Алгебра 7-й класс. Задачник + Решебник

Н.В. Дорофеев, Е.С. Шубин Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 2 : Зада...

Author: Мордкович А.Г. | Мишустина Т.Н. | Тульчинская Е.Е.

10 downloads 546 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Н.В. Дорофеев, Е.С. Шубин

Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 2 : Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. — 6-е изд., испр.» — М.: «Мнемозина», 2003 г.

ГЛАВА 1. Математическая модель, математический язык § 1. Числовые и алгебраические выражения №1 а) 3,5 +4,5=8;

б) 3,5+(−4,5)= –1;

в) −3,5 +4,5=1; г) –3,5+(−4,5)=−8.

№2 а) 3,5–4,5=−1;

б) 3,5−(−4,5)=8;

в) −3,5−4,5=−8; г) –3,5−(−4,5)=1.

№3 а) 15+7,5=22,5; 3 1 1 183 16 549 − 80 469 4 − = = = 31 ; б) 36,6−5 =36 −5 = 3 3 5 3 15 15 15 5 7 5 137 7 959 19 ⋅3 = ⋅ = = 47 ; 10 10 10 2 20 20 2 1 23 7 23 2 г) 7 : 2 = : = =3 . 3 3 3 3 7 7

в) 13,7·3,5= 13

№4 а) 1,5 · 3 = 4,5; №5 а) 1,5 : 3 = 0,5; №6 ⎛ 1

б) −1,5 · 3 = −4,5; в) 1,5 · (−3)=−4,5; г) −1,5 · (−3)=4,5. б) −1,5 : 3 = −0,5; в) 1,5 : (−3)=−0,5; г) −1,5 : (−3)=0,5.

1⎞

а) ⎜ 2 + 3 ⎟ ⋅ 6 = 35; ; 3⎠ ⎝ 2 1 1 5 10 15 + 20 35 35 6 + = = 35; 2) ⋅6 = ⋅ = 35; 2 3 2 3 6 6 6 1 1 1 1 2 + 3 ⋅ 6 = 22 ; 2 3 2 1 10 6 1 5 20 5 + 40 45 1 3 ⋅ 6 = ⋅ = 20 ; 2) 2 + 20 = + = = = 22 ; 3 3 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 ⋅ 6 + 3 = 18 2 3 3 1 5 6 1 15 10 45 + 10 55 1 = = = 18 ; 2 ⋅ 6 = ⋅ = 5 ⋅ 3 = 15 ; 2) 15 + 3 = + 2 2 1 3 1 3 3 3 3 1 1 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 15 . 2 3 1 5 2 10 1 10 3 30 2 ⋅2 = ⋅ = = 5 ; 2) 3 ⋅ 3 = ⋅ = = 10 ; 3) 5 + 10 = 15. 2 2 1 2 3 3 1 3

1) 2 + 3 = б) 1) в) 1) г) 1) 2

№7 1 1 1 ; 3 5 15 1 1 13 16 65 + 48 113 8 1) 4 + 3 = + = = =7 ; 3 5 3 5 15 15 15 1 1 б) 17 : (4 − 3 ) = 15 ; 3 5 1 1 13 16 65 − 48 17 2 = =1 ; 1) 4 − 3 = − = 3 5 3 5 15 15 15 2 17 15 17 15 2) 17 :1 = 17 : = 17 ⋅ = ⋅ = 15 ; 15 15 17 1 17 1⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎛ в) ⎜ 6 − 7 ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ = −1 ; 8⎠ ⎝9 3⎠ ⎝ 1 6 57 48 − 57 9 1 1) 6 − 7 = − = = − = −1 ; 8 1 8 8 8 8 1 8 9 8 3) −1 ⋅ = − ⋅ = −1 ; 8 9 8 9

а) (4 + 3 ) :113 =

2) 7

2)

8 113 1 1 :113 = ⋅ = ; 15 15 113 15

2 2 2+6 8 + = = ; 9 3 9 9

⎛ ⎝

1 ⎞ ⎛ 14 3⎞ 1 ⎠ ⎝ ⎠ 1 15 33 120 − 33 87 7 1) 15 − 4 = − = = = 10 ; 8 1 8 8 8 8 4 3 59 13 59 − 49 10 2 7 2 87 2 29 1 2) 3 − 2 = − = = = ; 3) 10 ⋅ = ⋅ = =7 . 15 5 15 5 15 15 3 8 3 8 3 4 4

г) ⎜15 − 4 ⎟ ⋅ ⎜ 3 − 2 ⎟ = 7 ; 8 15 5 4

№8 1 1 3 3 1 7 7 7 3 1) 7 : 2 = : = ⋅ = 3 ; 3 1 3 1 7

а) 7 : 2 + 4 :1 = 6; ;

⎛

2

1⎞

4

1 3

2) 4 :1 =

4 4 4 3 : = ⋅ = 3; 1 3 1 4

3) 3 + 3 = 6 ;

4

б) ⎜12 − 6 ⎟ : 7 = ; 5⎠ 3 5 ⎝ 5 2 1 62 31 31 1 1 3 31 31 31 4 4 2) 6 : 7 = : = ⋅ = ; − = =6 ; 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 5 31 5 1 1 5 в) 8 − 4 : 3 = 7 ; 7 7 8 1 5 29 29 29 8 8 1 1 1 1) 4 : 3 = : = ⋅ = = 1 ; 2) 8 − 1 = 7 ; 7 8 7 8 7 29 7 7 7 7

1) 12 − 6 =

3

1 6 1 3 14 ; 3 7 4 4 23 1 6 7 6 1 3 9 23 9 4 9 1) 2 ⋅ = ⋅ = 2 ; 2) 2 : 5 = : = ⋅ = ; 3 7 3 7 4 4 4 4 4 23 23 9 46 − 9 37 14 3) 2 − = = =1 . 23 23 23 23

г) 2 ⋅ − 2 : 5 = 1

№9 а) (0,018 + 0,982) : (8 · 0,5 – 0,8) = 0,3125; 1) 0,018 + 0,982 = 1; 2) 8 · 0,5 − 0,8 = 4 − 0,8 = 3,2; 3) 1 : 3,2 = 0,3125;

б) 27,3 ⋅ 5,1 ⋅ ( −2, 2 ) : ( −0,0018 ) = =

273 ⋅ 51 ⋅ ( −22 ) ⎛ 10000 ⎞ ⋅⎜− ⎟= 1000 18 ⎠ ⎝

273 ⋅ 51 ⋅ 220 273 ⋅ 51 ⋅ 220 = = 97 ⋅ 17 ⋅ 110 = 170170 ; 18 3⋅3⋅ 2

в) (0,008 + 0,992) : (5 · 0,6 – 1,4) = 1 : (3 – 1,4) = 1: 1,6 = 0,625; г) 13,5 ⋅ 9,1 ⋅ ( −3,3) : ( −0,00013) =

135 ⋅ 91 ⋅ ( −33) −100000 ⋅ = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 13

= 135 · 3300 · 91 : 13 = 135 · 3300 · 7 = 3118500. № 10 1 3

1 3

а) 3 + 2,5 ⋅ 16 = 43 ; 1) 2,5 · 16 = 40; 1 3

1 3

2) 3 + 40 = 43 ;

1 4 7 5 1 4 15 14 1) 2 ⋅ 2 = ⋅ = 3 ⋅ 2 = 6 ; 7 5 7 5

б) 2 ⋅ 2 − 2, 4 = 3,6 ;

2) 6 – 2,4 = 3,6;

в) (24 +5,6) · (24 – 5,6) = 544,64; 1) 24 + 5,6 = 29,6; 2) 24 – 5,6 = 18,4; 3) 29,6 · 18,4 = 544,64; № 11 1 1 1 3 3 3 2 9 б) 2 ⋅ 1 − 1, 25 = 2 ; 25 16 2 9 52 25 52 13 1) 2 ⋅ 1 = ⋅ = = = 3, 25 ; 25 16 25 16 16 4

а) 2 + 2, 4 ⋅ 15 = 2 + 36 = 38 ;

2) 3,25 – 1,25 = 2; 4

⎛ 6 25 ⎞ 6 1 − ⎟ :1 = ; ⎝ 19 38 ⎠ 19 2 6 25 50 − 25 25 1) 1 − = = ; 19 38 38 38 25 6 25 19 1 2) ⋅ = . :1 = 38 19 38 25 2

г) ⎜1

в) (25 + 5,2) · (25 – 5,2) = 30,2 · 19,8 = 597,96; ⎛ 8

1⎞

1

2

г) ⎜ 4 − 1 ⎟ :1 = 2 ; 5 ⎝ 15 3 ⎠ 3 8 1 68 4 68 − 20 48 1 −1 = − = = =3 ; 15 3 15 3 15 15 5 1 1 16 4 16 3 12 2 2) 3 :1 = : = ⋅ = = 2 . 5 3 5 3 5 4 5 5

1) 4

№ 12 1 4 28 3 1 2 7 14 21 б) 2 + ⋅ 7 = + = = 7 ; = ⋅ =7; 3 3 3 4 3 3 3 3 3 1 16 16 35 ⎛ 2 1 ⎞ 16 в) ⎜ 4 − 1 ⎟ : = 3 : = ⋅ = 7 ; 5 35 5 16 ⎝ 5 5 ⎠ 35 1 2 13 41 17 103 123 + 85 − 103 105 г) 8 + 5 − 6 = + − = = =7; 5 3 15 5 3 15 15 15

а) 9 :

№ 13 а) 2 – 4,5 = –2,5; б) (2,3 + (–14,8)) : 5 = –12,5 : 5 = –2,5; ⎛ 1

2⎞

1

⎛ 19

22 ⎞ 75

в) ⎜ 3 − 4 ⎟ ⋅ 2 = ⎜ − ⎟ ⋅ = 5 ⎠ 37 ⎝ 6 5 ⎠ 37 ⎝ 6 г) 6 + 2,4 – 10,9 = 8,4 – 10,9 = –2,5.

95 − 132 75 37 75 ⋅ =− ⋅ = −2,5 ; 30 37 30 37

№ 14 а) Переместительный закон сложения. б) Переместительный закон умножения. в) Сочетательный закон сложения. г) Распределительный закон сложения относительно умножения. № 15

а) б) 1) в)

1 2 1 1 1 1 2 1 + 2 + 1 + 1 = 6; 1) + 1 = 2 ; 2) 2 + 1 = 4 ; 3) 4 + 2 = 6; 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 289 ; 5 7 2 17 3 11 3 ⋅ 5 = ⋅ 5 = 17 ; 2) 2 ⋅ 7 = ⋅ 7 = 17 ; 3)17 ·1 7 = 289. 5 5 7 7 1 3− 4 1 ⎛ 3 2 1⎞ ⎛ 3 2⎞ ⋅ 14 + 7 = − ⋅ 14 + 7 = 6 ; ⎜ − + ⎟ = ⎜ − ⎟ ⋅ 14 + ⋅ 14 = 14 7 2 14 7 2 14 14 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎝

2 2⎞ 6⎞ 2 8 1 ⎛ 2 ⎟ : 2 = ⎜ 12 + 24 ⎟ : 2 − 16 : 2 = 36 : 2 − 8 = 3 15 ⎠ 9⎠ 5 9 5 ⎝ 9 4 1 166 41 830 − 369 461 11 = 18 − 8 = − = = = 10 . 9 5 9 5 45 45 15 2 9

г) ⎜12 + 24 − 16

5

№ 16 а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = 4,16 + 6,04 + 2,5 + 3,5 = 10,2 + 6 = 16,2; б) 7,3 + 1,6 – 0,3 – 0,6 = 7,3 – 0,3 + 1,6 – 0,6 = 7 + 1 = 8; в) –1,06 + 0,04 – 7,04 + 2,16 = – 1,06 + 2,16 –7 = 1,1 – 7 = –5,9; г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1 = 12,1 – 4,1 – 5,2 = 8 – 5,2 = 2,8. № 17 а) 7,8 · 6,3 + 7,8 · 13,7 = 7,8 · ( 6,3 + 13,7 ) = 7,8 · 20 =15,6 б) 6,95 · 3,42 · 5,05 = 6,95 · 3,42 · ( 5 + 0,05 ) = 6,95 · ( 17,1 + 0,171 ) = = ( 7 – 0,05 ) · 17,271 = 120,897 – 0,86355 = 120,03345; в) 17,96 · 0,1 – 0,1 · 81,96 = 0,1 · ( 17,96 – 81,96 ) = 0,1 · (– 64 ) = – 6,4; г) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03 = 4,03 · ( 27,9 – 17,9 ) = 4,03 · 10 = 40,3. № 18 1 2

1 2

1 2

15 ⋅ 10 = 75 ; 2 3 3 3 3 б) 42, 4 ⋅ − 2, 4 ⋅ = ⋅ ( 42, 4 − 2, 4 ) = ⋅ 40 = 30 ; 4 4 4 4 1 1 1 1 в) 32,5 ⋅ − 16,5 ⋅ = ⋅ ( 32,5 − 16,5 ) = ⋅ 16 = 4 ; 4 4 4 4 1 1 г) 6 · 4,8 + 6 · 5, 2 = 6, 2 · (4,8 + 5, 2) = 6, 2 · 10 = 62. 5 5

а) 7 ⋅ 6,8 + 7 ⋅ 3, 2 = 7 ⋅ ( 6,8 + 3, 2 ) =

№ 19 а) а · 60 · 60 = а · 3600 – секунд в а часах; б) X · 24 · 60 = X · 1440 – минут в X сутках; 2 м. в) X · 1000 : 60 = X · 166 – ; 3 мин. г) u : 1000 · 3600 = u · 36 : 10 = u · 18 : 5 = 3,6 · u км/ч. № 20 а) x = –3,5; 3x = 3 · (–3,5) = –10,5; 4 4 12 5 в) x = ; 3x = 3 ⋅ = = 1 ; 7 7 7 7

№ 21 а) y = –1; –5y = –5 · (–1) = 5; в) y = 1; –5y = –5 · 1 = –5;

б) x = –1; 3x = 3 · (–1) = –3; 1 3

1 3

3 10 = 10 . 1 3

г) x = 3 ; 3x = 3 ⋅ 3 = ⋅

б) y = 0; –5y = –5 · 0 = 0; г) y = 3,4; –5y = –5 · 3,4 = –17.

№ 22 а) a = 3, d = 2; 48a + 12d = 48 · 3 + 12 · 2 = 144 + 24 = 168; б) u = 6, v = 1; u – 3uv = 6 – 3 · 6 · 1 = 6 – 18 = –12; в) z = –8, t = –2; 8z – 11t = 8 · (–8) – 11 · (–2) = –64 + 22 = –42; г) p = –3, q = 6; 5p – 4q = 5 · (–3) – 4 · 6 = –15 – 24 = –39.

6

№ 23 A

1

2

3

B

1

3

2

2A–2B

0

–2

2

1 4 1 3 1 6

1) 2 · 1 – 2 · 1 = 2 – 2 = 0;

1 4 1 − 3 1 − 6 −

–3

–2

–1

–2

–3

–1

–2

2

0

2) 2 · 2 – 2 · 3 = 4 – 6 = –2;

1 4 1 ⎛ 2⎞ 4−3 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = ; 5) 2 ⋅ ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = − − ⎜ − ⎟ = 2 ⎝ 3⎠ 6 6 ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠

1 3

1 2 3−4 1 − = =− ; 2 3 6 6

3) 2 · 3 – 2 · 2 = 6 – 4 = 2;

4) 2 ⋅ − 2 ⋅ =

6) 2 · (–3) – 2 · (–2) = –6 + 4 = –2; 8) 2 · (–1) – 2 · (–1) = –2 + 2 = 0. № 24

7) 2 · (–2) – 2 · (–3) = 6 – 4 = 2;

A

1

2

3

B

1

3

2

2AB–1

1

11

11

1) 2 ·1 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1;

1 4 1 3 5 6

1 4 1 − 3 5 − 6 −

–2

–1

–2

–3

–1

11

11

1

2) 2 · 2 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11;

1 1 4 3 1 1 1 5 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 5) 2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ − 1 = ⋅ − 1 = − 1 = − ; 2 3 6 6 ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠

3) 2 · 3 · 2 – 1 = 12 – 1 = 11;

–3

1 1 2 3

4) 2 ⋅ ⋅ − 1 = ⋅ − 1 =

1 5 −1 = − ; 6 6

6) 2 · (–3) · (–2) – 1 = 12 – 1 =11; 7) 2 · (–2) · (–3) – 1 = 12 – 1 =11; 8) 2 · (–1) · (–1) – 1 = 2 – 1 =1. № 25 a+b = 10, c = 7. а) a + b +2 · c = 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24; б) (a + b) : 2 – c = 10 : 2 – 7 = 5 – 7 = –2; a + b + c 10 + 7 17 1 = = = 8 = 8,5 ; 2 2 2 2 7 ( a + b ) + 2c 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ 7 70 + 14 84 1 = = = = 4 = 4, 2 . г) 3c − 1 3⋅ 7 −1 21 − 1 20 5

в)

№ 26 а) Если a – b = 12, то b – a = –1 · (a – b) = –1 · 12 = –12; б) Если c – d = 0, то d – c = 0.

7

№ 27 2

a − b2 –? a −b а) a = 1, b = 2;

a 2 − b 2 12 − 22 1 − 4 3 = = = = 3 ; a + b = 1+ 2 = 3 ; a −b 1− 2 −1 1

б) a = 3, b = 1;

32 − 12 9 − 1 8 = = = 4 ; a + b = 3+1= 4 ; ; 3 −1 2 2 a 2 − b 2 1, 42 − 12 0,96 = = = 2, 4 , a + b =1,4 + 1 = 2,4; a−b 1, 4 − 1 0, 4

в) a = 1,4, b = 1; г) a = –3, b = 1;

9 −1 8 a 2 − b2 = = = −2 ; a + b = –3 + 1 = –2. −3 − 1 −4 a −b

№ 28

а) x=2, y=3;

2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y 2 2 ⋅ 22 − 2 ⋅ 32 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ 9 −10 = = = =2; −1 ⋅ 5 −5 ( x − y )( x + y ) ( 2 − 3)( 2 + 3)

32 12 9 2 2⋅ 2 − 2⋅ 2 − 1 2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y 2 77 36 2 3 = = 2 9= =2; б) x=1,5, y= ; 11 7 3 1 3 1 3 ( x − y )( x + y ) ⎛ 18 77 ⎞⎛ ⎞ ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ 6 ⋅ 6 ⎝ 2 3 ⎠⎝ 2 3 ⎠

в) x = –2, y = 0;

2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y2 2 ⋅ −22 − 2 ⋅ 02 8 = = =2 ( x − y )( x + y ) ( −2 − 0 )( −2 + 0 ) 4

г) x = 1,3, y = –0,5; 2 ⋅ 1,32 − 2 ⋅ ( −0,5 ) 2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y2 2 ⋅ 1,69 − 2 ⋅ 0, 25 2,88 = = = =2. 0,8 ⋅ 1,8 1, 44 ( x − y )( x + y ) (1,3 + 0,5 )(1,3 − 0,5) 2

№ 29 а) x = 7, y = 4; 5x – 3y = 5 · 7 – 3 · 4 = 35 – 12 = 23; б) x = 6,5, y = 2,1; 5x – 3y = 5 · 6,5 – 3 · 2,1 = 32,5 – 6,3 = 26,2; 2 5

2 3

в) x = 12 , y = 9 ; 5x – 3y = 5 · 12

2 2 – 3 · 9 ⋅ = 62 – 29 = 33; 5 3

г) x = 18, y = 7,4; 5x – 3y = 5 · 18 – 3 · 7,4 = 90 – 22,2 = 67,8. № 30 6a + 7b 6 ⋅ 20 + 7 ⋅ 12 120 + 84 204 = = = = 17 ; 3a − 4b 3 ⋅ 20 − 4 ⋅ 12 60 − 48 12 6a + 7b 6 ⋅ 2, 4 + 7 ⋅ 0,8 14, 4 + 5,6 20 = = = =5; б) a = 2,4, b = 0,8; 3a − 4b 3 ⋅ 2, 4 − 4 ⋅ 0,8 7, 2 − 3, 2 4 6a + 7b 6 ⋅ 10,8 + 7 ⋅ 6 64,8 + 42 106,8 5 = = = = 12 ; в) a = 10,8, b=6; 3a − 4b 3 ⋅ 10,8 − 4 ⋅ 6 32, 4 − 24 8, 4 7

а) a = 20, b = 12;

8

г) a = 12, b=5,6;

6a + 7b 6 ⋅ 12 + 7 ⋅ 5,6 72 + 39, 2 111, 2 3 = = = =8 . 3a − 4b 3 ⋅ 12 − 4 ⋅ 5,6 36 − 22, 4 13,6 17

№ 31 а) x = 8, y = 3; x 2 + 2 xy + y 2 = 64 + 2 · 8 · 3 + 9 = 64 + 48 + 9 = 121; ( x + y )2 = 112 = 121 ;

б) x = 7,6, y = 1,4; x 2 + 2 xy + y 2 = 57,76 + 2 · 7,6 · 1,4 + 1,96 = = 57,76 + 21,28 +1,96 = 81; ( x + y ) 2 = 92 = 81 ; в) x = 10, y = 2,6; x 2 + 2 xy + y 2 = 100 + 2 · 10 ·2,6 + 6,76 = = 100 + 52 + 6,76 = 158,76; ( x + y )2 = 12,62 = 158,76 ; г) x = 1,5, y = 3; x 2 + 2 xy + y 2 = 2,25 + 2 · 1,5 · 3 + 9 = = 2,25 + 9 + 9 = 20,25; ( x + y ) 2 = 4,52 = 20, 25 . № 32 а) a = 13, b = 12; a – b = 13 – 12 = 1; a 2 − 2ab + b 2 132 − 2 ⋅ 13 ⋅ 12 + 122 169 − 312 + 144 = = =1; a−b 13 − 12 1 б) a = 2,4, b = 2,3; a – b = 2,4 – 2,3 = 0,1; a 2 − 2ab + b 2 2, 42 − 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 2,3 + 2,32 5,76 − 11,04 + 5, 29 = = = 0,1 ; a−b 2, 4 − 2,3 0,1

в) a = 3,5, b = 2,5; a – b = 3,5 – 2,5 = 1; a 2 − 2ab + b 2 3,52 − 2 ⋅ 3,5 ⋅ 2,5 + 2,52 12, 25 − 17,5 + 6, 25 = = =1; a−b 3,5 − 2,5 1

г) a = 7,4, b = 3,6; a – b = 7,4 – 3,6 = 3,8; a 2 − 2ab + b 2 7, 42 − 2 ⋅ 7, 4 ⋅ 3,6 + 3,62 54,76 − 53, 28 + 12,96 = = = 3,8 a −b 7, 4 − 3,6 3,8

№ 33 а) x – любое число; б) а – не равно нулю; г) b – не равно нулю. в) y – любое число; № 34 а) x – не равно (–3); б) а – не равно (–2); в) d – не равно (–9); г) c – не равно (–13). № 35 а)z – не равно 3; б) t – не равно 2; в) m – не равно 9; г) n – не равно 6. № 36 а) 5x = 150; б) 6x = –54; в) –0,7x = 343; г) –0,5x = –0,25; x = 150 : 5; x = –54 : 6; x = 343 : –0,7; x = –0,25 : (–0,5); x = 30; x = –9; x = –490; x = 0,5.

9

№ 37 1 1 1 ⋅ x − = ; г) 17,5x – 0,5 = 34,5; 2 3 6 1 1 1 ⋅ x = + ; 17,5x = 34,5 + 0,5; 2 6 3 1 1 x = 35 : 17,5; x= : ; 2 2

а) 7x + 9 = 100;

б) 1,4x – 0,8 = 7; в)

7x = 100 – 9;

1,4x = 7 + 0,8;

x = 91 : 7;

x = 7,8 : 1,4;

x = 13;

4 x= 5 ; 7

x = 1;

x = 2.

№ 38 а) 13x + 9 = 35 + 26x; 13x – 26x = 35 – 9;

x = 26 : (–13);

x = 2;

7 2 б) ⋅ x + 3 = ⋅ x + 5 ; 9 3

1 ⋅x =2 ; 3

x = 6;

7 2 ⋅x− ⋅x =5−3; 9 3

в) 0,81x – 71 = 1,11x +1; 0,81x – 1,11x = 1 + 71; 2 1 1 1 1 г) ⋅ y − ⋅ y = ⋅ y − 5 ; ⋅ y − ⋅ y = −5 ; 3 2 4 6 4

–0,3x = 72; x = –240;

1 − ⋅ y = −5 ; 12

y = 60.

№ 39 а) u = –1,5, v = 2,4; (1,5 + 2, 4) 2 = 0,92 = 0,81; 1,52 + 2, 42 = 2, 25 + 5,76 = 8,01 ;

б) u = 3,1, v = –0,8; (3,1 + (0,8)) 2 = 2,32 = 5, 29; 3,12 + (0,8) 2 = 9,61 + 0,64 = 10, 25 ;

в) u = 14, v = 1,4; (14 + 1, 4) 2 = 15, 42 = 237,16; 142 + 1, 42 = 196 + 1,96 = 197,96 ;

г) u = –1,2, v = –2,8; (1, 2 + (2,8)) 2 = 42 = 16; 1, 22 + 2,82 = 1, 44 + 7,84 = 9, 28 .

№ 40 а) 3x – 2 = 10; б) 4y –1 = 3y + 5;

3x = 12; x = 12 : 3; 4y – 3y = 5 + 1;

x = 4; y = 6.

№ 41 а) 2 · 5k = 4k + 12; 10k – 4k = 12; 6k = 12; k = 2; p – 28p = –132 –3; б) p + 3 = 4 · (7p – 33); p + 3 = 28p – 132; p = 5. –27p = –135; № 42 5 1 5 а) ⋅ = ; 2 3 6 11 2 2 2 5 5 в) ⋅ : = ⋅ = ; 6 11 5 6 2 6

10

2 1 2 1 5 б) 1 + − 1 = + = ; 3 6 3 6 6

г) (–10 + 15) : 6 = 5 : 6 =

5 . 6

№ 43 4 9 25 9 − 25 16 1 − = = − = −3 ; 5 5 5 5 5 5 7 3 3 7 ⋅ 16 ⋅ 3 16 1 б) − : ⋅ = − = − = −3 ; 5 16 7 5⋅3⋅7 5 5 1 в) (–17 + 1) : 5 = –16 : 5 = −3 ; 5 1 ⎞ 32 7 − 40 32 32 32 16 1 ⎛ г) ⎜ −20 + 3 ⎟ ⋅ = ⋅ =− ⋅ = − = −3 . 2 165 2 165 2 165 5 5 ⎝ ⎠

а) −5 + 1 =

№ 44 17 ⎞ 1 5 ⎛ 7 а) ⎜ 8 − 2 ⎟ ⋅ 2,7 − 4 : 0,65 = 9 ; 36 ⎠ 3 6 ⎝ 12 7 17 21 17 4 1 1) 8 − 2 = 8 − 2 = 6 = 6 ; 12 36 36 36 36 9 1 55 27 33 1 ⋅ = = 16 ; 9 9 10 2 2 1 13 20 20 2 3) 4 : 0,65 = ⋅ = =6 ; 3 3 13 3 3 1 2 33 20 99 − 40 56 5 4) 16 − 6 = − = = =9 ; 6 3 2 3 6 6 6

2) 6 ⋅ 2,7 =

8 ⎛ 11 13 ⎞ б) ⎜1 + ⎟ ⋅ 1, 44 − ⋅ 0,5625 = 2,32 ; 24 36 15 ⎝ ⎠ 11 13 33 26 59 + =1 + =1 ; 24 36 72 72 72 59 131 144 131 ⋅ 2 262 2) 1 ⋅ 1, 44 = ⋅ = = = 2,62; ; 72 72 100 100 100 8 8 5625 375 15 ⋅ 25 3 ⋅ 0,5625 = ⋅ = = = = 0,3 ; 3) 15 15 10000 1250 50 ⋅ 25 10

1) 1

4) 2,62 – 0,3 = 2,32; 21 ⎞ 1 2 ⎛ 8 в) ⎜ 6 − 4 ⎟ ⋅ 4,5 − 2 : 0,52 = 5 ; 15 45 6 15 ⎝ ⎠ 8 21 24 21 3 1 −4 =6 −4 =2 =2 ; 15 45 45 45 45 15 1 31 9 31 45 31 ⋅ 3 93 2) 2 ⋅ 4,5 = ⋅ = ⋅ = = = 9,3 ; 15 15 2 15 10 10 10 1 13 52 13 25 25 1 = ⋅ = =4 ; 3) 2 : 0,52 = : 6 6 100 6 13 6 6

1) 6

11

1 93 25 279 125 154 2 − = − = =5 6 10 6 30 30 30 15 12 ⎞ 8 ⎛ 9 ⎜ + 1 ⎟ ⋅ 1,32 − ⋅ 0,1625 = 2, 24 ; 13 ⎝ 22 33 ⎠ 9 12 27 24 51 17 +1 = +1 =1 =1 ; 22 33 66 66 66 22 17 39 132 39 ⋅ 6 234 1 ⋅ 1,32 = ⋅ = = = 2,34 ; 22 22 100 100 100 8 8 1625 125 1 ⋅ 0,1625 = ⋅ = = = 0,1 ; 4) 2,34 – 0,1 = 2,24. 13 13 10000 1250 10

4) 9,3 − 4 = г) 1) 2) 3)

№ 45

а) 18 · (182 – 122) = 18 · (324 – 144) 18 · 180 = 3240 ; 12 4 ⎛ 18 + 12 ⎞ = = 0,8 ; б) 12 : ⎜ ⎟ = 12 :15 = 15 5 ⎝ 2 ⎠ в) 18 + 18 : 12=18 + 1,5 = 19,5; г) 18 · 12 – 18 : 12 = 216 – 1,5 = 214,5. № 46 ⎛ 7, 2 − 6, 4 ⎞ а) 7, 2 ⋅ ⎜ ⎟ = 7, 2 ⋅ 0, 4 = 2,88 ; 2 ⎝ ⎠

(

)

б) 6, 4 : 7, 22 − 6, 42 = 6, 4 : ( 51,84 − 40,96 ) = 6, 4 :10,88 =

6, 4 = 10,88

0,1 1 100 10 = ⋅ = ; 0,17 10 17 17 13 36 5 9 36 9 283 + 45 333 в) 7,2 + 7,2 : 6,4 = 7,2 + ⋅ = 7,2 + = + = = = 8 = 8,325 ; 40 5 32 8 5 8 40 40

=

г) 7,2 · 6,4 – 7,2 : 6,4 = 46,08 – 1,125 = 44,955 . № 47 A –3 –2 –1 0 B 2 4 6 3 C 7 –3 5 –2 4 13 34 1 A2 + 2 BC + 7 1 − − 2 2 49 57 5 7 A + 3B + C ( A + B)( B + C ) ( A + B)2 B( A + B + C ) ABC ( A + 3B )CA2 A2 B 2 + 2C

12

1 5 4 3 5

3 –2 1 6 11

6 0 8 15 1 44

1 2

–1

1

–9

1 2

2

1 5

1 3

1

–3

2

–5

–6

−7

9 25

5 1 13

3

12 19

1

8 9

3

1 2

3

15 16

−1

5 7

1 3

–42 3 13

№ 48 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 : 2 − 1,8 ⎟ ⋅ 0, 4 + 0,3 10 ⎝ ⎠ а) – дробь равна нулю; 3,15 : 22,5 1 21 21 1) 2 : 2 = : 2 = = 1,05 ; 10 10 20 2) 1,05 – 1,8 = –0,75; 3) –0,75 · 0,4 = –0,3; 4) –0,3 + 0,3 = 0; 1 ⎞ 1 1 ⎛ ⎜ 1, 24 − 1 ⎟ ⋅ 2,5 − : 25 6 3 ⎠ – дробь не равна нулю; б) ⎝ 1, 4 : 0,1 − 2 1 1) 1, 24 − 1 = 1, 24 − 1,04 = 1, 2 ; 2) 1,2 · 2,5 = 3 ; 25 1 1 1 3 1 4) 3 – 0,5 = 2,5; 3) : = ⋅ = = 0,5 ; 6 3 6 1 2 Числитель дроби не равен нулю, значит и сама дробь не равна нулю. № 49 3,5 · 1, 24 – дробь не имеет смысла; ⎛3 ⎞ 10 + 1, 6 : ⎜ · 0, 4 − 0, 4 ⎟ ⎝5 ⎠ 3 3 2 6 1) ⋅ 0, 4 = ⋅ = 2) 0,24 – 0,4 = –0,16; = 0, 24 ; 5 5 5 25

а)

3) 1,6 : (–0,16) = 160 : (–16) = –10; 4) 10 + (–10) = 0; Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь не имеет смысла; б)

4, 2 : 2 − 1 – дробь смысла не имеет; 1 5 ⎛ 1 1⎞ + ⋅ ⎜ 0,8 ⋅ − ⎟ 9 9 ⎝ 6 3⎠

1 6

4 1 5 6

1) 0,8 ⋅ = ⋅ =

4 2 ; = 30 15

2)

2 1 2 − 5 −3 1 − = = =− ; 15 3 15 15 5

3) 5 ⋅ ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ = − 5 ⋅ 1 = − 1 ; 4) 1 + ⎜⎛ − 1 ⎟⎞ = 0 ; 9 ⎝ 9⎠ 9 ⎝ 5⎠ 9⋅5 9 Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь смысла не имеет. № 50 а) 7 · 6 + 24 : 3 – 2 = 42 + 8 – 2 = 48 – наименьшее; б) 7 · (6 + 24 : (3 – 2)) = 7 · (6 + 24) = 7 · 30 = 210 – наибольшее. № 51 а) (1 + 23 – 4) · 5 = 20 · 5 = 100; б) 111 – 11 = 100; в) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100; г) (1 + 23 – 4) · 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 100. № 52 1) 4 + 4 – 4 – 4 = 0; 2) 4 : 4 –4 + 4 = 1; 3) 4 : 4 + 4 : 4 = 2; 4) (4 + 4 + 4) : 4 = 3; 5) (4 – 4) · 4 + 4 = 4; 6) (4 · 4 + 4) : 4 =5; 7) (4 + 4) : 4 + 4 =6; 8) 44 : 4 – 4 = 7; 9) 4 · 4 – 4 – 4 = 8; 10) 4 + 4 + 4 : 4 = 9; 11) (44 – 4) : 4 = 10. 13

§ 2. Что такое математический язык № 53 а) a + b;

б) с – d;

в) x · y;

г) t : v.

№ 54

а) (z + x) : 2;

б) (p – q) : 2; в) x 2 ;

г) y 3 .

№ 55 а) x + a · b;

б) y – a : b;

г) z : (x – y).

в) a · (b + c);

№ 56 а) (m + n ) : 3; б) (p – q) · 2; в) (x + y) · 2 · z; г) p : (a + b) : 2. № 57

а) (a + b) 2 ;

б) ( x − y )3 ;

в) t 2 − w2 ;

г) c3 + d 3 .

№ 58

а)

m+n ; m⋅n

б)

c−d m2 + n2 ; в) ; m⋅n 2 ⋅ (c + d )

№ 59 а) Сумма чисел x и 2; б) Разность чисел c и d;

г)

p3 − q3 . 2 ⋅ ( p + q)

в) Произведение чисел 8 и z; г) Частное от деления числа p на q.

№ 60 а) Сумма квадратов чисел a и b; б) Разность квадратов чисел x и y; г) Разность кубов чисел m и n. в) Сумма кубов чисел z и t; № 61 а) Квадрат суммы чисел s и p; б) Квадрат разности чисел u и v; г) Куб разности чисел f и q. в) Куб суммы чисел p и q; № 62 а) Отношение суммы чисел x и y к числу 2; б) Отношение разности чисел a и b к числу 2; в) Отношение произведения чисел x и y к их удвоенной разности; г) Отношение суммы чисел x и y к их произведению. № 63 а) a + b = b + a; б)ab = ba; г) a + (b – c) = (a + b) – c. в) a + (b + c) = (a + b) + c; № 64 а) Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме второе слагаемое. б) Чтобы из числа вычесть сумму двух других чисел, можно сначала вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое. 14

в) При сложение любого числа а с нулюм, полусается тоже самое число а. г) При умножение любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. № 65 а) При умножении любого числа а на ноль получается ноль. б) Частное от деления нуля на любое число а не равное нулю, получается ноль. в) При делении любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. г) При умножении любого числа а не равного нулю на частное от деления единицы на это же самое число а, получается еденица. № 66 а) Произведение числа 3 и квадрата суммы чисел x и y. б) Произведение числа 2 и квадрата суммы чисел a и b. в) Произведение числа 2 и квадрата разности чисел p и q. г) Произведение числа 3 и квадрата разности чисел z и r. № 67 а) Отношение квадрата разности чисел m и n к числу 2. б) Отношение квадрата суммы чисел t и w к числу 2. в) Отношение куба суммы чисел a и b к числу 3. г) Отношение квадрата разности чисел p и q к числу 4. № 68 а) (a + b) · c = a · c + b · c; в) a – (b +c) = (a – b) – c; № 69

б) x · (y – z) = x · y – x · z; г) a – (b – c) = (a – b) + c

а)

a a⋅c , где с не равно нулю; = b b⋅c

б)

a x a⋅x ⋅ = ; b y b⋅ y

в)

a c = , где с не равно нулю; b b

г)

a c a d a⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c

№ 70

а) b =

a⋅ p ; 100

в) Если

б) a =

a c = , то ad=bc; b d

b ⋅ 100 ; p

г) Если

a c δ χ α β = , то = и = . b d β α χ δ

§ 3. Что такое математическая модель № 71 а) x · y = 9; № 72

б) a : b = 2;

а) a – 18 = b; б) b + 39 = c;

в) b = c;

г) 2 · p = 3 · q.

в) x : y = 6; г) a : b =

1 . 29 15

№ 73 а) a + b = 43;

б) m – n = 214;

в) a + b + 6 = ab;

№ 74 а) a + b = d – c; б) a – d = b + c; в) a = b + c + d;

г) p – q – 17 = p : q. г) a + b = 2 · (c – d).

№ 75 t – v = 3.

№ 76 3 · x = 2 · y.

№ 77 5 · b = 6 · a.

№ 78 x+25>3 · x – 15.

№ 79

№ 80

№ 81

№ 82

0,5⋅a<0,5⋅a + b.

x–5,8=y + 14,2.

x+3,7=1,5 x–5,36.

z z+6 . = 3 4

№ 83 5a + 3b = m.

№ 84 (x+7) · 3–4,7=x

№ 85 (x–8) · 2=y + 8.

№ 86 x+4⋅x+x+50=470

№ 87

№ 88

№ 89

d+15=4 · d + 3.

x x + 2,5 . = 5 4

c+4,8=1,4⋅c–5,2

№ 90 а) На чайных весах на одной чаше лежит яблоко весом x кг., а на другой чаше лежит апельсин весом y кг. Весы находятся в равновесии. б) Стоимость одного килограмма яблок – b рублей, а стоимость одного килограмма апельсинов – a рублей. Причем апельсины в два раза дороже яблок. в) Три килограмма огурцов стоят столько же, скольео два килограмма помидоров. При этом известно что 1 кг. Огурцов стоит с рублей, а один килограмм помидоров d рублей. г) В первом цехе работает 6 бригад по m человек в каждой, а во втором цече работает 11 бригад по n человек в каждой. При этом известно что число рабочих в обоих цехах одинаково. № 91 а) Первое число равно а, второе число равно b. Если из первого числа вычесть единицу, а второе оставить без изменений то получатся два одинаковых числа. б) В одной корзине лежит а персиков, а в другой b персиков. Если в первую корзину положить два персика, то в корзинах персиков станет поровну в) В первом букете z гвоздик, во втором в два раза больше. Когда к первому букету добавили три гвоздики, число гвоздик в обоих букетах стало поровну. г) У Кости x марок, а у Васи y марок. Если Костя добавит в свою коллекцию 3 марки, то у него станет марок в коллекции в два раза меньше, чем у Васи в коллекции.

16

№ 92 а) В первой бригаде работает a человек, а во второй бригаде работает b человек. Если в первую бригаду придет 7 человек, то в обоих бригадах число человек станет равное. б) Первый спортсмен пробежал дистанцию за a секунд, а второй спортсмен пробежал дистанцию за b секунд. При этом первый спортсмен пробежал дистанцию на 3 секунды быстрее. в) Первое число равно а, второе число равно b. Если к первому числу прибавить 2, а ко второму 8 то получатся одинаковые результаты. г) В первой корзине лежало а кг. Мандаринов, а во второй b кг. Мандаринов. После того как из первой корзины взяли три кг. мандаринов, а во вторцю добавили 1 кг., то мандаринов в корзинах станет поровну. № 93 а) Первое число равно а, второе число равно b. При этом известно, что первое в 4 раза больше второго. 1 второго б) Первое число равно x, второе число равно y. При этом 3 числа равна первому числу. в) На стройке работало 5 бригад по d человек в каждой. После того, как на работу пришло еще двое человек, рабочих стало с. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если второе число умно-

жить на 3 и вычесть из него 4, то его

1 часть будет равна первому числу. 7

№ 94 а) В саду 7 участков. На каждом растет по x яблонь. После того как на каждом участке посадили по одной яблоне, деревьев в саду стало равно y. б) Первое число равно a, второе число равно b. Удвоенная сумма этих чисел равна 3. в) Расстояние от пункта А до пункта B – с км., а от пункта B до пункта С – d км. Из пункта А в пункт B выехало 3 велосипедиста, а из пункта B в С путь продолжили только два велосипедиста. В общей сложности велосипедисты проделали путь 8 км. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если первое число умножить на три, а второе на семь, то их сумма будет равнятся 12. № 95 Пусть x км/ч – скорость велосипедиста. Тогда (x +18) – скорость мотоциклиста. 5 · x = (x + 18) · 2; 5 · x – 2 · x =2 · 18; 3 · x = 36; x = 12 км/ч – скорость велосипедиста. 18 + 12 = 30 км/ч – скорость мотоциклиста. 5 · 12 = 60 км – расстояние между городами. Ответ: 12, 30, 60.

17

№ 96 Пусть x квартир в первом доме. Тогда (x + 86) квартир во втором доме. x + x + 86 = 792; 2 · x = 706; x = 353 – квартир в первом доме. 353 + 86 = 439 – квартир во втором доме. Ответ: 353; 439. № 97 Пусть x трехкомнатных квартир в доме. Тогда (x + 10) – двухкомнатных квартир в доме, (x – 5) – однокомнатных квартир в доме. x + x +10 + x – 5 = 215; 3 · x = 210; x = 70 – трехкомнатных квартир. 70 + 10 = 80 – двухкомнатных квартир. 70 – 5 = 65 – однокомнатных квартир. Ответ: 65. № 98 Пусть x мест в малом зале. Тогда 3 · x мест в большом зале. 3 · x + x = 460; 4 · x =460; x = 115 – мест в малом зале. 115 · 3 = 345 – мест в большом зале. Ответ: 345. № 99 Пусть x книг на второй полке. Тогда 2 · x книг на второй полке. 2 · x + x = 48; 3 · x = 48; x = 16 – книг на второй полке. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке. Ответ: 32. № 100 Пусть x деталей изготовил ученик за один день. Тогда 3 · x деталей изготовил мастер за один день. (x + 3 · x) · 2 = 312; 4 · x = 156; x = 39 – деталей изготовляет ученик за один день. 3 · 39 = 117 – деталей изготовляет мастер за один день. Ответ: 117, 39. № 101 Пусть x деталей изготовили на первом станке. Тогда (x + 10) деталей изготовили на втором станке. x + x +10 = 346; 2 · x = 336; x = 168 – деталей изготовили на первом станке. 168 + 10 = 178 – деталей изготовили на втором станке. Ответ: 168; 178. 18

№ 102 Пусть x тонн зерна собрали с первого участка. Тогда 1,2 · x тонн зерна собрали со второго участка. 1,2 · x + x = 39,6; 2,2 · x = 39,6; x = 18 тонн зерна собрали с первого участка. 1,2 · 18 = 21,6 тонн зерна собрали со второго участка. Ответ: 18; 21,6. № 103 Пусть x – это число. Тогда имеем: x + 23 = 7 · (x – 1); x + 23 = 7 · x – 7; –6 · x = –30; x = 5; Ответ: 5. № 104 Пусть x лет дочке. Тогда (x + 25) – лет маме, x +25 + x = 35; 2 · x = 10; x = 5 – лет дочке; 5 + 25 = 30 – лет маме. № 105 Пусть x яблонь на первом участке. Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то (x – 1) – на первом останется, 3 · (x – 1) на втором. x – 1 + 3 · (x – 1) = 84; 4 · (x – 1) = 84; x – 1 = 21; x = 22 – на первом участке. 84 – 22 = 62 – на втором. Ответ: 22; 62. № 106

а) a + b = 7 · a · b; б) x = 3 · y + 1;

в) 3 ⋅ (c − d ) =

c ; d

г) a = 12 · b + 5.

№ 107 а) N=10 · a+b; б) M = 100 · a+10 · b+c; в) a · 1000 + b · 10; г) 100 · r + 7. № 108 Пусть t часов был в пути первый теплоход. Тогда (t – 3) часов был в пути второй теплоход. 22 · t + 26 · (t – 3) = 306; 48 · t = 306 + 78; t = 384 : 48; t = 8 часов был в пути первый теплоход. 8 – 3 = 5 часов был в пути второй теплоход. Ответ: 8; 5. № 109 Пусть x книг на первой полке. Тогда 2 · x – книг на первой полке. 2 · x – 5 – книг на третей полке. x + 2 · x + 2 · x – 5 =75; 5 · x = 80; x = 16 – книг на второй полке.

19

2 · 16 = 32 – книг на первой полке. 32 – 5 = 27 – книг на третей полке. Ответ: 36; 18; 31. № 110 Пусть x – рабочих во втором цехе. Тогда 1,5 · x – рабочих в первом цехе. 1,5 · x + 110 – рабочих в третем цехе. x + 1,5 · x + 1,5 · x + 110 = 310; 4 · x = 200; x = 50 – рабочих во втором цехе. 1,5 · 50 = 75 – рабочих в первом цехе. 75 + 110 = 185 – рабочих в третем цехе. Ответ: 75; 50; 185. № 111 Пусть x см. – AB. Тогда 2 · x см. – BC. (x + 4) см. – AC. x + 2 · x + x + 4 = 44; 4 · x = 40; x = 10 см. – АB. 2 · 10 = 20 см. – BC. 10 + 4 = 14 см. – АС. Ответ: 10; 20; 14. № 112 Пусть x учеников учится в старших классах. Тогда 3 · x учеников учится в начальных классах. 6 · x учеников учится в средних классах. x + 3 · x + 6 · x = 900; 10 · x = 900; x = 90 – учеников учится в старших классах. 3 · 90 = 270 – учеников учится в начальных классах. 6 · 90 = 540 – учеников учится в средних классах. Ответ: 270; 540; 90. № 113 Пусть x учеников всего.

Тогда

x – учеников изучает математику. 2

x – учеников изучает природу. 4 x – учеников размышляет. 7 x x x x x x + + +3= x ; x− − − =3; 2 4 7 2 4 7 3⋅ x = 3 ; x = 28 – учеников всего. 28

Ответ: 28. 20

28 ⋅ x − 14 ⋅ x − 7 ⋅ x − 4 ⋅ x =3; 28

№ 114 Пусть x – дней отработали. Тогда (30 – x) – дней не работали. 48 · x = 12 · ( 30 – x); 48 · x + 12 · x = 12 · 30; x = 6 дней отработали. Ответ: 6. № 115 Пусть x – учеников всего. x x ⎞ ⎛ Если придет ⎜ x + + + 1⎟ учеников, то 2 4 ⎠ ⎝ x x 3⋅ x x + x + + +1= 100; 2 · x + = 99 ; 4 2 4 x = 36 – учеников всего. Ответ: 36.

60 · x = 360;

11 ⋅ x = 99 ; 11 · x = 396; 4

№ 116 Пусть x – мужчин; 4 алтына = 12 коп.; 120 гривен = 1200 коп. Тогда (120 – x) – женщин; 3 алтына = 9 коп. 12 · x + (120 – x) · 9 = 1200; 12 · x + 1080 – 9 · x = 1200; 3 · x = 1200 – 1080; x = 40 – мужчин. 120 – 40 = 80 – женщин. Ответ: 40; 80.

ГЛАВА 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства § 4. Что такое степень с натуральным показателем № 117 а) 3 · 3 · 3 · 3 = 34; б) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76;

в) 0,5 · 0,5 = ( 0,5 )2; г) 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 = ( 8,4 )5.

№ 118 а) x8; б) y5; в) z6; г) q3. № 119 4

2

⎛ 7⎞ ⎛ 2⎞ а) (–4)5; б) ⎜ − ⎟ ; в) (–2,5)3; г) ⎜ −5 ⎟ . 3 ⎝ 8⎠ ⎝ ⎠

№ 120 а) (– c )4; б) (– d )3; в) (– r )5; г) (– s )6. № 121 а) ( ab )4; б) ( pq )3; в) ( mn )5; г) ( xy )6. № 122 а) ( c – d )3; б) ( z + t )2; в) ( p – q )4; г) ( x + y )6.

21

№ 123 2

⎛ 1⎞ а) 135 · 53; б) 0,72 · ⎜ − ⎟ ; в) (– 0,45 )2 · 73; г) ⎝ 2⎠

3

⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟ · 0,1 . 9 ⎝ ⎠

№ 124 2

⎛3⎞ а) 53 · 73; б) (– 0,3 )3 · ⎜ ⎟ ; в) ( 7,95 )2 · 133; г) ⎝5⎠

3

⎛ 1⎞ 2 ⎜ −2 ⎟ · ( 17,8 ) . ⎝ 3⎠

№ 125 а) x · x · x · x · x · x · x · x; в) (– y )3 · (– y )3 · (– y )3 · (– y )3; б) (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ); г) ( 3b )2 · ( 3b )2 · ( 3b )2. № 126 а) 4pq · 4pq; 2

в) (z – x) · (z – x) · (z – x); 2

⎛ a⎞ ⎛ a⎞ б) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ; b ⎝ ⎠ ⎝ b⎠

г)

№ 127 а) 2; б) 4; в) 32;

г) 16.

№ 128 а) 27; б) 0; в) –8;

г) 1.

5c 5c 5c 5c 5c · · · · . 6d 6d 6d 6d 6d

№ 129 а) 25; б) –5; в) –125; г) –3125. № 130

а) 1; б) 81; в)

1 1 ; г) . 16 81

№ 131 а) 35 = 405;

б) (– 0,5)4 = 0,0625;

3

2

27 ⎛3⎞ ; в) ⎜ ⎟ = 4 64 ⎝ ⎠

2

64 15 ⎛ 1⎞ ⎛8⎞ г) ⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ = =1 . 7 7 49 49 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

№ 132

а) 9 см2; б) 49 см2; в) 2,25 см2; г)

1 см2. 16

№ 133

а) 2197 м3; б) 64 м3; в) 0,216 м3; г)

27 3 м. 343

№ 134 3

4

1 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ а) (– 3)5 = – 405; б) ⎜ ⎟ = ; в) (–0,4)2 = 0,16; г) ⎜ ⎟ = . 8 625 ⎝2⎠ ⎝5⎠ 22

№ 135 а) 171 = 17; б) 115 = 1; в) 321 = 32; г) 072 = 0. № 136 а) – 72 = – 49; б) (– 1)4 = 1; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) – 82 = – 64. № 137 3

2

1 ⎛ 1⎞ а) ⎜ − ⎟ = − ; 64 ⎝ 4⎠

9 ⎛ 3⎞ б) ⎜ − ⎟ = ; 100 ⎝ 10 ⎠

3

8 ⎛ 2⎞ в) − ⎜ − ⎟ = ; 3 27 ⎝ ⎠

г) – (– 0,1)4 = – 0,0001.

№ 138 а) 3 · (– 4)2 = 3 · 16 = 48; б) (– 2)5 · 3 = – 32 · 3 = – 96;

в) 81 · 71 = 8 · 7 = 56; г) (– 0,5)2 · (– 2)2 = 0,25 · 4 = 1.

№ 139 2

3

1 9 4 3 ⎛3⎞ ⎛ 2⎞ а) ⎜ ⎟ ⋅ 1 = ⋅ = ; б) 34 · ⎜ − ⎟ = 81 · 3 16 3 4 ⎝4⎠ ⎝ 3⎠ 3

⎛ 1⎞ в) 1 : ⎜ − ⎟ = 1 : ⎝ 3⎠

⎛ 8 ⎞ ⎜ − ⎟ = 3 · (– 8) = – 24; ⎝ 27 ⎠

2

2 9 5 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛3⎞ ⋅ = ⎜ − ⎟ = – 27; г) ⎜ ⎟ · 1 = 3 25 3 5 ⎝5⎠ ⎝ 27 ⎠

№ 140

а) б)

0, 24 0,0016 = = 0,00004 ; 40 40 1,8

( 0,3)

2

=

1,8 = 20 ; 0,09

в) г)

1 3

( −0,1) 1,6

( 0, 4 )

2

=

=

1

( −0,001)

= −1000 ;

1,6 = 10 . 0,16

№ 141 2

2

121 21 ⎛ 1⎞ ⎛ 11 ⎞ а) ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = =4 ; 25 25 ⎝ 5⎠ ⎝5⎠ 3

3

1000 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 10 ⎞ б) ⎜ −3 ⎟ = ⎜ − ⎟ = − ; = −37 3 3 27 27 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

4

625 58 ⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ в) ⎜ −1 ⎟ = ⎜ − ⎟ = =7 ; 81 81 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2

2

441 9 ⎛ 1⎞ ⎛ 21 ⎞ г) ⎜ 5 ⎟ = ⎜ ⎟ = = 27 . 4 4 16 16 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

№ 142 а) 29; б) 1845; в) (– 5)17; г) (– 9)12.

23

№ 143 а) x7; б) ( ab )45; в) ( z – y )105; г) ( r + s )31. № 144 а) 6 m; б) (– 7) n; в) a r; г) b m. № 145 а) ( xy ) n; б) (– cd ) m; в) ( m – n ) r; г) ( t + v ) n. № 146 а) c r · d n; б) (– a) n · b r; в) ( a – b ) m · ( x – z ); г) ( p – q ) 2 · ( x – y) m. № 147 Пусть S – площадь одной стороны. Тогда 6 · S – полная поверхность. S = 7 · 7 = 49 см2; 6 · 49 = 294 см2 – полная поверхность. Ответ: 294 см2. № 148 Пусть S – площадь пола, P – площадь одной стены, S = 9 = 3 · 3. Так как пол квадратный, то сторона квадрата равна трем. P = 3 · 3 = 9 м2; 9 · 4 = 36 м2 – потребуется обоев. Ответ: 36 м2. № 149 Пусть S – площадь пола. S = 4 · 4 = 16 м2; 16 · 200 = 3200 г. = 3,2 кг. – потребуется краски. Ответ: 3,2 килограмма. № 150 Пусть S – площадь стороны куба, V – объем куба. S = 40 · 40 =1600 см2 = 0,16 м2; V = 1600 · 40 = 64000 см3 = 0,064 м3; Ответ: 0,064 м3. № 151 а) 3 · 24 + 2 · 34 = 3 · 16 + 2 · 81 = 48 + 162 = 210; б) 7 · 32 + 3 · 72 = 7 · 9 + 3 · 49 = 63 + 147 = 210; в) 5 · 33 + 3 · 52 = 5 · 27 + 3 · 25 = 135 + 75 = 210; г) 7 · 52 + 5 · 72 = 7 · 25 + 5 · 49 = 175 + 245 = 420. № 152 а) 7 · 103 – 8 · 102 = 7 · 1000 – 8 · 100 = 7000 – 800 = 6200; б) 92 · 3 + 100 · (0,1)2 = 81 · 3 + 100 · 0,01 = 243 + 1 = 244. № 153 2

1 1 1 2+3 5 ⎛1⎞ а) ⎜ ⎟ · 27+(0,1)4 · 5000 = ⋅ 27 + 0,0001 ⋅ 5000 = + = = ; 81 3 2 6 6 ⎝9⎠ 2

1 ⎛1⎞ б) 100 : 52 – ⎜ ⎟ · 128 = 100 : 25 – ⋅ 128 = 4 − 2 = 2 . 64 ⎝8⎠ 24

№ 154 3

3

3

3

512 125 387 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛8⎞ ⎛5⎞ а) ⎜ 2 ⎟ – ⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = − = = 14 ; 3 3 3 3 27 27 27 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

2

4

2

625 1089 1714 89 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 33 ⎞ . б) ⎜ −1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ − ⎟ – ⎜ ⎟ = + = = 256 256 256 128 ⎝ 4⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 16 ⎠

№ 155 а) 228 = 2 · 114 = 2 · 2 · 57 = 2 · 2 · 3 · 19 = 22 · 3 · 19; б) 432 = 2 · 216 = 2 · 2 · 108 = 2 · 2 · 2 · 54 = 24 · 27 = 24 · 33; в) 600 = 2 · 300 = 2 · 2 · 150 = 23 · 75 = 23 · 5 · 15 = 23 · 52 ·3; г) 752 = 2 · 376 = 2 · 2 · 188 = 2 · 2 · 2 · 94 = 24 · 47. № 156 а) 3969 = 3 · 1323 = 3 · 3 ·441 = 3 · 3 · 3 ·147 = 34 ·49 = 34 · 72; б) 64800 = 2 · 32400 = 2 · 2 · 16200 = 23 · 8100 = 23 · 90 · 90 = = 23 · 9 ·10 · 9 · 10 = 23 · 32 · 5 · 2 · 32 · 5 · 2 = 25 · 34 · 52; в) 21600 = 2 · 10800 = 2 · 2 · 5400 = 2 · 2 · 2 · 2700 = 2 3 · 27 · 100 = = 23 · 3 · 3 · 3 · 10 · 10 = 23 · 33 · 2 · 5 · 2 · 5 = 25 · 33 · 52; г) 17640 = 2 · 8820 = 2 · 2 · 4410 = 2 · 2 · 2 · 2205 = 23 · 5 · 441 = = 23 · 5 · 3 · 147 = 23 · 5 · 3 · 3 · 49 = 23 · 5 · 32 · 72. № 157 а) 22 · 23 и 22 + 3; б) 32 · 31 и 32 + 1; 2 3 5 1) 32 · 31 = 3 · 3 · 3 = 33; 1) 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 ; 2+3 5 =2. 2) 32 + 1 = 33. 2) 2 Ответ: числа равны. Ответ: числа равны. г) 41 · 43 и 41 + 3; в) 71 · 72 и 71 + 2; 1 2 3 1) 41 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44; 7 ·7 =7·7·7=7 ; 1+2 3 =7. 2) 41 + 3 = 44. 7 Ответ: числа равны. Ответ: числа равны.

§ 5. Таблица основных степеней № 158 N 3n 5n 7n

1 3 5 7

2 9 25 49

3 27 125 343

4 81 625 2401

5 243 3125 16807

6 729 15625 117649

№ 159

а) 16 = 42; б)

2

4 ⎛2⎞ 25 ⎛ 5 ⎞ = ⎜ ⎟ ; в) 0,81 = (0,9)2; г) =⎜ ⎟ 49 ⎝ 7 ⎠ 64 ⎝ 8 ⎠

2

2

.

№ 160

а) 125 = 53; б)

3

3

1 ⎛1⎞ 343 ⎛ 7 ⎞ = ⎜ ⎟ ; в) – 0,216 = (– 0,6)3; г) = ⎜− ⎟ . 64 ⎝ 4 ⎠ 512 ⎝ 8 ⎠

25

№ 161 а) 1; б) 1; в) – 1; г) 1. № 162 а) 0; б) 0; в) – 1; г) 0. № 163 а) (– 1)10 + 012 + 145 = 1 + 0 + 1 = 2; б) (– 1)6 + (– 1)7 – 08 = 1 – 1 – 0 = 0; в) 012 + 141 + (– 1)11 = 0 + 1 – 1 = 0; г) 0502 – 114 + 113 + (– 1)2 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1. № 164 а) (– 1)4 + (– 1)3 + (– 1)2 + (– 1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0; б) (– 1)7 + 18 + 015 + 119 + (– 1)4 = –1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2; в) (– 1)2 – (– 1)3 – (– 1)4 – (– 1)5 = 1 – (– 1) – 1 – (– 1) = 2; г) (– 1)12 + 01 – 124 + 03 – (–1)5 = 1 + 0 – 1 + 0 + 1 = 1. № 165 а) 103 = 1000; б) 104 = 10000; в) 105 = 100000; г) 107 = 10000000. № 166 а) 1000000000 = 109; б) 10 = 101; в) 1000000 = 106; г) 10 n. № 167 2

1 ⎛ 1⎞ а) (– 2)5 = –32; б) (– 3)4 = 81; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) ⎜ − ⎟ = . 16 ⎝ 4⎠ № 168 а) (– 2,5)2 + 1,52 = 6,25 + 2,25 = 8,5; ⎛ 2⎞

4

⎛2⎞

2

16

4

16 − 4

1

⎛

1 ⎞

12

4

; б) ⎜ − ⎟ – ⎜ ⎟ = − = = = 81 81 81 81 27 ⎝ 3⎠ ⎝9⎠ в) (– 0,5)3 + (– 0,4)2 = –0,125 + 0,16 = 0,035; ⎛ 1⎞

2

⎛ 1⎞

3

1

1

3+ 4

7

. г) ⎜ − ⎟ – ⎜ − ⎟ = −⎜− ⎟ = + = = 36 ⎝ 27 ⎠ 36 27 108 108 ⎝ 6⎠ ⎝ 3⎠ № 169 а) a2 ≥ 0; б) – a2 ≤ 0; в) (x + 5)2 ≥ 0; г) –3 · (x – 7)2 ≤ 0. № 170 а) x2 + y2 ≥ 0; в) 5 · (a2 + b2) ≥ 0; № 171 а) 2 r = 512; r=9 Ответ: 9

26

б) (a + 51)2 + (b2 – 13)2 ≥ 0; г) –94 · (x + y)2 ≤ 0. б) 5 m = 625; m=4 Ответ: 4

в) 7 m = 343; m=3 Ответ: 3

г) 3 r = 729 r=6 Ответ: 6

№ 172 а) 3 · 104 + 4 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 4 = = 30000 + 40000 + 7000 +200 + 80 + 4 = 77284; б) 8 · 106 + 9 · 103 + 5 = 8000000 + 9000 + 5 = 8009005; в) 1 · 104 + 1 · 102 + 1 = 10000 + 100 + 1 = 10101; г) 3 · 105 + 5 · 103 + 4 · 102 + 8 = 300000 + 5000 + 400 + 8 = 305408. № 173 а) 17285 = 10000 + 7000 + 200 + 80 + 5 = = 1 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 5; б) 213149 = 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 40 + 9 = = 2 · 105 + 1 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 9; в) 1495643 = 1000000 + 400000 + 90000 + 5000 + 600 + 40 + 3 = = 1 · 106 + 4 · 105 + 9 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 4 · 10 + 3; г) 75003400 = 70000000 + 5000000 + 3000 + 400 = = 7 · 107 + 5 · 106 + 3 · 103 + 4 · 102. № 174 а) При а = 1, а2 = 12 = 1, (– а)2 = (– 1)2 = 1, – а2 = – 12 = – 1. При а = – 1, а2 = (– 1)2 = 1, (– а)2 = 12 = 1, – а2 = – (– 1)2 = – 1. При а = 0, а2 = 02 = 0, (– а)2 = (– 0)2 = 0, – а2 = – 02 = 0. При а = 10, а2 = 102 = 100, (– а)2 = (– 10)2 = 100. – а2 = – 102 = – 100. б) При b = 1, b4 = 14 = 1, (– b)5 = (– 1)5 = – 1, – b5 = – 15 = – 1. При b = 0, b4 = 04 = 0, (– b)5 = (– 0)5 = 0, – b5 = – 05 = 0. При b = –1, b4 = (– 1)4 = 1, (– b)5 = 15 = 1, – b5 = – (– 1)5 = 1. При b = 10, b4 = 104 = 10000, (– b)5 = (– 10)5 = – 100000. – b5 = – 105 = – 100000. в) c2 + (– c)3 + c4. При c = 1, 12 + (– 1)3 + 14 = 1 – 1 + 1 = 1. При c = 0, 02 + (– 0)3 + 04 = 0 + 0 + 0 = 0. При c = 10, 102 + (– 10)3 + 104 = 100 – 1000 + 10000 = 9100. При c = –1, (– 1)2 + 13 + (– 1)4 = 1 + 1 + 1 = 3. г) d4 – d2 + d + 1. При d = –1, (– 1)4 – (– 1)2 + (– 1) + 1= 1 – 1 – 1 + 1 = 0. При d = 0, 04 – 02 + 0 + 1= 0 – 0 + 0 + 1 = 1. При d = 1, 14 – 12 + 1 + 1= 1 – 1 + 1 + 1 = 2. При d = 10, 104 – 102 + 10 + 1= 10000 – 100 + 10 + 1 = 9911. № 175

а) б)

−24 24 16 16 48 16 64 1 − = − − = − − = − = −7 ; 3 9 3 9 9 9 9 9

( −2 )2 − 52 3

2

4

=

4 25 2 25 23 3 − = − = − = −5 ; 8 4 4 4 4 4

27

в) г)

( −2 )3 − 5

14 3

3

−

8 3 32 + 15 47 7 =− − =− =− = −2 ; 5 4 20 20 20 2 3

2

24

( −3)

2

=

14 16 14 − 48 34 7 − = =− = −1 . 27 9 27 27 27

№ 176 а) 322 > 0;

б) (– 54)2 > 0; ⎛1⎞

3

⎛1⎞

2

в) 32 и 23;

г) ⎜ ⎟ и ⎜ ⎟ ; ⎝ 3⎠ ⎝2⎠

1) 32 = 9; 2) 23 = 8.

1) ⎜ ⎟ = ; 2) ⎜ ⎟ = . 9 4 ⎝ 3⎠ ⎝2⎠

Ответ: 32 > 23.

Ответ: ⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ ⎝ 3⎠

⎛1⎞

4

⎛3⎞

2

⎛1⎞

2

1

3

в) (– 0,3)3 < (– 0,3)2;

4

⎛ 1⎞

б) ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎝ 5⎠ ⎝5⎠

⎛1⎞

1

⎛1⎞

№ 177 а) (– 17,2)2 > (– 17,2)3; ⎛ 3⎞

3

2

⎛1⎞

4

г) ⎜ − ⎟ > ⎜ ⎟ . ⎝ 5⎠ ⎝5⎠

№ 178 1 7

а) (– 7)3 < (– 0,4)3 < ( )3 < (– 1,5)2; 1 3 3 7 2 в) (− )3 < (0,8)3 < (– 1,1)2 < (– 1,5)2; 3 3 3 2 г) (− ) < (0,3)2 < (− ) 2 2 < (– 1,2)2. 4 5

б) (−1 )3 < (− )3 < (– 1,8)2 < (– 2,1)2;

№ 179 а) 2 n = 1024; 3 r =81; n =10; n + r = 10 + 4 = 14. Ответ: 14. № 180 а) 22x = 128; 2x = 7; x = 3,5. Ответ: 3,5.

28

б) 3 x – 3 = 243; x – 3 = 5; x = 8. Ответ: 8.

б) 7 n = 49; 5 r = 625. r = 4; n = 2; r = 4; n + r = 2 + 4 = 6. Ответ: 6. в) 5 x : 2 = 125; x : 2 = 3; x = 6. Ответ: 6.

г) 2 2 – 3x = 256; 2 – 3x = 8; x = –2. Ответ: –2.

§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями № 181 а) x2 · x3 = x5; б) y6 · y4 = y10; в) z5 · z12 = z17; г) t10 · t24 = t34. № 182 а) a5 · a = a6; б)b · b6 = b7; в)c7 · c = c8; г)d n · d = d n+1. № 183 а) s3 · s5 · s8 = s3 + 5+ 8 = s16; в) m13 · m8 · m = m13 + 8 + 1 = m22;

б) r14 · r12 · r51 = r14 + 12 + 51 = r67. г) n4 · n · n10 = n4 + 1 + 10 = n15.

№ 184 а) u15 · u23 · u · u7 = u15 + 23 + 1 + 7 = u46; б) r4 · r12 · r51 = r4 + 12 +51 = r67; в) v3 · v9 · v4 · v = v3 + 9 + 4 + 1 = v17; г) q13 · q8 · q7 · q21 = q13 + 8 + 7 + 21 =q49. № 185 а) ( a – b )3 · ( a – b )2 = ( a – b )3 + 2 = ( a – b )5; б) ( c + d )7 · ( c + d )8 = ( c + d )7 + 8 = ( c + d )15; в) ( q + r )15 · ( q + r )8 = ( q + r )15 + 8 = ( q + r )23; г) ( m – n )5 · ( m – n )4 = ( m – n )5 + 4 = ( m – n )9. № 186 а) ( ax )5 · ( ax )7 · ( ax ) = ( ax )5 + 7 + 1 = ( ax )13; б) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; в) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; г) (– pq)13 · (– pq) · ( pq ) = (– pq)13 + 1 · ( pq ) = ( pq )15. № 187 а) x7 · x18; № 188 а) r3 · ∗ = r11; 11 – 3 = 8; r3 · r8 = r11;

б) x9 · x16;

в) x24 · x;

г) x · x24.

б) ∗ · r14 = r10; в) r13 · ∗ · r18 = r43; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12; r –4 · r14 = r10; r13 · r12 · r18 = r43;

г) ∗ · r21 · r11 = r40; 40 – 21 – 11 = 8; r8 · r21 · r11 = r40.

№ 189 а) r12 · ∗ · r3 · ∗ = r26; 26 – 12 – 3 = 11; 11 = 5 + 6; r12 · r5 · r3 · r6 = r26; б) r44 · ∗ · r · ∗ = r51; 51 – 44 – 1 = 6; 6 = 3 + 3; r44 · r3 · r · r3 = r51;

в) ∗ · r7 · ∗ · r9 · r13 = r48; 48 – 7 – 9 – 13 = 19; 19 = 9 + 10; r9 · r7 · r10 · r9 · r13 = r48; г) r · r14 · ∗ · r20 · ∗ = r72; 72 – 1 – 14 – 20 = 37; 37 = 17 + 20; r · r14 · r17 · r20 · r20 = r72.

№ 190 а) 25 · 24 = 25 + 4 = 29 = 512; в) 72 · 7 = 72 + 1 = 73 = 343;

б) 33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243; г) 9 · 92 = 91 + 2 = 93 = 729. 29

№ 191 а) 4 · 2 = 22 · 2 = 22 + 1 = 23; в) 64 · 512 = 26 · 29 = 26 + 9 = 215;

б) 32 · 8 = 25 · 23 = 25 + 3 = 28; г) 16 · 32 = 24 · 25 = 24 + 5 = 29.

№ 192 а) 5 · 25 = 5 · 52 = 51 + 2 = 53; в) 54 · 125 = 54 · 53 = 54 + 3 = 57;

б) 53 · 625 = 53 · 54 = 53 + 4 = 57; г) 59 · 3125 = 59 · 55 = 59 + 5 = 514.

№ 193 а) a = (– 13)9 · (– 13)8; 9 + 8 = 17 – нечетное. Ответ: отрицательное. в) а = (– 28)2 · (– 28)6; 2 + 6 = 8 – четное. Ответ: положительное.

б) a = (– 17)17 · (– 17)71; 17 + 71 = 88 – четное. Ответ: положительное. г) а = (– 43)41 · (– 43)14; 41 + 14 = 55 – нечетное. Ответ: отрицательное.

№ 194 а) x · 73 = 75; б) 122 · x = 123; в) 46 · x = 48; г) x · 56 = 59; 5 3 3 2 8 6 x=7 :7; x = 12 : 12 ; x=4 :4; x = 59 : 56; 2 1 2 x=7; x = 12 ; x=4; x = 53; x = 49. x =12. x =16. x = 125. Ответ: 49. Ответ: 12. Ответ: 16. Ответ: 125. № 195 а) x7 : x4 = x7 – 4 = x3; б) y16 : y12 = y16 – 12 = y4; в) z13 : z = z13 – 1 = z12; г) m28 : m27 = m28 – 27 = m1 = m. № 196 а) a12 : a10 : a = a12 – 10 – 1 = a1 = a; б) b45 : b15 : b29 = b45 – 15 – 29 = b1 = b; 3 3–1–1 1 в) c : c : c = c = c = c; г) d43 : d14 : d5 = d43 – 14 – 5 = d24. № 197 а) (a – b)3 : (a – b)2 = (a – b)3 –2 = (a – b)1 = (a – b); б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3 = (z + r)13 – 8 – 3 = (z + r)2; в) (c + d)8 : (c + d)5 = (c + d)8 – 5 = (c + d)3; г) (m – n)42 : (m – n)12 : (m – n)29 = (m – n)42 – 12 – 29 = (m – n)1 = (m – n). № 198 а) 1013 : 108 = 1013 – 8 = 105 = 100000; б) 1217 : 1216 = 1217 – 16 = 12; в) (–324)3:(–324)2=(– 324)3 – 2 = –324; г) 0,75127:0,75126=0,75127 – 26=0,751; № 199

а)

78 7

5

= 73 = 343;

б)

0,67

= 0,62 = 0,36;

5

0,6

4

6

в)

30

( −0, 2 ) = (– 0,2)4 = 0,0016; ( −0, 2 )2

⎛ 1⎞ 1 ⎜1 ⎟ 1 ⎛ 1⎞ 3 г) ⎝ ⎠3 = ⎜1 ⎟ = 1 . 3 ⎝ 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜1 ⎟ 3 ⎝ ⎠

№ 200 18

⎛ ⎝

18 −17

17

⎛ 1⎞

⎛ 1⎞

а) ⎜1 ⎟ ⎝ 3⎠

: ⎜1 ⎟ ⎝ 3⎠

1⎞

6

⎛ ⎝

⎛ 1⎞

1 3

= ⎜1 ⎟ ⎝ 3⎠ 1⎞

4

⎛ ⎝

=1 ; 1⎞

6−4

б) ⎜ −2 ⎟ : ⎜ −2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ 7 7 7 ⎠

⎛ 2⎞

23

⎛ 2⎞

в) ⎜ 3 ⎟ ⎝ 9⎠

⎛ 2⎞

: ⎜3 ⎟ ⎝ 9⎠ 15

⎛ ⎝

⎠

21

7⎞

г) ⎜ −1 ⎟ 8

14

⎛ ⎝

⎠

⎠

23− 21

7⎞

⎛ ⎝

⎛ 29 ⎞

15 −14

7⎞

841

31

№ 201 а) x5 : x2 = x3; б) x18 : x7 = x11;

⎛

1

7⎞

7

= ⎜ −1 ⎟ = −1 . 8 ⎝ 8⎠

= ⎜ −1 ⎟ 8

⎠

2

= ⎜ ⎟ = = 10 ; 81 81 ⎝ 9 ⎠

= ⎜3 ⎟ ⎝ 9⎠

: ⎜ −1 ⎟ 8

2

225 29 ⎛ 15 ⎞ =4 ; ⎟ = 49 49 ⎝ 7⎠

= ⎜−

⎠

в) x49 : x36 = x13; г) x104 : x5 = x99.

№ 202 а) x52 : x10 : x2 = x52 – 10 – 2 = x40; в) x45 : x30 : x15 · x = x45 – 30 – 15 + 1 = x;

б) r44 · r20 · r : r14 = r44 + 20 + 1 – 14 = r51; г) x100 : x26 : x = x100 – 26 – 1 = x73.

№ 203 а) 128 n : 12856 = 12842; б) 2163 : 216 n = 216; в) 395 n : 395 = 3959; г) 5484 : 548 n = 5483;

n = 98; n = 2; n = 10; n = 1;

№ 204 а) x : 25 = 23; x = 23 · 25; x = 28; x = 256. Ответ: 256.

n – 56 = 42; 3 – n =1; n – 1 = 9; 4 – n = 3;

б) 36 : x = 34; x = 36 : 34; x = 32; x = 9. Ответ: 9.

Ответ: 98. Ответ: 2. Ответ: 10. Ответ: 1.

в) 78 : x = 74; x = 78 : 74 x = 74; x = 2401. Ответ: 2401.

г) x : 52 = 5; x = 5 · 52; x = 53; x = 125. Ответ: 125.

№ 205

а) в)

73 ⋅ 712 14

7

= 73+12 −14 = 71 = 7 ;

15 ⋅ 1513 12

15

б)

= 151 + 13 – 12 = 152 = 225; г)

1015 ⋅ 107

= 1015 + 7 – 19 = 103 = 1000;

1019 4312 6

5

43 ⋅ 43

=

4312 4311

= 4312 −11 = 43 .

№ 206 16

( 0,3)

3

а)

12

⋅ 0,3 13

0,3

=

15

0,3

13

0,3

= 0,32 = 0,09 ;

17

⎛7⎞ 7 ⎛7⎞ 2 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ 49 8 8 8 ⎛7⎞ б) ⎝ ⎠ 15 = ⎝ ⎠15 = ⎜ ⎟ = ; 8 64 ⎝ ⎠ ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝8⎠

31

⎛1⎞ ⎜ ⎟ 0,09 ⋅ 0,09 0,09 3 2 в) = = 0,09 = 0,0081 ;г) ⎝ ⎠ 7 7 0,09 0,09 5

4

3

№ 207

а) в)

x 5 ⋅ x8 x3

c12 ⋅ c10 c

x13

=

21

x3

=

= x10 ;

c 22 c

21

y 7 ⋅ y9

б)

=c;

y5

№ 208 а) ( x3 )2 = x3 · 2 = x6; в) ( x7 )12 = x7 · 12 = x84;

d

15

y16

=

d 18 ⋅ d 12

г)

2

5

⎛1⎞ ⎛1⎞ ·⎜ ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ = ⎝ 3⎠ = ⎛1⎞ = 1 . ⎜ ⎟ 1 1 81 ⎝ 3⎠ 3 3

9

y5 =

= y11 ;

d 30 d

15

= d 15 .

б) ( x5 )6 = x5 · 6 = x30; г) ( x10 )13 = x10 · 13 = x130.

№ 209 а) ( 28 )5; б) ( 210 )4; в) ( 220 )2; г) ( 24 )10. № 210 а) ( m6 )3; б) ( m16 )3; в) ( a18 )3; г) ( b7 )3. № 211 а) ( 73 )2 = 73 · 2 = 76 = 117649; в) ( 42 )3 = 42 · 3 = 46 = 4096;

б) ( 33 )2 = 33 · 2 = 36 = 729; г) ( 22 )5 = 22 · 5 = 210 = 1024.

№ 212 а) ( a6 )5 = a6 · 5 = a30; в) ( z4 )3 = z4 · 3 = z12;

б) ( b2 )7 = b2 · 7 = b14; г) ( p12 )2 = p12 · 2 = p24.

№ 213 а) ( a3 )6 · a4 = a3 · 6 + 4 = a22; в) c6 · ( c2 )3 = c6 + 2 · 3 = c12;

б) b5 · ( b3 )4 = b5 + 3 · 4 = b17; г) ( d8 )4 · d23 = d8 · 4 + 23 = d55.

№ 214

а)

a 2 ⋅ a5 : a6 7

8

14

a ⋅a :a

=

a 2 + 5− 6 a

7 + 8 −14

=

a =1 ; a

б)

b13 ⋅ b12 : b3 b

20

4

⋅b :b

=

b13+12 −3 b

20 + 4 −1

z 3 ⋅ z17 q 43 ⋅ q 2 z 3+17 q 43+ 2 ⋅ = 19 ⋅ 44 = z ⋅ q ; в) z19 q 44 z q

г)

m79 ⋅ m 4 m63 ⋅ m57 m79 + 4 m63+ 57 1 ⋅ = ⋅ = 16 ⋅ m 24 = m8 . m99 m96 m99 m96 m

№ 215 а) y3; б) y6; в) y10; г) y20. № 216 а) ( x5 )4 · ( x6 )7 = x5 · 4 + 6 · 7 = x20 + 42 = x62; б) ( y8 )2 · ( y12 )3 = y8 · 2 + 12 · 3 = y16 + 36 = y52;

32

=

b 22 b

23

=

1 ; b

в) ( z13 )3 · ( z5 )9 = z13 · 3 + 5 · 9 = y39 + 45 = y84; г) ( t25 )2 · ( t10 )4 = t25 · 2 + 10 · 4 = y50 + 40 = y90. № 217 а) ( z5 )6 : z7 = z5 · 6 – 7 = z30 – 7 = z23; б) ( p3 )4 : p10 = p3 · 4 – 10 = p12 – 10 = p2; в) ( u14 )3 : u20 = u14 · 3 – 20 = u42 – 20 = z22; г) ( q8 )6 : q70 = q8 · 6 – 70 = q48 – 70 = q– 22. № 218

( x3 ) а)

4

⋅ x7

x3⋅4 + 7

=

x15

x15

=

x19 x15

( y5 ) ⋅ ( y 2 ) = y5⋅7+ 2⋅4 = y 43 = y ; б) 14 y 3⋅14 y 42 ( y3 ) 3 d 2 ) ⋅ d 15 d 2⋅3+15 d 21 ( = = 12 = d 9 . г) 4⋅3 4 3 d d (d ) 7

4

=x ;

( c3 ) ⋅ c5 = c3⋅5+5 = c20 = c2 ; в) 3 6⋅3 18 ( c6 ) c c 5

4

№ 219 а) ( x3 )n = x 3n; б) ( yn )5 = y5n; в) (– a4 )2n = a8n; г) (– b3 )6n = b18n. № 220

а)

( )

26 ⋅ 23

=

18

2

(3 )

6 2

в)

5

3

3 ⋅9

=

26 + 3⋅5

36⋅2 3+ 2

3

18

2

=

312 5

3

=

221 18

2

(56 ) б)

3

3

=2 =8 ;

= 37 = 2157 ;

5

г)

⋅ 58

22

47 ⋅ 16

( ) 4

2 4

=

=

56⋅3+8 5

47 + 2 4

2⋅4

22

=

=

49 48

526 5

22

= 54 = 625 ;

=4.

§ 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями № 221 а) (2a)4 = 24 · a4; б) ( 3b )5 = 35 · b5; в) ( 6n )3 = 63 · n3; г) ( 8n )2 = 82 · n2. № 222 а) (– 2p)3 = (– 2)3 · p3; в) (– 7c)2 = (– 7)2 · c2;

б) (– 5q)4 = (– 5)4 · q4; г) (– 3d)5 = (– 3)5 · d5.

№ 223 а) ( mn )6 = m6 · n6; б) ( ab )4 = a4 · b4; в) ( pq )3 = p3 · q3; г) (cd)10=c10 ·d10. № 224 а) (– ac )17 = (– a)17 · c17; б) (– am )8 = (– a)8 · m8; в) (– rs )3 = (– r)3 · s3; г) (– xy )12 = (– x)12 · y12. № 225 а) ( xy3 )2 = x2 · y6; б) ( a2bc3 )4 = a8 · b4 · c12; в) ( p3cd6 )18 = p54 · c18 · d108; г) ( u5v4t7 )8 = u40 · v32 · t56.

33

№ 226 а) ( 3p2r8 )5 = 35 · p10 · r40; в) ( 10a2b5 )4 = 104 · a8 · b20; № 227 а) 36a2 = (6a)2;

б) ( 6a5bx3 )3 = 63 · a15 · b3 · x9; г) ( 4r5q8p9 )2 = 42 · r10 · q16 · p18.

б) 49b2 = (7b)2;

№ 228 а) a2 · b2 · c2 = (abc)2; в) m5 · n5 · s5 = (mns)5;

в) 81c2 = (9c)2;

г) 64d2 = (8d)2.

б) x3 · y3 · z3 = (xyz)3; г) p12 · q12 · r12 = (pqr)2.

№ 229 б) 125 · c3 · d3 · z3 = (5cdz)3; а) 16 · x4 · y4 · z4 = (2xyz)4; 2 2 2 2 в) 81 · m · p · q = (9mpq) ; г) 32 · r5 · s5 · q5 = (2rsq)5. № 230 а) a2 · b10 = (ab5)2; в) x2 · y4 · z24 = (xy2z12)2;

б) x8 · y12 = (x4y6)2; г) p8 · q10 · z30 = ( p4q5z15 )2.

№ 231 а) x4 · y6 = (x2y3)2; в) 81 · c8 · d16 · f28 = ( 9c4d8f14 )2;

б) 16 · q18 · r34 = (4q9r17 )2; г) 121 · m12 · n16 · r54 = ( 11m6n8r27 )2.

№ 232 а) 23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103 = 1000; б) 1 ; в) 0,66 · 56 = (0,6 · 5)6 = 36 = 729; 3 ⎛ 35 ⎞

3

⎛6⎞

3

⎛2⎞

3

⎛ 35 · 6 · 2 ⎞

3

⎛ 35 · 12 ⎞

3

⎛1⎞

3

1

г) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = . 8 ⎝ 24 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 24 · 7 · 5 ⎠ ⎝ 24 · 35 ⎠ ⎝ 2 ⎠ № 233 12

⎛a⎞ ⎝ ⎠

а) ⎜ ⎟ = b

a12 b12

17

⎛c⎞ ⎝ ⎠

; б) ⎜ ⎟ d

=

c17 d 17

⎛ a⎞ ⎝ ⎠

4

; в) ⎜ − ⎟ = b

a4

⎛ c⎞

5

№ 234 6

2

⎛ 7x ⎞ 26 · a 6 64a 6 7 2 · x 2 49 x 2 ⎛ 2a ⎞ ; б) ⎜ ⎟ = 2 2 = ; ⎟ = 6 6 = 6 ⎝ 3b ⎠ 3 ·b 729b 8 · y 64 y 2 ⎝ 8y ⎠

а) ⎜

5

3

c5 c5 33 · m3 27 m3 ⎛ c ⎞ ⎛ 3m ⎞ ; г) ⎜ − ⎟ = − 3 3 = − . = ⎟ = 5 5 5 ⎝ 2d ⎠ ⎝ 5n ⎠ 2 ·d 32d 5 ·n 125n3

в) ⎜

№ 235 2

⎛ 35 ⎞ 310 59049 а) ⎜ 2 ⎟ = 4 = ; ⎜7 ⎟ 2401 7 ⎝ ⎠

34

2

⎛ c5 ⎞

; г ) ⎜ − ⎟ = −⎜ 5 ⎟ . ⎜d ⎟ ⎝ d⎠ b4 ⎝ ⎠

⎛ 25 ⎞ 210 1024 399 б) ⎜ 2 ⎟ = 4 = ; =1 ⎜5 ⎟ 625 625 5 ⎝ ⎠

4

2

⎛ −b 2 ⎞ b8 b8 ; ⎟ = 4 = ⎜ 8 ⎟ 4096 8 ⎝ ⎠

⎛ ( −3)3 ⎞ 36 729 . ⎟ = 4 = 2⎟ 2401 ( 7) 7 − ⎝ ⎠

в) ⎜

г) ⎜ ⎜

№ 236 а)

8

8

9

79 ⎛ 7 ⎞ ⎛3⎞ = ⎜ ⎟ ; б) 9 = ⎜ ⎟ ; ⎝5⎠ 5 11 ⎝ 11 ⎠ 3

8

3

в)

4

m3 ⎛ m ⎞ =⎜ ⎟ ; 8 ⎝2⎠

г)

c4 ⎛ c ⎞ =⎜ ⎟ . 16 ⎝ 2 ⎠

№ 237 а) b3x3=(bx)3; б) 25a4=(5a2)2; в) 32x10y5 = (2x2y)5; г) 16a8b12 = ( 2a2b3 )4. № 238 а) 85 · 0,1255 = (8 · 0,125)5 = 15 = 1; б) 46 · 0,256 = (4 · 0,25)6 = 16 = 1; в) 54 · 0,44 = (5 · 0,4)4 = 24 = 16; г) 1,257 · 87 = (1,25 · 8)7 = 107 = 10000000. № 239 ⎛ 5⎞

3

⎛ 7⎞

3

⎛⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞⎞

3

⎛5⎞

3

125

17

=4 а) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ = ; 27 27 ⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 3 ⎠ 10

10

10

⎛ 7⎞ ⎝ ⎠

⎛⎛ 7 ⎞ ⎛ 8 ⎞⎞ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝

⎛ 8⎞ ⎝ ⎠

б) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ⎟ = 110 = 1 ; 8 7 8 7 ⎛5⎞

6

⎛ 12 ⎞

6

⎛ 5 12 ⎞

6

⎛3⎞

4

⎛8⎞

4

⎛ 3 8⎞

4

в) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ · ⎟ = 26 = 64 ; г) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ · ⎟ = 24 = 16 . ⎝6⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝6 5 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 3⎠ № 240 а)

в)

56 ⋅ 125 25

4

25 ⋅ 8 43

=

56 ⋅ 53

(5 )

2 4

25 ⋅ 23

=

=

(22 )3

=

59 8

5

28 26

=5;

б)

= 22 = 4 ; г)

311 ⋅ 27 9

6

16 47 ⋅ 64

=

=

311 ⋅ 27 2 6

(3 )

=

(24 )6 (22 )7 ⋅ 26

314 312 =

= 32 = 9;

224 220

= 24 = 16 .

№ 241 а)

в)

28 ⋅ 38 66

( 2 ⋅ 3)8 = 68

=

711 ⋅ 911 6310

66

=

66

= 62 = 36 ; б)

( 7 ⋅ 9 )11 = 6311 = 63 ; г) 10 10 63

63

35 ⋅ 45 123 28 ⋅ 88 167

=

( 3 ⋅ 4 )5 = 125 = 122 = 144 ;

=

( 2 ⋅ 8)8 = 168

123

167

123

167

= 16 .

№ 242 а) б)

27 2 ⋅ 94 812 102 26 ⋅ 56

=

=

27 2 ⋅ (32 )4 812 1012

( 2 ⋅ 5 )6

=

=

1012 106

( 27 ⋅ 3)2 ⋅ 36 812

= 36 = 729 ;

= 106 = 1000000 ;

35

516 ⋅ 316

в)

1514

=

( 5 ⋅ 3)16 1514

1516

=

= 152 = 225 ;

1514

г)

126 35 ⋅ 45

=

126

( 3 ⋅ 4 )5

=

126 125

= 12 .

№ 243 ( x 8 ) 4 ⋅ ( x 5 )9

а)

( x15 ) 4 ⋅ ( x 4 ) 4 x17 ⋅ x 23

б)

( x8 ) 3 ⋅ x 5 ⋅ ( x 2 ) 5 ( x45 )2 : ( x40 )2

в) г)

= 5;

5 4

11

(x ) : x

x

x15⋅4 + 4⋅4

=104;

= 1347 ;

( x51)2 ⋅ ( x14 )7 ⋅ x 300

x8⋅4 + 5⋅9

25 4

: (x )

= 349 .

=5;

x17 + 23 x8⋅3+ 5+ 2⋅5

x45⋅2−40⋅2 5⋅4−11

x x

= 5;

x 60 +16

= 349 ;

x 77 x 76

x 40

= 104 ;

= 1347 ;

x51⋅2+14⋅7+1 300−25⋅4

x32 + 45

x 24 + 5+10

x90 −80 x

20 −11

= 5 ; x = 5.

= 1347 ;

x102+98+1 300−100

x

x 40

= 104 ;

x10

= 349 ;

= 104 ; x=104.

x39

x9

= 1347 ; x=1347.

x 201 x 200

= 349 ; x=349.

§ 8. Степень с нулевым показателем № 244 ⎛2⎞

R

Найдите ⎜ ⎟ . ⎝3⎠ ⎛2⎞

R

⎛2⎞

R

⎛2⎞

3

⎛2⎞

8

= ⎜ ⎟ = ; 27 ⎝3⎠

а) R = 3; ⎜ ⎟ ⎝3⎠

1

⎛2⎞

⎛2⎞

2

= ⎜ ⎟ = ; 3 ⎝3⎠

в) R = 1; ⎜ ⎟ ⎝3⎠

R

б) R = 0; ⎜ ⎟ ⎝3⎠ г) R = 5; ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛2⎞

0

= ⎜ ⎟ =1; ⎝3⎠

R

⎛2⎞

5

32

= ⎜ ⎟ = ;. 243 ⎝3⎠

№ 245 а) a = 1; a5 = 15 = 1 ; б) a = 0; a5 = 05 = 0 ; в) a = – 2; a5 = (– 2)5 = – 32 ; г) a = 10; a5 = 105 = 100000 . № 246 ⎛1⎞

2

⎛1⎞

0

2

1

а) ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ; < 1 ; 9 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3 0 в) (– 2) < (– 2) ; – 8 < 1;

0

1 ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ < 1; б) ⎜ − ⎟ < ⎜ ⎟ ; ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 16 г) 50 < 54 . 1 < 625.

№ 247 0

2

2

⎛3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ а) - 23 < – 20 ;б) ⎜ ⎟ > − ⎜ ⎟ ; в) − ⎜ ⎟ < (−2)0 ;

–8 < – 1; 36

⎝4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ 9 1 1 > − ; − < 1 ; – 3125 < –1. 16 4

г) – 55 < – 50 .

№ 248 а) 35 + 44 + 80 = 243 + 256 + 1 = 500; ⎛2⎞

2

3

⎛1⎞ ⎛7⎞

0

4

32 + 9

1

41

= ; б) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ = + · 1 = 9 8 72 72 ⎝3⎠ ⎝2⎠ ⎝8⎠ в) 30 · 25 – 152 = 1 · 32 – 225 = – 193; г) (1,5)3 + 44 + 150 =3,375 + 256 + 1 = 260,375.

№ 249 а) a12 · a5 : a17 = a12 + 5 – 17 = a0 = 1; в) b13 : b5 : b8 = b13 – 5 – 8 = b0 = 1;

б) c9 : (c5 · c4) = c9 – (5 + 4) = c0 = 1; г) d15 · d4 : d19 = d15 + 4 – 19 = d0 = 1.

№ 250 а) (a – b)10 · (a – b) : (a – b)11 = (a – b)10 + 1 – 11 = (a – b)0 = 1; ⎛ p⎞

5

⎛ p⎞

3

8

⎛ p⎞

⎛ p⎞

5 + 3 −8

⎛ p⎞

0

= ⎜ ⎟ =1; б) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ в) (r + l)4 : (r + l)3 · (r + l)2 : (r + l)3 = (r + l)4 – 3 + 2 – 3 = (r + l)0 =1; г) (–pq)14 · (–pq)13 : (–pq)27 = (–pq)14 + 13 – 27 = (–pq)0 = 1.

№ 251 2

⎛ 5 ⎞ ⎛ 25 ⎞ а) ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠ 3

0 2 2 0 ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛ ⎛5⎞ ⎞ ⎛5⎞ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ · 1 = − ⎜ ⎟ = −1 ; ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2⎠ 5

3

⎛

2⎞

5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ б) ⎜ ⎟ ·⎜ − ⎟ : ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ·⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ : ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ 1

1

1

1

1

1

1

3+ 2 − 5

0

⎛1⎞ = −⎜ ⎟ = 1 ; ⎝ 3⎠

в) 1,54 : (– 1,5)3 · (– 1,5)2 : 1,5 = 1,53 : (– 1,5) = – 1,52 = – 2,25; ⎛ 8 ⎞ ⎛2⎞

2

⎛ 16 ⎞

0

⎛ 2⎞

3

⎛ 2⎞

2

2

г) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ · 1 = . 3 ⎝ 27 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 81 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ № 252

а) б)

1,62 − 3,80 ·16·⋅0, 4 + 0, 42 1,88 − 0, 2

2

1, 22 − 1,82 0

1, 2 ·0,6 − 1,80 ·0,96

=

2

=

2,56 − 1 ·6, 4 + 0,16 2,72 − 6, 4 3,68 = = = −2 ; 1,88 − 0,04 1,84 1,84

1, 44 − 3, 24 1,8 = =5; 0,6 − 0,96 0,36 2

3 3 ⎛ 1⎞ ⎛3⎞ – (120)3 – ⎜1 ⎟ + 43 · 0,1 = – 13 – ⎜ ⎟ + 64 · 0.1 = 2 4 4 ⎝ ⎠ ⎝2⎠ 9 = 0,75 – 1 – + 6,4 =5,4 – 1,5 = 3,9; 4 1 0 5 – 52 · 0,2 = 15 – 36 : 6 – 25 · 0,2 = 1 – 6 – 5 = – 10. г) ((– 8) ) – 62 · 6

в)

37

ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами § 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена № 253 1 2 3 a bc – одночлен; 2

а) 3xy – одночлен;

б)

3 – коэффициент;

1 – коэффициент; 2

xy – буквенная часть; в) – 0,3c5d9 – одночлен; – 0,3 – коэффициент; c5d9 – буквенная часть;

a2bc3 – буквенная часть; г) (– 2)3u nz nw n – одночлен; (– 2)3 – коэффициент; u nz nw n – буквенная часть.

№ 254 а) 0 – одночлен; 0 – коэффициент. б) y – одночлен; y–буквенная часть; в)–0,6–одночлен; –0,6–коэффициент. г) zn–одночлен; zn–буквенная часть. № 255

а) x – y – не одночлен;

б)

в) 2(c2 + d2) – не одночлен;

г)

3 p3 4q 4

– не одночлен;

c3 + d 3 c3 − d 3

– не одночлен.

№ 256

а)

9c – не одночлен; 3d

б) – 12m3n2 – одночлен; – 12 – коэффициент; m3n2 – буквенная часть;

г)

18m3

– не одночлен;

19n3 6cd в) – одночлен; 11 6 – коэффициент; 11

cd – буквенная часть.

№ 257 а) 6a2b3, 0,5ab8; б) a8b9, a3b4; в) 3ab, 3a10b; г) 6a2b, 10a2b. № 258 а) 4pq3, 20pq3, 0,1pq3; б) 3p2q, 3p8q4, 3pq10. № 259 а) при x = 0 7x3 = 7 · 03 =0; при x = 1 7x3 = 7 · 13 =7; при x = – 1 7x3 = 7 · (– 1)3 = – 7; б) при y = 2 9y2 = 9 · 22 = 36; при y = – 2 9y2 = 9 · (– 2)2 = 36; при y = 10 9y2 = 9 · 102 = 900; в) c = 15, d = – 2; 0,04cd2 = 0,04 · 15 · (– 2)2 = 0,6 · 4 = 2,4; 3 3 3 · 8 = 3. г) p = 1, q = 2; pq3 = · 1 · 23 = 8 8 8 38

№ 260 а) 3m4 · m = 3m5; б) 5x · 10y2 = 50xy2; в) 42y5 · y8 · y12 = 42y25; г) – 7z3 · 4t8 = – 28z3t8;

3 – коэффициент; 50 – коэффициент; 42 – коэффициент; 28 – коэффициент;

m5 – буквенная часть; xy2 – буквенная часть; y25 – буквенная часть; z3t8 – буквенная часть.

№ 261 а) 7a · 3b · 4c = 84abc; 84 – коэффициент; abc – буквенная часть;

б) 15q · 2p2 · 4r5 = 120qp2r5; 120 – коэффициент; qp2r5 – буквенная часть; 1 в) 8u4 · 4v3 · (– 2w5) = – 64u4v3w5; г) – c12 · 2d18 · s10 = – c12d18s10; 2 – 64 – коэффициент; – 1 – коэффициент; u4v3w5 – буквенная часть; c12d18s10 – буквенная часть. № 262 а) a2b10cd2; a = 0,2, b = – 1, c = 15, d = – 2; a2b10cd2 = 0,22 · (– 1)10 · 15 · (– 2)2 = 0,04 · 1 · 15 · 4 = 2,4; 4 34 6 s t r ; s = 1, t = 2, r = – 1; 9 4 34 6 4 3 4 4 64 1 =7 . s t r = · 1 · 2 · (– 1)6 = · 16 · 1 = 9 9 9 9 9

б)

№ 263 а) 13a · 2b · 4b · 8a = 104a2 · 8b2 = 832a2b2; 832 – коэффициент, a2b2 – буквенная часть. б) 52 · pq2 · (– 4)2 · qpq = 25 · 16 · p2 q4 = 400 p2 q4; 400 – коэффициент, p2q4 – буквенная часть; в) 43c3d6 · (– 5)2cd2c4d = 64 · 25 · c8d9 = 1600c8d9; 1600 – коэффициент, c8d9 – буквенная часть; г) 24x9y8 · (– 2)2(– x)4(– y)3 = – 16 · 4 · x13y11 = – 64x13y11; 64 – коэффициент, x13y11 – буквенная часть. № 264 1 9

а) 0,45a2bc5 · 1 a7b6c =

9 10 9 7 6 9 7 6 ⋅ a b c = 0,5a b c ; 20 9

0,5 – коэффициент, a5b7c6 – буквенная часть, б) 0,4b3x4y ·

1 2 1 1 4 7 8 bx3y7 = ⋅ b4x7y8 = bxy; 24 5 24 60

1 – коэффициент, b4x7y8 – буквенная часть; 60 ⎛ 1 2 2⎞ в) – 6p4n3 ⎜⎝ − 3 n p ⎟⎠ = 2p6n5; 2 – коэффициент, p6n5 – буквенная часть; ⎛ 1 3 4⎞ 1 1 г) – 3a2b4 ⎜⎝ − 9 a b ⎟⎠ = a5b8; – коэффициент, a5b8 – буквенная часть. 3 3

39

№ 265

а) 17x ny8z3 · 2xy5z4 = 34x n + 1y13z7;

34 – коэффициент, x n + 1y13z7 – буквенная часть; ⎛1

⎞

5 6 б) 12p3q2r10 ⎜⎝ 12 pr q ⎟⎠ = p4q8r15;

1 – коэффициент, p4q8r15 – буквенная часть; ⎛ 1

⎞

6 в) – 2x3c5d3 ⎜⎝ − 2 c dx ⎟⎠ = – 2x4c11d4;

2 – коэффициент, x4c11d4 – буквенная часть; ⎛

1

⎞

n r m г) – 99a ms nt n ⎜⎝ − 33 a s t ⎟⎠ = 3am + ns n + r t n + m;

3 – коэффициент, am + n sn + r tn + m – буквенная часть. № 266 а) 1. 3ab · 4a2 = 12a3b; 2. 2,5b 2 · 5a3 = 12,5a3b2; 2 2 4. 7a2b · 12ab = 84a3b. 3. 1,2a · 5b = 6a b; У 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. 2. 1,4p2 · 15pq = 21p3q; б) 1. 8pq · 3p2 = 24p3q; 3 3 4. 4,3p23q = 12,9p2q. 3. 0,7 · 12p = 8,4p ; У 1-го и 2-го одинаковая буквенная часть. 2. 0,25t4 · 4s = st4; в) 1. 0,125st2 · 8t2 = st4; 5 6 4. 0,2st · 14t3 = 2,8st4. 3. 2,5t · 8st = 20st ; У 1-го, 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. г) 1. 15mn3 · 2m2 = 30m3n3; 2. 4m3 · 3n2 = 12m3n2; 4. 2m2n · 6,4n2 = 12,8m2n3. 3. 7,8n3 · 5m2 = 39n3m2; У 3-го и 4-го одинаковая буквенная часть.

§ 10. Сложение и вычитание одночленов № 267 а) 3a и 4a подобные; в) 3y3 и 3y3 подобные;

б) 19x2 и 35x2 подобные; г) mn и 5mn подобные.

№ 268

а) 3a2b3c и 4a2b3c подобные;

б)

2 3 4 9 3 4 xyzи x y z подобные; 7 10

в) –0,2m2n4p8 и –0,38m2n4p8 подобные; г)

3 3 2 5 11 3 2 5 rst и r s t подобные. 13 18

№ 269 а) 7a2 и 3a3 не подобные;

б) 6x2 и 15x5 не подобные;

в) 17,8c3d6 и 3,01c12d 4 не подобные;

г)

40

1 2 1 y z и yz2 не подобные. 2 3

№ 270 а) 1,7x2y6 и 5,1x2y6;

б) 10,8a2b2c9 и 3,6a2b2c9;

в) c3d12z5 и 3c3d12z5;

г)

1 2 8 14 m n p и m2n8p14. 3

№ 271 а) 3x2y; 7x2y; 0,25x2y подобные;

б) 12a2b2; 5a2b2; 2,04a2b2 подобные;

в) 9c5d12; 0,1c5d12; c5d12 подобные;

г)

1 11 15 3 11 15 m n ; m n подобные. 7 8

№ 272 12 12 9 m · m3 · m5 = m; 13 13 1 в) 36m3 · m · 2 · m · 0,1 · m4 = 7,2m9; г) m13 · m7 · 0,5 = m20. 2

а) m · m2 · m3 · 8 · m =8m7;

б)

Одночлены под пунктами б) и в) подобны. № 273 а) 3x + 5x = 8x; б) 6y + 7y = 13y; в) 3p + 5p + p = 9p; г) 7q+9q+4q = 20q. № 274 а) 1,2c + 1,2c = 2,4 c; 1 1 3 б) m + m = m; 2 4 4

№ 275 а) 13x2 + 20x2 = 33x2;

б)

1 7 3 7 13 7 p + p = p ; 2 7 14

№ 276 а) 1,7d4 – 0,7d4 = d4; б) 7p8 – 3p8 – 2p8 = 2p8; № 277 а) 20y – 12y – y – 2y = 5y;

б)

2a 2 a 2 a 2 ; − = 3 3 3

№ 278 а) 5x2y + 6x2y = 11x2y; 1 1 б) c3d + c3d = c3d; 2 2

№ 279 а) 5a2b3 + 8a2b3 = 13a2b3; б) – 12x3 – 12x3 = – 24x3;

в) 3,5d + 8,4d = 11,9d; 1 5

г) n +

3 1 n= n. 10 2

в) 2,1z3 + 3,05z3 = 5,15z3; 1 3

г) p k +

1 k 7 k p = p . 4 12

в) m4 – m4 = 0; г) 2x8 – x8 = x8. в) 30x2 – 15x2 – 7x2 =8x2; 3 1 1 г) a 2b a 2b = a 2b . 4 4 2

в) 3,5d + 8,4d = 11,9d; 3 8

г) 1 m3n4 + 3

1 3 4 5 m n = 4 m3n4. 16 16

в) 7,4pq – 3,4pq = 4pq; г) 1,2m2n + 0,5m2n = 1,7m2n. 41

№ 280

а) – 18a5b7 – (– 18a5b7) = 0; в) – 7,2st4 + 6st4 = – 1,2t4; 3 3 3 б) – 12x yz – (– 36x yz) = 24x yz; г) 13xyz – (– 5,3xyz) = 18,3xyz. № 281 а) 1. 4cd2 + 2cd2 = 6cd2; 3. 10cd2 – 4cd2 = 6cd2; б) 1. 50x3y2 – x3y2 = 49x3y2; 3. 40 x3y2 + 9 x3y2 = 49 x3y2;

2. cd2 + 5cd2 = 6cd2; 4. –5cd2 + 11cd2 = 6cd2; 2. –11 x3y2 + 60 x3y2 = 49 x3y2; 4. 33 x3y2 + 16 x3y2 = 49 x3y2.

№ 282 а) 5x · 2y + 3x · 6y + 2x · 7y = 10xy + 18xy + 14xy = 42xy; б) 3y2x + 6x · 3y · 2y + 2yxy = 3y2x + 36y2x + 2y2x = 41y2x; в) – 11ab + a · 8 · b + 5ab = 2ab; г) ab2 + 9abb + 3bab + abb = ab2 + 9ab2 + 3ab2 + ab2 = 14ab2. № 283 а) 3a2b + 7a · 9ba + 10b · 3a2 · (–1) = 3a2b + 63a2b – 30a2b = 36a2b; б) x2y2 · 7 + 19x · 2xyy – 9x · 3yxy = 7x2y2 + 38x2y2 – 27x2y2 = 18x2y2; в) az3 + 7az3 – 6z · 2az2 – 5az3 = 8az3 – 12az3 – 5az3 = – 9az3; г) m8n4 + 2m3 · 3m5n4 – 7m8n4 = – 6m8n4 + 6m8n4 = 0. № 284 а) 5x + 4x = 9; 9x = 9; x = 1. 7x = 14; x = 2. б) 11x – 4x = 14; в) 19x – 3x + 4x = 80; 20x = 80; x = 4.

Ответ: x = 1. Ответ: x = 2. Ответ: x = 4.

1 5

1 5

г) 20x – 13x – 12x = 6; 5x = 6;

x = 1 . Ответ: x = 1 .

№ 285 2 1 9 4 15 9 10 а) ·x + 1 ·x − ·x = −1 ; · x + · x − · x = −1 · x = −1 . x = – 1. 5 2 10 10 10 10 10 5 5 17 1 20 63 34 1 1 1 б) ·x − ·x + ·x = − ; ·x − ·x + ·x = − ; − ⋅ x = − ; x = 1. 9 4 18 4 26 30 26 4 4 4 1 1 1 4 3 1 1 в) ·x + ·x − ·x = 5 ; ·x + ·x − ·x = 5 ; ·x = 5 . 3 4 12 12 12 12 2 x x x 3x 2 x x г) + + = 24 ; + + = 24 ; x = 24 . 2 5 6 2 5 6

№ 286

а) 0,71x – 13 = 10 – 0,29x; 0,71x + 0,29x = 10 + 13;

42

5 7 ⋅ x + 1,3 = 0,53 + ⋅ x 12 8 5 7 · x − · x = 0,53 − 1,3 ; 12 8

в)

11 · x = −0,77 ; 24

x = 23.

−

Ответ: 23.

x = 1,68. Ответ: 1,68.

1 9

7 11 1 ·x − ·x = 2 ; 18 27 2 6 21 22 1 ·x + ·x ·x = 2 ; 54 54 54 2 5 5 ·x = ; x = 27. 54 2

1 6

б) ·x +

3 8

г) ·x − 0,82 = · x − 1,37 ; 1 3 · x − · x = −1,37 + 0,82 ; 6 8 5 − ⋅ x = −0,55 ; x = 2,64. 24

Ответ: 27.

Ответ: 2,64.

№ 287

а) 1,2 +

3 8 16 9 7x ⋅ x = ⋅ x + 0,78 ; = 1, 2 − 0,78 ; = 4, 2 ; x = 18. ·x − 10 15 30 30 30

Ответ: x = 18. 1 9

б) ·x +

7 11 1 6 21 22 1 5 5 ·x − ·x = 2 ; ·x + ·x ·x = 2 ; · x = ; x = 27. 18 27 2 54 54 54 2 54 2

Ответ: 27. в)

5 7 5 7 11 · x + 1,3 = 0,53 + · x ; · x − · x = 0,53 − 1,3 ; − · x = −0,77 ; x = 1,68. 12 8 12 8 24

Ответ: 1,68. 1 6

3 8

г) ⋅ x − 0,82 = ⋅ x − 1,37 ;

1 3 5 · x − · x = −1,37 + 0,82 ; − · x = −0,55 ; x=2,64. 6 8 24

Ответ: 2,64. № 288 Пусть x – страниц в книге; 2 3 ⋅ x + 240 = x; · x = 240 ; x = 400 – страниц в книге. 5 5

Отвтет : 400. № 289 Пусть x м. – длина дистанции; 3 5 · x + 3125 = x; ·x = 3125 ; x = 5000 м. – длина дистанции. 8 8

Ответ: 5000 м. № 290 5 8

3,2⋅ = 2 т. – отходов; 3,2 – 2 = 1,2 – льняного шоита. Ответ: 1,2 т. 43

№ 291 Пусть х т. – масса одного мотора. 5 7

Тогда 2 ·х кг. – масса другого мотора; 5 5 x + 2 ·x = 52 ; 3 ·x = 52 ; 7 7

26 ·x = 52 ; 7

x = 14 т. – масса первого мотора; 5 19 2 ·14 = ·14 = 38 т. – масса другого мотора. 7 7

Ответ: 14; 38. № 292 Пусть x – первое число. 8 2 ⋅ x – второе число; 2 ⋅ x – третее число. 15 5 8 3 15 8 39 62 х + ·х + 2 ·х = 496 ; ·х + ·х + ·х = 496 ; ·х = 496 ; 15 5 15 15 15 15 8 x = 120 – первое число; ·120 = 64 – второе число; 15 13 ·120 = 312 – третее число. 5

Тогда

Ответ: 120; 64; 312. № 293

Пусть х – неизвестное число;

2 1 7 · x + · x = x + 7 ; · x − x = 7 ; х = 42. 3 2 6

Ответ: 42. № 294 Пусть х – неизвестное число; 1 1 1 1 1 1 6 3 2 х =5; ·х + ·х + 5 = ·х ; ·х − ·х − ·х = 5 ; ·х − ·х − ·х = 5 ; 12 4 6 2 2 4 6 12 12 12 х = 60 – это неизвестное число. Ответ: 60. № 295 Пусть х – второе число. Тогда 2,5 · х – первое число; 2,5 + 1,5 = х + 8,4; 1,5 · х = 6,9; х = 4,6 – второе число; 2,5 · 4,6 = 11,5 – первое число. Ответ: 4,6; 11,5. № 296 Пусть х – второе число. Тогда 1,5 · х – первое число;

44

1 3

1 3

2 · 1,5 · х = ·х + 24 ; 3х − ·х = 24 ;

8 ·х = 24 ; х = 9 – второе число; 3

1,5 · 9 = 13,5 – первое число. Ответ: 9; 13,5 № 297 а) 42b2c3d2 + 54b2c3d4 + 48b2c3d2 + 12b2c3d2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2; б) 1,8m2c3d2 + 54b2c3d4 + 48b2c3d2 + 12b2c3d2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2. № 298

1 1 12 8 3 1 2 2 n a b c + 3 a2b2cn + 8 a2b2cn = 24 a2b2cn + 24 a2b2cn + 24 a2b2cn= 2 23 = 24 a2b2cn; 1 1 б) 3,09xnynzn + 10 xnynzn + 0,01xnynzn + 20 xnynzn = 3,1xnynzn +

а)

+ 0,1xnynzn + 0,05xnynzn = 3,25xnynzn. № 299 а) – 1,4a3 – (– 0,09a3) + (– 1,5a3) + 2a3 = – 1,31a3 + 0,5a3 = – 0,81a3; б) 3,9x4 + (– 2,7x4) – (– 0,8x4) + (– 2x4) = 1,2x4 – 1,2x4 = 0. № 300 c ⎛ c ⎞ ⎛ 2c ⎞ c c c 2c c 3 а) − + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ − = − − + − = − c ; 5 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 60 5 3 5 60 20 p ⎛ 2p ⎞ p ⎛ p ⎞ p 2p p p p б) − − ⎜ − ⎟ − + ⎜ − ⎟ = − + − − = . 5 ⎝ 5 ⎠ 4 ⎝ 60 ⎠ 5 3 4 60 5 № 301 а) 3x · 2y + 5x · 2y + 6x · 2y = 6xy + 10xy + 12xy = 28xy; б) 1,2a2b + 3,2aba + 6,8aab + 8,8baa = 1,2a2b + 3,2a2b + 6,8a2b + + 8,8a2b = 8a2b + 12a2b = 20a2b; 1 2 1 1 3 2 1 xy x + xyxy + xy2x = x2y2 + x2y2 + x2y2 = x2y2; 2 3 6 6 6 6 3 7 2 5 3 3 32 14 3 8 7 2 n r nr m + mr n nr = mn3r8 + mn3r8 + г) 1 mn r + 5 10 20 20 20 3 9 mn3r8 = 2 mn3r8.. + 20 20

в)

№ 302 а) 12a2b – 3aba – 4baa = 12a2b – 3a2b – 4a2b = 5a2b; б) 31c3d2 – 12cdc2d – 3cdccd = 31c3d2 – 12c3d2 – 3c3d2 = 16c3d2; в) 21xyx2y3x–8x2y2xyxy–2xy3x3y–3x4y3y=21x4y4–8x4y4–2x4y4 – 3x4y4 = 8x4y4; г) 5znqn – 3zn – 1qnz – qn – 1zqzn – 1 =5znqn – 3znqn – znqn = znqn.

45

№ 303 1 3 1 5 а) abca + b(– a)ca – acba + (– b)aca = 2 4 12 24 12 2 18 2 2 2 5 2 13 2 a bc – a bc – a bc – a bc = – a bc; = 24 24 24 24 24 1⎞ 3 2 ⎛ 2⎞ ⎛ б) 3nmr · 4n – nm · ⎜ 2 ⎟ · nr + n2m · ⎜ − 4 ⎟ r = 8 9 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝

= 12n2mr – n2mr – n2mr = 10n2mr. № 304 (16x2y4 – 13x2y4) + (23x2y4 + 10x2y4) = 3x2y4 + 33x2y4 = 36x2y4. № 305 (43a3b4 + (– 27a3b2)) + (34a3b2 – 20a3b2) = = 43a3b4 – 27a3b2 + 14a3b2 = 43a3b4 – 13a3b2. № 306 (2,38n4p + (– 1,48n4p)) + (4,72n4p – (– 1,28n4p)) = 0,9n4p + 6n4p = 6,9n4p. № 307 (2,57r3n4 – (– 1,43r3n4)) – ( – 8,39r3n4 + 5,39r3n4)=4r3n4 – (– 3r3n4) = 7r3n4. № 308 а) 25a2b4 = 3a2b4 + 5a2b4 + 7a2b4 + 10a2b4; б) 43x3y9 = 50x3y9 – 7x3y9; в) 79c8d10 = 85 c8d10 – 10c8d10 + 4c8d10; г) 99pnqnzn = 100pnqnzn + 10pnqnzn – 15pnqnzn + 4pnqnzn. № 309 Пусть x кг – апельсинов; 3x кг – бананов. 3x 2 3 2 5 = x + 70; x – x = 70; x = 70; x = 84 кг – апельсинов; 2 3 2 3 6

3 ·84 = 256 – бананов. Ответ: 84; 256. № 310

Пусть x км – длина пути, тогда

7 x км – в первый день, 22

1 7 (x – x) км – во второй день. 3 22 7 1 7 7 1 7 x + (x – x) + 25 = x; x + (x – x) – x = – 25; 22 3 22 22 3 22 7 5 22 10 x+ x− x = −25 ; − x = −25; x=55. 22 22 22 22

Ответ: 55 км. 46

№ 311 Пусть x – количество кирпича в начале дня, 1 x – отправили на первую стройку, 5 1⎛ 1 ⎞ ⎜ x − x ⎟ – на вторую стройку. 3⎝ 5 ⎠

тогда

Пусть y – остаток кирпича на складе, тогда

3 y =120, y = 160. 4

1 1⎛ 1 ⎞ 1 4 x + ⎜ x − x ⎟ + 120 = x – 160; x + x + 280 = x; 5 3⎝ 5 ⎠ 5 15 15 3 4 7 x − x − x = 280 ; x = 280; x = 600. 15 15 15 15

Ответ: 600. № 312 Пусть x – некоторое число. (x – 0,15x) + 0,1(x – 0,15x) + 13 = x; 0,85x + 0,085x + 13 = x; x – 0,85x – 0,085x = 13; 0,065x = 13; x = 200. Ответ: 200. № 313 Пусть x – задуманное число. (x + 0,12) – 0,24(x + 0,12x) + 186 = x; 1,12x – 0,24 · 1,12x + 186 = x; 28 6 28 700 168 x – · x + 186 = x; x– x + 186 = x; 25 25 25 625 625 625 532 93 x– x = 186; x = 186; x = 1250. 625 625 625

Ответ: 1250. № 314 Пусть x – учеников 7-х классов; 1 2 5 0,3( x + x) = 21; 0,3 · x = 21; 0,25x = 21; x = 84. 6 3 6 Ответ: 84.

§ 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень № 315 а) 2x · 3y = 6xy; б) 7a · 5b = 35ab; в) 31c · 3d = 93cd; г) 15z · 3t = 45zt. № 316 а) 7a · 2b · 3c = 42abc; в) 10m · 5n · 2q = 100mnq;

б) 10x2 · 2y2 · 3z3 = 60x2y2z3; г) 17p2 · 2q2 · 0,5s3 = 17p2q2s3. 47

№ 317 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4 a · b · c = abc; 2 2 6 24

а) 7x2 · 5x2 · 6x3 = 210x7;

б)

в) 71x2y3z8 · 2xyz = 142x3y4z9;

г) 54c2d2f3 · cd3f = 54c3d5f4.

№ 318 а) – 5a2b · (– 6ab2) = 30a3b3; б) 41c2d · (–4cd) = 164c3d2; в) – 17x3y · (– 2x2y2) = 34x5y3; г) – 13m2n2p3 · (– 2mn2p) = 26m3n4p4. № 319

а) 0,2c2d · 5,4c3d3 = 1,08c5d4; в) – b3 · 0,5b2 = – 0,5b5;

1 2 3 1 m p · 5 mp = 12m3p4; 3 7 3 3 г) 8x2 · (– y) = – x2y. 16 2

б) 2

№ 320

а) 0,6x2y3z · 0,8xy2z = 0,48x3y5z2; в) 0,75d3 · (– d4) = – 0,75d7;

1 2 1 n q · 7 nq3 = 46n3q4; 2 13 3 2 40 2 6 г) – x y· xy = – x3y3. 20 41 41

б) 6

№ 321 3 4 z ) = – 1,62z7; 5

а) 5,1p3q4 · (– 2pq8) = – 10,2p4q12;

б) – 27z3 · (

в) – 7,81abc3 · 2ab2c = – 15,62a2b3c4;

⎛ 3⎞ г) ⎜ − ⎟ xy2 · (–0,1x2y3)= 0,075x3y5. ⎝ 4⎠

№ 322

а) (3a2c)2 = 3a4c2; в) (– 0,2c3d)4 = 0,0016c12d4;

1 24 1 4 8 xy ) = xy; 3 81 1 1 5 5 5 г) (– abc)5 = – abc. 2 32

б) (–

№ 323 1 24 1 4 8 xy ) = xy; 3 81

а) (– 6x3y3)0 = 1;

б) (–

в) (– 10x2y4)5 = – 100000x10y20;

г) – (– 2ax3y2)4 = – 16a4x12y8.

№ 324 а) 56x2y3z8 = 28xy2z7 · 2xyz;

в) 0,21c9d14f43 = 0,3c5d3f40 · 0,7c4d11f3; № 325 а) – 6x3y4 · 4x3y5; в) x2y · (– x2y3) · (2xy) · 12xy4; 48

б) 102m2n3p4 = 51m2np · 2n2p3; 1 1 г) r7s9t12 = r3s8t4 · 2r4st8. 2 4

б) 2xy · (– 3x4y5) · 4xy3; г) 24xy3 · x3y · (– y2) · xy · xy2.

№ 326 а) 3b · 3b2 = 9b3; в) – 4a3b4 · (– 4a4b5) = 16a7b9;

б) 8a2b4 · (– a3b) = – 8a5b5; г) – 17a8b12 · (– 2ab) = 34a9b13.

№ 327 а) (6x3y6)2 = 36x6y12; в) (– m3n)5 = – m15n5;

б) (– 2ab3)4 = 16a4b12; г) (– 3a2bc3)3 = – 27a6b3c9.

№ 328 а) 81a4 = (9a2)2; б) 36b6 = (6b3)2; в) 144c12 = (12c6)2; г) 169d4 = (13d2)2. № 329 а) 0,008b6 = (0,2b2)3;

б) 0,027b9 = (0,3b3)3;

в) 0,001y24 = (0,1y8)3;

г) –

8 6 2 a = (– a2)3. 27 3

№ 330 а) 20a3 · (5a)2 = 20a3 · 25a2 = 500a5; б) – 0,4x5 · (2x3)4 = – 0,4x5 · 16x12 = – 6,4x17; в) (– c3)2 · 12c6 = c6 · 12c6 = 12c12; г) (4ac2)3 · (0,5a3c) = 64a3c6 · (0,5a3c) = 32a6c7. № 331 1 1 xy2) = 81x24y12 · (– xy2) = – x25y14; 81 81 2 8 6 9 x y · 81x8 = 24x14y9; б) ( x2y3)3 · (– 9x4)2 = 3 27

а) (3x6y3)4 · (–

в) (3a2)2 · (– 6a3) = 9a4 · (– 6a3) = – 54a7; 1 1 г) ( x2y3) · (2x6y)4 = x2y3 · 16x24y4 = 2x26y7. 8 8 № 332

а) (0,2b6) · 5b = b7;

б)

9 7 1 9 7 p · (– 1 p4)0 = p; 16 3 16

в) (– c3)2 · 12c6 = c6 · 12c6 = 12c12; г) (3

1000 6 1 23 a ) · 81a5 = a · 81 · a5 =3000a11 3 27

№ 333 3 1 3 1 а) a2b2c · 5ab2c3 · ac2 = · 5 · a4b4c6 = a4b4c6; 5 3 5 3 1 5 4 3 3 6 7 4 б) x y z · (– 8xy z) = – x y z ; 8 1 в) 3,5xz3 · (– 3 x2z) · (– 5xz) = – 3,5 · 3,5 · (– 5)x4z5 = 61,25x4z5; 2

49

г) 2cd3 · (–

1 2 ⎛ 1⎞ cd ) · (–2c2d2) = 2 · ⎜ − ⎟ · (–2)c4d7 = 2c4d7. 2 ⎝ 2⎠

№ 334 а) ab · (– a2b) ·(– ab2) = a4b4; в) mn · (–m2n5) · (– m8n4) = m11n10;

б) x2y · xy · (– x2y2) = – x5y4; г) (–p3q4) · (–pq) · (– 2p2q2) = – 2p6q7.

№ 335 1 6 cd · (– c3d2) = – c4d3; 6 7 4 1 4 16 3 10 15 64 3 10 15 · ab c = ab c ; б) – a2b3c7 · (– 1 ab7c8) = 5 15 5 15 75

а) 1

в) 0,75d3 · (–d4) = – 0,75d7; г) – 14xyz · (– 2

4 2 3 6 14 3 4 7 1 x y z ) = 14 · x y z = 39 x3y4z7.. 5 15 5

№ 336 а) (0,2a3b4)4 = 0,0016a12b16; 1 2 5 83 4 16 6 15 24 7 x y z ) = ( x2y5z8)3 = x y z = 1 x6y15z24; 3 3 9 9 1 в) ( – 0,3b8c7d6)2 = 0,09b16c14d12; г) (– a3x3y3)0 = 1. 9

б) (1

№ 337

а) (– 0,5a2b3c9)2 = 0,25a4b6c18; в) (– 2a8b5c9)8 = 256a64b40c72;

1 2 5 8 1 x y z ) = 1 x2y5z8; 3 3 27 3 2 3 83 г) (– x y z ) = – 64 x6y9z24. 4

б) (1

№ 338 а) (–a2b3c5)0 = 1; 1 5 25 8 8 32 9 p q z = 1 p8q8z32; б) (– 1 p2q2z8)4 = (– p2q2z8)4 = 4 4 16 16 в) (– 1,6m3n2p9)2 = 2,56m6n4p18;

г) (– 2

3 9 15 12 2 13 169 18 30 24 19 18 30 24 r s t ) = (– r9s15t12)2 = r s t =6 r s t . 5 5 25 25

№ 339 а) 9a3b4c6; б) 12a3b5c9;

в) 5xy3z9;

№ 340 а) 6c3b4f9; б) 12a3b5c9;

в) 2p2q10r100; г) 4a9b54c324.

№ 341 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.

50

г)4xy3z6.

№ 342 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. № 343 а) (10a2y)2 · (3ay2)3 = 100a4y2 · 27a3y6 = 2700a7y8; 1 1 б) (– xy3)3 · (4y5)2 = – x3y9 · 16y10 = – 2x3y19; 2 8 в) – (3x6y2)3 · (– x2y)4 = – 27x18y6 · x8y4 = – 27x26y10; г) (– 5ab6)4 · (0,3a6b)4 = 25a4b24 · 0.0081a24b4 = 0,2025a28b28. № 344 а) (– 4a3b4)2 · 0,25b7 = 16a6b8 · 0,25b7 = 4a6b15;

б) (–

2 40 pq ) · (– 27pq5) = 1 · (– 27pq5) = – 27pq5; 3

в) (0,4a2bc)2 · (– 1,5ab3c4) = 0,16a4b2c2 · (– 1,5ab3c4) = – 0,24a5b5c6; 1 1 1 12 3 г) ( m4n)3 · (–32m4n) = m n · (– 32m4n) =– m16n4.. 4 64 2 № 345 а) (– 4,5a3b2y)2 · (– 2aby) = 20,25a6b4y2 · (– 2aby) = – 40,5a7b5y3; 1 2 1 2 b cx) = – 27b3c9d3 · (– b cx) = b5c10d3x; б) (– 3bc3d)3 · (– 27 27 в) (– 0,8p3x2z)2 · (– 2,5px3z4) = 0,64p6x4z2 · (– 2,5px3z4) = –1,6p7x7z6;

г) (– 3

1 23 10 1000 6 a ) · 81a7 = (– a2)3 · 81a7 = – a · 81a7 = – 3000a13. 3 3 27

№ 346

1 2 23 1 6 6 1 a x ) = 36a6x4 · (– a x ) = – 1 a12x10; 3 27 3 1 1 1024 22 38 3 2 5 4 7 15 10 m7n28) = = m n ; б) (– 4m n ) · (– mn ) = – 1024m n · (– 3 2187 2187 1 1 4 8 1 a c · 9a10c6 = a14c14; в) (– a2c4)2 · (– 3a5c3)2 = 9 81 9 3 7 42 2 6 0 9 14 8 1 14 8 г) (– a b ) · (– a b) = a b · 1 = 2 a b . 2 3 4 4 а) (– 6a3x2)2 · (–

№ 347 а) (2bc)2 · (ac)3 = 4a3b2c5; в) (2cd)4 · (d3n)3 = 16c4d13n3;

б) (– 3p)3 · (x2y)2 = – 27p3x4y2; г) (bn)5 · (9b4t2)2 = 81b13n5t4.

§ 12. Деление одночлена на одночлен № 348 а) a3 : a2 = a; б) y20 : y18 = y2; в) x8 : x3 = x5; г) z54 : z50 = z4.

51

№ 349 1 1 а) x : 3 = x; 3 9 5 ⎛ 25 ⎞ 7 в) a : ⎜ − ⎟ = − a ; 7 ⎝ 49 ⎠ 5

10 11 1 = y: y; 11 50 5 13 ⎛ 26 ⎞ 1 г) − b : ⎜ − ⎟ = 1 b . 15 ⎝ 45 ⎠ 2 б)

№ 350 а) – 8x : (– 4x) = 2; б) 3c : c = 3; в) 7a : (– a) = – 7; № 351 а) 6x3 : x2 = 6x; в) – 15z8 : z8 = – 15;

б) – 27y2 : (– 9y2) = 3; г) – 90p4 : (– 5p) = 18p3.

№ 352 а) – 19a : (– 19a) = 1; в) – 100cd : 20cd = – 5;

б) – 45b : (– 15b) = 3; г) 18dy : 6dy = 3.

№ 353 а) 16abc : 8a = 2bc; в) – 42cdm : 12c = – 3,5dm;

г) – 9b : (– b) = 9.

б) 24pqr : ( – 4pq) = – 6r; г) – 99xyz : (– 9x) = 11yz.

№ 354 а) 4,8axy : 1,6xy = 3a;

б) (– 8,8abc) : 1,1b = – 8ac; 12 в) – 0,81pqs : 0,009pq = – 90s; г) 6,4xz : (–1,3z) = – 4 x. 13 № 355 а) 18a12 : 6a4 = 3a8; в) 12a7y4 : 6a2y3 = 2a5y; 10 10 б) 24b : 6b = 4; г) 6b5x3 : 3b3x2 = 2b2x. № 356 а) 44a3b2c6 : 11a2bc5 = 4abc; б) 198x4y4z2 : 2x4y3z = 99yz; 8 9 4 2 7 6 2 3 в) 144m n r : 12m n r = 12m n r ; г) 258p8q4r17 : 3p6q2r15 = 86p2q2r2. № 357 а) некорректно; б) корректно; в) некорректно; г) корректно. № 358

а) нет; б) да; в) да; г) нет. № 359 а) 30x5y6z7 : 6x2y4z = 5x3y2z6; б) 75a8b11c31 : 5a3b4c10 = 15a5b7c21; в) p11m6q16 : p3m2q7 = p8m4q9; г) d2n3z10 : dnz5 = dn2z5. № 360 а) (5a2b2)3 : (5ab)2 = 125a6b6 : 25a2b2 = 5a4b4; б) (10x3y3)4 : (2x4y3)2 = 10000x12y12 : 4x8y6 = 2500x4y6; в) ( 49z10t14) : (7zt)0 = 49z10t14 : 1 = 49z10t14; г) (– x2y3z)4 : xyz = x8y12z4 : xyz = x7y11z3. 52

№ 361 а) (2m2n2)4 : (4mn)2 = 16m8n8 : 16m2n2 = m6n6; б) 55p3q4 : (5pq)0 = 55p3q4 : 1 = 55p3q4; в) (– x2y3z4)5 : (– xyz)6 = x10y15z20 : x6y6z6 = x4y9z14; г) (– 5ac3d)3 : (5cd)2 = – 125a3c9d3 : 25c2d2 = – 5a3c7d. № 362

а) б) в) г)

(2cy 3 ) 2 ·8c5 y 2

(4c y )

3

=

3 4 3

(9a b )

(3a 2b)2 ·27 a 4b9 (3 x 2c3 ) 2 ·9 x15c 4 2

(3x c)

5

4c 2 y 6 ·8c5 y 6 3

64c y

=

3 2 3

(−2a b )

32c7 y 7

729a b

9a 4b 2 ·27 a 4b9

=

6 3

64c y

9 12

=

(7 a 3b3 ) 2 ·(− a 2b)3

=

9 x 4c 6 ·9 x15c 4 5 10 5

3 x c

92 ·3a8b11 34 x19c10 35 x10c5

49a 6b6 ·(− a 6b3 ) 9 6

−8 a b

1 4 cy ; 2

93 a9b12

= =

=

= 3ab;

=

1 9 5 xc; 3

49a12b9

=

8a9b6

1 = 6 a3b3.. 8

ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами § 13. Основные понятия № 366 а) 3a + 4b – многочлен; в) 5(5x2 – 12y2) – многочлен;

б) 5x2 – 3y2 – многочлен; г) (a +1)(b – 2) – многочлен.

№ 367

а) 5x2 – 6x2 + в)

1 – не многочлен; x

b2 ab + 12z2 – – многочлен; 4 5

б)

3a 2b 4ab 2

– не многочлен;

г) 0,3p2 + 13p – 1 – многочлен.

№ 368

а) 3x2 + 5y +

7 – не многочлен; c

б)

a8 b 6 c4 d3 – + + – многочлен; 4 5 7 9 10 2 5 11

в) 9x3 – 4y2 – 5 – многочлен;

г)

№ 369 а) 5a + 8a2 – 2,5ab;

б) 5a – 4ab + 8a2 – 2,5ab;

в) 5a – 4ab + 8a2; 12a – 2,5ab – a2;

г) 5a – 4ab +

z5

+

z3

+

z2

–

1 8a 2

z1

– многочлен.

. 53

№ 370 а) 0,5x2 + 12xy + 4xy2; б) 0,5x2y – xy2 – 3xy2; в) 0,5x2y – xy2 + 12xy; –3x2y – 0,2xy + 4xy2 1 – 0,2xy. г) 12xy – 3x2y + 4xy 2 № 371 а) 5x2–3x2 – x3 = 2x2 – x3;

б) 1,2c5 + 2,8c5 – 4c5;

в) 7y3 + y3 + 12y3 = 20y3;

г)

1 n 1 n 1 n 1 n d – d + d = d. 2 3 6 3

№ 372 а) 5x2 – 3xy – 2xy = 5x2 – 5xy; б) 7a2b – 5a2b + ab2 + 2ab2 = 2a2b + 3ab2; в) 3t2 – 5t2 – 11t – 3t2 + 5t + 11 = –5t2 – 6t + 11; г) z3 + 2z2 + z3 – 4z – z2 = 2z3 + z2 – 4z. № 373 а) 4b2 + a2 + 6ab – 11b2 – 6ab = –7b2 + a2; б) 3a2x + 3ax2 5a3 – 3ax2 – 8a2x – 10a3 = –5a2x – 5a3; в) 9x3 – 8xy – 6y2 – 9x3 – xy = – 9xy – 6y2; г) m4 – 3m3n + n2m2 – m2n2 = m4 – 3m3n. № 374 а) m · m · m · m – n · n · n = m4 – n3; б) pq · pq – qp · qp = (pq)2 – (qp)2 = (qp)2 – (qp)2 = 0; в) 3s · 2r + 2rs + 4r · 8s = 6rs + 2rs + 32rs = 40rs; г) 12m · 2n – 3m · 4n – 7m · 8n = 24mn – 12mn – 56mn = –44mn. № 375 а) 4p3 · 2p+3p2 · 4p+2p2 · 2p2 – 2p3 · 4 = 8p4 + 12p3 + 4p4 – 8p3=12p4 + 4p3; б) y · 2y – 3y – y2 – 5 + 2y · y – y · 5 + y · 7y2 = = 2y2 – 3y – y2 – 5 + 2y2 – 5y + 7y3 = 7y3 + 3y2 – 8y – 5; 2 1 1 8 2 3 4 1 1 1 x+ x+0,8x – x · x – x = x + x + x – x2–x= x2+ x; 3 4 6 12 12 5 6 2 20 5 1 1 1 г) 5/6a · a 1/3a – 0,6a · a + a · 0,1a = a2 + a 0,6a2 + 0,1a2 = a + a2. 6 3 3 3

в) x ·

№ 376 а) 2x · 4y – 3x · 2y – 0,2x · 5y + y · 5x – 5xy + 8xy = = 8xy – 6xy – xy + 5xy – 5xy + 8xy = 9xy; б) x · p · x · x – p · 3px – p · 4x3 + 7p · x · p = = x3 · p – 3p2 · x – 4x3 · p + 7p2 · x = 4p2 · x – 3x3 · p; в) 7x⋅a⋅x+a · 2a⋅x+x · 9x · a–8a · x · a=7x2 · a+2a2x+9x2a–8a2x=10x2a– 6a2x; г) 15r3s – s · r · s · r2 – 3s · r · r · r + 2r2 · s · r = 15r3s – 5r3s + 2r3s = 9r3s. 54

№ 377 а) 15p + 18p2 + 4 – 12p + 3p2 – p4 = –p4 + 21p2 + 3p + 4; б) 1,4x2 – 4,1x3 + x – 3,1 + x + 1,3x3 = –2,8x3 + 1,4x2 + 2x – 3,1; 1 3 3 7 2 3 2 5 7 – a=– a – a+ ; в) a + a2 – a2 + 4 5 4 8 3 20 12 8 г) 0,2y4 – 3,5y – 1,2y4 – 1 + 3,5y = – y4 – 1. № 378 а) a3b + a2b – 3ab + 2a2b + 2ab2 = a3b + 3a2b + 2ab2 – 3ab; при а = – 1; b = 2; (– 1) 3 · 2 + 3 · (– 1) 2 · 2 + 2 · 1 · 22 – 3 · (– 1) · 2 = = – 2 + 6 + 8 + 6 = 18; 1 1 5 2 б) x – y3 + 0,3x – x + y2 = – 0,2x + y2; 2 3 9 9 2

3 2 ⎛3⎞ 1 7 ; – 0,2 · 5 + · ⎜ ⎟ =–1+ =– ; 4 9 ⎝4⎠ 8 8 в) m4 – 3m3n + m2n2 – m3n – 4m2n2 = m4 – 4m3n – 3m2n2;

при x = 5; y =

4

3

2

2

1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ – 3 · ⎜− ⎟ · ⎜ ⎟ ; ; y = ; ⎜− ⎟ – 4 · ⎜− ⎟ · 2 3 ⎝ 2⎠ 3 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3⎠ 2 2 3 2 3 2 2 2 г) 6p q – 5pq + 5p + 2pq – 8p – 3p q = 3p q – 3pq – 3p3.

при m = –

№ 379

а) x3 + 2x2 + 7x + 8x – x3 – x2 – x2 = 15x; 15x = 1; x = Ответ:

1 . 5

1 . 5

б) 0,5y3 + 2,7y2 + 3,5y + 6,5y – 0,5y3 – 2y2 – 0,7y2 = 10y; 10y = 1; y =

1 . 10

1 . 10 4 2 в) 3z – z + 4z + z + z2 – 2z4 – z4 + 8 = 5z + 8; 5z + 8 = 1; 5z = – 7; 7 2 z = – ; z = –1 . 5 5 Ответ: – 1,4 г) 6p3 – p2 + 4p3 + p2 – 10p3 – 3p + 19 = – 3p + 19; –3p + 19 = 1; 3p = 18; p = 6. Ответ: 6.

Ответ:

№ 380 3a + 11; a = 5x + 4; 11 + 3(5x + 4) = 11 + 15x +12 = 15x + 23. 55

№ 381 14 – 8a; a = 3x2 – 4x + 2; 14 – 8(3x2 – 4x + 2) = 14 – 24x2 + 32x – 16 = – 24x2 + 32x – 2. № 382 1 1 а) c · c – 0,1c5 – c3 + c · c2 · 2c2 – c · c + c · c · c = 2 8 1 2 1 4 1 3 = c –0,1c5–c3 + 2c5 – c2 + c3 = 2c5 – 0,1c5 + c2 – c2=1,9c5 + c2; 2 8 8 8 8 1 1 1 1 1 б) m · m–m · m · m+0,5m+m · m · 1/8m–1/3m2 + m= m2– m3+ 9 2 2 9 2 1 3 1 3 3 12 3 8 3 1 3 1 2 + 0,5m + m + m = m – m – m + m + m +m= 8 2 24 24 24 9 9 17 3 1 2 = − m + m + m; 9 24 в) aba + aa – a · 2ab + bab – 2ba · 2b – 6a · 2b2 – aa= = a2b + a2 – 2a2b + ab2 – 4b2a – 12ab2 – a2 = – a2b – 15ab2; г) y · 2yy – y · 5xy + x· 3xy – xy · 6y + x · 12xy – y3= = 2y3 – 5xy2 + 3x2y – 6xy2 + 12x2y – y3 = y3 – 11xy2 + 15x2y. № 383 а) 12m · 0,2 m3 + 3,5m · 2m – 27 + 4,5m2 · 0,2m – 15m = = 2,4m4 + 7m2 – 27 + 0,9m3 – 15m = 2,4m4 + 0,9m3 + 7m2 – 15m – 27; б) 3,6r · 5r2 – 0,4r2 · 7r + 1,4r3 – 10r2 · 2r + 15r · 0,5r2 = = 18r4 – 2,8r3 + 1,4r3 – 20r3 +7,5r3 = 18r4 – 13,r3; в) 9a3 · 0,3a – 12a · 0,4a2 + 7a · 0,2a3 + 1,7a2 · (– 3a) – 13a · 0,5a = = 2,7a4 – 4,8a3 + 1,4a4 – 5,1a3 – 6,5a2 = 1,3a4 – 9,9a3 – 6,5a2; г) 0,5b · 4b2 – 5b · 0,3b – 3b2 · (–0,2b) + 14b2 · 0,5 – 25b · 0,3b2 = 2b3 – – 1,5b2 + 0,6b3 + 7b2 – 7,5b3 = – 4,9b3 + 5,5b2. № 384 а) 5a–13+8a–7a + 25 + (– 6a) = 12; б) 7b–15+10a – 2a + 13 – 8a = 7b – 2; в) 12a–23+2a–3a + b + (– 11a) = b – 23; г) 8a2 – 7a2 – 4 + (– a2) = – 4. № 385 а) a2 + 2a2 – b2 – 3c + (– 3a2) = – b2 – 3c; б) 3ax2 – 5x3 +4a2 + 8x2a2 – 5 + 11a2 + (– 15a2 = 3ax2 – 5x3 + 8x2a – 5; в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + a2 = 10x2 – 2ax; г) 2y2 – 5ay + a2 + 7y2 + 3ay – 5a2 + 4a2 = 9y2 – 2ay. № 386 а) 7x + 4y – 11; y = 3x2 – 12x + 5; 7x + 4(3x2 – 12x + 5) – 11 = 7x + 12x2 – 48x + 20 – 11 = 12x2 – 41x + 9; б) 13a + 6b – 7; b = 4 – a2 + 3a; 13a + 6(4 – a2 + 3a) – 7 = 13a + 24 – 6a2 + 18a – 7 = – 6a2 + 31a + 17. 56

№ 387 Пусть x = 3a +12; y = 13 – a; z = 5 +4a; а) x + y + z = 3a + 12 +13 – a + 5 + 4a = 6a + 30; б) x – y + z = 3a + 12 – 13 + a + 5 + 4a = 8a + 4; в) y – x + z = 13 – a – 3a – 12 + 5 + 4a = 6; г) z – x – y = 5 +4a – 3a – 12 – 13 + a = 2a – 20. № 388 Пусть a = 3x2 + 4x + 8; b = 1,2 – 2x2 – 7x; c = 12,5x2 – 3,5x + 21,8; а) a+b+c=3x2+4x+8+1,2–2x2 – 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8=13,5x2 – 6,5x + 31; б) a–b+c=3x2 + 4x + 8–1,2+2x2+7x + 12,5x2–3,5x+21,8=17,5x2+7,5x + 28,6; в) b–a–c=1,2–2x2–7x–3x2–4x–8 – 12,5x2 + 3,5x – 21,8=–17,5x2–7,5x – 28,6; г) c– b–a=12,x2–3,5x+21,8–1,2+2x2 + 7x – 3x2 – 4x – 8=11,5x2 – 0,5x + 12,6. № 389 Пусть R = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3, L = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3, m = –12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3; а) R + L + m = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3 + 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + + (– 12a3) + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = 8b3; б) L + R – m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + 5a3 + 4a2b +8ab2 – 24b3 + + 12a3 – 9a2b + 4ab2 – 15b3 = 24a3 – 18a2b + 8ab2 – 22b3; в) m – L – r = – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 – 7a3 + 13a2b + 4ab2 – 17b3 – – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 = – 24a3 + 18a2b – 8ab2 +22b3; г) L – R + m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 – – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = – 10a3 – 8a2b – 16ab2 + 56b3.

§ 14. Сложение и вычитание многочленов № 390 Найдите P(a) = P1(a) + P2(a), если а) P1(a) = 2a + 5; P2(a) = 3a – 7; P(a) = 2a + 5 + 3a – 7 = 5a – 2; б) P1(a) = 7 – 2a; P2(a) = – 1 – 5a; P(a) = 7 – 2a – 1 – 5a = – 7a + 6; в) P1(a) = 3a – 4; P2(a) = 11 – 3a; P(a) = 3a – 4 + 11 – 3a = 7; г) P1(a) = – 4 – 3a; P2(a) = 7 – 8a; P(a) = – 4 – 3a + 7 – 8a = 11a + 3. № 391 Найдите P(x) = P1(x) + P2(x), если : а) P1(x) = 2x3 + 5; P2(x) = 3x3 + 7; P(x) = 2x3 + 5 + 3x3 + 7 = 5x3 + 12; б) P1(x) = 6x2 – 4; P2(x) = 5x2 – 10; P(x) = 6x2 – 4 + 5x2 – 10 = 11x2 – 14; в) P1(x)=4x5+2x+1; P2(x)=x5+x–2; P(x)=4x5+2x+1+x5+x–2=5x5 + 3x – 1; г) P1(x)=x11+x6–3; P2(x)=2x11+3x6+1; P(x)=x11+x6–3+2x11+3x6+1=3x11+4x6 – 2. № 392 Найдите P(a,b) = P1(a,b) +P2(a,b) а) P1(a,b) = a + 3b; P2(a,b) = 3a – 3b;P(a,b) = a + 3b + 3a – 3b = 4a; б) P1(a,b) = a2 – 5ab – 3b2; P2(a,b) = a2 + b2;

57

P(a,b) = a2 – 5ab – 3b2 + a2 + b2 = 2a2 – 5ab – 2b2; в) P1(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3; P2(a,b) = 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3; P(a,b) = 8a3+3a2b–5ab2 + b3 + 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3=26a3 – 10a2b +3b3; г) P1(a,b) = 10a4 – 7a3b – a2b2 + 6; P2(a,b) = 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3; P(a,b) =10a4 – 7a3b – a2b2 + 6 + 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3 = 27a4– 17a3b + 9. № 393 Найдите P(y) = P1(y) – P2(y), если: а) P1(y) = 2y2 + 8y – 11; P2(y) = 3y3 – 6y + 3; P(y) = 2y2 + 8y – 11 – 3y3 + 6y – 3 = – 3y3 + 2y2 + 14y – 14; б) P1(y) = 4y4 + 4y2 – 13; P2(y) = 4y4 – 4y2 + 13; P(y) = 4y4 + 4y2 – 13 – 4y4 + 4y2 – 13 = 8y2 – 26; в) P1(y) = y3 – y + 7; P2(y) = y3 + 5y +11; P(y) = y3 – y + 7 – y3 – 5y – 11 = – 6y – 4; г) P1(y) = 15 – 7y2; P2(y) = y3 – y2 – 15; P(y) = 15 – 7y2 – y3 + y2 + 15 = – y3 – 6y2 + 30. № 394 Найдите P(c,d) = P1(c,d) – P2(c,d), если: а) P1(c,d) = 3c2 + d; P2(c,d) = 2c2 – 3d; P(c,d) = 3c2 + d – 2c2 + 3d = c2 + 4d; б) P1(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3; P2(c,d) = 2c2 – 3c2d + d2; P(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3 – 2c2 + 3c2d – d2 = 5c4 + 6c2d – d3 – d2 – 2c2; в) P1(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4; P2(c,d) = 6c2d – 5cd2 + 2c; P(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4 – 6c2d + 5cd2 – 2c = 6c2d + 2cd2 – 2c + 4; г) P1(c,d) = c2 + 2cd + d2; P2(c,d) = 5c2 – 6cd – 7d2; P(c,d) = c2 + 2cd + d2 – 5c2 + 6cd + 7d2 = – 4c2 + 8cd + 8d2. № 395 а) (5x – 3) + (7x – 4) = 8 – (15 – 11x); 5x – 3 + 7x – 4 = 8 – 15 + 11x; 12x – 11x = – 7 + 7; x = 0. Ответ: 0. б) (4x + 3) – (10x + 11) = 7 + (13 – 4x); 4x + 3 – 10x – 11 = 7 + 13 – 4x; 4x – 10x + 4x = 20 + 11 – 3; – 2x = 28; x = – 14. Ответ: –14. в) (7 –10x) – (8 – 8x) + (10x +6) = – 8; 7 – 10x – 8 + 8x + 10x + 6 = – 8;

8x = – 8 – 6 + 8 – 7; x = –

13 5 ; x=–1 . 8 8

5 8

Ответ: – 1 . г) (2x + 3) + ( 3x + 4) + (5x + 5 ) = 12 – 7x; 2x + 3 + 3x + 4 + 5x + 5 = 12 – 7x; 10x + 7x = 12 – 12; 17x = 0; x = 0. Ответ: 0. 58

№ 396 3 9 10 ⎛5 ⎞ а) y – ⎜ y − 1, 25 ⎟ = 0,55; y– y + 1,25 = 0,55; 4 12 12 ⎝6 ⎠ 1 1 y = 0,55 – 1,25; – y = – 0,7; y = 8,4. – 12 12

Ответ: 8,4. 3 9 8 ⎛1 ⎞ x – ⎜ x − 2, 4 ⎟ = – 0,4; x– x + 2,4 = – 0,4; 3 8 24 24 ⎝ ⎠ 1 1 x = – 0,4 – 2,4; x = – 2,8; x = – 67,2. 24 24

б)

Ответ: – 67,2. в)

3 x – (0,25x – 3) = 1,2; 0,75x – 0,25x + 3 = 1,2; 0,5x = – 1,8; x = – 3,6. 4

Ответ: – 3,6. г)

1 x – (2,5x – 3) = 1,8; 0,5x – 2,5x +3 = 1,8; – 2x = – 1,2; x = 0,6. 2

Ответ: 0,6. № 397 а) x – 1; б) (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 3x –3; в) x + x – 0,5 = 2x – 0,5; г) x + (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 4x – 3. № 398 P1(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1; P2(a) = 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a; P3(a) = 2a5 + 3a4 – a3 + a2; а) P1(a) + P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 7a3 + 2a2 + a + 1 + 7a4 + 2a5; б) P1(a) – P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 2a5 – a4 – 5a3 + 6a2 – 3a + 1; в) P1(a) + P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a – – 2a5 – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 3a4 + a3 – a2; г) P1(a) – P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a – 2a5 – – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 7a4 – 3a3 + 4a2 – 3a + 1. № 399 P1(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3; P2(x,y) = 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3; P3(x,y) = 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2; а) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 67x3 – 30x2y + 8xy2 – 4y3 + y2; б) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 17x3 + 10x2y + 2y3 + y2;

59

в) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = 37x3 – 44x2y + 18xy2 – 4y3 – y2; г) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = – 3x3 – 24x2y + 10xy2 + 2y3 – y2. № 400 а) 2x2 – (2x2 – 5x) – (4x – 2) = 5; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 2 = 5; x = 5 – 2; x = 3. Ответ: 3. б) 3y3 – (3y3 – 6y) – (3y + 4) = 2; 3y3 – 3y3 + 6y – 3y – 4 = 2; 3y = 6; y =2. Ответ: 2. в) (x2 – 7x – 11) – (5x2 – 13x – 18) = 16 – 4x2; x2 – 7x – 11 – 5x2 + 13x + 18 = 16 – 4x2; x2 – 5x2 + 4x2 – 7x + 13x = 16 – 18 +11; 6x = 9; x = 1,5. Ответ: 1,5. г) (y2 – 5y – 19) – (5y2 – 6y – 9) = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y – 19 – 5y2 + 6y + 9 = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y2 + 4y2 – 5y + 6y + 4y = 26 – 9 + 19; 5y = 36; y =7,2. Ответ: 7,2. № 401 Второй столбец 4x + 1 0 – 4mn – 2c2d – 3cd2 + 8

а) 9x + 7 – 5x – 6 = 4x + 1; б) a3 + 2a2b + b3 – a3 – 2a2b – b3 = 0; в) m2 – 2mn + n2 – m2 – 2mn – n2 = – 4mn; г) 0 – 2c2d – 3cd2 + 8 = – 2c2d – 3cd2 + 8.

№ 402 а) 6a2 – (2 – (1,56a – (a2 + 0,36a)) + (5,5a2 + 1,2a – 1)) = = 6a2 – (2 – 1,56a + a2 + 0,36a + 5,5a2 + 1,2a – 1) = = 6a2 – a2 – 5,5a2 + 1,56a – 0,36a – 1,2a – 2 + 1 = 0,5a2 – 1; б) (a2 + 2x2) – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – (1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2))) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2)) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + 2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2) = = a2 + 2x2 – 5a2 + 1,2ax – 2,8x2 + 1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2 = = a2–5a2 +1,5a2 + 2x2 – 2,8x2 + 1,8x2 + 1,2ax – 0,5ax=– 2,5a2 + x2 + 0,7ax; в) 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + (5,5x2 – 6y2))) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + 5,5x2 – 6y2)) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 + 10x2 – 5,5x2 + 6y2) = = 12,5x2 + y2 – 8x2 + 5y2 – 10x2 + 5,5x2 – 6y2 = = 12,5x2 – 8x2 – 10x2 + 5,5x2 + y2 + 5y2 – 6y2 = 0;

60

г) (y3 + 3z2) – (y3 – 6az + (2y3 – (3z2 + 4az – 1,2y3))) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + (2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3)) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + 2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3) = = y3 + 3z2 – y3 + 6az – 2y3 + 3z2 + 4az – 1,2y3 = = y3 – y3 – 2y3 – 1,2y3 +3z2 + 3z2 +6az + 4az = – 3,2y3 + 6z2 + 10az.

§ 15. Умножение многочлена на одночлен № 403 а) 2x(x2 + 5x + 3) = 2x3 10x2 + 6x; б) – 2xy(x2 + 2xy – y2) = – 2x3y – 4x2y2 + 2xy3; в) 3y(y3 – 3y – 4) = 3y4 – 9y2 – 12y; г) – 5mn(m3 + 3m2n – n3) = – 5m4n – 15m3n2 + 5mn4. № 404 а) x2y2 (x + y) = x3y2 + x2y3; б) – c3d4 (c2 – d3) = – c5d4 + c3d7; 5 8 3 4 8 8 в) – p q (p + 3pq – q ) = – p q – 3p6q9 + p5q12; г) r7s12 (r10 + 2rs – s5) = r17s12 + 2r8s13 – r7s17. № 405 а) 3x(x + y) – 3x2 = 3x2 + 3xy – 3x2 = 3xy; б) 7a(a – b) – 7a2 = 7a2 – 7ab – 7a2 = – 7ab; в) 5c(c2 – d2) – 5c3 = 5c3 – 5cd2 – 5c3 = – 5cd2; г) 10m( m5 + n6) – 10m6 + 10mn6 – 10m6 = 10mn6. № 406 а) 3x(x – 5) – 5x(x + 3) = 3x2 – 15x – 5x2 – 15x = – 2x2 – 30x; б) 2y(x – y) + y(3y – 2x) = 2xy – 2y2 + 3y2 – 2xy = y2; в) 2a(a –b) + 2b(a + b) = 2a2 – 2ab + 2ab +2b2 = 2a2 + 2b2; г) 3p(8c + 1) – 8c(3p – 5) = 24pc + 3p – 24pc + 40c = 3p + 40c. № 407 а) 5x(2x – 3) – 2,5x(4x – 2) = 10x2 – 15x – 10x2 + 5x = – 10x; При x = – 0,01; – 10x = – 10 · (– 0,01) = 0,1. Ответ: 0,1. б) 5a(a2 – 4a) – 4a(a3 – 5a) = 5a3 – 20a2 – 4a3 + 20a2 = a3; При a = – 3; a3 = (– 3) 3 = – 27. Ответ: – 27. в) 12(2 – p) + 29p – 9(p + 1) = 24 – 12p + 29p – 9p – 9 = 8p + 15; 1 1 При p = ; 8p + 15 = 8 · + 15 = 17. 4 4 Ответ: 17. г) 3(3d – 1) + 7(2d + 1) = 9d – 3 + 14d + 7 = 23d + 4;

При d = 2

4 50 ; 23d + 4 = 23 · + 4 = 54. 23 23

Ответ: 54. 61

№ 408 а) 3(x – 1) – 2(3 – 7x) = 2(x –2); 3x – 3 – 6 + 14x = 2x – 4;

17x – 2x = – 4 + 9;

15x = 5;

x=

1 . 3

1 3

Ответ: . б) 10(1 – 2x) = 5(2x – 3) – 3(11x – 5);

10 – 20x = 10x – 15 – 33x + 15;

– 20 – 10x + 33x = – 10; 3x = – 10;

x=–3 .

1 3

1 3

Ответ: – 3 . в) 2(x + 3) – 3(2 – 7x) = 2(x – 2); 16x – 2x = – 4; Ответ: –

14x = – 4;

2x + 6 – 6 +14x = 2x – 4;

x=–

2 . 7

2 7

г) 5(3x – 2) = 3(x +1) – 2(x +2);

15x – 10 = 3x + 3 – 2x – 4;

15x – x = 3 –4 + 10; 14x = 9;

x=

Ответ:

9 . 14

9 . 14

№ 409 2x + 1 а) = 1; 5

2x + 1 = 1;

2x = 4; x = 2.

Ответ: =2. б)

11 − 3 x 1 = ; 4 2

11 – 3x = 2; 3x = 9; x = 3.

Ответ: 3. в)

3x + 7 6 x + 4 ; 3x + 7 = 6x + 4; – 3x = – 3; = 5 5

x = 1.

Ответ: 1. 7x − 3 1 = 5x + ; 6 2 6 Ответ: – . 23

г)

7x – 3 = 30x + 3;

23x = – 6; x = –

6 . 23

№ 410 2 x + 1 3x + 1 а) = 2; + 5 7

в) 2x –

7(2x + 1) + 5(3x + 1) = 70;

2x · 3 = 2x + 3 + x – 6;

62

2x + 3 x−6 = ; 3 3

14x + 7 + 15x + 5 = 70; 29x = 58; x = 2. Ответ: 2. б)

8x − 3 3x + 1 – = 2; 7 10

10(8x – 3) – 7(3x + 1) = 140; 80x – 30 – 21x – 7 =140; 59x = 177; x = 3. Ответ: 3.

6x = 3x – 3; 3x = – 3; x = – 1. Ответ: – 1. г)

x + 14 6 x + 1 = 2. − 5 7

7(x+14) – 5(6x + 1) =70; 7x + 98 – 30x – 5 =70; – 23x = – 23; x = 1. Ответ: 1.

№ 411 а) 2x2 – x(2x – 5) – 2(2x – 1) – 5 = 0; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 4 – 5 = 0; x = 5 – 4; x = 1. Ответ: 1. б) 6x(x + 2) – 0,5(12x2 – 7x) – 31 = 0; 6x2 + 12x – 6x2 + 3,5x – 31 = 0; 15,5x = 31; x = 2. Ответ: 2. в) 12x(x – 8) – 4x(3x – 5) = 10 – 26x; 12x2 – 96x – 12x2 + 20x = 10 – 26x;

–76x + 26x = 10 – 26x; –50x = 10;

x=–

1 . 5

Ответ: – 1,2. г) 8(x2 – 5) – 5x(x + 8) = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 40 – 5x2 – 40x = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 5x2 – 3x2 – 40x + 11x = 19 + 40; –29x = 58; x = –2. Ответ: – 2. № 412 Пусть t ч. – время затраченное первым велосипедистом. Тогда (t – 0,5) ч. – время затраченное вторым велосипедистом. 12t = 14(t – 0,5); 12t = 14t – 7; 2t = 7; t = 3,5 ч. Значит расстояние между пунктами А и В равно 3,5 · 12 = 42 км. Ответ: 42 км. № 413 км. – скорость лодки. ч. км. Тогда (V + 3) – скорость лодки по течению; ч. км. (V – 3) – скорость лодки против течения; ч.

Пусть V

6 · (v + 3) + 4(v – 3) = 126; 6v + 18 + 4v – 12 = 126; 63

10v + 6 = 126; 10v = 120; V = 12 Ответ: 12

км. – скорость лодки. ч.

км. . ч.

№ 414 Пусть t ч. – время затраченное на обратный путь. Тогда (t + 1) ч. – затраченно на обратный путь. 10(t + 1) = 15t; 10t + 10 = 15t; 5t = 10; t = 2 ч. Значит расстояние равно 2 · 15 = 30 км. Ответ: 30 км. № 415 км. Пусть V – скорость катера. ч. км. – скорость катера по течению; Тогда (V + 2) ч. км. (V – 2) – скорость катера против течения; ч. 4(V + 2) + 3(V – 2) = 93; 4v + 8 + 3v – 6 = 93; 7v + 2 = 93; 7v = 91; км. . v = 13 ч. км. Ответ: 13 ч. № 416 a+2 4 − 3a а) 14a · + 25a2 · = 2a · (a + 2) + 5a2 · (4 – 3a) = 7 5 = 2a2 + 4a + 20a2 – 15a3 = – 15a3 + 22a2 + 4a; b3 + b − 1 b3 − 3b2 + 4 б) 24b3 · + 26b2 · = 6 13 = 4b3 (b3 + b – 1) + 2b2 (b3 – 3b2 + 4) = = 4b6 + 4b4 – 4b3 + 2b5 – 6b4 + 8b2 = 4b6 + 2b5 – 2b4 – 4b3 + 8b2;

5r 2 − 4 7 r 3 − 3r + 5r · = 30r2 (5r2 – 4) + 10r(7r3 – 3r) = 0,1 0,5 = 150r4 – 120r2 + 70r4 – 30r2 = 220r4 – 150r2; 13a 3 − 12a 2 + 5 4a 2 + 12a − 1 – 9a2 · = г) 8a · 0,4 0,3 = 20a(13a3 – 12a2 + 5) – 30a2 (4a2 + 12a – 1) = 260a4 – 240a3 + 100a – – 120a4 – 360a3 + 30a2 = 140a4 – 600a3 + 30a2 + 100a.

в) 3r2 ·

64

№ 417

a 2 − 3a + 1 a 3 − 3a 2 + a – 2a · + a4 – 3a3 + a2 = 9 0,4 = 2a2 (a2 – 3a + 1) – 5a(a3 – 3a2 + a) + a4 – 3a3 + a2 = 2a4 – 6a3 + 2a2 – – 5a4 + 15a3 – 5a2 + a4 – 3a3 + a2 = – 2a4 + 6a3 – 2a2; x+ y 2x − y – 27y · – y(y + 1) = 2x(x +y) – 3y(2x – y) – y2 – y = б) 12x · 6 9 = 2x2 + 2xy – 6xy + 3y2 – y2 – y = 2x2 + 2y – 4xy – y; а) 18a2 ·

c3 − 5c 2 + c c +1 + c4 – 3c = – 10c · 11 5 = 3c3 (c+1) – 2c(c3 – 5c2 + c) + c4 – 3c = = 3c4 + 3c3 – 2c4 + 10c3 – 2c2 + c4 – 3c = 2c4 + 13c3 – 3c;

в) 33c3 ·

p2 + 5 p − 1 p 3 + 0,5 p 2 − p + 2p4 + 10p3 – 2p2 = – 3p · 0,7 0,1 = 40p2 (p2 + 5p – 1) – 30p(p3 + 0,5p2 – p) + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 40p4 + 200p3 – 40p2 – 30p4 – 15p3 + 30p2 + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 12p4 + 195p3 – 12p2. № 418 a = 3x2 + 4x – 8, b = 2x2 – 7x + 12, c = 5x2 + 3x – 27; а) 2(3x2 + 4x – 8) + 3(5x2 + 3x – 27) + 4(2x2 – 7x + 12) = = 6x2 + 8x – 16 + 15x2 + 9x – 81 + 8x2 – 28x + 48 = 29x2 – 11x – 49; б) 7x(3x2+4x–8)–12x + 15x(5x2 + 3x – 27) – 13 = 21x3 + 28x2 – 56x – 12x + + 75x3 + 45x2 – 405x – 13 = 96x3 + 73x2 – 473x – 13; в) 72x(3x2 + 4x – 8) – 4(2x2 – 7x + 12) + 3x(5x2 + 3x – 27) + 4 = = 216x3 + 288x2 – 576x – 8x2 + 28x – 48 +15x3 + 9x2 – 81x + 4 = = 31x3 + 289x2 – 629x – 44; г) 0,1x2 (3x2 + 4x – 8) + 0,5x(5x2 + 3x – 27) – 0,6x3 (2x2 – 7x + 12) – 17= = 0,3x4 + 0,4x3 – 0,8x2 + 2,5x3 + 1,5x2 – 13,5x – 1,2x5 + 4,2x4 – 7,2x3 – – 17 = – 1,2x5 + 4,5x4 – 4,3x3 + 0,7x2 – 13,5x – 17. № 419 x = 3a2 + 4, y =12a – 13, z = a2 – a + 1, r = 5a3, L = 12a2, m = 4a а) 2(3a2 + 4) + 5a3 (12a – 13) – 12a2 (a2 – a + 1) = = 6a2 + 8 + 60a4 – 65a3 – 12a4 + 12a3 – 12a2 = 48a4 – 53a3 – 60a2 + 8; б) 12a2 (3a2 + 4) – 3 · 4a(12a – 13) = 36a4 + 48a2 – 144a2 + 156a = = 36a4 – 96a2 + 156a; в) 5a3 (3a2 + 4) + 12a2 (12a – 13) – 4a(a2 – a + 1) = 15a5 + 20a3 + + 144a3 – 156a2 – 4a3 + 4a2 – 4a = 15a5 + 160a3 – 152a2 – 4a; г) 4a(3a2 + 4) – 12a2 (a2 – a + 1) + 4 · 5a3 (3a2 + 4) – 14 = = 12a3 + 16a – 12a4 + 12a3 – 12a2 + 60a5 + 80a3 – 14 = = 60a5 – 12a4 + 104a3 + 16a – 14. 65

г) 28p2 ·

№ 420 x(3 + 2) – x2 (x + 3) + (x3 2x + 9) = 3x2 + 2x – x3 – 3x2 + x3 – 2x + 9 = 9. Тождественно равно 9. № 421

6x(x – 3) – 9(

2 2 2 2 x – 2x +4) = 6x – 18x – 6x + 18x – 36 = – 36. 3

Тождественно равно – 36. № 422 2x − 3 7 x − 13 5 − 2x а) + + = x – 1; 3 6 2

2(2x – 3) + 7x – 13 +3(5 – 2x) = 6(x –1); 4x – 6 + 7x – 13 + 15 – 6x = 6x – 6; 5x – 6x = – 6 + 4; x = – 2; x = 2. Ответ: 2. б)

x−2 2x − 5 4x − 1 + + = 4 – x; 5 4 20

4(x – 2) + 5(2x – 5) + 4x – 1 = 20(4 – x); 4x – 8 + 10x – 25 + 4x – 1 = 80 – 20x; 20x + 4x + 10x + 4x = 80 + 8 + 25 + 1; 38x = 114; x = 3. Ответ: 3. в)

5x − 4 3x − 2 2x − 1 + + = 3x – 2; 3 6 2

2(5x – 4) + 3x – 2 + 6x – 3 = 18x – 12; 10x + 3x + 6x – 18x = – 12 + 3 + 2 + 8; x = 1. Ответ: =1. 1 3x 2 − 5 x − 7 = ; 3(x2 – 5x + 3) – (3x2 – 5x – 7) = 1; г) x2 – 5x + 3 – 3 3 3x2 – 15x + 9 – 3x2 + 5x + 7 = 1; Ответ: 1

–10x = 1 – 7 – 9; –10x = – 15; x =1

1 . 2

1 2

№ 423 а) 2x + x(3 – (x + 1)) = x(2 – x) + 12; 2x + 3x – x2 – x = 2x – x2 + 12; 4x = 2x – x2 + 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: 6. б) x(2x + 3) – 5(x2 – 3x) = 3x(7 – x); 2x2 + 3x – 5x2 + 15x = 21x – 3x2; 18x = 21x – 3x2 + 5x2 – 2x2; –3x = 0; x = 0. Ответ: 0. в) x(4x + 11) – 7(x2 – 5x) = – 3x(x + 3); 4x2 + 11x – 7x2 + 35x = – 3x2 – 9x; 4x2 – 7x2 + 3x2 + 11x + 35x + 9x = 0; 55x = 0; x = 0. Ответ: 0.

66

г) x(12 – x) – 5 = 4x – x(10 – (3 – x)); 12x – x2 – 5 = 4x – 10x + 3x – x2; 12x – 4x + 10x – 3x = 5; 15x = 5; x = Ответ:

1 . 3

1 . 3

№ 424 Пусть t ч. – время затраченное пешеходом. Тогда (t – 0,25) ч. – время затраченное велосипедистом. 1 4t + 12(t – 0,25) = 17; 4t + 12t – 3 = 17; 16t = 20; t = 1 ч. 4 1 1 · 4 = 5 км – прошел пешеход. 4 1 1 (1 – ) · 12 = 12 км – проехал велосипедист. 4 4 Ответ: 5; 12. № 425 Пусть х км – прошел в первый день. 3 Тогда (х – 5) км – во второй день; (х + (х – 5)) – в третий день. 7 3 3 (2x – 5) + x + x – 5 = 110; 2x – 5 + (2x – 5) = 110; 7 7 10 (2x – 5) = 110; 2x – 5 = 77; 2x = 82; 7 x = 41 км – в первый день; 41 – 5 = 36 км – во второй день; 3 (2 · 41 – 5) = 33 км – в третий день. 7 Ответ: 41; 36; 33. № 426 км. – скорость первого самолета. Пусть х ч. км. Тогда 1,5х – скорость второго самолета. ч. 0,5x + 0,5 · 1,5x = 2400 – 1400; 1,25x = 1000; км. – скорость первого самолета. x = 800 ч. км. 1,5 · 800 = 1200 – скорость второго самолета. ч. км. км. Ответ: 800 ; 1200 . ч. ч.

67

№ 427 км. Пусть х – скорсть велосипедиста. ч. км. – скорость автомобиля. Тогда 4х ч. 2 2 x+ · 4x = 30 – 10; 2x = 20; 5 5 км. – скорость велосипедиста. x = 10 ч. км. 4 · 10 = 40 – скорость автомобиля. ч. км. . Ответ: 10 ч. № 428 Пусть х га – убрал за день первый фермер. Тогда (х – 2,5) га – убрал за день второй фермер. 8x = 10(x – 2,5) + 2; 8x = 10x – 25 + 2; 2x = 23; 1 x = 11 га – убрал первый фермер за день. 2 1 1 11 – 2 = 9 га – убрал за день второй фермер. 2 2 1 Ответ: 11 га; 9 га. 2 № 429 Пусть х деталей изготовил ученик за 2 часа. Тогда (х + 8) деталей изготовил мастер. 6x + 8(x + 8) = 232; 6x + 8x + 64 = 232; 14x = 168; x = 12 – деталей изготовил ученик. Ответ: 12 деталей. № 430 Пусть х жителей в первом поселке. Тогда 2х жителей живет во втором поселке. (2х – 400) жителей живет в третем поселке. x + 2x + (2x – 400) = 6000; 5x = 6400; x = 1280 – жителей в первом поселке. 2 · 1280 = 2560 – жителей во втором поселке. 2560 – 400 = 2160 – жителей в третьем поселке. Ответ: 1280; 2560; 2160.

68

№ 431 Пусть х рабочих – во втором цехе. Тогда 1,5х рабочих в первом цехе. (х – 200) рабочих в третем цехе. 1,5x + x – 200 = 800; 2,5x = 1000; x = 400 – рабочих во вторм цехе. Ответ: 400 рабочих. № 432 Пусть х деталей изготовил третий цех. Тогда 3х деталей изготовил вторй цех. (3х + х) деталей изготовил первый цех. x + 3x + 3x + x =2648; 8x = 2648; x = 331 деталей изготовил третий цех. 3 · 331 = 993 детали изготовил второй цех. 4 · 331 = 1324 детали изготовил первый цех. Ответ: 1324; 993; 331. № 433 км. – разность скорости велосипедиста и пешехода. ч. 4 км. Тогда V = 10 – 2; V = 10 – разность между скоростями. 5 ч. 2 · 10 = 20 км. – расстояние между ними. Ответ: 20 км.

Пусть V = (Vв – Vп)

№ 434

км. – разность скорости велосипедиста и пешехода. ч. км. 3 3 Тогда V = 7 – 1; V = 6; V = 8 – разность скоростей. 4 4 ч. 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км. Пусть V = (Vв – Vп)

§ 16. Умножение многочлена на многочлен № 435 а) (x +1)(x + 2) = x(x + 1) + 2(x+1) = x2 + x + 2x + 1 = x2 + 3x + 1; б) (a – 3)(a + 8) = a(a + 8) – 3(a + 8) = a2 + 8a – 3a – 24 = a2 + 5a – 24; в) (b+10)(b–4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = b2 + 6b – 40; г) (y – 5)(y – 9) = y(y – 5) – 9(y – 5) = y2 – 5y – 9y + 45 = y2 – 14y + 45. № 436 а) (x – 5)(9 – x) = 9(x – 5) – x(x – 5) = 9x – 45 – x2 + 5x = –x2 + 14x – 45; б) (y–10)(–y–6) = –y(y – 10) – 6(y – 10) = –y2 + 10y – 6y + 60=–y2 + 4y – 60;

69

в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = b2 + 6b – 40; г) (–7 – b)(a – 4) = a( –7 – b) – 4( –7 – b) = –7a – ab + 28 + 4b. № 437 а) (2a + 4)(5a + 6) = 2a(5a + 6) + 4(5a + 6) = 10a2 +32a + 24; б) (7b – 3)(8b + 4) = 7b(8b + 4) – 3(8b + 4) = 56b2 + 4b – 12; в) (8c + 12)(3c – 1) = 8c(3c – 1) + 12(3c – 1) = 24c2 + 28c + 12; г) (15d + 27)(–5d – 9) = –75d2 – 135d – 135d – 243 = –75d2 – 270d – 243. № 438 а) (m2 + n)(m + n) = m2 (m + n) + n(m + n) = m3 + m2n + mn + n; б) (2x2 – 1)(x + 3) = 2x2 (x + 3) – (x + 3) = 2x3 + 6x2 – x + 3; в) (3y2 + 5)(y – 6) = 3y2 (y – 6) + 5(y – 6) = 3y3 + 5y – 18y2 – 30; г) (7c2 – 1)(c – 3) = 7c2 (c – 3) – (c – 3) = 7c3 – 21c2 – c + 3. № 439 а) (3a + 5)(3a – 6) + 30 = 9a2 + 15a – 18a – 30 + 30 = 9a2 – 3a; б) (8 – y)(8 + y) – (y2 + 4) = 64 – y2 –y2 – 4 = 60 – 2y2; в) x(x – 3) + (x + 1)(x + 4) = x2 – 3x + x2 + 5x + 4 = 2x2 + 2x + 4; г) (c + 2)c – (c + 3)(c – 3) = c2 + 2c – c2 + 9 = 2c + 9. № 440 а) 0,3a(4a2 – 3)(2a2 + 5 = 0,3a(8a4 – 6a2 + 20a2 – 15) = = 0,3(8a4 + 14a2 – 15) = 2,4a4 + 4,2a2 – 4,5; б) 1,5x(3x2 – 5)(2x2 + 3) = 1,5x(6x4 – x2 – 15 = 9x5 – 1,5x3 – 22,5x; в) 3p(2p + 4) · 2p(2p – 3) = 6p2 (4p2 + 2p – 12) = 24p4 + 12p3 – 72p2; г) –0,5y(4 – 2y2)(y2 + 3) = –0,5y(4y2 – 2y4 + 12 – 6y2) = y3 + y5 – 6y. № 441 а) (3m3+5)(3m2–10)=3m3 (3m2–10) + 5(3m2 – 10)=9m5 + 15m2 – 30m3 – 50; б) (4n5 – 1)(2n3 + 3) = 4n5 (2n3 + 3) – (2n3 + 3) = 8n8 – 2n3 + 12n5 – 3; в) (5k4 + 2)(6k2 – 1) = 5k4 (6k2 – 1) + 2(6k2 – 1) = 30k6 + 12k2 – 5k4 – 2; г) (6p8 – 4)(2p2 + 5) = 6p8(2p2 + 5) – 4(2p2 + 5) = 12p10 – 8p2 + 30p8 –20. № 442 а) (a + 2)(a2 – a – 3) = a3 + 2a2 – a2 – 2a – 3a – 6 = a3 + a2 – 5a – 6; б) (5b – 1)(b2 – 5b + 1) 5b3 – b2 – 25b2 + 5b + 5b – 1 = 5b3 – 26b2 + 10b – 1; в) (m – n + 1)(m + n) = m2 + mn – mn – n2 + m + n = m2 – n2 + m + n; г) (c – 2d)(c + 2d – 1) = (c – 2d)(c + 2d) – c + 2d = c2 – 4d2 – c + 2d. № 443 а) (x2 – xy + y2)(x + y) =x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) = = x3 – x2y + y2x + yx2 – x2y + y3 = x3 + y3; б) (n2 + np + p2)(n – p) = n(n2 + np + p2) – p(n2 + np + p2) = = n3 + n2p + np2 – pn2 – np2 – p3 = n3 – p3; в) (a + x)(a2 + ax + x2) = a(a2 + ax + x2) + x(a2 + ax + x2) = = a3 + a2x + ax2 + xa2 + ax2 + x3 = a3 + x3 + 2ax2 + 2a2x;

70

г) (c2 + cd + d2)(c – d) = c(c2 + cd + d2) – d(c2 + cd + d2) = = c3 + c2d + cd2 – dc2 – d2c – d3 = c3 – d3. № 444 а) (2a+ 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = 2a(4a2 – 6ab + 9b2) + 3b(4a2 – 6ab + b2) = = 8a3 – 12a2b + 18ab2 + 12a2b – 18ab2 + 27b2 = 8a3 + 27b3; б) (5x + 2y)(25x2 + 10xy + 4y2)=5x(25x2+10xy+4y2)+2y(25x2 + 10xy + 4y2) = = 125x3 + 50x2y + 20xy2 + 50yx2 + 20xy2 + 8y3; в) (5 – 2a + a2)(4a2 – 3a – 1) = 20a2 – 8a3 + 4a4 – 15a + 6a2 – 3a3 – 5 + + 2a – a2 = 4a4 – 11a3 + 25a2 – 13a – 5; г) (m2 – m + 2)(3m2 + m – 2) = 3m4 – 3m3 + 6m2 + m3 – m2 + 2m – 2m2 + + 2m – 4 = 3m4 – 2m3 + 3m2 + 4m – 4. № 445 а) (a–1)(a–2)–(a–5)(a + 3) = a2 – 3a + 2 – a2 + 2a + 15 = 17 – a=17+8 = 27; б) (a–3)(a+4)–(a+2)(a+5)=a2 + a – 12 – a2 – 7a – 10= –6a–24=1–24 = – 23; в) (a–7)(a+4)–(a+3)(a–10)=a2 – 3a – 28 – a2 + 7a + 30=4a+2=–0,6+2 = 1,4; г) (a + 2)(a + 5) – (a + 3)(a + 4) = a2 + 7a + 10 – a2 – 7a – 12=10 – 12 = –2. № 446 а) 12x2 – (4x – 3)(3x + 1) = –2; 12x2 – 12x2 + 5x + 3 = –2; 5x + 5 = 0; x = – 1. Ответ: –1. б) (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) = 0; x2 + 3x + 2 – x2 – 7x – 12 = 0; –4x – 10 = 0; x = – 2,5. Ответ: – 2,5. в) 10x2 – (2x – 3)(5x – 1) = 31; 10x2 – 10x2 + 17x – 3 = 31; 17x = 34; x = 2. Ответ: 2. г) 16x2 – (4x – 1)(4x – 3) =13; 16x2 – 16x2 + 16x – 3 = 13; 16x = 16; x = 1. Ответ: 1. № 447 а) (3x + 5)(4x – 1) = (6x – 3)(2x + 7); 12x2 + 17x – 5 = 12x2 + 36x – 21; 16 . 19x = 16; x = 19 16 Ответ: . 19 б) (5x – 1)(2 – x) = (x – 3)(2 – 5x); 11x – 2 – 5x2 = 17x – 6 – 5x2; 2 6x =4; x = . 3 2 Ответ: . 3

71

в) (5x + 1)(2x – 3) = (10x – 3)(x + 1); 10x2 – 13x – 3 = 10x2 + 7x – 3; 20x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (7x – 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 7x2 + 34x – 5 = 7x2 + 24x + 9; 10x = 14; x = 1 Ответ: 1

2 . 5

2 . 5

№ 448 Пусть х м. – длина прямоугольника. Тогда (х – 20) м. – его ширина. (x – 10)(x – 20 + 6 = x(x – 20) + 12; x2 – 10x – 20x + 200 + 6x = x2 – 20x + 12; –4x + 200 = 12; 4x = 188; x = 47; 47 – 20 = 27 м. – ширина прямоугольника. Ответ: 47; 27. № 449 Пусть х – наименьшее натуральное число из этих чисел. Тогда (x + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. (х + 3) – четвертое число. (x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = 58; x2 + 5x + 6 – x2 – x = 58; 4x = 52; x = 13; 13 + 1 = 14 – второе число. 13 + 2 = 15 – третее число. 13 + 3 = 16 – третее число. Ответ: 13; 14; 15; 16. № 450 Пусть х см. – длина прямоугольника. ⎛ 60 ⎞ Тогда ⎜ − x ⎟ см. – ширина прямоугольника. 2 ⎝ ⎠ (x + 10)(30 – x – 6) = x(30 – x) – 32; (x + 10)(24 – x) = 30x – x2 – 32; 14x + 240 – x2 = 30x – x2 – 32; 16x = 272; x = 17 см. – длина прямоугольника. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину следует, что S = 17 · (30 – 17) = 17 · 13 = 221 см2. Ответ: 221 см2. № 451 Пусть х – меньшее число. Тогда (х + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. x2 + 65 = (a + 1)(a +2); x2 + 65 = x2 + 3a + 2; 3x = 63; 72

x = 21 – первое число. 21 + 1 = 22 – второе число. 21 + 2 = 23 – третее число. Ответ: 21; 22; 23. № 452 а) a(3a2–4)(3a2+4)=(3a3 – 4a)(3a2 + 4) = 9a5 – 12a3 + 12a3 – 16a=9a5–16a; б) (a – 5)(a + 5)(a2 + 25) = (a2 – 5a + 5a – 25)(a2 + 25) = = (a2 – 25)(a2 + 25) = a4 – 25a2 + 25a2 – 625 = a4 – 625; в) (a2 + 9)(a +3)(a – 3) = (a2 + 9)(a2 – 3a + 3a – 9) = (a2 + 9)(a2 – 9) = = a4 – 9a2 + 9a2 – 81 = a4 – 81; г) (a2 + 16)(a – 4)(a + 4) = (a2 + 16)(a2 – 4a + 4a – 16) = = (a2 + 16)(a2 – 16) = a4 – 16a2 + 16a2 – 256 = a4 – 256. № 453 а) (3,5p–1,2k)(3,5p + 1,2k) = 12,25p2 – 4,2p + 4,2p – 1,44 = 12,25p2 – 1,44; б) (1,7s+0,3t2)(0,3t2–1,7s)=0,09t4 – 0,51st2 + 0,51st2 – 2,89s2=0,09t4–2,89s2; в) (2,4m2–0,8n2)(0,8n2+2,4m2)=5,76m4–1,92m2n2+1,92m2n2–0,64n4 = = 5,76m4 – 0,64n4; г) (1,3x3–1,8y2)(1,8y2+1,3x3)=1,69x6–2,34y2x3+2,34y2x3–3,24y4=1,69x6–3,24y4. № 454 а) (a2 + a – 1)(a2 – a + 1) = a4 – a3 + a2 + a3 – a2 + a – a2 + a – 1 = = a4 – a2 + 2a – 1; б) (m2 + 2m – 1)(m2 – 2m + 1) = m4 + 2m3 – m2 – 2m3 – 4m2 + 2m + m2 + + 2m – 1 = m4 – 4m2 + 4m – 1; в) (2x2 + 3x + 2)(–2x2 + 3x – 2) = = – 4x4 – 6x3 – 4x2 + 6x3 + 9x2 + 6x – 4x2 – 6x – 4 = –4x4 + x2 – 4; г) (b3 + 5b + 3)(– b3 – 5b + 3) = –b6 – 5b4 –3b3 – 5b4 – 25b2 – 15b + + 3b3 + 15b + 9 = 9 – b6 – 10b4 – 25b2. № 455 а) (m – 1)(m3 + m2 + m +1) =m4 – m3 + m3 – m2 + m2 – m + m – 1=m4 – 1; б) (2 – s)(16 + 8s + 4s2 + 2s3 + s4) = = 32 – 16s + 16s – 8s2 + 8s2 – 4s3 + 4s3 – 2s4 + 2s4 – s5 = 32 – s5; в) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = = x4 + x3y – x3y – x2y2 +x2y2 + xy3 – xy3 – y4 = x4 – y4; г) (a + 3)(81 – 27a + 9a2 – 3a3 + a4) = 81a + 243 – 27a2 – 81a + 9a3 + + 21a2 – 3a4 – 9a3 + a5 + 3a4 = 243 – 6a2 + a5. № 456 Пусть х см. – длина первого прямоугольника. Тогда (61 – х) – ширина первого прямоугольника; (х – 5) см. – длина второго прямоугольника; (61 – (х – 5) см. – ширина второго прямоугольника; (x – 5)(66 – x) – 120 = x(61 – x); 66x – 330 + 5x – x2 – 120 = 61x – x2;

73

9x = 450; x = 50 см. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его сторон следует: 50 · (61 – 50) = 50 · 11 = 550 см2 – площадь первого; 550 + 120 = 670 см2 – площадь второго прямоугольника. Ответ: 550 см2; 670 см2. № 457 Пусть х см. – длина прямоугольника. Тогда (120 – х) см. – ширина прямоугольника. (x – 14)(130 – x) – 4 = x(120 – x); 130x – 1820 + 14x – x2 – 4 = 120x – x2; 24x = 1824; x = 76 см. – длина прямоугольника; 120 – 76 = 44 см. – ширина прямоугольника. Ответ: 44 см.; 76 см. № 458 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 6) – третее число. x(x + 6) + 54 = (x + 3)(x + 6); x2 + 6x + 54 = x2 + 9x + 18; 3x = 36; x = 12 – первое число; 12 + 3 = 15 – второе число; 12 + 6 = 18 – третее число. Ответ: 12; 15; 18. № 459 Пусть х – первое число. Тогда (х + 12) – второе число; (х + 24) – третее число. x(x + 12) + 432 = (x + 12)(x + 24); x2 + 12x + 432 = x2 + 36x + 288; 24x = 144; x = 6 – первое число; 6 + 12 = 18 – второе число; 6 + 24 = 18 – третее число. Ответ: 6; 12; 18. № 460 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 8) – третее число; (х + х + 3) – четвертое число. x(x+3)=(x + 8)2 – (2x + 3) – 74,2; x2 + 3x = x2 + 8x + 8x + 64 – 2x – 3 – 74,2; 8x + 8x – 2x – 3x = –64 + 3 + 74,2; 11x = 13,2; x = 1,2 – первое число; 1,2 + 3 = 4,2 – второе число; 1,2 + 8 = 9,2 – третее число; 2 · 1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число. Ответ: 1,2; 4,1; 9,2; 5,4.

§ 17. Формулы сокращенного умножения № 461 а) (a + x) 2 = a2 + 2ax + x2; б) (b – y) 2 = b2 – 2by + y2; в) (c + d) 2 = c2 + 2cd + d2; г) (m – n) 2 = m2 – 2mn + n2.

74

№ 462 а) (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1; в) (a – 5) 2 = a2 – 10a + 25;

б) (y – 2) 2 = y2 – 4y + 4; г) (c + 8) 2 = c2 + 16c + 64.

№ 463 а) (7 – a) 2 = 49 – 14a + a2; в) (4 + n) 2 = 16 + 8n + n2;

б) (9 + b) 2 = 81 + 18b + b2; г) (12 – p) 2 = 144 – 24p + p2.

№ 464 а) (–x + 1) 2 = 1 – 2x + x2; б) (–z – 3) 2 = z2 + 6z + 9; 2 2 в) (–n + 8) = 64 – 16n + n ; г) (–m – 10) 2 = m2 – 20m + 100. № 465 а) (2a + 1) 2 = 4a2 + 4a + 1; б) (3c – 2) 2 = 9c2 – 12c + 4; в) (6x – 3) 2 = 36x2 – 36x + 9; г) (7y + 6) 2 = 49y2 + 84y + 36. № 466 а) (8x + 3y) 2 = 64x2 + 48xy + 9y2; в) (9p – 2q) 2 = 81p2 – 36pq + 4q2;

б) (6m – 4n) 2 = 36m2 – 48mn + 16n2; г) (10z + 3t) 2 = 100z2 + 60zt + 9t2.

№ 467 а) ( –3a + 5x)2 = 25x2 – 30ax + 9a2; б) (– 6y – 2z)2 = 36y2 + 24yz +4z2; 2 2 2 в) (– 3m + 4n) = 16n – 24mn + 9m ; г) (–12z – 3t)2 =9t2 + 72tz + 144z2. № 468 а) (0,2x – 0,5a) 2 = 0,04x – 0,2xa + 0,25a2; 2

2

1⎞ 3 1 1 ⎛1 ⎞ ⎛ ; в) ⎜ 6a − ⎟ = 36a2 – 2a + ; б) ⎜ + 3n ⎟ = 9n2 + mn + 2 16 36 6⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ г) (10c + 0,1) 2 = 100c + 2cy + 0,01y2. № 469 а) (x2 + 1) 2 = x4 + 2x2 + 1; в) (p2 – 10) 2 = p4 – 20p2 + 100;

б) (y2 – 6) 2 = y4 – 12y2 + 36; г) (q2 + 8) 2 = q4 + 16q2 + 64.

№ 470 а) (a2 + 3x) 2 = a4 + 6a2x + 9x2; в) (m2 – 6n) 2 = m4 – 12m2n + 36n2;

б) (b2 – 5y) 2 = b4 – 10b2y + 25y2; г) (r2 + 4s) 2 = r4 + 8r2s + 16s2.

№ 471 а) (c2 + d2) 2 = c4 + 2c2d2 + d4; в) (p2 – q2) 2 = p4 – 2p2q2 + q4;

б) (m2 – n3) 2 = m4 – 2m2n3 + n6; г) (z2 + t3) 2 = z4 + 2z2t3 + t6.

№ 472 а) (a3 + 3b) 2 = a4 + 6a2b + 9b2; б) (4x2 – 3c) 2 = 16x4 – 24x2x + 9c2; в) (5m2 + 3n2) 2 = 25m4 + 30m2n2 + 9n4; г) (6p2 – 8q3) 2 = 36p4 – 96p2q3 + 64q6.

75

№ 473 2

2

1 ⎞ 15 ⎞ 49 2 225 2 ⎛7 ⎛ 1 а) ⎜ 2 a − 1 b ⎟ = ⎜ a − b ⎟ = a – 5ab + b = 3 14 3 14 9 196 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 29 = 5 a2 – 5ab 1 ; 9 196 2

2

13 ⎞ ⎛ 40 ⎞ 2 1600 2 ⎛ y = б) ⎜ 0,9 x + 1 y ⎟ = ⎜ 0,9 x + 1 y ⎟ = 0,81x2 + 2 xy + 27 ⎠ ⎝ 27 ⎠ 3 729 ⎝ 2 142 = 0,81x2 + 2 xy + 2 ; 3 729 2

2

1 ⎞ 25 ⎞ 625 2 ⎛ ⎛ y ⎟ =1,44x2 + 10xy + y = в) ⎜ − 1,2 x − 4 y ⎟ = ⎜1,2 x + 6 ⎠ 6 ⎠ 36 ⎝ ⎝ 13 = 1,44x + 10xy + 17 ; 36 2

2

2 ⎞ 23 ⎞ 625 2 ⎛ 25 ⎛ y⎟ = b – 5ab + 5,29a2 = г) ⎜ − 2,3a − 1 b ⎟ = ⎜ b − 529 23 23 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 96 2 2 =1 b – 5ab + 5,29a . 529 № 474 а) 792 = (80 – 1) 2 = 6400 – 160 + 1 = 6241; б) 392 = (40 – 1) 2 = 1600 – 80 + 1 = 1521; в) 592 = (60 – 1) 2 = 3600 – 120 + 1 = 3481; г) 692 = (70 – 1) 2 = 4900 – 140 + 1 = 4761. № 475 а) 212 = (20 + 1) 2 = 400 + 40 + 1 = 441; б) 312 = (30 + 1) 2 = 900 + 60 + 1 = 961; в) 612 = (60 + 1) 2 = 3600 + 120 + 1 = 3721; г) 912 = (90 + 1) 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281. № 476 а) 422 = (40 + 2) 2 = 1600 + 160 + 4 = 1764; б) 622 = (60 + 2) 2 = 3600 + 240 + 4 = 3844; в) 822 = (80 + 2) 2 = 6400 + 320 + 4 = 6724; г) 322 = (30 + 2) 2 = 900 + 120 + 4 = 1024. № 477 а) 982 = (100 – 2) 2 = 10000 – 400 – 4 = 9596; б) 282 = (30 – 2) 2 = 900 – 120 – 4 = 776; в) 882 = (90 – 2) = 8100 – 360 + 4 = 7736; г) 582 = (60 – 2) 2 = 3600 – 240 – 4 = 3356. 76

№ 478 2

2

2

2

1⎞ 1 1 ⎛ ⎛ 1⎞ а) ⎜12 ⎟ = ⎜12 + ⎟ = 144 + 2 + = 146 ; 12 12 144 144 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎞ 2⎞ 4 4 ⎛ ⎛ ; б) ⎜ − 7 ⎟ = ⎜ − 7 − ⎟ = 49 + 4 + = 53 7 7 49 49 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

3⎞ 3⎞ 9 9 ⎛ ⎛ в) ⎜ − 13 ⎟ = ⎜ − 13 − ⎟ = 169 + 6 + ; = 175 13 ⎠ 13 ⎠ 169 169 ⎝ ⎝ 2

2

3⎞ 9 9 ⎛ 3⎞ ⎛ г) ⎜ 7 ⎟ = ⎜ 7 + ⎟ = 49 + 3 + . = 52 14 ⎠ 196 196 ⎝ 14 ⎠ ⎝ № 479 2

2

2

2

1⎞ 1 1 ⎛ 12 ⎞ ⎛ ; а) ⎜12 ⎟ = ⎜13 − ⎟ = 169 − 2 + = 169 13 13 169 169 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎞ 4 4 ⎛ 13 ⎞ ⎛ б) ⎜14 ⎟ = ⎜15 − ⎟ = 225 − 4 + ; = 221 15 ⎠ 225 225 ⎝ 15 ⎠ ⎝ 2

2

1 ⎞ 1 1 ⎛ 39 ⎞ ⎛ в) ⎜ 39 ⎟ = ⎜ 40 − ⎟ = 1600 − 2 + ; = 1598 40 ⎠ 1600 1600 ⎝ 40 ⎠ ⎝ 2

2

9 3⎞ 9 ⎛ 13 ⎞ ⎛ г) ⎜15 ⎟ = ⎜16 − ⎟ = 256 − 6 + . = 250 16 ⎠ 256 256 ⎝ 16 ⎠ ⎝ № 480 а) (a – b)(a + b) = a2 – b2; в) (m – n)(m + n) = m2 – n2;

б) (c – d)(c + d) = c2 – d2; г) (p – q)(p + q) = p2 – q2.

№ 481 а) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16;

б) (c – 2)(c + 2) = c2 – 4; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.

№ 482 а) (3b – 1)(3b + 1) = 9b2 – 1; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16;

б) (6x – 2)(6x + 2) = 36x2 – 4; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.

№ 483 а) (4a – b)(4a + b) = 16a2 – b2; в) (4b + 1)(4b – 1) = 16b2 – 1;

б) (x + 7)(7 – x) = 49 – x2; г) (5m + 2)(5m – 2) = 25m2 – 4.

№ 484 а) (3x – 5y)(3x + 5y) = 9x2 – 25y2; б) (7a – 8b)(7a + 8b) = 49a2 – 64b2 2 в) (13c – 11d)(13c + 11d) = 169c – 121d2; г) (8m – 9n)(8m + 9n) = 64m2 – 81n2.

77

№ 485 а) (5x – 2y2)(5x + 2y2) = 25x2 – 4y4; б) (2c – 3a2)(2c + 3a2 = 4c2 – 9a4; 3 3 6 2 в) (10p –7q)(10p +7q)=100p – 49q ; г) (8d + 6c3)(6c3 – 8d) = 36c6 – 64d2. № 486 а) (4x2–2y2)(4x2+2y2)=16x4–4y4; б) (10a3+5b2)(10a3–5b2)=100a6–25b4; в) (3n4–m4)(3n4 + m4) = 9n8 – m8; г) (10m8+8n8)(10m8–8n8)=100m16–64n16. № 487 а) 69 · 71 = (70 – 1)(70 + 1) = 4900 – 1 = 4899; б) 31 · 29 = (30 + 1)(30 – 1) = 900 – 1 = 8999; в) 89 · 91 = (90 – 1)(90 + 1) = 8100 – 1 = 8099; г) 99 · 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 10000 – 1 = 9999. № 488 а) 58 · 62 = (60 – 2)(60 + 2) = 3600 – 4 = 3596; б) 82 · 78 = (80 + 2)(80 – 2) = 6400 – 4 = 6396; в) 42 · 38 = (40 + 2)(40 – 2) = 1600 – 4 = 1596; г) 18 · 22 = (20 – 2)(20 + 2) = 400 – 4 = 396. № 489 а) 0,49 · 0,51 = (0,5 – 0,01)(0,5 + 0,01) = 0,25 – 0,0001 = 0,2499; б) 0,78 · 0,82 = (0,8 – 0,02)(0,8 + 0,02) = 0,64 – 0,0004 = 0,6396; в) 0,67 · 0,73 = (0,7 – 0,03)(0,7 + 0,03) = 0,49 – 0,0009 = 0,4891; г) 1,21 · 1,19 = (1,2 + 0,01)(1,2 – 0,01) = 1,44 – 0,01 = 1,4399. № 490 2

1⎞ 9 1 5 ⎛ 13 3 ⎞⎛ 13 3 ⎞ ⎛ а) 10 ⋅ 9 = ⎜ 9 + ⎟⎜ 9 − ⎟ = ⎜10 − ⎟ − = 14 ⎠ 196 7 7 ⎝ 14 14 ⎠⎝ 14 14 ⎠ ⎝ 10 1 9 20 8 280 + 8 = 100 − + − = 100 − − = 100 − = 7 196 196 14 196 196 92 104 26 ; = 100 − 1 = 98 = 98 196 196 49 45 2 5 ⎛ 2 ⎞⎛ 2⎞ 4 = 80 ; б) 10 ⋅ 9 = ⎜ 9 + ⎟⎜ 9 − ⎟ = 81 − 7 7 ⎝ 7 ⎠⎝ 7⎠ 49 49 8 2 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 в) 99 ⋅100 = ⎜100 + ⎟⎜100 − ⎟ = 10000 − = 9999 ; 3 3 ⎝ 3 ⎠⎝ 3⎠ 9 9 4 4 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 24 = 63,96. г) 7 ⋅ 8,2 = 7 ⋅ 8 = ⎜ 8 − ⎟⎜ 8 + ⎟ = 64 − = 63 5 5 5 ⎝ 5 ⎠⎝ 5⎠ 25 25

№ 491 а) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1; в) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 – 27;

78

б) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x3 – 8; г) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = x3 – 64.

№ 492 а) (5m + 3n)(25m2 – 15mn + 9n2) = 125m3 + 27n3; б) (2a – 3x)(4a2 + 6ax + 9x2) = 8a3 – 27x3; в) (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) = 64x3 – 125y3; г) (3x + 5y)(9x2 – 15xy + 25y2) = 27x3 + 125y3. № 493 а) 3(x – y) 2 = 3x2 – 6xy + 3y2; б) b(1 +2b) 2 = b(1 + 4b + 4b2 = b + 4b2 + 4b3; в) –6(5m – n) 2 = –6(25m2 – 10mn + n2) = – 150m2 + 60mn – 6n2; г) –c(3a + c) 2 = –c(9a2 + 6ac + c2) = –9a2c – 6ac2 – c3. № 494 а) a2 + (3a – b) 2 = a2 + 9a2 – 6ab + b2 = 10a2 – 6ab + b2; б) 9p2 – (q – 3p) 2 = 9p2 – q2 + 6qp – p2 = 8p2 + 6qp – q2; в) (5c + 7d) 2 – 70cd = 25c2 + 70cd + 49d2 – 70cd = 25c2 + 49d2; г) (8m – n) 2 – 64m2 = 64m2 – 16mn + n2 – 65m2 = n2 – 16mn. № 495 а) (a – 4) 2 + a(a + 8) = a2 – 8a + 16 + a2 + 8a = 2a2 + 16; б) (x – 7)x + (x +3) 2 = x2 – 7x + x2 + 6x + 9 = 2x2 – x + 9; в) (y – 5) 2 – (y – 2) = y2 – 10y + 25 – y + 2 = y2 – 11y + 27; г) b(b +4) – (b + 2) 2 = b2 + 4b – b2 – 4b – 4 = –4. № 496 а) (3a – b)(3a + b) + b2 = 9a2 – b2 + b2 = 9a2; б) 9x2 – (y +4x)(y – 4x) = 9x2 – y2 + 16x2 = 25x2 – y2; в) (5c – 6d)(5c + 6d) – 25c2 = 25c2 – 36d2 – 25c2 = – 36d2; г) (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n2 = 49m2 – 100n2 – 100n2 = 49m2 – 200n2. № 497 а) 2(a – 2)(a + 2) = 2(a2 – 4) = 2a2 – 8; б) x(x + 4)(x – 4) = x(x2 – 16) = x3 – 16x; в) 5c(c + 3)(c – 3) = 5c(c2 – 9) = 5c3 – 45c; г) 7d2 (d – 1)(d + 1) = 7d2 (d2 – 1) = 7d4 – 7d2. № 498 а) (a – c)(a + c) – (a – 2c) 2 = a2 – c2 – a2 + 4ac – 4c2 = –5c2 + 4ac; б) (x – 4)(x + 4) – (x + 8)(x – 8) = x2 – 16 – x2 + 64 = 48; в) (3b – 1)(3b + 1) – (b – 5)(b + 5) = 9b2 – 1 – b2 + 25 = 8b2 + 24; г) (m+3n) 2 + (m + 3n)(m – 3n) = m2 + 6mn + 9n2 + m2 – 9n2 = 2m2 + 6mn. № 499 а) (b – 5)(b + 5)(b2 + 5) = (b2 – 25)(b2 + 25) = b4 – 625; б) (3 – y)(3 + y)(9 + y2) = (9 – y2)(9 + y2) = 81 – y4; в) (a – 2)(a + 2)(a2 – 4) = (a2 – 4)(a2 + 4) = a4 – 16; г) (c2 – 1)(c2 + 1)(c4 + 1) = (c4 – 1)(c4 + 1) = c8.

79

№ 500 (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = = 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0. № 501 а) (a+3) 2–(a – 2)(a + 2) = a2 + 6a + 9 – a2 + 4 = 6a + 13=–3,5 · 6 + 13 = –8; б) (x–3) 2–(x +3)(x – 3) = x2 – 6x + 9 – x2 + 9 = 18 – 6x = 18 + 0,1 · 6 = 18,6; в) (m+3) 2–(m – 9)(m + 9) = m2 + 6m + 9 – m2 + 81 = 6m + 100=100–3 = 97; г) (c + 2) 2 – (c +4)(c – 4) = c2 +4c + 4 – c2 + 16 = 4c + 20 = 1 +20 = 21. № 502 а) (5a – 10) 2 – (3a – 8) 2 + 132a = 25a2 – 100a + 100 – 9a2 + 48a – 64 + + 132a = 16a2 + 80a + 36 = 16a2 + 48a + 36 + 32a = (4a + 6) 2 + 32a = = 182 – 192 = 324 – 192 = 132; б) (3p – 8) 2 + (4p + 6) 2 + 100p = 9p2 – 48p + 64 + 16p2 + 48p + 36 + + 100p = 25p2 + 100p + 100 = (5p + 10) 2 = 0; в) (5b – 3) 2 + (12b – 4) 2 – 4b = 25b2 – 30b + 9 + 144b2 – 96b + 16 – – 4b = 169b2 – 130b + 25 = (13b – ) 2 = 182 = 324; г) (13 – 5m) 2 – (12 – 4m) 2 + 4m = 169 – 130m + 25m2 – 144 + 96m – – 16m2 + 4m = 9m2 – 30m + 25 = (3m – 5) 2 = 72 = 49. № 503 а) 8x(1 + 2x – (4x + 3)(4x – 3) = 2x; 8x + 16x2 – 16x2 + 9 = 2x; 3 6x = – 9; x = – . 2 3 Ответ: – . 2 б) x – 3x(1 – 12x) = 11 – (5 – 6x)(5 + 6x); x – 3x + 36x2 = 11 – 25 + 36x2; –2x = –14; x = 7. Ответ: 7. в) (6x – 1)(6x + 1) – 4x(9x + 2) = – 1; 36x2 – 1 – 36x2 – 8x = –1; –8x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (8 – 9x)x = –40 + (6 – 3x)(6 + 3x) ; 8x – 9x2 = – 40 + 36 – 9x2;

8x = –4; x = – Ответ: –

1 . 2

1 . 2

№ 504 а) (x – 6) 2 – x(x + 8) =2; x2 – 12x + 36 – x2 – 8x = 2;

20x = 34; x = 1 Ответ: 1,7. 80

7 . 10

б) 9x(x + 6) – (3x + 1) 2 = 1; 9x2 + 54x – 9x2 – 6x – 1 = 1; 1 48x = 2; x = . 24 1 . Ответ: 24 в) x(x – 1) – (x – 5) 2; x2 – x – x2 + 10x – 25 = 0; 25 . 9x = 25; x = 9 7 Ответ: 2 . 9 г) 16x(2 – x) + (4x – 5) 2 = 1; 32x – 16x2 + 16x2 – 40x + 25 = 1; –8x = –24; x = 3. Ответ: 3. № 505 а) 9x2 – 1 – (3x – 2) 2 = 0; 9x2 – 1 – 9x2 + 12x – 4 = 0; 5 . 12x = 5; x = 12 5 Ответ: . 12 б) x + (5x +2) 2 = 25(1+ x2); x + 25x2 + 20x + 4 = 25 + 25x2; 21x = 21; x = 1. Ответ: 1. в) (2x – 3) 2 – 2x(4 + 2x) = 11; 4x2 – 12x + 9 – 8x – 4x2 = 11; –20x = 2; x = –

2 . 20

Ответ: –0,1. г) (4x – 3)(3 + 4x) – 2x(8x – 1) = 0; 16x2 – 9 – 16x2 = 2x = 0; 2x=9; x =

9 . 2

Ответ: 4,5. № 506 а) (x – 1)(x +1) = 2(x – 3) 2 – x2; x2 – 1 = 2x2 – 24x + 18 – x2;

24x = 19 30x = –71; x = Ответ:

19 . 24

19 . 24

б) 3(x +5) 2 – 4x2 = (2 – x)(2 + x); 3x2 + 30x + 75 – 4x2 = 4 – x2; x = – Ответ: – 2

71 . 30

1 . 30

81

в) (2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49; 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 4 = 49; 13 12x = 26; x = . 6 1 Ответ: 2 . 6 г) (3x + 1) 2 – (3x – 2)(2 + 3x) = 17; 9x2 + 6x + 1 – 9x2 + 4 = 17; 6x = 12; x = 2. Ответ: 2. № 507 а) (10x2 – 4xy3) 2 = 100x4 – 80x3y3 + 16x2y6; б) (8p3 + 5p2q) 2 = 64p6 + 80p5 + 25p4q2; в) (0,6b3 – 5b2c4) 2 = 0,36b6 – 6b5c4 + 25b4c8; г) (3z7 + 0,5z3t) 2 = 9z14 + 3z10t + 0,25z6t2. № 508 а) 20x3z + 0,03z2) 2 = 400x6z2 + 1,2x3z3 + 0,0009z4; ⎛3

⎞

2

9

б) ⎜ n3 + 4mn 2 ⎟ = n6 + 3mn516m2n 4 ; 64 ⎝8 ⎠ в) (0,15r4n3 – 10n4) 2 = 0,625r8n6 – 3r4n7 + 100n8; ⎛

1

⎞

2

1

г) ⎜ 6a 2 − ab ⎟ = 36a4 – 4a3b + a2b2. 3 ⎠ 9 ⎝ № 509 а) (xn – 23)(xn + 23) = x2n – 26; б) (a2n + bn)(a2n – bn) = a4n – b2n; в) (cn – d3n)(cn + d3n) = c2n – d6n); г) (an + 1 – bn – 1)(an + 1 + bn – 1) = a2n + 2 – b2n – 2. № 510 а) (3x2 – 2)(9x4 + 6x2 + 4) = 27x6 – 8; б) (5x2 + 3)(25x4 – 15x2 + 9) = 152x6 + 27; в) (8b2 + 3)(64b4 – 24b2 + 9) = 512b6 + 27; г) (7a2 – 1)(49a4 + 7a2 + 1) = 343a3 – 1. № 511 а) (x – 2) 2 (x + 2) 2 = (x2 – 4) 2 = x4 – 8x2 + 4; б) (y – 4) 2 (y + 4) = (y2 – 4) (y – 4) = y3 – 4y – 4y2 + 16; в) (m – 6) 2 (m + 6) 2 = (m2 – 36) = m4 – 72m2 + 1296; г) (n – 7) 2 (7 + n) = (n2 – 7)(n – 7) = n3 – 7n – 7n2 + 49. № 512 а) (x – y)(x + y)(x2 + y2) = (x2 – y2)(x2 + y2) = x4 – y4; б) (3a – b)(3a + b); б) (9a2 + b2) = (9a2 – b2)(9a2 + b2) = 81a4 – b4;

82

в) (p3 + q)(p3 – q)(p6 + q2) = (p6 – q2)(p6 + q2) = p12 – q4; г) (s4 + r4)(s – r)(s + r)(s2 + r2) = (s4 – r4)(s4 + r4) = s8 – r8. № 513 а) (3x2 + 4) 2 + (3x2 – 4) 2 – 2(5 – 3x2)(5 + 3x2) = 9x4 + 24x2 + 16 + + 19x4 – 24x2 + 16 + 9x4 – 24x2 + 16 – 50 + 18x4 = 36x4 – 18; б) (4a3+5) 2+(4a3–1) 2–2(4a3+5)(4a3 – 1) = (4a3 + 5 – 4a3 + 1) 2 = 62 = 36; в) p(p – 2c)(p +2c) – (p – c)(p2 + pc + c2) = p3 – p · 4c2 – p3 + c3 = c3 – 4pc2; г) m(2m–1) 2–2(m+1)(m2 –m + 1) = 4m3–4m2+m–2m3–2=2m3 – 4m2 + m – 2. № 514 а) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) = (a8 – b8)(a8 + b8) = a16 – b16; б) x32 – (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 +1)(x8 + 1) (x16 + 1) = x32 – x32 + 1 = 1. № 515 а) (6a5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 25x2; ∗12 = 25x2, значит ∗1 = 5x; ∗2 = (6a5) 2 = 36a10; ∗3 = 6a5 · ∗1 · 2 = 6a5 · 5x · 2 = 60a5x; б) (10m5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 36m4n6; ∗12 = 36m4n6, значит ∗1 = 6m2n3; ∗2 = (10m5) 2 = 100m10; ∗3 = 2 · ∗1 · 10m5 = 2 · 6m2n3 · 10m5 = 120m7n3; в) (∗1 – 4x7) 2 = 25x4y2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 25x4y2, значит ∗1 = 5x2y; ∗2 = 2 · ∗1 · 4x7 = 2 · 5x2y · 4x7 = 40x9y; ∗3 = (4x7) 2 = 16x14; г) (8a3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 49a8b6; ∗12 = 49a8b6, значит ∗1 = 7a4b3; ∗2 = (8a3) 2 = 64a6; ∗3 = 2 · 8a3 · ∗1 = 16a3 · 7a4b3 = 112a7b3. № 516 а) (∗1 + 4d4) 2 = ∗2 + 24c2d5 + ∗3; ∗3 = (4d4) 2 = 16d8; 2 · ∗1 · 4d4 = 24c2d5, значит ∗1 = 3c2d; ∗2 = (∗1) 2 = (3c2d) 2 = 9c4d2; 4 2 6 2 2 б) (∗1 – 8a ) = 81a b – ∗2 + ∗3; (∗1) = 81a6b2, значит ∗1 = 9a3b; ∗2 = 2 · ∗1 · 8a4 = 2 · 9a3b · 8a4 = 144a7b; ∗3 =(8a4) 2 = 64a8; в) (4p2q2 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 0,01q8; (∗1) 2 = 0,01q8, значит ∗1 = 0,1q4; ∗2 = (4p2q2) 2 = 16p4q4; ∗3 = 2 · ∗1 · 4p2q2 = 8p2q2 · 0,1q4 = 0,8 p2q6; г) (8q4t 3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 0,16t4; (∗1) 2 = 0,16t4, значит ∗1 = 0,4t2; 4 3 2 8 6 4 3 ∗2 = (8q t ) = 64q t ; ∗3 = 2 · 8q t · ∗1 = 16q4t3 · 0,4t2 = 6,4q4t5. № 517 а) (5b3 – 7c) 2 = 25b6 – 70b3c + 49c2; б) (9x – 10x2y3) 2 = 81x2 – 180x3y3 + 100x4y6; в) (7x3 +5y2) 2 = 49x6 + 70x3y2 + 25y4; г) (6c5 – 4d3) 2 = 36c10 – 48c5 + 16d6. № 518 а) (2c – 15a)(2c + 15a) = 4c2 – 225a2; б) (9a + 11c)(9a – 11c) = 81a2 – 121c2; ⎛ ⎝

3

⎞⎛ ⎠⎝

3

⎞ ⎠

9

в) ⎜ 0,5 y 2 − x3 ⎟⎜ 0,5 y 2 + x3 ⎟ = 0, 25 y 4 − x6 ; 4 4 16 г) (10m3 – 0,4n2)(10m3 + 0,4n2) =100m6 – 0,16n4. 83

№ 519 а) (0,7x3 – 10z2)(0,7x3 +10z2) = 0,49x6 – 100z4; ⎛

4

⎞⎛

⎞

4

16

q4; б) ⎜ 7 p 6 + q 2 ⎟⎜ 7 p 6 − q 2 ⎟ = 49p12 – 11 ⎠⎝ 11 ⎠ 121 ⎝ ⎛ 3 ⎝ 4

⎞⎛ 3 ⎠⎝ 4

⎞ ⎠

в) ⎜1 x7 − 8 y 2 z 5 ⎟⎜1 x 7 + 8 y 2 z 5 ⎟ = 3

1 14 x – 64y4z10; 16

г) (5a4 – 6x2) 2 25a8 – 60a4x2 + 36x4. № 520 64 = –64; 27 б) 25 – (2 – 3a)(4 + 6a + 9a2) = 25 – 8 + 27a3 =17 + 27a3 = 17 – 1 = 16; в) 127+(5c–3)(25c2+15c+9)=127+125c–27=125c+100=100–125 · 1,2= – 50; г) 64 – (4 – 3a)(16 + 12a + 9a2) = 64 – 64 + 27a3 = – 8.

а) 125 – (5 – 3x)(25 + 15x + 9x2) = 125 – 125 + 27x3=27x3=– 27 ·

№ 521 а) (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1) – 216 = 216 – 216 = 0; б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = 232 – 232 = 0. № 522 (32 + 22)(34 + 24)(38 +28)(316 + 216) =

=

(32 − 22 )(32 + 22 )(34 + 24 )(38 + 28 )(316 + 216 ) 2

3 −2

2

=

332 − 232 = 0,2(332 – 232). 5

§ 18. Деление многочлена на одночлен № 523 а) (12 + 8) : 4 = 20 : 4 = 5; в) (44y + 22) : 11 = 4y + 2;

б) (54d + 36) : (– 18) = – 3d – 2; г) (– 15y – 5y) : (– 5) = – 20y : (– 5) = 4y.

№ 524 а) (a – ab) : a = 1 – b; в) (– m – mn) : m = – 1 – n;

б) (x – xy) : (– x) = y – 1; г) (– c + cd) : (– c) = 1 – d.

№ 525 а) (a2 + 3ab) : a = a + 3b; в) ( c2 – 2cd) : c = c – 2d;

б) (m3 – m2n) : m2 = m – n; г) (p4 – p3q) : p3 = p – q.

№ 526 а) (4ab2 + 3ab) : ab = ab + 3; б) (1,2cd3 – 0,7cd) : cd = 1,2d2 – 0,7; в) (– 3,5m2n – 0,2mn) : mn = – 3,5m – 0,2; 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ г) ⎜ − xy + x 3 y ⎟ : mn = – + x2. 3 2 3 ⎝ 2 ⎠

84

№ 527

3 4 x – y = 0,6x – 0,8y; 5 5 б) (4x + 12y – 16) : (– 4) = – x – 3y + 4; в) (2ab + 6a2b2 – 4b2) : (– 2b) = – a – 3a2b + 2b; г) (– a5b3 + 3a6b2) : 4a2b2 = – 0,25a3b + 0,75a4. № 528 а) (18a4 – 27a3) : 9a2 – 10a3 : 5a = 2a2 – 3a – 2a2 = – 3a = 24; 1 б) (36x2y – 4xy2) : 4y + yx = 9x2 – xy + xy = 9x2 = . 9 № 529 а) x, x2, 1; б) x, 2x, 7x; в) ab, 5ab, a2b2; г) mn, m2n2, 5mn. № 530 а) нет; б) нет; в) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : xy = 2x2y + 3x – 5x3y3; г) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : (– x2y) = – 2xy – 3 + 5x2y3. а) (3x2y – 4xy2) : 5xy =

№ 531

а)

12a8b6 + 60a 6b8 5 5

4a b

= 3a3b + 15ab3 ; б)

15a 7 x9 − 45a9 x7 5a 6 x 6

в)

132n3 p 2 − 44n 2 p3 + 110n 2 p 4 = 6n2p – 2np2 + 5np3; 22np

г)

108k 4 n 2 − 144k 3n3 − 180k 2 n 4 = 3k3n – 4k2n2 – 5kn3. 36kn

= 3ax3 – 9a3x;

№ 532

а) (7a2 + 10a3b) : a4 =

7 + 10ab a2

б) (4x2 – 3x) : (– x2) = – 4 +

=

7 a2

b + 10 ; a

3 1 3 ; в) (27a3 – 81b3) : 9a3b3 = 3 – 9 · 3 ; x b a

г) (42x3y – 63xy3 + 14xy) : 7xy = 6x2 – 9y2 + 2. № 533 а) kL, kL; б) pq, p2q2; в) cd, c2d2; г) xy, x2y2. № 534 а) bc, b2c2, b2c, b2c3, b2c4; в) z, m, zm, z2m, z3m;

б) xy, x2y2, xy2, x2y, x; г) k, L, kL, kL2, kL3.

№ 535 а) xy; в) y2, 3, 142xyz, 15x;

б) xy2z, 5z, 6xyz, 20xy; г) 4xy2, y2z, 8, 7xyz, 2xy2z. 85

№ 536

а)

15a 4b − * + 24a 2b3 5 a 2b

Ответ: б)

= 3a 2 −

* 5a 2 b

15a 4b − 35a3b 2 + 24a 2b3 2

5a b

*1 − 100a 2b 4 + 75ab 2

∗1 = 3a2 · 25ab3 = 75a3b3; ∗2 =

в)

24 2 2 3 2 b ; ∗ = 5a · 7ab = 35a b . 5 2

= 3a – 7ab +

24 2 b. 5

= 3a2 – ∗2 + ∗3;

25ab3

Ответ:

+

100a 2b 4 25ab

75a3b3 − 100a 2b 4 + 75ab 2 25ab3

3

= 4ab; ∗3 =

= 3а2 – 4ab +

75ab 2 25ab3

=

3 . b

3 . b

*1 − 24a3 x 4 24a3 x 4 = 7a2 – 8ax3; ∗2 = = 3a2x; 3 *2 8ax

∗1 = ∗2 · 7a2 = 7a2 · 3a2x = 21a4x.

Ответ: г)

3a 2 x − 24a3 x 4 21a 4 x

= 7a2 – 8ax3.

57c 4 d 3 − 38c 3 d 2 57c 4 d 3 = 3cd2 – ∗2; ∗1 = = 19c3d; *1 3cd 2

∗2 =

38c3d 2 38c3d 2 = = 2d. *1 19c3d

Ответ:

57c 4 d 3 38c3d 2 19c3d

= 3cd2 – 2d.

№ 537

а)

4a 2 x 4 21a3 x3 + 72a 4 x 2 = ∗2 – ∗3 + 12a2x; *1

∗1 = ∗3 =

б)

72a 4 x 2 2

72a x

= 6a2x;

∗2 =

4a 2 x 4 6a 2 x

2 3 x; 3

21a3 x3 21a3 x3 7 = = ax2; *1 2 6a 2 x

30k 3 p3175k 2 p 4 − *1 = 3k2 – ∗3 – 14p2; *2

∗1 = 14p2 · 10kp3 = 240kp5; ∗3 =

86

=

∗2 =

30k 3 p3 3k 2

=10kp3;

175k 2 p 4 175k 2 = =17,5kp; *2 10kp3

в)

45c10 d 3 + 54c n + 2 d 7 − *1 =∗3 + 3,6cnd5 – 2c6d8; *2

∗2 = ∗3 =

г)

54c n + 2 d 7 3,6c n d 5

= 15c2d2;

∗1 = 2c6d8 · ∗2 = 2c6d8 · 15c2d2 = 30c8d10;

45c10 d 3 45c10 d 3 = = 3c8d; *2 15c 2 d 2

*1 − *2 + 63a n x5 = 2a5x3 – 3a6x2 + 4,5an – 3x; *3

∗3 =

63a n x5 4,5a n −3 x

= 14a3x4;

∗1 = ∗3 · 2a5x3 = 14a3x4 · 2a5x3 = 28a8x7; ∗2 = ∗3 · 3a6x2 = 14a3x4 · 3a6x2 42a9x6. № 538 а) 3a3 – 1, 2ab – частное; 10b3 – делитель; 30a4b – 12ab2 – частное; b2 делитель; б) нет; в) нет; г) 15a4b3 – 6a2b4 – частное; 2 – делитель; 3a2 – 1,2b – частное; 10a2b3 – делитель. № 539 а) (6x4y3 + 8x3y) · 7xy = 42x5y4 + 56x4y2; б) (21x2y3 + 28xy) · 2x3y = 42x5y4 + 56 x4y2; в) (4,2x4y2 + 5,6x3) · 10xy2 = 42x5y2 + 56x4y2; г) (10,5x2y3 + 14xy) · 4x3y = 42x5y4 + 56x4y2.

ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители § 19. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно № 540 а) x(x + 2) = 0; б) y( y – 8) = 0; в) z(z + 1,6) = 0; ⎛ 1⎞ г) t ⎜ t − ⎟ = 0; ⎝ 2⎠

x = 0; x = – 2; y = 0; y = 8; z = 0; z = – 1,6; 1 t = 0; t = . 2

№ 541 а) (x + 1)(x + 4) = 0; x = – 1; x = – 4. Ответ: – 1; – 4. в) (y + 2)(y – 6) = 0; y = – 2; y = 6. Ответ: – 2; 6. б) (c – 12)(c + 25) = 0; c = 12; c = – 25. Ответ: 12; – 25. г) (d – 7)(d + 1,4) = 0. d = 7; d = – 1,4. Ответ: 7; – 1,4.

87

№ 542 а) (2x + 3)(3x – 6) = 0; 2x + 3 = 0; 3x – 6 = 0; 2x = – 3; 3x = 6; x = – 1,5; x = 2. Ответ: – 1,5; 2. в) (4a – 8)(6a – 12) = 0; 4a – 8 =0; 6a – 12 = 0; 4a = 8; 6a = 12; a = 2; a = 2. Ответ: 2.

б) (11b + 44)(13b + 26) = 0; 11b + 44 = 0; 13b + 26 = 0; 11b = – 44; 13b = – 26; b = – 4; b = – 2. Ответ: – 4; – 2. г) (25c – 125)(54c – 108) =0; 25c – 125 = 0; 54c – 108 = 0; 25c = 125; 54c = 108; c = 5; c = 2. Ответ: 5; 2.

№ 543 а) m(m + 1)(m + 2) = 0; б) n(n – 3)(n – 8) = 0; m = 0; m + 1 =0; m + 2 =0; n = 0; n – 3 =0; n – 8 =0; m = – 1; m = – 2. n = 3; n = 8. Ответ: – 1; – 2. Ответ: 3; 8. в) p(p + 13)(p – 17) = 0; г) q(q – 21)(q – 105) = 0; p =0; p + 13 = 0; p – 17 = 0; q = 0; q – 21 = 0; q – 105 = 0; p = – 13; p = 17. q = 21; q = 105. Ответ: – 13; 17. Ответ: 21; 105. № 544 а) (4x + 12)(15x + 30)(17x + 34) = 0; 4x + 12 = 0; 15x + 30 = 0; 17x + 34 = 0; 4x = – 12; 15x = – 30; 17x = – 34; x = – 3; x = – 2; x = – 2. Ответ: – 3; – 2. б) (9y + 18)(12y – 48)(36y – 72) = 0; 9y + 18 = 0; 12y – 48 =0; 36y – 72 = 0; y = – 2; y = 4; y =2. Ответ: – 2; 4; 2. в) (23z – 46)(45z + 90)(3z + 24) = 0; 23z – 46 = 0; 45z + 90 = 0; 3z + 24 = 0; z = 2; z = – 2; z = – 8. Ответ: 2; – 2; – 8. г) (4t – 1)(8t – 3)(12t – 17) = 0; 4t – 1 = 0; 8t – 3 = 0; 12t – 17 = 0; 1 3 17 5 ;t= ;t= =1 . 4 8 12 12 1 3 5 Ответ: ; ; 1 . 4 8 12

t=

№ 545 а) x2 – x = 0; x(x – 1) =0; x = 0; x = 1. Ответ: 0; 1. б) 2x2 + 4x = 0; 2x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2. Ответ: 0; – 2. 1 3

1 3

в) 3x2 – 7x = 0; x(3x – 7) = 0; x = 0; x = 2 . Ответ: 0; 2 . г) x2 =4x; x(x – 4) = 0; x = 0; x= 4. Ответ: 0; 4. 88

№ 546 а) x2 – 16 = 0; б) y2 – 25 = 0; в) z2 – 36 = 0; г) t2 – 100 = 0;

(x – 4)(x + 4) = 0; x = 4; x = – 4. y – 5)(y + 5) = 0; y = 5; y = – 5. (z – 6)(z + 6) = 0; z = 6; z = – 6. (t – 10)(t + 10) = 0; t = 10; t = – 10.

Ответ: 4; – 4. Ответ: 5; – 5. Ответ: 6; – 6. Ответ: 10; – 10.

№ 547 а) 532 – 432 = (53 – 43)(53 + 43) = 10 · 96 = 960; б) 1082 – 982 = (108 – 98)(108 + 98) = 10 · 206 = 2060; ⎛ 1⎞

2

⎛ 1⎞

2

⎛ 1⎞

2

⎛ 1

1 ⎞⎛ 1

1⎞

⎛ 1

1 ⎞⎛ 1

1⎞

2

2

в) ⎜ 6 ⎟ − ⎜ 5 ⎟ = ⎜ 6 − 5 ⎟⎜ 6 + 5 ⎟ = 1 ⋅ 11 = 11 ; 3 ⎠⎝ 3 3⎠ 3 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎛ 1⎞

2

г) ⎜ 7 ⎟ − ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 7 − 3 ⎟⎜ 7 + 3 ⎟ = 4 · 11 = 44. 2 ⎠⎝ 2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 № 548 а) 0,25a2 – 9 = 0; (0,5a – 3)(0,5 + 3) = 0; 0,5a – 3 = 0; 0,5a + 3 = 0; a = 6; a = – 6. Ответ: 6; – 6. в) 4x2 – 144 = 0; (2x – 12)(2x + 12) = 0; 2x – 12 = 0; 2x + 12 = 0; x = 6; x = – 6. Ответ: 6; – 6.

б) 0,04b2 – 4 = 0; (0,2b – 2)(0,2b + 2) = 0; 0,2b – 2 = 0; 0,2b + 2 = 0; b = 10; b = – 10. Ответ: 10, – 10. г) 0,25y2 – 25 = 0; (0,5y – 5)(0,5y + 5) = 0; 0,5y – 5 = 0; 0,5y + 5 =0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10.

№ 549 910 910 910 13 1 а) = = = = ; 137 2 − 1232 (137 − 123)(137 + 123) 14 ⋅ 260 14 ⋅ 26 4 б)

2742 − 342 ( 274 − 34 )( 274 + 34 ) 240 ⋅ 308 308 = = = = 77 ; 960 960 960 4

в)

3242 − 362 ( 324 − 36 )( 324 + 36 ) 288 ⋅ 360 288 = = = = 72 ; 1440 1440 1440 4

г)

3522 − 522 ( 352 − 52 )( 352 + 52 ) 300 ⋅ 404 300 = = = = 150 . 808 808 808 2

№ 550

(144 − 18)(144 + 18) = 126 ⋅ 162 = 2 ⋅ 2 ⋅ 34 = 4 = 1 1 ; 3 3 1532 − 902 (153 − 90 )(153 + 90 ) 63 ⋅ 243 35 532 − 27 2 ( 53 − 27 )( 53 + 27 ) 24 ⋅ 80 6 ⋅ 8 48 б) ; = = = = 792 − 512 ( 79 − 51)( 79 + 51) 28 ⋅ 130 7 ⋅ 13 91 а)

1442 − 182

=

89

в) г)

782 − 302 662 − 62 1012 − 312 1392 − 292

( 78 − 30 )( 78 + 30 ) = 48 ⋅ 108 = 4 ⋅ 108 = 108 = 6 = 1 1 ; ( 66 − 6 )( 66 + 6 ) 60 ⋅ 72 5 ⋅ 72 5 ⋅ 18 5 5 (101 − 31)(101 + 31) = 70 ⋅ 132 = 7 ⋅ 132 = 7 ⋅ 12 = 1 = (139 − 29 )(139 + 29 ) 110 ⋅ 168 11 ⋅ 168 168 2

=

№ 551

а) б) в) г)

7,8 ⋅ 8,7 + 7,8 ⋅ 1,3 7,8 ( 8,7 + 1,3) 7,8 ⋅ 10 = = = 0,78; 100 100 100 13, 2 ⋅ 9,8 + 13, 2 ⋅ 2, 2 13, 2 ( 9,8 + 2, 2 ) 13, 2 ⋅ 12 = 6,6; = = 24 24 24 2,6 ⋅ 5, 4 + 5, 4 ⋅ 0,6 5, 4 ( 2,6 + 0,6 ) 5, 4 ⋅ 3, 2 = = = 1,6; 10,8 10,8 10,8 4,5 ⋅ 3,1 + 4,5 ⋅ 2,1 4,5 ( 3,1 + 2,1) 4,5 ⋅ 5, 2 = = = 4,5 · 52 = 234. 0,1 0,1 0,1

§ 20. Вынесение общего множителя за скобки № 552 а) 1, 2, 2m; б) x, 2x, 4x; в) a, b, ab; г) z, 2z, 7z. № 553 а) (3x + 3y) = 3(x + y); б) (5a – 5b) = 5(a – b); в) 7a + 7y = 7(a + y); г) 8x – 8a = 8(x – a). № 554 а) 3x + 6y = 3(x + 2y); б) 5a – 15b = 5(a – 3b); г) 8x – 32a = 8(x – 4a). в) 7a + 14y = 7(a + 2y); № 555 а) 8x + 28y = 4(x + 3y); б) 15a – 25 b = 5(3a – 5b); в) 21a + 28y = 7(3a + 4y); г) 24x – 32a = 8(3x – 4a). № 556 а) 2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y); б) 1,8a – 2,4b = 0,6(3a – 4b); в) 0,01a + 0,03y = 0,01(a + 3y); г) 1,25x – 1,75a =0,25(5x – 7a). № 557 1 4 1 8 16 8 2 а) x + y = (x + 4y); б) a – b = (a – b); 3 3 3 9 27 9 3 в)

18 12 a+ y= 25 35

6⎛3 2 ⎞ ⎜ a + y⎟ ; 5⎝5 7 ⎠

г)

3⎛ 4 1 ⎞ 12 3 x– y = ⎜ x − y⎟ . 7⎝7 4 ⎠ 49 28

№ 558 1 5

2 5

а) 3 x + 3 y = 90

16 17 1 x + y = (16x + 17y); 5 5 5

2 7

б) 4 a − 1

1 30 15 15 (4a – b). b= a− b= 14 7 14 14

№ 559 а) 3b2 – 3b = 3b(b – 1); в) 4c2 – 12c5 = 4c2(1 – 3c3);

б) a4 + 2a2 = a2(a2 + 2); г) 8d4 – 32d2 = 8d2(d2 – 4).

№ 560 а) x3 – 3x2 – x = x(x2 – 3x – 1); б) y5 – 2y4 + y2 = y2(y3 – 2y2 + 1); № 561 а) ab – a2b = ab(1 – a); в) x2y – xy2 = xy(x – y);

в) 2m6–4m3 + 6m = 2m(m5 – 2m3 + 3); г) 9p4 – 18p2 – 27p = 9p(p3 – 2p – 3).

б) – p2q2 – pq = – pq(pq + 1); г) m3n2 – n3m2 = n2m2(m – n).

№ 562 а) 2z5q2 – 4z3q + 6z2q3 = 2z2q(z3q – 2z + 3q3); б) xy3 + 5x2y2 – 3x2y = xy(y2 + 5xy – 3x); в) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7a2b3(a2 – 2ab + 3b2); г) 8x3y2 + 88x2y3 – 16x3y4 = 8x2y2(x + 11y – 2xy2). № 563 а) 15x3y2 + 10x2y – 20x2y3 = 5x2y(3xy + 2 – 4y2); б) 12a2b4 – 36a2b + 44abc = 4ab(3ab3 – 9a + 11c); в) 195c6p5 – 91c5p6 + 221c3p10 = 13c3p5(15c3 – 7c2p + 17p5); г) 42a4b – 48a3b2 – 78a2b3 = 6a2b(7a2 – 8ab – 13b2). № 564 а) 3x(a+b)+y(a+b)=(a +b)(3x + y); б) m(x – y) – (x – y) = (x – y)(m – 1); в) (c + 2) – d(c + 2) = (c + 2)(1 – d); г) 5p(r–s) + 6q(r – s) = (r – s)(5p +6q). № 565 а) 15c(a+b)+8(b+a)=(15c+8)(a + b); б) n(2a+1)+m(1+a) = (n +m)(2a + 1); в) 4a(x+y)–9b(y+x)=(4a–9b)(x+); г) 11p(c+8d)–9(8d+c)=(11p–9)(8d+c). № 566 а) a(b–c)+3(c–b)=(a – 3)(b – c); в) 4(p–q)–a(q–p)=(4+a)(p – q);

б) 6(m – n) + s(n – m) = (6 – s)(m – n); г) 7z(x – y) – 5(y – x) = (7z + 5)(x – y).

№ 567 а) (x – y)2 – a(x – y) = (x –y)(x – y –a); б) 5(a + 3)2 – (a +3) = (a +3)(5(a +3) – 1) = (a +3)(5a + 14); в) 8c(m+n)2 + 9d(m + n) = (m + n)(8c(m + n) + 9d)=(m + n)(8mc + 8cn + 8); г) (p2 – 6) – q(p2 – 6) = (p2 – 6)(1 – q(p2 – 6)) = (p2 – 6)(1 – qp2 + 6q). № 568 а) x2 – 3x = 0; x(x – 3) = 0; x = 0; x = 3. Ответ: 0; 3. б) y2 – 5y = 0; y(y – 5) = 0; y = 0; y = 5. Ответ: 0; 5. 91

в) a2 + 10a = 0; a(a + 10) = 0; a = 0; a = – 10. Ответ: 0; – 10. г) b2 + 20b = 0; b(b + 20) = 0; b = 0; b = – 20. Ответ: 0; – 20. № 569 а) 0,45p2 + 18p = 0; 9 p(p + 40) = 0; 20 9 p = 0; p + 40 = 0; 20

p =0; p = – 40. Ответ: 0; – 40. в) 4q2 + 3q = 0; q(4q + 3) = 0; 3 . 4 3 Ответ: 0; – . 4

q = 0; q = –

б) 9m2 + 0,27m = 0; ⎛ 100 ⎞ m + 1⎟ = 0; ⎝ 3 ⎠

0,27m ⎜

100 m + 1 = 0; 3 m = 0; m = – 0,03. Ответ: 0; – 0,03. г) 7x2 + 2x = 0; x(7x + 2) = 0; 0,27m = 0;

2 . 7 2 Ответ: 0; – . 7

x = 0; x = –

№ 570 а) 1542 + 154 · 46 = 154(154 + 46) = 154 · 200 = 308 · 100 = 30800; б) 0,23 + 0,22 · 0,8 = 0,22(0,2 + 0,8) = 0,22 = 0,04; в) 1672 – 167 · 67 = 167(167 – 67) = 167 · 100 = 16700; г) 0,93–0,81 · 0,29=0,81 · 0,9–0,81 · 2,9=0,81(0,9–2,9)=0,81 · (– 2) = – 1,62. № 571 а) a(2a–b)(a+b)–3a(a + b)2 = a(a + b)(2a – b – 3a – 3b) = – a(a + b)(a + 4b); б) 5x2(3x–8) + 10x(3x – 8)2 = 5x(3x – 8)(x + 6x – 16) = 5x(3x – 8)(7x – 16); в) 4c(4c – 1) – 3(4c – 1)2 = (4c – 1)(4c – 12c + 3) = (4c – 1)(3 – 8c); г) 6d2(2d–5)2–12d2(2d–5)(d+5)=6d2(2d–5)(2d–5 – 2d – 10) = – 90d2(2d – 5). № 572 а) 0,7562 – 0,241 · 0,756 – 0,415 · 0,756 = = 0,756(0,756 – 0,241 – 0,415) = 0,756 · 0,1 = 0,0756; б) 2,49 · 1,63–2,12 · 1,63 + 1,632 = 1,63(2,49 – 2,12 + 1,63)=1,63 · 2 = 3,26; в) 0,252 · 2,4 + 0,25 · 2,42 – 0,25 · 2,4 · 0,65 = = 0,25 · 2,4(0,25 + 2,4 – 0,65) = 0,25 · 2,4 · 2 = 0,5 · 2,4 = 1,2; г) 0,16 · 6,41 · 1,25 – 0,16 · 1,252 – 0,162 · 1,25 = = 0,16 · 1,25(6,41 – 1,25 – 0,16) = 0,16 · 1,25 · 5 = 1. № 573 а) 176 + 175 = 175(17 + 1) = 175 · 18; кратно 18; б) 428 + 427 = 427(42 + 1) = 427 · 43; кратно 43; в) 317 + 315 = 315(32 +1) = 315 · 10 = 314 · 30; кратно 30; г) 223 + 220 = 220(23 + 1) = 220 · 9 = 217 · 8 · 9 = 217 · 72; кратно 72. 92

№ 574 а) 87 – 218 = 87 – 86 = 86(8 – 1) = 4 · 2 · 85 · 7; кратно 4; б) 106 – 57 = 56 · 26 – 57 = 56(64 – 5) = 56 · 59; кратно 59; в) 97 + 312 = 97 + 96 = 96(9 + 1) = 95 · 90; кратно 90; г) 810 – 227 = 810 – 89 = 89 (8 – 1) = 88 · 4 · 14. кратно 14.

§ 21. Способ групировки № 575 а) 2x – x2 = x(2 – x); – 3ax + 2x2 = x(2x – 3a); 2ax2 – 3a2x = ax(2x – 3a); 4xy – 2x2y = 2xy(2 – x). Ответ: 2x – x2, 4xy – 2x2y; 2x2 – 3ax, 2ax2 – 3a2x. б) ab – 3b2 = b(a – 3b); a2 – 3ab = a(a – 3b); 5 + 10x = 5(1 + 2x); a + 2ax = a(1 + 2x). Ответ: ab – 3b2, a2 – 3ab; 5 + 10x, a + 2ax. в) n2 – nm = n(n – m); 6a2 – 9ab = 3a(2a – 3b); mn – n2 = n(m – n); 2ab – 3b2 = b(2a – 3b). Ответ: 6a2 – 9ab, 2ab – 3b2. г) 4x – 8 = 4(x – 2); x2 – 2x = x(x – 2); –5 – 15m = – 5(m + 3); 21mn + 7n = 7n(3m + 1). Ответ: 4x – 8, x2 – 2x. № 576 а) 2by – bz = b(2y – z); 4ax – az = a(4x – z); 2ay – az = a(2y – z); 4bx – bz = b(4x – z). Ответ: 2by – bz, 2ay – az; 4ax – az, 4bx – bz. б) 6ax – 3x = 3x(2a – 1); – 2a – 1; 3by – 3y = 3y(b – 1); c – cb = c(1 – b). Ответ: таких двучленов нет. в) a3 – 2a2 = a2(a – 2); 4ab – 2a2b = 2ab(2 – a); 5ac2 – 10ac = 5ac(c – 2); 3a – 6 = 3(a –2). Ответ: a3 – 2a2, 3a – 6. г) 3mn2 – 6m2n = 3mn(n – 2m); abn – 2abm = ab(n – 2m); a2x3 – 9a2x = a2x(x2 – 9); 9x2 – x4 = x2(9 – x2). Ответ: 3mn2 – 6m2n, abn – 2abm. № 577 а) 3a + 3 – na – n = 3(a + 1) – n(a +1) = (a + 1)(3 – n); б) 6mx – 2m + 9x – 3 = 2m(3x – 1) + 3(3x – 1) = (2m + 3)(3x – 1); в) ax – 3x – 4a + 12 = x(a – 3) – 4(a – 3) =(x – 4)(a – 3); г) 2mx – 3m – 4x + 6 = m(2x – 3) – 2(2x – 3) = (m – 2)(2x – 3). № 578 а) 7kn – 6k +14n – 12 = k(7n – 6) + 2(7n – 6) = (k + 2)(7n – 6); б) 5a2 – 5ax – 7a + 7x = 5a(a – x) – 7(a – x) = (5a – 7)(a – x);

93

в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = 9m(m – n) – 5(m – n) = (9m – n)(m – n); г) 6a2 – 2ab – 3ac + bc = 2a(3a – b) – c(3a – b) = (2a – c)(3a – b). № 579 а) 7c2 – c – c3 + 7 = c2(7 – c) + 7 – c = (c2 +1)(7 – c); б) x3 + 28 – 14x2 – 2x = x(x2 – 2) – 14(x2 – 2) = (x – 14)(x2 – 2); в) 2b3 – 6 – 4b2 + 3b = 2b2(b – 2) + 3(b – 2) = (2b3 + 3)(b – 2); г) x3 – 6 + 2x – 3x2 = x2(x – 3) + 2(x – 3) = (x2 + 2)(x – 3). № 580 а) 16ab2+5b2c+10c3+32ac2=16a(b2+2c2)+5c(b2+2c2) = (16a + 5c)(b2 + 2c2); б) 18a2+27ab + 14ac + 21bc = 9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b)=(9a+7c)(2a + 3b); в) 20n2 – 35a – 14an + 50n = 10n(2n + 5) – 7a(2n + 5) = (10n – 7a)(2n + 5); г) 2x2yz–15yz–3xz2+10xy2 = xz(2xy – 3z) + 5y(2xy – 3z) = (xz + 5y)(2xy – 3z). № 581 ax – 2a – 3x + 6 = x(a – 3) – 2(a – 3) = (x – 2)(a – 3); а) 4; б) 0; в) – 2,25; г) 0. № 582 2a + b + 2a2 + ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(a + 1); а) (– 2 + 998)(– 1 + 1) = 0; б) (91 – 3)(45,5 + 1) = 46,5 · 88 = 4092; в) (2 · 7,4 + (– 2))(7,4 + 1) = 12,8 · 8,4 = 107,52; ⎛

2⎞

2

23 1

5

г) ⎜ −1 + 8 ⎟ (– 0,5 + 1) = 7 · 0,5 = ⋅ =3 . 3⎠ 3 3 2 6 ⎝ № 583 5ab – 7b + 5a2 – 7a = b(5a – 7) + a(5a – 7) = (a + b)(5a – 7); а) (0,2+1)(1 – 7) = 1,2 · (– 6) = – 7,2; б) (2,5–0,5)(12,5 – 7) = 2 · 5,5 = 11; в) (3,7 – 3,7)(5 · 3,7 – 7) = 0; г) ((1,4 + 11)(7 – 7) = 0. № 584 а) 40a3b2c + 21bc – 56ac2 – 15a2b3 = 8ac(5a2b2 – 7c) + 3b(7c – 5a2b2) = = (8ac – 3b)(5a2b2 – 7c); б) 16xy2–5y2z–10z3+32xz2 = 16x(y2 + 2z2) – 5z(y2 + 2z2)=(16x – 5z)(y2 + 2z2); в) 30x2 + 10c – 25cx – 12x = 5x(6x – 5c) + 2(5c – 6x) = (5x – 2)(6x – 5c); г) 18x2z – 10kxy + 20k2y – 36kxz = 18xz(x – 2k) – 10ky(x – 2k) = = (18xz – 10ky)(x – 2k) = 2(9xz – 5ky)(x – 2k). № 585 а) ax2–ay–bx2 + cy + by – cx2 = a(x2–y)–b(x2–y)– c(x2– y)=(x2 – y)(a – b – c); б) xy2–by2 – ax + ab + y2 – a = x(y2 – a) – b(y2 – a)+y2–a=(y2 – a)(x – b + 1); в) ax + bx + cx + ay + by + cy = (x + y)(a + b + c); г) ab – a2b2 + a3b3 – c + abc – ca2b2 = = ab(1 – ab +a2b2) – c(1 – ab + a2b2) = (ab – c)(1 – ab + a2b2).

94

№ 586 21a2b – 4b – 12a + 7ab2 = 7ab(3a + b) – 4(b + 3a) = (3a + b)(7ab – 4); 26 2 ⎛ 14 ⎞ ⎛ −14 − 12 ⎞ − 4 ⎟ = 1⋅ ⎜ = −8 ; ⎟=− 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

а) (– 1 + 2) ⎜ − ⎛ ⎝

1⎞

б) ⎜12 + ⎟ ( 4 − 4 ) =0; 7

⎠ 1 ⎞⎛ 8 1 1⎞ ⎛8 ⎞ ⎛8 в) ⎜ ⋅ 3 + ⎟⎜ ⋅ 7 ⋅ − 4 ⎟ = ⎜ ⋅ 3 + ⎟ ⋅ (4 – 4) = 0; 2 ⎠⎝ 7 2 2⎠ ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎛ 2 ⎝ 3

⎞ ⎠

г) (– 2 + 3) ⎜ − ⋅ 3 ⋅ 7 − 4 ⎟ = 1 · (– 14 – 4) = – 18. № 587 а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 = = 2,7(6,1 – 1,2) – 9,3(1,2 – 6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7 + 9,3) = 12 · 5 = 60; б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 – 125 · 83 = 125(48 – 83) – 31(82 + 53) = = 125(48 – 83 – 31) = 125 · (– 66) = – 8250; в) 14,9 · 1,25 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 25 = = 14,9(1,25 + 0,75) + 1,1(25 + 0,75) = 14,9 · 2 + 1,1 · 25,72 = = 29,8 + 28,325 = 58,125; 1 1 2 1 4 3 5 3 3 5 1 1 = 3 ⋅ 7 + 3 ⋅ 7 = 7 ⋅ 4 = 28 . 3 3

2 3

г) 3 ⋅ 4 + 4, 2 ⋅ + 3 ⋅ 2 + 2,8 ⋅ =

2 1 1 4 ( 2,8 + 4, 2 ) + 3 ⎛⎜ 4 + 2 ⎞⎟ = 3 3⎝ 5 5⎠

№ 588 а) 109 · 9,17 – 5,37 · 72 – 37 · 9,17 + 1,2 · 72 = = 9,17(109 – 37) – 72(5,37 – 1,2) = 9,17 · 72 – 72 · 4,17 = 72 · 5 = 360; б) 19,9 · 18 – 19,9 · 16 + 30,1 · 18 – 30,1 · 16 = = (19,9 + 30,1)(18 – 16) = 50 · 2 = 100; в) 15,5 · 20,8 + 51,5 · 9,2 – 3,5 · 20,8 – 3,5 · 9,2 = = 15,5(20,8 + 9,2) – 3,5(20,8 + 9,2) = 30 · 12 = 360; г) 77,3 · 13 + 8 · 37,3 – 77,3 · 8 – 13 · 37,3 = = 13(77,3 – 37,3) + 8(37,3 – 77,3) = 40 · 5 = 200. № 589 а) x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 4)(x + 2); б) x2 – 8x + 15 = x2 – 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3); в) x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 2)(x + 1); г) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3). № 590 а) a2 – 7a + 6 = a2 – a – 6a + 6 = a(a – 1) – 6(a – 1) = (a – 6)(a – 1); б) b2 + 9b – 10 = b2 – b + 10b – 10 = b(b – 1) + 10(b – 1) = (b – 1)(b + 10);

95

в) y2 – 10y + 24 = y2 – 4y – 6y + 24 = y(y – 4) – 6(y – 4) = (y – 6)(y – 4); г) z2 – 18z – 40 = z2 + 2z – 20z – 40 = z(z + 2) – 20(z + 2) = (z – 20)(z + 2). № 591 а) a2 + 8ab – 9b2 = a2 + ab – 9ab – 9b2 = a(a + b) – 9b(a+b)=(a – 9b)(a + b); б) a2 + 16ab + 55b2 = a2 + 5ab + 11ab + 55b2 = = a(a + 5b) + 11b(a + 5b) = (a +11b)(a + 5b); в) x2 + 4xy – 12y2 = x2 – 2xy + 6xy – 12y2 = = x(x – 2y) + 6y(x – 2y) = (x + 6y)(x – 6y); г) x2 + 16xy + 39y2 = x2 + 13xy + 3xy + 39xy2 = = x(x + 3y) + 13y(x + 3y) = (x + 13y)(x + 3y). № 592 а) x – 3x + 2 = 0; x2 – x – 2x + 2 =0; x(x – 2) – (x – 2) =0; (x – 1)(x – 2) =0; x = 1; x = 2. Ответ: 1; 2. в) x2 – 6x + 8 =0; x2 – 2x – 4x + 8 =0; (x – 2)(x – 4) = 0; x = 2; x = 4. Ответ: 2; 4.

б) x2 + 8x + 15 = 0; x2 + 3x + 5x + 15 = 0; x(x + 3) + 5(x + 3) = 0; (x + 3)(x + 5) = 0; x = – 3; x = – 5. Ответ: – 3; – 5. г) x2 – 3x – 4 = 0; x2 + x – 4x – 4 = 0; (x – 4)(x + 1) = 0; x = 4; x = – 1. Ответ: 4; – 1.

№ 593 а) 2x2 – 5x + 2 = 0; 2x2 – 4x – x + 2 = 0; 2x(x – 2) – (x – 2) = 0; (2x – 1)(x – 2) = 0;

б) 3x2 + 10x + 3 = 0; 3x2 + 9x + x + 3 = 0; 3x(x + 3) + (x + 3) = 0; (3x + 1)(x + 3) = 0;

2

1 ; x = 2. 2 1 Ответ: ; 2. 2

1 ; x = – 3. 3 1 Ответ: – ; – 3. 3

x=

x=–

в) 4x2 + 5x – 6 =0; 4x2 + 8x – 3x – 6 = 0; 4x(x + 2) – 3(x + 2) = 0; (4x – 3)(x + 2) = 0;

г) 3x2 – x – 2 = 0; 3x2 – 3x + 2x – 2 = 0; 3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0; (3x + 2)(x – 1) = 0;

3 ; x = – 2. 4 3 Ответ: ; – 2. 4

x=

96

2 ; x = 1. 3 2 Ответ: – ; 1. 3

x=–

§ 22. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения № 594 а) 4z2 = 2z · 2z = (2z)2; 9b4 = 3b2 · 3b2 = (3b2)2; 25m2 = 5m · 5m = (5m)2; 64p2 = 8p · 8p = (8p)2; б) 16a2b4 = (4ab2)2; 81x6y4 = (9x3y2)2; 49s2t8 = (7st4)2; 25k2t10 = (5kt5)2; 2

в)

2

16 2 4 2 ⎛ 4 2 ⎞ 9 4 12 ⎛ 3 2 6 ⎞ p s t = ⎜ ps t ⎟ ; mn = ⎜ m n ⎟ ; 25 ⎝5 ⎠ 16 ⎝4 ⎠ 2

2

4 2 12 ⎛ 2 6 ⎞ 25 4 8 16 ⎛ 5 2 4 8 ⎞ a b = ⎜ ab ⎟ ; xyz = ⎜ x y z ⎟ ; 49 81 ⎝9 ⎠ ⎝9 ⎠

г) 0,01a4b8 = (0,1a2b4)2; 0,04x6y6 = (0,2x3y3)2; 0,49k2L10 = (0,7k4L5)2; 1,21m6n4 = (1,1m3n2)2.

№ 595 а) 4 – 36a2 = 22 – (6a)2 = (2 – 6a)(2 + 6a); б) 100 – 49b2 = 102 – (7b)2 = (10 – 7b)(10 + 7b); в) 400 – 121c2 = 202 – (11c)2 = (20 – 11c)(20 + 11c); г) 225 – 144d2 = 152 – (12d)2 =(15 – 12d)(15 + 12d). № 596 а) a2 – 9b2 = (a – 3b)(a + 3b); в) m2 – 64n2 = (m – 8n)(m + 8n);

б) c2 – 16d2 = (c – 4d)(c + 4d); г) p2 – 100q2 = (p – 10q)(p + 10q).

№ 597 а) 59x2–121a2=(7x – 11a)(7x + 11a); б) 64p2 – 81q2 = (8p – 9q)(8p + 9q); в) 9m2 – 16n2 = (3m – 4n)(3m + 4n); г) 144y2–81r2 = (12y – 9r)(12y + 9r). № 598 а) x2y2–1=(xy)2–12 = (xy – 1)(xy + 1); б) c2d2–4=(cd)2–22=(cd – 2)(cd + 2); в) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5); г) p2q2 – 100 = (pq)2 – 102 = (pq – 10)(pq + 10). № 599 а) 25 – 36p2c2 = 52 – (6pc)2 = (5 – 6pc)(5 + 6pc); б) 100m2n2 – 81 = (10mn)2 – 92 = (10mn – 9)(10mn + 9); в) 49x2y2 – 400 = (7xy)2 – 202 = (7xy – 20)(7xy + 20); г) 225 – 144c2d2 = 152 – (12cd)2 = (15 – 12cd)(15 + 12cd). № 600 а) c2d2 – m2 = (cd)2 – m2 = (cd – m)(cd + m); б) a2x2 – 0,25p2q2 =(ax)2 – (0,5pq)2 = (ax – 0,5pq)(ax + 0,5pq); в) 16y2z2 – 4a2n2 = (4yz)2 – (2an)2 = (4yz – 2an)(4yz + 2an); г) x2y2 – 0,25p2q2 = (xy)2 – (0,5pq)2 = (xy – 0,5pq)(xy + 0,5pq). 97

№ 601 а) 144a4 – 625c2 = (12a2)2 – (25c)2 = (12a2 – 25c)(12a2 + 25c);

б) 25p10 –

2

1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 12 ⎛1 ⎞ ⎛ q = (5p5)2 – ⎜ q 6 ⎟ = ⎜ 5 p5 − q 6 ⎟⎜ 5 p5 + q 6 ⎟ ; 3 ⎠⎝ 3 ⎠ 9 ⎝3 ⎠ ⎝

в) 169x8 – 400y16 = (13x4 )2 – (20y8)2 = (13x4 – 20y8)(13x4 + 20y8); г) 4b16 –

2

1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 4 ⎛1 ⎞ ⎛ d = (2b8)2 – ⎜ d 2 ⎟ = ⎜ 2b8 − d 2 ⎟⎜ 2b8 − d 2 ⎟ . 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16 ⎝4 ⎠ ⎝

№ 602 а) x2 – 49 = 0; (x – 7)(x + 7) = 0; x – 7 = 0; x + 7 = 0; x = 7; x = – 7. Ответ: 7; – 7. в) z2 – 625 = 0; (z – 25)(z + 25) = 0; z – 25 = 0; z + 25 = 0; z = 25; z = – 25. Ответ: 25; – 25.

б) y2 – 100 = 0; (y – 10)(y + 10) = 0; y – 10 = 0; y + 10 = 0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10. г) t2 – 1 = 0; ( t – 1)(t + 1) = 0; t – 1 = 0; t + 1 = 0; t = 1; t = – 1. Ответ: 1; – 1.

№ 603 а) 4x2 – 1 = 0; (2x – 1)(2x + 1) = 0; 2x – 1 = 0; 2x + 1 = 0;

б) 25y2 – 49 = 0; (5y – 7)(5y + 7) = 0; 5y – 7 = 0; 5y + 7 = 0;

1 1 ;x=– . 2 2 1 1 Ответ: ;– . 2 2

5 5 ;y=– . 7 7 5 5 Ответ: ; – . 7 7

x=

y=

в) 26a2 – 25 = 0; (6a – 5)(6a + 5) = 0; 6a = 5; 6a = – 5;

г) 144z2 – 1 = 0; (12z – 1)(12z + 1) = 0; 12z = 1; 12z = – 1;

a = 1,2; a = – 1,2.

Ответ: 1,2; – 1,2.

1 1 ;z=– . 12 12 1 1 ;– . Ответ: 12 12

z=

№ 604 а) a + b; a2 – ab + b2; в) 2c + 3d; 2c2 – 6cd + 9d2;

б) m2 + 2n2; m4 – 2m2n2 + 4n4 г) 3p + 4q2; 9p2 – 12pq2 + 16q4.

№ 605 а) k –L; k2 + kL + L2; в) 3p – 2m; 9p2 + 6pm + 4m2;

б) 5a2 – b2; 25a4 + 5a2b2 + b4; г) 4s – 3t2; 16s2 + 125t2 + 9t4.

98

№ 606 а) a3b3 = (ab)3, x6y9 = (x2y3)3, 8m3n9 = (2mn3)3, 125k9t27 = (5k3t9)3;

б)

1 9 ⎛1 p = ⎜ 64 ⎝4

3

3

27 18 ⎛ 3 6 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 125 24 ⎛ 5 8 ⎞ p⎟ , s = ⎜ s ⎟ ; m12 = ⎜ m 4 ⎟ , a =⎜ a ⎟ ⎠ 125 ⎝ 5 ⎠ 343 ⎝7 ⎠ 216 ⎝6 ⎠

в) 0,064a3b3 = (0,4ab)3, 0,216m3n18 = (0,6mn6)3, г) 125x3y6z9 =(5xy2z3)3, 8m6n3p12 = (2m2np4)3,

3

0,125x9y3 = (0,5x3y)3, 0,008p9q12 = (0,2p3q4)3; 216a12b36c24 = (6a4b12c8)3, 0,343k9L18p15 = (0,7k3L6p5)3.

№ 607 а) a3 + 8 = a3 + 23 = (a + 2)(a2 – 2a + 4); б) b3 – 27 = b3 – 33 = (b – 3)(b2 + 3b + 9); в) c3 – 64 = c3 – 43 = (c – 4)(c2 + 4c + 16); г) d3 + 125 = d3 + 53 = (d + 5)(d2 – 5d + 25). № 608 а) 216 – m3 = 63 – m3 = (6 – m)(36 + 6m + m2); б) 1000 + m3 = 103 + m3 = (10 + m)(100 – 10m + m2); в) 729 + p3 = 93 + p3 = (9 + p)(81 – 9p + p2); г) 343 – q3 = 73 – q3 = (7 – q)(49 + 7q + q2). № 609 а) 64a3 + 1 = (4a + 1)(16a2 – 4a + 1); б) 27d3 – 8=(3d – 2)(9d2 + 6d + 4); в) 512b3 – 125 = (8b – 5)(64b2 + 40b + 25); г) 216c3 + 1000 = (6c + 10)(36c2 – 60c + 100). № 610 а) a3b3–1=(ab – 1)(a2b2 + ab + 1); в) m3n3–27=(mn–3)(m2n2+3mn+9); № 611 а) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2; в) z2 + 2zt + t2 = (z + t)2;

б) 8 + c3d3 = (2 + cd)(4 – 2cd + c2d2); г) p3q3+64=(pq + 64)(p2q2 – 4pq + 16).

б) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2; г) m2 – 2mn + n2 = (m – n)2.

№ 612 а) m2 + 4m + 4 = m2 + 2 · 2m + 22 = (m + 2)2; б) a2 – 12a + 36 = a2 – 2 · 6a + 62 = (a – 6)2; в) 1 – 2b + b2 = (1 – b)2; г) y2 + 18y + 81 = y + 2 · 9y + 92 = (y + 9)2. № 613 а) p2 + 10p + 25 = p2 + 2 · 5p + 52 = (p + 5)2; б) x2 – 14x + 49 = x2 – 2 · 7x + 72 = (x – 7)2; в) 225 – 30y + y2 = 152 – 2 · 15y + y2 = (15 – y)2; г) 64 + 16z + z2 = 82 + 2 · 8z + z2 = (z + 8)2.

99

№ 614 а) 4y2 – 12y + 9 = (2y)2 – 2 · 3 · 2y + 32 = (2y – 3)2; б) 9p2 + 48pq + 64q2 = (3p)2 + 2 · 3p · 8q + (8q)2 = (3p + 8q)2; в) 9m2 + 24m + 16 = (3m)2 + 2 · 4 · 3m + 42 = (3m + 4)2; г) 9a2 – 30a + 25 = (3a)2 – 2 · 5 · 3a + 52 = (3a – 5)2. № 615 а) 9x2 + 24xy + 26y2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = (3x + 4y)2; б) 36a2 – 84ab + 49b2 = (6a)2 – 2 · 6a · 7b + (7b)2 = (6a – 7b)2; в) 4m2 – 28mn + 49n2 = (2m)2 – 2 · 2m · 7n + (7n)2 = (2m – 7n)2; г) 0,25x2 + 3xy + 9y2 = (0,5x)2 + 2 · 0,5x · 3y + (3y)2. № 616 а) a2 – 10a + 25 = (a – 5)2 – неотрицательное; б) 49 + 14a + a2 = (a + 7)2 – неотрицательное; в) – a2 – 4a – 4 = – 1 · (a2 + 4a + 4) = – (a + 2)2 – неположительное; г) – a2 – 12a – 36 = – 1 · (a2 + 12a + 36) = – (a + 6)2 – неположительное. № 617 а) 342 + 2 · 34 · 36 + 362 = (34 + 36)2 = 702 = 4900; б) 272 – 2 · 27 · 13 + 132 = (27 – 13)2 = 142 = 196; в) 982 – 2 · 98 · 8 + 82 = (98 – 8)2 = 902 = 8100; г) 76,4 + 13,6 + 2 · 76,4 · 13,6 = (76,4 + 13,6)2 = 902 = 8100. № 618 а) 2572 – 1432 = (257 – 143)(257 + 143) = 114 · 400 = 45600; б) 73,62 – 26,42 = (73,6 – 26,4)(73,6 + 26,4) = 37,2 · 100 = 3720; в) 1652 – 652 = (165 – 65)(165 + 65) = 100 · 230 = 23000; г) 72,52 – 47,52 = (72,5 – 47,5)(72,5 + 47,5) = 25 · 120 = 3000. № 619 а) (x + 1)2 – 25 = (x + 1 – 5)(x + 1 + 5) = (x – 4)(x + 6); б) (y – 2)2 – 4 = (y – 2 – 2)(y – 2 + 2) = y(y – 4); в) (z + 10)2 – 100 = (z + 10 – 10)(z + 10 + 10) = z(z + 20); г) (t – 7)2 – 100 = (t – 7 – 10)(t – 7 + 10)= (t – 17)(t + 3). № 620 а) 49 – (m – 3)2 = (7 – m + 3)(7 + m – 3) = (m + 4)(10 – m); б) 400 – (a + 9)2 = (20 – a – 9)(20 + a + 9) = (11 – a)(29 + a); в) 625 – (n + 12)2 = (25 – n – 12)(25 + n + 12) = (13 – n)(37 + n); г) 121 – (b – 13)2 = (11 – b + 13)(11 + b – 13) = (24 – b)(b – 2). № 621 а) (a+4)2–(b+2)2=(a + 4 – b – 2)(a + 4 + b + 2) = (a – b + 2)(a + b + 6); б) (x–5)2–(y + 8)2 = (x – 5 – y – 8)(x – 5 + y + 8) = (x – y – 13)(x + y +3); в) (m+10)2–(n–12)2 = (m+10–n+12)(m+10+n – 12)=(m – n + 22)(m + n – 2); г) (c–1)2–(d – 23)2 = (c – 1 – d + 23)(c – 1+ d – 23) =(c – d + 22)(c + d – 24). 100

№ 622 а) (3x+1)2–(4x + 3)2 = (3x + 1 – 4x – 3)(3x + 1 + 4x + 3) = – (x + 2)(7x + 4); б) (6y – 7)2–(9y + 4)2=(6y – 7 – 9y – 4)(6y – 7 + 9y +4)=(– 3y – 11)(15y – 3); в) (15z + 4)2 – (3z – 2)2 = (15z + 4 – 3z + 2)(15z + 4 + 3z – 2) = = (12z + 6)(18z + 2) = 12(2z + 1)(3z + 2); г) (3t – 9)2 – (8t – 7)2 = (13t – 9 – 8t + 7)(13t – 9 +8t – 7)=(5t – 2)(21t – 16). № 623 1 2 1 1 ⎞⎛ 1 1⎞ 1 1 1 1 ⎛1 a − а) = 0; ⎜ a − ⎟⎜ a + ⎟ = 0; a = ; a = − ; 5 ⎠⎝ 4 5⎠ 16 25 4 5 4 5 ⎝4 4 4 4 4 ; a = − . Ответ: ; − . 5 5 5 5 4 2 16 4 ⎞⎛ 2 4⎞ 2 4 2 4 ⎛2 b − = 0; ⎜ b − ⎟⎜ b + ⎟ = 0; b = ; b = − б) 11 ⎠⎝ 7 11 ⎠ 49 121 7 11 7 11 ⎝7 3 3 3 3 b = 1 ; b = – 1 . Ответ: 1 ; – 1 . 11 11 11 11 9 ⎞⎛ 3 9⎞ 9 2 81 3 9 3 9 ⎛3 = 0; ⎜ c − ⎟⎜ c + ⎟ = 0; c = ; c = − ; в) c − 10 ⎠⎝ 4 10 ⎠ 16 100 4 10 4 10 ⎝4 1 1 1 1 c = 1 ; c = – 1 . Ответ: 1 ; – 1 . 5 5 5 5 8 ⎞⎛ 6 8⎞ 36 2 64 ⎛ 6 d – = 0; ⎜ d − ⎟⎜ d + ⎟ = 0; г) 21 ⎠⎝ 35 21 ⎠ 1225 441 ⎝ 35 6 8 6 8 2 2 2 2 ; d = − ; d = 2 ; d = – 2 . Ответ: 2 ; – 2 . d= 35 21 35 21 9 9 9 9

a=

№ 624 а) (2x – 5)2 – 36 =0; (2x – 41)(2x + 31) = 0; 2x = 41; 2x = – 31; 1 1 x = 20 ; x = – 15 . 2 2 1 1 Ответ: 20 ; – 15 . 2 2 в) (5z – 3)2 – 9z2 = 0; (2z – 3)(14z – 3) = 0; 2z = 3; 14z = 3; 1 3 z=1 ;z= . 2 14 3 . Ответ: 1; 14

б) (4 – 11y)2 – 1= 0; (3 – 11y)(5 – 11y) = 0; 11y = 3; 11y = 5; 3 5 y= ;y= . 11 11 3 5 Ответ: ; . 11 11 2 г) (4t – 3) – 25t2 = 0; (– t – 3)(9t – 3) = 0; – t = 3; 9t = 3; 1 t = – 3; t = . 3 1 Ответ: – 3; . 3 101

№ 625 а) (a + 1)2 – (2a + 3)2 = 0; (– a – 2)(3a + 4) = 0; a = – 2; 3a = – 4; 1 a=–1 . 3

1 . 3 в) (5c + 8)2 – (c – 10)2 = 0; (4c + 18)(6c – 2) = 0; 4c = – 18; 6c = 2; 1 c=–4 ; 2

Ответ: – 2; – 1

c = 3.

Ответ: – 4

а) б) в) г)

б) (3b – 2)2 – (b + 1)2 = 0; (2b – 3)(4b – 1) = 0; 2b = 3; 4b = 1; 1 b=1 ; 2 1 b= . 4 1 1 Ответ: 1 ; . 2 4 г) (7d – 13)2 – (9d – 25)2 = 0; (– 2d + 12)(16d – 38) = 0; 2d = 12; 16d = 38; d = 6; d =2

1 ; 3. 2

3 . 8

Ответ: 6; 2

3 . 8

№ 626 1 3 8 3 ⎛1 2 ⎞⎛ 1 1 4 ⎞ a − b = ⎜ a − b ⎟⎜ a 2 + ab + b 2 ⎟ ; 8 27 3 ⎠⎝ 4 3 9 ⎠ ⎝2 64 3 729 3 ⎛ 8 9 ⎞⎛ 64 36 81 2 ⎞ c + d = ⎜ c + d ⎟⎜ c 2 − cd + d ⎟; 343 1000 7 10 49 35 100 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 125 3 216 3 ⎛ 5 6 ⎞⎛ 25 2 15 36 2 ⎞ x − y = ⎜ x − y ⎟⎜ x + xy + y ⎟; 512 343 7 ⎠⎝ 64 28 49 ⎠ ⎝8 1 3 125 3 ⎛ 1 5 ⎞⎛ 1 5 25 ⎞ m + n = ⎜ m + n ⎟⎜ m 2 − mn + n 2 ⎟ . 729 216 6 ⎠⎝ 81 54 36 ⎠ ⎝9

№ 627 а) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4); б) 27 + b9 = 33 + (b3)3 = (3 + b3)(9 – 3b3 + b6); 2

( )

3 ⎛1 1 ⎛1⎞ ⎞⎛ 1 1 ⎞ − x 6 = ⎜ ⎟ − x 2 = ⎜ − x 2 ⎟⎜ + x 2 + x 4 ⎟ ; 8 ⎝2⎠ ⎝2 ⎠⎝ 4 2 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ – x6 = − ⎜ + y 6 ⎟ = ⎜ − − y 2 ⎟⎜ − y 2 + y 4 ⎟ . г) – 64 ⎝ 64 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 16 4 ⎠

в)

102

№ 628 а) x3y3 – c3 = (xy)3 – c3 = (xy – c)(x2y2 + xyc + c2); б) a3 + m3n9 = a3 + (mn3)3 = (a + mn3)(a2 – amn3 + m2n6); в) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8); г) q3 + c15d18 = q3 + (c5d6)3 = (q + c5d6)(q2 – qc5d6 + c10d12). № 629 3

( )

а)

1 6 ⎛1 ⎞ a − b9 = ⎜ a 2 ⎟ − b3 8 ⎝2 ⎠

1 ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ a 2 − b3 ⎟⎜ a 4 + a 2b3 + b6 ⎟ ; 2 ⎝2 ⎠⎝ 4 ⎠

б)

8 3 a + x9 = 27

в)

1 3 ⎛1 ⎞ x + y6 = ⎜ x ⎟ + y2 125 ⎝5 ⎠

г)

64 3 343 6 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 7 ⎞⎛ 16 14 49 4 ⎞ ⎛4 m − n = ⎜ m ⎟ − ⎜ n ⎟ = ⎜ m − n2 ⎟⎜ m2 + mn2 + n ⎟. 729 1000 10 ⎠⎝ 81 45 100 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝9

3

3

⎛2 ⎞ ⎛2 3 3 3 ⎞⎛ 4 2 2 3 6⎞ ⎜ a ⎟ + (x ) = ⎜ a + x ⎟⎜ a − ax + x ⎟ ; 3 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠⎝ 9 ⎠ 3

( )

3

3

1 ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ x + y 2 ⎟⎜ x 2 − xy 2 + y 4 ⎟ ; 5 ⎝5 ⎠⎝ 25 ⎠ 6

№ 630 а)(2с + 1)3 – 64 = (2c + 1)3 – 43 =(2c + 1 – 4)((2c + 1)2 + 4(2c + 1)+42) = = (2c – 3)(4c2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16) = (2c – 3)(4c2 + 12c + 21); б) (3p – 4)3 + 1 = (3p – 4 + 1)((3p – 4)2 – 3p + 4 + 1) = = (3p – 3)(9p2 – 24p + 16 – 3p + 4 + 1) = 3(p – 1)(9p2 – 27p + 21) = = 9(p – 1)(3p2 – 9p + 7); в) 8 – (3 – k)3 = (k – 1)(4 + 6 – 2k + 9 – 6k + k2) = (k – 1)(k2 – 8k + 19); г) (5a + 4)3 – 27 = (5a + 1)(25a2 + 40a + 16 + 15a + 12 + 9) = = (5a + 1)(25a2 + 55a + 37). № 631 а) (6b + 8)3 – 125 = (6b + 8 – 5)((6b + 8)2 + 5(6b + 8) + 25) = = 9(2b + 1)(12b2 + 42b + 43); б) 1000 + (3q + 12)3 = (3q + 12)(100 – 10(3q + 12) + (3q + 12)2) = = (3q + 12)(100 – 30q – 120 + 9q2 + 72q + 144) =3(q + 4)(9q2 + 42q + 124); в) 8x3–(5x–3)3=(2x–5x+3)((2x)2 + 2x(5x – 3) + (5x–3)2)=– 3(x–1)(4x2+10x2 – – 6x + 25x2 – 30x + 9) = – 9(x – 1)(13x2 – 12x + 3); г)(3x + 2y)3 + 729y3 = (3x + 2y + 9y)((3x + 2y)2 – 9y(3x + 2y) + 81y2) = = (3x+11y)(9x2+12xy+4y3–27xy–18y2+81y2)= (3x + 11y)(9x2 – 15xy + 67y2). № 632 2

2

2

9 2 16 4 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛4 ⎞ ⎛3 a − 2ab + b 2 = ⎜ a ⎟ − 2ab + ⎜ b ⎟ = ⎜ a − b ⎟ ; 16 9 3 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝4 2 2 2⎞ ⎛3 2 5 2⎞ ⎛ 9 6 2 4 4 25 2 6 2 2 ⎛ 3 2 ⎞ 2 2⎜ a + b ⎟ 2 2 ⎛5 2⎞ ⎜ ⎟ б) = a b a b +a b + a b = a b ⎜ a ⎟ +a b +⎜ b ⎟ 6 ⎠ ; ⎝5 ⎜⎝ 5 ⎠ 25 36 ⎝ 6 ⎠ ⎟⎠ ⎝

а)

103

2 2 1 4 1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ a =(b4)2 + a2b4 + ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ b 4 + a 2 ⎟ ; 2 ⎠ 4 ⎝2 ⎠ ⎝ 4 2 2 2 2 2 2 г) 0,01x + y – 0,2x y = (0,1x ) – 0,2x y + y = (0,1x2 – y)2.

в) b8 + a2b4 +

№ 633 а) 513 – 263 = (51 – 26)(512 + 51 · 26 + 262) = 25 · (512 + 51 · 26 + 262) 25 – это сомножитель, значит, выражение делится на 25; б) 433 + 173 = (43 + 17)(432 – 43 · 17 + 172) = 60(432 – 43 · 17 + 172) 60 – это сомножитель, значит, выражение делится на 60; в) 543 – 143 = (54 – 14)(542 – 54 · 14 + 142) = 40(542 – 54 · 14 + 142) 40 – это сомножитель, значит, выражение делится на 40; г) 383 + 373 = (38 + 37)(382 – 38 · 37 + 372) = 75(382 – 38 · 37 + 372) 75 – это сомножитель, значит, выражение делится на 75. № 634 а) (532+222–472–162) : (652 – 2 · 65 · 59 + 592) = (532 – 472 + 222 – 162) : : (65 – 59)2 = ((53 – 47)(53 + 47) + (22 – 16)(22 + 16)) : 62 = = (100 · 6 + 38 · 6) : 36 = 6 · (100 + 38) : 36 = 138 : 6 = 23;

б)

593 − 413 + 59 · 41 = (59 – 41)(592 + 59 · 41 + 412) : 18 + 59 · 41 = 18

592 + 2 · 59 · 41 + 412 = (59 + 41)2 = 1002 = 10000; в) (1092 – 2 · 109 · 61 + 612) : (792 + 732 – 492 – 552) = = (109 – 61)2 : ((79 – 49)(79 + 49) + (73 – 55)(73 + 55)) =

= 482 : (30 · 128 + 18 · 128) = 482 : (128· (30 + 18)) = 48 : 128 = г)

3 ; 8

673 + 523 – 67 · 52 = (67 + 52)(672 – 67 · 52 + 522) : 119 – 67 · 52 = 119

= 672 – 2 · 67 · 52 + 522 = (67 – 52)2 = 152 = 225. № 635

(

⎛ ( 97 − 53) 97 2 + 97 ⋅ 53 + 532 ⎛ 973 − 533 ⎞ 2 2 + 97 ⋅ 53 ⎟ : (152,5 – 27,5 ) = = ⎜ а) ⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ 44 44 ⎝ ⎠ ⎝

: ((152,5–27,5)(152,5+27,5)) = (972 +2 · 97 · 53 + 532) : (125 · 180) = = (97 + 53)2 : 22500 = 1502 : 22500 = 1; ⎛ 573 + 333

б) (36,52 – 27,52) : ⎜ ⎜ ⎝

90

⎞ − 57 ⋅ 33 ⎟ = ⎟ ⎠

(

⎛ ( 57 + 33) 57 2 − 57 ⋅ 33 + 332

= ((36,5–27,5)(36,5+27,5)) ⎜ ⎜⎜ ⎝

90

) − 57 ⋅ 33 ⎞⎟ =

= (9 · 64) : (572 – 2 · 57 · 33 + 332) = 576 : (57 – 33)2 = 1; 104

⎟⎟ ⎠

) ⎞⎟ : ⎟⎟ ⎠

(

)

⎛ ( 79 − 41) 792 + 79 ⋅ 41 + 412 ⎞ ⎛ 793 − 413 ⎞ + 79 ⋅ 41⎟ : (133,52 – 58,52) = ⎜ в) ⎜ + 79 ⋅ 41⎟ ⎜ 38 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 38 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

· (133,5–58,5)(133,5+ 58,5) = (79 + 41)2 : (75 · 192) = 1202 : 14400 = 1; ⎛ 693 + 293

г) (94,52 – 30,52) : ⎜ ⎜ ⎝

98

⎞ − 69 ⋅ 29 ⎟ = ⎟ ⎠

⎛ (69 + 29)(692 − 69 · 29 + 292 ) ⎞ 69 · 29 ⎟ = ⎟ 98 ⎝ ⎠

= (94,5 – 30,5)(94,5 + 30,5) ⎜ ⎜

= 64 · 125 : (69 – 29)2 = 8000 : 1600 = 5. № 636 а) a2 + ∗ + b2 = (a + b)2; б) b2 + 20ab + ∗ = (b + 10)2; в) ∗ – 56a + 49 = (4a – 7)2; г) ∗1 – 12c + ∗2 = (3c – 2)2;

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ∗ = 2ab; (b + 10)2 = b2 + 20ab + 100; ∗ = 100; (4a – 7)2 = 16a2 – 56a + 49; ∗ = 16a; (3c – 2)2 = 9c2 – 12c + 4; ∗1 = 9c2, ∗2 = 4.

№ 637 а) b2 – 20b + ∗1 = (∗2 – 10)2; (∗2–10)2=∗22 – 2 · ∗2 · 10 + 100; ∗1=100, ∗2=b; б) ∗1 – 42pq+49q2 = (3p – ∗2)2; (3p–∗2)2=9p2–2 · ∗2 · 3p+∗22; ∗1=9p2, ∗2=7q; 1 1 в) 25a2 + ∗1 + b2 = (∗2 + b)2; 4 2 1 2 1 2 2 (∗2 + b) = ∗2 + ∗2b + b ; ∗2 = 5a, ∗1 = ∗2 · b = 5ab; 2 4 г) 0,01b2 + ∗1 + 100c2 = (0,1b + ∗2)2; (0,1b + ∗2)2 = 0,01b2 – 0,2b · ∗2 + ∗22; ∗2 = 10c, ∗1 = ∗2 · 0,2b = 10c · 0,2b = 2bc. № 638 а) ∗1 + 56ab + 49b2 = (4a + ∗2)2; (4a + ∗2)2 = 16a2 + 2 · ∗2 · 4a + ∗22; ∗1 = 16a2, ∗2 = 7b; б) 225x2 – ∗1 + 64y2 = (15x – ∗2)2; (15x – ∗2)2 = 225x2 – 2 · 15x · ∗2 + ∗22; ∗2 = 8y, ∗1 = 30x · ∗2 = 30x · 8y = 240xy; в) ∗1 + 96xy + 36y2 = (8x + ∗2)2; (8x + ∗2)2 = 64x2 + 16x · ∗2 + ∗22; ∗1 = 64x2, ∗2 = 6y; г) 100a2 + ∗1 + 49b2 = (10a + ∗2)2; (10a + ∗2)2 = 100a2 + 20a · ∗2 + ∗22; ∗2 = 7b, ∗1 = 140ab. № 639 а) m2 + 40m + ∗1 = (∗2 + 20)2; (∗2 + 20)2 = ∗22 + 2 · 20 · ∗2 + 400; ∗1 = 400, ∗2 = m; б) ∗1 – 70pq + ∗2 = (7p – ∗3)2; (7p – ∗3)2 = 49p2 – 2 · 7p · ∗3 + ∗32;

105

70 pq = 5q, ∗2 = 25q2; 14 p в) ∗1 + 42ac + 49c2 = (∗2 + ∗3)2; 21ac ∗3 = 7c, 2 · ∗2 · ∗3 = 42ac, ∗2 = = 3a, ∗1 = ∗22 = 9a2; 7c г) 25z2 – ∗1 + ∗2 = (∗3 – 8t)2; ∗2 = (8t)2 = 64t2, ∗3 = 5z, ∗1 = 5z · 8t · 2 = 80zt. ∗1 = 49p2, ∗3 =

§ 23. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов № 640 а) 5x2 – 5 = 5(x2 – 1) = 5(x – 1)(x + 1); б) 10x2 – 10y2 = 10(x2 – y2) = 10(x – y)(x + y); в) 3a2 – 12 = 3(a2 – 4) = 3(a – 2)(a + 2); г) 9b3 – b = b(9b2 – 1) = b(3b – 1)(3b + 1). № 641 а) 9x2 – 81x = 9x(x – 9); б) y3 – 100y = y(y2 – 100) = y(y – 10)(y + 10); в) 64a – a3 = a(64 – a2) = a(8 – a)(8 + a); г) b3 – 144b = b(b2 – 122) = b(b – 12)(b + 12). № 642 а) c3 – 25c = c(c2 – 25) = c(c – 5)(c + 5); б) 50m – 2n2m = 2m(25 – n2) = 2m(5 – n)(5 + n); в) 0,04s – sa2 = s(0,04 – a2) = s(0,2 – a)(0,2 + a);

г)

16 2 ⎛ 16 2 ⎞ ⎛4 ⎞⎛ 4 ⎞ p q − q3 = q ⎜ p − q 2 ⎟ = q ⎜ p − q ⎟⎜ p + q ⎟ . 49 ⎝ 49 ⎠ ⎝7 ⎠⎝ 7 ⎠

№ 643 а) 5a2 + 10ab + 5b2 = 5(a2 + 2ab + b2) = 5(a + b)2; б) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2; в) 3m2 + 3n2 – 6mn = 3(m2 – 2mn + n2) = 3(m – n)2; г) 8n2 – 16n + 8 = 8(n2 – 2n + 1) = 8(n – 1)2. № 644 а) –3x2 + 12x – 12 = –3(x2 – 4x + 4) = –3(x – 2)2; б) –2a2 + 20ab – 50b2 = –2(a2 – 10ab + 25b2) = –2(a – 5b)2; в) –5p2 – 10pq – 5q2 = –5(p2 + 2pq + q2) = –5(p + q)2; г) –12z3 – 12z2 – 3z = –3z(4z2 + 4z + 1) = –3z(2z + 1)2. № 645 а) a4 – 16 = (a2)2 – 42 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4); б) b4 – 81 = (b2 – 9)(b2 + 9) = (b – 3)(b + 3)(b2 + 81); 106

в) y8–1=(y4 – 1)(y4 + 1) = (y2 – 1)(y2 + 1)(y4 + 1)=(y–1)(y+1)(y2 + 1)(y4 + 1); г) x4 – z4 = (x2 – z2)(x2 + z2) = (x – z)(x + z)(x2 + z2). № 646 а) 4m3 – 4n3 = 4(m3 – n3) = 4(m – n)(m2 + mn + n2); б) 13a3 + 13b3 = 13(a3 + b3) = 13(a + b)(a2 – ab + b2); в) 15c3 + 15d3 = 15(c3 + d3) = 15(c + d)(c2 – cd + d2); г) 21s3 – 21t3 = 21(s3 – t3) = 21(s – t)(s2 + st + t2). № 647 а) 6x5y – 24xy3 = 6xy(x4 – 4y2) = 6xy(x2 – 2y)(x2 + 2y); б) 3a4b2 + 24ab5 = 3ab2(a3 + 8b3) = 3ab(a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2; в) 0,3y2 – 2,7y6 = 0,3y2(1 – 9y4) = 0,3y2(1 – 3y2)(1 + 3y2); г) 0,1x4y – 2,7xy4 = 0,1xy(x3 – 27y3) = 0,1xy(x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2). № 648 а) (m + 3)3 – 8 = (m + 3 – 2)((m + 3)2 + 2(m + 3) + 4) = = (m + 1)(m2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4) = (m + 1)(m2 + 8m + 19); б) (c–1)3+27 = (c – 1 + 3)(c2 – 2c + 1 – 3c + 3 + 9) = (c + 2)(c2 – 5c + 12); в) (a–12)3–125 = (a–12–5)(a2–24a+144+5a–60+25)=(a – 17)(a2–19a+109); г) (b+4)3+64=(b+4+4)(b2+8b+16+4b+16+16) = (b + 8)(b2 + 12b + 48). № 649 а) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x – 1)2(x + 1)2; б) (y2 + 2y)2 – 1 = (y2 + 2y – 1)(y2 + 2t + 1) = (y2 + 2y – 1)(y + 1)2; в) 81 – (c2 + 6c)2 = (9 – c2 – 6c)(9 + c2 + 6c) = (9 – c2 – 6c)(c + 3)2; г) 16m2 – (m – n)2 = (4m – m + n)(4m + m – n) = (3m + n)(5m – n). № 650 а) (a2 + 2ab + b2) – c2 = (a + b)2 – c2 = (a + b – c)(a + b +c); б) 16 – (x2 – 2xy + y2) = 16 – (x – y)2 = (4 – x + y)(4 + x – y); в) 1 – m2 – 2mn – n2 = 1 – (m + n)2 = (1 – m – n)( 1 + m + n); г) 4 – p2 – 2pq – q2 = 4 – (p + q)2 = (2 – p – q)(2 + p + q). № 651 а) x2 – 2xc + c2 – d2 = (x – c)2 – d2 = (x – c – d)(x – c + d); б) a2 + 2a – b2 + 1 = (a + 1)2 – b2 = (a + 1 – b)(a + 1 + b); в) c2 – d2 + 6c + 9 = (c + 3)2 – d2 = (c + 3 – d)(c + 3 + d); г) r2 – s2 – 10s – 25 = r2 – (s + 5)2 = (r – s – 5)(r + s + 5). № 652 а) x2 + 2xy – m2 + y2 = (x + y)2 – m2 = (x = y – m)(x = y + m); б) c2 – a2 + 2ab – b2 = c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b); в) m2 – n2 – 8m + 16 = (m – 4)2 – n2 = (m – 4 – n)(m – 4 + n); г) 9 – p2 + q2 – 6q = (q – 3)2 – p2 = (q – 3 – p)(q – 3 + p).

107

№ 653 а) x3 – x2y – xy2 + y3 = x3 + y3 – x2y – xy2 = (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = = (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = (x + y)(x2 – 2xy + y2) = (x + y)(x – y)2; б) a3 + a2b – ab2 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = = (a – b)(a2 + 2ab + b2) = (a – b)(a + b)2; в) c2+2c–d2+2d=c2–d2+2 (c + d) = (c – d)(c + d) + 2 (c + d)=(c+d)(c – d + 2); г) m2 – 2n – m – 4n2 = m2 – 4n2 – (2n + m) = = (m – 2n)(m + 2n) – (2n + m) = (2n + m)(m – 2n – 1). № 654 а) x2(x – 3) – 2x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3)(x2 – 2x + 1) = (x – 3)(x – 1)2; б) (1 – a)2 – 4a(1 – a)2 + 4a(1 – a)2 = (1 – a)2(1 – 4a + 4a) = (1 – a)2. № 655 а) a3 + 8b3 + a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) + a2 – 2ab + 4b2 = = (a + 2b + 1)(a2 – 2ab + 4b2); б) 8c3 – d3 + 4c2 + 2cd + d2 = (2c – d)(4c2 + 2cd + d2) + 4c2 + 2cd + d2 = = (2c – d + 1)(4c2 + 2cd + d2). № 656 а) x3 + 8y3 + x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 ) + (x + 2y)2 = = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 + x + 2y); б) 8p3 – q3 + 4p2 – 4pq + q2 = (2p – q)(4p2 + 2pq + q2) + (2p – q)2 = = (2p – q)(q2 + 2pq + 4p2 + 2p – q). № 657 а) a3 – a2 – 2a + 8 = a3 + 8 – a(a + 2) = (a + 2)(a2 – 2a + 4) – a(a + 2) = = (a + 2)(a2 – 2a + 4 – a) = (a + 2)(a2 – 3a + 4); б) b3 – 6b2 – 6b + 1 = b3 + 1 – 6b(b + 1) = (b + 1)(b2 – b + 1) – 6b(b + 1) = = (b + 1)(b2 – b + 1 – 6b) = (b + 1)(b2 – 7b + 1). № 658 а) x2 – 10x + 24 = x2 – 10x + 25 – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 6)(x – 4); б) y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y – 7)2 – 9 = (y – 10)(y – 4); в) b4 + 4b2 – 5 = b4 + 4b2 + 4 – 9 = (b2 + 2)2 – 9 = = (b2 + 2 – 3)(b2 + 2 + 3) = (b2 – 1)(b2 + 5) = (b – 1)(b + 1)(b2 + 5); г) a2 – 6a + 5 = a2 – 6a + 9 – 4 = (a – 3)2 – 4 = (a – 5)(a – 1). № 659 а) 4a2 – 12ab + 5b2 = 4a2 – 12ab + 9b2 – 4b2 = (2a – 3b)2 – 4b2 = = (2a – 5b)(2a – b); б) 9c2 – 24cd + 7d2 = 9c2 – 24cd + 16d2 – 9d2 = (3c – 4d)2 – 9d2 = = (3c – 7d)(3c – d); в) 25a2 – 20ab – 12b2 = 25a2 – 20ab + 4b2 – 16b2 = (5a + 2b)2 – 16b2 = = (5a – 2b)(5a + 6b); г) 9m2 – 30mk + 16k2 = 9m2 – 30mk + 25k2 – 9k2 = (3m – 5k2) – 9k2 = = (3m – 8k)(3m – 2k). 108

№ 660 а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = (a + 2)(a + 5); б) x4+7x2+12 = x4 + 3x2 + 4x2 + 12 = x2(x2 + 3) + 4(x2 + 3) = (x2 + 4)(x2 + 3); в) b2 – 3b – 4 = b2 – 1 – 3b – 3 = (b – 1)(b + 1) – 3(b + 1) = (b – 4)(b + 1) г) y4 – 5y2 + 4 = y4 – 4y2 – y2 + 4 = y2(y2 – 4) – y2 – 4 = = (y2 – 1)(y2 – 4) = (y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2). № 661 а) x2+5xy+6y2=x2 + 2xy + 3xy + 6y2 = x(x + 2y) + 3y(x + 2y)=(x+3y)(x + 2y); б) 4m2–5mn+n2=4m2–4mn – mn + n2 = 4m(m – n) + n(n – m)=(m–n)(4m – n); в) p2–pq–2q2=p2+pq–2q2 – 2pq = p(p + q) – 2q(p + q) = (p + q)(p – 2q); г) a2+7ab+6b2=a2 + ab + 6ab + 6b2 = a(a + b) + 6b(a + b) = (a + b)(a + 6b). № 662 а) x3 – x = 0; x(x2 – 1) = 0; x(x – 1)(x +1) = 0; x = 0, x = 1, x = –1. Ответ: 0; 1; –1. в) c3 + c2 = 0; c2(c + 1) = 0; c = 0, c = –1. Ответ: 0; –1.

б) 16y – y3 = 0; y(16 – y2) = 0; y(4 – y)(4 + y) = 0; y = 0, y = 4, y = –4. Ответ: 0; 4; –4. г) d3 + d = 0; d(d2 + 1) = 0; d = 0, d2 + 1 ≠ 0 не при каких d. Ответ: 0.

№ 663 а) x3 + x2 – 4x – 4 = 0; x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0; (x2 – 4)(x + 1) = 0; (x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0; x = 2, x = –2, x = –1. Ответ: 2; –2; –1. в) 9z + 9 – z3 – z2 = 0; 9(z + 1) – z2(z + 1) = 0; (9 – z2)(z + 1) = 0; (3 – z)(3 + z)(z + 1) = 0; z = 3, z = –3, z = –1. Ответ: 3; –3; –1.

б) y3 + 2y2 – 4y – 8 = 0; y2(y + 2) – 4(y + 2); (y2 – 4)(y + 2) = 0; (y – 2)(y + 2)2 = 0; y = 2, y = – 2. Ответ: 2; –2. г) p3 – p2 – 4p + 4 = 0; p2(p – 1) – 4(p – 1) = 0; (p2 – 4)(p – 1) = 0; (p – 2)(p + 2)(p – 1) = 0; p = 2, p = –2, p = 1. Ответ: 2; –2; 1.

№ 664 x1 + x2 = 7; x1 · x2 = 2; а) x1x22 + x12x2 = x1x2(x1 + x2) = 2 · 7 = 14; б) (x1 = x2)2 = 72 = 49; в) x12 + x22 = x12 + x22 + 2x1x2 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 49 – 4 = 45; г) (x13 + x23) = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22) = = (x1 + x2)((x1 + x2)2 – 3x1x2) = 7(49 – 6) = 7 · 43 = 301.

109

№ 665 x1 + x2 = 5; x1 · x2 = –3 а) x14 + x24 = x14 + 2x12x22 + x14 – 2x12x22 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = = ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 – 2x12x22 = (25 + 6)2 – 18 = 312 – 18 = 961 – 18 = 943; б) (x1 – x2)2 = x12 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 25 + 12 = 37; в) x13x22 + x12x23 = x12x22(x1 + x2) = 9 · 5 = 45; г) x12x24 + x14x22 = x12x22(x12 + x22) = x12x22(x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2) = = x12x22((x1 + x2)2 – 2x1x2) = 9 · (25 + 6) = 279.

§ 24. Сокращение алгебраических дробей № 666 а) 3a2b3, 12a3b2 : НОД = 3a2b2; в) 6x2y, 9y5 : НОД = 3y;

б) 15b12c2, 25b3c4 : НОД = 5b3c2; г) p5q2, 12p2q5 : НОД = p2q2.

№ 667

а)

y4 y

3

= y; б)

− z5 z

=−

8

1 z

3

; в)

m10 −m

24

=−

1 m

№ 668

а) б) в) г)

z 8t 4 w20 zt w

15 4 8

−m n r

1

z

=

m19 n 21z 6 12 19 5

a x z

−b100 y 5 z

=

101 3 4

y z

·

t4 t

15

−m

m19

=−

− a 40 x31z 6

−b

z8

=

3

3

⋅

·

w20 = z7· t · w19; w

n4 r 8 r2 ⋅ = − ; n 21 z 8 m 4 n17

a12 x19 z 5 1 ⋅ 31 ⋅ 6 = − 28 12 ; 40 a x z a x z

−b100 y 5 z y2 ⋅ 3⋅ 4 = 3. 101 −b y z bz

№ 669

а) б)

−3a 2b −9a

4

7x y −49 xy

3

−21cd 4

в) г)

3

=

14ad 3

30 p 2 q3 3 3

48 p q

110

−3a 2 −9a

3

⋅b =

b ; 3a

=

7 x4 y x3 ⋅ 3 =− 2 ; −49 x y y

=

3d −21c d 4 ; ⋅ 3 =− 14c d 2

=

30 p 2 q3 30 10 5 ⋅ = = = . 48 p3 q3 48 p 16 p 8 p

14

; г)

− n19 −n

4

= n15.

№ 670

а) б) в) г)

15a ( p − q )

20b ( p − q ) 2b ( m + n )

6bc ( m + n )

=

15 a p − q 3a ; ⋅ ⋅ = 20 b p − q 4b

=

2b m + n 1 1 1 ⋅ = ⋅ = c; 6b c ( m + n ) 3 c 3

8 a 2b 3 ( a + b ) 20ab 2 ( a + b )

8ab 2 2ab a+b 2 ; ⋅ ab ⋅ = ⋅ ab = 20ab 5 a+b 5

=

44c3d 8 ( c − d )

=

100c5d 4 ( c − d )

44c3d 4 d 4 c − d 11 d 4 11d 4 ⋅ ⋅ = ⋅ = . 100c3d 4 c 2 c − d 25 c 2 25c 2

№ 671 5( x − y ) 5 x− y 1 а) =− ⋅ =− ; 15( y − x) 15 x − y 3

б) в) г)

150a 2b3 ( z − t ) 300ab5 ( t − z ) 2(m − n)

a (n − m)

=−

150 ab3 a z − t a ⋅ ⋅ ⋅ =− 2 ; 300 ab3 b 2 z − t 2b

2 m−n 2 =− ⋅ =− ; a m−n a

13x3 y 4 z 5 ( c − d ) 26 xy 5 z 7 ( d − c )

=−

13 xy 4 z 5 c − d x 2 x2 ⋅ ⋅ = − . 26 xy 4 z 5 c − d yz 2 2 yz 2

№ 672

а) б) в) г)

2a ( x + y )

8a ( x + y )( x + y )

=

2a x + y 1 1 ; ⋅ ⋅ = 8a x + y x − y 4 ( x − y )

( a − 1) (a 2 + a + 1) = (a 2 + a + 1)

3 ( a − b )( a + b )

6 ( a + b )( a − b )

=

3(n 2 + n + 1)

( n − 1) (n2 + n + 1)

( a − 1) ⋅

a2 + a + 1 a2 + a + 1

= a −1 ;

3 a−b a+b 1 ⋅ ⋅ = ; 6 a−b a+b 2 = 3⋅

1 n2 + n + 1 3 . ⋅ = n − 1 n2 + n + 1 n − 1

№ 673

а) б)

( a − b )2 ( b − a )2

=

16 ( x − y )

( a − b )2 ( a − b )2 = − ( a − b ) ⋅ ( − ( a − b ) ) ( a − b )2

2

48 ( y − x )

2

=1;

2

=

16 ( x − y ) 1 ⋅ = ; 48 ( x − y )2 3

111

в) г)

112a3b5 ( p − q) 2 2

36a b(q − p) 49 xy (c − d ) 2 2

7 x (d − c)

2

2

=

=

12a 2b 2

36a b

⋅ ab 4 ⋅

( p − q) 2 ( p − q)

2

=

ab 4 ; 3

49 x y (c − d )2 7 y . ⋅ ⋅ = x 7 x x (c − d ) 2

№ 674

а) в) г)

( x + 5)3

= ( x + 5) ⋅

( x + 5) 2

c( z − 15)3 8c( z − 15)4 3a(b − 2) 6(b − 2)

2

=

=

( x + 5) = x+5; ( x + 5)

б)

( y − 8)10 ( y − 8)8

= ( y − 8) 2 ⋅

( y − 8)8 ( y − 8)8

;

c ( z − 15)3 1 1 1 ; ⋅ = ⋅ = 8c ( z − 15) 4 8 z − 15 8 z − 120

3 b−2 1 1 a ⋅a⋅ = ⋅a⋅ = . 2 − − 2) 6 2 2 2( b b (b − 2)

№ 675 6a + 6b 6(a + b) 6 a + b 6 xz − 3 yz z ( x − 3 y ) z x − 3 y 7 = = ⋅ = ; б) 2 а) = = ⋅ = ; x( x − 3) x x − 3y x 7 a + 7b 7( a + b) 7 a + b 7 x − 3 xy

в)

3m − 6n 3(m − 2n) 3 m − 2n 1 1 = = · = · (−1) = − ; 12n − 6m 6(n − 2m) 6 2n − m 2 2

г)

2 p − 4q 2( p − 2q) 2 p − 2q 1 = = ⋅ =− . 16q − 8 8(2q − p ) 8 2q 4

№ 676 8 x − 8 y 8( x − y ) 8 ma + a a (m + 1) a = = ( −1) ; б) а) = =− ; c 9 y − 9 x 9( y − x) 9 − mc − c −c( m + 1)

в)

s + s s ( s + 1) s 3c3 + 3cd 2 3c(c 2 + d 2 ) 3c c = = ; г) = = = . 2 3 2 2 d d 5s + 5 5( s + 1) 5 6 2 6dc + 6d 6d (c + d )

№ 677

а)

4a 2 − 9b 2 (2a − 3b)(2a + 3b) 2a − 3b = = (2a + 3b) ⋅ = 2a − 3b ; 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b

б)

36 − y 2 (6 − y )(6 + y ) 6− y = = (6 + y ) ⋅ =6+ y; 6− y 6− y 6− y

в) г)

8 − 3c 9c 2 − 64

=

8 − 3c 1 3c − 8 1 =− ⋅ =− ; (3c − 8)(3c + 8) 3c + 8 3c − 8 3c + 8

100 − 49d 2 (10 − 7 d )(10 + 7 d ) = = 10 − 7 d . 7 d + 10 7 d + 10

112

№ 678

а)

x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) x − 3 x + 3 x − 3 = = ⋅ = ; 3x + 9 3( x + 3) 3 x+3 3

б)

y 2 − 144 ( y − 12)( y + 12) y − 12 = = −( y + 12) ⋅ = −( y + 12) ; 12 − y 12 − y y − 12

в)

4 − d 2 (2 − d )(2 + d ) 2 − d 2 + d 2 − d = = ⋅ = ; 3d + 6 3(d + 2) 3 d+2 3

г)

c 2 − 5c 25 − c

2

c(c − 5) c c−5 c = ⋅ =− . c+5 (5 − c)(c + 5) c + 5 5 − c

=

№ 679

а) б) в) г)

a3 − 8

=

2

a + 2a + 4 x3 + 1 x2 − x − 1

=

a + 2a + 4 x2 − x − 1

1 − 5 y + 25 y 2 8t 3 + 1

2

( x + 1)( x 2 − x − 1)

125 y 3 + 1 4t 2 − 2t + 1

(a − 2)(a 2 + 2a + 4)

=

=

= (a − 2) ⋅

= ( x + 1) ⋅

(5 y + 1)(25 y 2 − 5 y + 1) 1 − 5 y + 25 y 2 4t 2 − 2t + 1

(2t + 1)(4t 2 − 2t + 1)

=

a 2 + 2a + 4 a 2 + 2a + 4

x2 − x − 1 x2 − x − 1

= (5 y + 1) ⋅

=a−2 ;

= x +1 ;

25 y 2 − 5 y + 1 25 y 2 − 5 y + 1

= 5y + 1;

1 4t 2 − 2t + 1 1 · 2 = . 2t + 1 4t − 2t + 1 2t + 1

№ 680

а)

( x + y )2 2

x −y

2

( x + y )2 x+ y x+ y x+ y = ⋅ = ; ( x − y )( x + y ) x − y x + y x − y

(m − n )2 = m − n ⋅ m − n = m − n ; m 2 − n 2 (m − n )(m + n ) m + n m − n m + n 2 2(a 2 − b 2 ) 2(a − b )2 (a + b )2 2 (a + b ) a b 2 ( ) в) = − ⋅ = ; (a + b )2 (a + b )2 (a + b )2 12a 3 ( p 2 − q 2 ) 12a 3 ( p − q )( p + q ) a a( p − q ) = ⋅ = ⋅ ( p − q) = . г) ( p + q) 3 3 36a 2 ( p + q ) 36a 2

б)

(m − n )2

=

=

№ 681

а) в)

p 2 − 2 pq + q 2 ( p − q )2 a 2 + 2ab + b 2 (a + b )2 = = p−q ; = = a + b ; б) p−q p−q a+b a+b x− y x 2 − 2 xy + y 2

=

x− y

(x − y )2

=

1 m 2 + 2mn + n 2 (m + n )2 ; г) = =1. x− y (m + n )2 (m + n )2

113

№ 682

а) б)

y 2 − x2 2

x − 2 xy + y 2 1− 2 p

= =

( y − x )( y + x ) = − x + y ; (x − y ) (x − y )2 1− 2 p

=−

1 ; 1− 2 p

(1 − 2 p ) b − 49 (b − 7 )(b + 7 ) = b + 7 ; = b−7 b 2 − 14b + 49 (b − 7 )2 2 2 c − 18c + 81 (c − 9 ) = =9−c . 1− 4 p + 4 p

2

2

2

в) г)

9−c

9−c

№ 683 − ax − bx − x(a + b ) x а) = =− ; ay + by y (a + b ) y

б) в)

4 x 2 y − 4 x3 12 x 2 y 2 − 12 xy 3

m5 − 3m 2 7

2m − 6m

4

=

№ 684

а) в) г)

x 2 − xy x 2 y − xy 2

=

ma 2 − m 2 a m 2 − ma 3nd − 6 pd

4x2 ( y − x)

12 xy 2 (x − y )

=

( )= 1 2m (m − 3) 2m m 2 m3 − 3 4

3

2

x( x − y )

3 y 2 (x − y )

=

3

=−

8

15n + 10n

pq 4 − cq 4

б)

cq 3 − pq 3

ma(a − m ) ma =− = −a ; m(m − a ) m =

2d 4 (n − 2 p ) 3d (n − 2 p ) 3

=

2d 4 3d

3

=

2d . 3

№ 685

а) б) в) г)

x 2 − 4 x + 4 (x − 2 )2 x − 2 x − 2 x − 2 ; = = ⋅ = 3x − 6 3(x − 2 ) 3 x−2 3

(a + 1)2 = a + 1 ⋅ a + 1 = a + 1 ; (a − 1)(a + 1) a − 1 a + 1 a − 1 a2 −1 4 − 4x 4(1 − x ) 4 1− x 4 ; = ⋅ = = 2 2 1− x 1− x 1− x x − 2 x + 1 ( x − 1) 3q 2 + 24q 3q (q + 8) 3q q + 8 3q . = ⋅ = = 2 2 q +8 q +8 q +8 q + 16q + 64 (q + 8) a 2 + 2a + 1

114

=

x 3y2

3n 6 + 2n 4

; г)

x(x − y ) x 1 = = ; xy (x − y ) xy y

2nd 4 − 4 pd 4 3

=

6

=

=

;

( )= 1 5n (3n + 2 ) 5n n 4 3n 2 + 2 6

2

q4 ( p − c) q 3 (c − p )

−

q4 q3

2

= −q ;

.

№ 686 5 − 2m

а)

5 − 2m

=

=

5 − 2m

=

1 ; 5 − 2m

(2m − 5) (5 − 2m) 4n − 4n + 1 (2n − 1)2 (1 − 2n )2 1 − 2n ; б) = = = 2 − 4n 2(1 − 2n ) 2(1 − 2n ) 2 x− y 3 x 2 − 6 xy + 3 y 2 3(x − y )2 1 x− y x− y в) ; ⋅ = = = ⋅ 6(x − y )(x + y ) 2 x + y x − y 2(x + y ) 6x2 − 6 y 2 (4c − 1)(4c + 1) = 4c + 1 . 16c 2 − 1 г) = 2 4c − 1 16c − 8c + 1 (4c − 1)2 2

4m − 20 + 25

2

2

2

№ 687

а)

15a 4b 2 − 15a 2 45a 4b − 45a 3 2

2 2

3

4

(

48ab − 24a b

45a 3 (ab + 1)

36a 3b 2c − 36a 3b 3

2

45a 3 (ab + 1) 4b(2 − a )

17 a (b + ac ) 3

36a 3b 2 (c − b )

(

4b

a

(

51a 2 b 2 − a 2c 2

=

4b

) = 3a(a − 2)(a + 2) = − 3a(a + 2) ;

24ab 2 (2 − a )

=

51a 2b 2 − 51a 4c 2 48ab5 − 48ab3c 2

(

18a 2b a 2 − 4

=

17 a b + 17 a c

в)

) = 15a (ab − 1)(ab + 1) = − 3a(a + 2) ;

15a 2 a 2b 2 − 1

18a 4b − 72a 2b

б)

г)

=

48ab3 b 2 − c 2

) = 3(b − ac) ;

)

=

3a 2 (c − b ) 3a 2 . = 4b(b − c )(b + c ) 4b(b + c )

№ 688

(d + 2)2 = d + 2 б) 6 pq − 18 p = 6 p(q − 3) = 6 p ; 7d 7 d 2 + 14d 7 d (d + 2 ) (q − 3)2 (q − 3)2 q − 3 m 2 + 6mn + 9n 2 (m + 3n )2 = m + 3n ; = 2 4m(m + 3n ) 4m 4m + 12mn 2 2 (2n − 1) = 2n − 1 . 4n − 4n + 1 = 2 (2n − 1)(2n + 1) 2n + 1 4n − 1

а) ; в) г)

(d + 2)2

№ 689

а) б)

1 − c2 1 − c3

=

=

(1 − c )(1 + c ) = 1 + c ; (1 − c )(1 + c + c 2 ) 1 + c + c 2

3 + 3n + 3n 2 3

n −1

=

(

)

3 n2 + n + 1

(n − 1)(n

2

)

+ n +1

=

3 ; n −1 115

в) г)

(b − 2)(b + 2) = b + 2 ; (b − 2)(b 2 + 2b + 4) b 2 + 2b + 4 16 z 2 − 9 (4 z − 3)(4 z + 3) = − 4 z + 3 = 27 − 64 z 3 (3 − 4 z )(9 + 12 z + 16 z 2 ) 9 + 12 z + 16 z 2 b2 − 4 b3 − 8

=

.

№ 690

( ) = 3( p − 3)( p + 3) = − 3( p + 3) ; p + 3p + 9 27q − p q q(3 − q )(9 + 3 p + p ) (3 − p )( p + 3 p + 9) 8mn − 2m 2m(4n − 1) 2(2n − 1)(2n + 1) 2(2n − 1) б) ; = = = 8mn + mn mn(8n + 1) n(2n + 1)(4n − 2n + 1) n(4n − 2n + 1)

а)

в) г)

3 pq 2 − 27q 3

2

2

2

4

3

x6 − y 6 3

3q p 2 − 9

=

x +y

=

3

y 6 + y3 y −1

x3 + y 3 y 3 ( y 3 + 1)

=

6

2

( x3 − y 3 )( x3 + y 3 )

3

3

( y − 1)( y + 1)

=

= x3 − y 3 ;

y3 3

y −1

.

№ 691

a 2 − 2a a (a − 2 ) a 108 = =− = = 36 ; 6 − 3a 3(2 − a ) 3 3 3b + 9 3(b + 3) 3 3 = = = = 30; б) 2 b − 9 (b − 3)(b + 3) b − 3 0,1

а)

c 2 − 4 (c − 2 )(c + 2 ) c − 2 24 = = = = 8; 6 + 3c 3(2 + c ) 3 3

в) г)

x2 − 9 2

3x + x

3

=

(x − 3)(x + 3) = x − 3 = 0. x 2 (3 + x ) x2

№ 692

а)

б) в) г)

x 2 + 12 x + 36 ( x + 6 )2 = x + 6 = 108; = x+6 x+6 y 2 − 14 y + 49 ( y − 7 )2 = y – 7 = – 11; = y−7 y−7 z 2 − 8 z + 16 z 2 − 16

=

t 2 − 100 2

t + 20t + 100

116

(z − 4)2 = − 20 = 5 = 1 2 ; (z − 4)(z + 4) − 12 3 3

=

2

2

( t − 10 )( t + 10 ) = t − 10 = −18 = – 9. t + 10 2 ( t + 10 )2

2

№ 693

а) б) в) г)

40 x 2 − 5 xy

5 x(8 x − y ) 5x 10 =− =− = – 1; y( y − 8 x ) y 10

=

y 2 − 8 xy

21a 2 − 12ab 20b 2 − 35ab 15c 2 − 10cd 2

8d − 12cd 25 z 2 − 20 zt 16t 2 − 20 zt

=

3a (7 a − 4b ) 3a 30 = 2; =− =− 5b(4b − 7 a ) 5b − 15

=

5c(3c − 2d ) 2c 30 5 =− = = = 1,25; 4d (2d − 3c ) 4d 24 4

=

5 z (5 z − 4t ) 5z 15 =− = − = – 1,875. 4t (4t − 5 z ) 4t 8

№ 694

а) б)

в) г)

a3 + 27

=

2

a − 3a + 9

b 2 + 2b + 4 3

b −8

=

(a + 3)( a 2 − 3a + 9)

a 2 − 3a + 9

b 2 + 2b + 4 (b − 2)(b 2 + 2b + 4)

c3 + 64

=

2

3c − 12c + 48 d 2 − 5d + 25 3

2d + 250

= a + 3 = 18; =

1 = b−2

(c + 2)(c 2 − 4c + 16) 3(c 2 − 4c + 16)

=

3 =− ; 5 −2

c+2 7 1 = =2 ; 3 3 3

d 2 − 5d + 25

=

1

1 3

2 ( d + 5 ) (d − 5d + 25) 2

=

1 1 = 1. = 2 ( d + 5 ) 2 ( −4,5 + 5 )

№ 695

а) в)

270a10b8c 7 4 12

810a b

=

a 6c 6

140m 25n101r 64 14 102 61

42m n

r

3b =

;

4

б)

10m11r 3 101

3n

;

г)

132 x5 y10 z11 6 5 22

144 x y z

=

540 p12 q 43t 54 2 54 55

36 p q t

11y 5 12 xz11

=

15 p10

q11t

; .

№ 696

а) б) в) г)

32a 4b5c − 2a 4b3c3 3 4 3

3 5 2

a b c − 4a b c

x n y 2 n +1 + x n +1 y 2 n x

2n + 2 n

2n n + 2

y −x y

6a 2b 4c 4 − 9a 2b3c5 54abc7 − 24ab3c5

=

2a 4b3c(16b 2 − c 2 )

= =

a 3b 4 (c − 4b) x n y 2 n ( y + x) 2n n

2

2

x y (x − y )

=

3a 2b3c 4 (2b − 3c) 6abc5 (9c 2 − 4b 2 )

2 x n + 2 y n −1 + 3 x n +1 y n 9 x n −1 y n + 3 − 4 x n +1 y n +1

=

=−

2ac(4b + c) ; b

yn n

x ( x − y) =−

;

b2a ; 2c(3c + 2b)

x n +1 y n −1 (2 x + 3 y ) x n −1 y n +1 (9 y 2 − 4 x 2 )

=

x2 y 2 (3 y − 2 x)

. 117

№ 697 32a4b − 80a3b2 + 50a2b3

а)

3

=

2 2

20ab − 16a b

б)

2

4ab (5b − 4a)

18a 3b 2 + 36ab 4 2 2

4 3

6

96a b + 96a b + 24a b 3b

=

2a2b(16a2 − 40ab + 25b2 )

4a(a 2 + 2b 2 )

=

a(5b − 4a)2 a(5b − 4a) ; = 2b(5b − 4a) 2b

18ab 2 (a 2 + 2b 2 ) 2

4

2 2

=

4

24a b(4b + 4a b + a )

3b(a 2 + 2b 2 ) 4a (a 2 + 2b 2 ) 2

=

;

18a 4b 2 − 30a3b3

в)

=

2 5

3 4

6a3b 2 (3a − 5b)

=

4 3

75a b − 90a b + 27 a b

2 3

2

2

3a b (25b − 30ab + 9a )

=

2a (3a − 5b)

b(3a − 5b) 2

=

2a ; b(3a − 5b)

=

30a5b + 15a3b3

г)

2 8

4 6

=

6 4

10a b + 40a b + 40a b

3a (2a 2 + b 2 )

=

2b3 (2a 2 + b 2 ) 2

15a3b(2a 2 + b 2 ) 2 4

10a b (b 4 + 4a 2b 2 + 2a 4 )

3a 2b3 (2a 2 + b 2 )

=

.

№ 698 4a3bc3 − 4a 2b 2c 2 + ab3c

а) =

26a3c − 13a 2b

в) =

г) =

abc(4a 2c 2 − 4abc + b 2 ) 13a 2 (2ac − b)

=

bc(2ac − b) 2 = 13a(2ac − b)

bc(2ac − b) ; 13a

б) =

=

16 x 2 y 6 z 4 + 8 x 4 y 3 z 4 2 x5 y 4 z + 8 x3 y 7 z + 8 xy10 z 4 xz 3 (2 y 3 + x 2 )

y( x 2 + 2 y3 )2

=

=

y( x 2 + 2 y3 )

3 3

2 5

27 x yz − 18 x y z + 3 x y z 4

xz (3x − y 2 )

2 xy 4 z ( x 4 + 4 x 2 y 3 + 4 y 6 )

4 xz 3

36 x 2 y − 12 xy 3 4

8 x 2 y 3 z 4 (2 y 3 + x 2 )

=

; 12 yx(3 x − y 2 ) 2

2

2

4

3x yz (9 x − 6 xy + y )

=

4(3 x − y 2 )

xz (3 x − y 2 )2

;

6a 4b 4c11 + 24a 4b 4c7 d 4 + 24a 4b 4c3d 8 5 3 5 4

5 3 9

6a b c d + 3a b c 2b(c 4 + 2d 4 ) 2

ac 2 (c 4 + 2d 4 )

118

=

=

2b(c 4 + 2d 4 )

ac 2

.

=

6a 4b 4c3 (c8 + 4c 4 d 4 + 4d 8 ) 3a5b3c5 (2d 4 + c 4 )

=

=

№ 699

а) =

б) =

в)

18 x5 − 72 x3 y 2 3 2

2 3

12 x y − 48 x y + 48 xy 3 x 2 ( x − 2 y )( x + 2 y )

=

2 y 2 ( x − 2 y)2 5 2 3

3x 2 ( x + 2 y ) 2 y 2 ( x − 2 y) =

16a b c − 36ab c 2a(3c − 2a 2 ) 2 2

2

bc (2a − 3c)(2a + 3c)

8a 2bc(9c 2 − 12a 2 + 4a 4 ) 4ab 2c3 (4a 4 − 9c 2 )

225a 5b − 100a 3b3

=

15ab3 (9a 2 + 12ab + 4b 2 ) 25a3b(9a 2 − 4b 2 )

3b 2 (3a + 2b) 5a 2 (3a − 2b)

150 x5 y 2 z − 24 x3 y 6 z 5 2

2 3 2

3

40 xy z − 200 x y z + 250 x yz 3 x 2 y (5 x − 2 y 2 )(5 x + 2 y 2 )

=

5 z (2 y 2 − 5 x)2

2

=

;

bc 2 (2a 2 + 3c)

135a3b3 + 180a 2b 4 + 60ab5

=

;

2a (2a 2 − 3c)

=

2

=

12 xy 2 ( x 2 − 4 yx + 4 y 2 )

2 5

5a 2 (3a − 2b)(3a + 2b)

=

18 x3 ( x 2 − 4 y 2 )

72a 2bc3 − 96a 4bc 2 + 32a 6bc

3b 2 (3a + 2b)2

г)

=

4

=

;

=

6 x3 y 2 z (25 x 2 − 4 y 4 ) 10 xyz 2 (4 y 4 − 20 xy + 25 x 2 )

3 x 2 y (5 x + 2 y 2 ) 5 z (5 x − 2 y 2 )

=

.

№ 700

а) =

б) =

в) г) =

x 3n − x n y 2 n 3x

3n

2n n

=

n 3n

+ 6 x y + 3x y

( x n − y n )( x n + y n ) 3 y n ( x n + y n )2

=

x n ( x 2n − y 2n ) n n

3x y ( x 2n + 2 xn y n + y 2n )

xn − y n 3 yn ( xn + yn )

a3n −1b n +1 − 4a n −1b n +1

=

4a nb n −1 − 4a 2 nb n −1 + a3nb n −1

b 2 ( a n − 2)(a n + 2) n

a (a − 2)

2

=

b 2 ( a n + 2) a (a n − 2)

2an+1 − 4a2n+1 + 2a3n+1 3n

4a

− 4a

n

=

; a n −1b n +1 (a 2 n − 4)

a nb n −1 (4 − 4a n + a 2 n )

n

4a (a

2n

− 1)

54 xy 3n z n − 72 x n +1 y 2 n z n + 24 x 2 n +1 y n z n 12 x 2 n + 2 y n −1z n +1 − 27 x 2 y 3n −1z n +1 n

n

n

n

3 xz (2 x − 3 y )(2 x + 3 y )

=

=

;

2an+1(1 − 2an + a2n )

4 y (3 y n − 2 x n )2

=

=

=

a (a n − 1) 2 n

n

2( a − 1)(a + 1)

=

a (a n − 1) 2( a n + 1)

4 xy n z n (9 y 2 n − 18 x n y n + 4 x 2 n )

4 y (2 x n − 3 x n ) 3 xz (2 x n + 3 y n )

3x 2 y n −1z n +1 (4 x 2 n − 9 y 2 n )

;

=

. 119

№ 701

а)

a 2 − ab − bc − c 2

( a − c )( a + c ) − b ( a + c ) = 2 b2 − ( a − c )

=

b 2 − a 2 + 2ac − c 2

( a − c − b )( a + c ) = a + c ; ( b − a + c )( b + a − c ) c − a − b x −1 2 xy − 3 + 3 x − 2 y 2 y ( x − 1) + 3 ( x − 1) ( x − 1)( 2 y + 3) ; б) = = = 2 2 y+3 2 9 + 12 y + 4 y 2 ( 2 y + 3) ( 2 y + 3) =

в)

ax 2 − 2 x 2 − ay 2 + 2 y 2 x 2 (a − 2) − y 2 (a − 2) ( x 2 − y 2 )(a − 2) = = = ax + ay − 2 x − 2 y a ( x + y ) − 2( x + y ) ( x + y )(a − 2)

( x − y )( x + y ) = x – y; x+ y

г)

3xy − 2 x − 3 y + 2

x2 − 2x + 1

3 y ( x − 1) − 2( x − 1)

=

( x − 1) 2

( x − 1)(3 y − 2)

=

( x − 1) 2

=

3y − 2 . x −1

№ 702

а) б) в) г)

x 2 − yz + xz − y 2 2

x + yz − xz − y

2

( x − y )( x + y ) + z ( x − y ) ( x − y )( x + y + z ) x + y + z ; = = x+ y−z ( x − y )( x + y ) − z ( x − y ) ( x − y )( x + y − z )

=

x2 − y 2

=

3x − 2 x 2 + 3 y − 2 xy

a 2 + 2ac + c 2 2

a + ac − ax − cx

=

( x − y )( x + y ) ( x − y )( x + y ) x− y = = ; 3( x + y ) − 2 x( x + y ) ( x + y )(3 − 2 x) 3 − 2 x

(a + c)2 (a + c) 2 a+c = = ; a (a + c) − x(a + c) (a + c)(a − x) a − x

12 z 2 − 9rz + 4nz − 3rn

=

2

20 z + 3rn − 12rz − 4nz (4 z − 3r )(3 z + n) 3 z + n = = . (4 z − 3r )(5 z − n) 5 z − n

4 z (3 z + n) − 3r (3 z + n) = 4 z (5 z − n) − 3r (5 z − n)

№ 703

а) б)

275 + 27 4 8

9

16 − 16

6

9 +9 +9 7

10

9

27 4 (27 + 1)

8

11

10

9

15

14

13

8 −8 −8 4 −4 −4

923 + 922 + 921

120

14

27

13

− 27

7

9 (9 + 1 + 81)

=

8 −8 +8

в) г)

7

=

=

6

16 (16 − 1) 8

2

8 (8 − 8 + 1) = =

9

2

13

2

94 ⋅ 34 ⋅ 28

=

7

9 ⋅ 91 412 ⋅ 15

4 (4 − 4 − 1) 921 (92 + 9 + 1) 27 (27 − 1)

8

8

4 ⋅ 2 ⋅ 57

8 (8 − 8 − 1)

13

=

= =

28 4 4 ; = = 9 ⋅ 91 9 ⋅ 13 117

=

15 5 ; = 57 19

49 ⋅ 29 ⋅ 55 413 ⋅ 11 342 ⋅ 91 339 ⋅ 26

=

=

2 ⋅ 55 = 10 ; 11

27 ⋅ 91 = 94,5. 26

№ 704

а) = б) в) г)

473 + 333 2

2

47 − 47 ⋅ 33 + 33 233 − 113 232 + 23 ⋅ 11 + 112 273 − 133

27 2 + 27 ⋅ 13 + 132 873 + 433 2

2

87 − 87 ⋅ 43 + 43

= = =

=

(47 + 33)(47 2 − 47 ⋅ 33 + 332 ) 47 2 − 47 ⋅ 33 + 332

(23 − 11)(232 + 23 ⋅ 11 + 112 ) 232 + 23 ⋅ 11 + 112

= 47 + 33= 80;

= 23 – 11=12;

(27 − 13)(27 2 + 27 ⋅ 13 + 132 ) 17 2 + 27 ⋅ 13 + 132 (87 + 43)(87 2 − 87 ⋅ 43 + 432 ) 87 2 − 87 ⋅ 43 + 432

= 27 – 13=14; = 87 + 43=130.

№ 705

а) б) в) г)

482 − 2 ⋅ 48 ⋅ 18 + 182 482 − 182 852 − 17 2 2

85 − 2 ⋅ 85 ⋅ 17 + 17 2 732 − 2 ⋅ 73 ⋅ 23 + 232 2

26 − 24

2

482 − 122 2

2

89 + 2 ⋅ 89 ⋅ 31 + 31

= =

(48 − 18) 2 48 − 18 30 5 = = = ; (48 − 18)(48 + 18) 48 + 18 66 11 (85 − 17)(85 + 17) (85 − 17) 2

85 + 17 102 3 = = = 1,5; 85 − 17 68 2

(73 − 23) 2 502 50 = = = 25; (26 − 24)(26 + 24) 2 − 50 2

= =

=

(48 − 12)(48 + 12) (89 + 31)

2

=

36 ⋅ 60 120

2

=

18 3 = = 0,15. 120 20

№ 706

а)

a + b + a2 − b2 2

a − b + a − 2ab + b

2

=

(a + b)(a − b + 1) a + b 3 + 5 = = = – 4; (a − b)(a − b + 1) a − b 3 − 5

c − d + c2 − d 2

(c − d )(c + d + 1) c + d + 1 8 + (−2) + 1 7 = ; = = = c − d + c 2 − 2cd + d 2 (c − d )(c − d + 1) c − d + 1 8 − (−2) + 1 11 m − n + mx − nx (m − n)( x + 1) x + 1 3 4 9 в) = = = : = = 1,125; m − n + my − ny ( m − n)( y + 1) y + 1 2 3 8

б)

г)

pz + qz + p + q ( z + 1)( p + q ) z + 1 25 + 1 26 = = = = = 2. pt + qt + p + q (t + 1)( p + q) t + 1 12 + 1 13

§ 25. Тождества № 707 а) да; б) да; в) да; г) да. № 708 а) да; б) да; в) да; г) да. № 709 а) да; б) да; в) да; г) да.

121

№ 710 а) переместительный закон сложения; б) сочетательный закон сложения; в) переместительный закон умножения; г) распределительный закон сложения относительно умножения. № 711 а) переместительный и сочетательный законы умножения; б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0; в) переместительные законы сложения и умножения; г) 1. сочетательный закон умножения, 2. распределительный закон сложения относительно умножения. № 712 а) x – y = – y + x = – (y – x); б) (m – n)2 = m2 – 2mn + n2 = n2 – 2mn + m2 = (n – m)2; в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a); г) (3c – 4d)2 = 9c2 – 24cd + 16d2 = 16d2 – 24cd + 9c2 = (4d – 3c)2. № 713 а) 10a–(–(5a+20))=10a–(–5(a+4)) = 10a + 5(a + 4)=5(2a+a+4) = 5(3a + 4); б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3); в) 12y–(25–(6y–11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y–36 + 6y=18y–36=18(y–2); г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 = 21 + 9c = 3(3c + 7). № 714 а) a2+7a+10=a2+5a+2a+10=a(a+5)+2(a+5) = (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5); б) x2 – 9x + 20 = x2 – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5); в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2 + 3b – 8b + 24 = b2 – 5b + 24; г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c2 + 7c – 4c – 28 = c2 + 3c – 28. № 715 а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2 – 4a + 2a – 8 + 4 = a2 – 2a – 4 = a2 – 2a – 3 – 1= = a2 + a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 = (a – 3)(a + 1) – 1; б) 16–(x+3)(x+2) = 4 + 12 – x2 – 5x – 6 = 4 – x2 – 5x + 6 = 4 – (x2 + 5x – 6) = = 4–(x2–x+6x–6)=4–(x(x–1)+6(x–1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1); в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y2 – 3y + 7y – 21 – 11 – 2 = (y2 + 4y – 32) – 2 = = (y2 + 8y – 4y – 32) – 2 = y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2; г) (z–11)(z+10)+10=z2–z – 110 + 10 = (z2 – z – 20) – 80 = z2–5z+4z–20–80 = = z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 = (z – 5)(z + 4) – 80. № 716 а) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2(a2 + b2); б) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab; в) a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (a + b)2 – 2ab; г) (a + b)2 – 2b(a + b) = a2 + 2ab + b2 – 2ba – 2b2 = a2 – b2.

122

№ 717 2x–1+3x+1–5x=5x–5x=5x–3x–2x=5x – 3x – 1 – 2x + 1=5x–(3x+1) – (2x – 1). № 718 x4 − 4 x2

а)

2

x − 2x

=

( x 2 − 2 x)( x 2 + 2 x) ( x 2 − 2 x)

= x2 + 2x, видно, что равенство превращается

в тождество при x2 – 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; б)

3x5 − 24 x 2

=

6 x5 − 12 x 4

3x5 − 24 x 2 6 x5 − 12 x 4

=

x3 + 2 x + 4 2 x2

3 x 2 ( x3 − 8) 6 x 4 ( x − 2)

=

; x 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) 2 x 4 ( x − 2)

=

x3 + 2 x + 4 2 x2

,

видно, что равенство превращается в тождество при 6x5 – 12x4 не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; в)

2a3 − 12a 2 + 18a 4

4a − 36a

2

=

2a(a2 − 6a + 90 2

2

4a (a − 9)

=

(a − 3)2 2

2a (a − 3)(a + 3)

=

a−3 a−3 = ; 2a (a + 3) 2a 2 + 6a

Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4– 36a2 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3. При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3). г)

a 6b 2 − 27 a3b 2 3 3

2 3

2a b − 6a b 6 2

a b − 27 a3b 2 3 3

2 3

2a b − 6a b

=

=

a3 + 3a 2 + 9a ; 2b

a3b 2 ( a3 − 27) 2 3

2a b ( a − 3)

=

a (a 2 + 3a + 9) , 2b

Видно, что равенство равенство превращается в тождество при 2a3b3 – 6a2b3 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3. № 719 а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) = x2 – y2 + y2 – a2 = x2 – a2; б) (a–b)(a+b)–(a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = a2 – b2 – a2 + c2 – c2 + b2 = 0; в) (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab; г) (m – a)(m – b) = m2 – am – bm + ab = m2 –x (a + b)m + ab. № 720 а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18; (a+1)(b+1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 = 2(a + b) = 18. № 721 (b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) = = (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) + + 2c(a – b) = c2 – b2 – 2ac + 2ab + a2 – c2 – 2ab + 2bc – a2 + + b2 + 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0.

123

№ 722 а) (2a–b)(2a+b)+(b–c)(b+c)+(c–2a)(c+2a)=4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0; б) (3x + y)2 – (3x – y)2 = (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) = 2y · 6x = 12xy = = 9x2y2 + 6xy + 1 – 9x2y2 + 6xy – 1 = (3xy + 1)2 – (3xy – 1)2; в) (x–3y)(x+3y)+(3y–c)(3y+c)+(c–x)(c + x) = x2 – 9y2 + 9y2 – c2 + c2 – x2 = 0; г) (a – b)(a + b)((a – b)2 + (a + b)2) = (a2 – b2)(2a2 + 2b2) = 2(a4 – b4). № 723 а) (a–1)3–4(a–1)=(a–1)((a–1)2–4)=(a – 1)(a – 1 – 2) = (a – 1)(a – 3)(a + 1); б) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x – 1)2(x + 1)2; в) (a + 1)2 – (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1); г) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 = (2bc – b2 – c2 + a2)(2bc + b2 + c2 – a2) = = (a2 – (b – c)2)((b + c)2 – a2)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c).

ГЛАВА 6. Линейная функция § 26. Координатная прямая № 724

а)

C

B

D

A

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

б)

N O -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 R

в)

E

3 4

1 2

1 2

L

6

3 4

5

6

7

2 3

3 4

5

6

7

124

X

X

F 4

5

6

7 8

9

№ 725 а) 2; 4; 8,5; 2; б) 6,5; 5; 2,5; 7,5; в) 7; 1,5; 13; 6; г) 9,5; 3,5; 2,5; 1,5. № 726 а) 8; б) 4; в) 4; г) 1.

X

Z

K 1

7

M

S

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

5

P

Q

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

г)

1 2

X

№ 727 a) C > D; б)

D

C

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 № 728 а) X < Y; б)

2 3

4

X

B

5

6

7 8

9

X

6

7 8

9

X

6

7 8

9

X

Y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 № 729 а) B < A < C; б)

1

1

2 3

4

A

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

5

C 1

2 3

4

5

№ 730 а)

3

X

Открытый луч с началом в точке 3; х > 3; б)

-5

Открытый луч с концом в точке –5; х < –5; в) -2

X

X

Открытый луч с началом в точке –2; х > –2; г)

0

X

Открытый луч с концом в точке 0; х < 0. № 731 а)

1

X

Луч с началом в точке 1; х > 1; 125

б)

4

X

-2

X

Луч с концом в точке 4; х < 4; в) Луч с концом в точке –2; х < –2; г)

-1

X

5

X

Луч с началом в точке –14 х > –1. № 732 а)

3

Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; 3 < х < 5; б)

-5

1

X

Отрезок с началом в точке –5 и концом в точке 1; –5 ≤ х ≤ 1; в)

6

4

X

Отрезок с началом в точке 4 и концом в точке 6; 4 ≤ Х ≤ 6; г)

0

1

X

Интервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; 0 < Х < 1. № 733 а)

6

8

X

Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 8. (Точка 8 не включается); 6 ≤ Х < 8; б)

-2

4

Полуинтервал с началом в точке –2 и концом в точке 4; –2 < Х ≤ 4; 126

X

в)

-3

–1

X

Полуинтервал с началом в точке –3 и концом в точке –1; (Точка –1 не включается) –3 ≤ Х < –1; г) 5 7

X

Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 7; 5 < Х ≤ 7. № 734 а) Открытый луч с началом в точке 5; (5, +∞), x > 5; б) Открытый луч с концом в точке –7; (–∞, –7), х < –7; в) Открытый луч с началом в точке –3; (–3, +∞), x > – 3; г) Открытый луч с концом в точке 4. (–∞, 4), x < 4. № 735 а) Луч с началом в точке 2; [2, +∞), а ≥ 2; б) Луч с концом в точке –1; (–∞, –1], а ≤ –1; в) Луч с началом в точке –8; [–8, +∞), а ≥ –8; г) Луч с концом в точке 4. (–∞, 4], а ≤ 4. № 736 а) Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5), 3 < y < 5; б) Отрезок с началом в точке 3 и концом в точке 5; [3, 5], 3 ≤ y ≤ 5; в) Интервал с началом в точке –1 и концом в точке 0; (–1, 0), –1 < y < 0; г) Отрезок с началом в точке 9 и концом в точке 10; [9, 10], 9 ≤ y ≤ 10. № 737 а) Полуинтервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [0, 1), 0 < p ≤ 1; б) Полуинтервал с началом в точке –7 и концом в точке 6; (–7, 6], –7 < p ≤ 6; в) Полуинтервал с началом в точке –1 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [–1, 1), –1 < p ≤ 1; г) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5], 3 < p ≤ 5. № 738 а) (5, +∞);

5

х > 5;

X

б) [1, +∞);

1

X

х ≥ 1; 127

в) (1, 3); 1

3

X

1 < Х < 3; г) [6, 10); 6

10

X

6 < Х ≤ 10. № 739 а) [–2, 0];

–2

0

X

7

X

–5 ≤ Х ≤ 1; б) (–∞, 7);

х < 7; в) [4, 9);

4

9

X

4 ≤ Х < 9; г) (–∞, 12];

12

X

х ≤ 12. № 740 а) Открытый луч с началом в точке 3; (3, +∞);

3

X

б) Луч с началом в точке 3; [3, + ∞);

3

128

X

в) Открытый луч с концом в точке 3; (–∞, 3);

3

X

г) Луч с концом в точке 3; ( –∞, 3].

3

X

№ 741 а) Интервал с началом в точке 2 и концом в точке 4; (2, 4);

2

4

X

б) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (точка 5 не включается); [3, 5);

3

5

X

в) Отрезок с началом в точке 0 и концом в точке 7; [0, 7];

0

7

X

г) Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 8; (5, 8].

5

8

X

№ 742 а) Луч с началом в точке 2; [2, + ∞);

2

X

б) Интервал с началом в точке –2 и концом в точке –5; (–2, –5);

–2

–5

X

129

в) Открытый луч с концом в точке 0; (–∞, 0);

0

X

г) Полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 8; (точка 5 не включается); [4, 8).

4

8

X

№ 743 а) Отрезок с началом в точке 1 и концом в точке 3; [1, 3];

1

3

б) Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 7; (6, 7];

6

7

X

X

в) Луч с концом в точке 1; ( –∞, 1];

1

X

г) Интервал с началом в точке –6 и концом в точке –2; (–6, –2).

–6

–2

№ 744 а) да; б) нет; в) да; г) нет. № 745 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 746 а) да; б) да; в) нет; г) да. № 747 а) да; б) да; в) да; г) нет. № 748 а) да; б) да; в) да; г) нет. № 749 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 750 а) 4; 3,5; 3; б) –1; в) – 10; г) 4; 3,5; 3. 130

X

№ 751 а) 5. б) 5; 7; 9; 12. в) 0; 5; 7; –8; –2; 9; 12. г) 7; 9. № 752 а) –5,5; –4,5; –3,5; 1,5; 2,5; 3,5; в) –2,2; –2,1; –1,2; 1,1; 1,2; 1; 3;

б) –5,4; –4,4; –3,4; 1,4; 2,4; 3,4; г) –9,1; –9,2; –9,3; 2,1; 2,2; 2,3.

№ 753 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 754 а) 3; б) 1; в) 6; г) 9. № 755 а) 1; б) 0; в) 0; г) 4. № 756 а) –11; б) нет; в) 7; г) 8,2. № 757 а) 5; б) 1; в) 10; г) 6. № 758 Да принадлежит. Эти числа : 4,99; 4,999. № 759 а) Задание определено не корректно, потому что нет наименьшего целого числа принадлежащего промежутку (–∞, 4]; б) Задание определено не корректно, потому что нет целого числа принадлежащего промежутку (5, 6). № 760 7−3 = 2, a = 7 – r = 7 – 2 = 5; 2 4 − ( −4) б) r = = 4, a = 4 – r = 4 – 4 = 0; 2 10 − 2 в) r = = 4, a = 10 – r = 10 – 4 = 6; 2 6 −1 − ( −7) г) r = = = 3, a = –1 – r = –1 – 3 = –4. 2 2

а) r =

№ 761 5−2 3 = = 1,5, a = 5 – 1,5 = 3,5; 2 2 2,02 − 1,98 0,04 б) r = = = 0,02, a = 2,02 – 0,02 = 2; 2 2 −2 − (−11) 9 = = –4,5, a = –11 + (4,5) = –6,5; в) r = 2 2

а) r =

131

2 1 15 1 14 ⎛ 15 13 ⎞ :2= ,a= – = = 2. г) r = ⎜ − ⎟ : 2 = 7 7 7 7 7 ⎝ 7 7⎠

№ 762

а)

–А

–B

B

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3 4

A 5

6

7

X

7

X

7

X

7

X

б)

А

B

-B

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3 4

-A 5

6

в)

-А

B

-B

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3 4

A 5

6

г)

B

A,-A

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

B 1 2

3 4

5

6

№ 763 Таких точек имеется две С и D. Их координаты можно вычислить как: С = – 4 + 7 = 3; D = – 4 – 7 = –11. № 764 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки N и L находятся по разные стороны от точки M; a)

N

M

L

б)

L

M

N

LN = ML + MN = ML + 2ML = 3ML, значит, 3ML = 10,5; ML = 3,5; MN = 2 · 3,5 = 7; а) L = M + ML = 1,5 + 3,5 = 5; N = M – MN = 1,5 – 7 = –5,5; б) L = M – ML = 1,5 – 3,5 = –2; N = M + MN = 1,5 + 7 = 8,5. 132

Случай 2. Точки N и L располагаются по одну сторону от точки M; a)

M

L

N

N

L

M

б) LN = MN – ML = 2ML – ML = ML, значит ML = 10,5; MN = 2 · ML = 2 · 10,5 = 21; а) L = M + ML = 1,5 + 10,5 = 12, N = M + MN = 1,5 + 21 = 22,5; б) L = M – ML = 1,5 – 10,5 = – 9, N = M – MN = 1,5 – 21 = –19,5. Итого получается, что задача имеет четыре решения. № 765 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки P и M находятся по разные стороны от точки K; a)

P

K

M

б)

M

K

P

PM = MK + KP = MK + 3MK = 4MK, значит, 4MK = 8; MK = 2, значит KP = 3 · 2 = 6; а) M = K + MK = –1 + 2 = 1; P = K – PK = –1 – 6 = –7; б) M = K – MK = –1 – 2 = –3; P = K + KP = –1 + 6 = 5. Случай 2. Точки M и P располагаются по одну сторону от точки K; a)

K

M

P

б)

P

M

K

PM = PK – KM = 3MK – MK = 2MK; 2MK = 8, значит MK = 4; PK = 3 · MK = 4 · 3 = 12; а) M = K + MK = –1 + 4 = 3; P = K + KP = –1 + 12 = 11; б) M = K – MK = –1 – 4 = –5; P = K – KP = –1 – 12 = –13. Итого получается, что задача имеет четыре решения.

133

§ 27. Координатная плоскость № 766 а) x = 2, y = 4; б) x = – 3, y =6; в) x =12, y = – 4; г) x = – 3, y = – 0,5. № 767 а) M – в первом, P – в четвертом, N – во втором, Q – в третьем; б) X – в третьем, K – в первом, Y – во втором, L – в четвертом; в) A – во втором, C – в четвертом, B – в первом, D – в четвертом; г) R – в четвертом, E – во втором, S – в третьем, F – в первом. № 768 № 769 а) 6; б) – 2; в) – 8; г) – 9. а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. № 770 № 771 а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. а) 3; б) 2; в) 3; г) 2. № 772 а) A(1,1), B(– 2,4), C(6,6), D(– 2, – 2); б) M(2,5), N(4,– 2), Q(– 5,– 3), R(– 2,– 5); в) X(2,– 3), Y(– 5,6), E(2,1), F(– 5,1); г) S(7,2), K(– 5,– 1), P(– 2,– 2), S(7,2). № 773 а) A(2,0), S(0,2), K(– 1,0); б) D(0,– 2), N(0,4), B(3,0); в) P(– 5,0), Q(0,– 6), S(0,2); г) R(7,0), M(0, –4), L( –3,0). № 774 а) A1(4, 5), A2(4, 2), A3(4, –1), A4(4, –4); б) B1(2, 5), B2(2, 1), B3(2, 0), B4(2, –3); в) C1(–2, 5), C2(–2, 3), C3(–2, 0), C4(–2, –3); г) D1(–4, 7), D2(–4, 4), D3(–4, –1), D4(–4, –4). № 775 а) N1(–3, 5), N2(0, 5), N3(3, 5), N4(7, 5); б) M1(–4, 2), M2(–4, 2), N3(2, 2), N4(6, 2); в) K1(–3, 0), K2(–1, 0), K3(3, 0), K4(5, 0); г) L1(–5, –4), L2(–2, –4), L3(2, –4), L4(6, –4). № 776 а) x = 3; б) y = 3; Y

Y

1

1 0

134

1

X

0

1

X

в) y = 1;

г) x = 8.

Y

Y

1

1

0

1

0

X

№ 777 а) x = –2;

1

X

б) x = – 4;

Y

Y

1 0 в) y = –5;

1 1

0

X

1

X

г) x = –1.

Y

Y

1 0

1

X

1 0

№ 778 а) x = 0,5;

X

1

X

б) y = –1,5; Y

Y

1 0

1

1 1

X

0

135

в) y = 3,5;

г) x = – 6,5. Y

Y

1

1 0

1

0

X

1

X

№ 779 а) ордината; б) абсцисса. № 780 а) на прямой х = 5; в) на прямой х = 9;

б) на прямой х = – 7; г) на прямой х = – 1.

№ 781 а) на прямой y = – 3; в) на прямой y = 8;

б) на прямой y = – 12; г) на прямой y = 4.

№ 782 D(б)

Y A(a)

2 0

1

X

С(в)

D(г)

№ 783 Y

M

L 2 0 R

136

1

X S

№ 784 Y

1 P 0

1

E

X

F

№ 785

а) Y A B 2 0

1

X

1

X

б) Y

C 2 0

B

137

в) Y

1 0

N 1

X

M

г) Y

1 0

1

Q

X

P

№ 786

а) Y L

K 1 0

138

1

X

б) Y E 1 0

1

X M

в) Y

1 0

1

X

г) Y

X

2 0

1

X

Y

139

№ 787

а) Y C B 2 0

1

X A

б) Y K

2 0

M 1

X

N

в) Y P 1 0

D

140

1

E

X

г) Y S 2 0

1 L

X

P

№ 788

а)

б) Y

Y F

E

E

F 1

1 0

1

G

0

X

H

1

H

в)

X G

г) F

Y

Y

G

F

1 E

0

1

H

0

X E

G

1 1

H

X

№ 789 а) (– 1, 4); (–3, –4); (3, 4); (5, –4); в) (–1, 8); (–3, 0); (3, 8); (5, 0); б) (–2, 0); (4, 0); (0, 4); (0, –4); г) (–4, 4); (–6, –4); (0, 4); (2, –4).

141

№ 790 Y B

C 2

3

1

A

0

1

D X 1

Координаты вершин третьего квадрата: (–4, 0); (–2, 0); (–2, –2); (–4, –2) № 791 а) x2 = 4; x2 – 4 = 0; (x –2)(x + 2) = 0; x = 2 или x = –2, значит, графиком уравнения x2 = 4 являются прямые x = 2 и х = – 2; б) y2 = 4; y2 – 4 = 0; (y –2)(y + 2) = 0; y = 2 или y = –2, значит графиком уравнения y2 = 4 являются прямые y = 2 и y = – 2; в) x2 – 5x = 0; x(x – 5) = 0; x = 0 или x = 5, значит графиком уравнения x2 – 5x = 0 являются прямые x = 0 и х = 5; г) y2 + 2y = 0; y(y + 2) = 0; y = 0 или y = –2, значит графиком уравнения y2 + 2y = 0 являются прямые y = 0 и y = –2. № 792 а) (0, 0); (0, 6); (–2, 6); (0, 11); (2, 11); (2, 0); б) (0, 2); (–2, 2); (–2, 4); (–1, 5); (3, 5); (4, 4); (4, 1); (3, 0); (4, –1); (4, –4); (3, –5); (–1, –5); (–2, –4); (–2, –2); (0, –2); (0, –3); (2, –3); (2, –1); (1, 0); (2, 1); (2, 3); (0, 3); в) (–4, 0); (–4, 6); (2, 6); (2, 4); (–2, 4); (–2, 2); (1, 2); (2, 1); (2, –4); (1, –5); (–3, –5); (–4, –4); (–4, –2); (–2, –2); (–2, –3); (0, –3); (0, 0); г) (–1, 1); (–1, 3); (1, 3); (1, 1); (–1, –1); (1, –1); (1, –4); (–1, –4); (–2, 0); (–3, 1); (–3, 4); (–2, 5); (2, 5); (3, 4); (3, 1); (2, 0); (3, –1); (3, –5); (2, –6); (–2, –6); (–3, – 5); (–3, –1). № 793

Y C

L

1 0

A

K 1

X

F

T E

L(–3, 0); K(3, 0). 142

B

№ 794 A(3, 1); B(3, –4), значит сторона квадрата a = 1 – (–4) = 5. Квадрат ABCD может располагаться следующим образом : 1) Вершины С и D справа от отрезка AB, тогда С(3 + 5, –4), следовательно, C(8, –4); D(3 + 5, 1), следовательно, D(8, 1). 2) Вершины С и D слева от отрезка AB, тогда С(3 – 5, –4), следовательно, C(–2, –4); D(3 – 5, 1), следовательно, D(–2, 1). Других случаев расположения вершин быть не может, потому что вершины квадрата нумеруются по часовой или против часовой стрелки. Задача имеет два решения. № 795 B(2, 2); D(–2, –2) или B(–2, –2); D(2, 2). Так как вершины А и С являются противоположными, другого расположения вершин B и D быть не может, следовательно задача имеет два решения. № 796 Из того, что АВ параллельна оси координат следует, что абсцисса точки В равна абсциссе точки А. Из того, что начало координат лежит внутри квадрата следует, что начало координат лежит внутри квадрата и ордината и ордината точки А положительна следует, что B(–2, 3 – 6), т.е. В(–2, –3); С(–2 + 6, –3); С(4, –3); D(–2 + 6, 3); D(4, 3). № 797 (4, 4); (4, –4); (–4, 4); (–4, –4). № 798

а)

б) Y

Y

1 0

1 0

1

1

X

X

143

№ 799

а)

б) Y

Y

1 0

1

1 X

0

1

X

№ 800

а) Y

2 0

144

2

X

б) Y

1 0

1

X

145

№ 801

а) Y

1 0

1

X

1

X

б) Y

1 0

146

№ 802 а) xy + 2 – 2y – x = 0; y(x – 2) + 2 – x = 0; (y – 2)(x – 2) = 0; y = 2 или x = 2; Y

1 0

1

X

б) xy2 = 4x; xy2 – 4x = 0; x(y2 – 4) = 0; x(y – 2)(y + 2) = 0; x = 0 или y = 2 или y = –2; Y

1 0

1

X

в) yx2 + 9y; y(x2 + 9); y = 0; Y

1 0

1

X

г) 4 + xy + 2(x + y) = 0; 4 + x(y + 2) + 2y = 0; 2(y + 2) + x(y + 2) = 0; (x + 2)(y + 2) = 0; x = –2 или y = –2. Y

1 0

1

X

147

§ 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график № 803 а) да; б) да; в) да; г) да. № 804 а) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что задействована только одна переменная; б) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что задействована только одна переменная; в) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что в нем есть одночлен второй степени; г) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что в нем есть одночлен второй степени.

перепереперепере-

№ 805 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 806 а) да; б) нет; в) нет; г) да. № 807 а) (6; 2); (0; 20); (4; 8); б) (2, 0); (2,5; 2,5). № 808 2⎞ ⎛ а) ⎜ 0;− ⎟ ; (3; –1); 5⎠ ⎝

б) (8, –12); в) (2, –1); (5, 20); г) (–18, –4); (9, –1).

№ 809 а) В одной корзине х яблок, а в другой y яблок. Если их высыпать на стол и взять со стола 10 яблок, то на столе будет пусто. б) В магазине есть в продаже x курток. Если один покупатель купит y курток, а затем придет другой и купит еще 3 куртки, то в магазине курток не останется. в) В раздевалке находится х спортсменов. Если y спортсменов уйдут домой, а 8 спортсменов в душ, то раздевалка опустеет. г) На фирме x управляющих и y служащих. Если с фирмы уйдут 12 человек, то на фирме никого работать не останется. № 810 M: 5 + 14 – 7 = 0 – неверно, значит точка М не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; N: 0 + 7 – 7 = 0 – верно, значит точка N принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; K: 7 + 0 – 7 = 0 – верно, значит точка K не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; L: 2 + 6 – 7 = 0 – неверно, значит точка L не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0. 148

№ 811 3 4 ⎛ 3 4⎞ 2 +5 –8=8–8=0 – верно, значит, точка ⎜ 2 ,5 ⎟ является решением 7 7 ⎝ 7 7⎠ уравнения x + y – 8 = 0; x + y – 8 = 0; y = 8 – x. Можно взять следующие решения : (1, 7); (2, 6); (3, 5). № 812 а) x + y – 5 = 0, y = 5 – x; б) x – y = 0, y = x; 7+х . в) 2x + y – 7 = 0, y = 7 – 2x; г) x + 3y + 7 = 0, y = – 3 № 813 а) 3x + 2y – 6 = 0; 2y – 6 = 0; y = 3. Ответ: 3. 7y = –14; y = –2. Ответ: –2. б) 5x – 7y – 14 = 0; Ответ: – 3. в) 15x – 25y – 75 = 0; 25y = –75; y = –3. г) 81x – 15y – 225 = 0; 15y = –225; y = – 15. Ответ: – 15. № 814

1 1 . Ответ: 2 2 б) 11x + 13y – 16 = 0; 55 + 13y – 16 = 0; 13y = –39. y = – 3. Ответ: –3 в) 19x – 11y – 24 = 0; 57 – 11y – 24 = 0; 11y = 33; y = 3. Ответ: 3. –24 + 2y + 30 = 0; 2y = –6; y = – 3. Ответ: –3. г) 3x + 2y + 30 = 0; № 815 а) 6x + 2y – 1 = 0; –0,6 + 2y – 1 = 0; 2y = 1,6; y = 0,8. Ответ: 0,8. б) 7x – y – 4 = 0; –15 – y – 4 = 0; y = – 19. Ответ: – 19. в) 3x + 5y – 10 = 0; 1,5 + 5y – 10 = 0; 5y = 8,5; y = 1,7. Ответ: 1,7. 71 г) 9x – 2y – 3 = 0; 74 – 2y – 3 = 0; 2y = 71; y = . Ответ: 30,5. 2 № 816 а) 6x + 12y – 42 = 0; 6x – 42 = 0; x = 7. Ответ: 7. б) 17x – 5y + 85 = 0; 17x + 85 = 0; x = –5. Ответ: –5. в) 8x – 35y = 96; 8x = 96; x = 12. Ответ: 12. г) 16x + 54y = 64; 16x = 64; x = 4. Ответ: 4. № 817 а) 4x + 7y – 12 = 0; 4x – 28 – 12 = 0; 4x = 40; x = 10. Ответ: 10. б) 23x – 9y + 5 = 0; 23x + 18 + 5 = 0; 23x = – 23; x = –1. Ответ: –1. в) 5x – 3y – 11 = 0; 5x – 9 – 11 = 0; 5x = 20; x = 4. Ответ: 4. г) 2x + 4y + 9 = 0. 2x + 13 = 0; 2x = –13; x = –6,5. Ответ: –6,5 № 818 8 1 а) 6x + 3y – 2 = 0; 6x + 10 – 2 = 0; 6x = – 8; x = – . Ответ: –1 . 6 3 б) 3,5x – 5y – 1 = 0; 3,5x – 2,5 – 1 = 0; 3,5x = 3,5; x = 1. Ответ: 1. 149 а) 8x + 6y – 11 = 0;

8 + 6y – 11 = 0;

6y = 3;

y=

7 . Ответ: –3,5. 2 19 3 г) 8x + 5y – 3 = 0; 8x + 22 – 3 = 0; 8x = – 19; x = – . Ответ: –2 . 8 8 в) 4x – 2y + 11 = 0; 4x + 3 + 11 = 0; 4x = – 14; x = –

№ 819 а) 21 – 3y – 12 = 0; 3y = 9; y = 3. Ответ: 3. б) 11x + 42 – 31 = 0; 11x = – 11; x = – 1. Ответ: – 1. № 820 а) x + y – 4 = 0; y = 4 – x;

X Y

0 4

б) 2x – y + 5 = 0; y = 2x – 5;

4 0

X Y

0 –5

4 x -8

0

-4

4

8

-8

в) x + 2y – 3=0; 3− х ; y= 2

1 1

1 2 3 4 5

г) –x – y + 6 = 0; y = 6 – x.

3 0 3

x

0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

-4

X Y

y

5 4 3 2 1

y

8

2 –1

X Y

3 3

6 0

y

6

y

2

3

1 x -3

-2

-1 0 -1 -2

150

1

2

x

3

-6

-3

0 -3

3

6

№ 821 а) 5x + 3y – 15 = 0; 15 − 5 х y= ; 3

X Y

0 5

б) 7x – 4y + 28 = 0; 7 х + 28 y= ; 4

3 0 5 4 3 2 1

X Y

0 7

–4 0

y

0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

14

y

7 x

x 1 2 3 4 5

-4

0

-2

2

4

-7 -14

в) 6x + 3y + 18 = 0;

г) 8x – 3y – 24 = 0; 8 х − 24 . y= 3

2x + y + 6 = 0; y = –6 – 2x;

X Y

–3 0

0 –6 6

X Y

3 0

0 –8

y

8

y

4

3

x

x -6

-3

0

3

6

-6

-3

0

-3

-4

-6

-8

3

6

151

№ 822 а) 7t + 9s + 63 = 0; −63 − 7t s= ; 9

t s

–9 0

б) 3t – 4s – 12 = 0; 3t − 12 s= ; 4

0 –7 14

t s

4 0

0 –3

s

6

s

3

7 t -18

0

-9

9

18

2 0

-8

0

-4

-7

-3

-14

-6

в) 5t – 2s = 10; 10 − 5t s= ; 2

t s

t 4

г) 4t + 9s + 36 = 0; −36 − 4t s= . 9

0 5 10

t s

–9 0

0 –4

s

8

s

4

5

t

t -4

-2

0

2

4

-18

-9

0

-5

-4

-10

-8

№ 823 а) 30 – 22 = 8 и 60 + 14 = 74, т.е. прямые пересекаются; б) –12 + 14 = 2 и –4 + 10 = 6, т.е. прямые пересекаются.

152

8

9

18

№ 824 а) x – y = – 1 и 2x + y = 4; y = x + 1 и y = 4 – 2x. Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. x + 1 = 4 – 2x; x = 1; y = x + 1 = 2.

Ответ: (1; 2) 6 − 4х и y = 4 – 2x. 3 Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. 6 − 4х = 4 – 2x; 6 – 4x = 12 – 6x; x = 3; y = 4 – 2 · 3 = – 2. 3 Ответ: (3; –2). б) 4x + 3y = 6 и 2x + y = 4; y =

№ 825 а) 3a + 8b = 24; 3a + 8b = 24; б) 6с + 5d = 30; 6с + 5d = 30; 3a = 24 – 8b; 8b = 24 – 3a; 6c = 30 – 5d; 5d = 30 – 6c; 24 − 8b 24 − 3a 30 − 5d 30 − 6c ; b= ; c= ; d= ; a= 3 8 6 5 в) 12m – 3n = 48; 12m – 3n = 48; г) 7x – 8y = 56; 7x – 8y = 56; 4m – n = 16; 4m – n = 16; 7x = 56 + 8y; 8y = 7x – 56; 16 + n 8 y + 56 7 х − 56 ; n = 4m – 16; x= ; y= . m= 4 7 8 № 826 а) 3t – 2z + 6 = 0; 3t = 2z – 6; 2z − 6 ; t= 3 в) 11u+2v+22=0; 11u = – 22 – 2v; 22 − 2v u=– ; 11

3t – 2z + 6 = 0; 2z = 3t + 6; 3t + 6 z= ; 2 11u+2v+22=0; 2v=–22–11u; 22 − 11u v=– ; 2

б) 7s + 9t – 63 = 0; 7s = 63 – 9t; 63 − 9t s= ; 7 г) 25r–4w–100=0; 25r = 4w + 100; 4 w + 100 r= ; 25

7s + 9t – 63 = 0; 9t = 63 – 7s; 63 − 7 s t= ; 9 25r–4w–100=0; 4w = 25r – 100; 25r − 100 w= . 4

№ 827 а) x + 3y – 20 = 0; x = 20 – 3y. Для того чтобы пара чисел состояла из двух одинаковых чисел, нужно чтобы x = y: x = 20 – 3x; x = 5; y = x = 5. Ответ: (5; 5). б) Пусть х = 2y, тогда уравнение примет вид 2y + 3y – 20 = 0; 5y = 20; y = 4; x = 2y = 2 · 4 = 8. Ответ: (8; 4). № 828 ax+5y–40=0. а) (3;2) Подставим эти значения в исходное уравнение: a⋅3+5⋅2–40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3a=30; a=3. Ответ: а=3.

153

б) (9;–1) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ 9 + 5 ⋅ (–1) – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 9a=45; a=5. Ответ: a = 5. ⎛1 ⎞ в) ⎜ ;0 ⎟ Подставим эти значения в исходное уравнение: ⎝3 ⎠ а ⎛1⎞ = 40; a=120. a ⋅ ⎜ ⎟ + 5 ⋅ 0 · 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3 ⎝ 3⎠ Ответ: a = 120. г) (–2; 2,4) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ (–2) + 5 ⋅ 2,4 – 40=0. Получаем ур-е, относительно a: –2a = 28; a = –14. Ответ: a = –14.

№ 829 а) b – 35 = 0; b = 35; б) 18 + 8,5y – 35 = 0; 8,5b = 17; b = 2; в) 2 + 11b – 35; 11b = 33; b = 3; г) – 30 – 13b – 35 = 0; 13b = – 65; b = –5. № 830 а) 16 – 3 – c = 0; c = 13; б) 25 – 13 – c = 0; c = 12; г) –c = 0. c = 0. в) 1 – 2 – c = 0; c = –1; № 831 а) 12 – 2m = 0; m = 6; 1 б) 2m + 2 – 12m = 0; – 10m = – 2; m = ; 5 в) 12m – 12m = 0; 0 = 0; При любом m г) –m + 13 – 12m = 0; 13m = 13; m = 1. № 832 Пусть х – первое число. Тогда (5 – х) – второе число. x – (5 – x) = 1; x – 5 + x = 1; x=3 – первое число; 5 – 3 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. № 833 Пусть х – первое число. Тогда (7 – х) – второе число. 2x + 7 – x = 8; x = 1 – первое число; 7 – 1 = 6 – второе число. Ответ: 1; 6. № 834 Пусть х – первое число. Тогда (х – 1) – второе число. x + 3(x – 1) = 9; 4x = 12; x = 3 – первое число; 3 – 1 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. 154

№ 835 Пусть х – вычитаемое. Тогда 4х – уменьшаемое. 4x – x = 3; x = 1 – вычитаемое; 4 ⋅ 1 = 4 – уменьшаемое. Ответ: 1; 4. № 836 Пусть х – девочек участвовало в турнире. Тогда 1,5х – мальчиков участвовало в турнире. 1,5x + x = 10; x = 4 – девочек участвовало в турнире; 1,5 ⋅ 4 = 6 – мальчиков участвовало в турнире. Ответ: 4; 6. № 837 Пусть х – лет сестре. Тогда (х + 2) – лет брату. х + х + 2 = 14; 2x = 12; x = 6 – лет сестре; 6 + 2 = 8 – лет брату. Ответ: 6; 8. № 838 Пусть х – синиц сидело на ветке. Тогда 2х – воробьев сидело на ветке. х + 2х = 9; x = 3 – синиц сидело на ветке; 2 ⋅ 3 = 6 – воробьев сидело на ветке. Ответ: 3; 6. № 839 Пусть х – мальчиков учится в седьмых классах. Тогда 1,3х – девочек учится в седьмых классах. 1,3x – x = 12; 0,3x = 12; x = 40 – мальчиков учится в седьмых классах. Найдем сколько учеников учится в седьмых классах: 1,3х + х = 2,3х = 2,3 ⋅ 40 = 92 – ученика учится в седьмых классах. Ответ: 92. № 840 Пусть х – человек занимается в историческом кружке. Тогда (х + 7) – человек занимается в математическом кружке. x + x + 7 = 35; 2x = 28; x = 14 – человек занимается в историческом кружке; 14 + 7 = 21 – человек занимается в математическом кружке. Ответ: 14; 21. № 841 Пусть х – первое число. Тогда 4х – второе число. x + 4x = 52,5; 5x = 52,5; x = 10,5 – первое число; 4 ⋅ 10,5 = 42 – второе число. Ответ: 10,5; 42.

155

№ 842 Пусть х – первое число. х ⋅ 100 – второе число. Тогда 87 100 13 x – x = 3,9; x = 3,9; x = 0,3 ⋅ 87; 87 87 100 x = 26,1 – первое число; 26,1 ⋅ = 30 – второе число. 87 Ответ: 26,1; 30. № 843

Пусть х – первое число. Тогда

100 х – второе число. 124

100 224 x = 112; x = 112; 124 124 100 x = 62 – первое число; 62 · = 50 – второе число. Ответ: 50; 62. 124 № 844 а) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p p2 – 6p + 8 = 0; p2 – 2p – 4p + 8 = 0; (p – 4)(p – 2) = 0; p = 4 или p = 2. Ответ: при p = 2 или при p = 4 б) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p –p2 + 2p + 8 = 0; –p2 – 2p + 4p + 8 = 0; (4 – p)(p + 2) = 0; p=4 или p = – 2. Ответ: при p = –2 или при p = 4 № 845 а) x2 – y2 = 0. (x – y)(x + y) = 0; б) x2 = 4y2; (x – 2y)(x + 2y) = 0; х х x = y или x = –y; y = или y = – ; 2 2 y y 8 8 x+

4

4

x

x -8

156

-4

0

4

8

-8

-4

0

-4

-4

-8

-8

4

8

в) y2 = 9x2; (y – 3x)(y + 3x) = 0;

г) 16x2–25y2=0; (4x–5y)(5y + 4x)=0; 4 4 y = x или y = – x. 5 5

y = 3x или y = – 3x; y

6

8

y

4

3

x

x -6

0

-3

3

-10

6

0

-3

-4

-6

-8

№ 846 а) x2 – 6xy + 8y2 = 0; x2 – 6xy + 9y2 – y2; (x – 3y)2 – y2; (x – 4y)(x – 2y) = 0; 1 1 y = x или y = – x; 4 4 4

-5

5

10

б) 2x2 + 5xy + 2y2 = 0; x2 + 2,5xy + y2 = 0; x2 + 2,5xy + 1,5625y2 – 0,5625y2 = 0; (x + 1,25y)2 – (0,75y)2 = 0; 1 (x + 0,5y)(x + 2y) = 0; y = – 2x; y=– x; 2

y

4

2

y

2

x -16

0

-8

8

x

16

-4

-2

y

2 x -2

0

2

4

-2

4

-4

-2

0

2

4

в) x2 + xy – 2y2; x2 + xy + 0,25y2 – 2,25y2; (x + 0,5y)2 – (1,5y)2; (x – y)(x + 2y) = 0; y = x; х или y = – ; 2

-2

157

г) 3x2 – 10xy + 3y2; 4x2 – 8xy + 4y2 – x2 – y2 – 2xy = 0; (2x – 2y)2 – (x + y)2 = 0; (x – 3y)(3x – y) = 0; 1 y = x; 3 или y = 3x.

3

y

2 1 x -3

-2

-1 0 -1

1

2

3

-2 -3

§ 29. Линейная функция и ее график № 847 а) k = 2, m = 3; б) k = 1, m = −6; в) k = 19, m = −15; г) k = −1, m = 11. № 848 а) k=0,7, m=9,1; б) k=−5,7, m=−3,5; в) k=−0,7, m=9,1; г) k=1,4, m = −2,5. № 849 1 4 8 1 15 3 1 а) k = , m = ; б) k=− , m=− ; в) k = , m = − ; г) k = −1, m = . 3 5 9 2 17 4 7 № 850 15 7 3 19 11 9 7 а) k = , m = − ; б) k = 2, m = ; в) k = , m = − ; г) k = , m = . 12 2 4 15 5 5 5 № 851 3 5 1 7 12 а) k = − , m = ; б) k = , m = 2; в) k = , m = ; г) k = −2, m = 2. 4 4 3 5 5 № 852 8 8 а) y = − x + 3; k = − , m = 3; 3 3 3 3 в) y = − x + 3; k = − , m = 3; 4 4

5 5 x − 5; k = , m = − 5; 2 2 7 7 г) y = − x + 7; k = − , m = 7. 5 5

б) y =

№ 853 а) y = − 12x + 17; k = −12, m = 17; б) y = − 19x + 5; k = −19, m = 5; в) y = − 36x + 40; k = −36, m = 40; г) y = − 15x + 53; k = − 15, m = 53. № 854 а) y = x − 9; k = 1, m = −9; в) y = x + 15; k = 1, m = 15; 158

б) y = 7x + 11; k = 7, m = 11; г) y = 35x − 8. k = 35, m = −8.

№ 855 5 5 7 11 7 11 а) y = − x; k = − , m = 0; б) y = x − ; k = , m = − ; 6 6 9 9 9 9 15 15 2 2 x; k = , m = 0; г) y = − x + 19. k = − , m = 19. в) y = 12 12 3 3 № 856 а) y = 5 · 1 + 6 = 11; в) y = 12 · 3 + 1 = 37;

б) y = 7 · 0 − 8 = − 8; г) y = 9 · 2 − 7 = 11.

№ 857 а) y = 2 · 3 + 1 = 7; в) y = 2 · (−2) + 1 = −3;

б) y = 2 · 4,5 + 1 = 10; г) y = 2 · (−3,8) + 1 = −6,6.

№ 858 а) y = 0,5 · 6 − 4 = −1; в) y = 0,5 · (−7) − 4 = −7,5;

б) y = 0,5 · 3,2 − 4 = 2,4; г) y = 0,5 · (−8,9) − 4 = −8,45.

№ 859 а) 5x − 3,5 = 13,5; 5x = 17; x = 3,4;

б) 5x − 3,5 = 0; 5x = 3,5; x = 0,7;

в) 5x − 3,5 = −3,5; 5x = 0; x = 0;

г) 5x − 3,5 = − 6,5. 5x = − 3; x = −

3 . 5

№ 860 а) 4,3x + 2,8 = 24,3; 4,3x = 21,5; x = 5; б) 4,3x + 2,8 = 13,55; 4,3x = 10,75; x = 2,5; в) 4,3x + 2,8 = 4,52; 4,3x = 1,72; x = 0,4; г) 4,3x + 2,8 = − 1,07. 4,3x = − 3,87; x = −0,9. № 861 а) y = 5x + 6; б) y = 2x − 1;

0 6

x y

−2 −4

x y

0 −1

Y

Y

8

8

6

6

4

4

2 -8 -6

-4

-2 0 -2

4 7

2

X 2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

X 2

4

6

8

159

в) y = 2x + 6;

г) y = 3x − 4; 0 6

x y

−2 2

0 −4

x y

Y

Y 8

8

6

6

4

4

2 -8 -6

-4

-2 0 -2

2

X 2

4

6

8

X -8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

№ 862 а) y = x + 2;

2 4

0 −3

x y

160

6

8

Y

8

8

6

6

4

4

2 -4

4

3 0

Y

-8 -6

2

б) y = x − 3; 0 2

x y

2 2

-2 0 -2

2

X 2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

X 2

4

6

8

в) y = x + 5;

г) y = x − 1. 0 5

x y

−2 3

8

6

6

4

4 2

2 2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

№ 863 а) y = 4x − 6;

X y

X

X

-2 0 -2

-4

2 1

Y

Y

8

-8 -6

0 −1

X y

2

4

6

8

б) y = 5x + 7;

1 −2

3 6

0 7

X y

−2 3

Y

Y 21

8 6

14

4 7

2

X

X -8 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0

2

4

6

8

-7

-4 -6 -8

-14 -21

161

в) y = 3x − 3;

г) y = 2x + 1.

0 −3

X y

2 3

0 1

X Y

−2 −3

Y

Y

9

4

6 2 3 X -9

-6

0

-3

3

6

9

X -4

0

-2

2

4

-3 -2 -6 -9

-4

№ 864 а) y = −x + 2;

б) y = −x − 3; 0 2

X Y

2 0

0 −3

X Y

Y

2 −5

9

4

Y

6 2

3 X

X -4

-2

0

2

4

-9

-6

-3

0 -3

-2

-6 -4

162

-9

3

6

9

в) y = −x + 1;

г) y = −x − 8. 0 1

X Y

−2 3

0 1

X Y

−2 −3

Y

Y

16

4

12 8

2

4

X -4

0

-2

2

-16 -12 -8

4

X

-4 0 -4

4

8

12 16

4

6

-8

-2

-12 -16

-4

№ 865 а) y = −3x + 2;

б) y = −4x + 1;

0 2

X Y

2 −4

8

-4

−1 5

Y 8

6

6

4

4

2 -8 -6

0 1

X Y

-2 0 -2

2

X 2

4

6

8

Y

X -8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

2

8

163

в) y = −7x + 3;

г) y = −5x + 2.

0 3

X Y

1 −4

0 2

X Y

2 −8

Y

Y

12

8 6

8

4

4

2

X

X -8 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-12

8

-8

-4

0

4

8

12

-4

-4

-8

-6 -8

-12

№ 866 а) y = 0,4x + 2; X Y

б) y = 3,5x − 1;

0 2

5 4

5 4

0 −1

X Y

Y

Y 6 4

3 2

2

1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5

164

2 6

X

1 2 3

4 5

X

-6

-4

-2

0 -2 -4 -6

2

4

6

в) y = 0,2x − 4; X Y

г) y = 2,5x + 5.

0 −4

10 −2

0 5

X Y

−2 0

Y

6

Y

15

4

10

2

5 X

-15

-10

0

-5

5

10

15

-6

-4

-2

-2

-5

-4

-10

-6

-15

№ 867 а) y = −2,5x − 3; X Y

X

0

2

4

6

б) y = −0,5x + 1;

0 −3

−2 2

X Y

0 1

−4 3

Y 3

3

2

2

1

Y

1 X

-6

-4

-2

0

2

4

6

X

-6

-4

-2

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

2

4

6

165

в) y = −1,5x + 8;

г) y = −3,5x − 2.

2 5

X Y

4 2

0 −2

X Y

−2 5

Y

6

Y 6

4

4

2

2 X

-6

-4

0

-2

2

4

6

-4

0

-2

-2

-2

-4

-4

-6

-6

№ 868 а) S = 1,5t + 0,5;

3 6

6

2

4

6

б) S = −3,5t + 4,5;

1 2

T S

X

-6

1 1

T S

s

3 −6

6

s

4

4

2

2

t

t

-6

166

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

-2

0

-2

-2

-4

-4

-6

-6

2

4

6

в) S = −4,5t − 2,5; T −1 1 S 2 −7

г) S = 2,5t − 3,5. T 1 3 S −1 4

s 8

s

6

6

4

4 2

2

t

t

-3

-2

-1

0 -2

1

2

3

-3

-2

0

-1

1

2

3

-2

-4 -4

-6 -8

-6

№ 869 2 а) S = t − 1; 3 T 0 S −1

б) S = − 3 1

T S

1 t + 1; 2 0 6 1 −2

s

s 3

3

2

2 1

1

t

t

-3

-2

-1

0

1

2

3

-6

-4

-2

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

2

4

6

167

в) S =

1 t − 2; 2 T 0 S −2

г) S = − 4 0

T S

2 t + 1. 3 0 3 1 −1

s

s

3

3

2

2

1

1 t

-6

-4

0

-2

2

4

6

-4

-2

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

№ 870 1 1 а) u = z + ; 4 4

3 1

Z u

t

-6

−1 0

б) y =

1 1 x− ; 3 3

X Y

1 0

2

4

6

4 1

u

Y

3

4 3

2

2 1

1

X

z

-6

-4

-2

0 -1

2

4

6

-4 -3

-2

-1 0 -1 -2

-2 -3

168

-3 -4

1

2

3

4

5 1 a+ ; 3 3

в) b =

г) S =

1 2

A B

−2 −3

3 2 t+ . 10 5 2 1

T S

s

b 4

4

3

3

2

2

1 -4 -3

1

a

-1 0 -1

-2

7 2,5

1

2

3

-8 -6

4

-4

-2 0 -1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

t 2

4

6

8

№ 871 Для того чтобы найти точку пересечения графика функций аналитически, приравняем ординаты функций а) x + 4 = 2x; x = 4; y = 4 + 4 = 8. Ответ: (4; 8). б) −x = 3x − 4; x = 1; y = 3 − 4 = −1. Ответ: (1; −1). в) −2x + 3 = 2x − 5; 4x = 8; x = 2; y = 4 − 5 = −1. Ответ: (2; −1). г) 3x + 2 = −0,5x − 5; 3,5x = 7; x = 2; y = 3 · 2 + 2 = 8. Ответ: (2; 8). № 872 y 8 6 4 2 x -8 -6

-4

-2 0 -2 -4 -6 -8

2

4

6

8

y = x +4; а) С осью ОX : х + 4 = 0, х = − 4; (−4; 0). С осью ОY : y = 4 + 0 = 4, y = 4; (0; 4). б) При x = −2, y = −2 + 4 = 2. При x = −1, y = −1 + 4 = 3. При x = 0, y = 0 + 4 = 4. При x = 1, y = 1 + 4 = 5. x + 4 = 1; в) x + 4 = 4; x = 0; x = − 3; x + 4 = −2; x + 4 = 7; x = − 6; x = 3. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. 169

№ 873 y = −4x + 8; а)С осью ОY: y = 8 + 0 = 8; (0; 8). С осью ОХ: −4х + 8 = 0, х = 2; (2; 0). б) При x = 0, y = 0 + 8 = 8. При x = 1, y = −4 + 8 = 4. При x = 2, y = −8 + 8 = 0. При x = 3, y = −12 + 8 = −4. в) −4x + 8 = 0; x = 2; −4x + 8 = 4; x = 1; −4x + 8 = 8; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля. № 874 y = 2x − 1;

y 8 6 4 2 -8 -6

-4

x

-2 0 -2

2

4

6

8

-4 -6 -8

y 8 6

а) 2x − 1 = 0; y = 0 · 2 − 1; 4 1 x= ; y = − 1; 2 2 x (0,5; 0); (0; − 1). -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 б) При x = −3, y = 2 · (−3) − 1 = -2 = −7. -4 При x = −1, y = 2 · (−1) − 1 = -6 = −3. При x = 2, y = 2 · 2 − 1 = 3. -8 1 1 При x = , y = 2 · − 1 = 0. 2 2 2x − 1 = −1; 2x − 1 = 7; в) 2x − 1 = 5; x = 3; x = 0; x = 4. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. № 875 y = − 0,5x + 2; y = −0,5 · 0 + 2 = 2; а) −0,5x + 2 = 0; x = 4; (4, 0); (0, 2). б) При x = −2, y = −0,5 · (−2) + 2 = 3. При x = 4, y = −0,5 · 4 + 2 = 0. При x = −6, y = −0,5 · (−6) + 2 = 5. в) −0,5x + 2 = 1; x = 2; −0,5x + 2 = 0; x = 4; −0,5x + 2 = 2; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля. 170

y 8 6 4 2 x -8 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

8

-4

№ 876 y = −3x + 6; а) x < 2 ( x = 0, x = −2, x = 1); y > 0; б) x = 2; в) x < 2; г) x > 2. 8

y

y

8

6

6

4

4

2 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

x -6

8

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

8

y 4

6

3

4

2

-2 0 -2

4

6

8

4

6

8

3

4

y

1

x 2

2

№ 879 y = 4x + 4; а) x > −1; б) x ≤ −1; в) x < −1; г) x ≥ −1.

2 -4

2

x

№ 878 y = 3x − 6; а) x > 2; б) x ≤ 2; в) x < 2; г) x ≥ 2.

-6

№ 877 y = 2x − 6; а) x < 3 ( x = 2, x = 1, x = 0); y < 0; б) x = 3; в) x > 3; г) x < 3.

-3

-2

-1 0 -1

-4

-2

-6

-3

-8

-4

x 1

2

171

№ 880 y = −x − 2; а) x < −2; б) x ≥ −2; в) x > −2; г) x ≤ −2.

№ 881 y = −2x + 4; а) x < 2; б) x ≥ 2; в) x > 2; г) x ≤ 2.

y

y

4

4

3

3

2

2

1 -4 -3

-2

1

x

-1 0 -1

1

2

3

4

-4 -3

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

№ 882 y = 2x + 3; а) [0, 1];

x

-1 0 -1

-4

в) [1, 3];

8

6

6

4

4

2

4

6

8

-8 -6

-4

-4 -6

8

2

4

6

8

г) [−1, 1]. y

16

8

12

6

8

4 2

4

172

x

-2 0 -2

-6

y

-16 -12 -8

4

2

x

-4

-4 0 -4

3

y

8

2 -8 -6

2

б) [−2, 2];

y

-2 0 -2

1

x

x 4

8

12 16

-8 -6

-4

-2 0 -2

-8

-4

-12

-6

-16

-8

2

4

6

8

№ 883 y = 2x + 3; а) (−∞, 1);

б) (−2, ∞);

y

y

8

8

6

6

4

4

2 -8 -6

-4

2

x

-2 0 -2

2

4

6

8

-8 -6

-4

x

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

в) (−∞, −2);

2

8

y

8

8

6

6

4

4

2 -4

6

г) (0, ∞). y

-8 -6

4

2

x

-2 0 -2

2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

№ 884 y = 2x + 3; а) (−∞, 1];

x 2

4

6

8

б) [−2, ∞); 10

Y

4

Y

2

5

X

X -10

-5

0

5

10

-4

-2

0

-5

-2

-10

-4

2

4

173

в) (−∞, −2];

г) [0, ∞). 4

Y

4

Y

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

0

-2

-2

-2

-4

-4

№ 885 y = 2x + 3; а) (−2, 0);

2

4

б) (−2, −1); 4

Y

4

2

Y

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

-2

-2

г) (−1, 3). 6

Y

y 8 6

4

4

2

2

X -2 0 -2 -4 -6

174

4

-4

в) (−1, 1);

-4

2

-2

-4

-6

0

2

4

6

x -8 -6

-4

-2 0 -2 -4 -6 -8

2

4

6

8

№ 886 y = −3x + 1; а) [1, 2); 6

б) (−2, 1];

Y

6

4

4

2

2

X -6

-4

Y

8

-2 0 -2

2

4

6

X

-8 -6 -4 -2 0 -2

2

4

6 8

-4

-4

-6

-6

-8

в) [0, 1);

г) (−1, 0]. 4

Y

6

3

Y

4

2

2

1 -4 -3 -2 -1 0 -1

X

X 1 2

-6

3 4

-4

-2 0 -2

2

4

6

2

4

6

-2

-4

-3

-6

-4

№ 887 y = −3x + 1; а) (−∞, 0];

б) (2, ∞); 6

Y

6

4

4

2

2 X

X -6

-4

-2 0 -2 -4

2

4

6

Y

-6

-4

-2 0 -2 -4 -6

-6

175

в) (−∞, 0);

г) [1, +∞). 6

Y

6

Y

4

4

2

2 X -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

X -6

-4

№ 888 y = −3x + 1; а) [0, 2]; Y 6

8

2

-2 0 -2

2

4

6

4

6 8

-6

в) [−1, 1);

.г) (−2, 1]. Y

-8

8

Y

6

4

4

2 X

-4

2

-4

-6

-2 0 -2

X

-8 -6 -4 -2 0 -2

-4

-4

Y

4

X

-6

6

6

2

6

4

б) (1, 3);

4

-4

2

-4

-4

-6

-2 0 -2

2

4

6

2 -8 -6 -4 -2 0 -2

X 2

4

6 8

-4 6

№ 889 Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка.

176

а) −2 + 3 = 1, −1 + 3 = 2. б) −(−1) + 5 = 6, −4 + 5 = 1. в) −3 + 3 = 0, −1 + 3 = 2. г) −2 + 5 = 3, −5 + 5 = 0.

Ответ: 1 − наименьшее; 2 − наибольшее. Ответ: 1 − наименьшее; 6 − наибольшее. Ответ: 0 − наименьшее; 2 − наибольшее. Ответ: 0 − наименьшее; 3 − наибольшее.

№ 890 Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка. а) 4 · (−1)−1=−5, 4 · 2−1=7. Ответ: −5 − наименьшее; 7 − наибольшее. б) −2 · 0+5=5, −2 · 4+5=−3. Ответ: −3 − наименьшее; 5 − наибольшее. в) 3 · (−1)−2=−5, 3 · 1−2=1. Ответ: −5 − наименьшее; 1 − наибольшее. г) −5 · 0+7=7, −5 · 2+7=−3. Ответ: −3 − наименьшее; 7 − наибольшее. № 891 y = 3x − 9; а) (3; 0), (0; −9); б) x < 3; в) x > 3; г) −6; −3. 12

№ 892 y = −2x + 6; а) (3; 0), (0; 6); б) [4, 5]; в) x < 3; г) −2; 8.

Y

12

9

9

6

6

3 2 -9 -6 -3 0 -3

3

X 3

6

Y

-9 -6 -3 0 -3

9 12

-6

X 3

6

9 12

-6

-9

-9

-12

-12

№ 893 y = x + 5; а) (−5; 0), (0; 5); б) x < −5; в) [0, 1]; г) 1; 6. 15

№ 894 y = −3x + 6; а) (2; 0), (0; 6); б) [3, 8]; в) x < 2; г) 0; 3.

Y

6

Y

4

10

2

5

X

X -15 -10 -5 0 -5 -10

5

10 15

-6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-4

177

№ 895 а) y = 7,5x + 45; 7,5x + 45 = 0; y = 7,5 · 0 + 45; x = −6; y = 45; Ответ: (−6; 0), (0; 45). в) y = 3,4x − 27,2; 3,4x − 27,2 = 0; y =3,4 · 0 − 27,2; x = 8; y = −27,2; Ответ: (8; 0), (0; −27,2).

б) y = 2,6x − 7,8; 2,6x − 7,8 = 0; y = 2,6 · 0 − 7,8; x = 3; y = −7,8. Ответ: (3, 0), (0; −7,8). г) y = 18,1x + 36,2; 18,1x + 36,2 = 0; y = 18,1 · 0 +36,2; x = 3; y = 36,2. Ответ: (3, 0), (0; 36,2).

№ 896 Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через данную точку, нужно подставить значения абсциссы и ординаты точки в уравнение и посмотреть обращается ли уравнение в верное равенство. y = 3,2x − 5; а) 3,2 · 3 − 5 = 4,6 − верно, значит, проходит; б) 3,2 · 1,2 − 5 = 0 − неверно, значит, не проходит; в) 3,2 · 7,5 − 5 = 4 − неверно, значит, не проходит; г) 3,2 · 2,2 − 5= 2,04 − верно, значит, проходит. № 896 а) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. б) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно, наименьшего значения не существует. Наибольшее = −0,5 · (−2) + 1 = 2. в) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Наибольшее = 2,5 · 1 − 4 = −1,5, 2,5 · 2 − 4 = 1. г) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно, наименьшего значения не существует. Наибольшее = 2,5 · 0 − 4 = − 4. № 898 а) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале проме1 1 жутка, а наибольшее в конце. Наибольшее= · (−4)+2=1, · 4 + 2 = 3. 4 4 б) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно, наибольшего значения не существует. 1 · 0 + 2 = 2. Наименьшее = 4 178

в) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно, наибольшего значения не существует. Наименьшее = −1/3 · 6 − 1 = −3. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. № 899 а) x = 3x − 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; 6). б) x = 5x + 4; 4x = −4; x = − 1. Ответ: (−1; −1). № 900 а) −x = 2x + 9; 3x = −9; x = −3. Ответ: (−3; 3). б) −x = −3x + 8; 2x = 8; x = 4. Ответ: (4; −4). № 901 а) 2x = x + 15; x = 15; y = 2 · 15 = 30. Ответ: (15; 30). б) y = 6y − 35; y = 7; x = 3 · 7 = 21. Ответ: (21; 7). № 902 y = −5x + m; а) −5 · 1 + m = 2; m = 7; в) −5 · (−7) + m = 8; m = −27;

б) −5 · 0,5 + m = 4; m = 6,5; г) −5 · 1,2 + m = −3. m = 3.

№ 903 y = kx + 4;

а) 3k + 4 = 5; k =

1 ; 3

1 k + 4 = 1; k = −6; 2 1 г) k + 4 = −8. k = −36. 3

б)

в) −6k + 4 = −8; k = 2; № 904 6

Y

4 2 -6

-4

-2 0 -2

A 2

X 4

Так как функция y = 2x − 3 возрастает, А = 2 · 2 − 3 = 1. Так как функция y = 0,5x − 4 возрастает, B = 2 · 0,5 − 4 = −3. Следовательно, A > B.

6

B

-4 -6

179

№ 905 Из того что функция y = x − 4 возрастает следует, что С = 0 − 4 = −4. Из того что функция y = 4 − x убывает следует, что D = 4 − 1 = 3. Следовательно, D > C.

6 4

Y D

2 X -4

-2 0 -2

2

4

6

-4 C -6

№ 906 y = kx + m. а) Из того, что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще известно, что функция проходит через второй координатный угол. Откуда следует, что m > 0. б) Из того, что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще известно, что функция проходит через первый координатный угол. Откуда следует, что m > 0. в) Из того, что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще известно, что функция проходит через четвертый координатный угол. Откуда следует, что m < 0. г) Из того, что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще известно, что функция проходит через третий координатный угол. Откуда следует, что m < 0. № 907 y = kx + m. а) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y > 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y < 0, следовательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы, (не учитывая точку (0; 0) ) потому что m = 0. Ответ: график функции проходит через 1 и 3 координатные углы. б) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y < 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y > 0, следовательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы (не учитывая точку (0; 0) ) потому, что m = 0. Ответ: график функции проходит через 2 и 4 координатные углы.

180

№ 908 y = p2 − 2px; а) p2 − 2p = 3; p2 − 2p − 3 = 0; p2 + p − 3p − 3 = 0; p(p + 1) − 3(p + 1) = 0; p = 3 или p = −1; в) p2 = −4; Но квадрат числа не может равняться отрицательному числу, значит не при каких p.

б) p2 = 9; p2 − 9 = 0; (p − 3)(p + 3) = 0; p = 3 или p = −3; г) p2 + 4p = 5; p2 + 4p − 5 = 0; p2 + p − 5p = 0; p(p + 1) − 5(p + 1) = 0; p = 5 или p = −1.

§ 30. Прямая пропорциональность и ее график № 909 а) да; б) да; в) да; г) да. № 910 а) да; б) да; в) да; г) нет, потому что прямая пропорциональность задается уравнением вида y = kx, где k − произвольное число. № 911 а) 1; б) −8; в) 15; г) −1. № 912 а) 0,1; б) −7,5; в) −6,06; г) 5,4. № 913 5 1 1 1 . а) ; б) − ; в) − ; г) 14 3 17 21 № 914 а) y = 5x; б) y = −4x; x y

0 0 6

1 5

0 0

x y

Y

6

4

2 −8

Y

4

2

2 X

-6

-4

-2 0 -2 -4

2

4

6

X -4

-2 0 -2

2

4

6

-4

181

в) y = −2x; x y

0 0

г) y = 6x. x 0 y 0

3 −6

Y

6

Y

6

−1 −6

4 4

2

2

X

X -6

-2 0 -2

-4

2

4

6

-6

-2 0 -2

-4

2

4

-4

-4

-6

-6

№ 915 а) y = 2x;

б) y = −3x;

6

Y

6

Y

4

4

2

2

X

X -4

6

-2 0 -2

2

4

-4

6

-2 0 -2

-4

4

6

-4

-6

-6

в) y = −6x; 6

2

г) y = x. Y

6

Y

4

4

2

2

X

X -4

182

-2 0 -2

2

4

6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

2

4

6

№ 916 а) S = 0,5t;

б) S = −1,2t; s

6

s

6

4

4

2

2 t

-6

в) S =

-4

-2 0 -2

2

4

t

6

-6

-2 0 -2

-4

-4

-4

-6

-6

3 t; 7

г) S = −

6

4

6

t . 2

6

s

2

s

4

4

2

2

t

t -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

№ 917 а) 3k = 12; б) 5k = 25; в) −9k = 45; г) −11k = −99;

2

4

6

k = 4, функция возрастает; k = 5, функция возрастает; k = −5, функция убывает; k = 9, функция возрастает.

№ 918 а) y = kx; 2k = 8; k = 4; y = 4x;

б) y = kx; −16k = 32; k = −2; y = −2x; 183

6

Y

6

y

4

4

2

2

x

X -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

в) y = kx; 3k = −18;

4

6

г) y = kx; 6k = 9; 3 3 k = ; y = x. 2 2

k = −6; y = −6x; 6

2

y

6

y

4

4

2

2

x

x -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

2

№ 919 B(1; 4). а) y = 2x; 4 ≠ 2 · 1, значит, не проходит; б) y = −2x; 4 ≠ −2 · 1, значит, не проходит; в) y = 4x; 4 = 4 · 1, значит, проходит; г) y = −4x; 4 ≠ −4 · 1, значит, не проходит. № 920 S = kt.

7 = 1,4; S = 1,4t; 5 в) 3k = −9; k = −3; s = −3t; а) 5k = 7; k =

б) 2k = 8; k = 4; s = 4t; г) −4k = 12. k = −3; s = −3t.

№ 921 A(0; 0) y = −2x; 0 = −2 · 0, значит принадлежит; B(2; −4) y = −2x; −4 = −2 · 2, значит принадлежит; 184

4

6

C(5; 3) y = −2x; 3 ≠ −2 · 5, значит не принадлежит; D(−4; 8) y = −2x; 8 = −2 · (−4), значит принадлежит. № 922

1 x. 4 Внутри первого и третьего.

а) y = 4,5x.

б) y =

Внутри первого и третьего. y

9

y

8 6

6

4 2

3 x -9

-6

-3 0 -3

3

6

x

-8 -6 -4 -2 0 -2

9

2

4

6 8

-4 -6

-6

1 г) y = − x. 6 Внутри второго и четвертого.

в) y = −2,5x. Внутри второго и четвертого. 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

y

6 x 1 2 3 4 5

0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

x -12

0

-6

6

12

-6

№ 923 y = 0,4x; а) 0; 2; 4; −2; б) 0; 5; 10; −5; в) y > 0; г) y < 0. 5 4 3 2 1

y

12

№ 924 y = −2,5x; а) 0; −5; 5; б) 0; 2; −2; в) y ≥ 0; г) y ≤ 0.

y

x 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

y

x 1 2 3 4 5

185

№ 925 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 3. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: 3 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: −3 − наибольшее. г) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: −3; 3. № 926 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (конец промежутка в промежуток не включается), следовательно, наименьшего значения не существует. Ответ: 4 − наибольшее. б) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: 0 − наименьшее. № 927 1 а) y = 2x; б) y = −x; в) y = x; г) y = −3x. 5 № 928 Из того, что функция возрастает, следует, что знак углового коэффициента линейной функции − «+». А из того, что функция убывает, следует, что знак углового коэффициента линейной функции − «−»; а) положителен; б) положителен; в) отрицателен; г) отрицателен. 186

№ 929 а) k > 0, m > 0; б) k > 0, m < 0; в) k < 0, m > 0; г) k < 0, m < 0. № 930 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 2. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. № 931 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Ответ: −3; 3. б) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 3 − наибольшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: −3 − наименьшее. № 932 12

y y=x+3

6 x -12

-6

0 -6

6

12 y = -3x

y = 3x -12

187

№ 933 а) Задание не корректно, так как прямые параллельны и значит не пересекаются; б) 3x = 2x − 1; x = −1, y = 3 · (−1) = −3. Ответ: (−1; −3). в) Задание не корректно, так как прямые параллельны и значит не пересекаются; г) x + 3 = 4; x = 1, y = 4. Ответ: (1; 4). № 934

а) y = x + 3; б) y = 2x − 1; в) y = 2 − x; г) y = −

1 x − 2. 2

№ 935 1 2 а) y = x + 2; б) y = −2x − 4; в) x − 4; г) 1,5x + 2. 2 3

§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций № 936 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) параллельны; б) пересекаются; в) совпадают; г) пересекаются. № 937 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) совпадают; б) пересекаются; в) параллельны; г) пересекаются. № 938 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) параллельны; б) параллельны; в) совпадают; г) параллельны. № 939 а) y = 8x + 12 и y = 8x − 3; б) y = 6x + 5 и y = 6x + 7; в) y = −7x + 6 и y = 12 − 7x; г) y = 4x − 1 и y = 4x + 11. № 940 а) y = 3x + 5 и y = 3x + 7; б) y = −6x − 3 и y = −6x + 1; в) y = 45x − 9 и y = 45x + 7; г) y = 1,3x + 21 и y = 1,3x − 11. № 941 а) y = 6x + 1 и y = 5x − 3; б) y = −6x + 5 и y = 9x − 1; в) y = 7x + 8 и y = 3x − 4; г) y = 2x − 15 и y = 3x + 2. 188

№ 942 а) y = 2x + 5 и y = 2x −(−5); в) y = 2x − 6 и y = 3x − 7;

б) y = 2x − 1 и y = 3x + 3; г) y = 2x + 17 и y = 3x + 9.

№ 943 а) Задание определено не корректно, потому что какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 5x + 8 и y = 5x + 8. в) y = 6x − 3 и y = 6x − 3. г) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. № 944 а) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 4,5x − 2 и y = 4,5x − 2; в) y = 0,35x − 3 и y = 0,35x − 3; г) y = 2x + 5 и y = 2x + 5. № 945 а) 2x + 3 = 3x + 2; x = 1, y = 2 · 1 + 3 = 5. Ответ: (1; 5). б) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. в) 7x + 4 = −x + 4; x = 0, y = 7 · 0 + 4 = 4. Ответ: (0; 4). г) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. № 946 а) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 17); б) −3x + 4 = 2x − 1; 5x = 5; x = 1, y = 2 · 1 − 1 = 1. Ответ: (1; 1). в) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; −8); г) −5x + 3 = x − 3; 6x = 6; x = 1, = 1 − 3 = −2. Ответ: (1; −2). № 947 а) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. б) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 4). в) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. г) 79x = 75x; x = 0, y = 79 · 0 = 0. Ответ: (0; 0). № 948 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0. № 949 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0.

189

№ 950 a1 = 2; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 5; (0; 5) − точка пересечения.

2x + 5 = 3x + 5; x = 0, y = 5;

№ 951 Из того что прямая y = ax + b проходит через начало координат следует, что b = 0. Значит, уравнение прямой имеет вид : y = ax. Прямая y = ax проходит через третий координатный угол (она там пересекается с прямой y = kx + m). Из этого следует, что a > 0. Прямая y = kx + m проходит через третий координатный угол значит либо (k > 0) либо (k < 0 и m < 0). Но второй случай не подходит, потому что во втором случае прямая y = kx + m проходит через второй координатный угол. Итак k > 0. Если m ≥ 0 то прямая проходит через второй координатный угол (если учитывать, что точка (0; 0) принадлежит второму координатному углу). Значит, m < 0. Ответ: a > 0; b = 0; k > 0; m < 0 № 952 Прямая y = kx + m не проходит через третий координатный угол значит k < 0 и m > 0 (считается что точка (0; 0) не принадлежит не одному из координатных углов). Рассмотрим прямую y = ax + b. 1.Случай a ≤ 0, тогда для того чтобы эта прямая проходила через первый координатный угол, необходимо чтобы b было больше 0. 2.Случай a > 0. Прямая всегда проходит через первый координатный угол. Но она также должна проходить через третий координатный угол, что выполнимо только при b > 0. Ответ: k < 0; m > 0; a − может иметь любое значение; b > 0.

ГЛАВА 7. Функция y = x2 2

§ 32. Функция y = x и ее график № 953 а) y =x2 = 12 = 1; б) y = 32 = 9; в) y = 22 = 4; г) y = 02 = 0. № 954 а) y = (− 2) 2 = 4; б) y = (− 1,5) 2; в) y = (− 3) 2; г) y = (− 0,5) 2 = 0,25. № 955 ⎛ 1⎞ ⎝ 3⎠

2

⎛7⎞ ⎝3⎠

2

а) y = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = 2

49 4 =5 ; 9 9 2

⎛

1⎞ 3⎠

2

⎛ 7⎞ ⎝ 3⎠

2

4 9

б) y = ⎜ − 2 ⎟ = ⎜ − ⎟ = 5 ; ⎝

2

2

1⎞ 169 9 9 ⎛ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 13 ⎞ в) y = ⎜ − 3 ⎟ = ⎜ − ⎟ = = 10 ; г) y = ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ = 10 . 4⎠ 16 16 16 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎝ 3⎠

190

№ 956 а) x2 = 4; x2 − 4 = 0; (x − 2)(x + 2) = 0; x = 2; x = − 2; б) x2 = 9; x2 − 9 = 0; (x − 3)(x + 3) = 0; x = 3; x = − 3; в) x2 = 1; x2 − 1 = 0; (x − 1)(x + 1) = 0; x = 1; x = − 1; г) x2 = 16; x2 − 16 = 0; (x − 4)(x + 4)= 0; x = 4; x =− 4. № 957 а) x2 = 0,25; x2 − 0,25 = 0; (x − 0,5)(x + 0,5) = 0; x = 0,5; x = − 0,5; б) x2 = 6,25; x2 − 6,25 = 0; (x − 2,5)(x + 2,5) = 0; x = 2,5; x = − 2,5; в) x2 = 2,25; x2 − 2,25 = 0; (x − 1,5)(x + 1,5) = 0; x = 1,5; x = − 1,5; г) x2 = 0; x = 0. № 958 а) 2; − 2;б) 1; − 1;в) 0; 3;г)4; 5. № 959 а) 2; 1;б) − 1; 0;в) 0,2; − 0,2; г) таких значений нет, потому что квадрат числа всегда ≥ 0. № 960 а) 22 = 4, значит, принадлежит; б) 32 = 9, значит не принадлежит; в) 42 = 8, значит, не принадлежит; г) (− 3) 2 = 9 значит принадлежит. № 961 а) (0,5) 2 = 0,25, значит, принадлежит; б) (1,2) 2 = 1,44, значит, не принадлежит; в) (1,5) 2 = 2,25 значит, не принадлежит; г) (− 2,5) 2 = 6,25 значит, принадлежит. № 962 Точка принадлежит графику функции, если ее координаты x и y удовлетворяют уравнению функции. Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что: а) да; б) да; в) да; г) нет. № 963 y = x2; y 0 1 −1 2 −2 x 0 1 1 4 4 а) при x = 0; б) при −∞<x<0 и при 0<x<+∞; в) ни при каких x.

6

Y

5 4 3 2 1 -3

-2

-1 0 -1

X 1

2

3

-2

191

№ 964 а) наибольшее 1; наименьшее 0; [− 1;1]; в) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 2;1];

б) наибольшее 9; наименьшее 0; [− 3;2]; г) наибольшее 9; наименьшее 0; [− 1;3].

№ 965 а) наибольшее не существует; наименьшее 0; [− 2;3); в) наибольшее 9; наименьшее 0; [− 2;3];

б) наибольшее 9 наименьшее 0; [− 3;0]; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 3;2).

№ 966 а) наибольшее 4; наименьшее 0; (− 2;2]; в) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 2;3); № 967 а) наибольшее 9; наименьшее не существует; [− 3;−2); в) наибольшее 9; наименьшее не существует; (0;3);

б) наибольшее 9; наименьшее (− 1); [− 3;− 1]; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 1;3). б) наибольшее 9; наименьшее не существует; ( 2;3]; г) наибольшее 9; наименьшее не существует; [− 3;− 1).

№ 968 Во всех пунктах, на отрезках функция возрастает, значит наибольшее значение и наименьшее получаем на концах отрезка; а) наибольшее 4; б) наибольшее 22 = 4; наименьшее 1; наименьшее 02 = 0; в) наибольшее 12 = 1; г) наибольшее 32 = 9; наименьшее 02 = 0; наименьшее 22 = 4. № 969 а) наибольшее (− 1) 2 = 1; наименьшее 02= 0; в) наибольшее (− 2) 2 = 4; наименьшее 02 = 0;

б) наибольшее (− 2) 2 = 4; наименьшее (− 1) 2 = 1; г) наибольшее (− 3) 2 = 9; наименьшее (− 1) 2 = 1.

№ 970 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем 192

в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. Установим только наибольшие значения. а) 12 = 1; б) 32 = 9; в) (− 3) 2 = 9; г) 32 = 9. № 971 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. № 972 а) 0; б)12 = 1; в) 22 = 4; г) 32 = 9. № 973 а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. № 974 а) x2 = 1; x2 − 1 = 0; x = 1; x = − 1; (1;1), (− 1;1);

б) x2 = 0; x = 0; (0;0);

№ 975 а) x2 = 2x; x2 − 2x = 0; x(x − 2) = 0; x = 0; x = 2;

б) x2 = − 3x; x2 + 3x = 0; x(x + 3) = 0; x = 0; x = − 3;

№ 976 а) x2 = x + 2; x2 − x − 2 = 0; x2 + x − 2x − 2 = 0;

в) x2 = 4; x2 − 4 = 0; x = 2; x = − 2; (2;4), (− 2;4);

г) x2 = − 3; решений нет; точек пересечения нет.

в) x2 = x; x2 − x = 0; x(x − 1) = 0; x = 0; x = 1;

г) x2 = − x; x2 + x = 0; x(x + 1) = 0; x = 0; x = − 1.

б) x2 = x − 3; x2 − x + 3; 3 1 x2 − x + + 2 = 0 ; 4 4 2

x(x + 1) − 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(x − 2) =0; x = 2; x = − 1; (2;4), (− 1;1); в) x2 = − x + 2; x2 + x − 2 = 0; x2 − x + 2x − 2 = 0;

1⎞ 3 ⎛ ⎜ x − ⎟ = −2 ; 2⎠ 4 ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения; г) x2 = x − 5; x2 − x + 5 = 0; 1 3 x2 − x + + 4 = 0 ; 4 4 2

x(x − 1) + 2(x − 1) = 0;

(x − 1)(x + 2) =0; x = − 2; x = 1; (− 2;4), (1;1);

3 1⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = −4 ; 4 2⎠ ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения. 193

№ 977

а) x2 = 2x + 3;

б) x2 = −

5 − 5; 3

5 x+5 = 0 ; 3 9 5 25 x2 + x + +4 = 0; 36 3 36 x2 +

x2 − 2x − 3 = 0; x2 + x − 3x − 3 = 0;

2

9 5⎞ ⎛ ⎜ x + ⎟ = −4 ; 36 6⎠ ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения; 5 г) x 2 = x − 5 ; 3 5 x2 − x + 5 = 0 ; 3 9 5 25 2 x − x+ = −4 ; 36 3 36

(x + 1)(x − 3) = 0; x = 3; x = − 1; (3;9), (− 1;1); в) x2 = 3 − 2x; x2 + 2x − 3 = 0; x2 − x + 3x − 3 = 0;

2

9 5⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = −4 ; 36 6⎠ ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения.

x(x − 1) + 3(x − 1) = 0; (x − 1)(x + 3) =0; x = − 3; x = 1; (1;1), (− 3;9); № 978 а) (1;3);

б) (− 2;2); Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

в) (0;2);

194

-2

0

2

4

X -4

-2

г) (− 2;− 1).

0

2

4

Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

X -4

4

№ 979 а) (0;+ ∞);

-2

0

2

4

2

4

2

4

б) (− 1;+ ∞); Y

Y 8

8

6

6

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

в) (− ∞;− 0,5);

0

-2

г) (− ∞;0). Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

№ 980 а) (− ∞;1];

-2

0

2

4

X -4

-2

0

б) (− ∞;− 2]; 195

Y

Y 8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

0

-2

2

X -4

4

в) [2;+ ∞);

-2

0

2

4

г) [1;+ ∞). Y

Y 8

8

6

6

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

№ 981 а) [0,1);

0

-2

2

4

б) [0;2); Y

Y

8

8

6

6

4

4 2

2

X

X -4

в) (0;3]; 196

-2

0

2

4

-4

-2

г) (0;2,5].

0

2

4

Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

№ 982 а) (− 1;3];

0

-2

2

4

б) (− 1;1]; Y

Y

8

8

6

6

4

4 2

2

X -4

-2

0

2

X -4

4

в) [− 1;0);

0

-2

2

4

г) [− 1;2). Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

-2

0

2

4

№ 983

197

а) наибольшее 22 = 4; б) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; в) наибольшее (− 2,5) 2 = 6,25; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0. № 984 а) наибольшее не существует; б) наибольшее не существует; наименьшее 0,52 = 0,25; наименьшее 0; в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0. № 985 Везде в этих пунктах в промежутках есть − ∞, значит, наибольшего значения не существует. Найдем наименьшее значение: 2

1 ⎛ 1⎞ а) 0; б) 0; в) 0; г) ⎜ − ⎟ = . 25 ⎝ 5⎠ № 986 A = 0; B = (− 3) 2 = 9, значит, B > A.

№ 987 C = 22 = 4, D = − 2 + 3 = 1, следовательно, C > D.

Y B

Y y = x2

8 6

6

4

4

2

2

-2

0

A

2

4

-4

X 0

-2

y = 2x + 3

№ 988 M = 32 = 9, N = − 1, значит M > N. Y

y = x2

M

8 6 4

y=x

2

X -4

0

-2

N

198

C

D

X -4

8

2

4

2

4

№ 989 y = x2; L = (− 1)2 = 1, N =12 = 1, следовательно, L = N. Y 8 6 4

L -4

-2

2

N

0

X

2

4

№ 990 y = x2, P = 0, Q = 0; значит, P = Q. Y 8 6 4 2

-4

-2

0

Q @ P

X 2

4

№ 991 y = x2; y = x + 2; A = 22 = 4, B = 3 + 2 = 5. Y y = x2

8 6

B

4 2

y=x+2 -4

A

X -2

0

2

4

199

№ 992 A = (− 3) 2 = 9, B = − 1 · 3 = − 3; значит, A > B. № 993 y = x2. Среди особых промежутков есть значение 0. 02 = 0. Оно и будет наименьшим, значит R = S. № 994 а) x2 = 2x − 1; x2 − 2x + 1 = 0; (x − 1) 2 = 0; x = 1; y = 1. Ответ: (1;1).

б) x2 = 4x − 4; x2 − 4x + 4 = 0; (x − 2) 2 = 0; x = 2; y = 4. Ответ: (2;4).

в) x2 = − 2x − 1; x2 + 2x + 1 = 0; (x + 1) 2 = 0; x = − 1; y = 1. Ответ: (− 1;1).

г) x2 = − 4x − 4; x2 + 4x + 4 = 0; (x + 2) 2 = 0; x = − 2; y = 4. Ответ: (− 2;4).

§ 33. Графическое решение уравнений № 995

а)

в) Y

Y y = –x

4

y=x+3

4

2

y = 3x – 4

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

0

-2

-2

-2

-4

-4

2

4

y = 2x + 1

Ответ: (2;5). б)

Ответ: (1;− 1) г)

y=9

10

Y

Y 8

8

6

6

y = –x

4

4

2

X -9

-6

-3

0 -2

Ответ: (− 9;9). 200

2

3

X -4

-2

0

Ответ: (− 2;4); (0;0).

2

4

№ 996 а) x2 = 1.

б) x2 = 4. Y

Y y = x2

8

y = x2

8 6

6

y=4

4

4

2

y=1

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

Ответ: x = 1, x = − 1. в) x2 = 0.

0

-2

4

2

4

Ответ: x = 2, x = − 2. г) x2 = − 1.

Y y = x2

2

Y y = x2

8

8

6

6

4

4

y=0

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

0

-2

y = –1

Ответ: x = 0.

Ответ: решений нет.

№ 997 а) x2 = 2x.

б) x2 = − 3x. Y

Y

8

y = x2

y = x2

8

6

6

y = 2x

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

y = –3x

Ответ: x = 0, x = 2.

Ответ: x = 0, x = 3. 201

в) x2 = − 3x.

г) x2 = 3x. Y 8

Y

y = x2

y = x2

8

6

6

4

4

2

2

X -4

0

-2

2

y = –3x

X

4

-4

Ответ: x = 0, x = 2.

0

-2

б) x2 = − x + 2. Y

Y 8

y=x+6

4

Ответ: x = 0, x = − 3.

№ 998 а) x2 = x + 6. y = x2

2

y = 3x

y = x2

8

y = –x + 2

6

6

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

Ответ: x = − 2, x = 3. в) x2 = x + 2.

2

4

Ответ: x = − 2, x = 1. г) x2 = 3x.

Y y = x2

0

-2

Y

y = x2 8

8

y=x+2 6

6

4

4

2

y = 3x

2

X -4

-2

0

Ответ: x = − 1, x = 2. № 999

202

2

4

X -4

-2

0

Ответ: x = 0, x = 3.

2

4

а) x2 = 2x + 3.

б) x2 = − 3x − 2. Y

Y y=x

2

8

8

6

6

y = –3x– 2

4

4 2

2

y = 2x + 3 -4

y = x2

X

X 0

-2

2

4

Ответ: x = − 1, x = 3. в) x2 = − 2x + 3. Y

-4

0

-2

4

Ответ: x = − 2, x = − 1. г) x2 = 3x − 2. Y

y = x2 y = x2

8

8

6

6

4

4

2

2

y = 3x – 2

2

y = –2x+ 3 X

-4

-2

0

2

4

X -4

-2

0

2

Ответ: x = − 3, x = 1.

Ответ: x = 1, x = 2.

№ 1000 а) x = − x + 4; 2x = 4; x = 2; y = − 2 + 4 = 2. Ответ: (2;2).

б) x = x2; x2 − x = 0; x = 0, y = 0; x = 1 y = 1. Ответ: (0;0),(1;1).

№ 1001 а) 3x = 2x − 4; x = − 4; y = 3 · (− 4) = − 12. Ответ: (− 4;− 12).

б) − x = x2; x2 + x = 0; x = 0, y = 0; x = − 1, y = 1. Ответ: (− 1;1).

4

№ 1002

203

а) x2 + 2x − 3; x2 = − 2x + 3.

б) x2 − 4x = − 3; x2 = 4x − 3.

Y y=x

8

Y

y = x2 2

8

6

6

4

4

y = –2x + 3

2

2

X -4

0

-2

2

4

X -4

-2

0

2

4

y = 4x – 3

Ответ: x = − 3, x = 1.

Ответ: x = 1, x = 3.

в) x2 + 4x + 3; x2 = − 4x − 3.

г) x2 − x = 6; x2 = x + 6.

y = –4x – 3

Y

Y

y = x2

8

8

y = x2

6

6

y=x+6

4

4

2

2

X

X -4

0

-2

2

4

-4

-2

0

2

4

Ответ: x = − 3, x = − 1.

Ответ: x = − 2, x = 3.

№ 1003 а) x2 + x + 2 = 0; x2 = − x − 2.

б) x2 − x + 4 = 0; x2 = x − 4.

4 3 2 1 -3

-2

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 7

Y y = x2

y = x2

X 1

2

3

y = –x – 2

Ответ: решений нет. в) x2 − x + 6 = 0; x2 = x − 6. 204

-3

-2

4 3 2 1 -1 -10

-2 -3 y = x – 4 -4 -5 -6 7

Y

X 1

2

3

Ответ: решений нет. г) x2 + x+ 8 = 0; x2 = − x − 8.

Y

4 3 2 1 -3

-2

X

-1 -10

1

2

Y

4 3 2 1

3

-3

X

-1 -10

-2

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

1

2

3

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ответ: решений нет.

Ответ: решений нет.

№ 1004 а) x2 − 2x + 1 = 0; x2 = 2x − 1.

в) x2 + 2x + 1 = 0; x2 = − 2x − 1.

Y

y=x

Y

8

8

6

6

4

4

y = x2

2

y = 2x – 1

2

y = –2x – 1

2

X

X -4

0

-2

2

4

-4

Ответ: x = 1. б) x2 + 4x + 4 = 0; x2 = − 4x − 4. 4 3 2 1 -3

-2

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ответ: x = − 2.

4 3 2 1

X 2

3

2

4

Ответ: x = − 1. г) x2 − 4x + 4 = 0; x2 = 4x − 4.

Y

1

0

-2

-3

-2

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Y

X 1

2

3

Ответ: x = 2.

№ 1005

а) x2 = 1,5x − 6.

б) x2 =

5 x − 5. 3

205

4 3 2 1 -3

-2

Y y = x2

1

2

-3

3

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Y

-3 -2 -1 -10 -2 -3 -4 y = –1,5x – 6 -5 -6 -7

Y

X 1

y=

2

3

5 x–5 3

Ответ: решений нет. 5 г) x2 = − x − 5. 3

в) x = − 1,5x − 6. y=x

-2

y = –1,5x – 6

2

4 3 2 1

y = x2

X

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Ответ: решений нет.

2

4 3 2 1

4 3 2 1

X 1

2

3

Ответ: решений нет.

-3

y=–

-2

5 3

-1 -10

Y y = x2 X 1

2

3

-2 -3 -4 x – 5-5 -6 -7

Ответ: решений нет.

§ 34. Что означает в математике запись y = f(x) № 1006 а) 0; б) − 16; в) 8; г) 4. № 1007 а) 8a; б) − 8a; в) 16a; г) − 32a. № 1008 а) 8(b + 2) = 8b + 16; в) 8(b − 8) = 8b − 64; № 1009 1 а) 5 · + 6 = 5,25 + 6 = 11,25; 4

в) 5 · 0,5 + 6 = 2,5 + 6 = 8,5;

б) 8(b − 1) = 8b − 8; г) 8(b + 7) = 8b + 56. б) 5 · (− 3) + 6 = − 9; г) 5 · 6

2 + 6 = 5 · 6,4 + 6 = 32 + 6=38. 5

№ 1010 а) 5a + 6; б) 15a + 6; в) − 35a + 6; г) − 25a + 6. № 1011 206

а) 5(a + 1) + 6 = 5a + 11; б) 5(a − 3) + 6 + 1 = 5a − 8; в) 5(a − 1) + 6 = 5a + 1; г) 5(a + 4) + 6 − 2 = 5a + 24. № 1012 а) 2; б) − 3a + 2; в) − 3 + 2 = − 1; г) − 3 · 2a + 2 + 4 = − 6a + 6. № 1013 а) − 3 · 8 + 2 + 8 = − 14; б) (− 3x + 2) 2 = 9x2 − 12x + 4; в) − 3x + 2 − 2 = − 3x; г) (− 3x + 2 − 2) 2 = 9x2. № 1014 а) −3 · (− x) + 2 = 3x + 2; б) − 3 · 2x + 2 = − 6x + 2; в) − 3 · (− 8x) + 2 = 24x + 2; г) − 3 · 4x + 2 = − 12x + 2. № 1015 а) 1,6(x + 2) + 3,5 = 1,6x + 3,2 + 3,5 = 1,6x + 6,7; б) 1,6(x − 5) + 3,5 = 1,6x − 8 + 3,5 = 1,6x − 4,5; в) 1,6(x + 9) + 3,5 = 1,6x + 14,4 + 3,5 = 1,6x + 17,9; г) 1,6(x − 6) + 3,5 = 1,6x − 9,6 + 3,5 = 1,6x − 6,1. № 1016 а) 3,7x − 5,2; в) − 3,7 · 2x3 − 5,2 = − 7,4x3 − 5,2; б) 3,7x2 − 5,2; г) 3,7x − 5,2 + 5,2 = 3,7x. № 1017 1 а) 4; б) 9a2; в) 9; г) a2. 9 № 1018 а) x2; б) (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4; в) (5 − x) 2 = x2 − 10x + 25; г) (2x + 3) 2 − 9 = 4x2 + 12x. № 1019 а) (x2) 2 = x4; в) (x3) 2 = x6;

б) (x2 − 2) 2 = x4 − 4x2 + 4; г) (x3 + x) 2 = x6 + 2x4 + x2.

№ 1020 а) (x6) 2 = x12; б) (− x6) 2 = x12; в) (3x5) 2 = 9x10; г) (− 3x5) 2 = 9x10. № 1021 а) − 2+ 5=3; б) − 2· (− 3) + 5=11; в) 3 · (− 4) − 2= − 14; г) − 2 · 0 + 5= 5. № 1022 а) − 5 + 5,7 = 0,7; б) − 20 + 5,7 = − 14,3; в) − 5; г) − 5. № 1023

⎧ x2 x < −4,5 f(x)= ⎨ ; 4 x 7 x ≥ 4,5 − + ⎩ а) f(− 5) = (− 5) 2 = 25; в) f(3) = − 4 · 3 + 7 = − 5;

б) f(− 4) = − 4 · (− 4) + 7 = 23; г) f(− 4,5) = − 4 · (− 4,5) + 7 = 25.

№ 1024

207

⎧x2 б) y = ⎨ ⎩9

−4≤ x ≤ 0 ⎧ −2 а) y = ⎨ ; − + 4 x 7 0 < x <1 ⎩

−2≤ x ≤3 . 3< x≤5

Y

8 7 6 5 4 3 2 1

y = –4х + 7

X

-2 -10 -2 y = –2 -3

-4

2

Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

4

y=9

y = х2

X

-2 -10

-4

2

4

№ 1025

⎧x2 а) y = ⎨ ⎩x

⎧x б) y = ⎨ 2 ⎩x

−3 ≤ x ≤ 0 ; 0< x≤4 Y y = х2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

8 6 4

y=х 2

X 0

-2

2

4

№ 1026 − 4 ≤ x ≤ −1 ⎧ 1 ; а) y = ⎨ 2 x + 3 −1 < x ≤ 1 ⎩ 6

Y

-2

№ 1027

208

y = х2

X 2

4

− 5 ≤ x ≤ −2 ⎧ 0 . б) y = ⎨ x + 2 −2< x ≤ 2 ⎩ 6

5

5

4

4

3

3

0 -1

.

Y

-2 -10 -2 y=х

y = 2х + 3

Y

y=х+2

2

1 -4

x>0

-4

2

y=1

−2≤ x ≤ 0

X 2

4

1

y=0 -4

-2

0 -1

X 2

4

⎧ x2 − 3 ≤ x ≤ −2 . б) y = ⎨ ⎩2 x + 8 − 2 < x ≤ 0

⎧ x + 3 − 2 ≤ x ≤ −1 ; а) y = ⎨ 2 −1 < x ≤ 2 ⎩ x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4

-2 -10

Y

Y 8 6 4 2

X

X 2

4

-4

-2

0

2

4

№ 1028 а) − 3 ≤ x ≤ 4 (из условия); б) y = 9 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 3 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); 0 < x ≤ 4 промежуток возрастания (из графика); г) точек разрыва нет. № 1029 а) − 2 ≤ x ≤ 2 (из условия); б) y = 4 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 1 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); − 2 < x ≤ − 1, 0 ≤ x ≤2 промежутки возрастания (из графика); г) x = − 1 точка разрыва (из графика). № 1030

⎧ x2 − 4 ≤ x ≤ 1 f(x)= ⎨ ; ⎩2 x 1 < x ≤ 5 а) f(− 4) = (− 4)2 = 16; б) f(1) = 12 = 1; в) f(− 4,5) не корректно; т.к. x = − 4,5; не принадлежит области определения; г) f(4,9) = 2 · 4,9 = 9,8. № 1031 а) нет т.к. 12 ≠ 2 · 1; б) нет т.к. при − 1 ≤ x < 0 y = f(x) задана неоднозначно. № 1032 а) f(−3)=−(−3)+3,4=3+3,4 = 6,4; б) f(−2)=− 2 · (− 2) + 5 = 4 + 5 = 9; в) f(3)=−2 · 3+5 = − 6 + 5 = − 1; г) f(4) = 42 = 16. 209

№ 1033 а) f(− 5,4) = 1,5 · (− 5,4) + 2,9 = − 8,1 + 2,9 = − 5,2; б) f(− 3,5) = (− 3,5)2 = 12,25; в) f(3,5) = 3,52 = 12,25; г) f(5,5) = − 7,4 + 3,2 · 5,5 = − 7,4 + 17,6 = 10,2. № 1034 ⎧ 5 x<0 ; а) y = ⎨ ⎩− 2 x ≥ 0 5

⎧1 x > 0 . б) y = ⎨ ⎩4 x ≤ 0 5

y

4

4

3

3

2

2 1 -5 -4

-3 -2

-1 0 -1

1

x 1

2

3

4

-5 -4

5

-3 -2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

y

6

1 -1 0 -1

-4

210

3

4

5

2

3

4

5

y

4

x 1

2

3

4

3

5

2 1

-2 -3

2

5

2

-3 -2

x 1

⎧6 x≥0 . г) y = ⎨ ⎩− 1 x < 0

⎧ 3 x≤0 ; в) y = ⎨ ⎩− 7 x > 0

-5 -4

-1 0 -1

-2

3

y

-5 -4

-3 -2

-1 0 -1

-5

-2

-6

-3

-7

-4

x 1

№ 1035

⎧x2 ⎪ а) y = ⎨ x ⎪x2 ⎩

− 2 ≤ x ≤ −1 −1 < x ≤ 1

⎧ − 1 − 4 ≤ x ≤ −1 ⎪ б) y = ⎨2 x − 1 < x ≤ 1 ⎪ x2 1< x ≤ 3 ⎩

;

1< x ≤ 2 Y

.

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

0

-2

2

4

№ 1036

⎧ x + 2 − 4 ≤ x ≤ −1 ⎪ −1 < x ≤ 1 а) y = ⎨ 0 ⎪ x2 1< x ≤ 3 ⎩

⎧ x − 6 ≤ x ≤ −2 ⎪ 2 ⎪ 2 −2 < x ≤1 б) y = ⎨ x ⎪3 − 2 x 1< x ≤ 5 ⎪ ⎩ y 4

;

Y 8

2

x

6

-6

X -2

-2

0

2

4

6

-4

2

-4

-4

-2

4

0

.

2

4

-6 -8

№ 1037 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при x > 0; убывает при x < 0;

211

б) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x > 0; значение функции меньше нуля при x < 0; возрастает при − ∞ < x < 1; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает при − 2 < x < ∞; г) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 2; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю не существует; значение функции больше нуля на всей числовой оси; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 2 < x < ∞. № 1038 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает на всей числовой оси; б) область определения − 1 < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0 и 0 < x < + ∞; значение функции меньше нуля отсутствует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; в) область определения − 5 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2 и − 5 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; г) область определения − 2 < x < 5; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x < 5 и − 2 < x < 0;

212

значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 5; убывает при − 2 < x < 0. № 1039 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x ≤ 2; убывает при − ∞ < x < 0; б) область определения − 4 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = − 2; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2; значение функции меньше нуля при − 4 ≤ x < 0; возрастает при − 2 < x < 2; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − ∞ < x < 0; г) область определения − 5 < x < 2; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0. № 1040 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при x > 0; убывает при x < 0; б) область определения − 4 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция не является непрерывной, точка разрыва x = 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 4 < x < 0 и 0 < x < ∞; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < ∞; убывает при − 4 < x < 0; в) область определения − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; 213

значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1 и 1 < x < ∞; убывает при x < 0; г) область определения − ∞ < x < − 1, − 1 < x < 2 и 2 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при на всей области определения кроме точки x = 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2 и 2 < x < ∞; убывает при − ∞ < x < − 1 и − 1 < x < 0. № 1041 ⎧ x x>0 а) y = ⎨ ; ⎩− x x < 0

⎧2 x − ∞ < x < 2 б) y = ⎨ ; 2≤ x<∞ ⎩2 ⎧2 − ∞ < x < 2 г) y = ⎨ . ⎩x 2 ≤ x < ∞

⎧ 2 − ∞ < x < −2 в) y = ⎨ ; ⎩− x − 2 ≤ x < ∞ № 1042

⎧ x2 − ∞ < x < 0 а) y = ⎨ ; ⎩− x 0 ≤ x < ∞ ⎧1 в) y = ⎨ 2 ⎩x

− 5 ≤ x < −1 −1 ≤ x ≤ 2

;

⎧x2 б) y = ⎨ ⎩4

−1 < x < 2 ; 2≤ x<∞

⎧x2 г) y = ⎨ ⎩x

−2 < x <1 . 1≤ x < 5

№ 1043

⎧x2 ⎪ а) y = ⎨ x ⎪2 ⎩

−∞ < x < 0 0≤ x<2

− 4 ≤ x < −2 ⎧ −2 ⎪ −2 ≤ x <1 б) y = ⎨ x ⎪3 x − 2 1≤ x ≤ 2 ⎩

;

2≤ x<∞

⎧− x − ∞ < x < 0 ⎪ 0 ≤ x <1 в) y = ⎨ 3x ⎪3 1≤ x < ∞ ⎩

;

;

− 5 < x < −1 ⎧ 3 ⎪ г) y = ⎨− 3 x − 1 ≤ x < 0 ⎪ x2 0≤ x<2 ⎩

.

№ 1044

⎧x2 а) y = ⎨ ⎩x

−∞ < x <1 ; 1≤ x < ∞

⎧− 2 x − ∞ < x < 0 ⎪ 0 ≤ x <1 в) y = ⎨ 3 x ⎪ 3x 1< x < ∞ ⎩ 214

;

⎧− x ⎪ б) y = ⎨ x 2 ⎪ 2x ⎩ ⎧x2 ⎪ г) y = ⎨ x 2 ⎪x2 ⎩

− 4 < x < −1 −1 ≤ x < 1 1≤ x < ∞ − ∞ < x < −1 −1 < x < 2 2< x<∞

;

.

№ 1045

⎧x2 − 2 ≤ x ≤ 0 f(x)= ⎨ ; 0< x≤3 ⎩0 а) f(− 2) = (−2)2 = 4, f(0) = 02 = 0, f(2) = 0, f(− 1) = (− 1)2 = 1, f(3) = 0; б) 6

Y

5 4 3 2 1 -3

-2

X

-1 0 -1

1

2

3

-2

в) область определения − 4 < x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при 0 < x ≤ 3; значение функции больше нуля при − 2 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; убывает при − 2 < x < 0. № 1046

⎧ x2 − 2 ≤ x ≤ 0 ⎪ f ( x ) = ⎨4 x 0 < x ≤ 1 ⎪4 1< x < 3 ⎩

;

а) f(− 1)=(− 1)2 = 1, f(2) = 4, f(1) = 4 · 1 = 4, f(1,5) = 4, f(− 2) = (−2)2 =4; б) 6

Y

5 4 3 2 1 -3

-2

-1 0 -1

X 1

2

3

-2

215

в) область определения − 2 ≤ x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 2 < x < 3; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1047 ⎧− 1 − 3 ≤ x ≤ −1 ⎪ f ( x ) = ⎨ x2 − 1 < x ≤ 1 ⎪x 1< x ≤ 6 ⎩

;

а) f(− 2) = − 1, f(4) = 4, f(− 1) = − 1, f(1) = 12 = 1, f(5) = 5; б)

y 6 4 2

x -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

в) область определения − 3 ≤ x ≤ 6; наименьшее y = 0; наибольшее y = 6; функция не является непрерывной, точка разрыва x = − 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0, 0 < x ≤ 6; значение функции меньше нуля при − 3 ≤ x ≤ − 1; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1048

− 3 ≤ x ≤ −1 ⎧ 1 ⎪ −1 < x ≤ 2 f ( x ) = ⎨ x2 ⎪2 x + 2 2< x<4 ⎩ а) f(− 3) = 1, f(2) = 22 = 4, f(0) = 02 = 0, f(− 1) = 1, 2

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ f⎜ ⎟=⎜ ⎟ = ; 4 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 216

;

б)

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x

-3 -2 -1 0

1 2

3 4 5

в) область определения − 3 ≤ x < 4; наименьшее y = 0; наибольшее y = 10; функция не является непрерывной; точка разрыва x = 2; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 3 ≤ x < 0, 0 < x < 4; значение функции меньше нуля при отсутствует; возрастает при 0 < x < 2, 2 < x < 4; убывает при − 1 < x < 0. № 1049 2x2 а) y = = 2x ; x

y

y

4

4

2

2

x -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5

x -5 -4 -3 -2 -1 0

-2

-2

-4

-4

б) y = −

1

2 3 4 5

x2 = −x . x 217

№ 1050 x2 − 9 а) y = = x+3 ; x−3

б) y =

x2 − 4 = x−2. x+2

y

y 4

4

2

2

x

x -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2 3

4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0

-2

-2

-4

-4

№ 1051 x3 + 3x 2 а) y = = x2 ; x+3

б) y =

6

8

4 3 2

4

1

2

X 0

2

218

-2

-1

-2

Y

6 5

4

4

3

3

2

2

2

3

3

Y

1

X 1

2

x4 − 4x2 = x2 . (x − 2)(x + 2)

5

0 -1

1

-2

б) y =

1 -3

-3

X

-1 0 -1

4

№ 1052 x4 − x2 а) y = = x2 ; (x − 1)(x + 1) 6

Y

5

6

-2

4 5

x3 − x 2 = x2 . x −1

Y

-4

1 2 3

-3

-2

-1

0 -1

X 1

2

3

ГЛАВА 8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными § 35. Основные понятия № 1053 (1;1) а) 7x + 3y = 10; 7 · 1 + 3 · 1 = 10; является; б) 6x – 2y = 4; 6 · 1 – 2 · 1 = 4; является; в) 6x + 8y = 1; 6 · 1+ 8 · 1 = 14; не является; г) 15x – 2y = 3. 15 · 1 · 2 · 1 =3. является. № 1054 3x – 2y = 5; (1;– 1), (3;2), (5;5). № 1055 а) 2x + y = 9; б) x + 3y = 0; в) 2x – 6y = – 2; г) 3x + 4y = 8. № 1056 x + y =15; (1;14), (2;13), (3;12), (4;11), (5;10), (6;9), (7;8), (8;7), (9;6), (10;5), (11;4), (12;3), (13;2), (14;1). № 1057 ⎧4 x − 7 y = 30 ⎧4 ⋅ 60 − 7 ⋅ 30 = 30 а) ⎨ . ⎨ ⎩4 x − 5 y = 90 ⎩4 ⋅ 60 − 5 ⋅ 30 = 90

Данная пара чисел (60;30) является решением системы. ⎧3 x + 5 y = 330 ⎧3 ⋅ 60 + 5 ⋅ 30 = 330 . ⎨ ⎩6 x − 8 y = 110 ⎩6 ⋅ 60 − 8 ⋅ 30 ≠ 110

б) ⎨

Данная пара чисел (60;30) не является решением системы. № 1058 ⎧2 x + 11 y = 15 ; ⎨ ⎩10 x − 11y = 9 ⎧2 ⋅ 20 + 11 ⋅ 18 ≠ 15 ⎩10 ⋅ 20 − 11 ⋅ 18 ≠ 9

а) (20;18); ⎨

;

не является решением системы;

⎧2 ⋅ 2 + 11 ⋅ 1 = 15 ; ⎩10 ⋅ 2 − 11 ⋅ 1 = 9

является решением системы;

⎧2 ⋅ 1 + 11 ⋅ 2 ≠ 15 ; ⎩10 ⋅ 1 − 11 ⋅ 2 ≠ 9

не является решением системы;

б) (2;1); ⎨ в) (1;2); ⎨

⎧2 ⋅ 3 + 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 15 ; ⎩10 ⋅ 3 − 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 9

г) (3;– 1); ⎨

не является решением системы.

219

№ 1059 ⎧4 x − 3 y = 7 ; ⎨ ⎩5 x + 2 y = 26 ⎧4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ≠ 7 ; ⎩5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ≠ 26

не является решением системы;

⎧4 ⋅ 4 − 3 ⋅ 3 = 7 ; ⎩5 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 26

является решением системы;

а) (1;2); ⎨

б) (4;3); ⎨

⎧4 ⋅ ( −2 ) − 3 ⋅ ( −5 ) = 7 ; не является решением системы; ⎩5 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅ ( −5 ) ≠ 26

в)(– 2;– 5); ⎨

⎧4 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 ≠ 7 ; ⎩5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ≠ 26

г) (0;1); ⎨

не является решением системы.

№ 1060 (12;15); ⎧ x + y = 27 ⎧12 + 15 = 27 ⎧27 = 27 ; ⎨ ⎨ ⎩2 x − 4 y = −36 ⎩2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 15 = −36 ⎩− 36 = −36 ⎧2 x − y = 9 ⎧2 ⋅ 12 − 15 = 9 ⎧9 = 9 . б) ⎨ ⎨ ⎨ ⎩4 y = 5 x ⎩4 ⋅ 15 = 5 ⋅ 12 ⎩60 = 60

а) ⎨

№ 1061 x – y = 2; x + y =8; а) (10;8); б) (6;2);

в) (5;3);

г) (100;100).

№ 1062 ⎧x = y ⎧y = x . а) ⎨ ⎨ ⎩3 x − y = 4 ⎩ y = 3 x − 4

⎧−3x + y = 0 ⎧ y = 3 x . ⎨ ⎩4 x − y = 3 ⎩ y = 4 x − 3

в) ⎨

12 5 4 3 2 1 -4

-2 -10 -2 -3 -4 -5

Ответ: (2;2). 220

Y

Y

9 6 3

X 2

4

X -6

-4

-2

0 -3 -6

Ответ: (3;9).

2

4

6

x ⎧ ⎧x − 4 y = 0 ⎪y = ; ⎨ . 4 ⎩x + y = 5 ⎪y = 5 − x ⎩

⎧ y = 5x ⎧ y = 5x б) ⎨ ;⎨ . 3 x + y = 0 ⎩ ⎩ y = −3x

г) ⎨

Y

6 5

Y

4

6

3

4

2

2

1

X -4 -3 -2 -1 0 -2

1

2

3

X

-3 -2 -1 0 -1

4

1

2 3 4 5

6

-2

-4

-3

-6

Ответ: (0;0).

Ответ: (4;1).

№ 1063 ⎧y = x −1 ⎧x − y = 1 ⎪ ; ⎨ а) ⎨ x. ⎩x + 3 y = 9 ⎪y = 3 − 3 ⎩ 6 5 4 3 2 1 -3

⎧3 x − 2 y = 12 б) ⎨ ⎩ x + 2 y = −4

Y

0 -1 -2 -3 -4

Ответ: (3;2).

4

3 ⎧ ⎪⎪ y = 2 x − 6 . ⎨ ⎪y = − x − 2 ⎪⎩ 2

Y

2

X -6

X 3

6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -4 -6 -8

Ответ: (2;– 3).

221

⎧2 x + y = 1 ⎧ y = 1 − 2x в) ⎨ ; ⎨ . ⎩2 x + y = 3 ⎩ y = 3 − 2x

4

Y

3

3

2

2 1

X

-2 -1 0 -1

Y

4

1 -4 -3

x 2 ⎧ ⎪⎪ y = 3 − 3 . ⎨ ⎪y = x − 2 ⎪⎩ 3 3

⎧x − 3y = 2 г) ⎨ ⎩2 x − 6 y = 4

1

2

3

X

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

4

-2

-2

-3

-3

-4

-4

Ответ: решений нет, т.к. прямые не пересекаются.

1

2 3 4 5

Ответ: решений бесконечно много, т. к. прямые совпадают.

№ 1064 ⎧ x + y = −5 ; а) ⎨ ⎩3x − y = −7

⎧x − 2 y = 1 ; ⎩y − x = 1

б) ⎨

x 1 ⎧ ⎪y = − 2 2. ⎨ ⎪y = x +1 ⎩

⎧ y = −5 − x . ⎨ ⎩ y = 3x + 7 Y

4

8

3

6

2

4

1

2 -6

-4

-2

0 -2 -4 -6

Ответ: (– 3;– 2).

222

Y

X 2

-4

-2

0 -1 -2 -3 -4

Ответ: (– 3;2).

X 2

4

№ 1065 ⎧x − 2 y = 7 а) ⎨ ; ⎩3 x + 2 y = 5

⎧ x + y = −2 б) ⎨ ; ⎩2 x − y = −4

⎧x − 2 y = 7 . ⎨ ⎩3x + 2 y = 5

⎧ y = −2 − x . ⎨ ⎩ y = 2x + 4

Y

4

5

3

4

2

3

1 -2

2

X

0 -1

2

4

6

1

8 -4

-2

-2

X

0 -1

-3

-2

-4

-3

Ответ: (– 3;2).

Y

2

Ответ: (– 2;0).

№ 1066 ⎧x − 3 y = 8 а) ⎨ ⎩2 x − 3 y = 10

x 8 ⎧ ⎪⎪ y = 3 − 3 . ⎨ ⎪ y = 2 x − 10 3 3 ⎩⎪ Y

5 4 3 2 1

3

X -3 -2 -1 0

1 2 3

4 5

6 7

-2 -10 -2 -3 -4 -5

-3

-6

Ответ: (2;– 2). № 1067 а) (0;6);

⎧ y = 3x − 4 ⎪ 2 10 . ⎨ ⎪y = − 3 x + 3 ⎩

⎧3x − y = 4 ⎩2 x + 3 y = 10

б) ⎨

Y

X 2

4

6

Ответ: (2;2). б) (– 3;– 4);

в) (– 1;2);

г) (5;– 7).

⎧5 x − 3 y = −18 ⎧2 x − 4 y = 10 ⎧3 x + 4 y = 5 ⎧2 x + y = 3 . ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎩7 x + 2 y = 12 ⎩ x + 5 y = −23 ⎩6 x − y = −8 ⎩10 x + 5 y = 15

223

№ 1068 5 ⎧ ⎪⎪ y = 2 x − 3 . ⎨ ⎪y = − 7 x + 3 ⎪⎩ 2

⎧5 x − 2 y = 6 а) ⎨ ⎩7 x + 2 y = 12

Y

5 4 3 2 1 -4

2

4

6 -4

1 ). 2

Ответ: (1;–

6 5 4 3 2 1

X

-2 -10 -2 -3 -4 -5

7 1 ⎧ ⎪⎪ y = 3 x + 3 . ⎨ ⎪ y = 4 x + 17 ⎪⎩ 5 5

⎧7 x − 3 y = −1 б) ⎨ ⎩4 x − 5 y = −17

Y

X

-2 -10 -2 -3 -4

2

4

Ответ: (2;5).

№ 1069 ⎧x + y = 8 а) ⎨ ; ⎩x − y = 4

⎧2 x + y = 1 б) ⎨ ; ⎩2 x − y = 7 ⎧ y = 1 − 2x . ⎨ ⎩ y = 2x − 7

⎧y = 8 − x . ⎨ ⎩y = x − 4 Y 8

Y 4

2

X

X 0

-4

-4

4

8

-6

-4

0

-2

-2 -4 -6 -8

Ответ: (6;2). 224

Ответ: (2,– 3).

2

4

6

⎧ x − y = 15 г) ⎨ ; ⎩3x + y = 5

⎧4 x + 3 y = 6 ; ⎩2 x + y = 4

в) ⎨

4 ⎧ ⎪y = 2 − x 3 . ⎨ ⎪ y = 4 − 2x ⎩

⎧ y = x − 15 . ⎨ ⎩ y = −3x + 5 Y

6 4

10

2

Y

5

X

X -4

0

-2

2

4

-10

6

-5

0

5

10

15

20

-5

-2

-10 -4

-15 -20

Ответ: (3;– 2).

Ответ: (5;– 10).

№ 1070 ⎧6 x − 5 y = 4 а) ⎨ ⎩12 x − 10 y = 5

6 4 ⎧ ⎪⎪ y = 5 x − 5 . ⎨ ⎪y = 6 x − 1 5 2 ⎩⎪ 1

⎧y = x −1 ⎧x − y = 1 ⎪ 2. ⎨ ⎩3 x − 3 y = 2 ⎪ y = x − 3 ⎩

б) ⎨

Y

1.5

Y

1 0.5

X -1

0

1

X -1.5

-1

-0.5 0 -0.5

0.5

1

1.5

-1

-1

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны.

-1.5

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны.

225

⎧8 x + 7 y = 2 в) ⎨ ⎩16 x + 14 y = 3

0.4

8 2 ⎧ ⎪⎪ y = − 7 x + 7 . ⎨ ⎪y = − 8 + 3 ⎪⎩ 7 16

2 ⎧ ⎪⎪ y = − 3 x + 4 . ⎨ ⎪y = − 2 x ⎪⎩ 3

⎧2 x + 3 y = 12 г) ⎨ ⎩4 x + 6 y = 0

Y

Y

6 4

0.2

2

X -2

X 0

0.2

0

2

4

6

-2

0.4

-4

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны. № 1071

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны.

⎧x + y = 0 ⎧ y = −x ; уравнения равны, следовательно, система име⎨ 5 x + 5 y = 0 ⎩ ⎩ y = −x

а) ⎨

ет бесконечно много решений; 1 ⎧ ⎪⎪ y = x − 2 ; уравнения равны, следовательно, система ⎨ ⎪y = x − 1 2 ⎩⎪

⎧8 x − 8 y = 4 б) ⎨ ⎩2 x − 2 y = 1

имеет бесконечно много решений; ⎧12 x + 12 y = 24 ⎧ y = 2 − x ; уравнения равны, следовательно, система ⎨ ⎩x + y = 2 ⎩y = 2 − x

в) ⎨

имеет бесконечно много решений; ⎧3 x − y = 5 ⎧ y = 3x − 5 ; уравнения равны, следовательно, система ⎨ ⎩12 x − 4 y = 20 ⎩ y = 3x − 5

г) ⎨

имеет бесконечно много решений. № 1072 3 ⎧ ⎪y = x − 4 ; 2 ⎪y = x − 4 ⎩

а) 3x – 2y = 8 ⎨

3 2 ⎧ ⎪y = − x − 7 7; ⎪ y = 2x + 1 ⎩

в) – 3x – 7y = 2 ⎨ 226

5 1 ⎧ ⎪y = x + 4 4; ⎪y = x ⎩

б) – 5x + 4y = 1 ⎨

5 3 ⎧ ⎪y = − x + 6 2. ⎪y = x + 6 ⎩

г) 5x + 6y = 9 ⎨

№ 1073 ⎧16 x + 2 y = 10 ⎧3 x − 2 y = 1 ⎧7 x + 8 y = 4 ⎧x − y = 3 а) ⎨ ; б) ⎨ ; в) ⎨ ; г) ⎨ . ⎩8 x + y = 5 ⎩6 x − 4 y = 2 ⎩14 x + 16 y = 8 ⎩5 x − 5 y = 15

№ 1074 ⎧7 x − 5 y = 3 ⎧6 x + 11 y = 8 ⎧45 x − 31 y = 13 ⎧54 x − 23 y = 40 ; б) ⎨ ; в) ⎨ ; г) ⎨ . 7 x − 5 y = 1 12 x + 22 y = 8 45 x − 31 y = 2 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩54 x − 23 y = 19

а) ⎨

№ 1075 ax + 8y = 20; а) (2;1) 2a + 8 · 1 = 20; 2a = 12; a = 6; б) (– 3;– 2) – 3a + 8 · (– 2) = 20; – 3a = 36; a = – 12. № 1076 ⎧⎪ x + ay = 35 а) ⎨ ⎪⎩bx + 2 y = 27 ⎧ax − 3 y = 7 б) ⎨ ⎩5 x + by = 26

⎧5 + 6a = 35 ⎧6a = 30 ⎧a = 5 ; ⎨ ⎨ ⎨ ⎩5b + 6 ⋅ 2 = 27 ⎩5b = 15 ⎩b = 3 ⎧10a − 3 ⋅ 5 = 7 ⎧10a = 22 ⎧a = 2 ,2 . ⎨ ⎨ ⎨ 5 ⋅ 10 − 3 b = 26 3 b 24 − = − ⎩ ⎩ ⎩b = 8

№ 1077 4 11 ⎧ ⎪⎪ y = − 3 x + 3 . ⎨ ⎪y = − 5 x + 6 2 ⎩⎪

⎧ax + 3 y = 11 5a + 3 ⋅ (− 3) = 11 ⎧4 x + 3 y = 11 ⎨ ⎨ ⎩5 x + 2 y = 12 5a = 20; a = 4 ⎩5 x + 2 y = 12

6

Y

4 2

X -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

-2

Ответ: (2;1).

227

§ 36. Метод подстановки № 1078

х ; 2 в) 3a + b = 12, b = 12 – 3a; а) 2x + 4y = 4, y = 1 –

3 х – ; 2 6 г) c + 8d = 15, c = 15 – 8d.

б) x + 6y = 9, y =

№ 1079

а) 6x + y = 18, y = 18 – 6x; в) 18m – 12n = 3, m =

2 1 n+ ; 3 6

5 b; 4 5 г) 45p – 9q = 4, q = 5p – . 7

б) 4a + 5b = 20, a = 5 –

№ 1080

3 s – 4; 2 13 17 s+ ; в) 9r – 13s = 17, r = 9 9 а) 3s – 2t = 8, t =

11 4 – q; 7 7 5 г) 5u + 7v = 21, v = 3 – u. 7 б) 7z + 4q = 11, z =

№ 1081 ⎧ y = 3x − 1 ; 2x + 3 · (3x – 1) = 8; 2x + 9x – 3 = 8; 11x = 11; ⎩2 x + 3 y = 8

а) ⎨

x = 1; y = 3 · 1 – 1 = 2. Ответ: (1;2). ⎧ y = 1 − 7x 5 ; 4x – (1 – 7x) = 4; 4x – 1 + 7x = 4; 11x = 5; x = ; 4 x − y = 4 11 ⎩

б) ⎨

y=1–7·

5 2 5 2 = – 2 . Ответ: ( ; – 2 ). 11 11 11 11

⎧y = 3 − x ; x + 2 · (3 – x) = 3; x + 6 – 2x = 3; –x = – 3; ⎩x + 2 y = 3

в) ⎨

x = 3; y = 3 – 3 = 0. Ответ: (3;0). ⎧y = x −1 ; 5x + 2 · (x – 1) = 16; 5x + 2x – 2 = 16; 7x = 18; ⎩5 x + 2 y = 16

г) ⎨

18 4 4 4 4 4 = 2 ; y = 2 – 1 = 1 . Ответ: (2 ; 1 ). 7 7 7 7 7 7

x=

№ 1082 ⎧x = y + 2 а) ⎨ ; 3 · (y+2)–2y=9; 3y+6–2y=9; y=3; x=3+2=5. Ответ: (5;3). ⎩3 x − 2 y = 9 ⎧x = 2 y − 8 ; 2y–8–3y=–8; –y=0; y=0; x=2 · 0–8=– 8. Ответ: (– 8;0). ⎩ x − 3 y = −8

б) ⎨ 228

⎧x = 2 y − 3 в) ⎨ ; 3 · (2y–3)+2y=7; 6y–9+2y=7; y=2; x=2 · 2–3=1. Ответ: (1;2). ⎩3x + 2 y = 7 ⎧x = y + 8 ; y + 8 – 3y = 4; – 2y = – 4; y = 2; x = 2 + 8 = 10. Ответ: (10;2). ⎩x − 3y = 4

г) ⎨

№ 1083 ⎧x = 4 y а) ⎨ ; ⎩ x + 5 y = 99

б) ⎨

⎧ y = 6x ⎧ y = −4 x ; в) ⎨ ; 4 x + y = 150 ⎩ ⎩ x − y = 10

4y + 5y = 99; 9y = 99; y = 11; x = 44. Ответ: (44;11).

4x + 6x = 150; 10x = 150; x = 15; y = 90. Ответ: (15;90).

x – (– 4x) = 10; 5x = 10; x = 2; y = – 8. Ответ: (2;– 8).

⎧ x = −5 y ; ⎩ x − 4 y = −18

г) ⎨

– 5y – 4y = – 18; – 9y = – 18; y = 2; x = – 10. Ответ: (– 10;2).

№ 1084 ⎧x = 10y а) ⎨ ; 2⋅10y+3y=46; 20y+3y=46; 23y=46; y=2; x=20. Ответ: (20;2). ⎩2x + 3y = 46 ⎧ y = 1,5x ; 2⋅1,5x+5x=64; 3x+5x=64; 8x=64; x=8; y=12. Ответ: (8;12). б) ⎨ ⎩2 y + 5x = 64 ⎧ y = −2,5 x ; 5x + 4 · (– 2,5x) = 75; 5x – 10x = 75; x = – 15; y = 37,5; ⎩5 x + 4 y = 75

в) ⎨

Ответ: (– 15;37,5). ⎧ x = −0 ,5 y ; – 6 · (– 0,5y) – 2y = 9; 3y – 2y = 9; y = 9; x = – 4,5. ⎩− 6 x − 2 y = 9

г) ⎨

Ответ: (– 4,5;9). № 1085 ⎧5 x − 3 y = 14 а) ⎨ ; ⎩2 x + y = 10

б) ⎨

y = 10 – 2x; 5x – 3 · (10 – 2x) = 14; 5x – 30 + 6x = 14; 11x = 44; x = 4; y = 10 – 2 · 4 = 2. Ответ: (4;2).

x = 5 + 2y; 2 · (5 + 2y) + y = 9; 10 + 4y + y = 9; 5y = – 1; y = – 0,2; x = 5 + 2 · (– 0,2) = 4,6. Ответ: (4,6;– 0,2).

⎧ x + 5 y = 35 ; ⎩3 x + 2 y = 27

⎧x − 2 y = 5 ; ⎩2 x + y = 9

⎧x + 3 y = 2 ; ⎩2 x + 3 y = 7

в) ⎨

г) ⎨

x = 35 – 5y; 3 · (35 – 5y) + 2y = 27;

x = 2 – 3y; 2 · (2 – 3y) + 3y = 7; 229

105 – 15y + 2y = 27; 13y = 78; y = 6; x = 35 – 5 · 6 = 5. Ответ: (5;6).

4 – 6y + 3y = 7; 3y = – 3; y = – 1; x = 2 – 3 · (– 1) = 5. Ответ: (5;– 1).

№ 1086 ⎧2 x − y = 2 а) ⎨ ; ⎩3 x − 2 y = 3

б) ⎨

y = 2x – 2; 3x – 2 · (2x – 2) = 3; 3x – 4x + 4 = 3; –x = – 1; x = 1; y = 2 · 1 – 2 = 0. Ответ: (1;0).

y = 7x – 56; 3x + 4 · (7x – 56) = 55; 3x + 28x – 224 = 55; 31x = 279; x = 9; y = 7 – 9 – 56 = 7. Ответ: (9;7).

⎧5 y − x = 6 ; ⎩3 x − 4 y = 4

⎧3 x + 4 y = 55 ; ⎩7 x − y = 56

⎧4 y − x = 11 ; ⎩6 y − 2 x = 13

в) ⎨

г) ⎨

x = 5y – 6; 3 · (5y – 6) – 4y = 4; 15y – 18 – 4y = 4; 11y = 22; y = 2; x = 5 · 2 – 6 = 4. Ответ: (4;2).

x = 4y – 11; 6y – 2 · (4y – 11) = 13; 6y – 8y + 22 = 13; – 2y = – 9; y = – 4,5; x = 4 · 4,5 – 11 = 7. Ответ: (7;– 4,5).

№ 1087 ⎧4 x − 3 y = 12 ; ⎩3 x + 4 y = −24

⎧5 x + 2 y = 20 ; ⎩2 x − 5 y = 10

а) ⎨

б) ⎨

x = 3 + 0,75y; 3 · (3 + 0,75y) + 4y = – 24; 9 + 2,25y + 4y = – 24; 6,25y = – 33;

x = 5 + 2,5y; 5 · (5 + 2,5y) + 2y = 20; 25 + 12,5y + 2y = 20; 14,5y = – 5; 10 ; y=– 29

y = – 5,28; x = 3 + 0,75 · (– 5,28) = – 0,96.

4 ⎛ 10 ⎞ x = 5 + 2,5 · ⎜ − ⎟ = 4 . 29 ⎝ 29 ⎠

Ответ: (– 0,96;– 5,28).

⎛ 4 10 ⎞ Ответ: ⎜ 4 ;− ⎟ . ⎝ 29 29 ⎠

⎧2 x − 3 y = 12 ; ⎩3 x + 2 y = 6

⎧5 x − 3 y = 5 ; ⎩2 x + 7 y = 4

в) ⎨

г) ⎨

x = 6 + 1,5y; 3 · (6 + 1,5y) + 2y = 6;

x = 1 + 0,6y; 2 · (1 + 0,6y) + 7y = 4;

230

18 + 4,5y + 2y = 6; 11 6,5y = – 12; y = – 1 ; 13

2 + 1,2y + 7y = 4; 10 8,2y = 2; y = ; 41

3 ⎛ 11 ⎞ x = 6 + 1,5 · ⎜ − 1 ⎟ = 3 . 13 ⎝ 13 ⎠

x=1+

11 ⎞ ⎛ 3 Ответ: ⎜ 3 ;−1 ⎟ . 13 13 ⎝ ⎠

⎛ 6 10 ⎞ Ответ: ⎜1 ; ⎟ . ⎝ 41 41 ⎠

3 10 6 · =1 . 5 41 41

№ 1088 ⎧4 x − 5 y = 1 а) ⎨ ; ⎩2 x − 3 y = 2

в) ⎨

x = 1 + 1,5y; 4 · (1 + 1,5y) – 5y = 1; 4 + 6y – 5y = 1; y = – 3; x = 1 + 1,5 · (– 3) = – 3,5. Ответ: (– 3,5;– 3).

y = 13 – 2,5x; 4x – 3 · (13 – 2,5x) = 7; 4x – 39 + 7,5x = 7; x = 4; y = 13 – 2,5 · 4 = 3. Ответ: (4;3).

⎧3 x + 4 y = 0 ⎩2 x + 3 y = 1

⎧4 x − 3 y = 7 ; ⎩5 x + 2 y = 26

⎧3 x − 5 y = 0 ⎩8 y − 3x = −13

б) ⎨

г) ⎨

y = – 0,75x; 2x + 3 · (– 0,75x) = 1; 2x – 2,25x = 1; 0,25x = – 1;

y = 0,6x; 8 · 0,6x – 3x = – 13; 4,8x – 3x = – 13; 1,8x = – 13; 2 x=–7 ; 9 3 65 1 y=– · =–4 . 5 9 3

x = – 4; y = – 0,75 · (– 4) = 3.

Ответ: (– 4;3).

2 1⎞ ⎛ Ответ: ⎜ − 7 ;−4 ⎟ . 9 3⎠ ⎝

№ 1089 ⎧4 x − 7 y = 33 ; ⎩2 x + 5 y = 25

⎧5 y − 6 x = 2 ; ⎩8 x − 3 y = 1

а) ⎨

в) ⎨

y = 5 – 0,4x;

x=–

4x – 7 · (5 – 0,4x) = 33;

1⎞ ⎛5 8 · ⎜ y − ⎟ – 3y = 1; 3⎠ ⎝6

1 5 + y; 3 6

231

4x – 35 + 2,8x = 33; 6,8x = 68; x = 10; y = 5 – 0,4 · 10 = 1. Ответ: (10;1). ⎧5 x − 2 y = 48 ; ⎩2 x + 3 y = 23

20 8 y – – 3y = 1; 3 3 11 11 y = ; y = 1; 3 3 1 5 1 x=– + = . 3 6 2 Ответ: (0,5;1). ⎧ 4 x − 3 y = −1 ; ⎩10 x − 4 y = 1

б) ⎨

г) ⎨

y = 2,5x – 24; 2x + 3 · (2,5x – 24) = 23; 2x + 7,5x – 72 = 23; 9,5x = 95; x = 10; y = 2,5 · 10 – 24 = 1. Ответ: (10;1).

x = 0,75y – 0,25; 10 · (0,75y – 0,25) – 4y = 1; 7,5y – 2,5 – 4y = 1; 3,5y = 3,5; y = 1; x = 0,75 · 1 – 0,25 = 0,5. Ответ: (0,5;1).

№ 1090 ⎧6 x + 5 y = 1 а) ⎨ ; ⎩2 x − 3 y = 33

б) ⎨

2 x – 11; 3 ⎛2 ⎞ 6x + 5 · ⎜ х −11⎟ = 1; 3 ⎝ ⎠

2 5 – x; 3 6 ⎛2 5 ⎞ 3x + 5 · ⎜ − х ⎟ = 1; ⎝3 6 ⎠

y=

6x +

10 x – 55 = 1; 3

28 x = 56; x = 6; 3 2 y = · 6 – 11 = – 7. 3 Ответ: (6;– 7). ⎧ 4 x − 5 y = −2 ; ⎩3 x + 3 y = −13

⎧5 x + 6 y = 4 ; ⎩3 x + 5 y = 1

y=

10 25 – x = 1; 3 6 7 7 – x = – ; x = 2; 6 3 2 5 y = – · 2 = – 1. 3 6 Ответ: (2;– 1).

3x +

⎧3 x − 7 y = 1 ; ⎩2 x + 3 y = 16

в) ⎨

г) ⎨

y = 0,8x + 0,4; 3x + 2 · (0,8x + 0,4) = – 13; 3x + 1,6x + 0,8 = – 13; 4,6x = – 13,8; x = – 3; y = 0,8 · (– 3) + 0,4 = – 2. Ответ: (– 3;– 2). 232

x = – 1,5y + 8; 3 · (8 – 1,5y) – 7y = 1; 24 – 4,5y – 7y = 1; – 11,5 = – 23; y = 2; x = – 1,5 · 2 + 8 = 5. Ответ: (5;2).

№ 1091

⎧ 4 ( x − y ) = −2 а) ⎨ ; ⎩3 x + 2 y = 5 − 2(x + y )

⎧ 2( x + y ) = 8 ⎩14 − 3(x − y ) = 5 y − x

б) ⎨

⎧4(x − y ) = −2 ⎨ ⎩3 x + 2 y = 5 − 2 x − 2 y ⎧4(x − y ) = −2 ⎨ ⎩5 x = 4 y = 5

⎧x + y = 4 ⎨ ⎩14 − 3 x + 3 y = 5 y − x ⎧x = 4 − y ⎨ ⎩2 y + 2 x = 14

x = 1 – 0,8y; 2(1 – 0,8y – y) = – 1; –1,8y = – 1,5; 5 5 1 y = ; x = 1 – 0,8 · = . 6 6 3 1 5 Ответ: ( ; ) . 3 6

x = 4 – y; y + 4 – y = 7; 4 ≠7.

в) ⎨

г) ⎨

⎧x + y = 6 ⎨ ⎩6 − 5 x + 5 y = 8 x − 2 y ⎧x = 6 − y ⎨ ⎩13 x − 7 y = 6

⎧x − y = 2 ⎨ ⎩3 x − 7 y = 20 − x − y ⎧x = y + 2 ⎨ ⎩4 x − 6 y = 20

13 · (2 – y) – 7y = 6; 26 – 13y – 7y = 6; 20y = – 20; y = – 1; x = 2 – (– 1) = 3. Ответ: (3;– 1).

2(y + 2) – 3y = 10; 2y + 4 – 3y = 10; – y = 6; y = – 6; x = – 6 + 2 = 4. Ответ: (4;– 6).

⎧3(x + y ) = 6 ; ⎩6 − 5(x − y ) = 8 x − 2 y

Ответ: система решений не имеет. ⎧5(x − y ) = 10 ; ⎩3 x − 7 y = 20 − (x + y )

№ 1092

⎧2 − 3x = 2(1 − y ) ⎧2 − 3 x = 2 − 2 y ⎧ y = 1,5 x а) ⎨ ; ⎨ ⎨ ⎩4(x + y ) = x − 1,5 ⎩4 x + 4 y − x = −1,5 ⎩3 x + 4 y = −1,5

3x + 4 · 1,5x = – 1,5; 3x + 6x = – 1,5; 9x = – 1,5; 1 1 1 x = – ; y = – 1,5 · = – . 6 6 4 ⎛ 1 1⎞ Ответ: ⎜ − ;− ⎟ . ⎝ 6 4⎠

⎧6 x + 3 = 8 x − 3(2 y − 4) ⎧6 x + 3 = 8 x − 6 y + 12 ⎧6 y − 2 x = 9 ; ⎨ ⎨ 2 2 x − 3 y − 4 x = 2 y − 8 ( ) ⎩4 x − 6 y − 4 x = 2 y − 8 ⎩8 y = 8 ⎩

б) ⎨

y = 1; 6 · 1 – 2x = 9; 2x = – 3; x = – 1,5. Ответ: (– 1,5;1). 233

⎧2 x − 3(2 y + 1) = 15 ; ⎩3(x + y ) + 3 y = 2 y − 2

⎧4 y + 20 = 2(3x − 4 y ) − 4 ; ⎩16 − (5 x + 2 y ) = 3 x − 2 y

в) ⎨

г) ⎨

⎧2 x − 6 y − 3 = 15 ⎨ ⎩3 x + 3 y + 3 y − 2 y = −2 ⎧2 x − 6 y = 18 ⎨ ⎩3 x + 4 y = −2

⎧4 y + 20 = 6 x − 8 y − 4 ⎨ ⎩16 − 5 x − 2 y = 3 x − 2 y ⎧12 y − 6 x = −24 ⎨ ⎩8 x = 16

x = 3y + 9; 3(3y + 9) + 4y = – 2; 9y + 27 + 4y = – 2; 13y = – 29; 3 y=–2 ; 13 29 4 x=–3· +9=2 . 13 13 3⎞ ⎛ 4 Ответ: ⎜ 2 ;−2 ⎟ . 13 ⎠ ⎝ 13

x = 2; 12y – 6 · 2 = – 24; 12y = – 12; y = – 1.

Ответ: (2; – 1).

№ 1093 ⎧x y ⎧x y ⎪2 + 3 = 3 а) ⎨ x y 8 б) ⎪⎨ 3 + 2 = 5 ⎪ + = ⎪5 x − 11y = 1 ⎪⎩ 3 2 3 ⎩ ⎧3 x + 2 y = 18 ⎨ ⎩2 x + 3 y = 16

x= 6 –

2 y; 3

2 ⎞ ⎛ 2 · ⎜ 6 − y ⎟ + 3y = 16; 3 ⎠ ⎝ 12 –

4 y + 3y = 16; 3

5 y = 4; 3 y = 2,4; 2 12 x = 6 – · =4,4. 3 5 Ответ: (4,4; 2,4).

234

⎧2 x + 3 y = 30 ⎨ ⎩5 x − 11 y = 1

x = 15 – 1,5y; 5(15 – 1,5y) – 11y = 1; 75 – 7,5y – 11y = 1; –18,5y = – 74; y = 4; x = 15 – 1,5 · 4 = 9. Ответ: (9, 4).

⎧x y ⎪⎪ − = −4 в) ⎨ 3 2 ; ⎪ x + y = −2 ⎪⎩ 2 4

г) ⎨ x

⎧2 x − 3 y = −24 ; ⎨ ⎩ 2 x + y = −8

⎧4 x + 7 y = 1 ; ⎨ ⎩6 x + 5 y = −15

y = – 8 – 2x;

y=–3–

2x – 3(– 8 – 2x) = – 24; 2x + 24 + 6x = – 24; 8x = – 48; x = – 6; y = – 8 – 2 · (– 6) = 4. Ответ: (– 6; 4).

⎧4 x + 7 y = 1 ⎪ y 1 ; ⎪5 + 6 = − 2 ⎩

6 x; 5

6 ⎞ ⎛ 4x + 7 ⎜ − 3 − x ⎟ = 1; 5 ⎠ ⎝ 4x – 21 – 8,4x = 1; – 4,4x = 22; x = – 5; y = – 3 – 1,2 · (– 5) = 3. Ответ: (– 5; 3).

№ 1094 ⎧6 y − 5 x = 1 ⎧ x + 2 y 3x − y а) ⎪⎨ x − 1 y + 1 б) ⎪⎨ 5 + 3 = 5 ⎪ 3 + 2 = 10 ⎪2 x − 3 y = −1 ⎩ ⎩ ⎧6 y − 5 x = 1 ; ⎨ ⎩2 x − 2 + 3 y + 3 = 60

⎧3 x + 6 y + 15 x − 5 y = 75 ; ⎨ ⎩ 2 x − 3 y = −1

⎧6 y − 5 x = 1 ; ⎨ ⎩2 x + 3 y = 59

⎧18 x + y = 75 ; ⎨ ⎩ 2 x − 3 y = −1

y=

1 5 + x; 6 6

⎛1 5 ⎞ 2x + 3 ⎜ + х ⎟ = 59; ⎝6 6 ⎠ 2x + 0,5 + 2,5x = 59; 4,5x = 58,5; x = 13; 1 5 y = + · 13 = 11. 6 6 Ответ: (13; 11). ⎧ 3x + 2 y x − 3 y + =3 ⎪ в) ⎨ 5 ; 6 ⎪2 x + 7 y + 43 = 0 ⎩

y = 75 – 18x; 2x – 3(75 – 18x) = – 1; 2x – 225 + 54x = – 1; 56x = 224; x = 4; y = 75 – 18 · 4 = 3. Ответ: (4; 3). ⎧7 x − 10 y = 5 ⎪ г) ⎨ 4 x + 1 5 x − 3 y ; =3 ⎪ 3 − 4 ⎩ 235

⎧18 x + 12 y + 5 x − 15 y = 90 ⎨ ⎩2 x + 7 y + 43 = 0 ⎧23 x − 3 y = 90 ⎨ ⎩2 x + 7 y + 43 = 0

23 x – 30; 3

y=

x = 32 – 9y;

⎛ 23 ⎞ x − 30 ⎟ + 43 = 0; ⎝ 3 ⎠

7(32 – 9y) – 10y = 5;

161 x – 210 + 43 = 0; 3

224 – 63y – 10y = 5;

2x + 7 ⎜ 2x +

⎧7 x − 10 y = 5 ⎨ ⎩16 x + 4 − 15 x + 9 y = 36 ⎧7 x − 10 y = 5 ⎨ ⎩ x + 9 y = 32

167 x = 167; 3 x = 3; 23 y= · 3 – 30 = – 7. 3 Ответ: (3; – 7).

– 73y = – 219; y = 3; x = 32 – 9 · 3 = 5. Ответ: (5; 3).

№ 1095 ⎧ 5x + 9 y 2x + 3 y ⎧ 2x − y 2x + y = ⎪⎪ 3 ⎪⎪ 6 + 9 = 3 2 а) ⎨ x − 3 y 2 x − 3 y б) ⎨ x + y x − y ⎪ ⎪ − =4 = ⎪⎩ 3 4 3 ⎩⎪ 2

⎧10 x + 18 y = 6 x + 9 y ⎨ ⎩3 x − 9 y = 4 x − 6 y ⎧4 x + 9 y = 0 ⎨ ⎩x + 3 y = 0

⎧6 x − 3 y + 4 x + 2 y = 54 ⎨ ⎩4 x + 4 y − 3x + 3 y = 48 ⎧10 x − y = 54 ⎨ ⎩ x + 7 y = 48

x = – 3y; 4 · (– 3y) + 9y = 0; –3y = 0; y = 0; x = 0. Ответ: (0; 0).

x = 48 – 7y; 10 · (48 – 7y) – y = 54; 480 – 70y – y = 54; – 71y = – 426; y = 6; x = 48 – 7 · 6 = 6. Ответ: (6; 6).

⎧x + y x − y + =5 ⎪⎪ 6 в) ⎨ 8 ⎪ x + y + x − y = 10 3 ⎩⎪ 4

⎧ x + 3 − 5 y 3x − 4 y + 3 = ⎪⎪ 2 3 г) ⎨ x y x y + − − 6 3 12 ⎪ = 3 4 ⎩⎪

236

⎧3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 ⎨ ⎩3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 ⎧7 x − y = 120 ⎨ ⎩7 x − y = 120

⎧3 x + 9 − 15 y = 6 x − 8 y + 6 ⎨ ⎩24 + 12 x − 4 y = 36 x − 3 y ⎧3 x + 7 y = 3 ⎨ ⎩24 x + y = 24

уравнения равны.

y = 24 – 24x; 3x + 7(24 – 24x) = 3; 3x + 168 – 168x = 3; –165x = – 165x; x = 1; y = 0. Ответ: (1; 0).

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

§ 37. Метод алгебраического сложения № 1096 а) ⎧ x + y = 5

б) ⎧ x + y = 9

2x = 12; 2x = 12; x = 6; 6 + y = 5; y = – 1. Ответ: (6; – 1). в) ⎧2 x + y = 11

x = 6; 6 + y = 9; y = 3. Ответ: (6; 3). г) ⎧3 x − y = 4

⎨ ⎩x − y = 7

⎨ ⎩x − y = 3

⎨ ⎩3 x − y = 8

5x = 20; x = 4; 2 · 4 + y = 11; y = 3. Ответ: (4; 3). № 1097 а) ⎧2 x + 11 y = 15 ⎨ ⎩10 x − 11 y = 9

12x = 24; x = 2; 2 · 2 + 11y = 15; 11y = 11; y = 1. Ответ: (2; 1). ⎧9 x + 13 y = 9 ; ⎩29 x − 13 y = 3

б) ⎨

38x = 12; x =

6 ; 19

6 + 13y = 9; 19 117 9 ;y= . 13y = 19 19 ⎛ 6 9⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝ 19 19 ⎠

9·

⎨ ⎩3 x + y = 8

6x = 12; x = 2; 3 · 2 – y = 4; y = 2. Ответ: (2; 2). в) ⎧ x − 6 y = 17

⎨ ⎩5 x + 6 y = 13

6x = 30; x = 5; 5 – 6y = 17; – 6y = 12; y = – 2. Ответ: (5; – 2). ⎧6 x − y = 19 ⎧42 x − 7 y = 133 ; ⎨ 5 x + 7 y = 25 ⎩ ⎩5 x + 7 y = 25

г) ⎨

47x = 158; x = 3

17 ; 47

158 – y = 19; 47 158 8 y=6· – 19; y = 1 . 47 47 ⎛ 17 8 ⎞ Ответ: ⎜ 3 ;1 ⎟ . ⎝ 47 47 ⎠ 6·

237

№ 1098

а) ⎧⎨4 x − 7 y = 30 ⎩4 x − 5 y = 90

в) ⎧⎨−5 x + 7 y = 6 ⎩2 x + 7 y = 76

2y = 60; y = 30; 4x – 5 · 30 = 90; 4x = 240; x = 60. Ответ: (60; 30). ⎧7 x − 6 y = 32 ⎩7 x + 5 y = 230

7x = 70; x = 10; 2 · 10 + 7y = 76; 7y = 56; y = 8. Ответ: (10; 8). ⎧−2 x + 4 y = −11 ⎩4 x + 4 y = 1

б) ⎨

г) ⎨

11y = 198; y = 18 7x – 6 · 18 = 32

6x = 12; x = 2; – 2 · 2 + 4y = – 11; 3 4y = – 7; y = – 1 . 4 3⎞ ⎛ Ответ: ⎜ 2;−1 ⎟ . 4⎠ ⎝

7x = 140; x = 20 Ответ: (20; 18). № 1099 ⎧x − 3y = 5 ⎧3 x − 9 y = 15 а) ⎨ ⎨ 3 x + 2 y = 4 ⎩ ⎩3 x + 2 y = 4

11y = – 11; y = – 1; 3x + 9 = 15; 3x = 6; x = 2. Ответ: (2; – 1).

⎧3 x − 5 y = 14 ⎧3x − 5 y = 14 ; ⎨ ⎩x + 2 y = 1 ⎩3x + 6 y = 3

б) ⎨

11y = – 11; y = – 1; 3x + 5 = 14; 3x = 9; x = 3. Ответ: (3; – 1).

⎧5 x + y = 24 ⎧15 x + 3 y = 72 ⎧3 x + y = 1 ⎧9 x + 3 y = 3 г) ⎨ ; ⎨ ⎨ ⎩2 x − 3 y = −14 ⎩2 x − 3 y = −14 ⎩7 x + 3 y = 24 ⎩7 x + 3 y = 24

в) ⎨

11x = – 11; x = – 1; – 2 – 3y = – 14; 3y = 12; y = 4. Ответ: (– 1; 4).

8x = 48; x = 6; 42 + 3y = 24; 3y = 18; y = 6. Ответ: (6; 6).

№ 1100 ⎧5 x + 2 y = 1 ⎧15 x + 6 y = 3 ⎧40 x + 3 y = −10 ⎧40 x + 3 y = −10 а) ⎨ б) ⎨ ; ⎨ ⎨ 20 x − 7 y = − 4 40 x − 14 y = − 8 ⎩ ⎩ ⎩15 x + 3 y = 3 ⎩15 x + 3 y = 3

17y = – 2; y = –

2 ; 17

14 41 = – 4; x = – . 17 170 2⎞ ⎛ 41 ;− ⎟ . Ответ: ⎜ − ⎝ 170 17 ⎠ 20x +

238

5x = 1; x = 0,2. 3y = 0; y = 0; Ответ: (0,2; 0).

в) ⎧⎨3 x + 8 y = 13 ⎧⎨15 x + 40 y = 65 ⎩5 x − 18 y = 5 ⎩15 x − 54 y = 15

94y = 50; y =

25 25 6 ⎛ 6 25 ⎞ ; 5x – 18 · = 5; x = 3 . Ответ: ⎜ 3 ; ⎟ . 47 47 47 ⎝ 47 47 ⎠

⎧6 x + 5 y = 1 ⎧6 x + 5 y = 1 ⎨ ⎩6 x − 9 y = 33 ⎩6 x − 9 y = 99

г) ⎨

14y = − 98; y = − 7; 2x − 3 · (− 7) = 33; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; –7). № 1101

а) ⎧⎨4 x − 5 y = −2 ⎧⎨8 x − 10 y = −4 ⎩3 x + 2 y = −13 ⎩15 x + 10 y = −65 23x = − 69; x = − 3; −12 − 15y = − 2; 5y = − 10; y = −2. Ответ: (− 3; − 2). ⎧9 x + 8 y = −50 ⎧45 x + 40 y = −250 ; ⎨ 5 x = 36 y = − 12 ⎩ ⎩45 x + 324 y = −108

б) ⎨

284y = 142; y = 0,5; 9x + 8 · 0,5 = − 50; x = − 6. Ответ: (− 6; 0,5). в) ⎧⎨3x − 7 y = −32 ⎧⎨6 x − 14 y = −64 ⎩2 x − 3 y = −3 ⎩6 x − 9 y = −9 5y = 55; y = 11; 2x − 3 · 11 = − 3; 2x = 30; x = 15. Ответ: (15; 11). ⎧3 y − 4 x = −6 ⎧9 y − 12 x = −18 1 г) ⎨ ; − 7x = − 28; x = 4; 3y = 10; y = 3 . ⎨ 3 ⎩5 x − 9 y = −10 ⎩5 x − 9 y = −10 1 3

Ответ: (4; 3 ). № 1102

а) ⎧⎨4 x + 5 y = 1 ⎧⎨20 x + 25 y = 5 ⎩5 x + 7 y = 5 ⎩20 x + 28 y = 20 3y = 15; y = 5; 4x + 5 · 5 = 1; 4x = − 24; x = − 6. Ответ: (− 6; 5). ⎧3x − 5 y = 25 ⎧9 x − 15 y = 75 б) ⎨ ; ⎨ ; ⎩4 x + 3 y = 43 ⎩20 x + 15 y = 215 29x = 290; x = 10; 3 · 10 − 5y = 25; 5y = 5; y = 1. Ответ: (10; 1). ⎧21x − 15 y = 15 в) ⎧⎨7 x − 5 y = 5 ⎨ ⎩5 x + 3 y = 43 ⎩25 x + 15 y = 215 46x = 230; x = 5; 7 · 5 − 5y = 5; 5y = 30; y = 6. Ответ: (5; 6). 239

⎧4 x − 3 y = 12 ⎧16 x − 12 y = 48 ⎨ ⎩3 x + 4 y = −66 ⎩9 x + 12 y = −198

г) ⎨

25x = − 150; x = − 6; 4 · ( − 6) − 3y = 12; 3y = − 36; y = − 12. Ответ: (− 6; − 12). № 1103

а) ⎧⎨−3x + 7 y = 46 ⎧⎨−12 x + 28 y = 184 ⎩4 x − 3 y = 12 ⎩12 x − 9 y = 36 11 11 7 7 11 19y = 220; y = 11 ; 4x − 3 · 11 = 12; x = 9 . Ответ: ( 9 ; 11 ). 19 19 38 38 19 ⎧−3x + 4 y = 24 ⎧−15 x + 20 y = 120 ; б) ⎨ ⎨ ⎩5 x + 3 y = −15 ⎩15 x + 9 y = −45 75 300 396 132 29y = 75; y = ; −3x + 4 · = 24; 3x = − ;x=− . 29 29 29 29 132 75 ; ). Ответ: (− 29 29 ⎧5 x + 2 y = 20 ⎧25 x + 10 y = 100 в) ⎨ ⎨ ⎩2 x − 5 y = 10 ⎩4 x − 10 y = 20 4 4 10 ; 5· 4 + 2y = 20; y = − . 29 29 29 4 10 . Ответ: x = 4 ; y = − 29 29 ⎧5 x − 3 y = 15 ⎧10 x − 6 y = 30 г) ⎨ ⎨ ⎩2 x + 7 y = 47 ⎩10 x + 35 y = 235

29x = 120; x = 4

41y = 205; y = 5; 5x − 3 · 5 = 15; 5x = 30; x = 6. Ответ: (6; 5). № 1104 1 ⎧1 ⎪ x − y = 1 ⎧6 x − 4 y = 12 3 ⎨ а) ⎨ 2 ⎪6 x − 5 y = 3 ⎩6 x − 5 y = 3 ⎩

y = 9; 6x − 5 · 9 = 3; 6x = 48; x = 8.

Ответ: (8; 9). 240

1 ⎧1 ⎪⎪ 4 x − 3 y = 4 ⎨ в) ⎪ 4 x − 3 y = 7 ⎩⎪ 5

⎧9 ⎪⎪ 4 x − 3 y = 36 ⎨ ⎪ 4 x − 3y = 7 ⎩⎪ 5

4 4 29 x − x = 29; x =20; 9 5 20 x = 20; 1 1 · 20 − y = 4; 4 3 1 y = 1; y = 3. 3 Ответ: (20; 3).

⎧1 1 1 ⎧1 ⎪ x + y = 5,1 ⎪ x + y = −1 ⎧4 x + 5 y = −20 ⎪3 5 б) ⎨ 5 г) ⎨ 4 ⎨ 3 + = − 4 x 6 y 108 ⎩ ⎪2 x − 3 y = −54 ⎪ x − 2y = 8 ⎩ ⎩⎪ 5

11y = 88; y = 8; 2x − 3 · 8 = − 54; 2x = − 30; x = − 15. Ответ: (− 15; 8).

⎧10 ⎪⎪ 3 x + 2 y = 51 ⎨ ⎪3 x − 2y = 8 ⎪⎩ 5

10 3 x + x = 59; 3 5 x = 15; 1 1 · 15 + y = 5,1; 3 5 1 y = 0,1; 5 y = 0,5. Ответ: (15; 0,5).

№ 1105

а) ⎧ y +1 1 ⎪⎪ 3x − 4 = 2 ⎧2( y + 1) = 3 x − 4 ⎧2 y − 3 x = −6 ⎧2 y − 3 x = −6 ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ 5 x + y = 1 ⎩5 x + y = 3 x + 11 ⎩2 x + y = 11 ⎩4 x + 2 y = 22 ⎩⎪ 3x + 11

7x = 28; x = 4; 2y − 3 · 4 = − 6; 2y = 6; y = 3. Ответ: (4; 3). ⎧ 3x + 10 1 ⎪ y + 1 = 12 ⎧36 x + 120 = y + 1 ⎪ б) ⎨ ⎨ 5 x + y 4 ⎩25 x + 5 y = 36 x + 8 y ⎪ = ⎪⎩ 9 x + 2 y 5 ⎧36 x − y = −119 ⎧108 x − 3 y = −357 ⎨ ⎨ ⎩11x + 3 y = 0 ⎩11x + 3 y = 0

119x = − 357; x = − 3; 11 · (−3) + 3y =0; 3y = 33; y = 11. Ответ: (− 3; 11). № 1106 а) A(2;3), B(− 1;4); y = ax + b; ⎧3 = 2a + b ⎧3 = 2a + b ; ⎨ ⎨ ⎩4 = − a + b ⎩8 = −2a + 2b

3b = 11; b =

11 11 1 1 11 ; 2a + = 3; a = − ; y = − x + ; 3 3 3 3 3 241

⎧7 = −6a + b ; ⎩3 = 4a + b

б) C(− 6;7), D(4;3); y = ax + b; ⎨

2 3 ⎛ 2⎞ ; 4 · ⎜ − ⎟ + b = 3; b = 4 ; y = − 0,4x + 4,6; 5 5 ⎝ 5⎠ в) M(− 3;− 1), N(2;5); г) P(6;2), Q(− 1;−3); y = ax + b; y = ax + b; 10a = − 4; a = −

⎧−1 = −3a + b ; ⎨ ⎩5 = 2a + b

⎧2 = 6 a + b ; ⎨ ⎩− 1 = −3a + b

5a = 6; 1 12 3 a = 1 ; + b = 5; b = 2 ; 5 5 5

9a = 3; 1 1 a = ;− 3 · + b = − 1; b = 0; 3 3 1 y = x. 3

y = 1,2x + 2,6; № 1107 а) A(5;0); B(0;2); y = ax + b;

б) C(− 6;0) ; D(0;4) ; y = ax + b;

⎧0 = 5a + b ; ⎨ ⎩2 = b

⎧0 = −6a + b ; ⎨ ⎩4 = b

b = 2; 5a = − 2; a = − 0,4;

b = − 1; 6a = 4; a =

2 ; 3

в) E(7;0), F(0;− 1) ; y = ax + b;

2 x + 4; 3 г) L(− 2;0), K(0;− 4) ; y = ax + b;

⎧0 = 7 a + b ; b = − 1; ⎨ ⎩− 1 = b

⎧0 = −2a + b ; b = − 4; ⎨ ⎩− 4 = b

y = − 0,4x + 2;

7a = 1; a =

1 1 ; y = x − 1; 7 7

№ 1108 а) A(0;5), B(− 3;0) ; y = ax + b; ⎧b = 5 5 ;3a = 5; a = ; ⎨ 3 ⎩− 3a + b = 0

y=

242

5 x + 5; 3

y=

2a = − 4; a = − 2; y = − 2x − 4.

б) A(0;4), B(2;0) ; y = ax + b; ⎧b = 4 ;2a = − 4; a = − 2; ⎨ ⎩2a + b = 0

y = − 2x + 4;

в) A(0;3), B(4;0) ;

г)A(0;− 3), B(1;0) ;

⎧b = 3 y = ax + b; ⎨ ; ⎩4a + b = 0

y = ax + b; ⎨

4a = − 3; a = − y=−

3 ; 4

3 x + 3; 4

№ 1109 а) A1(0;4), B1( −1;0) ; y = ax + b;

⎧b = −3 ; ⎩a + b = 0

a = 3; y = 3x − 3.

A2(0;− 4), B1( −1;0) ; y = ax + b;

⎧b = 4 ; a = 4; ⎨ ⎩− a + b = 0

⎧b = −4 ; a = − 4; ⎨ ⎩− a + b = 0

y = 4x + 4;

y = − 4x − 4.

⎧ y = 4x + 4 Ответ: ⎨ . ⎩ y = −4 x − 4

б) A1(0;7), B1( 2;3);

A2(0;2), B1( 2;3) ;

⎧b = 7 y = ax + b; ⎨ ; ⎩2a + b = 3

y = ax + b; ⎨

2a = − 4; a = − 2; y = − 2x + 7;

2a = 1; a = 0,5; y = 0,5x + 2.

⎧b = 2 ; ⎩2a + b = 3

⎧ y = −2 x + 7 . ⎩ y = 0 ,5 x + 2

Ответ: ⎨

в) A1(0;1), B1(− 2;4) ; ⎧b = 1 ; ⎩− 2 a + b = 4

A2(0;4), B1(− 2;4) ; ⎧b = 4 ; ⎩− 2a + b = 4

y = ax + b; ⎨

y = ax + b; ⎨

−2a = 3; a = − 1,5; y = − 1,5x + 1;

− 2a = 0; a = 0; y = 4.

⎧ y = −1,5 x + 1 . ⎩y = 4

Ответ: ⎨

г) A1(0;3), B1(− 3;− 2) ; y = ax + b; ⎧b = 3 5 5 ; −3a = − 5; a = ; y = x + 3; ⎨ 3 3 ⎩− 3a + b = −2 A2(0;− 1), B2( 3;0) ; y = ax + b; 5 ⎧ ⎪⎪ y = 3 x + 3 ⎧b = −1 1 1 ; 3a = 1; a = ; y = x − 1. Ответ: ⎨ ⎨ 3 3 ⎩3a + b = 0 ⎪y = 1 x −1 ⎪⎩ 3

243

§ 38. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций № 1110 v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения; ⎪⎧( v − u ) ⋅ 4 = 80 ⎧v + u = 20 ; 2v = 36; v = 18 км/ч. ⎨ ⎨ ⎪⎩( v + u ) ⋅ 5 = 80 ⎩v − u = 16

Ответ: 18 км/ч. № 1111

v км/ч – скорость поезда на первом перегоне; u км/ч – скорость поезда на втором перегоне; ⎧2v + 3u = 330 ⎧2v + 3u = 330 ; 5u = 350; ⎨ ⎨ ⎩u − v = 10 ⎩2u − 2v = 20

u = 70 км/ч – скорость поезда на втором перегоне; 70 – 10 = 60 км/ч – скорость поезда на первом перегоне. Ответ: 60 км/ч; 70км/ч. № 1112 v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода; ⎧⎪4 ( v + u ) = 38 − 2 ⎧u + v = 9 ; 2v = 10; ⎨ ⎨ ⎩v − u = 1 ⎩⎪7v − 7u = 7

v = 5 км/ч – скорость первого пешехода; u = 4 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч. № 1113 v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода; ⎧ 1 ⎧u + v = 9 ⎧5u + 5v = 45 ⎪3 ( v + u ) = 30 ; 4v = 15; ⎨ 3 ⎨ ⎨ 5 u 9 v 60 + = ⎩5u + 9v = 60 ⎪⎩4,5v + 2,5u = 30 ⎩

v = 3,75 км/ч – скорость первого пешехода; u = 9 – 3,75 = 5,25 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 3,75 км/ч; 5,25 км/ч. 244

№ 1114

v км/ч – скорость течения реки; t ч – время прохождения; ⎧(15 + v )t = 34 ⎧15t + vt = 34 ; 30t = 60; ⎨ ⎨ ⎩(15 − v )t = 26 ⎩15t − vt = 26 t = 2 ч – время прохождения; (15 + v) = 34; 2v = 4; v = 2 км/ч – скорость течения реки. Ответ: 2 км/ч. № 1115

v км/ч – скорость автобуса; u км/ч – скорость автомобиля; ⎧120 180 = ⎪ u ⎨ v ⎪u − v = 20 ⎩

⎧2u = 3v ⎧2u − 3v = 0 ; ⎨ ⎨ u − v = 20 ⎩ ⎩2u − 2v = 40

v = 40 км/ч – скорость автобуса. Ответ: 40 км/ч. № 1116 x – одно число; y – другое число; ⎧ x + y = 77 ⎧ x + y = 77 ⎧10 x + 10 y = 770 ⎪ ; 22y = 770; 4 ⎨ ⎨ ⎨2 x y − = 10 12 0 x y = ⎩ ⎩10 x − 12 y = 0 ⎪3 5 ⎩

y = 35; x = 77 – 35 = 42. Ответ: 35; 42. № 1117 x – одно число; y – другое число;

⎧3(x − y ) = x + y + 6 ⎧2 x − 4 y = 6 ⎧2 x − 4 y = 6 ; – 2y = 12; ⎨ ⎨ ⎨ ⎩ 2( x − y ) = x + y + 9 ⎩ x − 3 y = 9 ⎩2 x − 6 y = 18

y = – 6; x = 9 + 3 · ( – 3) = – 9. Ответ: – 9; – 6. № 1118 a – искомая дробь; b ⎧ 2a ⎪⎪ b − 2 = 2 ⎧2a = 2b − 4 ⎧b − a = 2 ; ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ a − 4 = 1 ⎩12a − 48 = 4b ⎩3a − b = 12 ⎪⎩ 4b 12

2a = 14; a = 7; b = a + 2; b = 9. 7 Ответ: . 9 245

№ 1119 a – искомая дробь; b

⎧a +1 ⎪⎪ b + 1 = ⎨ ⎪a −1 = ⎪⎩ b − 1

1 2 1 3

⎧2a + 2 = b + 1 ⎧b − 2a = 1 ; a = 3; ⎨ ⎨ ⎩3a − 3 = b − 1 ⎩3a − b = 2

b = 2a + 1; b = 2 · 3 + 1 = 7. Ответ:

3 . 7

№ 1120 x – одно число; y – другое число; ⎧ x − y = 140 ⎧6 x − 6 y = 840 ; y = 200; ⎨ ⎨ ⎩0 ,6 x − 0 ,7 y = 64 ⎩6 x − 7 y = 640

x = y + 140; x = 200 + 140 = 340. Ответ: 340; 200. № 1121 ⎧0 ,3a − 0 ,25b = 20 ⎧6a − 5b = 400 ; 4b = 640; b = 40; ⎨ ⎨ ⎩0 ,3b − 0 ,2a = 8 ⎩9b − 6a = 240

6a = 5 · 160 + 400; 6a = 1200; a = 200. Ответ: 200; 160. № 1122 x – одно число; y – другое число; ⎧x + y = 32 ,5 ⎧ x + y = 65 ⎧25 x + 25 y = 1625 ⎪ ; ⎨ 2 ⎨ ⎨ ⎪0 ,3 x − 0 ,25 y = 0 ,25 ⎩30 x − 25 y = 25 ⎩30 x − 25 y = 25 ⎩

55x = 1650; x = 30; y = 65 – x; y = 35. Ответ: 30; 35. № 1123 x – одно число; y – другое число; ⎧x − y = 14 ,9 ⎧ x − y = 29 ,8 ⎪ ; 0,76x = 30,4; x = 40; ⎨ 2 ⎨ ⎪0 ,24 x − y = −0 ,6 ⎩0 ,24 x − y = −0 ,6 ⎩ y = x – 29,8; y = 10,2. Ответ: 40; 10,2. № 1124 v км/ч – скорость автомобиля; u км/ч – скорость теплохода; ⎧3v − 5u = 60 ⎧3v − 5u = 60 ; v =60 км/ч – скорость автомобиля; ⎨ ⎨ ⎩u = 0 ,4v ⎩5u − 2v = 0

u =0,4v = 24 км/ч – скорость теплохода. Ответ: 24 км/ч; 60 км/ч. 246

№ 1125

v км/ч – скорость теплохода; u км/ч – скорость туристов; 2v км – проплыли по реке; 5u км – прошли пешком; ⎧2v = 3 ⋅ 5u ⎧2v − 15u = 0 ⎧2v − 15u = 0 ; 13u = 52; u = 4 км/ч; ⎨ ⎨ ⎨ ⎩2v − 2u = 52 ⎩v − u = 26 ⎩v − u = 26

v = 26 + u; v = 30 км/ч; S км – весь путь; S = 2v + 5u = 2 · 30 + 5 · 4 = 80 км; T – время которое потребовалось бы на весь путь пешком; T=

S 80 = = 20 ч. u 4

Ответ: 30 км/ч; 4 км/ч; 20 ч. № 1126

v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения; ⎧ 1 ⎪3 (v + u ) = 30 ⎧v + u = 9 ; ⎨ 3 ⎨ ⎩v − u = 7 ⎪4(v − u ) = 28 ⎩

2v = 16; v = 8 км/ч – скорость лодки; S км – расстояние которое пройдет лодка по озеру за 1,5 часа; S = 1,5 · v = 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км. № 1127

v км/ч – скорость велосипедиста по шоссе; u км/ч – скорость велосипедиста по грунтовой дороге; 0,5u км – проехал велосипедист по грунтовой дороге; 2 v км – проехал велосипедист по шоссе; 3 2 ⎧ ⎪0 ,5u + v = 12 ⎧1,5u + 2v = 36 ; 3 ⎨ ⎨ ⎩1,5v − 1,5u = 6 ⎪v − u = 4 ⎩

3,5v = 42; v = 12 км/ч. Ответ: 12 км/ч. № 1128 v см/c – скорость первой точки; u см/c – скорость второй точки; 4(v + u) = 100 – при движении в противоположном направлении; 20(v – u) = 100 – при движении в одном направлении; 247

⎧4(v + u ) = 100 ⎧v + u = 25 ; ⎨ ⎨ ⎩20(v − u ) = 100 ⎩v − u = 5

2v = 30; v = 15 см/с; u = 25 – v = 25 – 15 = 10 см/с. Ответ: 15 см/с; 10 см/с. № 1129 x – га вспахивает за день первый тракторист; y – га вспахивает за день второй тракторист; 8x + 11y = 678 – га вспахали вместе; 3x + 22 = 4y – из условия; ⎧8 x + 11 y = 678 3 11 11 ⎞ ⎛3 ; y = x + ; 8 x + 11⎜ x + ⎟ = 678; ⎨ 3 x 22 4 y + = 4 2 4 2⎠ ⎝ ⎩

3 11 ⋅ 38 + 4 2 57 11 y= + 2 2 y = 34 y=

8x +

33 121 65 x 1235 x+ = 678; = ; x = 38 4 2 4 2

Ответ: 38 га; 34 га. № 1130 x – центнеров картофеля собирала первая бригада за 1 час; y – центнеров картофеля собирала вторая бригада за 1 час; 2x + 3y = 23 – за первый день двумя бригадами; ⎧2 x + 3 y = 23 ⎧4 x + 6 y = 46 ; 13x = 52; x = 4; ⎨ ⎩3 x − 2 y = 2 ⎩9 x − 6 y = 6

3x – 2y = 2 – из условия; ⎨ 3 x −1 2 3 y = ⋅ 4 −1 = 5 2 y=

Ответ: 4 центнера; 5 центеров. № 1131 x – тонн зерна перевозит первая машина за 1 рейс; y – тонн зерна перевозит вторая машина за 1 рейс; 4x + 3y = 27 − в первый день; 4y − 3x = 11 − из условия; ⎧4 x + 3 y = 27 ⎧12 x + 9 y = 81 ; 25y = 125; y = 5 т; ⎨ ⎨ ⎩4 y − 3 x = 11 ⎩16 y − 12 x = 44 4 x = y − 11 3 ; 4 11 x = ⋅5 − 3 3

x = 3 т. Ответ: 3 т; 5т. 248

№ 1132 x − деталей делает первый рабочий за день; y − деталей делает второй рабочий за день; 8x + 15y = 162 − сделали вместе; 5x − 7y = 3 − из условия; ⎧8 x + 15 y = 162 ⎧40 x + 75 y = 810 ; 131y = 786; y = 6 − деталей за день; ⎨ ⎨ ⎩5 x − 7 y = 3 ⎩40 x − 56 y = 24 7 3 x= y+ 5 5 7 3 x = ⋅6 + 5 5

x = 9 − деталей изготовил первый рабочий за день; 8 · 9 = 72 − детали изготовил первый рабочий; 6 · 15 = 90 − деталей изготовил второй рабочий. Ответ: 72; 90. № 1133 x − учебников по математике; y − учебников по физике; 0,5x + 0,2y = 390 − учебников продали; x − 0,5x = 0,5x − учебников по математике осталось; y − 0,2y = 0,8y − учебников по физиике осталось; 0,5x = 3 · 0,8y − из условия; ⎧0 ,5 x + 0 ,2 y = 390 2,6y = 390; y = 150; x = 4,8y; x = 4,8 · 150; x = 720. ⎨ ⎩0 ,5 x − 2 ,4 y = 0

Ответ: 720; 150 учебников. № 1134 x − книг на первой полке; у − книг на второй полке; y x+ − на первой полке после перестановки; 2 y − на второй полке после перестановки; 2 ⎧ x + y = 110 ⎧ x + y = 110 ⎪ ; 2,5y = 110; y = 44; y y ⎨ ⎨ ⎪ x + 2 = 4 ⋅ 2 ⎩ x − 1,5 y = 0 ⎩

x = 110 − y; x = 110 − 44 = 66. Ответ: 66 и 44 книги. № 1135 x − футбольных мячей закупили в первый год; y − волейбольных мячей закупили в первый год; y = 5x − из условия; 6x − футбольных мячей после закупки; 4y − волейбольных мячей после закупки; 249

⎧6 x + 4 y = 52 ⎧6 x + 4 y = 52 ; 26x = 52; x =2; ⎨ ⎨ ⎩ y = 5x ⎩20 x − 4 y = 0

y = 5x; y = 10; y + x = 10 + 2 = 12 − мячей закупили в первый год. Ответ: 12 мячей. № 1136 x – одно число; y – другое число; ⎧x+ y ⎪⎪ 2 = 185 ⎧ x + y = 370 ; 3y = 330; y = 110; ⎨x ⎨ ⎪ = 2 + 40 ⎩ x = 2 y + 40 ⎪⎩ y y

x = 370 − y; x = 370 − 110 = 260. Ответ: 260; 110. № 1137 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число; ⎧a + b = 14 ⎧9a + 9b = 126 ; 18b = 108; b= 108; ⎨ ⎨ ⎩10b + a + 18 = 10a + b ⎩9b − 9a = −18

a = 14 − b; a = 14 − 6 = 8; то есть 10a + b = 8 · 10 + 6 = 86. Ответ: 86. № 1138 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число; ⎧a + b = 11 ⎧a + b = 11 ⎪ 2 ⎨ ⎨10a + b 24 = + ⎩10a + b = 24a − 14b + 2 ⎪ a−b a−b ⎩ ⎧14a + 14b = 154 ⎧a + b = 11 ⎨ ⎨ 14 a 25 b 2 − = − ⎩14a − 25b = −2 ⎩ 39b = 156; b = 4; a = 11 − b; a = 11 − 4 = 7; 10a + b = 10 · 7 + 4 = 74. Ответ: 74. № 1139 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число; 3 ⎧10a + b = 6+ ⎪⎪ a + b a+b ⎨ 5 ⎪ 10a + b = 5 + ⎪⎩ a + b + 2 a+b+2

⎧10a + b = 6a + 6b + 3 ⎨ ⎩10a + b = 5a + 5b + 10 + 5

⎧4a − 5b = 3 ⎧16a − 20b = 12 ⎨ ⎨ ⎩5a − 4b = 15 ⎩25a − 20b = 75

9a = 63; a = 7; 4 · 7 − 5b = 3; 5b = 25; b = 5; 10a + b = 10 · 7 + 5 = 75. Ответ: 75. 250

№ 1140 x − деталей производительность первого фрезеровщика за день; y − деталей производительность второго фрезеровщика за день; (x + 0,625x) − деталей производительность первого фрезеровщика после смены фрезы; (y + 0,5y) − деталей производительность второго фрезеровщика после смены фрезы; ⎧5 x + 8 y = 280 ⎧5 x + 8 y = 280 ⎨ ⎨ 4 x + 0 , 625 x + y + 0 , 5 y = 276 ( ) ⎩ ⎩6 ,5 x + 6 y = 276 5 11x = 264; x = 24 деталей; y = 35 − x; y = 35 − 8

⎧15 x + 24 y = 840 ; ⎨ ⎩26 x + 24 y = 1104 5 · 24; y = 20 деталей 8

P − количество деталей если бы в первый раз работали с новой фрезой; P = 5 · 1,625x + 8 · 1,5y = 8,125 · 24 + 12 · 20 = 195 + 240 = 435. Ответ: 435 деталей. № 1141 x − тонн масса первой отливки; y − тонн масса второй отливки; 0,05x − тонн масса никеля в первой отливке; 0,1y − тонн масса никеля во второй отливке; 0,08(x + y) − тонн масса никеля в сплаве первой и второй отливке; ⎧0 ,05 x + 01 y = 0 ,08(x + y ) ⎧0 ,02 y − 0 ,03 x = 0 ⎧2 y − 3 x = 0 ; ⎨ ⎨ ⎨ ⎩0 ,1 y − 0,05 x = 4 ⎩0 ,1 y − 0,05 x = 4 ⎩2 y − x = 80

2x = 80; x = 40; y=

3 3 x; y = · 40 = 60. 2 2

Ответ: 40 тонн; 60 тонн. № 1142 x − тонн стали первого сорта для необходимого сплава; y − тонн стали второго сорта для необходимого сплава; 0,05x − количество никеля в стали первого сорта; 0,1y − количество никеля в стали второго сорта; 0,3(x + y) − количество никеля в новом сплаве; ⎧ x + y = 140 ⎧ x + y = 140 ⎧ x + y = 140 ; ⎨ ⎨ ⎨ ⎩0 ,05 x + 0 ,4 y = 0 ,3(x + y ) ⎩0 ,1y − 0 ,25 x = 0 ⎩ y − 2 ,5 x = 0

3,5x = 140; x = 40; y = 140 − 40 = 100. Ответ: 40 тонн; 100 тонн. № 1143 x − кг яблок; 30x − руб. заплатили за яблоки; y − кг груш; 38y − руб. заплатили за груши; 251

x + y − натуральные числа; 30x + 38y = 400 (*); т.к. число (30 · x) всегда заканчивается нулем, то и число (38 · y) тоже должно закнчиваться нулем; y равное 10 и более не подходит в уравнение (*) следовательно единствееный вариант y = 5; 30x + 38 · 5 = 400; 30x = 210; x = 7; x + y = 7 + 5 = 12. Ответ: 12. № 1144 x − км/ч скорость первого поезда; y − км/ч скорость второго поезда; 4x + 3y = 580; x и y кратны 10 и больше 50; x не может быть больше 100 т.к. в этом случае y должно быть меньше 50, поэтому перебираем число x от 50 до 100 кратное 10. Не трудно проверить что удовлетворяют уравнению две пары 70; 100 и 100; 60. Ответ: 70 км/ч и 100 км/ч; 100 км/ч и 60 км/ч. № 1145 10a + b − двузначное число; 6(10a + b) = 100a + b − из условия; 60a + 6b = 100a + b; 40a = 5b; 8a = b; т.к. b − от 0 до 9 то a может равняться только 1; ноль не подходит т.к. в этом случае не получится двузначное число a = 1; b = 8. Ответ: 18.

252

Алгебра 7-й класс. Задачник + Решебник

7

7

7

7)

7 Dagen 7 Nachten

7 dagen, 7 nachten

Dorniger Sieg (7 of 7)

7 дни и 7 нощи

т.7

НОЖNEWS #7

Analog 7

Boy 7

Том 7

Potgieterlaan 7

Area 7

Area 7

Area 7

7 Days

Snowglobe 7

Category 7

Drupal 7

Area 7

7 Days

Astrologia 7

Shadows 7

Candide 7

Thru 7

7 lamps

Помидорчики - 7

Boy 7

Алгебра 7-й класс. Задачник + Решебник

7

7

7

7)

7 Dagen 7 Nachten

7 dagen, 7 nachten

Dorniger Sieg (7 of 7)

7 дни и 7 нощи

т.7

НОЖNEWS #7

Analog 7

Boy 7

Том 7

Potgieterlaan 7

Area 7

Area 7

Area 7

7 Days

Snowglobe 7

Category 7

Drupal 7

Area 7

7 Days

Astrologia 7

Shadows 7

Candide 7

Thru 7

7 lamps

Помидорчики - 7

Boy 7

Recommend Documents