Как обеспечить усвоение математики в 5 классе: Методическое пособие (От автора)

М.Б. Волович

МАТЕМАТИКА Методическое пособие Как обеспечить усвоение математики в 5 классе Под редакцией А.Г. Мордковича

Допущено Министерством образования Российской Федерации

Москва Издательский центр «ВентанаГраф» «МозаикаСинтез» 2003

От автора

Уважаемые коллеги! В этой книге время от времени вам будут задаваться вопросы, на которые вы почти сразу же сможете получить ответы. Но поль зы от чтения будет гораздо больше, если вы сначала сами попы таетесь ответить на поставленный вопрос и только потом позна комитесь с нашим мнением. Очень многое в методике обучения зависит от того, как ответить на вопрос: для чего в школе изучают математику? Не так давно официальная пропаганда пыталась внушить: в шко ле математику изучают потому, что она помогает решать практичес кие вопросы; полученные на уроках математики сведения необходи мы каждому в его повседневной жизни. Доводы подкреплялись бесспорными фактами того, что математика играет большую роль при изучении многих теоретических разделов радиотехники, электротех ники, теории антенн, теории оптимального управления и т. д. и т. п. Но там используются такие разделы математики, как, например, мно гомерные векторные пространства, которые в школе не изучаются (и вряд ли в обозримом будущем будут изучаться). Сведения, очень важ ные для фундаментальных наук и техники, понадобятся ничтожно ма лой части выпускников. А для чего учить математике остальных? Очень убедительно о бесполезности школьной математики для решения прак тических задач говорит известный голландский математик и методист Г. Фройденталь: «Ныне математика — весьма полезная наука, но, что бы дойти до такого состояния, она должна была пройти через пус тыню бесполезности. Ее приходилось лелеять как аристократию ду ха, пронесенную многими, которые изучали бесполезную в то время математику лишь в качестве упражнения ума. Если вере в математику как в упражнение ума не суждено было оправдаться, если это была лишь иллюзия, то, как выяснилось, ил люзия оказалась беременна действительностью» (Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. — Ч. 1. — М., 1982. — С. 57). 3

Существует весьма авторитетное мнение о том, что массовая шко ла просто не умела и не умеет учить детей так, чтобы они приме няли свои знания на практике. Думаю, что дело не только и не столько в этом. Как показали исследования лауреата Ленинской и Государственной премий В.Г. Болтянского, основная причина в том, что школьная математика оперирует абстракциями второго рода, аб стракциями от абстракций. Поэтому проследить связь между мате матическими понятиями и теми объектами или явлениями, которые их «породили», крайне сложно. И еще сложнее применить получен ные теоретические знания на практике. Бытует еще одна, весьма распространенная точка зрения на то, с какой целью надо учить математике в школе: чтобы познакомить учащихся с основами этой науки. «Многие считают, что целью ма тематического образования является ознакомление учащихся с сис темой математики. Однако это может быть конечной целью лишь при подготовке будущих математиков, но никак не целью общего математического образования» (там же. — С. 59). Ближе всего к истинным целям обучения математике стоит всем известное высказывание о том, что она «ум в порядок приводит». Если понимать под этим образным выражением обучение умению четко, точно, доказательно мыслить, обнаруживать ошибки в обос нованиях, то это действительно необходимо любому школьнику, ка кую бы специальность в дальнейшем он не избрал. К сожалению, приходится констатировать, что практика обучения математике, в частности в 5–6 классах, бесконечно далека «от при ведения ума в порядок». Программа требует наличия у учеников чет ко оговоренных знаний, умений, навыков. При этом, как показали многочисленные исследования, знания большинства школьников со существуют с умениями и навыками, не соприкасаясь с ними. Уче ники повторяют вслед за учителями, что запятая при делении деся тичной дроби на натуральное число ставится после того, как кончилось деление целой части. Только почемуто никто не объясняет, что сви детельствует о том, что деление целой части кончилось. Поэтому уче ники сносят в ходе деления последнюю цифру целой части, радост но ставят в частном запятую и получают неверный ответ. В действующих учебниках для 5–6 классов многие формулировки предназначены лишь для заучивания, пользоваться ими либо труд но, либо невозможно. В предлагаемом вашему вниманию комплекте материал строит 4

ся так, что ученик вынужден работать с формулировкой, реально на нее опираться. Хотите ли вы, чтобы большинство ваших учеников полюбило мате матику, чтобы дети охотно ею занимались? И чтобы при этом в ваших классах не осталось не способных усвоить хотя бы обязательный ми нимум предусмотренных программой знаний, а число детей система тически решающих нестандартные задачи, существенно увеличилось? Разумеется, хотите! Но прежде чем начать серьезный разговор о том, что и как для этого надо сделать, давайте подумаем, что является основной «движущей силой» учения. Этот вопрос сотни раз зада вался учителям. И каждый раз после длительного обсуждения они приходили к выводу, что такой «движущей силой», к сожалению, ос тается боязнь наказания за несделанное задание. Может быть, вы сомневаетесь в правомочности такого вывода? Тогда представьте, что ученикам дано домашнее задание. Они точ но знают, что в случае его невыполнения учитель не поставит двой ку, не будет ругать и вообще никаких неприятностей не произойдет. Многие ли дети выполнят это домашнее задание? Единицы! Учение изпод палки всегда было нежелательным, а сегодня ста ло еще и чрезвычайно малоэффективным: дети очень рано осо знают, что двойка, которой угрожает учитель, наказание весьма слабое. За двойки из школы не выгонят и даже на второй год ско рее всего не оставят. Но если даже выгонят! Может, это и лучше? Ведь дети достаточно рано усваивают, что благосостояние челове ка в нашей стране мало зависит от того, насколько прилежно он учился. Давно доказано теоретически и подтверждено опытом лучших пе дагогов, что обучение будет более эффективным, если его «движущей силой» станет желание получать поощрение за сделанное. Однако, к сожалению, в педагогических институтах и институтах повышения квалификации ограничиваются лишь констатацией такой возможно сти и ставят в пример учителей, у которых дети учатся хорошо со всем не потому, что боятся наказаний. Попробуйте спросить у лек тора, увлеченно доказывающего, что положительная мотивация учения лучше, чем отрицательная, каким образом следует действовать само му обычному преподавателю в самом обычном классе? Наверняка вы услышите в ответ лишь общие рекомендации и новые призывы. Сек рет прост: до недавнего времени этому не умели учить. Во всем цивилизованном мире сегодня весьма пристально следят 5

за тем, чтобы боязнь наказания была практически исключена. Учить не пугая наказаниями можно лишь в том случае, если ребенку ин тересно. Колоссальные средства направлены на то, чтобы стимули ровать интерес. Однако результаты более чем скромные. По данным американских исследователей, около трети детей, закончивших обя зательную школу, не усваивали практически ничего. Все дело в том, что успешному усвоению способствует не интерес вообще, а интерес к изучаемому материалу. Еще в 30х годах XX века Л.С. Выготский писал о том, что если интерес к изучаемому материалу подменяется интересом к сюжету, сказочным героям, иллюстрациям, то это не по могает, а мешает усвоению. Правда, психологи давно установили, что если достаточно рано, скажем, в 5–6 классах, сделать учение посильным ребенку и при этом он будет осознавать, что усвоил материал потому, что хорошо потрудился, учиться ему станет интересно. Однако оставался откры тым вопрос, можно ли вообще организовать обучение таким обра зом, чтобы, с одной стороны, для всех учеников в классе оно стало посильным, а с другой стороны, даже самым успевающим приходи лось бы для приобретения знаний прилагать большие усилия и ощу щать, что знания получены именно в результате этих усилий. Исследование, проведенное Е.Б. Арутюнян, Ю.А. Глазковым, Г.Г. Левитасом и автором настоящего пособия, позволило не толь ко утвердительно ответить на вопрос о возможности организовать в условиях классноурочной формы посильное для всех обучение математике, ведущее к повышению интереса к ней, но и сделать та кое преподавание доступным практически для каждого учителя. Эта брошюра входит в комплект пособий, которые, уверен, сде лают обучение эффективным и посильным для всех учеников в клас се. Истоки этой уверенности в том, что удалось не только разобрать ся, каким образом реализовать в 5–6 классах закономерности усвоения, открытые психологами школы Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина, но и построить на фундаменте этих закономерно стей предлагаемый вашему вниманию комплект. Поэтому очень хо телось бы, чтобы вы рассматривали его не как еще один вариант учебника и облегчающих преподавание пособий, а как принципи ально иную идеологию преподавания. Например, успешность усвое ния обеспечивается не большим числом упражнений, не «набитием руки», а правильной организацией усвоения. Чтобы пояснить эту непростую, а для некоторых, может быть, 6

и сомнительную идею, расскажу об эксперименте, описанном во многих учебниках психологии. В те далекие времена, когда лошадь служила основным средством передвижения, было очень престижно, чтобы она умела здороваться, подавая ногу. Обучение этому непростому для лошади искусству за нимало много времени и требовало большого числа упражнений. Они сводились к тому, что ктонибудь поднимал ногу лошади, а хозяин или дрессировщик награждал ее чемнибудь лакомым, например са харом. «Курс обучения» состоял из 200–300 таких повторений. Потом ктото придумал принципиально иной способ обучения. Лошадь должна была переступать через бревно. Для этого ей, естест венно, надо было поднять ногу. В этот момент ей и давали чтони будь лакомое. Требовалось менее 10 упражнений, чтобы добиться то го же результата, который прежде достигался сотнями повторений. Для каждого вопроса школьного курса удалось найти «педагогиче ское бревно», позволяющее резко снизить число упражнений, необ ходимых для полноценного усвоения материала. И одновременно практически устранить дрессировку, обеспечив сознательное усво ение, реальную опору на теоретические сведения (вычислительные правила, определения, теоремы) при работе с новыми знаниями. Учебник (как и остальные, составляющие комплект средства обу чения), написан в соответствии с ныне действующей программой, пол ностью соответствует стандартам обучения математике, разработанным Министерством образования Российской Федерации, но сильно отли чается от других пособий. Основное его отличие — в обеспечении эф фективного обучения всех учеников в классе не только (а может быть и не столько) за счет решения большого числа задач, но и за счет реализации в нем открытых психологами закономерностей усвоения. (О других отличиях рассказано в разделе «Рекомендации по работе с комплектом».) В этой книге упоминание о возможности использования кальку лятора в 5–6 классах снято. Очень не хотелось бы, чтобы ктолибо воспринял это как отказ от идеи систематически использовать каль кулятор пяти и шестиклассниками. Поэтому считаю своим долгом четко сформулировать свое мнение по этому вопросу. Наблюдение за тем, как идет работа в классе в тех случаях, ког да у детей есть калькуляторы, а у учителя — доверие к имеющимся в тексте рекомендациям, укрепило уверенность в том, что кальку лятор, если правильно им пользоваться, не мешает, а помогает фор 7

мированию навыков счета, в том числе устного. Однако, к сожале нию, не все учителя имели возможность обеспечить детей кальку ляторами, не все могли преодолеть весьма стойкое предубеждение против применения калькуляторов в 5–6 классах. В данной книге подобран материал, который позволяет выпол нять все вычисления «вручную». Вместе с тем желательно разрешить детям пользоваться калькулятором, как только они научатся выпол нять вычисления, например складывать и вычитать десятичные дро би. Если при этом практически все вычисления, независимо от то го, считают ученики с помощью калькулятора или в столбик, будут сопровождаться прикидкой, которая выполняется в уме, дети быст ро научатся считать. Выполнение прикидки, особенно на первых по рах, требует дополнительного времени. Но потери времени компен сируются тем, что дети научатся контролировать себя, практически исключая грубые ошибки в вычислениях. Очень важно, чтобы ученики время от времени выполняли даже хорошо усвоенные ими вычисления без помощи калькулятора. Во всяком случае они должны быть готовы к «ручным» подсчетам по стоянно. А вычисления, которые выполняются в ходе усвоения со ответствующего правила, обязательно должны проводиться «вруч ную». При этом весьма нежелательно запрещать детям пользоваться калькулятором: это неизбежно приведет к попытке выполнить не обходимые вычисления тайком. Выход в том, чтобы систематически, но не слишком часто, уче ники в качестве отчета о выполненной работе представляли не толь ко ответ, но и весь ход вычислений. В этом вам поможет рабочая тетрадь, которая, с одной стороны, помогает правильно организо вать работу детей при знакомстве с новым вычислительным прави лом, а с другой — избавляет их от необходимости выполнять на этом этапе те записи, без которых можно обойтись. Успехов вам!