Линейное программирование и смежные вопросы. Часть 7. Методические указания по курсу ''Методы оптимизации'' для студентов механико-математического факультета

Министерство образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет

С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по курсу "Методы оптимизации" для студентов механико-математического факультета дневного и вечернего отделения

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 7

Ростов-на-Дону 2001

2

Методические заседанием кафедры

указания

рекомендованы к печати

исследования

операций механико-

математического факультета РГУ протокол № 1 от 1 февраля 2001 г.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10.5 Параметрическое представление С-ядра. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10.6. Значения игр (цена Шепли, N-ядро) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 10.7. Методы вычисления N –ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 10.8. Выпуклые игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 10.9. Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Приложение (метод нахождения всех вершин многогранника). . 26

4

10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР (продолжение) В части 5 методических указаний была описана основная концепция решения кооперативной игры – ее С-ядро. В данной части изложен способ нахождения всех вершин С-ядра, рассмотрены другие понятия решения, описан специальный класс игр, часто возникающих при моделировании экономических процессов. 10.5. Параметрическое представление С-ядра Для исчерпывающего описания непустого С-ядра нужно перейти от аналитического его задания

∑ xi ≥ ν( S ) , S⊂N ;

∑ xi = ν( N )

i ∈S

(1)

i ∈N

к параметрической форме c

C( ν ) = ∑ α i x i , i =1

c

где x1 ,…, x c – вершины С-ядра, α1 ,…, α c – параметры, ∑ α i = 1 . i =1

Параметрическая форма представления С-ядра позволяет определить диапазоны изменения выигрышей игроков

x i = min xij ,

x i = max xij ,

1≤ j ≤ c

а также центр С-ядра

1≤ j ≤ c

c

c

j =1

j =1

i = 1, n ,

(( ∑ x1j ) / n, ..., ( ∑ xnj ) / n ) , который можно

выбрать в качестве компромиссного дележа прибыли. Существует два основных подхода к нахождению всех вершин многогранника: симплициальный (использующий симплекс-таблицы) и

5

метод свертки систем линейных неравенств. При симплициальном подходе перебираются все допустимые базисы (их количество может быть намного больше количества вершин), поэтому в приложении рассмотрен второй метод, позволяющий также выделить избыточные ограничения и найти направляющие векторы неограниченных ребер для неограниченных многогранных множеств. Этот метод может быть полезен и для других приложений, например, для поиска всех оптимальных опорных решений задачи линейного программирования, при многокритериальной оптимизации и т.д. П р и м е р 1 ( " О з е р о " [ 1 ] ) . Вокруг озера расположено n пред-

приятий. Обработка стоков перед их сбросом в озеро стоит каждому предприятию В (денежных единиц), а очистка воды для собственных нужд стоит µ А, где µ - число предприятий, не обрабатывающих свои отходы. Считая, что А <В < nА, s =⎪S⏐, получаем

⎧− snA, ν( S ) = ⎨ ⎩− sB − s( n − s ) A,

s ≤ B / A,

(2)

s > B / A.

В этой игре нужно узнать, смогут ли предприятии договориться об обработке отходов. Положим n=3, А =10, В =25. Тогда

ν(1) = ν( 2 ) = ν( 3) = −30,

ν(1,2 ) = ν(1,3) = ν( 2,3) = −60,

ν(1,2,3) = −75.

С-ядро задается условиями

x1 ≥ −30, x1 + x3 ≥ −60,

x2 ≥ −30,

x3 ≥ −30,

x2 + x3 ≥ −60,

x1 + x2 ≥ −60, x1 + x2 + x3 = −75,

после преобразования которых получаем систему −30 ≤ x1 ≤ −15,

−30 ≤ x2 ≤ −15,

−60 ≤ x1 + x2 ≤ −45,

6

множеством решений которой является заштрихованный треугольник (рис. 1) с вершинами

x1 =(−30, −30, −15),

x 2 =(−30, −15, −30),

x 3 =(−15, −30, −30).

Параметрическая форма С-ядра имеет вид С( ν )= −30 ( α1 + α 2 + α 3 / 2, α1 + α 2 / 2 + α 3 , α1 / 2 + α 2 + α 3 ), где α1 , α 2 , α 3 ≥0, α1 + α 2 + α 3 =1. Центром С-ядра является точка (−25, −25, −25) (см. рис.1) равномерного распределения величины ν(1,2,3) = −75.

Рис.1. С-ядро игры " О з е р о " . П р и м е р 2 . П редставим в параметрической форме С-ядро сле-

дующей игры пяти лиц:

v(1,2,3)=v(3,5)=3;

N={1,…,5};

v(N)=12;

v(1,3,4)=v(2,4,5)=v(1,2,4,5)=9;

7

v(S)=3 для собственных коалиций , содержащих { 1,2,3} или { 3,5} ; v(S)=9 для собственных коалиций , содержащих { 1,3,4} или { 2,4,5} ; v(S)=0 для остальных коалиций. Неравенства системы (1), соответствующие v(S), где S ≠N

и

S⊃{ 1,2,3} и л и S⊃{ 3,5} и л и S⊃{ 1,3,4} и л и S⊃{ 2,4,5} , а также

v(S)=0, ⎪S⏐>1, являются следствием остальных ограничений. Их исключаем из рассмотрения. Остальные неравенства системы (1) умножаем на (-1). Уравнение ми

∑ xi ≤ v ( N ) ,

i ∈N

∑ xi = ν( N ) заменяем двумя неравенства-

i ∈N

− ∑ xi ≤ − v ( N ) . i ∈N

Получаем систему − x1 − x2 − x3 ≤ −3,

− x3 − x5 ≤ −3,

− x1 − x2 − x3 − x4 − x5 ≤ −12,

− x1 − x3 − x4 ≤ −9,

− x2 − x4 − x5 ≤ −9,

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 12;

xi ≥0, i = 1,5 .

Применив описанный в приложении метод, находим вершины С-ядра

x1 =(0, 3/2, 3/2, 15/2, 3/2), x 2 =(3, 0, 0, 6, 3), x 3 =(0, 3, 3, 6, 0), x 4 =(0, 0, 3, 6, 3), x 5 =(0, 0, 3, 9, 0), границы изменения выигрышей игроков

x i =0 , i = 1,5 ; а также центр

x1 = x 2 = x 3 = x 5 =3, x 4 =9,

(0.6, 0.9, 2.1, 6.9, 1.5)

С-ядра.

Параметрическое представление С-ядра данной игры имеет вид

C( ν ) = ( 3α 2 , 3α1 / 2 + 3α 3 , 3α1 / 2 + 3( α 3 + α 4 + α 5 ), 15α1 / 2 + 6( α 2 + α 3 + α 4 ) + 9α 5 , 3α1 / 2 + 3( α 2 + α 4 )), где α1 ,…, α 5 ≥0, α1 +…+ α 5 =1.

8

10.6. Значения игр (цена Шепли, N -ядро)

С-ядро игры может быть очень большим, например, совпадать с множеством всех дележей, а может быть и пустым. Пустота С-ядра наблюдается в том случае, когда промежуточные коалиции слишком сильны, но из этого не следует невозможность кооперации всех игроков. Если кооперативное равновесие не может быть достигнуто только с помощью простых коалиционных угроз (принцип С-ядра), то необходимы другие принципы, например, тактика угроз и контругроз [3]. В идеальном случае анализ кооперативной игры должен был бы приводить к отбору единственного дележа, который и следовало бы принять за решение. Правило, ставящее в соответствие каждой кооперативной игре единственное распределение x =( x1 ,…, xn ) совместной прибыли ν(N), удовлетворяющее некоторому принципу оптимальности, называется о п е р а т о р о м з н а ч е н и я , а само распределение x - з н а ч е н и е м и г р ы . Наиболее популярными значениями, показавшими свою применимость к широкому кругу экономических моделей, являются: ц е н а Ш е п л и ( з н а ч е н и е Ш е п л и или в е к т о р Ш е п л и ) и N - я д р о (nucleolus). Эти понятия отражают два основных условия, необходимых для устойчивости кооперативного соглашения [2]:

- каждый участник договора должен получить "справедливую" долю прибыли (внутренняя устойчивость); - прибыль от кооперации не должна быть слишком мала по сравнению ситуацией без кооперации (внешняя устойчивость). Цена Шепли учитывает дополнительные прибыли

ν(S∪{i}) - ν(S)

( i∉S, S⊂N ) от присоединения фиксированного участника к каждой коалиции, т.е. обеспечивает внутреннюю устойчивость.

9

N-ядро, по возможности, максимизирует суммарный доход каждой

коалиции, т.е. гарантирует внешнюю устойчивость, игнорируя устойчивость внутреннюю. Цена Шепли σ = ( σ1 , . . . , σ n ) приписывает каждому игроку его средний вклад во все коалиции и вычисляется по формуле

σi =

s !( n − s − 1)! [ ν( S ∪ {i }) − ν( S )] , i = 1, n , n ! S ⊂ N \i

∑

где s = S . Например, в игре трех лиц ( n =3) цена Шепли имеет вид

σ1 = ν(1) / 3 + [ ν(1,2 ) − ν( 2 ) + ν(1,3) − ν( 3)] / 6 + [ ν(1,2,3) − ν( 2,3)] / 3 , σ 2 = ν( 2 ) / 3 + [ ν(1,2 ) − ν(1) + ν( 2,3) − ν( 3)] / 6 + [ ν(1,2,3) − ν(1,3)] / 3 , σ 3 = ν( 3) / 3 + [ ν( 2,3) − ν( 2 ) + ν(1,3) − ν(1)] / 6 + [ ν(1,2,3) − ν(1,2 )] / 3 . Для простой игры n лиц общая формула цены Шепли упрощается и принимает вид

s !( n − s − 1)! , n ! S ∈ℜ i

σi = ∑ η( s ) = ∑ S ∈ℜ

i

i = 1, n ,

где ℜi – множество таких проигрывающих коалиций S, не содержащих

игрока i , что коалиция S ∪{ i } является выигрывающей. По этой формуле легко вычисляется цена Шепли взвешенных мажоритарных игр. Пример 3. Четыре акционера обладают следующим количеством акций: 40, 30, 20, 10.

Любое решение утверждается акционерами,

имеющими простое большинство акций. Это взвешенная мажоритарная игра (51; 40, 30, 20, 10), в которой выигрывают коалиции

{1,2}, {1,3}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}.

10

Определяем ℜ1 ={{2}, {3}, {2,3}, {2,4}, {3,4}},

ℜ 2 ={{1}, {1,4}, {3,4}},

ℜ 3 ={{1}, {1,4}, {2,4}}, ℜ 4 ={2,3}. Так как η(1) =

η( 2 ) =

2 !( 4 − 2 − 1)! 4!

получаем σ = ( Цена

(

4

,

3

,

2

5

=

,

1

10 10 10 10

12 3

,

,

σi =

то 3

,

1

12 12 12 12

Шепли ,

1

не

ℜi 12

1!( 4 − 1 − 1)! 4!

, i = 1,2,3,4 .

=

1 12

и

Окончательно

).

совпадает

с

"вектором

голосования"

) , в котором выигрыш игрока пропорционален его доле

акций. В отношении цены Шепли, игроки 2 и 3 обладают одинаковой силой (несмотря на разное количество акций они имеют одинаковые возможности для образования коалиций). Сила игрока 1 больше доли его акций, а сила игрока 4, наоборот, меньше доли акций. Предположим теперь, что игрок 3 приобрел еще 10 акций, т.е. рас1 1 1 , , 0) 3 3 3

смотрим игру (55; 40, 30, 30, 10). Ее цена Шепли σ = ( , также не совпадает с "вектором голосования" (

4

,

3

,

3

,

1

11 11 11 11

) и пока-

зывает, что дополнительные акции игрока 3 не дают ему преимуществ, а акции игрока 4 обесцениваются (он не может войти ни в одну коалицию, т.е. становится "болваном"). Цена Шепли обладает следующими свойствами.

1. σ i = σ π (i ) , i = 1, n , где ( π(1),..., π(n)) – перестановка N, т.е. цена любого игрока не зависит от его номера (аксиома анонимности ). 2. Если игрок i ничего не добавляет к каждой коалиции, т.е.

ν( S ∪ {i}) = ν( S )

для любого S ⊂ N

( такой игрок называется

11

"болваном"), то его цена равна нулю σ i = 0 (аксиома болвана ). 3. Цена Шепли является коалиционно монотонной , т.е. если прибыль ν(S) некоторой коалиции S увеличить, а прибыли всех остальных коалиций оставить без изменения, то цена σ i каждого игрока коалиции S не уменьшиться. 4. В симметричной игре цена Шепли делит ν(N) на n равных частей

σ = ( ν( N ) / n, ..., ν( N ) / n ) . 5. Цена Шепли может не принадлежать непустому С-ядру. Пример 4 ("Р ы н о к п е р ч а т о к " [2]).

Случай 1. Два игрока (1 и 2) имеют по одной правой перчатке, а два остальных игрока (3 и 4) имеют по одной левой перчатке. Рыночная цена одной перчатки равна нулю, а цена одной пары (с одной правой и одной левой) равна единице. Эта ситуация описывается игрой , где N={1,2,3,4},

ν(1,3)= ν(1,4)=ν(2,3)= ν(2,4)=ν(1,2,3)= ν(1,2,4)=ν(1,3,4)=ν(2,3,4)=1, ν(1,2,3,4)=2, ν(S) =0 для остальных S. С-ядро (без учета избыточных ограничений) задается системой

x1 + x3 ≥1,

x1 + x4 ≥1,

x1 + x2 + x3 + x4 =2,

x2 + x3 ≥1,

x2 + x4 ≥1,

x ≥ 0.

Оно имеет две вершины

x1 =(1, 1, 0 , 0) и

x 2 =(0, 0, 1, 1),

т.е. является отрезком. Игра симметрична, поэтому цена Шепли

σ =(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)

совпадает с равномерным распределением прибыли, σ - центр С-ядра.

12

Случай 2. Предположим теперь, что игрок 1 имеет две правые перчатки, в то время как остальные игроки располагают прежними запасами. Тогда

ν(1,3)= ν(1,4)=ν(2,3)= ν(2,4)=ν(1,2,3)= ν(1,2,4) =ν(2,3,4)=1, ν(1,3,4)=ν(1,2,3,4)=2, ν(S) =0 для остальных S, т.е. собственная прибыль коалиции {1,3,4} увеличилась на единицу. С-ядро игры задается системой

x1 + x3 ≥1, x1 + x3 + x4 ≥2,

x1 + x4 ≥1,

x2 + x3 ≥1,

x1 + x2 + x3 + x4 =2,

Оно состоит из единственного дележа

x2 + x4 ≥1,, x ≥ 0.

x 0 = (0, 0, 1, 1), при котором

всю прибыль делят владельцы левых перчаток. Цена Шепли σ =(7/12, 3/12, 7/12, 7/12) увеличивает долю первого, третьего и четвертого игроков, чьи коалиционные возможности возросли, уменьшая долю второго игрока. В данном случае цена Шепли не принадлежит С-ядру. Заметим, что рассмотренный пример иллюстрирует также немонотонность С-ядра. В отличие от цены Шепли, N-ядро γ = ( γ 1 ,..., γ n ) всегда принадлежит непустому С-ядру. Оно занимает центральное место внутри Сядра. Для определения N –ядра вводится понятие э к с ц е с с а

e( x , S ) = ∑ xi − ν( S ) , i ∈S

который является "мерой неудовлетворенности" коалиции S дележом x . Положительный (отрицательный) эксцесс e( x , S ) есть дополнительная прибыль (убыток) коалиции S по сравнению с ее собственной воз-

13

можностью ν( S ) . Для каждой коалиции S желательно, чтобы значение эксцесса e( x , S ) было как можно больше. Каждому дележу x ставиться в соответствие в е к т о р э к с ц е с -

сов

e( x ) = (e( x , S 1 ), e( x , S 2 ),..., e( x , S m )) , компонентами которого являются упорядоченные по неубыванию эксцессы собственных коалиций

e( x , S 1 ) ≤ e( x , S 2 ) ≤ . .. ≤ e( x , S m ) , m = 2 n − 2 ; S i ∈ 2 N \ N \ ∅ , i = 1, m . Ясно, что дележ x принадлежит С-ядру тогда и только тогда, когда его вектор эксцессов неотрицателен. Вычислим, например, вектор эксцессов для цены Шепли

σ =(7/12, 3/12, 7/12, 7/12) игры "Р ы н о к п е р ч а т о к " (случай 2). Определяем вначале эксцессы собственных коалиций

e(σ ,{1}) = e( σ ,{3}) = e(σ ,{4}) =7/12, e(σ ,{2}) =3/12, e( σ ,{1,3}) = e(σ ,{1,4}) =2/12,

e(σ ,{1,2}) =10/12,

e(σ ,{2,3}) = e(σ ,{2,4}) = −2/12,

e(σ ,{3,4}) =14/12,

e(σ ,{1,2,3}) = e(σ ,{1,2,4}) =5/12,

e(σ ,{1,3,4}) = −3/12,

e(σ ,{2,3,4}) =5/12.

Упорядочивая эти величины по неубыванию получаем

e( σ ) =( e(σ ,{1,3,4}) , e(σ ,{2,3}) , e(σ ,{2,4}) , e( σ ,{1,3}) , e(σ ,{1,4}) , e(σ ,{2}) , e(σ ,{1,2,3}) , e(σ ,{1,2,4}) , e(σ ,{2,3,4}) , e(σ ,{1}) , e( σ ,{3}) , e(σ ,{4}) , e(σ ,{1,2}) , e(σ ,{3,4}) )= =(−3/12, −2/12, −2/12, 2/12, 2/12, 3/12, 5 /12, 5/12, 5/12, 7/12, 7/12, 7/12,

10/12, 14/12). Вектор эксцессов единственной точки этой же игры имеет вид

x 0 =(0, 0, 1, 1)

С-ядра

14

e( x 0 ) = ( e( x 0 ,{1}), e( x 0 ,{2}), e( x 0 ,{1,2}), e( x 0 ,{1,3}), e( x 0 ,{1,4}), e( x 0 ,{2,3}), e( x 0 ,{2,4}), e( x 0 ,{1,2,3}), e( x 0 ,{1,2,4}), e( x 0 ,{1,3,4}), e( x 0 ,{3}), e( x 0 ,{4}), e( x 0 ,{3,4}) )=(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2). На множестве E = {e( x ): x ∈ D( ν )} векторов эксцессов дележей игры Г вводится л е к с и к о г р а ф и ч е с к о е у п о р я д о ч е н и е p . Говорят, что вектор e( x ) предшествует e( y ) (или e( y ) предпочтительнее e( x ) в смысле лексикографического порядка)

e( x ) p e( y ) , если существует такая коалиция S k , что

e( x , S i ) = e( y , S i ) , i = 1, k − 1 ,

e( x , S k ) < e( y , S k ) .

Так, например, для вычисленных выше векторов эксцессов e( σ ) и

e( x 0 ) имеем e( σ ) p e( x 0 ) . Доказано, что существует единственный дележ γ , вектор эксцессов e( γ ) которого предпочтительнее всех остальных векторов из E

e( γ ) = lexmax e( x ) . e ( x ) ∈E

(3)

Это и есть N-ядро.

Как и цена Шепли, N-ядро удовлетворяет аксиомам анонимности и болвана, но не является коалиционно монотонным. Поэтому возможен случай, когда увеличение величины ν(N) при сохранении прибылей

ν(S) всех остальных коалиций S ≠ N, приводит к уменьшению доли прибыли некоторых игроков. Это очень непривлекательное свойство, т.к. если какие-либо игроки страдают в результате улучшений, то они могут отказаться от участия и тем самым сделать невозможным улучшение ситуации.

15

Однако, для n ≥5 не существует такого значения кооперативной игры, которое одновременно принадлежит С-ядру и является коалиционно монотонным (теорема Янга [2]). 10.7. Методы вычисления N -ядра Если известны вершины

x1 ,…, x c С-ядра, то N-ядро вычисля-

ется по формуле c

γ i = ( ∑ xij ) / c , j =1

i = 1, n ,

т.е. является средним арифметическим вершин. В примере

"Р ы н о к

п е р ч а т о к " (случай 1)

имеем

γ =( x1 + x 2 )/2=(1/2, 1/2, 1/2, 1/2), т.е. N-ядро совпадает с ценой Шепли. В примере "Р ы н о к п е р ч а т о к " (случай 2) С-ядро состоит из единственной точки, которая является также и N-ядром γ =(0, 0, 1, 1). Если вершины С-ядра вычислить сложно или С-ядро пустое, то Nядро можно определить с помощью серии задач линейного программирования. Из соотношения (3) вытекает, что вначале нужно определить

min e( γ , S ) = max [ min e( x , S )] ,

S⊂ N

x ∈D ( ν ) S ⊂ N

т.е. максимизировать минимальную коалиционную прибыль. После введения дополнительной переменной z получаем задачу

max z ,

(4)

z ≤ ∑ xi − ν( S ) , S ⊂ N,

(5)

∑ xi = ν( N ) .

(6)

i ∈S

i ∈N

16

Если задача (4)-(6) имеет единственное решение, то соответствующий дележ есть N-ядро. В противном случае, нужно выбрать произвольное оптимальное решение ( z * , x * ) и определить множество коалиций Ω={ S 1 , ..., S l }, для которых неравенства (5) выполняются как равенства при z = z * , x = x * . Новая задача имеет вид

max z , z ≤ ∑ xi − ν( S ) , i ∈S

z * ≤ ∑ xi − ν( S j ) , i ∈S j

S ⊂ N, S ∉Ω, j = 1, l ,

∑ xi = ν( N ) ,

i ∈N

т.е. максимизируется вторая по минимальности коалиционная прибыль. Через конечное число шагов получается задача линейного программирования, имеющая N-ядро в качестве единственного решения. П р и м е р 5 (Игра "М у с о р " [2]). У каждого из n игроков имеется мешок с мусором, который он должен выбросить во дворе у когото другого. "Полезность" одного мешка мусора равна (-1). При s < n,

s = S , участники коалиции S могут договориться не оставлять мусор во дворе друг друга. Тогда при наихудшем для S исходе, все остальные игроки принесут мусор во дворы членов коалиции. Для коалиции, содержащей всех игроков, такое соглашение, запрещающее выбрасывать мусор, невозможно. Характеристическая функция игры имеет вид

s = 0, ⎧0, ⎪ ν( S ) = ⎨− ( n − s ), 0 < s < n, ⎪− n, s = n. ⎩

17

В этой симметричной игре нужно выяснить, смогут ли игроки достичь соглашения о размещении мусора. Известно, что С-ядро симметричной игры существует тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

ν( S ) / s ≤ ν( N ) / n , 1 ≤ s < n . В рассматриваемой игре поэтому получаем неравенство

ν( S ) / s = − ( n − s ) / s ,

ν( N ) / n = −1,

(n – s) ≥ s, 0< s < n. По предположе-

нию n >2, следовательно, С-ядро игры пустое (при любом соглашении о распределении мусора найдется коалиция, которой будет выгодно его нарушить). Положим n =3, тогда

ν(1) = ν( 2 ) = ν( 3) = −2,

ν(1,2 ) = ν(1,3) = ν( 2,3) = −1,

ν(1,2,3) = −3.

Для нахождения N-ядра решаем линейную задачу

max z , z ≤ x1 + 2, z ≤ x2 + 2, z ≤ x3 + 2, z ≤ x1 + x3 +1, z ≤ x2 + x3 + 1,

z ≤ x1 + x2 + 1, x1 + x2 + x3 = −3.

Ее единственным оптимальным решением является вектор равномерного распределения γ =(−1, −1, −1). В данной игре N-ядро совпадает с ценой Шепли (почему?). Его можно интерпретировать следующим образом: коалиционные интересы будут удовлетворены наилучшим образом, при "циклической" схеме размещения мешков с мусором, например, 1→2→3→1. При определении N-ядра рассматриваются эксцессы коалиций, но не учитываются размеры коалиций. Поэтому единица прибыли для одного игрока расценивается так же, как и единица прибыли для его до-

18

полнения – коалиции из (n −1) игрока. Это может быть воспринято участниками игры как несправедливость. В некоторых играх, возможно, более предпочтительным окажется понятие п р о п о р ц и о н а л ь н о г о N - я д р а , которое определяется через с р е д н и е (в расчете на одного члена коалиции) э к с ц е с с ы

e( x , S ) =

1 S

e( x , S ) ,

S ∈2 N \ N \ ∅

(7)

и обладает теми же свойствами, что и N-ядро. Если желательно увеличить прибыль больших коалиций, то можно рассматривать

в з в е ш е н н о е N - я д р о , определенное через

взве-

шенные эксцессы

e~ ( x , S ) = S e( x , S ) ,

S ∈2 N \ N \ ∅ .

(8)

Вообще эксцесс коалиции S можно представить в виде

e$( x , S ) = e( x , S ) / d ( S ) , где d ( S ) >0 – нормирующий множитель. Соответствующее N-ядро называется о б о б щ е н н ы м N - я д р о м . Обобщенное N-ядро также не является коалиционно монотонным. 10.8. Выпуклые игры Существует важный класс игр, в которых С-ядро не пусто, цена Шепли принадлежит С-ядру, а вершины С-ядра определяются явным образом. Это выпуклые игры. Кооперативная игра называется в ы п у к л о й , если ее характеристическая функция удовлетворяет одному из двух эквивалентных свойств

S1 ⊂ S 2

⇒

ν( S 1 ∪ {i }) − ν( S 1 ) ≤ ν( S 2 ∪ {i }) − ν( S 2 )

(9)

19

или

ν( S 1 ) + ν( S 2 ) ≤ ν( S 1 ∪ S 2 ) + ν( S 1 ∩ S 2 ),

S1, S 2 ⊂ N .

(10)

Условие (9) означает, что чем больше коалиция, к которой присоединяется игрок i , тем больше его вклад в эту коалицию. Функция множеств ν , удовлетворяющая условию (10) называется в ы п у к л о й (или с у п е р м о д у л я р н о й ). Это название связано с тем,

что

при

фиксированном

S2

"первая

разность"

[ ν( S 1 ∪ S 2 ) − ν( S 1 ) ] выпуклой функции множеств ν , монотонно неубывает по S 1 аналогично монотонному неубыванию по x "первой разности" [ f ( x + y ) − f ( x )] выпуклой вещественной функции f при фиксированном y . В

частности,

из

монотонного

нубывания

величины

ν( S 1 ∪ {i }) − ν( S 1 ) вытекает стремление всех игроков к образования максимальной коалиции, что обеспечивает существование С-ядра (доказательство существования С-ядра выпуклой игры дано в [4]). В экономических игровых моделях выпуклость, грубо говоря, означает возрастание темпа роста собственного дохода коалиции при увеличении ее мощности (возрастание доходов на масштаб). Заметим, что для непересекающихся коалиций, свойство (10) совпадает с условием супераддитивности. Пусть π = (i1 , ..., in ) – перестановка N. Доказано [2], что вектор

x ( π ) = ( xi1 , ..., xin ) , компонентами которого являются вклады игроков xi k = ν(i1 , ..., ik ) − ν(i1 , ..., ik −1 ) ,

k = 1, n ,

(11)

является вершиной С-ядра. Таким образом, С-ядро выпуклой игры может иметь n! вершин.

20

П р и м е р 6 . Рассмотрим выпуклую игру трех лиц:

ν(1) =5, ν( 2 ) =3, ν( 3) =1, ν(1,2 ) =8, ν(1,3) =6, ν( 2,3) =4, ν(1,2,3) =9. Ее С-ядро определяется системой

x1 ≥ 5, x2 ≥ 3, x1 + x3 ≥ 6, Пусть

x3 ≥ 1, x2 + x3 ≥ 4,

x1 + x2 ≥ 8, x1 + x2 + x3 = 9.

π1 =(1,2,3) – тождественная перестановка множества

N={1,2,3}. Тогда из (11) получаем

x11 = ν(1) − ν( ∅ ) =5,

x21 = ν(1,2 ) − ν(1) =3,

x31 = ν(1,2,3) − ν(1,2 ) =1.

Следовательно, перестановке π1 соответствует вершина x1 =(5, 3, 1). Рассмотрев другую перестановку π 2 =(1,3,2), получаем

x12 = ν(1) − ν( ∅ ) =5,

x32 = ν(1,3) − ν(1) =1,

x22 = ν(1,2,3) − ν(1,3) =3,

т.е. x1 = x 2 . Перебирая остальные перестановки, получаем что все они определяют одну и туже точку. Следовательно, С-ядро состоит из единственного дележа

(5, 3, 1).

Существует достаточное условие, при котором С-ядро имеет точно n! вершин: если характеристическая функция игры удовлетворяет условию

ν( S 1 ) + ν( S 2 ) < ν( S 1 ∪ S 2 ) + ν( S 1 ∩ S 2 ), для

S 1 \ S 2 ≠ ∅, S 2 \ S 1 ≠ ∅ , то все дележи (11) различны [4]. П р и м е р 7 . Пусть N={1,2,3},

ν(1) = ν( 2 ) = ν( 3) =2,

ν(1,2 ) = ν(1,3) = ν( 2,3) =5,

ν(1,2,3) =9.

Эта игра удовлетворяет (12), ее С-ядро определяется системой

x1 ≥ 2, x2 ≥ 2, x1 + x3 ≥ 5,

x3 ≥ 2, x2 + x3 ≥ 5,

x1 + x2 ≥ 5, x1 + x2 + x3 = 9,

(12)

21

после преобразования которой получим множество, изображенное на рис.2. Все перестановки и соответствующие им вершины С-ядра приведены в таблице 1.

Рис.2. С-ядро выпуклой игры. Таблица 1 Перестановка

Вершина

π1 =(1,2,3)

x1 =(2,3,4)

π 2 =(1,3,2)

x 2 =(2,4,3)

π 3 =(2,1,3)

x 3 =(3,2,4)

π 4 =(2,3,1)

x 4 =(4,2,3)

π5 =(3,1,2)

x 5 =(3,4,2)

π 6 =(3,2,1)

x 6 =(4,3,2)

22

10.9. Упражнения 1. Показать, что соотношение (2) действительно задает характеристическую функцию игры "О з е р о ". Доказать супераддитивность этой функции. 2. Выполнить (0,1)-нормализацию игры "О з е р о " для А=1, В =2.

А=2, В=3 и

3. Доказать, что игра "О з е р о " всегда имеет непустое С-ядро. 4. Вычислить цену Шепли для игры "О з е р о " при n =4, А =1, В =2. 5. Существует

ли

С-ядро

у

следующей

симметричной

игры:

ν( S ) = [ S / 2] , где [x]-целая часть числа x ?. 6. Описать игру пяти лиц, в которой три игрока (1, 2 и 3) имеют по одной правой перчатке, а два других игрока (4 и 5) имеют по одной левой перчатке. Рыночные цены перчаток такие же, как и в примере 4. Является ли данная игра выпуклой? Определить все вершины С-ядра, вычислить цену Шепли и N–ядро. 7. Описать характеристическую функцию игры "Р ы н о к п е р ч а т о к " , если N={1,..,n}; L, P –подмножества владельцев левых и правых перчаток, L ∪ P =N , L ∩ P=∅. 8. Вычислить и сравнить векторы эксцессов дележей игры "М у с о р " для n=3: (−1, −1, −1), (−1/2, −1/2, −2), (−1/2, −2, −1/2), (−2, −1/2, −1/2). Дать содержательную интерпретацию второго дележа. 9. Определить (0,1)-нормальную форму игры "М у с о р " для n =4. 10. Доказать, что игра трех лиц "М у с о р " эквивалентна взвешенной мажоритарной игре (2; 1,1,1). 11. Вычислить цену Шепли для простой игры пяти лиц с выигрывающими коалициями {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3,4,5}.

23

Индивидуальные задания З а д а н и е 1 . Проверить супераддитивность игры трех лиц, приведенной в таблице 2. Таблица 2 № варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ν(1)

1

1

2

2

3

3

0

0

1

1

ν(2)

2

3

1

3

1

2

1

2

0

2

ν(3)

3

2

3

1

2

1

2

1

2

0

ν(1,2)

3

6

4

5

6

6

1

4

2

3

ν(1,3)

5

3

7

5

5

6

3

1

5

2

ν(2,3)

7

6

4

5

4

3

5

4

2

4

ν(1,2,3)

9

8

10

10

9

11

6

7

8

5

З а д а н и е 2 . Выполнить (0,1)-нормализацию игры трех лиц, приведенной в таблице 2. З а д а н и е 3 . Используя графический метод нахождения вершин многогранника, определить параметрическое представление С-ядра игры трех лиц, приведенной в таблице 2. Проверить, принадлежат ли С-ядру

вектор

равномерного

распределения

прибыли

x = ( ν( N ) / n, ..., ν( N ) / n ) и равномерного распределения дополнительного дохода x~ = ([ ν( N ) − ∑ ν(i )] / n, ...,[ ν( N ) − ∑ ν(i )] / n ) . i ∈N

i ∈N

З а д а н и е 4 . Существует ли С-ядро у взвешенной мажоритарной игры пяти лиц, приведенной в таблице 3 ? З а д а н и е 5 . В игре "О з е р о " (три предприятия) определить диапазоны изменения выигрышей игроков для дележей из С-ядра. Вы-

24

числить цену Шепли и N–ядро. Значения параметров А и В даны в таблице 4. Таблица 3 № варианта

Игра

1

(9; 4, 3, 2, 1, 1) (10; 5, 3, 3, 1, 1) (8; 4, 3, 2, 1, 1) (7; 3, 2, 1, 1, 1) (11; 5, 4, 2, 1, 1) (12; 4, 4, 4, 1, 1) (11; 5, 4, 3, 1, 1) (13; 5, 5, 3, 3, 1) (14; 6, 4, 4, 3, 1) (14; 5, 4, 4, 3, 1)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Таблица 4 № варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

А

10

15

9

12

17

11

12

14

13

10

В

20

32

22

27

40

26

30

36

28

25

Таблица 5 № варианта 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Набор подмножеств

{1,2},{1,3,4,5},{2,3,4,5} {1,4},{1,5},{1,2,3},{2,3,4,5} {1,2},{2,3,4},{1,3,4,5},{2,3,4,5} {1,4,5},{2,3,4},{1,2,3,5} {1,2,4},{1,3,5},{2,3,4,5} {1,2,5},{2,3,4},{1,3,4,5} {2,3,4},{1,3,4,5},{1,2,4,5},{1,2,3,5} {1,3},{1,2,4},{1,4,5},{2,3,5},{2,3,4,5} {1,2},{1,3},{1,4,5},{2,3,4,5} {1,2},{1,5},{2,4,5},{2,3,5},{1,3,4}

25

З а д а н и е 6 . Вычислить цену Шепли и N–ядро взвешенной мажоритарной игры, приведенной в таблице 3. Если эти значения не совпадают, то определить, для каких игроков цена Шепли является предпочтительней, чем N–ядро, а каких игроков цена Шепли "наказывает"? Сравните цену Шепли с "вектором голосования". Какие из игроков имеют силу (относительно цены Шепли) превышающую их долю голосов? Для игры с непустым С-ядром (см. задание 4) проверить, принадлежит ли ему цена Шепли. Если цена Шепли не принадлежит непустому С-ядру, то определить коалиции, которые будут возражать против такого дележа. З а д а н и е 7 . Является ли заданный в таблице 5 набор подмножеств множества N ={1,…,5} минимальным сбалансированным покрытием для игры пяти лиц? Если является, то записать соответствующее необходимое условие существования С-ядра этой игры. Литература 1. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социологическим, биологическим и экологическим задачам. М., 1986. 2. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М., 1991. 3. Оуэн Г. Теория игр. М., 1971. 4. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М., 1974. 5. Черников С.Н. Линейные неравенства. М., 1968. 6. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М., 1985. 7. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М., 1985. 8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.,1970.

26

Приложение (метод нахождения всех вершин многогранника) Пусть многогранник задан системой Ax ≤ b, x ≥ 0, x∈Rn, b∈Rm, A - m×n матрица.

(1)

Ей соответствует однородная система

ai1 x1 + ... + ain xn − bi xn +1 ≤ 0,

i = 1, m .

(2)

Решения систем (1) и (2) связаны следующим образом: если x = ( x1 ,..., xn , xn +1 ) - решение системы (2), то ( x1 / xn +1 , ..., xn / xn +1 ) решение системы (1). Метод основан на исключении неизвестных в системе, двойственной к (2), т.е. свертке системы линейных неравенств [5]. Строится начальная таблица

T 1 = (T11 , T21 ) =

1 … 0 0 … a11 am1 … … … … … 0 … 1 0 … a1n amn 0 … 0 1 −b1 … −bm транспонированная единичная матрица по- матрица системы (2) рядка (n+1) (T1 )

( T11 )

2

На каждой итерации алгоритма выбирается столбец текущей таблицы T k = (T1k , T2k ) , который называется о с н о в н ы м столбцом. П а р а с т р о к (i,j) таблицы T k , имеющих ненулевые элементы противоположных знаков в основном столбце, называется д о п у с т и мой. Положительная линейная комбинация допустимой пары строк, имеющая нулевой элемент в основном столбце, называется с т р о к о й р а в н о в е с и я допустимой пары строк. Неравенство системы (1) называется з а в и с и м ы м , если после его отбрасывания множество решений не меняется. Правила преобразования таблицы T 1 = (T11 , T21 ) . 1. Если в таблице T21 есть неположительный столбец, то соответствующее ему неравенство системы (1) является зависимым. Неполо-

27

жительные столбцы таблицы T21 можно заменить нулевыми столбцами или вычеркнуть. 2. Если таблица T21 не содержит ни одного положительного элемента, то T 1 - искомая таблица (КОНЕЦ). 3. В таблице T21 выбрать столбец, содержащий положительный элемент (основной столбец). 4. Если основной столбец содержит только положительные элементы, то система (1) несовместна (КОНЕЦ). 5. В таблицу T 2 перенести строки таблицы T 1 , пересекающие основной столбец по неположительным элементам. 6. В таблицу T 2 перенести также все строки равновесия допустимых пар строк таблицы T 1 . 7. Ненулевые элементы преобразованного основного столбца заменить (-1). Для k

T =

описания правил преобразования k≥2, введем обозначения:

следующих

таблиц

(T1k , T2k ) , k

O - множество столбцов таблицы T2k , которые уже выбирались

в качестве основных; S k = T1k ∪ O k ;

Sijk - множество тех столбцов из S k , каждый из которых пересекает обе строки допустимой пары (i,j) по нулевым элементам. Если (i,j) – допустимая пара строк таблицы T k , Sijk ≠∅ и не существует третьей строки e (e≠i, e≠j) таблицы T k , пересекающей все столбцы Sijk по нулевым элементам, то эта пара сток называется д о пустимой уравновешенной парой. Правила преобразования таблицы T k = (T1k , T2k ) , k≥2. 1. Если в таблице T2k \ O k есть неположительный столбец, то соответствующее ему неравенство системы (1) является зависимым. Неположительные столбцы таблицы T2k \ O k можно заменить нулевыми столбцами или вычеркнуть. 2. - 5. как для таблицы T 1 .

28

6. В таблицу T k +1 перенести все строки равновесия допустимых уравновешенных пар строк таблицы T k . 7. Ненулевые элементы столбцов таблицы T k +1 , которые уже выбирались в качестве основных, заменить (-1). Преобразование таблиц заканчивается в двух случаях: 1) система несовместна; 2) нельзя выбрать основной столбец. Во втором случае получается таблица T r = (T1r , T2r ) , левая часть которой содержит информацию о всех вершинах многогранного множества, определенного системой (1), и его неограниченных ребрах. П р и м е р 8 . Проиллюстрируем работу алгоритма на системе: x1 + x2 ≥2, x1 +2x2≥3, x1 + x2≥1, x1 -2x2≤1, -4x1+3x2≤6, x≥0. Переходим к однородной системе -x1 - x2 +2x3 ≤0, -x1 -2x2 +3x3 ≤0, -x1 - x2 + x3 ≤0, x1 -2x2 - x3 ≤0, -4x1 +3x2 -6x3≤0, x≥0. Начальная таблица имеет вид 1

T =

(T11 , T21 )

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-1 -1 2

-1 -2 3

-1 -1 1

1 -2 -1

-4 3 -6

Основные столбцы таблиц будем выделять заливкой. Таблица T 1 соответствует неотрицательному квадранту плоскости (рис.3), который имеет одну вершину (0,0) и два неограниченных ребра с направляющими векторами (1,0), (0,1).

29

Рис.3. Область, соответствующая таблице T 1 .

2

T =

( T12 , T22 )

=

1 0 2 0

0 1 0 2

0 0 1 1

-1 -1 0 0

-1 -2 1 -1

0 0 0 0

1 -2 1 -5

-4 3 -14 0

Неположительный столбец таблицы T22 \ O 2 заменен нулевым столбцом. Соответствующее неравенство x1 + x2 ≥ 1 является зависимым. Таблица T 2 соответствует множеству неотрицательных точек, удовлетворяющих первому неравенству системы. Эта область (рис.4) имеет две вершины (2,0), (0,2) и два неограниченных ребра с направляющими векторами (1,0), (0,1).

Рис.4. Область, соответствующая таблице T 2 .

30

T 3 = (T13 , T23 ) =

1 0 0 3 2

0 1 2 0 2

0 0 1 1 2

-1 -1 0 -1 0

-1 -1 -1 0 0

0 0 0 0 0

1 -2 -5 2 -4

-4 3 0 -18 -14

Таблица T 3 соответствует множеству неотрицательных точек, удовлетворяющих первым трем неравенствам системы. Эта область (рис.5) имеет три вершины (0,2), (3,0), (1,1) и два неограниченных ребра с направляющими векторами (1,0), (0,1).

Рис.5. Область, соответствующая таблице T 3 .

T 4 = (T14 , T24 ) =

0 0 2 2 8

1 2 2 1 2

0 1 2 0 4

-1 0 0 -1 -1

-1 -1 0 -1 0

0 -1 0 -1 0 -1 0 0 0 0

3 0 -14 -5 -50

Таблица T 4 соответствует множеству неотрицательных точек, удовлетворяющих первым четырем неравенствам системы. Эта область (рис.6) имеет три вершины (0,2), (1,1), (2, 1/2) и два неограниченных ребра с направляющими векторами (0,1), (2,1).

31

Рис.6. Область, соответствующая таблице T 4 .

T 5 = ( T15 , T25 ) =

2 2 8 0 6

2 1 2 2 8

2 0 4 1 0

0 -1 -1 0 -1

0 -1 0 -1 -1

0 0 0 0 0

-1 -1 0 -1 0 -1 -1 0 -1 0

Таблица T 5 - последняя. Таким образом, исходная система определяет множество, которое имеет три вершины (1,1), (2, 1/2), (0,2) и два неограниченных ребра с направляющими векторами (2,1), (3,4).

Рис.7. Область, соответствующая таблице T 5 .