら

(1.5.7) す な わ ち 任 意 の ω は εiの1次 立 で あ る.と

い う の も,も

結 合 で 表 さ れ る.し し もaiεi=0な

と な る か ら で あ る.し 基 底 で あ り,こ い う.ま

ら ば す べ て のkに

た が っ て<ε1,ε2,…,εn>が

れ を 基 底<e1,e2,…,en>に

た こ れ よ りVとV*の

か も ε1,ε2,…,εnは1次 つ い て 

双 対 空 間V*の

た い す る 双 対 基 底(dual

次 元 は 等 し い こ とが わ か る,す

独

bases)と

なわち

(1.5.8)   1.5.2 

反 変 ベ ク トル と 共 変 ベ ク トル

  ベ ク トルu=uieiと1ベ   Vの

ク トル ω=ωiεiを 考 え る .

基底 の変換

(1.5.9) に た い して ベ ク トルuが

変 わ ら な い 意 味 を もつ た め に は

で なけ れ ば な らず,こ れ よ り基 底 の 変 換 則(1.5.9)に

対 応 す る成 分 の変 換 則

(1.5.10) が 得 ら れ る.他

方,(1.5.6)よ

り1ベ

ク トル の 成 分 の 変 換 則 は

(1.5.11) そ して こ の と き,1ベ

ク トル ω 自体 が 同様 に基 底 変 換 に た い して 変 わ ら な い 意

味 を もつ た め に は

で な け れ ば な らず,し

た が っ て 双 対 基 底 の 変 換 則 と して

(1.5.12)

が 導 か れ る.   以 上 を行 列 を用 い て表 せ ば,Vの

ベ ク トル

(1.5.13)

において基底 の変換 則が

(1.5.14) で あ れ ば,成

分の変 換則 は

(1.5.14)'

た だ し 

で 与 え ら れ る.そ 変 換 則 は,次

し て こ の と き1ベ

ク トル ω∈V*の

成 分 と基 底 の そ れ ぞ れ の

の よ う に 表 さ れ る:

(1.5.15)

(1.5.15)'

  こ の よ う に,Vの

ベ ク ト ルuで

逆 に 変 換 さ れ る の でuを がVの

基 底(e1,e2,…,en)と

ク トル と も い う.し

は 成 分uiが

基 底(e1,e2,…,en)と

反 変 ベ ク トル と い う.そ

れ に 反 し て ω で は 成 分 ωi

同 様 に 変 換 さ れ る の で,1ベ

た が っ て(1.5.13)に

いわ ば

ク トル ω を 共 変 ベ

対 応 し て 共 変 ベ ク トル を

(1.5.16)

と表 す こ とが で き る.こ

うす れ ば 写 像 ω のuに

お け る値 ω[u]は

(1.5.17)

と な る.計

算 に は,(1.5.4)を

用 い た.こ

う す れ ば ω[u]が

に た い し て 不 変 な こ と は 明 ら か で あ り,こ <ω￨u>で

表 す.す

座 標 変 換(1.5.9)

の 量 を 双 対 内 積 と い い,本

書 では

なわ ち

も ち ろん こ こ で い う反 変 ベ ク トル ・共 変 ベ ク トル は,§1.3で 義 され た反 変 ベ ク トル ・共 変 ベ ク トル を(Vが

曲 面 上 の 各 点 で定

必 ず し も曲 面 の接 平 面 とは 限 ら

な い場 合 に も)一 般 化 し た もの で あ る.   実 際,Vが

曲 面 の接 空 間 でuが

曲面 の接 ベ ク トル の場 合 に は(1.3.5)よ

り

(1.5.18) で あ る か ら,双

対 基 底 の 変 換 則(1.5.12)は

(1.5.19a) そ し て1ベ

ク トル ω の 成 分 の 変 換 則(1.5.11)は

(1.5.19b) と な る が,こ ら な い.同 (1.3.9)に

れ は §1.3に 様 にuの

述 べ た 共 変 ベ ク トル 成 分 の 変 換 則(1.3.15)に

成 分 の 変 換 則(1.5.10)も

他 な

反 変 ベ ク トル 成 分 の 変 換 則

一 致 す る.

  な お §1.3.1(脚

注1)で,共

題 に し て お い た が,こ

変 ベ ク トル の 張 る 空 間 と そ の 基 底 は 何 か を 宿

こ に き て そ れ は 双 対 空 間 と双 対 基 底 で あ る こ とが 判 明 し

た.

  1.5.3 

共 変 テンソル

  ベ ク トル 空 間Vの

任 意 の ベ ク トル の 対u

,υ に 実 数 を 対 応 させ る 写 像

(1.5.20) がu,υ

の 双 方 に た い し て 線 形 の と き,す

なわ ち

(1.5.21) で あ る と き,こ

の τ をV上

  た と え ば,2個

の1ベ

の 双 線 形 写 像(bilinear

ク トル ω,σ∈V*に

map)と

たい し

(た だ し 

で 定 義 さ れ る テ ン ソ ル 積(tensor 双 線 形 写 像 で あ る(注

意! 

product)

い う.

) 

ω  σ は,上

(1.5.22)

の条件 を満 たす ので

一 般 に は ω  σ≠ σ  ω).

  双 線 形 写 像 の 任 意 の 元 τ,θ に た い し て 和 と 実 数 倍 を

(1.5.23) で 定 義 す れ ば,双

線 形 写 像 は こ の 和 と実 数 倍 に 関 し て ベ ク トル 空 間 を 張 り,こ

の 空 間 をL2(V)=V*    こ こ で{ei}をVの

V*と

基 底,{εi}を

u,υ ∈Vは  ら,上

い う 記 号 で 表 す. 対 応 す るV*の

と表 さ れ,こ

双 対 基 底 と す れ ば,任

こ に 

意 の

で あ るか

の 双 線 形 写 像 τに つ い て

が 成 り立 つ.こ

こ にu,υ は任 意 で あ るか ら双 線 形 写 像 はつ ね に

(1.5.24)

た だ し  の 形 に 表 さ れ る.し

か も こ の 展 開 は 一 意 的 で あ る.と

で あ れ ば τ[ei,ej]=Tij=T'ijと   そ れ ゆ えn2個

が ベ ク ト ル 空 間L2(V)の で あ る.そ

す る τの テ ン ソ ル 成 分 と い い,と   次 にV*の

しも

な る か ら で あ る.

の テ ン ソ ル 積 

し た が っ て ま た 

い う の も,も

基 底 の 変 換(1.5.12)を

してn2個

のTijを

き に は こ の τ を行 列T=(Tij)で

基 底 と な り, 基 底 

に関

表 す.

考 え よ う.τ が こ の 変 換 に よ り変 わ ら な

い 意 味 を もつ ため に は

(1.5.25) で な け れ ば な ら な い.す

な わ ち テ ン ソ ル 成 分 はTkl=TijCikCjlの

よ うに 変 換

さ れ な け れ ば な ら な い.と ベ ク トル の 場 合,変

く にVが

曲 面 の 接 空 間 で ベ ク トルu,υ

換 行 列 の 要 素Cikは(1

.5.18)で

が曲面 の接

与 え ら れ る か ら,τ

の成

分 の変換則 は

(1.5.26) と な り,こ 参 照).そ

れ は2階 れ ゆ え,こ

合 に も)2階

共 変 テ ン ソ ル の 成 分 の 変 換 則 に 他 な ら な い(式(1.3.21) の 双 線 形 写 像 τ を(Vが

共 変 テ ン ソ ル と い う.(同

曲 面 の接 平 面 とは か ぎ ら な い 場

様 に 双 対 空 間V*の1ベ

実 数 を 対 応 さ せ る 双 線 形 写 像  う.た

を,2階

ク トル の 対 に 反 変 テ ン ソ ル とい

だ し 以 下 で は ほ と ん ど 共 変 テ ン ソ ル し か 扱 わ な い の で,ま

き をの ぞ い て

「共 変 」 は 省 略 す る.)

  と く に,2階

テ ン ソ ル τ∈L2(V)が

任 意 のu,υ

ぎ ら わ しい と

に た い して

(1.5.27) を 満 た す と き,τ と表 さ れ る.こ

を対 称 テ ン ソ ル と い う.こ

の 条 件 は 成 分 を 用 い れ ばTij=Tji

の 性 質 は 座 標 変 換 に よ り変 わ ら な い.

  高 階 テ ン ソ ル も ま っ た く同 様 に 論 じ ら れ る の で,結   ベ ク トル 空 間Vのp個

の ベ ク トル の 組(u(1),u(2),…,u(p))に

せ る 写 像  て のu(k)∈Vに

果 だ け を 記 し て お こ う.

に お い て,  つ い て 線 形 な も の をp階(共

がすべ

変)テ

ン ソ ル と い う.こ

テ ン ソ ル 全 体 の 集 合 を 記 号  ω,σ∈Lp(V)に

実 数 を対 応 さ

で 表 す.こ

た い し て 和 と 実 数 倍 を(1.5.23)と

の 和 と 実 数 倍 に 関 し てLp(V)は

のp階 の と き,

同 様 に 定 義 で き る の で,こ

ベ ク トル 空 間 に な る.

  た と え ば ω(i)∈V*,u(i)∈V(i=1,2,…,p)と

した とき

(1.5.28) で 定 義 され る テ ン ソル 積

(1.5.29) はp階

テ ン ソ ル で あ る.そ

し てV*の

基 底 か ら 作 られ るnp個

の テ ン ソ ル積

(1.5.30) が ベ ク ト ル 空 間Lp(V)の

基 底 を な し,し

た が っ て 

で あ る.

そ し てp階

テ ン ソ ル τ に た い し て 

とす れ ば,τ

の

成分表示 は

(1.5.31) で 与 え ら れ る(Σ

  1.5.4 

は,i1,i2,…,ipの

交 代 テ ン ソ ル とpベ

  2階 テ ン ソ ル τ∈L2(V)が

そ れ ぞ れ に つ い て の1∼nの

和).

ク トル

任 意 のu,υ

∈Vに

た い して

(1.5.32) を満 た す な らば,τ は2階 に2ベ

交代 テ ン ソル な い し2ベ ク トル とい わ れ る.要 す る

ク トル とは ベ ク トル 空 間Vの

ベ ク トル の 対 を実 数 に 移 す 写 像

(1.5.33) で,任

意 のu,υ,w∈Vに

た い して

(1.5.34) を満 た す もの をい う.後 者 の 関 係 を歪 対 称 性 とい う.そ して2ベ

ク トル 全 体 の

集 合 を記 号 Λ2(V)で 表 す.   2ベ ク トル に た い して 和 と実 数 倍 を

(1.5.35) に よ り定 義 す れ ば,こ

の 和 と実 数 倍 に 関 して 集 合 Λ2(V)は ベ ク トル 空 間 を な

し,そ の 次 元 は 

で あ る.

  明 らか に 交 代 テ ン ソル で は,任 意 のuに

た い して

(1.5.36) で あ る が,逆

に こ の 式 を 満 た せ ば 必 ず 交 代 テ ン ソ ル で あ る.と

と き任 意 のu,υ

い う の も,そ

の

形 に 表 さ れ る が,こ

れ

に た い して

と な る か ら で あ る.   成 分 表 示 で は,2階

テ ン ソ ル τ は 一 般 に(1.5.24)の

が 交代 テ ン ソ ル で あ る た め に は

(1.5.37) で あ れ ば よ い.し

た が っ て2ベ

ク トル は

(1.5.38a) と 表 さ れ,よ

って

(1.5.38b)   ま っ た く 同 様 にpベ

ク トル(p階

  ベ ク トル 空 間Vのp個

交 代 テ ン ソ ル)を

定 義 で き る.

の ベ ク トル の 組(υ(1),υ(2),…,υ(p))に 実 数 を 対 応 さ せ

る写像

(1.5.39) がp重 線 形 か つ 歪 対 称,す

で あ る と き,こ

なわ ち

の 写 像 をpベ

ク トル と い う.

  そ し てpベ

ク トル に た い し て も,2ベ

定 義 で き,こ

の と きpベ

ク トル の 場 合 と 同 様 に,和

ク トル 全 体 の 集 合 Λp(V)は

の 次 元 は 

,た

と実 数 倍 が

ベ ク トル 空 間 と な る.そ

だ しp>nで

は Λp(V)={0}と

す る.

  1.5.5 

テ ン ソル の 交 代 化 と外積

  任 意 の テ ン ソ ル か ら 交 代 テ ン ソ ル を 作 る こ と を 交 代 化(alternization)と う.2階

テ ン ソ ル で は,交

と す れ ば よ く,A2を

代 化は

交 代 化 作 用 素(alternizer)と

ル の テ ン ソル 積 の 場 合

い

い う.と

く に τが1ベ

ク ト

(1.5.40)  一 般 にp階

テ ン ソ ル に た いす る交 代 化 作 用 素 は

た だ し   π=p個 と 書 く こ と が で き る.こ と り,sgn(π)は

(1.5.41)

の 置換=  こ に 和 はp個

そ の 置 換 の 符 号,つ

換 の と き-1の

値 を と る.た

の 数1∼pの

置 換 πの す べ て に た い して

ま り そ の 置 換 が 偶 置 換 の と き+1,奇

だ しp=0とp=1に

た い し て はAp=1と

置

す る.

  これ を用 い れ ば  

τが0階

テ ン ソ ル の と き   A0τ=τ 

 

τが1階

テ ン ソ ル の と き  A1τ=τ

τがp階

テ ン ソ ル の と き   Apτ=ωp 

 

と な る.す

は   0ベ

ク トル(ス

カ ラ ー),

  は   1ベ

ク トル(共

変 ベ ク トル),

は   pベ

ク トル

な わ ち 高 階 テ ン ソ ル を 交 代 化 す る こ と に よ り高 次(共

が 得 ら れ る.と

く に 

変)ベ

の 形 の と き は(1.5.40)と

ク トル 同様 に

(1.5.42) と 表 さ れ る.   次 に,pベ

ク トル の 外 積(exterior

 は じ め に,2個

の1ベ

product)を

次 の よ う に 定 義 す る.

ク トル の 外 積 を

(1.5.43) で 定 義 す る(∧

を 「外 積 記 号 」 と い う).明

の た め 外 積 は 交 代 積(alternating

product)と

ら か に  も い わ れ る.ま

で あ り,そ た

が 成 り 立 つ.し 称 の 写 像(す

た が っ て ω ∧ σ はVの な わ ち2ベ

は,n(n-1)/2個

ク ト ル)で

ベ ク トル の 対 か ら 実 数 へ の 双 線 形 ・歪 対 あ る.逆

に 任 意 の2ベ

ク ト ル(1.5.38)

の 外 積 εi∧εjを用 い て

(1.5.44) と 展 開 で き る.  り,{εi∧ εj}が2ベ

で あ る か ら,こ ク トル の 空 間 Λ2(V)の

  ま っ た く同 様 に,p個

の1ベ

の展 開 は 一 意的 で あ

基 底 に な っ て い る.

ク トル の 外 積 を

(1.5.45) で定 義 す る(p!の   このp個 つ の1ベ

因 子 を付 け な い で 定 義 す る テ キ ス トもあ るの で 注 意).

の 外 積 は2個

の 場 合 を そ の ま ま 拡 張 した もの で あ るか ら,ど の 二

ク トル を入 れ か え て も符 号 が 変 わ り,し た が って

で あ り,線 形 性 と歪 対 称 性 は 次 の よ うに 示 され る:

(1.5.46a)

(1.5.46b)

し た が っ て  がpベ

はpベ

ク トル の 空 間 Λp(V)の

ク ト ル で あ り,他

基 底 と な り,す

べ て のpベ

方  ク トル は 一 意 的 に

(1.5.47) の 形 に展 開 さ れ る(Σ

は 

  以 上 の外 積 の定 義 を一 般 化 してpベ を

の 範 囲 の和). ク トル(ωp)とqベ

ク トル(σq)の 外 積

(1.5.48) で 定 義 す る(右 和).こ

辺 は1,2,…,p,p+1,…,p+qの

す べ て の 置 換 πに つ い て の

れ が す べ て の υ(i)につ い て 線 形 で,か

つ 任 意 の υ(i)と υ(j)の入 れ か え で

符 号 を 変 え る こ と は ほ と ん ど 自 明 で あ る.上

式 は交 代 化 作 用 素 を用 いれ ば

(1.5.49) と表 す こ と も で き る.こ   例1.5.1 

れ だ け の 準 備 を し て,次

節 で 微 分 形 式 の 説 明 に 入 る.

応 力 テ ンソル

  3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 の ベ ク トル に つ い て の 基 本 的 な知 識 は 既 知 と す る.つ

まり

そ こ で の ベ ク トル は,正

れ ら

の 間 に 内 積(ユ

規 直 交 基 底(ex,ey,ez)を

ー ク リ ッ ド内 積)a・b=aibiが

るベ ク トル 空 間 をR3と

記 そ う((ax,ay,az)は

上 下 の 区 別 な くi=x,y,zに

用 い てa=aieiと

定 義 さ れ る.こ ベ ク トルaの

表 さ れ,そ

の よ うな ベ ク トル の 張 成 分 で あ り,同 一 添 字 は

つ い て 和 を と る).

  と くに 

と表 さ れ る(ey,ezも

り,こ れ が 正 規 直 交(orthonormal)の

同 様).そ

意 味 で あ る.こ

れ ゆ え, 

であ

の基底 の変 換

(1.5.50) を考 え る.こ

の 新 し い 基 底(ex',ey',ez')が

や は り正 規 直 交 で あ る た め に は

(1.5.51)   他 方,こ

の 変 換 に よ りベ ク ト ルaの

a=aiei=ai'ei'ゆ

え,成

成 分 が(ax',ay',az')に

変 換 さ れ た と す れ ば,

分 の変換 則 は

(1.5.52) こ の と き  す な わ ち,内

で あ る か ら,内 積 は 上 の 変 換 に た い し て 不 変, 積 は ス カ ラ ー 量 で あ る.

  し た が っ て,こ

の ユ ー ク リ ッ ド内 積 をb∈R3に

線 形 写 像 と見 な す こ とが で き る.そ

よ っ てa∈R3を

れ ゆ え こ の 場 合 は,R3自

実 数 に対応づ け る

体 がR3の

双 対 空間 で

あ り,共 変 ベ ク トル と反 変 ベ ク トル の 区別 は な く,添 字 も 上 下 の 区 別 を す る 必 要 は な い.ニ

ュ ー トン力 学 に 出 て くる 速 度 や 加 速 度 や 力 は,こ

  力 を 加 え た と き形 の 崩 れ な い物 体 で は,内

の よ う なベ ク トル で あ る.

部 に ひ ず み が 生 じ た と き,物 体 の 各 部

分 は 接 し て い る 面 を通 し て た が い に 力 を及 ぼ し あ っ て い る.こ 力 を応 力(stress)と

い う.物 体 内 の1点Pか

行 に 微 小 な 距 離PA,PB,PCを を考 え る(図1.5.1).面PBC,PCA,PABを

と り,PABCが

の 単 位 面 積 あ た りの

ら直 交 基 底ex,ey,ezの

そ れ ぞれ に 平

作 る 微 小 な 四 面 体(以 通 して 外 か ら物 体Kに

下,物

体K)

働 く応 力 を そ れ

図1.5.1

ぞれ

お よ び,面ABCを

とす る.こ

通 し て 外 か ら物 体Kに

れ ら は す べ てR3の

く応 力 のy成  △ABCの

働 く応 力 を

ベ ク トル で あ る.た

と え ば τxyはexに

垂 直 な 面 に働

分 を表 す. 面 積 をS,ま

と す る.α,β,γ

外 向 き法 線 ベ ク トル を

は 法 線 ベ ク ト ルnとex,ey,ezの

△PCA,△PABの

ま た,物 体Kの

た 面ABCの

面 積 は,そ

体 積 をV,平

な す 角 で あ る.こ

の と き,△PBC,

れ ぞれ

均 密 度 を ρ,加 速 度 を α,重 力 の よ う な 体 積 力 をVf

とす る と,そ の 運 動 方 程 式 は

そ こ で,面ABCを

通 し て 物 体Kが

外 部 に 及 ぼ す 単 位 面 積 あ た り の 力 をT(n)と

る と,作 用 ・反 作 用 の 法 則 よ りST(n)=-STで

物 体Kを

十 分 小 さ く と る と,S→0の

と表 され る.そ

あ り,上 式 を考 慮 す れ ば

極 限 でV/S→0ゆ

え,結 局

.そ

こ で い ま 

の 成 分 は 

別 の 単 位 ベ ク トル とす る と,mとT(n)の して 働 く応 力 のm方

向成 分

す

内 積,す

な わ ち各 点 でnに

を 垂 直 な面 を通

は,基

準 系 の と り方 に よ ら な い ス カ ラー 量 で あ る.

  す な わ ち,変

換 則 に だ け 着 目す れ ば,一

般 に ベ ク トルa∈R3,b∈R3に

た い して

は ス カ ラー で あ り,し た が っ て 線 形 写 像

は2階

テ ン ソ ル で あ る.物 理 で は,こ

の τ=(τij)を応 力 テ ン ソ ル(stress

い っ て い る.弾 性 体 内 部 に 働 く応 力 を 決 め る に は,作 点 を通 る 面 ま で 指 定 し な け れ ば な らず,そ

tensor)と

用 点 の 位 置 だ け で は な くそ の

の た め 応 力 を 表 す の に,ベ

ク トル 場 で は

な くテ ン ソ ル 場 が 必 要 に な る の で あ る.   ち な み に 「テ ン ソ ル」 の 語 源 は,「 緊 張 」 を 意 味 す るtension(ラ に あ る.物

理 用 語 と し て のtensionは

つ ま り 「テ ン ソ ル 」 は,元

英 語 で は 「張 力 」,仏 語 で は 「応 力 」 を 表 す.

来 は 「応 力 テ ン ソ ル 」の た め に 作 ら れ た 概 念 な の で あ る.

  例1.5.2 

ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ と エ デ ィ ン トンの イ プ シ ロ ン

  例1.5.1で

見 たR3の

  二 つ の ベ ク トルu,υ

テ ン 語 でtensio)

正 規 直 交 系 を 考 え る(共 変 ・反 変 の 区 別 を し な い). の ユ ー ク リ ッ ド内 積 を 

と書 く と,こ れ は,ク

ロ

ネ ッ カ ー の デ ル タ({δij})に よ る 二 つ の ベ ク トル の ス カ ラー へ の 双 線 形 写 像 と見 な し う るか ら,ク

ロ ネ ッ カー の デ ル タ を2階

テ ン ソ ル と 考 え る こ とが で き る.

  こ の こ とは 次 の よ う に し て も示 され る.直 交 系 の 間 の座 標 変 換 の 行 列C=(Cij)は

(1.5.53)

(単位行 列)  を 満 た す.こ

れ を(1.5.25)と

に 確 か に な っ て い る(こ   同 様 に,エ

見 く ら べ る と,こ

こ で は 上 下 の 区 別 な く,同

デ ィ ン ト ン の イ プ シ ロ ン(Eddington's

の 式 は2階

テ ン ソ ル{δij}の

一 添 字 は1∼3の epsilon)と

変換 則

和 を と る). 呼 ば れ る次 の 量 を定

義 す る: (i,j,k)が(1,2,3)の

偶 順 列,

(i,j,k)が(1,2,3)の

奇 順 列,

(1.5.54)

そ れ 以 外, す な わ ち, 

そ の 他 は0で

  座 標 系 の 変 換 行 列 は(1.5.53)を

あ る.

満 たす ゆ え

(1.5.55) 二 つ の 正 規 直 交 系 は,det と い う.det

あ る い は,列

Cを

C=1の

とき

「同 じ 向 き 」,det

直接 書 くと

を 入れか えれば行 列 式の 符号 が変 わ るか ら

C=-1の

と き 「逆 の 向 き 」

(1.5.56)   二 つ の ベ ク ト ルu,υ

∈R3に

た い し て,ベ

ク トル 積(vector

product)

(1.5.57) を定 義 す る.そ

の 変 換 則 は,ベ

こ こ で(1.5.56)の (det

ク トル 成 分 の 変 換 則ul'=uiCilを

両 辺 にCrjCskを

C)εijkCrjCsk=Cliεlrsが

か け てj,kで

得 ら れ,こ

用 いて

和 を と り,(1.5.53)を

れ を 用 い れ ば,上

使 う と

式 は

(1.5.58)  さ ら に,u,υ,wに

た い す る ベ ク トル3重

積(vector

triple

product)

(1.5.59) を定 義 す る.ベ

ク トル 成 分 の 変 換 則 よ り,変 換 さ れ た系 で の こ の値 は

(1.5.60)   (1.5.56),(1.5.58),(1.5.60)は,そ の 変 換 則 で あ る.こ 変 換 則 にdet 換 で は,そ

れ ぞ れ  れ ら は 通 常 の3階

テ ン ソ ル,ベ

Cが か か っ て い る の で, 

れ ぞ れ3階

テ ン ソ ル,ベ

は,向

ク トル,ス

  な お,こ

ス カ ラ ー(pseudoscalar)と

余 接 空 間 と1ベ

  前 節 の 議 論 に お い て,ベ Mの

点Qに

い う.

ク トル ク トル 空 間Vと

space)と

し て と くにm次

と っ た と き に,そ い い(T*M)Qと

記 す.

お け る 一 つ の 接 ベ ク トル を υQと し た と き,M上

関 数fのQで

の 方 向 微 分 は,Q点

を 通 り,Qで

元微 分 可 能 多様 体

れ に た い す る双 対 空 間 を

  さ て 点Qに

任 意 の 曲 線 を 

れ ら を区別 して 添字

余 接 バ ン ドル と 微 分 形 式

お け る 接 空 間(TM)Qを

余 接 空 間(cotangent

きを

れ に お う じて δや εの 添 字 も上 下 に 分 け れ ば よい.

1.6 

  1.6.1 

き を変 え な い 座 標 変

テ ン ソ ル(pseudotensor),

こ で は 反 変 成 分 と共 変 成 分 を 区 別 し な か っ た が,そ

を上 下 に 分 け る と き は,そ

カ ラー の

カ ラー の よ う に 振 る舞 うが,向

変 え る変 換 で は符 号 が 変 わ る.そ れ ゆ え これ ら を順 に,擬 擬 ベ ク トル(pseudovector),擬

ク トル,ス

の任 意 の 実 数 値

の 接 ベ ク ト ル が υQに 一 致 す る

と して

(1.6.1)

で 表 さ れ る(§1.4.3の(1.4.9b)).こ

の 右 辺 は 実 数 で あ る.そ

ル υQと 実 数 υQ[f]の こ の 対 応 を(TM)Qか

らRへ

こ で,ベ

ク ト

の 写像 とみ な し

(1.6.2a) な い し簡 単 に

(1.6.2b) と 表 す.こ

の 写 像 は 明 ち か に υQに つ い て 線 形 で あ る か ら,(df)Qは(TM)Qの

双 対 空 間(T*M)Qの

元,す

な わ ち1ベ

ク トル で あ る.

  局 所 座 標 表 示 

,お

さ れ る 双 対 基 底{εiQ}を

使 え ば,上

式 は(1.4.18)に

よ び 

で定 義

よ り

(1.6.3) と 表 さ れ る(dim こ で υQは(TM)Qの

M=mに

と っ て い る の でiは1∼mに

つ い て 和 を と る).こ

ベ ク トル で あ れ ば 任 意 で あ る か ら,写

像 についての等式

(1.6.4) が 成 り 立 つ.こ

れ を 関 数fの

(∂f/∂qi)Qを 成 分 と す る1ベ

ク トル(共

の ス カ ラ ー 関 数 の あ る 点Qで 値 が 決 ま る 量 で あ り,ベ あ る か ら,そ

ク トル(反

れ 自 体 は1ベ

の 微 分(differential)と

い う.こ

変 ベ ク トル)で

ま り 空 間M上

の 微 分 と は,変

表 さ れ る(df)Qが

あ る.つ

れ は

化 の 方 向 υQを 特 定 し て は じ め て

変 ベ ク トル)に

ク トル(共

ル 量 で あ る こ との 認 識 が,微   (1.6.4)で

点Qで

ス カ ラー を対 応 させ る 量 で

変 ベ ク トル)な

の で あ る.微

分がベ ク ト

分 形 式 の 理 論 の 一 つ の 鍵 に な っ て い る. 確 か に 共 変 ベ ク トル で あ る こ と は,座

標変 換

に と も な う成 分 の 変 換 則

が1ベ

ク トル の 成 分 の 変 換 則(1.5.19b)に

ら れ る.こ

の こ と は(df)Qが(1.6.2)に

な っ て い る こ とか ら直 接 に 確 か め よ り座 標 系 に よ ら な い で 定 義 さ れ た

も の で あ る か ら 当 然 で あ る.   と く に 関 数fと (1.6.4)は

し て 座 標 関 数qi(点Qにqiを

対 応 づ け る 関 数)を

と る と,

と な り,こ

う して 得 られ る

(1.6.5) を余 接 空 間(T*M)Qの

自 然 基 底 とい う.こ

の と き(1.5.4),(1.5.5)は

(1.6.6) (1.6.7) ま た こ の 自 然 基 底 を 使 え ば,1ベ

ク トル(1.6.4)は

(1.6.8) と表 さ れ,逆

に(T*M)Qの

任 意 の1ベ

ク トル は

(た だ し  の 形 に 展 開 さ れ る.こ   ベ ク トル(反

れ は(1.5.7)と

変 ベ ク トル) 

ル) 

(1.6.9)

) 

同 じ も の で あ る. と1ベ

ク ト ル(共

変 ベ ク ト

か ら得 ら れ る 実 数

(1.6.10) は,§1.5.2で

定 義 さ れ た ωQと υQの 双 対 内 積 で あ り

(1.6.11) の よ う に 表 さ れ る.と

く に 

で あ り,こ

の 記 法 を使 え ば

の よ う に 表 さ れ る.

 1.6.2

1形 式(1次

 多様 体M上

外 微 分 形 式)

の す べ て の 点 の 余 接 空 間(T*M)Qの

和 集合

(1.6.12) を余 接 バ ン ドル(cotangent の す べ て の1ベ で あ る.余 い(§1.4.5と

bundle)と

ク トル の 集 合 で あ り,そ

い う.M上

れ 自体dimT*M=2dimMの

接 空 間 と余 接 バ ン ドル の 関 係 は,接 そ こ で の 脚 注6参

  そ し て 多 様 体M上

の す べ て の 点 の 余 接 空 間上 多様 体

空 間 と接 バ ン ドル の 関 係 に 等 し

照).

の 各 点Qに(T*M)Qの

元 ωQを 一 つ ず つ 対 応 さ せ る対 応

(1.6.13)

をM上

の1形

式(1form,な

ば,1形

式 ω は 点Qで

の 関 数 で あ り,1形

い し1次(外)微

の そ の 値 が1ベ

式 と1ベ

分 形 式)と

ク トル(共

い う.平

変 ベ ク トル)ωQに

た くい え な るM上

ク トル の 概 念 的 区 別 は ベ ク トル 場 と(反 変)ベ

ク

トル の 区 別 に 対 応 し て い る.   さ て1形

式 ω お よ び σ に た い し て,a∈Rと

し て,和

と実 数 倍

(1.6.14) が 定 義 され,こ

の和 と実 数 倍 に関 して1形

 ま た,fをMの

各 点Qでf(Q)の

式 の 集 合 はベ ク トル 空 間 をな す.

値 を と る関 数 とす る と

(1.6.15) に よ り 関 数 と1形

式 の 積 が 定 義 さ れ る.

  座 標 近 傍(U,φ)を

と り,そ

の と る 値 が ωQ=ωiQ(dqi)Qと 値 を と るU上

の 上 で1形

表 さ れ る と す る.そ

の 関 数 ωiのm個

底 を 与 え るm個

の1形

を考 えれ ば,1形

式 ω を 考 え た と き に,点Q∈Uで

の 組,お

こ でU上

よ び 各 点Qで

の 各 点Qで

ω ωiQの

その点の余接 空間 の基

式

式 ω はU上

で

(1.6.16) と 表 す こ と が で き る.こ   た と え ば1ベ

ク トル(df)Qは

か ら,点Qに(df)Qを

は,同

れ を1形

式 の 局 所 座 標 表 示,ωiを 局 所 座 標 表 示 で は(1.6.8)の

対 応 づ け る1形

そ の 成 分 と い う. よ うに表 され る

式

じ局 所 座 標 表 示 で

(1.6.17) と表 さ れ る.こ   さ ら に1形

の1形

式 を 関 数fの

式 ω=ωidqiと

<ωQ￨υQ>=ωiQυiQの

全 微 分(total

differential)と

ベ ク ト ル 場 υ=υi∂iが あ る と き,U上

い う. の 各 点 で

値 を とる 関数

(1.6.18) を定 義 す る と,関 数 関 係 と して 等 式

(1.6.19) が 成 り立 つ.こ

れ を 「ベ ク トル 場 υに1形

と い う.つ ま り多様 体 の 各 点 で1ベ を与 え る関 数 を,1形

式 ωを作用 させ て得 られ る関数 」

ク トル の(反 変)ベ

ク トル に た い す る作 用

式 とベ ク トル 場 を使 っ て 同 じ形 に 書 くこ とが で き るの で

あ る.実 際 こ の書 き方 を用 い れ ば,関 数 関 係 と して次 の 諸 式 が 成 り立 つ:

(1.6.20) こ の 第3式

の 右 辺 はM上

関 数 を 表 す.と

の 各 点Qでfの

く に υ=c=qi∂iの

υQに よ る 方 向 微 分 υQ[f]を 与 え る

場 合,関

数

(1.6.21) を パ ラ メ ー タtに

関 す る 全 導 関 数(total

derivative)と

い う.

 1形 式 の こ の よ う な 操 作 主 義 的 意 味 を 強 調 す る た め に,● 白)を

表 し て,ω

を ω[●]な

とは ●(ブ ラ ン ク)にM上

い し<ω￨●>と

も 記 す.要

で ブ ラ ン ク(空

す る にM上

の ベ ク トル 場 を入 れ れ ば,M上

の1形

式

の各 点で双対 内積

を値 とす る実 数 値 関 数 が 出 て くるマ シー ン と思 え ば よい.   な お1形

式 が 局 所 座 標 の 変 換 

い 意 味 を もつ た め に は,す

に よ らな

なわ ち

(1.6.22a) を 満 た す た め に は,ωiとdqiは (1.5.19ab)に

各 点 で1ベ

ク トル の 成 分 お よ び 基 底 の 変 換 則

し た が わ な け れ ば な ら な い か ら,各

点 で

お よ び  を満 た さ な け れ ば な らな い.言

い か え れ ば,2個

うな 関 係 が あ る とき に は そ の2個 お い て1形

(1.6.22b) の1形

式 の成 分 の 間 に こ の よ

の1形 式 は 同 じ もの な の で あ る.そ の 意 味 に

式 は 座 標 の選 び 方 に よ らな い 幾 何 学 的 対 象 で あ り,ベ ク トル 場 と と

もに,力 学 を共 変 的 に記 述 す る ため に 必 要 不 可 欠 な 道 具 とな る.   (1.6.22)は

正 確 に書 け ば 次 の よ うに な る.

  写 像 

に た い し て,T*N上

の1形

式 

の 引 き戻 し φ*ω を

(1.6.23a) で 定 義 す る(2形 り,座

式 以 上 も 同 様).こ

れ は 関 数 の 引 き 戻 し(1.4.42)の

標 を 用 い れ ば((1.4.44)とp.51脚

注9参

拡張 であ

照)

こ こ に υ は任 意 で あ る か ら

と くに

(1.6.23b) が 得 られ る.結 局,「 引 き戻 し」 とは写 像 後 の座 標 成 分{pj}を 写 像 前 の座 標 成 分{qi}で 表 す こ とに 他 な らな い.な お,MとNが の 場 合 や 写 像 φに よ って 空 間MとNが

同 じ空 間 で φが 座 標 変 換

同 一 視 さ れ る場 合 に は,(1.6.22)の

よ うに φ*を 省 略 す る こ とが 多 い.

  1.6.3  テ ン ソル 場 と リー マ ン計 量  上 の 議 論 と 同様 に して,Mの

各 点Qで(共

変)テ

ン ソ ル τQが定 義 で き る.

そ の 張 る 空 間 が  てMの

各 点Qに

をM上

のp階

空 間 

のp階

テ ン ソ ル 場 と い う.つ

  座 標 近 傍(U,φ)に 場 τが 点Qに

で あ る.そ

ら,関 数  τはU上

で

な わ ち τのQに

はUの の 点Qで

の テ ン ソ ル 値 関 数 で あ る.

基 底 を{(dqi)Q}と

お い て と る テ ン ソ ル,す

と表 さ れ る とす る.成 分 

テ ン ソ ル を一 つ ず つ 対 応 させ る対 応

ま り τはM上

お い て(T*M)Qの

し

各 点Qご

し た と き,テ

ン ソル

お け る値 が

とに 決 ま る実 数 で あ るか

の 値 と考 え て よ く,そ の と きテ ン ソ ル場

(1.6.24) と 表 す こ と が で き る(Σ

はi1,i2,…,ipの

そ れ ぞ れ に つ い て の1∼mの

和).

  本 書 の 目 的 に と っ て は 一 般 の 高 階 テ ン ソ ル 場 は あ ま り必 要 が な い の で,こ で は 計 量 テ ン ソ ル 場(リ

ー マ ン 計 量)に

  2階 対 称 テ ン ソ ル 場 と は,任 を い う.そ

し てM上

正 定 値 の と き,つ

の2階

意 の 点Qに

お け る 値 τQが対 称 テ ン ソ ル の も の

対 称 テ ン ソ ル 場g:Q〓gQがM上

ま り任 意 の0で

こ

つ い て だ け 触 れ て お く.

の 各 点Qで

な い ベ ク トルuQ∈(TM)Qに

た い して

(1.6.25) の と き,こ

の テ ン ソ ル 場gをM上

ル と い う.局

の リ ー マ ン計 量,テ

所 座 標 表 示 で は,リ

ン ソ ルgQを

計量 テ ンソ

ー マ ン計 量 は

(1.6.26) と 表 さ れ る.曲

面 の 場 合 の 第1基 本 形 式(1.2.3)を

一 般 化 し た も の で あ る.

そ し て リー マ ン 計 量 を も つ 多様 体 を リー マ ン 多 様 体 な い し リ ー マ ン 空 間 とい う.   リー マ ン 多 様 体 で はMの

各 点 で の接 空 間 に 内 積

(1.6.27) が 定 義 され る.こ れ は 局 所 座 標 表 示 で表 せ ば

(1.6.28)   ま た リー マ ン 多 様 体 で は,(反

変)ベ

ク トル 場u=ui∂iを

計 量 テ ン ソル 場

 を用 い て (● は ブ ラ ン ク) 

の よ うに 双 対 空 間 に 写 像 す る こ とに よ っ て,1形

(1.6.29)

式

(1.6.30) が 得 られ る.こ れ は 計 量 テ ン ソル に よ る添 字 の上 げ 下 げ に 対 応 して い る.こ の よ うに リー マ ン 多様 体 で は,計 量 テ ン ソル を介 し て ベ ク トル(反 変 ベ ク トル) と1ベ ク トル(共 変 ベ ク トル),さ

ら に ま たベ ク トル 場 と1形 式 が1対1に

対

応 して い るの で,接 空 間 と余 接 空 間 は 同型 で あ る.そ の た め た とえ ば上 で 定 義 した2個 の 反 変 ベ ク トル の 内積

(1.6.31) は,1ベ

ク ト ル 

とベ ク トルvQの

双対 内積

(1.6.32)

と 同 じ も の に な る.な

お

の よ う な表 現 も便 利 で あ る.gは

対 称 テ ン ソ ル ゆ え,こ れ ら の 式 でuと

υの

順 序 を 入 れ か え て も よい.   ま た リー マ ン 多様 体 で は,曲 線 の 接 ベ ク トル 

の長 さは

(1.6.33) し た が っ て,曲

線 

の 長 さ が,計

量 テ ン ソ ルgを

使 って

(1.6.34) と表 さ れ る.   §1.1∼ §1.3で 論 じ た 曲 面 は リー マ ン 多 様 体 で あ り,そ 結 果 を 先 取 り し て い る.と

くに §1.1の{mij}お

よ び §1.2で

1基 本 量 は 計 量 テ ン ソ ル の 成 分 に 他 な ら な い.そ 部 分,適

こでの議論 は本節 の 用 いた 曲面の 第

し て 力 学 で 扱 う 多 様 体 は,大

当 に 計 量 を 導 入 す る こ と で リー マ ン 多 様 体 に す る こ と が で き る.と

う の も,k個

の 拘 束 条 件 の あ るN個

内 に 埋 め 込 ま れ た(3N-k)次

の 質 点 の 系 の 配 位 空 間 は,R3N次

元 超 曲 面 で あ り,当

然 こ れ はR3Nに

い

元空 間

備 わってい

た 計 量 を 引 き 継 い で い る か ら で あ る.

  1.6.4  p形 式(p次

外微 分 形 式)

  一 般 の 高 階 テ ン ソル 場 は あ ま り必 要 な い け れ ど も,高 階 の 交代 テ ン ソ ル場 は 高 次微 分 形 式 と して 重 要 で あ る.   Mの

各 点Qでpベ

す る.そ こ でMの

ク トル が 定 義 さ れ,そ 各 点Qにpベ

の 集 合 の 空 間 Λp((TM)Q)が

ク トル(ωp)Qを 一 つ ずつ 対 応 させ る対 応

(1.6.35)

た だ し  が 考 え られ る.こ   座 標 近 傍(U,φ)を ク トル は,局

れ をp形

式(な

い しp次

と っ た と き,p形

所座 標表示 で

存在

微 分 形 式)と

式 ωpがQに

い う.

お い て 値 と し て と るpベ

と 表 さ れ る(Σ'は   は 点Qで

の 範 囲 で の 和).こ

決 ま る実 数 で あ るか ら,関 数 

の 値 と考 え て よ い.し た が ってp形

式 は,U上

の展 開 係 数 の 点Qで

で

(1.6.36) と表 され る.こ れ がp形

式 の局 所 座 標 表 示 で あ る.

 外 積 の性 質 よ り,pベ

ク トル の 基 底 とp個 の(反 変)ベ

ク トル の 関係 と して

(1.6.37)

が 成 り立 つ((1.5.46b)参 の 表 記 法(1.6.18)に

照).そ な ら い,Mの

こ で,1形

式 の ベ ク トル 場 に た い す る 作 用

各 点Qで

(1.6.38)

を値 とす る 関数 を

(1.6.39) で 表 す.こ Mの

の 表 記 法 で は,p形

各 点Qでpベ

式 ωpとp個

ク トル(ωp)Qお

の ベ ク ト ル 場u(i)の

よ び 反 変 ベ ク トル(u(i))Qを

そ れ ぞ れ を,

値 に と る関 数 で

あ る と考 え れ ば よ い.

 2形 式 の 場 合 に具 体 的 に い う と,こ

うで あ る.局 所 座 標 表 示 で は2形 式 は

(Σ'はi<jに 他 方,反 (1.6.20)を

変

ベ

ク

ト ル 場

はu=ui∂i,υ=υi∂iの

(1.6.40)

つ い て の 和),  よ う に 表

さ れ

る.そ

こ で

使 い

(1.6.41)

と して,こ の 右 辺 をM上

の 関 数 と見 なせ ば よ い の で あ る.

 こ の 表 記 法 を さ ら に拡 大 す れ ば,●

で ブ ラ ン クを 表 して,2形

式から

(1.6.42) (1.6.43) と す る こ と に よ り,右

辺 で 表 さ れ る1形

は,●(ブ

一 つ の ベ ク トル 場 を 入 れ れ ば1形

ラ ン ク)に

式 が 得 ら れ る.こ

こで も

式 が,二

つ の ベ ク トル

場 を 入 れ れ ば 実 数 値 関 数 が 得 ら れ る マ シ ー ン で あ る*1.   再 三 い う こ と に な る が,M上 関 係 を値 とす る 関 数 と し て,p形 す こ とが で き る.し

の 各 点 で のpベ

ク トル や 反 変 ベ ク ト ル の 間 の

式 や ベ ク トル 場 の 間 の 関 係 を 同 じ 形 に 書 き 下

た が っ て た と え ば 各 点Qでpベ

積 ωpQ∧ ωqQを 値 と す る 関 数 と し て,p形

ク トル とqベ

式 とq形

ク トル の 外

式の外積

(1.6.44) を 定 義 で き る の で あ る.

  1.6.5 

外

微

分

  す で に 見 た よ う に,ス 得 ら れ た.こ

カ ラ ー 関 数(0階

テ ン ソ ル)の

の 操 作 を 次 の よ う に 一 般 化 し て,p形

る.こ

のp+1形

式 を 外 微 分(exterior

  M上

の ス カ ラ ー 関 数fに

式 か らp+1形

derivative)と

た い す る 外 微 分 を,そ

全 微 分 に よ り1形

式 が

式 が 得 られ

い う.

の全微 分

(1.6.45) で 定 義 す る.次

に1形

式 ω=fidqiの

外微分 を

(1.6.46)

*1  な お<ω2￨υ

,●>,も

っ と 一 般 的 に は<ωn￨υ,●,●,…,●>の

よ う な ベ ク ト ル 場 υ とn次

微 分 形 式 ωnの 積 を数 学 で は 内 部 積(interior product)と い う.こ れ は,数 学 の テ キ ス ト で は  な い しiυωnな い しi(υ)ωnの よ う に 表 記 さ れ て い る こ と が 多 い が,「 マ シ ー ン 」 と い う よ う な 操 作 主 義 的 な 見 方 を す る 場 合 に は,本

書 の よ う な 表 記 法 が 便 利 に 思 わ れ る.

で 定 義 す る.こ

こ に ∧ は 外 積 記 号,Σ'はi<jに

  こ の 定 義 が 意 味 を もつ た め に は,外 な け れ ば な ら な い が,そ   い ま,二

微 分 が 局 所 座 標 系 に よ ら な い こ とを示 さ

の た め に は 次 の よ う に す れ ば よ い.

つ の 座 標 系(q1,q2,…,qm)お

と 表 さ れ る とす る.こ

つ い て の 和 を 表 す.

よ び(q1,q2,…,qm)で

の と きdf=dfは

ほ とん ど 自 明,第2式

では

で な け れ ば な らな い か ら

最 後 の 等 号 で はdqk∧dqiがkiに つ い て 対 称 だ か ら 第2項

つ い て 反 対 称,偏

が 消 え る こ と を使 っ た.し

導 関 数(∂k∂iqj)がkiに たが って

す な わ ち,外 微 分 は 座 標 系 に よ ら な い.   上 の 定 義 を さ らに 拡 張 して,p形

(Σ'は 

式

の 範 囲 で の和)に た い す る外 微 分 を

(1.6.47) で 定 義 す る.こ

れ が 局 所 座 標 系 に よ ら な い こ と の 証 明 は,上

と同様 に で き る の

で 省 略 す る.こ

の よ う に,M上

の 外 微 分 はM上

の(p+1)形

式 を 与 え る.た

  例 と し て,R3(3次

にp形

だ し,ス

式 が 与 え ら れ る と,そ カ ラ ー 関 数 は0次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間)で

微 分 形 式 と見 な す.

の デ カ ル ト座 標(x,y,z)を

た 場 合 を挙 げ て お こ う:   例1 

ス カ ラ ー 関 数(0形

i.e. 

式) 

;

(た だ しdr=(dx,dy,dz)). 

(1.6.48)

用 い

 

 例2  1形 式

(ただ しdS=(dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy)).

i.e. 

(1.6.49)  例3  2形 式

(た だ しdV=dx∧dy∧dz). 

i.e. 

  こ れ ら の 例 か ら わ か る よ う に,外 勾 配(gradient)や

微 分 は3次

回 転(rotation)や

(1.6.50)

元 ベ ク トル 解 析 で よ く知 ら れ た

発 散(divergence)の

演 算 を 統 合 し一 般

化 し た も の な の で あ る.

 1.6.6  ポ ア ン カ レの 補 題  外 微 分 の 定 義 よ り,以 下 の 公 式 が 導 か れ る:

(1.6.51)

(ⅰ) 

 (1.6.52)

  (ⅱ)   (ⅲ) 

(1.6.53)

  (ⅳ) 

(1.6.54)

こ こ で ωp,σpはp形   (ⅰ),

(ⅱ)は

ス カ ラ ー 関 数 で あ る.

ほ と ん ど 自 明.な

と き,d(fg)=gdf+fdgと   (ⅲ)は

式,fは

な る が,こ

次 の よ う に 示 さ れ る:

ま た(ⅳ)は,外

を考 慮す れば

お(ⅱ)はp=0,ωp=g(ス

積の線形性

カ ラ ー 関 数)の

れ は 「ラ イ プ ニ ッ ツ の 規 則 」 に他 な ら な い.

の場 合 に つ い て 証 明す れ ば 十 分 で あ る.こ の と き

こ こ で1形

式 ど う し の 外 積 で は 

順 送 り にdqipの

と な る こ と を 使 っ て,dgを

後 ま で も っ て ゆ け ば(ⅳ)が

ツ の 規 則 」 の 拡 張 で あ る が,-(マ   さ ら に,(ⅲ)を

得 ら れ る.(ⅳ)は

イ ナ ス)の

拡 張 し た も の と し て,任

「ラ イ プ ニ ッ

べ き乗 が つ く こ と に 注 意.

意 の 微 分 形 式 ω に た い して

(1.6.55a) が 成 り 立 つ.一 form),そ

般 に 微 分 形 式 Ω が Ω=dω

し てdΩ=0と

用 語 を 用 い れ ば,こ Ω=dω(Ω

と 書 け る と き Ω を 完 全 形 式(exact

な る 微 分 形 式 を 閉 形 式(closed

form)と

い う.こ

の

の命題 は が 完 全 形 式)⇒dΩ=0(Ω

が 閉 形 式) 

(1.6.55b)

を主 張 す る もの で あ る.証 明 は 以 下 の とお り:  こ れ も 

の 場 合 につ い て 示 せ ば 十分 で あ る. (外 微 分 の 定 義(1.6.47)),

さ らに(ⅳ)を

用 いれば

しか る に外 微 分 の 定 義 に 照 らせ ば  りd(df)=0で

,ま た(ⅲ)よ

あ るか ら,結 局d(dω)=0. 

 先 に 挙 げ たR3で

の例 に つ い て,こ

■

の 命 題 を具 体 的 に記 して お こ う:

(1.6.56) (1.6.57) もち ろん こ れ らは3次 元 ベ ク トル 解 析 で 周 知 の公 式

を 表 して い る.   こ の 命 題(1.6.55)の

逆 を ポ ア ン カ レ の 補 題(Poincare's

lemma)と

い う,

す なわ ち dΩ=0(Ω

が 閉 形 式)⇒

Ω=dω(Ω

が 成 り立 つ こ とで あ る.そ の 意 味 は,Ω

が 完 全 形 式) 

が 閉 形 式 で あ れ ば,あ

(1.6.58)

る ωが存 在 し

Ω=dω

と書 くこ とが で き る とい う こ と で あ る*2.

  ポア ン カ レの 補 題 は 厳 密 に は局 所 的 に しか 成 り立 た な い(局 所 的 と い う意 味 は 後 で示 す).し

か し,力 学 で実 際 に扱 う 多様 体 で は た い が い大 域 的 に も成 り

立 つ と し て 問 題 は な い.こ 示 して お こ う.Ω

な ら ば,あ

が1形 式 で Ω=Eidqiの

る 関 数Φ

主 張 で あ る.R3上

こ で は Ω が1形 式 の 場 合 に つ い て,証

が 存 在 し Ω=dΦ,す

形 の と き,ポ ア ン カ レの 補 題 は

な わ ちEi=∂iΦ

で は 

保 存 場 で あ る 条 件 で,Φ

明 の概略 を

と表 さ れ る と い う

と い う こ と で,こ が ポ テ ン シ ャ ル を 表 す.し

れ はEが

た が って 証 明 は

(1.6.59) が 成 り立 つ と きに  ば よ い.こ

とな る関 数 Φ を作 れ る こ と を示せ

こ に各Eiは 

の 関数 で あ る.そ の ため に は

(1.6.60) と と れ ば よ い.実

以 下,同

際,こ

うす れ ば

様 に す れ ば す べ て のiに

の た め に は 積 分(1.6.60)が の 補 題 が 成 り立 つ の は,す

た い し て ∂iΦ=Ei(q)が

存 在 し な け れ ば な ら な い.そ べ て のEiが

示 さ れ る.た れ ゆ え,ポ

だ しそ ア ンカレ

積 分 可 能 な 範 囲 に 限 ら れ る(こ

の点 は

節 末 で 再 び 触 れ る). *2  多 くの 数 学 書 で は(1 る け れ ど も,H.

.6.58)を

Flanders『

「ポ ア ン カ レ の 補 題 」,(1.6.55)を

微 分 形 式 の 理 論 』 岩 堀 長 慶 訳(岩

分 ・位 相 幾 何 』(岩 波 書 店1996),木 ウ ヒ ル1988増 補 改 訂 版1996)で

「そ の 逆 」 と し て い

波 書 店1967),和

達三樹

『微

村 利 栄 ・菅 野 礼 司 『微 分 形 式 に よ る解 析 力 学 』(マ グ ロ は(1.6.55)を 「ポ ア ン カ レ の 補 題 」 と 呼 ん で い る.

  1.6.7 

微分 形式の積 分

  曲 線 

に そ っ た1形

接 ベ ク トル 場 をc=qi∂i(た

式 ω1の 積 分 は,c=q(τ)の

だ しqi=dqi/dτ)と

して

(1.6.61a) で 定 義 さ れ る.こ cに

れ を 線 積 分 と い う.右

よ る 引 き 戻 しc*ω1を

辺 は 通 常 の 積 分 で あ る.な

お こ れ は,

用 いて

(1.6.61b) と考 え て も よ い.こ

れ が パ ラ メ ー タ τの 選 び 方 に よ ら な い こ と は,τ=τ(σ)

(た だ しdτ/dσ>0)に

よ り積 分 変 数 を σ に 変 換 し て 直 接 確 か め れ ば よ い.

  同 様 に,2形

式 ω2の 曲 面 上 で の 積 分 は,曲

う に パ ラ メ ー タ 表 示 し,ξ=const.の

面N上

の 点 をP=q(ξ,η)の

曲 線 の 接 ベ ク トル と η=const.の

よ

曲線 の

接 ベ ク トル を そ れ ぞ れ

(1.6.62) と して,次 式 で定 義 され る:

(1.6.63) これ を面 積 分 とい う.こ こ にSはN上 積 分 領 域S上

の 積 分 領 域,Sは

パ ラ メー タ(ξ,η)が

で と る範 囲 で,右 辺 は通 常 の 重積 分,<ω2￨u,υ>は

(1.6.64) と な る 関 数 で あ る((1.6.41)参 り,ま

た 

照).た

だ し 

で あ

は ヤ コ ビ行 列 式 を 表 す.

  し た が っ て 面 積 分(1.6.63)は

次 の よ う に 書 き 直 さ れ る:

(1.6.65)   こ れ は 数 学 的 に 丁 寧 に い う と,次  曲 面N上

の 点 をq(x,y)の

を 対 応 づ け る 写 像 φ:R2→Nを き戻 し

の よ う に な る.

よ う に パ ラ メ ー タ 表 示 し,平 考 え(図1.6.1),1形

面(x,y)と 式dqiの

曲 面N

φ に よ る引

図1.6.2

図1.6.1

(1.6.66) をR2上

で の微 分 形 式 と見 な す.こ

う して ω2自 体 をR2上

に 引 き戻 せ ば

(1.6.67) と な る(Σ'はi<jに

つ い て の 和,図1.6.2参

関 係 

照).最

後 の 等 号 は,外

を 使 っ た.通

省 略 さ れ る 場 合 が 多 い が,こ

こ で は1形

と を は っ き り さ せ る た め に,φ*を   し た が っ て,こ

微 分 の

常 は 左 辺 の φ*が

式{dqi}と{dx,dy}の

空間が異 なるこ

省 略 し な い で お い た.

れ よ り微 分 形 式 の 積 分 ど う し の 関 係

(1.6.68) が 得ら れ る(S=φ-1(S)と よ い.(1.6.65)で

す る).こ

れ を 面 積 分 の も う一 つ の 定 義 と考 え て も

の 面 積 分 の 定 義 は,こ

の(1.6.68)式

ぞ れ 積 分 パ ラ メ ー タ ξ,ηで 形 式 的 に 置 き か え,微 dξdη と 読 み か え た も の に な っ て い る.い コ ビ 行 列 式 が 出 て く る の で,曲

の 右 辺 でx,yを

分 形 式dx∧dyを

そ れ

面積 要素

ず れ にせ よ被 積 分 関 数 に 自動 的 にヤ

面 の 座 標 を(ξ,η)に

変 換 した と き

と な り,面

積 分 は 積 分 パ ラ メ ー タ の 選 び 方 に よ ら な い 値 を もつ.

 な お,パ

ラ メ ー タ(ξ,η)が 正 し く曲 面 を 座 標 づ け る た め に は

で な け れ ば な らな い(≠0で

あ れ ば よ い が,そ

うで あ れ ば つ ね に 正 か つ ね に 負

で あ り,つ ね に 負 とな る場 合 は ξ と ηを 置 きか え れ ば よ い).し た が っ て,座 標 変 換 が 問 題 な くな され る ため に は,変 換 の ヤ コ ビ行 列 式 もつ ね に

で な け れ ば な らな い.い つ で も こ うな る よ う にN全 ど うか はNの

性 質 に よ る.こ

体 で 局 所 座 標 を とれ るか

う な る よ う に局 所 座 標 が とれ る と き,曲 面Nは

向 きづ け られ て い る とい う.   一 般 的 に は次 の よ うに い う.   二 つ の 座 標 近 傍  こ ろ で,ヤ

が 重 なって い る と

コ ビ行 列 式 が

の と き,二 つ の 座 標 近 傍 は 同 じ向 き で あ る とい う.さ ら に 多 様 体Mを

覆 い尽

くす 座 標 近 傍 系 を う ま く とる こ とに よ り,ど の 座 標 近 傍 も重 な っ て い る もの ど う し で は 同 じ 向 きに す る こ とが で き る と き,Mは able)と

向 き づ けが 可 能(orient

い う.

  向 きづ け が 可 能 な 多様 体 の領 域Aで

の 積 分(Σ'は 

のp形

式

の 和)は 次 の よ うに定 義 され る:

(1.6.69) こ こ にAは

パ ラ メー タ 

が 積 分 領 域A上

で と る範 囲,ま

た 

で あ る.

  1.6.8 

ス トー ク ス の 定 理

  向 き づ け の 可 能 な 多 様 体Mの ∂D(そ

れ 自 体(n-1)次

で あ る か らDに ξ2,…,ξn-1)にDの

中 のn次

元 多 様 体)を

元 部 分 多 様 体 の 領 域Dと

考 え る.こ

た い し て も正 の 向 き を 決 め る.そ

の と きDも

そ の境 界

向 きづ け が 可 能

し て ∂Dの 座 標 近 傍(V;ξ1,

外 に 向 か う 座 標 軸 ξ0を 付 け 加 え た と き(ξ0,ξ1,ξ2,…,

ξn-1)がDの

正 の 向 きに な る な らば,境 界 ∂Dは 正 の 向 き で あ る と決 め る.た

と えばDが3次 Dの

元 空 間 内 の2次 元 平 面 上 の 閉 曲線 ∂Dで 囲 まれ た領 域 の 場 合,

座 標 を右 手 系 に と る な らば,境

界 に そ って つ ね に 内側 を左 に 見 て 回 る 向

きが ∂Dの 正 の 向 きで あ る(図1.6.3)*3.

図1.6.3  領 域 の 境 界 と向 き

  n次 元 の 領 域Dと

境 界 ∂Dに 向 きの つ け られ る と き,任 意 の(n-1)次

微分

形 式 ω に た い して

(1.6.70) が 成 り 立 つ.こ

れ を ス トー ク ス の 定 理(Stokes'

  理 解 の 便 宜 の た め に,証   例1 

Dが

曲 線c(1次

theorem)と

い う.

明 に 先 立 っ て い くつ か の 例 を 挙 げ て お く: 元)で

∂Dが 曲 線 の 両 端A,B(0次

元)の

場 合,

(1.6.71) こ れ は 微 積 分 法 の 基 本 定 理(fundamental

theorem

of calculus)に

他 な らな

い.

  例2  DがR2平

面 上 の 閉 曲 線 ∂Sで 囲 まれ た 領 域Sで 

が っ て 

,し た

の場 合,

(1.6.72) こ れ は,(x,y)そ

の も の を積 分 パ ラ メ ー タ に と っ て 通 常 の 積 分 に 書 き 直 せ ば

(1.6.73) *3  n次 元 多様 体 の 領 域Dに

た い して 「Dの 外 に向 か う」 とい うこ と を正 確 に 定 義 す る た

め に は,少 し うる さい 議 論が 必 要 で あ るが,込 み 入 った議 論 は数 学 書 に ゆ だね,こ 直観 的に 理 解 して も ら って よ い.

こで は

と な り,よ

く知 ら れ た2次

他 な ら な い.あ   例3 

元 平 面 で の グ リ ー ン の 定 理(Green's

theorem)に

ら た め て 証 明 す る に は 及 ば な い で あ ろ う.

DがR3内

の 曲 面 上 の 閉 曲 線 ∂Sで 囲 ま れ た 領 域Sで

の 場 合,(1.6.49)す

な わ ちdω=(rot

F)・dsを

使 え ば,

(1.6.74) これ は3次 元 空 間 で の 通 常 の ス トー ク スの 定 理 を与 え る.  例4  DがR3内

の 閉 曲面 ∂Vで 囲 ま れ た体 積 領 域Vで

の 場 合,(1.6.50)す

な わ ち 

を使 え ば

(1.6.75) こ れ は3次

元 空 間 の ガ ウ ス の 定 理(Gauss'

theorem)を

  さ て 一 般 的 な ス トー ク ス の 定 理(1.6.70)に は 高 次 元 多 様 体 内 に 埋 め 込 ま れ た2次 で あ る か ら,そ   多 様 体Mの 域Sが

戻 る.実

際 に後 に 本 書 で 使 うの

元 曲 面 上 で の1形

式 の 線積 分 の場 合 だ け

の 場 合 に 限 っ た 証 明 を 与 え る. 中 の2次

あ る と き,∂Sに

元 曲 面N上 そ っ た1形

の 閉 曲 線 ∂Sと そ れ に 囲 ま れ たN上 式 の 線 積 分 を考 え る.N上

域 の 局 所 座 標 をq=(q1,q2,…,qm)と

と る(座

を 分 割 し て 後 で 足 し 合 わ せ ば よ い か ら,簡 き1形

与 え る.

のSを

の領 含 む領

標 近 傍 が 一 つ で 済 ま な け れ ばS

単 に 一 つ で 足 り る とす る).こ

の と

式は (iは1∼mの

和 を と る) 

(1.6.76)

で 表 さ れ る.   他 方,2次

元 曲 面Nの

れ る か ら,(x,y)平

面R2か

を 考 え る と,(1.6.66)を

上 の 点 は パ ラ メ ー タ(x,y)に らNへ

の 写 像 φ を 考 え,φ

よ りパ ラ メ ー タ 表 示 さ に よ る ω の 引 き戻 し

使 い

(1.6.77)

他 方(1.6.67)よ

 に た い して

り

した が って

(1.6.78) す な わ ち,外 微 分 を と って か ら引 き戻 して も,引 き戻 して か ら外 微 分 を と って も結 果 は 変 わ らな い*4.そ こ で ω のS上 るR2上

の 領 域 をSと

と な り,こ

う し て2次

元 曲 面 上 で の ス トー ク ス の 定 理 が 証 明 さ れ た.こ

リー ン の 定 理(1.6.72),そ

使 っ た 書 き 直 し,(3)は2次 し て(4)は(1.6.77)に

の等号 元 の グ

よ る 書 き 直 し,(5)は

あ る.

  最 後 に 次 の 指 摘 を し て お こ う.上 あ れ ば,そ

対 応す

して

で,(1)は(1.6.68),(2)は(1.6.78)を

(1.6.61b)で

で の 面 積 分 を考 え る と,Sに

の 議 論 で,曲

の 領 域 内 の 任 意 の2点QとPを

を 考 え る と(図1.6.4),Sをcで

面Nの

あ る 領 域 でdω=0で

通 る 任 意 の 閉 曲 線c=c1+(-c2)

囲 ま れ た領 域 と して

図1.6.4

*4  この こ とは微 分 形 式 の外 微 分 が座 標 に よ ら な い こ と(座 標 変 換 に た い して 不 変 で あ るこ と)を 表 して い る.(1.6.78)は2次 式 に た い して も成 り立つ.

元 曲面 上 で証 明 した け れ ど も,n次

元曲面上の微分形

と な る.こ の こ とはQを

固定 した と き,PQを

結 ぶ 任 意 の 曲 線lに

たい し

(1.6.79) と い う点Pの1価

関 数 Φ が 決 ま り,そ れ ゆ え これ を用 い て

(1.6.80) と書 け る こ とを示 して い る.こ れ が ポ ア ン カ レの 補 題 で あ る.た だ しこ の証 明 よ り明 ら か な よ うに,こ

の 結 論 は 内部 にdω ≠0と な る点 を含 ま な い 単 連 結 な

領 域 に た い し て の み 成 り立 つ.そ

の 意 味 で,ポ ア ン カ レ の補 題 が 成 り立 つ の は

局 所 的 と以 前 に 断 っ た の で あ る.   以 上 で,必 要 最 小 限 の 数 学 の 準 備 が で きた.こ れ 以 上 の こ とは 必 要 に 応 じて 場 所 場 所 で 触 れ る こ とに し,次 章 か ら解 析 力 学 を体 系 的 に述 べ る.

2 ラ グ ラ ン ジ ュ形 式 の 力 学

2.1  ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式

  2.1.1 

ス ク レ ロ ノー マ ス な場 合

  §1.1で

は,拘

束 力 を 消 去 す る こ と に よ り,一

数 だ け の 方 程 式(1.1.26),

(1.1.28),

(1.1.31)を

程 式 は 実 用 上 は 扱 い や す い も の で は な く,理 り,必

般 化 座 標 で 表 さ れ た 自 由度 の 導 い た.し

論 的 に 見 て も窮 屈 な とこ ろが あ

ず し も満 足 の ゆ く も の で は な い.

  実 用 上 は,自

由 度 がnの

と き,n(n+1)/2個

の 計 量 テ ン ソ ル 成 分{mij}お

び さ ら に 多 く の ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号{Cijk}を

す べ て 求 め る こ と は,nが

ほ ど大 き く な く と も 相 当 に 面 倒 な 計 算 を 必 要 と す る.実 由 度2の

か し こ れ らの 方

球 面 振 子 の 場 合 で さ え,計

  し か し{mij}や{Cijk}が

際,例1.1.1で

よ それ

見た 自

算 は か な り 煩 わ し い.

す べ て 求 ま り運 動 方 程 式 が 書 き 下 さ れ た と し て も,

そ の か ぎ りで は そ の 方 程 式 は 配 位 空 間 の 特 定 の 局 所 座 標 系 で の 表 現 で しか な く,現

実 の 問 題 を解 く た め に は,座

一般論 としては

,そ

標 変 換 が 必 要 に な る 場 合 も 多 い.な

の 形 が ど の 座 標 系 に 移 っ て も 変 わ ら な い,す

な わ ち 方程 式

が 共 変 性 を も つ と い う こ と は,す

で に §1.3で 確 か め ら れ て い る.と

実 に 方 程 式(1.1.26),

(1.1.31)に

(1.1.28),

る 座 標 系 へ の 変 換 に と も な うmijやCijkの な い.し

るほ ど

は い え現

座 標 変 換 を 施 す た め に は,異

な

変換 則 が わか って いなけ れば な ら

か し計 量 テ ン ソ ル成 分 や ク リス トッフ ェ ル 記 号 の 変 換 を具 体 的 な場 合

に 実 行 す る こ と は,一

般 的 な 変 換 則 を 示 す の に 比 べ て 格 段 に 面 倒 で あ る.

  そ の う え 理 論 的 な 観 点 で は,§1.1の ク レ ロ ノ ー マ ス な)場

議 論 は 拘 束 が 時 間 に 陽 に よ ら な い(ス

合 に 限 ら れ て い る か ら,方

程 式(1.1.26),

(1.1.28),

(1.1.31)も

座 標 変 換 もそ の 範 囲 に 限 られ て い る とい う狭 さが あ る.

  それ に た い して,拘

束 が 時 間 に よ る(レ オ ノー マ ス な)場 合 に も拡 張 で き,

そ の 広 い範 囲 の 座 標 変 換 が 可 能 で,し か も座 標 変 換 が 簡 単 に実 行 可 能 で,そ の 座 標 変 換 に た い す る共 変 性 が 見 や す く,そ の 意 味 で理 論 的 に も実 用 上 も優 れ て い る運 動 方 程 式 が,単

一 の ス カ ラー 関 数 だ け を扱 う ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 で あ

る.   本 節 で は ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を導 入 し,そ の 一 般 的性 質 を調 べ る.   手 始 め に,方 程 式(1.1.26)を

次 の よ うに 変 形 して み よ う.そ の左 辺 は

(2.1.1) の よ う に 書 き 直 さ れ る.(た て 扱 う.ま

だ し偏 微 分 演 算 の さ い にqiとqiを

た 本 節 で はi,j,kの2重

添 字 は1∼nの

独 立変数 と し

和 を と る.)し

たが って運

動 エ ネ ル ギー の総 和

(2.1.2) を 用 い て,方

程 式(1.1.26)は

(2.1.3) と表 さ れ る.こ

  2.1.2 

れ を ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(Lagrange

equations)と

い う.

一般 的な場合 への拡張

  た だ し こ こ ま で の 議 論 は,拘

束 が ス ク レ ロ ノー マ ス な 場 合 に し か 成 り立 た な

い.し

.1.3)は,実

か し 得 ら れ た 方 程 式(2

は 以 下 に 示 す よ う に,拘

束 が レオ

ノ ー マ ス な 場 合 に も通 用 す る の で あ る.  拘 束 が 時 間 に よ り(1.1.3)で

表 さ れ る 場 合 は,位

置 ベ ク トル は

(2.1.4) と表 され る.こ の 場 合,局

所 座 標 がq={qi}で

表 され る超 曲 面(配 位 空 間)

は 時 間 と と も に変 化 す る の で,た {Fα'}がNと

と え 拘 束 が 滑 らか で各 瞬 間 に 拘 束 力 の 全 体

直 交 して い て も,系 の 時 間 的 発 展 に と もな う無 限小 変 位 た だ し 

(2.1.5)

は 必 ず し も拘 束 力 と直 交 して い る とは 限 ら な い.し か し この 場 合 も,系 の その 瞬 間 の 拘 束 条 件 を破 らな い無 限小 変 位(仮 想 変 位)

(2.1.6) は そ の 瞬 間 に 固 定 さ れ た 超 曲 面N上 の 全 体 と 直 交 し て い る.し

で の 変 位 で あ る か ら,そ

の瞬間 の拘束 力

た が っ て{δrα}に た い し て は(1.1.7)が

成 り立

つ:

(2.1.7) た と え ば 動 く滑 ら か な 斜 面 に そ っ た 質 点 の 運 動 を 考 え れ ば よ い(図2.1.1).

図2.1.1  動 く斜 面 にそ った 質点 の 運 動drと 仮 想 変 位 δr

  こ こ で ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 を 用 い て 拘 束 力 をFα'=mαrα-Fα 書 き 直 せ ば,(2.1.7)よ

の よ うに

り

(2.1.8) が 得 ら れ る.こ

れ が ダ ラ ン ベ ー ル の 原 理(d'Alembert's

principle)で

あ る.

  こ の 式 は 静 力 学 に お け る つ り あ い の 条 件 と し て の 仮 想 仕 事 の 原 理(1.1.11) に お い てFα

をFα-mαrα

え ら れ た 力(Fα)と

で 置 き か え た も の で あ り,そ

慣 性 力(-mαrα)で

の 意 味 は しば しば

「加

物 体 が つ り あ う 」 と 説 明 さ れ て い る.

し か し そ の 本 質 的 内 容 は 拘 束 力 の す る仮 想 仕 事 が0に

な る と い う点 に あ り,そ

の こ と を未 知 の拘 束 力 を含 まな い 形 で表 し た もの で あ る.   実 際,た

とえ ば例1.1.1で

見 た球 面 振 子 の 場 合,ニ

(た だ し デ カ ル ト座 標 でg=(0,0,-g))に 束 条 件￨r￨=lで

お い て,拘

ュ ー トン の運 動 方 程 式

束 力 で あ る 張 力Sは,拘

表 さ れ る 球 面 に つ ね に 直 交 し て お り,し

件 を 破 ら な い 仮 想 変 位 δrに た い し て δr・S=0,す

たが って この拘 束条

な わ ちSは

仕 事 を し な い.

これ よ り

が 得 ら れ,極

座 標(1.1.34)を

用 い て 書 き直 せ ば

こ の 式 で δθ, δφ が 独 立 ゆ え,そ ち に 方 程 式(1.1.39)が   同 様 に(2.1.8)式 れ のiに

つ い て0で

れ ぞ れ の 係 数 を0と

お く こ と に よ っ て,た

だ

得 ら れ る. で は す べ て のqiが

独 立 で あ る か ら,δqiの

な け れ ば な ら な い.す

な わ ち す べ て のiに

係数 が それ ぞ た い して

(2.1.9) あ る い は 少 し変 形 して

(2.1.10) が 成 り立 つ.こ

こ で(2.1.5)よ

り得 ら れ る 関 係

(2.1.11) お よび

(2.1.12) に 注 意 す る と,(2.1.10)の

左辺 は

と 変 形 で き る.し

た が っ て こ の 場 合 も,運

動エネ ルギー

(2.1.13) を 用 い れ ば,(2.1.10)の の 右 辺 は(1.1.12)で

左 辺 は(2.1.3)の

左 辺 と 同 一 に な る.他

定 義 し た 一 般 化 力 の 成 分Fiで

時 間 に よ る 場 合 も(2.1.3)と   力 が ポ テ ン シ ャ ルUか

あ る か ら,結

方(2.1.10) 局,拘

束が

ま っ た く同 形 の 方 程 式 が 得 ら れ る. ら導 か れ

(2.1.14) と表 され る と きに は,一 般 化 力 の 成 分 は

(2.1.15) と 書 け る か ら,方

程 式(2.1.10)は

(2.1.16) と表 さ れ る.こ

れ は さ らに

(2.1.17) で定 義 され る単 一 の 関数 を用 い て

(2.1.18) と ま と め ら れ る.こ

の 一 組 の 方 程 式(2.1.16)な

と 同 様 に ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と い い,ま rangian)な

い し(2.1.18)を

た 関 数Lを

も,(2.1.3)

ラ グ ラ ン ジ ア ン(Lag

い し ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 と い う.

  な お 以 下 で は,演

算記号

(2.1.19) を 用 い て,ラ

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(2.1.18)を

簡 単 に

(2.1.20)

と記 す.   こ の 方程 式 は単 一 の ス カ ラー 関 数 で表 さ れ るの で,取 扱 い が きわ め て 簡 単 で あ り,実 用 上 の 観 点 か らは 以 前 の 方 程 式(1.1.26)に る.実 際,力

比べ て格段 に優 れ て い

が ポ テ ン シ ャ ル か ら導 か れ る場 合,運 動 エ ネ ル ギーTと

シ ャ ル ・エ ネ ル ギーUを あ とはL=T-Uに

一 般 化 座 標qと

一 般 化 速 度qの

ポテ ン

関 数 と して 表 せ ば,

た い す る ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 を 機械 的 に 書 き下 す だ け で,

必 要 な運 動 方 程 式 が 自動 的 に得 られ るの で あ る.個 々 の物 体 に 働 く力や 拘 束 条 件 を考 慮 す る必 要 は ま っ た くな い.以 下 で は と くに 断 らな い か ぎ り,ラ グ ラ ン ジ ア ン が 必要 な だ け微 分 可 能 な場 合 の み を考 え る.   拘 束 の あ る系 の 配 位 は配 位 空 間N上

の1点

ン ドルTNを

space)と

とは,N上

力 学 で は状 態 空 間(state の す べ て の 点Qに

の 状 態 はTN上

の1点  はqか

ア ン はTN上

で指 示 さ れ る.そ い う.す

お け る接 空 間TNQの

で指 示 さ れ る.い

まNの

して(q,q)が

接バ

な わ ち状 態 空 間TN

直和 空 間 で あ る.そ 局 所 座 標 をq={qi}と

ら 自然 に 導 か れ るTNの

の 関 数 で あ る.そ

してNの

して 系 す れ ば,

局 所 座 標 で あ り,ラ グ ラ ン ジ 系 の 状 態 を表 す.系

の 状 態 とい

うの は 次 の よ う な意 味 で あ る.   ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(2.1.18)は

(2.1.21) と表 さ れ る.ラ

グ ラ ン ジ ア ン の ヘ ス 行 列 

で あ る と き,ラ

グ ラ ン ジ ア ンLは

が

(2.1.22) 正 則(regular)と

い わ れ,上

式 を

(2.1.23) の形 に 解 くこ とが で き る.こ の 式 の右 辺 は(q,q)の 件 と して状 態 空 間上 の1点(qとqの

関 数 で あ るか ら,初 期 条

初 期 値)を 指 定 す れ ば,そ

の 後 の(そ れ

以 前 の)状 態 空 間上 の 位 置 は 一 意 的 に決 定 され る.そ の 意 味 で,正 則 な ラ グ ラ ン ジ ア ン で は 古 典 力 学 的 因 果 律 は 満 た され て い る の で あ り,(q,q)の

セ ット

を系 の状 態 と い う.   ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 に よ り決 定 され る状 態 空 間 上 の 点 の運 動 と して 系 の 変 化

を論 じる 力 学 を,本 書 で は ラ グ ラ ンジ ュ形 式 の 力 学 と呼 ぶ.

  2.1.3  共

変

性

  ま た局 所 座 標 系(使 用 す る一 般 化 座 標)の 変 換 に た い す る ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 の 共 変 性 も,次 の よ うに 一般 的 か つ 直 接 的 に確 か め られ る.   本 節 で は 配位 空 間 を決 定 した 拘 束 条件 が 時 間 に よ る と して い るか ら,座 標 変 換 も時 間tを パ ラ メー タ と して 含 ん で よ い.そ こ で い ま配 位 空 間 の座 標 変 換

(2.1.24) を考 え,こ れ が 微 分 同相 写 像 で あ る と して,逆 変 換 を

(2.1.25) で 表 す.こ

の1対1写

像 を 点 変 換(point

  こ の 変 換 よ りq={qi}の

transformation)と

い う.

変 換 則 お よび それ に付 随 す る関 係

(2.1.26) が 自 然 に 導 か れ る.逆 と 書 く.ま

変 換(2.1.25)の

ヤ コ ビ行 列 を, 

た こ の 変 換 は 同 一 の 点 を 異 な る座 標 系 で 見 る も の で あ る か ら,ス

ラ ー 関 数 の 値 は 変 わ ら な い.そ

カ

こで これ に と もな っ て変 換 され た ラ グ ラ ン ジア

ンは

(2.1.27) で 定 義 さ れ る.こ

れ よ り

(2.1.28) す な わ ちEi[L]はN上

の座 標 変 換 に た い して 共 変 ベ ク トル の成 分 と し て変 換

され る.   した が って,変

換 φ が正 則 す な わ ち 

であれば

(2.1.29) す な わ ち ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 は 点 変 換 に た い して共 変 的 で あ り,配 位 空 間 の 座 標 変 換 に さ い して 形 を変 え な い.さ

らに ヘ ス行 列 の 変 換 則 は

で あ るか ら,変 換 が 正 則 で あ れ ば

(2.1.30) す な わ ち,ラ グ ラ ン ジ ア ン の正 則 性 は座 標 系 の 選 択 に よ ら な い.   した が っ て また,正 則 な写 像 で 結 びつ く一 般 化 座 標 の 組 は,方 程 式 を解 くさ い の 難 易 とい う実 用 上 の優 劣 をの ぞ い て,互

い に対 等 で あ る.そ れ ゆ え 現 実 の

問 題 で は,問 題 ご と に積 分 に有 利 な座 標 系 に 移 れ ば よ い.の み な らず,そ の さ い の 座 標 変 換 は,単 一 の ス カ ラー 関 数 で あ る ラ グ ラ ン ジア ン に た い して だ け で 済 む.こ

の 点 に ラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 の実 用 上 の 大 きな メ リ ッ トが あ る.

  た と えば3次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間R3で

の質 点 の運 動 を デ カ ル ト座 標 で考 え

る と,ラ グ ラ ン ジア ン は

(2.1.31) で あ り,こ れ に た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 を作 れ ば ニ ュー トン の運 動 方 程 式

が 得 ら れ る.こ

こ で 図2.1.2の

よ う に3次

方 程 式 を こ の 極 座 標 で 表 す こ と を考 え る.変

元 極 座 標(r,θ,φ)を

導 入 し,運

動

換 式 は 次 の と お り:

(2.1.32) θ は 天 頂 角,φ

は 方位 角 で あ る.そ の さ い ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 の 各 成 分 を

直 接 的 に極 座 標 に 変 換 す る の は か な り手 間 が か か る.そ れ に 比 べ て(2.1.31) の ラ グ ラ ン ジ ア ン 自体 を書 き直 す の は は るか に 楽 で あ る.R3の

線要素 を

図2.1.2  3次 元 デ カ ル ト 座 標 と極 座 標

の よ う に2通

りで 表 す だ け で よ い.そ

うす れ ば す ぐさ ま運 動 エ ネ ル ギ ー

(2.1.33) と,そ れ に と もな い ラ グ ラ ン ジ ア ン の局 所 座 標 表 示

(2.1.34) を得 る こ とが で き,後 は これ に た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を 書 き下 せ ば よ い.こ

う して簡 単 に 方 程 式

(2.1.35)

が 得 ら れ る.こ

れ は 極 座 標 で 表 し た 運 動 方 程 式 で あ る.

  こ の 例 で と く にr=l=const.と とす れ ば,例1.1.1に

い う 拘 束 条 件 を 課 し,さ

ら に 

見 た 球 面 振 子 の 運 動 方 程 式(1.1.39)に

な る*1.mijや

Cijkを 使 う 計 算 に 比 べ て ど れ く ら い 簡 単 か が 感 得 で き よ う.   そ の う え,上

の 座 標 変 換(2.1.24)は

時 間tを

含 ん で も よ く,し

た が って ラ

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は 任 意 の 動 い て い る 座 標 系 に お い て も成 り立 つ の で あ る.   た と え ば2次

*1  そ の 場 合

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 で の 運 動 を,回

転座標 系

,一 般 化 座 標 は θ,φ の み で,Lは(2.1.34)でr=l,r=0と る.こ の 扱 い で は 自 由 度 は2に な り,(2.1.35)の 第1式 は 存 在 し な い.拘 い は,例10.1.1参 照.

お い た もの で あ 束 系 と して の扱

(2.1.36) で見 る.こ の 式 を 時 間tで 微 分 し,ω に 比 例 す る項 を移 項 す れ ば

(2.1.37) したが っ て 運 動 エ ネ ル ギー は

(2.1.38) こ れ に た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は,変 (2.1.18)で

与 え ら れ る.そ

換 に 時 間 を含 ま な い と き と同 じ形 の

れ を 書 き 下 し,結

果 を 適 当 に 移 項 ・整 理 す れ ば,

(2.1.39) が 得 ら れ る.こ い る.右 gal

辺 第2項

force)で,い

れ は ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 の 回 転 座 標 系 で の 表 現 に 一 致 し て が コ リ オ リ カ(Coriolis

force),第3項

ず れ も座 標 系 が 回 転 し て い る(加

見 か け 上 の 力 と し て の 慣 性 力(inertial

force)で

座 標 変 換 や 加 速 度 系(非

め に 生 じた

回 転 座 標 系 で 表 せ ば,慣

性

慣 性 系)へ

ま りニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 は 時 間 を 含 む の 変 換 で は 一 般 に は 形 を 変 え る.し

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式Ei[L]=0は,こ り,任

速 度 を も つ)た

あ る.

  こ の よ う に ニ ュ ー ト ン の 運 動 方 程 式mr=Fを 力 を 付 け 加 え な け れ ば な ら な い.つ

が 遠 心 力(centrifu

か しラ

の よ うな広 い変 換 に た い して も共 変 的 で あ

意 に 動 く座 標 系 に 移 っ て も 形 を 変 え ず に 成 り 立 つ の で あ る.こ

れ は

ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 と の 決 定 的 な 違 い で あ る .

  2.1.4 

一 般 化 ポ テ ン シ ャル

  こ こ ま で は,運 と き に,ラ

動 エ ネ ル ギ ー と速 度 に 依 存 し な い ポ テ ン シ ャ ル が 与 え ら れ た

グ ラ ン ジ ア ン を(2.1.17)で

式 で 表 さ れ る こ と を 示 し て き た.こ

作 る と運 動 方 程 式 が ラ グ ラ ン ジュ 方 程 こ で は よ り広 い 範 囲 の 力 に た い し て,逆

に

運 動 方 程 式 が ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と して 表 され る よ うに ラ グ ラ ン ジ ア ン を作 る 方 法 を考 え る.   力 が 速 度 に よ る 場 合 で も,一

般 化 力 の 成 分 が 関 数U(q,q,t)を

用 いて

(2.1.40) と表 さ れ る 場 合 に は,ラ

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(2.1.18)は

の よ う な 関 数U(q,q,t)を

そ の ま ま 成 り 立 つ.こ

一 般 化 ポ テ ン シ ャ ル(genealized

potential)と

い

う.   た と えば 上 に 見 た 回転 座 標 系 で の 運 動 の 場 合

(2.1.41) とす れ ば,回

転 系 で 働 く力 の 成 分 は(2.1.40)に

こ のU'を

代 入 して

(F'η も 同 様) と導 か れ る(F'ξ

は 一 般 化 力 の ξ 成 分 を 表 す).そ

し て は(2.1.39)と

同 じ も の が 得 ら れ る.す

ン シ ャ ル を 与 え る.こ   な お,こ

のU'の

第3項

な わ ち こ の 場 合U'が

一般 化 ポ テ

を 遠 心 力 ポ テ ン シ ャ ル と い う.

の 例 か ら わ か る よ う に,ラ

ジ ア ン だ け が 問 題 な の で あ っ て,そ

して ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 と

グ ラ ン ジュ 形 式 の 力学 で は実 は ラ グ ラ ン の 運 動 エ ネ ル ギ ー と ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル

ギ ー へ の 分 割 は 必 ず し も 一 意 的 に は 決 ま ら な い.   力 が 速 度 に 依 存 す る い ま ひ と つ の 例 と し て,電 (質 量m,電

荷e)の

運 動 を 考 え る.運

磁 場(E,B)中

で の荷 電 粒 子

動方 程式 は

(2.1.42) 右 辺 は ロ ー レ ン ツ カ(Lorentz

force)で

あ る*2.

  ス カ ラ ー ・ポ テ ン シ ャ ル を Φ(r,t),ベ て,電

場Eと

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル をA(r,t)と

し

磁 束 密 度Bは

(2.1.43) で 表 さ れ る(B=∇ はrに と,お

×Aは

擬 ベ ク ト ル,υ

×Bは

ベ ク トル).演

作 用 し な い の で 等 式  よ び Φ(r,t)がrに

(Φ も 同 様),  れ ば よ い.SI単

位 で は,ロ

が 成 り立つ こ

よ ら な い こ と を使 え ば,上

*2  本 書 は ガ ウ ス単 位 系 を用 い て い る

算 子 ∇=∂/∂r

.SI単

位 系('を

の運動方程式 は

つ け る)に

(Aも 同 様),  ー レ ン ツ 力 はe'(E'+υ ×B'),ま

す る に は  の置 きか えをす た(2.1.43)は

と書 き直 さ れ る.し たが っ て電 磁 場 中 の荷 電粒 子 の 運 動 に た い す る一 般 化 ポ テ ン シ ャ ル とラ グ ラ ン ジ ア ン は

(2.1.44)

(2.1.45) で 与 え られ る.

  2.1.5  ラ グ ラ ン ジ ア ンの ゲ ー ジ変 換   な お,系

の運 動 を決 定 す る の は ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 で あ るが,所 与 の 運 動 方

程 式 を与 え る ラ グ ラ ン ジ ア ン は,必 ず し も一 意 的 に は決 ま らな い.   い ま,ラ

グ ラ ン ジ ア ンLと 

が 

の 意 味 で 同 一 の ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 を与 え る とす る.こ こ で は 方 程 式 と して 同 一

,し た が っ て任 意 の 初 期 条 件 に た い して 同一 の解 を与 え る こ とを要 求 して い

るの で あ るか ら,そ の ため に は恒 等 的 に

す なわ ち

を,す

べ て のiに

た い し て 満 た さ な け れ ば な ら な い.こ

を 含 ん で い な い こ と に 注 意 す れ ば,こ kに

た い し て 

の 形 を し て い る.こ

の 式 が 成 り立 つ た め に は,す

で な け れ ば な らず,し

れ よ り

こ でLもL'も{qk} べ て のiと

たが って Ω は一般 に

と な り,Ω が 満 た す べ き上 記 の 条 件 式 に代 入 して

しか る に一 般 化 座 標{qi}の

間 に は 拘 束 条 件 が な い か ら,こ の た め に は かつ

と な ら な け れ ば な ら ず,し

と な る 関 数 Λ(q,t)が

た が っ て ポ ア ン カ レ の 補 題(§1.6.6)よ

存 在 す る.そ

し て,こ

り

れ を 用 い て Ω とL'は

(2.1.46) と 表 さ れ る.逆 Ei[L']=Ei[L]が

に Ω が こ の 形 を し て い れ ば,Λ 成 り立 つ.す

な わ ち,ラ

が どの よ う な関 数 で あ って も

グ ラ ン ジ ア ン は(q,

t)の 任 意 の 関 数

の 全 導 関 数 だ け 不 定 で あ る.   こ の 変 換 

を ラ グ ラ ン ジ ア ン の ゲ ー ジ 変 換(gauge

transformation)と 変 で あ る.そ

い う.ラ

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は こ の ゲ ー ジ 変 換 に た い して 不

の 意 味 でLとL'は

等 価 な ラ グ ラ ン ジ ア ン と い わ れ る.

  電 磁 場 中 の 荷 電 粒 子 の ラ グ ラ ン ジ ア ン(2.1.45)の け ば,ラ

場 合,Λ=(e/c)xと

お

グ ラ ン ジ ア ンの ゲ ー ジ変 換 は

(2.1.47) と表 され る.そ れ ゆ え この 変 換 は,電 磁 ポ テ ン シ ャル の 変 換

(2.1.48) と 考 え る こ と も で き る.こ は(2.1.43)に

の 変 換 に よ り電 磁 場(E,B)自

体 が変 わ らない こ と

直 接 代 入 す る こ と に よ り簡 単 に 見 て と れ る.電

の こ の 変 換(2.1.48)を

電 磁 場 の ゲ ー ジ 変 換 と い う.

磁 ポ テ ン シャ ル

  例2.1.1 

ラー モア の定理

  一 様 で 弱 い 磁 場B=(0,0,B)の

中 で の 荷 電 粒 子(m,e)の

ル ・ポ テ ン シ ャ ル はA=B×r/2,し

運 動 を 考 え る.ベ

ク ト

たが って ポテ ンシャル は

(2.1.49) で 与 え られ る(U0は

磁 場 に よ る以 外 の 力 の ポ テ ン シ ャ ル).こ

運 動 量 ベ ク トル(擬 ベ ク トル)で あ る.こ の 回転 系 で 見 る.(2.1.36),(2.1.37)を

と 表 さ れ る か ら,回

の 運 動 をBに 使 え ばMの

こ に 

平 行 なz軸

は角

ま わ りの 角 速 度 ω

第3成 分 は

転 系 で の ポ テ ン シ ャ ル と し て は(2.1.41)を

使 っ て

(2.1.50) が 得 られ る.し

た が っ て と くに 角 速 度

で 回転 して い る座 標 系 で 見 る な ら ば,こ

と な り,磁 場 が 弱 くてB2の

の ポテ ンシ ャルは

項 を 無 視 で き る近 似 で は磁 場 の 影 響 は 消 去 さ れ,粒

磁 場 が 働 い て い な い か の よ う に 振 る 舞 う.こ rem)と

(2.1.51)

ラー モア角速 度) 

(電 子 では 

れ を ラー モ ア の 定 理(Larmor's

子は theo

い う.回 転 系 で 見 た ロー レ ン ツ力 

(2.1.51)の

場 合,コ

が,

リ オ リ力2mω(η,-ξ,0)に

よ っ てBの1次

の項 ま で打 ち 消 さ

れ る の で あ る.

  例2.1.2 

剛体 の回 転の 方程 式

  剛 体 は,そ

の 中 の 任 意 の2点

間 の 距 離 が 時 間 に よ ら ず 一 定 の 物 体 と定 義 さ れ る.

平 た く い え ば ど れ だ け 力 を 加 え て も変 形 し な い 物 体 を指 す.も は 存 在 し な い 数 学 的 抽 象 で あ るが,現 か ぎ りで,そ

ち ろん これ は現 実 に

実 の物体 が 十分 に 堅 くその 変 形 が 無視 しう る

の 記 述 に と っ て有 効 な 概 念 で あ る.

  剛 体 を相 互 の 配 置 を変 化 させ な い 質 点mα い る場 合 を考 え る.い トル をrα とす れ ば,剛

の 集 合 と見 な し,そ の1点

が 固定 されて

ま そ の 固 定 点 を 原 点 とす る座 標 系 を と り,質 点mα

の位 置ベ ク

体 の 原 点 ま わ りの 角 運 動 量 は

(連 続質 量分布 では  そ れ ゆ えmα に 働 く外 力 をFα,ま

), 

(2.1.52)

た 剛 体 内 の 他 の 質 点mβ か ら の 力 をfαβと して

(2.1.53) 左 辺 は 力 の モ ー メ ン トの 和 で あ る.こ

こに,粒

子 間 の 力 に つ い て は,作

法 則 の他 に 中心 力 で あ る と仮 定 す れ ば, 

と な る こ と を使 っ た.す

用 ・反 作 用 の

が 成 り立 つ の で

な わ ち 固 定 点 の ま わ りの 剛 体 の 回 転 は,そ

の 点 の ま わ りの

外 力 の モ ー メ ン トだ け で決 定 され る(力 の モ ー メ ン トは擬 ベ ク トル で あ る).   剛 体 が 任 意 の 運 動 を して い る と き に も,次 の よ う に 考 え れ ば 同 様 に 扱 え る.   空 間 に 固 定 し た 座 標 系 で 見 た と き の 剛 体 の 重 心(質

量 中 心)の 位 置 ベ ク トル をR,

重 心 か らmα ま で ベ ク トル をrα とす る な ら ば

(2.1.54) で あ り,そ れ ゆ え 剛体 の 全 運 動 量 と その 変 化 は

(2.1.55) (2.1.56) で 表 さ れ る.作

用 ・反 作 用 の 法 則 よ り 

ゆ え,こ れ は

(2.1.57) とな り,し た が っ て重 心 の 運 動(並

進 運 動)は,す

べ て の 質 量 とす べ て の 外 力 の 作 用

点 が 重 心 に 集 中 し た と き の 質 点 の 運 動 と同 一 で あ り,重 心 の ま わ りの 剛 体 の 回 転 と ま っ た く無 関 係 に 決 定 さ れ る.   他 方,剛 る.こ

体 の 重 心 ま わ りの 回 転 を 重 心 に 原 点 を持 ち重 心 と と も に 動 く座 標 系 で 見

の と き重 心 が 加 速 度Aを

質 点 に は 慣 性 力-mαAが でmα

もつ な らば,こ

の 座 標 系 は 非 慣 性 系 で あ る か ら,各

働 く もの と し な け れ ば な ら な い が,こ

の 位 置 ベ ク トル はrα で あ るか ら(2.1.54)が

成 り立 ち,角

の場 合 は重 心 が原 点 運動 量 の方程 式は

(2.1.58) と な り,上 の(2.1.53)式

と同 一 の 式 が 得 ら れ る.つ

ま り任 意 に 運 動 して い る 剛 体 で

も,重 心 に た い して は あ た か も固 定 点 で あ る か の よ うに 扱 って よ い.   こ の よ う に 重 心 に 着 目す れ ば,重

心 の 運 動 と重 心 ま わ り の 回 転 運 動 を ま っ た く別

個 に 扱 う こ とが で き る.ち な み に こ の 剛 体 の 運 動 エ ネ ル ギー は

(2.1.59) と な り,や

は り重 心 運 動 と重 心 ま わ りの 回 転 運 動 の 和 に 分 離 さ れ る.

  そ こ で 以 下 で は,固

定 点 の ま わ りの 剛 体 の 回 転 運 動,な

い し任 意 に 運 動 し て い る

剛 体 の 重 心 ま わ り の 回転 運 動 を,固 定 点 な い し 重 心 を 原 点 とす る 座 標 系 を 用 い て 同

一 に 論 じ る こ とに す る .   こ の と き原 点 か ら各 質 点 ま で の 距 離 は 一 定 で あ る か ら

で あ り,し た が っ て あ る ベ ク トル ωαが あ り,各 質 点 の 速 度 ベ ク トル を

と表 す こ とが で き る.さ

ら に 原 点 か ら 見 た任 意 の2点

間 の角 度 も一 定 ゆ え

で あ るか ら,ど

の 質 点mα の 速 度 も す べ て の 質 点 に 共 通 な ω を使 っ て

と表 さ れ る.そ

こ で と く にr=κ

(2.1.60) し て は υ=ω ×r=0で

ω と い う点(κ は 定 数)を

あ る か ち,ω

考 え る と,そ

の 向 き は 回 転 軸 に 一 致 し て い る.さ

の な す 角 が α≠0で あ る 任 意 の 点 に た い し て￨υ￨=￨ω×r￨=￨ω￨￨r￨sinで  す な わ ち￨ω￨は 回転 角 速 度 の 大 き さ で あ り,結 局,ω

の点 に た い ら にrと

ω

あ る か ら, が剛体 の 回

転 角 速 度 ベ ク トル で あ る こ とが わ か る(図2.1.3).

図2.1.3  角 速 度 ベ ク トル と剛 体 内 の 点 の 速 度

 こ の ω を使 えば,角

運 動 量は

(2.1.61) と書 き直 され る.こ

れは テ ンソル

(2.1.62)

と角 速 度 ベ ク トルω=t(ωx,ωy,ωz)を

用 い て(テ

ン ソ ルIに

掛 け られ る ときに は ω

は 縦 ベ ク トル を表 す もの と し て),縦 ベ ク トル で

(2.1.63) と表 さ れ る.こ ルIを

の テ ン ソ ルIを

慣 性 テ ン ソ ル(inertial

tensor)と

い う(慣 性 テ ン ソ

単 位 行 列 と混 同 しな い よ う).

 他 方,こ

の 剛 体 の 回転 の 運 動 エ ネ ル ギー は 同様 に

(2.1.64) と表 さ れ る(tω は ω を転 置 し た横 ベ ク トル).   上 の 慣 性 テ ン ソ ル の 成 分 表 示 で は,固 る 座 標 系 は 任 意 で あ る.し 量 で あ るか ら,と

くに 剛 体 に 固 定 さ れ た(剛 体 と と も に 回転 す る)座 標 系 で 表 し た と

き を別 に す れ ば,一 る.そ

定 点 を 原 点 に と っ て い る こ と以 外 は 使 用 す

か し こ の テ ン ソ ル 成 分{Iij}は 剛 体 内 の 質 量 分 布 で 決 ま る

般 の座 標 系 では 剛体 の運 動 と ともに この テ ン ソル成 分 は変 化 す

こで 以 下 で は 剛 体 に 固定 さ れ た座 標 系 で考 え る.

  そ の と き,こ

の 行 列(Iij)は 各 成 分 が 一 定 の 対 称 行 列 で あ り,対 角 化 可 能 で,そ

固 有 値(A,B,C)が

対 角 成 分 に な る.固 有 値(A,B,C)が

の

す べ て 異 な る と き に は,対

応 す る 固有 ベ ク トル は 直 交 し,そ の 固有 ベ ク トル の 方 向 を 剛 体 の 慣 性 主 軸(princi pal axis

of inertia),そ

inertia)と

し て(A,B,C)を

い う(A,B,Cに

主 慣 性 モ ー メ ン ト(principal

moment

等 し い も の が あ る と き(縮 退 し て い る と き)も,三

固 有 ベ ク トル を す べ て 直 交 す る よ うに 選 ぶ こ とが で き る の で,以

of つの

下 の議論 は変 わ ら

な い).   そ こ で 剛 体 に 固 定 さ れ た 座 標 系 の(x,y,z)軸 す る.そ

うす れ ば,角

を こ の 慣 性 主 軸 の 方 向 に と る こ とに

運動 量 は

(2.1.65) 運動 エ ネル ギー は

(2.1.66) で 表 され る(な お(A,B,C)の

そ れ ぞ れ を,(x,y,z)の

各 軸 ま わ りの 主 慣 性 モ ー メン

トで あ る と い う こ と を は っ き り させ る た め に(Ix,Iy,Iz)と   剛 体 の 各 瞬 間 の 配 位 は,剛

体 固 定 系(慣 性 主 軸 の 方 向 を 向 い た(x,y,z)軸)が

と原 点 を共 有 す る 空 間 固 定 系((X,Y,Z)軸 表 さ れ る.す

な わ ち 図2.1.4の

ら にz軸

それ

とす る)に た い して 各 瞬 間 に と る 方 向 で

よ う に 空 間 系 のZ軸

の ま わ りの 角 φの 回 転 でX・Y

軸 が ξ・Y'軸 に 移 り,ξ 軸 の ま わ りの 角 θの 回 転 でZ軸 η軸 に 移 り,さ

記 す こ と も 多 い).

が 剛 体 系 のz軸

の ま わ り の 角 ψ の 回 転 で ξ・η軸 がx・y軸

こ の 三 つ の 角(φ,θ,ψ)で 剛 体 の 配 位 は指 定 され る.こ

にY'軸

が

に 移 る とす れ ば,

れ ら の 角 の と り う る範 囲 は

図2.1.4 

オ イラ ー角 の 定 義 (X,Y,Z)は

空 間 固定 系

(x,y,z)は 剛 体 固 定 系

(2.1.67) で あ る(た だ し θ=0と

θ=π で は φ と ψ は 一 意 的 に は 決 ま ら な い).こ

の 組 を オ イ ラ ー 角(Eulerian

angles)と

い う*3.

  空 間 系 か ら 剛 体 系 へ の 回転 は 要 す る に3次 を表 す 配 位 空 間 は3次

の三 つ の角

元 空 間 の 回 転 で あ るか ら,剛

体 の 回転

元 回 転 群 の 要 素 が 作 る 空 間 で あ る と い っ て も よ い.そ

して オ

イ ラー 角(φ,θ,ψ)は そ の 空 間 の 局 所 座 標 系 で あ る(「 局 所 」 と い うの は,θ=0の

点

と θ=π の 点 が 除 か れ て い るか ら で あ る).   こ の オ イ ラー 角 を用 い れ ば,剛

で 表 さ れ る.こ

は そ れ ぞ れZ軸

こ にex,ey,ezは

体 の 回転 角 速 度 ω は,図

そ れ ぞ れx,y,z軸

よ り明 ら か な よ う に

方 向 の 単 位 ベ ク トル,他

方 向 と ξ 軸 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.こ

方

れ よ り,回 転 角 速 度 ω の

剛 体 系 で の 成 分 は 次 の よ う に 表 され る:

(2.1.68a) (2.1.68b) (2.1.68c)  以 上 よ り,剛 体 に 働 く外 力 の ポ テ ン シ ャ ル をU(φ,θ,ψ)と

す れ ば,そ

の ラグ ラ ン

ジア ンは

(2.1.69) *3  オ イ ラ ー 角 は 1959新

,本

版1983),

書 の と り方(H. Goldstein『 古 典 力 学 』 野 間 進 ・瀬 川 富 士 訳(吉 岡 書 店 L. D. Landau and E. M. Lifshitz『 力 学 増 訂 第3版 』 広 重 徹 ・水 戸 巌 訳

(東 京 図 書1974))の

他 に,2回

学 』(岩 波 書 店1941増 岡 書 店1989))が

目 の 回 転 をY'軸

訂 第3版1959),

あ る の で 注 意.

の ま わ り に と る 流 儀(山

J.J. Sakurai『

内恭 彦

『一 般 力

現 代 の 量 子 力 学 』 桜 井 明 夫 訳(吉

で 与 え ら れ る.そ を 与 え る.ラ

し て これ に た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 が,剛

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は,用

に す る こ とな く扱 え るの で,こ

体 の 回転 の方 程 式

い て い る 座 標 系 が 運 動 し て い る か ど うか を 気

の よ う な 場 合 き わ め て 有 効 で あ る.

  運 動 方 程 式 を角 速 度 ベ ク トル の 成 分 で 表 す ため に は,次

の よ うに す れ ば よ い.

  上 の ラ グ ラ ン ジ ア ン に た いす る ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 の 第3成 分 は

とな る.こ

こ でz軸

ま わ りの 微 小 角 度 δψの 回 転 に と も な う変 化 と し て δψ の1次

で とれ ば 

と な り,こ ば,こ

ま

で あ るか ら

こ に 

が 力 の デ カ ル ト成 分 で あ る こ と を 考 慮 す れ

の 量 は 力 の モ ー メ ン トのz成

分 で あ る.そ

れゆ え上式 は ωの成 分 を用 いて

(2.1.70) と表 さ れ る.   x,y,zに

つ い て 完 全 に 対 称 で あ る か ら,第1成

ま っ た く同 様 の 式(例2.4.1,

(2.4.33)式

い て の オ イ ラ ー 方 程 式(Euler

equation)と

の 直 接 的 な 導 き方 は例2.4.1で

述 べ る.

2.2 

  2.2.1

第1積

分 に つ い て も 第2成

い う.こ の 方 程 式 の ラ グ ラ ン ジ ア ンか ら

対 称 性 と保 存 則

分

  力 学 の 問 題 を 解 く こ と は,つ

ま る と こ ろ 系 の 状 態 の 時 々 刻 々 の 変 動 を 知 る,

つ ま り与 え ら れ た 初 期 条 件 の も と で の 運 動 方 程 式(ラ q={qi(t)}を

求 め,状

解

の 点 の 軌 跡 を 経 路(path)と

か した とえ この よ う な意 味 で の 運 動 の 厳 密 な 時 間 的 追 跡 が 不 可 能 で

あ っ て も,経

路 が 状 態 空 間 の どの 部 分 空 間 に 限 定 され る のか が わ か る だ け で も

運 動 に つ い て 重 要 な 情 報 が 得 ら れ,運 う.少

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式)の

態 空 間 上 で の 系 の位 置 を表 す 点 が 時 間 と と もに どの よ う

に 動 い て ゆ くの か を 決 定 す る こ と と い え よ う.そ い う.し

分 につ い て も

参 照)が 得 られ る.こ れ を剛 体 の 回 転 に つ

動 の か な りの 特 徴 が 明 ら か に な る で あ ろ

な く と も 自 由 度 の 少 な い よ り簡 単 な 問 題 に 還 元 さ れ た こ と に な り,目

的

に よ っ て は そ れ だ け で 十分 な場 合 もあ る.   こ の よ う な 限 定 は数 学 的 に は,系 程 式Ei[L]=0を

満 た す(q,q)に

の運 動 に そ っ て,す

なわち ラグランジュ方

た い して,関 係

(2.2.1) が 成 り立 つ とい う形 で与 え られ る.こ の よ う な 関係 を求 め る た め に は,運 動 方 程 式 を用 い て

(2.2.2) とい う形 の 式 を作 り出 せ ば よ い.力

学 で は こ の 保 存 量I(q,q,t)を

第1積

分

(first integral)と

い う.運 動 方 程 式 が2階 の 微 分 方 程 式 で あ る の に ひ きか え,

式(2.2.1)は1階

の 微 分 方 程 式 を与 え,そ の 意 味 で す で に 一 度 積 分 され た も

の に な って い るか ら で あ る.そ   一 つ の(1価

な)第1積

して こ の(2.2.1)の

関 係 を保 存 則 とい う.

分 は状 態 空 間 内 の 一 つ の 超 曲 面 を決 定 し,第1積

分

が 複 数 個 存 在 す る と き,運 動 は それ らで 決 ま る複 数 個 の 超 曲面 の 交 わ りよ りな る部 分 空 間 に 限 定 さ れ る.つ ま りそ の部 分 空 間上 の 点 を初 期 条 件 とす る経 路 は そ の部 分 空 間 か ら 出 る こ とは な い.そ れ れ ば,経

して この よ うな 関 係 が 十 分 な数 だ け得 ら

路 は 一 意 的 に決 定 され る.し た が っ て,力 学 の 問題 を解 くこ と は,

必 要 な 数 だ け の 第1積 分 を求 め る こ とで あ る とい って もよ い.   もち ろん 現 実 に ど の よ うに して,ま

た どれ だ け 第1積 分 が作 られ るか は,与

え られ た 問 題 自体 の 性 質 だ け で は な く,用 い る座 標 系 に も左 右 され る.も っ と も簡 単 に 見 て 取 れ る例 と して,ラ 分qnを をn番

グ ラ ン ジア ンLが

一 般 化 座 標 のn番

目の成

陽 に 含 ま な い 場 合 を考 え る(座 標 成 分 の順 序 づ け は任 意 だ か ら,そ れ 目に と る).そ の とき,こ の座 標 成 分 に対 応 す る ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 は

(2.2.3) と な り,こ

れ よ り た だ ち に 一 つ の 第1積

分

(2.2.4) が 得 られ る.定 数 αnは初 期 条 件 か ら決 定 さ れ る.

 2.2.2  一 般 化 運 動 量 とそ の保 存   この 式(2.2.4)の

左 辺 の偏 導 関 数 は,一 般 に―

で な い とき に も―

解 析 力 学 に お い て き わ め て 基 本 的 で 重 要 な 役 割 を果 た す

の で,と

保 存 量 で あ る と き もそ う

くに

(2.2.5) と 表 し,こ

のpiを

(generalized

一 般 化 座 標 成 分qiに

momentum)と

共 役(conjugate)な

一 般 化 運 動 量

呼 ぶ*1.

  3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る1質 き の ラ グ ラ ン ジ ア ン(2.1.31)に

点 の 運 動 を デ カ ル ト座 標 で 記 述 し た と

お い て は,こ

の一 般 化 運 動 量

(2.2.6) は 初 等 力 学 の 運 動 量 と 一 致 す る(以 のmrを

線 運 動 量(linear

下 で は,一

momentum)と

ン ジ ア ン を極 座 標 で 表 せ ば(2.1.34)の

般 化 運 動 量 と 区 別 す る た め,こ

呼 ぶ).し

か し この 同 じ系 の ラ グ ラ

よ う に な り,方

位 角 φ に共 役 な 一 般 化

運動量 は

(2.2.7) と な る.こ

れ は 角 運 動 量(angular

  ま た,ベ

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル がAで

m,電

荷e)の

が っ てrに

運 動 の 場 合,ラ

momentum)のz成

分 で あ る.

表 さ れ る 電 磁 場 中 で の 荷 電 粒 子(質

グ ラ ン ジ ア ン は(2.1.45)で

与 え ら れ る.し

量 た

共 役 な一 般 化 運 動 量 は

(2.2.8) と な り,こ

れ は 通 常 の 線 運 動 量 と は 一 致 し な い.こ

の よ う に,一

般 化運動量の

形 や 次 元 や 初 等 力 学 的 な 意 味 は 用 い る座 標 系 に よ っ て 異 な る の み な ら ず,相 作 用 や 力 の 場 の 種 類 に よ っ て も異 な る.し

か し一 般 化 運 動 量 は,そ

互

う い っ た個

別 的 ・具 体 的 な 例 に お け る 意 味 上 ・表 現 上 の 相 違 を 越 え る 重 要 性 を もつ.   そ し て 上 述 の 保 存 則(2.2.4)は,ラ *1  一般 化 運 動 量piはqとqの

グ ラ ン ジ ア ン に 陽 に含 まれ な い座 標 成

関数 で あ るか ら ,以 下 で は そ の こ と を と くに 明示 し た い と き に は,こ の よ うにpi(q,q)と 書 い た り,pLiと 添字Lを つ け た り,あ るい は,も っ と は っ き りpi=φi(q,q)の よ うに 書 く.

分 に共 役 な一 般 化 運 動 量 が 第1積 分 で あ る こ と を表 し て い る.ラ グ ラ ン ジア ン に含 ま れ な い この よ う な座 標 を循 環 座 標(cyclic

coordinate)と

い う(そ の 命

お い て,座 標 成 分xが

ポ テ ン シャル

名 の 由来 は §8.2.1で 述 べ る).   た と え ば ラ グ ラ ン ジ ア ン(2.1.31)に U(r)に px=mxは U(r)が

陽 に 含 まれ な い と きxは 循 環 座 標 で あ り,そ れ と共 役 な線 運 動 量 成 分 保 存 され る.ま た ラ グ ラ ン ジ ア ン(2.1.34)に

お いてポ テン シャル

方 位 角 φ を 含 ま な い と き φは 循 環 座 標 で あ り,共 役 な 角 運 動 量 成 分  は保 存 さ れ る.

  もち ろ ん,循 環 座 標 が 複 数 個 あ れ ば 同様 の保 存 量 が 循 環 座 標 の 数 だ け得 られ る.た だ し循 環 座 標 の 数 は座 標 系 の 選 び 方 に よ って 異 な る.た

とえば ポテ ン

シ ャ ル が 回 転 対 称 で あ っ て も,デ カ ル ト座 標 系 を使 え ば循 環 座 標 は な い.し か しラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 は任 意 の 点 変 換 に た い して 共 変 的 で あ るか ら,問 題 を解 く とい う立 場 か らは,で

き るだ け 多 くの 座 標 が循 環 座 標 に な る よ うに座 標 系 を

選 ぶ の が望 ま しい.

  2.2.3  系 の 対 称 性 と保 存 則   循 環 座 標 で あ る こ との 意 味 を い ま少 し考 え て み よ う.qnの もqnは

変 わ ら な いか ら,qnが

原 点 をず らして

循 環 座 標 で あれ ば ラ グ ラ ン ジ ア ンは 変 換 (2.2.9)

に た い して 不 変 で あ る.こ の と き,そ の ラ グ ラ ン ジ ア ン で 表 され る系 は,そ 変 換(つ

ま りそ の 方 向 へ の移 動)に 関 して対 称 性 を もつ とい う.た

ラ ン ジ ア ン がxを

陽 に含 ま な い と き に は,系

対 称 性 を もつ.同 様 に,ラ

はx方

の

とえ ば ラ グ

向へ の平行移 動 に関 して

グラ ン ジ ア ン が 方 位 角 φ を含 ま な い と き に は,系

は 第3軸 の ま わ りの 回 転 に 関 して 対 称 性 を もつ.そ

し て そ の い ず れ の 場 合 も,

そ の そ れ ぞ れ の 座 標 に 共 役 な 運 動 量 が 保 存 され て い る.   とす れ ば保 存 則 の 存 在 は,変 換 に た い す る ラ グ ラ ン ジ ア ンの 不 変 性,つ 系 の対 称 性 と密 接 に 関 係 して い る こ とが 予 想 され る.実 際,た ジ ア ン(2.1.31)

(2.1.34)に

お い て,ポ

テ ン シ ャ ル がr=￨r￨の

まり

とえ ば ラ グ ラ ン み の 関 数 で方

向 に まっ た くよ らな い とす る.こ の と き系 は どの 軸 の ま わ りの 回転 に 関 して も 対 称 性 を も ち,し た が っ てz軸

の か わ りにx,yの

各 軸 の ま わ りの 回 転 角 を方

位 角 と と る こ と で,上 の 角 運 動 量 のz成

分 の保 存 の議論 が すべ ての軸 にた い

して 適 用 さ れ る.そ れ ゆ え こ の 場 合,循 環 座 標 に共 役 な 運 動 量 で は な い け れ ど も

(2.2.10a) (2.2.10b) の そ れ ぞ れ が(2.2.7)以

外 に 第1積

分 と な る.し

たが ってまた

(2.2.11) も第1積 分 で あ る.   こ の よ うに,第1積

分 が 存 在 す るか ど うか は,本 来 的 に は 循 環 座 標 の有 無 に

よ るの で は な く,系 の 対 称 性 の有 無 に よ る.循 環 座 標 の 存 在 は 対 称 性 の特 別 な あ らわ れ で あ る が,た

と え循 環 座 標 が な く と も系 は 対 称 性 を も ち う る の で あ

る.   こ の 対 称 性 と保 存 則 の 関 係 は 次 の よ うに一 般 的 に証 明 され る.   配 位 空 間N上

の 点Q=qに,連

続 な パ ラ メー タ λ∈Rを

もち,恒

等変換 と

連 続 的 に つ な が っ て い る変 換

(2.2.12a)

(た だ し )  を施 した と き,こ れ に よ り配 位 空 間 上 に 点Qを こ の 曲 線 の 点Qで

の 接 ベ ク トル は,N上

を 用 い, 

始 点 とす る 曲 線 が 描 か れ る.

の 任 意 の 関数hの

方 向微 分

と して

(2.2.13) と表 さ れ る.さ で,N上

らに こ こ で 点QをN上

の す べ て の 点 に く ま な く動 か す こ と

の ベ ク トル 場

(2.2.14) が得 られ る.   そ して この 配 位 空 間N上

の変 換(2.2.12)か

ら状 態 空 間TN上

の変換

(2.2.12b) お よ び,状 態 空 間 上 のベ ク トル 場

(2.2.15) が 自 然 に 導 か れ る.し

た が っ て 配 位 空 間 の 変 換(2.2.12a)に

ン ジ ア ン の 変 化 率 は,uλ

と もな う ラ グ ラ

の 積 分 曲線 に そ っ た 方 向微 分

(2.2.16) で 表 さ れ,こ れ よ り次 の恒 等 式 が 得 られ る:

(2.2.17)   さて,系

が 変 換 Φ に関 して対 称 性 を も ち,し た が っ て 変 換 Φ が 状 態 空 間上

に 導 く変 換 Φ に た い して ラ グ ラ ン ジ ア ン が 不 変 に保 た れ る,す な わ ち

(2.2.18) が 成 り立 つ と す る*2.こ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式E[L]=0を

の と き(2.2.17)よ

り 運 動 の 経 路 に そ っ て,つ

満 た す(q,q)に

ま りラ

た い して 関 数

(2.2.19) は 一 定 で あ る.こ と い う*3.ま  

の 関 数F(q,q)を

モ ー メ ン ト 関 数(momentum

function)

とめ る と

系 が 配 位 空 間 上 の 変 換 Φ に 関 し て 対 称 性 を も ち,そ

れ ゆ え そ こ か ら 自然

に 導 か れ る状 態 空 間 上 の 変 換 Φ に た い して ラ グ ラ ン ジ ア ン が 不 変 に保 た れ る と き,対

応 す る モ ー メ ン ト関 数 は 第1積

分 で あ る.

  こ の 命 題 を ネ ー タ ー の 定 理(Noether's

theorem)と

で あ り, 

ー タ ー の 定 理 で は,恒

*2  一般 の 点 変 換 

ゆ え,ネ

(逆変 換Q〓q=φ(Q))に

い う.Φ(λ=0;q)=id. 等 変 換 の近 く

と も な い ラ グ ラ ン ジア ン は

 に変 換 され る((2.1.24)∼(2.1.27)).  と くに  す な わ ち  の とき,ラ グ ラ ン ジア ン は この 変 換 に た い して 不 変(invariant)と い わ れ る. *3  モ ー メ ン ト関 数F(q ,q)は モー メ ン ト写 像(momentum map)と もい わ れ る.そ の わ け はp. 347脚 注4参 照.

(無 限小 変 換)で

の不 変 性 だ け か ら保 存 量 が 得 られ て い るの で あ る.

  ネ ー ター の 定 理 は さ らに 一 般 的 な 形 に 拡 張 で き る.そ の 点 に つ い て は 後 節 (§3.2)で あ ら た め て 論 ず る こ とに し,こ こ で は 二 つ の例 を挙 げ て お く.   3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 内 の 質 点 系 の 運 動 で,系 が 単 位 ベ ク トルnの

方向の

平 行 移 動 に 関 して 対 称 性 を もつ とす る.こ の 対 称 変 換 は

(2.2.20) (た だ しrα=(x1α,x2α,x3α),α mx2α,mx3α)と

し て,モ

は 粒 子 番 号)で

あ る.そ

れ ゆ えpα=(mx1α,

ー メ ン ト関 数 は

(2.2.21) とな り,こ れ が 第1積 分 とな る.こ れ は 全 線 運 動 量P=Σ に他 な らな い.も

  同様 に,質

向成 分

ち ろ ん 系 が どの 方 向 の平 行 移 動 に 関 して も対 称 で あ れ ば,運

動 量 の すべ て の成 分 が 保 存 す る.た ン シ ャ ル がU(￨r

αpαのn方

とえ ば 中 心 力 に よ る2体 相 互 作 用 で,ポ テ

1-r2￨)で 表 さ れ る場 合(後 述 例2.2.2)で

点 系 が 単 位 ベ ク トルnの

あ る.

方 向 を 向 い た軸 の ま わ りに 回 転 対 称 と

す る.こ の 対 称 変 換 Φ を微 小 回転 角 θの場 合 に θの1次

まで 表 す と

こ れ は 成 分 で 表 して

(2.2.22) と な る.そ

れ ゆ え こ の 場 合 の モ ー メ ン ト関 数 は

(2.2.23) とな り({εijk}は エ デ ィ ン トン の ε),こ れ は全 角 運 動 量M=Σ

αrα ×pα のn

方 向 成 分 に他 な ら な い(角 運 動 量 は 擬 ベ ク トル で あ る).も ち ろ ん 系 が 完 全 に 回転 対 称 で あ れ ば,nは

任 意 で あ るか ら,そ の と きに は角 運 動 量 の す べ て の 成

分 が 保 存 す る(対 称 性 と保 存 則 の 関 係 に つ い て,群 論 を 用 い た 議 論 は §6.3, §6.4で 論 ず る).

  2.2.4  ハ ミル トニ ア ン とエ ネル ギ ー 積 分   空 間 の 平行 移 動 に 関 す る対 称 性 か ら運 動 量 の 保 存 が 導 か れ る.「 時 間 の 平 行 移 動 」 に 関 す る対 称 性 か ら得 られ る保 存 則 は,次 の よ うに考 えれ ば よい.

恒 等式

(2.2.24) が 成 り立 つ の で

(2.2.25)  と こ ろで 時 間 の平 行 移 動

(2.2.26) に 関 す る 対 称 性 と は,物 え 初 期 値q(t0),q(t0)が

理 的 に は 拘 束 条 件 や 外 力 が 時 間 に 陽 に よ ら ず,そ 同 一 で あ れ ば,系

の 運 動 を す る こ と で あ り,数

動 開 始 時 刻t0に

学 的 に は ラ グ ラ ン ジ ア ン がtを

 と い う こ と で あ る.そ り ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式Ei[L]=0を 右 辺 は0,し

は,運

れ ゆ

よ ら ず,同

陽 に 含 まな い

れ ゆ え こ の と き 運 動 の 経 路 に そ っ て,つ 満 た す(q,q)に

た い し て,(2.2.25)式

た が っ て 上 式 の 左 辺 括 弧 内 は 一 定.こ

う し て 第1積

一

ま の

分

(2.2.27) が 得 ら れ る.一

般 に こ の 関 数,つ

ま り

(2.2.28) を ハ ミ ル トニ ア ン(Hamiltonian)と   Lがtに き,HLが

陽 に よ ら ず,し 第1積

名 づ け る*4.

た が っ て ハ ミル トニ ア ンHLもtに

分 に な る と い う の が(2.2.27)の

陽 に よらな い と

主 張 で あ る.こ

の 場 合 を保

存 系 と い う.   一 般 に 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は(2.1.13)す

*4  厳 密 に い え ば q=ψ(q,p,t)を

,ハ

なわ ち

ミ ル トニ ア ン と は,HL(q,q,t)のqに(2.2.5)を

代 入 し た,(q,p,t)を

解 い て得 られ る

変 数 とす る関数

を 指 す(§4.1.2(4.1.14)式).本 書 で は 用 い て い る変 数 の こ の 違 い を 添 字Lで 表 す が, ど ち ら もハ ミ ル トニ ア ン と呼 ぶ.な お 時 間(t)を 座 標 の 第0成 分q0と 扱 う拡 大 配 位 空 間 で 見 れ ば,q0=tと ハ ミル トニ ア ン の 符 号 を 変 え た も のp0=-HLの 関 係 が 一 般 化 座 標 と一 般 化 運 動 量 の 関 係 と 同 様 の 共 役 関 係 に あ り,そ れ ゆ えHLの 保 存(2.2.27)は,前 節の運 動 量 の 保 存 と 同 様,ネ

ー タ ー の 定 理 か ら も 導 か れ る(§3.1.4,

§3.2.2参

照).

の 形 を し て い る.し

た が っ て ポ テ ン シ ャ ルUがqを

含 ま な け れ ば,対

応す る

ハ ミ ル トニ ア ン は

(2.2.29) と な る.た

と え ば 運 動 エ ネ ル ギ ー が(2.1.38)で

ラ ン ジ ア ン に た い し て は,ハ

与 え られ る 回転 座 標 系 の ラ グ

ミル トニ ア ン は

(2.2.30) と表 さ れ る.{}内

の 第2項

回 転 系 で 見 た と き の 第1積 (Jacobi

integral)と

  ま た,系

は 遠 心 力 ポ テ ン シ ャ ル に 相 当 す る.こ

の よ うな

分 と し て の ハ ミル トニ ア ン を と くに ヤ コ ビ 積 分

い う.

の 運 動 エ ネ ル ギ ー がqの2次

シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー がqを

同 次 式(bi=0,c=0)で

含 ま な い 場 合,ハ

か つ ポテ ン

ミ ル トニ ア ン は

(2.2.31) と な り,こ の 第1積

れ は 初 等 力 学 で 馴 染 み の 全 力 学 的 エ ネ ル ギ ー に 一 致 す る.こ

分 と し て の ハ ミ ル トニ ア ン を,エ

呼 ぶ こ と も あ る.そ   た だ し,ラ

し て 関 係HL=Cを

グ ラ ン ジ ア ンL=T-Uが

う条 件 を 満 た し て い る だ け でTが た と えTがqの2次

ネ ル ギ ー 積 分(energy

の場 合

integral)と

エ ネ ル ギ ー 保 存 則 と い う. 正 しい 運 動 方 程 式 を 与 え る もの とい 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と解 釈 で き な い 場 合 は,

同 次 式 で あ っ た と し て も,ハ

ミ ル トニ ア ン は 必 ず し も 系

の 全 エ ネ ル ギ ー に は な ら な い.   た と え ば2次

元 等 方 性 調 和 振 動 子 で は,二

つ の ラ グ ラ ン ジア ン

(2.2.32) (2.2.33) の い ず れ に た い して も,ラ グ ラン ジ ュ方 程 式 を作 れ ば正 しい 運 動 方 程 式

(2.2.34) が 得 られ る.そ の か ぎ りで は この 二 つ の ラ グ ラ ン ジ ア ンは 等 価 で あ る.し か し こ の そ れ ぞ れ に た いす るハ ミル トニ ア ン は

(2.2.35) (2.2.36) と な り,前 い.も

者 は 確 か に 系 の 全 エ ネ ル ギ ー で あ る が,後

ち ろ ん い ず れ の ラ グ ラ ン ジ ア ン に もtが

陽 に 含 ま れ な い た め,ど

こ の 系 の 保 存 量 で あ る こ とに は 変 わ りは な い.H2Lの の 結 果 か は 後 節(例3.2.2,例6.4.1)で   な お,ラ

ち らも

保 存 が どの よ うな 対 称 性

見 る.

グ ラ ン ジ ア ン(2.1.45)で

含 ま れ る が,ハ

者 は エ ネ ル ギー で は な

は,ポ

テ ン シ ャ ル 項 にrの1次

の項 が

ミ ル トニ ア ン は

(2.2.37) とな り,運 動 エ ネ ル ギ ー と静 電 エ ネ ル ギー の和 の 形 を して い るの で,こ

の場 合

の ハ ミル トニ ア ン は エ ネ ル ギー 積 分 で あ る(磁 場 は仕 事 を しな い か ら エ ネ ル ギ ー に 寄 与 し な い).

  2.2.5  配 位 空 間 の 簡 約 と 自由 度 の 削 減   循 環 座 標 に 共 役 な 一 般 化 運 動 量 は 第1積 分 で あ り,そ の よ う な第1積 分 が 存 在 す れ ば運 動 空 間 は状 態 空 間 の 部 分 空 間 に 限 定 さ れ る.そ れ ゆ え 自由 度n(状 態 空 間2n次

元)の 系 に お い て ラ グ ラ ン ジ ア ン にqnが

系 の 運 動 は 状 態 空 間 内 のpn(q,q)=αnで

陽 に 含 ま れ な い と き,

定 め られ る(2n-1)次

限定 され る.し か し実 は この と き,系 は(2n-2)次

元超 曲面上 に

元 状 態 空 間上 の 運 動 に還 元

さ れ る の で あ る.(な お,系 の もつ 対 称 性 の 結 果 と し て あ る モー メ ン ト関 数 が 第1積 分 と し て得 られ た と き,そ の モ ー メ ン ト関 数 が あ る循 環 座 標 成 分 に共 役 な一 般 化 運 動 量 とな る よ うに局 所 座 標 系 を選 ぶ こ とが で き る.し たが っ て 以 下 の議 論 は,第1積

分 と して モー メン ト関 数 が一 つ 得 られ る場 合 な らば,は

じめ

か ら循 環 座 標 が 含 ま れ て い る場 合 で な く と もあ て は ま る.)   い ま ラ グ ラ ン ジ ア ンが 正 則,つ (2.2.4)を

ま り 

とす る.こ の と き

逆 に解 い て循 環 座 標 に対 応 す る一 般 化 速 度 成 分 を

(2.2.38) と 表 す こ と が で き る.そ

こ で,こ

れ を 用 い て も と の ラ グ ラ ン ジ ア ン か らqnを

完全 に消去 した関数

(2.2.39) を考 え る((q)nはqか

が 導 か れ る(こ を表 し,そ

ら 第n成

こ に[…]*は

分 を 除 い た も の).こ

の 関 数 に た い して

内 部 の 微 分 演 算 の 後 にqnに

の と き[∂L/∂qn]*=αn).し

ψnを 代 入 し た も の

たがって

(2.2.40) が 得 ら れ る(表

現 αnψnはnに

つ い て の 和 を 表 さ な い).そ

れ ゆ え関 数

(2.2.41) を定 義 す る な らば,こ れ も ラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 を満 た す,す

なわち

(2.2.42)   こ こ で,も

と の 配 位 空 間 でqnの

し て 得 ら れ る 空 間,数 わ る こ と の で き るN上 間,す

学 的 に い う な ら ば 変 換  の 点 を 同 値 と し て,こ

な わ ちN'=N/∼,お

そ のTN'上

の 同 値 関 係 でNを

割 った商空

考 え る.そ

の と き,

ラ グ ラ ン ジ ア ン とす る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 で

れ ゆ え 系 は,Rを

間,(q1,q2,…,qn-1)を

に よ り移 り変

よ び そ の 接 バ ン ド ルTN'を

で の 系 の 運 動 はRを

決 定 さ れ る.そ

値 だ け が 異 な る二 つ の 点 を 同 一 の 点 とみ な

ラ グ ラ ン ジ ア ン,N'を(n-1)次

元 配位 空

そ の 一 般 化 座 標 とす る 力 学 系 に 還 元 さ れ た こ と に な

る*5.   こ の よ う に し て 対 称 性 を も つ 系 の 配 位 空 間 を,第1積 な い 空 間 に 置 き か え る こ と が で き る.こ (reduction),そ

し て こ のRを

ア ン(modified

Lagrangian)と

の 自由度 の 削 減 を配位 空 間 の簡 約

ラ ウ シ ア ン(Routhian)な い う(上

分 の数 だけ次元数の少

に 定 義 し たRの

い し修 正 ラ グ ラ ンジ 符 号 を変 え た もの を

ラ ウ シ ア ン と い っ て い る教 科 書 も 多 い).   そ し て こ の ラ ウ シ ア ン に た い す る(n-1)個 *5  この 意味 で ,循 環 座 標 は 無視 し うる座 標(ignorable

の ラ グラ ンジュ方程 式が解 かれ

coordinate)と

もいわ れ る.

た な ら ば,そ

の 解qi(t)(i=1,…,n-1)を(2.2.38)に

が 得 ら れ,qn(t)は

そ こ か ら 単 な る 積 分 で 求 ま る の で あ る.

  こ う し て 循 環 座 標 を 一 つ 含 む 系 は,ラ も つ(n-1)自

代 入 す る こ と でqn(t)

由 度 の 系 に 還 元 さ れ る.し

ウ シ ア ンRを

た が っ て すべ て の 座 標 が 循 環 座 標 に

な る よ う な 座 標 系 を 見 い だ す こ とが で き た な ら ば,問 に な る.つ

ラ グ ラ ン ジ ア ン と して

題 は お の ず と解 け た こ と

ま り 力 学 の 問 題 を解 く こ と は す べ て の 座 標 成 分 を循 環 座 標 と す る 座

標 変 換 を 見 い だ す こ と で あ る と い う こ と も で き る.こ

の ア プ ロー チ は正 準 方 程

式 か ら 正 準 変 換 論 へ と発 展 す る 解 析 力 学 の 一 つ の 指 導 原 理 で あ り,ハ ーヤ コ ビ 方 程 式 に お い て 達 成 さ れ る が ,そ   例2.2.1 

ミル トン

れ に つ い て は 後 章 で 論 ず る.

軸対 称 な電磁 場 中の荷 電粒 子の運 動

  こ の 場 合,対

称 軸 をz軸

Φ(ρ,z),A=(0,Aφ(ρ,z),0)と

とす る 円 筒 座 標(ρ,φ,z)を 用 い る と 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル は な り,荷 電 粒 子(m,e)の

ラ グラ ンジア ンは

(2.2.43) で 与 え られ る.こ

の と き φ が 循 環 座 標 で あ り,z軸

ま わ りの 角 運 動 量 成 分

(2.2.44) が 第1積

分 を 与 え る.こ

の 場 合 は 角 運 動 量 に 電 磁 的 な 項 が 含 ま れ て い る.そ

のため

磁 場 が 時 間 と と も に な い し粒 子 の 軌 道 に そ っ て 空 間 的 に 増 加 す れ ば 力 学 的 角 運 動 量 mρ2φ が 減 少 す る.興 味 深 い事 実 で あ る.   そ し て こ のM3の

保 存 を用 い れ ば,ラ

ウシア ンは

(2.2.45) と表 さ れ る.3次

元 空 間 中 の 運 動 の(ρ,z)平

シ ャ ル  Aφ=0な

面 へ の 射 影 は,ρ 方 向 の 運 動 に ポ テ ン

が 余 分 に加 わ っ た2次 元 平 面 上 で の 運 動 と等 価 で あ る. ら こ の 項 は 遠 心 力 ポ テ ン シ ャ ル を与 え る.

  例2.2.2 

中心 力 に よ る2体 相 互 作 用

  中心 力 に よ り相 互 作 用 をす る2物 体(m1,m2)の

系 の ラグラ ンジ アンは

(2.2.46) 配 位 空 間 はN=R3×R3で ル の 場 合 は,R3×R3か

重心座 標 

あ る(Uは ら￨r1-r2￨=0と

中 心 力 ポ テ ン シ ャ ル,ニ な る 点 を 除 く).こ

,相 対座標 

ュ ー ト ン ・ポ テ ン シ ャ

こ で

(2.2.47)

を使 っ て 書 き直 す と, 

と し て,簡

単 な計算 で

換算 質量  (2.2.48)

た だ し  が 得 られ る.配 位 空 間 の 次 元 は6,状   明 らか にRCM=(X,Y,Z)の

態 空 間 の 次 元 は12で

あ る.

各 成 分 が 循 環 座 標 で あ り,そ れ に 共 役 な 一 般 化 運 動 量

(2.2.49)

定 ベ ク トル  が 第1積

分 を 与 え る.こ れ を運 動 量 積 分 とい う.も

う一 度 積 分 して

定 ベ ク トル.

これ を重 心 積 分 とい う.こ の6個

の 関 係 で,状

  運 動 量 積 分 と重 心 積 分 の 存在(す

 (α は 任 意 の3次 ア ン の 不 変 性 の 結 果 で あ る.そ るN内

こ で,こ

張 ら れ る3次

る.

動 量 保 存 則 と重 心 定 理)は,平

行移 動

元 定 ベ ク トル)に た い す る ラ グ ラ ン ジ

の 平 行 移 動 で相 互 に 移 り変 わ る こ と の で き

の 点 を 同 値 と し,こ の 同値 関 係 でNを

  結 局N'はr=r2-r1で

態 空 間 の 次 元 が6減

な わ ち,運

割 っ た 商 空 間N/∼=N'を

元 空 間 で,こ

考 え る.

の空 間が簡 約 され た配位 空 間 で

あ り,こ の 簡 約 さ れ た 系 の ラ グ ラ ン ジ ア ン と して 上 のLに

た いす るラ ウシア ン

(2.2.50) を導 入 で き る(こ こ で は ラ ウ シ ア ン をL'で の も と で の 質 量mの1質

表 す).こ

点 の 運 動 に 還 元 さ れ る.つ

対 称 性 に よ り,配 位 空 間 の 次 元 が3,状

う し て 系 は ポ テ ン シ ャ ルU(γ) ま り3方 向 の 平 行 移 動 に 関 す る

態 空 間 の 次 元 が6減

っ た こ と に な る.

  こ の と き系 は 球 対 称 で あ るか ら,角 運 動 量 ベ ク トル

(2.2.51) が 保 存 す る.こ 実 際,Mの

れ は3個

の 保 存 則 に 見 え る が,独

定 義 よ りr・M=0,r・M=0で

使 う とr・M=0が

得 られ,Mの2成

立 な の は こ の う ち の2個

で あ る.

あ る か ら,こ の 前 者 をtで 微 分 し 後 者 を 分 が 保 存 す れ ば 残 りの 成 分 も必 ず 保 存 す る こ と

が わ か る(こ れ は §6.3.3に 述 べ る ポ ア ソ ン の 定 理 の 特 別 な場 合 で あ る).   そ こ でMの2成 の 保 存 を考 え,こ

分 の か わ りに,Mの

第3成

分M3とMの

大 き さM=￨M￨の

二つ

れ ら の 保 存 か ら何 が 導 か れ る か を 調 べ て み よ う.

  そ の た め に まず,極

座 標(2.1.32)を

用 い て,L'を

(2.2.52) と表 す.(2.2.50)式

の 定 数 項 

は,一

般 性 を 失 う こ と な くRCM=0と

座 標 系(重 心 系)に 移 る こ とが 可 能 ゆ え,捨

て る こ とが で き る.

  極 座 標 で 表 し た 二 つ の 保 存 量 は,(2.2.7)お

よ び(2.2.11)す

なる

なわ ち

(2.2.53)

(2.2.54)  角 運 動 量M=mr×rはrとrの るか ら,M3/Mが

張 る 平 面 つ ま り軌 道 平 面 に 垂 直 な ベ ク トル で あ

一 定 と は,こ

の 軌 道 平 面 と(x,y)平

と を 意 味 し て い る(図2.2.1).iを

面 の な す 角iが

軌 道 面 傾 斜 角(inclination)と

定 数 で あ るこ

呼 ぶ.こ

のとき

(2.2.55) ま た こ れ を 使 っ て(2.2.54)を

と な る.iが 角 を

書 き直 せ ば

一 定 の と き,(x,y)平

ψと す れ ば,図

面 と軌 道 面 の 交 線ON(節

よ り 

線)か

らr=OPま

での

す なわち

(2.2.56) で あ るか ら,こ

の2式

を 使 っ て 上 式 の 分 母 ・分 子 を 書 き直 す と,簡 単 な 計 算 で (2.2.57)

が 得 ら れ る(ψ>0と

し た).し

  他 方,節

経 度 を Ω とす れ ば,Ω

線ONの

たが って

さ ら に 座 標 変 換  node)と

い う.こ

と ψ に よ りrの

を施 す.こ

方 向 を 指 示 で き る の で,

の Ω を昇 交 点 経 度(longitude

の座標 系 では

図2.2.1  惑 星運 動 の 軌 道 と軌 道 要 素

of

こ れ を上 式 と見 く らべ て

(2.2.58) こ の こ と は 軌 道 面 が 不 動,つ る.そ

して,こ

ま りベ ク トルMの

向 きが 一 定 と い う こ と を 示 し て い

の 座 標 系 で は ラ グ ラ ン ジ ア ン(2.2.52)は

(2.2.59)   結 局,M3とMの

二 つ の 保 存 か らベ ク トルMの3成

に な る.M3とMの

保 存 は,Z軸

分 の保 存 が導 き出 され た こ と

まわ りの 回 転 と定 ベ ク トルMの

す る対 称 性 の 結 果 で あ る か ら,そ

の 回 転 で 結 び つ く点,つ

ま わ りの 回 転 に 関

ま りrが

同 一 で Ω(な い

し φ)と ψが 異 な る 点 を 同 値 と して 得 られ る 同 値 関 係 で あ ら た め てN'を 間,す

な わ ち 座 標 をrと

す る実 軸

る.そ

して そ こ で の ラ グ ラ ン ジア ン,つ

割 った商 空

が さ らに簡 約 され た 配位 空 間 に な ま りL'に

たいす る ラウ シア ンは

(2.2.60) で与 え られ る.こ

う して 最 終 的 に 問題 は,ポ

テ ンシャ ル

(2.2.61) の も と で の1次

元配位 空 間

上 の 運 動 に還 元 さ れ た こ と に な り,こ れ は

求 積 法 で 解 く こ と が で き る.右 実 効 ポ テ ン シ ャ ル(effective

辺 第2項

potential)と

対 称 性 か ら,配 位 空 間 の 次 元 が2減   し た が って 運 動 は,状

い う.こ

こ で も2方

のU*を

向 の 軸 ま わ りの 回 転

っ た こ とに な る.

態 空 間TN"で

上の 運 動 に な るが,L"はtを

は 遠 心 力 ポ テ ン シ ャ ル で あ り,こ

考 え れ ば 次 元 が4減

陽 に 含 ま な い か ら,さ

っ た2次

元 平 面(r,r

らにエ ネル ギー積分

(2.2.62) を も ち,系

は状 態 空 間TN"=(r,r）

て ポ テ ン シ ャ ルU(r）

の こ の 式 で 決 ま る 曲 線 上 を 運 動 す る.し

たが っ

が 与 え ら れ て い る な らば,r=r(t)は

(2.2.63) を 積 分 す る こ と に よ り 求 ま り,得 ψ(t)も

ら れ たr(t)を(2.2.57)に

代 入 す る こ と で ψ=

決 定 さ れ る.

  な お(2.2.57)式

よ り得 ら れ る

(2.2.64) を使 って 上 式 を書 き直 せ ば,軌

道 の方程 式

(2.2.65) が 得 ら れ る.こ

れは

(2.2.66) と 書 い た ほ うが 便 利 な こ とが 多 い.こ

の 方 程 式 か ら 軌 道 形r=r(ψ)は

決 定 さ れ,こ

う し て 軌 道 平 面 上 の 運 動 は 完 全 に 解 くこ と が で き る.   な お(2.2.57)式

は

(2.2.67) と 書 く こ と が で き る.こ ケ プ ラ ー の 第2法

  例2.2.3 

こ にhは

則(Kepler's

面 積 速 度(areal

second

law)に

velocity)で

あ り,そ

の 保 存 は,

他 な ら な い.

ケ プ ラー運動

 い ま 前 の例 で 見 た 中 心 力 ポ テ ン シ ャ ル が

(2.2.68) を 満 た し,か (2.2.61)が Eに

つ あ る 領 域 でU(r)<0と

図2.2.2aの

対 応 す る(r,r)平

分 か れ る).ど

示 さ れ た よ う に な る で あ ろ う(実 はU(+∞)=U0≠0で,

最 小 値r0を

の場合に

もつ.

場 合( 

の と き はE
 で は す べ て のEに (r,r)平

の それ ぞれ の場

あ れ ば よ く,そ の と き は 

の 場 合 もrは

  と く にE<0の

と え ば 実 効 ポ テ ン シ ャル

の と き 与 え ら れ た エ ネ ル ギー

面 上 の 曲 線(2.2.62)は, 

合 に つ い て,図2.2.2bに あ る領 域 でU(r)
な る と す る.た

よ うに な る 場 合 を考 え る.こ

た い し て)rは

面 上 の 曲 線 は 閉 じ,簡 約 配 位 空 間N"(r軸

場 合,し

最 大 値r1も

も ち,簡

た が って 約状態 空間

上)で の 運 動 は

(2.2.69) の 範 囲 の 振 動 運 動 に な る(r0,r1は(2.2.63)の

根 号 内 部 の 零 点 と し て 決 定 さ れ る).

こ の 運 動 は 無 限 遠 に 飛 び さ る こ と が な い と い う意 味 で 束 縛 運 動 を 表 し,ま で あ る か ぎ り(2.2.57)よ

りdψ/dtが

原 点 の ま わ り を一 方 向 に 回転 し て ゆ く.E=-E0の   そ し てrの じ る.実

と き は 半 径a0の

円 軌 道 に な る.

振 動 周 期 と ψ の 回 転 の 周 期 が 有 理 数 比 を な し て い れ ば,こ

は こ の よ う に 軌 道 平 面 上 で 軌 道 が 閉 じ る の は,引

トン 型 な い し フ ッ ク型 の い ず れ か,つ

たM≠0

定 符 号 で あ る か ら,軌 道 平 面 上 の 点(r,ψ)は

まり

の 軌道 は閉

力 ポ テ ン シャル が ニ ュー

(a)

(b)

図2.2.2  中 心 力 ポ テ ン シ ャル と簡 約状 態 空 間 の経 路 の 場 合 に 限 ら れ る.こ

れ を ベ ル ト ラ ン の 定 理(Bertrand's

  以 下 で は ニ ュ ー ト ン ・ポ テ ン シ ャ ル  程 式(2.2.66)は

theorem)と

い う*6.

の 場 合 の 運 動 を 考 え よ う.軌

道の 方

この と き

と変 形 さ れ る か ら

*6  ベ ル ト ラ ン の 定 理 の 証 明 は 1984)問

題2-13お

,江 沢 洋 ・中 村 孔 一 ・山 本 義 隆 よ び そ の 解 説 参 照.

『演 習 詳 解   力 学 』(東 京 図 書 

と お け ば,上

式 は 

と な り,た だ ち に 

で き る(ω は 積 分 定 数).し

の よ うに 解 く こ と が

たが って軌道 形 は

(2.2.70) これ は 円錐 曲 線 で あ り,エ

ネ ル ギーEの

値 に よ り次 の よ うに 分 類 さ れ る:

楕 円,

(2.2.71)

放 物 線, 双 曲 線.  束 縛 運 動 す な わ ちE<0で これ が ケ プ ラ ー の 第1法

は,軌

道 は 原 点(力

則(Kepler's

の 中 心)を

first law).そ

焦 点 とす る 楕 円 に な る.

して

(2.2.72) が 楕 円 の 離 心 率(eccentricity)を

与 え る.ま

た

で 

(近 日点 ま た は 近 地 点)

で 

(遠 日点 ま た は 遠 地 点)

と な る か ら,惑 星 の 運 動 で は ω は 節 線 か ら近 日点 ま で の 角 度 を 表 し,こ れ を近 日 点 引 数(argument 場 合 に は,黄

of perihelion)と 道 面 は 赤 道 面 に,天

近 地 点 引 数(argument

of perigee)と

φ:=ψ-ω=真 で あ り,さ

い う(図2.2.1,地

球 の まわ りの 人 工 衛 星 の 運 動 の

頂 は 天 の 北 極 に,近 い わ れ る).そ

近 点 離 角(true

ら に 楕 円 の 長 半 径(semi-major

日 点 は 近 地 点 に 変 わ り,ω は して

anomaly) 

(2.2.73)

axis)aは

(2.2.74) こ のa,e,ω

お よ びi(軌

道 面 傾 斜 角),Ω(昇

あ わ せ て ケ プ ラ ー の 軌 道 要 素(Keplerian

交 点 経 度)そ

し て 近 日点 通 過 時 刻t0を

orbital elements)と

い う.

  そ して こ れ ら を使 え ば 軌 道 角 運 動 量 は

(2.2.75) また軌 道の極 座 標表 示 は

(2.2.76)   こ の 式 か ら わ か る よ うに,ケ が 一 致 し て 軌 道 が 閉 じ る.こ し,ケ

プ ラ ー 運 動 で はrの の こ と は,軌

振 動 周 期 と ψ=φ+ω

の回転 周期

道 面 上 で 近 日点 が 移 動 し な い こ と を 意 味

プ ラ ー 運 動 の 著 しい 特 徴 で あ り,ケ プ ラ ー 運 動 に は 中 心 力 で あ る こ と に よ る

幾 何 学 的 対 称 性 以 外 に も対 称 性 が 隠 され て い る こ と を示 唆 して い る(こ の 点 に つ い て は例3.2.3,例6.3.2,例6.4.2参   他 方,こ

照).

の 軌 道 上 の 運 動(時

間 的 移 動)は 方 程 式(2.2.63)を

積 分 して

(2.2.77a) に よ り決 定 さ れ る.t=t0(近

日 点 通 過 時 刻)でr=r0と

す る と,そ

の 後 はdr/dt>0

であ るか ら

(2.2.77b) こ こ に,E<0で

は(2.2.69)よ

り右 辺 の 被 積 分 関 数 の 分 母 の 根 号 内 は

と表 さ れ るか ら

(2.2.78) と変 数変 換す れば,上 の積 分 は簡 単 に実行 で きて

(2.2.79) が 得 ら れ る.u=0∼2π

で1周

期 で あ るか ら周 期Tと

平 均 角 速 度nは

(2.2.80) と表 さ れ,周

期 は 長 半 径 の3/2乗

nを 平 均 運 動(mean

motion)と

に 比 例 し て い る.な い う.以 下 で はnを

  ケ プ ラー は 太 陽 系 の 惑 星 に つ い て 周 期 の2乗 に た い し て 等 し い,つ プ ラ ー の 第3法 (2.2.80)のmは

則(Kepler's

third law)と

換 算 質 量 で あ るか ら,太

と長 半 径 の3乗

の 比 がす べ て の惑 星

い わ れ て い る も の で あ る.正 陽(質 量M●)とi番 を使 う と(Gは

あ り,(2 .2.80)よ

が 得 られ る.こ

体 力 学 で は平均 角 速 度

ま り比 が 惑 星 に よ ら な い 定 数 で あ る こ と を示 し た.こ

に た い し て  =G(M●+mi)で

お,天

こ の よ うに 呼 ぶ.

の 比 はmi≪M●

れ がケ 確 に は

目 の 惑 星(質 量mi) 万 有 引 力 定 数)k/m

り

を考 慮 しM●+mi≒M●

と近 似 す る こ とに よ っ て は

じめ て 惑 星 に よ ら な い 定 数 に な る.   ま た上 のnを

用 い て(2.2.79)を

nt=u-esinu=平

とな り,こ れ は 平 均 運 動nで

書 き直 し た もの は(t0=0と 均 近 点 離 角(mean

し て)

anomaly) 

回 転 し た と きの 回 転 角 を 表 す.ケ

(2.2.81)

プ ラー の 第2法

動 径 の 掃 く面 積 が 時 間 に 比 例 す る こ と を表 す か ら,図2.2.3でOを の 焦 点),Cを

楕 円 の 中 心,Pを

惑 星(r=OP),Bを

近 日点,∠NCO=ξ

則は

力 の 中 心(楕 と して

円

図2.2.3 

が 得 ら れ る.こ

れ を(2.2.81)と

u=∠NCO=離

の(2.2.81)式

れ を 解 い てu=u(t)を

 な お,E>0(e>1)の

比 べ てu=ξ,す

な わち

心 近 点 離 角(eccentric

で あ る こ と が わ か る.こ う.こ

楕 円 軌 道

anomaly) 

を ケ プ ラ ー 方 程 式(Kepler's

求 め(2.2.78)に と き も(2.2.77)は

代 入 す れ ばr=r(t)が

(2.2.82) equation)と

い

得 ら れ る*7.

ほ とん ど 同様 に

(2.2.83) とすれ ば積 分 で き

(2.2.84) が 得 られ る(た だ し こ の 場 合 は 範 囲 で 行 わ れ,r1'に

,運 動 はr>r0の

物 理 的 な 意 味 は つ け られ な い).

*7  ケ プ ラ ー 方 程 式 の 解 き 方 は 次 の よ う に す る:

と フー リエ展 開す れ ば,展 開係 数 は

と表 さ れ る.こ

こ にJkはk次

公 式 Ⅲ 』(岩 波 書 店 1960) これ よ り

ベ ッ セ ル 関 数 で あ る(森 p. 178,犬

井鉄郎

口繁 一 ・宇 田 川銈 久 ・一 松 信

『特 殊 関 数 』(岩 波 書 店 1962)

p. 306参

『数 学 照).

  例2.2.4 

軸 対 称 な こ ま(ラ グ ラ ン ジ ュ の こ ま)の 運 動

  1点 を 固 定 さ れ た 剛 体 の 回 転 の 方 程 式 は 例2.1.2で (2.1.69)に

イ ラー 角 を 局 所 座 標 系 とす る3次 元 配 位 空 間(6次 る.い

得 られ た ラ グ ラ ン ジ ア ン

た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と し て 書 き 下 す こ とが で き る.こ

ま こ の 剛 体 が 重 力 の 作 用 の み を受 け て い る とす る.剛

間 固 定 系 のZ軸

の系 は オ

元 状 態 空 間)に お け る 運 動 で あ 体 の 質 量 をmと

を鉛 直 上 向 き に と り,重 心 の 座 標 を(XCM,YCM,ZCM)す

し,空

る と,重 力

の ポ テン シャ ルは

で 与 え ら れ る.系 保 存 す る.こ

は 鉛 直 軸(Z軸)の

れ は 角 運 動 量 のZ成

ま わ り に 対 称 で φ が 循 環 座 標 で あ る か らpφ が 分 の 保 存 で,こ

の 保 存 則 に よ り配 位 空 間 は(θ,ψ)

で 張 られ る2次 元 空 間 に 簡 約 さ れ,さ ら に 保 存 系 で あ る か らエ ネ ル ギー が 保 存 す る. 一般 に は そ の 他 に は 第1積 分 を も た な い の で ,そ れ 以 上 は 解 くこ とが で き な い.   しか し と くに 剛 体 が 軸 対 称 な こ ま で 重 心 が 対 称 軸(z軸)上 ジ ュの こ ま と い わ れ,主

慣 性 モ ー メ ン トはA=Bと

に あ る と きは ラ グ ラ ン

な り,求 積 法 で解 く こ とが で き

る.   固定 点(原 合,ラ

点)か

ら 重 心 ま で の 距 離 をlと す れ ばZCM=lcosθ

で あ り,A=Bの

場

グ ラ ン ジ ア ン(2.1.69)は

(2.2.85) と簡 単 に な る.こ

の と きは ψ も循 環 座 標 で あ り,第1積

分 と して

(2.2.86a) (2.2.86b) の 二 つ が た だ ち に 得 ら れ る.こ のpψ の保 存 は 対 称 軸(自 が 一 定 で あ る こ と を 意 味 し て い る.そ

して そ の 結 果,系

転 軸)ま

わ りの 自 転 角 速 度

は ラ ウ シア ン

(2.2.87) を ラ グ ラ ン ジ ア ン,実 効 ポ テ ン シ ャ ル を

(2.2.88) とす る 自 由 度1の

系 に 還 元 され る.Ueffの

形 は 図2.2.4.

  こ の 場 合 の 簡 約 さ れ た 配 位 空 間 は,座

標 θが[0,π]の

軸 で あ る.し

ネル ギー保 存 則

か も保 存 系 で あ る か ら.エ

範 囲 の 値 を と る1次

元 の実

(2.2.89)

が 得 ら れ,こ

の 式 を 積 分 す る こ と で θ=θ(t)は

求 ま る.さ

ら に(2.2.86)の2式

よ り

(2.2.90) が 導 か れ る の で,も

う一 度 積 分 して φ=φ(t)も 求 ま り,次

に(2.2.86b)に

代 入 して

ψ=ψ(t)も 決 定 さ れ る.   簡 単 の た めcosθ=uと

書 く とエ ネ ル ギ ー 保 存 則(2.2.89)は

(2.2.91) と表 さ れ る.こ

れ よ り こ ま の 自転 軸(対 称 軸)は

を す る と 予 想 さ れ る.こ 2.2.4で

この右 辺が正 に な る範囲 で上 下 振動

の 範 囲 はE'≧Ueffに

な る 範 囲 で あ り,θ を 用 い る と 図

表 さ れ る.

図2.2.4 

ラ グ ラ ンジ ュ の こ まの 実 効 ポ テ ン シ ャ ル

  と く に 物 理 的 に実 現 しや す い状 況 と して,対 度 Ω で 回 っ て い る こ ま を,鉛 場 合 を考 え る.こ

称軸 の まわ りに十 分大 きな 自転角 速

直 軸 に た い し て 

だけ傾 け て そ っ と置 い た

の と き(2.2.86b)は

(2.2.92) で あ り,ま

たu=cosθ

と φ の 方 程 式(2.2.91), 

(2.2.90)は

とおけ ば

(2.2.93a) (2.2.93b) と表 さ れ る.こ

こ で こ の 場 合 の 初 期 条 件 

を 使 う と,上

の2式

と な る か ら,定 数 間 に 

は

の 関 係 が な け れ ば な らず,(2.2.93a)は

(2.2.94) と書 き 直 さ れ る.い

ま,こ

ま の 自転 角 速 度 Ω が 十 分 に 大 き く

と近 似 で き る と す れ ば,β/b2の2次

以 上 を無 視 す る近 似 で,上 式 は

(2.2.95) とす る こ と が で き る.た

だし

で あ り,軸 の も っ と も傾 く角 度 θ1,お よ び そ の 振 動 の 振 幅△ θ は

と決 定 さ れ る.こ

の と き(2.2.95)す

なわ ち

を与 えられ た初 期 条件 で解 けば

す なわ ち

(2.2.96) が 得 られ る.さ

ら に こ れ を(2.2.93b)に

代 入 し,同

じ近 似 をす る と

(2.2.97) が 求 ま る.   (2.2.96)は

自転 軸(対 称 軸)の

ふ り運 動 を 表 して い る.こ

上 下 振 動 を 表 し,(2.2.97)は

の 運 動 は,原

点 を 中心 と し半 径lの

(す な わ ち 対 称 軸 が 球 面 を 切 る点 の 運 動)で の こ の 上 下 の お じ ぎ運 動 を章 動(nutation),首 い う.(2.2.97)よ

で,そ

の 変 化 は￨L￨=N(重

球 面 上 の 重 心 の運 動

表 す と わ か りや す い(図2.2.5).自

転軸

ふ り運 動 を歳 差 運 動(precession)と

り歳 差 の 平 均 角 速 度 は<φ>≒mgl/CΩ.こ

解 され る.自 転 角 速 度 が 大 き け れ ば,角

鉛 直 軸 の ま わ りの 首

運 動 量Lは

の こ とは次 の よ うに理

ほ ぼ 自転 軸 方 向 を 向 き￨L￨≒CΩ

力 の モー メ ン ト).こ こ に 

で あ る か ら.   と くに 自転 し て い る こ ま を鉛 直 に(θ=0の

状 態 で)そ っ と置 い た と き に は,解

は

(2.2.98) と な る*8.こ *8  例2

れ は あ た か も運 動 して い な い よ う に 見 え るの で

「(直立 な)ね

.1.2で 見 た よ う に θ=0で は φ と ψ は 一 意 的 に は 決 ま ら な い が,θ だ け な ら θ=0の 近 く で オ イ ラ ー 角 を 使 う こ と は か ま わ な い.

む りご ま

の 変 化 を考 える

図2.2.5  ラ グ ラ ン ジ ュ の こ ま の 歳差 と章 動

(sleeping

top)」

と い わ れ る.解

の 近 傍 で は￨θ￨≪1と

し て,

(2.2.99) で あ るか ら,自 転 角 速 度 が 十 分 大 き くて  擦 に よ り回 転 が 減 少 しΩ<Ωcに

  例2.2.5 

の と き安 定 で あ り,摩

な っ た と き,軸 が ふ らつ きだ し最 後 は 倒 れ る*9.

ベ ー タ ト ロ ン振 動 と弱 集 束

  ベ ー タ ト ロ ン(betatron)や 称 な 磁 場 に よ っ て,荷

シ ン ク ロ トロ ン(synchrotron)は,軸

電 粒 子(m,e)を

対 称 で上 下 対

そ の 中 心 面 上 で 軸 の まわ りに 回 転 さ せ,軌

方 向 に 平 行 な 電 場 で 加 速 す る装 置 で あ る.加 速 は,ベ 磁 束 の 変 化 に よ っ て 生 じ る 誘 導 起 電 力 を用 い,シ

ー タ トロ ン で は,軌

ン ク ロ トロ ン で は,加

道

道 が 囲む

速 空 洞 内の

高 周 波 電 場 を用 い る.   磁 場 の 対 称 軸 に そ っ てz軸,中 る.粒 子 は 理 想 的 に は(つ

ン グ(真 空 ダ ク ト)内 を,広 は,こ

な る よ う に 円 筒 座 標(ρ,φ,z)を

ま り設 計 上 は)z=0,ρ=Rと

る.こ れ を平 衡 軌 道 と い お う.し は ば らつ きが あ る の で,粒

心 面 がz=0と

か し実 際 に は,粒

子 の 集 合 は,平

い う 円 軌 道 を 回 る も の とす 子 源 か ら 出 て きた 粒 子 の 速 度 に

衡 軌 道 を 中 心 と す る あ る 内径 の 中 空 の リ

が り を もつ ビ ー ム と し て移 動 す る.し

の ビー ム の 集 束 が 重 要 な 問 題 に な る.こ

た が って加 速 器 で

の 問 題 を考 え て み よ う.

  以 下 で は ビー ム の 集 束 の み を問 題 とす る の で,加   磁 場 は 軸 対 称 で,ベ

と

速 を無 視 し,磁 場 だ け を考 え る.

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル がA=(0,Aφ(ρ,z),0)で

与 え ら れ る.

した が っ て磁 束 密 度 の 成 分 は

*9  こ ま の 問 題 に つ い て は ジ ャ イ ロ ・ コ ン パ ス な ど興 味 深 い 話 題 も 多 い が に つ い ては

『演 習 詳 解  力 学 』(p.134脚

注6)第6章

,そ を 見 て い た だ き た い.

れ ら の テー マ

(2.2.100) た だ しマ ッ ク ス ウ ェ ル 方 程 式 よ り,こ の 成 分 間 に は

(2.2.101) の 関 係 が あ る.系

は 軸 対 称 ゆ え,軸

ま わ りの 角 運 動 量

(2.2.102) が 保 存 す る(例2.2.1).ま

た ビー ム の 集 束 の み を 問 題 に して い る の で,平 衡 軌 道 に

垂 直 な 面 内 で の 変 位 の み を 考 え れ ば よ く,簡 約 さ れ た 配 位 空 間(ρ,z)で 論 じ る.対 応 す る ラ ウ シ ア ン は,(2.2.45),す

な わ ち実 効 ポ テ ン シ ャ ル を

(2.2.103) として

(2.2.104) で 与 え ら れ る.な

お,こ

の 簡 約 され た 空 間 で は,平 衡 軌 道 は 定 点 に な る.

 ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は

(2.2.105a) (2.2.105b) ま た は(2.2.100),

(2.2.102)を

代 入 して

(2.2.106a) (2.2.106b)  平 衡 軌 道(z=0,ρ=R;以

下,添

字0で

記 す)で

は,z=0,ρ=0ゆ

え

(2.2.107a) (2.2.107b) 第1式

よ りBρ0=0,す

な わ ち磁 場 は 平 衡 軌 道 面 に 垂 直 で な け れ ば な ら ず,ま

式 は 遠 心 力 と ロ ー レ ン ツ 力 の つ りあ い を表 し,こ

た 第2

のとき

(2.2.108) す な わ ち,平 で ω<0,す

衡 軌 道 の位 置 で は,粒 な わ ち+z方

子 は 回 転 角 速 度 ω の 等 速 円 運 動 を 行 う(eBz0>0

向 か ら見 て 粒 子 は 時 計 ま わ りに 回 転).

  こ の 平 衡 軌 道 か ら わ ず か に は ず れ た 粒 子 の 運 動 を 見 る た め に,

￨ξ￨≪Rと して,z,ξ

の1次

ま で と る近 似 を す る:

(2.2.109a) (2.2.109b) 前 の 式 で は,最

後 の 等 号 に(2.2.101)を

用 い た.後

の 式 は 次 の よ う に 導 く:

ここに

を使 え ば よ い.   以 上 よ り,(z,ξ)空

間 に お け る平 衡 軌 道 の 近 傍 で の 運 動 方 程 式 は (2.2.110a)

(2.2.110b) も し も こ の 右 辺 が0で れ ば,粒

あ れ ば,は

じめ にz方

向 や ρ方 向 に わ ず か で も 速 度 成 分 が あ

子 は い く ら で も平 衡 軌 道 か ら離 れ て ゆ く.し た が っ て ビー ム が 安 定 で あ る

た め に は,Bzは

ρに よ っ て 変 化 し な け れ ば な ら な い.そ

こ で,ρ=Rの

近 くで

(2.2.111) の よ う に 変 化 す る と し よ う.こ

の と き(2.2.110)は, 

を考 慮 して

(2.2.112a) (2.2.112b) し た が っ て ビー ム が 安 定 で あ る(z方

向 に も ρ方 向 に も発 散 し な い)た め に は

(2.2.113) で な け れ ば な ら な い.nの 束(weak に,そ

focus)と

値 を こ の 範 囲 に 定 め て ビー ム を集 束 さ せ るや り方 を 弱 集

い う.こ の と き粒 子 は,平

衡 軌 道 の ま わ りで,z方

向,ρ 方 向

れ ぞれ 角振 動数

(2.2.114) の 振 動 を す る.こ

の 振 動 を ベ ー タ ト ロ ン 振 動(betatron

  ま た こ の と き,(2.2.101)とBρ0=0を

考 慮 す る と,平

oscillation)と

い う.

衡 軌 道 の近 くで

(2.2.115) と な り,z〓0でBρ〓0ゆ

え 磁 場 は 図2.2.6の

よ う に な っ て い る.

図2.2.6  円形 加 速 器 に おける弱集束 のための磁場

2.3  ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の 幾 何 学 的 表 現

  2.3.1  基 本1形

式 と基 本2形

式

  物 理 量 は幾 何 学 的 対 象 で あ り,物 理 法 則 は そ れ ら の 関 係 を 与 え る もの で あ る.し た が って 物 理 法 則 は,そ

の 表 現 の ため に使 用 す る座 標 系 の 変 換 に た い し

て 形 を変 え て は い け な い.こ の 共 変 性 の 要 請 は,す

で に 見 た よ うに ラ グ ラ ン

ジ ュ方 程 式 に お い て は満 た され て い る.こ の 要 請 は,方 程 式 そ の もの の座 標 系 に よ ら な い表 現 が 得 られ た な ら ば,よ

り直 接 的 に見 て と る こ とが で き る.本 節

で は ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 の座 標 系 に よ ら な い表 現 を求 め る.   ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は,配 位 空 間N上 決 定 す る も の で あ り,q={qi(t)}お

の 曲 線CL(t)と

よ びq+{qi(t)}は

そ の上 で の 速 度CLを その 局 所 座 標 表 現 にす

ぎ な い.し た が っ て ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式Ei[L]=0(i=1,2,…,n)の よ ら な い表 現 は,N上

座 標系 に

の各 点 で のCLの 接ベ ク トル を与 え るベ ク トル場

(2.3.1) につ い て の 関 係(方 程 式)を 直接 に与 え る もの で な け れ ば な ら な い.そ の 書 き 直 しの た め の 手 が か りは,{Ei[L]}がN上 り(§2.1.3参 照),し

の 各 点 で 共 変ベ ク トル の 成 分 で あ

た が っ てEi[L]dqiが1形

式 を与 え,こ れ を 用 い て ラ グ

ラ ン ジュ 方程 式 が 座 標 系 に よ らず

(2.3.2) と表 さ れ る こ と に あ る.そ

れ ゆ えCLで

与 え ら れ るベ ク トル 場 を,適

当 な2形

式 と 内 部 積 を と る こ と に よ り,こ れ ば 目 的 は 達 成 さ れ る.た   こ の た め に,前

の1形

だ し,本

式Ei[L]dqiに

結 び つ け る こ とが で き

節 で は 保 存 系 の み を考 え る.

節 で 導 入 し た 一 般 化 運 動 量 の 変 換 性 を調 べ て み よ う.

  点 変 換(2.1.24),(2.1.25)に

と も な う一 般 化 運 動 量 の 変 換

(2.3.3) の 変 換 則 は,関

係(2.1.26)を

考 慮す れば

(2.3.4) と得 られ る.こ の 式 はp={pi}がNの

各 点 で 共 変ベ ク トル 成 分 と し て 変 換 さ

れ る こ と を示 して い る.し た が っ て1形 式

(2.3.5) が 定 義 で き る.実

際(2.3.4)よ

りpidqi=PidQiが

成 り立 ち,θLは

確 か に 座

標 系 に よ ら な い 幾 何 学 的 対 象 で あ る.   さ ら に(2.3.5)式

の 外 微 分 を と る こ と で2形

式

(2.3.6) を作 る こ とが で き る.   後 章 でハ ミル トン形 式 の 力 学 を論 ず る と き,(p,q)の を導 入 す る.そ は,ハ

し て こ の1形

張 る空 間 と して相 空 間

式 θLと2形 式dθLを 相 空 間 に 持 ち 上 げ た も の

ミル トン形 式 の 力 学 で は きわ め て 重 要 で 基 本 的 な役 割 を果 た し,そ れ ぞ

れ 「正 準1形

式 」 「正 準2形

式 」 と名 づ け ら れ て い る.し か し ラ グ ラ ン ジ ュ 形

式 の 力 学 で は あ ま り使 わ れ る こ とが な く,定 着 した 名 前 も な い よ うで あ る.本 書 で は これ をそ れ ぞれ 基 本1形

式,基

本2形 式 と呼 ぶ*1.

  な お こ の基 本1形 式 を使 うな らば,前 節 で 導 入 し た モー メ ン ト関 数(2.2.19) は,ベ

ク トル場uλ=fi∂i(2.2.14)の

基 本1形

式 に よ る写 像(双 対 内積) (2.3.7)

で 表 さ れ る. *1

J -V る.

.E.

erlag

Marsden 1994)で

and は,ラ

T. S.

Ratiu,

Introduction

グ ラ ン ジ ア ン1形

式,ラ

to

Mechanics

and Symmetry

グ ラ ン ジ ア ン2形

式

(Springer

と名 づ け ら れ て い

 2.3.2  ラ グ ラ ンジ ュ方 程 式 の座 標 系 に よ ら な い表 現  この 基 本2形

式 を使 って 速 度 ベ ク トル場CLを

写 像 す る な らば,1形

式

(2.3.8) が 得 ら れ る*2.こ

こで

を 用 い て(2.3.8)の

最 後 の 項 を 書 き 直 せ ば,恒

等式

(2.3.9) が 導 か れ る.HLは

ハ ミル トニ ア ン(2.2.28)で

  こ の 結 果 を 用 い れ ば,ラ 方 程 式 と し て,局

あ る.

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(2.3.2)を,曲

線CLに

つ いて の

所 座 標 系 に よ ら な い形 で

(2.3.10) と書 き 表 す こ と が で き る(左 れ をi(CL)dθLやdθL」CLの

辺 は2形

式dθLと

ベ ク ト ル 場CLの

よ う に 書 く本 も 多 い).こ

れ は 幾何 学 的 対 象 と して

の1形

式 ど う し の 関 係 で あ り,幾

る.そ

し て ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の こ の 表 現 は,後

理)に

よ る 力 学 原 理 の 定 式 化 に お い て 重 要 な 役 割 を 果 た す(§3.1参

  保 存 系 で な く,Lがtに

*2 
i￨CL>の

計 算(た

写 像 で あ り,p.

(1.6.23a)を

何 学 的 に表 され た ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 で あ

陽 に よ る 場 合 は,拡

そ の 場 合 の 議 論 と結 果 は §3.1.7に

注9の(c)式

の 変 分 原 理(ハ

しか し以下 で は,簡 単 に

照).

大 配 位 空 間 で 考 え る と よ く,

次 の よ う に 考 え れ ば よ い.CLはR(t軸)→ を用 いて 丁 寧 に書 け ば

使 え ば

こ こ にCL*dφiはR(t軸)へ

ミル トン の 原

記 す.

だ しφi=φi(q,q))は 51脚

内 部 積 で,こ

の 引 き 戻 し を 表 す.し

たが って

 の よ う に 記 す こ と も 多 い.

  .こ

れ

と

  例2.3.1 

電磁 場 中 の荷電 粒子 の運動 方程 式

  電 磁 ポ テ ン シ ャ ル が Φ=Φ(r),A=A(r)で の 運 動 を考 え る.た

与 え られ る 電 磁 場 中 の 荷 電 粒 子(m,e)

だ し ポ テ ン シ ャ ル は 時 間tに

  一 般 化 運 動 量 は(2.2.8)で

与 え られ る.よ

陽 に よ ら な い とす る.

っ て 基 本1形

式 と基 本2形

式は

(2.3.11) (た だ しr=(x1,x2,x3),υ=r=(x1,x2,x3),こ ず2重

添 字 は1∼3の

和 を と る).し

こ こ にCL=xi∂iと任意の関数f(x)に

こ で は 添 字 の 上 付 き ・下 付 き を 区 別 せ

たが って

た い して 

.そ れ ゆ え

お よび

が 得 ら れ る(εijkは エ デ ィ ン トン の イプ シ ロ ン).以 上 ま とめ て

(2.3.12) 他 方,こ

の 場 合 の ハ ミ ル ト ニ ア ン は(2.2.37)で

与 え られ るゆえ

したが って

(2.3.13) とな り

す な わ ち(2.3.10)が

確 か に正 し い 運 動 方 程 式 を与 え る こ とが 示 さ れ た.

  (ポ テ ン シ ャ ル(Φ,A)が 考 え る と よ い.)

時 間tに

陽 に よ る と きに は,t軸

も加 え た 拡 大 配 位 空 間 で

  つ け 加 え る と,以 上 の 議 論 よ り,力 学 理 論 の 定 式 化 に は(q,q)={qi,qi}を す る よ り も(q,p)={qi,pi}を

変数 と

変 数 とす る ほ うが 理 論 が 対 称 的 で き れ い に な り,そ れ

ゆ え見 通 しが よ く な る こ とが 予 想 さ れ る.そ

の 点 は 後 章 の ハ ミル ト ン 形 式 の 力 学 の

と こ ろ で 論 ず る.

2.4  擬 座 標 と ポ ア ン カ レ方 程 式

  2.4.1  擬 座 標 の 導 入   配 位 空 間(n次

元)の 座 標{qi}に

た い す る一 般 化 速 度 成 分 のn個

の互 いに

独 立 な1次 結 合

(2.4.1) を 考 え る.こ

れ ら は 互 い に 独 立 で あ る か らdet(ali)≠0.し

行 列a=(alj)は

逆 行 列 を も ち,そ

れ をb=(blj)と

たが って この とき

す ると

(2.4.2) そ こ で 

と な る配 位 空 間 上 のn個

の微 分 形 式

(2.4.3) お よびn個

の ベ ク トル場

(2.4.4) を 考 え る.微

分 形 式{θk}とベ

ク トル 場{ul}は,(2.4.2)よ

り

(2.4.5) を 満 た し,双

対 関 係 に あ る.さ

ら に ま た(2.4.2),

(2.4.3)を

使 えば

(2.4.6)

お よ び  が得 られ る.し た が って 配 位 空 間 上 の任 意 の 関数 の 外 微 分 は

(2.4.7) で 表 され る.   と くに す べ て のlに

た い して θlの外微 分 が

(2.4.8) と な る 場 合,す

な わ ち ∂jali=∂ialjで あ る な ら ば,θlは

レ の 補 題(§1.6.6)よ

り θl=dQl,す

なわ ち

積 分 可 能 で,ポ

アン カ

(2.4.9) とな るQlが

存 在 す る.こ の 場 合 は ωlは 変 換 さ れ た一 般 化 座 標Qlに

速 度 成 分 で あ り,(2.4.1)は

たいす る

配位 空 間 の座 標 変 換(点 変 換)を 与 え る.

  1形 式 θlが積 分 可 能 でωlが 一 般 化 速 度 成 分 に な る 条 件 をベ ク トル 場ulを 用 い て 表 す に は,次 の よ うに す れ ば よ い.   一 般 に,1形

式 θ=akdqkと

二 つ のベ ク トル場 

に た い して,

次 の恒 等 式 が 導 か れ る:

(2.4.10) こ こ に[u,υ]Lはuとυ

の リー 括 弧 で あ る.

  と く に 

と す れ ば 双 対 関 係(2.4.5)が  と な り,上

成 り 立 つ か ら,

式 は

(2.4.11) し た が っ て ωl=Ql(for ベ ク トル 場{ui}を

all l)と

な る 条 件,す

な わ ちdθk=0

(for

all k)は,

用 いれ ば

(2.4.12) と 表 さ れ る.   他 方,(2.4.8)な

い し(2.4.12)が

関 数 の 全 微 分 に は な ら な い.こ

成 り立 た な い と き に は,θlは

の と きuiとujは

なにか あ る

可換 ではな く

(2.4.13) と 表 さ れ る.一

般 にベ ク トル 場 の 集 合{ui}は

数 を 成 し,{cijk}は

を 使 う と(2.4.13)よ

リー 括 弧 を 積 演 算 と し て リー 代

そ の 構 造 定 数 で あ る(§1.4.9参

照).い

まの 場 合 は

り

(2.4.14) と 表 さ れ る.さ

ら に 次 の 関 係 も 成 り 立 つ:

(2.4.15)

し た が っ て{Cijk}≠0な

ら ば{dθk}≠0で

あ り,こ

の 場 合 は{ωk}は 一 般 化 座 標 の

速 度 成 分 で は な い.   し か し{dθl}≠0の の 微 分,ま

と き も 形 式 的 に θlを 擬 座 標(quasi

た ωlを 擬 速 度(quasi

微 分 と 同 様 に 扱 い,こ

  2.4.2 

velocity)成

coordinate)成

分 と 呼 ん で,一

分(Ql

般化 座 標 成 分 の

れ ら を 用 い て ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を 表 す こ と が で き る.

ポ ア ンカ レ方 程 式

 は じ め に ω={ωl}を

用 い た 新 し い ラ グ ラ ン ジ ア ンLを

次 式 で 定 義 す る:

(2.4.16) これ よ り

お よび

 (2.4.17)

した が っ て

こ こ で右 辺 の 第1項

は ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 よ り0で あ る.ま た 第2項 の 係 数 は

と書 き直 さ れ る の で(左 辺 の 第2項

の ダ ミー 添 字 を 

と置 き

か え る),最 終 的 に ω とqで 表 され た運 動 方 程 式

(2.4.18) が得 ら れ る.こ の方 程 式 の 最 後 の項(の 符 号 を変 え た もの)は

(2.4.19)

と 表 さ れ る が,こ

れ はωiに

対 応 す る 力 の 成 分 で あ る.さ

ら に(2.4.15)を

使

え ば(2.4.18)は

(2.4.20) と 表 す こ と も で き る.(2.4.18), れ た も の で,ポ

(2.4.20)は1901年

ア ン カ レ 方 程 式(Poincare

にPoincareに

equation)と

  力 が ポ テ ン シ ャ ル で 表 さ れ な い 場 合 は,ま

よ り導 か

い わ れ る.

っ た く同様 に して

(2.4.21) と な る.こ

こ にJはqと

ω で 表 し た 運 動 エ ネ ル ギ ー,Flは

一般 化 力 の成分

で あ る.   と く に す べ て のkに り,か

つ い てdθk=0で

つ ωk=Qkで,こ

あ れ ば, 

で あ

の とき

(2.4.22) と な る か ら,方

程 式(2.4.18),

(2.4.20)は,通

常 の ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式

に 帰 着 す る.   さ ら に ま た(2.4.1),

(2.4.3)の

か わ りに 時 間 軸 ま で 含 む 空 間 の 変 換 を考 え

て

(2.4.23) (た だ し こ こ で はali=ali(q,t))と

とっ た と きに は

(2.4.24) と し て 添 字 を0,1,…,nに

形 式 的 に 拡 大 す れ ば よ い.こ

nの

ー 括 弧[ui,uj]Lに

い ず れ か で あ れ ば,リ

の と きi,jが1,2,…,

は ∂/∂tが 含 ま れ な い か ら

(2.4.25) と な り,方

程 式(2.4.18)は,i=1,2,…,nに

た い して

(2.4.26) の 形 に 表 さ れ る(j,k,lは1∼nの

範 囲 で 和 を と る).こ

の方 程 式 は非 ホロ ノ

ミ ッ ク な 拘 束 の あ る 場 合 に 有 効 で あ る(§2.5.3参   例2.4.1 

照).

剛体 の 回 転 に た い す る オ イ ラ ー 方 程 式

  剛 体 の 固 定 点 の まわ りの 回 転 を 考 え る(全 体 が 並 進 運 動 して い る 場 合 も,例2.1.2 で 見 た よ う に重 心 を 固定 点 の よ う に扱 っ て よ い).固 し た 座 標 軸 を(X,Y,Z)軸,剛 を と り(x,y,z)軸

定 点 を 原 点Oと

し て 空 間 に 固定

体 に 固 定 し た 座 標 軸 と し て 互 い に 直 交 す る慣 性 主 軸

と し,こ の 慣 性 主 軸 の ま わ りの 慣 性 モー メ ン ト を(A,B,C)で

表

す.   剛 体 の 配 位 は オ イ ラー 角(φ,θ,ψ)を 用 い て 表 す(例2.1.2参 回 転 角 速 度 の(x,y,z)成

分 は(2.1.68),す

照).こ

の と き剛 体 の

なわ ち

(2.4.27) で 表 さ れ る.こ

の 場 合x,y,zが(2.4.1)に

お け る 添 字lに,φ,θ,ψ

が 座 標{qi}に

あ た る.こ れ らの 回 転 角 速 度 成 分 は い ず れ も擬 速 度 成 分 で あ る.実 際,た

と え ばωx

では (他 も同様) で あ るか らdωx=0と

な らずωxは

あ る角 度 の 変 化 率 で は な い.

 こ の 角 速 度 成 分 を 用 い れ ば 運 動 エ ネル ギ ー は

(2.4.28) こ の場 合 ωzdt=θzがz軸

で あ る と す る と,そ

他 方,こ

の ま わ りの微 小 角 度 εの 回 転,す

れ に と も な う 任 意 の 関fの

な わち

微 分 は,(2.4.7)よ

り

の微分 は直接 的 に は

と求 ま る か ら,両 者 を比 べ て

(2.4.29) (こ の 場 合,x,y軸

は 剛 体 に 固 定 し た 軸 ゆ え,z軸

軸 ・y軸 自体 が 回転 す る こ と に 注 意).同

様 にx軸

ま わ りの 剛 体 の 回 転 に と も な いx ・y軸 の ま わ りの 回転 に た い して も

(2.4.30) が 得 られ,こ

れ よ り リー 括 弧 は

(2.4.31)

以 下 同様 に して{ux,uy,uz}よ

りな る リー 代 数 の構 造 定 数 は

(2.4.32) こ れ を 方 程 式(2.4.18)に

あ て は め れ ば,L=J-Uと

し て 剛 体 の 回転 の 方 程 式

(2.4.33) が 得 られ る.こ

う し て 剛 体 の 回 転 につ い て の オ イ ラ ー 方 程 式(2.1.70)が

あ らため て

導 き 出 さ れ た.   た だ し い まの 場 合,(2.4.19)の

力 の 項 は,ωxに

対 応 して

(2.4.34) と表 され,こ れ はx軸 まわ りの 力の モー メ ン トで あ る.

2.5  拘 束 条 件 と拘 束 力

 2.5.1  拘

束

力

  これ ま で の議 論 は,未 知 の拘 束 力(束 縛 力)を 消 去 す る こ とに よ っ て,自 由 度 の数 だ け の 方程 式 を求 め る とい う方 向 で 進 め られ て きた.こ 力 そ の もの を求 め る こ とを 目的 と し て,ラ

こ で は逆 に 拘 束

グ ラ ン ジ ュ方 程 式 を見 直 す.

  は じめ に 拘 束 が ホ ロ ノ ミ ッ クな 場 合 を考 え る.い

まN個

の 質 点 の 系 がp個

の拘 束 条 件(束 縛 条件)

(2.5.1) に 支 配 さ れ て い る と す る.rα ク トル で あ り,以 え,系

下,系

は 運 動 空 間R3に

お け る α番 目の 質 点 の位 置 ベ

全 体 の 運 動 を 直 積 空 間R3N=R3×R3×

… ×R3で

の 配 位 を ひ と ま と め にx=(r1,r2,…rN)=(x1,x2,…x3N)で

単 の た め 質 点 系 と考 え,(x1,x2,x3)=r1,(x4,x5,x6)=r2な 目 の 質 点,2番

表 す(簡 ど を そ れ ぞ れ1番

目 の 質 点 の デ カ ル ト座 標 系 の 成 分 と す る け れ ど も,議

よ う な 系 に も あ て は ま り,(x1,x2,…,x3N)も

考

論 は どの

そ の 配 位 を表 す も の で あ れ ば ど

の よ う な 座 標 系 の 成 分 で あ っ て も よ い).   こ こ で 

,す

な わ ち3N個

の 成 分 を も つp個

の ベ ク トル

(2.5.2) が1次

独 立 で あ る と す る(た

だ し ∂k=∂/∂xk).し

た が っ て,系

は実 際 に は 空

間R3N内

の 条 件(2.5.1)で

め 込 ま れ た 多様 体)上   N上

の 点xに

決 め られ るn(=3N-p)次

を運 動 す る.こ のNが

元 超 曲 面N(R3Nに

埋

配 位 空 間 で あ る.

た い す る仮 想 変 位(拘 束 条 件 を破 ち な い 同 時 刻 の 変 位)を

(2.5.3) と す れ ば,点x+δxもN上 (μ=1,2,…,p)を

の 点 で あ り,や

は り 拘 束 条 件fμ(x+δx,t)=0

満 た し て い る か ら,(2.5.1)と

あ わせ て

(2.5.4) で な け れ ば い け な い(以 下kの2重

添 字 は1∼3Nで

上 の 任 意 の 点 で の 仮 想 変 位 δxは,R3N内

のp個

と 直 交 し て い る.し

た が っ て ま た,N自

い る の で あ る(N上

の 任 意 の 点 の 接 空 間 が,そ

和 を と る).す

な わ ちN

の ベ ク トル

体 が こ のp個

の ベ ク トル に 直 交 し て

の 点 で の こ のp個

のベ ク トル

の 張 る 空 間 の 直 交 補 空 間 と な っ て い る).   こ こ で は 拘 束 が 滑 らか な 場 合 を 考 え る(§1.1.3参 く拘 束 力Fα'(α=1,2,…,N)の ち,ひ

照).そ

の と き各 粒 子 に 働

全 体 は 仮 想 変 位 の さ い に 仕 事 を し な い.す

なわ

と ま とめ に 表 した拘 束 力

(2.5.5) は

(2.5.6) を満 た す.こ

の こ とは 拘 束 力F'が

味 し,し たが ってF'はp個

の

つ ね に 超 曲 面Nに

直 交 して い る こ と を意

∇fμ の1次 結 合 で

(2.5.7) の よ う に 表 さ れ る(た る).あ

る い は,拘

だ し∇ α=∂/∂rαで あ り,μ

束 力F'が

の2重

添 字 は1∼pの

和 を と

仮 想 ポ テ ン シ ャル

(2.5.8) か ら 導 か れ る と い っ て も よ い.拘 の 仮 想 ポ テ ン シ ャ ル の 値 が0の の 式 の 意 味 は 明 ら か で あ る.

束 条 件(2.5.1)を

考 慮 し,配

位 空 間Nは

等 ポ テ ン シ ャ ル 面 に な っ て い る と考 え れ ば,こ

こ

  2.5.2 

拘 束 系 の ラ グ ラ ンジ ュ方 程 式

  そ れ ゆ え 拘 束 力 を 求 め る こ と は,つ こ と に 帰 着 す る.そ   い ま,拘

ま る と こ ろ λμ(μ=1,2,…,p)を

求 め る

の た め に は 次 の よ う に す れ ば よ い.

束 力(2.5.7)を

考 慮 す れ ば,ニ

ュー トン の運 動 方 程 式 は

(2.5.9) あ る い は 

を用 い て

(2.5.10) と 表 さ れ る.こ

の式は また

(2.5.11) とお け ば

(2.5.12) の よ う に 書 く こ とが で き る.   こ の(2.5.12)(ま

た は(2.5.10))の3N個

束 条 件 か らxの3N個

の 方 程 式 と(2.5.1)のp個

の 成 分xiとp個

の λμが 決 定 さ れ,こ

の拘

う して 系 の 運 動

と拘 束 力 が 同 時 に 求 ま る の で あ る.   な お 配 位 空 間Nの 上 で は,も

上 で 

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,N

と も と の ポ テ ン シ ャ ルUと

ン シ ャ ル 

仮 想 ポ テ ン シ ャ ル を加 え た 新 しい ポ テ

は 同 じ も の で あ る こ と が わ か る .ポ

ル を 配 位 空 間Nか

ら 運 動 空 間R3Nに

拡 大 す る さ い に,fμ

の1次

テ ンシャ

結 合 の任 意 性

が あ る と い っ て も よ い.   し た が っ て 上 の 結 果 は,仮

想 ポ テ ン シ ャ ル(2.5.8)を

含 め た ラ グ ラ ン ジア

ン

(2.5.13) を 作 り,こ

れ を(x,λ)={xk,λ

μ}を 拡 大 一 般 化 座 標 に も つ ラ グ ラ ン ジ ア ン と 見

な し て ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を 作 っ て も 導 か れ る.座 た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 が 運 動 方 程 式(2.5.12)を に た い す るp個 は λμが 含 ま れ な い)が

の ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式  拘 束 条 件(2.5.1)を

与 え る.

標xk(k=1,2,…,3N)に 与 え,座

標  (L0に

  方 程 式(2.5.12)と

拘 束 条 件(2.5.1)を

ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と 同 等 で あ る こ と は,次   拘 束 条 件 を解 く こ と に よ り,xの3N個 一 般 化 座 標q=(q1,q2,…,qn)を る.そ

組 み 合 わ せ た も の が 確 か にn個

の

の よ う に 直 接 的 に 示 さ れ る. の 成 分 は,独

立 なn=3N-p個

用 い てxk=φ(q,t)(k=1,…,3N)と

こ でφ(q,t)=(φ1(q,t),φ2(q,t),…,φ3N(q,t))と

の 表 され

し て,ラ

グ ラ ンジア ン

を

(2.5.14) で定 義 す る(以 下iお

よ びjの2重

添 字 は1∼nの

和 を と る).こ こ で

で あ るか ら

お よび

と な り,し

た が っ て,(2.1.12)す

な わ ち ∂iφk=d(∂iφk)/dtに

注 意 して

(2.5.15) が 得 ら れ る.以

上,[ 

  変 位[δx]x=φ=(∂

]内 は,微

分 演 算 後 にx=φ(q,t)を

代 入.

φ/∂q)δqは 拘 束 条 件 を 満 た す 仮 想 変 位 ゆ え,(2.5.4)よ

が 任 意 の δqiに つ い て 成 り立 た な け れ ば な ら な い.し

り

た が っ て(2.5.15)で

(2.5.16) で あ り,そ

れ ゆ え(2.5.12)が

成 り 立 て ば,q=(q1,q2,…,qn)は

確 か にn個

の ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式

(2.5.17) を 満 た し て い る.そ xも

得 ら れ,そ

こ で,こ

れ か ら 得 ら れ る解qをx=φ(q,t)に

れ を 運 動 方 程 式(2.5.9)に

代 入 す れ ば,拘

代 入す れば

束 力 も

(2.5.18) と し て 求 ま る こ と に な る.

  2.5.3 

非 ホ ロ ノ ミ ック な 拘 束

  こ れ ま で の 議 論 は,ホ

ロ ノ ミッ ク な拘 束 の 場 合 につ い て の もの で あ るけ れ ど

も,本

質 的 に は 拘 束 条 件 が(2.5.4)で

り,そ

の も と の 形(2.5.1)は

表 さ れ る こ とだ け を使 っ て い るの で あ

ど こ に も 使 っ て い な い.し

ミ ッ ク な 拘 束(nonholonomic

constraints)で

た が っ て,非

あ っ て も,条

ホ ロノ

件 が 微 分 量 の1次

式

(2.5.19) で 与 え られ て い る場 合 に は,こ れ が 積 分 不 可 能 で(2.5.1)の

形 に 表 され な く

と も,ま っ た く同 様 に論 じ る こ とが で き る.  実 際 こ の 場 合,仮

想 変 位(拘 束 条 件 を破 ら な い 同 時 刻 の 変 位)に

たい して

は,条 件

(2.5.20) が 課 せ ら れ る が,こ か ら,こ

れ は(2.5.4)の

∂fμ/∂xkをaμkで

れ ま で の 議 論 と ま っ た く 同 様 に し て,(2.5.12)の

置 きか え た だ け で あ る か わ りに 方 程 式

(2.5.21) が得 られ る.こ の 場 合,拘 束 条 件(2.5.1)に

相 当 す る の がp個

の微 分 方 程 式

(2.5.22) で あ り,(2.5.21)と(2.5.22)と

を あ わ せ て3N個

のxkとp個

の λμが 決 定

さ れ る の で あ る.   な お,拘

束 力 の 表 式(2.5.7)を

議 論 を 始 め た け れ ど も,現

導 く の に,拘

実 に 用 い た の は,拘

束 が 滑 らか と い う と こ ろ か ら 束 が(2.5.6)を

満 た して い る

と い う こ と だ け で あ る.し

た が っ て た と え 滑 ら か な 拘 束 で な く と も,仮

が 仕 事 を し な い 場 合 で あ れ ば 同 じ議 論 が で き る.た 接 点 が す べ ら ず に 転 が る 場 合 に は(2.5.6)が は 非 ホ ロ ノ ミ ッ ク な(2.5.19)の =(F1'

,F2',…,F3N')の

と え ば,摩

成 り 立 ち,こ

形 で あ る が,そ

想 変位

擦 力 が あ って も

の 場 合,拘

の と き の 拘 束 力(摩

束条件 擦 力)F'

成分 は

(2.5.23) で 与 え られ る.   拘 束 が(2.5.19)で

与 え られ これ らが 積 分 不 可 能 な 場 合,前

節 で見た擬座標

を用 い る方 法 もあ る.こ の 場 合3N個

の{xk}の

う ち3N-p=n個

れ る の で,そ れ を 

と し,擬 速 度 成 分 と して

は独 立 に と

(2.5.24)

(2.5.25) を と る.そ

う す れ ば 拘 束 条 件(2.5.22)は{ω

μ}に た い す る 条 件 と し て 単 純 に

(2.5.26) と 表 さ れ る.残

り の 

は 積 分 可 能 で あ る か ら(2.4.26)式

で

(2.5.27) と し て よ く,(2.4.26)の

方 程 式 は 

に た い して

(2.5.28) と 表 さ れ る(ρ=p+1∼3N,ν=1∼pで

和 を と る).こ

こ にL0は(2.5.24)を

解 い た もの を

(2.5.29) と して

(2.5.30) で 定 義 さ れ て い る.た (μ=1,2,…,p)と

だ し 拘 束 条 件(2.5.26)は

お く.し

微 分 演 算 を 実 行 後 に ωμ=0

た が っ て 方 程 式(2.5.28)は

ωμを 含 ま ず, 

に つ い て の 微 分 方 程 式 で あ る.   (な お 拘 束 力Fσ'=λν αν σ は(2.5.20)を す な わ ち 任 意 の 

満 た す 任 意 の 微 小 変 位 に た い し て, に た い し て 仕 事 を し な い が,そ

の

た め に は  (2.5.28)に

で な け れ ば な ら な い.し

た が って 方 程 式

は 拘 束 力 は 登 場 し な い.)

  こ う し て 自 由 度 の 数(3N-p=n)だ れ に よ り 

け の 運 動 方 程 式(2.5.28)が が 求 ま り,残

得 ら れ,そ

り のxμ(μ=1,…,p)は(2.5.22)

を 解 く こ と で 得 ら れ る.   例2.5.1 

円 筒 上 を転 が る 円 筒

  図2.5.1の

よ うに 固定 円 筒(半 径A)の

わ りの 慣 性 モ ー メ ン トI=ma2/2)が,軸   可 動 円 筒 の 中 心 が 半 径r=A+aの

上 を可 動 円 筒(半 径a,質

量m,中

心軸 ま

を水 平 に 保 っ て 転 が る とす る. 円 運 動 をす る の で

(2.5.31) ま た 接 点 が す べ らず に転 が る条 件 は,可

動 円 筒 の 中心 の 固 定 軸 ま わ りの 回転 角 を θ,

可 動 円 筒 の 軸 の ま わ りの 回 転 角 を φ と して

(2.5.32) 前 者(2.5.31)は る が,あ

ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 を 与 え る.後

者(2.5.32)も

実 は積分 可 能 で あ

え て この ま ま の 形 で 非 ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 と して 扱 お う.

  ラ グラ ンジア ンは

(2.5.33) 対 応 す る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(2.5.12)お

よ び(2.5.21)は

  i.e. 

(2.5.34)

  i.e. 

(2.5.35)

  i.e. 

(2.5.36)

図2.5.1  円筒 上 を ころ が る 円筒

  さ て 拘 束 条 件(2.5.31)よ αφ=(A+a)θ.こ

り 

この 式 に θ をか け,初

期 条 件 を θ=0で

こ れ よ り 求 積 法 で θ=θ(t)は (2.5.34)に

,ま

れ ら を 用 い て(2.5.35),

使 え ば,拘

(2.5.36)よ

θ=0と

求 ま り,し

で あ るが,こ

で,こ

た(2.5.36)よ

求 ま る.さ

ら に こ れ を

向 成 分 つ ま り垂 直 抗 力 は

そ れ ゆ え 半 径 比 に よ ら ずcosθ=4/7(θ=55°)でFr'=0と 定 円 筒 か ら 離 れ る.ま

り

し て積 分 す れ ば

た が っ て φ(t)も

束 力(2.5.7)のr方

た(2.5.32)よ

り λ2,φ を 消 去 し て

り,拘

な り,こ

束 力(2.5.23)は,こ

こで可動 円筒 は 固 の場 合

れ は 摩 擦 力 の モ ー メ ン トを与 え る.摩 擦 力 の 大 き さ は

れ も 円 筒 の 半 径 比 に よ ら な い.

  例2.5.2 

平 面 上 を 転 が る コイ ン の 運 動

  摩 擦 の あ る水 平 面 上 を す べ らず に 転 が る コ イ ン(質 量m,半 比 べ て 無 視 で き る)の 運 動 を考 え る.図2.5.2の 平 面 上 にx軸 す る.ま

とy軸,鉛

た 重 心oを

直 上 向 き にz軸

径a,厚

を と り,接 点o'の

座 標 を(X,Y,Z=0)と

通 り コ イ ン の 面 と水 平 面 とに 平 行 な 軸 を ξ 軸,コ

行 で ξ 軸 と90° を な す 軸 を η軸,重

さ は半 径 に

よ う に 空 間 に 固定 した 座 標 系 と し て

イ ンの面 に 平

心 を通 り コ イ ン の 面 に 垂 直 な 軸 を ζ軸 と す る.

この ξ軸 ・η軸 ・ζ軸 は そ れ ぞ れ 慣 性 主 軸 で あ り,そ の 各 軸 ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トは A,A,C=2A=ma2/2で し た と き,こ

あ る.ま た 水 平 面 との 接 点 を通 り ξ軸 に 平 行 な軸 を ξ'軸 と

の ξ'軸 とx軸

の な す 角 度 を φ,ζ 軸 のz軸

ζ軸 ま わ りの 回 転 角 を ψ とす る.こ れ ら を使 え ば,重

と な す 角 度 を θ,コ イ ン の

心oの

座標は

(2.5.37) で あ り,重 心 の 速 度 成 分 は

(2.5.38) また重 心 まわ りの角 速 度成 分 は

(2.5.39) で 表 さ れ る.し

たが って ラ グラ ンジア ンは

図2.5.2  平 面 上 をこ ろが る コ イ ン

(2.5.40) こ こ に コ イ ン は 接 点 が す べ ら ず に転 が る の で,座 標 成 分 の 間 の 拘 束 条 件 と し て

(2.5.41) が 成 り立 つ.こ

れ は 非 ホ ロ ノ ミ ッ ク な(積 分 不 可 能 な)拘 束 で あ る.

  こ れ か ら得 ら れ る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(2.5.21)は

以 下 の と お り:

(2.5.42) (2.5.43)

(2.5.44) (2.5.45)

(2.5.46) こ こ に 

を表 す.

  こ れ らの 五 つ の 方 程 式 よ り,拘 束 条 件(2.5.41)を 去 す れ ば,最

用 い てX,Yお

よ び λ1,λ2を消

終 的 に回転 の運動 方程 式 として

(2.5.47) (2.5.48) (2.5.49) が 得 ら れ る.θ

≠0と

す れ ば(2.5.48),(2.5.49)よ

りた だ ち に

(2.5.50) とい う解(定 常 解)の

存 在 が わ か る.こ

の と き接 点 の 速 度 成 分 は(2.5.41)よ

で あ り,他

方(2.5.47)はC=2A=ma2/2を

と な る.そ

れ ゆ え こ の 定 常 解 は 次 の よ うに 分 類 さ れ る:

代 入 して

 (i)  θ0=90°の と き(コ イ ンが 鉛 直 に 立 つ 場 合)Ω ω=0で   (i-a)  Ω=0な

あ り

らば 

軌 跡 は 直 線 で,コ   (i-b)  ω=0な

り

す なわ ち接 点 の イ ン は 水 平 な 軸 の ま わ りに 回 転 す る.

らばX=X0,Y=Y0と

な り,接 点 は 静 止 し,コ

イ ンは 鉛 直 軸 の

まわ りの 角 速 度 Ω の 回 転 運 動 を 行 う.  (ii)  θ0<90° な らば Ωω<0.こ

ま た γ:=R-acosθ0と

の と きR:=-(ω/Ω)aと

し て 重 心 は(簡

して 接 点 は

単 の た めX0=Y0=0と

し て)

で 表 さ れ る 円 運 動 を行 う.拘 束 力 は も ち ろ ん 摩 擦 力 で あ り,そ の 成 分 は

と求 ま る.も 座 標 のz成

ち ろ ん こ の 摩 擦 力(FX,FY)が

分Zを

円 運 動 の 向 心 力 を 与 え る.な

変 数 と して ラ グ ラ ン ジ ア ン に 用 い,拘

拘 束 力 と し て 水 平 面 か らの 垂 直 抗 力FZ=mgが

束 条 件Z=0を

得 られ る.

お接 点 の

付 加 す れ ば,

  な お 回 転 の 方 程 式(2.5.47),(2.5.48),(2.5.49)の の 安 定 性 の 吟 味 に つ い て は,『 を 見 て い た だ き た い.

演 習 詳 解  力 学 』(p.

初 等 的 な 導 き 方 と(i-a)の 134脚

注6)問

題6-23と

解

その解 説

3 変

3.1 

  3.1.1 

分

原

理

ハ ミル トンの 原 理

作 用 積 分 と ハ ミル トン の 原 理

  ラ グ ラ ン ジ ュ 形 式 の 力 学 で は,系 に よ っ て 表 さ れ,そ

ラ ン ベ ー ル の 原 理(2.1.8)か

  い ま 系 が 時 刻t1に

点Q1を

到 達 し た と す る.等

式(2.1.8)を

で あ る.い る と し て,上

の 点の移動

の 経 路 は ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 に よ り決 定 さ れ る.そ

ラ ン ジ ュ 方 程 式 は,ダ

こ こ で{δqi}は

の 時 間 的 発 展 は 配 位 空 間N上

出 発 しN上

ら 導 き 出 さ れ た.

の あ る 経 路 を 通 っ て 時 刻t2に

保 存 力 で ポ テ ン シ ャ ルUに

式 の 被 積 分 関 数 のrα

同 様 の 変 形 を 施 し,こ ラ ン ジ ア ン をL=T-Uと

点Q2に

この 経 路 に そ って 積 分 す れ ば

系 が 満 た す べ き 瞬 間 的 な 拘 束 を 破 ら な い 無 限 小 変 位(仮

ま 力{Fα}が

の ラグ

想 変 位)

よ り(2.1.14)で

与 え られ

を 含 む 項 に(2.1.10)∼(2.1.13)の

過 程 と

の 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー を  す る と,上

,ラ

式 の左 辺 は

と 書 き 直 さ れ る.   そ れ ゆ え 経 路 の 両 端(t=t1お

よ びt2)で{δqi}=0と

な る仮 想 変位 を と る と

グ

が 成 り立 つ.す

な わ ち系 が 実 際 に と る運 動 経 路 に そ っ た ラ グ ラ ン ジ ア ン の積 分

は,端 点 を(通 過 時 刻 も含 め て)固 定 して 途 中 の経 路 を仮 想 的 に 無 限小 だ け 変 化 させ て もそ の 値 を変 え な い(変 化 が 高 次 の 無 限小 で あ る).   逆 に(以 下 本 節 を通 して 見 る よ うに),系 が 配 位 空 間 の2点

を 通 る と き,端

点 を(通 過 時 間 も含 め て)固 定 した 経 路 の 無 限小 の 変 化 が そ の 経 路 に そ っ た ラ グ ラ ン ジ ア ン の 積 分 の 変 化 を 引 き起 こ さ な い とい う条 件 か ら,ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 が 導 き出 され る.   この ラ グ ラ ン ジ ア ンの 積 分 を作 用 積 分(action な 無 限小 の 変 化 を 変 分(variation),そ

integral),ま

た こ の仮 想 的

して 経 路 の 変 分 に た い して 積 分 値 の変

化 が 高 次 の 無 限 小 に な る と き,そ の 経 路 を停 留 曲 線(stationary

curve)な

い

し極 値 曲 線 とい う.   とす れ ば上 の 議 論 よ り,系 が 配位 空 間 内 で現 実 に と る経 路 は 作 用 積 分 の停 留 曲 線 で 与 え られ る とい う要 請 を,運 動 方 程 式 にか わ る新 し い力 学 原 理 と して お くこ とが で き る.こ の 要 請 を ハ ミル トンの 原 理(Hamilton's

principle)と い

う.静 力 学 で 系 の 釣 り合 いが 単 一 の ポ テ ン シ ャ ル関 数 が停 留 値 を とる条 件 で決 定 され る こ とに 対 比 され る,動 力 学 の 原 理 で あ る.   正 確 に は以 下 の よ うに 定 式 化 さ れ る.   ラ グ ラ ン ジ ア ンLが

与 え られ て い る と き,配 位 空 間N上

の曲線

に そ っ た ラ グ ラ ン ジ ア ンの 積 分

(3.1.1) と して 作 用 積 分 を定 義 す る.こ れ は 曲 線 つ ま り関 数 を 変 数 とす る関 数 で あ り, 汎 関 数(functional)と

呼 ば れ る.つ

局所座 標表示 CL上

の点

CLの 接 ベ ク トル を用 い れ ば,q(t)の

汎 関 数 と して

ま り作 用 積 分 は 経 路CLの

汎 関 数 で あ り,

(3.1.2) と 表 さ れ る.こ  

の と き,ハ

配 位 空 間N上

ミル ト ン の 原 理 は 次 の よ う に 表 さ れ る:

で 系 が 時 刻t1,t2に

ら れ て い る と き,t1にQ1を 現 実 に 辿 る 経 路CLは,作

通 りt2にQ2を 用 積 分I[CL]の

  な お,次

の 注 意 を 補 足 し て お く.一

空 間TN上

の 関 数L:TN×R→Rと

q(t)は

か し 作 用 積 分I[CL]の 曲 線CL(t)=q(t)の

q(t)=dq/dtと

与 え

通 る曲線 の集合 の うちで系 が 停 留 曲 線 で 与 え ら れ る.

般 に ラ グ ラ ン ジ ア ンL(q,q,t)を 見 る か ぎ り で は,qはq点

間 の 任 意 の ベ ク トル で あ っ て よ く,し れ る.し

と る 配 位q(t1)=Q1,q(t2)=Q2が

た が っ てqはqと

での接 空

は 独 立 な 量 と見 な さ

被 積 分 関 数 と し て のL(q,q,t)に

接 ベ ク トル,す

し て 決 ま る 量 で あ る.そ

状 態

お い て は,

な わ ち 与 え ら れ たq(t)に

た い して

の 意 味 で 作 用 積 分 はCL(t)=q(t)の

汎 関 数 な の で あ る.

  3.1.2 

拡 大 配 位 空 間

  と こ ろ で 一 般 に,あ い る と き,そ 路CLな

る 空 間 内 で空 間 の 点 の関 数 と して の あ る量 が 与 え られ て

の 量 の 経 路 に そ っ た 積 分 が 極 値(一

い し そ の 局 所 座 標 表 示q(t)を

般 に 停 留 値)を

と る よ うに 経

求 め る 問 題 を 変 分 問 題,そ

して 変 分 問 題

の 形 で 表 現 さ れ た 力 学 原 理 を 変 分 原 理(variational て 力 学 の 原 理 を 運 動 方 程 式(微

分 方 程 式)か

系 の 時 間 的 発 展 の 捉 え 方 に お け る180度

(N上

by

step)で

件 と し てt=t1で   他 方,ハ

の 際,運

の 配 位q(t1)と

ミル ト ン の 原 理(一

本 的 に 局 所 的(local)か

つ

の 各 点 ご とに 速 度 が 指 定 され

の 速 度 に誘 導 され て経 路 上 の 点 の位 置

動 方 程 式 は2階 速 度q(t1)の

微 分 方 程 式 で あ る か ら,初

般 に 変 分 原 理)に

ま り 系 が 時 刻t1にQ1を

こ と が わ か っ て い る と き,q(t1)=Q1,q(t2)=Q2と

期条

指 定 が 必 要 で あ る. よ れ ば,「 初 期 条 件 」 の か わ

「境 界 条 件 」 と し て 初 期 配 位 と最 終 配 位 が 与 え ら れ れ ば,そ

中 の 経 路 が 決 定 さ れ る.つ

し

の 転 換 が と も な っ て い る.

な わ ちN上

に 速 度 ベ ク トル 場 が 与 え ら れ),そ

が 順 に 決 定 さ れ る.そ

りに

あ る.す

い う.そ

ら 変 分 原 理 に 取 りか え る こ と は,

  運 動 方 程 式 に よ る 経 路 曲 線 の 決 定 の あ り方 は,基 逐 次 的(step

principle)と

れ で も って 途

出 発 しt2にQ2に な る 曲 線CL=q(t)が

到達 す る その途

中全 体 の 積 分 の 振 る 舞 いか ら決 定 さ れ る.そ の 意 味 で ハ ミル トン の 原理 に お け る 軌 道 の 決 定 の 仕 方 は,本 来 的 に 大 域 的(global)か

つ 一 挙 的(all

at once)

で あ る.   この よ うに 変 分 原 理 と して の ハ ミル トンの 原 理 が,系 の 時 間 的発 展 の 全 体 を い わ ば 「同 時 的 」 に捉 え る こ と を そ の 本 来 の 特 徴 とす るの で あ れ ば,作 用 積 分 とそ の 変 分 を,時 間軸 を含 む(n+1)次

元 の 拡 大 配 位 空 間N×R上

で表 示 す る

ほ うが よ り自然 で あ ろ う.そ の ため 本 書 で は,変 分 計 算 を こ の拡 大 配位 空 間 で 行 う.   そ の と き に は 作 用 積 分 は,N上

の 曲 線CLで

は な く,CLをN×Rに

持 ち上

げ た 曲線(図3.1.1)

の 汎 関 数 と考 え られ る.τ は 経 路 の パ ラ メー タ で あ る.こ の 曲 線 は系 の 配 位 の 考 え られ る継 時 的 変 化 を全体 と して 静 的 に表 現 す る もの で,系 の 時 間 的 発 展 お よび 時 間 的 前 後 関 係 は,点 の 「移 動 」 に よ っ て で は な く,こ の 曲 線 全 体 とそ の 上 の 点 の位 置 関 係 に よ って 表 さ れ る.

図3.1.1  配 位 空 間 の経 路 と拡 大 配位 空 間 の経 路

このCLの

局 所 座 標 成 分 を 

とす る.た だ し

(3.1.3) で あ り,t(τ)は も 

パ ラ メ ー タ τの 単 調 増 大 関 数(な の よ う に 書 い てqの

る が,記

おqは

成 分qi(t)と

そ の 成 分 に た い して

区別 す る方 が 正 確 で は あ

号 の イ ン フ レ を避 け る た め 成 分 に は 頭 に ∼ を つ け な い).こ

の 接 ベ ク トルCL'=d/dτ

の 局 所 座 標 成 分 は,τ

の と きCL

に よ る 微 分 演 算 を'(ダ

ッ シ ュ)

で記 して

で 表 さ れ る.こ

の 成 分 を用 い て 作 用 積 分(3.1.2)を

書 き 直 す:

(3.1.4) そ こで この 被 積 分 関 数

(3.1.5) を拡 大 配 位 空 間 上 で の ラ グ ラ ン ジ ア ン と見 なす.Lに

よ る作 用 積 分

(3.1.6) は,値

と し て は も と の 作 用 積 分 に 一 致 す る が,CLの

  3.1.3 

汎 関 数 で あ る.

拡 大 状 態 空 間

  と こ ろ で ラ グ ラ ン ジ ア ンL(q,q,t)は,初 の 被 積 分 関 数 と し て はqの

め に も 述 べ た よ う に,作

関 数 と 見 な さ れ,そ

ラ グ ラ ン ジ ア ン そ れ 自体 と し て は(q,q,t)の 量 で あ る.い

い か え れ ばL(q,q,t)は2n次

バ ン ドル)と

時 間 軸Rの

直積 空 間 上 の 関数

用 積分

の さ いqはdq/dtを

表 す が,

関 数 で あ っ てqはqと

は独 立な

元 状 態 空 間TN(配

位 空 間Nの

接

で あ る.こ

こ で 配 位 空 間 にq0=t軸

を加 え た 拡 大 配 位 空 間N×Rに

き,そ の移 行 を状 態 空 間 で見 直せ ば,一

見 した と こ ろ空 間 は(2n+2)個

の局所

で 表 さ れ る(2n+2)次

元 多様

座 標 成 分  体T(N×R)(N×Rの

移 った と

接 バ ン ドル)に 移 っ た よ うで あ る.し か る に 物 理 的 に は

独 立 な変 数 は も と の(q,q)お

よ びtの 合 計(2n+1)個

しか な い の だ か ら,余

計 な次 元 が1つ 付 け 加 わ っ た か の よ うに 見 え る.   しか しそ れ は見 か け 上 の こ とに す ぎな い.実 際,こ のL(q,q')に べ て の{qi'}をk倍

と な る の で,こ

お いてす

す れば

のLは{qi'}の1次

同 次 式 で あ り,オ

イ ラー の 定 理 に よ り

(3.1.7) と表 さ れ る(本 節 で は,2重 場 合 が あ る の で,和

添 字 に つ い て の 和 はi=1∼nの

の 記 号 を 明 示 す る).す

な わ ちLは

場 合 とi=0∼nの 恒 等的に関係

(3.1.8) を 満 た さ な け れ ば な ら な い.こ い 特 徴 で あ る.つ

の こ の 関 係(3.1.8)を る.そ

 3.1.4   さ て,こ

一 致 し,こ

基 本1形

際 に は(2n+2)次

満 た す(2n+1)次

し て こ の 超 曲 面 は,結

TN×Rに

の こ と は 拡 大 空 間 の ラ グ ラ ン ジ ア ンLの

ま り系 の 運 動 は,実

局,も

著 し

元 多 様 体T(N×R)内

元 超 曲面 上 に 限 定 さ れ て い る の で あ と の 状 態 空 間TNと

時 間 軸Rの

直積 空間

れ を拡 大 状 態 空 間 と い う.

式 と作 用 積 分

こ で 微 分 形 式(1形

式)

(3.1.9) を 定 義 す る.§2.3で 上 げ た もの で,や   こ の ΘLと

定 義 し た 基 本1形 は り基 本1形

式 θL(2.3.5)を

拡大 配位 空 間 に持 ち

式 と い う.

θLの 関 係 を 明 ら か に す る た め に,ラ

グ ラ ン ジ ア ンLとLの

関係

(3.1.5),す

な わ ち

(3.1.10) に 戻 る.こ

れ よ りた だ ち に 等 式

(3.1.11) お よ び(iは1,2,…,nを

表 す と し て)

(3.1.12) ま たq0=tに

注 意 して

(3.1.13) が 得 ら れ る(最 後 の 等 号 はHLの 基 本1形

定 義(2.2.28)).こ

れ らの 関 係 を 考 慮 す れ ば

式(3.1.9)は

(3.1.14) の よ う に θLで 表 さ れ る.な

お(3.1.13)式

般 化 運 動 量 で あ る こ と を 示 し て い る.す   こ の ΘLが

は-HLが

正則 な 座 標 変 換(拡

共役 な一

な わ ちp0=-HL.

θLと 同 様 に 局 所 座 標 系 に よ ら ず,し

あ る こ と は ほ と ん ど 自 明 だ が,直

時 間q0=tに

たが って確か に微 分 形式 で

接 的 に は 次 の よ う に 示 さ れ る.N×R上

の

大 配 位 空 間 に お け る 点 変 換)

(3.1.15) を 考 え る.逆

変 換 は 

で 表 さ れ,こ

れよ り

が 得 られ る.こ の座 標 変 換 に と も な うラ グ ラ ン ジ ア ンの 変 換 は,こ の 場 合 の 変 換 が 同 一 の 点 を異 な る座 標 系 で 見 る もの で あ る こ とに 注 意 す れ ば

と 表 さ れ る.し

た が って

とな り,確 か に ΘLは 座 標 変 換 で不 変 で あ る.な お こ の こ とは

が 共 変 ベ ク トル で あ る こ と を示 し て い る.   こ の 微 分 形 式 ΘLを 用 い れ ば,作

用 積 分(3.1.6)は

線積分

(3.1.16) に よ り局 所 座 標 系 に よ ら な い 形 で 表 さ れ る.実 際,経  で あ るか ら,局 所座 標 表 示 で 

路CLの

接 ベ ク トル は

とす る と

(3.1.17a) (3.1.17b) と な り,(3.1.16)は

確 か に 作 用 積 分 で あ る.

  こ の 拡 大 配 位 空 間 で は ハ ミル ト ン の 原 理 は 次 の よ う に 表 さ れ る.  

拡 大 配 位 空 間N×R上 Q1Q2を

通 る と き,

結 ぶ す べ て の 曲 線 の 集 合 の な か で 系 が 現 実 に 辿 る 経 路 は,汎

I[CL]の

関数

停 留 曲 線 で 与 え ら れ る.

こ こ で 「N×R上 t2にN上

で 系 の 運 動 を 表 す 経 路 が2点Q1,Q2を

で 点Q1,Q2を

の 決 ま っ た 点Q1,Q2を

通 る 」 と い う 表 現 の な か に,「 決 ま っ た 時 刻t1, 通 過 す る」 と い う 内容 が 込 め ら れ て い る こ と

に 留 意 し て も ら い た い.

  静 力 学 で 系 の釣 り合 い が 座 標 の 関数 で あ る ポ テ ン シ ャ ル が停 留 値 を と る条 件 か ら決 定 され る の と同様 に,ハ

ミル トンの 原 理 で は,動 力 学 で 系 の 運 動 が,座

標 の 汎 関 数 で あ る作 用積 分 が 停 留 値 を と る条 件 か ら決 定 さ れ るわ け で あ る.系 の 運 動 を 時 間 軸 を含 む拡 大 配 位 空 間 に お け る あ る種 の 釣 り合 い と見 る こ とに相 当 す る.

  3.1.5  作 用 積 分 の 変 分 計 算   ハ ミル トンの 原 理 か ら ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 が 導 か れ る こ と を示 す ため の準 備 と して,作 用 積 分 の変 分 計 算 を行 う.ハ

ミル トンの 原 理 そ の もの は 経 路 の両 端

を 固 定 した変 分 だ け を 問 題 とす るが,変

分 を一 般 的 に扱 うた め に,こ

こ で は両

端 を 自 由 に し た 変 分 の 場 合 か ら 始 め よ う*1.   拡 大 配 位 空 間N×R上

で,曲

CL+⊿CL(両

端 をQ1*,Q2*)を

l1,l2と し,こ

の4本

線CL(両

端Q1,Q2)を

考 え,Q1Q1*,Q2Q2*の

の 曲 線 で 囲 ま れ た 面 をA,Aの

曲 線 を つ な い だ 閉 曲 線 を ∂Aで 表 す(図3.1.2).こ

わずか にず ら した曲線 そ れ ぞ れ を つ な ぐ曲 線 を 周 囲 す な わ ち こ の4本

の

の 閉 曲 線 に た い す る ス トー

クス の定 理 は

ただ し

(3.1.18) で あ り,こ れ を用 いれ ばCLの

任 意 の 変 化 に た い す る作 用積 分 の変 化 は

(3.1.19) と表 さ れ る.(3.1.6)を

考 え れ ば,こ

れ は ⊿I[CL]に

等 し い.

図3.1.2  拡 大 配 位 空 間 の 経 路 とそ の 変 分

  そ れ ぞ れ の 積 分 値 を 求 め る に は,以

下 の よ う に す れ ば よ い.い

座 標 と し て 互 い に 独 立 な パ ラ メ ー タ(τ,η)を 使 う と,A上

ま,面Aの

では

(3.1.20) と表 さ れ る(q0も(τ,η)に

よ り変 化 す る と し て も よ い け れ ど も,い

わ し く な る だ け で 結 果 は 変 わ ら な い).た

だ し 

た ず らに 煩 が 曲 線CL

上 の 点 に な る よ う に パ ラ メ ー タ η を と る.

*1  こ こ で は 局 所 座 標 を 用 い な い 計 算 を 行 う に,少

し ま わ り く ど い や り方 を し た が,も

.た

だ し変 分 計 算 の 意 味 が わ か りや す い よ う

う 少 し ス マ ー ト な 計 算 は,§5.1.3参

は じめ か ら 局 所 座 標 を 用 い た 変 分 計 算 は,§5.1.1参

照.

照.ま

た,

  こ の と き 曲 線CLの

微 小 な 変 形 に と も な う座 標 成 分 の 変 化(変

よ う に 考 え ら れ る.い

ま,CL上

の 各 点CL(τ)を

の 接 ベ ク トル をuη=∂/∂ η と し て,変

分)は,次

始 点 と し,τ=const.の

の 曲線

分

(3.1.21) を定 義 す る.こ

れ は η の み の 変 化 に よ る 変 分 で あ り,こ

そ れ に た い し てCL上 と,そ

の 点 を 始 点 と す る 任 意 の 曲 線(パ

の 接 ベ ク トル は(こ

η の2個

れ ま でd/dτ

れ を δ-変 分 と い う*2. ラ メ ー タ λ)を 考 え る

と 書 い て い た と こ ろ を,以

下 で は τと

の パ ラ メ ー タ を 考 え る の で 偏 微 分 記 号 ∂/∂τ で 表 す こ と に し て)

(3.1.22a) で あ るか ら,そ の 曲 線 に そ っ た変 化

(3.1.22b) は,τ

お よ び η の 両 者 の 変 化 に と も な う も の で,こ

tion)と

い う.な

おt=q0(τ)は

れ を 全 変 分(total

varia

パ ラ メ ー タ τの み の 関 数 で あ る と し た の で,

そ の変 分 は

(3.1.23) と な る.結

局,δ-変

分 は 同 時 刻 の 変 分 を 表 す.

 そ こ で(3.1.19)式

の 右 辺 第1,2項

し,さ

に 十 分 近 い こ と を 考 慮 す れ ば,lα

ら にQα*がQα

のlα の 接 ベ ク トル を υλα:=d/dλ αで 表 に そ っ た積 分 は

(3.1.24) と し て よ い(α=1,2).こ lαはQα

こ で は 両 端Qα

を任 意 に動 か す 変 分 を考 え て い るの で

を 始 点 とす る任 意 の 微 小 曲 線 で あ り,そ

れに そっての変化

(3.1.25) は 全 変 分 のQα

で の 値 で あ る.そ

*2  u

ηは,丁 寧 に 書 け ば,φ:(τ,η)平 uη=φ*∂/∂η で あ り と な る(p. 同 様).

51脚

注9(c)式

れ ゆ え(3.1.24)式

面 →N×R,ま

お よ び(1.6.23a)参

照, 

は

たfをN×R上

の 関 数 と し て,

につ いて も

(3.1.26) と な る.こ […]内

れ が 端 点 の 変 化 に と も な う作 用 積 分 の 変 分 で あ る.た

の 量 の τ=τα(α=1,2),η=0の

  他 方,(3.1.19)の

右 辺 第3項

だ し[…]τ αは

値 を と っ た も の と す る.

の 面 積 分 は,δ η の1次

ま で とれ ば

(3.1.27) と表 さ れ る(こ

こ にCL'=∂/∂

τ).こ

こ で さ ら に(3.1.14)式

の外微分

(3.1.28) を 使 う.特

に 保 存 系 の 場 合 を 考 え る.そ

し て よ く,ま

た 

の と き 

を考 慮 し て(以

と 下 で は η=0を

省 略)

(3.1.29) さ ら に(2.3.9)す

な わ ち 

を使 えば

(3.1.30) と表 さ れ る.こ

こ で は 議 論 を 見 や す くす る た め に 保 存 系 の 場 合 を 考 え た が,実

は こ の 式 は,後

で(3.1.40)に

(3.1.22a)の

示 す よ う に,非

保 存 系 の 場合 に も,ま

形 の 任 意 の υλの 場 合 に も 成り 立 つ.こ

う し て(3.1.27)の

たuη が 面 積

分 は局 所座 標 表 示 で

(3.1.31) と 表 現 さ れ る(た

だ しt(τ1)=t1,t(τ2)=t2).

  以 上(3.1.26),(3.1.31)を

あ わ せ て,作

用 積 分 の 変 分(3.1.19)は

(3.1.32a) (3.1.32b)

と表 さ れ る.こ

の 式 は,解

析 力 学 に お い て は き わ め て 重 要 で あ り,通

名 前 は つ い て い な い よ う だ が,本

  3.1.6 

書 で は 変 分 法 の 基 本 公 式 と 呼 ぶ.

ハ ミル トン の 原 理 と ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式

  い ま,N×R上

の 経 路CLの

の 端 点Q1,Q2を 刻t=t1,t2で 辺 第1項

常 と くに

端 点Q=Q1,Q2を

固 定 し た 変 分(N上

通 過 時 刻 も 含 め て 固 定 し た 変 分)を は ⊿qi=0,⊿t=0と

の[ 

]内

は0に

考 え る.つ

な る 変 分 で あ り,こ

な り,作

で はCL

ま り端 点 通 過 時

の 場 合 は(3.1.32)式

右

用積 分の変分 は

(3.1.33) と な る.そ

れ ゆ えCL(し

た が っ てCL)が

系 の 現 実 の 経 路 で あ れ ば,CL上

で

ラ グランジュ方程式

(3.1.34) が 満 た さ れ て い る の で,こ わ ち,こ

の 作 用 積 分 の 端 点 を 固 定 し た 変 分 は0に

な る.す

な

の 節 の は じめ に 述 べ た よ う に ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の 解 曲 線 は 作 用 積 分

の 停 留 曲 線 で あ る*3.   こ の 逆,つ

ま り作 用 積 分 の 停 留 曲 線 が ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を 与 え る こ と は,

次 の 補 題 を 用 い,さ す れ ば,た

ら にn個

の 変 分 δqi(i=1,…,n)が

独 立 で あ る こ と を考 慮

だ ち に 導 か れ る.

  補 題   f(t1)=0,f(t2)=0を

満 た す 任 意 の 連 続 関 数f(t)に

た い して あ る連 続

関 数F(t)が

を 満 た す な ら ば,全

区 間[t1,t2]でF(t)=0で

な け れ ば な ら な い.

  証 明   も し も あ るt0∈(t1,t2)でF(t0)>a>0で

あ れ ば,F(t)の

F(t)>a>0と

存 在 す る.そ

て 図3.1.3の

な る よ う な 区 間[t0-d,t0+d]が よ う な 関 数,つ

し

ま り

*3  数 学 で は を,オ

連 続性 よ り こ でf(t)と

,関 数F(x,x,t)の 積 分 が 停 留 値 を と る 条 件 を 表 す(3.1.34)の 形 の方 程 式 イ ラ ー 方 程 式 な い しオ イ ラ ー-ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と い う.本 書 で は,関 数Fが ラ

グ ラ ン ジ ア ン の 場 合,こ

れ を ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と 呼 ぶ こ と に す る.

図3.1.3

t
とな る関 数 を選 ぶ と

とな り,こ れ は 前 提 に反 す る(F(t0)<-a<0な

ら ば 

と置 きか

え れ ば よ い).し た が って す べ て のt∈(t1,t2)でF(t)=0.   結 局,作

用 積 分 の 停 留 曲 線 で あ る こ とが ラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 の解 で あ る ため

の 必 要 十 分 条 件 で あ る こ とが示 され た.し た が って,ニ

ュ ー トン の 運 動 方 程 式

な い し ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を力 学 原 理 に と るの と ま っ た く同 じ権 利 で,ハ

ミル

トン の 原理 を力 学 原 理 と して採 用 す る こ とが で き る の で あ る.   た だ しハ ミル トン の 原 理 は ラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 と 同等 で あ るが,は べ た よ うに 運 動 の 決 定 の 仕 方 は 異 な る.ハ

じめ に述

ミル トン の原 理 は,本 来 的 に は系 の

初 期 配 位 と最 終 配位 の み の情 報 か ら そ の途 中 の状 態 を決 定 し う る とい う主 張 で あ り,必 ず し もい っ た ん 微 分 方程 式 に ま で後 退 し,そ こ か ら改 め て 与 え られ た 初 期 条 件 の も とで積 分 し直 す とい う行 き方 を と らね ば な ら な い も の で は な い. 運 動 の,微 分 方 程 式 を経 由 しな い 直 接 的 決 定 の例 を節 末 に挙 げ る.

  3.1.7  ラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 の 拡 大 配 位 空 間 上 の 表 現   な お,作

用 積 分(3.1.16)と

所 座 標 系(一 般 化 座 標)に 曲 線 に な るか 否 か,し

そ の 変 分(3.1.19),(3.1.32a)は

よ らな い 形 で 定 義 さ れ て い る の で,あ

た が っ て また,そ

使 用 す る局 る曲 線 が 停 留

の 曲線 が ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 の解 曲線

で あ るか 否 か は座 標 系 に よ らな い事 実 で あ る.実 際 こ れ まで の 議論 と,と 式(3.1.33)に らば,ラ

くに

お い てuη が 任 意 の 曲 線 の 接 ベ ク トル で あ る こ と を考 慮 す る な

グ ラ ン ジュ 方 程 式 自体 を局 所 座 標 系 に よ ら な い形 で,幾 何 学 的 に

(3.1.35) の よ う に 表 現 す る こ と が で き る(●

は ブ ラ ン ク を 表 す).こ

の 式 は(2.3.10)

式 を 拡 大 配 位 空 間 で 表 し た も の で あ る.   こ れ が 局 所 座 標 で 表 し た と き に 実 際 に ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を 与 え る こ と は, 保 存 系 の 場 合 に は(3.1.30)か 同 様 に 示 さ れ る.そ

の た め に は 直 接 的 に は(2.3.8)か

と 同 様 に す れ ば よ い.そ た が,こ

ら す で に 明 ら か で あ る が,非

の さ い(2.3.9)で

保 存系 の場合 に も

ら(2.3.10)へ

の変 形

は 

で あっ

ゆ えHLの

こ で は 

の か わ りに 恒 等 式 

項 が な く,(2.3.9)

が 得 ら れ る と予 想 され る.実

際 ΘLの 外 微 分(拡 大 配 位 空 間上 の 基 本2形

式)は

(3.1.36) した が って

(3.1.37) (こ こ で は η は 考 え て い な い か ら ∂/∂τ をd/dτ

と 記 す).他

方,(3.1.7)式

を

使 うと

が 得 ら れ る.こ

の 関 係 を(3.1.37)式

の 右 辺 第2項

に使 え ば

(3.1.38) こ こ で(3.1.12),(3.1.13)式

を 使 え ばi=1,2,…,nに

た い し て

(3.1.39a)

(3.1.39b) (3.1.40a) し た が っ て ま た,任

意 の 曲 線 の 接 ベ ク トル υλ=d/dλ

に た い して

(3.1.40b) が 成 り立 つ.そ

れゆ え

す な わ ち(3.1.35)は

ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と 等 価 で あ る.

  な お(3.1.39b)よ

り恒 等 式

(3.1.41) が 導 か れ る.こ 第1積

れ は(2.2.25)で

あ り,Lが

陽 にtを

含 ま な い と き に はHLが

分 に な る こ とが わ か る.

  3.1.8 

ラ グ ラ ンジ ュの 未 定 乗 数 法

  §2.5で

は 拘 束 の あ る 場 合 に 拘 束 力 を 求 め る た め に,ラ

見 直 し た.こ

グ ラ ン ジ ュ方 程 式 を

こ で は ハ ミ ル ト ン の 原 理 に つ い て の 同 様 の 見 直 し を,デ

カ ル ト座

標 を用 い て 論 じ よ う.   §2.5と

同 様 に 拘 束 が ホ ロ ノ ミ ッ ク で,N個

の 質 点 の 系 がp個

の 拘 束 条件

(3.1.42) に 支 配 さ れ て い る 場 合 を 考 え る.γ αは α番 目 の 質 点 の 位 置 ベ ク ト ル で あ る. 前 と 同 様 に 系 全 体 の 配 位 を   と す れ ば,系 n(=3N-p)次   N内

の 点xに

元 超 曲 面N上

で 表 す. は 空 間R3N内 を 運 動 す る.こ

の 条 件(3.1.42)で のNが

決 め られ る

配 位 空 間 で あ る.

た い す る仮 想 変 位 を

とす れ ば,点x+δxもN内

の 点 で あ り,(2.5.4)に

見 た よ う に{δxk}は

(3.1.43)

を満 た す(以

下kは1∼3Nで

和 を と る).

  こ の 場 合 の ハ ミル ト ン の 原 理 は,空 通 過 す る 経 路 の 集 合 の う ち で,系 た ラ グ ラ ン ジ ア ンL0に

間R3N上

の2点

を あ る決 ま っ た 時 刻 に

が 現 実 に と る 軌 道 は,(2.5.11)で

定 義 され

た い す る作 用 積 分

(3.1.44) が,拘

束 条 件(3.1.42)を

表 現 さ れ る.す

満 た す 変 分 に た い し て 停 留 値 と な る も の で あ る,と

なわ ち

(3.1.45) た だ し こ の 場 合 は3N個

の 

の す べ て が 独 立 で は な い か ら,

こ こ か ら た だ ち に 被 積 分 関 数 の{}内 は で き な い.実 り,し

際,{δxk}の

を そ れ ぞ れ のkに

あ い だ に は(3.1.43)で

つ い て0と

表 さ れ るp個

す るこ と の関係 が あ

た が っ て 任 意 の λμに た い し て

(3.1.46) を 満 た し て い る(以 に はtの

下 μ の 和 は μ=1∼pに

関 数 で あ っ て よ い が,そ

こ に λμは 一 般

の 他 の 点 で は こ の 段 階 で は ま っ た く任 意 で あ

り ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数(Lagrange's る.そ

た い し て と る).こ

こ で(3.1.45),(3.1.46)を

undetermined

multipliers)と

呼ばれ

組 み 合 わせ て

(3.1.47) を 作 る.さ

て3N個

の δxkの

う ち の た と え ば  ン の 原 理 に よ り,(3.1.47)か

う ち のn(=3N-p)個

は 独 立 で あ る か ら,そ

を 独 立 に と っ て よ い.そ らn個

う す れ ば,ハ

の

ミル ト

の方程式

(3.1.48) が 得 ら れ る.他

方,p=3N-n個

の λμは 任 意 で あ る か ら

(3.1.49) を 満 た す よ う に λμ を選 ぶ.そ

うす れ ば(3.1.48),(3.1.49)を

の 方 程 式 が す べ て 得 ら れ た こ と に な り,こ

う し て3N+p個

あ わ せ て3N個 の 未 知 量{xk,λ μ}

が,3N個

の 運 動 方 程 式 とp個

の 拘 束 条 件 か ら 決 定 さ れ る.こ

に た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 法(Lagrange's multipliers)で

method

れ が,変

分問題

of undetermined

あ る.

 な お こ の 扱 い は,仮

想 ポ テ ン シ ャ ル 

(2.5.8)を

含 む ラ

グ ラ ン ジア ン

(3.1.50) と拡 張 さ れ た 座 標 変 数{x,λ}に

た い して 変 分 原 理 を適 用 し た こ と に な って い

る.   例3.1.1 

ダ フ イ ン振 動 子

  ハ ミル トン 原 理 か らの 直 接 的 な(微 分 方 程 式 に た ち戻 る こ と の な い)運 動 の 決 定 の 例 と して,ダ

フ ィ ン 方 程 式(Duffing

equation)

(3.1.51) に し た が うダ フ ィ ン振 動 子(Duffing

oscillator)を 考 察 す る.た

とえ ば 振 幅 の4次

ま

で とっ た 剛 体 振 子

を想 定 す れ ば よ い.こ

の 方 程 式(3.1.51)の,境

界条件

ただ し を満 た す 運 動 を考 え る.た と に す る.そ

  (3.1.52)

だ し￨λ￨が 十 分 小 さ い と し て,解

の と き振 動 子 は,振

は λ の1次

まで求 め るこ

幅 が 大 き く な け れ ば 周 期 運 動 を 行 い,そ

の周期

(2π/Ω)も 非 摂 動 の も の(2π/ω)と 大 き く異 な る こ と は な い と考 え ら れ る(振 幅 が 大 き くな け れ ば 周 期 運 動 に な る 理 由 は,例9.1.1参

照).そ

れ が 境 界 条 件 に付 け 加 え ら

れ た 「た だ し書 き」 の 意 味 で あ る.   運 動 方 程 式(3.1.51)に

対 応す るラ グラン ジア ンは

(3.1.53)  さて,も との方程 式の 与 え られた境 界条件 を満 たす 試行解 として

を考 え る(Σ

はk=2,3,…

し作 用 積 分 を λの2次

に つ い て の 和).こ

れ を ラ グ ラ ン ジ ア ン(3.1.53)に

ま で 求 め る と,少 々 面 倒 で 退 屈 な 計 算 の 後

代入

   

が 得 ら れ る.ハ 留 値)を

ミル トン の 原 理 に よ れ ば,正

と る と き で あ る.そ

しい 解q(t)は

こ れ が 極 値(一

般 には停

の 条件 は

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

と表 され る.   後 の 二 つ の 条 件(ⅱ)(ⅲ)よ と 決 ま り,λ

の1次

りA2,A3,…

ま で の 解 はA1を

は,A3=A13/32+O(λ),そ

の 他 のAk=0

用 い て つ ぎ の よ う に 求 ま る:

(3.1.54) 与 え られ た Ω に た い す るA1は,は

じめ の 条 件(ⅰ)よ

り決 定 さ れ る.

  こ れ は 境 界 条 件 と して 周 期 が 与 え られ た と きの 解 を求 め た もの で あ る.   通 常 の 運 動 方 程 式(微 分 方 程 式)に

よ る扱 い で は,こ

れ と は 逆 に,初

期 条 件 と して

た と え ば 振 幅 が 与 え ら れ た と き,周 期 は い く らか と 問 題 は 設 定 さ れ る.そ

の場 合 と

比 べ る た め に,初 期 条 件 を具 体 的 に

(3.1.55)

で  と与 え よ う.上 の 解 と比 較 す る た め に は Ωt0=π/2と

し た が っ て こ の 場 合 は,こ

のAに

とれ ば よ い か ら

た い す る角 振 動 数 が 条 件(ⅰ)よ

り

(3.1.56) の よ う に 決 定 され,λ の1次

まで とった解 として

(3.1.57) が 得 ら れ る.こ 求 め た 結 果(『 い る(こ

れ はPLK法(Poincare-Lighthill-Kuo 演 習 詳 解  力 学 』(p.

134脚

注6)問

method)そ 題3-8,9,10な

の 問 題 の 摂 動 法 に よ る 解 き 方 は 後 述,例9.1.1,例9.3.1参

の他 の近 似 法 で ど 参 照)と 照).

一 致 して

3.2  ワ イ ス の 原 理 と ネ ー タ ー の 定 理

 3.2.1 

ワ イ ス の 原 理

  ハ ミル トンの 原 理 は 力 学 原 理 と して は ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 と同等 で あ る.し か しハ ミル トンの 原理 は,本 来 的 に は,系 の 初 期 配位 と最 終 配 位 の み か らそ の 途 中 の 状 態 を大 域 的 に決 定 し う る とい う主 張 で あ り,そ こか ら ひ と まず ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 を導 きあ らた め て 積 分 す る とい う行 き方 を と ら な けれ ば な らな い もの で は 必 ず し も な い.も ち ろん,現 実 の 問 題 に お い て 系 の 時 間 的 発 展 を実 際 に 追 跡 す る ため に は,多

くの 場 合,微

分 方 程 式 に 依 拠 し な け れ ば な らな い が,

しか し一 般 化 座 標 を時 間 の 関数 と して求 め る こ とだ け が 系 の 物 理 的 性 質 を知 る た め の 手 だ て で は な い.   実 際,変 分 法 の 基 本 公 式(3.1.32)と

ハ ミル トン の 原 理 だ け か ら,ラ グ ラ ン

ジ ュ 方 程 式 を経 由 す る こ とな く,系 の 振 る舞 い の い くつ か の 興 味 あ る特 徴 を直 接 に読 み とる こ とが で きる.そ の 一 つ が 保 存 則 の 直 接 的証 明 で あ る.   そ の こ と を述 べ る に先 立 っ て,ハ

ミル トンの 原 理 を変 分 法 の 基 本 公 式 と照 ら

し合 わせ る こ とで,こ の 原 理 に別 様 の 表 現 を与 えて お く.ハ

ミル トン の 原理 に

よ れ ば,系 が 現 実 に とる経 路 は端 点 を 固定 した 変 分 に た い して 作 用 積 分 が 極 値 を と る とい う条 件 で 決 定 さ れ る.そ れ ゆ え,逆 に 現 実 の経 路 に そ って 計 算 した 作 用 積 分 の 変 分(3.1.32)は,端

点 か ら の 寄 与 の み か ら な る で あ ろ う.し た

が っ て ハ ミル トンの 原 理 を い わ ば裏 返 しに次 の よ う に表 現 で き る:  拡 大 配 位 空 間 上 の 経 路CLが 必 要 十 分 条 件 は,CLに

ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 の 解 曲 線 で あ るた め の

そ っ て計 算 した 作 用 積 分I[CL]の

必 ず し も固定 し な い)変 分 が,CLの

任 意 の(端 点 を

端 点 か らの寄 与 の み か らな り

(3.2.1a)   で 与 え ら れ る こ と で あ る.こ

こ にυλ=d/dλ.

ま た は,配 位 空 間 と局 所 座 標 を用 い れ ば  配位 空 間 上 の 経 路CL=q(t)が

ラグ ランジュ方程式 の解 曲線 であ るため

の 必 要 十 分 条 件 は,CLに

そ っ て 計 算 し た 作 用 積 分I[q]の

任 意 の 変 分 が,

CLの 端 点 か らの 寄 与 の み か ら な り

(3.2.1b)   で 与 え られ る こ と で あ る. こ の 表 現 は と き に ワ イ ス の 原 理(Weiss' ple)と

呼 ば れ る.ワ

principleま

た はWeiss'

の 意 味 で 両 者 は 相 互 補 完 的 で あ る.

  ワ イ ス の 原 理 か ら ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を 直 接 的 に(つ くの に は,次

の よ う に す れ ば よ い.こ

を 用 い な い や り方 を 示 す(局

ま り(3.1.32)を

用 い

こ で は 拡 大 配 位 空 間 で局 所 座 標

所 座 標 を 用 い る や り方 は §5.2.1参

  十 分 に 短 い 時 間 間 隔[τ,τ+ε]の

で あ り,こ

princi

イ ス の 原 理 と ハ ミル ト ン の 原 理 を あ わ せ れ ば 変 分 法 の 基

本 公 式 が 得 られ る か ら,そ

ず に)導

action

照).

経 路 に つ い て の作 用 積 分 は

の変分 は

ワ イ ス の 原 理((3.2.1a)式)に

よ れ ば,こ

れが

に 等 し くな け れ ば な らな い か ら,方 程 式

が 得 ら れ る.さ (2.4.10)を

ら に リー 括 弧 

使 う と,こ

を 考 慮 し恒 等 式

れ は

と書 き直 され る.こ こ でυλが 任 意 の 曲 線 の接 ベ ク トル で あ る か ら

と な り,こ

れ は 拡 大 配 位 空 間 の ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式(3.1.35)に

他 な ら な い.

  な お,始

点Q0=q(t0)か

ら経 路 上 の 任 意 の 点Q=q(t)ま

て 計 算 し た 作 用 積 分 は,ワ あ る こ と が わ か る.こ function)と

イ ス の 原 理 に よ れ ば,そ

で現実 の経路 に そっ

の端 点 の 座 標 の み の 関 数 で

の 関 数 を ハ ミ ル トン の 主 関 数(Hamilton's

い い,SH(q(t),t,q(t0),t0)で

表 す.す

principal

なわ ち

(3.2.2) そ し て 端 点(q,t)を い す るSHの

無 限 小 だ け 延 ば した と きの そ れ ぞれ の座 標 成 分 の 変 化 に た

変 化 率 は,(3.2.1b)よ

り

(3.2.3a) (3.2.3b) で与 え られ る.こ れ は ワ イ ス の 原 理 の 別 の表 現 で も あ る.

 3.2.2 

拡 大 配 位 空 間 の モ ー メ ン ト関 数

  さ て い ま,系 N上

が あ る 対 称 性 を も つ と し よ う.正

の あ る 点 変 換 Φ:q〓

た れ る,す

Φ(q)=Qに

確 に い う な ち ば,配

位 空間

た い して ラ グ ラ ン ジ ア ンが 不 変 に 保

なわ ち

(3.2.4) とす る(ラ

グ ラ ン ジ ア ン が 不 変 で あ る こ と の 意 味 はp.

123の

脚 注2参

照).

  と くに Φ が 連 続 な パ ラ メー タ を もち,恒 等 変 換 と連 続 的 に つ な が っ て い る 変 換 

の 場 合, 

とお い て,λ=ε ≪1の と きの 無 限小 変 換

(3.2.5a) を考 え る.拡 大 配 位 空 間N×Rで

論 ず る と きに は,t=q0の

変 換 も含 め て

(3.2.5b) こ の と き §2.2.3で

行 っ た の と 同 様 に し てN×R上

の ベ ク トル 場

(3.2.6) が 定 義 で き る.   と こ ろ で,q=(qo,qi)を

ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の 解 と す れ ば,上

の無 限小変

換(3.2.5b)を

系 が 現 実 に と る 経 路 か ら の 変 分 と 見 な す こ と が で き る.そ

と き に は,こ 理 よ り,こ

の(3.2.6)のuλ

を(3.l.22a)のυλ

と考 え て よ く,ワ

の 変 分 に と も な う作 用 積 分 の 変 分 は,端

の

イ スの原

点 か らの寄 与 だ け か らな り

(3.2.7) と 表 さ れ る.し

か る に,系

が 変 換 Φλに 関 し て 対 称 性 を もつ な ら ば,こ

に た い し て ラ グ ラ ン ジ ア ンL(q,q,t)お

よ びL(q,q')が

の変 換

不 変 で,⊿Iは

(3.2.8) と な ら な け れ ば な ら な い.   し た が っ て,(2.3.7)に

な ら っ て 拡 大 配 位 空 間 の モ ー メ ン ト関 数

(3.2.9) を 定 義 す れ ば,経

が 成 り立 つ.こ

路 上 で 時 刻t1=t(τ1)とt2=t(τ2)に

こ にt1,t2は

任 意 で あ る か ら,次

た い して

の 定 理 が 得 ら れ る:

  系 が 拡 大 配位 空 間上 の あ る変 換 に 関 して 対 称 性 を もつ な らば,拡 大 配 位 空 間 の モー メ ン ト関 数 

が 第1積 分 で あ る,す な わ ち

系 の 時 間 的 発 展 の 過 程 で 保 存 さ れ る.こ こ にuλ は そ の 対 称 変 換 か ら導 か れ る拡 大 配 位 空 間 上 のベ ク トル場 で あ る.  ネ ー タ ー の 定 理(§2.2)の   一 例 を 挙 け る と,糸 Lがtを Lは

拡 大 配 位 空 間 へ の 拡 張 で あ る.

の 拘 束 が 時 間 に よ ら ず,配

陽 に 含 ま な い 場 合,無

限 小 変 換q0〓Q0=q0+ε

不 変 で あ る か ら,(3.2.6)で 

る モ ー メ ン ト関 数F=-HLが

位 空 間で の ラク ラ ンジア ン で ラ グラ ンジア ン と し て,対

保 存 さ れ る.こ

応 す

れ は エ ネ ル ギ ー積 分 に他 な ら な

い.

  も ち ろ ん こ れ らの 結 果 は,§2.2で

や っ た よ うに ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 を 用 い

て 導 くこ とが で き る.し か し こ の こ とが 微 分 方 程 式 の 助 け を借 りず に,し

た

が っ て運 動 の 途 中経 過 を考 慮 す る こ とな く得 られ た こ とに変 分 原 理 の有 用 性 が 見 て とれ る.

  3.2.3 

ネ ーターの定理の拡張

  以 上 §2.2.3と

§3.2.2で

は,系

の 対 称 性 を ラ グ ラ ン ジ ア ンの 不 変 性 と して

表 し,そ

こ か ら保 存 量 の 存 在 を 導 い て き た.し

に は,必

ず し も ラ グ ラ ン ジ ア ンが そ の 対 称 変 換 に た い して 不 変 で あ る 必要 は な

い.と

い う の も,運

か し系 が あ る 対 称 性 を も つ た め

動 を 決 定 す る の は ラ グ ラ ン ジ ア ン そ の も の で は な く,ラ

ラ ン ジ ュ 方 程 式 な い しハ ミル ト ン の 原 理 で あ る.し

グ

た が って 対 称 変 換 に た い し

て ハ ミル ト ン の 原 理 か ら導 か れ る 式 自 体 が 不 変 で あ れ ば,そ

れ だけ で 系 の対 称

性 は 保 証 さ れ て い る.   と こ ろ で ハ ミル トン の 原 理 は 端 点 を 固 定 し た 変 分 原 理 で あ る か ら,端 定 し た 作 用 積 分 の 変 分(3.1.33)が

不 変 で あ れ ば よ い.そ

の た め に は,系

点 を固 の無

限 小 変 換 に と も な い ラ グ ラ ン ジ ア ン が 不 変 で な く  の よ う に 変 換 さ れ て も,そ の あ る 関 数 の τに 関 す る 全 導 関 数 で あ れ ば よ い の で あ る.実 §2.1.5で

見 た よ う にL(Q,Q')とL(q,q')は

方 程 式 が 

際 そ の と き に は,

等 価 で あ っ て,ラ

グ ラ ンジュ

の 意 味 で 不 変 に 保 た れ る.

  他 方,こ

れ ま で は 対 称 変 換 と し て は(拡

式 や(3.2.5ab)式)と,そ ((2.2.12b)式)の

れ か ら(拡

み を 考 え て き た.し

大)配

大)状

位 空 間 上 の 変 換((2.2.12a)

態 空 間 に 自 然 に 導 か れ る変 換

か し前 節 の 議 論 で は,変

が 配 位 空 間 内 に 限 ら れ な く と も よ い こ と が わ か る.そ り に,k個

の 差 δLがq

の 無 限 小 パ ラ メ ー タ(ε1,ε2,…,εk)で

換q〓

Φ(q)

こ で(3.2.5b)の

か わ

表 さ れ る よ り広 い 無 限 小 変 換

(3.2.10) を 考 え よ う.無 は な くq'し

限 小 パ ラ メ ー タ を 複 数 個 に し た こ と の ほ か に,fがqだ

た が っ てqに

も よ る と こ ろ が(3.2.5)と

  そ し て こ の 変 換 に よ っ て,ラ

け で

異 な る.

グ ランジアンの変化が

(3.2.11) と な れ ば,変

換 後 の 作 用 積 分 は(Λ(q(τ))=Λ(q(t),t)と

し て)

(3.2.12) と 変 化 し,端

点(τ=τ1,τ2)を

固 定 し た 変 分 に は Λ μの 項 は 影 響 せ ず,ハ

ミル ト

ン の 原 理 よ り得 ら れ る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は 変 換 前 と 同 じ も の に な る.   ハ ミ ル ト ン の 原 理 が 不 変 に な る こ の 条 件 を,次 る.変

換(3.2.10)に

の よ う)い

い 直 す こ とが で き

と もな うラ グ ラ ン ジ ア ン の 変 化 を

と し た と きDμ[L]は

(3.2.13) と 表 さ れ る(1行

目 か ら2行

目 へ の 変 形 は(3.1.12),(3.1.13)を

と き ハ ミル ト ン の 原 理 が 不 変 で あ る た め に は,こ 関 数 で あ れ ば よ い.す

のDμ[L]が

使 う).こ

の

あ る関 数 の全 導

なわち or

と な る Λμが 存 在 す れ ば よ い.こ

の よ う な 変 換 を 系 が 許 容 す る 写 像 と い う.

  他 方,上

の 無 限 小 変 換(3.2.10)をqの

式 の 解)か

ら の 変 分 と見 な せ ば,(3.2.12)よ

現 実 に と る 値(ラ

グ ラ ン ジ ュ方 程

り得 ら れ る

は 現 実 の 経 路 に そ っ て計 算 した 作 用 積 分 の変 分 で あ るか ら,ワ イ ス の 原理 よ り

に 等 し く な け れ ば な ら な い.k個 りk個

の パ ラ メ ー タ εμは 独 立 で あ る か ら,こ

れ よ

の 関係

が 得 ら れ る.す 等 し い.し

な わ ち,量 

か る にt1とt2は

は 解 曲 線 上,時 任 意 で あ る か ら,こ

刻t1とt2と

で

れ よ りた だ ち に 次 の 定 理 が 得

ら れ る:   無 限 小 変 換(3.2.10)に

た い して

(3.2.14)  とな る 

が 存 在 す る な らば,こ

の変 換 に た い して

作 用 積 分 の 変 分 と ラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 は 不 変 に保 た れ,k個

の量

(3.2.15)  は 系 の 時 間 的 発 展 に た い して保 存 され る.し た が って,系 の 数 だ け,つ

ま り系 が 許 容 す る写 像 の 数 だ け 第1積 分 が 存 在 す る.

  こ の 定 理 も ネ ー タ ー の 定 理 と い わ れ,こ Jk)は

ネ ー タ ー ・カ レ ン ト(Noether

ト は(2.2.19),(3.2.9)で あ り,こ

が有 す る対 称 性

のk個

current)と

の 成 分 を も つJ=(J1,J2,…, 呼 ば れ る.ネ

ー タ ー ・カ レ ン

定 義 し た モ ー メ ン ト関 数 を よ り一 般 化 し た も の で

の 定 理 が ラ グ ラ ン ジ ュ 力 学 に お い て 対 称 性 と保 存 則 の 関 係 を も っ と も

一 般 的 に 表 現 した もの で あ る   こ の 定 理 は ま た,逆 き(3.2.14)が

に

.

「系 が 変 換(3.2.10)に

た い し て 不 変 な ら ば,そ

成 り立 た な け れ ば な ら な い 」 と し て 使 う こ と が で き る.

  た と え ば,ラ

グ ラ ン ジ ア ン が(2.1.34)で

与 え ら れ る1質

点 の 系 が,球

で 原 点 を 通 る 任 意 の 軸 の ま わ りの 回 転 に た い し て 不 変 で あ る とす る.こ ポ テ ン シ ャ ル はU=U(￨r￨),ま り,第3軸 が,前

の と

の 他 に 角 θ(天 頂 角)の

て も 系 は 不 変 で あ る.そ

の とき

た す で に 見 た よ うに 方 位 角 φが 循 環 座 標 で あ

ま わ り の 角 運 動 量 成 分((2.2.7)M3=m(rsinθ)2φ)が

提 よ り,そ

対称

任 意 の 変 換 θ〓

れゆ え

と表 され な け れ ば な ら な い.し か る に ηが 任 意 で あ る か ら

保 存す る θ+ε η に た い し

で な け れ ば な らず,こ

れより

(3.2.16) が 得 ら れ る.こ   な お,す

のMは

角 運 動 量 ベ ク トル の 大 き さ を 表 す(例2.2.2参

で に 注 意 し た よ う に(3.2.10)に

数 で あ っ て よ い.つ

お い て{fμ}はqとq'=qt'の

不 変 と い う こ と は,単

な る 空 間 的 対 称 性 だ け で は な く よ り広 い 対 称 性 を考 え て の よ う に ネ ー タ ー の 定 理 は,空

い し て だ け で は な く,よ

間 の 一 様 性 ・等 方 性 お よ び symmetry)に

り一 般 的 な 対 称 性 に た い し て も適 用 さ れ る.こ

な 対 称 性 を 隠 れ た 対 称 性(hidden

symmetry)と

た の よ う

い う.

空 の 幾 何 学 的 対 称 性 の 例 と し て の ガ リ レ イ 変 換 を,そ

対 称 性 の 例 と し て のN次   例3.2.1 

大

が その よ うな 広 い意 味 の 変 換 で

時 間 の 一 様 性 の 結 果 と し て の 幾 何 学 的 対 称 性(geometrical

  以 下 で,時

関

ま り拡 大 配 位 空 間 内 だ け で 閉 じ た 変 換 だ け で は な く,拡

状 態 空 間 全 体 に ま た が る 変 換 で あ っ て よ い.系

い る こ と に な る .こ

照).

して 隠 れ た

元 調 和 振 動 と ケ プ ラ ー 運 動 を 挙 げ て お く.

ガ リ レ イ 変 換 と保 存 則

 ラ グ ラ ン ジ ア ン が

(3.2.17) で 表 さ れ る系 が あ る.こ

の 系 がbを

任 意 の 定 ベ ク トル と して 無 限 小 変 換

(3.2.18) に た い して,運

動 方 程 式 が 変 わ ら な い とい う意 味 で 不 変 で あ る と す る.そ

外 力 ポ テ ン シ ャ ルUαextが

の ため に

と るべ き形 を決 定 し,そ の と きの 対 応 す る保 存 量 を 求 め る

とい う問 題 を考 え よ う.   な お 変 換(3.2.18)を

無 限 小 ガ リ レ イ ・ブ ー ス 卜(Galilean

  こ の 変 換 に た い し て,作

で あ る.b=(b1,b2,b3)と て こ の 場 合fμiは

boost)と

い う.

用 積 分 の 変 分 が 不 変 に な る 条 件(3.2.14)は

し て こ こ で は 各 εbiが(3.2.10)の す べ てt.そ

D(1)i,Λ(1)iが(3.2.13),(3.2.11)のDμ

し てD(1)も

Λ(1)も3次

εμ に 当 た る.し 元 ベ ク ト ル で,そ

お よ び Λ μに 対 応 し て い る.こ

た が っ

の 各 成 分

の 条件 は

と 書 き 直 さ れ る.Λ(1)はrα

を 含 ま な い か ら,こ

を 満 た さ な け れ ば な ら な い.し =-(b・

Σ α▽ αUαext)t.し

const.,そ

れ を 満 た す Λ(1)と し て は

た が っ てb・ Λ(1)=(b・

か る に λ(t)はtの

Σ αmαrα)+λ(t),た

み の 関 数 で あ る か ら-(b・

だ しdλ/dt Σ α▽αUαext)=

れ ゆ え α 番 目 の 質 点 に 働 く外 力 は   定 ベ ク ト ル,

す な わ ち 外 力 は 一 様 で,外

力 ポテン シャル とラ グラン ジア ンの形 は (αに つ い て 和 は と ら な い),

(3.2.19) と な ら な け れ ば な ら な い.そ

と な り,bは

して こ の と き

任 意 の 定 ベ ク トル で あ る か ら,結 局 ベ ク トル Λ(1)を

と と れ ば よ い.こ

の 場 合 の ネ ー タ ー ・カ レ ン ト(3.2.15)は3次

元 ベ ク トル ・カ レ ン ト

(3.2.20) で,こ

の 各 成 分 が 第1積

分 を与 え る.し

た が っ て 運 動 方 程 式 を解 くこ と な く

(3.2.21) が 得 ら れ る.こ れ は,一   こ こ で さ ら に,aを

定 な外 力 の も とで の 重 心 積 分 で あ る.

任 意 の 定 ベ ク トル と し て た ん な る無 限 小 平 行 移 動

(3.2.22) を 考 え る.a=(a1,a2,a3)と

して,(3.2.10)の

εμは こ こ で は εaμ,fμiは1.系

には

外 力Fαextが 働 い て い る か ら,こ の 変 換 に た い して 上 に求 め た ラ グ ラ ン ジ ア ン は 変 化 す るけ れ ど も,外

力 が 一 様(ど

で 変 化 し な い.実

際

で あ る か ら,a・

Λ(2)=(Σ

こ で も同 じ)で あ るか ら,系 の 物 理 的 状 況 は 平 行 移 動

αFαext・a)tと

とれ ば ハ

ミル トン の 原 理 そ の も の は 不 変 に 保

た れ る.こ る.α

こ で もD(2),Λ(2)は

ベ ク トル 量 で,そ

の 各 成 分 が 本 文 のDμ

は 任 意 の 定 ベ ク ト ル で あ る か ら, 

ネ ー ター

と Λμ に 当 た

と と れ ば よ く,こ

の場 合 の

・カ レ ン トは や は りベ ク トル ・カ レ ン トで

(3.2.23) と な り,こ の 各 成 分 も第1積

分 を与 え る.そ

して こ れ よ り

(3.2.24) これ は 運 動 量 積 分 で あ る.   以 上 の 結 果 は,全

質 量 Σ αmα=Mお

よ び 重 心(質

量 中 心)の 座 標 と速 度

(3.2.25) を 用 い れ ば,(3.2.21),(3.2.24)を

組み合 わせ て

と ま と め ら れ る.   す な わ ち 系 が ガ リ レ イ 変 換 と空 間 の 平 行 移 動 に た い し て,ハ え な い とい う意 味 で不 変 で あ る な ら ば,系

ミル トン の 原 理 を変

の 重 心(質 量 中 心)は,そ

の点 にす べ て の

質 量 とす べ て の 外 力 の 作 用 点 が 集 中 し た と きの 質 点 の 運 動 と ま っ た く同 様 に 振 る舞 う.と

くに 外 力 が 働 い て い な い と き に は,重

心 は 等 速 度 運 動 を 続 け る.そ

し て,こ

れ だ け の こ とが 運 動 方 程 式 に ま っ た く依 拠 す る こ と な く得 ら れ た こ と に,変

分 原理

の 有 用 性 と意 義 が 見 て とれ る.   な お 外 力 が 働 い て い な い 場 合(す べ て の αに た い し てFαext=0の

場 合),系

は等方

的 で ラグ ラン ジア ンは回転 変換 (Oは3次 で 不 変 で あ る.そ (3.2.26)の

元 直 交 行 列) 

し て ガ リ レ イ ・ブ ー ス ト(3.2.18)と

合 成,す

(3.2.26)

平 行 移 動(3.2.22)と

回転

なわ ち

(3.2.27) を ガ リ レ イ 変 換(Galilean (§11.1)で

transformation)と

い う.ガ

リレイ変 換 に つ いて は 後節

詳 し く 述 べ る.

 例3.2.2  N次

元 等 方 調 和 振 動 子 と隠 れ た対 称 性

  ラグ ラ ン ジ ア ン が (Σkはk=1∼Nの

で与 え られ るN次

和) 

(3.2.28)

元調和 振動 子 を考 え る.こ の系 は任 意 の軸 の まわ りの回転 対称 性

を もつ か ら,任 意 のi,jの

組 に つ い て,(qi,qj)平

面 で の 無 限 小 回 転 

に た い し て ラ グ ラ ン ジ ア ン 自 身 が 不 変 に 保 た れ,そ

れ に対 応 す る

モ ー メ ン ト関 数

(3.2.29) が 保 存 され る.こ

れ は 角 運 動 量 の 成 分 で,こ

の 量 の 保 存 は 運 動 方 程 式qi=-ω2qiを

用 い れ ば 直 接 に 示 さ れ る.   しか し この 系 は,回

転変 換以 外 に変換

(3.2.30) と い うqとqの

混 じる よ り広 い 変 換 に た い し て,作 用 積 分 の 変 分 と ラ グ ラ ン ジ ュ 方

程 式 を 変 え な い と い う 意 味 で 不 変 で あ る(εijは 無 限 小 パ ラ メー タ,i,j,kの2重 字 は1∼Nの

和 を と る).実

添

際 こ の と き,対 応 す る ラ グ ラ ン ジ ア ン の 変 化 は

ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の 解 曲 線 に そ って 見 れ ば,各qiは

運 動 方 程 式qi=-ω2qiを

満

た して い る ゆ え

と な り,D[L]が

全 導 関 数 で 表 され る.こ

  した が っ て こ の と き 第1積

分 と して,ネ

こ に 

と お い た.

ー タ ー ・カ レ ン ト

(3.2.31) が 得 られ る.こ

れ は 対 称 テ ン ソ ル ・カ レ ン トで あ る.こ

振 動 子 ご との エ ネ ル ギ ー 積 分 で,異 ぞ れ 保 存 さ れ る が,そ 他 方,非

の テ ン ソ ル の 対 角 成 分 は,各

な る 振 動 子 間 に 結 合 が な い か ら,こ

れ は 時 間 の 平 行 移 動(§2.2.4)に

れ らは そ れ

関 す る 対 称 性 の 結 果 で あ る.

対 角 成 分 の 保 存 は す で に §2.2.4で 見 た もの で あ り(式(2.2.36)),系

何 学 的 対 称 性 に 由 来 し な い 隠 れ た 対 称 性 の 帰 結 で あ る.

 例3.2.3 

ケ プ ラ ー 運 動 の 対 称 性 と レ ン ツ ・ベ ク トル

 ケプ ラー 運 動 の ラ グ ラ ン ジ ア ン は(1質

点 の 運 動 に還 元 さ れ た 形 で)

の幾

(3.2.32) で 与 え られ(例2.2.2,例2.2.3参 の大 きさ に と る の で,ラ

照,な

お,こ

グ ラ ン ジ ア ン をLで

こ で はLを

記 す),こ

後 出 の レ ン ツ ・ベ ク トル

れ にた いす る ラグ ラン ジュ方

程 式 よ り,次 の ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 が 得 られ る:

(3.2.33)  この 両 辺 とrと

他 方,右

の ベ ク トル積 を作 る と左 辺 は

辺 はr×r=0よ

り0で

あ るか ら,た だ ち に 角 運 動 量 の 保 存 則

(3.2.34) が 得 られ る.こ れ は 働 い て い る 力 が 中 心 力 で あ る(rに

比 例 し て い る),つ

ま り系 が

回転 対 称 で あ る こ と の 結 果 で あ る.   つ ぎに 運 動 方 程 式(3.2.33)と トル 積 を 作 る.右

他 方,左

単 位 質 量 あ た りの 角 運 動 量M/m=r×rと

のベ ク

辺は

辺 はMが

定 ベ ク トル で あ る こ と を 考 慮 す れ ば

と表 さ れ るか ら,両 辺 ま とめ て

が 得 ら れ,こ

れ よ り角 運 動 量 以 外 の ベ ク トル の保 存 則 と して   定 ベ ク トル 

が 導 か れ る.こ の ベ ク トルLを   こ の ベ ク トルLの

こ でrとLの

vector)と

い う*1.

性 質 を調 べ よ う.

  Lは ベ ク トルrとrの か る.そ

レ ン ツ ・ベ ク トル(Lenz

(3.2.35)

線 形 結 合 で あ る か ら,軌

道 面 内 の ベ ク トル で あ る こ とが わ

なす 角 度 を Φ とす れ ば(L・r)=LγcosΦ

で,他

方,上

式 とr

の 内積 を作 れ ば

*1

Lは る が,歴 あ る.詳

,量 子 論 に こ れ を 初 め て 用 い たW. Lenzに ち な ん で レ ン ツ ・ベ ク トル と い わ れ て い 史 的 に 保 存 量 と し てLベ ク トル を 最 初 に 見 出 し た の は1710年 のJ. Hermannで し くは,山

本義隆

『古 典 力 学 の 形 成 』(日 本 評 論 社1997)参

照.

と な り,こ の 式 よ り軌 道 の 方 程 式

(3.2.36) が 得 ら れ る.こ

れ は 原 点 を 焦 点 とす る 円 錐 曲 線 を表 し,(2.2.76)と L/k=e(離

す な わ ち,レ

心 率), 

ン ツ ・ベ ク トルLは

Φ=φ(真

(3.2.37)

大 き さ が 離 心 率 に 比 例 し,近

向 い たベ ク トル で あ る こ とが わ か る.例2.2.3で

見 く らべ れ ば

近 点 離 角), 

日点(近 地 点)方

述 べ た よ うに,ニ

向を

ュ ー トン ・ポ テ ン

シ ャ ル の も とで の 束 縛 運 動 で は,γ

の 振 動 周 期 と φ の 回 転 周 期 が 一 致 して い る の で

近 日点 が 動 か な い.そ

こ で はLと

の こ とが,こ

の 存 在 で 表 され て い る の で あ る.た ギーEと

角 運 動 量 の 大 き さMで

だ しLの

い う近 日 点 方 向 を 向 い た 定 ベ ク トル 大 き さ は κeで,e(離

決 ま る の で((2.2.72)参

照),Lの

心 率)は

大 き さの 保 存 は

エ ネ ル ギ ー と角 運 動 量 の 保 存 とは 独 立 な 保 存 量 を 与 え る もの で は な い.こ く得 ら れ た保 存 量 は,Lの

向 き,つ

  と こ ろ で 本 節 に 見 た よ うに,保 変 性 の 結 果 で あ っ た.こ

ま り ω(近 日点 引数)で

エ ネル

こで新 し

あ る.

存 則 の 存 在 は な に が しか の 変 換 に た い す る 系 の 不

の こ と を考 慮 す る な らば,Lの

保 存が どの よ うな変 換 に た

い す る不 変 性 に 由 来 す る の か が 問 題 に な る.   そ こ でr=(x1,x2,x3)を

座 標 系 と し て,座

標 成 分 の微 小 変 換

(3.2.38) に た い し て 作 用 積 分 の 変 分 が 不 変 で,そ

れ に対 応 す る ネ ー タ ー ・カ レ ン ト

(3.2.39) の3成

分(μ=1,2,3)が,レ

ン ツ ・ベ ク ト ル(3.2.35)の3成

分

(3.2.40) を 与 え る もの とす る(こ 重 添 字 は1∼3の

こで は上 付 き ・下 付 き,ロ ー マ 字 ・ギ リ シ ャ文 字 の 区 別 な く2

和 を と る).こ

の2式

を等 置 して 整 理 す れ ば

こ の 式 が 恒 等 的 に 成 り立 つ ため に は,fμjと Λμを

(3.2.41) と と れ ば よ い.   こ の と き 変 換(3.2.38)に  と し て

と も な う ラ グ ラ ン ジ ア ン の 変 化 は,ε

の1次

ま で とって

と な る(変 形 に は 運 動 方 程 式(3.2.33)を 関 数 で あ る か ら,こ

使 う).こ

の 変 化 は 確 か にxの

の 変 換 に た い し て 作 用 積 分 の 変 分 は 変 わ ら ず,系

関数 の全 導 は不 変 に保 た

れ る.

3.3  保 存 系 と最 小 作 用 の 原 理

  3.3.1  保 存 系 と作 用 の 導 入   §2.2で,ラ が 第1積 Rで

グ ラ ン ジア ンLがtを

陽 に 含 ま な い 場 合,ハ

分 と な る こ とを 述 べ た.時 間 軸 を含 む(n+1)次

考 え れ ば,こ

の 場 合 はq0=tが

ミル トニ ア ンHL

元 拡 大 配 位 空 間N×

循 環 座 標 で あ るか ら,そ れ に 共 役 な一 般

化 運 動 量 の 保 存 と し て エ ネ ル ギ ー保 存 則

(3.3.1) が 得 られ る.以 下 で はLがtを 保 存 系(conservative

陽 に含 ま ず,エ

system)と

ネ ル ギー 保 存 則 を有 す る系 を

い う.

  も ち ろ ん エ ネ ル ギー 保 存 則 を導 くだ け な らば,こ

と さ ら拡 大 配 位 空 間 で論 じ

るに は及 ば な い.し か しエ ネ ル ギー保 存 則 を この よ うに循 環 座 標 に共 役 な一 般 化 運 動 量 の 保 存 と して 導 くな らば,§2.2.5で そ こか らn次

元 配 位 空 間Nへ

述 べ た ラ ウ シ ア ンの 方 法 に よ り,

の 射 影 が 自由 度 の 一 つ 少 な い 系 へ の 簡 約 と して

実 行 さ れ る.そ れ は エ ネ ル ギー 保 存 と い う条 件 に も とづ くもの で あ るか ら,単 に も との 配位 空 間 に戻 る わ け で は な く,こ の簡 約 に よ りハ ミル トン の原 理 に新 しい 表 現 が 与 え られ るの で あ る.   拡 大 空 間 のq0に 対 応 す る 自由度 の 削 減 に と もな っ て得 られ る ラ ウ シ ア ン は, §2.2で の 定 義(2.2.41)に

で 定 義 さ れ る.た

よれ ば

だ し*はq0'=dt/dτ

の と こ ろ に(3.3.1)を

解 い て 得 られ る

(3.3.2) を 代 入 す る こ と を 表 す(こ で 

こ で は も と の 空 間 が 拡 大 空 間 で あ る か ら(2.2.41) の 置 き 換 え を し て い る).す

なわ ち

(3.3.3) が こ の 場 合 の ラ ウ シ ア ン で あ る.そ

こ で さ らに こ の ラ ウ シア ンRを

ラグ ラン

ジ ア ン とす る系 の 作 用 積 分 と して

(3.3.4) が 考 え ら れ る.こ 常,単

れ は(3.3.1)を

に 作 用(action)と

び(3.1.16)と

満 た す 空 間 内 の 経 路CLの

呼 ば れ て い る.そ

ま っ た く 同 様 に,N上

汎 関 数 で あ り,通

し て 前 々 節 で の 議 論(3.1.9)お

の 微 分 形 式(基

本1形

よ

式)

(3.3.5) を用 い れ ば,こ

の 作 用 は 局 所 座 標 系 に よ ら な い形 で

(3.3.6) と 表 さ れ る.(CL'=d/dτ と な る.詳

に た い し て 

し く はp.

146脚

注2参

  こ こ か ら 先 の 議 論 は,q0'=ψ0が

照.)

閉 じた 形 で 求 ま る場 合 と そ うで な い場 合 で

別 々 の 扱 い が 必 要 で あ る.

  3.3.2 

最小作 用の原理

  エ ネ ル ギ ー 保 存 則(3.3.1)か で き な い 場 合 は,(3.3.1)を

らq0'を(3.3.2)の

形 に 明 示 的 に 表 す こ とが

付 加 的 な 拘 束 条 件 と し て 扱 え ば よ い.そ

の と き次

の よ う な 考 察 が 可 能 と な る.   拡 大 空 間 で 見 る と,系 関 係(3.1.8)で き,こ

は(q,q')を

決 ま る(2n+1)次

元 超 曲 面(拡

座 標 と す る2n次

(2n-1)次

元 超 曲 面 上 を 動 く.つ

こ の 曲 面 の 外 に 出 な い.し

元 状 態 空 間TNの

を動

っ た く 同 様 に 保 存 系 で は,系 な か の 関 係(3.3.1)で

決 まる

ま り初 期 状 態 が こ の 曲 面 上 に あ る 積 分 曲 線 は

た が っ て,こ

の(2n-1)次

の 配 位 空 間 へ の 射 影 を 等 エ ネ ル ギ ー 空 間NEと

い し て は,拡

元 多様 体 の な か の

大 状 態 空 間TN×R)上

の と き ハ ミ ル ト ン の 原 理 が 成 り立 っ た.ま

は(q,q)を

面,そ

座 標 とす る(2n+2)次

元 超 曲 面 を等 エ ネ ル ギ ー 名 づ け れ ば,保

存 系 にた

大 配 位 空 間 に お け る ハ ミル ト ン の 原 理 と相 似 の 変 分 原 理 が,等

エ

ネ ル ギ ー 空 間NEに

お い て 成 り立 つ こ とが 予 想 さ れ る.

  そ の対 応 関 係 は次 表 の よ うに ま とめ られ る(表 で 作 用Aの 的 にt'dτ=ψ0dτ=dtと

  作 用Aの

積 分 のdtは

形式

記 した もの で あ る):

変 分 は 次 の よ うに す れ ば求 ま る.い ま の場 合,経

つ ね に 等 エ ネ ル ギ ー 空 間NE内 で の 作 用 積 分 は,(3.3.1)を

路CLは

変 形後 も

に 限 定 さ れ て い る.そ の 場 合 に は 配 位 空 間N

用 い て被 積 分 関 数Lを

と な る.し た が って そ の変 分 は,上

書 き直 す こ と に よ り

に 導 入 し た作 用 を用 い て

(3.3.7) と 表 さ れ る.他

方,変

分 法 の 基 本 公 式(3.1.32)は,同

じ条件 で

(3.3.8) とな り,⊿Iの

こ の 二 通 りの 表 現 を比 べ て,た

だ ちに 作 用 の 変 分

(3.3.9) が 得 ら れ る.   し か し,こ ⊿q=0)し

こ か ら す ぐ さ ま 「系 が 実 際 に と る 経 路 は,端

た 変 分 に た い し て ⊿A=0と

い け な い.と

い う の も,こ

の 消 去 さ れ た 座 標q0と

こ で はtは

し てq0'=ψ0を

な る と は 限 ら な い か ら で あ る.実

点 を 固 定(Q1,Q2で

な る条 件 に よ り与 え られ る」 と して は 単 な る積 分 変 数 で は な く,拡 積 分 し た も の で あ り,端

大配位 空間

点 で ⊿t=0に

際

で あ るか ら,途 中 の経 路 を変 化 させ れ ば 端 点 通 過 時 刻 も変 わ る.つ

ま り変 分 は

つ ね に エ ネ ル ギ ー 保 存 を満 たす よ うに とる の で,経 路 の変 化 に と もな っ て経 路 上 の 各 点 で の移 動 速 度 も変 わ り,そ の た め 経 路 上 の 点 を通 過 す る時 刻 が 現 実 の 経 路 に そ っ た もの と違 っ て くる の で あ る.し た が っ て,ハ 合 と異 な り,積 分 の 両 端 で ⊿q=0で され て い な い.ち せ た た め,逆

あ っ て も 

の条 件は保証

なみ にハ ミル トンの 原 理 で は,時 刻 を変 え ず に 経 路 を変 化 さ

に 変 化 した経 路 で は エ ネ ル ギー の値 が 変 化 して い るの で あ る.

  こ の 困 難 は,次 ば,保

ミル トンの 原 理 の場

の よ う に 細 工 す れ ば 回 避 で き る.式(3.1.41)を

存 系(∂L/∂t=0)に

考慮すれ

た い して 等 エ ネ ル ギー 空 間 上 で考 え て い る か ぎ り,

{qi}が ラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 の 解 で な く と も,つ ね に

(3.3.10) が 成 り 立 つ.そ

の た め(3.3.9)式

=⊿qi-qi⊿tを

代 入 す れ ば ⊿tに 比 例 し た 項 が 消 え ,作

変 分 ⊿qだ

の 第2項

の 被 積 分 関 数 の δqiの と こ ろ に δqi 用 の 変 分 は最 終 的 に全

けで

(3.3.11) の よ うに 表 さ れ る.   こ うす れ ば 端 点 で 

と した変 分 に た い して ⊿A=0な

ば 

で な けれ ば な らず,ま

ら

た その 逆 も い え る.す な わ ち

  保 存 系 で 等 エ ネ ル ギー 空 間 に お い て 系 が 現 実 に とる経 路 は,作 用A[CL] の 停 留 曲 線 で 与 え られ る.す な わ ち2点Q1,Q2を

通 る 経 路 は,こ の2点

を結 び 等 エ ネ ル ギー 空 間 を通 る 曲 線 の 集 合 の う ち,端 点 を固 定 し た変 分 に た い して ⊿A[CL]=0を

満 た す もの で あ る.

こ れ を 最 小 作 用 の 原 理(principle 理(Maupertuis'

principle)と

  こ の よ う にq0'=ψ0が

of least action)な

い しモ ー ペ ル チ ュ イの 原

い う*1.

閉 じ た 形 で 求 ま ら な い 場 合,系

空 間 に 限 定 す る こ と で 自 由 度 が 一 つ 減 ら さ れ,そ

の 運 動 を等 エ ネ ル ギー

の 結 果 と して最 小 作 用 の 原 理

*1  「最 小 作 用 の 原 理 」 とい う呼 び 名 は 歴 史的 な もの で ,現 実 の 経 路 で あ る ため に は作 用 が 停 留値 を とれば よ く,必 ず し も 「 最 小 」 で な く と もよい.

が 導 き出 され るの で あ る.   な お,保 存 系 で の ワ イ ス の 原 理 と して,次 の 法 則 が得 られ る:  保 存 系 に お い て,等 エ ネ ル ギー 空 間 内 の経 路CLを とす る な らば,CLに

そ っ て計 算 した 作 用A[CL]の

系 が現実 に とる経路

変分は

(3.3.12) で 与 え ら れ る.   し た が っ て ま た,系 q(t)ま

が 現 実 に と る 経 路CLの

で そ の 経 路CLに

始 点Q0=q(t0)か

そ っ て 積 分 し た 作 用Aは

の 関 数 を ハ ミ ル ト ン の 特 性 関 数(Hamilton's い,WH(q(t),q(t0))で

表 す.す

ら 任 意 の 点Q=

端 点 の み の 関 数 で あ る.こ characteristic

function)と

い

なわ ち

(3.3.13) こ こ にpi(q,q)=∂L/∂qiは (3.2.2)と

一 般 化 運 動 量.こ

れ は ハ ミル トン の 主 関 数

関係

(3.3.14) で 結 び つ い て い る.

  3.3.3 

ヤ コ ビの 原 理

  他 方,エ

ネ ル ギ ー保 存 則(3.3.1)か

次 の よ う に す れ ば よ い.そ

閉 じ た 形 で 求 ま る 場 合 は,

の よ う な 場 合 と し て,と

の ハ ミル トニ ア ン が(2.2.31)の てTがqの2次

らq0'=ψ0が

形 を と る と き,つ

同 次 式 に な る 場 合 を 考 え る.こ

く に も と の 配 位 空 間Nで ま りHL=T+U(q)と

書け

の と き拡 大 配位 空 間 の ラ グ ラ

ン ジア ン は

(3.3.15) で あ り,明

ら か にq0は

循 環 座 標,ま

た エ ネ ル ギー 保 存 則 は

(3.3.16) と 表 さ れ,こ

れ を解 い て

(3.3.17) が 得 ら れ る.({mij}は(1.1.22)で 削 減 し た こ と に よ り,こ で,以

定 義 し た 配 位 空 間 の 計 量.自

の 段 階 で拡 大 配 位 空 間 は 配位 空 間 に 射 影 され て い るの

下 で は 配 位 空 間 の 座 標qで

ら れ る の で,2重   こ のt'=ψ0を

由 度q0=tを

添 字 は1∼nの

記 す.ま

た 添 字 はi=1,2,…,nの

範 囲 に限

和 を と り Σ を 省 略 す る.)

用 い れ ば,こ

の場 合 の ラ ウ シ ア ンは

(3.3.18) ま た,こ

の ラ ウ シ ア ン に た いす る作 用 は

と な り,こ

う し てq0'が

の 表 式 は(3.3.4)式

完 全 に 消 去 さ れ た 形 で 表 さ れ る.も

か ら 直 接 求 め て も よ い.

  さ ら に ま た こ の 場 合,パ て よ い.そ

ち ろ ん こ の 作 用A

れ ゆ え,こ

ラ メ ー タ τそ れ 自 体 は 意 味 を も た な い の で 消 去 し

の 保 存 系 に た い す る ハ ミル ト ン の 原 理 は,次

の よ うに 系

の 時 間 的 推 移 を 含 ま な い 静 的 な 形 で 表 現 さ れ る:   系 の 運 動 が,等

エ ネ ル ギ ー 空 間 内 の2点Q1,Q2を

中 で 系 が と る 現 実 の 経 路 は,積

通 る な ら ば,そ

の途

分

(3.3.19) の 停 留 曲 線 で 与 え ら れ る.  こ れ を ヤ コ ビの 原 理(Jacobi's   な おq0'が

閉 じ た 形 で 解 け る た め に は,ラ

含 ん で も か ま わ な い.た 化 運 動 量 が(2.2.8)と (m,e)の

principle)と

グ ラ ン ジ ア ン がqの1次

の項 を

と え ば ラ グ ラ ン ジ ア ン が(2.1.45)で

与 え ら れ,一

般

な る 荷 電 粒 子 の 運 動 が そ う で あ る.簡

単 の た め1粒

子

場 合 で 述 べ よ う.こ

と な る が(Aは

い う.

作 用,Aは

の と き,作

用(3.3.4)は

ベ ク ト ル ・ポ テ ン シ ャ ル),エ

ネ ル ギー 積 分

(2.2.37)よ

り

が 得 ら れ る か ら,線

素 を(dr・dr)1/2=dlと

記 し て,ヤ

コ ビの 原 理 は

(3.3.20) と表 さ れ る.

  3.3.4 

測地線 の方程式

  上 の ヤ コ ビの 原 理 は さ ら に次 の よ うに 書 き直 さ れ る.も 計 量mijに

と も との 配 位 空 間 の

た い して テ ン ソル 量

(3.3.21) を 全 エ ネ ル ギ ー がE,ポ の 計 量 と見 な す.こ

テ ン シ ャ ル がU(q)で

の{gij}を

与 え られ る 等 エ ネ ル ギ

ヤ コ ビ 計 量(Jacobi

metric)と

の 場 の 存 在 を座 標 系 の 歪 み に く り こ む こ と に 相 当 す る.こ

い う.こ

ー空 間 れ は力

れ を用 い て等 エ ネ ル

ギー 空 間 の 線素 を

(3.3.22) と 定 義 す れ ば,作

用(3.3.19)に

た い す る 変 分 式 ΔA=0は

(3.3.23) と書 き直 さ れ る.し

た が っ て ヤ コ ビ の 原 理 は,最

 系 が 等 エ ネ ル ギー 空 間NE内

終 的に

で と る経 路 は,NEに

ポテ ンシャル に よ り

決 め られ る計 量{gij}を 与 え た と きの 測 地 線 で与 え られ る とい い表 す こ とが で き る.こ

こ で は 測地 線 とは,そ の 線 上 の 十 分 に近 い2点

を

両 端 とす る どの 部 分 を とっ て もそ の 両 端 を結 ぶ 曲 線 の う ち で 最 も短 い もの に な って い る もの,す よれ ば,力

な わ ち 局 所 的 最 短 曲 線 を い う.し た が って ヤ コ ビの 原 理 に

の場 に よ り空 間 の 曲 が りが決 定 され,系

の運 動 は その 曲 が りを考 慮

した 「距 離 」 が 最 も短 くな る よ うな経 路 に そ っ て行 わ れ る と い うの で あ る.い うな らば 力 学 の記 述 の 幾 何 学 化 で あ る.

  以 前 に §1.2.5で し,そ

は,測

地 線 を 測 地 線 の 方 程 式(1.2.37)の

れ が 局 所 的 最 短 曲 線 に な る こ と を 示 し た が,こ

線 と し て 測 地 線 を 定 義 し て い る.そ こ と は,次

解 曲 線 で定 義

こでは逆に局所的最短 曲

して そ れ が確 か に測 地 線 の 方程 式 を満 たす

の よ う に 直 接 的 に 示 さ れ る.

  変 分 パ ラ メ ー タ を η と し てq=q(σ,η)と り に 経 路 長 σ を と っ た も の で あ る.そ

お く.こ

れ は 図3.1.2の

τの か わ

うす る と ヤ コ ビ の 原 理 は

(3.3.24)

ここに 

であり

となる.た だ し  

を使 った.ま た,被 積分関数 は

で あ る か ら,部

分 積 分 し て 端 点 で δη=0を

と表 され る(2行

目の[  ]内 で は η=0ゆ え ∂/∂ σ をd/dσ に 置 きか え る).

 こ こ で変分  

が 独 立 で あ る こ と を考 慮 す れ

ば,こ れ よ りそ れ ぞ れ のkに

が 得 ら れ る(1行 ギ ー 空 間 の 第1種

用 い ると

目 か ら2行

た いす る運 動 方 程 式 の 成 分 と して

目へ の 変 形 はgki=gikを

用 い た).こ

れ は等エ ネル

ク リス トッフ ェ ル 記 号

(3.3.25) を用 い る と

(3.3.26)

と 表 さ れ,測

地 線 の 方 程 式(1.2.37)で

あ り,計

量 テ ン ソ ル{gij}が

シャルに よって定 め られ る等エ ネル ギー空 間で の 方 程 式 を 表 し て い る.(3.3.26)が る こ と は,こ

「自 由 運 動(慣

ポ テ ン

性 運 動)」 の

σ を 時 間 変 数 とす る 自 由 運 動 の 方 程 式 で あ

に た いす る ラ グ

れ が 自 由 運 動 の ラ グ ラ ン ジ ア ン 

ラ ン ジ ュ 方 程 式 に な っ て い る こ とか ら も 見 て とれ る.   こ の(3.3.26)が,実 の よ う に す れ ば,直

は 力 の 場 の 中 で の 正 し い 運 動 方 程 式 で あ る こ と は,次 接 的 に 確 か め ら れ る.変

さ ら に(3.3.21)と(3.3.22)よ

数 を σ か ら 時 間tに

り 得 ら れ るdσ/dt=2Tを

変 換 す る:

使 う と

で あ る か ら,(3.3.26)は

と な る.こ

こ で こ の ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号 Γkijを,gijの

い て 書 き 直 し,も (1.1.24)で

と の 配 位 空 間 の 計 量mijと

定 義(3.3.21)を

用

ク リ ス ト ッ フ ェ ル 記 号Ckij

書 き表 す と

と な る か ら,上

式 は

と 書 き 直 さ れ る.い

ま の 場 合,系

は 保 存 系 でT+U=E(const.)で

あ り,

d(T+U)/dt=0.し

た が っ て最 終 的 に 次 の方 程 式 が 得 ら れ る:

(3.3.27) こ れ は 確 か に ポ テ ン シ ャ ルUに 式(1.1.28)に

よ って 与 え られ る力 の 場 の な か で の 運 動 方 程

他 な ら な い.

  方 程 式(3.3.26)と(3.3.27)の こ み,し

違 い は,(3.3.26)で

た が っ て 力 の 効 果 を 座 標 軸 の 曲 が り で 表 し た た め,系

運 動 を し て い る か の よ う に 見 え た の が,(3.3.27)で ぐ な 」 座 標 軸 を と っ た こ と に な り,そ 曲 げ ら れ る わ け で あ る.(3.3.26)は

(3.3.27)は,力

  3.3.5 

は,い

は あ たか も 自由 う な らば

「ま っ す

の た め 系 は 力(-∂U/∂q)に

よ り経 路 を

力 が 空 間 の 計 量 を 決 め,物

体 は その計 量

空 間 内 を つ ね に 慣 性 運 動 す る と い うEinstein流

Newton流

は 力 の 場 を計 量 に く り

の 見 方 を 表 し,他

方,

が 物 体 を平 坦 な 空 間 の 慣 性 運 動 か ら そ らせ て ゆ く と い う の 見 方 を 表 して い る.

力 学 ・光 学 ア ナ ロ ジ ー

 最 後 に ひ とつ コ メ ン トして お く.も との 配 位 空 間 の計 量 を用 い た 距 離 を

と す る.こ

こ に{mij}は(1.1.21),(1.1.22)で

元 を もつ 定 数 と す る(そ

の と きlは

間 内 で 系 が 現 実 に と る 経 路 は,ヤ

定 義 し た 計 量,mは

長 さ の 次 元 を も つ).こ

質 量の次

う す れ ば,配

位 空

コ ビ の 原 理 よ り条 件

(3.3.28a) に よ り決 定 され る.と

くに1質 点 の場 合 は,現 実 の物 理 空 間R3で

の経路 が

(3.3.28b) とい う条 件 か ら決 定 され る.こ こ でmを も とMaupertuis,

Euler, Lagrangeら

  こ れ を,与 え られ た2点 な る経 路 を と る,す

そ の 質 点 の 質 量 に と る.こ れ が も と

に よ り扱 われ た最 小 作 用 の 原理 で あ る.

を通 る光 線 は所 要 時 間 が 最 小(厳 密 に は 停 留 値)と

な わ ち 屈 折 率 がn(r),位

中 で の光 線 の 経 路 は 変 分 式

相 速 度 が 

の媒 質

(3.3.29) か ら 決 め ら れ る と い う フ ェ ル マ ー の 原 理(Fermat' よ う.そ

s principle)と

対比 してみ

こ で位 相 速 度 が

(3.3.30) で与 え ちれ る波 動 を考 え る と,ポ テ ン シ ャ ル がU(r)で 粒 子 の 運 動 は,こ

与 え られ る 力 を受 け た

の 波 動 の 伝 播 と相 似 な関 係 に あ る とい うこ とが で き る.こ の

対 応 関 係 を さ ら に推 し進 め れ ば,光 波 の 位 相

(3.3.31) に対 応 して,力 学 に お い て も,そ の位 相 が ハ ミル トンの 特 性 関 数 ・主 関 数 を用 いて

(3.3.32) で 与 え ら れ る 波 動 が 考 え ら れ,粒 に 決 定 さ れ る と い え る.そ (3.3.32)を

の 波 を ド ・ブ ロ イ 波(de

ド ・ブ ロ イ 波 の 位 相 と い う.こ

り,(3.3.31)か ω 〓E/hの

子 の 運 動 経 路 は こ の 波 に た い す る光 線 の よ う

ら(3.3.32)へ

想)で

の 議 論 は単 な る類 推 に

し か な い.

理 論 で よ り一 層 顕 著 で しか も確 実 な も の に な る が,そ は じ め て 明 ら か に な る も の で あ る(§7.3参

述 の ハ ミル トン-ヤ コ ビ の の 深 い根 拠 は 波動 力 学 で

照).

2次 元 ケ プ ラ ー 問 題 とヤ コ ビの 原 理

  ポ テ ン シ ャ ル がV=-μ/γ め 単 位 質 量 で 論 ず る).エ

し た が っ て,作

して

お よび

の 段 階 で は,こ

  粒 子 の 運 動 と 波 動 の 伝 播 の こ の ア ナ ロ ジ ー は,後

  例3.3.1 

wave),そ

作 用 の 次 元 を もつ 定 数 で あ

の 書 き 直 し は, 

置 き か え に も とづ く.こ

依 拠 し た 飛 躍(予

こ にhは

Broglie

用(3.3.19)は

で 与 え ら れ る2次 元 ケ プ ラー 問 題 を考 え る(簡 単 の た ネ ルギー保 存 則 は

この場合

(ただし 

で あ り,ヤ

コ ビ の 原 理 は ⊿A=0で

  こ れ よ りた だ ち に,変

が 書 き下 され る.こ

が 導 か れ,第1積

表 され る.

分 法 に つ い て の オ イ ラ ー 方 程 式(p.

の 式 と,Fが

)

175の 脚 注3)

ψ を 陽 に 含 ま な い こ とを 使 え ば

分

(3.3.33) が 得 ら れ る(こ ラー の 第2法

こ で 

則 で,α

を 使 っ た).こ

れ は ケプ

は(単 位 質 量 あ た りの)角 運 動 量 で あ り,こ の保 存 則 は 角 ψ が

循 環 座 標 で あ る こ との 結 果 に他 な ら な い.   ま た こ の 式(3.3.33)よ

り軌 道 形r=r(ψ)に

つ い て の 方 程 式 と して

が 導 か れ る.   い ま ε<0と

し て,r=r0=rminで

ψ=ω(近

日 点 引 数)と

と る な ら ば,こ

(ただ し 

れ よ り

) (3.3.34)

が 得 ら れ る.た

だ し 

.し

と積 分 変 数 を変 換 す れ ば,積 分 は実 行 で き て,ψ-ω=φ

たが って

と な り,軌 道 の 方 程 式

(3.3.35) が 得 ら れ る.も α=M/mと

ち ろ ん こ こ で 得 ら れ た 結 果 は,質

す れ ば,例2.2.3の

結 果 に 一 致 す る.

量 をmと

し て ε=E/m,μ=κ/m,

4 ハ ミル トン形 式 の 力 学

4.1  相 空 間 と正 準 方 程 式

  4.1.1  ラ グ ラ ンジ ュ方 程 式 の 狭 さ   ラ グ ラ ン ジ ュ方 程 式 は配 位 空 間Nの

座 標q=(q1,q2,…,qn)に

の 微 分 方程 式 で あ り,与 え られ た初 期 条 件(t=0で てN上

のq,q)に

つ い て の2階 た い す る解 と し

に一 本 の 曲 線(解 曲 線)が 決 定 さ れ る.し か し同 じ点 か ら異 な る初 速

度 で 出発 す る運 動 が 考 え られ る の で,配 位 空 間 で考 え るか ぎ り,ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の解 曲 線 は 同一 の 点 か ら何 本 で も引 くこ とが で き る し,し た が っ て また 異 な る解 曲 線 が 交 差 す る こ と もあ りう る.   この 不 都 合 を避 け る た め に,ラ

グ ラ ン ジ ュ方 程 式 を

(4.1.1a) (4.1.1b)

た だ し  と 書 き 直 し, 

に つ い て の2n個

立 微 分 方 程 式 と し て 扱 っ て み よ う.つ ξ をqと

ま り運 動 を 状 態 空 間TNで

の1階

連

眺 め,速

度

は 独 立 な 座 標 と見 な す わ け で あ る.

  こ の と き(q,ξ)はTNの そ し てTN上 程 式(4.1.1)の 満 た さ れ,そ

局 所 座 標 で,ξ

そ れ 自体 はqと

の 関 数 と し て ラ グ ラ ン ジ ア ンL(q,ξ,t)が 解 曲 線 上 の 点 に た い し て は 上 記 の2n個

は 無 関 係 で あ る.

与 え ら れ た と き,方 の 方 程 式(4.1.1)が

の と き は じ め て ξ が 解 曲 線 に そ っ た 速 度 ベ ク トルq=dq/dtに

一 致 す るの で あ る .

こ こ で ラ グ ラ ン ジア ンLが

正 則,す

なわち

(4.1.2) で あ る とす る.そ の と き上 記 の 方 程 式 は

(4.1.3a) (4.1.3b) と書 き直 され,初 期 値 問 題 は一 意 的 に解 け る.す な わ ち ラ グ ラ ン ジ ア ン が 正 則 な らば,系

の 状 態 を表 す 点 の移 動 速 度 は 状 態 空 間TN上

値 を と り,し た が っ てTN上

の 点 ご とに 決 ま っ た

で は解 曲 線 は 始 点(q(0),ξ(0))を 指 定 す れ ば 一 本

だ け決 ま り,決 して 交 差 しな い.こ

の よ うにn個

の2階 微 分 方 程 式 を2n個

の

1階 微 分 方 程 式 に 書 き直 す だ け で,幾 何 学 的 に は 解 の見 通 しが 大 幅 に 改 善 され る.   そ れ ゆ え,状 態 空 間 の 各 点 に お いて ラ グ ラ ン ジア ン に よ り決 定 され る速 度 の 成 分 が(4.1.3)に

よ り与 え ら れ,こ

の 式 の 右 辺 で 表 さ れ る 「速 度 の 場 」 に 誘

導 さ れ て 点 が 移 動 して ゆ く とい う よ うに系 の 時 間 的 変 化 を イ メー ジ した い と こ ろ で あ る.し か しそ の 「速 度 の場 」 な る もの の 「幾 何 学 的 身分 」 は 不 透 明 で あ る.つ

ま り上 記 の 方 程 式(4.1.3)が

同 種 類 の 幾 何 学 的 対 象 間 の 関 係 で あ るの

か 否 か,座 標 変 換 に た い して 両 辺 が 同 一 の変 換 則 に 従 うか 否 か は,見

ただけで

簡 単 に わ か る こ と で は な い.   そ の上 こ の 方 程 式 に はqと

ξ が き わ め て 非 対 称 に 現 れ る た め,代

数 的 な見

通 し もは な は だ 悪 い.

  4.1.2  正 準 方 程 式   この よ うな不 満 足 な点 を手 直 しす るた め に,接 空 間 のベ ク トル と して の一 般 化 速 度 

の か わ りに,余 接 空 間 の ベ ク トル と し て の 一 般 化

運 動 量 を用 い た運 動 方 程 式 の 表 現 を考 え る.  一般 化運動量成分

(4.1.4)

を使 え ば,ラ

グ ラ ン ジ ュ方 程 式 は

(4.1.5) と表 さ れ る.   さ て い ま(q,q,t)が

そ れ ぞ れ 無 限 小 量(δq,δq,δt)だ

れ に と も な い(4.1.4)で ラ ン ジ ア ンLの

決 ま るpが

変 化 は,無

と表 さ れ る(∂i=∂/∂qi).こ

と書 き 直 し て み よ う.こ

δpだ け 変 化 し た と し よ う.こ

限 小 量 の1次

の式 を

他 な ら ず,こ

定 義 さ れ る(q,q)の

の ときラグ

まで とる と

の 左 辺 の 括 弧 内 は 以 前 に(2.2.28)で

トニ ア ンHL(q,q,t)に こ と を 示 し て い る.つ

け 変 化 し た と き,そ

ま り(q,p)の

の 式 は,HLが 関数H(q,p,t)が

定 義 し た ハ ミル

実 はqとpの

関 数 であ る

存 在 し,pが(4.1.4)で

関数 であ るとき

(4.1.6) が す べ て の(q,q)∈TNに

た い し て 成 り 立 つ の で あ る*1.

  し た が っ て 一 般 化 座 標 を 用 い た 運 動 方 程 式(4.1.5)は,右 にHで

表 す の が 自 然 で あ る と考 え ら れ る.そ

辺 をLの

か わ り

の ため

(4.1.7) と 書 き 直 し て,上 (q,q,t)の Lに

の2式(4.1.4),(4.1.5)をHで

関 数,Hは(q,p,t)の

作 用 す る と き に はqを

表 そ う.そ

関 数 で あ る か ら,偏 一 定 に し て と い う 条 件 で,Hに

の さ い,Lは

微 分 作 用 素 ∂/∂qiは, 作 用す るときには

pを 一 定 に し て と い う条 件 で 用 い る い こ と に 注 意 し な け れ ば な ら な い.そ

のた

め 一 定 に 保 つ 量 を(…)￨qの

の関

よ う に 記 し て,上

式 をqi,qiで

微 分 す る と,次

係 が 得 ら れ る: *1  (4

.1.6)つ

ま りHがqとp=φ

の 関 数 で あ る こ と を い う た め に は,ラ

則 性(4.1.2)を 必 要 と し な い こ と に 注 意.た のpiは す べ て が 独 立 で は な い.§10.1参 照.

グ ラ ン ジア ン の正

だ し ラ グ ラ ン ジ ア ン が 正 則 で な け れ ば,n個

(4.1.8)

(4.1.9)  し た が っ て ラ グ ラ ン ジ ア ン が 正 則 で あ れ ば,(4.1.8)よ

り

(4.1.10) が 導 か れ る.こ

の こ と は,正

則 な ラ グ ラ ン ジ ア ン で は(4.1.4)が

一 意的に

(4.1.11) と解 け る こ と を 示 し て い る.つ 意 性 の 条 件(ラ

ま りラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式 の初 期 値 問 題 の解 の一

グ ラ ン ジ ア ン の 正 則 性)が

一 般 化 運 動 量 と一 般

化 速 度 の1対1

対 応 の 条 件 に も な っ て い る の で あ る.   さ ら に(4.1.10)を(4.1.9)に

代 入 す れ ば,偏

導関数 の関係

(4.1.12) が 得 ら れ,こ

れ を(4.1.5)と

併 せ る こ とに よ り,pで

表 され た運 動 方程 式

(4.1.13) が 導 か れ る の で あ る.   そ こ で(q,q)の

か わ り に(q,p)を

独 立 な 変 数 に と り,あ

ら た め て ハ ミル ト

ニ ア ン を(q,p)の

関数 と して

で 定 義 し 直 す.こ

れ が 通 常 ハ ミ ル トニ ア ン な い しハ ミル トン 関 数 と い わ れ て い

(4.1.14) る も の で,(2.2.28)のHL(q,q,t)のqに(4.1.11)を  こ れ を 用 い れ ば,独

立 な(q,p)に

代 入 し た も の で あ る*2.

つ い て の 方 程 式(4.1.10),(4.1.13)は

*2  天体 力学 の テ キ ス トで は ,ハ ミル トニ ア ンや ポ テ ン シャル を本 書 と逆 の 符 号 で 定義 して い る もの もあ るの で,注 意 が 必要.

(4.1.15)

と ま とめ ら れ る.こ equations)と

れ をハ ミル トニ ア ンHに

い う.そ

し て こ の よ う に(q,p)を

立 な 変 数 と見 な し た と き に,qを 運 動 量(canonical ables)と

た い す る 正 準 方 程 式(canonical 系 の 状 態 を 指 定 す る2n個

正 準 座 標(canonical

momentum),(q,p)を

coordinate),

の独

pを 正 準

ま とめ て 正 準 変 数(canonical

vari

い う.

  こ こ で 正 準 方 程 式 を(q,p)に

つ い て の 方 程 式 と い う と き,見

方 の転 換 が 遂 げ

ら れ て い る こ と に 注 意 し て も ら い た い.   つ ま り,ラ

グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 の 立 場 で は,系

グ ラ ン ジ ア ンLが (q,q)の

与 え ら れ て い て,一

関 数 で あ り,(4.1.10)は

(4.1.13)のn個

だ け で あ る.他

般 化 運 動 量pは(4.1.4)で

定 義 され る

そ の 定 義 の た ん な る 結 果 で,運

動 方程 式 は

方,正

独 立 で 対 等 な 変 数 で あ っ て,(4.1.15)は 動 方 程 式 で あ る.運

動 量pに

へ の 名 称 の 変 更 は,運

の運 動 を支 配 す る もの と して ラ

準 方 程 式 の 立 場 で は,(q,p)は 系 の 運 動 を 決 定 す る2n個

互 い に の 対 等 な運

た い す る 「一 般 化 運 動 量 」 か ら 「正 準 運 動 量 」

動 量pの

身 分 の 変 換 で あ る と 同 時 に,ラ

グ ラ ン ジ ュ方

程 式 の 立 場 か ら正 準 方 程 式 の 立 場 へ の こ の 見 方 の 変 換 を 表 し て い る.   正 準 方 程 式(4.1.15)が(4.1.3)と し か し(4.1.3)よ

同 様 の1階

り も優 れ て い る の は,第1に

微 分 方 程 式 で あ り な が ら, 形 が き わ め て 単 純 で,配

間 の 座 標 変 換 に た い す る 共 変 性 が 見 や す い こ と と と も に,変 な 対 称 性 と い う代 数 的 メ リ ッ トが あ る(§4.2参 数(p,q)間

の こ の 特 異 な 対 称 性 の た め に,後

微 分 方 程 式 に 比 べ て 解 の 性 格,つ

照).実

節(§4.4)で

数(p,q)間

際,正

位 空 の顕著

準 方 程 式 は,変

見 る よ う に,一

般 の

ま り摂 動 に た い す る そ の 安 定 性 や 大 域 的 振 る

舞 い が き わ め て 「良 い 」.   正 準 方 程 式 が 優 れ て い る 第2点 換(点

変 換)に

換(正

準 変 換)に

に は,よ

は,ラ

グ ラ ン ジ ュ方 程 式 が 配 位 空 間 の 座 標 変

た い し て 不 変 で あ っ た の に た い し て,正 た い し て 不 変 な こ と で あ る(§5.3).運

準 方 程 式 は よ り広 い 変 動 方 程 式 を解

くため

り多 くの座 標 成 分 が 循 環 的 に な る 座 標 系 が望 ま し い こ と は す で に 見

た.そ れ ゆ え よ り広 い 変 換 を許 容 す る正 準 方 程 式 は,こ の 点 で も ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 を さ らに 上 回 っ て い る の で あ る.

  4.1.3 

相 空 間 と 正 準1形

式

  ラ グ ラ ン ジ ュ 形 式 の 力 学 で は 系 の 状 態 は 配 位 空 間Nの 態 空 間)上

接 バ ン ド ルTN(状

の 点 で 指 定 さ れ る. 

所 座 標 で あ る.そ

は そ の局

れ で は 正 準 変 数(q,p)を

局 所 座 標 系 と す る 空 間 は,ど

の よ う

な 空 間 で あ る の か.   与 え ら れ た ラ グ ラ ン ジ ア ン に た い し て 一 般 化 運 動 量p=(p1,p2,…,pn)が (2.2.5)な

い し(4.1.4)で

定 義 さ れ る が,そ

のpがN上

の座 標変 換 に た い し

て 共 変 ベ ク トル と し て 振 る 舞 う こ と は 以 前 に(2.3.3),(2.3.4)で

示 し た.こ

の こ と は 異 な る角 度 か ら次 の よ う に 示 す こ とが で き る.   配 位 空 間N上

の 点Q(局

の 接 空 間TNQ上

の 関 数,す

ル 

所 座 標q={qi})で

の ラ グ ラ ン ジ ア ンL(q,q)を

な わ ちq={qi}の

関 数 と見 な し,接

そ

空間のベ ク ト

にたいす るその方向微分

を考 え る.こ

れ は 実 数 で あ り,し

(pl,p2,…,pn)は,ベ

た が っ てpi=∂L(q,q)/∂qiのn個

ク トルu∈TNQに

の 組p=

た い す る線 形 写 像

(4.1.16) を 与 え る.そ (TNQの

し て こ のTNQ上

双 対 空 間)を

形 成 す る.そ

運 動 量p=(p1,p2,…,pn)は ベ ク トル)で

あ る(§1

の 線 形 写 像 の 全 体 は,そ

れ 自体 が ベ ク トル 空 間

れ が 余 接 空 間 で あ っ て,T*NQと

こ のT*NQ上

の ベ ク トル(共

.5.1,1.5.2,1.6.1参

変 ベ ク ト ル な い し1

照).

  こ の こ と は 配 位 空 間 の す べ て の 点 に た い し て 考 え る こ とが で き る.そ 座 標 が(q,p)で

表 さ れ る 空 間 と は,配

と い う(§1.6.2参   す な わ ち,正

あ り,数

れゆ え

位 空 間 の あら ゆ る 点 に お け る余 接 空 間 の

あ ら ゆ る ベ ク トル に よ っ て 作 ら れ る 空 間,す =UQ∈NT*NQで

記 さ れ,

な わ ち 余 接 空 間 の 直 和 集 合T*N

学 で は こ の 空 間 を 余 接 バ ン ドル(cotangent

bundle)

照). 準 力 学 で は 系 の 状 態 は 余 接 バ ン ドル 上 の 点 に よ っ て 指 定 さ れ

る.こ

の 空 間T*Nを

で 表 す*3.正

物 理 学 で は相 空 間(phase

space)と

準 変 数 

い い,以 下 で はM

はM=T*N上

の局 所

座 標 系 で あ り,ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 か らハ ミル トンの 正 準 方 程 式 へ の 移 行 を も た らす(q,q)〓(q,p)の

変 数 変 換 は,幾 何 学 的 に は 接 バ ン ドル(状 態 空 間)

上 で の 力 学 の 記 述 か らそ の 双 対 空 間 で あ る余 接 バ ン ドル(相 空 間)上 で の 力 学 の 記 述 へ の変 換 で あ る(図4.1.1).そ

して 状 態 空 間TNか

ら相 空 間Mへ

の 写 像 

のこ

は ラ グ ラン ジ ア ン

が 正 則 の と き全 単 射 に な り,TNの

点 とMの

点 は1対1に

対 応 す る.

図4.1.1

  そ こ で,こ (T*N)Qの

の 写 像 に よ り配位 空 間Nの

基 底{(dqi)Q}を 用 い れ ば,点Qに

局 所 座 標 系{qi}か

ら 自然 に導 か れ る

お け る運 動 量 ベ ク トル は

(4.1.17) と表 さ れ る. *3  日本 語 の テ キ ス トで は 数学 で は くな い.

,phase

spaceを

「位 相 空 間 」 を別 の 意 味(topological

「位 相 空 間 」 と 訳 し て い る も の が 少 な くな い が, space)に

使 っ て い る の で,あ

ま り好 ま し

 こ こ でN上

の す べ て の 点QにT*NQの

元 θQを一 つ ず つ 対 応 づ け る写 像

(4.1.18) を 定 義 し,こ

れ を 正 準1形

式(canonical 1-form)と

い う.θ

は局所座標 表示

では

(4.1.19) こ れ は 以 前 に状 態 空 間 上 で導 入 した 基 本1形

式 θL=pidqi(2.3.5)を

相 空間 で

表 現 し た もの に 他 な らず,解 析 力 学 で きわ め て 大 き な役 割 を果 た す.   正 準 方 程 式 に よ り決 定 され る相 空 間上 の 点 の 運 動 と して系 の 変化 を論 じる力 学 を,本 書 で は ハ ミル トン形 式 の 力学 な い し正 準 力 学 とい う.   な お,上

の 議 論 か ら明 らか な よ うに,ラ

の 移 行 に さ い し て は,ラ

グ ラ ン ジュ 方 程 式 か ら正 準 方程 式 へ

グ ラ ン ジ ア ン の 正 則 性 の 条 件(4.1.2)が

きわ め て 重

要 な役 割 を果 た して い る こ とが わか る.そ れ ゆ え逆 に,正 則 で な い ラ グ ラ ン ジ ア ン に た いす るハ ミル トニ ア ン と正 準 方 程 式 の 導 入 は,特 別 な 注 意 と議 論 が 必 要 に な る.こ

の 点 は10章

で別 個 に 論 ず る こ と に し,以 下 で は ラ グ ラ ン ジ ア ン

を正 則 とす る.

  4.1.4  リ ー マ ン 計 量   と くに ラ グ ラ ン ジ ア ン が局 所 座 標 表 示 で

(4.1.20) と表 さ れ る と す る.た

だ し任 意 の(q,q)に

た い し てT(q,q)≧0と

の と き 配 位 空 間 に は リー マ ン 計 量mij(q)dqidqjが

備 わ り,一

す る.こ

般化運動量成分は

(4.1.21a) と表 さ れ る.  実 際 このmij(q)を

を導 入 し,TNQ上

用 いれ ば,接 空 間TNQに

計 量 テ ン ソル

の 任 意 のベ ク トル 

に よ っ て定 義 で き る.そ

して この と きTNQ上

の 内積 を

の 速 度 ベ ク トル(反 変 ベ ク トル)

υQ= qi(∂i)Qを この 計 量 テ ン ソル で写 像 す るな らば

(4.1.21b) と な り,運

動 量 ベ ク ト ル(共

 こ こ で さ らに とす れ ば,対

変 ベ ク トル)が

得 ら れ る.

「Q点 で の 」 と い う 限 定 を 取 り は ず し て,mijをN上

称 テ ン ソ ル 場(計

の 関数

量 場)

(4.1.22) お よ び1形 式

(4.1.23) を 定 義 す る こ とが で き る.   そ う す れ ばTN上

の 速 度 ベ ク トル 場 をq=qk∂/∂qkと

し て 正 準1形

式 は

(4.1.24) と表 され る.す な わ ち こ の 場 合,正 を計 量 テ ン ソル 場 でM=T*Nに 場 を介 して,ベ

準1形

式 θはTN上

の 速 度 ベ ク トル場q

写 像 し た もの で あ る.こ

ク トル 場 と1形 式 が1対1に

う して 計 量 テ ン ソ ル

対 応 づ け られ る.

  4.1.5  拡 大 相 空 間   配 位 空 間Nを

時 間 軸 を含 む 拡 大 配 位 空 間N×Rに

拡 大 して 考 え る と き に

は,対 応 す る相 空 間 は 次 の よ うに 考 えれ ば よ い.   N×Rの

局 所 座 標 を 

とす る(た だ しq0=t).こ

の場

合 は,拡 大 空 間 の ラ グ ラ ン ジ ア ン

を考 え れ ば,こ

れ に た い し て 上 と ま っ た く同様 の 議 論 が 展 開 で き る.す な わ

ち,運 動 量 

の成分 は

(4.1.25a)

(4.1.25b) で 定 義 さ れ((3.1.12)(3.1.13)参

照),こ

れ ら は 前 と 同 様 に,1形

式

(4.1.26) の 成 分 で あ る こ と が わ か る.そ

し て こ の(q,p)が(2n+2)次

元 余 接 バ ン ドル

T*(N×R)の

局 所 座 標 系 を 与 え る.

  た だ し こ こ で は ラ グ ラ ン ジ ア ンLは す べ て 独 立 な わ け で は な い(こ   も と の 空 間 で は,ラ

が 成 り立 ち,運

正 則 で は な い の で,(n+1)個

の 点 に つ い て 詳 し くは,例10.3.2参

グ ラ ン ジ ア ンLが

陽 にtに

τ に 陽 に よ ら な い か ら,つ

照).

よ らな い保 存 系 の場 合 に は

動 が 等 エ ネ ル ギ ー 面 に 限 定 さ れ た.こ

は ラ グ ラ ン ジ ア ンLは

の{pi}が

れ と 同 様 に,拡

大 空間 で

ね に

(4.1.27) が 成 り立 ち,そ の ため 拡 大 空 間 に お け る運 動 を も との 空 間 で の保 存 系 の場 合 と 同様 に 扱 うこ とが で き る.つ -Hで

を と る.そ

う す れ ば 空 間 は(2n+1)次

を拡 大 相 空 間(extended Rを

ま り運 動 は,余 接 バ ン ドルT*(N×R)内

定 義 され る超 曲 面 に 限定 され る.そ の(2n+1)個

phase

つ け 加 え た も の で あ る.そ

の 独 立 な座 標 と して

元 の 

space)と

い う.実

のp0=

と な り,こ 質 的 に は,相

し て こ こ で は 上 記 の1形

れ

空 間 に時 間 軸

式(4.1.26)は

(4.1.28) と な り,こ れ を 「M×Rに

ひ き上 げ ら れ た正 準1形

状 態 空 間 で 導 入 し た ΘL(3.1.9)(3.1.14)を

式 」 と い う.以 前 に 拡 大

拡 大 相 空 間 で 表 し た も の で あ り,

以 下 で は θ とな らん で 重 要 な役 割 を果 た す.   これ だ け の準 備 を して,次 節 で相 空 間 と正 準 方 程 式 の 幾何 学 的 構 造 を見 て ゆ く こ と にす る.

4.2 

ハ ミル ト ニ ア ン ・ベ ク トル 場

  4.2.1  シ ン プ レク テ ィ ッ ク 多様 体   相 空 間 上 で 正 準 変 数 を用 い て 記 述 さ れ る正 準 力 学 で は,正 準1形

式 θお よ

び そ の外 微 分

(4.2.1)

が き わ め て 重 要 な 役 割 を 果 た す(iの2重

添 字 は1∼nの

学 で は 正 準2形

い う*1.

式(canonical

2-form)と

和 を と る).こ

  相 空 間 の 構 造 と こ の Ω の 役 割 を は っ き り さ せ る た め に,以

れ を力

下 の よ うな 書 き

直 し を 行 う.   ま ず 正 準 座 標 

で 表 す(tは

と正 準 運 動 量 

転 置 記 号,zを

こ の と き,正 準2形

を ま とめ て

縦 ベ ク トル で 表 す の は 以 下 の 便 宜 の た め で あ る).

式は

(4.2.2) と 表 さ れ る(ギ

リ シ ャ 添 字 μ,ν は そ れ ぞ れ1∼2nの

添 字 は 和 を と る).こ

(∂i=∂/∂qi,∂i=∂/piを た は,ま

し た が って2階

ち ろ ん2重

こ に Ωμν=<Ω￨∂μ,∂ν>(た だ し ∂μ=∂/∂zμ)は 局 所 座 標 表

示 で の Ω の 成 分 で あ り,(q,p)で

別 す る),ま

値 を と り,も

表 し,添

表す と

字 の 上 下 でqに

よ る 微 分 とpに

よ る微 分 を 区

とめ て

交 代(共 変)テ ン ソル と して の 正 準2形

式 は行 列 表 示 で は

(4.2.3a) と な る(0nはn次

零 行 列,Inはn次

単 位 行 列).さ

て 反 変 テ ン ソ ル 成 分 Ωμ ρ を定 義 す る.そ

の2階

ら に Ωμ ρ Ωρ ν=δ μνに よ っ

反 変 テ ン ソル の行 列 表 現 は

(4.2.3b) (反 変 テ ン ソ ル に た い す る 行 列 Ω'に は,共 る た め ダ ッ シ ュ を つ け る.た

だ し,行

変 テ ン ソル に た いす る Ω と 区別 す

列 要 素 で 表 した と き は 添 字 の 上 下 で 反

変 ・共 変 の 区 別 が つ くか ら ダ ッ シ ュ は つ け な い.ま は Ω2n,Ω'2nの

*1  こ れ は 正 準2形

よ う に 記 す.)な

,以 前 に 定 義 し た 基 本2形 式 を Ω=-dθ=dqi∧dpiで

た,次

数 を明 記 す る と きに

お 行 列 Ω は Ω2n2=-I2n,tΩ=Ω-1と

い う性 質

式dθL(2.3.6)を 相 空 間 で 表 現 し た も の で あ る.な 定 義 す る テ キ ス トも あ る の で,注 意 が 必 要.

お

を も つ(Ω'も

同 じ).

  幾 何 学 的 に は,偶 代 テ ン ソ ル 場)Ω (symplectic

数 次 元 の 多 様 体Mに

が 備 わ っ て い る と き(M,Ω)を

manifold)と

い う.計

徴 づ け る の と 同 じ よ う に,Ω あ る.こ   Ω が

交

シ ン プ レクテ ィック多様 体

が シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多様 体 を 特 徴 づ け るの で

の Ω を シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 形 式(symplectic 「閉 じ た 形 式(閉

式(2階

量 テ ン ソ ル 場 が リー マ ン 多 様 体 の 構 造 を 特

形 式)」 と はdΩ=0の

  ま た 非 退 化 と は, 

form)と

い う.

こ と で あ る(§1.6.6).

で あ れ ば 必 ず υ=0と

  一 般 の 座 標 系  う.こ

閉 じ た 非 退 化 な 交 代2形

を と る.た

な る こ と を い う.

だ し 

と し よ

の座標 では

(4.2.4) と し て,正

準2形

式は

(4.2.5) そ れ ゆ え 

.し

の ν に た い し て ωμνυμ=0と と で,行

数)次

レ ク テ ィ ッ ク 形 式 が(4.2.2)の 明 さ れ る.こ (4.2.2)の

式 Ω が 非 退 化 と は,す

べ て

な る υ=υ μ∂μは ゼ ロ ・ベ ク トル し か な い と い う こ

列 ω=(ω μν)が 正 則(det

  そ し て す べ て の 有 限(偶

た が っ て2形

ω≠0)と

い い 直 し て も よ い.

元 の シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 に は,シ

ンプ

形 に 表 さ れ る局 所 座 標 系 が 存 在 す る こ と が 証

れ を ダ ル ブ ー の 定 理(Darboux's

theorem)と

形 の す る 座 標 系 を 標 準 座 標 系,(4.2.2)の

い う.以

下,Ω

を

形 を シ ン プ レク テ ィ ッ ク

形 式 の 標 準 形 と い お う.   任 意 の 座 標 系 

で の 任 意 の 交 代2形

辺 の 形 に 表 さ れ る か ら,ダ

と な るz={zρ(x)}を 則 な2n次

ル ブ ー の 定 理 は,交

式 は(4.2.5)式

の右

代 行 列 ω=(ω μν)が 正 則 の と き

作 る こ とが で き る とい う主 張 で あ る.し か る に任 意 の 正

交 代 行 列 ω に た い して,あ

る2n次

正 則 正 方 行 列Sが

存在 し

(4.2.6)

とす る こ と が で き る*2.そ

れ ゆ え ダ ル ブ ー の 定 理 は ∂xμ/∂zρ=Sμρと な るzρ=

zρ(x)を す べ て の ρ に つ い て 作 る こ と が で き る と い う こ と で あ る*3.   結 局,相

空 間 は シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 で あ り,力

幾 何 学 で い う シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 形 式 の こ と で,正 他 な ら な い.そ

学 で い う正 準2形

式は

準 変 数 とは その 標 準 座 標 に

し て ま た こ の 意 味 で 

を シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 変 数(symplectic

variables)と

い う.

  (シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 に は そ れ を 特 徴 づ け る シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 内 積 と して 斜 交 積 を 定 義 で き る が,そ

  4.2.2 

れ に つ い て は §5.5.3参

照.)

正準方程 式の座標 系 によらない表現

  正 準 方 程 式(4.1.15)は,ひ

と ま とめ に

(4.2.7)

と 表 さ れ る.い

ま 

も 同 様,さ

に  Ω'=(Ω

と し て 縦 ベ ク トル と し て のzと μ ν)を 用 い れ ば,こ

ら 行 列

れは

(4.2.7)' の 形 に 書 け る.Ω'の

成 分 表 示 を 用 い れ ば,こ

れは

*2  証 明 は 田坂 隆 士

『2次 形 式 』 岩 波 講 座 基 礎 数 学(岩 波 書 店1976)定 理4 .6,な い し 佐 武 一 郎 『線 型 代 数 学 』(裳 華 房1958増 補 改 題1974) p . 186f.参 照. *3  ダ ル ブ ー の 定 理 の 証 明 は ,た と え ばV. I. Arnold『 古 典 力 学 の 数 学 的 方 法 』 安 藤 韶 一 ・蟹 江 幸 博 ・丹 羽 敏 雄 訳(岩 波 書 店1980) §43,小 松 彦 三 郎 『ベ ク トル 解 析 と 多 様 体 』 岩 波 講 座 応 用 数 学(岩 1998) 4.5参 照.

波 書 店1995)

§5.3,伊

藤秀一

『常 微 分 方 程 式 と 解 析 力 学 』(共 立 出 版

(4.2.8a) で あ り,あ

る い は(4.2.7)'に

左 か ら Ω=(Ω ρ μ)を か け て Ωz=∇H,す

なわ ち

(4.2.8b) と表 す こ と もで き る.   こ の よ うな シ ンプ レ ク テ ィ ッ ク変zと 式 の 書 き直 しは,た

行 列 Ω'な い し Ω に よ る 正 準 方 程

ん な る記 述 の簡 単 化 や 数 学 上 の 技巧 に と ど ま る も の で は な

い .

  上 式(4.2.8a)の ル 場(反

左 辺,す

な わ ち 

は,相

空 間M上

のベ ク ト

変 ベ ク トル 場)

(4.2.9) の 成 分 で あ り,他 方,右 辺 の 

は1形 式

(4.2.10) の 成 分 で あ る.し た が っ て 用 い て い る座 標 系 に 左 右 さ れ な い 意 味 を もつ 方 程 式 を得 る ため に は,つ

ま り どの 局 所 座 標 系 に移 って も成 り立 つ よ うに両 者 を関 係

づ け る た め に は,両 者 を媒 介 す る もの と して2形 式(2階 必 要 と され る.そ

こ で相 空 間 に 備 わ って い る2形 式 と して 正 準2形

目 し,こ れ を用 い て ベ ク トル 場cを

を 作 り,こ

共 変 テ ン ソ ル 場)が 式 Ω に着

写像 して1形 式

の 式 と正 準 方 程 式(4.2.8b)を

見 く ちべ る.そ

うす れ ば 正 準 方 程

式 は簡 単 に

(4.2.11) と表 され る こ とが わ か る.こ の 方 程 式 は2個 の1形 式<Ω￨c,●>お

よ び-dH

同士 が 等 しい とい う要 請 で あ るか ら,座 標 変 換 に た い して共 変 的 で あ り,し た が っ て正 準 方程 式 の 局 所 座 標 系 に よ ら な い 表 現 で あ る*4.  な おΩ=dθ

*4  (4

.2.11)の

で あ る こ と を考 慮 す れ ば,こ

左 辺 は2形

な い し Ω 」c=-dHの

式 Ω とベ ク トル 場cの よ う に も書 か れ る.

の(4.2.11)は

内 部 積 で,(4.2.11)式

配位 空間 の ラ グラ

はi(c)Ω=-dH

ン ジ ュ 方 程 式(2.3.10) 

を相 空 間 で の 式 に 書 き直 し た

も の で あ る こ と が わ か る.し (3.1.35) 

た が っ て 拡 大 配 位 空 間 の ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 も 同 様 に 書 き直 す こ とで,拡

大相 空 間 の正 準 方

程 式 の 局 所 座 標 系 に よ ら な い表 現 と して

(4.2.12) が 得 ら れ る と予 想 さ れ る(こ   実 際,1形

式(4.1.28)の

の ダ ッ シ ュ は パ ラ メ ー タ τに よ る 微 分)*5. 外微 分 を とることによ り

(4.2.13) 他 方,c'の

座標 表示 は

(4.2.14)

し た が っ て(4.2.12)は

(4.2.15) (4.2.16) と等 価 で あ る.こ あ る(後

の(4.2.15)の2n個

の(4.2.16)式

  4.2.3 

は 正 準 方 程 式 か ら 導 か れ る もの で 独 立 で は な い).

ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場

  し か し,も の 各 点 で 力F,ポ

と も と,力

は 非 退 化(Ω

し か しdΘ=dθ-∇zHdz∧dtは は,Ω 2nで,Ω

学 の 運 動 方 程 式 は,空

テ ン シ ャ ルU,ラ

が 与 え ら れ た と き に,そ

*5  Ω=dθ

の 式 は 確 か に 正 準 方 程 式(4.2.8b)で

れ に お う じ て 経 路c(t)が

は 正 則 でrank Ω

=2n)ゆ

非 退 化 で は な い.実

μν=Ωμν,Ω0μ=-Ωμ0=∂μH,Ω00=0で の 固 有 値0の

ク トル 場c'が,定

間(R3,N,M=T*Nな

グ ラ ン ジ ア ンL,ハ

固 有 空 間 は1次

え ,<Ω￨υ,●>=0で 際,dΘ

あ れ ば 必 ずυ=0. を行 列 表 示 し た と きの 要 素

た が っ て=0と

数 倍 を の ぞ い て 一 つ 存 在 す る.

ど

決 定 され る とい う主 旨の もの

あ り,(2n+1)×(2n+1)行

元.し

ど)

ミル トニ ア ンHな

列 Ω はrank Ω= な る0で

な いベ

で あ る.そ

こ で 運 動 方 程 式 と し て は(4.2.11)の

だ け が 現 れ る 形 が 望 ま し い.そ

こ で,次

形 の も の で は な く,左

辺 にc

の よ う に 表 現 す る の が わ か りや す い で

あ ろ う.   リー マ ン 多 様 体 で は 計 量 テ ン ソ ル 場  ル 場 が1対1に

対 応 づ け ら れ る よ う に,シ

2形 式 Ω=dθ=dpi∧dqiを れ,相

介 し て1形

互 に 置 き か わ り う る.つ

に よ り1形

式 とベ ク ト

ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 で は,正

式 と ベ ク トル 場 が1対1に

ま りの

対応づ け ら

場 合 と 同 様 に<Ω￨●,●>も,

● で 表 さ れ て い る ブ ラ ン ク の と こ ろ に 一 つ ベ ク ト ル 場 を 入 れ れ ば1形 ら れ,二

準

式 が得

つ ベ ク トル 場 を 入 れ れ ば シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 内 積 を 表 す ス カ ラ ー 関 数

が 得 ち れ る マ シ ー ン と 見 な す こ と が で き る(た ル で あ る か ら  か っ た が,正

準2形

だ し計 量 テ ン ソ ル は 対 称 テ ン ソ

と な り,ベ

ク トル 場 を ど ち ら に 入 れ て も よ

式 は 交 代 テ ン ソ ル で 

で あ る か ら,

ベ ク トル 場 を 入 れ る位 置 が 意 味 を も つ こ と に 注 意) .   そ こ で,G(z)を に よ っ て1形

相 空 間M上

式dGが

の 滑 ら か な 関 数 し た と き,Ω

で写像 す るこ と

得 ら れ る よ う な ベ ク トル 場 υGを 考 え る.す

なわ ち

(4.2.17) i.e.

 (4.2.18)

こ う して 得 られ るベ ク トル 場

(4.2.19) を 関 数Gに

よ っ て 生 成 さ れ る,な

ン ・ベ ク トル 場(Hamiltonian

い し関 数Gを

vector

生 成 関 数 とす る ハ ミル トニ ア

field)と

い う.

  こ の 書 き方 で は 系 の 時 間 的 発 展 を 与 え る 正 準 方 程 式(4.2.11)は,ハ ニ ア ンH自

ミル ト

体 に よ っ て 生 成 さ れ る ハ ミ ル ト ン ・ベ ク トル 場 υHを 用 い て

(4.2.20) と して 表 す こ と も で き る.こ れ も用 い る座 標 系 に よ ら な い正 準 方 程 式 の 表 現 で あ る*6. *6  2形 式 Ω が(4 正 則 ゆ え,与 (4.2.17)は

=2.2)の

え ら れ たGに

形 を と る 標 準 座 標 系 で な く と も,Ω た い し て(4.2.17)よ

が 非 退 化 す な わ ち行 列 Ω が

り υGは 一 意 的 に 決 ま る.し

ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場 υGの 座 標 系 に よ ら な い 定 義 で あ る.

たが って

  こ の 式 の 意 味 は,M上

の 曲 線c(t)に

そ っ た 点 の 速 度c(t)が,ハ

ミル トニ

ア ン ・ベ ク トル 場 の そ の 点 で の 代 表(υH)c(t)に 一 致 す る こ と を 示 し て い る.曲 線 の 局 所 座 標 表 示 

を 用 い れ ば,上

式 の両辺 はそ

れぞれ

の よ うに 表 さ れ る.こ れ らが 等 し い こ とは 成 分 が 等 しい こ と で あ る と考 え て も,あ る い は こ れ を微 分 作 用 素 の 関 係 と見 な し て,座 標 関 数zν に 作 用 させ た もの が 等 し い と考 え て も よい.  ν成分 のzで

の 値 を表 す.い

はベ ク トル 場υHの

ず れ にせ よ,こ れ か ら座 標 成 分 に つ い て の微 分 方

程式

(4.2.21) が 得 ら れ る.こ

れ は(4.2.8a)に

他 な ら な い.他

方(4.2.11)は(4.2.8b)に

対 応 す る.   ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場υHは,Hが 流 れ(フ

ロ ー)の

速 度 が 指 定 さ れ る こ と を 表 し て い る.正

系 の 時 間 的 発 展 は,系 出 発 し,こ

与 え ら れ た な らば 相 空 間 の 各 点 で

の 状 態 を 表 す 点z=(q,p)が,t=0に

準 方 程 式 に した が う 点P0=z(0)か

の ベ ク トル 場 に 導 か れ て 相 空 間 上 を 時 間 と と も に 移 り ゆ く流 れ と し

て 表 さ れ る.そ

の と き 描 く 曲 線 が 積 分 曲 線 で あ る.そ

れ ゆ え 力 学 の 問 題 は,積

分 曲 線 を 求 め る こ と,あ

る い は そ の 性 質 を調 べ る こ と に 帰 着 す る.

  こ の 点 に つ い て は,次

節 以 下 で よ り詳 し く論 じ る.

4.3 

  4.3.1    あ るn次

ら

力 学

系

力 学 系 の 考 察

と は

元 空 間(広

義 の 相 空 間N,座

ベ ク トル 場  (こ の 広 義 の 相 空 間 で は 正 準2形

標 

と,そ

の上 の

が 与 え ら れ て い る とす る 式 が 備 わ っ て い る と は 限 ら な い の で,座

標 の

qとpの

区別 は な く,添 字 の 下 付 き ・上 付 きの 区 別 は しな い).そ の 積 分 曲 線

(解 曲 線)を 決 定 す る微 分 方程 式 系

(4.3.1) とこ の広 義 の 相 空 間 の セ ッ トを力 学 系(dynamical x(t)が 恒 等 的 に(4.3.1)を

満 た す と き,x(t)を

system)と

解 とい う.こ こ でtは 実 数 で

あ り,時 間 と呼 ぼ う.と

くにベ ク トル 場 がtを

(autonomous

自励 系 」 と も訳 す)と い う.

system,「

い う.ま たx=

陽 に 含 ま な い と き,系 を 自律 系

  こ の微 分 方程 式 は,外 部 との エ ネ ル ギ ー 交 換(エ

ネル ギー の 供 給 や 散 逸)が

あ っ て正 準 方 程 式 で は 表 さ れ な い よ う な系 の運 動 方程 式 で あ っ て も よ く,さ ら に は 力学 とは 直 接 に 関 係 を もた な い,た 程 式 や,化

とえ ば生 物 種 の 個 体 数 の 変 動 を表 す 方

学 変 化 に お け る物 質 の 濃 度 変 化 を表 す 方 程 式 な ど で あ って も よ い.

要 す る に微 分 方 程 式 系(4.3.1)で

記 述 され る もの で あ りさ え す れ ば,具

な対 象 と して は何 で も よ いの で あ る.力 学 系 の理 論 とは,こ

体的

の よ うな 微 分 方 程

式 系 の個 々 の解 析 解 を見 い だ して そ の 性 質 を調 べ るだ け で は な く,む しろ解 の 集 合 全 体 を対 象 と して,そ の 長 時 間 の 振 る舞 いや 大 域 的 性 質 を考 察 す る もの で あ る.   と くに 相 空 間 が 偶 数 次 元 で 正 準2形 式 を有 す る シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 (狭義 の相 空 間)で,ベ

ク トル場 が ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場 の と き,そ の 力

学 系 を正 準 力 学 系 な い しハ ミル トニ ア ン力 学 系 とい う.そ して 本 書 の 目的 は基 本 的 に は正 準 力 学 系 の 考 察 に あ る.し か し,ハ

ミル トン力 学 に お い て も大 部 分

の 問 題 は実 際 に は 解 析 的 に 解 くこ とが で き な い.そ れ ゆ え力 学 系 の理 論 で一 般 的 に 考 案 さ れ た 考 察 方 法 は こ こ で も きわ め て 有 効 で あ る.の み な らず,一 般 の 力 学 系 を調 べ る こ とに よ り,そ れ との 対 比 で正 準 力学 系 の 特 徴 を 浮 き彫 りにす る こ とが で き る.   そ こ で 本 節 で は,本 る.た だ し,ベ

書 の 目的 に と っ て 必 要 な範 囲 で 力 学 系 の 理 論 を概 観 す

ク トル 場 と して は 微 分 可 能 で,そ

れ ゆ え微 分 方 程 式(4.3.1)

の解 の 存 在 と一 意 性 が 保 証 され て い る もの の み を扱 い,ま た解 は,必 要 な らば t→ ±∞ まで 延 ば す こ とが で き,初 期 条 件 に 現 れ るパ ラ メー タ に つ い て 連 続 で微 分 可 能 とす る.

  ま た 非 自律 系 の 場 合,t=xn+1と

し て(4.3.1)に

れ ば 自 律 系 の 扱 い が で き る の で,本

節 と次 節 で は 議 論 を 自律 系 の み に 限 る.

  4.3.2 

つけ加 え

相 流 と不 変 集 合

  微 分 方 程 式(4.3.1)の にx=x(0)か x(0))に

方 程 式xn+1=1を

解 で,初

期 条 件 をt=0でx=x(0)と

ら 出 発 す る 解)をx(t;x(0))で

表 す.そ

す る も の(t=0 こ で 初 期 値x(0)をx(t;

対 応 させ る 写 像

(4.3.2) を 考 え,こ (phase

の 変 換 の 全 体{φt￨t∈R}を

flow)あ

る い は 単 に フ ロ ー(流

微 分 方 程 式(4.3.1)が れ)と

い う.い

点 を 初 期 値 とす る動 点 を 一 つ の 分 子 と 見 な し,そ う に 見 な す の で あ る.自

律 系 で は,こ

定 め る相 流

う な ら ば,相

空 間上 の 各

の 動 点 全 体 の 集 合 を流 体 の よ

の 流 体 は 各 点 ご とに決 ま っ た速 度 を もつ

定 常 流 と し て 相 空 間 上 を 流 れ る.   と こ ろ で 解x(t;x(0))に

つ い て は,明

らか に

(4.3.3) が 成 り立 つ.ま

た 自律 系 で は 時 間 の 原 点 を ず ら し て も方 程 式 は 変 わ らな い か

ら,x(t;x(0))が

解 な ら ばx(t+s;x(0))も

にx=x(s;x(0))か

解 で あ る.と

こ ろ が,こ

れ はt=0

ら出 発 す る解 で もあ るか ら

(4.3.4) が 成 り立 つ.さ

ら に も と の 微 分 方 程 式 でtを-tで

x(-t;x(0))で

与 え ら れ る.こ

に 他 な ら な い.し

置 きか え た方 程 式 の 解 は

れ は も との 方 程 式 の積 分 曲 線 を逆 に た ど る もの

た が って

な らば   以 上 の 議 論 に よ り,写

像(4.3.2)の

 (4.3.5)

集 合{φt}は

(4.3.6)

(恒 等 写 像), 

を満 た し,そ れ ゆ え この 変 換 の 全 体 す な わ ち相 流 は群 を な して い る.こ の群 が ベ ク トル場 υの定 め る1径 数 変 換 群 で あ る(§1 .4.6参 照).   と こ ろ で 方 程 式(4.3.1)よ た な ら ば,与

りk(
の1価

な 第1積

え られ た初 期 条 件 の も とで の 積 分 曲 線 はn次

分{Ii(x)}が 求 ま っ 元 相 空 間N内

の

で 定 め ら れ る部 分 空 間 に 限 定 さ れ る.つ は こ の 外 に 出 る こ と は な い し,ま に 入 っ て く る こ と も な い.こ {dIi}(ま

た は{∇Ii})の

ば,NIは(n-r)次 て のt∈Rに

ま りこ の上 の 点 か ら出発 した 積 分 曲線

た この 外 の 点 か ら出 発 した積 分 曲 線 が こ の 中

の 集 合N1を

う ち のr(≦k)個

不 変 集 合(invariant が1次

元 多 様 体 に な る.一

集 合 と 呼 ぶ.そ

い う.

独 立(rank(∂Ii/∂xj)=r)な

般 的 に は,す

た い し て, 

set)と

ら

べ て のx(0)∈NIと

すべ

が 成 り立 つ と き,NIを

れ ゆ え,た

不変

とえば

の よ う な 不 変 集 合 も考 え る こ とが で き る.

  4.3.3 

平 衡 解 ・周 期 解 と そ の 安 定 性

  い ま ベ ク トル 場υ に た い し て,点x=x0で

(4.3.7) で あ る と す る.こ

の 点x0を

方 程 式 系(4.3.1)の

は,微

ベ ク ト ル 場υ の 不 動 点(fixed

特 異 点 と い う(そ

分 方 程 式 系(4.3.1)の

意 のtに

い し微 分

れ 以 外 の 点 を 通 常 点 と い う).こ

一 つ の 解 と考 え る こ と も で き る.し

は 相 空 間 上 で 動 か な い.そ   ま た,任

point)な

の 意 味 でx=x0を

の とき

か しこの解

平 衡 解 と も い う.

た い して

(4.3.8)

(た だ し  T>0)  を 満 た す 解 を 周 期Tの

周 期 解 と い う.相

て く る も の で あ る.Tが

空 間 上 で 積 分 曲 線 が も との 点 に 戻 っ

周 期 な ら ば2T,3T,…

も 周 期 で あ る か ら,と

くに そ

れ ら の う ち で 最 も小 さ い も の を だ け を 周 期 と い う 場 合 が 多 い.   微 分 方 程 式 の 解 の 安 定 性 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.   t=0にx=x(0)か

ら 出 発 す る解x(t;x(0))に

近 くの 任 意 の 点x(0)か

ら 出 発 し た 解 が,そ

き く離 れ ず に 動 く と き,こ でx(t;x(0))に

の 解x(t;x(0))は

収 束 す る と きx(t;x(0))は

と い わ れ る.   厳 密 に 表 現 す る な ら ば,次

の よ う に な る.

た い し て,t=0にx=x(0)の の 後 ず っ と動 点x(t;x(0))か 安 定(stable),さ

ら大

ら にt→+∞

漸 近 安 定(asymptotically

stable)

相 空 間上 の2点xとyの

で 定 義 し た と き,与

間の距離 を

え ら れ た ε>0に

た い し て δ=δ(ε)>0が

存在 し

ならば t>0に

た い し

 (4.3.9)

を み た す と き,解x(t;x(0))を

安 定 と い う.と

な ら ば   t>0に で 定 義 さ れ る.さ

ら に解x(t;x(0))が

く に 平 衡 解x=x0の

た い して 安 定 で,か

つ あ る δ'が 存 在 し

(4.3.10)

な らば をみ たす と き漸 近 安 定 とい う.と

安 定 は

の とき

くに 平 衡 解 で は 

漸 近 安 定 で あ る.   な お,不

動 点(平

衡 解)x=x0に

に 到 達 す る こ と は で き な い.と や は り不 動 点 で あ る が,も き た と す れ ば,tの

た い し て は,x0の い う の も,tを−tに

外 か ら 有 限 の 時 間 でx0 か え た 方 程 式 で も.x0は

と の 方 程 式 で 有 限 時 間 で 外 の 点 か ら 点x0に

符 号 を か え た 方 程 式 で は 有 限 時 間 でx0か

こ と に な り,こ

れ はx0が

  例 と し て,相

空 間 を2次

到達 で

ら外 の 点 に 移 る

不 動 点 で あ る こ と に 反 す る か ら で あ る. 元 平 面,(x,y)を

そ の 上 の 直 交 座 標 と し,方

程式

(4.3.11) で 定 義 さ れ る 力 学 系 を 考 え る.た   明 らか にx=y=0は

す る.

平 衡 解 で あ る.

  そ の 他 の 解 を 調 べ る た め に,極 と変 換 す る.こ

だ し こ こ で はa>0と

座 標(γ,θ)を

用 い てx=γcosθ,y=γsinθ

の と き方 程 式 は

(4.3.12) と な る か ら γ=a,θ=ωt+θ0,す

な わ ち

(4.3.13) は 一 つ の 周 期 解 で あ る.   し か も(4.3.12)の あ る か ら,外

第1式

よ り0
か ら 平 衡 解 に 達 す る解 は な く,平

増 大,Y>aでYは

減 少 で

衡解 以外のすべ ての解 はつねに

r=aの

解 に接 近 す る.一 般 解 はrに

と す れ ば 得 ら れ る.こ

つ い て の 方 程 式 を変 数 分 離 して

の 方 程 式 の,初

期 条 件 がt=0でr=r(0)≠0の

解 は

(4.3.14) とな り,原 点 以外 の 点 か ら 出発 す るか ぎ り,す べ て の積 分 曲線 は,周 期 軌 道 の 内 側 の も の も外 側 の もの も,確 か に 

の 周 期 軌 道 に 接 近 して

ゆ くこ とが わ か る(図4.3.1).

図4.3.1

  した が っ て,こ

の 系 は 唯 一 の 平 衡 解(原

そ の うち 原 点 の 平 衡 解 は 不 安 定,他

方r=aの

点)と 唯 一 の 周 期 解r=aを

周 期 軌 道 は 漸 近 安 定 で あ る.そ

して こ の よ う な周 期 軌 道 を リ ミ ッ ト ・サ イ ク ル(limit cycle)と 期 解 」 とい う堅 苦 しい 訳 語 が あ るが,カ

も ち,

い う(「極 限 周

タ カ ナ語 が 常 用 さ れ て い る).

  4.3.4  線 形 化 方 程 式   上 の例 は,解 が 厳 密 に 求 ま る場 合 で あ る.し か し それ は む し ろ例 外 的 な 場 合 で,方 程 式(4.3.1)は な い場 合,解

通 常 は解 析 的 な形 に 解 け な い.そ

こ で厳 密 解 が 求 ま ら

の 性 質 を調 べ る方 法 と し て,そ の 平衡 解 や 周 期 解 に 着 目 し,そ れ

らの 解 の近 くの解 曲 線 の 振 る舞 い,と

りわ け そ の安 定 ・不 安 定 を調 べ る こ とが

考 え られ る.   手 始 め に,平 衡 解 が 得 ら れ た と して,そ

の 近 傍 の解 の 様 子 を調 べ て み よ う.

適 当 に座 標 を平 行 移 動 す れ ば,不 動 点 を原 点 に す る こ とが で き る.そ の と き, υ(0)=0で あ るか ら,そ の 近 くで は(同 一 添 字 につ い て の 和 の規 約 を使 って)

(4.3.15) と 表 さ れ る.そ

こ でxの2次

以 上 を 無 視 す る な ら ば,方

程 式(4.3.1)は

(4.3.16) と近 似 さ れ る.こ

れ は 行 列K=(Kij)を

用 い れ ば,縦

ベ ク トル の 表 示 で

(4.3.17) と 表 さ れ る.こ Kを

れ を 方 程 式(4.3.1)の

力 学 行 列(dynamical

実 行 列 で あ る.こ

不 動 点 の ま わ り の 線 形 化 方 程 式,行

matrix)と

れ は 必 ず 解 け,そ

い う.こ

列

こ で 扱 っ て い る 系 で は,Kは

の形式解 は

(4.3.18) で 表 され る.こ

こでexpは

  線 形 変 換 

べ き級 数 で 定 義 さ れ る指 数 関 数 で あ る. に よ り,上 の 方程 式 は

(4.3.19) に 変 換 さ れ る.こ

の 変 換 に よ り行 列Kが

対 角 化 さ れ る な ら ば,Kの

固有値 を

λ1,λ2,…,λnと し て

(4.3.20)

(4.3.21)

と な り,し

た が っ て 解 は 次 の よ う に 明 示 的 に 表 さ れ る:

   

(4.3.22)

  4.3.5 

2次 元 で の 考 察

  しか し,力 学 行 列Kは

対 称 行 列 とは 限 ら な い の で,つ ね に対 角 化 可 能 な わ

け で は な い.  具 体 的 に2次 元(n=2)の て 不 動 点 を原 点 に とれ ば,そ

場 合 を考 えて み よ う.こ の と きx=t(q,p)と

表し

の まわ りの線 形化 方 程 式 は

(4.3.23) の 形 に 表 さ れ る(a,b,c,dは

実 数).こ

の 力 学 行 列 の 固 有 値 は,特

性方程式

(4.3.24) の解

(4.3.25) で あ る.こ

こに

(4.3.26) (4.3.27) これ よ り力 学 行 列 の 対 角 化 は,以 下 の よ うに場 合 分 け され る. (ⅰ) 

b=c=0:

  す で にKは

対 角 化 済 み で,λ1=a,λ2=dで

(ⅱ)  b≠0(b=0,c≠0な

ら 以 下 でpとqの

は じ め の 線 形 化 方 程 式(4.3.23)す

に お い てaq+bp=pと

あ り

お く と,第1式

役 割 を 入 れ か え れ ば よ い):

なわち

はq=p,ま

た

 

こ う して 次 の 対 角 化 され た方 程 式 が得 られ る:

(4.3.28) こ の解 は さ ら に 以下 の よ うに場 合 分 け され る. (ⅱ-1)

 座標変 換

を施 す と,上 の 方程 式 は

(4.3.29) と表 さ れ,そ

の解 は

(4.3.30)   要 す るに,こ

の 場 合 は力 学 行 列 が 対 角 化 さ れ るの で,こ の 線 形 化 され た 力 学

系(4.3.23)はQ=λ1Q,P=λ2Pの2つ

の 独 立 な 力 学 系 に 分 解 さ れ る.し た

が っ て任 意 の 解 は,Q=eλ1t,P=0お れ る((i)の

場 合 も同 様).力

よびQ=0,P=eλ2tの

学 行 列Kは

線形結合 で与 え ら

実 行 列 ゆ え,そ の 固 有 値 λ1,λ2は,

と もに 実 数 か 互 い に 複 素 共 役 か の いず れ か に 限 られ る.   固 有 値 が 互 い に 共 役 な 複 素 数 

の と き は,力 学

行 列 を対角 化 す る変 換 行 列 は複 素 行 列 に な る.こ の ときP=Q*で

あ るか ら

(4.3.31) ま たQ0=Aeiφ

と し て,方

程 式 と そ の 解 は,実

数 で書 け ば

(4.3.32a) (4.3.32b)

  (ⅱ-2)

  こ の と き(4.3.28)は  ∴  P=P0eσt,ま

同 一 の 方 程 式 で あ り,P:=p-σqと

たQ:=qと

した が って こ の場 合,座

し てP=σP

して  

,す

なわち

標変 換 は

そ の結 果 得 られ る 方程 式 は

(4.3.33) とな り,力 学行 列 は 対 角 化 さ れ な い.こ の 形 の行 列 を ジ ョル ダ ン標 準 形(Jor dan form)と

い う.

  多次 元 の場 合,固

有 値 にm個

等 し い もの が あ り(m重

の 縮 退 が あ り)力 学

行 列 が 対 角 化 され な い と きに は,力 学 行 列 の そ のm×mの

の 形 ま で 変 換 で き,こ

部分 は

の 部 分 を ジ ョル ダ ン ・ブ ロ ッ ク(Jordan

block)と

い う*1.

 4.3.6  平 衡 解 の 安 定 ・不 安 定 と分 岐   上 の 結 果 よ り,平 衡 解 の 線 形 化 近 似 で の 安 定 ・不 安 定 は,力 学 行 列 の 固 有 値 だ け か ら判 定 で き る.こ れ も以 下 の よ う に場 合 分 け され る.   (Ⅰ) 

固 有 値 は複 素 共 役 で 

と して 

:

この と き平 衡 解 は 渦 状 点(spiral).

*1  斎 藤 正 彦 (裳 華 房  1982) 波 書 店1976)な

『線 型 代 数 入 門 』(東 京 大 学 出 版 会1966) ch. 5 §6,杉 ど参 照.

浦光夫

『Jordan標

ch . 6 §2,岩

堀長 慶

『線 形 代 数 学 』

準 形 と 単 因 子 論 Ⅰ』 岩 波 講 座 基 礎 数 学(岩

近 傍 の 解(4.3.32b)の (Ⅰ-a) 

振 る 舞 い は,σ

σ>0

の 符 号 に お う じ て 次 の よ う に な る:

(Ⅰ-b) 

不 安 定 な渦 状 点. (Ⅱ) 

σ<0

安 定 か つ 漸 近安 定 な 渦状 点.

と し て 固 有 値 は 純 虚 数 λ=±iω:

こ の と き平 衡 解 を 渦 心 点(center)な

い し 楕 円 不 動 点 と い う.

近 傍の解 は x=Acos(ωt+φ), y=Asin(ωt+φ). 安 定 な渦 心 点 (漸 近 安 定 で は な い).

(Ⅲ)  κ=σ2>0;固

有 値 は 等 し い 実 数 λ1=λ2=σ:

平 衡 解 は 結 節 点(node).近

傍 の解 は (Ⅲ-b)σ<0

(Ⅲ-a)σ>0

不 安 定 な 結 節 点.

安 定 か つ 漸 近安 定 な結 節 点.

 (た だ し こ れ はb≠0の り,こ

場 合.b=c=0,λ1=λ2=λ

と い う の は,a=dで

れ は 独 立 な 二 つ の 同 じ 振 動 子 が あ る と い う 自 明 の 場 合 で あ る.)

 (Ⅳ)  σ2>κ>0;固

有 値 は2実

根:

 こ の と き も 平 衡 解 は 結 節 点 で,近

傍 の 解 はQ=Q0eλ1t,P=P0eλ2t.

 (Ⅳ-a)

近傍 の解 は Q=CPλ1/λ2. 不 安 定 な 結 節 点.

 (Ⅳ-b)

近 傍 の解 は P=C'Qλ2/λ1. 安 定 か つ 漸 近 安 定 な 結 節 点.

 (Ⅴ) 

κ=0;λ1=2σ>λ2=0ま

  平 衡 解 は 焦 点(focus).近

た は

λ1=0>λ2=2σ:

傍 の 解 はq=Ae2σt,p=2σAe2σt.

σ>0で 不 安 定 な 焦 点, σ<0で 安 定 か つ 漸 近 安 定 な焦 点.

あ

(Ⅵ) こ の と き平 衡 解 を鞍 点(saddle)な

い し双 曲 不 動 点 とい う.

近 傍 の解 は.

不 安 定 な 鞍 点.

以 上 は 次 の 表 に ま とめ られ る:

  以 上 よ り,平 衡 解 が安 定 で あ る た め に は,行 列Kの

固有値 の実部 が すべ て

0以 下(Reλ ≦0),ま た,漸 近 安 定 で あ る た め に は,固 有 値 の 実 部 が す べ て 負 (Reλ<0)で

な け れ ば な ら な い こ とが わか る.こ の 議 論 は 線 形 近 似 に も とづ く

もの で あ る.も

ち ろ ん 線 形 近 似 で不 安 定 で あれ ば,も

不安 定 で あ ろ う.し か し線 形 近 似 で安 定 な 場 合,も

との 非 線 形 系 に 戻 っ て も

との 非 線 形 系 で も安 定 か ど

うか は別 途 確 か め ね ば な ら な い こ とで あ る.そ の点 は 次 節 で 論 じ る.   な お,漸 近 安 定 な 渦状 点 と結 節 点 と焦 点 を あ わ せ て 沈 点(sink),不 渦 状 点 と結 節 点 を あ わせ て 湧 点(source,「 似 の 方 程 式(4.3.23)す

で あ る か ら,沈

程 式 が 周 期 解 を も つ の は,固 divυ=0で

源 点 」 と も い う)と い う.線 形 近

な わ ち 

点 で はdivυ<0,湧

安定な

より

点 で はdivυ>0で

あ る.他

方,線

有 値 が 純 虚 数 の 場 合 に 限 ら れ る が,そ

形化 方 の ときは

あ る.

  ま た 沈 点 お よ び リ ミ ッ ト ・サ イ ク ル 上 の 点 の よ う に,t→+∞

でその点の ま

わ り の 軌 道 が 流 れ 込 ん で く る 点 を ア トラ ク タ ー(attractor)と ク タ ー に た い し て,そ

い う.ア

トラ ク タ ー が あ れ ば,相

トラ ク タ ー の 吸 引 領 域 に よ っ て 分 割 さ れ,現

あ れ,初

ア トラ

の 点 を通 る軌 道 が そ の ア トラ ク ター へ と流 れ 込 む すべ て

の 点 の 集 合 を 吸 引 領 域(basin)と

め ら れ る.そ

い う.各

空間 はア

象 は 定 性 的 に は ア ト ラ ク ター で 定

し て ア トラ ク タ ー に 接 近 す る 軌 道 は,力

学 系 が た と え決 定 論 的 で

期 条 件 に 関 す る す べ て の 記 憶 を 事 実 上 喪 失 し て ゆ く こ と に な る.

  他 方,上

の 表 よ り見 て と れ る よ う に,ベ

ク トル 場 の パ ラ メ ー タ の 変 化 に と も

な っ て 平 衡 解 の 性 格(不

動 点 の ま わ り の フ ロ ー の 様 子)が

を 分 岐(bifurcation)と

い う.

  た と え ば,力 と し よ う.不

学 系(4.3.11)でaに

虚 数 ま で 許 し,a2≡

動 点 と し て の 原 点(x=y=0)の

変 化 す る.こ

の現象

αが 正 負 の 値 を と る

近 くの 線 形 化 方 程 式 と力 学 行 列

は

で あ り,こ

れ よ り 

で,

  し た が っ て 先 述 の 議 論 よ り,σ=α=a2>0で わ ち 湧 点 で あ る.実

際,こ

の 場 合,(4.3.14)よ

任 意 の 点 か ら 出 発 す る 解 は,す 引 き 寄 せ ら れ て ゆ く.つ

は 原 点 は 不 安 定 な 渦 状 点,す り わ か る よ う に,原

べ て 原 点 か ら 遠 ざ か り,リ

ま り 円 

な

点 近 くの

ミ ッ ト ・サ イ ク ル に

が ア トラ ク タ ー で,原

点以 外 のすべ て

の 点 は そ の 吸 引 領 域 で あ る.   α を小 さ く し て ゆ く と,リ で,方

ミ ッ ト・サ イ ク ル(半

径 

程 式 と そ の 解 は 

の 円)は

縮 小 し,α=0

と な り,原

点 は

漸 近 安 定 な 渦 状 点 と な る.   α を 負 に し て も(σ=α<0),原 あ る.実

点 は や は り漸 近 安 定 な 渦 状 点 す な わ ち 沈 点 で

際 こ の 場 合,解(4.3.14)は 

こ と は,α>0の

と な る.こ

の

場 合 の リ ミ ッ ト ・サ イ ク ル が 収 縮 し,α ≦0で つ い に 原 点 に 一

致 し た も の と考 え る こ と が で き る(図4.3.2).こ

の と きに は 原 点 が ア トラ ク

タ ー で,全

点(平

空 間 が そ の 吸 引 領 域 に な る.た

に 無 限 の 時 間 を要 す る.

だ し,原

衡 解)に

到達 す るの

  こ の 例 の よ う に,パ

ラ メー タの 変 化 に と もな っ て 不 動 点 の性 格 が 湧 点 か ら沈

点 に 変 わ る 現 象 を,と

くに ホ ッ プ 分 岐(Hopf

bifurcation)と

い う.

図4.3.2

  4.3.7 

リャ プ ノ ブ関 数

  非 線 形 系 を 含 め て,一

般 に 平 衡 解 の 安 定 性 を判 定 す る 方 法 と し て,リ

ャプ ノ

フ 関 数 を 用 い る 方 法 が あ る.   た と え ば2次

元(x=(q,p))の

力 学 系x=υ

で,原

点(q=p=0)が

不 動 点 で,

そ れ が 安 定 な 平 衡 解 で あ る た め に は,時

刻t=0に

か ら 出 発 し た 解 が,そ

内 部 に 留 ま ら ね ば な ら な い.そ

め に は 図4.3.3の

れ 以 後 つ ね にDの

よ う に,ベ

ク トル 場 υ がDの

原 点 の あ る 近 傍Dの

境 界 ∂Dで つ ね にDの

図4.3.3

内部 の た

内部 を

向 い て い る かDの

境 界 に 接 し て い れ ば よ い.

  い まL(0,0)=0,か し て,(q,p)平 高 線).Lの cに

つ 原 点 の 近 く でL(q,p)>0と

面 上 の 曲 線 

をcと

勾 配 を 

,曲

線cの

そ っ た 方 向 微 分 は 

,他

に そ っ たLの

方向微分 は

そ れ ゆ え,勾

配 ∇L(q,p)は

各 点 でcの

す る 向 き を 指 し て い る.し そ っ たLの

し,フ

の 点Qで

ロ ー はLの

方 程 式x=υ

す る(cはLの 接 ベ ク トル をuと 方,力

し て,Lの 積 分 曲 線

か もLが

増 大

なわ ち

つ ね にcの

内 向 き かcに

囲 ま れ る 領 域 に 閉 じ込 め ら れ,こ

の 安 定 な 平 衡 解 で あ る.そ

の 安 定 性 を 判 別 で き る.こ

学 系x=∇Lの

等

の 積 分 曲 線x(t)=(q(t),p(t))に

の ベ ク ト ル υQ=(υq,υp)は

等 高 線cで

高 さ がhの

接 ベ ク ト ル に 垂 直 で,し

た が っ てx=υ

方 向 微 分 が つ ね に 負,す

な ら ば,c上

な るあ る関数 が あ った と

れ ゆ え こ の 関 数L(q,p)に

の 関 数 を リ ャ プ ノ フ 関 数(Liapunov

接

の とき原点 は よ り平 衡 解 function)と

い う.   リ ャ プ ノ ブ 関 数 は,そ え れ ば,イ

の 原 型 が 力 学 に お け るエ ネ ル ギー 積 分 に あ る こ とを考

メ ー ジ を 作 りや す い.

  た と え ば 減 衰 振 動 の 方程 式

を 考 え る.相

空 間(q,p=mq)で

とな り,原 点(q,p)=(0,0)が

表せ ば

不 動 点(平 衡 解)で あ る.こ れ が水 平 なば ね に つ

なが れ た質 点 の 運 動 を 表 す もの とす れ ば,系 E(q,p)=(質

と表 さ れ,等

の各 瞬 間 の 力学 的 エ ネ ル ギ ー は

点 の 運 動 エ ネ ル ギー)+(ば ね の 弾 性 エ ネ ル ギー)

エ ネ ル ギ ー 線 は 不 動 点 を 囲 む 楕 円E(q,p)=const.で,そ

の 外 向 き 法 線 ベ ク トル は

の楕 円

で 与 え ら れ る.   こ の エ ネ ル ギ ーE(q,p)は ル ギ ー 線 に 一 致 す る.し

で あ る か ら,運

λ=0な か し λ>0の

ら ば 保 存 さ れ る.つ

ま り解 曲 線 は 等 エ ネ

と きに は

動 に と も な い エ ネ ル ギ ー は 必 ず 減 衰 す る.こ

の こ とは,等

エネ

ル ギ ー 線 を 表 す 楕 円 上 の 各 点 で フ ロ ー の ベ ク トル

が つ ね に 楕 円 の 内 側 を向 き,そ の た め 積 分 曲 線 が つ ね に 原 点 に 向 か い,し が って 原 点 の 平 衡 解 が 漸 近 安 定 で あ る こ と を示 して い る.つ

た

ま り この 例 で は,

減 衰 の な い と きの 力 学 的 エ ネ ル ギ ー が リャプ ノ フ 関数 に な り,運 動 はつ ね に エ ネ ル ギー の減 少 す る向 き に進 む ゆ え,原 点(ば ね の エ ネ ル ギー が 最 小 で 静 止 つ ま り運 動 エ ネ ル ギー 最 小 の状 態)が 漸 近安 定 な平 衡 解 に な る(図4.3.4)*2.

図4.3.4 

一 般 的 に い うな ら ば

,次

リ ャ プ ノ フ関 数

の よ う に な る.

相 空 間 の 原 点(x=0)がx=υ

の 平 衡 解 で,そ

の 近 傍D(x≠0)で

(4.3.34) *2  図4

.3.2と

図4.3.4は,丹

羽敏雄

もの を下 敷 に させ て い た だ い た.

『微 分 方 程 式 と 力 学 系 の 理 論 入 門 』(遊 星 社 1988)の

とな る関数 が 存 在 し,D-{0}で

(4.3.35) な ら ばx=0は

安 定,ま

たD-{0}で

(4.3.36) な らばx=0は

漸 近 安 定 で あ る.

  この 方 法 に よ り,線 形 化 方程 式 の 固有 値 の 実 部 が0で 形 方程 式 の 平 衡 解 近 くの 軌 道 の 振 る舞 い,す

な け れ ば,も

との 非 線

な わ ち平 衡 解 の安 定 ・不 安 定 は,

線 形近 似 で得 ら れ る もの と一 致 す る こ とが,次 の よ うに示 され る.   は じめ に 線 形 近 似 で 考 え よ う.次 元 数 を増 や し て も本 質 的 に 変 わ ら な い か ら,典 型 的 な ケ ー ス と して,6次 値2個(α,β),2重

で,力 学 行 列Kが

実 固有

固 有 値 一 組(γ,γ),複 素 共 役 固 有 値 一 組(σ ±iω)を もつ と

し よ う.適 当 な行 列Uに 角 化 さ れ,さ

元 の 力 学 系x=υ

よ る変 換UKU-1で

力学行列 の実 固有値 の部 分 は対

ら に 複 素 共 役 固有 値 の 部 分 は(4.3.32a)の

形 に変 換 さ れ,ま

た

2重 固有 値 の 部 分 は ジ ョル ダ ン ・ブ ロ ッ ク に な る.そ こ で,ε を任 意 の 正 数 と して この ジ ョル ダ ン ・ブ ロ ッ クの 部 分 を さ らに

と変 換 す る.全 体 の変 換 行 列 を 

と して,線 形

化 方程 式 は

(空 白 の と こ ろ は す べ て0).そ

を 考 え る.こ

こで リャ プ ノフ 関 数 と して関 数

れ は 確 か にL(0)=0か

 上 の 線 形 化 方程 式 に た い して は

つz≠0でL(z)>0で

あ る.

し か る に γ<0で

あ れ ば,ε

を 十 分 小 さ く と る こ と で 

とす る こ

とが で き るか ら

が 成 り立 つ.   そ れ ゆ え 固有 値 の実 部 が す べ て 負 で あれ ば,

と な り,z=0の

平 衡 解 は 漸 近 安 定 で あ る.逆 に 固 有 値 の 実 部 が 一 つ で も正 で

あれ ば,対 応 す る￨zi￨は 解(z=0)か   さ て も との 非 線 形 の 方 程 式x=υ と, 

ら離 れ て ゆ くの で,解 は 不 安 定 で あ る. に 戻 り,平 衡 解(原

点)の 近 く を考 え る

こ れ に上 と同 様 の変 換 を施 す こ とに よ り

(4.3.37) が 得 られ る.さ

らに 定 数Nを

用 い て ス ケー ル 変 換z=u/Nを

施せ ば

こ の場 合 も リャ プ ノ フ関 数 と して 関 数

を考 え る と

とな り,Nを

十 分 大 き くか つ ε を十 分 小 さ くと れ ばlの

の 実 部(α,β,γ,σ)の符 号 で決 ま る.し

符 号 は や は り固 有 値

た が っ て も との 非 線 形 系 も,固 有 値 の

実 部 が す べ て 負 な らば 漸 近 安 定 で あ り,固 有 値 の実 部 に 正 の もの が 一 つ で もあ れ ば 不安 定 で あ る.す な わ ち,固 有 値 の実 部 が0で

な い と き に は安 定 ・不 安 定

の判 別 が 線 形 近 似 で得 られ る もの と一 致 す る.   し た が って,不 安 定 性 と漸 近 安 定 性 は 線 形 化 近 似 で得 られ る も の に 一 致 す る.   この よ うに 力 学 行 列 の 固有 値 の 符 号 だ け か ら平 衡 解 の安 定 ・不 安 定 が 判 別 で き る こ とは,著

し い こ とで あ る.

  4.3.8 

ポ ア ン カ レ写 像

  周 期 解 の 安 定 性 な い し 周 期 解 の 近 くの 解 の 振 る 舞 い を 調 べ る に は,ポ レ 写 像 の 方 法 が 有 効 で あ る.cを 点Pでcと

周 期Tの

交 わ る 面 Σ を 考 え る.た

直 交 す る 成 分 は0に

な ち ず,し

含 む こ と も な い と す る.こ

ア ンカ

周 期 解 の 積 分 曲 線 と し,c上

の1

だ し Σ 上 の 各 点 で ベ ク トル 場 υ の Σ に

た が っ て Σ は 解 曲 線 に 接 す る こ と も平 衡 解 を

れ を ポ ア ン カ レ 断 面(Poincare

section)と

い う

(図4.3.5a).

図4.3.5a 

  周 期 解 を 表 す 点 はPを Pの

図4.3.5b 

ポ ア ン カ レ断 面

近 く の 点Q0を

通 過 し て 時 間T後

通 る 解cを

と 交 わ る 点 はQ0の

戻 る.そ

こで Σ 上 で

れ は 周 期 解 に 近 い か ら,再

の 点 をQ1と

せ る 写 像 π を ポ ア ン カ レ 写 像(Poincare と は か ぎ ら な い).cが

に 再 びPに

考 え る と,こ

近 く で あ ろ う.そ

2次 元 運 動 の ポ ア ン カ レ断 面

し た と き,Q0をQ1に

map)と

い う(Q0Q1間

び Σ 対応 さ

の 時 間 がT

Σ と交 わ る点 は 周 回 ご とに

(4.3.38) と 移 動 し て ゆ く.こ Q1がQ0に

の 点 列 を ポ ア ン カ レ ・ プ ロ ッ ト と い う.π

一 致 す れ ばcも

像 π に よ りQ0が

周 期 解 で あ る.解cが

が 恒 等 写 像 で,

周 期 解 で な い 場 合,こ

ど の よ う に Σ 上 を 移 動 し て ゆ く か が わ か れ ば,cの

解 が 得 ら れ な く と も,解cの

長 時 間 に わ た る 振 る 舞 い と 周 期 解cの

の写 厳 密 な

性 格 を知

る こ とが で き る.   簡 単 の た め,こ 解cに

こ で も2次

交 わ る 弧ABで

と す る(図4.3.5b).つ

元 で 考 え よ う.こ

あ り,そ

の 上 の 点 はAか

ま りAQ0=σ

の 場 合,ポ

ア ン カ レ断 面 は 周 期

らの 弧 の 長 さ σで 指 定 さ れ る

で あ る と き,値

σ で 点Q0を

表 す.こ

の

と き ポ ア ン カ レ写 像 は

(4.3.39)

で 表 さ れ る.   も し も あ る σ に た い し て σ=π(σ)と 解 は 周 期 解 で あ る.そ

な れ ば,そ

し て こ の と き,こ

の σ に 対 応 す る 点Qを

通 る

の よ う な σ の 値 が 有 限 個 し か な い か,

さ もな け れ ば π(σ)が 恒 等 的 に σに 等 し い か の い ず れ か で し か な い こ と が 示 さ れ る.と

い う の も,も

限 区 間[0,

d](dは

は 無 限 個 の0点

し か り に そ の よ う な σ の 値 が 無 限 個 あ る と す れ ば,有

弧ABの

長 さ)で

定 義 され る 関数

を も つ こ と に な る.し

か し力 学 系 の解 が 初 期 条 件 に あ らわ れ る

パ ラ メ ー タ に つ い て 連 続 で 微 分 可 能 と し て い る か ら(§4.3.1),π(σ)もf(σ) =π(σ)-σ 0点

も 連 続 で 微 分 可 能 な 関 数 で あ る .そ

のf(σ)が

を も つ よ う な こ と が あ る と す れ ばf(σ)が

す な わ ち,π(σ)=σ

と な る σ が 有 限 個 で,そ

し か な く孤 立 し て い る か,さ

有 限 区間で無 限個 の

恒 等 的 に0の れ ゆ えcに

と き だ け で あ る.

近 い 周 期 解 が 有 限個

も な け れ ば π(σ)≡ σ と な り,cの

近 くの 解 は す

べ て 周 期 解 に な る か の い ず れ か で あ る.   前 者,つ

ま り孤 立 し た 周 期 解 の 場 合 を 考 え る.周

る σ を σPと す れ ば π(σP)=σPで あ る か ら,σPの い しbの をR
よ う に 表 さ れ る.い 表 せ ば,図aす

ま 弧AB上

な わ ち0<∂

期 解 を 表 すP点

に たいす

近 く で 関 数 π は 図4.3.6aな

で 点Rが

点Qよ

りA側

に あ る こ と

π/∂σ￨σ=σP<1の 場 合

な ちば な らば す な わ ち,ポ つ ま りcを し て ゆ く.ま

ア ン カ レ 写 像 は 図 の 折 れ 線 で 表 さ れ,σ 通 る 軌 道 は,cの た 図bす

は σpに 接 近 し て ゆ く.

ど ち ら側 に あ っ て も周 回 ご と に 周 期 解cに

な わ ち ∂π/∂σ￨σ=σp>1の 場 合

図4.3.6a

図4.3.6b

接近

な らば な らば す な わ ちcの

近 く を 通 る 軌 道 は,は

か ら 離 れ て ゆ く(π(σ)− σ=0が

期 解Pを

場 合,cは,￨∂

π/∂σ￨<1でcに

接 近 して ゆ

ち 離 れ て ゆ く.

  も と の ベ ク ト ル 場 がn次 導 入 し,周

ど れ だ け 近 く て も 周 回 ご と にc

σ=σpで 重 根 を もつ 場 合 の 議 論 は 略).

  同 様 に 考 え る と,∂ π/∂σ<0の き,￨∂ π/∂σ￨>1でcか

じ めcに

元 の 場 合,ポ

原 点 に と る.こ

ア ン カ レ 断 面 に 局 所 座 標 

の と きQkの

座 標 を 

を

と し て,ポ

ア ン カ レ 写 像(4.3.38)は

で 表 され る.こ れ は,行 列 

を用 い れ ば 線 形 化 さ れ

(4.3.40) と 表 さ れ る.そ ば,Qkは が1よ

し て こ の 行 列Mの

周 期 解Pに

収 束 し,周

固 有 値 の 絶 対 値 が す べ て1よ 期 解 は 漸 近 安 定 で あ る.逆

り大 き い 固 有 値 を も て ば,周

  つ ま り ポ ア ン カ レ写 像 は,周

り小 さけ れ

に,Mが

絶 対値

期 解 は 不 安 定 で あ る.

期 解 と その 安 定 性 の 問 題 を い わ ば低 次 元 空 間 の

不 動 点 と そ の 安 定 性 の 問 題 に 還 元 す る も の で あ り,周

期 解 の 考 察 に きわ め て 有

効 な 方 法 で あ る.   力 学 系 の 理 論 は 近 年 活 発 な 研 究 の な さ れ て い る 分 野 で あ り,新 ズ ム の 開 発 や カ オ ス な ど興 味 深 い 話 題 も 多 い.し

しい ア ル ゴ リ

か し 本 書 で は,正

そ の 解 の 特 徴 を 明 らか に す る の に 必 要 な 範 囲 に と ど め,こ

準方程 式 と

れ 以 上 話 を広 げ な い

こ と に す る.   例4.3.1 

剛 体 の 自 由 回 転(オ

イ ラ ー の こ ま)

  定 点 の ま わ りの 剛 体 の 回 転 は オ イ ラー 方 程 式(2.1.70)ま れ て い る.と

た は(2.4.33)に

支配さ

く に 外 力 の 働 い て い な い 自 由 回 転 で は,(2.4.33)でNx=Ny=Nz=0

で あ り,慣 性 主 軸 の ま わ りの慣 性 モ ー メ ン トを(A,B,C)と

して,オ

イ ラー 方 程 式 は

(4.3.41a) (4.3.41b) (4.3.41c) と 表 さ れ る.重 と い う.こ

心 を 支 点 と す る こ ま の 運 動 と 考 え て も よ く,こ

こ で(ωx,ωy,ωz)は,物

理 的 に は(2.1.68)で

れ をオ イ ラ ーの こま

表 さ れ る 角 速 度 ベ ク トル の

剛 体 固定 座 標 系 で の 成 分 で あ る.(2.1.69)は ら にU=0で

あ れ ば 角 運 動 量 が 保 存 し,と

保 存 系 ゆ え エ ネ ル ギ ー 積 分 を も ち,さ く に φ が 循 環 座 標 ゆ えpφ=∂L/∂ φ が 第1

積 分 で あ る.   しか し こ こ で は(2.1.68)の の 座 標,そ

関 係 を 忘 れ,(ωx,ωy,ωz)を

た ん に3次

し て こ の 方 程 式 を そ の 空 間 の 力 学 系 と見 な す.し

元 広 義相 空間

か しそ の 場 合 も,第1

積 分 と して

(4.3.42a) (4.3.43a) の 二 つ が 得 ら れ る(こ れ らの 保 存 は 上 記 の オ イ ラ ー 方 程 式 よ り直 接 的 に 示 さ れ,も の 系 で はTは

運 動 エ ネ ル ギ ー,Mは

3次 元 空 間(ωx,ωy,ωz)内 の2次

角 運 動 量 の 大 き さ に あ た る).こ

元 曲 面(楕

円 面)で

  角 運 動 量 成 分 

と

の そ れ ぞれ は

あ る.

で 書 く と,こ れ らは

(4.3.42b) (4.3.43b) とな り,(Mx,My,Mz)を と球 を 表 し て い る.そ る.し

直 交 軸 とす る3次

それ ぞれ楕 円 面

して こ の 二 つ の 曲 面 の 交 線 が こ の 場 合 の 不 変 集 合 に な っ て い

か も こ の 不 変 集 合 は す で に1次

た が っ て,A>B>Cと

元 空 間(角 運 動 量 空 間)で

す れ ば,角

の そ れ ぞ れ の 場 合 に 図4.3.7abで

元 で あ る か ら,積

分 曲 線 に 一 致 して い る.し

運動 量 空間 内の軌 道 は

表 さ れ る.

図4.3.7a

も との相 空 間で考 え る と平衡 解(不 動 点)は

図4.3.7b

の 条 件 よ り,Ωx,Ωy,Ωzの

そ れ ぞ れ を定 数 と して

(4.3.44) の3点

で あ る.こ

れ ら が 解 に な る の は,そ

保 存 面 が 接 す る場 合 で あ る.こ   第1の

点Sxに

の点 で 図 の角 運 動 量保 存 面 とエ ネル ギー

れ ら の 解 の安 定 ・不 安 定 を 判 別 し よ う.

た い し て は,ωx=Ωx+x,

ωy=y,

ωz=zと

し て,x,

y, zの1次

ま

で と る線 形 近 似 を す る と

が 得 られ,力

学行 列 は

とな り,こ の 固 有 値 は

で あ る か ら,こ の 点 は 楕 円不 動 点(渦 心 点)で の 点Sz=(0,0,Ωz)も

こ の 平 衡 解 は 安 定 で あ る.同 様 に 第3

安 定 な 平 衡 解 で あ る こ とが わ か る が,い

ずれ も固有値 が 負 の実

部 を もた な い か ら漸 近 安 定 で は な い.   他 方,第2の

点Sy=(0,Ωy,0)で

で あ る か ら,Syは

は 固有 値 が

双 曲 不 動 点(鞍 点)で 不 安 定 で あ る.

 こ の こ と は,(Mx,My,Mz)=(Aωx,Bωy,Cωz)を

ら ば,Sxに

対 応 す る点 

動 量 保 存 面 の2つ

座 標 とす る角 運 動 量 空 間 で 見 る な

の 近 くの 運 動 は,エ

ネ ル ギー 保 存 面 と角 運

の 曲 面 の 交 線 で 表 さ れ る積 分 曲 線 が,図4.3.7aの

よ うに この点 の

近 く を 回 り,こ の 点 か ら大 き く離 れ る こ とが な い の に た い し て,Syに の 近 くの 運 動 で は,2つ

の 曲 面 の 交 線 が 図4.3.7aな

対 応 す る点  い しbの

よ うに

この 点 か ら大 き く離 れ て ゆ くこ と を 意 味 して い る.   あ る い は 次 の よ うに い っ て も よ い.  不 動 点Szの

近 傍 の 運 動 は 線 形 化 近 似 で,方

に 支 配 さ れ て い る.こ (4.3.42a)に に2(A-C)xを

れ を(x,y)平

程式

面 で 考 え て み よ う.こ

れ は 点Szで

接 す る 平 面 上 に 射 影 し た 運 動 を 見 て い る こ と に 相 当 す る.こ 掛 け た も の と 第2式

に2(B-C)yを

掛 け た も の を足 せ ば

楕 円面 の 第1式

が 得 られ る.し

た が っ て 平 衡 解Szは

を リャ プ ノ フ 関 数 と して もつ か ら安 定 で あ る(平 衡 解Sxに の 場 合dL/dt=0で

つ い て も同 様).た

だ しこ

あ る か ら漸 近 安 定 で は な い.

 最 後 に不安 定 な不 動 点Syを 通 る積 分 曲線,す な わ ち  の 場 合 の 二 つ の 曲 面(4.3.42),

Mz=0の

でMx=0, 

(4.3.43)の

点Qを

交 線 の 上 の 運 動 を 考 え よ う(図4.3.7b

通 る 白線 に そ っ た 運 動 で あ る).こ

の運 動 は

た とえば初 期値 が

の と き実 現 さ れ る.実

で,確

際 この とき

か にM2=2BTが

 そ れ ゆ え,こ

満 た さ れ て い る. と お

こ で  と な り,オ

く と, 

イ ラ ー 方 程 式(4.3.41b)

は ただ し 初 期 条 件(t=0で

ωy=0

i.e.

ξ=0)を

考 慮 して こ れ を解 け ば

す なわ ち

こ れ よ りt→

0)に 到 達 す るの に 無 限 の 時 間 を要 す る.

点(0, 

例4.3.2    例2.2.5で

す な わち,解 が不安 定 不動

〓 ∞ で ωx→0,ωz→0, 

加 速 器の ビーム集 束機構 見 た,円

―

強集束

形 加 速 器 に お け る粒 子 の ベ ー タ トロ ン 振 動 を あ ら た め て考 え

る.   実 際 に は 加 速 器 で は,粒 ほ うが 重 要 で あ る.そ と くに い ま の 場 合, 

子 の 運 動 状 態 の 時 間 的 変 化 よ り も,軌 道 に そ っ た 変 化 の

こ で,時

間 の か わ りに 経 路 長s=∫

υdtを パ ラ メー タ に と る.

と し て よ い か ら,φ>0に

と り

と し て,ベ

ー タ ト ロ ン 振 動 の 方 程 式(2.2.112ab)は

(4.3.45a) (4.3.45b) と表 さ れ る(ξ=ρ-R).初

期 値(z(0),z'(0),ξ(0),ξ'(0))に

た い す る解 は

(4.3.46a) (4.3.46b) (4.3.46c) (4.3.46d)   さ ら に 円 形 加 速 器 で は,状

態 変 化 を軌 道 に そ っ て 連 続 的 に 見 る 必 要 は な く,1周

る ご との 状 態 変 化 が わ か れ ば よ い場 合 も 多 い.そ 変 化 す る 点 だ け 見 る と し よ う.こ の こ とは,も ρ'=ξ',φ,φ')で考 え る な らば,φ=φ0(mod カ レ写 像 を 見 て い る こ と に な る.そ

こ で 上 式 でsの 値 が Δs=2πRず

と の6次

す つ

元 状 態 空 間(z,z',ρ=R+ξ,

2π)の 面 を ポ ア ン カ レ断 面 とす る ポ ア ン

して こ の 場 合 の ポ ア ン カ レ 断 面 は,(z,z')平

面

Σzと(ξ,ξ')平 面 Σξと φ'の実 軸 の 直 積 空 間 で 表 され る.   上 式 よ り,φ の1回 は,行

転 

に 対 応 す る(z,z')面

の ポ ア ン カレ写像

列

(4.3.47)

で 表 さ れ る こ とが わ か る.φ のk回

転(Δ φ=2kπ)に

対 応 す る写 像 は

(4.3.48) ((ξ,ξ')平 面 の 写 像 は,上 1点

φ'=1/Rで

表 さ れ,動

式 でn→1-nと か な い.)こ

す れ ば よ い.φ'=dφ/dsは,φ'軸 れ が(4.3.40)に

あ た る.こ

の結果 よ り

上 の

そ れ ゆ え,0
あ れ ば 点(zk,zk')は,ポ

ア ン カ レ断面

Σz上 で,楕

円

(4.3.49) の 上 を 動 い て ゆ く(図4.3.8),同

の 上 を 動 く.Σz上 が1に

様 に,点(ξk,ξk')も,Σ

の 軌 道 が 発 散 し な い こ と は,Mzの

ξ上 の 楕 円

固 有 値 

の 絶対 値

等 しい こ と の 結 果 で あ る(ξ 方 向 も 同様).

図4.3.8 

弱 集 束 の ポ ア ン カ レ ・プ ロ ッ ト

  し た が っ て,ベ

ー タ トロ ン振 動 を用 い る こ の 集 束 の 仕 方(弱 集 束)で

ム が 動 く真 空 ダ ク トの 内半 径 は,上 (2.2.107b)よ

り 

さ れ る磁 束 密 度Bの め に は,軌 1-nを

記 のa,bに

は,粒

子 ビー

よ っ て そ の 下 限 が 定 め ら れ る.他

で あ り(Bz0は

平 衡 軌 道 上 の 値),人

方

工 的 に作 り出

大 き さ に は 限 界 が あ る か ら,粒 子 の エ ネ ル ギー を大 き くす る た

道 半 径Rを

大 き く し な け れ ば な ら な い.と

大 き く とれ な い か ら,Rを

こ ろ が 弱 集 束 の 場 合,n,

大 き くす れ ば

は 大 き くな り,そ の た め エ ネ ル ギ ー を 上 げ る と真 空 ダ ク ト を太 く し な け れ ば な らず, し た が っ て 巨大 な電 磁 石 が 必 要 に な る.   こ の 欠 陥 を取 り除 い た の が,強   n,1-nを

集 束(strong

大 き く と れ な い の は,nを

向 が 発 散 し,他 方,1-nを

focus)で

あ る.

大 き な 正 の 値 に す る と1-nが

大 きな 正 の 値 に す る とnが

負 に な りz方

負 に な り ρ方 向 が 発 散 す るか

ら で あ る.し 様 に,集

か し凸 レ ン ズ と 凹 レ ン ズ を並 べ る こ と で 光 線 を集 束 させ られ る の と 同

束 の 磁 場 の 領 域 と発 散 の 磁 場 の 領 域 を 交 互 に く ぐ らせ る こ と で粒 子 ビー ム

を集 束 させ る こ とが で き る.こ

れ が 強 集 束 で あ る.そ

の た め,こ

の集 束 方 式 に よる

シ ン ク ロ トロ ン を,交 代 勾 配 シ ン ク ロ トロ ン(Alternating

Gradient

―

べ て こ の 集 束 方 式 を採

略 してAGS)と

い う.現 在 の 大 型 シ ン ク ロ トロ ン は,す

Synchrotron

用 して い る.   具 体 的 に は,n1,n2を なn=n1>0の ク タ ー)を

磁 石(Dセ

大 き な 正 の 値(数

ク タ ー)と,図4.3.9bの

交 互 に 並 べ る.Dセ

セ ク ター で は,逆

にz方

百 ∼ 数 千 程 度)と

し て,図4.3.9aの

よ う なn=-n2<0の

ク タ ー で は,z方

よ う

磁 石(Fセ

向 に 集 束 し,ρ 方 向 に 発 散 す る.F

向 に 発 散 し,ρ 方 向 に 集 束 す る.D

(defocus)とF

(focus)

は ρ方 向 の 運 動 の 発 散 と集 束 を表 して い る.

図4.3.9a

図4.3.9b

  そ れ ぞ れ の セ ク ター の 区 間 の 長 さ を ⊿Sと す る.(z0,z0')の し た粒 子 が(z,z')の

値 で 出 て ゆ く と して,こ

れ をDセ

値 でDセ

ク ター に 入 射

ク ター に よ る写 像

(4.3.50)

で 表 す(た だ し 

).同

様 にFセ

ク タ ー で は,

 と して

(4.3.51)

し た が っ て,1つ

のDセ

ク ター と1つ のFセ

ク ター の 組(こ

れ を セ ル と い う)に よ

る写 像 は

(4.3.52) こ れ が(4.3.40)に

あ た る.た

だ し(coshφ

をchφ,sinhφ

をshφ

と 記 し て)

(4.3.53)   粒 子 が セ ル(FDの

組)を い くつ も通 り抜 け て ゆ く と き の 変 化 は,数

行 列 に よ る 変 換 を繰 り返 し行 う こ と で 表 さ れ る.そ を次 の よ う に し て 調 べ よ う.な お,こ う に動 くか を考 え ず,1つ

の こ と は,も

との

と に 複 数 個 の ポ ア ン カ レ 断 面 を考 え た こ と に あ た

り,そ の あ い だ の ポ ア ン カ レ写 像 が,行   M=M-M+を

の 場 合 も,粒 子 が 各 セ ク ター の 内 部 で ど の よ

の セ ル ご との 写 像 だ け を問 題 と した.そ

配 位 空 間 の 中 で ⊿φ=2⊿S/2πRご

学 的 には この

の ときの粒 子 ビー ムの 集 束発 散

列Mに

よ っ て 表 さ れ て い る の で あ る.

対 角 化 す る相 似 変 換

を考 え る. 

ゆ え λ1λ2=1で あ り,θ を 複 素

数 と して 

とお く こ とが で き る.こ

れ を用 い れ ば,k個

の セ ルに よ る

写像 は

し た が っ て,k→ い)た め に は,θ

∞ で￨zk￨,￨zk'￨が 有 限 に な る(す な わ ちz方 が 実 数,す

なわ ち

向 に ビー ム が 発 散 しな

(4.3.54) で な け れ ば な らな い.こ

れ は,行

列Mの

固 有 値 の 絶 対 値 が1と

い う こ と を 表 して い

る.  とす れ ば,こ

のz方

向 の 議 論 を そ の ま ま ρ方 向 に 置

きか え る こ とが で き る.し た が っ て,ρ 方 向 に ビ ー ム が 発 散 し な い た め の 条 件 は,  として

(4.3.55) こ の2式

で表 さ れ る集 束 領 域 は,図4.3.10の

影 の 部 分 で 表 され る.図 は,そ

か ら,ネ

ク タ イ ・ダ イ ヤ グ ラ ム と称 され て い る.

図4.3.10 

さ て,上

で あ る.そ

記 の 集 束 条 件 が 満 た され て い る とす る.上

の 形状

強集束の 集束領域

のcosθ の 表 式 よ り

こで

(4.3.56) と お く.こ

同様 に

れ よ り

(4.3.57) (4.3.58) とお く,す な わ ち

(4.3.59) こ の と き,detM=1ゆ

え

(4.3.60) そ こ で,行 列

(4.3.61) を 定 義 す る と,I2=I,J2=-Iで

あ り

(4.3.62) と表 さ れ,こ

れ を用 いれ ば

(4.3.63) が 示 さ れ る.す

な わ ち,k個

の セ ル に よ る写 像 は

図4.3.11 

強 集 束 の ポ ア ン カ レ ・プ ロ ッ ト

(4.3.64) し た が っ て,点(zk,zk')は,ポ

ア ンカ レ断面上 で楕 円

(4.3.65) 上 を動 く.こ の こ と は 直 接 の 数 値 計 算 で確 か め ら れ る(図4.3.11).そ は,Rが

大 き くて もn1,n2の

して こ の 場 合

値 を十 分 大 き く と る こ と に よ り

(4.3.66) が 大 き くな ら な い よ うに す る こ と は,可 能 で あ る.

4.4  正 準

力 学 系

 4.4.1  正 準 方程 式 の 線 形 化  正 準 力 学 系 は,相

空 間 が シ ン プ レ クテ ィ ッ ク 多様 体(狭 義 の 相 空 間)で ベ ク

トル 場 がハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場 の 場 合 の 力 学 系 を い う.方 程 式 は

(4.4.1) あ る い は 成 分 で表 して

(4.4.2) の 形 を して い る.以 下 で は ハ ミル トニ ア ンHはtを とす る.こ の 場 合,不

陽 に 含 ま な い(自 律 系)

動 点(平 衡 解)は

(4.4.3) よ り決 定 され る.前 節 と同様 に この 不 動 点 を原 点 に とれ ば,そ

の近 傍 でハ ミル

トニ ア ンは

(4.4.4) と表 され るか ら,不 動 点 の ま わ りの線 形 化 方 程 式 は

(4.4.5) また は ベ ク トル 表 記 で

(4.4.6)

こ こにzは

縦 ベ ク トル で,行 列

(4.4.7) はハ ミル トニ ア ン のヘ ス行 列 の 不 動 点 で の 値 で あ る.   こ の ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場 の特 性 と,前 節 の 力 学 行 列 の 固 有 値 に も と づ く議 論 だ け か ら,正 準 力 学 系 の 振 る舞 い につ い て,い に 導 き出 さ れ る.た だ し,前 節 同 様,こ

くつ か の事 実 が た だ ち

こで も議 論 は 自律 系 に 限 る.

 4.4.2  正 準 力 学 系 の構 造 安 定 性  上 の よ うに正 準 力 学 系 で は,力 学 行 列 は

(4.4.8) の 形 を と る.そ

こ で 

(§4.2.1)を

考 慮す る と

(4.4.9) の 関 係 が得 られ る.し た が って そ の 特 性 方 程 式 は

と な り,こ れ よ り λがKの

固有 値 な らば 必 ず-λ

も 固有 値 で あ る こ とが わ か

る.ま た,力 学 行 列 は実 行 列 で あ る か ら,複 素 数 σ+iω が 固 有 値 な ら σ-iω も固有 値 で あ る.さ

らに シ ンプ レ クテ ィ ッ ク多様 体 が 偶 数 次 元 で あ る こ と を考

慮 す る な らば,正 準 力 学 系 の 力 学 行 列 の と り う る固 有値 は   (i)  偶 数 個 の   0,   (ii)  実 数 固有 値 の 対   ± α,   (iii) 純 虚 数 固 有 値 の 対   ±iω,   (iv)  複 素 固有 値 の4つ の 組   ±σ±iω の 組 み合 わせ に 限 られ る.   した が っ て,固 有 値 の す べ て の 実 数 部 分 が 負 に な る こ と は あ りえ な い こ とに な り,正 準 力 学 系 は 漸 近安 定 な平 衡 解 を もつ こ とは で き な い.   ま た と くに 自由 度1(2次

元)の 場 合,固

有 値 は は じめ の3通

りの い ず れ か

で しか あ りえ な い か ら,渦 状 点 を もつ こ とは で きず,固 有 値0の

場 合 を除 け ば

不 動 点(平

衡 解)は

渦 心 点(楕

円 不 動 点)か

鞍 点(双

曲 不 動 点)の

い ずれ か に

か ぎ ら れ る.   さ ら に,ハ

ミル トニ ア ン が わ ず か に 変 化 し た(小

を 考 え る.不

さ な 摂 動 が 加 わ っ た)場

動 点 の 位 置 も 固 有 値 も わ ず か に 変 化 す る で あ ろ う.し

± α,±iω の そ れ ぞ れ の 組 は,2重 面 上 で そ れ ぞ れ 実 軸,虚

固 有 値 で な い(縮

退 が な い)か

軸 か ら 離 れ る こ と は な い.と

離 れ て 複 素 数 に な っ た とす れ ば 上 の(iv)よ が な け れ ば そ れ は 不 可 能 だ か ら で あ る.し

り4個

の よ う に,力

素 平

し も軸 か ら

の 値 が 必 要 で あ る が,縮

退

た が っ て 縮 退 が な い か ぎ り渦 心 点 ・ れ ぞれ の 特 性 は 変 化 しな

学 系 を す こ し 変 化 させ た と き に そ の 性 格 が 変 わ ら な い,つ

ま り不 動 点 の 固 有 値 の 構 造 が 同 一 で,し き,そ

か し固 有 値

ぎ り,複

い う の も,も

鞍 点 は 摂 動 に よ っ て そ の 位 置 が 移 動 し た と し て も,そ い.こ

合

た が っ て不 動 点 の 特 性 が 変 わ ら な い と

の 力 学 系 は 構 造 安 定(structually

stable)で

あ る と い う.そ

の意味 で多

く の 正 準 力 学 系 は 構 造 安 定 で あ る.   ま た,一

般 の 力 学 系 で は,た

系 で は,摂

動 が 小 さ い 範 囲 で 周 期 解 は 周 期 解 に 変 わ る.実

合,周

い が い の 摂 動 は 周 期 解 を 破 壊 す る が,正

期 解 は 相 空 間 上 の 閉 曲 線H(q,p)=Eで

ポ テ ン シ ャ ル λV(q, p)が

表 さ れ る が,そ

加 わ っ て も, 

範 囲 で は や は り閉 曲 線 で あ る(例9.1.1参

準力学

由 度1の

場

の 場 合 は,摂

動

は,λ

が小 さい

照).

  摂 動 に た い す る 解 の こ の よ う な 安 定 性 は,正

  4.4.3 

際,自

準 力 学 系 の 大 き な 特 徴 で あ る.

相 流 に と も な う体 積 変 化

  一 般 の 力 学 系x=υ(x)を x(t;x(0))と

す る.x(0)を

の 全 体{φt￨t∈R}が

考 え,初 こ のxに

期 条 件 をt=0でx=x(0)と 対 応 さ せ る 写 像 

相 流 な い し フ ロ ー で あ っ た.と

れ を ハ ミル ト ニ ア ン ・フ ロ ー と い う.対 ハ ミル トニ ア ンHに

くに 正 準 力 学 系 の 場 合,こ

応 す るハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル 場 が

よ っ て 生 成 さ れ る と き,こ

れ る ハ ミ ル トニ ア ン ・フ ロ ー,ま

す る解 を

の フ ロ ー をHに

よ って 生 成 さ

た はHを

生 成 関 数 と す る ハ ミル トニ ア ン ・フ

れ)」 と い う 言 葉 使 い は,相

空 間上 の あ る体 積 中 に あ る点 の 集 合

ロ ー と いう.   「フ ロ ー(流

を 考 え た と き,そ

れが系の

「運 動 」 に と も な っ て 流 体 の よ う に 全 体 と し て あ る

方 向 に 流 れ て ゆ くこ と を示 唆 し て い る.実 際,力

学 系 にお いて系 の状 態変 化

は,相 空 間上 の 積 分 曲 線 に そ っ た点 の移 動 で表 さ れ,し か も微 分 方 程 式 の解 の 一 意 性 に よ り,こ の 曲 線 は 枝 分 か れ し た り交 差 した りす る こ と は な い.そ れ ゆ え系 の 状 態変 化 を,そ の 位 置 が 系 の状 態 を表 す 仮 想 的 「粒 子 」 の 運 動 の よ うに 見 なす こ とが で き,そ れ らの 「粒 子 」 の 集 合 を あ た か も相 空 間 上 を流 れ て ゆ く 流 体 の よ うに イ メー ジす る こ とが で き る.た の 状 態 変 化 は,6N次

元 の 相 空 間 内 の1個

とえ ばN個

の 点 の 運 動,つ

の 分 子 か らな る気 体 ま り1個 の 「 粒 子」

の 運 動 で表 され る.統 計 力 学 で は,こ の 「粒 子 」 を無 数 に集 め た もの(ア ン サ ンブ ル)を 統 計 母 集 団 と して考 察 す るが,そ れ は ま さ し く相 空 間 内 を流 体 の よ うに 流 れ て ゆ くの で あ る.   そ こ で相 空 間 の あ る領 域 を考 え て,そ の 領 域 の体 積 が こ の 流 れ に と もな っ て どの よ うに変 化 す る か を考 え よ う.   相 空 間 の あ る有 限 の 領 域Dが,時 Dの 内 部 の座 標 が 

間 τの 後 に 領 域 φτ(D)に 移 っ た とす る. で 表 され,ま

た そ の体 積 が

(4.4.10) で 与 え ら れ る と す る.x=φ

τ(x)と す れ ば 時 間 τ後 に はDは

そ の 体 積 は, 

φτ(D)に 移 り,

と して

と表 され る.し か る に も との 微 分 方 程 式 よ り,τ が 十 分 小 さけ れ ば

で あ るか ら

こ こ に 

(iに つ い て 和 を と る)は

る.   し た が っ て,領

域Dの

体 積 の変 化 率 は

ベ ク ト ルυ(x)の

発散 で あ

(4.4.11) で 与 え ら れ る.こ

れ を リ ュ ウ ヴ ィ ル の 公 式 と い う.

  次 の よ う に 考 え て も よ い.   領 域D0内 体 積 は,時

の 点  間t後

を 初 期 値 とす る 解 をx=φtα

と す る.D0の

に

(4.4.12) に 移 る.こ

こに

(4.4.13) は,変 換 

の ヤ コ ビ行 列 式 を表 す.行

列式の微分 の公式 よ り

(4.4.14)

(4.4.15) と な り,あ

ら た め て リュ ウ ヴ ィ ル の 公 式 が 得 ら れ る.

  な お(4.4.14)は,変

換 

に た い す る ヤ コ ビ 行 列 式(4.4.13)が

(4.4.16) で 与 え ら れ る こ と を 示 して い る.た

だ し 

を 使 っ た.

  4.4.4 

リュ ウ ヴ ィル の 定 理

 と く に ハ ミル トニ ア ン ・フ ロ ー で は,Ω'=(Ω

μν)の反 対 称 性 に 注 意 す れ ば

(4.4.17) し た が っ て 正 準 力 学 系 で は 

と な り,相 空 間 の

領 域 は一 般 に は 時 間 と と もに そ の形 や 位 置 を変 え て ゆ くが,し か し そ の体 積 は 一 定 に保 た れ る.こ れ を リュ ウ ヴ ィル の 定 理(Liouville's theorem)と い う.   こ の こ と よ り正 準 力 学 系 で は,第1に

湧 点 や 沈 点 が 存 在 しな い こ とが わ か

る.と い うの も湧 点 や 沈 点 で はdiv υ が 正 か 負 の い ず れ か で な け れ ば な ら な い か らで あ る.そ の た め不 動 点 と して は,す 安 定 な鞍 点 しか 存 在 しな い.第2に,漸

で に述 べ た よ うに安 定 な渦 心 点 か不

近 安 定 な 軌 道 も存 在 しな い.と い うの

も,も し も その よ うな軌 道 が 存 在 し た とす れ ば,あ がt→+∞

る時 刻 の そ の上 の 点 の近 傍

で そ の軌 道 上 の 点に 収 束 す る こ とに な るが,そ

す るか ら で あ る.し た が って また,2次

元(1自

れ は こ の定 理 に 反

由 度)の 正 準 力 学 系 は リ ミッ

ト ・サ イ クル す な わ ち孤 立 周 期 解 を もつ こ とが で きず,周 期 解 が 一 つ あ る とそ の 近 くの解 はす べ て 周期 解 で あ る.結 局,正 い.こ の よ うに 正 準 力 学 系 は,性

準 力 学 系 は ア トラ ク ター を もた な

質 が きわ め て 「良 い」,裏 返 せ ば 変 化 の 乏 し

い力 学 系 な の で あ る.   正 準 力 学 系 に た い す る リュ ウ ヴ ィ ル の 定 理 を 次 の よ うに 考 え る こ とが で き る.相 空 間 の あ る領 域Dの

内 部 に あ る 各 点 を初 期 値 と し て 運 動 す る 「 粒 子」

の 集 合 を考 え る.時 間 と と もに この 集 合 は雲 が 空 気 の 流 れ と と も に流 さ れ て ゆ く よ うに 一 斉 に動 い て ゆ く.そ の さ い そ の雲 の 形 は変 わ るか も しれ な い が,体 積 は変 わ ら な い とい うの が リュ ウ ヴ ィル の 定 理 で あ る.   と こ ろ で そ の 過 程 で 「粒 子 」 の 軌 道 は枝 分 か れ や 交 差 す る こ とは な い か ら, 領 域 の境 界 面 上 の 「粒 子 」 はつ ね に 境 界 面 上 に あ り,そ の境 界 面 を越 え て 出 入 りす る粒 子 は な い.ま

た湧 点 や 沈 点 が 存 在 しな い と い うこ とは,こ

の 「粒 子 」

が 不 生 ・不 滅 とい う こ とで あ る.そ れ ゆ え そ の 領 域 内 に 存在 す る 「粒 子 」 の 数 も一 定 で あ り,し た が って 相 空 間 の 点 の密 度 は 一 定 で あ る.   直 接 的 な証 明 は 次 の よ うにす れ ば よ い.   この 「 粒 子 」 の 密 度 を ρ,相 空 間 の 内 部 で の その 速 度 をυ とす れ ば,粒 子 が 不 生 ・不 滅 で あ る とい う こ とは,連 続 の 方程 式

で 表 さ れ る.と

くに ハ ミル トニ ア ン ・フ ロ ー で はdivυ=0で

あ る か ら,こ

の式 は

(4.4.18) と書 き 直 さ れ る が,こ が0で

れ に そ っ て 測 っ た流 体 の 密 度 変 化

あ る こ と を 表 し て い る*1.

  な お,リ が,し

れ は 流 体 力 学 で は,流

ュ ウヴ ィル の 定 理 が 成 り立 つ こ とは正 準 力 学 系 の 著 しい特 徴 で あ る

か し リ ュ ウ ヴ ィ ル の 定 理 が 成 り立 つ か ら と い っ て 必 ず し も正 準 力 学 系 と

は 限 ら な い.た 0で あ る が,奇

と え ば(4.3.41)の

オ イ ラ ー 方 程 式 で 表 さ れ る 系 もdivυ=

数 次 元 で あ る か ら 正 準 力 学 系 で は な い.

  4.4.5  ポ ア ンカ レの 再 帰 定 理  自律 正 準 系 は 保 存 系 で あ り,ハ

ミル トニ ア ン が 第1積 分 で あ る.直 接 的 に は

(4.4.19) と して 証 明 され る.し た が っ て 運 動 は相 空 間 上 のH=E(const.)の

超 曲面 に

限 られ る.つ ま りこ の超 曲 面 上 に初 期 条 件 を もつ 解 は そ の 曲 面 の 外 に 出 る こ と は な い.こ

の 超 曲面((2n-1)次

元 多様 体)を 等 エ ネ ル ギー 面 と呼 ぼ う.一 般

に 相 空 間 内 の 点 の 集 合Sで,そ

の 中 の 点 を初 期 値 とす るの が 決 し てSの

出 る こ とが な い と き,Sを

不 変 集 合 とい う(§4.3.2参

の 等 エ ネ ル ギー 面S(E)は

一 つ の 不 変 集 合 で あ る し,H=EとH=E+ΔEの

2枚 の 等 エ ネ ル ギー 面 で 囲 ま れ た 空 間S(E;ΔE)も   そ こ で 等 エ ネ ル ギー 面S(E)上

はS(E)に

不 変 集 合 で あ る. 元 の 体 積 要 素)を

あ い だ の 距 離 をdρ と す れ ば,  垂 直 で あ るか ら, 

=￨∇H￨dρ で あ り,そ れ ゆ えH=EとH=E+ΔEに の体 積 は

*1  リュ ウ ヴ ィ ル の 定 理 に つ い て は

照).保 存 系 で はH=E

の 面 積 要 素((2n-1)次

dσ,ま た こ のS(E)とS(E+ΔE)の

外に

,§5.5.4で

再 論 す る.

と してdH 囲 まれ た 空 間S(E;ΔE)

で 表 さ れ る.こ い.し

の 体 積 は,時

た が っ て,曲

間 をtだ

面S(E)の

け 進 ま せ る 変 換 φtに た い し て 変 化 し な

領 域Aの

「面 積 」((2n-1)次

元 体 積)

(4.4.20) も変化せ ず

(4.4.21) が 成 り立 つ.こ

れ は 等 エ ネ ル ギ ー 面 上 で の リュ ウ ヴ ィ ル の 定 理 で あ る.

  こ の こ と よ り,ハ

ミル トニ ア ン ・フ ロ ー に つ い て 興 味 深 い 定 理 が 導 か れ る.

等 エ ネ ル ギ ー 面S(E)が 上 の 任 意 の 点P0の て,変

有 界(μ[S(E)]<∞)で

任 意 の 近 傍 と し て 閉 集 合U0を

換 φ=φ τを 繰 り返 し て 得 ら れ るU0の

を 考 え る と,リ

と り,τ

有 界 で あ る か ら,そ

あ るm(≧l)に

を任 意 の 正 数 と し

像

れ ら は や が て 重 な りあ う.す

た い し て,k1=m-lと

ぎ に こ の 共 通 部 分U1に

なわ ちあ る

して

空集合   と な る.つ

こで こ の 曲 面

ュ ウ ヴ ィ ル の 定 理 よ り こ れ ら は す べ て 同 一 の 「面 積 」 を も つ.

し か る にS(E)は l(≧0)と

あ る と し よ う.そ

空集合

た い して 同一 の 議 論 をす れ ば

空集合 と な るU2が

存 在 す る.こ の よ うに して 得 られ る閉 集 合 の列

を考 え る と,こ の 集 合 をU∞ にU∞

の 閉 集 合 列 の 全 体 に 含 ま れ る 点 が 必 ず 存 在 す る.そ と す れ ば,U∞

に 戻 っ て く る.す

内 の 点 を 初 期 値 と す る 解 は 

な わ ちP0の

傍 に 戻 っ て く る 点 が 必 ず 存 在 す る.こ recurrence   例4.4.1    半 径aの

theorem)と

の よ うな点 ご と

どの よ う な近 傍 に も解 が 繰 り返 しそ の 近 れ を ポ ア ン カ レ の 再 帰 定 理(Poincare's

い う.

ハ ミル トニ ア ン ・フ ロ ー と くま で 型 分 岐 の 一 例 細 くて な め らか な リ ン グ に 質 量mの

小 さ な ビ ー ズ を 通 し,リ ン グ の 中 心

を 通 る鉛 直 軸 の ま わ りに 一 定 角 速 度 ω で 回 転 させ る(図4.4.1).ビ の 角 θ で 表 す と,ラ

グラ ンジア ンは

ー ズの位 置 を図

図4.4.1

こ れ よ り 

と し て,ハ

ミ ル トニ ア ン は

また正 準方 程 式 は

こ の ハ ミル トニ ア ン はtを で 決 ま る 経 路c上

陽 に含 ま ぬ ゆ え,系

を 動 き,こ

のcが

は,相

空 間(θ,p)上

でH=E(const.)

正 準 方 程 式 の 積 分 曲 線 を与 え る.な

お,Eは,

実 効 ポテ ンシャ ル

の も と で の エ ネ ル ギー と見 て よい.右   こ の フ ロ ー の 様 子 は ω と 

辺 第1項

は 遠 心 力 ポ テ ン シ ャ ル を表 す.

の 大 小 関 係 で 異 な る.そ

れ ぞれ の 場合 につ い

て 見 て ゆ こ う:

の場合   運 動 範 囲 は 

よ り決 ま り,そ の た め に はE≧Umin=0.

  不 動 点 は 

お よ び 

の み(θ

と θ+2π は 物 理 的 に は 同 じ位 置 ゆ え(+π,0)と(-π,0)は

同 一 の 点).対

応す る力学

行列 は

(-はO点,+はP点) こ れ よ り  点),Pは

ゆ え,Oは

不 安 定 な 鞍 点(双

近 くで は￨θ￨≪1と

曲 不 動 点)に

な る.実

際,相

安 定 な 渦 心 点(楕

円不動

空 間 上 の 経 路 曲 線 は,Oの

して (楕 円)

他 方,P点

の 近 くで は 

と して

(双曲線) と な る.こ

の こ とは,実

効 ポ テ ン シ ャ ル が θ=0で

極 小,θ=±

πで 極 大 に な る こ と

に 対 応 して い る.   平 衡 解(不

動 点)以 外 の 解 はEの

値 に よ り次 の よ うに 分 類 さ れ る.

  (1-ⅰ)  0<E<2mga,す

な わち

  リ ン グ の 最 下 点(θ=0)と

最 高 点(θ=π)の

間 でE-U(θ)=0と

り,ビ ー ズ は￨θ￨≦ θ0の範 囲 で 往 復 運 動 を繰 り返 す.そ を と り,経 路 はp=0を 動(oscillation)と

横 切 る 閉 曲 線 に な る(図4.4.2のc0,c1).こ

い う.天 体 力 学 で は,こ

な る 点 θ=θ0が あ

れ ゆ えp=ma2θ

れ を秤 動(libration)と

は正 負 の値

の 周期 運 動 を振 い う こ と も あ る.

図4.4.2

 (1-ⅱ) 

E=2mga;

  経 路 は 

とい う2本

れ ら はP点(±

π,0)で 交 差 し,交 点Pを

うに 見 え る.し

か し実 際 に は,Pは

の 時 間 を要 す る.事 実,c2上

通 過 後,運

不 動 点 で,c2,

で は,θ=π

の 近 く 

の 曲 線c2, c2'で 表 さ れ,こ

動 は一 意 的 に決 ま らな くな るよ c2'上 か らPに

到 達 す るの に 無 限 で

し た が っ て,こ

の 曲 線 のp>0の

部 分c2とp<0の

部 分c2'とP点

解 と見 るの が 自然 で あ る.曲 線c2, c2'を 分 離 枝(separatrix)と

は,異

な る3個

の

い う.こ の 曲 線 を 境

に 解 の 性 質 が 変 わ るか ら で あ る. (1-ⅲ) 

E>2mga,す

  こ の 場 合 はp=0に

な わ ちE>Umax;

は な り得 ず,つ

は θ は 増 加 し続 け(図c3),後

ね にp>0か

つ ね にp<0の

化 す れ ば 系 は 物 理 的 に 同 一 の 状 態 に 戻 っ て い る か ら,こ 転(rotation)と

い ず れ か で,前

者 で は θ は 減 少 し 続 け る(図c3').し

者で

か し θが2π 変

れ も周 期 運 動 で,こ

れ を回

い う.

の場 合   こ の 場 合,不 O, Pは

動 点O,

Pで

の 力 学 行 列 に た い し て 

と も に 不 安 定 な鞍 点 で あ る.さ

ゆ え,

らに 正 準 方 程 式 よ り, 

Q±=(± θ0,0)も 不 動 点 で あ る こ と が わ か る.こ れ はE=Uminの

と し て, 場 合 で,対

応 す る力

学行列 は

で あ り,  テ ン シ ャ ル が 

ゆ えQ± は 安 定 な 渦 心 点 に な る.こ の こ と は,実 効 ポ で極 大,θ=±

図4.4.3

θ0で極 小 に な る こ と に対 応 して い る.

  こ の 場 合 の と り う る エ ネ ル ギー 範 囲 はE≧Uminで で 表 さ れ る.平 表 さ れ,こ

衡 解 以 外 の 経 路 曲 線H=Eは, 

字 型 の 曲 線 に な る が,こ

れ も2本

の解 を表 す と考 え られ る. 

曲 線c1で,こ で は,経

れ はOを

路 はc3で,回

ロー の 様 子 は 図4.4.3

で はQ± を囲 む 閉 曲 線 で

れ は θ=± θ0の ま わ りの 振 動 に 対 応 す る.E=0で

通 りQ± を 囲 む8の の3つ

あ り,フ

は,H=E=0はOを

の 分 離 枝cs+,

で は,経

cs-と 不 動 点O

路H=EはO,Q±

を囲 む閉

中 心 と し θ=θ0を 含 む 範 囲 の 振 動 で あ る.  転 を 表 す.E=2mgaで

は 経 路 は 分 離 技c2に

な る.c1,

c2, c3

の 運 動 の 様 子 は ω<ω0の 場 合 とほ ぼ 一 致 す る.

図4.4.4 

  こ の 問 題 で は,θ=0,

ω=ω0で 分 岐 が 生 じ て い る.(θ,ω)空

格 を 図 示 す る と,図4.4.4の な鞍 点 を表 す.こ

よ う に な る.図

くま で型 分 岐

間 で不 動 点 と その性

で 実 線 は 安 定 な 渦 心 点,点

の よ うな 分 岐 を く ま で 型 分 岐(pitchfork

bifurcation)と

線 は不 安定 い う.

5 正

準

変

換

5.1  相 空 間 上 の ハ ミル トン の 原 理

  5.1.1  ハ ミル トンの 原 理 の相 空 間 への 持 ち 上 げ   ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は 配 位 空 間 の 座 標 変 換(点 変 換)で 形 を変 え な い(共 変 的 で あ る).し た が っ て ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式 か ら得 ら れ る正 準 方 程 式 も,点 変 換 よ り 自然 に 導 か れ る相 空 間 上 の座 標 変 換 に た い して 形 を変 え な い と考 え られ るが,じ

つ は正 準 方 程 式 は,よ

り広 い座 標 変 換(正 準 変 換)に た い して も形 を

変 えな い の で あ る.そ の こ と を論 ず るた め の 準 備 と して,本 節 で は ハ ミル トン の原 理 を相 空 間 上 に持 ち上 げ る.   は じめ に 変 分 計 算 を 正 準 変 数 で表 す ため に,§3.1で

局 所 座 標 系 を用 いず に

行 っ た 配 位 空 間 上 の 変 分 計 算 を,座 標 系 を使 っ てや り直 す.   配 位 空 間 の 経 路cL(t)の

局 所 座 標 表 示 を 

と し,cLに

そ っ た作

用積分

(5.1.1) と,こ れ に た い し て経 路 をcL+⊿cLに 差 を考 え る.経 路cL+⊿cLで 成 分 は 

無 限 小 だ け ず ら し て 得 られ る積 分 との

は 通 過 時 刻 は 

に 変 化 し,座 標

に 変 化 して い る とす る.こ こ に

(5.1.2) は 全 変 分,他 辺 第2項

方, 

は,本

な の で, 

は 同 時 刻 の 変 分(δ-変 分)で

来qi(t)⊿tと

あ る(右

書 か れ る も の で あ る が, 

を2次 の 微 小 量 と して 無 視 す る 範 囲 で,上

の よ うに 書 い て

も よ い).こ

の 表 し方 で

した が って,経 路 の変 分 に よ る作 用 積 分 の変 分 は

(5.1.3) この 第1項

は 通 過 時 間 の 変 化 に よ る変 分,第2項

は 同 時 刻 の 変 分 で あ る.こ 度dq(t)/dtで

こ で はqはqと

す なわち

独 立 で は な く,CL上

あ る か ら, 

を 動 く点 の 速

と し て よ く,部

分積 分 に

よ り

と 書 き 直 さ れ る.し

た が っ て(5.1.2)を

用 い れ ば(5.1.3)は

(5.1.4) と表 され る.こ れ は 以 前 に 導 い た変 分 法 の 基 本 公 式(3.1.32b)で   以上 を一 般 化 運 動 量 とハ ミル トニ ア ン を使 っ て表 す.ラ 直 せ ば 

あ る.

グ ラ ン ジ ア ン を書 き

で あ るか ら,作 用積 分 は

(5.1.5) と表 さ れ る.た

だ し こ こ で はpL={pLi}は

独立 な量で はな く

(5.1.6) で 定 義 さ れ る(q,

q)の

関 数 で,そ

の こ と を 強 調 す る た め に 添 字Lを

  しか し さ し あ た っ て こ のpLをqと の 被 積 分 関 数  の 右 辺 を 相 空 間 の 経 路cに

独 立 な 正 準 運 動 量pと を 

そ っ た 積 分I[c]と

し て 扱 い,(5.1.5)

の 関 数,そ 見 な し て,そ

つ け た.

し て(5

.1.5)

の変 分 を考 え て み

よ う.こ

の 変 分 も,上

で 行 っ た の と ま っ た く同様 に

とな り,こ こ で も 

を用 い て部 分 積 分 を行 う と

(5.1.7) が 導 か れ る.こ れ は 相 空 間 に 持 ち上 げ られ た 変 分 法 の 基 本 公 式 で あ る.   こ こ で単 純 に 両 端 で ⊿q=0,

⊿t=0と

した 変 分 原 理 を要 請 す る な らば

(5.1.8) で あ るか ら,被 積 分 関 数 の そ れ ぞれ の()が0と

が 一 挙 に 得 ら れ る.逆 り,作

に(q,p)が

す れ ば 確 か に正 準 方 程 式

正 準 方 程 式 を 満 た し て い れ ば,⊿I=0と

な

用 積 分 は 停 留 値 を と る.

  と は い え,も

と の ハ ミル ト ン の 原 理 は 配 位 空 間 の 曲 線CLに

の 変 分 に た い し て 述 べ ら れ た も の で あ っ た.し し て も,そ

の 場 合 の 運 動 量 は 一 般 化 運 動 量(5.1.6)で

用 積 分(5.1.5)は で はCHで

配 位 空 間 の 経 路CLを

表 す)に

そ っ た 積 分 で あ り,そ

そ った 作 用 積 分

た が って それ を運 動 量 で書 き直 あ る.い

いか えれ ば作

相 空 間 に 持 ち 上 げ た 経 路(こ

れ を以下

の上の点 は

(5.1.9) で 表 さ れ る.そ か ら,(5.1.8)の

の た め 

は{δqi}に

被 積 分 関 数 の そ れ ぞ れ の()の

従 属 して い る量 で あ る

中 を 単 純 に0と

す るこ とは

で き な い.   し か しCLを

相 空 間 に 持 ち 上 げ て 得 ら れ る 経 路CH上

で は, 

に た い して

(5.1.10) で あ り,し

か もpLは(5.1.6)を

満 た す か ら,こ

れ よ り

(5.1.11a) し た が っ て(5.1.7)のI[c]の 積 分 関 数 の 前 半 部 分 は0に

経 路cをcHに な り,ハ

特 定 す る な ら ば,(5.1.8)の

被

ミル ト ン の 原 理 は 単 純 に

(5.1.12) と な る.そ

し て こ の 式 で は す べ て の δqiが 独 立 で あ る か ら,こ

こか ら方程 式

(5.1.11b) が 得 ら れ る.こ

の 導 き 方 で は,(5.1.11a)は

こ と の 結 果 で あ り,変

  5.1.2 

ば,結

分 原 理 か ら 得 ら れ た 方 程 式 は(5.1.11b)だ

限 定 した

け で あ る.

ル ジ ャ ン ドル 変 換

  し か し,そ pをqと

相 空 間 上 の 経 路 をCHに

う い う面 倒 な 考 慮 抜 き に,は

じ め か らcを

は 独 立 な 正 準 運 動 量 と 見 な し て2n個 果 的 に は(5.1.8)式

相 空 間 の 一 般 の 経 路,

の{δpi}と{δqi}を

か ら 正 準 方 程 式 の2n個

独 立 に扱 え

の 組 が 同 時 に 導 き 出 され

る.   こ の よ う に も と も と は 配 位 空 間 上 で 定 め ら れ た ハ ミル トン の 原 理 が,(q,

p)

を 独 立 扱 い す る 相 空 間 に 移 っ て も そ の ま ま 成 り立 つ こ と の よ り 一 般 的 な 理 由 は, 

の 変 換 が ル ジ ャ ン ドル 変 換 で あ る

と い う こ と に あ る(以   変 数 

下 で はLとHの

変 数 にtを

の 関 数F(x)が

書 くの を 省 略 す る).

下 に 凸,す

な わ ち2次

形式

(i, jに つ い て 和 を と る)

が 局 所 的 に 正 値 定 符 号 とす る(負 値 定 符 号 な ら ば-Fを の 条 件 は 結 局Fの い).こ

の と き,与

ヘ ス行 列 が 正 則,す

とれ ば よ い か ら,こ

な わ ち 

え られ た 

であれば よ

に た い し て 

の関数 (iに つ い て 和 を と る)  が 極 値 を と る 

を考 え る.す

なわ ち

(5.1.13)

図5.1.1 

ル ジ ャ ン ドル変 換

(5.1.14) を満 た すxで

あ る.Fの

と 表 さ れ る.(n=1の 傾 きyの

ヘ ス行 列 が 正 則 で あ る か ら,こ れ は 逆 に 解 け て

場 合,図5.1.1参

照.-Φ(y,x)は

直 線 が 縦 軸 を 切 る 値 で あ る.と

が 与 え ら れ たyに

等 し くな る 点 で あ り,こ

点(x,F(x))を

く にx=ψ(y)はF(x)の の と き-Φ

通 り

接 線 の傾 き

は 極 小 に な る.)こ

うす

れば

(5.1.15) で定 義 さ れ る関 数 はyを

変数 と し,そ の微 分 は 次 式 で 表 さ れ る:

(5.1.16) こ の 変 数 変 換 

と,そ

れ に と も な う 関 数 の 変 換 

に よ り定 ま る ル ジ ャ ン ドル 変 換(Legendre   ル ジ ャ ン ドル 変 換 は 双 対 的 で,逆

transformation)と

を,F い う.

変 換 も ル ジ ャ ン ドル 変 換 に な っ て い る.実

際(5.1.16)よ

り

(5.1.17) で あ り,こ

の とき

が 成 り 立 つ か ら,Fが

下 に 凸 な ら ばGも

に た い し て,yが 

下 に 凸 で あ る.そ

を 満 た す と き,こ

表 す こ と に す る.そ

う す れ ば 

こ で 与 え ら れ たx

れ を 解 い た も の を 

と

の関数

(5.1.18) は 与 え ら れ たxに し い.し

た い し てy=φ(x)の

た が っ て,逆

変 換 

と き 極 値 を と り,そ と,そ

の 値 はF(x)に

等

れ に と もな う関 数 の変 換

(5.1.19) は 確 か に ル ジ ャ ン ドル 変 換 で あ る.   そ こ で(5.1.18)の び 

Ψ(x,y)を

独 立 な2n個

の 変 数 

お よ

の 関 数 と見 なす と

 

(EXTyはyに

つ い て の 極 値 を と る 演 算 子),

した が って ま た

が 成 り立 つ.と と 見 な し た2n変

い う わ け で,結

局F(x)の

数 の 関 数 Ψ(x,y)の

極 値 を 求 め る こ と は,xとyを

極 値 を 求 め る こ と に 等 価 な の で あ る.

  相 空 間 上 に 持 ち 上 げ ら れ た ハ ミ ル ト ン の 原 理 で,pをqと こ と に よ り正 準 方 程 式 が 導 き 出 さ れ た 根 拠 は,こ   ル ジ ャ ン ドル 変 換 の 定 義 に よ れ ば,正 の 関 数 と見 た と き の,つ の 点Q={qi}で T*NQへ

ま りqを

の 接 空 間TNQ上

独 立

独 立 な 量 と見 なす

の 事 情 に よ る.

則 な ラ グ ラ ン ジ ア ンL(q,q)をq

パ ラ メ ー タ と し て,L(q,q)を の 関 数 と 見 た と き の,接

配 位 空 間N

空 間 か ら余 接 空 間

の 変数 変 換

(5.1.20) と,そ

れ に と も な う ラ グ ラ ン ジ ア ン か ら ハ ミル トニ ア ン へ の 変 換

(5.1.21)

は ル ジ ャ ン ドル 変 換 で あ る(た い た も の).し

だ し 

た が っ て そ の 逆,す

をp=φ(q,q)と

は 

を逆 に解

な わ ち 

を逆 に 解 い た もの

し た と きの 変 換

も ま た ル ジ ャ ン ドル 変 換 で あ る.   な お,点Qで

のTNQか

(5.1.21)は,す

らT*NQへ

べ て のq(配

の こ の ル ジ ャ ン ド ル 変 換(5.1.20),

位 空 間 の す べ て の 点)に

こ う し て 得 ら れ る 状 態 空 間TNか

拡 張 す る こ と が で き る.

ら相 空 間M=T*Nへ

の大域 的な変換

(5.1.22) を,力

学 で は,ラ

グ ラ ン ジ ア ンLに

よ り定 ま る ル ジ ャ ン ドル 変 換 と い っ て い

る.   い まpをq,

qと

独 立 な 変 数 と し て,qとqとpの

関数

(5.1.23) を 考 え る.こ

れ をpの

関 数 と見 る な ら ば,与

え ら れ たqとqに

た い して

(5.1.24) を満 た すp=φ(q,q)で

極 値 を と り,そ

の 値 は ラ グ ラ ン ジ ア ン に 一 致 す る:

(5.1.25) こ の(5.1.24)の 経 路)に

条 件 を 課 す こ と は,相

特 定 す る こ と に 等 し い.実

で あ る か ら,(5.1.24)の (5.1.6)を

空 間 上 の 経 路 をcH

際,(5.1.21)よ

(cLを 持 ち 上 げ た

り

条 件 は 確 か に 

,す

な わ ち

表 し て い る.

  し た が っ て,関

数

Ψ(q,q,p)を

相 空 間 上 の 一 般 の 経 路cに

そ っ て積 分 し た

(5.1.26) で も っ て 相 空 間 上 の 作 用 積 分 を 定 義 す る と,こ て と く にpが(5.1.24)し 致 す る と き,こ

た が っ て(5.1.6)を

のI[c]は

作 用 積 分(5.1.1)に

極 値 を と り,し

一 致 す る.す

なわち

れ はpの 満 た し,そ

汎 関 数 で あ る.そ れ ゆ えcがcHに

し 一

か もそ の 極 値 は通 常 の 配 位 空 間 上 の

(5.1.27) と こ ろ が 配 位 空 間 上 のハ ミル トン の 原 理 は,こ 値(停 留 値)を

とる こ と を要 求 す るが,こ

の 右 辺 がqの

変 化 に 関 して 極

の要 求 よ りラ グ ラ ン ジ ュ 方程 式

(5.1.28) が 導 か れ る.こ な い.こ

の(5.1.24),

(5.1.28)を

う い う わ け で,pとqを

  こ の こ と は,も

あ わ せ た もの が 正 準 方 程 式 に 他 な ら

独 立 扱 い し て よ い の で あ る.

っ と 簡 単 に は 次 の よ う に 考 え て も よ い.式(5.1.23)で

さ れ た 関 数 Ψ(q,q,p)を,(q,p)を

「一 般 化 座 標 」,Mを

間 」 とす る ラ グ ラ ン ジ ア ン と見 れ ば,ラ

定 義

「2n次

元 配位 空

グ ラ ン ジ ュ方 程 式 は

とな り,こ れ は正 準 方程 式 で あ る.そ れ ゆ え正 準 方 程 式 は(5.1.26)の 積 分 」 に た い す る(p,q)を

「作 用

独 立 に 扱 っ たハ ミル トンの 原 理 か ら得 ちれ る の で あ

る.た だ しそ の さ い,ラ

グ ラ ン ジ ア ン Ψ がpを

含 ま な い た め,ハ

原理 で 端 点 で の ⊿p=0の

条 件 を 必要 と しな い こ とに 注 意.

ミル トンの

  5.1.3  相 空 間 上 で の ハ ミル トンの 原 理   そ の 数 学 的根 拠 は と もあ れ,い の2n個

ず れ に し て も(5.1.8)式

の 変 分 を独 立 に 扱 うこ とで,た

に お い て{δqi,δpi}

だ ち に正 準 方程 式 が 得 られ る.そ れ ゆ

え,変 分 原理 の 正 当性 の 物 理 学 的 根 拠 が 正 しい 運 動 方 程 式 を与 え る こ とに あ る の だ とす れ ば,配 位 空 間 上 の ハ ミル トンの 原理 に 杓 子 定 規 に と ら われ る こ とな く,は

じめ か ら2n個

の 正 準 変 数(q,p)を

独 立 に 扱 う相 空 間 上 の 経 路 に そ った

作 用 積 分 に た い して,直 接 に変 分 原理 を要 請 す る こ とが で き よ う.   そ の さ い,次 の 点 に 注 意 す る必 要 が あ る.も 位 空 間 上 の 任 意 の2点Q1,

との ハ ミル トンの 原 理 で は 「配

Q2を 系 の 最 初 と最 後 の 配 位 とす る と き,そ の 間 に

系 が 現 実 に 辿 る経 路 は,経 路 に そ っ た作 用 積 分 が 停 留 値 を と る もの で あ る」 と 述 べ られ て い た.つ

ま り変 分 原 理 と して の ハ ミル トン の 原理 は,配 位 空 間上 で

始 点 と終 点 が 与 え られ た と き に系 が 辿 るべ き経 路 が 大 域 的 に 決 定 され る とい う 主 張 で あ っ た.こ の よ うな 主 張 が 可 能 な の は,配 位 空 間 で は 始 点 を定 め て も,

初 期 値 と し て どの よ う な速 度 を与 え る か に よ り い ろ い ろ な 方 向 の 経 路 が 可 能 で,そ

れ ゆ え始 点 と独 立 に終 点 を指 定 す る こ とが で きた か らで あ る.

  しか し相 空 間 で は,そ

の上 の あ る点 を始 点 と して決 め れ ば,そ

の ことによ り

系 の 最 初 の 配 位 と速 度 が 同 時 に 与 え られ た こ と に な り,そ の 後 に 系 が 辿 る経 路 は 一 意 的 に 決 ま って しま う.し た が っ て相 空 間 上 で は,始 点 と独 立 に任 意 の点 を終 点 と し て指 定 す る こ とは で き な い.そ の ため ハ ミル トン の原 理 を相 空 間 に 移 植 す るに さ い して は,任 意 に 与 え られ た 始 点 と終 点 を通 る経 路 の決 定 とい う 大 域 的 な 主 張 は放 棄 しな け れ ば な ら な い.し か し,そ れ で も上 に 見 た よ う に正 準 方 程 式 の 導 出 は保 証 さ れ て い るの で あ るか ら,局 所 的 な主 張 は維 持 され て い る.   し た が って,原 理 を次 の よ うに 限 定 して い い 直 す こ とが で き る.   相 空 間Mか よ びQ2に

ら配 位 空 間Nへ

の 射 影 演 算 子 を π と し,N上

た い して 

D2と す る.D1の

とな るM上

点 とD2の 点 を結 ぶ 曲 線cが

の2点Q1お

の領 域 をD1お

よび

作用積 分

(5.1.29) の 停 留 値 を と る ため の必 要 十 分 条 件 は,(q,p)が

正準方程 式

(5.1.30) を 満 た す こ と で あ る.   こ れ を 修 正 さ れ た ハ ミル トン の 原 理(modified う.こ

こ で はpとqは

の 汎 関 数 で あ り,そ

独 立 な 正 準 変 数 で,こ の 変 分 は(5.1.7)で

Hamilton's

の さ い 端 点 と して

分 は 経 路cを

し た 曲 線 π(c)の 両 端 を 固 定 し た も の で な け れ ば な ら な い.つ t1,t2で ⊿q=0,⊿t=0の

い

の 作 用 積 分(5.1.29)はqとp

与 え ら れ る.そ

  が 指 定 さ れ て い る か ら,変

principle)と

配 位 空 間 に射 影 ま り変 分 はt=

も と で 行 う.

  こ の よ う に 修 正 ハ ミル トン 原 理 で は 端 点 で ⊿p=0の

条 件 は 課 さ れ て い な い.

し か し 端 点 で ⊿pが 何 で あ っ て も上 の 主 張 が 成 り 立 つ と い う こ と は,⊿p=0で あ っ て も よ い わ け で,正

し い 正 準 方 程 式 を 導 く と い う 目 的 の た め に は,「 修 正

さ れ た ハ ミル ト ン の 原 理 」 を

  相 空 間 上 で の 作 用 積 分 が,端 点 を 固定 した 変 分 に た い して停 留値 を とる と き,正 準 変 数 は 正 しい 方程 式 を与 え る. とさ らに 限 定 す る こ とが で き る.こ の 限 定 され た 形 の 原 理 を,後 に正 準 変 換 の 条 件 を導 くさ い に使 用 す る(§5.4.2).

  5.1.4  局 所 座 標 系 に よ ら な い表 現   前 章 で は,正 準 方 程 式 が 配 位 空 間 の 局 所 座 標 系 に よ ら な い 形 で 表 現 で き る こ と を示 し た(§4.2.2).そ

う で あ れ ば,正

準 方 程 式 を導 き出 す こ との で き る修

正 され たハ ミル トン の 原理 も,座 標 系 に よ らな い形 で 表 現 で き るは ず で あ る.   は じめ に作 用 積 分 とそ の 変 分 を座 標 系 に よ らな い 形 に 表 現 す る.   な お こ こ で は 時 間軸 を含 む 拡 大 相 空 間M×R上 運 動 を表 す パ ラ メー タ を τ,M×R上

で論 じ,M×R上

の任 意 の2点P1P2を

での系 の

つ な ぐ経 路 をcと

し,そ れ に そ っ た 作 用 積 分 を次 式 で定 義 す る:

(5.1.31) こ こ に Θ=pidqi-Hdtは たc'はcの

先 に 定 義 し た 相 空 間 上 の 作 用 積 分(5.1.26)に

所 座 標 表 示 

に 確 か め ち れ る.た そった

持 ち 上 げ ら れ た 正 準1形

式,ま

接 ベ ク トル で あ る.

  こ の(5.1.31)が と は,局

拡 大 相 空 間M×Rに

一 致す る こ

で 表 す こ と に よ っ て,次

だ しt(τ)は

「速 度 ベ ク トル 」 は(こ

τの 単 調 増 大 関 数 と す る.こ こ で は 断 り な い か ぎ り2重

の よ う

の と き,cに

添 字 は1∼nの

和 を

と る も の と して)

(5.1.32) で あ る か ら(ダ

ッ シ ュ は τ に よ る 導 関 数),(5.1.31)は

(5.1.33) と な り,こ

れ は 確 か に(5.1.26)と

 作 用 積 分 の変 分 計 算 は

,§3.1.5で

一 致 して い る. や っ た の と 同 様 に し て も よ い が,も

う少

図5.12 

し ス マ ー トに は,次

相 空 間上 の経 路 とその 変 分

の よ う に す る.M×R上

ず ら し た 曲 線 

線c=c(τ,0)を

を 考 え る(図5.1.2,η

パ ラ メ ー タ で,(τ,η)を  (5.1.31)のI[c]の

で,曲

わずか に

は τと は独 立 な

の 作 る 面 の 座 標 と す る) .そ

の と き

変 分は

(5.1.34) 第1項 c上

は τの 変 化 に よ る 端 点 か ら の 寄 与,第2項 で 行 う.こ

恒 等 式(2.4.10)を

こ で 

で あ り, 

は 同 時 刻 の 変 分 で,積 と す る と 

分 は ゆ え,

使 うと

した が っ て

(5.1.35) こ こ で §3.1.5と ベ ク トル を 

同 様 に 端 点 を 始 点 と す る 曲 線l1, l2の パ ラ メ ー タ を λ,そ の 接 (3.1 .22a)と

す る と

と書 き直 す こ とが で き る.  以 上 よ り,作 用 積 分 の 一般 的 な変 分 は

(5.1.36) と表 さ れ る.相 空 間 に 持 ち上 げ られ た 変 分 法 の 基 本 公 式(5.1.7)を,拡

大相

空 間 上 で座 標 系 に よ らず に 表 現 した もの で あ る.た だ し

(5.1.37) で,こ

こ に 

は,τ

全 変 分 で あ る(以 て,そ

下,被

積 分 関 数 は η=0,つ

お よ び ηの 変 化 に と も な う

ま りc上

の値 を とる もの と し

の こ と を い ち い ち 明 記 し な い).

  さ て,修

正 さ れ た ハ ミル ト ン 原 理 は 端 点(τ=τ1,τ2)で⊿q=0,⊿t=0と

と き作 用 積 分 が 停 留 値 を と る こ と,す で⊿I=0と

な わ ち 

な る こ と を 要 求 す る も の で あ り,し

した

の 条件 の も と た が っ て(5.1.36)よ

り

(5.1.38) と こ ろ が η は τ を 変 え な い か ぎ り で 任 意 の パ ラ メ ー タ で,か 分 で あ る か ら,こ

つ δη も任 意 の 変

れ よ りた だ ち に

(5.1.39) が 得 ら れ る.こ

れ は 拡 大 相 空 間M×R上

  2n次

元 相 空 間M上

  M上

で はtは

い.ま

た こ の と きパ ラ メ ー タ を η と す る 曲 線 はt=const.の

れ ば,そ

で は,次

で の 正 準 方 程 式 に 他 な ら な い.

の よ う に 書 き 直 さ れ る.

単 な る パ ラ メ ー タ で あ る か ら, 

れ 以 外 の 点 で は 任 意 で あ る か ら,そ  と し て よ く,こ

し た が っ てM上

で の 正 準2形

と書 き直 され る.こ らな い 表 式

式 

と して よ 面 内 に あ りさ えす

の 接 ベ ク ト ルuη に た い し て

れ よ り

を 用 い れ ば,(5.1.39)は

こにuη は 任 意 だ か ら,こ れ よ り正 準 方 程 式 の 座 標 系 に よ

(5.1.40) が得

ら れ る.こ

れ は(4.2.11)で

あ る.

5.2  積 分 不 変 式 と カ ル タ ン の 原 理

  5.2.1相

空 間 上 の ワイ ス の原 理

  ハ ミル トン の 原理 が 配 位 空 間か ら相 空 間 に持 ち上 げ られ るの と同 様 に,そ れ と相 互 補 完 的 な 関係 に あ る ワ イ ス の 原理 も相 空 間 に 持 ち上 げ られ る.   相 空 間上 で のハ ミル トンの 原 理 に よ れ ば,経 件 で 作 用 積 分 の変 分 が⊿I[c]=0と 得 ら れ る.し

たが っ て 逆 に,cを

路 の端 点 で 

な る と き,経 路cに

の条

た いす る正 準 方 程 式 が

正 準 方 程 式 の 積 分 曲 線 で あ る とす る な ちば,

そ の 経 路 を無 限小 変 化 させ た と きの作 用 積 分 の変 分 は,端 点 か らの 寄 与 だけ か らな る.こ の こ と を原 理 と して要 請 した もの が ワ イ ス の 原理 で あ る.す な わ ち   相 空 間 上 の 経 路cが

系 が 現 実 に と る 経 路 で あ る た め の 条 件 は,cに

そ っ て 計 算 した 作 用 積 分 の 変 分 が,端 点 か らの 寄 与 の み よ りな り

(5.2.1) で 与 え ら れ る こ と で あ る.   も ち ろ ん こ れ を(5.1.36)と れ る か ら,こ

見 く ら べ る な ら ば,た

だ ち に(5.1.38)が

れ は ハ ミル ト ン の 原 理 の い い 直 し に す ぎ な い.し

か し,相

得 ら 空 間で

ハ ミル ト ン の 原 理 を 語 る と き に は 端 点 に つ い て デ リケ ー トな 言 い 方 を し な け れ ば な ら な い の に ひ き か え,ワ

イ ス の 原 理 は き わ め て 簡 単 明 瞭 で あ る.

  ワ イ ス の 原 理 か ら確 か に 正 し い 正 準 方 程 式 が 導 か れ る こ と は,配 合(§3.2.1)と

ほ と ん ど 同 様 で あ る が,相

た だ し こ こ で は,§3.2.1と

空 間 の 場 合 に も 一 応 見 て お こ う.

異 な り局 所 座 標 系 を 使 用 し て 論 ず る.

  十 分 短 い 時 間 間 隔[t,t+ε]の cに

あ い だ に 系 が 現 実 に と る 経 路 をcと

そっての作用積分 は

し た が っ て そ の 変 分 は,ε

位 空 間 の場

の1次

まで と っ て

す る と,

と 表 さ れ る.他

方 ワ イ ス の 原 理 に よ る な ら ば,こ

に 等 し く な け れ ば な ら な い.い の⊿Iの

れが

ま の 場 合,⊿q, ⊿p, ⊿tは

独 立 ゆ え,こ

の二 つ

表 式 を比 べ て

が得 られ る.こ れ は 正 準 方程 式 に他 な らな い.

  5.2.2積

分 不 変 式

  こ こで 拡 大 相 空 間M×Rに

お い て 始 点 をP1,終

す な わ ち正 準 方 程 式 の 積 分 曲線c(τ)を 考 え,さ

に そ っ て1周

させ る(l1は

と も な っ て 終 点P2も

点 をP2と

ら に こ の始 点P1を

閉 曲 線l2に

の 各 点c(τ)も

表 さ れ る こ と に な り(た [0,1]間

閉曲線

必 ず し も 同 時 刻 の 点 を 通 ら な く て も よ い).こ そ っ て1周

す る.閉

曲 線l2はl1上

あ る 時 間 だ け 正 準 方 程 式 に よ っ て 発 展 させ た 点 よ り な る.し つ な ぐ実 経 路c上

す る現 実 の 経 路,

れに

の各 点 を

た が っ てP1P2を

パ ラ メ ー タ λ に よ っ て 変 わ る 曲 線c(τ,λ)で

だ し 

),こ

を 動 く の に と も な っ てl1l2を

両 端 の 切 り 口 とす る 管(経

う して λが 路 管)が

形 成

さ れ る(図5.2.1).   そ こ でc(τ)に

そ っ て 計 算 し た 作 用 積 分 の 変 分(5.2.1)を

の 区 間 で 積 分 し よ う.(5.2.1)の

しか るに

λ の 変 化⊿ λ を 微 分dλ

λ に つ い て[0,1] で書 くと

図5.2.1

した が って

(5.2.2) す な わ ち,相 空 間 内 の任 意 の 閉 曲 線lに

そ っ た正 準1形 式 の 積 分

(5.2.3) は,系

の 時 間 的 発 展 に 関 し て 不 変 で あ る.こ

式(relative

integral

invariants)と

  と く にlが

同 時 刻 の 閉 曲 線,す

曲 面 上 の 閉 曲 線 とす る.こ は θ=pidqiで ∂S=lで

い う. な わ ち 拡 大 相 空 間M×R内

の 曲 面 上 で は Δt=0で

置 き か え ら れ る.ま

あ る か ら,上

の 積 分 を カ ル タ ンの 相 対 積 分 不 変

た こ の と きlで

のt=const.の

あ る か ら,上

式 の1形

囲 ま れ た 面 をSと

超 式 Θ

す る と,

の 積 分 不 変 量 は ス トー ク ス の 定 理 よ り

(5.2.4) と書 き 直 さ れ る.し

た が っ て,こ

に 関 し て 不 変 で あ る.こ invariants)と

い う.

の 積 分 式 

もや は り 系 の 時 間 的 発 展

れ を ポ ア ン カ レ の 絶 対 積 分 不 変 式(absolute

integral

  5.2.3 

カ ル タ ン の原 理

 逆 に,積 分 式 ∫lΘを不変 にす る相 空 間 内の写像 は,正 準 方程 式 にの っとっ た点 の運 動 に 限 られ る こ とが 示 され る.   実 際,拡

大 相 空 間M×R上

と を考 え,そ

を 施 す.τ

れ にM×R内

た 閉 曲 線l0は,Pτ

し て い る と考 え る(図5.2.2).こ 考 え,A上

のdΘ

らPτ に い た る 経 路c

を 連 続 的 に 動 か し て で き る 閉 曲 線lτ に 写 像

う し て 写 像 φτに よ っ てl0か

あ い だ の こ の 経 路 管 にcに

Aを

通 る任 意 の 閉 曲 線

の τ を パ ラ メ ー タ とす る あ る 連 続 写 像 φτ

を 連 続 的 に 変 え て ゆ く こ と に よ り,点P0か

が 生 成 さ れ,ま さ れ,こ

の 任 意 の 点P0と,P0を

ら 経 路 管 が 形 成 さ れ る.τ=0と

そ っ た 切 れ 目 を 入 れ,経 こ で 

路cに

τ=τ1の

経 路c+⊿cが

接

を 周 辺 ∂Aと す る 曲 面

の 面 積 分 に ス トー ク ス の 定 理 を 適 用 す る.

図5.2.2

  こ の 場 合 は,cとc+Δcは

実 質 的 に 同 一 の 曲 線 で あ る か ら,ス

トー ク ス

の定 理 は

(5.2.5a) と 表 さ れ る.曲 をAの

面A上

の 点 は パ ラ メ ー タ(τ,λ)の 組 で 指 定 さ れ る か ら,こ

座 標 に 用 い れ ば,左

十 分 小 さ く τ1=Δ τ と とれ ば

辺 は(1.6.63)を

使 っ て 書 き 直 さ れ,と

れ

く に τ1を

(5.2.5b) と 表 さ れ る.(5.2.5a)の な り,し 線l0の

右 辺 は 写 像 φτが積分

た が っ て(5.2.5b)も0で

な け れ ば な ら な い.こ

接 ベ ク トル で あ る が,P0お

ら れ,結

∫lΘ を 不 変 に す る な ら ば0に

よ びl0は

こ にuλ=∂/∂ λは 曲

任 意 で あ る か らuλ も 任 意 と 考 え

局

(5.2.6) が 得 ら れ る.こ

 

れ は,正

準 方 程 式 に 他 な ら な い.ま

とめ る と

積 分 式 ∫lΘを不 変 量 とす る相 空 間 上 の 写 像 を φτとす る と,φ τに よ っ て生 成 され る相 空 間 上 の 点 の移 動 は 正 準 方 程 式 の積 分 曲 線 を構 成 す る.

  これ をカ ル タ ン の原 理(Cartan's

  5.2.4  第1積

principle)と い う.

分 と 自由度 の 削 減

  ラ グ ラ ン ジ ュ 形 式 の 力 学 で は,第1積 る こ とが 示 さ れ た(§2.2.5).同

分 が 一 つ あ れ ば 自由 度 が 一 つ 削 減 され

様 にハ ミル トン形 式 の 力 学 で も,第1積

一 つ 存在 す れ ば 自由 度 が 一 つ 削 減 され ,し た が っ て相 空 間 の 次 元 が2だ られ る.こ の こ とは,カ

ル タ ン の 原 理 を使 え ば,次

分が け下 げ

の よ うに して 示 さ れ る.

  簡 単 の ため に,保 存 系 で考 え よ う(非 保 存 系 で も拡 大 空 間 に移 れ ば保 存 系 の 扱 い が で き る か ら同 じで あ る).い

ま,自 由 度nの

系 で,1価

な 第1積 分

(5.2.7a) が 存 在 す る と し よ う*1.運 動 は2n次

元 相 空 間 の こ の 式 で決 ま る(2n-1)次

元

超 曲 面 上 に 限定 され る(保 存 系 で あ る か らエ ネ ル ギー 積 分 が 存 在 す る の で,F はハ ミル トニ ア ン 自体 で も よい). *1  こ こで第1積 分 が1価 で あ る とい う条 件 をつ け たの は ,次 の事 情 に あ る. た とえば2次 元 空 間(平 面)  上 の関数

を考 え る.曲

線 

は,パ

と 表 さ れ る リサ ー ジ ュ 図 形 で あ り,よ に は,こ

の 曲 線 は 平 面N全

ラ メ ー タ表 示 で

く知 ら れ て い る よ う に ω1/ω2が 有 理 数 比 に な い と き

体 を 埋 め つ くす(証

明 は §8.3.3).し

た が っ て そ の と き に は, <続 く>

  そ こで 時 間tの か わ りに た とえ ばqnを べ き領 域 で 

独 立 変 数sに

と る.相 空 間 の しか る

とす れ ば,こ の 式 を解 い て

(5.2.7b) と表 す こ とが で き る.し た が って も との相 空 間 上 の 正 準1形

式は

(5.2.8) と書 き直 され る.そ 曲 線lで

して こ の 系 の ポ ア ン カ レの積 分 不 変 式 す な わ ち 同 時 刻 の 閉

の積分

(5.2.9) を,hを

ハ ミ ル トニ ア ン と す る 自 由 度(n-1)の

見 る こ と が で き る.す で あ り,し

な わ ち1形

系 の カル タンの積 分不 変 式 と

式 の

積 分 

た が っ て カ ル タ ン の 原 理 よ れ ば,こ

す る 正 準 方 程 式 に 支 配 さ れ て い る.実

が 成 り立 ち,こ

う して た だ ち にhを

際,こ

の 系 はhを

が 不変 式

ハ ミル トニ ア ン と

の とき

ハ ミル トニ ア ン とす る正 準 方 程 式

(5.2.10) が 導 か れ る.   こ の こ と は,直

をqn=sの

接 的 に は 次 の よ う に 示 さ れ る.い

ま2(n-1)個

の

関 数 で あ る と見 なせ ば,運 動 方 程 式 は

<前 頁 の 続 き> f(x,y)=α で 表 さ れ るNの 部 分 空 間 はN自 よ う に 任 意 の α に た い し て 曲 線f(x,y)=α は,い

い か え れ ば,点(x,y)を

と で あ り,そ 6.3.1

の 意 味 でf(x,y)は

(6.3.23)式

に あ り).そ

身 に 一 致 し,空 間 の 次 元 は 減 少 し な い.こ の がN上 の 任 意 の 点(x,y)を 通 る とい う こ と

定 め て もf(x,y)は し て 第1積

分(5.2.7a)が1価

無 限 に 多 価 な 関 数 を 除 く と い う意 味 で あ る(こ (岩 波 書 店 1994  第2版 

1997)に

任 意 の値 を と る こ とが で き る とい うこ

無 限 に 多 価 と い え る(無

負 っ て い る).

限 に 多 価 な 第1積

分 の 例 は,例

と い う 条 件 は,こ

の よ うな

の 点 の 指 摘 は 大 貫 義 郎 ・吉 田 春 夫

『力 学 』

(5.2.11)

こ こ で(5.2.7b)を

をpi,qiで

も との ハ ミル トニ ア ン に 代 入 し た

微 分 す れ ば,恒

が 得 られ る.そ

等式

し て こ れ を 用 い れ ば,上

の 運 動 方 程 式(5.2.11)が(5.2.10)

と同 じ もの で あ る こ とが わ か る.

5.3  正 準 変 換 ―

母 関 数 に よ る定 義

  5.3.1  正 準 変 換 と は   ハ ミル トン 形 式 で は,系 る.い

の 状 態 は 相 空 間M=T*N上

の 点 に よ り指 定 さ れ

ま その 点 が あ る局 所 座 標 表 示 で 

と表

さ れ る とす る.し か し座 標 系 の 選 択 は一 義 的 で は な く,異 な る座 標 系 に移 れ ば 座 標(力 学 変 数)は,最

も一 般 的 に は

(5.3.1) の 形 で変 換 さ れ る.   そ れ らの 複 数 個 の 座 標 系 な い し変 数 は,数 学 的 に は平 等 で あ っ て も,運 動 方 程 式 を解 く とい う実 際 的 立 場 か ら は もち ろ ん の こ と,運 動 方 程 式 の解 の構 造 ・ 性 質 を考 察 ・吟 味 す る とい う理 論 的 観 点 か ら見 て も,大

きな優 劣 が あ る.実 際

に 運 動 方程 式 の厳 密 解 が 求 ま るの は き わめ て 限 られ た 問題 で あ り,た い て い の 場 合,解

は 閉 じた 形 で は 得 られ な い.し か した とえ解 析 解 が 求 ま ら な く と も,

う ま く変 数 変 換 を す れ ば 運 動 方程 式 が 単 純 に な り,系 の振 る舞 い につ い て の 見 通 しが きわ め て 良 くな る こ とが あ る.   た とえ ば あ る変 数 で 記 述 した と き,運 動 方 程 式 が 正 準 方 程 式 で 表 され,か

つ

ハ ミル トニ ア ン にk番 る と す る.こ

目の

「座 標 」 が 含 ま れ な い,つ

の と き正 準 方 程 式 

れ る か ら,ハ

ま りqkが

循環座 標 に な

よ り 

.が 得 ら

ミ ル ト ニ ア ン は 

と な り,こ

の 座 標 系 で は 自 由 度 は 実 質 的 に(n-1)に

下 が っ て い る.

  こ の 処 方 を さ ら に 押 し進 め て い っ て 最 終 的 に す べ て の 「座 標 」 が 循 環 座 標 と な る 変 数 を 選 ぶ こ と が で き た な ち ば,そ (pk=αk)に

な り,ハ

の と き に は す べ て の 「運 動 量 」 が 定 数

ミル トニ ア ン は 

と 表 さ れ,し

た が って

正 準 方程 式 の 解 は

の よ うに 求 積 法 で 求 ま る.こ

こ に(α,β)は す べ て 定 数 で あ り,初 期 条 件 か ら

代 数 的 に 決 定 さ れ るか ら,こ れ で い わ ば 問題 が 「 解 け た」 こ とに な る.こ の考 え方 で は,問 題 を解 くこ とは,す べ て の 「座 標 」 が 循 環 座 標 とな る よ うな座 標 系 を見 い だ す こ とに帰 着 す る.   この よ う に座 標 変 換(変 数 変 換)は 理 論 的 に も実 際 的 に も重 要 で あ る.そ の さ い,す

で に述 べ た よ うに 正 準 力 学 系 は い ろ い ろ な意 味 で そ の解 の 性 質 が きわ

め て 「良 い」 の で(§4.4参

照),こ

す る変 換 に 焦 点 を あ て る.つ

こ で は と くに 正 準 方 程 式 の 構 造 を不 変 に

ま り変 数 変 換(5.3.1)を

施 し た とき に,方 程 式

(5.3.2) の 形 が 変 わ ら な い も の,す

な わ ち 新 し い ハ ミル トニ ア ンK(Q,P,t)が

存 在 し,

新 変 数 に よ る運 動 方 程 式 が

(5.3.3) の 形 に な る も の が 重 要 で,以

下 で は そ の よ う な 変 換 だ け を 考 え る.

  正 準 方 程 式(5.3.2)は,修

正 さ れ た ハ ミル ト ン の 原 理

(端 点 で 

)

よ り得 ら れ る.   し た が っ て,変

数 変 換(5.3.1)で

め に 要 求 さ れ る 条 件 は,(Q,P)に

得 ら れ る(Q,P)が(5.3.3)を

満 たす た

た い し て も修 正 さ れ た ハ ミル トン の 原 理

(端 点 で が 成 り立 つ こ と で あ る.そ

の た め に は,一

 

)

般 に λを任 意 の定 数 と し て

(5.3.4a) す な わ ち 

を(q,Q,t)の

任 意 関 数 と して

(5.3.4b) と 書 く こ と が で き れ ば よ い.実

と な り,こ

際 そ う で あ れ ば(5.3.4a)の

れ は 端 点 の 値 の み の 関 数 で あ る か ら,端

た そ の 変 分 は0に

と き だ け に 議 論 を 限 っ て よ い.と

と な る 定 数a,

た も の に 帰 着 す る か ら で あ る.そ

 5.3.2

し

い う の も λ≠1で

bを 用 い て 

ち た め て ス ケ ー ル 変 換 を 施 せ ば,変

transformation)と

点 で⊿q=0,⊿Q=0と

な る.

  こ こ で と く に λ=1の あ っ て も,ab=λ

積分 は

とあ

換 

の λ=1の

は 上 式 で λ=1と

し

場 合 の 変 換 を 正 準 変 換(canonical

い う.

変 換 の 母 関 数

  した が って,正 準 変 換 は 次 の 条 件 で 定 義 さ れ る:

(5.3.5) ま た は1形 式 の 関 係 で表 して

(5.3.6) こ の 後 者 の 表 現 は,時 間 軸 を含 む(2n+1)次

元 多様 体M×Rで

左 辺 の微 分 形 式 が 全 微 分 で あ る とい う こ とを意 味 して い る.そ

考 え た と き, して この と き

(5.3.7) が 変 換 公 式 を 与 え る.   条 件(5.3.6)と

変 換 公 式(5.3.7)は,独

立 変 数 の 組 を変 え る こ とに よ り

(5.3.8) また は

(5.3.9) また は

(5.3.10) の よ うに も表 さ れ る.以 上 の結 果 は 次 の 表 に ま とめ ら れ る.

  も ち ろ ん 関 数W1,

W2, W3, W4は

い ず れ の 関 数 も,旧

変 数n個

す べ て 微 分 可 能 で な け れ ば な ら な い.ま

と 新 変 数n個

の 関 数 に な っ て い る.そ

す べ て の 新 変 数 を 旧 変 数 だ け で 表 す た め に は,も れ ば な ら な い.た そ れ を 第2式

と え ば(5.3.7)の

に 代 入 し てP=P(q,p)が

第1式

た

の た め,

う一 度 代 数 方 程 式 を解 か な け

を 解 い てQ=Q(q,p)が

得 ら れ る.そ

求 ま れ ば,

してその操作 が可能 とな

るため には

(5.3.11) で な け れ ば な ら な い.W2,

W3, W4に た い し て も 同様 の 条 件 が 必 要 で あ る.し

か し これ らの 関 数 は,そ の 他 の 点 で は ま っ た く任 意 で あ る.し た が っ て正 準 変 換 は個 別 のハ ミル トニ ア ン とは 無 関係 に 定 め られ る.   こ う して 旧 変 数n個

と新 変 数n個

の 関 数 を一 つ 定 め れ ば,そ

準 変 換 が 一 個 決 ま る.こ の よ うに 関数W1な

れに よって正

どは 一 つ の 正 準 変 換 を 「産 み 出 す

(generate)」

か ら,変

  一 般 のn次

換 の 母 関 数(generating

元 空 間 の 座 標 変 換 で は,座

個 の 関 数 が 必 要 で あ る.し

function)と

呼 ば れ る.

標 成 分 の 変 換 則 を 表 す の に 通 常 はn

か し 正 準 変 換 で は,2n次

成 分 の 変 換 が 単 一 の 関 数 で 決 定 さ れ 表 さ れ る.こ

元 相 空 間 の2n個

の こ と は,正

の座標

準 変 換 の重 要 で

著 し い 性 質 で あ る.   た と え ば 配 位 空 間 上 の 点 変 換  変 換 は こ の よ う にn個

を 考 え る.

の 関 数fi(q)で

定 め ら れ る.対

応す るラグランジアンの

変 換 は

ただ し

した が っ て,こ れ よ り導 か れ る一 般 化 運 動 量 の 変 換 則 は

そ して これ らの 変 換 は, 

で 与 え ら れ る.す

を母 関 数 とす る正 準変 換 す な わ ち

な わ ちn個

の 関 数 で 決 ま る 配 位 空 間 の 点 変 換 か ら相 空 間 に

導 か れ る 変 換 は 正 準 変 換 で あ り,そ

れ が 単 一 の 関 数W3で

  ま た と く に 母 関 数 と し てW3=Piqiを な り,こ

れ は 恒 等 変 換(identity

  も ち ろ ん 正 準 変 換 は,時

と れ ば,(5.3.9)はpi=Pi,Qi=qiと

transformation)を

間tを

引 き起 こ す.

陽 に 含 ん で も よ い し,ま

動 量 が 混 ぜ 合 わ さ れ る 変 換 も含 み,そ

表 さ れ る の で あ る.

た 正 準 座 標 と正 準 運

の 意 味 で 配 位 空 間 の 座 標 変 換(点

変 換)

よ り広 い.   例5.3.1 

正 準 変 換 の 例1―

極 座標 へ の変換

  3次 元 デ カ ル ト座 標 か ら 極 座 標 へ の 座 標 変 換  あ る.実

際,母

関数

に よ り生 成 さ れ る変 換 は

は 正準 変 換 で

で 表 さ れ,こ る.し

れ は 確 か に デ カ ル ト座 標 か ら3次 元 極 座 標 へ の 変 換 公 式(2.1.32)で

あ

た が っ て こ の 座 標 変 換 に と もな う運 動 量 成 分 の 変 換 は

で 与 え られ る.こ れ よ りた だ ち に

(5.3.12) が 得 られ る.し

た が っ て も との ハ ミル トニ ア ン が 

で与 え られ

て い る と き,極 座 標 表 示 で の ハ ミル トニ ア ン は

(5.3.13) と表 さ れ る.た   例5 .3.2 

だ し こ の 場 合 は ∂W2/∂t=0だ

正 準 変 換 の 例2―

か らK=H.

ガ リ レイ 変 換

 ハミ ル トニ ア ン が

で 与 え られ る 質 点 系 を考 え る.α, β は 質 点 の 番 号,rα 目の 質 点(質 量mα)の い し て,母

位 置 ベ ク トル,pα

は 運 動 空 間R3に

お け る α番

は そ れ に 共 役 な 運 動 量 を表 す.こ

の 系 にた

関数

に よ る 正 準 変 換 を施 す(uは

あ る 定 ベ ク トル).変

換 され た 位 置 ベ ク トル は

(5.3.14) で あ り,変 換 

は ガ リレ イ 変 換 で あ る(例3.2.1).

  こ の 変 換 に と もな う正 準 運 動 量 の 変 換 は

(5.3.15) で 与 え ら れ,ま

た ハ ミル トニ ア ン は

に 変 換 さ れ る,こ の 結 果 は,こ

  例5.3.3 

の 系 が ガ リ レ イ変 換 で不 変 な こ と を示 して い る.

正 準 変 換 の 例3―

  ポ テ ン シ ャ ル が(Φ,A)で

電磁 場の ゲー ジ変換

表 さ れ る 電 磁 場 中 の 荷 電 粒 子(質 量m,電

ラ ン ジ ア ン は(2.1.45)  一 般 化 運 動 量 は 

荷e)の

で 与 え ら れ る.こ ,そ

ラグ の とき

れ ゆ え ハ ミル トニ ア ンは

(5.3.16) と得 られ る.こ

の 系 の ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 は,電 磁 場 の ゲ ー ジ変 換

(5.3.17) に た い して 不 変 で あ る(§2.1.5参

照).こ

の 変 換 に と も な う運 動 量 と ハ ミ ル トニ ア ン

の変 換 は

(5.3.18) で 与 え られ る.座 標 の 変 換 は 恒 等 変 換 

が 示 さ れ る か ら,ゲ

ー ジ 変 換(5.3.17),

とす る.こ れ よ り直 接 に

(5.3.18)は-ex/cを

母 関 数 とす る 正 準 変

換 で あ る.

 例5.3.4 

正 準 変 換 の 例4―

系 の時 間的発展

  正 準 方 程 式 に の っ と っ た 時 間 的 発 展 を考 え る.こ る経 路cに

の とき相 空 間上 で系 が 現 実 に と

そって求 め た作用 積分

(5.3.19) は ハ ミル トンの 主 関 数 で あ り)(§3.2.1参 照),ワ

イ ス の 原 理(3.2.1b)に

よ れ ば,そ

の 任 意 の 変 分 は 端 点 の み の 寄 与 よ りな り

(5.3.20) と 表 さ れ る.そ

れ ゆ えSHは(q,t,q0,t0)の

関数 で

(5.3.21) の 関 係 を満 た す(た

だ しq0=q(t0)).

  こ の 関 係 を(5.3.7)と

見 く らべ る な らば,保

存 系 に お け る正 準 変 数 の 時 間 的 発 展  を母 関 数 と す る正 準 変 換 で あ る

こ と が わ か る.す

な わ ち 系 の 時 間 的 発 展 は 正 準 変 換 の 一 種 な の で あ る.し

正 準 方 程 式 を解 く こ と は,そ

たが って

の 変 換 の 母 関 数 を 見 い だ す こ とに 還 元 さ れ る.こ

れが

後 述 す る ハ ミ ル トン とヤ コ ビ の理 論 に 導 く考 え 方 で あ る.   な お,こ

の よ う に一 つ の パ ラ メー タ(こ の 場 合 は 時 間 変t)に

連 続 的 に 得 られ る正 準 変 換 を,1径

よ り恒 等 変 換 か ら

数 正 準 変 換 と い う.こ の 点 に つ い て は,§6.1で

詳 述 す る.

 例5.3.5 

正 準 変 換 の 例5―

減 衰振動

 運 動方 程 式が

(5.3.22) で 与 え られ る振 動 子 を考 え る.ラ

グ ラ ン ジ ア ン は,た

とえば

(5.3.23) で 与 え ら れ る(こ れ に 限 ら れ る わ け で は な い).こ =mqe2rt,し

の と き一 般 化 運 動 量 はp=∂L/∂q

た が っ て ハ ミル トニ ア ン は

(5.3.24) こ の 系 にW3(q,P,t)=qPertを

母 関数 とす る正 準 変 換 を施 す.変

換公 式 は

した が っ て 変 換 さ れ たハ ミル トニ ア ンは

(5.3.25) と表 さ れ る.こ 例7.4.1)で

の ハ ミル トニ ア ン に た い す る 正 準 方 程 式 の 解 は 後 節 の 例(例6.2.3,

見 る(た だ し例6.2.3で

ミル トニ ア ンHはtを

は この γ をγω で 置 きか え る).な お,も

陽 に 含 む 非 保 存 系 で あ る が,こ

陽 に 含 ま な い か ら保 存 系 で,第1積

との ハ

の ハ ミル トニ ア ンKはtを

分 として

が 得 られ る.た だ し こ れ は 系 の エ ネ ル ギ ー で は な い.

5.4  シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 写 像

 5.4.1  シ ン プ レ クテ ィ ッ ク条 件  本 節 で は正 準 変 換 の条 件 を書 き直 し,正 準 変 換 が シ ンプ レ クテ ィ ッ ク 多様 体 の標 準 座 標 の あ い だ の座 標 変 換 に な っ て い る こ と を示 す.  前 節 で与 え た 正 準 変 換 の 条 件 式(5.3.6)の

外 微 分 を と る:

(5.4.1) こ こ で(p,q),(P,Q)の

が い ず れ も正 準 方 程 式 を満 た す な ら ば

となるか ら

が 成 り 立 ち,こ

れ よ り

(5.4.2) が 導 か れ る.す 準2形

式 

な わ ち 「変 数 変 換 

が 不 変 で あ る(正 準 変 換 で あ る た め の必 要 条 件)」.

  こ れ は 時 間 軸 を含 む(2n+1)次 るが,時

が 正 準 変 換 で あ れ ば,正

間 軸 を含 ま な い2n次

元 拡 大 相 空 間M×R上 元 の相 空 間M上

で 導 か れ た もの で あ

で 考 察 して も,同 じ結 果 が 得

られ る.そ の と きに は,た

とえW1がtに

に よ る と い う だ け で,tそ

の もの は 座 標 で は な く単 な る パ ラ メー タ に す ぎ な

い.し

条 件 は,M上

た が っ て(5.3.6)の

陽 に 依 存 して も,そ れ は変 換 が 時刻

の 微 分 形 式 の 関 係 と して は

(5.4.3) と な り,両

辺 の 外 微 分 を と る こ と に よ り た だ ち に(5.4.2)が

  と こ ろ で,変

換 の 母 関 数 と し て 

を と る と,変

導 かれ る 換 公 式(5.3.7)

は

(5.4.4) とな り,「 運 動 量 」 と 「座 標 」 が 入 れ か わ る.つ

ま りハ ミル トン 形 式 の 力 学 で

は,「 運 動 量 」 と 「座 標 」 の 区 別 は相 空 間 それ 自体 に よ り決 ま る もの で は な く, 特 定 の局 所 座 標 系 を指 定 した と きに は じめ て 意 味 を もつ相 対 的 ・便 宜 的 な もの で しか な い の で あ る.そ れ ゆ え 「 座 標」 と 「 運 動 量 」 を区 別 せ ず,ひ に 扱 う シ ン プ レ クテ ィ ッ ク変 数z=(q,p)の   そ こ でz=(q,p)とZ=(Q,P)を

と ま とめ

方 が 自然 で あ る.

用 い れ ば,変

数 変 換 

が正 準 変

換 で あ る ため の 必 要 条 件(5.4.2)は

(5.4.2)'

と表 さ れ る*1.あ

るいは また

(5.4.5) で 定 義 さ れ る変 換 行 列(ヤ

で あ る か ら,上

コ ビ行 列)を 用 い れ ば

の 条 件(5.4.2)'は 

,す

な わ ち行 列 表 示 で

(5.4.6) と 表 さ れ る.   こ の 両 辺 の 行 列 式 を 計 算 す れ ば  =1ゆえdetM=±1

,す

列 は,(5.4.6)の

,し

な わ ち 変 換 行 列Mは

か る にdetΩ

正 則 で 逆 行 列 を も つ.そ

両 辺 に 左 と右 か ら そ れ ぞ れ Ω'とM-1を

の逆行

か けれ ば

(5.4.7) と 得 ら れ る.ま

た(5.4.6)を 

Ω を か け て Ω2=-Iを

と 書 き 直 し,こ

使 う と 

,さ

の式 の両側 か ら

ら に 右 か らtMを

かけて

(5.4.6)' と 表 す こ と も で き る(Ω=-Ω'ゆ

え Ω'を 用 い て も 同 様 に 表 さ れ る).

  条 件(5.4.2)と(5.4.6),

(5.4.6)'は

必 要 条 件 で あ る が,実

は 本 節 後 半(§5.4.3)で

等 価 で,と

も に正 準 変 換 で あ る ため の

見 る よ う に,こ

変 換 で あ る た め の 十 分 条 件 で も あ る こ と が 示 さ れ る.そ 準2形

式(シ

ン プ レ ク テ ィ ッ ク 形 式)を

の 条 件 は正準

れ ゆ え,正

準 変 換 を正

不 変 に す る変 換 と し て 定 義 し て も よ

い.

  と こ ろ で シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 上 で シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 形 式 を(4.2.2) の 形(標

準 形)に

す る 座 標 が 標 準 座 標 で あ る か ら(§4.2.1),結

局,正

と は シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 上 の 標 準 座 標 の 間 の 座 標 変 換 で あ り,そ 幾 何 学 的 に は シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 写 像(symplectic *1  数 学 書 で は(5

.4.2)'式

は φ*Ω=Ω

と書 か れ る こ と が 多 い.つ

 と こ ろ で 座 標 変 換 φ:  に 変 換 さ れ る,引 も の((1.6.23ab)式

そ れ ゆ え 条 件 φ*Ω=Ω

参 照),つ

map)と

準 変換 の ため

も い わ れ る.そ ま り任 意 のzに

し

たい して

に よ り, 

き戻 し 写 像 とは 変 換 さ れ た 関 数 を も と の 座 標 で 表 す

ま り

は,(5.4.2)'(5.4.6)と

同 じ こ と を 表 し て い る.

て そ の と き 条 件(5.4.2)'を (5.4.6)'は

シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件 と い う.ま

そ の シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件 の 行 列 表 現 で あ り,こ

す 正 則 行 列 を シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 行 列 と い う.し

た(5.4.6), の 条 件 を満 た

た が っ て 正 準 変 換 の 条 件 を,

「変 換 行 列 が シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク行 列 に な る こ と」 と い い 直 す こ と も で き る.   す で に 見 た よ う に 正 準 変 換 の 母 関 数 は 新 旧 両 変 数 を 含 ん で い る た め,あ 換 が 正 準 変 換 で あ る の か 否 か の 判 定 の 手 段 と し て は,多 い る よ り シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件,と が 直 接 的 で 便 利 で あ る.た 換 

くの 場 合,母

く に(5.4.2)の

と え ば(5.4.4)で

る変

関数 を用

形 の もの を用 い る ほ う

母 関 数 を用 い て 導 き 出 され た 変

は

で あ るか ら,母 関数 を使 わ な く と も正 準 変 換 で あ る こ とが 直 ちに 見 て とれ る.

  5.4.2  母 関 数 との 関 係  正 準 変 換 で あ る た め の 条 件 を シ ン プ レ クテ ィ ッ ク変 数Zで(5.4.2)'の に 表 す と,母 関 数 との 関 わ りが 不 透 明 に な るの で,そ

よう

の 点 に つ い て補 足 して お

こ う.  縦 ベ ク トル で表 した 正 準 変 

は正準方程 式

(5.4.8)

また は  を満 たす.こ

の 方 程 式 は,い

位 空 間,zを2n個

さ さか 技 巧 的 で あ るが,Mそ

の もの を2n次

元配

の一 般 化 座 標 とす る仮 想 的 な系 の ラ グ ラ ン ジア ン

(5.4.9) に た い す る ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式 と し て 得 ら れ た も の と考 え る こ と が で き る.し た が っ て(5.4.8)は

ハ ミル トン の 原 理

よ り導 か れ る(こ れ は2n個

の δzμ が 独 立 で か つ 端 点 で 

を 要 求 して い

るの で あ り,し た が って 相 空 間 上 の 修 正 され たハ ミル トン の 原 理 で,さ 点 で    同 様 に,変

ら に端

と限定 した もの に相 当 す る). 換 後 の 変 数Zが

同 型 の 正 準 方 程 式 を満 た す た め に は,変 換 さ れ

た ハ ミル トニ ア ン をK(Z,t)と

し て,新

しい ラ グ ラ ン ジア ン

が や は りハ ミル トンの 原 理

を 満 た さ な け れ ば な ら な い.し

た が って

(一般 に は被 積 分 関 数 は,λ を任 意 の 定 数 と してL*-λL*で =1の

よ い が,と

くに λ

もの の み を正 準 変 換 と い う).両 端 を 固 定 し て い る か ら,こ れ は 被 積 分

関 数 がzとZの

関 数 の全 導 関 数,す

なわ ち

で あ る こ と を示 して い る.こ こ で 

な ど に 注 意 す る と,

こ の 式 は,微 分 形 式 で 表 し て

(5.4.10)

こ の こ とは,変 数 変 換 

が

(5.4.11) を 母 関 数 とす る 正 準 変 換 で あ る こ と を 意 味 し て い る.   当 然 で は あ る が,(5.4.10)の

と な り,(5.4.2)',

  5.4.3 

(5.4.6)が

外 微 分 を と りd(dG)=0を

考 慮す る と

た だ ち に 導 か れ る.

正 準 変 換 で あ るた め の 十 分 条 件

 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件(5.4.2)な

い し(5.4.6)は,実

は正準 変換 で あ る

た め の 十 分 条 件 で も あ る.こ   旧 変 数zは

の こ と は 次 の よ う に 示 さ れ る.

正 準 方 程 式(5.4.8)を

満 た す.こ

こ で変 数 変 換

(5.4.12) に お い て 変 換 行 列  件(5.4.6),

が シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク条

(5.4.6)'を

満 た す と す る.こ

の 条 件 は Ω=-Ω

を使 って書 き直

せ ば

(5.4.13) こ こ にMは

正 則 で あ る か ら,上

式(5.4.12)は

逆 に 解 け てzβ=ψ

β(Z,t)と

表

さ れ る.   新 変 数Zの

満 た す 方 程 式 は,(5.4.12)を

微 分 し て(5.4.8)を

用 い ると

(5.4.14) た だ し,

 な ど は,す

こ で 

べ て 縦 ベ ク トル.こ

と記 す と

で あ る か ら,(5.4.13)す

な わ ち 

を 使 え ば,(5.4.14)は

(5.4.15) と表 さ れ る.   さ て証 明 す べ きこ とは,新 変 数Zが

正 準方程 式

(5.4.16) を 満 た す こ と,言

い か え れ ば 新 し い ハ ミル トニ ア ン と し て こ の よ う なK(Z,t)

が 存 在 す る こ と で あ る.   変 換 φ: 

が 陽 にtに

自体 が(5.4.16)を

与 え て い る か ら,す

  変 換 φ が 陽 にtに

よ ら な い 場 合 に は ∂φ/∂t=0で

あ っ て(5.4.15)

で に 証 明 は 終 っ て い る.

よ る 場 合 に は,(5.4.15),

(5.4.16)を

見 くらべ る と

(5.4.17) と な る 関数Fが

存 在 す る こ とが 示 され れ ば よ い.言 い か え れ ば1形 式

(5.4.18) を考 え た と きに,f=dFと   そ の ため にfの

な る関 数Fが

存 在 す る こ とで あ る.

外微分

を計 算 して み よ う.各 成 分 は

第1,第3項 え て,行

は 相 互 に キ ャ ン セ ル,ま 列 Ω の 反 対 称 性 

た 最 終 項 で は,ダ を使 う と

最 後 に ふ た た び シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件(5.4.6)を

で あ る こ とが わ か り,ポ こ と が で き る.す

ア ン カ レ の 補 題 よ り,あ

な わ ち(5.4.17)が

ミー 添 字 μν を 入 れ か

使 っ た.こ

るFが

示 さ れ,ZはK=H'+Fを

う して

存 在 しf=dFと

書 く

ハ ミ ル トニ

ア ン と す る 正 準 方 程 式 を満 た す.   以 上 で,正

準2形

式 の 不 変 性 す な わ ち シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件 が,正

準変換

で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る こ と が 示 さ れ た.   な お(5.4.17)は,上

と な る 関 数W(Z,t)が

と同様 に 考 え

存 在 す る こ と を 示 し て い る.し

た が っ て 新 し い ハ ミル

トニ ア ン は

(5.4.19) と書 け る.

 5.4.4  正 準 変 換 群  正 準 変 換 の全 体 が 群 を構 成 して い る こ とは,シ

ンプ レ クテ ィ ッ ク条 件 を使 え

ば簡 単 に 示 され る.正 準 変 換 の合 成 

,す

に た い す る合 成 変 換  換 行 列Mの

を満 たす.す

要 素 は,そ

なわち二つの正準変換

を考 え る.こ の 合 成 変 換 の 変 れ ぞ れ の 変 換 行 列 をM1,M2と

して

な わ ち 正 準 変 換 の合 成 は,シ ン プ レ クテ ィ ッ ク行 列 で あ る変 換 行

列 の 積 に よ り表 現 され て い る.   しか る に2n×2nの

シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク行 列 の 全 体 か ら な る 集 合Sp(n)は

群 を なす(こ の 群 をR2n上

で の 実 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク群 とい う).実 際

  (ⅰ) 

な ら ば  で あ るか ら

  (ⅱ)  Miは 行 列 で あ るか ら   (ⅲ)  I(単 位 行 列)に た い して   (ⅳ)  す べ て のM∈Spに

た い して 

(5.4.7)が

存 在 し,

 ゆ えM   し たが っ て,準

変 換Tの

  (ⅰ) 

全 体 か らな る集 合CTに

た い して も

な らば

  (ⅱ)   (ⅲ)  T0(恒 等 変 換)∈CT,   (ⅳ)  す べ て のT∈CTに が 成 り立 ち,CTそ

た い してT-1が

の もの が群 を なす.こ

存 在 し, 

れ を正 準 変 換 群 とい う.

5.5  正 準 不 変

式

 5.5.1  積 分 不 変 式  一 般 に どの よ う な変 換 も,変 換 の さ い に 不 変 に 留 ま る もの(不 変 量)に

よっ

て 特 徴 づ け ら れ る.そ

れ ゆ え 正 準 変 換 を 特 徴 づ け る も の は,正

て 不 変 な 量 で あ る.そ

れ ら を 正 準 不 変 式(canonical

  い ま  て い る.そ

invariants)と

が 正 準 変 換 で あ る と す れ ば,条 こ で 拡 大 相 空 間M×R上

準変換 にたい し い う.

件(5.3.6)を

の 任 意 の 閉 曲 線lに

満 た し

そ っ た(5.3.6)式

の 積 分 を考 え る と

(5.5.1) が 成 り 立 つ.し

たが っ て 積 分

(5.5.2) は 正 準 不 変 式 で あ る.こ で の 閉 曲 線lに

こ にd/dλ

と る こ と に よ り,な

はlの

接 ベ ク トル.さ

い しM上

ら にlを

で 考 え る こ と に よ り,積

同一 時刻 分

(5.5.3) も 正 準 不 変 式 で あ る こ と が わ か る.   逆 に,あ

る 変 換 

とな る 関数Wが

で 積 分(5.5.2)が

不 変 な らば

存 在 す るか ら,そ の 変 換 は確 か に正 準 変 換 で あ る.

  こ れ らの積 分 式 は,以 前 に 系 の 時 間 的 発 展 に た い し て不 変 で あ る こ とが 示 さ れ,そ

れ ぞ れ 「カ ル タ ンの 積 分 不 変 式 」 「ポ ア ン カ レ の積 分 不 変 式 」 と名 づ け

ら れ た も の で あ る(§5.2.2).例5.3.4で

見 た よ うに,正 準 方 程 式 に の っ とっ

た系 の 時 間 的 発 展 は正 準 変 換 の 一 種 で あ るか ら,正 準 変 換 に た い し て不 変 で あ れ ば 系 の 時 間 的 発 展 に た い し て も不 変 な こ とは 当 然 で あ る.

  5.5.2 

ラ グ ラ ンジ ュ括 弧

 ま た ス トー ク ス の 定 理 を 用 い れ ば,上

記 の 正 準 不 変 式(5.5.3)は

(5.5.4) と 表 さ れ る.た

だ しlで

メ ー タ を(ξ,η)と

し た.こ

囲 ま れ た 面 をA,ま こ で 閉 曲 線lは

た そ の 面 上 の 点 を指 定 す るパ ラ 任 意 で あ る か ら,双1次

式

(5.5.5) も正 準 不 変 式 で あ り,こ

れ は 双1次

共 変 式(bilinear

こ こ に δ は ξ の 変 化 に よ る 微 分 を,δ'は   も ち ろ ん 上 式 の()の ジ ュ 括 弧(Lagrange

covariants)と

η の 変 化 に よ る微 分 を 表 す.

中 の 量 自体 も正 準 不 変 式 で あ る.こ bracket)と

い わ れ る.

い い,〔 ξ, η〕で 表 す.す

の量 をラ グラ ン

なわ ち

(5.5.6) (p,qの 順 序 を逆 に 定 義 して い る テ キ ス トが 多 い の で,注 意 す る よ う に).上 の 議 論 よ り明 らか な よ うに,ラ

グ ラ ン ジュ 括 弧 は 座 標 系 に よ ら な い形 で は

(5.5.7) と 表 す こ とが で き る.と と し た と き,ラ

く に座標

をz=(q,p)に

と り, 

グ ラ ン ジ ュ 括 弧 は(5.5.6)の

よ う に 表 さ れ,こ

の こ

と を と くに 〔ξ, η〕zな い し 〔ξ, η〕(q, p)のよ う な 書 き 方 を す る.   ま た ξ,η は 任 意 で あ る か ら,と

くに 正 準 変 数 に と っ た も の,す

な わち

(5.5.8) を 基 本 ラ グ ラ ン ジ ュ 括 弧 と い う.ち 変 数 で は な い)座 (4.2.4)は,ラ

標(x1,x2,…,x2n)を

な み に,相

空 間 の 座 標 と し て 一 般 の(正

と っ た と き の 正 準2形

準

式 の 成 分 ωμν

グ ラ ン ジ ュ括 弧 を用 い る と

(5.5.9) と 表 さ れ る.   基 本 ラ グ ラ ン ジ ュ 括 弧 が 確 か に 正 準 不 変 式 で あ る こ と は,直

接的 には次 のよ

う に 示 さ れ る.   一 般 の 変 数 変 換  をz=ψ(z0)と

表 し, 

に と も な う ラ グ ラ ン ジ ュ括 弧 の 変 換 式 は 同 様 にg(z)=g(z0)と

,逆

して

変換

た だ し こ こ で は, 

.し

た が っ て 基 本 ラ グ ラ ン ジュ 括 弧

の変 換 式 は

  と くに 変 数 変 換 が 正 準 変 換 の 場 合,変

換 行 列M=(Mμ

ν)は条 件tMΩM=Ω

を満 たす ゆ え,基 本 ラ グ ラ ン ジ ュ括 弧 は 不 変 に保 た れ る.ま た逆 に,基 本 ラ グ ラ ン ジ ュ 括 弧 を不 変 に す る変 換 で あ れ ば,変 換 行 列 は 

を満 た す か

ら,そ の 変 換 は正 準 変 換 で あ る.し た が っ て 基 本 ラ グ ラ ン ジ ュ 括 弧 の 不 変 性 が,正

準 変 換 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 に な る.

  また上 式 よ り,変 数 変 換 

が正 準変換 であれば

が 成 り立 つ.

  5.5.3 

斜

交

積

 と こ ろ で

は,そ

れ ぞ れ2次

あ る が,ξ,η

元 曲 面 上 の 

.と い う曲 線 の 接 ベ ク トル で

は 互 い に 独 立 で あ る か ぎ り任 意 の パ ラ メ ー タ で あ る か ら,そ

ぞ れ を 任 意 の ベ ク トル で 置 き か え て も よ い.そ

こ で そ れ ら を2個

で 置 きか え た もの 

れ

の ベ ク トル

,す な わ ち

(5.5.10) を ベ ク トルu,υ

の 斜 交 積(skew

product)と

い う.こ

れ は 歪 対 称 ・双 線 形 で あ

る:

(5.5.11)

  も ち ろん 斜 交 積 は2個

のベ ク トル(反 変 ベ ク トル)u,υ

の2形

式(2階

共変

テ ン ソ ル)に よ る写 像 で あ る か ら,配 位 空 間 の 局 所 座 標 系 の 変 換(点 変 換)に た い して不 変 で あ るが,上 の 議 論 か ら して,よ 変 な の で あ る.こ の こ とは 直 接 的 に は,次   座 標 変 換 

に と もな っ て,ベ

の よ う に 書 き直 さ れ る とす る(υ

と 変 換 さ れ る(こ

る か ら,斜

の よ う に示 さ れ る.

ク トルuが

も 同 様).す

).こ

数 変 換 

とも

の と き斜 交 積 は

が 正 準 変 換 な ら ば,tMΩM=Ω

で あ

交 積 は 確 か に 正 準 不 変 式 で あ る.

  こ の 斜 交 積 は,正

準2形

式 Ω を も つ 相 空 間Mに

シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 内 積 と も い わ れ る.計 (N,g)の

な わ ち そ の 成 分 はu,υ

こ で は 

の よ う に 変 換 さ れ る.変

り広 い正 準 変 換 に た い して も不

量 テ ン ソ ルgを

座 標 変 換 が リー マ ン 内 積を

る よ う に,シ

お け る 一 種 の 内 積 で あ り, も つ リー マ ン 空 間

不 変 に す る こ と で特 徴 づ け られ

ン プ レ ク テ ィ ッ ク 形 式 Ω を も つ シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 空 間(M,Ω)

の 座 標 変 換 が,シ

ン プ レ ク テ ィ ッ ク 内 積<Ω￨u,υ>を

不 変 に す る こ とで 特 徴 づ

け ら れ る の で あ る.

  5.5.4 

リ ュ ウ ヴ ィ ル の 定 理(再

論)

  と こ ろ で,シ

ン プ レ ク テ ィ ッ ク 条 件tMΩM=Ω

が 得 ら れ る(こ

こ にdetΩ=1を

使 っ た).と

の 両 辺 の 行 列 式 を とれ ば

こ ろ が 実 は,変

換行列 は

(5.5.12) を満 た す.こ   2n個

の こ とは,斜 交積 を使 え ば 次 の よ うに 証 明 で き る.

の 独 立 なベ ク トル(縦 ベ ク トル)を 

の ベ ク トル を正 準 変 換 し た も の を 

,ま た そ れ ぞ れ と し,こ れ ら を列 成 分 とす る

行 列 を 

で 表 す.こ

の とき

(a) 他 方 

は,斜

素 と す る2n×2n反

対 称 行 列 で あ り,detΩ=1ゆ

交 積[u(α),u(β)]sを(α,β)要 え,こ

の 両 辺 の行 列 式 は

しか る に偶 数 次 の 反 対 称 行 列 の 行 列 式 は そ の 要 素 の 多項 式 の2乗 したが っ てdetuは か らdetuも

に 等 し い*1.

斜 交積 の 多項 式 で あ る.し か も斜 交 積 は正 準 不 変 量 で あ る

正 準 不 変 式 で あ る.す な わ ち

(b) 上 の(a)(b)を

比 べ てdetM=1.

 この こ とは相 空 間 の体 積 要 素

が正 準 不 変 式 で あ る こ と を示 して い る.実 際,正 準 変 換

に と も な っ て この体 積 要 素 は

と 変 換 さ れ る.右 が,そ …

辺 で は α,β,…,ν の2重

添 字 は1か

れ ら の う ち 等 し い も の が あ れ ば 外 積 が0に

,ν)が(1,2,…,2n)の

な る か ら,結

置 換 に 等 し く な る 項 だ け 残 る.右

外 積 の 順 序 を 入 れ か え,さ

ら にdetM=1を

ら2nま

での 和 を と る 局,和

は(α,β,

辺 の この 残 った 項 の

使 えば

(5.5.13) と な り,正 準 変 換 に た い して 体 積 要 素 は(向

き を含 め て)確 か に 不 変 で あ る.

 次 の よ うに考 え て も よい;

*1  た と え ば 『2次 形 式 』(p .220脚

注2)定

理4.7,『

線 型 代 数 学 』(p. 220脚

注2)p.

81参 照 .

以 下 同 様 に して,n個

の Ω の 外 積 に た い して

(5.5.14) と こ ろが Ω は正 準 変 換 で 不 変 ゆ え,体 積 要 素dVも

不 変 で あ る.

  と くに正 準 変 換 が 系 の 時 間的 発 展 で あ る と き,こ の 結 果 は 時 間 的 発 展 に た い し て相 空 間 の 体 積 が 不 変 に な る と い う リュ ウ ヴ ィ ル の 定 理(§4.4.4)を

表 し

て い る.   た とえ ば,正 準 方程 式 が

で与 え られ る調 和 振 動 子 を考 え る.(q0,p0)を

こ の 場 合, 

初 期 条件 とす る解 は

の 変 換 が 線 形 変 換 ゆ え,こ

(∂z/∂z0)であ り,直 接 た しか め ら れ る よ う にdetM=1.こ の4点 

のMが

変 換行 列

の変換 で相 空 間上 を 頂 点 とす る 面 積

⊿ q⊿pの 長 方 形 内 の 点 を始 点 とす る解 は,時 間tの 後 に

を 頂 点 と す る4辺 る.

形 に 移 り,そ

の 面 積 は(detM)⊿q⊿p=⊿q⊿pで,不

変 で あ

索

引

第I巻:1∼305頁,第II巻:307∼577頁.

ア

行

運 動 方程 式 R3内 で の ―

 15, 19

R(3)  339

円錐 振 子 の―

ア イ コナ ー ル方 程 式  371

回転 座 標 系 で の―

ア イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約  6

球 面 振 子 の―   10, 103 極 座 標 で 表 した―   108

ア トラ ク タ ー  237 ア ー ノ ル ドの定 理  430

  23   109

ケ プ ラ ー運 動 の―

  192

ア フ ィ ン接 続  31

減 衰 振 動 の―

ア フ ィ ン変 換   344

相 対 論 的―

安 定(力

電 磁 場 中 の荷 電 粒 子 の―   110, 147, 559 ニ ュ ー ト ンの ―  1,5, 155, 535

学 系 の 解 の)  227

鞍 点  236

 239, 292, 396  560, 562

配 位 空 間 で の― E(3)  340, 538 ― ― ―

に付 随 す る リー代 数   344, 350 の1径 数 部 分 群  342 の 無 限 小 変 換   342

1形 式,1次

外 微 分 形 式   82

1径 数 正 準 変換,1径

数 正 準 変換 群   292, 311

1径 数 部 分 群   61, 308, 340 E(3)の ―  342 SO(3)の

 8

運 動 量  120

―  342

1径 数 変 換 群   50, 226, 308, 328 1次 拘 束 条 件,1次

の拘 束 量  499

―

積 分   130, 191

―

保 存 則   124, 130

AGS(交

換 勾 配 シ ン ク ロ トロ ン)  251

HJ方 程 式(ハ

ミル トン-ヤ コ ビ 方程 式)  358

SI単 位 系   110 SO(3) 

339, 538

―

に付 随 す る リー代 数  344, 348

― の1径 数 部 分 群  342 SO(3)×SO(3)  350

1ベ ク トル  66 一 般 化 運 動 量   120

永 年 項   461

SO(4) 

350

一 般 化 座 標  4

永 年 摂 動   455, 461, 468

一 般 化 速 度   43 一 般 化 ポ テ ン シ ャ ル  110

永 年 変 化   461 エ デ ィ ン トンの イ プ シ ロ ン  78

一 般 化 力  7

エ ネ ルギ ー 積 分  126

井 戸 型 ポ テ ン シ ャル   425

エ ネル ギ ー 保 存 則   126, 195 遠 心 力   109

上 へ の1対1写 運 動 の第1法

像  38 則   535

運 動 の 第2法 則   535 運 動 の 第3法 則   536, 562

― ポ テ ン シ ャ ル  110, 263, 355, 397 円 錐 振 子  23 O(3)  339, 535

オ イ ラー 角  117

ガ リ レ イ ・ブ ー ス ト  189, 536

オ イ ラー の こ ま  245, 409

ガ リ レ イ変 換   191, 290, 536 カ ル タ ンの 原 理  283

オ イ ラー 方 程 式 剛 体 の 回 転 につ い て の― 剛 体 の 自 由 回転(オ ―  245

  118, 153

イ ラ ー の こ ま)の

換 算 質 量   130 慣 性 運 動   20, 203 慣 性 系,慣 性 座 標 系   535

対 称 な こ まの 自 由 回転 の―

 413

変 分 法 の ―   175, 206 オ イ ラー-ラ グラ ン ジュ 方 程 式   175 応 力,応 力 テ ン ソ ル  76 カ

慣 性 主 軸   116 慣 性 テ ン ソ ル  116 慣 性 の 法 則   20, 535 相 対 論 的 な―

行

  566

慣 性 力   109 完 全 解(HJ方

程 式 の)  364

解 曲 線   49

完 全 可 積 分,完 全可 積 分系   400

外 積   74

完 全 形 式   91

回転 運 動 と しての ― 空間の―

 265, 418

簡 約(相

空 間の)  351, 517

簡 約(配

位 空 間 の)  128

 124, 323, 338

剛体の―  113 ベ ク トル場 の― 

幾 何 学 的 対 象  30, 39 90

幾 何 学 的対 称 性   189

回 転 対 象   124 外 微 分   88

幾 何 光 学   370

ガ ウ ス単 位 系   110 ガ ウス の 定 理(発 散 定 理)  97

擬 ス カ ラ ー  79

角 運 動 量   113, 120, 124 ― 保 存 則   124 , 130, 193

基 底 場   47

角 速 度   115, 117, 245

軌 道 面 傾 斜 角  131, 407

拡 大 状 態 空 間  169, 531

軌 道 要 素 の摂 動 方 程 式  458 擬 ベ ク トル  79

拡 大 相 空 間   217, 531

擬 座 標   150, 158 擬 速 度   150, 158 擬 テ ン ソ ル  79

拡 大 配 位 空 間  167, 195 ― 上 の ラ グ ラ ン ジ ア ン  168 ,531

基 本1形 式,基 本2形 式   145, 169, 177, 196

角 変 数   420, 435

基 本 ラ グ ラ ンジ ュ括 弧  301

隠 れ た 対 称 性   189, 192, 334, 336, 439

吸 引 領 域  237

基 本 ポ ア ソ ン括 弧   315

カ シ ミヤ 演 算 子  348

求積 法  399

渦 状 点   233

球 面 振 子   11

渦 心 点   234

強 集 束   250

仮想仕事 6 ― の原理 7

共 変 性  25, 130, 542 ガ リ レ イ―  537

仮 想 変 位   6, 102, 154

ラ グ ラ ンジ ュ 方 程 式 の―

仮 想 ポ テ ン シ ャ ル(拘 束 力 に た い す る)  154, 180

共 変 テ ン ソ ル  28, 71, 548

加 速 度   8, 15, 34

共 変 ベ ク トル  27, 68, 548

括 弧 積   343 可 分 離,可 分 離 系   406 ガ リ レ イ共 変 性  537

共 鳴   476

ガ リ レ イ群  538 固有―

 538

斉次―  538 ガ リ レ イ代 数  539 ガ リ レ イの 相 対 性 原理   537

  106

共 変 微 分  33

共 約   438 共 役   120 共役 空 間  66 局 所 座 標,局

所 座 標 系   4, 37

極 値 曲線   165 近 日点 引数,近 地 点 引数  135, 194, 408 近 日点 経 度  463

空 間 成 分   548

剛 体   113

く まで 型 分 岐   266 グ リー ンの 定 理  97

―

の 回 転 の 方 程 式   118, 153

―

の 自由 回 転   245

ク ロ ネ ッ カー の デ ル タ  10, 78

交 代 化,交 代 化 作 用 素   73

ク ー ロ ン力  387, 390

交 代 勾 配 シ ン ク ロ トロ ン(AGS)  交 代 積  74

群  50

251

交 代 テ ン ソル   72 KAM定

理  478

剛 体 振 子   180, 417

系 が 許 容 す る写 像   187

勾 配(ス

計量

カラ ー 場 の)  90

―

テ ン ソ ル  29, 85, 215, 549

古 典 力 学 的 因 果 律   105 コベ ク トル   66

―

場   216

固 有 ガ リ レ イ群   538

不定―

 550

固 有 時  550

ヤ コ ビ―  201 リー マ ン―  85, 215

固 有 値 問題   331 固 有 ロ ー レ ン ツ群   551 コ リ オ リ力  109

経 路   118 経 路 積 分(フ ァ イ ン マ ンの)  383 ゲ ー ジ 軌 道   525

コ ワ レフ ス カ ヤ の こ ま  409 サ

ゲ ー ジ 固 定   525 ゲ ー ジ 自由 度   522

歳 差 運 動   140

ゲージ変換

最 小 作 用 の 原 理   199

拘 束 系 の―

 522

電磁 場 の―

 112, 291, 557

ラ グランジアンの ―

作 用   196  112

結 節 点  234 ケ プ ラ ー 運 動,ケ プ ラ ー問 題   133, 193, 408 ―

行

と縮 退  440

作 用 積 分   165 拡大相空 間上の―

  276

拡 大配 位 空 間 上 の ―

  171

相 空 間 上 の―   273 作 用 ・反 作 用 の 法 則   114, 536, 562

―

とヤ コ ビ の原 理  206

―

の 作 用 変 数 ・角 変 数   440

作 用 変 数  421, 434 3次 元 回 転 群(R(3)) 

339

―

の 摂 動 方 程 式  457

3次 元 直 交 群(O(3)) 

339

― ―

の 対 称 性   193, 349 の 調 和 振 動 子 との 関 係   334

3次 元 特 殊 直交 行 列 群(SO(3)) 

―

の ハ ミル トニ ア ン  440, 441

3次 元 ユ ー ク リ ッ ド群(E(3)) 

― の ラ グ ラ ン ジ ア ン  193, 334 ケ プ ラ ー の 軌 道 要 素   135, 408, 457

3次 元 並 進 群(T(3)) 

G-不 変   329, 351

ケ プ ラ ー の 第1法 則   135, 408 ケ プ ラ ー の 第2法 則   133, 206

時 間 成 分  548

ケ プ ラ ー の 第3法 則   136

時 間 に依 存 す る 摂 動   446 自己 共 役 演 算 子   329, 448

ケ プ ラ ー 方 程 式   137

時 間 に依 存 しな い 摂 動   446, 475

減 衰 振 動  239, 292, 396

事 象   534 指 数 型 の 相 互 作 用  410

交 換 子  55, 449 光 線  370

指 数 写 像   61, 308, 320, 342

構 造 安 定   257

実 効 ポ テ ン シ ャル  132

構 造 定 数(リ

実 シ ン プ レク テ ィ ッ ク群  299

ー 代 数 の)  57

拘 束 系  499 ―

の ラ グ ラ ン ジ ュ 方 程 式   155

拘 束 条 件  4, 153, 499 拘 束力   5, 18, 20, 154

339

340

自然 基 底   45, 81

弱 集 束   143 斜 交 積   302, 314 周 期   227, 418, 421, 435 ケ プ ラ ー 運 動 の―   136, 409

340

周期運動

正 準1形 式   215, 217

  418

周 期 解  227 重 心 積 分   130, 190

正 準 運 動 量   212

重 心 定 理   130

正 準 座 標   212

修 正 ラ グ ラ ン ジ ア ン  128

正 準 摂 動 法   468 正 準2形 式   218

正 準 化   493

自 由度   5 ―

正 準 不 変 式   300

の削 減  128, 283, 351

自 由粒 子 の ラ グ ラ ン ジ ア ン  203, 367 ―(相 対 論 で の)  565 主 慣 性 モ ー メ ン ト  116 縮 退   438 2次 元 ケ プ ラ ー 運 動 と― 2次 元 調 和 振 動 子 と― 縮 約(テ

  440   443

ン ソル の)  548

受 動 的 な変 換   309 シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ーの 量 子 化  381 シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 表 示   451 シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 方 程 式  381, 452

正 準 変 換   287 ―

で あ る ため の十 分 条 件   296

― ―

で あ る ため の必 要 条 件   293 であ る ため の 必 要 十 分 条 件  298

,302, 315

正 準 変 換 群   299 正 準 変 数   212 正 準 方 程 式   212 ―

の 局 所 座 標 系 に よ らな い 表 現  221, 279

拡大相空間上の―  278, 532 ポ ア ソ ン括 弧 で 書 か れ た― 

318

正 準 力 学   215

循 環 座 標   121

正準 力 学 系   225, 255

準 周 期 的,条 件 付 き周 期 的   437 昇 交 点   407

斉 次 ロ ー レ ン ツ群  552 生 成 関 数(ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル場 の)

昇 交 点 経 度   131, 407 状 態 空 間   105

正 則(ラ

焦 点   235

世 界線  554

章 動   140

積 分 曲 線  49

衝 突 径 数   387 ジ ョ ル ダ ン標 準 形,ジ ョル ダ ン ・ブ ロ ッ ク  233

接 空 間  44

自律 系,自

接 触 軌 道 要 素   458

励 系   225

自励 振 動   494

  223 グ ラ ン ジ ア ンが)  105, 209, 498

積 分 不 変 式   281, 300

接 続,接

続 係 数  31

真 近 点 離 角   135, 408 シ ン ク ロ トロ ン  141

絶 対 時 空 の 前 提   535 絶 対積 分 不 変 式(ポ ア ン カ レの)  281, 300

振 動   264, 418

摂 動,摂

動 法   446

シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク行 列  295

摂 動 関 数  459

シ ンプ レ ク テ ィ ッ ク形 式   219

接 バ ン ドル  46

シ ンプ レ ク テ ィ ッ ク写 像   294 シ ンプ レ ク テ ィ ッ ク条 件  295

接 ベ ク トル  45 ゼ ー マ ン効 果  480

シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク多 様 体   219

遷 移振 幅   382

シ ンプ レ ク テ ィ ッ ク内 積  303, 314

線 運 動 量   120

シ ンプ レ ク テ ィ ッ ク変 数  220

漸 近安 定(力

学 系 の 解 の)  227

線 形 化 方程 式(不 水 星 の 近 日点 移 動   462, 465 ス カ ラー  25, 548

線 形 力学 系   331 全 射  38

ス ク レ ロ ノ ー マ ス  4, 100 ス トー クス の 定 理   96, 97

線 積 分  93

動 点 の まわ りの)  230, 255

全 単 射  38 全 導 関 数  83

正 規 直 交   76

全 ハ ミル トニ ア ン  508, 569, 572

整 合性 の 条 件   502

全 微 分  82

静 止 エ ネ ルギ ー  555

全 変 分   173

斉 次 ガ リ レ イ群   538

―

と 正準 摂 動 法   478

双 曲不 動 点  236

―

と定 数 変化 法  453

相 空 間  214 ― の体 積 要 素   304

―

と ハ ミル トンの 原 理   181

双1次

共 変式  301

ダ ラ ンベ ー ル の原 理  102

相 互 作 用 表 示   452

ダ ル ブ ー の定 理  219, 519

双 線 形 性   56, 316

単 射  38

双 線 形 写 像   70

短 周 期 摂 動   468

相 対 性 原 理   542 ガ リ レ イの ― 特殊―

断熱 減 衰  427  537

断熱 定 理  423

  553

断熱 不 変 性  423

相 対 積 分 不 変 式(カ

ル タ ンの)  281, 300

相 対 論 的 運 動 量   562

力 の モ ー メ ン ト  114, 153

相 対 論 的 運 動 方程 式   560, 562 相 対 論 的 な慣 性 の 法 則   566

地 球 の 偏 平 性   460 中心 力   129, 354, 406

双 対 基 底   67

長 周 期 摂 動   468

双 対 空 間   66

長 半 径   135, 408

双 対 内 積   69, 81

調和振動子

相流

  50, 226

測 地 球  376 測 地 線   20, 202 ―

の 方 程 式   20, 35, 203

測 地 的 曲率   19 測 地的 距 離,測 地 的 に等 距 離  375 測 地 場  357, 361 速 度 の 合 成 則(ロ

―

固 有 値 問 題 と して の扱 い   332

― ―

と縮 退   443 と リ ュ ウ ヴ ィル の定 理  305 ,323

― の ケ プ ラ ー問 題 と の 関 係   334 ― の 作 用 変 数 ・角変 数  425 ― ―

ー レ ン ツ 変換 に お け る)  547

の 対 称 性   191, 347 の ハ ミル トニ ア ン  127

ゾ ンマ ー フ ェ ル トの 原 子 模 型   575 タ WKB近

行

似  382

,323, 332, 369,

398, 425, 443 ― の ハ ミル トン の主 関数  370 の ラ グ ラ ン ジ ア ン  191

―

等方―

 191, 347

直 交 行 列   339

第1基 本 形 式   14

沈 点   236

第1基 本 量   14 球 面 の―

  22

強 い 等 式   502

第1積 分  119 第1種

ク リ ス トッ フ ェ ル記 号  9, 15

球 面 の―

第1種 の 拘 束 条 件,第1種 対称 性   123 ケプラー運動の―

δ-変 分  173, 267 T(3)  340

  11 の 量   511

 349

等 方 調 和振 動 子 の ―

 191, 347

T(4)  538 定 数 変 化 法   446 ― の 基 礎 方 程 式   447 デ ィ ラ ッ ク括 弧  514

対 称 テ ン ソル   71

デ ィ ラ ッ クの 予 想   524

― ・カ レ ン ト 192, 334 第2基 本 形 式   17

デ イ ラ ッ クの 量 子 化   329, 381

第2基 本 量  16

停 留 曲 線   165

第2種 ク リス トッ フ ェ ル記 号   10, 15

電 荷 保 存 則  556

球 面 の―

 22

第2種 の拘 束 条 件,第2種

デ ィ リ ク レの ひ き出 し論 法   437

電 磁場 テ ン ソル   558 の量   511

楕 円不 動 点  234 多重 周期 運動  430 ダ フ ィ ン振 動 子,ダ フ ィ ン方 程 式   180

電磁 場 の ゲ ー ジ変 換   112, 291, 557 テ ン ソル  28, 71, 78, 548 テ ン ソル 積  70 テ ン ソル 場  84

伝播 関 数   382

ケプ ラー 運 動 の ―

点 変 換   106, 170, 289

減衰振動の―

 440, 441

等 エ ネル ギ ー 面   197, 261

剛 体 振 子 の ―   417 こ まの―  409

  292, 396

等 価 な ラ グ ラ ン ジ ア ン  112, 186

ダ フ イン振 動 子 の ―

等 時性  423

中 心 力 の も とで の 運 動 の ―

同 相 写 像  38

調和振動子の―

特 異 点(力

425, 443 電磁場中の荷電粒子の―

学 系 の)  227

特 異 ラ グ ラ ン ジ ア ン  498 特 殊 相 対 性 原 理   553

同(相

特 殊 相 対 性 理 論   553

  453   403, 406

  127, 323, 332, 369, 398,

対 論 的 な)―

  127, 291

  567

2体 相 互 作 用 の ―   353 ベ ー タ トロ ン振 動 の ―  426

戸 田 格 子  410

マ グ ネ トロ ン内 の 電 子 の―

ド ・ブ ロ イ波  205

  442

モ ー ス ・ポ テ ン シ ャ ルの も とで の 運 動 の ナ

行

― 

内 積   27, 85, 215 内 部 積  88

ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル場  223, 314

長 岡-ラ ザ フ ォー ド原 子 模 型  479 流 れ   50, 226 2次 拘 束 条 件,2次

427

量子力学の―  449 ハ ミル トニ ア ン ・フ ロ ー  257, 311 ハ ミル トニ ア ン力 学 系   225 ハ ミル トン形 式 の 力 学   215 ハ ミル トンの 原 理  165 ,171

の拘 束 量   506

2ベ ク トル  72 ニ ュー トン力 学   1,534

修 正 され た―  275, 500 ハ ミル トンの 主 関 数  184 ,291, 363 HJ方 程 式 の 完 全 解 との 関 係   367 一 様 な重 力 の も と で の運 動 の―   385

ネ ク タ イ ・ダ イヤ グ ラ ム  253 ネー ター ・カ レ ン ト  188, 192

自由 粒 子 の ―

ネー ター の 定 理   123, 185, 188 相 空 間 に引 き上 げ られ た―

 368

調和振動子の―  370 ハ ミル トンの 特 性 関数   199, 363

 328

ね む りご ま  140

HJ方 程式 の 完 全 解 との 関 係  378 一様 な重 力 の も と で の運 動 の ―   386

能 動 的 な 変 換   309

幾 何 光 学 にお け る― ハ

 372

自由 粒 子 の ―  368, 378 ハ ミル トンーヤ コ ビ方 程 式(HJ方 程 式)  358 一様 な重 力 の も と で の 運 動 の ―  383

行

配 位 空 間   4, 101, 154 ハ イゼ ンベ ル クの 運 動 方 程 式   329, 449

簡 略 化 さ れ た―

ハ イゼ ンベ ル ク表 示  449

 362

自 由粒 子 の―  368, 378 ケ プ ラ ー運 動 の―  441

ハ ウ ス ドル フ空 間  38 波 数 ベ ク トル  371

ク ー ロ ン場 中 の荷 電 粒 子 の 運 動 の ―

発 散(ベ

減 衰 運 動 の―

ク トル場 の)  90

  397

波 動 関 数  380, 449

中心 力 の も と で の 運動 の―

波 動 方 程 式   370

調 和 振 動 子 の―

波 動 力 学  380 ハ ミル トニ ア ン,ハ ミル トン関 数   125, 211 ― が 不 変  329 一 様 な 重 力 場 中 の 運動 の ―

 362

反 変 テ ン ソ ル  28, 71, 548  320

,383

回 転 す る リ ン グ に そ って 動 く質 点 の―   263 極座標表示での―

保 存 系 の― 汎 関 数   165

 369

p形 式,p次

  290, 406

クー ロ ン場 中 の荷 電 粒 子 の 運 動 の ―

反 変 ベ ク トル  26, 68, 548

 388

外 微 分 形 式   86

pベ ク トル  73 PLK法   181, 455

  406

 388

引 き 戻 し  51

変 分 法 の 基 本 公 式   175, 197, 268

微 細 構 造   577 非 斉 次 ロ ー レ ン ツ変 換  552

相 空 間 に持 ち上 げ ら れ た―

 269, 278

変 分 問 題   166

微 積 分 法 の 基 本 定 理   96 非 線 形 格 子  410

ポ ア ソ ン可 換  325

左 移動   57

ポ ア ソ ン括 弧  314

左 不 変 ベ ク トル場   58

運 動 量 成 分 の―

 322

微 分  80

拡 大相 空 間 の―

 532

微 分 可 能 多 様 体  37 微 分 散 乱 断 面積  390

相対論的―  574 レ ン ツ ・ベ ク トル 成 分 の―   350

微 分 写 像   51

ポ ア ソ ンの 定 理  330

微 分 同 相 写 像  39

ボ ー アーゾ ンマ ー フ ェ ル トの 量 子 条 件  423, 576

非 保 存 系   395 非 ホ ロ ノ ミッ ク な拘 束   157, 161

ポ ア ン カ レ群  552

標 準 座 標 系   219

ポ ア ン カ レ写 像  243

秤 動  264

ポ ア ン カ レ断 面   243 ポ ア ン カ レ の 再帰 定 理  262

フ ァラ デ ー 形 式   559

ポ ア ン カ レ の補 題  92, 99

フ ァ ン ・デ ル ・ポ ル 方程 式   494

ポ ア ン カ レ ・プ ロ ッ ト  243 ポ ア ン カ レ変 換  545

フ ェ ル マ ー の 原 理  205, 373 フ ォ ン ・ツ ァ イペ ル の摂 動 法   469, 482 フ ッ ク型 ポ テ ン シ ャ ル   134, 349, 397

相空間上 の―  573 ポ ア ン カ レ方 程 式   151

不 定 計 量   550

ホ イヘ ン ス の原 理  373

不 動 点   227 部 分 群   50

力 学 にお け る―  377 法 曲 率,法 曲率 半 径  19

不 変(ハ

ミル トニ ア ンが)  329

包 合   325

不 変(ラ

グ ラ ン ジ ア ン が)  123

方 向 微 分  41

不 変 集 合   227, 261, 351, 401 不 変 トー ラ ス  430 フ ロ ー  50, 226, 257

方 向 微 分 作 用 素  42 母 関 数(正 準 変 換 の)  289 ガ リ レ イ変 換 の―  290

分 岐  237

極 座 標 へ の 変換 の―

分 離 枝  265, 418

恒 等 変 換 の―

平均 運 動  136, 409

点変換の―  289 ポ ア ン カ レ変 換 の―

平 均 近 点 離 角  136 閉 形 式  91 平 行 移 動(曲

面 上の ベ ク トル の)  31

平 行 移 動(空

間 と時 間 の)  124, 190

 573

保 存 系   125, 195 ― ―

で の ワ イ ス の 原理   199, 363 の ハ ミル トン-ヤ コ ビ方 程 式   362

保 存 則   119

平 衡 解   227

保 存 場  92

― の 安 定 ・不 安 定  233 ベ ク トル3 重 積  79

ホ ッ プ分 岐   238, 495

ベ ク トル積  79

 289

 289

ポ テンシャル 一般化―  110

ベ ク トル 場  47

井 戸 型 ― 

ベ ー タ トロ ン  141

遠心力―  263, 355, 397 ク ロ ー ン ・―  387

ベ ー タ トロ ン振 動   143, 248, 426 ベ ル トラ ン の定 理   134 ,440

425

拘 束 力 に た い す る 仮 想―

  154, 180

変換 群   307, 328

実効―

変 分   165

水 星 に働 く木 星 の 重 力 の― ダ フ ィン振 動子 の―  455

変 分 原 理   166

  132   463

地球の重力場の― 中心力―

 460

ヤ コ ビ の 原理  200 ヤ コ ビ の恒 等 式  56, 316

  110, 129, 403

電 磁 場 中 の 荷 電 粒 子 の―

  111

電 磁場の―  556 ニ ュ ー トン ・―  134 ,408 フ ッ ク型 ― モー ス ・ ― 4元 ―

 134, 349, 397

ヤ コ ビ の定 理  365, 394 湧 点  236 ユ ニ タ リー変 換  329, 450

  427  556

4次 元 座 標   544

掘 ・デ プ リ ・カ ー メ ル の摂 動 法  486 ホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束  4, 153, 178 マ

行

4次 元 並 進 群   538 余 接 空 間  79 余 接 バ ン ドル  81, 213

マ グ ネ トロ ン  442

弱 い等 式   502 4元 運 動 量  555

マ シュ ー 方 程 式   480

4元 速 度   554

マ ッ クス ウ ェ ル形 式  559

4元 電 流 密 度   556

マ ッ ク ス ウ ェ ル の方 程 式  558

4元 ポテ ン シ ャ ル  556 ラ

ミ ン コ フス キ ー空 間  550

行

ミ ン コ フ ス キ ー方 程 式  562

ラ イ プ ニ ッツ の 規 則  42, 90, 316

向 きづ け が 可 能  95

ラ ウ シ ア ン  128, 196 ラ グ ラ ン ジ ア ン,ラ グラ ン ジュ 関 数  104 ― が 不変   123

無 限 小 回 転  341 無 限 小 ガ リ レ イ ・ブ ー ス ト  189 無 限 小 ガ リ レ イ変 換  539

― の ゲ ー ジ変 換   112 鉛 直面 内 の 振 り子 の―  509

無 限 小 正 準 変 換   311

回 転 す る リ ング にそ って 動 く質点 の―

無 限 小 平 行 移 動   190, 343

拡 大 配位 空 間 上 の ―   168, 531 仮 想 ポ テ ン シ ャル を含 め た ―  155

無 限 小 ポ ア ン カ レ変 換  552 無 限 小 ロー レン ツ ・ブ ー ス ト  545 無 限 小 ロー レ ン ツ変 換  551

極 座 標 で 表 した―

無 限 に 多 価 な第1積 分  284, 333, 437

ケプラー運動の―

無 視 し う る座 標   128

減 衰 振 動 の―

面 積 速 度   133

  108

ク ロ ー ン力 の も とで の 荷 電 粒 子 の ―

剛体 の 回転 の―

 262

 387

  193, 334

  292, 396   117

固定 円 筒状 をす べ らず に転 が る円 筒 の ―   159

面 積 分   93

自 由粒 子 の ―   モ ー ス ・ポ テ ン シ ャ ル  427 モ ー ペ ルチ ュ イの 原 理  199 モ ー メ ン ト関 数  123, 145, 313 ア フ ィ ン変 換 の ―

―

 346

回転の―  124, 347 拡 大配位空間の―  

ヤ コ ビ計 量   201 ヤ コ ビ積 分   126 ヤ コ ビの 完 全 積 分  364

  571

ダ フ ィ ン振 動 子 の―

  180

デ カ ル ト座 標 で 表 した ― 185

平 行 移 動 の ―   124, 347 ポ ア ン カ レ変 換 の―  573 モ ー メ ン ト写 像   123, 347 ヤ

203, 367

自 由粒 子 の(相 対 論 的)―   565 ス カ ラ ー場 と相 互 作 用 す る 粒 子 の(相 対 論 的)

行

 107

中 心 力 に よ り相 互 作 用 す る2物 体 系 の ―  

129 調 和 振 動子 の―

  126, 191

電磁場 中の荷電粒子の―

  111, 129, 291

電 磁 場 中 の 荷 電 粒 子 の(相 対 論 的)― 等 価 な―   111, 186, 357, 361 平 面 上 を転 が る コ イ ンの ―  161 ラ グ ラ ン ジ ュの こ まの ― ラ グ ラ ンジ ュ括 弧  301

 138

  566

ラ グ ラ ン ジュ 形 式 の 力 学   106

リ ー 変 換   322

ラ グ ラ ン ジュ の こ ま  138, 409

―

に よ る 摂 動 法   492

ラ グ ラ ン ジュ の 摂 動 方 程 式  456

リ ー マ ン 空 間,リ

ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定 乗 数,ラ グラ ンジ ュの 未 定乗

リ ー マ ン 計 量   85, 215

数法

 180, 500

リ ー マ ン 接 続  33

ラ グ ラ ン ジュ 方 程 式   101, 104 ―

ー マ ン 多 様 体   85

リ ミ ッ ト ・サ イ ク ル   229, 495

の 共 変 性   106

リ ャ プ ノ フ 関 数   239, 248

― の 局 所 座 標 系 に よ らな い 表 現   146, 177 拡 大 配位 空 間 で 表 さ れ た―   177 幾 何 学 的 に 表 され た―

リ ュ ウ ヴ ィ ル の 公 式   259 リ ュ ウ ヴ ィ ル の 定 理(可

積 分 形 に 関 す る)  352,

400

  146, 177

拘束 系の―  155 ラザ フ ォー ド散 乱   387

リ ュ ウ ヴ ィ ル の 定 理(相 空 間 の 体 積 に 関 す る)

ラザ フ ォー ドの 公 式   390

量 子 化   329, 449

  260, 303

ラ ック ス 表 示   410 ラ プ ラ スの 定 理(太

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の―

陽 系 の 安 定 に つ い て の)

デ ィ ラ ッ ク の ―  フ ァ イ ンマ ンの ―

 460

 381

329, 449  364

ボ ー ア ーゾ ン マ ー フ ェ ル トの ―

ラ ーモ ア の 角 速 度   113, 443 ラ ーモ ア の 定 理  113

量 子 力 学 的 ポ テ ン シ ャ ル   381

リー 括 弧   55

ル ジ ャ ン ド ル 変 換   271

  576

力 学 行 列   230 レ オ ノ ー マ ス   4, 101

力 学 系  225 リー 群   57 ―

レ ビ ーチ ビ タ 接 続   33 レ ビーチ ビ タ 変 換   335

の次 元   57

離 心 近 点 離 角  137

連 続 の 方 程 式   260,

離 心 率   135, 408 リー 代 数   56 ― の 構 造 定 数   57

レ ン ツ ・ベ ク トル   193, 335, 349

―

ロ ー レ ン ツ 群  551

の 次 元  56

E(3)に

付 随 す る―

371, 382, 556

 344, 350

固 有 ― 

551

斉 次 ― 

552

非 斉 次 ―

  552

SO(3)に 付 随 す る―   344, 348 SO(3)×SO(3)に 付 随 す る―   350

ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ   557

SO(4)に

ロ ー レ ン ツ 収 縮  546

付 随 す る―  

350

ロ ー レ ン ツ 条 件   557

運 動 量 成 分 の作 る―  322 ガ リ レ イ群 に付 随 す る―  539 固 有 ポ ア ン カ レ群 に 付 随 す る―  固 有 ポ ア ン カ レ変 換 の 生 成 関 数 の―

ロ ー レ ン ツ ・ブ ー ス ト  545 ロ ー レ ン ツ 変 換   545, 547

553   574

ロ ー レ ン ツ カ   110, 559

固 有 ロー レン ツ 群 に 付 随 す る―  350, 553 斉 次 ガ リ レ イ 変換 の 生 成 関 数 の ―  541 第1積 分 の作 る―   336 ハ ミル トニ ア ン ・ベ ク トル場 の作 る―  リー 群 に付 随 す る― リー 群 の ―

 59

リー微 分   53, 57, 318

  60, 343

338

ワ

行

ワ イ ス の 原 理   183, 279, 363 ― 保 存 系 で の   199 歪 対 称 性   56, 316 ワ イ ヤ ー シ ュ トラ ス の 過 剰 関 数   359 ワ イ ヤ ー シ ュ トラ ス の 十 分 条 件   359

著者略歴 山 本 義

隆

中 村 孔

1941年  大阪 府 に生 まれ る 1971年   東 京大学大 学院 理学 系研 究科 博士課程 中退 現 在  駿台 予備学 校 専任 講師

一

1938年   東京都 に生 まれる 1968年   東 京大学 大学 院  理 学 系研 究科博 士課程修 了 現 在  明 治大学 法学 部教授  理 学博 士

朝倉物理学大系1 解

析

力 学

1998年9月25日 2008年2月20日

Ⅰ

定価 はカバ ーに表示

  初 版 第1刷  

第7刷

著 者 山

本

義

隆

中

村

孔

一

倉

邦

造

発行者  朝 発行所  会 株社 朝 式

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵 便 番 号   電 FAX 

〈検 印 省 略 〉 C1998〈 ISBN 

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 978-4-254-13671-5 

162-8707

話  03(3260)0141

C 3342

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