Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. I-II

DIE G R U N D L E H R E N D E R

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN E I N Z E L D A R S T E L L U N G E N BERÜCKSICHTIGUNG D E R

MIT B E S O N D E R E R

ANWENDUNGSGEBIETE

GEMEINSAM MIT

W. B L A S C H K E HAMBURG

M. B O R N

CRUNGE

GÖTTINGEN H E R A U S G E G E B E N VON

GÖTTINGEN

R. C O U R A N T GÖTTINGEN

BAND

XXIV

VORLESUNGEN ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER

ΜΑΤΗΕΜΑΉΚ

IM 19. J A H R H U N D E R T VON FELIX

KLEIN

BERLIN VERLAG

VON

JULIUS 1926

SPRINGER

FELIX KLEIN

VORLESUNGEN ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MATHEMATIK I M IQ. J A H R H U N D E R T

TEIL I F Ü R D E N DRUCK B E A R B E I T E T VON R. C O U R A N T UND O. N E U G E B A U E R

BERLIN VERLAG

VON JULIUS 1926

SPRINGER

Vorwort. K a u m jemals wird ein W e r k eines Historikers einen so starken Reiz ü b e n u n d so tiefe E i n b l i c k e in das W e s e n der Geschichte öffnen v/ie G e d a n k e n u n d Erinnerungen eines großen S t a a t s m a n n e s , welcher selbst ein langes Leben hindurch an führender Stelle in die Geschicke der W e l t eingegiiffen h a t u n d eine überlegene geistige Per­ sönlichkeit m i t der Kraft künstlerischer schriftstellerischer G e s t a l t u n g verbindet. Solche W e r k e , schon für die politische Geschichte eine kostbare S e l t e n h e i t , sind für die Geschichte der e x a k t e n W i s s e n s c h a f t e n b i s ­ her w o h l k a u m geschrieben worden. U m so n o t w e n d i g e r erschien es, als F e l i x K l e i n vor Jahresfrist starb, m i t der H e r a u s g a b e seiner Vor­ lesungen zur Geschichte der M a t h e m a t i k u n d m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k d e s 19. J a h r h u n d e r t s nicht z u zögern. D i e s e Vorlesungen sind die reife Frucht eines reichen L e b e n s in­ m i t t e n der wissenschaftlichen Ereignisse, der A u s d r u c k überlegener W e i s h e i t u n d tiefen historischen Sinnes, einer h o h e n menschlichen K u l t u r u n d einer meisterhaften Gestaltungskraft; sie werden sicherlich auf alle M a t h e m a t i k e r u n d P h y s i k e r u n d w e i t über diesen Kreis h i n ­ aus eine große W i r k u n g ausüben. In einer Zeit, w o der Blick der Menschen auch in der W i s s e n s c h a f t allzusehr a m Gegenwärtigen h ä n g t u n d d a s E i n z e l n e in unnatürlicher Vergrößerung u n d über­ triebener B e d e u t u n g g e g e n ü b e r d e m Ganzen z u b e t r a c h t e n pflegt, k a n n das K l e i n s c h e W e r k vielen die A u g e n wieder öffnen für die Z u s a m m e n h ä n g e u n d E n t w i c k l u n g s l i n i e n unserer W i s s e n s c h a f t im Großen. Schon z u Lebzeiten Kleins h a b e n diese Vorlesungen, in zahlreichen Schreibmaschinen-Abschriften verbreitet, einen starken Zauber a u s ­ g e ü b t . Klein h a t diese Vorträge w ä h r e n d der ersten Kriegs jähre in seiner W o h n u n g vor e i n e m engen Kreise g e h a l t e n u n d m i t U n t e r ­ brechungen bis z u m Jahre 1919 fortgesetzt. D i e Veranlassung war ursprünglich der P l a n , eine größere D a r s t e l l u n g i m R a h m e n der „ K u l t u r der G e g e n w a r t " vorzubereiten. Aber zur A u s f ü h r u n g dieser A b s i c h t ist e s nicht m e h r g e k o m m e n . Klein selbst d a c h t e in seinen letzten Lebensjahren daran, g e w i s s e r m a ß e n als A b s c h l u ß seiner Lebensarbeit, diese Vorträge noch einmal gründlich z u über­ arbeiten u n d z u ergänzen u n d sie dann als selbständiges W e r k z u veröffentlichen

VI Seine K r a n k h e i t u n d d a n n sein T o d h a b e n die Ausführung d e s P l a n e s verhindert, u n d so bheb für diejenigen, die m i t der Her­ ausgabe d e s Kleinschen N a c h l a s s e s betraut wurden, die schwere E n t ­ s c h e i d u n g , ob u n d wie w e i t sie an diesen Vorlesungen E r g ä n z u n g e n u n d Ä n d e r u n g e n v o r n e h m e n durften. W i r h a b e n u n s d a z u entschlossen, s o w e n i g wie möglich an d e m v o n Klein selbst herrührenden T e x t zu ä n d e r n u n d uns auf tatsächliche B e r i c h t i g u n g e n , kleine Zusätze u n d n o t w e n d i g e rein äußere U m g e s t a l t u n g e n zu beschränken. Gewiß, d a s W e r k in der F o r m , wie es jetzt h e r a u s k o m m t , trägt durchaus d e n S t e m p e l d e s F r a g m e n t a r i s c h e n u n d U n f e r t i g e n ; es ist m e h r ein E n t ­ wurf als eine fertige ausgeglichene geschichtHche Darstellung. D e r Cha­ rakter seiner Ausführungen ist keineswegs einheitlich. N e b e n Ausein­ a n d e r s e t z u n g e n v o n h ö c h s t e m allgemeinen Interesse u n d m e h r populärem Stile finden wir, besonders gegen Schluß d e s B u c h e s hin, viele ins E i n z e l n e dringende D a r s t e l l u n g e n ; der z w e i t e B a n d v o l l e n d s wird v o r allem der D a r s t e l l u n g einer einzigen DiszipHn, nämlich der allgemeinen I n v a r i a n t e n t h e o r i e u n d R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e in ihrer historischen E n t ­ w i c k l u n g g e w i d m e t sein. N i c h t überall ist die historische Darstellung n a c h allen R i c h t u n g e n hin gleichmäßig a b g e w o g e n ; charakteristisch dafür ist z. B . , d a ß Zahlentheorie, Algebra u n d Mengenlehre nicht voll g e w ü r d i g t w e r d e n ; auch finden sich m a n c h e andere Ausführungen u n d W e r t u n g e n , die vielleicht ein w e n i g s u b j e k t i v a n m u t e n . D i e ur­ sprünglich g e p l a n t e n K a p i t e l ü b e r P o i n c a r e u n d L i e fehlen ganz. Aber w a s b e d e u t e n alle diese D i n g e gegenüber d e m l e b e n d i g e n Geist, der u n s aus jeder Seite d e s K l e i n s c h e n Manuskriptes e n t g e g e n w e h t ? U n d s c h o n d e s w e g e n wäre es u n s als ein U n r e c h t erschienen, zu ändern u n d zu ergänzen, auch w e n n die würdige Erfüllung dieser Aufgabe n i c h t allzusehr über unsere Kräfte g e g a n g e n wäre. D e n g r ö ß t e n Teil der trotz allem sehr erheblichen Arbeit, die bei d e r H e r a u s g a b e zu leisten war, h a t der jüngere der Bearbeiter auf sich genommen. I m übrigen s c h u l d e n wir einer Reihe v o n F a c h g e n o s s e n für wert­ v o l l e R a t s c h l ä g e u n d Hilfe bei der Korrektur herzlichen D a n k ; i n s ­ besondere Herrn C a r a t h e o d o r y in M ü n c h e n , Herrn S t r u i k in Delft, Herrn M ü l l e r in H a n n o v e r ; v o r allem aber Herrn B e s s e l - H a g e n in G ö t t i n g e n , d e s s e n hilfreiche Sorgfalt bei der D u r c h s i c h t der Korrek­ turen u n d Kontrolle m a n c h e r historischen T a t s a c h e für die H e r a u s ­ geber v o n u n s c h ä t z b a r e m W e r t war. G ö t t i n g e n , A u g u s t 1926.

R. Courant. O. Neugebauer.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung

1 Erstes

Kapitel. Gauß.

Allgemeines

6 Angewandte

Mathematik.

Ceres Störungstheorie, Pallas Allgemeine Resultate Geodäsie Landesvermessung Differentialgeometrie Physik Allgemeines. Alexander v. Humboldt Wilhelm Weber Die Elektrodynamik vor Gauß und Weber Gauß und Weber Erdmagnetismus, Kugelfunktionen Potentialtheorie Elektrodynamik Reine Mathematik. Biographisches Arithmetik. Algebra. Analysis Nachlaß. Tagebuch Gauß' Entwicklungsgang Sachhche Ausführungen Zahlengitter und quadratische Formen Elliptische Funktionen usw Allgemeine elliptische Funktionen, doppelt periodische Funktionen. Modulfunktion P» φ'> i2> Sz' o^-Funktionen Thetafunktionen Stufentheorie, Multiphkation und Teüung ·. Komplexe Multiplikation Modulformen und Modulfunktionen . Elliptische Integrale und arithmetrisch-geometrisches Mittel . . . Kritische Leistungen Fundamentalsatz der Algebra Grundlagen der Geometrie, nichteuklidische Geometrie Allgemeinwürdigung

8 9 12 13 13 15 17 17 18 19 20 21 22 23

24 25 29 31 35 35 39 39 41 42 43 45 46 49 51 54 57 60

VITI

Inhaltsverzeichnis. Zweites Kapitel.

Frankreich u n d die

ficole Polytechnique in den ersten des 19. Jahrhunderts.

Entstehung und Organisation der Schule Mechanik und mathematische Allgemeines Poisson Fourier Cauchy Biographisches Cauchys Werke; Elastizität und Optik Sadi Carnot Poncelet, Coriolis

Jahrzehnten 5^.^^ 63

Physik.

Monge Monges Schule Dupin Carnot d. Alt Poncelet

66 67 68 70 71 73 74 75 77 79 79 79 80

Anatysis

und Atgebra.

Cauchy I Grundlegung der Analysis und Infinitesimalrechnung Differentialgleichungen Komplexe Funktionen Abflauen des mathematischen Lebens in Frankreich Galois Die Galoissche Theorie

Drittes

82 82 85 86 87 88 89

Kapitel.

Die Gründung des Cr elleschen Journals und das Aufblühen der reinen Mathematik in D e u t s c h l a n d . Allerlei Pläne in Berlin; Crelle Anatytiker des Cretteschen Journats. Dirichlet Zahlentheorie, Analysis Mechanik und mathematische Physik Abel Biographisches und Allgemeines Zum Abelschen Theorem Wettkampf mit Jacobi Jacobi Elliptische Funktionen, Thetareihen Die Königsberger Schule

93 96 97 98 100 100 103 106 108 110 112

Geometer des Cretteschen Journats, Gegensatz der Richtungen

115

Moebius

116

Inhaltsverzeichnis. Plucker Physik Geometrie Zum Pascalschen Satz Dreieckskoordinaten, beliebiges Raumelement Plückersche Formeln Steiner Projektive Erzeugung Isoperimetrisches Problem

IX 119 120 121 122 123 124 126 129 131

Viertes Kapitel. Die Entwicklung der algebraischen Geometrie über Moebius» Plücker und Steiner h i n a u s . Einleitung 131 Herausarbettung einer rein projektiven Geometrie. Staudt Definition der allgemeinen projektiven Koordinaten Moderne Erweiterung auf das irrationale Gebiet Deutung des Imaginären in der projektiven Geometrie Beispiel: Die neun Wendepunkte einer ebenen Kurve dritter Ordnung Chasles und seine Schule Historische Interessen Ausbildung der Lehre vom Kugelkreis Beispiel: Die konfokalen Flachen zweiten Grades Cayley Allgemeine projektive Maßbestimmung System der Geometrie auf projektiver Grundlage; nichteukhdische Geo­ metrie. Klein. Beltrami. Clifford Die parallellaufende Entwicklung der Algehra; die Invariantentheorie. Anfange und Haupthnien der Entwicklung Historischer Verlauf Jacobi Hesse Beispiel: Wendepunkte einer ebenen Kurve n-ter Ordnung. . . . Cayley. Sylvester Salmon Schlußbemerkungen zur Theorie der Formen Interessante Einzelprobleme Der Raum von η Dimensionen und die allgemeinen komplexen Zahlen. Allgemeines, Widerstande und Mißverstandnisse Spiritisten Positive Ausbildung und Anwendung der Theorie; Lagrange, Cauchv, Caylev Plucker Riemann Graßmann Die Ausdehnungslehre Axiomatisches zur Arithmetik, höhere komplexe Zahlen Spezialuntersuchungen Pfaffsches Problem Lineale Konstruktionen Die Graßmannianer

132 134 135 136 138 140 142 143 145 147 148 149 155 156 157 159 160 162 163 165 166 167 169 170 171 172 173 175 177 180 180 180 181

X Inhaltsverzeichnis. Hamilton Die Quaternionen: Auffassung als Drehstreckung des Raumes . . . . Kritik; Cayleys Matrixrechnung

182 184 188

Fünftes Kapitel. Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e P h y s i k in D e u t s c h l a n d u n d England bis etwa 1880. Mechanik. Exkurs über das klassische System der Mechanik Hamütons Arbeiten zur Optik und Mechanik Strahlensysteme Konische Refraktion Die charakteristische Funktion und das Prinzip der variierenden Wirliung Optik Geschick der Hamiltonschen Arbeiten auf dem Kontinent . . . . Kummers Strahlensysteme Mechanik, die Hauptfunktion Die Hamiltonschen oder kanonischen Differentialgleichungen . . . . Jacobis Arbeiten zur Mechanik Kanonische Variable. Leitfunktion Integrationsmethoden der kanonischen Differentialgleichungen . . . . Reuths Umformungen Über englischen Unterrichtsbetrieb Zyklische Systeme Kinetische Theorie der Materie Anhang: Exkurs über die mechanische Wärmetheorie Mathematische

191 194 195 195 196 196 197 199 200 201 203 203 205 207 208 209 210 211

Physik.

Allgemeines Franz Neumann und die Konigsberger Schule Neumanns Kristallographie, Optik und Elektrodynamik Kirchhoffs Spektroskopie, Mechanik und Wärmestrahlungstheone . . . Die Entwicklung in Berlin AUgemeines, die Physikalische Gesellschaft Helmholtz Naturphüosophie, Satz von der Erhaltung der Energie Hydrodynamik, Wirbeltheorie Öffentliche Stellung Die Entwicklung in England Green, MacCullagh Stokes, W. Thomson Methode der elektrischen Bilder und Thermodynamik Geophysik und Nautik Vortextheorie der Materie Anhang: Thomson-Taits' „Treatise" Maxwell Die elektromagnetische Lichttheorie Beziehungen zur Mechanik, Gibbs Zusammenhang mit den Ableitungen MacCullaghs Charakterisierung Maxwells Schluß

215 216 216 219 221 221 223 225 227 229 230 231 232 235 235 236 237 238 239 241 243 245 245

Inhaltsverzeichnis. Sechstes

XI

Kapitel.

Die allgemeine Funktionentheorie komplexer

Veränderlicher

bei R i e m a n n und Weierstraß. Gegennberstellnng

g^.^^ 246

Bernhard Riemann. Biographisches, allgemeiner Überblick Riemanns Bnnktionentheorie Besondere Arbeiten anßerhalb der sonstigen Reihe Allgemeine Charakterisiemng ,,Analytische Fnnktion" bei Riemann Die Riemannsche Flache, insbesondere algebraischer Funktionen . Beziehungen zur mathematischen Physik, Existenztheoreme . . . Beweismethoden; das Dirichletsche Prinzip Das Dirichletsche Prinzip bei Riemann Weierstraß' Kritik und ihre Folgen H. A. Schwarz und die Rettung des Dirichletschen Prinzips . . . Klein, Hubert Theorie der linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung Allgemeines, die Monodromiegruppe Die hypergeometrische Reihe Fuchs Das Riemannsche Problem Die Verbreitung der Riemannschen Ideen Der hyperelliptische und ultraelliptische Fall; Prym C Neumann, Clebsch Weitere Verbreitung der Riemannschen Funktionentheorie . . . . Herausgabe von Riemanns Werken, H. Weber, Dedekind, Noether, Wirtinger Weiterbildung durch Klein und Poincare Schlußbemerkungen Karl

247 253 253 255 256 256 258 262 262 263 265 266 267 268 269 270 270 272 272 273 273 274 275 276

Weierstraß.

Biographisches 276 AVeierstraß' Funktionentheorie 278 Anknüpfung an Jacobi und Gudermann 278 Die Al- und ^-Funktionen 279 AVeierstraß' allgemeines Programm, die Zeit bis 1154 280 Berufung nach Berlin; Allgemeines 281 AVeierstraß' Vorlesungen, systematischer Aufbau der Theorie 283 Allgemeiner Überblick über Weierstraß' Funktionentheorie 285 Theorie der elliptischen Funktionen 288 Einordnung in die Stufentheorie 288 Historisches; Eisenstein, Gauß 289 A^erbreitung der Weierstraßschen Theorie 290 Lehrbucher: Stolz; Biermann, Forsyth, Harkness-Morley; Schwarz, Halphen, Tannery-Molk 291 Frankreich: Hermite 291 Abelsche Funktionen 292 Weiterbildung der Theorie 292 Sonja Kowalevsky 293

XII

Inhaltsverzeichnis. Siebentes

Kapitel.

Vertiefte Einsicht in das W e s e n der algebraischen Gebilde. Weiterführung der atgebraischen Geometrie, seite Impuls durch Riemann 295 Clebsch und seine Schule 296 Die ebene Cg und das Abelsche Theorem 298 Von den birationalen Transformationen der Kurven 301 Die beliebige 302 Homogene Variable, die C4 304 Beliebige 305 Clebsch und Gordan, Brill und Noether 307 Riemann-Rochscher Satz 309 Die Normalkurve der 9? 309 Weiterentwicklung bei den Abelschen Funktionen 311 Algebraische Raumkurven 312 Algebraische Flachen 313 Von den Kurven auf dem einschaligen Hyperboloid 315 Von den atgebraischen Zahten und dem Parattetismus ihrer Theorie mit derjenigen der algebraischen Funktionen, Die Anfänge der Theorie, Einheiten, ideale Faktoren, Kummer 320 Verallgemeinerung bei Kronecker und Dedekind, Ideale 323 Analogie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen; Dedekind, Weber, Weierstraß 324 Weitere Schicksale der Theorie, Dedekmd-Weber 326 Hurwitz, Hilbert, Minkowski 328 Hilbert, Theorie der algebraischen Formen 329 Beispiel: Raumkurve dritter Ordnung 329 Hilberts Zahlbericht 331 Exkurs über Galoissche Theorie 331 Übertragung auf die Zahlkorper 333 Schluß. Ausblick auf weitere Aufgaben 334 Achtes

Kapitel.

Gruppentheorie und Funktionentheorie, insbesondere automorphe Funktionen. Gruppentheorie. Grundbegriffe 335 Geschichtliches, Vertauschungsgruppen und Gleichungstheorie von Lagrange über Galois bis C Jordan 336 Endliche Gruppen linearer Substitutionen, reguläre Korper 338 Weiterführung; Anwendung auf die Kristallographie 342 Automorphe Funktionen, Vorbemerkungen 345 Zusammenschluß von Gruppentheorie und Funktionentheorie 346 Anknüpfung an die Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Exkurs über die hypergeometrische Reihe 347 Übergang zu den Gruppen linearer Substitutionen 348 Konforme Abbildung und Spiegelungsprinzip, Zusammenhang mit den regulären Korpern 349

Inhaltsverzeichnis. XIII Das Ikosaeder 351 Ableitung der Ikosaedergleichung 351 Ikosaedergleichung als Normalgleichung 354 Die Auflosung der beliebigen Gleichung fünften Grades 356 elüge historique über die regulären Korper 358 Der Allgemeinbegriff der eindeutigen Dreiecksfunktionen 358 Elliptische Modulfunktionen 360 Historische Ausführungen 363 Gauß. Riemann bis zum Picardschen Satz 363 Abel. Jacobi. Hermite 364 Die Transformation der elliptischen Funktionen, Galois, Hermite . . . 365 Allgemeines Programm 366 Die Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe 367 Die Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe 368 Das Grenzkreistheorem der automorphen Funktionen 372 H. Poincare 374 Biographisches 374 Poincares Arbeiten von I88I 376 1882 378 Riemann 381 Namenverzeichnis 382

Einleitung. B e i den m a n n i g f a c h e n B e s t r e b u n g e n , das w e i t v e r z w e i g t e geistige Leben unserer T a g e z u s a m m e n z u f a s s e n und, w e n i g s t e n s in seinen H a u p t e r s c h e i n u n g e n , geschlossen u n d übersichtlich darzustellen, liegt es für jeden m a t h e m a t i s c h Interessierten auf der H a n d , d a ß in einer solchen Ü b e r s i c h t der kulturbildenden F a k t o r e n der J e t z t z e i t unsere Wissenschaft nicht fehlen darf. Vielmehr m u ß v e r s u c h t werden, auch der M a t h e m a t i k die Stellung einzuräumen, die ihr als einer der ältesten u n d edelsten B e t ä t i g u n g e n des menschlichen Geistes u n d als einer der r i c h t u n g g e b e n d e n Kräfte in seiner E n t w i c k l u n g gebührt, — die sie aber i m B e w u ß t s e i n der Gebildeten, w e n i g s t e n s in D e u t s c h l a n d , leider nur selten e i n n i m m t . A n diesem nicht erfreulichen Verhältnis trägt w o h l v o r allem ein U m s t a n d Schuld, welcher auch der L ö s u n g dieser A u f g a b e große Schwierigkeiten e n t g e g e n s e t z t . W i e keine andere Wissenschaft, ist die M a t h e m a t i k ein auf w e n i g e n Grundprin­ zipien nach z w i n g e n d e n Gesetzen aufgerichtetes Gebilde. Der Cha­ rakter der Ausschließlichkeit, der ihre E n t w i c k l u n g v o r der anderer Gebäude des Geistes auszeichnet u n d ihr die v i e l g e r ü h m t e „Klarheit'' verleiht, bringt es m i t sich, d a ß sie auch die a m schwersten zugäng­ liche aller W i s s e n s c h a f t e n ist. D e n n wer in sie eindringen will, m u ß in sich durch eigene Arbeit die ganze E n t w i c k l u n g Schritt für Schritt w i e d e r h o l e n ; es ist d o c h unmöglich, auch nur e i n e n m a t h e m a t i s c h e n Begriff zu erfassen, o h n e all die davorliegenden Begriffe u n d ihre Ver­ b i n d u n g e n in sich a u f g e n o m m e n zu h a b e n , die zu seiner Erschaffung führten. D i e s e schroffe A b g e s c h l o s s e n h e i t der M a t h e m a t i k m a c h t sie begreif­ licherweise sehr w e n i g geeignet für das nur aufs Allgemeine gerichtete Interesse des L a i e n ; d e n n sein Ziel ist n i c h t s weiter, als in großen Z ü g e n das W e s e n des i h m fremden Gebietes ungefähr zu erfassen und e t w a s v o n seiner Eigenart u n d Schönheit z u ahnen. Soll t r o t z d e m e t w a s d i e s e m Z w e c k e D i e n e n d e s z u s t a n d e k o m m e n , so m u ß jedenfalls eine starke B e s c h r ä n k u n g d e s an sich W ü n s c h e n s w e r t e n eintreten. E s k a n n sich nur d a r u m h a n d e l n , ein B i l d v o n d e m zu geben, w a s die M a t h e ­ m a t i k e r e t w a treiben, v o n der U n b e g r e n z t h e i t der Probleme, die unsere Wissenschaft in s t e t e m Vorwärtsschreiten allmählich in den Bereich

Klein, Entwicklung der Mathematik.

1

2 ihrer Herrschaft einzubeziehen versucht. Ohne eine gewisse „ p i a f i a u s " , m ö c h t e ich s a g e n , g e h t es dabei nicht ab. Alles S y s t e m a t i s c h e , dessen V e r s t ä n d n i s e i g e n e Arbeit erfordern würde, m u ß auf ein M i n i m u m beschränkt w e r d e n . D a g e g e n m u ß die historische E n t w i c k l u n g in den Vordergrund gestellt werden. D e n n durch das natürliche Interesse a m W e r d e n einer S a c h e wird der Leser unwillkürlich m i t g e z o g e n ; d a ß er dabei den D i n g e n näher z u k o m m e n glaubt, w ä h r e n d er nur ihre äußere F o r m erfaßt, darin liegt eben jene ,,pia fraus", o h n e w e l c h e eine populäre D a r s t e l l u n g dieses streng abgeschlossenen Gebietes k a u m wird a u s k o m m e n k ö n n e n . Schließlich wird die B e t o n u n g der E i n w i r k u n g der M a t h e m a t i k auf ihre N a c h b a r g e b i e t e u n d eine lebendige D a r s t e l l u n g ihrer B e z i e h u n g e n zu unserem g e s a m t e n K u l t u r l e b e n für jeden gebil­ deten Leser irgend einen A n k n ü p f u n g s p u n k t b i e t e n . E i n e D a r s t e l l u n g der E n t w i c k l u n g der M a t h e m a t i k i m 19. Jahr­ hundert b e g e g n e t erheblich größeren Schwierigkeiten als dies e t w a für A l t e r t u m u n d Mittelalter oder für d a s 16., 17. oder 18. Jahrhundert der Fall ist. D e n n w ä h r e n d eine Geschichte der M a t h e m a t i k des A l t e r t u m s u n d des Mittelalters n o c h relativ elementare G e g e n s t ä n d e zu b e h a n d e l n h a t u n d das 16., 17. u n d 18. Jahrhundert eine E p o c h e bildet, die i m w e s e n t l i c h e n einheitlichen Charakter trägt, u n d deren Ergebnisse durch ihre B e z i e h u n g e n zu den N a c h b a r g e b i e t e n der M a t h e m a t i k a u c h den A u ß e n s t e h e n d e n leicht erfaßbar sind, so wird u n s ein Vergleich m i t d e m 19. J a h r h u n d e r t sogleich lehren, w i e sehr hier die Verhältnisse anders liegen. J e n e frühere E p o c h e u m f a ß t als W i c h t i g s t e s die u m 1700 b e g i n n e n d e E n t w i c k l u n g der Differential- u n d Integralrechnung, die g a n z n e u e Möglichkeiten zui B e h e r r s c h u n g v o n Mechanik u n d A s t r o n o m i e g e w ä h r t . Ihren H ö h e p u n k t erreicht sie in z w e i W e r k e n französischer Mathe­ matiker, die, o b w o h l erst i m 19. J a h r h u n d e r t abgeschlossen, n a c h I n h a l t u n d F o r m d e m 18. J a h r h u n d e r t angehören. E s sind d i e s : L a g r a n g e : Mecanique a n a l y t i q u e . 2 vol. 1811—151). L a p l a c e : Mecanique Celeste. 5 v o l . 1 7 9 9 — 1 8 2 5 . Jeder M a t h e m a t i k e r , der sich für die E n t w i c k l u n g seiner W i s s e n ­ schaft interessiert, m u ß noch h e u t e diese W e r k e k e n n e n . Vielleicht darf ich d a n e b e n noch n e n n e n : L e g e n d r e : E x e r c i c e s de calcul integral. 3 vol. 1 8 1 1 — 1 9 , weil hier das Erträgnis der U n t e r s u c h u n g der Integrale, s o w e i t sie d a m a l s g e d i e h e n war, z u s a m m e n g e s t e l l t u n d v o r allem nach Seite der numerischen E x e k u t i v e ausgeführt ist. (Tafeln der elliptischen u n d der E u l e r s c h e n I n t e g r a l e ; m a n erinnere sich, daß v o n 1500 an die Verbreitung der D e z i m a l b r ü c h e P l a t z gegriffen h a t t e u n d u m 1600 die Erfindung der L o g a r i t h m e n erfolgt war.) Erste Auflage in einem Bande 1788.

Einleitung.

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N e b e n diesen großen L e i s t u n g e n der a n g e w a n d t e n M a t h e m a t i k fehlt n a t ü r h c h auch i m 18. Jahrhundert nicht die reine. Ich erinnere an N e w t o n s W e r k : E n u m e r a t i o linearum tertii ordinis, an E u I e r u n d L a g r a n g e , d e n e n wir große Fortschritte bei den algebraischen Gleichungen, sehr viel Zahlentheoretisches u n d das A d d i t i o n s t h e o r e m der elhptischen Integrale verdanken, u m nur einige wichtige P u n k t e hervorzuheben. I m g a n z e n tritt aber doch die unabhängige Bearbei­ t u n g der reinen M a t h e m a t i k zurück hinter den g e w a l t i g e n Schöpfungen, m i t d e n e n die reine u n d die a n g e w a n d t e i m B u n d e den Forderungen der Zeit gerecht w u r d e n . D a s 19. Jahrhundert zeigt n u n einen gänzHch anderen Charakter. D i e a n g e w a n d t e M a t h e m a t i k bleibt zwar nicht in ihrer E n t w i c k l u n g s t e h e n . Vielmehr erfaßt sie immer weitere, neue Gebiete, wofür nur die Erinnerung an die Erschaffung der g e s a m t e n „ m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k " , d. h. unseres theoretischen R ü s t z e u g e s in allen physikaHschen Gebieten außer der Mechanik, zeugen m ö g e . D a n e b e n tritt n u n aber die reine M a t h e m a t i k m ä c h t i g hervor, u n d zwar gleich b e d e u t s a m in zweifacher W e i s e : Ganz neue Gebiete w e r d e n geschaffen, so die Theorie der F u n k t i o n e n k o m p l e x e n A r g u m e n t s u n d die projektive G e o m e t r i e ; die ü b e r k o m m e n e n wissenschaftlichen Güter aber werden einer kri­ tischen Durchsicht unterzogen, wie es d e m wiedererwachten Gefühl für Strenge entsprach, das in d e m an n e u e n Erfindungen überreichen 18. Jahrhundert e t w a s zurückgedrängt war. N e b e n diesen n e u e n Gedankenrichtungen m a c h e n f e m e r die starken sozialen Verschiebungen, wie sie die französische R e v o l u t i o n und die a n s c h h e ß e n d e n geschichtHchen Ereignisse m i t sich brachten, ihren E i n ­ fluß auf das wissenschaftHche L e b e n geltend. D i e D e m o k r a t i s i e r u n g aller A n s c h a u u n g e n führt zu einer Verbreiterung der K u l t u r u n d inner­ h a l b derselben zur strengen Spezialisierung der einzelnen Zweige der Wissenschaft. D e r F o r d e r u n g der Zeit entsprechend g e w i n n t die Lehr­ tätigkeit eine große B e d e u t u n g . D a s nicht mehr durch S t a n d e s - u n d Klassenunterschiede g e h e m m t e Berufsleben schafft einen A n d r a n g zu wissenschaftHchen Studien, w i e er früher undenkbar g e w e s e n wäre, n ä m l i c h unter d e m gänzlich n e u e n Gesichtspunkte der A u s b i l d u n g zu d e m n u n so b e d e u t u n g s v o l l gewordenen Lehrerberuf. D a m i t b e g i n n t eine Verschiebung des H a u p t g e w i c h t s wissenschaftHchen L e b e n s ; seine Träger sind n u n nicht mehr die A k a d e m i e n , sondern die H o c h s c h u l e n . I n Frankreich n i m m t diese E n t w i c k l u n g nach ersten A n f ä n g e n in der E c o l e normale ihren A u s g a n g v o n M o n g e u n d der B e g r ü n d u n g der Ecole Polytechnique (1794), in D e u t s c h l a n d v o n J a c o b i , der 1827 in K ö n i g s b e r g ÄhnHches ins L e b e n rief. U n t e r d e m D r u c k der an A u s d e h n u n g so sehr ge.wachsenen u n d so m a n n i g f a l t i g e n A u f g a b e n b e g i n n t n u n die schon a n g e d e u t e t e SpeziaHsierung der W i s s e n s c h a f t e n . D i e M a t h e m a t i k trennt sich v o n der A s t r o -

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Einleitung.

n o m i e , der Geodäsie, der P h y s i k , der Statistik usf. D i e Zahl der F a c h u n d S p e z i a l f a c h m a t h e m a t i k e r w ä c h s t i n s U n g e m e s s e n e u n d verteilt sich über d i e entferntesten N a t i o n e n . I n dieser überreichen E n t w i c k ­ lung der Einzelforschung ist e s auch für d e n universalsten Kopf nicht mehr m ö g l i c h , innerlich eine S y n t h e s e d e s Ganzen z u vollziehen u n d n a c h a u ß e n fruchtbar z u m a c h e n . A n Stelle dieses lebendigen Z u ­ s a m m e n h a l t s e n t s t e h e n eine gewaltige Literatur — insbesondere Zeit­ schriften u m f a s s e n d — , große internationale Kongresse u n d andere Organisationen, die m i t Mühe einen äußeren Z u s a m m e n h a n g aufrecht­ zuerhalten streben. E s unterliegt k e i n e m Zweifel, d a ß d e m wissenschaftlichen L e b e n in dieser g e d r ä n g t e n neuzeitlichen E n t w i c k l u n g viele wertvolle Züge verloren g e g a n g e n sind. W e l c h e B e w u n d e r u n g erregt n i c h t i n u n s d i e kleine Schar auserlesener Männer, die i m 18. Jahrhundert unsere W i s s e n ­ schaft v e r t r a t e n ! I n akademischer Stellung, ohne n a t i o n a l e Schranken, in s t ä n d i g e m G e d a n k e n a u s t a u s c h durch eine persönliche Korrespondenz v e r b u n d e n , vereinigten sie d a s fruchtbarste wissenschaftliche Schaffen mit einer idealen, n a c h allen Seiten e b e n m ä ß i g e n A u s b i l d u n g der e i g e n e n Persönlichkeit. I n d i e s e m B i l d e ist e s n u r e i n Zug, d a ß der Gelehrte dieser Zeit d i e reichsten K e n n t n i s s e auch außerhalb seines e i g e n e n G e b i e t e s b e s a ß u n d sich s t ä n d i g i n l e b e n d i g e m Z u s a m m e n h a n g m i t d e r E n t w i c k l u n g der Wissenschaft, als Ganzes gesehen, w u ß t e . Man b e d e n k e , daß N e w t o n s Gravitationstheorie i n Frankreich durch Voltaire z u r G e l t u n g gebracht wurde. A b e r d a s universale Streben der Zeit geht auch über d a s R e i c h der Wissenschaft n o c h h i n a u s u n d sucht d e n Z u s a m m e n h a n g m i t allen kulturellen W e r t e n , m i t Religion, K u n s t u n d Philosophie. D i e große A u f g a b e der M e n s c h h e i t s v e r v o l l k o m m n u n g i s t überall durchzuspüren. E i n Zeugnis dafür i s t die T e n d e n z , jede wissen­ schaftliche Einzelarbeit z u s a m m e n h ä n g e n d u n d abgerundet darzu­ stellen u n d s o als ein i n sich geschlossenes Ganzes d e m g e b i l d e t e n P u b l i ­ k u m v o r z u l e g e n . L a p l a c e begleitet seine' „Mecanique Celeste'' durch die für d a s allgemeine P u b l i k u m b e s t i m m t e „ E x p o s i t i o n d u Systeme d u m o n d e ' ' , seine „Theorie analytique d e s probabilites'' durch seinen „ E s s a i philosophique sur les probabilites''. Freilich w e r d e n d i e großen S c h ö n h e i t e n dieser kristallklaren, abgeschlossenen, klassischen D a r ­ stellungsweise nicht o h n e E i n b u ß e erkauft. E s ist n ä m l i c h diesen Meisterwerken k a u m m e h r ihre W e r d e g e s c h i c h t e z u e n t n e h m e n . D a d u r c h ist d e m Leser d i e e i g e n t ü m l i c h e u n d für einen selb­ s t ä n d i g e n Geist größte F r e u d e versagt, u n t e r der F ü h r u n g d e s Meisters die g e f u n d e n e n R e s u l t a t e selbsttätig gleichsam n o c h einmal z u e n t ­ decken. I n d i e s e m S i n n e m a n g e l t d e n W e r k e n der klassischen Zeit das eigentlich erzieherische M o m e n t . D e r Gedanke, d e n Leser nicht nur z u erfreuen u n d z u belehren, sondern i n i h m über das W e r k h i n a u s ­ g e h e n d e Kräfte z u w e c k e n , z u r eigenen T ä t i g k e i t anzuregen — eine

Einleitung.

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W i r k u n g , wie sie e t w a v o n Monges, v o n J a c o b i s oder auch v o n F a r a d a y s Schriften ausgeht — gehört durchaus d e m 1 9 . Jahrhundert an^). H a b e n wir so aus vielen Gründen das Universalitätsideal des 18. J a h r h u n d e r t s verlassen u n d verlassen m ü s s e n , so scheint es d o c h angebracht, sich zuweilen an seine Vorzüge zu erinnern, w e n n wir den h e u t e üblichen Wissenschaftsbetrieb b e t r a c h t e n . D a gibt es in j e d e m K u l t u r l a n d H u n d e r t e v o n produzierenden M a t h e m a t i k e r n , v o n denen jeder nur eine ganz kleine E c k e seiner Wissenschaft beherrscht, die i h m d a n n begreiflicherweise an W i c h t i g k e i t alles andere zu überragen scheint. D i e F r ü c h t e seiner Arbeit publiziert er in abgerissenen E i n z e l ­ aufsätzen in mehreren, w o m ö g l i c h verschiedensprachigen, w e i t v e r ­ streuten Zeitschriften. D i e Darstellung, nur für w e n i g e Spezialkollegen berechnet, enthält sich jeder A n d e u t u n g eines Z u s a m m e n h a n g s m i t größeren allgemeinen Fragen u n d ist dadurch vielleicht schon e i n e m e t w a s anderweitig interessierten K o l l e g e n schwer zugänglich, e i n e m größeren Kreise aber gänzlich ungenießbar. N u n , es k a n n hier nicht unsere A u f g a b e sein, einmal Verlorenes z u r ü c k z u w ü n s c h e n oder die Vorzüge aufzuzählen, die den Verlust e t w a ausgleichen m ö c h t e n . A u c h u m Besserungsvorschläge handelt es sich hier nicht. Vielmehr ergibt sich aus diesen Verhältnissen für u n s nur die F r a g e : wie sollen wir u n s durch diese verwickelten, unübersichtlichen Zustände durchfinden? W i e m u ß eine Darstellung angelegt sein, die eine solche, der E i n h e i t u n d des Z u s a m m e n h a n g s m a n g e l n d e E n t w i c k ­ lung für ein weiteres P u b l i k u m klarlegen soll? I c h m ö c h t e hier folgende Gesichtspunkte geltend m a c h e n . A n sich ist es g e w i ß eine w i c h t i g e Aufgabe, das W e s e n t l i c h e erst einmal z u s a m m e l n . D a s ist jedoch die A u f g a b e unserer großen „ E n z y k l o p ä d i e der m a t h e m a t i s c h e n Wissenschaften", gegen deren Arbeitsfeld wir u n s hier v o n vornherein abgrenzen m ü s s e n . D e n n das hier angestrebte Ziel wäre keineswegs erreicht, w e n n wir e t w a nur eine gekürzte U m ­ arbeitung der E n z y k l o p ä d i e geben würden. Aber auch den an sich naheliegenden Gedanken, die H a u p t g e b i e t e herauszugreifen u n d s y s t e ­ m a t i s c h darzustellen, m ö c h t e ich ablehnen. Viehnehr will ich nur a u s g e w ä h l t e Skizzen aneinanderfügen, in denen ich b a l d das L e b e n s ­ werk einzelner hervorragender Persönlichkeiten, b a l d die Ziele xmd 1) Die in diesem Absatz geschilderten Verhältnisse treffen genau genommen nur für das Ende des 18. Jahrhunderts zu. So führt z. B. E u l e r den Leser genau den Weg, den er selber gegangen ist, warnt auch vor den Irrungen, die zu vermeiden sind und erzählt oft genug von den eigenen vergeblichen Versuchen, die er vor Auffindung ^des richtigen Weges unternommen hat. Auch von noch ungelösten Schwierigkeiten berichtet er und weist, soweit er vermag, den Weg, den man nach seiner Ansicht versuchen sollte, und bemüht sich eben dadurch, die eigene Tätigkeit des Lesers anzuregen. — Daß Klein diese Stellung Eulers nicht gewürdigt hat, erklärt sich einfach dadurch, daß er, wie er selbst gelegent­ lich sagte, niemals zu einer eingehenden Beschäftigung mit den Schriften Eulers gekommen ist. Anm. d. Herausg.

I. Gauß. Ergebnisse b e s t i m m t e r Schulen zur D a r s t e l l u n g bringe. D a b e i erhebe ich k e i n e n A n s p r u c h auf V o l l s t ä n d i g k e i t irgendwelcher A r t i m d ver­ zichte v o n vornherein auf m i n u t i ö s e vorbereitende S t u d i e n meinerseits. N u r d a r u m wird e s sich h a n d e l n , d e n allgemeinen Charakter u n d S i n n einer L e i s t u n g leidlich getroffen z u h a b e n . A n d e n B e g i n n m e i n e r Ausführimgen h a b e i c h jedenfalls e i n e n e r s t e n großen A b s c h n i t t z u stellen, d e r sich ausschließlich m i t Gauß beschäftigt. G a u ß s t e h t n i c h t n u r zeitlich a n der S p i t z e d e s 19. Jahr­ h u n d e r t s , sondern er b i l d e t a u c h d e n A u s g a n g s p u n k t für d i e m a n n i g ­ fachen n e u e n E n t w i c k l i m g e n der W i s s e n s c h a f t , d i e e s u m f a ß t . D i e Betr.-cht\mg d e r großen Persönlichkeit v o n G a u ß i s t u m s o m e h r geeignet, i n d e n hier darzulegenden G e g e n s t a n d einzuführen, a l s u n s in d i e s e m Manne eine einzigartige, sehr glückliche Verbindung d e s Geistes der beiden E p o c h e n e n t g e g e n t r i t t , a n deren W e n d e er s t e h t . I n seiner äußeren Erscheinung, d. h . i n der A r t seiner E i n w i r k u n g auf seine Zeitgenossen i s t G a u ß n o c h d u r c h a u s e i n T y p d e s 18. Jahr­ h u n d e r t s . Gerade b e i i h m findet sich d e r wissenschaftliche Verkehr in F o r m einer ausgiebigen Korrespondenz m i t w e n i g e n auserlesenen M ä n n e r n ; d i e klassische F o r m seiner W e r k e zeichnet i h n a u s w i e n u r irgendeinen seiner Vorgänger. Mit diesen Zügen v e r b i n d e t sich eine ausgesprochene A b n e i g u n g g e g e n d e n Lehrbetrieb, d e n er allerdings nur a l s E l e m e n t a r u n t e r r i c h t v e r s t a n d ; g e g e n d i e Unterweisting ein­ zelner hervorragend b e g a b t e r Schüler u n d Jünger h a t sich G a u ß nicht a b l e h n e n d verhalten. Gerade hierin zeigt er sich aber konservativer als e t w a der ältere Monge, der durch d i e s c h o n e r w ä h n t e B e g r ü n d u n g der ß c o l e Polytechnique (1794) der E n t w i c k l u n g d e s 19. J a h r h u n d e r t s Vorgriff. W ä h r e n d aber Monge i n s e i n e m m a t h e m a t i s c h e n Ideenkreis n o c h m e h r i m R a h m e n d e s 18. J a h r h u n d e r t s blieb, eröffnet G a u ß durch seine ganz n e u a r t i g e n G e d a n k e n i n W a h r h e i t d i e n e u e Zeit.

Erstes

Kapitel.

Gauß. Z u n ä c h s t einige biographische D a t e n : g e b o r e n 1777 z u B r a u n s c h w e i g , 1795—98 S t u d e n t i n G ö t t i n g e n , 1799 P r o m o t i o n i n H e l m s t e d t , privatisiert i n B r a u n s c h w e i g , 1807 bis z u s e i n e m T o d e Direktor der Sternwarte^) u n d ordentlicher Professor i n G ö t t i n g e n , g e s t o r b e n 1855. 1) Die Göttinger Sternwarte wurde von 1811 an unter J^rome ernstlich gefördert, aber erst 1816, als längst wieder Hannoversches Regime eingeführt war, fertiggestellt.

Allgemeines. Astronomie.

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Gauß' wissenschaftlicher N a c h l a ß ist in den v o n der Gesellschaft der Wissenschaften z u G ö t t i n g e n herausgegebenen „ W e r k e n " b e q u e m zugänglich gemacht^).

Angewandte Mathematik. Ich m ö c h t e m i t G a u ß ' Arbeiten über angewandteMafhematikbeginnen, weil sich v o n diesen Gebieten aus a m leichtesten eine gegenseitige Ver­ s t ä n d i g u n g erzielen läßt. Der A n l a ß zu G a u ß ' L e i s t u n g e n in dieser R i c h t u n g tritt jeweils v o n a u ß e n an ihn h e r a n ; die Problemstellung wird d a n n freilich m i t der i h m eigenartigen Kraft geschaffen u n d d u r c h ­ geführt, die er an d e n Fragen der reinen M a t h e m a t i k zur E n t f a l t u n g gebracht h a t t e , u n d die sich in seinen W o r t e n ausspricht: „ N i l a c t u m reputans si quid superesset agendum"^). Seine T ä t i g k e i t in dieser R i c h t u n g läßt sich e t w a folgendermaßen zeitlich festlegen: 1800—1820 Astronomie, 1 8 2 0 — 1 8 3 0 Geodäsie, 1830—1840 Physik, wobei diese D a t e n n i t ü r l i c h nur lose A n h a l t s p u n k t e sein sollen. F ü r die A s t r o n o m i e ist v o n B e d e u t u n g , daß G a u ß seit 1807 Direktor der S t e r n w a r t e in G ö t t i n g e n war, welche Stellung ihn n a t u r g e m ä ß zu w e i t e r g e h e n d e n F o r s c h u n g e n in dieser Wissenschaft anregte. Ihr E r t r ä g n i s gipfelt in zwei großen L e i s t u n g e n : L D i e Wiederauffindung der Ceres u n d die an dies P r o b l e m sich a n s c h l i e ß e n d e n Verbesserungen der Methoden der B a h n b e s t i m m u n g . 2. D i e A r b e i t e n zur Störungstheorie, wie sie sich insbesondere an die B e r e c h n u n g e n der Pallas-Störungen anschlössen. E s ist ebenso für G a u ß persönlich, wie für die in seiner Zeit lebendige Auffassung der Wissenschaft, die noch keine trennende S c h e i d e w a n d z w i s c h e n p r a k t i s c h e m Bedürfnis u n d rein t h e o r e t i s c h e m Schaffensdrang aufgerichtet h a t t e , durchaus kennzeichnend, d a ß die u m f a s s e n d e n a u c h in rein m a t h e m a t i s c h e r Hinsicht äußerst fruchtbaren Arbeiten über diese b e i d e n P r o b l e m e sich u n m i t t e l b a r an äußere, praktische A n l ä s s e anschließen. 1) Ihre Anordnung ist die folgende: Bd. I, Disquisitiones Arithmeticae. Bd. 2, Höhere Arithmetik. Bd. 3, Analysis. Bd. 4, Wahrscheinlichkeitsrechnung lind Geometrie. Bd. 5, Mathematische Physik. Bd. 6, Astronomische Abhand­ lungen. Bd. 7, Theoretische Astronomie. Bd. 8, Nachträge zu Bd. I bis 4. Bd. 9, Geodäsie, Fortsetzung von Bd. 4. Bd. 10, I, Nachträge zur .reinen Mathematik, Tagebuch. Bd. I I , I, Nachträge zur Physik. Die Bde. 10, 2 und I I , 2 enthalten Essais über Gauß' wissenschaftlichen Nachlaß. 2) Werke, Bd. 5, S. 629.

I. Gauß. A m 1. J a n u a r 1801 e n t d e c k t e P i a ζ ζ i den ersten der sogen a n n t e n kleinen P l a n e t e n , die, wie wir j e t z t wissen, zu v i e l e n H u n d e r t e n z w i s c h e n Mars u n d J u p i t e r verteilt liegen. D i e B e o b a c h t u n g der B a h n des n e u e n Sternes, der Ceres, war indessen auf ein sehr kleines Intervall b e s c h r ä n k t ; d e n n s c h o n n a c h einer Durchlaufung v o n e t w a v e r s c h w a n d sie in den S o n n e n s t r a h l e n , u m a m M o r g e n h i m m e l nicht wieder z u erscheinen. E s ergab sich n u n die A u f g a b e , aus d e n w e n i g e n B e o b a c h t u n g s d a t e n die B a h n des n e u e n P l a n e t e n z u b e s t i m m e n . D i e bisherigen M e t h o d e n der B a h n b e s t i m m u n g waren hier nicht z u v e r w e n d e n ; d e n n sie waren auf das reichliche, durch i m m e r wiederholte B e o b a c h t u n g gesicherte Material g e g r ü n d e t , das bei den großen, seit d e m A l t e r t u m b e k a n n t e n P l a n e t e n vorlag. G a u ß stellt sich n u n die Aufgabe, eine Keplersche B e w e g u n g aus drei v o l l s t ä n d i g e n B e o b a c h t u n g e n (Zeit, R e k t a s z e n s i o n u n d D e k l i ­ nation) zu berechnen. M a t h e m a t i s c h b e d e u t e t das die B e s t i m m u n g eines K e g e l s c h n i t t s i m R ä u m e , dessen einer B r e n n p u n k t (die Sonne) b e k a n n t ist, der drei g e g e b e n e R a u m g e r a d e n (die Sehstrahlen v o n der selbst auf einer Ellipse laufenden E r d e z u d e m in F r a g e s t e h e n d e n P l a n e t e n ) s c h n e i d e t , u n d dessen B o g e n z w i s c h e n diesen Geraden in g e g e b e n e n Zeiten nach d e m z w e i t e n K e p l e r s c h e n Gesetz durchlaufen werden. D a s P r o b l e m führt auf eine Gleichung 8. Grades, v o n der e i n e L ö s u n g , n ä m l i c h die E r d b a h n selbst, b e k a n n t ist. D i e g e s u c h t e wird v o n den sechs übrigen durch physikalische B e d i n g u n g e n abgesondert. D i e s e A u f g a b e gelöst u n d b i s in alle E i n z e l h e i t e n rechnerisch d u r c h ­ geführt z u h a b e n , ist d a s große Verdienst des d a m a l s 2 4 j ä h r i g e n G a u ß . E r b e d i e n t e sich dabei umfangreicher N ä h e r u n g s m e t h o d e n , die er sich z u d i e s e m Z w e c k e schuf. D e s weiteren führte er eine B e r e c h n u n g der B a h n auf Grimd v o n vier u n v o l l s t ä n d i g e n - B e o b a c h t u n g e n durch u n d v e r b a n d n u n die b e i d e n g e w o n n e n e n R e s u l t a t e durch die Methode der kleinsten Quadrate, die, o b w o h l zu dieser Zeit noch n i c h t veröffent­ licht, s e i n e m eigenen Zeugnis g e m ä ß s c h o n seit 1795 in s e i n e m B e s i t z war. Auf diese W e i s e g e l a n g t e Gauß z u derartig g e n a u e n R e s u l t a t e n , d a ß die Ceres t a t s ä c h l i c h n a c h seinen A n g a b e n wiedergefunden wurde, u n d z w a r n i c h t weniger als 7 ® östlich v o n der Stelle, an der sie n a c h der rohen K r e i s a n n ä h e r u n g h ä t t e v e r m u t e t w e r d e n m ü s s e n . Dieser g l ä n ­ zende, a u c h d e m V e r s t ä n d n i s weiterer Kreise z u g ä n g l i c h e Erfolg ver­ schaffte d e m j u n g e n G a u ß seinen ersten großen R u h m u n d gehört n o c h h e u t e z u seinen p o p u l ä r s t e n L e i s t u n g e n . Auf Grund der A r b e i t e n über die Ceres, i n d e m er die d a b e i a n g e w e n ­ d e t e n M e t h o d e n weiter a u s b a u t e , schuf n u n G a u ß sein großes Werk, die Jheoria motus" (erschienen 1809 b e i Perthes^)), die durch die darin niedergelegte vorbildliche Art, P r o b l e m e der H i m m e l s m e c h a n i k zu 1) Werke, Band 7, S.Iff.

Ceres. Störungstheorie, Pallas. b e h a n d e l n u n d bis ins Z a h l e n m ä ß i g e durchzuführen, geradezu das Ge­ s e t z b u c h der rechnenden A s t r o n o m i e geworden ist. A u c h dies W e r k ist in der bereits charakterisierten, klassischen Darstellungsweise abgefaßt, deren Ziel es ist, durch d e n Eindruck eines formvollendeten, abgeschlossenen B a u e s zu erheben, nicht das Interesse an seiner E n t ­ s t e h u n g durch A u f d e c k u n g der F u n d a m e n t e u n d k o n s t r u k t i v e n E i n z e l ­ heiten zu befriedigen. D i e Methoden, die G a u ß a n w a n d t e , sind natürlich inzwischen weitergebildet u n d verschärft worden, wie er ja auch nicht o h n e Vor­ gänger auf diesem Gebiete war. Als Vorläufer wäre L a g r a n g e , als Nachfolger G i b b s zu n e n n e n , u m nur zwei N a m e n herauszugreifen. E i n e eingehende Geschichte dieses Wissenschaftszweiges findet sich in B a n d V I , 2 der m a t h e m a t i s c h e n E n z y k l o p ä d i e in d e m Artikel v o n H e r g l o t z : „ B a h n b e s t i m m u n g der P l a n e t e n u n d K o m e t e n " . Wir w e n d e n u n s n u n der z w e i t e n Gruppe v o n a s t r o n o m i s c h e n Ar­ b e i t e n zu, die Störungen betreffend. A u c h sie sind veranlaßt durch eine E n t d e c k u n g , die Auffindung der Pallas durch G a u ß ' väterlichen F r e u n d O l b e r s a m 28. März 1802. Dieser ebenfalls zu den A s t e r o i d e n gehörige P l a n e t zeichnet sich durch besonders große E x z e n t r i z i t ä t ( ^ = V s ) u n d N e i g u n g (i = 34^) der B a h n aus, ein U m s t a n d , der i h m w e g e n der daraus resultierenden starken Beeinflussung durch die anderen P l a ­ n e t e n besonderes Interesse verleiht, andererseits aber seiner B e r e c h ­ n u n g außerordentliche Schwierigkeiten e n t g e g e n s e t z t . D i e Pariser A k a ­ demie v e r s u c h t e wiederholt durch A u s s e t z e n v o n Preisen zur B e a r b e i ­ tung dieses P r o b l e m s anzureizen, aber vergeblich. E s gehörte die vir­ tuose R e c h e n k u n s t u n d die zähe, beharrliche Energie eines G a u ß d a z u , u m sich die B e w ä l t i g u n g einer solchen Aufgabe auch nur zuzutrauen. Als wahrhaft tragisch ist es darum anzusehen, d a ß es selbst i h m n i c h t gelungen ist, bis zu l e t z t e n R e s u l t a t e n durchzudringen. E s ist eine sehr merkwürdige T a t s a c h e , d a ß seine Arbeiten über diesen G e g e n s t a n d , denen er sein regstes Interesse u n d v i e l e Jahre hindurch einen u n e m ü d lichen F l e i ß z u w a n d t e , F r a g m e n t e geblieben sind. N a c h großen A n ­ s t r e n g u n g e n , v o n d e n e n die umfangreichen R e c h n u n g e n Zeugnis ablegen, die B r e n d e l in B a n d ? der g e s a m m e l t e n W e r k e (1906) veröffentlicht h a t , u n d n a c h d e m die R e c h n u n g e n der v o n Jupiter u n d Saturn a u s g e h e n d e n Störungen bereits vollendet waren m i t Hilfe seines Schülers N i c o l a i , den G a u ß selbst „ i u v e n e m in calculis perficiendis i n d e f e s s u m " n e n n t , bricht d a s Werk u n v o l l e n d e t ab. D i e s e Verhältnisse m ü s s e n u m so mehr erstaunen, als i m m e r wieder zahlreiche A n z e i c h e n dafür sprechen, daß Gauß d e m G e g e n s t a n d d a s größte Interesse entgegenbrachte. I 8 I 2 — m a n vergegenwärtige sich einen AugenbHck die politische Lage des d a m a l i g e n D e u t s c h l a n d — veröffentlicht er ein mysteriöses A n a g r a m m , in einer b e s t i m m t e n A n ­ ordnung der Zahlen 1 u n d O b e s t e h e n d , welches das w i c h t i g s t e R e s u l t a t

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I. Gauß.

Über die P a l l a s b e w e g u n g e n t h ä l t . Chiffrenmäßig ist es n o c h h e u t e , trotz B r e n d e l s B e m ü h u n g e n , nicht aufgeklärt; d e n I n h a l t aber legt G a u ß selbst dar in e i n e m Brief an B e s s e P ) . D a n a c h e n t h ä l t das A n a ­ g r a m m d e n S a t z , d a ß der Quotient der m i t t l e r e n B e w e g u n g e n v o n J u p i t e r u n d P a l l a s u m einen festen rationalen Wert, n ä m l i c h 7 : 18, h i n - u n d h e r s c h w a n k e , d a ß also hier eine Libration b e s t e h t . W e l c h e M e t h o d e n führten n u n G a u ß zu d i e s e m u n d anderen w i c h ­ tigen R e s u l t a t e n ? W i e alle M a t h e m a t i k e r u n d A s t r o n o m e n v o r i h m , b e d i e n t er sich unendlicher trigonometrischer R e i h e n , deren A r g u ­ m e n t e n u n aber d e m Z w e c k entsprechend besonders a u s g e w ä h l t sind, w ä h r e n d die Koeffizienten durch numerische A u s w e r t u n g (mechanische Quadratur) b e s t i m m t e r Integrale g e w o n n e n werden. H i e r k a n n m a n sich n u n einer g e w i s s e n E n t t ä u s c h u n g n i c h t erwehren, w e n n m a n n ä m ­ lich v o n der Vorstellung ausgegangen ist, G a u ß — der d o c h als erster in seiner Arbeit über die h y p e r g e o m e t r i s c h e R e i h e v o n 1812 e x a k t e Konvergenzkriterien aufstellt — werde d e n Fehler, der sich bei B e r ü c k ­ sichtigung v o n n u r e n d l i c h v i e l e n Reihengliedern ergibt, a b g e s c h ä t z t h a b e n . E i n e derartige Ü b e r l e g u n g findet sich n i c h t . Vielmehr bricht G a u ß , d e m a l l g e m e i n e n B r a u c h e folgend, hier w i e a u c h später b e i seinen g e o d ä t i s c h e n R e c h n u n g e n , die R e i h e n a b , sobald i h m die e i n ­ z e l n e n Glieder hinreichend klein erscheinen. I n der T a t h a t d e n n auch eine D i s s e r t a t i o n v o n S t r u v e ^ ) neuer­ dings gezeigt, d a ß die P a l U s b a h n in d e n J a h r e n 1 8 0 3 — 1 9 1 0 durch die G a u ß s c h e n S t ö r u n g e n erster Ordnung n u r u n v o l l k o m m e n dargestellt w i r d ; S t r u v e m e i n t , d a ß m a n behufs g e n ü g e n d e r Ü b e r e i n s t i m m u n g bis zu d e n S t ö r u n g e n dritter Ordnung werde g e h e n m ü s s e n . E i n e n M a t h e m a t i k e r der h e u t i g e n rein a b s t r a k t g e r i c h t e t e n Schule m a g es vielleicht in E r s t a u n e n versetzen, G a u ß , d e n B e g r ü n d e r strenger K o n v e r g e n z b e t r a c h t u n g e n , in praxi sich solchermaßen g a n z anders v e r ­ h a l t e n z u sehen als in der Theorie. D e n n d a ß die geschilderte B e h a n d ­ lung u n t e r U m s t ä n d e n zu g a n z falschen R e s u l t a t e n führen k a n n , d a sie logisch n i c h t g e n ü g e n d b e g r ü n d e t ist, liegt auf der H a n d . Gelöst k a n n dieser Widerspruch n u r w e r d e n durch die p s y c h o l o ­ gische E i n s i c h t , d a ß nur d a s interessiert, w a s zur Erreichung d e s auf­ g e s t e l l t e n Zieles zweckdienlich ist. F ü r den reinen M a t h e m a t i k e r ist das Ziel das v o l l s t ä n d i g e , gänzlich durchforschte, n a c h großen Gesichts­ p u n k t e n g e o r d n e t e S y s t e m aller Möglichkeiten, die der erwählte G e g e n ­ s t a n d b i e t e t . D i e streng logische T r e n n u n g u n d E i n o r d n u n g der e i n ­ zelnen F ä l l e i s t dabei sein wesentliches H i l f s m i t t e l . D a r u m b i e t e n für ihn k ü n s t l i c h konstruierte A u s n a h m e f ä l l e dasselbe, w e n n n i c h t ein größeres Interesse als die sich natürlich d a r b i e t e n d e n Gebilde. U m 1) Werke, Bd. 6, S. 350. ^ Werke, Bd. 7, S. 421. 8) G. Struve: Die Darstellung der Pallasbahn durch die Gaußsche Theorie in dem Zeitraum 1803 bis I9I0. Berlin 19II.

Störungstheorie, Pallas.

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eine praktische Verwendbarkeit, die e t w a die letzteren auszeichnen m ö c h t e , k ü m m e r t er sich gar nicht. D a s Ziel des rechnenden Praktikers h i n g e g e n ist die Erreichung des z a h l e n m ä ß i g e n R e s u l t a t e s . E r übergeht d a r u m die ausgefeilte logische Rechtfertigung seines Verfahrens, d. h. er verläßt sich m e h r oder minder u n b e w u ß t auf seinen m a t h e m a t i s c h e n I n s t i n k t , der i h m die stillschweigende A n n a h m e der n o t w e n d i g e n V o r a u s s e t z u n g e n — hier e t w a : a b w e c h s e l n d e Vorzeichen der T e r m e u n d unbegrenzte A b ­ n a h m e ihrer B e t r ä g e — diktiert. D i e mehr g e a h n t e als g e w u ß t e B e ­ rechtigung zu s o l c h e m Vorgehen, das er a n w e n d e n m u ß , w e n n er über­ h a u p t v o r w ä r t s k o m m e n will, wird ihn^ durch den immer wieder vor­ g e n o m m e n e n Vergleich m i t der B e o b a c h t u n g b e s t ä t i g t . — Ü b r i g e n s m ö c h t e ich noch hinzufügen, u m das S t u d i u m der G a u ß schen Schriften (wie ü b e r h a u p t der älteren Literatur) zu erleichtern, d a ß G a u ß ' Sprachgebrauch des W o r t e s „ K o n v e r g e n z " ein anderer ist als der u n s geläufige. G a u ß n e n n t eine Reihe k o n v e r g e n t , deren Glieder v o n einer gewissen Stelle an unbegrenzt a b n e h m e n , w ä h r e n d wir unter „ K o n v e r g e n z " verstehen, daß die P a r t i a l s u m m e n de VReihe einen Grenz­ wert besitzen. E r h a t als erster die A u f m e r k s a m k e i t auf diesen U n t e r ­ schied gerichtet, w i e er d e n n auch die ersten Kriterien für , , K o n v e r g e n z " in u n s e r e m Sinne aufstellte, beides in seiner A b h a n d l u n g über die h y p e r g e o m e t r i s c h e R e i h e , 1812. V o n einer R e i h e m i t der h e u t e als K o n v e r g e n z b e z e i c h n e t e n Eigenschaft sagt er gelegentlich^): „ s u m m a m finitam e x asse d e t e r m i n a t a m praebet." — N a c h dieser kleinen Abschweifung m ö c h t e ich zurückkehren zu der Frage, w a r u m w o h l G a u ß die so energisch u n d erfolgreich betriebenen A r b e i t e n über die P a l l a s abgebrochen h a b e n m a g . D i e E r s c h e i n u n g , der wir hier b e g e g n e n , steht in G a u ß ' Schaffen nicht vereinzelt d a ; oft h a t er seine s c h ö n s t e n Errungenschaften nicht veröffentlicht. W a s m a g dies s e l t s a m e Stillstehen dicht vor d e m Ziele veranlaßt h a b e n ? Vielleicht ist der Grund in einer gewissen H y p o c h o n d r i e zu suchen, die G a u ß offenbar zuweilen m i t t e n i m erfolgreichsten Schaffen überfiel. E i n eigenartiges Zeugnis für solche S t i m m u n g e n findet sich z. B . in d e n A u f z e i c h n u n g e n zu den A r b e i t e n über elliptische F u n k t i o n e n e t w a aus d e n J a h r e n 1 8 0 7 — 1 8 1 0 . D a s t e h t plötzlich m i t t e n z w i s c h e n den rein wissenschaftlichen N o t i z e n ganz fein m i t Bleistift g e s c h r i e b e n : „ D e r T o d ist mir lieber als ein solches L e b e n . " — Man m a g den A n l a ß zu solchen S t i m m u n g e n in den äußerst traurigen Verhältnissen s u c h e n , in d e n e n G a u ß sich d a m a l s befand. Seine n e u e Stellung in G ö t t i n g e n , die i h m z u n ä c h s t keinen Verdienst einbrachte, w ä h r e n d i h m französischerseits eine beträchtliche Kriegskontribution auferlegt war, v e r s e t z t e i h n in große finanzielle Schwierigkeiten. E r lebte in einer elenden W o h n u n g 1) Werke, Bd. 3, S. 126.

I. Gauß.

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in der Turmstraße, nahe d e m noch h e u t e s t e h e n d e n B e f e s t i g u n g s t ü r m c h e n , auf d e m die gänzlich u n g e n ü g e n d e n a s t r o n o m i s c h e n A r b e i t s ­ m i t t e l m o n t i e r t waren. Seine U m g e b u n g , v o r allem seine F a m i l i e , zeigte nicht d a s geringste Verständnis für seine anscheinend ganz z w e c k u n d ziellose Riesenarbeit, die ihn v o n allen anderen Interessen abzog, ohne je einen äußeren Erfolg zu bringen. Man m a c h t e i h m die bitter­ s t e n Vorwürfe, u n d es g a b L e u t e , die bezweifelten, d a ß er bei g e s u n d e n S i n n e n sei. I c h m ö c h t e aber die Quelle des seelischen Leidens d e n n o c h tiefer s u c h e n als in d i e s e m drückenden E l e n d des Alltags. E s scheint mir v i e l m e h r als ein R ü c k s c h l a g g e g e n die übergroße I n t e n s i t ä t der P r o ­ duktion, eine E r l a h m u n g des U n t e r n e h m u n g s g e i s t e s u n d der W i l l e n s ­ kräfte, wie sie w o h l bei einer so früh u n d so heftig schöpferischen N a t u r , die dauernd u n t e r d e m Z w a n g einer g e w a l t s a m n a c h a u ß e n drängenden B e g a b u n g s t a n d , nicht ausbleiben k o n n t e . E i n e r solchen seelischen E r m ü d u n g m a g a u c h das Pallasproblem z u m Opfer gefallen sein. Ist aber a u c h der Zweck dieser Arbeit selbst nicht erreicht, so trug sie doch reiche, rein wissenschaftliche F r ü c h t e . Drei große P u b l i k a ­ tionen legen d a v o n Zeugnis a b : 1 8 1 2 : Über die hypergeometrische Reihe. 1 8 1 4 : Über mechanische Quadratur. 1 8 1 8 : Über Säkular Störungen. D i e e r s t g e n a n n t e , s c h o n m e h r m a l s zitierte A b h a n d l u n g (Werke, B d . 3, S. 123—196) h a t rein a n a l y t i s c h e n Charakter, e n t h ä l t aber mancherlei R e i h e n e n t w i c k l u n g e n u n d B e z i e h u n g e n , die a u s den S t ö r u n g s r e c h n u n g e n h e r v o r g e g a n g e n sind. Sie ordnet die a s t r o n o m i s c h e n P r o b l e m e in das S y s t e m allgemeiner a n a l y t i s c h e r F r a g e n ein. D i e A r b e i t e n über m e c h a n i s c h e Quadratur der Integrale sind z u ­ s a m m e n g e f a ß t u n t e r d e m T i t e l : Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi'^). Sie e n t s p r a n g e n d e m Bedürfnis, die Koeffizienten einzelner T e r m e der bei den S t ö r u n g s r e c h n u n g e n auf­ t r e t e n d e n R e i h e n numerisch a u s z u w e r t e n u n d liefern allgemeine Ü b e r ­ l e g u n g e n , an w e l c h e die numerische Ausführung z w e c k m ä ß i g a n z u ­ knüpfen hat. D i e „ G a u ß s c h e M e t h o d e " speziell löst die A u f g a b e , den I n h a l t einer unter einer K u r v e liegenden v o n z w e i Ordinaten b e g r e n z t e n F l ä c h e so g u t w i e m ö g l i c h angenähert z u berechnen, unter B e n u t z u n g v o n m ö g ­ lichst w e n i g e n O r d i n a t e n w e r t e n , u n d findet z u jeder v o r g e g e b e n e n Ordinatenzahl eine d e m Zweck a m b e s t e n e n t s p r e c h e n d e A u s w a h l der zugehörigen A b s z i s s e n . D a m i t wäre also z. B . die Frage b e a n t w o r t e t w i e m a n drei T e m p e r a t u r m e s s u n g e n über einen T a g v e r t e i l e n m u ß , u m ein m ö g l i c h s t g u t e s B i l d des G e s a m t t e m p e r a t u r v e r l a u f s w ä h r e n d des T a g e s z u erhalten. 1) Werke, Bd. 3, S. 163—196.

Allgemeine Resultate.

Geodäsie.

Landesvermessung.

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I n der dritten der angeführten Arbeiten (Werke, B d . 3, S. 3 3 1 — 3 6 0 ) gibt G a u ß die a n s c h a u u n g s m ä ß i g e D e u t u n g u n d B e r e c h n u n g der SäkularStörungen, welche ein P l a n e t a u s ü b t , wobei er übrigens Gelegenheit n i m m t , seine Methode der Periodenberechnung für das elliptische Integral erster G a t t u n g auseinanderzusetzen. D e r Charakter dieser A b h a n d l u n g wird schon an ihrem T i t e l e r k a n n t : Determinatio attractionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta, si eius massa per totam orbitam ratione temporis, quo singulae partes describuntur, uniformiter esset dispartita. E r gibt an, wie G a u ß sich die v o n einem P l a n e t e n ausgehende Säkularstörung v e r a n s c h a u l i c h t : E s m ö g e die Masse des P l a n e t e n längs seiner B a h n verteilt sein, u n d zwar u m ­ g e k e h r t proportional der an jedem P u n k t e herrschenden U m l a u f s ­ g e s c h w i n d i g k e i t ; d a n n ergibt sich als A n z i e h u n g dieses R i n g e s auf einen andern Körper gerade die Größe der Säkularstörung. Diese Auffassung ist ein Beispiel für das eigenartig plastische D e n k e n , d a s bei G a u ß immer wieder hervortritt. E r war e b e n nicht nur der v i r t u o s e Rechner, der alle Schwierigkeiten siegreich überwand, sondern seine Zahlen waren für ihn v o l l v o n L e b e n u n d v e r b a n d e n sich ihm gern mit a n s c h a u l i c h e n Vorstellungen. A u ß e r d e m in diesen drei P u b l i k a t i o n e n E n t h a l t e n e n ist u n s v o n G a u ß ' wissenschaftlichen L e i s t u n g e n aus diesen J a h r e n nur E i n z e l n e s in den U m r i s s e n b e k a n n t . Ü b e r die jahrelangen R e c h n u n g e n zu den Pallasstörungen erfahren wir j e t z t durch den v o n Brendel in B d . 7 herausgegebenen N a c h l a ß einiges N ä h e r e . B d . 6 u n d 7 der W e r k e g e b e n im übrigen d a v o n K e n n t n i s , d a ß Gauß neben diesen riesenhaften R e c h n u n g e n noch m a n c h e andere u n d n a m e n t l i c h auch ungeheuer viele B e o b a c h t u n g e n ausgeführt h a t . Man fragt sich vergeblich, wie er, der sich doch erst in späteren J a h r e n der a u s ü b e n d e n A s t r o n o m i e w i d m e t e , sich die Geschicklichkeit in der H a n d h a b u n g der I n s t r u ­ m e n t e erworben h a t , wie er auch nur rein äußerlich die Zeit g e w o n n e n h a b e n m a g zu solch gewaltiger Arbeitsleistung, n e b e n all den großen m a t h e m a t i s c h e n P r o b l e m e n , die ihn unablässig beschäftigten. D i e schier unbegreifliche Energie u n d der übermenschliche F l e i ß , der aus diesen nachgelassenen B l ä t t e r n spricht, rücken den schon an Genie U n v e r ­ gleichlichen hinaus über jedes gewöhnliche Maß der Beurteilung. I c h w e n d e m i c h n u n d e m z w e i t e n Gebiet der a n g e w a n d t e n Mathe­ m a t i k zu, d e m Gauß seine Kräfte w i d m e t e , nämlich der Geodäsie. Das P r o b l e m , das sich ihm hier zunächst darbot, war w i e d e r u m durchaus praktischer N a t u r . E s h a n d e l t e sich n ä m l i c h u m die Vermessung des Königreichs Hannover. Genaue geodätische Vermessungen wurden zuerst im 17. u n d 18. J a h r ­ h u n d e r t v o r g e n o m m e n , angeregt durch das rein wissenschaftliche Inter­ esse a n der Gestalt der Erde. E s h a n d e l t e sich vor allem darum, den

U

I. Gauß.

Streit, ob unser P l a n e t ein a b g e p l a t t e t e s oder ein verlängertes R o t a ­ tionsellipsoid sei, durch eine e x a k t e Gradmessung z u entscheiden. N a c h ­ d e m die erste A n n a h m e endgültig b e w i e s e n war, b e g a n n i m 19. Jahr­ h u n d e r t das genauere S t u d i u m der Gestalt i m einzelnen, das schließlich z u der v o n L i s t i n g als „ G e o i d " b e z e i c h n e t e n , irregulären F l ä c h e führte. Ü b r i g e n s war es G a u ß s c h o n b e k a n n t , d a ß das R o t a t i o n s e l l i p s o i d nur eine A n n ä h e r u n g der w a h r e n E r d g e s t a l t b e d e u t e . I n diese rein wissenschaftliche E n t w i c k l u n g greift n u n u m die W e n d e des 18. J a h r h u n d e r t s die gewaltige U m w ä l z u n g aller L e b e n s b e d i n g u n g e n ein. W i e auf so v i e l e n Gebieten, so g a b a u c h hier N a p o l e o n den ersten A n s t o ß z u großen F o r t s c h r i t t e n u n d Erfindungen. D i e Strategie u n d die n e u geordnete S t e u e r v e r w a l t u n g bedurfte genauer geographischer K a r t e n , die nur auf Grund planmäßiger e x a k t e r V e r m e s s u n g der in F r a g e k o m m e n d e n Gebiete herzustellen waren. D i e Länder b e g i n n e n daher v o n sich aus m i t der s y s t e m a t i s c h e n D u r c h f ü h r u n g dieser Auf­ g a b e . H a n n o v e r w u r d e hierzu v o n D ä n e m a r k angeregt, w o der in K i e l ansässige S c h u m a c h e r (Direktor der dortigen Sternwarte, Herausgeber der A s t r o n o m i s c h e n N a c h r i c h t e n ) , G a u ß ' einstiger Schüler, die Arbeit bereits in Angriff g e n o m m e n h a t t e , a u s g e h e n d v o n einer bei H a m b u r g gelegenen g e o d ä t i s c h e n B a s i s , die d a n n G a u ß später m i t b e n u t z t e . 1816 erging an G a u ß die Aufforderung der Regierung, die entspre­ c h e n d e A u f g a b e für H a n n o v e r z u lösen. Seine, e i g e n e n Messungen liegen in d e n J a h r e n 1 8 2 1 — 1 S 2 5 ; z u E n d e geführt w u r d e die v o n G e ­ hilfen fortgesetzte Arbeit erst 1841. D i e b e i d e n w i c h t i g e n , aus dieser T ä t i g k e i t h e r v o r g e g a n g e n e n , wissenschaftlichen P u b l i k a t i o n e n s i n d : 1 8 2 8 : Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona (Bd. 9 der ges. W e r k e S. I f f . ) . 1 8 4 3 : Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie (Bd. 4 S. 259ff.). D i e e r s t g e n a n n t e Schrift e n t h ä l t u. a. einen H i n w e i s auf die A b w e i c h u n g der w a h r e n E r d g e s t a l t v o n d e m sie a n n ä h e r n d e n Ellipsoid, die z w e i t e ist als B r u c h s t ü c k eines g e p l a n t e n größeren W e r k e s a n z u s e h e n ^). A u s diesen A r b e i t e n m ö c h t e ich nur z w e i P u n k t e hervorheben, die besonders populär g e w o r d e n sind. D a ist v o r allem die b e r ü h m t e A u s ­ m e s s u n g des g r ö ß t e n bis d a h i n b e o b a c h t e t e n u n d g e o d ä t i s c h bearbei­ t e t e n Dreiecks, gebildet durch die drei Berggipfel: H o h e r H a g e n , B r o c k e n , Inselsberg z u v e r m e r k e n . Ferner wird in dieser Schrift der v o n G a u ß erfundene u n d v i e l v e r w e n d e t e Heliotrop beschrieben, ein I n s t r u m e n t , das durch die K o n z e n t r a t i o n reflektierter Sonnenstrahlen g u t sichtbare, für M e s s u n g e n brauchbare Visierpunkte schafft. W i e dieser A p p a r a t längst durch unsere i n t e n s i v e n p u n k t f ö r m i g e n L i c h t q u e l l e n u n d elektrischen Scheinwerfer überflüssig g e w o r d e n ist, so ist natürlich n o c h in v i e l e n anderen P u n k t e n die G a u ß s c h e Arbeit 1) Eine zweite Abhandlung erschien 1847 (Werke, Bd. 4, S. 301 ff.)-

Geodäsie,

Landesvermessung.

Differentialgeometrie.

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durch bessere M e t h o d e n u n d schärfere R e s u l t a t e überholt. E s fehlt den Messungen z, B , ein einheitlicher, zweckmäßiger G e s a m t p l a n der A n l a g e , w a s sich aus d e n vielen Schwierigkeiten aller A r t —- m a n g e l n d e Geldmittel, Schwierigkeit der Auffindung geeigneter B e o b a c h t u n g s ­ p u n k t e i m e b e n e n aber b e w a l d e t e n Gelände usw, — , die sich der über 20 Jahre erstreckten, nie vorher v e r s u c h t e n Arbeit e n t g e g e n s e t z t e n , w o h l erklären läßt. T r o t z dieser selbstverständlichen Ü b e r h o l u n g i m einzelnen h a t aber G a u ß ' Arbeit große bleibende Verdienste, deren W e r t über die L e i s t u n g als erster diese Messung unter Ü b e r w i n d u n g enormer praktischer W i d e r ­ s t ä n d e m i t m a n g e l h a f t e n H i l f s m i t t e l n wirklich durchgeführt zu h a b e n , w e i t h i n a u s g e h t . E r h a t die Methoden u n d S c h e m a t a gegeben, in d e n e n sich die m e s s e n d e Geodäsie noch h e u t e ausschließlich b e w e g t . Als wichtigster P u n k t ist vor allem die k o n s e q u e n t e A n w e n d u n g der M e t h o d e der kleinsten Quadrate zu nennen. E i n e Gaußsche Spezialität ist die B e n u t z u n g einer b e s t i m m t e n konformen P r o j e k t i o n des EUipsoids auf die E b e n e , die G a u ß in A n l e h n u n g an die Gradmessungsaufgabe unter Zugrundelegung des Meridians G ö t t i n g e n — A l t o n a als Richtlinie, bis in die feinsten A b w e i c h u n g e n der geodätischen Linien v o n der Geraden hinein selbst b e r e c h n e t e . D i e s e beiden G e d a n k e n w e n d u n g e n u n d die Art ihrer Durchführung h a b e n so b e s t i m m e n d auf alle W e i t e r e n t ­ wicklung der Vermessungswissenschaft eingewirkt, d a ß die G e o d ä t e n G a u ß ganz zu d e n Ihren zählen , W ä h r e n d dieser Jahre praktischer Tätigkeit, die i h m offenbar eine erfreulicheAbwechslung u n d körperlicheErholung b r a c h t e n — m a n b e d e n k e , d a ß der Begriff der „Ferienreise*' d a m a l s noch u n b e k a n n t war — w a r G a u ß a u c h innerlich schöpferisch aufs regste tätig, 1821 u n d 1823 v e r ­ öffentlichte er seine Methode der kleinsten Quadrate\ Vor aUem aber b e s c h ä f t i g t e n G a u ß in dieser Zeit die tiefsinnigen S p e k u l a t i o n e n über Differentialgeometrie, die in der großen A b h a n d l u n g ; Disquisitiones circa superficies curvas 1827 (Werke, B d , 4 , S, 217 ff,) veröffentlicht w u r d e n . D u r c h einige Stichproben m ö c h t e ich den I n h a l t k e n n z e i c h n e n . V o n der sphärischen A b b i l d i m g beliebiger F l ä c h e n a u s g e h e n d , w i r d der w i c h t i g e Begriff des Krümmungsmaßes für einen F l ä c h e n p u n k t g e ­ wonnen wo und die H a u p t k r ü m m u n g s r a d i e n der F l ä c h e in d e m betreffenden P u n k t e b e d e u t e n j . Hierauf folgt n u n der große Satz v o n der Konstanz des Krümmungsmaßes bei beliebiger B i e g u n g der F l ä c h e (ohne D e h n u n g ) , d e m sich als weiteres w i c h t i g e s T h e o r e m Über diese Einwirkung von Gauß sowie über die ganze hier nur angedeu­ tete Entwicklung verweise ich auf das Referat von Hzetti: „Höhere Geodäsie'* in B d . V l , 1 der mathematischen Enzyklopädie. Ferner: G a l l e : Über die geo­ dätischen Arbeiten von Gauß, Gauß' Werke, Bd. 11, 2. 2) Werke, Bd. 4. Insbes. S. 1 bis 108,

I. Gauß.

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der Satz anschließt, d a ß der F l ä c h e n i n h a l t des sphärischen Bildes eines g e o d ä t i s c h e n Dreiecks d e m sphärischen E x z e ß — oder, je n a c h d e m , D e f e k t — proportional sei. A u c h der Legendresche S a t z , d a ß m a n , u m ein sphärisches Dreieck m i t g e g e b e n e n S e i t e n a, b, c m i t e i n e m e b e n e n Dreieck derselben Seitenlängen vergleichen zu k ö n n e n , d e n sphärischen E x z e ß zu 1/3 v o n j e d e m der drei W i n k e l abziehen müsse, wird genauer präzisiert. D i e s e l e t z t e n E n t w i c k l u n g e n g e h e n , w i e Stäckel g e f u n d e n h a t , s c h o n auf das Jahr 1816 zurück, als G a u ß sich m i t d e n ersten P l ä n e n , die L a n d e s v e r m e s s u n g betreffend, b e s c h ä f t i g t e 1). D e n Satz v o n der K o n ­ s t a n z des K r ü m m u n g s m a ß e s bei B i e g u n g leitet G a u ß 1822 ab aus der F o r m des B o g e n e l e m e n t e s ds^ =

[dt^ +

dn^)

( B d . 8, S. 381, 3 8 5 ) ; die sehr viel weniger durchsichtige

Entwicklung

aus der allgemeinen F o r m ds^ = Edp^-\-2Fdpdq + G dq^, w i e sie G a u ß in d e n D i s q u i s i t i o n e s veröffentlichte, ist also späteren Ursprungs (Bd. 4, S. 236). D i e W i r k u n g der D i s q u i s i t i o n e s war v o n außerordentlicher Trag­ w e i t e . Sie b e d e u t e n die erste große F ö r d e r u n g der Differentialgeometrie über Monge hinaus u n d h a b e n dieser Disziplin bis h e u t e die wesentliche R i c h t u n g g e g e b e n (vgl. Referat v o n V o ß über F l ä c h e n a b w i c k l u n g , Enzykl. Bd. III, D 6 a ) . Aber nichts in diesen Ausführungen l ä ß t erkennen, d a ß Gauß auch hier wieder einmal seine k ü h n s t e n I d e e n zurückhielt. D e r Briefwechsel m i t Olbers, S c h u m a c h e r , B e s s e l u. a., s o w i e G a u ß ' N a c h l a ß lassen es n ä m l i c h nicht zweifelhaft erscheinen, d a ß Gauß i m B e s i t z der nichteuklidischen Geometrie war. O b w o h l er nie ein W o r t über diese E r ­ rungenschaft veröffentlicht hat, so verließ ihn doch der G e d a n k e daran b e i keiner seiner Arbeiten, w i e aus seinen Briefen deutlich hervorgeht. I n d i e s e m Z u s a m m e n h a n g b e k o m m t n u n die V e r m e s s u n g des g r o ß e n Lichtstrahlendreiecks n o c h eine g a n z andere B e d e u t u n g . U m m i c h der Georg Cantorschen Terminologie zu b e d i e n e n , so h a n d e l t e es sich für Gauß keineswegs nur u m die „ i m m a n e n t e " , sondern sehr wesentlich u m die „ t r a n s i e n t e " Seite der M a t h e m a t i k . E s interessierte i h n nicht nur d a s widerspruchslose Gefüge der W i s s e n s c h a f t in sich, sondern die Mög­ lichkeit, m i t ihrer Hilfe d i e E r s c h e i n u n g e n der N a t u r z u verknüpfen u n d zu beherrschen. W e l c h e der i h m gleich lebendigen, gleich g e g e n w ä r t i g e n Geometrien hierfür die g e e i g n e t s t e sei, d a s sollte n u n das E x p e r i m e n t e n t s c h e i d e n . D a n ä m l i c h die A b w e i c h u n g der W i n k e l s u m m e des e b e n e n D r e i e c k s v o n 180 <^ bei d e n n i c h t e u k l i d i s c h e n Geometrien m i t den D i ­ m e n s i o n e n des Dreiecks w ä c h s t — G a u ß spricht in dieser Zeit i m m e r 1) Vgl. s t ä c k e l : Gauß als Geometer, Gauß' W'erke, Bd. 10, 2, Abh. IV.

Differentialgeometrie. Physik. Α. ν . Humboldt.

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nur v o n einer m ö g l i c h e n n e g a t i v e n A b w e i c h u n g — , so hoffte G a u ß auf Grund der Messung eines so großen Dreiecks seine Frage b e a n t w o r t e n z u k ö n n e n . D a s R e s u l t a t war indessen n e g a t i v , d e n n die b e o b a c h t e t e A b w e i c h u n g der W i n k e l s u m m e v o n 2 π blieb durchaus innerhalb der durch die Messung b e d i n g t e n Fehlergrenze. E s ist b e k a n n t , d a ß diese v o n G a u ß aufgeworfene F r a g e n o c h h e u t e offensteht. D i e v o n Lobatscheffski vorgeschlagene A u s m e s s u n g eines v o n einem F i x s t e r n u n d zwei diametral e n t g e g e n g e s e t z t e n P u n k t e n der E r d b a h n gebildeten Dreiecks ist w e g e n der K o m p l i k a t i o n e n durch Aberration des L i c h t e s , E i g e n b e w e g u n g d e s F i x s t e r n e s u n d des S o n n e n s y s t e m e s usw., nie zur Ausführung g e l a n g t . I n einem späteren A b s c h n i t t werden wir ausführlich b e s p r e c h e n , wie w e i t G a u ß s c h o n d a m a l s i m B e s i t z seiner als „ a n t i e u k l i d i s c h " b e z e i c h ­ n e t e n Geometrie war. J e t z t w e n d e ich m i c h d e n L e i s t u n g e n z u , die i h m die Physik verdankt. E h e ich jedoch m i t der B e t r a c h t u n g dieses Gebietes beginne, m ö c h t e ich eines Mannes g e d e n k e n , der, o b w o h l nicht selbst Mathematiker, v o n größter B e d e u t u n g war für die E n t w i c k l u n g der e x a k t e n W i s s e n s c h a f t e n in seiner Zeit u n d in seinem L a n d e : A l e x a n d e r v o n H u m b o l d t . Einige biographische D a t e n m ö g e n als A n h a l t s p u n k t e g e n a n n t sein. Geboren wurde er 1769 in Tegel bei Berlin. Als folgenreichster A b s c h n i t t seines L e b e n s ist w o h l 1 7 9 9 — 1 8 0 4 seine südamerikanische R e i s e a n z u ­ sehen, v o n der er eine F ü l l e wissenschaftlichen Materials h e i m b r a c h t e . Er lebte darauf lange Jahre in Paris in F ü h l u n g m i t allen b e d e u t e n d e n Geistern der Zeit, v o n 1827 ab in Berlin, w o er als 9 0 jähriger 1859 starb. H u m b o l d t selbst war Geograph u n d Biologe, w i e wir h e u t e e t w a sagen würden, also durchaus der beschreibenden, nicht der e x a k t e n Naturwissenschaft z u g e w a n d t . Er b e s a ß aber die seltene Gabe, a u c h o h n e g e n a u e s Verständnis die B e d e u t u n g i h m ferner liegender G e b i e t e z u erkennen, ja er h a t nicht selten, durch seine allgemeinen Auffassungen u n d ein sicheres Gefühl für die Forderungen der Zeit geleitet, fruchtbare A n r e g u n g e n für i h m fremde Wissenschaften g e g e b e n . I m Z u s a m m e n ­ h a n g m i t dieser E i g e n s c h a f t s t e h t seine F ä h i g k e i t , junge, v i e l v e r ­ sprechende T a l e n t e s c h o n v o r ihren eigentlichen L e i s t u n g e n m i t sicherem I n s t i n k t z u erkennen. D a H u m b o l d t z u d e m in Berlin eine außerordent­ liche gesellschaftliche Stellung g e n o ß , die i h m durch seine B e z i e h u n g z u m H o f e u n d seine vielseitigen V e r b i n d u n g e n einen g r o ß e n E i n f l u ß verschaffte, so war er der geeignete Mann, u m auf Jahre h i n a u s die E n t w i c k l u n g der ihn interessierenden W i s s e n s c h a f t e n in P r e u ß e n z u b e s t i m m e n . Er ist d e n n auch der eigentliche Urheber einer E r s c h e i n u n g auf d e m Gebiete der M a t h e m a t i k u n d N a t u r w i s s e n s c h a f t e n , die für die p h i l o ­ logischen Fächer s c h o n e t w a 10 Jahre früher, n ä m l i c h 1810 m i t der Grün­ d u n g der Berliner U n i v e r s i t ä t , b e g i n n t , u n d die ich als „ d e u t s c h e w i s s e n ­ schaftliche R e n a i s s a n c e " b e z e i c h n e n m ö c h t e . 1824 bringt H u m b o l d t

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I. Gauß.

d e n 21 jährigen Liebig n a c h Gießen, 1827 Dirichlet i m Alter v o n 2 3 J a h r e n n a c h B r e s l a u , beide n a c h Ü b e r w i n d u n g des heftigsten W i d e r s p r u c h s seitens der F a k u l t ä t e n . A u c h Gauß w ü n s c h t e H u m b o l d t für preußische D i e n s t e h e r a n z u z i e h e n ; er v e r s u c h t e A n f a n g der 2 0 e r J a h r e i h n für die Stellung eines D i r e k t o r s der in Berlin z u g r ü n d e n d e n p o l y t e c h n i s c h e n Schule zu gewinnen. G a u ß sollte keine Vorlesungsverpflichtungen h a b e n , sondern in der H a u p t s a c h e nur die g e s a m t e n F o r s c h u n g s i n s t i ­ t u t e des S t a a t e s wissenschaftlich beaufsichtigen. A b e r trotz so großen E n t g e g e n k o m m e n s l e h n t e G a u ß dies A n e r b i e t e n a b . E r s t 1828 g e l e g e n t ­ lich der N a t u r f o r s c h e r v e r s a m m l u n g in Berlin gelang es H u m b o l d t , d e n bei i h m persönlich z u Gast g e l a d e n e n G a u ß k e n n e n z u lernen. D i e w i s s e n ­ schaftliche B e d e u t u n g dieser B e z i e h u n g , die sich allmählich z u einei durch d a s g a n z e L e b e n w ä h r e n d e n F r e u n d s c h a f t e n t w i c k e l t e (vgl. d e n v o n B r u h n s 1877 h e r a u s g e g e b e n e n Briefwechsel v o n Gauß u n d A . v. H u m b o l d t ) , liegt v o r allem darin, d a ß H u m b o l d t G a u ß die erste A n ­ regung z u einer B e s c h ä f t i g u n g m i t e r d m a g n e t i s c h e n P r o b l e m e n g a b . S c h o n n a c h seiner s ü d a m e r i k a n i s c h e n R e i s e h a t t e H u m b o l d t e i n e n die g a n z e E r d e u m s p a n n e n d e n Verein zum Zwecke erdmagnetischer Beobachtungen g e g r ü n d e t . D u r c h seine A n r e g u n g u n t e r z o g d a n n G a u ß das g e s a m m e l t e Material einer e i n g e h e n d e n m a t h e m a t i s c h e n B e h a n d ­ lung, w i e wir später s e h e n werden. I n H u m b o l d t s H a u s u n d durch H u m b o l d t s c h e V e r m i t t l u n g k n ü p f t e sich n u n aber (1828) eine z w e i t e B e z i e h u n g a n , die v o n größter B e d e u t u n g für die weitere E n t w i c k l u n g der P h y s i k w u r d e , die z w i s c h e n G a u ß u n d Weber. W i l h e l m W e b e r (geb. 1804) war d a m a l s P r i v a t d o z e n t in H a l l e . 1831 w u r d e er auf G a u ß ' Vorschlag n a c h G ö t t i n g e n berufen, w o er, m i t A u s n a h m e einer zeitweiligen Leipziger Professur (1843—49) b i s z u s e i n e m T o d e , 1890, blieb (vgl. die G e d ä c h t n i s ­ rede v o n R i e c k e in d e n A b h a n d l u n g e n der Göttinger Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n , 1890). Mit W e b e r s B e r u f u n g n a c h G ö t t i n g e n b e g i n n t das überaus frucht­ bare Z u s a m m e n a r b e i t e n der b e i d e n g r u n d v e r s c h i e d e n e n Männer. G a u ß w a r d a m a l s 5 4 J a h r e alt u n d s t a n d auf der H ö h e seines R u h m e s . W e b e r h i n g e g e n , erst 2 7 , war d e m großen Führer z u n ä c h s t eine g e s c h i c k t e Hilfe bei d e n i n s t r u m e n t e i l e n A r b e i t e n u n d B e o b a c h t u n g e n . A U m ä h h c h w ä c h s t er in seiner T ä t i g k e i t z u i m m e r größerer S e l b s t ä n d i g k e i t u n d B e d e u t u n g heran. D i e eigentliche H ö h e seiner L e i s t u n g aber erreicht er n a c h der hier in F r a g e s t e h e n d e n Periode, n ä m l i c h 1846 in Leipzig m i t seinen ersten A r b e i t e n über e l e k t r o d y n a m i s c h e M a ß b e s t i m m u n g e n . D e r innere U n t e r s c h i e d der b e i d e n Männer drückt sich a u c h in der äußeren E r s c h e i n u n g deutlich g e n u g aus. G a u ß war v o n kräftiger, untersetzter S t a t u r , e i n echter N i e d e r s a c h s e , wortkarg u n d v o n schwer z u g ä n g ­ lichem W e s e n . E i n e n e i g e n t ü m l i c h e n Gegensatz d a z u b i l d e t e der kleine, zierliche, b e w e g l i c h e W e b e r , dessen überaus freundliche, g e -

Wim. Weber.

Elektrodynamik vor Gauß und Weber.

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sprächige Art sofort den e c h t e n Sachsen verriet; war er doch aus W i t t e n ­ berg gebürtig, aus d e m L a n d e der „ D o p p e l s a c h s e n " . I n d e m Göttinger „ G a u ß - W e b e r - D e n k m a l " ist dieser Gegensatz aus künstlerischen Grün­ den a b g e s c h w ä c h t , w i e auch ihr Alter näher aneinandergerückt erscheint, als es der W i r k l i c h k e i t entspricht. U m n u n d i e Z u s a m m e n a r b e i t der beiden Forscher recht w ü r d i g e n z u k ö n n e n , m ö c h t e ich einen kurzen Überblick über die u n m i t t e l b a r v o r a n g e h e n d e E n t w i c k l u n g des v o n ihnen bearbeiteten Gebietes g e b e n , der Elektrodynamik. 1820 e n t d e c k t O e r s t e d die Grunderscheinung des E l e k t r o m a g n e ­ t i s m u s , die E i n w i r k u n g eines Stromkreises auf die Magnetnadel. 1821 stellen B i o t u n d S a v a r t ein erstes e x a k t e s Gesetz über diese W i r k u n g auf, i n d e m sie die v o n e i n e m Stromkreis auf einen Magnetpol wirkende Kraft berechnen. D i e s e W i r k u n g aber auch z w i s c h e n zwei Strömen b e o b a c h t e t z u h a b e n u n d daraus eine Erklärung des Magne­ tismus durch molekulare Ströme abgeleitet z u h a b e n , das ist das Ver­ dienst A m p e r e s in den J a h r e n 1 8 2 2 — 2 6 . Mit unerhörter Schnelligkeit schreitet die E n t w i c k l u n g fort. 1827 erscheint O h m s „ m a t h e m a t i s c h e B e a r b e i t u n g der g a l v a n i s c h e n K e t t e " , als w i c h t i g s t e s R e s u l t a t das Ohmsche Gesetz e n t h a l t e n d . 1828 liefert G r e e n die ersten A n f ä n g e der Potentialtheorie, welche aber lange g a n z u n b e k a n n t bleiben, da Green, als ein armer B ä c k e r s s o h n in N o t t i n g h a m geboren, z u n ä c h s t w e n i g WirkungsmögHchkeit h a t t e . Leider diente der U m s t a n d , d a ß s e i n Talent e n t d e c k t u n d ans Licht g e z o g e n wurde, nicht z u s e i n e m H e i l ; nach Cambridge berufen, verfiel er d e m Alkohol. — E s ist interessant u n d geschichtlich w i c h t i g , w a s Green in seinem Werk unter der n a c h i h m b e n a n n t e n „Greenschen Funktion' versteht. E s ist n ä m l i c h weiter nichts als ein e x p e r i m e n t e l l wichtiger Spezialfall des elektrostatischen P o t e n t i a l s , nämlich das P o t e n t i a l einer Massenbelegung, w e l c h e ein elektrischer Massenpunkt auf e i n e m zur Erde a b g e l e i t e t e n K o n d u k t o r induziert. Green braucht dafür auch das W o r t „ p o t e n t i a l f u n c t i o n " , u n d zwar i m Sinne v o n „ F u n k t i o n der Kräfte". W i e wir später sehen werden, erklärt G a u ß das W o r t „ P o t e n t i a l " auf g a n z andere W e i s e . E s ist d a n a c h unwahrscheinlich, d a ß G a u ß die bei i h m nie e r w ä h n t e Greensche Arbeit g e k a n n t h a t , w a s sich aus ihrer s p ä t e n Verbreitung — erst durch W i l l i a m T h o m s o n s N e u d r u c k — w o h l erklären läßt. Greens E s s a y findet sich d e n n a u c h nicht auf der Gaußbibliothek. E r w ä h n t sei noch, d a ß m a n h e u t z u t a g e den Begriff „Greensche Funktion'^ v i e l weiter faßt. Man bezeichnet d a m i t allgemein eine i m R ä u m e definierte F u n k t i o n , die einen singulären P u n k t h a t u n d irgendeiner v o r g e g e b e n e n linearen Differentialgleichung bei geeigneten R a n d b e d i n g u n g e n g e n ü g t . D a r i n ist „das P o t e n t i a l " als Spezialfall e n t h a l t e n . 1831 wird die junge E l e k t r o d y n a m i k u m ein sehr b e d e u t e n d e s S t ü c k gefördert durch die E n t d e c k u n g der induzierten Ströme durch

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I. Gauß.

F a r a d a y . (Bemerkt sei, d a ß a u c h dieser Forscher aus kleinen Ver­ hältnissen k a m . E r b e g a n n als Buchbinderlehrling u n d Laboratoriums­ diener.) So s t a n d die E n t w i c k l u n g , als G a u ß u n d W e b e r sich d e m Gebiete z u w a n d t e n . Schon v o r W e b e r s Auftreten in G ö t t i n g e n h a t t e Gauß physikalische Fragen bearbeitet. Man findet in B d . 5 der g e s a m m e l t e n W e r k e die b e i d e n aus den l e t z t e n 20 er Jahren s t a m m e n d e n A b h a n d l u n g e n : 1 8 2 9 : Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik („Prinzip des kleinsten Z w a n g e s " ) , 1 8 3 0 : Principia generalia theoriae fluidorum in statu aequilibrii (Theorie der Kapillarität), die direkt a n Lagrange u n d Laplace a n k n ü p f e n . U n d n u n b e g i n n t d a s J a h r z e h n t der g e m e i n s a m e n A r b e i t m i t W e b e r , eine der b e r ü h m t e s t e n Perioden der Göttinger U n i v e r s i t ä t , die die dauernde Z u s a m m e n g e h ö r i g ­ keit v o n M a t h e m a t i k u n d P h y s i k in G ö t t i n g e n begründet. Als erste große F r u c h t dieser Zeit ist G a u ß ' A b h a n d l u n g über das absolute Maß bei m a g n e t i s c h e n Messungen (1832) zu nennen^). D i e R ü c k f ü h r u n g aller Messungen auf drei Grundgrößen, Masse m, L ä n g e /, Zeit t, ist der gewaltige F o r t s c h r i t t , d e n sie bringt. Hier tritt der M a t h e m a t i k e r als Gesetzgeber der m e s s e n d e n P h y s i k auf (vgl. das all­ g e m e i n e S c h e m a , B d . 5, S. 630). Zugleich bringt diese Arbeit, unter E i n f ü h r u n g der Spiegelablesung (als einzelner Zug sei die B e n u t z u n g der F a d e n a u f h ä n g u n g a n Stelle des Spielenlassens einer N a d e l auf einer Spitze g e n a n n t ) eine Verfeinerung der m a g n e t i s c h e n Meßinstrumente bis z u astronomischer Genauigkeit. Mehr als ein N e b e n p r o d u k t , g e w o n n e n i m Fortschreiten der Arbeiten m i t W e b e r , m ö c h t e ich n u n die L e i s t u n g n e n n e n , die ihrer großen p r a k t i s c h e n B e d e u t u n g w e g e n in w e i t e n Kreisen einen besonderen R u h m g e n i e ß t : die K o n s t r u k t i o n des e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Telegraphen. D i e L e i s t u n g lag darin, für Z w e c k e der Telegraphie, nicht wie bisher s c h o n g e s c h e h e n war, optische (Gauß m i t d e m HeUotrop) oder elektro­ chemische (Soemmering) W i r k u n g e n z u b e n u t z e n , sondern die elektro­ m a g n e t i s c h e , die sich auf v i e l weitere Strecken e x a k t übertragen läßt. Ü b r i g e n s u n t e r n a h m e n die b e i d e n Forscher die diesbezügUchen E x p e r i ­ m e n t e , u m d a s O h m s c h e Gesetz u n d gewisse Verzweigungsgesetze (die später durch Kirchhoff ihren endgültigen Ausdruck fanden) zu prüfen. Ü b e r die praktische B e d e u t u n g der R e s u l t a t e waren sie sich jedoch sehr d e u t l i c h b e w u ß t , G a u ß äußert sich darüber in einem Brief an S c h u m a c h e r , i n d e m er es n u r n o c h als eine technische u n d finanzielle F r a g e hinstellt, ein N a c h r i c h t e n s y s t e m über die ganze E r d e z u v e r ­ breiten 2), 1) Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata, Werke, Bd. 5, S. 79 ff. 2) Briefwechsel Gauß-Schumacher, Bd. II, S. 411 u. S. 417.

\ Gauß und Weber. Erdmagnetismus.

Kugelfunktionen.

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D i e k o n s t r u k t i v e n E i n z e l h e i t e n w u r d e n v o n W e b e r durchgeführt. D i e S e n d e - u n d E m p f a n g s a p p a r a t e waren in der Sternwarte u n d i n d e m physikalischen I n s t i t u t (an Stelle der h e u t i g e n U n i v e r s i t ä t s Bibliothek) aufgestellt, die verbindende L e i t u n g h a t t e auf d e m J o h a n n i s t u r m einen S t ü t z p u n k t . I n G a u ß ' W e r k e n finden sich B e ­ m e r k u n g e n über diese Arbeiten in B d . 5, S. 338, 356 u n d 369. R e i n wissenschaftlich b i e t e n die A r b e i t e n des n ä c h s t e n Jahres (1834) vielleicht noch m e h r Interesse. Hier treten n u n die H u m b o l d t s c h e n A n r e g u n g e n hervor. Auf d e m Sternwartengrundstück wird ein m a g n e ­ tisches Observatorium gebaut, u n d Gauß w i d m e t seine Kräfte der Weiterausbreitung u n d Ausbildung des m a g n e t i s c h e n Vereins, übrigens m i t b e s o n d e r e m V e r g n ü g e n an dieser organisatorischen T ä t i g k e i t . 1836/37 erscheint das erste H e f t der „ R e s u l t a t e aus d e n B e o b a c h t u n g e n des m a g n e t i s c h e n Vereins", v o n d e n e n i m g a n z e n 7 H e f t e vorliegen^). E s e n t h ä l t A n g a b e n über die besondere Art des I n s t r u m e n t e n b a u e s u n d der B e o b a c h t u n g s k u n s t . Auf Grund der v o n Gauß u n d W e b e r gelieferten H a u p t r e s u l t a t e k o n n t e m a n später z u feineren Einzelfragen übergehen, zu deren L ö s u n g die e n t w i c k e l t e r e T e c h n i k die Mittel Ueferte. Gauß u n d W e b e r gelang es (durch B e o b a c h t u n g e n i m A b s t a n d v o n 5 M i n u t e n — bis dahin waren nur s t ü n d l i c h e B e o b a c h t u n g e n g e m a c h t worden) die tägliche Variation der I n t e n s i t ä t i m großen u n d g a n z e n festzulegen, u n d die A n s t e l l u n g der gleichen B e o b a c h t u n g a n vielen verschiedenen Orten der E r d e lieferte das unzweifelhafte R e s u l t a t , d a ß diese Variation auf der g a n z e n E r d e gleichzeitig erfolgte, also jedenfalls terrestrischen Ursprungs sein m ü ß t e . Auf Grund dieser R e s u l t a t e k o n n t e n d a n n später m i t feineren A p p a r a t e n u n d häufigeren B e o b a c h t u n g e n die kleineren lokalen Variationen er­ m i t t e l t werden. In d e n folgenden H e f t e n der „ R e s u l t a t e " erscheinen n u n G a u ß ' grundlegende A r b e i t e n auf d i e s e m Gebiet. 1 8 3 8 / 3 9 : Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (Bd. 5, S. 119). 1 8 3 9 / 4 0 : Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungsund Abstoßungskräfte (Bd. 5, S. 195). Der T i t e l der ersten Arbeit k ö n n t e vielleicht irreleiten. E s h a n d e l t sich n i c h t u m eine physikalische Theorie, sondern u m eine interpolatorische Darstellung der B e o b a c h t u n g s r e s u l t a t e durch K u g e l f u n k t i o n e n , also e t w a der p t o l e m ä i s c h e n Darstellung des Planetenlaufs e n t s p r e c h e n d . Merkwürdigerweise ist Gauß über die B e d e u t u n g seiner Arbeit ganz anderer Meinung. E r g l a u b t eine Aufklärung über das W e s e n der m a g n e ­ tischen Kraft g e g e b e n z u h a b e n — e t w a i m Sinne des N e w t o n s c h e n Gesetzes — u n d verwahrt sich ausdrücklich in der Vorrede g e g e n das 1) Herausgeg. von C. F. Gauß und W. Weber.

22

I. Gauß.

Verfahren, den Erdmagnetismus durch die Superposition einzelner Magnete darstellen zu wollen, wie es etwa Tobias Mayer vor ihm g e t a n hatte. Tatsächlich ist aber auch sein Verfahren nichts anderes, da m a n jede Kugelfunktion als Wirkung eines Multipols auffassen kann, w e n n man nur zu verschwindend kleinen Dimensionen übergeht. W e g e n dieses vollzogenen Grenzüberganges ist die Gaußsche E n t w i c k l u n g bedeutend bequemer und präziser als die durch Superposition endlicher Magnete erhaltene, aber prinzipiell ist sie nicht d a v o n verschieden. In dieser Weise stellt nun Gauß das P o t e n t i a l des E r d m a g n e t i s m u s durch eine endliche Reihe v o n Kugelfunktionen dar, und zwar geht er bis zur vierten Ordnung einschließlich:

wobei P „ ein homogenes P o l y n o m in x,y,z

ist, das der

Gleichung

genügt. Ein solches P o l y n o m hat 2 « + 1 unabhängige K o n s t a n t e , so daß also zu der obigen Darstellung die Berechnung v o n 24 Koeffi­ zienten notwendig ist i). A u s dieser Reihe werden nun durch Differentia­ tion die Kräfte Χ,Υ,Ζ abgeleitet. D a ß diese Reihen, auch die durch Differentiation gewonnenen, sich der B e o b a c h t u n g vorzüglich anschheßen, mußte der Rechner vorausahnen. Die Durchführung des Ansatzes ist später auf Grund einer größeren B e o b a c h t u n g s a n z a h l oft wiederholt worden, doch zeigte es sich, daß es gerade das Zweckmäßigste ist, die Entwicklung nach den Gliedern vierter Ordnung abzubrechen; bei Berücksichtigung der fünften Ordnung werden die Koeffizienten zu ungenau, die lokalen und zeitlichen Störungen zu bedeutend, um noch eine allgemeine Darstellung v o n Wert zu Hefern. A n dieser Stelle sei wiederum eine populär gewordene Leistung erwähnt, nämlich die B e ­ rechnung des magnetischen Südpols, die sich als ziemHch genau er­ wiesen hat. Ich k o m m e nun zu der a n zweiter Stelle g e n a n n t e n Arbeit, in der die Theorie des Potentials begründet w k d , wie wir sie heute k e n n e n . (Zur Geschichte des Gegenstandes verweise ich auf Math. E n z y k L , II A 7 b.) D a s Wort „ P o t e n t i a l " wird in B d . 5, S. 2 0 0 eingeführt, im Atlas für Erdmagnetismus ^) wird es erklärt als „mögHche Arbeit", die nämlich geleistet würde w e n n man einen elektrischen Massenpunkt aus der Unendlichkeit an die b e o b a c h t e t e Stelle brächte. Woher Gauß das Wort „Potential" hat, ist nicht klar ersichtlich. Die Idee einer Kräftefunktion, aus der sich durch Ableitung nach der Richtung die Die ausfülirUche Angabe dieser Konstanten findet sich in Bd. 5, S. 150. 151. ») Atlas des Erdmagnetismus nach den Elementen der Theorie entworfen. Supplement zu den Resultaten . . . . herausgeg von C F. Gauß und ΛΥ. V^'eber Leipzig 1840.

Potentialtheorie.

Elektrodynamik.

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N e w t o n s c h e n Anziehungskräfte ergäben, findet sich zuerst bei L a g r a n g e 1773. D i e Gleichung Zl F = O wird v o n L a p l a c e 1782 behandelt i), die Gleichung AV = — 4 : π ρ i m Innern einer Massenbelegung zuerst von P o i s s o n 1813, in e i n e m Spezialfall. D i e s e A n s ä t z e fand also G a u ß vor. E s ergibt sich aber n o c h eine historisch interessante Frage, n ä m l i c h : hat G a u ß den Z u s a m m e n h a n g der Potentialtheorie m i t der Theorie der F u n k t i o n e n k o m p l e x e n A r g u m e n t s g e k a n n t ? Viele Gründe lassen die B e j a h u n g dieser F r a g e als sehr wahrscheinlich ann e h m e n ; doch h a t sich Gauß nie in irgendeiner W e i s e darüber geäußert. N e b e n diesen großen m a t h e m a t i s c h e n Arbeiten beschäftigen G a u ß aber a u c h Spekulationen über das W e s e n der in der E l e k t r o d y n a m i k auftretenden Kräfte, die uns ganz besonders interessieren m ü s s e n . Hierher gehören verschiedene B e m e r k u n g e n aus den Jahren 1 8 3 3 — 3 6 , u n d in d e m noch nicht abschließend bearbeiteten N a c h l a ß t ) wird g e w i ß n o c h m a n c h e s B e m e r k e n s w e r t e . gefunden werden. Hier m ö c h t e ich nur a u f m e r k s a m m a c h e n auf einen Brief an W e b e r v o n 1845 (Bd. 5, S. 6 2 7 — 2 9 ) . Darin findet sich die b e a c h t e n s w e r t e B e m e r k u n g , die Zusatzkräfte für die W e c h s e l w i r k u n g zweier b e w e g t e r elektrischer Teilchen m ü ß t e n abgeleitet werden aus einer (ähnlich wie b e i m Licht) m i t der Zeit sich fortpflanzenden W i r k u n g ! In diesen W o r t e n spricht sich unzweifelhaft eine V o r a h n u n g der h e u t i g e n Verbindung v o n E l e k t r o d y n a m i k u n d Optik aus. Leider wurde dieser Gedanke v o n W e b e r nicht a u f g e n o m m e n , vielmehr völlig zurückgedrängt durch das b a l d darauf 1846 geschaffene „Webersehe Gesetz'. N a c h diesem sollte zwischen den b e w e g t e n Teilchen e u n d e' die i n s t a n t a n e Kraft

—0.-.i(£)^^f;) wirken (die also v o n der relativen Geschwindigkeit u n d der relativen B e s c h l e u n i g u n g der beiden Teilchen a b h ä n g t ) . Hierin b e d e u t e t e c die sog. W e b e r s c h e K o n s t a n t e , die die D i m e n s i o n einer Geschwindigkeit h a t u n d 1855 v o n W e b e r u n d Kohlrausch z u 4 3 9 4 5 0 · 10« m m / s e c b e s t i m m t wurde. D i e s e s Gesetz galt 30 Jahre lang als der Schlußstein der physikalischen Naturerklärung, bis es nach heftigem W i d e r s t a n d , durch die Maxwellsche Theorie ausgelöscht wurde. Zwar fand schon 1857

Kirchhoff

den

merkwürdigen

Zahlenzusammenhang,

daß

gleich der Lichtgeschwindigkeit sei, jedoch ohne jede weitere B e m e r k u n g . A u c h bei W e b e r findet sich diese T a t s a c h e in seiner Arbeit über die elektrischen S c h w i n g u n g e n 1864 (Werke, B d . 4, S. 105 ff); doch fügt er 1) Auch schon bei E u l e r tritt diese Gleichung auf; vgl. E. H o p p e : Geschichte der Physik, Braunschweig 1926, S. 80f. Anm. d. Herausg. 2) Das Material liegt indessen in Druckbogen zu Bd. 11, 1 von Gauß' Werken fertig vor. Anm. d. Herausg.

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I. Gauß.

hinzu, daß wegen der Unähnlichkeit der Verhältnisse weitere Beziehungen nicht zu vermuten seien (S. 157). Übrigens wurden bei Weber wie b e i Kirchhoff immer Schwingungen längs eines Leitungsdrahtes b e o b a c h t e t ; die Tatsache der elektrischen Schwingungen i m Dielektrum, wie über­ haupt letzterer, von Faraday geschaffene Begriff, war diesen Forschern noch unbekannt. 1858 w a g t e es R i e m a n η in einer Mitteilung an die Gesellschaft der Wissenschaften ^), Gedanken, hieran anschließend, aus­ zusprechen, die man als eine Vorausnahme der 1865 v o n Maxwell begrün­ deten Theorie bezeichnen kann. D o c h zog R i e m a n n diese Mitteilung wegen einer kleinen rechnerischen U n e x a k t h e i t wieder zurück, so daß sie erst nach seinem Tode bekannt wurde. So dauerte es denn noch viele Jahre, bis die Ideen Maxwells in D e u t s c h l a n d E i n g a n g fanden. Denn auch H e l m h o l t z ' Polemik gegen das Webersche Gesetz h a t t e keinen endgültigen Erfolg. In indirekter Weise hat H e l m h o l t z jedoch großen Anteil an der modernen E n t w i c k l u n g : er m a c h t e seinen Schüler H. H er t Z nachdrücklich auf die v o n E n g l a n d k o m m e n d e n Ideen aufmerk­ sam und ermutigte ihn zur Fortsetzung seiner E x p e r i m e n t e . D a s glän­ zende Gelingen der kühnen Versuche dieses genialen jungen Physikers verhalf schließlich i m Jahre 1888 der Maxwellschen Theorie auch in Deutschland zum endgültigen Siege.

Reine Mathematik. Die besprochenen Arbeiten von Gauß auf dem Gebiet der ange­ wandten Mathematik m ö c h t e ich als die Krönung seines Lebenswerkes bezeichnen. Der eigentliche Kern und das F u n d a m e n t seiner Lei­ stungen aber liegt auf d e m Gebiet der reinen Mathematik, der er sich in seinen Jugendjahren w i d m e t e . Ich möchte wiederum als Anhaltspunkte einige z. T. schon g e n a n n t e D a t e n geben, zu denen ich erst Näheres auszuführen habe. Gauß wurde a m 30. April 1777 in Braunschweig geboren und w u c h s in äußerst bescheidenen Verhältnissen auf. Zahlreiche A n e k d o t e n erzählen v o n der Frülireife des begabten Knaben, der trotz härtester Inanspruchnahme und Widerstände seitens seiner U m g e b u n g mit zäher Energie in gestohlenen Stunden seinen Geist weiterbildete, bis i h m das Glück zuteil wurde, durch seine ungewöhnlichen Leistungen die Auf­ merksamkeit hochgestellter Personen auf sich zu ziehen. Hier habe ich nun vor aUem den H e r z o g F e r d i n a n d v o n B r a u n s c h w e i g zu nennen, dem Gauß zeitlebens v o n Herzen dankbar ergeben blieb. Er ermöglichte dem Knaben den Besuch des G y m n a s i u m s und später das Universitätsstudium. 1788 trat Gauß in das C a t h a n n e u m ein, nach dessen Absolvierung 1793 er die eigentliche Vorschule der Universität das Carolinum (das den K e i m der heutigen technischen Hochschule η Werke. 1. Aufl. S.270ff.; 2. Aufl. S. 288ff.

Biographisches. Arithmetik, Algebra, Analysis.

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bildet) b e s u c h t e . E s folgt d a n n eine kurze Studienzeit in G ö t t i n g e n , 1 7 9 5 — 9 8 , n a c h der sich Gauß wieder in seine H e i m a t in die N ä h e seines großherzigen Gönners b e g i b t . Hier in B r a u n s c h w e i g , 1 7 9 8 — 1 8 0 7 , erlebt n u n Gauß seine H e l d e n z e i t , m ö c h t e ich sagen, die Periode der drängenden P r o d u k t i v i t ä t , der großen, f u n d a m e n t a l e n E n t d e c k u n g e n . D i e Gebiete, denen er sich w i d m e t , sind zunächst ,,die drei großen A " : Arithmetik, Algehra, Analysis. D i e Geometrie n a h m ihn, abgesehen v o n d e m Interesse an d e n Prinzipienfragen, erst später in Anspruch u n d m ö g e d a r u m in der B e s p r e c h u n g n o c h zurückgestellt werden. E i n e große E n t d e c k u n g eröffnet G a u ß ' m a t h e m a t i s c h e T ä t i g k e i t u n d führt ihn z u d e m E n t s c h l u ß , sich dauernd dieser Wissenschaft z u w i d ­ m e n , n a c h d e m er lange Zeit gleichstarke N e i g u n g zur Philologie z u spüren glaubte. A m 30. März 1796 gelingt i h m der N a c h w e i s , daß d a s reguläre Siehzehneck sich m i t Zirkel u n d Lineal konstruieren lasse, oder, anders a u s g e d r ü c k t : die Auflösung der Gleichung: A;1"-1=0,

bzw.:

X^"" + x^^ + x""^-\

fA; + l = 0

durch Quadratwurzeln. Gauß war n o c h nicht 19 Jahre alt, als i h m diese Entdecki^ng zufiel, die m i t e i n e m Schlage das seit zwei J a h r t a u s e n d e n i n der E n t w i c k l u n g s t e h e n gebliebene P r o b l e m der Konstruierbarkeit regulärer Vielecke u m ein g e w a l t i g e s S t ü c k förderte, ja endgültig abschloß. D e n n es gelang i h m auch b a l d , das K r i t e r i u m für die K o n ­ struierbarkeit eines beliebigen regulären w-Ecks z u g e b e n , i n d e m er die Lösbarkeit des P r o b l e m s als allein abhängig v o n der zahlentheore­ tischen N a t u r der Zahl η erkannte, die, i m F a l l e η P r i m z a h l ist, die F o r m W = 2^* + 1 h a b e n m u ß . Mit dieser überraschenden L e i s t u n g trat der junge, unscheinbare, e t w a s linkische S t u d e n t , der in Göt­ tingen sehr zurückgezogen fast ausschließlich seiner privaten Arbeit lebte, plötzlich an die Öffentlichkeit. Sein Gönner Z i m m e r m a n n ließ in d e m „ J e n e n s e r I n t e l l i g e n z b l a t t " 1796 eine kurze N o t i z veröffent­ lichen, der er selbst eine B e m e r k u n g hinzufügt, in der er auf G a u ß ' außergewöhnliche L e i s t u n g hinweist ^). D i e s ist G a u ß ' erste P u b l i k a t i o n , w e n n a u c h bei w e i t e m nicht seine erste wissenschaftliche Leistung, wie wir später sehen werden. E s folgt 1799 die H e l m s t e d t e r Dissertation, die den Beweis des Fundamentalsatzes der Algehra z u m G e g e n s t a n d h a t . S c h o n in diesen jungen Jahren w ä h l t Gauß seine Ausdrucksform sehr vorsichtig, i n d e m er seine tiefsten Ideen verhüllt, u m sie z u n ä c h s t n o c h für sich auszubilden. So v e r m e i d e t er hier sorgfältig die E r w ä h n u n g imaginärer Größen, deren B e w u ß t s e i n doch deutlich d e m g a n z e n Ge­ d a n k e n g a n g zugrunde liegt, u n d spricht nur v o n der Zerlegung jedes P o l y n o m s in reelle F a k t o r e n ersten oder z w e i t e n Grades. Er operiert 1) Gauß Werke, Bd. 10, 1, S. 3.

I. Gauß.

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dabei in einer xy-Ehene, ohne irgendwo anzudeuten, daß es sich dabei um eine geometrische D e u t u n g der k o m p l e x e n Zahlen χ + iy handelt. Diesen aus Dankbarkeit gegen den Herzog erfolgten selbständigen Publikationen schließt sich n u n 1801 Gauß' erstes großes Meisterwerk a n : Disquisitiones Arithmeticae. Durch die sehr langwierige Druck­ legung in Goslar wurde das Erscheinen des Werkes b e d e u t e n d verzögert, so daß der Beginn u m mehrere Jahre früher anzusetzen ist. Mit diesem großen Wurf schließt die rein m a t h e m a t i s c h e Entdeckerzeit ab u n d Gauß wird, wie wir gesehen haben, mehr und mehr v o n Fragen der ange­ wandten Mathematik, zunächst der Astronomie, in Anspruch g e n o m m e n . Auch die 1809 erschienene theoria m o t u s ist, sowohl ihrer E n t s t e h u n g s ­ zeit als ihrem mathematischen Gehalt nach noch in die Zeit des B r a u n ­ schweiger Aufenthaltes zu rechnen. In den Disquisitiones Arithmeticae'^) schuf Gauß i m eigentlichen Sinne die moderne Zahlentheorie u n d b e s t i m m t e bis z u m heutigen Tage die ganze folgende Entwicklung. Unsere B e w u n d e r u n g für diese Leistung m u ß noch wachsen, wenn wir beobachten, wie Gauß diese ganze Gedankenwelt ursprüngHch rein aus sich selbst schafft, ohne irgendwelche äußere Anregung. D e n n die geschichtHche Forschung ergibt, wie wir noch sehen werden, d a ß Gauß die meisten seiner E n t ­ deckungen schon besaß, ehe er in Göttingen die erste diesbezügliche Literatur kennen lernte, nämlich Euler, Lagrange u n d Legendre, die seinem leidenschaftlichen Interesse das Selbstgeschaffene neu dar­ boten. Außer dieser Lektüre und einem spärlichen Kollegienbesuch bei Kaestner hat sich Gauß keinem Einfluß überlassen als d e m Gebot seines eigenen unerbittlichen Schaffensdranges. D e n Inhalt des Werkes m ö c h t e ich hier zunächst äußerlich angeben. Er umspannt drei Teile. Der erste beschäftigt sich mit der Frage der quadratischen Reste und enthält den ersten Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, dieses fundamentalen Satzes aller Zahlentheorie. Drückt m a n in Legendres bequemer Schreibweise durch

=

+ 1

die Tatsache aus, daß q als R e s t eines Quadrats nach d e m Modul ρ auftreten kann, durch ^ ^ j = — 1, d a ß dies nicht der FaU ist {q ist ein „Nichtrest" modp),

d h

^ j und

so heißt das Reziprozitätsgesetz

besitzen so oft gleiches Vorzeichen, als nicht beide

von der Form 4 n -f- 3 sind. Diesen Satz n a n n t e Gauß im B e w u ß t s e i n seiner großen Bedeutung das „theorema aureum". Werke. Bd. 1.

Schon Euler h a t

Arithmetik, Algebra, Analysis.

27

ihn erkannt, ohne i h n jedoch beweisen z u können. A u c h Gauß fand ihn zunächst rein i n d u k t i v , v o m Zahlenmäßigen ausgehend, danach erst erzwang er sich in härtester Arbeit den d e d u k t i v e n B e w e i s . D i e s e für G a u ß charakteristische Arbeitsweise wird u n s i m Verlauf der B e t r a c h ­ tung wieder u n d wieder begegnen. I m z w e i t e n Teil der Disquisitiones A r i t h m e t i c a e beschäftigt sich Gauß m i t der Theorie der quadratischen Formen, d. h. m i t der Frage, welche W e r t e durch am'^ + 2hmn + cn'^, w o a, b, c ganze Zahlen sind, dargestellt werden für ganzzahlige m u n d n. D e r dritte Teil e n d h c h handelt v o n der Auflösbarkeit teilungsgleichung X"" = I durch Quadratwurzeln. — Das η == 2^^ + I h a b e n wir schon angegeben.

der Kreis­ Kriterium

D i e s e A n d e u t u n g e n m ü s s e n hier genügen^); sie erschöpfen nicht den Inhalt des großen W e r k e s , a m w e n i g s t e n aber werden sie der darin verkörperten außerordentlichen Energie des Gedankens gerecht, die unter Ü b e r w i n d i m g aller H e m m u n g e n oft auf d e m schwierigsten W e g e jeweils z u m vollen B e w e i s e führt. Freihch, wer einen Einblick in die Geschichte der großen, hier niedergelegten E n t d e c k u n g e n zu g e w i n n e n w ü n s c h t , der wird sich durch das S t u d i u m der Disquisitiones A r i t h m e ­ ticae nicht befriedigt fühlen. D i e s e lückenlose, mit unerbittlicher Strenge durchgeführte D e d u k t i o n verrät n i c h t s v o n den E n t d e c k u n g s v e r s u c h e n u n d ü b e r w u n d e n e n Schwierigkeiten. D i e Darstellung knüpft a n keinerlei allgemeine Gesichtspunkte an, beschäftigt sich auch nicht e t w a m i t der Frage, welche B e d e u t u n g die aufgeworfenen P r o b l e m e h a b e n , die so virtuos gelöst werden, u n d ist darum in ihrer U n z u g ä n g h c h k e i t äußerst schwierig z u lesen. Erst durch Dirichlets interpretierende Vor­ lesungen, die eine vorzüghche Einführung in G a u ß ' Problemstellung u n d D e n k w e i s e g e b e n , ist d e m W e r k z u der i h m g e b ü h r e n d e n W i r k u n g verhelfen worden. N e b e n diesen abgeschlossenen selbständigen W e r k e n , die, wie schon erwähnt, ihre frühzeitige E n t s t e h u n g wesentlich d e m Verpflich­ tungsgefühl gegen d e n H e r z o g F e r d i n a n d v e r d a n k e n —- Gauß gibt seiner D a n k b a r k e i t gegen ihn in der W i d m u n g z u den Disquisitiones A r i t h m e t i c a e besonders s c h ö n e n u n d würdigen Ausdruck — , e n t s t e h e n später eine große R e i h e einzelner A b h a n d l u n g e n , die meist in den Schriften der Göttinger Gesellschaft der W i s s e n s c h a f t e n veröffentlicht w o r d e n sind. I n der Algebra ist es vor allem der Fundamentalsatz, der G a u ß wieder u n d wieder beschäftigt h a t . Auf den B e w e i s der Dissertation (1799) 1) Es ist dies eine der Stellen, wo der im Vorwort erwähnte fragmentarische Charakter dieser Vorträge klar zum Ausdrucke kommt. Man vergleiche hierzu etwa den (von Klein angeregten) Artikel von P. B a c h m a n n : „Über Gauß' zahlentheoretische Arbeiten", Gauß' Werke, Bd. 10, 2, Abh. I. Anm. d. Herausg.

I. Gauß. folgt 1815 ein ganz neuer und 1816 wiederum einer, der sich völlig anderer Methoden bedient. Während in der Abhandlung v o n 1815 der Beweis so gewandt wird, daß nur das reelle Gebiet in Betracht gezogen zu werden braucht, verwendet Gauß in der Arbeit v o n 1816 Doppelintegrale in der k o m p l e x e n E b e n e . 1849 anläßlich seines gol­ denen Doktorjubiläums kam dann Gauß noch einmal auf den B e w e i s von 1799 zurück i). Ähnlich wie in der Algebra schließen sich auch in der A r i t h m e t i k alle folgenden Arbeiten wesentlich an ein Grundproblem, das theorema aureum, an, zu dem Gauß nicht weniger als sechs verschiedene Beweise geschaffen hat. Sie sind in den Arbeiten v o n 1808 und 1817 veröffent­ licht, in denen auch auf kubische und biquadratische R e s t e hin­ gewiesen wird. D e m theorema aureum entsprechende Sätze über biquadratische Reste sind d a n n in den Abhandlungen v o n 1825 u n d 1831 enthalten, die durch Einführung der Zahlen α + hi (wo α und h ganze Zahlen bedeuten) zugleich das Gebiet der Zahlentheorie unge­ heuer bereichern 2)·. Die Arbeiten in der Analysis schließlich möchte ich nach Schlesingers Anregung als Teile eines großen dreigliedrigen Werkes auffassen, das freilich seinen Abschluß nicht mehr gefunden h a t . Teil I bildet die Abhandlung v o n 1812 über die hyp er geometrische Reihe

-'-^••-)-+¾·'+"-¾¾^^"-(eine Reihe, deren besondere B e d e u t u n g darin liegt, daß sie sehr viele unserer bekannten Reihen als Spezialfall enthält). W i e schon bei der Darlegung der astronomischen Arbeiten bemerkt wurde, enthält dieses Werk u. a. die ersten e x a k t e n Konvergenzkriterien. Der zweite Teil würde dann die Theorie der Differentialgleichungen mit rational v o n χ abhängigen Koeffizienten behandelt haben, für welche die hypergeo­ metrische Reihe ein partikuläres Integral bildet. D a m i t wäre die B e ­ handlung der elliptischen Modulfunktionen mit U m k e h r verbunden gewesen, die sich ebenfalls durch hypergeometrische Reihen darstellen lassen. Schließlich h ä t t e Teil I I I die Theorie der allgemeinen elliptischen Funktionen enthalten. Von den unter II und I I I eingeordneten Dingen aber h a t Gauß nichts publiziert, und erst die Durchforschung des Nachlasses förderte diese Schätze zutage, deren Besitz die Welt nun ein für allemal A b e l (1825) und J a c o b i (1827) verdankt. (Genaueres über das Verhältnis der Gaußschen Resultate zu den später von Abel und Jacobi gefundenen vgl. Kap. 3, S.lOOff.) Nur kleine Andeutungen finden sich, so in den Disquisitiones Arithmeticae über die Lemniskate und in den SäkularWieder abgedruckt Gauß'Werke. Bd. 3. S Hf., S . S l f f . S 57ff.. S.71ff. «) Vgl Werke. Bd 2. — \'gl auch unten S 38 f. Art 335; Werke. Bd 1. S 412 f.

Arithmetik, Algebra, Analysis.

Nachlaß, Tagebuch.

29

Störungen 1808, w o der Z u s a m m e n h a n g der lemniskatischen Periode mit d e m arithmetisch-geometrischen Mittel gegeben ist durch die Formel

A u c h hier hat also Gauß wieder die äußerste Zurückhaltung geübt. I m m e r h i n riefen schon die wenigen veröffentlichten Stücke seiner geistigen Schöpfung einen ganz gewaltigen Eindruck bei seinen Zeit­ genossen hervor sowohl w e g e n der N e u h e i t und B e d e u t u n g des m a t h e ­ m a t i s c h e n Inhalts als auch w e g e n der zwingenden Strenge der D u r c h ­ führung. B a l d verbreitete sich auch das Gerücht, daß Gauß i m B e s i t z n o c h viel größerer, ungeahnter Erkenntnisse sei, w a s dann wieder ebenso lebhaft bestritten wurde. So g e l a n g t e Gauß besonders b e i den Jüngeren zu einer grenzenlosen, v o n Mißtrauen nicht ganz freien A c h t u n g u n d Verehrung, die vereint m i t der U n n a h b a r k e i t seines W e s e n s nicht gerade d a z u beitrug, i h m nähere B e z i e h u n g e n zu erwerben. Z. B . vermied A b e l auf seiner Reise v o n Paris n a c h Berlin 1827 ausdrücklich Göt­ tingen, u m einer B e g e g n u n g m i t Gauß zu entgehen. Wahrscheinlich wäre Gauß d e m schüchternen, ungelenken jungen Mann durchaus liebenswürdig e n t g e g e n g e k o m m e n . So fand Dirichlet ohne weiteres Z u g a n g zu ihm, ebenso später Eisenstein, beide auf H u m b o l d t s lebhafte E m p f e h l u n g hin. H i n g e g e n ließ G a u ß Jacobi, dessen nicht eben liebens­ würdiges, sarkastisches W e s e n seiner N a t u r durchaus zuwiderlief, recht deutlich abfallen. E r s t die N a c h w e l t ist imstande, die Frage nach G a u ß ' wissenschaft­ l i c h e m B e s i t z zu entscheiden, u n d sie förderte Schätze zutage, die alle E r w a r t u n g e n weit übertreffen. J e m e h r wir allmählich in den Gaußschen N a c h l a ß eindringen, u m so mehr w ä c h s t unsere B e w u n d e r u n g für diesen g e w a l t i g e n Genius, d e m jede Schwierigkeit u n d jede Schranke schließlich weichen mußte. D i e ersten hier für uns in B e t r a c h t k o m m e n d e n Stücke des N a c h ­ lasses sind bereits A n f a n g der 70 er Jahre durch Schering in B d . 2 u n d 3 der W e r k e veröffentlicht worden, aber nur z. T. historisch geordnet, weil die A n h a l t s p u n k t e , die wir h e u t e h a b e n , noch nicht alle b e k a n n t w a r e n . E s folgt dann allmählich die H e r a u s g a b e der w i c h t i g s t e n Briefwechsel, so schon 1860/62 die v o n Peters besorgte Ausgabe der Korrespondenz m i t S c h u m a c h e r . 1880 die Auwerssche der G a u ß - B e s s e l - B r i e f e , die, o b w o h l sie sich hauptsächlich u m astronomische Fragen drehen, doch a u c h viel m a t h e m a t i s c h w e r t v o l l e s Material e n t h a l t e n . 1811 z. B . bespricht Gauß in einem Briefe 1) Werke, Bd. 8, S. 90ff.

das Integral

^

in der k o m p l e x e n

I. Gauß.

30

E b e n e und gibt den Wert des Integrals über eine den N u l l p u n k t ^-mal umschlingende

Kurve an zu

\-^==

2kπι;

dies lange, ehe Cauchy

seine großen Arbeiten über Integrale i m k o m p l e x e n Gebiet schuf! Schließlich ist in diesem Zusammenhang (der die Geometrie außer A c h t läßt, darum Bolyai und Gerling nicht heranzieht) noch der Briefwechsel mit O l b e r s , 1900 herausgegeben v o n Schilling in Bremen, zu erwähnen. Von 1898 an beginnt dann unsere Weiterführung der Herausgabe von Gauß' Werken, die aus der Bearbeitung des g e s a m t e n , auch des nichtpublizierten Nachlasses herauswächst. Hier m u ß ich nun einige unerfreuliche U m s t ä n d e doch erwähnen, die für das ganze U n t e r n e h m e n nicht eben förderlich gewesen sind. N a c h G a u ß ' Tode 1855 wurde nämlich der Nachlaß v o n der Regierung angekauft, aber nur insofern er „ v o n wissenschaftlicher B e d e u t u n g " sei; der „private", insbesondere der belletristische Teil der Bibliothek k a m an die FamiUe und wurde hier im Laufe der Jahre bis zu gänzlicher Unauffindbarkeit zersplittert. Wie bedauerUch diese Tatsache ist, geht in einem, glücklicherweise noch günstig erledigten Falle deutlich hervor: in d e m des Gaußschen Tagebuchs^). Dieses unvergleichlich wichtige D o k u m e n t der Gaußschen und aller mathematischen E n t w i c k l u n g überhaupt war als ein unschein­ bares kleines Heft „privaten" Inhalts der Familie überwiesen worden. 1899 wurde es v o n Stäckel bei einem E n k e l v o n Gauß in H a m e l n e n t ­ deckt und konnte nur m i t Mühe zu wissenschaftlicher Bearbeitung erlangt werden. E s enthält in fortlaufender Datierung die E n t d e c k u n g e n v o n 1 7 9 6 — I 8 0 I annähernd vollständig, dann mit großen Unterbrechungen die bis I 8 I 4 . Wieviel anderes wichtiges Material m a g verloren gegangen sein ? Dieser Gedanke m u ß uns besonders bewegen, wenn wir von den wenigen Büchern, die Gauß in seiner J u g e n d besaß, dieienigen durch­ sehen,, die uns überlassen wurden. Mit einem ganz eigentümlichen Sinn für Papiererspamis, der aus seiner harten Jugendzeit s t a m m e n mag, hat nämlich Gauß jeden freien R a u m m i t winzig klein gekritzelten Aufzeichnungen bedeckt. In dieser Beziehung ist ganz besonders wichtig ein im übrigen belangloses m i t weißen Blättern durchschossenes R e ­ c h e n b u c h v o n L e i s t e , das Gauß schon vor seiner Göttinger Zeit besessen h a t t e , und das i h m nun, parallellaufend neben d e m T a g e b u c h , bis 1798 für Aufzeichnungen aller Art diente. In dieser merkwürdigen Weise ist uns z, B . die Darstellung elhptischer F u n k t i o n e n durch ein unendliches Produkt überliefert. Für die Zeit nach 1798 k o m m e n die „ S c h e d a e " , später „ H a n d ­ b ü c h e r ' ' m Betracht und viele einzelne Zettel, die z. T. m i t Hilfe des übrigen Materials datiert werden können. η Werke, Bd. 10, 1, S. 483 ff.

Nachlaß, Tagebuch.

Gauß' Entwicklungsgang.

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D i e aus der B e a r b e i t u n g dieses Nachlasses g e w o n n e n e E r k e n n t n i s v o n G a u ß ' Schaffen ist selbstverständlich n o c h nicht abgeschlossen. D e n n o c h k o n n t e n wir m i t Veröffentlichungen nicht warten, bis einmal alle, j e t z t vielleicht n o c h nicht einmal g e a h n t e n Aufschlüsse aus d e m vielfach rätselhaften u n d vielverschlungenen Material g e w o n n e n sein würden. W i r m u ß t e n vielmehr die überaus interessanten R e s u l t a t e möglichst bald zur allgemeinen K e n n t n i s bringen u n d u n s gefallen lassen, d a ß unser weiteres S t u d i u m u n s in m a n c h e n P u n k t e n Irrtümer n a c h w e i s e n würde. Als ein besonders krasser Fall der irreleitenden Familientradition m ö g e erwähnt werden, d a ß die B u c h a u s g a b e des T a g e b u c h s ein angebliches Gaußporträt aus der Olbersschen Zeit e n t ­ hält, welches, wie sich inzwischen unzweifelhaft ergeben h a t , trotz aller beglaubigenden Erklärungen in Wahrheit den z u gleicher Zeit bei Olbers viel verkehrenden Bessel darstellt. N a c h d e m h e u t i g e n S t a n d e der Gaußforschung ergibt sich n u n offenbar folgendes B i l d seiner m a t h e m a t i s c h e n E n t w i c k l u n g . E r s t e , vorhistorische Periode, w i e ich die Zeit bis z u m B e g i n n des Tagebuches nennen möchte. E i n natürliches Interesse, ich m ö c h t e fast sagen, eine gewisse k i n d ­ liche Neugier, führen den K n a b e n u n a b h ä n g i g v o n allen äußeren E i n ­ flüssen zuerst auf m a t h e m a t i s c h e Fragen. U n d z w a r ist es das reine H a n d w e r k des Zahlenrechnens, das ihn zunächst anzieht. E r rechnet immerfort mit e i n e m geradezu überwältigenden F l e i ß u n d n i c h t z u ermüdender Ausdauer. D u r c h diese fortwährende Ü b u n g i m H a n d h a b e n der Zahlen, z. B . D e z i m a l b r ü c h e n v o n unglaublicher Stellenzahl, erwirbt er sich nicht nur die erstaunliche Virtuosität der R e c h e n t e c h n i k , die ihn zeitlebens auszeichnete; er erringt sich auch ein ungeheures Ge­ dächtnismaterial an b e s t i m m t e n numerischen W e r t e n u n d d a m i t eine Kennerschaft u n d einen Überblick i m Reiche der Zahlen, w i e ihn vorher u n d nachher w o h l k a u m j e m a n d besessen hat. N e b e n d e m Zahlen­ rechnen beschäftigt i h n das numerische Operieren m i t unendlichen R e i h e n . V o n den Erfahrungen, die er an seinen Zahlen m a c h t , also auf i n d u k t i v e m , ,,experimentellem" W e g e , k o m m t er dann schon frühe z u der E r k e n n t n i s allgemeiner B e z i e h u n g e n u n d Gesetze. D i e s e Arbeits­ weise ist bereits gelegentlich des theorema aureum erwähnt worden. Sie ist im 18. Jahrhundert, z. B . auch bei Euler, nicht so selten, s t e h t aber z u den heutigen Gewohnheiten der Mathematiker in s t a r k e m Gegensatz. E i n e r der ältesten Gegenstände, der Gauß' E n t d e c k e r l u s t reizte, ist das sog. arithmetrisch-geometrische Mittel. Sozusagen u m die Vorzüge der b e i d e n Mittel w ' = — u n d

w' = } w - w

vereinigen, setzt er die Methode der B i l d u n g

durch Mischung fort:

zu

32

I. Gauß.

u n d bemerkt — natürlich mit b e s t i m m t e n Zahlen rechnend, e t w a tn = l , η = \/2— daß das Verfahren konvergiert gegen einen Wert, den er bis auf viele Dezimalen b e s t i m m t . Selbstverständlich ahnte Gauß zu dieser Zeit noch nicht die Tragweite, die diese T a t s a c h e einst in der Theorie der elliptischen F u n k t i o n e n haben sollte. Wir be­ gegnen aber hier einer seltsamen u n d gewiß nicht zufälligen Er­ scheinung. All diese frühen, nur zu eigner Lust ersonnenen Gedanken­ spiele sind Ansätze z u dem großen, erst viel später b e w u ß t gewordenen Ziel. Es ist eben die ahnende Weisheit des Genies, selbst bei den h a l b ­ spielenden Erstlingsproben der Kräfte, ohne B e w u ß t s e i n des tieferen Sinnes, die Spitzhacke gerade da ans Gestein zu setzen, w o die Gold­ mine verborgen liegt. — E s k o m m t nun das Jahr 1795, über das wir etwas nähere Zeugnisse besitzen. N a c h Gauß' eigener Aussage fand er damals die Methode der kleinsten Quadrate. D a n n erfaßt ihn (immer noch vor seiner Göttinger Zeit), nachhaltiger als bisher, das leidenschaft­ liche Interesse an den ganzen Zahlen, w o v o n die Vorrede der Disqui­ sitiones Arithmeticae lebhaft Zeugnis gibt. U n b e k a n n t mit jeglicher Literatur, m u ß er sich alles und jedes selbst erschaffen. A u c h hier ist es wieder der unermüdliche Rechner, der d i e W e g e ins U n b e k a n n t e bahnt. Gauß legt große Tabellen an, der Primzahlen, der quadratischen Reste u n d Nichtreste, der Brüche ^ für ^ = 1 bis ^ = 1000 in Dezimal­ brüchen ausgedrückt, und zwar bis zur vollen Periode, w a s unter Umständen eine Stellenzahl von mehreren Hunderten b e d e u t e t ! Bei dieser letzten Tabelle verfolgte G a u ß den Zweck, die Abhängigkeit der Periode v o m Nenner p kennen zu lernen. Welcher heutige Forscher würde wohl diesen seltsamen W e g einschlagen, u m einen neuen Satz zu finden? Für G a u ß aber führte gerade dieser, den er m i t unerhörter Energie verfolgte — er selbst behauptet, daß er sich v o n den anderen Menschen nur durch seinen Fleiß unterscheide! — z u m Ziel. So findet er, w i e schon Euler vor ihm, numerisch-induktiv das quadratische Reziprozitätsgesetz, das „theorema aureum". — I m Herbst 1795 erfolgte nun die Übersiedelung nach Göttingen, w o er die ihm zum erstenmal dargebotene Literatur, Euler und Lagrange, geradezu verschlungen haben muß. D a trifft ihn a m 30. März 1796 sein T a g v o n Damaskus. Mit ihm beginnt die Zweite Periode, nämlich die der regelmäßigen Führung des T a g e ­ buches, 1796—1801. Gauß war schon seit längerer Zeit mit der Gruppierung der E i n ­ heitswurzeln = 1 auf Grund seiner Theorie der „Primitivwurzeln" beschäftigt. Da steht plötzlich morgens vor d e m Aufstehen klar u n d deutlich vor ihm. daß die Konstruierung des Siebzehnecks aus seiner Theorie folgt. Wie schon bemerkt, bedeutet diese E n t d e c k u n g einen W e n d e p u n k t in Gauß' Leben. Er faßt den E n t s c h l u ß , sich nicht der

Gauß' Entwicklungsgang.

33

Philologie, sondern g a n z der M a t h e m a t i k z u w i d m e n . Mit diesem D a t u m beginnt n u n das T a g e b u c h , das interessanteste D o k u m e n t , daß wir über G a u ß ' E n t w i c k l u n g besitzen. Hier tritt u n s nicht der unnahbare, abgeschlossene, vorsichtige Mann e n t g e g e n ; hier sehen wir Gauß, w i e er seine großen E n t d e c k u n g e n erlebte u n d empfand. E r äußert seine F r e u d e u n d G e n u g t u u n g auf das lebhafteste, er legt Sich lobende Attri­ b u t e bei u n d bricht in begeisterte Ausrufe aus. W i r sehen die stolze R e i h e der großen E n t d e c k u n g e n in Arithmetik, A l g e b r a u n d Analysis (freilich nicht vollständig) vor uns, u n d erleben die Genesis der Disquisit'iones Arithmeticae. F a s t rührend m u t e t es einen an, zwischen diesen Spuren eines g e w a l t s a m hervorbrechenden Genius die Anzeichen der treuen Schülerarbeit i m Kleinen z u finden, die auch einem Gauß nicht erspart blieb. D a findet sich eine Verzeichnung gewissenhafter Diffe­ renzierübungen, u n d unmittelbar vor der L e m n i s k a t e n t e i l u n g s t e h e n g a n z banale Integralsubstitutionen, wie sie jeder S t u d e n t ü b e n m u ß . I c h m ö c h t e n u n eine kleine Z u s a m m e n s t e l l u n g v o n besonders charakteristischen B e m e r k u n g e n des Tagebuchs geben. I c h führe sie numeriert an nach Art der Zählung in B d . 1 0 , 1 der g e s a m m e l t e n W e r k e . 1. A m 30. März 1 7 9 6 : D i e geometrische T e ü u n g des Kreises in 17 Teile. 2. S . A p r i l : D e r erste e x a k t e B e w e i s des „ t h e o r e m a aureum**. Dieser äußerst u m s t ä n d l i c h e B e w e i s , der allein acht verschieden z u b e h a n d e l n d e F ä l l e enthält, ist dennoch h ö c h s t bemerkenswert w e g e n der unerschrockenen K o n s e q u e n z der Durchführung. Kronecker n e n n t i h n eine „Kraftprobe des Gaußischen Genius**. Mit 5 1 . 7. Januar 1797 beginnt n u n d i e Beschäftigung m i t der L e m ­ niskate u n d in 60. 19. März 1797 h a t er den Grund — „cur** — gefunden für das A u f t r e t e n des E x p o n e n t e n in der Lemniskatenteilungsgleichung. D a s h e i ß t also nichts anderes, als daß er unter Zuhilfenahme des k o m ­ p l e x e n Gebiets die d o p p e l t e Periodizität des lemniskatischen Integrals

J y i~x^

J

{1-X)

{1^x)

(i-ix)

(1 + ix)

erkannt hat. Unter 80. i m Oktober findet sich der B e w e i s des F u n d a m e n t a l s a t z e s der Algebra, der i h m 1799 die D o k t o r w ü r d e erwarb. N u n aber k o m m t er unter 98. 30. Mai 1799 z u einem h o c h b e d e u t s a m e n R e s u l t a t : er findet den Z u s a m m e n h a n g des arithmetisch-geometrischen Mittels m i t der L ä n g e der L e m n i s k a t e , u n d zwar wiederum auf rein rechnerischem W e g e , i n d e m er den W e r t

^

bis auf 11 D e z i m a l e n b e s t i m m t .

Ohne n o c h die Verhältnisse klar z u erkennen, übersieht er die T r a g w e i t e dieser E n t d e c k u n g , die ein „ganz n e u e s F e l d der Analysis*' eröffne. V o n

34

I. Gauß.

da an geht die E n t w i c k l u n g auf d e m Gebiet der elliptischen F u n k ­ tionen rapide vorwärts. Zunächst beschäftigt er sich noch m i t der „lemniskatischen" Funktion, d . h . m i t d e m Spezialfall eines quadra­ tischen Periodenparallelogramms. D i e N u m m e r n 105—109. v o m 6. Mai bis 3. Juni 1800 aber verzeichnen die E n t ­ deckung der allgemeinen doppeltperiodischen F u n k t i o n e n . D a s Quadrat ist durch das allgemeine Parallelogramm ersetzt. D a m i t ist die volle Theorie der allgemeinen elliptischen u n d der Modulfunktionen geschaffen, i m d mit einem Schlage die Entwicklung n o c h über A b e l u n d Jacobi hinausreichend vorausgenommen. Mit der zunehmenden astronomischen Beschäftigung findet dann die große Entdeckerperiode ihren Abschluß. E r w ä h n e n m ö c h t e ich noch 144. 23. Oktober 1813, w o die wahre Theorie der biquadratischen Reste u n d die Einführung der Zahlen α + hi auch in die Zahlentheorie gegeben ist. Diese E n t d e c k u n g erfüllte Gauß offenbar m i t besonderer Freude. D e n n er fügt hinzu, daß i h m die seit 7 Jahren vergeblich ge­ suchte Lösung zusammen m i t der Geburt eines Sohnes beschert worden ist. Ich m ö c h t e nun die Betrachtung dieses einzigartigen D o k u m e n t e s nicht verlassen, ohne noch einige B e m e r k u n g e n allgemeiner Art anzuschheßen. E s gibt vielleicht Leute, welche bedauern, daß Gauß so viel Kraft auf schon erledigte Probleme gewendet hat, d a ß er ohne jede Anleitung u n d Hilfe alle die Schwierigkeiten noch einmal überwinden m u ß t e , deren Besiegung bereits Allgemeingut der Wissenschaft war. Dieser Meinung gegenüber m ö c h t e ich den Segen der Selbsttätigkeit n a c h ­ drücklichst hervorheben. Gerade an diesem Beispiel können wir die pädagogische Weisheit lernen, daß es offenbar bei einer erfolgbringenden Entwicklimg eines I n d i v i d u u m s viel weniger a n k o m m t auf die Erwer­ bung v o n Kenntnissen als auf die A u s b ü d u n g v o n Fähigkeiten. D i e Hartnäckigkeit, m i t der Gauß einen einmal erwählten W e g verfolgte, das jugendliche U n g e s t ü m , m i t dem er regelmäßig i m b e k ü m m e r t gerade den steüsten Anstieg z u m Ziele in Angriff n a h m — diese harten Proben stärkten seine Kraft u n d m a c h t e n ihn fähig, n a c h Überwindung der auch v o n anderen beseitigten H e m m i m g e n unaufhaltsam weiter über sie hinauszuschreiten. U n d zu diesem Lobe der Selbsttätigkeit m ö c h t e ich noch ein zweites hinzufügen: das Lob der Jugend. D a s , w a s ich sagen will, b e d e u t e t vielleicht nur, daß die Entwicklung des m a t h e m a t i s c h e n Genies den­ selben Gesetzen unterliegt wie die jeder anderen produktiven Gabe: in den jungen Jahren, wenn der Mensch körperlich eben voll ausge­ wachsen ist, setzt die Zeit der großen, sich überstürzenden Offenbarungen ein; hier schafft er, was er als eigenen neuen W e r t in die W e l t zu bringen hat, m a g auch seine Äußerungsmöglichkeit vielleicht der F ü l l e der zuströmenden Ideen noch nicht gewachsen sein. D a s anschließende, weniger gesegnete u n d gedrängte Leben bietet dann die Zeit des A u s -

Gauß' Entwicklungsgang. Zahlengitter und quadratische Formen.

35

b a u e s u n d der Verwertung, für w e l c h e Reife des Urteils, Erfahrung, A u s m a ß u n d Beherrschung der eigenen Kräfte, also alle die Güter des Alters erforderliche Vorbedingungen sind. So erfährt die W e l t oft erst v o n einer Leistung, deren Kern vielleicht 20 Jahre zurückHegt u n d glaubt den Mann auf der H ö h e seines Schaffens, der, i m A u s b a u seines Lebenswerkes begriffen, nicht mehr i m s t a n d e ist, es auch nur u m einen n e u e n Zug z u bereichern. N a c h d e m ich so G a u ß ' A r b e i t e n zur reinen M a t h e m a t i k mehr äußer­ lich gekennzeichnet h a b e , m ö c h t e ich n u n diesen Vorträgen eine W e n ­ d u n g geben und, u m mir für später die nötige Bewegungsfreiheit z u sichern, an einigen P u n k t e n tiefer in die Materie hineingehen. I c h w ä h l e als Beispiel für G a u ß ' produktive Leistung einiges aus der Theorie der elliptischen Funktionen u n d aus der Zahlentheorie\ zur Charakteristik seiner kritischen Strenge m ö c h t e ich schließlich einige Beispiele aus den Arbeiten zur Grundlage der Geometrie bringen. A m leichtesten gelingt w o h l die Einführung in das erstge­ n a n n t e Gebiet, w e n n ich an eine ganz elementare Figur erinnere, an die E i n t e i l u n g der E b e n e durch zwei S y s t e m e äquidistanter, par­ alleler Geraden. D a s einem solchen N e t z kongruenter Parallelogramme, einem ,,Gitter'\ entsprechende räumhche Gebilde ist jedermann v o n der Kristallographie her b e k a n n t . Dieser wichtige, nicht nur äußerhche Z u s a m m e n h a n g wird auch v o n Gauß b e t o n t in einer Anzeige des Seeberschen B u c h e s über t e m ä r e quadratische F o r m e n , 1831 (Werke, B d . 2, S. 188), in der Gauß z u m ersten Mal zahlentheoretische D i n g e durch geometrische B e z i e h u n g e n anschaulich erläutert. W i r wollen u n s hier auf das binäre Gebiet beschränken u n d nur p o s i t i v d e f i n i t e F o r m e n in B e t r a c h t ziehen, d. h. solche F o r m e n f •= am\ + 2 hm^m<^ + cm\, die für alle reellen Wertepaare m^, m^ einen p o s i t i v e n W e r t b e s i t z e n . Dafür ist n o t w e n d i g u n d hinreichend, d a ß für die a, b, c folgende Bedingungen bestehen: a>0, b>0, b^ — ac = —D<0. Ü b e r den zahlentheoretischen Charakter der a, b, c m a c h e n wir z u n ä c h s t nur die Voraussetzung der ReaHtät, w ä h r e n d es i m W e s e n dieser B e ­ trachtungsweise Hegt, d a ß die Zahlen m^, m^ ganz sein sollen. D i e E i g e n s c h a f t e n einer solchen F o r m studieren wir n u n geometrisch an der e r w ä h n t e n Figur (vgl. Fig. I ) . I n der Art eines schiefwinkligen K o o r d i n a t e n s y s t e m s ist jedem Gitterpunkt ein b e s t i m m t e s W e r t e -

I. Gauß. paar W^,

zugeor.inet. Wir erteüen n u n spezieU d e m Grundparallelo­

gramm d i e Seiten )~a (in der WrRichtung), )c (in der Wg-Richtung) und lassen sie u m einen Winkel

gegen einander geneigt sein, der gegeben

ist durch die B e s t i m m u n g cos φ == - L .

D a n n ist die Diagonale d e s

GrundparaUelogramms gegeben durch U + 2b + c u n d allgemein b e ­ deutet die Form /"= a w ? + 2&w^ + cw^ das Quadrat des A b s t a n d e s des Gitterpunktes w^, v o m Nullpunkt. E s ist n u n möglich, auf diese Weise zahlentheoretische Probleme experimentell geometrisch z u lösen. So wäre z. B . die Frage, o b eine b e s t i m m t e ganze Zahl A durch die gegebene F o r m f darstellbar u n d welches Wertepaar w^, dazu nötig sei, z u beantworten, i n d e m m a n m i t }'A einen Kreis u m d e n Nullpunkt schlägt u n d sieht, o b er durch einen Gitterpunkt geht. A u c h die zahlentheoretisch wichtige Größe D g e w i n n t eine einfache g e o ­ metrische B e d e u t u n g ; es i s t nämlich fD = l/~a~c — gleich d e m Inhalt des Elementarparallelogramms. Wir gehen n u n weiter z u zahlentheoretischen Grundbegriffen, w i e sie schon b e i Lagrange v o r k o m m e n . D a ist v o r aUem der Begriff der Äquivalenz. Äquivalent n e n n e n wir Gitter, welche dieselben Gitter­ punkte enthalten, nur durch andere Gitterstäbe verbunden. Solche Gitter gehen in einander über durch die Transformation = + jSwg , w ' 2 = y w i + (5w2, w o (χ.δ—βγ = 1 ist u n d α, β, y, δ übrigens beliebige g a n z e Zahlen b e d e u t e n . B e i dieser Transformation bleibt der Flächeninhalt W ungeändert, doch reicht diese Bedingung nicht hin, die Äquivalenz sicherzustellen. Anschaulich ist jedenfalls klar, d a ß es u n e n d ü c h viele äquivalente Gitter gibt u n d unter diesen immer mindestens eines, dessen Elementarparallelogramm einem Rechteck a m n ä c h s t e n k o m m t . E i n solches Gitter n e n n e n wir reduziert; wir konstruieren e s , indem wir d e n kleinsten A b s t a n d eines Gitterpunktes v o m Nullpunkt als Parallelogrammseite ) α b e s t i m m e n , den nächstgrößeren oder — i m Falle er vorhanden — den ebenso großen nicht in derselben R i c h t u n g liegenden A b s t a n d als ) 7 . D a dann jede der beiden Diagonalen iaTcTYb u n d 4 - c -~2bgrößer sein m u ß als so ergibt sich als genaues Kriterium des reduzierten Gitters oder der reduzierten F o r m : \2b\£a^c. D a e s , abgesehen v o n S y m m e t r i e n , immer nur e i n reduziertes Gitter i n der Schar der äquivalenten gibt, so können wir auch sagen: F o r m e n sind äquivalent, w e n n sie z u derselben reduzierten Form führen. E i n e solche Schar äquivalenter F o r m e n n e n n t m a n eine FormenMasse. Wir gehen n u n z u d e m Spezialfall über, d a ß α, δ, c g a n z e Zahlen sind. Man spricht dann v o n einem ganzzahligen, oder besser, v o n einem singulären Gitter. Wir haben schon gesehen, d a ß der Flächeninhalt )D

Zahlengitter und quadratische Formen.

37

eine Invariante der Transformation ist. E s erhebt sich n u n die F r a g e : W i e v i e l e Formenklassen g i b t es im Falle ganzzahliger α, δ, c bei e i n e m vorgegebenen D ? Oder, w a s dasselbe i s t : W i e groß ist die A n z a h l der Reduzierten bei g e g e b e n e m JD? D . h . also: W i e oft läßt sich \2h\^a
reell, ω ^ =- ^ " ^ ^ - Γ — k o m p l e x .

δ+ί

D a b e i ist

^ = ei
yac also

=}'c'e^f',

und ^

h a t einen p o s i t i v e n imaginären Teil. D e r

allgemeine Gitterpunkt ist gekennzeichnet durch x + iy = m^w^ + ηι^ω^, oder, wie wir v o n n u n an unter A b ä n d e r u n g der B e z e i c h n u n g der g a n z e n Zahlen m^ u n d m^ sagen wollen, durch m^w^ + ηι^ω^^ Diesen Ausdruck n e n n e n wir eine Gitterzahl. Ist die Seite 0)2 nicht in die A;-^chse gedreht, so würde n o c h ein drehender F a k t o r e^^ hinzutreten, so d a ß also die allgemeine Gitterzahl heißt

D u r c h die E i n f ü h r u n g dieser Gitterzahlen h a b e n wir n u n den Vorteil errungen, d a ß wir m i t ihnen die gewöhnlichen Rechenoperationen einschließHch der MultipHkation ausführen können, w ä h r e n d bei den Gitter­ p u n k t e n nur eine additive Verbindung möglich war. D a ergibt sich n u n ein überraschender Satz v o n grundlegender B e d e u t u n g : W e n n wir Zahlen aus zwei ganzzahligen Gittern G' u n d G'' derselben D e t e r -

I. Gauß. minante D multiplizieren, so gehören die Produkte wieder einem be­ stimmten ganzzahhgen Gitter G'" derselben D e t e r m i n a n t e D an. Wir schreiben das symbolisch G' G^ =

G'".

I m Falle der Hauptform m ö c h t e ich die kleine R e c h n u n g ausführen. E s ergibt sich: , , = {m^ m^-

D m, w / ) + {m,

+

wj T -

D.

D a s Produkt gehört also in diesem Falle sogar demselben Gitter an, w a s wir symbolisch ausdrücken durch: GG = G

für das Hauptgitter.

Die Gitter e i n e r D e t e r m i n a n t e bilden folglich einen z u s a m m e n ­ hängenden Organismus, sie gehören, wie wir uns jetzt ausdrücken, einer Gruppe an, u n d zwar einer kommutativen oder Aheischen Gruppe, wie sich aus der k o m m u t a t i v e n Eigenschaft der Multiplikation k o m ­ plexer Zahlen ohne weiteres ergibt. Dabei spielt das H a u p t g i t t e r die RoUe der Einheit, da G G = G ist. Dies ist nun das Problem der „Komposition der Formen'', v o n d e m die berühmt schwierige Sectio V der Disquisitiones Arithmeticae h a n d e l t . W i e die gesamte ältere Literatur, so spricht n ä m h c h auch G a u ß hier nicht v o n Gitterzahlen, sondern er operiert m i t den F o r m e n selbst. D a s heißt aber nur, daß er an Stelle der k o m p l e x e n Gitterzahlen ihre Normen ( d . h . das Produkt m i t den konjugierten Größen) v e r w e n d e t , denn es ist aml + 2hm,m, + cml

In dieser Ausdrucksweise untersucht nun G a u ß unter Vermeidung des K o m p l e x e n die allgemeinen Gruppeneigenschaften der F o r m e n v o n gegebener Determinante, u n d zwar nicht nur i m positiv definiten FaU, sondern in größter Allgemeinheit, w a s denn die große Schwie­ rigkeit dieses Abschnittes verursacht. Diese Darstellung gibt nicht e t w a die ursprüngüche F o r m der Theorie, sondern b e d e u t e t vielmehr eine der Gaußschen T e n d e n z entsprechende Verkleidung des Grund­ gedankens. Lagrange, der in seinen „Additions ä TAlgebre d'Euler" (Bd. V I I der ges. Werke) die ersten Beispiele für F o r m e n k o m p o s i t i o n gibt, g e h t v o n den Linearfaktoren der Formen a u s ; aus d e m Interesse an diesen Faktoren i m d ihren Verbindungen ist zweifellos zuerst der Gedanke der Formenkomposition entstanden. E s erhebt sich denn auch die Frage, o b nicht Gauß die B e h a n d l u n g des Problems unter Zuhilfenahme des K o m p l e x e n gekannt u n d nur in der i h m eigentümlichen Vorsicht zurückgehalten h a t . D i e A n t w o r t ,

Zahlengitter und quadratische Formen. Elliptische Funktionen.

39

die der Historiker hierauf geben kann, lautet unentschieden, d e n n es hat sich nicht die leiseste A n d e u t u n g in dieser R i c h t u n g i m N a c h l a ß vorgefunden. T r o t z d e m bin ich überzeugt, d a ß Gauß schon i m B e s i t z dieser n u n bei mir hier historisch zuerst hervortretenden G e d a n k e n ­ gänge w a r i ) . Dafür spricht nicht nur, d a ß er sämtliche A n s ä t z e d a z u in der H a n d h a t t e , sondern auch besonders der U m s t a n d , d a ß er in demselben Jahre 1831 die schon erwähnte Anzeige des Seeberschen B u c h e s m i t ihren geometrischen Interpretationen b e k a n n t g i b t , wie er andererseits die A b h a n d l u n g über die biquadratischen R e s t e veröffentlicht, w o er die g a n z e n Zahlen + m^i behandelt^), Sollte Gauß wirklich nicht auf den Gedanken g e k o m m e n sein, auch i m Falle allgemeiner Parallelogramme k o m p l e x e Zahlen einzuführen, u n d sollte er den Z u s a m m e n h a n g m i t der Kompositionstheorie nicht bemerkt h a b e n ? Ich halte das für ganz undenkbar u n d neige sogar zu der Ansicht, d a ß er schon 1799 diese Theorien in aller Vollständigkeit besaß. Ich gehe n i m zu der funktionentheoretischen B e d e u t u n g dieser selben Figur des Gitters über. B e i der Darstellung dieses a n e n t w i c k ­ lungsgeschichtlichen R u d i m e n t e n besonders reichen Gebietes will ich m i c h , ohne Berücksichtigung der historisch vielleicht wichtigen, an sich mehr zufälligen A n s ä t z e lediglich auf die D i n g e s t ü t z e n , die uns h e u t e eine klare, vollständige Übersicht des ganzen Gebietes ermöglichen ^), Den Ausgangspunkt trachtungsweise, wo

bildet für uns die gruppentheoretische

Wir h a b e n drei unabhängig Veränderliche: u,

Be­ ω^,

einen positiven imaginären Teil besitzt, u n d wir h a b e n eine

ternäre Gruppe v o n Transformationen, b e s t e h e n d aus der Verschiebung u' = u + m, ω, + u n d der unimodularen

ηι^ω,

Substitution

T-Z[V::, «'-^'='· wobei , Wg, α, β, γ, δ ganze Zahlen sein sollen. Gesucht sind in­ variante oder automorphe Funktionen dieser ternären Transformationsgruppe. Ich erwähne hier gleich, d a ß sehr häufig nur a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n der ersten Transformation, also lediglich doppeltperiodische 1) Dirichlet und Dedekind haben den Gitteransatz nur indirekt, indem sie Zahlen der Gestalt «^2 + + 1^^^) und a ' m / + (&' + f " = ^ ) < miteinander multiplizieren, dann zu dem Produkt der Normen übergehen und aus ihm den Faktor α α' wieder herausziehen! 2) Man vgl. auch S t ä c k e l : Gauß als Geometer, Gauß' Werke, Bd. 10, 2, Abh. IV, insbes. S. 63 f. 3) Vgl. auch später Kap. 6 und 8,

I. Gauß.

40

Funktionen f(u \ ο),,ω^), w o ω^, k o n s t a n t sind, b e t r a c h t e t werden. D a s Verhalten gegenüber den Substitutionen der ω ist aber nicht minder wichtig u n d interessant. Erst das S t u d i u m der Invarianten der g a n z e n ternären Gruppe führt zur Theorie der allgemeinen elliptischen Funktionen, Über diese allgemeinen F u n k t i o n e n f {u\ω^, ω^) m a c h e n wir n u n traditionsgemäß einige funktionentheoretische V o r a u s s e t z u n g e n ; unsere kritische, an Anomalien besonders interessierte Zeit verlangt die aus­ drückliche Aussprache dieser B e d i n g u n g e n , die frühere Geschlechter in ahnungsloser Selbstverständlichkeit — „als wir noch i m Paradiese lebten'', wie P. D u b o i s - R e y m o n d s a g t — i n n e h i e l t e n . E s sei also die F u n k ­ tion f (u) in der ganzen E b e n e eindeutig und überall i m E n d l i c h e n wohl­ definiert, d. h. sie habe keine wesentlich singulären Stellen u n d keine natürlichen Grenzen. F ü r f (ω^ ω^) lassen sich diese Voraussetzungen der „Gutartigkeit", wie ich sie nennen m ö c h t e , weniger einfach aus­ drücken, ohne ins D e t a ü zu g e h e n ; ich b e g n ü g e m i c h zu sagen, es ver­ halte sich f (ci>i, cüg) so vernünftig wie möglich. E i n e weitere Anforde­ rung, die ich stelle, ist die Homogenität v o n f in allen drei Variabein, wobei irgend ein Grad in « , cop cog auftreten kann. Diese A n n a h m e ermöglicht nämlich eine b e d e u t e n d elegantere, schönere B e h a n d l u n g sämtlicher Probleme. Ich bemerke, d a ß sie nicht v o n allen A u t o r e n , die sich m i t diesen D i n g e n beschäftigt h a b e n , aufgestellt wird. Man beschränkt sich vielmehr gern auf h o m o g e n e F u n k t i o n e n nullten Grades, d . h . F u n k t i o n e n der Verhältnisse u:ω^:ω^

etwa

f\

So verfährt z. B . Jacobi. Neben /'(«jcüpCüg)

den

schon

erwähnten

irgend

doppeltperiodischen

Funktionen

gibt es n u n auch solche, die nur v o n ω^, cog abhängen.

Diese nenne ich Modulformen,

w e n n sie h o m o g e n i n

e i n e r D i m e n s i o n sind, Modulfunktionen,

und

wenn

n u l l t e n D u n e n s i o n , also nur v o n d e m Verhältnis ~

ci>2

von

sie v o n der

abhängig sind.

Sdiließlich nenne ich noch als einen interessanten Spezialfall der doppeltperiodischen F u n k t i o n e n die zur Gruppe der Transformation = U + m2 + m^i gehörigen automorphen F u n k t i o n e n . D a s sind die sog. lemniskatischen Funktionen. Ihren N a m e n verdanken sie ihrem ersten Auftreten bei der Berechnung des Lemniskatenbogens, ebenso wie die (viel zu enge) Bezeichnung „elHptische F u n k t i o n e n " v o n der Anwendung derartiger F u n k t i o n e n b e i m A u s m a ß des Ellipsenbogens herrührt. Lemniskatenbogen u n d Ellipsenbogen stehen dabei übrigens nicht in genauer Parallele, denn der erstere ist durch das Integral „erster G a t t u n g " J - = „zweiter Gattung". klar zu m a c h e n .

gegeben, der letztere aber durch ein Integral

Auch diesen Unterschied

hatte

sich

Gauß

erst

41 Ich will liun die einfachsten allgemeinen elliptischen nennen, die d e n oben angeführten Bedingungen g e n ü g e n . E s sind nach W e i e r s t r a ß s c h e r Bezeichnung:

Funktionen

Sie s m d definiert durch folgende, überall absolut k o n v e r g e n t e Reihen, die v o n E i s e n s t e i n herrühren, u n d die ich hier nenne, u m damit gleich in einfachster Weise d e n E x i s t e n z b e w e i s der gesuchten Gebilde z u führen: D i m e n s i o n — 2 : ρ{η\ω^, ω^) y7______J

.

- 3 : -4:

L

1

ρ - Κ ω „ ω , ) ^ - 2 2 \ . ^ ^ , , ^ ^ ^ ^ 3 . g^K^ö^Q) =

Zu der ersten Reihe ist z u bemerken, d a ß die in geschweifte K l a m m e r n gesetzten Ausdrücke nicht auseinandergerissen werden dürfen, w e n n die absolute Konvergenz erhalten werden soll. D e r Strich a m S u m m e n ­ zeichen bedeutet die Auslassung des Wertepaares = mg = 0. D i e beiden F u n k t i o n e n (u) u n d (u) heißen die Grund/unkHonen. Sie besitzen Pole zweiter resp. dritter Ordnung in d e n Gitter­ p u n k t e n der Ebene. D i e Größen ^ heißen schlechthin die Inva­ rianten. Sie sind die einfachsten Modulformen. D a sich die „Diskriminante" Δ in ihnen ausdrückt durch Δ ^ gl — 21 gl, so wäre die F u n k t i o n / = "^- ein einfachstes Beispiel einer Modulfunktion. Zwischen diesen vier F u n k t i o n e n besteht n u n folgende algebraische Beziehung: .« ^ P ^φ""~g.i^~g^. u n d ferner der merkwürdige fundamental wichtige Satz, d a ß sich jede andere automorphe F u n k t i o n der drei Variabehi, die d e n obigen B e ­ dingungen der Vernünftigkeit entspricht, rational in d e n vier gefundenen ausdrücken läßt. Mit diesem Satz ist d a s Gebiet aller möglichen F u n k ­ tionen der gesuchten .Art umschrieben. Für die theoretische Einsicht ist n u n aber noch eine andere D a r ­ stellung dieser F u n k t i o n e n v o n größter Wichtigkeit. E s gelingt nämlich, die F u n k t i o n e n durch sog. g a n z e F u n k t i o n e n (die i m Endlichen keinen Unendlichkeitspunkt besitzen) auszudrücken; die automorphen F u n k ­ tionen werden solcherweise in Zähler u n d Nenner gespalten, die ihrer-

I. Gauß. seits nun ganze, freilich nicht mehr doppeltperiodische F u n k t i o n e n sind. Die in diesem Zusammenhang wichtigste F u n k t i o n ist die v o n Weier­ straß geschaffene a-Funktion, dargestellt durch das unendliche P r o d u k t : Dimension + 1

.(«)=»·/7'(' - . 7 . T i - ^

in

w, coj, co^:

J - ^ ^ ^ ' ^ ' - ^ - ^ " '

wobei die Exponentialfunktion die Rolle eines konvergenzerzeugenden Faktors spielt. Diese Funktion besitzt in sämtlichen Gitterpunkten den Wert Null. Durch sie lassen sich n u n die p - F u n k t i o n e n darstellen,

Wie schon bemerkt, ist σ selbst nicht doppeltperiodisch. Vielmehr ist

WO ηι, gewisse K o n s t a n t e n sind, deren B e d e u t u n g ich hier nicht weiter erörtere; σ ist aber eine Modulform, d . h . es ist α{Η\αω, + βω^,γω,+όω^)^α{η\ω„ω^). Diese äußerst wichtige Funktion wurde, wie schon erwähnt, v o n Weier­ straß entdeckt. Immerhin waren Gauß u n d Abel nahe daran; sie ope­ rierten nämlich mit einer F u n k t i o n Cae"**'^^ (wo ich die K o n s t a n t e n C und κ der Kürze halber nicht definiere), die sich zunächst beim Verfolg der Rechnungen darbietet, w e n n m a n an die gewöhnlich gebrauchte Normalform der elliptischen Integrale anknüpft, und die für die Zer­ legung der doppeltperiodischen Funktionen in Zähler und Nenner das­ selbe leistet wie σ (w). Wir würden sie jetzt eine Funktion „zweiter Stufe" nennen, w e ü sie nicht invariant ist gegen die ganze Modul­ gruppe, sondern nur gegen einen Teü^). Weierstraß gab ihr zu Abels Ehren den N a m e n AL Diese Funktion hat besondere Verbreitung gefunden durch das B u c h v o n Briot und Bouquet, zwei aus der Cauchyschen Richtung hervorgegangenen Schülern Liouville's, deren 1859 erschienenes Werk, „Theorie des fonctions doublement periodiques", längere Zeit das Studium auf diesem Gebiet ganz beherrschte. K o ­ mischerweise wird hier die Bezeichnung „Al'^ mit d e m deutschen Wort „AUes" in Beziehung gebracht, ein lehrreiches Beispiel für die Ge­ schwindigkeit etymologischer Sagenbüdung. N a c h d e m ich die fundamentalen elliptischen Funktionen und ihre wesentlichste DarsteUung genannt habe, möchte ich doch an einem hiermit zusammenhängenden Gebiet, das sich seiner großen Reich1) Vgl. Kap. 6. S. 289.

Thetafunktionen. Stufentheorie, Multiplikation und Teilung. 43 haltigkeit an rechnerischen Problemen u n d seiner glänzenden A n w e n d ­ barkeit w e g e n z u selbständiger B e d e u t u n g a u s g e w a c h s e n h a t , nicht ganz vorübergehen, w e n n uns seine B e t r a c h t u n g auch z u m gedank­ lichen A u f b a u der Theorie, den z u skizzieren hier allein m e i n B e s t r e b e n sein k a n n , nicht wesentlich N e u e s liefert; ich meine das vielbearbeitete Gebiet der Thetafunktionen, E s g e h n g t n ä m h c h , die σ - F u n k t i o n e n so in F a k t o r e n zu spalten, daß der eine F a k t o r in b e z u g auf eine der Perioden a u t o m o r p h ist. So ent­ s t e h t die v o n J a c o b i als bezeichnete F u n k t i o n , für die das Verfahren eine brillant konvergierende, für analytisches u n d numerisches R e c h n e n gleich geeignete R e i h e n e n t w i c k l u n g Hefert. D i e F o r m e l n für diese Zer­ legung s i n d : ,

ist. ist in u u n d ω v o n nuUter D i m e n s i o n . formung erhält m a n die Reihe f^sin

L ! ^ +

D u r c h rechnerische U m ­

^ ? s i n ^ ^ . . . ) .

D u r c h ähnliche R e i h e n werden n o c h weitere „ T h e t a f u n k t i o n e n ' ' definiert. E s gibt n u n eine gauze Lehre v o n den sog. Thetarelationen, d. h. v o n den I d e n t i t ä t e n , die zwischen den T h e t a f u n k t i o n e n geeignet ausge­ wählter A r g u m e n t e s t a t t h a b e n , die eine Zeit lang ein H a u p t Jagdgebiet für aUe Mathematiker bildete. J e t z t ist sie wieder mehr in den H i n t e r ­ grund getreten, ein Beispiel dafür, daß auch die Wissenschaft ihren Moden unterworfen ist. Gegen eine A d d i t i o n v o n Perioden v e r h a l t e n sich die ΰ· sehr einfach; dagegen wird durch S u b s t i t u t i o n der co^, cog ihre F o r m in recht kompHzierter W e i s e beeinflußt. A u s d e m S t u d i u m dieser Verhältnisse ergibt sich die Lehre v o n den unendlich vielen For­ m e n der Thetafunktionen. W i e w o h l s c h o n v e r m u t e t , erwähne ich dies alles nur, u m n u n z u sagen, daß Gauß s c h o n in B e s i t z d a v o n war. E r bildete Thetafunk­ t i o n e n i m lemniskatischen Falle schon 1798, i m allgemeinen 1800, u n d 1808 beschäftigt er sich m i t Thetarelationen. I c h fahre n u n fort, die Theorie unserer a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n ihren H a u p t g e d a n k e n n a c h darzulegen. N a c h Aufstellung der G n m d funktionen u n d ihrer B e z i e h u n g e n zu allen anderen F u n k t i o n e n der geforderten Art liefert uns die s y s t e m a t i s c h e Gruppentheorie (vgl. m e i n Erlanger P r o g r a m m 1872^)) als n ä c h s t e n förderlichen Gedanken die 1) K l e i n : Ges. math. Abh. Bd. 1, S. 460ff.

44

1. Gauß.

Frage nach automorphen F u n k t i o n e n v o n U n t e r g r u p p e n der v o r a n gestellten ternären Substitutionsgruppe, die wir dann als „ F u n k t i o n e n h ö h e r e r S t u f e " bezeichnen. Wir fragen: Gibt es solche F u n k t i o n e n , und wie hängen sie mit den Grundfunktionen z u s a m m e n ? W a n n ist der Zusammenhang algebraisch, u n d welche algebraische Beziehungen werden durch die solcherweise gefundenen Funktionsbeziehungen „uniformisiert", d . h . durch eindeutige F u n k t i o n e n identisch befriedigt? Aus der Fülle der sich hier ergebenden Probleme m ö c h t e ich nur die herausgreifen, die sich bei Verfolgung des Gedankens in b e z u g auf M allein ergeben. Hier führt der geschilderte W e g zu der Lehre v o n der „Transformation" (in besonderem, sogleich zu definierendem Sinne), der Multiplikation u n d Teilung der elliptischen F u n k t i o n e n . Funktionen, die nur gegen e i n e n Teil, nicht gegen alle Substitu­ tionen der ternären Gruppe automorph sind, findet m a n , w e n n m a n in das gegebene Gitter ein neues „einlagert", das v o n den gegebenen Punkten gewisse ausläßt. D a s Elementarparallelogramm des n e u e n Gitters besitzt dann nicht mehr den Inhalt V — Z), sondern ein ganzes Vielfaches dieser Größe, n']~^D. Seine Seiten sind gegeben durch die Ausdrücke _ ω,^αω^ + βω, ^αδ-βγ^η),

wo ä, β, γ, δ ganze Zahlen bedeuten. Bilden wir nun in diesem neuen Gitter, das durch „Transformation n-ter Ordnung'' g e w o n n e n ist, die elliptischen Grundfunktionen

φ' {χι\ω^,ω^) so sind die

=

φ',

V^' in bezug auf die ursprünglich vorgelegte Gruppe

(αδ~βγ

=

Funktionen v o n der gesuchten Art. Ist etwa das neue Parallelogramm entstanden durch Zusammenfassen einer Anzahl der alten, also d e m alten ähnlich gelegen, so wiederholen sich die W e r t e φ u n d nicht bei jeder Verschiebung, u' u -\- m^coi + ^2^2^ sondern nur, w e n n die m^, mg Vielfache gewisser ganzen Zahlen sind. ^ E s handelt sich nun u m den Zusammenhang der φ, φ' m i t den F . p ' . Dieser ergibt sich äußerst einfach aus d e m Satz, daß aUe ellip­ tischen Funktionen rational sind, i n d e n zugehörigen Grundfunktionen. D a nun die neuen Perioden ω^, auch Perioden der alten φ,φ' sind, so ergibt sich,_daß S'>.s^' rational in φ, φ' sind. U m g e k e h r t drücken sich die p , 9 / algebraisch in den aus. E i n spezieller

Stufentheorie, Multiplikation und Teilung.

45

Fall dieser Transformation n-ten Grades ist die Multiplikation, durch die F o r m e l n

gegeben

D a s n e u e Parallelogramm ist mit d e m a l t e n ähnlich u n d ähnlich gelegen. E s ergibt sich durch E i n s e t z e n in die E i s e n s t e i n s c h e n R e i h e n :

u n d schließlich, da
rational in

φ,

φ'

ist, ergibt sich, d a ß φ,φ'{κν\ω^,ω^) rational in <ρ,<ρ'{ν\ω^, . Hier treten nicht mehr die Perioden, sondern die Variable u oder υ m i t e i n e m n e u e n F a k t o r behaftet auf. Man n e n n t das die Multiplikation der elliptischen Funktionen, resp. v o n der andern Seite gelesen, die Teilung. D e r algebraische Charakter der letzteren ist natürlich des näheren z u untersuchen. U m aber Gauß g a n z gerecht werden z u k ö n n e n , m ü s s e n wir n o c h e i n e n Schritt weitergehen zur sog. komplexen Multiplikation der ellip­ tischen F u n k t i o n e n . D i e s e ist nur in singulären Gittern möglich, in die sich n ä m l i c h ähnliche, aber nicht ähnlich gelegene Parallelogramme einlagern lassen. F ü r diese Gitter lassen sich in φ [ν) rationale F u n k ­ tionen <^){κν) bilden, w o κ = + ^'«2 ^^^^^ k o m p l e x e n W e r t b e d e u t e n soll. Wir wollen das in d e m einfachen F a l l der L e m n i s k a t e näher unter­ suchen. F ü r sie ist =• ιω^. F ü h r t m a n eine k o m p l e x e Multiplikation aus, so ergibt sich ~ώ^==iκ^~\-iκ.;)ω^ =

(^i +

= κ^ω^-κ,^ω.^,

^ ) ¢^^2 = ^2

i j_

2 _

- f «1 ^ 2 ,

d. h. die Operation ist eine „Transformation" v o m Grade η ^ κ\-\Folglich gilt für diesen Fall der Satz ^•'(''^1'"-"'^^ φ'{κν^ω„ω^)

rational in

^^^^l--"'^)' ρ'{v\

κΐ.

46

I. Gauß.

auch wenn κ einen k o m p l e x e n W e r t besitzt. E t w a s Ähnliches läßt sich nun für alle singulären Gitter aufstellen; nur m u ß m a n , wenn m a n es nicht nur mit einem H a u p t g i t t e r zu t u n hat, die Gesamtheit aller zu einer Determinante D gehörigen Gitter in den Kreis der B e ­ trachtung ziehen. E s leuchtet ein, d a ß dieses Problem auf das innigste mit der Komposition der F o r m e n einer D e t e r m i n a n t e D z u s a m m e n ­ hängt. Der ganze hier angedeutete Kreis v o n Fragen, der immer für eines der interessantesten und feinsten Gebiete der Theorie der elliptischen Funktionen gegolten hat, wurde v o n Gauß schon in mannigfacher Weise bearbeitet. Gleich im A n f a n g bei der L e m n i s k a t e w e n d e t er die gemeine u n d die k o m p l e x e Multiplikation an. Er zerlegt n ä m l i c h die Multiplikation m i t 5 in zwei k o m p l e x e Schritte 5 = (2 + i) (2 — i) und ermögHcht dadurch in Verfolg des u m g e k e h r t e n W e g e s die Auf­ lösung einer Gleichung 25. Grades durch Quadratwurzeln, w o m i t das Problem der Lemniskatenteilung gelöst ist. Über diese große Leistung findet sich eine ganz geringfügige A n d e u t u n g in den Disquisitiones Arithmeticae in der Einleitung zur Kreisteilung: W e r k e , B d . 1, S . 4 1 2 , 413. Diese Stelle ist nicht nur an sich sehr merkwürdig, sondern vor allem auch durch ihre Wirkung. D e n n sie gab A b e l den A n s t o ß , sich 1825 d e m Problem zuzuwenden, das er durch E n t d e c k u n g der d o p ­ pelten Periodizität u n d der allgemeinen MögHchkeit k o m p l e x e r Multi­ plikation bei elliptischen F u n k t i o n e n vollständig erledigte. Wir haben uns bisher wesentlich m i t der Abhängigkeit unserer Automorphen v o n u, m i t dem B i l d e des Parallelogrammgitters in der «-Ebene beschäftigt. J e t z t wollen wir im Gegensatz dazu u beiseite lassen und F u n k t i o n e n allein v o n ω^,ω^ eingehender studieren. D a s führt zur Theorie der Modulformen resp. Modulfunktionen, auf welch letztere wir u n s hier beschränken wollen. D a sie, wie schon gesagt wurde, in cüj, ft>2 h o m o g e n v o m n u l l t e n Grade sind, so setzen wir ω und machen nun die Substitutionen

zum Gegenstand unserer B e t r a c h t u n g . E s erhebt sich die Frage, o b man sich diese Gruppe durch eine Zerlegung der k o m p l e x e n ω - E b e n e in Diskontinuitätsbereiche anschauHch deuten kann, entsprechend d e m Verfahren, das wir zur D e u t u n g der Gruppe « ' = « + ^^ω^ + WgCOg in der «-Ebene anwendeten. D i e s ist n u n in der T a t m ö g ü c h . E s e n t ­ steht die sog. Modulfigur, die auch wieder Gauß zuerst h a t , u n d m i t der er Abel, Jacobi und den nächstfolgenden Mathematikern ü b e r legen bleibt, bis sie v o n R i e m a n n ab z u m b e v o r z u g t e n Arbeitsmittel in dieser Theorie sich entwickelt (vgl. Fig. 2). D e r Ausgangsbereich ist durch die schraffierten F l ä c h e n m i t ihrem stark ausgezogenen R a n d

Modulfunktionen.

47

gegeben. W e n n ω nicht reell ist, so läßt es sich im Falle positiven ima­ ginären Teiles durch Transformation stets in den oberen Teil des F u n d a ­ mentalbereiches legen, i m Falle n e g a t i v e n imaginären Teiles in den unteren. In diesen W o r t e n spricht sich i m Grunde nichts anderes aus als die Reduktionstheorie der zu den Gitterpunkten m i t den k o m p l e x e n A r g u ­ m e n t e n m^coi + >^2<^2 gehörigen Fctrm a m f + 2bm^m2 + cml. Jedes i m F u n d a m e n t a l b e r e i c h Hegende ω repräsentiert n ä m l i c h das redu­ zierte Gitter in der unendlichen Zahl der ä q u i v a l e n t e n , die ihrerseits durch die m i t ω ä q u i v a l e n t e n P u n k t e der übrigen Bereiche dargestellt werden. Diese übrigen Bereiche ent­ s t e h e n aus d e m F u n d a m e n t a l ­ bereich durch fortgesetzte Spiegelung an den Geraden u n d d e m Kreis der Figur n a c h d e m Prinzip der reziproken R a d i e n . D u r c h dies Verfahren wird die ganze co-Ebene lücken­ los v o n Kreisbogendreiecken b e d e c k t , die sich v o n beiden H a l b e b e n e n her nach der reellen Achse z u immer mehr zu­ sammendrängen. Wie schon gesagt, lassen sich die ω der positiven u n d n e g a t i v e n H a l b ­ ebene durch die ModulsubFig. 2. stitutionen n i c h t ineinander überführen. D i e reelle Achse bildet für alle Modulfunktionen eine sog. „natürliche Grenze". Ihre sämtlichen rationalen P u n k t e sind Mündungsspitzen für u n e n d ü c h viele Bereiche. D i e reelle A c h s e trägt also eine unendliche Schar überall dicht Hegender P u n k t e , die jeder unendHch vielen Bereichen angehören (je 2 unendliche Büschel), wird v o n diesen aber n o c h nicht ausgefüllt. W e g e n dieses ganz singu­ lären Verhaltens („da w o h n e n die D ä m o n e n " , wie Gordan sagt) ver­ dient der FaH eines reeUen ω eine eingehende Sonderbetrachtung. Wir fragen n u n n a c h den z u dieser E i n t e i l u n g gehörigen funktionen.

D i e einfachste ist die „absolute

Invariante''

J=^-.

ModulSie

n i m m t jeden W e r t einmal u n d nur einmal im F u n d a m e n t a l b e r e i c h a n u n d ist übrigens so normiert, d a ß sie a n den in Fig. 2 angegebenen Stellen 0, 1 u n d 00 wird.

D i e s e s / (ω) s t e h t daher in e i n e m besonders

einfachen Z u s a m m e n h a n g m i t der Theorie der quadratischen F o r m e n . Sagten

wir

früher,

daß

eine

Klasse

äquivalenter

Formen

durch

I. Gauß. einen Wert im Fundamentalbereich u n d sämtliche äquivalente P u n k t e dargesteUt werde, so ist jetzt deutlich, daß zu jeder Klasse v o n F o r m e n (i.e. zu jeder Schar äquivalenter Gitter) ein einziger Wert v o n / ( ω ) gehört. Umgekehrt ist auch j e d e m / (ω) eine einzige Klasse v o n F o r m e n zugeordnet, wenn m a n auf die absolute Größe der Parallelogramme keinen Wert legt. D i e B e d e u t u n g , die diese Größe / ( ω ) in der g a n z e n Theorie besitzt, sowohl funktionentheoretisch als zahlen theoretisch, möge damit angedeutet sein. Sie wird noch gehoben durch den U m ­ stand, daß alle anderen Modulfunktionen sich in / rational aus­ drücken lassen. Sie sind selbstverständlich nicht mehr einwertig im Fundamentalbereich, d. h. sie n e h m e n jeden Wert i m F u n d a m e n t a l ­ bereich mehrfach an. Gauß kannte diese F i m k t i o n u n d ihre wichtigen E i g e n s c h a f t e n , in Bd. 3, S. 386 findet m a n eine N o t i z über die „summatorische F u n k ­ tion" ( / ) abgedruckt. A u c h die Modulfigur u n d das Prinzip der Spiegelimg waren ihm bekannt, wie schon erwähnt wurde. Wir w e n d e n nun auch hier den gruppentheoretischen Gedankengang an und fragen nach Untergruppen

der Substitution ω ' = ^ ^ ^

nach ihrem Zusammenhang m i t der vollständigen Gruppe.

und

D a s all­

gemeine Prinzip zur Auffindung v o n Untergruppen k a n n ich hier leider nicht angeben; ein Beispiel möge g e n ü g e n : Als n-ter

Stufe

Hauptkongruenzgruppe

bezeichnet m a n Substitutionen, deren Koeffizienten

= 1

oder - ^ O sind m o d η in folgender Verteilung /9^0,

x ^ O ,

(modw),

was ich kurz schreibe

Wir wollen die Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe kurz betrachten. E s gibt sechs Möglichkeiten v o n Koeffizientensystemen:

Diese Untergruppe erzeugt einen Fundamentalbereich, der sechs der bisherigen zusammenfaßt. E i n e Fundamentalfunktion in diesem Bereich —- die wir nun als Modulfunktion zweiter Stufe bezeichnen, da sie nur gegen die durch den Modul 2 ausgeschiedene Untergruppe invariant ist — ist das „Doppelverhältnis" λ (ω) auch (ω) geschrieben, wobei κ (ω) unter d e m N a m e n „Legendrescher Modul" b e k a n n t ist. D a diese Funktion einen sechsmal größeren Fundamentalbereich besitzt als / (ω), w a s ja nichts anderes heißt, als d a ß einem W e r t v o n / sechs W e r t e v o n λ zugeordnet sind, so leuchtet ein, daß die beiden Größen durch

Modulfunktionen.

Elliptische Integrale

eine rationale B e z i e h u n g s e c h s t e n Grades z u s a m m e n h ä n g e n .

49 I n der

T a t ist 4(Λ2^Λ+1)3 27AMl-A)2 A u c h diese Untergruppe ist G a u ß b e k a n n t . F r a g m e n t e darüber finden sich m i t der zugehörigen Figur in B d . 8, S. 103, 105, a u c h B d . 3 , S. 386. Aber erst das T a g e b u c h gewährt eine genauere E i n s i c h t in seine K e n n t ­ nisse. D i e B e m e r k u n g v o m 3. J u n i 1800 (Bd. 10, 1, S. 550) k o m m t hier in B e t r a c h t . I c h w e n d e m i c h n u n z u einer ganz anderen Seite des Gegenstandes, u m auch hier die g e w o n n e n e n Auffassungen g e l t e n d zu m a c h e n . B e ­ k a n n t l i c h e n t w i c k e l t e sich die Theorie der elliptischen F u n k t i o n e n historisch nicht in der a n g e g e b e n e n Weise. Vielmehr fand m a n zuerst die elliptischen Integrale, aus denen m a n d a n n durch U m k e h r die v o n u n s bisher b e t r a c h t e t e n elhptischen F u n k t i o n e n g e w a n n . U n s bleibt n u n n o c h v o r b e h a l t e n , v o n den F u n k t i o n e n k o m m e n d , auch die E i g e n ­ schaften der inversen Integrale k e n n e n z u lernen. A u s der R e l a t i o n

ergibt sich, w e n n m a n φ (u) = ζ setzt

D i e s e v o n E i s e n s t e i n herrührende u n d v o n Weierstraß v i e l b e n ü t z t e F o r m ist eine homogene Normalform erster Stufe, so b e n a n n t , w e ü ihre Koeffizienten Modulformen erster Stufe sind. E s k a n n aber unter U m s t ä n d e n z w e c k m ä ß i g sein, u durch ein Integral höherer Stufe — dessen Koeffizienten nur g e g e n eine U n t e r g r u p p e invariant sind — darzustellen. E s ergibt sich als Normalform zweiter Stufe (in inhomogener Gestalt)

w o b e i λ die schon a n g e d e u t e t e Eigenschaft eines D o p p e l v e r h ä l t n i s s e s h a t . S e t z t m a n hierin ζ == sin^ φ, λ = κ^, so e n t s t e h t die n o c h jetzt viel gebräuchliche Legendresche Normalform:

1, Entmcklung der Mathematik.

50 I. Gauß. Gauß ist auch hier prinzipieller als die meisten A u t o r e n seiner Zeit; er hält an der H o m o g e n i t ä t der Normalform zweiter Stufe fest. D i e v o n ihm in den Säkularstörungen angeführte u n d mit der obigen Normalform zweiter Stufe aufs engste z u s a m m e n h ä n g e n d e Gaußsche Form h e i ß t :

U n d nun kann ich endhch den Z u s a m m e n h a n g klarlegen, in d e m das schon so häufig erwähnte arithmetisch-geometrische Mittel m i t dieser ganzen Theorie steht. E s handelt sich n ä m l i c h u m die B e r e c h n u n g der einen Periode des elhptischen Integrals, also u m

Statt durch andere A n n ä h e r u n g s m e t h o d e n , berechnete Gauß diesen Wert nach einem Gedanken, der schon bei Lagrange u. a. auftritt, durch wiederholte quadratische Transformation; d . h . er verdoppelte immer wieder das Periodenrechteck der zu integrierenden F u n k t i o n , ein Verfahren, das als Limes den Periodenstreifen der zyklometrischen Funktion hefert, dessen H ö h e durch den Grenzausdruck des Integrals gegeben ist. Bei jeder solchen quadratischen Transformation g e h t nun das Integral in ein neues v o n derselben B a u a r t über

so d a ß im Limes h e r a u s k o m m t

D a m i t ist der Zusammenhang gegeben. Gauß findet ihn i m lemnis­ katischen FaUe m^ = 1, 2 laut Tagebuch a m 2 3 . D e z e m b e r 1799. Ausgeführt bot er ihn erst 1818 in der Theorie der Säkularstörungen dar. D a m i t möchte ich meinen kleinen E x k u r s über die elhptischen Funktionen abschheßen. Ich habe versucht, an jeder Stelle zu zeigen. Werke. Bd. 3. S. 331 ff.; insbesondere S. 352ff., sowie auch S. 359.

Elliptische Integrale.

Kritische Leistungen.

51

wie früh u n d wie w e i t g e h e n d Gauß i m B e s i t z der v e r s c h i e d e n s t e n E l e ­ m e n t e der Theorie war. E s ist wunderbar, z u sehen, wie i h m diese W i s s e n s c h a f t aus drei g a n z verschiedenartigen Quellen zufließt, die sich d a n n aufs g ü n s t i g s t e vereinigen: die rein zufällige B e s c h ä f t i g u n g m i t d e m arithmetisch-geometrischen Mittel, die Theorie der definiten quadratischen F o r m e n , das S t u d i u m der L e m n i s k a t e . E s erhebt sich n a t ü r h c h die Frage n a c h den Teilen der Theorie, die er n o c h n i c h t b e s e s s e n h a t . O a s ist die allgemeine, durch H e r u m ­ integrieren i m K o m p l e x e n g e w o n n e n e B e s t i m m u n g der P e r i o d e n b e i m elliptischen Integral, d. h. bei e i n e m Integral einer m e h r d e u t i g e n F u n k ­ tion. E s ist möglich, d a ß dieser U m s t a n d Gauß v o n der P u b l i k a t i o n ablenkte. I n dieser R i c h t u n g h a t erst P u i s e u x B a h n gebrochen ( C R. B d . 32. 1851), u n d g a n z klar w u r d e n die Verhältnisse erst, als R i e m a n η d e n Begriff der „mehrblättrigen F l ä c h e " brachte. E r s t durch d e n S a t z , d a ß das Periodenparallelogramm in der w-Ebene das konforme A b b i l d der zweiblättrig über der 2:-Ebene ausgebreiteten u n d z w e c k m ä ß i g z e r s c h n i t t e n e n Fläche für φ' (u) = \YJz) sei, wurde die Theorie v o l l e n d e t .

N a c h d e m ich in großen Zügen den R e i c h t u m a n g e d e u t e t h a b e , den u n s auf d e m Gebiet neuer, fruchtbarer G e d a n k e n der Gaußsche Genius g e s c h e n k t h a t , m u ß ich m i c h nun, u m das hier b e a b s i c h t i g t e Charakter­ bild z u v o l l e n d e n , den L e i s t u n g e n z u w e n d e n , die i h m unsere W i s s e n ­ schaft hinsichtlich der Kritik der Grundlagen u n d der Strenge der Me­ thoden v e r d a n k t . I c h m ö c h t e diesen Ausführungen drei allgemeine L e i t s ä t z e vorausschicken, die sich mir a u s der geschichtlichen B e t r a c h ­ t u n g der D i n g e z u ergeben scheinen. D e r Begriff der „ S t r e n g e " in unserer Wissenschaft u n d die F o r d e ­ rung des in i h m e n t h a l t e n e n Ideals s t a m m t v o n d e n Griechen. Sie v e r s t a n d e n darunter die rein logische A b l e i t u n g der g a n z e n M a t h e m a t i k a u s einer m ö g l i c h s t b e s c h r ä n k t e n A n z a h l a n die Spitze gestellter Vor­ a u s s e t z u n g e n . Hier m ö c h t e ich n u n b e t o n e n , d a ß selbst bei einer idealen „ S t r e n g e " in d i e s e m Sinne ein gewisses a n s c h a u u n g s m ä ß i g e s , alogisches E l e m e n t bei der B i l d u n g der Grundlagen beteiligt bleibt. S c h o n b e i der E n t s t e h u n g des Zahlbegriffs ist es w i r k s a m ; es ist kein logisch prinzipieller U n t e r s c h i e d , w e n n die Griechen als A n s c h a u u n g s s u b ­ strat einfachste ebene F i g u r e n b e n u t z e n , a n der sie eine Streckenrechnung e n t w i c k e l t e n , w ä h r e n d wir h e u t e lieber m i t B u c h s t a b e n operieren; d e n n a u c h in der H a n d h a b u n g dieser Zeichen bleibt n o c h ein a n s c h a u ­ liches E l e m e n t i m Spiele. I n d i e s e m Sinne formuliert der Logiker E . Schroeder gelegentlich als A x i o m , d a ß die Zeichen, die wir auf Papier 4*

I. Gauß. schreiben, über N a c h t ungeändert s t e h e n bleiben ( „ A x i o m v o n der Inhärenz der Zeichen") ^)· D a s Ideal der „Strenge" hat geschichtlich nicht immer die gleiche B e d e u t u n g für die E n t w i c k l u n g unserer Wissenschaft g e h a b t , vielmehr je nach den Zeitverhältnissen eine recht verschiedene. I n Zeiten großer gewaltsamer Produktivität tritt es zugunsten des m ö g h c h s t reichen und raschen W a c h s t u m s oft in den Hintergrund, u m in einer darauf­ folgenden kritischen Periode, die die g e w o n n e n e n Schätze sichtet, u m so mehr wieder betont zu werden. Man denke nur an die E n t s t e h u n g s z e i t der Differential- und Integralrechnung i m 18. Jahrhundert, in der n e b e n vielem mangelhaft Begründeten auch m a n c h e s direkt Falsche durch die aufs lebhafteste angeregte P h a n t a s i e u n d E n t d e c k e r l u s t z u t a g e gefördert wurde, oder an die Erschaffung der Theorie der algebraischen K u r v e n i m 19. Jahrhundert. Als Gegenbild m ö c h t e ich an die Zeit der Scholastik erinnern, welche m i t geringer P r o d u k t i v i t ä t die äußerste Schärfe des kritischen u n d dialektischen Verstandes verband. Sehr zu Unrecht wird die Scholastik häufig als eine sich in unfruchtbaren Spitzfindigkeiten verlierende Geistesrichtung verächtlich beurteilt. Gerade unsere Zeit sollte diesem oberflächlichen Urteil nicht beistim­ men, das seine Ursache wohl in d e m uns befremdhchen m y s t i s c h ­ m e t a p h y s i s c h e n Hintergrund h a b e n m a g , der allen Schöpfungen dieser Epoche gemein ist. Entkleidet m a n die scholastischen Spekulationen dieses Gewandes, das sie d e m oberflächlichen Blick als rein theolo­ gische Spitzfindigkeiten erscheinen läßt, so erweisen sie sicli häufig als die korrektesten Ansätze dessen, w a s wir heute als „Mengenlehre" bezeichnen. W e n n e t w a die Frage aufgeworfen wird, ob Gott die u n e n d Uche W e l t in einer Stunde habe erschaffen können, so behandeln die darangeknüpften Überlegungen in der T a t nichts anderes als die D i n g e , auf die unsere heutigen Mathematiker e t w a durch das Problem der unendlichen Menge v o n P u n k t e n auf der Einheitsstrecke geführt werden. Tatsächlich ist denn auch G e o r g C a n t o r , der Schöpfer der Mengenlehre, bei den Scholastikern in die Schule gegangen. R ü c k ­ schauend müssen wir sagen, daß in wenigen Zeiten der Geist der Kritik, das Streben nach minutiöser Zerlegung jedes gedanklichen Schrittes, das „Ideal der Strenge" so lebendig gewesen ist als in der Zeit der Scholastik. Derselbe Gegensatz, den wir hier zwischen den verschiedenen wissen­ schaftlichen Perioden festgestellt haben, läßt sich auch an den einzelnen Forschertypen erkennen. E s gibt die kühnen Eroberer, die m i t stärkster Intuition, aber ungeordneten Begriffen arbeiten, die durch Instinkt und Anempfinden neue Schätze auffinden u n d z u t a g e fördern; u n d es gibt die sorgfältigen Ordner und Verwalter des Gewonnenen, die 1) E. S c h r o e d e r : Arithmetik und Algebra. Bd. 1, S. 16f. Leipzig 1873.

Kritische Leistunger

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jedes D i n g richtig einzuschätzen u n d a n seinen P l a t z zu stellen ver­ m ö g e n m i t der klaren, sicheren Kritik eines scharfen V e r s t a n d e s . D i e Vereinigung dieser beiden sich widersprechenden Gaben findet sich nur in ganz seltenen F ä l l e n ; m i t R e c h t erteilt die Geschichte ihnen eine einzigartige Stellung als Beherrscher u n d K ö n i g e ihres Ge­ bietes, erhaben über allen Streit der Meinungen u n d der Zeiten. D a ß zu diesen wenigen Auserwählten Gauß in vollem Maße zu rechnen ist, d a s m ö c h t e ich n u n a u c h n a c h Seite der kritischen B e g a b u n g dar­ legen. D o c h h a b e ich n o c h eine dritte allgemeine B e m e r k u n g voraus­ zuschicken. A u s der B e t r a c h t u n g der Geschichte unserer Wissenschaft ergibt sich n ä m l i c h , d a ß „ S t r e n g e " bei alledem e t w a s R e l a t i v e s ist, eine Forde­ rung, die sich m i t der fortschreitenden Wissenschaft erst e n t w i c k e l t . E s ist interessant zu b e o b a c h t e n , wie in einer auf Strenge g e r i c h t e t e n Periode die Zeitgenossen jedes Mal glauben, das M a x i m u m in dieser R i c h t u n g geleistet zu h a b e n , u n d w i e d a n n n o c h eine spätere Generation in ihren Forderungen u n d Leistungen über sie hinwegschreitet. So wurde E u k l i d überholt, so Gauß, so Weierstraß. E s scheinen der E n t ­ wicklung in dieser R i c h t u n g so w e n i g Grenzen g e s e t z t zu sein, w i e sie für die schöpferische Erfindungskraft existieren. D i e s e n l e t z t e n P u n k t m ö c h t e ich vor allem b e t o n e n , w e n n ich n u n v o n G a u ß ' Leistung auf d e m Gebiet kritischer D u r c h a r b e i t u n g spreche. Er s t e h t a u c h hier nicht u n v e r m i t t e l t einzigartig da, sondern als Glied m einer vor- u n d rückwärts fortgesetzten K e t t e , freilich als ein GHed v o n unvergleichlicher B e d e u t u n g . D a s a m E n d e des 18. Jahrhunderts deutlich wieder hervortretende Bedürfnis n a c h Strenge findet einen ersten Ausdruck in L e g e n d r e s ,Clements de Ia geometrie" 1794 u n d L a g r a n g e s „Theorie des fonc­ tions" 1797. B e i d e W e r k e befriedigen unser kritisches Bedürfnis v o n h e u t e n i c h t ; aber sie sind d o c h b e d e u t u n g s v o l l als erste Arbeitsversuche in der seit l a n g e m nicht mehr verfolgten R i c h t u n g . N u n tritt 1801 G a u ß hervor m i t den Disquisitiones Arithmeticae u n d entwickelt darin eine nicht mehr g e k a n n t e , strenge u n d lückenlose D u r c h f ü h r u n g des dargestellten Gebietes, die einen großen Fortschritt über seine Zeit­ genossen h i n a u s b e d e u t e t u n d i h m früh d e n Ruf der U n a n f e c h t b a r k e i t u n d Unübertrefflichkeit der M e t h o d e n verschafft. Dieser Ruf b e s t e h t durchaus zu R e c h t , s o w e i t er sich auf G a u ß ' eigentliche D e d u k t i o n e n bezieht. D i e s e s Gebiet möglichst a u s z u d e h n e n , das der V o r a u s s e t z i m g e n h i n g e g e n denkbar einzuschränken, liegt indessen n o c h nicht in s e i n e m Bedürfnis. I n den Disquisitiones A r i t h m e t i c a e ist der ganze K o m p l e x des n o r m a l e n R e c h n e n s m i t Zahlen u n d B u c h s t a b e n ohne U n t e r s u c h u n g vorausgesetzt. E i n e a x i o m a t i s c h e A n a l y s e dieser Grundlage fand n i c h t sein Interesse. Anders h i n g e g e n verhält sich G a u ß , w e n n es sich u m eine Erweiterung des g e w o h n t e n Arbeitsmaterials h a n d e l t . So verfährt

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I. Gauß.

er bei der Einführung des v^on seinen Zeitgenossen n o c h oft in seiner Berechtigung angezweifelten „ I m a g i n ä r e n " äußerst gewissenhaft. 1799 in semer Dissertation behandelt er das P r o b l e m , d a s u m 1800 viele Köpfe beschäftigte, noch unter vorsichtiger Verhüllung. Später aber tritt er mit seiner alle logischen B e d e n k e n überwindenden A n s i c h t deutlich hervor, besonders in der klassisch klaren Darlegung der Selbst­ anzeige zur zweiten Abhandlung über die biquadratischen R e s t e v o n 1831 (Bd. 2, S. 174—178). Hier vermeidet er geflissentlich alles, w a s d e m neuen Rechengebiet einen A n h a u c h v o n Mystik u n d P h a n t a s t e r e i verleihen könnte, vor allem in den B e z e i c h n u n g e n . Er prägt den Ausdruck ,,komplexe Zahl''; m i t seinem Vorschlag „direkte u n d inverse laterale Einheit" für „positive u n d n e g a t i v e imaginäre E i n h e i t " ist er leider nicht durchgedrungen. Durch seine geometrische D e u t u n g aber hat er das R e c h n e n in einer zweifachen Mannigfaltigkeit ein für alle­ mal aus der Sphäre mystischer P h a n t a s i e n in die klarer Vorstellungen gerückt. Ich m ö c h t e noch besondere Gebiete e t w a s eingehender b e t r a c h t e n , denen Gauß sein kritisches Interesse z u w a n d t e . D a ist vor allem der Fundamentalsatz der Algebra, dessen B e a r b e i t u n g er immer wieder in Angriff n a h m . E s existieren die drei B e w e i s e v o n 1799, 1815, 1816 (Bd. 3, S. 1, 31, 57). E i n späterer v o n 1849 ist nur eine genauere D u r c h ­ führung des ersten. D a n n k o m m t als wichtiges Gebiet der strengen Durchführung die K o n v e r g e n z der R e i h e n in B e t r a c h t . Gauß stellt die ersten allgemeinen R e g e l n für die K o n v e r g e n z v o n Potenzreihen auf in der Abhandlung über die hypergeometrische Reihe (Bd. 3 , S. 123ff., 139—143) 1812. Interessieren wird es in diesem Z u s a m m e n h a n g , d a ß e i n Gebiet Gauß' Aufmerksamkeit nicht auf sich zog, obwohl gerade hier der Mangel emer kritischen Durcharbeitung der Grundlagen d e n merkwürdigsten Produktionen des menschlichen Gehirns W a c h s e n u n d Gedeihen verstattete, nämlich die Differential- und Integralrechnung. D i e Aufgabe, hier Ordnung u n d Klarheit zu schaffen, b h e b Cauchy 1821 vorbehalten. V o n G a u ß werden diese Rechnungsarten selbst­ verständlich korrekt g e h a n d h a b t , d o c h äußert er sich nicht zur F r a g e ihres logischen Aufbaus. Wir wollen n u n die Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra etwas genauer betrachten. Gerade an ihnen läßt sich erkennen, ehierseits was Gauß über seine Vorgänger hinaus an Strenge der B e w e i s ­ führung leistete, andererseits, w a s die heutige Wissenschaft noch z u ergänzen findet. D a b e i m ö c h t e ich mich auf die beiden ersten B e w e i s e beschränken, da z u m dritten die Heranziehung komplizierterer Me­ thoden notwendig wäre. Der F u n d a m e n t a l s a t z der Algebra wurde v o n d ' A l e m b e r t auf­ gestellt u n d in einem gewissen Maase bewiesen in seinen „Recherches sur Ie calcul itUdgral", 1746, die er in den d a m a l s „Histoire de l'Academie

Fundamentalsatz der Algebra.

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d e Berlin" b e n a n n t e n A b h a n d l u n g e n veröffentlichte^). D i e Franzosen bezeichnen den Satz d a r u m n o c h h e u t e als „ t h e o r e m e de d'Alembert", u n d G a u ß n a n n t e seine Dissertation ,,demonstratio n o v a " , w o m i t er also keineswegs Anspruch erhob auf die Leistung, die i h m jetzt so häufig zugeschrieben wird: er h a b e „ d e n ersten strengen B e w e i s " dieses Satzes geschaffen. Freilich beginnt seine A b h a n d l u n g m i t einer eingehenden Kritik aller vorangegangenen B e w e i s a n s ä t z e . D a n n bringt Gauß seinen eigenen, n e u e n Gedankengang, der in moderner Sprache e t w a folgender­ m a ß e n darzustellen wäre. Er betrachtet die F i m k t i o n P + Qi = f{x

+

iy),

WO f {x + iy) = f {z) = Z^" + a^z""-^ + · ' ' + «n ist u n d untersucht den Verlauf der K u r v e n P = O u n d ρ = O in der (x + lyyEhene. Weit entfernt v o m N u l l p u n k t , d. h. für große absolute W e r t e v o n ζ = nähern sich diese K u r v e n a s y m p t o t i s c h denjenigen für z^ = 0, d. h. an cos ηφ = 0, sin ηφ = 0. D u r c h die beiden letzteren Glei­ c h u n g e n werden zwei in abwechselnder Lage befindliche Strahlen­ s y s t e m e durch den N u l l p u n k t dargestellt. A u s dieser Lage der A s y m ­ p t o t e n der g e s u c h t e n K u r v e n schließt Gauß auf die E x i s t e n z eines Kreuzungspunktes. V o m h e u t i g e n S t a n d p u n k t e w ü r d e n wir z u d i e s e m B e w e i s e t w a s a g e n : er ist i m Prinzip richtig, aber nicht vollständig. Gauß b e n u t z t dabei stillschweigend Eigenschaften der algebraischen K u r v e n , er w e n d e t den Begriff „ K u r v e " sozusagen harmlos an. D a ß eine „ K u r v e " nicht abbrechen könne, wird zwar ausgesprochen, aber nicht weiter unter­ sucht. Ferner werden die kombinatorischen MögHchkeiten, welche h i n ­ sichtlich der S c h n i t t e der verschiedenen K u r v e n ä s t e v o n P = O m i t d e n e n v o n Q = O b e s t e h e n , nicht g e n ü g e n d zergliedert. Vor allem aber werden die f u n d a m e n t a l e n Stetigkeitssätze d e s zweidimensionalen Ge­ b i e t e s als selbstverständlich angesehen, z. B . d a ß zwei K u r v e n , die sich überkreuzen, sich irgendwo schneiden. D e r zweite Beweis ist sehr viel einfacher hinsichtlich der a n g e w e n ­ d e t e n Mittel. E r b e w e g t sich ganz i m Gebiete d e s eindimensionalen Kontinuums. D e n Satz, d a ß eine Gleichung φ = 0 v o n u n g e r a d e m Grade sicher eine reelle Wurzel h a t , betrachtet Gauß als selbstverständlich. Er m a c h t nun folgenden genialen A n s a t z : A u s ' d e r Gleichung f (z) = O v o m Grade n, w o η den F a k t o r 2 einmal e n t h a l t e n m ö g e , läßt sich eine ganze F u n k t i o n einer n e u e n Veränderlichen u, die R e s u l t a n t e v o n P {z, u) = f{z+u)

+ f(z — u) nnd Q(Z, U) = fJ?±J!tzM^

herstellen, deren

1) Schon früher wurde dieser Satz behauptet von A l b e r t G i r a r d i n seinem Werke „Invention nouvelle en ralg^bre", Amsterdam 1629 (Neudruck von Bierens de Haan, Leiden 1884).

I. Gauß.

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Koeffizienten durch rationale Rechenoperationen aus denen v o n f {z) gefunden werden können und die den Grad n{n--\) hat, aber als eine Funktion F(u^)

von

des Grades

aufgefaßt

werden

kann. D a n n kann man, o h n e die E x i s t e n z der Wurzeln ζ^,ζ^, . . der Gleichung schwinden P{z,u)

f(z) = O vorauszusetzen,

v o n F (u^) notwendig

= 0 und Q{z,u)

und

nachweisen, hinreichend

= 0 eine g e m e i n s a m e

daß das dafür

.,z^ Ver­

ist,

daß

Wurzel h a b e n .

Da

F («2) in «2 ungeraden Grad hat, besitzt F (u^) = O eine Wurzel h, so daß also P{zjli)

= 0 und Q{z,\h)

O eine g e m e i n s a m e Wurzel

Z = g besitzen, woraus die E x i s t e n z v o n Wurzeln v o n f(z) = O folgt, nämlich g ±

)h.

E s kann nun g aus \h und den Koeffizienten v o n f

wieder rein formal durch rationale R e c h n u n g e n (größter gemeinschaft­ licher Teiler) erschlossen werden. Enthält η den F a k t o r 2 zweimal, so besitzt ihn ^ ^^-^ nur noch einmal; F gehört also zu den eben erledigten Fällen, und der­ selbe Schluß kann angewendet werden. In dieser Weise schreitet der Beweis zu beliebigen η fort nach dem Prinzip der vollständigen Induktion. Zu diesem glänzenden B e w e i s hat die heutige Theorie nur z u m ersten Schritt eine Ergänzung zu m a c h e n , zu der B e h a u p t u n g , daß f=-0 eine reelle Wurzel habe, wenn η ungerade ist. D a ß f den W e r t O passiere, w e n n es bei gleichmäßig w a c h s e n d e m ζ v o n positiven zu nega­ tiven Werten übergehe (oder umgekehrt), war für Gauß selbstverständ lieh. Wir fühlen heute das Bedürfnis, diesen Schluß zu zerghedern und stoßen dabei auf den grundlegend wichtigen Begriff der Stetigkeit. Wir würden also s a g e n : es fehlt erstens eine exphzite Theorie der reellen Zahlen, deren Vollständigkeit nach d e m Prinzip des D e d e kindschen Schnittes hergestellt wird; zweitens der S a t z : n i m m t eine stetige Funktion f {z) W e r t e verschiedenen Zeichens an, so passiert sie zwischendurch den Wert 0 ; drittens der B e w e i s , daß die in Frage k o m ­ mende Funktion f(z) stetig ist. Diese P u n k t e wurden erst I 8 I 7 durch die Schrift v o n B . B o l z a n o ,,Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je z w e y W e r t h e n , die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, w e n i g s t e n s eine reelle Wurzel der Gleichung liege" (Prag, = Ostw. Klass. 153) erledigt, der damit auch über die späteren E n t w i c k l u n g e n v o n Cauchy h i n a u s ­ gegangen ist. Bolzano ist einer der Väter der eigentlichen „Arithmetisierung" unserer Wissenschaft. Er war kathohscher Geisthcher und Religionsphilosoph, und es ist mir darum nicht zweifel­ haft, daß er die Anregung zu seinen Untersuchungen aus scholastischen Traditionen geschöpft hat. Übrigens existierte dieser Stetigkeitssatz in aller Klarheit schon bei dem Griechen E u d o x u s ! W e n n m a n damit ver-

Fundamentalsatz der Algebra. Nichteuklidische Geometrie.

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gleicht, d a ß 1810 der Franzose Lacroix in harmloser Selbstzufriedenheit erklärte!): „Solche Spitzfindigkeiten, m i t denen sich die Griechen q u ä l t e n , brauchen wir l e t z t nicht mehr", so h a t m a n eine recht lebendige Illu­ stration dessen, was oben v o n d e m Charakter der verschiedenen m a t h e ­ m a t i s c h e n Zeitalter gesagt wurde. Ich w e n d e mich n u n zu d e m Gebiete, das in diesem Z u s a m m e n h a n g als das b e d e u t u n g s v o l l s t e zu gelten h a t , zu G a u ß ' Arbeiten über die Grundlagen der Geometrie. Über diesen G e g e n s t a n d ließe sich seines Interesses u n d seiner A u s d e h n u n g wegen sehr viel sagen, doch m ö c h t e ich für eingehenderes S t u d i u m auf die Enzyklopädieartikel v o n Enri­ ques u n d Zacharias ( I I I A B 1 u n d A B 9) hinweisen. Gauß h a t v o n allen seinen diesbezüglichen Arbeiten nichts veröffentHcht. N u r durch persönliche B e m e r k u n g e n u n d Briefe wurde allmählich, oft in entstellter F o r m , gerüchtweise b e k a n n t , G a u ß sei bei Beschäftigung m i t der Theorie der Parallelen auf eine neue, h ö c h s t paradoxe Geometrie gestoßen. I m m e r h i n verbreitete sich diese B e ­ h a u p t u n g weit genug, u m in der folgenden Zeit alle, die sich irgendwie m i t ähnlichen Gedanken trugen, sich u m Gauß s a m m e l n z u lassen. Hier tritt n u n schlagend eines der merkwürdigsten Gesetze der Mensch­ heitsgeschichte z u t a g e , d a ß n ä m l i c h offenbar nicht nur der Einzelne Schöpfer eines neuen Gedankens ist, sondern d a ß sozusagen die Zeit selbst die großen G e d a n k e n u n d Probleme in sich birgt, u n d sie in der Reifestunde den genial b e g a b t e n K ö p f e n selbst darbietet, i a aufzwingt. So tritt auch hier plötzlich, fast gleichzeitig an verschiedenen, gänzlich u n a b h ä n g i g e n Stellen der u m w ä l z e n d e Gedanke der nichteuklidischen Geometrie zutage, der während vieler t a u s e n d Jahre keines Menschen Hirn beunruhigt h a t t e . - - So weit wir aber auch in die Geschichte der E i n z e l e n t d e c k u n g e n eindringen, es stellt sich heraus, d a ß G a u ß in i e d e m P u n k t e allen anderen u m einige Jahre voraus war. A b g e s e h e n von dieser Priorität, die i a durch sein Schweigen nicht zur W i r k u n g k a m , h a t aber G a u ß das größte Verdienst u m die nichteuklidische Geometrie durch das Gewicht seiner Autorität, durch die er dieser sogleich schwer angefochtenen Geistesschöpfung zu allgemeiner B e ­ a c h t u n g u n d schließlich z u m Siege verhalf. Der erste öffentliche H i n w e i s auf Gauß' geometrische N e u s c h ö p f u n g findet sich in der Schrift v o n S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n : Gauß zum Gedächtnis, 1856 (die hierauf bezügliche Stelle ist wieder a b ­ gedruckt in Gauß' W e r k e B d . 8, S. 267). V o n 1862 an b e g i n n t d a n n die Veröffentlichung des in dieser H i n s i c h t reichhaltigen Briefwechsels m i t Schumacher. Ganz klar aber k o n n t e der U m f a n g u n d die Tiefe dieser Seite Gaußschen Schaffens erst durch die Veröffentlichung des Nach^ 1) L a c r o i x , P . : Traite du Calcul Differentiel et du Calcul Integral, 2. öd., t I. Pröface p. I L -

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I. Gauß.

lasses werden, wie er 1900 v o n Stäckel in B d . 8 der Werke heraus­ gegeben wurde. D a n a c h läßt sich die E n t w i c k l u n g e t w a folgendermaßen skizzieren: Von 1792 an beschäftigte sich Gauß, wie alle seine Zeitgenossen, mit vergebhchen Versuchen, das Parallelentheorem aus d e n gegebenen A x i o m e n zu b e w e i s e n . Er widerlegt alle i h m v o n anderen zugesandten „Beweise", so e t w a in den Briefen an Bolyai, den älteren, v o n 1799 u n d 1804 (Bd. 8, S. 159,160). W ä h r e n d der Auf deckung all dieser Trugschlüsse wendet er seine Gedanken mehr u n d mehr z u der positiven Schöpfung einer nichteuklidischen Geometrie. Er k a n n darin keinen Wider­ spruch finden. In einem Brief an Schumacher 1808 (S. 165) deutet er an, daß aus einer solchen nichteukhdischen A n n a h m e die E x i s t e n z einer absoluten Längeneinheit im R ä u m e folgen würde. E s beschäf­ tigen ihn Skrupel, o b eine solche A n n a h m e auch vernünftig sei. 1816 aber steht er bereits auf viel festerem B o d e n , wie ein Brief an Gerling (S. 168) u n d vielleicht noch viel deutlicher die einleitenden W o r t e eines Referates in den Göttinger gelehrten Anzeigen 1816 (Werke, B d . 8, S. 170, 171) zeigen. E r spricht dort geradezu v o n einer „Lücke, die m a n nicht ausfüllen k a n n " . Gauß faßte seine nicht euklidische Geometrie durchaus nicht i m nominahstischen Sinne als ein bloßes Gedankenspiel auf; auch die pragmatistische Auffassung, die in der euklidischen Geometrie zwar keine absolute Wahrheit sieht, aber doch eine für alle unsere Verhältnisse, auch die astronomischen, längst genügende Annäherung lag i h m fern. Er s t a n d vielmehr auf einem rein empiristischen S t a n d p u n k t . Für ihn existierte der R a u m außerhalb v o n uns u n d h a t t e seine eigenen festen Eigenschaften, die es zu erforschen galt. D i e Frage, welche Geo­ metrie die „in Wirklichkeit'' existierende, also die richtige sei, sollte durch das E x p e r i m e n t entschieden werden. Ä h n h c h äußert sich Gauß 1817 an Olbers (S. 177). Hier räumt er allein der A r i t h m e t i k eine Wahrheit a priori ein, w ä h r e n d er die Geometrie als eine Erfah­ rungswissenschaft mit der Mechanik auf gleiche Stufe stellt. Sehr b e d e u t ­ s a m ist eine nun folgende (S. 178) Korrespondenz mit Gerling, 1818. Dieser h a t t e Gauß einen kurzen Zettel eines gewissen S c h w e i k a r t z u g e h e n l a s s e n , eines Juristen, 1812—16 in Charkow, später in Marburg, zuletzt in Königsberg, der eine neue Geometrie, „Astralgeometrie" entdeckt z u h a b e n behauptete. Tatsächlich handelte es sich u m Gauß' nichteuklidische Geometrie, wie Gauß mit großer Freude b e s t ä t i g t . A u c h Schweikart h a t t e die überraschende Folgerung einer i m R a u m existierenden absoluten Längeneinheit gezogen. Als Illustration dieser Verhältnisse fügt er die seltsame B e m e r k u n g h i n z u : w e n n diese Länge für ims gleich d e m Erdradius wäre, so würde die Verbindungslinie zweier Sterne, die v o m E r d m i t t e l p u n k t gesehen unter 90® erschienen, die Erde gerade tangieren. Offenbar wollte Schweikart durch diese

Nichteuklidische Geometrie. B e m e r k u n g eine Anregung geben, in welcher Weise e t w a die Frage nach der W a h r h e i t der verschiedenen Geometrien empirisch zu entscheiden sei. E r bringt dabei eine Figur, die der v o n Gauß in s e i n e m Nachlasse v e r w e n d e t e n sehr ähnlich ist. D i e Längeneinheit e soll durch das L o t auf die Seite eines — wie wir h e u t e i m B e s i t z der projektiven Maß­ b e s t i m m u n g sagen — d e m zugrunde gelegten Kreise einbeschriebenen Quadrates gegeben sein (vgl. Fig. 3). G a u ß äußerte sich sehr anerkennend über die Schweikartschen Ideen, w a r n t aber vor der VeröffentHchung. Der Grund für Gauß' absolutes Schweigen in dieser A n g e l e g e n h e i t war seine gänzliche Hoff­ nungslosigkeit, b e i m P u b l i k u m irgendwelches Verständnis für eine so p a r a d o x aussehende Sache z u finden. E r warnt wiederholt vor den „ W e s p e n " , die d e m u m die Ohren fliegen werden, der e t w a s Derartiges zu äußern w a g e , oder vor d e m „Geschrei der B ö o t i e r " (S. 179, 181, 200). A u c h in einem Brief an T a u r i n u s , 1824 (S. 186), in d e m er m a n c h e Einzelheit m i t t e i l t , b i t t e t er sich strengste G e h e i m h a l t u n g aus. U m so größere Freude bereitete es i h m , w e n n er v o n e i n e m b e w e g ­ lichen Geiste verstanden wurde. E i n e n Beleg dafür g i b t der Brief­ wechsel m i t Bessel 1829 (S. 2 0 0 — 2 0 1 ) , der sich sofort auf den praktischen S t a n d p u n k t stellte, s o w e i t es die Figuren auf der Erde angeht. Indessen rückte unabweislich die Zeit heran, in der das Geheimnis durch den Mund jüngerer selbständiger E n t d e c k e r laut wurde. 1832 erschienen die R e s u l t a t e J o h . B o l y a i s d e s J ü n g e r e n , heraus­ g e g e b e n als A p p e n d i x z u m W e r k e seines Vaters. In einem Briefe an den Vater (S. 220) äußert sich Gauß in T ö n e n höchster Anerkennung u n d g r ö ß t e n E r s t a u n e n s über die Arbeiten des jungen Mannes, die seine g e h e i m s t e n E n t d e c k u n g e n offenbarten. Leider g l a u b t e der junge Bolyai, ein leidenschaftlicher, zerrissener Mensch, der auch in seiner Offizierskarriere viel S t ü r m e erlebte u n d anrichtete, den w o h l w o l l e n d e n W o r t e n des großen Mannes nicht. Offenbar kränkte es ihn, d a ß G a u ß vor i h m u n d u n a b h ä n g i g v o n i h m seine Gedanken besessen h a b e n wollte. Er verbitterte sich völlig g e g e n G a u ß ; ja, er ging sogar so w e i t , die n u n b a l d hervortretenden Arbeiten v o n J . o b a t s c h e f f s k y für eine F i n t e v o n Gauß zu erklären, nur i h m z u m Tort an die Öffentlichkeit gebracht. Lobatscheffsky, der russischer Staatsrat in K a s a n war, trat e t w a 1841 in Gauß' Gesichtskreis, der m i t Eifer u n d F r e u d e v o n seinen 1829 erschienenen PubUkationen K e n n t n i s n a h m (S. 232). D a m i t m ö c h t e ich den kurzen Ü b e r b h c k über d e n in B d . 8 veröffentUchten N a c h l a ß abschließen. F ü r jeden, der Interesse an d e m G e g e n s t a n d h a t , sind die hier a b g e d r u c k t e n Schriftstücke höchst lesenswert. E i n e ausführliche B e a r b e i t u n g h a b e n sie in den Mono-

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I. Gauß.

graphien gefunden, die als wissenschaftliche Gauß-Biographien in den letzten Bänden der Werke veröffentlicht sind (Bd. 10, 2, Abh. IV, S t ä c k e l : G a u ß als Geometer). Wir haben nun das ungeheuere Gebiet v o n Gauß' Arbeiten einiger­ maßen durchwandert und können versuchen, uns seine B e d e u t u n g zusammenfassend vor Augen zu stellen. Schon seine Zeitgenossen fühlten das Überragende dieses Genius, wie es kurz u n d schlagend die Inschrift andeutet, die sein König auf der 1855 geprägten Gauß-Medaille anbringen ließ: Mathematicomm princeps. H ä t t e n seine Zeitgenossen gar Einblick in Gauß' unveröffentlichte Produktion gehabt, wie sie uns jetzt durch den Nachlaß zugänghch geworden ist, so h ä t t e n sie vielleicht zu noch höheren Ausdrücken gegriffen. Wenn wir uns nun fragen, worin eigentlich das UngewöhnUche, Einzigartige dieser Geisteskraft liegt, so m u ß die A n t w o r t l a u t e n : es ist die Verbindung der größten Einzelleistung in jedem ergriffenen Gebiet mit größter Vielseitigkeit; es ist das v o l l k o m m e n e Gleichgewicht zwischen mathematischer Erfindungskraft, Strenge der Durchführung und praktischem Sinn für die A n w e n d u n g bis zur sorgfältig ausge­ führten Beobachtung u n d Messung einschließlich; u n d endlich, es ist die Darbietung des großen selbstgeschaffenen R e i c h t u m s in der vollen­ detsten Form. Sehen wir uns nach etwa vergleichbaren Heroen unserer Wissenschaft um, so können nur zwei Vorläufer v o n Gauß als v o n der N a t u r mit gleichen Segnungen ausgestattet in Betracht k o m m e n : A r c h i m e d e s und N e w t o n . Mit beiden hat auch Gauß die ungewöhnlich lange Lebensdauer gemein, die eine volle Auswirkung der Persönhchkeit möglich machte. Die Vielseitigkeit in der W a h l der Arbeitsgebiete allein m a c h t diese Größe noch nicht aus. Dafür m ö c h t e ich ein merkwürdiges Beispiel anführen, indem ich neben Gauß den 25 Jahre älteren Mathematiker L e g e n d r e stelle, der wie durch einen sonderbaren Zwang geleitet, auf fast allen Gebieten über dieselben Gegenstände wie Gauß gearbeitet hat. Aber so anerkennungswert auch seine Leistungen sein m ö g e n , so ist er doch nirgends so in die Tiefe gedrungen, wie Gauß bei jedem Problem, das er angriff. Ein Überblick der Gebiete wird diese merk­ würdige Übereinstimmung und Verschiedenheit lehren: Zahlentheorie: 1798 erscheint Legendres Lehrbuch: Essai d' une Theorie des nombres, in der u. a. auch die Theorie der quadratischen Formen behandelt wird. 1801 wird es durch Gauß' Disquisitiones Arithmeticae überholt. Analysis: Von 1786 ab beschäftigte sich Legendre mit den ellip­ tischen Integralen jR{z,\f, (z))dz. ET schafft die Einteilung in I n t e ­ grale erster, zweiter und dritter G a t t u n g und berechnet, v o n ähnlichem

Allgemeinwurdigung.

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Zahleninteresse u n d ähnlicher R e c h e n b e g a b u n g wie G a u ß , ausführliche Tafeln für

Tj^

·

u n d -energie

erfüllt

D e n Gedanken, die u m ­

gekehrte F u n k t i o n zu betrachten u n d damit den Schlüssel zur Theorie der elliptischen F u n k t i o n e n ergreift er jedoch nicht. A u c h über Eulersche Integrale arbeitet Legendre v o n 1793 an. E r berechnet Tafeln für Γ (P) g e n a u entsprechend den Gaußschen in der Theorie der h y p e r ­ geometrischen Reihe v o n 1812. Geometrie: Legendre m a c h t den ersten Versuch, ein streng auf­ g e b a u t e s Elementarlehrbuch zu verfassen. E s ist die ElemeQtargeometrie v o n 1794, die s e i t d e m unzählige Neuauflagen erlebte u n d eine b e d e u t e n d e Rolle in der Geschichte des m a t h e m a t i s c h e n Unterrichts gespielt h a t . A u c h er beschäftigt sich unausgesetzt m i t der Theorie der Parallelen, doch beharrt er bis zu seinem E n d e bei den vergeblichen Versuchen, einen B e w e i s zu finden. Geodäsie: 1792 wird eine g e n a u e Gradmessung v o n Dünkirchen bis Barcelona in die W e g e geleitet, an der Legendre theoretisch u n d prak­ tisch aufs eifrigste beteiligt ist. Er hat große Verdienste u m diese erste zuverlässige Gradmessung, die als Grundlage des E i n h e i t s l ä n g e n ­ m a ß e s , des Meters, u n d für die theoretische A u s g e s t a l t u n g des Ver­ m e s s u n g s w e s e n s überhaupt v o n großer B e d e u t u n g war. D i e Anregungen aus dieser Arbeit führten ihn zu wichtigen Sätzen der sphärischen Trigonometrie. Aber Gauß' tiefster Gedanke, der ihn in Verbindung m i t derartiger Tätigkeit beschäftigte, die Frage der nichteuklidischen Geometrie, blieb Legendre w i e d e r u m versagt. E r w ä h n t sei noch, d a ß Legendre stark beteiligt war bei der d a m a l s v e r s u c h t e n , leider nicht durchgedrungenen Einführung der „ N e u g r a d e " , i. e. eines dezimalen W i n k e l e i n t e i l u n g s s y s t e m s , für das er ausführliche trigonometrische Tafeln berechnete. A s t r o n o m i e : Legendre beschäftigte sich 1805 m i t der A t t r a k t i o n der Ellipsoide, er findet u n d veröffentlicht auch die Methode der kleinsten Quadrate, auch hier also ein unmittelbares Zusammentreffen m i t Gauß. Schließlich: P h y s i k : Auf diesem Gebiete h a t Legendre keine Leistung aufzu­ weisen, die der Gaußschen Theorie des E r d m a g n e t i s m u s an die Seite zu stellen wäre. Vielleicht kann m a n aber doch die Theorie der K u g e l ­ funktionen eines A r g u m e n t e s , der sog. Legendreschen P o l y n o m e , die er schon seit 1785 b e s a ß u n d in der A b h a n d l u n g v o n der A t t r a k t i o n der Ellipsoide v e r w e n d e t e , zur theoretischen P h y s i k rechnen. A u c h hier ist Gauß durch die Erschaffung der Potentialtheorie über ihn hinausgeschritten. (Die K u g e l f u n k t i o n e n zweier A r g u m e n t e h a t t e inzwischen Laplace gefunden.) Dieser Vergleich, der nicht d a z u b e s t i m m t ist, das Rätsel der Gauß­ schen B e g a b u n g zu erklären, sondern es nur in seiner g a n z e n Unbegreif-

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I. Gauß.

Hchkeit noch deutUcher herausstellen soll, ist aber auch in anderer Beziehung lehrreich. E r zeigt nämUch, daß die M a t h e m a t i k nicht in dem Maße die subjektive Wissenschaft ist, die ihre E n t w i c k l u n g der zufäUigen, willkürlichen Einwirkung der in ihr schöpferischen Männer verdankt, wie es v o n mancher Seite b e h a u p t e t wird. D i e Gegenstände der Forschung scheinen vielmehr weitgehendst durch den Charakter der Epoche nach irgend einer inneren Folgerichtigkeit g e g e b e n zu sein. Diese Ansicht wird bestätigt durch das eigentümliche Geschick, das den im Nachlaß vorgefundenen Gaußschen E n t d e c k u n g e n durch die Weiterentwicklung der Wissenschaft zuteil wurde. F a s t alle sind früher oder später v o n anderen Forschern unabhängig aufgefunden worden. Sollten sich unter den uns jetzt noch unverständlichen Aufzeichnungen noch neue wissenschaftliche E n t d e c k u n g e n befinden, so dürfen wir getrost erwarten, daß das W a c h s t u m unserer Wissenschaft sie a n anderer Stelle z u m zweiten Male ans Licht treten lassen u n d uns auch diese Gaußschen A n d e u t u n g e n verstehen lehren wird. D a s Werk des Genius scheint es zu sein, die natürUche Weiterentwicklung, u m ein g u t Stück dem Bewußtsein der Zeitgenossen vorauseilend, vorzuahnen, u n d eben dadurch eine entscheidende W e n d u n g u n d eine gesteigerte P r o d u k t i o n in neuem, früher nicht g e k a n n t e m Geiste herbeizuführen. A n i h m scheiden sich die geschichtHchen E p o c h e n , er ist die höchste Ausbil­ dung der vergangenen, die er abschließt, zugleich das F u n d a m e n t der neuen, die er noch weit — durchgreifender u n d wirksamer als es viel­ leicht im Bewußtsein der Zeit lebendig ist — m i t seinen letzten A u s ­ strahlungen durchsetzt; w e n n es mir g e s t a t t e t ist, ein Gleichnis zu brauchen: Gauß erscheint mir wie die Zugspitze i m Gesamtbild unserer bayrischen Berge, wie es sich d e m Beschauer v o n N o r d e n her darbietet. Die allmählich v o n Osten her ansteigenden K u p p e n gipfeln in d e m einen riesigen Koloß, der steil abfällt in die Niederungen einer n e u e n F o r ­ mation, in die seine Ausläufer noch auf viele Meilen w e i t hineinragen u n d in denen die v o n i h m abströmenden Wasser neues Leben erzeugen. Ich möchte mich n u n v o n Gauß a b w e n d e n u n d beginne mit einer Begrenzung, die selbst dieser umfassende Geist sich gefallen lassen m u ß . Sie liegt in der Bezeichnung, die wir i h m schon früher zuteil werden ließen: T y p u s des 18. Jahrhunderts. E s fehlen Gauß gerade die E i g e n ­ schaften, die wir nun i m folgenden Kapitel hervorzukehren h a b e n werden: die gesteigerte Lehrtätigkeit vor großem PubUkum, das H e r a n ­ ziehen einer richtunggebenden Schule, der lebhafte Verkehr m i t d e n Gelehrten aller Länder, die den modernen Forschertypus kennzeichnen. E s fehlen schHeßlich d e n n doch auch einige Wissenschaftsgebiete, die bald zur Geltung gelangen, so e t w a die projektive Geometrie. Diese D i n g e treten n u n gerade in glänzender Weise bei demjenigen Kreise v o n Mathematikern hervor, d e m wir jetzt unsere Aufmerksamkeit zuwenden.

Organisation der Schule.

Zweites

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Kapitel.

Frankreich u n d die E c o l e P o l y t e c h n i q u e in d e n ersten Jahrzehnten des 19. J a h r h u n d e r t s . U m die ferneren D a r l e g u n g e n verständlich z u m a c h e n , wird es nötig sein, einiges über das W e s e n u n d die Organisation der ^cole Poly­ technique in Paris zu sagen. I c h h a l t e m i c h dabei an den Grundplan der Schule, ohne die vielfachen Einzelveränderungen seit der Zeit ihres B e s t e h e n s zu berücksichtigen. Man d e n k t sich unter der ß c o l e P o l y t e c h n i q u e häufig ein A n a l o g o n oder auch das U r b ü d unserer technischen H o c h s c h u l e n . W e n n sich auch ein sehr bedeutender Einfluß aus dieser R i c h t u n g auf unsere Ver­ hältnisse n i c h t leugnen läßt, so ist eine solche Gleichsetzung doch nur in b e s c h r ä n k t e m Maße richtig. Insbesondere ist bei u n s die mihtärische Seite der Ausbildung, die an der E c o l e P o l y t e c h n i q u e eine sehr große Rolle spielt, völlig zurückgetreten. Zur Erläuterung m ö c h t e ich das S c h e m a des französischen Unterrichts in unseren F ä c h e r n hier anführen. D i e Grundlage der Schulbildung ist gegeben durch die „höhere Schule'', die bis z u m A b s c h l u ß unserer Unterprima führt. Daran schließt sich als eine Art Selekta die „ M a t h e m a t i q u e s speciales'', eine Lehr­ anstalt m i t außerordenthch starker Vertretimg des m a t h e m a t i s c h e n Unterrichts — bis zu 16 S t u n d e n w ö c h e n t l i c h — , in der die elementare analytische Geometrie u n d Mechanik, neuerdings auch die elementare Infinitesimalrechnung völlig erledigt u n d durch viele Ü b u n g e n z u m sicher beherrschten Werkzeug des Schülers g e m a c h t werden. Wir besitzen schlechterdings keine Unterrichtseinrichtung, die diesem Schulg e b ü d e vergleichbar wäre. E s folgt n u n ein sehr strenges A u f n a h m e ­ e x a m e n , das nach e i n e m rein statistischen Verfahren (nach A n z a h l der geleisteten „ P u n k t e " , deren ideelle H ö c h s t z a h l 2 0 0 0 b e t r ä g t ; bis jetzt wurde seit B e s t a n d der Schule einmal der R e k o r d v o n 1875 P u n k t e n erreicht, u n d zwar durch H a d a m a r d ! ) aus großem Andrang die 150 zur ß c o l e P o l y t e c h n i q u e zugelassenen K a n d i d a t e n auswählt. D i e E c o l e P o l y t e c h n i q u e umfaßt zwei Jahre u n d bUdet den ein­ zigen Zugang zu d e n höheren technischen S t a a t s ä m t e m , zu denen der Ingenieur in weiteren zwei Jahren in einer der verschiedenen F a c h ­ schulen vorgebüdet wird. V o n diesen F a c h s c h u l e n m ö c h t e ich hier n e n n e n : die „ißcoledes Ponts et Chaussdes", die „Mines", das militärische „Genie" u n d die „Artillerie". Sie sind in R a n g u n d A n s e h e n unterschieden in der angegebenen Reihenfolge u n d s t e h e n d e m A b s o l v e n t e n der E c o l e P o l y t e c h n i q u e nicht frei zur W a h l offen; vielmehr ist die W a h l n a c h der Güte des Abgangszeugnisses beschränkt, so n ä m h c h , d a ß d e m I n -

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II. Ecole Polytechnique.

haber des besten alle Schulen zugänglich sind, einem geringeren etwa nur die von „Genie" abwärts. Abgesehen v o n den Polytechniciens werden übrigens die Fachschulen von einer großen Zahl Privatinge­ nieuren während eines vierfährigen Kursus besucht. D o c h genießen diese, für die Staatskarriere nicht in Betracht k o m m e n d e n S t u d e n t e n nicht das Ansehen und die Vorrechte der Polytechniciens, die als angestellte Staatsbeamte bereits Gehalt beziehen. Schon in der E c o l e Polytechnique gelten die Schüler, die Anwärter auf alle hohen B e a m t e n ­ stellen, als B e a m t e d e s Staates, wenn auch an Stelle des bei der Grün­ dung ausgesetzten Gehalts i m Gegenteil ein v o m Schüler zu entrich­ tendes Honorar getreten ist. Die streng mihtärische Ordnung des Internates — die Schüler tragen Uniform — d e u t e t auch äußerUch auf die ganz eigentümliche Stellung dieser lediglich auf S t a a t s - und Kriegs­ interessen zugeschnittenen Schule. An deutschen Verhältnissen g e m e s s e n , läßt sich der Stand der Polytechniciens nach seiner gesellschaftlichen Stellung, seiner Vorbildungsorganisation und seinem staatlichen E i n ­ fluß vielleicht noch a m ehesten mit unserem Juristenstand vergleichen. Der eigentümUche, uns gänzHch fremde T y p dieser Schule läßt sich natürlich nur aus der geschichtlichen E n t w i c k l u n g begreifen. Eine glänzende Darstellung dieser Verhältnisse gibt J a c o b i in einem Vortrag über die ficole Polytechnique, gehalten 1835 vor der physikalisch­ ökonomischen Gesellschaft in Königsberg (in B d . 7 seiner Werke, S. 355). Die Schule wurde gegründet in der ärgsten Revolutionszeit, als die Auflösung aller Bildungsstätten, der fortwährende Verlust an jungen, kräftigen, z u m Kriegsberuf vorgebildeten Männern eine E r g ä n z u n g eben in dieser Hinsicht dringend forderte. D i e s e m Ursprung verdankt die Schule ihren miUtärischen Zuschnitt, ihre enge F ü h l u n g m i t den B e ­ dürfnissen des Staates, Dinge, die selbstverständlich auf den Unter­ richt und den Geist der Anstalt von dauerndem großem Einfluß sein mußten. D i e Schule war dazu da, die Offiziere für das R e v o l u t i o n s h e e r und später für Napoleons Armee heranzubilden. Nur durch B e t o n u n g dieses Zweckes und auf Grund eines streng republikanischen Patriotis­ mus, der theoretisch nicht einmal den Vorrang des Talentes anerkannte, war es 1794 möglich, die Erlaubnis zur Gründung der Schule zu erhalten, die sich nun, eben durch ihre militärische Tendenz, durch alle Stürme der wechselnden Verfassung hindurch a m Leben erhielt; ganz zu schweigen v o n den materiellen Schwierigkeiten in einer Zeit, w o Geld wertlos war u n d nur in Naturalien Subsidien geschafft werden k o n n t e n . Trotz der enormen kriegerischen Ansprüche, die Lehrer- u n d Schüler­ material verschlangen, N o t e x a m i n a , abgekürzte Ausbildung usw. zur gewohnten Erscheinung m a c h t e n — Napoleon gebot schließlich E i n ­ halt mit d e m Ausspruch: man dürfe nicht die Henne schlachten, die i h m die goldenen Eier lege wuchs die Schule unablässig an A u s -

Organisation der Schule.

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d e h n u n g u n d B e d e u t u n g , u n d e n t w i c k e l t e sich zu e i n e m der w i c h t i g s t e n Geistesfaktoren des 19. Jahrhunderts. Sieht m a n sich n a c h d e n Männern u m , die dieses gewaltige S t ü c k Arbeit schufen, so ist a n erster Stelle der Geometer u n d V e r w a l t u n g s ­ m a n n M o n g e ( 1 7 4 6 ^ 1 8 1 8 ) z u n e n n e n , der bis z u seinem T o d e die eigentliche Antriebskraft d e s großen W e r k e s war. D u r c h ihn, der schon vor seiner Pariser Zeit a n der MiKtärschule z u Mezidres d e n Unterricht i n der darstellenden Geometrie m e t h o d i s c h durchgebildet h a t t e , wurde der I m p u l s zur W e i t e r e n t w i c k l u n g einer modernen, auf die WirkHchkeit g e r i c h t e t e n Geometrie i n eine zahlreiche, aufstrebende Zuhörerschaft getragen. Seine wissenschaftliche W i r k u n g g e h t w e i t über die Grenzen seiner Schule u n d seines Vaterlandes hinaus u n d g i b t den A n s t o ß z u der b a l d einsetzenden E n t w i c k l u n g der Geometrie a u c h in D e u t s c h l a n d . Selbst ich b i n durch m e i n e n Lehrer Plücker n o c h in Monges Traditionen aufgewachsen. D e m wissenschaftlichen u n d pädagogischen W i r k e n Monges h ä l t aber sein V e r w a l t u n g s - u n d Organisationsinteresse durchaus die W a g e . W i e d e r h o l t war er m i t w i c h t i g e n S t a a t s ä m t e m betraut, u n d a u c h unter N a p o l e o n s R e g i m e , dessen Vertrauen er g e n o ß , behielt er seine Öffentliche T ä t i g k e i t . F ü r eine Zeit h a t t e er d e n P o s t e n des Marmeministers inne, er beteiligt sich a n der ä g y p t i s c h e n E x p e d i t i o n , d a n n wieder leitet er eine umfangreiche Pulverfabrikation in die W e g e . W i r sehen, d a m a l s war der Mathematiker u n d Ingenieur der Mann des T a g e s , w i e es jetzt bei u n s nur e t w a der Jurist sein k a n n . Der Charakter einer Schule, in der ein solcher Mann d e n entschei­ d e n d e n Einfluß ausübt, ist, w i e zu erwarten s t e h t , w e s e n t h c h aufs praktische L e b e n gerichtet. D i e s zeigt sich in der Organisation des Unterrichts, die ganz auf höchste A n s p a n n u n g der Kräfte, auf m ö g ­ lichst b e d e u t e n d e F a c h l e i s t u n g abzielt. Welcher Gegensatz z u d e m Ideal einer allseitig h a r m o n i s c h e n D u r c h b i l d u n g der Persönhchkeit, w i e es d e m 18. J a h r h u n d e r t v o r s c h w e b t e ! Alle Mittel der Strenge, der A n s t a c h e l u n g des Ehrgeizes, der glänzenden Lebensaussicht werden hier herangezogen, u m die Kräfte aufs äußerste z u entfalten. D i e K e n n t ­ nisse werden bis zur wirklichen Beherrschung des Stoffes in die Köpfe hineingetrieben. S o s t e h e n n e b e n d e n Professeurs die Rep6titeurs, welche die Vorträge erläutern u n d abfragen. U n d schließlich h a b e n die E x a m i n a t e ü r s die A u f g a b e , in einer äußerst strengen, eingehenden Abgangsprüfung, der sich jeder K a n d i d a t einzeln unterziehen m u ß , die erzielten L e i s t u n g e n festzustellen. P o i s s o n p f l e g t e a m Jahresschluß w ä h r e n d vier W o c h e n t ä g l i c h n e u n S t u n d e n durch diese P r ü f u n g e n i n A n s p r u c h g e n o m m e n zu sein. Der Organisation des Unterrichts entspricht der zielbewußte, gewal­ tige Anforderungen stellende Lehrplan. I n den ersten Jahrzehnten, die u n s hier interessieren, steht die M a t h e m a t i k durchaus i m Vorder­ grund, u n d zwar u m f a ß t

Klein, Entwicklung der Mathematik.

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II. Ecole Polytechnique.

108 Doppelvorträge (zu je IV2 Stunden) Reine Analysis. desgl. Anwendung der Analysis auf Geometrie 17 94 desgl. Mechanik 153 desgl. Darstellende Geometrie 175 desgl. Zeichnen 547 Doppelvortrage (zu je P/g Stunden). E i n e Umrechnung auf deutsche Verhältnisse ergibt e t w a das B e s u c h e n v o n fünf vierstündigen Kollegs nebeneinander als entsprechende B e a n spruchung. Rechnen wir dazu die ständigen R e p e t i t i o n e n , so können wir u n s ein Bild v o n der Arbeitslast eines Polytechnicien m a c h e n . D a in diesen erstaunhchen Betrieb die b e d e u t e n d s t e n Mathematiker Frankreichs als Lehrer berufen wurden, so ist es nicht verwunderlich, daß die Leistung der Schule bald auf eine ganz außerordentliche H ö h e stieg. Der Eifer der jungen Leute, die in organisierten Ü b u n g e n , durch persönliche B e z u g n a h m e in Zeichensaal u n d Laboratorium d e m unmittelbaren Einfluß anfeuernder u n d bedeutender Lehrer ausgesetzt waren, trug das seinige dazu bei. N a c h außen wurde das Leben dieser Schule u m so wirksamer, als es Gesetz war, die Vorlesungen zu veröffentlichen. D i e große Mehrzahl der führenden Lehrbücher der höheren M a t h e m a t i k zu Anfang des 19. Jahrhunderts ist aus d e m Unterrichtsbetrieb der £ c o l e Polytechnique hervorgegangen, u n d aus dieser Quelle sind sozusagen alle unsere heutigen Lehrbücher abgeleitet (vgl. K l e i n - S c h i m mack: Der mathematische Unterricht in den höheren Schulen, S. 176ff.). Der Einfluß eines so intensiven Betriebes auf die g e s a m t e W i s s e n schaft konnte nicht ausbleiben. Tatsächlich ist fast alles, w a s in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts in Mathematik, P h y s i k u n d Chemie in Frankreich geleistet wurde, aus der E c o l e P o l y t e c h n i q u e hervorgegangen. D e m Wesen der Schule n a c h steht die a n g e w a n d t e Mathematik zuerst in Blüte. Ich m ö c h t e darum die Resultate, die dieser gewaltige Aufschwung gezeitigt hat u n d zu deren B e t r a c h t u n g ich mich jetzt wenden möchte, in folgender Reihenfolge vorführen: 1. Mechanik und m a t h e m a t i s c h e P h y s i k . 2. Geometrie. 3. Analysis u n d Algebra.

Mechanik u n d mathematische Physik. D i e Zeit, die wir betrachten, steht imter der N a c h w i r k u n g der großen astronomischen E p o c h e des 18. Jahrhimderts, die in den W e r k e n v o n L a g r a n g e und L a p l a c e ihre klassische Zusammenfassung gefunden hatte. V o n bedeutendem Einfluß sind noch die durch Laplace geschaffenen ersten erfolgreichen Ansätze, die astronomischen Methoden auf das Verhalten der physikalischen Körper, die m a n als Molekularaggregate auffaßt, zu übertragen, so e t w a in der Theorie der Kapillarität. Daneben freüich geht v o n E u l e r u n d L a g r a n g e ein Einfluß aus in

Mechanik und Physik.

Poisson.

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R i c h t u n g der ,,phänomenologischen Auffassung'' des physikalischen Geschehens. D i e P h y s i k w a n d t e übrigens, in den Traditionen C o u ­ l o m b s s t e h e n d (1736—1806), ihr Interesse ausschließlich der q u a n t i ­ t a t i v e n F e s t l e g u n g q u a l i t a t i v b e k a n n t e r Erscheinungsklassen zu. V o n den Arbeiten zur B e s t i m m u n g des Meters ist s c h o n gesprochen worden. Ä h n l i c h heftete sich das Interesse an die F i x i e r u n g der übrigen metrischen E i n h e i t e n , der L ä n g e des Sekundenpendels u. a. m. D a bricht plötzlich in den ersten J a h r z e h n t e n des n e u e n Jahrhunderts eine gewaltige E n t d e c k u n g s p e r i o d e an. Sie setzt ein m i t aex Optik. N a c h der E n t d e c k u n g der Polarisation des Lichtes durch M a l u s , 1808, beginnt v o n 1815 ab das Genie v o n F r e s n e l sich w i r k s a m z u entfalten. (Fresnel 1 7 9 9 — 1 8 2 7 , vgl. übrigens den Artikel v o n W a n g e r i n : E n z y k l . V 21). E r e n t d e c k t die Transversahtät der L i c h t s c h w i n g u n g e n , d e n e n er einen quasielastischen Ä t h e r als Medium unterlegt. E r b e o b a c h t e t u n d erklärt die Lichtfortpflanzung auch in zweiachsigen Kristallen, die Zirkularpolarisation in Quarz, die Erscheinungen der Aberration u n d schafft die ausführlichen F o r m e l n zur Theorie der Reflexion. 1821 b e ­ ginnt d a n n m i t O e r s t e d s E n t d e c k u n g die überwältigend rasche E n t ­ wicklung des Elektromagnetismus u n d der Elektrodynamik, wie ich es an anderer Stelle schon dargelegt h a b e (S. 19f.). Ihre klassische Darstellung findet die junge Theorie in d e m 1826 (in Paris) erschienenen W e r k v o n A m p e r e ( 1 7 7 5 — 1 8 3 6 ) : Theorie des phenomenes electrodynamiquesuniquement deduite de Vexperience. Dieser Titel m a g einigermaßen erstaunen, w e n n der Leser erfährt, daß A m p e r e n i c h t eins der beschriebenen E x p e r i m e n t e wirkhch ausgeführt h a t . F ü r i h n h a t t e das „ E x p e r i m e n t " i m w e s e n t ­ lichen einen rein m e t h o d i s c h e n W e r t , d e m die bloße gedankliche A u s ­ führung g e n ü g t e . A u c h für diese E n t w i c k l u n g m ö c h t e ich auf einen E n z y ­ klopädieartikel hinweisen, n ä m h c h den v o n Reiff u n d Sommerfeld (V 12). V o n d e m A n s t u r m dieser p h y s i k a h s c h e n E n t d e c k i m g e n g i n g eine starke A n r e g u n g aus auf die m a t h e m a t i s c h e P r o d u k t i v i t ä t ; d e n n das Gewirr u n d Gewoge der sich überstürzenden n e u e n V o r s t e l l u n g e n u n d Theorien bedurfte dringend der ordnenden H a n d des M a t h e m a t i k e r s . Hier s e t z e n n u n die Männer ein, deren W e r k z u b e t r a c h t e n jetzt auf u n s e r e m W e g e liegt i). E s sind v o r allem drei Mathematiker zu n e n n e n u n d z u charakteri­ sieren, die historisch koordiniert erscheinen, trotzdem sie bei Lebzeiten fast in fortwährender P o l e m i k miteinander verwickelt w a r e n : P o i s s o n , F o u r i e r und C a u c h y . P o i s s o n (1781—1840) ist der t y p i s c h e Vertreter des PoIytechnicien; er gehörte seiner Schule der R e i h e n a c h als Schüler, R e p e t e n t , P r o 1) Ausführliche zeitgenössische Biographien finden sich in A r a g o s Werken, insbesondere Bd. 1 und 2, deutsch herausgeg. von Hankel, Leipzig 1854. 5*

II. Ecole Polytechnique.

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fessor u n d E x a m i n a t o r an.

Als Lehrer dieser A n s t a l t schuf er den

regelmäßigen Kurs in Mechanik, aus dem der noch h e u t e nachwirkende „TraiU

de Micanique"

(2 B ä n d e , 1. Aufl. 1811) hervorging.

Seme For­

schertätigkeit betreffend Mechanik im engeren Sinne s t e h t unter d e m Einfluß der Lagrange-Laplaceschen Ideen, die Poisson weiterbildet u n d ausbaut. E s beschäftigen ihn Einzelprobleme (Kreisel auf einer E b e n e spielend), vor allem aber allgemein methodische Fragen. So ist i h m der wichtige Übergang v o n den bei Lagrange verwendeten. Geschwindig­ keitskoordinaten

zu den Impulskoordinaten

=

^

z u verdanken,

durch den alle Relationen der Mechanik eine vorteilhaftere Gestalt erhalten. Außerdem imterzog er alle Teile der älteren m a t h e m a t i s c h e n Physik seiner fördernden B e a r b e i t u n g : Kapillarität, P l a t t e n b i e g u n g , Elektrostatik, Magnetostatik, Wärmeleitung. W i e fruchtbar u n d viel­ seitig Poisson tätig war, möge m a n aus den vielen Einzelheiten ersehen, die sich immer noch an seinen N a m e n k n ü p f e n : Poissons K l a m m e r ausdrücke in der Mechanik, Poissons K o n s t a n t e in der Elastizitätslehre, Poissons Integral in der Potentialtheorie u n d schUeßUch die allgemein bekannte, viel verwendete Poissonsche Gleichung ZlF = — 4 π ρ , die er im Innern eines anziehenden Körpers an die Seite der Laplaceschen = O im äußeren R ä u m e setzte. Poisson schrieb über 300 A b h a n d ­ lungen u n d war in jedem Gebiet fruchtbar, das er berührte. D o c h s m d seme Werke w e g e n ihrer Weitschweifigkeit nicht leicht zu lesen. Theoretisch war er ein orthodoxer Anhänger der A t o m i s t i k im L a ­ placeschen Sinne. Er ging so weit, in den Differentialquotienten u n d Integralen der P h y s i k nur eine abgekürzte Schreibweise für Differenzen­ quotienten u n d S u m m e n z u sehen. A u c h F o u r i e r (1768—1830) war an der ficole P o l y t e c h n i q u e tätig, aber nur v o n 1796 bis 98. In den folgenden ereignisreichen Jahren n a h m er (wie auch Monge) an N a p o l e o n s ägyptischer E x p e d i t i o n t e ü u n d wurde dann (1802) Präfekt des D e p a r t e m e n t s der Is^re m Grenoble. 1817 kehrte er nach Paris z i u ü c k , w o er als Akademiker lebte, einen kleinen Kreis aufstrebender T a l e n t e u m sich sammehid, d e m u. a. auch Dirichlet vorübergehend angehörte. Fouriers Leistung ist in der H a u p t ­ sache gegeben durch sein klassisches, auch in der F o r m v o l l e n d e t e s Werk: TMorie analytique de Ia chaleur (1807 bzw. 1811 b e g o n n e n , erst 1822 erschienen). E s behandelt die Probleme der W ä r m e l e i t u n g mit verschiedenen Oberflächenbedingungen, u n d zwar v o m rein theoretischen Ansatz bis zur wirkHchen numerischen Durchführung, wobei die physikalische Grundlage der rein phänomenologischen Auffassung n a h e k o m m t . D a s Werk zeichnet sich aus durch den prinzipiellen Gebrauch der trigonometrischen Reihen u n d Integrale, welche seme Schüler üim z u Ehren als Fouriersche R e i h e n u n d

Fourier. Integraldarstellungen bezeichneten, wie es a u c h h e u t e n o c h vielfach geschieht. E h e ich näher auf d e n Inhalt des Fourierschen Werkes eingehe, m ö c h t e ich einiges über die prinzipielle H a l t u n g sagen, die er seiner Wissenschaft gegenüber e i n n i m m t . D e r erste Satz der E i n l e i t u n g l a u t e t : „ L e s causes primordiales n e nous sont point c o n n u e s ; m a i s elles sont assujetties a des b i s simples et constantes, que Ton peut dέcouvriΓ par !Observation et d o n t Γέtude est Tobjet de Ia philosophie naturelle". E r kennzeichnet Fouriers rein phänomenologische B e t r a c h t u n g s w e i s e der N a t u r . D a s Mittel, dessen er sich bei diesem, als G e g e n s t a n d der Naturphilosophie bezeichneten S t u d i u m bedient, ist die M a t h e m a t i k und vor allem die A n a l y s i s in ihrem durch ihn wesentHch weiter e n t ­ wickelten Teil, der Theorie der Differentialgleichungen u n d ihrer I n t e ­ gration. E r glaubt, in ihr ein unübertreffliches W e r k z e u g zu besitzen, das freiHch erst, w e n n es bis zur zahlenmäßigen Ausführung vorgedrungen ist, seinem eigentHchen Zwecke d i e n t : „ L a m έ t h o d e qui en dέrive n e laisse rien de v a g u e et d'indέterminέ dans les Solutions; eUe les conduit j u s q u ' a u x dernidres applications num^riques, condition nέcessaire de t o u t e recherche, et sans laquelle onn'arriverait qu'ä des transformations inutües'' (p. 12). E s ist i h m g e w i ß , d a ß alle Naturerscheinungen m a t h e m a t i s c h faßbar seien, u n d ihre Verhältnisse mit Hilfe dieser Wissenschaft bis zur völligen Befriedigung geklärt werden können. „Considέrέe sous ce point d e v u e , Tanalyse m a t h e m a t i q u e est aussi ^tendue que Ia nature elle-m^me, . . . Son a t t r i b u t principal est Ia clarte; eile n'a point de signes pour exprimer des n o t i o n s confuses." Dieser Auffassung entsprechend ist seine D a r s t e l l u n g v o n meisterhafter Klarheit u n d FormvoUendung. D e n Gegenstand des Werkes bildet die Aufstellung der Differential­ gleichung der W ä r m e l e i t u n g

u n d ihre Integration unter besonderen R a n d b e d i n g u n g e n ; es k ö n n e n V oder | ^ oder ^ ~

a m R a n d e vorgeschrieben sein.

Die Integration

wird ausgeführt durch das Auffinden geeigneter Partikularlösungen, deren S u m m e die allgemeine L ö s u n g der Gleichung darsteUt; e s wird also fortwährend die Methode der R e i h e n e n t w i c k l u n g v e r w e n d e t . A l s N e b e n p r o d u k t dieser Arbeit ergibt sich die Darstellung der willkürlich vorgegebenen R a n d w e r t e durch R e i h e n , die a n sich ein großes funk­ tionentheoretisches Interesse besitzt. W i e b e k a n n t , heftet sich n o c h h e u t e Fouriers N a m e an die gewöhnlichen trigonometrischen R e i h e n fW

= ^ K C O S W Ä ; +6„SiUW^;),

II. Ecole Polytechnique.

70

die indessen schon vor Fourier bekannt waren u n d häufig b e n u t z t wurden. W e i t darüber hinausgehend w e n d e t Fourier auch kompUziertere Reihen an, w o der Gegenstand es erfordert; so e t w a die R e i h e

w o die λ durch eine kompliziertere B e d i n g u n g transzendenten Charak­ ters b e s t i m m t sind: etwa igln = αλ [α eine positive K o n s t a n t e ) , eine Bedingung, die für unendlich viele .1 befriedigt ist (vgl E n z y k l o p . II A 1 2 , Nr. 43). Auch Entwicklungen nach Besseischen F u n k t i o n e n treten auf, und schließlich wird die ebenfalls nach Fourier b e n a n n t e Integraldar­ stellung angewendet, die als Limes aus der Reihe durch Vergrößerung des IntervaUs e n t s t e h t :

f{x)=i

(a(κ)cosκx+b(κ)8ίηκχ)ακ.

Mit all diesen Mitteln hat Fourier eine große Reüie neuer, gegen die vorhandenen sehr willkürHch erscheinender F u n k t i o n e n dargestellt. E i n e n strengen B e w e i s für die darstellende Kraft seiner Methoden besitzt er nicht, doch vertritt er überall die ihrer selbst sichere B e h a u p ­ tung, daß m a n m i t ihnen „des fonctions absolument arbitraires", d. h. solche, die aus irgendwelchen „ T e ü e n " gesetzmäßiger F u n k t i o n e n z u ­ sammengesetzt sind, darstellen könne u n d belegt sie durch viele Beispiele. D i e v o n Fourier ausgegangene Anregung ist auf allen Gebieten der mathematischen P h y s i k wie der reinen Mathematik w i r k s a m gebHeben bis zu unserer Zeit. (Poincarέ: E x i s t e n z der E i g e n s c h w i n g u n g e n m a t e rieUer Teile zur Erklärung akustischer Erscheinungen.) W ä h r e n d aber bei ihm der Gedanke an die Nützlichkeit, an die Anwendbarkeit der Methode auf die großen, v o n N a t u r vorliegenden praktischen Probleme der eigentliche Antrieb alles Schaffens war, g e w i n n t später ein abstraktes, rein funktionentheoretisches Interesse an d e m immer mehr verfeinerten mathematischen Werkzeug die Oberhand. W e n n m a n mir ein Beispiel g e s t a t t e t : D i e Mathematik unserer Tage erscheint mir w i e ein großes Waffengeschäft in Friedenszeiten. D a s Schaufenster ist erfüllt v o n Prunkstücken, deren sinnreiche, kunstvolle, auch d e m A u g e gefällige Ausführung den Kenner entzückt. Der eigentHche Ursprung u n d Zweck dieser Dinge, das Dreinschlagen zur B e s i e g u n g des Feindes ist bis zur Vergessenheit in den Hintergrund des B e w u ß t s e i n s getreten. D a m i t möchte ich meine Bemerkungen über Fourier abschließen und mich nun einem Manne zuwenden, der sich m i t seinen glänzenden Leistungen auf allen Gebieten der Mathematik fast neben Gauß stellen kann, nämlich C a u c h y . In diesem Zusammenhang, der u n s g e s t a t t e t nur erst seiner Arbeiten über Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e P h y s i k zu gedenken, werden wir i h m einstweilen sehr u n v o l l k o m m e n gerecht; doch werden wir uns bei B e t r a c h t u n g der reinen Analysis noch a u s führUch m i t ihm beschäftigen.

71 I n Cauchys äußeres Leben greifen die großen geschichtHchen Zeit­ ereignisse b e d e u t s a m e i n ; genaueres findet sich in der Biographie v o n V a l s o n : La vie et les t r a v a u x d u baron Cauchy (Paris 1868). Geboren wurde er 1789 zu Paris, w o er auch seine J u g e n d verlebte, u n d zwar unter d e m Einfluß streng klerikaler Traditionen, denen er bis zu seinem E n d e treu blieb. N a c h Absolvierung der p o l y t e c h n i s c h e n Schule war er Ingenieur des p o n t s et chaussees in Cherbourg, v o n w o er 1813 n a c h Paris zurückkehrte. Seit 1816 als A k a d e m i k e r u n d Professor an der polytechnischen Schule tätig, m u ß t e er 1830 nach der Julirevolution, seiner klerikal-königstreuen Gesinnung w e g e n , m i t den B o u r b o n e n in die V e r b a n n u n g gehen, die er, zeitweise als Erzieher des Herzogs v o n B o r d e a u x , i m wesentlichen in Turin u n d Prag verbrachte. 1838 kehrte er nach Paris zurück, k o n n t e aber, da er den E i d auf das neue R e g i m e n t verweigerte, keine Staatsstellung erhalten. E r beschied sich m i t der Lehrertätigkeit an einem JesuitenkoUegium. SchließHch wurde er 1848 nach der erneuten R e v o l u t i o n doch, w e n n auch ohne d e n E i d geleistet zu h a b e n , an der Sorbonne angestellt, in welcher Tätigkeit ihn N a p o l e o n 1852 unbehelligt ließ. E r starb 1857. I n Cauchy tritt u n s ein Mann v o n so ausgesprochener politischer H a l t u n g entgegen, d a ß ich bei dieser Gelegenheit die Frage aufwerfen m ö c h t e , ob m a n i m allgemeinen einen Z u s a m m e n h a n g zwischen der N e i g u n g zu m a t h e m a t i s c h e m D e n k e n u n d einer b e s t i m m t e n Auffassung der allgemeinen Lebensfragen, seien sie poHtischer, sozialer oder reli­ giöser Art, feststeUen kann. D i e Erörterung dieser Frage scheint u m so mehr berechtigt, als im PubHkum vielfach die Meinung verbreitet ist, Mathematiker u n d Naturforscher, die ich hier m i t einbeziehen m ö c h t e , m ü ß t e n , ihrer vorurteilsfreien, logisch scharfen D e n k w e i s e entsprechend, zu liberalen, ja radikalen Gesinnungen neigen. E i n Blick in die Ge­ schichte lehrt, d a ß diese Meinung durchaus nicht den T a t s a c h e n e n t ­ spricht, d a ß vielmehr unsere Wissenschaft hervorragende Vertreter in aUen Lagern u n d Parteien aufzuweisen h a t . D i e Aufklärung des 18. Jahrhunderts u n d die darauffolgende Revo^ lutionszeit bringt zwar auch in unserer Wissenschaft Männer v o n radi­ kaler T e n d e n z hervor, u n d aus dieser Zeit m a g die in der öffentHchen Meinung herrschende Tradition herrühren. D ' A l e m b e r t , einer der Führer der E n z y k l o p ä d i s t e n , war ein entschiedener Vertreter der d a m a l s modernen, g e g e n die b e s t e h e n d e n Verhältnisse opponieren­ den R i c h t u n g ; Monge war Jacobiner, war Marineminister in der R e v o l u t i o n ; in d e m älteren Carnot, d e m Verteidiger A n t w e r p e n s 1815, begegnen wir d e m reinsten T y p u s streng republikanischer Gesinnung, die sich durch alle Zeitläufte hindurch unverfälscht b e h a u p t e t . N u n aber zeigt u n s das Beispiel Cauchys, d a ß auch, g e n a u der entgegen­ gesetzte G e s i n n u n g s t y p u s i m R a h m e n unserer Wissenschaft möglich ist. D a b e i ist dieser Mann nicht e t w a eine vereinzelte E r s c h e i n u n g ; in

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IL Ecole Polytechnique.

der späteren Zeit findet er Gesinnungsgenossen an Hermite, Camille Jordan, Pasteur, die ebenfalls der streng klerikalen R i c h t u n g angehören. —- Ihnen gegenüber stehen F a r a d a y oder R i e m a n n als Vertreter einer naiven, durch die hohe E n t w i c k l u n g des Intellekts in keiner Weise gehemmten protestantischen F r ö m m i g k e i t ; bei Salmon, professor of Divinity, tritt das Dogmatisch-protestantische mehr hervor. Gauß, der uns auch in diesem Zusammenhang besonders interessieren m u ß , besaß für seine Person ebenfalls eine schlichte, tiefe Religiosität; nach außen wünschte er „ein geordnetes R e g i m e n t , das i h m die R u h e seiner Arbeit gewährleistete". Von ganz anderer Geistesart wiederum ist der öffent­ lich stärker hervortretende J a c o b i ; in den Wirren v o n 1848 gehörte er zur ausgesprochenen radikalen Partei. Die Auffassung des S t a a t e s als eines aus unhistorischen Voraussetzungen logisch deduzierten Ge­ bildes kennzeichnet seine Stellung. Dieser kurze Überblick b e s t ä t i g t die Erfahrung, die jede B e t r a c h t u n g des Menschen lehrt, daß riämlich in Weltanschauungsfragen die Gaben des Verstandes nicht ausschlaggebend sind. D i e Veranlagung des Ge­ müts und des Willens, die Einflüsse der Erziehung, der Erlebnisse, alle Einwirkungen der U m w e l t u n d der eigenen N a t u r sind an ihrer Bildung beteiligt. Vielleicht läßt sich aber der in der W e l t a n s c h a u u n g zutage tretende Gegensatz der N a t u r e n in Z u s a m m e n h a n g bringen mit einer Scheidung der Geister nach ihrer grundsätzlichen Stellungnahme zur eigenen Wissenschaft: Die eine Gruppe v o n Mathematikern hält sich für unbeschränkte Selbstherrscher in ihrem Gebiet, das sie nach eigener Willkür logisch deduzierend aus sich heraus schaffen; die andere geht von der Auffassung aus, daß die Wissenschaft in ideeller Vollendung vor­ existiere, und daß es uns nur gegeben ist, in glücklichen Augenblicken ein begrenztes N e u l a n d als Stück d a v o n zu entdecken. N i c h t E r f i n d e n nach Gutdünken, sondern A u f f i n d e n des ewig Vorhandenen, nicht die selbstbewußte T a t , sondern die v o m B e w u ß t s e i n u n d Willen u n a b ­ hängige, rein geschenkte E i n g e b u n g erscheint ihnen als das W e s e n ihres Schaffens. Ich wende mich nun zu Cauchys Werken. Cauchy war nichts weniger als e m Klassiker der Form. Die überwältigende Menge seiner Publi­ kationen — Valson zählt deren 789, darunter acht selbständige Werke — nimmt mit fortschreitender E n t w i c k l u n g einen immer eiligeren, skizzen­ hafteren Charakter an. Unzählige Male wird bereits Gesagtes wieder­ holt, u m in Anknüpfung an eine frühere, nicht abgeschlossene A b h a n d ­ lung augenblickliche Ideen wiederum ohne Abschluß darzulegen. E t w a s mehr Sorgfalt auf die Form v e r w a n d t e Cauchy in seinen selbständigen einheithchen Werken, die in den 2 0 e r Jahren seinen frühen R u h m begründeten. Neben diesen erscheinen schon damals einzelne A b h a n d ­ lungen im Journal de Tficole P o l y t e c h n i q u e u n d den Memoires de TAcademie. D a n n aber b e n u t z t e Cauchy v o n 1835 ab die seit dem

Cauchy.

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1. Juli wöchentlich erscheinenden Comptes R e n d u s zu unablässigen Mitteilungen. Seine B e a n s p r u c h u n g der Zeitschrift war eine derartige, daß s e i n e t w e g e n eine B e s c h r ä n k u n g der Artikellänge auf h ö c h s t e n s vier Seiten eingeführt wurde. T r o t z d e m erschöpfte sich Cauchys Mit­ teilungsbedürfnis hierin noch lange n i c h t ; daneben erschienen die selb­ ständig v o n i h m herausgegebenen S a m m e l b ä n d e : Exercices de Mathematique in mehreren Serien, Vorlesungen usw. Cauchys sämtliche P u b l i k a t i o n e n werden als „ g e s a m m e l t e W e r k e " herausgegeben. D i e Ausgabe dient freilich wenig zur Erleichterung des E i n ­ dringens in diesen Schriftenurwald; ohne Sichtung bringt sie W i c h t i g e s und Nebensächliches chronologisch geordnet mit der rein äußerlichen E i n t e i l u n g : ser. I. Veröffentlichungen in den Akademieschriften, ser. I L Andere Veröffentlichungen. E i n wissenschaftlich wertvoller N a c h l a ß , wie i m Falle Gauß, scheint sich bei Cauchy nicht vorgefunden zu h a b e n . In d e m hier in Frage stehenden Z u s a m m e n h a n g e h a b e n wir v o n Cauchys Leistungen betreffend Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e P h y s i k zu sprechen. Ich k a n n hier nur die wichtigsten P u n k t e berühren, nämlich seine Theorie der Elastizität und der Optik. D i e Differentialgleichungen der Elastizität dreidimensionaler Körper wurden zuerst 1821 v o n N a v i e r aufgestellt, u n d zwar, v o m Interesse der Technik geleitet, ausgehend v o n molekular theoretischen Vorstel­ lungen u n d allein für den Fall ,,isotroper" Medien. Cauchy begründet e t w a v o n 1825 an eine phänomenologische Darstellungsweise der Ver­ hältnisse, die den Körper als Continuum betrachtet u n d nun mit den beiden ,,Tensoren" Spannung und Formänderung operiert. Diese B e ­ griffsbildung b e d e u t e t einen großen Fortschritt gegenüber d e m des bloßen, sich nach allen Seiten gleichmäßig fortsetzenden Flüssigkeits­ druckes, wie ihn das 18. Jahrhundert allein kannte. Cauchy dehnte die B e h a n d l u n g 1827 auf anisotrope (kristallinische) Medien aus, und v o n 1828—30 gelang ihm, v o n diesem F u n d a m e n t e aus, die m a t h e m a t i s c h e Grundlegung der einfachen Sätze der Fresnelschen Optik, eine Leistung, die er sich v o n B e g i n n der Arbeiten an als eines der H a u p t z i e l e gesetzt h a t t e . Freilich zeigte seine Theorie in zwei w i c h t i g e n P u n k t e n eine A b w e i c h u n g v o n den Fresnelschen B e ­ o b a c h t u n g e n u n d Auffassungen: 1. sie verlangte, daß die Schwingungen des polarisierten Lichtes, die nach Fresnel i n der Polarisationsebene liegen, s e n k r e c h t zu dieser stattfinden sollten; 2. sie lieferte in allen Medien neben den Transversal- auch Longitudinalschwingungen, die b e o b a c h t u n g s g e m ä ß in der Optik gar keine Rolle spielen. Diese beiden b e k a n n t e n Streitfragen h a b e n - b i s zur end­ gültigen Herrschaft der Maxwellschen Theorie noch jahrzehntelang die Köpfe beschäftigt. Ja selbst 1896 noch b e i m Auftreten der R ö n t g e n -

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II. Ecole Polytechnique.

strahlen wurde der Gedanke laut, es handle sich u m die lange gesuchten optischen Longitudinalschwingungen. Außer diesen Diskrepanzen blieb nun aber noch ein ganzes Erschei­ nungsgebiet der Optik, das sich mit der phänomenologischen Elastizitäts­ lehre durchaus nicht fassen ließ: die Dispersion des Lichtes. U m sie zu erklären, griff Cauchy 1835 (36) in seinem Memoire sur Ia dispersion de Ia lumiere (Prag) auf molekulare Vorstellungen zurück und erreichte sein Ziel wenigstens q u a h t a t i v durch die A n n a h m e , daß die Molekular­ abstände gegen die Lichtwellenlänge nicht verschwindend klein seien. N o c h h e u t e wird Cauchys Dispersionsformel: w = a + -^ + ^ H

für

Medien, deren Absorptionsstreifen i m Ultraroten liegen, angewendet. — Die Untersuchungen über Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e P h y s i k , über die wir soweit berichtet haben, sind bald internationales Gemeingut geworden und haben insbesondere an den deutschen U n i v e r s i t ä t e n rasch Wurzel gefaßt. N e b e n diesem H a u p t s t a m m der E n t w i c k l u n g aber haben wir eines Nebenzweiges zu denken, der erst sehr viel später seinen Einfluß über seinen Ursprungsort hinaus geltend m a c h t e . E s ist dies die in den Kreisen der ficole P o l y t e c h n i q u e einsetzende A u s ­ gestaltung der Mechanik nach der technischen Seite hin. A u c h hier handelt es sich darum, neue Erscheinungsklassen der m a t h e m a t i s c h e n Formulierung zu unterwerfen, aber immer in b e w u ß t e m Hinblick auf die technische Anwendbarkeit. Völlig isoliert, aber doch an dieser Stelle zu nennen ist eine i m Urdruck in den Bibliotheken k a u m noch erhältliche Schrift des frühver­ storbenen S a d i C a r n o t (1796—1832), die „Reflexions sur Ia puissance motrice du feu" 1824. Der kleine Aufsatz, der 1878 neu gedruckt u n d m i t biographischen Notizen über den Autor (Sohn des Carnot der N a p o ­ leonzeit) herausgegeben wurde, h a t t e das Ziel, die Wirkungsweise der Dampfmaschine verständlich zu machen, verdankt aber seine B e d e u ­ tung wesentlich der ferneren E n t w i c k l u n g des Gebietes, die sich an ihn anschloß. W e n n auch die Meinung, er e n t h a l t e bereits den zweiten Hauptsatz der Wärmetheorie, entschieden zu weit geht, so lieferte Carnot doch den Ansatz zu der später v o n C l a u s i u s abgeschlossenen Theorie durch seine Idee, daß die bewegende Kraft der W ä r m e ihren Grimd h a b e in d e m Übergang v o n höherer zu niederer Temperatur, also in einem Wärmestrom v o n höherem zu niederem T e m p e r a t u r ­ niveau, welche Vorstellung Carnot in Analogie m i t d e m Antrieb eines Wasserrades ausbaute. Diese Ideen, die m a n wohl als K e i m des ersten u n d zweiten Wärmesatzes bezeichnen k a n n , sind ziemlich u n m a t h e ­ matisch dargelegt. D i e genauere Formulierung nach dieser Seite erhielten sie durch den Ingenieur C l a p e y r o n i m 2 3 . H e f t des Journal de l'ßcole Polytechnique, B d . X V I , 1834 (deutsch übersetzt in P o g g e n -

Sadi Carnot.

Poncelet, Coriolis.

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dorfs Annalen). D i e Arbeit Clapeyrons ist m a t h e m a t i k g e s c h i c h t l i c h insofern wichtig, weil v o n hier aus die bei den Technikern schon lange übliche graphische Darstellung z u m ersten Male in die nach dieser R i c h t u n g recht zurückhaltenden Physikerkreise dringt. B e t r a c h t e t m a n freilich h e u t e die v o n Clapeyron gebrachten fünf kleinen D i a g r a m m e , so ist m a n über ihre Bescheidenheit recht erstaunt. D i e ,,technische Mechanik'' (im engeren, heutigen Sinne) v e r d a n k t ihre E n t s t e h u n g , wie schon bemerkt, den polytechnischen Kreisen. Hier sind vor allem P o n c e l e t u n d C o r i o l i s zu nennen. P o n c e l e t (1789—1867) wird uns in der Folge n o c h viel beschäftigen als der eigenth c h e Begründer der projektiven Geometrie. V o n seinen w e i t g e h e n d e n technischen Vervollkommnungsarbeiten b e s a ß das „ P o n c e l e t s c h e W a s ­ serrad" zu seiner Zeit eine gewisse P o p u l a r i t ä t ; jetzt ist es w o h l durch die Turbinen in Vergessenheit geraten. Der N a m e CorioHs (1792—1843) ist uns allen b e k a n n t durch die sog. Coriolisschen Zusatzkräfte, die bei R e l a t i v b e w e g u n g , insbesondere bei B e w e g u n g e n auf der rotierenden Erde sich geltend m a c h e n (sofern m a n eben ein m i t b e w e g t e s Koordi­ natensystem benutzt). D i e beiden hier in B e t r a c h t k o m m e n d e n Werke dieser Männer s i n d : P o n c e l e t : Cours de Mecanique, appliquee aux machines (1826). C o ­ r i o l i s : Traite de Ia Mecanique des corps solides et du calcul de l'effet des machines (1829). B e i d e Werke h a b e n i m w e s e n t h c h e n die gleiche T e n d e n z : sie streben im Gegensatz zu den abstrakten F o r m u h e r u n g e n v o n Lagranges Mecanique analytique („die v o r n e h m e , reibungslose Mechanik") eine s y n t h e t i s c h e B e t r a c h t u n g der in den 'Maschinen auf­ tretenden Kraftwirkungen an, unter Berücksichtigung der t a t s ä c h ­ lichen Verhältnisse, wie R e i b u n g usw. Sie sind m a t h e m a t i s c h sehr elementar; wir verdanken ihnen aber die Erarbeitung eines F u n d a m e n t a l ­ begriffes, der für die E n t w i c k l u n g der mechanischen Wärmetheorie u n d für die Aufstellung des großen Satzes v o n der E r h a l t u n g der Energie entscheidend werden sollte: des Begriffes der mechanischen Arbeit, Ich erwähne gern dies b e d e u t s a m e Beispiel befruchtender R ü c k w i r k u n g e m e s rein technischen Problems — hier die Frage n a c h d e m Nutzeffekt der Maschinen — auf die theoretische Forschung. In e i n e m gewissen Z u s a m m e n h a n g m i t diesen Männern steht schließh c h der Geometer C h a r l e s D u p i n (1784—1873), der u n s bei B e h a n d ­ lung der Geometrie n o c h näher beschäftigen wird. Als echter Mann seiner Zeit war auch er Theoretiker, Praktiker u n d Organisator zugleich. Seine technischen Interessen galten vor allem d e m Schiffsbau, d e m er als Marineingenieur n a h e s t a n d . Ähnlich wie Poncelet, m a c h t e auch er große Studienreisen, u n d zwar nach E n g l a n d , u m den dortigen IndustriaHsmus zu studieren. Als Professor des Conservatoire des Arts et des Metiers errichtete er 1819 Volkshochschulkurse, durch die seine

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II. Ecole Polytechnique.

neuzeitlichen Ideen, das Interesse an Technik, Industrie und N a t i o n a l ­ ökonomie, weite Verbreitung fanden. Wir sehen, wie hier als ganz modern anmutender Zug auch das soziale Interesse sich bereits geltend macht. Näher eingehen möchte ich aber auf die Persönhchkeit u n d die Schicksale Poncelets, die ihr besonderes psychologisches Interesse haben. P o n c e l e t wurde 1789 in Metz geboren. N a c h Absolvierung der polytechnischen Schule (1808—I8I0) trat er als Sous-Lieutenant du genie in die ecole d'application de Metz ein, wurde Anfang I 8 I 2 N a p o ­ leons grande armee zugeteilt u n d wurde beim russischen Winterfeldzug im N o v e m b e r I 8 I 2 gefangen g e n o m m e n . Zwei Jahre verbrachte er in Saratow an der Wolga in Kriegsgefangenschaft, u n d erstaunlichervveise verhalf ihm gerade diese Zeit der unfreiwilligen Muße u n d völligen A b ­ geschlossenheit von allen Hilfsmitteln zu seiner genialsten L e i s t u n g : der Erschaffung der projektiven Geometrie. Vor einem kleinen Kreis mitgefangener Polytechniciens entwickelte er seine neuen Ideen. Der Friede schenkte i h m die Freiheit wieder. V o n I 8 I 5 ab war er als Genieoffizier in Metz i m Arsenal tätig. Die Schöpfungen seiner Gefangenenzeit gab er heraus in d e m 1822 erschienenen traite des proprietes projectives des figures. Die Öffentlichkeit aber n a h m seine Kräfte mehr u n d mehr in Anspruch und zog ihn v o n den i h m h e b s t e n Aufgaben der reinen Wissenschaft ab. Gegen seine Neigung, auf W u n s c h v o n Arago, wie er später sagte, wurde er Professor an der Metzer ß c o l e d'application (1825—1835). Aus Interesse a m Gedeihen seines Vaterlandes w i d m e t e er sich in großen Informationsreisen d e m S t u d i u m des A u s l a n d e s ; insbesondere das auf­ blühende Industrieleben E n g l a n d s schien i h m bedeutungsvoll. Zwar veröffenthchte er 1826 seinen Cours de Mecanique, aber bald n a h m e n ihn organisatorische und pädagogische Aufgaben völlig in Anspruch. Von 1835 ab bekleidete er in Paris hohe militärische Stellungen, war Mitglied des comite des fortifications u n d daneben 1 8 3 8 — 1 8 4 8 Professeur de Mecanique physique et appliquee an der Sorbonne, d a n n Commandent der ficole p o l y t e c h n i q u e . Sein großes Ansehen ließ ihn 1851 zum Vertreter Frankreichs auf der ersten Londoner W e l t a u s s t e l ­ lung und Chef der J u r y g e w ä h l t w e r d e n ; auch an der Vorbereitung der ersten Pariser W e l t a u s s t e l l u n g 1855 war er beteiligt. — E s ist die Tragik dieses Lebens, daß ein so selten erfolgreicher Mann, der, wie m a n meinen sollte, seiue Kräfte zur E n t f a l t u n g bringen durfte wie wenige, dennoch seiner wahren B e s t i m m u n g nicht genügt zu haben glaubte. Als alter Mann, bei der Neuauflage seines „traite" 1864/66 b e k l a g t er sich bitter über sein Schicksal, das ihn g e z w u n g e n habe, seine Lieb­ lingsstudien so völlig zu verfassen u n d ihn verhindert habe, ihnen zu der nötigen Anerkennung zu verhelfen. E s ist der alte Konflikt der vita activa mit der vita c o n t e m p l a t i v a , der dies Leben mit einem Mißton hat schließen lassen. Poncelet starb 1867.

Monge.

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Geometrie. Ich k o m m e n u n z u m z w e i t e n P u n k t meiner Einteilung, der sich an die E c o l e P o l y t e c h n i q u e anschließenden P r o d u k t i o n , zur Geometrie, Wir erwähnten bereits die hervorragende B e d e u t u n g , die der Geo­ m e t e r M o n g e (1746—1818) für die Gründung u n d die E n t w i c k l u n g der E c o l e P o l y t e c h n i q u e besitzt. Semer außerordentlich erfolgreichen T ä t i g ­ keit als Organisator u n d Lehrer ist es zu verdanken, d a ß w ä h r e n d der ersten 2 0 Jahre des B e s t e h e n s der Schule die Geometrie den eigentlichen Mittelpunkt des Lehrbetriebes bildete. D a s W e s e n dieses Unterrichts, das Geheimais des großen Erfolges, lag offenbar in Monges besonderer Persönlichkeit, die i m unmittelbaren Verkehr u n g e m e i n fesselnd u n d die eigenen Kräfte w e c k e n d auf seine Schüler einwirkte. V o n der Energie u n d Lebendigkeit dieses Unterrichts geben n a t u r g e m ä ß die gedruckten, auf uns ü b e r k o m m e n e n Zeugnisse nur ein u n v o l l k o m m e n e s Bild, w e n n auch selbst sie noch der Begeisterung Ausdruck verleihen, die jeder Teilnehmer i h m entgegenbrachte. Zwei W e r k e sind es, die Monge, aus der Praxis des Unterrichts hervorgegangen, uns hinterlassen h a t : 1. D i e geometrie descriptive, die v o n 1795 an z u n ä c h s t in losen Blät­ tern erschien u n d dann zu d e m grundlegenden Lehrbuch dieses v o n Monge in feste F o r m e n gebrachten Faches wurde. In ihr findet sich die Veröffentlichung des normalen Lehrplans, wie ihn Monge schon in Mezieres ausgebildet h a t t e . Wir h a b e n noch eine spätere A u s g a b e v o n 1849, ed. Brisson, u n d eine deutsche Übersetzung n a c h der Ausgabe v o n 1798 v o n Haußner, erschienen in Ostwalds Klassikern (Nr. 117). In beiden A u s g a b e n findet sich eine lebhafte Schilderung v o n Monges Lehrtätigkeit. 2. Vapplication de Vanalyse ä Ia geometrie, ebenfalls v o n 1795 begin­ n e n d allmählich erschienen, ein Lehrbuch der analytischen Geometrie des R a u m e s m i t besonderer B e t o n u n g der differentiellen Verhältnisse. E s existiert eine A u s g a b e v o n Liouvüle aus d e m Jahre 1850; sie e n t h ä l t viele Zusätze, u. a. einen vollständigen Abdruck v o n Gauß' Disquisi­ tiones circa superficies curvas. N e b e n diesen beiden selbständigenWerken s t e h t n u n aber die große P r o d u k t i v i t ä t der Mongeschen Schüler, die v o n der Geistesrichtung und d e m Ideenreichtum des Lehrers beredten Ausdruck gibt. Sie tritt an die Öffentlichkeit in Gergonnes Annales des mathematiques pures et appliquees (21 vol. 1 8 1 0 — 3 1 , N i m e s ) , der ersten (ihrem N a m e n wider­ sprechend) r e i n m a t h e m a t i s c h e n Zeitschrift, die weithin B e d e u t u n g gewann. Diese Zeitschrift repräsentiert uns, z u s a m m e n m i t Monges Werken, den allgemeinen Charakter seiner geometrischen Schule. Sie zeichnet sich dadurch aus, daß sie die lebhafteste räumliche A n s c h a u u n g auf

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II. Ecole Polytechnique.

das natürlichste mit analytischen Operationen verbindet. Die ana­ lytische Formel ist nicht Selbstzweck, sondern nur der kürzeste A u s ­ druck tatsächlich angeschauter^ räumlicher B e z i e h u n g e n ; ihre Weiter­ entwicklung wird gewonnen auf Grund räumlicher Konstruktionen. Auf den Inhalt des ersten Mongeschen Werkes brauche ich k a u m einzugehen, denn der damals geschaffene Lehrgang behauptet n o c h heute in Vorlesungen und Ü b u n g e n über darstellende Geometrie seine Gültigkeit. Von besonderem Interesse dürfte es vielleicht sein, daß Monge v o n dem bloßen Zeichnen bereits z u m Modellieren übergeht, ein Darstellungsverfahren, das v o n seinen Nachfolgern, insbesondere von O l i v i e r für immer weitergehende Aufgaben v e r w e n d e t wurde. Leider sind Oliviers Modelle im Conservatoire des Arts et Metiers infolge der mangelnden Haltbarkeit der Seidenfäden jetzt ganz zer­ fallen. In diesen Bestrebungen ist der geschichtliche Ursprung aller späteren Sammlungen m a t h e m a t i s c h e r Modelle zu sehen. W i e h e u t e , so war auch damals der Zweck des Modells, nicht e t w a Schwäche der Anschauung auszugleichen, sondern eine lebendige, deutliche A n s c h a u ­ ung zu e n t w i c k e l n , ein Ziel, das vor allem durch das Selbst anfertigen v o n Modellen am besten erreicht wird. D a s zweite angeführte Werk v o n Monge „liest sich wie ein R o m a n " , d. h. es zeichnet sich aus durch eine z u s a m m e n h ä n g e n d e , klare (nicht etwa nach dem alten S c h e m a : Voraussetzung, B e h a u p t u n g , B e w e i s zerteilte) flüssige Darstellung. A u s den Elementarformeln entwickelt sich in freier B e t ä t i g u n g der P h a n t a s i e eine Fülle geometrischer B e ­ trachtungen, die sich auf die v o n N a t u r sich zunächst anbietenden Probleme erstrecken. Rotationsflächen, Schraubenflächen, Linien­ flächen und das Problem der Flächenabwicklung werden in dieser Weise behandelt u n d schUeßlich eine allgemeine überzeugende D e u t u n g der v o n Lagrange gegebenen Integrationstheorie der partiellen Differentialgleichung

gewonnen. D a b e i ist als Trieb-

kraft der E n t w i c k l u n g überall das durchzuspüren, w a s nach einem A u s ­ spruch v o n Clebsch in seiner Plückerbiographie den wahren Geometer m a c h t : die Freude an der Gestalt. D a s Ziel ist, ähnlich wie auf anderem Gebiete bei Fourier, nicht die formelle E x a k t h e i t der Schlüsse, sondern die Klarheit der Erkenntnis u n d das Ausspinnen naturgemäßer F r a g e ­ stellungen. D i e so umschriebene D e n k a r t k a m noch zu Monges Zeiten vor allem d e n Gebilden zweiten Grades zugute, den Kreisen u n d K u g e l n , den Kegelschnitten u n d den F l ä c h e n zweiten Grades. E s entstanden u. a. die Lehre v o n Pol u n d Polare, v o n der doppelten geradlinigen E r z e u g u n g des einschaligen Hyperboloids und des hyperbolischen Paraboloids, v o n den Krümmungskurven u n d ihrer B e s t i m m u n g auf den F l ä c h e n z w e i t e n Grades usw.

Dupin.

Carnot der Ältere.

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In der folgenden Zeit wirkt der v o n Monge ausgehende I m p u l s nach, u n d es darf als höchster Erfolg des Lehrers Monge bezeichnet werden, d a ß unter den Schülern sich eine ganze A n z a h l selbständiger Persönlichkeiten entwickelt, die i m einzelnen ihren Führer übertreffen. U n t e r ihnen kann ich hier nur diejenigen nennen, deren Arbeiten in der F o l g e v o n besonderer B e d e u t u n g gewesen sind. Ich greife zunächst auf D u p i n zurück, dessen schiffsbautechnische Leistungen schon in anderem Z u s a m m e n h a n g erwähnt w u r d e n . D i e Geometrie v e r d a n k t i h m viele neue B e t r a c h t u n g e n u n d Theoreme, deren B e h a n d l u n g sich durch besondere E l e g a n z auszeichnet. Sie sind enthalten in D u p i n s großem geometrischen Werk „Developpements de geometrie" I 8 I 3 . Ich hebe nur die b e k a n n t e s t e n Theoreme heraus, die sich an seinen N a m e n knüpfen. D a ist vor allem die b e r ü h m t e Dupinsehe Zyklide, eine F l ä c h e , die u m h ü l l t wird v o n allen K u g e l n , die drei feste K u g e l n (und d a m i t eine ganze z w e i t e Kugelschar) berühren; ferner das sog. Dupinsche Theorem, welches aussagt, d a ß sich die F l ä c h e n eines O r t h o g o n a l s y s t e m s in ihren Krümmungslinien wechselseitig schneiden. B e i d e B e t r a c h t u n g e n laufen z u s a m m e n in der Theorie der konfokalen F l ä c h e n zweiten Grades. A u c h D u p i n s Indicatrix, betreffend konjugierte T a n g e n t e n in einem F l ä c h e n p u n k t e , m ö c h t e ich erwähnen. Diese kleine A u s w a h l einzelner schöner E n t d e c k u n g e n m ö g e ein B i l d geben v o n der Fülle wertvoller Bereicherung, die die Geometrie D u p i n verdankt. E h e ich nun zu Monges g r ö ß t e m Schüler, P o n c e l e t , übergehe, m ö c h t e ich doch eines e t w a s abseits stehenden Mannes gedenken, des ä l t e r e n C a r n o t . Sein uns hier interessierendes B u c h „Geomdtrie de Position" erschien 18031). Carnot (1753—1823) war schon in Mezieres Schüler v o n Monge. Als General u n d überzeugter Republikaner spielte er eine b e d e u t e n d e Rolle in der Revolutionszeit, w i e wir schon oben a n d e u t e t e n . Erst in späterem Alter g e w a n n er wieder Muße zu wissenschafthcher Arbeit, die er zumeist auf m a t h e m a t i s c h e Probleme prin­ zipieller Art a n w e n d e t e . Seine „geometrie de p r s i t i o n " ist ein sehr merkwürdiges B u c h . Sie e n t h ä l t einen an sich b e d e u t e n d e n , ganz modernen G e d a n k e n : m a n m ü s s e in der Geometrie die verschiedenen Fälle, welche eine Figur je nach A n o r d n u n g ihrer Teile darbieten kann, nicht trennen, wie es seit E u k h d immer geschah, sondern sie durch Einführung des Prinzips der Vorzeichen unter eine g e m e i n s a m e B e t r a c h t u n g stellen. In dieser F o r m spricht aber Carnot den Gedanken nicht e t w a aus. I m Gegenteil: er wehrt sich hartnäckig gegen die g a n z e in der A n a l y s i s übliche Lehre v o n den Vorzeichen, die er für schlecht begründet u n d widerspruchsvoll 1) Deutsche Übersetzung von H. C Schumacher: ,,Geometrie der Stellung". Altona 1810.

II. Ecole Polytechnique. erklärt. Diese B e h a u p t u n g glaubt er z u beweisen, i n d e m er fortwährend rein formalistisch m i t mehrdeutigen F u n k t i o n e n herumrechnet, u m dann schließlich zu „falschen" R e s u l t a t e n z u k o m m e n , wie e t w a y— α · y ~ α = =i= α usw. Für sein geometrisches Bedürfnis will er die Zeichenregeln ledigKch durch B e t r a c h t u n g der Figur i m d ihrer Änderungen selbst entstehen lassen, u n d auf diesem Grunde eine „th^orie des figures corr61atives'' schaffen. S o soll die Geometrie v o n der „Hieroglyphenschrift der A n a l y s i s " befreit werden u n d wieder in rein synthetischer F o r m n e u entstehen. D i e Durchführung dieser Gedanken ist z u w e ü e n ideenreich, vielfach aber elementar bis zur Trivialität. Vielleicht k a n n m a n das B u c h auf­ fassen als e m Gegenbild z u Carnots imbestechlicher, aber nicht genialer Persönlichkeit. Erwähnen m ö c h t e ich als einzelnen Zug, d a ß der sehr b e k a n n t e elementare Satz über die Gleichheit der P r o d u k t e der A b s c h n i t t e , die v o n einer beliebigen Transversale auf den Seiten eines Dreiecks g e b ü d e t werden, v o n Carnot s t a m m t , wie er d e n n auch häufig als C a m o t s c h e s T h e o r e m bezeichnet wird. V o n geschichtlicher B e d e u t u n g ist das C a m o t s c h e B u c h durch seine Ablehnung der Analysis. Hier ist die Quelle für den n u n bald hervor­ tretenden Gegensatz zwischen analytischer u n d synthetischer neuerer Geometrie, der sich schließlich zu einer Gegnerschaft v o n prinzipieller B e d e u t u n g auswächst. W a r in Carnot schon eine unklare A h n u n g v o r h a n d e n , in welcher R i c h t i m g die E n t w i c k l u n g der neuen Geometrie zu s u c h e n sei, so tritt uns m m in P o . n c e l e t ihr großer Schöpfer entgegen, der die Ideen Monges u n d C a m o t s mit größter Genialität a u f n i m m t u n d ihnen unter Ü b e r ­ w i n d u n g aller Schwierigkeiten z u m Durchbruch verhilft. Durch Voranstellimg des „Projizierens" u n d der „ R e z i p r o z i t ä t " ^Is einheitliches geometrisches Prinzip wird er z u m E n t d e c k e r u n d Begründer der „projektiven Geometrie", die, aUe bisherigen Gegensätze einehd, z u größter Fruchtbarkeit sich weiterbüden sollte. D i e n e u e Art g e o m e ­ trischer Anschauung, „ d a s projektive D e n k e n " ist es, w a s ihn wesentHch über seine Vorgänger hinauswachsen läßt. Ü b e r die besondere E n t s t e h u n g s w e i s e v o n Poncelets g r o ß e m g e o ­ metrischen Werk, d e m „traite des proprietes projectives des figures" (1813 bzw. 1822) wurde bereits berichtet. Poncelet geht v o n der B e t r a c h t u n g der Zentralprojektion aus, die studiert wird in Hinsicht auf diejenigen Beziehungen der in der Figur auftretenden Stücke, die bei einer beliebigen Zentralprojektion u n g e ä n ­ dert bleiben. Durch diese Betrachtungsweise sieht er sich veranlaßt, den zunächst vorHegenden geometrischen E l e m e n t e n g a n z b e s t i m m t e „unendHch ferne" hinzuzufügen, der Geraden einen unendHch fernen P u n k t , der E b e n e eine unendlich ferne Gerade, d e m R a u m eine u n e n d -

Poncelet. ü c h ferne E b e n e . N u n ist er i m s t a n d e , Sätze in aUer AUgemeinheit a u s ­ zusprechen, xmter denen der S a t z v o n der K o n s t a n z des D o p p e l v e r ­ hältnisses v o n vier auf einer Geraden gelegenen P u n k t e n eine hervor­ ragende Rolle spielt. I c h will hier nicht untersuchen, wieweit solche I d e e n b i l d u n g e n schon bei älteren A u t o r e n v o r h a n d e n w a r e n ; bei P o n ­ celet werden sie b e w u ß t zur Grundlage alles Weiteren g e m a c h t , u n d darin liegt der wesentUche Fortschritt der Auffassung. Als zweites wichtiges E l e m e n t der neuen Geometrie ist die aus der Lehre v o n P o l u n d Polare bei den K u r v e n u n d F l ä c h e n z w e i t e n Grades hervorgehende E n t w i c k l u n g anzusehen, die z u einer allgemeinen Theorie der Reziprozität führt. I n der E b e n e werden P u n k t u n d Gerade, i m R a u m P u n k t u n d E b e n e gleichberechtigt u n d vertauschbar als geometrische Grundelemente einander gegenübergestellt. So entspricht z. B . die a u s P u n k t e n gebildete ebene K u r v e der v o n T a n g e n t e n u m ­ hüllten e b e n e n K u r v e , d. h. sich selbst, der R a u m k u r v e entspricht die D e v e l o p p a b l e usw. Z u diesen beiden n e u e n Ideenbildungen tritt n u n , v o n allen Unklar­ h e i t e n befreit u n d genial durchgeführt, der C a m o t s c h e Gedanke v o n der ,,Correlativität der FigureW\ das Prinzip der Kontinuität, E s sagt aus, d a ß eine a n einer F i g u r m i t hinreichender Allgemeinheit e r k a n n t e B e z i e h u n g a u c h für alle anderen Figuren gilt, die sich a u s ihr durch kontinuierliche Lagenveränderung ableiten lassen. V o n diesem Prinzip m a c h t P o n c e l e t die k ü h n s t e n u n d w e i t g e h e n d s t e n A n w e n d u n g e n , u n b e k ü m m e r t w a g t er sich in das Gebiet des I m a g i ­ nären, w o die Verhältnisse i h m d a s z u verlangen scheinen. S o folgt z. B . für ihn a u s der T a t s a c h e , d a ß zwei Kegelschnitte sich m h ö c h s t e n s vier P u n k t e n schneiden, der S a t z , daß diese A n z a h l v o n S c h n i t t p u n k t e n i m m e r v o r h a n d e n sein m ü s s e ; nur k ö n n e n zwei oder alle vier imaginär geworden sein. V o n hier aus g e l i n g t i h m die projektive Definition des Kreises, als eines K e g e l s c h n i t t e s , der m i t der u n e n d ü c h fernen Geraden zwei feste imaginäre P u n k t e — die „ K r e i s p u n k t e " , w i e wir h e u t e sagen — g e m e i n h a t . E b e n s o definiert er d i e K u g e l als F l ä c h e z w e i t e n Grades, die aus der unendlich fernen E b e n e eine b e s t i m m t e imaginäre S c h n i t t ­ k u r v e ausschneidet, die wir h e u t e als „Kugelkreis" bezeichnen. W e i l das einschalige H y p e r b o l o i d z w e i Scharen geradUniger Erzeugender trägt, m u ß dies a u c h b e h n Ellipsoid g e l t e n ; nur d a ß die Geradenscharen hier offenbar imaginär sind, usw. Fragen wir u n s n u n , w e l c h e B e g r ü n d u n g P o n c e l e t diesen unerhört k ü h n e n Gedankenkonstruktionen gibt, so m ü s s e n wir z u unserem E r ­ s t a u n e n feststeUen, d a ß eine solche überhaupt n i c h t v o r h a n d e n ist. F ü r das P r m z i p der K o n t m u i t ä t , das P o n c e l e t i n t u i t i v klar war, fehlt jeder B e w e i s a n s a t z ; aber a u c h z u einer e t w a i g e n Definition des imagi­ nären P u n k t e s wird nicht einmal ein Versuch g e m a c h t . Offenbar fehlte P o n c e l e t jeghches Bedürfnis in dieser R i c h t u n g , insbesondere als seine

Klein. Entwicklung der Mathematik.

β

II. Ecole Polytechnique. Schlußresultate immer konjugiert k o m p l e x e E l e m e n t e enthalten, also sich ganz i m Reellen bewegen. Erst die B e z u g n a h m e auf die Analysis, die Poncelet grundsätzlich ablehnt, k o n n t e das neue Gedankengebäude auf eine sichere Grundlage stellen. Der imaginäre P u n k t ist dann ebenso wie der reelle nur ein gemeinsamer Lösungswert einer A n z a h l gleichzeitig erfüllter Glei­ chungen, die je eines der z u m Schnitt gebrachten geometrischen Gebilde darstellen. D a ß die nämliche Anzahl v o n Gebilden gleichen Grades immer das gleichartige Schnittgebilde, z . B . die gleiche Anzahl „ P u n k t e " , her­ vorbringen, ist nichts als der Satz über die g e m e i n s a m e n Lösungswerte algebraischer Gleichungen, die je nach den Größenverhältnissen der Koeffizienten reell oder imaginär ausfallen, aber bei gleicher Zahl u n d gleichem Grad der beteiligten Gleichungen immer in gleicher A n z a h l vorhanden sind. W a s endlich das Prinzip der K o n t i n u i t ä t selbst anbe­ trifft, so ist auch dieses mit den Mitteln der modernen F u n k t i o n e n t h e o r i e nicht schwer zu begründen. E i n jeder geometrischer S a t z ist a n a l y t i s c h auszudrücken (wenn wir Geometrie so umgrenzen, wie e s d a m a l s üblich war) durch die Nullsetzung einer algebraischen oder auch nur a n a l y ­ tischen F u n k t i o n f {a, b,c, . . .) der darin in B e z i e h u n g g e s e t z t e n S t ü c k e a,b,c . . . der Figur. D a s Prinzip der K o n t i n u i t ä t spricht dann nichts anderes aus, als daß eine analytische F u n k t i o n , die längs eines noch so kleinen Stückes ihres Bereiches verschwindet, überhaupt gleich N u l l ist. Poncelet ist als einer der v o r n e h m s t e n Vertreter jener kühnen Eroberer anzusehen, wie wir sie an anderer Stelle charakterisiert h a b e n . D i e v o n ihm ausgehende große N a c h w i r k u n g durchzieht das ganze 19. Jahrhundert u n d ist ein wesentliches Stück unseres eigenen D e n k e n s geworden.

Analysis und Algebra. Ich w e n d e mich nun zu d e m dritten P u n k t meiner E i n t e i l u n g , der Algebra imd Analysis an der p o l y t e c h n i s c h e n Schule. Wir werden uns hier darauf beschränken müssen, v o n C a u c h y zu sprechen u n d aus der Fülle wichtiger Arbeiten, die er auf allen Gebieten der reinen Mathematik aufzuweisen h a t , nur die allerbedeutendsten herauszugreifen. Allen voran stehen seine Arbeiten über die Grundlegung der Ana­ lysis; sie erscheinen aufs e n g s t e verknüpft mit d e m Unterricht an der Ecole Polytechnique. E s sind 1. Cours d'Analyse (Analyse algebrique) 1821. W e r k e ser. 2, I I I , S. 1—331. 2. Risuma des legons donnies sur Ie calcul infinitesimal, 1823^). W e r k e ser. 2, IV, S. 1—261. 3. Zahlreiche Einzelveröffentlichungen über

Differentialgleichungen,

1) Eine Neuauflage ist 1829 erschienen (Werke, sέr. 2, IV, S. 263—609).

Cauchy. Grundlegung der Analysis.

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die an autographierte B l ä t t e r aus den 2 0 e r Jahren anknüpfen, aber erst u m 1840 in den C o m p t e s R e n d u s u n d anderwärts ausgeführt werden. D i e beiden erstgenannten Werke s t a m m e n noch aus Cauchys Zeit der sorgfältigen F o r m . E s sind wohlgegliederte Lehrbücher, in denen aber nicht wie bei Fourier oder Monge ein freies Gedankenspiel, sondern eine streng d e d u k t i v geordnete D e n k w e i s e hervortritt. Der Cours d'Analyse behandelt e t w a das, w a s wir h e u t e i m A n s c h l u ß an Cauchy „algebraische A n a l y s i s " zu nennen pflegen, nämlich das S t u d i u m der elementaren F u n k t i o n e n auch i m k o m p l e x e n Gebiet, einschließUch der Lehre v o n den u n e n d h c h e n Reihen. D e n s e l b e n G e g e n s t a n d e t w a b e h a n ­ delt auch E u l e r in seiner Introductio in analysin infinitorum; aber gerade ein Vergleich m i t diesem früheren Werk läßt Cauchys ganz n e u ­ artige, kritische B e t r a c h t u n g s w e i s e erkennen. Der längst b e k a n n t e Gegenstand wird allein auf Grund streng umgrenzter, rein analytischer Begriffe neu aufgebaut. So findet sich auf S. 37 ff. (Werke) eine e i n ­ wandfrei strenge Erklärung des ,,unendlich K l e i n e n " durch einen Grenz­ übergang. Auf den hiermit g e w o n n e n e n Begriff des unendlich Kleinen wird auf S. 4 3 eine Definition der Stetigkeit gegründet: eine F u n k t i o n ist stetig, w e n n einem unendlich kleinen Zuwachs der Variabein ein unendlich kleiner Z u w a c h s der F u n k t i o n entspricht. V o n S. 114 an beginnt dann eine ausführliche Lehre v o n der Kon­ vergenz der unendlichen Reihen. Verschiedene strenge K o n v e r g e n z ­ kriterien werden gegeben. A u c h in diesem K a p i t e l arbeitet Cauchy nie m i t d e m vielverbreiteten unklaren Begriffe über unendliche S u m m e n usw. Er hat es m i t endlichen, w o m ö g l i c h numerischen S u m m e n z u tun, die einen Wert in einem Grade annähern, der durch das e x a k t a b g e s c h ä t z t e Restglied g e n a u gemessen werden kann. Aber nicht nur n a c h der Seite der strengen Begründung, auch neuschöpferisch b e h a n ­ delt Cauchy seinen Gegenstand. So findet sich auf S. 2 4 0 der Satz, daß eine Potenzreihe i m k o m p l e x e n Gebiet einen Konvergenzkreis besitzt. AnschHeßend an dies K a p i t e l bringt Cauchy S. 274 ff. einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. D i e E x i s t e n z einer Nullstelle der ganzen rationalen F u n k t i o n f {x + iy) = u + iv wird nachgewiesen m i t Hilfe der B e t r a c h t u n g der F u n k t i o n ζ = u^ + v^ u n d ihrer Minima. W i e enorm Cauchys Verdienst bei der Darstellung dieser z u m größeren Teil b e k a n n t e n D i n g e ist, das läßt sich erst ganz durch den Vergleich m i t seinen Vorgängern u n d Zeitgenossen ermessen. Das B u c h unterscheidet sich nach prinzipieller Seite ebensoweit v o n den bis d a h i n meist herrschenden u n b e s t i m m t e n a n s c h a u u n g s m ä ß i g e n B e ­ gründungsversuchen der Infinitesimalrechnung, wie v o n d e m ganz äußerUch formalen S t a n d p u n k t Lagranges in seiner Theorie des fonctions a n a l y t i q u e s u n d in den Legons sur les calcul des fonctions^), der den 1) Theorie des fonctions: 1. ed. 1797, 2. ed. 1813, Oeuvres t. 9; L e ^ o n s . . . : 1801 bzw. 1806, Oeuvres t. 10 6*

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II. Ecole Polytechnique.

Kern der neuen Gedankenwelt z u verhüllen sucht. E s bringt s t a t t dessen i n allen kritischen P u n k t e n eine einwandfreie arithmetische B e g r ü n d u n g ; v o n diesem F u n d a m e n t a l w e r k a u s b e g i n n t die s o g . „Arithmetisierung" der g e s a m t e n Mathematik. D a ß a u c h dieser große Geist Vorläufer h a t t e , w i e er andererseits UnVollkommenheiten der N a c h w e l t auszugleichen überließ, wird keinen geschichtlich Denkenden überraschen. V o n den Vorgängern (die Cauchy nicht zitiert) ist v o r allem B o l z a n o z u n e n n e n , der 1817 d e n ganz scharfen Begriff der Stetigkeit ebenfalls erfaßte u n d sogar noch weiter­ gehend zergliederte (wie schon oben S. 56 bemerkt). Ü b e r R e i h e n ­ konvergenz finden sich bei G a u ß 1812 eine Anzahl Kriterien, die freilich nicht s o tief in den Gegenstand eindringen. W a s schließUch den eigen­ artigen B e w e i s d e s F u n d a m e n t a l s a t z e s der Algebra betrifft, s o w a r dieser v o n A r g a n d schon 1815 m Gergonnes Annalen gegeben worden. Argand ist auch emer der ersten, die m i t der geometrischen D e u t u n g der Zahlen χ + iy hervorgetreten sind, u n d zwar in einer besonderen Schrift v o n 1806^). Schheßlich bleibt u n s n o c h übrig, auf d a s aufmerksam z u m a c h e n , w a s Cauchy noch mangelte. E s ist e i n i h m fehlender wichtiger Begriff, der seine Theorie der unendlichen R e i h e n nicht z u letzter V o l l k o m m e n ­ heit gelangen ließ, der Begriff der gleichmäßigen resp. ungleichmäßigen Konvergenz einer Reihe in e i n e m Intervall. D i e U n k e n n t n i s dieses Begriffes läßt Cauchy auf S. 120 d e n unrichtigen Satz aussprechen, d a ß eine konvergente R e i h e stetiger F u n k t i o n e n i m KonvergenzintervaU n o t w e n d i g stetig sei, d e n er, eben unter U m g e h u n g d e s w i c h t i g e n Begriffes der Gleichmäßigkeit, daselbst fälschhch beweist. D i e e n d ­ gültige Klärung dieser Verhältnisse blieb einer späteren Zeit v o r behalten«). D a s z w e i t e Cauchysche Werk, die Legons sur Ie calcul infinitesimal behandelt d i e Fragen der Grundlegung der Infinitesimalrechnung. E s enthält d i e strenge, v o n aller Metaphysik befreite, auf d e m Grenzbegriff ruhende Darstellung dieses Gebietes, wie sie seitdem in der M a t h e m a t i k m a ß g e b e n d geworden i s t . I m Gegensatz z u m Cours d'Analyse b e w e g t sich dieses Werk fast durchweg i m reellen Gebiet. Zum Grundstem des g a n z e n Gebäudes wird der a n sich seit l a n g e m , jedenfalls s c h o n Lagrange b e k a n n t e Mittelwertsatz g e m a c h t (S. 46), den wir in Cauchys m o d e m e r Ausdrucksweise schreiben

D i e Integralrechnung ihrerseits b e g m n t S. 122 m i t der Definition d e s b e s t h n m t e n Integrals, für welches ebenda der arithmetische E x i s t e n z Zuerst findet sie sich bei C a s p a r W e s s e l 1798 (reproduziert Arch. for Math. Ok Nat. 18, 1896). *) Vgl. S. 102.

Cauchy. Grundlegung der Analysis.* Differentialgleichungen.

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beweis g e g e b e n wird. E r s t daran anschließend wird v o n S. 2 1 4 an die E n t w i c k l u n g v o n F u n k t i o n e n in die Taylorsche R e i h e gegeben, die unter ständiger Berücksichtigung des g e n a u a b g e s c h ä t z t e n RestgHedes durch­ aus unter d e m Gesichtspunkt der praktischen A n n ä h e r u n g einer v o r ­ g e g e b e n e n F u n k t i o n b e t r a c h t e t wird. D u r c h numerische Beispiele wird die praktische Brauchbarkeit der Methode dargelegt. Darüber wird selbstverständlich der A u s b a u n a c h theoretischer Seite nicht v e r n a c h ­ lässigt. S. 2 3 0 findet sich das b e r ü h m t e Beispiel einer trotz K o n v e r g e n z der Taylorschen Reihe nicht entwickelbaren F u n k t i o n : an der Stelle Λ; = 0.

f{x) =

e'"^'

D e m A u f b a u würde es sich n u n natürlich anschUeßen, w e n n a n dieser Stelle der F u n d a m e n t a l s a t z der Infinitesimalrechnung, n ä m l i c h daß die Operationen d e s Differenzierens u n d Integrierens zueinander invers sind

ausgesprochen wäre. (In anderer Darstellung wird diese R e l a t i o n häufig zur Definition d e s Integrals gemacht.) Der S a t z findet sich hier jedoch nicht u n d ist erst ausführlich ausgesprochen in d e m W e r k d e s A b b e M o i g n o , das dieser nach Cauchys Ideen u n d auf seine A n r e g u n g hin 1 8 4 0 — 4 4 h e r a u s g a b : Legons sur Ie calcul diffirentiel et intigral (d'apres Cauchy). D i e Stelle findet sich B a n d I I , S. 4. D a s Gebiet der Differentialgleichungen ist v o n Cauchy in so m a n n i g ­ facher W e i s e u n d n a c h so v i e l e n R i c h t u n g e n h i n bearbeitet w o r d e n , daß es schlechterdings unmögHch erscheint, alle R e s u l t a t e z u n e n n e n oder gar über die Fülle der hierher gehörigen P u b l i k a t i o n e n einen Ü b e r "bhck z u geben. Ich b e g n ü g e m i c h d a m i t , einige w e s e n t l i c h e P u n k t e hervorzuheben. A u c h auf diesem Gebiet gebührt Cauchy der R u h m , als erster d e n Existenzbeweis für die L ö s u n g e n irgendwelcher Differentialprobleme geführt z u h a b e n , die sich i m nichtsingulären Gebiet irgendwelchen A n f a n g s w e r t e n anpassen. V o n den verschiedenen M e t h o d e n , die Cauchy a n w e n d e t , n e n n e ich hier nur die beiden b e k a n n t e s t e n : 1. D a s Differentialproblem wird durch ein Differenzenproblem — die g e s u c h t e F u n k t i o n s k u r v e durch einen P o l y g o n z u g — ersetzt u n d v o n dessen L ö s u n g durch Verkleinerung der die P o l y g o n s e i t e n b e s t i m ­ m e n d e n Intervalle zur Grenze übergegangen. D u r c h den N a c h w e i s der K o n v e r g e n z des Verfahrens g e g e n eine Grenze — e b e n die L ö s u n g des Differentialproblems — , ist der E x i s t e n z b e w e i s der letzteren geführt. D i e s Verfahren entspricht g e n a u der v o n Cauchy g e g e b e n e n Definition des b e s t i m m t e n Integrals u n d dessen numerischer B e r e c h n u n g . (Für praktische A p p r o x i m a t i o n verbessert in der S i m p s o n s c h e n Regel.)

II. EcQle Polytechnique. 2. Man n i m m t an, d a ß sich die Koeffizienten der Differential­ gleichung in konvergente Potenzreihen entwickehi lassen. D a n n lassen sich für die gesuchten Integrale Potenzreihen formal ansetzen, deren Konvergenz m a n durch die Aufstellung v o n Majoranten beweisen kann. Cauchy nannte dies Beweisverfahren „ m e t h o d e d e s l ü n i t e s " understreckte den Ansatz u n d seine Durchführung auch auf k o m p l e x e s Gebiet. A u c h diese Gedanken Cauchys verdanken ihre E n t s t e h u n g schon den 20er Jahren. W i r finden in ihnen Schritt für Schritt die Anfänge der arithmetisierten modernen Analysis. U m s o wunderbarer m u ß e s uns erscheinen, d a ß gerade diese Arbeiten a u s der Lehrtätigkeit an der polytechnischen Schule hervorgegangen sind, ein B e w e i s dafür, welch ungewöhnlich hohe Anforderungen n a c h rein m a t h e m a t i s c h e r Seite der auf d a s Praktische gerichteten Ausbildung zugrunde gelegt wurden. Weniger i m Zusammenhang mit seiner pädagogischen Tätigkeit s t e h t die zweite große Leistung Cauchys, die sich an B e d e u t u n g neben die der kritischen Begründung der A n a l y s i s stellen darf: die Grundlegung einer allgemeinen Theorie der Funktionen komplexen Arguments, W i e i m Gebiet der Differentialgleichungen, ist e s mir auch hier unmöglich, eine erschöpfende Darstellung des v o n Cauchy Geschaffenen zu geben. I c h hebe nur zwei grundlegend wichtige Probleme heraus, u m d i e sich alles übrige gruppiert: 1. Die Integration im komplexen Gebiet über geschlossene Kurven. Cauchys berühmter Satz über d a s Kurvenintegral eindeutiger komplexer Funktionen !f{z)dz^2niZk, wo k die Residua der v o n der K u r v e C umschlossenen einzelnen U n s t e t i g keitsstellen bedeutet (höhere Singularitäten, w i e etwa wesentlich singu­ lare P u n k t e oder Häufimgsstellen v o n Polen usw. k a n n t e Cauchy noch nicht), wurde ganz allmählich, tastend gefunden. Cauchy, der keineswegs die b e w u ß t e Absicht h a t t e , eine allgemeine Theorie der k o m p l e x e n Funktionen z u begründen, b e g a n n m i t der Integration über die Seiten eines Rechtecks, wobei er die beiden verschiedenen Verbindungswege zwischen zwei einander diagonal gegenüberiiegenden E c k e n wählte. Diesen Untersuchungen schheßt sich die Integration über eine beliebige, die betreffenden P u n k t e verbindende krumme Linie a n , d i e schwieriger war, w e ü sie die Definition d e s allgemeinen Kurvenintegrals voraus­ setzte. I m Besitz d e s fertigen, abgeklärten Satzes war Cauchy erst 1840, doch datiert m a n seine diesbezüglichen Arbeiten gern v o n einer kleinen Abhandlung a n , die 1825 für sich erschien i ) : „Memoire sur les ifUigraks difinies prises entre des limites inmginaires." D e u t s c h hegt Sie i n der v o n Stäckel besorgten Ausgabe, i n Ostwalds Klassikern Jd. 7. S. 265. 1874; Bd. 8.

Cauchy. Komplexe Funktionen.

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(Nr. 112) vor. D e r I n h a l t dieser A b h a n d l u n g berührt sich vielfach m i t Gauß' drittem B e w e i s des F u n d a m e n t a l s a t z e s der Algebra. A u c h hier wird v o n Doppelintegralen, g e n o m m e n über die v o n der K u r v e u m ­ schlossene Fläche, ausgegangen. D a ß übrigens die v o n Valson auf­ gestellte B e h a u p t u n g , n i e m a n d sei vor dieser Arbeit Cauchys i m B e s i t z der Idee des u m s c h h e ß e n d e n Kurvenintegrals gewesen, unrichtig ist, wird schon durch die früher mitgeteilte Tatsache widerlegt, d a ß Gauß bereits 1811 den Charakter des Integrals ί ~

g e n a u kannte.

Sogar bis zu d e m

auf behebige Integranden bezüghchen allgemeinen Satz, den wir Cauchy verdanken, scheint er schon vorgedrungen z u sein ^). W i e sehr aber Cauchy die Tragweite dieses Satzes erkannte, zeigen die vielen schönen und w i c h t i g e n A n w e n d u n g e n , die er sogleich d a v o n m a c h t e . 2. Die Entwicklung einer beliebigen Funktion komplexen Arguments in eine Potenzreihe, deren Konvergenzradius durch die Entfernung des n ä c h s t h e g e n d e n singulären P u n k t e s gegeben ist. Der Satz erschien 1831 in d e n Turiner Memoiren, als Cauchy bereits in der V e r b a n n u n g lebte. 1837 teilte er ihn in e i n e m in den Comptes R e n d u s veröffentUchten Brief a n Coriolis mit, als er seine R ü c k k e h r nach Paris vorbereitete, die 1838 erfolgte. A u c h bei diesem P r o b l e m arbeitet Cauchy stets m i t den als Annäherungsformeln aufgefaßten endlichen S u m m e n , deren Restglied er genau abschätzt. Obwohl Cauchy nach seiner Rückkehr keine öffentliche Unterrichts­ tätigkeit ausübte, war er doch durch seme Schriften, die n u n allmähUch zu wirken begannen, v o n großem Einfluß auf die W e i t e r e n t w i c k l u n g der Wissenschaft. So erfährt sein Satz bald durch zwei jüngere Mathe­ matiker eine wesentliche Erweiterung: 1843 (Comptes R e n d u s B d . 17, S. 938) gelingt L a u r e n t die E n t ­ wicklung emer i m Bereiche eindeutigen F u n k t i o n f (x + iy) innerhalb emes Kreisringes, dessen U m g r e n z u n g e n durch die nächstgelegenen singulären P u n k t e gehen, nach positiven u n d n e g a t i v e n P o t e n z e n v o n X + iy. 1850 (J. m a t h . pures appl. (LiouviUe) B d . 15, S. 365) s e t z t P u i s e u x die R e i h e n e n t w i c k l u n g m einem „Verzweigungspunkte'' an u n d zeigt, daß sie n a c h gebrochenen P o t e n z e n v o n χ + iy fortschreitet. Mit diesen E r g ä n z u n g e n , die ich der VoUständigkeit halber gebe, greife ich bereits w e i t hinaus über den Zeitraum, v o n dessen B e d e u t i m g in der Enwicklungsgeschichte der p o l y t e c h n i s c h e n Schule n a c h m a t h e ­ matischer Hinsicht hier berichtet werden sollte u n d der 1830 seinen A b s c h l u ß fmdet. E s erscheint natürhch, dieses Jahr als Grenze anzu­ s e h e n ; d e n n u m diese Zeit b e g i n n t m i t d e m W e g g a n g Cauchys v o n Vgl. den Brief an Bessel, Gauß' Werke Bd. 10, 1. S. 365ff.

II. Ecole Polytechnique. Paris eine nicht zu verkennende Erschlaffung der französischen P r o duktivität, während gleichzeitig sich die D e u t s c h e n allmählich zur führenden N a t i o n entwickeln. Für die merkwürdige Erscheinung des Absterbens des bis zu dieser Zeit so überaus blühenden Lebens unserer Wissenschaft in Frankreich sind mannigfache Gründe angeführt worden. Man hat die v o n Poisson u n d anderen Schülern v o n Laplace vertretene Tendenz, nur noch die angewandte Mathematik zu pflegen u n d g e l t e n zu lassen, dafür v e r a n t wortlich gemacht. E s will mir aber scheinen, daß m a n hier Ursache u n d Wirkung verwechselt hat, denn ich bin der Meinung, daß eine solche einseitige Entwicklung, die das richtige Gleichgewicht zwischen Theorie u n d A n w e n d u n g nicht mehr zu halten w e i ß , bereits die F o l g e u n d das äußere Anzeichen eines tiefergehenden Ü b e l s ist. A u c h die Ansicht, der Niedergang habe seine Ursache in der traurigen Aussiebung des jungen N a c h w u c h s e s durch die fortgesetzten großen Kriege, kann sich nicht halten angesichts des E m p o r b l ü h e n s des m i n d e s t e n s ebenso hart mitgenommenen Deutschland. Der Grund, d e m ich diese eigentümliche Erscheinung zuschreiben möchte, scheint mir vielmehr in einem allgemeinen psychologischen Gesetz zu liegen, das für die einzelnen wie für die Völker sich geltend m a c h t : daß auf Perioden des A u f s c h w u n g s erbarmungslos Perioden der R u h e u n d U n p r o d u k t i v i t ä t folgen. U n d wie im Leben der einzelnen ein junger kräftiger Ersatz meist vorhanden zu sein pflegt, w e n n m a n ihm nur R a u m gibt, u m heranzuwachsen u n d sich zu entfalten, so schieben sich auch im Völkerleben andere N a t i o n e n an die Stelle der ermüdeten, deren Errungenschaften sie der eigenen, neue Früchte bringenden Arbeit zugrunde legen. Natürlich können und sollen zeitliche Einteilungen der Geschichte nur dazu dienen, die großen Linien der E n t w i c k l u n g klar hervorz u h e b e n ; sie dürfen nicht mechanisch in allzu wörtlichem Sinne aufgefaßt werden. So scheint eine überraschende Erscheinung das eben Gesagte Lügen zu strafen, die gerade u m 1830 herum in Frankreich als ein neuer Stern v o n u n g e a h n t e m Glänze a m H i m m e l der reinen Mathematik aufleuchtet, u m freilich, einem Meteor gleich, sehr bald zu verlöschen: E v a r i s t e G a l o i s . Galois wurde im Oktober 1811 bei Paris geboren. Bereits als Schüler des L y c e e begann er 1828 zu publizieren. E r beabsichtigte, in die Ecole Polytechnique einzutreten, fiel jedoch 1829 zweimal in der Aufnahmeprüfung durch. A l s Erklärung gibt er selbst an, die an ihn g e stellten Fragen seien zu kindische gewesen, als daß es ihm m ö g l i c h gewesen wäre, sie zu beantworten. Schließlich wurde er 1829 in die £ c o l e Normale a u f g e n o m m e n ; schon 1830 aber wird er wieder e n t lassen w e g e n ungebührlichen Betragens. Besonders sein „unerträghcher

Galois.

Die Galoissche Theorie.

H o c h m u t " wird gertigt. Galois sttirzte sich n u n in die politische Agi­ t a t i o n , geriet infolgedessen in Konflikt m i t der Regierung u n d schließhch ins Gefängnis, in d e m er m o n a t e l a n g festgehalten wurde. I m Mai 1832 fand dies vielbewegte L e b e n bereits ein E n d e ; Galois fiel in einem Duell, z u d e m ihn eine Liebesgeschichte getrieben h a t t e . E i n e ausftihrhche Biographie v o n Galois h a t D u p u i s gegeben in den A n n a l e s de TEcole N o r m a l e Sup^rieure 1896. Seine Werke wurden z u m ersten Mal v o n L i o u v i l l e 1846 e i n e m weiteren Kreise zugänglich g e m a c h t 1). Sie umfassen in der Sonderausgabe (1897) 60 Seiten O k t a v ! Der A u s g a b e ist ein Porträt des jugendlichen A u t o r s beigegeben, dessen knabenhaft kecker, fast mutwilliger Ausdruck den s e l t s a m s t e n Gegen­ satz bildet zu d e m wunderbar tiefgehenden, dabei völlig klaren, reif durchgebildeten T e x t des Werkes. Dieser Gegensatz veranschaulicht den inneren Widerspruch, an d e m Galois zugrunde g e g a n g e n ist. E i n e unerhörte Frtihreife, v e r b u n d e n m i t einem nicht z u bändigenden T e m ­ perament, daß sich keiner Ordnung, keiner Regel ftigen wollte, eine Leidenschaftlichkeit des W e s e n s , die sich selbst verzehrte, lassen ihn als d e n t y p i s c h e n Vertreter des ungeordneten, echt französischen Genies erscheinen. Galois' große Leistungen liegen nach zwei R i c h t u n g e n . 1. E r schuf die erste, durchgreifende Klassifikation der Irratio­ nalitäten, die durch algebraische Gleichungen definiert werden, die Lehre, die m a n noch h e u t e kurzweg als Galoissche Theorie bezeichnet. 2. E r beschäftigte sich w e i t g e h e n d m i t den Integralen beliebiger algebraischer F u n k t i o n e n einer Veränderhchen — Aheischen Integralen, wie wir h e u t e sagen — u n d hinterließ auf diesem Gebiete gewisse R e ­ sultate, die ihn als Vorläufer R i e m a n n s erscheinen lassen. Als einen dritten P u n k t h ä t t e m a n vielleicht noch eine A n d e u t u n g zu erwähnen, auf deren präzisen Inhalt aber w e g e n ihrer gar z u k n a p p e n F a s s u n g nicht geschlossen werden kann. Galois spricht in seinem A b ­ schiedsbrief an Chevalier v o n U n t e r s u c h u n g e n tiber die „ a m b i g u i t e des f o n c t i o n s " ; es wäre möglich, d a ß hierin ein H i n w e i s auf die Idee der R i e m a n n s c h e n Fläche u n d des vielfachen Z u s a m m e n h a n g s e n t h a l t e n wäre. D i e Leistungen Galois' sind ohne eine K e n n t n i s der „Galoisschen Theorie" nicht in ihrem W e r t richtig einzuschätzen. Ich m ö c h t e d a r u m versuchen, m i t wenigen W o r t e n die hauptsächlichen G e d a n k e n w e n d u n g e n dieser Theorie a n z u d e u t e n , w e n n es mir auch nicht m ö g l i c h sein wird, v o n ihrer ganzen Tragweite in dieser Ktirze einen Begriff z u geben. E h e ich aber damit beginne, m ö c h t e ich auf die eigenttimliche Rolle 1) Journ math. pures appl Bd. 11, S. 381 ff. — Deutsch in den von Maser herausgegebenen „Abhandlungen über die algebraische Auflösung der Gleichungen von N . H . A b e l und F. G a l o i s , " Berlin 1889. Ferner: J u l e s T a n n e r y : Manuscrits de Evariste Galois, Paris 1889 (Extrait du Bull. d. sciences Math., 2. ser., t. 30 et 31, 1906, 1907).

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II. Ecole Polytechnique.

hinweisen, welche die Galoissche Theorie als Unterrichtsgegenstand an unseren Universitäten spielt. Sie löst hier einen Widerspruch aus, der sowohl für die Lehrenden als für die Lernenden zu bedauern ist. Auf der einen Seite fühlen sich nämlich die D o z e n t e n , begeistert durch die besondere Genialität der Erfindung u n d die Tragweite der tief ein­ dringenden Resultate, besonders dazu b e w o g e n , über Galoissche Theorie zu lesen; auf der anderen Seite bietet gerade dieses Gebiet für das durchschnittliche Verständnis des Anfängers ganz ungeheure Schwierig­ keiten. So k o m m t d e n n in den meisten Fällen das traurige Ergebnis zustande, d a ß die m i t besonderer Begeisterung u n d Freudigkeit unter­ nommene Anstrengung des D o z e n t e n an der Menge seiner Zuhörer m i t ganz wenigen Ausnahmen abgleitet, ohne irgendwelches Verständnis erweckt zu haben. D i e besondere Schwierigkeit der Aufgabe, welche die Galoissche Theorie d e m Darsteller bietet, m a g ihren A n t e i l an diesem Resultat haben. Der N i m b u s , den die Galoissche Theorie infolge der Schwierigkeit des Eindringens allmähhch erhieU, m a g ein w e n i g beigetragen h a b e n zu der Überschätzung, die sie i m breiten m a t h e m a t i s c h e n P u b h k u m häufig genießt. Man glaubt, m i t ihr seien alle Probleme der algebra­ ischen Gleichungslehre endgültig erledigt. D i e s ist natürhch nicht der Fall. D i e Galoissche Theorie b e a n t w o r t e t zwar wichtige Fragen der Gleichungslehre in allgemeinster W e i s e ; sie bildet aber das Tor zu e i n e m neuen, weitausgedehnten, noch gänzlich u n b e k a n n t e n Gebiet, dessen Problemfülle abzusehen wir noch gar nicht i m s t a n d e sind. D i e s Gebiet möchte ich, einer im persönhchen Gespräch m i t Gordan e n t s t a n d e n e n Tradition folgend, als „Hypergalois" bezeichnen. U n d nun z u m Inhalt der Theorie selbst. Ich beginne m i t einer Angabe der traditionellen Fragestellung, wie sie sich angesichts irgend einer vorgelegten Gleichung α,%" + α,%"-ι 4+ O erhob. Sie lautete: w i e steht es mit der allgemeinen Auflösung einer solchen Gleichung durch Resolventenbildung, d. h. durch die B i l d u n g von Gleichungen, deren Wurzeln rationale F u n k t i o n e n der g e s u c h t e n Wurzeln der vorgelegten Gleichung s i n d ? K a n n die Gleichung durch rationale Prozesse auf irgend eine Reihe einfacher Hilfsgleichungen zurückgeführt werden? Insbesondere: ist e t w a die Rückführung auf eine K e t t e reiner Gleichungen, oder, w a s dasselbe ist, die Auflösung der Gleichung durch Wurzelzeichen m ö g l i c h ? Wir m ü s s e n nun v o n vornherein verschiedene Fälle unterscheiden, nach der Art der Allgemeinheit, in der die Gleichung aufgestellt ist. U m die beiden extremen Fälle zu n e n n e n : L Die Koeffizienten a^, a^,, , . der Gleichung k ö n n e n völlig frei veränderliche Größen sein. D a n n liegt also eine ganze Schar v o n Glei-

Die Galoissche Theorie.

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chungen vor, die nur durch den g e m e i n s a m e n Grad η v o n der Gesamtheit aller algebraischen Gleichungen ausgeschieden sind. 2. D i e Koeffizienten ao, a^, . . . können ganz b e s t i m m t e , feste W e r t e e t w a b e s t i m m t e ganze Zahlen b e d e u t e n . D a z w i s c h e n d e h n t sich ein großes Gebiet mannigfaltiger Über­ gangsfälle. D i e Koeffizienten können e t w a ganzzahlige rationale F u n k ­ tionen eines Parameters sein u n d dergleichen mehr. E s ist nun die erste wichtige Gedanken W e n d u n g v o n Galois, daß er vorab eine genaue Definition dessen verlangt, w a s als ,,rational" angesehen werden soll. Er schafft den Begriff des „ R a t i o n a h t ä t s bereiches". Diese Bezeichnung ist später, der Begriff selbst findet sich, unabhängig v o n Galois, auch bei Abel in seinem „Memoire sur une ciasse particuliere d'equations resolubles algebriquement" Grelle B d . 4. 1829 (Werke, B d . I, S. 479). Als einfachster, „natürlicher" Rationahtätsbereich ergibt sich die Gesamtheit der Koeffizienten , . . . u n d alles dessen, w a s sich m i t Hilfe ganzer Zahlen aus ihnen rational aufbauen läßt, d. h. der Bereich der rationalen ganzzahligen F u n k t i o n e n der ^o, . . . N u n kann aber der Rationalitätsbereich erweitert werden, i n d e m m a n zu den E l e m e n t e n ^o, . . ., aus denen er aufgebaut ist, eine oder mehrere b e s t i m m t e Größen h i n z u n i m m t u n d nun aus ihnen u n d den Koeffizienten rationale, ganzzahlige F u n k ­ tionen bildet, deren Gesamtheit den „Bereich" a u s m a c h t . Man s a g t : die betreffenden Größen sind d e m Bereich „adjungiert", So können z. B. die n-ten Wurzeln der E i n h e i t oder irgend ein für die Koeffizienten wichtiger Parameter d e m Rationalitätsbereich adjungiert werden. Auf Grund dieser Begriffe spricht Galois das Grundtheorem a u s : B e i gegebener Gleichung f =0 u n d g e g e b e n e m R a t i o n a h t ä t s b e r e i c h gibt es immer eine ^^ertauschungsgruppe der Gleichungswurzeln x^, x^, . . Xn v o n der Eigenschaft, daß jede „rationale" F u n k t i o n R (x^, x^y ^ - > Xn) ~ i. e. jede aus den Wurzeln u n d Größen des Rationalitätsbereiches rational aufgebaute F u n k t i o n — , welche bei den Vertauschungen der Gruppe numerisch ungeändert bleibt, „rational" ist (dem R a t i o ­ nahtätsbereich angehört), u n d u m g e k e h r t : so, daß jede F u n k t i o n R{x^, X^, . . „ X^, die „rationalen" W e r t hat, bei den Vertauschungen der Gruppe numerisch ungeändert bleibt. D i e ganze Tragweite dieses Theorems, dessen B e w e i s ich hier nicht einmal andeuten kann, läßt sich selbstverständHch nicht in wenigen Minuten darstellen u n d erfassen; sie wird wohl nur d e m wirklich b e w u ß t werden, der sich selbständig m i t Einzelproblemen dieses Gebietes beschäftigt. U m nicht nur i m Allgemeinen stecken z u bleiben, m ö c h t e ich wenigstens e i n spezielleres Beispiel andeuten, m i t d e m sich Galois besonders beschäftigte. E s h a n d e l t sich darum, die B e d i n g u n g e n auf­ zustellen, daß eine irreduzible Gleichung v o m Primzahlgrade p durch reine Gleichungen z u lösen ist. Galois findet sie in der Möglichkeit, die

II. Ecole Polytechnique. Wurzeln so anzuordnen, daß die „ G r u p p e " der Vertauschungen gegeben ist durch x.'=^Xav^h, v'^av + b (mod/)), v=l,2,,,.,p, wo α = 1, 2, . . . , ( / ) — 1) sein kann, u n d b = 0, l, 2, . . (p — 1) ist, so daß die Gruppe im M a x i m u m p (p — l) Vertauschungen enthält. I m Falle α = const = 1, w o nur /> Vertauschungen existieren, spricht m a n v o n einer zyklischen Gruppe, die übrigen Fälle bezeichnet m a n als metazyklische Gruppen. Die notwendige u n d hinreichende B e d i n g u n g für die Auflösbarkeit einer irreduziblen Gleichung v o m Primzahlgrade durch Wurzelzeichen ist also die E x i s t e n z einer m e t a z y k h s c h e n Gruppe, an deren Stelle im Spezialfall die zykHsche Gruppe treten kann. E s mögen nun hier auch die Grenzen angedeutet sein, die der Trag­ weite der Galoisschen Theorie gesetzt sind. Sie liefert für die Auflös­ barkeit der Gleichungen durch R e s o l v e n t e n ein allgemeines Kriterium und einen W e g zu ihrer Auffindung. Sofort ergeben sich aber weitere Probleme: D i e Aufstellung aller Gleichungen /*„ = 0, die bei g e g e b e n e m Rationahtätsbereich eine b e s t i m m t e , vorgegebene Gruppe besitzen; die Untersuchung, ob und e v e n t u e l l durch welche Mittel zwei derartige Gleichungen aufeinander reduziert werden können usw. D a s ist das ungeheure Gebiet noch h e u t e ungelöster Fragen, auf welche die Galois­ sche Theorie hinweist, ohne z u ihrer B e a n t w o r t u n g die Mittel zu geben. Galois' Arbeiten sind bei aller Ursprünglichkeit natürlich nicht ohne Zusammenhang m i t der sonstigen E n t w i c k l u n g der Wissenschaft. Lagrange, Gauß und Abel sind v o n entscheidendem Einfluß für ihn gewesen. Während aber diese Vorgänger die Lösung des Problems doch nur in Einzelfällen besaßen, wenn nämlich die Rückführung auf Kreis­ teilungsfunktionen oder elHptische F u n k t i o n e n möglich war, wurde sie von Galois in v o ü k o m m e n s t e r Allgemeinheit erbracht. Man darf v e r m u t e n , daß Galois auf d e m eingeschlagenen W e g e zu neuen Erfolgen weitergeschritten wäre u n d die W e l t m i t h e u t e noch ungeahnten Erkenntnissen beschenkt h ä t t e , wenn i h m sein leiden­ schaftliches Temperament nicht ein so frühes E n d e bereitet h ä t t e . Von der Kühnheit und Zuversicht, m i t der er seiner Schöpfung und den noch wartenden Problemen gegenüberstand, gibt uns ein Brief K e n n t n i s , in d e m er a m Abend vor seinem T o d e seinem Freunde Chevalier sein Wissenschafthches Vermächtnis mitteilt (Werke, S. 32). D a s eigen­ artige D o k u m e n t wirkt ergreifend durch die schHchte Klarheit, m i t welcher der 20 jährige Schreiber stolz-bescheiden sich u n d seine B e d e u ­ tung für die Wissenschaft einschätzt. E s schheßt ab m i t den W o r t e n : ,,Je me suis souvent hasarde dans m a vie ä avancer des prop o s i t i o n s d o n t j e n ' e t a i s p a s s u r ; m a i s t o u t ce que j'ai ecrit lä est depuis bientot un an dans m a tete, et il est trop de m o n interet de ne p a s m e tromper pour qu'on m e soupgonne d'enoncer des theoremes dont je n'aurais pas Ia demonstration complete.

Die Galoissche Theorie. — Plane in Berlin.

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,,Tu prieras p u b l i q u e m e n t J a c o b i ou Gauß de donner leur avis n o n sur Ia verite, m a i s sur Timportance des theoremes. „Apres cela, il y aura, j'espere, des gens qui trouveront leur profit ä dechiffrer t o u t ce gächis." Mit der B e h a u p t u n g , daß er nichts Unrichtiges hinterlasse, h a t , Galois recht b e h a l t e n ; leider ist aber seine Hoffnung auf eine Anerken­ n u n g u n d Fortwirkung durch Gauß u n d Jacobi nicht in Erfüllung gegangen. Erst viel später sind seine Werke durch die Tätigkeit Liouvilles (1846) langsam an die Öffentlichkeit gedrungen^).

Drittes

Kapitel.

D i e Gründung des Crelleschen Journals und das Aufblühen der reinen Mathematik in Deutschland. D a s neue D e u t s c h l a n d des 19. Jahrhunderts, das sich allmählich aus den Napoleonischen Kriegen heraus entwickelt, ist in seinem W e s e n b e s t i m m t durch die v o n Frankreich k o m m e n d e n Anregungen, die i m Sinne des deutschen Geistes verarbeitet werden. W i e auf anderem Gebiet Goethe, so s t e h t in unserer Wissenschaft Gauß außerhalb der v o n der Zeitströmung getragenen E n t w i c k l u n g . D i e s e E n t w i c k l u n g s e t z t in Berlin ein, aber, wie schon früher bemerkt, für die e x a k t e n Wissenschaften e t w a s später als auf anderen wissenschaftlichen Gebieten. Für die Geisteswissenschaften bildet die Gründung der U n i v e r s i t ä t Berlin 1810 den A u s g a n g s p u n k t . Sie blühen auf, g e s t ü t z t auf die n e u ­ humanistische Lehre v o n der freien Bildung der Persönlichkeit, die sich v o m Interesse für die e x a k t e n Wissenschaften direkt a b w a n d t e . Hier m a c h t sich die neuzeitliche R e g u n g erst v o n 1820 ab bemerkbar, wesentlich durch die I n i t i a t i v e A l e x a n d e r v o n H u m b o l d t s , wie ich es früher ja bereits dargelegt habe. In enger Verbindung m i t diesem anregenden, u n t e r n e h m e n d e n Geiste steht der General v o n M ü f f l i n g , der seit 1820 Chef des Generalstabes war. W i r finden hier die N a p o ­ leonische Tradition einer W e r t s c h ä t z u n g der M a t h e m a t i k v o n mili­ tärischen Gesichtspunkten aus fortgesetzt, wie sie durch Scharnhorst für Preußen v o n Einfluß geworden ist. A u s diesen Kreisen e n t s t e h t nun, unabhängig v o n den gleichzeitigen Bestrebungen, die überall zur H e b u n g des Gewerbes einsetzen, u n d aus denen unser technisches F a c h - u n d H o c h s c h u l w e s e n e n t s t a n d e n ist, der Gedanke, ein u m f a s ­ sendes polytechnisches I n s t i t u t v o n vornehm-wissenschaftUchem Cha1) Vgl. auch L K o e n i g s b e r g e r : C G. J. Jacobi, Festschrift, Leipzig 1904, S. 435.

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III. Das Crellesche Journal.

rakter nach d e m Muster der Ecole Polytechnique zu gründen. Man versuchte, Gauß als Direktor dieser Neuschöpfung zu gewinnen, der er ohne jede Lehrverpflichtung — abgesehen v o n der i h m selbst erwünsch­ ten Heranbildung von Spezialschülern — nur durch seine wissenschaft­ liche Persönlichkeit und seine organisatorischen Gaben dienen sollte. Alle wissenschaftlichen I n s t i t u t e (z. B . Sternwarten) des Staates sollten ihm unterstehen, und ein bestimmter Einfluß auf die Gesamtentwick­ lung des Unterrichtswesens in Preußen ward ihm eingeräumt (Bruhns : Briefe zwischen A. v o n H u m b o l d t und Gauß. 1877). Aber Gauß lehnte den Vorschlag E n d e 1824 ab. V o n dieser Zeit an gerät der großzügige Plan ins Stocken. Auch die Militärbehörden ziehen sich zurück. E s wird der Versuch gemacht, das Projekt in die Gründung eines besonderen Oberlehrerbildungsinstituts umzuwandeln, und in dieser F o r m wird der Plan noch jahrelang v o m Kultusministerium verfolgt. Als schließlich auch die Berufung von Abel 1829, die wenige Tage nach seinem T o d e in Kristiania eintraf, zu keinem Erfolge führte, wurde der Plan endgültig fallen gelassen. Diesem U m s t a n d ist es zuzuschreiben, daß die m a t h e ­ matisch-naturwissenschaftliche Lehrerbildung in Preußen schließlich doch den Universitäten als eine beträchtliche, für ihre E n t w i c k l u n g sehr wesentliche Aufgabe zufiel. Der heutige Zustand, den man zuweilen als aus dem Begriff der Universität mit logischer N o t w e n d i g k e i t folgend hin­ zustellen beliebt, verdankt also zufälligen Ereignissen seine E n t s t e h u n g . Bei der Betrachtung dieser E n t w i c k l u n g m ö c h t e ich eines Mannes gedenken, der zwar nicht selbst in produktiver Hinsicht v o n B e ­ deutung war, der Wibsenseliaft aber durch seine vielseitigen Interessen, seine vermittelnde N a t u r und seine organisatorischen Fähigkeiten große Dienste leistete, des Oberbaurats G r e l l e (1780—1855). Grelle ging v o n der Technik aus, für deren Unterrichtswesen er sich lebhaft interessierte. Von 1824 an wirkte er allgemein für die H e b u n g der e x a k t e n Studien, bis er 1828 als Referent in das preußische Kultusministerium eintrat. Auch z u m Mitglied der Berliner Akademie wurde er gewählt. Seine eigenen mathematischen Arbeiten, die er neben vielen anderen Inter­ essen nie ganz liegen läßt, sind zahlreich, aber nicht bedeutend. Sie tragen den damals in D e u t s c h l a n d vielverbreiteten enzyklopädischen Gharakter — eine Tradition des 18. Jahrhunderts — , indem sie viele verschiedenartige Gebiete berühren, ohne irgendwo in die Tiefe zu gehen. Hervorragende Dienste aber leistete Grelle der Wissenschaf t durch seine organisatorischen Gaben, durch seine liebenswürdige, vielseitige Persön­ lichkeit, die überall junge Talente erkannte und an sich zog. Vielen ver­ half er durch Schaffung einer Universitätsstellung zu einem Wirkungs­ kreis und zu freier Entfaltung ihrer Kräfte. A m meisten aber ist i h m unsere Wissenschaft verpflichtet für die Anregung u n d den Z u s a m m e n ­ schluß, den er ihr gab durch die Gründung d e s Journals für die reine und angewandte Mathematik (1826).

Plane in Berlin. Crelle.

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N i m m t m a n h e u t e einen B a n d dieser Zeitschrift zur H a n d , so m a g der T i t e l vielleicht Verwunderung erregen. Er erklärt sich zunächst historisch, denn er wurde v o n Gergonnes Annalen herübergenommen, wie er sich auch später noch, längst inhaltslos geworden, auf Liouvilles Journal (1836) übertrug. E s unterliegt aber k e i n e m Zweifel, daß Crelle m i t diesem Titel die ernste Absicht verband, eine die ganze M a t h e m a t i k umfassende Zeitschrift ins Leben zu rufen. W i e die Vorrede zu B a n d I zeigt, beabsichtigte er n i c h t nur d e m W a c h s t u m , sondern a u c h der Ver­ breitung der Wissenschaft zu dienen. Er w e n d e t sich d a r u m an einen „ a u s g e d e h n t e n " Leserkreis, nicht nur an die Spezialfach V e r t r e t e r , den er durch Übersetzungen fremdsprachlicher Werke, durch Bücher­ besprechungen, durch Aufgaben, in Z u s a m m e n h a n g m i t allen Quellen wissenschaftlichen Lebens zu bringen beabsichtigt. So beginnt der erste B a n d des Journals m i t der B e s t i m m u n g der W a s s e r m e n g e eines Stromes durch E y t e l w e i n , woran sich die erste A b h a n d l u n g v o n A b e l schließt, eine Zusammenstellung, die den heutigen Leser des Journals w o h l überraschen m a g . D a ß die tatsächliche E n t w i c k l u n g so ganz anders g e g a n g e n ist, als es in Crelles Absicht lag, hat seine Ursache in d e m herrschenden Geist der E p o c h e . Der neuhumanistische Untergrund des n e u e n wissen­ schaftlichen Lebens, dessen v o r n e h m s t e s Organ die Zeitschrift bald werden sollte, erwies sich stärker als das mehr s c h e m a t i s c h e D e n k e n ihres Begründers, der eher eine vermittelnde als eine führende N a t u r war. D a s neuhumanistische Ideal der reinen Wissenschaft als Selbst­ zweck, das die Verachtung aller Nützlichkeit i m g e m e i n e n Sinne in sich barg, führte bald zu einer gefhssentlichen Abkehr v o n allen der Praxis z u g e w a n d t e n Bestrebungen. Diese Geistesrichtung ergriff auch das ursprünglich allen Zweigen der Wissenschaft g e w i d m e t e Journal und s t e m p e l t e es z u e i n e m Organ abstrakter S p e z i a l m a t h e m a t i k v o n strengster Ausprägung, die i h m den Scherznamen , , J o u r n a l für reine, u n a n g e w a n d t e M a t h e m a t i k " eingetragen hat. Crelle, der d e m S t r o m der E n t w i c k l u n g nicht e n t g e g e n z u t r e t e n ver­ m o c h t e , ist d a r u m doch sich selbst treu geblieben; es war i h m jedoch nur in der F o r m möglich, d a ß er die beiden Sphären, in denen er heimisch war, nach außen trennte. V o n 1829 an gibt er, s e i n e m technischen Interesse folgend, ein besonderes „ J o u r n a l für B a u k u n s t " -heraus. W a s Crelle n a c h dieser Seite b e d e u t e t e , beleuchtet die T a t s a c h e , daß der 1 8 3 8 — 4 0 erfolgte B a u der wichtigen Eisenbahn B e r l i n — P o t s d a m n a c h seinen P l ä n e n ausgeführt wurde. D i e Mehrzahl der „ K u n s t s t r a ß e n " waren in Preußen schon in früheren Jahren ebenfalls auf Grund seiner E n t w ü r f e entstanden. Crelles Journal für Mathematik hingegen entwickelt sich, wie schon a n g e d e u t e t , trotz aller anfängHchen finanziellen Schwierigkeiten z u m wichtigsten Organ der fortschreitenden, reinen M a t h e m a t i k , die n u n

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III. Das Crellesche Journal.

in einseitiger aber glänzender A u s b ü d u n g an den deutschen Universi­ t ä t e n ihren Siegeszug antritt. Der erste B a n d enthält nicht weniger als fünf A b h a n d l u n g e n v o n A b e l ; daneben eine Abhandlung v o n J a c o b i u n d verschiedenes v o n S t e i n e r . In B a n d 3 (1828) erscheinen die N a m e n : D i r i c h l e t , M o e b i u s und P l ü c k e r . D a m i t sind die N a m e n der sechs Forscher aufgezählt, die wir n u n zunächst zu besprechen haben. I c h n e h m e die drei „ A n a l y t i k e r " Dirichlet, Abel u n d Jacobi voran u n d lasse die drei „ G e o m e t e r " Moebius, Plücker u n d Steiner folgen.

Analjrtiker des Crelleschen Journals. I c h beginne mit D i r i c h l e t , weil er sich a m engsten an die bisher besprochenen Untersuchungen, an G a u ß u n d die Franzosen anschließt. Weniger revolutionär veranlagt als seine beiden Zeitgenossen A b e l u n d Jacobi, brachte er die ererbte Tradition, i n d e m er sie lebendig weiterbüdete, zur Geltung. L e j e u n e D i r i c h l e t (1805—59) e n t s t a m m t e einer französischen Emigrantenfamilie. Er wurde 1805 als Sohn eines Posthalters geboren in Düren, w u c h s also auf unter den Eindrücken der rheinischen Groß­ industrie. 1822—27 lebte er als Hauslehrer in Paris u n d verkehrte dort, w i e schon erwähnt wurde, viel in d e m Fourierschen Kreise. Auf E m p ­ fehlung H u m b o l d t s wurde er 1827 D o z e n t in Breslau. D a s Jahr 1829 führte ihn nach Berlin, w o er n u n eine z u s a m m e n h ä n g e n d e T ä t i g k e i t v o n 26 Jahren ausübte, erst als D o z e n t , seit 1831 als außerordentlicher u n d v o n 1839 ab schließlich als ordentlicher Professor. Mit seiner Professur verband er eine eingehende Lehrtätigkeit an der Kriegs­ akademie u n d an der B a u a k a d e m i e , eine Verbindung v o n W i r k u n g s ­ kreisen, wie sie seither bei Berliner D o z e n t e n nicht selten gewesen ist. 1855 wurde Dirichlet als Nachfolger v o n Gauß n a c h Göttingen berufen, w o i h m jedoch nur noch eine kurze Wirksamkeit vergönnt war. E r starb 1859. In der Geschichte der M a t h e m a t i k h a t Dirichlet seine dauernde B e d e u t u n g nicht allein durch seine wissenschafthchen E n t d e c k u n g e n ; auch sein ganz besonderer Einfluß auf die Bildung des a n unseren Universitäten noch h e u t e übKchen Vorlesungstypus gibt nicht allein den Anlaß. W a s seinen N a m e n vor allem fortleben läßt, das ist die i h m eigentümliche Art der Erfassung u n d Vermittlung m a t h e m a t i s c h e r Erkenntnis. D a s innerhch klar Geschaute w u ß t e er, allein durch das Mittel der Sprache, so überzeugend darzustellen, d a ß es aus seinen Gründen wie selbstverständüch hervorzugehen schien. N i e m a n d ist der besonderen Art dieses Mannes in schönerer W e i s e gerecht geworden als Minkowski in seiner auf Dirichlet anläßlich der Göttinger Zentenarfeier 1905 gehaltenen Gedächtnisrede (Minkowskis Werke, B d . 2 , S. 447 ff.).

Dirichlet.

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In besonders eindringlicher, lebendiger Weise schildert Minkowski den i h m w a h l v e r w a n d t e n Meister. I h n m ö c h t e ich zitieren, u m Dirichlets Art a m lebendigsten zu bezeichnen: „ E r besaß die K u n s t , m i t e i n e m Minimum blinder Formeln ein M a x i m u m sehender Gedanken zu ver­ b i n d e n . " Diese Tendenz nennt Minkoswki „ d a s wahre Dirichletsche Prinzip". W i e bei Dirichlet Forschung u n d Unterricht untrennbar v e r b u n d e n waren, so möchte ich auch hier diese beiden R i c h t u n g e n seiner T ä t i g k e i t neben einander besprechen. In d e m ersten hier z u n e n n e n d e n Gebiet, der Zahlentheorie, h a t sich Dirichlet zunächst ein großes Verdienst erworben u m eine Pflicht, die die Mit- u n d N a c h w e l t bis zu seiner Zeit d e m großen Gauß schuldig geblieben war. Dirichlet war der erste verständige Leser der D i s q u i ­ sitiones Arithmeticae, die er immer bei sich trug, wieder u n d wieder studierte u n d durch vereinfachte Darstellung in w e i t e n Kreisen wirk­ s a m m a c h t e . A u s ihrem Geist sind seine eigenen Schöpfungen geboren, unter d e n e n die b e d e u t e n d s t e n sind: Der N a c h w e i s der E x i s t e n z u n ­ endlich vieler Primzahlen in jeder arithmetischen Progression, deren A n f a n g s g h e d u n d Differenz teilerfremde ganze Zahlen sind (1837; W e r k e , B d . 1, S. 313ff.), die B e s t i m m u n g der K l a s s e n a n z a h l binärer quadratischer F o r m e n gegebener Determinante (Crelle, B d . 18, S. 1838ff.) u n d die Inangriffnahme der Theorie der höheren algebraischen Zahlen (von 1840 an). D i e b e i d e n erstgenannten Fragen s t e h e n in e n g e m Zu­ s a m m e n h a n g e ; Dirichlets große Leistung, die der g e s a m t e n weiteren E n t ­ wicklung der Zahlentheorie die W e g e gewiesen hat, war die A n w e n d u n g analytischer F u n k t i o n e n auf arithmetische P r o b l e m e ; insbesondere s t e h e n i m Mittelpunkte seiner B e t r a c h t u n g e n R e i h e n der F o r m

Σ%

(jetzt „Dirichletsche R e i h e n " genannt). A u c h die Art, wie er durch geschickte Verwendung v o n Einheitswurzeln (wir sagen h e u t e dafür: Charaktere m o d . m) gerade die ihn interessierenden B e s t a n d t e i l e aus seinen R e i h e n aussondert, ist eine der wichtigsten Erfindungen und blieb für die Folge vorbildlich. In der Theorie der algebraischen Zahlen dehnte Dirichlet als erster die B e t r a c h t u n g e n über die quadra­ tischen Irrationalitäten u n d die Kreisteilungszahlen aus, i n d e m er d e n Begriff einer durch eine ganzzahlige Gleichung

b e s t i m m t e n Größe a n die Spitze stellte (nach D e d e k i n d : „ g a n z e alge­ braische Zahl") u n d n a c h den E i n h e i t e n fragte, die in d e m durch diese b e s t i m m t e n „ K ö r p e r " (wie wir h e u t e sagen) liegen.

Eine

„Einheit"

ist eine ganze algebraische Zahl, die einer Gleichung X^ + ax""-^ -L h a:^-- H

Klein, Entwicklung der Mathematik.

± 1 =

0

7

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I I I . Das Crellesche Journal.

mit ganzen Koeffizienten genügt. E s gelang Dirichlet in einfacher Weise, die Zahl der unabhängigen E i n h e i t e n in einem Körper zu be­ stimmen. E i n besonderer Zug in diesen Arbeiten ist die v o n Dirichlet zuerst angewendete Art des Existenzbeweises, die auf eine direkte Herstellung der fraglichen Größe oder auch nur eine Methode zu solcher Herstellung g a n z verzichtet. D a s zweite Gebiet, die Grundlagen der Analysis, ist besonders in Dirichlets Vorlesungen über Reihenlehre u n d b e s t i m m t e Integrale bereichert worden. Hier wird z u m ersten Mal eine klare E r k e n n t n i s der b e d m g t e n Konvergenz ausgesprochen u n d zugleich an Beispielen die Tatsache, daß bei einer bedingt k o n v e r g e n t e n Reihe durch U m o r d n u n g der Reihenglieder jeder Wert angenähert werden k a n n , m i t handgreif­ licher Klarheit z u m B e w u ß t s e i n gebracht. E i n e kritische B e t r a c h t u n g des erschütterten Begriffes „ S u m m e " schheßt sich an. A u c h die K o n ­ vergenz der trigonometrischen R e i h e n wird n u n auf festeren Grund gestellt als es noch bei Fourier der Fall war. Der Begriff der abteilungs­ weise stetigen u n d m o n o t o n e n F u n k t i o n e n wird scharf definiert u n d genau abgegrenzt u n d ihre Darstellung durch eine trigonometrische Reihe streng bewiesen. A u c h Dirichlet h a t sich — drittens — der Mechanik und mathe­ matischen Physik z u g e w a n d t , aber in w e i t a u s abstrakterem, m a t h e ­ matischerem Sinne als G a u ß oder Fourier. V o n i h m s t a m m t der S a t z , daß ein stabiles Gleichgewicht eines P u n k t s y s t e m s b e s t e h t , w e n n ein wirkliches Minimum der potentiellen Energie vorhanden ist. Der S a t z ist rein begriffUch gefaßt u n d überzeugend dargestellt, ohne die n o t ­ wendig komplizierten, in Formeln auszudrückenden Kriterien zu g e b e n , welche die E x i s t e n z eines solchen Minimums bedingen. Sehr häufig h a t Dirichlet gelesen über die Kräfte, die n a c h d e m umgekehrten Quadrat der Entfernung wirken, oder, wie wir h e u t e sagen würden, über PolentialtL·orie. Hier b e h a n d e l t er die grundlegende Randwertaufgabe des Gebietes, die v o n den Franzosen h e u t e n o c h als „probleme de Dirichlet" bezeichnet wird, obwohl sie schon bei Fourier u n d vielen anderen a u s ­ gesprochen u n d behandelt ist. D a s N e u e , w a s Dirichlet bringt, ist der Beweis der Eindeutigkeit der Lösung dieser Aufgabe u n d der A u s g a n g von einem durch wenige Grundeigenschaften charakterisierten P o t e n ­ tial. — Hier findet sich dann auch das sog. „Dirichletsche Prinzip'\ d. h. die Methode, auf die E x i s t e n z der gesuchten Lösung ν aus d e m U m s t ä n d e zu schließen, daß sie unter allen sich an die R a n d w e r t e anschheßenden ν das Integral

zu einem Minimum m a c h t . Sie findet sich in entsprechend unzurei­ chender Weise schon bei Gauß, William T h o m s o n u n d anderen a n -

Dirichlet.

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g e w e n d e t , verlor d a n n durch Weierstraß' Kritik allen Kredit u n d wurde erst d u r c h Hilbert auf festen B o d e n gestellt^). Obwohl Dirichlet eine Schule i m engeren Sinne n i c h t begründet h a t , so sind doch seine Vorlesungen auf eine große Zahl hervorragendster Mathematiker der F o l g e z e i t v o n großem Einfluß g e w e s e n , so auf E i s e n ­ s t e i n , K r o n e c k e r , D e d e k i n d , v o r allem aber auf R i e m a n n . Ihre N a c h w i r k u n g war u m so größer u n d weitreichender, als sie später v o n d a n k b a r e n Schülern herausgegeben wurden, u n d zwar: Zahlentheorie von D e d e k i n d ; A n a l y s i s unter d e m T i t e l : Bestimmte Integrale von G . F . M e y e r (1871); n o c h m a l s herausgegeben (in engerem A n s c h l u ß an Dirichlet) v o n G . A r e n d t (Braunschweig 1904); Über Kräfte, die im umgekehrten fernung wirken v o n Grube (1876).

Verhältnis

des Quadrates

der

Ent­

D i e Dirichletschen Ideen zu den partiellen Differentialgleichungen, zu E l e k t r i z i t ä t u n d Magnetismus, leben wirksam fort in den v o n H a t t e n dorff herausgegebenen R i e m a n n s c h e n Vorlesungen. N o c h h e u t e bilden die Dirichletschen Vorlesungen in sinngemäßer F o r t e n t w i c k l u n g den Grundstock unserer, sich an e t w a s gereiftere Hörer w e n d e n d e n Kollegs. E i n e n wichtigen P u n k t m ö c h t e ich aber hier erwähnen, der den Dirichletschen Unterrichtsbetrieb doch recht w e s e n t ­ lich v o n d e m h e u t i g e n unterscheidet. Dirichlet h a t i m m e r nur für einen auserwählten Kreis v o n Hörern gelesen, nicht e t w a für die große Zahl der L e h r a m t s k a n d i d a t e n , für welche diese D i n g e als weit über den zu stellenden Anforderungen stehend angesehen wurden. E s gab für ihre Ausbildung besondere Vorlesungen, die in G ö t t i n g e n v o n Stern u n d Ulrich gehalten wurden. W ä h r e n d seiner langen Lehrtätigkeit war Dirichlet nie Mitglied der Prüfungskommission; er h a t sich nie a n der L e i t u n g des hiesigen m a t h e m a t i s c h e n Seminars b e t e ü i g t . D i e n e u e E n t w i c k l u n g , deren F o l g e n wir h e u t e sehen u n d spüren, ist erst durch Jacobis großen Einfluß herbeigeführt worden, der die b i s dahin b e s t e h e n ­ den Schranken zwischen Lehrer u n d Forscher niederriß, wie wir später ausführlicher darlegen werden. Gegenüber d e m sehr a k t i v e n g e w a l t t ä t i g e n Jacobi, m i t d e m ihn eine langjährige Studienfreundschaft verband, war Dirichlet überhaupt eine m e h r k o n t e m p l a t i v e , rückhaltende, ja fast schüchterne N a t u r . Sein einziges, m i t g a n z e m W e s e n erstrebtes Ziel war die klare E i n s i c h t in die idealen Z u s a m m e n h ä n g e des m a t h e m a t i s c h e n D e n k e n s ; dies Ziel ließ ihn auf äußere W i r k u n g u n d Erfolge gern verzichten. W i e so oft das L o s stiller, in sich Befriedigung suchender u n d findender Menschen, so war aber auch sein Schicksal, v o n aggressiven, stark auf 1) Vgl. hierzu Enzyklop. II A 7 b Nr. 23 bis 25 und I I C 3 Nr. 45 7*

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III. Das Crellesche Journal.

die Außenwelt gerichteten Menschen u m g e b e n zu sein. Dirichlet hei­ ratete in das reiche, geistvolle H a u s Mendelssohn, indem er sich mit Rebekka, einer der Schwestern v o n F e h x Mendelssohn, verband. W i e in Berhn — d e m d a m a h g e n Berhn W — dies H a u s einer der glän­ zendsten Mittelpunkte für alle Art des geselligen Verkehrs gewesen war, so w u ß t e F r a u Dirichlet auch während der kurzen Göttinger Zeit alle wissenschaftlich u n d künstlerisch interessierten Geister in einer lebhaft gepflegten Geselligkeit u m sich zu s a m m e l n . E s wird erzählt, daß Dirichlet an allen Veranstaltungen seines H a u s e s nur sehr zurück­ h a l t e n d u n d bescheiden t e i l g e n o m m e n h a b e . Der unaufhörliche kurze Wellenschlag des blendenden Intellekts seiner U m g e b u n g m o c h t e der tieferen Meeresdünung seines Geistes wohl nicht ganz entsprechen. E i n e nahe Verwandte Dirichlets b e s t ä t i g t e mir diese Auffassung bei unserer Feier 1905, indem sie hinzufügte, es sei ihr außerordentlich lieb, d a ß hier auch Dirichlet einmal nach seiner Persönlichkeit zur Geltung k o m m e ; in der Familie h a b e m a n ihn i m m e r nur beiläufig bewertet. So ist es also auch damals nicht gelungen, w a s der deutschen Gesell­ schaft versagt zu sein s c h e i n t : eine einheitliche K u l t u r s t i m m u n g herauszubüden, die das exakt-wissenschaftliche E l e m e n t als einen eigenartigen u n d selbstverständlichen B e s t a n d t e ü mit umfaßt. In eine völlig anders geartete W e l t führt u n s unsere B e t r a c h t u n g , w e n n wir uns nun Dirichlets Zeit- u n d Forschungsgenossen, N i e l s H e n r i k A b e l , zuwenden. In Abel begegnen wir einem der großen, ursprünglichen Genies unserer Wissenschaft, der ähnlich wie Galois, sich völlig den Problemen der reinsten abstraktesten Mathematik v o n allgemeinster Tragweite widmete. Vielleicht ist es nur die Kürze des Lebens gewesen, die er mit d e m großen Franzosen g e m e i n h a t , welche die beiden gehindert h a t , ihr Talent noch nach anderer Seite zu entwickeln. Abel, der aus den beschränktesten Verhältnissen s t a m m t e — er wurde a m 5. August 1802 als Sohn eines Pastors in d e m kleinen norwe­ gischen Ort Finhö geboren — war als Persönlichkeit schüchtern, v o n N o t u n d äußerem Mißerfolg niedergedrückt. Seine G r u n d s t i m m u n g , an der ein früh einsetzendes, schwindsüchtiges Leiden A n t e ü h a b e n mag, war die einer tiefen MelanchoUe, über die ihn nur der lebhaft gepflegte Verkehr mit seinen norwegischen Freunden, vor allem aber die immer wieder durchdringende Begeisterung der eigenen wissen­ schaftlichen Produktion e m p o r h e b e n k o n n t e . Über alle Emzelheiten v o n Abels Leben u n d Persönlichkeit sind wir ziemlich genau unterrichtet durch das „Memorial", das die norwegische Regierung 1902 anläßlich der v o n Mathematikern aller N a t i o n e n besuchten Zentenarfeier Abels veröffenthcht h a t . E s bildet eine will­ k o m m e n e Ergänzung zu der h e u t e maßgeblichen Herausgabe der

Abel.

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A b e l s c h e n Werke, die v o n S y l o w u n d L i e 1881 in zwei B ä n d e n besorgt wurde^). A b e l war völlig A u t o d i d a k t . Der R a t einiger m a t h e m a t i s c h e r Freunde u n d die w e n i g e n i h m zugänglichen Bücher waren seine einzige S t ü t z e in seinen aus eigenem Antrieb u n t e r n o m m e n e n Studien, a u c h noch als er 1822 die U n i v e r s i t ä t Kristiania b e s u c h t e , w o damals n o c h keine m a t h e m a t i s c h e n Vorlesungen g e h a l t e n wurden. 1823 zog der „Studiosus A b e l " zuerst ein e t w a s weitergehendes wohlwollendes Inter­ esse u n d B e w u n d e r u n g auf sich, merkwürdigerweise durch eine falsche U n t e r s u c h u n g . E r g l a u b t e n ä m h c h eine Auflösung der allgemeinen Gleichung 5. Grades durch Wurzelzeichen gefunden zu h a b e n . Sehr b a l d e n t d e c k t e er aber seinen Irrtum u n d drang n u n auf d e m gefundenen W e g e z u der klaren E r k e n n t n i s durch, daß eine solche L ö s u n g u n m ö g l i c h sei, ein Theorem, das er 1824 als besonderes F l u g b l a t t veröffenthchte (Werke, B d . 1, S. 2 8 — 3 3 ) . Dieser Erfolg u n d eine Schrift über die Integration algebraischer Ausdrücke — die in ihrer originalen F a s s u n g verloren ist — verschaffte d e m vöUig mittellosen Abel eine glückliche S c h i c k s a l s w e n d u n g : es wurde i h m ein S t i p e n d i u m z u m Zweck einer Studienreise ins A u s l a n d verliehen. Diese Reise ist für Abel v o n entscheidender B e d e u t u n g g e w e s e n ; hier e n t s t a n d e n seine hauptsächlichsten I d e e n , oder besser gesagt, durch die Berührung m i t der i h m n e u e n t g e g e n t r e t e n d e n m a t h e ­ m a t i s c h e n U m g e b u n g wurde Abel gezwungen, i h n e n F o r m zu geben, u m sie durchzusetzen; e t w a wie eine übersättigte L ö s u n g durch die kleinste äußere E r s c h ü t t e r u n g plötzlich zur Kristalhsation gebracht wird. Sein W e g führte i h n zuerst nach Berlin, w o er sich v o m S e p t e m b e r 1825 bis Februar 1826 aufhielt. V o n größter B e d e u t u n g war es, d a ß er gleich nach seiner A n k u n f t m i t Crelle zusammentraf, der, selbst schon ein gereifter Mann (45 Jahre), gleich in der ersten U n t e r h a l t u n g in d e m ungeschickten, jungen Mann trotz der sprachhchen Schwierig­ keit, die ihn behinderte, das große Genie erkannte u n d ihn z u m Mit­ arbeiter an d e m g e p l a n t e n Journal g e w a n n . A u c h in der Folgezeit ist Crelle Abels treuer u n d fürsorgender F r e u n d g e b l i e b e n ; in s e i n e m H a u s e fand der v o m Schicksal so viel B e n a c h t e i l i g t e die freundliche A u f n a h m e u n d den ermunternden Zuspruch, dessen seine schüchterne, scheue N a t u r bedurfte. Abel seinerseits antwortete auf die i h m g e b o t e n e Güte m i t großem Vertrauen. Mit w a h r e m Feuereifer ging er auf Crelles Vorschlag ein, so d a ß B a n d 1 des Journals gleich sechs Aufsätze u n d A) „Memorial" vgl. Anm. 1, S. 106. Vgl. ferner die Biographie vonC. A. Bi e r k n e s : N. H. Abel, Tableau de sa vie et de son action scientifique, Paris 1885 sowie Ch. Lucas de Peslouan: N. H. Abel, Sa vie et son oeuvre, Paris 1906. Es sei schließlich bemerkt, daß die erste (von H o l m b o e , Christiania 1839, besorgte) Ausgabe von Abels Werken auch Stücke enthält, die Sylow und Lie nicht in die zweite Ausgabe aufgenommen haben.

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I I I . Das Crellesche Journal.

B e m e r k u n g e n aus seiner Feder bringen k o n n t e ; sie alle sind in der kurzen Zeit seines ersten Berliner Aufenthalts niedergeschrieben oder d o c h beinahe voUendet. Abels ganzes W e s e n blühte auf; in seinem sonst so kummervollen Leben bedeuten diese wenigen Monate eine Zeit reiner Glücksempfindung. V o n den in dieser Periode e n t s t a n d e n e n Arbeiten nenne ich vor allem die Abhandlung über die Unmöglichkeit der Auflösung der Glei­ chungen fünften Grades durch Wurzelzeichen, die bis auf den heutigen T a g v o n klassischer B e d e u t u n g gebheben ist. Voraussetzung dieser U n t e r ­ suchung ist, d a ß m a n die Koeffizienten der Gleichung als frei verändeliche Größen ansehen k a n n ; der allgemeine Begriff des irgendwie gege­ benen Rationahtätsbereiches, wie ihn Galois besitzt, ist also hier noch nicht vorhanden. (Er findet sich indessen auch bei A b e l m späteren Notizen.) Der hier eingeschlagene W e g ist vielmehr der, d a ß Wurzel­ ausdrücke allgemeinsten Charakters aufgestellt werden u n d der N a c h ­ weis geführt wird, d a ß diese niemals einer Gleichung fünften Grades v o n allgemeinem T y p g e n ü g e n können. Dieser Arbeit reiht sich ebenbürtig die A b h a n d l u n g über die binomische Reihe an. Sie b e d e u t e t Abels w i c h t i g s t e n Beitrag zur e x a k t e n Grundlegung der Analysis. D e m oft b e h a n d e l t e n . Problem gibt er eine neue W e n d u n g , indem er die Frage stellt: W e l c h e F u n k t i o n stellt die Reihe , « , l + m^x-\-m^x^+m^x^ + dar, w e n n sie konvergiert? Diese Arbeit ist als reine Frucht des Berhner Aufenthaltes anzusehen, w o A b e l in Crelles Bibliothek Cauchys Cours d'analyse kennen lernte. Jedenfalls hat er die Lücke in Cauchys Darstellungen, die wir früher (S. 84) besprochen haben, bemerkt, d e n n er füllt sie in der vorliegenden Arbeit zu voller Befriedigung aus, i n d e m er d e m falschen, v o n Cauchy s t a m m e n d e n Satz die B e h a u p t u n g e n t ­ gegenstellt, die wir noch h e u t e d e n Abelschen Stetigkeitssatz nennen: Konvergiert eine Potenzreihe in e m e m gegebenen P u n k t e des K o n ­ vergenzkreises, so ist diese Reihe auf d e m ganzen zu d i e s e m P u n k t e gehörigen Radius g l e i c h m ä ß i g konvergent, so daß also die i m Innern des Konvergenzkreises durch die Potenzreihe dargestellte F u n k t i o n bei radialer Annäherung an den g e g e b e n e n P u n k t einen Grenzwert besitzt, der der S u m m e der R e i h e gleich ist. I m Februar 1826 schloß sich Abel einigen norwegischen F r e u n d e n z u einer italienischen Reise an. Er verbrachte emige Monate mit ihnen in Venedig, u m sich i m J u h nach Paris zu begeben, w o er bis Jahres­ s c h l u ß verblieb. Der Pariser Aufenthalt g e s t a l t e t e sich für Abel sehr viel weniger glücklich als die Berhner Zeit. Er blieb in d e m durch eine lange glor­ reiche Tradition viel vornehmeren wissenschaftlichen Paris ganz vere m s a m t u n d h t t sehr unter diesen Verhältnissen. A n die a k a d e m i s c h e n

Abel.

Das Abelsche Theorem.

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Größen, insbesondere an Cauchy war keine A n n ä h e r u n g m ö g h c h , o b w o h l Abel a m 30. Oktober sein großes „Memoire sur une ciasse tres itendue de fonctions transcendentes", welches das „Abelsche T h e o r e m " enthält, der A k a d e m i e überreichte. D a s Manuskript wurde Cauchy zur B e g u t a c h t u n g übergeben, in dessen Papieren es sich aber zunächst verlor. B e i Cauchys Verbannung 1830 k a m es an Gergonne zur Auf­ bewahrung, wurde aber erst 1841 auf dringende V e r w e n d u n g der nor­ wegischen Regierung in B a n d 7 der S a v a n t s etrangers^) gedruckt, w o b e i das originale Manuskript endgültig verloren ging. Ist n u n d a m i t a u c h die wichtige Arbeit vor völligem U n t e r g a n g bewahrt worden, so k o n n t e doch m i t dieser s p ä t e n G e n u g t u u n g gegen den T o t e n nicht mehr g u t ­ g e m a c h t werden, w a s Abel an K r ä n k u n g u n d K u m m e r über diese ungerechtfertigte H a n d l u n g s w e i s e u n d die vielen bitteren Erfahrungen in Paris h a t durchleben müssen^). Zu d e m K u m m e r über diese traurigen E n t t ä u s c h u n g e n k a m e n n o c h andere drückende Sorgen, besonders in finanzieller Hinsicht, die Abels G e m ü t gegen E n d e des Jahres 1826 mehr und mehr verdüsterten. A u c h m a n c h e Freundlichkeit seitens seiner Landsleute in Paris — es e n t s t a n d in dieser Zeit das b e k a n n t e Abelporträt, ein Aquarell v o n der H a n d eines Freundes — k o n n t e seine S t i m m u n g nur vorübergehend auf­ hellen. Aber trotz dieser schweren Depressionen u n d des gänzlichen Mangels an persönlicher Hilfe ist Paris für Abels wissenschaftliche E n t ­ w i c k l u n g sehr förderlich gewesen, wie wir bald des näheren sehen werden. Auf das wichtigste Stück des „Memoire", das Abelsche Theorem, m ö c h t e ich n u n e t w a s näher eingehen, soweit es der R a h m e n dieser Darlegungen gestattet. D a s Abelsche T h e o r e m ist eine sehr w e i t g e h e n d e Verallgemeinerung des A d d i t i o n s theoremes der elliptischen Integrale. E s war Eulers E n t ­ deckung, daß eine endliche S u m m e solcher Integrale, die allgemein durch gegeben sind (der Grad 4 des P o l y n o m s kann eventuell auf den Grad 3 herabsinken), sich z u s a m m e n z i e h e n läßt in ein einziges Integral dieses T y p s , abgesehen v o n algebraischen oder loga­ rithmischen F u n k t i o n e n der unter d e m Integralzeichen stehenden Größen

ίκ{χ,}υ^(χ))αχ

h JfAh); + Econsi'\ogR^{aJf,{ay,

bJf,(b);...',Kff^);

N,

IfAN)) N,1f^{N)).

1) Memoires presentes par divers savants k l'academie des sciences. 2) Nach seinem Tode (1830) wurde ihm auch der große Preis der Pariser Aka­ demie veriiehen. Näheres über das Schicksal der Abelschen Arbeit fmdet man b e i L . K o e n i g s b e r g e r : Zur Geschichte der Theorie der elliptischen Transcendenten. Leipzig 1879. S. 3OfI

III. Das Crellesche Journal.

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E t w a s Ähnliches gilt nun auch für die allgemeinen hyperelliptischen bezugsweise „Abelschen" Integrale Jr{X, y)dx, w o nicht y ^ = f^(x) ist, sondern y und χ durch irgendeine algebraische Gleichung F(x, y) = 0 aneinander gebunden sind. Eine S u m m e solcher Integrale läßt sich zwar nicht allgemein durch e i n Integral derselben Art (abgesehen v o n alge­ braischen u n d logarithmischen Funktionen) darsteUen, sondern durch eine bestimmte Anzahl p solcher Integrale, w o p allein v o n der N a t u r der al­ gebraischen Beziehung F(x,y) = 0 abhängt. Diese Anzahl deren B e ­ s t i m m u n g im einzelnen Fall Abel noch viel Mühe m a c h t e , ist dieselbe, welche Clebsch später das „Geschlecht" der Gleichung F(x,y) = 0 b e ­ nannte i). D a s i^t das Abelsche Theorem. I m Falle der hyperelliptischen Integrale niedrigster Stufe ist F^y^ — (x) (wo eventuell durch ein Polynom ersetzt werden kann), u n d es ergibt sich p — 2. E s ist also

+ R,(a,}f,(a);...;hjf,(h); + Σconst.logR^(a,

AJf,(A)l }TJa) ;...

;h,}f,(Ji);

E,M,{B)) A,}f,(A);

B,}Jjß)).

Die Förderung, die Abel trotz aller Mühen u n d Sorgen seinem Pariser Aufenthalt zu danken h a t t e , lag vor allem in der Anregung, die ihm die nähere K e n n t n i s der französischen Mathematik seiner Zeit gab. An d e m Studium Cauchys u n d Legendres gemessen, lernte er den Wert der eigenen Ansätze schätzen u n d wurde veranlaßt, auf alte Ideen wieder zurückzugreifen. Cauchys Vorbild ermunterte ihn zu einer unerschrockenen H a n d h a b u n g des K o m p l e x e n . In Legendres Werken hatte er ein unermüdliches Streben u m die Theorie der elliptischen Integrale v o r Augen. 1 8 1 1 - - 1 9 waren Legendres „Exercices de calcul int€gral", die Theorie der elliptischen Integrale enthaltend, z u m ersten Mal erschienen, u n d während Abels Pariser Aufenthalt bereitete der Verfasser die zweite Auflage vor, die 1827—32 unter d e m Titel: „Traite des fonctions elliptiques et des integrales euleriennes" herauskam. U n t e r d e m Eindruck dieser Anregungen begann Abel in Paris — zunächst für Gergonnes Annalen — die Ideen auszuarbeiten, die er schon lange über die Inversion des elliptischen Integrals erster Gattung

in sich trug. I m Dezember 1826 äußerte er sich brieflich gegen Crelle und Gergonne über die Lemniskatenteilung u n d die k o m p l e x e n Zahlen. Der Buchstabe ρ ist von Riemann eingeführt.

Das Abelsche Theorem.

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A u s diesen A n s ä t z e n e n t s t a n d e n i m folgenden Jahre die Recherches sur les fonctions elliptiques", die, der ersten Abrede entgegen, schließ­ lich doch bei Grelle erschienen, u n d zwar der erste Teil (20. Sept. 1827) in B d . 2, der zweite (26. Mai 1828) in B d . 3. E s ist dies die große F u n d a m e n t a l p u b l i k a t i o n , m i t der für das m a t h e m a t i s c h e P u b l i k u m , da Gauß ja seine R e s u l t a t e zurückgehalten h a t t e , die Theorie der eUiptischen F u n k t i o n e n — in Gegensatz zu Legendres Theorie der ellip­ tischen Integrale — beginnt. Abel schreibt das Integral erster G a t t u n g in der F o r m

u m die doppelte Periodizität besser hervortreten zu lassen. E r faßt n u n die Idee, das Integral umzukehren u n d die F u n k t i o n χ = φ((χ,) zu betrachten. V o n der doppelten Periodizität aus k o m m t er zur Multi­ p h k a t i o n u n d Teüung der elhptischen F u n k t i o n e n (algebraische Auf­ lösung (ier Teilungsgleichungen) u n d endlich durch Grenzübergang zur Darstellung v o n φ (α) als Quotient zweier doppelt unendlicher P r o d u k t e . Der W e g , den A b e l in dieser Untersuchung verfolgt, liegt durchaus in der v o n Gauß eingeschlagenen R i c h t u n g ; ja, es finden sich Überein­ s t i m m u n g e n in den Arbeiten beider Männer bis in die B e z e i c h n u n g e n hinein. U m so tiefer ist es zu bedauern, d a ß Abel einen B e s u c h bei Gauß, der für die i h m so v e r w a n d t e n Bestrebungen g e w i ß den w ä r m s t e n A n t e i l gehabt h ä t t e , vermied. Offenbar durch Legendre u. a. in über­ triebener Weise vor Gauß' Unnahbarkeit gewarnt, unterließ es Abel, G a u ß auf seinem R ü c k w e g v o n Paris nach Berlin Anfang des Jahres 1827 in G ö t t i n g e n aufzusuchen, eine H a n d l u n g , die nur aus Abels scheuer N a t u r zu erklären ist. D i e gedrückte S t i m m u n g wich trotz der großen wissenschaftlichen Erfolge auch nach seiner Rückkehr nach Berlin nicht v o n Abel. E s stellt sich z u m ersten Mal eine schwere Erkrankung bei i h m ein. N a c h seiner H e i m k e h r n a c h Kristiania aber, i m Mai 1827, erwartet ihn seine trübste Zeit. In allen Hoffnungen auf eine Anstellung sieht er sich e n t ­ täuscht, nach wie vor m u ß er als ,,Studiosus Abel", arm wie eine Kirchen­ m a u s , wie er selbst sagt, seine Tage hinbringen. E i n e kleine vorüber­ g e h e n d e Besserung seiner Lage bringt ihm i m Laufe des Jahres 1828 ein kurzer Stellvertretungsauftrag an der U n i v e r s i t ä t . B a l d darauf aber ergreift ihn die heftige Krankheit, v o n der er sich nicht mehr erholte. E r starb a m 6. April 1829, wenige Tage vor d e m Eintreffen der Glücksbotschaft einer Berufung nach Berlin. Betrachtet m u ß m a n nur dern, d e m es schließen u n d

m a n diese niederdrückenden tragischen Verhältnisse, so den Menschen u n d das Genie Abel aufs höchste b e w u n ­ dennoch gelang, in diesen Jahren die Recherches a b z u ­ die folgenden daran anschließenden Arbeiten zu Stande zu

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III. Das Crellesche Journal.

bringen, in denen er scheinbar spielend die größten Schwierigkeiten allgemeinster Fragestellungen überwindet. A n den letzten übermenschhchen Anstrengungen Abels, die w o h l dazu beitrugen, sein E n d e zu beschleunigen, hat allerdings ein gewaltiger Impuls v o n außen seinen Anteil: das Auftreten v o n J a c o b i . E s wieder­ holt sich hier das eigentümhche Schauspiel, das uns gelegentlich der nichteukhdischen Geometrie b e g e g n e t e : n a c h d e m die n e u e n G e d a n k e n jahrelang still in Gauß' Papieren geruht h a b e n , treten sie plötzlich fast gleichzeitig in zwei jungen genialen K ö p f e n auf, die sich nun in h e i ß e m Ringen den R u h m der Schöpfung streitig m a c h e n . A n Legendre anknüpfend, aber weit über ihn hinausragend, veröffenthcht Jacobi in den Astronomischen Nachrichten (Schumacher) gerade auch i m September 1827 ein erstes allgemeines T h e o r e m , w o n a c h es rationale Transformationen des elliptischen Integrals bei j e d e m Transformationsgrad gibt. N o c h i m N o v e m b e r folgte ein B e w e i s , bei d e m er ebenfalls v o n d e m Inversionsgedanken u n d der doppelten Perio­ dizität Gebrauch m a c h t . D a s nun folgende Jahr 1828 ist eine E p o c h e angestrengtester K o n ­ kurrenz v o n Abel u n d Jacobi u m dten A u s b a u der Theorie der ellip­ tischen F u n k t i o n e n . Gerade durch die Gleichheit der zu bearbeitenden Probleme tritt in diesem W e t t k a m p f der grundverschiedene Charakter der beiden B e t e i h g t e n scharf hervor. A b e l bewältigt m i t größter GeniaUtät die allgemeinsten P r o b l e m e ; die m a t h e m a t i s c h e Idee ist das bei i h m wirksame E l e m e n t ; u n d zwar rein abstrakt ohne das Mittel geometrischer Anschauung. J a c o b i h m g e g e n läßt sich in seinen einzelnen Schritten zwar v o n der divinatorischen Kraft seiner B e g a b u n g leiten, gibt aber d e m Eroberten sofort ein festes Gefüge durch eine virtuos g e h a n d h a b t e , glänzende R e c h e n k u n s t . W ä h r e n d so Jacobi mit unermüdlicher Energie den W e g verfolgt, den i h m sein Scharfsinn diktiert u n d der ihn über aUe Hindernisse h i n w e g z u m Ziele führt, hat Abels Geist die Kraft, sich in die Lüfte zu erheben u n d in scheinbar mühelosem Flug, aUes überschauend, noch allgemeineren Zielen zuzuschweben. Auf die Einzelheiten dieses W e t t k a m p f e s , der für jeden Mathe­ matiker ein unvergleichhches Interesse bietet, kann ich hier leider nicht eingehen. Ich verweise auf die DarsteUung S y l o w s m A b e l s Memorial 1902 u n d auf die Koenigsbergers in der Festschrift z u m 100jährigen Geburtstag Jacobis^). Hier m u ß es uns genügen, einige H a u p t p u n k t e herauszuheben. 1) N. H. Abel: Memorial pubUe a l'occasion du centenaire de sa naissance. Kristiania 1902. K o e n i g s b e r g e r : C. G. J. Jacobi, Festschrift zur Feier der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages, Leipzig 1904. — Man vgl. ferner K o e n i g s b e r g e r : Zur Geschichte der elliptischen Transcendenten in den Jahren 1826-29, Leipzig 1879.

Abel und Jacobi.

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V o n Abels Seite h a b e n wir zunächst die Arbeit über die allgemeinste F a s s u n g der Transformationstheorie (Mai 1828) in den Astronomischen N a c h r i c h t e n (Werke 1, Nr. 29). A b e l k o m m t hier auch auf die k o m ­ plexe Multiphkation, über die er aber nur A n d e u t u n g e n gibt. D i e s e Arbeit rief bei J a c o b i die größte B e w u n d e r u n g hervor. Er schreibt a n Legendre, daß sie „ a u dessus de ses eloges" sei, wie auch ,,au dessus de ses forces". Ihr ließ Abel den B e g i n n einer z u s a m m e n f a s s e n d e n Darstellung folgen i m „Precis d'une theorie des fonctions elliptiques", v o n d e m aber nur ein erster umfangreicher T e ü in Grelle B d . 4, 1829 erschienen ist. Jacobi füllt die B ä n d e 3 u n d 4 des Grelleschen Journals m i t seinen hochinteressanten, ohne Beweise erschienenen „Notices sur Ia theorie des fonctions elliptiques" u n d veröffentlicht 1829 als selbständiges W e r k seine „Fundamenta nova iheoriae functionum ellipticarum" Königsberg; (Bd. 1 der siebenbändigen Werke, herausgegeben v o n der Berliner A k a ­ demie v o n 1881 an). Vergleicht m a n die Werke beider Meister u n d des ihnen n i c h t b e w u ß t e n Mitkämpfers Gauß n a c h üiren R e s u l t a t e n , so erscheint als besondere Leistung bei Jacobi jedenfalls in seinen späteren A r b e i t e n die Vorausstellung der selbständigen Transzendenten & u n d das R e c h n e n m i t Thetarelationen — Dinge, in deren Besitz freilich auch Gauß s c h o n g e w e s e n ist; A b e l überflügelt beide Genossen durch sein H i n ü b e r ­ leiten zu den Integralen beliebiger algebraischer F u n k t i o n e n , wofür i h m das Abelsche T h e o r e m den Schlüssel gab. G a u ß schließhch ist d e n n o c h in einem P u n k t e der Sieger geblieben: er allein b e s a ß die Theorie der Modulfunktionen. Mit d e m T o d e A b e l s bricht diese eigentümliche E n t w i c k l u n g a b , die k a u m ihresgleichen besitzt in der Geschichte der Mathematik. Jacobi, als der Überlebende, arbeitete allein weiter, aber in ständiger Erinnerung an den v o n ihm, der zur Anerkennung anderer sonst nicht sehr geneigt war, hochverehrten Forscher. I n A n e r k e n n u n g der A b e l ­ schen L e i s t u n g e n prägte er die Ausdrücke: „Abelsche T r a n s c e n d e n t e n " , „Abelsches Theorem". D a m i t müssen wir die B e t r a c h t u n g der Abelschen Leistung schließen; leider m u ß ich es mir versagen, auf die weiteren Arbeiten über die Auflösung der algebraischen Gleichungen einzugehen, v o n denen der N a c h l a ß noch v i e l e s enthält, w a s unmittelbar auf Galois hinleitet. I c h m ö c h t e m i c h v o n diesem idealen T y p eines Forschers, wie i h n die Geschichte der Wissenschaft nur selten aufzuweisen h a t , nicht trennen, ohne a n e m e Gestalt aus einer andern Sphäre zu erinnern, die i h m trotz der weitgetrennten Betätigungsgebiete v e r w a n d t erscheint. A b e l teilte m i t vielen Mathematikern das Schicksal eines völligen Mangels a n musikalischer B e g a b u n g ; dennoch meine ich e t w a s Richtiges zu sagen, w e n n ich seine Art der P r o d u k t i v i t ä t u n d seine Persönhchkeit

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I I I . Das Crellesche Journal.

mit Mozart vergleiche. So m ü ß t e m a n diesem g o t t b e g n a d e t e n Mathe­ matiker ein D e n k m a l errichten, wie es für Mozart in W i e n geschehen ist: Mozart, selbst schlicht u n d unansehnlich, steht lauschend da, umschwebt v o n zierlichen Genien, die i h m seine E i n g e b u n g e n aus einer anderen W e l t wie spielend zutragen. Ich kann es mir nicht versagen, bei dieser Gelegenheit an das ganz anders geartete D e n k m a l zu erinnern, das s t a t t dessen für Abel in Kristiania errichtet wurde u n d das jeden, der seine N a t u r k e n n t , schwer enttäuschen m u ß . Auf einem hochragenden steilen Granitblock schreitet ein jugendlicher A t h l e t v o n B y r o n s c h e m T y p u s über zwei gräuliche Opfer hinweg in die H ö h e . K a n n m a n den H e l d e n allenfalls noch als Symbol des menschhchen Geistes auffassen, so fragt m a n sich ver­ geblich nach der tieferen B e d e u t u n g dieser Ungeheuer. Sind es die besiegten Gleichungen fünften Grades oder die elliptischen F u n k ­ tionen Oder K u m m e r u n d . S o r g e des täglichen L e b e n s ? Der Sockel des D e n k m a l s trägt in riesigen Lettern die Inschrift A B E L . Wir h a b e n uns n u n einer ganz anders gearteten Persönlichkeit zuzuwenden, Abels großem Nebenbuhler J a c o b i . Weniger tief u n d ursprünglich, aber sehr viel vielseitiger angelegt als Abel, besaß Jacobi nicht nur den Drang nach rein wissenschaftlicher Erkenntnis, sondern auch das lebhafte Bedürfnis, das E r k a n n t e durch W e i t e r v e r m i t t l u n g u n d Darstellung wirksam zu m a c h e n . Dieser Trieb, auf andere Menschen einzuwirken, äußert sich nach der einen Seite in F o r m einer glänzenden pädagogischen B e g a b u n g , nach der andern in einem bis zur R ü c k s i c h t s ­ losigkeit gehenden Willen, die eigene Persönhchkeit durchzusetzen. D i e Schärfe u n d Beweglichkeit seines brillanten Geistes, namentlich ein vielberühmter u n d gefürchteter sarkastischer W i t z , lieferten i h m zu den unausgesetzten K ä m p f e n , die eine so gewalttätige N a t u r heraus­ fordern m u ß t e , die wirksamsten Waffen, bei deren V e r w e n d u n g er nicht eben wählerisch verfuhr. W i e der inneren N a t u r nach, so zeigt sich auch in den äußeren Verhältnissen die denkbar größte Verschiedenheit zwischen Abel u n d Jacobi. C a r l G u s t a v J a c o b J a c o b i wurde als Sohn eines P o t s d a m e r Bankiers a m 10. Dezember 1804 geboren. E r wuchs unter den g ü n ­ stigsten Verhältnissen heran, in einem wohlhabenden, interessenreichen H a u s e , in Berührung mit allen Bildungsmöglichkeiten der Zeit. N a c h emer frühzeitig glänzend absolvierten Schulzeit besuchte er als S t u d e n t die Universität Berlin. Hier hörte er jedoch nur wenig m a t h e m a t i s c h e Vorlesungen u n d beschäftigte sich mit semer Wissenschaft vielmehr durch private Studien, i n d e m er sich besonders m Eulers W e r k e ver­ tiefte. D a n e b e n eignete er sich eine umfassende u n d zugleich gründliche B i l d u n g auf den verschiedensten Wissensgebieten an. Insbesondere

109 folgte er seiner v o n früherer J u g e n d an gepflegten N e i g u n g zu den klassischen Sprachen u n d gehörte während einiger Zeit d e m klassisch­ philologischen Seminar als ein eifriger Mitarbeiter an, das sich unter B ö c k h damals zu besonderer B l ü t e entfaltete. Die hier empfangenen Einflüsse blieben für J a c o b i v o n dauernder B e d e u t u n g . D a s in diesen Kreisen heimische Ideal der rein wissenschaftlichen Hochkultur, das S y s t e m des Unterrichts, wie es hier ausgebildet war, ist für seine spätere Lehrtätigkeit b e s t i m m e n d gewesen. I m Herbst 1825 wurde er D o k t o r , indem er sich gleichzeitig h a b i h tierte. Schon Ostern 1826 k a m er nach Königsberg, w o er nun — ä h n ­ lich wie Dirichlet in Berlin — nacheinander als D o z e n t , Extraordinarius (1827) u n d Ordinarius (1831) während 17 Jahren eine großartige Wirk­ samkeit entfaltete. Als bemerkenswert für Jacobis Auftreten möge der kleine Zug g e n a n n t werden, d a ß Jacobi b e i m E i n t r i t t in die Königsberger F a k u l t ä t Schwierigkeiten bereitet wurden, „weil er j e d e m der Mitglieder irgend e t w a s U n a n g e n e h m e s gesagt h a b e " . Schließlich siegte aber doch die unbestreitbare B e d e u t u n g seiner" wissenschaftlichen Leistungen. D i e außerordentlich vielseitige, energische Tätigkeit, der J a c o b i sich hier in Königsberg hingab, führte 1843 zu einer E r s c h ö p ­ fung seiner Kräfte. Er war gezwungen, während eineinhalb Jahren E r h o l u n g in Italien zu suchen und folgte dann einem Rufe nach B e r h n , w o i h m eine rein akademische Stellung ohne feste Lehrverpflichtung angeboten wurde. Trotz des ruhigen Lebens, in das sich allerdings schwere äußere Sorgen mischten, da Jacobi in den vierziger Jahren sein g e s a m t e s Vermögen verlor, erreichte er seine frühere L e i s t u n g s ­ fähigkeit nicht wieder. A u c h durch die politischen Verhältnisse, die den ursprünglich b e i m K ö n i g sehr wohlangeschriebenen Gelehrten v o r ­ übergehend auf die revolutionäre Seite zogen oder doch bei Hofe ver­ dächtig m a c h t e n , wurden Jacobis letzte Jahre, in denen er bereits kränkelte, getrübt. E r starb a m 18. Februar 1851 an den B l a t t e r n . Als besonders charakteristisch für Jacobis Persönlichkeit, wie auch für den fast gleichaltrigen ruhigeren Dirichlet m ö c h t e ich einige W o r t e zitieren aus einem Brief, den die scharfsinnige Frau R e b e k k a Dirichlet anläßlich Jacobis T o d e schrieb: „ S e i n Verhältnis z u Dirichlet war gar zu h ü b s c h , wie sie so stundenlang z u s a m m e n s a ß e n , ich n a n n t e es M a t h e m a t i k s c h w e i g e n , u n d wie sie sich gar nicht schonten u n d Dirichlet i h m oft die bittersten Wahrheiten sagte, u n d J a c o b i das so gut ver­ s t a n d u n d seinen großen Geist vor Dirichlets großem Charakter zu b e u g e n w u ß t e . . ." Der großen Vielseitigkeit seiner N a t u r entsprechend h a t J a c o b i k a u m ein Gebiet der M a t h e m a t i k unberührt gelassen. N i c h t nur die elliptischen F u n k t i o n e n u n d ihre Weiterbildungen h a b e n durch ihn i n t e n s i v s t e Förderung erfahren, wenngleich die liierhergehörigen Schöp­ fungen als Jacobis originellste Leistungen anzusehen sind; aber auch

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der angewandten Mathematik w i d m e t e er sich, hier, wie bei seinen rein mathematischen Arbeiten, vielfach an Gauß anknüpfend, in der K ö n i g s ­ berger Periode angeregt durch den astronomischen Verkehr mit Bessel. In dieser Zeit entstanden

seine umfangreichsten

H a m i l t o n anknüpfend, von der Mechanik, rentialgleichungen

erster Ordnung,

Arbeiten,

die,

v o n den partiellen

v o n der Variationsrechnung

an

Diffe­ handeln

und in ihrer Durchführung bis zur numerischen A n w e n d u n g inklusive reichen.

Diese Leistungen J a c o b i s werden wir jedoch erst in e i n e m

späteren A b s c h n i t t näher betrachten.

Jn d e m augenblicklichen

Zu­

s a m m e n h a n g beschäftigen uns seine Schöpfungen auf d e m Gebiet der reinen Mathematik, insbesondere die Theorie der Transzendenten, die nun während der folgenden J a h r z e h n t e den Mittelpunkt für die E n t ­ wicklung der hohen Wissenschaft bildet. N a c h d e m Erscheinen der ,,Fundamenta'

1829 war es J a c o b i s w i c h ­

tigster Fortschritt, daß es i h m gelang, die B e h a n d l u n g der elliptischen F u n k t i o n e n v o n den Thetareihen u n d ihren I d e n t i t ä t e n aus b e g m n e n d , in Angriff zu nehmen. Diesen W e g verfolgte er u. a. in der großen z e h n ­ stündigen Vorlesung 1 8 3 7 — 3 8 , die v o n Borchardt ausgearbeitet vor­ liegt, und in den g e s a m m e l t e n Werken, B d . 1, S. 497ff., abgedruckt ist. Mit d e m seit Jacobi traditionell gewordenen B u c h s t a b e n ϋ

(die

Be­

zeichnung: ,,Jacobische F u n k t i o n " hat sich in D e u t s c h l a n d wenig ein­ gebürgert) werden F u n k t i o n e n bezeichnet v o n d e m T y p u s ^ ^ « " ' + 2 6 ^ ^

w o (in unserer früheren Bezeichnung)

α =

, b

ist.

Von dieser Darstellung der ehiptischen F u n k t i o n e n dringt nun Jacobi vor z u m Begriff der „Abelschen F u n k t i o n e n " . Zunächst m u ß t e Jacobi allerdings auf Grund der Suche nach diesen neuen Transzendenten auf Irrwege geraten. E s lag nahe, nach d e m Muster der elliptischen Integrale auch auf die hyperehiptischen Integrale den I n v e r s i o n s ­ gedanken anzuwenden. I m niedrigsten Falle p = 2 führte die U m k e h r der „überall endlichen" Integrale

auf vierfach periodische F u n k t i o n e n χ (w^) u n d χ {u^, deren Ver­ halten rätselhaft erschien. Jacobi zeigte, daß m a n aus den vier Perioden ein unendlich kleines Inkrement herstehen könne, so d a ß χ {u^) oder X (u^) an jeder Stehe jeden behebigen Wert annehme. E r schloß daraus, daß diese Funktionen „unvernünftig" seien, daß auf diesem W e g e kein Vordringen in die Theorie möglich sei. Diese Verhältnisse wurden erst durch R i e m a n n geklärt, es war dazu der Jacobi noch u n b e k a n n t e Begriff der mehrblättrigen F l ä c h e n

Jacobi. Elliptische Funktionen.

III

nötig. D i e F u n k t i o n e n x(u^) u n d X[U^) sind durchaus „vernünftige" analytische F u n k t i o n e n , nur sind sie u n e n d h c h vieldeutig. Ihre R i e m a n n s c h e Fläche erwächst aus der immer wiederholten A b b i l d u n g der Figur zweier durch einen Verzweigungsschnitt aneinandergehef­ teten Parallelogramme auf d i e E b e n e (vgl. Fig. 4). Zu jedem Wert v o n U gehören unendlich viele W e r t e v o n X, die jeder beUebigen Zahl beliebig nahe k o m m e n , aber die z u einem u gehörigen nahezu gleichen W e r t e v o n χ liegen auf verschiedenen B l ä t t e r n verteilt. W e n n nun auch Jacobi noch weit d a v o n entfernt war, diese Verhältnisse z u übersehen, so half er sich doch auf kühne, wahrhaft geniale W e i s e aus der Schwierigkeit. Veranlaßt durch das Abelsche T h e o r e m , bildete er zwei S u m m e n z w e i e r überall end­ licher Integrale

u n d b e h a u p t e t e n u n , d a ß die symmetrischen F u n k t i o n e n der oberen Grenzen, x^ + x^ u n d x^ · x^, vierfach periodische F u n k t i o n e n in d e m damals b e k a n n t e n Sinne — also eindeutig! — v o n den zwei Variabein und seien. Man bezeichnet sie als ,,Abelsche F u n k t i o n e n " dieses niedersten Falles. D i e s e erstaunliche, z u sehr interessanten R e s u l t a t e n führende W e n ­ dung des Problems findet sich in Crelle's Journal B d . 13, 1 8 3 4 — 3 5 : de functionibus duarum variabütum quadruplictter periodicis quibus theoria transcendentium Abelianarum innititur bzw. schon in Crelle B d . 9 (1832): Considerationes generales de transcentibus Abelianis. Die in dieser Schöpfung liegende divinatorische Leistung ist u m so größer, als Jacobi v o n d e m Verhalten der F u n k t i o n e n auch nur einer Variabein im k o m p l e x e n Gebiet noch eine recht ungenügende Vorstellung h a t t e . Aber seine kühne A h n u n g ließ sich hieran noch nicht genügen. Er ver­ m u t e t e vielmehr des weiteren, daß m a n diese neuen F u n k t i o n e n durch mehrfache Thetareihen

m ü s s e darstellen k ö n n e n , w o die a^^y a^^i ^22 Perioden Verbindungen, die lineare K o m b i n a t i o n e n der w^, sind. D i e A u f g a b e wurde v o n der Pariser A k a d e m i e al^ Preisfrage gestellt u n d 1846 in einer preisgekrönten Arbeit v o n R o s e n h a i n gelöst, die 1851 in B d . X I der

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Memoires der ,,Savants etrangers" erschien. W ä h r e n d hier das Ziel wesentlich algorithmisch durch R e c h n e n mit Thetafunktionen erreicht wird, liegt in einer 1847 bei Grelle (Bd. 35) erschienenen Arbeit v o n G ö p e l eine mehr gedankliche B e w ä l t i g u n g des P r o b l e m s durch über­ sichtliche Überlegungen vor. Bei einem so heftigen g e w a l t s a m e n Vorwärtsstürmen der wissen­ schafthchen Entwicklung darf es nicht w u n d e r n e h m e n , w e n n i m ein­ zelnen noch manches unvoUkommen b h e b . Als eine w e s e n t h c h e Lücke der Theorie bei Abel sowohl wie bei J a c o b i ist es anzusehen, daß ein Beweis für die Eindeutigkeit der durch Inversion g e w o n n e n e n F u n k t i o n e n auch im elliptischen Fall, ja auch nur das Bedürfnis danach, völlig fehlt. D i e U n k e n n t n i s dieser Seite des Problems war es, w a s J a c o b i im Fall der hypereUiptischen Integrale, wie wir sahen, in Irrtümer verstrickte. Ferner fehlt in beiden Darstellungen der Theorie der ganze große K o m p l e x der Modulfunktionen.

Ohne eine genaue Einsicht in ihr Ver­

halten, ohne eine K e n n t n i s der Modulfigur (die Gauß b e k a n n t h c h hatte) läßt sich aber auch der B a u nach der Seite der elliptischen F u n k t i o n e n nicht vollenden.

In Jacobis Darstellung würde die Schwierigkeit da ein­

setzen, w o es sich darum handelt, zu beweisen, d a ß man v o n den zu­ lässigen Werten des ^ = ^^1

aus zu beliebigen Werten v o n

^''=^(^)

k o m m e n kann. Würden wir v o n Jacobis Arbeiten über partielle

Differentialglei­

chungen reden, so wäre der Kritik noch mancher P u n k t hinzuzufügen. Jacobi ist an Gauchys E x i s t e n z b e w e i s e n ganz vorbeigegangen, behandelt er nur den „allgemeinen F a l l " usw.

meist

Seiner rastlos vorwärts­

drängenden, abwechslungsbedürftigen N a t u r fehlte eben die Ruhe, die zur ebenmäßigen Vollendung des B a u s n a c h allen Seiten nötig i s t ; w i e denn Jacobi einmal geäußert haben soll: ,,Meine Herren, für Gaußsche Strenge haben wir keine Zeit." E i n e m so regsamen, gewalttätigen Geiste k o n n t e die stille Forscher­ tätigkeit nicht genügen, u n d so gehört denn zu d e m B i l d dieses Mannes notwendig seine ungeheure W i r k s a m k e i t nach außen. Diese k o m m t zuerst in seiner Königsberger Lehrtätigkeit klar z u m Ausdruck. Der Einfluß, den Jacobi auf seine Schüler ausübte, ist ganz enorm. D i e widerstrebendsten Naturen z w a n g er in seine D e n k w e i s e hinein, jeden riß er zur H ö h e spezieU m a t h e m a t i s c h e n Ehrgeizes, z u m brennenden Interesse an der v o n ihm gegebenen Problemstellung des T a g e s mit fort. N i c h t nur fremde Fähigkeiten anregend u n d w e c k e n d wie e t w a Gauß oder Dirichlet, sondern jeden in den B a n n seines augenblick­ lichen Gedankenganges hineinzwingend, war Jacobi der ausersehene Mann dazu, eine umfangreiche, auf lange hinaus blühende Schule z u

Die Königsberger Schule.

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begründen. Die sog. Königsberger Schule, wie sie v o n Jacobi u n d F r a n z N e u m a n n als Vertreter der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k begründet wurde, ist die erste derartige Erscheinung in D e u t s c h l a n d , welche dauernde B e d e u t u n g g e w o n n e n hat. (Vorübergehend wichtig war s c h o n die u m 1790 v o n H i n d e n b u r g i n Leipzig inspirierte „kombinatorische" Schule gewesen, deren wir in unserer DarsteUung nicht g e d a c h t e n , weil sie mehr als Ausläufer früherer wissenschaftlicher T e n d e n z e n (von Lagrange u. a.), denn als Anfang neuer wissenschaftlicher E n t ­ wicklungen erscheint^).) Wie neuartig ein solcher Unterrichtsbetrieb, der den Traditionen des 18. Jahrhunderts diametral e n t g e g e n s t e h t , damals war, m a g aus der T a t s a c h e erheUen, daß Bessel ablehnte, an d e m 1834 gegründeten mathematisch-physikalischen Seminar (dem ersten in Preußen) teilzunehmen. D i e Jacobische Schule ist noch lange nach d e m W e g g a n g des Mei­ sters, mindestens 30 Jahre lang, in Blüte geblieben, insbesondere durch die B e m ü h u n g e n seines Lieblingsschülers R i c h e I o t , der m i t unge­ heurem Lehreifer die v o m Gründer überlieferten Traditionen festhielt. D e n n o c h n a h m das Gebilde begreiflicherweise in seiner H a n d ganz andere Gestalt an. Der Ideenvorrat, den er zu verwalten h a t t e , war für ihn ein für aUe Mal gegeben, u n d da er nicht durch neuen Zuschuß ergänzt wurde — ganz anders wie z u Zeiten des immerfort sich andermz u w e n d e n d e n Jacobi — , so k o n n t e es nicht ausbleiben, daß die Schule in der Folge hinter der E n t w i c k l u n g der Zeit zurückblieb. Gewisse Ä u ß e r h c h k e i t e n treten mehr u n d mehr in den Vordergrund, z. B . die einseitige B e t o n u n g des S t u d i u m s der elliptischen F u n k t i o n e n u n d dergleichen mehr. D e n n o c h m ö c h t e ich in d e m l a n g s a m e n Erstarren des S y s t e m s vieUeicht eine Vorbedingung für seine nachhaltige W i r k s a m k e i t s e h e n ; denn nur die wenigsten Menschen sind i m s t a n d e , einem so b e w e g ­ lichen Geiste, wie J a c o b i es war, in alle B i e g u n g e n u n d W e n d u n g e n hinein z u folgen, ohne den Grund unter den F ü ß e n z u verheren; die Masse ist dieser Anforderung nicht gewachsen. D e r starke, v o n J a c o b i ausgehende Impuls setzt sich n u n in seiner W i r k u n g fort, weit über die Grenzen v o n Königsberg hinaus. Alle deutschen U n i v e r s i t ä t e n erfahren seinen Einfluß teils indirekt, sehr oft aber auch durch die auf die Königsberger sich häufenden Berufungen. K i r c h h o f f u n d H e s s e k o m m e n nach Heidelberg, C l e b s c h nach Karls­ ruhe, Gießen u n d Göttingen usw. Der Geist der spezialwissenschaft­ lichen Vertiefung ergreift alle m a t h e m a t i s c h e n Kreise D e u t s c h l a n d s u n d überwindet allmählich die bis dahin herrschenden flachen e n z y k l o p ä ­ dischen N e i g u n g e n . Diese E n t w i c k l u n g ergreift insbesondere auch die große Masse der an der U n i v e r s i t ä t sich vorbildenden L e h r a m t s k a n d i ­ daten. A u c h hier gewinnt die Tendenz nach h o h e n wissenschaftlichen 1) Man vgl. hierzu H. H a n k e l : Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten, Antrittsrede, Tubmgen 1869, S. 24ff.

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III. Das Crellesche Journal.

u n d entsprechend speziahsierten Anforderungen die Oberhand. Ihren Gipfel erreichen diese Bestrebungen in der preußischen Prüfungsord­ nung v o n 1866, die v o n j e d e m Lehramtskandidaten verlangt, daß er in die höhere Geometrie, die höhere Analysis u n d die analytische Me­ chanik weit genug eingedrungen ist, u m auf diesen Gebieten eigene Untersuchungen mit Erfolg anstellen z u können. Aber auch über die Grenzen D e u t s c h l a n d s hinaus ist- J a c o b i s E i n ­ fluß v o n bedeutender Wirksamkeit g e w e s e n . D i e aufstrebenden Mathe­ matiker Frankreichs in den 4 0 e r Jahren b e k e n n e n sich als Schüler Jacobis, so H e r m i t e u n d L i o u v i l l e . In E n g l a n d zeigt sich C a y l e y als ganz v o n Jacobi beherrscht, u n d noch h e u t e knüpfen die A s t r o ­ n o m e n aller Länder an ihn an, wie e t w a T i s s e r a n d , u m ein Beispiel zu nennen, in seinem Traite de Mecanique Celeste (Paris 1 8 8 9 — 9 6 ) . Fragen wir nun nach d e m Geist, der diese ganze E n t w i c k l u n g trägt, so können wir kurz s a g e n : es ist der naturwissenschaftlich gerichtete N e u h u m a n i s m u s , der in der unerbittlich strengen Pflege der reinen Wissenschaft sein Ziel sieht u n d durch einseitige A n s p a n n u n g aller Kräfte auf dies Ziel hin eine spezialfachliche H o c h k u l t u r v o n z u v o r nicht gekannter B l ü t e erreicht. J a c o b i selbst b e k e n n t sich verschie­ dentlich zu diesen Auffassungen, so in der Antrittsrede als Königsberger Ordinarius 1831 (Math. A n n a l e n B d . 5 6 , S. 252 ff. ( D y c k ) , in K ö n i g s ­ bergers Jacobi-Biographie S. 131 ff.) m i t der b e r ü h m t e n T h e s i s : „Mathesis est scientia earum quae per se clara s u n t " ; reiner u n d überzeugter aber als in dieser lateinischen, v o n i h m selbst in einem Brief an Legendre als „fulminant" bezeichneten Prunkrede (Werke I, S. 454f., 2. J u h 1830, Grelle B d . 80, S . 2 7 2 f . ) : „II est vrai que Monsieur Fourier avait Fopinion que Ie b u t principal des m a t h e m a t i q u e s etait l'utüite p u b h q u e et F e x p h c a t i o n des p h έ n o m έ n e s naturels; m a i s un philosophe c o m m e lui aurait du savoir que Ie b u t unique de Ia science c'est Fhonneur de Fesprit h u m a i n et que SOUS ce titre une question de n o m b r e s v a u t autant qu'une question du Systeme du m o n d e . " E h e ich die B e t r a c h t u n g über J a c o b i schließe, m ö c h t e ich noch eine Tatsache erwähnen, die mir unter d e m Gesichtspunkt der Charakte­ ristik des Mannes als auch unter d e m der E n t w i c k l u n g unserer W i s s e n ­ schaft nicht unwichtig erscheint. B e k a n n t h c h h a t t e d a s J a h r 1812 die E m a n z i p a t i o n der J u d e n in Preußen gebracht. Jacobi ist der erste jüdische Mathematiker, der in D e u t s c h l a n d eine führende Stellung e i n ­ n i m m t . A u c h hiermit steht er an der Spitze einer großen, für unsere Wissenschaft bedeutungsvollen E n t w i c k l u n g . E s ist m i t dieser Maß­ n a h m e ein neues großes Reservoir m a t h e m a t i s c h e r B e g a b u n g für unser L a n d eröffnet, dessen Kräfte neben d e m durch das französische E m i g r a n t e n t u m gewonnenen Zuschuß sich in unserer Wissenschaft sehr b a l d fruchtbar erweisen. E s scheint mir durch solch' eine Art B l u t s -

Die Königsb§rger Schule.

Richtungen der Geometrie.

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erneuerung eine starke B e l e b u n g der Wissenschaft g e w o n n e n zu w e r d e n ; n e b e n d e m schon berührten Gesetz der W a n d e r u n g der P r o d u k t i v i t ä t v o n L a n d z u L a n d m ö c h t e ich das H e r v o r k o m m e n dieser Erscheinung als W i r k u n g der nationalen „Infiltration" bezeichnen.

Geometer des Crelleschen Journals. A u c h auf g e o m e t r i s c h e m Gebiete n i m m t die m o d e r n - m a t h e m a t i s c h e E n t w i c k l u n g in D e u t s c h l a n d ihren A u s g a n g v o n d e m Einfluß der F r a n ­ zosen. E s ist aber nicht e t w a die Differentialgeometrie, deren F o r t ­ bildung sie u n t e r n i m m t — v o n Gauß' grundlegenden „Disquisitiones circa superficies c u r v a s " 1827 soÜ hier abgesehen werden — ; v i e l m e h r richtet sich das Interesse auf die algebraische Geometrie, insbesondere die der linearen u n d quadratischen Gebilde. E h e ich des näheren auf diese E n t w i c k l u n g eingehe, m ö c h t e ich z w e i Gegensätze a n d e u t e n , die v o n entscheidender B e d e u t u n g für sie g e w e s e n sind. D a ist erstens die Trennung der Auffassungen, die uns schon an der ficole P o l y t e c h n i q u e entgegengetreten war, nach Seite der analytischen oder der s y n t h e t i s c h e n B e h a n d l u n g der Geometrie. Dieser Gegensatz wird nun in der Folgezeit v o n schärfster prinzipieller B e d e u t u n g ; die A n h ä n g e r beider R i c h t u n g e n suchen ihre Ehre darin, n u r m i t d e m einmal erwählten W e r k z e u g zu arbeiten. D i e Vorzüge u n d N a c h t e i l e zeigen sich u m so prägnanter, je einseitiger die Methoden ausgebildet werden. D i e analytische Geometrie hat den b e q u e m e n Algorithmus für sich, der die h ö c h s t e n Verallgemeinerungen ermöglicht, der aber auch leicht dazu verführt, das eigentliche Objekt der Geometrie: die Figur u n d die K o n s t r u k t i o n , aus d e m A u g e zu verlieren. Bei der s y n t h e ­ tischen Geometrie w i e d e r u m droht die Gefahr, daß der Geist a m ein­ zelnen angeschauten F a l l oder doch nur einer beschränkten Zahl v o n Möglichkeiten haften b l e i b t ; die Lage wird wenig gebessert, w e n n , u m ihr z u entgehen, ein neuer Algorithmus ad h o c erfunden wird, der schwerfällig bleibt, solange er sich nicht in die einfachsten Ansätze der analytischen Geometrie verwandelt. Zu begrüßen ist bei der s y n t h e ­ tischen B e h a n d l u n g das deutliche Bewußtsein der lebendigen Wurzel aller Geometrie, der Freude an der Gestalt. E i n e gesunde E n t w i c k l u n g wird sich beider Methoden bedienen u n d die F r ü c h t e ihrer wechselseitig anregenden Einwirkung auf einander genießen. D e r zweite Gegensatz, v o n dem- ich sprechen m ö c h t e , ist weniger sachlicher N a t u r , jedoch w e g e n der großen B e d e u t u n g , die er in der Folge­ zeit g e h a b t h a t , nicht zu übergehen. W e n n er auch im allgemeinen in der K u n s t eine w e i t a u s lebhaftere Rolle spielt, so hat sich doch selbst unsere, die „ o b j e k t i v s t e " Wissenschaft, nicht frei d a v o n halten können in d e m 8*

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I I I . Das Crellesche Journal.

Maße, w i e sie an Verbreitung u n d Organisation z u n a h m . I c h m e i n e den Gegensatz der Schulmeinungen, der Chquen, das ganze große Gebiet der wissenschafthchen Polemik, die denn oft ins Persönhche entglei­ tend z u m Austausch stark subjektiv gefärbter Meinungen wird, die sich auf die folgenden Generationen weiter vererbt. I n unserem FaUe handelt es sich u m den Streit des v o n J a c o b i u n d seinem Anhang g e s t ü t z t e n Synthetikers Steiner gegen Plücker. Moebius steht in seiner stillen Art mehr außerhalb dieser K ä m p f e , die z u d e m auch durch den Gegensatz v o n H a u p t s t a d t u n d P r o v i n z verschärft werden. N o c h h e u t e sind ihre Spuren nicht selten zu e n t ­ decken, so etwa, w e n n n o c h bis vor kurzem in gewissen Kreisen Steiner als der unvergleichliche, größte Geometer der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts gefeiert wurde. E s gibt ein gutes Mittel, u m sich vor der Gewalt solcher Schul­ meinungen, denen sich der einzelne, besonders als junger Mensch, schwerlich entziehen kann, z u schützen, u n d das mir einst der Leipziger Physiologe L u d w i g e m p f a h l : m a n entferne sich 600 k m v o n ihrem Heimatsorte u n d sehe sich v o n dort die Verhältnisse a n ; gewiß wird m a n über das WegfaUen mancher bereits für selbstverständlich gehal­ tener Ansichten erstaunt sein. E s ist kein Zweifel, d a ß die folgende E n t w i c k l u n g , w i e sie die per­ sönhchen Verdienste vielfach an ihren rechten Platz h a t rücken lassen, so auch den sachlichen K a m p f entschieden h a t , i n d e m sie der analy­ tischen Geometrie nach allen R i c h t u n g e n das Übergewicht sicherte. Ich erinnere nur an die B e z i e h u n g e n der Lehre der algebraischen K u r v e n zur höheren Funktionen theorie, an die B e z i e h u n g zur Mengenlehre, an den A u s b a u der Differentialgeometrie, w o überaU die „ s y n t h e t i s c h e " R i c h t u n g nicht m i t g e k o m m e n ist. I m übrigen halte ich an der These fest, die Jacobi 1831 bei seiner D i s p u t a t i o n z u m Eintritt in die K ö n i g s ­ berger F a k u l t ä t aufstellte: „Principium m e t h o d i geometricae et analyticae i d e m est". N a c h der Zeit des Erscheinens ihrer ersten größeren W e r k e ordne ich die drei großen Geometer in der Reihenfolge: M o e b i u s , P l ü c k e r , Steiner. A u g u s t F e r d i n a n d M o e b i u s war w i e Gauß u n d viele andere, denen die Mathematik in jener Zeit Förderung v e r d a n k t , ursprünghch Astronom. D i e astronomische Stellung gab jenen Forschern die gesicherte E x i s t e n z , welche die Voraussetzung ihres m a t h e m a t i s c h e n Schaffens war. A u c h H a m ü t o n wäre hier zu nennen. Moebius war in der T a t während des größten A b s c h n i t t e s seines stillen Lebens astro­ nomischer Direktor auf der Pleißenburg in Leipzig. Hier h a t er ruhig seine Gedanken reifen lassen, u m sie d a n n in voUendeter Klarheit vor­ zutragen, u m nichts anderes b e m ü h t , als u m die A u s g e s t a l t u n g der

Moebius.

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Ideen, die sich seiner geometrischen Erfindungsgabe beim S t u d i u m der verschiedenen a n ihn herantretenden Gebiete aufdrängten. Er wurde a m 17. N o v e m b e r 1790 geboren in der Fürstenschule zu Schulpforta. W e n n m a n den schlichten, stillen Mann vor A u g e n hat, m u ß es einen einigermaßen in Erstaunen setzen, d a ß sein Vater an der besagten Schule den Beruf eines Tanzlehrers ausübte. U m die Ver­ schiedenheit der Generationen vollends vor A u g e n in führen, erwähne ich, daß ein Sohn des Mathematikers der b e k a n n t e Neurologe ist, der Verfasser des vielbesprochenen B u c h e s ,,Vom physiologischen S c h w a c h ­ s i n n des Weibes". Moebius verbrachte 1813—14 eine längere Lehrzeit bei Gauß, der ihn aber, wie auch andere Schüler, wesenthch zu astronomischen B e ­ o b a c h t u n g e n u n d R e c h n u n g e n anleitete. D a m i t sicherte er i h m zwar die spätere Anstellung, traf aber nicht den Kern seiner B e g a b u n g , die sich erst an d e m S t u d i u m der französischen Geometer entwickelte. Seit 1816 war Moebius erst Observator, dann Direktor auf der Pleißen­ burg, später auch Professor der Mathematik an der Universität. In diesen Stellungen b h e b er bis zu seinem T o d e (1868.) Seine Werke wurden g e s a m m e l t herausgegeben seitens der Königl. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft in vier B ä n d e n , 1885—87. A m Schlüsse des vierten B a n d e s findet sich eine Besprechung des N a c h ­ lasses, aus welcher die ganze Genesis v o n Moebius' wissenschafthchen Gedanken klar wird. Mehr persönliche Züge finden sich in der Schrift v o n B r u h n s : D i e A s t r o n o m e n der Pleißenburg. U n t e r den W e r k e n v o n Moebius steht zeithch u n d inhaltlich als sein F u n d a m e n t a l w e r k „Der barycentrische Calcul" v o n 1827 voran, eine wahre F u n d g r u b e neuer Ideen in wunderbar abgeklärter D a r ­ stellung. D e r N a m e ist abgeleitet v o n der Grundidee des B u c h e s , den Begriff des Schwerpunktes geometrisch zu verwerten. U m in der E b e n e zu b l e i b e n : als Koordinaten eines P u n k t e s P werden diejenigen Ge­ w i c h t e P^, p2> Pz gewählt, die m a n in die E c k e n eines b e s t i m m t e n festen Dreiecks legen m u ß , u m den Schwerpunkt nach P fallen zu lassen. E s ist dies das erste Beispiel homogener Koordinaten, d. h. solcher, die ihr Objekt allein durch ihr Verhältnis b e s t i m m e n (Xp^, Xp^, Xp^ geben denselben Schwerpunkt). I n d e s sind es noch nicht die h o m o g e n e n Koordinaten allgemeinster Art, wie sie durch Plücker eingeführt w u r d e n . E s ist dazu noch eine kleine Erweiterung nötig, die g e w o n n e n wird, w e n n m a n jede der Koordinaten mit einem willkürlichen F a k t o r , Ag, A3 versieht, also etwa die Vorstellung einführt, d a ß die in den drei E c k ­ p u n k t e n lagernden Gewichte m i t verschiedenem Maße gemessen werden. Die Gleichung der Ponceletschen unendlich fernen Geraden, die auch bei Moebius schon eine handgreifhche R e a h t ä t b e k o m m t durch die Darstellung Pi + P^ + Pz = 0, lautet dann K^p^ + Ag]^g + ^zPz = ^>

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III. Das Crellesche Journal.

u n d es ermöglicht sich, durch Grenzübergang, den Fall des ParallelKoordinatensystems als Spezialfall unter d e m allgemeinen Fall der Drei­ eckskoordinaten zu begreifen, ein Gedanke, der Moebius noch g a n z f e m lag. Ist n u n dies neue K o o r d i n a t e n s y s t e m schon viel schmiegsamer als das übliche, w e ü es sechs wählbare K o n s t a n t e n besitzt (das Plückersche hat acht), so gewinnt es doch erst dadurch seinen Wert, d a ß Moebius nun mit seiner Hüfe eine ganze Reihe neuer Gedankengänge herausstellt. 1. Moebius benutzt als erster ganz k o n s e q u e n t das Prinzip der Vor­ zeichen in der Geometrie, u n d zwar nicht nur b e i m Messen v o n Strecken, sondern auch v o n Flächen- u n d R a u m i n h a l t e n , bei deren A u s m e s s u n g er einen „ U m l a u f u n g s s i n n " unterscheidet. 2. I n d e m die Koordinaten p^, p^, p^ eines P u n k t e s i m R a u m rationalen F u n k t i o n e n v o n Parametern gleich gesetzt werden, gelingt Moebius eine neue Darstellung der K u r v e n u n d Flächen, die zu einer ganz anderen Anordnung der Gebilde führt als üblich war. Hierbei entdeckt Moebius die R a u m k u r v e dritter Ordnung. 3. Moebius faßt klar den Gedanken einer P u n k t für P u n k t sich entsprechenden Beziehung v o n zwei R ä u m e n u n d schafft d a m i t den Begriff der einfachsten, s y s t e m a t i s c h abgestuften ,,Verwandtschaften": Gleichheit, v o n uns jetzt gewöhnlich Kongruenz g e n a n n t , Ähnlichkeit, Affinität (eine v o n Euler s t a m m e n d e Bezeichnung), Kollineation, m i t welch letzterem Ausdruck er die allgemeinste Verwandtschaft bezeichnet, welche gerade Linien in gerade Linien überführt^). 4. Mit dieser Klassifizierung verbindet er nun sogleich die Idee, nach den Ausdrücken oder Gebüden zu fragen, die bei irgend einer dieser Verwandtschaften ungeändert bleiben. Hier wird z u m ersten Mal eine ausführliche Theorie des D o p p e l v e r h ä l t n i s s e s v o n vier P u n k t e n auf einer geraden Linie gegeben, wie es n u n erst nach Einführung der Vorzeichen möglich war. 5. D i e Herstellung der Kollineation gelingt i h m ohne jede metrische B e s t i m m u n g allein durch die A n n a h m e v o n vfer sich entsprechenden P u n k t e n in den aufeinander zu beziehenden E b e n e n (fünf i m R a u m ) u n d ihre entsprechende Verknüpfung durch Geraden. A n dieses sog. „Moebiussche N e t z " hat v o n S t a u d t später die Grundlage seiner synthetischen E n t w i c k l u n g angeknüpft. Diese Stichproben m ö g e n die außerordentliche B e d e u t u n g des B u c h e s erweisen. Trotz seines Ideenreichtums ist es erst sehr l a n g s a m zu der i h m zustehenden W i r k u n g g e k o m m e n , teils weil viele neue, besonders geartete termini das E i n d r m g e n erschwerten, teils weil Moebius' bescheidene Art i h m nicht den nötigen Nachdruck zu geben 1) Wenn auch Moebius noch nicht den modern formulierten Gruppenbegriff besitzt, so bietet doch der Begriff der „Verwandtschaft" ein Äquivalent; Moebius wird dadurch genau zu einem Vorläufer des „Erlanger Programms".

Moebius.

Plückei

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w u ß t e . N i c h t anders ging es mit seinem zweiten h o c h b e d e u t e n d e n Werk, d e m Lehrbuch der Statik, das 1837 in zwei B ä n d e n erschien (Wiederabdruck Werke B d . 3, S. 1 ff. bzw. S. 272ff.). E s enthält eine geometrische E n t w i c k l u n g der vielen B e z i e h u n g e n , die b e i m Zusammenwirken v o n Kräften a n starren Körpern oder a u c h Körperketten s t a t t h a b e n , und bildet eine Weiterführung der B e t r a c h ­ t u n g e n , die Poinsot v o n 1804 an in seinem b e k a n n t e n Lehrbuch „ E l e ­ m e n t s de s t a t i q u e " verfolgt hat, indem er neben die Einzelkraft das „Kräftepaar" stellte. D e m B u c h gehen einige einzelne Arbeiten (Crelle, B d . 10, 1 8 3 3 - Ges. Werke, B d . 1, S. 489 ff.) voran, in denen Moebius den Begriff des „ N u l l s y s t e m s " ausgestaltet, d. h. des Inbegriffs v o n Geraden i m R ä u m e , u m welche ein gegebenes Kräftepaar das Moment Nun h a t . Durch die sich hier ergebenden duahstischen B e z i e h u n g e n der „ N u l l - P u n k t e " u n d „ N u l l - E b e n e n " gelangte Moebius zu sehr schönen T h e o r e m e n ; so e n t d e c k t e er z. B . daß Tetraeder einander zugleich ein­ geschrieben u n d umgeschrieben sein können. D i e einzelnen, hervorragend schönen E n t d e c k u n g e n , durch die Moebius' Schaffen auf allen Gebieten ausgezeichnet ist, charakterisieren n u n auch die vielen Einzelaufsätze, die er bis ins hohe Alter hinauf in den Berichten der Königl. sächsischen Gesellschaft veröffenthchte; Moebius „ G e s a m m e l t e W e r k e " umfassen vier B ä n d e . Als Mann v o n 68 Jahren gelang i h m noch eine kapitale E n t d e c k u n g , die d a n n freilich, als Preisarbeit 1861 nach Paris gesandt, unter den Papieren der A k a d e m i e schlummerte, bis Moebius sie 1865 b e k a n n t g a b : v o n den einseitigen Flächen und Polyedern, für die das „ K a n t e n g e s e t z " nicht gilt u n d die keinen definierbaren Inhalt haben^). D a s „Moebiussche Band", für dessen Anstrich m a n doppelt soviel Farbe braucht, als m a n zunächst v e r m u t e t (diese Veranschaulichung steht bereits bei Moebius), i s t ja jetzt hinlänghch bekannt. Merkwürdigerweise wurde es im selben Jahr 1858 auch v o n L i s t i n g entdeckt u n d 1862 i m „Zensus räumhcher K o m p l e x e " b e k a n n t g e g e b e n — wieder ein Beispiel für den z w a n g ­ läufigen Charakter der E n t w i c k l u n g der Wissenschaft. In Moebius begegnet uns ein seltenes Beispiel spät reifender Geniali­ tät — der barycentrische Calcul ist mit 37 Jahren geschrieben — , gesegnet mit einer, bis ins hohe Alter anhaltenden, ungebrochenen P r o d u k t i v i t ä t . W e n n m a n der Ostwaldschen E i n t e i l u n g der Mathematiker in R o m a n t i k e r u n d Klas.siker folgen soll, so m u ß m a n Moebius als den typischen Ver­ treter der zweiten Gruppe ansprechen. Mit J u l i u s

P l ü c k e r treten wir nun schon in die Periode ein, der

wir selber durch viele Beziehungen verbunden sind. Ich selbst verehre in i h m meinen Lehrer, dessen physikalischer Assistent ich v o n 1866 bis 1868 gewesen bin, u n d d e m ich auch durch Heimatsbeziehungen nahe stehe. ~Vüber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders, Werke, Bd. 2. S. 472ff.

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I I I . Das Crellesche Journal.

Plücker war eine viel weltläufigere Erscheinung als Moebius; er pflegte besonders lebhafte Beziehungen zu Frankreich u n d E n g l a n d , während sich das Verhältnis zu Berlin, wie schon angedeutet, unfreundlich gestaltete. Plücker bildet einen ungewöhnlichen E n t w i c k l u n g s t y p u s . V o m fünfund­ dreißigsten Lebensjahr ab vereinigte er die m a t h e m a t i s c h e und p h y s i k a ­ lische Professur in B o n n und wurde durch diese U m s t ä n d e allmählich seiner bisherigen mathematischen Arbeit entzogen, u m sich ganz experimentalphysikalischen Forschungen h i n z u g e b e n . Erst gegen E n d e seines Lebens kehrte er zur Geometrie zurück, ein U m s t a n d , der für meine eigene Entwicklung (Herausgabe der Plückerschen Werke) entscheidend wurde. D i e Familie Plückers, der niederrheinischen Industrie angehörig, war in der Zeit der Religionswirren aus Aachen verbannt u n d nach Elberfeld übergesiedelt. Hier wurde Plücker a m 16. August 1801 geboren. E r besuchte das Düsseldorfer G y m n a s i u m , studierte in B o n n und Paris 1823/24 u n d habiUtierte sich 1825 in B o n n , w o er 1828 außer­ ordentlicher Professor wurde. 1 8 3 2 — 3 4 war er außerordentlicher Pro­ fessor in Berlin, zugleich a m Friedrich-Wilhelm-Gymnasium tätig. A u c h auf ihn fiel vorübergehend die W a h l z u m zukünftigen Direktor des geplanten polytechnischen I n s t i t u t s , das d a m a l s freilich schon als Ober­ lehrerbildungsanstalt gedacht war. A u s Plückers Berhner Zeit her schreibt sich wohl die Verschärfung des K o n f h k t s mit d e m JacobiSteinerschen Kreis. Steiner selbst k a m 1835 als Extraordinarius an die Berliner Universität, als Plücker bereits seit einem Jahr Ordinarius in Halle war. 1836 wurde er nach B o n n berufen, w o durch v o n Münchows T o d drei Professuren: Mathematik, P h y s i k u n d Astronomie ver­ waist waren. D i e letztere fiel Argelander zu, die beiden anderen h a t t e Plücker bis zu seinem T o d e (22. Mai 1868) inne. B e i der Besprechung v o n Plückers Werken m ö c h t e ich zunächst auf seine physikalischen Leistungen eingehen wegen der persönlichen Beziehungen, die uns Göttinger d a m i t verbinden. Plückers p h y s i ­ kalische Abhandlungen sind z u s a m m e n g e f a ß t i m zweiten B a n d der v o n der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften g e s a m m e l t e n A b h a n d ­ lungen, versehen mit einer Vorrede v o n Riecke. Obwohl v o n der M a t h e m a t i k ausgehend, war Plücker nichts weniger als ein m a t h e m a t i s c h e r Physiker. Ihn reizte vielmehr die rein experimen­ telle Forschung, mit der er, d e m Beispiel F a r a d a y s folgend, a m liebsten in ganz unbekanntes Gebiet eindrang. So gelangen i h m eine ganze Reihe v o n E n t d e c k u n g e n . 1847 b e m e r k t e er die Erscheinung des K r i ­ stallmagnetismus an einer zwischen den Polen eines E l e k t r o m a g n e t e n aufgehängten Turmalinplatte, die sich, je nach ihrer Aufhängung axial oder transversal einstellt ^). V o n 1857 an b e o b a c h t e t e er die Einwirkung 1) Diese Untersuchungen sind zu einem gewissen Abschluß gebracht in dem Buche von A. B e e r : Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre vom Magnetis­ mus und die Elektrodynamik, Braunschweig 1865, herausgegeben von Plucker.

Plücker; Physik, Geometrie.

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des Magneten auf die elektrische E n t l a d u n g in v e r d ü n n t e n Gasen, insbesondere auf die positive E n t l a d u n g u n d das negative G l i m m ­ l i c h t ; bei diesen B e o b a c h t u n g e n gelangte er bis dicht an die E r k e n n t n i s der Kathodenstrahlen heran, die dann sein Schüler H i t t o r f vollendete. A u c h das Ausziehen der Geißlerschen Röhren zu Kapillaren u n d die dadurch ermöglichten ersten B e o b a c h t u n g e n der E n t l a d u n g s s p e k t r a wurden 1857 (Bd. 2, S. 502) v o n Plücker ausgeführt. E r erkannte die Spektra als A t t r i b u t e der Gase u n d b e o b a c h t e t e insbesondere die drei ersten Wasserstofflinien. 1864 erreichte er m i t Hittorf (Bd. 2, S. 665ff.) viel genauere Ergebnisse u n d e n t d e c k t e insbesondere die durch die N a t u r der elektrischen E n t ­ ladung bedingten Doppelspektra (Linien resp. Bandenspektra). D i e abschließenden iVrbeiten über diese D i n g e finden sich s ä m t h c h in den Philosophical Transactions. Aber auch diese D i n g e fanden in D e u t s c h ­ land, g e h e m m t durch den Berliner Einfluß, keine Anerkennung. In Heidelberg b e g a n n e n K i r c h h o f f u n d B u n s e n 1858 m i t der Spektral­ analyse, b e o b a c h t e t e n aber zunächst nur die einfachen Spektra der Metalldämpfe. E i n e verschiedene N a t u r des S p e k t r u m s ein u n d desselben Gases bei verschiedenen B e d i n g u n g e n des Leuchtens ist ihnen nicht entgegengetreten. Beiläufig gedenke ich der Ablehnung, welche Hittorf noch später, als er seine großartigen E n t d e c k u n g e n betreffend die K a t h o d e n s t r a h l e n den Berhner Physikern Magnus, Poggendorff u. a. vorführte, in BerHn erfuhr. D i e Gegensätze, w e l c h e wir hiermit berühren, reichen z i e m h c h bis zur Gegenwart heran. Ich k o m m e n u n zur Fortführung unseres eigenthchen G e g e n s t a n d e s , i n d e m ich mich Plückers geometrischen Arbeiten zuwende. Fünf große selbständige PubUkationen verdanken wir i h m außer den in B d . 1 der g e s a m m e l t e n A b h a n d l u n g e n abgedruckten A r b e i t e n : 1. Analytisch-geometrische Entwicklungen, B d . 1 u. 2. 1828, 1831. 2. S y s t e m der analytischen Geometrie (der E b e n e ) . 1834. 3. Theorie der algebraischen Kurven. 1839. 4. S y s t e m der analytischen Geometrie des R a u m e s . 1846. 5. N e u e Geometrie des R a u m e s , gegründet auf die B e t r a c h t u n g d e j geraden Linie als R a u m e l e m e n t . 1868, 1869 (Teil I I p o s t h u m v o n mir herausgegeben). Ü b e r das letzte Werk, das Plückers zweiter geometrischer Periode e n t s t a m m t , werde ich erst i m späteren Veriauf dieser Vorträge sprechen. Als einen bemerkenswerten Zug aber m ö c h t e ich anführen, daß der Wiederbeginn v o n Plückers geometrischen Arbeiten mit Steiners T o d e s ­ jahr 1863 zusammenfällt. Ob hier ein Z u s a m m e n h a n g vorliegt, kann natürlich nicht entschieden werden. Plückers Ziel in der Geometrie u n d seine Leistung ist der N e u a u f b a u der analytischen Geometrie. E r verfolgte dabei eine aus der Mongeschen Tradition weitergebildete Methode: das völlige Z u s a m m e n w a c h s e n v o n

122

III. Das Crellesche Journal.

Konstruktion u n d analytischer Formel. I n der Vorrede seines ersten Werkes, S. I X , sagt er: „ I c h m ö c h t e m i c h zu der Ansicht b e k e n n e n , daß die Analysis eine Wissenschaft ist, die, unabhängig v o n jeder A n w e n ­ dung, selbständig für sich allein dasteht, u n d die Geometrie, so wie v o n einer anderen Seite die Mechanik, bloß als bildhche D e u t u n g gewisser Beziehungen aus d e m großen, erhabenen Ganzen erscheint." I n diesen Worten k h n g e n deutlich Auffassungen v o n Monge nach, die wir in anderer F o r m bei Gauß kennen lernten. I n der Plückerschen Geometrie wird die bloße K o m b i n a t i o n v o n Gleichungen in geometrische Auffassung übersetzt u n d rückwärts durch letztere die analytische Operation geleitet. R e c h n u n g wird nach Mög­ lichkeit vermieden, dabei aber eine bis zur Virtuosität gesteigerte B e ­ weglichkeit der inneren A n s c h a u u n g , der geometrischen A u s d e u t u n g vor­ liegender analytischer Gleichungen a u s ­ gebildet u n d in reichemMaße v e r w e n d e t . Als Beispiel für die Plückersche D e n k w e i s e gebe ich seinen B e w e i s des Pascalschen Satzes. E s handelt sich u m zwei Tripel v o n Geraden p, q, r u n d f, q\ r\ v o n deren neun S c h n i t t p u n k t e n s e c h s auf einem Kegelschnitt liegen (vgl. Fig. 5). E s wird b e h a u p t e t , daß die übrigen drei auf einer geraden Linie liegen. Wir betrachten p, q, r, p\ q\ r' als hneare Ausdrücke, deren Nullsetzung die Gleichungen der sechs in Frage k o m m e n d e n Geraden ergeben. D a n n ist die K o m b i n a t i o n pqr — μΡ'q'/ = O aie Gleichung eines Büschels v o n K u r v e n dritter Ordnung, die s ä m t h c h durch die neun S c h n i t t p u n k t e der b e i d e n Geradentripel gehen. D a nun v o n den neun P u n k t e n sechs auf d e m Kegelschnitt hegen u n d in dem μ noch eine K o n s t a n t e zu freier Verfügung s t e h t , so k a n n ich durch geeignete W a h l v o n μ eine K u r v e herausgreifen, die noch einen siebenten P u n k t mit d e m Kegelschnitt gemein hat. Eine C3 u n d eine haben aber i m allgemeinen nur sechs S c h n i t t p u n k t e . B e s i t z t die Gleichung sechsten Grades, die ihren Schnitt bedingt, mehr als sechs Wurzeln, so ist sie identisch Null. Folglich m u ß die zerfallen in den K e g e l s c h n i t t selbst u n d einen linearen Restbestandteil, der n o t w e n d i g die drei anderen Schnittpunkte der beiden Geradentripel e n t h a l t e n m u ß . Also liegen diese drei P u n k t e auf einer Geraden. Dieser Beweis, der bei einiger Ü b u n g so einleuchtet, d a ß er sogar noch kürzer gefaßt werden k ö n n t e , zeigt gleich noch zwei andere Plückersche, sehr wertvolle Eigenheiten. D a s eine ist die „abgekürzte Bezeichnungsweise", die sich m i t der B e n e n n u n g einer Gleichung b e g n ü g t , ohne sie explizite hinzuschreiben; das zweite ist der v o n Plücker

Plucker.

Der Pascalsche Satz.

Allgemeine Koordinaten.

123

bei jeder Gelegenheit v e r w e n d e t e u n b e s t i m m t e Koeffizient, ,,das Plückersche μ'\ Dies μ findet sich hie und da a u c h schon in Gergonnes Annalen. (Auch Steiner war es bekannt, aber nur v o n Jacobis Seite, weshalb er das μ als „Judenkoeffizienten" bezeichnete.) Aber erst bei Plücker wurde es zu einem wesentlichen Werkzeug, das ihm große H ü f e leistete in seiner K u n s t , „in den Gleichungen zu lesen". Zu der charakterisierten, allgemeinen Methode Plückers treten n u n die Fortschritte i m einzelnen. V o n der Einführung der allgemeinsten homogenen Dreieckskoordinaten u n d ihrem Vorzug wurde bereits ge­ sprochen — sie werden im „ S y s t e m " 1834 definiert als die m i t wülkürlichen K o n s t a n t e n multiplizierten A b s t ä n d e des P u n k t e s P v o n den Dreiecksseiten; in Grelle, B d . 5, 1830, sind n o c h die A b s t ä n d e selbst als Koordinaten eingeführt, wodurch eine ähnliche Beschränkung resultiert wie bei Moebius. Durch diese Einführung werden n u n s ä m t ­ liche Gleichungen der geometrischen Gebilde h o m o g e n , was infolge des Eulerschen Theorems über h o m o g e n e F u n k t i o n e n sehr elegante Dar­ stellungen ermöglicht, die v o n Plücker in der weitestgehenden Weise ausgebildet werden. Insbesondere die T a n g e n t e n - u n d Polarenlehre erfährt eine völlige U m b i l d u n g . W e n n f=0 einen Kegelschnitt b e d e u t e t , der den P u n k t r, y, ζ enthält, so stellt nämlich die Gleichung

je nach Auffassung der x\ y\ z' oder der x,y,z als laufende Koordi­ n a t e n , entweder die T a n g e n t e der Kurve f = O in d e m festen P u n k t e x, y, Z dar, oder die Polare des festen P u n k t e s x', y\ z' in B e z u g auf die K u r v e f = 0. D e r Wechsel dieser Auffassung wird bis zur Virtuosität a u s g e b ü d e t und zu eleganten Beweisen aller Arten v o n T h e o r e m e n verwendet. D u r c h die h o m o g e n e n Koordinaten gelingt n u n a u c h eine glänzende analytische Realisierung der kühnen Ponceletschen K o n z e p t i o n e n der unendlich fernen Geraden, der Kreispunkte usw. Die Kreisglei­ c h u n g [X-—αγ + ( 3 / - - ^ 2 ^ r2 geht durch Einführung v o n ^ = = ¾ " ' y = - ^ ^ über in [x^ - α x^"" ^ {x^~ h x^f = r''x^^. D i e Gleichung der unendlich fernen Geraden x^=0 ergibt n u n in der T a t für jeden beliebigen Kreis das Durchschnittsgebilde x^ + x^ = 0, d. h. das P u n k t e p a a r , das durch die Koordinaten x^ \ x^ \ x^ = \ \ i\0 u n d x^ \ x^ \ x^ = \\-—i\0 gegeben ist; das sind aber gerade die sog. Kreispunkte. N i c h t minder wichtig als die Einführung der h o m o g e n e n Koordi­ n a t e n ist folgende neue Gedankenwendung. D i e Gleichung der Ge­ raden u^x^ + i * 2 ^ + ^ ^ ^St in den Koeffizienten u u n d den Koordinaten χ völlig symmetrisch. Plücker faßt nun die u als veränder­ liche Größen auf, deren jedes S y s t e m eine Gerade durch den festgehal-

I I I . Das Crellesche Journal.

124

tenen P u n k t x^, x^, X3 bezeichnet. E r nennt die u^, u^, „Linienkoordinaten'; in ihnen drückt die obenstehende Gleichung das durch den P u n k t gehende Strahlbüschel, d. h. diesen P u n k t selber aus. So gut wie ich die lineare Relation als Gleichung einer Geraden in P u n k t ­ koordinaten auffassen kann, so berechtigt bin ich auch, die Gleichung eines P u n k t e s in Linienkoordinaten in ihr zu sehen. Mit diesem Gedanken des beliebigen „Raumelements", das z u m A u s ­ gangspunkt der Geometrie gewählt werden kann, ist nun eine völlige Klärung des Poncelet-Gergonneschen Prinzips der D u a h t ä t g e g e b e n : Weil die Gleichung für die vereinigte Lage v o n P u n k t u n d Gerade (im R ä u m e v o n P u n k t u n d Ebene) in den zweierlei E l e m e n t e n s y m m e t r i s c h ist, kann m a n in aUen Sätzen, die auf bloße Verknüpfung der beiden E l e m e n t e begründet sind, die beiden W o r t e v e r t a u s c h e n ! Dies sind die wesentlich neuen Gedanken, die Plücker in das viel­ bebaute Gebiet der Geometrie der linearen u n d quadratischen Gebilde hineintrug. Darüber hinaus ergreift er n u n ganz neue Objekte der Untersuchung. Während die französischen Geometer sich auf das an­ gegebene Gebiet meist beschränkt h a t t e n , P o n c e l e t bei den ersten weitergehenden Versuchen auf Schwierigkeiten geraten war, gelingt n u n Plücker der erste erfolgreiche Vorstoß auf die allgemeine Theorie der algebraischen Kurven der Ebene. Als Hauptleistung m ö c h t e ich hier die „Plückerschen Formeln" nennen, welche die Ordnung einer K u r v e η (Grad der Gleichung in Punktkoordinaten) mit der Klasse k (Grad der Gleichung in Linien­ koordinaten) und den einfachen (sog. notwendigen) Singularitäten verk n ü p f e n i ) . Sie finden sich a m Schluß des „ S y s t e m s " v o n 1834. Zunächst fand Plücker die Beziehung k = n {n—l)—2d—^r, w o i die A n z a h l der D o p p e l p u n k t e , r die der R ü c k k e h r p u n k t e der K u r v e bezeichnet. Diese Gleichung h e ß sich nicht ohne weiteres, e t w a durch Vertauschung v o n η u n d k dualisieren. D e m Prinzip der D u a h t ä t wurde erst Genüge g e t a n durch die E n t d e c k u n g u n d Einführung der sog. „Liniensingularitäten". D e n D o p p e l p u n k t e n d entsprechen duahstisch die D o p p e l t a n g e n t e n t, den Rückkehrpunkten r die oskuherenden, d. h. die K u r v e durchdringenden W e n d e t a n g e n t e n w, deren Berührungspunkte m a n als W e n d e p u n k t e bezeichnet. F ü r die Anzahl dieser W e n d e p u n k t e fand Plücker die B e ­ ziehung ze; = 3ti {n~2), die sich i m Falle des Auftretens v o n P u n k t -

verwandelt.

D a m i t ist nun das Material g e w o n n e n , aus d e m durch

Dualisieren das volle F o r m e l n s y s t e m der Singularitäten n{n-l) w=^3n{n-2)-6d-Sr,

-

2 d - 3 r ,

n=

hervorgeht:

k{k -

1) -

21 -

3w,

r = 3 k{k -

2) -

6t -

Sw.

1) Poncelet hatte sich nicht erklären können, warum man nicht die Beziehung k = n{n—l) in η = k (k — I) dualisieren durfte („Ponceletsches Paradoxon").

Die ,,Plückerschen Formell

125

I m Falle n = 3, d = 0, r = 0 ergibt sich ze^ = 9. B i s dahin waren nur drei W e n d e p u n k t e der allgemeinen K u r v e dritter Ordnung C3 b e k a n n t gewesen, u n d Plücker beweist, daß sechs v o n den neun i m m e r imaginär sein müssen. E s war n u n schon i m 18. Jahrhundert v o n Maclaurin bewiesen, daß die drei reellen W e n d e p u n k t e der C3 auf einer Geraden, der „Wendelinie", liegen. D a die reellen W e n d e p u n k t e keine ausgezeichnete Eigenschaft vor den übrigen besitzen im Sinne der allgemeinen Lagengeometrie, m u ß dieser Satz auch für jedes andere Tripel v o n W e n d e p u n k t e n gelten. Der B e w e i s läßt sich, ganz ähnlich wie oben der des Pascalschen Satzes, durch abgekürzte B e z e i c h n u n g führen. D i e C3 besitzt folglich zwölf Wendelinien, deren einfachstes S c h e m a später v o n Hesse gegeben wurde. D i e s Beispiel m ö g e zeigen, welche Bereicherung die Geometrie der K u r v e n durch Plückers E n t ­ deckung erfuhr. S. V I des „ S y s t e m s " v o n 1834 äußert er sich selbst: ,,Es ist ein neuer F l u g der Anschauung nötig, u m das zu ergreifen, w a s in allen Fällen imaginär ist u n d imaginär bleibt." D a ß die Tr^iinierung der A n s c h a u u n g nötig sei, u m in dieser neuen Geometrie sicher zu gehen, zeigt Plückers Beispiel selbst, der sich bei der Anordnung der 28 D o p p e l t a n g e n t e n der allgemeinen C4 in Irrtümer verstrickte (Algebraische K u r v e n , 1839). A u s der Zahl der willkür­ lichen K o n s t a n t e n der allgemeinen C4 schließt er — auch eine spezi­ fische Plückersche Schlußweise — mit Recht, daß ihre Gleichung sich in die F o r m Ω^ - fipqrs^O setzen läßt, w o ß - O einen Kegelschnitt, ^ = 0, = 0, r== 0, 5 = O Geraden bedeuten, die d a n n D o p p e l t a n g e n t e n der C4 sind. Aber irrtümlicherweise leitet er hieraus den Satz ab, d a ß die Berührungspunkte v o n je vier D o p p e l t a n g e n t e n auf einem Kegel­ schnitt lägen, w ä h r e n d die B e h a u p t u n g nur für eine b e s t i m m t e A u s w a h l u n d Zusammenstellung v o n vier Tangenten richtig ist. D i e p, q, r, s sind nämlich nicht alle vier frei wählbar, sondern nach A u s w a h l v o n zweien sind die beiden anderen auf fünffache Weise b e s t i m m t . (Dieser F e h l e r wurde später v o n Steiner nachgewiesen.) N a c h einer Seite freilich lassen die Plückerschen Formeln trotz ihrer großen Leistungsfähigkeit noch Probleme offen; sie liefern nichts zur Trennung des Reellen u n d Imaginären. W e n n auch d e m abstrakten D e n k e n diese Fragen jahrzehntelang gleichgültig waren, so h a b e n sie doch das größte Interesse für den, der die wahre geometrische Gestalt des Gebildes zu erforschen sucht, und es ist entschieden als ein A u s ­ w u c h s der modernen Geometrie zu betrachten, w e n n das Gewicht dieser Frage überhaupt geleugnet wird. Diese Probleme des Verhaltens geometrischer Gebilde nach Seite ihrer Realität liegen im allgemeinen sehr tief und fordern weit in die algebraische N a t u r der Gleichung ein­ dringende Forschungen. U m so lieber nenne ich hier eine 1876 v o n mir gefundene Formel (Math. A n n . B d . 10 = ges. A b h . B d . 2, S. 78ff.), die allein mit den Plücker zu Gebote stehenden Mitteln auf e l e m e n t a r e m

126 III. Das Crellesche Journal. W e g e abzuleiten ist, u n d seine Formeln nach dieser Seite wenigstens zu einem gewissen Teil ergänzt. Bezeichnet w' die Zahl der reellen W e n d e ­ punkte,

die der reellen isolierten D o p p e l t a n g e n t e n , /

und

ent­

sprechend die der reellen Rückkehrpunkte u n d reellen isolierten D o p p e l punkte, so ist

, +

+

=

+

+ 2.".

Durch diese Formel ist z. B . die Frage nach der R e a h t ä t der W e n d e ­ p u n k t e der Cg erledigt.

Aus 3 +^e;'+ 0 = 6 + 0 + 0

ergibt sich w' = 3.

Der Satz v o n der R e a h t ä t der W e n d e p u n k t e der

Cg tritt also aus seiner isolierten Stellung heraus. D a ß Plücker diese Formel, die auf seinem W e g e lag, nicht g e k a n n t hat, ist u m so bedauerlicher, als sie bei seinem großen Interesse an der wahren geometrischen

Gestalt der K u r v e n ihm g e w i ß

willkommen

gewesen wäre. Plücker war bei all seinen Leistungen z u m A u s b a u der projektiven Geometrie kein Projektiviker im eigentlichen Sinne.

Im

Stile der alten Geometer des 18. Jahrhunderts haftete er a m K o n k r e t e n , richtete sein Augenmerk auf das Verhalten der K u r v e i m U n e n d l i c h e n , w i d m e t e z. B . ausführliche U n t e r s u c h u n g e n der Frage n a c h den A s y m ­ p t o t e n usw., alles D i n g e , deren B e d e u t u n g v o m rein projektiven S t a n d ­ p u n k t aus verschwindet.

D i e konsequente Durchbildung des projek­

t i v e n D e n k e n s u n d d a m i t die A u s g e s t a l t u n g der

Invariantentheorie

blieb einer späteren Generation vorbehalten. E h e wir auf sie näher eingehen, h a b e n wir uns n u n mit d e m N e u ­ begründer der synthetischen Geometrie in D e u t s c h l a n d zu beschäftigen, mit J a c o b S t e i n e r . Steiner, der Schweizer Bauernsohn, der bis z u m 19. Jahr den Acker pflügte u n d sich dann, v o n seiner großen Sehnsucht nach d e m Lehrer­ beruf getrieben, der Pestalozzischen Ausbildung w i d m e t e , ist, soviel ich w e i ß , das einzige Beispiel in unserer Wissenschaft für eine H e r a n ­ bildung mathematischer Fähigkeiten erst im reifen Mannesalter, die trotzdem noch bis zur Meisterschaft führt; einzigartig dürfte er auch dastehen als ein führender Geist u n d bedeutender Universitätslehrer, der aus der methodischen Zucht des Volksschulbetriebes hervor­ gegangen ist. Steiner wurde am 18. März 1796 in Utzendorf bei Solothurn geboren. Als Bauer aufgewachsen, trat er 1815 zunächst zur eigenen W e i t e r ­ bildung, später als Lehrer in das pädagogische I n s t i t u t ein, das P e s t a ­ lozzi zu Herten gegründet h a t t e , u m seine reformatorischen Ideen auf d e m Gebiet der Erziehungskunst in die Praxis u m z u s e t z e n . So schöpfe­ risch u n d belebend auch Pestalozzis Ideen waren, wie ja ihre N a c h w i r ­ kung nach vielen Seiten beweist, so fehlte es ihm offenbar selbst doch an Geschick, ihnen durch die T a t z u m Durchbruch zu verhelfen. Sein

Steiner.

127

U n t e r n e h m e n in Herten scheiterte, vor allem an finanziellen Schwierig­ keiten. Steiner, den es m ä c h t i g nach wissenschaftlicher Weiterbildung verlangte, verließ ihn 1818, u m bis 1821 in Heidelberg, kümmerlich durch P r i v a t s t u n d e n seinen U n t e r h a l t verdienend, sich vor allem durch eigene Studien der französischen Geometrie weiter zu entwickeln. D e n ­ noch verhalf ihm seine frühere Lehrertätigkeit zuerst vorwärts. In Berliner ministerialen Kreisen war nämlich ein Interesse an der P e s t a lozzischen Methode lebendig, u n d so wurde Steiner n a c h Berlin gezogen, w o er zunächst verschiedene Lehrerstellungen inne h a t t e . Der Zutritt z u m H a u s e W i l h e l m v o n H u m b o l d t s , des früheren Ministers, dessen Sohn er unterrichtete, verhalf i h m z u m Anstieg. 1834 wurde, als letzter Ausläufer der Bestrebungen n a c h Gründung einer p o l y t e c h n i s c h e n Schule, ein Extraordinariat an der Berliner U n i v e r s i t ä t für ihn errichtet; zugleich wurde er Mitglied der Akademie. Er starb a m 1. April 1863. E s m a g auffallen, daß Steiner ein Ordinariat in Berlin versagt geblieben ist. Offenbar hielt m a n dafür, daß es ihm für eine solche Stellung an der gesellschaftlichen Befähigung mangele. U n d in der T a t würde Steiner sich in die offiziellen Kreise auf eine seltsame W e i s e ein­ gefügt h a b e n , zumal in späteren Jahren, als der alternde Mann, m i t G o t t u n d der W e l t zerfallen, seinen Argumenten i m Gespräch häufig durch eine nicht leicht zu übertreffende, urwüchsige Grobheit N a c h ­ druck zu verleihen pflegte. Über seine Persönlichkeit u n d seine E n t ­ wicklung finden sich viele interessante N o t i z e n in der Schrift seines Neffen C F . G e i s e r : Zur Erinnerung an J a c o b Steiner (Verhandlungen der Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft 1 8 7 2 — 7 3 , 56. Jahres­ v e r s a m m l u n g . Schaffhausen 1873, S. 2 l 5 f f . ) . N a c h allem, w a s Geiser über Steiners E n t w i c k l u n g erzählt, u n d n a c h der Art, wie sich Steiners Gaben äußerten, müssen wir sein T a l e n t , das v o n der anschauungsmäßigen Erfassung der R a u m f o r m e n ausgeht, u n d eben darum die Analysis verschmäht, als ein durchaus ursprüng­ liches ansehen. D i e Rückführung seiner Anschauungskraft auf P e s t a lozzischen Einfluß m u ß jedem als unhaltbar erscheinen, der einmal das in diesem Z u s a m m e n h a n g oft genannte Pestalozzische B u c h „ A B C der A n s c h a u u n g " in der H a n d gehabt hat. D a s B u c h ist v o n einer inhalt­ lichen Armut, die einen wahrlich erschrecken u n d in d e m Verfasser den Begründer der auf Anschauung gerichteten neuen P ä d a g o g i k nicht ahnen läßt. Einzig u n d allein die Zerlegung v o n Strecken in gleiche Teile, v o n Quadraten in gleiche Quadrate, wird in immer neuer anstei­ gender Anzahl bis z u m Überdruß geübt. W e l c h sonderbare Vorstel­ l u n g e n diese ersten Pädagogen, die doch wirklich eine neue, äußerst fruchtbare Idee lebendig gemacht haben, v o n der Ausführung ihrer P l ä n e h a t t e n , geht auch aus d e m K o m m e n t a r hervor, den der große P h i l o s o p h u n d P ä d a g o g e H e r b a r t zu d e m Pestalozzischen Werk ver­ faßte. Herbart entwirft für die Pflege der A n s c h a u u n g eine Tafel m i t

128

III. Das Crellesche Journal.

lauter rechtwinkligen Dreiecken verschiedener Gestalt u n d Größe, durch deren ständigen Anblick er eine lebhafte Vorsteüung der rechtwinkligen Dreiecksgestalt in seinen Zöghngen erwecken w o ü t e ; ja, zur dauernden, unvergeßhchen Einprägung empfiehlt er, diese Tafel bereits neben der Wiege des Säuglings aufzuhängen! U m den richtigen Kern aus diesen pädagogischen Monstrositäten herauszuschälen und die E r z i e h u n g s k u n s t in vernünftigere B a h n e n zu lenken, bedurfte es erst eines F r O b e l . Er, und mit ihm H a r n i s c h , stellte die körperliche GestaU, also das Dreidimensionale, bei der Erziehung des K i n d e s voran. Bei beiden Pädagogen macht sich der eigene B i l d u n g s g a n g , nämlich das A u s ­ gehen v o n Mineralogie und Kristallographie, geltend. Seine anschauliche Kraft hat also Steiner gewiß nicht aus dieser Quelle geschöpft; aber e t w a s anderes v e r d a n k t e er für sein Leben der eigenartigen Ausbildung: die K u n s t des Unterrichtens. D i e P e s t a lozzische Richtung pflegte das liebevolle, sorgfältige E i n g e h e n auf den Standpunkt des Lernenden, zu dessen Förderung sie die sog. Sokratische Methode anwandte. Alle E r k e n n t n i s soü v o n dem Schüler selbst erar­ beitet, entdeckt, produziert w e r d e n ; nur eine Anleitung für die ein­ zuschlagende R i c h t u n g soU der Lehrer d e m selbstdenkenden Schüler geben. Steiner verwendete aus diesem Prinzip, das er mit großem Geschick und Erfolg ausbaute, in seinen Vorlesungen keine F i g u r e n ; das lebendige Mitdenken des Hörers sollte ein so deutliches Bild in seiner Vorsteüung erzeugen, daß er das sinnlich Angeschaute entbehren könnte. (Noch weiter geht später, b e i m Unterricht seiner Seminar­ kandidaten in Mörs, Diesterweg, i n d e m er b e i m Geometrieunterricht die Stube auch noch ausdrücklich verfinsterte!) Steiners Arbeiten sind als g e s a m m e l t e W e r k e in zwei B ä n d e n v o n der Berliner Akademie herausgegeben (1880/82). Sie zerfallen in zwei recht scharf getrennte Gruppen. D i e erste umfaßt die Periode v o n 1826 (Crelle, B d . 1) bis e t w a 1845. Sie enthält die eigenthch originalen K o n z e p t i o n e n Steiners, freihch an relativ elementaren Gebilden durchgeführt. Die zweite Periode enthält Arbeiten über höhere algebraische Gebiete, oft nur Ankündigungen v o n Resultaten ohne Beweis. Leider geht aus dem v o n Graf 1896 herausgegebenen Briefwechsel Steiners mit S c h l a f Ii aus den Jahren 1848 bis 1856 m i t D e u t h c h k e i t hervor, daß Steiner sich hier in ausgiebiger Weise englischer (und anderer) Quellen bedient h a t , die er nicht zu kennen vorgab. E s ist die Tragik dieses an sich g e w i ß ungewöhnlichen Mannes, daß er nach einem selten ruhmvollen Aufstieg, v o n seiner U m g e b u n g mit Verehrung u n d B e w u n d e r u n g überschüttet, das Schicksal der im Alter versiegenden P r o d u k t i v i t ä t nicht ertrug und, verbittert, wie er war, sich mit verzweifelten Mitteln dagegen wehrte, indem er vor sich selbst und anderen den Glanz früherer Tage zu erhalten suchte. Wieweit hier wirkliche Täuschung vorliegt, wieweit

129 Steiner selbst das Opfer einer durch lebhaften W u n s c h getrübten B e u r t e ü u n g der eigenen Erfindungskraft war, wer wiU das entscheiden ? Jedenfalls beschränken wir u n s hier i m Z u s a m m e n h a n g m i t den B e t r a c h t u n g e n , die uns z. Zt. beschäftigen, auf die früheren Steiners c h e n Arbeiten. D a s H a u p t w e r k ist die „Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander", Von d e m aber s t a t t der geplanten fünf Teile nur der erste Teil, B e r h n 1832, erschienen ist. D e r P l a n eines rein s y n t h e t i s c h e n Aufbaues der Geometrie ruht auf der Grundidee der projektiven Erzeugung. A u s g e h e n d v o n der Proj e k t i v i t ä t der „ G r u n d g e b ü d e " — in der E b e n e : Gerade, Strahlbüschel, die E b e n e selbst; i m R ä u m e : Gerade, ebenes Strahlbüschel, E b e n e n ­ büschel, Strahlbündel u n d Ebenenbündel, der R a u m selbst soll das Lehrgebäude der Geometrie durch sukzessive Erzeugung höherer Ge­ bilde aufgeführt werden. D i e Grundgebilde werden projektiv auf­ einander bezogen u n d die Erzeugnisse dieser Beziehungen als die n ä c h s t ­ w i c h t i g e n höheren Gebüde untersucht. Ausgeführt ist diese Untersuchung i m vorliegenden T e ü I nur für Kegelschnitte u n d einschalige Hyperboloide, die als D u r c h s c h n i t t der entsprechenden E b e n e n zweier projektiver Ebenenbüschel erzeugt wer­ d e n . E t w a s weiter führen die v o n Schröter 1867 herausgegebenen Vorlesungen. D a s N e u e u n d W i c h t i g e an diesen Ausführungen liegt nach Seite der S y s t e m a t i k ; stofflich ist in ihnen nicht w e s e n t h c h N e u e s e n t h a l t e n . D i e Strenge der Durchführung des einmal gefaßten Planes aber, die sich m i t einer glänzenden D i k t i o n verbindet, z w i n g t durch ihre E i n ­ seitigkeit u n d Originahtät den Leser in ihren B a n n . E s k o m m t bei Steiner neben d e m Interesse der Forschung i m m e r auch der Sinn für Darstellung u n d Unterricht zur Geltung. W e l c h e n W e r t er selbst seinen U n t e r s u c h u n g e n beilegte, geht aus der Vorrede hervor: „Gegenwärtige Schrift h a t versucht, den Organismus aufzudecken, durch welchen die verschiedenartigen Erscheinungen in der R a u m w e l t m i t einander v e r b u n d e n sind . . . E s tritt Ordnung in das Chaos ein, u n d m a n sieht, w i e alle Teile naturgemäß ineinandergreifen, u n d ver­ w a n d t e zu wohlbegrenzten Gruppen sich vereinigen." D i e Mittel, m i t denen Steiner dieses Ziel erreichen wollte, sind h e u t e b e k a n n t genug, aber wir wissen auch, daß sie nur einen A u s s c h n i t t d e r Geometrie beherrschen, u n d d a ß andererseits Steiner selbst sie nicht bis zur v o l l k o m m e n e n Durchführung brachte. D a s ,,Steinersche Prinzip" der sukzessiven E r z e u g u n g höherer Ge­ bilde aus niederen entspricht analytisch der N u l l s e t z u n g v o n D e t e r ­ m i n a n t e n gewisser Matrices. So wird e t w a die projektive E r z e u g u n g der Regelfläche zweiten Grades gewonnen durch Nullsetzung der aus d e n Ebenengleichungen gebildeten D e t e r m i n a n t e in zweifacher A n ­ ordnung:

Klein, Entwicklung der Mathematik.

9

I I I . Das Crellesche Journal.

^

=.0

ergibt

^ ^

als die zwei Scharen v o n Erzeugenden. Ä h n h c h führt n u n die Weiterbildung des Steinerschen Prinzips, wie sie v o n R e y e , v o n S c h u r und S t u r m voll­ zogen i s t , auf die systematische K o m b i n a t i o n v o n D e t e r m i n a n t e n aus einer Matrix, ψ W X -

I durch deren Nullsetzung immer n e u e geometrische Theoreme e n t ­ stehen. So übersichthch dies Prinzip scheint, so trägt es doch nicht w e i t genug, u m einem A u f b a u der g e s a m t e n Geometrie als Grundlage zu dienen. E s erschöpft sich bereits bei den P r o b l e m e n dritten Grades. Steiner bleibt jedoch auch innerhalb des v o n i h m ausgeführten Gebietes hinter seinem Ziel zurück, i n d e m er, Moebius' Fortschritt rückgängig m a c h e n d , das Prinzip der Vorzeichen nicht in die s y n t h e ­ tische Geometrie aufnimmt u n d sich dadurch einer Möglichkeit aUgemeiner Formuherungen beraubt. So ist er g e z w u n g e n , bei d e m D o p p e l ­ verhältnis immer noch besonders die Reihenfolge der E l e m e n t e zu n e n n e n ; vor allem aber fehlte i h m die H a n d h a b e , das Imaginäre zu bewältigen. Er h a t sich nie damit auseinandergesetzt u n d es bei B e ­ zeichnungen, wie „das Gespenst" oder „ d a s Schattenreich der Geo­ m e t r i e " bewenden lassen. D a ß durch diese Selbstbeschränkung auch die Vollständigkeit seiner S y s t e m a t i k Mangel leidet, h e g t auf der H a n d i ) . So gibt es, projektiv gesehen, zwei K e g e l s c h n i t t e , x^^ + x^^ — Q und Xj^ + x^^ + x^^ = 0; für die E i n o r d n u n g des zweiten Falles ist in d e m Steinerschen S y s t e m kein R a u m . V o n diesen u n d anderen U n vollkommenheiten ist die s y n t h e t i s c h e Geometrie erst durch v o n S t a u d t befreit worden, wie wir noch ausführhch besprechen werden. N e b e n Teil I der s y s t e m a t i s c h e n E n t w i c k l u n g e n stellt sich noch als selbständig erschienenes kleines B u c h 1 8 3 3 : ,,Die geometrischen Konstruktionen ausgeführt mittels der geraden Linie und Eines festen Kreises (als Lehrgegenstand auf höheren Schulen u n d zur praktischen B e n u t z u n g ) " . Der Grundgedanke ist v o n Poncelet entlehnt, die A u s ­ führung wieder besonders anregend. D e r U n t e r t i t e l verrät, daß Steiner sich damals (wie anderweitig bekannt) für die L e i t u n g des g e p l a n t e n polytechnischen I n s t i t u t s empfehlen wollte. E s ist auch charakte­ ristisch, daß Steiner sich nach 1835, w o er die ersehnte A n s t e l l u n g an der U n i v e r s i t ä t erreicht h a t t e , nicht mehr zur Fertigstellung der doch geplanten zusammenfassenden Darstellungen entschließen k o n n t e . 1) Weitere Unvollkommenheiten haften den Grunddefinitionen von Steiner an. so daß noch viel mehr Sätze Ausnahmen erleiden als ihm bewußt war. Vgl. darüber eine Arbeit von R. B a l d u s : Zur Steinerschen Definition der Projektivität. Math. Ann. Bd. 90 (1922/23), S. 86ff.

Steiner.

J31

V o n d e n verschiedenen Einzelabhandlungen der frühen Steinerschen Periode erwähne ich eine kleine Schrift, die durch ihren nach völlig anderer Seite liegenden Inhalt zeigt, w i e umfassend Steiner trotz seiner Einseitigkeit i m rein Geometrischen war, und die sich durch ihre hervor­ ragend klare u n d glänzende Darstellungsweise auszeichnet: Sur Ie maximum et Ie minimum des figures dans Ie plan, et sur Ia sphere dans respace en general (Grelle, B d . 34. 1842). Sie enthält eine B e h a n d l u n g zahlreicher Probleme der Maxima u n d Minima m i t e l e m e n t a r g e o m e ­ trischen Methoden. B e k a n n t ist z. B . die Aufgabe, einem Dreieck eine Figur v o n vorgeschriebenem U m f a n g (größer als der d e s einbeschrie­ b e n e n Kreises) einzubeschreiben, so d a ß ihr Inhalt ein M a x i m u m wird. Sie setzt sich aus drei Kreisbogen v o n gleichem R a d i u s u n d S t ü c k e n der Dreiecksseiten z u s a m m e n . Besonders berühmt aber ist der darin enthaltene Beweis, d a ß beim Wegfall aller NebenbedingUAgen der Kreis die ebene Figur sei, die bei kleinstem U m f a n g den größten Inhalt besitzt. Die m i t elementaren Mitteln glänzend durchgeführten U n t e r s u c h u n g e n über diese u n d andere Fälle der „isoperimetrischen" Aufgabe e n t h a l t e n freilich eine logische Lücke, die erst eine spätere Zeit zu empfinden imstande w a r : den Existenzbeweis für die Auflösung der Aufgabe. Diese Lücke wurde v o n Weierstraß, bei den speziellen Beispielen v o n H. A. Schwarz ausgefüllt. Fassen wir das über Steiner Gesagte z u s a m m e n , so m ü s s e n wir zu d e m Schluß k o m m e n , d a ß auch er noch nicht der einseitige Und in sich systematische Projektiviker ist, auf den die E n t w i c k l u n g dieser Jahre hinzielt. W i e in seinem Hauptwerk das Doppelverhältnis, ebenso wie bei Poncelet u n d Moebius, auf metrische Weise definiert wird, s o bleibt auch in d e m ganzen Gebäude die. Beziehung der metrischen Geometrie zur projektiven unaufgeklärt. W i e die Folgezeit dieses Problem löste, das wird u n s die B e t r a c h ­ t u n g der E n t w i c k l u n g nach 1830 lehren, der d a s folgende K a p i t e l g e w i d m e t ist. Viertes

Kapitel.

Die E n t w i c k l u n g der algebraischen Geometrie über Moebius, Plücker und Steiner hinaus. U n t e r „algebraischer Geometrie" verstehe ich hier, w i e es allmählich in dieser Zeit übhch geworden war, die Theorie der niedrigsten alge­ braischen Gebilde (zunächst die der Gebilde v o m ersten u n d zweiten Grade), i m Gegensatz zur Infinitesimalgeometrie. E s wird sich also u m die v o n Monge u n d Poncelet begründete, v o n Moebius, Plücker u n d Steiner ausgebildete Disziplin u n d üir W a c h s t u m während der 9*

132

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

' folgenden Zeit handeln. Dabei verzichte ich auf die übliche Trennung der Geometrie in analytische u n d s y n t h e t i s c h e , die, w i e wir gesehen h a b e n , eine unwesentliche Seite des m e t h o d i s c h e n Verfahrens z u m wichtigsten Unterscheidungsmerkmal m a c h t , u n d m ö c h t e vielmehr das Interesse auf die Frage lenken: W e l c h e Förderung wurde bei F o r t e n t ­ wicklung dieser Disziplüi einerseits d e n geometrischen, andererseits den algebraischen Grundgedanken zuteil, die in ihr e n t h a l t e n s i n d ? E s wird uns also, ohne damit eine erschöpfende D i s p o s i t i o n g e b e n zu wollen, beschäftigen: 1. D i e Herausarbeitung einer rein projektiven Geometrie, die sich, auf die v o n Poncelet s t a m m e n d e projektive D e n k w e i s e gegründet, n a c h ­ d e m Steiner durch Einführung seiner Grundgebilde den Anfang einer S y s t e m a t i k g e m a c h t h a t t e , zu einem v ö l h g in sich geschlossenen, streng s y s t e m a t i s c h e ^ B a u entwickelt. 2. D i e Ausbildung einer parallellaufenden algebraischen Disziplin: der Invariantentheoriey d. h. der Lehre v o n d e n Eigenschaften der h o m o ­ genen, algebraischen F o r m e n ersten, z w e i t e n u n d höheren Grades, welche bei beliebiger linearer S u b s t i t u t i o n der Variabein unverändert bleiben.

Die Herausarbeitung einer rein projektiven Geometrie. Wir beginnen m i t demjenigen d e u t s c h e n Geometer, d e m wir die für die prinzipielle E n t w i c k l u n g der hier in B e t r a c h t k o m m e n d e n geo­ metrischen Gedanken wichtigste L e i s t u n g verdanken, m i t S t a u d t . C h r i s t i a n v o n S t a n d t ' s L e b e n u n d E n t w i c k l u n g klingt in m a n ­ chem a n die seines Vorläufers Moebius an, d e m er auch a n B e g a b u n g u n d Temperament ähnlich ist. E r wurde 1798 in R o t h e n b u r g o. d. Tauber als Sohn einer alteingesessenen fränkischen Patrizierfamilie geboren. W i e Moebius, war er eine Zeitlang Schüler v o n Gauß, der auch ihn auf astronomische u n d zahlentheoretische Probleme wies, ohne seine geometrischen N e i g u n g e n zu berücksichtigen, die erst im gereiften Alter z u m Durchbruch k a m e n . 1 8 2 2 — 2 5 war S t a u d t in Würzburg an der Universität, d a n e b e n a m G y m n a s i u m tätig. E i n e ähnliche Doppelstellung bekleidete er 1 8 2 5 — 3 5 in Nürnberg a m G y m ­ nasium u n d der polytechnischen Schule (eüiem T e c h n i k u m , w i e wir h e u t e sagen würden). 1835 wurde- er Professor in Erlangen, w o er bis z u seinem Tode 1868 verblieb (vgl. d e n N^achruf v o n N ö t h e r , 1906 gehalten bei der Feier der hundertjährigen Zugehörigkeit Erlangens zu Bayern). I n der Stille u n d Einfachheit der damaligen Erlanger Zu­ stände, die v o m großen Leben nicht berührt wurden, fand S t a u d t die R u h e u n d Abgeschlossenheit, die z u m ungestörten A u s s p i n n e n der eigenen Gedankenwelt nötig ist. I n größter Zurückgezogenheit u n d Gleichmäßigkeit, die sich auch in seüiem äußeren W e s e n ausprägte — als ich 1872 ihm auf seinem Lehrstuhl folgte, den hizwischen H a n k e l

Staudt.

133

(1868—69) u n d H a n s Pfaff (1869—72) innegehabt h a t t e n , erzählte m a n mir noch, er h a b e ein Gesicht gehabt, wie eine Ziffer — , v o l l e n d e t e hier S t a u d t seine fundamentalen Werke, die ausgereiften F r ü c h t e eines langen gedankenvollen L e b e n s : Geometrie der Lage (erschienen in Nürnberg 1847). Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 Hefte (Nürnberg 1 8 5 6 , 1 8 5 7 , 1860). Diese Bücher bieten einen außerordentlichen Gedankenreichtum in einer lückenlosen, bis zur Leblosigkeit erstarrten F o r m , wie es S t a u d t s gründlicher, systematischer N a t u r u n d seinem Alter entspricht; s t a n d er doch bereits i m 6 3 . Lebensjahr, als er das zweite Werk voUendete. Mir selbst ist die Staudtsche Darstellungsweise i m m e r gänzHch u n z u ­ gänglich gewesen. W e n n ich trotzdem v o n seinen Gedanken viel A n ­ regung g e w o n n e n u n d viel über sie gearbeitet habe, so verdanke ich dies einzig m e i n e m inzwischen verstorbenen Studienfreunde, d e m Tiroler S t o l z (geb. 1842 in HaU bei Innsbruck), m i t d e m ich 1 8 6 9 / 7 0 in Berlin, Sommer 1871 in Göttingen viel z u s a m m e n war (wir w o h n t e n S o m m e r 1871 z u s a m m e n ) . Stolz h a t t e den i h m v e r w a n d t e n S t a u d t viel gelesen u n d führte mich durch seine unermüdlichen Erzählungen in diese W e l t ein, die mich auf das lebhafteste interessierte u n d anregte. I m R a h m e n dieser Vorträge k a n n ich jedenfalls nur in ganz freier F o r m über die wesentlichen Fortschritte, die wir S t a u d t verdanken, berichten, i n d e m ich gleich einflechte, wie sie späterhin vervollständigt worden sind. Leider m u ß ich mich auch hier, wie auf anderen Gebieten, auf die A u s w a h l einiger weniger D i n g e beschränken. Der erste wichtigste P u n k t , auf den die ganze E n t w i c k l u n g der l e t z t e n Jahrzehnte hindrängte, wie ich es ja auch a m E n d e des l e t z t e n K a p i t e l s darlegte, ist die v o n metrischen B e t r a c h t u n g e n u n a b h ä n g i g e B e g r ü n d u n g der projektiven Geometrie. W i e wir sahen, enthielt n ä m ­ lich die projektive Geometrie Poncelets u n d Steiners eine verhängnis­ volle Inkonsequenz, w e n n als Ziel ins Auge gefaßt war, die metrische Geometrie ganz beiseite zu schieben oder gar, wie es nun b a l d darauf gelang, sie als einen besonderen T e ü der projektiven Geometrie einzu­ ordnen. Der wichtigste Begriff der projektiven Geometrie, das Doppel-^ Verhältnis, u n d m i t i h m das allgemeine projektive K o o r d i n a t e n s y s t e m ruhte noch auf einer aus der Metrik s t a m m e n d e n Definition. W i e der N a m e schon sagt, war das „Doppelverhältnis''

ein Verhältnis v o n Strecken oder A b s t ä n d e n i m gewöhnlichen

Sinn.

D i e s e s Verhältnis n u n zur „allgemeinen projektiven K o o r d i n a t e " z u m a c h e n , bezogen auf die drei Grundpunkte ξ = ξ'

oder

%-=Q,

ξ = ξ"

oder

x =

ξ = Γ

oder

X = CX^,

l,

χ

134

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

durch eine hieran g e l e h n t e K o n s t r u k t i o n eine projektive Skala auf der Geraden z u erzeugen, d e m e n t s p r e c h e n d Dreieckskoordinaten in dei E b e n e , Tetraederkoordinaten i m R a u m einzuführen b e d e u t e t , w e n n m a n sich außerhalb der metrischen Geometrie zu s t e h e n w ü n s c h t , deren W e r k z e u g , der „ A b s t a n d " , doch d a z u dient, dieses ganze Gedankengebilde aufzubauen — offenbar eine I n k o n s e ­ quenz. H i e r schaffte n u n S t a u d t W a n d e l , i n d e m er d e u t h c h erkannte, d a ß eine v o n der Metrik unabhängige D e f i n i t i o n i projektiven K o o r d i n a t e nicht nur v o n n ö t e n , s o n d e r n a u c h m ö g h c h sei. U m auch die Erinnerung a n das frühere Miß­ verständnis z u v e r m e i d e n , unterdrückte er d a s W o r t „ D o p p e l v e r h ä l t n i s " i m d g a b der hier in Betracht k o m m e n d e n rein lagengeometrischen K o n s t e l l a t i o n v o n vier P u n k ­ t e n die B e z e i c h n u n g „Wurf\ D e r Wurf, d e n e i n beliebiger P u n k t P m i t drei willkürlich g e w ä h l t e n G r u n d p u n k t e n 0, 1, OO bildet, ein reiner Zahlenwert, wird zur K o o r d i n a t e v o n P erwählt. D i e rein p r o j e k t i v - g e o ­ metrische Definition des als Wurf b e z e i c h n e t e n Zahlenwertes g e h n g t n u n in A n l e h ntmg a n die Moebiussche Netzkonstruktion. In mo­ d e m e r A u s d e u t u n g b e s a g t S t a u d t s E n t w i c k l u n g v o n 1847, d a ß die Zahlen­ skala der Würfe für die P u n k t e einer Punktreihe n a c h A n n a h m e dreier fester Grundpimkte auf rein p r o j e k t i v e m W e g e , nur durch V e r b i n d e n v o n P u n k t e n u n d Schneiden v o n Geraden, konstruiert werden k a n n . D i e s e K o n s t r u k t i o n ist e b e n die i m s bereits b e k a n n t e des Moebiusschen N e t z e s . I m g e w ö h n h c h e n metrischen F a l l e , der n o c h die F ä h i g k e i t , Parallelen z u ziehen, b e n ö t i g t , würde die K o n s t r u k t i o n folgendermaßen auszuführen (vgl. Fig. 6) s e i n : D u r c h die P i m k t e O u n d 1 ziehe m a n je e i n e n beliebigen Strahl, durch d e n S c h n i t t p u n k t M dieser Geraden eine Parallele z u O l , durch 1 eine Parallele I i V z u O M ; d a n n schneidet die Parallele durch N z u IM aus der Geraden O l den P u n k t 2 aus. D e r S a t z v o n der Gleichheit gegenüberhegender ParaUelogranunseiten g e n ü g t , u m einsehen z u lassen, d a ß auf diese W e i s e die g e w ö h n h c h e metrische Skala g e w o n n e n wird. Durch D i a g o n a l e n z i e h e n u n d U n t e r t e ü u n g k ö n n e n alle

Staudt. Allgemeine projektive Koordinaten.

135

D u a l p u n k t e u n d schließlich alle rationalen W e r t e der Skala h m z u g e f ü g t werden. Man braucht nun nur diese Figur projektiv aufzufassen, i n d e m m a n die unendlich ferne Gerade ins Endliche legt, u n d der a l l g e m e m e Fall einer projektiven K ö ö r d i n a t e n b e s t i m m u n g auf Grund dreier beliebig gewählter Grundpunkte ist g e w ö n n e n (vgl. Fig. 7). SelbstverständHch m u ß , u m diese Werteverteilung zu einer Definition der projektiven Koordinate werden zu lassen, nun n o c h der E i n d e u t i g ­ keitsbeweis für die Konstruktion z u ihrer HersteUung geführt w e r d e n ; d. h. es m u ß nachgewiesen werden, daß die K o n s t r u k t i o n n a c h W a h l der drei Grundpunkte hnmer auf dieselbe Skala führt, wie m a n a u c h die wiUkürUchen Geraden durch die Grundpunkte gelegt h a b e n m a g . D i e s e n B e w e i s , der S t a u d t s eigentHche Leistung b e d e u t e t , darzulegen, fehlt es mir leider an Zeit. E s soll uns viehnehr n o c h kurz die Ü b e r ­ tragung seines Gedankens auf das gesamte Z a h l e n s y s t e m der A n a l y s i s beschäftigen. Hier ist zunächst m i t e i n e m Mißverständnis aufzuräumen. W e g e n der Leichtigkeit u n d Eleganz, m i t der die projektive Geometrie v o n wenigen Anfangsbegriffen rasch z u vielsagenden Sätzen aufsteigt, w i n d e sie nämlich v o n ihren begeisterten Anhängern häufig überschätzt. Man glaubte, auf diesem W e g e könne m a n die schwierigen U n t e r ­ suchungen axiomatischen Charakters vermeiden, w i e sie der eukHdischen Geometrie v o n alters her anhafteten. So b e h a u p t e t H a n k e l in seiner rednerisch glänzenden, sachlich aber unzureichenden A n t r i t t s ­ rede in T ü b m g e n 1869, die neuere Geometrie sei der „ K ö n i g s w e g " unserer Wissenschaft, den E u k l i d z u Unrecht d e m K ö n i g P t o l e m ä u s gegenüber in Abrede gesteUt h a b e ^). E u k l i d behält dennoch recht: es gibt k e i n e n „ K ö n i g s w e g " m der Mathematik. A u c h w e n n m a n v o n der Seite der projektiven Geometrie in sie eindringt, bieten sich an ihrem Platz dieselben Schwierigkeiten dar, die wir m der metrischen Geometrie bereits k e n n e n , u n d die nur durch scharfsinnige, logische Überlegungen z u beseitigen s m d . S o erhebt sich an dieser Stelle nach Ausführung der S t a u d t s c h e n K o n s t r u k t i o n , die u n s aUe rationalen Werte der K o o r d m a t e χ Heferte, die Frage n a c h den irrationalen u n d ihrer B e d e u t u n g m der Geometrie. U n d genau w i e in der übHchen Geometrie m u ß a u c h hier ein A x i o m die Kluft überbrücken, das wir e t w a so ausdrücken m ö g e n : J e d e m W e r t der durch den D e d e k m d s c h e n Schnitt zur Stetigkeit vervoUs t ä n d i g t e n Zahlenreihe m ö g e ein geometrischer P u n k t der Geraden e m deutig entsprechen u n d umgekehrt. A n die Einführung des S t e t i g k e i t s a x i o m s m die projektive Geo­ metrie, insbesondere an die VorsteUung der beHebigen A n n ä h e r u n g eines hrationalen W e r t e s durch sukzessive K o n s t r u k t i o n rationaler 1) H. H a n k e l : Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhun­ derten, Vortrag, Tübingen 1869.

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie. W e r t e i m Moebiusschen N e t z , h a b e n sich merkwürdigerweise aUerhand Irrtümer angeschlossen. Verschiedene Logiker glaubten nämlich, d a ß v o n e i n e m Grenztibergang hier nicht gesprochen werden könne, w o doch der Begriff des Kleinseins oder -Werdens, ja der des großen oder kleinen A b s t a n d s überhaupt keine Geltung habe. Leider k a n n ich auf diese Schwierigkeiten nicht genauer eingehen. N u r z w e i P u n k t e m ö g e n erwähnt werden, v o n denen mir diese H e m m u n g e n des Verständnisses ihren Ursprung zu n e h m e n scheinen. D a s eine ist eine schiefe Auf­ fassung der einer Strecke als „ M a ß " zugeordneten Zahl. V o n der Metrik her m a g sich hier eine naive Vorstellung eingenistet h a b e n , als handele es sich hier u m eine A n z a h l v o n D i n g e n , e t w a die A n z a h l der in der Strecke aufgehenden E i n h e i t e n — also u m eine „Kardinalzahl". — Schon in der metrischen Geometrie versagt aber diese Auffassung gegenüber den Irrationalzahlen, u n d in der projektiven ist sie in der T a t ganz unhaltbar. D e r Zahlwert der K o o r d i n a t e h a t hier ledighch den Charakter einer Ordnungszahl. Dieser allein — die eindeutige Anordnung der Koordinatenzahlen — , ist n u n aber das, w a s einzig für die Ausführung eines Grenzübergangs n o t w e n d i g ist. U n d hier scheint mir n u n die zweite Schwierigkeit zu liegen. Offenbar haftet in vielen Köpfen d e m Grenzprozeß — dank seiner historischen E n t s t e h u n g aus d e m Bildlich-geometrischen — aUerhand an, w a s m i t seinem W e s e n n i c h t s zu t u n h a t . A n S t e h e der allein nötigen Begriffe des „Kleiner­ werdens", „Näher-heranrückens" usw. sind die Vorstellungen v o n „klein", „ n a h herangerückt" usw. getreten, die jedoch bei k e i n e m Grenztibergang je eine B e d e u t u n g h a b e n k ö n n e n . Ist diese Schwierigkeit des Irrationalen tiberwunden, so läßt sich n u n die analytische B e h a n d l u n g der projektiven Geometrie so streng aufbauen w i e die der metrischen, u n d die Theorie g e n a u so umfassend bis zur B e h a n d l u n g beliebiger transzendenter K u r v e n ausgestalten. A u c h hier werden selbstverständlich h o m o g e n e Koordinaten ; %2 · (ii^ der Ebene) und die Plückersche Art der Gleichungsbehandlung ver­ wendet. D a m i t verlasse ich das Gebiet der Grundlegung der projektiven Geometrie, u m m m S t a u d t s z w e i t e große Leistung zu b e t r a c h t e n : die Deutung des Imaginären in der projektiven Geometrie (Beiträge 1857). Gegentiber d e m Imaginären in der Geometrie kann m a n sich g e w i ß auf den Standpunkt stellen, daß es keiner geometrischen D e u t u n g m e h r bedtirfe, sobald nur der K o n t a k t zwischen Geometrie u n d Analysis g a n z sichergesteUt ist, da ja dann die in sich logische Analysis einen g e ­ nügenden Einbhck in die Verhältnisse gewähre. Dieser logisch unanfecht­ bare S t a n d p u n k t ist in der T a t oft e m g e n o m m e n w o r d e n . K e i n wahrer Geometer wird sich indessen d a m i t begütigen; denn d a ß er zu s e h e n i m s t a n d e ist, w a s er denkt, m a c h t i h m R e i z und W e r t seiner Wissenschaft aus. Man wird also dennoch versuchen, sich, ganz i m R e e h e n verbleibend.

Staudt. Deutung des Imaginären.

137

ein geometrisches Abbild der hnaginären E l e m e n t e z u verschaffen, u m diese vollends vor jedem A n h a u c h v o n Mystik z u bewahren. E s lag n u n n a h e u n d war schon vor Staudt vorgeschlagen w o r d e n , ein konjugiert imaginäres P i m k t e p a a r z u repräsentieren durch die ' reelle I n v o l u t i o n zweiter Art — d. h. die Gesamtheit der zu zwei Grund­ p u n k t e n harmonischen P i m k t e p a a r e — , die es auf semer reellen Ver­ bindungsgeraden erzeugt. I n d e m ich zwei emander trennende P u n k t e ­ paare α, a'\ δ, h' hinzeichne (vgl. Fig. 8), ist die I n v o l u t i o n eindeutig gegeben u n d 2: ^— ^ d a m i t ein b e s t i m m t e s , konjugiert imagip.^ g näres P u n k t e p a a r repräsentiert. Genau so k ö n n e n zwei konjugiert imaginäre Strahlen durch eine I n v o l u t i o n zweiter Art in einem reellen Strahlbtischel dargestellt werden. D a der Begriff der I n v o l u t i o n e m projektiver ist, so liegt hier in der Tat eine profektive, reelle Sichtbarmachimg zweier konjugiert imaginärer E l e m e n t e vor. D i e s e Darstellimg lieferte jedoch immer nur das Gewünschte für ein P a a r v o n E l e m e n t e n ; es galt n u n , eine Methode z u finden, u m die beiden E x e m p l a r e eines solchen Paares i m Reellen sichtbar z u trennen. D i e s w u r d e geleistet durch Staudts genialen Gedanken, der Geraden, die Träger der I n v o l u t i o n ist, einen „ S m n " beizulegen, den wir durch einen beigefügten Pfeil andeuten. D e n k t m a n sich n ä m h c h — indem m a n für den — 2 ^-^-¾* ^ Augenblick v o n emer gänzlich anders ge^^^'^ arteten geometrischen Darstellimg Gebrauch m a c h t — die Gerade zur Gaußschen E b e n e verbreitert, so w ü r d e n in dieser die Grundpunkte der Involution durch zwei zur reellen Geraden s y m m e t r i s c h gelegene k o m p l e x e P i m k t e gegeben sem. U m n u n die b e i d e n Gaußschen H a l b e b e n e n durch e m e i m Reellen sichtbare, der Geraden a n geheftete Marke voneinander zu unterscheiden, füge ich ihr einen Pfeil an u n d treffe die Verabredimg, d a ß , mit diesem Pfeil versehen, die Gerade Träger der P u n k t e deri'enigen Halbebene sein soU, die in der Pfeilrichtung i m e n t g e g e n g e s e t z t e n Sinn des Uhrzeigers umlaufen wird (vgl. F i g . 9). E i n e entsprechende Verabredung wird für das Strahlbüschel getroffen. D a m i t ist in der T a t die Trennung geleistet u n d jedes e m z e l n e imagmäre E l e m e n t n u n i m Reellen ein greifbares Gebilde g e w o r d e n , m i t d e m alle Operationen der Konstruktion ausgeführt werden k ö n n e n . I n S t a u d t s Sinne i s t ein imaginärer P u n k t nichts anderes als eine I n v o l u t i o n zweiter Art auf einer in b e s t i m m t e m S m n z u durchlaufenden Geraden; eine imagmäre Gerade i s t eine I n v o l u t i o n zweiter Art in e m e m in b e s t h n m t e m S m n z u durchlaufenden Strahlbüschel. D i e Aufg a b e : e m e n reellen P u n k t P mit einem imaginären Q z u v e r b m d e n , ist gelöst, w e n n durch V e r b m d e n v o n P mit der I n v o l u t i o n Q das Strahlbüschel s a m t I n v o l u t i o n u n d s a m t Sinn hergestellt ist, das der imaginären Geraden PQ gleichkommt.

138 IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie. Mit Hilfe dieser Auffassung ist es uns n u n möglich, m das gefundene N e t z der Werteverteilung m der E b e n e resp. auf der Geraden auch die imaginären Zahlen einzutragen, d e n reellen K o o r d m a t e n solcherweise die imaginären sichtbar hinzuzufügen, u n d zwar auf Grund der g e w o h n ­ ten Konstruktion. Sind nämlich u + iv und u — iv (wo ν > O) zwei konjugiert komplexe P u n k t e , s o ist {X-(U

+ iv))-{x - ( U - iv)) =

(x-uY+v^=0

die Gleichung dieses Punktepaares,

(x-uy(x^-u)

+

v'=0

die Gleichung der durch d a s Paar b e s t i m m t e n Involution. durch die Substitution

~*

homogenen

Geht m a n Koordinaten

über, so heißt sie (ξ-uτ)·(ξ'~ur')

+

v^^ττ^=0.

Daraus lassen sich n u n leicht zwei Punktepaare der I n v o l u t i o n aus­ rechnen. E s ergibt sich dann

!• = 1 + . .

L . _ . e .

E s gehören also zusammen die P u n k t e (vgl. Fig. 10)

x = u,

x' = <^ :

X = U-V^,

x'=u+l,

deren W e r t e auf der reeUen Skala aufgesucht werden können.

Wird

z. B . verlangt, d e n P u n k t u + iv rein projektiv z u konstruieren, s o suche ich die P u n k t e u — v^, u, u + l, <x>, betrachte sie als zwei sich ^ ^^^^—SH^^^^

trennende Paare einer Involution 55bestimme, d a ß sie i m Sinne 0 , 1 , OO durchlaufen werden soUen. "^•^^' D a m i t ist die Aufgabe gelöst ^). W i e die Ausbüdung dieser Methode sich i m emzehien macht, d a s m ö c h t e ich n u n an einem Beispiel zeigen, d a s u n s schon, als wir v o n P l ü c k e r sprachen, beschäftigte. W i r betrachteten d e n Satz, d a ß eine ebene K u r v e dritter Ordnung Cg neun W e n d e p u n k t e besitzt, v o n denen immer drei reeU, sechs i m a g m ä r smd, u n d die z u je dreien auf einer Geraden, also auf zwölf eigentümlich konfigurierten geraden Lmien liegen. D i e natürhche Aufgabe, d i e sich hier anschheßt, ist n u n , diese neun W e n d e p u n k t e u n d ihre Konfiguration in der Staudtschen Weise wirkhch z u zeigen. Man vgl. hierzu auch K l e i n : Elementarmathematik vom höheren Stand­ punkte aus, Bd. 2. S. 133ff., 3. Aufl., Berlin 1925.

Die neun Wendepunkte einer Cj. U m eine leichtere Übersicht zu ermöghchen, n e h m e ich eine prin­ zipiell u n w i c h t i g e Veränderung des Problems vor. Ich duahsiere n ä m ­ hch die Aufgabe u n d setze an Stelle der K u r v e dritter Ordnung C3 eine K u r v e dritter Klasse C^. Diese besitzt nach o b i g e m Satz n e u n R ü c k k e h r t a n g e n t e n (Spitzentangenten), die zu je drei durch einen P u n k t gehen. D i e s e n e u n R ü c k k e h r t a n g e n t e n u n d ihre zwölf S c h n i t t ­ p u n k t e z u je dreien aufzuweisen, ist nun das Problem. N a c h den Plückerschen Formeln ist die in Frage k o m m e n d e K u r v e dritter Klasse eine K u r v e sechster Ordnung, die bei geeignet gewählten S y m m e t r i e n e t w a die in Fig. 11 angegebene F o r m hat. Unsere erste Frage m u ß n u n die sein nach den reellen Trägern imaginärer T a n g e n ­ ten. E s sind dies diejenigen P u n k t e , v o n d e n e n nur e i n e reelle T a n g e n t e a n die Cq m ö g h c h ist. Sie erfüllen das ringförmige Gebiet, u n d zwar doppeltzählend, da jeder Punkt Träger zweier imaginärer T a n g e n t e n Fig. 11. ist. (Steht m a n sich tatsächlich eine in sich z u s a m m e n h ä n g e n d e ringförmige Fläche vor, die Figur darstellt, so k o m m t m a n zu d e m Begriff Riemannscher Flächen", wie sie der Aufsatz in b e h a n d e l t . Jeder P u n k t dieses R a u m e s ist also Träger einer Strahleninvolu­ t i o n , der m a n noch zweierlei Sinn bei­ legen k a n n , entsprechend Vorderseite I und Rückseite des ringförmigen F l ä c h e n s t ü c k s 1)). D i e n e u n Rückkehrtan^enten sind n u n leicht eingezeichnet. Außer d e n drei reellen, sind es drei — bei s y m m e ­ trischer Zeichnung rechtwinklige — Strahleninvolutionen m i t je zweierlei Sinn, getragen v o n drei d e m b e ­ sprochenen R a u m angehörigen P u n k ­ t e n , die z u d e m je auf einer der reellen Rückkehrtangenten hegen müssen

deren Vorderansicht meiner „ n e u e n Art B d . 7 der A n n a l e n

Fig. i 2.

w e g e n des Satzes v o n den zwölf P u n k ­ t e n , in denen sich je drei Rückkehrtangenten schneiden (vgl. Fig. 12). Diese 12 P u n k t e ergeben sich wie folgt: " l y K U i n , Ges. Abh., Bd. 2, S. 89ff.; vgl. auch ebendort S. 69.

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IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

1 der Mittelpunkt M der Figur, als S c h n i t t p u n k t der drei reellen. 2 bis 4 die drei markierten P u n k t e ß , C m i t Doppelpfeil, in denen sich je eine reelle m i t zwei konjugiert k o m p l e x e n schneidet. 5 bis 10 eine Involution m i t zweifachem Sinn auf jeder der Ge­ raden AM, BM, CM, In ihnen schneiden sich je eine reelle m i t zwei imaginären, aber nicht konjugierten. So schneidet sich etwa in der I n v o l u t i o n auf C M m i t d e m Sinne C M : die Gerade C M m i t der Strahlen­ involution und B^, 10 bis 12 die beiden Kreispunkte oder die I n v o l u t i o n auf der u n e n d ­ lich fernen Geraden m i t zweifachem Sinn. I n ihnen schneiden sich die drei v o n A, B, C ausgehenden imaginären, u n d zwar A-^, B^, C^ in einem Kreispunkt, A^, B^, C ^ i m andern. D i e fast triviale L ö s u n g dieser Aufgabe läßt gewiß an Anschauhchkeit u n d Übersichtlichkeit n i c h t s zu wünschen übrig. D a m i t verlasse ich die B e t r a c h t u n g der Leistungen, die die pro­ j e k t i v e Geometrie Staudt verdankt, u n d w e n d e m i c h zu der E n t w i c k ­ lung, die sie, unabhängig v o n dieser prinzipieUen D u r c h b ü d u n g , aber parallellaufend damit, in Frankreich u n d England g e n o m m e n h a t , i n d e m ich aus der Fülle der b e d e u t e n d e n Einzelleistungen wiederum vor allem das herausgreife, w a s für das Verhältnis v o n projektiver u n d metrischer Geometrie wichtig geworden ist. U m m i t Frankreich zu beginnen, so m ö c h t e ich v o n M i c h e l C h a s l e s sprechen als v o n d e m t y p i s c h e n Vertreter der französischen Mathe­ m a t i k dieser Tage. Geboren 1793 in E p e r n o n bei Paris, gehört er an sich der älteren Generation a n ; seine eigentümliche E n t w i c k l u n g aber brachte i h m erst spät eine Periode wissenschaftUcher P r o d u k t i v i t ä t . N a c h d e m er n ä m h c h als Schüler der ß c o l e P o l y t e c h n i q u e bereits 1 8 1 3 i m Journal der Schule eine interessante Arbeit über die projektive Erzeugung des einschaligen H y p e r b o l o i d s veröffenthcht h a t t e , zog er sich in der Folgezeit v o m wissenschafthchen L e b e n gänzHch zurück, u m sich in seiner H e i m a t p r o v i n z in Chartres d e m B a n k w e s e n zu w i d m e n , in welcher Tätigkeit er lange Jahre verbHeb u n d sich ein großes Ver­ m ö g e n erwarb. E r s t 1837, also m i t 4 4 Jahren, trat er m i t s e i n e m ersten größeren Werk h e r v o r : Apergu historique sur Vorigine et Ie developpement des mühodes de Ia geometrie, 1841 wurde er Professor der Maschinenkunde an der ß c o l e P o l y t e c h n i q u e , u n d nun b e g i n n t all­ m ä h l i c h sein Anstieg i m öffentlichen u n d wissenschafthchen Leben. E i n besonderer Lehrstuhl an der Sorbonne wurde 1846 für üin geschaffen al« den Vertreter der geometrie superieure. Als solcher wurde er m e h r u n d mehr Führer u n d Mittelpunkt der französischen Geometrie, der er durch viele Publikationen u n d eine weitreichende, schulebüdende Lehrtätigkeit zu großer B e d e u t u n g verhalf. Sein E m f l u ß wurde n o c h erhöht durch seine lange Lebensdauer. Chasles starb 1880 m i t 87 Jahren.

Chasles und seine Schule. D i e späteren Arbeiten Chasles' behandeln höhere algebraische Gebilde. Hier wird er msbesondere der Schöpfer derjenigen R i c h t u n g , die m a n als ,,abzählende Geometrie" bezeichnet: die Anzahl der L ö ­ sungen algebraischer Probleme m i t Hilfe geometrischer B e t r a c h t u n g e n zu b e s t i m m e n , die aber die algebraischen Grundbegriffe als gegeben voraussetzen — eine Methode, auf die ich später näher eingehen werde. I m augenblicklichen Z u s a m m e n h a n g interessiert uns, was Chasles über Gebilde ersten u n d zweiten Grades vorgebracht hat, vor allem aber seine Auffassung einer synthetischen, projektiven Geometrie u n d einer E i n o r d n u n g der metrischen Geometrie in dieselbe. Für diese Seite der Chaslesschen Arbeiten ist der Tratte de giometrie superieure (1852) bezeichnend. Stofflich bringt dies B u c h d e m viel B e k a n n t e s , der Moebius u n d Steiner gelesen h a t ; an S t a u d t ist Chasles indes völlig vorübergegangen. Mit Moebius h a t Chasles die Aufnahme und strenge Durchführung des Prinzips der Vorzeichen gemein, die B e t o n u n g des Doppelverhält­ nisses v o n vier P u n k t e n oder vier Geraden als fundamentaler Größe, das S t u d i u m der aUgemeinsten Kolhneation u n d der dualistischen Ver­ w a n d t s c h a f t ; m i t Steiner die projektive Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Büschel oder Punktreihen. Vielleicht h a t Chasles diese Ideen bereits lange in sich getragen; hervorgetreten ist er jeden­ falls erst damit, n a c h d e m sie in Deutschland längst Gestalt g e w o n n e n h a t t e n , u n d es bleibt i h m in dieser Hinsicht nur das Verdienst, die Übertragung nach Frankreich und, an der H a n d des weitreichenden französischen Unterrichts, die Weiterverbreitung nach England, Italien, S k a n d i n a v i e n usw. geleistet zu haben. Chasles bedient sich in seinen Arbeiten durchweg einer v o m d e u t ­ schen Gebrauch abweichenden Terminologie, die m a n kennen m u ß , weil sie weithin nachgewirkt h a t ; z. T. handelt es sich u m Ü b e r s e t z u n g der lateinischen Ausdrücke ins Griechische. D a s Doppelverhältnis heißt bei i h m ,,rapport anharmonique", was, aus ana-harmonique gebildet, ein ,,über das harmonische hinausgehendes" Verhältnis bezeich­ nen soll — wie mir scheint, ein recht unglückhch gewählter T e r m i n u s . , , K o l h n e a t i o n " ersetzt Chasles durch das gleichbedeutende griechische W o r t ,,Homographie". Für ,,dualistische U m f o r m u n g " sagt er ,,correlation", welcher Term also bei i h m ganz andere B e d e u t u n g h a t als b e i d e m älteren Carnot. A u c h Poncelets Ausdrucksweise erscheint bei Chasles stark verändert u n d nach meinem Gefühl nicht verbessert. W e n n Poncelet die imaginären E l e m e n t e durch sein e t w a s m y s t i s c h e s principe de continuite zu fassen suchte, so spricht n u n Chasles v o n denjenigen Tatsachen, die nur i m reellen Falle s t a t t h a b e n , als v o n zufälligen Eigenschaften „qualites contingentes", w o m i t aber keineswegs ein Unterscheidungsmerkmal gegeben ist, w a s i m Einzelfall als w e s e n t ­ lich, was als „contingent" anzusehen ist; z. B . zwei Kreise h a b e n immer

142

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

eine reelle Radikalachse; sie k ö n n e n unter U m s t ä n d e n zwei reelle S c h n i t t p u n k t e h a b e n , diese s m d „contingents". W i e aber faßt Chasles die Tatsache, daß b e i der allgemeinen Cg v o n den n e u n W e n d e p u n k t e n immer drei reell, sechs imaginär sind, durch seinen Begriff der „qualite contmgente" ? E i n e ganz n e u e N o t e tritt jedoch bei Chasles hervor, besonders in seinem Apergu historique; das ist der Sinn für die historische E n t ­ wicklimg der Wissenschaft. E i n e Menge Vorgänger der neueren Geo­ m e t r i e wurden v o n Chasles wiederentdeckt u n d an den P l a t z gestellt, der ihnen z u k o m m t , so z. B . D e s a r g u e s , der u m 1630 eine b e d e u t e n d e P r o d u k t i v i t ä t entfaltete, h e u t e n o c h überall b e k a n n t durch den Desarguesschen Satz. Besonderes Verdienst erwarb sich Chasles u m die drei verlorenen B ü c h e r E u k l i d s über die sog. Porismen] er fand heraus, d a ß sie sich m i t den einfachsten projektiven B e z i e h u n g e n beschäftigt h a b e n m ö c h t e n , eine V e r m u t u n g , die durch die spätere F o r s c h u n g bestätigt wurde. D i e m a t h e m a t i s c h e Geschichtsforschung, die v o n Chasles ihren n e u ­ zeitlichen I m p u l s empfing, h a t u n s viel Wertvolles gegeben, insofern sie u n s lehrt, die großen Z u s a m m e n h ä n g e z u sehen u n d die Art des Fortschrittes menschlicher E r k e n n t n i s , der sich s t e t s aus Vor u n d Zurück z u s a m m e n s e t z t , zu ahnen. Freilich ist die E r k e n n t n i s , d a ß jeder n e u e Gedanke, den der einzelne geschaffen z u h a b e n glaubt, lange in der Zeit vorbereitet schlummerte — die Weisheit, d a ß es n i c h t s N e u e s unter der Sonne gebe, w i e das Sprichwort es e t w a s gröblich ausdrückt — , m a n c h e m stark p r o d u k t i v e n Kopf nicht eben w ü l k o m m e n ; denn sie beschränkt in gleicher W e i s e das Selbstbewußtsein u n d die A n e r k e n ­ n u n g seitens der U m g e b u n g . So erweckte d e n n auch Chasles durch seine Bestrebungen m a n c h e F e i n d s c h a f t ; b e h a u p t e t doch P o n c e l e t , Chasles' erbitterter Gegner auf vielen Gebieten, der Apergu historique sei eigens u n d allein verfaßt, u m seine Leistungen herabzusetzen. Auf der anderen Seite unterlag Chasles selbst einer E n t w i c k l u n g , die nicht geeignet w a r , das A n s e h e n seiner geschichtlichen B e ­ m ü h u n g e n z u heben. E r v e r m i e d n ä m l i c h nicht die Gefahr, die in der historischen Durchforschung eines jeden Spezialgebietes menschlicher Kultur verborgen liegt: der Eifer u n d die Freude an der E n t d e c k u n g führt schließlich zu emer Art sporthchen Interesses a m Auftreiben m ö g h c h s t vieler verschollenen E m z e l h e i t e n , über d e m das Gefühl für die Wichtigkeit u n d die Sicherheit des F u n d e s verloren geht. D i e sich­ tende Kritik w k d verdrängt durch den Vollständigkeitsdrang des Sammlers. Chasles h a t t e das Mißgeschick, die Schädlichkeit emer solchen E n t w i c k l u n g durch e m e n unglücklichen Fehlgriff aller W e l t deutlich vor A u g e n z u führen, ein U m s t a n d , den ich nicht u n e r w ä h n t lassen m ö c h t e , d a er nach mehreren Seiten ein allgemein m e n s c h h c h e s I n t e r ­ esse beansprucht.

Chasles und seine Schule. Der Kugelkreis. Chasles h a t t e 1861 eine große A u t o g r a p h e n s a m m l u n g erworben, aus der er v o n 1867 b i s 69 Aufsehen erregende Mitteüungen m a c h t e . E r b e g a n n m i t der P u b h k a t i o n v o n Briefen des i u n g e n Pascal u m 1 6 5 0 , in denen dieser N e w t o n ' s Gravitationstheorie, w i e sie 1687 ans L i c h t trat, in den Grundzügen antizipiert zu haben schien. E s folgten all­ m ä h h c h i m m e r phantastischere Zeugnisse, so ein Brief der Maria Magda­ lena an den A p o s t e l P e t r u s , den diese aus MarseiUe geschrieben h a b e n sollte, ein Privatbrief des Varus an Cäsar usw. Chasles' Publikationen wurden sogleich heftig angegriffen, insbeson­ dere v o n d e m A s t r o n o m e n Leverrier. Immerhin beschäftigte sich die A k a d e m i e doch w ä h r e n d zweier Jahre aufs lebhafteste m i t diesen D i n g e n , wie die d a v o n erfüUten Comptes R e n d u s v o n 1867 bis 69 beweisen, bis Chasles schheßhch zugeben m u ß t e , daß er das Opfer einer gran­ diosen F ä l s c h u n g geworden war. D i e Sache, die unerhörtes Aufsehen erregte, wurde bei d e m großen psychologischen Interesse, das sich daran anknüpft, in den sog. n e u e n P i t a v a l ( S a m m l u n g merkwürdiger Rechtsfälle) a u f g e n o m m e n , w o m a n Näheres darüber findet. Man kann nicht u m h m , an d e m Fälscher, der s c h h e ß h c h in flagranti ertappt wurde, einen gewissen m e n s c h h c h e n A n t e i l zu n e h m e n . Müssen i h m doch nicht nur sehr große Geschicklichkeit u n d b e d e u t e n d e K e n n t n i s s e eigen gewesen sein, sondern auch ein starker Sinn für H u m o r , der ihn die Situation, die hervorragendsten A k a ­ demiker an der N a s e herumzuführen, heimlich gewiß aufs intensivste genießen Heß. N a c h dieser n e g a t i v e n Kritik m ö c h t e ich n u n v o n der p o s i t i v e n A u s g e s t a l t u n g sprechen, die Chasles u n d m i t i h m die französische Schule d e m Verhältnis v o n projektiver u n d metrischer Geometrie gegeben h a b e n , i n d e m sie den Kugelkreis in der unendlich fernen E b e n e resp. die Kreispunkte auf der unendlich fernen Geraden wie reelle Gebilde in die B e t r a c h t u n g einführten. Einige Erläuterungen in analytischer F o r m , in der Art, wie sie zuerst v o n Plücker (CreUe's Journal B d . 5. 1830) gegeben w u r d e n , m ö c h t e ich vorausschicken. W e n n wir, u m h o m o g e n e K o o r d m a t e n einzuführen, für x, y, ζ s e t z e n : | , | , 7 > so ist der Kugelkreis gegeben durch:

Hier m ö c h t e ich nun gleich darauf hinweisen, wie töricht es ist, v o n d e m „ u n e n d h c h fernen" Kugelkreis zu sprechen. D i e Entfernung v o m N u l l ­ p u n k t ist i m aUgememen gegeben durch

I m FaUe des Kugelkreises wird dieser Ausdruck ^ , also u n b e s t i m m t .

144

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

d . h . den P u n k t e n des Kugelkreises k a n n m i t gleichem R e c h t j e d e Entfernung beigelegt w e r d e n ; nur so läßt sich ja auch der U m s t a n d v e r s t e h e n , d a ß sie jeder K u g e l v o n beliebigem festem R a d i u s r angehören. E i n v o n den Franzosen besonders häufig b e n u t z t e s u n d a u s g e b a u t e s T h e o r e m ist das über rechtwinklig sich schneidende R i c h t u n g e n . P r o ­ j e k t i v b e d e u t e t b e k a n n t h c h d a s Senkrechtstehen zweier R i c h t u n g e n nichts anderes als harmonische Lage z u m Kugelkreis, d e n n sie drückt sich aus durch ff -f ηη + CC = 0, d. h. durch das N u l l s e t z e n der Polaren v o n ξ'^ +η"^ + ζ"^ = 0. A u c h hier ergeben sich n u n w i e d e r scheinbare P a r a d o x i e n , w e n n m a n , wie es die Franzosen t a t e n , m i t d e n Geraden arbeitet, die den Kugelkreis treffen. Geht eine solche Gerade durch den N u l l p u n k t , wie ich der E i n f a c h h e i t w e g e n a n n e h m e n wiU, so ist für sie ξ'^+η'^+ζ'^ = 0. E s sieht also aus, als o b eine solche Gerade auf sich selbst senkrecht s t ü n d e ; a u ß e r d e m h a t sie die Länge N u l l ! W e g e n dieser paradoxen E i g e n s c h a f t e n n a n n t e L i e zu B e g i n n seiner Laufbahn (1869—70) diese Gebilde nie anders als „die v e r r ü c k t e n Geraden**. Später in seinen P u b l i k a t i o n e n bezeichnete er sie v o r n e h m e r als ,Minimalgeraden", I n Frankreich aber h a t sich die v o n R i b e a u c o u r s t a m m e n d e B e n e n n u n g „droites isotropes" a u s g e b r e i t e t ; sie g r ü n d e t sich auf die T a t s a c h e , d a ß bei jeder D r e h u n g u m den N u l l p u n k t z w e i dieser Geraden — die Verbindungslinien m i t den K r e i s p u n k t e n der zur Drehungsachse senkrechten E b e n e — unveränderte Lage b e h a l t e n . In Wahrheit handelt es sich auch bei diesen überraschenden Ver­ hältnissen wieder u m u n b e s t i m m t e W e r t e . E s ist nämlich der W i n k e l zweier durch den N u l l p u n k t g e h e n d e n Geraden m i t d e n R i c h t u n g e n ξ:η:ζ u n d ξ' :η': C gegeben durch

L ä ß t m a n diese Geraden zusammenfallen, i n d e m m a n

werden l ä ß t , u n d drückt gleichzeitig aus, d a ß es sich u m eine Gerade h a n d e l n soll, die den Kugelkreis trifft, s e t z t m a n also s o wird der Winkel b e s t i m m t

+

+

durch den Ausdruck arc cos ^ .

= Ο, Der

W i n k e l , m i t d e m wir es hier zu t u n h a b e n , ist also w i e d e r u m u n b e s t i m m t ; m a n k a n n ü i m mit d e m s e l b e n R e c h t die Größe v o n 90« — w a s d e m Nullwerden des Zählers entspricht — als jede andere b e ü e g e n .

Was

a b e r die Länge dieser Geraden betrifft, so ist für sie in der T a t

außer w e n n T = O ist. D . h. die Gerade trifft die u n e n d l i c h f e m e E b e n e in u n b e s t i m m t e r Entfernung, wie es sein m u ß , d a es in e i n e m P u n k t e d e s Kugelkreises geschieht.

Der Kugelkreis.

145

Diese Verhältnisse werden nun v o n den Franzosen z u höchst eigen­ tümlichen Schlußweisen benutzt, vermöge deren m a n m i t großer Leich­ tigkeit, „durch die Luft", wie Lie z u sagen pflegte, z u b e d e u t s a m e n geometrischen R e s u l t a t e n gelangt. Diese Denkart m ö c h t e ich insbeson­ dere den Philosophen, die sich sonst häufig auf m a t h e m a t i s c h e Triv i a h t ä t e n beschränken, z u prinzipieUer Überlegung empfehlen. Als typisches Beispiel für die hier angedeutete Schlußweise wiU ich Chasles' E n t d e c k u n g (im Aper9u historique, N o t e 3 1 , S. 384 ff. der 2. Ausg.) vorführen, wonach konfokale Flächen zweiten Grades solche sind, welche m i t d e m Kugelkreis in dieselbe, übrigens imaginäre D e v e ­ loppable einbeschrieben sind, deren einzig reeUe Teile, zwei D o p p e l ­ kurven, aus den Fokalkurven der Schar bestehen. Die P u n k t g l e i c h u n g der konfokalen lautet h o m o g e n :

I n h o m o g e n e n Ebenenkoordinaten heißt sie: _

^2 ^ (52 ^X^y^^

(,2 -X)W'==

ω'

oder: {a'u'+b'v'+c'w'-ω')-λ{u'+v'+wη~^ D a i i ^ _|_ y2

0.

= 0 (^iQ Gleichung des Kugelkreises in Ebenenkoordi­

n a t e n ist, so h a t m a n also eine Schar v o n Flächen zweiter Klasse v o r sich, unter denen sich für A = QO der Kugelkreis befindet. Allen diesen F l ä c h e n ist aber g e m e i n s a m das Gebilde + 52^2 _|_ ^2^2 + V^+

c^2 ^ 0

W^ = O;

d a s ist aber eine Developpable. Sehr einfach leitet nun Chasles aus diesen Verhältnissen den Satz a b , d a ß die konfokalen nicht nur im gewöhnlichen Sinn orthogonal sind, sondern daß sich auch ihre scheinbaren Umrisse v o n j e d e m beliebigen P u n k t e aus gesehen rechtwinklig schneiden. Wir betrachten die Gerade, welche das A u g e m i t d e m S c h n i t t p u n k t der beiden in Frage gesteUten scheinbaren Umrisse verbindet. D i e Gerade berührt die betreffenden beiden Exemplare F u n d F' der F l ä c h e n ­ schar. E s gehen ferner durch sie je ein Paar v o n T a n g e n t e n e b e n e n an jede Fläche der Schar, u n d diese Ebenenpaare bilden e m e I n v o l u t i o n , deren doppeltzählende Grundelemente gegeben sind durch die in d e n beiden Berührungspunkten der Geraden an F u n d F' gelegten T a n ­ g e n t e n e b e n e n T u n d T. D i e durch die Gerade gelegten beiden T a n ­ g e n t e n e b e n e n an irgend eine Fläche der Schar liegen also harmonisch z u T u n d T. U n t e r den Flächen der Schar befindet sich aber a u c h der Kugelkreis. D i e an ihn durch die Gerade gelegten T a n g e n t e n e b e n e n liegen also ebenfalls harmonisch z u T u n d T\

Klein, Entwicklung der Mathemathik.

10

14¾

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

D a n u n die harmonische Lage zweier Paare v o n E l e m e n t e n eine gegenseitige ist, so b e d e u t e t das nichts anderes, als daß T u n d T senkrecht auf einander stehen, w a s zu beweisen war. D a s ist die Art v o n Schlüssen, wie s i e bei dieser Gruppe v o n Geom e t e r n übUch waren. E s ist gewiß h ö c h s t merkwürdig, w i e hier viele Erkenntnisse in w e n i g e n Allgemeinbegriffen z u s a m m e n g e p r e ß t werden, n a c h deren völliger Erfassung u n d Beherrschung dann allerlei neue Folgerungen m i t an sich reichem, k o m pliziertem I n h a l t fast selbstverständlich er/^e/kre/s scheinen. B e i Chasles treten diese Schlüsse zunächst noch schüchtern, meist in gedanklicher U m h ü l l u n g auf; erst später v e r w e n dete er sie m i t der großen Freiheit u n d Geschicklichkeit, die zu besitzen n u n die iüngere Generation zu ihrem eigenthchen Ehrgeiz m a c h t . Dieses m a t h e m a t i s c h e L e b e n ^ h a t t e seine B l ü t e erreicht, als ich 1870 m i t Lie z u s a m m e n in Paris war. Für die h o h e A u s b ü d u n g u n d virtuose H a n d h a b u n g , die dies m a t h e m a t i s c h e R ü s t z e u g damals erfuhr, m ö c h t e ich n o c h ein weiteres Beispiel g e b e n E i n vielbearbeitetes Problem in dieser Zeit w a r das Auffinden v o n Krümmungskurven auf gegebenen F l ä c h e n ; es g e l a n g i m allgemeinen nur in ganz vereinzelten Fällen durch Integration. D a e n t d e c k t e D a r b o u x , u n d zwar aus d e m uns interessierenden I d e e n kreis heraus, daß auf ieder beliebigen F l ä c h e eine K r ü m m u n g s k u r v e o h n e weiteres b e k a n n t sei, nämlich die Berührungskurve der F l ä c h e m i t der ihr u n d d e m Kugelkreis g e m e i n s a m umschriebenen D e v e l o p p a b l e n .

P

D e r Satz k o m m t folgendermaßen zustande. Als K r ü m m u n g s k u r v e n einer Fläche sind dieienigen K u r v e n definiert, die v o n den F u ß p u n k t e n konsekutiver sich schneidender F l ä c h e n n o r m a l e n gebildet werden. A l s Flächennormalen im Berührungspunkt einer Minimalebene h a b e n aber diejenigen in der E b e n e selbst liegenden Geraden zu gelten, w e l c h e durch ihren Berührungspunkt m i t d e m Kugelkreis gehen, nach d e m Satz, daß die Normale der E b e n e überhaupt durch den Pol der E b e n e hinsichtlich des Kugelkreises hindurchläuft. D i e s e N o r m a l e n oder Minimalgeraden schneiden sich n u n in der T a t , w e n n die Minimalebene auf der Fläche u n d d e m Kugelkreis gleichzeitig weiterrollt (vgl. Fig. 13). Also erzeugt die rollende E b e n e — deren konsekutive SteUungen die genannte Developpable darstellen — auf der F l ä c h e eine K r ü m m u n g s kurve — natürlich imaginär. Man sieht, wir h a b e n es hier m i t einer wunderbaren, praktischen A u s n ü t z u n g gewisser allmählich g e w o n n e n e r Gedankenansätze zu t u n .

Konfokale Flächen 2. Grades. Cayley.

147

in der sich ungewöhnhche Geschickhchkeit u n d Eleganz offenbart. Diese Eigenschaften, die auch Chasles wesentlich auszeichnen, s t e h e n in e i n e m bemerkenswerten, vieUeicht etwas durch die N a t i o n a l i t ä t b e d i n g t e n Gegensatz z u der Gründlichkeit u n d Tiefe, wie sie e t w a S t a u d t besaß, — Gaben, denen allem wir die unanfechtbare Grund­ legung des ganzen Gebäudes verdanken. D i e wenigen Stichproben müssen hier genügen. Zu weiterem S t u ­ dium* verweise ich auf eine sehr reichhaltige Literatur, v o n der hier nur genannt s e m m ö g e n : C h a s l e s : R a p p o r t sur les progres de Ia geometrie en France. Paris 1870. E n z y k l o p ä d i e , B d . I I I C 1 (Dingeldey) u n d C 2 (Staude). E . K ö t t e r : E n t w i c k l u n g der synthetischen Geometrie v o n Monge bis auf Staudt (Jahresber. d. D . M. V. B d . 5, 1901). D i e E n t w i c k l u n g der projektiven Geometrie führt uns nun in den 4 0 er Jahren plötzlich m i t e i n e m Sprung v o n Frankreich nach E n g l a n d , wo, nur durch Literatur angeregt, sich eine ganz eigene P r o d u k t i v i t ä t entfaltet. Als Mann v o n überragender B e d e u t u n g tritt u n s A r t h u r C a y l e y e n t g e g e n . E r wurde 1821 in R i c h m o n d geboren, w u c h s aber in P e t e r s ­ burg auf, w o sein Vater K a u f m a n n war. 1 8 3 8 — 4 1 besuchte er, wie üblich, die Universität in Cambridge, an welcher er sich 1841 die n a c h altenglischem S y s t e m geltenden höchsten Ehren des senior wrangler u n d des first Smith'prizeman errang. 1841 beginnen a u c h seine ersten Ver­ öffentlichungen i m Cambridge Journal. Dabei schöpfte er seine einzigen Anregungen aus der Literatur, u n d zwar vorwiegend aus Jacobis bchriften u n d den Veröffentlichungen der Franzosen. Ähnlich wie bei Chasles tritt nun aber eine seltsame Unterbrechung der äußeren Laufbahn ein: Cayley wird 1843 R e c h t s a n w a l t in L o n d o n , welcher Tätigkeit er während 2 0 Jahren treu b h e b . W i e es i h m gelang, neben d i e s e m voUen Beruf noch eine unvergleichliche m a t h e m a t i s c h e P r o d u k t i v i t ä t z u entfalten — hierin sich unterscheidend v o n Chasles — , das m u ß immer wieder rätselhaft erscheinen. Cayleys sämtliche grund­ legenden Arbeiten sind in dieser Zeit entstanden. Seit 1863 war Cayley Professor in Cambridge, w o er, nach dortiger Überheferung, i m m e r nur einen ganz kleinen Kreis spezieller Zuhörer u m sich v e r s a m m e l t e u n d i m übrigen seine Zeit zwischen wissenschaftliche Arbeit u n d Verwal­ tungstätigkeit an der Universität teilte. Er beschloß sein stiUes Arbeits­ leben a m 26. Januar 1895. Cayleys zahlreiche u n d umfangreiche Werke wurden in 13 großen Ouartbänden herausgegeben m i t e i n e m ausgezeichneten, v o n F o r s y t h bearbeiteten Registerbande. Sie erstrecken sich auf die verschiedensten Gebiete unserer Wissenschaft, z. B . auch Mechanik u n d A s t r o n o m i e ; 10*

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

148

aber in erster Linie ist Cayley d o c h Vertreter u n d in w e i t g e h e n d e m S i n n e Schöpfer der h e u t i g e n algebraischen Geometrie, s o w o h l n a c h Seite der I η VARIANTEN theorie als n a c h der geometrischer Theorien. I m vorliegenden Z u s a m m e n h a n g interessiert u n s z u n ä c h s t die F ö r d e ­ rung, die er der B e z i e h u n g z w i s c h e n projektiver u n d metrischer G e o ­ m e t r i e z u t e i l werden ließ. A Sixth

Memoir

V o r a l l e m k o m m t für u n s sein b e r ü h m t e s

on Quantics

(London, P h ü . T r a n s . 1859, G e s a m m e l t e

W e r k e , B d . I I , p. 561) in B e t r a c h t .

Q u a n t i c h e i ß t s o v i e l wie „ F o r m " ,

d. h. h o m o g e n e s P o l y n o m v o n z w e i , drei oder m e h r Variabein, w o n a c h m a n binäre, ternäre usw. F o r m e n u n t e r s c h e i d e t . D i e f u n d a m e n t a l e Auffassung C a y l e y s , die w i r hierbei u n s e r e m B e ­ richt

voranstellen w o l l e n , i s t : die Grundbegriffe der metrischen

Geo­

m e t r i e sind K o v a r i a n t e n d e s K u g e l k r e i s e s g e g e n ü b e r beliebigen Hnearen Transformationen der h o m o g e n e n K o o r d i n a t e n .

D a b e i g e n ü g e hier als

Definition, d a ß I n v a r i a n t e n u n d K o v a r i a n t e n A u s d r ü c k e sind, die m i t d e m Grundgebüde in e i n e m durch h n e a r e Transformation baren Z u s a m m e n h a n g s t e h e n . rianten,

unzerstör­

Man spricht t r a d i t i o n s g e m ä ß v o n I n v a ­

w e n n in d e n A u s d r ü c k e n nur die K o n s t a n t e n

irgendwelcher

g e g e b e n e n Gebilde auftreten, v o n K o v a r i a n t e n , w e n n a u c h die Variabein darin e n t h a l t e n sind.

D a m a n aber die K o n s t a n t e n i m m e r selbst als

Variable einführen k a n n , so ist dieser U n t e r s c h i e d kein w e s e n t h c h e r . E i n e solche K o v a r i a n t e d e s K u g e l k r e i s e s ist n u n z. B . der v o n z w e i E b e n e n eingeschlossene W i n k e l , der sich in E b e n e n k o o r d i n a t e n

aus­

d r ü c k t durch

w o i m Zähler die Polare der Grundform — ihre einfachste K o v a r i a n t e -—, i m N e n n e r die Grundform selbst auftritt.

Parallel d a z u s t e h t die E n t ­

f e r n u n g zweier P u n k t e in P u n k t k o o r d i n a t e n :

wo

der

Zähler v e r s c h w i n d e t ,

wenn

die

P u n k t e f, η, ζ

beiden

und

ξ\ η\ ζ* auf einer Minimalgeraden liegen, der N e n n e r aber der Glei­ c h u n g der u n e n d l i c h fernen E b e n e entspricht. W e n n m a n s a g t , der a n a l y t i s c h e Ausdruck d e s W i n k e l s sei eine K o v a r i a n t e d e s Kugelkreises, so b e d e u t e t d a s z u n ä c h s t f o l g e n d e s : w e n n s t a t t der g e w ö h n h c h e n r e c h t w i n k l i g e n K o o r d i n a t e n d u r c h hneare T r a n s ­ f o r m a t i o n irgend e i n anderes S y s t e m h o m o g e n e r K o o r d i n a t e n « j , u^, « 3 , « 4 eingeführt wird, u n d die Gleichung d e s Kugelkreises ü b e r g e h t in

s o wird der Ausdruck für d e n W i n k e l zweier E b e n e n arccos

Σ ^iuu^vu___

^

Cayleysche Maßbestimmung.

149

w o die W e r t s y s t e m e u^, u^, Wg, u n d v^, v^, fg, die beiden E b e n e n bezeichnen sollen, deren W i n k e l gemessen wird. A n g e s i c h t s dieser Formel drängt sich n u n aber eine verallgemeinerte Auffassung auf: W e n n in irgend e m e m K o o r d i n a t e n s y s t e m e u^, u^, Wg, i r g e n d e m Kegelschnitt — nicht gerade der Kugelkreis — durch Zcf.tTc Uj, gegeben ist, so soUauf i h n e i n e Quasimetrik gegründet werden, i n d e m ich vorstehenden Ausdruck als „ W i n k e l " bezeichne, „ E n t f e r ­ n u n g " entsprechend defmiere u n d ahe g e w o h n t e n Maßbegriffe sinn­ g e m ä ß übertrage. N o c h weitergehend, soll unter 2\kUiUi, sogar irgend eine quaternäre quadratische F o r m verstanden werden, nicht nur eine solche, die, gleich N u l l gesetzt, einen Kegelschnitt vorsteht, sondern irgend ein Gebilde z w e i t e n Grades, auf das ich n u n m e i n e neue Metrik gründe. D i e s ist der v o n Cayley gefaßte Gedanke der allgemeinen projektiven oder Cayleyschen Maßbestimmung. D i e Stellung der metrischen Geo­ metrie innerhalb der projektiven — descriptive g e o m e t r y — u n d die umfassende B e d e u t u n g der letzteren spricht Cayley in d e m denkwür­ digen Satz a u s : Metrical g e o m e t r y is thus a part of descriptive g e o ­ m e t r y a n d descriptive g e o m e t r y is a l l geometry. E i n e jede metrische Geometrie ist die Invariantentheorie des durch H i n z u n a h m e einer F l ä c h e z w e i t e n Grades erweiterten S y s t e m s der v o r g e l e g t e n Gebilde; die gewöhnliche metrische Geometrie insbesondere ergibt sich durch Adjungierung des Kugelkreises aus der projektiven Geometrie. E s galt n u n , diesen Grundgedanken i m einzelnen durchzudenken u n d auszuarbeiten, u n d hier setzte meine eigene Beteiligung a n dieser E n t w i c k l u n g ein. E i n e gegebene Aufgabe war es v o n vornherein, die Cayleysche M a ß b e s t i m m u n g für aUe die Fälle i m einzelnen z u studieren, die m a n hinsichthch der Gebilde zweiten Grades v o m p r o j e k t i v e n S t a n d p u n k t e aus z u unterscheiden hat. W e n n m a n bei Gebilden m i t reehen Gleichungen bleibt, so sind dies: a) Eigentliche F l ä c h e n zweiten Grades: 1. reeU geradlinig (einschaliges H y p e r b o l o i d , hyperbolisches Paraboloid), 2. reeU nicht geradhnig (EUipsoid, elhptisches Paraboloid, zweischaliges Hyperboloid), 3. imaginär. b) Eigentliche K u r v e n z w e i t e n Grades: 1. reeh (EUipse, Parabel, Hyperbel), 2. imaginär. c) P u n k t e p a a r e : 1. reeü. 2. imaginär. d) D o p p e l p u n k t .

150

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

b) 2. gibt die gewöhnliche Metrik, i n d e m m a n den zugrunde h e g e n d e n Kegelschnitt — bei Cayley „ t h e a b s o l u t e " b e n a n n t — als Kugelkreis bezeichnet. D i e Fälle a) 2. u n d 3 . führen aber gerade zu d e n beiden Arten nichteuklidischer Geometrien, welche G a u ß , L o b a t s c h e f f s k y , B o l y a i u n d R i e m a n n unterschieden h a b e n u n d die aus der g e w ö h n h c h e n Geometrie g e w o n n e n werden, je n a c h d e m m a n die W i n k e l s u m m e des Dreiecks kleiner oder größer als π n i m m t . Also a u c h diese S y s t e m e sind jetzt m die projektive Geometrie eingeordnet u n d verheren aUes P a r a d o x e . E s ist dies der einfachste W e g , u m zu ihren E i g e n t ü m h c h k e i t e n u n d der Ü b e r z e u g u n g v o n ihrer Widerspruchslosigkeit zu k o m m e n . N a t ü r h c h lassen sich auch die anderen FäUe verwirkhchen u n d führen zu amüsanten, überraschenden W e l t b i l d e r n . Der Fall x^ + y^ + z^ — t^^{i in der vierdimensionalen Welt oder dx^ + dy^ + dz^—dt^=^0 — u m b e i drei D h n e n s i o n e n u n d h o ­ m o g e n e n Koordinaten z u bleiben —- h a t neuerdmgs besondere B e ­ d e u t u n g g e w o n n e n durch die R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der P h y s i k . Hier m ö c h t e ich n u n auf den eigen tümlichen Z u s a m m e n h a n g der reinen i m d a n g e w a n d t e n Wissenschaft h i n w e i s e n , den ich n a c h Leibnizschem Vorbüd als „prästabiUerte H a r m o n i e " bezeichne, u n d der bewirkt, d a ß die Theorie sehr häufig gerade d i e Gebilde schafft i m d ausbaut aus rein wissenschafthchem Trieb, welche die A n w e n d u n g b a l d darauf zur B e ­ w ä l t i g u n g der ihr v o n a u ß e n z u s t r ö m e n d e n P r o b l e m e b e n ö t i g t . F a s t m ö c h t e ich den Wert einer gedanklichen Schöpfung d a n a c h b e m e s s e n , o b es ihr je vergönnt ist, über den K r e i s der abstrakten D i n g e hinaus, die der Erschaffer allein i m A u g e h a t t e , w i r k s a m zu s e m ; aber freilich, die rein m a t h e m a t i s c h e I d e e n w e l t ist wie e m blühender B a u m , a n den m a n nicht die Anforderung s t e h e n k a n n , d a ß jede w o h l g e l u n g e n e B l ü t e auch zur Frucht reife. N e b e n diesem A u s b a u steUte die Cayleysche DarsteUung aber n o c h eine z w e i t e A u f g a b e ; es galt, sie v o n gewissen prinzipiellen U n v o U k o m m e n h e i t e n endgültig zu befreien u n d zu zeigen, d a ß hier wirkhch eine neue Grundlegung der Geometrie gegeben ist. E s handelt sich n ä m h c h n o c h u m den ersten Schritt des g a n z e n S y s t e m s , u m die E m f ü h n m g der K o o r d i n a t e n selbst. B e i Cayley s m d sie entweder Variable schlechtweg, u m deren geometrische B e d e u t u n g m a n sich nicht k ü m m e r t , oder sie w e r d e n in übHcher, in der Metrik gebräuchhchen W e i s e durch eukUdische A b s t ä n d e emgeführt. D e m ­ gegenüber m u ß t e g e l t e n d g e m a c h t werden, d a ß die h o m o g e n e n Koordi­ n a t e n m Anschluß an S t a u d t auf rein p r o j e k t i v e m W e g e emgeführt w e r d e n können, wie wir es oben (S. 134 f.) besprochen h a b e n . D a s S y s t e m der Geometrie b a u t sich d a n n folgendermaßen auf: 1. Man begründet, o h n e v o n metrischen B e z i e h i m g e n z u sprechen, m A n l e h n u n g a n die v o n S t a u d t g e g e b e n e n Gedanken, die projektive

Nichteuklidische Geometrie.

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Geometrie. U m m i c h in der durch Hubert üblich gewordenen Weise a u s z u d r ü c k e n : m a n steUt die A x i o m e der Anordnung, Verknüpfung u n d Stetigkeit auf u n d errichtet auf ü m e n eine Geometrie. 2. Man entwirft sozusagen auf Vorrat die verschiedenen SpezialfäUe der Cayleyschen Geometrie (der projektiven Maßgeometrie). 3. Man führt als neues A x i o m ein, je n a c h d e m m a n es für angezeigt h ä l t , d a ß „ d a s A b s o l u t e " eine reeUe nicht geradlinige F^, in deren „ I n n e r e m " wir u n s befinden, eine imaginäre F^ oder ein imaginärer K e g e l s c h n i t t sei — das sind die drei Fälle, m denen der v o n P u n k t e n des u n s zugängHchen R a u m e s a n das absolute Gebüde gelegte Kegel imaginär ist, so daß die uns g e w o h n t e W h i k e l m e s s u n g zustande k o m m t . D u r c h diese gedankliche U m g e s t a l t u n g w k d die i m m a n e n t e B e d e u ­ t u n g der Cayleyschen Formeln nicht geändert, w o h l aber ihre transiente B e d e u t u n g für die B e g r ü n d u n g unserer konkreten Geometrie. A n Stelle der Auffassung, innerhalb der gewohnten Maßgeometrie B ü d e r der nichteuklidischen Geometrien konstruiert zu h a b e n , tritt der A n s p r u c h einer v o n aUen Maßbegriffen freien Begründung einer übergeordneten projektiven Geometrie, die alle bekannten Geometrien als SpezialfäUe in übersichthcher Einteilung umfaßt. Dieser Z u s a m m e n h a n g erschien mir klar, ja ganz selbstverständlich, sowie ich anfing, m i c h m i t diesem Gegenstand z u beschäftigen. D e n n o c h bin ich m i t solchen Gedanken auf den heftigsten W i d e r s t a n d g e s t o ß e n , u n d zwar v o n den verschiedensten einander widersprechenden Seiten u n d a u s den verschiedenartigsten Gründen; ein charakteristisches B e i ­ spiel, welche Mühe neue Gedanken auch in unserer, scheinbar so objek­ t i v e n Wissenschaft h a b e n , u m sich durchzusetzen. Der, welcher sie zu finden das Glück hat, sieht so deutlich, wie sie aus d e m B e k a n n t e n hervorwachsen u n d welche Gestalt sie annehmen, d a ß er sie b e i m H e r a u s steUen in die W e l t vieUeicht nicht genügend sichert gegen Zweifel u n d B e d e n k e n , die er selbst nie z u überwinden h a t t e , w e ü sie i h m nicht b e g e g n e t e n . D i e unbeteüigten Zuschauer aber, v o r deren A u g e n das fertige Gebüde plötzlich steht u n d Daseinsberechtigvmg beansprucht, k ö n n e n sich, gerade w e n n sie selbst Produktivität besitzen, nur schwer b e q u e m e n , den v o m E n t d e c k e r gegebenen W e g z u verfolgen, der seiner u n d nicht ihrer I n d i v i d u a h t ä t entspricht; sie ziehen es vor, d e m Gegen­ s t a n d auf selbstgewähltem u n d ihnen g e w o h n t e m W e g e z u n a h e n , m ö c h t e er auch in diesem FaUe ein an Hindernissen reicher U m w e g sein. H e l m h o l t z ' Schrift v o n der E r h a l t u n g der Kraft, Georg Cantors E i n f ü h n m g der transfiniten Zahlen wären hierher gehörige Beispiele. W i e ich diese Verhältnisse a m eigenen Leibe z u spüren b e k a m , m ö c h t e ich kurz berichten. { 1869 h a t t e ich in Fiedlers Bearbeitung der Salmonschen „Conics" I die Cayleysche Theorie gelesen u n d hörte darauf i m W i n t e r 1869/70 in Berlin durch Stolz z u m ersten Mal v o n Lobatscheffsky-Bolyai. Auf

162

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

Grund dieser A n d e u t u n g e n h a t t e ich nur sehr w e n i g verstanden, faßte aber sogleich die Idee, d a ß hier ein Z u s a m m e n h a n g b e s t e h e n m ü s s e . I m Februar 1870 hielt ich einen Vortrag i m Weierstraßschen Seminar über Cayleys Maßbestimmung, d e n ich m i t der F r a g e schloß, ob hier nicht eine Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t Lobatscheffsky vorläge. I c h erhielt jedoch als A n t w o r t , das seien doch w o h l ganz g e t r e n n t e Gedanken­ kreise; für die Grundlagen der Geometrie k o m m e w o h l vor allen D i n g e n ^die Eigenschaft der Geraden in B e t r a c h t , die kürzeste Verbindung zwischen zwei P u n k t e n z u sein. Durch diese ablehnende H a l t u n g Heß ich mir imponieren u n d s c h o b die schon gefaßte I d e e beiseite. D e r Kritik der Logiker gegenüber, die m e i n e m Interesse f e m e r lag, w a r i c h i m m e r schüchtern. Erst sehr viel später lernte ich verstehen, d a ß es sich u m eine Verschiedenheit der Anlagen handle u n d d a ß die P s y c h o l o g i e der m a t h e m a t i s c h e n For­ s c h u n g ihre großen Probleme berge. Weierstraß war offenbar mehr eine N a t u r der sorgfältigen schrittweisen Forschung, die den W e g z u m Gipfel b a h n t ; es lag i h m weniger, n o c h nicht erreichte Spitzen des Gebirges aus der E n t f e r n u n g in ihren U m r i s s e n deutlich z u erkennen, z u m m i n d e s t e n m a c h t e er a n dieser Stelle v o n einem solchen Fernblick keinen Gebrauch. D e r S o m m e r 1871 führte m i c h , w i e schon erwähnt, in G ö t t i n g e n wiederum m i t Stolz z u s a m m e n , dessen ich noch einmal m i t besonderem D a n k gedenke. D e n n w i e S t a u d t , so h a t er mir auch Lobatscheffsky u n d B o l y a i zugänglich g e m a c h t , v o n d e n e n ich selbst nie ein W o r t gelesen habe. I n endlosen D e b a t t e n m i t i h m , der ein Logiker par excellence war, wurde mir der Gedanke, d a ß die nichteuklidischen Geometrien T e ü e der p r o j e k t i v e n seien, i m Cayleyschen S m n e z u völ­ liger Gewißheit, die ich auch m e i n e m Freunde nach hartnäckigem W i d e r s t a n d aufzwang. I c h trat m i t der Idee hervor in einer kurzen N o t e in den Göttinger N a c h r i c h t e n u n d einer e r s t e n A b h a n d l u n g über die sog. nichteuklidische Geometrie m den A n n a l e n B d . 4. 1 8 7 U ) . Mit diesen Mitteilungen erregte ich jedoch vielfachen Widerspruch, zunächst v o n phüosophischer Seite. K e i n Geringerer als L o t z e h a t t e gerade damals das Stichwort ausgegeben, d a ß alle nichteukhdische Geometrie e m U n s m n sei. D a z u k a m e m unausrottbares Mißverständnis, welches n o c h h e u t e bei P h ü o s o p h e n u n d populären SchriftsteUern seine RoUe spielt, u n d das ich deshalb n i c h t unerwähnt lassen m ö c h t e . E s knüpft an den z u s e m e m U n g l ü c k recht anschaulichen Ausdruck „ K r ü m ­ m u n g s m a ß " an. Dieser v o n G a u ß eingeführte, v o n R i e m a n n viel g e b r a u c h t e rein m a t h e m a t i s c h e Begriff bezeichnet e m e I n v a r i a n t e

K l e i n : Ges. Abh. Bd. 1, Nr. XV, XVI.

Nichteuklidische Geometrie.

153

in der Differentialgeometrie. Man nennt K das K r ü m m i m g s m a ß des v o n G a u ß s t a m m e n d e n Ausdrucks für das B o g e n e l e m e n t : ds^^Edp^+ 2Fdpdq + Gdq'^, i m d es b e s t e h t der Satz, daß dieses K in nichteuklidischen R ä u m e n k o n s t a n t sei. D i e s e m rem i m m a n e n t m a t h e m a t i s c h e n Satz wird n u n m ganz unzulässiger Weise v o n Philosophen u n d Mystikern aUer Art eine transiente B e d e u t u n g beigelegt, als ob er d e m R a u m irgendeine a n s c h a u h c h faßbare Eigenschaft beilege. I m A n s c h l u ß daran wird über die vierte D i m e n s i o n spekuliert u n d gestritten, da der R a u m doch n o t ­ w e n d i g eme neue D i m e n s i o n brauche, u m „ k r u m m " zu s e m . (Auch der m a t h e m a t i s c h e Verein in G ö t t m g e n beteiligte sich n o c h jahrelang an solchen Diskussionen. Vgl. den B l u m e n t h a l s c h e n Vers: D i e Menschen fassen k a u m es D a s K r ü m m u n g s m a ß des Raumes.) AU diese A u s w ü c h s e , die bald für, bald gegen u n s m s Gewicht fielen, h a b e n uns viele u n d große Schwierigkeiten bereitet. I c h gedenke dabei der endlosen U n t e r h a l t u n g e n , die ich i m W m t e r 1871/72 m i t m e m e n F r e u n d e n aUabendhch m Gebhards Tunnel zu führen pflegte, u n d bei d e n e n es oft recht lebhaft zugmg. Wichtiger noch war aber der Widerstand, den ich v o n m a t h e m a t i ­ scher Seite erfuhr. I n meiner Abhandlung A n n a l e n B d . 4 h a t t e ich, nicht gewärtig der logischen Schwierigkeiten, die das Problem b i e t e n würde, m i t e m e m harmlosen Gebrauch der metrischen Geometrie b e g o n n e n u n d erst z u m Schluß die U n a b h ä n g i g k e i t der projektiven Geometrie v o n aUer Metrik mit einem H m w e i s auf S t a u d t in ziemlich knapper F a s s u n g dargelegt. N u n wurde v o n mehreren Seiten der Vor­ wurf e m e s Zirkelschlusses gegen m i c h erhoben. Man faßte nicht S t a u d t s rem projektive D e f m i t i o n des Wurfes als Zahl, sondern hielt daran fest, d a ß diese Zahl doch nur als Doppelverhältnis v o n vier euklidischen E n t f e r n u n g e n gegeben sei. A u s der vielfachen B e z u g n a h m e u n d Korrespondenz m i t andern Mathematikern ging i m Sommer 1872 meine z w e i t e A b h a n d l u n g über nichteuklidische Geometrie, A n n a l e n B d . 6, hervor^). Hier untersuchte i c h insbesondere die Grundlagen des Staudtschen S y s t e m s u n d w a g t e einen ersten V o r s t o ß m die moderne A x i o m a t i k . Aber auch diese ausführhche Darlegung führte nicht überaU zur Klärung. Insbesondere ist C a y l e y selbst nie über das Mißtrauen h m w e g g e k o m m e n , d a ß in m e i n e n Schlüssen e m Zirkel verborgen sei (vgl. Cayleys Zusätze zu B d . 11 semer Werke 1889, w o er sich auch auf Sir R o b e r t BaU beruft, m i t d e m ich ebenfaUs stets m lebhafter, in diesem P u n k t aber erfolgloser B e z i e h u n g stand). E s zeigt sich hier 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 1, Nr. X V I I I .

154

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

also wieder einmal die eigentümliche E r s c h e m u n g , d a ß der alternde Geist nicht i m s t a n d e ist, die K o n s e q u e n z e n a u s s e m e n eigensten A n ­ s ä t z e n zu ziehen. D e r psychologisch n o t w e n d i g e Prozeß, d a ß d a s Hirn a n Beweglichkeit, a n Plastizität einbüßt, läßt sich sehr oft in seinen F o l g e n b e o b a c h t e n . So h a t sich auch Lorentz i m m e r g e g e n die D u r c h ­ führung u n d d e n A u s b a u des Relativitätsprinzips gesträubt, d a s auf­ z u s t e h e n doch erst durch s e m e I d e e n möglich geworden war. V o n anderer Seite aber wurde mir der gewöhnlichste Vorwurf g e m a g h t , der jeden Produzierenden w o h l e m m a l trifft: die Sache sei nicht n e u . I n Italien war nämlich u m 1868 B e l t r a m i hervorgetreten m i t Überlegungen, die nach dieser Seite hegen. Tatsächlich h a t t e ich in meiner A r b e i t v o n 1871 selbst b e m e r k t : u m v o n d e n F o r m e l n BeItramis zu denen Cayleys zu k o m m e n , sei k a u m n o c h ein Schritt zu t u n . I n diesem Satze h ä t t e ich g u t g e t a n , das W o r t „ F o r m e l n " i m D r u c k hervorzuheben. T a t s ä c h h c h w o h t e ich hier sagen, daß es sich d a r u m handele, b e i dieser F o r m e l ü b e r e m s t i m m u n g d a s Richtige zu denken. D i e gedanklichen Schlüsse a u s diesen Verhältnissen gehen aber b e i B e l t r a m i — der übrigens a u c h die B e z i e h u n g auf S t a u d t nicht h a t — a n einer charakteristischen S t e h e in die Irre, w i e ich s c h o n 1871 hervor­ h o b . E s handelt sich hier u m einen Fehler, der auch b e i H e l m h o l t z u n d vielen anderen i m m e r wieder v o r k o m m t . I n d e m sie n ä m l i c h die nicht­ euklidische Geometrie m i t einer W i n k e l s u m m e größer als π auf der K u g e l interpretieren, k o m m e n sie zu d e m Schluß, d a ß hier z w e i kürzeste Linien sich immer in z w e i P u n k t e n schneiden m ü s s e n . Aber in der projektiven E b e n e schneiden sich a u c h b e i imaginärem F u n d a m e n t a l ­ kegelschnitt zwei gerade L m i e n w i e h n m e r sonst tatsächlich nur in e i n e m P u n k t e ! Dieses Beispiel lehrt, d a ß m a n b e i der Interpretation irgendemer Maßgeometrie auf emer k r u m m e n F l ä c h e auf die Z u s a m m e n ­ hangsverhältnisse der letzteren R ü c k s i c h t n e h m e n m u ß . D i e projektive E b e n e h a t einen v o n der K u g e l grundverschiedenen, ungewöhnlichen Z u s a m m e n h a n g ; sie ist n ä m h c h e m e e i n s e i t i g e F l ä c h e wie d a s Moe­ biussche B l a t t , dabei aber geschlossen. Ganz klar w u r d e n diese D m g e erst 1874 ausgesprochen in der Korrespondenz v o n SchläfU u n d mir (Annalen, B d . 7, S. 549/50)^). N o c h m a n c h e s emzelne k ö n n t e ich über diese komplizierte, oft g e h e m m t e E n t w i c k l u n g berichten, doch m ö g e dies g e n ü g e n . E i n A b b i l d dieser K ä m p f e f m d e t sich in d e n betreffenden A n n a l e n b ä n d e n (ms­ besondere auch B d . 37). N u r e m e n N a m e n m ö c h t e ich n o c h hier erwäh­ n e n : C l i f f o r d . I c h g e d e n k e semer m i t besonderer Freude, als eines Mannes, der mich sofort vöUig v e r s t a n d e n h a t u n d auch bald über m i c h hmausging. 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 2, S. 63ff.

Nichteuklidische Geometrie.

Zur Invariantentheorie.

155

D a m i t verlasse ich die Geschichte der rein geometrischen E n t ­ wicklung. D u r c h den Aufbau eines lückenlosen S y s t e m s , das aUe geometrischen Forschungen der Zeit organisch m sich schloß u n d grup­ pierte, war ein gewisser Abschluß erreicht. I c h w e n d e mich n u n z u d e n algebraischen Fortschritten, welche diese E n t w i c k l u n g m i t sich brachte.

Die parallellaufende Entwicklung der Algebra; die Invariantentheorie. I n d e m v o n uns verfolgten Zusammenhang stellt sich das T h e m a der Invariantentheorie dar in der Frage: wie finden die projektiven Eigenschaften der Figuren — die sich bei beliebiger KoUineation nicht ändern — üir Gegenbild in der algebraischen R e c h n u n g ? E s handelt sich also nicht mehr, w i e bei Plücker, u m eine Vermeidung der Rechnung, sondern u m üire Durchführung in einer systematisierten Form, welche die Unabhängigkeit v o n beliebiger linearer Substitution der Variablen v o n vornherein hervortreten läßt. Wer aber den historischen Werde­ g a n g u n d schließhch auch die B e d e u t u n g der Invariantentheorie all­ seitig erfassen wiU, m u ß sich auf einen weiterbhckenden Standpunkt steUen. I n üirer präzisen, noch erst darzulegenden Gestalt ist die Invariantentheorie zunächst aus der Zahlentheorie entstanden. V o n hier aus m ü s s e n wir in sie einzudringen suchen. U m nicht noch weiter zurückzugehen, knüpfe ich a n Gauß' Disqui­ sitiones Arithmeticae an. W i e wir in K a p . 1 bereits gesehen haben, ist dort einer der Hauptgegenstände der Zahlentheorie das S t u d i u m der binären quadratischen Formen u n d die Frage, wie sich / umsetzt, wenn x, y linear substituiert wird

x = ax'^ßy\ Es

y = yx'+dy\

w o αδ~-βγ

= τ.

entstehe

f=a'x"'^2h'x'y'-^c'y'\ D i e Frage nach den Größen, die sich bei dieser U m s e t z u n g nicht oder in übersichtlicher Weise ändern, führt in erster Linie auf die Diskrim i n a n t e — „ D e t e r m i n a n t " , wie Gauß sagte — : I n der Zahlentheorie knüpft sich, wie wir gesehen haben, hieran das besondere Interesse, α, δ, c, α, β, y, δ ganzzahlig, f = 1 z u wählen u n d das Äquivalenzproblem zweier F o r m e n zu studieren, für welche D' = D eine notwendige, keineswegs hinreichende B e d i n g u n g ist. D i e Invariantentheorie, wie wir sie hier meinen, kehrt sich hingegen v o n der Zahlentheorie a b u n d steUt sich e m rein algebraisches P r o b l e m : w e n n irgendwelche F o r m e n

156

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie. g=a^X^+h^xn-i+c^^xn-2j^

···+/>,

g e g e b e n sind, so sollen solche m a^, δ^,. . . , ^^, e v e n t u e l l a^, homogene Polynome

aufgestellt w e r d e n ,

· · · > ^2

die sich b e i Imearer

Sub­

s t i t u t i o n der Variabein bis auf eine P o t e n z der Substitutionsdeterm m a n t e reproduzieren. U m ein Beispiel z u n e n n e n : Gegeben seien die F o r m e n a^x^+

b^x^,

D a n n ist die D e t e r m i n a n t e

a^Xt+ ,

Kx^,-

e m e sog. simultane I n v a r i a n t e der

beiden Formen. Der

Quotient \ab\ \ad\

\c d\ \c b\

wäre .eme s i m u l t a n e I n v a r i a n t e v o n vier derartigen F o r m e n , u n d zwar e m e absolute Invariante, d a sie sich b e i der verlangten S u b s t i t u t i o n gar n i c h t ändert (das D o p p e l v e r h ä l t n i s v o n vier P u n k t e n ) . E s fragt sich n u n , w i e w e i t die Geometrie für diese E i n e n g u n g des A n w e n d i m g s b e r e i c h e s der Invariantentheorie, für ihre A b t r e n n u n g v o n der Zahlentheorie verantwortlich g e m a c h t werden k a n n . A n sich b r a u c h t e sie e m e solche E n t w i c k l u n g nicht herbeizuführen; denn wir s a h e n {a s c h o n , w i e m a n z. B . die Gaußsche Theorie der b m ä r e n quadratischen F o r m e n durch geometrische B e t r a c h t u n g e n v o n Gittern, w e i t e r h m durch die Modulfigur, sehr s c h ö n s t ü t z e n u n d erläutern k a n n . D i e Zahlentheorie ist also gewiß nicht ungeometrisch. Insoweit sich aber die Geometrie auf K u r v e n , F l ä c h e n u s w . i m kontmuierlichen R ä u m e beschränkte, m u ß t e sie a u c h e m e E m e n g u n g der I n v a r i a n t e n ­ theorie herbeiführen. D e r historische Verlauf ist n u n der, d a ß nur w e n i g e Forscher i m ­ s t a n d e w a r e n , die sehr umfassende Disziplin auch n a c h allen Seiten gleichmäßig z u verfolgen. J a c o b i , der sich n o c h g a n z i m Gaußschen Geiste h ä l t , gehört z u diesen, u n d n a c h i h m E i s e n s t e i n u n d H e r m i t e . D a n n aber tritt eine Spezialisierung e m ; die folgenden Forscher s m d durch die formal-algebraischen P r o b l e m e u n d ihre B e n u t z u n g in der Geometrie völlig h m g e n o m m e n u n d kehren sich v o n der Zahlentheorie a b , d e m Geist der Zeit folgend, der auf Speziahsierung drängt. Weiter m a c h t sich als neuer Zug i m n u n e m s e t z e n d e n wissenschaft­ lichen L e b e n die durch die gebesserten Verkehrsmittel i m m e r lebhaftere internationale B e z u g n a h m e geltend, die sich z u fortwährender eifriger Zusammenarbeit steigert. I m Zeichen dieses Wissenschaftsbetriebes erfolgt 1868 die Gründung der Mathematischen Annalen, die n u n d a s H a u p t o r g a n für die in dieser R i c h t u n g liegenden Arbeiten w e r d e n .

Zur Invariantentheorie. Determinanten; Jacobi.

157

V o n den Forschern, die hier hervortreten, m ö c h t e ich n e n n e n : a) H e s s e , A r o n h o l d , als hervorragende Vertreter der Königsberger S c h u l e ; e t w a s später C l e b s c h , G o r d a n usw.; b) d a s englische K l e e b l a t t : C a y l e y , S y l v e s t e r , S a l m o n ; c) schließhch die Italiener: B r i o s c h i (Lehrbuch der D e t e r m i n a n t e n ) u n d die Geometer C r e m o n a u n d B e l t r a m i . D i e E n t w i c k l u n g , welche die Theorie in d e n H ä n d e n dieser Forscher g e n o m m e n h a t , k a n n ich natürlich wieder nur an einzelnen Stichproben darlegen. U m so lieber verweise ich auf die v o n M. N ö t h e r verfaßten Biographien, welche in den A n n a l e n diesen Männern g e w i d m e t sind. B d . 7 (1874) Clebsch (von einigen seiner F r e u n d e ) , B d . 46 Cayley, B d . 5 0 Sylvester, Brioschi, B d . 55 H e r m i t e , ; ^ d . 61 S a l m o n , B d . 53 Lie, B d . 59 Cremona, B d . 74 Gordan, w e l c h letztere freüich bereits w e i t über die hier b e h a n d e l t e Zeit h i n a u s ­ greift. D i e s e N ö t h e r s c h e n Biographien b ü d e n ein vortreffhches Hilfs­ m i t t e l z u m S t u d i u m der g a n z e n E p o c h e u n d dieser eigenartigen aus­ g e d e h n t e n W e l t interessanter B e z i e h u n g e n , die sie pflegt wie die s c h ö n e n B l u m e n eines Gartens, nicht äußeren N u t z e n s w e g e n , sondern u m ihrer selbst willen. D i e unmittelbare Vorstufe zu der m o d e r n e n Invariantentheorie b ü d e t die Lehre v o n den Determinanten, D i e s e s ursprünglich v o n L e i b n i z ersonnene, i m 18. Jahrhundert v o n V a n d e r m o n d e , i m 19. v o n C a u c h y v e r v o U k o m m n e t e m a t h e m a t i s c h e I n s t r u m e n t , wurde v o n J a c o b i zu voUer A u s b ü d u n g gebracht u n d in aUe Zweige der Wissenschaft, v o r aUem auch in den Unterricht überaU eingeführt. Seine beiden hierhergehörigen Abhandlungen aus CreUe B d . 2 2 , 1841 s m d : Deformatione etproprietatibus determinantium, Werke B d . 3, S. 355-392. De determinantibus functionalibus, Werke B d . I I I , S. 393—4381). H e u t e g e h ö r e n d i e D e t e r m i n a n t e n — d i e J a c o b i durch ^ ± a^^ a.^^ - ^-^nn bezeichnet, wir h e u t e kürzer durch — , üire emfachen U m f o r m u n g e n u n d die dabei auftretenden Rechenregeln, in die m a n sich hineinarbeiten m u ß , u m sie m i t V o r t e ü zu gebrauchen, zu d e m selbstverständlichen B e s i t z t u m jedes m a t h e m a t i s c h Gebildeten. I c h brauche d a r u m auf diese D i n g e nicht näher einzugehen, u n d deute hier nur n o c h einmal das 1) Deutsch von P. Staeckel in Ostwalds Klassikern (Nr. 77 u. 78).

158_ IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie. Auftreten der D e t e r m i n a n t e n bei der L ö s u n g linearer Gleichungen a n , w i e ich e s oben h n FaUe zweier Gleichungen m i t z w e i U n b e k a n n t e n ausführte. D i e D e t e r m i n a n t e

ist e i n e .simultane I n v a r i a n t e der η Linearformen Σα,,χ,,

1¾,^,,

D a s soU h e i ß e n : S e t z t m a n hierin Λ : ^ = ^ a ^ ^ y ^ ,

Ia,,^,. u n d v e r w a n d e l n sich

dadurch die η Linearformen in Z^(^uyir

Z^^iJu

Σ^(^Uyir

so ist die n e u e D e t e r m i n a n t e U = | a\ ^ \ m i t der alten Z) = j α. ^ | durch die Gleichung v e r b u n d e n : Z)' = r-Z), w o r = Ια^^Ι die Substitutionsdeter­ m i n a n t e b e d e u t e t , e i n e B e z i e h u n g , die sich aus d e m f u n d a m e n t a l e n T h e o ­ r e m der D e t e r m i n a n t e n l e h r e , d e m Multiplikationssatz o h n e weiteres ergibt. A l s VeraUgemeinerung dieser Ansäts&e wird n u n d i e sog. determinante

gewonnen.

Funktional-

H i e r h a n d e l t e s sich nicht m e h r u m Linear­

formen u n d die Z u s a m m e n s t e U u n g üirer Koeffizienten; vielmehr werden g a n z b e h e b i g e F u n k t i o n e n v o n Ä:^, x^, . . ., Xn — w i e m a n früher z u s a g e n p f l e g t e ! H e u t e m ü ß t e ich w o h l s a g e n : irgendwelche differenzier­ bare F u n k t i o n e n —

f,

Λ, . . . in B e t r a c h t g e z o g e n u n d aus ihren

partiellen Differentialquotienten / i = | ^ fi

f2 fs

gl K K

wird die D e t e r m i n a n t e fn

is \

...

aufgebaut. D i e s Gebilde ist dann in h ö h e r e m S m n e invariant, n ä m l i c h gegenüber beliebigen Transformationen der Variabein x^ — i m m e r m i t der, J a c o b i noch u n b e w u ß t e n , E m s c h r ä n k u n g , d a ß die Differential­ q u o t i e n t e n der n e u e n Variabein n a c h d e n alten, u n d u m g e k e h r t , e x i ­ stieren — . D i e B e z i e h u n g e n

Determinanten; Jacobi.

Hesse.

159

+ K

u n d der D e t e r m i n a n t e n m u l t i p l i k a t i o n s s a t z liefern hier die erforderlichen B e w e i s m i t t e l . W i r g e w m n e n hier den Ausblick auf eine allgemeinere Invariantentheorie, welche die Gruppe b e l i e b i g e r S u b s t i t u t i o n e n der Veränderlichen zugrunde legt. I n sie gehört als ein anderes — wesentlich komplizierteres — Beispiel die Invarianz des K r ü m m u n g s m a ß e s hinein, die wir o b e n erwähnten. D i e s e A n s ä t z e J a c o b i s h a t n u n H e s s e insbesondere n a c h der ana­ l y t i s c h geometrischen Seite ausgebaut. W i e schon früher bemerkt, w h d n u n der Z u s a m m e n h a n g mit der Zahlentheorie ganz aufgegeben. H e s s e wurde 1811 in Königsberg g e b o r e n . — B e i dieser Gelegenheit m ö c h t e ich nicht v e r s ä u m e n , auf eine merkwürdige T a t s a c h e aufmerk­ s a m z u m a c h e n , das ist die außerordentlich große Zahl b e r ü h m t e r Mathematiker, die aus Königsberg s t a m m e n , w i e d e n n überhaupt die ostpreußische R a s s e mit besonderer B e g a b u n g in der R i c h t u n g unserer Wissenschaft gesegnet z u sein scheint. R e c h n e t m a n den P h ü o s o p h e n u n d Mathematiker K a n t m i t z u den Unsrigen, so ergibt sich folgende denkwürdige L i s t e : K a n t 1724, Richelot 1808, H e s s e 1811, Kirchhoff 1824, Carl N e u m a n n 1832, Clebsch 1833, H u b e r t 1862. — H e s s e s Talent fand eine l a n g s a m e E n t w i c k l u n g a n verschiedenen Schulen. 1 8 4 0 — 5 5 war er D o z e n t in Königsberg, 1 8 5 5 — 5 6 in HaUe, 1 8 5 6 — 6 8 in Heidelberg, schheßHch 1 8 6 8 — 7 4 m München an der t e c h ­ nischen H o c h s c h u l e . D i e Königsberger Zeit b e d e u t e t seine eigentliche Schaffensperiode. I n Heidelberg schrieb er das weitverbreitete Lehr­ b u c h : Vorlesungen über analytische Geometrie, durch welches der Sinn für elegante R e c h n u n g m i t s y m m e t r i s c h e n F o r m e l n in weite Kreise getragen wurde. I m übrigen w a r Heidelberg für H e s s e s E n t w i c k l u n g nicht günstig. E r erlag d e m R e i z der N e c k a r s t a d t , die zwar ein P l a t z geistiger Anregung, sehr viel weniger aber der angestrengten Arbeit ist. In d e m durch den D i c h t e r Viktor Scheffel b e k a n n t e n Kreise ver­ l e b t e H e s s e w o h l m a n c h e v e r g n ü g t e S t u n d e — ist er d o c h in d e m Gedicht „beide auf Nr. 8'' in „ G a u d e a m u s ' ' verewigt worden — , aber seine m a t h e m a t i s c h e P r o d u k t i v i t ä t ging darüber in die Brüche. S o fand H e s s e s L e b e n einen gewissermaßen tragischen A b s c h l u ß ; i n Mün­ chen w a n d t e er sich wieder der schaffenden Tätigkeit zu, aber nur m i t g e t e ü t e m Erfolg. D i e Sicherheit, Richtiges u n d Falsches z u s c h e i d e n , war i h m a b h a n d e n g e k o m m e n .

160

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie

V o n H e s s e s Errungenschaften wiU ich hier nur diejenige n e n n e n , durch die sein N a m e dauernd weiterlebt, das ist die sog. Hessesche Determinante, gebildet a u s den z w e i t e n Differentialquotienten einer h o m o g e n e n F u n k t i o n f: fix

fx. • •• •

fnx die in der G e o m e t r i e eine vielfache A n w e n d u n g g e f u n d e n h a t . B e i linearer Transformation wird H' = r^ H, w i e sich ergibt, w e n n m a n H e k i m a l n a c h Horizontalreihen, e i n m a l n a c h V e r t i k a k e i h e n m i t der S u b s t i t u t i o n s d e t e r m i n a n t e r multipliziert. H ist also eine I n v a r i a n t e , oder —• d a es selbst die Variable n o c h e n t h ä l t , sowie f v o n h ö h e r e m als d e m z w e i t e n Grade ist — eine K o v a r i a n t e v o n f. W e l c h e n W e r t diese K o v a r i a n t e bei g e o m e t r i s c h e n B e t r a c h t u n g e n b e s i t z t u n d welcher Fortschritt für die B e h a n d l u n g solcher P r o b l e m e über Plücker hüiaus durch sie erreicht ist, das m ö c h t e ich a n e i n e m g a n z einfachen Beispiel darlegen. E s h a n d e l t sich u m die B e s t i m m u n g der Wendepunkte Kurve

n-ter

Ordnung

die B e d m g u n g

m i t der Gleichung f[%,y)

=0.

einer

ebenen

Plücker h a t t e

= O in der m allen Lehrbüchern der Differential­

rechnung auseinandergesetzten W e i s e in partieUe Differentialquotienten v o n f u m g e s e t z t . E r erhielt als B e d i n g u n g , in Jacobischer Schreibweise, das N u U s e t z e n der „ g e r ä n d e r t e n " D e t e r m i n a n t e

fyy L

fy

fy O

Dieser Ausdruck s t e h t eine K u r v e (3w — 4)-ter Ordnung dar. Es k ö n n t e also scheinen, als o b die K u r v e C„ gerade η (Sn — 4:) W e n d e ­ p u n k t e h ä t t e . Plücker s t e h t n u n die Ü b e r l e g u n g a n , d a ß die durch die D e t e r m i n a n t e g e g e b e n e K u r v e m i t j e d e m der η u n e n d h c h e n A s t e der v o r g e l e g t e n C„ i m U n e n d h c h e n eine B e r ü h r u n g h a b e , s o d a ß also 2n S c h n i t t p u n k t e , die keine W e n d e p u n k t e sind, a b g e z o g e n w e r d e n m ü s s e n ; auf diese W e i s e erhält er die richtige A n z a h l der W e n d e p u n k t e , n ä m l i c h Zn (n —2), Hier greift n u n H e s s e ein u n d zeigt, w i e durch k o n s e q u e n t e n Ge­ b r a u c h h o m o g e n e r Variabler der S a c h v e r h a l t viel klarer herausgebracht werden kann.

Hesse. E r setzt Λ; = — \ y =

Cayley.

Sylvester.

161

u n d wandelt die v o n Plücker angewendete

D e t e r m i n a n t e , die n u n h e i ß t :

h I Ux U^ U fx U O /•u

u m . durch A n w e n d u n g d e s Eulerschen Theorems über h o m o g e n e F u n k -

fxx^x+fx,^,

+ fxs^3 = in-i)'f,

usw.

D i e m i t (n — 1) multipUzierte Plückersche Gleichung wird n u n :

fx f. O N u n k a n n m a n die beiden ersten Vertikalreihen, m i t resp. x^ multipUziert, v o n der dritten subtrahieren. D a n n h e b t sich der F a k t o r x^ heraus, u n d m a n erhält: fxx fx, fxz ^3-

f.x f.. fx

f.

= 0 . fz

I n derselben Weise k a n n m a n jetzt m i t der l e t z t e n verfahren.

N a c h U n t e r d r ü c k u n g d e s Zahlenfaktors

Horizontalreihe

^ ^ ^ T J ergibt

sich

fxx fx, fxz 4'

f.X f..

f.Z

fzi fz, fzz D e r F a k t o r xl=^0 bezieht sich n u n auf die b e i m Plückerschen A n s a t z künstUch durch Überlegung ausgeschiedenen, der vorliegenden Frage fremden S c h n i t t p u n k t e , die Gleichung H = O, die v o n 3(n — 2 ) - t e m Grade ist, b e s t i m m t hingegen die gesuchten W e n d e p u n k t e als v o l l ­ s t ä n d i g e n Schnitt m i t der vorgelegten Wir sehen aus diesem Beispiel den Fortschritt der Methode u n d begreifen n u n , d a ß H e s s e es sich als eine Art Ideal aufsteUte, durch h o m o g e n e n s y m m e t r i s c h e n A n s a t z v o n vornherein aUe R e c h n u n g e n so anzulegen u n d z u einem solchen E n d e z u führen, d a ß der algebraische Prozeß d a s reine Gegenspiel der geometrischen Überlegungen würde. Seine besondere Aufmerksamkeit wendete er der Theorie der ebenen Cg u n d C 4 zu, worauf wir n o c h zurückkommen werden. Inzwischen waren die Engländer herangewachsen u n d h a t t e n in der Invariantentheorie u n d ihrer Verwendung für die proj-ektive Geo­ metrie die F ü h r u n g ü b e r n o m m e n .

Klein, Entwicklung der Mathematik.

H

162

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

V o n C a y l e y u n d seiner stetigen Arbeit wurde bereits b e r i c h t e t : 1821 geboren, b e g a n n er s c h o n 1841 i m Cambridger M a t h e m a l i c a l Journal z u publizieren, u n d zwar sogleich in der für E n g l a n d n e u e n , projektiv g e o ­ metrischen R i c h t u n g , die zu der in Cambridge herrschenden Schule der m a t h e m a t i s c h e n Logiker (de Morgan u. a.) durch H e r v o r k e h r u n g freier m a t h e m a t i s c h e r P r o d u k t i v i t ä t in Gegensatz trat. S c h o n 1846 finden wir ihn m i t seinen „Memoire sur les Hyperdeterminants" als Mitarbeiter b e i m Crelleschen Journal (Bd. 33). D e r N a m e „ H y p e r d e t e r m i n a n t e ' ' für „Invariante'' zeigt deutlich die Spuren der Geschichte dieser Theorie, die e b e n aus der D e t e r m i n a n t e n l e h r e durch VeraUgemeinerung h e r v o r g m g . Cayley begleitet d a n n ihre W e i t e r e n t w i c k l u n g , die auch D e u t s c h ­ l a n d a n d a u e r n d beschäftigt, fortwährend ordnend u n d selbst schaffend. B e r ü h m t sind seine n e u n A b h a n d l u n g e n „Memoirs on Quantics", die in den Philosophical Transactions erschienen (1854 b i s 1878). Aus aUen spricht n e b e n der p r o d u k t i v e n B e g a b u n g der unermüdliche F l e i ß i m d die zähe Energie ihres Schöpfers. I n Gegensatz z u dieser g l e i c h m ä ß i g e n s t e t i g e n N a t u r s t e h t sein e t w a s älterer Mitkämpfer S y l v e s t e r , einer der lebhaftesten u n d w e c h s e l n d s t e n E r s c h e i n u n g e n , die u n s bisher b e g e g n e t sind. 1814 in L o n d o n geboren, b e g a n n er ebenfaUs früh zu produzieren, w e c h s e l t e aber w ä h r e n d der n u n folgenden Jahre sehr oft seinen A u f e n t h a l t u n d seine B e s c h ä f t i g u n g . 1 8 4 1 — 4 5 war er Professor a n der U n i v e r s i t ä t v o n Virginia, 1 8 4 5 — 5 5 in L o n d o n als „ A k t u a r " (Versicherungsmathe­ matiker) u n d „barrister" ( R e c h t s a n w a l t , w i e Cayley) tätig, d a n n b i s 1871 Professor a n der Militärakademie in W o o l w i c h . Darauf folgten ein paar Jahre o h n e irgendwelche Berufstätigkeit, b i s S y l v e s t e r 1876 e m e Professur a n der J o h n H o p k i n s U n i v e r s i t y in B a l t i m o r e a n n a h m . I n dieser SteUung g e w a n n er als erster A m e r i k a für die p r o d u k t i v e Arbeit an d e n P r o b l e m e n der reinen M a t h e m a t i k , i n d e m er einen äußerst i n t e n s i v e n , ausschheßlich auf Invariantentheorie spezialisierten U n t e r ­ richt erteüte. E r b e g r ü n d e t e a u c h das American Journal, h e u t e n o c h eine der b e k a n n t e s t e n m a t h e m a t i s c h e n Zeitschriften. 1884 kehrte S y l v e s t e r n a c h E n g l a n d zurück u n d trat als 70 jähriger Mann n o c h eine neue Professur a n in Oxford, die er b i s zu s e i n e m T o d e 1897 i n n e h a t t e . S y l v e s t e r w u r d e in L o n d o n v o n Cayley für die n e u e Disziplin g e w o n n e n , i n der er b a l d als ein Führer hervortrat. V o n i h m s t a m m e n fast aUe die in dieser Theorie üblichen N a m e n : I n v a r i a n t e , K o v a r i a n t e , K o m i t a n t e , D i s k r i m i n a n t e u s w . E s s i n d dies übrigens nur S t ü c k e seiner gehäuften t e r m m o l o g i s c h e n V o r s c h l ä g e ; scherzhaft b e z e i c h n e t e er sich selbst gelegentlich als d e n n e u e n A d a m , d a er, w i e der Menschheit S t a m m v a t e r , allen D i n g e n n e u e N a m e n g e g e b e n h a b e . S y l v e s t e r war ein äußerst lebhafter, vielseitiger Geist, der m i t der größten I n t e n s i t ä t in aUes e m d r a n g u n d aUes in Z u s a m m e n h a n g b r a c h t e , w a s i h m b e g e g n e t e , w ä h r e n d es i h m weniger lag, e i n m a l Aufgegriffenes

Cayley.

Sylvester.

Salmon.

163

planvoU u n d s y s t e m a t i s c h z u a b g e r u n d e t e n W e r k e n großen S t ü e s zu verarbeiten. In der Wissenschaft war die ganz abstrakte, k o m b i n a ­ torische Art, die D i n g e z u b e t r a c h t e n , sein eigenthches Gebiet. In diesem Sinne bearbeitete er neben den invariantentheoretischen P r o ­ b l e m e n die verschiedensten Gebiete der Mathematik, z. B . F r a g e n der Mechanik, in hervorragender W e i s e . B e z e i c h n e n d für seine D e n k w e i s e ist eine Äußerung, die er mir gegenüber gelegenthch m a c h t e über die Frage, wie die chemischen F o r m e l n aufzufassen seien, die d a m a l s das Interesse der Mathematiker auf sich zogen, u n d die er später i m A m e r i c a n Journal m i t den s y m b o l i s c h e n Prozessen der binären Invariantentheorie in interessanter W e i s e parallehsierte. Er w o h t e in ihnen lediglich die logische B e z i e h u n g zweier Begriffe sehen, u n d tat die Vorstellung m i t ­ einander sich verbindender konkreter A t o m e m i t e i n e m L ä c h e l n ab. N u n — das ist jedenfaUs nicht die gedankhche Grundlage, auf der die Natiu-wissenschaft ihre Fortschritte erringt. A l s Persönlichkeit war S y l v e s t e r äußerst a n r e g e n d , w i t z i g u n d sprühend. Er war ein glänzender R e d n e r u n d t a t sich oft durch seine schlagende, g e w a n d t e Verskunst z u aUgemeiner Erheiterung hervor. In der Brillanz u n d B e w e g l i c h k e i t seines Geistes ist er ein echter Ver­ treter seiner R a s s e ; er s t a m m t e aus rein jüdischer Familie, die, bis dahin n a m e n l o s , erst in seiner Generation den N a m e n S y l v e s t e r a n n a h m . V o n einzelnen m a t h e m a t i s c h e n Leistungen S y l v e s t e r s m ö c h t e ich nur e r w ä h n e n : die Theorie der Elementarteiler zweier quadratischer F o r m e n , w e n i g s t e n s in ihren A n f ä n g e n , vor allem aber die der kano­ nischen Formen, d. h. die F r a g e n a c h der einfachsten Gestalt einer vor­ g e l e g t e n F o r m ; oder, w a s dasselbe h e i ß t : die Frage n a c h demjenigen h o m o g e n e n K o o r d i n a t e n s y s t e m , in d e m ein vorgegebenes algebraisches Gebilde die einfachste Gleichung besitzt. Für die F l ä c h e n dritter Ord­ n u n g e n t d e c k t e S y l v e s t e r solcherweise das n a c h i h m b e n a n n t e Pentaeder, b e s t e h e n d aus fünf E b e n e n χ y =. ζ = t u = O u n d präzisiert durch die identisch befriedigte Gleichung: x + y + z + t + u =

0.

In d i e s e m P e n t a e d e r lautet die Gleichung einer F l ä c h e dritter Ordnung ax^ + hy^ + cz^ + dt^ + cu^

=^0,

a u s der sich m a n c h e geometrische Eigenschaften der F l ä c h e sehr b e q u e m ableiten lassen. B e m e r k e n m ö c h t e ich nebenbei, daß dies eines der R e s u l t a t e ist, die der alternde Steiner plötzlich ohne B e w e i s veröffentlichte u n d erfunden z u h a b e n b e h a u p t e t e . T a t s ä c h l i c h waren i h m durch Schläfli die SyIv e s t e r s c h e n Arbeiten z u g ä n g h c h geworden (vgl. den 1896 v o n Graf veröffentlichten Briefwechsel der beiden Schweizer Geometer). A l s dritter geseht sich n u n zu Cayley u n d S y l v e s t e r w i e d e r u m eine g ä n z l i c h andere Erscheinung, der T h e o l o g e G e o r g e S a l m o n in D u b l i n . 11*

164

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

E r g e h ö r t e d e m a l t e n irisch-protestantischen Trinity College fast durch sein g a n z e s L e b e n a n . D i e s e altehrwürdige H o c h s c h u l e , aus der auch H a m ü t o n h e r v o r g e g a n g e n ist, war v o n jeher die S t ä t t e einer mehr k o n t e m p l a t i v e n Geistesrichtung u n d b ü d e t n o c h h e u t e d e n Mittelpunkt der p r o t e s t a n t i s c h e n S t u d i e n in Irland. Theologische, altphilologische u n d m a t h e m a t i s c h e S t u d i e n g e h e n dort H a n d in H a n d u n d sind durch eine g e w a l t i g e Tradition (Bischof B e r k e l e y usw.) in eine ein für alle Mal f e s t s t e h e n d e F o r m gebracht w o r d e n . „Cambridge is so a m b i t i o u s " , s a g t e m a n mir — als ich D u b l i n 1899 b e s u c h t e — i m H i n b h c k auf die dort herrschenden m o d e r n e n wissenschaftlichen T e n d e n z e n . D i e g a n z e P r a c h t einer alt ererbten W ü r d e u n d K u l t u r trat übrigens 1892 h e r v o r anläßlich der dritten Säkiüarfeier; a n dieser beteiligte sich Göt­ t i n g e n durch eine Huldigungsadresse, die v o n unserem verstorbenen K o l l e g e n L e o in schwungvoUe lateinische D i s t i c h e n gefaßt war. Auf m e i n E r s u c h e n , in dieser W ü r d i g u n g der Verdienste des College a u c h der M a t h e m a t i k d e n ihr z u k o m m e n d e n P l a t z anzuweisen, erwiderte mir L e o : „ P e g a s u s n i m m t a u c h dieses H i n d e r n i s " ; u n d wirklich fanden wir in der v o U e n d e t e n O d e d e n V e r s : u n d e m a t h e m a t i c i s l u m e n praeluxit H a m i l t o ! A u s d i e s e r A t m o s p h ä r e also ist S a l m o n hervorgegangen. E r wurde 1819 i n D u b l i n geboren, studierte a m Trinity College, a n d e m er v o n 1 8 4 0 a n als Lehrer t ä t i g war. E t w a seit 1860 treten bei i h m die t h e o ­ l o g i s c h e n Interessen m e h r in d e n Vordergrund, die i h n 1866 z u m professor of D i v i n i t y w e r d e n lassen. 1 8 8 8 ü b e r n i m m t er a u c h n o c h das A m t d e s P r o v o s t u n d bleibt bis a n sein E n d e , 1904, m i t d e m College aufs i n n i g s t e v e r w a c h s e n . S a l m o n w a r eine milde, aber in V e r w a l t u n g s s a c h e n z ä h konser­ v a t i v e N a t u r . Als ich i h n 1899 b e s u c h t e , lebte er ein g e m ä c h l i c h e s , friedliches L e b e n auf d e m L a n d e , in einer Sommerfrische; auf m a t h e ­ m a t i s c h e G e s p r ä c h e ließ er sich n i c h t mehr e i n ; h i n g e g e n unterhielt er m i c h aufs behagHchste m i t allerhand harmlosen, kleinen A n e k d o t e n , w i e sie in jeder K l e i n s t a d t ü b l i c h sind. Alle drei, Cayley, S y l v e s t e r u n d S a l m o n h a b e n also ihr u n g e w ö h n h c h l a n g e s L e b e n auf m a n n i g f a c h e W e i s e a n g e w e n d e t u n d s t e h e n außerhalb der g e w ö h n h c h e n F a c h l a u f b a h n , wie wir sie k e n n e n . Als spezifische L e i s t u n g S a l m o n s m ö c h t e ich hier seine b e r ü h m t e n Lehrbücher n e n n e n , durch die er der m o d e r n e n a n a l y t i s c h e n B e h a n d l u n g der p r o j e k t i v e n Geometrie u n d den Lehren der I n v a r i a n t e n t h e o r i e eine g r o ß e Verbreitung verschaffte: 1 8 4 8 : Conic sections. 1 8 5 2 : Higher plane curves. 1 8 5 9 : Modern higher Algebra. 1 8 6 2 : Analytic geometry of three dimensions. D i e s e B ü c h e r s i n d in zahlreichen Auflagen, Ü b e r s e t z u n g e n B e a r b e i t u n g e n erschienen ( d e u t s c h v o n F i e d l e r ) u n d erfreuten

und sich

Salmon.

Theorie der Formen.

165

lange Zeit m i t R e c h t großer Beliebtheit. Sie bieten keine s y s t e m a t i s c h e n D a r s t e l l u n g e n , oder strenge E n t w i c k l u n g e n , sondern eine gelassene E r ­ zählung tiber die vielen schönen Ergebnisse der algebraisch-geometrischen B e t r a c h t u n g , die in b e q u e m lesbarem Plauderton fortschreitet. I n d e n n e u e n Auflagen sind stets die b i s dahin g e w o n n e n e n neuen Ergebnisse der Forschung eingeflochten, w a s eben wegen der lose geftigten F o r m m ö g h c h war, ohne d e n ganzen B a u d e s Werkes z u stören. D i e Bticher sind w i e erfreuende u n d belehrende Spaziergänge durch W a l d u n d F e l d u n d gepflegte Gärten, dei denen der Führer b a l d auf diese Schönheit, b a l d auf jene seltene Erscheinung aufmerksam m a c h t , ohne e t w a alles zu einem starren S y s t e m v o n lückenloser VoUständigkeit z u s a m m e n ­ zupressen — eine Tendenz, die b e i Fiedler schon eher z u spüren ist — , a u c h ohne einzelne nutzbringende Pflanzen auszugraben u n d sie in vorbereiteter E r d e n a c h rationellen landwirtschaftlichen Grundsätzen zur H o c h k u l t u r z u ziehen. I n diesem B l u m e n g a r t e n sind auch wir alle aufgewachsen, hier h a b e n wir die grundlegenden Kenntnisse g e s a m m e l t , auf denen e s galt, weiterzubauen. I c h m ö c h t e n u n durch einige Proben d e n S t a n d der Theorie kurz kennzeichnen, d e n sie durch diese Männer erreicht h a t t e . Mehr nach abstrakter Seite liegt d a s Problem, z u einer F o r m ein sog. voUes F o r m e n s y s t e m aufzustellen, d . h . eine möglichst geringe A n z a h l einfachster Invarianten u n d Kovarianten, durch welche sich alle anderen ganz u n d rational ausdrücken lassen. Schon E i s e n s t e i n fand b e i der binären kubischen F o r m axl +3bxlx^+

3CX^xI +

dxl

als einfachste K o v a r i a n t e (zweiten Grades):

als einfachste I n v a r i a n t e :

3b''c'' + ßabc.l-^b'd-^ac^

— a''d%

die D e t e r m i n a n t e der quadratischen F o r m H, zugleich Diskriminante v o n f, die gewöhnlich m i t A bezeichnet wird. D a z u tritt d a n n noch die F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e v o n f u n d H, bezeichnet durch Q, wieder v o m dritten Grade. D a ß diese vier Größen f, H, Δ, Q ein volles F o r m e n s y s t e m bilden, h a t Cayley nachgewiesen. V o n hier a u s n a h m d a n n die Frage nach den vollen I n v a r i a n t e n s y s t e m e n auch für andere F o r m e n ihren Ursprung. I m Falle der binären biquadratischen F o r m ax\'+4.bxlx^

+ 6cxlxl

+ ^dx^xl + ex%

e n t d e c k t e Cayley, d a ß z u d e n Größen f^^), H(4) u n d der F u n k t i o n a l ­ determinante (2(6) v o n f u n d H noch zwei Invarianten hinzutreten, die

166^ IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie. in der s p ä t e r v o n Weierstraß g e w ä h l t e n Schreibweise h e i ß e n : g^ = ae-4:bd

^3 =

+

3c\

C

d

d

e

H i n g e g e n ist hier A= gl—21 gl, gehört also nicht m e h r d e m v o l l e n F o r m e n s y s t e m an. D e r hier erforderUche Invarianzbeweis geht in seinen rechnerischen Anforderungen bereits über die MögÜchkeiten der g e w ö h n l i c h e n D e t e r m i n a n t e n h i n a u s . E s w a r d a r u m nötig, s y m b o ­ lische B e z e i c h n u n g e n einzuführen u n d m i t ihnen ein R e c h e n s y s t e m v o n selbständiger B e d e u t u n g zu entwickeln, u m nur überhaupt der P r o b l e m e Herr zu werden, die n u n bei höheren F o r m e n rasch sehr kompÜziert u n d ungeheuer umfangreich werden. D u r c h C a y l e y , A r o n h o l d u n d C l e b s c h wurde diese E n t w i c k l u n g herbeigeführt, die n u n der g e s a m t e n , sehr umfangreichen Literatur der Folgezeit d e n S t e m p e l aufdrückt. Z u m A b s c h l u ß des g a n z e n Gebietes m ö c h t e ich n u n noch ein paar n a c h geometrisch-algebraischer Seite liegende E i n z e l h e i t e n aus den sog. Gleichungsproblemen der Geometrie n e n n e n , die v o n d e n g e n a n n t e n Forschern b e h a n d e l t w u r d e n . 1. D a s P r o b l e m der n e u n Wendepunkte der ebenen C^, das, wie bereits erwähnt, v o n P l ü c k e r e n t d e c k t w o r d e n war, wurde v o n H e s s e u n d schließlich v o n A r o n h o l d z u E n d e geführt. Plücker h a t t e b e m e r k t , d a ß die n e u n P u n k t e z u je dreien auf zwölf Geraden liegen. H e s s e e n t d e c k t e , d a ß diese zwölf Geraden zu v i e r Dreiseiten geordnet w e r d e n k ö n n e n , v o n d e n e n jedes alle n e u n P u n k t e e n t h ä l t (vgl. Fig. 14). D i e Schar f+λΗ = 0 u m f a ß t also v i e r z u Geradentripeln ausgeartete Cg, u n d aus der Gleichung zwölften Grades, die die zwölf W e n d e l i n i e n als L ö s u n g e n e n t h ä l t , m u ß sich eine Gleichung v i e r t e n Grades m i t i n v a ­ rianten Koeffizienten bilden lassen. D i e s e v o n H e s s e geforderte Glei­ c h u n g v i e r t e n Grades wurde v o n A r o n h o l d expÜzite aufgesteUt. Ist sie aufgelöst, so v e r l a n g t die B e s t i m m u n g der n e u n W e n d e p u n k t e nur n o c h elementare Operationen. E i n e ähnliche U n t e r s u c h u n g ihrer Gruppierung v e r l a n g t e n die 2 8 Doppeltangenten der ebenen C^. A u c h hier h a t t e wieder P l ü c k e r b e g o n n e n , sich aber i m einzelnen, wie früher erwähnt, in Irrtümer verstrickt. D i e Erledigung des P r o b l e m s gelang gleichzeitig S t e i n e r j u n d H e s s e (Crelle, B d . 49. 1853)i). 2. I n gleicher R i c h t u n g n e h m e n n u n a u c h die höheren F l ä c h e n das Interesse in Anspruch. 1849 e n t d e c k e n S a l m o n u n d C a y l e y die M Vgl. auch K l e i n : Ges. Abh. Bd. 2, S. IlOff.

Einzelprobleme.

Der w-dimensionale Raum.

167

E x i s t e n z v o n 27 Geraden auf der F^, die eine wunderbare K o m b i n a t i o n b i l d e n : jede v o n ihnen wird n ä m l i c h v o n 10 anderen geschnitten (Cam­ bridge and D u b l i n Journal B d . 4). A u c h diese k ö n n e n aUe reell sein u n d werden äußerst anschaulich repräsentiert auf der v o n C l e b s c h 1872 gefundene Diagonalfläche^). Auf das Sylvestersche P e n t a e d e r b e z o g e n , l a u t e t ihre sehr emfache Gleichung x^ + y^ + z^ + t^ + u^^O. Ü b r i g e n s h ä n g t die F^ u n d ihre Geradenkonstellation n u n auf eigen­ t ü m h c h e W e i s e z u s a m m e n m i t den 28 D o p p e l t a n g e n t e n einer e b e n e n C4, w i e G e i s e r (Math. A n n . B d . 1,1868) zuerst b e m e r k t e . D i e B e z i e h u n g ist folgende: w e n n m a n die F^ v o n e i n e m ihrer P u n k t e O aus auf eine beliebige E b e n e projiziert, so e n t s t e h t als U m r i ß eine ebene C4, deren 2 8 D o p p e l t a n g e n t e n durch folgende v o n O ausgehende E b e n e n aus­ g e s c h n i t t e n w e r d e n : die Tangentialebene der F^ in O u n d die 27 Ver­ b i n d u n g s e b e n e n v o n O m i t den Geraden der F3. 3. Z u m Schluß m ö c h t e ich n o c h eine v o n K u m m e r 1864 (Berliner Monatsberichte) e n t d e c k t e F l ä c h e erwähnen, o b w o h l ich d a m i t schon in eine spätere Zeit hineingreife. E s ist eine F l ä c h e vierter Ordnung u n d Klasse — sich selbst reziprok — m i t 16 D o p p e l p u n k t e n , welche 16 m a l zu je sechs in einer D o p p e h a n g e n t i a l e b e n e der F l ä c h e liegen ( d . h . in einer E b e n e , die längs eines K e g e l s c h n i t t e s berührt). D i e Gleichung s e c h z e h n t e n Grades der D o p p e l e l e m e n t e läßt sich auf eine Gleichung s e c h s t e n Grades u n d mehrere quadratische reduzieren, wie C a m i l l e J o r d a n 1868 e n t d e c k t e (Crelle B d . 70) u n d ich durch g e o ­ metrische E n t w i c k l u n g e n (Gött. Nachr. 1869, Math. A n n . B d . 2 = Ges. A b h . B d . 1, S. 53) bestätigte, m e i n e erste Arbeit, m i t der ich mir die Sporen verdiente (eine F o r t s e t z u n g meiner Dissertation v o n 1868).

Der R a u m von η Dimensionen und die allgemeinen komplexen Zahlen. A l s dritten wesentlichen Zug in der E n t w i c k l u n g der algebraischen Geometrie m ö c h t e ich n u n in K ü r z e ausführen, w e l c h e Verallgemeinerung die besprochenen D i n g e u n d die geometrischen G e d a n k e n ü b e r h a u p t in d e m Zeitraum, der u n s interessiert, erfahren h a b e n in B e t r a c h t u n g eines w-dimensionalen R a u m e s u n d allgemeiner — mehr als zweigliedriger — k o m p l e x e r Zahlen. D i e bisher b e t r a c h t e t e n Geometrien, projektive, affine u n d metrische Geometrie, k ö n n e n kurz charakterisiert werden (vgl. m e i n „Erlanger P r o g r a m m ' ' 1872 = Ges. A b h . B d . 1, S. 460), i n d e m m a n die Gruppen v o n Transformationen angibt, welche die in F r a g e k o m m e n d e n B e ­ z i e h u n g e n i n v a r i a n t lassen. E s ergibt sich 1) Math. Ann. Bd. 4, S. 331 ff. 1871; vgl. auch K l e i n : Ges. Abh. Bd. 2, S. 29ff:

168

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

1. für die projektive Geometrie d i e allgemeinste gebrochene lineare S u b s t i t u t i o n , i n h o m o g e n geschrieben: ax-^

ßy

a"'x + ß"'y a'x-f-ß'y y

+ d"'

+ γ'ζ + δ'

α"'χ-^β"'γ _

+ γζ + δ + /"z

+

a"x + ß"y

γ"'ζ-^δ"'

+ fz

a"'x +

+ d" ß"'y+rz+o""

2. für die affine Geometrie dieselbe S u b s t i t u t i o n unter Wegfall des Nenners x'^ax

+ßy

+γζ

y'^a'x

+ß'y

+ γ'ζ

+ S'

+ /'z

+

z' = u"x+ß"y

+6

d":

3. für die metrische Geometrie tritt die B e d i n g u n g hinzu, daß «

ß

7

«' a"

ß' ß"

y γ"

eine sog. orthogonale D e t e r m i n a n t e sein soll, woraus sich dann die Invarianz dx'^ + dy'^ + dz'^ = dx'' + df + dz^ ergibt. D a b e i ist n o c h ein feinerer U n t e r s c h i e d , ob m a n sich auf solche orthogonale S u b s t i t u t i o n e n beschränkt, deren D e t e r m i n a n t e + I ist, oder ob m a n auch die v o n der D e t e r m i n a n t e — I z u l ä ß t . A n g e s i c h t s dieser F o r m e h i erscheint n u n eine Verallgemeinerung fast selbstverständlich, n ä m h c h an Stelle der drei Variabein x,y,z eine A n z a h l η derselben anzusetzen u n d sich d e m e n t s p r e c h e n d m i t der G e o m e t r i e eines R a u m e s v o n η D i m e n s i o n e n z u beschäftigen. Dieser G e d a n k e lag so n a h e , d a ß v o n e i n e m eigentlichen Fortschritt erst gesprochen werden k a n n , als an d e m erweiterten Gebiet eingehenderes Interesse g e n o m m e n u n d die erforderhchen Theorien genauer a u s g e b a u t wurden. F ü r das h e u t i g e Geschlecht liegt eine derartige E n t w i c k l u n g v o l l e n d s s o auf d e m n a t ü r h c h e n G e d a n k e n w e g e — erscheint es doch jetzt fast bescheiden, w e n n m a n sich bei der VeraUgemeinerung m i t einer e n d h c h e n A n z a h l η v o n Variabein b e g n ü g t — , d a ß ich w o h l e t w a s ausführ­ licher berichten m u ß v o n den Schwierigkeiten u n d d e m h a r t n ä c k i g e n W i d e r s t a n d , den diese Ideen fanden, n o c h lange über die Zeit ihres ersten Auftretens h i n a u s . A u c h hier sind es wieder die P h ü o s o p h e n , die d e m Fortschritt der I d e e n b i l d u n g Schwierigkeiten bereiten aus Mangel an Verständnis für

Der Philosophische Hindernisse. die den m a t h e m a t i s c h e n Theorien eigene i m m a n e n t e B e d e u t u n g u n d Kraft, welche die Frage nach einer transienten Verwendung zunächst nicht berührt. E s scheint das seltsame Schicksal eines jeden wirklichen Fortschritts der Wissenschaft zu sein, d a ß er zunächst bei der Kritik der wohlfundamentierten strengen Rechtgläubigkeit A n s t o ß erregt; u n d d o c h liegt das Geheimnis des Vorwärtsdringens gerade in der n a i v e n P r o d u k t i v i t ä t , die aus reiner Freude an der S a c h e das schafft, w o z u der Geist sie treibt. Aber außer der A b l e h n u n g v o n philosophischer Seite, also d e m zu erwartenden E i n w a n d , d a ß ein w-dimensionaler R a u m ein U n s i n n sei, erwuchs uns eine überraschende Schwierigkeit g e n a u aus e n t g e g e n ­ gesetzter R i c h t u n g . E s k a m e n nämlich n u n die p h i l o s o p h i s c h e n ' E n t h u ­ siasten, die aus der E x i s t e n z u n d Fruchtbarkeit der m a t h e m a t i s c h e n Theorie auf das D a s e i n e t w a eines wirklichen R a u m e s v o n vier D i m e n ­ sionen schlössen, der in der N a t u r vorhanden, darum auch e x p e r i m e n t e h nachweisbar sein sollte. I n diesem Z u s a m m e n h a n g m u ß ich v o n d e m Leipziger Astrophysiker u n d Philosophen Z ö l l n e r erzählen. Zöllner, 1834 geboren, ist durch viele wertvolle naturwissenschaftliche F o r s c h u n g e n u n d Anregungen b e k a n n t , insbesondere durch seine ,,wissenschaftlichen A b h a n d l u n g e n " 1 8 7 8 — 8 1 . Manch eine seiner physikalischen Ideen auf d e m Gebiet der elektrodynamischen Theorie der Materie lebt h e u t e wieder auf; so die Vorstellung der fortwährenden E m i s s i o n kleinster Teilchen, die Erklärung der Gravitation aus der N i c h t k o m p e n s a t i o n elektrischer Anziehungskräfte usw. A u c h die experimentelle P h y s i k verdankt i h m viele wertvoUe Fortschritte. Zöllner v e r w e n d e t e als erster das R a d i o ­ m e t e r zu q u a n t i t a t i v e n Messungen, b e o b a c h t e t e mit Erfolg die Pro­ tuberanzen auch außerhalb einer Sonnenfinsternis u. a. m. Mit dieser fraglos b e d e u t e n d e n naturwissenschaftlichen B e g a b u n g v e r b a n d Zöllner aber einen H a n g zu exaltierter Mystik u n d Spekulation, der i h m bei seiner heftigen N a t u r z u m Verhängnis wurde. I m m e r geneigt, sich voll Leidenschaft auf die Seite; der v o n Tradition oder Mode unterdrückten oder bedrohten freien Meinung zu stellen, voll P h a n t a s i e u n d voll Gereiztheit gegen v e r m e i n t h c h e Vorurteile, geriet er in das Fahrwasser des Spiritismus u n d wurde hier, w i e nicht zu verwundern, auf gewissen­ lose W e i s e ausgenützt. Sehr merkwürdig aber m a g es erscheinen, d a ß ich selbst, natürlich ohne eine A h n u n g dieser Wirkung, den A n l a ß zu Zöllners ent­ schlossener W e n d u n g z u m Spiritismus gegeben h a b e . E s war Mitte der 70 er Jahre, als der b e k a n n t e amerikanische Spiritist Slade, ein äußerst geschickter Taschenspieler — der übrigens einige Jahre später ent­ larvt wurde — seine b e r ü h m t e n Sitzungen abhielt, die aUgemein viel Aufsehen erregten. Kurz vorher h a t t e ich Zöllner gelegentlich eines rein wissenschaftlichen Gesprächs v o n R e s u l t a t e n erzählt, die ich über

170

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

v e r k n o t e t e geschlossene R a u m k u r v e n gefunden u n d in B d . 9 der Math. A n n a l e n veröffentlicht h a t t e (vgl. Ges. A b h . B d . 2, S. 63). E s war dies die T a t s a c h e , d a ß das Vorhandensein eines K n o t e n s als eine w e s e n t h c h e d. h. g e g e n Verzerrungen invariante Eigenschaft einer geschlossenen K u r v e nur insofern betrachtet w e r d e n k a n n , als m a n sich i m drei­ d i m e n s i o n a l e n R a u m b e w e g t ; i m vierdimensionalen R ä u m e h i n g e g e n l ä ß t sich eine geschlossene K u r v e v o n e i n e m solchen K n o t e n d u r c h b l o ß e Verzerrung befreien; der K n o t e n hört also auf, eine E i g e n s c h a f t der A n a l y s i s situs zu sein, w e n n m a n die B e t r a c h t u n g aus d e m g e w ö h n ­ h c h e n R ä u m e heraushebt. D i e s e B e m e r k u n g n a h m Zöllner m i t e i n e m mir u n v e r s t ä n d l i c h e n E n t h u s i a s m u s auf. E r g l a u b t e ein Mittel in der H a n d zu h a b e n , die „ E x i s t e n z der vierten D i m e n s i o n ' ' e x p e r i m e n t e l l n a c h z u w e i s e n u n d v e r a n l a ß t e Slade, die B e s e i t i g u n g v o n K n o t e n geschlossener Schnüre in praxi vorzuführen. Slade n a h m die A n r e g u n g m i t s e i n e m g e w ö h n l i c h e n „ w e s h a h t r y i t " auf, u n d wirkhch gelang es i h m , das E x p e r i m e n t b i n n e n k u r z e m z u Zöllners Zufriedenheit durchzuführen. D a ß es sich b e i d i e s e m Versuch u m eine versiegelte Schnur h a n d e l t e , auf deren Siegel­ verschluß Zöllner beide D a u m e n pressen m u ß t e , w ä h r e n d Slade die H a n d darüber l e g t e , m ö g e nur beiläufig e r w ä h n t werden. Zöllner schloß aus d i e s e m E x p e r i m e n t , d a ß es „ M e d i e n " gäbe, die in einer engeren B e z i e h u n g zur v i e r t e n D i m e n s i o n s t ä n d e n u n d die Kraft b e s ä ß e n , D i n g e unserer Körperwelt hinüber u n d herüber zu b e w e g e n , so d a ß sie für unsere Sinne v e r s c h w i n d e n u n d wiedererscheinen! Hier knüpft n u n die große populäre Mystifikation an, die b a l d in V e r b i n d u n g m i t H y p n o t i s m u s , S u g g e s t i o n , rehgiösem S e k t e n t u m , p o p u ­ lärer N a t u r p h i l o s o p h i e u s w . lange Zeit viele K ö p f e beherrschte, u n d deren Spuren n o c h h e u t e in Varietevorstellungen, K i n o s , T a s c h e n ­ spielerkünsten aller Art, s c h h e ß h c h a u c h in der U m g a n g s s p r a c h e a n z u ­ treffen sind. D i e große Erregung, in die Zöllner durch diese D i n g e u n d d\irch d e n W i d e r s t a n d , d e n sie fanden, v e r s e t z t wurde, m a g zur Beschleuni­ g u n g seines E n d e s beigetragen h a b e n . E i n e fieberhafte T ä t i g k e i t s e t z t e b e i i h m e i n ; w ä h r e n d seiner l e t z t e n Lebensjahre ließ er täglich über e i n e n B o g e n d r u c k e n ! 1882 wurde er, n o c h nicht 5 0 Jahre alt, m i t t e n aus seiner Arbeit durch einen Gehirnschlag fortgerissen. — D u r c h a h diese Mißverständnisse, Streitigkeiten u n d Wirrsale h i n ­ durch errang sich der w-dimensionale R a u m d e n n o c h s c h h e ß h c h sein Bürgerrecht i m R e i c h e wissenschafthcher Vorstellungen, u n d zwar, w i e wir M a t h e m a t i k e r m i t G e n u g t u u n g erlebten, nicht nur i m engeren m a t h e m a t i s c h e n Kreise, sondern a u c h in d e m weiteren der theoretischen P h y s i k . I n der Mechanik wurde der als w i l l k o m m e n e s H i l f s m i t t e l a u f g e n o m m e n , u m z. B . ein starres S y s t e m v o n η Freiheitsgraden m a t h e ­ m a t i s c h z u fassen. I n der kinetischen Gastheorie b e h a n d e l t m a n gar

Philosophische Hindernisse.

Anfänge der Theorie des

J.71

R ä u m e v o n 6 N D i m e n s i o n e n , w o N die A n z a h l der Moleküle in einem Massengramm des zu b e t r a c h t e n d e n Gases b e d e u t e t , deren j e d e m sechs K o o r d i n a t e n , Ort u n d Geschwindigkeit b e s t i m m e n d , beigelegt sind. D a iV == 6-1023 ist, so arbeitet m a n hier also m i t einem R a u m v o n 36-1023 D i m e n s i o n e n . D i e anregende Kraft, die in dieser Vorstellung liegt, die Vereinfachung, welche die P r o b l e m e auf dieser Grundlage gewinnen, ist unverkennbar für jeden, der sich m i t dieser Arbeitsweise beschäftigt h a t . D i e fruchtbarste A u s d e u t u n g aber h a t die Vorstellung speziell des 4-dimensionalen R a u m e s in der Mechanik gefunden, i n d e m m a n den drei R a u m k o o r d i n a t e n x, y, ζ als vierte , , D i m e n s i o n " die in jeder R e ­ lation der Mechanik auftretende Variable die Zeit, hinzufügte. D i e B e d e u t u n g , die diese zuerst v o n L a g r a n g e aufgestellte, aber nicht weiter verfolgte Vorstellung in der P h y s i k unserer T a g e in der sog. R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e g e w o n n e n h a t , ist hinlänglich b e k a n n t . Mit Lagrange beginnt d e n n auch die historische E n t w i c k l u n g der Lehre v o m mehrdimensionalen R ä u m e . I n rein formalen A n s ä t z e n schreitet sie fort bei C a u c h y u. a. So schreibt C a y l e y , 1844, also m i t 2 2 Jahren, i m 4. B a n d e des Cambridge M a t h e m a t i c a l Journal „Chapters on the analytical g e o m e t r y of η d i m e n s i o n s " (Werke, B d . 1, S. 55ff.). D i e erste z u s a m m e n h ä n g e n d e Darstellung aber findet die Theorie als eine selbständige m a t h e m a t i s c h e Disziplin 1844 in einem h ö c h s t eigenartigen Werke, v o n d e m ich bald Näheres erzählen werde, in der Ausdehnungslehre des Stettiner Gymnasiallehrers G r a ß m a n n . E h e ich hierauf eingehe, m u ß ich jedoch zwei andere Autoren erwähnen, die in verschiedener F o r m an denselben G e d a n k e n herangeführt wurden, u n d die sehr wesentlich d a z u beigetragen h a b e n , daß der R a u m v o n η D i m e n s i o n e n , R^, u m 1870 Gemeingut der vorwärtsstrebenden jüngeren Generation g e w o r d e n war. D a ist zuerst P l ü c k e r zu nennen, der in s e i n e m „System der Geo­ metrie des Raumes" v o n 1846 in der b e r ü h m t e n Nr. 258 (S. 322f.) das P r o b l e m des 4-dimensionalen R a u m e s v o n einer ganz n e u e n Seite angreift. E r m a c h t nämlich die Gerade z u m Grundelement der Geo­ metrie des R a u m e s . Diese ist durch zwei lineare Gleichungen g e g e b e n : x = rz + Q

und

y=^sz+a,

also durch vier Parameter r,Q,s,a. Man k a n n darum s a g e n : unser R a u m hat vier D i m e n s i o n e n , sofern m a n die Gerade als R a u m e l e m e n t ansieht. U n d dieses ist in der T a t die B e d e u t u n g , die Plücker der Vor­ stellung eines n-dimensionalen R a u m e s beilegt, d a ß m a n die Geometrie des g e w ö h n l i c h e n R a u m e s auf der W a h l eines v o n η P a r a m e t e r n be­ s t i m m t e n Grundelements aufbaut. D i e Auffassung, die einen P u n k t ­ r a u m v o n η D i m e n s i o n e n fingiert, lehnte er i m gelegentlichen Gespräch als „ z u m e t a p h y s i s c h " ab.

172

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

Auf dieser Grundlage entwickelt sich n u n als neue Disziplin die sog. Liniengeometne, d. h. die Lehre v o n denjenigen A g g r e g a t e n v o n Geraden, die durch ein, zwei oder mehrere Gleichungen zwischen r, ρ, s, σ g e g e b e n sind. Plücker b e z e i c h n e t das durch f {r, ρ, s, σ) gegebene Gebilde als Komplex, den Schnitt zweier K o m p l e x e als eine Kongruenz. D i e „gerad­ linigen S t r a h l e n s y s t e m e " , die K u m m e r 1866 studierte, sind derartige K o n g r u e n z e n . D a s N ä h e r e findet sich in Plückers „Neue Geometrie des Raumes" 1869/70. A n zweiter Stelle h a b e ich R i e m a n η zu erwähnen u n d seinen h o c h ­ b e d e u t s a m e n Habilitationsvortrag, G ö t t i n g e n 10. J u n i 1854, „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (nicht z u verwechseln m i t R i e m a n n s H a b i l i t a t i o n s s c h r i f t über die trigonometrischen R e i h e n die n a c h anderer Seite ebenso b a h n b r e c h e n d gewirkt h a t ) . W i e auf so vielen m a t h e m a t i s c h e n Gebieten, so ist a u c h hier R i e ­ m a n n der eigentliche Fortsetzer der v o n G a u ß gebildeten Gedanken. In den „Disquisitiones circa superficies curvas" (1827 = Werke, B d . 4, S. 217) betrieb Gauß eine sog. „innere" Geometrie auf einer F l ä c h e . A u s g e h e n d v o n der F o r m des B o g e n e l e m e n t s ds'' = E dp'' + 2 Fdpdq + G dq' stellte er die Frage auf n a c h denjenigen E i g e n s c h a f t e n der F l ä c h e , die u n a b h ä n g i g v o n der W a h l des b e h e b i g e n krummlinigen K o o r d i n a t e n ­ s y s t e m s p, q b e s t e h e n . E r f a n d die durch b Jds = O definierten g e o d ä ­ tischen L i n i e n ; er bildete aus E, F, G u n d ihren ersten u n d z w e i t e n Differentialquotienten n a c h p u n d q die als „ K r ü m m u n g s m a ß " bezeich­ n e t e I n v a r i a n t e (vgl. S. 152) u. a. m. I n dieser W e i s e s e t z t n u n R i e m a n n einen R a u m oder, wie er sagt — u m die sich a n dieses W o r t h e f t e n d e n W i d e r s t ä n d e zu u m g e h e n — , eine Mannigfaltigkeit v o n η D i m e n s i o n e n a n , in der er für das B o g e n e l e m e n t eine p o s i t i v e definite quadratische F o r m zugrunde l e g t : ds'==^ai^dXidXj^ u n d die Frage n a c h d e n v o n der W a h l der x^, x^, . . ., x^ u n a b h ä n g i g e n E i g e n s c h a f t e n daran anknüpft.

B e s o n d e r e s Interesse g e w i n n e n

dabei

diejenigen Mannigfaltigkeiten, deren Normalform durch ds' = dxl

+ dxl + '" +

g e g e b e n ist u n d ihre Charakterisierung

dx^

durch B e d i n g u n g e n für

die

Koeffizienten ^,¾, s o w i e andererseits diejenigen, bei d e n e n

g e s e t z t w e r d e n k a n n . D i e ersteren b e d e u t e n eine direkte Verallgemeinerung der E u k h d i s c h e n Geofnetrie, die letzteren schließen die nicht-

Riemanns Habilitationsvortrag.

Graßmann.

J,Z3-.

euklidischen R a u m f o r m e n m i t ein. In A n l e h n u n g an die elementare Flächentheorie des bezeichnete R i e m a n n die erste Gruppe als ebene Mannigfaltigkeiten, die zweite als solche v o n k o n s t a n t e m K r ü m m n n g s m a ß . Diese Analogie h a t viel B e s t e c h e n d e s , ist aber dennoch schief. D e n n die Eigenschaften „ e b e n " , „ k o n s t a n t e K r ü m m u n g " g e l t e n für die zweidimensionalen Gebüde nur insofern, als sie sich in einem drei­ dimensionalen R ä u m e befinden; bei der R i e m a n n s c h e n Mannigfaltig­ keit R^ ist aber v o n einer u m g e b e n d e n Mannigfaltigkeit R^ + ^ garnicht die R e d e Dieser Vortrag erregte ungeheueres Aufsehen, als er n a c h R i e m a n n s frühzeitigem T o d e (1866) in B a n d 13 der Göttinger A b h a n d l u n g e n 1868 durch D e d e k i n d veröffentlicht wurde. H a t t e doch R i e m a n n hier nicht nur tiefgründige m a t h e m a t i s c h e Untersuchuijgen in Angriff g e n o m m e n — auch hier k n ü p f t wieder eine neue m a t h e m a t i s c h e Disziplin an, die Lehre v o n den allgemeinen Eigenschaften u n d der Klassifikation der Differentialformen 2J^nt^Xi^Xit—, sondern überall auch die Frage n a c h der inneren Beschaffenheit unserer R a u m v o r s t e l l u n g u n d die A n w e n d b a r k e i t seiner Ideen auf die Naturerklärung gestreift. Sehr merkwürdig ist n u n , w i e hier, in viel späterer Zeit, die neueste Naturwissenschaft anknüpft. D e r Einsteinschen R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e liegt ein ds^ zugrunde, das bei Einführung einfachster Koordinaten die Gestalt dx'^ + dy'' + dz"" -

df

a n n i m m t . E s handelt sich hier also u m einen der v o n R i e m a n n betrach­ t e t e n Ausdrücke, m i t d e m U n t e r s c h i e d freilich,

daß die F o r m nicht

mehr positiv definiten Charakter hat. N u n aber kehren wir zu G r a ß m a n n zurück, m i t d e m wir uns aus­ führlicher zu beschäftigen h a b e n . Graßmanns Persönlichkeit u n d seine Arbeiten sind uns in sehr d e u t ­ licher Weise v e r m i t t e l t durch seine in drei D o p p e l b ä n d e n v o n 1 8 9 4 — 1 9 1 1 i m Auftrage der Geseüschaft der Wissenschaften zu Leipzig heraus­ g e g e b e n e n Werke, deren dritter B a n d eine eingehende, sehr lesenswerte Biographie v o n E n g e l enthält. D i e s e Arbeit E n g e l s ist u m so ver­ dienstvoller, als sie sich v o n der üblen Gewohnheit der S e k t e der Graß­ m a n n i a n e r freihält, die ihren Meister kritiklos glorifiziert. H e r m a n n G r a ß m a n n w u r d e 1809 in S t e t t i n geboren als A b k o m m e einer alten protestantischen Pastorenfamilie, in der wissenschafthche u n d künstlerische Interessen zur Tradition gehörten. D i e s e F a m i l i e n ­ a b s t a m m u n g ist für Graßmann v o n größter B e d e u t u n g . U n t e r ihrem dauernden Einfluß e n t w i c k e l t sich seine stille, l a n g s a m e N a t u r auf e i g e n e m W e g e u n d n a c h eigenen Gesetzen. Graßmann b e g i n n t seine wissenschaftliche Laufbahn bezeichnenderweise m i t d e m S t u d i u m der Theologie u n d Phüologie, das er 1827—30 in Berlin betreibt, teilweise unter d e m Einfluß Schleiermachers, i m übrigen aber als A u t o d i d a k t .

174

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

M a t h e m a t i s c h e Vorlesungen h a t G r a ß m a n n nie g e h ö r t ; 1832 e t w a b e g i n n t er aber selbständig m i t der B e s c h ä f t i g u n g n a c h m a t h e m a t i s c h e r Seite. Erst 1 8 3 9 / 4 0 unterzieht er sich einer ergänzenden Lehramtsprüfung in der M a t h e m a t i k (mit einer Arbeit über E b b e u n d F l u t ) , n a c h d e m er bereits seit 1836 Lehrer in S t e t t i n (vorher in Berlin) war. Seit 1842 war er a m Stettiner G y m n a s i u m beschäftigt, in w e l c h e m A m t e er bis z u s e i n e m T o d e 1877 blieb. T r o t z aller Originalität u n d B e d e u t u n g seiner Arbeiten ist also Graßmann niemals Universitätslehrer g e w e s e n , w i e i h m d e n n überhaupt infolge seiner eigenartigen A r b e i t s e n t w i c k l u n g w ä h r e n d der H a u p t z e i t seines Lebens als M a t h e m a t i k e r keine rechte A n e r k e n n u n g zuteil wurde. Begreiflicherweise h a t sich G r a ß m a n n über dies u n g e r e c h t e Schicksal oft b e k l a g t ; d e n n o c h barg es auch für ihn gewisse Vorzüge, deren F o l g e n sich in Graßmanns Arbeiten u n d Persönlichkeit w o h l b e m e r k e n lassen. W i r A k a d e m i k e r w a c h s e n in scharfer K o n k u r r e n z m i t Gleich­ strebenden auf, wie ein B a u m m i t t e n i m W a l d e , der n a c h oben k o m m e n u n d s c h m a l bleiben m u ß , u m nur ü b e r h a u p t existieren z u k ö n n e n u n d sich sein Teil an Licht u n d Luft z u erobern; wer h i n g e g e n einsam s t e h t , wie G r a ß m a n n , k a n n sich n a c h allen Seiten νοΠ auswachsen, W e s e n u n d Arbeit z u harmonischer D u r c h b i l d u n g u n d A b r u n d u n g bringen. Freilich ist ein gewisses Maß v o n D i l e t t a n t i s m u s b e i der Allseitigkeit, die G r a ß m a n n verkörperte, w o h l unerläßlich, ein Zug, der seine Alters­ a r b e i t e n deutlich beeinträchtigt. Schier ü b e r w ä l t i g e n d ist die Zahl u n d Verschiedenheit der Gebiete, m i t denen sich G r a ß m a n n b e s c h ä f t i g t e u n d die er p r o d u k t i v bereicherte. E r war nicht nur M a t h e m a t i k e r v o n originellstem Gepräge, m i t stark p h i l o s o p h i s c h e m Interesse, sondern auch P h y s i k e r n a c h theoretischer u n d praktischer Seite h i n , d e m wir vortreffliche A r b e i t e n über elek­ trische S t r ö m e , Farbenlehre u n d Vokallehre v e r d a n k e n . Zu den U n t e r ­ s u c h u n g e n auf letzterem Gebiet — die m i t den H e l m h o l t z s c h e n parallel laufen u n d v o n d i e s e m Forscher sehr g e s c h ä t z t w u r d e n — , befähigte Graßmann v o r aUem sein überaus feines m u s i k a h s c h e s Gehör, wie er denn auch n a c h künstlerisch-musikalischer Seite v o n g r o ß e m Interesse u n d außergewöhnlicher B e g a b u n g war. D a n e b e n gingen seine philo­ logischen N e i g u n g e n w e i t e r ; insbesondere die S p r a c h v e r g l ^ c h u n g fand Graßmanns Interesse u n d förderhche A r b e i t ; sie v e r d a n k t i h m ein W ö r t e r b u c h z u m R i g v e d a , eine S a m m l u n g deutscher Volkslieder, U n t e r ­ s u c h u n g e n über d e u t s c h e P f l a n z e n n a m e n u. a. m . Zu alledem fand G r a ß m a n n a u c h n o c h Zeit, a m offentheben zeitgenössischen L e b e n den regsten A n t e i l zu n e h m e n . P o h t i s c h e , soziale, kirchliche Fragen b e w e g t e n i h n aufs lebhafteste. W ä h r e n d mehrerer Jahre war er Zei­ tungsredakteur, die Freimaurer z ä h l t e n ihn z u den ihrigen u n d erhoben ihn z u m Meister v o m S t u h l e ; besonders reges tätiges Interesse w a n d t e er der Chinamission zu.

Graßmann.

Die Ausdehnungslehre.

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B e i einer so überreichen Tätigkeit k a n n es nicht w u n d e r n e h m e n , d a ß G r a ß m a n n w e n i g s t e n s n a c h e i n e r Seite v e r s a g t e : er w a r ein schlechter Lehrer. Zwar w i d m e t e er sich auch d i e s e m seinem Beruf m i t der i h m eigenen Gewissenhaftigkeit; sein allzu gütiges, bescheidenes, i m m e r freundliches W e s e n w a r jedoch nicht geeignet, i h m bei seinen Schülern R e s p e k t z u verschaffen. Graßmann war zufrieden, w e n n er einige w e n i g e für sein Gebiet interessierte u n d litt es, d a ß die verständnis­ lose Menge der Schüler sich auf ihre für i h n nicht gerade schonende W e i s e v e r g n ü g t e — ein deutliches u n d warnendes Beispiel dafür, d a ß die T ü c h t i g k e i t des Lehrers m i t wissenschaftlicher B e d e u t u n g u n d Pro­ d u k t i v i t ä t n i c h t H a n d in H a n d zu gehen braucht. W i r w e n d e n u n s n u n z u Graßmanns m a t h e m a t i s c h e r Leistung. Sie wird gegeben durch sein großes Werk, die Ausdehnungslehre, deren erste Auflage, nur die affine Geometrie betreffend, 1844 erschien; die z w e i t e Auflage (1861) e n t h ä l t dieselbe Theorie in gänzHch anderer Darstellung u n d u n t e r Mitumfassung des Metrischen. B e i d e W e r k e s m d äußerst schwer z u g ä n g h c h , i a fast unlesbar. D a s erste deduziert aus aUgemeinsten p h ü o s o p h i s c h e n Begriffen o h n e irgendwelche For­ m e l n . D e r zweite T e ü operiert zwar m i t η K o o r d i n a t e n , b e d i e n t sich aber sehr vieler neuer Termini u n d A l g o r i t h m e n u n d ist in durchaus streng s y s t e m a t i s c h e r eukhdischer Darstellungsweise aufgebaut. Um ein B i l d des I n h a l t s z u geben, wiU ich hier versuchen, das W e s e n t h c h e in unsere Sprache z u fassen. G e g e n s t a n d der U n t e r s u c h u n g ist ein K o n t i n u u m m i t η Variabein X^, x<^, . . (nicht h o m o g e n ) , also ein R^. I n der ersten Auflage der Ausdehnungslehre wird dieser R^ v o m S t a n d p u n k t der affinen Geo­ m e t r i e b e t r a c h t e t ; G r a ß m a n n bezeichnet dies als „lineale" A u s d e h n u n g s ­ lehre. I n der z w e i t e n Auflage wird die Größe

adiungiert, es tritt also die m e t r i s c h e B e t r a c h t u n g s w e i s e hinzu. E s h a n d e l t sich u m eine Verallgemeinerung der g e w ö h n l i c h e n e u k h d i s c h e n Geometrie auf den R^. D a s Interesse w e n d e t sich in erster Linie auf die linearen Gebilde, also P u n k t , Gerade, E b e n e . . ., oder — da die Terminologie bei der VeraUgemeinerung i m R^ v e r s a g t — eine Reihe v o n Gebilden Sq, S ^ , . . ., S ^ , die m a n , entsprechend d e m Gesetz der D u a l i t ä t , auch v o m andern E n d e beginnend durchlaufen k a n n . Soweit also h ä t t e n wir nur die Steinerschen Grundgebüde, aus­ g e d e h n t auf den R^. N u n aber k o m m t bei G r a ß m a n n ein wichtiger S c h r i t t : er verbindet m i t diesen Gebilden den I n h a l t s b e g r i f f u n d unterscheidet v o n d e m u n b e g r e n z t e n Gebilde selbst b e s t i m m t e , auf i h m a b g e s c h n i t t e n e S t ü c k e , die er als besondere Objekte der g e o m e ­ trischen B e t r a c h t u n g unterwirft; er spricht v o n „ S t r e c k e n " oder Linienteilen, „ P l a n g r ö ß e n " oder E b e n e n t e i l e n , R a u m t e ü e n u s w . (vgl.

176

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

m e i n e E l e m e n t a r m a t h e m a t i k v o m höheren S t a n d p u n k t , B d . 2, 3. Aufl., S. 22ff., 31ff.). W i e sich die Aufzählung der Grundgebilde dadurch gegenüber der Steinerschen g e s t a l t e t , m ö c h t e ich für den F a h des gewöhnlichen zeigen, i n d e m ich G r a ß m a n n s Selbstanzeige in Grunerts A r c h i v (Bd. 6, 1845 = W e r k e , B d . 1 , 1 , S. 2 9 7 - 3 1 2 ) folge. W i e wir sehen werden, ergeben sich n a c h Graßmannscher Z ä h l u n g sieben Grundgebilde (resp. sechs) an Stehe der Steinerschen v i e r : P u n k t , Gerade, E b e n e , R a u m . G r a ß m a n n b e d i e n t sich bei dieser A u f z ä h l u n g streng des s y s t e m a t i s c h e n Prinzips der D e t e r m i n a n t e n u n d ihrer Matrices, w e n n auch nicht in d e m u n s g e w o h n t e n G e w ä n d e , wie ich es hier darstehe. E i n erster wichtiger Schritt ist, d a ß er j e d e m P u n k t e ein „ G e w i c h t e m erteilt — eine deutliche A n k n ü p f u n g an Moebius, m i t d e m G r a ß m a n n s e i n e m g a n z e n W e s e n n a c h viele Züge g e m e i n h a t — , w o d u r c h er ein viergliedriges, also h o m o g e n e s K o o r d i n a t e n s y s t e m erhält. D e m P u n k t legt er die K o o r d i n a t e n b e i : mx, my, mz, m, eine B e z e i c h n u n g s w e i s e , die auf einfachste Art die Darstellung des S c h w e r p u n k t e s zweier P u n k t e m,x^, m^y^, m^z^, m^, m^x^, ni,y,, m,z,, , als S u m m e der K o m p o n e n t e n z u l ä ß t : m^x^ + m^x^,

m^y,+m^y^,

m^z^ + m^z^,

m^ +

m^.

W i r d insbesondere das G e w i c h t des P u n k t e s gleich NuU — d. h. rückt der P u n k t ins U n e n d h c h e — , so stellt jetzt das W e r t e s y s t e m , wie es sich aus der S u b t r a k t i o n

zweier P u n k t e

v o n gleicher Masse ergibt,

eine Strecke dar ^1-^2'

yi-y^^

h - h ^

O

Z,

O

oder X,

y,

d. h. ein S t ü c k auf einer Geraden, d e m eine b e s t i m m t e R i c h t u n g eigen ist, das aber i m übrigen i m R ä u m e frei b e w e g h c h ist.

W e g e n dieser

E i g e n s c h a f t bezeichnen wir es deutlicher als „freie S t r e c k e " ; es ist dies das u n s aus der Mechanik w o h l b e k a n n t e Gebilde des „freien V e k t o r s " . W i r schreiten n u n fort zu den Grundgebilden der z w e i t e n

Stufe.

Sie werden g e w o n n e n aus der Matrix zweier P u n k t e m i t gleicher Masse:

( D a es keine wesentliche Verallgemeinerung gibt, w e n n wir die Massen ungleich n e h m e n , so s e t z e n wir sie z u n ä c h s t gleich 1, u n d später gleich NuU, u m einen SpezialfaU zu b e k o m m e n . ) D i e D e t e r m i n a n t e n dieser Matrix b e s t i m m e n einen „ L i n i e n t e ü " oder eine „ g e b u n d e n e S t r e c k e " (gebundener Vektor), d . h . ein Linienstück, w e l c h e s nur längs einer b e s t i m m t e n Geraden verschiebbar'ist, eine Größe, w i e wir sie als Kraft

Die Ausdehnungslehre.

Axiomatisches.

Höhere komplexe Zahlen.

177

a m starren Körper w o h l k e n n e n . Kombinieren wir speziell zwei P u n k t e der Masse NuU, z w e i „freie S t r e c k e n " (X

Y

Z

0\

[X'

Y

Z'

oj'

so ergibt sich die sog. „freie Plangröße", ein F l ä c h e n i n h a l t v o n b e s t i m m ­ ter Größe u n d b e s t i m m t e m Umlaufssinn, in einer E b e n e b e s t i m m t e r Stellung, i m übrigen aber paraUel m i t sich i m R ä u m e frei bewegUch — das Kräftepaar der Mechanik. A l s Gebilde der dritten Stufe ergeben s i c h : 1. A u s

der E b e n e n t e i l oder die „ g e b u n d e n e Plangröße", die nur noch in ihrer E b e n e verschiebbar ist. 2. A u s /X Z'

Y

Z

Y

r

0\ O

ein R a u m i n h a l t v o n b e s t i m m t e r Größe u n d b e s t i m m t e m Sinne. E n d h c h ergibt sich als Gebilde vierter Stufe n o c h einmal der R a u m ­ inhalt v o n b e s t i m m t e r Größe u n d b e s t i m m t e m Sinn, i n d e m wir die D e t e r m i n a n t e schreiben: X

y

Z

1

Oi

^

J

\

1 w a s sich durch Subtraktion Oi'' einerf Horizontalreihe sofort auf die vorige z'" 1 X''

f

F o r m reduziert. SchheßHch ist allem v o r a n z u s e t z e n als Grundgebilde nuUter Stufe die reine Zahlgröße. W i e wir sehen, s c h h e ß e n sich diese Gebilde aufs e n g s t e an die Me­ chanik der starren Körper a n ; sie sind in der T a t g e n a u das, w a s u n s später auf d e m U m w e g über E n g l a n d durch die Vektorentheorie gebracht wurde, w ä h r e n d wir es längst auf d e u t s c h e m B o d e n b e s a ß e n , o h n e es z u k e n n e n . A u c h für die KristaUographie ist der hier eingeschlagene W e g der U n t e r s u c h u n g äußerst förderHch. Aber Graßmann lieferte n i c h t nur g a n z n e u e Objekte der B e t r a c h ­ t u n g , er verfolgte a u c h h ö c h s t eigenartige, tief eindringende M e t h o d e n s o w o h l nach Seite der zugrunde gelegten aUgemeinen Auffassung, wie n a c h der der Durchführung m i t t e l s neuer u n d sehr sinnreicher Algo­ rithmen. D i e der Ausdehnungslehre zugrunde liegende aUgemeine Auffassung ist z u n ä c h s t die, welche bei aUen geometrisch v e r a n l a g t e n N a t u r e n

178

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

i m m e r wiederkehrt, d a ß n ä m l i c h die kontmuierliche Größe — also die A u s d e h n u n g , der R a u m — g e n a u so eine ursprüngliche K o n z e p t i o n des Menschengeistes ist, w i e andererseits die Zahl, m i t der sie erst sekundär, durch d a s Messen in B e z i e h u n g g e s e t z t i s t ; daß es also unnatürlich u n d u n n ö t i g ist, w i e E u k l i d es t u t , das „Messen" in die g e o m e t r i s c h e n Grundlagen zu bringen u n d hierauf z. B . die Propor­ tionenlehre z u b e g r ü n d e n , w o b e i d e n n durch Einführung der Irrational­ zahl d a s K o n t i n u u m k ü m m e r l i c h durch das Diskrete ausgeschöpft w e r d e n soU. D e r Gedanke, d a ß dieser v o n E u k l i d ü b e r k o m m e n e W e g ein U m w e g für d e n A u f b a u der Geometrie sei, ja n i c h t einmal wirklich z u m Ziele — n ä m l i c h zur Erfassung u n d B e h e r r s c h u n g des K o n t i n u u m s — führe, ist eine i m m e r wiederkehrende T e n d e n z , die der h e u t e v o r ­ herrschenden A r i t h m e t i s i e n m g der M a t h e m a t i k g e n a u entgegenläuft (vgl. d a s Referat über E l e m e n t a r g e o m e t r i e v o n Zacharias, B d . I I I , A B 9 der E n z y k l o p ä d i e ) . So führt z . B . a u c h H i l b e r t m seinen „Grundlagen der Geometrie" d e n Grenzbegriff erst gegen E n d e seiner A u s f ü h r i m g e n ein, n a c h d e m er eine reine Streckenrechnung b e g r ü n d e t h a t , o h n e d a v o n Gebrauch zu m a c h e n . I n derselben W e i s e v e r w a h r t sich G r a ß m a n n d a g e g e n , d a ß die Geometrie nur eine A n w e n d u n g der A r i t h m e t i k sei, u n d n i m m t für s e m e „ A u s d e h n u n g s l e h r e " d e n Cha­ rakter einer s e l b s t ä n d i g e n W i s s e n s c h a f t in A n s p r u c h . V o n ihr unter­ s c h e i d e t er als eine w i e d e r u m selbständige Disziplin die „ M e ß k u n d e " . D i e s e b a u t sich auf der A r i t h m e t i k auf, u n d es ist d a r u m durchaus k o n s e q u e n t , d a ß sich G r a ß m a n n n u n a u c h m i t d e n Grundlagen der Arithmetik beschäftigt. S o wird er einer der ersten, welche die w e s e n t ­ lichen E i g e n s c h a f t e n des g e w ö h n l i c h e n R e c h n e n s u n t e r s u c h t h a b e n . — N e b e n i h m ist in D e u t s c h l a n d merkwürdigerweise M a r t i n O h m in d i e s e m Z u s a m m e n h a n g z u n e n n e n . (Lange Zeit Professor a n der Ber­ liner U n i v e r s i t ä t , B r u d e r des P h y s i k e r s Georg O h m , n a c h d e m das „ O h m s c h e Gesetz" b e n a n n t ist.) O h m , sonst k e i n tief eindringender Mathematiker, h a t d e n n o c h e m „ v o l l s t ä n d i g k o n s e q u e n t e s " S y s t e m der a r i t h m e t i s c h e n Grundlagen aufgestellt. — G r a ß m a n n findet als charakteristische E i g e n s c h a f t e n der R e c h n u n g s ­ arten: für die A d d i t i o n , d a ß sie k o m m u t a t i v u n d a s s o z i a t i v sei: a + h^h

+ a-,

a + {h + c)^{a

+ h) + c',

für die Multiplikation, d a ß sie k o m m u t a t i v , assoziativ u n d in b e z u g auf die A d d i t i o n distributiv sei: «.& = &·«;

a{h'c)

= {a'h)c',

a{h + c) = ah +

ac.

I c h bediene m i c h hier der aus d e n französischen u n d englischen A r b e i t e n herrührenden B e z e i c h n u n g e n , d a sie lateinisch, also international sind u n d infolge d a v o n Verbreitimg g e f u n d e n h a b e n ; G r a ß m a n n h a t sich selbstverständlich für alle diese Begriffe eigene d e u t s c h e geschaffen.

Ausdrücke

Graßmann.

Axiomatisches.

Höhere komplexe Zahlen.

179

Sein Interesse richtet sich n u n insbesondere darauf, w i e sich diese Rechenregeln auf höhere Algorithmen a u s d e h n e n lassen. E r g e l a n g t zur E i n f ü h r u n g höL·rer komplexer Zahlen, bei denen die Eigenschaft der K o m m u t a t i v i t ä t der Multiplikation faUen gelassen ist. V o n den v i e l e n verschiedenen S y s t e m e n , die G r a ß m a n n aufgestellt u n d unter­ s u c h t h a t — in einer A b h a n d l u n g m CreUes Journal (Bd. 4 9 , 1855, S. 10ff., S. 123ff.) b e h a n d e l t er n i c h t weniger als 16 verschiedene Arten k o m p l e x e r Multiplikation! — , m ö c h t e ich hier nur das kombinatorische P r o d u k t e r w ä h n e n , w i e es in der linealen Ausdehnungslehre gebraucht w i r d als ein g e n a u e s Ä q u i v a l e n t für die u n s geläufigere D e t e r m i n a n t e n ­ rechnung. E s SOÜ ein P u n k t i m g e g e b e n sein durch d e n Ausdruck X^e, + x^e^-^

· ^ ^ + x^e^=--

Z^x.e,,

w o die ei verschiedene A r t e n v o n E i n h e i t e n b e d e u t e n . A l s S u m m e zweier P u n k t e h a t d a n n o h n e weiteres das R e s u l t a t z u gelten, das m a n durch A d d i t i o n der m i t gleicher E i n h e i t b e h a f t e t e n Größen erhält:

i Xi

+

i y, e. =- i {x. + y.) e,,

ein Verfahren, das wir gelegentlich der S c h w e r p u n k t s b e r e c h n u n g zweier M a s s e n p u n k t e i m R^ bereits a n w e n d e t e n . F ü r das P r o d u k t werden j e d o c h b e s t i m m t e R e g e l n aufgesteUt. E s soll ZXie,'Zyiei-ZZ{Xiy^)e,e^ sein, w o = — e^^ei g e s e t z t wird, so daß also e^^ = O wird, u n d wir durch Multiplikation v o n je zwei E i n h e i t e n \n {n — l)md\ eine n e u ­ artige, sog. E i n h e i t zweiter S t u f e erhalten. I n analoger W e i s e g i b t e s E i n h e i t e n dritter, . . . bis n-tex Stufe. N i m m t m a n m e h r als η E i n ­ h e i t e n als F a k t o r e n in ein P r o d u k t , so w i r d es NuU, weil m i n d e s t e n s eine E i n h e i t z w e i m a l auftreten m u ß . D a s P r o d u k t v o n η P u n k t e n ist gleich der D e t e r m i n a n t e

multipliziert m i t der E i n h e i t n-iex Stufe · * * * ^w* welche, abgesehen v o m Vorzeichen, n u r einen W e r t besitzt. D u r c h dieses P r o d u k t w i r d der Prozeß abgeschlossen, der in der T a t der o b e n beschriebenen D e t e r m i n a n t e n b ü d u n g g e n a u parallel läuft. D a ß das P r o d u k t zweier E i n ­ h e i t e n e t w a s Neuartiges, eine E i n h e i t höherer Stufe ergibt, spiegelt sich in d e m g e o m e t r i s c h e n V e r h a l t e n : zwei P u n k t e b e s t i m m e n einen Linien­ teil u s w . 12*

180

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

D i e s ist die i n der z w e i t e n Auflage der Ausdehnungslehre befolgte D a r ­ stellung, w e l c h e i c h u m s o mehr e r w ä h n e n m ö c h t e , als die Einführung höherer k o m p l e x e r Zahlen, m i t denen m a n n a c h b e s t i m m t e n R e g e l n rechnet, fortan einen bleibenden B e s t a n d t e i l der h ö h e r e n A l g o r i t h m i k bildet, der d a s Interesse immer wieder auf sich zieht. N e b e n solchen algorithmischen E n t w i c k l u n g e n v e r d a n k e n wir Graß­ m a n n eine große Zahl interessanter Spezialuntersuchungen, in d e n e n j e d e s m a l eine g a n z besondere L e i s t u n g s t e c k t ; n u r w e n i g e s k a n n ich a n d e u t u n g s w e i s e herausgreifen. 1. I n der z w e i t e n Auflage findet sich die historisch erste durch­ greifende Aufzählung der b e i m s o g . P f a f f s c h e n P r o b l e m auftreten­ den Möglichkeiten. Pfaff, der Lehrer v o n Gauß, h a t t e 1 8 1 4 die F r a g e aufgeworfen, w i e ein A u s d r u c k dx^ + X^dx^-\

[^X^dx^^O

z u vereinfachen sei, w o die Xi „beliebige" F u n k t i o n e n i m d a m a l i g e n Sinne — also differenzierbare F u n k t i o n e n ohne höhere Singularitäten — sein soUten. Dieser Ausdruck k a n n — ^ /? sehr verschiedene FäUe umschließen. \. y \ E s k ö n n e n die Xi vöUig frei u n d / \ voneinander u n a b h ä n g i g sein, oder \ e s k ö n n e n B e z i e h u n g e n zwischen / / ^ \ \ ihnen b e s t e h e n ; der spezieUste F a U { / / wäre der, d a ß der A u s d r u c k ein voU\ / / ständiges Differential darstellt, ein \ / / e t w a s aUgemeinerer der, d a ß er sich / \ s ^ / ^ ^ durch einen Multiplikator in ein / y^Tt^ solches überführen läßt. AUe diese ^^^^'-•-'^;^^^ / Möglichkeiten erkannt u n d gruppiert '^^"-•"^C^,.^^^^ z u h a b e n , ist G r a ß m a n n s Verdienst. ^^"•^•^•--4^ 2 . Eine besondere E r w ä h n u n g Fig. 15. verdienen die s o g . „linealen K o n ­ s t r u k t i o n e n " oder E r z e u g u n g e n al­ gebraischer Gebilde durch „planimetrische P r o d u k t e " , eine Theorie, die leider viel z u w e n i g b e k a n n t g e w o r d e n i s t , o b w o h l sie sich durch leichte F a ß h c h k e i t auszeichnet. I c h beschränke m i c h auf die E b e n e , u n d zwar auf K u r v e n z w e i t e r u n d dritter Ordnung. B e k a n n t i s t die s o g . Maclaurinsche E r z e u g u n g der K e g e l s c h n i t t e — ein Verfahren, d a s n a t ü r h c h auf die projektive E r z e u g u n g zurückgeht, diese aber in besonders übersichtlicher W e i s e anordnet. Ist X ein P u n k t d e s g e s u c h t e n K e g e l s c h n i t t e s (vgl. F i g . 1 5 ) , s o läuft der durch die wiUkürlichen P u n k t e a, b, c u n d die Geraden A, B b e s t i m m t e Geradenzug in sich selbst z u s a m m e n . E s ist also m ö g l i c h ,

Lineale Konstruktionen.

Die Graßmannianer.

181

auf Grund der fünf D a t e n a,b,c,A,B beUebig viele P u n k t e des Kegel­ s c h n i t t s zu konstruieren. Graßmann drückt diese T a t s a c h e s y m b o l i s c h aus durch die Glei­ chung xaAbBcx = O u n d bezeichnet den linksstehenden Ausdruck als planimetrisches P r o ­ dukt. Auf diese W e i s e kann m a n n u n jede algebraische K u r v e defi­ nieren u n d sogar auf m e c h a n i s c h e m W e g e konstruieren. Man erhält eine K u r v e ^-ter Ordnung, w e n n Χ g e n a u w-mal als F a k t o r des P r o ­ d u k t e s auftritt. So ist z. B . durch xaAbBxCcDdx^O eine K u r v e dritter Ordnung g e g e b e n u n d k a n n n a c h d e m S c h e m a v o n Fig. 16 konstruiert werden. B a u t m a n d a n a c h einen Apparat u n d stellt ihn durch Versuch so ein, daß m a n einen ersten P u n k t XQ h a t , so beschreibt er a u t o ­ m a t i s c h weiter den ganzen Kurvenzug der C3, d e m XQ ange­ h ö r t ; u m den m ö g ­ licherweise vorhan­ denen zweiten Kur­ v e n z u g der C3 zu er­ h a l t e n , wäre eine neue E i n s t e l l u n g nötig. D a s W i c h t i g s t e an dieser Theorie ist n u n aber G r a ß m a n n s B e w e i s , daß m a n j e d e durch ein hinreichend kompliziert g e b a u t e s planimetrisches P r o d u k t solcherweise hneal, also rein g e o m e t r i s c h definieren k a n n . D a m i t ist eine Grundlage für die Theorie der algebraischen K u r v e n g e w o n n e n , wie sie einfacher w o h l k a u m g e d a c h t werden k a n n . — D a m i t m ö c h t e ich m e i n e B e m e r k u n g e n über Graßmanns L e i s t u n g e n schließen. E h e ich m i c h aber g a n z v o n i h m w e n d e , m u ß ich d o c h n o c h des e i g e n t ü m l i c h e n Einflusses g e d e n k e n , der v o n i h m ausging u n d bis in unsere Zeit spürbar g e b h e b e n ist. Zwei D i n g e in Graßmanns W e s e n u n d Schicksal sind es, die ihm, je länger, je mehr nachwirkend, z u m H a u p t einer Schule, oder besser gesagt, einer m i t allem in solchen Fällen übHchen F a n a t i s m u s b e h a f t e t e n Sekte werden Heßen. D a s erste ist sein ausgesprochener Sinn für besondere A l g o r i t h m e n , an die sich der E i n g e w e i h t e so stark g e w ö h n t , daß sie für ihn verbindliche B e d e u ­ t u n g g e w i n n e n u n d n u n geradezu als K e n n z e i c h e n der engeren Zusam-

182

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

mengehörigkeit der A d e p t e n g e l t e n ; die E n t g l e i s u n g , über d e m o r t h o ­ d o x e n Interesse an der Korrektheit einer solchen b e s t i m m t e n A u s d r u c k s ­ w e i s e d a s eigentlich m a t h e m a t i s c h W e s e n t l i c h e , n ä m l i c h die eind r m g e n d e U n t e r s u c h u n g des P r o b l e m s z u vernachlässigen, liegt n a h e u n d ist v o n den Graßmannianern nicht i m m e r v e r m i e d e n w o r d e n . A l s z w e i t e s w i c h t i g e s M o m e n t h a t der U m s t a n d zu g e l t e n , d a ß G r a ß m a n n z u seinen L e b z e i t e n in der T a t n i c h t die A n e r k e n n u n g fand, die i h m z u k a m , u n d d a ß seine A n h ä n g e r n u n in i h m d e n Märtyrer sehen, der m i t einer Glorie u m g e b e n w e r d e n m u ß , u m Geltung z u g e w i n n e n . Zu dieser Glorie gehört es, d a ß m a n alle sprachlichen u n d rechnerischen A u s d r u c k s w e i s e n m ö g l i c h s t besonders w ä h l t , u m sich u n d d e n Meister, d e m nachträglich z u R u h m u n d E h r e verholfen w e r d e n soll, v o n v o r n ­ herein g e g e n alles Ü b l i c h e a b z u h e b e n u n d so der vergleichenden K o n ­ kurrenz z u e n t z i e h e n . A l s Beispiel für diesen Geist verweise ich auf die nicht uninteres­ s a n t e , 1909 erschienene „ p r o j e k t i v e Geometrie" v o n H . G r a ß m a n n d e m J ü n g e r e n (zweiter B a n d , erster T e ü , 1913). F ü r die sechs G r a ß m a n n schen Grundgebilde sind hier Termini g e w ä h l t : P u n k t , Strecke, S t a b , F e l d , B l a t t , B l o c k . Zweifellos h a b e n diese A u s d r ü c k e z u n ä c h s t e t w a s B e s t e c h e n d e s , d a sie s ä m t l i c h d e u t s c h u n d kurz sind. D e n n o c h m u ß m a n bei n ä h e r e m Zusehen g e g e n solche „ V e r b e s s e r u n g e n " b e d e n k h c h w e r d e n . W a r u m ist z. B . eine Strecke i m R ä u m e frei, ein S t a b h i n g e g e n nur längs einer Geraden v e r s c h i e b b a r ? E b e n s o u n b e g r ü n d e t erscheint die freie B e w e g l i c h k e i t des F e l d e s , w ä h r e n d das B l a t t in einer E b e n e k l e b t ; übrigens ist die B e z e i c h n u n g „ F e l d " in der Mechanik längst anderweitig in A n s p r u c h g e n o m m e n . E s fehlt also diesen A u s d r ü c k e n d o c h schließlich die u n m i t t e l b a r e A n s c h a u l i c h k e i t , die sie beanspruchen u n d die ihre B e d e u t u n g auf d e n ersten B l i c k über jeden Zweifel erhöbe. D a sie aber a u c h n i c h t s m e h r v o n der W e r d e g e s c h i c h t e des b e z e i c h ­ n e t e n Begriffes erzählen — w i e e t w a „Linienteil" — , so stellen sie in der T a t nur ein S c h e m a v o n T e r m i n i dar, deren Zugehörigkeit rein m e c h a n i s c h a u s w e n d i g gelernt w e r d e n m u ß . E s dauert eine g a n z e W e i l e , bis m a n u n b e d i n g t sicher m i t i h n e n zu h a n t i e r e n gelernt h a t . Alle diese E i g e n s c h a f t e n der ü b e r z e u g t e n Sektierer wiederholen sich sich n u n bei d e n Quaternionisten, d e n Schülern H a m i l t o n s , z u dessen einschlägigen U n t e r s u c h u n g e n wir u n s j e t z t w e n d e n . E s braucht k a u m n o c h e r w ä h n t z u w e r d e n , d a ß sich natürlich Graßmannianer u n d Quater­ nionisten heftig b e k ä m p f e n , w ä h r e n d jede der Schulen ihrerseits wieder in sich w i l d b e f e h d e n d e U n t e r s c h a t t i e r u n g e n zerfällt. W i l l i a m R o w a n H a m i l t o n w u r d e 1805 in D u b l i n geboren. W i e S a l m o n , n a h m er seinen A u s g a n g v o m T r i n i t y College, das er in früher J u g e n d g l ä n z e n d absolvierte. 1827 schon erhielt er die ehrenvolle u n d b e d e u t e n d e Stellung d e s Direktors der Sternwarte v o n D u n s i n k bei

Hamilton.

183

D u b l i n m i t d e m T i t e l : R o y a l A s t r o n o m e r of Irland, die er bis z u s e i n e m T o d e (1865) inne h a t t e . H a m i l t o n war eine u n g e w ö h n l i c h glänzende, vielseitige B e g a b u n g , die sich schon früh in überraschendster W e i s e bemerkbar m a c h t e . Mit 10 Jahren k o n n t e er den H o m e r auswendig, b e g a n n Arabisch u n d Sanskrit z u studieren; wenige Jahre später b e s a ß er die K e n n t n i s u n d Beherrschung v o n 13 Sprachen. D a b e i neigte er ebenso stark nach künstlerischer S e i t e ; er war bis in späte Jahre ein recht fruchtbarer Dichter, der durch sein L e b e n m i t W o r d s w o r t h in enger freundschaftUcher B e z i e h u n g stand. — W e r sich näher für H a m i l t o n s eigenartige Veranlagung u n d E n t w i c k l u n g interessiert, wird Freude finden an der dicken dreibändigen Biographie v o n R. P. Graves (1882—89), die j e d o c h , v o n e i n e m N i c h t m a t h e m a t i k e r geschrieben, m e h r d e m Menschen H a m i l t o n als d e m Forscher gerecht wird. Ü b e r das E n d e H a m i l t o n s s t e h t dort nichts Genaueres. W i e m a n mir in D u b h n erzählte, war er in den l e t z t e n Jahren seines L e b e n s wunderlich, w e n n nicht gar g e s t ö r t ; offenbar h a t sich sein allzu früh entwickelter Geist b a l d über­ anstrengt u n d ist eher, als die Jahre v e r m u t e n ließen, aufgebraucht g e w e s e n . A u c h die G e s a m t l e i s t u n g H a m i l t o n s läßt auf eine solche E n t w i c k l u n g schließen: i m m e r wieder finden sich neue geistvolle A n ­ sätze, die sich d a n n in E i n z e l h e i t e n verlieren, ohne z u einer v o l l e n , a b g e r u n d e t e n Leistung auszureifen. W i e alles Übrige, so b e g i n n t auch die m a t h e m a t i s c h e P r o d u k t i o n bei H a m i l t o n sehr frühzeitig. V o n 1 8 2 4 — 3 5 e t w a beschäftigen ihn Probleme der g e o m e t r i s c h e n Optik u n d der a n a l y t i s c h e n Mechanik. Seine L e i s t u n g e n auf diesen Gebieten werden wir später in die B e t r a c h ­ t u n g ziehen. V o n 1833 a n vertieft er sich d a n n mehr u n d m e h r in das W e s e n d e s algebraischen A l g o r i t h m u s . Zunächst tritt er m i t G e d a n k e n in dieser R i c h t u n g hervor in einer A b h a n d l u n g in B d . 17 der Transactions der R o y a l Irish A c a d e m y v o n 1833 u n d 1835 (S. 2 9 3 f f . ) : Theory of conjugate functions or Algebric Couples; with α preliminary and elemen­ tar y essay on Algebra as the Science οf pure time. W i e der T i t e l a n d e u t e t , wird hier der Zahlbegriff gefaßt als e t w a s , für das die Zeit w i c h t i g ist, nicht der R a u m , weil es sich z u n ä c h s t nur u m die Idee der b l o ß e n Aufeinanderfolge h a n d e l t — ein Gedanke, der a n K a n t anknüpft, den aber H a m i l t o n noch weiter verfolgt. D a s Quan­ t i t a t i v e , R ä u m l i c h e , tritt n a c h H a m i l t o n s A n s i c h t erst bei Differenzen­ b i l d u n g in das VorsteUungsmaterial hinein, w o d u r c h d a n n die Operation des Messens ermöglicht ist. D e s weiteren setzt sich die Schrift aus­ einander m i t den k o m p l e x e n Zahlen χ + iy, das R e c h n e n m i t ihnen wird — w i e es ja h e u t e überall geschieht — gerechtfertigt als ein Ope­ rieren m i t Zahlenpaaren [x, y) nach vereinbarten Rechenregeln. E s s c h h e ß e n sich hieran allgemeine a x i o m a t i s c h e B e t r a c h t u n g e n über das

184

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

g e w ö h n l i c h e R e c h n e n in ähnlicher W e i s e , w i e G r a ß m a n n sie später anstellte. V o n hier aus e n t w i c k e l t e sich n u n bei H a m i l t o n das größte Interesse an der Fragestellung, o b m a n die nützliche, geometrische Interpretation des R e c h n e n s m i t χ + iy in der E b e n e nicht irgendwie — durch Schaf­ fung neuer k o m p l e x e r Zahlen — auf den R a u m , d. h. unsern g e w ö h n ­ lichen 7^3, übertragen könne. Seine u n e r m ü d h c h e n A n s t r e n g u n g e n führen ü m endlich 1843 zur Erfindung der Quaternionen, d. h. geeigneter viergliedriger Zahlen, deren Erforschung u n d Verbreitung er sich fortan ausschließhch w i d m e t e . Ihre Theorie legte er dar in den b e i d e n a u s ­ führlichen W e r k e n : Lectures on Quaternions, D u b l i n 1853 Elements on Quaternions, L o n d o n 1866 (posthum) ^). Sehr b a l d w u r d e n die Quaternionen in D u b l i n ein aües andere über­ ragender G e g e n s t a n d des m a t h e m a t i s c h e n Interesses, ja sogar ein offi­ zielles E x a m e n s f a c h , o h n e dessen K e n n t n i s keine A b s o l v i e r u n g des CoUege m e h r denkbar war. H a m ü t o n selbst g e s t a l t e t e sie für sich z u einer Art o r t h o d o x e r Lehre des m a t h e m a t i s c h e n Credo, in die er alle s e m e g e o m e t r i s c h e n u n d sonstigen Interessen h i n e i n z w a n g , je m e h r sich g e g e n E n d e seines L e b e n s sein Geist vereinseitigte u n d unter den F o l g e n d e s A l k o h o l s verdüsterte. W i e ich schon a n d e u t e t e , schloß sich an H a m i l t o n eine Schule a n , die üiren Meister an Starrheit u n d Intoleranz noch überbot. Sie w a r geeignet, G e g e n s t r ö m u n g e n hervorzurufen, u n d so wurden d e n n d i e Quaternionen z. B . in D e u t s c h l a n d v o n der Mehrzahl der M a t h e m a t i k e r h a r t n ä c k i g abgelehnt, bis sie auf d e m U m w e g über die P h y s i k in F o r m der v o r a l l e m in der D y n a m i k u n e n t b e h r h c h e n Vektoranalysis d e n n o c h eindrangen. S o ü e n wir h e u t e ein U r t e ü über sie a b g e b e n , so w ä r e e t w a z u s a g e n : D i e Quaternionen sind g u t u n d brauchbar a n ihrem P l a t z e ; sie reichen aber in ihrer B e d e u t u n g an die g e w ö h n l i c h e n k o m p l e x e n Z a h l e n n i c h t heran. W e n n ich n u n e t w a s ausführlicher über Quaternionen berichte in der Art, w i e ich mir diese D i n g e i m Laufe der Jahre überlegt h a b e u n d a n k n ü p f e n d an u n s geläufige Ideen, so bin ich mir b e w u ß t , nicht nur i m schärfsten G e g e n s a t z z u den H a m i l t o n i a n e r n zu s t e h e n , deren Meister seiner Erfindung ein so g a n z anderes G e w a n d g a b ; ich weiß vielmehr, d a ß mir jene P a r t e i n o c h h e u t e d a s R e c h t bestreitet, das, w a s i c h a n d e u t e n m ö c h t e (und w a s ich ausführlicher in H e f t 1 der Kreiseltheorie^) darlegte), überhaupt als Quaternionen z u b e z e i c h n e n . V o n der Vergeblichkeit eines Verständigungsversuches h a b e ich m i c h z u oft überzeugt, als d a ß ich diese E i n w ä n d e n o c h irgendwie berücksich­ tigen könnte. 1) Deutsch von P. Glan, Leipzig, 1881. η K l e i n - S o m m e r f e l d : Über die Theorie des Kreisels Heft 1, Kap. I § 7 .

Die Quaternionen.

185

I c h gehe aus v o n der geometrischen B e d e u t u n g der Zahlen χ + iy in der E b e n e . W i e b e k a n n t , b e d e u t e t χ + iy sowohl den P u n k t x, y als auch die Verbindungsstrecke v o n O bis zu d i e s e m P u n k t e . D i e A d d i {x + iy) + {a + ih)^{x+a)

+

i[y+h)

s t e h t sich dar als eine Streckenaddition n a c h R i c h t u n g u n d Größe, also als eine Parallelverschiebung der ganzen E b e n e u m die Strecke a + ih. D i e Multiplikation schließhch [x-^iy).[a

+ ih)^{x

+

iy)'Q'e^^

verursacht eine D r e h u n g der E b e n e u m O u m den W i n k e l φ bei gleich­ zeitiger Vergrößerung sämtlicher Strecken i m Verhältnis 1 : ρ, also eine Ähnlichkeitstransformation u n d D r e h u n g , oder wie wir kurz sagen, eine D r e h s t r e c k u n g . A d d i t i o n u n d Multiplikation umfassen also z u s a m m e n die G e s a m t ­ h e i t der in der E b e n e m ö g l i c h e n B e w e g u n g e n , ja sie gehen durch die Veränderung 1 : ρ sogar darüber hinaus. V o n diesen B e t r a c h t u n g e n aus ergibt sich die z w e c k m ä ß i g e V e r w e n d u n g des algebraischen R e c h ­ n e n s m i t unseren g e m e i n e n k o m p l e x e n Zahlen bei F r a g e n der m e t r i s c h e n Geometrie. E s fragt sich n u n , wie i m R ä u m e die e n t s p r e c h e n d e n Transforma­ t i o n e n durch das R e c h n e n m i t irgendwelchen k o m p l e x e n Zahlen höherer Art dargesteUt werden k ö n n e n . Zunächst m ö c h t e m a n einen dreig h e d r i g e n Ausdruck a n s e t z e n : ix + jy + kz s o h einen R a u m p u n k t b e z e i c h n e n oder die Strecke — wir sagen: den V e k t o r — v o n O z u m P u n k t e x, y, ζ hin. (Der Ausdruck „ V e k t o r " erscheint zuerst bei H a ­ m i l t o n , Quarterly Journal B d . I, 1845, S. 56). W i e in der E b e n e , stellt die A d d i t i o n zweier solcher V e k t o r e n eine Parallelverschiebung des R a u m e s dar. Anders aber h e g e n die Ver­ hältnisse b e i der Multiplikation. Zu ehier D r e h u n g u m den N u l l p u n k t m u ß n ä m l i c h i m R ä u m e eine Achse festgelegt werden, u n d daher w i r d die D r e h s t r e c k u n g , welche in der E b e n e z w e i K o n s t a n t e n erforderte, i m R ä u m e erst durch v i e r P a r a m e t e r festgelegt: zwei auf die R i c h t u n g der Drehachse k o m m e n d : cos α, cos)S, cos w o b e i COS^ α + cos^ β + cos^ y ist; eine auf den D r e h w i n k e l ω ; eine auf die Streckung Ύ. H a m i l t o n steht n u n ein vierghedriges Aggregat z u s a m m e n , eine Quaternion: y cos

+ ir sm | cos « =

-f jr sin | c o s ^ + kr sin | c o s γ

t + ix + jy +

kz.

D e n rein numerischen Teil t dieser Quaternion bezeichnet er als

Skalar-

186

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

teil, d e n g e r i c h t e t e n Teil ix+jy

+ kz als Vektorteil

D e r reine V e k t o r

ist g e g e b e n durch r cos ^ == O; er b e k o m m t also in dieser Theorie eine d o p p e l t e B e d e u t u n g : 1. als Strecke, 2 . als eine D r e h s t r e c k u n g m i t e i n e m D r e h w i n k e l v o n 180®, die wir k o n s e q u e n t als „ K l a p p s t r e c k u n g " b e ­ zeichnen. D i e z w e i t e B e d e u t u n g erklärt n o c h einmal, w a r u m zur D a r s t e l l u n g der aUgemeinen D r e h s t r e c k u n g i m R ä u m e der dreigliedrige Ausdruck des reinen V e k t o r s n i c h t gentigt. E r k a n n i m m e r nur eine D r e h u n g u m 180® b e w i r k e n ; ftir d e n b e h e b i g e n D r e h u n g s w i n k e l ist die Quater­ n i o n m i t ihrem Skalarteil nötig. Sehr merkwtirdig ist, d a ß das P r o b l e m der allgemeinen D r e h s t r e c k u n g des R a u m e s , d. h. der Z u s a m m e n s e t z u n g zweier D r e h s t r e c k u n g e n v o n g a n z a n d e r e m A u s g a n g s p u n k t e aus fast gleichzeitig (1840) gelöst w u r d e v o n O l i n d e R o d r i g u e s in Liouvilles Journal B d . 3. Aber n o c h viel m e h r m u ß es tiberraschen, d a ß es G a u ß bereits 1819 b e s a ß , w i e u n s der N a c h l a ß lehrt, der N o t i z e n tiber diese v o n i h m als „ M u t a t i o n des R a u m e s " b e z e i c h n e t e Transformation e n t h ä l t (veröffenthebt in B d . 8 der W e r k e , S. 357 ff.) ^). W ä h r e n d aber diese A u t o r e n zwei D r e h s t r e c k u n g e n auf Grund g e o ­ metrischer B e t r a c h t u n g e n z u s a m m e n s e t z e n , kntipft n u n H a m i l t o n a n die formale Multiplikation seiner Quaternionen an, die er g e w i s s e n R e g e l n unterwirft. W i e G r a ß m a n n , g i b t auch er das k o m m u t a t i v e Gesetz auf u n d schreibt v o r :

r = r=-ife'=- - 1 , Jk=^i,

ki=i,

kj=—i,

ik^—j,

ii =

k, ii=—k.

1) Man vgl. hierüber P. S t ä c k e l in Gauß' Werken Bd. JO, 2 Abh. IV S. 68, sowie auch E. S t u d y Enzyklop. I A 4, S. 173. Ferner schreibt S t ä c k e l unter dem 28. 4. I9I7 an Klein über die MultipUkationsformeln von S. 187: „Euler h a t sie bei der Untersuchung des Fermatschen Problems: eine ganze Zahl als Summe von vier Quadraten darzustellen gefunden und am 4. Mai 1748 an Goldbach mitgeteilt, Corresp. t. I, S. 452. Sie finden sich dann in der Abhandlung: Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum esse summam quatuor quadratorum, Novi Comment. Petrop. 5 (1754/5) 1760, § 93, Opera I 2, S. 369; vgl. auch Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata, Nova Acta Petrop. 1777, II, 1780, Opera I 3, S. 229 (§ 9). Ganz besonders aber ist zu nennen die Abhandlung Eulers: Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile, Novi Comment. Petrop. 15 (1770) I77I, in der Euler die orthogonalen Substitutionen von 3, 4, 5 Veränderlichen bestimmt und dabei auch die [obigen] Relationen entwickelt. Sie ahnen gewiß wie ich darauf komme: es handelt sich um die Mutationsskala von Gauß in meinem Kapitel über die komplexen Großen [I.e.], mit dem ich gerade be­ schäftigt bin. Dabei lege ich einen gewissen Wert auf die Eulerschen Formeln, weil sich immer mehr herausstellt, wie gut Gauß seinen Euler gekannt h a t . . Anm. d. Herausg.

Die Quaternionen.

187

I m übrigen multipliziert er distributiv, so d a ß er erhält: ^d + ia + jb + kc)^{t + ix + iy+kz) = dt-ax - b y - c z + i{at + dx + bz - cy) + y (pt + dy + cx-az) + k {et + dz + ay ^ bx). A l s d a s P r o d u k t zweier V e k t o r e n ergibt sich i m besonderen: {ia-^jb + kc)>(ix + iy + kz) ^^^ax^by-^cz) + i{bz-cy) + i{cx^az) + k{ay-bx). D e n a b s o l u t e n skalaren T e ü dieser Quaternionen bezeichnet m a n als das innere Produkt der beiden V e k t o r e n , d e n vektorieUen als ihr äußeres Produkt, in der v o n G r a ß m a n n s t a m m e n d e n Terminologie. D a s innere P r o d u k t ist also ein Skalar, das äußere ein Vektor. Ich m ö c h t e hier gleich auf drei wichtige U n t e r s c h i e d e a u f m e r k s a m m a c h e n z w i s c h e n Graßmanns ursprüngUchem k o m b i n a t o r i s c h e n P r o dukt und Hamiltons Ansatz. 1. Bei G r a ß m a n n w e r d e n die P r o d u k t e zweier E i n h e i t e n ¢^•^¾ nicht auf die E i n h e i t e n ei selbst zurückgeführt; hier h i n g e g e n sind die P r o d u k t e selbst lineare F u n k t i o n e n der ursprünglichen E i n h e i t e n . E i n h e i t e n höherer Stufe treten n i c h t auf. D i e Fragestellung n a c h der Aufz ä h l u n g geeigneter S y s t e m e höherer k o m p l e x e r Zahlen wird dadurch eine e t w a s andere. Man k a n n sich einen K a l k ü l der Quaternionen d e n k e n , b e s t e h e n d aus beliebiger Wiederholung der A d d i t i o n u n d Multiplikation, der in d e m G r a ß m a n n s c h e n S y s t e m undurchführbar wäre. 2. G r a ß m a n n ist v o n vornherein geleitet v o n d e m Interesse für den w-dimensionalen R a u m , w a s bei H a m i l t o n g a n z fehlt. 3. H a m i l t o n h a t aber w i e d e r u m einen Begriff v o r G r a ß m a n n v o r a u s , der erst die voUe B e d e u t u n g der Quaternionen für die P h y s i k a u s m a c h t , d a s ist der Begriff des Feldes^). H a m i l t o n faßt die Teile der Q u a t e m i o n als F u n k t i o n e n des Ortes auf; er d e n k t sich a n jeden P u n k t des R a u m e s eine Q u a t e m i o n , also ein Skalar u n d einen Vektor, angeheftet. Auf ein solches Q u a t e m i o n e n feld t (x, y, z) + iu (x, y, z) + jv (x, y,z) + kw (x, y, z) w e n d e t er d a n n gewisse Operationen an, w o d u r c h n e u e Felder abgeleitet werden. D i e s e Operationen drückt H a m ü t o n in A n l e h n u n g a n eine in Cambridge besonders ausgebildete Methode durch die sog. „ s y m b o l i s c h e Schreibw e i s e " a u s . E s ist dies eine rein^formale A b k ü r z u n g , in der aUe, z. B . a u c h die d a s Differenzieren a n d e u t e n d e n Zeichen, wie algebraische Größen, geschrieben u n d behandelt werden. So ist es z. B . spezieU in der Cambridger Schule üblich, den T a y l o r s c h e n Satz z u schreiben in der F o r m : fix+ h) ^e -fix), 1) Genau genommen findet sich auch bei Graßmann dieser Begriff (als „Funktion" oder extensive Größe), sogar viel allgemeiner, aber eben darum weniger zugänglich. Aber Hamilton ist von vorneherein metrisch, Graßmann zunächst affin.

188 WO e

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie. nach d e m Gesetz der R e i h e n e n t w i c k l u n g ausgeschrieben z u

denken ist, u n d das darin auftretende Produkt {^^" f{x) tialquotienten

d e n Differen­

b e d e u t e t 1).

I n dieser W e i s e s e t z t n u n H a m i l t o n auch hier sog. s y m b o l i s c h e „Operatoren" aus den partiellen Differentationen nach den Koordi­ n a t e n des F e l d p u n k t e s z u s a m m e n . Der wichtigste ist der v o n H a m i l t o n mit V bezeichnete u n d w e g e n der Ähnlichkeit dieses Zeichens m i t einem alt jüdischen Musikinstrument als „ N a b l a " b e n a n n t e Operator:

Dies N a b l a wird formal behandelt w i e ein V e k t o r ; er ergibt bei A n w e n ­ d u n g auf das Quaternionenfeld o h n e weiteres die wichtigsten, uns aus der Vektoranalysis b e k a n n t e n Begriffe. Ist t ein Skalar, so ist

ein Vektor, „Gradient v o n t'\ welcher an jeder Stelle des F e l d e s Größe u n d R i c h t u n g der g r ö ß t e n Steigung v o n t angibt. Auf d e n V e k t o r iu + jv + kw a n g e w e n d e t , ergibt sich V ( f « + i» + i » , ) - - ( g + g +

g )

+ • i : i - s ) + ' e - s ) + * ( g - s ) D e n Skalar dieser Quaternion bezeichnet m a n als Divergenz des F e l d e s , den V e k t o r als curl (zu deutsch Quirl). D i e außerordentliche physika­ lische B e d e u t u n g dieser Begriffe hier zu erörtern, würde zu weit führen. D i e zweimaHge A n w e n d u n g des Operators V auf ein Skalar führt d a n n zu d e m u n s als — Δ (Delta) b e k a n n t e n Ausdruck, den wir gelegenthch der P o t e n t i a l t h e o r i e wiederholt anführten:

v.<=-.,=-{S+s^S). D i e Leichtigkeit u n d Eleganz, mit der sich hier die w e i t t r a g e n d s t e n T h e o r e m e ergeben, ist in der T a t überraschend, u n d es läßt sich w o h l v o n hier aus die aUes andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr S y s t e m begreifen, die, wie schon erwähnt, n u n bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der M a t h e m a t i k als G a n z e m n o c h der Quaternionentheorie selbst förderlichen W e i s e . E i n ausgebildeter, m i t Scheu u n d Verehrung g e h a n d h a b t e r Formalis1) Diese symbolische Schreibweise geht auf L a g r ä n g e zurück. Vgl.: Sur une nouvelle espece de calcul relativ ä Ia differentiation et l'integration des quantitos variables (1772, oeuvres, t. III, p. 441—476).

Die Quaternionen.

Cayleys Matrixrechnung.

189

m u s , d e m die s y m b o l i s c h e Schreibweise reichhch N a h r u n g g a b , förderte diese E n t w i c k l u n g . Man setzte große Hoffnung auf den nach d e m Muster der g e w ö h n h c h e n M a t h e m a t i k p l a n m ä ß i g fortgesetzten A u s b a u der Theorie. A n den aus den vier Spezies gebildeten Quaternionenkalkül sollte sich eine Algebra m i t ausführhcher Gleichungslehre a n s c h h e ß e n , die m a n durch N u l l s e t z u n g v o n Q u a t e r n i o n e n p o l y n o m e n zu g e w i n n e n s u c h t e . D a s letzte Ziel war — u n d ist — eine quaternionistische F u n k ­ tionentheorie, v o n der m a n g a n z neue, g e w a l t i g e umfassende Auf­ schlüsse für die g e s a m t e M a t h e m a t i k erhoffte. Zur Förderung dieser zwar nicht d e u t h c h e n , aber gläubig a n g e n o m m e n e n Ziele wurde gar 1895 ein „ W e l t b u n d zur Förderung der Quaternionen" g e g r ü n d e t ! A b g e s e h e n d a v o n , d a ß m a n i m m e r g u t t u n wird, einer solchen absichth c h e n Pflanzung u n d Z ü c h t u n g eines Wissenschaftszweiges skeptisch g e g e n ü b e r z u s t e h e n , k a n n m a n j e t z t schon sagen, daß dies U n t e r n e h m e n als gescheitert oder doch fruchtlos zu g e l t e n h a t . D i e Verfolgung des a n g e g e b e n e n W e g e s — der n e u sein will, obwohl er t a t s ä c h h c h nur eine peinhch g e n a u e Ü b e r t r a g u n g längst b e k a n n t e r G e d a n k e n auf ein ein­ ziges neues Objekt, also durchaus keine geniale K o n z e p t i o n b e d e u t e t — führt zu allerhand E r w e i t e r u n g e n der b e k a n n t e n Sätze, die in ihrer All­ g e m e i n h e i t das H a u p t c h a r a k t e r i s t i k u m verlieren u n d gegenstandslos werden, allenfalls zu B e s o n d e r h e i t e n , die ein gewisses V e r g n ü g e n g e ­ w ä h r e n m ö g e n . E s existiert z. B . kein F u n d a m e n t a l s a t z der Algebra, dafür aber eine kubische Gleichung, der aUe Quaternionen v o n v o r n ­ herein g e n ü g e n usw. Über der h a r t n ä c k i g e n Verfolgung des v o r g e s e t z t e n W e g e s h a b e n aber die Quaternionisten tiefen liegende Probleme v o n w a h r h a f t e m Inter­ esse ü b e r s e h e n ; so ist es ihnen aus V o r e i n g e n o m m e n h e i t e n t g a n g e n , d a ß eine höhere E i n s i c h t ein klares Kriterium hefert für die Fruchtbarkeit der A n w e n d u n g ihrer Theorie u n d m i t einer A b g r e n z u n g zugleich einen Wegweiser, der die zu Erfolgen h ä t t e führen m ü s s e n . D i e s e tiefere E i n s i c h t in die Verhältnisse v e r d a n k e n wir Cayley. I n „A Memoir on the Theory of Matrices'' (Phü. Trans. 1858) e n t w i c k e l t er einen Matrixkalkül, der in B e h a n d l u n g v o n 4-, 9-, 16-, . . .gliedrigen k o m p l e x e n Zahlen die Quaternionen als Spezialfall u m f a ß t . D i e R e c h ­ n u n g s c h h e ß t sich a n die sehr einfache Idee an, m i t den bei linearen S u b ­ s t i t u t i o n e n auftretenden Matrices zu rechnen n a c h d e n R e g e l n , welche die Theorie der linearen S u b s t i t u t i o n e n an die H a n d gibt. D . h. zwei Matrizes werden addiert, i n d e m m a n ihre Glieder addiert

J

)

Sie werden multipliziert, i n d e m m a n die durch sie repräsentierten S u b -

190

IV. Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie.

s t i t u t i o n e n hintereinander a n w e n d e t , also n a c h d e m b e k a n n t e n D e t e r minantenmultiphkationssatz. I m Falle w = 2 : ία

ß\

Ia^

ß^^/ac^

+ ß/

In diesem Multiphkationsgesetz

aß^ +

ßd\

ist n u n d a s der

Quaternionen

als

SpezialfaU e n t h a l t e n . Setzt man nämhch, unter

i die

gewöhnliche

1 verstanden:

C ^ ( J : : : :-";:)· w o d u r c h die D e t e r m i n a n t e α δ — β γ in a'+ wird, u n d e n t s p r e c h e n d :

h'^ + c' +- d"^ v e r w a n d e l t

c; :-)=(-::;:

u n d multiphziert n a c h d e m a n g e g e b e n e n Gesetz u n t e r B e r ü c k s i c h t i g u n g der Rechenregel

^ — 1, s o ergibt sich eine n e u e Matrix v o n der ^^^/ V

^j^iA

W

\ - B

w o die vier Größen Α,ΒΧ,Ό

B +

+ iC

iC\ D-iAJ'

die B e d e u t u n g h a b e n :

A=dx

+ at

B ^ d y - a z C =dz

+ b z ^ c y , + bt +

+

cx,

ay^bx+ct,

D--=dt~ax~by-cz. Man h a t also i n der T a t aus d e n b e i d e n Quaternionen d + ia+jb u n d t + ix+jy

+ kz

die Quaternion D + iA +jB

+ kC

+

kc

gebildet,

die n a c h der H a m ü t o n s c h e n M u l t i p h k a t i o n daraus e n t s t a n d e n wäre. D i e s e s z u n ä c h s t überraschende R e s u l t a t läßt sich b e i näherer Ü b e r ­ legung aus d e m W e s e n der g e o m e t r i s c h g e g e b e n e n Verhältnisse sehr wohl verstehen.

E s ergibt sich n ä m h c h , daß d a s Charakteristikum für

die fruchtbare A n w e n d u n g der Quaternionen d a s Auftreten einer binären hnearen S u b s t i t u t i o n ist.

I n der T a t b e d e u t e t d a s R e c h n e n m i t Qua­

ternionen n i c h t s anderes als d a s Operieren m i t solchen S u b s t i t u t i o n e n . A u s d i e s e m Grunde s i n d die Quaternionen bei einer D r e h s t r e c k u n g des R a u m e s sehr w o h l a m P l a t z e . W i e b e k a n n t , l ä ß t diese Transformation den imaginären Kugelkreis unverändert, d. h. ein Gebilde, dessen P u n k t e sich durch e i n e n P a r a m e t e r λ rational darstellen lassen. h o m o g e n ^i=

so

erleiden

die Ai.Ag bei

Schreibt m a n

einer D r e h s t r e c k u n g

des

R a u m e s in der T a t e i n e binäre lineare S u b s t i t u t i o n . Ä h n h c h l ä ß t sich die glänzende A n w e n d b a r k e i t der in

der R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e

verstehen.

Eine

Fläche

Quaternionen

zweiten

Grades

Klassische Mechanik. +

+

—

= Oim

191

ist hier das invariant bleibende Gebilde. E s

trägt z w e i Scharen v o n Geraden, die jede für sich durch einen Parameter A = ~ und

= ~

dargesteUt

m e t e r A = ζ u n d /^ = ^

werden

können.

Jeder

dieser Para­

erleidet b e i der Drehstreckung für sich eine

binäre lineare Substitution^).

Fünftes

Kapitel.

M e c h a n i k u n d m a t h e m a t i s c h e P h y s i k in Deutschland und England bis e t w a l880. Mechanik. W ä h r e n d wir gelegentlich der Ausdehnungslehre u n d der Quaternionentheorie die E n t w i c k l u n g schon berührten,, welche die g e o m e ­ trischen Grundbegriffe der Mechanik starrer Körper erfahren h a b e n , h a n d e l t es sich hier i m ersten T e ü dieses K a p i t e l s u m die Weiterbildung der aUgemeinen analytischen Mechanüc, wie sie v o n Lagrange in klas­ sischer W e i s e ausgestaltet war, n ä m l i c h der Lehre v o n d e n Differential­ gleichungen u n d d e n B a h n k u r v e n beliebiger mechanischer S y s t e m e . U m einige A n k n ü p f u n g s p u n k t e z u h a b e n , gebe ich hier eine kurze Aufzählung der w i c h t i g s t e n seit L a g r a n g e üblichen A n s ä t z e , w o b e i ich m i c h jedoch auf F ä l l e v o n mäßiger A l l g e m e i n h e i t beschränke u n d m i c h übrigens m o d e m e r Terminologie bediene. E s sei ein S y s t e m v o n η Freiheitsgraden gegeben, w i e m a n z u s a g e n pflegt, d. h. seine Lage z u jeder Zeit sei durch η unabhängige Para­ m e t e r q^i^q^, ' ' ',qn voUständig b e s t i m m t . D i e B e w e g u n g wird d a n n beschrieben m i t H ü f e der b e i d e n w i c h t i g e n Größen: 1. Lebendige Kraft oder kinetische Energie T = Σ^αβ Ausdruck sind die ¢ = ^

ka kß- I n d i e s e m

die Änderungsgeschwindigkeiten der q\ die

α sind gewisse F u n k t i o n e n der q. 2. Kräftefunktion oder potentielle Energie 17, w o b e i ich b e m e r k e , d a ß die h e u t e als Kräftefunktion übliche Größe das n e g a t i v e der früher v e r w e n d e t e n darstellt, w o d u r c h die I d e n t i t ä t m i t der potentiellen Energie erreicht wird. D i e b e i d e n Größen T u n d U sind für ein abgeschlossenes, äußeren Kräften nicht unterliegendes S y s t e m v o n der Zeit t explizite u n a b ­ h ä n g i g ; die B e w e g u n g wird d a n n beschrieben durch die sog. Lagrangeschen Vgl. hierzu K l e i n : Ges. Abh. Bd. 1. Nr. X X X , S. 533ff.

ν . Mechanik und Physik. Gleichungen die unter E m f ü h r u n g der „ I m p u l s k o m p o n e n t e n "

lauten: ^Pg ^ dT dt "-ß^\

dU dq/

Zu d e m Ausdruck rechts k a n n eventuell n o c h die Größe + P « treten, falls nämlich äußere Kräfte v o r h a n d e n sind, die wir u n s e t w a als gegebene F u n k t i o n e n der Zeit denken m ö g e n . E i n e e t w a s andere Gestalt n e h m e n die Gleichungen a n durch Einführung der sog. „Lagrangeschen F u n k L = T - U . D a U v o n den q„ u n a b h ä n g i g ist, so erhält m a n

E s ist n u n ein H a u p t s t ü c k aUer analytischen Mechanik, die ganze Trag­ w e i t e u n d den inhalthchen R e i c h t u m dieser Gleichungen zu verstehen u m i m konkreten Einzelfall d a v o n Gebrauch m a c h e n zu können. Als ein Integral der Gleichung • ^

gg«^ar dt ~-dq^

du Bq^

ergibt sich der Energiesatz T+U ^h== const oder, w e n n äußere Kräfte v o r h a n d e n sind: T+U^h + J Padt, ein Satz, der durch seine fundamentale B e d e u t u n g die ganze Mechanik beherrscht. D i e s e B e z i e h u n g e n u n d ihre VeraUgemeinerungen, die ich hier nicht näher behandeln kann, werden n u n auch häufig abgeleitet aus sog. Variationsprinzipen] sie gehen s t a t t v o n den Differentialgleichungen v o n gewissen Integralen aus, die einen Minimalwert oder „stationären'' W e r t a n n e h m e n müssen, eine B e d i n g u n g , die durch das NuUsetzen ihrer m b e s t i m m t e r W e i s e genauer angegebenen ersten Variation aus­ gedrückt w k d . I c h erwähne hier drei derartige A n s ä t z e , die u n s i m folgenden öfter b e g e g n e n werden. 1. D i e Lagrangeschen Gleichungen erwachsen u n m i t t e l b a r aus d e m Variationsproblem . ö[Ldt^O (bei festgehaltenen Grenzen). Merkwürdigerweise s t e h t dieser A n s a t z bei Lagrange nur zwischen den Zeilen; es k o n n t e sich daher die seltsame

Klassische Mechanik.

193

T a t s a c h e e n t w i c k e l n , d a ß diese B e z i e h u n g in D e u t s c h l a n d — h a u p t ­ sächlich durch J a c o b i s W i r k e n — u n d dadurch auch in F r a n k r e i c h aU­ g e m e i n a l s Hamütonsches

Prinzip

b e z e i c h n e t wird, w ä h r e n d in E n g l a n d

n i e m a n d diese A u s d r u c k s w e i s e v e r s t e h t ; dort b e n e n n t m a n die Gleichung v i e l m e h r m i t e i n e m korrekten aber u n a n s c h a u l i c h e n N a m e n als der stationären

Prinzip

Wirkung.

2. D a s v i e l v e r b r e i t e t e

„Prinzip

der kleinsten

Wirkung"

i s t eine

andere, v o n L a g r a n g e b e v o r z u g t e F a s s u n g , d i e er b e i B e g i n n Studien 1759 vorfand.

seiner

I m 18. J a h r h u n d e r t w a n d t e m a n d i e s e m P r i n z i p

b e s o n d e r s v o n phUosophischer Seite lebhaftes Interesse z u , i n d e m m a n i h m als B e l e g ftir eine teleologische W e l t o r d n u n g große B e d e u t u n g z u ­ schrieb.

B e s o n d e r s M a u p e r t u i s wäre hier z u n e n n e n .

D i e F o r m d e s P r i n z i p s ergibt sich a u s der ersten durch

Kombi­

n a t i o n der G l e i c h u n g e n :

E s wird also iLdt=:^S^Tdt-h{t,~t,) u n d als V a r i a t i o n s p r o b l e m ergibt sich Δ J 2Tdt=^0, T +U

w o aber j e t z t

= h als N e b e n b e d i n g u n g z u b e r ü c k s i c h t i g e n ist, s o d a ß zwar

QL, . . .,QL u n d QL, . . .,QL als Grenzen f e s t g e h a l t e n aber n i c h t t^ b z w . tK alters her als „actio"

D a s I n t e g r a l J2Tdt

werden

können,

ist n u n d a s , w a s m a n seit

= W i r k u n g b e z e i c h n e t , w o h e r sich der N a m e d e s

Prinzips, d a s s o v i e l

über

das zweckmäßig

ö k o n o m i s c h e W e s e n der

N a t u r a u s s a g e n sollte, erklärt. 3. I n neuerer Zeit g e w a n n d a s Prinzip w i e d e r u m eine andere, b e d e u ­ t u n g s v o l l e G e s t a l t durch J a c o b i , der die Zeit t v o l l e n d s eliminierte. E r schrieb T=^h-U=^iT{h^U) u n d erhielt

I n dieser F o r m legt d a s P r i n z i p natürlich n u r die B a h n k u r v e

fest,

n i c h t die Zeit, in der sie durchlaufen wird. WiU m a n in diesem

„Jacobischen

W e i s e iZ(IAßDQADQß==1~ds^=ds

Prinzip"

nach

Riemannscher

als B o g e n e l e m e n t auffassen i n e i n e m

n-dimensionalen R a u m , s o ergibt sich schheßlich ÖJ

VDS=^O,

w o V n u n die G e s c h w i n d i g k e i t eines i m n-dimensionalen R a u m b e w e g t e n P u n k t e s b e d e u t e t , der für d a s m e c h a n i s c h e P r o b l e m ein übersichtliches geometrisches

G e g e n b i l d darstellt.

I n dieser l e t z t e n Itorm w i r d u n s

d a s P r m z i p für d a s F o l g e n d e b e q u e m sein.

Klein, Entwicklung der Mathematik.

13

ν.

194

Mechanik und Physik.

W i r kehren n u n z u r ü c k z u H a m i l t o n u n d s e i n e n L e i s t u n g e n auf d e m G e b i e t e der Mechanik. E s m a g überraschen, d a ß seine n a c h dieser R i c h t u n g l i e g e n d e n F o r t s c h r i t t e nur F o l g e n seiner A r b e i t e n auf e i n e m a n d e r e n w e i t spezieUeren Gebiete sind, n ä m h c h auf d e m der geometrischen Optik, w i e H a m i l t o n s a g t : „ t h e o r y of r a y s . " Z u dieser Theorie, w e l c h e die P r o b l e m e der V e r b r e i t u n g v o n L i c h t s t r a h l e n i n d u r c h s i c h t i g e n Medien o h n e R ü c k s i c h t auf I n t e n s i t ä t , WeUenlänge, Polarisation u s w . b e h a n d e l t , heferte H a m i l t o n B e i t r ä g e i n vier g r u n d l e g e n d e n A u f s ä t z e n in d e n T r a n s a c t i o n s der R o y a l Irish A c a d e m y : B d . 15. On Systems of rays (datiert 1824, B a n d v o n 1828), B d . 16. Supplemente I und II (datiert 1830, B a n d v o n 1833), B d . 17. Supplement III (datiert 1 8 3 2 , B a n d v o n 1837). D i e s e A b h a n d l u n g e n s i n d i n ihrer F o r m alles andere als t a d e U o s ; in unübersichtlicher, u n g e s c h i c k t e r A n o r d n u n g , v o l l unausgeführter A n ­ d e u t u n g e n u n d W i e d e r h o l u n g e n , b i e t e n sie d e n n o c h einen großen Ge­ d a n k e n r e i c h t u m dar. D a s Ziel, das H a m i l t o n verfolgte, w a r d a s V e r s t ä n d n i s u n d die V e r v o U k o m m n u n g der o p t i s c h e n I n s t r u m e n t e ; d a r u m ist a u c h , w e n n er v o n o p t i s c h e n Medien spricht, in erster Linie a n eine diskontinuierliche R e i h e n f o l g e verschiedener g e s c h i c h t e t e r h o m o g e n e r isotroper K ö r p e r z u d e n k e n , die e v e n t u e U m i t s p i e g e l n d e n F l ä c h e n a n e n i a n d e r g r e n z e n ; in z w e i t e r Linie v i e l l e i c h t a n ein M e d i u m m i t k o n t i n u i e r h c h w e c h s e l n d e r D i c h t e , w i e e t w a die A t m o s p h ä r e . U m n u n z u v e r s t e h e n inwiefern d a s P r o b l e m d e s S t r a h l e n g a n g e s ni derartigen Medien m i t Mechanik i n Z u s a m m e n h a n g s t e h t , m ü s s e n wir u n s auf d e n S t a n d p u n k t der E m i s s i o n s t h e o r i e d e s L i c h t e s s t e l l e n . D i e a u s g e s c h l e u d e r t e n L i c h t t e i l c h e n w e r d e n w i e g e w ö h n h c h e Massen­ t e i l c h e n b e h a n d e l t . Macht m a n d e n A n s a t z , d a ß ihre B e w e g u n g eine im einzelnen h o m o g e n e n Medium konstante Kräftefunktion U besitzt, die i m d i c h t e r e n M e d i u m d e n kleineren W e r t a n n i m m t , s o ergibt sich ein i m h o m o g e n e n M e d i u m gerader Lichtstrahl, der a n der Grenze g e n a u n a c h d e m d u r c h die E r f a h r u n g g e g e b e n e n Snelliusschen B r e c h u n g s g e s e t z seine R i c h t u n g ändert. D a s ist N e w t o n s e m i s s i v e L i c h t t h e o r i e , n u r w i e d e r in moderner A u s d r u c k w e i s e vorgetragen. F ü r die G e s c h w i n d i g k e i t d e s Strahles ν (nicht z u v e r w e c h s e l n m i t d e m in der U n d u l a t i o n s t h e o r i e ü b h c h e n ν — vgl. S. 195f.) b e s t e h t d a n n die B e z i e h u n g ^ w o C die

Lichtgeschwindigkeit

im

leeren R a u m , η

den

Brechungs­

exponenten bedeutet. A n d i e s e m speziellen F a l l einer B e w e g u n g h a t m a n n u n zuerst d a s P r i n z i p der k l e n i s t e n W k k u n g erkannt u n d aufgestellt, u n d zwar e n t ­ s p r e c h e n d der l e t z t e n o b e n a n g e g e b e n e n F a s s u n g , in der F o r m 6^S

VdS=^O.

Hamilton; Optik und Mecbanik.

195

E s wurde v o n F e r m a t zuerst ausgesprochen u n d n a c h i h m als „ F e r m a t s c h e s Prinzip** bezeichnet. Selbstverständlich h a t t e die B e d i n g u n g bei F e r m a t n o c h nicht diese G e s t a l t ; s t a t t ν s e t z t e er den B r e c h u n g s ­ i n d e x η selbst ein, an Stelle des Integrals s t a n d ein S u m m e n z e i c h e n , u n d die Variationsbezeichnung war ersetzt durch die Forderung, daß die S u m m e unter gleichzeitiger Erfüllung der jeweiligen N e b e n b e d i n g u n g e n e i n M i n i m u m werde. A n diese A n s ä t z e k n ü p f t H a m i l t o n an. E h e ich aber seine H a u p t ­ leistung genauer angebe, m ö c h t e ich einen P u n k t v o r w e g n e h m e n , der bei H a m i l t o n nur w i e beüäufig i m dritten S u p p l e m e n t auftritt, d e m er aber einen w e i t h i n v e r b r e i t e t e n R u h m v e r d a n k t . In A u s d e h n u n g auf kristallinische Medien verallgemeinerte H a m i l t o n das F e r m a t s c h e Prinzip, i n d e m er ν nicht nur als F u n k t i o n der Orts­ koordinaten X, Z u n d eines v o n i h m beigefügten Farbenparameters χ, „ c h r o m a t i c index**, a n s e t z t e , sondern auch n o c h eine A b h ä n g i g k e i t v o n den R i c h t u n g s k o s i n u s α, j8, γ (wo + + = 1) gegen ein b e v o r ­ z u g t e s A c h s e n s y s t e m d e s Kristalls einführte. D a m i t war i h m der A n s c h l u ß m ö g h c h a n die d a m a l s gerade v o n Fresnel sehr eifrig studierte Lichtverbreitung i n zweiachsigen Kristallen. 1832 b e g i n n t H a m ü t o n , sich e i n g e h e n d m i t der sog. Fresnelschen WeUenfläche zweiachsiger KristaUe z u beschäftigen. A l s erster g e w i n n t er eine klare VorsteUung v o n ihrer geometrischen Gestalt u n d e n t d e c k t die E x i s t e n z v o n vier reeUen D o p p e l p u n k t e n u n d vier l ä n g s ganzer K e g e l s c h n i t t e , n ä m l i c h Kreisen, berührender E b e n e n . V o n dieser E r k e n n t n i s geleitet, s a g t e H a m i l t o n die T a t s a c h e einer zweifachen — inneren u n d äußeren — k o n i s c h e n Refraktion b e i zweiachsigen Kristallen voraus, die d a n n t a t s ä c h l i c h durch seinen physikalischen Kollegen L l o y d 1833 a m Arragonit experimenteU festgestellt wurde, ein T r i u m p h der Theorie, w i e ä h n h c h e nur die A s t r o n o m i e aufzuweisen h a t t e . F ü r den h e u t i g e n Geometer ist die Fresnelsche F l ä c h e kein u n g e w ö h n h c h e s Gebüde m e h r ; sie ist ein SpezialfaU der K u m m e r s c h e n F l ä c h e m i t 16 D o p p e l p u n k t e n u n d 16 D o p p e l e b e n e n , die durch die Art der Reali­ tätsverhältnisse u n d i m übrigen durch gewisse S y m m e t r i e n charakte­ risiert i s t ; wir h a b e n früher v o n dieser K u m m e r s c h e n F l ä c h e i m aUge­ m e i n e n gesprochen (S. 167). So w i c h t i g diese E n t d e c k u n g e n H a m i l t o n s an sich auch sein m ö g e n , s o h a b e n sie doch nichts z u t u n m i t seinem e i g e n t h c h e n Grundgedanken, d e n er in die analytische Mechanik einführte. D i e s e m Grundgedanken k o m m e n w i r näher, w e n n wir das F e r m a t s c h e Prinzip djvds = O durch die in der U n d u l a t i o n s t h e o r i e auftretenden Begriffe ausdrücken u n d u n s die physikalische B e d e u t u n g der so erhaltenen F o r m e l n überlegen. D e r einfacheren D a r s t e l l u n g w e g e n wollen wir u n s auf isotrope Medien beschränken. W ä h r e n d in der E m i s s i o n s t h e o r i e

g a l t : ν = c* n, wo η den 13*

Bre-

ν.

196 chungsindex

bedeutet,

Mechanik und Physik.

ist

die

theorie g e g e b e n durch v' =

Geschwindigkeit v' der E s ist also

Undulations-

= 57 > u n d das Integral

bedeutet, abgesehen v o m Faktor die Zeit, welche die WeUe gebraucht, u m v o m P u n k t e Xq, yQ, Zq n a c h x^, y^, z^ in der R i c h t u n g O -> 1 fortzuschreiten. D a s F e r m a t s c h e Prinzip der kleinsten W i r k u n g v e r w a n d e l t sich also in überraschend einfacher W e i s e in ein „ P r i n z i p der s c h n e l l s t e n Ankunft''. E s ist n u n H a m i l t o n s grundlegender Gedanke, dies F e r m a t s c h e Wirkungsintegral

jvds=^W

als F u n k t i o n W{x^,

, z^; x,,y^,

z^)

seiner G r e n z p u n k t e aufzufassen, also — n a c h d e m m a n seinen W e r t aus der B e d i n g u n g SW = O hei festen G r e n z p u n k t e n berechnet h a t — durch die K o o r d i n a t e n derselben darzustellen.

Diese Funktion W bezeichnet

er als „charakteristische F u n k t i o n ' ' — in P h y s i k b ü c h e r n wird häufig ~ W,

also

C

-

, der „ o p t i s c h e W e g " g e n a n n t — u n d rückt sie in

d e n V o r d e r g r u n d b e i der B e h a n d l u n g aller g e o m e t r i s c h - o p t i s c h e n P r o ­ b l e m e , w i e sie insbesondere b e i B a u u n d B e n u t z u n g optischer I n s t r u ­ m e n t e f o r t w ä h r e n d auftraten. D u r c h diese V o r a n s t e l l u n g wird z u n ä c h s t ein formaler F o r t s c h r i t t erreicht.

Ist nämlich

der Bre^hungsindex des M e d i u m s , i n d e m der

A u s g a n g s p u n k t Xq, y^, Zq h e g t , sind ao, ßo, 7ο die R i c h t u n g s k o s i n u s des v o n Xq, yQ, Zq a u s g e h e n d e n Strahles, u n d sind n^, x^, y^,

a^, ß^,

die

e n t s p r e c h e n d e n W e r t e i m E n d p u n k t e , so ist, w i e H a m ü t o n n a c h w e i s t :

Z u n ä c h s t w e r d e n wir s a g e n : d a s P r o b l e m des Zielens ist hiermit erledigt ; d. h. wir w i s s e n , w i e ao, jSo, 7ο g e w ä h l t w e r d e n m u ß , d a m i t die B a h n d u r c h x^, y^, ^ h i n d u r c h g e h t , u n d zugleich ist die Aufschlagsrichtung, d. h. a^L, ß^, g e g e b e n . Ü b r i g e n s reduzieren sich unsere s e c h s Glei­ c h u n g e n w e g e n der B e d i n g u n g e n al + ß l + y l = l al + ßl + yl=^U auf v i e r . W i r s e h e n , d a ß W z w e i partiellen Differentialgleichungen genügen m u ß :

Die charakteristische Funktion.

Schicksal der Hamiltonschen Arbeiten. 197

W i r k ö n n e n aber a u c h s a g e n : m i t Hilfe der Größe die aus d e m F e r ­ m a t s c h e n Prinzip bei festgehaltenen Grenzen berechnet w o r d e n ist, h a b e n wir eine überaus elegante, übersichthche DarsteUung des g e s a m t e n Strahlenganges i m optischen I n s t r u m e n t . W i r h a b e n n ä m h c h g e n u g Gleichungen, u m bei g e g e b e n e m Xq, Zq, aQ, ßo, Yq beliebige weitere P u n k t e Xi, yi, der B a h n k u r v e u n d die zugehörigen οί^,β^,γ^ fest­ zulegen. Dieser A n s a t z ist H a m i l t o n s eigentliche Leistung. E r n e n n t ihn das „Prinzip der variierenden Wirkung"; vielleicht wäre es n o c h ein­ leuchtender, v o n e i n e m „Prinzip der W i r k u n g s f u n k t i o n ' ' z u sprechen. E s ist dabei w o h l aufzufassen, d a ß dies G l e i c h u n g s s y s t e m nicht e i g e n t h c h e t w a s N e u e s liefert, n i c h t e t w a die B e r e c h m m g d e s Strahlen­ g a n g e s , der v i e l m e h r vorher b e k a n n t sein m u ß , u m das W nur erst aufzustellen. D e r Fortschritt h e g t z u n ä c h s t nur nach formaler Seite, e b e n in der h a n d l i c h e n eleganten L ö s u n g des P r o b l e m s , die alle Zwi­ schenstufen, also die B e t r a c h t u n g des ganzen Prozesses innerhalb des kompliziert z u s a m m e n g e s e t z t e n I n s t n m i e n t e s , vermeidet. Hamüton erklärt selbst, d a ß seine E r f i n d u n g des Prinzips der variierenden W i r ­ k u n g vieUeicht „ n i c h t n ü t z h c h " wäre, aber ein „intellektueUes Ver­ g n ü g e n ' ' gewähre. D e n n o c h ist er m i t dieser Selbstkritik z u b e s c h e i d e n g e w e s e n . D a s Prinzip w e i s t n ä m h c h n a c h anderer Seite über sich hinaus u n d führt zu p o s i t i v n e u e n E r k e n n t n i s s e n , u n d zwar kraft der aUgemeinen F i m k tionseigenschaften d e s W, D i e s e lassen ohne weiteres gewisse p h y s i ­ kalische Gesetze v o n großer B e d e u t u n g erkennen. So folgt aus der T a t ­ s a c h e der U m k e h r b a r k e i t der partiellen Differentation zweiter Stufe dx dx ^ dx dx ^^^· allgemeine Reziprozitätsgesetz der Optik: D a s Vergrößerungsverhältnis eines optischen I n s t r u m e n t e s b l e i b t u n g e ­ ändert, w e n n m a n bei f e s t g e h a l t e n e m I n s t r u m e n t A u g e u n d O b j e k t vertauscht. D i e s e w e n i g e n B e m e r k u n g e n m ö g e n g e n ü g e n , u m die R e i c h h a l t i g ­ keit u n d S c h ö n h e i t der H a m i l t o n s c h e n R e s u l t a t e a n z u d e u t e n . U m so merkwürdiger m u ß die Geschichte dieser E n t d e c k u n g e n a n m u t e n ; es ist ihnen n ä m l i c h auf d e m K o n t i n e n t in keiner W e i s e g e l u n g e n , in e i n e m üurem W e r t e n t s p r e c h e n d e m Maße G e l t u n g z u g e w i n n e n . W ä h ­ r e n d sich, w i e s c h o n b e m e r k t , bei u n s u n d in Frankreich H a m ü t o n s N a m e an d a s Prinzip der kleinsten W i r k u n g OTF == O heftet, das d o c h v i e l älteren U r s p r u n g h a t , ist seine e i g e n t h c h e E r f m d u n g , sein P r i n z i p der variierenden Wirkimg, ü b e r h a u p t n i c h t aufgefaßt w o r d e n ; d a n n aber, d a die Theorie diese G e d a n k e n w e n d u n g v e r l a n g t e , in den verschie­ d e n s t e n , m e i s t v i e l imgeeigneteren F o r m e n w i e d e r e n t d e c k t worden. Große I n s t r u m e n t e n b a u e r , w i e A b b e , k e n n e n es nicht u n d setzen eigene u m s t ä n d l i c h e B e r e c h n u n g e n an die Stelle. V o n d e m A s t r o n o m e n B r u n s

ν.

Mechanik und Physik.

w u r d e o h n e B e z u g n a h m e auf H a m i l t o n eine längere Theorie a u s g e b a u t , in der W d e n h e u t e häufig v e r w e n d e t e n N a m e n „ E i k o n a l " erhielt u s w . D a b e i ist in E n g l a n d die H a m i l t o n s c h e Theorie immer b e k a n n t g e w e s e n , u n d die englischen Schriften s i n d nach D e u t s c h l a n d g e k o m m e n . I c h berufe m i c h hier auf verschiedene A u f s ä t z e v o n M a x w e l l , in denen das W für einzelne einfache Fälle ausgerechnet wird, insbesondere aber auf den Treatise on natural philosophy v o n T h o m s o n a n d T a i t , der 1867 zuerst erschien u n d eine volle D a r l e g u n g der H a m ü t o n s c h e n E n t ­ w i c k l u n g in ihrer B e d e u t u n g auch für die allgemeine Mechanik e n t h ä l t . U n d dieser Treatise w u r d e auf Veranlassung v o n H e l m h o l t z 1871 ins D e u t s c h e übersetzt. D i e E n t d e c k u n g e n H a m i l t o n s in der Mechanik s i n d in der T a t sozusagen nur Korollare seiner o p t i s c h e n G r u n d g e d a n k e n . Aber i n d e m J a c o b i H a m i l t o n s m e c h a n i s c h e R e s u l t a t e aufgriff u n d u n t e r starker N e n n u n g d e s N a m e n s H a m ü t o n n a c h neuer — Jacobischer — R i c h t u n g weiterführte, e n t s t a n d bei J a c o b i s Schülern u n d Lesern der E m d r u c k , als sei H a m ü t o n , w a s Mechanik anbetrifft, nur ein Vorläufer J a c o b i s g e w e s e n . I c h selbst h a b e mir, als ich bei m e i n e n R e i s e n die Sachlage genauer k e n n e n lernte, viele aber vergebliche Mühe g e g e b e n , H a m ü t o n s optische u n d m e c h a n i s c h e R e s u l t a t e in D e u t s c h l a n d b e k a n n t z u m a c h e n . Insbesondere h a b e ich mir i m S o m m e r I 8 9 I d a s V e r g n ü g e n g e m a c h t , i m A n s c h l u ß an H a m ü t o n die ganze Mechanik als eine A r t Optik i m n - d i m e n s i o n a l e n R a u m z u b e h a n d e l n u n d darin die J a c o b i s c h e n W e i t e r ­ b i l d u n g e n e i n g e a r b e i t e t ; i m selben Jahr h a b e ich auf der Naturforscher­ v e r s a m m l u n g in H a l l e über diese D i n g e v o r g e t r a g e n ; die A u s a r b e i t u n g dieser Vorlesung h a t 2 0 Jahre lang i m Göttinger L e s e z i m m e r aufgelegen; V o ß h a t in Artikel I des 4. B a n d e s der E n z y k l o p ä d i e eine richtige Dar­ steUung der Verhältnisse g e g e b e n — alle diese Versuche waren l e t z t e n E n d e s vergeblich. H a m i l t o n s G e d a n k e n in ihrer eigenen, v o n der Optik k o m m e n d e n Gestalt w a r e n u n d blieben u n b e k a n n t in den Kreisen, die a m m e i s t e n Interesse h ä t t e n daran finden m ü s s e n . N u r S t u d y h a t n e u e r d i n g s (Jahresbericht der D . M. V. B d . 14 1905, S. 424ff. „ Ü b e r H a m ü t o n s g e o m e t r i s c h e Optik u n d deren B e z i e h u n g zur Theorie der Berührungstransformationen'') den richtigen S a c h v e r h a l t in neuer F o r m herausgearbeitet ^). E i n Grund für dieses m e r k w ü r d i g e Schicksal der A r b e i t e n m a g g e s u c h t w e r d e n in d e m Ort ihrer VeröffentÜchung. D i e T r a n s a c t i o n s der R o y a l Irish A c a d e m y ist eine in D e u t s c h l a n d u n d Frankreich sehr seltene, schwer z u g ä n g h c h e Zeitschrift. T a t s ä c h l i c h h a b e n H a m ü t o n s 1) Vgl. K l e i n : Ges. Abh. B d . 2 , S. 601f. 2) Indessen noch G. P r a n g e : W. R. Hamiltons Bedeutung für die geometrische Optik, Jahresber. d. D. M. V., Bd. 30 (1921) S. 69ff. und W. R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik, Nova Acta, Abh. d. Leop.-Carol. Deutschen Akad. d. Naturforscher, Bd. 107 Nr. 1, HaUe 1923.

Schicksal der Hamiltonschen Arbeiten.

Kummers Strahlensysteme.

199

A r b e i t e n zur Mechanik, die in den Philosophical Transactions der L o n ­ doner R o y a l S o c i e t y erschienen, viel größere Verbreitung gefunden. A u c h die bereits beschriebene, ungeschickte u n d verworrene Darstel­ lungsweise dieser J u g e n d a r b e i t e n war nicht geeignet, ihnen E i n g a n g zu verschaffen. Schließlich ist unter den h e m m e n d e n Einflüssen n o c h einer R i c h t u n g zu gedenken, die ich bei dieser Gelegenheit deutlich zurückweisen m ö c h t e ; das ist die Polemik, die nicht nur H a m i l t o n erfuhr, sondern alle Mechaniker, die sich der Variationsprinzipe in seinem Sinne b e d i e n t e n , v o n selten unverständiger R a t i o n a h s t e n . A u s der ursprüngh c h e n Vorhebe der P h i l o s o p h e n für diese Prinzipe w e g e n der Zweckidee, die darin z u m Ausdruck k ä m e , schöpften diese L e u t e n u n eine Abnei­ g u n g , i n d e m sie der sich ihrer b e d i e n e n d e n Naturwissenschaft den Vor­ wurf der Teleologie m a c h t e n . Mit d i e s e m Mißverständnis verbindet sich aber in weiteren Kreisen eine andere, grundsätzlich irrige Auf­ fassung der m a t h e m a t i s c h e n N a t u r w i s s e n s c h a f t , wie sie v o n reinen Theoretikern sehr häufig vertreten wird. D a s ist die Meinung, diese Wissenschaft, insbesondere die a n a l y t i s c h e Mechanik h a b e nur die N a t u r zu „erklären". (Auf den Artikel des P h y s i k b a n d e s der „ K u l t u r der G e g e n w a r t " v o n P l a n c k : D a s Prinzip der kleinsten W i r k u n g , m ö c h t e ich hier hinweisen!) D e m gegenüber m u ß die Ansicht b e t o n t werden, daß — so sehr die teleologischen T e n d e n z e n für die E n t w i c k l u n g der Wissenschaft v o n B e d e u t u n g g e w e s e n sind — es allerdings nicht A u f g a b e der Naturwissenschaft ist, übernatürliche „ Z w e c k e " in der N a t u r aufzufinden oder gar solche zur Erklärung der E r s c h e i n u n g e n h e r a n z u z i e h e n ; daß sie aber sehr w o h l sich verbinden k a n n m i t e i n e m v o m Menschen selbst g e s e t z t e n Zweck, den zu erreichen sie i h m behilflich ist. N i c h t N a t u r e r k l ä r e n — w a s sie letzten Grundes nie k a n n sondern N a t u r b e h e r r s c h e n ist ihre eigentliche Aufgabe. E s darf n i e vergessen werden, d a ß es eine schaffende T e c h n i k gibt, welche die A n ­ s ä t z e der theoretischen Wissenschaft in die T a t u m s e t z t . So dient i m v o r h e g e n d e n FaU das Prinzip der variierenden W i r k u n g nicht dazu, die F r a g e nach e i n e m der N a t u r i n n e w o h n e n d e n Zweck zu b e a n t w o r t e n , den sie b e i m Ablauf optischer V o r g ä n g e verfolge, sondern die durchaus berechtigte F r a g e des I n s t r u m e n t e n b a u e r s , wie diese Vor­ g ä n g e künstlich anzuordnen seien, d a m i t der Zweck eines möglichst brauchbaren I n s t r u m e n t e s erreicht w e r d e ! E h e ich n u n zu H a m i l t o n s e i g e n t h c h m e c h a n i s c h e n Arbeiten über­ gehe, m u ß ich noch einer m a t h e m a t i s c h e n R i c h t u n g g e d e n k e n , bei der sein N a m e ebenfahs viel e r w ä h n t wird, w i e d e r u m lediglich als der eines Vorbereiters n a c h i h m einsetzender L e i s t u n g e n . Seine B e h a n d l u n g der S t r a h l e n s y s t e m e regte n ä m h c h K u m m e r in B e r h n an zu einer rein algebraischen, jeder p h y s i k a l i s c h e n P r o b l e m s t e l l u n g fernen B e ­ h a n d l u n g , insbesondere der geradlinigen S t r a h l e n s y s t e m e — ganz u n a b -

200

V. Mechanik und Physik.

h ä n g i g v o n e i n e m e t w a i g e n Auftreten in der Optik — u n d der sich hier ergebenden geometrischen Probleme. N a c h d e m K u m m e r in Crelle's Jour­ nal B d . 57 (1860), n o c h einigermaßen a n H a m i l t o n anknüpfend, eine aUgemeine Theorie der geradlinigen Strahlensysteme entworfen h a t t e , beschäftigte er sich erfolgreich m i t der Aufzählung u n d d e m S t u d i u m der algebraischen Strahlensysteme erster u n d zweiter Ordnung (Abhandl. der Berliner A k a d e m i e 1866). D a b e i fand er die nach i h m b e n a n n t e F l ä c h e vierter Ordnung m i t 16 D o p p e l p u n k t e n u n d 16 D o p p e l e b e n e n , v o n der wir schon wiederholt sprachen, u n d zwar als Brennfläche der Strahlensysteme zweiter Ordnung, welche zugleich v o n der z w e i t e n Klasse sind ( d . h . durch jeden P u n k t g e h e n zwei S t r a h l e n ; in jeder E b e n e hegen zwei Strahlen). D i e A n k n ü p f u n g an H a m i l t o n in diesen sehr w i c h t i g e n , tief eindrin­ g e n d e n Arbeiten K u m m e r s , die der d a m a l s eben v o n P l ü c k e r in A n ­ griff g e n o m m e n e n Liniengeometrie den W e g bereiteten, ist e m e g a n z äußerliche; Zweck u n d Methode, kurz die ganze Gedankenwelt, in der K u m m e r sich b e w e g t , ist v o n der H a m i l t o n s so w e i t entfernt, d a ß es jedem Mühe m a c h e n wird, sich auf die Probleme des einen Forschers einzustehen, w e n n er sich eben m i t denen des anderen beschäftigt h a t . A u c h durch diese Überheferung k o n n t e also H a m i l t o n s B U d in der k o n t i n e n t a l e n Wissenschaft nur getrübt werden. — N a c h diesen E i n s c h a l t u n g e n m ö c h t e ich n u n eine kurze D a r l e g u n g geben v o n H a m ü t o n s Arbeiten zur analytischen Mechanik. I c h beschränke mich dabei, über H a m ü t o n hinausgehend, auf d e n Grad der Allgemein­ heit, d e n ich mir i m A n s c h l u ß a n das V o r a n g e h e n d e g e s t a t t e n k a n n . W i e s c h o n erwähnt, erschienen die b e i d e n hier in B e t r a c h t k o m m e n ­ den Arbeiten in d e n Phüosophical Transactions der L o n d o n R o y a l Society, u n d zwar 1 8 3 4 — 3 5 . B e i d e verfolgen d e n besonderen H a m ü ­ tonschen Gedanken, d a s i m Prinzip der kleinsten W i r k u n g auftretende Integral n a c h seiner A u s w e r t u n g als F u n k t i o n seiner Grenzen aufzu­ fassen. I n der ersten A b h a n d l u n g wird v o n der F o r m a u s g e g a n g e n :

wo T^Z^^aß'qakß, 3 ^ + i / = A = const. ist. N a c h d e m die Differentialgleichungen d e s P r o b l e m s OW = O integriert s m d , wird n u n W{q\,. . ql; q1,'-',qn', h) als „cha­ rakteristische Funktion'' d e s m e c h a n i s c h e n P r o b l e m s angesehen. B e i m Variieren der Grenzen q^,q^ ergibt sich:

Die Hamiltonschen Gleichungen. WO P«^

die ZU

201

gehörige I m p u l s k o m p o n e n t e ist.

Ferner

ist

'•-'·• Ist also das W{q^; q^) durch vorherige B a h n k u r v e n b e s t i m m u n g des m e c h a n i s c h e n P r o b l e m s gebildet, so finden die B a h n k u r v e n selbst u n d die Zeit, in der sie durchlaufen w e r d e n , durch die a n g e g e b e n e n Gleichungen eine für viele Zwecke brauchbare Darstellung. A l s m e h r beiläufige F o l g e r u n g ergibt sich aus T + U = h, daß die

u n d m i t h i n die

genügen.

Um

den

gewissen partiellen Ausdruck

für

Differentialgleichungen

T-= Σ(^aßkakß

in

den/)^

hinzuschreiben, m ü s s e n wir g e n a u die Transformation a n w e n d e n , die bei der Dualisierung einer Gleichung — Ü b e r g a n g v o n P u n k t k o o r d i n a t e n z u E b e n e n k o o r d i n a t e n — üblich ist.

T wird gleich d e m

Quotienten

zweier D e t e r m i n a n t e n , deren eine mit den />„ „gerändert" w o r d e n i s t : _

D a n u n />« = | ^

^nd T-\-U

daß

Pa

Pß

Q

h ist, so g e l t e n a n der oberen u n d

unteren Grenze die partiellen Differentialgleichungen für \ .

W\

.

D i e z w e i t e A b h a n d l u n g knüpft a n eine andere F o r m des W i r k u n g s ­ integrals a n :

wo T —U die Lagrangesche F u n k t i o n ist, u n d die Grenzen bei der F o r d e r u n g OS = O wieder festzuhalten sind. H a t m a n der Forderung 0 5 = - 0 entsprechend die q als F u n k t i o n e n der t b e s t i m m t , so wird nun die Funktion S{gl,...,ql; ql, ..., ql; t \ f)

ν.

Mechanik und Physik.

als sog, „Hauptfunktion" — principal function — des m e c h a n i s c h e n P r o b l e m s eingeführt u n d zur D a r s t e l l u n g der Integrale v e r w e n d e t . E s b e s t e h e n die B e z i e h u n g e n

Ganz e n t s p r e c h e n d d e m FaUe der „charakteristischen F u n k t i o n ' ' W, g e n ü g t a u c h S zwei R e i h e n v o n je η Differentialgleichungen erster Ordnung, A n aU d e m ist mehr d a s „intellektueUe V e r g n ü g e n " der e l e g a n t e n D a r s t e l l u n g als das Interesse a n der I n t e g r a t i o n der m e c h a n i s c h e n Differentialgleichungen beteiligt. N e b e n dieser k o n s e q u e n t e n A n w e n d u n g des „ P r i n z i p s der vari­ ierenden Whrkung" ist n u n n o c h eine Vereinfachung der m e c h a n i s c h e n Differentialgleichungen in H a m i l t o n s zweiter A b h a n d l u n g v o n W i c h t i g ­ keit, E s h a n d e l t sich u m das, w a s m a n in anderen Teilen der M a t h e ­ m a t i k vielfach als „ L e g e n d r e s c h e Transformation'' bezeichnet, n ä m l i c h u m die E i n f ü h r u n g der I m p u l s k o m p o n e n t e n p^ a n Stelle der Geschwin­ digkeiten q^. A u s d e m Eulerschen T h e o r e m für h o m o g e n e F u n k t i o n e n folgt in A n w e n d u n g auf T: Bezeichnet man u n d q^ m i t — H

2J

= Z^?«·

n u n die Gesamtenergie Γ + C/ als F u n k t i o n der p^ (pa, qa)> so h a t m a n

u n d es ergibt sich als Differential v o n

H:

- Σ π . ' - ' ' + Σ π β ' - Σ ^ / · ι · - Σ ^ ' ' * ·

- Σ * - ' ' ·

= Σ ί τ / ^ · - Σ ^ ' ' Ρ D a aber n a c h d e n L a g r a n g e s c h e n Differentialgleichungen BL

#a

;

ist, so ergibt sich für die Differentialgleichungen sehr einfache F o r m ·

der Mechanik

die

dH

D i e s e n e n n t m a n die Hamütonschen Differentialgleichungen (obwohl sie s c h o n bei Lagrange g e l e g e n t h c h auftreten) oder, n a c h J a c o b i s Vor­ gehen^ auch die kanonischen Differentialgleichungen, Sie verwirkhchen s o z u s a g e n d a s Ideal des Energetikers, i n d e m sie die Gesamtenergie a n die Spitze steUen u n d aus ihr die B e w e g u n g völlig ableiten.

Jacobis Arbeiten zur Mechanik.

Kanonische Variable.

203

W i r w e n d e n u n s n u n zu J a c o b i s v o n 1837 an erscheinenden Ar­ b e i t e n , die, wie b e m e r k t , zwar vielfach an H a m i l t o n anknüpfen, aber d o c h ganz andere selbständige W e g e gehen. J a c o b i ist der eigentliche F o r t s e t z e r der französischen Schule, die v o n Lagrange, Poisson usw. ihren A u s g a n g n a h m ; eben aus diesem Grunde g e w a n n er nicht nur auf D e u t s c h l a n d , sondern a u c h auf Frankreich den n a c h h a l t i g s t e n Einfluß. D e r A u s b a u , den die Mechanik durch J a c o b i erfuhr, liegt w e s e n t l i c h n a c h analytischer Seite. E r bezieht sich u. a. auf die folgenden P u n k t e : 1. D e r Allgemeinbegriff der kanonischen Variabein. W i e wir gesehen h a b e n , g a b H a m i l t o n den d y n a m i s c h e n Differen­ tialgleichungen die einfache v o n J a c o b i als kanonische bezeichnete Form: dq^ _ _dH dpa dH ~dt ~ ^'df^'^ ~dt äg^'

_

WO H[P^, q^) die n e g a t i v g e n o m m e n e Gesamtenergie b e d e u t e t e .

Jacobi

formuliert n u n als erster die F r a g e : welches sind die allgemeinsten

kano­

nischen

Substitutionen,

d. h. diejenigen S u b s t i t u t i o n e n pl =

φa{ql...,q'n;P'^,···,P^),

welche allgemein kanonische Differentialgleichungen wieder in k a n o ­ nische Differentialgleichungen überführen. D i e s P r o b l e m ist in der A s t r o n o m i e u n d in der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k v o n großer B e d e u t u n g ; b e i der Auffassung dieser Wissenschaften als Quasigeometrien in einem i?2n. wie sie v o n B o l t z m a n n u n d P o i n c a r e e n t w i c k e l t wurde, spielt es seine Rolle. In ganz anderer Weise aber wurde es v o m rein g e o ­ metrischen Gesichtspunkt aus b e h a n d e l t v o n S o p h u s L i e in der sog. Lehre v o n den Berührungstransformationen. Man findet m a n n i g f a c h e N a c h w e i s e über diese D i n g e in der m a t h e m a t i s c h e n E n z y k l o p ä d i e , B d . I I I , D 7 (Liebmann). J a c o b i h a t m i t der Problemaufstellung zugleich eine erste L ö s u n g g e g e b e n durch die sog. Leitfunktionen: E r findet, d a ß die p^,q^ m i t den P^, q^ i m m e r d a n n durch eine kanonische S u b s t i t u t i o n z u s a m m e n ­ h ä n g e n , w e n n m a n setzen k a n n

w o Ω eine ganz beliebige, differenzierbare F u n k t i o n der q^ u n d ql ist. Diese F o r m e l n erinnern d e u t h c h an H a m i l t o n s charakteristische F u n k t i o n W oder an die H a u p t f u n k t i o n S. E s ist klar, d a ß J a c o b i d u r c h die H a m i l t o n s c h e n F o r m e l n auf seine U n t e r s u c h u n g e n geführt worden ist, die ursprünglich nur eine Prüfung ihrer Tragweite b e d e u t e t e n . I n der T a t ist der Ü b e r g a n g v o n den Anfangswerten ql,..qn^p\,. · •,Pn zu den E n d w e r t e n ql,..ql, p ] , . . p l einer m e c h a n i s c h e n B e w e g u n g

204

ν,

Mechanik und Physik.

ein Beispiel einer k a n o n i s c h e n S u b s t i t u t i o n m i t der Leitfunktion W oder 5 , die zwar z u n ä c h s t nur auf das gerade vorgelegte m e c h a n i s c h e P r o b l e m sich zu beziehen scheint, deren allgemeiner Charakter aber d u r c h bloßes N a c h r e c h n e n leicht n a c h g e w i e s e n w e r d e n k a n n ; m e h r n o c h : da die g a n z e B e w e g u n g unter Gültigkeit der kanonischen Differential­ gleichungen erfolgt, da für jede n o c h so kleine Veränderung der P a r a ­ m e t e r die F u n k t i o n W g e g e b e n ist durch

u n d die B e d i n g u n g e n :

b e s t e h e n , so ist die m e c h a n i s c h e B e w e g u n g eine fortwährende, infini­ tesimale k a n o n i s c h e S u b s t i t u t i o n , So w e i t n u n a u c h s c h o n das Gebiet der k a n o n i s c h e n S u b s t i t u t i o n e n durch diese D a r s t e l l u n g m i t t e l s einer g a n z beliebigen F u n k t i o n Ω erscheint, so werden dadurch doch n o c h n i c h t aUe k a n o n i s c h e n S u b ­ s t i t u t i o n e n u m f a ß t . E s k a n n n ä m l i c h sein, d a ß , w e n n m a n m i t H ü f e der Gleichungen =

9^«(^i,...,in;,/>ΰ

die Pl b e r e c h n e n w i ü , g e w i s s e B e d i n g u n g s g l e i c h u n g e n zu erfüllen s i n d : ( i ^ i'} = ö ,

q^) = 0,

usw.

I n d i e s e m F a l l e ist a n z u s e t z e n : --PI,

u n d n a c h E r m i t t l u n g der q^, als expKzite F u n k t i o n e n der q^, p^ sind die P a r a m e t e r λ, μ, , , , wieder zu eliminieren. I n dieser erweiterten F o r m steUt der A n s a t z a l l e k a n o n i s c h e n S u b s t i t u t i o n e n dar. Später h a t m a n j e d o c h v o r g e z o g e n , die pl, ql nicht so explizite (mit FaUunterscheidungen) z u definieren, sondern durch Differentialbedingungen, d e n e n sie g e n ü g e n m ü s s e n . S c h e r i n g u n d L i e t r a t e n 1873 gleichzeitig m i t d e n , in A n l e h n u n g a n P o i s s o n geschaffenen sog. Klammer ausdrücken hervor. Definiert m a n folgenden Ausdruck

SO ergibt sich als B e d i n g u n g , d a ß die p\, stitutionssystem angehören:

q\ e i n e m k a n o n i s c h e n S u b ­

Kanonische Variable. Integration der Hamiltonschen Gleichungen.

205

V o n diesen F o r m e l n aus schließt m a n d a n n leicht den sog. Liouvilleschen Satz (1838), daß die F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e einer kanonischen Sub­ s t i t u t i o n gleich + 1 oder — 1 ist. Z u m B e w e i s braucht m a n nur die D e t e r m i n a n t e Ln umgestellter F o r m m i t sich selbst zu multiplizieren:

q\ . . . Ä / > ! . . . Pn I I Pl .../>^n ql> D e n N a c h w e i s , d a ß Δ in der T a t i m m e r gleich + 1 ist, k ö n n e n wir hier in Kürze nicht geben. D i e s e F o r m e l n , insbesondere der Liouvillesche Satz, h a b e n in der m o d e r n e n m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k eine besondere G e l t u n g g e w o n n e n , seit die Interpretation i m R a u m v o n 2n D i m e n s i o n e n durchgedrungen ist ( B o l t z m a n n v o n 1868 an). Verweisen m ö c h t e ich n o c h auf eine besondere, recht u n n ö t i g e , äußere Schwierigkeit, welche die Verständigung zwischen Mathemati­ kern u n d P h y s i k e r n auf diesem für beide Parteien sehr wichtigen Gebiet b e d e u t e n d erschwerte: w ä h r e n d wir v o n Lagrange her g e w ö h n t sind, die Impulskoordinaten — in Erinnerung an eine Kraft (potentia) — mit P zu bezeichnen, die reinen Zustandskoordinaten h i n g e g e n m i t q — wobei m a n e t w a an „ Q u a l i t ä t " d e n k e n m ö g e ~ , b e d i e n t e n sich die P h y ­ siker, d e m Beispiel H e l m h o l t z ' folgend, einer genau e n t g e g e n g e s e t z t e n B e n e n n u n g ! W e l c h e Verwirrung durch diesen w e c h s e l n d e n Sprach­ gebrauch verursacht worden ist, kann m a n sich denken. 2. Methoden zur Integration der Hamiltonschen Differentialglei­ chungen. N a c h d e m H a m i l t o n s c h e n A n s a t z g e n ü g t e die F u n k t i o n W{q\q';h)

=

^{h-U)Zaaßdqadqß,

aus der sich die I m p u l s k o o r d i n a t e n ableiteten n a c h den Regeln dW wegen H{q,,...,q^,p,,...,pj zweimal e

+

h^0

Γ gewissen partiellen Differentialgleichung: H(q\ dW\

V o n dieser T a t s a c h e ausgehend, fand n u n Jacobi, d a ß jede hinreichend allgemeine L ö s u n g ~ sog. „ v o l l s t ä n d i g e L ö s u n g " , d . h . L ö s u n g mit

ν.

206

Mechanik und Physik.

η —I u n a b h ä n g i g e n K o n s t a n t e n — dieser H a m i l t o n s c h e n partiellen Differentialgleichung hinreicht, u m die B a h n k u r v e n des P r o b l e m s in integrierter F o r m darzusteUen. H a t m a n n ä m l i c h eine solche L ö s u n g

s o g e n ü g t e s zu schreiben

P

^

= d

=d

I n den c u n d d s t e h e n die n ö t i g e A n z a h l v o n w i l l k ü r h c h e n K o n s t a n t e n zur Verfügung, n ä m l i c h 2 ^ — 2, u m die B a h n k u r v e n in d e m durch //• + A = O auf 2w — 1 D i m e n s i o n e n b e s c h r ä n k t e n R ä u m e darzusteUen. I n dieser Z u s a m m e n g e h ö r i g k e i t der d y n a m i s c h e n Differentialglei­ c h u n g e n m i t einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung h a t m a n s c h h e ß h c h eine T a t s a c h e , die in die allgemeine Lehre v o n den partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung gehört, u n d die in der T a t v o n hier a u s s c h o n v o r J a c o b i durch C a u c h y 1819 gefunden w o r d e n war. D e r wechselseitige Z u s a m m e n h a n g der b e i d e n P r o b l e m e ist der eigentliche G e g e n s t a n d des vielseitigen Interesses, das er erweckt. I n d e m J a c o b i ihn v o n sich a u s b e m e r k t e u n d lebhaft verfolgte, g e w a n n er eine a l l g e m e m e Integrationstheorie der d y n a m i s c h e n Differential­ g l e i c h u n g e n , u n d g a b einen kräftigen A n s t o ß zur B e h a n d l u n g a u c h spezieller P r o b l e m e der a n a l y t i s c h e n Mechanik. D i e Methode ist, s t a t t sich direkt m i t den d y n a m i s c h e n Grundgleichungen z u befassen, eine hinreichend allgemeine L ö s u n g der H a m i l t o n s c h e n partiellen Differen­ tialgleichung z u s u c h e n , w o r a u s sich die I n t e g r a t i o n der ersteren s o z u ­ s a g e n v o n selbst ergibt. E i n e solche L ö s u n g W f m d e t sich n u n in der T a t recht h ä u f i g bei spezieUen P r o b l e m e n . J a c o b i lost n a c h seiner Methode viele der w i c h ­ t i g s t e n P r o b l e m e der Mechanik u n d A s t r o n o m i e ; s o finden in seinen Vorlesungen B e h a n d l u n g : d a s Zweikörperproblem (Keplersche B e w e ­ gung) i m dreidmiensionalen R ä u m e , die A n z i e h u n g n a c h zwei festen Zentren, die g e o d ä t i s c h e n Linien auf d e m dreiachsigen EUipsoid, w e l c h letzteres P r o b l e m J a c o b i auf diesem W e g e z u m ersten Mal erledigte. D a s Nähere k a n n m a n bei i h m , aber a u c h in aUen a s t r o n o m i s c h e n oder m e c h a n i s c h e n Lehrbüchern nachlesen. I n besonderen F ä h e n h a t J a c o b i s e m e Integrationstheorie n o c h w e i t e r ausgebüdet u n d verfeinert. So h a t er sich insbesondere m i t der F r a g e beschäftigt, w e l c h e Vorteile für die I n t e g r a t i o n der d y n a m i s c h e n Grundgleichungen sich ergeben, w e n n m a n einige Integrale derselben bereits k e n n t . E i n e FüUe v o n sehr merkwürdigen u n d tiefgreifenden S ä t z e n w e r d e n v o n J a c o b i i m Verfolg dieser U n t e r s u c h u n g g e f u n d e n ; s o e t w a : w e n n für ein G l e i c h u n g s s y s t e m z w e i F l ä c h e n s ä t z e Geltung h a b e n , d a n n auch der dritte. D e n H ö h e p u n k t fand diese sich a n P o l s -

Integration der Hamütonschen Gleichungen.

Routh.

207

s o n anlehnende E n t w i c k l u n g der Mechanik, auf die hrgendwie näher e i n z u g e h e n m n leider nicht m ö g l i c h ist, über Jacobis U n t e r s u c h u n g h i n a u s g e h e n d anfangs der 7 0 e r Jahre in den A r b e i t e n v o n L i e u n d A d o l f M a y e r . I n a n a l y t i s c h e AUgemeinheit e m p o r g e h o b e n , h a b e n alle diese R e s u l t a t e zugleich Geltung für die Variationsrechnung ein­ facher Integrale usw., auf der andern Seite für die partiellen Differen­ tialgleichungen erster Ordnung schlechthin. I n dieser fortwährenden B e z i e h u n g z u z w e i großen selbständigen Gebieten der A n a l y s i s liegt der m a t h e m a t i s c h e R e i z dieser DarsteUung der m e c h a n i s c h e n T a t ­ sachen. T r o t z der unzweifelhaften Schönheit dieses Gebietes m ö c h t e ich j e d o c h v o r e i n e m einseitigen S t u d i u m warnen. W e n n m a n sieh nur m i t Mechanik in dieser A b s t r a k t h e i t beschäftigt, bleibt der Sinn für den konkreten EinzelfaU u n e n t w i c k e l t u n d m i t i h m die F ä h i g k e i t , ein vorliegendes m e c h a n i s c h e s P r o b l e m wirklich a n z u s e t z e n u n d bis zur B e h e r r s c h u n g durchzuführen. I n d i e s e m Sinne spricht P o s k e in seiner 1915 erschienenen „ D i d a k t i k des p h y s i k a h s c h e n U n t e r r i c h t s " v o n d e m „feinen Gift der m a t h e m a t i s c h e n B i l d u n g " für den P h y s i k e r . I n der T a t k a n n der P h y s i k e r w e n i g , der Ingenieur gar n i c h t s v o n diesen Theorien für seine A u f g a b e n brauchen ^). Sie shad s o z u s a g e n ein S c h e m a m i t leeren F ä c h e r n , in welche die b u n t e W e l t der E r s c h e i n u n g e n erst eingeordnet w e r d e n m u ß , u m sie sinnvoU erscheinen z u lassen. N a c h dieser W a r n u n g m ö c h t e ich J a c o b i s Vorlesungen über D y n a m i k als ein besonders anregendes B u c h w a r m empfehlen (herausgegeben v o n Clebsch 1866 n a c h der v o n Borchardt i m W i n t e r 1 8 4 2 / 4 3 gefer­ t i g t e n Ausarbeitung) 2). D a m i t verlassen wir endgültig J a c o b i , diesen eigenartigen Geist; z u seiner aUgemehaen Charakteristik u n d W ü r d i g u n g v e r w e i s e ich auf das in K a p . 3 Gesagte (S. 112ff.). D i e Spuren seiner u n g e h e u e r a n ­ regenden W i r k u n g w e r d e n u n s i m I n - u n d A u s l a n d e in der folgenden Zeit i m m e r wieder b e g e g n e n . Zunächst w e n d e n wir u n s freüich v o n J a c o b i fort z u der Weiterb ü d u n g der a n a l y t i s c h e n Mechanik über H a m ü t o n u n d J a c o b i hinaus. D e r Mann, v o n d e m w k hier zuerst z u sprechen h a b e n , der E n g ­ länder R o u t h , führt u n s m i t e i n e m Schlage in eine v ö l l i g andere U m g e b u n g . E s ist das wissenschaftliche L e b e n v o n Cambridge m i t 1) Wir haben diese, durch die Entwicklung der letzten Jahre widerlegten Bemerkungen stehen lassen, da sie zu der gerade von K l e i n oft genannten Er­ scheinung einen Beitrag liefern, wie scheinbar rein mathematische Theorien auch für die Nachbarwissenschaften unvermutet von größter Bedeutung werden. Anm. d. Herausg. 2) Neuerlich herausgegeben im Supplementband von C G. J. Jacobi's Ge­ sammelten Werken (1884).

ν . Mechanik und Physik. s e i n e m streng auf schul- u n d e x a m e n s m ä ß i g e L e i s t u n g z u g e s c h n i t t e n e n L e r n s y s t e m . Hier spielt R o u t h seit e t w a 1860 eine hervorragende R o h e durch eine a u s g e d e h n t e , b e r ü h m t e L e h r t ä t i g k e i t , die er in seiner S t e l ­ l u n g als „ p r i v a t e t u t o r " — d. h. Privatvorbereiter für d a s „ t r i p o s " u n d andere E x a m i n a — a u s ü b t e . L a n g e Jahre hindurch g i n g aus s e i n e m vorbereitenden K u r s z u m e i s t der erste Preisträger, der sog. „senior wrangler" hervor. E i n e große Zahl h o c h b e d e u t e n d e r Männer h a t sich hier b e i R o u t h die s o h d e Grundlage einer t ü c h t i g e n , auf A n w e n d u n g gerichteten m a t h e m a t i s c h e n B i l d u n g geholt. Lord R a y l e i g h gehörte z u d e n e n , die häufig voU D a n k b a r k e i t ihrer Lehrzeit bei R o u t h gedachten. D a s Gepräge dieser t u t o r - T ä t i g k e i t tragen n u n a u c h die R o u t h s c h e n Lehrbücher, welche d e n d e n k b a r g r ö ß t e n G e g e n s a t z z u der J a c o b i s c h e n Lehrweise bilden. D i e a l l g e m e i n e n B e t r a c h t u n g e n fehlen zwar k e i n e s ­ w e g s , aber sie s i n d u m g e b e n v o n einer g r o ß e n Zahl leicht faßhcher, konkreter E i n z e l a n w e n d u n g e n . I n der d e u t s c h e n Ü b e r t r a g u n g b i l d e n diese B ü c h e r bei u n s eine d u r c h a u s u n g e w o h n t e E r s c h e i n u n g . Sie b e s t e h e n n i c h t in z u s a m m e n h ä n g e n d e n D a r l e g u n g e n oder in e i n z e l n e n Vorträgen, sondern in täglichen, der Zeit n a c h g e n a u b e m e s s e n e n Ü b u n g e n , in d e n e n b e s t i m m t e A u f g a b e n g e s t e h t u n d bis z u m l e t z t e n durchgeführt werden. D i e s e s S y s t e m e n t s p r i c h t g e n a u der v o m „ t u t o r " a u s g e ü b t e n Lehrtätigkeit, der seine u n s schier überraschenden Erfolge a n K e n n t n i s s e n u n d S e l b s t ä n d i g k e i t b e i s e i n e m übrigens kleinen K r e i s v o n Schülern in s t u n d e n l a n g e r täglicher Arbeit erreicht. E s ist dieselbe Methode, m i t der ein geschickter „Trainer" bei seinen Schülern H ö c h s t ­ l e i s t u n g e n d e s Sports erzielt. D i e Art des U n i v e r s i t ä t s u n t e r r i c h t s ist e b e n sehr v e r s c h i e d e n in d e n v e r s c h i e d e n e n Ländern, u n d k e i n e s darf g l a u b e n , über die allein förderliche oder „ a k a d e m i s c h e " z u verfügen. J e d e M e t h o d e h a t ihre Vorzüge u n d jede zeitigt ihre M i ß s t ä n d e , w e n n sie z u einseitig verfolgt wird. A u c h lassen sich d i e Organisationen u n d M e t h o d e n d e s U n t e r ­ richts n i c h t k u r z w e g v o n e i n e m L a n d e , in d e m sie g e w a c h s e n u n d in dessen K u l t u r sie verwurzelt sind, auf ein anderes ü b e r t r a g e n ; sie sind fest g e b u n d e n a n die T r a d i t i o n bei Lehrern u n d Schülern u n d b e d i n g t durch, d a s in d e m betreffenden L a n d e ü b h c h e E x a m e n s w e s e n u n d die darauf fußende soziale S c h i c h t u n g . I m übrigen ist gerade z w i s c h e n D e u t s c h l a n d u n d E n g l a n d auf d i e s e m Gebiete eine gewisse A n n ä h e r u n g z u spüren. I n Cambridge h a t m a n die P r ü f u n g e n , die z u e i n e m a u s g e k l ü g e l t e n S y s t e m virtuosenhafter K a s u i ­ s t i k ausgeartet waren, v o n 1900 a n e t w a s g e m i l d e r t ; u n d b e i u n s treten n e b e n d e n Vorlesungen, je länger, je m e h r die Ü b u n g e n als n o t w e n d i g e E r g ä n z u n g in den Vordergrund. D o c h w o l l e n wir n u n b e t r a c h t e n , w e l c h e Gestalt die a n a l y t i s c h ­ m e c h a n i s c h e n P r o b l e m e in R o u t h ' H a n d g e w a n n e n .

Routh.

Zyklische Systeme

I n der Darstellung Lagranges s t a n d a n der Spitze der der a n a l y t i s c h e n Mechanik die F u n k t i o n

Formeln

B e i H a m i l t o n trat a n ihre Stelle

Η==τ-^υ--ΣΡαςα=-{τ+υ). D i e s e F u n k t i o n H ist allein v o n p u n d q a b h ä n g i g z u d e n k e n u n d w u r d e a u s d e m v o n d e n q u n d q a b h ä n g i g e n L durch ehie sog. Legendresche Transformation g e w o n n e n , d. h. durch eine E r s e t z u n g der q durch die p. Z w i s c h e n diesen b e i d e n F o r m e n hält n u n die R o u t h s c h e Darstellung gerade die Mitte. Sie voUzieht n ä m l i c h die b e s a g t e Legendresche Trans­ formation nur teilweise, i n d e m sie e t w a eine A n z a h l m der η Variabein q durch die p u n d durch die übrigen q^ + i> - > qn'> im + i? · · · ? in ^ ^ s drückt. Auf diese W e i s e wird die sog. R o u t h s c h e F u n k t i o n g e w o n n e n :

in der n u n alle drei A r t e n der Variabein, q, p u n d q, e x p l i z i t e auftreten. D e r Ü b e r s i c h t halber b e z e i c h n e n wir die n e u eingeführten / > ! , . . . , mit ,..., die zugehörigen ^ m i t , . . . , κ^, s o d a ß wir n u n folgende Gruppen v o n Variabein h a b e n :

κ,,.,.,κ^,

π,,.,.,π^.

D a n n n e h m e n d i e Differentialgleichungen der Mechanik die Gestalt a n :

w o Pa u n d il.. e v e n t u e l l h i n z u t r e t e n d e äußere Kräfte b e d e u t e n . Sie s p a l t e n sich also in euie n a c h Lagrangescher Art u n d eine n a c h H a m ü tonscher Art g e b a u t e Gruppe. F ü r w = O geht die R o u t h s c h e F u n k t i o n u n d m i t ihr d a s G l e i c h u n g s s y s t e m üi d e n L a g r a n g e s c h e n F a l l über, für m — n in d e n H a m ü t o n s c h e n . D i e s e s G l e i c h u n g s s y s t e m g e w i n n t n u n ein besonderes Interesse durch g e w i s s e allgemeine grundsätzliche Auffassungen über d a s W e s e n der Mechanik, die sich daran k n ü p f e n . K o m m e n n ä m l i c h in R die κ,· n i c h t e x p l i z i t e vor, sondern nur die zugehörigen π,·, so h a b e n wir d e n b e s o n ­ deren FaU, der v o n H e l m h o l t z (Crelle, B d . 97, 1884) als zyklisches System b e z e i c h n e t u n d e i n g e h e n d studiert wird, u n d der e t w a s früher b e i T h o m s o n u n d T a i t als „ z y k l o i d a l e s S y s t e m " auftritt. I n der P r a x i s wird er verwirklicht überall d a , w o rotierende B e w e ­ g u n g e n v o n R o t a t i o n s k ö r p e r n s t a t t f i n d e n , die s t e t s z. B . d e n D r e h u n g s ­ w i n k e l als „ z y k l i s c h e " , nur in ihrem zugehörigen I m p u l s π zur Geltung

ν . Mechanik und Physik.

210

k o m m e n d e Koordinate κ besitzen, also bei allen Schwungrädern. Schließt m a n den rotierenden Körper in ein undurchsichtiges Gehäuse ein, s o verrät in der T a t nichts mehr seine ,,verborgene Bewegung" als das u n g e w ö h n l i c h e Verhalten, das der Körper als Ganzes bei ehier B e w e g u n g i m R a u m zeigt (Kreisel, Gyrostat). I n F ä l l e n w i e diesem, w o eine E i n w k k u n g v o n a u ß e n auf die S c h w u n g r a d b e w e g u n g a u s ­ geschlossen ist, also n^=zQ gilt, ergibt sich

d . h . die z u den zyklischen K o o r d h i a t e n gehörigen I m p u l s e sind k o n s t a n t . A u s diesen T a t s a c h e n ergeben sich n u n merkwürdige Vorstellungen über die N a t u r der potentiellen E n e r g i e . N e h m e n wir an, die kinetische Energie T zerfiele in einen Teil T{q), der nur v o n d e n Geschwindig­ k e i t e n q herrührt, u n d i n einen Γ (π), der nur auf den z y k l i s c h e n I m p u l s e n π beruht (was also v o r a u s s e t z t , d a ß Glieder, in d e n e n Ge­ s c h w i n d i g k e i t e n q m i t I m p u l s e n π multipliziert sind, fehlen), so ist die Routhsche Funktion R = T{q) -

Tin) ^U^T{q/q)^

T{q, c) -

U{q),

w e n n wir der A b h ä n g i g k e i t sämtlicher Größen v o n d e n K o o r d i n a t e n q g e d e n k e n u n d die k o n s t a n t e n I m p u l s e π , durch die Größen c,. ersetzen. D i e g^^j^, . . .,

b e s t i m m e n sich aus d e n Differentialgleichungen __dT(q)

dp^

Q[TjIi)^

{U^TjC))]

"Ii== Wa · E s ergibt sich also ein F o r m e l s y s t e m , das g e n a u e i n e m S y s t e m v o n W - W Freiheitsgraden entspricht, dessen potentieUe Energie u m T{c) — die kinetische Energie der verborgenen B e w e g u n g e n — e r h ö h t erschekit^). D i e Größen U u n d T{n) sind beide F u n k t i o n e n v o n q m i t k o n s t a n t e n Koeffizienten; sie t r e t e n nur zur S u m m e v e r b u n d e n auf, n i c h t einzeln. E s erhebt sich d a r u m die Frage — w o wir o h n e h i n v o m W e s e n der potentieUen Energie keine V o r s t e ü u n g h a b e n — o b nicht vielleicht a l l e in der Mechanik sich als „potentielle E n e r g i e " g e l t e n d m a c h e n d e n Größen i m Grunde durch verborgene, zyklische sog. „ignorierte" B e w e ­ g u n g verursachte kinetische Energie seien. W i e eine F a t a Morgana zeigt sich in der Ferne die Möglichkeit einer rein khietischen Theorie der Materie. I n dieser A l l g e m e i n h e i t wurde der Gedanke w o h l zuerst 1888 v o n J. J. T h o m s o n ausgeführt in s e i n e m B u c h : Applications of Dynamics to Physics and Chemistry, (Vorlesung 1886 Cambridge, d a n n 1886—87 in den Phüosophical Transactions.) I n ehizelnen Beispielen aber w u r d e er s c h o n v o n W i l l i a m T h o m s o n ( = L o r d K e l v i n ) verfolgt, so in s e i n e m Vortrag vor der British A s s o c i a t i o n in Montreal 1884. den er 1) Man vgl. hierzu etwa W h i t t a k e r , Analytische Dynamik. Berlin 1924. § 38.

Zyklische Systeme.

Mechanische Wärmetheorie.

211

vorsichtig als „ S t e p s towards a kinetic t h e o r y of m a t t e r " b e z e i c h n e t . (Math, a n d P h y s . Papers, B d . 3 , S. 366.) Z u m geschlossenen S y s t e m schließlich ausgearbeitet findet sich diese Auffassung in d e m p o s t h u m e n W e r k v o n H e i n r i c h H e r t z : „Die Prinzipien der Mechanik'^ 1904. N ä h e r e s über diese eigenartige G e d a n k e n k o n s t r u k t i o n findet m a n in d e m Artikel 1 v o n V o ß in B d . I V der E n z y k l o p ä d i e . A u f ihren W e r t oder ihre U n z u l ä n g l i c h k e i t k a n n ich hier leider n i c h t näher e i n g e h e n ; so b l e n d e n d sie zuerst erscheint, so b i e t e n sich d o c h s o w o h l der logischen D u r c h f ü h r u n g — es wird z. B . b e i H e r t z das g a n z e , große Gebiet der B e d i n g u n g s g l e i c h u n g e n o h n e weitere Zurückführung auf kinetische Begriffe einfach aus der g e w o h n t e n Mechanik ü b e r n o m m e n — w i e a u c h der A u s g e s t a l t u n g dieser I d e e n in concreto erhebliche Schwierig­ k e i t e n , wie u. a. B o l t z m a n n zeigte. A u c h die Wirbeltheorie Lord K e l ­ v i n s , w e l c h e zwar als einziges, d e m k i n e t i s c h e n G e d a n k e n m a t e r i a l fremdes E l e m e n t das A x i o m der I n k o m p r e s s i b ü i t ä t der die W i r b e l e n t h a l t e n d e n Flüssigkeit a u f n i m m t , k a n n w e g e n ihrer geringen T r a g ­ w e i t e nicht befriedigen. D i e I d e e der verborgenen z y k h s c h e n B e w e g u n g gibt A n l a ß zu einer anderen Analogie, die ich hier n i c h t u n e r w ä h n t lassen m ö c h t e , das ist diejenige, die n a c h H e l m h o l t z , Crelle, B d . 97 (1884) zwischen der S t a t i k einfachster „ m o n o z y k l i s c h e r " S y s t e m e — deren zyklische B e w e ­ g u n g jedoch ,,zugänglich" z u d e n k e n ist — u n d d e n Grundlehren der mechanischen Wärmetheorie besteht. I c h schicke z u n ä c h s t einen kleinen E x k u r s über m e c h a n i s c h e W ä r m e ­ theorie v o r a u s . E s sind i m w e s e n t l i c h e n zwei m a t h e m a t i s c h e K o n ­ z e p t i o n e n , die hier eine Rolle s p i e l e n : 1. D a s P r o b l e m der partiellen

Differentialquotienten

einer F u n k t i o n F {x^, x^, . . ., x^) v o n mehreren Variabein u n d ihrer Ä n d e r u n g b e i Einführung eines n e u e n S y s t e m s v o n V e r ä n d e r h c h e n . 2. D i e verschiedenartige B e d e u t u n g eines Pf äff sehen A u s d r u c k e s X^dx^-\

VXn^^'n

der, w i e wir gelegentlich der B e t r a c h t u n g über G r a ß m a n n e r w ä h n t e n , aüe m ö g h c h e n Grade der A l l g e m e i n h e i t b e s i t z e n k a n n , v o m e x a k t e n Differential über d e n FaU der U m w a n d l u n g in ein solches durch e i n e n „integrierenden F a k t o r " bis zu d e n Fällen völliger Allgemeinheit, die eine solche U m w a n d l u n g n i c h t g e s t a t t e n . Insbesondere ist hier die begriffliche U n t e r s c h e i d u n g des e x a k t e n Differentials v o m u n e x a k t e n v o n Interesse durch das V e r h a l t e n g e g e n eine I n t e g r a t i o n auf geschlos­ s e n e m W e g e , oder, w i e m a n in der T h e r m o d y n a m i k s a g t : g e g e n e i n e n Kreisprozeß. D i e s e s j e d e m M a t h e m a t i k e r geläufige g e d a n k l i c h e Material tritt n u n d e m N e u l i n g nicht nur in t h e r m o d y n a m i s c h e r Verkleidung e n t g e g e n , 14*

212

ν.

Mechanik und Physik.

sondern n o c h d a z u b e l a d e n m i t e i n e m großen, u m s t ä n d l i c h e n h i s t o ­ rischen B a l l a s t . E s w i r d i h m z u g e m u t e t , auf d e m v o n d e n ersten E n t ­ deckern (Carnot, Clausius) m ü h s a m g e b a h n t e n W e g e durch d a s Gestrüpp i h m u n g e w o h n t e r m a t h e m a t i s c h e r Begriffe z u m Ziele v o r z u d r m g e n , d a s in U m r i s s e n d o c h s c h o n v o n w e i t e m klar u n d deutlich z u erkennen wäre, w e n n m a n nur den B l i c k darauf l e n k t e . D i e s s c h e m t mir nur m ö g h c h durch einen erst orientierenden z u s a m m e n f a s s e n d e n V o r t r a g derGrundlehren in a u t o r i t a t i v - d o g m a t i s c h e r W e i s e , an die sich d a n n eine streng­ b e w e i s e n d e , ins E i n z e l n e g e h e n d e A u s f ü h r u n g anzuschließen h ä t t e . I n d i e s e m Sinne m ö c h t e ich hier in K ü r z e d a s W e s e n t h c h e a n d e u t e n . W i r h a b e n ein S y s t e m , d a s v o n η + I P a r a m e t e r n Qi,. . .,qn,'& a b h ä n g t , w o ^ als absolute Temperatur b e z e i c h n e t wird. D i e T h e r m o ­ d y n a m i k beschäftigt sich n u n nicht m i t der B e w e g u n g solcher S y s t e m e , sondern m i t ihrem G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d , e v e n t u e U m i t einer sog. „ u n e n d l i c h l a n g s a m e n " B e w e g u n g , d. h. einer R e i h e n f o l g e w e n i g v o n ­ einander verschiedener G l e i c h g e w i c h t s z u s t ä n d e . E s sei also dies S y ­ s t e m i m Gleichgewicht, u n d zwar u n t e r d e m E i n f l u ß der äußeren Kräfte . . ., P^, die so definiert sind, d a ß b e i kleiner Ä n d e r u n g der q der A u s d r u c k Pidq,-\ \-P^dq^^dA gleich der hierfür erforderhchen, v o n a u ß e n zugeführten Arbeit ist. Z u d e m sei d a s g a n z e S y s t e m in eine für W ä r m e undurchlässige, sog. a d i a b a t i s c h e H ü l l e eingeschlossen. D i e beiden Grundsätze der W ä r m e t h e o r i e b e z i e h e n sich n u n auf die Ä n d e r u n g der . . ., q^, & des G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d e s , die hervor­ gerufen wird, w e n n m a n d e m S y s t e m ersthch ein u n e n d l i c h e s kleines Q u a n t u m äußerer A r b e i t dA zuführt, d a n n e m u n e n d h c h kleines Quan­ t u m in m e c h a n i s c h e m Maß g e m e s s e n e r W ä r m e dQ. D i e Ä n d e r u n g tritt h e r v o r in zwei u n s v o r n e h m l i c h interessierenden G r ö ß e n : der — v o n der Mechanik her g e w o h n t e n — Energie E, u n d der n u n n e u h i n z u ­ t r e t e n d e n Entropie S. E s ist n ä m h c h : erster Wärmesatz: dA + dQ = dE, zweiter Wärmesatz: dQ = '»'dS. D e r erste W ä r m e s a t z b i e t e t der Auffassung keine Schwierigkeit. I m z w e i t e n h m g e g e n w i r d n u n der Begriff d e s e x a k t e n b z w . u n e x a k t e n Differentials b e d e u t u n g s v o U ; er s a g t n ä m h c h a u s , d a ß die W ä r m e ­ m e n g e dQ nicht selbst ein e x a k t e s Differential einer F u n k t i o n der g^,. . ., qn, ^ ist, sondern erst durch Multiplikation m i t d e m F a k t o r j in ein solches — n ä m l i c h dS — u m g e w a n d e l t wird. S t a t t diese S ä t z e hier z u b e g r ü n d e n , m ö c h t e ich sie a n e i n e m Beispiel darlegen, n ä m l i c h an d e m d e s „idealen Gases". D i e Masse d e s Gases sei gleich 1 v o r a u s g e s e t z t . D a n n b e s i t z t d a s S y s t e m zwei Parameter, n ä m l i c h v, d a s V o l u m e n der v o r a u s g e s e t z t e n Masseneinheit, u n d

Mechanische Wärmetheorie.

213

die a b s o l u t e T e m p e r a t u r . D i e z u ν gehörige K r a f t k o m p o n e n t e P wird g e w ö h n l i c h m i t — p bezeichnet, w o p d e n äußeren D r u c k des Gases m i ß t . E s t r e t e n z w e i K o n s t a n t e n auf: c^, die spezifische W ä r m e b e i k o n s t a n t e m V o l u m e n , c^, die spezifische W ä r m e b e i k o n s t a n t e m Druck. D u r c h sie u n d die Parameter drücken sich die Z u s t a n d s f u n k t i o n e n d e s i d e a l e n Gases folgendermaßen a u s :

D i e beiden W ä r m e s ä t z e g e w i n n e n die Gestalt -pdv

+ dQ

dQ = '»dS

==dE=c^d^,

= cJ{>

+

{c^-c;)§y.

A u s diesen b e i d e n Gleichungen ergibt sich das

Mariotte-Gay-Lus-

s a c s c h e G e s e t z oder die Zustandsgieichung

Gases:

des

die bereits v o r A u s b a u der g a n z e n Theorie auf e x p e r i m e n t e U e m W e g e g e f u n d e n war u n d a u s der m a n rückwärts, sofern E als b e k a n n t gilt, das 5 berechnen kann. B i s z u d i e s e m P u n k t e k a n n m a n n u n , w i e H e l m h o l t z ausführt, d a s t h e r m o d y n a m i s c h e S y s t e m durch ein m o n o z y k l i s c h - m e c h a n i s c h e s genau nachahmen. U m bei d e m Beispiel des idealen Gases z u bleiben, so fingieren wir ein S y s t e m m i t e i n e m P a r a m e t e r q = v u n d e i n e m z y k l i s c h e n Para­ m e t e r κ m i t d e m I m p u l s π . D i e E n e r g i e sei g e g e b e n durch

u n d d e m e n t s p r e c h e n d die G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g d u r c h

D a n n wird Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t d e n o b i g e n F o r m e l n E=c^'§,

p.v

=

{c^-c^)'&

5 =

2c,.log7r.

erreicht, w e n n wir s e t z e n : ^ = - - ^ ,

1? erscheint also als eine Art lebendiger K r a f t ; e b e n s o w i e 5 ist es auf R e c h n u n g der durch π repräsentierten, verborgenen B e w e g u n g z u s e t z e n . S o w e i t also l ä ß t sich ein g a n z befriedigendes m e c h a n i s c h e s G e g e n ­ b i l d der t h e r m o d y n a m i s c h e n V o r g ä n g e konstruieren. D i e klassische

ν.

214

Mechanik und Physik.

Mechanik (welche keine R e i b u n g oder unelastische S t ö ß e kennt) ver­ sagt j e d o c h , w e n n wir n u n daran g e h e n , z w e i t h e r m o d y n a m i s c h e S y s t e m e v o n verschiedener T e m p e r a t u r in einer a d i a b a t i s c h e n H ü l l e z u ,,koppeln". E s ist zwar, w i e i m m e c h a n i s c h e n Falle, die G e s a m t e n e r g i e

Aber es stellt sich n u n ein neuer G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d m i t g e m e i n ­ samer T e m p e r a t u r t? h e r a u s ; diese ist ein Mittelwert v o n t?i u n d t?2, u n d es zeigt sich, d a ß daraufhin die G e s a m t e n t r o p i e größer wird als die S u m m e der einzelnen E n t r o p i e n : S > S, +

.

W e r d e n e t w a insbesondere z w e i E i n h e i t s q u a n t e n desselben Gases m i t g l e i c h e m V o l u m e n , aber verschiedener

Temperatur miteinander

m i s c h t , so wird, weil die G e s a m t e n e r g i e E =

ge­

-\- Ec^ sein m u ß , aber

j e t z t auf die Masse 2 b e z o g e n i s t : i? =

u n d daher die G e s a m t ­

entropie: S = 2

c„log^^^ +

2(c^-cJlogz;.

E s war n u n S, = c,log^, + •5^ =

( s - O l o g . ,

C,log^-F(C^-Cjlogt;.

D a n n ist aber in der T a t 2l denn

o

g

es ist

=

log i i + l ^ ^ ± i l _

^ ^^^^ +

> l

o

g

=

(^^ _ ^ ^ ) . >

l o g ^ + log

.

0.

W i r finden also b e s t ä t i g t , d a ß S > S^ + ist. D a h a b e n wir n u n ein Beispiel eines sog. irreversiblen thermod y n a m i s c h e n Prozesses, wie ihn die Mechanik n i c h t k e n n t ; es v e r m e h r t sich bei allen natürlich verlaufenden Prozessen die E n t r o p i e . Clausius spricht (Poggendorffs A n n a l e n , 5. Reihe, B d . 125, S. 390) v o n e i n e m „Verw a n d l u n g s i n h a i t " eines Körpers, so wie er die E n e r g i e aus „ W ä r m e u n d W e r k i n h a l t " aufbaut (1. c. S. 354) u n d b e n e n n t dann diese Größe 5 „ n a c h d e m griechischen W o r t e ή τροπή, die V e r w a n d l u n g " m i t „ E n t r o ­ p i e " u m hiermit a u c h die n a h e B e z i e h u n g zu d e m Begriff der „ E n e r g i e " z u m A u s d r u c k z u bringen. Solche irreversible Prozesse z u v e r s t e h e n , insbesondere das A n ­ w a c h s e n der E n t r o p i e , ist d a s H a u p t z i e l der T h e r m o d y n a m i k . Man findet den G e g e n s t a n d n a c h alter F o r m a m b e s t e n dargestellt in W . T h o m ­ sons Artikel in der E n c y c l o p a e d i a B r i t a n n i c a u n d in d e m Clausiusschen W e r k „ D i e m e c h a n i s c h e W ä r m e t h e o r i e " , I . A u f l a g e 1 8 6 1 . D i e spä­ teren Auflagen (1864 usw.) h a b e n durch Zusätze leider an Güte e i n -

Mechanische Wärmetheorie. Mathematische Physik. 215 g e b ü ß t . E i n e prinzipieUe moderne Darlegung gibt Caratheodory in d e n Math. A n n a l e n , B d . 67, 1909 S. 3 8 l f f . i ) . D i e irreversiblen Prozesse lassen sich auf keine W e i s e rein m e c h a n i s c h — unter A u s s c h l u ß v o n R e i b u n g usw. — n a c h a h m e n . E i n e V e r b i n d u n g der beiden Zweige — Mechanik u n d T h e r m o y n a m i k — wird erst v o n e i n e m höheren S t a n d p u n k t erbhckt, nämlich v o n d e m der s t a t i s t i s c h e n Mechanik der Molekularsysteme. Hier tritt als ein ganz neues M o m e n t die W a h r s c h e i n h c h k e i t der Verteilung der G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o ­ n e n t e n auf die einzelnen Moleküle ein. E s ist einer der g l ä n z e n d s t e n G e d a n k e n v o n B o l t z m a n n , S = ^•logTl^ zu s e t z e n (unter W diese W a h r s c h e i n h c h k e i t v e r s t a n d e n ) . H i e r v o n k a n n ich aber j e t z t nicht sprechen.

Mathematische Physik. D i e Erörterungen über die a n a l y t i s c h e Mechanik in E n g l a n d u n d D e u t s c h l a n d h a b e n u n s bereits hinübergeleitet z u m z w e i t e n Teil des vor­ liegenden K a p i t e l s , welcher die E n t w i c k l u n g der mathematischen Physik in D e u t s c h l a n d u n d E n g l a n d v o n 1830 bis e t w a 1880 umfassen soU. U n t e r , , m a t h e m a t i s c h e r P h y s i k " m ö c h t e ich hier m ö g l i c h s t das g a n z e Gebiet der m i t Differentialgleichungen arbeitenden , , p h ä n o m e n o ­ l o g i s c h e n " P h y s i k verstehen, wie sie durch F r a n z N e u m a n n usw. u n d die E n g l ä n d e r e n t w i c k e l t worden ist u n d in den Maxwellschen Glei­ c h u n g e n gipfelt, d. h. derjenigen P h y s i k , die m i t der Idee kontinuierlicher Medien arbeitet — i m G e g e n s a t z zu der neuerdings wieder in den Vordergrund getretenen a t o m i s t i s c h e n P h y s i k . S o w o h l über diese s a c h ­ liche wie über die nationale B e g r e n z u n g des T h e m a s werde ich aber hinausgreifen, w o der historische Z u s a m m e n h a n g es verlangt. U n t e r den übrigen Gebieten der A n w e n d u n g b e a n s p r u c h t die m a t h e m a t i s c h e P h y s i k insofern unser besonderes Interesse, als sie a m m e i s t e n in l e b ­ hafter W e c h s e l b e z i e h u n g zur reinen M a t h e m a t i k geblieben ist. W i r h a t t e n s c h o n die E n t w i c k l u n g in Frankreich besprochen (bis e t w a 1830), die allmählich aus der a t o m i s t i s c h e n Auffassung v o n L a ­ p l a c e (punktförmige Kraftzentren) zur p h ä n o m e n o l o g i s c h e n führte, wie F o u r i e r u n d C a u c h y sie v e r t r a t e n (vgl. S. 69, 73). D a s Ziel ist die Schilderung der Vorgänge durch Differentialgleichungen, die sich auf die als k o n t i n u i e r h c h v o r a u s g e s e t z t e Materie beziehen. D a n n h a t t e n wir die W e i t e r b i l d u n g in D e u t s c h l a n d b e t r a c h t e t durch G a u ß u n d W e b e r , w e l c h ersterer m e h r d e n P h ä n o m e n o l o g e n , letzterer — seines elektrischen Grundgesetzes w e g e n — m e h r den A t o m i s t e n zuzuzählen ist (vgl. S. 23). Schließlich h a t t e n wir die rein m a t h e m a t i s c h e , ganz auf p h ä n o m e n o l o g i s c h e r B a s i s ruhende B e t r a c h t u n g s w e i s e verfolgt, die 1) Neuerdings noch Sitzungsber. d. Akad. Berlin, 1925, S. 39ff. „Über die Bestimmung der Energie und der absoluten Temperatur mit Hilfe der reversiblen Prozesse".

216

ν.

Mechanik und Physik.

sich a n D i r i c h l e t s N a m e n knüpft, u n d die w e s e n t l i c h auf Klarstellung der m a t h e m a t i s c h e n Schwierigkeiten u n d ihre Ü b e r w i n d u n g i m einzelnen F a h gerichtet war (vgl. S. 98ff.). A l s F o r t s e t z e r der hiermit g e g e b e n e n A n f ä n g e h ä t t e n wir j e t z t vor allen D i n g e n R i e m a n n (1826—66) z u b e t r a c h t e n . D i e hervorragenden L e i s t u n g e n dieses außerordentlichen Geistes auf allen G e b i e t e n der M a t h e m a t i k w o l l e n wir jedoch erst s p ä t e r (Kap. 6) i m Z u s a m m e n h a n g einer e i n g e h e n d e n W ü r d i g u n g unterziehen. Hier w o l l e n wir z u n ä c h s t die E n t w i c k l u n g m s A u g e fassen, die m i t der naturwissenschaftlichen B e o b a c h t u n g in n ä h e r e m Z u s a m m e n h a n g s t e h t u n d die in erster Linie v e r t r e t e n ist durch F r a n z N e u m a n n u n d die Königsberger Schule. F r a n z N e u m a n n wurde 1798 auf einer Oberförsterei I n d e r U c k e r ­ m a r k g e b o r e n ; er starb 1895, also i m A l t e r v o n 97 Jahren. S c h o n in dieser Langlebigkeit erscheint er als der e c h t e Vertreter der z ä h e n preußischen A r t , die er durch u n e n t w e g t e Pfhchterfüllung in s e i n e m g a n z e n L e b e n b e t ä t i g t e u n d der er w o h l in erster Linie s e m e große W i r k u n g u n d seine außerordentlichen Erfolge v e r d a n k t . E m e n lebhaften E i n d r u c k der persönhchen A r t N e u m a n n s g e b e n die E r m n e r u n g s b l ä t t e r , die i h m seine T o c h t e r Luise N e u m a n n 1904 g e w i d ­ m e t h a t ; seine wissenschaftliche L e i s t u n g findet in d e n Monographien v o n V o l k m a n n (1896) u n d v o n W a n g e r i n (1907) W ü r d i g u n g . A l s G y m n a s i a s t m i t 17 J a h r e n trat N e u m a n n in d a s Blücherschc H e e r 1 8 1 5 e m , v o h B e g e i s t e r u n g für die Sache der Freiheitskriege. A m 16. J u n i wurde er bei L i g n y durch e i n e n Kieferschuß schwer v e r w u n d e t . T r o t z der m a n g e l h a f t e n W u n d p f l e g e der d a m a l i g e n Zeit u n d großen persönlichen Mißgeschicks s e t z t e sich seine zähe N a t u r durch. E r wurde geheilt u n d kehrte auf d a s Berliner G y n m a s i u m zurück, d a s er 1817 i m H e r b s t erfolgreich absolvierte. Seine S t u d i e n in J e n a u n d Berlin führten i h n z u n ä c h s t zur Minera­ logie, die in d e n 2 0 er Jahren durch die E n t w i c k l u n g der Kristallo­ graphie — die sich schließlich z u einer rem g e o m e t r i s c h e n Disziplin auswuchs — bei uns besonderen Aufschwung nahm. D e n Anstoß zu dieser E n t w i c k l u n g g a b H a u y (geb. 1784) m Paris, d e s s e n b e r ü h m t e K r i s t a l l s a m m l u n g leider durch d a s B o m b a r d e m e n t v o n 1870 zerstört w o r d e n ist. I n Berlin wurde d a s F a c h v o n W e i ß vertreten, als dessen A s s i s t e n t N e u m a n n s e m e ersten, gleich sehr hervorragenden E n t ­ d e c k u n g e n m a c h t e . V o n 1823 a n beschäftigte i h n d a s sog. Zonengesetz, ein r e m geometrischer S a t z über die Stellung der bei e i n e m K r i s t a h a u f t r e t e n d e n B e g r e n z u n g s e b e n e n . S i n d eine R e i h e v o n K a n t e n u n d E b e n e n d e s Kristalles b e k a n n t , so s a g t der S a t z , d a ß jede z u zwei K a n t e n paraUele E b e n e ebenfaUs als Grenzfläche d e s Kristalls auf­ t r e t e n k a n n . A u s vier b e k a n n t e n B e g r e n z u n g s e b e n e n u n d d e m v o n i h n e n g e b i l d e t e n Tetraeder s m d also aUe w e i t e r e n durch progressive K o n s t r u k t i o n z u finden.

F. Neumann.

217

D e r w e s e n t l i c h e Inhalt dieses Satzes — den N e u m a n n w o h l als selbst­ verständlich a n g e n o m m e n u n d n i c h t besonders b e t o n t h a t — ist der folgende, d a ß unter den durch K o n s t r u k t i o n gefundenen E b e n e n die­ jenigen a m h ä u f i g s t e n in praxi auftreten, w e l c h e sich aus den vier Grundebenen — die selbst n a t ü r h c h die a m m e i s t e n b e o b a c h t e t e n sein sollen — bei d e m Prozeß zuerst ergeben. Ohne diesen H i n w e i s auf die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer E b e n e h ä t t e der Satz n ä m l i c h gar keine praktische B e d e u t u n g , da die K o n s t r u k t i o n schließhch a l l e denkbaren E b e n e n v o n „ r a t i o n a l e m " I n d e x liefert. N u r durch die Reihenfolge sind gewisse Stellungen vor anderen ausgezeichnet. — D i e s e s „ Z o n e n g e s e t z " — die G e s a m t h e i t paraUeler E b e n e n einer SteUung n e n n t N e u m a n n eine Z o n e — wurde n u n v o n s e i n e m E n t ­ decker in besonders hübscher W e i s e geometrisch interpretiert. W e r d e n n ä m l i c h die Kristallkanten ersetzt durch i h n e n parallele Gerade, die ein v o n O a u s g e h e n d e s B ü s c h e l b ü d e n , u n d wird n u n die K o n s t r u k ­ tion des Zonengesetzes in einer das Büschel s c h n e i d e n d e n E b e n e e n t ­ sprechend wiederholt, so ergibt sich aus d e m das Tetraeder abbildenden voUständigen Vierseit g e n a u die b e k a n n t e Moebiussche N e t z k o n s t r u k ­ tion ! E s b e s t e h t hier also ein inniger Z u s a m m e n h a n g m i t der projektiven Geometrie, u n d N e u m a n n (1823) h a t als direkter Vorläufer der Arbeiten v o n Moebius (1827) u n d G r a ß m a n n (1844) z u gelten, die beide ebenfalls auf die B e d e u t u n g ihrer Theorien in der Kristallographie h i n w e i s e n (vgl. das Referat v o n Liebisch, E n z y k l o p ä d i e V 7). W i e hier auf der einen Seite m i t der p r o j e k t i v e n Geometrie, so berührt sich das P r o b l e m auf der anderen m i t der Gitter theorie, wie sie auf Grund einer rein molekularen Auffassung des Kristalls a n g e w e n d e t werden k a n n . Hier würde der S a t z b e s a g e n : jede E b e n e ist m ö g l i c h , die drei u n d d a m i t u n e n d h c h v i e l e G i t t e r p u n k t e e n t h ä l t , w o b e i w i e d e r u m die sich zuerst ergebenden E b e n e n d e n Vorzug der Wahrscheinlichkeit d e s Auftretens besitzen. 1826 b e g a b sich N e u m a n n n a c h Königsberg, z u n ä c h s t als P r i v a t ­ d o z e n t für Mineralogie u n d P h y s i k , v o n 1828 ab als außerordentlicher Professor. N e u m a n n s T ä t i g k e i t in Königsberg erstreckte sich über 5 0 Jahre u n d v e r b i n d e t sich m i t der J a c o b i s (bis 1843), d a n n R i c h e I o t S (t 1875) z u ungewöhnlicher W i r k s a m k e i t . 1875 zog sich N e u m a n n v o m A m t e z u r ü c k ; e x p e r i m e n t e l l e P h y s i k w u r d e n a c h i h m v o n P a p e ver­ treten, die m a t h e m a t i s c h e v o n s e i n e m l e t z t e n Schüler W . V o i g t , welcher v o n seinem Lehrer das besondere Interesse für KristaUographie u n d die (von ü i m selbst weitergebildete) Art der A n s ä t z e als E r b t e ü ü b e r n a h m . B e i N e u m a n n erfolgte die W e n d u n g zur m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k unter d e m Einfluß der A r b e i t e n Fouriers. Insbesondere beschäftigte er sich v o n 1832 an m i t der Optik, die er v o n der Elastizitätslehre aus-, g e h e n d , z u beherrschen s u c h t e , eine Theorie, die d a n n 6 0 Jahre lang bis z u m Auftreten der e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Lichttheorie die herrschende

ν . Mechanik und Physik. blieb. D i e Schwierigkeiten einer solchen Auffassung wurden gelegent­ lich der Cauchyschen Arbeiten bereits erwähnt. D i e Frage n a c h der E x i s t e n z longitudinaler W e h e n b e i Brechung, n a c h der E b e n e der Transversalschwingungen u n d ihrer Stellung zur Polarisationsebene k o n n t e erst durch die elektromagnetische Theorie geklärt werden. Zehn Jahre später erschienen N e u m a n n s wichtige Arbeiten über d a s Gesetz der induzierten elektrischen Ströme, wobei d a s „ P o t e n t i a l zweier Stromkreise aufeinander": jjdsds'coBJdsds') i m Mittelpunkt d e s Interesses s t e h t . N e b e n diesen P u b l i k a t i o n e n h a t aber N e u m a n n durch eine i n t e n ­ sive Lehrtätigkeit, die einen zahlreichen Kreis spezieller Schüler u m ihn s a m m e l t e , n a c h allen R i c h t u n g e n seiner Wissenschaft eine starke, anregende W i r k u n g ausgeübt. I n seinen wiederholten, immer wieder n e u a u s g e s t a l t e t e n Vorlesungen ist durchweg ein inniges Z u s a m m e n g e h e n der m a t h e m a t i s c h e n B e t r a c h t u n g m i t der physikalischen Messung z u b e m e r k e n . I n langer Liste liegen diese DarsteUungen jetzt in der B e ­ arbeitung v o r , die sie seitens seiner Schüler gefunden h a b e n . D a sind z u n e n n e n : Magnetismus (C. N e u m a n n I 8 8 I ) , Elektrische Ströme (von der MühU 1884), Optik ( D o m 1885) E l a s t i z i t ä t ( 0 . E . Meyer 1885), P o t e n t i a l u n d K u g e l f u n k t i o n e n (C. N e u m a n n 1887), Kapiharität (Wan­ gerin 1894). D i e G e s a m t w e r k e sollen drei B ä n d e umfassen, v o n d e n e n jedoch der erste nicht erschienen ist. In diesem Lebenswerk zeigt sich N e u m a n n als der vorzügliche uneigennützige Lehrer, der viele seiner R e s u l t a t e d e n Schülern übergab, o h n e sie selbst z u veröffentlichen. E r pflegte z u sagen, d a ß m a n die Schüler leiten müsse, ohne d a ß sie es merken, so d a ß sie d a s Ziel durch eigene Kraft erreicht z u h a b e n glauben. D i e b e i d e n v o n i h m gepflegten R i c h t u n g e n — n a c h physikalischer u n d m a t h e m a t i s c h e r Seite — finden jede unter d e n Schülern ihre b e s o n ­ deren Vertreter. Zur ersten Gruppe gehört als b e d e u t e n d s t e Erschei­ n u n g w o h l K i r c h h o f f , zur z w e i t e n sein S o h n C a r l N e u m a n n (geb. 1832), C l e b s c h (1833) u n d H e i n r i c h W e b e r (1842). Clebsch u n d W e b e r k o m m e n hier nur m i t einzelnen Arbeiten in B e t r a c h t . Clebschs Dissertation 1852 über e i n „ E l h p s o i d in einer Flüssigkeit" ^) gehört hierher, f e m e r sein Lehrbuch der E l a s t i z i t ä t v o n 1 8 6 2 , das an d e n fran­ zösischen Ingenieur S a i n t - V e n a n t anknüpft. H . W e b e r zeigt sich in der hier z u n e n n e n d e n Arbeit über Au + k''u = 0 De motu ellipsoidis in fluido incompressibüi viribus quibusUbet impulsis, Regiomonti 1854.

F . Neumana.

Kirchhoff.

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(erste A b h a n d l u n g der m a t h e m a t i s c h e n A n n a l e n , B d . 1, 1868) bereits w e s e n t l i c h v o n R i e m a n n m i t beeinflußt. Ausführlicher h a b e n wir n u n v o n Kirchhoff zu s p r e c h e n : G u s t a v R o b e r t K i r c h h o f f gehört z u der großen Zahl der in Königsberg geborenen M a t h e m a t i k e r u n d Naturforscher (1824), m i t welcher S t a d t er durch seine Frau, e m e T o c h t e r Richelots, n o c h enger verknüpft war. Er habiUtierte sich 1848 in Berlin, war 1 8 5 0 — 5 4 in Breslau als außer­ ordentlicher Professor, w o er m i t d e m Chemiker B u n s e n zusammentraf, der ihn d a n n 1854 n a c h Heidelberg n a c h sich zog. B i s 1875 war Kirch­ hoff dort ordentlicher Professor für theoretische u n d experimenteUe P h y s i k ; d a n n wurde er A k a d e m i k e r in Berlin, w o er sich nur m e h r der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k z u w a n d t e . Er starb 1887. D e r N a m e Kirchhoffs ist allgemein b e k a n n t durch die g l ä n z e n d e n , m i t B u n s e n g e m e i n s a m e n Arbeiten über Spektralanalyse, die u m 1860 b e g i n n e n u n d in der großen A b h a n d l u n g der Berliner A k a d e m i e 1 8 6 1 : ,,Untersuchungen über das Sonnenspektrum und die Spektra der chemischen Elemente" ihren S c h w e r p u n k t h a b e n . D a n e b e n ist Kirchhoff b e r ü h m t durch sein w e i t v e r b r e i t e t e s LeÄ/'^i^cÄ der Mechanik, d a s 1874 zuerst erschien. E s zeichnet sich aus durch seine grundsätzliche Auffassung, n a c h der es das Ziel der Wissenschaft sei, „die N a t u r e r s c h e i n u n g e n nicht zu erklären, sondern vollständig u n d in der einfachsten W e i s e z u beschreiben", wie Kirchhoff in der Vorrede sagt. D i e s e F o r m u h e r u n g h a t bis auf den h e u t i g e n T a g in a u s g e d e h n t e n Kreisen, besonders bei den positivistisch gerichteten P h i l o s o p h e n , z. B . E r n s t M a c h , viel BeifaU gefunden. Z u dieser a b s t r a k t e n , sich selbst b e s c h r ä n k e n d e n Auffassung v o m W e s e n der Wissenschaft tritt als weiteres Charakteristikum des B u c h e s eine bis z u m äußersten getriebene K n a p p h e i t der Darstellung, die nur m i t R a u m g r ö ß e n u n d Zahlgrößen operiert unter Beiseitelassung aller die A n s c h a u u n g ansprechenden, „ a n t h r o p o m o r p h e n " Vorstellungen. So wird e t w a ein Apell a n unser Muskelgefühl bei der Begriffsbildung „ K r a f t " streng v e r m i e d e n , die Masse als ein Zahlenfaktor definiert usw. V o n Kirchhoff schreibt sich w e s e n t l i c h der Stil her, der mehrere Jahr­ z e h n t e die m a t h e m a t i s c h e P h y s i k beherrschte: als v o r n e h m s t e s Gesetz das Vermeiden voreiliger H y p o t h e s e n oder gar Fehler a n z u s e h e n u n d jede persönUche A n t e i l n a h m e , Entdeckerfreude oder s t a u n e n d e B e w u n ­ derung vor der unerschöpflich g e h e i m n i s v o l l e n W e l t der E r s c h e i n u n g e n z u unterdrücken. Wir w ü r d e n Kirchhoff U n r e c h t t u n , w e n n wir i h m eine solche B e t e i l i g u n g des Affekts u n d der P h a n t a s i e g a n z absprechen w o l l t e n ; d a g e g e n z e u g t seine geniale u n d erfolgreiche Forschertätigkeit. Der Lehrer durfte jedoch keine Überraschung oder S e l b s t b e s c h e i d u n g verraten, u m s e i n e m S y s t e m n i c h t s a n Überzeugungssicherheit u n d Lückenlosigkeit zu rauben. A u c h sein Vortrag entsprach diesem Ideal; das g l a t t ausgearbeitete Manuskript wurde v o n Kirchhoff auswendig

ν , Mechanik und Physik. vorgetragen, u n d eher hielt er m i t t e n i m W o r t einen A u g e n b h c k inne, als d a ß er sich ein kleines Versprechen h ä t t e zuschulden k o m m e n lassen. Sehr merkwürdige Beispiele für diese schroffe H a l t u n g K k c h h o f f s lassen sich i m einzelnen anführen. So w u r d e i h m bei der U n t e r s u c h u n g über die Fortpflanzung der E l e k t r i z i t ä t in D r ä h t e n (1857, Poggendorff A n n . , Bd.lOO = Ges. A b h . S. 131 ff.) beüäufig die E n t d e c k u n g z u t e ü , (Ges. A b h . S. 1 4 7 ) ^ d a ß die K o n s t a n t e c d e s W e b e r s c h e n Grundgesetzes dividiert durch ^/2 die L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t ergibt! Aber kein W o r t verrät die Möglichkeit eines u n g e h e u r e n F o r t s c h r i t t e s unserer N a t u r ­ erkenntnis, w i e er v o n hier a u s durch M a x w e l l geleistet wurde. Ganz auf die V e r w a l t u n g d e s V o r h a n d e n e n gerichtet, scheinen Kirchhoff n e u e E n t d e c k u n g e n u n b e q u e m oder d o c h v o n geringem Interesse g e w e s e n z u sein. So erzählt m a n sich, d a ß er geäußert h a b e , als K e r r 1877 d a s nach i h m b e n a n n t e P h ä n o m e n der D r e h u n g der Polarisations­ ebene b e i Reflexion d e s Lichtes an d e m polierten E n d e eines Magnet­ s t a b e s e n t d e c k t e : Gibt es d e n n ü b e r h a u p t n o c h e t w a s z u e n t d e c k e n ? Ich k a n n n i c h t verhehlen, d a ß mir diese Auffassung der N a t u r ­ wissenschaft äußerst a n t i p a t h i s c h ist, w e i l sie die F r e u d e d e s Lernens u n d d e n Trieb zur Weiterforschung u n t e r b i n d e t . D i e jüngere Gene­ ration der P h y s i k e r h a t sich d e n n a u c h d a v o n a b g e w a n d t u n d e b e n durch ihre gänzlich anders gerichtete Arbeitsart ihre großen Erfolge erzielt. E s lag mir jedoch daran, die R i c h t u n g , deren typischer Ver­ treter Kirchhoff ist, hier z u k e n n z e i c h n e n , u m n u n sagen z u k ö n n e n , d a ß die m a t h e m a t i s c h e B e h a n d l u n g der P h y s i k jedenfalls nicht ver­ a n t w o r t l i c h ist für diese zur S c h a u getragene V e r s t a n d e s k ä l t e ; d e n n M a t h e m a t i k ist nicht b l o ß Verstandessache, sondern g a n z w e s e n t h c h eine S a c h e der P h a n t a s i e . W i e schon b e m e r k t , ist aber diese unfruchtbare EinsteUung für Kirchhoffs eigene wissenschaftliche L e i s t u n g n i c h t v o n Einfluß g e w e s e n . Viehnehr s c h ä t z e n wir in i h m einen derjenigen Forscher, die in der m a t h e m a t i s c h e n Durchdringung der P h y s i k die w i c h t i g s t e n Fortschritte errungen h a b e n . A l s größte L e i s t u n g in dieser H i n s i c h t h a t w o h l z u gelten, d a ß Kirchhoff — in Z u s a m m e n h a n g m i t seinen s p e k t r a l a n a l y t i s c h e n Ar­ beiten — als erster die Gesetze der Wärmestrahlung m a t h e m a t i s c h in Angriff n a h m . E r stellte d a s Grundgesetz auf, d a ß d a s Verhältnis v o n E m i s s i o n u n d A b s o r p t i o n für aUe Körper gleich derselben F u n k t i o n der a b s o l u t e n T e m p e r a t u r sein m u ß , u n d b e w i e s es auf Grund v o n G e d a n k e n e x p e r i m e n t e n u n d spezifisch m a t h e m a t i s c h e n Schlüssen, wie z . B . , d a ß d a s identische Verschwinden Fourierscher Integrale d a s V e r s c h w i n d e n d e s I n t e g r a n d e n b e d i n g e . A n der hierin liegenden Lei­ s t u n g w i r d n i c h t s geändert, w e n n auch die h e u t i g e n Mathematiker zur Kritik a n Kirchhoffs Schlüssen A n l a ß fanden (Hilbert in Münster, Jahresbericht der D . Math. Ver., B d . 22, S. Iff., 1912). D i e s e A r b e i t e n .

Kirchhoff.

Berlin.

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in denen sich zuerst der Begriff des „schwarzen Körpers" findet, wurden veröffenthcht in den Berhner Monatsberichten 1859 ( = Ges. A b h . S. 571ff.). N e b e n dieser F u n d a m e n t a l l e i s t u n g findet sich die glänzende Er­ ledigung wichtigster Probleme der Elastizitätslehre, der H y d r o d y n a m i k , der Elektrizitätslehre usw. W i e tief Kirchhoffs m a t h e m a t i s c h e Erfassung das bereits b e k a n n t e Material ergreift u n d u m g e s t a l t e t , möge m a n an einem Beispiel sehen. I n seinem F u n d a m e n t a l w e r k v o n 1827: ,,Die galvanische K e t t e , m a t h e ­ m a t i s c h bearbeitet", h a t t e O h m noch v o n e i n e m u n b e s t i m m t e n Begriff der elektrischen S p a n n u n g Gebrauch g e m a c h t , w o b e i er v o n der Vor­ stellung ausging, d a ß der ruhende K o n d u k t o r v o n E l e k t r i z i t ä t kon­ stanter S p a n n u n g , die er m i t „ D i c h t e " proportional setzt, gleichmäßig erfüllt sei. Kirchhoff erst findet (Poggendorff A n n . , B d . 78, 1849 = Ges. A b h . S. 49), d a ß diese S p a n n u n g das elektrostatische P o t e n t i a l ist, u n d d a ß die ruhenden elektrischen Massen auch bei den g a l v a n i s c h e n K e t t e n ihren Sitz nur an der Oberfläche, bezugsweise an den Trennungsflächen der Leiter h a b e n . A l s eines der s c h ö n s t e n derartigen Ergebnisse ist mir immer Kirch­ hoffs Parallelisierung der B i e g u n g u n d Drillung eines unendlich d ü n n e n h o m o g e n e n D r a h t e s mit der R o t a t i o n eines schweren Körpers u m einen festen P u n k t erschienen (Crelle, B d . 56, 1858 = Ges. A b h . S. 285ff.), ein selten wunderbares Beispiel, d a ß dieselben F o r m e l n so g a n z ver­ schiedene Probleme zu beherrschen v e r m ö g e n . D e r Z u s a m m e n h a n g ist w o h l a m einfachsten einzusehen, w e n n m a n beide Aufgaben als Varia­ tionsprobleme formuliert. Wir w e n d e n u n s n u n e i n e m neuen Z e n t r u m m a t h e m a t i s c h - p h y s i ­ kalischer E n t w i c k l u n g zu, das sich i m Laufe der 40 er Jahre in Berlin bildete. W i e wir s c h o n berichteten, b e g a n n das L e b e n unserer W i s s e n ­ schaften in Berlin nicht gleich 1810 mit der Gründung der U n i v e r s i t ä t . Vielmehr wurde es durch die herrschenden S t r ö m u n g e n des N e u h u m a n i s ­ m u s u n d der H e g e i s c h e n Philosophie zurückgehalten, u n d erst A l e x ­ a n d e r v o n H u m b o l d t s Tatkraft brachte es Anfang der 2 0 e r Jahre zur E n t f a l t u n g . D i e M a t h e m a t i k fand ihren u m s i c h t i g e n Förderer in d e m B a u r a t C r e l l e ; für die N a t u r w i s s e n s c h a f t , soweit sie u n s hier interessiert, bildet die Übersiedlung des ostfriesischen Chemikers M i t S e h e r l i e h n a c h Berlin, die 1822 erfolgte, den A u s g a n g s p u n k t . Seine b e d e u t s a m e W i r k u n g wurde v o n der U n i v e r s i t ä t geehrt durch Errich­ t u n g seines. S t a n d b ü d e s i m U n i v e r s i t ä t s g a r t e n . Mitscherlich arbeitete auf d e m Grenzgebiet der Chemie u n d P h y s i k . A u s seiner Schule s t a m m e n die ersten Berliner P h y s i k e r , die aber, in b e w u ß t e m Gegensatz z u der s p e k u l a t i v e n R i c h t u n g der herrschenden

ν.

Mechanik und Physik.

Philosophie, b l o ß e Empiriker sind. I n erster Linie sind hier M a g n u s u n d P o g g e n d o r f f z u n e n n e n , b e i d e außerordentliche Professoren seit 1834. D e r N a m e des letzteren ist b e k a n n t durch die v o n i h m heraus­ g e g e b e n e n Annalen der Physik. Poggendorff war ursprünglich A p o ­ theker u n d ist seiner aufs P r a k t i s c h e gerichteten N a t u r immer treu geblieben. Magnus' Lehrtätigkeit k a m vor allem in s e i n e m „ K o l l o ­ q u i u m " z u m A u s d r u c k — d e m a u c h ich noch 1 8 6 9 / 7 0 angehörte — , d a s n u n in der folgenden Zeit in h o h e m Maße P f l a n z s t ä t t e für die n a c h ­ folgende physikalische Generation w u r d e . A u c h für das Bedürfnis n a c h praktischer B e t ä t i g u n g seiner Schüler trug Magnus Sorge, i n d e m er in dieser Zeit, die öffentliche p h y s i k a l i s c h e I n s t i t u t e n o c h nicht k a n n t e , sein P r i v a t l a b o r a t o r i u m z u allgemeiner Verfügung stellte. D e r höhere A u f s c h w u n g der N a t u r w i s s e n s c h a f t e n in Berlin wurde indes d o c h v o n anderer Seite herbeigeführt, u n d zwar durch d e n rhei­ n i s c h e n P h y s i o l o g e n J o h a n n e s M ü l l e r , der n a c h seiner B o n n e r T ä t i g k e i t 1 8 2 4 — 3 3 in Berlin eine große W i r k s a m k e i t entfaltete. E r war ,ein Forscher, der b e i vorsichtiger B e s c h r ä n k u n g d e s eigenen Arbeits­ g e b i e t e s zahlreichen Schülern starke A n r e g u n g e n z u g e b e n v e r s t a n d . D a er g e g e n eine rein empirische, nur a m E x p e r i m e n t interessierte R i c h t u n g z u k ä m p f e n h a t t e , s o liegt seine E i n w i r k u n g w e s e n t l i c h n a c h Seite der e x a k t e n , theoretischen B e g r ü n d u n g . U n t e r diesen Einflüssen w u c h s n u n eine neue Generation v o n N a t u r ­ forschern heran, v o n d e n e n sich sechs junge L e u t e 1845 in der Berliner Physikalischen Gesellschaft zu engerer Arbeitsgemeinschaft z u s a m m e n s c h b s s e n . D e n A n s t o ß z u d i e s e m U n t e r n e h m e n g a b der P h y s i o l o g e E m i l d u B o i s - R e y m o n d (geb. 1818), organisiert wurde es durch G. K a r s t e n (geb. 1820), P r i v a t d o z e n t der P h y s i k in Berlin, der später (von 1848 ab) a u c h in K i e l durch E i n r i c h t e n d e s W e t t e r d i e n s t e s u n d anderer A r b e i t s s y s t e m e seine F ä h i g k e i t e n in dieser R i c h t u n g a u s ­ wirkte. U n t e r K a r s t e n s L e i t u n g u n t e r n a h m die junge Gesellschaft folgende A r b e i t e n : Z u n ä c h s t die H e r a u s g a b e der „Fortschritte der Physik", d. h. v o n Jahresberichten über die p h y s i k a h s c h e Literatur, die als R e p e r t o r i u m s e i t d e m unentbehrlich g e w o r d e n s i n d ; n a c h ihrem Vorbilde w u r d e n später die „ F o r t s c h r i t t e der M a t h e m a t i k " geschaffen. D a n n die A u s a r b e i t u n g emer a l l g e m e i n e n „ E n z y k l o p ä d i e der P h y s i k " , die freihch nicht z u E n d e geführt w o r d e n ist. Sie u m f a ß t EinzeldarsteUungen v o n recht v e r s c h i e d e n e m W e r t , in d e n e n aber u. a. a u c h H e l m h o l t z ' P h y s i o l o g i s c h e Optik e n t h a l t e n ist. I n diesen Kreis t r e t e n n ä m h c h n u n b a l d weitere junge Forscher ein, deren N a m e n in der P h y s i k führend g e w o r d e n sind. A n erster Stelle ist H e l m h o l t z z u n e n n e n , der, d a m a l s Militärarzt in P o t s d a m , 1847 zuerst in der p h y s i k a l i s c h e n GeseUschaft seine Theorie v o n der Erhal­ t u n g der Kraft vortrug. Zu i h m g e s e h t e sich der Ingenieuroffizier

Helmholtz.

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W e r n e r S i e m e n s (geb. 1816 in H a n n o v e r ) , der 1848 den dänischen Krieg m i t m a c h t e u n d d a b e i durch das A u s s e t z e n elektrischer Minen i m Kieler H a f e n hervortrat. 1849 begründete er m i t H a l s k e z u s a m m e n die elektrotechnische Firma, die n u n b a l d z u Weltruf gelangte. Sehr interessant ist diese E n t w i c k l u n g wiedergegeben in Siemens' lesens­ w e r t e n „Lebenserinnerungen'' (Berlin 1893). V o n n i c h t minderer B e ­ d e u t u n g ist ein weiteres Mitglied der p h y s i k a l i s c h e n GeseUschaft, der damalige Oberlehrer C l a u s i u s (geb. 1822 in P o m m e r n ) , dessen Großtat, die B e g r ü n d u n g des z w e i t e n W ä r m e s a t z e s , wir bereits besprachen. I n seiner Arbeit „ Ü b e r die b e w e g e n d e Kraft der W ä r m e " (Poggendorff A n n . , B d . 79, 1850) trennte er die bei Sadi Carnot v o r h a n d e n e n richtigen A n s ä t z e v o n der falschen, u n v o l l k o m m e n e n E i n k l e i d u n g , eine T a t , die Mach in seiner Geschichte der Wärmelehre^) als „ b e d e u t e n d e intellek­ tuelle L e i s t u n g " r ü h m t . Clausius wurde ferner durch seine Arbeiten über kinetische Gastheorie ein H a u p t v o r k ä m p f e r des A t o m i s m u s . A u c h K i r c h h o f f gehörte d i e s e m Kreise aufstrebender T a l e n t e an, der durch die entschlossene Selbsthüfe eines freiwilligen Z u s a m m e n ­ schlusses, in seiner weiteren E n t w i c k l u n g getragen durch d e n Auf­ s c h w u n g der großstädtischen U m g e b u n g , eine S t ä t t e schuf, an der sich durch lebhafte, anregende W e c h s e l b e z i e h u n g n u n eine seltene B l ü t e g e i s t i g e n L e b e n s entfaltete. A l s überragende Gestalt aus dieser Gemeinschaft tritt u n s H e l m ­ h o l t z e n t g e g e n , v o n d e m ich n u n eingehender reden m ö c h t e . Seine außerordentliche Stellung in der Geschiclite der N a t u r w i s s e n s c h a f t e n beruht auf einer u n g e w ö h n l i c h vielseitigen, eindringenden B e g a b u n g , innerhalb deren die m a t h e m a t i s c h e Seite eine wichtige, für u n s natürlich in erster Linie in B e t r a c h t k o m m e n d e RoUe spielt. H e r m a n n H e l m h o l t z wurde 1821 als S o h n e m e s Oberlehrers in P o t s d a m geboren. Auf R a t seines Vaters e n t s c h l o ß er sich, Arzt z u werden, u m möglichst b a l d z u einer selbständigen Lebensstellung z u k o m m e n . E r studierte also an der sog. „Pepiniere", der müitärärztlichen H o c h s c h u l e in Berlin, promovierte 1842 m i t einer Arbeit „ D e fabrica s y s t e m a t i s nervosi e v e r t e b r a t o r u m " u n d wurde, e n t s p r e c h e n d der d a m i t ü b e r n o m m e n e n Verpflichtung, MiUtärarzt in P o t s d a m . AUe m a t h e m a t i s c h e n K e n n t n i s s e erwarb sich H e l m h o l t z durch p r i v a t e s S t u d i u m . W i e w e n i g V e r s t ä n d n i s er m i t diesen N e i g u n g e n in seiner beruflichen U m g e b u n g fand, b e l e u c h t e t folgende kleine Geschichte, n a c h welcher ein Vorgesetzter, als er v o n H e l m h o l t z ' Schrift „ Ü b e r die Er­ h a l t u n g der Kraft" v e r n a h m , z u d i e s e m ä u ß e r t e : E n d l i c h e i n m a l e t w a s P r a k t i s c h e s ! E r h a t t e n ä m l i c h g e g l a u b t , d a ß es sich u m die E r h a l t u n g der militärischen Leistungsfähigkeit seiner Mannschaften h a n d e l t e . 1) E. M a c h : Die Principien der V^ärmelehre, Leipzig 1896. — Poincar^ Thermodynamiqne p. 114, sagt übrigens, daß Clansins das Carnot'sche Prinzip unabhängig wiedergefunden habe.

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ν.

Mechanik und Physik.

D u r c h H u m b o l d t s V e r m i t t l u n g w u r d e H e l m h o l t z 1848 Assistent a m a n a t o m i s c h e n M u s e u m in Berlin, e i n Jahr später Professor der P h y s i o ­ logie u n d A n a t o m i e i n Königsberg, w e l c h e F ä c h e r er a u c h in B o n n (1855) u n d Heidelberg (1858) vertrat;. D i e Heidelberger Zeit b e d e u t e t vielleicht die H ö h e des H e l m h o l t z s c h e n Schaffens. Hier w a n d t e er sich m e h r u n d m e h r physikalischen Interessen z u , d i e i h n 1 8 7 1 , also m i t 5 0 Jahren, als H a u p t v e r t r e t e r der P h y s i k n a c h Berlin führten. 1 8 8 8 trat er v o n seiner a k a d e m i s c h e n T ä t i g k e i t zurück u n d v e r w a l t e t e als Präsident d i e durch Siemens' I n i t i a t i v e g e g r ü n d e t e P h y s i k a l i s c h - t e c h ­ nische R e i c h s a n s t a l t . E r starb 1 8 9 4 . S c h o n diese äußere Laufbahn k e n n z e i c h n e t H e l m h o l t z ' überragende, nicht auf e i n einzelnes F a c h b e s c h r ä n k t e B e d e u t u n g . E r w a r b i s z u s e i n e m T o d e der e i g e n t h c h e R e p r ä s e n t a n t der e x a k t e n N a t u r w i s s e n ­ schaften v o r der Öffentlichkeit, u m s o mehr, a l s e s i h m gelang, a u c h geseUschaftlich eine einzigartige Stellung z u g e w i n n e n . Seiner zentralen B e d e u t u n g e n t s p r e c h e n d , finden wir sein D e n k m a l als M i t t e l p u n k t v o r der U n i v e r s i t ä t i n Berlin auf g e s t e h t , gegen d i e S t r a ß e z u flankiert v o n W i h i e l m u n d A l e x a n d e r v o n H u m b o l d t , weiter rückwärts v o n M o m m s e n u n d Treitschke. E i n lebendiges B i l d v o n H e l m h o l t z ' W e s e n u n d W i r k e n gibt die große Biographie v o n L e o Koenigsberger, erschienen i n drei B ä n d e n bei V i e w e g ( 1 9 0 2 — 0 3 ) . Seine Wissenschaft hohe L e i s t u n g liegt v o r i n d e n g e s a m ­ m e l t e n wissenschaftlichen A b h a n d l u n g e n i n drei B ä n d e n , 1 8 8 2 — 9 5 herausgegeben bei Barth. D a s Charakteristische i n H e l m h o l t z ' wissenschaftlicher B e g a b u n g ist ihre Mannigfaltigkeit b e i großer I n t e n s i t ä t n a c h jeder Seite. E i n e b e s o n d e r e Gabe d e s q u a n t i t a t i v e n E x p e r i m e n t s , d e s B e o b a c h t e n s u n d Messens, die er durch s e l b s t ä n d i g e Arbeit bis zur V i r t u o s i t ä t e n t w i c k e l t e , v e r b a n d sich b e i i h m m i t einer ebenfalls a u s eigener Kraft g e s c h u l t e n F ä h i g k e i t der m a t h e m a t i s c h e n F o r m u h e r u n g . B e i d e s errang i h m d i e Herrschaft über d i e a u s e i n e m u n g e w ö h n h c h e n S c h a t z eindringender K e n n t n i s s e i m Gebiet der g e s a m t e n N a t u r w i s s e n s c h a f t g e s c h ö p f t e n Probleme. Darüber h m a u s aber ermöglichte i h m d i e F ä h i g k e i t philo­ s o p h i s c h e n D e n k e n s u n d d i e E m p f ä n g l i c h k e i t für alle Gebiete d e s L e b e n s die Erschaffung eines u m f a s s e n d e n , z u m G a n z e n g e r u n d e t e n W e l t b i l d e s , i n d a s sich d i e R e s u l t a t e seiner F o r s c h u n g organisch ein­ ordnen. I m g a n z e n überwiegt das begriffliche D e n k e n gegenüber a n s c h a u ­ licher Erfassung oder schöpferischer P h a n t a s i e . H e l m h o l t z ist kein B i o l o g e , der d i e breite Mannigfaltigkeit der L e b e w e s e n u m s p a n n t u n d in eine Ordnung z w m g t , w i e D a r w m ; er ist kern E n t d e c k e r physikalischer E r s c h e m u n g s w e l t e n w i e F a r a d a y , a u c h kein M a t h e m a t i k e r u m der M a t h e m a t i k selbst wiUen. Alle D i n g e reizen sein Interesse n u r i m R a h m e n d e s großen naturwissenschaftlichen Ganzen. D e m e n t s p r e c h e n d verzehrt sich sein T a l e n t nicht i n stürmischer

Helmholtz.

„Erhaltung der Kraft".

J u g e n d p r o d u k t i o n ; nur auf reicher Erfahrung u n d in langsamer E n t ­ wicklung k o n n t e es reifen, erhält sich d a n n aber frisch u n d lebendig bis ins h o h e Alter hinein. I n a n d e r e m Sinne wie F r a n z N e u m a n n m ö c h t e ich a u c h H e l m h o l t z als einen durchaus preußischen T y p b e ­ zeichnen, der in d e u t l i c h e m Gegensatz s t e h t z u d e m s ü d d e u t s c h e n oder a u c h niedersächsischen, wie ihn Gauß, R i e m a n n , Weierstraß v e r t r e t e n . W i r k ö n n e n hier nur H e l m h o l t z ' m a t h e m a t i s c h e Arbeiten verfolgen u n d a u c h b e i ihnen nur d a s W i c h t i g s t e hervorheben. D e m G e s a g t e n entsprechend, liegt H e l m h o l t z ' L e i s t u n g a u c h hier nicht i m Erwerb neuer m a t h e m a t i s c h e r G e d a n k e n a n s ä t z e , sondern in der A u s d e h n u n g der Herrschaft s c h o n vorhandener auf neue Gebiete. B e s o n d e r s dankbar w o ü e n wir b e t o n e n , d a ß H e l m h o l t z , gegenüber anderen S t r ö m u n g e n seiner Zeit, die außerordentlichen L e i s t u n g e n hervorgekehrt h a t , welche das m a t h e m a t i s c h e D e n k e n i m D i e n s t e allgemeiner Fragen vollbringen kann. A n erster Stelle n e n n e ich die kleine Schrift v o n 1847, die H e l m ­ holtz' R u h m b e g r ü n d e t e : Über die Erhaltung der Kraft, Mit heutiger Terminologie w ü r d e n wir v o n einer „ E r h a l t u n g der E n e r g i e " reden. H e l m h o l t z e n t w i c k e l t den Gedanken, d a ß eine Größe, e b e n die v o n uns jetzt als ,,Energie" b e z e i c h n e t e , erhalten bleibe, d a ß d a r u m ein p e r p e t u u m mobile — welches durch bloße A n o r d n u n g seiner Teile Arbeit aus „ N i c h t s " erzeugt — undenkbar sei. Dieser G e d a n k e lag d a m a l s in der Luft. I c h will die geschichtlichen Verhältnisse, die wir an vielen Stellen besprochen finden, hier n i c h t ausführen, sondern nur dies sagen, d a ß es sich, w e n n wir u n s auf Mechanik beschränken, u m d e n Satz T +U = h = c o n s t . h a n d e l t , w o T die kinetische, U die potentielle Energie eines b e t r a c h t e t e n m e c h a n i s c h e n S y s t e m s ist. N i m m t m a n n u n an, wie es zuerst bei B o s c o v i c h 1758, b z w . Laplace ca. 1820, u n d n o c h in den 4 0 er Jahren allgemein geschah, d a ß schheßlich alle N a t u r ­ erscheinungen auf d e m Spiel punktförmiger Massen beruhen, die sich wechselseitig in R i c h t u n g ihres A b s t a n d e s r n a c h irgend einer F u n k ­ tion f{r) anziehen, so ist die A l l g e m e i n g ü l t i g k e i t eines entsprechenden T h e o r e m s für d a s g e s a m t e Gebiet der N a t u r g e s c h e h n i s s e selbstver­ ständlich. E s war also H e l m h o l t z ' A u f g a b e weniger, diesen a l l g e m e i n e n Ge­ d a n k e n zu finden, als v i e l m e h r ihn durch alle i h m zugänglichen N a t u r ­ erscheinungen hindurch, s o w e i t Messungen vorlagen, m a t h e m a t i s c h z u verfolgen. D i e s e Aufgabe löste er in der Schrift v o n 1847 insbesondere für die P h ä n o m e n e der W ä r m e , der E l e k t r o s t a t i k u n d Magnetostatik, sowie der E l e k t r o d y n a m i k ; er schloß m i t A n d e u t u n g e n über die Gel­ t u n g desselben Gesetzes für die Lebenserscheinungen. Später (1887) h a t H e l m h o l t z i m A n s c h l u ß an die n o c h erst z u n e n n e n d e n A r b e i t e n der E n g l ä n d e r d e m g a n z e n G e d a n k e n a n s a t z eine viel weitere F o r m g e g e b e n . I n der Arbeit ,,Über die physikalische

Klein, Entwicklung der Mathematik.

15

226

ν.

Mechanik und Physik.

Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung" spricht er die B e h a u p ­ t u n g a u s , d a ß n i c h t nur d a s eine I n t e g r a l T + U = h, sondern die g e s a m t e n E n t w i c k l u n g e n , die sich a n die Differentialgleichungen der Mechanik a n s c h h e ß e n , a u c h für alle E r s c h e i n u n g e n der N a t u r ver­ bindlich s e i n m ü s s e n . Offenbar w a r diese E r w e i t e r u n g der s c h o n 1847 b e g o n n e n e n Ü b e r t r a g u n g m e c h a n i s c h e r B e t r a c h t u n g e n auf phy­ sikalische E r s c h e i n u n g e n für H e l m h o l t z k e i n erzwungener oder a u c h n u r deduzierter Gedanke. W i e er mir in persönlichem Gespräch v e r ­ sicherte — die Reise zur W e l t a u s s t e l l u n g in Chicago 1893 führte mich auf H i n - u n d R ü c k w e g für längere Zeit m i t i h m z u s a m m e n war i h m der allgemeine A n s a t z in b e i d e n F ä l l e n v o l l k o m m e n selbstverständlich. D e n n o c h ist a u c h s c h o n in der „ E r h a l t u n g der K r a f t " dieser all­ g e m e i n e A n s a t z eine große spezifische G e d a n k e n l e i s t u n g . Vor Hehnh o l t z schrieb m a n n ä m l i c h (obwohl dies bereits Lagrange in seiner mecanique analytique getan hatte) nicht T+U

=

h,

s o n d e r n T = U + h oder T—U==h. Hierin war U die sog. „ K r ä f t e ­ f u n k t i o n " , n i c h t aber T, sondern 2 T — i m e l e m e n t a r e n F a l l mv^ — die „ l e b e n d i g e Kraft". D e r S a t z h i e ß also in W o r t e n : D i e halbe leben­ dige Kraft, v e r m i n d e r t u m die K r ä f t e f u n k t i o n b l e i b t k o n s t a n t . E r s t durch H e l m h o l t z , der U a n Stelle v o n — U s e t z t e , erhielt er die so v i e l m e h r b e d e u t e n d e , die Vorstellung fixierende u n d zugleich v i e l handlichere F o r m einer k o n s t a n t e n S u m m e , b e i der die a u f b a u e n d e n Teilgrößen T u n d U v ö l l i g s y m m e t r i s c h u n d innerlich gleichwertig auftreten. Erst j e t z t k a n n m a n v o n d e m „ S a t z der E r h a l t u n g der E n e r g i e " s p r e c h e n . D e r Erfolg der H e l m h o l t z s c h e n Schrift war durchaus n i c h t ein u n ­ mittelbarer. D i e physikalische Z e i t s t r ö m u n g , die i m Widerspruch g e g e n die vorschneUen Schlüsse der N a t u r p h i l o s o p h i e ^ e n t s t a n d e n war, h e g t e die s t ä r k s t e A b n e i g u n g , ja selbst Mißtrauen g e g e n alles d e d u k t i v e D e n k e n . S o l e h n t e Poggendorff die A u f n a h m e der H e l m h o l t z s c h e n Arbeit in die A n n a l e n a b , u n d erst d u B o i s - R e y m o n d s B e m ü h u n g e n gelang es, ihr einen Verleger z u verschaffen. V o n d e n A k a d e m i k e r n Berlins h a t n u r J a c o b i sofort ihre B e d e u t u n g erkannt. Dirichlet ist in allen diesen A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n n i c h t hervorgetreten. D i e in d e n Zeitverhältnissen b e g r ü n d e t e A b l e h n u n g wird auch den h e u t i g e n Leser der Schrift n i c h t w u n d e r n e h m e n . S c h o n die T e r m i n o ­ logie ist u n s befremdlich. W i r sind g e w ö h n t , nur das P r o d u k t aus Masse u n d B e s c h l e u n i g u n g als „ K r a f t " z u b e z e i c h n e n . H e l m h o l t z h i n g e g e n spricht v o n der „ l e b e n d i g e n K r a f t " T u n d der „ S p a n n k r a f t " U, w o r a u s sich a u c h der Titel der A b h a n d l u n g erklärt. F e m e r g e h t der eigentlichen U n t e r s u c h u n g eine apriorische B e t r a c h t u n g v o r a u s , die der strenge Naturforscher nur m i t W i d e r s t r e b e n s t u d i e r t u n d als z w i n g e n d g e w i ß n i c h t a n e r k e n n e n k a n n . I n ihr spiegelt sich K a n t i s c h e r E i n f l u ß , der

Helmholtz.

„Erhaltung der Kraft".

Hydrodynamik.

227

H e l m h o l t z das Ideal einer reinen D e d u k t i o n aus obersten Grundsätzen vorsetzte. Schließlich sind a u c h die Einzelausführungen vielfach t a s t e n d u n d u n v o l l s t ä n d i g , d e m lückenhaften L i t e r a t u r s t u d i u m e n t ­ sprechend, w i e es sich H e l m h o l t z in seiner P o t s d a m e r A b g e s c h i e d e n h e i t ermöglicht h a t t e . D i e s e Erstlingsarbeit läßt sich stüistisch also n i c h t e t w a vergleichen m i t der klassischen V o l l e n d u n g u n d U n n a h b a r k e i t , die Gauß v o n A n f a n g a n b e s a ß u n d die H e l m h o l t z auch in seinen späteren Arbeiten, welche wir n u n b e t r a c h t e n wollen, w e d e r erreichte n o c h a u c h nur anstrebte. E s sind dies die großen, gerade für die M a t h e m a t i k b e d e u t u n g s v o l l s t e n Schöpfungen der Heidelberger Zeit. Sie b e z i e h e n sich in erster Linie auf die Lehre v o n den S i n n e s ­ e m p f i n d u n g e n , auf A u g e u n d Ohr, welche H e l m h o l t z , u n t e r s t ü t z t v o n einer selten feinen, künstlerischer Erfassung fähigen Sinnesorganisation u n d geleitet v o n s t a r k e m , e r k e n n t n i s t h e o r e t i s c h e m Interesse, zu schaffen g a n z besonders befähigt war. Zwei große W e r k e k o m m e n in B e t r a c h t : 1. 1 8 6 3 : Die Lehre von den Tonempfindungen, als „physiologische Grundlage für die Theorie der Musik"; 2. 1 8 6 7 : Handbuch der physiologischen Optik, w o r a n sich n o c h 3. 1 8 6 5 — 7 0 die erste A u s g a b e der w e i t v e r b r e i t e t e n „populären wissenschaftlichen Vorträge" schließt. D i e letzteren, e n t s t a n d e n aus d e m „naturhistorisch-medizinischen Verein", e n t h a l t e n schwierigste P r o ­ b l e m e in einer a u c h d e m NichtSpezialisten v e r s t ä n d l i c h e n , durchsich­ tigen Form. F ü r u n s ist d a s e r s t g e n a n n t e W e r k besonders w i c h t i g , aber m e h r n o c h die m a t h e m a t i s c h - p h y s i k a l i s c h e n A r b e i t e n , die bei d e n Vor­ s t u d i e n d a z u e n t s t a n d e n . W i r n e n n e n die b e i d e n A b h a n d l u n g e n zur Hydrodynamik: 1. 1858, CreUe B d . 5 5 : Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. 2. 1860, Crelle B d . 5 7 : Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden, D i e erste e n t h ä l t die b e r ü h m t e n aUgemeinen Sätze über W k b e l b e w e g u n g u n d die besondere Lehre v o n den Kreiswirbeln . W ä h r e n d m a n sich bis dahin m i t d e m S t u d i u m sog. P o t e n t i a l b e w e g u n g e n b e g n ü g t h a t t e , b e d e u t e n diese S ä t z e einen großen Fortschritt der h y d r o d y n a ­ m i s c h e n Theorie der sog. idealen F l ü s s i g k e i t e n in R i c h t u n g auf die Erfassung der wirklichen E r s c h e i n u n g e n hin. Länger als andere Gebiete ist ja die H y d r o d y n a m i k der m a t h e m a t i s c h e n B e h a n d l u n g unzugängUch g e w e s e n , weil ihre Differentialgleichungen nicht linear sind. A u c h die H e l m h o l t z s c h e B e h a n d l u n g ließ n o c h Verbesserung u n d V e r v o U k o m m 1) Dieselben Wirbelsätze hat ungefähr gleichzeitig auch D i r i c h l e t gefunden. Dirichlets Untersuchungen wurden unmittelbar nach seinem Tode von Dedekind herausgegeben (vgl. Dirichlets Werke, Bd. 2, S. 363ff). 15*

ν.

Mechanik und Physik.

n u n g z u . W i e ich gleich hier b e m e r k e n w i h , w u r d e n seine Sätze w e i t ein­ facher a b g e l e i t e t v o n W . T h o m s o n 1 8 6 8 — 6 9 in einer großen A b h a n d ­ l u n g „On Vortex Motion". I n ihr tritt als n e u e s w i c h t i g e s M o m e n t der Begriff der Zirkulation der Flüssigkeit längs einer K u r v e hervor. A u c h i n H m s i c h t auf Strenge lassen die H e l m h o l t z s c h e n A u s f ü h r u n g e n m a n ­ ches v e r m i s s e n . Dieser Mangel jedoch, der v i e l e n m a t h e m a t i s c h e n P h y ­ sikern e i g n e t , soll hier n i c h t b e t o n t w e r d e n , d a er gegenüber d e m posi­ t i v e n W e r t der U n t e r s u c h u n g e n n i c h t ins G e w i c h t fäht. D i e z w e i t e H e l m h o l t z s c h e A b h a n d l u n g e n t h ä l t die ersten, d e n Greenschen E n t w i c k l u n g e n zur P o t e n t i a l t h e o r i e e n t s p r e c h e n d e n Sätze über ZIi^ + = 0, — die B e h a n d l u n g v o n R a n d w e r t a u f g a b e n dieser Differentialgleichung, w i e wir h e u t e s a g e n w ü r d e n . A u c h diese U n t e r ­ s u c h u n g e n sind n i c h t e t w a streng i m Sinne der h e u t i g e n M a t h e m a t i k , sondern d u r c h s e t z t m i t u n g e k l ä r t e n A n s c h a u u n g s m o m e n t e n , u n d — eben darum — bahnbrechend. I m übrigen w u r d e H e l m h o l t z E n d e der 6 0 er Jahre m i t R i e m a n n s Schriften b e k a n n t , die s e m lebhaftes Interesse erregten, so d a ß er sie auf allen R e i s e n m i t sich z u n e h m e n pflegte. Sie w a r e n es vor aUem, die H e l m h o l t z a l l m ä h h c h i m m e r m e h r v o n der P h y s i o l o g i e fortführten u n d für m a t h e m a t i s c h - p h y s i k a l i s c h e F r a g e n g e w a n n e n . D i e b e i d e n Ver­ ö f f e n t l i c h u n g e n v o n 1868 g e b e n d a v o n Z e u g n i s : 1. Berliner M o n a t s b e r i c h t e : DiskontinuierlicheFlüssigkeitsbewegungen; 2. Göttinger N a c h r i c h t e n : Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen. D i e erste A b h a n d l u n g b e d e u t e t w i e d e r u m e i n e n großen Fortschritt auf eine der W i r k h c h k e i t e n t s p r e c h e n d e H y d r o d y n a m i k h i n . Sie b e h a n ­ d e l t die freie S t r a h l b i l d u n g bei P o t e n t i a l b e w e g u n g e n u n d erledigt in der v o n R i e m a n n eingeführten W e i s e die e m f a c h s t e n FäUe des e b e n e n P r o b l e m s durch die Mittel der k o n f o r m e n A b b i l d u n g . D a s Problern w u r d e b a l d v o n Kirchhoff weitergeführt. A u c h z u der z w e i t e n A b h a n d l u n g , die zwar, aus H e l m h o l t z ' philo­ s o p h i s c h e m Bedürfnis e n t s p r m g e n d , lange in i h m vorbereitet gelegen h a b e n m a g , g a b Riemann" d e n A n s t o ß ; u n d zwar durch seine U n t e r ­ s u c h u n g e n „ Ü b e r die H y p o t h e s e n , die der Geometrie z u Grunde liegen", d i e 1854 bereits als H a b ü i t a t i o n s v o r t r a g g e h a l t e n , aber erst 1868 ver­ öffentlicht w u r d e n . W i e s c h o n b e i früherer Gelegenheit e r w ä h n t , d e n k t sich R i e m a n n d a s B o g e n e l e m e n t des R a u m e s durch eine quadratische F o r m ds^ = ZaiT^dXidxT, g e g e b e n , u n d schließt daran eine Klassifi­ k a t i o n der v e r s c h i e d e n e n q u a d r a t i s c h e n Differentialformen u n d der i h n e n e n t s p r e c h e n d e n Geometrien. H e l m h o l t z greift n o c h eine Stufe weiter zurück, i n d e m er v o n der E x i s t e n z frei b e w e g h c h e r starrer Körper a u s g e h t u n d zeigt, d a ß die Gleichsetzung des ds^ m i t einer solchen q u a d r a t i s c h e n F o r m — die d a n n aber gleich spezieller Art ist — bereits n o t w e n d i g aus dieser T a t s a c h e folgt.

Helmholtz' öffentliche Stellung.

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Wir h a b e n u n s n u n schließhch m i t H e l m h o l t z ' T ä t i g k e i t als P h y ­ siker in Berlin zu beschäftigen. W i e wir bereits erwähnten, n a h m H e l m ­ h o l t z dort eine große repräsentative Stellung ein. Seine wissenschaft­ lichen V e r p f h c h t u n g e n b e s t a n d e n in der L e i t u n g des n u n erst e i n ­ gerichteten physikalischen I n s t i t u t s u n d in d e m H a l t e n der allgemeinen Vorlesung über E x p e r i m e n t a l p h y s i k n e b s t Spezialvorlesungen über die verschiedensten Teile der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k . D i e s e wurden später v o n König, Krigar-Menzel, R u n g e u n d Richarz h e r a u s g e g e b e n u n d e n t h a l t e n in vorzüglich lesbarer Darstellung fast alle Gebiete der t h e o ­ retischen P h y s i k ; D y n a m i k diskreter Massenpunkte u n d kontinuierlich verbreiteter Massen, Akustik, E l e k t r o d y n a m i k u n d Magnetismus, elektro­ m a g n e t i s c h e Licht theorie, W ä r m e . I n dieser F o r m h a b e n die Vorlesungen jedenfaUs eine ihrem reichen Gedankeninhalt entsprechendere W i r k u n g als b e i m m ü n d l i c h e n Vor­ trag. H e l m h o l t z b e h a n d e l t e n ä m l i c h diesen Teil seiner Lehrtätigkeit (überhaupt seine Vorlesungen) recht stiefmütterlich, i n d e m er sich s o g u t wie gar n i c h t auf sein Kolleg vorbereitete, w ä h r e n d er doch anderer­ seits nicht zu improvisieren v e r s t a n d . D e r Grund für dies V e r h a l t e n ist in der u n g e h e u r e n Ü b e r l a s t u n g zu suchen, der er in Berlin m e h r als je ausgesetzt war. Große repräsentative P f h e b t e n n a h m e n ihn fort­ w ä h r e n d in Anspruch. E r war Berater des Ministeriums in allen ein­ schlägigen F r a g e n , h a t t e Vertretungen offizieUer Art auf internatio­ n a l e n K o n g r e s s e n zu ü b e r n e h m e n u s w . u n d w i d m e t e n e b e n b e i noch einen Teil seiner Zeit u n d Kraft populären Vorträgen, die ihn i m I n u n d A u s l a n d auf R e i s e n führten. D e n n o c h gelang es H e l m h o l t z durch p r i v a t e A n l e i t u n g in s e i n e m L a b o r a t o r i u m eine ganze R e i h e wirklich hervorragender Schüler zu erziehen m i t freiem U m b l i c k u n d experimenteller Selbständigkeit, unter d e n e n als der B e d e u t e n d s t e nur H e i n r i c h H e r t z g e n a n n t sein m ö g e . V o n den großen Kongressen, auf d e n e n H e l m h o l t z eine H a u p t r o l l e spielte, ist der b e r ü h m t e s t e der wesentlich v o n i h m u n d W ü l i a m T h o m ­ son geführte ,,elektrische K o n g r e ß " 1881 in Paris, auf d e m u n t e r d e m Vorsitz des Verkehrsministers Cochery die internationalen M a ß e : Volt, Coulomb, O h m , Ampere, F a r a d festgelegt wurden. Sehr bedauernswert ist, d a ß H e l m h o l t z hier die N a m e n G a u ß u n d Weber, a n die sich doch die E n t s t e h u n g des a b s o l u t e n M a ß s y s t e m s auf e l e k t r o m a g n e t i s c h e m Gebiete w e s e n t l i c h anknüpft, n i c h t zu genügender Geltung h a t bringen k ö n n e n . D i e B e z e i c h n u n g „ G a u ß " für die E i n h e i t der m a g n e t i s c h e n F e l d s t ä r k e wurde erst später auf englischen Vorschlag durchgesetzt. N e b e n d e n nationalen' G e g e n s ä t z e n m a g hier noch ein anderer U m ­ s t a n d h e m m e n d eingewirkt h a b e n , das ist der s c h o n mehrfach e r w ä h n t e große Streit u m d a s W e b e r s c h e e l e k t r o d y n a m i s c h e Grundgesetz, in d e n H e l m h o l t z Anfang der 7 0 er Jahre h i n e i n g e z o g e n wurde. D i e z. T. sehr heftige P o l e m i k , die auf der Gegenseite v o n C N e u m a n n geführt

230

ν.

Mechanik und Physik.

wurde, h a t — w i e m a n jetzt w o h l s a g e n darf — als einziges E r g e b n i s die n i c h t n e u e E i n s i c h t gezeitigt, d a ß derartige F r a g e n n i c h t durch D i a l e k t i k e n t s c h i e d e n w e r d e n k ö n n e n , sondern allein durch das E x p e r i ­ m e n t . I n d e m Augenblick, w o H e r t z durch d e n Versuch n a c h w i e s , d a ß die elektrische Kraft zur F o r t p f l a n z u n g i m leeren R ä u m e Zeit g e b r a u c h t , d a ß sie sich in W e l l e n ausbreitet, war W e b e r s Gesetz, w e l c h e s instantane Femwirkung voraussetzt, überwunden. H e l m h o l t z h a t in seinen Berliner J a h r e n fast a h e Gebiete der m a t h e ­ m a t i s c h e n P h y s i k R e v u e passieren lassen u n d , i n d e m er hier u n d dort eingriff, vielseitige A n s t ö ß e g e g e b e n . A m m e r k w ü r d i g s t e n in dieser H i n s i c h t ist mir i m m e r seine 1882 in L o n d o n g e h a l t e n e „FaradayLecture" erschienen, in der klar herausgearbeitet vorliegt, d a ß wir der Elektrizität — übrigens g e n a u w i e W e b e r es w o l l t e — w e g e n der elektro­ c h e m i s c h e n T a t s a c h e n a t o m i s t i s c h e S t r u k t u r beilegen m ü s s e n , u n d sie also n i c h t m i t d e m Ä t h e r , d e n wir u n s kontinuierlich d e n k e n , identifi­ zieren dürfen. D i e s e L e i s t u n g v o n H e l m h o l t z , die den A u s g a n g s p u n k t der h e u t i g e n E l e k t r o n e n t h e o r i e bildet, ist u m so bewundernswerter, als H e l m h o l t z in seinen ausgeführten A r b e i t e n immer P h ä n o m e n o l o g e g e b l i e b e n ist. I c h k a n n diese hervorragende Persönlichkeit n i c h t verlassen, ohne a u c h ihrer W i r k u n g Grenzen a b z u s t e c k e n , i n d e m ich w e n i g s t e n s erwähne, d a ß selbst dieser vielseitigen Auffassung einiges versagt blieb. I c h n e n n e nur e i n e n P u n k t : Seiner begrifflichen, d e m eigentlich t e c h n i s c h e n Geist a b g e w a n d t e n N a t u r e n t s p r e c h e n d pflegte H e l m h o l t z eine fast m i ß t r a u i s c h e Z u r ü c k h a l t u n g gegenüber j u n g e m s t ü r m i s c h e m Erfinder­ geist. D i e s e s V e r h a l t e n m u ß t e bei seiner u n g e w ö h n l i c h e n S t e l l u n g u n d s e i n e m E i n f l u ß auf die l e i t e n d e n s o w o h l als auf die finanziell l e i s t u n g s ­ fähigen K r e i s t v o n großer W i r k u n g sein. U n d in der T a t h a t der j ü n g s t e Zweig unserer T e c h n i k deutlich darunter zu leiden g e h a b t : die Flieger­ k u n s t . I n einer —- übrigens in den E i n z e l r e s u l t a t e n selbstverständlich richtigen — A r b e i t v o n 1873 war H e l m h o l t z auf Grund v o n B e t r a c h ­ t u n g e n über m e c h a n i s c h e Ä h n l i c h k e i t z u einer geringen E i n s c h ä t z u n g der Möglichkeiten des m e c h a n i s c h e n F l u g e s g e l a n g t . E n t s t e l l t durch die laienhafte A u s l e g u n g der Öffentlichkeit h a t dieses U r t e i l g a n z sicher die E n t w i c k l u n g länger h i n t a n g e h a l t e n , als es ihr natürlicher Verlauf ver­ langt hätte. Leider m u ß ich m i t H e l m h o l t z die m a t h e m a t i s c h e P h y s i k in D e u t s c h ­ land u n d Österreich verlassen, o h n e i m e n t f e r n t e s t e n a l l e m W e r t v o l l e n u n d I n t e r e s s a n t e n gerecht g e w o r d e n zu sein. Ich m u ß m i c h d e m l e t z t e n A b s c h n i t t dieses K a p i t e l s z u w e n d e n , der Mathematischen Physik in Eng­ land, die zwar m i t der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k in D e u t s c h l a n d in der Periode, die u n s interessiert, m a n n i g f a c h e F ü h l u n g h a t , aber d o c h i m g a n z e n u n a b h ä n g i g ihre großen B a h n e n zieht.

England.

Green.

MacCullagh.

231

V o n d e m A u t o d i d a k t e n G r e e n (1793—1841), (ein B a n d „Mathem a t i c a l Papers", L o n d o n 1871), der 1828 in N o t t i n g h a m seine b a h n ­ brechende, aber z u n ä c h s t k a u m b e a c h t e t e Schrift „An Essay on the Appli­ cation of mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism" erscheinen h e ß , h a b e n wir bereits gesprochen. Er k a m erst m i t 4 0 Jahren n a c h Cambridge u n d hat dort n o c h eine R e i h e wichtiger A b h a n d l u n g e n veröffentlicht, v o n d e n e n wir hier nur die über die Anziehung des EUipsoids (1835) n e n n e n w o l l e n ; diese U n t e r s u c h u n g verdient v o r seinen w i c h t i g e n Beiträgen zur A k u s t i k u n d Optik ein besonderes m a t h e m a t i s c h e s Interesse, w e i l sie gleich für η D i m e n s i o n e n durchgeführt wird — l a n g e ehe die beschriebene E n t w i c k l u n g der fj-dimensionalen Geometrie in D e u t s c h l a n d b e g a n n . I n paraUeler Linie m i t Green steht der in D u b h n a m T r i n i t y CoHege (neben H a m i l t o n u n d Sahnon) tätige M a c C u l l a g h (1809-47), ein hervorragendes geometrisches Talent, d e m aber nur eine kurze Wir­ k u n g s d a u e r beschieden war, d a er sich selbst das L e b e n n a h m . Seine „CoUected W o r k s " sind in e i n e m B a n d e 1880 in D u b l i n erschienen. B e s o n d e r s b e m e r k e n s w e r t ist eine A b h a n d l u n g MacCullaghs v o n 1 8 3 9 : An Essay towards α dynamical theory of reflexion and refraction (Dublin, Transactions, B d . 2 1 ; der B a n d als solcher ist erst 1848 heraus­ g e k o m m e n ) . Hier gibt er der Fr^snelschen Theorie eine g e d a n k h c h g a n z n e u e Grundlage, die d a r u m so b e d e u t u n g s v o l l ist, w e i l sie, w a s d i e m a t h e m a t i s c h e n F o r m e l n angeht, die elektromagnetische L i c h t ­ theorie g e n a u antizipiert. D i e s e höchst e i g e n t ü m h c h e Sache m ö c h t e ich hier d o c h kurz erläutern, u m so heber, als sie d e n h e u t e ü b h c h e n m a t h e m a t i s c h - p h y s i k a l i s c h e n S t u d i e n n o c h ganz n a h e h e g t . E s seien u, v, w die infinitesimalen Verschiebungen eines K o n t i n u u m s . V o n besonderer B e d e u t u n g sind d a n n die n e u n partiellen Differentialquotienten: du

dv_

dw_

du

dx'

dx'

dx'

dy'

dw dz'

A u s ihnen s e t z e n sich die sechs Verbindungen z u s a m m e n du d~x'

dv Yy'

dw Tz'

^ _l_

dw

du

^^f^^

dz ~^dy'

d^~^

Vz'

dy~^Fx'

welche die Verzerrung (Deformation) des V o l u m e n e l e m e n t e s festlegen, u n d die drei Vz^dV'

¥7~Ύ'

Vy^Yx'

welche die -— m i t — 2 multiplizierte — D r e h u n g des V o l u m e l e m e n t e s b e s t i m m e n . Erstere ergeben n a c h moderner Terminologie einen Tensor, l e t z t e r e e i n e n Vektor.

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ν.

Mechanik und Physik.

D e r a l l g e m e i n s t e A n s a t z der E l a s t i z i t ä t s l e h r e — u n d d a m i t der „ e l a s t i s c h e n " Optik — operiert n u n m i t der A n n a h m e , d a ß d a s P o t e n ­ tial der elastischen D e f o r m a t i o n e i n e F u n k t i o n , speziell eine quadra­ t i s c h e F u n k t i o n der sechs, d e n Tensor b e s t i m m e n d e n Größen sei. I n dieser W e i s e w u r d e der G e d a n k e insbesondere v o n Green durchgeführt in seiner b e r ü h m t e n A b h a n d l u n g v o n 1837. S t a t t d e s s e n h a t t e MacCuUagh d e n Einfall u n d d e n Mut, das P o ­ t e n t i a l v o n d e n drei, d e n V e k t o r b e s t i m m e n d e n Größen a b h ä n g i g z u m a c h e n , i n d e m er beispielsweise für Kristalle schrieb:

D e r Erfolg zeigte, d a ß er m i t d i e s e m A n s a t z d e n Fresnelschen Gesetzen der B r e c h u n g u n d R e f l e x i o n in Kristallen o h n e allen Z w a n g , nur n a c h d e n R e g e l n der a n a l y t i s c h e n Mechanik operierend, g e n a u gerecht w e r d e n konnte! T r o t z d e m traf er auf d e n g r ö ß t e n Widerspruch u n d fiel fürs erste der N i c h t b e a c h t u n g a n h e i m . I n der T a t b e d e u t e t e der A n s a t z z u n ä c h s t nur e i n e n rein p h ä n o m e n o l o g i s c h e n F o r t s c h r i t t : d i e H e r s t e l l u n g v o n m a t h e m a t i s c h e n F o r m e l n , die d e m üblichen S c h e m a der Mechanik u n d zugleich d e n R e s u l t a t e n der B e o b a c h t u n g vortrefflich entsprechen, deren tiefere B e d e u t u n g m a n aber n i c h t v e r s t e h t . P h y s i k a l i s c h b e s a g t e n ä m ­ lich MacCuUaghs A n s a t z , d a ß d a s P o t e n t i a l n i c h t v o n der D e f o r m a t i o n d e s V o l u m e n e l e m e n t e s , sondern v o n seiner D r e h u n g g e g e n d e n a b s o ­ l u t e n R a u m a b h ä n g e n sollte, u n d d a s schien in der T a t absurd. E s g e l a n g freilich W . T h o m s o n , sich ein M e d i u m — in dessen Zellgerüst er rotierende Kreisel v o n z w e i Freiheitsgraden h i n e i n s e t z t e — so a u s ­ z u d e n k e n , d a ß seine p h y s i k a l i s c h e B e h a n d l u n g auf MacCuUaghs F o r ­ m e l n führen m u ß t e , w e n i g s t e n s für ein Zeitintervall v o n mäßiger D a u e r . W a r a u c h diese I n t e r p r e t a t i o n ziemlich g e q u ä l t , u n d w o h n t e d e n MacCuUaghschen F o r m e l n in der T a t erst L e b e n inne, als sich die e l e k t r o m a g n e t i s c h e n V o r s t e l l u n g e n d a m i t v e r b a n d e n , so ist d o c h diese m e h r t a s t e n d e als zielende G e d a n k e n w e n d u n g so e i g e n t ü m l i c h u n d b e m e r k e n s w e r t , d a ß ich sie d o c h n i c h t übergehen m o c h t e . Green u n d MacCuUagh shid in ihrer B e d e u t u n g isolierte Erschei­ n u n g e n ; ihren kontüiuierlichen u n d g l ä n z e n d e n A n s t i e g n i m m t die m a t h e m a t i s c h e P h y s i k in E n g l a n d erst, seit A n f a n g der 4 0 er J a h r e u n t e r d e n j u n g e n T a l e n t e n in Cambridge S t o k e s u n d W i l l i a m T h o m ­ s o n hervortreten. Ersterer ist E n g l ä n d e r i m engeren S i n n e ; geboren 1819 in Skreen in Irland, b e g m n t er m i t s e m e n ersten Veröffentlichungen 1842. S e i n e W e r k e liegen v o r in fünf B ä n d e n „ M a t h e m a t i c a l a n d P h y s i c a l P a p e r s " (Bd. 5 e n t h ä l t eüien i n t e r e s s a n t e n Nachruf v o n Lord R a y l e i g h ) . S t o k e s ist v o n 1837 bis zu s e i n e m T o d e 1903, d. h. 6 6 Jahre lang d a u e r n d in Cambridge g e w e s e n u n d h a t , z u n ä c h s t als Forscher, später als Lehrer

stokes.

W. Thomson.

u n d Verwalter eine weitreichende, stetige, durch seine g ü t i g e Persön­ lichkeit sehr segensreiche T ä t i g k e i t a u s g e ü b t . W i l l i a m T h o m s o n , der spätere L o r d K e l v i n (1824—1907), wurde 1824 i m nördlichen Irland — d e m E i n w a n d e r u n g s g e b i e t so vieler S c h o t t e n — in B e l f a s t geboren, w o sein Vater bereits Mathe­ matikprofessor war, so d a ß hier ein interessanter F a h v o n Erblichkeit vorliegt, z u m a l WiUiams älterer Bruder J a m e s ebenfalls ein b e a c h t e n s ­ werter Theoretiker (Gefrierpunktserniedrigung durch Druck) g e w e s e n ist. Der Vater T h o m s o n wurde 1832 an die U n i v e r s i t ä t Glasgow berufen, w o n u n der K n a b e W i l l i a m unter persönlicher L e i t u n g des Vaters aufwuchs u n d s c h o n 1834 — i m Alter v o n z e h n J a h r e n — an die U n i v e r s i t ä t k a m , w o b e i freilich in Erinnerung z u bringen ist, d a ß das alte Glasgower CoUege e t w a d e n Oberklassen unserer G y m n a s i e n entsprach. T h o m s o n b e s u c h t e dort den Unterricht, bis er 1841 Cam­ bridge b e z o g . Seine Studienzeit wurde abgeschlossen 1845 durch eine Reise n a c h Paris, die v o n g r o ß e m Einfluß auf ihn war. 1846 wurde er bereits selbst z u m „professor of N a t u r a l P h ü o s o p h y " n a c h Glasgow berufen, w o er n u n bis zu s e i n e m T o d e 1907 — auch n a c h seiner E m e r i t i e r u n g 1899 — blieb. Man m u ß w o h l S c h o t t e sein, u m die A n h ä n g l i c h k e i t z u verstehen, die W . T h o m s o n zeitlebens für seine V a t e r s t a d t h e g t e . Glasgow ist eine riesenhafte F a b r i k s t a d t m i t besonders h o h e n Schloten für die A b ­ gase der c h e m i s c h e n Industrie, äußerst flach in einer Mulde a m CIyde gelegen u n d , d e m s c h o t t i s c h e n K l i m a e n t s p r e c h e n d , fast immer v o n einer schwarzen R a u c h w o l k e überlagert. E i n kleines N e b e n f l ü ß c h e n d e s Clyde ist übrigens der B a c h K e l v i n , n a c h w e l c h e m sich T h o m s o n , als er 1892 geadelt wurde, d e n N a m e n Lord K e l v i n beilegte. T h o m s o n e n t f a l t e t e in s e i n e m langen L e b e n eine u n e r m ü d l i c h e T ä t i g k e i t auf d e m Gebiet der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k , ihrem U n t e r ­ richt u n d ihren t e c h n i s c h e n A n w e n d u n g e n . Seine Arbeiten b e g i n n e n s c h o n 1840, i m Alter v o n 16 Jahren, als er m i t s e i n e m Vater eine erste R e i s e n a c h D e u t s c h l a n d m a c h t e u n d sich Fouriers „Theorie de Ia c h a leur" z u m S t u d i u m m i t g e n o m m e n h a t t e . W i e bei F r a n z N e u m a n n , so h a t a u c h bei T h o m s o n Fouriers A n r e g u n g d e n F u n k e n aus d e m Stein geschlagen. E s folgt n u n eine reiche, m e i s t sich in kurzen, treffenden B e m e r ­ kungen ausgebende Produktivität. A m Schluß seiner Cambridger Studienzeit h a t t e T h o m s o n bereits 16 Aufsätze veröffentlicht! Die ersten sind rein m a t h e m a t i s c h e r N a t u r ; sie befassen sich m i t P o t e n ­ tialtheorie, E l e k t r o s t a t i k u n d W ä r m e l e i t u n g . 1845 aber erhielt T h o m s o n in Paris starke A n r e g u n g e n durch R e g n a u l t n a c h Seite der q u a n t i t a t i v e n Messung. E s b e g m n t n u n bald in Glasgow seine t h e r m o d y n a m i s c h e Periode. F a s t gleichzeitig m i t Clausius h a t t e sich T h o m s o n m i t der Schwierigkeit auseinanderzusetzen, welche sich ergab, w e n n Carnots

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V. Mechanik und Physik.

Ü b e r l e g u n g e n über die W i r k s a m k e i t der W ä r m e m a s c h i n e n m i t der K o n s t a n z der E n e r g i e in E i n k l a n g gebracht w e r d e n sollten. A n diese Periode schließt sich die m a t h e m a t i s c h e D u r c h a r b e i t u n g der elek­ trischen, m a g n e t i s c h e n u n d elastischen Theorie n a c h d e n n e u g e w o n n e n e n Prinzipien. E n d e der 5 0 e r Jahre b e g i n n t d a n n T h o m s o n s großartige, w o h l einzig d a s t e h e n d e , praktische B e t ä t i g u n g , z u n ä c h s t veranlaßt durch die Bedürfnisse der Kabeltelegraphie. 1858 w u r d e n ä m l i c h das erste K a b e l v o n E n g l a n d n a c h A m e r i k a gelegt, das jedoch b a l d v e r s a g t e — infolge der A n w e n d u n g z u starker S t r ö m e , w i e T h o m s o n feststellte — , b i s 1866 die feste V e r b i n d u n g b e i m dritten Versuch e n d g ü l t i g g l ü c k t e . D i e s e J a h r e u m f a s s e n eine der d e n k w ü r d i g s t e n P e r i o d e n in der Ge­ schichte technischer Leistungsfähigkeit. I n dieser E n t w i c k l u n g w a r W . T h o m s o n der e i g e n t h c h führende Geist, der durch die K o n s t r u k t i o n zuverlässiger I n s t r u m e n t e u n d M e t h o d e n s c h h e ß h c h a ü e Schwierig­ k e i t e n ü b e r w a n d . Als N e b e n r e s u l t a t dieser T ä t i g k e i t gelang T h o m s o n eine unvergleichliche Verbesserung fast aller n a u t i s c h e n I n s t r u m e n t e . O h n e s e i n e n k o m p e n s i e r t e n K o m p a ß , sein Tiefenlot usw. läßt sich eine rationelle Schiffahrt h e u t e n i c h t m e h r d e n k e n . D u r c h diese Erfolge erwarb T h o m s o n ein großes V e r m ö g e n u n d eine u n v e r g l e i c h h c h e P o p u l a r i t ä t . E r w u r d e z u m M i t t e l p u n k t reichster gesellschaftlich-repräsentativer B e z i e h u n g e n , darin a n H e l m h o l t z g e m a h ­ n e n d , w i e n o c h durch d e n besonderen U m s t a n d , d a ß a u c h er in zweiter E h e m i t einer gesellschaftlich sehr g e w a n d t e n u n d ehrgeizigen F r a u verheiratet war. W i e stark diese D i n g e in T h o m s o n s L e b e n eingriffen, h a t t e ich selbst z u b e o b a c h t e n Gelegenheit bei e i n e m B e s u c h , der m i c h 1 8 9 9 z u i h m führte. T h o m s o n zeigte mir m i t der i h m eigenen L i e b e n s ­ w ü r d i g k e i t u n d l e b h a f t e s t e m sachlichen Interesse sein Laboratorium, als die D a m e des H a u s e s erschien u n d v o n d i e s e m A u g e n b h c k a n in e i n e m großen, aUer I n t i m i t ä t baren Kreise jede persönliche B e z u g n a h m e durch k o n v e n t i o n e U e gesellschaftliche F o r m völlig a b g e s c h n i t t e n war. T r o t z dieser u n g e h e u r e n B e a n s p r u c h u n g n a c h geseUschaftlicher Seite arbeitete T h o m s o n u n a u s g e s e t z t weiter, selbst auf Erholungsausflügen, die er auf seiner Y a c h t u n t e r n a h m . U n a b l ä s s i g s u c h t e er n a c h d e m m e c h a n i s c h e n V e r s t ä n d n i s aller V o r g ä n g e — sein ideales Ziel bis a n s E n d e s e m e r L a u f b a h n . I n t e r e s s a n t sind in dieser H i n s i c h t seine „ B a l t i ­ m o r e lectures" v o n 1884, erschienen 1904, w o auf die v e r s c h i e d e n s t e W e i s e v e r s u c h t wird, sich durch m e c h a n i s c h e Modelle v o n d e n wider­ s p r e c h e n d e n E i g e n s c h a f t e n des L i c h t ä t h e r s eine V o r s t e l l u n g z u m a c h e n . D i e e l e k t r o m a g n e t i s c h e Lichttheorie h a t T h o m s o n Zeit seines L e b e n s abgelehnt. E n g l a n d ließ Lord K e l v i n die größte E h r e z u t e ü werden, die es s e i n e n b e r ü h m t e n Männern g e b e n k a n n : E r w u r d e 1907 in der W e s t m i n s t e r a b t e i begraben. W i r k u n g s v o l l e r war w o h l n o c h die E h r u n g ,

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W. Thomson.

die ihm das 50jährige Professoren Jubiläum 1896 brachte. Die Höhe des Festes, zu dem Vertreter aus aller Herren Länder erschienen waren, bildete ein telegraphischer Glückwunsch an den Jubilar, aufgegeben in seinem eigenen Zimmer und gesandt um die ganze Erde. Das Tele­ gramm nahm 13 V2 Minuten in Anspruch; Thomsons Rückantwort gelangte schon nach 8 V2 Minuten wieder in seine Hände. Lord Kelvins Abhandlungen sind in folgenden Sammlungen erschie­ nen: ein Band: Reprint

of papers

on electrostatics

and magnetism,

London

1884; sechs Bände: Mathematical and physical papers, Cambridge 1882; drei Bände: Populär lectures and adresses, London 1891. Eine große Biographie wurde verfaßt von Silvanus Thompson (1910), die mit einer höchst charakteristischen Liste der Auszeichnungen, Veröffent­ lichungen und Patente schließt, die Lord Kelvin innehatte. Eine kür­ zere, aber mehr wissenschaftliche Biographie — immerhin vom rein englischen Standpunkt geschrieben — ist die Schrift von Andrew Gray (London 1908). In Kürze möchte ich eine willkürliche Auswahl geben von Einzel­ heiten aus Thomsons mathematischen Arbeiten. Bekannt sind seine Jugendarbeiten über das Potential, die 1843/44 in Bezugnahme mit Liouville entstanden sind. Thomson entdeckt dort die Invarianz von Av = O bei Inversion, kommt von da zu der Methode der sog. „elektrischen Bilder", und bewältigt so auf einfache und anschauliche Weise elektrostatische Aufgaben, die sich auf Kugeln oder Kugelabschnitte beziehen. 1847 in Liouvilles Journal, Bd. 12 (Reprint S. 142f.) folgt genau das, was wir „Dirichletsches Prinzip" Aus der thermodynamischen Periode möchte ich die etwa 1852 ent­ standene exakte Definition der absoluten Temperatur aus dem zweiten Wärmesatz dQ ~ &· dS hervorheben und ihre Kontrollierung durch immer mehr verbesserte Gasthermometer. Mit besonderem Nachdruck aber sei auf die vorzügliche Gesamtdarstellung der Thermodynamik hin­ gewiesen in der Encyclcpedia Britannica. Die Arbeiten zur Geophysik und Nautik brachten Thomson in Kon­ flikt mit den Geologen. Nach den Prinzipien der Wärmeleitung bestimmte er nämlich das Alter der Erde in einer von den Ansichten der letzteren stark abweichenden Weise. Die elastische Deformation des Erdkörpers und die Erscheinungen von Ebbe und Flut führten ihn ferner zu der jetzt wohl allgemein geteüten Ansicht, daß die Erde ein durchweg fester, starrer Körper sei, nicht eine dünne Rinde mit flüssigem Kern. Besonders hervorragend sind Thomsons Beiträge zur Theorie der Ebbe und Flut, die großartig durchgeführte harmonische Analyse dieser aus überlagerten Schwingungen gebildeten Bewegung. Die Ebbe- und Flut­ erscheinungen werden, wie bekannt, zunächst durch den Stellungs­ wechsel von Sonne und Mond relativ zur Erde veranlaßt; sie sind aber

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ν . Mechanik und Physik.

a u ß e r d e m v o n lokalen U m s t ä n d e n , d. h. v o n der B e g r e n z u n g des Ozeanes durch die L a n d m a s s e n in h o h e m Maße abhängig. T h o m s o n g e h t v o n d e m s c h o n bei Laplace v o r k o m m e n d e n Prinzip a u s , d a ß , w e n n eine R e i h e der F o r m

^^^sinX^it-Q

die die F l u t verursachenden H i m m e l s e r s c h e i n u n g e n darstellt, die Ge­ z e i t e n selbst ftir d e n einzelnen Ort durch eine R e i h e g e g e b e n s i n d : D a r i n m ü s s e n die Größen Aj, u n d der B e o b a c h t u n g e n t n o m m e n werden, h a t jedoch d e n aus der ersten R e i h e b e s t i m m t e n W e r t . U m die u n d Tj, z u b e s t i m m e n (soweit sie in B e t r a c h t k o m m e n m ö g e n ) , sind natürlich ausgebildete B e o b a c h t u n g s - u n d Rechenverfahren nötig. T h o m s o n erfand sinnreiche A p p a r a t e zur K o n s t r u k t i o n dieser „ h a r m o ­ nischen K o m p o n e n t e n " sowie a u c h zur m e c h a n i s c h e n B i l d u n g der S u m m e über eine endliche A n z a h l v o n Gliedern ^ ^ sin (t—Tj,), die eine befriedigende Vorausberechnung der a n e i n e m b e s t i m m t e n Ort z u erwartenden Erscheinungen ermöglichen. E i n e eingehende D a r ­ s t e l l u n g seiner L e i s t u n g e n auf d i e s e m Gebiet, sowie der W e i t e r e n t ­ w i c k l u n g dieser halbempirischen Theorie findet sich in George D a r w i n s B u c h : E b b e u n d F l u f i ) . — A u f die B e h a n d l u n g der Probleme der W e l l e n an der Wasseroberfläche, insbesondere der durch einen hindurchschnei­ d e n d e n Körper (Schiff) verursachten F l ü s s i g k e i t s b e w e g u n g seitens W . T h o m s o n , k a n n ich hier leider nicht e i n g e h e n ; m a n vergleiche B d . 3 der P o p u l ä r Lectures (S. 4 5 0 ) . D i e s e Arbeiten s t e h e n schon a n der Grenze zur reinen Mechanik, die T h o m s o n ebenfalls reiche Förderung n a c h theoretischer u n d k o n ­ s t r u k t i v e r Seite v e r d a n k t . I c h n a n n t e bereits seine Vereinfachung u n d Weiterftihrung der H e l m h o l t z s c h e n Wirbeltheorie (Edinburgh Trans­ a c t i o n s 1868, S. 69). E i n e besondere F r e u d e a n der K o n s t r u k t i o n ftihrte T h o m s o n auf i m m e r wieder neue A p p a r a t e zur D e m o n s t r a t i o n der Kreisel­ b e w e g u n g u n d ihrer W i r k u n g . D i e Modehe der Göttinger S a m m l u n g : der Gyrostat, die Fltissigkeitskreisel u s w . sind a h e n a c h seinen Ideen g e b a u t worden. N e b e n der reinen Experimentierfreude leitete T h o m s o n in diesen A r b e i t e n aber d o c h n o c h ein Interesse rein s p e k u l a t i v e r Art. E r zielte i m G e h e i m e n auf eine V o r t e x t t h e o r i e der Materie. D i e W e h sollte auf­ gefaßt werden als reine Fltissigkeit, erfüllt v o n einzelnen oder m sich unlöslich v e r k e t t e t e n H e l m h o l t z - W i r b e l n , d e n z u Molekülen g e b u n d e n e n A t o m e n . I n dieser V o r s t e ü u n g s o h t e die Gravitation — i m Sinne Lesages^) — erklärt werden als die F o l g e des A n s t o ß e s sehr vieler kleiner 1) Übersetzung nach der 3. engl. Aufl. bei Teubner, „V^^issenschaft und Hypothese" Bd. V, 1911 (2. Aufl.). 2) Loi qui comprend toutes les attractions et r^pulsions (Journal des savants 1764).

W. Thomson.

Thomson-Tait.

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Einzelwirbel m i t großer Geschwindigkeit — T h o m s o n erfand für sie den s c h ö n e n N a m e n „ I c h t h y o i d e " — gegen die gravitierenden Massen. Freilich ist die Theorie k a u m über ein Apergu h i n a u s g e k o m m e n , aus d e m n i c h t s Greifbares g e w o r d e n i s t ; d e n n o c h ü b t sie auf eine e m p ­ fängliche P h a n t a s i e i m m e r wieder einen g e w i s s e n Reiz. I n all diesen, auch den p h a n t a s t i s c h e n A u s w i r k u n g e n des T h o m s o n schen Geistes ist die eigentliche wirkliche Mechanik als Grundlage s t e t s zu erkennen. W i e schon e r w ä h n t , verschloß sich T h o m s o n hartnäckig g e g e n die Vorstellungen der e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Lichttheorie, darin durchaus folgerichtig, da er in s e i n e m m e c h a n i s c h e n W e l t b ü d e für sie keinen R a u m b e s a ß . D i e Versuche v o n H e r t z 1888 k a m e n w o h l zu spät, u m auf T h o m s o n noch eine starke W i r k u n g a u s z u ü b e n . Z u m A b s c h l u ß m ö c h t e ich n o c h eines in E n g l a n d w e i t v e r b r e i t e t e n Lehrbuches g e d e n k e n , des ,,Treatise on natural philosophy", den T h o m ­ s o n z u s a m m e n m i t d e m S c h o t t e n T a i t ( I 8 3 I — I 9 0 I ) , e i n e m Spezialschüler H a m i l t o n s , später Professor in E d i n b u r g h , verfaßte. E s erschien zuerst 1867 in Oxford u n d fand auf H e l m h o l t z ' Veranlassung einen d e u t s c h e n Übersetzer in W e r t h e i m I 8 7 I . D i e z w e i t e , vielfach erweiterte Auflage u m f a ß t zwei Teile u n d erschien 1 8 7 8 — 8 3 in Cambridge; leider ist sie nicht ins D e u t s c h e ü b e r s e t z t worden. D i e s e s b e r ü h m t e W e r k v o n T h o m s o n u n d T a i t — v o n den e n g ­ lischen S t u d e n t e n kurz T + T' b e n a n n t — b i l d e t eine sehr eigenartige E r s c h e i n u n g in unserer Literatur infolge der gänzlich verschiedenen E i g e n s c h a f t e n u n d N e i g u n g e n seiner Verfasser, die selbst über ihrer g e m e i n s a m e n Arbeit in den g r ö ß t e n Gegensatz geraten sind. T a i t war eine doktrinäre, stark nationalistische, v o n Pedanterie nicht freie N a t u r , äußerst sorgfältig u n d k o n s e q u e n t in der D u r c h ­ führung seiner Pläne. E s p a ß t durchaus in dieses B i l d , d a ß er über­ zeugter Quaternionist w a r ; so sehr aber auch s o n s t T h o m s o n z u m N a c h ­ g e b e n geneigt war, v o n Quaternionen wollte er ein für alle Mal n i c h t s wissen, u n d selbst in der gemilderten F o r m der Vektorentheorie g e s t a t t e t e er ihnen keinen E i n g a n g in sein B u c h . D a s Gerüst des W e r k e s , sein Aufbau u n d seine Gliederung s t a m m t v o n Tait. Innerhalb der Maschen dieses N e t z e s aber läßt n u n T h o m s o n in Einzelausführungen seinen i m m e r n e u e n Einfällen freien Lauf. Diese Zwischenstücke sind zwar inhaltlich sehr anregend, aber d a r g e b o t e n in einer abgerissenen, k a u m verständlichen F o r m . In der T a t lesen sie sich e t w a wie flüchtige A u s z ü g e aus e i n e m N o t i z b u c h u n d g e b e n in dieser Skizzenhaftigkeit ein B i l d v o n T h o m s o n s Vortragsweise. Auch vor e i n e m A u d i t o r i u m war n ä m l i c h T h o m s o n n i c h t i m s t a n d e , einen ge­ p l a n t e n G e d a n k e n g a n g zu verfolgen, ohne sich fortwährend durch die sich i h m i m M o m e n t aufdrängenden Ideen unterbrechen zu lassen. Als Ganzes g e s e h e n b e d e u t e t der T h o m s o n - T a i t ein äußerst g e d a n k e n ­ reiches Werk, welches, i m m e r auf die konkrete Erfassung der wirklichen

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ν . Mechanik und Physik.

B e w e g u n g s v o r g ä n g e abzielend, d e m T y p u s der Kirchhoffschen Mechanik g e n a u e n t g e g e n g e s e t z t ist. Auf den selbständigen, reiferen S t u d i e ­ renden, den eigenes, p r o d u k t i v e s Interesse zur Sache führt, k a n n er d a r u m v o n sehr fördernder anregender W i r k u n g s e i n ; ich selbst h a b e m i t v i e l F r e u d e , allerdings auch großer Mühe einzelne K a p i t e l seinerzeit durchgearbeitet. D i e große P o p u l a r i t ä t u n d Verbreitung des W e r k e s unter der enghschen S t u d e n t e n s c h a f t entspricht aber sicherlich nicht der wirklichen V e r w e n d u n g , d e n n für den D u r c h s c h n i t t s s t u d e n t e n ist es z u schwer. Ich b e o b a c h t e t e denn auch, d a ß m a n den „ T + T' " k a u f t e , aufs B ü c h e r b r e t t steUte, aber, w e n n m a n e t w a s lernen woUte, z u einfacheren K o m p e n d i e n griff. Z u m S c h l u ß m ö c h t e ich eine charakteristische E i n z e l h e i t aus T h o m ­ sons U n t e r r i c h t anführen. Als er den H ö r s a a l b e t r a t , richtete er p l ö t z h c h dx die F r a g e an seine Schüler: W a s b e d e u t e t — ? E r erhielt alle nur denk­ baren, streng logischen Definitionen als A n t w o r t .

Alle w u r d e n zurück­

g e w i e s e n : „ A c h w a s , lassen Sie diesen T o d h u n t e r (Vertreter der reinen M a t h e m a t i k in Cambridge); ^

ist die G e s c h w i n d i g k e i t ! " —

Man wird selbst b e m e r k t h a b e n , d a ß sich m a n n i g f a c h e Vergleichs­ p u n k t e ergeben z w i s c h e n W i l h a m T h o m s o n u n d u n s e r e m H e l m h o l t z , u m so mehr, als b e i d e vielfach in p e r s ö n h c h e m Verkehr u n d in w i s s e n ­ schaftlichem Z u s a m m e n w i r k e n in B e r ü h r u n g t r a t e n , so auf d e m Pariser K o n g r e ß 1 8 8 1 . D i e Gegenüberstellung dieser b e i d e n Männer w ü r d e in der T a t eine sehr reizvolle u n d l o h n e n d e A u f g a b e für den Historiker der M a t h e m a t i k darbieten. — D e n S c h l u ß dieses K a p i t e l s w o l l e n wir d e m j e n i g e n englischen P h y ­ siker w i d m e n , der die n a c h h a l t i g s t e W i r k u n g b i s in unsere Tage auf das ganze Gebiet der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k a u s g e ü b t h a t , C l e r k M a x ­ w e l l . W i e sein großer F o r s c h u n g s g e n o s s e T h o m s o n , war auch Maxweli ein S c h o t t e . W ä h r e n d aber dort das H a u p t c h a r a k t e r i s t i k u m der Per­ s ö n h c h k e i t eine unablässige A k t i v i t ä t war, u n t e r s t ü t z t v o n außerordent­ licher L e i c h t i g k e i t der P r o d u k t i o n , tritt u n s hier eine m e h r b e s c h a u ­ liche, ruhige N a t u r e n t g e g e n , die tiefgehende n e u e I d e e n in langsamer E n t w i c k l u n g ausreifen läßt. C l e r k M a x w e l l w u r d e 1831 in E d i n b u r g h geboren, v e r b r a c h t e aber den g r ö ß t e n Teil seines L e b e n s , a u c h in späteren J a h r e n , auf d e m L a n d e , w o seine F a m i l i e b e g ü t e r t war. I m äußeren Verlauf seines L e b e n s wie a u c h in s e i n e m W e s e n repräsentiert er den T y p des in E n g l a n d so h ä u f i g e n , v o r n e h m e n P r i v a t g e l e h r t e n , der nur gelegentlich a m t l i c h e F u n k t i o n e n ü b e r n i m m t . V o n 1 8 5 0 — 5 6 studierte er in Cambridge, ü b e r n a h m eine Professur in A b e r d e e n b i s 1860, d a n n a m K i n g ' s College in L o n d o n bis 1865 u n d zog sich darauf ins P r i v a t l e b e n z u r ü c k ; bis er

Maxwell.

Elektromagnetische Lichttheorie.

1871 in Cambridge das Cavendish Laboratory ü b e r n a h m , das erste selb­ s t ä n d i g e englische F o r s c h u n g s - u n d U n t e r r i c h t s i n s t i t u t für P h y s i k — sonst g a b es u n d gibt es in Cambridge nur kleinere physikalische L a b o ­ ratorien in d e n einzelnen ,,Colleges" — , m i t d e m die große m o d e r n e E n t w i c k l u n g dieser Wissenschaft unlösbar v e r k n ü p f t ist. Leider wurde M a x w e ü schon 1879, erst 4 8 J a h r e alt, v o n einer inneren K r a n k h e i t hingerafft. Ü b e r das in der F o l g e so w i c h t i g e Cavendish L a b o r a t o r y m ö c h t e ich gleich hier einige nähere A n g a b e n m a c h e n . C a v e n d i s h , n a c h d e m das Laboratorium g e n a n n t ist (geb. 1731 in Nizza, gest. 1810 in L o n d o n ) , war ein reicher P r i v a t m a n n , V e r w a n d t e r der H e r z ö g e v o n D e v o n s h i r e , der sich e i n g e h e n d e n physikalischen u n d c h e m i s c h e n U n t e r s u c h u n g e n w i d ­ m e t e , in der Aufstellung u n d B e h a n d l u n g v o n P r o b l e m e n vielfach seiner Zeit voraneilend. Seine wissenschaftlichen A r b e i t e n w u r d e n , s o w e i t sie sich auf elektrische F r a g e n b e z i e h e n , 1879 v o n M a x w e ü herausgegeben, auf dessen I n i t i a t i v e schon vorher das Cavendish L a b o r a t o r i u m u n d die m i t i h m v e r k n ü p f t e Professur durch reiche S c h e n k u n g e n v o n privater Seite e n t s t a n d e n war. N a c h Maxwells T o d e trat L o r d R a y l e i g h a n seine Stelle ( 1 8 7 9 — 8 4 ) ; w i e sein Vorgänger wurde a u c h er in dieser Stellung z u m Führer der g e s a m t e n m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k in E n g l a n d . I c h e i i n n e r e nur a n seine zuerst 1 8 7 7 — 7 8 in zwei B ä n d e n erschienene ,, Theory ofsound'' u n d a n die E n t d e c k u n g des Argons, d i ^ i h m 1894 gelang. N a c h Lord R a y l e i g h ü b e r n a h m J. J. T h o m s o n die L e i t u n g d e s b e ­ r ü h m t e n I n s t i t u t s , die er n o c h h e u t e inne h a t ; auch i h m k o m m t eine zentrale B e d e u t u n g für seine Wissenschaft zu. E i n e ausführliche B i o g r a p h i e M a x w e ü s liegt in d e m W e r k v o n C a m p b e ü u n d Garnett (London 1882) vor, die jedoch m e h r die persön­ liche Seite b e t o n t . 1890 w u r d e n M a x w e ü ' s Scientific Papers heraus­ g e g e b e n in zwei Q u a r t b ä n d e n m i t einer wissenschaftlich w e r t v o l l e n E i n l e i t u n g . Zu d i e s e m s e i n e m wissenschaftlichen V e r m ä c h t n i s tritt der 1873 erschienene w i c h t i g e Treatise on Electricity and Magnetism (in zwei B ä n d e n ) ! ) . W e n n wir n u n daran g e h e n , MaxweÜs wissenschaftliche L e i s t u n g z u b e t r a c h t e n , so k ö n n e n wir n i c h t u m h i n , seine b e r ü h m t e s t e S c h ö p ­ fung, die e l e k t r o m a g n e t i s c h e Lichttheorie in d e n Vordergrund zu stellen, z u m a l sie i m E i n z e h i e n viele m a t h e m a t i s c h interessante W e n d u n g e n u m s c h l i e ß t . Leider ist es aber hier nicht m ö g l i c h , auch nur a n d e u t u n g s ­ weise die vielen anderen auch n a c h m a t h e m a t i s c h e r Seite b e m e r k e n s ­ w e r t e n Arbeiten M a x w e ü s zu b e h a n d e l n , v o n d e n e n z. B . die A b h a n d ­ l u n g e n zur Grundlegung der graphischen Statik, die über K o n s t i t u t i o n , S t a b i h t ä t u n d B e w e g u n g des Saturnringes oder die in P h y s i k e r ­ kreisen w o h l b e k a n n t e n über kinetische Gastheorie in unserem a u g e n blicklichen Z u s a m m e n h a n g reges Interesse b e a n s p r u c h e n w ü r d e n . 1) In zweiter Auü. ins Deutsche übersetzt von B. Weinstein, Berlin 1882.

240

ν . Mechanik und Physik.

Maxwells elektromagnetische Lichttheorie — besser gesagt, seine neue Lehre, welche L i c h t u n d Elektrizität als Ä u ß e r u n g e n desselben A g e n s e r f a ß t — i s t a u s seinen B e m ü h u n g e n e n t s t a n d e n , F a r a d a y s nur in u n b e s t i m m t e r F o r m e n t w i c k e l t e n I d e e n über die einheitliche B e d e u ­ t u n g d e s raumerfüllenden Ä t h e r s in m a t h e m a t i s c h e Sprache zu fassen. Als ein Glied v o n entscheidender B e d e u t u n g in der K e t t e v o n T a t ­ s a c h e n u n d Schlüssen, welche die n e u e Theorie m i t der W i r k h c h k e i t v e r b i n d e t , erwies sich die v o n W . W e b e r u n d R. K o h l r a u s c h (dem Älteren) 1855 festgelegte B e z i e h u n g zwischen elektrostatischer u n d elektromagnetischer E i n h e i t (endgültig veröffentlicht 1857), die wir s c h o n wiederholt d a h i n aussprachen, d a ß die K o n s t a n t e c des W e b e r s c h e n Gesetzes, die eine Geschwindigkeit v o r s t e h t — dividiert durch | / 2 , gleich der L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t ist. Zwei f u n d a m e n t a l e P u n k t e sind es, in d e n e n sich F a r a d a y s D e n k ­ weise v o n der W e b e r s u n t e r s c h e i d e t : I. I n A n k n ü p f u n g a n die d a m a l s auf allen G e b i e t e n herrschende N a t u r p h i l o s o p h i e der N e w t o n s c h e n Schule, n i m m t W e b e r eine reine F e r n W i r k u n g der elektrischen Kräfte an. F a r a d a y h i n g e g e n b a u t auf der Vorstellung auf, d a ß die Kraft ihre W i r k u n g durch ein raumerfüllendes M e d i u m fortpflanze. 2. D e m ­ e n t s p r e c h e n d erfolgt die W i r k u n g der Kraft in W e b e r s Sinne i n s t a n t a n , bei F a r a d a y n i m m t die Fortpflanzung v o m Kraftangriffspunkt bis z u m W i r k u n g s p u n k t eine gewisse Zeit in A n s p r u c h . S c h o n 1846 — w i e ein sehr merkwürdiger Brief a n Philipps b e z e u g t (Phil. Mag. I, B d . 2 8 , S. 345) — h e g t F a r a d a y die P h a n t a s i e , d a ß ein Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n elektrischen u n d o p t i s c h e n E r s c h e i n u n g e n b e s t e h e n m ö g e , j e d o c h in g a n z u n b e s t i m m t e r F o r m , d a die W e b e r Kohlrauschische Messung n o c h fehlte. I c h verweise hier gern n o c h e i n m a l auf die i m ersten K a p i t e l e r w ä h n t e T a t s a c h e , d a ß G a u ß in e i n e m Brief a n W e b e r 1845 I d e e n äußert, die ganz in der v o n F a r a d a y v e r f o l g t e n R i c h t u n g liegen^). E s b i e t e t n u n ein besonderes Interesse, zu verfolgen, wie MaxweU sich in drei l a n g s a m aufeinanderfolgenden A r b e i t e n zur H ö h e einer k o n s e q u e n t e n Theorie durcharbeitet. D a s Referat, d a s ich über diese E n t w i c k l u n g hier g e b e n m ö c h t e , wird, wie alles bisherige, stark s u b j e k t i v ausfaUen, i n d e m ich m e h r Gewicht auf Herausarbeiten der e n t s c h e i d e n d e n G e d a n k e n w e n d u n g e n als auf historische Einzel­ fragen lege. I. D i e A b h a n d l u n g „On Faraday's lines of force' 1855, (Cambridge Philosophical Transactions, B d . IO = Scientific P a p e r s B d . I, S. 155ff.) ist eine A u s e i n a n d e r s e t z u n g darüber, d a ß die auf F e r n w i r k u n g u n d N a h e w i r k u n g f u ß e n d e n Theorien der E l e k t r o - u n d M a g n e t o s t a t i k ver­ s c h i e d e n e m a t h e m a t i s c h e B e s c h r e i b u n g e n desselben S a c h v e r h a l t s sind. 1) Gauß' Werke Bd. 5, S. 629.

Elektromagnetische Lichttheorie.

Beziehungen zur Mechanik.

241

W o die Fernwirkungstheorie eine K r a f t — statuierte, sah F a r a d a y v o m N u l l p u n k t ausgehende, d e n R a u m durchziehende Kraftlinien; oder, u m gleich d e n allgemeinen G e d a n k e n in abstrakter W e i s e auszu­ sprechen: W i r k ö n n e n die Verhältnisse e b e n s o w o h l schildern, i n d e m wir v o n der überall i m R a u m herrschenden partiellen Differential­ gleichung des P o t e n t i a l s V ausgehen, u n b e k ü m m e r t u m den Sitz der dies P o t e n t i a l verursachenden Massen; oder, i n d e m wir V als eine S u m m e v o n H a u p t l ö s u n g e n dieser Gleichung, e t w a als Integral über die Massenpotentiale der einzelnen E l e m e n t e einer F l ä c h e n b e l e g u n g darstellen. D i e erste Auffassung findet ein anschauliches Ä q u i v a l e n t in der Vorstellung der Kraftlinien, die in j e d e m R a u m p u n k t der Differentialgleichung gehorchend, die dort herrschende Kraft, also auch d e n Gesamtverlauf des P o t e n t i a l s , versinnlichen; die zweite läßt sich a n einer rein formalen A b l e i t u n g der Kraft aus d e m gefundenen P o t e n t i a l in d e m gerade b e t r a c h t e t e n P u n k t e genügen. M a t h e m a t i s c h u n d rein logisch gesehen, sind beide Darstellungen — die i m leeren R a u m u n m i t t e l b a r aus einander folgen — u n d die daran a n k n ü p f e n d e n Auffassungen gleichberechtigt. F a r a d a y s A n s i c h t besitzt aber einen großen Vorzug n a c h psychologischer Seite, da sie d e n Geist m i t plastischen Bildern der Verhältnisse erfüüt. F ü r jeden, der m i t d e n D i n g e n selbst z u t u n h a t , ist sie ganz unentbehrlich. N i e m a n d wird e t w a die W i r k u n g einer D y n a m o m a s c h i n e lebendig erfassen — geschweige d e n n eine solche z w e c k m ä ß i g konstruieren — , der sich nicht d e n Ver­ lauf der m a g n e t i s c h e n Kraftlinien, das m a g n e t i s c h e F e l d , innerhalb dessen sich die I n d u k t i o n s s p u l e n b e w e g e n , anschaulich vorstellt; v o n d e n physikalischen F r a g e s t e l l u n g e n aber, die v o n hier aus sich e n t ­ wickeln, will ich gar nicht reden. 2. 1 8 6 1 — 6 2 sehen wir M a x w e ü i m Philosophical Magazine vol. 21 ( = Sc. Papers B d . I, S. 451 ff.) in d e n Aufsätzen „Onphysical lines offorce'' d a m i t beschäftigt, sich in d e m raumerfüUenden Medium einen Mechanis­ m u s z u d e n k e n , welcher der m a g n e t o s t a t i s c h e n Fernwirkung u n d d e m E n t s t e h e n v o n I n d u k t i o n s s t r ö m e n bei Ä n d e r u n g des m a g n e t i s c h e n F e l d e s gerecht wird. E r g e l a n g t z u folgendem B i l d e : E s g i b t eine vielleicht sehr große aber jedenfalls endliche Zahl v o n m a g n e t i s c h e n Kraftlinien. U m jede einzelne dieser Kraftlinien h e r u m befindet sich das Medium, w ä h r e n d die Kraftlinie selbst in R u h e bleibt, in R o t a ­ tion. U m Mißverständnissen v o r z u b e u g e n : es h a n d e l t sich hier nicht u m R o t a t i o n e n , w i e sie u n s bisher in der Mechanik, e t w a auch i m F a l l e der Helmholtzwirbel, b e g e g n e t e n . D o r t war die B e w e g u n g eines P u n k t e s völlig beschrieben, w e n n die a n Stelle seiner ursprünghchen K o o r d i n a t e n x, y, ζ getretenen Größen x\ y \ z' b e k a n n t waren, u n d die R o t a t i o n k a m nur indirekt heraus, i n d e m die z u x, y, ζ b e n a c h ­ b a r t e n P u n k t e sich e t w a s anders b e w e g t e n als x, y,z selbst. B e i d e n

Klein, Entu icklung der Mathematik.

1ß

242

V. Mechanik und Physik.

hier v o r h e g e n d e n M o l e k u l a r w k b e l n jedoch ist jeder P u n k t — jedes Molekül — selbständig Träger eines A c h s e n s y s t e m s , g e g e n das er u m die W i n k e l λ, μ, ν gedreht w e r d e n k a n n . MaxweU s t e h t sich diesen V o r g a n g m i t einer m a s s i v e n Realistik vor, die u n s h e u t e überrascht. E r d e n k t sich nämUch zwischen die rotierenden TeUe d e s Mediums zur V e r m e i d u n g oder Verminderung der R e i b u n g kleine FriktionsroUen e i n g e b e t t e t . D i e s e Körperchen, die d e n K u g e h i in e i n e m KugeUager ähneln, b e t r a c h t e t er als eigentlichen S i t z der E l e k t r i z i t ä t . T r o t z großer B e m ü h u n g e n ist MaxweU m i t diesen k o n k r e t e n VorsteUungen n i c h t durchgedrungen. E r h a t sie d a r u m fernerhin faUen gelassen u n d sich n u n der rein p h ä n o m e n o l o g i s c h e n DarsteUungsweise z u g e w a n d t , in der h e u t e jeder junge S t u d e n t erzogen wird. D a n a c h ist d a s raumerfüUende Medium in seinen P u n k t e n Träger einerseits elektrischer, andererseits m a g n e t i s c h e r V e k t o r e n , deren W i r k u n g u n d formalen Z u s a m m e n h a n g m a n k e n n t , über deren tieferen Sinn aber n i c h t weiter n a c h g e d a c h t wird. N u r darauf h a t MaxweU i m m e r d e n größten W e r t gelegt, d a ß die Gesetze d e s e l e k t r o m a g n e t i s c h e n F e l d e s die M ö g l i c h k e i t einer m e c h a ­ n i s c h e n Erklärung n i c h t ausschließen, d a ß m a n v i e l m e h r über die lebendige Kraft u n d die potentieUe Energie d e s F e l d e s solche formale V o r a u s s e t z u n g e n m a c h e n k a n n , die n a c h d e n allgemeinen Gesetzen der Mechanik z u d e n b e k a n n t e n e l e k t r o m a g n e t i s c h e n W i r k u n g e n h i n ­ l e i t e n . A n der Auffassung also, die m a n h e u t e so gern aufgibt, d a ß die Mechanik die Grundwissenschaft der P h y s i k sei, ist durchaus fest­ g e h a l t e n ! I m Grunde ist diese E r s c h e i n u n g n i c h t s als d a s F o r t w a l t e n d e s aUgemeinen, v o n Lagrange geschaffenen F o r m a l i s m u s , in den frei­ lich ein begriffhcher I n h a l t gefüUt w o r d e n ist, dessen Beherrschung, ja dessen K e n n t n i s s e i n e m Schöpfer n o c h g ä n z h c h fernlag. E s ist eine der e r s t a u n h c h s t e n E n t w i c k l u n g e n innerhalb unserer Wissenschaften, welche diesen F o r m a l i s m u s der klassischen Mechanik alhnählich v o n i m m e r n e u e n , i m m e r f e m e r liegenden G e b i e t e n B e s i t z ergreifen l ä ß t , m i t d e m Erfolge einer ausreichenden Beherrschung der b e o b a c h t e t e n Erschei­ n u n g e n o h n e jedes v e r s t e h e n d e E i n d r i n g e n in die wahren z u g m n d e liegenden B e g e b e n h e i t e n . E i n e n l e t z t e n , h o h e n T r i u m p h feiert d a s S y s t e m in der p h y s i k a l i s c h e n Chemie des Amerikaners G i b b s . (Gibbs in seiner b e r ü h m t e n Aufsatzserie 1 8 7 6 — 7 9 : „ O n t h e E q u ü i b r i u m of h e t e r o g e n e o u s s u b s t a n c e s " in d e n Transactions of Connecticut A c a d e m y of A r t s a n d Sciences.) W a s h ä t t e Lagrange g e s a g t , w e n n er erlebt h ä t t e , wie m a n s e i n e m P a r a m e t e r q die B e d e u t u n g d e s P r o z e n t g e h a l t s einer Verbindung a n J o d b e ü e g t ! 3 . Auf dieser a b s t r a k t e n , rein p h ä n o m e n o l o g i s c h e n B a s i s h a t n u n MaxweU 1864 m der großen A b h a n d l u n g m B d . 155 der R o y a l Soc. Trans, (erschienen 1865 = Sc. Papers B d . I, S. 5 2 6 f f ) : „A dynamical theory

Lichttheorie; Zusammenhang nüt MacCullagh.

243

of the electromagnetic ßeld" seine endgültige Lehre entwickelt, die üi der AufsteUung der elektromagnetischen Lichttheorie und d a m i t in der Voraussage mannigfachster neuer B e z i e h u n g e n gipfelt. E m e aus­ führliche D u r c h a r b e i t u n g dieser I d e e n b i e t e t d a s große W e r k v o n 1 8 7 3 : „A Treatise on electricity and magnetism**'^). D a s B u c h e n t h ä l t i m einz e h i e n reiche, hochinteressante Kapitel, ist aber als Ganzes sehr schwer z u lesen, w e ü es d e n Leser gewissenhaft durch die ü b e r k o m m e n e n Theorien der Einzelgebiete hindurchführt u n d nirgends e m e abschließende Gesamtauffassung s y s t e m a t i s c h darlegt. U m n u n doch e t w a s in die Materie h m e m z u g e h e n , will ich hier aus­ führen, w i e M a x w e ü s e l e k t r o d y n a m i s c h e Gleichungen für d e n remen Ä t h e r m i t den Gleichungen z u s a n u n e n h ä n g e n , die M a c C u l l a g h 1839 für s e m o p t i s c h e s M e d i u m a u s q u a s i m e c h a n i s c h e n V o r s t e h u n g e n in der l e t z t h i n beschriebenen W e i s e ableitete — ein Z u s a n u n e n h a n g , d e n der irische P h y s i k e r F i t z g e r a l d (London P h ü . T r a n s . B d . 1 7 1 , 1 8 8 0 ) zuerst hervorgekehrt h a t . I c h s t e h e d a s „ H a m i l t o n s c h e Prinzip'* a n die Spitze, öJ{T^Ü)dt

=

0

b e i festen Grenzen. B e z e i c h n e n wir, wie o b e n (S. 231 f.), die Verschie­ b u n g e n d e s MacCullaghschen K o n t i n u u m s m i t u, v, w die Curlkomponenten mit ^

dz

dy'

dx

dz'

^

dy

dx'

s o ist i m MacCuhaghschen A n s a t z , vorausgesetzt, d a ß wir i m isotropen M e d i u m arbeiten, die p o t e n t i e h e Energie pro V o l u m e i n h e i t

gegeben

durch +

+

C'),

die lebendige Kraft pro V o l u m e m h e i t durch Γ = | ( « ^ + ύ^ + ώ^)^. unter ρ die D i c h t e v e r s t a n d e n .

S e t z e n wir γ =

> w o c später

die

L i c h t g e s c h w m d i g k e i t sein soh, u n d ziehen n u n d e n B e t r a g der W e r t e U u n d T für das g a n z e M e d i u m in B e t r a c h t , so ergibt sich für die B e w e ­ gung

des M e d i u m s der Variationsansatz ( w e n n wir der Einfachheit

halber 1 = 1 s e t z e n ) : δ SSH

{{U^ + V^ + W-) -

dxdydzdt

C^ r

+ n' + C^)} = O

(bei festen Grenzen). D a r a u s folgen die B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n : 1 · · = ^ — ^ dy Vgl. S. 239.

dz'

-L" = ^ _ ^ c'^''^

dz

dx'

= C®'^

dx

dy'

16*

ν.

244

Mechanik und Physik.

oder ausgeführt: 1

(d^u .

.

1·,·

..

(S'v ,8^v

,g'v)

1

(8^w , C^w , d (du , Bv , dw\ + ^ + - ^ - ) - - ^_ + _ + _ j ,

..

a fdu , 3t; , dw\ d(du.dv.dw\

die, u n t e r A n n a h m e passender A n f a n g s b e d i n g u n g e n der Bewegvuig, bei­ läufig e r g e b e n : div(«,.,.) = g + g + g = 0. Man h a t also d i e folgenden e m f a c h e n Differentialgleichungen der B e ­ wegung: .

D i e s e A b l e i t u n g n i m m t n u n eine besonders elegante,

symmetrische

F o r m a n , w e n n m a n gewisse Hilfsgrößen einführt, w i e e s MacCuUaghs Ausführungen i m Supplement l u n g e n entspricht.

(S. 188) semer g e s a m m e l t e n

Abhand­

Setzt m a n nämlich

u,^cfidt,

v,=cfvdt,

w,==cfCdt,

so n i m m t d a s Variationsprinzip d i e F o r m a n : diiifdxdydzdt{(a'

+ V^ + W^-(Ul

+ vi -f ώ?)} = 0 ,

u n d d a n e b e n steUen sich d i e b e i d e n Tripel v o n Gleichungen

ΙΚ,ίι,ώΟ= \{u,v,w)

=

-curl(i^,t;,ie;), curlK,.i,te;i).

J e d e s dieser Tripel k a n n m a n a l s N e b e n b e d m g u n g z u d e m Variations­ prinzip h m z u n e h m e n , u m d a s andere z u g e w i n n e n . Z u diesen Glei­ c h u n g e n treten d a n n n o c h : d i v ( w , V, W) = Oy d i v ( w i , i^i, ze;i)==.0. D a m i t i s t g e n a u d a s S y s t e m v o n F o r m e h i erreicht, d a s w i r jetzt als Maxwellsche Gleichungen für den freien Äther b e z e i c h n e n , w e l c h e übrigens, w i e i c h gleich b e m e r k e n m ö c h t e , b e i MaxweU selbst explizite n i c h t s o d a s t e h e n , sondern erst v o n H e a v i s i d e u n d H e r t z heraus­ gearbeitet w u r d e n ! ) . D i e Größen w, v, w u n d v^, w^^ h e i ß e n d a n n K o m ­ p o n e n t e n d e s elektrischen b z w . d e s m a g n e t i s c h e n Vektors. U n d zwar h a b e i c h die V^ahl der B e z i e h u n g dieser Größen auf d i e b e i d e n Erschei­ n u n g e n n o c h m der H a n d ; ist sie getroffen, s o ist w e g e n d e s Vorzeichens, m i t w e l c h e m der curl m d e n Gleichungen behaftet e r s c h e m t , gleichzeitig 1) Literaturangaben vgl. Enzyklop. V 13 (H. A. Lorentz) S. 68. Anm. 3 und 4.

Zusammenhang mit MacCullagh.

Maxwell.

245

festgelegt, o b der U n t e r s u c h u n g ein R e c h t s - oder ein Linkskoordi­ n a t e n s y s t e m zugrunde gelegt worden ist. W i e völlig s y m m e t r i s c h hier alle V e r h ä h n i s s e liegen, zeigt auch die F o r m des in d e m Variations­ problem auftretenden Integranden. D i e A n k n ü p f u n g an den Gedanken, d a ß potentielle u n d kinetische Energie in der T a t nichts wesenhaft Verschiedenes seien, sondern auf eine k o n v e n t i o n e l l e Unterscheidung hinauslaufen, ist hier g e g e b e n . N a c h d i e s e m viel zu kurzen Bericht m u ß ich leider das Gebiet verlassen, u m n o c h einige W o r t e über Maxwells besonderen Charakter als Mathematiker zu sagen, freilich ohne eingehende Belege zu bringen. Maxwell ist nicht ein Mann der logisch einwandfreien D u r c h b i l d u n g ; seinen Schlüssen fehlt oft die unbedingt zwingende Kraft. D a s h o c h e n t w i c k e h e i n d u k t i v e D e n k e n drängt sozusagen das d e d u k t i v e D e n k e n zurück. So stellt er e t w a in der Theorie der K u g e l f u n k t i o n e n den Satz auf, d a ß durch einen Ausdruck der F o r m

i m m e r eine Kugelfunktion dargesteht werde, m a c h t aber d a n n ohne eine B e m e r k u n g , geschweige d e n n einen B e w e i s , v o n der U m k e h r u n g G e b r a u c h ! D e r S a t z , d a ß sich zu jeder v o r g e l e g t e n K u g e l f u n k t i o n auf eine u n d nur eine Weise η reelle R i c h t u n g e n A^, . . ., finden lassen, v e r m ö g e deren sie auf die angegebene W e i s e aus l/r e n t s t e h t , wurde erst später v o n S y l v e s t e r g e g e b e n i ) . W a s Maxwell hingegen in h o h e m Maße auszeichnet, das ist eine starke I n t u i t i o n , die sich bis zur D i v i n a t i o n steigert u n d m i t eüier Phantasie v o l l e n Anschauungskraft H a n d in H a n d g e h t . F ü r letztere Eigenschaft ließen sich viele Belege anführen: seine Vorliebe für D i a ­ g r a m m e , die V e r w e n d u n g v o n R o h k u r v e n , stereoskopischen Figuren, reziproken Kräfteplänen. A u c h in der P h y s i k s t e h t Maxwell da als das aus direkter I n t u i t i o n schaffende Genie, auf die D a u e r n o c h größer u n d nachwirkender als W . T h o m s o n , den er an irrationaler E i n s i c h t s ­ kraft überragt. D a s n u n abgeschlossene K a p i t e l über Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e P h y s i k h a t u n s gezeigt, wie die M a t h e m a t i k auf Schritt u n d Tritt das physikalische D e n k e n b e g l e i t e t , v o n d e m sie u m g e k e h r t durch die ihr v o n dieser Seite g e s t e h t e n P r o b l e m e die stärksten I m p u l s e erhält. D i e s e E n t w i c k l u n g h a b e n wir bis z u m B e g i n n der N e u z e i t verfolgt. I m k o m m e n d e n K a p i t e l w e r d e n wir u n s wieder der reinen M a t h e m a t i k z u w e n d e n , a n k n ü p f e n d a n die k a u m über das J a h r 1850 hinausreichenden B e t r a c h t u n g e n , die wir m i t K a p . 4 abschlössen. 1) Man vgl. etwa C o u r a n t - H i l b e r t , Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1, S. 423ff.

246

VI. Riemann und Weierstraß. Sechstes

Kapitel.

Die allgemeine Funktionentheorie komplexer Veränderlicher bei R i e m a n n und Weierstraß. W i r kehren n u n zur reinen M a t h e m a t i k zurück u n d w e n d e n u n s der allgemeinen Theorie der F u n k t i o n e n k o m p l e x e r Veränderlicher zu. D i e weitere E n t w i c k l u n g u n d F ö r d e r u n g dieses K e r n s t ü c k e s unserer h e u t i g e n reinen M a t h e m a t i k v e r d a n k e n wir in erster Linie zwei d e u t s c h e n Gelehrten, R i e m a n n u n d W e i e r s t r a ß . Ihre H a u p t w i r k s a m k e i t fällt in die Zeit v o n e t w a 1850 bis 1880. I n d e m wir die Theorie der k o m p l e x e n F u n k t i o n e n voransteUen, erschöpfen wir das L e b e n s w e r k der b e i d e n Forscher n i c h t i m entfern­ t e s t e n . W i r werden a u c h in d e n folgenden K a p i t e l n wiederholt auf die beiden Männer z u r ü c k k o m m e n , die auf d e n v e r s c h i e d e n s t e n Gebieten grundlegend gearbeitet h a b e n . D o c h wird es richtig s e m , gleich a n dieser SteUe üirer sehr verschiedenartigen Persönlichkeiten u n d üirer aUgemeinen W i r k s a m k e i t in U m r i s s e n zu g e d e n k e n . R i e m a n n ist der Mann der g l ä n z e n d e n I n t u i t i o n . D u r c h s e m e u m f a s s e n d e Genialität überragt er aUe seine Zeitgenossen. W o sein Interesse g e w e c k t ist, b e g m n t er n e u , o h n e sich durch Tradition b e n r e n z u lassen u n d ohne einen Z w a n g der S y s t e m a t i k anzuerkennen. W e i e r s t r a ß ist in erster Linie Logiker; er g e h t l a n g s a m , s y s t e ­ m a t i s c h , schrittweise vor. W o er arbeitet, erstrebt er die abschließende Form. W a s aber die äußere W i r k s a m k e i t a n g e h t , so ist zu b e m e r k e n : R i e m a n η tritt n a c h stiller Vorbereitung wie ein heller Meteor hervor, u m nur zu b a l d wieder z u erlöschen; b e s c h r ä n k t sich s e m e Whrksamkeit d o c h nur auf 15 J a h r e : I 8 5 I E r s c h e m e n s e m e r Dissertation, 1862 E r ­ k r a n k u n g , 1866 T o d . W e i e r s t r a ß k o n n t e sich l a n g s a m a u s w n k e n . E r b e g m n t s c h o n 1843 m i t einigen B e m e r k u n g e n über die a n a l y t i s c h e n F a k u l t ä t e n ( G y m ­ nasialprogramm, D e u t s c h - C r o n e ) ; 1897 stirbt er h o c h b e t a g t n a c h e i n e m reichen L e b e n . W n w o l l e n R i e m a n n voranstellen, obgleich er der Jüngere ist. Aber einmal liegt seine Hauptwhrkungszeit s o v i e l früher w i e die v o n Weier­ s t r a ß , d a n n s t e h t er u n s hier in G ö t t i n g e n a u c h so v i e l näher, als sein L e b e n u n d Schaffen untrennbar m i t G ö t t i n g e n v e r b u n d e n ist. Hier h a t er sein S t u d i u m b e g o n n e n , hier h a t er p r o m o v i e r t , sich habilitiert u n d bis z u seiner K r a n k h e i t als D o z e n t a n unserer U n i v e r s i t ä t gelehrt. R i e m a n n b e d e u t e t d e n H ö h e p u n k t der älteren Göttinger Schule, die die Grundlage für u n s alle geblieben ist.

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Bernhard Riemann. Z u n ä c h s t Riemanns Werke. Sie sind p o s t h u m herausgegeben v o n H . Weber, erschienen in erster Auflage 1876, in zweiter Auflage 1892. Als N a c h w o r t e n t h a l t e n sie die v o n R i e m a n n s t r e u e s t e m Freunde, D e d e k i n d , lebendig geschriebene Biographie . Als w i c h t i g e E r g ä n z u n g d a z u besitzen wir die Nachträge z u R i e m a n n s W e r k e n , herausgegeben v o n N o e t h e r u n d Wirtinger, 1902. Sie sind h e r v o r g e g a n g e n aus Kollegheften v o n R i e m a n n s V o r l e s u n g e n ; sie eröffnen u n s einen Einblick in die umfassende E i n s i c h t R i e m a n n s in D i n g e , die m a n erst Jahre n a c h seinem T o d e n e u e n t d e c k t z u h a b e n glaubte, u n d die er in seinen Vorlesungen schon gebracht h a t t e . Hier sieht m a n wieder einmal, w i e die E n t w i c k l u n g der Wissenschaft v o n Zufälligkeiten a b h ä n g t . W i e anders wäre die M a t h e m a t i k fortgeschritten, w e n n R i e m a n n s Hörer tieferes Verständnis für seine Gedankengänge g e h a b t h ä t t e n , oder w e n n m a n nur die Nachschriften der Vorlesungen früher b e k o m m e n h ä t t e ! U n d wie viel w e r t v o l l e s Material m a g unver­ s t a n d e n u n d m i ß a c h t e t verloren g e g a n g e n sein ^)! D a z u k o m m e n n o c h an Veröffentlichungen drei B ä n d e Kursus-Vor­ lesungen, leider in fremder B e a r b e i t u n g : a) Partielle Differentialgleichungen der Physik (herausgegeben v o n H a t t e n d o r f 1869). b) Schwere, Elektrizität, Magnetismus (Hattendorf 1875). C) Elliptische Funktionen (Stahl 1899). D i e partiehen Differentialgleichungen h a b e n später durch H . W e b e r e m e U m a r b e i t u n g erfahren; der b e k a n n t e „ R i e m a n n - W e b e r ' ' h a t m i t d e m eigentlichen R i e m a n n aber so w e n i g Ähnlichkeit mehr, d a ß wir ihn, w e n n wir R i e m a n n s S t a n d p u n k t kennen lernen wollen, g a n z beiseite lassen m ü s s e n . B e r n h a r d R i e m a n n w u r d e , wie Abel, als Sohn eines Landpfarrers geboren, a m 17. S e p t e m b e r 1826 in Breselenz i. H a n n o v e r . Sein Schicksal ist in vieler H i n s i c h t d e m A b e l s ähnlich, w e n n auch seine E n t w i c k l u n g viel langsamer ging als die Abels. R i e m a n n war kränklich, litt z u l e t z t an S c h w i n d s u c h t , der er v o r s c h n e h z u m Opfer fiel. I m Auftreten schüchtern, ja ungeschickt, m u ß t e sich der junge D o z e n t , z u d e m wir N a c h g e b o r e n e n wie z u e i n e m H e i h g e n aufblicken, mancherlei N e c k e ­ reien v o n seinen K o l l e g e n gefallen lassen. Oft litt er unter trüben S t i m ­ m u n g e n , die sich bis z u Anfällen v o n Melancholie steigerten. D o c h finden wir bei R i e m a n n keine Spur eigentlich p s y c h o p a t h i s c h e r A n l a g e n , w i e e t w a bei E i s e n s t e i n , m i t d e m er w ä h r e n d seiner Studienzeit in 1) Vgl. auch den Nachruf von Schering, Gött. Nachr. 1867; wieder abgedruckt in Scherings V^erken Bd. 2, wo sich auch noch einige andere, auf Riemanns Leben bezügliche Bemerkungen finden. 2) Vgl. auch den Bericht von Noether über neue Funde, Gött. Nachr. 1909.

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VI. Riemann und Weierstraß.

Berlin zusammentraf, u n d der z u l e t z t a n Verfolgungs- u n d Größenwahn h t t . A b g e w a n d t v o n der W e l t u m i h n h e r u m , lebt er still sein u n v e r ­ gleichlich reiches E i g e n l e b e n . E s ist eine t y p i s c h geniale Veranlagung, die wir b e i R i e m a n n finden: n a c h a u ß e n der stille Sonderling; voller Kraft u n d voller S c h w u n g n a c h innen. I m übrigen waren R i e m a n n s Interessen viel umfassender als die Abels, der sich nur für R e i n e M a t h e m a t i k als solche begeisterte. R i e m a n n s Interessen u m s p a n n e n die M a t h e m a t i s c h e P h y s i k , ja die g e s a m t e philo­ sophische Naturerklärung m i t p s y c h o l o g i s c h e m E i n s c h l a g . Man ver­ gleiche nur R i e m a n n s eigene W o r t e darüber: W e r k e , S. 5 0 7 f . i ) . „ D i e Arbeiten, welche m i c h j e t z t vorzüglich beschäftigen, sind 1. I n ähnlicher W e i s e , wie dies bereits b e i d e n algebraischen F u n k ­ t i o n e n , d e n E x p o n e n t i a l - oder Kreisfunktionen, d e n elliptischen u n d A b e l s c h e n F u n k t i o n e n m i t so g r o ß e m Erfolg g e s c h e h e n ist, d a s I m a g i ­ näre in die Theorie anderer transzendenter F u n k t i o n e n einzuführen; ich h a b e d a z u in meiner Inauguraldissertation die n o t w e n d i g s t e n all­ g e m e i n e n Vorarbeiten geliefert. (Vgl. diese D i s s e r t a t i o n Art. 20.) 2. I n V e r b i n d u n g d a m i t s t e h e n neue M e t h o d e n zur I n t e g r a t i o n partieller Differentialgleichungen, welche ich bereits auf mehrere p h y s i k a h s c h e G e g e n s t ä n d e m i t Erfolg a n g e w a n d t h a b e . 3. Meine H a u p t a r b e i t betrifft eine neue Auffassung der b e k a n n t e n N a t u r g e s e t z e — Ausdruck derselben m i t t e l s anderer Grundbegriffe — , w o d u r c h die B e n u t z u n g der e x p e r i m e n t e l l e n D a t a über die W e c h s e l ­ w i r k u n g zwischen W ä r m e , L i c h t , M a g n e t i s m u s u n d E l e k t r i z i t ä t zur Erforschung ihres Z u s a m m e n h a n g s m ö g l i c h wurde. I c h w u r d e d a z u h a u p t s ä c h l i c h durch das S t u d i u m der W e r k e N e w t o n s , Eulers u n d — andererseits — H e r b a r t s geführt. W a s letzteren betrifft, so k o n n t e ich m i c h d e n frühesten U n t e r s u c h u n g e n Herbarts, deren R e s u l t a t e in seinen P r o m o t i o n s - u n d H a b i h t a t i o n s t h e s e n ( v o m 2 2 . u n d 2 3 . Oktober 1802) ausgesprochen sind, fast völlig anschließen, m u ß t e aber v o n d e m späteren Gange seiner S p e k u l a t i o n e n in e i n e m w e s e n t l i c h e n P u n k t e a b w e i c h e n , w o d u r c h eine Verschiedenheit in b e z u g auf seine N a t u r ­ philosophie u n d diejenigen S ä t z e der P s y c h o l o g i e , w e l c h e deren Ver­ b i n d u n g m i t der N a t u r p h i l o s o p h i e betreffen, b e d i n g t ist.'' I c h m ö c h t e die A u f m e r k s a m k e i t ganz besonders auf den A n f a n g v o n A b s a t z 3 lenken. „Meine H a u p t a r b e i t " sagt R i e m a n n da. E r selbst wertet also seine naturphilosophischen S p e k u l a t i o n e n b e d e u t e n d höher als seine für uns klassischen W e r k e über die Theorie der k o m p l e x e n F u n k t i o n e n f {x + iy), R i e m a n n s äußeres L e b e n e n t b e h r t der großen Ereignisse. E r b e ­ s u c h t e 1 8 4 0 — 4 2 das L y z e u m ( G y m n a s i u m ) in H a n n o v e r , 1 8 4 2 — 4 6 d a s J o h a n n e u m in Lüneburg. D o r t , also m i t 19 V2 Jahren, las er 1) Alle Seitenzahlen beziehen sich auf die zweite Auflage.

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s c h o n die m a t h e m a t i s c h e n Klassiker, insbesondere Euler u n d Legendre. Ostern 1846 k a m er n a c h G ö t t i n g e n , zunächst u m Theologie z u studieren. B a l d s a t t e l t e er jedoch u m u n d w e n d e t sich ganz der M a t h e m a t i k zu. E r hörte v i e l bei Stern, der mir gegenüber später e i n m a l ä u ß e r t e : „ R i e m a n n s a n g d a m a l s s c h o n w i e ein Kanarienvogel.'' — Ganz w u n d e r ­ bar u n d fast rätselhaft für u n s ist R i e m a n n s n a h e B e z i e h u n g zu G a u ß in seinen wissenschafthchen Ideen. E r k a n n n i c h t v i e l b e i d e m d a m a l s schon 70jährigen G a u ß , der ohnehin w e n i g las, gehört h a b e n . Menschliche B e z i e h u n g e n z u G a u ß h a t der junge, schüchterne S t u d e n t sicher a u c h n i c h t a n k n ü p f e n k ö n n e n ; Gauß lehrte d o c h nur wider­ willig u n d b r a c h t e der Mehrzahl seiner Hörer w e n i g Interesse e n t g e g e n , war a u c h s o n s t recht unnahbar. T r o t z d e m m ü s s e n wir R i e m a n n einen Schüler v o n Gauß n e n n e n , ja er ist der einzige e i g e n t h c h e Schüler v o n G a u ß , der auf dessen innere Ideen e i n g e g a n g e n ist, w i e wir sie j e t z t i m U m r i ß allmählich a u s d e m N a c h l a ß k e n n e n lernen: er s u c h t , w i e Gauß, den Z u s a m m e n h a n g v o n f (x + iy) m i t der konformen A b b i l d u n g einerseits, m i t der Gleichung Au = O u n d anschließend m i t verschiedenen Gebieten der P h y s i k andererseits. Als einen ersten B e l e g für den inneren K o n t a k t zwischen b e i d e n , der sich philologisch nicht u n m i t t e l b a r n a c h w e i s e n läßt, wollen wir e t w a R i e m a n n s Arbeiten über die h y p e r g e o m e t r i s c h e F u n k t i o n ansehen, in d e n e n eine Menge v o n Gauß n i c h t veröffenthchte Ideen b e n u t z t werden. Gegen E n d e seines A u f e n t h a l t e s in G ö t t i n g e n beschäftigt sich R i e ­ m a n n m i t geometrischen D i n g e n . E b e n d a m a l s , 1847, veröffentlichte Listing seine „ V o r s t u d i e n zur T o p o l o g i e " in den „ G ö t t i n g e r S t u d i e n " . H i e r sind die ersten nachweisbaren A n s ä t z e zur Erschließung der g e o m e ­ trischen D i s z i p h n , die m a n auch, m i t R i e m a n n , A n a l y s i s s i t u s n e n n t , u n d m i t der sich, wie die N a c h l a ß f o r s c h u n g zeigt, auch G a u ß vielfach b e s c h ä f t i g t h a t . Stern las d a m a l s über g a n z andere D i n g e , Gauß las über Methode der k l e m s t e n Q u a d r a t e ; u n d d o c h h a t sich der junge R i e ­ m a n n ganz i n t e n s i v m i t jenen geometrischen F r a g e n beschäftigt. W i r k ö n n e n e s gar n i c h t anders a n s e h e n , als d a ß die Göttinger A t m o s p h ä r e d a m a l s m i t diesen geometrischen Interessen g e s ä t t i g t war u n d ihren unkontrohierbaren, aber starken Zwang auf d e n sehr b e g a b t e n u n d empfängUchen R i e m a n n a u s ü b t e . E s ist e b e n viel wichtiger, in w e l c h e geistige U m g e b u n g ein Mensch h i n e i n k o m m t , die ihn v i e l stärker beeinflußt als T a t s a c h e n u n d k o n k r e t e s W i s s e n , d a s i h m ge­ boten wird! Ostern 1847 g e h t R i e m a n n n a c h Berlin, w o er zwei Jahre (bis 1849) bleibt. D o r t hört er J a c o b i s Mechanik u n d e m p f ä n g t v o n i h m a u c h w o h l nur indirekt die Anregung, sich über die elhptischen F u n k t i o n e n h m a u s den „ A b e l s c h e n F u n k t i o n e n ' ' — die A b e l ja selbst n o c h u n b e k a n n t w a r e n — z u z u w e n d e n . I n der T a t war d a m a l s die F r a g e n a c h den Abelschen F u n k t i o n e n aktuell g e w o r d e n .

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VI. Riemann und Weierstraß.

1846 h a t t e J a c o b i s Schüler R o s e n h a i n m i t der U m k e h r der h y p e r elliiptischen Integrale für ^ = 2 d e n g r o ß e n Preis der Pariser A k a d e m i e g e w o n n e n ; veröffenthcht wurde die Arbeit allerdings erst 1851 (in d e n S a v a n t s etrangers). 1847 e r s c h e m t m CreUes Journal, B d . 35, die w i c h ­ tige A b h a n d l u n g v o n G ö p e l über d e n s e l b e n G e g e n s t a n d . 1849 k ü n d i g t W e i e r s t r a ß i m G y m n a s i a l p r o g r a m m v o n Braunsberg die allgemeine Inversion der hyperelliptischen Integrale a n u n d e n t w i c k e l t die Bilinearrelationen für die Perioden der Integrale erster u n d zweiter G a t t u n g . Man sieht, w i e a u c h hier der B o d e n bereitet ist für R i e m a n n , w i e i h m hier die Interessen eingepflanzt werden, a u s d e n e n heraus seine g l ä n ­ z e n d s t e Arbeit, die Theorie der A b e l s c h e n F u n k t i o n e n , n a c h J a h r e n h e r v o r g e h e n sollte (1857). N e b e n J a c o b i hört R i e m a n n n o c h b e i D i r i c h l e t . W o h l h a t i h m J a c o b i die stoffliche H a u p t a n r e g u n g g e g e b e n ; J a c o b i s Methode aber ü b e r n i m m t R i e m a n n n i c h t . J a c o b i ist i h m z u sehr Algorithmiker. Mit D k i c h l e t d a g e g e n v e r b i n d e t üin eine starke m n e r e S y m p a t h i e ähnlicher D e n k w e i s e . D n i c h l e t liebte e s , sich die T h e o r e m e a m anschaulichen S u b s t r a t klar z u m a c h e n ; d a n e b e n zergliedert er logisch scharf die Grundlagen u n d v e r m e i d e t tunlichst lange R e c h n u n g e n . Seine Art s a g t R i e m a n n z u , er ü b e r n i m m t sie u n d arbeitet n a c h Dirichletscher M e t h o d e . I n seinen Berliner S e m e s t e r n trifft R i e m a n n a u c h m i t E i s e n ­ stein (geb. 1823), der d a m a l s gerade erst h a b ü i t i e r t war, z u s a m m e n u n d spricht m i t i h m a u c h v o n der E i n f ü h r u n g k o m p l e x e r Größen in die Theorie der F u n k t i o n e n . D o c h die b e i d e n — E i s e n s t e i n war in semer A r t g e w i ß a u c h ein großes T a l e n t — finden sich n i c h t . E i s e n s t e i n ist v i e l z u sehr F o r m e l m e n s c h , der, v o n der R e c h n u n g a u s g e h e n d , in üir die W u r z e l n s e m e r E r k e n n t n i s findet u n d die allgemeinen I d e e n R i e ­ m a n n s über F u n k t i o n e n k o m p l e x e r Veränderlicher, die R i e m a n n n a c h D e d e k i n d s c h o n H e r b s t 1847 z u m ersten Mal gründlich b e a r b e i t e t h a t , also m i t 2 1 J a h r e n , n i c h t z u fassen v e r m a g . Ostern 1849, also m i t 2 2 V2 Jahren, kehrt R i e m a n n n a c h G ö t t m g e n zurück, w o h m gerade W . W e b e r zurückberufen war. A n W e b e r g e w i n n t R i e m a n n e i n e n Gönner u n d väterlichen F r e u n d . W e b e r er­ k a n n t e R i e m a n n s Genialität u n d z o g d e n s c h ü c h t e r n e n S t u d e n t e n z u sich heran. 1 8 5 0 würd R i e m a n n Mitglied d e s e b e n g e g r ü n d e t e n Göt­ tinger m a t h e m a t i s c h - p h y s i k a l i s c h e n Seminars, s t e i g t b a l d zur S t e l l u n g e m e s Seniors auf u n d w i r d u n t e r d i e s e m N a m e n v o n W e b e r als Assi­ s t e n t b e i p h y s i k a l i s c h e n Ü b u n g e n beschäftigt. W i r sehen, w i e der Z u s a m m e n h a n g m i t W e b e r i m m e r enger wird, aber n i c h t nur äußerlich. V o n W e b e r w i r d R i e m a n n s Interesse für die m a t h e m a t i s c h e N a t u r ­ b e t r a c h t u n g g e w e c k t u n d R i e m a n n w k d stark durch W e b e r s FragesteUungen beeinflußt. Leider s i n d u n s R i e m a n n s s c h o n o b e n g e n a n n t e B e t r a c h t u n g e n über N a t u r p h i l o s o p h i e nur in B r u c h s t ü c k e n erhalten (vgl. W e r k e S. 305ff.). A u s d i e s e n spärlichen D o k u m e n t e n schon sehen

Β. Riemann.

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wir, m i t welcher großen geistigen Selbständigkeit der junge R i e m a n n a r b e i t e t e ; er b a u t sich, v o n d e n W e b e r s c h e n I d e e n a b w e i c h e n d seine eigene W e l t auf. R i e m a n n d e n k t sich d e n R a u m m i t kontinuierlichem Stoff erfüllt, der die W i r k u n g e n der Gravitation, des Lichtes u n d der Elektrizität überträgt. Er h a t überaU die Vorstellung einer zeitlichen Verbreitung der Vorgänge. E i n e B e m e r k u n g über dieselbe Sache findet sich in e i n e m Privatbrief v o n G a u ß a n Weber — m i t der a u d r ü c k h c h e n B i t t e u m vöUige G e h e i m h a l t u n g . U n d n u n frage ich wieder, wie k o m m e n diese D i n g e zu R i e m a n n ? E s ist eben jener m y s t i s c h e , n i c h t a b z u ­ leugnende u n d d o c h auch n i c h t klar zu fassende Einfluß der allgemeinen A t m o s p h ä r e auf einen empfindlichen Geist. Z u einem T e ü antizipiert R i e m a n n dabei die Maxwellschen B e t r a c h t u n g e n . D a h a b e n wir z. B . d a s Variationsproblem der MacCullaghschen Optik, m i t d e m ich d a s vorige K a p i t e l schloß (Werke S. 538, d.). E s ist nicht wahrscheinlich, d a ß R i e m a n n die MacCullaghschen Originalarbeiten g e k a n n t h a t . D i e Schwerewirkung d e n k t sich R i e m a n n speziell so, d a ß der konti­ nuierlich d e n R a u m erfüllende Stoff m i t d e m Geschwindigkeitspotential V in die Schwere erzeugenden Massenpunkte einströmt u n d sich dort in ,,Geistesmasse'' v e r w a n d e l t — eine sehr e i g e n t ü m l i c h e Auffassung. R i e m a n n h a t s c h o n Schwere m i t Licht z u v e r b i n d e n g e s u c h t , wie m a n aus der F o r m e l W e r k e S. 538, c, ersieht. I c h bin mir über ihre E n t s t e h u n g nicht klar u n d w e i ß nicht z u s a g e n , w a s d a v o n gegenüber d e n heute i m Vordergrund s t e h e n d e n Theorien z u h a l t e n ist. E n d h c h , E n d e 1851 — R i e m a n n ist also s c h o n 2 5 Jahre alt — , erscheint seine D i s s e r t a t i o n : Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Größe (Werke S. 3 ff.), auf die wir n o c h aus­ führlich z u r ü c k k o m m e n werden, die aber — s e l t s a m für u n s z u lesen — n a c h a u ß e n h i n zunächst g a n z ohne W i r k u n g blieb. U n d wieder dauert es fast drei Jahre, bis R i e m a n n sich habilitiert, i m S o m m e r 1854. AUerdings m i t zwei unvergleichlich g l ä n z e n d e n L e i s t u n g e n : Habilitationsschrift: Über die Darstellbarkeit einer FunUion durch eine trigonometrische Reihe (Werke S. 227 ff.). H a b i l i t a t i o n s v o r ­ t r a g : Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Werke S. 2 7 2 f f . ) . B e i d e Arbeiten sind erst 1868 n a c h R i e m a n n s T o d v o n D e d e k i n d in d e n A b h a n d l u n g e n der Königl. Gesellschaft der W i s s e n ­ schaften, G ö t t i n g e n , B d . 13, veröffentlicht u n d später in der A u s g a b e der W e r k e unverändert abgedruckt worden. E s ist rührend zu lesen, m i t welchen Schwierigkeiten der junge D o z e n t zu k ä m p f e n h a t t e u n d m i t wie geringem Erfolg er zufrieden war. B e r i c h t e t er d o c h i m O k t o b e r 1854 ganz b e g l ü c k t s e i n e m V a t e r über die große Zahl seiner Hörer — es waren 8 ! — u n d i m N o v e m b e r weiter, d a ß sich der K o n t a k t m i t seinen Hörern einzustellen beginne u n d seine B e f a n g e n h e i t weiche. R i e m a n n liest z u n ä c h s t , sich e n g a n Dirichlet

252

VI. Riemann und Weierstraß.

a n l e h n e n d , über partielle Differentialgleichungen, also ein landläufiges Kolleg. I m Jahre 1855 starb G a u ß , u n d es wurde D i r i c h l e t auf s e m e n Lehrstuhl berufen, der R i e m a n n v o n Berlin her, w i e wir wissen, k a n n t e . N u n w a g t es R i e m a n n , sicherlich v o n ' Dirichlet darin b e s t ä r k t , s e m e e i g e n s t e n F o r s c h u n g s g e b i e t e z u m T h e m a seiner Vorlesungen z u m a c h e n : W . S . 5 5 / 5 6 u n d S.S. 5 6 liest er über die F u n k t i o n e n einer veränder­ lichen k o m p l e x e n Größe, m s b e s o n d e r e elliptische u n d Abelsche. D a z u finden sich drei H ö r e r : D e d e k i n d , Schering, B j e r k n e s . D a n n W . S . 56/57 über d a s gleiche T h e m a , insbesondere aber über h y p e r g e o m e t r i s c h e Reüien und verwandte Transzendenten. A u s diesen V o r l e s u n g e n sind d a n n gleich die großen Veröffent­ lichungen h e r v o r g e g a n g e n : CreUe, B d . 54, 1857, Theorie der Aheischen Funktionen u n d G ö t t . A b h . , B d . 7, 1857, Beiträge zur Theorie der durch die Gaußsche Reihe F(ai,ß,y;x) darstellbaren Funktionen. Sie h a b e n w i e Offenbarungen gewirkt u n d die rückhaltlose B e w u n d e r u n g aller F a c h g e n o s s e n erregt. D i e s e Vorlesungen h a b e n sich in d e n folgenden Semestern z. T . w i e d e r h o l t ; aber d i e weiteren F o r t s c h r i t t e , die R i e m a n n darin darlegte, s m d , d a er selbst n i c h t s m e h r darüber veröffentlicht h a t , nur n o c h m a n g e l h a f t n a c h Nachschriften publiziert w o r d e n (vgl. N a c h t r ä g e z u d e n W e r k e n , N o e t h e r u n d W k t i n g e r ) ; wir werden darauf z u r ü c k k o m m e n . H e r b s t 1857, m i t 31 Jahren, wird R i e m a n n — wahrscheinlich auf die Fürsprache v o n Dirichlet, der jedenfalls lebhaft für R i e m a n n e i n ­ g e t r e t e n ist — Extraordinarius i n G ö t t i n g e n ; 1859, n a c h Dirichlets T o d , erhält er d a s erledigte Ordinariat. D i e Jahre 1 8 5 7 — 6 2 b e d e u t e n d e n H ö h e p u n k t d e s R i e m a n n s c h e n Schaffens, w i e m a n sich durch e i n e n B h c k auf d a s I n h a l t s v e r z e i c h n i s der W e r k e überzeugen m ö g e . 1859 e r s c h e m t die b e r ü h m t e A b h a n d l u n g : Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, die die Grundlage für zahlreiche Arbeiten der n e u e s t e n Zeit geblieben ist. Sie ist m d e n Monatsberichten der Berliner A k a d e m i e , N o v . 1859, heraus­ g e g e b e n , zu deren Korrespondent R i e m a n n 1859 ernannt war. D i e Grundlage dieser Arbeit ist die s o g . C-Funktion, über deren NuUstellen R i e m a n n b e s t i m m t e V e r m u t u n g e n aussprach, die trotz eifrigsten B e ­ m ü h e n s v o n S e i t e n der v e r s c h i e d e n s t e n M a t h e m a t i k e r n o c h i m m e r n i c h t aUe bewiesen s m d . N a c h Dirichlets T o d m a g R i e m a n n wieder stärker v o n W . W e b e r beeinflußt worden sein. D a r m u n d in der Art, w i e er seine Pflicht als Ordmarius auffaßte, m a g es b e g r ü n d e t liegen, d a ß R i e m a n n sich in s e m e n Vorlesungen u n d A r b e i t e n wieder m e h r der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k z u w a n d t e . D a s zeigen die H a t t e n d o r f f s e h e n B ü c h e r , die aber große Mängel aufweisen, d a der H e r a u s g e b e r der G e n i a h t ä t R i e m a n n s n i c h t gerecht w e r d e n k o n n t e . W i e R i e m a n n innerlich weiterarbeitete,

Β. Riemann.

f-Funktion, ^-Reihen, Potenzreihen.

253

zeigt die 1860 erschienene A b h a n d l u n g : Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Werke S. 157). ebenso die bei der Pariser Akadenaie 1861 eingereichte Schrift Über eine Frage der Wärmeleitung (Werke S. 391), in welcher der ganze A p p a r a t der q u a ­ dratischen Differentialfornaen e n t w i c k e l t wird, der j e t z t in der R e ­ lativitätstheorie gebraucht wird. N u r drei Jahre durfte sich Rienaann seiner Kraft u n d Größe freuen. 1862, kurz n a c h seiner V e r h e k a t u n g , erkrankte er infolge emer starken E r k ä l t u n g . D u r c h V e r w e n d u n g v o n W . W e b e r erhielt er dreimal ein R e g i e r u n g s s t i p e n d i u m , d a s i h m einen wiederholten A u f e n t h a l t in Italien ermöglichte. D o c h die K r a n k h e i t ließ ihn n i c h t los. E r h a t noch mancherlei wissenschafthche Arbeiten b e g o n n e n , d o c h nichts m e h r voll­ enden können. A m 2 0 . JuU 1866 ist er in Selasca a m L a g o maggiore gestorben. D o r t — d a s Grab befindet sich nicht in Selasca, sondern auf d e m Fried­ hof des n a h e g e l e g e n e n Ortes Biganzola — liegt er a u c h begraben. N a c h d e m ich so einen Überblick tiber R i e m a n n s äußeres L e b e n g e g e b e n h a b e , m ö c h t e ich j e t z t tiber R i e m a n n s allgemeine Theorie der k o m p l e x e n F u n k t i o n e n f {x + iy), wie sie in seiner D i s s e r t a t i o n dar­ g e l e g t u n d in späteren A r b e i t e n weitergeftihrt ist, e t w a s eingehender berichten. I c h k a n n leider a u c h a n dieser Stelle — wie i m m e r in dieser Vorlesung — nur Stichproben g e b e n u n d m u ß m i c h darauf beschränken, d a s W e s e n t h c h e u n d Spezifische der L e i s t u n g hervorzuheben, ohne auf E i n z e ü i e i t e n einzugehen. E h e ich aber zur Charakterisierung der speziell R i e m a n n s c h e n F u n k ­ tionentheorie tibergehe, m ö c h t e ich eine V o r b e m e r k u n g einschalten, die vieUeicht tiberrascht: R i e m a n n h a t tiber F u n k t i o n e n t h e o r i e vieles u n d sogar besonders W i c h t i g e s gearbeitet, w a s nicht in d e n R a h m e n s e m e r t y p i s c h e n Theorie h m e i n p a ß t . D a zitiere i c h : 1. D i e schon g e n a n n t e , 1859 erschienene A b h a n d l u n g tiber die A n z a h l der unter gegebener Grenze liegenden Primzahlen. D i e „Riemannsche Zetafunktion" C(a+it), ist durch einen a n a l y t i s c h e n A u s ­ druck, n ä m l i c h durch ein unendliches P r o d u k t gegeben. D i e s e s P r o ­ d u k t w k d in ein b e s t i m m t e s Integral u m g e s e t z t , das d a n n durch Ver­ schiebung d e s I n t e g r a t i o n s w e g e s ausgewertet werden k a n n . D a s ganze Verfahren ist Cauchysche F u n k t i o n e n t h e o r i e . Mit diesen fltichtigen B e m e r k u n g e n m ö c h t e ich die ^ - F u n k t i o n a b t u n , so interessant u n d wichtig der G e g e n s t a n d a u c h ist. I c h lasse sie beiseite, w e ü bei ihr R i e m a n n s E i g e n a r t , wie wir sie hier hervorkehren woUen, e b e n nicht zur E n t f a l t u n g k o m m t , u n d ich ja tiberhaupt in diesen Vor­ t r ä g e n keine VoUständigkeit anstreben k a n n . 2. Z u A n f a n g des z w e i t e n Teils seiner A b e l s c h e n F u n k t i o n e n 1857 ^ieht R i e m a n n p l ö t z h c h Theta-Reihen m i t p Variabein in d e n Kreis

254

VI. Riemann und Weierstraß.

seiner B e t r a c h t u n g e n ; a u c h späterhin h a t er sich n o c h vielfach rechne­ risch m i t ihnen beschäftigt. D a s ist Jacobisches E r b g u t , das R i e m a n n natürlich ganz selbständig v e r w a l t e t . Ü b e r h a u p t liegt R i e m a n n jede starre Einseitigkeit gänzlich fern; er m a c h t für sich nutzbar, w a s er vor­ findet u n d zieht die verschiedensten M e t h o d e n heran, w e n n er durch sie sein P r o b l e m z u fördern u n d z u klären v e r m a g . 3. S o h a t R i e m a n n auch Potenzreihen [z — a] in seiner F u n k ­ tionentheorie b e n u t z t , also sozusagen in der R i c h t u n g v o n Weierstraß gearbeitet. Man h a t d e n e n g e n Z u s a m m e n h a n g v o n F u n k t i o n e n u n d P o t e n z r e i h e n s c h o n früh erkannt u n d die Anfänge einer Theorie über diese Materie liegen ziemlich weit zurück. Ich w i ü kurz skizzieren, w a s R i e m a n n vorfand. L a g r a n g e n i m m t in seiner Theorie des fonctions analytiques 1797 die Reihe z u m A u s g a n g s p u n k t . E r n e n n t a n a l y t i s c h e F u n k t i o n e n solche, die eine E n t w i c k l u n g in P o t e n z r e i h e n zulassen, w o b e i er aber m i t der R e i h e nur formal operiert u n d sich u m K o n v e r g e n z ­ fragen überhaupt nicht k ü m m e r t . D i e Reihe ist i h m offenbar nicht m e h r als ein unendliches Koeffizientenschema; s o werden a u c h die A b l e i t u n g e n b e i i h m rein formal definiert. Übrigens wirken diese E n t ­ w i c k l u n g e n v o n Lagrange n o c h i m m e r n a c h . B i s h e u t e ist der v o n L a ­ grange geprägte N a m e a n a l y t i s c h e F u n k t i o n — ich v e r m u t e , d a ß er bei Lagrange nicht m e h r b e d e u t e n s o ü t e als „ F u n k t i o n e n , die in der A n a l y s i s brauchbar s i n d " — erhalten geblieben, w e n n auch der Begriffs­ inhalt ein ganz anderer geworden ist. G a u ß h a t d a n n 1812 die Frage der K o n v e r g e n z a m Beispiel der h y p e r g e o m e t r i s c h e n Reihe b e h a n d e l t . C a u c h y h a t in s e i n e m Cours d'analyse 1821 die allgemeine F r a g e der E n t w i c k e l b a r k e i t b e h a n d e l t u n d die T a t s a c h e e n t d e c k t , d a ß jede P o t e n z ­ reihe i m K o m p l e x e n einen Konvergenzkreis besitzt. Ü b e r diese D m g e h a b e ich ja i m ersten Teil dieser Vorlesungen ausführhcher gesprochen. D i e große L e i s t u n g v o n W e i e r s t r a ß ist es — u m das in Kürze v o r w e g z u n e h m e n — , die i m F o r m a l e n s t e c k e n gebliebene I d e e v o n Lagrange a u s g e b a u t u n d vergeistigt z u h a b e n . Weierstraß s t e h t — wie ich b a l d ausführlich belegen werde — die in e i n e m b e s t i m m t e n Gebiet k o n v e r g e n t e Reihe [z — a) a n die S p i t z e seiner B e t r a c h ­ t u n g e n u n d bezeichnet sie d e m e n t s p r e c h e n d als „ F u n k t i o n s e l e m e n t " . Solche F u n k t i o n s e l e m e n t e , welche Teile ihrer Konvergenzkreise g e m e i n ­ s a m h a b e n u n d innerhalb derselben ü b e r e i n s t i m m e n , reiht er g e m ä ß s e i n e m ,,Prinzip der a n a l y t i s c h e n F o r t s e t z u n g " aneinander. D i e „ F u n k ­ t i o n " e n t s t e h t d a n n als Inbegriff aller a u s e i n e m E l e m e n t entspringenden F o r t s e t z u n g e n . — Man erfaßt hier leicht den U n t e r s c h i e d z w i s c h e n R i e m a n n s u n d Weierstraß' A n s c h a u u n g s w e i s e : W a s bei R i e m a n n g e ­ legentliches H ü f s m i t t e l , ist für die m i t rechnerischen M e t h o d e n fort­ schreitende G e d a n k e n e n t w i c k l u n g v o n Weierstraß das grundlegende Prinzip.

Riemannsche Funktionentheorie.

255

N a c h dieser Abschweifung w e n d e n wir u n s wieder R i e m a n n zu u n d w o h e n seinen t y p i s c h e n G e d a n k e n g a n g , w i e er in der Dissertation 1851 u n d d e n b e i d e n großen A r b e i t e n v o n 1857 (Abelsche F u n k t i o n e n , Theorie der hypergeometrischen Reihe) siegreich hervortritt, in aller K ü r z e zu bezeichnen suchen. Als erstes d i e Definition der F u n k t i o n f [z) eines k o m p l e x e n Argu­ m e n t e s : w = u + iv h e i ß t eine F u n k t i o n eines k o m p l e x e n Argu­ m e n t e s X + iy, w e n n unter Voraussetzung der einfachsten Eigenschaf­ t e n der Stetigkeit u n d Differenzierbarkeit d i e Gleichungen dx

dv_ dy

'dv_ dy

b e s t e h e n , aus d e n e n d a n n Au O bzw. Av = 0 folgt. Man n e n n t diese Differentialgleichungen h e u t z u t a g e m i t merk­ würdiger historischer Gewissenhaftigkeit m e i s t die Cauchy-Riemann­ schen, weil sie n ä m h c h s c h o n bei Cauchy s t e h e n . Aber sie s i n d a n sich viel älter, finden sich z. B . s c h o n Mitte des 18. Jahrhunderts bei d'Alembert, vielleicht a u c h n o c h früher. E n t d e c k t h a t sie R i e m a n n also nicht. D a s W e s e n t h c h e ist, d a ß R i e m a n n , i n d e m er sie a n d i e Spitze s t e h t , d e n A n s c h l u ß an d i e m a t h e m a t i s c h e P h y s i k einerseits u n d a n d i e Geometrie andrerseits g e w i n n t . D a s w o l l e n wir e t w a s genauer auseinandersetzen. Mit H e l m h o l t z k ö n n e n wir u d a s Geschwindigkeitspotential einer F l ü s s i g k e i t s b e w e g u n g (inkompressibler Fall) in der ^;jy-Ebene n e n n e n (—-,

sind d a n n die K o m p o n e n t e n der G e s c h w i n d i g k e i t ) , ν ist die

zugehörige

Strömungsfunktion.

Aber n o c h in d e n verschiedensten s o n s t i g e n Gebieten der m a t h e ­ m a t i s c h e n P h y s i k treten diese u, ν auf in sehr wechselnder B e d e u t u n g . D e n k t m a n a n stationäre elektrische Ströme, so heißt u elektrostati­ sches P o t e n t i a l (seit Kirchhoff, früher, bei O h m , S p a n n u n g ) ; d e n k t m a n an stationäre W ä r m e b e w e g u n g , so ist u d i e Temperatur (so findet m a n es s c h o n bei Fourier). Andrerseits d i e geometrische D e u t u n g : Infolge der vorausgeschickten Differentialgleichungen ist

nur v o n der Stelle (x + iy),

aber v o n der R i c h t u n g dx + idy

abhängig, d. h. die A b b i l d u n g der

^;>'-Ebene auf die uv-Ebene w i e vor i h m G a u ß .

ist „konform".

nicht

Alles dieses b e n u t z t R i e m a n n ,

Aber zugleich wird es für R i e m a n n d i e

QueUe

der weiteren G e d a n k e n e n t w i c k l u n g , i n d e m er d i e F r a g e n z u ergründen s u c h t , w e l c h e d i e eine oder andere Auffassung n a h e l e g t . D a s m ö c h t e ich d o c h u n t e r eine aUgemeinere P e r s p e k t i v e rücken. E s ist s,chon oft so gewesen, d a ß d i e A n w e n d u n g rückwärts d i e Theorie befruchtet h a t . E i n großartiges Beispiel h a b e n wir u. a. in der E n t ­ s t e h u n g der Differentialrechnung. Der Begriff der B e w e g u n g eines P u n k t e s u n d seiner Geschwindigkeit waren a priori v o r h a n d e n : daher

256

VI. Riemann und Weierstraß.

abstrahierte N e w t o n d e n Begriff seiner ,,fluxion". E b e n s o galt die E x i ­ s t e n z einer K u r v e u n d ihrer T a n g e n t e in e i n e m P u n k t e als u n m i t t e l b a r e v i d e n t . E s h a n d e l t e sich darum, einen W e g zur B e r e c h n u n g zu finden. V o n hier a u s d a s Leibnizsche dx, dy. Wir sehen, wie die ursprüng­ h c h e n A n s ä t z e , a u s d e n e n unsere Infinitesimalrechnung erwachsen ist, in der A n s c h a u u n g wurzeln. So ist es für R i e m a n n ohne weiteres, e b e n auf Grund der A n s c h a u u n g u n d Erfahrung, klar, d a ß einfache S t r ö m u n g e n auf einer F l ä c h e , d a ß konforme A b b ü d u n g e n v o n F l ä c h e n auf einander existieren. U n d d a s gerade h a t ihn in s e i n e m Schaffen lebhaft gefördert. Skrupel, wie sie später a u f t a u c h t e n , ob diese Art logisch befriedigt, oder Fragen, w a r u m sie es nicht t u t , k ö n n e n hier nicht berücksichtigt w e r d e n . R i e m a n n h a t übrigens selbst weiterhin solche Skrupel erwogen. Hierüber erst später. J e t z t will ich nur d e n W e r d e g a n g v o n R i e m a n n s a l l g e m e i n e n funk­ tionentheoretischen I d e e n , wie ich i h n historisch auffasse, schildern. Analytische Funktion ist b e i R i e m a n n das, w a s a u s irgend e i n e m Anfangsbereich a u s g e m ä ß den g e n a n n t e n Differentialgleichungen durch kontinuierliche F o r t s e t z u n g e n t s t e h t . D a s ist i m Prinzip g e n a u dasselbe, w a s Weierstraß h a t , nur d a ß größere Freiheit h i n s i c h t h c h der h e r a n z u z i e h e n d e n a n a l y t i s c h e n H ü f s ­ m i t t e l bleibt. R i e m a n n h a t in seiner D i s s e r t a t i o n a u c h w o h l n o c h keine ganz scharfe Ansicht über die g e n a u e T r a g w e i t e seines A u s g a n g s p u n k t e s . Sagt er d o c h (Dissertation, N r . 2 0 , W e r k e S. 3 9 ) : „ d a ß . . . der hier zu Grunde gelegte Begriff einer F u n k t i o n einer veränderlichen k o m p l e x e n Größe m i t d e m einer durch Größenoperationen ausdrückbaren A b h ä n g i g ­ keit völlig z u s a m m e n f ä l l t , " w ä h r e n d wir wissen, d a ß seine Definition g e n a u so w e i t reicht wie die durch P o t e n z r e i h e n , u n d ein durch andere R e c h e n o p e r a t i o n e n b e s t i m m t e r A u s d r u c k g a n z andere E i g e n s c h a f t e n h a b e n k a n n . W i r dürfen a n R i e m a n n s Arbeiten ü b e r h a u p t nicht die Anforderungen stellen, w a s logische Strenge a n l a n g t , wie a n die E n t ­ w i c k l u n g e n v o n Weierstraß. Vielmehr wirkt R i e m a n n durch seinen I d e e n r e i c h t u m u n d die Fülle seiner G e s i c h t s p u n k t e , die i m m e r d a s W e s e n t l i c h e treffen. N u n k a n n ich schildern, w i e sich v o n R i e m a n n s Definition der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n u n d der a priori v o r h a n d e n e n R a u m v o r s t e l l u n g aus ein erstes w i c h t i g e s H ü f s m i t t e l e n t w i c k e l t h a t , eine geometrische Hilfsvorstellung. I n d e m die F o r t s e t z u n g einer F u n k t i o n auf verschiedenen W e g e n für dasselbe χ + iy verschiedenes w + t t ; ergeben k a n n u n d R i e m a n n i m m e r die konforme A b b i l d u n g vor A u g e n h a t t e , e r w u c h s für i h n die Idee der „Riemannschen Fläche", welche die E b e n e oder a u c h nur Teile v o n ihr mehrfach überdeckt.

Riemannsche Fläche.

257

D i e Schwierigkeiten, welche andere Forscher, die mehrdeutigen F u n k t i o n e n betreffend, h a t t e n , werden hiermit überwunden. D e n n auf der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e als Substrat k a n n m a n n u n g e n a u so o p e ­ rieren, wie sonst in der schlichten E b e n e , also z. B . Integrationswege hin- u n d herschieben u. a. m. N e h m e n wir nur als Beispiel die Periodizi­ t ä t d e s elliptischen Integrals erster G a t t u n g

deren direktes Verständnis d e n Mathematikern früher so viel Schwierig­ keiten m a c h t e ; selbst Gauß ist d a m i t nicht d u r c h g e k o m m e n . R i e m a n n findet auf Grund seiner n e u e n Betrachtungsweise d a s verblüffend ein­ fache u n d überzeugende R e s u l t a t : „ D a s Periodenparallelogramm der « - E b e n e ist die konforme A b b i l d u n g der z w e c k m ä ß i g zerschnittenen R i e m a n n s c h e n Fläche für Hz-a)

(ζ-β){ζ-γ)

{ζ-δ)-

N o c h h e u t e b e s t e h e n für d e n , der anfängt, sich m i t R i e m a n n s c h e n F l ä c h e n z u beschäftigen, große Schwierigkeiten: D i e „ W i n d u n g s p u n k t e " , u m die h e r u m die verschiedenen „ B l ä t t e r " z u s a m m e n h ä n g e n , sind e t w a s Wesentliches, die v o n ihnen auslaufenden K u r v e n , in d e n e n die B l ä t t e r sich durchsetzen, nicht. Sie k ö n n e n beliebig verschoben werden, sofern nur ihre E n d e n fest bleiben, u n d k o m m e n überhaupt nur dadurch z u ­ stande, d a ß wir unwillkürlich i m dreidimensionalen R a u m konstruieren. R i e m a n n h a t übrigens in seinen Abelschen F u n k t i o n e n die Terminologie g e ä n d e r t : E s stehen sich gegenüber B l a t t — Z w e i g , W i n d u n g s p u n k t — Verzweigungspunkt, Durchsetzungskurve — Verzweigungsschnitt. Allgemein z u reden wird inr ζ = f (z) nicht nur ζ in z, sondern auch ζ in ζ mehrdeutig sein. E i n e m irgendwie berandeten S t ü c k der F l ä c h e über der z-Ebene entspricht d a n n eineindeutig u n d i m allgemeinen konform ein Stück der F l ä c h e über der C-Ebene. U n d hier greift n u n die neue geometrische Disziplin, die Analysis situs (= Topologie) ein. D i e eineindeutige, konforme A b b i l d u n g ist ein Spezialfall der einein­ d e u t i g stetigen Abbildung. E s erhebt sich z u n ä c h s t die Frage, w a n n k ö n n e n zwei F l ä c h e n eineindeutig stetig aufeinander bezogen werden ? I c h berichte nur historisch: Charakteristisch für die F l ä c h e sind: P die Maximalzahl der zugleich m ö g h c h e n , die F l ä c h e nicht zer­ stückenden u n d einander nicht kreuzenden Rückkehrschnitte, u n d μ die Anzahl der R a n d k u r v e n . I c h kann die o b e n aufgeworfene Frage n u n kurz dahin b e a n t w o r t e n , d a ß ich s a g e : Zwei F l ä c h e n sind d a n n u n d nur d a n n eineindeutig u n d stetig aufeinander z u beziehen, w e n n die beiden Zahlen μ u n d p über­ e i n s t i m m e n 1). Übereinstimmung in der Orientierbarkeit" ist hier stillschweigend voraus­ gesetzt. Anm. d. Herausg.

Klein, Entw icklung der Mathematik.

17

VI. Riemann und Weierstraß. D i e s e s f u n d a m e n t a l e T h e o r e m k o m m t bei R i e m a n n explizite nicht vor, wird aber i m m e r wieder v o n i h m a n g e w a n d t . H a b e n wir n u n spezieh geschlossene F l ä c h e n , d. h. ist μ = 0, so ist die F l ä c h e i m Sinne der A n a l y s i s situs durch die Zahl p v o h k o m m e n charakterisiert. U m eine geschlossene F l ä c h e v o n g e g e b e n e m p in eine einfach b e r a n d e t e zu v e r w a n d e l n , auf der keine die F l ä c h e nicht zer­ s t ü c k e n d e n R ü c k k e h r s c h n i t t e m e h r m ö g l i c h sind, gebraucht m a n 2p Querschnitte. Ist insbesondere ζ = f [z) eine algebraische Funktion, d. h. b e s t e h t zwischen C u n d ζ eine algebraische Gleichung F ( C , O (in R i e m a n n s B e z e i c h n u n g s w e i s e ) , so ist die R i e m a n n s c h e F l ä c h e , w e l c h e die ganze z-^bene m i t η B l ä t t e r n überdeckt, bei richtiger E i n s c h ä t z u n g des U n e n d hchfernen, eine geschlossene F l ä c h e . Sie b e s t e h t spezieÜ aus e i n e m S t ü c k , w e n n F = O im R a t i o n a h t ä t s b e r e i c h v o n ζ irreduzibel i s t ; u n d dieser S a t z ist umkehrbar. D i e s E r g e b n i s allein ist bereits eine w i c h t i g e E i n s i c h t . F ü r solche geschlossene F l ä c h e ergibt sich i m besonderen, n e b e n ^ = O, w a s wir oben sahen,

WO W die A n z a h l der W i n d u n g s p u n k t e unter B e r ü c k s i c h t i g u n g ihrer M u h i p l i z i t ä t b e d e u t e t . D i e s e Zahl p ist später v o n C l e b s c h das ,,Ge­ schlecht" der F l ä c h e b z w . der Gleichung F [ζ, 2:) = O g e n a n n t w o r d e n . W i r h a b e n also als erstes w i c h t i g e s E r g e b n i s die F r a g e s t e l l u n g n a c h der e i n e i n d e u t i g e n B e z i e h u n g algebraischer Gleichungen F {ζ. 2:) = O auf einander u n d insbesondere d e n S a t z : Gleichungen F {ζ,ζ) = 0 lassen sich nur d a n n e i n e i n d e u t i g u n d s t e t i g aufeinander b e z i e h e n , wenn sie dasselbe p h a b e n . E i n e n B e w e i s dieses S a t z e s b r a u c h t R i e m a n n nicht m e h r zu g e b e n , seine Gültigkeit wird durch die A n s c h a u u n g für ihn gewährleistet. D a m i t h a t R i e m a n n alle algebraischen Gleichungen, die sich durch e i n e i n d e u t i g e oder, w i e m a n v o m S t a n d p u n k t der F o r m e l s a g t , bira­ tionale Transformation auseinander ergeben, durch eine erste Charakte­ ristik g e k e n n z e i c h n e t : sie h a b e n n o t w e n d i g eine numerische I n v a r i a n t e , n ä m h c h die Zahl p. D i e Gebilde desselben ρ unterscheiden sich d a n n w e i t e r h i n noch durch die in sie e i n g e h e n d e n w e s e n t l i c h e n K o n s t a n t e n , die sog. „Moduln". Als deren Zahl findet R i e m a n n bei j5) = O N u ü , hei P I E i n s , u n d im ρ > I den W e r t — 3. W i r k ö n n e n auf diese w i c h t i g e F r a g e hier u n m ö g h c h näher e i n g e h e n , k o m m e n aber in K a p . 7 darauf zurück. N u n wollen wir d e n E i n f l u ß der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k , w i e er in R i e m a n n s Theorie, insbesondere bei d e n algebraischen F u n k t i o n e n u n d ihren Integralen zur Geltung g e k o m m e n ist, darstellen.

Physik; Existenztheoreme.

259

I c h wähle als Einführung a m besten e m Beispiel, das ich der klas­ sischen Tradition, d. h. Fouriers W ä r m e l e i t u n g e n t n e h m e . E s sei die T e m p e r a t u r u = u (s) in den R a n d p u n k t e n eines schlichten Bereiches s t e t i g g e g e b e n . D a n n bildet sich i m Innern i m Laufe der Zeit ein stationärer T e m p e r a t u r z u s t a n d heraus, der durch die B e d i n ­ gungsgleichung Au = O charakterisiert i s t ; dabei ist es nicht ausgeschlossen, d a ß i m Innern n o c h Quellen u n d Senken b e s t e h e n , v o r a u s g e s e t z t , d a ß ihre G e s a m t ­ ergiebigkeit gleich O ist. S o lehrt es die physikalische Erfahrung. D a h a b e n wir hier also d a s e i s t e R a n d w e r t p r o b l e m , das die F r a n z o s e n , unhistorisch wie sie sind, „ p r o b l e m e de Dirichlet'* n e n n e n : „eine F u n k ­ tion U zu b e s t i m m e n , w e n n die R a n d w e r t e u n d b e s t i m m t e p h y s i k a l i s c h mögliche U n s t e t i g k e i t e n v o r g e g e b e n sind. E s wird eine u n d nur eine Lösung geben." R i e m a n n b e n u t z t diese D e n k w e i s e für die F u n k t i o n e n t h e o r i e , i n d e m er U als reellen Teil v o n f {x iy) == f (z) = u -\- iv n i m m t u n d den imaginären Teil ν durch die Differentialgleichungen dx ~ dy''

dy ~

dx

b e s t i m m t d e n k t , also:

D a n n b e s t e h t ein erster E x i s t e n z s a t z : W e n n die W e r t e v o n u als R a n d ­ werte s t e t i g g e g e b e n sind, d a n n existiert eine F u n k t i o n f =u + iv, s o d a ß ihr reeller Teil s t e t i g sich den gegebenen R a n d w e r t e n a n s c h m i e g t . D i e s e n A n s a t z , den R i e m a n n ü b e r n a h m , h a t er nun b e d e u t e n d ver­ allgemeinert : S t a t t des b e r a n d e t e n schlichten F l ä c h e n s t ü c k s n i m m t er je n a c h d e m ein S t ü c k einer R i e m a n n s c h e n F l ä c h e , e v e n t u e h a u c h eine geschlossene R i e m a n n s c h e F l ä c h e ; s t a t t der R a n d w e r t e v o n u n i m m t er (in e t w a s u n b e s t i m m t e m Ansatz) irgendwelche B e z i e h u n g e n , die z w i s c h e n den R a n d w e r t e n v o n u u n d ν b e s t e h e n m ö g e n . E s ist u n m ö g l i c h , diesen A n s a t z in seiner Allgemeinheit hier zu verfolgen. Vielmehr k a n n ich nur die R e s u l t a t e n e n n e n , die sich für die Lehre v o n den algebraischen F u n k t i o n e n u n d ihren Integralen sozusagen i m ersten Anlauf ergeben. N a c h R i e m a n n s eigener A n g a b e h a t er sie in der T a t gleich zu A n f a n g , i m A n s c h l u ß an seine D i s s e r t a t i o n , W i n t e r 1851/52, gefunden. E s s m d dieselben, die ich in meiner Schrift v o n 1881/82 über R i e m a n n s Theorie der algebraischen F u n k t i o n e n und ihrer Integrale (Ges. A b h . , B d . 3 , S. 498ff.), ausführlicher in meiner A u t o g r a p h i e über R i e m a n n s c h e F l ä c h e n (zwei H e f t e , 1891/9-2), e n t w i c k e l t h a b e , i n d e m ich überah auf das i n d u k t i v - p h y s i k a l i s c h e D e n k e n , das ich als e i g e n t h c h e Quelle v o n R i e m a n n s E n t w i c k l u n g e n v o r a u s s e t z e , zurückgehe. I c h schließe m i c h a u c h a m h e b s t e n an die dort g e g e b e n e 17*

VI. Riemann und Weierstraß.

Darstellung, die von Riemanns Aufbau allerdings etwas abweicht, an. Man wird aus meinen Ausführungen dann hoffentlich ersehen, wie Rie­ mann die physikalische Auffassung zur Aufstellung von Existenz­ theoremen für Funktionen auf geschlossenen, beliebig vielblättrigen Riemannschen Flächen benutzt. Sei zunächst also eine n-blättrige, geschlossene Fläche über der ^-Ebene gegeben. Das grundlegende Gedankenexperiment ist: Die Riemannsche Fläche werde als gleichförmig elektrisch leitend gedacht. Das läßt sich sehr einfach realisieren, indem man die Fläche mit Stanniol beklebt und für eine isolierte Durchdringung der Blätter dadurch sorgt, daß man in den Verzweigungsschnitten Kämme ineinandergreifen läßt, so daß der Leitungswiderstand in den Zinken der gleiche ist wie in der homogenen Stanniolbelegung. In zwei Punkten ^ ^ 2 ^^^^^^i^ Pole einer galvanischen Batterie von geeigneter Stärke aufgesetzt. Es ent­ wickelt sich ein Strom, dessen Potential u auf der Fläche überah sonst eindeutig und stetig ist und die Gleichung Au = O befriedigt, in ^ ^ 2 aber unstetig wird wie log bzw. — log r^. Damit haben wir einen weiteren Existenzsatz gewonnen, der sich etwa so formulieren ließe: Auf jeder geschlossenen Riemannschen Fläche existiert eine stetige Potentialfunktion die an zwei vorgegebenen Stellen in bestimmt vorgegebener Weise logarithmisch unendlich wird. Aus diesem u wohen wir nun gemäß dy '

dy

dx

ein U + iv machen. Das wird sehr einfach sein, wenn wir zuvor die Riemannsche Fläche geeignet behandeln. Wir zerschneiden sie zu­ nächst durch 2p Querschnitte so, daß kein nicht zerstückender RAckkehrschnitt ( = Perioden weg) mehr möglich ist; dann verbinden wir auch noch A^, durch einen Schnitt. In der so präparierten Fische ist V eindeutig und stetig.

unterscheidet sich aber an den Ufern der einzelnen Querschnitte um je eine additive Konstante und verhält sich bei Annäherung des Punktes Z den A·^ resp. A^ wie der Winkel des Vektors ζA^ zur positiven Λ:-Achse bzw, der negativ genommene Winkel des Vektors ζA^ zur positiven ^:-Achse,ist also auf dem einen Ufer von A^A^^ um 2 π größer als auf dem anderen. Ich kann jetzt zusammenfassend den Satz aussprechen: Ist eine geschlossene Riemannsche Fläche über der z-Rhene gegeben, und markiert man auf ihr irgend zwei Punkte .4^^ und A^, die man durch

Physik; Existenztheoreme.

261

eine Kurve verbindet, so existiert auf der durch 2p Querschnitte zer­ schnittenen Fläche ein und nur ein eindeutiger Funktionszweig u + iv, der folgende Eigenschaften hat: er ist überall sonst stetig, außer in und wo er logarithmisch unendlich wird; und, während sein reeller Teil auf der Fläche und an ihren Begrenzungen eindeutig ist, bietet der imaginäre Teil an korrespondierenden Stellen der beiden Ufer der Verbindungskurve A^A^ den Periodizitätsmodul 2π dar, und ebenso an korrespondierenden Stellen der beiden Ufer jedes der 2p Querschnitte Periodizitätsmoduln P^·, die man berechnen muß. Man nennt die Funktion TJA„A^* die aus dem gewonnenen u + iv durch beliebige Überschreitung der Schnitte entsteht — gemäß der Terminologie, die sich bei den elhptischen Integralen entwickelt hat — ein ,,Integral dritter Gattung". Nachdem dieser erste Existenzbeweis gelungen ist, haben wir gewon­ nenes Spiel. Man kann ,,Integrale zweiter. Gattung" bilden — d. h. solche, die nur eine Unendlichkeitsstelle und in ihr einen Pol besitzen, wo sie sich verhalten wie dann „Integrale erster Gattung", die überhaupt nicht unendlich werden. — Man kann ferner auf ver­ schiedene Weisen zu ,,algebraischen Funktionen auf der Fläche" über­ gehen, indem man entweder Integrale zweiter und erster Gattung so zusammenfügt, daß alle Periodizitätsmoduln Null werden, oder indem man einfach differenziert: usw. In der Tat zeigt man, daß solche Funktionen ζ, die auf der vor­ gelegten w-blättrigen Fläche eindeutig sind und nur Pole besitzen, mit Z durch eine algebraische Gleichung F (ζ^ z) ^ O verbunden sind. Wir erkennen so, daß zu jeder beliebig vorgelegten w-blättrigen Riemannschen Fläche algebraische Funktionen, wie Integralfunktionen, gehören, und gewinnen, indem wir sie alle synthetisch konstruieren, klaren Einblick in ihren Zusammenhang. Da wir nun umgekehrt bereits wissen, daß zu jeder algebraischen Gleichung F {ζ,ζ)= Q eine w-blättrige Riemannsche Fläche über der 2:-Ebene gehört, hat man damit einen neuen Eingang in die allgemeine Lehre von den algebraischen Funktiontn und ihren Integralen (den ,,Abelschen Integralen"). Es ist ganz unmöglich, daß ich das hier weiter ausführe. Es kommt mir nur darauf an, fühlbar zu machen, wie Riemann durch die Eigenart seines Denkens von einer ganz anderen Seite an die genannten Funk­ tionsgattungen herantritt, als es vorher je geschehen war. Und eben hierin wird man ein wesentliches Stück für den außerordentlichen Erfolg erblicken, den er auf diesem Gebiet errang. Das Wichtigste bleibt immer, daß gemäß den Riemannschen Über­ legungen zu jeder vorgelegten Riemannschen Fläche eine (und nur eine)

262

VI. Riemann und Weierstraß.

Klasse (ein „Körper") algebraischer F u n k t i o n e n (mit ihren A b e l s c h e n Integralen) gehört. „ K l a s s e " algebraischer F u n k t i o n e n heißt bei R i e ­ m a n n die G e s a m t h e i t der F u n k t i o n e n , die sich durch das einzelne C u n d Z selbst rational a u s d r ü c k e n : R (ζ, z); die B e z e i c h n u n g ,,Körper" h a t D e d e k i n d später eingeführt. D a s ist ein T h e o r e m , welches m a n auf andere W e i s e ü b e r h a u p t noch nicht h a t g e w i n n e n k ö n n e n . A n dieser Stelle bleibt bis auf weiteres die R i e m a n n s c h e Theorie allen anderen, die v o n den Gleichungen F {ζ, ζ) = O a u s g e h e n , ü b e r l e g e n ! Wir w e r d e n darauf noch öfter z u r ü c k k o m m e n . N u n , n a c h d e m das Ziel e i n i g e r m a ß e n zu übersehen ist, m ü s s e n wir a n die Sicherung der Grundlagen d e n k e n . Ich h a b e geschildert, wie die grundlegenden I d e e n in R i e m a n n s P h a n t a s i e e n t s t a n d e n sein m ö g e n , auf Grund der a n s c h a u l i c h - p h y s i k a h s c h e n D e n k w e i s e . J e t z t will ich n u n auseinandersetzen, wie R i e m a n n in A n l e h n u n g a n D i r i c h l e t seine Ü b e r l e g u n g e n durch e i n e n A n s a t z , der der Variationsrechnung angehört, gestützt hat. Dirichlet war nicht der erste, der z u m B e w e i s e v o n E x i s t e n z t h e o ­ remen B e t r a c h t u n g e n der V a r i a t i o n s r e c h n u n g h e r a n z o g ; schon G a u ß 1840 u n d W . T h o m s o n 1847 h a t t e n ähnliche G e d a n k e n g ä n g e verfolgt. R i e m a n n aber h a t t e die S c h l u ß w e i s e bei Dirichlet gelernt, u n d so n a n n t e er sie, u n b e k ü m m e r t u m ihr geschichtliches W e r d e n , das Dirich­ letsche Prinzip^). D o c h h a t R i e m a n n nicht nur B e k a n n t e s ü b e r n o m m e n u n d angewandi., er h a t auch hier N e u e s hinzugebracht. E s ist seine L e i s t u n g , d a ß er d a s P r i n z i p auf P o t e n t i a l e a u s d e h n t e , die auf einer v o r g e g e b e n e n R i e ­ m a n n s c h e n F l ä c h e (nicht nur in der s c h l i c h t e n E b e n e ) existieren sollen, u n d bei ihnen v o r g e g e b e n e U n s t e t i g k e i t e n , u n d a n d e n Querschnitten v o r g e g e b e n e P e r i o d i z i t ä t s m o d u l n zuläßt. Wir w o l l e n hier jedoch v o n allen diesen E r w e i t e r u n g e n a b s e h e n u n d , u m d e n Kern der S a c h e zu fassen, uns auf den einfachsten F a h b e s c h r ä n k e n : die R a n d w e r t a u f g a b e bei der s c h l i c h t e n Kreisfläche. E s seien also die R a n d w e r t e U (ψ) als F u n k t i o n des W i n k e l s ψ g e g e b e n . U m alle K o m p l i k a t i o n e n zu v e r m e i d e n , w o l l e n wir a n n e h m e n , U (ψ) sei s t e t i g e F u n k t i o n v o n ψ. D a n n h a n d e h es sich d a r u m , folgendes E x i s t e n z t h e o r e m zu b e w e i s e n : E s existiert i m I n n e r n des Kreises eine u n d nur eine stetige F u n k t i o n ti, die sich d e n g e g e b e n e n R a n d w e r t e n s t e t i g a n s c h m i e g t u n d die Gleichung Au = O befriedigt. N u n k a n n m a n ein P r o b l e m der Variationsrechnung aufstellen, d e s s e n L ö s u n g sich g e n a u so formulieren läßt w i e d a s v o r s t e h e n d e T h e o r e m . Man b e t r a c h t e t n ä m l i c h das über die Kreisfläche erstreckte Integral 1) Vgl. oben S. 98, S. 235.

Dirichletsches Prinzip.

Die Weierstraßsche Kritik.

263

JJfer+0'j worin u stetig sich an gegebene Randwerte anschmiegen und überdies so beschaffen sein soü, daß das Integral einen Sinn hat. Da der Wert des Integrals niemals negativ ist, so gibt es für alle „möglichen" u eine untere Grenze der Werte des Integrals, die ihrerseits ebenfaüs nicht negativ ist, vorausgesetzt natürlich, daß das Integral nicht immer unendlich ausfällt, was bei bösartigen Randwerten U {ψ) der Fall sein kann, wie Hadamard später bemerkte. — Hier schloß man dann weiter, daß diese untere Grenze durch ein „brauchbares" u erreicht wird, d. h. es gibt ein stetiges, in die gegebenen Randwerte stetig übergehendes w, so daß

wird, also

ist. Die Gleichung

ist dann als notwendige Bedingung für das Verschwinden der ersten Variation zwangläufig erfüllt. Dies ist die Schlußweise, die von den älteren Mathematikern als überzeugend angesehen und von Riemann unter dem Namen Dirich­ letsches Prinzip kurzerhand übernommen bzw. für seine Zwecke erweitert wurde. — C Nun aber kam Weierstraß mit seiner Kri- ^^^^=="^^^^ "^^^^^^^^^^^ tik des Dirichletschen Prinzips (veröffentlicht " ^.^ erst 1869 in den Berliner Monatsberichten!); Werke, Bd. 2, S.49). Er zeigte, daß die Schlußweise falsch oder doch unzureichend sei. Zwar ist es sicher, daß aUe stetigen, differenzierbaren Funktionen u, die sich an die gegebenen Randwerte stetig anschUeßen, eine untere Grenze haben werden; ob aber diese untere Grenze selbst noch im Gebiet der stetigen differenzierbaren Funktionen u hegt, ist nicht ohne weiteres abzusehen. Zur Begründung dieses Einwurfs nehme man das einfachste Beispiel, das in der elementaren Variationsrechnung heutzutage immer heran­ gezogen wird: man soü unter allen stetig gekrümmten Kurven, die von A nach B führen und C passieren (vgl. Fig. 17), diejenige bestimmen, deren Länge ein Minimum ist. Die „untere Grenze" aller „möglichen" hier miteinander in Vergleich kommenden Kurven wird durch die beiden Geradenstücke AX und BC dargestellt, welche aber in C sich Vgl. Enzyklopädie Bd. II, A 7b, Anm. 157 von S. 494.

264

VI. Riemann und Weierstraß.

nicht mehr stetig gekrümmt aneinander setzen. Also gehört hier die untere Grenze nicht zu den brauchbaren Kurven, und es ist durchaus nicht selbstverständlich, daß ein vernünftiges Variationsproblem immer eine eigenthche Lösung hat, wie man früher stihschweigend annahm. Mit dieser Anfechtung des Dirichletschen Prinzips durch Weierstraß wird die Evidenz hinfällig, auf die Dirichlet und nach ihm Riemann sich berief. Die Riemannschen Existenztheoreme schweben in der Luft. Es ist nun interessant zu beobachten, wie sich die Mathematiker zu der von Weierstraß ausgehenden Kritik resp. zu den Riemannschen Existenzsätzen fortan gestellt haben. Die Mehrzahl der Mathematiker wandte sich von Riemann ab; sie hatten kein Vertrauen zu den Existenzsätzen, denen die Weierstraßsche Kritik die mathematische Stütze geraubt hatte. Sie suchten ihr Heil, indem sie bei ihren Untersuchungen über algebraische Funk­ tionen und deren Integrale doch wieder von einer vorgelegten Glei­ chung F (ζ, ζ) = O ausgingen. Wir kommen auf diese Richtung bald ausführhcher zurück, und zitieren als einen charakteristischen Aus­ spruch in dieser Hinsicht die Stelle S. 265, Bd. 3 der Jahresberichte der D. M. V. 1894, in dem großen Referat von Brill und Noether: Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in älterer und neuerer Zeit: ,,In solcher AUgemeinheit läßt der Funktions­ begriff, unfaßbar und sich verflüchtigend, kontrollierbare Schlüsse niclit mehr zu." Damit fäht aber der zentrale Riemannsche Existenzsatz der algebraischen Funktionen auf gegebener Riemannscher Fläche und an seine Stelle tritt ein Vakuum. Riemann selbst ist ganz anderer Meinung gewesen. Er erkannte die Berechtigung und Richtigkeit der Weierstraßschen Kritik zwar voh an; sagte aber, wie mir Weierstraß bei Gelegenheit erzählte: ,,er habe das Dirichletsche Prinzip nur als ein bequemes Hilfsmittel herangeholt, das gerade zur Hand war — seine Existenztheoreme seien trotzdem richtig " Weierstraß hat sich dieser Meinung wohl angeschlossen. Er veranlaßt e nämlich seinen Schüler H.A. Schwarz, sich eingehend mit den Rie­ mannschen Existenzsätzen zu befassen und andere Beweise dafür zu suchen, was durchaus gelang. Wir kommen darauf noch zurück. Einen anderen Standpunkt nehmen wieder die Physiker ein; sie haben sich ablehnend gegen die Weierstraßsche Kritik verhalten. Helm­ holtz, den ich gelegentlich fragte, sagte mir: ,,Für uns Physiker bleibt das Dirichletsche Prinzip ein Beweis." Er unterschied also offenbar zwischen Beweisen für Mathematiker und für Physiker, wie es ja über­ haupt eine allgemeine Tatsache ist, daß die Physiker sich um mathe­ matische Feinheiten wenig kümmern, es genügt ihnen die ,,Evidenz". — Und wenn Weierstraß später nachwies, daß es stetige Funktionen ohne Differentialquotienten gibt, so doziert noch heute ein hervorragender Vertreter der mathematischen Physik: ,,Es ist ein Denkgesetz, daß

Die Weierstraßsche Kritik.

H. A. Schwarz. Klein, Hilbert.

265

jede Funktion im Unendlichkleinen linear wird!" — Ich habe mich selbst darum bemüht, den Grund für die Stellungnahme der Physiker, was mathematische Strenge angeht, aufzudecken. Er liegt, wie ich in meiner von C. Müller herausgegebenen Vorlesung über die Anwen­ dungen der Differential- und Integralrechnung auf die Geometrie 1901 ausführlich darlegte, darin, daß sie infolge einseitiger Gewöhnung immer nur approximationsmathematisch denken, d. h. genau bis nur auf eine Jeweüs fest begrenzte Zahl von Dezimalen. Der physikalische Punkt ist eine Art Klex, die Kurve ein Streifen. — Ich habe die abweichenden Meinungen über die Kritik des Dirichletschen Prinzips um so lieber angeführt, weil es doch gerade im Sinne dieser Vorlesung ist, zu belegen, wie langsam mathematische Gedanken sich Bahn brechen. Nun komme ich zu Schwarz, der ausgerüstet mit Weierstraß' Kritik die Fundamente sichert. Ehe ich an die Sache selbst herangehe, führe ich einiges Biographische an. H.A. Schwarz ist geboren zu Hermsdorf in Schlesien 1843; er studiert von 1860 ab in Berlin an der Gewerbeakademie, an der — das ist kulturhistorisch interessant — Weierstraß damals Differential- und Integralrechnung las. Dort macht er den „Gewerbelehrer", ein Examen, das heute nicht mehr existiert; promoviert in Berhn 1864, habihtiert sich dort 1866, wird 1867 Extraordinarius in Halle, 1869 Ordinarius am eidgenössischen Polytechnikum in Zürich, kommt 1875 nach Göttingen und lehrt seit 1892 als Nachfolger von Weierstraß in Berhn. Seine eigenthch produktive Zeit fäUt in die Züricher Jahre, insbesondere die Untersuchungen, die uns hier interessieren. Die letzteren sind ver­ öffenthcht 1869/70 in der Züricher Vierteljahrsschrift, 1870 in den Ber­ liner Monatsberichten; vgl. auch Crelle, Bd. 74, 1872 und Schwarz' gesammelte Abhandlungen, Bd. 2 ^). Der Gedankengang von Schwarz ist folgender: Für die Kreisfläche kann man die Randwertaufgabe direkt durch eine von Poisson her­ rührende Formel erledigen, die man seit Schwarz das Poissonsche Inte­ gral nennt. Schwarz gibt für das Integral übrigens eine schöne geome­ trische Deutung (vgl. Fig. 18). Sind die Randwerte U stetig gegeben, und will man den Wert der gesuchten stetigen, sich den Randwerten stetig anschließenden und die Gleichung Au = O befriedigenden Funk­ tion u in einem beliebigen inneren Punkte x, y (Unstetigkeitsstellen im Innern werden ausdrückhch ausgeschlossen) berechnen, so verpflanze man die vorgegebenen Randwerte U in die — von x, y aus gesehen — diametralen Punkte und nehme von der neuen Werteverteilung das Mittel. 1) ü b e r Einzelheiten der Literatur vgl. Enzyklopädie insbesondere Bd. II, A 7b (Burkhardt-Meyer) Nr. 24tf. sowie Bd. II, C S (Lichtenstein).

VI. Riemann und Weierstraß. D u r c h ein s c h o n v o n M u r p h y a n g e w a n d t e s k o m b i n a t o r i s c h e s Ver­ fahren wird n u n d a s s o g e w o n n e n e Ergebnis auf d e n Bereich zweier sich schneidender Kreise a u s g e d e h n t (vgl. Fig. 19), u n d zwar so, d a ß m a n die auf s t e t i g g e g e b e n e n W e r t e m i t beliebigen auf d e m Stück 1 z u s a m m e n n i m m t u n d n a c h d e m e b e n geschilderten Verfahren die W e r t e auf 2 berechnet. D a n n n i m m t m a n die g e g e b e n e n W e r t e auf und die b e r e c h n e t e n auf 2 u n d berechnet neue W e r t e auf 1. D i e s e fügt m a n zu d e n auf g e g e b e n e n u n d berechnet neue auf 2. So fährt m a n fort u n d findet, d a ß das Verfahren sehr schnell konvergiert u n d eine ein­ heitliche F u n k t i o n ergibt, die in d e m Gesamtbereich der G l e i c h u n g Au = O g e n ü g t {„Alternierendes Verfahren D a n n n i m m t m a n eine dritte Kreisfläche h i n z u usw. u s w . u n d k o m m t zu i m m e r a u s g e d e h n t e r e n Teilen der E b e n e (oder a u c h einer mehrblättrigen R i e m a n n s c h e n F l ä c h e ) , für die m a n d a s R a n d w e r t p r o b l e m lösen k a n n . — D i e parallelen U n t e r s u c h u n g e n v o n C N e u ­ m a n n i ) , die 1870 b e g i n n e n , sind in e n d g ü l t i g e r F o r m dargestellt in der z w e i t e n Auflage seiner Flg. 19. „Vorlesungen über R i e m a n n s Theorie der A b e l s c h e n Integrale", 1884. So sind also die E x i s t e n z ­ t h e o r e m e v o n R i e m a n n durch Schwarz u n d N e u m a n n gerettet. Meine S t e l l u n g n a h m e zu den P r o b l e m e n war v o n jeher eine g a n z andere. I c h h a b e R i e m a n n nicht m e h r g e k a n n t u n d bin, als Schüler v o n P l ü c k e r u n d Clebsch, erst v o n 1872 a n , als ich s c h o n in E r l a n g e n war, allmählich in R i e m a n n s Ideen eingedrungen. I c h bin also s o z u ­ s a g e n ein E x t r a n e e r , u n d die t u n b e k a n n t l i c h , w e n n sie e i n m a l an eine S a c h e h e r a n g e t r e t e n sind, a m a h e r m e i s t e n dafür, i n d e m sie a u s innerem Z w a n g e heraus arbeiten. Ganz b a l d h a b e ich die Meinung g e f a ß t : m a n m u ß die E x i s t e n z t h e o r e m e , s t a t t i m m e r wieder darüber zu grübeln, wie m a n sie in andere s y s t e m a t i s c h e G e d a n k e n g ä n g e einreihen kann, frischweg b e n u t z e n . D a d u r c h bin ich, z u n ä c h s t in m e i n e n A r b e i t e n über elhptische M o d u l f u n k t i o n e n , zu e i n e m H a u p t Vorkämpfer der R i e ­ m a n n s c h e n Auffassungen g e w o r d e n ; d a v o n will ich später bei Gelegen­ heit m e h r m i t t e i l e n . D i e Schrift v o n 1 8 8 1 / 8 2 ist nur ein einzelner Beleg. D a s s c h ö n s t e u n d überraschendste E r g e b n i s in der R i c h t u n g der R i e m a n n s c h e n E x i s t e n z t h e o r e m e v e r d a n k e n wir aber H i l b e r t . Er b e w i e s 1901 in der Festschrift z u m 1 5 0 j ä h r i g e n J u b i l ä u m der G ö t ­ tinger Gesehschaft der W i s s e n s c h a f t e n , d a ß m a n d a s Dirichletsche Prinzip d o c h retten k a n n , i n d e m m a n sich n i c h t auf V a r i a t i o n s r e c h n u n g i m allgemeinen, sondern auf die spezielle Beschaffenheit der unter d e m Integralzeichen s t e h e n d e n (durchaus positiven) F u n k t i o n beruft. D i e Hilbertsche Methode, eine besondere Kraftleistung b e w e i s e n d e r M a t h e 1) Vgl. Kap. 5, S. 218.

Η. Α. Schwarz. Klein, Hilbert. Lineare Differentialgleichungen.

267

matik, schien zwar in den ersten PubUkationen nicht den hinreichen­ den Grad von Allgemeinheit zu besitzen; sie wurde jedoch später von Hilberts Schülern, wie Courant, Weyl u. a., verschiedentlich vereinfacht und weitgehend ausgestaltet, so daß sie geradezu den An­ fang einer ganz neuen Entwicklung in der Variationsrechnung bedeutet. Im Laufe dieser Entwicklung wurden die Riemannschen Existenz­ theoreme in voller Allgemeinheit bewiesen^). Und das Fazit, das wir nun ziehen können, ist das, daß Riemann recht behalten hat, daß seine Existenzsätze trotz der Weierstraßschen Kritik, trotz der ablehnenden Haltung vieler Mathematiker und trotz der sicher damals nicht einwandfreien Beweise zu Recht bestehen und wohl zu den tiefsten und größten Erkenntnissen zu zählen sind, die in der Mathematik je erwachsen sind! Das Schicksal des Dirichletschen Prinzips aber ist, wenn man es nachträghch überschaut, an sich sehr merkwürdig: von den älteren Mathematikern, besonders von Dirichlet, als voUgültiges Beweismittel benützt; ist es bei Riemann außerordenthch fruchtbar, wird von Weier­ straß widerlegt und fällt für Jahrzehnte in Mißkredit, um neuerdings durch Hilbert wieder gerettet zu werden. Wir sehen hier einmal, wie selbst mathematische Erkenntnisse, so objektiv sie zu sein scheinen, dem Wandel unterworfen sind. Ich möchte das nachdrücklich aus­ sprechen, ohne der Mathematik irgendwie zu nahe treten oder die Sicherheit ihrer Grundlagen und Gesetze grundsätzlich anzweifeln zu wollen. — Nach dieser Kritik der Riemannschen Existenzsätze und ihrer Ehrenrettung wiU ich noch einiges andere über Riemanns allgemeine Theorie komplexer Funktionen vorführen. Wir haben gesehen, daß Riemann sich eingehend mit den Abelschen Integralen befaßt hat. Diese Abelschen Integrale kann man ansehen als Lösungen einfachster Differentialgleichungen ^ = f wo ζ eine algebraische Funktion von ζ ist, die zu einer vorgegebenen Riemannschen Fläche gehört. Dementsprechend kann man die gesamte Theorie der Abelschen Integrale als einen Spezialfall der Theorie der allgemeinen linearen

Differentialgleichung

n-ter

Ordnung

yin^ + P^ y(n-l)U_ . . . y J_ ρ _ O unterordnen, wo ρ^,ρ^,·.·, pn, P Funktionen auf derselben Rie­ mannschen Fläche (algebraische Funktionen desselben ,,Körpers") sein mögen. Bekannthch läßt sich dieser allgemeine FaU durch Variation In diesem Zusammenhange muß auch auf an Hilbert anknüpfende itaUenische Arbeiten von G F u b i n i , E. E L e v i , B. L e v i u.a hingewiesen werden. Anm. d Herausg.

VI. Riemann und Weierstraß. der K o n s t a n t e n , m i t Hilfe zutretender Quadraturen auf die sog. h o m o ­ g e n e Gleichung

^

i„ u i

zurückführen, u n d auf die E r g r ü n d u n g der f u n k t i o n e n t h e o r e t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n ihrer L ö s u n g e n h a t sich R i e m a n n konzentriert. D i e s ist d a s n ä c h s t h ö h e r e Gebiet t r a n s z e n d e n t e r F u n k t i o n e n — leider m u ß ich in dieser Vorlesung „ B e s t i m m t e I n t e g r a l e " , w a s ein d r i t t e s K a p i t e l w ä r e , a u s Z e i t m a n g e l v o l l e n d s b e i s e i t e lassen. I c h m u ß w i e d e r ver­ s u c h e n , in a l l g e m e i n s t e n U m r i s s e n ein B i l d v o n R i e m a n n s Arbeit zu g e b e n , u m s o mehr, als sich eine große Literatur in d e n l e t z t e n D e ­ z e n n i e n daran a n g e s c h l o s s e n h a t . Wir wollen a u c h hier alle K o m p l i k a t i o n e n beiseite lassen u n d nur d e n e i n f a c h s t e n , t y p i s c h e n F a l l b e t r a c h t e n : W i r n e h m e n die p^, p^,.. .,pn rational in ζ an u n d operieren s o m i t in der s c h h c h t e n E b e n e . B e k a n n t l i c h läßt sich die a l l g e m e i n e L ö s u n g y aus η g e e i g n e t e n P a r t i k u l a r l ö s u n g e n 3^p · · •'3^w linear z u s a m m e n s e t z e n y = <^iyi + ^'2y2-^

hc„y„,

w o .sich die 3^^3^2^ · · ·>3^η> wie i m m e r m a n sie a u c h w ä h l e n m a g , i m a l l g e m e i n e n a n a l y t i s c h v e r h a l t e n , d. h. in der U m g e b u n g einer beliebigen Stelle α sich n a c h g a n z e n p o s i t i v e n P o t e n z e n v o n {z — a) e n t w i c k e l n lassen, a b g e s e h e n v o n d e n singulären P u n k t e n , d. h. den P u n k t e n , in d e n e n eines oder einige der p^, · - •,Pn u n e n d l i c h w e r d e n . In diesen P u n k t e n bleibt d a s V e r h a l t e n der . . ., 3;^ z u n ä c h s t zweifelhaft, u n d es ist ein H a u p t p r o b l e m , z u u n t e r s u c h e n , w i e sich die E n t w i c k l u n g g e ­ eigneter 3;^,..., in der U m g e b u n g der singulären P u n k t e g e s t a l t e t . F ü h r e n wir n u n eine P a r t i k u l ä r l ö s u n g u m einen singulären P u n k t auf g e s c h l o s s e n e m W e g e h e r u m , s o wird sich ihr W e r t g e ä n d e r t h a b e n , o b w o h l sie dabei L ö s u n g bleibt. D a sich n u n alle L ö s u n g e n als lireare K o m b i n a t i o n e n a u s η P a r t i k u l ä r l ö s u n g e n darstellen lassen, s o folgt als e x p l i z i t e D a r s t e l l u n g der n a c h U m k r e i s u n g eines singulären P u n k t e s sich e r g e b e n d e n n e u e n L ö s u n g e n ein F o r m e l s y s t e m folgender A r t :

y/=--^11^1 H y ^ =

^ y i H

y«'=^„iyiH

-^mVn l·c^nyn

Kc„„y^.

D i e 3^p..., Vn erleiden a l s o g e w i s s e lineare Substitutionen; u n d der K e r n p u n k t der g a n z e n U n t e r s u c h u n g ist die F r a g e der Monodromiegruppe, d . h . n a c h d e n j e n i g e n hnearen S u b s t i t u t i o n e n , die auf die y^, . . .,yn a u s g e ü b t w e r d e n bei b e h e b i g e r U m k r e i s u n g der singulären P u n k t e . D i e B e d e u t u n g der „ M o n o d r o m i e g r u p p e " h a t H e r m i t e , C. R. I 8 5 I ( = O e u v r e s I, S. 276) h e r v o r g e h o b e n . D e r N a m e b e d e u t e t : „ G r u p p e der S u b s t i t u t i o n e n , w e l c h e ein L ö s u n g s s y s t e m 3;p . . .,yn l ä n g s solcher

Lineare Differentialgleichungen.

F{α, β, γ, χ).

geschlossener Wege erleidet, längs deren ...,J^n einändrig oder monodrom bleiben." Über dieses ganze Gebiet hat Riem an η nur die schon oben genannte Arbeit: „Beiträge zur Theorie der durch die Gaußsche darstellbaren Funktionen^ 1857, veröffentlicht.

Reihe

F(α, β,γ\

x)

Die Gaußsche Reihe — der Name ist wiederum höchst unhistorisch, denn schon Euler hat sie gekannt und die merkwürdigsten Eigenschaf­ ten gefunden, wenn auch erst Gauß die Konvergenzfragen erledigt hat —-

Wir nennen sie nach dem Vorgange der älteren Mathematiker lieber die hypergeometrische Reihe, einfach deshalb, weü ihr Bildungsgesetz das nächsthöhere nach der geometrischen Reihe ist. Sie fand besonderes Interesse, weil sie zahlreiche, in der Analysis häufig vorkommende Funktionen umfaßt, auf die man von den Anwendungen aus ge­ führt wurde. Ich nenne hier nur Kugelfunktionen, Besseische Funk­ tionen, Eulersche Integrale, die ich zusammenfassend als „hyper­ geometrische Funktionen" bezeichnen wiü, was aus dem Zusammenhang verständlich sein wird und natürlich nichts mit Hypergeometrie, d. h. etwa nichteuklidischer Geometrie oder mehrdimensionalen Räumen zu tun hat. Für weitere Einzelheiten vgl. man meine Autographie: Über die hypergeometrische Funktion, Vorlesung 1893/94. Gauß beschäftigt sich schon 1812 mit seiner Reihe, betrachtet sie allerdings dort nur für reelle Werte der Variabein, bezeichnet aber seine Abhandlung ausdrücklich als pars prior. Durch die Nachlaß­ forschung wissen wir, daß er vor hatte, ihr Verhalten im Gebiet der komplexen Zahlen zu untersuchen. Ihm war durchaus bekannt, daß die Reihe einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit drei singulären Punkten genügt, deren Partikularlösungen sich in den kritischen Punkten relativ einfach verhalten, so daß eben die Eigen­ schaften dieser Differentialgleichungen in seinen Gesichtskreis traten. Unabhängig von Gauß ist dies von Kummer in einer seinerzeit vielgenannten Arbeit, Crelle, Bd. 15, 1836, entwickelt worden; Kummer hat insbesondere auch die Substitutionen der zugehörigen Monodromie­ gruppe zum ersten Male wirklich berechnet. Nun zeigt Riemann, daß man bei Ausdehnung auf die komplexe Zahlenebene — für alle diese Schlüsse die hingeschriebene Differential­ gleichung, von der man bisher ausgegangen war, gar nicht braucht, daß man vielmehr nur wissen muß, wie sich geeignete y ^ , y^ an den drei singulären Stellen verhalten, und daß überhaupt bei Umläufen um die singulären Punkte lineare Substitutionen

270

VI. Riemann und Weierstraß.

s t a t t h a b e n . Hier zeigt sich einmal wieder der Grundcharakter seiner Ü b e r l e g u n g e n so recht d e u t l i c h : nicht durch F o r m e l n , sondern durch ihre g r u n d l e g e n d e n E i g e n s c h a f t e n s u c h t er seine F u n k t i o n zu fassen. Ich wiU a n s c h h e ß e n d einige weitere Schicksale der Theorie erzählen, die wir k e n n e n m ü s s e n , u m d a s F o l g e n d e würdigen zu k ö n n e n . A u c h hier h a t Weierstraß für die Fortführung der Theorie gewirkt, i n d e m er seinen Schüler F u c h s anregte, daran weiterzuarbeiten. (Fuchs, geb. 1833 in Moschin, Provinz P o s e n , k o m m t 1884 als Weierstraß' N a c h ­ folger n a c h Berlin, stirbt dort 1902.) V o n 1865 an, also zeitlich direkt an R i e m a n n anschließend, h a t F u c h s sich m i t der Theorie der linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung beschäftigt u n d viele seiner Schüler zu Arbeiten in der selben R i c h t u n g veranlaßt, die in der m a t h e m a t i s c h e n Literatur der n ä c h s t e n D e z e n n i e n eine A b t e i l u n g für sich b i l d e t e n . D a h a b e n wir ein t y p i s c h e s Beispiel einer e n g b e g r e n z t e n „ S c h u l e " , wie sie sich durch geregelten Vorlesungsbetrieb, s o b a l d er einseitig wird, herausbilden k a n n . F u c h s g e h t nicht auf d e m v o n R i e m a n n g e b a h n t e n W e g weiter, s o n d e r n knüpft in elementarerer W e i s e wieder direkt an die F o r m e l an, d . h . an die explizit g e g e b e n e Differentialgleichung: Er beschäftigt sich in erster Linie m i t den singulären Stellen u n d b e a n t ­ w o r t e t die F r a g e : wie m ü s s e n die p ^ , - · ^Pn beschaffen sein, d a m i t sich die partikulären L ö s u n g e n an den singulären Stellen e b e n s o einfach v e r h a u e n , wie i m h y p e r g e o m e t r i s c h e n F a l l e ? E r findet, d a ß p^ h ö c h ­ s t e n s einfache, p^ h ö c h s t e n s zweifache, . . .,p^ h ö c h s t e n s w-fache Pole h a b e n darf. D a s ist, n a c h der Terminologie der F u c h s s c h e n Schule, die ,,Fuchssche Klasse" linearer Differentialgleichungen. E r berechnet a u ß e r d e m die Monodromiegruppe u . a . m . ; kurz g e s a g t : er führt die K u m m e r s c h e n G e d a n k e n weiter. Man k a n n sich n u n d e n k e n , wie groß die V e r w u n d e r u n g war, als die erste A u s g a b e v o n R i e m a n n s W e r k e n 1876 aus d e m N a c h l a ß ein F r a g m e n t b r a c h t e , datiert v o m 2 0 . Februar 1857: Zwei allgemeine Lehr­ sätze über lineare Differentialgleichungen mit algebraischen Koeffizienten (Werke, 1. Aufl., S. 3 5 7 — 3 6 9 ; 2. Aufl., S. 3 7 9 — 3 9 0 ) , welches zeigte, wie R i e m a n n , der scheinbar b e i m F a l l der Gleichung zweiter Ordnung m i t drei singulären P u n k t e n s t e h e n geblieben war, die h ö h e r e n FäUe angreifen wollte. A u c h hier bleibt R i e m a n n sich selber treu u n d n i m m t k e i n e s w e g s seine Zuflucht zur F o r m e l . I m h y p e r g e o m e t r i s c h e n FaHe war durch die A n n a h m e über die singulären P u n k t e die Monodromiegruppe s c h o n m i t b e s t i m m t . In allen h ö h e r e n Fällen schreibt R i e m a n n n e b e n e l e m e n t a r e m V e r h a l t e n der partikulären Integrale y^y-'-^yn singulären P u n k t e n einfach die Monodromiegruppe vor, s o w e i t sie n o c h willkürlich bleibt, u n d zieht v o n d a a u s seine leider u n v o l l e n d e t e n Schlüsse.

Das Riemannsche Problem.

271

Man spricht s o m i t heber v o n einem Riemannschen Problem als e i n e m „ T h e o r e m " , da m a n nicht den geringsten A n h a l t s p u n k t h a t , wie er sich seine E r l e d i g u n g d a c h t e : „Zu beweisen, d a ß n a c h elementarer A n n a h m e des Verhaltens in den singulären P u n k t e n die Monodroniiegruppe, s o w e i t sie d a n n n o c h willkürlich ist, gerade g e n ü g t , u m eine Klasse v o n F u n k t i o n e n 3^^, 3^2' · · ·' 3^n festzulegen, die einer linearen Differentialgleichung g e n ü g e n . " D a s ist eine viel abstraktere Fragestellung als das ,,Problem v o n Dirichlet", w o für einzelne F u n k t i o n e n R a n d w e r t e oder U n s t e t i g k e i t e n u n d P e r i o d i z i t ä t s m o d u l n g e g e b e n werden. Hier w e r d e n doch η F u n k ­ t i o n e n nebeneinander, oder besser w o h l eine n-gliedrige lineare Schar 3^1"^ yn v o n F u n k t i o n e n gesucht. D a s Dirichletsche Prinzip reicht auch in keiner Weise m e h r aus, u m den E x i s t e n z b e w e i s zu führen; die physikalische A n s c h a u u n g versagt auch. U m g e k e h r t k a n n m a n die Frage nach der E x i s t e n z einer algebraischen F u n k t i o n auf v o r g e g e b e n e i n-blättriger R i e m a n n s c h e r F l ä c h e doch wieder hier einordnen, i n d e m m a n s a g t : es h a n d e l t sich d a r u m , η F u n k t i o n s z w e i g e 3^1, . . 3^n so zu b e s t i m m e n , daß sie bei U m k r e i s u n g der VerzweigungssteUen lineare S u b s t i t u t i o n e n einfachster Art, nämlich bloße V e r t a u s c h u n g e n , erleiden. U n d doch äußert sich R i e m a n n so harmlos, als sei die E x i s t e n z der F u n k ­ t i o n e n 3/p . . .,3^n selbstverständlich, u n d als k ä m e es nur darauf an, ihre E i g e n s c h a f t e n zu ergründen. D i e s e s R i e m a n n s c h e P r o b l e m h a t in der F o l g e n o c h fast 3 0 Jahre den A n s t r e n g u n g e n der M a t h e m a t i k e r w i d e r s t a n d e n , bis erst 1905 wiedei H i l b e r t m i t Hilfe der i n z w i s c h e n e n t w i c k e l t e n Theorie der Integral­ gleichungen die erste v ö h i g e Erledigung gab, die R i e m a n n s Voraussicht a u c h dieses Mal durchaus rechtfertigt u n d b e s t ä t i g t . N ä h e r e s hierüber u n d über die g e s a m t e hierher gehörige Literatur findet m a n b e q u e m z u s a m m e n g e s t e l l t in d e m E n z y k l o p ä d i e a r t i k e l , I I B 5, v o n H i I b : Lineare Differentialgleichungen i m k o m p l e x e n Gebiet (besonders S. 518ff., Nr. 14, das R i e m a n n s c h e P r o b l e m ) . I c h m u ß t e soviel erzählen, d a m i t m a n einigermaßen s c h o n hier erkennt, w i e das imvergleichhche Genie v o n R i e m a n n seiner Zeit vor­ auseilte u n d so die fernere P r o d u k t i o n w e i t g e h e n d beeinflußte. G e w i ß ist es der Schlußstein a m G e b ä u d e einer jeden m a t h e m a t i s c h e n Theorie, den z w i n g e n d e n B e w e i s für alle B e h a u p t u n g e n zu erbringen. Gewiß spricht sich die M a t h e m a t i k selbst das Urteil, w e n n sie auf z w i n g e n d e B e w e i s e v e r z i c h t e t . D a s Geheimnis genialer P r o d u k t i v i t ä t wird es j e d o c h ewig bleiben, neue F r a g e s t e l l u n g e n zu finden, n e u e T h e o r e m e zu ahnen, die wertvolle R e s u l t a t e u n d Z u s a m m e n h ä n g e erschheßen. Ohne die Schaffung neuer Gesichtspunkte, o h n e die Aufstellung neuer Ziele, würde die M a t h e m a t i k in der Strenge ihrer logischen B e w e i s ­ führung sich b a l d erschöpfen u n d zu stagnieren b e g i n n e n , i n d e m ihr der Stoff a u s g e h e n m ö c h t e . — So ist die M a t h e m a t i k in g e w i s s e m Sinne

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VI. Riemann und Weierstraß.

v o n d e n e n a m m e i s t e n gefördert w o r d e n , d i e m e h r durch I n t u i t i o n a l s durch strenge B e w e i s f ü h r u n g sich a u s z e i c h n e t e n . E s ist kein Zweifel, d a ß R i e m a n n derjenige M a t h e m a t i k e r der l e t z t e n D e z e n n i e n i s t , der heute noch a m lebendigsten nachwirkt. R i e m a n n s I d e e n , die die E n t w i c k l u n g unserer m o d e r n e n F u n k t i o n e n ­ theorie s o g r u n d l e g e n d beeinflussen sollten, h a b e n sich n u r l a n g s a m u n d g a n z allmählich verbreitet. Seine Veröffentlichungen h a b e n nicht, wie m a n h e u t e g l a u b e n m ö c h t e , a l s Offenbarungen g e w i r k t u n d eine plötzliche U m w ä l z u n g i n der m a t h e m a t i s c h e n A n s c h a u u n g s w e i s e seiner Zeit verursacht. D a s m a g daran liegen, d a ß R i e m a n n s eigene P u b l i ­ k a t i o n e n , w o h l infolge ihrer K n a p p h e i t u n d der E i n f ü h r u n g einer Menge neuer u n d g a n z ungewöhnlicher Begriffe, z u n ä c h s t sehr schwer z u g ä n g ­ lich waren. A l s erstes h a t sich d i e Lehre v o n d e n algebraischen F u n k t i o n e n u n d ihren Integralen breitere G e h u n g verschafft. A b e r a u c h hier beschäf­ t i g t e n sich d i e M a t h e m a t i k e r a n f ä n g h c h nur m i t d e m e i n f a c h s t e n Fall, w o der Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n R i e m a n n s c h e r F l ä c h e u n d zugehöriger algebraischer Gleichung ohne weiteres durchsichtig i s t . D a s ist d e r F a h d e r zweiblättrigen F l ä c h e , w o m a n sofort f^=(.-a,)(^-«,)...(.-aJ als zugehörige Gleichung schreiben wird. M a n h a t also η Verzwei­ g u n g s p u n k t e i m E n d l i c h e n , ζ = 00 wird V e r z w e i g u n g s p u n k t , s o b a l d η ungerade i s t . D a s p der F l ä c h e ergibt sich d a n a c h (vgl. S. 258) a l s , je n a c h d e m η gerade

oder ungerade ist. I s t hier

P > !,d.h.n > 4:,so spricht m a n v o m hyperelliptischen F a h ; für p = 2, d.h. n = 5,ß h a t sich d i e ältere W o r t b i l d u n g ultraelliptisch erhahen. D i e „überall e n d l i c h e n " hyperelliptischen Integrale erscheinen i n der Form:

Sie w u r d e n früher vielfach s c h l e c h t w e g A b e l s c h e Integrale g e n a n n t ; ohne B e r e c h t i g u n g , d e n n d i e A b e l s c h e n Integrale sind v i e l allgemeiner. D i e ultraelliptischen F u n k t i o n e n h a b e n zuerst eine ausführliche D a r ­ stellung i m R i e m a n n s c h e n S i n n e erfahren. Sie bearbeitet m i t a u s ­ g e s p r o c h e n didaktischer T e n d e n z ein intimer Schüler R i e m a n n s , P r y m , in seiner D i s s e r t a t i o n (Berlin) 1 8 6 3 : Theoria nova functionum ultraellipticarum (2. A b d r u c k 1885^)). ( P r y m ist g e b o r e n I 8 4 I ; er lehrte v o n 1 8 6 9 — I 9 I 5 i n Würzburg.) E r ist d e n R i e m a n n s c h e n D o k t r i n e n , d i e ihn z u m ersten Selbstschaffen a n r e g t e n , a u c h weiterhin treu geblieben u n d h a t n o c h neuerdings, i m J a h r e I 9 I I , m i t R o s t z u s a m m e n e i n 1) Vollständig zuerst erschienen 1864 in B d . 24 der Denkschriften der Wiener Akademie.

Prym.

C. Naumann, Clebsch.

hierhergehöriges größeres W e r k erscheinen lassen, in d e m der allge­ m e i n e F a l l einer w-blättrigen R i e m a n n s c h e n F l ä c h e b e h a n d e l t w i r d : „Theorie der P r y m s c h e n F u n k t i o n e n erster Ordnung, i m A n s c h l u ß an die S c h ö p f u n g e n R i e m a n n s " . Zwei Jahre später, 1865, erschien d a s ausführüche u n d vielver­ breitete Lehrbuch v o n C N e u m a n n , d a m a l s Professor in T ü b i n g e n : Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale. A u c h hier wird, w i e schon a n g e d e u t e t , ursprünglich nur der FaU der zweiblättrigen F l ä c h e , die hypereUiptischen Integrale, herangezogen. D i e A u s e i n ­ andersetzung d e s aUgemeinen FaUes der w-blättrigen F l ä c h e u n d die zugehörigen E x i s t e n z b e w e i s e finden sich erst in der z w e i t e n Auflage v o n 1884. Gleichzeitig m i t C N e u m a n n , aber in g a n z anderer Art, arbeitet N e u m a n n s Königsberger Studiengenosse C l e b s c h über die R i e m a n n ­ s c h e Theorie der algebraischen F u n k t i o n e n . (Clebsch, g e b . 1833 z u K ö n i g s b e r g , promoviert dort 1854 (F. N e u m a n n , H e s s e , R i c h e l o t w a r e n seine Lehrer), d a n n P r i v a t d o z e n t in Berlin, 1858 Professor für t h e o ­ retische Mechanik in Karlsruhe, 1863 Professor für M a t h e m a t i k in Gießen, 1868 Professor in G ö t t m g e n , gest. 1872.) W i r werden n o c h genauer ausführen ( K a p . 7), w i e Clebsch b e m ü h t war, R i e m a n n s aUgemeine R e s u l t a t e für die Theorie der algebraischen K u r v e n n u t z b a r z u m a c h e n . R i e m a n n s M e t h o d e n aber, m i t ihren fremdartigen u n d d a m a l s n o c h unsicheren Grundlagen, ü b e r n i m m t er nicht. E r v e r s u c h t v i e h n e h r v o n der algebraischen Gleichung F (C z) = O a u s g e h e n d , die als K u r v e g e d e u t e t u n d i m A n s c h l u ß a n die Theorien der p r o j e k t i v e n Geometrie h o m o g e n Φ (^p x^, x^) = O geschrieben wird, z u R i e m a n n s aUgemeinen S ä t z e n vorzudringen. So finden wir die Sache dargesteUt in C l e b s c h G O r d a η : Theorie der A belschen Funktionen, Leipzig 1866. D a s ist ein Ge­ g e n s a t z zwischen N e u m a n n u n d Clebsch: w ä h r e n d N e u m a n n sich eng a n R i e m a n n anschließt, g e h t Clebsch, v i e l intensiver u n d subjektiver arbei­ t e n d , seine eigenen W e g e . D i e b e i d e n Lehrbücher verfolgen a u c h ganz verschiedene Z w e c k e ; N e u m a n n wiU die Z u s a m m e n h ä n g e i m niedersten FaUe m ö g ü c h s t klar u n d aUgemeinverständlich darsteUen, Clebsch d a ­ gegen will ziun Nachdenken, z u m selbständigen A r b e i t e n anfeuern. D e m N e u m a n n s c h e n B u c h h a t m a n d e n Vorwurf g e m a c h t , d a ß es „ z u l e i c h t " , d a s es „ b e l e i d i g e n d klar" s e i ; es gibt e m e a u s g e z e i c h n e t e E i n ­ führung m d e n R i e m a n n s c h e n Ideenkreis. Clebsch-Gordan ist schwer, verlangt straffes Mitarbeiten v o m Leser, d e n es d a n n aUerdings auch v i e l tiefer in die P r o b l e m e emdringen l ä ß t u n d z u e m s t h c h e r Beschäfti­ g u n g m i t R i e m a n n s G e d a n k e n g ä n g e n anregt. B e i d e B ü c h e r sind, jedes in seiner Art, g r u n d l e g e n d für die Erschließung der R i e m a n n s c h e n Ar­ b e i t e n g e w e s e n ; für u n s gehören sie der V e r g a n g e n h e i t an. Gegen E n d e der 6 0 er Jahre h ä u f e n sich n u n die N a m e n der Forscher, die a n R i e m a n n a n k n ü p f e n . I c h k a n n d a nur einige der w i c h t i g s t e n

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VI. Riemann und Weierstraß.

N a m e n n e n n e n , die m a n k e n n e n m u ß , w e n n m a n sich in der Literatur zurechtfinden wiU. E i n e voUständige Bibhographie der v o n R i e m a n n induzierten V e r ö f f e n t h c h u n g e n aufzustehen, ist hier nicht der Ort. A n erster S t e h e führe ich das sehr schöne Lehrbuch v o n C a s o r a t i a n : ,,Teoria delle funzioni di variahili complesse. E s ist ein großangelegtes Werk, v o n d e m leider, wie s o oft, nur B d . 1 erschienen ist (1868). U m dieselbe Zeit b e g i n n t auch H e l m h o l t z R i e m a m i s c h e M e t h o d e n in der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k zu v e r w e n d e n . V o n 1869 an beschäftigt sich — wie s c h o n ausgeführt — H . A. S c h w a r z m i t der N e u f u n d i e r u n g der R i e m a n n s c h e n E x i s t e n z t h e o r e m e ; über seine anschließenden U n t e r ­ s u c h u n g e n , die h y p e r g e o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n betreffend, werde ich n o c h ausführlicher berichten. Sehr w i c h t i g für die Geschichte der R i e m a n n - F o r s c h u n g ist das Jahr 1876. D a m a l s erschienen, h e r a u s g e g e b e n v o n H . W e b e r unter Mitwirkung v o n R. D e d e k i n d , Riemanns Werke, d^e eine große A n z a h l N o t i z e n aus d e m N a c h l a ß b r a c h t e n ; aber auf R i e m a n n s Vorlesungen, die n o c h unter der H a n d verbreitet w a r e n u n d die, w i e wir s c h o n wissen, ein w e s e n t l i c h e s S t ü c k v o n R i e m a n n s m a t h e m a t i s c h e r L e i s t u n g aus­ m a c h e n , k o n n t e n sie n o c h n i c h t zurückgehen. D i e s e Lücke w u r d e erst 1902 in den v o n N o e t h e r u n d W i r t I n g e r herausgegebenen ,,Nach­ trägen'' ausgefüht. D a s sind T a t s a c h e n , die ich s c h o n früher berichtet h a t t e , die ich aber w e g e n ihrer W i c h t i g k e i t n o c h e i n m a l in diesem Zusammenhang nennen möchte. I c h lege großen W e r t darauf, d a ß die D i n g e , die m e i n e Vorlesungen berühren, m ö g l i c h s t lebendig näher gerückt werden. S o führe ich •— w i e i m m e r — auch an dieser Stelle einige Personalnotizen an, u m das Verhältnis zur Wissenschaft e t w a s menschlicher u n d persönlicher z u gestalten. D e d e k i n d , allen durch seine z a h l e n theoretischen Arbeiten b e k a n n t , auf die wir n o c h z u r ü c k k o m m e n werden, ist 1831 in B r a u n s c h w e i g geboren, w o er auch seit 1862 bis zu s e i n e m T o d e 1916 wieder dauernd lebte. Als P r i v a t d o z e n t in G ö t t i n g e n (1854—58) h a t er sich als Kollege u n d F r e u n d e n g an R i e m a n n angeschlossen. E r h a t bei R i e m a n n Kolleg gehört u n d bleibt s o m i t für u n s einer der H a u p t v e r t r e t e r der R i e m a n n ­ s c h e n Tradition. Seine Stärke ist es, tief in die Prinzipien der W i s s e n ­ schaft einzudringen; er ist w e s e n t l i c h eine beschauliche N a t u r , der Cb an Tatkraft u n d E n t s c h l u ß f ä h i g k e i t vielleicht m a n g e l t . So m a g es in seiner Charakteranlage b e g r ü n d e t sein, d a ß er, d e m v o n R i e m a n n s F a m i l i e nach dessen T o d e der wissenschaftliche N a c h l a ß anvertraut w u r d e , d a v o n w o h l m a n c h e s herausgab u n d durch scharfsinnige B e m e r ­ k u n g e n erläuterte, eine z u s a m m e n h ä n g e n d e A u s g a b e v o n R i e m a n n s W e r k e n allein jedoch nicht u n t e r n a h m . D a h e r v e r b a n d er sich z u d i e s e m Zwecke 1871 m i t Clebsch, u n d als dieser s c h o n 1872 starb, m i t H. Weber.

Dedekind, Weber, Noether, Wirtinger.

Klein, Poincare.

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H . W e b e r ist 1842 in Heidelberg geboren, w o er auch seine Studien b e g i n n t u n d bei H e l m h o l t z u n d Kirchhoff hört. V o n 1 8 7 3 — 8 3 wirkt er in Königsberg, 1 8 9 2 — 9 5 ist er Ordinarius in G ö t t i n g e n ; d a n n g e h t er n a c h Straßburg, w o er 1913 stirbt. Er ist eine s c h m i e g s a m e u n d doch wieder energische N a t u r u n d besitzt eine wunderbare F ä h i g k e i t , leicht in i h m z u n ä c h s t fremde Auffassungen einzudringen, so z. B . in die R i e m a n n s c h e F u n k t i o n e n t h e o r i e und die D e d e k i n d s c h e Zahlentheorie. D i e s e seine Anpassungsfähigkeit h a t es i h m ermöglicht, auf fast aUen Gebieten unserer Wissenschaft in den l e t z t e n D e z e n n i e n m i t z u a r b e i t e n u n d die umfassenden Lehrbücher, den Weber-Wellstein, den R i e m a n n Weber, die Algebra zu schaffen, die wir aüe k e n n e n u n d b e n u t z t h a b e n . Seiner Mitwirkung an der Herausgabe v o n R i e m a n n s W e r k e n 1876 wurde bereits g e d a c h t ; die zweite Auflage 1892 h a t Weber allein besorgt. N o e t h e r (geb. 1844, seit 1875 in Erlangen^)) wird uns n o c h w e i t ­ g e h e n d beschäftigen, w e n n wir v o n der m o d e r n e n Lehre v o n d e n alge­ braischen Gebilden handehi. Er ist einer der Hauptschüler v o n Clebsch. Mit W i r t i n g e r tritt u n s z u m ersten Male ein österreichischer Mathe­ matiker e n t g e g e n . Er ist 1865 geboren, also erheblich jünger als die vorher G e n a n n t e n und seit 1903 Professor in W i e n . Als Mitherausgeber der Monatshefte für M a t h e m a t i k u n d P h y s i k s t e h t er m i t der reichsd e u t s c h e n M a t h e m a t i k in engster Verbindung. W e n n wir n u n die W e i t e r b i l d u n g u n d F o r t e n t w i c k l u n g der R i e ­ m a n n s c h e n Theorie in großen Zügen verfolgen, so sind v o n der Mitte der 7 0 er Jahre an meine eigenen Arbeiten, z u n ä c h s t über elliptische Modulfunktionen — der N a m e ist übrigens v o n D e d e k i n d ü b e r n o m m e n — , d a n n über die aUgemeinsten automorphen Funktionen zu nennen. A u t o m o r p h e F u n k t i o n e n sind solche, u m die Sache hier nur schnell z u erklären, die der F u n k t i o n a l g l e i c h u n g

für eine Reihe v o n Indizes i, eventueU für unendlich viele, g e n ü g e n , also i m w e i t e s t e n Sinne Verallgemeinerungen der periodischen F u n k ­ t i o n e n , i n d e m die A d d i t i o n der Periode durch eine hneare S u b s t i t u t i o n ersetzt ist. V o n 1881 an g e w a n n ich, gerade auf d e m Gebiet der a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n , enge F ü h l u n g m i t P o i n c a r e ; das ist also der Z e i t p u n k t , w o R i e m a n n s Gedankengänge n a c h Frankreich hinüber verpflanzt w e r d e n u n d dort festen B o d e n fassen. Ausführhch wiU ich diese D i n g e erst in K a p . 8 b e h a n d e l n . Meine kleine Schrift v o n 1 8 8 1 / 8 2 : ,,Über R i e m a n n s Theorie der alge­ braischen F u n k t i o n e n u n d ihrer Integrale", in der ich versuchte, R i e m a n n s ph\'sikahsche Grundgedanken hervorzukehren, ist s c h o n oben g e n a n n t . Gest. 1922. 18*

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VI. Riemann und Weierstraß.

S e i t d e m ist das Interesse für R i e m a n n s F u n k t i o n e n t h e o r i e in immer weiteren Kreisen, a u c h des A u s l a n d e s , erwacht. V o n m e i n e n Schülern ist w o h l besonders H u r w i t z in Zürich und D y c k in München zu n e n n e n . W e n n wir d a n n nur — u m u n s nicht ins U n g e m e s s e n e zu ver­ heren — in unserer n ä c h s t e n U m g e b u n g bleiben, so m ü s s e n w i r die Göttinger R e i h e n f o l g e : H i l b e r t (1901 R e t t u n g des Dirichletschen Prinzips) bis zu K o e b e , W e y l (Die Ideeder R i e m a n n s c h e n Fläche, 1913) u n d C o u r a n t aufstellen. D a h a b e ich n u n eine Menge v o n mehr oder weniger b e k a n n t e n N a m e n g e n a n n t , die ahe m i t R i e m a n n eng verknüpft sind. Sie k ö n n e n nur d a n n m e h r sein als eine t o t e Liste, w e n n wir die z u d e n N a m e n , oder besser z u deren Trägern gehörige Literatur einsehen. Man m u ß die K u n s t lernen, die großen Z u s a m m e n h ä n g e unserer Wissenschaft aus d e m ungeheuren, gedruckt vorliegenden Material in ihren Grund­ linien z u erfassen, o h n e sich in zeitraubende Durcharbeitung aller Einzel­ h e i t e n zu verlieren, aber auch o h n e der Ungründlichkeit u n d d e m Dilet­ t a n t i s m u s z u verfahen. N u r so g e w i n n t m a n die m a t h e m a t i s c h e All­ g e m e i n b i l d u n g , o h n e die ich n i e m a n d e n , der weiterarbeiten will, v o n der U n i v e r s i t ä t e n t l a s s e n m ö c h t e ! W i r w e n d e n u n s n u n z u n ä c h s t v o n R i e m a n n a b , allerdings nur, u m s e i n e m N a m e n in d e n folgenden K a p i t e l n i m m e r wieder zu b e g e g n e n , u n d k o m m e n zu W e i e r s t r a ß .

Karl Weierstraß. E b e n s o , w i e wir es bei R i e m a n n g e t a n h a b e n , wollen wir a u c h hier z u n ä c h s t das äußere Material sichten u n d z u s a m m e n t r a g e n . 1. Gesammelte Abhandlungen, bisher erschienen: B d . 1, 2, 3 (1894, 1895, 1903), Vorlesungen B d . 4 : Abelsche F u n k t i o n e n (1902), B d . 5, 6: Ehiptisclie F u n k t i o n e n (1915). E s sind jedenfalls noch zu e r w a r t e n : A n a l y t i s c h e F u n k t i o n e n u n d Variationsrechnung ^). 2. Biographische Quellen: L a m p e , Gedächtnisrede, Jahresbericht der D M V . B d . 6, S. 40ff. (1897). K i l l i n g , Rektoratsrede Münster 1897 ( N a t u r und Offenbarung, B d . 4 3 S. 131ff.). M i t t a g - L e f f 1er, Vortrag Pariser K o n g r e ß 1900 ^). L a m p e ist ein spezieller Schüler v o n Weierstraß. D i e Ausführungen v o n Mittag-Leffler s i n d nach Privatpapieren, die er sich zu beschaffen w u ß t e , veröffentlicht, nicht gerade sehr diskret, aber — vielleicht gerade deshalb — interessant z u lesen. E i n e volle menschliche Würdi­ g u n g v o n Weierstraß m i t B e r ü c k s i c h t i g u n g der w e s e n t l i c h s t e n wissen­ schaftlichen G e s i c h t s p u n k t e s t e h t n o c h aus. D a s ist u m so mehr z u 1) Gegenwartig im Druck: Bd. 7, Variationsrechnung. -) Neuerdings auch Acta mathematica Bd. 39, 1923, bezw. schon früher Bd. 21 (1897) und Bd. 35 (1912). Anm. d. Herausg.

κ. Weierstraß.

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bedauern, als es sich bei Weierstraß' E n t w i c k l u n g u m ungewöhnliche Momente h a n d e h u n d wir, infolge der U n v o l l s t ä n d i g k e i t des bis jetzt g e s a m m e k e n Materials, an vielen Stellen v o U k o m m e n im D u n k e l t a p p e n . E s wäre eine dankenswerte Aufgabe, die Lücken durch Z u s a m m e n ­ tragen u n d Aufsuchen verzettelter Einzelheiten auszufüllen. D i e große Zahl der deutschen Mathematiker, die uns bisher beschäf­ tigt h a t , e n t s t a m m t e d e m protestantischen Bevölkerungsteil. Mit Jacobi tritt der erste Mathematiker jüdischen Ursprungs hervor, deren Zahl späterhin dauernd w ä c h s t . W e i e r s t r a ß s t a m m t d e m e n t g e g e n aus katholischen Kreisen. Er ist a m 3 L Oktober 1815 in Ostenfelde i m Münsterland geboren. D o r t war sein Vater R e n d a n t . Ich finde die N o t i z , d a ß der Vater erst z u m Katholizismus übergetreten sein soll; wie d e m auch sei, die U m g e b u n g , in der Weierstraß aufwuchs, war ausgesprochen katholisch, u n d dieser U m s t a n d h a t seine E n t w i c k l u n g weitgehend beeinflußt. H a t er doch viele Jahre seines Lebens u n d Schaffens infolgedessen an Orten zuge­ bracht, die bis dahin in der Geschichte der M a t h e m a t i k sonst u n b e k a n n t waren. D a s zeigt eine Z u s a m m e n s t e l l u n g einiger D a t e n seines L e b e n s : 1 8 2 9 — 3 4 b e s u c h t er das G y m n a s i u m zu Paderborn. 1 8 3 9 - 4 0 studiert er an der A k a d e m i e in Münster bei Gudermann (der ebenfalls katholisch war). In Münster leistet er auch sein Probe­ jahr als Oberlehrer ab. 1 8 4 2 — 4 8 ist er Gymnasiallehrer in Deutsch-Crone (Westpreußen) a m dortigen katholischen P r o g y m n a s i u m . 1 8 4 8 — 5 4 / 5 5 bekleidet er dieselbe Stellung a m Collegium H o s e a n u m , einer A n s t a l t zur A u s b ü d u n g katholischer Priester, in Braunsberg (Ost­ preußen). Wir e n t n e h m e n aus diesen D a t e n , daß Weierstraß die Jahre bester Schaffenskraft, d. h. die Zeit zwischen d e m 30. u n d 40. Lebensjahr, fern v o n allem wissenschaftlichen Leben, jeder m a t h e m a t i s c h e n A n r e g u n g fast völlig unerreichbar, in kleinen, ja kleinsten Orten verbracht h a t , v o n denen m a n sonst k a u m einmal den N a m e n nennen hört. Auf einen ganz anderen T o n g e s t i m m t , für uns noch v o l l k o m m e n unaufgeklärt, ist nun aber sein Leben in seinen Studienjahren in B o n n 1 8 3 4 — 3 8 . Auf der konfessionell mehr g e m i s c h t e n Bonner U n i v e r s i t ä t studiert Weierstraß z u n ä c h s t nicht e t w a Mathematik, sondern Juris­ prudenz. Gleichzeitig ist er a k t i v i m Corps Saxonia, u n d m a n erzählt v o n i h m , daß er jeden A b e n d auf der K n e i p e einer der L u s t i g s t e n war, u n d auf d e m F e c h t b o d e n niemals fehlte. W i e sich das m i t seiner übrigen E n t w i c k l u n g verträgt, ist mir, wie gesagt, gänzlich u n v e r s t ä n d l i c h . W e n n L a m p e an d e m späteren Weierstraß den ,,freien Sinn, m i t w e l c h e m Weierstraß das Leben gewissermaßen als S o u v e r ä n b e h a n d e l t e " , rühmt, so m a g diese Art aus den B o n n e r Studienjahren h i n ü b e r g e n o m m e n sein.

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VI. Riemann u n d Weierstraß.

M a t h e m a t i s c h e A n r e g u n g h a t t e Weierstraß in B o n n s o g u t w i e g a r nicht. B i s 1 8 3 6 lehrte M ü n c h o w dort, der a l s Vertreter der älteren Schule A s t r o n o m i e , M a t h e m a t i k u n d P h y s i k v e r e i n i g t e ; sein N a c h ­ folger Plücker, der i m m e r n o c h M a t h e m a t i k u n d P h y s i k v e r b a n d , k o n n t e der ersteren g e w i ß nicht viel Zeit w i d m e n ; Weierstraß h a t a u c h k a u m bei i h m gehört. Vielmehr b e g i n n t Weierstraß, durch unüberwindhche N e i g u n g getrieben — er war schon in Paderborn über die Steinerschen Arbeiten in Crehes Journal geraten — , m a t h e m a t i s c h e P r i v a t s t u d i e n . D a m a l s waren J a c o b i s „Fundamenta nova'' erschienen, 1829, e i n n o c h g a n z neues u n d A u f s e h e n erregendes Werk. Weierstraß arbeitet e s m i t ungeheurer Mühe — er b e s i t z t ja gar keine Vorkenntnisse — durch u n d beschließt, diese S t u d i e n z u vertiefen. E r hört, d a ß G u d e r m a n n in Münster sich m i t d e n ehiptischen F u n k t i o n e n in w e i t e s t e m U m f a n g beschäftigt u n d bricht seine S t u d i e n in B o n n a b , u m n a c h Münster überzusiedeln. Vorher bringt er n o c h ein Halbjahr 1838/39 i m E l t e r n ­ h a u s zu, „körperhch u n d seelisch leidend", wie er selbst in s e i n e m L e b e n s ­ lauf, d e n er g e l e g e n t h c h seines Oberlehrerexamens 1841 in Münster schrieb, sagt. N ä h e r e s über die U r s a c h e u n d den Verlauf dieses D e p r e s ­ s i o n s z u s t a n d e s h a b e i c h nicht feststehen k ö n n e n ; überhaupt lassen u n s die offiziellen B e r i c h t e d a i m Stich, w o d i e tieferen, psAxhischen P r o ­ b l e m e anfangen. N u n m u ß i c h w o h l z u n ä c h s t erzählen, wer G u d e r m a n n war, der durch seinen Schüler s o b e r ü h m t g e w o r d e n i s t . E r i s t 1798 in W i n n e ­ burg b e i H i l d e s h e i m geboren, war Gymnasiallehrer in Cleve, später in Münster, w o er 1852 starb. Seine wissenschafthche Leistung, wenig­ s t e n s soweit sie hier für u n s in B e t r a c h t k o m m t , ist, d a ß er die Theorie der ehiptischen F u n k t i o n e n u n d Integrale selbständig u n d gewissenhaft durcharbeitete. .

n e n n t er, d a d a s Integral einen Modul k enthält, Modularintegral u n d die U m k e h r u n g entsprechend Modularfunktion. D i e g e s a m t e Theorie findet m a n ausgeführt in Crelle, B d . 18, 19, 2 0 , 2 1 , 2 3 , 2 5 a u s d e n J a h r e n 1 8 3 8 — 4 3 . D a s Charakteristikum b e i G u d e r m a n n i s t d i e starke B e t o n u n g der P o t e n z e n t w i c k l u n g e n ; das ist die R i c h t u n g , in der Weier­ straß d a n n weitergeht. G u d e r m a n n s A r b e i t e n sind langweilig z u lesen u n d in ihren Einzel­ h e i t e n längst vergessen. W a s sich a u s ihnen b i s h e u t e erhalten h a t , i s t ein Teil der v o n G u d e r m a n n eingeführten Terminologie, n ä m h c h die v i e l g e b r a u c h t e n A b k ü r z u n g e n sn,cu,dn für d i e J a c o b i s c h e n sin a m , cos a m , J a m . W i e übrigens G u d e r m a n n zu dieser B e z e i c h n u n g s w e i s e g e k o m m e n ist, w e i ß m a n n i c h t ; er m a c h t keinerlei A n g a b e n darüber. Ich v e r m u t e , d a ß d a s a n g e h ä n g t e n, a l s A n f a n g s b u c h s t a b e der l e t z t e n Silbe d e s z w e i t e n

Jacobi, Gudermann.

Al- und c-Funktionen.

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Wortes amplitudinis, auf Grund einer damals vielleicht herrschenden Mode genommen ist; ich stütze meine Hypothese darauf, daß Weier­ straß seine „Abelschen Reihen" nach demselben Prinzip abgekürzt als AI bezeichnete. Außer dieser Terminologie erinnert noch die Tabellierung der Hyper­ belfunktionen, die Gudermann aufsteüte, und die für astronomische, physikalische und technische Berechnungen wichtig ist, an ihn. Bei Gudermann also hörte Weierstraß 1839/40 als einziger Vor­ lesungen und reicht dann 1841 seine Oberlehrerarbeit ein, deren Thema, von ihm selbst gewählt, lautete: Über die Entwicklung der Modularfunktionen.

Wir finden sie in Bd. 1 der Werke an erster Stehe abgedruckt; sie enthält die Keime vieler seiner späteren Arbeiten, und es ist darin ein wichtiger Fortschritt in der Theorie der elliptischen Funktionen im Anschluß an einen Ansatz von Abel erreicht. Um d^s kurz zu schildern, muß ich etwas weiter ausholen. Bei Jacobi haben wir schließlich als Ergebnis langer Entwicklungsreihen Formeln folgender Art:

wo die Indexbezeichnung ad hoc von mir erfunden ist, der bequemeren Übersicht halber. Dabei sind die i? ganze Funktionen des u, bei denen aber eine der beiden Perioden, etwa cog, bevorzugt ist, so daß die Potenzreihenentwicklungen der nach e "^- transzendente Koeffi­ zienten bekommen. Dagegen hat schon Abel beüäufig bemerkt, daß man die sn, cn, dn auch so als Quotienten zweier räch Potenzen von u fort­ schreitender Reihen darstellen kann, daß ihre Koeffizienten rationale ganze Funktionen von k^ werden. Dies liegt sogar näher, wenn man von dem Integral

isgeht. Diese ganzen Funktionen, die Weierstraß in der Folge zu Ehren von Abel AI nennt, führt er in seiner Arbeit, vom elliptischen Integral beginnend, direkt ein und baut so schließlich vom Integral aus einen S3^stematischen Übergang zu den Theta-Funktionen. Weierstraß gewinnt also folgende Darstellung: U

dn

ΛλΌ die AI in der Art transzendent in η und k- sind, daß die Koeffi­ zienten des einzelnen Gliedes ganz und rational in k^ sind. Weierstraß

VI. Riemann und Weierstraß. h a t sie bis zur 20. P o t e n z ausgerechnet m i t a h e n , geradezu unheimh c h e n Zahlenfaktoren. E s s t e h t sich übrigens heraus, d a ß die AI sich v o n d e n e n t s p r e c h e n d e n & nur u m einen E x p o n e n t i a l f a k t o r unterschei­ den, v o n der F o r m c^^"'. I c h m ö c h t e s c h o n hier beiläufig b e m e r k e n , d a ß die AI für Weierstraß in der F o l g e a u c h nur ein D u r c h g a n g s p u n k t für die Aufstellung noch besserer, der σ - F u n k t i o n e n , g e w e s e n sind. D i e s e σ unterscheiden sich v o n d e n '& wie v o n den AI w i e d e r u m nur u m einen E x p o n e n t i a l f a k t o r , der aber diesmal so eingerichtet ist, d a ß n u n das S t a m m - σ für sich u n d die a ^ a g , untereinander völlig s y m m e t r i s c h in ω^, werden. Insbesondere g e n ü g t d a s S t a m m - σ der F u n k t i o n a l g l e i c h u n g : σ (u I ω , , ω,) = o(u\aw, WO οί, β,γ,

+ ß ω „ γ ω, -f δ ω , ) ,

δ übrigens beliebige g a n z e Zahlen m i t

sind, so d a ß also σ invariant ist g e g e n beliebige ,,lineare Transforma­ t i o n e n " der Perioden. E r s t hieraus wird die volle, in der Sache liegende S y m m e t r i e hervorgekehrt. Zu dieser e n d g ü l t i g e n Gestalt seiner Theorie ist Weierstraß aber erst W i n t e r 1 8 6 2 / 6 3 vorgedrungen, w o er sie in s e i n e m Berliner Kolleg vortrug. A u c h ohne den v ö l h g h a r m o n i s c h e n A b s c h l u ß b e d e u t e t e Weierstraß' Oberlehrerarbeit eine große, wissenschaftliche Leistung, u n d Guder­ m a n n kargte nicht m i t seinem Lobe. I n der offiziellen B e g u t a c h t u n g , die Killing 1897 aus d e n A k t e n abgedruckt h a t , h e i ß t es u. a.: „ D e r K a n d i d a t tritt hierdurch ebenbürtig in die R e i h e ruhmgekrönter Erfinder." F ü r Weierstraß selbst war n u n ein Lebensziel g e g e b e n : D u r c h strenge m e t h o d i s c h e Arbeit über P o t e n z r e i h e n (auch mehrerer Variablen) d a s U m k e h r p r o b l e m a u c h der h y p e r e h i p t i s c h e n Integrale behebig h o h e n R a n g e s , wie es v o n J a c o b i divinatorisch festgelegt war — vielleicht sogar der allgemeinsten Abelschen Integrale — , zu z w i n g e n . Auf d i e s e m W e g e h a t sich das, w a s m a n Weierstraß' Theorie der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n n e n n t , sozusagen als N e b e n p r o d u k t ergeben. In l a n g e n Jahren m a t h e m a t i s c h e r E i n s a m k e i t , w ä h r e n d seines A u f e n t h a l t e s in Deutsch-Crone u n d Braunsberg, strebte Weierstraß durch straffe, s y s t e m a t i s c h e Arbeit der L ö s u n g seines P r o b l e m s ent­ gegen. Wir h a b e n aus dieser Zeit nur sparsame P r o b e n seiner E r g e b ­ nisse : 1843, Jahresbericht d e s P r o g y m n a s i u m s zu Deutsch-Crone, „Bemerkttugen über die analytischen Fakultäten \ H e u t e finden wir darin

Bis 1854.

Berlin.

281

die Grundlagen der Weierstraßschen F u n k t i o n e n theorie (Werke, B d . 1, S. 87ff.). 1849, Jahresbericht des G y m n a s i u m s zu Braunsberg, in w e l c h e m er die je vier Perioden der hyp er elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung: [l^

[^It.

u n d die zwischen ihnen b e s t e h e n d e n (für die ganze Theorie grund­ legenden) ,,Bilinearrelationen", die der einen i m eUiptischen Falle be­ s t e h e n d e n „Legendreschen R e l a t i o n " ω,η,-ω,η,= 2πi entsprechen, auf beliebige hyperelliptische Integrale überträgt („Beitrag zur Theorie der Abelschen Integrale" Werke, B d . 1, S. l l l f f . ) . 1854. E n d h c h aber in Crelle, B d . 47, die Mitteilung der F o r m e l n , durch die in der T a t das U m k e h r p r o b l e m der hyperelliptischen Integrale für beliebiges p b e z w u n g e n wird, unter d e m T i t e l : Zur Theorie der Abelschen Funktionen (Werke, B d . 1, S. 1 3 3 f f . ) . Diese kleine Zahl veröffentlichter Arbeiten wird durch B d . 1 der W e r k e stark ergänzt. Wir erfahren, d a ß Weierstraß schon 1841 sich d e n allgemeinen E n t w i c k l u n g s s a t z der F u n k t i o n e n t h e o r i e bewiesen h a t t e , den m a n jetzt d e n Laurentschen Satz zu n e n n e n pflegt. 1842 aber dringt er in einer U n t e r s u c h u n g über algebraische Diffe­ rentialgleichungen mit einer unabhängigen Variabein nicht nur bis zur B e s t i m m u n g der a n a l y t i s c h e n N a t u r der L ö s u n g e n , sondern darüber h i n a u s bis z u m Prinzip der analytischen Fortsetzung vor, v o n der er s t a u n e n d bemerkt, d a ß sie je n a c h d e m an „ n a t ü r h c h e n Grenzen" ihr E n d e findet. D a s Jahr 1854, d. h. die Vollendung seiner großen Arbeit, b e d e u t e t den W e n d e p u n k t in Weierstraß' Leben. E r wird E h r e n d o k t o r der U n i v e r s i t ä t Königsberg u n d läßt sich beurlauben, u m seine vorläufige, k n a p p e Veröffentlichung auszuarbeiten. 1856 wird er n a c h Berlin berufen. E b e n s o wie das Jahr 1826, durch die Gründung des Crelleschen Journals, so ist das Jahr 1856 für die M a t h e m a t i k dort v o n einschneidender B e d e u t u n g . 1855 bereits war K r o n e c k e r , 32 Jahre alt, als reicher P r i v a t m a n n n a c h Berlin gezogen. Kronecker ist 1823 in Liegnitz geboren, starb 1891. Kroneckers ganz anders geartete m a t h e m a t i s c h e I n d i v i d u a l i t ä t verdient n e b e n der v o n Weierstraß ihre besondere W ü r d i g u n g . I n d e m er sich v o r w i e g e n d m i t A r i t h m e t i k u n d Algebra beschäftigte, in s p ä ­ teren Jahren aber b e s t i m m t e intellektuelle N o r m e n für alles m a t h e ­ m a t i s c h e Arbeiten aufstellte, erscheint er als d a s spezifische jüdische T a l e n t ; aber allerdings in besonderer, individueUer Steigerung. D e n n

VI. Riemann und Weierstraß. er h a t auf seinen Arbeitsgebieten viele B e z i e h u n g e n grundlegender Art, ohne sie n o c h klar herausarbeiten zu k ö n n e n , v o r a h n e n d richtig erfaßt ^). 1856 wird K u m m e r , 4 6 Jahre alt, als Nachfolger v o n Dirichlet dorthin berufen. I m selben Jahre wird W e i e r s t r a ß , 41 Jahre alt, ebenfalls nach Berlin berufen, w o h l auf Anregung v o n K u m m e r . Schließlich ü b e r n i m m t B o r c h a r d t , 40 Jahre alt, m i t B d . 53 die R e d a k t i o n v o n Crelles Journal. Wir sehen a n den N a m e n allein, wie sich d a m a l s die neue Berliner m a t h e m a t i s c h e Schule herauskristallisierte. In diese W e l t v o h e r m a t h e m a t i s c h e r A n r e g u n g w u r d e Weierstraß also versetzt. D o c h war die Berufung, trotz der vielen inneren u n d äußeren Vorteile, die sie Weierstraß brachte, kein u n b e d i n g t e s Glück für ihn. H e u t z u t a g e w ü r d e m a n ihn, e t w a w i e E i n s t e i n , als ,,Akade­ m i k e r " n a c h B e r h n g e z o g e n h a b e n . S t a t t dessen war er d a m a l s als e t a t s m ä ß i g e r Professor m i t zwölf Lehrstunden an der Gewerbeakademie verpflichtet u n d zugleich Extraordinarius an der U n i v e r s i t ä t . Das b e d e u t e t e , vor a l l e m n a c h s e i n e m zurückgezogenen Leben bis dahin, eine starke wissenschaftliche Ü b e r l a s t u n g . E s k a m noch hinzu, d a ß 1857, als Weierstraß eine erste B e a r b e i t u n g der allgemeinen A b e l s c h e n F u n k t i o n e n der Berliner A k a d e m i e vorgelegt h a t t e , R i e m a n n s A b h a n d l u n g über dasselbe T h e m a in Crehe, B d . 54 erschien, die so viele, u n g e a h n t neue Auffassungen enthielt, d a ß Weier­ straß seine Arbeit zurückzog u n d in der T a t n i c h t m e h r veröffentlicht h a t . D a s m u ß für Weierstraß eine außerordenthche Aufregung verur­ sacht haben. J e d e n f a h s zeigen sich W i n t e r 1 8 5 9 / 6 0 Spuren v o n Überarbeitung, d e n e n d a n n 1861 ein vöhiger nervöser Z u s a m m e n b r u c h folgt, so daß Weierstraß i m W i n t e r 1 8 6 1 / 6 2 ü b e r h a u p t nicht liest u n d später nur mehr a n der U n i v e r s i t ä t t ä t i g ist, an der i h m endlich, 1864 (als er 4 9 Jahre alt war) ein Ordinariat übertragen w u r d e . So sehen wir Weierstraß auf der H ö h e seiner Berhner Stellung angelangt. I n t e r e s s a n t ist für u n s seine A k a d e m i s c h e Antrittsrede, die er a m 9. J u h 1857 b e i m E i n t r i t t in die Berliner A k a d e m i e hielt (Werke, B d . 1, S. 2 2 3 — 2 2 6 ) . D i e h e u t i g e Generation ist g e w ö h n t , in Weierstraß einen Vertreter ausschließlich der reinen M a t h e m a t i k zu sehen. Hier aber findet sich n a c h e i n e m kurzen Überblick über seine theoretischen Ziele u n d die Arbeiten, durch die er sie zu erreichen strebte, die interessante Stelle (S. 2 2 5 ) : 1) ü b e r K r o n e c k e r und den ganzen Berhner Kreis vgl. die Festrede von A. K n e s e r anläßlich der Hundertjahrfeier von Kroneckers Geburtstag. Jahrcbbericht der D. M. V. 1925, S. 210 ff. Ferner: H . W e b e r : Kronecker, Math A n n , Bd.43, und G F r o b e n i i i s : Gedächtnisrede auf Leopold Kronecker, Abh.d Berhner Akad. IS93 Anm. d. Herausg.

Berlin.

Weierstraß' Vorlesungen.

,,Ich m e i n e aber, es m u ß d a s Verhältnis z w i s c h e n M a t h e m a t i k u n d Naturforschung e t w a s tiefer aufgefaßt werden, als es geschehen würde, w e n n e t w a der P h y s i k e r in der M a t h e m a t i k nur eine, w e n n auch u n e n t behrhche, Hüfsdisziplin a c h t e n , oder der M a t h e m a t i k e r die Fragen, die jener i h m s t e h t , nur als eine reiche B e i s p i e l s a m m l u n g für seine M e t h o d e n a n s e h e n wollte. Ich darf j e d o c h h e u t e diesen Gegenstand, der mir allerdings sehr a m Herzen liegt, nicht weiter verfolgen. Auf die Frage aber, die ich s c h o n v e r n o m m e n , ob es d e n n wirklich möglich sei, aus den abstrakten Theorien, w e l c h e n sich die heutige M a t h e m a t i k m i t Vorliebe z u z u w e n d e n scheine, auch e t w a s unmittelbar Brauchbares z u g e w i n n e n , m ö c h t e ich e n t g e g n e n , d a ß d o c h auch nur auf rein s p e k u l a t i v e m W e g e griechische M a t h e m a t i k e r die E i g e n s c h a f t e n der K e g e l s c h n i t t e ergründet h a t t e n , lange b e v o r irgendwer a h n t e , d a ß sie die B a h n e n seien, in w e l c h e n die P l a n e t e n w a n d e l n , u n d d a ß ich allerdings der H o f f n u n g lebe, es werde noch m e h r F u n k t i o n e n g e b e n m i t E i g e n s c h a f t e n , wie sie J a c o b i an seiner ^^--Funktion r ü h m t , die lehrt, in w i e v i e l Quadrate sich jede Zahl zerlegen läßt, wie m a n d e n B o g e n einer Ellipse rektifiziert u n d d e n n o c h , s e t z e ich h i n z u , i m S t a n d e ist, u n d zwar sie allein, d a s wahre Gesetz darzustellen, nach w e l c h e m das P e n d e l s c h w i n g t . " D a sehen wir, d a ß Weierstraß den A n w e n d u n g e n der M a t h e m a t i k d o c h nicht g a n z fern s t e h t u n d sie keineswegs ablehnt. Zwar h a t er selbst tatsächlich kein enges Verhältnis zur a n g e w a n d t e n M a t h e m a t i k in seinen Arbeiten g e h a b t ; aber er h a t in seinen Vorlesungen regelmäßig P r o b l e m e der Mechanik berührt u n d v o r a ü e m seine Schüler, B r u n s , S. K o w a l e w s k a u. a. m., in dieser H i n s i c h t angeregt. I m m e r h i n ist seine S t e l l u n g n a h m e v o n der R i e m a n n s recht v e r s c h i e d e n : w ä h r e n d R i e m a n n seine m a t h e m a t i s c h e n F ä h i g k e i t e n b e n u t z t , u m der N a t u r ­ erkenntnis selbst n e u e B a h n e n zu öffnen, d a n n aber auch wieder der N a t u r e r k e n n t n i s die A n r e g u n g z u neuer m a t h e m a t i s c h e r I d e e n b i l d u n g e n t n i m m t , b e g n ü g t sich Weierstraß d a m i t , bereits formulierte Auf­ g a b e n der a n g e w a n d t e n M a t h e m a t i k völlig streng zu erledigen. N o c h rund 30 Jahre h a t Weierstraß an der Berliner U n i v e r s i t ä t vor einer s t ä n d i g w a c h s e n d e n Hörerzahl seine Vorlesungen g e h a l t e n , in d e n l e t z t e n J a h r e n vielfach durch K r ä n k h c h k e i t behindert, bis er a m 17. Februar 1897, 811/2 Jahre alt, einer schmerzvollen K r a n k h e i t erlag. Weierstraß' Vorlesungen sind für uns d e s h a l b so besonders wichtig, w e ü Weierstraß selbst sehr w e n i g druckte. E r h a t t e — u n d d a s ist entschieden eine sehr merkwürdige E r s c h e i n u n g in d i e s e m ,,Zeitalter G u t e n b e r g s " — eine prinzipielle A b n e i g u n g g e g e n Druckerschwärze. So ließ er auch seine Vorlesung niemals autographieren, sondern ver­ l a n g t e , d a ß sie abgeschrieben wurde. E s war d a m a l s Sitte in Berlin, g a n z s c h e m a t i s c h abzuschreiben, w a s m a n an K o l l e g s v o n Weierstraß m i t n e h m e n w o ü t e . D i e s e Abschriften sind auch i m A u s l a n d verbreitet w o r d e n , so d a ß sie, n a c h w i r k e n d , einen m a ß g e b e n d e n E i n f l u ß auf d e n

284

VI. Riemann und Weierstraß.

Gang unserer Wissenschaft a u s g e ü b t h a b e n . W i r m ü s s e n u n s also hier e t w a s näher m i t ihnen befassen. E i n e volle L i s t e finden wir a m Schluß v o n B d . 3 der W e r k e . I c h m ö c h t e nur den allgemeinen T u r n u s n e n n e n , den Weierstraß einhielt: A n a l y t i s c h e F u n k t i o n e n — Elliptische F u n k t i o n e n — A n w e n d u n g e n der elliptischen F u n k t i o n e n — H y p e r e l h p t i s c h e oder A b e l s c h e F u n k t i o n e n . D a n e b e n las er aber auch anderes, w i e S y n t h e t i s c h e Geometrie oder Variationsreqhnung, ein Kolleg, d a s sich n a m e n t l i c h in den späteren Jahren öfter wiederholte. N a c h m e i n e n Erinnerungen — ich k a m 1869 n a c h Berlin u n d war 1 8 6 9 / 7 0 dort — war Weierstraß' Stellung die einer absoluten A u t o r i t ä t , deren Lehren die Zuhörer h i n n a h m e n als unanfechtbare N o r m , oft ohne sie i m tieferen Sinn recht aufgefaßt z u h a b e n . E i n Zweifel durfte nicht a u f k o m m e n , eine Kontrolle war schon deshalb schwer m ö g l i c h , d a Weierstraß außerordentlich w e n i g zitierte. E r h a t t e es sich in seinen Vorlesungen als Ziel g e s e t z t , ein S y s t e m wohlgeordneter G e d a n k e n i m Z u s a m m e n h a n g vorzutragen. So b e g a n n er m i t e i n e m m e t h o d i s c h e n A u f b a u v o n u n t e n herauf u n d , s e i n e m Ideal der Lückenlosigkeit n a c h ­ strebend, richtete er den Gang so ein, d a ß er in der F o l g e nur auf sich selbst zurückzugreifen b r a u c h t e . I c h selbst h a b e d a m a l s — jetzt bedaure ich es — ebenso wie Lie, aus Widerspruchsgeist kein Kolleg bei Weierstraß gehört, sondern i m Seminar immer nur eigene G e d a n k e n v e r f o c h t e n . Aber eine Vorlesung v o n Weierstraß über eüiptische F u n k t i o n e n h a b e ich mir d a m a l s abge­ schrieben u n d Jahre später bei m e i n e n Arbeiten über diesen G e g e n s t a n d oft b e n u t z t . A l l m ä h l i c h g e w a n n Weierstraß Geltung in der g e s a m t e n wissen­ schaftlichen W e l t als unvergleichliche A u t o r i t ä t (vgl. d a z u MittagLeffler, Pariser K o n g r e ß 1900, S. 131, w o H e r m i t e s a g t : „Weierstraß est notre maitre ä t o u s " ) . U n d d e n n o c h ist z u l e t z t a u c h Weierstraß die E n t t ä u s c h u n g nicht erspart geblieben, d a ß er seine Lehren angefochten sehen m u ß t e (vgl. Brief an die K o w a l e w s k a v o m 2 4 . März 1885, m i t g e t e i l t v o n MittagLeffler, Acta m a t h . B d . 3 9 , S . I 9 4 f f ) . Mit Kronecker, der auf Grund philo­ sophischer B e t r a c h t u n g e n nur den g a n z e n , h ö c h s t e n s n o c h den ratio­ nalen Zahlen wirkliche E x i s t e n z z u e r k a n n t e , die irrationalen Zahlen aber g a n z u n d gar v e r b a n n t wissen wollte, e n t s t a n d eine neue R i c h t u n g in der M a t h e m a t i k , w e l c h e die Grundlagen der Weierstraßschen F u n k ­ tionentheorie nicht als befriedigend ansehen wollte. D a s ist i m R a h m e n der Wissenschaft derselbe W e c h s e l , den wir in Literatur u n d K u n s t , oft in schneller Aufeinanderfolge, sich vollziehen sehen. E s ist sehr z u bedauern, d a ß Weierstraß — w o h l infolge persönlicher P o l e m i k Kroneckers — so stark unter d e m U m s c h w u n g , der sich in den l e t z t e n Jahren seines L e b e n s bemerkbar m a c h t e , gelitten h a t , w i e es aus d e m

Weierstraß' Vorlesungen.

Weierstraß' Funktionentheorie.

285

Zitierten Brief hervorgeht. W i r m ö c h t e n j e t z t fast sagen, er h ä t t e es n i c h t so schwer n e h m e n s o h e n ; es ist d o c h n u n einmal so, d a ß alles Irdische d e m e w i g e n Gesetz der B e w e g u n g unterworfen ist. D e r Über­ l e b e n d e m u ß sich m i t s e i n e m Schicksal abfinden, d a ß andere G e d a n k e n bei den J ü n g e r e n in den Vordergrund treten. Keiner v o n uns k a n n es hindern w o h e n , d a ß die W e l t sich über u n s h i n a u s fortbewegt. Wir k ö n n e n es nicht einmal w ü n s c h e n , h a b e n wir d o c h , als wir j u n g waren, die d a m a l s herrschenden Meinungen in entsprechender W e i s e zur Seite geschoben. H e u t e w i s s e n wir auch, d a ß Kroneckers Philosophie, die übrigens immer wieder Vertreter auch unter ernsten M a t h e m a t i k e r n findet, es nicht v e r m o c h t h a t , Weierstraß' F u n k t i o n e n t h e o r i e grundsätzlich zu erschüttern. Man wird ihr, als einer b e s t i m m t e n R i c h t u n g m a t h e ­ matischer Fragestellung, eine b e d i n g t e B e r e c h t i g u n g n i c h t absprechen. Aber eine breite Geltung h a t sie sich nie verschaffen k ö n n e n , u n d sie ist auch niemals für sich aUein recht fruchtbar gewesen. Poincare h a t v o n Kronecker gelegentlich g e s a g t (Acta M a t e m a t i c a , B d . 22), er h a b e nur deshalb so große Erfolge in der M a t h e m a t i k (in der Zahlentheorie u n d Algebra) g e h a b t , weil er seine eigenen philosophischen Lehren zeit­ weilig vergessen h a b e . N u n m ö c h t e ich einiges über Weierstraß' Funktionentheorie erzählen. N a t ü r h c h k a n n ich, wie ich es bisher s t e t s g e h a l t e n h a b e , a u c h hier nur d a s E l e m e n t a r s t e u n d einige ahgemeine Richtlinien der Theorie vorführen. Der A u s g a n g s p u n k t für Weierstraß ist die Potenzreihe

{z — a)

bzw. ^ . Ihre W e r t e innerhalb ihres Konvergenzkreises, sofern dieser v o r h a n d e n ist, bilden das „ F u n k t i o n s e l e m e n t " . Mit Hilfe der „ana­ l y t i s c h e n F o r t s e t z u n g e n " , die selbst nur durch P o t e n z r e i h e n bewerk­ stelligt werden u n d sich e v e n t u e h (wie wir s a g e n würden) durch ver­ schiedene B l ä t t e r einer R i e m a n n s c h e n F l ä c h e hindurchziehen k ö n n e n , e n t s t e h t die „ a n a l y t i s c h e F u n k t i o n " als Inbegriff aller aus einem F u n k ­ tionselement entstehenden Fortsetzungen. N u n erhebt s i c h die Frage, ob auch die „singulären Stellen", sagen wir kurz die U n e n d l i c h k e i t s - u n d Verzweigungspunkte der F u n k t i o n , die n o t w e n d i g a m R a n d e des K o n v e r g e n z g e b i e t e s der einzelnen P o t e n z ­ reihe liegen, d a z u gehören sollen oder nicht. Weierstraß s e t z t fest, d a ß sie mitgerechnet werden sollen, falls der V e r z w e i g u n g s p u n k t oder das U n e n d h c h w e r d e n v o n endlicher Ordnung ist, d a n n ist an diesen Stellen eine E n t w i c k l u n g n a c h (z — ZQ)

m ö g l i c h , die nur eine endliche

Zahl v o n Gliedern m i t n e g a t i v e n E x p o n e n t e n h a t . fernen P u n k t s o ü {z — z^) die B e d e u t u n g

F ü r d e n unendlich

haben.

286

VI. Riemann und Weierstraß.

Auf diese W e i s e k o m m t Weierstraß z u m Begriff des „ a n a l y t i s c h e n Gebildes". D i e s e Definitionen decken sich i m Prinzip g a n z m i t d e m , w a s R i e ­ m a n n wollte. I n der F o l g e aber h a b e n sich die T h e o i i e n v o n R i e m a n n u n d Weierstraß sehr verschieden entwickelt. D i e Weierstraßschen F e s t s e t z u n g e n g e s t a t t e n dadurch, d a ß i m m e r m i t P o t e n z r e i h e n operiert wird, einmal die I n n e h a l t u n g v o l l k o m m e n e r arithmetischer Strenge, andrerseits die leichte u n d s i n n g e m ä ß e Verallgemeinerung auf mehrere Variable, worauf Weierstraß s t e t s besonderes Gewicht legte. D i e „Weierstraßsche Strenge", die seinerzeit z u m Stichwort in der m a t h e m a t i s c h e n D e d u k t i o n wurde (im Gegensatz sozusagen z u der früher viel g e r ü h m t e n Gaußschen Strenge!), b e s t e h t einmal darin, d a ß Weierstraß m i t seinen unendlichen Reihen sehr vorsichtig u m g e h t . Hierbei tritt der Begriff der gleichmäßigen K o n v e r g e n z für ihn in den Vordergrund u n d wird späterhin ein wichtiges B e w e i s - u n d Hilfsmittel. D a n n aber greift Weierstraß als erster auf die arithmetischen Grund­ operationen zurück u n d eröffnet seinen Vorlesungszyklus jedesmal m i t einer g e n a u e n Erörterung über das W e s e n der Irrationalzahl, wie es s e i t d e m bis z u m Ü b e r d r u ß S i t t e g e w o r d e n ist. D i e a n a l y t i s c h e F u n k t i o n , wie sie Weierstraß definiert, k a n n unter U m s t ä n d e n , wie wir schon oben b e m e r k t e n , „natürliche Grenzen" h a b e n . D i e s e natürlicheu Grenzen sind, je n a c h d e m speziehen Fall w e c h s e l n d , e n t w e d e r ganze K u r v e n oder isolierte P u n k t e („wesentlich singulare" P u n k t e ) . R i e m a n n schloß bei seinen B e t r a c h t u n g e n das Auf­ treten natürlicher Grenzen aus. Weierstraß d a g e g e n wird durch seine s y s t e m a t i s c h e D e n k w e i s e gerade darauf g e f ü h l t , das Verhalten der ana­ l y t i s c h e n F u n k t i o n in der N ä h e ihrer natürlichen Grenzen genauer ins A u g e z u fassen. D e r einfachste F a h , auf den Weierstraß' A u s g a n g s p u n k t ohne weiteres hinführt, ist folgender: D i e F u n k t i o n sei durch eine in der g a n z e n E b e n e konvergente Potenzreihe gegeben: G{z) = ^{z-a). D a s ist Weierstraß' ganze F u n k t i o n , die, w e n n sie keine rationale ganze (s. S. 78) F u n k t i o n , also n a c h endlich vielen Gliedern abbrechend ist, bei Z = QO einen wesentlich singulären P u n k t b e s i t z t , der als solcher nicht mehr z u m Gebilde rechnet. I n d e m W e i e r s t r a ß seine ganzen F u n k t i o n e n — den N a m e n h a t er übrigens selbst erfunden — in der U m g e b u n g v o n ζ = oo u n t e r s u c h t , g e l a n g t er z u d e m w i c h t i g e n Satz, der später durch den Picardschen Satz ergänzt w w d e : Jede ganze F u n k t i o n , die sich nicht auf eine K o n s t a n t e reduziert, k o m m t in der U m g e b u n g v o n ζ = oc jedem v o r g e g e b e n e n W e r t u n ­ endlich oft beliebig n a h e . (Ein Satz, der sich übrigens schon bei C a s o ­ r a t i findet.)

Weierstraß' Funktionentheorie. Diese U n t e r s u c h u n g e n v o n Weierstraß über ganze F u n k t i o n e n sind 1876 veröffenthcht^), gehören aber sicherhch einer viel früheren Periode seiner Forschung an. U n t e r anderem h a t sich Weierstraß dort m i t einer Darstellung v o n G (z) durch seine Nullstellen, d. h. m i t der P r o d u k t e n t w i c k l u n g v o n G (z) lebhaft beschäftigt. E r s e t z t G (z) in die Gestalt

w o der E x p o n e n t i a l f a k t o r als konvergenzerzeugendes Ghed hinzu­ gefügt werden m u ß . D i e einzelnen F a k t o r e n {z — o:.)^^'^^^ h e i ß e n bei Weierstraß „ P r i m f a k t o r e n " v o n G (z). D a m i t h a b e n wir zwei S p e z i m i n a der Weierstraßschen I n t e i e s s e n richtung: D a s ist einmal die Zerlegung der F u n k t i o n e n in ,,Prim­ faktoren", d a n n die T e n d e n z , an die natürlichen Grenzen heranzugehen. Hier m ö c h t e ich zweierlei allgemeinere B e m e r k u n g e n anknüpfen. Z u n ä c h s t : Weierstraß h a t trotz staunenswerter Vielseitigkeit niemals eigentlich zahlentheoretische U n t e r s u c h u n g e n angestellt. D i e Zahlen­ theorie ist ja überhaupt d a d u r c h merkwürdig, d a ß zu ihr, je n a c h d e m Geschmack der einzelnen Mathematiker, ganz verschieden Stellung g e n o m m e n wird. D e n einen n i m m t sie v o h k o m m e n gefangen, er beruft sich darauf, d a ß auch G a u ß in ihr die K ö n i g i n der M a t h e m a t i k sieht, andere d a g e g e n gehen v o h k o m m e n interesselos an ihr vorüber, wie die h e u t i g e n Franzosen. D e r Grund für die wechselnde Stellung zur Zahlen­ theorie nicht nur bei d e n verschiedenen Menschen, sondern auch in d e n verschiedenen E p o c h e n der M a t h e m a t i k m a g darin liegen, d a ß sie vielfach m i t ganz anderen Methoden arbeitet, wie alle übrigen Zweige unserer Wissenschaft, u n d d a ß ein Mensch m e i s t nur e i n W e r k z e u g richtig u n d m i t befriedigendem Erfolg zu h a n d h a b e n v e r s t e h t . — Trotz seiner sichthchen Gleichgültigkeit gegenüber der Zahlentheorie als selb­ ständiger m a t h e m a t i s c h e r Disziplin h a t Weierstraß, wie gesagt, s t e t s den Satz v o n der Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren, die bis auf E i n h e i t e n eindeutig b e s t i m m t ist, im A u g e b e h a l t e n . E s h a t i h m als funktionentheoretisches Ideal vorgeschwebt, ein Analogon dafür z u schaffen. W i e i h m das i m Gebiete seiner ganzen F u n k t i o n e n gelungen ist, sahen wir bereits. Ich m ö c h t e h i n z u s e t z e n , d a ß er auch in seiner Lehre v o n d e n m e h r d e u t i g e n algebraischen F u n k t i o n e n u n d deren Integralen dieselbe Frage aufgeroüt u n d verfolgt h a t . Zweitens m ö c h t e ich auf die Quellen eingehen, v o n d e n e n aus Weierstraß z u seinen P r o b l e m e n geführt worden ist. Ist es d o c h immer interessant u n d fördernd, w e n n es uns gelingt, einen E i n b l i c k in die W e r k s t a t t eines großen Meisters z u gewinnen, in der wir die K u n s t w e r k e seiner Schöpfung e n t s t e h e n u n d wachsen sehen. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, Berl. Abh 1876 = Ges. Werke, Bd. 2, S. 77if.

VI. Riemann und Weierstraß. I c h fmde zwei solcher Quellen: e i n m a l das historisch Ü b e r k o m m e n e ; als B e l e g dafür n e h m e n wir g a n z a h g e m e i n Weierstraß' B e s c h ä f t i g u n g m i t d e m P r o b l e m der Abelschen F u n k t i o n e n , w i e es v o n J a c o b i for­ muliert war. D a n n , als zweite Quehe, sein s y s t e m a t i s c h e r Gedanken­ aufbau, der i h n z w a n g , angefangene S t u d i e n bis z u e i n e m Grade der V o h e n d u n g weiterzuführen, w i e er der Leistungsfähigkeit der zur Ver­ fügung s t e h e n d e n Mittel entspricht. E i n dritter A u s g a n g s p u n k t , d e n m a n n a c h d e m Vorgange R i e m a n n s in den A n w e n d u n g e n s u c h e n m ö c h t e , fällt bei Weierstraß v o l l k o m m e n fort. E i n vierter A u s g a n g s p u n k t , d e n m a n bei produzierenden Mathe­ m a t i k e r n findet, wäre irgendein philosophisch-logisches P o s t u l a t , also z. B . das e b e n berührte v o n Kronecker, nur m i t g a n z e n Zahlen z u operieren, ü b e r h a u p t nur solche B e t r a c h t u n g e n g e l t e n zu lassen, die eine endliche A n z a h l v o n Schritten implizieren. A u c h dieser A u s g a n g s ­ p u n k t scheint bei Weierstraß z u fehlen, w e n n m a n n i c h t den Grundsatz: Algebraica algebraice d a h i n rechnen w i h . Weierstraß' Theorie der g a n z e n F u n k t i o n e n u n d ihre Produktzer­ legung, die ich in ihren e l e m e n t a r s t e n Grundzügen darlegte, findet ihre g l ä n z e n d s t e A n w e n d u n g in seiner Theorie der elliptischen Funktionen b e i m A u f b a u der S t a m m f u n k t i o n a{u)\ v e r m u t l i c h ist der historische Z u s a m m e n h a n g sogar so, d a ß die Theorie der g a n z e n F u n k t i o n e n ihren U r s p r u n g h a t in der der ehiptischen. E s erübrigt sich für mich, auf die hier in B e t r a c h t k o m m e n d e Theorie der elliptischen F u n k t i o n e n , die ich übrigens i m ersten K a p i t e l schon streifte, ausführlich e i n z u g e h e n ; ich werde m i c h darauf beschränken, allerlei Ausführungen, insbesondere auch historischer N a t u r daran zu knüpfen. I c h h a b e bereits (S. 42) die P r o d u k t d a r s t e l l u n g v o n σ a n g e g e b e n : a ( . I « > „ «>,) = ηΠ'

(i -

; ^ ; ^ ; ^ ) . ^ ^ ^ ^ - " ^

^^:^5^.

D a r i n fehlt nur die bei Weierstraß untrennbar m i t d e n Perioden ver­ b u n d e n e Zahl 2. I c h h a b e m i c h aber i m Laufe meiner Arbeiten g e w ö h n t , a n s t a t t der Weierstraßschen Perioden 2 ω ' ' , 2ω' nur ω^, z u schreibeni). D a m i t n e h m e ich der Zahl 2 die historisch ü b e r k o m m e n e B e v o r z u g u n g , erreiche dafür aber eine größere S y m m e t r i e , w e n n ich, w a s in meiner Fortführung der Theorie vielfach n ö t i g war, die Perioden durch irgend e m e Zahl 3 , 4, . . ., w teile. E s ergab sich n ä m l i c h e m übersichtliches Einteilungsprinzip der verschiedenen A r t e n elhptischer F u n k t i o n e n , w e n n m a n sie hinsichtlich ihres Verhaltens g e g e n ü b e r d e n linearen S u b s t i t u t i o n e n der P e r i o d e n :

1) Weierstraß schreibt dann noch

= ω', ω., = — (ω' -f- ω"),

= ω".

Elliptische Funktionen.

289

w o die α. β, γ, δ ganze Zahlen sind u n d

gilt, betrachtet. D a s F u n k t i o n e n invariant s t i t u t i o n e n , so heißen Teilschar, n ä m h c h bei

ist die sog. Stufentheorie (1879) . Bleiben die gegenüber allen o b e n g e n a n n t e n linearen S u b ­ sie erster S t u f e ; ändern sie sich nicht bei einei d e n linearen S u b s t i t u t i o n e n , für die gut

bzw.

so n e n n e ich sie b z w . zweiter, . . ., n-ter Stufe. D a s W e s e n t l i c h e k a n n m a n dann so z u s a m m e n f a s s e n : D i e Weier­ straßschen F u n k t i o n e n ο [u), φ [u), φ' {u), gc^, g^ sind F u n k t i o n e n erster Stufe, w ä h r e n d die J a c o b i s c h e n sn u, cn u, dn u, der z w e i t e n b z w . vierten angehören. E s k a n n aber unter U m s t ä n d e n sehr vorteilhaft sein, auch F u n k t i o n e n höherer Stufe heranzuziehen. Weierstraß h a t sich m i t den F u n k t i o n e n zweiter Stufe ebenfalls viel beschäftigt u n d d a ­ nach gestrebt, ihnen eine s y m m e t r i s c h e F o r m zu g e b e n . D a s erreicht er durch Einführung der drei N e b e n - σ : o^{u),02{u),a^ [u), die v o n den h a l b e n Perioden a b h ä n g e n . Hierzu führt er zunächst durch die Gleichungen

drei K o n s t a n t e n e^, e^, e^ ein, die sich eben als F u n k t i o n e n zweiter Stufe erweisen u n d übrigens der I d e n t i t ä t p'2_4p3 _

_

_ 4(^^ _

_

_

genügen. Mit ihrer Hilfe drücken sich die σ, (^ = I, 2, 3) folgendermaßen

w o b e i das Vorzeichen der W u r z e l so zu w ä h l e n ist, daß endlich bleibt.

A u c h die F u n k t i o n e n ^ sind zweiter Stufe u n d treten

zweckmäßigerweise an die Stelle der Jacobischen sn, cn,

dn.

Mit diesen kurzen A n d e u t u n g e n m ö c h t e ich m e i n e Ausführungen über Weierstraß' Theorie der k o m p l e x e n F u n k t i o n e n beschließen u n d nur n o c h einiges Historische anführen, w a s m a n jetzt leicht z u s a m m e n 1) Vgl. K l e i n : Ges. Abh, Bd. 3, S. 169ff.

Klein, Entwicklung der Mathematik.

19

290

VI. Riemann und Weierstraß.

findet, n a c h d e m in der E n z y k l o p ä d i e das ausgezeichnete Referat (II B 3) v o n F r i c k e „Elliptische F u n k t i o n e n " vorliegt. W e n n wir d a n a c h forschen, woher W e i e r s t r a ß die Anregung zur D a r s t e l l u n g seiner F u n k t i o n e n durch unendliche P r o d u k t e g e n o m m e n h a t , so finden wir als Hauptvorläufer E i s e n s t e i n , jenen so b e g a b t e n , aber früh verstorbenen Mathematiker, den ich s c h o n öfter erwähnte. Er h a t in Crelle, B d . 35, 1847 eine A b h a n d l u n g veröffentlicht des T i t e l s : „Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Funktionen als Quotienten zusammengesetzt sind" D a r i n dringt er zwar noch nicht zur v o l l k o m m e n s y m m e t r i s c h e n Normalform, der Standardform, d e m H a u p t s i g m a vor, d e n n er h a t den E x p o n e n t i a l f a k t o r b e i m einzelnen Primfaktor noch nicht. Aber er sieht, d a ß d a s P r o d u k t

nur b e d i n g t konvergiert, d. h. d a ß sein W e r t v o n der Reihenfolge der F a k t o r e n a b h ä n g t , b e s t i m m t die Art dieser Vieldeutigkeit u n d gelangt v o n hier aus v o ü s t ä n d i g zu den F u n k t i o n e n φ (u), φ' (u), g^, g^ u n d der zwischen ihnen b e s t e h e n d e n R e l a t i o n . E i s e n s t e i n fehlt also der m i t d e m einzelnen F a k t o r des P r o d u k t e s bei W e i e r s t r a ß untrennbar ver­ schmolzene Exponentialfaktor

durch dessen E i n f ü h r u n g die absolute K o n v e r g e n z des P r o d u k t e s e r z w u n g e n wird. Weierstraß h a t , w i e er selbst angibt, diese Idee v o n G a u ß , der bei der P r o d u k t e n t w i c k l u n g der G a m m a - F u n k t i o n 1812 (hypergeometrische R e i h e , Werke, B d . 3 , S. 145) in ähnhcher W e i s e vorgeht. D u r c h diese B e z u g n a h m e auf E i s e n s t e i n darf m a n sich j e d o c h n i c h t verleiten lassen, die Größe der Weierstraßschen Arbeit zu unter­ s c h ä t z e n . E s bleibt i m m e r eine h o h e Leistung, aus aüen E i n z e l h e i t e n ü b e r k o m m e n e r Forschungsresultate eine einheitliche Theorie z u s a m m e n ­ z u s c h w e i ß e n . U n d Weierstraß' L e i s t u n g ist u m so höher zu bewerter.', w e n n m a n b e d e n k t , wie a u t o r i t a t i v die J a c o b i s c h e Theorie, die WeierStraß d e n n o c h nach seinen n e u e n G e s i c h t s p u n k t e n u m z u g e s t a l t e n w a g t e , auf den G e m ü t e r n lastete. N u n will ich einiges v o n der Verbreitung u n d W i r k u n g der Weier­ straßschen F u n k t i o n e n t h e o r i e erzählen. W i e wir schon s a h e n , w u r d e n Weierstraß' Ideen z u n ä c h s t durch die nachgeschriebenen u n d abgeschriebenen Kolleghefte seiner Hörer einer größeren, aber i m m e r h i n noch recht b e s c h r ä n k t e n Öffentlichkeit zu­ gänglich. Erst ganz a l l m ä h h c h e n t s t e h e n Lehrbücher, die aber nur

Verbreitung der Weierstraßschen Theorie.

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z. T. v o n u n m i t t e l b a r e n , insbesondere d e u t s c h e n Schülern v o n Weier­ straß verfaßt wurden. D a s erklärt sich so, d a ß Weierstraß' u n m i t t e l ­ barer Unterricht die S p o n t a n i t ä t der Hörer zu sehr unterdrückte u n d in der T a t nur für den v o l l verständlich war, der schon anderweitig m i t d e m Stoff sich vertraut g e m a c h t h a t t e . D i e größeren Werke sind v o n Ausländern geschrieben oder geradezu i m A u s l a n d erschienen. D i e ­ selbe, auf den ersten B h c k befremdhche T a t s a c h e werden wir auch finden, w e n n wir u n s m i t der Weiterbildung der v o n Weierstraß begrün­ d e t e n Theorie beschäftigen. Ich will also zunächst die Lehrbücher n e n n e n , die eng an Weier­ straß anschließen u n d seine Ergebnisse h a b e n verbreiten helfen. a) Grundlagen. W o h l d a s erste aher Lehrbücher s t a m m t v o n m e i n e m Freunde S t o l z (Innsbruck): „Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. N a c h den neueren A n s i c h t e n b e a r b e i t e t " (1885/86). E s ist ein B u c h , d a ß sich durch große Gewissenhaftigkeit in der Darstellung auszeichnet u n d in ganz Weierstraßischer Art auf die E l e m e n t e eingeht. b) Allgemeine F u n k t i o n e n t h e o r i e . 1887 erscheint B i e r m a n n (Österreicher): ,,Theorie der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n " ; es ist nicht u n b e d i n g t zu empfehlen, da es n i c h t g a n z zuverlässig ist. F o r s y t h : „ T h e o r y of Functions of a C o m p l e x Variable" (Cam­ bridge, 1893). H a r k n e s s - M o r l e y : „ A Treatise on t h e T h e o r y of F u n c t i o n s " ( N e w York, 1893). D i e beiden Autoren sind englischer resp. amerika­ nischer Herkunft. B e i d e Länder sind, n a c h d e m die Tradition der eigenen Mathematik, wie sie Cayley (gest. 1895) u n d S y l v e s t e r (gest. 1897) vertraten, verblaßt war, für reine M a t h e m a t i k besonders a u f n a h m e ­ fähig. So greifen sie Weierstraß' Ideen s c h n e h u n d begierig auf. c) Elliptische F u n k t i o n e n . Voran s t e h t 1885, H . A . S c h w a r z : „ F o r m e l n u n d Lehrsätze z u m Gebrauch der elliptischen F u n k t i o n e n " (kein eigentliches Lehrbuch). I m übrigen shid wieder nur ausländische, u n d zwar diesmal fran­ zösische Werke zu n e n n e n : 1886/88, H a l p h e n : „Traite des fonctions elliptiques et de leurs applications." I n zweieinhalb B ä n d e n , elementar b e g i n n e n d , b a l d aber zu n e u e n U n t e r s u c h u n g e n aufsteigend, die durch den T o d des Verfassers u n t e r b r o c h e n wurden. 1893, T a n n e r y - M o l k : „ E l e m e n t s de Ia theorie des fonctions ellip­ t i q u e s . " In vier B ä n d e n , sehr ausführlich, das t y p i s c h e Lehrbuch. A u c h in Paris war seit Cauchys T o d 1857 die funktionentheoretische P r o d u k t i v i t ä t abgeflaut. Zwar h a t t e H e r m i t e — g e b . 1822, gest. 1901 — v o m E n d e der 4 0 e r Jahre an die Cauchysche Tradition h o c h g e h a l t e n . 19*

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VI. Riemann und Weierstraß.

Aber H e r m i t e , ein so ausgezeichneter Mathematiker er war, b e s a ß nicht die S e l b s t ä n d i g k e i t einer Führernatur, u m eine eigene Schule zu gründen u n d zu h a l t e n . Sein Anlehnungsbedürfnis z w i n g t ihn d a z u , in enge F ü h l u n g m i t J a c o b i u n d später mit R i e m a n n u n d Weierstraß zu treten. H e r m i t e war überhaupt eine sehr merkwürdige m a t h e ­ m a t i s c h e Persönlichkeit, v o n der wir in der Folge n o c h vielfach sprechen werden. Wir v e r d a n k e n i h m wichtigste, b a h n b r e c h e n d e E n t d e c k u n g e n ; u n d d o c h finden sich in seinen s y s t e m a t i s c h e n D a r l e g u n g e n Stellen, die eine volle Klarheit vermissen lassen. U m nur ein Beispiel zu n e n n e n : was ist in seinen autographierten Vorlesungen über F u n k t i o n e n t h e o r i e , die früher sehr verbreitet waren, wie alle A u t o g r a p h i e n seiner cours a n der Sorbonne, ,,coupure" ? E s ist n i c h t festzustellen, ob diese Über­ s e t z u n g des R i e m a n n s c h e n , , S c h n i t t e s " die in der N a t u r d e s P r o b l e m s liegende natürliche Grenze, oder ob sie nur ein Verzweigungsschnitt, also e t w a s mehr oder weniger Willkürliches sein soll. T a t s ä c h l i c h ist H e r m i t e durch seine große persönhche L i e b e n s ­ würdigkeit, durch sein b e w u ß t e s Streben, die M a t h e m a t i k über die Reibereien der Parteien, über jeden einseitigen N a t i o n a l i s m u s , wie er in der jüngeren Generation in Frankreich zu w a c h s e n b e g a n n , heraus­ z u h e b e n u n d durch seine ausführliche Korrespondenz Jahrzehnte lang ein wesentlicher M i t t e l p u n k t der g e s a m t e n M a t h e m a t i k gewesen. Einer kraftvollen Einseitigkeit aber, wie sie der Gründer einer n e u e n m a t h e ­ m a t i s c h e n R i c h t u n g b e s i t z e n m u ß , war H e r m i t e nicht fähig. Erst seine Schüler n e h m e n v o n 1880 an die d e u t s c h e F u n k t i o n e n ­ theorie vollständig auf u n d bringen die n e u e B l ü t e der französischen M a t h e m a t i k h e r v o r ; hierher gehören N a m e n wie P i c a r d , P o i n c a r e u. a. m. V o n Poincare rührt d e n n a u c h der e i n g e h e n d s t e u n d in der T a t sehr interessante Bericht über Weierstraß' wissenschaftliche B e ­ d e u t u n g her, d e n wir bislang b e s i t z e n (Acta m a t h e m a t i c a B d . 22). Zurückkehrend wäre in der Liste der Lehrbücher noch a n z u f ü h r e n : d) Abelsche F u n k t i o n e n . 1894, B a k e r (Cambridge): „Abel's T h e o r e m a n d the allied theory", e b e n f a h s i m allgemeinen A n s c h l u ß a n die d e u t s c h e F u n k t i o n e n theorie. N u n k o m m e n wir d a z u , v o n der W e i t e r b i l d u n g der Weierstraßschen F u n k t i o n e n theorie zu sprechen. Z u n ä c h s t Weierstraß' allgemeine F u n k t i o n e n theorie. D a ist in D e u t s c h l a n d w o h l n a m e n t l i c h P r i n g s h e i m , g e b . 1850. seit 1877 in München, zu n e n n e n . Er ist a u s Koenigsbergers Heidelberger Schule zu Weierstraß h e r ü b e r g e k o m m e n u n d h a t v o n Weierstraß das strenge u n d fast a u s s c h h e ß h c h e Operieren m i t P o t e n z r e i h e n über­ n o m m e n , das ihn zu n e u e n R e s u l t a t e n geführt h a t . D a n n gehört hierher ein Mann, d e s s e n wirksamer internationaler A g i t a t i o n m a n w e i t g e h e n d die Verbreitung Weierstraßscher Ideen u n d Art v e r d a n k t ,

Weiterbildung der Weierstraßschen Theorie.

Sonja Kowalevsky.

293

M i t t a g - L e f f l e r , geb. 1846 in Stockholm, seit 1881 an der dortigen Universität. Als Schüler v o n Weierstraß hat er insbesondere die Partialbruchzerlegung und v e r w a n d t e Darstellungen v o n F u n k t i o n e n bearbei­ tet. Gösta Mittag-Lefflei ist ein T y p u s für s i c h ; bei i h m tritt die eigent­ liche m a t h e m a t i s c h e P r o d u k t i v i t ä t zurück hinter der E n t f a l t u n g einer nach außen wirkenden Tätigkeit und dem Verlangen, andere durch mehr oder weniger äußerliche Anreize zur Produktion anzuregen. Er ist darin, wie im Privatleben, Großunternehmer. Aber er ist noch m e h r : er ist Hof m a n n u n d D i p l o m a t . Zwischen Paris und Berlin hin- und herreisend, m a c h t er sich H e r m i t e und Weierstraß gleich unentbehrhch und setzt die offizieUen B e z i e h u n g e n der Staaten für die V e i b r e i t u n g ihrer Ideen in B e w e g u n g . Er erkennt frühzeitig die außerordenthche B e d e u t u n g v o n P o i n c a r e , den er stark an sich fesselt und ganz für seine n e u e Zeitschrift, die Acta mathemattca, gegründet 1882, zu g e w i n n e n w e i ß . V o n Anfang an sichert er den A c t a , i n d e m er seine V e r b i n d u n g e n zur schwedischen D i p l o m a t i e geschickt und ausgiebig ausnutzt, die allgemeinste Verbreitung und erreicht es tatsächlich, d a ß die A c t a w o h l ­ b e k a n n t u n d überall v o r h a n d e n sind, zu einer Zeit, w o das ältere d e u t ­ sche U n t e r n e h m e n , die M a t h e m a t i s c h e n A n n a l e n , gegründet 1868, noch vielfach i m S c h a t t e n s t a n d e n . Auf d e m Gebiet der elliptischen F u n k t i o n e n h a t v o n Weierstraß' direkten Schülern w o h l a m m e i s t e n K i e p e r t (geb. 1846, seit 1879 in H a n n o v e r ) , u n d über Abelsche F u n k t i o n e n S c h o t t k y (geb. 1851, seit 1902 in Berlin) gearbeitet. Ich nenne nur diese beiden N a m e n ; aber Weierstraß h a t tatsächlich auf uns alle stark gewirkt, die wir, auf anderem B o d e n g e w a c h s e n , zu den elliptischen u n d v e r w a n d t e n F u n k t i o n e n k a m e n . Man denke da nur an M. N o e t h e r und mich selbst. Ich habe in meinen A r b e i t e n über hyperelliptische und Abelsche F u n k t i o n e n , Math. A n n . B d . 27 bis 361)"^ (1886—89) die Idee der σ s i n n g e m ä ß auf die höheren Fälle übertragen und insbesondere d e n Weierstraßschen Gedanken über die Zerlegung der algebraischen F u n k ­ tionen einer R i e m a n n s c h e n Fläche in Primfaktoren und E i n h e i t e n die meines E r a c h t e n s endgültige Ausprägung gegeben. D a v o n würde ich gern Näheres erzählen; doch scheint es im R a h m e n dieser Vorlesung ganz unmöglich 2). Zuletzt m ö c h t e ich Weierstraß' vielgenannter Schülerin S o n j a K o w a l e v s k y ein paar W o r t e w i d m e n . Sie ist 1850 in Moskau geboren und studiert — wir k ö n n e n nur ihre m a t h e m a t i s c h e n Schicksale verfolgen — zunächst als Privatschüler v o n 1) Ges. Abh. Bd. 3, Nr. X C V - X C V I I . ••^) Man vergl. auch die Enzyklopadieartikel II B 7. K r a z e r - W i r t i n g e r : Abelsche Funktionen und allgemeine Thetafunktionen und II C 4, B i e b e r b a c h : Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen.

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VI. Riemann und Weierstraß

Koenigsberger in Heidelberg, d a n n e b e n s o bei Weierstraß in Berlin, d e m sie sehr n a h e trat. A n den offenthchen Vorlesungen k o n n t e sie aber nicht t e i l n e h m e n , weil die A n w e s e n h e i t v o n H o s p i t a n t i n n e n d a m a l s n o c h n i c h t erlaubt war. 1874 wird sie auf E m p f e h l u n g v o n Weierstraß in G ö t t i n g e n in absentia promoviert auf Grund ihrer Arbeit über lineare partiehe Differentialgleichungen: Crelle, B d . 8 0 ; sie k o m m t da zu d e m R e s u l t a t , d a ß eine lineare partielle Differentialgleichung m i t a n a l y ­ tischen Koeffizienten a n a l y t i s c h e L ö s u n g e n h a t , eine Ausführung der Ideen, die Weierstraß in einer Jugendarbeit, w e l c h e jetzt in B d . 1 der W e r k e veröffentlicht ist, niedergelegt hat^). 1883 wird sie auf B e ­ treiben v o n Mittag-Leffler P r i v a t d o z e n t , 1884 Professor an der v o n Mittag-Leffler geleiteten P r i v a t u n i v e r s i t ä t in S t o c k h o l m . S e i t d e m ist sie eine internationale B e r ü h m t h e i t , die 1889, e b e n f a h s durch Ver­ w e n d u n g v o n Mittag Leff 1er, für ihre U n t e r s u c h u n g über die R o t a t i o n des s c h w e r e n u n s y m m e t r i s c h e n Kreisels den großen Preis der Pariser A k a d e m i e e r h i e k . Sie s t a r b 1891 in S t o c k h o l m . I h r e m W e s e n n a c h ist sie durch ihre m a t h e m a t i s c h e n A r b e i t e n k e i n e s w e g s erschöpfend charakterisiert. Vielmehr schrieb sie u. a. R o ­ m a n e u n d erlebte s i e ; sie s t a n d schließlich i m M i t t e l p u n k t e d e s Inter­ esses der Frauenemanzipation^). E s ist d e s h a l b sehr schwer, ein klares Urteil über ihre wissenschaftliche P e r s ö n h c h k e i t z u g e w i n n e n . Auf der einen Seite s t e h e n die E n t h u s i a s t e n , die ihre H e l d i n r ü h m e n u n d p r e i s e n , auf der anderen Seite die Zweifler, die eher g e n e i g t sind, ihr L e b e n u n d ihre A r b e i t e n z u verurteilen. Sicherheiten b i e t e t uns keine der b e i d e n P a r t e i e n , d e n n wir wissen ja alle, wie sehr R e k l a m e u n d zu großes L o b u n d wieder zu herber T a d e l d a s w a h r e B i l d eines Menschen verzerren. V i e h e i c h t ist a m w e r t v o l l s t e n der Nachruf, den ihr Mittag-Leffler in d e n A c t a m a t h . , B d . 16, g e w i d m e t h a t . Wir k ö n n e n u n s hier n a t ü r h c h nur mit e i n e m kleinen B r u c h s t ü c k ihrer Lebensschicksale, u n d m i t diesen nur in aller K ü r z e befassen. E s h a n d e l t sich für uns u m die B e d e u t u n g ihrer m a t h e m a t i s c h e n Arbeiten. D a s erste, w a s u n s auffäUt, ist, d a ß ihre Arbeiten in enger A n l e h n u n g u n d g a n z i m Stil v o n W e i e r s t r a ß geschrieben sind, so d a ß m a n nicht sieht, w i e w e i t sie u n a b h ä n g i g e , e i g e n e G e d a n k e n enthalten^). Auch 1) Dies ist nicht das erste Mal, daß eine Frau in Gottingen den Doktortitel erwarb; 100 Jahre vorher promovierte Dorothea Schlozer mit einer Arbeit über russische Finanzwirtschaft, betitelt De re metallica im Alter von 17 Jahren. — I n dem Diplom der D. Schlozer finde ich die schöne Bezeichnung virgo erudita, die später leider durch das unsinnige domina doctissima abgelost wurde. 2) Über ihr Leben vgl. die in Reclams Universalbibliothek erschienene Bio­ graphie von A. Ch. Leffler, der Schwester Mittag-Lefflers. 3) Die Briefe, welche Weierstraß anläßhch des Promotionsgesuches an die Göttinger Fakultät schickte, und in denen er sich naher tiber ihre damaligen mathematischen Leistungen äußerte, sind neuerdings von Wentscher und Schle­ singer in Bd. 18 der Jahresberichte der D. M. V. (1909, S. 89ff., S. 93ff.) abge­ druckt worden.

Sonja Kowalevsky.

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sind Zweifel an der Zuverlässigkeit ihrer späteren R e s u l t a t e geäußert w o r d e n ; vgl. Volterras Kritik der Arbeit über doppelt brechende Kri­ stalle, ihrer Habilitationsschrift (veröffentlicht A c t a m a t h . , B d . 6, 1883), w o ihr ein prinzipieller Fehler n a c h g e w i e s e n wird^); ebenso ist m a n m i t der Arbeit über die R o t a t i o n nicht durchweg zufrieden. W i e d e m auch sei, eins ist sicher: Sonja K o w a l e v s k y v e r b a n d m i t e i n e m g l ü h e n d e n Interesse für die M a t h e m a t i k eine große Auffassungs­ gabe u n d ebensolches A n p a s s u n g s v e r m ö g e n . E s ist zu b e w u n d e r n , d a ß sie trotz ihrer vielen Interessen auf andersgearteten Gebieten u n d trotz ihres wechselvollen Lebens so viel in der M a t h e m a t i k geleistet h a t . U n d jedenfalls k ö n n e n wir ihr dafür dankbar sein, daß sie es v e r m o c h t hat, Weierstraß aus seiner Verschlossenheit, die er g e g e n j e d e r m a n n sonst in menschlichen D i n g e n zeigte, herauszulocken u n d d a ß u n s der Lehrer i m Briefwechsel mit seiner vertrauten Schülerin persönlich nähertritt. N a c h diesem singulären FaU ist das F r a u e n s t u d i u m der M a t h e m a t i k bei uns in D e u t s c h l a n d in sehr viel klarere B a h n e n gelenkt worden, seit v o n Herbst 1893 an die preußische Regierung, zunächst in Göt­ tingen, H o s p i t a n t i n n e n zuließ. D i e erste D o k t o r i n der M a t h e m a t i k auf Grund regulären E x a m e n s 1895 war Grace Chisholm, jetzige F r a u Y o u n g . So h a b e n wir mit der D a r l e g u n g der Theorie der k o m p l e x e n F u n k ­ tionen bei R i e m a n n u n d Weierstraß und deren W e i t e r b i l d u n g einen A b s c h l u ß erreicht. I m übrigen wollen wir den l e t z t e n B e m e r k u n g e n e n t n e h m e n , wie die M a t h e m a t i k in alle Probleme der m o d e r n e n K u l t u r ­ e n t w i c k l u n g hineingezogen wird. Wir hier in G ö t t i n g e n sträuben u n s nicht g e g e n das Moderne, aber wir wollen unseren S c h w e r p u n k t in unserer eigenen Arbeit h a b e n u n d festhalten.

Siebentes

Kapitel.

Vertiefte E i n s i c h t in d a s W e s e n algebraischen Gebilde.

der

Weiterführung der algebraischen Geometrie. In den K a p i t e l n 3 u n d 4 h a b e n wir besprochen, wie sich die Lehre v o n den algebraischen K u r v e n u n d F l ä c h e n usw. auf d e m B o d e n der projektiven A n s c h a u u n g e n m a c h t v o ü e n t w i c k e l t e . U m bei d e m E i n ­ facheren, den K u r v e n , z u n ä c h s t zu bleiben, w i ü ich nur zwei Stichworte nennen: S c h n i t t p u n k t s ä t z e und B e r ü h r u n g s k u r v e m Denken wir an den einfachsten FaU, auf den ich i m m e r gern zurückgreife, u n d den ich s c h o n d a m a l s streifte, den der ebenen C3. Wir h a t t e n die S ä t z e : 1) Acta math.. Bd. 16 (1892/93). S. 153 ff.

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VII. Die algebraischen Gebilde. a) Alle Cg durch acht P u n k t e schneiden sich n o c h in einem n e u n t e n .

b) E i n e ebene Cg h a t n e u n W e n d e p u n k t e , die eine merkwürdige Konfiguration ergeben, i n d e m sie zu je dreien auf einer Geraden, einer sog. Wendelinie, hegen, v o n denen es also zwöH gibt. A u c h v o n den 28 D o p p e h a n g e n t e n der C4 war schon beiläufig die Rede. — N u n erscheint 1857 R i e m a n n s große A b h a n d l u n g über die Theorie der Aheischen Funktionen. Er k o m m t v o n einer ganz anderen Seite zu den F r a g e s t e h u n g e n , die die Geometer der v o r a n g e h e n d e n E p o c h e durch m ü h s a m e U n t e r s u c h u n g e n bewältigt h a t t e n , und damit erhält durch ihn die ü b e r k o m m e n e B e t r a c h t u n g einen n e u e n u n d weittragenden Gedankeninhalt. W e n n er n ä m l i c h algebraische Gleichungen

untersucht, behandelt er tatsächlich ebene algebraische K u r v e n ; denn m a n k a n n doch ζ u n d ζ e t w a als rechtwinklige Koordinaten deuten. Schon vor R i e m a n n war geläufig, d e m ζ u n d ζ dabei k o m p l e x e W e r t e zu erteilen. Aber n e u k o m m t durch ihn hin2!u: 1. Die B e t r a c h t u n g der zur , , K u r v e " gehörigen ^^/scAm Integrale JR {ζ, ζ) dz, w o b e i sich engste B e z i e h u n g zwischen d e m ,,Abelschen T h e o r e m " und den Schnitt­ p u n k t s ä t z e n , sowie v e r m ö g e der Periodizität der Abelschen Integrale, zur Theorie der Berührungskurven ergibt; 2. D i e Idee der ,,birationalen Transformationen", w o n a c h m a n solche K u r v e n F(Cz)=O und (il' ^1) = ^ z u s a m m e n f a ß t , bei denen sich ζ u n d ζ durch u n d z^ u n d u m g e k e h r t Ci u n d z^ durch ζ u n d ζ rational ausdrücken lassen. — Wir werden das bald näher erläutern; vorher m ö c h t e ich wieder einige historisch-persönliche Ausführungen einschalten. R i e m a n n h a t die B e d e u t u n g seiner Theorien für die algebraische Geometrie v o n A n f a n g an sehr wohl erkannt. Aber er h a t nur einen der niedersten Fälle, die Theorie der ebenen C4 in seinen Vorlesungen eingehender behandelt. D i e s ist erst sehr viel später aus nachgeschrie­ b e n e n Vorlesungsheften b e k a n n t geworden. E s bedurfte einer viel mehr n a c h außen wirkenden N a t u r , u m die Bearbeitung der Problemsteilung auf breiter Grundlage in Gang zu bringen u n d in weite Kreise zu tragen. D e r Mann, der das geleistet h a t , ist C l e b s c h . Er ist 1833 in Königsberg geboren u n d in der dortigen m a t h e m a t i s c h e n Schule aufgewachsen. Jacobi h a t er nicht m e h r gehört, sich aber u m so enger an Jacobis Schüler, H e s s e , angeschlossen. D a n e b e n studiert er eifrig bei Franz N e u m a n n , dessen Anregung auf m a t h e m a t i s c h - p h y s i ­ kalischem Gebiet ihn zuerst zur Produktion anregt. D a s zeigt seine Theorie der Elastizität fester Körper, erschienen 1862, während seiner W i r k s a m k e i t an der Karlsruher p o l y t e c h n i s c h e n Schule, w o Clebsch v o n 1 8 5 8 — 6 3 , also v o n seinem 2 5 . — 3 0 . Lebensjahr lehrte. J e d o c h s c h o n bald m a c h t sich bei i h m ein U m s c h w u n g z u g u n s t e n der reinen

Riemann.

Clebsch.

M a t h e m a t i k g e h e n d . Er w e n d e t sich der algebraischen Geometrie zu u n d verbindet auf diesem Gebiete Jacobische u n d Steinersche Tradition mit d e m S t u d i u m der d a m a l s neueren Arbeiten des englischen Drei­ gestirns Cayley, Sylvester, S a l m o n . D a z u k o m m t nun der m ä c h t i g e I m p u l s durch R i e m a n n . So e t w a läßt sich der wissenschaftliche Cha­ rakter v o n Clebschs Gießener Zeit 1 8 6 3 — 6 8 u n d der kurzen noch folgen­ den Jahre 1 8 6 8 — 7 2 in G ö t t i n g e n kennzeichnen, w o er 1872 als Rektor der Georgia A u g u s t a g a n z plötzlich im Alter v o n nur 39 Jahren an Diphtherie starb. Eröffnet wird die R e i h e seiner Arbeiten auf d e m in R e d e s t e h e n d e n Gebiet durch die Aufsehen erregende A b h a n d l u n g in Crelle, B d . 63 ( 1 8 6 3 — 6 4 ) : Über die Anwendung der Abelschen Funktionen in der Geo­ metrie, Wir wollen das Nähere sogleich an einigen einfachen Beispielen erläutern. Vorweg aber m ö c h t e ich der energischen Art g e d e n k e n , mit der Clebsch seine Auffassungsweise weithin zur Geltung zu bringen w u ß t e . Clebsch war ähnlich wie Jacobi einer jener g o t t b e g n a d e t e n Lehrer, der junge T a l e n t e heranzuziehen u n d zu selbständigen Forschern zu m a c h e n v e r s t a n d . Man k a n n sein Lebenswerk nur d a n n richtig würdigen, w e n n m a n neben seinen eigenen Arbeiten diejenigen, die aus der ,,Clebsch'sehen Schule'' h e r v o r g e g a n g e n sind, in B e t r a c h t zieht. V o n seinen Schülern m ö c h t e ich nur die b e d e u t e n d s t e n n e n n e n , nämlich seinen Mitarbeiter G o r d a n , dessen wir noch besonders g e d e n k e n wer­ den, und v o r allen D i n g e n B r i l l u n d N o e t h e r . Schließlich gehöre a u c h ich selbst in g e w i s s e m Maße diesem Kreise an, w e n n ich auch erst v e r h ä l t n i s m ä ß i g spät, nämlich erst hier in G ö t t i n g e n , seine Anregungen a u f g e n o m m e n u n d verarbeitet h a b e , u m m i c h später mehr u n m i t t e l b a r an R i e m a n n anzuschließen. D a s W i c h t i g s t e in der W i r k s a m k e i t v o n Clebsch ist meiner Ansicht nach sein morahscher Einfluß gewesen, i n d e m er es n ä m h c h erreichte, uns neben tiefem wissenschaftlichem Interesse Vertrauen in die eigene Kraft einzuflößen. Darin w h k t er also ganz anders wie Weierstraß, dessen überragende B e d e u t u n g , wie schon wiederholt a n g e d e u t e t , seine Zuhörer eher niederdrückte als zu selbständigem Schaffen e r m u t i g t e . Besonders b e d e u t u n g s v o l l gerade für die jüngere Generation war die Gründung der Mathematischen Annalen durch C l e b s c h u n d C N e u m a n n im Jahre 1868, die das Organ der neuen Schule w u r d e n u n d die lebendige V e r b i n d u n g mit den Mathematikern gleicher R i c h t u n g , insbesondere auch des A u s ­ landes, hersteUten (vgl. d a z u den Aufsatz über Clebsch' wissenschaft­ liche Arbeiten in Math. A n n . , B d . 7 veröffentlicht v o n ,,einigen seiner F r e u n d e " ) . Als Clebsch 1872 so plötzlich starb, waren wir, die wir uns v o n i h m h a t t e n führen lassen, n a t u r g e m ä ß in starke persönliche Gegensätze mit e i n e m großen T e ü der übrigen M a t h e m a t i k e r verstrickt. D a s Mißtrauen g e g e n uns ging so weit, d a ß die M a t h e m a t i s c h e n Annalen, in d e n e n wir unsere Arbeiten zu veröffentlichen pflegten, in A c h t u n d

V I I . Die algebraischen Gebilde. B a n n g e t a n w u r d e n u n d i m I n l a n d e nur in e i n e m kleinen K i eise der e n g z u s a m m e n g e h ö r e n d e n Schüler u n d A n h ä n g e r v o n Clebsch g e h a l t e n w u r d e n . W i r h a b e n u n s i m m e r b e m ü h t , unseren wissenschaftlichen S t a n d p u n k t v o n vornherein oberhalb aller P a r t e i e n z u n e h m e n , u n d h a b e n s o den G e g e n s a t z allmählich ü b e r w u n d e n u n d die p o s i t i v e Seite v o n Clebsch' wissenschaftlichen A n r e g u n g e n z u allgemeiner G e l t u n g g e b r a c h t . D i e A n n a l e n aber sind infolge dieser H a l t u n g a l l m ä h l i c h die reichhaltigste m a t h e m a t i s c h e Zeitschrift g e w o r d e n ^). N u n aber m ö c h t e ich m i t den sachlichen Erörterungen b e g i n n e n in der F o r m eines e l e m e n t a r e n Beispiels, das die N e u h e i t u n d S c h ö n h e i t des Clebsch'schen G e d a n k e n g a n g e s zeigen soll u n d zugleich in einer m ö g l i c h s t b e q u e m z u g ä n g h c h e n Gestalt erscheint ^). I c h knüpfe z u n ä c h s t an eine ebene Kurve dritter Ordnung an. Hier ist die R i e m a n n s c h e Zahl (das „ G e s c h l e c h t " ) ^ = 1, u n d die zugehörigen A b e l s c h e n Integrale v e r w a n d e l n s i c h in elliptische, so d a ß wir auf e i n e m viel vertrauteren B o d e n s t e h e n . W i r wollen u n s der E i n f a c h h e i t h a l b e r die C3 so projiziert d e n k e n , d a ß ihre Gleichung in der W e i e r s t r a ß s c h e n N o r m a l f o r m erscheint (vgl. S. 4 1 ) : iy^=^o^-g.A^-g, oder, w e n n es so b e q u e m e r ist

U m d a s V e r h a l t e n der C3 i m U n e n d h c h e n zu u n t e r s u c h e n , h o m o g e n i ­ sieren wir ihre Gleichung. W i r setzen also

E s wird d a n n xlx,= ^xl-g,x,xl-g,xl F ü r Xz=^O wird x^^ = 0. Also ist die u n e n d h c h ferne Gerade ^^^3 = O eine W e n d e t a n g e n t e , die die C3 i m u n e n d l i c h fernen P u n k t e der ^ - A c h s e X^=O berührt. D i e ^;-Achse ist die zu d i e s e m W e n d e p u n k t e gehörige sog. „ h a r m o n i s c h e Polare". Auf ihr ist d a n n der N u l l p u n k t so g e w ä h l t , d a ß in d e m A u s d r u c k für d a s Glied m i t x^ fortfäht. D a m i t h a b e n wir die durch die besondere F o r m unserer Gleichung b e d i n g t e L a g e s p e z i a h sierung a u f g e d e c k t (vgl. F i g . 20) ^). E s ist n u n klar, d a ß wir v o n e i n e m zugehörigen „überall e n d l i c h e n elliptischen I n t e g r a l " 1) Vgl. die 1898 bezw. I92I ausgegebenen Generalregister der Bände 1 - 5 0 bezw. 51—80. 2) Bei Clebsch selbst und in seinen von Lindemann von 1875 beginnend heraus­ gegebenen Vorlesungen finden sich noch viele unnötige Zwischenrechnungen, die den Zusammenhang mit dem von Jacobi herrührenden Formelapparat herstellen. 3) Vgl. K l e i n : Vorlesungen über höhere Geometrie, 3. Aufl. BerUn 1926, S. I49fi.

Die ebene C^; Abelsches Theorem.

299

sprechen können, das längs der K u r v e , die für u n s der Inbegriff reeller u n d komplexer P u n k t e ist, die der K u r v e n g l e i c h u n g g e n ü g e n , hin­ erstreckt wird, u n d dessen untere Grenze, wie in der F o r m e l a n g e d e u t e t ist, i m unendlich fernen W e n d e p u n k t e a n g e n o m m e n sein m a g . D e m Wert des Integrals an der unteren Grenze entspricht d a n n u = 0. Integrieren wir den ganzen reehen K u r v e n z u g entlang, so erhalten wir die reelle Periode ω^. Vermehren wir Uq u m oder u m die imaginäre Periode oder allgemein u m ιη^ω^ + Μ^ω^ (Wj, ganze Zahlen), so entspricht diesen ä q u i v a l e n t e n P u n k t e n der ii-Ebene ein u n d derselbe K u r v e n p u n k t . U m g e k e h r t be­ s t i m m t jeder P u n k t der Cg unendlich viele Parameter­ werte Uq + - f Μ^ω^ der ii-Ebene. D i e ganze K u r v e wird also eineindeutig auf ein einzelnes Periodenparallelo­ gramm abgebüdet; hierin spiegelt sich deutlich, d a ß unser Integral „überah end­ lich" ist. D e n n sonst m ü ß t e sich das A b b ü d der K u r v e in der « - E b e n e ins U n e n d l i c h e ziehen. D a s sind alles nur Ü b e r s e t z u n g e n auch s o n s t geläufiger B e z e i c h ­ n u n g e n in die K u r v e n s p r a c h e . N u n aber k o m m t eine wesentliche Ge­ d a n k e n w e n d u n g . Wir fragen: W a n n liegen drei P u n k t e u^^^, u^^\ u^^^ der Cg auf einer geraden Linie ax + by + oder w a n n ist α φ[u) + b D a s Abelsche

Theorem

[ u ) c

c^O, =

0}

sagt, d a ß dies der F a h ist, w e n n *

^d) 4. ^(2) _|_ ^(3) ^ O (modd. ω^, ω.) ist. D a s ergibt sich f o l g e n d e r m a ß e n : Die lineare F u n k t i o n ax + by + c, welche u^^\ u^^K u^^> zu N u h p u n k t e n h a b e n soh, hat u=0

z u m drei­

fachen U n e n d l i c h k e i t s p u n k t ; die ^ i i ^ * ^ d i e zu den N u l l p u n k t e n

einer

doppelt periodischen F u n k t i o n gehört, ist aber zu der e n t s p r e c h e n d e n , z u den U n e n d l i c h k e i t s p u n k t e n der F u n k t i o n gehörigen S u m m e

nach

d e m A b e l s c h e n T h e o r e m m o d u l o d e n Perioden kongruent^). — i) Daß dies auch hinreichend ist, folgt aus der Darstellbarkeit einer elUptischen Funktion mit vorgeschriebenen Nullstellen und Polen durch Vgl. z. B. F r i c k e : Die Elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. Bd. 1, Abschn. I. Kap. 3, § 7 .

VII. Die algebraischen Gebilde. Genau so erhält m a n als B e d i n g u n g dafür, d a ß sechs P u n k t e der Cg auf e i n e m K e g e l s c h n i t t liegen, μ ^,(6) ^ O (modd. ω „ ω,)

^d) 4 -

Alle die Schlüsse über die B e r ü h r u n g s k u r v e n der e b e n e n C3, welche die Geometer m ü h s a m herleiten m u ß t e n , ergeben sich n u n v o n hier aus als fast triviale Folgerungen. Beispielsweise / Ί i -h die Theorie der Wendepunkte] Fallen die drei I i JJP u n k t e u^^\ u^^\ u^^^ in e i n e n P u n k t u zuI I j s a m m e n , wird also die Gerade zur W e n d e I I I I t a n g e n t e , so erhalten wir als charakteristische Fig. 21.

Gleichung Ξ O (modd. Ct

wo u n a b h ä n g i g v o n einander ein R e s t s y s t e m m o d . 3 durch­ laufen sollen. D a r a u s folgt u n m i t t e l b a r die E x i s t e n z v o n n e u n W e n d e ­ p u n k t e n , entsprechend

(vgl. F i g . 21). N u n k ö n n e n wir sofort a n g e b e n , w e l c h e drei W e n d e p u n k t e jedesmal auf einer Geraden liegen. S e h e n wir n ä m l i c h d a s S c h e m a für 0,2

0,0

0,1

1,0

1,1

1,2

2,0

2,1

2,2

der einfacheren Sprache w e g e n als D e t e r m i n a n t e an, so k ö n n e n wir s a g e n : Auf einer Geraden liegen die drei P u n k t e auf beliebiger Horizontalreihe, die drei P u n k t e auf beliebiger Vertikallinie, die drei P u n k t e , w e l c h e e i n e m beliebigen p o s i t i v e n D e t e r m i n a n t e n glied e n t s p r e c h e n (z. B . 0,1 1,2 2,0), die drei P u n k t e , welche e i n e m beliebigen n e g a t i v e n D e t e r m i n a n t e n ­ glied entsprechen, denn d a n n ist immer sowohl die S u m m e der wie die der durch 3 teilbar. D a m i t h a b e n wir also die zwölf W e n d e l i n i e n , u n d zwar gleich zu je dreien, s o z u s a m m e n g r u p p i e r t , d a ß m a n die vier Wendedreiseite H e s s e s

Die Ebene Cg, Abelsches Theorem.

Birationale Transformationen.

301

vor Augen hat (vgl. S. 166). Zugleich erkennt man, daß die Hessesche Gleichung neunten Grades der Wendepunkte nichts prinzipiell Neues ist, sondern mit dem Problem der Dreiteilung der elliptischen Funk­ tionen eng zusammenhängt. Bringt man statt der Geraden einen beliebigen Kegelschnitt mit der C3 zum Schnitt, so kann man ohne Rechnung, durch ähnliche Über­ legungen wie die eben angestellten zu den Steinerschen Resultaten über Berührungskegelschnitte gelangen usw. usw. — Auch den Begriff der birationalen Transformation können wir am Beispiel der C 3 erläutern. Lassen wir zwei Flächen zweiten Grades im Räume sich durch­ dringen, so ist die resultierende Schnittkurve eine räumliche C4 (da eine beliebige Ebene sie in vier Punkten schnei­ det). Diese C4 proji­ zieren wir auf zwei Weisen auf die Ebene (vgl. Fig. 22). Einmal liege das Projektions­ zentrum auf der C^; dann erhalten wir in der Ebene P) eine C3. Projizieren wir aber von einem beliebigen Punkte 0,, außerhalb der C, aus auf die Ebene 11, so erbauen wir eine ebene (die, wie man leicht zeigen kann, zwei Doppelpunkte hat). Liegt nämlich 0^^ außerhalb der räumlichen C4, so wird eine beliebige Ebene durch 0^^ die räumliche C4 in vier Punkten schneiden. Ihre Schnittgerade mit der Ebene U wird also die Projektion der gleich­ falls in vier Punkten treffen. Befindet sich der Punkt aber auf der räumlichen C4, so fäüt einer der vier Schnittpunkte einer durch gelegten Ebene immer nach selbst. Eine Ebene durch schneidet die C4 nur noch in drei weiteren Punkten, also trifft ihre Schnittgerade mit der Ebene 1 die Projektion von nur noch in drei Punkten. Die C3 auf 1 und die C4 auf 11 sind nun eindeutig auf einander bezogen. Denn jedem Punkt der ebenen C4 entspricht ein bestimmter Punkt der räumlichen C4, und diesem ist eindeutig ein Punkt der C3 zu­ geordnet, und umgekehrt. Wir sehen also, daß die Ordnungen zweier Kurven, die birational auf einander bezogen sind, sehr wohl verschieden sein können ^). In der Figur fallen die beiden Ebenen und ineinander. 2) Streng genommen müßte noch gezeigt werden, daß eine eineindeutige Be­ ziehung zweier algebraischer Kurven gleich birationaler Beziehung ist.

302

VII. Die algebraischen Gebilde.

A n dieser Stelle m ö c h t e ich e i n e m n a h e l i e g e n d e n u n d in der Lite­ ratur weit verbreiteten Mißverständnis e n t g e g e n t r e t e n . Man k a n n selbstverständlich auch zwei E b e n e n auf einander birational beziehen, u n d zwei K u r v e n , die in d e n beiden E b e n e n liegen, sind d a n n eo ipso eineindeutig koordiniert. D a s leisten die sog. Cremona-Transformationen, g e n a n n t n a c h d e m italienischen Forscher, der auch m i t Clebsch in persönliche B e z i e h u n g trat. Aber das U m g e k e h r t e ist keineswegs n o t ­ w e n d i g : D i e eineindeutige B e z i e h u n g zweier ebener K u r v e n b e d i n g t n i c h t die eineindeutige B e z i e h u n g der E b e n e n auf einander. N e h m e n wir eine feste Fg, welcher der P r o j e k t i o n s p u n k t nicht angehört, u n d auf ihr unsere C4, so k ö n n e n wir durch die beiden Projektionen, die wir s o e b e n ausführten, auch unsere b e i d e n Projektionsebenen auf einander beziehen. J e d e m P u n k t e v o n I entspricht ein P u n k t v o n Fg u n d diesem ein P u n k t v o n I L Aber rückwärts entsprechen j e d e m P u n k t e v o n II z w e i P u n k t e der Fg, also auch zwei P u n k t e v o n I. So sehen wir, d a ß eine birationale Transformation zweier ebener K u r v e n in einer mehr­ d e u t i g e n B e z i e h u n g der beiden E b e n e n e n t h a l t e n sein kann. Ich erläutere d a s so ausführlich, weil das Mißverständnis, als sei R i e m a n n s A n s a t z in Cremonas Theorie m i t e n t h a l t e n , in der Literatur i m m e r wieder v o r k o m m t . (Vgl. z. B . H e r m i t e s Vorrede zu AppellG o u r s a t : Theorie d e s fonctions algebriques et de leurs integrales, Paris, 1895.) N a c h R i e m a n n - C l e b s c h faßt m a n n u n alle K u r v e n z u s a m m e n , die durch birationale Transformation aus einander h e r v o r g e h e n : sie h a b e n insbesondere das s e l b e So tritt als Charakteristikum n e b e n die O r d n u n g n, die K l a s s e k, die A n z a h l der D o p p e l p u n k t e d, der R ü c k ­ k e h r p u n k t e r, der D o p p e l t a n g e n t e n t, der W e n d e t a n g e n t e n w, das Geschlecht ρ der K u r v e . D i e s e Zahl ρ ist durch die F o r m e l n

oder dualistisch 2

^""^

m i t d e n g e w o h n t e n , o b e n angeführten geometrischen Größen verknüpft. D a b e i ist v o r a u s g e s e t z t , wie m a n das bei den g e w ö h n l i c h e n Plückerschen F o r m e l n i m m e r t u t , d a ß die C„ an singulären P u n k t e n nur einfache D o p p e l p u n k t e u n d S p i t z e n usw. h a t . Für d e n v o n u n s b e t r a c h t e t e n F a l l der e b e n e n C4 ist i = 2, r = O also p = l, h a t also in der T a t d e n s e l b e n W e r t w i e bei der C3 ohne D o p p e l p u n k t . W a s wir bei d e n K u r v e n dritter Ordnung o b e n ausführten, über­ t r ä g t sich s i n n g e m ä ß auf beliebige algebraische K u r v e n n-ter Ordnung f(x,y) = 0, i n d e m an Stelle des e i n e n überah endlichen elliptischen

Birationale Transformationen.

Die C„.

303

Integrals die p überall endlichen Abelschen Integrale u^, . . .,Uj, treten. Ich k a n n aber diese Verhältnisse i m Weiteren nur andeuten. Die P überall endlichen Integrale schreiben sich

dy WO φ (x,y)

ein sonst beliebiges P o l y n o m (w — 3 ) - t e n Grades ist, das in

d e n Doppel- u n d Rtickkehrpunkten einfach verschwindet.

Man könnte

zunächst glauben, das Integral werde in den P u n k t e n unendlich, für die z u N u h wird.

Aber das sind gerade diejenigen S t e h e n , in denen

b e i m Hinschreiten längs der K u r v e auch das dx Stellen m i t vertikaler Tangente).

verschwindet

(die

Man sieht die Harmlosigkeit dieser

P u n k t e a m b e s t e n so ein: Für die P u n k t e der K u r v e ist Kdx+l(dy

= fJx

+

f^dy^O,

also

^ ^ _^ fy

U'

WO aber fy z u N u l l wird, verschwindet 4 keineswegs. A u c h i m u n e n d h c h fernen P u n k t e der C„ bleibt das Integral endlich; d e n n d a φ [χ, y) v o n ( w — 3 ) - t e m u n d fy im Allgemeinen v o n m i n d e s t e n s ( w — l ) - t e m Grade ist, so verhält sich das Integral in diesem P u n k t e wie

; eben deshalb darf

φ [x, y) höchstens v o m (w—3)-ten Grade sein. E i n e F u n k t i o n w-ten Grades zweier Variabein Λ;, 3; enthält ( ^ ± 2 ^ ^ + ^ linear auftretende K o n s t a n t e . Substituieren wirhier n—Z für w u n d subtrahieren die Anzahl der D o p p e l u n d Rückkehrpunkte, so erhalten wir ( ^ - ^ - z i j

-d—r=p

Kon­

s t a n t e n , entsprechend den vorhandenen p überah endhchen Integralen. Wir w ä h l e n daher 95 g e n a u v o m (n — 3)-ten Grade. — J e d e s der ρ endlichen Integrale h a t 2p Periodizitätsmoduln. U m m i c h nicht z u weit in das Allgemeinste z u verlieren, u n d u m m ö g h c h s t anschaulich z u bleiben, w i h ich den Z u s a m m e n h a n g des Abelschen T h e o r e m s m i t den Schnittpunktsätzen an der ebenen C4 ohne Doppel­ punkte erläutern. Hier ist also p = 3 u n d φ(χ,

y) = ax + by + c.

Wir h a b e n also drei überall endliche Integrale « . = j ^ .

» . = 1 ¾ ·

Eine K u r v e h a t m i t unserer C4 4n Schnittpunkte. Wir fragen wieder u m g e k e h r t : W a n n liegen 4n P u n k t e der C4 auf einer C„?

304 V I I . Die algebraischen Gebilde. N a c h d e m A b e l s c h e n T h e o r e m finden wir W a h l der unteren Grenzen), d a ß die K o n g r u e n z e n ^U)

μί,(4η)^ο H

(bei

geschickter

(modd.a>,i,...,a>J,

h u^^'^^ = O (modd. a>2i, . . . ,

^(1) 4 - . . . _i_ ^(4n) ^ 0 ( m o d d . a>3„ . . . ,

ω,^, ω,,)

erftiUt sein mtissen. E s wäre n u n weiter z u diskutieren, in w e l c h e m F a l l e diese drei Gleichungen v o n e i n a n d e r abhängig sind. I m tibrigen aber h a b e n wir, w e n n wir nach Bertihrungskurven fragen, K o n g r u e n z ­ diskussionen wie oben bei der C3. — So b e k o m m e n wir w e n i g s t e n s eine A h n u n g v o n diesen Fragen, die in der F o l g e einen breiten Teil unserer Literatur ftiUen u n d z u den s c h ö n s t e n T h e o r e m e n über algebraische K u r v e n hinleiten. Wir fahren n u n mit der B e s p r e c h u n g der Clebsch'schen A b h a n d l u n g v o n 1863 fort. Zunächst habe ich e t w a s rein F o r m a l e s , n ä m l i c h die v o n Clebsch b e n u t z t e h o m o g e n e Schreibweise der Integrale erster G a t t u n g bei der C4 auseinanderzusetzen. D u r c h Einführung h o m o g e n e r Koor­ d i n a t e n gewinnen n ä m l i c h die Integrale

s y m m e t r i s c h e Gest a h , u n d zugleich ersieht m a n aus dieser Darstellung fast unmittelbar, daß sie tiberall endlich bleiben. W i r setzen

D a n n wird

Setzen wir zur Abktirzung

SO wird u,=fx,d&

(i^l,2,3).

D a s ist in der T a t ein erster formaler F o r t s c h r i t t . scheinbar bevorzugt.

In άώ ist aber χ2

W i r werden sogleich sehen, daß diese U n s y m m e -

trie leicht g e h o b e n w e r d e n k a n n . L ä n g s der C4 ist aF _

, aF .

^SFJ

Ferner ist nach d e m Eulerschen T h e o r e m :

A

Homogenisierung; die C,.

Die C„.

305

D a r a u s folgt

Ii/

-g ·· a - i = -

^'^^••^'^

-

''^y-

-

"^^^)-

D e s h a l b k a n n άώ in den drei ä q u i v a l e n t e n F o r m e n geschrieben w e r d e n : =

(k,l,m

^ 1,2,

3).

D i e s e Ausdrücke zieht Clebsch (um g a n z unparteiisch z u sein, n a c h d e m Vorgange v o n A r o n h o l d ) folgendermaßen z u s a m m e n : X^ dx^ αώ =

^ \ ^ ^ - .

D i e Ci sind nur formal v o r k o m m e n d e Größen, über die m a n also beHebig verfügen kann. S e t z e n wir hierin C^=I

[0

C^-O

Cg =

oder O

| 1

Io

O oder < O , Il

so erhalten wir die drei Ausdrücke für άώ, v o n denen wir ausgingen. Unsere drei Integrale k ö n n e n wir jetzt schreiben ^

(»=1,2,3).

S o m i t h a b e n wir alles g e w o n n e n , w a s wir in formaler Hinsicht in A u s ­ sicht stellten. D i e S y m m e t r i e u n d die EndHchkeit der Integrale treten klar hervor. F ü r die unendHch fernen P u n k t e der C4, also für == 0 bleibt alles e n d h c h , wie e t w a für Λ;^ = 0 oder x^, = 0. F e m e r ist

die Gleichung der Polaren des P u n k t e s (c^, ^3) in bezug auf F = O, ist also da befriedigt, w o die v o n c^, c^, c^ auslaufenden T a n g e n t e n berühren. D u r c h geschickte W a h l des P u n k t e s ( q , c^, Cg) wird s t e t s erreicht, d a ß jeder Verdacht, ein P u n k t k ö n n e U n e n d h c h k e i t s p u n k t v o n UJ^ oder oder Wg sein, wegfällt. I c h will n o c h angeben, wie m a n bei einer K u r v e w-ter Ordnung F = O m i t d D o p p e l p u n k t e n u n d r Spitzen (das ist der FaU, auf d e n -1) (^~2) — d — r ÜberaU end-

VII. Die algebraischen Gebüde. Hchen Integrale h m s c h r e i b t .

E s smd das

w o b e i wie o b e n

ist. φι,...,φJ, s m d h o m o g e n e Pol5mome (w — 3 ) - t e n Grades m den X^, X^, Xs die in d e n D o p p e l p u n k t e n u n d S p i t z e n v e r s c h w i n d e n . E m e solche F o r m φ h a t g e n a u p Imear u n a b h ä n g i g e K o n s t a n t e (siehe S. 3 0 3 ) . Man h a t also u n t e r d e n F o r m e n , d i e diesen B e d m g u n g e n g e n ü g e n , nur P Imear u n a b h ä n g i g e als φ^, . . . , a u s z u w ä h l e n . J e d e s dieser φ h a t m i t der g e n a u n(n — S) S c h n i t t p u n k t e u n d v e r s c h w i n d e t daher außer in d e n D o p p e l - u n d R ü c k k e h r p u n k t e n , die bei d e n folgenden B e t r a c h t u n g e n n i c h t zählen, i n n ( n ^ 3 ) - 2 d - 2 r = 2 p ^ 2 Punkten. U n s e r e F o r m e h i g e l t e n n a t ü r h c h a u c h b e i ^ = 1, nur k o m m e n d a die φ ganz m Wegfall. E s ist einfach bis auf einen beliebigen k o n s t a n t e n Faktor w a s m a n a n der Weierstraßschen N o r m a l f o r m nachprüfen m ö g e . Man bemerke noch, d a ß a u s

folgt: du^: du^: --idu^

= φ^ιγ^^: -

--ιφ^.

D e r hier b e n u t z t e B u c h s t a b e φ ist t y p i s c h u n d w u r d e s c h o n v o n R i e ­ mann gewählt.

M a n spricht v o n d e n

„ d e m algebraischen

Gebilde

adjungierten 9?-Formen". I c h m u ß t e diesen k l e m e n formalen E x k u r s g e b e n , weil m a n sich s o n s t in der Literatur, d i e a n Clebsch anschließt, m s b e s o n d e r e m d e n „ V o r l e s u n g e n über Geometrie", die L i n d e m a n n 1 8 7 5 / 7 6 h e r a u s g e g e b e n h a t , n i c h t zurechtfindet. Man m u ß d a b e i den E i n d r u c k überwinden, als sei die h o m o g e n e Schreibweise e t w a s S c h w a n k e n d e s oder d o c h schwer Begreifliches. D i e S a c h e w i r d e m f a c h nur so formal dargesteUt, w i e m a n es m der projek­ t i v e n Geometrie — algebraisch z u reden, der ternären I n v a r i a n t e n ­ theorie — g e w o h n t ist. Insbesondere m u ß m a n sich z u der Auffassung durcharbeiten, d a ß die Integrale u bei gezeichnet vorliegender K u r v e e t w a s g a n z K o n k r e t e s s m d , so d a ß m a n die a u s ihrer Theorie abgelei­ t e t e n S ä t z e über B e r ü h r i m g s k u r v e n u s w . alle durch die Zeichnung b e s t ä t i g e n k a n n . S o h a b e ich es für die Cg, oder vielmehr, w a s b e q u e m e r ist, n a c h dualistischer U m f o r m u n g für die K u r v e dritter Klasse m d e n

DieC„.

Clebsch-Gordan; Brill-Nöether.

307

A n n a l e n , B d . 7 (1874) g e m a c h t , m d e m ich die imaginären E l e m e n t e der K u r v e durch die „neuen R i e m a n n s c h e n F l ä c h e n " d e u t e t e , v o n denen ich i m A n f a n g v o n K a p . 4 sprach ^). A u c h b e i d e n bzw. den Kurven vierter Klasse h a b e ich die Sache zeichnerisch durchgeführt. D i e s e A b h a n d l u n g e n f m d e n sich in d e n A n n a l e n , B d . 10, 11 (1876—77)2). I c h k a n n sie aber hier nicht erläutern, d a ich ja d e n F a I l ^ = 3 nur g a n z o b e n h i n berührt h a b e . A h e A n g a b e n über die Gruppierung der D o p p e l ­ t a n g e n t e n w e r d e n g e n a u so arithmetrisch-elementar, w i e sie es oben b e i d e n W e n d e p u n k t e n der geworden sind. K e h r e n wir n u n z u Clebsch zurück. E s g e n ü g t e i h m nicht, die R i e m a n n s c h e n R e s u l t a t e g e o m e t r i s c h z u d e u t e n , sondern er faßte d e n G e d a n k e n , auf dieser geometrisch-algebraischen B a s i s die Theorie der A b e l s c h e n F u n k t i o n e n in neuer W e i s e z u b e g r ü n d e n ! So ist das B u c h v o n C l e b s c h u n d G o r d a n , die ,,Theorie der Aheischen Funktionen" v o n 1866 e n t s t a n d e n . Man m u ß , w e n n m a n die große, darin e n t h a l t e n e L e i s t u n g würdigen w i h , b e a c h t e n , d a ß Weierstraß' Theorie der A b e l s c h e n F u n k t i o n e n , die i m einzelnen einfacher u n d s y s t e m a t i s c h e r u n d sehr v i e l strenger v o r ­ g e h t , d a m a l s n o c h n i c h t v o r l a g ; w ä h r e n d R i e m a n n s Grundlage — sein E x i s t e n z b e w e i s a u s d e m Dirichletschen Prinzip — n i c h t nur als fremd­ artig, sondern als unsicher galt. Besonders z u erwähnen ist der E n t h u ­ siasmus für die projektive Geometrie b z w . die Invariantentheorie der linearen S u b s t i t u t i o n e n , als Vorstufe der birationalen Transformationen, w i e er sich i m S c h l u ß s a t z der Vorrede ä u ß e r t : „ A u c h diese D i s z i p h n (die Lehre v o n d e n A b e l s c h e n F u n k t i o n e n ) e n d e t schließhch in jenen Zweigen der neueren A l g e b r a , w e l c h e z u m Z e n t r u m aller neuen m a t h e ­ m a t i s c h e n E n t w i c k l u n g b e s t i m m t z u sein s c h e i n e n . " I c h k a n n hier auf E i n z e l h e i t e n des B u c h e s n i c h t eingehen, sondern verweise v i e l m e h r auf d e n ausführlichen Bericht v o n B r i l l u n d N o e t h e r i m dritten B a n d e der Jahresberichte der D . M . V . (1894): „ D i e E n t w i c k ­ l u n g der Theorie der algebraischen F u n k t i o n e n in älterer u n d neuerer Zeit", der die g e n a n n t e n , hier i n B e t r a c h t k o m m e n d e n A r b e i t e n einer z u s a m m e n f a s s e n d e n B e s p r e c h u n g unterzieht. — A b e r ich m u ß v o n G o r d a n erzählen, der v o n Clebsch veranlaßt w u r d e n a c h Gießen z u ziehen, u m i h m b e i m E i n d r i n g e n i n die R i e m a n n s c h e G e d a n k e n w e l t behilfhch z u sein. D i e A n t e i l e der beiden a n d e m B u c h e sind nicht auseinander z u h a l t e n . Gordan w u r d e 1837 i n Breslau geboren. B e s o n ­ dere A n r e g u n g b o t i h m das S t u d i u m der J a c o b i s c h e n Schriften. E r verbrachte ein Jahr in G ö t t i n g e n (1862—63). R i e m a n n h a t er aber nur g a n z kurz gesehen, da dieser n a c h w e n i g e n W o c h e n w e g e n E r k r a n k u n g aussetzen m u ß t e . D u r c h privates S t u d i u m , g e m e i n s a m m i t T h o m a e u n d Schering, s u c h t e n u n Gordan in die R i e m a n n s c h e n Theorien einzu1) Oben S. 139ff.; K l e i n : Ges. Abb.. Bd. 2. S. 89ff. 2) Ges. Abb., Bd. 2, Nr. X X X V I I I — X L I .

V I I . Die algebraischen Gebilde. dringen.

D i e s e G e d a n k e n w e l t war aber d o c h n i c h t für i h n geschaffen.

Seiner V e r a n l a g u n g n a c h fühlte er sich v i e l stärker z u

der formalen

Seite der I n v a r i a n t e n t h e o r i e h i n g e z o g e n (die er durch Clebsch

kennen

lernte). Hier errang er a u c h b a l d große Erfolge u n d blieb bis z u seinem T o d e (1912) ein Führer in d i e s e m Gebiete.

Mit Gordans N a m e n ist

der w i c h t i g e S a t z d a u e r n d v e r k n ü p f t , d a ß z u jeder b i n ä r e n Grundform f {x^, X^ ein endliches S y s t e m rationaler I n v a r i a n t e n u n d K o v a r i a n t e n gehört, durch das sich alle a n d e r e n rationalen I n v a r i a n t e n u n d K o v a r i a n ­ ten

rational u n d g a n z ausdrücken lassen (1868/1869, CreUe, B d . 69,

S. 3 2 3 f f „ A n n . B d . 2, S. 2 2 7 f f . ) . Aber d e n Z u s a m m e n h a n g dieser Fragen mit

der Theorie

behandelt.

der A b e l s c h e n F u n k t i o n e n

Seine wissenschaftliche

hat

Gordan n i c h t

mehr

Biographie, verfaßt von N o e t h e r ,

findet m a n in B d . 7 5 der A n n a l e n (1914). D e r I m p u l s des Clebsch-Gordanschen B u c h e s m a c h t e sich z u n ä c h s t weniger n a c h S e i t e n der A b e l s c h e n F u n k t i o n e n , als n a c h rein algebra­ ischer Seite g e l t e n d . mathematischen

D i e N e i g u n g zur S y s t e m a t i k

Kreisen

der

Mangel

an

m ö g e n einander d a b e i u n t e r s t ü t z t h a b e n .

u n d in breiteren

umfassenden

Kenntnissen

E s g a l t n u n , den

ganzen

F r a g e n k o m p l e x , der für die algebraischen K u r v e n d u r c h Voranstellen der birationalen T r a n s f o r m a t i o n e n g e g e b e n ist, auszuschöpfen u n d eine gleichzeitig strenge u n d allgemeine,

d. h. aUe Einzelfälle

(also

alle A r t e n singulärer P u n k t e ) u m f a s s e n d e Grundlage z u schaffen.

auch Die

w i c h t i g s t e Arbeit, w e l c h e in dieser H i n s i c h t erschienen i s t , ist die v o n Brill

u n d N o e t h e r , A n n a l e n , B d . 7 (1847): „Über

Funktionen etwa

und ihre Anwendung

sagen:

Studium

des

in der Geometrie,"

„Körpers''

R {ζ,ζ),

die

algebraischen

(Wir würden h e u t e unabhängig v o n

b e i d e n „beliebigen'' F u n k t i o n e n ζ u n d ζ des Körpers.)

den

Bemerkbar ist

der Gleichklang u n d der U n t e r s c h i e d i m T i t e l gegen d i e A b h a n d l u n g v o n Clebsch aus d e m Jahre 1863 (Über die A n w e n d u n g Funktionen

in

der

Geometrie).

Man

kann

sagen:

„ A b e l s c h e n T h e o r e m " entspricht, wird hier auf algebraische

Eliminationsprozesse

gegründet,

der A b e l s c h e n

Alles,

streng

was

dem

durchgeführte

während

die

weiteren

F o l g e r u n g e n , die m i t der P e r i o d i z i t ä t der A b e l s c h e n Integrale z u s a m m e n ­ hängen, beiseite bleiben. W i r w o ü e n n u n e i n e n w i c h t i g e n S a t z n e n n e n , den B r i l l und N o e t h e r algebraisch herausarbeiten

(den ich aber hier leider nicht

k a n n ) , den s o g . Riemann-Rochschen A n z a h l der K o n s t a n t e n ,

Satz,

auftreten, w e l c h e n i r g e n d w o s o n s t als in m vorgeschriebenen einer C„ unendlich w e r d e n .

Nach

d i e s e m S a t z hat d i e

algebraische F u n k t i o n , die diese B e d i n g u n g erfüüt, die F=c^F,-r-c.,F., wo

beweisen

der A u f s c h l u ß gibt ü b e r d i e

die in algebraischen F u n k t i o n e n F{ζ,ζ)

Lc^^/7„ +

c.^i.

= O

Punkten

allgemeinste

Gestalt

Riemann-Rochscher Satz.

Die Normalkurve

309

ist. D a b e i b e d e u t e t τ die A n z a h l d e r , , l i n e a r - u n a b h ä n g i g e n " φ, die in den m P u n k t e n verschwinden, u n d p das Geschlecht der K u r v e . — W i r w o l l e n u n s diesen S a t z a n e i n e m Beispiele k l a r m a c h e n . G e g e b e n sei eine o h n e D o p p e l p u n k t e . H i e r ist = 3 u n d die φ sind gerade Linien. Für

m =

1

ist

τ=

2

und

μ=

1 - 3

+ 2 =

0,

Also g i b t es in d e n drei F ä l l e n μ =0 k e i n e algebraische F u n k t i o n , die n u r in d e n g e g e b e n e n K u r v e n p u n k t e n u n e n d l i c h w i r d . I s t m = 3, so e x i s t i e r t d a n n u n d n u r d a n n eine solche F u n k t i o n , w e n n die d r e i P u n k t e in g e r a d e r Linie liegen. D a k a n n m a n sie d a n n a u c h l e i c h t k o n ­ struieren. E s m ö g e n die d r e i P u n k t e d u r c h eine G e r a d e ν = O a u s g e ­ schnitten werden, s c h n e i d e t n o c h in e i n e m v i e r t e n P u n k t e . D u r c h i h n legen wir eine w e i t e r e G e r a d e u = O u n d h a b e n d a n n e t w a

M a n s i e h t , w a s für eine i n t i m e B e d e u t u n g diese φ für die F r a g e n a c h den I n v a r i a n t e n gegenüber birationalen Transformationen h a t . U n d n u n k o m m t eine w u n d e r b a r e G e d a n k e n w e n d u n g , die, v o n R i e m a n n bereits begonnen, von H . W e b e r u n d N o e t h e r vollends h e r a u s g e a r b e i t e t w u r d e u n d die j e n e m S c h l u ß s a t z e in d e r V o r r e d e d e s C l e b s c h - G o r d a n s e h e n B u c h e s h i n t e r h e r eine volle B e d e u t u n g g i b t , a n w e l c h e die A u t o r e n i h r e r Z e i t g e w i ß n i c h t g e d a c h t h a b e n . W i r w o l l e n u n s in e i n e n R a u m v o n p — l D i m e n s i o n e n b e g e b e n , d e s s e n h o m o g e n e K o o r d i n a t e n w i r φ^, . . nennen. I n diesen R a u m v e r p f l a n z e n wir u n s e r e K u r v e C^ = f{C,z) o d e r F (x^, x^, x^) = O d u r c h eine b i r a t i o n a l e T r a n s f o r m a t i o n , i n d e m w i r u n t e r φ^, . . ., die z u g e h ö r i g e n F o r m e n φ v e r s t e h e n u n d d a m i t j e d e m i h r e r P u n k t e einen P u n k t des (p — l ) - d i m e n s i o n a l e n R a u m e s i^^^-i z u o r d n e n . W i r e r h a l t e n so eine C^^_^, d a j e d e s φ auf d e r K u r v e 2p —2 e i g e n t l i c h e N u l l s t e l l e n h a t (siehe S. 306). I n G e s t a U dieser C^^.,, d e r „Normalkurve", wollen w i r u n s e r G e b i l d e v o n j e t z t a n b e h a n d e l n . W^ir w e r d e n b a l d d e n g r o ß e n V o r t e i l e r k e n n e n , d e n w i r d a d u r c h e r l a n g e n . Z u n ä c h s t w i h ich a b e r w i e d e r einige Beispiele g e b e n : P = S: Die N o r m a l k u r v e ist die ebene C4, v o n d e r w i r f r ü h e r a u s ­ gegangen sind; d e n n bei ihr w a r

P =4: D i e N o r m a l k u r v e w i r d eine d e s R^. M a n f i n d e t , d a ß es eine a l l g e m e i n e S c h n i t t k u r v e e i n e r F l ä c h e z w e i t e r O r d n u n g m i t e i n e r der d r i t t e n O r d n u n g ist.

VlL

310

Die algebraischen Gebilde.

P = 5: N o r m a l k u r v e wird eine Cg des R^, die sich als Schnitt dreier Gebilde z w e i t e n Grades erzeugen läßt. P = 2: Wir erhalten eine d o p p e h überdeckte Gerade m i t sechs Verzw^eigungspunkten, so d a ß wir hier keine eineindeutige, sondern eine einzweideutige B e z i e h u n g zwischen Gebilde u n d N o r m a l k u r v e h a b e n , die nur dadurch eineindeutig wird, d a ß wir u n s die Gerade als ,,doppelt­ überdeckt" vorstellen. N u n k ö n n t e m a n die C^ des u n d die Cg des R^ auf die E b e n e projizieren, w i e e s n o c h Clebsch u n d Gordan g e t a n haben. W i r wollen aber gerade bei der K u r v e d e s höheren R a u m e s bleiben, u n d zwar aus folgendem Grunde: D i e Cg^.g des Rj,_i ist bis auf hneare Transforma­ tionen der h o m o g e n e n Koordinaten 9 9 p . . . , 9 9 ^ v ö l l i g b e s t i m m t . U m das klar z u machen, beziehe ich mich w o h l a m b e s t e n auf die Integrale erster G a t t u n g , deren Invariantsein gegenüber beliebiger birationaler Transformation des zugrunde liegenden algebraischen Gebildes besser einleuchtet. W ä h l t m a n irgend p linear u n a b h ä n g i g e Integrale erster G a t t u n g : U^, . . Up so stellt sich (wie m a n auf Riemannscher B a s i s beweisen kann, die a h e Spezialfälle m i t einschließt) jedes andere Integral erster G a t t u n g in der Gestalt U = c,u,+ dar.

^-^ +c^u^,

-i-C

D u r c h Differentiation n a c h ώ erhalten wir (siehe S. 3 0 6 ) : ^

<^ιΨι 1-

H

^

y^.

W ä h l e ich also s t a t t der ersten Serie v o n p F o r m e n φ^, . . .,φ^, nach irgendwelcher birationaler Transformation der K u r v e p F o r m e n . . ., aus, so h a b e ich

'^ρ-^^ρίΨι

^^ρρψρ'

D i e h o m o g e n e n K o o r d i n a t e n des Rp_i erleiden also einfach eine lineare Transformation. D a m i t kehren wir aber in das Gebiet der u n s geläufigen hnearen I n ­ variantentheorie b z w . der projektiven Geometrie des R a u m e s v o n p — 1 D i m e n s i o n e n zurück! A l s o : Will m a n g e n a u erfahren, w a s bei birationalen Transformationen invariant ist, so betrachte m a n die C^ d e s R^y die Cq des i^3, die Cg des R^ unter d e m Gesichtspunkte der linearen I n v a r i a n t e n ­ theorie. D e n Fall p = 2, der sich auch s i n n g e m ä ß einordnet, lasse ich jetzt der Kürze w e g e n beiseite. Erst jetzt kann ich eine Theorie berühren, die für u n s , als wir b e g a n n e n , lange Zeit m i t einem Schleier u m h ü h t war. R i e m a n n sagt, d a ß bei beliebiger birationaler Transformation des Gebildes nicht nur

Die Normalkur^

311

die Zahl p ungeändert bleibt, sondern (für > 1) auch noch 3 ^ — 3 Konstanten, die er „Moduln'' des Gebildes nennt. Diese Moduln sind einfach die absoluten Invarianten, welche die Normalkurve C2^-2 gegenüber linearer Transformation ihrer homogenen Koordinaten aufweist! Daß die C22,-2 wirklich Zp — 3 Invarianten hat gegenüber linearer Transformation, kann ich hier nur durch Abzahlung zeigen: ^ = 3 : Die C4 enthält 14 Konstante ( / " = 0 hat 15 Glieder). Von diesen sind acht als Parameter einer beliebigen Projektivität abzu­ zählen. Die Differenz beträgt also 6 = 3^9—3.

P = 4:·. Die Normalkurve Cg ist der Schnitt einer Fläche zweiten Grades F^ = O und einer Fläche dritten Grades F^ = O. F^ = O hat 9 Konstante. F^ = O enthält an sich 19 Konstanten. Aber wir können F^ er­ setzen durch F g — {a^+ a^x^ + H^3 + H ^A) F^ = O und dadurch vier Glieder ihrer Gleichung fortschaffen. Es bleiben somit 15 Konstanten. Als Parameter einer beliebigen Projektivität sind 15 Konstanten abzu­ ziehen. Also bleiben 9 -J- 1 5 - 1 5 - 3 3p -

3

Konstante. p = o: Die im F ^ kann als Schnittkurve von drei Flächen zweiten Grades F^ = 0, F^" = 0, F^"' =z Q erzeugt werden. An sich hat die F2 des F 4 -'^ = 1 5 Glieder, also 14Konstanten. Aber wir können z. B. F^ immer ersetzen durch F' — c"F" — c'"F"\ Also kommen nur je 12 Konstanten in Betracht. Eine beliebige Projektivität enthält 24 Konstanten. Also bleiben 12.3 -

24 = 3/) -

3

Konstanten. Durch diese Normalkurve der φ schließt sich also die Theorie der algebraischen Gebilde zu einem harmonischen Ganzen. Es ist doch die lineare Invariantentheorie, die die Probleme beherrscht, aber nur, wenn man sie richtig in Ansatz bringt! Nachdem ich von der Ausgestaltung gesprochen habe, welche die Lehre von den algebraischen Kurven in Verbindung mit der Theorie der Abelschen Integrale im Anschluß an Riemann durch Clebsch und seine Schüler erfahren hat, will ich jetzt die allgemeinen geschichtlichen Zusammenhänge weiterführen. Man versteht, das für den weiteren Ausbau der Theorie zwei Mög­ lichkeiten gegeben waren: L die Untersuchung der Normalkurve Cg^-o der ψ im jR_p_i. Es handelt sich hier darum, von rein algebraischer Grundlage aus die

312

VII. Die algebraischen Gebilde.

lineare Invariantentheorie b z w . die projektive Geometrie des Rp-i zu entwickeln bis z u m s y n t h e t i s c h e n A u f b a u der T h e t a - R e i h e n . In dieser Hinsicht h a b e u. a. ich selbst für ^ = 2, 3 in den Math. A n n . , B d . 27, 32, 36 gewisse erste A n s ä t z e g e m a c h t ^). 2. Als A u s g a n g s p u n k t k ö n n e n auch die T h e t a - R e i h e n , m i t denen m a n dann z u n ä c h s t formal rechnet, g e w ä h l t werden. V o n diesen aus gelangt m a n h i n a b s t e i g e n d bis z u den algebraischen Gebüden. V o n den vielen Forschern, die auf diesem Gebiete gearbeitet h a b e n , k a n n ich hier nur einige n e n n e n , wie e t w a Weber, N o e t h e r , S c h o t t k y , P r y m u n d Krazer, Poincare, Wirtinger. Diese beiden R i c h t u n g e n der Forschung sollten schließlich z u s a m ­ menlaufen. Aber wir sind, so deutlich auch die Zielpunkte vor A u g e n liegen, mangels geeigneter Arbeitskräfte n o c h w e i t v o n d e m A b s c h l u ß der Theorie entfernt. E s h a t sich hier ein merkwürdiger U m s c h w u n g vohzogen. Als ich studierte, galten die A b e l s c h e n F u n k t i o n e n — in N a c h w i r k u n g der Jacobischen Tradition — als der unbestrittene Gipfel der Mathematik, u n d jeder v o n uns h a t t e den selbstverständlichen E h r ­ geiz, hier selbst w e i t e r z u k o m m e n . U n d j e t z t ? D i e junge Generation kennt die Abelschen F u n k t i o n e n k a u m m e h r . W i e ist das g e k o m m e n ? In der Mathematik, wie in anderen W i s s e n ­ schaften, k ö n n e n immer wieder dieselben Vorgänge b e o b a c h t e t werden. E i n m a l treten neue Fragestellungen aus inneren oder äußeren Gründen auf, welche die jüngeren Forscher reizen u n d v o n den alten Fragen ablenken. D a n n aber erfordern die alten Fragen, eben w e i l sie vielfach bearbeitet worden sind, zu ihrer Beherrschung nachgerade ein i m m e r umfangreicheres S t u d i u m . D a s ist u n b e q u e m , u n d m a n w e n d e t sich schon d a r u m gerne P r o b l e m e n zu, welche n o c h weniger ausgebildet sind u n d darum weniger Vorkenntnisse erfordern, m a g es sich n u n u m formale A x i o m a t i k oder Mengenlehre oder sonst e t w a s h a n d e l n ! E s bleibt also nichts übrig, als die a h e n Gebiete in g u t e n Referaten — in den Jahresberichten, der E n z y k l o p ä d i e usw. — oder in Monographien so z u s a m m e n z u f a s s e n , daß die spätere E n t w i c k l u n g , w e n n es das Schick­ sal so fügt, hier wieder anknüpfen k a n n . D o c h m u ß ich n u n noch v o n zwei R i c h t u n g e n erzählen, in denen sich die Theorie der algebraischen Gebilde i m Anschluß an R i e m a n n u n d Clebsch weiterentwickelt hat. N a t ü r h c h kann ich hier nur einzehie her­ vorragendste L e i s t u n g e n n e n n e n . 1. D i e Theorie der algebraischen Raumkurven: E s h a n d e l t sich hier u m das Problem, sämtliche R a u m k u r v e n v o n b e s t i m m t e r Ordnung auf­ zuzählen. — Diese Aufgabe wurde für das Jahr 1882 v o n der Berhner A k a d e m i e für den Steinerpreis gesteht. D a s ist einer der w e n i g e n F ä h e , in denen dieses Preisausschreiben großen Erfolg h a t t e . Zwei Arbeiten 1) K l e i n : Ges. Abh., Bd 3, Nr. XCV, XCVI. XCVll.

Algebraische Raumkurven.

Algebraische Flachen.

313

wurden geliefert, die noch immer so ziemlich den äußersten P u n k t bezeichnen, bis zu d e m die U n t e r s u c h u n g der algebraischen R a u m ­ kurven gelangt ist. E s sind dies die A b h a n d l u n g e n v o n M. N o e t h e r (Abh. der Berliner A k a d e m i e 1882 und Crelle, B d . 93) u n d H a l p h e n (Journal de l'Ecole P o l y t e c h n i q u e 52 (1882) = Oeuvres t. I I I . p . 2 6 1 f f . ) . D a ß bei der v o n der Berhner A k a d e m i e gestellten Preisaufgabe ein Franzose m i t konkuriert, ist sehr bemerkenswert. E s ist dies ein Zeichen, d a ß dort die jüngere Generation die d e u t s c h e n Errungen­ schaften nachgerade assimihert hat. H a l p h e n eröffnet diese Reihe u m 1870, in der sich bald u m 1880 N a m e n wie P i c a r d u n d P o i n c a r e bemerkbar m a c h e n . In diesen Forschern vereinigen sich die Anregungen zweier französischen Schulen, derjenigen v o n C h a s l e s u n d H e r m i t e . V o n Chasles als Geometer h a b e n wir schon gesprochen. Als Vertreter der geometrie superieure an der Sorbonne h a t er v o n 1850 an die Theorie der algebraischen K u r v e n in der Weise geltend g e m a c h t , d a ß er gewisse Grundbegriffe (Definition der K u r v e n selbst, B e z o u t s c h e s Theorem) der A n a l y s i s e n t n a h m , i m übrigen aber unter Zurückstellung der F o r m e l n an der K u r v e selbst operierte. Seine Überlegungen waren also in ihrer Grundlage analytisch, aber in ihrer A u s g e s t a l t u n g in geo­ metrische F o r m gekleidet. D a s ist die sog. „Methode mixte", die auch i m Auslande bald viele Nachfolger gefunden h a t . Vor allem sind hier Z e u t h e n (Kopenhagen) u n d C r e m o n a (Rom) zu nennen. — H e r m i t e aber, dessen algebraische, zahlentheoretische u n d funktionentheore­ tische Arbeiten wir ebenfalls schon wiederholt n a n n t e n , ist in seiner Lehrtätigkeit (gleichfalls an der Sorbonne), v o n der wir i m vorigen K a p i t e l gesprochen h a b e n , immer wieder auf die analytische Theorie der T h e t a f u n k t i o n e n eingegangen. D i e geometrische B e d e u t u n g der Abelschen F u n k t i o n e n h a t H e r m i t e immer ganz fern gelegen. V o n seinen Schülern nenne ich hier n u r C a m i l l e J o r d a n , v o n d e m bald mehr zu erzählen sein wird. 2. D i e A u s d e h n u n g der U n t e r s u c h u n g e n auf algebraischen Flächen F [x, y, ^) = O (also 2-dimensionale, oder, da die Variabein auch k o m ­ plexe W e r t e h a b e n sollen, 4-dimensionale Gebilde). A u c h hier m a c h t das Transzendente den Anfang, i n d e m C l e b s c h 1868 in einer ganz kurzen N o t e in den Comptes R e n d u s (Bd. 67) bemerkt, d a ß bei einer algebraischen F l ä c h e m i t einfachen Singularitäten eine hneare Schar zugehöriger überaü endlicher D o p p e h n t e g r a l e in der Gestah

hergesteUt werden k a n n , und d a ß die Gliederzahl ^ der hier auftretenden (f bei birationaler Transformation der F l ä c h e n o t w e n d i g invariant ist. (Dieses ρ h e i ß t das „Geschlecht der Fläche".)

314

VII. Die algebraischen Gebilde.

Clebsch selbst h a t sich in der F o l g e darauf beschränkt, die ein­ fachsten Beispiele solcher birationaler Transformationen zu studieren u n d zu zeigen, w e l c h e n N u t z e n m a n daraus für die „Geometrie auf der F l ä c h e " ziehen kann. E r b e t r a c h t e t e insbesondere den F a l l , d a ß sich die F l ä c h e birational auf eine E b e n e beziehen läßt, worauf m a n in der Lage ist, alle Fragen über K u r v e n auf der F l ä c h e in der E b e n e zu studieren. W i r werden nachher ein einfachstes Beispiel dieser Art D i e allgemeine Frage n a c h d e n birationalen Transformationen der F l ä c h e als algebraisches P r o b l e m h a t Clebsch gleich 1869 N o e t h e r übergeben. Hierin zeigt sich Clebsch so recht als Lehrer; er selbst h ä t t e sich, n a c h s e i n e m eigenen Urteil, gar nicht so konzentrieren k ö n n e n . N o e t h e r h a t dann auch, meist in den M a t h e m a t i s c h e n A n n a l e n , zahlreiche Arbeiten über diese jetzt sehr umfangreiche D i s z i p h n ver­ öffentlicht u n d ist als ihr eigentlicher Begründer anzusehen. D a s a h ­ g e m e i n e P r o b l e m der birationalen Transformation der F l ä c h e n ist d a n n insbesondere v o n der jungen italienischen Schule weiterentwickelt worden, der S e g r e , V e r o n e s e , E n r i q u e s , C a s t e l n u o v o , S e v e r i angehören. D i e s e b e h a n d e h e n d a s P r o b l e m zunächst mit algebraisch-geometrischen Mitteln u n d später auch, n a c h d e m P i c a r d in Paris v o r a n g e g a n g e n war, fnit transzendenten. D a ß aber die Italiener hier auf d e n P l a n treten, h a t seinen a h g e m e i n e n Grund darin, daß die Wissenschaft v o n Volk z u Volk wandert, wie ich schon gelegentlich darlegte. H a t ein Volk sich in b e s t i m m t e r R i c h t u n g stark wissenschafthch b e t ä t i g t u n d ist e r m ü d e t , so greift e m anderes ein. D e r nähere Z u s a m m e n h a n g der lebhaften B e t e i l i g u n g der Italiener a n der E n t w i c k l u n g unseres P r o b l e m s ist aber folgender. C r e m o n a , der, wie ich schon o b e n a n d e u t e t e , ein Schüler Chasles war, ü b t e als Lehrer u n d Forscher in I t a h e n einen großen Einfluß aus. Cremona, g e b . 1830, gehört z u d e m D r e i g e s t i m B e t t i , B r i o s c h i , C r e m o n a , welche, u m 1860 b e g i n n e n d , in d e m n e u g e e i n t e n Königreich Italien die moderne m a t h e m a t i s c h e Wissenschaft in Gang b r a c h t e n u n d zu­ gleich die V e r b i n d u n g m i t d e n gleichstrebenden Forschern in D e u t s c h ­ land, E n g l a n d u n d Frankreich h e r s t e h t e n . U m diese Zeit erfolgt also der E m t r i t t Italiens in die internationale Arbeitsgemeinschaft. Ich n e n n e gerade diese drei Mathematiker, weil sie vielfach a u c h organi­ satorisch t ä t i g g e w e s e n sind. Sonst würde ich jedenfalls noch B e l t r a m i anführen, der aber mehr n u r als wissenschaftlicher Forscher gearbeitet h a t . Brioschi, als Direktor der p o l y t e c h n i s c h e n S c h u l e in !Mailand, Cremona in gleicher Eigenschaft in R o m , w o die p o l y t e c h n i s c h e Schule m i t der naturwissenschaftlichen F a k u l t ä t der U n i v e r s i t ä t v e r b u n d e n ist, u n d B e t t i , als Direktor der Scuola N o r m a l e Superiore (Lehrerbil­ d u n g s a n s t a l t ) in P i s a , h a t t e n d a g e g e n n e b e n b e i a u c h einen großen praktischen Wirkungskreis. B e t t i h a t zeitweise als Unterstaatssekretär

Algebraische Flachen.

Kurven auf einem Hyperboloid.

315

i m Unterrichtsministerium gewirkt, Cremona ist für kurze Zeit selbst Unterrichtsminister gewesen. (Ich führe das u m so lieber an, als eine derartige einflußreiche Stellung v o n Mathematikern in D e u t s c h l a n d noch i m m e r e t w a s U n d e n k b a r e s i s t ; bei u n s m ü s s e n es i m m e r Juristen sein. „ I n D e u t s c h l a n d h a t die Göttin Justitia die leidige Gewohnheit, die Ministerportefeuilles nur ihren eigenen Sprößlingen in die Wiege z u legen" (Pringsheim). Cremona insbesondere h a t d e m m a t h e m a t i s c h e n Universitätsunter­ richt in Italien die F o r m gegeben, d a ß die projektive Geometrie, ver­ b u n d e n m i t Ü b u n g e n in der darstellenden Geometrie in den Vorlesungen für Anfänger sehr stark vertreten ist. Auf d i e s e m Grunde sind dann insbesondere die geometrischen Studien in Italien emporgeblüht, so d a ß in den letzten D e z e n n i e n Italien geradezu die führende RoUe auf diesem Gebiet über­ n o m m e n hat. D i e Italiener bedienen sich bei den algebraischen Unter­ s u c h u n g e n , v o n denen hier die R e d e ist, der m e t h o d e m i x t e . Sie betrachten die Ge­ bilde in höheren R ä u m e n unter B e n u t z u n g der Hilfsmittel des Fig, 23. ,, Pro j izierens u n d Schneidens * *. Alle ihre U n t e r s u c h u n g e n sind gewissermaßen anschaulich u n d sehr überzeugend, doch m e i s t in der F o r m nicht streng: Zeuthen sagt i m Vorwort zu s e i n e m Lehrbuch der abzählenden Methoden der Geometrie: „Übrigens läßt sich der richtige Gebrauch der Methoden nur durch A n w e n d u n g auf verschiedenartige Beispiele erlernen." E s ist g a n z unmöglich, d a ß ich auf den so erreichten I n h a l t der Lehre v o n den birationalen Transformationen der algebraischen Flächen e i n g e h e ; — es m u ß g e n ü g e n , d a ß ich auf das v o n C a s t e h i u o v o u n d E n r i q u e s verfaßte diesbezügliche Referat m B d . 3 der E n z y k l o p ä d i e verweise (III C 6 b ) . D a g e g e n will ich n u n n o c h z u m A b s c h l u ß v o n d e m einfachsten Falle einer birationalen B e z i e h u n g zwischen zwei Flächen sprechen, nämlich v o n der stereographischen Projektion einer duf eine Ebene. I c h w ä h l e dieses Beispiel so, d a ß m a n g e z w u n g e n wird, anschaulich z u d e n k e n . D a m i t d a s für die algebraische B e t r a c h t u n g W e s e n t l i c h e reell ausfällt, projizieren wir nicht die Kugel, w a s s c h o n i m A l t e r t u m geschah, sondern das einschalige H y p e r b o l o i d . D u r c h den beliebigen F l ä c h e n p u n k t O gehen zwei geradlinige Erzeu­ gende, welche die B i l d e b e n e in d e n P u n k t e n und treffen, wie d i e s in Fig. 2 3 schematisch angegeben ist. D i e Verbindungsgerade

VII, Die algebraischen Gebilde.

316 OjOg Stellt

den S c h n i t t der B i l d e b e n e m i t der T a n g e n t i a l e b e n e

des

H y p e r b o l o i d s in O dar. Wir projizieren n u n v o n O aus d a s H y p e r b o l o i d auf die E b e n e . D u r c h diese stereographische Projektion werden diese Gebilde i m all­ g e m e i n e n e i n e i n d e u t i g aufeinander b e z o g e n .

In F o r m e l n ausgedrückt

ist diese B e z i e h u n g birational, wie wir n o c h sogleich ausführen.

Es

gibt aber z w e i P u n k t e in der E b e n e u n d einen P u n k t auf der Fläche, die sog. , , F u n d a m e n t a l p u n k t e " , d e n e n auf d e m anderen Gebilde ganze K u r v e n , n ä m l i c h gerade L i n i e n entsprechen. Auf d e m H y p e r b o l o i d ist das der P u n k t O selbst, d e m die ganze OjOg in der E b e n e entspricht. die P u n k t e

entsprechen die

Gerade

In der E b e n e sind

u n d Og F u n d a m e n t a l p u n k t e . durch O g e h e n d e n

Ihnen

geradlinigen

E r z e u g e n d e n erster u n d zweiter Art der F l ä c h e . D a sehen wir gleich

daß

birationale Trans­

formationen b e i zweidimensionalen Gebilden e t w a s g a n z anderes sind, als bei eindimensionalen.

D i e rationalen F u n k t i o n e n

w e r d e n i m zweidimensionalen Falle für gewisse W e r t s y s t e m e dieses ^

und

erweist sich je nach d e m B i l d u n g s g e s e t z des L i m e s als u n e n d ­

lich vieldeutig. Man erkennt dies deutlich aus der F i g u r : D e m P u n k t e entspricht die ganze Erzeugende 00^. eine beliebige Gerade g durch 0^,

.

Wir ziehen n u n in der E b e n e

B e w e g t sich e m P u n k t auf g gegen

so wird i m L i m e s je n a c h der W a h l der Geraden g ein anderer

Punkt

der E r z e u g e n d e n d e m P u n k t e

entsprechen.

Dasselbe

gilt

natürlich für den P u n k t Og. I n F o r m e l n stellt sich diese U n e n d l i c h v i e l d e u t i g k e i t folgendermaßen dar: D i e Gleichung des H y p e r b o l o i d s k a n n in h o m o g e n e n K o o r d i n a t e n s t e t s geschrieben w e r d e n x^x^-

X^=O.

A l s P u n k t O w ä h l e n wir den P u n k t x^ = 0 , ^g = ^ 4 = = 0 , als P r o ­ j e k t i o n s e b e n e die E b e n e χ^ = 0 . D i e F o r m e l n der stereographischen Projektion l a u t e n d a n n , wie leicht verifiziert werden k a n n

w o ξ:η:ζ = .V^: Λ . , : .v^ ist (vgl. F i g . 24). D i e so definierten λ Λ , , Λ3, g e n ü g e n in der T a t der Gleichung des H 3 p e r b o l o i d s . Unhomogen geschrieben wird

Kurven auf einem Hyperboloid. Für

ξ = 0 , ζ=0

und

η = 0, ζ = 0

werden

E b e n s o wird ^ u n d ^ gleich-^-, w e n n χ^,χ^,χ^

317

diese

Ausdrücke

^.

gleichzeitig verschwinden.

Wir b e t r a c h t e n nun eine K u r v e auf der F l ä c h e , die nicht durch O geht. B e i der stereographischen Projektion bleibt die Ordnung der K u r v e erhalten; sie geht über in eine ebene C^. D i e s e schneidet die Gerade nur in den F u n d a m e n t a l p u n k t e n . D e n n a n g e n o m m e n , die ebene h a b e mit dieser Geraden noch einen anderen S c h n i t t p u n k t , so würde diesem nur der P u n k t O auf der F l ä c h e entsprechen. Also m ü ß t e die räumliche K u r v e , e n t g e g e n der Vor­ aussetzung, durch O g e h e n . D i e ebene möge a^-mal d u r c h u n d ag-mal d u r c h g e h e n ; dann ist, da die die Gerade O^Og in η P u n k t e n schneidet, + ag = n. Wir k ö n n e n n u n bei g e g e b e n e m η s ä m t h c h e R a u m k u r v e n b e s t i m m e n , die auf d e m H y p e r ­ boloid liegen. n = l: E s i s t a j + ag = 1 . A l s o = = 1 , ag = O oder aj = 0 , ag = 1 . E i n e ebene k a n n nur eine Gerade durch O^ resp. sein. D e n Geraden­ büscheln durch OJ und entsprechen zwei Scharen v o n geraden Linien auf d e m H y p e r b o l o i d . D i e Geraden durch O^ liefern die Erzeugenden zweiter Art, die Geraden durch die E r z e u g e n d e n erster Art des Hyperboloids.

D i e beiden ersten Fälle stellen einen zerfallenden Kegelschnitt dar (zwei Geraden, die sich in O^ resp. schneiden). Sie hefern s o m i t nichts N e u e s . I m dritten Falle erhalten wir die durch O^ u n d gehenden K e g e l s c h n i t t e als ebene Cg. D i e einzigen Cg, die auf der F l ä c h e liegen, sind somit die ebenen S c h n i t t e des H y p e r b o l o i d s . (Durch die Abbil­ dungsformeln zu bestätigen.) η = 3: V o n Interesse sind nur zwei F ä l l e : = 2, ag = 1 u n d = 1 , ag = 2. x\uf d e m H y p e r b o l o i d gibt es somit zwei verschiedene Scharen v o n R a u m k u r v e n dritter Ordnung. D i e entsprechenden ebenen K u r v e n h a b e n einen D o p p e l p u n k t in O^ resp. Og. Geht die ebene Cg z. B . zweimal durch Og, d. h. gehört sie zu der ersten Schar der ebenen Cg, so wird sie v o n einer Geraden erster Art noch einmal u n d v o n einer Geraden zweiter Art noch z w e i m a l geschnitten (vgl. Fig. 2 5 u n d 28).

318

VII. Die algebraischen Gebilde.

D i e räumlichen Cg der ersten Schar schneiden daher die E r z e u g e n d e n erster Art einmal u n d die E r z e u g e n d e n zweiter Art z w e i m a l : 3.1-2

=

1,

3 1 - 1 =

2

Zwei K u r v e n Cg derselben Schar schneiden sich in 9 — 4 — 1 = 4 P u n k ­ ten, K u r v e n verschiedener Scharen in 9 — 2 — 2 = 5 P u n k t e n . F ü r alle diese Cg ist p = 0. η == 4: I n d i e s e m Falle erhält m a n nicht nur getrennte Scharen, sondern auch g e t r e n n t e „ S p e z i e s " . a) D i e erste Spezies w i r d charakterisiert durch = 2, ag = 2 (vgl. Fig. 26), d. h. die e b e n e n C4 h a b e n -in u n d Og einen D o p p e l p u n k t . E s ist s o m i t ^ = 1. D i e zugehörige C4 auf d e m H y p e r b o l o i d ist also

die R a u m k u r v e , die wir o b e n b e t r a c h t e t h a b e n (S. 301). Man ver­ gleiche wieder die Abbildungsformeln. D i e R a u m k u r v e ist der Schnitt des H y p e r b o l o i d s m i t einer anderen F l ä c h e z w e i t e n Grades. b) D i e zweite Spezies tritt in zwei Scharen auf: = 3 , ag 1 b z w . : OLi = I, ag = 3 (Fig. 27). D i e e b e n e n C4 h a b e n also e i n e n drei­ fachen P u n k t in O^ b z w . Og. D a ein dreifacher P u n k t für drei D o p p e l ­ p u n k t e zählt (wir k ö n n e n eine K u r v e m i t dreifachem P u n k t als Grenz­ fall einer K u r v e m i t drei D o p p e l p u n k t e n b e t r a c h t e n (Fig. 27), so h a b e n diese C4 zweiter Spezies das Geschlecht

I s t z. B . OJ dreifacher P u n k t der e b e n e n C4, so schneiden die zugehörigen räumlichen C4 die E r z e u g e n d e n zweiter Art e i n m a l u n d die E r z e u g e n d e n erster Art dreimal. K u r v e n derselben Schar s c h n e i d e n sich in 16 — 9 — 1 = 6 P u n k t e n , K u r v e n verschiedener Scharen schneiden sich in 16 — 3 — 3 = 10 Punkten. N u n k o m m t es darauf an, diese A n g a b e n in lebendige r ä u m l i c h e Bilder u m z u s e t z e n , w a s durch die Fig. 2 8 — 3 0 geleistet w e r d e n soll. D i e Diskussion der R a u m k u r v e n auf d e m H y p e r b o l o i d ist natürlich a l t ; sie findet sich schon g e g e n Mitte des vorigen Jahrhunderts bei Plücker u n d Chasles. Aber n e u e S a c h e n heranzubringen ist hier leider nicht der Ort.

320

VII. Die algebrarischen Gebilde.

Theorie der algebraischen ganzen Zahlen und ihrer W e c h s e l w i r k u n g mit den algebraischen Funktionen. U n t e r einer algebraischen ganzen Zahl verstehen wir e m e Wurzel χ einer Gleichung m i t ganzzahligen Koeffizienten/ deren höchster Koeffi­ zient 1 ist: x^+a^x^-^-\

h - « n - i ^ + «n = Ö.

Ist der letzte Koeflizient dieser Gleichung

SO ist auch -

eine ganze Zahl. Die Zahl ernennt m a n dann e m e

Einheit.

D i e „ E m h e i t s w u r z e h i " ζ (für die ζ" = 1 gilt) sind ganz spezielle Fälle dieser zahlentheoretischen Einheiten. E s ist n u n z w e c k m ä ß i g , diejenigen algebraischen Zahlen z u s a m m e n ­ zufassen, die sich durch einander rational (mit ganzzahligen Koeffi­ zienten) ausdrücken lassen. Sie bilden einen Organismus, für den die D e d e k m d s c h e B e n e n n u n g Körper allgemein geworden ist (es soll das an „Körperschaft" erinnern). I m Körper bilden d a n n die in i h m e n t ­ haltenen ganzen Zahlen e m e n „Integritätsbereich". Diese g a n z e n Zahlen brauchen nicht äußerlich als solche zu erschemen, z. B . sind ξ^ = ^ ^ ^ ¾ " ^ ' I g === ^

^

ganz,

denn sie genügen

der

Gleichung

u n d s o m i t der ganzzahligen Gleichung vierten Grades ( Γ + 3 ) ^ - 2 | ^ = | ^ 4 - 4 Γ ^ + 9 ^ 0 . Ich werde n u n d e m historischen E n t w i c k l u n g s g a n g folgen. D e n Grund zur Theorie der g a n z e n algebraischen Zahlen legte G a u ß in seiner b e r ü h m t e n Abhandlung, Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio II, die erst 1832 herauskam, m welcher er die Zahlen α + bi (i = betrachtet (Werke, B d . 2 , S. 93ff.). In diesem Zahlkörper gibt es speziell vier E i n h e i t e n : (A^0,l,2,3). welche ersichtlich P o t e n z e n einer einzigen sind. Gauß w e n d e t sich gleich der Frage zu, welche für alles Folgende m a ß g e b e n d geblieben i s t : Gilt der S a t z v o n der eindeutigen Zerlegung emer Zahl in Primfaktoren auch für den erweiterten Bereich ? D a s ist in der T a t der Fall, abgesehen d a v o n , daß die einzelnen F a k t o r e n mit behebigen E m h e i t e n multiphziert werden dürfen, falls nur d a s ganze Produkt ungeändert bleibt. Ist z. B . A = A'-A", so k a n n m a n auch schreiben A = {iA')-(—iA").

Die algebraischen Zahlen.

Kummer.

Gauß v e r s c h m ä h t dabei nicht die geometrische D e u t u n g durch das quadratische Zahlengitter, welche zugleich für d e n Z u s a m m e n h a n g m i t den doppeltperiodischen F u n k t i o n e n die Brücke schlägt. Auf dieses Zahlengitter bin ich schon in K a p . 1 (S. 35ff.) eingegangen. Ich habe dort i m Anschluß an Gauß gezeigt, wie sich die Zahlen des Körpers i m m e r als Gitterpunkte eines Parallelogramm^itters interpretieren lassen, u n d wie diese D a r s t e h u n g m i t der sog. k o m p l e x e n Multi­ phkation der elliptischen F u n k t i o n e n z u s a m m e n h ä n g t . I c h kann das leider hier nicht wieder aufnehmen, da ich zuerst eine R e i h e v o n Hilfsvorstehungen erneut e n t w i c k e l n m ü ß t e . Ich verweise lieber auf meine autographierten Voriesungen über Zahlentheorie (1895/96), w o ich diese Darstehung genauer ausgeführt habe. A u c h die höheren Fälle lassen sich so sehr anschaulich fassen. Vergleiche meine A n d e u t u n g v o n der Lübecker Naturforscherversammlung 1895 (Jahresberichte der D M V . , B d . 41)) u n d für kubische Irrationalitäten die Dissertation v o n F u r t wängler, w o Gitter i m dreidimensionalen R ä u m e betrachtet werden u n d an ihnen alle B e w e i s e geführt werden ^). Hier liegt der Grund zutage, w e s h a l b die höheren Zahlkörper m i t den mehrfach-periodischen F u n k t i o n e n z u s a m m e n h ä n g e n . D o c h ich kehre zurück z u m historischen Berichte. I n d e m K u m m e r sich m i t d e m Fermatschen Satze v o n der Unlösbarkeit der Gleichung Z^=

fürn>2

in g a n z e n Zahlen befaßte, den m a n auch schreiben kann z""4{x

-l· y){x

+ ey)'"

{x + e^-^y)

e = e^

,

wurde er n a t u r g e m ä ß d a z u geführt, sich m i t der Faktorenzerlegung derjenigen Zahlen zu beschäftigen, die sich aus n-ten E i n h e i t s w u r z e l n aufbauen. E r gelangt (Crelle, B d . 35, 1847) zu d e m R e s u l t a t , das seinen R u h m begründete: D e r Satz v o n der Eindeutigkeit der Zerlegung in P r i m ­ faktoren gilt für die Zahlen des Körpers K(ε) nicht m e h r ; er k o m m t aber wieder z u m Vorschein, w e n n m a n geeignete algebraische Zahlen, die d e m K [ε) nicht angehören u n d die K u m m e r darum ideale Zahlen nennt, h i n z u n i m m t . K u m m e r selbst hat schon bemerkt, d a ß das gleiche bereits bei d e m Körper

K ( l ^ ^ ) , d. h. bei e i n e m quadratischen Körper der F a h ist.

D a s niederste Beispiel dafür liefert der Körper K ( 1 ^ ^ ) . handelt es sich u m die Zahlen α + hl — 6. 2 u n d 3 unzerlegbar.

I n ihrem

Hier

Bereiche sind

D e n n a n g e n o m m e n z. B . 2 wäre zerlegbar, also

2 = {a+h

1~^){c

+

d)~b);

1) Vgl. auch K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, Nr. XCIV. 2) Vgl. auch K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 8, sowie F u r t . w ä n g l e r , gitter und Idealtheorie, Math. Ann. Bd. 82 (1920). Klein, Entwicklung der Matheniatik. 21

Punkt­

V I I . Die algebraischen Gebilde.

322

d a n n wäre 4 = ( a ^ + δ^ή {c^ + bd^ also 2 = a^-f 5 & ^ d. h. 2 wäre quadratischer R e s t m o d u l o 5, w a s n i c h t der F a l l ist. Also ist 2 (und e b e n s o 3) eine , , P r i m z a h l " ; t r o t z d e m ist die Zerlegung v o n 6 keine eindeutige, d e n n es ist 6 == 2 . 3 = (1

+ 1^^) (1 -

F~5).

D i e s e s P a r a d o x o n wird n u n beseitigt, w e n n m a n geeignete ideale Zahlen adjungiert.

Man k a n n dies auf verschiedene W e i s e n m a c h e n ,

d e n n die Faktorenzerlegung läßt sich ja immer durch E i n h e i t e n m o d i ­ fizieren. I n meiner Gittertheorie adjungiert m a n ) 2 . W i e wir gesehen h a b e n (S. 320), ist - ^ - η ^ ^

eine algebraische ganze Zahl. W i r h a b e n d a n n

die Zerlegungen

u n d e s ist gar n i c h t m e h r verwunderlich, d a ß

..3 = ( β ΐ ± £ ϊ ) ( , ^ ι ^ ) ist! I n der Theorie der sog. Klassenkörper, adjungiert m a n s t a t t d e s s e n i. p s ist

2 - ( 1 + .),.-0.

wie sie H i l b e r t

vertritt,

3= i±£I.l:=JZI,.

w a s w i e d e r z w e i g a n z e Zahlen sind, a n die sich dieselbe Ü b e r l e g u n g wie v o r h i n knüpft.

_

D i e s e A d j u n k t i o n e n k ö n n e n so verschieden sein, weil aus Ii 2 eine Zahl des Körpers K(i)

wird, w e n n m a n sie m i t einer geeigneten E i n h e i t ,

nämhch mit

multipliziert. Beiläufig b e m e r k t , ist dies sogar eine algebraische E i u heitswurzel, i n d e m ω» = 1 ist. I c h h a b e d a s so ausführlich erklärt, weil sich m i t d e m Begriffe der „idealen Z a h l " vielfach eine m y s t i s c h e U n k l a r h e i t verbindet. K u m m e r selbst ist daran s c h u l d (so g u t er die Sachlage kannte), d a er sich an v e r s c h i e d e n e n Stellen b e i n a h e so ausdrückt, als handle es sich u m F a k ­ t o r e n , die gar n i c h t in c o n c r e t o v o r h a n d e n sind, sondern nur s y m b o h s c h g e d a c h t werden. E r m a c h t dabei e m unglückliches chemisches Gleich­ n i s , i n d e m er sich auf d a s F l u o r beruft, welches die Chemiker als ein Gas b e z e i c h n e n , t r o t z d e m es sich nie selbständig h a b e isolieren lassen. — D a sieht m a n , w a s e s m i t der dialektischen Logik auf sich h a t . L ä n g s t

Kronecker, Dedekind.

Dedekind-Weber, Weierstraß.

323

ist Moissqn g e k o m m e n u n d h a t das Fluor in Flußspatgefäßen m i t Platinelektroden wirklich isoliert! D i e Theorie der Zerlegung in E i n h e i t e n u n d reale oder ideale Prim­ faktoren w u r d e d a n n v o n K r o n e c k e r u n d D e d e k i n d auf beliebige algebraische Zahlen a u s g e d e h n t . E s ist n u n schwer, einen historisch zutreffenden Bericht zu m a c h e n , w e ü Kronecker seine Ideen oder doch das Vorhandensein seiner Resul­ t a t e v o n 1858 a n gesprächsweise verbreitete, aber seine A b h a n d l u n g darüber: „Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen", erst 1881/82 in Crehe, B d . 92, der Festschrift zu K u m m e r s g o l d e n e m D o k t o r i u b i l ä u m , veröffenthchte, w ä h r e n d D e d e k i n d die z w e i t e Auflage der v o n i h m herausgegebenen Dirichletschen Zahlen­ theorie (I87I) b e n u t z t e , u m in e i n e m S u p p l e m e n t e seine Theorie zu entwickeln. D e d e k i n d n i m m t dabei eine W e n d u n g z u m A b s t r a k t e n , w e l c h e die Sache i m Prinzip sehr vereinfacht u n d daher für die D e n k w e i s e u n d D a r s t e l l u n g s w e i s e der Jüngeren vielfach vorbüdlich geworden ist, w ä h ­ rend die älteren Forscher, z. B . Kronecker (in Crehe, B d . 99, S. 336) sich d a m i t n i c h t befreunden k o n n t e n . S t a t t n ä m h c h v o m (realen oder idealen) F a k t o r zu sprechen, redet er v o n der G e s a m t h e i t der g a n z e n Zahlen des vorgelegten Körpers, die durch den F a k t o r teilbar sind. S t a t t des F a k t o r s 2 w ü r d e er bei der n a t ü r h c h e n Zahlenreihe ahe Zahlen 2m K (T^)

b e t r a c h t e n , s t a t t des F a k t o r s die Zahlen 2μ - f (I + J ^ )

g a n z e Zahlen des Körpers K

T2 oder I - f t i m Körper

v, wo μ u n d ν selbst beliebige

— 5) sind.

D e r Vorteil dabei ist, d a ß m a n v o n den wihkürlichen arithmetischen E i n h e i t e n frei wird, der N a c h t e i l , d a ß m a n sich daran gewöhnen m u ß , das P r o d u k t zweier Zahlen durch das V e r h a l t e n der korrespondierenden G e s a m t h e i t e n auszudrücken. Z. B . 2 - 3 = 6 h e i ß t j e t z t : die G e s a m t h e i t der durch 2 u n d die G e s a m t h e i t der durch 3 teilbaren Zahlen h a b e n die Gesamtheit der durch 6 teilbaren Zahlen g e m e i n . U n a n g e n e h m ist mir nur i m m e r D e d e k i n d s Terminologie gewesen, w e l c h e aller A n s c h a u h c h k e i t e n t b e h r t . Ideale,

E r n e n n t diese Gesamtheiten

u n d w e n n ein „wirkhcher" g e m e i n s a m e r F a k t o r v o r h a n d e n ist,

Hauptidealel

(z. B . ist 2μ + 2v

ein H a u p t i d e a l , da hier der wirk­

liche F a k t o r 2 auftritt). E r h ä t t e v o n „ R e a l e n " sprechen sohen.

Denn

es h a n d e l t sich u m Zahlenaggregate, die in d e m gerade vorgelegten Integritätsbereich t a t s ä c h l i c h v o r h a n d e n sind. E s ist mir hier unmöglich, auf diese rein zahlentheoretischen U n t e r ­ s u c h u n g e n näher einzugehen. Z u s a m m e n g e f a ß t , aber gleichzeitig außer21*

VII. Die algebraischen Gebilde.

324

ordentlich weiterentwickelt u n d vereinfacht finden sich diese in H i l ­ b e r t s „Zahlbericht" in B d . 4 der Jahresberichte der DMV. (1897): „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper." Auf die Gesichtspunkte, welche Hilbert d a b e i leiteten, k o m m e n wir n o c h später zurück. Diese Theorie ist a u c h wiedergegeben i m zweiten B a n d e v o n Webers Algebra (2. Auflage 1899). N u n k o m m t eine n e u e G e d a n k e n w e n d u n g , die durch Kronecker vorbereitet u n d v o n D e d e k i n d u n d W e b e r ganz klar herausgearbeitet wurde (Crelle, B d . 92, 1882 „Theorie der algebraischen F u n k t i o n e n emer Veränderlichen"). E s zeigt sich nämlich, d a ß m a n eine w e i t ­ g e h e n d e Analogie zwischen der zahlentheoretischen B e t r a c h t u n g (der ganzen Zahlen eines Zahlkörpers) u n d der funktionentheoretischen (der algebraischen F u n k t i o n e n auf einer über der ^-Ebene ausgebreiteten R i e m a n n s c h e n Fläche) hersteUen kann. A m b e s t e n erkennt m a n die Vergleichspunkte an H a n d einer TabeUe, während m a n w e g e n d e s daraus folgenden m e t h o d i s c h e n Verfahrens bei D e d e k i n d - W e b e r n a c h s e h e n m a g . Arithmetisch

Funkttonentheorettsch

Ausgangspunkt eine ganzzahlige irre­ duzible Gleichung f{x) = 0.

Ausgangspunkt eine irreduzible Glei­ chung f {ζ, ζ) = 0, welche ζ rational enthält (deren Koeffizienten also nach Heraufmultiplizieren mit dem General­ nenner ganze rationale Funktionen von Z sind, mit irgendwelchen Koeffizienten, die hier nicht interessieren).

Körper aller

Körper aller Κ(ζ, z), d . h . aller alge­ braischen Funktionen, die auf der Rie­ mannschen Fläche eindeutig sind.

R(x).

Herausheben der ganzen algebraischen Zahlen des Körpers.

Herausheben der ganzen algebraischen Funktionen des Körpers, d. h. der­ jenigen Funktionen G(ζ, ζ), die nur für Z = <x> unendlich werden.

Zerlegung in reale und ideale Prim­ faktoren bzw. Einheiten.

Ideelle Zerlegung der Funktionen G (C, z) in solche Faktoren, deren jeder nur in einem Punkte der Riemannschen Flache verschwindet bzw. in Bestandteile, die nirgends verschwinden.

B e s o n d e r s deutlich tritt diese Analogie hervor, w e n n wir die Diskriminanten betrachten. D i e s e zerfaUen i m funktionentheoretischen FaUe in zwei Teiler, in einen „ w e s e n t h c h e n Teiler", der den Verzweigungs­ p u n k t e n der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e entspricht, u n d einen „außerwesent­ lichen Teiler", der solchen Stellen entspricht, w o die K u r v e f (ζ, ζ) = O einen D o p p e l p u n k t h a t ( w o zwei V e r z w e i g u n g s p u n k t e sich aufheben). Dieser zweite B e s t a n d t e i l h e i ß t außerwesentlich, weil er sich ändert.

Dedekind-Weber, Weierstraß.

325

w e n n m a n d a s anfängliche ζ durch eine andere F u n k t i o n des Körpers ersetzt. Genau so ist es i m zahlentheoretischen F a h e . D a b e i sind es die Primfaktoren des w e s e n t l i c h e n Teüers der Diskriminante v o n f(x)=0, die den Verzweigungspunkten v o n f (ζ, ^:) = O entsprechend gesetzt wer­ den können. Ich w i h n u n die ideelle Zerlegung einer G {ζ, ζ) entsprechend d e m früheren arithmetischen Beispiel, an e i n e m Beispiel erörtern, d a s u n s unmittelbar zur H a n d ist. Wir n e h m e n als Ausgangsgleichung C^^=4z'~g,z~g,= 4{z - e,) {z - e,) {z - e,). Wir betrachten n u n die ganze F u n k t i o n g e w i ß das einfachste Beispiel. Der wesentliche Teiler der Diskriminante (einen außer­ wesentlichen gibt es hier nicht) i s t :

Die P u n k t e ζ = ß^, e^, sind in der T a t die Verzweigungs­ punkte der Riemannschen F l ä c h e , denn die T a n g e n t e n in diesen P u n k t e n u n d nur in ihnen sind parahel zur Ordinatenachse (vgl. Fig. 31). D i e ganze F u n k t i o n ζ verschwindet in ßj, ßg. ^3 einfach. W i r können aber keine ganze F u n k t i o n des Körpers büden, die nur in b z w . oder einfach verschwindet. Die ganzen F u n k t i o n e n ζ — e^, ζ — e^, ζ — verschwinden dort nämlich, weil sie gleich Null gesetzt, T a n g e n t e n der Kurve vor­ stellen, d o p p e h . Wohl aber können wir den idealen Faktor realisieren, w e n n wir aus d e m Körper R [ζ, z) heraustreten; wir brauchen nur die auf der Riemannschen Fläche zweiwertigen „Wurzelfunktionen", ]z — e^, \z — e^, )z — ins A u g e . z u fassen. E s ist dann

w o m i t wir die idealen Faktoren v o n ζ v o r A u g e n haben. Eine noch weitergehende A d j u n k t i o n , die über die Analogie m i t der Zahlentheorie hinausgeht, ist e s , w e n n ich d a s zugehörige Integral erster G a t t u n g u heranziehe u n d m i t seiner Hilfe mir die F u n k t i o n G(U-UQ) bilde, die auf der Riemannschen Fläche zwar unendlichwertig ist, aber nur an der einen Stelle, der die Parameterwerte UQ + Μ^ω^ - f WgCOg zugehören, verschwindet. In demselben Sinne würden σ (w — - ^ ) (i = 1, 2, 3) drei Primfaktoren sein, den P u n k t e n ß^, ßg,

326

V I I . Die algebraischen Gebilde.

entsprechend. Aber d a sie gar keinen U n e n d l i c h k e i t s p u n k t h a b e n , m u ß m a n jeden n o c h m i t d e m N e n n e r σ (u) v e r s e h e n , der bei ζ =00 einfach v e r s c h w i n d e t . Solcherweise k o m m t

unter E eine nirgends v e r s c h w i n d e n d e F u n k t i o n , d. h. eine „ E i n h e i t " v e r s t a n d e n . E s erweist sich, d a ß diese E i n h e i t gleich e i n e m A u s ­ druck Ce^** ist. I n d e m wir ihn auf die drei F a k t o r e n des Zählers in geeig­ neter W e i s e verteilen, b e k o m m e n wir die übliche P r o d u k t f o r m e l :

I n dieser transzendenten W e i s e d a c h t e sich W e i e r s t r a ß die Ü b e r ­ tragung der zahlentheoretischen Grundbegriffe. I c h k a n n leider hier nicht ausführen, w i e sich das für höhere Fälle gestaltet. Man vergleiche u. a. m e i n e Arbeit in d e n Math. A n n . , B d . 36 (1889), w o die Sache für höheres Geschlecht auf ihren einfachsten A u s ­ druck gebracht ist^). A n Stelle v o n σ (u) tritt m e m e „Primform". (Es ist das dieselbe Arbeit, die ich s c h o n S. 3 1 2 zitiert habe.) I c h h a b e n u n den Bericht über die algebraischen Zahlkörper zu E n d e z u führen, u n d zwar m ö c h t e ich wieder die Analogie, die z w i s c h e n Zahlkörper u n d F u n k t i o n e n k ö r p e r b e s t e h t , besonders beleuchten, u m dadurch die gegenseitige Stellung großer Gebiete der m o d e r n e n Literatur klarzumachen u n d insbesondere, u m das innere Verständnis für d a s Lehrbuch der Algebra v o n H . W e b e r (2. Auflage, drei B ä n d e , 1898, 1899, 1908) m seinen H a u p t z ü g e n zu w e c k e n . I c h h a b e z u n ä c h s t n o c h auf die grundlegende Arbeit v o n D e d e k i n d u n d W e b e r m Crelle, B d . 9 2 , zurückzugreifen. Man k a n n sich d e n k e n , w i e a u c h hier der „ideale Faktor'*, der nur m e m e m P u n k t e der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e (einfach) v e r s c h w i n d e t , durch das korrespondierende „ I d e a l " ersetzt wird, d. h. durch die G e s a m t h e i t der g a n z e n F u n k t i o n e n des Körpers selbst, die ü n betreffen­ den P u n k t e der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e v e r s c h w i n d e n . D i e E m f ü h r u n g dieses Begriffes ist nur e t w a s Äußerliches. V i e l w i c h t i g e r ist d a g e g e n der F o r t s c h r i t t , d e n die Verfasser m a c h e n , i n d e m sie a u c h die B e w e i s m e t h o d e n der A r i t h m e t i k auf die B e h a n d l u n g des Körpers der algebraischen F u n k t i o n e n übertragen. D a ist kerne R e d e m e h r , w i e bei Clebsch u n d s e m e n Schülern, v o n e m e r K u r v e u n d allerlei g e o m e t r i s c h e n Hilfsvorstellungen, ebensowenig v o n emer R i e m a n n s c h e n F l ä c h e oder a u c h nur v o n einer ^-Ebene, sondern es wird rem arithmetisch m i t e i n e m P o l y n o m f {ζ, ζ) operiert, d a s nach P o t e n z e n v o n ζ u n d ζ 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 388ff.

Dedekind-Weber, Weierstraß.

Hurwitz, Hilbert, Minkowski.

327

geordnet ist. Mit Hilfe v o n arithmetischen Schlüssen gelingt es den Verfassern z. B . ziemlich rasch, bis z u m R i e m a n n - R o c h s c h e n Satze vorzudringen. Der Fortschritt ist, d a ß diese B e h a n d l u n g s w e i s e , welche der P h a n ­ tasie keinen u n b e s t i m m t e n Spielraum läßt, alle F ä l l e v o n Singularitäten, welche die Gleichung f [ζ, 2;) = O besitzen m a g , m i t Sicherheit berück­ sichtigt. B e i R i e m a n n ist d a s i m P r m z i p a u c h s o , u n d N o e t h e r insbe­ sondere h a t für die „ K u r v e n " f {x^, x^, x^) = O aüe Mittel gegeben, u m geometrisch-algebraisch dasselbe zu leisten, aber m a n m u ß bei diesen Autoren doch e t w a s zwischen d e n Zeilen lesen. N u n h a t in der F o l g e eine T e ü u n g der Geister s t a t t g e f u n d e n . D i e einen, die wir oben g e n a n n t h a b e n — insbesondere die Italiener — , h a l t e n an d e m Bilde der algebraischen K u r v e , oder der algebraischen Fläche, oder w a s es nach der Zahl der P a r a m e t e r sein m a g , fest u n d üben das geometrische D e n k e n nach der m e t h o d e m i x t e bei beliebig vielen D i m e n s i o n e n . D i e anderen, wie H e n s e l u n d L a n d s b e r g u n d für zweidimensionale Gebiete J u n g , ziehen d a s arithmetische Verfahren vor. E s g e h t d a n n wie b e i d e m T u r m b a u v o n B a b e l , d a ß sich die ver­ schiedenen Sprachen b a l d n i c h t mehr v e r s t e h e n . U n d m a n w i l l , w e ü es so u n b e q u e m ist sich u m z u g e w ö h n e n , sich v i e l f a c h nicht m e h r ver­ s t e h e n . Jedenfalls h a b e n wir b e i der E n z y k l o p ä d i e der m a t h e m a t i s c h e n Wissenschaften zwei Referate neben einander a n s e t z e n m ü s s e n . D a s ,,geometrische" Referat v o n Castelnuovo-Enriques liegt m B d . I I I (C 6 b ) vor. (Die B e m e r k u n g e n über J u n g in d e m I n h a l t s v e r z e i c h n i s s m d nur m i t großer Mühe v o n mir durchgesetzt worden.) D a s , , a r i t h m e t i s c h e " Referat ist v o n H e n s e P ) ; eine g u t e E i n l e i t u n g ist das v o n Landsberg in B d . I der E n z y k l o p ä d i e (I B I c ) . D i e s e T e n d e n z , die Wissenschaft nicht nur in i m m e r zahlreichere Einzelkapitel z u zerlegen, sondern Schulunterschiede n a c h der Art der B e h a n d l u n g zu schaffen, würde, w e n n sie einseitig zur G e l t u n g k ä m e , den T o d der Wissenschaft herbeiführen. Wir selbst h a b e n i m m e r d a s U m g e k e h r t e angestrebt. In unserer Generation h a b e n wir I. I n v a ­ riantentheorie, 2. Gleichungstheorie, 3. F u n k t i o n e n t h e o r i e , 4. Geometrie u n d 5. Zahlentheorie m e h r oder weniger in K o n t a k t g e h a l t e n , u n d d a s war unser besonderer Stolz. H e i n r i c h W e b e r , der seine b e s t e n Jahre (von 1875—83) in K ö n i g s b e r g verlebte, ist w o h l der vielseitigste Vertreter dieser T e n d e n z . U n d glücklicherweise findet sich u m 1885 für fast wieder ein J a h r z e h n t , e b e n auch wieder in Königsberg, ein D r e i b u n d junger Forscher z u s a m ­ m e n , welche diese T e n d e n z in neuer Weise in die T a t u m s e t z e n u n d d a m i t denjenigen S t a n d p u n k t schaffen, v o n d e m aus die N e u z e i t , w e n n sie es v e r m a g , w e i t e r z u g e h e n h a t . E s sind dies H u r w i t z , H i l b e r t u n d Minkowski. 1) I I C 5; erschienen X92X.

V I I . Die algebraischen Gebilde. H u r w i t z , g e b . 1859, h a t ursprünghch bei mir studiert, in München u n d Leipzig, d a n n in B e r h n u n d sich in G ö t t i n g e n habihtiert. V o n 1 8 8 4 — 9 2 war er in Königsberg Extraordinarius u n d d a n n Ordinarius in Zürich a m P o l y t e c h n i k u m ^ ) . H i l b e r t , g e b . 1862 in Königsberg, h a t dort, m i t kurzen U n t e r ­ brechungen, die wesentlichen Stufen seiner E n t w i c k l u n g durchlaufen: S t u d e n t , D o z e n t , Extraordinarius, bis er 1895 als Ordinarius nach Göttingen kam. A u c h M i n k o w s k i , geb. 1864, h a t in Königsberg studiert u n d ist v o n 1 8 8 8 — 9 6 dort P r i v a t d o z e n t u n d Extraordinarius g e w e s e n . D a n n war er in Zürich u n d v o n 1 9 0 2 — 0 9 (bis zu s e i n e m frühen Tode) in Göttingen. I c h w i h m e i n e n B e r i c h t an die H ü b e r t s c h e n U n t e r s u c h u n g e n an­ s c h h e ß e n , die ich n i c h t nur d e s h a l b b e v o r z u g e , weil sie u n s hier a m n ä c h s t e n h e g e n , sondern w e ü sie a m durchgreifendsten sind. Schheßlich gehören die Arbeiten der drei aber d o c h z u s a m m e n , u n d so m ö c h t e ich über H u r w i t z u n d Minkowski hier v o r w e g ein paar W o r t e sagen, w e l c h e deren Arbeitsweise charakterisieren sohen. Man h a t H u r w i t z einen Aphoristiker g e n a n n t . I n voller Beherr­ s c h u n g der in B e t r a c h t k o m m e n d e n D i s z i p l i n e n s u c h t er sich hier u n d dort ein wichtiges P r o b l e m heraus, das er jeweils u m ein b e d e u t e n d e s S t ü c k fördert. J e d e seiner Arbeiten s t e h t für sich u n d i s t ein abgeschlos­ senes Werk. M i n k o w s k i s hier in B e t r a c h t k o m m e n d e Arbeiten beruhen z u m e i s t auf der V e r b i n d u n g durchsichtiger geometrischer A n s c h a u u n g m i t z a h l e n t h e o r e t i s c h e n P r o b l e m e n . D e r Z u s a m m e n h a n g dieser Gebiete wird wieder durch das Zahlengitter hergestellt. Minkowski h a t die Theorie der R a u m g i t t e r nach vielen R i c h t u n g e n weiter ausgebildet. E s finden sich bei i h m eine innere V e r w a n d t s c h a f t m i t Dirichletscher D e n k w e i s e . Vergleiche seine mehr pädagogisch g e h a l t e n e n Vorträge über „Diophantische Approximationen", 1908. Andererseits w i h ich hier erneut auf meine eigenen z a h l e n t h e o r e t i s c h e n Vorlesungen u n d auf das, w a s ich s c h o n o b e n in K a p . 1, S. 3 5 ff., über Gitter in der E b e n e s a g t e , verweisen. I c h selbst h a b e m i c h seinerzeit darauf beschränkt, gewisse schon b e k a n n t e Grundlagen geometrisch klarzustehen, w ä h r e n d Minkowski N e u e s z u finden u n t e r n a h m . D i e s e U n t e r s u c h u n g e n zeigen d e u t l i c h , d a ß Geometrie u n d Zahlentheorie keineswegs einander aus-, s c h l i e ß e n , sofern m a n sich in der Geometrie nur entschließt, diskonti­ nuierliche Objekte z u b e t r a c h t e n . H i l b e r t s rastloser Geist h a t i m Laufe der Jahre w e c h s e l n d sich auf den v e r s c h i e d e n s t e n Gebieten der Mathemarik b e t ä t i g t . D i e Ar­ b e i t e n , die u n s g e g e n w ä r t i g interessieren, und die m a n die Gedichte 1) Gest. 1919.

Hurwitz, Hilbert, Minkowski.

Algebraische Formen.

329

erster Periode n e n n e n k ö n n t e , g e h e n v o n 1 8 8 3 b i s e t w a 1 8 9 8 . Hilbert h a t , s e i t d e m er in G ö t t i n g e n wirkt, i m m e r zahlreiche Schüler a n g e z o g e n "(in K ö n i g s b e r g war d a z u n o c h w e n i g G e l e g e n h e i t , z u m a l in d e n d a m a ­ ligen J a h r e n die m a t h e m a t i s c h e

F r e q u e n z unserer U n i v e r s i t ä t e n

ein M i n i m u m h e r a b g e s u n k e n war).

auf

Aber die Schüler beherrschen i m m e r

nur d a s eine Gebiet, d a s sie gerade bei H u b e r t gelernt h a b e n ,

und

k e n n e n w o h l m e i s t n i c h t die Z u s a m m e n h ä n g e , die uns hier i n erster Linie interessieren. Wir w e r d e n hier zwei A r b e i t e n v o n Hilbert charakterisieren. nächst

die Arbeit

über die Theorie

Ann., Bd. 3 6 ( 1 8 9 0 ) ,

wo

der

Kroneckersche

algebraischen Ansätze

Formen,

mit

Zu­ Math.

Dedekihdscher

D e n k w e i s e z u m A b s c h l u ß g e b r a c h t u n d d a v o n eine g l ä n z e n d e A n w e n d u n g auf die P r o b l e m e der I n v a r i a n t e n t h e o r i e g e m a c h t w ü d . Wir e r w ä h n e n vor a h e n D i n g e n d e n S a t z , d a ß jedes algebraische Gebilde beliebiger A u s d e h n u n g i n e i n e m R ä u m e h o m o g e n e n Variablen x^, . . homogener

v o n beliebig

vielen

i m m e r so durch eine e n d h c h e A n z a h l

Gleichungen F J = O ,

F , =

0,

F,, =

0

d a r g e s t e l l t w e r d e n k a n n , d a ß die Gleichung F = O jedes a n d e r e n d a s Gebilde h i n d u r c h g e h e n d e ^ Gebildes in der Gestalt

durch

angeschrieben

werden kann: M i F i + + M , , F ^ w o die M

beliebige h o m o g e n e

=

0,

(rationale, ganze) F o r m e n sind, deren

Grade nur so g e w ä h l t w e r d e n m ü s s e n , d a ß die linke Seite der Gleichung s e l b s t wieder h o m o g e n ist. N a c h der in der Z a h l e n t h e o r i e v o n G a u ß herrührenden A u s d r u c k s ­ weise w i r d m a n s a g e n : J e d e F o r m F , die unser Gebilde e n t h ä l t , ist m o d u l i s F^, F^, . . ., F ^ k o n g r u e n t N u h . —

Im

übrigen

schließt

sich

Hilbert der D e d e k i n d s c h e n D e n k w e i s e so w e i t g e h e n d an, d a ß er die G e s a m t h e i t unserer F o r m e n selbst einen Modul

nennt!

Satz h e i ß t d a n n : J e d e s algebraische Gebilde d e s s c h w i n d e n eines „ e n d l i c h e n

Der Hilbertsche b e d i n g t d a s Ver­

Moduls"!).

A l s B e i s p i e l w ä h l e ich die R a u m k u r v e dritter Ordnung.

D i e s e wird

durch d e n partiellen S c h n i t t zweier F^ erhalten. Man sieht d a s folgender­ m a ß e n e i n : Wir d e n k e n u n s die g e g e b e n e C 3 wieder auf e i n e m einschaligen H y p e r b o l o i d liegen (vgl. o b e n S. 3 1 7 u n d Fig. 2 8 , S. 3 1 9 ) u n d projizieren sie auf die E b e n e . möge im Punkte

D i e e n t s p r e c h e n d e e b e n e K u r v e dritter einen D o p p e l p u n k t h a b e n (vgl. F i g . 3 2 ) .

wir n u n d u r c h d e n anderen F u n d a m e n t a l p u n k t

Ordnung Ziehen

eine Gerade, so k ö n n e n

1) In neuerer Zeit nennt man in Anlehnung an Dedekind die im Texte besprochene Gesamtheit ein Ideal und wendet die Bezeichnung „Modul" für allgemeinere Gesamtheiten an. Anm. d. Herausg.

V I I . Die algebraischen Gebilde. wir diese Gerade u n d die Cg z u s a m m e n als C4 erster Spezies auffassen. D i e s e r C4 e n t s p r i c h t i m R ä u m e der voUe S c h n i t t einer boloid.

mit dem Hyper­

E i n e F^, die das H y p e r b o l o i d i n einer C 3 s c h n e i d e t , h a t also"

m i t d i e s e m a u ß e r d e m n o c h eine E r z e u g e n d e g e m e i n .

D u r c h beide g e h t

n a t ü r h c h ein g a n z e s B ü s c h e l v o n F l ä c h e n z w e i t e n XF^ + μΗ

= 0

(unter H = O die standen).

Gleichung

des

Entsprechend

durch

Grades,

nänüich

Hyperboloids

dem

g i b t es eine e i n f a c h - u n e n d l i c h e

v o n B ü s c h e h i XF^ + μΗ

= 0,

b o l o i d in der C 3 u n d je in

ver­

Geradenbüschel die

einer

das

Schar Hyper­

Erzeugenden

s c h n e i d e n , w o m i t i c h 00^ F l ä c h e n z w e i t e n Grades erhalte XF^ + λ'F^

+ μΗ = 0, die durch die C 3

gehen.

sich

Es

fragt

nun,

wieviele

Flächen

, . . . , F ^ m u ß m a n durch die C 3 l e g e n , d a m i t jede andere durch die C 3 g e h e n d e F l ä c h e F in der gewünschten

Gestalt

F =

+ Mg

erscheint?

H

h M^ F^, = O

E s z e i g t sich,

d a ß d a z u die

F l ä c h e n z w e i t e n Grades Fg, Fg' u n d H

drei

genügen.

D e n z u g e h ö r i g e n dreigliedrigen Modiü erhalten wir a m e i n f a c h s t e n , determinanten setzen.

einer

Matrix

von

2-3

i n d e m wir die drei U n t e r ­

linearen

Formen

gleich

NuU

D i e s e M a t r i x sei

^ %j D a n n sind F . = q,r^^r,q^=^0

{κ, λ,μ

=

1, 2 , 3)

F l ä c h e n z w e i t e n Grades, die nur eine C 3 g e m e i n h a b e n , u n d die zugleich d e n z u g e h ö r i g e n M o d i ü definieren. D e r B e w e i s d e s H i l b e r t s c h e n S a t z e s u n d anderer S ä t z e ist sehr a b ­ s t r a k t , aber a n sich g a n z einfach u n d d a r u m logisch z w i n g e n d .

Eben

d a r u m leitet diese A r b e i t v o n H u b e r t eine n e u e E p o c h e der algebraischen G e o m e t r i e ein. E b e n s o einfach ist d a n n a u c h die A n w e n d u n g auf die I n v a r i a n t e n ­ theorie, die i c h hier n o c h w e n i g e r z e r g h e d e m k a n n . D i e g a n z e F r a g e der E n d l i c h k e i t der I n v a r i a n t e n , w e l c h e G o r d a n seinerzeit nur m i t fangreichen R e c h n u n g e n

für

binäre

Formen

h a t t e erledigen

um­

können

(vgl. o b e n S. 308), w i r d hier m i t e i n e m S c h l a g e für F o r m e n m i t beliebig v i e l e n Veränderlichen

gelöst.

Ihrer E i g e n a r t e n t s p r e c h e n d w u r d e diese A r b e i t z u n ä c h s t m i t sehr verschiedener Stimmung aufgenommen.

Mich h a t sie d a m a l s b e s t i m m t ,

H u b e r t bei n ä c h s t e r Gelegenheit n a c h G ö t t i n g e n z u ziehen.

Gordan

w a r a n f a n g s a b l e h n e n d : „ D a s ist n i c h t M a t h e m a t i k , d a s ist T h e o l o g i e . "

Algebraische Formen.

Hilbert, Zahlbericht.

331

Später sagte er d a n n w o h l : „ I c h habe mich überzeugt, d a ß auch die Theologie ihre Vorzüge h a t . " I n der T a t hat er d e n B e w e i s des H ü ­ bertschen Grundtheorems selbst später sehr vereinfacht (Münchener Naturforscherversammlung 1899). A n zweiter Stelle n e n n e n wir den s c h o n (S. 324) angeführten Zahlhericht v o n 1897, der sich äußerlich als ein Referat über die vor­ handene Literatur gibt, aber nicht nur diese überall auf einfachere Grundlagen zurückführt, sondern w e i t g e h e n d in neue F r a g e s t e l l u n g e n vorstößt. I c h m ö c h t e v o n d e m inneren Gedanken, der Hilbert dabei geleitet hat, nämlich der Analogie der Zahlkörper m i t d e n F u n k t i o n e n k ö r p e m , einen Begriff g e b e n , u n d zwar u m so lieber, als sich Hilbert selbst hierüber erst später u n d nur beüäufig ausgesprochen hat, n ä m l i c h in s e i n e m Vortrag über ,,Mathematische P r o b l e m e " auf d e m Pariser Internationalen M a t h e m a t i k e r - K o n g r e ß , 1900 (Bericht S. 58ff.; Göt­ tinger N a c h r i c h t e n 1 9 0 0 ; siehe N r . 12 daselbst). Aber u m hier verständlich zu reden, m u ß ich (unter B e r u f u n g auf K a p . 2, S. 89 ff.) eine E i n s c h a U u n g m a c h e n über die Galoissche Theorie der algebraischen Gleichungen. I c h resümiere die H a u p t p u n k t e . D i e Grundlage der Galoisschen Theorie ist, w i e ich d a m a l s s c h o n ausführte, der Begriff des Rationalitätsbereiches. — Als rational k ö n n e n angesehen w e r d e n : zunächst e n t w e d e r nur die Zahlen - , w o m u n d η g e w ö h n l i c h e g a n z e Zahlen sind, oder alle rationalen F u n k t i o n e n irgend­ welcher P a r a m e t e r y («2^, -ig, . . ., ζmit rationalen oder auch beliebigen Koeffizienten. Ferner k a n n m a n d e n R a t i o n a h t ä t s b e r e i c h n o c h erwei­ tern, i n d e m m a n irgendwelche feste algebraische Irrationahtäten, z. B . b e s t i m m t e Einheitswurzeln, adjungiert u n d ahe F u n k t i o n e n , die aus solchen I r r a t i o n a h t ä t e n rational aufgebaut sind, z u m Bereiche zählt. E n d h c h k a n n m a n noch d e n R a t i o n a l i t ä t s b e r e i c h relativ zu einer über der z-Ehene ausgebreiteten R i e m a n n s c h e n F l ä c h e definieren. Der z w e i t e Grundbegriff ist der der Irreduzibilität E s sei eine Gleichung ^^^^ ^

einer Gleichung.

vorgelegt, deren Koeffizienten rationale Zahlen oder rationale

Funk­

t i o n e n irgendwelcher P a r a m e t e r oder auch adjungierter Irrationalitäten sein m ö g e n .

D i e Gleichung ist „reduzibel", w e n n sie sich i m v o r g e ­

g e b e n e n Rationalitätsbereiche ^l^i^h^^g ,,irreduzibel"

in F a k t o r e n s p a l t e n läßt. Z. B . ist die ^^+5 =

im

gewöhnlichen

0

Rationalitätsbereiche

der Zahlen — ·

Adjungieren wir F— 5, so wird sie reduzibel:

^^ + 5 = (^ + ^"=:^) (^-r^).

332

VII. Die algebraischen Gebilde.

D i e „ I r r e d u z i b i l i t ä f ' einer Gleichung ist also ein relativer Begriff, sie ist i m m e r bezogen auf d e n vorher definierten R a t i o n a h t ä t s b e r e i c h . D i e Gleichung f{x) = O sei n u n i m g e g e b e n e n R a t i o n a h t ä t s b e r e i c h e irreduzibel. Ihre W u r z e l n seien x^, . . x^. D a n n gibt es eine Gruppe v o n V e r t a u s c h u n g e n der x^, . . χ w e l c h e die Galoissche Gruppe g e n a n n t wird u n d die folgenden zwei Eigenschaften hat: a) J e d e F u n k t i o n R {x^, . , x^), w e l c h e bei den V e r t a u s c h u n g e n der Gruppe numerisch u n g e ä n d e r t bleibt, ist rational b e k a n n t . b) U m g e k e h r t bleibt jede rationale F u n k t i o n R {x^, . . ., x^), d i e e i n e n rationalen W e r t h a t , bei d e n V e r t a u s c h u n g e n der Gruppe n u m e ­ risch ungeändert. V o n der Struktur dieser Gruppe (ihren U n t e r g r u p p e n usw.) h ä n g t es a b , w a s m a n über die Auflösbarkeit der Gleichung, über die Art ihrer R e s o l v e n t e n usw. s a g e n k a n n . — D a s W e s e n t h c h e für u n s ist hier, d a ß die Galoissche Theorie s o w o h l für numerische Gleichungen f {x) == 0, die einen P a r a m e t e r e n t ­ h a l t e n , als auch für F u n k t i o n e n k ö r p e r gut. B e t r a c h t e n wir z u n ä c h s t d e n letzteren FaU. R a t i o n a l soU also h e i ß e n , w a s eine rationale F u n k t i o n v o n ζ ist, w o b e i wir v o n der n u m e r i s c h e n N a t u r der in diesen rationalen F u n k t i o n e n v o r k o m m e n d e n Koeffi­ zienten ganz absehen wollen. I n d i e s e m Falle h a b e n wir eine a n s c h a u h c h e Art, d e n Begriffen „ I r r e d u z i b i h t ä t " u n d „ G r u p p e " n a h e ­ zukommen: W i r konstruieren u n s z u n ä c h s t über der ^-Ebene die z u ζ gehörige R i e m a n n s c h e F l ä c h e . W e n n diese F l ä c h e aus e i n e m S t ü c k e b e s t e h t , so ist die Gleichung irreduzibel u n d u m g e k e h r t ! W i r w o l l e n u n s j e t z t die V e r z w e i g u n g s s t e l l e n a,h, . . .,k der Glei­ c h u n g f (C, ^) = O in d e r ^-Ebene markieren u n d durch eine beliebige K u r v e o h n e D o p p e l p u n k t e v e r b i n d e n . S c h n e i d e n wir n u n längs dieser K u r v e aUe B l ä t t e r der R i e m a n n s c h e n Flä(ihe zugleich durch, so zer­ fällt diese in η g e t r e n n t e B l ä t t e r , die wir m i t · · ·, Cn bezeichnen woUen. Ü b e r d e n V e r z w e i g u n g s p u n k t e n k ö n n e n n a t ü r h c h gewisse B l ä t t e r der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e s c h h c h t verlaufen. W i r schreiben u n s für j e d e s S t ü c k des S c h n i t t e s z w i s c h e n zwei V e r z w e i g u n g s p u n k t e n auf, wie dort die B l ä t t e r a n einander geheftet sind, d. h. wir stellen eine T a b e l l e des B l ä t t e r z u s a m m e n h a n g e s auf. So oft wir unseren S c h n i t t überschreiten, so findet eine V e r t a u s c h u n g der B l ä t t e r s t a t t , die wir a u s unserer TabeUe ablesen k ö n n e n . I n d e m wir ζ alle m ö g h c h e n g e s c h l o s s e n e n W e g e durchlaufen lassen, erhalten wir eine Gruppe v o n V e r t a u s c h u n g e n , die wir sonst die Mono­ dromiegruppe der Gleichung n a n n t e n . (Diesen A u s d r u c k g e b r a u c h t e n wir s c h o n in d e m a l l g e m e i n e n Falle der linearen Differentialgleichungen vgl. S. 2 6 8 . ) D i e s e Monodromiegruppe ist bei Zugrundelegung des v o n

Hilbert, Zahlbericht.

333

u n s verabredeten Rationalitätsbereiches die G a l o i s s c h e Gruppe der vorgelegten Gleichung. D e n n es ist klar 1. d a ß jede F u n k t i o n Κ{ζ,ζ), die dabei ungeändert bleibt, eben deshalb, eine rationale F u n k t i o n v o n ζ allein ist (eine algebraische F u n k ­ tion v o n z, die eindeutig ist, ist rational), 2. d a ß jede rationale F u n k t i o n r {z), weil sie eindeutig ist, bei den U m l ä u f e n der ζ g e w i ß u n g e ä n d e r t bleibt. Wir sehen, wie unsere R i e m a n n s c h e F l ä c h e , w e n n eben wir den Parameter ζ der Definition des Rationalitätsbereichs zugrunde legen, m i t den Galoisschen Ideen z u s a m m e n h ä n g t , u n d wie diese wiederum mit Hilfe der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e veranschaulicht werden k ö n n e n : S t a t t die R i e m a n n s c h e F l ä c h e zu geben, kann ich die V e r z w e i g u n g s ­ stellen α, 0, . . ., ^ vorschreiben u n d angeben, welche V e r t a u s c h u n g s ­ gruppen durch deren U m l a u f u n g zustande k o m m e n . D a m i t gehen wir sozusagen v o n R i e m a n n zurück zu P u i s e u x , der schon 1851 solche Gruppen aufgestellt h a t ^). Hierin aber h e g t die wunderbare Möghchkeit, nicht die R i e m a n n ­ sche F l ä c h e selbst, aber die aus ihrer B e t r a c h t u n g folgenden Theoreme oder w e n i g s t e n s die Fragestellungen auf Z a h l k ö r p e r zu übertragen. D e n n an Stelle der Verzweigungsstehen a, b, . . k treten, wie wir bereits wissen, die Primfaktoren des ,,wesentlichen" Teilers der D i s ­ kriminante, u n d der Galoisschen Gruppe i m algebraischen F u n k t i o n e n ­ körper entspricht natürlich die Galoissche Gruppe i m Zahlkörper. Dieses E n t s p r e c h e n wird n u n dadurch für die Zahlentheorie sehr fruchtbar, d a ß m a n für die R i e m a n n s c h e F l ä c h e Sätze kennt, die über unsere algebraischen Hilfsmittel hinausliegen, u n d deren Analogie für den Zahlkörper m a n nun suchen kann. D a ist vor ahen D i n g e n der R i e m a n n s c h e E x i s t e n z s a t z , den wir hier so a u s s p r e c h e n : Zu jeder über der ^-Ebene v o r g e g e b e n e n algebraischen R i e m a n n s c h e n F l ä c h e gehört ein Körper R {ζ, ζ). Ferner kann m a n fragen: W a s entspricht i m Zahlkörper den ein­ fachen F o r m u h e r u n g e n , die durch B e t r a c h t u n g der Abelschen Integrale g e w o n n e n werden, d e m A b e l s c h e n Theorem usw. ? H i e r m i t h a b e n wir n u n den eigenthchen Schlüssel zu den N e u e n t ­ wicklungen in Hilberts Zahlbericht u n d seinen zugehörigen späteren Arbeiten resp. denjenigen seiner Freunde u n d Schüler. Hilbert wollte die zahlentheoretischen E n t w i c k l u n g e n m ö g h c h s t dahin bringen, daß der Zahlkörper durch seine D i s k r i m i n a n t e u n d die zugehörige Galois sehe Gruppe definiert erscheint u n d sämtliche in der F u n k t i o n e n t h e o r i e b e k a n n t e n Sätze sich wiederfinden! (vgl. das zwölfte der Probleme v o n 1900). Er h a t dieses Ziel aherdings nur in einigen Fällen v o h erreicht. 1) Vgl. Enzyklop. I B 3c. d S. 487.

334

V I I I . Automorphe Funktionen.

Insbesondere b e i m sog. „Klassenkörper", der zu e i n e m R a t i o n a l i t ä t s ­ bereich K{}l-D) gehört. D i e Galoissche Gruppe ist hier eine A b e l s c h e Gruppe, d> h. sie b e s t e h t aus lauter v e r t a u s c h b a r e n Operationen, u n d die D i s k r i m i n a n t e (relativ ^Ji d e m Körper X (y - D ) ist 1 . D i e vollen B e w e i s e h a t erst F u r t w ä n g l e r g e g e b e n . E s ist u n m ö g l i c h , d a ß ich hier mehr ins E i n z e l n e gehe. Aber es ist doch, d e n k e ich, einiges g e w o n n e n , w e n n wir solcherweise den leitenden G r u n d g e d a n k e n k e n n e n . N u n ist es Zeit, unser K a p . 7 z u schließen. I c h b e s c h r ä n k e m i c h darauf, n o c h einmal das allgemeinste P r o b l e m , w e l c h e s hier v o r h e g t , i m A n s c h l u ß a n Kroneckers Festschrift v o n 1 8 8 1 (Crelle, B d . 92) zu charakterisieren. E s h a n d e l t sich n i c h t nur u m die reinen Zahlkörper oder Körper, die v o n e i n e m P a r a m e t e r ζ a b h ä n g e n , oder u m die A n a logisierung dieser Körper, sondern es h a n d e l t sich schließlich darum, für Gebilde, die gleichzeitig a r i t h m e t i s c h u n d f u n k t i o n e n t h e o r e t i s c h sind, also v o n g e g e b e n e n algebraischen Zahlen u n d g e g e b e n e n algebra­ ischen F u n k t i o n e n irgendwelcher P a r a m e t e r algebraisch a b h ä n g e n , das selbe z u leisten, w a s m e h r oder weniger v o l l s t ä n d i g in den e i n f a c h s t e n F ä l l e n g e l u n g e n ist. E s b i e t e t sich da ein ungeheurer A u s b l i c k auf ein rein theoretisches Gebiet, w e l c h e s durch seine a l l g e m e i n e n G e s e t z m ä ß i g k e i t e n den g r ö ß t e n ä s t h e t i s c h e n R e i z a u s ü b t , aber, w i e wir nicht unterlassen dürfen hier zu b e m e r k e n , allen praktischen A n w e n d u n g e n z u n ä c h s t g a n z fern liegt. D a m i t ist natürlich n i c h t g e s a g t , d a ß das i m m e r so zu bleiben b r a u c h t .

Achtes

Kapitel.

Gruppentheorie und Funktionentheorie; automorphe Funktionen. Gruppentheorie. D i e Gruppentheorie zieht sich als besondere Disziplin durch die g a n z e neuere M a t h e m a t i k . Sie greift als ordnendes u n d klärendes P r i n z i p in die v e r s c h i e d e n s t e n Gebiete ein. W i r h a b e n sie daher s c h o n öfter berührt, nicht nur in der Gleichungstheorie, sondern a u c h bei d e n elliptischen F u n k t i o n e n (Stufentheorie) u n d bei der U n t e r s c h e i d u n g v o n projektiver, affiner u n d metrischer Geometrie u n d üxrer I n v a ­ riantentheorie. I c h h a b e es aber v o r g e z o g e n , ihr keinen selbständigen größeren A b s c h n i t t zu w i d m e n , sondern sie innerhalb der v e r s c h i e d e n e n Teile v o n F a ü zu F a l l zur G e l t u n g zu bringen. W i r w e r d e n d a m i t fort­ fahren, i n d e m wir j e t z t z u n ä c h s t ihr H e r v o r t r e t e n in d e n neueren funk­ tionentheoretischen Entwicklungen behandeln. — Immerhin scheint

Begriff der Gruppe.

335

es z w e c k m ä ß i g , der Gruppentheorie als solcher hier v o r a b einige A u s ­ führungen zu w i d m e n . Unsere erste Frage wird s e i n : W a s ist eine Gruppe? D i e A n t w o r t darauf m ö c h t e ich unter einen allgemeinen Gesichtspunkt stellen. E s tritt hier die merkwürdige aber t y p i s c h e E r s c h e i n u n g auf, d a ß a u c h bei solchen F r a g e n in d e n l e t z t e n D e z e n n i e n eine W e n d u n g v o n der anschaulichen, a k t i v e n Erfassung der D i n g e zur a b s t r a k t e n F o r m u l i e ­ rung s t a t t g e f u n d e n h a t . E r s t 1870 durch d a s Erscheinen d e s Traiti des suhstitutions et des equations algebriques v o n C a m i l l e J o r d a n wurde die allgemeine A u f m e r k s a m k e i t der Gruppentheorie als e i n e m u n e n t ­ behrlichen I n s t r u m e n t der Gleichungstheorie z u g e w a n d t ( S u b s t i t u t i o n h e i ß t hier B u c h s t a b e n v e r t a u s c h u n g ) . Als d a n n L i e u n d ich es unter­ n a h m e n , die B e d e u t u n g der Gruppentheorie für die v e r s c h i e d e n s t e n Gebiete der M a t h e m a t i k herauszuarbeiten, d a s a g t e n wir: „ G r u p p e " ist der Inbegriff v o n eindeutigen O p e r a t i o n e n ß , C, . . . derart, d a ß irgend zwei der Operationen . 4 , B kombiniert wieder eine Operation C des Inbegriffes e r g e b e n : ^ ^ B e i seinen weiteren U n t e r s u c h u n g e n über unendliche Gruppen s a h sich Lie g e n ö t i g t , ausdrücklich zu verlangen, d a ß n e b e n A auch die I n v e r s e A'^ in der Gruppe v o r h a n d e n sein sohe. B e i d e n neueren M a t h e m a t i k e r n tritt eine abgeblaßtere Definition auf, die aber präziser ist. Man spricht nicht m e h r v o n e i n e m S y s t e m v o n Operationen, sondern v o n e i n e m S y s t e m v o n D i n g e n oder E l e m e n t e n A, B,C, D a n n wird postuliert, d a ß 1. das „ P r o d u k t " oder die Verknüpfung AB = C selbst d e m S y s t e m angehört (Abgeschlossenheit des S y s t e m s ) , 2. das assoziative Gesetz gilt, also (AB)-C

=

A^(BC)

3 . eine E i n h e i t E existiert, so d a ß AE

=

A

und EA=A ist, 4. die I n v e r s e existiert, d. h. d a ß die Gleichung D e r A p p e h a n die P h a n t a s i e tritt also hier v ö l h g zurück. Dafür wird das logische Skelett sorgfältig herauspräpariert, eine T e n d e n z , auf die wir bei der F o r t s e t z u n g der Vorlesung n o c h oft z u r ü c k k o m m e n w e r d e n . D i e s e a b s t r a k t e Formulierung ist für die A u s a r b e i t u n g der B e w e i s e vortrefflich, sie eignet sich aber durchaus nicht z u m Auf­ finden neuer I d e e n u n d M e t h o d e n , sondern sie s t e h t v i e l m e h r d e n

336

V I I I . Automorphe Funktionen.

A b s c h l u ß einer voraufgegangenen E n t w i c k l u n g dar. D a h e r erleichtert sie den Unterricht äußerlich insofern, als m a n m i t ihrer Hilfe b e k a n n t e S ä t z e lückenlos u n d einfach b e w e i s e n k a n n ; andrerseits wird die S a c h e für den Lernenden dadurch innerlich sehr erschwert, d a ß er vor e t w a s A b g e s c h l o s s e n e s gesteUt wird u n d n i c h t w e i ß , w i e s o m a n ü b e r h a u p t z u diesen Definitionen k o m m t , u n d d a ß er sich dabei absolut n i c h t s v o r ­ stellen k a n n . Ü b e r h a u p t h a t die M e t h o d e den N a c h t e i l , d a ß sie nicht z u m D e n k e n a n r e g t ; m a n h a t nur aufzupassen, d a ß m a n nicht g e g e n die aufgesteUten vier G e b o t e v e r s t ö ß t . D o c h beginnen wir n u n m i t d e m historischen Bericht. D e r Gruppen­ begriff h a t sich zuerst in der Lehre v o n den algebraischen Gleichungen e n t w i c k e l t . D i e Operationen der Gruppe, u m die e s sich hier h a n d e l t , sind die n\ V e r t a u s c h u n g e n der η W u r z e l n x^, x^, . . ., (Wir zählen die „ I d e n t i s c h e Operation", d. i. diejenige, die jedes χ an seiner Stelle l ä ß t , i m m e r mit.) L a g r a n g e (1770) ist w o h l der erste, der erkannte, d a ß die aU­ g e m e i n e Auflösung der Gleichungen z w e i t e n , dritten u n d vierten Grades nur v e r s t ä n d l i c h wird, w e n n m a n die Struktur der Gruppen b e t r a c h t e t , die aus den g e n a n n t e n V e r t a u s c h u n g e n v o n 2, 3, 4 B u c h s t a b e n b e s t e h e n . V o n den Forschern, die sich daraufhin m i t der Gruppe der s ä m t ­ lichen V e r t a u s c h u n g e n v o n η B u c h s t a b e n beschäftigt h a b e n , n e n n e ich vor allen D i n g e n C a u c h y , der hierüber viele merkwürdige S ä t z e g e f u n d e n h a t . I m folgenden b e n u t z e n wir bei Gelegenheit die Gruppe der | w ! „ g e r a d e n " V e r t a u s c h u n g e n (die sog. „alternierende" Gruppe). Aber ihre zentrale B e d e u t u n g für die algebraischen Gleichungen g e w i n n t die Gruppentheorie erst durch G a l o i s , 1831 (von d e m a u c h der T e r m i n u s , , G r u p p e " herrührt). Lagrange u n d die anderen h a t t e n in n a i v e r W e i s e m i t d e m R a t i o n a l i t ä t s b e r e i c h b e h e b i g veränderlicher Gleichungskoeffizienten operiert (das n e n n e n wir hier „allgemeine"* Gleichungen). Galois setzt, w i e wir s c h o n früher u n d insbesondere n o c h i m vorigen K a p i t e l erläuterten, s t a t t dessen einen irgend\vie b e s t i m m t festgelegten R a t i o n a l i t ä t s b e r e i c h v o r a u s u n d sagt, d a ß i h m g e g e n ü b e r jede irgend vorgelegte Gleichung durch eine b e s t i m m t e V e r t a u s c h u n g s g r u p p e der Wurzeln, die keineswegs, w i e bei Cauchy, die G e s a m t h e i t aUer V e r t a u s c h u n g e n z u e n t h a l t e n braucht, in d e m s c h o n h e r v o r g e h o b e n e n Sinne charakterisiert sei (vgl. S. 332). D a m i t war also das P r o b l e m , alle Gruppen, die sich a u s V e r t a u ­ s c h u n g e n v o n η B u c h s t a b e n hersteUen lassen, z u untersuchen, n a c h ­ drücklich auf die T a g e s o r d n u n g g e s e t z t . Vorher h a t t e m a n e i g e n t h c h nur Beispiele v o n Gruppen b e t r a c h t e t , insbesondere solche, die aus lauter v e r ­ t a u s c h b a r e n Operationen b e s t e h e n ; m a n n e n n t sie ,,Abelsche Gruppen". D i e Aufgabe, alle R e s o l v e n t e n der v o r g e l e g t e n Gleichung z u studieren, führt s o d a n n auf das P r o b l e m , alle U n t e r g r u p p e n der

Vertauschungsgruppen in der Algebra.

337

Gleichungsgruppe aufzuzählen.

D i e s b e z ü g h c h h a t n u n Galois wieder

einen Grundbegriff geschaffen.

Man n e n n e alle Operationen, die aus

einer S u b s t i t u t i o n T durch d e n A n s a t z 5 - ^ 7 5 berechtigt.

hervorgehen,

gleich­

Solche gleichberechtigte S u b s t i t u t i o n e n s e t z e n sich in ana­

loger W e i s e z u s a m m e n . D e n n es ist auf Grund d e s a s s o z i a t i v e n Gesetzes S-iTSS-^OS

=

S-^TUS,

Durchläuft Γ< eine U n t e r g r u p p e , s o n e n n t m a n die U n t e r g r u p p e n , die sich durch den A n s a t z S^^Ti S ergeben, gleichberechtigte E i n e U n t e r g r u p p e h e i ß t n u n ausgezeichnet

oder invariant,

Untergruppen. w e n n sie nur

m i t sich selbst gleichberechtigt ist, w e n n also allemal

ist, w o b e i unter S eine b e h e b i g e Operation der v o r g e l e g t e n Gruppe, unter Γ,·, solche der U n t e r g r u p p e v e r s t a n d e n werden. E i n e Gruppe h e i ß t n a c h Galois ,,zusammengesetzt" oder „einfach", je n a c h d e m sie ( v o n sich selbst u n d der I d e n t i t ä t verschiedene) aus­ g e z e i c h n e t e U n t e r g r u p p e n e n t h ä l t oder nicht. I m ersten F a l l e k a n n m a n , o h n e aus d e m R a t i o n a h t ä t s b e r e i c h e der W u r z e l n h e r a u s z u t r e t e n , die Auflösung der Gleichung auf eine R e i h e getrennter Hüfsgleichimgen zurückführen, i m letzteren n i c h t : die vorgelegte Gleichung b ü d e t d a n n i m R a t i o n a h t ä t s b e r e i c h e ein untrennbares P r o b l e m . I c h erinnere a n die Theorie der Gleichungen dritten u n d v i e r t e n Grades, a, b, c, d seien die vier W u r z e l n einer Gleichung vierten Grades. D i e s e lassen 2 4 V e r t a u s c h u n g e n zu. In dieser Gruppe G24 ist eine besonders merk­ würdige a u s g e z e i c h n e t e U n t e r g r u p p e v o n nur vier V e r t a u s c h u n g e n e n t ­ h a l t e n , n ä m h c h die G4, die wir erhalten, w e n n wir die W u r z e l n s t e t s paarweise v e r t a u s c h e n , w o d u r c h die A n o r d n u n g e n e n t s t e h e n : : :

C

ah

d,

b a d e ,

Γ3 : C d ah :

d C h

, a.

Lagrange b e m e r k t e , d a ß e s dreiwertige F u n k t i o n e n v o n a, h, c, d gibt E i n e solche ist z^ = ah +

cd

a u s der wir durch V e r t a u s c h u n g der a, h, c, d nur n o c h e r h a l t e n : z^ = ac +

hd,

z^=ad

ch.

+

D i e s e z^, z^, z^ bleiben bei d e n V e r t a u s c h u n g e n der G4 a h e drei u n g e ä n d e r t . Sie erleiden daher bei den 2 4 V e r t a u s c h u n g e n der a, h, c, nur ^ == 6 Ver­ t a u s c h u n g e n . Sie g e n ü g e n einer Gleichung d r i t t e n Grades m i t einer Ge, w e l c h e die „ k u b i s c h e R e s o l v e n t e " der Gleichung vierten Grades h e i ß t . G ä b e e s keine a u s g e z e i c h n e t e G4, s o wäre aües d a s u n m ö g h c h . Klein, Entwicklung der Mathematik.

22

338

V I I I . Automorphe Funktionen.

D a s s e l b e gilt betreffend die E x i s t e n z einer q u a d r a t i s c h e n R e s o l v e n t e bei den Gleichungen dritten Grades. N u n ist es G a l o i s ' besondere Leistung, d a ß er d e n Begriff der a u s g e z e i c h n e t e n U n t e r g r u p p e a l l g e m e i n klar erfaßt u n d so, w a s L a ­ grange bei Gleichungen dritten u n d v i e r t e n Grades g e m a c h t h a t t e , z u einer a l l g e m e i n e n g r u n d l e g e n d e n Auffassung über die Auflösung beliebiger Gleichungen a u s g e b a u t h a t . I c h k a n n die R e i h e der sich a n s c h h e ß e n d e n T h e o r e m e (unter die sich n a m e n t h c h die F r a g e subsumiert, w a n n eine v o r g e l e g t e Gleichung durch Wurzelzeichen lösbar ist) u n m ö g h c h weiter verfolgen. I c h k a n n nur fühlbar m a c h e n , d a ß hier ein h ö c h s t interessantes, dabei g a n z a b s t r a k t e s Gebiet vorliegt, durch w e l c h e s die seit 1500 traditionelle A u f g a b e , algebraische Gleichungen z u lösen, ein neues F u n d a m e n t erhält. E b e n das ist n u n die L e i s t u n g v o n C a m i l l e J o r d a n s B u c h , d a ß es hier w e i t eingedrungen ist u n d die erste z u s a m m e n f a s s e n d e Dar­ stellung g e g e b e n h a t . I n d e m vorher erschienenen Cours d'algebre superieure v o n J. A. S e r r e t ist die S a c h e n o c h n i c h t v o l l s t ä n d i g durch­ gebildet. C J o r d a n h a t dort insbesondere die g a n z e algebraische Geo­ m e t r i e , Zahlentheorie u n d F u n k t i o n e n t h e o r i e durchwandert, u m inter­ e s s a n t e V e r t a u s c h u n g s g r u p p e n z u finden. Seine Darstellung ist dabei m e r k w ü r d i g unfranzösisch, schwerfäUig, fast d e u t s c h . D i e Lehre v o n den V e r t a u s c h u n g s g r u p p e n h a t sich d a n n in der F o l g e , u n a b h ä n g i g v o n allen A n w e n d u n g e n auf Gleichungstheorie, z u einer s e l b s t ä n d i g e n Disziplin e n t w i c k e l t . Wir b e g e g n e n da N a m e n wie C a y l e y , S y l o w , D y c k , H o l d e r , F r o b e n i u s , B u r n s i d e u n d in neuerer Zeit vielfach auch A m e r i k a n e r n . F ü r v i e l e Gemüter ist es ein besonderer Reiz, d a ß m a n a u c h hier wieder arbeiten kann, o h n e v o n sonstiger M a t h e m a t i k viel zu w i s s e n u n d also verschiedene G e d a n k e n ­ kreise m i t e i n a n d e r z u kombinieren. Wir w e n d e n u n s j e t z t der B e t r a c h t u n g endlicher Gruppen linearer Substitutionen z u . U n t e r einer S u b s t i t u t i o n v e r s t e h e n wir hier nicht w i e bei C . J o r d a n e i n e B u c h s t a b e n v e r t a u s c h u n g , sondern eine Operation

also eine lineare Transformation. W e n n m a n will, so k a n n m a n Ver­ t a u s c h u n g e n v o n B u c h s t a b e n als besonderen FaU solcher linearer S u b s t i t u t i o n e n a n s e h e n , i n d e m m a n z. B . s e t z t :

D i e einfachste endliche Gruppe v o n linearen S u b s t i t u t i o n e n ist (*)

z' = er.z

(r = 0,

wo

e=

Lineare Substitutionen, reguläre Korper. ist. E s ist dies der „zyklische F a h " . Diese Gruppe kann leicht erwei­ tert werden zu einer solchen v o n 2η S u b s t i t u t i o n e n :

Weitere Beispiele solcher endlicher Gruppen erhält m a n durch die B e t r a c h t u n g der regulären Körper. D i e Operationen, u m die es sich hier h a n d e l t , sind die D r e h u n g e n , durch die die regulären Körper m i t sich selbst zur D e c k u n g gebracht werden. B e i dieser B e t r a c h t u n g ist der einzelne reguläre Körper äqui­ v a l e n t m i t seiner Polarfigur, die bei denselben Operationen ungeändert bleibt wie er selbst. D i e E c k e n der Polarfigur eines regulären Körpers entsprechen b e k a n n t l i c h den M i t t e l p u n k t e n der Begrenzungsflächen desselben. S o m i t werden einander z u g e o r d n e t : Tetraeder u n d Gegentetraeder, Oktaeder u n d Würfel, Ikosaeder und Pentagondodekaeder. D i e D r e h u n g e n , welche einen regulären Körper m i t sich selbst zur D e c k u n g bringen, bilden in ihrer G e s a m t h e i t eine Gruppe, denn es ist klar, d a ß irgend zwei D r e h u n g e n dieser Art h i n t e i einander a n g e w e n ­ det wieder eine D r e h u n g dieser Beschaffenheit ergeben, w o b e i das assoziative Gesetz gilt. B e i m Tetraeder erhalten wir eine Gruppe v o n 4.2 +

3.1 +

1=12 (oder -ζ^

D r e h u n g e n , n ä m l i c h 4 · 2 D r e h u n g e n durch

u m die Ver­

bindungslinien der E c k p u n k t e des Tetraeders m i t den gegenüberliegen­ den E c k p u n k t e n des Gegentetraeders als Achse, drei D r e h u n g e n durch u m die V e r b i n d u n g s g e r a d e n der Mittelpunkte zweier G e g e n k a n t e n als A c h s e u n d die „ i d e n t i s c h e " Drehung. Analog erhalten wir b e i m Oktaeder 3-3+

4.2 +

6 1 + 1 =

24

D r e h u n g e n u n d b e i m Ikosaeder 6.4+10.2+15.1+1 Drehungen.

=

60

Wir h a b e n s o m i t für

Tetraeder u n d Gegentetraeder eine Gig, Oktaeder und Würfel eine G24, Ikosaeder und P e n t a g o n d o d e k a e d e r eine G^Q. B e i diesen U n t e r s u c h u n g e n e n t d e c k t e ich n o c h einen s e c h s t e n regu­ lären Körper, das ,,Dieder" (richtiger wäre vieUeicht, D y e d e r z u schrei-

340

V I I I . Automorphe Funktionen.

b e n ) : D e n k e n wir uns d e n v o n d e n S e i t e n eines regulären w-Ecks begrenz­ t e n E b e n e n t e i l d o p p e l t , so k ö n n e n wir diese Konfiguration als regulären Körper auffassen, der durch η D r e h u n g e n u m seine H a u p t a c h s e u n d e b e n s o viele U m k l a p p u n g e n u m L i n i e n seiner Ä q u a t o r e b e n e in sich übergeht. (Die ü b h c h e Definition des regulären Körpers s t i m m t g e n a u , nur d a ß der eingeschlossene R a u m i n h a l t N u ü ist. D i e zugehörige „ G r u p p e " ist die u n t e r (**) angegebene.) W i r beschränken unsere g e o m e t r i s c h e B e t r a c h t u n g n u n m e h r auf die Ku^eloberfläche, w e l c h e durch die E c k e n des regulären Körpers gelegt ist, u n d auf die wir die K a n t e n u n d Seitenflächen desselben durch geradlinige P r o j e k t i o n v o m M i t t e l p u n k t der K u g e l aus übertragen d e n k e n . W i r d e n k e n u n s die K u g e l j e t z t als Trägerin einer k o m p l e x e n Variablen χ + iy. J e d e r D r e h u n g entspricht d a n n eine lineare S u b ­ s t i t u t i o n v o n Z = X + iy, der D r e h u n g s g r u p p e eine S u b s t i t u t i o n s g r u p p e . E s gelang mir n u n zu b e w e i s e n , d a ß es k e i n e a n d e r e n endlichen Gruppen linearer T r a n s f o r m a t i o n e n einer Veränderlichen gibt als die h i e r m i t aufgezählten (Math. A n n . , B d . 9 , 1 8 7 5 . Erlanger B e r i c h t e 1874^). D i e Tetraeder- u n d O k t a e d e r s u b s t i t u t i o n e n k o m m e n implizite a n m a n c h e n Stellen der älteren Literatur vor, die I k o s a e d e r s u b s t i t u t i o n e n h i n g e g e n waren n e u . S i e werden, b e i geeigneter W a h l der K o o r d i n a t e n , durch folgende F o r m e l n d a r g e s t e l l t :

'-{s-ε*)ε^'z WO ε = ^ 5 ;

+

(ε-^-εη'

V = 0, 1, 2, 3, 4.

Die des Tetraeders u n d die G24 des Oktaeders sind z u s a m m e n ­ g e s e t z t e Gruppen, w ä h r e n d dieGeo des I k o s a e d e r s e i n e einfache Gruppe ist. Man k a n n n u n die Gruppen n o c h erweitern, u n d zwar v e r d o p p e l n , i n d e m m a n die „ d i a m e t r a l e " Zuordnung h i n z u n i m m t , w e l c h e j e d e n K u g e l p u n k t durch d e n diametralen ersetzt. In der so erweiterten Gruppe finden sich d a n n u. a. alle Spiegelungen an d e n S y m m e t r i e ­ e b e n e n der Konfiguration, also b e i m Tetraeder a n 6, b e i m Oktaeder a n 9 u n d b e i m Ikosaeder an 15 S y m m e t r i e e b e n e n . Wir erhalten also als „ e r w e i t e r t e " Gruppen für d a s Tetraeder eine G^ ^ „ „ Oktaeder „ G^^ „ „ Ikosaeder „ G^.^^ 1) Vgl. K l e i n : Ges. Abh. B d . 2 . Nr. L I .

Lineare Substitutionen, reguläre Körper. Ich w ü l n u n v o r w e g zwei B e m e r k u n g e n einfügen, die sich hier u n ­ mittelbar darbieten, u n d die erwähnt werden sollen, weil sie Späteres vorbereiten: 1. D u r c h die S y m m e t r i e e b e n e n wird jede Seitenfläche eines regu­ lären Körpers in 6 kongruente bzw. s y m m e t r i s c h e Dreiecke zerlegt. D u r c h die S y m m e t r i e e b e n e n z. B . des Ikosaeders wird also die K u g e l in 120 solcher Dreiecke geteilt, die wir a b w e c h s e l n d schraffieren u n d freilassen. Bei einer D r e h u n g g e h e n schraffierte Dreiecke in schraffierte u n d freigelassene in ebensolche der6r. über. U m ein schraffiertes Dreieck in ein freigelassenes überzuführen, m ü s s e n wir n o c h ^ i n e Spiegelung h i n z u n e h m e n (allgemeiner eine der Operationen der G, welche keine D r e h u n g ist). D a s einzelne Dreieck ist n a c h e i n e m von_Fricke gebildeten Ausdruck ein Diskontinuüätshereich der Gj^o<^i2o diskontinuierlich, d a die v e r m ö g e der Gruppe „ ä q u i v a l e n t e n " P u n k t e getrennt liegen.) J e d e m P u n k t der K u g e l entspricht in j e d e m Dreieck ein u n d nur ein P u n k t , in den er durch eine Operation der G^^o übergeführt werden k a n n . U m also zu e i n e m P u n k t e den v e r m ö g e der G^^o ä q u i v a l e n t e n z u finden, m u ß m a n bis z u m korrespondierenden P u n k t e eines N a c h b a r ­ dreiecks gehen. Wir verstehen also unter e i n e m Diskontinuitätsbereich einer Gruppe einen Bereich, in d e m sich ein P u n k t frei b e w e g e n kann, ohne d a ß er einen v e r m ö g e der Gruppe ä q u i v a l e n t e n P u n k t erreicht. Irgend zwei neben einander liegende Dreiecke z u s a m m e n g e n o m m e n bilden einen D i s k o n t i n u i t ä t s / 7 bereich der Ggo- D a b e i h a t m a n aber aufzupassen, / / ^ / d a ß m a n die R a n d p u n k t e richtig einordnet. Man / Γ / rechne in F i g . 33 rechts nur die eine Seite u n d / ^ / die Hälfte der B a s i s z u m D i s k o n t i n u i t ä t s b e r e i c h ! Fig. 34. S c h h e ß h c h ist dieser Begriff des D i s k o n t i n u i t ä t s ­ bereichs geläufig a m Beispiel der doppeltperiodischen F u n k t i o n e n . D a s Periodenparallelogramm ist der Diskontinuitätsbereich für die u n e n d h c h e Gruppe linearer S u b s t i t u t i o n e n

w o b e i auch die einzelnen K a n t e n paarweise z u s a m m e n g e h ö r e n , u n d i m m e r nur eine v o n je zwei z u s a m m e n g e h ö r i g e n K a n t e n z u m Bereich gerechnet w e r d e n darf (Fig. 34). 2. Zwischen der Ggo des Ikosaeders u n d d e n 6 0 ,,geraden" Ver­ t a u s c h u n g e n v o n 5 D i n g e n b e s t e h t eine merkwürdige Beziehung. N i m m t m a n die M i t t e l p u n k t e der 30 K a n t e n des Ikosaeders als E c k p u n k t e v o n

342

VIII. Automorphe Funktionen.

5 Oktaedern, so werden mit den 60 Ikosaederdrehungen diese 5 Okta­ eder miteinander v e r t a u s c h t . D i e Gruppe GQQ der D r e h u n g e n des Ikosaeders ist also zu der der geraden V e r t a u s c h u n g e n v o n 5 D i n g e n iso­ morph ^). D a g e g e n ist die erweiterte G^^^ d e s Ikosaeders m i t der G^^o der s ä m t ­ lichen V e r t a u s c h u n g e n v o n 5 D i n g e n nicht isomorph. Die diametrale Zuordnung, (durch die wir die G^^^ aus der Ggoerzeugten) läßt n ä m l i c h jedes Oktaeder für sich ungeändert u n d h a t also m i t den V e r t a u s c h u n g e n der 5 Oktaeder nichts zu tun. D i e „erweiterte" Gj^o e n t h ä l t als ausge­ zeichnete Untergruppen: a) die GQQ der D r e h u n g e n , b) die G^ der diametralen Spiegelung. D a g e g e n e n t h ä l t die Gi^o der V e r t a u s c h u n g e n v o n 5 E l e m e n t e n zwar eine a u s g e z e i c h n e t e G^Q (die alternierende Gruppe), aber k e i n e a u s ­ g e z e i c h n e t e Gg· Sie h a t also g a n z andere Struktur. D i e B e m e r k u n g 1 S. 341 leitet über zu der B e t r a c h t u n g anderer diskontinuierlicher aber nicht endlicher Gruppen linearer S u b s t i t u ­ t i o n e n einer Veränderlichen, woraus schließlich die allgemeine Lehre der e i n d e u t i g e n a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n herauswächst. D i e B e m e r ­ k u n g 2 aber führt z u der m e r k w ü r d i g e n B e z i e h u n g zwischen d e m Ikosa­ eder u n d der Theorie der Gleichungen fünften Grades, v o n der wir ebenfalls ausführlicher reden m ü s s e n . N u n n o c h einige W o r t e über die Weiterführung dieser U n t e r ­ s u c h u n g e n . D i e s e erstreckt sich n a c h zwei R i c h t u n g e n , die a u c h k o m ­ biniert werden k ö n n e n : 1. E n d l i c h e Gruppen linearer S u b s t i t u t i o n e n m e h r e r e r Veränder­ licher. A u c h hier ist C J o r d a n b a h n b r e c h e n d g e w e s e n ; ich selbst u n d V a l e n t i n e r h a b e n die einfachsten (nicht trivialen) Beispiele gefunden, deren Tragweite d a n n B l i c h t e I d t k o n s t a t i e r t h a t ; F r o b e n i u s u n d J. S c h u r h a b e n eine allgemeine Theorie für η Veränderliche entworfen. W i e d a s Ikosaeder eine Theorie der Gleichungen fünften Grades ver­ m i t t e l t , s o g e l a n g t m a n hier zu einer Theorie der Gleichungen s e c h s t e n u n d s i e b e n t e n Grades! 2. U n e n d l i c h e Gruppen linearer S u b s t i t u t i o n e n e i n e r Veränder­ lichen, insbesondere diejenigen, die m a n n a c h Poincare „eigentlich diskontinuierlich" n e n n t , d. h. solche, bei d e n e n m a n in der χ + tyE b e n e (bzw. auf der χ + z^'-Kugel) endlich a u s g e d e h n t e D i s k o n t i n u i ­ tätsbereiche h a t . D a s einfachste Beispiel dafür b i e t e n die doppelt­ periodischen F u n k t i o n e n , w o das Periodenparallelogramm der D i s k o n t i ­ nuitätsbereich für die unendliche Gruppe linearer S u b s t i t u t i o n e n u' = u + ηι^ω^ + ist.

ηι,ω.,

D i e F u n k t i o n e n , welche bei solchen · endlichen oder unendlichen 1) D. h. abstrakt genommen mit ihr identisch.

Kristallographie. Gruppen ungeändert bleiben, nenne ich allgemein automorphe tionen, v o n denen noch ausführlicher zu erzählen sein wird.

Funk­

Vorerst w i h ich aber noch ausführen, wie dieselbe Art der gruppen­ theoretisch-geometrischen Überlegung, wie wir sie bei den endlichen linearen S u b s t i t u t i o n e n einer Veränderlichen k e n n e n gelernt h a b e n , auch in den A n w e n d u n g e n zur Geltung k o m m t , n ä m l i c h in der Kristallo­ graphie, speziell demjenigen Teil derselben, den m a n neuerdings Struk­ turtheorie n e n n t . Die E n t w i c k l u n g der Kristahographie ist überhaupt mit derjenigen der M a t h e m a t i k auf das mannigfachste verknüpft, wie schon gelegent­ lich b e m e r k t . I c h erinnere nur an das „ Z o n e n g e s e t z " v o n Fr. N e u ­ m a n n , 1823 (vgl. S. 2 1 6 1 ) . Bei den folgenden B e t r a c h t u n g e n gehen wir aus v o n der kontinuier­ lichen Gruppe aller B e w e g u n g e n i m R ä u m e , die aus oo^ Operationen b e s t e h t . Diese Gruppe k ö n n e n wir uns e v e n t u e l l noch durch die OQ^ Operationen zweiter Art (Spiegelungen, U m l e g u n g e n ) erweitert d e n k e n . Man erhält so wieder eine Gruppe v o n oo^ Operationen. Man k a n n n u n die Aufgabe ins Auge fassen, in allgemeinster Weise die eigentlich diskontinuierhchen U n t e r g r u p p e n G b z w . G dieser Gruppen aufzustellen resp. ihre Diskontinuitätsbereiche z u studieren. D . h. der R a u m soh in lauter direkt kongruente b z w . direkt u n d invers kongruente Polyeder eingeteht werden, die durch die Opera­ tionen der Untergruppe ineinander übergeführt werden. Diese U n t e r ­ s u c h u n g e n sind i m R ä u m e sehr kompliziert. Wir w o h e n uns daher die Sache an einem Beispiele in der E b e n e klar m a c h e n . Unsere R e s u U a t e lassen sich dann s i n n g e m ä ß auf den R a u m übertragen. Wir werden also s t a t t des Parallelepipedgitters i m R ä u m e das g e w ö h n l i c h e P a r a l l e l o g r a m m gitter in der E b e n e betrachten. Wir legen n u n unseren U n t e r s u c h u n g e n beispielsweise ein quadratisches Gitter zugrunde. Die zugehörige B e ­ wegungsgruppe, welche ein Gitterquadrat z u m D i s k o n t i n u i t ä t s b e r e i c h h a t , b e s t e h t zunächst b l o ß aus Translationen (vgl. Fig. 3 5 ; die Pfeile geben die Zusammengehörigkeit der K a n t e n des D i s k o n t i n u i t ä t s ­ bereiches an). D a s Quadratnetz kann aber so unterteiU werden, d a ß als weitere Operationen R o t a t i o n e n evtl. Spiegelungen h i n z u t r e t e n . Wir h a b e n dann eine E i n t e i l u n g der E b e n e in kongruente resp. k o n ­ gruente u n d s y m m e t r i s c h e Dreiecke (welch letztere wir abwechselnd schraffieren u n d freilassen; vgl. Fig. 36). Bei D r e h u n g e n , also bei Ope­ rationen der Gruppe G g e h e n schraffierte in schraffierte u n d nichtschraffierte in nicht-schraffierte Dreiecke über. Durch die Operationen der erweiterten Gruppe G k ö n n e n alle Dreiecke ineinander übergeführt werden. J e d e s dieser Dreiecke ist Diskontinuitätsbereich einer b e s t i m m ­ t e n Gruppe, die aus D r e h u n g e n u n d U m l e g u n g e n der E b e n e z u s a m m e n -

344

V I I I . Automorphe Funktionen.

g e s e t z t ist. D a b e i ist der D i s k o n t i n u i t ä t s b e r e i c h der G durch die spie­ g e l n d e n K u r v e n e i n d e u t i g begrenzt, w ä h r e n d m a n z u m D i s k o n t i n u i ­ t ä t s b e r e i c h der G nur eine Seite u n d die H ä l f t e der B a s i s d e s F u n d a ­ m e n t a l d r e i e c k s rechnen darf. N u n k a n n m a n v e r s t e h e n , d a ß i m R ä u m e ähnliche M ö g h c h k e i t e n vorliegen, deren erschöpfende A u f z ä h l u n g natürlich e n t s p r e c h e n d schwieriger ist. E n t s p r e c h e n d den Zerlegungen der E b e n e erhält m a n dort ParaUelepipedgitter, W ü r f e l s y s t e m e , deren Würfel irgendwie u n t e r teüt sind usw. D e r Z u s a m m e n h a n g dieser Zerlegungen d e s R a u m e s m i t der Kri­ stallographie wird f o l g e n d e r m a ß e n g e g e b e n : J e d e solche R a u m e i n t e i l u n g wird in der W e i s e einen Kristall b z w . ein kristallinisches M e d i u m definieren, d a ß m a n in den ersten D i s k o n t i ­ n u i t ä t s b e r e i c h ein g a n z beliebiges Molekularaggregat h i n e i n g e s e t z t d e n k t u n d d a n n an d e n e n t ­ s p r e c h e n d e n Stellen der anderen Bereiche e n t s p r e c h e n d e Aggre­ g a t e hineinbringt. Z u d e m hiermit eingeleiteten P r o b l e m der Strukturtheorie u n d Erledigung sind die semer Kristallographen i m Laufe der D e z e n n i e n nur zögernd h i n g e l a n g t . Vgl. d a s Referat 7 v o n Liebisch, Schoenflies u n d Mügge in B d . V der Enzyklopädie. E s s m d hier N a m e n w i e B r a v a i s , S o h n k e u s w . z u n e n n e n . D e r erste aber, der e m e v o l l e L ö s u n g fand, war 1885 der R u s s e F e d o r o w . 1891 w u r d e die Theorie v o n S c h o e n f l i e s n e u b e g r ü n d e t b z w . in s e i n e m L e h r b u c h e dargesteUt ( K r i s t a U s y s t e m e u n d Kristallstruktur, L e i p z ^ 1891). D a s E r g e b n i s ist, d a ß es 65 Gruppen G u n d 165 Gruppen G, z u s a m m e n also 2 3 0 Gruppen g i b f i ) . I c h k a n n n i c h t unterlassen, z u e r w ä h n e n , w i e sich diese Theorie bei den KristaUographen u n d P h y s i k e r n nur l a n g s a m d u r c h g e s e t z t h a t . U m 1890 h e r u m w a r e n die F a c h l e u t e n o c h d u r c h a u s g e w o h n t , einen KristaU oder besser ein kristallinisches M e d i u m als ein raumerfüUendes K o n t i n u u m z u b e t r a c h t e n , das in allen seinen P u n k t e n dieselben E i g e n ­ schaften d a r b i e t e t ! I n d i e s e m Falle h a t m a n nur z u u n t e r s c h e i d e n , w e l c h e Gruppen v o n D r e h u n g e n u m einen f e s t e n P u n k t (bzw. v o n Operationen zweiter A r t bei e i n e m festen P u n k t ) v o r k o m m e n k ö n n e n , die m i t d e m b e k a n n t e n kristallographischen G e s e t z der sog. rationalen I n d i z e s verträglich s i n d . D a s g i b t die b e k a n n t e U n t e r s c h e i d u n g der ^ Diskontinuifäföberefch derG Fig. 36.

1) Neuerdings neu bearbeitet als „Theorie des KristaUstruktur", BerHn 1923. Femer P. N i g g l i : Geometrische KristaUographie des Diskontinuums, Leipzig, 1919.

Kristallographie.

Automorphe Funktionen.

345

32 „ K r i s t a l l s y s t e m e " . Zu w e i t e r e m aber ist kein A n l a ß . D a s Gesetz der rationalen Indizes, welches eine F o l g e der Vorstellungen der Struk­ turtheorie ist, erscheint hier als ein deus e x m a c h i n a . D i e s e s ablehnende Verhalten h a t m i c h nicht hindern k ö n n e n , 1893 bei der Begrüßungsansprache, die ich vor d e m Internationalen K o n g r e ß in Chicago z u h a l t e n h a t t e , die Ergebnisse der Theorie m i t N a c h ^ druck zu v e r k ü n d e n 1). D e n n ich war — m i t Schoenflies — v o n d e m n o t w e n d i g e n Z u s a m m e n g e h e n v o n Spekulation u n d A n w e n d u n g überzeugt. U n d m m k a m 1912 die L a u e s c h e E n t d e c k u n g v o n der B e u g u n g der R ö n t g e n s t r a h l e n durch kristallinische Medien! N u n b e o b a c h t e n wir die diskontinuierliche Struktur der Kristalle, i. e. die A n o r d n u n g ihrer Moleküle i m R ä u m e , u n d brauchen g e n a u das, w a s F e d o r o w u n d Schoenflies geschaffen h a b e n , als n o t w e n d i g e s theoretisches Substrat.

Automorphe Funktionen. Wir wollen u n s jetzt der Theorie der automorphen Funktionen z u w e n d e n ! D a m i t berühre ich m e i n eigenes H a u p t a r b e i t s g e b i e t . E s liegt mir hier sehr daran, m e i n e diesbezüglichen D a r l e g u n g e n v o m S t a n d p u n k t e persönlicher Erinnerung aus z u b e l e u c h t e n u n d den B e ­ richt bis z u d e m Z e i t p u n k t e z u führen, w o ich durch K r a n k h e i t ver­ hindert wurde, weiter m i t z u a r b e i t e n , n ä m l i c h bis 1 8 8 2 / 8 3 . Vielleicht darf ich, da ich m i c h oft darauf zu beziehen h a b e , hier v o r a b die drei v o n mir später verfaßten b z w . v e r a n l a ß t e n W e r k e n e n n e n , die sich auf diese Materie b e z i e h e n : 1. K l e i n : Vorlesungen über das Ikosaeder u n d die Auflösung der Gleichungen v o m fünften Grade, 1884. 2. K l e i n - F r i c k e : Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, B d . 1 1890, B d . 2 1892. 3. F r i c k e - K l e i n : Vorlesungen über die Theorie der a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n . B d . 1, 1 8 9 7 ; B d . 2, 1 9 0 1 , 1911, 1912. Nr. 1 ist w e s e n t l i c h als L e h r b u c h g e d a c h t , Nr. 2 u n d Nr. 3 h a b e n den Charakter v o n Monographien. — In Nr. 2 wird v o n der Gruppe y r + ( f gehandelt, w o α, β,γ, δ ganze Zahlen v o n der D e t e r m m a n t e 1 sind. D i e B e h a n d l u n g ist durchaus gruppentheoretisch orientiert. E s werden die einfachsten T y p e n v o n U n t e r g r u p p e n aufgesucht, die in der G e s a m t g r u p p e s t e c k e n , ihr jeweiliger Diskontinuitätsbereich b e s t i m m t u n d d a n n nach d e n R e g e l n der R i e m a n n s c h e n F u n k t i o n e n ­ theorie auf die E x i s t e n z u n d Eigenart zugehöriger eindeutiger a u t o ­ morpher F u n k t i o n e n ( = Modulfunktionen) geschlossen. U n s e r e Er-

1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 2. S. 613ff.

V I I I . Automorphe Funktionen.

346

örterungen über elliptische F u n k t i o n e n h a b e n s c h o n öfter die hiermit a n g e d e u t e t e n F r a g e s t e l l u n g e n gestreift. — I n Nr. 3 w e r d e n die aU­ g e m e i n s t e n eigentlich diskontinuierlichen Gruppen linearer S u b s t i t u ­ t i o n e n einer Veränderlichen durch geometrische K o n s t r u k t i o n e n be­ s t i m m t u n d die T r a g w e i t e der zugehörigen e i n d e u t i g e n a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n erschlossen. E s ist dies das Gebiet, w o ich in d e n Jahren 1881, 1882 mit P o i n c a r e in B e z i e h u n g u n d Konkurrenz g e t r e t e n bin, und' dessen allgemeinste v o n mir aufgestellten T h e o r e m e erst neuer­ dings v o n K o e b e erledigt w o r d e n sind. I m A n s c h l u ß an die g e n a n n t e n W e r k e erwähne ich gleich n o c h das große Referat v o n F r i c k e über , , a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n mit E i n ­ schluß der Modulfunktionen'' in der E n z y k l o p ä d i e (II, B 4) — eine sehr brauchbare Z u s a m m e n s t e l l u n g , die bis 1913 führt ^). I m übrigen darf ich d e n E i n g a n g in die folgenden D a r l e g u n g e n e t w a s anders w ä h l e n , als es d e n voraufgeschickten s y s t e m a t i s c h e n Gesichts­ p u n k t e n entspricht, n ä m l i c h mehr konform der historischen E n t w i c k l u n g . U m in die Theorie der doppeltperiodischen

Funktionen

einzudringen, k a n n m a n bereits zwei verschiedene A u s g a n g s p u n k t e w ä h l e n . Man k a n n e i n m a l mit der Parallelogrammeinteilung der w-Ebene b e g i n n e n u n d v o n da direkt zur Aufstellimg v o n (u), p' (u) u n d der z w i s c h e n ihnen b e s t e h e n d e n R e l a t i o n g e l a n g e n :

oder m a n k a n n von d e m elliptischen Integral a u s g e h e n (und so ist es historisch gewesen)

u n d sich d a n n überzeugen, d a ß die R i e m a n n s c h e F l ä c h e , welche z u

gehört, z w e c k m ä ß i g zerschnitten, durch u auf ein s c h h c h t e s Parallelo­ g r a m m abgebildet wird, das in d e m Maße, w i e der I n t e g r a t i o n s w e g die Querschnitte der F l ä c h e überschreitet, sich i m m e r n e u reproduziert u n d d a m i t ein P a r a l l e l o g r a m m n e t z erzeugt. — Ganz ähnlich ist es n u n m i t der Theorie der a u t o m o r p h e n F u n k ­ tionen. E n t w e d e r g e h e n wir v o n der C-Ebene (resp. der C-Kugel) u n d ihrer E i n t e i l u n g in ä q u i v a l e n t e Bereiche aus u n d s u c h e n d a n n solche Für die folgenden Ausfuhrungen sind auch immer die ergänzenden Bemer­ kungen und Erlauterungen heranzuziehen, die den betreffenden Arbeiten gelegent­ lich der Herausgabe von K l e i n s Gesammelten mathematischen Abhandlungen (3 Bde. Berlin 1921—23) beigegeben wurden. Anm. d. Herausg.

Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Ρ{α,β,γ;ζ).

347

eindeutige F u n k t i o n e n v o n ζ, die bei der zugehörigen Gruppe hnearer S u b s t i t u t i o n e n v o n ζ ungeändert bleiben, oder wir gehen, entsprechend d e m historischen Gange, aus v o n einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

WO Pi, P2, zunächst rationale F u n k t i o n e n v o n z, später algebraische F u n k t i o n e n v o n ζ sein sollen, die zu einer über der ^-Ebene ausgebrei­ t e t e n R i e m a n n s c h e n F l ä c h e gehören. — D a m i t greife ich auf die A u s ­ führungen, die ich schon in K a p . 6 über lineare Differentialgleichungen gegeben h a b e , zurück. Wir knüpfen somit wieder an R i e m a n n an, u n d zwar an seine b e r ü h m t e Vorlesung über die hypergeometrische R e i h e v o m W i n t e r 1858/59, die v o n d e m späteren Physiker v . B e z o l d nachstenographiert worden war u n d lange Zeit vor der Öffentlichkeit u n b e k a n n t blieb, bis sie mir 1897 zugeschickt wurde u n d i m A n s c h l u ß daran in ihren we.senth c h e n Teilen 1902 durch N o e t h e r u n d Wirtinger in ihren N a c h t r ä g e n zu R i e m a n n s W e r k e n herausgegeben wurde. — So k a m es, d a ß vieles v o n dem, w a s wir sogleich zu berühren h a b e n , v o n anderen in der Zwischenzeit n e u erfunden u n d veröffenthcht wurde. Ich denke ins­ besondere an die Arbeit v o n S c h w a r z in Crelle, B d . 75 (1872/73 = Ges. A b h . B d . 2, S. 211 ff., vorläufige Mitteilung der R e s u l t a t e , Zürich, 1871 = Ges. A b h . B d . 2, S. 172ff.): „ Ü b e r diejenigen Fälle, in w e l c h e n die Gaußische hypergeometrische R e i h e eine a l g e b r a i s c h e F u n k t i o n ihres vierten E l e m e n t e s darstellt", u n d an b e s t i m m t e Einzelheiten meiner e i g e n e n Arbeit in B d . 14 der Math. A n n . (1878): „ Ü b e r die Transfor­ m a t i o n der ehiptischen F u n k t i o n e n u n d die Auflösung der Gleichungen fünften G r a d e s i ) . " Ich m ö c h t e n o c h erwähnen, d a ß a u c h hier G a u ß vieles v o r w e g g e n o m m e n h a t , wie wir aus d e m N a c h l a ß herausbrachten (Bd. 8 der Werke). D a m i t m e i n Referat nicht z u v e r s c h w o m m e n ist, will ich — aller­ dings ohne B e w e i s — einige Einzelausführungen einflechten. Die h y p e r g e o m e t r i s c h e Reihe, die Gauß mit F [OL, β,γ\ζ) bezeichnet:

u n d die für [ ^ | < 1 (evtl. a u c h für | 2 | = l ) konvergiert, ist ein partiku­ läres Integral der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung: ci^2-t-

dz ^ ZiZ-I)"^

^

m i t den drei singulären P u n k t e n ζ = 0, l, oc. S ä m t h c h e L ö s u n g e n dieser Differentialgleichung lassen sich durch 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3. S. 13ff.

VIII. Automorphe Funktionen. die h y p e r g e o m e t r i s c h e n R e i h e n darstellen, die je n a c h d e m n a c h e i n e m der sechs A r g u m e n t e fortschreiten 1 u n d die b z w . i m Einheitskreise Eq u m den N u l l p u n k t , i m E i n h e i t s ­ kreise E^ u m d e n P u n k t z = \, außerhalb E^, außerhalb E^, in der H a l b e b e n e h n k s v o n der Verbindungsgeraden der S c h n i t t p u n k t e der Kreise Eq u n d E^, oder in der H a l b e b e n e rechts v o n dieser Geraden konvergieren (vgl. F i g . 37). D i e A u f s t e l l u n g dieser v e r s c h i e d e n e n L ö s u n g e n u n d ihr wechselseitiger Z u ­ s a m m e n h a n g ist eine m e h r u m s t ä n d l i c h e als schwierige Sache, m i t der wir u n s hier n i c h t a u f h a l t e n k ö n n e n .

Fig.37.

D i e s ist in elementarer F o r m , w a s R i e m a n n u n t e r a l l g e m e i n e n G e s i c h t s p u n k t e n in seiner Arbeit v o n 1 8 5 7 : „ B e i t r ä g e zur Theorie der durch die G a u ß s c h e R e i h e darsteUbaren F u n k t i o n e n ' ' fast o h n e R e c h n u n g ableitete, w i e wir o b e n S. 2 6 9 ff. b e s p r a c h e n .

N u n aber k o m m t das N e u e , w a s R i e m a n n in seiner V o r l e s u n g v o n 1 8 5 8 — 5 9 u n d d a n n später S c h w a r z ausführten. W i r n e n n e n irgend zwei Partikularlösungen der Differentialglei­ c h u n g ryj, und setzen

Alle L ö s u n g e n der Differentialgleichungen s e t z e n sich aus η^,

in der

Form z u s a m m e n ; insbesondere w e r d e n , w e n n ζ in s e i n e m Gebiete U m l ä u f e m a c h t , T/i, in i r g e n d w e l c h e lineare K o m b i n a t i o n e n

ü b e r g e h e n , aus d e n e n durch A n e i n a n d e r r e i h u n g verschiedener U m ­ läufe eine g a n z e Gruppe linearer S u b s t i t u t i o n e n h e r v o r g e h t , die wir früher die „ M o n o d r o m i e g r u p p e " der linearen Differentialgleichung nannten!). Der Quotient ί = ~ chene lineare

erleidet daher bei d e n U m l ä u f e n des ζ gebro­

Substitutionen

A u s der g e g e b e n e n Differentialgleichung zweiter Ordnung n"+

Pi v'+

P,v-=o

1) Die α, β, y, δ der Substitution haben natürUch nichts mit den Para­ metern von F{a, ß, γι ζ) zu tun.

Monodromiegruppe.

Konforme Abbildung.

349

berechnen wir für ζ die Differentialgleichung dritter Ordnung

Man nennt den Ausdruck linker H a n d (nach d e m Vorschlag v o n Cayley) vielfach den Schwarzsehen Differentialausdruck. Setzen wir für und P^ die Koeffizienten der hypergeometrischen Differentialgleichung ein, so wird 2Kv)-=^

-2Z^

+ 2ΤΓ^^

2.(1^.)

'

WO λ^=\-γ), μ ^ = { γ - α - ßy, = {α - β)^ ist u n d λ, μ, ν unter Voraussetzung reeller α, β, γ positiv g e n o m m e n sein sollen. D e n Inbegriff der Substitutionen ^ γζ-l·δ werden wir d a n n wieder die Monodromiegruppe der Differentialglei­ c h u n g für ζ nennen. Wir sehen, wie wir an die Gruppen linearer S u b s t i t u t i o n e n einer Veränderlichen herangeführt w e r d e n ! V o n hier aus beweisen n u n R i e m a n n u n d Schwarz, d a ß jede Parti­ kularlösung ζ unserer Differentialgleichung dritter Ordnung i m Falle reeller λ, μ, ν v o n der Z-Ebene durch die reelle Achse begrenzten oberen ^-Halbebene eine sehr einfache konforme Abbildung gibt, n ä m h c h die konforme A b ­ bildung auf ein KreisFig. 88. bogendreieck mit den W i n k e l n λπ,μπ,νπ (vgl. Fig. 38). Die nähere Lage dieses Dreiecks h ä n g t v o n der A u s w a h l der Partikularlösung ζ a b u n d ist übrigens e m e willkürhche. D a b e i ist n u n auf den Umlaufssinn zu achten. Versieht m a n die reelle Achse der ^-Ebene m i t einer v o n — oo nach - f oo weisenden R i c h t u n g , so wird die positive H a l b e b e n e auf das Innere eines entgegengesetzt d e m Uhrzeigersinn umlaufenen Dreiecks abgebildet. D a s ist an sich eins der schönsten Beispiele der konformen A b ­ bildung zweier einfach z u s a m m e n h ä n g e n d e r Bereiche aufeinander. Aber besonders bemerkenswert ist, d a ß m a n hier, v o n e i n e m ersten solchen Dreieck beginnend, den weiteren Verlauf der F u n k t i o n ζ rein geometrisch konstruieren kann. Man k a n n hier die analytische F o r t s e t z u n g aus­ führen, ohne das schwerfällige Hilfsmittel der unendlichen Potenzreihen gebrauchen zu m ü s s e n ! D a s geschieht durch das sog. Prinzip der Symmetrie (Spiegelungsprinzip): So oft ich das Dreieck an einer seiner Seiten nach d e m Gesetz der reziproken R a d i e n spiegle, erhalte ich ein Bild der n e g a t i v e n ^-Halbebene usf.

V I I I . Automorphe Funktionen. B e s o n d e r s einfach u n d t y p i s c h wird das B i l d , w e n n m a n in der E b e n e bleiben will, b e i m geradlinigen Dreieck, ν^ολ + μ + ν = \ ist (vgl. F i g . 39). D i e anderen F ä l l e sind besser auf der K u g e l z u übersehen. D u r c h stereographische Projektion auf die C-Kugel g e h t das Kreis­ bogendreieck in ein ebensolches auf der K u g e l über, d. h. in ein Dreieck, das v o n drei e b e n e n S c h n i t t e n der Kugel begrenzt ist. E i n e Spiegelrmg an der einzelnen Dreiecks­ seite b e d e u t e t hier eine „ S p i e g e l u n g " a n der a u s s c h n e i d e n d e n E b e n e , d. h. eine Operation, w e l c h e jeden K u g e l p u n k t durch denjenigen er­ s e t z t , der m i t i h m u n d d e m P o l der E b e n e in B e z u g auf die K u g e l auf gerader Linie liegt (vgl. Fig. 40). Geht insbesondere die E b e n e durch d e n M i t t e l p u n k t der K u g e l , so rückt der Pol P unendlich w e i t u n d unsere „ S p i e g e l u n g " a n der E b e n e wird das, w a s m a n i m e l e m e n t a r e n Sinne als Spiegelrmg bezeichnet. U n d n u n sehen wir den Z u s a m m e n h a n g m i t den regulären Körpern, Wir h a t t e n j e d e m regulären Körper, z. B . d e m Ikosaeder, eine Zer­ legung der u m g e s c h r i e b e n e n K u g e l in Dreiecke zugeordnet (die durch die S y m m e t r i e e b e n e n des regulären Körpers begrenzt w u r d e n , b e i m I k o ­ saeder 120, a b w e c h s e l n d schraffierte b z w . nicht schraffierte Dreiecke). D i e s e Dreiecke waren d a m a l s die D i s k o n t i n u i t ä t s b e r e i c h e b e s t i m m t e r durch die Spiegelungen erweiterter R o t a ­ tionsgruppen. J e t z t s e h e n wir, d a ß die selben Dreiecksteilungen b e i m S t u d i u m der h y p e r g e o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n als spezielle Fälle h e r a u s k o m m e n . W i r h a b e n nur das einzelne Dreieck als konformes A b b i l d der p o s i t i v e n bzw. der n e g a t i v e n ^-Halbebene a n z u s e h e n , u m in der Gesamt­ h e i t der Dreiecke die G e s a m t h e i t der B ü d e r vor u n s z u h a b e n , welche die betreffende F u n k t i o n ζ v o n d e n beiden ^-Halbebenen bei beliebiger analytischer F o r t s e t z u n g entwirft! E r w ä h n e n w ü l ich n o c h , d a ß Schwarz unsere F u n k t i o n ζ, weil das konforme A b b ü d a m anschaulichsten wird, w e n n m a n es auf der K u g e l (sphära) entwirft, m i t d e m B u c h s t a b e n s, aus­ führlicher m i t S (λ, μ, V] z) bezeichnet. Als B e n e n n u n g h a t sich i m übrigen das W o r t „ D r e i e c k s f u n k t i o n " d u r c h g e s e t z t (vgl. überall m e i n e autographierte Vorlesung v o n 1 8 9 3 — 9 4 : Ü b e r die h y p e r g e o m e t r i s c h e Funktion).

Das Ikosaeder.

Die Ikosaedergleichung.

I c h w e n d e m i c h n u n besonders d e m Ikosaeder zu. Zunächst wiU ich noch einmal daran erinnern, daß wir auf zwei W e g e n z u der Zer­ legung der K u g e l in Dreiecke durch die S y m m e t r i e e b e n e n der regu­ lären Körper g e k o m m e n s i n d : E i n m a l v o n der Theorie der endlichen Gruppen linearer S u b s t i t u t i o n e n einer Veränderlichen aus u n d d a n n v o n der Theorie der hypergeometrischen F u n k t i o n her. W a s dort der Diskontinuitätsbereich der Gruppe war, ist hier die durch die h y p e r ­ geometrische F u n k t i o n ζ (oder s(A, μ, ν; ζ)) v e r m i t t e l t e konforme A b b ü d u n g der z-Ehene u n d wird Fundamentalbereich der F u n k t i o n ζ genannt. Speziell werden wir das ζ, welches b e i m Ikosaeder auftritt, m i t Schwarz als b e n e n n e n k ö n n e n , da es sich ja u m die A b b i l d u n g der p o s i t i v e n 2:-Halbe b e n e auf ein Kreisbogendreieck m i t den W i n k e l n ^» f »

5" handelt.

Mit diesem Falle w e r d e n wir uns n u n w e g e n der vielseitigen B e z i e h u n g e n , die er besitzt, näher beschäftigen. Die Funktion | , | ; 2:) bzw. die analogen die bei den anderen regulären Körpern auftreten, sind durch folgende E i g e n s c h a f t e n ausge­ zeichnet : 1. D i e Dreiecke, die m a n durch die A b b i l d u n g der 2:-Ebene b z w . der beiden H a l b e b e n e n erhält, überdecken die C-Kugel e i n f a c h u n d lückenlos. 2. Zu dieser Ü b e r d e c k u n g reicht eine e n d l i c h e Zahl v o n Drei­ e c k e n (60 bzw. 120) aus — i m Gegensatz zu d e m Falle des geradlinigen Dreiecks der W i n k e l | , | d e m wir (vgl. S. 344, Fig. 3 6 ) , als w k über Kristallstruktur sprachen, begegnet sind, u n d w o wir eine ein­ fache Ü b e r d e c k u n g der E b e n e m i t unendlich vielen D r e i e c k e n h a t t e n (bei der übrigens der P u n k t ζ = 00 ein Grenzpunkt ist). I m Falle des Ikosaeders k ö n n e n wir daher schließen: ζ {ζ) ist 60-wertig, d e n n j e d e m W e r t e v o n ζ ist in j e d e m der 60 schraffierten oder n i c h t schraffierten Kreisbogendreiecke ein b e s t i m m t e r P u n k t zugeordnet. ζ(ζ) ist eine einwertige F u n k t i o n . Auf der K u g e l s t o ß e n b z w . je 3, 2 oder 5 Dreieckpaare z u s a m m e n . Wir erhalten daher, e n t s p r e c h e n d der regulären K u g e l t e i l u n g , über der 2-Ebene eine 60-blättrige R i e m a n n s c h e Fläche, deren B l ä t t e r in 2 = 0, 1, oo bzw. z u je 3, 2, 5 z u s a m m e n h ä n g e n . D a Z (ζ) eine einwertige und ζ(ζ) eine 60-wertige F u n k t i o n ist, so folgt, d a ß Z eine r a t i o n a l e F u n k t i o n 60. Grades v o n ζ i s t :

deren B a u a r t wir n o c h genauer angeben k ö n n e n . D i e P u n k t e ζ = 0,1, 00 m ü s s e n bzw. dreifache, zweifache, fünffache Wurzeln ζ ergeben. Wir k ö n n e n dies, da ζ eine rationale F u n k t i o n

352

V I I I . Automorphe Funktionen.

6 0 . Grades v o n ζ sein soll, durch d i e Proportion z u s a m m e n f a s s e n

w o die φ, ψ, χ P o l y n o m e in ζ v o n d e n a n g e g e b e n e n Gradzahlen sind. Schwarz h a t diese P o l y n o m e zuerst b e r e c h n e t , in d e m er jedenfalls d i e NullsteHen auf der f - K u g e l einzeln a u f s u c h t e u n d d a n n d i e z u g e ­ hörigen Linearfaktoren v o n ζ ausmultiplizierte. I c h b e m e r k t e , d a ß m a n nur z u b e r e c h n e n b r a u c h t u n d d a n n 9^20 u n d ψdurch einfache i n v a r i a n t e n theoretische Prozesse erhält. W n b e r e c h n e n n u n χ^^. Zu d i e s e m Z w e c k e orientieren wir das I k o s a e d e r so, d a ß e i n e E c k e m i t C = O, e i n e andere m i t C = 00 z u s a m ­ menfällt, u n d d a ß z w e i w e i t e r e E c k e n auf d e n Meridian der reellen

Fig. 41. Zahlen z u liegen k o m m e n . C = I m ö g e auf d e m Ä q u a t o r der K u g e l l i e g e n (das N ä h e r e siehe F i g . 41). D a m i t ist d a s K o o r d i n a t e n s y s t e m f e s t g e l e g t . F ü r d i e b e i d e n auf d e m Meridian der reellen Zahlen liegenden, v o n 0 u n d 00 v e r s c h i e d e n e n I k o s a e d e r e c k e n finden wir als C - W e r t e :

Man erhält d i e s e W e r t e aus d e n I k o s a e d e r s u b s t i t u t i o n e n

i n d e m m a n Co = O e i n s e t z t . D i e weiteren E c k e n w e r d e n erhalten durch Multiplikation m i t ε" für V == 0, 1, 2, 3 , 4. W i r h a b e n s o m i t für die 12 E c k e n die W e r t e C - O .

(-'•('+·•}

(. =

0..,.,3,4,.

N u n ist es g u t (um ζ = 00 klar m i t z u n e h m e n ) , ζ h o m o g e n z u m a c h e n d. h. in C i : C2

spalten.

Man h a t d a n n

Die Ikosaedergleichung.

oder ausmultipliziert ;ίΐ2 = ίι

(Ci

+ HCl'C,·^ ~

w a s wir fortan /; unsere Grundform, nennen. (An sich w ü r d e n wir ja auch ein beliebiges Multiplum einführen k ö n n e n , doch ist es b e q u e m , ] e d e n nicht n ö t i g e n numerischen F a k t o r wegzulassen.) /"gleich N u h ge­ setzt, hefert uns also die 12 E c k e n des Ikosaeders. Wir b e s t i m m e n n u n φ^ο u n d ^^30 mit Hilfe v o n invariantentheore­ tischen Überlegungen. U n t e r A b t r e n n u n g v o n geeigneten Zahlenfaktoren g e w i n n e n wir nach den Grundsätzen der formalen Invariantentheorie aus f als ein­ fachste K o v a r i a n t e n die Hessesche F o r m H u n d die aus f u n d H gebil­ dete F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e T:

H ist v o m 20. Grade, da jeder T e r m der D e t e r m i n a n t e v o m 10. Grade ist. T ist v o m 30. Grade, da v o m 11. und H^, v o m 19. Grade sind. E s gilt n u n der S a t z : Unser (^20 s t i m m t m i t der Hesseschen F o r m v o n f u n d ^^30 mit der F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e {H, f} = T n o t w e n d i g überein. Man kann dies auf einfache Weise schließen: H u n d T bleiben als K o v a r i a n t e n v o n f wie f selbst bei den 60 Ikosaederdrehungen unge­ ändert, vorausgesetzt, d a ß m a n die linearen S u b s t i t u t i o n e n des ζ durch h o m o g e n e lineare S u b s t i t u t i o n e n v o n Ci> C2 v o n der D e t e r m i n a n t e 1 er­ setzt, gleich Null gesetzt, liefert also 20 P u n k t e der Kugel, die bei den Operationen der Ggo in sich übergehen. T = O steht 30 P u n k t e derselben Eigenschaft dar. N u n wissen wir aber, d a ß bei der G^o der Ikosaeder­ drehungen i m allgemeinen nur je 60 äquivalente P u n k t e , im besonderen aber die 12 E c k e n des Ikosaeders, die 20 E c k p u n k t e des P e n t a g o n d o d e k a ­ eders u n d die 30 K a n t e n m i t t e l p u n k t e in sich übergehen. E i n Aggregat v o n P u n k t e n , d a ß bei der Ggo ungeändert bleibt, m u ß eine Z u s a m m e n ­ fassung solcher einzelner P u n k t g r u p p e n sein. D i e Anzahl der P u n k t e , die es enthält, läßt sich daher n o t w e n d i g in der Gestalt 20a + I2ß + 20γ + 30Ö schreiben, w o α, β, γ, d ganze Zahlen sind. D i e Gleichungen 6 0 a + 12ß + 20γ + 30Ö = 2 0 , 60i^ + 12|8 + 2 0 r + 3 0 ( 5 = 3 0 h a b e n nur je e i n e ganzzahlige Lösung, nämlich bzw.

d.h.

a = 0,

ß = 0,

r = l ,

a = 0,

/5 = 0 ,

r = 0,

d =

0, d=A,

H = O liefert die 20 E c k e n des Pentagondekaeders, s t i m m t also Klein, Entwicklung der Mathematik.

23

V I I I . Automorphe Funktionen.

354

m i t 9^20 überein, u n d T = O steUt die 30 K a n t e n m i t t e l p u n k t e des Ikosaeders dar u n d s t i m m t daher m i t überein. D a b e i h a b e n wir v o n numerischen F a k t o r e n , die z u n ä c h s t n o c h willkürlich sind, a b ­ gesehen. Wir berechnen n u n H u n d T (unter W e g w e r f u n g der u n s nicht interessierenden numerischen F a k t o r e n ) u n d e r h a l t e n : H - T^

{C,'' + ζ,'') + 2 2 8 ( ί / · ^

(ί,3« +

- ζ,^' ζ^η -

+ 5 2 2 ( ί , ^ ^ - ί / ^ ζ,η-

u n d daraus die „Ikosaedergleichung" z: Z -

1

494 0

0

, 0

5

+

ί/^ζ,^η ,

selbst in der F o r m :

\ :l = H^:

r-A12Sf\

(Ich h a b e in der T a t seinerzeit, u m sicher z u g e h e n , die I d e n t i t ä t

durch v o l l e s A u s r e c h n e n kontrolliert!) D a m i t h a b e n wir n u n in z, n a c h unserer allgemeinen Terminologie, eine eindeutige, a u t o m o r p h e F u n k t i o n v o n f, die n a t ü r h c h sehr viel elementarer ist als später v o n u n s heranzubringende Beispiele. W i r m a c h e n n u n aber einen E x k u r s , i n d e m wir unsere Formel, die wir die Ikosaedergleichung n e n n e n , als eine algebraische Gleichung 60. Grades in ζ traktieren u n d ihre Stellung in der Gesamtlehre v o n d e n algebraischen Gleichungen festlegen, also n o c h einmal gewisser­ m a ß e n z u m vorigen K a p i t e l zurückkehren. D u r c h die K u g e l t e i l u n g h a b e n wir sofort 6 0 Bereiche, in d e n e n wir bei g e g e b e n e m ζ die 6 0 zugehörigen ζ z u s u c h e n h a b e n . — D a s , w a s m a n „ S e p a r a t i o n der W u r z e l n " n e n n t , u n d w a s m a n zur n u m e r i s c h e n L ö s u n g einer Gleichung vor allen D i n g e n braucht, ist hier v o n v o r a herein geleistet. (Insbesondere werden bei reellem ζ vier u n d nur vier der ζ reell!) H a b e n wir eine W u r z e l Co g e f u n d e n , u n d adjungieren wir die Größe ε (¢5 ^ so erhalten wir aüe anderen W u r z e l n rational v e r m ö g e d e r 6 0 I k o s a e d e r s u b s t i t u t i o n e n in der G e s t a l t :

-{ε-ε^)εη,-~(ε^-εη' -1 ^

^,-(ε-ε^)ε^'ζ,+ '

{ε'^-ε^)εη,-\-{ε-ε')

{ε^-εη '

Solche Gleichungen, bei d e n e n aüe W u r z e l n sich in d e m jeweils g e w ä h l t e n R a t i o n a l i t ä t s b e r e i c h durch e i n e rational ausdrücken, n e n n t m a n aber Galoissche Gleichungen (weil Galois gelehrt h a t , auf sie alle anderen Gleichungen zurückzuführen). D i e Galoissche Gruppe der Glei­ c h u n g ist dabei der Gruppe der rationalen S u b s t i t u t i o n e n isomorph. W i r k ö n n e n also z u s a m m e n f a s s e n d s a g e n : I m Rationalitätsbereich ε ist die

Ikosaedergleichung als Normalgleichung.

355

Ikosaedergleichung eine Galoissche Gleichung, u n d ihre Galoissche Gruppe ist m i t der Gqq der Ikosaederdrehungen isomorph. Man kann also, den U n t e r g r u p p e n der Ikosaederdrehungen e n t ­ sprechend, irgendwie niedere R e s o l v e n t e n der Ikosaedergleichung k o n ­ struieren, insbesondere nach früheren Vorbemerkungen (S. 342) R e s o l ­ v e n t e n fünften Grades. D a s Schöne dabei ist, d a ß m a n alles explizite ausrechnen k a n n u n d sicher ist, wie m a n das in einfachster Weise zu m a c h e n h a t . D i e einfachsten P u n k t g r u p p e n , welche bei den Ikosaederdrehungen 5 Lagen a n n e h m e n , sind die E c k p u n k t e der 5 Oktaeder, die m a n den 30 K a n t e n h a l b i e r u n g s p u n k t e n des Ikosaeders zuordnen kann.. (Ein jedes bleibt bei d e n 12 D r e h u n g e n einer in der Ikosaedergruppe e n t ­ h a l t e n e n Tetraedergruppe invariant.) N o c h einfacher scheinen z u n ä c h s t die zweiTetraeder, in welche m a n die acht z u m Oktaeder gehörigen W u r z e l ­ ecken spalten kann. Aber bei h o m o g e n e r Schreibweise ist, w i e m a n findet, nicht die bezügliche F o r m vierten Grades, sondern erst ihre dritte P o t e n z gegenüber den Tetraedersubstitutionen i n v a r i a n t ! Man berechnet ein erstes Oktaeder als

« + 2 C,^ woraus wir die übrigen

- 5

-

5

C,* - 2

c,·^+,

v e r m ö g e der S u b s t i t u t i o n

erhalten. F ü r diese F o r m e n r e t i s c h e" R e s o l v e n t e :

berechnet m a n d a n n die ,,f o r m e n t h e o ­

woraus für ^ = γ die einfachste „ f u n k t i o n e n t h e o r e t i s c h e "

Resol­

v e n t e folgt: z: {z~l):l = {r - 3)^(^^ - llr + 6 4 ) : ^(y^ - lOr + 4 5 ) ^ : - 1 7 2 8 . W i e immer m a n aber R e s o l v e n t e n suchen m a g , so ist doch die Ikosa­ edergleichung durch Wurzelziehen n i c h t lösbar, w e ü die Gruppe Gqq „einfach" ist (vgl. S. 3 3 7 ; einen elementaren B e w e i s , der keine K e n n t n i s der Galoisschen Theorie verlangt, siehe Math. A n n . B d . 6 1 , 1905^)). Ich b e m e r k e d a z u : die eigentliche Aufgabe der Algebra b e s t e h t g e g e benenfahs darin, die Auflösung einer Gleichung auf eine R e i h e reiner Gleichungen zurückzuführen; die Auflösung dieser Gleichungen, d. h . das Ausziehen der Wurzel selbst ist ein „transzendentes'' Geschäft, e s wird bewerkstelligt durch die binomische Reihe. A h g e m e i n m u ß m a n für die Auflösung jeder auftretenden „einfachen" Gleichung eine b e s o n ­ dere R e i h e n e n t w i c k l u n g suchen. 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 2, S. 48Iff. 23*

356

V I I I . Automorphe Funktionen.

E s gelingt n u n , die W u r z e l n der Ikosaedergleichung i m Anschluß a n R i e m a n n - S c h w a r z durch n ä c h s t einfache R e i h e n e n t w i c k l u n g e n , n ä m ­ h c h durch die h y p e r g e o m e t r i s c h e n R e i h e n z u berechnen. I c h will hier nur für d a s K o n v e r g e n z g e b i e t | -2: | ^ 1 die fünf W u r z e l n a n g e b e n , die in der U m g e b u n g v o n ί = O liegen. Man findet

(wo m a n d e n v o r a n s t e h e n d e n T e r m leicht a n der Ikosaedergleichung kontrolliert). Dieser Ausdruck konvergiert allerdings ziemlich schlecht (was übrigens auch v o n der b i n o m i s c h e n R e i h e gilt). W i r sehen nach allem, d a ß m a n berechtigt ist, die Ikosaedergleichung als eine N o r m a l g l e i c h u n g a n z u s e h e n , deren L ö s u n g gleich hinter derjenigen der reinen Gleichungen C ^=Z als n ä c h s t einfache z u rubri­ zieren ist. W i r lernten bereits die einfachste Gleichung fünften Grades k e n n e n , die sich durch die Ikosaedergleichung lösen läßt. D a s s e l b e l ä ß t sich aber ü b e r h a u p t bei jeder beliebigen Gleichung fünften Grades m a c h e n , worüber n u n einige historische A n g a b e n P l a t z finden m ö g e n . D a s P r o b l e m , die Gleichungen fünften Grades z u lösen, ist jetzt fast vier J a h r h u n d e r t e alt, d e n n es e r w u c h s n a t u r g e m ä ß , als e s in d e n J a h r e n v o n 1 5 1 5 — 4 0 g e l u n g e n war, Gleichungen dritten u n d v i e r t e n Grades durch W u r z e l z e i c h e n zu lösen. Scipione d e l Ferro fand 1515 die L ö s u n g der a l l g e m e i n e n Gleichung d r i t t e n Grades, die fälschhch Car­ d a n u s zugeschrieben wird^), L u d o v i c o Ferrari ca. 1540 diejenige der all­ g e m e i n e n Gleichung v i e r t e n Grades. N u n folgen zahlreiche Versuche, bei d e n Gleichungen fünften Grades dasselbe z u leisten 2). A u c h A b e l h a t , w i e ich in K a p . 3 erzählte, m i t e i n e m solchen Versuch b e g o n n e n . E i n e m falschen B e w e i s der Lösbarkeit v e r d a n k t e er es, d a ß i h m d a s S t u d i u m durch S t i p e n d i e n ermöglicht w u r d e ! 1824 e r k a n n t e er j e d o c h , d a ß die Gleichungen fünften Grades nicht allgemein durch Wurzel­ z e i c h e n lösbar sind. Mit d i e s e m U n m ö g h c h k e i t s b e w e i s e h a b e n aber die Versuche d a s Ziel z u erreichen n i c h t a u f g e h ö r t ; Meyer-Hirsch, der 1851 s t a r b (bekannter Privatlehrer in Berhn), ist darüber verrückt g e w o r d e n . U n d i m m e r g e h e n die Versuche n o c h weiter. D e n n die W e l t i m großen ist unbelehrbar, selbst in der M a t h e m a t i k . E s ist nur eine Minorität, m n e r h a l b deren der w i s s e n s c h a f t h c h e F o r t s c h r i t t gedeiht. A n der Spitze s t e h t wieder G a l o i s , der 1831 a u c h d a s T h e o r e m hinterließ, d a ß m a n b e i m S t u d i u m der Transformationen fünfter Ord1) Über Einzelheiten vgl. T r o p f k e , Geschichte der Elementarmathematik, 2. Aufl. (Berhn, 1921—1924) Bd. 3. S. 71 ff. 2) T r o p f k e , 1. c. S. 90ff.

Allgemeine Gleichung 5. Grades. n u n g der elliptischen F u n k t i o n e n auf Gleichungen fünften Grades m i t einer Ggo s t o ß e — so d a ß es also jedenfalls Beispiele v o n Gleichungen fünften Grades g e b e , die durch elliptische Modulfunktionen lösbar sein müßten.

Die

Gruppe der a l l g e m e i n e n

Gleichung fünften

Grades ist

a n sich eine G51 = G120, adjungiert m a n aber die Quadratwurzel a u s der D i s k r i m i n a n t e der Gleichung, so wird sie eine Gqq (nämlich die Gruppe der g e r a d e n V e r t a u s c h u n g e n der fünf W u r z e l n ) . N u n k o m m t das d e n k w ü r d i g e

Jahr 1858, w o einerseits

seine V o r l e s u n g e n über die h y p e r g e o m e t r i s c h e n andererseits ecker

Hermite

nachwies,

daß

und dann, man

Riemann

Reihen begann,

durch ihn a u f g e s c h e u c h t ,

u n d wie m a n

die allgemeine

und

Kron­

Gleichimg

fünften Grades so m i t Hilfe elementarer M e t h o d e n u m f o r m e n k a n n , d a ß sie durch elliptische M o d u l f u n k t i o n e n lösbar wird (Comptes B d . 4 6 , S. 508ff = O e u v r e s , t. 2 , p . 5ff.). (Berliner Monatsberichte

Rendus,

1861 ist d a n n K r o n e c k e r

1861 u n d Crehe, B d . 59) w e s e n t l i c h

tiefer

in die Theorie eingedrungen, o h n e aber das Ikosaeder g a n z z u erreichen (an w e l c h e s er n a h e anstreift).

I n der T a t ist das W e s e n t l i c h e ,

daß

m a n die A u f l ö s u n g m i t der Ikosaedergleichung

in V e r b i n d u n g b r i n g t ;

die H e r a n z i e h u n g

steht

der e l h p t i s c h e n F u n k t i o n e n

m i t der H e r a n ­

z i e h u n g der L o g a r i t h m e n b e i m W u r z e l z i e h e n auf einer Stufe. — übrigen wird das Eingreifen der elliptischen F u n k t i o n e n i m n o c h v ö h i g klargestellt Der Zusammenhang

Im

folgenden

werden. mit

dem

Ikosaeder

(dessen

funktionentheo­

retische B e d e u t u n g e b e n d a m a l s in R i e m a n n s Vorlesung, also 1 8 5 8 / 5 9 , h e r v o r g e t r e t e n war) ist aber einfach dieser: Man d e n k e sich, w a s auf elementare W e i s e gelingt (durch sog. Tschirnhausen-Transformationen), die Gleichung fünften Grades auf die F o r m g e b r a c h t : y'+bay^+bßy (was ich Hauptgleichung

fünften

+ Grades

Y==0

nenne).

Man h a t d a n n für die

fünf W u r z e l n 3 ^ 0 , ^ , . . . . 3 ^ 4

F ü h r t m a n n u n die L a g r a n g e s c h e n Ausdrücke e i n : ^

= ^ 0 + ^ ^ ^ 1 + ^ ^ ^ ^ 2 + ^ ^ ^ ^ 3 + ^'"^4

(^=0,1,...,4),

SO ist einerseits

^=o u n d andererseits Wir fassen diese l e t z t e Gleichung als Gleichung einer F l ä c h e z w e i t e n Grades auf, die bei d e n 120 V e r t a u s c h u n g e n der fünf W u r z e l n , also b e i 120 linearen U m s e t z u n g e n der p^, p^, p^, p^, d. h. bei 120 K o l l i n e a t i o n e n des R a u m e s , in sich übergeht.

V I I I . Automorphe Funktionen. W i r schließen n u n , d a ß bei d e n 6 0 g e r a d e n V e r t a u s c h u n g e n der Wurzeln die b e i d e n S y s t e m e der geradlinigen E r z e u g e n d e n der jedes einzeln in sich übergeht. D a s ist ein Schluß, der s e i t d e m oft u n d m d e n v e r s c h i e d e n s t e n Gebieten g e m a c h t worden ist. V o n d a aus ist es j e t z t nur n o c h ein Schritt, u m einzusehen, d a ß die P a r a m e t e r ζ u n d ζ' der b e i d e n E r z e u g e n d e n

bei d e n 6 0 geraden V e r t a u s c h u n g e n der y g e n a u die 6 0 Ikosaedersub­ s t i t u t i o n e n erleiden u n d also v o n einer Ikosaedergleichung a b h ä n g e n , deren ζ eine rationale F u n k t i o n der Koeffizienten α, j8, y u n d der Qua­ dratwurzel aus der Gleichungsdiskriminante ist. (Vorlesung über d a s Ikosaeder, K a p . 3). W i e m a n dieses ζ n u n e x p h z i t e darstellt, u n d wie m a n u m g e k e h r t , n a c h B e r e c h n u n g eines ζ oder ζ' die W u r z e l n y der v o r g e l e g t e n Glei­ c h u n g fünften Grades g e w i n n t , m ö g e m a n in m e i n e m B u c h e nachsehen. H i e r ist es w o h l n u n a m P l a t z e , m i t einer Lobrede über die regu­ lären Körper z u s c h h e ß e n . Ihre Geschichte durchzieht d e n g e s a m t e n E n t w i c k l u n g s g a n g der M a t h e m a t i k . D e n P y t h a g o r e e r n erschienen sie als S y m b o l e m y s t i s c h e r V o l l k o m m e n h e i t . D i e griechischen N a t u r ­ p h i l o s o p h e n parallehsieren sie m i t d e n fünf E l e m e n t e n . D e n griechischen G e o m e t e r n g e l a n g der N a c h w e i s , d a ß es keine anderen regulären Körper gibt als die g e n a n n t e n , u n d d a ß m a n diese aus d e m R a d i u s der u m ­ geschriebenen K u g e l m i t Zirkel u n d Lineal konstruieren k a n n . D i e 13 B ü c h e r der E l e m e n t e E u k l i d s sind g e r a d e z u in der W e i s e aufgebaut, d a ß die K o n s t r u k t i o n der regulären Körper d e n A b s c h l u ß b ü d e t . D a s ganze Mittelalter hindurch bleiben sie d a n n ein G e g e n s t a a d m y s t i s c h e r Verehrung oder s y m b o l i s c h e s Vorbild der Charakterfestigkeit. I m W a p p e n s p r u c h meiner Bergischen H e i m a t figuriert ein reguläres Tetraeder m i t der U m s c h r i f t : „Viereckiger Stein, wie er a u c h fäüt, s t e t s m i t der Spitze n a c h o b e n sich s t e h t . " Kepler b e n u t z t die regulären Körper, u m die D i m e n s i o n e n der P l a n e t e n ­ b a h n e n durch eine k ü h n e P h a n t a s i e z u verknüpfen. U n d n u n in der N e u z e i t treten sie w i e d e r u m in d e n Gesichtskreis der wissenschaftlichen M a t h e m a t i k , w o sie in wunderbarer W e i s e Geometrie, Gruppentheorie, Algebra u n d F u n k t i o n e n t h e o r i e vereinen u n d z u weiteren F o r s c h u n g e n d e n W e g zeigen. D e r Ikosaederfall

^

i

i. ^

den w i r bisher besonders b e t r a c h t e t h a b e n , war dadurch ausgezeichnet, d a ß eine e n d l i c h e Zahl v o n D r e i e c k e n sich bei der R e p r o d u k t i o n auf

Dreiecksfunktionen. der Kugel g l a t t aneinander l e g t e n ; der weitere Fortschritt des Ge­ dankens, den wir n u n verfolgen, b e s t e h t n u n darin, daß wir Fälle betrachten, w o eine u n e n d l i c h e Zahl v o n Dreiecken dies tut. Offenbar wird m a n immer g l a t t e Anordnung der Dreiecke (neben­ einander) erhalten, w e n n m a n

n i m m t , w o /, w , η ganze Zahlen größer als 2 sind. Wir h a b e n dabei drei wesentlich verschiedene Fälle zu unterscheiden, je n a c h d e m λ + μ + v größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Ist A H- H- r > 1, so e r h ä h m a n auf Grund einer einfachen zahlen­ theoretischen Diskussion die vier Möghchkeiten, die den Dreiecken der regulären Körper e n t s p r e c h e n : i

i

i

^

i

i

Dieder,

Oktaeder, Ikosaeder.

(Vgl. hierzu die Figuren in Klein-Fricke: Modulfunktionen. B d . 1, S. 75, 76, 1 0 4 — 1 0 6 . ) Ist λ ~\- μ + V = l, so k a n n m a n das Ausgangsdreieck geradlinig zeichnen u n d erhält Figuren, die sich in ein Parallelogrammnetz ein­ ordnen. Drei Fälle sind möglich (loc. cit. S. 107): 1 2

1 3

1 6'

Iii 2

4

4'

i1 i 3 3 3' v o n denen wir den zweiten F a l l schon wiederholt als Beispiel heran­ zogen. D i e ganze E b e n e (Kugel) wird v o n der Schar der Dreiecke überdeckt bis auf den U n e n d h c h k e i t s p u n k t , der ein Grenzpunkt ist. U n s e r Interesse w e n d e t sich n u n d e m dritten Falle λ + μ + ν < 1 zu, d e m unendlich viele Wertetrippel A , , ν genügen. D i e drei Seiten eines solchen Dreiecks h a b e n einen reellen g e m e i n ­ s a m e n Orthogonalkreis, der sich bei allen Spiegelungen reproduziert, u n d die unendlich vielen Dreiecke, die bei der R e p r o d u k t i o n e n t s t e h e n , ordnen sich so an, d a ß sie diesen Orthogonalkreis zur natürlichen Grenze h a b e n (vgl. z. B . für i , | , i , Modulfunktionen B d . 1, Fig. 33, S. 109).

V I I I . Automorphe Funktionen. Man m u ß sich in diese Figuren, die schon bei G a u ß v o r k o m m e n (vgl. K a p . 1, S. 4 8 ; G a u ß ' W e r k e , B d . 8, S. 104), hineindenken u n d darf nicht vergessen, d a ß m a n sich i m Gebiet der Inversionsgeometrie befindet. Insbesondere m u ß m a n a u c h die Gestalt erfassen, die die Figuren a n n e h m e n , w e n n der g e m e i n s a m e Orthogonalkreis, w a s oft sehr b e q u e m ist, als gerade Linie, insbesondere als reelle A c h s e ge­ n o m m e n wird. U n t e r diesen Figuren dritter Art sind es n u n insbesondere die m i t den Winkeln 0 , 0 , 0 und

die u n s in die Theorie der elliptischen Modulfunktionen hiheinführen, u n d auf die wir uns i e t z t konzentrieren wollen, u n d die wir i a schon früher wiederholt b e n u t z t e n . N e h m e n wir das Ausgangsdreieck m i t den W i n k e l n 0, 0, 0, so ist der Orthogonalkreis der d e m Dreieck umbeschriebene Kreis. D u r c h Spiegelung des Dreiecks a n einer Seite erhalten wir wieder ein Dreieck, dessen Spitzen auf d e m Orthogonalkreis liegen. F a h r e n wir m i t dieser Spiege­ l u n g fort, so erhalten wir eine einfache u n d lückenlose Ü b e r ­ d e c k u n g d e s Kreisinneren durch Dreiecke, die i m m e r kleiner werden, u n d deren S p i t z e n auf der Peripherie des Kreises liegen. A u s d e m Dreieck m i t d e n W i n k e l n O g e w i n n t m a n sofort d e n z w e i t e n Fall. Wh: n e h m e n das Dreieck 0 , 0 , 0 , w a s keine w e s e n t l i c h e E i n s c h r ä n k u n g ist, der E i n f a c h h e i t halber gleichseitig. Zeichnen wir d a n n in d i e s e m Dreieck die H ö h e n (vgl. Fig. 42), so wird es dadurch in sechs Dreiecke zerlegt m i t den Winkeln y , , O. A u s e i n e m dieser k l e i n e n Dreiecke k ö n n e n die fünf anderen durch Spiegelung erhalten werden, d a fe zwei v o n ihnen in B e z u g auf die g e m e i n s a m e Seite s y m m e t r i s c h sind. W e n d e n wir n u n d e n u n b e s c h r ä n k t e n Spiegelungsprozeß auf diese Dreiecke an, so erhalten wir offenbar dieselbe Figur w i e i m ersten Falle, w e n n wh: dort i e d e s D r e i e c k durch die richtig g e w ä h l t e n H ö h e n k r e i s e m sechs Drei­ ecke unterteilen (siehe die F i g u r e n auf S. I I I , 112 in Klein-Fricke, loc. c i t . ) . F ü h r t m a n d e n Grenzkreis in die reelle A c h s e über, so erhält m a n die auf S. 2 7 3 ( F a l l l ) u n d S. 113 ( F a ü 2 ) der „ M o d u l f u n k t i o n e n " , B d . 1 a n g e g e b e n e n Figuren. Für die Ausgangsdreiecke erhalten wir speziell die in F i g . 4 3 a n g e g e b e n e n .

Elliptische Modulfunktionen.

361

Wir wollen die Variable ζ jetzt, wie es bei d e n elliptischen Modulfunk­ tionen üblich ist, ω n e n n e n . D i e Spiegelungen (welche a n a l y t i s c h heraus­ k o m m e n , w e n n wir ω durch - ω ersetzen, w o ω d e n konjugiert k o m p l e x e n Wert zu ω bedeutet) wollen wir beiseite lassen. D a n n h a b e n wir bei d e m Dreieck der W i n k e l y ,

y , O die Gruppe ω'==~^,

wo α, β, γ, ό

irgendwelche ganze Zahlen der D e t e r m i n a n t e 1 s i n d ; d a g e g e n bei d e m nullwinkligen Dreieck diejenige Untergruppe dieser Gruppe, für welche

ist (vgl. oben S. 4 8 oder a u c h S. 289), w a s ich Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe nenne. W i e treten n u n diese Gruppen u n d Figuren in der e l e m e n t a r e n Theorie der elhptischen F u n k t i o n e n , speziell der elhptischen Modul­ funktionen a u f ? Ich h a b e dies «chon i m K a p . 1, bei Gauß, vorgetragen u n d brauche hier nur das Resul­ t a t zu resümieren, auch b i n ich bei Weierstraß darauf zurück­ g e k o m m e n . A u ß e r d e m verweise ich auch auf das Lehrbuch der elliptischen Funktionen von Frickei). Als rationale Invarianten des elhptischen Integrals erster G a t t u n g gegenüber linearen Transformationen der primitiven Perioden ω^ω^ h a b e n wir g^, g^ u n d die D i s k r i m i n a n t e ^ = ^ / - 2 7 ^ 3 ^ D a r a u s erhält m a n die absolute I n v a r i a n t e J=^

- Setzen wir ^ == a>,

so ist ω ( / ) = S ( I , ^ , 0 ; / ) . w a s sich durch hypergeometrische R e i h e n integrieren läßt.

Speziell ist für d a s Ausgangsdreieckspaar

unserer

Normalfigur: «> = i

{log 1 7 2 8 / + » i.„i7oß T

A log F (ρ + 3 H l

, ρ + A , 2ρ + l; i)}^^^

13157»

1

(Diese Formel sieht ein b i ß c h e n anders aus als b e i m Ikosaeder, weil d a s E l e m e n t γ der in B e t r a c h t k o m m e n d e n h y p e r g e o m e t r i s c h e n Reihe eine ganze Zahl ist.) 1) R. F r i c k e : Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. Leipzig, Bd. 1, 1916, Bd. 2, 1922.

V I I I . Automorphe Funktionen. A l s zugehörige Ausgangsfigur ist das in Fig. 4 4 angegebene Dreieck z u n e h m e n , in d e m die Zusammengehörigkeit der K a n t e n durch Pfeile a n g e d e u t e t ist. D i e R a n d s u b s t i t u t i o n e n ω ' = ω + 1,

ω'=--^-

„erzeugen'' z u s a m m e n aus diesen Dreiecken die g a n z e Gruppe m i t der D e t e r m i n a n t e

durch /: / -

A l s irrationale Invariante finden wir das D o p p e l v e r h ä h n i s λ der vier V e r z w e i g u n g s p u n k t e der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e der unter d e m I n t e Fig. 44. gral erster G a t t u n g s t e h e n d e n Quadratwurzel. λ ist m i t der rationalen Invariante / v e r b u n d e n die Gleichung 1:1 = 4

-

;L +

1)^· {2X^ — 31'^ - 3 λ +

2)^: 211'^ (1 — Xy

(vgl. S. 49). B e i Legendre u n d J a c o b i wird das D o p p e l v e r h ä l t n i s m i t c^bzw. ^^^bei Weierstraß m i t

bezeichnet. ^2 — ^3

/ ist also eine rationale F u n k t i o n sechsten Grades v o n λ u n d u m ­ gekehrt ist λ eine sechswertige algebraische F u n k t i o n v o n / . W i r erhalten s o die Zerlegung der λ - E b e n e i 12 Gebiete, die a b w e c h s e l n d 9,^X-Ebene ß ü ^ e r der oberen u n d unteren H a l b e b e n e sind und dement­ sprechend schraffiert u n d freige­ lassen werden (Fig. 45). E s zeigt sich s o m i t , d a ß geradezu >i = Ä^ = ^ ( i . M ; / ) ist, d a ß wir also einen besonderen Fall des Dieders v o r u n s h a b e n . ^2 entspricht eine sechsblättrige R i e m a n n s c h e F l ä c h e tiber der / - E b e n e . Die Bilder der Verzweigungs­ p u n k t e dieser F l ä c h e liegen in X=

0 , 1,

u n d die zugehörigen / - W e r t e sind,

oü,

; leicht verifiziert w e r d e n kann,

.

7=0.

Elliptische Modulfunktionen.

Riemann.

363

Man liest daher aus der Figur sofort ab, daß in / == O die sechs B l ä t t e r in zwei V e r z w e i g u n g s p u n k t e n zu je dreien zyklisch z u s a m m e n g e o r d n e t sind, während sie in / = 1 u n d in / = oo jedesmal zu je zweien in drei V e r z w e i g u n g s p u n k t e n z u s a m m e n h ä n g e n . Schneiden wir n u n die λ - E b e n e längs der p o s i t i v e n reellen Achse v o n O bis o o auf, so erhalten wir durch stetige D e f o r m a t i o n (vgl. die Figuren „Modulfunktionen", B d . 1, S. 294/95) in der ω - E b e n e die Figur für ω = S (0, 0, 0;λ) oder, w e n n wir die E m t e i l u n g der λ-Ebene in / - D r e i e c k e berücksichtigen, die Figur für ω s ( | , | , 0 ; / ) (vgl. F i g . 46). D i e R a n d s u b s t i t u t i o n e n

2ω + 1 erzeugen z u s a m m e n (in Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t der Definition) die S u b der H a u p t k o n g r u e n z g r u p p e

zweiter

Stufe.

E i n einzelnes Dreieck der ω ( / ) - E b e n e ist die konforme A b b i l d u n g • der oberen oder unteren / - H a l b e b e n e . J e d e m ω ist also 'ein ganz b e ­ stimmter / - W e r t zuge­ ordnet. Ebenso ent­ spricht, wie wir eben Λ gesehen haben, jedem ω ein u n d nur ein W e r t v o n k^. k^(J) ist hier das erste u n s b e g e g n e n d e Beispiel einer algebra­ ischen F u n k t i o n v o n / , w e l c h e durch ω ,,uniformisiert" wird (oder, wie früher sagte, einer algebraischen Gleichung, w e l c h e durch „gelöst" wird): / und sind b e i d e e i n d e u t i g e F u n k t i o n e n v o n ω. - I c h unterlasse hier explizite F o r m e l n für ω(k^) a n z u g e b e n . D i e s e n Ausführungen w i ü ich n u n einige historische A n g a b e n folgen lassen. Ü b e r G a u ß h a b e ich bereits gesprochen. D e r erste, der hier m i t Erfolg anknüpft, ist R i e m a n n in seiner wiederholt g e n a n n t e n Vor­ lesung v o n 1 8 5 8 / 5 9 gewesen. — E r b e m e r k t vor allen D i n g e n die kolos­ sale uniformisierende Kraft, w e l c h e in der F u n k t i o n w(k^) s t e c k t . W i r w e r d e n h e u t e s a g e n : Alle F u n k t i o n e n v o n / , w e l c h e nur bei / = 0, 1, cx) v e r z w e i g t sind, u n d zwar so, d a ß bei / = O die nicht isoliert verlaufenden B l ä t t e r zu je 3 , b e i J = I zu je 2 z u s a m m e n h ä n g e n , w ä h r e n d die Ver­ z w e i g u n g b e i / = OO irgendwelche ist, sind eindeutige F u n k t i o n e n v o n ω. W a s aber die F u n k t i o n e n v o n betrifft, so sind alle diejenigen,

364

V I I I . Automorphe Funktionen.

die nur b e i 0, 1, cx) v e r z w e i g t sind, ganz u n a b h ä n g i g v o n der Art der Verzweigung, e i n d e u t i g e F u n k t i o n e n v o n ω 1 Beispiele: Alle F u n k t i o n e n s ( | , | , 0 ; / ) sind eindeutige F u n k t i o n e n v o n ω (womit die b e m e r k t e E i n d e u t i g k e i t v o n k^(J) in eine allgemeine E i n ­ sicht eingeordnet ist). Insbesondere ist also die Ikosaederirrationalität ζ {J) eindeutig in co, oder, w i e wir früher s a g t e n , die Ikosaeder­ gleichung läßt sich durch Modulfunktionen lösen. W i e sich das i m einzelnen g e s t a l t e t , werden wir n o c h sehen. J e d e Wurzel y ' p " oder γ Ύ Ζ Τ ρ oder a u c h y ' ^ ^ i

ja

sogar

log k\ log (1 -k^ u n d log (1 —k^ ferner jede s - F u n k t i o n s (λ, μ, v;k^, überhaupt jede h y p e r g e o m e t r i s c h e R e ü i e F (α, β, γ; k^) wird durch ω uniformisiert. (Diese l e t z t e B e m e r k u n g h a t t e ich 1878 in B d . 14 der m a t h . A n n a l e n gemacht^) u n d war darauf sehr stolz. Als ich d a n n 1897 das B e z o l d s c h e Heft m i t R i e m a n n s Vorlesung i n die H a n d b e k a m , sah ich, d a ß es g e n a u m i t d i e s e m S a t z e schloß, d e n B e z o l d , v e r m u t l i c h weil er in die Ferien reisen wollte, nicht e i n m a l mehr g a n z nachgeschrieben h a t t e . Siehe S. 9 3 der N a c h t r ä g e v o n Noether-Wirtinger.) V o n R i e m a n n her ist die K e n n t n i s der Modulfigur allmählich durch­ gesickert. Ich m u ß hier vor allen D i n g e n die Arbeit v o n D e d e k i n d in Crelle, B d . 83, 1877 n e n n e n , die m i c h bei d e n hierauf b e z ü g h c h e n Arbeiten, die ich kurz vorher b e g o n n e n h a t t e , wesentlich u n t e r s t ü t z t h a t . V o n dort rührt auch die B e z e i c h n u n g : „elliptische Modulfunk­ t i o n e n " her. S e i t d e m ist die hier in B e t r a c h t k o m m e n d e Dreiecksfigur rasch b e k a n n t g e w o r d e n . Bereits 1879 h a t P i c a r d aus ihr in den Comptes R e n d u s , t. 88, w e n n a u c h n o c h in unbeholfener W e i s e , den w i c h t i g e n , n a c h i h m b e n a n n t e n S a t z abgeleitet, demzufolge eine eindeutige ana­ l y t i s c h e F u n k t i o n in der U m g e b u n g einer isolierten wesentlich singu­ lären S t e h e h ö c h s t e n s zwei W e r t e nicht wirkhch a n n i m m t . Hieran schhe­ ßen sich d a n n A r b e i t e n v o n S c h o t t k y , L a n d a u , C a r a t h e o d o r y u . a . E i n e andere E n t w i c k l u n g s l i n i e , die ebenfalls bei G a u ß s c h o n vor­ liegt, w e l c h e aber in der F o l g e u n a b h ä n g i g verläuft, g e h t v o n der B e ­ n u t z u n g der aUgemeinen e l h p t i s c h e n F u n k t i o n e n , insbesondere den T h e t a - F u n k t i o n e n aus. In dieser H i n s i c h t ist n e b e n A b e l u n d J a c o b i vor allen D i n g e n H e r m i t e zu n e n n e n , der 1858 in den Comptes R e n d u s , t. 4 6 , insbe­ sondere u n d νΊ ~ k'' später auch V P ( I unter der B e ­ n e n n u n g φ {ω), ψ {ω), χ {ω) in ihrem V e r h a l t e n gegenüber hnearen Transformationen v o n ω u n t e r s u c h t e ( = Oeuvres t. I I p. 5ff. u n d p. 22ff.). 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 27, 63.

Hermite.

Die „Transformation n-ter Ordnung".

Volle funktionentheoretische Klarheit hat damals Hermite nicht erreicht, denn er wundert sich, daß χ (ω) „est une fonction egalement bien determin^e'' —während wir doch wissen, daß jede Wurzel y ' p _ in ω eindeutig ist . Um so geschickter handhabt Hermite die analy­ tischen Formeln, welche sich aus der Theorie der Theta-Funktionen für die von ihm benutzten elliptischen Modulfunktionen ergeben. Es sind das die sog. ^-Formeln, wo q die Jacobische Bezeichnung für e'"""^ ist2). Ich will hier als Beispiel nur die betreffenden Formeln für ^ und ^3 angeben:

r.=©-(a-i|as). Daneben wih ich die Eisensteinschen Reihen stellen, die ich schon öfter streifte (S. 41), und die, wie Poincare später sagte, den „Geist mehr befriedigen":

Man entnimmt beide Formeln gewöhnlich der Theorie der doppelt­ periodischen Funktionen. Den direkten Übergang von den letzteren Reihen zu den ersteren hat Hurwitz in seiner Dissertation, Math. Ann. Bd. 18, I88I, sehr schön bewerkstelligt. Von den vorangehenden Überlegungen ausgehend, hat sich eine sehr bemerkenswerte algebraische Theorie entwickelt, die Lehre von der „Transformation" der elliptischen Funktionen, insbesondere der elliptischen Modulfunktionen (vgl. oben S. 44ff.). Es sei η = ad — hc die Determinante der ganzen Zahlen a, h, c, d. Man untersucht nun insbesondere die Beziehungen, die zwischen

/&3=/'

/(«).

oder auch bestehen. Man nennt dies eine ,,Transformation ^-ter Ordnung". / ' und / sind durch eine algebraische Gleichung verbunden, die z. B. 1) Oeuvres t. 11, p. 28. 2) Vgl. dazu die Figur bei F r i c k e : Elliptische Funktionen. Bd. 1, S. 300, die man durch Abbildung eines Parallelstreifens der Dreieckteilung der ω-Ebene auf das Innere des Einheitskreises der q'^-lBhene erhalt. Der Punkt + i 00 geht dabei in den Punkt ^ = O über, und das Ausgangsdreieck unserer Fig. 43 (S. 361) wird sehr klein.

366

V I I I . Automorphe Funktionen.

w e n n η P r i m z a h l ist, in b e i d e n Variabein v o m Grade η + I ist. D i e s e Gleichungen h e i ß e n ,,Modulargleichungen". L e g e n d r e , J a c o b i u n d ihre Schüler erfreuten sich z u n ä c h s t daran, diese Modulargleichungen in w e c h s e l n d e n F o r m e n für die niedersten F ä h e wirklich aufzustellen. Sie erhalten dabei g a n z z a h l i g e Koeffizienten 1 D a n n k a m G a l o i s u n d m a c h t e e i n e n g e w a l t i g e n Schritt v o r w ä r t s . E r b e s t i m m t für d e n F a ü , d a ß η P r i m z a h l ist, die Gruppe der Gleichung.

Sie ist, n a c h A d j u n k t i o n v o n F ( - 1 )

η eine Gruppe G

, die

s i c h zahlentheoretisch sehr leicht definieren läßt. D i e s e Gruppe erweist sich für W > 3 als e i n f a c h ; eine Auflösung der Modulargleichung durch W u r z e l z e i c h e n ist d a n n u n m ö g h c h ; jede „ R e s o l v e n t e " der Modular­ gleichung h a t dieselbe Gruppe w i e diese selbst. — Insbesondere ergeben sich für w = 5, 7, 11 R e s o l v e n t e n n-ten Grades, d . h . eines Grades, der u m 1 n i e d r i g e r ist, als der der Modulargleichung, also R e s o l v e n t e n im n = 5 im η = 7 für η = 11

fünften Grades m i t ei s i e b e n t e n Grades m i t elften Grades m i t ein^

— für höhere P r i m z a h l e n ist eine solche „ E r n i e d r i g u n g " a u s g e s c h l o s s e n . H e r m i t e h a t sich d a n n 1859 (Comptes R e n d u s , t. 4 8 u n d 4 9 = O e u v r e s t. I I p. 3 8 bis 82, m s b e s . Artikel X I V bis X V I ) das P r o b l e m g e ­ stellt, diese R e s o l v e n t e n niederen Grades wirklich aufzustellen. So k a m er zu einer Gleichung fünften Grades, die durch elliptische M o d u l ­ f u n k t i o n e n lösbar ist, w i e wir o b e n s c h o n a u s f ü h r t e n ; auch bei der Gleichung s i e b e n t e n Grades k a m er zu e i n e m einfachen R e s u l t a t e , w ä h r e n d er bei = 11 n i c h t g a n z durchdringen k o n n t e . I c h h a b e mir in B d . 14 u n d 15 der Math. A n n . (1878, 1879) die Auf­ g a b e g e s t e h t , in dieses G e s a m t g e b i e t m i t H ü f e der M e t h o d e n der g e o ­ m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n t h e o r i e klare E i n s i c h t z u g e w i n n e n . D a s h a t insbesondere für w = 5, 7, 11 v o l l e n Erfolg g e h a b t u n d h a t z u e i n e m n e u e n g r u p p e n t h e o r e t i s c h - g e o m e t r i s c h e n P r o g r a m m der elliptischen M o d u l f u n k t i o n e n geführt (1879)^). Ü b e r dieses aUgemeine wird n u n einiges zu sagen a l l g e m e i n e n Theorie der charakterisiert durch die

P r o g r a m m der e ü i p t i s c h e n Modulfunktionen sein, da es die n a t u r g e m ä ß e Ü b e r l e i t u n g zur a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n b ü d e t . E s wird T e n d e n z : „ V e r s c h m e l z u n g v o n Galois u n d

1) Den ersten Beweis dieses Theorems von Galois gab E. B e t t i 1853 (Ann. di Sc. mat. e fis. Bd. 4 = Opere mat. Bd. I S. 81 ff.), dem überhaupt das große Verdienst gebührt, als erster die Galois'sche Theorie durch tief eindringende Unter­ suchungen der mathematischen Welt zugänglich gemacht zu haben. — Eine vollständige Diskussion der Gruppe der Modulargleichung gab dann G ! e r s t e r : Math. Ann. Bd. 18, S. 319ff.. 1884. 2) Vgl. K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 169ff. (..Zur Systematik der Theorie d e r eüiptischen Modulfunktionen").

Allgemeines Programm.

367

R i e m a n n . " Ich drücke die Aufgabe, die hier g e s t e h t wird, in ahgemeiner F o r m auf zwei W e i s e n aus. Wollen wir dabei vorläufig immer an die H a u p t k o n g r u e n z g r u p p e zweiter Stufe als einfachstes Beispiel d e n k e n . 1. E s sohen alle U n t e r g r u p p e n aufgezählt werden, die in der G e s a m t ­ heit der ω - S u b s t i t u t i o n e n ω ' = ^ ^ ^ ^ e n t h a l t e n sind, u n d n a c h ­ gesehen werden, wie viele ω-Doppeldreiecke m a n n e b e n einander legen m u ß , u m einen ersten Diskontinuitätsbereich der Untergruppe zu erhalten; — endlich h a t m a n diesen Diskontinuitätsbereich, dessen K a n t e n durch die „ e r z e u g e n d e n " S u b s t i t u t i o n e n der Untergruppe paar­ weise z u s a m m e n g e o r d n e t werden, u n d der insofern ideell eine geschlos­ sene F l ä c h e vorstellt, als eine R i e m a n n s c h e F l ä c h e zu b e t r a c h t e n u n d nach den einfachsten algebraischen F u n k t i o n e n z u fragen, die auf ihr n a c h R i e m a n n s c h e n Prinzipien existieren müssen. — Der „ D i s k o n t i ­ nuitätsbereich" wird so z u m funktionentheoretischen „ F u n d a m e n t a l ­ bereich" oder „ F u n d a m e n t a l p o l y g o n " , wie ich ursprünghch sagte. Oder, w e n n dies zu abstrakt klingt, kann ich in umgekehrter, zweiter Fassung sagen: 2. Wir konstruieren über der / - E b e n e irgend eine R i e m a n n s c h e F l ä c h e , welche nur bei / = 0 , 1 , oo, u n d zwar nach d e m S c h e m a | , | , O verzweigt ist (vgl. S. 364), fragen nach den einfachsten F u n k t i o n e n , Avelche auf ihr existieren (bzw. nach den Gleichungen, durch die sie verknüpft sind), übertragen d a n n die ganze B e t r a c h t u n g auf die ω - E b e n e , w o die F u n k t i o n e n eindeutig werden u n d die z w e c k m ä ß i g zerschnittene R i e m a n n s c h e F l ä c h e sich auf einen b e k a n n t e n , aus lauter ω-Dreiecken b e s t e h e n d e n F u n d a m e n t a l b e r e i c h abbildet, dessen K a n t e n paarweise durch ω - S u b s t i t u t i o n e n z u s a m m e n g e h ö r e n ; wir fragen e n d h c h nach der U n t e r g r u p p e v o n ω - S u b s t i t u t i o n e n , die durch diese Z u s a m m e n o r d n u n g der K a n t e n erzeugt wird. D a h a b e n wir also ein volles Z u s a m m e n g e h e n v o n Gruppentheorie u n d F u n k t i o n e n t h e o r i e . In m e i n e n alten Arbeiten beschränke ich mich dabei, u m i m a l g e b r a i s c h e n Gebiet z u bleiben, auf F u n d a m e n t a l ­ p o l y g o n e m i t einer endhchen Zahl v o n ω-Dreiecken; es würde aber nichts e n t g e g e n s t e h e n u n d modernen Fragestellungen entsprechen, auch P o l y g o n e mit u n e n d h c h vielen Dreiecken in B e t r a c h t zu ziehen. B e i ­ spiele für solche geben bereits ^{^>^>^>J) oder log ^^ ^^^r s {λ, μ, v;k^). Wir h a b e n uns dieses allgemeine Problem der elhptischen Modul­ funktionen in seiner z w e i t e n Formulierung s c h o n S. 362 ff. a m B e i ­ spiel der Gleichung sechsten Grades klargemacht, welche das D o p p e l ­ verhältnis mit / verbindet, u n d fanden, d a ß m a n dabei zur H a u p t ­ kongruenzgruppe zweiter Stufe geführt w i r d ! Wir stellen n u n g e n a u dieselben Überlegungen bei der Ikosaeder­ gleichung an. S t a t t des D o p p e l Verhältnisses λ h a b e n wir hier die F u n k -

V I I I . Automorphe Funktionen. tion C = s ( | , ^ , | ; / ) , der eine 60-blättrige R i e m a n n s c h e F l ä c h e über der / - E b e n e zugeordnet ist. W i r zerschneiden n u n die ikosaedrisch eingeteilte Kugelfläche w i e eine Apfelsine in zehn gleiche, v o n oo n a c h O verlaufende Sicheln, die wir in zehn nebeneinanderliegende Vertikal­ streifen der cy-Ebene v o n der B r e i t e | übertragen (vgl. „Modulfunk­ tionen'', B d . 1, S. 3 5 5 , Fig. 83). A u s der Ikosaeder t e ü u n g der K u g e l ist leicht ersichthch, wie die Dreiecke in der cy-Ebene a n e m a n d e r s t o ß e n . D i e zügehörigen cy-Substitutionen erweisen sich n u n als m o d u l o 5 zur I d e n t i t ä t kongruent u n d erzeugen z u s a m m e n g e s e t z t gerade die Hauptkongruenzgruppe d e r f ü n f t e n Stufe. I n der T a t g i b t es m o d . 5 gerade 60 i n k o n g r u e n t e cy-Substitutionen, u n d es m u ß d a h e r der D i s k o n t m u i t ä t s b e r e i c h der H a u p t k o n g r u e n z g r u p p e fünfter Stufe (welche alle cy-Substitutionen z u s a m m e n f a ß t , die m o d . 5 m i t der I d e n t i ­ t ä t übereinstimmen) gerade aus 60 D o p p e l d r e i e c k e n bestehen. — U m ­ gekehrt ist die Ikosaederkugel das eindeutige A b b ü d dieses D i s k o n tinuitätsbereiches. Auf ihr existiert ersichtlich keine einfachere F u n k t i o n als unsere Ikosaedergröße ζ. D i e s e s ζ erweist sich also n i c h t nur als B e i ­ spiel eines H a u p t k o n g r u e n z m o d u l s fünfter Stufe, sondern ü b e r h a u p t als die einfachste Modulfunktion, die zu der g e n a n n t e n H a u p t k o n g r u e n z ­ gruppe g e h ö r t ! D a m i t ist n i c h t nur klar, d a ß m a n die Ikosaedergleichung durch elliptische Modulfunktionen lösen k a n n , sondern a u c h , d a ß die I k o s a ­ edergleichung i m S y s t e m der e l h p t i s c h e n F u n k t i o n e n für die fünfte Stufe g e n a u dieselbe prinzipielle Stellung e m n i m m t wie die D o p p e l ­ v e r h ä l t n i s g l e i c h u n g für die z w e i t e Stufe. Zugleich basiert hierauf alles, w a s m a n über die Auflösung der Glei­ c h u n g e n fünften Grades durch elhptische Modulfunktionen sagen k a n n ; diese Auflösung existiert, weil m a n die Gleichungen fünften Grades d u r c h die Ikosaedergleichung lösen k a n n usw. D i e rechnerische D a r s t e l l u n g des ζ durch T h e t a - F u n k t i o n e n (d. h. „g'-Formeln"), w i e ich sie später a u c h g e g e b e n h a b e ^), m u ß hier außer B e t r a c h t bleiben. Sie schließt R i e m a n n , Galois u n d J a c o b i z u s a m m e n . U m g e k e h r t h ä t t e m a n a u c h , v o n d e n T h e t a - F u n k t i o n e n a u s g e h e n d , die g a n z e Theorie der fünften (und der siebenten) Stufe sehr leicht finden k ö n n e n , w e n n m a n nur g e w u ß t h ä t t e , w o m a n s u c h e n m u ß . D i e For­ m e l n s i n d m ä c h t i g , aber b l i n d ! Ich will n u n n o c h den n ä c h s t höheren, v o n Galois v o r g e z e i c h n e t e n Fall η = 7 b e t r a c h t e n .

^

E s gibt 7 ·— ^ , _ «ω+£ - γω + δ ·

= 168

mod. 7

inkongruente

Substitutionen

1) Math. Ann. Bd. 17. 1880/81 = Ges. Abh. Bd. 3. S. 186ff.; ferner ..Modul­ funktionen'' Bd. 2. 5. Abschnitt.

Hauptkongruenzgruppe 7. Stufe.

369

D i e s e n 168 S u b s t i t u t i o n e n ω' e n t s p r e c h e n d w e r d e n wir über der / - E b e n e e i n e 168-blättrige R i e m a n n s c h e F l ä c h e h a b e n , deren B l ä t t e r b e i 0, 1, OO z u je 3, 2 , 7 v e r z w e i g t sind.

W k berechnen (nach S. 258)

ihr Geschlecht durch ^Ii

j.

56.2-1-84-1 + 24.6

+

1 =

2

167

als ^ = 3. W i r w e r d e n also auf die Theorie der G e b ü d e p = Z v e r w i e s e n , die wir, w i e wir es s c h o n gelernt h a b e n , u n t e r d e m B i l d e einer e b e n e n K u r v e vierter O r d n u n g auffassen k ö n n e n (vgl. S. 303ff.). D o c h e h e wir diesen G e d a n k e n verfolgen, w o h e n wir u n s überlegen, o b wir u n s v o n d e m B l ä t t e r z u s a m m e n h a n g

der 2 . 1 6 8

Halbebenen

e i n e ähnliche klare V o r s t e h u n g m a c h e n k ö n n e n , w i e sie u n s b e i η = 5 d a s Ikosaederdreiecknetz

vermittelt.

D i e s gelingt in der T a t v e r m ö g e

der F u n k t i o n

5(|,|,|;/)

die

selbst zwar u n e n d l i c h - v i e l d e u t i g ist, innerhalb deren D r e i e c k s n e t z sich aber unsere

Riemannsche

Fläche

eindeutig

ausbreiten

lassen

muß.

Man erhält in der s - E b e n e e i n reguläres 1 4 - E c k (vgl. F i g . 4 7 ) , dessen 1 4 Sektoren aus je 2 4 D r e i e c k e n b e s t e h e n , die a b w e c h s e l n d schraffiert u n d freigelassen s i n d als Bilder der oberen b z w . u n t e r e n / - H a l b e b e n e . D e n k e n wir die z u s a m m e n g e h ö r i g e n R ä n d e r aneinander g e h e f t e t ,

so

k o m m e n die E c k p u n k t e a b w e c h s e l n d je in e i n e n P u n k t z u liegen, i n w e l c h e m also 7 D o p p e l d r e i e c k e z u s a m m e n h ä n g e n .

D i e K a n t e n unseres

14-Ecks entsprechen somit den beiden Ufern v o n 7 = 2 - 3 + s c h n i t t e n , w e l c h e auf der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e des

1 Quer­

Geschlechtes

3

(die dargesteht w e r d e n k a n n als R i n g f l ä c h e m i t 3 Löchern) z w e i P u n k t e O u n d O' v e r b i n d e n , die b e i d e /

=

oo e n t s p r e c h e n .

D i e S u m m e der W i n ­

k e l in den Scheiteln 0 , e b e n s o w i e die in den Scheitehi O' b e t r ä g t 2 π . D i e geschlossene

Riemannsche

Fläche

kann

somit

ohne

Winkelver­

zerrung auf unsere s-Figur ü b e r t r a g e n w e r d e n . E s ist Sache der G e w ö h n u n g , m i t solchen ,,ideeh geschlossenen'* F u n d a m e n t a l b e r e i c h e n gerade so sicher oder sogar n o c h viel b e q u e m e r zu

operieren,

Fläche. in

als

auf

der

tatsächlich

geschlossenen,

168-blättrigen

Man k a n n ja a h e W e g e hier w i r k h c h z e i c h n e n ; z. B . ist die

der F i g u r p u n k t i e r t

gezeichnete

m a n h a t , u m dies e i n z u s e h e n , Kanten zu

nur

Kurve auf

ein

geschlossener

die Z u s a m m e n o r d n u n g

Weg; der

achten.

I c h b e m e r k e n o c h : H i e r ist n i c h t nur /

in s e i n d e u t i g , s o n d e r n es

ist a u c h S auf der 168blättrigen F l ä c h e über der / - E b e n e „ u n v e r z w e i g t " ! W i r gelangen so z u d e m w i c h t i g e n Begriff der auf einer R i e m a n n s c h e n F l ä c h e u n v e r z w e i g t e n s - F u n k t i o n , die sich n a t ü r h c h bei allen U m l ä u f e n linear (gebrochen) reproduziert u n d d a m i t u n e n d l i c h v i e l d e u t i g wird, die aber die U m g e b u n g jedes P u n k t e s der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e auf die s c h l i c h t e U m g e b u n g eines P u n k t e s der s - K u g e l a b b i l d e t . Klein, Entwicklung der Mathematik.

24

Ecken der emen Art.

Ecken der anderen Art.

Hauptkongruenzgruppe 7. Stufe. U m unsere R i e m a n n s c h e F l ä c h e in die co-Ebene z u übertragen, w e r d e n wir j e t z t die 5-Figur v o n i h r e m M i t t e l p u n k t e aus in 14 Sektoren zerschneiden u n d den einzelnen s o l c h e n Sektor in einen Vertikalstreifen der ω - E b e n e v o n der Breite | v e r p f l a n z e n ; v g l . F i g . 48, w o ein einzelner solcher Vertikalstreifen (mit 12 schraffierten u n d 12 nichtschraffierten Dreiecken, 1 4 - 1 2 = 168) wiederge­ g e b e n ist. D i e zugehörigen R a n d ­ s u b s t i t u t i o n e n erzeugen d a n n g e ­ rade die H a u p t k o n g r u e n z g r u p p e s i e b e n t e r Stufe. D o c h lassen wir j e t z t die ω - E b e n e u n d w e n d e n u n s z u den algebraischen F u n k t i o n e n der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e . D a ^ = 3 ist, s o b e k o m m e n wir die einfachsten F u n k t i o n e n , i n d e m wir s a g e n : es g i b t 3 ü b e r a ü endliche Integrale u^, u^, u^, deren Differentiale wir m i t φ^, φφ^ proportional s e t z e n : du^: du.^: du^ =

: φ^^'.φ^^.

D i e s e φ resp. ihre Verhältnisse sind die e i n f a c h s t e n algebraischen

Funk­

t i o n e n der F l ä c h e (wie wir in K a p . 7 ausführlich zeigten). Zwischen i h n e n b e s t e h t eine biquadratische Gleichung ^ 4 [ψν 9^2» 9^3) = ebene

Kurve

ankommen:

durch die

vierter

s t i m m t wird.

eine

Ordnung

E s wird n u n

be­

darauf

1. die Gleichung

dieser

K u r v e vierter Ordnung wirklich auf­ zustellen, 2. auf ihr /

als eine ratio-

^

nale F u n k t i o n der φ darzustellen, die jeden Kurve / /

Wert

in

annimmt,

168 die

Punkten für

|' I

|

|

F^g.

der

/ = O z u je 3, für J = I zu je 2,

für

OO z u je 7 z u s a m m e n r ü c k e n , aber für jeden anderen W e r t v o n g e t r e n n t sind. D a s ist mir n u n 1878 g e l u n g e n , i n d e m ich s a g t e , d a ß unsere besondere

C 4 w e g e n der Art, g e m ä ß deren ihre R i e m a n n s c h e F l ä c h e aus 5 - D r e i e c k e n z u s a m m e n g e s e t z t ist, g e n a u s o durch 168 eineindeutige Trans­ formationen

in sich ü b e r g e h e n m u ß , wie die

Ikosaederkugel

durch

60 D r e h u n g e n , —- d a ß ferner diese eineindeutige T r a n s f o r m a t i o n e n (wie ich s c h o n K a p . 7, S. 310 besprach) in den 99 l i n e a r sein m ü s s e n . V o n hier aus erkennt m a n also, daß es eine Gigg v o n KoUineationen der 99-Ebene g e b e n m u ß (was d a m a l s n e u u n d überraschend war). —

372

V I I I . Automorphe Funktionen.

Man e r k e n n t f e m e r , d u r c h einfache Ü b e r l e g u n g e n , d a ß d i e e h i f a c h s t e Gleichimgsform unserer C 4 diese i s t : 9^1 9^2+9^29^3+9^3 9 ^ 1 = 0 . E n d l i c h g e l i n g t e s , durch invarianteiitheoretische Schlüsse /

als eine

rationale F u n k t i o n 4 2 . Grades d e r φ wirklich h i n z u s c h r e i b e n : / • / - 1 : 1 = ΦΑ:Ϊ^2Ί·^6· A h e s dieses i s t in B d . 1 4 d e r M a t h . A n n . (1878) ausgeführt^), u n d w e n n w i r u n s hier ausführlicher m i t d e n e b e n e n K u r v e n vierter Ord­ n u n g b e s c h ä f t i g e n w o l l t e n , s o w ü r d e n w i r dafür e i n besonders s c h ö n e s Beispiel h a b e n . D i e G e o m e t e r h a b e n d e n n a u c h d i e s e A u s f ü h r u n g e n allgemein rezi­ piert. — Andererseits finden hier die Algebraiker d e n klaren Z u s a m m e n ­ h a n g m i t der Modulargleichung a c h t e n Grades für die Transformation siebenter O r d n u n g d e r e l h p t i s c h e n F u n k t i o n e n u n d d e n zugehörigen R e s o l v e n t e n s i e b e n t e n Grades. — E n d l i c h erhält a u c h d e r A n a l y t i k e r die D a r s t e h u n g d e r φ^, φ^, u n d aller a u s i h n e n rational z u s a m m e n ­ g e s e t z t e r F u n k t i o n e n durch T h e t a - F u n k t i o n e n (Math. A n n . B d . 17, 188P)). F a s s e n wir dies alles z u s a m m e n , s o s e h e n w i r : D i e P r o b l e m e , w e l c h e m i t d e r T r a n s f o r m a t i o n siebenter O r d n u n g d e r e h i p t i s c h e n F i m k t i o n e n z u s a m m e n h ä n g e n , s i n d z u d e m s e l b e n Grade voller E r l e d i g u n g g e b r a c h t , wie die der T r a n s f o r m a t i o n fünfter O r d n u n g durch die Ikosaedertheorie. A b e r zugleich s o h t e d i e F i g u r unserer R i e m a n n s c h e n F l ä c h e i n der s - E b e n e , oder, anders a u s g e d r ü c k t , d i e T a t s a c h e , d a ß unsere durch s(|, | , / ) u n i f o r m i s i e r t wird, n a c h anderer S e i t e vorbildlich w e r d e n (was u m s o merkwürdiger i s t , als d i e B e n u t z u n g der F u n k t i o n S ( | , | , i ; / ) z u n ä c h s t d o c h nur e i n g e s c h o b e n w u r d e , u m die S a c h e a n ­ schaulich z u m a c h e n ) . F a s s e n w i r z u n ä c h s t diese T a t s a c h e für sich ins A u g e , i n d e m w i r d a v o n a b s e h e n , d a ß , d e r besonderen N a t u r unserer C 4 e n t s p r e c h e n d , d a s P o l y g o n d e r s - E b e n e i n 2 168 D r e i e c k e zerlegt erscheint. Wir werden dann sagen: E s ist u n s gelungen, die vorliegende C 4 durch eine auf ihr e x i s t i e r e n d e , relativ z u ihr nirgends v e r z w e i g t e F u n k ­ tion S i n der W e i s e a b z u b i l d e n , d a ß d i e K a n t e n d e s a b b i l d e n d e n Berei­ ches durch lineare S u b s t i t u t i o n e n v o n s, w e l c h e einen festen Kreis i n sich überführen, z u s a m m e n g e o r d n e t sind, worauf d i e durch d i e S u b ­ s t i t u t i o n e n e n t s t e h e n d e n ferneren R e p r o d u k t i o n e n d e s B e r e i c h e s d a s Innere d e s Kreises m e h r u n d mehr, aber überah einfach überdecken. Die C4 ist durch d i e F u n k t i o n s in einfachster Weise u n i f o r m i s i e r t , i n d e m d i e A b b i l d u n g ü b e r a h konform i s t . D i e s - E b e n e 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 90ff.

K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3. S. 186ff.

Das Grenzkreistheorem.

373

(oder vielmehr d a s Innere des Grenzkreises der s-Ebene) wird sich dabei u m g e k e h r t über der als eine R i e m a n n s c h e F l ä c h e darstellen, w e l c h e d a s Gebiet der unendlichvielfach überlagert, dabei aber relativ zu d i e s e m Gebiet keinerlei V e r z w e i g u n g d a r b i e t e t ! Unwillkürlich fragen wir u n s n u n : Sollte e t w a s Derartiges bei einer beliebigen m ö g h c h s e i n ? So erscheint v o r u n s in u n b e s t i m m t e n U m r i s s e n das ,,Zentraltheorem der automorphen Funktionen", w i e ich es, in W e c h s e l w i r k u n g m i t den 1881 erscheinenden P o i n c a r o s c h e n P u b l i ­ kationen, 1882 in den Math. A n n . B d . 20 unter d e m 27. März m i t ­ geteilt h a b e i ) . W o l l e n wir u n s hier erst nur überzeugen, d a ß eine erste A b z a h l u n g s t i m m t . — Wir d e n k e n u n s d e n Grenzkreis der s - E b e n e g e g e b e n , der d a n n noch durch oo^ lineare S u b s t i t u t i o n e n (mit 3 reellen Parametern) in sich übergeht. W i r konstruieren u n s n u n ein beliebiges 14-Eck, dessen K a n t e n paarweise durch lineare S u b s t i t u t i o n e n dieser Schar z u s a m m e n g e o r d n e t sein sollen, als F u n d a m e n t a l b e r e i c h für eine C^. D i e S u m m e der W i n k e l in d e n b e i d e n ideellen Scheiteln O u n d O' (vgl. S. 369) m u ß n a t ü r h c h 2π sein, d a m i t s auf der zugehörigen R i e m a n n s c h e n F l ä c h e p = 3 u n v e r z w e i g t ist. D a ß die K a n t e n siebenmal z u zwei z u s a m m e n g e o r d n e t w e r d e n können, ergibt sieben B e d i n g u n g e n , die A n g a b e der W i n k e l s u m m e in O u n d O' deren zwei. D a s P o l y g o n h ä n g t s o m i t v o n 2 - 1 4 - 7 - 2 = 19 reeüen K o n ­ s t a n t e n ab, v o n d e n e n aber nur 16 zählen, weil sich a n der nichts ändert, w e n n ich das P o l y g o n als Ganzes durch irgend eine der o o ^ linearen S u b s t i t u t i o n e n , w e l c h e den Grenzkreis in sich überführen, transformiere. G e n a u auf dieselbe Zahl 16 k o m m e ich aber v o n der anderen Seite her, w e n n ich die a ü g e m e i n s t e K u r v e vierter Ordnung in B e t r a c h t ziehe. D i e K u r v e h ä n g t n ä m l i c h , wie wir früher s a h e n (S. 311), v o n 3 ^ — 3 == 6 R i e m a n n s c h e n „ M o d u l n " , d. h. 6 absoluten I n v a r i a n t e n ab. D a s sind k o m p l e x e Zahlen, also 12 reelle K o n s t a n t e n . Ferner h a b e n wir n o c h die b e i d e n P u n k t e 0, O' auf der zur Verfügung, die, durch sieben Querschnitte v e r b u n d e n , diejenige Zerschneidung der zur gehörigen R i e m a n n s c h e n F l ä c h e liefern soüen, der das 1 4 - E c k unserer 6 - E b e n e entspricht. Jeder dieser P u n k t e h ä n g t aber auf der R i e m a n n ­ schen F l ä c h e der n o c h v o n z w e i reeüen K o n s t a n t e n ab. E r g o b e k o m ­ m e n wir 12 + 2 - 2 reelle K o n s t a n t e n , u n d das ist in der T a t wieder 16. — F a s s e n wir n u n das W e s e n t h c h s t e z u s a m m e n , s o w e r d e n wir sagen, d a ß u n s die Modulfunktionen, oder allgemeiner die D r e i e c k s f u n k t i o n e n z u allgemeinen a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n geführt h a b e n , w e l c h e inner­ halb eines Kreises e i n d e u t i g s i n d u n d diesen Kreis als Grenzkreis h a b e n ! 1) Später als „Grenzkreistheorem'' bezeichnet. Vgl. K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 627 ff.

374

V I I I . Automorphe Funktionen.

Sie sind selbst n i c h t die einzigen e i n d e u t i g e n a u t o m o r p h e n F u n k ­ tionen, sondern es gibt n o c h unbegrenzt viele Arten. Vgl. nur die F u n k ­ t i o n e n , die aus R i e m a n n s N a c h l a ß 1876 b e k a n n t wurden, u n d die u n a b h ä n g i g d a v o n S c h o t t k y (Diss. Berlin 1876, Crelle, B d . 8 3 , 1877) aufgefunden h a t : E s h a n d e l t sich dort u m einen Diskontinuitätsbereich, der v o n η getrennt liegenden Vollkreisen begrenzt ist, u n d der an j e d e m dieser Kreise gespiegelt wird. W i r d diese s y m m e t r i s c h e R e p r o d u k t i o n d e s Ausgangsbereiches u n b e g r e n z t fortgesetzt, so erhält m a n eine Ü b e r ­ d e c k u n g der g a n z e n E b e n e bis auf eine Menge v o n unendlich vielen G r e n z p u n k t e n , die nicht abzählbar ist. (Wir finden allerlei solcher Figuren z. B . bei F r i c k e - K l e i n : A u t o m o r p h e F u n k t i o n e n , B d . 1, S. 4 1 8 , 432, 439, 435). Aber n u n ist es Zeit, d a ß ich v o n d e m Auftreten H . P o i n c a r e s erzähle u n d v o n d e n persönhchen B e z i e h u n g e n , die sich zwischen u n s e n t w i c k e l t h a b e n , u n d die für die W e i t e r e n t w i c k l u n g der g a n z e n Theorie die Grundlage g e g e b e n h a b e n ^). Z u n ä c h s t m u ß ich n o c h einige B e m e r k u n g e n über die Terminologie v o r a u s s c h i c k e n : Poincare, der die Verhältnisse innerhalb D e u t s c h l a n d s , als er b e g a n n , sehr m a n g e l h a f t k a n n t e , h a t die Gruppen m i t Grenzkreib „ g r o u p e s fuchsiens" g e n a n n t , t r o t z d e m F u c h s hier keine Verdienste h a t . Als ich ihn auf die allgemeinen F u n k t i o n e n a u f m e r k s a m m a c h t e , n a n n t e er diese „fonctions k l e i n e e n n e s " . E s herrscht hier also eine große h i s t o ­ rische Konfusion. E s h a t d e n n a u c h in D e u t s c h l a n d m e i n Vorschlag, v o n allen Personalbezeichnungen a b z u s e h e n u n d d e n T e r m „ a u t o ­ m o r p h e F u n k t i o n e n " einzuführen, nachgerade allgemeine Z u s t i m m u n g g e f u n d e n . W i r unterscheiden d a n n a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n m i t Grenz­ kreis, m i t unendlich vielen G r e n z p u n k t e n u s w . B e i der überragenden B e d e u t u n g , w e l c h e Henri Poincare in der F o l g e für unsere G e s a m t w i s s e n s c h a f t g e w i n n e n s o h t e , darf ich es hier n i c h t unterlassen, einige biographische D a t e n a n z u g e b e n . H e n r i P o i n c a r e wurde, w i e H e r m i t e , in N a n c y (1854) geboren, — der b e k a n n t e Präsident der französischen R e p u b l i k ist sein Vetter. S c h o n auf der Schule u n d H o c h s c h u l e zeichnete er sich durch hervor­ r a g e n d e L e i s t u n g e n a u s u n d unterscheidet sich darin in merkwürdiger W e i s e v o n anderen b a h n b r e c h e n d e n T a l e n t e n . 1873 w u r d e er auf Grund d e s b e k a n n t e n strengen A u f n a h m e e x a m e n s als Erster in die E c o l e P o l y t e c h n i q u e u n d e n t s p r e c h e n d 1875 in die E c o l e des Mines auf­ g e n o m m e n (wohin i m m e r die hervorragendsten A b s o l v e n t e n der E c o l e P o l y t e c h n i q u e a b g e g e b e n werden, weil i h n e n v o n dort a u s der W e g z u d e n b e v o r z u g t e s t e n S t a a t s s t e l l u n g e n offensteht). D o c h k o n n t e ihn Für das Folgende vgl. man auch die ergänzenden Bemerkungen von K l e i n anlaßlich der Herausgabe seiner Ges. Abh., insbesondere Bd. 3, S. 577ft., sowie den Briefwechsel K l e i n — P o i n c a r e : loc. cit. S. 587ff. Anm. d. Herausg.

Η. Poincare.

375

die praktische Beschäftigung, für die er w e n i g Veranlagung zeigte, nicht fesseln. 1879 ging er vielmehr zur Hochschullaufbahn über, z u n ä c h s t als Charge des cours a n der F a c u l t e des Sciences in Caen. (Es ist dies der übliche Anfang an einer Provinzuniversität.) V o n 1881 an lebte er d a n n in verschiedenen Stellungen in Paris, z u n ä c h s t als Vertreter der Analysis, d a n n v o n 1885 an der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k u n d m i t 1896 der Astronomie. S c h o n aus diesen D a t e n ist ersichtlich, w i e er m i t der Zeit immer n e u e Gebiete in den Bereich seiner Arbeit zieht. Seit 1887 war er Mitglied des I n s t i t u t (d. h. der A c a d e m i e des Sciences) u n d ist d a n n in i m m e r n e u e Ehrenstellungen hineingewachsen, so d a ß er bald als der a n e r k a n n t e H a u p t v e r t r e t e r der französischen M a t h e m a t i k d a s t a n d , w e i t h i n b e k a n n t u n d bewundert, der R u h m seines Vaterlandes. 1912 starb er plötzlich infolge einer Operation. Biographische N a c h w e i s e sind in großer Zahl v o r h a n d e n : So a u s d e m Jahre 1909: E . L e b o n in den S a v a n t s d u {ouri), desgl. die Schrift v o n Toulouse, w e l c h e Poincares geistige Eigenart psychologisch a n a lysiert^). I c h w ü l n u n versuchen, Poincare als Mathematiker zu charakteri­ sieren. Er ist v o n g a n z außerordenthcher Fruchtbarkeit u n d Vielseitigkeit, die an Cauchy erinnert. A u c h n o c h in späteren Jahren erfaßt er m i t wunderbarer Leichtigkeit die Probleme, die sich irgendwie auf d e m Gebiete der e x a k t e n W i s s e n s c h a f t e n regen u n d g e s t a l t e t sie schöpferisch aus, überaü neue W e g e weisend. E i n e n A n t e i l a n dieser Vielseitigkeit h a t o h n e Zweifel die gründ­ liche Vorbildung durch das festgegliederte französische U n t e r r i c h t s ­ s y s t e m , das in j u n g e n Jahren die traditionellen Teile der G e s a m t ­ m a t h e m a t i k allseitig erfassen läßt — ganz anders als in D e u t s c h l a n d , w o sich der h e r a n w a c h s e n d e Mathematiker gern an einen einzelnen Meister anschließt, w a s für rasche P r o d u k t i o n a d h o c förderlicher ist aber d a n n oft nicht weiterträgt. — I m persönlichen Verkehr war P o i n ­ care einfach u n d e n t g e g e n k o m m e n d , aber mehr a u f n e h m e n d als m i t ­ teilsam. I m übrigen ist Poincare der eigentlich geniale T y p , der überaü m i t e i n e m Blicke das W e s e n t h c h e erfaßt. Geometrie u n d A n a l y s i s sind bei i h m gleich ausgebildet, Erfindungsgabe u n d Beweiskraft h a l t e n sich das Gleichgewicht. N u r das Gebiet der eigentlichen A n w e n d u n g e n der M a t h e m a t i k läßt er beiseite, i m Gegensatz zu Forschern w i e A r c h i 1) Paris 1909 bei Gauthier-ViUars. 2) H. Toulouse, H. Poincare, Paris 1910. — Eine ZusammensteUung von Nachrufen usw. findet man in den Rendiconti delCircolo matematico di Palermo Bd. 36, 1913 im Supplement S. 1 3 - 3 2 ; ferner einen Nachruf von Darboux als Einleitung zu Bd. I I der Oeuvres. Schließlich sind die Bände 38 (1921) und 39 der Acta Mathematica Henri Poincare gewidmet.

376

V I I I . Automorphe Funktionen.

m e d e s , N e w t o n , G a u ß , die auch die e x p e r i m e n t e h e Arbeit u n d die Messung h a n d h a b t e n u n d deren L e i s t u n g ich daher n o c h höher s t e h e . E s fehlen bei i h m natürlich auch nicht S c h a t t e n s e i t e n . W i e Cauchy, pubhzierte Poincare sehr rasch u n d d a r u m nicht sorgfältig in der F o r m . J a , es findet sich in d e n ersten s t ü r m i s c h e n P u b l i k a t i o n e n nicht nur viel Vorläufiges, sondern auch m a n c h e s F a l s c h e oder Übertriebene. — D e m e n t g e g e n e n t w i c k e l t e sich bei i h m späterhin i m m e r m e h r ein glänzender abgeklärter S t ü , der, v e r b u n d e n m i t der F ü h e tiefgreifender Gedanken, u. a. den großen Erfolg seiner allgemein b e k a n n t e n m a t h e ­ m a t i s c h - p h i l o s o p h i s c h e n W e r k e z u w e g e gebracht h a t . In a l l e d e m s t e h t er in v o l l e m G e g e n s a t z zu s e i n e m Lehrer H e r m i t e , bei d e m die gewissenhafte D u r c h a r b e i t u n g des E i n z e l n e n so in den Vordergrund trat, d a ß er darüber gelegentlich d e n Kern der F r a g e ­ stellung beiseite lassen u n d N e b e n w e g e ausgiebig verfolgen k o n n t e . (Ich d e n k e d a insbesondere an seine umfangreiche Arbeit v o n 1866 über Gleichungen fünften Grades, in der er diese Theorie unnötigerweise m i t der Invariantentheorie der binären F o r m e n fünften Grades verquickt.) Zur v o h e n Geltung w e r d e n Poincares L e i s t u n g e n erst in späteren A b s c h n i t t e n dieser Vorlesung g e l a n g e n können^). Hier w ü l ich nur, i m Z u s a m m e n h a n g m i t m e i n e n eigenen Arbeiten, über die F r ü h z e i t der a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n , 1 8 8 1 — 8 2 , referieren. D i e A b h a n d l u n g e n a u s diesen Gebieten bilden so ziemlich d e n A n f a n g v o n Poincares Ver­ öffentlichungen, abgesehen v o n der v o r a u s g e h e n d e n Dissertation 1 8 7 8 — 7 9 über partiehe Differentialgleichungen. 1880 reichte er eine Preis­ arbeit bei der A k a d e m i e ein, die sich s c h o n auf a u t o m o r p h e F u n k ­ tionen b e z i e h t . Z u n ä c h s t folgte d a n n eine stürmische Publikationsserie in den C o m p t e s R e n d u s v o n I 8 8 I , t. 9 2 , 9 3 ; in d e m einen Jahre h a t Poincare nicht weniger als 13 N u m m e r n veröffenthcht, deren E r g e b n i s er d a n n in Math. A n n . B d . 19, S. 5 5 3 — 5 6 4 , unter d e m T i t e l : „Sur les fonctions uniformes, qui se reproduisent par des suhstitutions linaaires" z u s a m m e n g e f a ß t h a t ^). E s h a n d e l t sich h a u p t s ä c h l i c h u m F u n k t i o n e n m i t Grenzkreis. D a s N e u e ist hier: erstens, d a ß Poincare m u t i g den allgemeinsten F u n d a ­ mentalbereich konstruiert, wie ich es das vorige Mal m i t d e m I 4 - E c k ^ = 3 zu schüdern s u c h t e ; natürlich h a t t e ich selbst vorher a n a h ­ g e m e i n e F ä l l e g e d a c h t , aber an der E r z e u g u n g durch Spiegelung n a c h d e m Prinzip der S y m m e t r i e zu sehr festgehalten. — D a n n aber, d a ß er ein analytisches B ü d u n g s g e s e t z für a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n aufstellt, die sog. Poincareschen Reihen (die er selbst Θ-Reihen n e n n t ) . Gegeben seien die S u b s t i t u t i o n e n der Gruppe (wir schreiben jetzt ζ s t a t t des früheren s) 1) Klein hatte noch ein besonderes Kapitel über P o i n c a r e (ebenso wie über L i e) geplant. Anm. d. Herausg. 2) P o i n c a r e : Oeuvres, Bd. II, S. 12ff.

Poincares Arbeiten von 1881.

377

N i m m t m a n den Grenzkreis als Achse der reellen Zahlen, so sind die α. ßt δ selbst reehe Zahlen. D i e Gruppe sei eigenthch diskontinuier­ lich, d. h. sie besitze einen endlichen Diskontinuitätsbereich. Poincare b e t r a c h t e t d a n n , w e n n wir w i e d e r z u e i n e m ganz i m E n d h c h e n g e legenen Grenzkreis zurückkehren, die S u m m e n

w e l c h e an die E i s e n s t e i n s c h e n S u m m e n aus der Theorie der elhptischen Modulfunktionen erinnern (den genaueren Vergleich siehe bei R a u s e n berger in Math. A n n . B d . 20, 1882), u n d v o n denen er zeigt, daß sie für W ^ 2 absolut konvergieren. Schreibt m a n h o m o g e n :

so sieht m a n , d a ß m a n hier a u t o m o r p h e

F o r m e n v o r sich h a t , u n d

es ist klar, w i e m a n aus solchen Form.en durch a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n hersteüt. Analogie m i t der HersteUung des / tionen

Quotientenbildung

E s b e s t e h t hier also eine genaue bei den elhptischen

Modulfunk-

( / = ¾ ) .

Schließlich: E r erkennt w e i t g e h e n d die uniformisierende Kraft der n e u e n F u n k t i o n e n . Insbesondere s t e h t er für die s c h h c h t e 2:-Ebene das v o n mir so g e n a n n t e erste Fundamentaltheorem, das Grenzkreistheorem auf. E s seien a j , . . ., irgend η SteUen der ^-Ebene, /^, . . . . beliebige reelle, ihnen in dieser Reihenfolge zugeordnete ganze Zahlen, die i m Grenzfall unendlich w e r d e n dürfen. D a n n gibt es i m m e r e i n e (und i m w e s e n t h c h e n nur eine) eindeutig-umkehrbare F u n k t i o n

c(i (die als GrenzfaU C(O, . . . , O ; ^ ) einschließt). Die Umkehrfunktion ζ{ζ) existiert d a n n nur i n e i n e m „Grenzkreis'' der f - E b e n e ; ein W i n k e l in der ^-Ebene m i t d e m Scheitel in α, w i r d bei der A b b ü d u n g auf d e n l,-ten T e ü verkleinert. J e d e dieser F u n k t i o n e n uniformisiert einen w e i t ausgreifenden F u n k t i o n e n k r e i s ; i m Grenzfah, w o aüe Ii u n e n d h c h sind, h a t m a n sogar Uniformisierung a l l e r F u n k t i o n e n v o n z, die nur bei a^, ag. . . ver­ zweigt s i n d ! D i e Art der V e r z w e i g u n g k a n n dabei g a n z b e h e b i g sein. Man sieht, w i e das VeraUgemeinerungen unserer früheren A n g a b e n über

378

νΐΐϊ.

Automorphe Funktionen.

{Iv ^2' t>zw. ZU 0, 1, OO gehörig) s m d . Der Unterschied ist aber der, d a ß die Differentialgleichung der s - F u n k t i o n — also w e n n nur drei smguläre P u n k t e v o r h a n d e n sind — i n v ö l h g b e s t i m m t e r F o r m gleich hingeschrieben werden k a n n , w ä h r e n d ftir η > Z n a c h Vorgabe der α^· u n d Ii n o c h n — Z u n b e k a n n t e K o n s t a n t e in der Differentialgleichung auftreten, deren e i n d e u t i g e B e s t i m m t h e i t durch die Forderung e i n ­ d e u t i g e r U m k e h r b a r k e i t innerhalb eines Grenzkreises b e w i e s e n werden m u ß == 3 i s t andererseits der niederste Fall, bei d e m die willkürlich a n g e n o m m e n werden k ö n n e n ) . Auf die z u s a m m e n f a s s e n d e D a r s t e l l u n g Poincares m B d . 19 der M a t h . A n n . i s t die Korrespondenz, i n die ich m i t P o m c a r e v o m J u n i 1881 an getreten war, s c h o n v o n e m i g e m E i n f l u ß gewesen. Poincare h a t t e , als er seine Veröffenthchungen m den C o m p t e s R e n d u s b e g a n n , weder v o n der R i e m a n n s c h e n Theorie, d. h. weder v o n der Zahl p der F l ä c h e n , g e s c h w e i g e d e n n v o n der N e u b e g r ü n d u n g der Theorie durch Schwarz noch v o n unseren A r b e i t e n i n d e n Math. A n n . klare K e n n t n i s , die er d a n n aber m i t bewundernswerter Schnelligkeit erfaßte. A u c h h a b e i c h i h n erst darauf a u f m e r k s a m g e m a c h t , d a ß n e b e n den F u n k t i o n e n n ü t Grenzkreis n o c h unendlich viele andere A r t e n automorpher F u n k t i o n e n ^ existiereni). Darf ich n u n — z. T. i n E r g ä n z u n g früherer A n g a b e n — v o n m e i n e n eigenen a n s c h h e ß e n d e n Arbeiten erzählen. Ich war d a m a l s , 1881, d a m i t beschäftigt, d e n G r u n d g e d a n k e n der R i e m a n n s c h e n „Theorie der alge­ braischen F u n k t i o n e n u n d ihrer Integrale*' so herauszuarbeiten, wie das i n meiner Schrift v o m Herbst 1881, die W e i h n a c h t e n zur V e r s e n d u n g k a m , aber die Jahreszahl 1882 trägt, dargestellt ist. D i e s e Arbeit e n t ­ hält u. a. die w e s e n t h c h n e u e E i n s i c h t : d a ß die R i e m a n n s c h e n F l ä c h e n desselben Geschlechtes p eine z u s a m m e n h ä n g e n d e Mannigfaltigkeit bilden (was Schwarz n o c h lange bezweifelte, da er g e w o h n t war, die algebraischen Gebilde n a c h den v o n Weierstraß herrührenden N o r m a l ­ formen z u klassifizieren). V o n hier a u s wurde e s mir m ö g h c h , das F u n d a m e n t a l t h e o r e m , w e l c h e s Poincare für die s c h h c h t e ^-Ebene auf­ g e s t e h t h a t t e , für R i e m a n n s c h e F l ä c h e n v o n b e h e b i g e m p u n d zugleich ftir a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n , die nicht n o t w e n d i g einen festen Grenz­ kreis h a b e n , z u verallgememern. Meine erste N o t e , die i c h hiertiber Neujahr 1882 i n Math. A n n . B d . 192) veröffenthchte, k o m b m i e r t beides. I c h will hier nicht darauf e m g e h e n , sondern gleich v o n der z w e i t e n N o t e , Math. A n n . B d . 20^), v o m 27. März 1882 erzählen, i n der ich jenes F u n d a m e n t a l t h e o r e m des Grenzkreisfalles pubhzierte, d a s i c h o b e n seiner besonderen E m f a c h h e i t w e g e n das Zentraltheorem (Grenzkreistheorem) g e n a n n t h a b e , daß m a n 1) Über eine Unrichtigkeit von Poincares Arbeit vgl. K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 7I4ff. 2) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3. S. 622ff. K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3, S. 627ff.

379 uämlich jede R i e m a n n s c h e F l ä c h e m i t p ^ 2 o h n e alle Verzweigungs­ p u n k t e durch a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n m i t Grenzkreis auf eine u n d i m wesentlichen nur eine Weise uniformisieren k a n n . D a s Theorem, wie die spätere Z u s a m m e n f a s s u n g meiner g a n z e n Theorie v o m Herbst 1882, Math. A n n . B d . 2 P ) i s t nur unter den schwie­ rigsten äußeren Verhältnissen z u s t a n d e g e k o m m e n , w o v o n ich gerne einmal erzähle, weil ich nicht m ö c h t e , d a ß die Erinnerung m i t mir zugrunde g e h t ; — es ist das a u c h schon so lange her, d a ß ich den E i n z e l ­ h e i t e n o b j e k t i v gegenüberstehe. Seit d e m H e r b s t 1880 war ich in Leipzig u n d wurde dort n e b e n m e i n e n wissenschaftlichen Arbeiten durch eine F ü l l e organisatorischer u n d pädagogischer Aufgaben stark in Anspruch g e n o m m e n . D e n H e r b s t 1881 verbrachte ich dann z u meiner Erholung an der Nordsee (in Bor­ k u m ) , w o ich die Schrift über R i e m a n n z u Papier brachte u n d das F u n d a ­ m e n t a l t h e o r e m v o n B d . 19 fand, das ich dann aber erst in den W e ü m a c h t s ferien niederschrieb. E n t s p r e c h e n d der d a m a l i g e n A n s c h a u u n g der Ärzte faßte ich den E n t s c h l u ß , Ostern 1882 wieder an die N o r d s e e z u gehen, u n d zwar n a c h Norderney. Ich wollte dort in R u h e einen z w e i t e n Teil meiner Schrift über R i e m a n n schreiben, n ä m l i c h die E x i s t e n z ­ beweise für die algebraischen F u n k t i o n e n auf g e g e b e n e n R i e m a n n s c h e n F l ä c h e n in neuer F o r m ausarbeiten. Ich h a b e es dort aber nur acht Tage lang ausgehalten, denn die E x i s t e n z war zu k ü m m e r h c h , da heftige S t ü r m e jedes A u s g e h e n u n m ö g h c h m a c h t e n u n d sich bei mir starkes A s t h m a einstellte. Ich beschloß, schleunigst in m e i n e H e i m a t D ü s s e l ­ dorf überzusiedeln. I n der l e t z t e n N a c h t v o m 2 2 . - 2 3 . März, die ich w e g e n A s t h m a auf d e m Sofa sitzend zubrachte, s t a n d p l ö t z h c h u m 2 U h r das Zentraltheorem, w i e es durch die Figur des 14-Ecks in B d . 14 ja e i g e n t h c h schon vorgebildet war2), v o r mir. A m folgenden V o r m i t t a g in d e m P o s t w a g e n , der damals v o n Norden bis E m d e n fuhr, durchdachte ich das, was ich gefunden h a t t e , n o c h e i n m a l bis in alle Einzelheiten. J e t z t w u ß t e ich, d a ß ich ein großes T h e o r e m h a t t e . In Düsseldorf a n g e k o m m e n , schrieb ich es gleich z u s a m m e n , datierte es v o m 27. März, schickte es a n Teubner u n d h e ß A b z ü g e der Korrektur a n Poincare u n d Schwarz u n d beispielsweise an H u r w i t z gehen. — Schwarz war übrigens infolge mangelhafter K o n s t a n t e n z ä h l u n g z u ­ n ä c h s t der Meinung, das T h e o r e m müsse falsch s e i n ; er h a t d a n n aber später z u n e u e n B e w e i s m e t h o d e n w e s e n t h c h e Grundgedanken geliefert. Mit d e m B e w e i s e lag es in der T a t sehr schwierig. I c h b e n u t z t e die sog. Kontinuitätsmethode, w e l c h e die Mannigfaltigkeit der R i e m a n n ­ schen F l ä c h e n eines gegebenen p der entsprechenden Mannigfaltigkeit automorpher Gruppen m i t Grenzkreis gegenüberstellt. Ich h a b e nie gezweifelt, d a ß die B e w e i s m e t h o d e richtig sei, aber ich stieß überall 1) K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3. S. 630ff.

K l e i n : Ges. Abh. Bd. 3. S. 126.

380

V I I I . Automorphe Funktionen.

auf U n f e r t i g k e i t e n meiner funktionentheoretischen K e n n t n i s s e b z w . der F u n k t i o n e n t h e o r i e ü b e r h a u p t , deren E r l e d i g u n g ich vorläufig nur p o s t u heren k o n n t e , u n d die in der T a t erst 30 Jahre später (1912) durch K o e b e voll erledigt w o r d e n sind. D i e s k o n n t e m i c h n i c h t a b h a l t e n , i m S o m m e r 1882 n o c h allgemeinere F u n d a m e n t a l t h e o r e m e aufzustehen, w e l c h e die R e s u l t a t e aus B d . 19 u n d 2 0 g e m e i n s a m umfassen, u n d die A u s a r b e i t u n g der g a n z e n K o n ­ z e p t i o n z u n ä c h s t durch Seminarvorträge vorzubereiten, die S t u d y d a m a l s niederschrieb. I c h h a b e die große Mehrzahl meiner A r b e i t e n in der W e i s e fertiggesteht, d a ß ich z u n ä c h s t diesbezüghche Vorlesungen hielt u n d in d e n Ferien d a n n die R e d a k t i o n folgen h e ß . I n den H e r b s t ­ ferien 1882 in Tabarz (Thüringen) ist d a n n die A b h a n d l u n g des B a n d e s 21 e n t s t a n d e n u n d a m 6. Oktober 1882 abgeschlossen worden. So u n v o h k o m m e n u n d unerledigt dort a u c h m a n c h e s ist. die K o n s t r u k t i o n des G e d a n k e n g a n g e s i m großen ist g e b h e b e n u n d a u c h durch die z u n ä c h s t folgenden A b h a n d l u n g e n Poincares in d e n B ä n d e n 1. 3. 4. 5 der e b e n d a m a l s g e g r ü n d e t e n ..Acta Mathematica** nicht v e r s c h o b e n worden^). I n der T a t gelang es mir wieder. Poincare u m ein kleines zuvor­ z u k o m m e n , i n d e m m e i n e Separata E n d e N o v e m b e r 1882 v e r s a n d t w u r d e n , w ä h r e n d das erste H e f t der A c t a , das die erste A b h a n d l u n g v o n P o i n c a r e brachte. A n f a n g D e z e m b e r 1882 erschien. D i e s e s H e f t e n t h ä l t a u c h nur das erste S t ü c k der Theorie, die K o n s t r u k t i o n der D i s ­ kontinuitätsbereiche i m Falle, w o ein fester H a u p t k r e i s v o r h a n d e n ist. D e r Preis, den ich für meine Arbeit h a b e b e z a h l e n m ü s s e n , war allerdings außerordentlich h o c h , er war, daß m e i n e Gesundheit v o l l e n d s z u s a m m e n b r a c h . I c h h a b e i m k o m m e n d e n Jahre wiederholt längeren U r l a u b n e h m e n u n d auf alle p r o d u k t i v e T ä t i g k e i t v e r z i c h t e n m ü s s e n . Erst i m H e r b s t 1884 ging es wieder aufwärts, aber den früheren Grad der P r o d u k t i v i t ä t h a b e ich n i c h t m e h r erreicht. I c h h a b e m i c h m e h r der B e a r b e i t u n g meiner früheren I d e e n u n d später, als ich in Göt­ tingen war. der A u s d e h n u n g m e i n e s Arbeitsbereiches u n d allgemeinen Auf­ g a b e n der Organisation unserer Wissenschaft z u g e w a n d t . So k a n n m a n es v e r s t e h e n , d a ß ich späterhin die a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n n u r n o c h g e l e g e n t h c h berührt h a b e . Meine eigenthche p r o d u k t i v e T ä t i g k e i t auf d e m Gebiet der theoretischen M a t h e m a t i k ist 1882 zugrunde ge­ g a n g e n . Alles, w a s folgt, betrifft, s o w e i t es sich n i c h t u m Ausarbei­ t u n g e n h a n d e l t , nur n o c h E i n z e l h e i t e n . So h a t t e Poincare freies F e l d u n d veröffenthchte bis 1884 in d e n A c t a M a t h e m a t i c a seine fünf großen A b h a n d l u n g e n über die n e u e n F u n k t i o n e n . I n B d . 1 findet m a n n e b e n der bereits g e n a n n t e n E r z e u ­ g u n g der allgemeinsten v o n i h m b e t r a c h t e t e n F u n d a m e n t a l b e r e i c h e n o c h die Theorie der zugehörigen R e i h e n . V o n den F u n d a m e n t a l 1) P o i n c a r e : Oeuvres Bd. II, S. 108ff.

Riemann.

381

theoremen b e h a n d e l t Poincare überhaupt nur den F a ü m i t Grenzkreis, u n d dies auch erst ein Jahr später, B d . 4. E r h a t hier den B e w e i s w e s e n t ­ lich vervollständigt, aber auch noch nicht v o h k o m m e n z u m A b s c h l u ß gebracht (vgl. die Mitteilungen v o n Fricke an den Heidelberger Inter­ n a t i o n a l e n K o n g r e ß 1905, S. 2 4 6 ff.). I m übrigen b e n u t z t Poincare ebenfalls die K o n t i n u i t ä t s m e t h o d e , u n d sein B e w e i s ist i m w e s e n t h c h e n gleich gegliedert wie der meinige. — B e i den anderen Fällen aber h a t t e Poincare vorläufig imübersteigbare Schwierigkeiten gefunden, weil er fand, d a ß es sich bei ihnen u m offene Mannigfaltigkeiten h a n d e l t (denen kein b e s t i m m t e r R a n d zugeordnet werden kann). E s ist mir besonders wichtig, hier i m Z u s a m m e n h a n g eine B e m e r ­ k u n g über Poincares Stellung zu R i e m a n n z u m a c h e n . D i e E x i s t e n z der a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n erschließt Poincare nicht aus R i e m a n n s Prinzipien, sondern aus ihrer Darstellung durch (Poincar^sche) T h e t a Reihen. Aber b e i m K o n t i n u i t ä t s b e w e i s m u ß er sich doch auf den S a t z s t ü t z e n , d a ß die G e s a m t h e i t der algebraischen Gebilde eines g e g e b e n e n P ein K o n t i n u u m b ü d e t , w a s bisher doch nur auf R i e m a n n s c h e r Grund­ lage bewiesen worden ist. Also es b e s t e h t an der e n t s c h e i d e n d e n Stelle d o c h eine A b h ä n g i g k e i t . E s ist d e n n w o h l der Titel, den ich meiner A b h a n d l u n g in B d . 21 der Math. A n n . g a b : „Neue Beiträge zur Riemannschen Funktionentheorie" der a d ä q u a t e A u s d r u c k der historischen E n t w i c k l u n g . Ü b e r all die w i c h t i g e n funktionentheoretischen B e s t r e b u n g e n hinaus, die wir i m Laufe der v o r a n g e h e n d e n K a p i t e l berührten u n d die sich an die N a m e n Weierstraß, Clebsch, BriU-Noether u n d D e d e k i n d - W e b e r , K r o n ­ ecker, Hilbert anknüpfen, h a t sich R i e m a n n s Auffassungsweise i m m e r noch als triebkräftiges F e r m e n t auf d e m G e s a m t g e b i e t der F u n k ­ tionentheorie bis auf den h e u t i g e n T a g in unvergleichlicher W e i s e bewährt.

Namenverzeichnis. Vorbemerkung: Im Hinblick auf das ausfuhrliche Inhaltsverzeichnis am Ein­ gang des Buches schien den Herausgebern ein besonderes Sachregister überflussig. Dieienigen Stellen des Buches, an denen sich die wichtigsten Angaben über die im Register genannten Personen finden, sind durch kursive Typen der Sei­ tenzahlen hervorgehoben; umgekehrt sind solche Stellen, an denen ein Name nur in einem Literaturzitat oder sonst in einem für den Trager des Namens be­ deutungslosen Zusammenhange vorkommt, im Register nicht angeführt. Abbe 197. Abel 28, 29, 42, 46, 91, 92, 9 4 - 9 6 , 100—108, 112, 356, 364. D'Alembert 54, 71, 255. Ampere 19, 67. Archimedes 60, 375. Argand 84. Argelander 120. Aronhold 157, 166, 305. Baker 292. Beltrami 154, 157, 314. Bessel 29, 31, 59, HO, 113. Betti 314, 366. Biermann 291. BIOT

19.

Bierknes 252. BUchfeldt 342. Blumenthal 153. Boltzmann 203, 205, 211, 215. Bolyai 59, 150. Bolzano Ö6, 84. Borchardt HO, 2'82. Boscovich 225. Bouquet 42. Bravais 344. Brill 264, 297, 308, 381. Brioschi 157, 314. Briot 42. Bruns 197, 283. Bunsen 121, 219. Burnside 338. Cantor, Georg 52, 151. Caratheodory 215, 364. Carnot, der Altere 71, 74, 79—80. Carnot, Sadi 74, 212, 223, 233.

Casorati 274, 286. Castelnuovo 314. Cauchy 30, 54, 56, 67, 70—74, 84-87, 1 0 2 - 1 0 4 , 157, 171, 206, 215, 254, 291, 336, 375, 376. Cavendish 239. Cayley 114, 147—154, 157, 162—166, 171, 189, 297, 338. Chasles 140—147, 313, 318. Chisholm 295. Clapeyron 74. Clausms 74, 212, 214, 223, 233. Clebsch 104, 157, 159, 166, 167, 218, 258, 273, 296—298, 302, 304—309, 3 1 2 - 3 1 4 , 381. Chfford 154. Cochery 229. Coriohs 75. Coulomb 67. Courant 267, 276. Crelle 94—96, lOl, 102, 221. Cremona 157, 302, 313, 314—315. Darboux 146. Darwin, Charles 224. Darwin, George 236. Dedekind 39, 97, 99, 247, 262, 274, 320, 323, 324, 326, 364, 381. Desargues 142. Dirichlet 27, 29, 39, 96—100, 109, 112 216, 226, 227, 250—252, 262. Dubois-Reymond, Emil 222, 226. Dubois-Reymond, Paul 40. Dupin 75, 79. Dupuis 89 Dyck 276, 338.

Namenverzeichnis. Eisenstein 29, 41, 49, 99, 156, 165, 247, 250, 290. Enriques 314. Eudoxus 56. Euklid 53, 142, 178, 358. Euler 3, 5, 23, 32, 66, 83, 186, 248, 269. Eytelwein 95. Faraday 5, 20, 72, 120, 224, 240—241. Fedorow 344. Fermat 195. Ferrari 356. Ferro 356. Fitzgerald 243. Forsyth 291. Fourier 67, 68—70, 78, 96, 98, 114, 215, 217, 233, 255. Fresnel 67, 73, 195. Frobel 128. Frobenius 338, 342. Fuchs 270. Furtwängler 321, 334. Galois 88—93, 100, 107, 336—338, 354, 356, 366. Gauß 6—62, 72, 84, 87, 92—94, 96—98, 105, 107, 110, 112, 117, 122, 132, 150, 152, 155, 172, 186, 215, 225, 227, 240, 249, 251, 254, 257, 262, 269, 286, 290, 320, 347, 360, 364, 376. Geiser 127, 167. Gergonne 77, 95, 103, 124. Gerling 58. Gibbs 9, 242. Gierster 366. Girard 55. Göpel 112, 250. Gordan 47, 90, 157, 273, 297, 307—308, 309, 330. Graßmann, der Ältere 171, 173—182, 187, 217. Graßmann, der Jüngere 182. Green 19, 231, 232. Gudermann 278. HacUmard 63, 263. Halphen 291, 313 Halske 223. Hamilton 110, 116, 164, 193, 194—202, 231. Hankel 132, 135. Harkness 291. Harnisch 128.

182—188,

383

Hattendorff 252. Hauy 216. Heaviside 244. Helmholtz 24, 151, 205, 209, 211—213, 222, 223—230, 234, 238, 255, 264, 274. Hensel 327. Herbart 127, 248. Hermite 72, 114, 156, 157, 268, 284, 291—292, 302, 313, 357, 364—366, 376 Hertz 24, 211, 229, 230, 237, 244. Hesse 125, 157, 159—161, 166, 296, 300. Hilbert 99, 151, 159, 178, 266, 271, 276, 322, 324, 327—334, 381. Hindenburg 113. Hittorf 121. Holder 338 Humboldt, Alexander 17, 29, 93, 221. Humboldt, Wilhelm 127. Hurwitz 276, 327—328, 365. Jacobi 3, 5, 28, 29, 40, 43, 46, 64, 72, 93, 96, 99, 106, 107, 108—115, 116, 120, 147, 156, 157, 193, 198, 203—207, 208, 217, 226, 249, 250, 278—280, 296—297, 364, 366. Jordan 72, 167, 313, 335, 338, 342. Jung 327. Kaestner 26. Kant 159, 183, 226. Karsten 222. Kelvin siehe Thomson, William. Kepler 358. Kerr 220. Kiepert 293. Kirchhoff 23, 121, 159, 218, 219—221, 223, 228, 255. Klein 35—39, 120, 125, 133, 139, 146, 149-154, 167, 259, 266, 284, 288-289, 293, 298, 306, 326, 335, 339—342, 345—381. Koebe 276, 346, 380. Koenigsberger 292, 294. Ulf Kohlrausch 23, 240. Kowalevsky 283. 293—295. Krazer 312. Kronecker 99, 281, 284, 288, 323, 324, 334, 357, 381. Kummer 167, 172, 199, 2^69, 282, 321—322.

384

NamenVerzeichnis.

Lacroix 57. Lagrange 2, 3, 9, 20, 23, 38, 50, 53, 66, 75, 78, 83, 92, l l 3 , 171, 188, 191—192, 203, 226, 242, 254, 336, 338. Lampe 276. Landau 364. Landsberg 327. Laplace 2, 4, 20, 23, 66, 215, 225. Laue 345. Laurent 87, 281. Legendre 2, 16. 53, 60—61, 104—105, 366. Leibniz 150, 157, 256. Leiste 30. Leo 164. Lesage 236. Leverrier 143. Lie 101, 144—146, 203, 204, 207, 284, 335. Liiidemann 306. Liouville 89, 114, 205, 235. Listing 14, 119, 249. Lloyd 195. Lobatscheffski 17, 69, 150. Lorentz 154. Lotze 152. Ludwig 116. MacCuUagh 231—232, 243, 251. Mach 219. Maclaurin 125, 180. Magnus 121, 222. Malus 67. Maupertuis 193. Maxwell 198, 238—245, 251. Mayer, Adolf 207. Mayer, Tobias 22. Mendelssohn 100. Meyer-Hirsch 356. Minkowski 96, 328. Mitscherlich 221. Mittag-Leffler 276, 293, 294. Moebius 96, 116—119, 120, 123, 130, 131, 134, 141, 217. Moigno 85. Moisson 323. Molk 291. Monge 3, 5, 6, 65, 71, 77—79, 122. Morgan 162. Morley 291. Muffling 93. Müller, Johannes 222. Murphy 266.

Napoleon 14, 64. Navier 73. Neumann, Carl 159, 218, 229, 266, 273, 297. Neumann, Franz 113, 215, 216—218, 225, 233, 296, 343. Newton 3, 60, 194, 248, 256, 376. Noether 157, 247, 264, 274, 275, 293, 297, 308, 309, 312—314. 381. Nicolai 9. Oerstedt 19, 67. Ohm, Georg 19, 221, 255. Ohm, Martin 178. Olbers 9, 30. Olivier 78. Pape 217. Pasteur 72. Pestalozzi 126. Pfaff, Hans Heinrich 133. Pfaff, Johann Friedrich 180. Piazzi 8. Hcard 292, 313. 314. 364. Plücker 96, 116, 119—126, 143, 155. 166, 171, 200, 318. Poggendorff 121, 222, 226. Poincaro 70, 203, 275, 285, 292, 293, 312, 313, 346, 365, 373, 374—378, 380, 381. Poinsot 119. Poisson 23, 67—68, 203, 204, 206. 265 Poncelet 75, 76, 80—82, 123. 124, 130—133, 141. 142. Pringsheim 292. Prym 272, 312. Rayleigh 208, 239. Reye 130. Ribeaucour 144. Richelot 113. 159. 217. 219. Riemann 24, 46. 51, 72, 89, 99. 110. 150, 152, 172. 216. 219, 225, 228, 246, 247—276, 282. 283, 286, 296, 297, 302, 307, 309, 312, 333. 347—349. 357, 363—364, 374, 381. Rodrigues 186. Rosenhain I I I , 250. Rost 272. Routh 207—209. Saint-Venant 218. Salmon 72, 157.163—165, 166. 231, 297.

Namenverzeichnis. Sartoriiis von Waltershausen 57 Savart 19. Scheffel 159. Schering 204, 252, 307. Schlafh 128, 154, 163. Schlozer 294 Schoenflies 344. Schottky 293, 312, 364, 374. Schroeder 51. Schumacher 14, 29. Schur, F. 130. Schur, 1. 342. Schwarz 131, 264, 265—266, 274, 291, 347—349, 378, 379. Schweikart 58. Segre 314. Serret, 1. A. 338. Severi 314. Siemens 223, 224. Sldde 169. Soemmermg 20. Sohnke 344. Staudt 118, 130, 132-140, 150. Stemer 96, 120, 121, 123, 125, 126-131, 133, 141, 163, 166, 297. Stokes 232. Stolz 133, 151, 152, 291. Striive 10. Sturm 130. Sylow 101, 338. Sylvester 157, 162—163, 164, 245. 291, 297.

385

Tait 198, 209, 237. Tannery 291. Taurinus 59. Thomae 307. Thomson, J. J. 210, 239. Thomson, William 98, 198, 2 0 9 - 2 1 1 , 214, 228, 229, 232, 233-238, 245, Tisserand 114. Valentiner 342. Vandermonde 157. Veronese 314. Voigt 217. Weber, Heinrich 218, 247, 274, 309, 312, 324, 326, 327, 381. Weber, Wilhelm 18—24, 215, 230, 250, 252, 253. Weierstraß 41, 42, 49, 53, 99, 152, 166, 225, 246, 250, 254, 263, 265, 267, 270, 276—293, 326, 378, 381. Weiß 216. Wessel 84. Weyl 267, 276. Wirtinger 247, 274, 275, 312. Wordsworth 183. Zeuthen 313. Zimmermann 25. Zollner 169—170.

25

275, 240, 131, 256, 307,

DIE G R U N D L E H R E N

DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE GEMEINSAM MIT

W. BLASCHKE

M.BORN

CRUNGEt

HAMBURG

GÖTTINGEN

GÖTTINGEN

H E R A U S G E G E B E N VON

R. C O U R A N T GÖTTINGEN

BAND XXV

VORLESUNGEN ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MATHEMATIK I M 19. J A H R H U N D E R T TEIL II VON FELIX

KLEIN

BERLIN VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1927

FELIX KLEIN

VORLESUNGEN ÜBER DIE ENTWICKLUNG D E R MATHEMATIK I M 19. J A H R H U N D E R T

T E I L II

DIE GRUNDBEGRIFFE DER INVARIANTENTHEORIE UND IHR EINDRINGEN IN DIE MATHEMATISCHE PHYSIK FÜR D E N DRUCK BEARBEITET VON R. C O U R A N T U N D S T . C O H N - V O S S E N

MIT 7 F I G U R E N

BERLIN VERLAG

VON

JULIUS 1927

SPRINGER

Vorwort. Der vorliegende zweite u n d letzte B a n d dieser Vorlesungen e n t s t a m m t den Jahren 1915 bis 1917, der Zeit, als die allgemeine R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e die Gedanken aller Mathematiker u n d Physiker auf sich l e n k t e . F e l i x Klein als Siebzigjähriger h a t die neuen Theorien m i t einer außerordent­ lichen Energie durchgearbeitet. D i e aus dieser Forschungsperiode s t a m ­ m e n d e n Seminarprotokolle, Korrespondenzen, Vortragskonzepte, N o ­ tizen u n d A u s a r b e i t u n g e n füllen, v o n Klein selbst geordnet, sieben umfangreiche A k t e n m a p p e n . N u r der kleinere Teil d a v o n bildet die Grundlage dieses B a n d e s . A n d e r e s findet sich in einzelnen A b h a n d ­ l u n g e n Kleins wieder. Vieles aber, w a s schon bis z u m ausführlichen Entwurf ausgearbeitet ist, h a t Klein nicht mehr z u m A b s c h l u ß bringen können. So ist a u c h dieser zweite B a n d F r a g m e n t geblieben. Geplant war ein s y s t e m a t i s c h e s Vordringen v o n den ersten invariantentheore­ tischen A n s ä t z e n in der Geometrie bis zur E i n s t e i n s c h e n Gravitations­ theorie. Kleins persönliche A n t e i l n a h m e war mehr bei der m a t h e m a t i ­ schen Vorgeschichte der E i n s t e i n s c h e n Lehre, als bei ihrer endgültigen physikalischen Ausprägung. D i e s e Vorgeschichte h a t er zu einer D a r ­ stellung in drei K a p i t e l n gebracht, die er so n o c h nicht für d e n Druck b e s t i m m t h a t t e . Sie ist es, die i m F o l g e n d e n zu fast u n g e ä n d e r t e m Abdruck gelangt. D a s vierte K a p i t e l sollte die allgemeine Relativitätstheorie behandeln, sowie die H a m i l t o n s c h e Mechanik unter besonderer W ü r d i g u n g der Lie­ schen Theorien der Berührungstransformationen u n d der kontinuier­ lichen Gruppen. D i e s e s K a p i t e l ist leider nicht fertig geworden. E s sind aus verschiedenen J a h r e n zahlreiche Entwürfe dafür v o r h a n d e n , keiner aber in einer F o r m , die den Herausgebern es ermöglicht h ä t t e , sie druckreif zu m a c h e n , ohne in unzulässiger W e i s e K l e i n s A n s ä t z e m i t eigenen Formulierungen z u vermischen. D a s F e h l e n des v i e r t e n K a p i t e l s beeinträchtigt freilich m e h r d e n Auf­ bau des B u c h e s in sich, als seine B e d e u t u n g für die Öffentlichkeit. A n Darstellungen der Relativitätstheorie als solcher besteht k a u m ein Mangel. D i e gedankliche u n d auch die historische Verwachsenheit der m o d e r n e n A n s ä t z e m i t der M a t h e m a t i k des 19. Jahrhunderts findet

VI d a g e g e n i m vorliegenden B u c h e ihre erste ausführliche B e h a n d l u n g . V o r k e n n t n i s s e , S c h u l u n g u n d selbständige Mitarbeit setzt der z w e i t e B a n d vieUeicht in e t w a s h ö h e r e m Maße v o r a u s als der erste; das B i o ­ graphische tritt gegenüber d e m ersten B a n d e zurück. F ü r die Fertigstellung des T e x t e s trägt der jüngere der Herausgeber allein die V e r a n t w o r t u n g . W i e i m ersten B a n d e war d a s leitende Prin­ zip, so w e n i g a n d e m K l e i n s c h e n Manuskript z u ändern wie möglich. D e n n o c h erschienen einige stilistische Ä n d e r u n g e n u n u m g ä n g l i c h ; ein B u c h k a n n n i c h t durchweg dieselbe Sprache sprechen wie e m e V o r ­ lesungsausarbeitung, die für einen b e s c h r ä n k t e n Leserkreis b e s t i m m t war. Sachlich ist der T e x t n i r g e n d s geändert. D i e F o r t e n t w i c k l u n g der Wissenschaft in d e m J a h r z e h n t , d a s seit d e m A b s c h l u ß des K l e i n s c h e n Manuskripts v e r g a n g e n i s t , m a c h t e aber einige Z u s ä t z e er­ forderlich; es s i n d das erstens m a n c h e der F u ß n o t e n , die wie i m ersten B a n d durch ein h i n z u g e f ü g t e s (H.) v o n K l e m s eigenen F u ß n o t e n u n t e r s c h i e d e n sind, z w e i t e n s E r l ä u t e r u n g e n a m K a p i t e l s c h l u ß , auf die i m T e x t g e w ö h n l i c h durch d a s Z e i c h e n * v e r w i e s e n ist. A u c h die E r l ä u t e r u n g e n sind für g e s c h u l t e Leser b e s t i m m t u n d k n a p p g e h a l t e n . B e i m L e s e n der Korrekturen h a b e n die Herren N e u g e b a u e r , Friedrichs, L e w y u n d Grell wertvolle H i h e geleistet. Herrn D . J. Struik v e r d a n k e n wir w i c h t i g e sachliche A n r e g u n g e n b e i der D u r c h s i c h t des Manuskripts. G ö t t i n g e n , O k t o b e r 1927.

R.

Courant,

St. Cohn-Vossen.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung

1 Erstes Kapitel.

Elementares über die Grundbegriffe der linearen Invariantentheorie. A. Ausführungen über allgemeine lineare Invariantentheorie. § 1. Lineare Substitutionen. Invariantenbegriff §2. Die Graßmannschen Stufen § 3. Von der geometrischen Deutung unserer Großenkomplexe (ins­ besondere der Graßmannschen Stufen) §4. Quadratische Formen und ihre Invarianten §5. Von der Äquivalenz der quadratischen Formen § 6. Affine Maßbestimmung durch eine quadratische Form § 7. Von den bilinearen Formen mit kogredienten und denjenigen mit kontragredienten Veränderlichen a) Kogrediente Variable b) Kontragrediente Variable

2 6 10 12 16 21 22 23 26

B. Freiere Erfassung der linearen Invariantentheorie, mit Einordnung der Vektoranalysis. § 1 . Vom Erlanger Programm 27 § 2. Besondere Inbetrachtnahme des dreidimensionalen Raumes. Über­ gang zur homogenen orthogonalen Gruppe 29 § 3 . Einschaltung über Quaternionen 32 §4. Übergang zu den Grundbegriffen der Vektor- und Tensoralgebra 35 §5. Einführung der Vektoranalysis (Tensoranalysis) 38 § 6. Die invarjantentheoretische Darstellung in der Vektorlehre . . . 43 § 7. Von der Entwicklung der Vektorlehre in den verschiedenen Ländern über Maxwells Treatise hinaus 45 Erläuterungen zum ersten Kapitel

49

Zweites Kapitel.

Die spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und mathemathischer Physik. A.

Die klassische H i m m e l s m e c h a n i k und die Relativitätstheorie Galilei-Newton-Gruppe. § 1. Definition und Bedeutung der Gruppe, von den gleichungen des M-Körperproblems aus

der

Differential­ 53

Inhaltsverzeiehnis.

VIII

§ 2. Von den IO allgemeinen Integralen des //-Korpcrproblems klassischen Meehanik. B. Die M a x w e l l s c h e

Elektrodynamik

der

und die Relativitätstheorie

56 der

Lorentzgruppe. I. E i n l e i t e n d e s . Die Maxwellsehen Gleiehuugen für den freien Ätlier Die Eorentzgrnppe m ortliogoualer Form . Rückgang zu den x, y, z, t . . . . . . . . ......... Zur Entwicklung der Elcktrizitatslchrc uud des Atouibcgriffs seit Maxwells Treatise (1845) § 5. Von der matlieiuatisehen Bearbeitung der Maxwellschen Theorie bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts § 6. Von dem allmählichen Hervorkommen der L o r e n t z g r u p p e . . . . § 7. Von der Weiterverbreitung der neuen Doktrin. Die Entwicklung seit 1911 bzw. 1909 § I. § 2. § 3. § 4.

59 62 64 65 68 70 76

II. §1. §2. §3.

B e h a n d l u n g d e r L o r e n t z g r u p p e iu o r t h o g o n a l e r F o r m . Elemente der zugehörigen Viel eranalysis . . . . . . . . . . . . 79 Neue Einschaltung über Quaternionen 84 Vom Ersatz der Maxwellschen Gleichungen durch Integralbeziehungcn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 § 4. Das Vicrerpotcntial und der zu ihm gehörige Variation.sansatz . . 91 § 5. Bei.spiele für die Anwendung unserer Viereranalysis auf besondere Probleme 95 § 6. Die Relativitätstheorie der Lorentzgruppe . . . . . . . . . . . 100 m . H e r v o r k e h r u n g der R e l a t i v i t ä t s V e r h ä l t n i s s e der L o r e n t z g r u p p e . § L Einleitendes 102 §2. Geometrische Hilfsvorstellungen 104 a) Algebraische Beziehungen 105 b) Die einfachsten Ansätze der Infinitesimalgeometrie . . . . . . 107 O D . Differentialgleichung (^V gf/-^ (Jf^ O § 3. Physikahsche Ergänzungen unseres Weltbildes, mit weiteren geometrischen Ausfiilirungen . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Nähere Festlegung der physikahschcn Grundbegriffe . . . . . b) Weitere geometrische Ausführungen . . . . . . . . . . . . § 4 . Historisches über die Integration der partiellen Differential-

Π0 113 113 IIB

"» § 5. Die elementare Optik, insbesondere die geometrische Optik als erste Näherung der Maxwellschen Gleichungen 122 C. V o n der A n p a s s u n g der Mechanik an die Relativitätstheorie Lorentzgruppe. § I. Der Grenxiibergang von der Lorentzgruppe zur Galilei-Newton(^-ruppe § 2. Dynamik eines Masseupuuktes § 3. Zur Theorie des starren Körpers Schhißbemerkung

der

124 127 129 135

Erläuterungen zum zweiten Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ΐ3Γι

Inhaltsverzeichnis.

IX

Drittes Kapitel.

Gruppen analytischer Punkttransformationen bei Zugrunde­ legung einer quadratischen Differentialform. A . Die a l l g e m e i n e n Lagrangeschen Gleichungen der klassischen Mechanik. Seite Vorbemerkung Ι3β § I. Einführung der Lagrangeschen Gleichungen und ihrer Gruppe Goo 139 § 2. Die G^OO der Lagrangeschen Gleichungen und die GaUlei-NewtonGruppe. Kopemikamsche und Ptolemäische Koordinaten . . . . 142 § 3. Vereinfachte Variationsprinzipe. Übergang zur Geometrie . . . . 145 B. Die Lehre v o n der inneren Geometrie zweidimensionaler M a n n i g ­ faltigkeiten auf der Grundlage v o n Gauß' Disquisitiones circa super­ ficies curvas. § I. Zur Orientierung 147 § 2. Von den Differentialgleichungen der geodätischen Linien . . . . 150 § 3. Die einfachsten Sätze aus Gauß' Disquisitiones in invarianten­ theoretischer Fassung 151 § 4. Zur Einführung de^ Gaußschen Krtimmungsmaßes 153 § 5. Von der analytischen Darstellung d^s Krümmungsmaßes K bei beUebig gegebenem ds^ 155 § 6. Beweis der Riemannschen Formel und verschiedene Auslührungen dazu 158 § 7. Von der Äquivalenz zweier binäier ds^. Genaueres über den Fall konstanten Krümmungsmaßes 161 C

R i e m a n n s /i-dhnensionale Mannigfaltigkeiten. I. Die formalen Grundlagen. Historische Angaben 164 Differentialformen mit nur ersten Differentialen 166 Vorbemerkungen über das Riemannsche Krümmungsmaß . . . . 169 Die Gleichungen der geodätischen Linien und die mit ihnen zusammenhängenden Invarianten 172 § 5 . Das Riemannsche [Ω] 174 § 6. Die ausgerechnete Formel für das Riemannsche Krümmungsmaß 176 § I. § 2. § 3. §4.

D. R i e m a n n s /i-dimensionale Mannigfaltigkeiten. II. Normalkoordinaten. Geometrische D e u t u n g e n . § L Riemanns Normalkoordinaten und die Gestalt des zugehörigen ds^ . § 2. Beschränkung auf die nächste Umgebung von O. Die allgemeine geometrische Bedeutung des KR § 3. Die geometrische Bedeutung der Ortsinvariante K § 4. Die geometrische Bedeutung der einfachsten Richtungsinvariante. Übergang zur mittleren Krümmung Ki^— § 5 . Das Äquivalenzproblem in Räumen verschwindenden, bzw. konstanten Krümmungsmaßes

176 179 180 182 184

E . Einiges v o n der W e i t e r e n t w i c k l u n g über R i e m a n n h i n a u s . § I. Charakterisierung der u m 1870 hervortretenden und ihres nachwirkenden Einflusses

PersönUchkeiten 188

X

Inhaltsverzeicbiiis.

§ 2. Invariantenbildung bei Beltranü a) Die Methode der Variationsrechnung b) Die Methode der Integralbeziehungen § 3. Lipschitz und Christoffel: Invariantenbildung durch Differentiation und Elimination, insbesondere durch „kontragrediente Differenüation" § 4. Über Christoffels Abhandlung von 1869 · § 5 . Charakterisierung von Invarianten durch infinitesimale Trans­ formationen (Lie) § 6 . Von der vektoriellen Divergenz eines beUebigen Tensors ^ . . . Schlußbemerkung Erläuterungen zum dritten Kapitel Namenverzeichnis

Seite 190 190 191

192 195 199 202 204 205 207

Einleitung. D e r erste B a n d h a t t e m i t einer D a r l e g u n g der B e d e u t u n g geschlossen, welche die Lehre v o n d e n diskontinuierlichen Transformationsgruppen und den bei i h n e n unveränderlichen, den , , a u t o m o r p h e n " F u n k t i o n e n in den l e t z t e n J a h r z e h n t e n für die v e r s c h i e d e n s t e n Zweige der Mathe­ matik gewonnen hat. Wir w e n d e n u n s jetzt der n i c h t minder weitreichenden E n t w i c k l u n g u n d B e d e u t u n g zu, welche die kontinuierlichen Transformationsgruppen in d e m s e l b e n Zeitraum g e w o n n e n h a b e n . Aber wir w e r d e n für unsere B e r i c h t e r s t a t t u n g keine streng chronologische A n o r d n u n g w ä h l e n . D i e w e i t e r g e h e n d e n Arbeiten v o n Lie, die 1870 m i t rein geometrischen U n t e r s u c h u n g e n b e g a n n e n u n d b a l d für das G e s a m t g e b i e t der Differen­ tialgleichungen v o n weitreichender B e d e u t u n g werden sollten, schieben wir einstweilen n o c h zurück. W i r knüpfen v i e l m e h r an das Referat an, das in B d . 1, K a p i t e l I V über die E n t w i c k l u n g der „algebraischen" Geo­ metrie g e g e b e n wurde. N a c h d e n Grundsätzen, welche ich in m e i n e m Erlanger P r o g r a m m (1872) e n t w i c k e l t e , lassen sich die verschiedenen R i c h t u n g e n der dabei b e n u t z t e n A n s ä t z e d a h i n charakterisieren, d a ß es sich jeweils u m die Invariantentheorie einfacher linearer TransformationsgrUppen h a n d e l t . N u n h a t sich e t w a s sehr Merkwürdiges b e g e b e n . D i e Klassifikation der geometrischen Theorien n a c h der Art der zugrunde gelegten Transformationsgruppe h a t n ä m l i c h auf d e n Bereich der Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k übergegriffen u n d sich a u c h hier als sicherer Leitfaden zur Erfassung h e u t e i m Vordergrunde stehender I d e e n erwiesen. Ich m e i n e diejenigen S p e k u l a t i o n e n , w e l c h e m a n unter d e m N a m e n Relativitätstheorie z u s a m m e n f a ß t . Sie sind z u n ä c h s t gänzlich u n a b h ä n g i g v o n d e n Arbeiten der Geometer e n t s t a n d e n : durch E n t w i c k l u n g der F r a g e s t e l l u n g e n , die sich an Maxwells elektro­ m a g n e t i s c h e Auffassungen anschlössen. D a ß sie u n b e w u ß t z u ganz ähnlichen Formulierungen hingeführt h a b e n , w i e unsere rein m a t h e ­ m a t i s c h e n A n s ä t z e , ist eines der m e r k w ü r d i g s t e n Beispiele für die v o n Zeit z u Zeit i m m e r wieder hervortretende, trotz aller Speziali­ sierung der neueren Arbeitsrichtungen b e s t e h e n d e E i n h e i t l i c h k e i t der w e s e n t l i c h e n Fortschritte d e s m a t h e m a t i s c h e n D e n k e n s . D i e s e n Paral­ lelismus hervorzukehren liegt z u sehr i m Interesse meiner G e s a m t ­ darstellung, als d a ß ich i h n hier mir e n t g e h e n lassen dürfte. I c h darf u m so mehr darauf e i n g e h e n , als ich ohnehin s c h o n — B d . 1, K a p i t e l V — Klein, Entwicklung der Mathematik. 11.

1

2

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

die E n t w i c k l u n g der Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k b i s z u m E i n s c h l u ß der M a x w e l l s c h e n A r b e i t e n geführt h a b e . A l s I n h a l t der i m folgenden z u g e b e n d e n D a r s t e l l u n g k a n n g e r a d e z u der Z u s a m m e n s c h l u ß der z w e i K a p i t e l b e z e i c h n e t w e r d e n , die in B d . 1 lose nebeneinander gestellt w o r d e n sind. Zugleich g e w i n n e ich, i n d e m ich die G r u n d g e d a n k e n d e s Erlanger P r o g r a m m s solcherweise a n einfachen B e i s p i e l e n erläutere, eine g u t e B a s i s für d i e später z u g e b e n d e B e s p r e c h u n g der Lie'schen Arbeiten. D i e Erreichung d e s so g e s e t z t e n Zieles v e r l a n g t freilich g e w i s s e Vor­ bereitungen. SoU e s n i c h t nur b e i g a n z a l l g e m e i n e n A u s s a g e n bleiben, so m u ß eine genauere K e n n t n i s w e n i g s t e n s der E l e m e n t e der all­ g e m e i n e n linearen I n v a r i a n t e n t h e o r i e v o r a u s g e s e t z t w e r d e n , als v e r ­ m u t l i c h v o r h a n d e n ist. Ich b e g i n n e also m i t einigen einschlägigen Erörterungen, die ich dadurch i m Sinne meiner G e s a m t d a r s t e l l u n g z u b e l e b e n s u c h e , d a ß ich überall B e m e r k u n g e n über die historischen Zu­ s a m m e n h ä n g e einschalte. E i n e g e w i s s e Ü b e r d e c k u n g m i t d e n D a r ­ l e g u n g e n v o n B d . 1 ist n i c h t g a n z z u v e r m e i d e n , d o c h w i r d die A u s w a h l d e s Stoffes g a n z anders getroffen u n d e s tritt a u c h die W ü r d i g u n g der P e r s ö n h c h k e i t e n als solcher m e h r zurück.

Erstes

Kapitel.

Elementares über die Grundbegriffe der linearen Invariantentheorie. A· Ausführungen über allgemeine

lineare

Invariäntentheorie. § 1. Lineare Substitutionen.

Invariantenbegriff^).

W i r führen z u n ä c h s t irgendwelche η Größen

1) Als ein kompendiöses und für unsere Zwecke besonders geeignetes Lehrbuch ist B o c h e r s Einführung in die höhere Algehra zu empfehlen (zuerst englisch, New York 1907, deutsch Leipzig 1910, 2. Aufl. 1925). Andererseits nenne ich den ersten Band der Gesammelten Werke von S y l v e s t e r (Cambridge 1904). Dort steht auf S. 198—202 eine kurze Note aus dem Cambridge and Dublin Math. Journal IV (1851), betitelt „On the general Theory of associated algebraical forms'S wo zum ersten Male der Terminus „Invariante" eingeführt ist. Dann ferner von S. 284 an eine längere, leider unvollendet gebliebene Arbeit „On the principles of the calculus of forms'* (Cambridge and Dublin Math. Journal V I l [1852]), wo die Ausdrücke „kogredient" und „kontragredient", sowie manche andere, die wir fernerhin gebrauchen, zum ersten Male vorkommen.—^Anm. d. H g . : Inzwischen neu erschienen: W e i t z e n b ö c k : Invariantentheorie. Groningen 1922.

Α. § 1. Lineare Substitutionen.

Invariantenbegriff.

3

als Urvariable ein. Sie sollen beliebigen, unimodularen *, h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u t i o n e n (1)

l^i.Hi

unterworfen werden. Variabeinreihen

„Kogredient''

yi>

heißen

y2

dann

zunächst

yn

welche jeweils dieselben S u b s t i t u t i o n e n (1) erleiden. Zu d e n hierzu „kontragredienten'' Variabeinreihen k o m m t w e n n m a n eine lineare F o r m UT,X^ +

solche

U^X^ H

h

man,

^ηΛ^η

betrachtet, die durch die S u b s t i t u t i o n (1) in u{x\ + u'^x'^+ . . . übergehen m a g .

+ < <

I n d e m wir für die χ aus (1) ihre W e r t e in den x' ein­

tragen u n d die Koeffizienten der einzelnen x' vergleichen, b e k o m m e n wir : ^1 = ^ 1 1 ^ 1 + ^ 1 ^ 2 H

+^m

(2) < = ^i + ^2η ^2 -^ l· 5„ „ . Gegenüber (1) erscheinen die neuen Variabein m i t den alten, u n d die Horizontalreihen des Koeffizientenschemas m i t den Vertikalreihen ver­ t a u s c h t u n d e b e n hierin liegt d a s W e s e n der Kontragredienz. — Offen­ bar ist das Verhältnis der S u b s t i t u t i o n e n (1) u n d (2) zueinander ein gegenseitiges. W i r h ä t t e n s t a t t m i t den χ ebensogut m i t den u (oder irgendwelchen z u ihnen kogredienten Größenreihen, die wir in der Folge V oder w, nennen) b e g i n n e n können (Prinzip der D u a l i t ä t ) . A u s Größenreihen v o n der Art der χ oder u werden wir fortschreitend jetzt andere z u s a m m e n s e t z e n , die infolge v o n (1) bzw. (2) ebenfaUs h o m o g e n e hneare (unimodulare) S u b s t i t u t i o n e n erfahren. D a h i n gehören z. B . die T e r m e 2. Grades Xl

2x,x,,

Xl

Xl

oder a u c h die bilinearen Verbindungen aus zwei R e i h e n kogredienter Variabein: ^13^1. ( ^ 3 ^ 2 + ^ 2 ^ 1 ) . ^23^2> b z w . die anderen (Xiy2-X2yi)>

(^13/3-^^33/1),

Xnyn,

(Xn^iyn-Xnyn^l)'

Wir n e n n e n die linearen S u b s t i t u t i o n e n , die sie infolge v o n (1) bzw. (2) erleiden, durch (1) b z w . (2) induziert. D i e s e induzierten S u b s t i t u t i o n e n s i n d nicht m e h r n o t w e n d i g die aUgemeinsten linearen Substitutionen

4 1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe. ihrer Art. I m übrigen überträgt sich auf sie der Begriff der Kogredienz u n d der Kontragredienz. N i m m t m a n z . B . eine quadratische F o r m h e r a n : f{a,x)

= a,,xl

+ 2a,2X,X2

+ a2,xl+

· · ·

+α^,,χΐ

u n d verlangt, daß / {a, x) m i t t e l s (I) in / {a\ x') == a[^ x[^ ~\ übergeht, so erweisen sich die

^11, ^12, ^22,

h a^^ x^

<^nn

z u den x\,

2x,x^,

Xl

...,Xl

kontragredient. E i n spezielles B e i s p i e l einer solchen quadratischen F o r m ist das Quadrat einer Linearform: (u^x^ + u^x^+

+

wir schließen, d a ß die ZU d e n

^n,

^12> ^225

kogredient sind. (Die E i n z e l h e i t e n d e s A n s a t z e s wolle m a n durch­ d e n k e n . E s k o m m t in B e t r a c h t , d a ß die xf, Xi x^, . . s o w i e die wf, U1U2, . . . , obgleich nicht v o n e i n a n d e r u n a b h ä n g i g , doch linear u n a b h ä n g i g sind*.) J e d e n Inbegriff n u n v o n irgend N linear u n a b h ä n g i g e n Größen, welche infolge v o n (I) bzw. (2) h o m o g e n e lineare S u b s t i t u t i o n e n erleiden, n e n n e n wir m i t S y l v e s t e r einen Komplex (Plexus) ^). D a s Ziel der all­ g e m e i n e n linearen Invariantentheorie, w i e es v o n ihren B e g r ü n d e r n ins A u g e gefaßt wurde, läßt sich d a n n so b e z e i c h n e n : E s sind irgendwelche G r ö ß e n k o m p l e x e vorgelegt. Man soll aus i h n e n in allgemeinster W e i s e Ausdrücke z u s a m m e n s e t z e n , die in d e n Größen jedes einzelnen K o m ­ p l e x e s rational, ganz u n d h o m o g e n s i n d , u n d die E i g e n s c h a f t h a b e n , sich b e i den u n i m o d u l a r e n S u b s t i t u t i o n e n (I) b z w . (2) nicht z u ändern. A l s niederstes B e i s p i e l b i e t e t sich sofort η R e i h e n kogredienter Größen

die D e t e r m i n a n t e

aus

dar, w i e sich durch einfache A n w e n d u n g des D e t e r m i n a n t e n m u l t i p l i ­ kationssatzes ergibt. D i e L e i s t u n g der Theorie aber m u ß sein u n d ist es in der T a t , auf solche einfachste Beispiele die B i l d u n g aller g e s u c h t e n „ I n v a r i a n t e n " durch s y s t e m a t i s c h e A l g o r i t h m e n zurückzuführen. E s ist u n m ö g l i c h — u n d für das F o l g e n d e auch n i c h t n ö t i g — , 1) Neuerdings auch lineare Größe genannt. Vgl. W e y l 1. c. S. 205. (H.)

A

§ 2. Die Graßmannschen Stufen.

5

von dem so umrissenen Programm der allgemeinen linearen Invariantentheorie hier eine g e n a u e Ausführung zu geben. Weiter­ g e h e n d e s , w a s sich auch in der F o r m an die folgenden Erörterungen g u t anschließt, findet m a n z. B . bei H u r w i t z in B d . 4 5 der Math. Annalen (1894). E s m u ß g e n ü g e n , d a ß wir einzelne einfachste Beispiele v o n K o m p l e x e n u n d zugehörigen I n v a r i a n t e n b e t r a c h t e n u n d u n s bei ihnen sowohl v o n d e m Sinn als v o n der Z w e c k m ä ß i g k e i t der aufgestellten Fragestellung überzeugen. Zuerst werden wir als t y p i s c h e Beispiele v o n , , K o m p l e x e n " die v o n G r a ß m a n n in seiner linealen Ausdehnungslehre (1844 b z w . 1862) eingeführten Stufen geometrischer Größen einordnen.

§ 2. Die Graßmannschen Stufen. N e b e n der D e t e r m i n a n t e aus η R e i h e n kogredienter Veränderlicher {x),{y)> b z w . {u),{v), . . . , die eine I n v a r i a n t e ist (also für sich einen K o m p l e x a u s m a c h t ) , n a n n t e n wir bereits als Beispiel eines K o m p l e x e s den Inbegriff der zweigliedrigen D e t e r m i n a n t e n , die sich aus d e m recht­ eckigen S c h e m a

yiyz-'-yn z u s a m m e n s e t z e n lassen. W i r würden solche zweigliedrige D e t e r m i n a n t e n natürlich auch aus Größen u, υ z u s a m m e n s e t z e n können. G r a ß m a n n s allgemeiner A n s a t z g e h t n u n dahin, überhaupt die K o m p l e x e z u b e t r a c h t e n , die sich aus μ R e i h e n kogredienter Ver­ änderlicher (x), {y), . . . , b z w . (w), (v), . . . z u s a m m e n s e t z e n lassen, w o ^ der R e i h e n a c h gleich 0, 1, 2, . . . , (n — 1) g e n o m m e n sein soll. W i r b e k o m m e n also, w e n n wir vorläufig nur v o n den {x), (y), . . . ausgehen, die folgende R e i h e v o n η Stufen'^): μ = O

die reine Zahlgröße (wie Graßmann sagt), zusammenfallend

μ = 1

die η Größen Xi s e l b s t ;

μ = 2

den K o m p l e x der ^^^^^^ zweigliedrigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n

m i t d e m , w a s wir Invariante n e n n e n ;

(x.yj, —

Xj,y,);

μ = n — l die η D e t e r m i n a n t e n aus (n — 1) R e i h e n (%), (y), D a die n-reihige D e t e r m i n a n t e , w i e wir b e m e r k t e n , eine Invariante ist, so schließt sich die hiermit a u f g e z ä h h e R e i h e v o n K o m p l e x e n z y k h s c h . η Daß es sich immer um „Komplexe" handelt, ergibt sich wieder aus dem DeterminantenmultipHkationssatze, der in der Tat als das eigentliche Fundament aller linearen Invariantentheorie angesehen werden kann. — Die Graßmannschen Stufen sind erst verhältnismäßig spät der Invariantentheorie explizite eingefügt worden, nämlich durch Clebsch 1872 (Über eine Funda­ mentalaufgabe der Invariantentheorie, Bd. 17 der Gottinger Abhandlungen).

1. K a p . Elementares über die Grundbegriffe. Genau so werden wir v o n d e n (u) . . . ausgehend η Stufen b e k o m m e n , deren B e z i e h u n g z u d e n Stufen, die wir a u s den (x) . . . ableiteten, auf­ zuklären bleibt. D i e genauere B e h a n d l u n g k n ü p f e n wir, d a m i t die Darstellung nicht z u abstrakt ausfällt, a n die niedersten Zahlenbeispiele an. B e i W = 2 h a b e n wir natürlich n o c h nichts N e u e s . Zu η = 3 b e m e r k e n wir, d a ß die zweigUedrigen D e t e r m i n a n t e n X, X, X, Vl ^2 ^3 z u d e n kontragredienten Größen beziehungsweise kogredient gliedrige D e t e r m i n a n t e

sind,

D i e s folgt daraus, d a ß die drei-

yi ^2 ^3 die doch eine I n v a r i a n t e i s t , folgendermaßen als Linearform i n d e n ζ geschrieben werden k a n n : H {x^yz -~ Hy^) + ^ {xzyi

- ^lyz)

+ h {^y^

- ^2yi) -

Man sieht zugleich, d a ß b e i b e ü e b i g e m η das entsprechende T h e o r e m für d e n K o m p l e x der [n — l)-reihigen D e t e r m i n a n t e n gilt. B e t r a c h t e n w i r n u n insbesondere d e n Fall ^ = 4 (der w e g e n seines Auftretens in d e n Spekulationen der m o d e r n e n P h y s i k für u n s b e ­ sonders w i c h t i g ist). V o n d e n viererlei Stufen ^ = 0, 1, 2 , 3 k ö n n e n ^ = 0, 1, 3 als erledigt gelten, s o d a ß sich unsere A u f m e r k s a m k e i t auf μ = 2 richtet. Wir setzen (3) Piu-^Xiyu-yi^ic (also Pijc^-Pjci). I n d e m wir die i d e n t i s c h v e r s c h w i n d e n d e D e t e r m i n a n t e

I

yi y-z yz

n a c h zweigliedrigen ü n t e r d e t e r m i n a n t e n entwickehi, schließen wir, d a ß der Ausdruck

(3')

^ = :^12 :^34 + PiZ P,2 + Ρι,Ρ^ζ')

1) Gedächtnisregel für die Indizes der Summanden: erstes GUed 1 2 ; 3 4 . Dann zyklische Vertauschung der letzten drei Indizes unter Festhaltung des ersten Index I. (H.)

Α. §2. Die Graßmannschen Stufen.

7

den W e r t N u l l h a t . D i e induzierten S u b s t i t u t i o n e n , welche die ρbei d e n linearen S u b s t i t u t i o n e n der x, y erleiden, m ü s s e n also die G l e i c h u n g P = O in sich selbst überführen. In der T a t b e m e r k t m a n , d a ß die ρ an keine andere B e d i n g u n g , als eben P = O g e k n ü p f t s i n d * . V o n hier führt n u n ein weiterer Schritt z u der E i n s i c h t , d a ß für irgendwelche (unabhängige) Größen die m i t den p^j, kogredient sind, der e n t ­ sprechend g e b i l d e t e A u s d r u c k (4)

^ = ^ 1 2 ^ 4 + ^13^2 +

^14^3

eine I n v a r i a n t e ist. W i r wollen diesen Schritt näher ausführen, weil analoge Ü b e r l e g u n g e n in der Invariantentheorie sehr häufig b e n u t z t werden ^) u n d er z u d e m ein Zwischenresultat u m s c h l i e ß t , auf das wir u n s weiterhin berufen m ü s s e n . Zu d e m Z w e c k e g e h e n wir v o n der viergliedrigen D e t e r m i n a n t e a u s : Xl X2 Xz ^4 yi ^2 yz ^4 ^ h

^z ^

k h

h

die wir n a c h zweigliedrigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n

entwickehi, w a s (5)

P..PU+P..P'^^•^•••-ΣP[.^^

ergibt. Dieser Ausdruck ist a l s o — w i e unsere viergliedrige D e t e r m i n a n t e — eine I n v a r i a n t e , v o r a u s g e s e t z t , d a ß die pi^^ der Gleichung P = O u n d d i e p\j, der e n t s p r e c h e n d e n Gleichung P ' = O g e n ü g e n . N i m überzeuge m a n sich aber v o n der T a t s a c h e , d a ß diese quadratischen Gleichung e n P = O b z w . P ' = O i r r e d u z i b e l sind, d. h. nicht in F a k t o r e n g e spalten werden k ö n n e n , die in den pi^, bzw. p'^l linear sind. Aber die I n v a r i a n t e (5) e n t h ä l t die pi^, bzw. A'* ihrerseits nur linear. Wir schließen, d a ß die invariante N a t u r v o n (5) n i c h t b e e i n t r ä c h t i g t wird, w e n n m a n d i e p^T, durch irgendwelche (nicht a n die Gleichung J5 = O gebundene) kogrediente Größen die e b e n s o durch irgendwelche kogrediente Größen hij, ersetzt. L ä ß t m a n schließlich diese (beüebig zu w ä h l e n d e n ) m i t den ¢^¾. zusammenfallen, so h a t m a n die inv a r i a n t e N a t u r des A u s d r u c k e s B erwiesen. D a s Zwischenresultat, w e l c h e s a u s der s o skizzierten Ü b e r l e g u n g 1) Vgl. unsere Bemerkung mit den a ^ , a^g,

oben über die Kogredienz der wf, u^u^,

...

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe. h e r a u s g e h o b e n werden soUte, ergibt sich aus der i n v a r i a n t e n N a t u r des A u s d r u c k s (5), der in den ^ , ¾ , w i e in den

hnear ist.

die p\j^ (und d a m i t die

kontragredientsind, d.h.,

selbst) den

E r besagt, d a ß

ausführlicher geschrieben, die A2> PiZ^ A4>

1 z u den

I

A4> I

Λ2> A a I

A 2 > P2Z> Pl2,

I

sind k o n t r a g r e d i e n t

I

PlZ>

Pl,'

W i r untersuchen n u n (immer b e i η = 4) die G r a ß m a n n s c h e n Stufen, die m a n aus Größen {u), {v), . . . aufbauen k a n n . D a ß die {u), . . . selbst den dreigliedrigen U n t e r d e t e r m m a n t e n v o n Größen {x), {y), {z) kogredient sind, w i s s e n wir bereits u n d schließen a u s d e m P r i n z i p der D u a l i t ä t , d a ß die dreigliedrigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n aus Größen {u), {v), {w) ihrerseits m i t d e n {x), . . . kogredient sind. B l e i b e n die zweigliedrigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n qnc = u^Vj, —Vitij^ zu b e t r a c h t e n (die n a t ü r h c h der Gleichung Q^qi^^z,+ " ' = 0 ge­ n ü g e n ) ; sie erweisen sich als den pij, kontragredient. D i e s folgt daraus, d a ß die S u m m e eine I n v a r i a n t e ist.

In der T a t ist sie g l e i c h :

(wo Ua,, . . . m übhcher Abkürzung^) für Ui x^ -\-u^x^-{s t e h t ) , ist also aus lauter I n v a r i a n t e n aufgebaut.

% x^ + u^ x^

K o m b i n i e r e n wir dies n o c h m i t d e m , w a s wir über die S e l b s t k o n t r a gredienz der w i s s e n , s o h a b e n wir s c h l i e ß h c h : die ?12> (llZ> ?14> ?34> U2> ^2Z

sind z u den

I

I

I

I

p^^,

p^^,

p^^,

p^^,

I I p^^,

p^^

kogredient.

S u m m a : die G r ö ß e n k o m p l e x e , w e l c h e m a n a u s den (w), [v), . . . durch D e t e r m i n a n t e n b i l d u n g ableiten k a n n , ergeben keine anderen T y p e n induzierter linearer S u b s t i t u t i o n e n , als die anderen, die m a n aus den {x), (y), . . . g e w i n n t . O b e n g e n a n n t e r f u n d a m e n t a l e r S a t z , den wir hier nur im η = 4k beweisen h a b e n , tritt b e i G r a ß m a n n , in Nr. 112 der A u s d e h n u n g s l e h r e v o n 1862, für beliebiges η in v i e l konkreterer F o r m auf. D i e s werde hier (wieder nur für η = 4) a u s e m a n d e r g e s e t z t u n d in A n k n ü p f u n g an unseren bisherigen G e d a n k e n g a n g b e w i e s e n . 1) Siehe z. B. W e i t z e n b ö c k 1. c. S. 2, Fußnote. der Abkürzung

== | ^ ist hier ausgeschlossen.

Eine Verwechselung mit

Α. § 2. Die Graßmannschen Stufen. Wir gehen v o n 4 Syster aus, deren D e t e r m i n a n t e

1 kogredienter K o m p l e x e (x), (y),

{z), [t)

gleich 1 sein soll. G r a ß m a n n d e n k t sich d a n n kontragrediente S y s t e m e (u), {v) geradezu durch die dreigliedrigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n der rechteckigen Matrizes 2

^3

I

^4

^nd

^

^3

^4

yi

^2

^3

^4

h

h

h

h

definiert u n d b e h a u p t e t , daß die aus ihnen zu bildenden spondierenden

Größen

Pik =

yl'-'yl

qij, den

Z^^^^^ ^^^'^^

korre-

(genauer


( ^ ) = 0 , 0,

( y ) = 0 , 1, 0, O

W=O, 0, i

Man h a t d a n n g e w i ß

0

0

0

0

1 0 0

1

F e m e r folgt aus der B e t r a c h t u n g der b e i d e n ersten Zeilen dieses S c h e m a s , d a ß alle pij, b i s auf == 1 v e r s c h w i n d e n , s o d a n n aus der B e t r a c h t u n g der drei ersten Zeilen, b z w . der 1., 2 . , 4. Zeile, d a ß die {u) b z w . {v) folgende Werte haben: {u) = 0, 0, 0, 1,

{v) = 0, 0, — 1, 0 ;

hieraus wieder, d a ß alle Qi^== O sind b i s auf ¢'34 = 1. also in der T a t i m spezieUen F a l l e die Gleichungen

E s bestehen

10

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

wir schließen, d a ß sie e b e n d a r u m a u c h i m a h g e m e i n e n (von G r a ß m a n n b e t r a c h t e t e n ) FaUe b e s t e h e n m ü s s e n . D e n n die ¢',¾ s i n d d e n

bei be-

h e b i g e n S u b s t i t u t i o n e n (1) kogredient, u n d durch b e h e b i g e S u b s t i t u tion (1) e n t s t e h t a u s u n s e r e m spezieUen FaUe der aUgemeine*.

§ 3.

Von der geometrischen D e u t u n g unserer

Großenkomplexe (insbesondere der Graßmannschen Stufen). D i e G r ö ß e n s y s t e m e ( K o m p l e x e ) , welche m der Invariantentheorie h o m o g e n e n Imeraren S u b s t i t u t i o n e n unterworfen sind, werden g e m ä ß einer w o h l auf die S a l m o n s c h e n oder a u c h die H e s s e s c h e n Lehrb ü c h e r zurückgehenden Tradition^) m e i s t m der W e i s e geometrisch interpretiert, d a ß m a n nur die V e r h ä l t n i s s e ihrer K o m p o n e n t e n g e o m e t r i s c h d e u t e t . Also (umj b e i >^ = 4 z u b l e i b e n ) : die Xi: x^: x^: x^, als s o g e n a n n t e h o m o g e n e P u n k t k o o r d m a t e n d e s dreidimensionalen R a u m e s , die Ui'.u^: : als ebensolche E b e n e n k o o r d i n a t e n , die Verhältnisse der ^ als L i n i e n k o o r d i n a t e n * u s w . D i e linearen S u b s t i t u t i o n e n (1) ergeben d a n n die KoUineationen d e s R^, u n d d a s g e o m e trische Korrelat der algebraischen E n t w i c k l u n g i s t die p r o j e k t i v e Geometrie. S o fruchtbringend diese Interpretation i s t (und so w i c h t i g die proj e k t i v e Geometrie als selbständige Disziplin e r s c h e m t ) , s o streift sie d o c h die eigentlichen F e i n h e i t e n der I n v a r i a n t e n t h e o r i e a b . D e n n sie k a n n n i e die I n v a r i a n t e n selbst, sondern n u r ihr V e r s c h w i n d e n interpretieren. S o g i b t = O die „vereinigte L a g e " v o n P u n k t u n d E b e n e , der A u s d r u c k selbst aber b l e i b t ohne a d ä q u a t e D e u t i m g . Oder die D e t e r m m a n t e \ x y ζ t \ ergibt durch ihr V e r s c h w i n d e n die B e d i n g u n g , d a ß v i e r P i m k t e in e m e r E b e n e liegen, sie selbst e n t z i e h t aber sich der Interpretation. D e m g e g e n ü b e r s c h e i n t e s z w e c k m ä ß i g (und i s t durch die p h y s i ­ k a h s c h e n A n w e n d i m g e n , die w i r i m Sinne h a b e n , geradezu g e b o t e n ) , z u der n a i v e n I n t e r p r e t a t i o n zurückzukehren, die a u c h G r a ß m a n n s A u s dehnimgslehre zugrunde liegt, d a ß m a n n ä m l i c h x^, x^, x^, x^ als g e w ö h n ­ liche ParaUelkoordiiiaten e m e s P u n k t e s i m v i e r d i m e n s i o n a l e n R a u m d e u t e t . D i e S u b s t i t u t i o n e n (1) ergeben d a n n a f f i n e Transformation d e s R^ b e i f e s t g e h a l t e n e m K o o r d m a t e n a n f a n g s p i m k t e 0\ w i r k ö n n e n d a r u m x^, x^, x^, x^^ a u c h als K o o r d m a t e n der Strecke auffassen, w e l c h e v o m P i m k t e O z u m P u n k t e (x) hinreicht. D i e D e t e r m m a n t e \ x y ζ t \ aber b e d e u t e t d e n I n h a l t d e s „ParaUelopentatops", w e l c h e s durch die v i e r v o n O n a c h d e n P u n k t e n (x), {y), (z), {t) laufenden Strecken b e 1) Vgl. Bd. 1, S. 159—164.

12

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

i m RQ e i n e n P u n k t , das z w e i d i m e n s i o n a l e v o n O auslaufende lineare Gebilde i m R^ eine gerade Linie u s w . Schließlich k a n n m a n die D e u t u n g i m RQ a u c h n o c h so a u s g e s t a l t e n , d a ß auch sie e i n v o l l e s B i l d der a n a l y t i ­ schen E n t w i c k l u n g e n gibt. Man greift a m b e s t e n auf die partikuläre D e u t u n g zurück, w e l c h e Moebius i n s e i n e m baryzentrischen K a l k ü l (1827) 1) den h o m o g e n e n K o o r d i n a t e n g a b . Man interpretiere ^ , ~als g e w ö h n l i c h e Parallelkoordinaten eines P u n k t e s i m R^ u n d n e n n e Xji^ sein G e w i c h t . S e t z t m a n insbesondere = 1, so w e r d e n hierbei die B e s t i m m u n g s s t ü c k e für Linienteile des R^, die dreigliedrigen D e t e r m i n a n ­ t e n für E b e n e n t e i l e ; die viergliedrige D e t e r m i n a n t e g i b t einen R a u m t e i l . D a s ist diejenige I n t e r p r e t a t i o n der G r a ß m a n n s c h e n Stufen, die ich B d . 1, K a p . I V erläuterte u n d v o n der ich beispielsweise in Teil I I m e i n e r V o r l e s u n g e n über E l e m e n t a r g e o m e t r i e (1908) ^) a u s g i n g ; sie ist in der Mechanik der starren Körper überaus vorteilhaft. D i e s e l b e n a n a l y t i s c h e n Prozesse finden e b e n je n a c h d e m G e s i c h t s ­ p u n k t e , d e n m a n verfolgt, v e r s c h i e d e n e A r t e n z w e c k m ä ß i g e r I n t e r ­ p r e t a t i o n . E s b l e i b t b e i der Auffassung, welcher P l ü c k e r 1831 in der Vorrede z u m z w e i t e n B a n d e seiner „ A n a l y t i s c h - g e o m e t r i s c h e n E n t w i c k ­ lungen" folgendermaßen Ausdruck gibt: „ I c h m ö c h t e m i c h z u der A n s i c h t b e k e n n e n , d a ß die A n a l y s i s eine W i s s e n s c h a f t ist, die, u n a b h ä n g i g v o n jeder A n w e n d u n g , s e l b s t ä n d i g für sich allein d a s t e h t , u n d die G e o m e t r i e , w i e v o n einer anderen Seite die Mechanik, b l o ß als b i l d e n d e V o r s t e l l u n g gewisser B e z i e h u n g e n aus d e m g r o ß e n e r h a b e n e n G a n z e n erscheint." W i r w e r d e n diesen A u s s p r u c h in der F o l g e nur n o c h insofern z u er­ w e i t e r n h a b e n , als für i m s n e b e n die Mechanik, diese u m f a s s e n d , die g e s a m t e m a t h e m a t i s c h e P h y s i k tritt. D a b e i w ü r d e e s u n s v i e l e Arbeit sparen, w e n n d a s , w a s beispielsweise in der p r o j e k t i v e n Geometrie er­ arbeitet i s t , auch d e n P h y s i k e r n geläufig w ä r e , b z w . v o n diesen o h n e w e i t e r e s in ihre Sprache ü b e r s e t z t w e r d e n k ö n n t e . D i e s k a n n natürlich n i c h t v o r a u s g e s e t z t w e r d e n ; ich w e r d e aber d o c h a n einzelnen Stellen darauf h i n w e i s e n .

§ 4· Quadratische Formen und ihre Invarianten. V o n linearen F o r m e n ist s c h o n in § 1 hinreichend die R e d e g e ­ w e s e n ; sprechen wir n u n v o n q u a d r a t i s c h e n F o r m e n (7) i^,^ Σ Z(^ikXiXk-(^XxA+'^(^X^HH^(»·,*) W i r b e m e r k t e n bereits, d a ß hier

Η^ΑΛ-

· · · (^^fc = ^fc^·).

^12. ^22, · · · 1) Ges. Werke Bd. 1. 1885. 2) Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus. Bd. I I , Geometrie. 2. Aufl. Berhn 1925.

Α. § 4. als kontragredient

Quadratische Formen und ihre Invarianten.

13

zu Xl

2x,x„

Xl

...

aufgefaßt w e r d e n m ü s s e n : i n d e m w i r / g e b e n , n e h m e n wir e b e n d e n K o m p l e x dieser Größen an,

a^^, ^22> · · · ^u unseren s o n s t i g e n K o m ­

p l e x e n — d e n (:3^), d e n (w), d e n G r a ß m a n n s c h e n S t u f e n — h i n z u , u n d wir w e r d e n in d e m so erweiterten S y s t e m / selbst als e i n f a c h s t e n e u e I n v a r i ­ a n t e a n die S p i t z e steUen. U m an b e k a n n t e D i n g e a n z u k n ü p f e n , sei a n die g e o m e t r i s c h e B e ­ d e u t u n g v o n / in d e n F ä l l e n η = 3 u n d η = 4 e r i n n e r t : B e i p r o j e k t i v e r D e u t u n g b e d e u t e t / = O für η = 3 einen

Kegel­

s c h n i t t , für η = 4 eine F l ä c h e 2. Grades. B e i affiner D e u t u n g w e r d e n wir, der A n s c h a u l i c h k e i t w e g e n , G l e i c h u n g e n / = const b e t r a c h t e n

und

haben

dann bei η = 3

die eine

Schar ä h n h c h e r u n d ähnlich gelegener F l ä c h e n 2. Grades, w e l c h e u m O als M i t t e l p u n k t in der W e i s e h e r u m g e l e g t sind, d a ß sie aUe in d e n s e l b e n „ K e g e l " / = O einbeschrieben sind.

A n a l o g für η = 4 i m R^.

E i n einfacher P r o z e ß führt u n s j e t z t z u derjenigen bilinearen variante

In­

v o n / , w e l c h e (um b e i η = 3 z u bleiben) b e i p r o j e k t i v e r D e u t u n g

die „ P o l a r e n V e r w a n d t s c h a f t " h i n s i c h t h c h des K e g e l s c h n i t t s / = 0, b e i affiner D e u t u n g , für die F l ä c h e n 2. Grades / = c o n s t , d e n Z u s a m m e n ­ hang zwischen

, , D u r c h m e s s e r u n d konjugierter D i a m e t r a l e b e n e "

g i b t . W i r s e t z e n für die (x) in / i h n e n k o g r e d i e n t e Größen λ'{χ) ein.

+

an­ μ'{γ)

Ordnen wir d a n n n a c h P o t e n z e n der λ, μ so e r h a l t e n wir λ ^ , , +

gesetzt

2 λ μ ^ + μ ^ ^ ^ ,

h a b e n ; die m i t λ^, 2λμ,

μ^ m u l t i p l i z i e r t e n T e r m e s i n d n o t ­

w e n d i g I n v a r i a n t e n . D i e b ü i n e a r e I n v a r i a n t e f^y der Algebra g e w ö h n l i c h die Polare

n e n n t m a n a u c h in

von /.

D i e Koeffizienten der in /«.^ linear a u f t r e t e n d e n yj^ s i n d z u diesen n o t w e n d i g k o n t r a g r e d i e n t . W i r k ö n n e n sie also gleich Größen Ujc s e t z e n , d. h.

schreiben

(8)

Man n e n n t diese F o r m e l n g e m e i n h i n sprechend) die z u / gehörige

(der p r o j e k t i v e n D e u t u n g

ent­

Polarenverwandtschaft.

W e i t e r e einfache I n v a r i a n t e n v o n / erhält m a n durch D e t e r m i n a n t e n bildung. Man k a n n d a b e i in z w e i W e i s e n v o r g e h e n :

14

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe. E n t w e d e r m a n betrachtet zuerst die Koeffizientendeterminante

u n d reiht an sie eine K e t t e weiterer B i l d u n g e n a n , i n d e m m a n D m i t Größen u, b z w . u u n d ν usw., w i e der K u n s t a u s d r u c k h e i ß t „rändert":

O O

Offenbar erhält m a n so F o r m e n 2. Grades in d e n w,., d e n Vj, — Vi Uj, u s w . , m i t Koeffizienten, w e l c h e U n t e r d e t e r m i n a n t e n v o n D sind. Oder m a n b e g i n n t w i e vorhin b e i der Polarenbildung, i n d e m m a n der R e i h e n a c h für die {x) in / b z w . λ{χ) + μ{γ). λ (χ) +μ{γ) + ν(ζ), . . . usw. einsetzt u n d s o z u n ä c h s t die Ausdrücke erhält: λ%^ + 2λμU+μ^fyy λ^/^^ + 2λμΙ^ν + μ'/νν

+ 2λνί^,

+ 2μνί,,

+ ν^ί,,, u s w . ,

die quadratische F o r m e n der λ, μ b z w . der A, μ, ν usw. sind. I n d e m m a n v o n diesen quadratischen F o r m e n wieder die D e t e r m i n a n t e n bildet, er­ h ä l t m a n eine R e i h e v o n Ausdrücken, d i e ich

/" nennen will:

/«» Zw

L·

I

V o n diesen B i l d u n g e n ist a n sich klar, d a ß sie I n v a r i a n t e n sind, — s i n d sie doch a u s lauter I n v a r i a n t e n aufgebaut. D a g e g e n bedarf es einer g e w i s s e n Überlegung^), d a ß e s sich bei i h n e n u m F o r m e n 2. Grades der s u k z e s s i v e n G r a ß m a n n s c h e n Größen Xi yj, — 3/,· Xj, usw. h a n d e l t , deren Koeffizienten wieder U n t e r d e t e r m i n a n t e n v o n D sind. D i e S a c h e i s t n u n die, daß die /, /', .. in tmgekehrter Reihen­ folge genommen mit den mit abwechselnden Vorzeichen versehenen D, - D\ + D " , — Z)"', . . . übereinstimmen, sofern man nur die aus den (x)> {y)^ ··' abgeleiteten Stufengrößen nach dem in § S ausgesprochenen GraßmannschenSaiz durch die komplementären Stufengrößen der (u),{v),... ersetzt. S t a t t dies allgemein n a c h z u w e i s e n , w a s u n s hier v i e l z u w e i t führen 1) D . h . schheßhch nur einer wiederholten Anwendung des Determinanten-

Α. § 4. Quadratische Formen und ihre Invarianten.

15

würde, wollen wir e s a n d e m Beispiele, d a s vins i m z w e i t e n Kapitel a m m e i s t e n beschäftigen wird, n ä m l i c h a n der quadratischen F o r m m i t 4 Veränderhchen:

Man findet:

+ D -D'

(12)

=k,k^k^k^ ^k,k,k,ul

+

•••

+ D" = k, h K»,-^«.)'' + · · ·

u n d andererseits:

/

(12')

/ " = k,

K I

Vi

w a s m i t miserer B e h a u p t u n g übereinstimmt*. D e m Projektiviker sind diese B i l d u n g e n w o h l b e k a n n t . I s t / = O die Gleichung einer F l ä c h e 2. Grades i n Punktkoordinaten, s o i s t /' = O ihre Gleichung i n Linienkoordinaten, / " = O ihre Gleichung i n E b e n e n ­ koordinaten u s w . D i e hiermit aufgesteUten I n v a r i a n t e n v o n / finden sich i n aUgemeiner Weise, für b e h e b i g e s w o h l erst b e i Cayley u n d Sylvester. I m b e ­ sonderen aber g e h e n sie w e i t zurück, w i e denn die D e t e r m i n a n t e D* sich für = 3 bereits i n d e n Disquisitiones Arithmeticae v o n Gauß fmdet (1801), w o sie (Nr. 267) a l s „forma a d j u n c t a " bezeichnet wird^). N o t i e r e n w i r n o c h für später, daß wir b e i 4 Veränderlichen b e i Zu­ grundelegung * unseres / jetzt z w e i in den χ^ —% yi = ^ quadratische Invarianten kennen. N ä m l i c h v o n früher h e r (13) P = Pi^Pz,+PizP,2 + Pi,p2z u n d jetzt

m

zkiK'P^,. Werke Bd. I, S. 301.

16

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

§ 5. Von der Äquivalenz der quadratischen Formen. D a s eigentliche Ziel aller I n v a r i a n t e n t h e o r i e ist die Erledigung des Äquivalenzprohlems y d. h. der A u f g a b e , o b irgendwelche vorgelegte K o m p l e x e , hier also z w e i q u a d r a t i s c h e F o r m e n , durch lineare S u b s t i t u ­ t i o n der U r v a r i a b e l n b z w . durch die m i t i h n e n g e g e b e n e n induzierten S u b s t i t u t i o n e n ineinander tibergeführt w e r d e n k ö n n e n . Man w i r d dabei Grade der Ä q t d v a l e n z unterscheiden, i n d e m m a n zuerst n o c h v o n der B e d i n g i m g absieht, d a ß die S u b s t i t u t i o n s d e t e r m i n a n t e gleich 1 sein soll, d a n n diese B e d i n g u n g einführt, später vielleicht eine B e s c h r ä n k u n g auf reelle W e r t e der Substitutionskoeffizienten eintreten l ä ß t , oder sie schließlich, w i e in der Zahlentheorie, als reelle g a n z e Zahlen v o r a u s ­ setzt, usw. Wir meinen nachstehend Äquivalenz zunächst im allgemeinsten Sinne u n d k ö n n e n d a n n hinsichtlich der Ä q u i v a l e n z zweier quadratischer F o r m e n eine sehr präzise A u s s a g e m a c h e n . Z u d e m Zweck l e g e n wir der einzelnen q u a d r a t i s c h e n F o r m n o c h ein A t t r i b u t bei, das wir, n a c h der v o n F r o b e n i u s eingeführten A u s d r u c k s w e i s e , ihren Rang n e n n e n . D e r R a n g ist 1, w e n n i n der F o l g e der F u n k t i o n e n /, . . . bei u n b e s t i m m ­ t e n W e r t e n der x, y, . . . n u r / v o n N u l l verschieden ist, w ä h r e n d / ' u n d alle folgenden i d e n t i s c h v e r s c h w i n d e n (wenn also alle zweigliedrigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n , die m a n a u s d e m K o e f f i z i e n t e n s c h e m a v o n / bilden k a n n , u n d daher a u c h alle dreigliedrigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n usw. N u l l sind). D e r R a n g ist 2 , w e n n / u n d / ' v o n N u l l verschieden sind, aber / " u n d die folgenden v e r s c h w i n d e n , u s w . Ist schließlich die Koeffi­ z i e n t e n d e t e r m i n a n t e D selbst + 0, s o ist der R a n g n. D i e s v o r a u s g e s e t z t h a b e n wir d a s T h e o r e m : Zwei quadratische Formen sind dann und nur dann [im aUgemeinsten Sinne) äquivalent, wenn sie denselben Rang haben. D a ß die Gleichheit d e s R a n g e s eine n o t w e n d i g e B e d i n g u n g der Ä q u i v a l e n z ist, erkennt m a n sofort, w e n n m a n tiberlegt, d a ß die z w e i ­ gliedrigen, dreigliedrigen, . . . U n t e r d e t e r m i n a n t e n der a^-^ b e i linearen S u b s t i t u t i o n e n der [x) \e ihrerseits h o m o g e n e lineare S u b s t i t u t i o n e n erleiden (daß sie je ftir sich einen „ K o m p l e x " bilden). D a ß das Kriterium aber a u c h ausreichend ist, ergibt sich a u s einer T r a n s f o r m a t i o n der v o r g e l e g t e n q u a d r a t i s c h e n F o r m , die d e m W e s e n der S a c h e n a c h auf J a c o b i zurtickgeht^) u n d eine k a n o n i s c h e Gestalt der F o r m herstellt, die n u r v o n d e m R a n g e r a b h ä n g t . 1) Vgl. eine nachgelassene Abhandlung „Über eine elementare Transformation eines in hezug auf jedes von zwei Variaheinsystemen hnearen und homogenen Ausdrucks", die in Crelles Journal 53 (1857) = V^erke, Bd. 3 abgedruckt ist. Jacohi behandelt dort übrigens nur den sog. „allgemeinen" Fall, wo r == w ist (oder hesser: wo man die α»^ als unbestimmte Größen, die frei veränderhch sind, ansieht). Es hängt das mit seiner ganzen Darstellungsweise zusammen, die sich — im Gegensatz zu dem von Gauß gegebenen Vorhüde — für eine genaue Be-

Α. § 5. Von der Äquivalenz der quadratischen Formen.

17

(Jm alle FäUe z u umfassen, bringe m a n die vorgelegte F o r m z u n ä c h s t durch eine Hilfstrausformation in eine solche Gestalt, d a ß in d e m Schema ...

..3

...

-.n

^21

^.2I

^23

...

.2n

^31

^32

^33

..·

^3n

.n2

.n3

...

^nn |

I

v o n den u m r a n d e t e n U n t e r d e t e r m i n a n t e n (links oben) s o v i e l e nicht v e r s c h w i n d e n , als überhaupt m ö g l i c h , n ä m h c h die r ersten. D a ß dies m ö g h c h ist, ü b e r b h c k t m a n b e q u e m b e i projektiver D e u t u n g v o n / = 0. Daß 1 4= 0, h e i ß t d a n n , d a ß die erste E c k e des K o o r d i n a t e n s y s t e m s n i c h t auf / = O l i e g t ; | α^' ! ^ ^ ^^^^^' ^^^^^ ^^^^^^ Ecke

auslaufende

Kante

des

Koordinatensystems

/ = O nicht

be­

rührt, usw. D i e s v e r a u s g e s e t z t bringe m a n / in die Gestalt

w o in / i das χ^ n i c h t m e h r v o r k o m m t . D a s erste GUed in / j ist vielmehr

w i e denn a u c h die anderen Koeffizienten sich als zweighedrige U n t e r ­ d e t e r m i n a n t e n der α^y. m i t d e m N e n n e r herausstellen. N u n fahren wir m i t / j e n t s p r e c h e n d fort, i n d e m wir die Glieder m i t herausziehen. U n d s o weiter fort, bis das Verfahren m i t r G h e d e m v o n selbst abbricht. Schließlich h a b e n wir eine r-gliedrige S u m m e :

handlung der Einzelfälle keine Zeit nahm. Dieses Verhalten Jacobis h a t bei den Mathematikern für lange Zeit nachgewirkt; auch hßi Cayley und Sylvester werden die Ausnahmefälle immer mehr beiläufig angeführt. Erst die neuere Berliner Schule (unter dem Einfluß von Weierstraß und Kronecker) ist zu der Genauigkeit der Gaußischen Darstellung wieder zurückgekehrt. Beides h a t natürUch seine Vorzüge; man könnte darüber lange Erläuterungen geben. Das eine Mal kommt mehr das formale Denken (welches vor allem Übersicht an­ strebt), das andere Mal mehr das konkrete Denken (welches an Anwendung im EinzelfaUe denkt) zur Geltung. Klein, Entwicklung der Mathematik. II. 2

18

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

Hier werden w i r n u n n o c h (Ma)

setzen u n d h a b e n / d a m i t in eine Gestalt gebracht (15)

/=^f+4+···+^^

die in der T a t n u r v o n r a b h ä n g t , i n d e m d i e z^, . . l i n e a r unab­ hängige F u n k t i o n e n der χ-'--,Xn sind, also gegenüber linearen S u b ­ stitutionen v o n beliebiger D e t e r m i n a n t e n i c h t s Individuelles darbieten. D a m i t aber ist das Ä q u i v a l e n z p r o b l e m in der allgemeinen F o r m , die wir voranstellten, erledigt. D i e Jacobische Transformation ist ftir r = η bei projektiver D e u t i m g n i c h t s anderes als d i e B e z i e h u n g eines K e g e l ­ s c h n i t t s auf ein Polardreieck, einer F l ä c h e 2 . Grades auf ein Polar­ tetraeder, — b e i affiner D e u t u n g d i e Einftihrung eines S y s t e m s k o n j u ­ gierter Durchmesser. D e r U n t e r s c h e i d u n g der F o r m e n / nach d e m R a n g e aber entspricht (um b e i η = 4: u n d der projektiven D e u t u n g z u bleiben) d i e U n t e r s c h e i d u n g der F l ä c h e n 2. Grades in eigentliche F l ä c h e n , Kegel, E b e n e n p a a r e u n d D o p p e l e b e n e n . N u n drängt sich v o n selbst eine weitere Fragestellung auf: e s i s t möglich, d a ß die F o r m e l n (14a) imaginäre Quadratwurzeln e n t h a l t e n . W i e s t e h t es m i t der Normalform ftir / u n d d a m i t d e m Ä q u i v a l e n z ­ problem, w e n n w i r u n s auf durchaus reelle Substitutionen beschränken ? W i r werden i n diesem F a l l in (14) positive u n d n e g a t i v e Koeffizienten unterscheiden u n d , i n d e m w i r die positiven Glieder v o r a n n e h m e n , a b ktirzend schreiben / = ^ 2 3 , 2 + . . . + ^23,2.^2^^3,2^^ ^23,2, H i e r setzen w i r n u n

und haben dann vermöge r e e l l e r (16)

Z = ^f+

^zl-tf

Substitution tf_,').

Man h ä t t e n u n , u m z u dieser reellen Normalform z u k o m m e n , d e n R e d u k t i o n s p r o z e ß auf sehr verschiedene W e i s e leiten können (was sich bei u n s hinter der Hilfstransformation verbirgt, durch die w i r + 0, «11 «2 2 — 2 + 0 usw. erzielten). U n d hier gilt n u n d a s wunderbar ein­ fache Gesetz, w e l c h e s S y l v e s t e r i m 4. B a n d e d e s Philos. Magazine 1) Die Zahl der Minuszechen ist offenbar gleich der Zahl der Zeichen­ wechsel, welche in folgender Reihe auftreten:

Α. § 5. Von der Äquivalenz der quadratischen Formen. (1852) u n t e r d e m N a m e n des Trägheitsgesetzes

19

der quadratischen

Formen

b e k a n n t g a b ( = W e r k e 1, S. 381), u n d das sich a u c h in den hinterlassenen Papieren J a c o b i s S. 591).

vorfand (CreUes Journal 5 3 (1857) = W e r k e

III,

A u c h findet m a n es i m R i e m a n n s c h e n N a c h l a ß , w o es aus

Gaußschen stammt,

Vorlesungen

die

über

die

Methode

R i e m a n n wahrscheinlich

der kleinsten

1846/47

hörte.

Quadrate

W e r k e , Nach­

t r ä g e (1902), S. 5 9 . D a s Gesetz b e s a g t : Die Anzahl gegebenem stitutionen

s der positiven

/ stets dieselbe, die Form

Quadrate

wie immer

(bzw. r—s der negativen)

ist

man auch durch reelle lineare

(16) herstellen

bei Sub­

mag.

D e r B e w e i s erfolgt sehr einfach indirekt.

W i r woUen u n s

dabei

wieder geometrischer Sprechweise b e d i e n e n , aber dieses Mal an die affine D e u t u n g a n k n ü p f e n (weil es sich u m d a s Vorzeichen v o n / selbst h a n d e l t ) . Sei / durch einen z w e i t e n R e d u k t i o n s p r o z e ß

auf die G e s t a l t

ge­

bracht / = Cf+- · -+ Α - τ Ι H i e r soUen die Ci . . . Ca.

...

^ g e n a u so linear u n a b h ä n g i g e Ver­

b i n d u n g e n der ursprünglichen x-^ . . . ti

...

tr^s'

τ,^-...

sein, w i e in (16) die

. . . z^,

I^as wiU sagen, d a ß die Gleichungen CJ=O,

zusammen im

Ca = O ,

Tr^a

Ti = O ,

= O

der Xi . . . x^ eine lineare Mannigfaltigkeit v o n e b e n ­

soviel, nämlich (n — r) D i m e n s i o n e n festlegen, w i e die G l e i c h u n g e n ^1 = 0,

...,

= 0, Z^i = 0,

. . . , tr^s = O

ihrerseits. W i r s e t z e n n u n die b e i d e n s o erhaltenen A u s d r ü c k e für / einander gleich, s c h i e b e n die n e g a t i v e n T e r m e auf die andere Seite u n d h a b e n als i d e n t i s c h e G l e i c h u n g : 4 + ·

· -+^f+Tf+-

· . + T ? _ , ^ C f + - · ' + ζΐ+ΐί

+ ' . . +

H i e r s t e h e n linker H a n d (r + s — σ), rechter H a n d (r — s + σ)

Qua­

drate. W ä r e n diese Zahlen n u n n i c h t einander gleich, so w ü r d e

eine

v o n b e i d e n , e t w a (r—s

+ σ), die kleinere sein, also s — σ >

G l e i c h u n g e n : Ci = 0, . . . , Ca = 0,

0.

Die

== 0, . . . , ^r-s = O legen n u n z u ­

s a m m e n i m Rn der x^ . . . x^ eine reeUe lineare Mannigfaltigkeit m i n d e s t e n s (n — r + s — σ) D i m e n s i o n e n fest.

von

L ä n g s dieser Mannig­

faltigkeit m ü ß t e n , da es sich b e i unserer I d e n t i t ä t u m die Quadrate v o n lauter reellen Größen h a n d e l t , a u c h z^ . . . z^, Τι . . . T ^ _ ^ v e r s c h w i n d e n . A l s o Z^ . . . z„ t^ ... einer

tr^s

(^in nur b e i diesen z u bleiben) m ü ß t e n l ä n g s

linearen Mannigfaltigkeit

von

mindestens

(n — r + s — σ)

Di­

m e n s i o n e n NuU sein, w ä h r e n d sie es d o c h nur längs einer Mannig­ faltigkeit v o n (n — r) D i m e n s i o n e n sein soUen! — Man sieht, d a ß m a n 2*

20 1· Kap. Elementares über die Grundbegriffe. auf einen Widerspruch k o m m t , sofern m a n nicht s = σ n i m m t ; w a s z u b e w e i s e n war. Gegenüber reeUen hnearen Substitutionen v o n nicht verschwinden­ der D e t e r m i n a n t e zerfaUen also die quadratischen F o r m e n v o n η Ver­ änderlichen in so viele Arten, w i e e s Zahlenpaare s gibt, die d e n U n ­ gleichungen g e n ü g e n :

So erhalten wir b e i w = 4 folgende Aufzählung v o n ^^^^"^^^ = 14 Arten bzw. N o r m a l f o r m e n : R a n g r = l: Normalform zl b z w . — „

r = 2:

„

,l +

„

r = 3:

„

zl + zl + zl

„

/- = 4 :

„

z\-{-zl-{-zl-{-zl,

,

z l z l - t l - t l - t l zl + zj-tl

z\-t\-tl - t \ - t l - t i ...UshmzU'-tl—tl—tl—il.

N a c h d e m Vorgange v o n Gauß (Disquisitiones A r i t h m e t i c a e N r 271) werden wir diejenigen F o r m e n , welche i n die Gestalt ζΐΛ-ζΙ^-ζίΛ-ζΙ

b z w . -tl

— tl-tl

— tl

gesetzt werden k ö n n e n , als positiv-definite b z w . negativ-definite be­ zeichnen, w e ü sie n ä m l i c h für reelle W e r t e v o n . . . x^, d i e nicht s ä m t ­ lich v e r s c h w i n d e n , nur p o s i t i v e b z w . n e g a t i v e W e r t e a n n e h m e n können. D i e F o r m e n niederen R a n g e s , deren N o r m a l f o r m e n nur p o s i t i v e oder nur n e g a t i v e Vorzeichen aufweisen, pflegt m a n semidefinit zu nennen; sie h a b e n , w e n n sie nicht N u U sind, zwar a u c h für reeUe nichtverschwindende Xi . . . x^ b e s t i m m t e s Vorzeichen, aber sie k ö n n e n für reelle n i c h t v e r s c h w m d e n d e Xi . . . %4 eben a u c h verschwinden. I m übrigen m ö g e n wir d i e Zahl s der p o s i t i v e n Quadrate allgemein d e n Trägheitsindex nennen. B e i projektiver D e u t u n g wird diese g a n z e E i n t e i l u n g der reellen F o r m e n / e t w a s v e r w i s c h t oder, besser gesagt, z u s a m m e n g e s c h o b e n , w e ü / = 0 dieselbe F l ä c h e vorstellt, w i e - / = 0. Man erhält die TabeUe: R a n g 1. 1 F a U : D o p p e l e b e n e . R a n g 2. 2 F ä l l e : imaginäres oder reelles E b e n e n p a a r . R a n g 3 . 2 F ä l l e : imaginärer b z w . reeller Kegel. R a n g 4. 3 F ä l l e : imaginäre Fläche, reelle F l ä c h e ohne reelle Geraden, reelle Fläche m i t reeUen Geraden. — D i e s o geschaffene Klassifikation der F o r m e n b z w . F l ä c h e n ist zwar sehr schön u n d nützlich, solange m a n v o n d e m einzelnen Indi­ v i d u u m spricht, über alledem aber schwebt der K o n t i n u i t ä t s g e d a n k e , der 1) Werke Bd. 1, S. 305.

Α. § 6. Affine Maßbestimmung durch eine quadratische Form.

21

die Koeffizienten «^¾ selbst als veränderliche Größen b e t r a c h t e t *. D a n n erscheint z . B . zl+zl+ 4 als Grenzfall v o n zf + zl + zl± εζΐ = O für ε = O u n d d a m i t als Übergangsfall zwischen den b e i d e n F o r m e n a r t e n zl + zl + zl + zl

und

zl + zl +

z l - z l

A u c h hiervon w e r d e n wir später Gebrauch z u m a c h e n haben.

§ 6. Affine Maßbestimmung durch eine quadratische Form. W i l l m a n die Begriffsbildungen der e l e m e n t a r e n Maßgeometrie auf den Rn übertragen, so liegt e s nahe, die E n t f e m i m g eines P u n k t e s (x) v o n O durch y ^ : f + · · · + ^ , u n d den W i n k e l , den zwei v o n O auslaufende Strecken (x), (y) miteinander b i l d e n , durch arc cos / i

+

4--j^ +

^ ^

z u definieren. So h a t es in der T a t auch Graßmann in der 2. Auflage seiner Ausdehnungslehre (1862) g e m a c h t i m d ebenso selbstverständlich als A n a logon zu d e n e l e m e n t a r g e o m e t r i s c h e n D r e h u n g e n des R^ u m O die­ jenigen h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u t i o n e n der χ v o n der D e t e r m i ­ n a n t e 1 b e t r a c h t e t , welche ^ Λ : ? in sich selbst überführen i). E b e n hier­ durch v e r w a n d e l t sich seine „lineale" Ausdehnungslehre (von der wir bisher allein sprachen) in seine „ v o l l s t ä n d i g e " Ausdehnungslehre. B e i all diesen F e s t s e t z u n g e n h a n d e l t es sich nur u m das H i n z u n e h m e n einer quadratischen positiv-definiten F o r m (eben der J]^i) u n d die I n b e t r a c h t n a h m e ihrer Invariantentheorie, d. h. der Substitutionen, die die F o r m ungeändert lassen. Insbesondere ist das Senkrecht­ s t e h e n zweier R i c h t u n g e n durch das V e r s c h w i n d e n der Polare: ZXiyi==0 g e g e b e n . D i e Polarenverwandtschaft (8) aber n i m m t folgende einfache Form an:

F ü r die geometrische B e t r a c h t u n g i s t d a m i t n i c h t nur j e d e m Größen­ s y s t e m der (x) ein solches der (w), u n d u m g e k e h r t , eindeutig zugeordnet, sondern auch j e d e m K o m p l e x v o n D e t e r m i n a n t e n eines S c h e m a s x^

X^ . . .

Xr,

yi

y2

yn

I ein K o m p l e x v o n D e t e r m i n a n t e n d e s entsprechenden

1%

Schemas

«„I

1) Statt von „Drehung um O" spricht Graßmann von „zirkulärer Änderung'^

^22^^_^ 1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe. Graßmann n a n n t e dies d e n Ü b e r g a n g v o n e i n e m Grundgebilde z u s< D a ß m a n die positiv-definite quadratische F o r m gleich in der N o r ­ malgestalt ΣXi einführt, ist dabei n a t ü r h c h n i c h t s als die Zugrunde­ legung eines besonders einfachen („durchaus rechtwinkeligen") K o ­ ordinatensystems. V o n d e m s o g e w o n n e n e n S t a n d p u n k t e a u s liegt e s n a h e , eine Verallg e m e i n e r i m g der metrischen Geometrie d e s i n der W e i s e z u s u c h e n , d a ß wir s t a t t irgend eine quadratische F o r m v o n nicht ver­ s c h w i n d e n d e r D e t e r m i n a n t e , Za^j^x^Xj,, zugrunde legen. D i e D e t e r ­ m i n a n t e soll nicht v e r s c h w i n d e n , d a m i t die Polarenverwandtschaft (8) u^ =

Za,,x,

e i n d e u t i g u m k e h r b a r bleibt (Fälle v e r s c h w i n d e n d e r D e t e r m i n a n t e m a g m a n hinterher als Grenzfälle interpretieren). I m übrigen gilt als W i n k e l zweier v o n O auslaufender R i c h t u n g e n

als D r e h u n g u m O jede lineare S u b s t i t u t i o n v o n der D e t e r m i n a n t e + 1 welche Ea,j,x,Xj, in sich überführt, u s w . D i e s wäre die allgemeine a f f i n e M a ß b e s t i m u n g , bei deren A u s ­ g e s t a l t u n g m a n v o r allem unterscheiden wird, welcher Vorzeichen­ k o m b i n a t i o n Ea^ Xi Xjcf 2tber auch Σα^^ x^ x^ ini Sinne d e s T r ä g h e i t s ­ g e s e t z e s zugehört. U m e i n Beispiel für die hier auftretenden B e z i e h u n g e n z u g e b e n : Ist Σα^^, χ^ Xj, nicht gerade eine definite F o r m , so gibt e s reelle R i c h t u n g e n , die i n ihrer Polarebene liegen, u n d u m g e k e h r t . V o n anderer Seite g e s e h e n , n ä m l i c h p r o j e k t i v i m inter­ pretiert, deckt sich dieser A n s a t z m i t C a y l e y s allgemeiner projektiver M a ß b e s t i m m u n g v o n 1859, die i n B d . 1, K a p . I V ausführlicher b e ­ sprochen ist. D a b e i zeigt sich (wie i c h selbst 1 8 7 1 / 7 2 ausführ­ lich nachwies), d a ß die b e i d e n A r t e n N i c h t euklidischer Geometrie, welche m a n n a c h R i e m a n n u n d B o l y a i - L o b a t s c h e f f s k y z u unter­ scheiden pflegt, hier eingeschlossen s i n d u n d d e n b e i d e n F ä l l e n e n t ­ sprechen, w o die quadratische F o r m / definit ist oder e i n a b w e i c h e n d e s Vorzeichen e n t h ä l t .

§ 7.

Von den bilinearen Formen mit kogredienten und denjenigen mit kontragredienten Veränderlichen.

Bilinearformen s i n d F o r m e n , d i e i n z w e i R e i h e n Veränderlicher je Hnear (und h o m o g e n ) sind. D a b e i ist z u unterscheiden, o b die beiden R e i h e n kogredient oder kontragredient s i n d . W i r n e n n e n die Variabein-

Λ. § 7. Bilineare Formen mit ko- und kontragredienten Veränderlichen.

23

reihen i m ersten F a h e (x) bzw. (y), i m zweiten (x) bzw. (u) u n d haben d e m n a c h die F o r m ^!^ikyiXk

t)zw. die andere

^o^tk^i^k

an die Spitze z u steUen. 1. K o g r e d i e n t e V a r i a b l e . W i r werden hier zwei Unterfähe unterscheiden (die bei kogredienter Transformation der (x) u n d (y) in der T a t getrennt nebeneinander stehen), daß n ä m h c h das S c h e m a der Koeffizienten α,^ entweder s y m ­ metrisch ist (a,j, = UJ,,) oder a n t i s y m m e t r i s c h * (a^ic = — ^ktl a^t = 0). I m letzteren Falle wollen wir der Deutlichkeit halber statt a^j, lieber A,7, schreiben. D i e symmetrische Bilinearform m i t kogredienten Veränderlichen ist nichts anderes als die Polare der quadratischen F o r m la^j^x^Xj, und also i m Vorhergehenden bereits m i t erledigt. D i e antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearformen (17)

Σλi,y,x,

bieten dagegen wesentlich N e u e s . Sie sind den Mathematikern zuerst vor rund 100 Jahren bei d e m sogenannten Pf äff sehen Problem e n t g e g e n ­ getreten i), das ich hier, in e t w a s unhistorischer Fassung, dahin aus­ sprechen will, d a ß es sich darum handelt, die Differentialausdrücke folgender A r t :

(wo die Ξ F u n k t i o n e n der ξ sind), zu klassifizieren. Man fand, daß der Ausdruck

dabei in den Vordergrund zu stellen ist (unter αξ,, δξ^ beliebige kleine Änderungen der Variabein verstanden). D a h a t t e m a n also (die dξ,δξ m i t unseren (x), (y) parallelisiert) eine antisymmetrische Bihnearform mit kogredienten Veränderlichen, u n d infolgedessen nennt m a n die H a u p t ­ invariante, welche bei der (rein algebraischen) Behandlung unserer Bilinearform (17) in B e t r a c h t k o m m t , noch immer ein Pfaffsches Aggregat (englisch: Pfaffian). Freilich haben erst J a c o b i u n d C a y l e y in zwei Jugendarbeiten ^) die algebraischen Eigenschaften dieses Aggre­ g a t s klar herausgearbeitet. 1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1814—15: Joh. Friedr. Pfaff: Me­ thodus generalis, aequationes Differentiales ...complete integrandi. 2) Jacobi, Grelles J. 2 (1827) = Werke, Bd. 4, S. 19. Cayley. CreUes J. 38 (1849) = Werke Bd. 1, S. 410.

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

24

B e s a g t e Pfaffsche Aggregate Λ existieren nur bei geradem n.

Es

sind rationale ganze h o m o g e n e F u n k t i o n e n ^ - t e n Grades der Koeffizienten XiJc unserer Bilinearform, die n a c h Einführung der B e z e i c h n u n g (18a)

/ 1 = (1, 2,

n)

int

(i, k) = Xij^

d e m rekurrenten Gesetz unterliegen: (18b)

(1,2, . . . , ^ ) = (1,2)(3,4, . . . , ^ ) + (1,3)(4,

...,^,2)+..·

+ ( 1 , ; . ) ( 2 , 3,

n-l).

D i e s gibt für ^ = 4

w a s u n s als Invariante der bezüglichen F o r m schon v o n § 2 her wohlb e k a n n t ist. In der T a t schreibt sich unsere Bilinearform (17) allgemein als einfache S u m m e

Zhjc{y,xjc-Xiyjc), sie ist also bei ^ = 4 nichts anderes als eine lineare Verbindung der u n d die A^· ^ erweisen sich als den ^,¾ kontragredient, w o m i t der Anschluß an die damaHgen E n t w i c k l u n g e n g e g e b e n ist. D i e B e d e u t u n g aber, welche der Ausdruck Λ allgemein für unsere Bilinearform besitzt, wird klar, w e n n wir Σλ^Jc yiiür k = l ... η als kontragredient zu den Xj^ auffassen, also, w i e früher in (8) bei der Polare einer quadratischen F o r m , die B e z i e h u n g e n schreiben: (20) Ui = ZXiJcXj,. D i e hiermit gegebene „duaHstische Verwandtschaft" repräsentiert ein sogenanntes ,,Nullsystem", i n d e m Zui indentisch N u l l symmetrisch:

Xi = ΣλiJ, X^Xk = I Z[KjC ist.

Ihre

O

Determinante

A,, . . .

+ Xjc,) X, xj,

ist, w i e m a n sagt,

(21)

m i t KJC =

Am

schief­

A,. -'XJC^.

... O

Sie ist daher für imgerades η n o t w e n d i g 0 ; bei geradem η aber erweist sie sich, wie C a y l e y 1. c. bemerkt h a t , als Quadrat e b e n des Pfaffschen Aggregats Λ (mit dessen Hilfe m a n denn auch die Auflösung der Glei­ c h u n g e n (20) n a c h den Xjc leicht bewerksteUigt). I c h k a n n leider auf diese interessante Theorie n i c h t näher eingehen. E b e n s o k a n n ich über das Kriterium der Äquivalenz unserer Bilinear-

Α. § 7. Bilineare Formen mit ko- und kontragredienten Veränderlichen.

25

formen nur historisch berichten. G e m ä ß der w i c h t i g e n Arbeit v o n F r o b e n i u s in Crelles Journal 8 4 (1878) dürfen wir auch hier v o n einem R a n g e r sprechen, der aber n o t w e n d i g eine gerade Zahl ist. D i e F o r m e n v o m R a n g e r sind alle auf dieselbe Normalform [xi

-

yi) + (Xz y^-x^yz)

+

· · · + (xr-iyr-χτ

yr-i)

reduzierbar, also untereinander äquivalent ^). Sie sind dadurch charakte­ risiert, d a ß in der D e t e r m i n a n t e (21) alle U n t e r d e t e r m i n a n t e n v o n höherem als ^-tem Grade verschwinden.

2. Kontragrediente Variable. D i e Theorie der Bilinearformen lichen (22)

m i t kontragredienten

Veränder­

EoiikUiXk

verläuft n a c h g a n z anderen Linien. B e m e r k e n wir gleich, daß an Stelle v o n (20) j e t z t die F o r m e l n treten (23)

χ' =

Σ^^,Xk.

also die F o r m e l n einer linearen S u b s t i t u t i o n schlechtweg. W i r k ö n n e n abkürzend schreiben: x' = A{x). Ü b t m a n hier auf die {x'), {x) — ihrer kogredienten N a t u r entsprechend — s i m u l t a n irgendeine weitere lineare S u b s t i t u t i o n S aus, so b e k o m m t m a n S{x')=

AS[X)

oder

x' =

S-^AS{x).

Alle solche lineare S u b s t i t u t i o n e n g e l t e n für unsere B e t r a c h t u n g also als gleichberechtigt, die sich aus irgend einer A v e r m ö g e dieses A n s a t z e s ergeben. W a s n u n die I n v a r i a n t e n v o n (22) a n g e h t , so bemerke m a n , daß n e b e n (22) v o n vorneherein i m m e r die triviale Bilinarform Ur^ als ge­ g e b e n angesehen werden muß.! W i r b e t r a c h t e n daher die F o r m e n s c h a r

u n d b e k o m m e n als deren D e t e r m i n a n t e

(24)

.''''.^''^^

..°'.'"

1) Eine einfache Reduktionsmethode gibt E. Cartan: Legons sur les invariants integraux (Paris. 1922), S. 53. (H.)

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

26

(die m a n neuerdings m e i s t abkürzend I α , , + Ao,, I schreibt, i n d e m m a n ein für aUemal m i t Kronecker verabredet, d a ß (5., = 1, d,j, = 0 im i + k sein soU). N a c h P o t e n z e n v o n λ entwickelt sei diese D e t e r m i n a n t e : (25)

+ J i A ^ - I + Α^λ^-^

+

... +

J^.

Dann erweisen sich die Ai, A 2, .,A als Invarianten von (22), die zugleich ausreichen, um die Form (22) gegenüber linearen Substitutionen im all­ gemeinen zu charakterisieren. A b e r d a s W o r t „ i m allgemeinen'* m e i n t hier, d a ß i m SpezieUen n o c h E r g ä n z u n g e n h i n z u k o m m e n m ü s s e n . D i e s e greifen nur Platz, w e n n d a s P o l y n o m (25) als F u n k t i o n v o n A m e h r f a c h e Linearfaktoren ( A - A J besitzt. E s ist d a n n m ö g h c h , d a ß derselbe Teiler ( A - A , ) m i t einer g e w i s s e n Multiplizität a u c h n o c h i n s ä m t h c h e n ersten U n t e r d e t e r m i ­ n a n t e n v o n (24) s t e c k t , vieUeicht a u c h n o c h i n s ä m t l i c h e n z w e i t e n usw. U m g e k e h r t h a t d a s V o r h a n d e n s e i n eines g e m e i n s a m e n F a k t o r s aUer U n t e r d e t e r m i n a n t e n ersten Grades, oder z w e i t e n Grades, jeden­ falls zur Folge, d a ß dieser F a k t o r a u c h i n (25) s t e c k t . Ü b e r die G e s a m t ­ heit der hier vorliegenden Möglichkeiten, durch deren einzelne d a n n i n j e d e m Falle die g e g e b e n e Bilinearform gegenüber beliebiger S u b s t i t u t i o n charakterisiert ist, g i b t die s o g e n a n n t e Theorie der Elementarteiler Aufschluß, die v o n Sylvester 1851 b e g o n n e n i), v o n Weierstraß 1868 v o l l e n d e t 2), schheßlich v o n Frobenius 1879 in rationale F o r m g e s e t z t wurde (so d a ß m a n n i c h t m e h r die einzelnen Linearfaktoren v o n (25) zu b e s t i m m e n braucht)^). N ä h e r e s i n d e n Lehrbüchern, z. B . bei Bocher*). E s ist eine besonders wichtige Theorie, weil sie eine i n d e n verschieden­ s t e n F o r m e n auftretende FragesteUung der A n a l y s i s endgültig erledigt. D i e B e t r a c h t u n g der D e t e r m i n a n t e (24), b z w . der durch deren NuU­ s e t z e n e n t s t e h e n d e n Gleichung wird g e w ö h n l i c h a n die N e b e n e i n a n d e r STELLUNG eines P a a r e s quadratischer F o r m e n : Zo^iicXi^ic angeknüpft.

und

Σ

A

So geschieht es z. B . i n der Geometrie, w e n n m a n die

H a u p t a c h s e n eines K e g e l s c h n i t t s oder einer F l ä c h e z w e i t e n

Grades

s u c h t , oder in der H i m m e l s - M e c h a n i k bei der B e r e c h n u n g der säku­ laren Störungen, welche die B a h n e n der verschiedenen P l a n e t e n auf­ einander ausüben. D i e s e astronomische Fragestellung ist sogar historisch 1) Phü. Magazine (4), 1 Werke Bd. 1, S. 219ff. 2) Berliner Monatsberichte 1868 = Werke B d . 2 , S. I9ff. 3) Grelles Journal 86 (Theorie der Hnearen Formen mit ganzen Koeffizienten). *) Eine klare Darstellung der Leitgedanken findet man in F. Klein, Vor­ lesungen über höhere Geometrie (Berün 1926), S. 379ff. (H.)

Β. § 1. Vom Erlanger Programm.

27

die Quelle der g a n z e n Theorie; sie geht bis auf Lagrange u n d Laplace zurück; i h r e t w e g e n n e n n t m a n die betreffende Gleichung auch in rein m a t h e m a t i s c h e n U n t e r s u c h u n g e n meist die Säkulärgleichung^). — Der Z u s a m m e n h a n g aller dieser A n s ä t z e m i t unserer Darstellung b e s t e h t darin, d a ß m i t der quadratischen F o r m Σ^ί d i e duaHstische Trans­ formation X, = u, g e g e b e n ist, u n d d a ß durch diese a u s der anderen quadratischen F o r m x^Xj^hzw. deren Polare ^ α,· ^ Λ:,· ^¾. die Bilinearform Z^^tk yj, hervorgeht, die wir an die Spitze der B e t r a c h t u n g stellten. E s liegt dabei nur insofern eine SpeziaHsierung vor, als α,· ^ = α^^ ist, w a s bei uns nicht v o r a u s g e s e t z t wurde. Man h a t d a n n das T h e o r e m , d a ß bei reellen α,· ^ die W u r z e l n der charakteristischen Gleichung alle reell u n d die Elementarteiler einfach sind. E s ist leider u n m ö g l i c h , d e n so weit berührten interessanten F r a g e n ­ k o m p l e x hier weiter zu verfolgen.

B . Freiere Erfassung der linearen Invariantentheorie, mit E i n o r d n u n g der Vektoranalysis^). § 1. Vom Erlanger Programm. Die Entwicklungen des Abschnitts A geben v o m Inhalte und n a m e n t l i c h auch v o n d e n Methoden der allgemeinen linearen I n v a ­ riantentheorie selbstverständlich nur einen sehr u n v o l l k o m m e n e n B e ­ griff. Inhaltlich h a b e n wir u n s auf das N o t w e n d i g s t e beschränkt, was wir i m späteren Verlauf der Darstellung gebrauchen. I n m e t h o d i s c h e r H i n s i c h t aber h a b e n wir u n s m i t der b l o ß e n Anführung v o n Beispielen b e g n ü g t . E s war u n m ö g l i c h , auseinanderzusetzen, w i e m a n sich bei einer vorgelegten F u n k t i o n überzeugt, o b sie invariant ist, — d a ß m a n alle I n v a r i a n t e n , die in den K o m p o n e n t e n der in B e t r a c h t k o m m e n d e n K o m p l e x e einen b e s t i m m t e n Grad nicht übersteigen, v e r m ö g e einer g e e i g n e t e n S y m b o l i k gleich hinschreiben k a n n — d a ß m a n M e t h o d e n h a t , u m alle z w i s c h e n d e n I n v a r i a n t e n b e s t e h e n d e I d e n t i t ä t e n a n z u ­ g e b e n , insbesondere aber in j e d e m Einzelfalle ein kleinstes I n v a r i a n t e n ­ s y s t e m abzugrenzen, durch d e s s e n F o r m e n sich alle anderen I n v a r i a n t e n rational u n d ganz a u s d r ü c k e n lassen. 1) Vgl. z . B . Tisserand: Traite de Mecanique coleste, Bd. 1, Kapp. 26, 27. Die Säkulargleichung ist, wenn man sich auf die 8 Hauptplaneten beschränkt, eine numerisch vorliegende Gleichung 8. Grades. Sieht man vom Neptun ab, so ist es eine Gleichung 7. Grades, mit deren zweckmäßiger Auflösung sich noch Jacobi (Crelles Journal 30, 1845 == Werke Bd. 7, S. 97 ff.) ausführlich beschäftigt hat. Es ist die bedauerliche Folge der immer breiter werdenden Ausdehnung unserer Wissenschaft, daß so viele jüngere Mathematiker diese Dinge nur noch vom Hörensagen oder auch gar nicht mehr kennen. 2) Der Kleinsche Text ist in diesem Abschnitt vom Herausgeber teilweise geändert und gekürzt. Vgl. Anmerkung 10 am Schluß des Kapitels. (H.)

28

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

D i e s e A n d e u t u n g e n m ö g e n zeigen, d a ß e s sich u m eine w e i t e n t w i k k e l t e , geschlossene Disziplin h a n d e l t , deren Beherrschung gegenüber v i e l e n in der M a t h e m a t i k sich darbietenden P r o b l e m e n wirkhche Macht verleiht i m d deren K e n n t n i s daher k e i n e m M a t h e m a t i k e r vöUig ver­ schlossen bleiben sollte. I n z w i s c h e n bedarf es, u m die volle Tragweite der Theorie z u erreichen, n o c h einer Verbreiterimg der ursprünglichen Grundlage, w i e ich sie zuerst J i m i 1872 in m e i n e m z w e i t e n A u f s a t z über die N i c h t e u k l i d i s c h e Geometrie skizziert u n d b a l d darauf, Oktober 1872, in m e i n e m Erlanger A n t r i t t s p r o g r a m m i ) dargestellt h a b e . D i e dort e n t w i c k e l t e Auffassimg ist n i c h t nur die Grundlage für m e i n e eigenen s p ä t e r e n A r b e i t e n g e b l i e b e n , sondern n a m e n t h c h auch v o n S o p h u s L i e , m i t d e m ich d a m a l s z u s a m m e n a r b e i t e t e , a u f g e n o m m e n u n d i m Kreise seiner Schüler verbreitet w o r d e n , so d a ß sie allmählich G e m e i n g u t a u s g e d e h n t e r m a t h e m a t i s c h e r Kreise g e w o r d e n ist. I c h m u ß hier genauer darauf e i n g e h e n , w e i l in der T a t die verschiedenen E n t ­ w i c k l u n g e n der P h y s i k e r , v o n denen ich weiter z u berichten h a b e , als Einzelausführungen der dort formuherten allgemeinen Fragestellung angesehen werden können. D a s Prinzip ist kurz a n z u g e b e n . W i r b e g a n n e n in A d a m i t , die U r v a r i a b l e n einer beliebigen h o m o g e n e n linearen Transformation v o n der D e t e r m i n a n t e 1 z u unterwerfen. D i e j e t z t v o r z u n e h m e n d e Verall­ g e m e i n e r u n g liegt darin, d a ß wir die G e s a m t h e i t dieser Transfor­ m a t i o n e n u n t e r den Gruppenbegriff fassen. So ergibt sich eine ProblemsteUung, die ich auf S. 7 d e s P r o g r a m m s in die W o r t e k l e i d e t e : „ E s ist eine Mannigfaltigkeit u n d in derselben eine Transforma­ t i o n s g r u p p e g e g e b e n ; m a n soU die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde h i n s i c h t h c h solcher E i g e n s c h a f t e n untersuchen, die durch die T r a n s f o r m a t i o n e n der Gruppe n i c h t geändert werden.'' E i n i g e Zeilen w e i t e r wird s t a t t dessen g e s a g t : „ M a n e n t w i c k e l e die auf die Gruppe bezügliche I n v a r i a n t e n t h e o r i e . " Schreibt m a n s t a t t d e s s e n : „ d i e Theorie der B e z i e h u n g e n , w e l c h e relativ sind,"

zur Gruppe

invariant

so ist n u r n o c h ein Schritt b i s z u d e m W o r t e Relativitätstheorie, welches die m o d e r n e n P h y s i k e r für die in ihren Bereich gehörigen Fälle der aUgemeinen Zielsetzung gebrauchen. D a s Erlanger P r o g r a m m gehört z u denjenigen Schriften, w e l c h e z u N e u e m anregen w o l l e n , i n d e m sie V o r h a n d e n e s ordnen. I c h h a b e e s 1) Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen, ausgegeben Dez. 1872, also vor der genannten Abhandlung, die infolge eines großen Setzerstreikes erst 1873 in Math. Ann. Bd. 6 herauskam. Das Er­ langer Programm ist später in Bd. 43 der Math. Ann. (1893), Klein: Ges. Abh. Bd. 1, S. 460 und sonst mehrfach abgedruckt bzw. übersetzt worden.

Β. § 2. Besondere Inbetrachtnahme des dreidimensionalen Raumes.

29

a l s o i m m e r sehr begrüßt, w e n n weitere Ausführungen hinzugetreten s i n d . N e b e n der E n t w i c k l u n g der Lehre v o n den diskontinuierhchen Gruppen sei hier als wichtigster Fortschritt die allgemeine Theorie der kontinuierlichen Gruppen g e n a n n t , welche Lie n a c h 1872 geschaffen h a t , d a n n aber a u c h die e x p h z i t e algebraische B e h a n d l u n g einzelner linearer Gruppen durch verschiedene jüngere Mathematiker. I c h h a b e i m Jahre 1 8 9 2 — 9 3 in meiner autographierten „ E i n l e i t u n g in die höhere Geometrie"!), so g u t d a s i m R a h m e n einer Jahresvorlesung gelingen wollte, eine Übersicht über ώιη d a m a l s vorliegenden Gesamtstoff ge­ g e b e n . Manches weitere findet m a n i m 3. B a n d e der Math. E n z y k l o p ä d i e ( I I I A B , 4 b ) in F a n o s Artikel: „KontinuierHche geometrische Gruppen. D i e Gruppentheorie als g e o m e t r i s c h e s Einteilungsprinzip". (1907.) T r o t z d e m glaube ich, d a ß d a s Erlanger P r o g r a m m als ein E i n s c h n i t t in der E n t w i c k l u n g speziell der Geometrie oder, u m den allgemeinen Graßmannschen Ausdruck a n z u w e n d e n , der Ausdehnungslehre a n ­ g e s e h e n werden kann. I n d e m a n Stelle der engherzigen Auffassung, in der ich aufgewachsen w a r : d a ß e i g e n t h c h nur die projektive B e ­ h a n d l u n g geometrischer F r a g e n als wissenschaftlich a n g e s e h e n werden könne, eine liberalere D o k t r i n g e s e t z t wurde, trat a n die Stelle der projektiven Geometrie der Gedanke einer m a n n i g f a c h abgestuften Transformationsgeometrie. K e i n W u n d e r , d a ß das P r o g r a m m bei den Vertretern der früheren Auffassung zunächst vielfachen Widerspruch fand. I c h war n a m e n t l i c h begierig, wie m e i n verehrter Lehrer C l e b s c h sich stellen würde. Aber hier griff ein außerordentliches Schicksal ein, i n d e m Clebsch, als m e i n P r o g r a m m eben i m D r u c k war, erst 39 Jahre alt, p l ö t z h c h einem Diphteritisanfall erlag (am 7. N o v . 1872). Dieser U m s t a n d h a t d a m a l s für m e i n e wissenschaftliche Arbeit n a c h den verschiedensten R i c h t u n g e n n e u e erschwerende B e d i n g u n g e n geschaffen, worauf ich vielleicht einmal b e i anderer Gelegenheit eingehen werde.

§ 2· Besondere Inbetrachtnahme des dreidimensionalen Raumes. Übergang zur h o m o g e n e n orthogonalen

Gruppe.

V o n den verschiedenen Möghchkeiten, welche der A n s a t z d e s E r ­ langer P r o g r a m m s für die Geometrie des e i n s c h h e ß t , wollen wir hier v o r a b nur die einfachsten T y p e n linearer Substitutionsgruppen n e n n e n . I c h knüpfe einfach a n die F o r m e l n B d . 1, S. 168, a n . I n d e m ich ein gewöhnliches r e c h t w i n k h g e s K o o r d i n a t e n s y s t e m m i t der ü b h c h e n B e z e i c h n u n g x,y,z zugrunde gelegt d a c h t e , schrieb ich d a m a l s der Reihe nach hin: i) Inzwischen als Buch erschienen: F. Klein, Vorlesungen über höhere Geo­ metrie. Berlin 1926. (H.)

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe

30

. D i e Gruppe der „projektiven'' G e o m e t r i e :

2. D i e Gruppe der affinen

Geometrie:

χ' = οίχ + βγ + γζ +

(2)

y = ^^x + ß^y +

δ,

yz+o\

z' = ^^^x + ßf^y + /'z

+

d".

3. D i e Gruppe der m e t r i s c h e n G e o m e t r i e : (3), dieselben F o r m e l n w i e (2), nur d a ß die S u b s t i t u t i o n ß ß' ß" e m e „orthogonale'' S u b s t i t u t i o n s e m , d. h. x^ + + z'^ in sich selbst überführen soll. U m d u r c h w e g homogene lineare S u b s t i t u t i o n e n z u h a b e n , k a n n m a n sich natürlich, w i e zuerst Plücker t a t u n d jetzt in allen Lehrbüchern z u finden ist, d e s Kunstgriffs bedienen, s t a t t

z u s e t z e n u n d d a n n Zähler u n d N e n n e r z u t r e n n e n . W i r w o l l e n hier, i n d e m wir u n s auf die FäUe (2), (3) b e s c h r ä n k e n , d a s einfachere (vöUig triviale) Mittel a n w e n d e n , d a ß wir die in d e n S u b s t i t u t i o n s f o r m e l n auftretenden a d d i t i v e n K o n s t a n t e n weglassen. W i r h a b e n d a n n s t a t t (2) die affmen Transformationen b e i f e s t g e h a l t e n e m K o o r d i n a t e n ­ anfangspunkt x' = ^x + ßy + (20

,> = a " ^ desgleichen

yz,

^'y + / . , + r y + /'^,

/ = a'^ + statt

(3) die orthogonalen T r a n s f o r m a t i o n e n b e i

festem

K o o r d i n a t e n a n f a n g s p u n k t , g e g e b e n durch (2') u n d die h i n z u t r e t e n d e Formel

(3')

^>2 + y 2 + ^>2 = ;,2+y2 + ^2.

I n d e m wir solcherweise d i e F o r m e l n (2), (3) spezialisiert h a b e n , v e r z i c h t e n wir auf die allgemeine B e t r a c h t u n g der a f f m e n Geometrie (oder der m i t ihr solidarischen Statik u n d K i n e m a t i k der starren K ö r -

Β. § 2. Besondere Inbetrachtnahme des dreidimensionalen Raumes.

31

per). Dafür n e h m e n wir i m F a l l e (2') an die bisher b e t r a c h t e t e allge­ m e i n e lineare Invariantentheorie b e i drei Veränderlichen direkten A n s c h l u ß i ) , {jj^ Falle (3') aber a n d a s , w a s wir orthogonale lineare Invari­ antentheorie (bei drei Veränderlichen) n e n n e n werden. Zunächst n o c h eine genauere A n g a b e , w a s h o m o g e n e orthogonale S u b s t i t u t i o n e n b e i η Veränderhchen sind. W i r schreiben e t w a z u n ä c h s t (im A n s c h l u ß a n A § 1 ) : X, = s,,x[

(4)

+ . . .

mit

=

Σ^? .

E s ist d a n n eine sehr b e k a n n t e Theorie, d i e . d e m W e s e n der Sache n a c h auf Euler u n d Lagrange zurückgeht, d a ß z w i s c h e n d e n 5,;, die - ^ ^ ^ (5)

Σsh

= l,

Koeffizienten

Gleichungen b e s t e h e n : (k + l) {k=h...,n),

^^s,,^0,

(Z=2,...,>.),

d a ß d e m e n t s p r e c h e n d die Gruppe der h o m o g e n e n o r t h o g o n a l e n S u b ­ s t i t u t i o n e n (4) " i i ! ^

Parameter

enthält

—

daß

ferner

die

Auf­

lösungen v o n (4) so l a u t e n : (6) 4 = ^ ΐ Λ + · · -+^n.^n, SO d a ß m a n s t a t t (5) a u c h die Gleichungen (7) schreiben k a n n : (7)

Σsh

= ^.

2 : »

= 0,

(.· + /) (i = l , . . . , > ^ ) ,

Man b e t r a c h t e t f e m e r insonderheit die

{j=h...,n).

Substitutionsdeterminante

(8) ^=I I. I n d e m m a n sie n a c h d e m folgenden S c h e m a m i t sich selbst m u l t i p l i z i e r t :

folgt, d a ß = 1 ist. Mehr aber ist aus d e n Gleichungen (5) oder (7) nicht z u s c h h e ß e n . E s k a n n also r = + I oder r = — 1 sein, u n d m a n wird d e m e n t s p r e c h e n d z w i s c h e n eigentlichen u n d uneigentlichen ortho­ gonalen S u b s t i t u t i o n e n unterscheiden. D a sich bei der Z u s a m m e n ­ s e t z u n g zweier linearer S u b s t i t u t i o n e n ihre D e t e r m i n a n t e n m u l t i ­ plizieren, folgt, d a ß nur die eigentlichen S u b s t i t u t i o n e n f ü r s i c h g e n o m m e n eine Gruppe bilden, die sich d a n n als kontinuierliche G n ( n - i ) erweist2). — D i e eigentlichen u n d uneigentHchen S u b s t i t u t i o n e n zusammen

bilden d a g e g e n eine s o g e n a n n t e gemischte

Gruppe

(der-

1) Wobei die Determinante der Substitutionskoeffizienten aber zuvörderst noch nicht notwendig gleich I ist, wie wir oben, S. 3, der Einfachheit halber vor­ aussetzten. 2) bezeichnet im folgenden eine kontinuierliche Gruppe von k Parametern.

1. K a p . Elementares über die Grundbegriffe. selben Parameterzahl). I n der T a t e n t h a l t e n d i e uneigenthchen S u b ­ stitutionen keine sog. unendlich kleine S u b s t i t u t i o n (die „ u n e n d h c h w e n i g " v o n der „ I d e n t i t ä t " verschieden ist). D a s einfachste Beispiel einer uneigentlichen S u b s t i t u t i o n h a t m a n , w e n n m a n nur eine der Veränderlichen . .x^ i m Vorzeichen ändert. Geometrisch b e d e u t e n die e i g e n t h c h e n Substitutionen , , D r e h u n g e n " u m 0 , die uneigentlichen die anderen Transformationen, w e l c h e S t u d y allgemein „ U m l e g u n g e n " n e n n t (Math. A n n . 39). E s ist n u n eine für aUes F o l g e n d e grundlegende Frage, o b w i r bei der Invariantentheorie der orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n n u r eigentliche oder a u c h uneigentliche S u b s t i t u t i o n e n in B e t r a c h t ziehen wollen. D a s Erstere ist d a s B e q u e m e r e (wie wir ja auch b e i d e n Erläuterungen über aUgemeine lineare Invariantentheorie der Kürze halber i m m e r r = 1 g e n o m m e n h a b e n ) . D a s Z w e i t e aber gibt gewisse feinere U n t e r ­ scheidungen, w e l c h e sich auch in der m o d e r n e n P h y s i k bei genauerer Arbeit als w e s e n t h c h erwiesen h a b e n , z. B . d i e U n t e r s c h e i d u n g v o n Vektoren erster u n d zweiter A r t ; wir werden u n s darauf beschränken, bei Gelegenheit darauf hinzuweisen.

§ 3 . Einschaltung über Quaternionen. H a m i l t o n s Q u a t e m i o n e n r e c h n u n g w u r d e s c h o n in B d . I , K a p . IV, näher erörtert. I c h m ö c h t e aber hier, u m später darauf zurückgreifen z u k ö n n e n , n o c h a n g e b e n , w i e sich m i t Hilfe der Q u a t e m i o n e n m u l t i plikation die orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n der D e t e r m i n a n t e + I bei drei i m d vier Veränderhchen m emfachster W e i s e darsteUen. I c h erinnere kurz: Quaternionen sind vierghedrige k o m p l e x e Zahlen q = d + ia+jb

+

kc,

für deren Multiplikation d a s S c h e m a g i l t :

D i e Gleichung f + ix' +jy

+ k/

= q(t + ix+jy

+

kz)

ist d a n a c h m i t der linearen S u b s t i t u t i o n g l e i c h b e d e u t e n d : r (A)

x' = at+

==dt-ax-hy-cz dx-cy

y^liJ^cx-^dy z*

+ hz — az

^ct-hx-^ay-^dz,

die e m e r orthogonalen S u b s t i t u t i o n v o n der D e t e r m m a n t e - f 1 sehr n a h e steht, weU erstens, w i e m a n durch Ausrechnung findet: ^ 2 ^ ^ > 2 ^ 3 ; > 2 ^ ^ > 2 = = ( ^ 2 ^ ^ 2 ^ 3 ; 2 + ^2) (^^2 + ^2 ^ ^2 + ^2)

Β. § 3. Einschaltung über Quaternionen.

33

wird, z w e i t e n s die D e t e r m i n a n t e den W e r t (d^ + + + cy er­ hält. V o n hier a u s ist n u n nur n o c h ein Schritt z u der merkwürdigen F o r m e l für die allgemeine Darstellung der e i g e n t h c h e n orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n b e i 4 Veränderlichen, welche C a y l e y in Crelles Journal, B d . 5 0 = W e r k e I I , S. 192, 2 0 2 g e g e b e n h a t :

unter q' = d' + ia' +jb' + kc' irgend eine z w e i t e Quaternion ver­ s t a n d e n . Zur allgemeinen Darstellimg der eigentlichen orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n v o n 3 Veränderlichen aber k o m m t m a n , w e n n m a n hier q' insbesondere gleich d — ia — jh — kc n i m m t . I n der T a t w i r d dann, w i e m a n nachrechnet, f =t, u n d es bleibt für die D r e h i m g e n u m einen Punkt: (38)

ix' + jy

+ kz'-=^q

{ix + jy

+ kz)

q-\

eine F o r m e l , w e l c h e H a m i l t o n i m d C a y l e y s c h o n i m Jahre 1844 aufgesteUt h a b e n . D a ß diese F o r m e h i (37), (38) die richtige Zahl v o n 6, bzw. 3 u n ­ abhängigen P a r a m e t e r n e n t h a l t e n , zeigt die einfache A b z ä h l i m g . N u n soll n o c h F o r m e l (37) a u s der Z u s a m m e n s e t z i m g binärer Matrizes erklärt w e r d e n (wozu ebenfalls schon B d . 1, K a p . I V , S. 196 einiges E i n l e i t e n d e g e s a g t ist). Man setze v o r ü b e r g e h e n d — u m eine V e r w e c h s e l u n g m i t d e m i der Quaternionentheorie z u v e r m e i d e n — die gewöhnliche y — 1 gleich Man schreibe f e m e r ί^+^α = α,

h+ec

= ß,

—h+ec=Y,

d—ea

= d

u n d analog ί+εχ

= ξ,

Dann

lassen

y + ez = n, sich

die

- y + e z = ζ,

t-^-ex^r

Substitutionsformeln (A)

(ί' + εχ' = ξ' usw.). folgendermaßen

als

Z u s a m m e n s e t z u n g zweier binärer Matrizes schreiben:

Wr')

[γ δ)

\ζ τ)

\γξ + δζ

γη + δτ)'

w o b e i die Horizontahreihen der ersten Matrix m i t den V e r t i k a k e i h e n der z w e i t e n kombiniert sind.

D a ß hierbei die

Determinante

ξ' η' ζ' τ· gleich d e m P r o d u k t der D e t e r m i n a n t e n Oi β Y Klein, Entwicklung der Mathematik. 11.

δ

ξ η ζ τ 3

34

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

wird, ist e m e u n m i t t e l b a r e F o l g e des D e t e r m i n a n t e n m u l t i p l i k a t i o n s ­ satzes. Genau e n t s p r e c h e n d erhält m a n :

U

τ)

y

δ'Ι

WC + yr

β'ζ + δ'τ)'

Jetzt sind die E l e m e n t e , w e l c h e in der Matrix

derselben Horizontalreihe a n g e h ö r e n , m i t e i n a n d e r linear v e r b u n d e n . F o r m e l (37) aber schreibt sich s o :

¢^)=(::)(^)(;.·

V · « ™ ·

xmd die auf sie b e z ü g l i c h e B e h a u p t u n g reduziert sich offenbar darauf, d a ß m a n die allgemeinste lineare U m s e t z u n g der Matrix ( ^ bei welcher ihre D e t e r m i n a n t e sich b i s auf einen F a k t o r reproduziert, erh ä l t , i n d e m m a n einerseits die E l e m e n t e ihrer Vertikalreihen, anderers e i t s ihrer Horizontalreihen hnear k o m b i n i e r t . D u r c h diese U m s e t z u n g w i r d die Q u a t e r n i o n e n m u l t i p l i k a t i o n u n d d a m i t die orthogonale S u b s t i t u t i o n der D e t e r m i n a n t e + 1 auf binäre lineare S u b s t i t u t i o n e n b e z o g e n (wobei m a n α u n d δ, sowie β u n d — γ konjugiert imaginär n e h m e n m u ß , w e n n m a n reeUe D r e h u n g e n darsteUen will). D i e I n v a r i a n t e n ­ theorie der reellen orthogonalen Transformationen b e i 3 u n d 4 Ver­ ä n d e r h c h e n läßt sich u n t e r B e r ü c k s i c h t i g u n g der hiermit a n g e d e u t e t e n B e s c h r ä n k u n g auf die aUgemeine binäre Invariantentheorie gründen. D i e s ist der G e d a n k e , den W ä l s c h in seiner „ B i n ä r a n a l y s e " z u n ä c h s t für W = 3 s y s t e m a t i s c h verfolgt h a t . I c h v e r w e i s e auf seine z u ­ s a m m e n f a s s e n d e n Artikel in B d . 143 u n d 144 der Comptes R e n d u s (1906, I I ; 1907, I ) . D i e E n t w i c k l u n g e n , 'welche vielfach denjenigen d e s w e i t e r u n t e n z u n e n n e n d e n S c h o u t e n s c h e n B u c h e s v o n 1914^) paralleUaufen, g e h e n auf i h r e m Gebiete — e b e n w e g e n H e r a n ­ ziehung der in der I n v a r i a n t e n t h e o r i e e n t w i c k e l t e n aUgemeinen H i l f s m i t t e l — w e i t e r als dieses. A b e r ich fürchte, d a ß sie nur sehr w e n i g e Leser finden w e r d e n , weil sie einerseits m a n n i g f a c h e V o r k e n n t n i s s e (auch n a c h m a t h e m a t i s c h - p h y s i k a h s c h e r Seite) v o r a u s ­ s e t z e n , andererseits der K ü r z e halber auch wieder v o n einer besonderen Stenographie der F o r m e h i Gebrauch m a c h e n . M a n k ö n n t e die U n t e r ­ s u c h u n g e n auch auf u n e i g e n t h c h e orthogonale S u b s t i t u t i o n e n a u s ­ d e h n e n , w e n n m a n z u d e n binären S u b s t i t u t i o n e n die V e r t a u s c h u n g v o n € m i t — € h i n z u n e h m e n woUte. N e u e r d i n g s h a t sich W ä l s c h auch 1) Siehe S. 45.

Β. § 4. Übergang zu den Grundbegriffen der Vektor- und Tensoralgebra.

35

mit dem Falle w = 4 beschäftigt, dabei aber vorgezogen, sich explizite an den Quaternionenkalkül anzuschließen. Diese wenigen Andeutungen mögen hier genügen. Auf die geo­ metrische (projektive) Deutung des in (37) enthaltenen algebraischen Resultates (bei der die beiden Scharen geradliniger Erzeugender der Fläche 2. Grades ξτ — ηζ = 0 nacheinander linear transformiert werden) bin ich u. a. in Bd. 37 der Mathem. Annalen (1890) eingegangen. Man sieht jedenfalls, wie genau die Quaternionen an die Betrachtung der orthogonalen Substitutionen bei 3 und 4 Veränderhchen angepaßt sind. Überall, wo von diesen Substitutionen die Rede ist, wird darum ihre Verwendung nützhch sein können. Dagegen wird wohl niemand mehr, wie es Hamilton und seine Schüler zeitweise wollten, in ihnen ein Allheilmittel für alle Desiderate der Geometrie erblicken. § 4. Übergang z u den Grundbegriffen der Vektor- und Tensoralgebra *. Unsere Aufgabe soll jetzt nicht sein, eine systematische Invarianten­ theorie der homogenen orthogonalen Substitutionen zu entwickeln, sondern nur zu erläutern, wie man vom invariantentheoretischen An­ satz aus bei η — 3 und w = 4 ohne weiteres zu all den Begriffen der Vektoralg^bra kommt, die den Physikern geläufig sind^). 1. n = 3 . Wir bezeichneten den Inbegriff der drei Variablen (9)

x^y^z,

insofern wir die Gruppe der homogenen affinen Transformationen zugrunde legten, seither als eine von O auslaufende „Strecke**. Be­ schränken wir uns auf die Gruppe der homogenen orthogonalen Sub­ stitutionen, so deckt sich dieser Begriff mit dem, was die Physiker in Anlehnung an Hamilton einen (von O auslaufenden) Vektor nennen. Wir haben dann, da es sich nur um orthogonale Substitutionen handehi soll, in (10) X^+ y^ + Z^ das einfachste Beispiel einer zugehörigen Invariante (Zahlgröße); die Physiker sagen, wieder im Anschluß an Hamilton, Skalar. Aber auch die Polare von (10) (11) x'x+yy+z'z 1) Eine besondere Schwierigkeit liegt dabei in der Verschiedenheit der von den einzelnen Autoren gebrauchten Terminologie und Formelsprache. Indem ich letztere vorläufig ganz beiseite lasse, beziehe ich mich nur auf solche Termini, welche zur Zeit, iedenfalls bei den deutschen Physikern, allgemein verständlich sein dürften. 3*

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

36

wird, unter {x,y,z) b z w . {x\y\z*) V e k t o r e n v e r s t a n d e n , eine I n v a r i a n t e sein. W e n n die P h y s i k e r sie als inneres oder als skalares Produkt der b e i d e n V e k t o r e n b e z e i c h n e n , so h e g t d a s daran, d a ß G r a ß m a n n w i e H a m i l t o n ihre Theorien v o n vornherein m i t der Lehre v o n den m e h r ghedrigen k o m p l e x e n Zahlen v e r b a n d e n , die b e i u n s z u r ü c k t r i t t ; siehe B d . I , K a p . I V , S. 173 ff. Grundlegend für unsere Auffassung ist, d a ß g e m ä ß der I n ­ varianz, v o n ( I I ) die x\ y \ z\ w e l c h e d o c h z u d e n x, y, ζ kogredient sind, a u c h als i h n e n kontragredient aufzufassen sind. Allemal, wenn es sich um homogene orthogonale Substitutionen eines Größenkomplexes handelt, fällt der Unterschied von Kogredienz und Kontragredienz weg. W i r b e t r a c h t e n j e t z t die a u s verschiedenen V e k t o r e n a u f z u b a u e n d e n G r a ß m a n n s c h e n S t u f e n u n d b e g i n n e n m i t der D e t e r m i n a n t e

(12)

X

y

x'

Ϋ

Z z'

X-

r

Z-

J e n a c h d e m wir orthogonale S u b s t i t u t i o n e n v o n der D e t e r m i n a n t e -f-I oder — I h e r a n z i e h e n , w i r d sie u n g e ä n d e r t bleiben oder ihr Vorzeichen w e c h s e l n ; d i e P h y s i k e r sprechen, w e n n sie letzteren U m ­ s t a n d b e t o n e n woUen, v o n e i n e m Skalar zweiter A r t oder P s e u d o skalar. I n d e m wir ferner (12) n a c h d e n E l e m e n t e n der ersten Hori­ zontale entwickeln: X iyY'

-

z'y)

+ y {z'x" -

^V) + ζ ( ^ y -

y'x"),

erkennen wir, d a ß d i e Größen zweiter S t u f e : (13)

y z - ^ z y \

ζ'χ-'-χΥ',

xy-^yx-^

w e i l z u den x, y, ζ kontragredient, b e i e i g e n t h c h e n orthogonalen S u b ­ s t i t u t i o n e n selbst w i e d e r Vektorcharakter h a b e n , b e i uneigentlichen aber überdies einen s i m u l t a n e n Zeichenwechsel aufweisen. — D i e P h y s i k e r sprechen v o n d e m äußeren oder vektorieUen Produkt der b e i d e n V e k t o r e n x\ y \ z* u n d x*\ γ \ ζ*' u n d b e z e i c h n e n d e n Inbegriff seiner drei K o m p o n e n t e n als V e k t o r zweiter A r t oder als „ a x i a l e n " V e k t o r i m Gegensatz z u d e m ursprünglich auftretenden „ p o l a r e n " (9). G e h e n wir z u quadratischen F o r m e n v o n V e k t o r k o m p o n e n t e n über (14)

ax''-^by^-^cz''-^2dyzJ^2czx-^2fxy.

D e m U m s t ä n d e entsprechend, d a ß sie b e i der D e f o r m a t i o n der K o n t i n u a eine H a u p t r o l l e spielen, n e n n t m a n nach e i n e m Vorschlag v o n Voigt das Koeffizientensystem (15) e i n e n Tensor.

a, b, C d, e, / — Gegenüber affinen T r a n s f o r m a t i o n e n w e r d e n sich die

Β. § 4. Übergang zu den Grundbegriffen der Vektor- und Tensoralgebra. Tensoren n a c h ihrem Range systeme

37

u n d w e n n m a n nur reelle Koeffizienten­

b e t r a c h t e t , n a c h ihrem Trägheüsindex

unterscheiden; siehe

A § 5. B e s c h r ä n k t m a n sich auf orthogonale Substitutionen, so tritt n e b e n (14) v o n selbst die quadratische F o r m

+

+ z^, w a s zur

B e t r a c h t u n g der „charakteristischen D e t e r m i n a n t e " α+ λ

f

/

b+ λ

d

d

c +

(16)

A n l a ß gibt.

(16')

e

I n d e m wir sie n a c h P o t e n z e n v o n λ e n t w i c k e h i :

X^ + {a + h + c)X^ + {hc + ca + ah-d^-e^-nX+

f

h a b e n wir in den drei dabei auftretenden F a k t o r e n v o n A^, X^ die drei f u n d a m e n t a l e n orthogonalen I n v a r i a n t e n des Tensors. A u s ihnen s e t z t sich u. a. die I n v a r i a n t e (17)

{a+h^cY-2{hc+ca+ah-d^~e^-t^^a^+h^ + c^ + 2d^ + 2^2 + 2 / 2 z u s a m m e n . I n d e m wir aus den für zwei Tensoren α, δ, c , . . . b z w . a\ b\ c', . . . aufgestellten A u s d r ü c k e n (17) die Polare bilden (18)

aa' + bV + cc' + 2 dd' + 2 ee'+

2

ff\

erkennen wir, d a ß die Größen a, δ, C

i2^d,

m i t sich selbst kontragredient sind.

/ 2 . . ,

]/2./

G e m ä ß (14) sind sie aber auch z u

den (18')

x \

y \ z\

i2^yz,

i2 ^ zx,

i2 ^ xy

kontragredient; wir schließen, daß sie e b e n diesen Verbindungen der X, y, Z a u c h kogredient sind.

VieUeicht w ü r d e e s sich e m p f e h l e n

—

w a s übrigens A n s ä t z e n entspricht, die in der allgemeinen I n v a r i a n t e n ­ theorie w o h l b e k a n n t sind, — als T e n s o r k o m p o n e n t e n

durchweg

die

Größen (18) einzuführen. Mit den quadratischen

Formen

(14) sind zugleich deren Polaren

u n d d a m i t die s y m m e t r i s c h e n bilinearen F o r m e n (bei d e n e n wir jetzt n i c h t m e h r z u unterscheiden h a b e n , ob in ihnen kogrediente k o n t r a g r e d i e n t e Variabelreihen auftreten) für uns erledigt.

oder

E i n e anti­

s y m m e t r i s c h e bilineare F o r m wird sich so schreiben: (19)

A [yz'-y'z)

+ B (zx' -

z'x) + C (xy' -

x'y).

D a s K o e f f i z i e n t e n s y s t e m A, B, C bezeichnet also einen V e k t o r zweiter Art. E i n e allgemeine Bilinearform (die m a n nicht in einen s y m m e t r i -

38

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.'

s e h e n u n d a n t i s y m m e t r i s c h e n B e s t a n d t e i l g e s p a l t e n h a t ) ist für u n s m i t der a h g e m e i n e n h o m o g e n e n affinen ;,' = a x + ß (20)

gleichbedeutend.

Die

das S y s t e m (α formation

Transformation:

y+ γ

z,

/ = a'% + yS' y +

γ'ζ,

z'=^c,"x

y'z,

+ ß"y +

deutschen Y')

Geometer

e i n e n Affinor,

u n t e r der B e z e i c h n u n g

n e n n e n daher

neuerdings

b e i H a m i l t o n tritt die T r a n s ­

,,lineare V e k t o r f u n k t i o n "

K o m p o n e n t e n d e s e i n e n Vektors sind lineare F u n k t i o n e n ponenten

des

anderen).

auf (die

der

Kom­

E b e n hierher gehört, w a s Gibbs , , D y a d e n "

n e n n t ; v g l . S. 4 7 . 2 . W = 4 (kürzer gefaßt). n a n n t werden.

Die Variablen mögen

^:,1^2,^3, ^4 ge­

I m übrigen seien, n a c h d e m V o r g a n g e v o n

(Ann. d. P h y s i k [ 4 ] , B d . 32, 1910), bei η = 4 die im

Sommerfeld

η = 3 üblichen

B e n e n n u n g e n Skalar, Vektor, Tensor b e i b e h a l t e n u n d zur U n t e r s c h e i ­ d u n g m i t e i n e m Zusatzwort, w e l c h e s die Zahl der K o m p o n e n t e n angibt, versehen. Ein Wertesystem gonalen

Χχ, X2,

Substitutionen

s p r e c h e n d Vierervektor;

(das beliebigen h o m o g e n e n

unterworfen

gedacht

wird),

heiße

aus i h m leitet sich als einfachster

ortho­

dement­

Skalar

ab. D a s K o e f f i z i e n t e n s y s t e m einer q u a d r a t i s c h e n F o r m Σα^^,χ^χ^, (oder a u c h einer s y m m e t r i s c h e n Bilinearform) werde j e t z t Zehnertensor

ge­

n a n n t . E i n Zehnertensor h a t v i e r H a u p t i n v a r i a n t e n (Skalare), die m a n b e k o m m t , i n d e m m a n die D e t e r m i n a n t e

\

+ λδiJ.\

— Kronecker-

sche Bezeichnung — nach Potenzen v o n λ entwickelt. Das ΣΚΜ

Koeffizientensystem

{XiJk-y%Xk)

einer

antisymmetrischen

l^eiße Sechsertensor)

f a c h s t e S k a l a r e : ΣΆι^

e s gibt

Bilinearform

zwei zugehörige

ein­

^ d

§ 5. Einführung der Vektoranalysis* (Tensoranalysis). K e h r e n w i r w i e d e r vorläufig z u w = 3 zurück.

E s gilt, allen unseren

bisherigen E n t w i c k l u n g e n e i n e n n e u e n Begriff v o n größter einzufügen, d e n

W i r h a b e n seither betrachteten,

die

Skalare,

Vektoren,

orthogonalen

Substitutionen

es h a n d e l t sich jetzt darum, j e d e m Skalar,

oder

Tensoren...,

auf d e n K o o r d i n a t e n a n f a n g s p u n k t

von homogenen

Tragweite

Feldbegrifi.

Vektor,

oder

Tensor...

die

wir

b e z o g e n (indem

wir

der x, y,

Raumpunkte beizulegen

ζ sprachen);

x^, y^, und

z^

damit

einen zum

Β. § 5 . Einführung der Vektoranalysis (Tensoranalysis). Begriff des Skalarfeldes, d e s Vektorfeldes, d e s Tensorfeldes... auf­ zusteigen. D i e K o m p o n e n t e n eines solcherweise d e m P u n k t e XQ, y^, ZQ z u g e o r d n e t e n , , K o m p l e x e s " werden sich d a n n bei h o m o g e n e n ortho­ gonalen S u b s t i t u t i o n e n der X-X^

als K o m p o n e n t e n eines Skalars, V e k t o r s . . . erweisen m ü s s e n . Der Feldbegriff hat sich g a n z v o n selbst dargeboten, seit es eine m a t h e m a t i s c h e P h y s i k gibt. Z u n ä c h s t explizite vielleicht als Skalar­ feld in der Wärmelehre, i n d e m m a n die T e m p e r a t u r als F u n k t i o n d e s Ortes auffaßte. Hinterher k a n n m a n natürlich b e m e r k e n , d a ß Felder der verschiedensten Art v o n je in der klassischen Mechanik aufgetreten s i n d (Potentialfelder, K r a f t f e l d e r . . . ) . D i e Mechanik der K o n t i n u a heferte d a n n weitere Beispiele in Fülle. Aber erst in der m o d e r n e n Lehre v o m E l e k t r o m a g n e t i s m u s (welche das räumliche Medium als Träger der e l e k t r o m a g n e t i s c h e n E r s c h e i n u n g e n betrachtet) h a t der Begriff seine klare A u s p r ä g u n g erfahren: Man findet das W o r t ,,Feld", soviel ich w e i ß , zuerst in d e n a u s g e d e h n t e n Arbeiten v o n W . T h o m s o n über M a g n e t i s m u s (1851 i m P h i l o p h i c a l M a g a z i n e = Reprint of Papers on E l e c t r i c i t y a n d M a g n e t i s m , S. 473). — Andererseits k a n n m a n d e n Feldbegriff in verallgemeinerter F o r m in die abstrakte I n ­ variantentheorie einführen, i n d e m m a n die K o m p l e x e , m i t d e n e n m a n sich beschäftigt, von irgendwelchen P a r a m e t e r n abhängig denkt. I c h wiU d a s W o r t „Vektoralgebra" hier in der allgemeinen W e i s e gebrauchen, d a ß es die algebraische Lehre v o n d e n Skalaren, d e n Tensoren usw. m i t u m f a ß t . A u s der so v e r s t a n d e n e n „Vektoralgebra" wird d a n n v e r m ö g e d e s Feldbegriffs die „ V e k t o r a n a l y s i s " e n t s t e h e n , i n d e m m a n Differentiation oder Integration n a c h d e n P a r a m e t e r n Xo> yo> ZQ m i t unter die Operationen a u f n i m m t , d e n e n m a n die K o m ­ p o n e n t e n der z u b e t r a c h t e n d e n K o m p l e x e unterwirft. Der abstrakte M a t h e m a t i k e r würde sagen, d a ß m a n n e b e n die algebraischen Invari­ a n t e n Differentialinvarianten, Integralinvarianten setzt. — Ü b r i g e n s werde ich s t a t t ^o>^o>^o j ^ ^ ^ ^ kurz x,y,z schreiben u n d dafür die K o o r d i n a t e n eines d e m P u n k t e x, y, ζ a n g e h e f t e t e n Vektors u, v, w n e n n e n . I c h werde a u c h (wie es b e i H a m i l t o n i m m e r , u n d m e i s t a u c h b e i MaxweU der FaU ist) n u n m e h r auf die U n t e r s c h e i d u n g v o n Skalaren, V e k t o r e n usw. der ersten u n d z w e i t e n Art v e r z i c h t e n , m i c h also auf d i e Invariantentheorie der eigentlichen orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n beschränken. D a s einfachste Beispiel für die neu z u b e t r a c h t e n d e n B i l d u n g e n ­ ist wohl, d a ß m a n bei gegebener Ortsfunktion / (x, y, z) |die U n a b h ä n g i g ­ keit der b e i d e n Ausdrücke und

40 1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe. v o m K o o r d m a t e n s y s t e m e e m s i e h t u n d d a m i t a u s e i n e m ersten Skalar­ feld z w e i n e u e ableitet. D e r französische M a t h e m a t i k e r L a m 6 (1795 bis 1870), der diesen Prozeß prinzipieU erfaßte (vgl. seine Legons sur les Coordonnees Curvilignes, Paris 1859) n a n n t e die b e i d e n Ausdrücke e b e n w e g e n ihrer I n v a r i a n z Differentialparameter der ersten, b z w . der z w e i t e n Ordnung (1. c. S. 6). Aber i h m lag das vektorieUe D e n k e n n o c h f e m . D i e s e s h a t in der für u n s hier in B e t r a c h t k o m m e n d e n F o r m zuerst H a m i l t o n ausgebildet (vgl. seine Lectures o n quaternions, 1853 sowie B d . 1, K a p . IV, S. 187). Geschult in d e n s y m b o l i s c h e n M e t h o d e n d e s e n g h s c h e n A n a l y s t e n , b e t r a c h t e t er n i c h t nur df

(22)

df

dt

(also d e n „ G r a d i e n t e n " , w i e m a n m i t Maxwell sagt) als Vektor, geradezu die Symbole selbst:

sondern

D a i s t es d e n n g a n z klar, d a ß

ς4)·+ς^)·+(έ)· aber e b e n s o w o h l a u c h

Skalare sind, d. h. Operationen, die auf einen anderen Skalar a n g e w a n d t (mit i h m multipliziert, w i e H a m i l t o n sagt) wieder e m e n Skalar ergeben. E r h ä t t e e b e n s o w o h l b e m e r k e n k ö n n e n , d a ß die 6 z w e i t e n Differential­ quotienten 02

02

02

02

O^

(2^) > W ä^' dJd^' einen Tensor v o r s t e h e n , u n d d a ß (25) n i c h t s anderes ist, als die hneare I n v a r i a n t e , d i e jeder Tensor besitzt. M a n sieht, w i e die rein formale Auffassung, welche wir vertreten, hier durchschlägt (während d i e a n s c h a u u n g s m ä ß i g e versagt, m i t der d i e Lehrbücher g e w ö h n l i c h b e g i n n e n ) : Jx'

^

b e z e i c h n e n e i n e n Vektor, weil sie sich b e i orthogonalen

S u b s t i t u t i o n e n der dx.dy,

dz

wie die Komponenten

eines

Vektors

v e r h a l t e n , u n d dieses wieder i s t der FaU, w e i l

m i t / z u s a m m e n ein Skalar ist. D a ß H a m i l t o n b e i solchen B e t r a c h t u n g e n

Β. § 5. Einführung der Vektoranalysis (Tensoranalysis).

41

v o n seiner Quaternionenbezeichnung Gebrauch m a c h t u n d die K o m ­ p o n e n t e n (23) z u e i n e m S y m b o l

z u s a m m e n z i e h t , k a n n hier ftir u n s außer B e t r a c h t bleiben. I n der T a t h a t ja a u c h M a x w e l l in seinem Treatise on E l e c t r i c i t y a n d Magnetism (1873), durch w e l c h e n in erster Linie die Vektorvorstel­ l u n g e n bei den P h y s i k e r n verbreitet worden sind, v o n d e m äußeren F o r m a h s m u s der Quaternionen keinen Gebrauch g e m a c h t . E r h a t insbesondere darauf aufmerksam g e m a c h t , d a ß w e n n

ein gegebenes Vektorfeld ist, der Ausdruck /oö\

du

dv

dw

ein zugehöriges Skalarfeld definiert, andererseits aber ,^^v dv dw dw du du dv (2^)

-^7-^07'

ä 7 ~ ä 7 '

-d^—d^

ein zugehöriges Vektorfeld ergeben^). E s ist dabei interessant, z u verfolgen, w i e sich b e s t i m m t e N a m e n für die (28), (29) erst allmählich durchgesetzt h a b e n . A n hydrod3mamische Vorstellungen a n k n ü p f e n d n e n n t Maxwell d e n A u s d r u c k (28), n e g a t i v g e n o m m e n , K o n v e r g e n z u n d der h e u t e herrschende T e r m Divergenz [für (28) s e l b s t ] entsprang erst a u s einem g a n z beiläufigen Vorschlag v o n C l i f f o r d auf S. 2 0 9 / 2 1 0 seines B u c h e s „ K i n e m a t i c " (1878). D e n V e k t o r (29) n a n n t e MaxweU ursprünglich Rotation (trotzdem er den doppelten B e t r a g der D r e h u n g d e s Flüssigkeitsteilchens v o r s t e h t ) ; in seinem Treatise heißt er „curl", ein T e r m , der in seiner englischen F o r m , stellenweise ins D e u t s c h e tibersetzt als „Quirl", a u c h in die d e u t s c h e Lehrbuch-Literatur viel­ fach eingedrungen ist. N e u e r d i n g s ist m a n aber d o c h wieder z u ,,rot'* zurtickgekehrt, w a s m a n c h e n a c h Chfford „ R o t o r " aussprechen. D i e B e n e n n u n g besonderer Vektorfelder, ftir welche die Ausdrticke (28) oder (29) i d e n t i s c h v e r s c h w i n d e n , als sohnoidal u n d lamellar findet sich schon bei W . T h o m s o n 1. c , andere sagen, in F e s t h a l t u n g d e s hydrod5mamischen Bildes, quellenfrei u n d wirielfrei. E s ist v o n v o r n e ­ herein klar, d a ß der Ausdruck (28) nur bei orthogonalen S u b s t i t u ­ tionen invariant ist, die Ausdrticke (29) aber bei b e h e b i g e n affinen 1) Dem sog. „Nabla" der Quaternionisten, wegen der Ähnlichkeit des Zei­ chens F mit einem hebräischen Musikinstrument dieses Namens. fi fi ß 2) Beides klar nach unseren früheren Ansätzen, ν selbst als Vektor gelten lassen will, den man mit u multipliziert.

42

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe

S u b s t i t u t i o n e n der D e t e r m i n a n t e + 1 (weil sie zweigliedrigen Graß­ m a n n s c h e n U n t e r d e t e r m i n a n t e n entsprechen). W i r schließen weiter, daß

m

»(---)+.(---)^-.(0-3

e m e affine I n v a r i a n t e vorstellt. E s i s t natürlich n i c h t zufällig, d a ß die (29), (30) gerade auftreten, w e n n e s sich in der allgemeinen A n a l y s i s d a r u m h a n d e l t , lineare Differentialausdrücke (Pfaffsche A u s d r ü c k e ) : (31)

udx

+ vdy

+

wdz

n a c h i h r e m V e r h a l t e n gegenüber beliebigen χ = ψ(ξηζ),

γ = ψ(ξηζ),

ζ =

Punkttransformationen: χ(ξηζ)

z u klassifizieren^). D e n n die i n d e m Skalar (31) auftretenden dx, dy, dz w e r d e n ja b e i einer solchen Transformation affin substituiert. Nun ist eine der m e r k w ü r d i g s t e n L e i s t u n g e n v o n G r a ß m a n n , d a ß er in seiner A u s d e h n u n g s l e h r e v o n 1862 diese F o r m e l n auf beliebiges η übertragen, d . h . d i e n-gliedrigen Pfaffschen A u s d r ü c k e ü b e r h a u p t n a c h ihrem V e r h a l t e n b e i beliebigen P u n k t t r a n s f o r m a t i o n e n klassifiziert h a t . Man wird s a g e n k ö n n e n , d a ß er d a m i t zugleich das S t u d i u m der n - d i m e n sionalen Vektorfelder, s o w e i t affine E i g e n s c h a f t e n i n B e t r a c h t k o m m e n , auf e i n e feste B a s i s gesteUt h a t . U m ein B e i s p i e l v o n Integralinvarianten z u g e b e n , erweitern wir die D a r s t e l l u n g eines beliebigen Vektorfeldes u, v, w durch die Ü b e r ­ lagerung eines lameUaren u n d eines solenoidalen F e l d e s , w e l c h e d e m W e s e n der Sache n a c h bereits 1850 v o n S t o k e s ^ ) g e g e b e n wurde. Man setzt dW dt • dx ^ dz ~"dV dW du dt (32) dz · • dy + dx dV dt dx • dz

+

und bedingt außerdem:

1) Das Verschwinden der Ausdrücke (29) bedeutet bekanntHch, daß (31) ein exaktes Differential df ist, das Verschwinden von (30), daß es sich durch Multiplikation mit einem Faktor in ein solches verwandeln läßt. 2) Stokes: Cambridge Trans. 9 = Papers Bd. 2, S. 255ff. — Ich gebe die meisten dieser Zitate nach dem Enzyklopädieartikel IV, 14 von Abraham, wo man auch viele interessante Einzelbemerkungen findet, die ich hier unmöglich reproduzieren kann.

Β. § 6. Die invariantentheoretische Darstellung in der Vektorlehre.

43

Man findet für das „skalare" P o t e n t i a l / :

u n d für das „ V e k t o r p o t e n t i a l " (U, V,

W):

d.h. Differentialgleichungen, die n a c h b e k a n n t e n Methoden der P o ­ tentialtheorie unter g e e i g n e t e n Voraussetzungen über das Verhalten der u, V, w i m U n e n d l i c h e n u n d die Art der sonst bei ihnen auftretenden Singularitäten — durch b e s t i m m t e Integrale integriert w e r d e n :

§ 6. Die invariantentheoretische Darstellung in der Vektorlehre. W e n n wir v o r s t e h e n d die Vektorlehre usw. als eine Art KoroUar zur Invariantentheorie der orthogonalen S u b s t i t u t i o n s g r u p p e dar­ gestellt h a b e n (statt sie auf anschaulich-geometrische B e t r a c h t u n g e n a d h o c z u s t ü t z e n ) , so dürfen wir nicht verschweigen, d a ß eine solche Darstellung in der Literatur nur selten hervortritt. Mir sind in dieser H i n s i c h t nur w e n i g e A u s n a h m e n b e k a n n t , v o n d e n e n ich zwei anführe. D i e eine b e z i e h t sich auf eine auch s o n s t sehr interessante A b ­ h a n d l u n g , w e l c h e der hervorragende englische P h y s i k e r u n d I n ­ genieur R a n k i n e s c h o n 1 8 5 5 / 5 6 in den L o n d o n Philosophical Trans­ actions, B d . 146, veröffentlichte 1). D i e Verzerrung, welche die U m ­ g e b u n g irgend einer Stelle eines elastischen Körpers bei unendlich kleinen Verschiebungen u, v, w seiner P u n k t e erleidet, ist b e k a n n t l i c h durch die 6 K o m p o n e n t e n

g e g e b e n . D i e s e n „ T e n s o r " b e h a n d e l t n u n R a n k i n e , in direkter B e z u g ­ n a h m e auf S y l v e s t e r s d a m a l s n e u e , grundlegende E n t w i c k l u n g e n , g e n a u so m i t i n v a r i a n t e n t h e o r e t i s c h e n Methoden, w i e wir d i e s h e u t e tun würden. Ferner n e h m e ich eine Arbeit v o n B u r k h a r d t i m 4 3 . B a n d e der M a t h . A n n . (1893)^). D r u d e h a t t e kurz vorher in s e i n e n o p t i s c h e n U n t e r s u c h u n g e n die Frage g e s t e l l t : 1) On axes of elasticity and crystalline forms. 2) Über Funktionen von Vektorgrößen, welche selbst wieder Vektorgrößen sind.

44

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

„ G e g e b e n seien eine beliebige A n z a h l v o n Vektorgrößen, F u n k ­ t i o n e n der L a g e eines oder mehrerer P u n k t e ; m a n soll auf die all­ g e m e i n s t e W e i s e F u n k t i o n e n derselben u n d ihrer Differentialquotienten n a c h d e n K o o r d i n a t e n b e s t i m m e n , w e l c h e selbst wieder V e k t o r g r ö ß e n s i n d , " — die B u r k h a r d t z u n ä c h s t d a h i n präzisiert, d a ß es sich nur u m rationale g a n z e F u n k t i o n e n der g e g e b e n e n V e k t o r k o m p o n e n t e n h a n d e l n soU, die i n d e n n a c h d e n y, ζ g e n o m m e n e n Differentialquotienten linear s i n d ; worauf er die F r a g e m i t Hilfe m e t h o d i s c h e r R e i h e n ­ e n t w i c k l u n g e n , w i e sie in der linearen I n v a r i a n t e n t h e o r i e ü b h c h sind, erledigt. Hierdurch ist eine verbesserte E h i s i c h t i n d e n A u f b a u der in der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k der K o n t i n u a auftretenden linearen Differentialgleichungen g e w o n n e n . E s ist also wirklich n ü t z h c h , K e n n t ­ nisse a u s der I n v a r i a n t e n t h e o r i e heranzuziehen. W a r u m g i b t es so w e n i g e derartige P u b l i k a t i o n e n ? W a r u m i n s ­ b e s o n d e r e m u ß t e sich der A n s t o ß v o n R a n k i n e , der allgemein auf eine V e r b i n d u n g der m a t h e m a t i s c h - p h y s i k a l i s c h e n A r b e i t e n seiner L a n d s ­ leute m i t der formal algebraischen abzielte, t o t l a u f e n ? W i r finden b a l d h e r n a c h i n E n g l a n d einen scharfen G e g e n s a t z der b e i d e n S c h u l e n : D i e I n v a r i a n t e n t h e o r i e m i t ihrer p r o j e k t i v e n D e u t u n g erschien d e n P h y s i k e r n als e t w a s g ä n z h c h Überflüssiges, w i e m i c h d e n n der E d i n ­ burgher P h y s i k e r T a i t eines T a g e s betreffend C a y l e y fragte: Ist es nicht e i n J a m m e r , d a ß ein s o hervorragender M a n n seine Kraft für so VöUig n u t z l o s e F r a g e n e i n s e t z t ? I c h berühre diese m i ß h c h e n Verhältnisse u m so heber, als sie i n der m o d e r n e n M a t h e m a t i k n i c h t s Singuläres sind, sondern i n ähnlicher W e i s e in d e n v e r s c h i e d e n s t e n Kreisen b e i d e n v e r s c h i e d e n s t e n A n l ä s s e n i m m e r wieder hervortreten. D i e H a u p t q u e U e h e g t w o h l in der g r o ß e n A u s d e h n u n g , w e l c h e die W i s s e n s c h a f t je länger je m e h r g e n o m m e n h a t . D e r einzelne Forscher h a t n i c h t m e h r die Zeit — oder g l a u b t sie n i c h t m e h r z u h a b e n — sich eine u m f a s s e n d e m a t h e m a t i s c h e B i l d u n g a n z u e i g n e n . E r schafft heber das, w a s er n ö t i g h a t , v o n FaU z u FaU v o n sich a u s durch b e s o n d e r e n A n s a t z u n d ist d a b e i m e h r , als i h m b e w u ß t ist, v o n d e n Traditionen der Schule, innerhalb deren er a u f g e w a c h s e n ist, innerlich eingeengt. D a r ü b e r g e h t d a n n leider d a s B e w u ß t s e i n für die Solidarität aller A r t e n m a t h e m a t i s c h e r F o r s c h u n g verloren. I m FaUe der V e k t o r a n a l y s i s m u ß n o c h in B e t r a c h t g e z o g e n werden, d a ß d a s in B e t r a c h t k o m m e n d e Gebiet durch die s y m b o h s c h e n M e t h o d e n v o n H a m i l t o n u n d G r a ß m a n n bereits, s o z u s a g e n , v o r w e g b e s e t z t war. W e r e i n m a l a n eine b e s t i m m t e Art v o n F o r m e l n g e w ö h n t ist, e n t s c h h e ß t sich nur schwer, das W e s e n u n d die e t w a i g e n Vorteile anderer Schreib­ w e i s e n d u r c h z u d e n k e n u n d gar z u deren Verbreitung beizutragen. B e i der w e i t e r e n E n t w i c k l u n g der einschlägigen Literatur, die wir i m fol­ g e n d e n aUerdings nur streifen k ö n n e n , h a t sich dies nur z u sehr b e -

Β. § 7. Entwicklnng der Vektorlehre in den verschiedenen Ländern.

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s t ä t i g t . Infolgedessen erfolgt ein ganz unnötiger K r ä f t e v e r b r a u c h : dieselben Gedankenreihen w e r d e n i m m e r wieder auf andere W e i s e n e u konstruiert. U n d e s e n t s t e h t ein Wirrsal, w i e w e n n e i n F l u ß , welcher der Schiffahrt die größten D i e n s t e leisten k ö n n t e , sich i n s U n b e g r e n z t e verästelt. E i n e wesentliche Absicht d i e s e s B u c h e s i s t es, d e n h i e r m i t g e d e u t e t e n Mißständen e n t g e g e n z u w i r k e n i ) .

an­

§ 7. Von der Entwicklung der Vektorlehre in den verschiedenen Ländern über Maxwells Treatise hinaus. D i e E n t w i c k l u n g , v o n der hier die R e d e s e i n soU, läßt s i c h kurz d a h i n charakterisieren: d a ß sich a u s d e n Auffassungsweisen der P h y ­ siker u n d d e n G r a ß m a n n s c h e n I d e e n K o m b i n a t i o n e n b i l d e n , w e l c h e b a l d m e h r v o n der e i n e n , b a l d v o n der anderen Seite beeinflußt s c h e i n e n . W i r h a b e n hier in erster Linie v o n d e n Arbeiten v o n J. W . G i b b s z u berichten, u n d d a sonst i n d i e s e m B u c h v o n amerikanischen M a t h e ­ m a t i k e r n n o c h nicht die R e d e war, so m ö g e n wir e i n w e n i g weiter ausholen. E s i s t n o c h keine 50 J a h r e her, d a ß A m e r i k a a n der E n t w i c k l u n g der reinen M a t h e m a t i k s e l b s t ä n d i g e n A n t e i l n i m m t . E i n e n ersten A n f a n g d a z u m a c h t e 1870 der A s t r o n o m B e n j a m i n P e i r c e (der a u c h a l s Lehrer vielfach anregend wirkte), i n d e m er der N a t i o n a l A c a d e m y in W a s h m g t o n seine „Linear A s s o c i a t i v e A l g e b r a " v o r l e g t e , i n welcher er die verschiedenen Möglichkeiten mehrgliedriger k o m p l e x e r Zahlen z u umgrenzen s u c h t . A u c h der g l ä n z e n d e A u f s c h w u n g der theore­ t i s c h e n A s t r o n o m i e in A m e r i k a , w i e er durch die N a m e n N e w c o m b u n d H i l l b e l e g t wird, g e h t auf seine L e h r t ä t i g k e i t zurück. I m m e r h i n b l i e b A m e r i k a n o c h lange Jahre e i n L a n d für m a t h e m a t i s c h e n I m p o r t , s e i e s , d a ß die j u n g e n M a t h e m a t i k e r v o n dort n a c h E u r o p a k a m e n , u m b e i u n s z u lernen, sei e s , d a ß m a n einzelne Mathematiker v o n u n s dorthin berief. Außerordentlich wirkbCim w a r es insbesonders, d a ß 1) Im Znsammenhange hiermit ist die Schrift des Holländers J. A. S c h o n t e n (Gmndlagen der Vektor- nnd Affinoranalysis, 1914) zn erwähnen. Indem sich der Verfasser prinzipiell anf die allgemeine Anffassnngsweise des Erlanger Pro­ gramms bezieht, nnternimmt er es, den verschiedenen Entwickinngen der Hamütonianer nnd Graßmannianer nsw. fe ihren besonderen Platz anzuweisen. Das ist an sich genan, was hier gewünscht wird, nnd es ist nm so mehr zn begrüßen, als der Verfasser dnrch genane Betrachtung auch der Größenverbindnngen höheren Grades weit tiber die von uns hier allein bertihrten E l e m e n t e der Theorie hinaus­ geht. Leider aber macht er bei der Durchführung nicht von den längst feststehen­ den Prozessen der linearen Invariantentheorie, sondern von neu eingeführten MultipUkationszeichen ausgiebigen Gebrauch, in einem solchen Maße, d a ß z. B. ich für mich es unmöghch finde, ihm in die Einzelheiten zu folgen.

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1. K a p . Elementares über die Grundbegriffe.

1 8 7 6 — 1 8 8 3 S y l v e s t e r a n der n e u e n t s t a n d e n e n J o h n H o p k i n s U n i ­ v e r s i t ä t in B a l t i m o r e wirkte. E r h a t dort u. a. die erste der führenden m a t h e m a t i s c h e n Zeitscjiriften A m e r i k a s , d a s „ A m e r i c a n Journal of M a t h e m a t i c s ' ' b e g r ü n d e t . N e h m e n wir als weitere D a t e n , d a ß 1891 die N e w - Y o r k e r M a t h e m a t i s c h e Gesollschaft e n t s t a n d , die sich bald zur „ A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l Society'' erweiterte, d a ß m i t der W e l t ­ a u s s t e l l u n g 1 8 9 3 in Chikago u. a. a u c h ein Mathematischer K o n g r e ß v e r b u n d e n war^), u n d d a ß seit 1900 eigene „Transactions*' der M a t h e ­ m a t i s c h e n Gesellschaft erscheinen. I n diesen A n g a b e n s e h e n wir als E r g e b n i s einer s y s t e m a t i s c h e n A n e i g n u n g europäischer W i s s e n s c h a f t eine i m m e r weiter g e h e n d e E n t w i c k l u n g z u m a t h e m a t i s c h e r S e l b s t ­ s t ä n d i g k e i t , v e r m ö g e deren sich h e u t e A m e r i k a als gleichberechtigt n e b e n die älteren K u l t u r n a t i o n e n s t e h t . A b e r h i e r m i t s i n d nur einige der n a c h a u ß e n h e r v o r t r e t e n d e n M o ­ m e n t e g e n a n n t . J. W . G i b b s , v o n d e m ich hier insbesondere z u er­ z ä h l e n habe, h a t sich d a n e b e n in stiller Zurückgezogenheit e n t w i c k e l t . V o n 1 8 6 6 — 6 9 h a t er in E u r o p a studiert, insbesondere 1 8 6 8 — 6 9 b e i Kirchhoff u n d H e l m h o l t z in Heidelberg. I m übrigen h a t er s e i n g a n z e s L e b e n ( 1 8 3 9 - 1 9 0 3 ) in s e i n e m H e i m a t s s t a a t Connecticut v e r b r a c h t . E r s t 1 8 7 3 erschienen seine ersten b e i d e n Veröffentlichungen (über die D i a g r a m m e der m e c h a n i s c h e n W ä r m e t h e o r i e ) , d e n e n d a n n 1876 b z w . 1878 d i e große A b h a n d l u n g „ O n t h e Equilibrium of H e t e r o g e n e o u s S u b s t a n c e s " folgte, w e l c h e eine der H a u p t g r u n d l a g e n der p h y s i k a ­ h s c h e n Chemie w e r d e n soUte^). Ü b e r V e k t o r a n a l y s i s h a t Gibbs zuerst 1881 b z w . 1 8 8 4 e i n e n L e i t f a d e n für seine S t u d e n t e n (an der U n i v e r s i t ä t N e w - H a v e n ) erscheinen lassen, der später (1901) in erweiterter F o r m v o n W i l s o n als L e h r b u c h h e r a u s g e g e b e n wurde. Kurz v o r s e i n e m T o d e h a t G i b b s n o c h sein W e r k über S t a t i s t i s c h e Mechanik (1902) veröffenthcht. AUes, w a s Gibbs geschrieben h a t , ist innerlich a u s ­ gereift u n d in vortreffhcher Ordnung dargestellt. S o k a n n es n i c h t w u n d e r n e h m e n , d a ß er sich v o n vornherein z u der streng gegliederten L o g i k der G r a ß m a n n s c h e n A u s d e h n u n g s l e h r e h i n g e z o g e n fühlte. E s h a t i h n d a s in vielfache D i s k u s s i o n e n m i t d e n Quaternionisten, in deren T r a d i t i o n er a u f g e w a c h s e n war, geführt^). Gibbs' DarsteUung der V e k t o r a n a l y s i s , die w e i t h i n auf d i e p h y s i ­ k a h s c h e n Kreise w i r k e n sollte, läßt in der T a t d e n Begriff der (4 teiligen) Q u a t e m i o n g a n z b e i s e i t e u n d operiert v o n v o m h e r e i n m i t d e m V e k t o r (des dreidimensionalen R a u m e s ) als solchem. E r h a t d a b e i der aU1) Die Sammlung der dort vorgelegten Arbeiten enthält noch vorwiegend auswärtige, insbesondere deutsche Namen. Ich selbst hielt damals die Vorträge, welche 1894 unter dem Titel „The Evanston Colloquium" herausgegeben wor­ den sind. Vgl. F . Klein, Ges. Abh. Bd. 2, S. 5. 2) Siehe Bd. I, S. 242. 3) Vgl. überall The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, 2 Bde., London 1906.

Β. § 7. Entwicklung der Vektorlehre in den verschiedenen Ländern.

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g e m e i n e n linearen Vektorfunktion H a m i l t o n s , also i n unserer A u s ­ drucksweise der allgemeinen Bilinearform Z^ih^tyk seine besondere A u f m e r k s a m k e i t g e w i d m e t . E s k a n n sein, d a ß eine solche Bilinear­ form i n das P r o d u k t zweier Linearfaktoren zerfällt: Σ bi Xi - Σ ykGibbs bezeichnet sie dann als Dyade. E s scheint i h m einfacher, z u ­ n ä c h s t eine „ D y a d e n r e c h n u n g " z u begründen u n d die allgemeine Bilinearform, die er daraufhin „ D y a d i c " n e n n t , als S u m m e verschie­ dener D y a d e n z u fassen. Offenbar entspricht der D y a d e eine solche Bilinearform, b e i der s ä m t l i c h e U n t e r d e t e r m i n a n t e n der Matrix «11

«12

«13

«32

«33

«21 «31 verschwinden.

Ich k a n n die Sache nicht weiter ausführen.

Mit der F o r m , welche die V e k t o r a n a l y s i s b e i Gibbs g e n o m m e n h a t , s t i m m e n i m w e s e n t l i c h e n die Ausführungen v o n H e a v i s i d e in E n g ­ land . H e a v i s i d e ist den P h y s i k e r n als einer der ersten b e k a n n t , welche Maxwells e l e k t r o m a g n e t i s c h e Theorie auf zahlreiche E i n z e l ­ probleme erfolgreich a n w a n d t e ; u. a. finden sich b e i i h m z u m ersten Male die n a c h Maxwell b e n a n n t e n Differentialgleichungen d e s elektro­ m a g n e t i s c h e n F e l d e s , die M a x w e l l selbst nur m i t W o r t e n umschrieben h a t t e , explizite hingeschrieben. V o n H a u s e aus Telegrapheningenieur, d a n n als P r i v a t m a n n lebend, ist H e a v i s i d e n i e v o n des V e r s t a n d e s B l ä s s e angekränkelt g e w e s e n , sondern h a t , w o er Gelegenheit z u h a b e n g l a u b t e , den g e s u n d e n Menschenverstand m i t H u m o r hervorgekehrt. So sind d e n n gerade seine Ausführungen über V e k t o r a n a l y s i s m i t d e n eingestreuten polemischen Erörterungen sehr a m ü s a n t z u lesen. A n H e a v i s i d e wieder knüpft die erste s e l b s t ä n d i g e D a r s t e l l u n g , w e l c h e die Vektorlehre in D e u t s c h l a n d g e f u n d e n h a t , an. D a s ist A. F ö p p l s „ G e o m e t r i e der Wirbelfelder" (1897), eine Ausführung z u d e n kürzer gefaßten bez. D a r l e g u n g e n i n desselben A u t o r s „ E i n l e i t u n g in die Maxwellsche T h e o r i e " (1894). A u s diesen b e i d e n Veröffent­ lichungen ist später die v o n A b r a h a m b e a r b e i t e t e zweibändige „Theorie der E l e k t r i z i t ä t " e n t s t a n d e n , die jetzt eines der v e r b r e i t e t s t e n L e h r ­ bücher dieses Gebietes ist. Zugleich ist die V e k t o r a n a l y s i s in der einen oder anderen F o r m i n fast alle Lehrbücher der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k oder Mechanik eingedrungen. D a n e b e n sind kleinere K o m p e n d i e n a d h o c i n größerer Zahl e n t s t a n d e n ; ich n e n n e hier i n alphabetischer Reihenfolge Bucherer, Gauß, J a h n k e , I g n a t o w s k i , Valentiner^). U m 1) Vgl. insbesondere Heaviside, Electromagnetic Theory (1894), Bd. 1, S. 132 bis 305: „Elements of vectorial algebra and analysis". 2) Das Buch von Budde: Tensoren und Dyaden im dreidimensionalen Raum, 1913, hat mehr monographischen Charakter.

48

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

fangreicher ist das n e u erschienene, für Techniker b e s t i m m t e b u c h v o n Spielrein.

Lehr­

E s k a n n n i c h t m e i n e A u f g a b e sein, diese einzehien DarsteUungen z u besprechen. A b e r h e r v o r g e h o b e n m u ß w e r d e n , d a ß i n i h n e n mehr oder m i n d e r die Vektorlehre als e t w a s aufgefaßt wird, w a s der traditioneUen a n a l y t i s c h e n Geometrie, d . h . der K o o r d i n a t e n g e o m e t r i e , e n t g e g e n g e s e t z t ist i m d u n a b h ä n g i g v o n ihr e n t w i c k e l t w e r d e n m u ß , vieUeicht gar als Grundlage der K o o r d i n a t e n g e o m e t r i e z u b e t r a c h t e n i s t ; D a s ist also g e n a u d a s Gegenteil v o n der i n v a r i a n t e n t h e o r e t i s c h e n B e h a n d l i m g der Geometrie, die wir hier v e r t r e t e n h a b e n u n d die d e n Gebrauch der K o o r d i n a t e n durch d a s I n t e r m e d i u m der S u b s t i t u t i o n s ­ gruppe m i t der B e w e g l i c h k e i t unserer R a u m a n s c h a u u n g v e r b i n d e t . D e r Gegensatz, u m d e n es sich h a n d e l t , ist i n E n g l a n d e n t s t a n d e n , w o der „poor o l d Cartesian w i t h h i s a x e s " i n d e n p o l e m i s c h e n D a r l e g i m g e n eine s t e h e n d e RoUe spielt ^). W i r h a b e n m m n o c h v o n d e n I t a l i e n e r n z u sprechen. Man k o n n t e v o n v o m h e r e i n v o r a u s s e t z e n , d a ß die G r a ß m a n n s c h e n D o k t r i n e n , s o b a l d sie erst b e k a n n t g e w o r d e n w a r e n , b e i i h n e n eine g u t e A u f n a h m e finden m u ß t e n , insofern der S i n n für g e o m e t r i s c h e DarsteUungsweise w i e für logische G h e d e n m g i n I t a h e n beide sehr aUgemein verbreitet sind. S o veröffentlicht d e n n s c h o n 1888 P e a n o in Turin ein b e a c h t e n s ­ w e r t e s L e h r b u c h : „Calcolo g e o m e t r i c o s e c o n d o Γ A u s d e h n u n g s l e h r e di H . Grassmann, p r o c e d u t o deUe operazioni deUa logica d e d u t t i v a . " V o n der „logica d e d u t t i v a " , w e l c h e die a u s der V i e l d e u t i g k e i t u n ­ serer g e w ö h n l i c h e n Sprache e n t s t e h e n d e n U n s i c h e r h e i t e n durch E i n ­ führung b e s t i m m t e r F o r m e l z e i c h e n für die v e r s c h i e d e n e n A r t e n lo­ gischer V e r k n ü p f i m g b e s e i t i g e n wiU, w e r d e n wir i n e i n e m späteren A b s c h n i t t dieser DaröteUung z u h a n d e h i haben^). H i e r sei nur b e m e r k t , d a ß sich P e a n o in s e i n e m B u c h e auf d e n R a u m v o n 3 D i m e n s i o n e n b e s c h r ä n k t u n d d e n P h y s i k e m s o w e i t e n t g e g e n k o m m t , d a ß er die B e z e i c h n u n g e n V e k t o r usw. a u f n i m m t . A u s der P e a n o s c h e n Schule sind d a n n insbesondere die b e i d e n h e u t i g e n Vorkämpfer der Vektorlehre in I t a l i e n h e r v o r g e g a n g e n : B u r a l i F o r t i (in Turin) u n d M a r c o l o n g o (in N e a p e l ) . I h n e n v e r ­ d a n k e n wir a n L e h r b ü c h e m u . a . die b e i d e n 1909 erschienenen W e r k e : die „ E l e m e n t i di calcolo v e t t o r i a l e c o n n u m e r o s e applicazioni aUa g e o m e t r i a , aUa m e c h a n i c a e alla fisica m a t e m a t i c a " u n d die „Omografie

1) Ursprünglich bei Sir Robert Ball 1887 in seiner amüsanten Rede über die Bedeutung der Schraubentheorie für die Mechanik starrer Körper (British Association, Manchester), Merkwürdig, daß die Herren, welche die Achsen verpönen, trotzdem dem Koordinatenanfangspunkt eine bevorzugte Stellung be­ lassen. «) Klein h a t diesen Abschnitt nicht mehr vollenden können. (H.)

Erläuterungen zum ersten Kapitel.

49

v e t t o r i a l e " (unsere Affinoren). D i e b e i d e n Veröffentlichungen sind neuerdings (1912/13) i n einer z u s a m m e n f a s s e n d e n französischen Übers e t z u n g als „ A n a l y s e vectorielle gonorale" erschienen^).

Erläuterungen z u m ersten Kapitel. 1. S. 3 : „ u n i m o d u l a r ' ' — d. h. m i t der S u b s t i t u t i o n s d e t e r m i n a n t e \ SiJcI = I. Setzt m a n nur | 5,·¾. | ψ O voraus, so ist es aus arithmetischen Gründen z w e c k m ä ß i g , den Invariantenbegriff, z u verallgemeinern; m a n sieht als I n v a r i a n t e n aUe P o l y n o m e J {χχ, . . ., x^) an, die v e r m ö g e (1) die B e d i n g u n g erfüllen: 7 ( ^ 1 , . . . , ^n)=ZK...., O - k . J ^

(P^O, gani^).

N u r für \ SiJcI= 1 erhält m a n also die nächstliegende Invariautendefinition J (x) = J {x'). E n t s p r e c h e n d verfährt m a n bei K o v a r i a n t e n u n d Simultaninvarianten. D e u t e t m a n d i e {x), {x') a l s kartesische P u n k t k o o r d i n a t e n i m w-dimensionalen R a u m u n d betrachtet (1) a l s P u n k t t r a n s f o r m a t i o n in i h m , so ist insbesondere jeder R a u m i n h a l t eines w-dimensionalen Quaders als F u n k t i o n des K o o r d i n a t e n seiner E c k e n eine Simultaninvariante v o n (1) (vgl. § 3 ) ; er multiphziert sich ver­ m ö g e (1) m i t \sijc\, bleibt also nur für |s,fc| = 1 ungeändert. Daher n e n n t m a n die unimodularen S u b s t i t u t i o n e n a u c h „inhaltstreue" (vgl. W . Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I I , Berlin 1923). 2. S. 4, Z. 20. D i e s e Ü b e r l e g u n g ist keineswegs ein einmahger K u n s t ­ griff; vielmehr ist die Methode, F o r m e n w-ten Grades m i t w-ten P o t e n z e n v o n Linearform z u vergleichen, eine der w i c h t i g s t e n der Theorie; s i e führt z u m symbolischen Kalkül (vgl. W e i t z e n b ö c k 1. c. S. 2). D i e T e x t ­ b e h a u p t u n g sei deshalb genauer erläutert. S sei d i e durch (1) induzierte a l l g e m e i n e S u b s t i t u t i o n s m a t r i x der aijc.

T sei die S u b s t i t u t i o n s m a t r i x der Ui Ujc, w e n n m a n die [u) kontragredient z u d e m [x) substituiert; z u b e w e i s e n i s t S=T. Zn diesem Zweck b e a c h t e m a n , d a ß sich die UiUjc außer nach T j e d e n f a l l s a u c h n a c h S substituieren; sie sind ja eins der möglichen S y s t e m e α, Man h a t also Ui Ujc=T {u\ Uj) = S {u\ Uj^. D u r c h S u b ­ traktion erhält m a n daraus N Gleichungen der F o r m O = (S,, -

Γ,,) u^^ + (S,, -

u\

+ · · · + {Si^ -

+ (S,, T^^)

1) Inzwischen erschienen: Marcolongo: Relativitä. Anmerkung 1 zum 3. Kapitel. (H.) Klein, Entwicklung der Mathematik. II.

T^) ( / = 1,

. . N )

Messina 1923. Vgl. auch 4

50

1. Kap. Elementares über die Grundbegriffe.

W ä r e nicht 5 = Γ , so g ä b e es unter diesen Gleichungen eine, in der nicht ahe Koeffizienten der u^Uj^ v e r s c h w i n d e n ; das wäre in der T a t eine lineare B e z i e h u n g z w i s c h e n den ul Uj^; also eine quadratische Glei­ c h u n g in den selbst, i m Widerspruch dazu, d a ß die unabhängig veränderlich sein soUen. 3. S. 7, Z. 4 : W e n n also sechs Zahlen p^^, - · ^34 die Gleichung P = O erfüUen, so gibt e s i m m e r acht Zahlen x^, . . ., x^, y^, . . ., y^, so d a ß p^2 = y2 — ^2!Vi ^SW. B e w e i s siehe A n m e r k u n g 5. 4. S. 10, Z. 4 : E i n V e r f a h r e n , das sowohl in der I n v a r i a n t e n ­ theorie als insbesondere a u c h in der Geometrie sehr w i r k s a m ist. A u s der Linearität u n d H o m o g e n i t ä t der S u b s t i t u t i o n e n , die die K o m p o ­ n e n t e n eines K o m p l e x e s erleiden, folgt n ä m l i c h : a) E i n K o m p l e x verschwindet identisch (d. h. seine s ä m t h c h e n K o m ­ p o n e n t e n sind in j e d e m K o o r d i n a t e n s y s t e m N u l l ) , w e n n seine K o m ­ p o n e n t e n in i r g e n d e i n e m K o o r d i n a t e n s y s t e m NuU sind. b) Addiert m a n kogrediente K o m p l e x e n a c h der R e g e l der Ma­ trizenaddition, so ist die S u m m e ein den S u m m a n d e n kogredienter K o m p l e x , m a n „darf* also K o m p l e x e a d d i e r e n ; analog „ d a r f m a n K o m p l e x e m i t K o n s t a n t e n b z w . I n v a r i a n t e n multiplizieren. A u s a) u n d b) ergibt s i c h : H a b e n zwei kogrediente K o m p l e x e in e i n e m s p e z i e l l e n Koordinatensystem gleiche K o m p o n e n t e n , so in j e d e m ; d e n n d a n n h a t die Differenz der b e i d e n K o m p l e x e in SQ v e r s c h w i n d e n d e K o m p o n e n t e n , also v e r s c h w i n d e t sie identisch. D i e K o m p l e x e sind gleich. W i e i m T e x t k o m m t e s daher, u m Gleichungen z w i s c h e n K o m p l e x e n a u f z u s t e h e n , i m m e r darauf a n , ein K o o r d i n a t e n s y s t e m z u g r u n d e ­ zulegen, in d e m die K o m p l e x k o m p o n e n t e n m ö g l i c h s t einfache W e r t e haben. 5. S. 10, Z. 1 5 : H i e r a u s folgt der B e w e i s der in A n m e r k u n g 3 for­ mulierten Behauptung: D i e pij, steUen eine Gerade dar, w e n n sie nicht alle N u U s i n d ; die Zahlen x^ . . . x^, y^ . . . y^ m ü s s e n die h o m o g e n e n K o o r d i n a t e n zweier P u n k t e dieser Geraden sein. D i e s e P u n k t e m ü s s e n sich auf der Geraden n o c h verschieben l a s s e n ; m a n w i r d sie z w e c k m ä ß i g auf z w e i K o o r d i ­ n a t e n e b e n e n w ä h l e n . S e t z e n wir a n X2 = 0, y^ = 0, d a n n h a t m a n die Gleichungen z u erfüllen:

^ 1 4 = ^1^4

p2B = Hy2 i>2. = -Hy2 ίί>34 = ^ ^ 4 - ^ 4 ^ 3 .

N e h m e n wir + O an (sonst h ä t t e m a n andere K o o r d i n a t e n e b e n e n a u s z e i c h n e n m ü s s e n ) . S e t z e n wir x^^ = l, so b e s t i m m e n sich die n o c h freien y2, y^, y^, x^, X4, e i n d e u t i g u n d endlich a u s d e n ersten fünf Glei­ c h u n g e n . D i e l e t z t e ist w e g e n P = O v o n selbst erfüUt.

Erläuterungen zum ersten Kapitel.

51

Verschwinden alle ^^¾., so läßt sich die Forderung p^k = ^iVk — HJi offenbar bei wiUkürhchen u n d m i t willkürlichem ν durch y,. = vx^ erfüllen. 6. S. 15, Z. 16 V. U.: N a c h d e m in A n m e r k u n g 4 erklärten Prinzip folgt daraus der Satz f ü r w = 4 a l l g e m e i n , w e n n m a n zeigt, d a ß die Ausdrücke D\ D", . . . I n v a r i a n t e n s i n d ; dies ist m i t Hilfe des D e t e r m i n a n t e n m u l t i p l i k a t i o n s s a t z e s leicht nachzurechnen. 7. S. 15, Z. 5 V. U.: ,,Zugrundelegung" — d. h. unter B e s c h r ä n k u n g auf S u b s t i t u t i o n e n , die dieses / unverändert lassen. 8. S. 2 1 , Z. 1: „ K o n t i n u i t ä t s g e d a n k e " . — Hierauf gründet sich das „ H e s s e - K l e i n s c h e Übertragungsprinzip". Man deutet die Koeffi­ zienten einer F o r m b z w . die K o m p o n e n t e n eines K o m p l e x e s als Koor­ d i n a t e n in e i n e m n e u e n R a u m , d e m „ F o r m e n r a u m " . Jeder P u n k t ­ transformation des ursprünglichen R a u m e s entspricht d a n n eine P u n k t ­ transformation des F o r m e n r a u m e s . So erhalten die „induzierten S u b s t i t u t i o n e n " ein geometrisches Bild. E i n e erfolgreiche A n w e n d u n g des Verfahrens m a c h t z. B . die Arbeit v o n P. J. Myrberg: U n t e r ­ s u c h u n g e n über die a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n b e h e b i g vieler Variabein, A c t a m a t h . 46, S. 2 1 5 — 3 3 6 . 1925. 9. S. 23, Z. 9 : D i e U n t e r s c h e i d u n g v o n s y m m e t r i s c h e n u n d a n t i ­ s y m m e t r i s c h e n K o m p l e x e n ist grundlegend. E s zeigt s i c h , daß die linearen Größen allgemeinster Art sich additiv, u n d zwar i m all­ g e m e i n e n eindeutig z u s a m m e n s e t z e n lassen aus s y m m e t r i s c h e n , alternie­ renden u n d anderen K o m p l e x e n , die durch gewisse allgemeinere P e r m u ­ tationsregeln gekennzeichnet s i n d ; alle diese R e g e l n sind wirkliche Eigenschaffen der Komplexe, unabhängig v o m K o o r d i n a t e n s y s t e m . Vgl. B . V. d. W a e r d e n : I d e n t i t ä t e n der Invariantentheorie. Math. A n n . 95. 1926. 10. S. 2 7 : K l e i n h a t t e für den F o r m a h s m u s geometrischer D a r ­ stellung u n d R e c h n u n g lebhaftes Interesse, u n d gewisse P o l e m i k e n über den Wert der projektiven Geometrie, über das Erlanger P r o g r a m m , über die vektorieUe Schreibweise u n d ä h n h c h e s kehren in seinen Schriften u n d Vorlesungen mehrfach wieder. D e r Herausgeber glaubt, das meiste hiervon in diesem B u c h u m so mehr unterdrücken zu dürfen, als die formale E n t w i c k l u n g der R e l a ­ t i v i t ä t s t h e o r i e u n d Differentialgeometrie den Zustand, den K l e i n vor A u g e n h a t t e , überschritten hat. Fortgelassen ist in d i e s e m A b s c h n i t t der Schlußparagraph des M a n u s k r i p t s : „§ 8. Moderne Versuche zur Vereinheithchung der V e k t o r ­ b e z e i c h n u n g e n . " Stark gekürzt sind §§ 1 , 2 . § 3 folgte ursprünghch auf § 6. D i e s e A n o r d n u n g war w o h l nur in der zwangloseren F o r m der Vor­ lesung gerechtfertigt, aus der dieses B u c h erwachsen ist. 11. S. 3 5 : Zu §§ 4, 5. Seit d e m Durchdringen der allgemeinen R e ­ lativitätstheorie h a t sich der Sprachgebrauch geändert, weil durch sie 4*

52

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

der Riccikalkül stärkere B e a c h t u n g gefunden h a t als vorher; die B e ­ griffe Vektor, Tensor usw. bleiben nicht mehr auf die orthogonale Gruppe beschränkt, sondern w e r d e n durch den Riccikalkül in die Differential­ geometrie der allgemeinen Punkttransformationen eingeführt. A u c h die Art, w i e in §§ 4, 5 I n v a r i a n t e n , V e k t o r e n u n d Tensoren berechnet w e r d e n , läßt sich v o m Riccikalkül her leichter übersehen. Vgl. A n ­ merkung 1 z u m dritten Kapitel. 12. S. 38, Z. 3 1 : H e r l e i t u n g : λ,^ ist k o n t r a g r e d i e n t zu ^tJhJi^k = Pik' n a c h S. 15 F o r m e l (13') Zp\k invariant ist, substituieren sich die ^^¾. orthogonal. D a h e r ist n a c h der Schlußweise S. 3 6 a u c h k o g r e d i e n t z u ^,•^, ZKk u n d Λ sind in der T a t I n ­ v a r i a n t e n , u n d die ^ substituieren sich orthogonal.

Zweites

Kapitel.

Die spezielle Relativitätstheorie in M e c h a n i k u n d m a t h e m a t i s c h e r P h y s i k . E s wird sich n u n m e h r u m die A n w e n d u n g h a n d e l n , welche sich den einfachen i m vorigen K a p i t e l auseinandergesetzten Theorien neuerdings in Mechanik u n d m a t h e m a t i s c h e r P h y s i k erschlossen h a t . W i r werden d a b e i d e m herrschenden Sprachgebrauch der P h y s i k e r die K o n z e s s i o n m a c h e n , d a ß wir d u r c h w e g n i c h t m e h r v o n der I n v a r i a n t e n t h e o r i e r e l a t i v z u einer v o r g e l e g t e n Gruppe hnearer (später a u c h nichthnearer) S u b s t i t u t i o n e n , sondern v o n der R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e einer Gruppe reden. I n der T a t ist, w e n n m a n d e n D i n g e n auf d e n Grund g e h t , d a s W o r t , , R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e ' ' i m m e r m i t R ü c k s i c h t auf eine vorgelegte Gruppe z u v e r s t e h e n u n d es liegt nur an der U n g e n a u i g k e i t unserer Sprache, w e n n sich d a n e b e n , a u c h bei hervorragenden A u t o r e n , i m m e r wieder gelegentlich die Auffassung g e l t e n d m a c h t , als h a n d e l e es sich schlecht­ w e g d a r u m , B e w e g u n g als e t w a s „ R e l a t i v e s " aufzufassen. E h e wir u n s d e m H a u p t g e g e n s t a n d dieses K a p i t e l s , der Re­ lativitätstheorie der Lorentzgruppe, z u w e n d e n , m ü s s e n wir lernen, w i e in der klassischen Mechanik (insbesondere der H i m m e l s m e c h a n i k , die m a n als d e n A n f a n g aller m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k a n z u s e h e n h a t ) , v o n jeher, d. h. seit ihrer B e g r ü n d u n g durch Gahlei u n d N e w t o n , in e n t ­ sprechender W e i s e eine ausgeartete Form der Lorentzgruppe zur Gel­ t u n g g e k o m m e n ist. S e l b s t v e r s t ä n d l i c h ursprünghch so, d a ß m a n sich dessen nicht b e w u ß t war. U m so reizvoller ist es, gewisse H a u p t s ä t z e der H i m m e l s m e c h a n i k n u n hinterher e n t s p r e c h e n d den u n s geläufigen g r u p p e n t h e o r e t i s c h e n G e s i c h t s p u n k t e n z u ordnen.

Α. § 1. Definition und Bedeutung der Gruppe.

A.

Die klassische Himmelsmechanik

Relativitätstheorie der

53

und

die

Galilei-Newton-Gruppe.

§ 1. Definition und Bedeutung der Gruppe, von den Differentialgleichungen des ti-Körperproblems aus. Wir wollen hier nicht mit allgemeinen Erörterungen über das Träg­ heitsgesetz (aufgestellt von Gahlei um 1602) oder mit Newtons all­ gemeiner Gravitation (Philosophiae naturahs principia mathematica, i687) beginnen, sondern gleich in medias res treten. Die Differential­ gleichungen des w-Körperproblems, wie man sie heute in allen Lehr­ büchern findet, lauten:

= 1.

^

y^^^2^^^yj^

=

n).

Hier ist κ^ die sogenannte Gravitationskonstante: «2 = 6,675-10-8 [cm2 gr-i sec^^]. An diese Gleichungen gehen wir sofort mit der Frage heran, bei welchen linearen Substitutionen der Veränderlichen x, y , z, t sie un­ geändert bleiben. Am nächsten liegt es für den Physiker vielleicht, mit sogenannten Dimensionsbetrachtungen zu beginnen. Die Gleichungen 1 bleiben bei der „Ähnlichkeitstransfontiation": (1) Xi = X^Xi. Vi = X^Ji. h = X^Zi, f = XH ungeändert und jedermann sieht, wie diese bei dem sogenannten 3. Keplerschen Gesetze („die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die Kuben der halben großen Achsen") durchleuchtet. In­ dessen zeigt sich, daß gerade dieser Ansatz (1) später nicht ver­ allgemeinerungsfähig ist, und so mag er, so bedauerlich das erscheinen mag, weiterhin beiseite bleiben. Ferner aber bleiben unsere Gleichungen ersichtlich ungeändert: a) bei einer behebigen Parallelverschiebung des (x, y , -2:)-Systems: (2)

4 = χ, + ξ^^ %· = ^ · + ΐ 2 ,

ζ· = ζ^ +

ξ^,

b) bei seinen „Drehungen um den Koordinatenanfangspunkt" oder

54

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

a u c h seinen „ U m l e g u n g e n bei festgehaltenem 0'\ gonalen Substitutionen:

(3)

d. h. bei den ortho­

\yi = ^2^i + ß2yi + y2Zi < = c^z^i + ßzyi

+ yzZi

v o n der D e t e r m i n a n t e + 1 oder — 1. c) weiterhin aber bei S u b s t i t u t i o n e n , welche t enthalten, n ä m l i c h bei der trivialen Operation: (4)

= ± ^ + f4

u n d bei den S u b s t i t u t i o n e n : (5)

Xi = Xi+e,t,

yi-=yi-^e2t,

h =

z,-^e^t,

w e l c h e eine mit, der Zeit gleichförmig fortschreitende Parahelverschieb u n g d e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s der x, y, ζ b e d e u t e n (während bei den Ä n d e r u n g e n (2), (3) die Zeit überhaupt n i c h t beteiligt i s t ; unsere Sprache ist wieder z u unbeholfen, u m den hier vorliegenden prinzi­ piellen Gegensatz m i t e i n e m kurzen W o r t klar z u bezeichnen). H i e r g e b e n die F o r m e l n (2) u n d (3) (deren jede 3 u n a b h ä n g i g e P a r a m e t e r enthält) z u s a m m e n diejenige Gg, welche m a n neuerdings w o h l als euklidische Gruppe b e z e i c h n e t , d. h. die G e s a m t h e i t der k o n ­ g r u e n t e n U m ä n d e r u n g e n d e s {x, y, 2:)-Systems. D u r c h die Operationen (4) u n d (5) w i r d sie z u einer G^Q erweitert, u n d diese G^Q ist es, welche m a n die Galilei-Newton-Gruppe n e n n t . I n d e m m a n f e s t h ä h , d a ß die

(:: I

q

eine orthogonale Matrix bilden sollen, wird sie durch d a s F o r m e l s y s t e m gegeben sein: < = y^lXi + ßlyi JJ

yi-y^2^i

+ ylZ, + eJ + ξ^

+ ß2y^ + γ2h + e2t + ξ2

< = Ci^Xi + ßzyi + 73^i + «3^ + ± ^ +^4 D i e innere B e d e u t u n g dieser zehngliedrigen Gruppe aber w o h e n wir gleich in die W o r t e fassen, d a ß m a n a u s der klassischen H i m m e l s ­ m e c h a n i k (die in d e n Gleichungen I ihren reinsten A u s d r u c k findet), nm: solche E i g e n s c h a f t e n d e s S o n n e n s y s t e m s g e w i n n e n k a n n , welche relativ zur Gruppe invariant sind. D i e s ist, w a s die e u k h d i s c h e Gruppe (2) (3) a n g e h t , k a u m je als eine besondere E r k e n n t n i s e m p f u n d e n worden. Mehr Interesse h a b e n i m m e r die S u b s t i t u t i o n e n (4) u n d (5)

Α. § 1. Definition und Bedeutung der Gruppe

55

gefunden. D a ß m a n b e i t das Vorzeichen u m k e h r e n darf, h a t m a n als „ R e v e r s i b i l i t ä t " der B e w e g u n g e n b e z e i c h n e t : ich darf Vergangenheit u n d Zukunft v e r t a u s c h e n ; d e n k e ich mir in einem M o m e n t alle Geschwindigkeiten imigekehrt, s o läuft die B e w e g u n g g e n a u so rück­ w ä r t s , w i e sie vorher vorangeschritten war. A n d i e S u b s t i t u t i o n e n (5) h a t m a n vielfach die Aussage geknüpft, d a ß der „ S c h w e r p u n k t des S o n n e n s y s t e m s m i t u n b e k a n n t e r Geschwindigkeit in u n b e k a n n t e r R i c h t u n g gleichförmig fortschreite". Ü b e r gleichförmige Translation läßt sich eben infolge der S u b s t i t u t i o n e n (5) keinerlei absolute A n g a b e machen. Ganz anders ist es m i t Transformationen w i e d i e s e : x' = xcosxp

+ ysin^p,

gleichförmiger

y' = -

Rotation.

χ - sin ψ + y

Orthogonale

cos ψ,

w o ψ m i t t proportional wäre, k o m m e n eben in unserer Gruppe nicht vor. I c h erörtere n o c h beiläufig einen anderen P u n k t . Man bezeichnet die Kraftwirkung der Gravitation g e m ä ß I oft als „FernWirkung", i m Gegensatz z u einer durch das räumliche Medium v e r m i t t e l t e n N a h w i r k u n g . E s heißt dies w i r k h c h , die äußere Darstellungsform über­ s c h ä t z e n . Schreibe ich e t w a (um m i c h hier kürzer ausdrücken zu können) statt I:

so läßt sich jeder T e r m der hier auftretenden potentiellen Energie

(β)

'^=-"'Σ"-^

als „ G r u n d l ö s u n g " einer partiellen Differentialgleichung = O inter­ pretieren. I n d e m wir die partielle Differentialgleichung heranziehen, sind wir i m Bereich der N a h e w i r k u n g s t h e o r i e n . N i c h t ein W e c h s e l in der logischen Grundlage, sondern in den psychologischen B e g l e i t vorsteUungen h a t s t a t t g e f u n d e n . D a s k a n n für b e s t i m m t e Zwecke, z. B . für den E x p e r i m e n t a t o r oder den konstruierenden Techniker sehr förderlich sein, aber i m abstrakt m a t h e m a t i s c h e n Sinne ist nichts geändert. A l s w e s e n t l i c h für die Gleichungen I werden wir v i e l m e h r a n ­ s e h e n , d a ß in i h n e n das t n i c h t explizite auftritt, d a ß b e i i h n e n die Gravitation als „ I n s t a n t a n w i r k u n g " , die nur v o n der augenblicklichen K o n s t e l l a t i o n d e s S y s t e m s a b h ä n g t , nicht als „retardierte W i r k u n g " erscheint. D a s is-t ein Gegensatz, auf den wir in der F o l g e wiederholt z u r ü c k k o m m e n werden. D i e Variable t spielt ja a u c h ersichthch b e i der Galilei-NewtonGruppe I I ihre besondere Rolle. W i r wollen der Anschaulichkeit w e g e n x,y, z, t als P u n k t k o o r d i n a t e n eines vierfach a u s g e d e h n t e n R a u m e s

56

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

interpretieren; in i h m h e g t ,,übereinander g e s c h i c h t e t " die einfach u n e n d h c h e Schar der dreidimensionalen R ä u m e t = const. W i r wollen ferner die S u b s t i t u t i o n e n unserer Gruppe nicht m e h r als W e c h s e l des K o o r d i n a t e n s y s t e m s i m R a u m d e u t e n , sondern als Transformationen des R a u m e s in sich b e i f e s t g e h a l t e n e m K o o r d i n a t e n s y s t e m . E s ist dann freilich m ö g l i c h , jeden P u n k t x, y, z, t in jeden anderen x', y', z\ t' überzuführen, aber die Mannigfaltigkeiten t const v e r ­ t a u s c h e n sich dabei untereinander nur w i e die B l ä t t e r eines B u c h e s bei u m g e ä n d e r t e r ( e v e n t u e h auch invertierter) Paginierung. D i e Gruppe ist transitiv, aber sie ist nicht primitiv. D a d u r c h b e k o m m t die Geometrie unseres R a u m e s einen besonderen Charakter. B e i allen Transforma­ tionen bleibt (^i — ungeändert. Ist es insbesondere v o n Anfang an 0, so bleibt es 0 : der Begriff der Gleichzeitigkeit zweier Punkte ist der Gruppe gegenüber etwas Absolutes. D i e s e einfachen Verhältnisse werden hier selbstverständlich nur b e ­ sprochen, u m auf die d a v o n a b w e i c h e n d e n B e z i e h u n g e n bei der Lorentz­ gruppe vorzubereiten. I m übrigen h a t die Sonderstellung, welche der Variablen t b e i der G a h l e i - N e w t o n - G r u p p e z u k o m m t , auf die geschicht­ liche E n t w i c k l u n g der Mechanik e n t s c h i e d e n h e m m e n d eingewirkt. T r o t z d e m bereits L a g r a n g e die Mechanik als eine Geometrie v o n 4 D i ­ m e n s i o n e n b e z e i c h n e t e , h a t m a n v o n dieser Auffassung erst neuerdings wirkhchen Gebrauch g e m a c h t . Alle älteren A u t o r e n h a t t e n i m m e r nur die E u k l i d i s c h e Gruppe v o r A u g e n u n d b r a c h t e n die Transformationen (4) u n d (5), o b w o h l sie sie natürlich k a n n t e n , nicht m i t ihr in Z u s a m m e n ­ h a n g . So ist es m i r selbst g e g a n g e n , als ich m e i n Erlanger P r o g r a m m schrieb. I c h erinnere m i c h d e u t h c h , d a ß ich die B e m e r k u n g v o n La­ grange nicht e t w a übersehen h a t t e , aber g l a u b t e , sie in m e i n Gruppen­ prinzip nicht einordnen z u k ö n n e n ^). Erst das H e r v o r k o m m e n der Lorentzgruppe h a t die M a t h e m a t i k e r auf eine richtigere E i n s c h ä t z u n g der G a h l e i - N e w t o n - G r u p p e geführt. E i n e h ö c h s t m e r k w ü r d i g e Sache, die wir u n s n u n n o c h an e i n e m besonderen Beispiel klarmachen woUen.

§ 2. Von den l o allgemeinen Integralen des t%-Körperproblems der klassischen Mechanik. I n J a c o b i s V o r l e s u n g e n über D y n a m i k (gehalten 1 8 4 2 — 4 3 in K ö ­ nigsberg, h e r a u s g e g e b e n v o n Clebsch 1866, Werke, S u p p l e m e n t b a n d , Beriin 1884) — auf die ich m i c h hier beziehe, weil sie das Vorbild der m e i s t e n m o d e r n e n DarsteUungen sind, —- werden die b e k a n n t e n 1) Ich hatte früher immer, wenn ich mich recht erinnere, von der (an sich gänzlich trivialen) Substitution tf ^ t abgesehen, wodurch dann für mich der Eindruck entstand, daß es sich im Räume der x, y, z, t um eine nicht-transitive Gruppe handele! Mit dieser ließ sich dann freilich keine eigentliche Geometrie des J?4 machen.

Α. § 2. Von den 10 allgemeinen Integralen des n-Körperproblems.

57

1 0 allgemeinen Integrale der Differentialgleichungen I in der R e i h e n ­ folge abgeleitet, d a ß zuerst v o n der Erhaltung der B e w e g u n g d e s Schwerpunktes, dann v o m Prinzip der lebendigen Kraft, endlich v o n der Erhaltung der Flächenräume d i e R e d e i s t . W i r h a b e n also zunächst d i e 3 ersten Schwerpunktsintegrale (die „Impulssätze''), d i e ich s o schreibe

Σ^^^^ = A,

(7)

Σ^^h

Σ^^y^ = A2,

=

K

aus denen sich durch unmittelbare Integration die 3 zweiten Schwer­ punktssätze ableiten: (8)

Zm^Xi

= A^t-^Bi,

Zm^Ji

= A^tB^.

Σηι,ζ^ = A^t + B,,

Sodann den Satz v o n der E r h a l t u n g der E n e r g i e : T+U

(9)

{woτ

= ^Σ^^{χ!

+ y! + z!)

= h und

u^-k^^J"^)-

E n d l i c h die 3 Flächensätze, d i e i c h ebenfaUs ausführlich hinschreibe: .

ΣntΛy^i^-z,y,)=Cι,

Zm^z^'x,-XX)=C^.

Σ^A
= c^,

D i e Ableitung dieser Sätze geschieht b e i Jacobi nur z u m Teil i n m o d e r n e m Sinn s y s t e m a t i s c h , nämlich b e i d e n Gleichungen ( 7 ) u n d ( 1 0 ) , b e i denen die infinitesimalen Transformationen herangezogen werden, welche die eukhdische Gruppe enthäU. I n d e m i c h m i t d e m B u c h s t a b e n b i m m e r unendlich kleine Zuwüchse b z w . unendlich kleine K o n s t a n t e bezeichne, habe i c h zunächst d i e infinitesimalen Verschie­ bungen bx^b^i, sodann die infinitesimalen

by= Z'b^ bz = — y ' bφ

by=^

= öla.

Drehungen

bz= xbx bx = —zbx

bx= y'bψ by= — x-bxp .

Diese infinitesimalen Inkremente der Koordinaten trägt n u n Jacobi in d e n Satz für d i e virtuellen Verrückungen ein u n d g e w i n n t eben dadurch d i e Gleichungen ( 7 ) u n d ( 1 0 ) . D i e Gleichungen ( 8 ) u n d ( 9 ) werden darauf, w a s natürlich ganz einfach i s t , durch formale Integra­ tion g e w o n n e n , wodurch sie aber un verbunden, als isolierte T a t s a c h e n , neben ( 7 ) u n d ( 1 0 ) stehen. D e m g e g e n ü b e r h a t d i e B e t r a c h t u n g der Lorentzgruppe d e n prin­ zipieU wichtigen Fortschritt ergeben, d a ß die Energiegleichung ( 9 ) den ersten Schwerpunktssätzen angereiht werden m u ß , d i e z w e i t e n Schwerpunktssätze ( 8 ) aber d e n Flächensätzen ^), entsprechend d e n 1) Vgl. die Angabe bei Herglotz, Ann. d. Phys. (4), Bd. 36.' 1911, S. 512—513 (Über die Mechanik des deformierbaren Körpers usw.).

58

2. K a p . Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

infinitesimalen Transformationen, welche die Galilei-Newton-Gruppe über die Euklidische Gruppe hinaus enthält. U n d zwar h a t m a n d a s Integral der lebendigen Kraft m i t der infinitesimalen Transformation z u koordinieren

die z w e i t e n S c h w e r p u n k t s s ä t z e aber d e n folgenden drei:

In direkter W e i s e i s t dies auf m e i n e n W u n s c h neuerdings v o n E n g e l durchgeführt worden ^). E s i s t aber leider unmöglich, d e n E n g e i s c h e n A n s a t z hier z u reproduzieren, w e i l d a z u ein längerer E x k u r s über die Lieschen Integrationstheorien solcher Differentialgleichungssysteme, welche eine b e s t i m m t e kontinuierliche Gruppe v o n Transformationen zulassen, n o t w e n d i g sein würde. W i r m ü s s e n u n s i n der gegenwärtigen Darstellung darauf b e s c h r ä n k e n : 1. weiter u n t e n nachzuweisen, d a ß sich die in R e d e s t e h e n d e Auffassung i n der T a t ergibt, w e n n m a n die Galilei-Newton-Gruppe als einen GrenzfaU der Lorentzgruppe b e t r ä c h t e t , 2. hier nachzuweisen, d a ß g e m ä ß den S u b s t i t u t i o n e n (5) in der T a t ein Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n d e n F l ä c h e n s ä t z e n u n d d e n z w e i t e n Schwer­ punktssätzen besteht. W a s z u n ä c h s t die lebendige Kraft a n g e h t , s o h a t bereits Ignaz S c h ü t z d e n betreffenden Z u s a m m e n h a n g in einer merkwürdigen N o t e in d e n Göttinger N a c h r i c h t e n v o n 1897 (die d e n T i t e l t r ä g t : Prinzip der absoluten E r h a l t u n g der Energie) dargelegt. S e t z t m a n i n die Formel

\ZM^l

+ yl + zh + u=h

für Xy y, Z b z w . x + Sit, y + e^t, ζ + e^t u n d verlangt, d a ß die neue Summe Y I^i{{Xi

+ Bl)^+ {Vi + HY+

{^i + SQY) + V

bei beliebigem εχ, eg, ebenfalls k o n s t a n t sei, so s t e h e n darin v o n selbst die drei ersten S c h w e r p u n k t s s ä t z e (Impulssätze): 2;m^=A>

· · -

····

D e n s e l b e n A n s a t z m a c h e n w i r jetzt b e i d e n F l ä c h e n s ä t z e n : 2 ; m , ( y , i , - z , y , ) = Ci u s w . W i r erhalten d a n n linker H a n d als Zusatzglieder: ΒΛΣ^η^ν^ - ^ A y , ) - ε ^ { Σ ^ Λ - ΐ Σ < ζ ^ ) ,

...,

W i r v e r l a n g e n wieder, d a ß t r o t z d e m die Unken Seiten 1) Gött. Nachr. 1916, H . 2.

.... Konstanten

Β. I. § 1. Die Maxwellschen Gleichungen für den freien Äther. gleich sein sollen (wie a u c h die ε^, ε^, g i b t Gleichungen v o n der F o r m :

g e w ä h l t sein m ö g e n ) .

59 Dies

u n d w e n n wir hier n o c h für Σηι,χ^, ihre W e r t e aus den ersten S c h w e r p u n k t s s ä t z e n eintragen, h a b e n wir die z w e i t e n S c h w e r p u n k t s ­ sätze, w a s z u b e w e i s e n war. D e r Fortschritt über die Jacobische Darstellung h i n a u s ist unver­ kennbar. Man k o m m t zu der F o r d e r u n g : J e m a n d m ö g e n u n ü b e r h a u p t eine s y s t e m a t i s c h e Invariantentheorie (Relativitätstheorie) der GalileiN e w t o n - G r u p p e ausarbeiten, w i e wir dies für die h o m o g e n e orthogonale Gruppe g e l e g e n t h c h der Burkhardtschen Arbeit a u s e i n a n d e r s e t z t e n ( K a p . I B , § 6 ) . D a r i n würde eingeschlossen sein, w a s u . a . S t u d y u n d W e i t z e n b ö c k für die Euklidische Gruppe geleistet h a b e n i ) . N i e m a n d wird n a t ü r h c h erwarten, d a ß dadurch die praktische B e h a n d ­ l u n g des ^i-Körperproblems I irgend geändert werden würde. A b e r vieUeicht b e k ä m e m a n einen verbesserten Einblick in die innere Zweck­ m ä ß i g k e i t der e l e m e n t a r e n A n s ä t z e betr. Variablen w ä h l usw., w i e m a n sie d e m natürlichen Gefühl folgend v o n jeher getroffen h a t .

B. Die Maxwellsche Elektrodynamik u n d die Relativitätstheorie der L o r e n t z g r u p p e . W i e oben unter A werden wir wieder s t a t t sonstiger, weiter a u s ­ greifender Ü b e r l e g u n g e n ein S y s t e m einfachster Differentialgleichungen an die Spitze steUen u n d n a c h den linearen S u b s t i t u t i o n e n der v o r ­ k o m m e n d e n Variablen fragen, b e i denen es ungeändert bleibt. Ü b e r ­ h a u p t werden unsere Ü b e r l e g u n g e n — auch die historischen E x k u r s e , die wir einflechten — w e s e n t l i c h m a t h e m a t i s c h e r Art sein u n d v o n der B e z i e h u n g auf die P h y s i k nur R i c h t u n g u n d Interesse b e ­ k o m m e n . Vielleicht, d a ß die so e n t s t e h e n d e in sich geschlossene D a r ­ stellung w e g e n der E i n h e i t h c h k e i t des G e d a n k e n g a n g e s gerade a u c h für den P h y s i k e r Interesse h a t .

I· E i n l e i t e n d e s . § 1. Die Maxwellschen Gleichungen für den freien Äther. V o n MaxweU selbst ist schon in B d . 1, K a p . V ausführlich die R e d e g e w e s e n u n d es ist dort insbesondere s c h o n gezeigt w o r d e n , d a ß die 1) S t u d y , E . : Geometrie der Dynamen. Leipzig 1903. — W e i t z e n b ö c k , R.: Über Bewegungsinvarianten. Wiener Sitzungsberichte I9l3ff.

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

60

M a x w e l l s c h e n Gleichungen für den freien Ä t h e r — w e l c h e A u s g a n g s ­ p u n k t u n d Grundlage für die g e s a m t e n E n t w i c k l u n g e n unseres n e u e n K a p i t e l s sein sollen — in m a t h e m a t i s c h e r H i n s i c h t m i t den Gleichungen ü b e r e i n s t i m m e n , w e l c h e Mac Cullagh 1839 für das v o n i h m erdachte o p t i s c h e M e d i u m , sofern wir dieses isotrop n e h m e n , aufgestellt hat. W i r schreiben die Gleichungen hier gleich i n der F o r m h i n , die ihnen H e a v i s i d e u n d H e r t z erteilt h a b e n . H e a v i s i d e b e d i e n t sich der vektprieUen Schreibweise. D i e beiden Vektorfelder, deren Träger der Ä t h e r i s t : der elektrische V e k t o r E^) u n d der m a g n e t i s c h e V e k t o r H n a c h MaxweUs B e z e i c h n u n g 2), sind d a n n durch folgende Gleichungen v e r b u n d e n : a)

~ = cunH

b)

^

= —curlE,

z u d e n e n , m i t i h n e n v e r t r ä g h c h , n o c h die b e i d e n D i v e r g e n z b e d i n g u n g e n treten a)

aivE

= 0

b)

aivH

=

0.

H e r t z m a c h t v o n der ausführlichen Schreibweise in K o m p o n e n t e n Gebrauch, w o r a n wir u n s hier m i t R ü c k s i c h t auf die durchzuführenden E i n z e l r e c h n u n g e n a n s c h h e ß e n . E r b e n u t z t dabei ein Linkskoordinaten­ s y s t e m . Z , Y , Z ist der elektrische, L, M , N der m a g n e t i s c h e Vektor. Man h a t d a n n die 2 R e i h e n v o n j e d e s m a l 4 G l e i c h u n g e n : dN 1 dX __dM C dt " ~ " ä T dV ' C dt dz ~ dN

dL

dL 1 dZ C dt "~ dy

dM dx

1 dY C "dt

dX O "'dx

1 dM

dz

dL

dY dy '

dy dx

, dM

^ dN

D i e A b h ä n g i g k e i t aber, die z w i s c h e n den vier Gleichungen der einzehien R e i h e b e s t e h t , schreibt sich s o : n^

d{)

.d{)

.d{)

\

d{)

I n I u n d I I t r e t e n die X, Y , Z u n d L , M , iV, w i e m a n sieht, durch­ aus koordiniert auf. D i e s i s t aber nur der FaU, w e i l wir u n s auf die Gleichungen für den freien Ä t h e r beschränken. W i r w e r d e n v o n dieser K o o r d i n i e r u n g also w e i t e r h i n keinen Gebrauch m a c h e n . 1) Electrician. 2) Ich zweifle nicht, daß Maxwell bei der Wahl dieser Bezeichnungen die griechischen Buchstaben Epsilon und E t a einander entgegenstellen wollte. Aus dem E t a bzw. dem englischen Etsch ist dann das bei unsern Physikern übliche deutsche ^ geworden.

Β. I. § 1. Die Maxwellschen Gleichungen für den freien Äther.

61

W i r setzen n o c h die einfachen F o r m e l n her, die sich aus I u n d I I ergeben, w e n n m a n aus ihnen durch Differentiation d e n m a g n e t i s c h e n oder den elektrischen Vektor eliminiert (vgl. B d . 1, S. 244). W i r wollen dabei, nach e i n e m auf Cauchy zurückgehenden Vorschlage, d e n in der F o l g e immer wieder auftretenden Operator

s e t z e n . Man findet d a n n für d e n elektrischen Vektor die aus der tradi­ tionellen Optik w o h l b e k a n n t e n Gleichungen (3)

a x = 0,

• Y = O,

• Z = O;

^^f + ^

+ ^

= o^

-|^ + ^ ^ + ^

= o.

u n d natürlich ebenso für d e n m a g n e t i s c h e n V e k t o r : (4)

• L = O,

• M = O,

• I V = O;

N u n aber bringen wir d e n G e d a n k e n g a n g der bisherigen B e t r a c h ­ t u n g heran u n d fragen: Gibt es lineare Substitutionen der x, y, z, t und der X, Y , Z, L , M , N, bei denen unsere Gleichungssysteme invariant sind? D i e F o r m des Operators • gibt einen ersten A n s a t z . N a c h unseren invariantheoretischen A n s c h a u u n g e n ist • die forma adjuncta^) des folgenden quadratischen Differentialausdruckes: (5)

ds^ = dx^ + dy^ + dz^ —

c^dt^.

D a h e r wird jede einzelne Gleichung • = O für sich erhalten bleiben, w e n n m a n die dx, dy, dz, dt einer sonst b e h e b i g e n , h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u t i o n unterwirft, w e l c h e die Gleichung i^s^ = O in sich über­ führt. D a wir v o n Ähnlichkeitstransformationen a u c h hier (wie früher bei der Gahlei-Newton-Gruppe) absehen woUen, beschränken wir uns auf diejenigen h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u t i o n e n der dx, dy, dz, dt, welche ds^ (und also auch • ) s e l b s t ungeändert lassen. E s ist eine Gruppe m i t 6 P a r a m e t e r n , aus der eine Gruppe m i t 10 P a r a m e t e r n wird, w e n n wir die entsprechenden linearen S u b s t i t u t i o n e n der x, y, z, t bilden (wobei 4 additive K o n s t a n t e n hinzutreten). D i e s ist die Lorentzgruppe, die uns damit z u m ersten Male begegnet. D i e Frage ist aber n o c h , w i e sich die X, Y, Z, L, M, N v e r h a k e n sollen, w e n n wir die x, y, z, t irgend, einer S u b s t i t u t i o n der Lorentz­ gruppe unterwerfen. H ä t t e n wir nur m i t d e n Gleichungen DX = O, • Y = O, •IV = O z u t u n , so k ö n n t e m a n die X, Y, Z, L, M, N n o c h einer beliebigen linearen S u b s t i t u t i o n ihrerseits unterwerfen, w o d u r c h n o c h 36 neue

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

62

P a r a m e t e r ü i unsere Betrachtxmg h i n e i n k ä m e n . die D i v e r g e n z b e d i n g u n g e n dx

.dY

^dZ

dL

Aber nun gelten noch

an

.dN

^

u n d schließlich die M a x w e h s c h e n Gleichungen I u n d I I selbst. D i e F o l g e wird sein, d a ß die Z , Y , Z, L , M , iV — a b g e s e h e n v o n einer Ä h n l i c h k e i t s t r a n s f o r m a t i o n , die wir w i e d e r beiseite lassen w o h e n — e n t ­ s p r e c h e n d jeder einzelnen L o r e n t z s u b s t i t u t i o n der x, y, z, t ihrerseits eine g a n z b e s t i n u n t e lineare U m s e t z x m g erfahren m ü s s e n . W i l l m a n dies durch direkte U m r e c h n u n g der M a x w e h s c h e n Gleichungen b e w e i s e n , so s t ö ß t m a n z u n ä c h s t auf unübersichtliche Rechnxmgen. W i r werden aber die U n t e r s u c h u n g i m folgenden P a r a g r a p h e n m i t e i n e m Schlage z u E n d e führen, i n d e m wir m i t M i n k o w s k i eine v e r s t e c k t e S y m m e t r i e der M a x w e h s c h e n G l e i c h u n g e n hervorkehren.

§ 2 . Die Lorentzgruppe in orthogonaler Form. D e r Kunstgriff, m i t d e m wir hier b e g i n n e n m ü s s e n , b e s t e h t darin, d a ß w i r für die Zeit t die n e u e Variable (6)

ict

= l

einführen u n d d a n n n o c h , d a m i t a u s d e n Differentialgleichxmgen das Imaginäre verschwindet, (7) setzen.

iX=U,

iY=V,

iZ =

W

D e r Differentialausdruck ds^ xmd der Operator • einfache Gestalt a n : ds^ = dx^ + dy^ + dz^ + dl^

^2

(8)

^2

n e h m e n d a n n die

^2

die Lorentzgruppe reduziert sich, soweit sie auf die Differentiale dx, dy, dz, dl wirkt, auf deren orthogonale Transformation. D i e M a x w e h s c h e n Gleichungen I u n d I I aber schreiben sich bei übersichthcher A n o r d m m g der T e r m e s o : , dN

dM

du

+ T

dV

O

=

dz

M,

N u n d U,

dl

dl

dW

"ä7 L,

-

V, W t r e t e n j e t z t g a n z g l e i c h m ä ß i g auf.

~ Zugleich

Β. I. § 2. Die Lorentzgmppe in oithogonaler F o n n .

63

b e k o m m t die A b h ä n g i g k e i t der 4 Gleichungen 1 b z w . 11 v o n e i n a n d e r die g a n z s y m m e t r i s c h e G e s t a l t : (9)

dl

= 0.

Die in Γ b z w . 1 Γ nebeneinander s t e h e n d e n T e r m e aber s i n d s o g e b a u t , wie d i e Gheder einer s c h i e f s y m m e t r i s c h e n Matrix. E s wird das alles n o c h d e u t h c h e r w e r d e n , w e n n w i r j e t z t zur U n t e r ­ scheidung der Variablen durch Indizes tibergehen. W i r schreiben ftir die (10) und ftir die U, V,

W, L, M,

N

abwechselnd (11)

λΐ4,

bzw.

^23' /*31/ ^12/ /«14/ μ2*> ί«34·

λ34,

λ3ΐ,

λ,,

U m d i e w ü n s c h e n s w e r t e B e w e g l i c h k e i t der F o r m e l n z u h e b e n , s e t z e n wir ferner fest: λ^* = — λ^,·, ^,•fc = — /*¾:», ?.α=μα = 0. U n s e r e Glei­ c h u n g e n Γ u n d 1 Γ schreiben s i c h d a n n in d e n Aj^: + 7

+

und i n den

gerade u m g e k e h r t :

4 . ^

Jede dieser Schreibweisen h a t ihre Vorteile.

F ü r das n ä c h s t f o l g e n d e

ist es aber a m b e s t e n , d a ß wir die I " u n d I I ' " herausgreifen, die w i r schließlich s o schreiben k ö n n e n : (12) Und n i u i spricht s i c h d a s T h e o r e m , u m w e l c h e s es s i c h "handelt, s o a u s : Jedes einzelne Q u a d r u p e l der hingeschriebenen Gleichungen b l e i b t

64

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

u n g e ä n d e r t richtig, w e n n m a n bei orthogonaler Transformation der dXi die XiTc bzw. /^,¾ w i e die K o m p o n e n t e n eines zugehörigen Sechsertensors substituiert, d. h. w i e die U n t e r d e t e r m i n a n t e n dXi

— dxjc δΧί

zweier kogredient g e d a c h t e r Differentialsysteme dx u n d δχ. D e r B e w e i s ist in der T a t , auf Grund unserer früheren i n v a r i a n t e n ­ theoretischen E n t w i c k l u n g e n , u n m i t t e l b a r . Sind die Ä b z w . μi^c die K o o r d i n a t e n eines Sechsertensors u n d Uj, diejenigen eines behebigen Vierervektors, so ergeben die S u m m e n ZujcXijc

bzw.

ΣuJcμiJc

für i = 1, 2, 3 , 4 *

selbst wieder die K o o r d i n a t e n eines Vierervektors. W ä h l t m a n hier für die

die O p e r a t i o n s s y m b o l e

der Gleichungen (12), stimmte,

aus d e m

so h a t m a n gerade die linken Seiten

D i e Gleichungen (12) sagen aus, d a ß z w e i b e -

Sechsertensor ^¾¾ bzw. /^^¾ abzuleitende

vektoren identisch verschwinden ponenten haben). Substitution

der

Vierer-

(d. h. lauter v e r s c h w i n d e n d e

U n d dies ist g e w i ß e t w a s , w a s bei Viererkoordinaten

invariant

ist.

Kom-

orthogonaler

Denn

die

Sub-

s t i t u t i o n ist doch in d e n Viererkoordinaten h o m o g e n ; sind also die K o o r d i n a t e n vor der S u b s t i t u t i o n s ä m t h c h NuU, so sind sie es auch hinterher. H i e r m i t ist i m Prinzip die ganze FragesteUung erledigt; es h a n d e l t sich i m folgenden P a r a g r a p h e n nur n o c h d a r u m , das erhaltene R e s u l t a t für die ursprünghchen Variablen x,

z, t b z w . X , Y , Z, L , M , N a n -

z u s e t z e n ^).

§ 3 . R ü c k g a n g z u den Xy

t.

I n d e m ich für x^, x^, x^, x^ z u n ä c h s t wieder x, y, z, I schreibe, w e r d e n die S u b s t i t u t i o n e n der Lorentzgruppe, unter | α /3 y ε | eine orthogonale Matrix v e r s t a n d e n , folgendermaßen l a u t e n :

(13

1) Bei genauerer Darlegung ist natürlich zu zeigen, daß die beiden Quadrupel der Maxwellschen Gleichungen nur dann gegenüber orthogonaler Transformation der dXi ungeändert bestehen bleiben, wenn man mit den λ,^ bzw. verfahrt, wie im Text angegeben. — Die NebeneinanderstcUung der Bezeichnungen ^,¾, jM,Ä entspricht übrigens derjenigen der /?,¾, qtj, bei unserer Einführung der Graßmannschen Stufen (Kap. I, A, § 2); sie erscheinen hier kogredient, weil auch für sie bei orthogonalen Substitutionen der Unterschied von Kogredienz und Kontragredienz wegfällt [vgl. Anm. 12 zum 1. Kapitel. (H.)].

Β. I. § 4. Zur Entwicklung der Elektrizitätslehre und des Atombegriffs.

65

H i e r werden wir n u n für / u n d /' b z w . ict u n d ict' einsetzen. Verlangen wir dann, d a ß in der so geschriebenen Gruppe, den physikalischen A n w e n d u n g e n entsprechend, alle Substitutionskoeffizienten reeh aus­ fallen, so erkennen wir, d a ß in (13) εχ, e^y u n d cn^, ß^, rein imaginär g e n o m m e n werden m ü s s e n . I m übrigen werden wir für die Α,^ n a c h der i m t e r (11) g e g e b e n e n R e g e l wieder C7, F , Tf, L , Λ/, N schreiben u n d schheßlich für C7, F , W die W e r t e iX, iY, iZ substituieren. W i r erkennen d a n n , d a ß wir die X y , Z, L, M, N den folgenden zweighedrigen D e t e r m i n a n t e n des S c h e m a s dx dy dz dt δχ

Oy

δζ

δΐ

kogredient z u n e h m e n h a b e n : {Χ'^ο{αχδί ^^'^^L^{dyδz--δydz),

— δχαΙ),

Yr^c{dyδt--δydt), M^{αζδχ-δζαχ),

Zc{dzδί

—

δζαί),

N^{dxδy-δxdy),

D a m i t h a b e n wir alles, w a s über die hnearen Transformationen der ursprünghchen Maxwellschen Gleichimgen I i m d I I in sich selbst z u sagen ist. Man denkt unwillkürhch an die Thesis zurück, die einst Jacobi (1832) b e i m A n t r i t t seines Ordinariats in Königsberg verteidigte (vgl. B d . I, S. 114) u n d die sich i m Laufe dieser Darstellung i m m e r wieder b e w a h r h e i t e t : Mathesis est scientia eorum, quae per se dar α sunt. So ist es, w e n n m a n das R e s u l t a t hinterher betrachtet. A b e r die historische E n t w i c k l i m g , v o n der wir n u n berichten w o h e n , liebt krummlinige Pfade. W i r b e g i n n e n m i t einer B e r i c h t e r s t a t t i m g m e h r aUgemeinen p h y s i k a hschen Inhaltes.

§ 4. Zur Entwicklung der Elektrizitätslehre und des Atombegriffs seit Maxwells Treatise (1873). W i r h a b e n v o n MaxweU u n d seinem Treatise s c h o n in B d . 1, K a p . V ausführhcher gesprochen. MaxweU stellt sich i m Treatise durchaus auf den s o g e n a n n t e n phäno­ menologischen S t a n d p i m k t , d. h. er b e t r a c h t e t den Ä t h e r u n d die in B e t r a c h t k o m m e n d e n materieUen Körper als K o n t i n u a , innerhalb deren für die elektromagnetischen Felder charakteristische partieUe Dif­ ferentialgleichungen g e l t e n , z u denen an d e n Trennungsflächen der verschiedenen Medien n o c h b e s t i m m t e Grenzbedingungen treten. B e i dieser DarsteUimg ist der Ursprung der jeweihgen Felder l e t z t e n E n d e s e b e n in diesen Grenzbedingnugen z u s u c h e n . D e r p h ä n o m e n o l o g i s c h e n Auffassung gegenüber s t e h t v o n je (seit e s eine m a t h e m a t i s c h e P h y s i k gibt) die tiefergehende, aber m a t h e Klein, Entwicklung der Mathematik. 11.

5

66

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

m a t i s c h kompliziertere atomisttsche. Ihr zufolge b e s t e h t die Materie oder die E l e k t r i z i t ä t a u s sehr kleinen, g e t r e n n t e n Teilchen. D i e par­ tiellen Differentialgleichungen der p h ä n o m e n o l o g i s c h e n P h y s i k b e ­ schreiben nur das Verhalten dieser Teilchen im Mittel, aber e s gibt E r s c h e i n u n g e n die Menge, w o die B e t r a c h t u n g e n solcher Mittelwerte nicht ausreicht, w o m a n v i e l m e h r die Teilchen einzeln verfolgen m u ß . V o n diesen beiden Auffassungen h a t i m Laufe des 19. Jahrhunderts bald die eine, bald die andere i m Vordergrund der E n t w i c k l u n g ge­ s t a n d e n . I n der englischen m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k ist v o n Green b i s M a x w e h die p h ä n o m e n o l o g i s c h e Darstellung die herrschende g e w e s e n . E s i s t aber gar k e i n Zweifel, d a ß MaxweU i m H e r z e n A t o m i s t war. E h e er seinen Treatise schrieb, h a t er auf a h e W e i s e v e r s u c h t , einen feinen inneren M e c h a n i s m u s z u erdenken, welcher das Substrat für die e l e k t r o m a g n e t i s c h e n E r s c h e i n u n g e n sein m ö c h t e , welche wir i m großen b e o b a c h t e n . I c h erinnere a u c h an seine grundlegenden B e t r a c h t u n g e n zur Gastheorie. W e n n sich MaxweU in s e i n e m Treatise d o c h a u s ­ schheßlich der p h ä n o m e n o l o g i s c h e n D a r s t e l l u n g b e d i e n t , so erbhcke ich hierin eine b e w u ß t e R e s i g n a t i o n . I n der T a t k o n n t e MaxweU m i t der a t o m i s t i s c h e n Auffassung der Elektrizität, w i e sie W i l h e l m W e b e r seinerzeit e n t w i c k e l t h a t t e , i n d e m er kleinste p o s i t i v e u n d n e g a t i v e Teilchen i n s t a n t a n aufeinander wirken ließ, n i c h t s a n f a n g e n . D e n n die Grundauffassung MaxweUs ist doch die, d a ß die e l e k t r o m a g n e t i s c h e W i r k u n g Zeit g e b r a u c h t , u m sich auszubreiten. So b e n ö t i g t er ein M e d i u m , w e l c h e s die W i r k u n g v e r ­ m i t t e l t : den „Äther". N u n ist e s h ö c h s t m e r k w ü r d i g , d a ß die weitere E n t w i c k l u n g der Elektrizitätslehre in der s o g e n a n n t e n E l e k t r o n e n t h e o r i e den G e g e n s a t z v o n P h ä n o m e n o l o g i e u n d A t o m i s m u s n i c h t e n t s c h i e d e n , sondern über­ brückt hat. Man h a t einerseits die a t o m i s t i s c h e n Träger der elektrischen L a d u n g , n ä m l i c h die n e g a t i v e n E l e k t r o n e n u n d die p o s i t i v e n A t o m k e r n e , u n d andererseits d a s e l e k t r o m a g n e t i s c h e F e l d i m freien R a u m , d a s die W i r k u n g e n der materieUen Träger der L a d u n g e n aufeinander v e r m i t t e l t . D a s G e s c h i c h t h c h e k a n n hier nur in großen U m r i s s e n a n g e d e u t e t werden. W i e s c h o n in B d . 1 gelegentlich e r w ä h n t (S. 230), h a t u n t e r a n d e ­ rem H e l m h o l t z 1882 in seiner F a r a d a y - L e c t u r e nachdrücklich darauf h i n g e w i e s e n , d a ß die T a t s a c h e n der E l e k t r o l y s e zur A n n a h m e einer a t o m i s t i s c h e n K o n s t i t u t i o n der Elektrizität z w m g e n . I n dieselbe R i c h t u n g w i e s d a n n die w e i t e r e U n t e r s u c h u n g der bereits 1869 v o n H i t t o r f klar k o n s t a t i e r t e n E r s c h e i n u n g der K a t h o d e n s t r a h l e n (bei den elektrischen E n t l a d u n g e n in h o c h e v a k u i e r t e n R ö h r e n ) . D i e m a t h e ­ m a t i s c h e E n t w i c k l u n g der E l e k t r o n e n t h e o r i e n a h m d a n n ihren A n f a n g i n E n g l a n d , aber ihr eigentlicher Vorkämpfer w u r d e je länger je m e h r der HoUänder H . A . L o r e n t z , d e s s e n N a m e m i t ihrer E n t w i c k l u n g

Β. I. §4. Zur Entwicklung der Elektrizitätslehre und des Atombegiiffs.

67

dauernd v e r b u n d e n bleiben wird u n d insbesondere b e i den v o n u n s hier z u g e b e n d e n E n t w i c k l u n g e n voransteht. Als besonderes h i s t o ­ risches D o k u m e n t sei hier die klare Darstellung des Sachverhaltes g e n a n n t , welche Wiechert in der Gauß-Weber-Festschrift v o n 1899 (Teubner) g e g e b e n hat. (Wiechert war hierzu u m so m e h r berufen, als er die Grundvorstellungen der Elektronentheorie ursprünglich u u a b h ä n g i g v o n Lorentz (bald nach diesem) aufgefunden u n d v i e l z u ihrer E n t w i c k l u n g beigetragen h a t ) . Zu n e n n e n ist ferner, als Seiten­ s t ü c k dazu, u n d als B e l e g für die E n t w i c k l u n g , welche die Theorie i m Vaterlande MaxweUs g e n o m m e n h a t , das B u c h v o n L a r m o r „ A e t h e r a n d Matter'' (Cambridge, 1900). Allgemein h a b e n sich die Ideen, soviel ich sehen k a n n , je länger je mehr dahin entwickelt, daß die Träger der elektrischen L a d u n g e n a u c h die letzten B a u s t e i n e der Materie sind. W i e schon e r w ä h n t , h a t m a n einerseits die p o s i t i v geladenen Kerne der A t o m e , in denen der H a u p t ­ teil ihrer Masse konzentriert ist, u n d andererseits die sehr viel leich­ teren Elektronen^), die Elementarteile der n e g a t i v e n Elektrizität. D i e A u s d e h n u n g der Kerne u n d Elektronen ist dabei jedenfaUs v e r s c h w i n ­ d e n d klein gegenüber der D i m e n s i o n der A t o m e , d. h. der A b s t ä n d e z w i s c h e n den einzelnen TeUchen, so daß das BUd des A t o m s d a s eines P l a n e t e n s y s t e m s i m kleinen ist. D i e W e c h s e l w i r k u n g z w i s c h e n den Elektronen u n d Kernen gehorcht aber sicher nicht e x a k t den Ge­ s e t z e n der klassischen Elektronentheorie, so daß diese d e m S t a n d e der h e u t i g e n p h y s i k a h s c h e n F o r s c h u n g nicht mehr völlig entspricht^). I m großen gibt sie zwar eine sehr g u t e Beschreibung der elektrischen Er­ scheinungen, jedoch m ü s s e n in atomaren D i s t a n z e n grundsätzliche A b ­ w e i c h u n g e n v o n d e m m a t h e m a t i s c h e n A n s a t z der durch die E l e k t r o n e n ­ h y p o t h e s e erweiterten Maxwellschen Theorie b e s t e h e n . D i e s soll u n s n i c h t a b h a l t e n , bei der folgenden Darstellung a n der klassischen MaxweULorentz-Theorie, also an der Grundlage der MaxweUschen Gleichungen, festzuhalten. Später werden wir m i t E i n s t e i n in b e s t i m m t e r R i c h t u n g weitergehen ^). D i e Auffassung m u ß doch die sein, daß die verschiedenen p h y s i k a h s c h e n Theorien i m m e r nur Annäherungen an die Wirklichkeit der D i n g e vorstellen, u n d daß der Mathematiker seine Pflicht t u t , w e n n er je eine b e s t i m m t e Auffassung klar in ihren K o n s e q u e n z e n verfolgt. 1) Das Wort „Elektron" wird zum ersten Male von dem irischen Mathe­ matiker S t o n e y in Vorschlag gebracht (R. Irish Transactions (2). 4. 1891). Es ist offenbar so zu verstehen: Die kleinsten geladenen materiellen Teilchen, die man in der Theorie der Elektrolyse betrachtet, nennt man nach Faraday Ionen (d. h. wandernde Teilchen). Dementsprechend wird man die kleinsten, in der modernen Elektrizitätslehre zu betrachtenden Teilchen Elektro-Ionen nennen und hieraus ist dann durch Zusammenziehung das Wort „Elektronen'' entstanden. 2) Vgl. Anmerkung 2 am Schluß des Kapitels. (H.) 3) Das sollte im vierten Kapitel dieses Buches geschehen, das Klein nicht mehr vollendet hat. Vgl. das Vorwort. (H.) 5*

68

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

§ 5 . Von der mathematischen Bearbeitung der Maxwellschen Theorie bis z u m Beginn des 20. Jahrhunderts. Maxwells Auffassungen h a b e n b e i u n s , u n d überhaupt auf d e m K o n t i n e n t e , lange Zeit hindurch keine rechte Wurzel z u fassen ver­ m o c h t , weil sie den traditionellen A n s ä t z e n z u sehr zuwider liefen, auch der Treatise k e i n logisch geschlossenes S y s t e m vorstellt, sondern v o n verschiedenen A n s a t z p u n k t e n a u s i n d u k t i v v o r g e h t . E s ist d a n n a u c h die m a t h e m a t i s c h e B e a r b e i t u n g der M a x w e l l s c h e n Theorie jahrelang sozusagen ein R e s e r v a t der E n g l ä n d e r geblieben. V o n H e a v i s i d e h a b e n wir s c h o n wiederholt gesprochen. N e b e n i h n s t e h e n sich b a l d Vertreter der Cambridger Schule. I c h n e n n e n e b e n d e m e t w a s älteren P o y n t i n g (geb. 1852) v o r aUem J. J. T h o m s o n u n d L a r m o r (beide 1857 geboren). V o n Larmors „ A e t h e r a n d Matter'' war ja s c h o n o b e n die Rede. D i e so geschilderte Sachlage h a t sich n u n v ö l l i g geändert, als es H e r t z 1887 gelang, die v o n MaxweU nur postulierten elektrischen S c h w i n g i m g e n i m D i e l e k t r i k u m e x p e r i m e n t e h sicherzusteUeni). N u n s e t z t allerwärts a u c h die theoretische B e h a n d l u n g der Maxwellschen I d e e n ein. H e r t z selbst war der erste, der b e i u n s eine geschlossene DarsteUimg gab^). I h m stellt sich sofort B o l t z m a n n zur Seite, der m i t der g a n z e n W u c h t seiner b e g e i s t e r n d e n Vorträge a u c h den U n ­ entschlossenen fortriß. (Vorlesungen über MaxweUs Theorie der E l e k ­ trizität u n d d e s L i c h t e s 1891—-93.) D i e MaxweUschen Gleichungen für d e n reinen Ä t h e r s i n d i h m , w i e H e r t z , der in seiner Einfachheit endgültige A u s d r u c k des physikalischen Geschehens. „ W a r es ein G o t t , der diese Zeichen s c h r i e b ? ' ' zitiert er frei n a c h Goethe. N u n folgen v i e l e andere, die es t m m ö g l i c h ist, hier aufzuführen. P o i n c a r o v o n französischer Seite aber m ü s s e n wir n e n n e n . I c h h a b e bereits in B d . 1, K a p . V I I I dieses außerordentlichen M a t h e m a t i k e r s ausführlich g e d a c h t u n d beabsichtige n o c h in späteren TeUen dieses Vorlesimgszyklus^) auf die singulare SteUung z u r ü c k z u k o m m e n , die er für die n e u z e i t h c h e E n t w i c k l u n g der M a t h e m a t i k ü b e r h a u p t besitzt. Hier 1) Heinrich Hertz, geb. auch wieder 1857, war ein ebenso glänzender Experi­ mentator wie Theoretiker; es ist ein Jammer, daß ein so außerordentHches Talent bereits im Alter von 37 Jahren dahingehen mußte. Man wird es immer als ein besonderes Verdienst von Helmholtz preisen, Hertz auf die richtige Bahn ge­ stellt zu haben. Was Hertz' Entwicklung angeht, vgl. die Einleitung zu Bd. 1 seiner Ges. Werke (verfaßt von Lenard 1895) oder auch das Vorwort, welches Helmholtz selbst dem bereits 1894 erschienenen Schlußbande (der die Mechanik von Hertz enthält) vorausgestellt h a t . ») Über die Grundgleichungen der Elektrodynamik, Teü 1 (für ruhende Körper) in den Gött. Nachr. von 1890, abgedruckt in Ann. d. Phys. u. Chemie N . F . , Bd. 40, 1890; Teil I l (für bewegte Körper) Bd. 4 1 . 1890. η Klein h a t diese Teile nicht mehr vollendet. (H.)

Β. I. § 5. Von der mathematischen Bearbeitung der Maxwellschen Theorie. 6 9 handelt es sich darum, d a ß er 1885—1896 d e n Lehrstuhl der m a t h e ­ m a t i s c h e n P h y s i k an der U n i v e r s i t ä t Paris ü b e r n a h m u n d zunächst daran ging, in w e c h s e l n d e n , in Lehrbuchform w e i t verbreiteten Vor­ lesungen die K e n n t n i s der m o d e r n e n m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k z u ver­ breiten, u m deren fernere E n t w i c k l u n g fortan durch d a s Schwer­ g e w i c h t seines m a t h e m a t i s c h e n K ö n n e n s z u s t ü t z e n . E s ist schwer z u sagen, w a s d a b e i mehr z u b e w u n d e m i s t : Seine nie versagende P r o ­ d u k t i v i t ä t oder die i m m e r rege R e z e p t i v i t ä t , die ihn aUe v o n p h y s i ­ kalischer Seite n e u h e r v o r k o m m e n d e n I d e e n b i l d u n g e n gleich auf­ n e h m e n u n d weitergestalten h e ß . Als Führer aber i m Gebiet dieser n e u e n Ideen bezeichneten wir s c h o n o b e n d e n HoUänder H . A. L o r e n t z . Geboren 1853 in A m h e i m , ist Lorentz in kleinen Verhältnissen w e s e n t l i c h durch selbständige S t u d i e n in die H ö h e g e w a c h s e n , i m m e r h i n angeregt durch die erfolg­ reichen molekulartheoretischen Arbeiten v o n v a n d e r W a a l s (geb. 1837), der als erster d e n a l t e n R u h m H o l l a n d s als einer Pflanzstätte hervorragender p h y s i k a h s c h e r Forschung erneuert h a t t e . 1872 finden wir i h n als Lehrer a n einer kleinen A b e n d s c h u l e seiner V a t e r s t a d t , 1875 p r o m o v i e r t er, 1878 w i r d er Nachfolger v o n v a n der W a a l s auf d e m Lehrstuhl für m a t h e m a t i s c h e P h y s i k in L e y d e n , seit 1912 M er Kurator der Teylerstiftung in H a a r l e m , w o er g a n z seinen theoretischen F o r s c h u n g e n l e b e n k a n n . A l s er 1900 s e m 2 5 jähriges D o k t o r i u b i l ä u m feiern k o n n t e , h a b e n bereits Forscher aUer N a t i o n e n z u einer inhalt­ reichen Festschrift beigetragen, die als B a n d 6 der z w e i t e n Serie der Archives Noerlandaises erschienen ist. Lorentz g e h t i m m e r v o m konkreten physikalischen E x p e r i m e n t a u s , d a s er molekulartheoretisch z u v e r s t e h e n sucht. D a r u m h a t seine M a t h e m a t i k e t w a s U m s t ä n d l i c h e s , v o n der Elqganz allgemeiner p h ä n o ­ menologischer DarsteUung verschiedenes. I n d e m er, w o i m m e r kleine Größen auftreten, gleich n a c h P o t e n z e n entwickelt u n d m i t niederen G h e d e m abbricht, ist er lange a n der m a t h e m a t i s c h e n E m f a c h h e i t der j e t z t n a c h i h m b e n a n n t e n Transformationen vorbeigeführt worden. U m so eindringlicher h a t er deren aUgemein-physikalische B e d e u t u n g (nicht für die Kräfte elektrischen Ursprungs) zur Geltung gebracht u n d ist eben dadurch der V a t e r der hier vertretenen relativistischen Auffassung g e w o r d e n . E r selbst ging aber z u n ä c h s t durchaus v o n einem absoluten, d. h. m h e n d e n Äther aus, innerhalb dessen s k h die Teilchen der g e w ö h n l i c h e n Materie u n d die E l e k t r o n e n h e r u m b e w e g e n . Auf Grund dieser Vorstellung das elektrische b z w . optische Verhalten b e w e g t e r Körper z u erklären, war sein ursprünglicher Zielpunkt. D i e A n s ä t z e , w e l c h e H e r t z hierfür geliefert h a t , k o n n t e n nicht als g e n ü g e n d anerkannt w e r d e n . D i e H a u p t v e r ö f f e n t l i c h u n g e n v o n Lorentz, welche wir in d i e s e m Zusammenhang nennen müssen, sind:

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2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik nnd Physik.

1. L a thoorie olectromagnotique d e Maxwell e t s o n application a u x Corps m o u v a n t s , 1892. L e y d e n , B d . 2 6 der Archives Noerlandaises. 2. D a s d e u t s c h geschriebene B u c h : Versuch e m e r Theorie der elek­ trischen u n d m a g n e t i s c h e n E r s c h e m i m g e n i n b e w e g t e n Körpern, L e y d e n 1895. H i e r z u vergleiche m a n n o c h d i e beiden großen Enzyklopädieartikel B d . V , 2 . Teil, N r . 1 3 , 1 4 : MaxweUs elektromagnetische Theorie; Weiterbildtmg der MaxweUschen T h e o r i e : Elektronentheorie.

§ β · Von dem allmählichen Hervorkommen der Lorentzgruppe. E s soU sich hier nicht tmi d i e experimenteUen E n t d e c k u n g e n u n d Messimgen h a n d e l n , welche für d i e E n t w i c k l i m g der I d e e n m a ß g e b e n d e B e d e u t i m g erlangten — ihretwegen k a n n auf d i e w e i t v e r b r e i t e t e n D a r steUimgen der B ü c h e r verwiesen w e r d e n —, sondern u m die Geschichte der m a t h e m a t i s c h e n F o r m u l i e r u n g e n i ) . Soviel i c h sehen k a n n , l ä ß t sich das W e s e n t l i c h e vieUeicht imter folgende N u m m e r n bringen: 1. V o i g t : Ü b e r d a s Dopplersche Prinzip. Göttinger N a c h r i c h t e n 1887. D i e MaxweUschen Gleichimgen werden, der d a m a l i g e n Zeit e n t ­ sprechend, n o c h n i c h t berücksichtigt, sondern e s wh-d gleich m i t d e n S c h w m g u n g s g l e i c h i m g e n b e g o n n e n , d i e wir i n unserer B e z e i c h n u n g s o schreiben: (15)

• X = O, • Y = O, • Z = O,

m i t der N e b e n b e d i n g i m g

W i r h a b e n bereits b e m e r k t , d a ß j e d e einzelne der Gleichimgen • = 0 durch 0 0 ' lineare S u b s t i t u t i o n e n der x, y, z, t in sich übergehen, d i e w k dadurch auf oo« reduzierten, d a ß w i r die S u b s t i t u t i o n s d e t e r m i n a n t e = ± 1 n a h m e n (wodurch w i r e b e n erhielten, w a s w i r , v o r b e h a l t h c h kleinerer weiterer E i n s c h r ä n k i m g e n , d i e Lorentzgruppe n a n n t e n ) . N i m h a t a u c h V o i g t i m Grunde d i e o o ' S u b s t i t u t i o n e n , er schränkt s i e aber dadurch auf oo« e i n , d a ß er d i e Transformationen des t v o n v o m h e r e i n in der Gestalt a n n i m m t : (16)

t' = t-{ax

+ by +

cz).

E s w i r d also n u r der A n f a n g s p i m k t der Zeit a b h ä n g i g v o n x, y, ζ ver­ s c h o b e n , nicht aber der Maßstab der Zeit abgeändert (wie dies weiter1) Ich zitiere dabei aus Jacobis bereits S. 65 berührter Antrittsrede von 1832 noch die Worte, 'welche ansgezeichnet hierher passen: ..Crescnnt discipUnae lente tardeqne. per varios errores sero pervenitnr ad vferitatem; omnia praeparata esse debent dinturno et assidno labere ad introitnm veritatis novae; jam illa, certo temporis momento. divina qnadam necessitate coacta. emergit

Β. I. § β. Von dem allmählichen Hervorkommen der Lorentzgruppe.

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h i n für die prinzipieUe Auffassimg w e s e n t h c h ist). — Weiterhin folgen spezielle Fälle, b e i d e n e n m a n die N e b e n b e d h i g u n g (15') u n d ihre Auf­ rechterhaltung gegenüber (16) durch geeignete A n n a h m e n betreffend die Abhängigkeit der Z , Y , Z v o n den t befriedigt. 2. Lorentz 1892'(siehe das Zitat a m E n d e des vorigen Paragraphen). Hier stehen die Maxwellschen Gleichungen als solche voran, neben die Transformation der x, y, t tritt die der Y , Z, i , M , N. Aber auch hier wird der A n s a t z (16) b e n u t z t ; d a ß er als w e s e n t h c h angesehen wird, ergibt sich aus der Einftihrung eines besonderen T e r m h i u s ftir die Zeit r: „Ortszeit". W i e b e i Voigt wird der Spezialfall einer bloßen Verschiebung längs der A;-Achse bevorzugt. D i e e x a k t e n S u b s t i t u t i o n s formehi für die x, y, z, t heißen dann s o :

(17)

x'^x^vt,

y =

^' =

^-^

(unter V die Geschwhidigkeit der Verschiebung, xmter c die geschwindigkeit angedeutet,

die

verstanden):

Licht­

Aber hier wird n u n , w i e schon

Quadratwurzel

durch den Näherungswert

oben Ι-^γ^

ersetzt, wodurch m a n nur n o c h eine a p p r o x i m a t i v e F o r m e l h a t . 3. D i e spezielle Transformation (17) spielt in der ganzen Literatur betr. die Lorentzgruppe eine solche Rolle, d a ß wir tiber sie n o c h einiges N ä h e r e sagen müssen. D i e einfachste Enisicht bietet n a t ü r h c h die orthogonale Schreibweise, m i t I = ict. Man s e t z e :

d a n n ist, d a die U, V, W, L, M, N g e m ä ß früherer Verabredung d e n Unterdeterminanten des Schemas:

dx dy

dz

dl

δχ δγ δζ δΐ kogredient sein sollen: U' = U, V =

(18')

V = οο5ψ·ν + 5Ϊηψ·Ν,

L

W

==οο&ψ·π-ύΛψ·Μ.

M' = cos φ-Μ + άαφ-W, N' = cos φ·Ν~sin φ-V, H i e r w i r d m a o für / jetzt ict u n d für U, V. W bzw. iX. iY. iZ s u b stitutieren. W i l l m a n d a n n reeDe Substitutionskoeffizienten h a b e n , s o m u ß m a n , d a m i t cos φ reell bleibt u n d i s m φ reell wird, φ — iw nehmen. E s v e r w a n d e h i sich d a n n die trigonometrischen F u n k t i o n e n m die hJφerbolischen F u n k t i o n e n v o n w: cos iw = Sof w, i sin iw = © i n w mit

^o\*w-^\n*w

= l

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2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie ia Mechanik und Physik.

und die Formeln werden: x' = (19)

^o\w-x-\-c<Sm.w-

= ^ . x

+

^o\w.t

bzw. Z ' = X, (19')

I' =

L,

T

=^(if)\wY-
Z' =^o\wZ

Ii'

= S i n W-Z + ^o\wM,

N' = (Eo^ wN

+


©in w

Y.

N u n i s t aber b e i d e n Phs^ikem der Gebrauch der hyperbolischen F u n k t i o n e n nur w e n i g verbreitet. Man s e t z e also, i m t e r q e i n e n e c h t e n Bruch verstanden:

Wir bekommen dann:

(20')

r = (y-^iv):yr=^, Z'==(Z + ^ M ) : / r i : ^ ^

M'==(M + ^Z):yrZ^^ iv' = ( i v - ^ y ) : y r = 7 ^

U n d n u n unterscheiden sich d i e (20) v o n d e n (17), w e n n m a n ~ = q s e t z t , n u r d a d u r c h , d a ß sie auf d i e D e t e r m i n a n t e + 1 g e b r a c h t sind, w ä h r e n d d i e (20') d i e für d i e I n v a r i a n z der MaxweUschen Gleichimgen notwendigen Ergänzungsgleichungen geben. W i r w e r d e n die (20), (20') i n der F o l g e k u r z w e g d i e spezielle LorentzTransformation nennen. 4 . AUerdings i s t L o r e n t z n i c h t der erste, der diese F o r m e l n aufgesteUt h a t , sondern L a r m o r ; vgl. S. 167, 174, 1 7 6 — 1 7 7 s e m e s S. 67 g e n a n n t e n B u c h e s v o n 1 9 0 0 : ,,Aether a n d Matter'*. Er benutzt sie' a u c h , g e n a u w i e aUe s p ä t e r e n A u t o r e n , u m e i n e m gleichförmig (mit der G e s c h w i n d i g k e i t v) längs der A;-Achse fortschreitenden S y s t e m e i n r u h e n d e s z u z u o r d n e n , für w e l c h e s m a n d i e L ö s u n g der MaxweUschen G l e i c h u n g e n k e n n t , u m d i e s e d a n n r ü c k w ä r t s auf d a s b e w e g t e S y s t e m z u ü b e r t r a g e n . D i e b e z ü g l i c h e n E n t w i c k l u n g e n v o n Larmor aber haben keine Beachtung gefunden. Viehnehr setzte die stürmische W e i t e r e n t w i c k l u n g , v o n der w i r n u n z u berichten h a b e n , erst e i n , als L o r e n t z d e n g a n z e n A n s a t z (der b e i Larmor z w i s c h e n anderen B e -

Β. I. § 6. Von dem allmählichen Hervorkommen der Lorentzgruppe.

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trachtungen e t w a s versteckt ist) seinerseits wiederfand (siehe den Verslag der A m s t e r d a m e r A k a d e m i e B d . 12, 1904, S. 9 8 6 — 1 0 0 9 ) . D a ß er i h m schon 1892 n a h e g e n u g g e w e s e n war, w u r d e bereits o b e n unter 2. bemerkt. E s läßt sich also i m m e r h i n einiges dafür sagen, d a ß sich bei u n s an das G l e i c h u n g s s y s t e m (20), (20') a u s s c h h e ß h c h sein N a m e angeheftet h a t . 5. N u n k o m m t das Jahr 1905 m i t den e n t s c h e i d e n d e n Veröffent­ lichungen v o n P o i n c a r o u n d E i n s t e i n , die u n a b h ä n g i g n e b e n e m a n d e r hergehen, t r o t z d e m sie beide v o n d e m „ P o s t u l a t " oder d e m „ P r i n z i p " der „ R e l a t i v i t ä t " sprechen. Poincaro m a c h t den A n f a n g m i t einer N o t e , „ S u r Ia d y n a m i q u e de r^lectron" in den C o m p t e s R e n d u s der Pariser A k a d e m i e v o m 5. J u n i , die d a n n als längerer A u f s a t z d e m Circolo M a t e m a t i c o in P a ­ lermo a m 2 3 . J u n i vorgelegt w u r d e , aber als solcher erst 1906 erschienen ist („Sur Ia d y n a m i q u e de Tolectron", P a l e r m o R e n d . , B d . 21). E i n s t e i n s Arbeit aber „Zur E l e k t r o d y n a m i k b e w e g t e r K ö r p e r " ist der R e d a k t i o n der A n n a l e n der P h y s i k a m 30. J u n i tiberreicht u n d schon a m 26. S e p t e m b e r daselbst in (4) B d . 17 herausgegeben worden. E s ist sehr interessant, die solcherweise konkurrierenden Veröffent­ lichungen zu vergleichen. — Poincar6 s t e h t d a s m a t h e m a t i s c h e R ü s t ­ zeug klarer h e r v o r : er b e m e r k t , d a ß die Lorentztransformationen in ihrer G e s a m t h e i t eine Gruppe bilden (für die er d a n n die B e z e i c h n u n g Lorentzgruppe p r ä g t ) ; er b e n u t z t schon zwischendurch die Verein­ fachung, die e n t s t e h t , w e n n m a n als vierte Variable i c t w ä h l t usw. E r sucht s o d a n n v o r aUen D i n g e n die P r o b l e m e der H i m m e l s Mechanik, also die Lehre v o n der Gravitation, der I n v a r i a n t e n t h e o r i e („Relativitätstheorie'') der Lorentzgruppe a n z u p a s s e n , w o b e i sich ergibt, d a ß g e g e n ü b e r der klassischen Theorie n u r A b w e i c h u n g e n v o n der G r ö ß e n o r d n u n g e i n t r e t e n , unter ν die Geschwindigkeit des jeweils betrachteten H i m m e l s k ö r p e r s verstanden. D i e klassische Theorie er­ scheint geradezu als GrenzfaU der neuen für c = oo. W i r w e r d e n auf diese Fragen w e i t e r u n t e n n o c h ausführlich z u r ü c k k o m m e n . — B e i E r n s t e m tritt dafür das naturphilosophische D e n k e n in d e n Vorder­ grund. E r b e m e r k t , d a ß in den Lorentztransformationen eine g a n z n e u e Auffassung d e s Zeitbegriffes e n t h a l t e n ist. E s gibt kerne Gleich­ zeitigkeit zweier Ereignisse s c h l e c h t h m , sondern nur eine solche relativ z u e m e m unter unendlich v i e l e n gleichberechtigten herausgegriffenen K o o r d m a t e n s y s t e m . U n d so groß ist das Vertrauen d e s j u g e n d h c h e n Forschers zu der transienten B e d e u t u n g der M a t h e m a t i k , d a ß er voraussagt, e m e U h r , die sich b e w e g t (also vieUeicht die S c h w i n g u n g s z a h l einer b e w e g t e n LichtqueUe) m e s s e ftir e m e n i m S y s t e m y, t r u h e n d e n B e o b a c h t e r nicht (um es m a t h e m a t i s c h auszudrücken) d a s Sät,

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2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik nnd Physik.

sondern d a s

sie g e h e also für d e n r u h e n d e n B e o b a c h t e r in d e m Maße langsamer, als

größer w i r d i ) . 6. E n d h c h d i e Jahre 1 9 0 7 / 0 8 m i t d e n abschließenden A r b e i t e n v o n M i n k o w s k i . E s s i n d d i e s v o r aUen D i n g e n folgende z w e i , deren Ver­ öffentlichimg er n o c h selbst b e s o r g t e ^): a) D i e G n m d g l e i c h i m g e n für d i e e l e k t r o m a g n e t i s c h e n V o i g ä n g e in b e w e g t e n Körpern, (Gött. Nachr. 1 9 0 8 , vorgelegt a m 2 1 . D e z . 1907 = Ges. A b h . B d . 2.) b) R a u m u n d Zeit (Vortrag, g e h a l t e n auf der N a t u r f o r s c h e r v e r s a m m l u n g i n K ö h l a m 2 1 . S e p t . 1908). Ges. A b h . B d . 2. A n sie schließt sich i n B d . 2 der g e s a m m e l t e n A b h a n d l u n g e n , v o n Born aus dem Nachlasse herausgegeben: c) E i n e A b l e i t u n g der Grundgleichungen usw. v o m S t a n d p u n k t e der E l e k t r o n e n t h e o r i e (zuerst in B d . 68 der Math. A n n a l e n 1910). D a n n aber ist n o c h 1915 a u s s e i n e n P a p i e r e n d a s Manuskript d e s Vortrages veröffentlicht w o r d e n , d e n er a m 5. N o v . 1907 in unserer G ö t t i n g e r m a t h e m a t i s c h e n GeseUschaft g e h a l t e n h a t : d) D a s R e l a t i v i t ä t s p r i n z i p (Ann. d. P h y s . (4), 47 oder Jahresberichte der D e u t s c h e n M a t h e m a t i k e r v e r e i n i g u n g 24). D i e DarsteUung in d) ist m i r d i e h e b s t e v o n aUen. D e n n hier spricht Minkowski, w e ü er z u F a c h g e n o s s e n redet, s e i n e innersten m a t h e m a t i s c h e n , insbesondere i n v a r i a n t e n t h e o r e t i s c h e n G e d a n k e n unverhüUt a u s , w ä h r e n d er z. B . 1) Einstein ist im Jahre 1879 in Ulm geboren. Seine Schnlbildnng war nnregelmäßig, znin Teil in der Schweiz nnd in Itahen. Er hat dann in Zürich stu­ diert, wo er mit emer Arbeit über die innere Reibung der Gase promovierte, um dann eine kleine SteUe am Patentbüro in Bern zu übernehmen; Hier ist es, wo er seine Arbeit von 1905 schrieb, die ihm dann zur Habihtation m Bern und un­ mittelbar darauf zu einem Extraordinariat au der Universität Zürich verhalf. 1911 wurde er Ordinarius in Prag, 1912 am Polytechnikum in Zürich. Seit 1914 ist er der gefeierte Akademiker in BerHn. Einstein ist jüdischer Provenienz wie Hertz und Minkowski. — Wunderbar ist es, wie hier wieder ein ursprüngKches Talent sich außerhalb der regulären Schule entwickelt, ganz anders als Poincaro, der den fest umgrenzten französischen Büdnugsgang für höhere Studien, unter Einschluß der tcole Polytechnique, durchlaufen hat. Zusammenhängend damit sind Einsteins mathematischen Vorkenntnisse anfänghch nur geringe gewesen; er hat sie im Verkehr mit anderen Mathematikern erst aUmähhch erweitert. Dafür hat die irreguläre Ausbüdung ihm die Originahtät eigenen Nachdenkens bewahrt. Ob dies für ihn nicht ein überwiegender Vorteü gewesen ist? «J Minkowski ist am 12. Januar 1909 an den Folgen einer Operation im Alter von nur 44 Jahren gestorben.

Β. I. § 6. Von dem allinählichen Hervorkommen der Lorentzgruppe.

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in a), u m keine spezifischen Vorkenntnisse v o r a u s s e t z e n z u m ü s s e n , die kühle DarsteUung durch einen a d h o c ersonnenen Matrizenkalkül w ä h l t , dessen äußere E i n z e l h e i t e n zwar e l e m e n t a r z u g ä n g l i c h sind, dessen inneres Z u s t a n d e k o m m e n aber unzugänglich bleibt. W i r h a b e n b e i Minkowski b e i d e s : die voUe Beherrschung d e s m a t h e ­ m a t i s c h e n A p p a r a t e s der R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der Lorentzgruppe u n d deren in lapidaren S ä t z e n festgelegte naturphilosophische Tragweite. I n ersterer H i n s i c h t werde hier v o r w e g b e m e r k t , m i t R ü c k s i c h t auf die v o n u n s selbst in den vorigen Paragraphen g e g e b e n e D a r s t e l l u n g : d a ß erst Minkowski die w a h r e N a t u r der X, Y , Z, L , M , N als der K o m p o ­ n e n t e n eines Sechsertensors klar erkannt u n d d a m i t den inneren A u f b a u der Maxwellschen Gleichungen völlig v e r s t a n d e n h a t ^). I m übrigen w i r d unsere g a n z e folgende Darstellung vori d e n Minkowskischen Auf­ fassungen getragen sein, w o b e i wir u n s d e m P l a n e der g e g e n w ä r t i g e n DarsteUung entsprechend leider g a n z auf die e l e m e n t a r e n A n f ä n g e beschränken m ü s s e n . I n der äußeren F o r m schließen wir u n s d a n n vielfach an die wieder­ h o l t g e n a n n t e n u n d v o n den d e u t s c h e n P h y s i k e r n viel gelesenen K o m ­ m e n t a r e v o n Sommerfeld, 1910 a n : Zur R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e , T e ü l : Vierdimensionale Vektoralgebra, A n n . d. P h y s . (4), 3 2 ; Teil 2 : Vierdimensionale Vektoranalysis, e b e n d a 3 3 . N u r ersetzen wir die g e o m e ­ trischen A n a l o g i e n , m i t d e n e n Sommerfeld arbeitet, h e b e r durch die u n s schon geläufigen invariantentheoretischen R e c h n u n g e n u n d B e ­ griff sbildimgen. D i e s h a t a u c h schon v . L a u e in s e i n e m L e h r b u c h : „ D a s R e l a t i v i t ä t s p r i n z i p " (Bd. 1, B r a u n s c h w e i g 1911, 2 . Aufl. 1913«)) g e t a n , doch g l a u b e ich m a n c h e s präziser oder a u c h einfacher darsteUen z u k ö n n e n . D i e s e größere E i n f a c h h e i t ist n a m e n t l i c h dadurch erzielt, d a ß ich ganz darauf verzichte, die v o r h e g e n d e n E x p e r i m e n t e z u b e ­ sprechen u n d ihre ursprünglich dreidimensional^ Erfassung allmählich vierdimensional u m z u d e u t e n , sondern d a ß ich v o n vornherein d a s vierdimensionale D e n k e n d e d u k t i v zur Geltung bringe. S o ist es b e k a n n t l i c h bequemer, zuerst das Koperriikanische W e l t b i l d z u e n t w i c k e l n , s t a t t v o n d e n geozentrischen B e o b a c h t u n g e n aus auf d e m W e g e über die P t o l e m ä i s c h e DarsteUimg z u i h m aufzusteigen. Freüich bleibt der ein halber A s t r o n o m , der sich n u n m i t der K o p e m i k a n i s c h e n Auffassung in abstracto b e g n ü g t u n d sich nicht e i n g e h e n d b e m ü h t , die E i n z e l ­ h e i t e n der geozentrischen B e o b a c h t u n g e n v o n dort aus g e n a u d v r c h zudenken.

1) Leider h a t Minkowski in a) für das. was wir hier Sechsertensor nennen, das VöUig farblose Wort ..Vektor zweiter Art". In d) dagegen h a t er dafür die neue, aber meinem Gefühl nach ganz zweckmäßige Bezeichnung ..Traktor" vor2) Der 2. Bd. (1921 bzw. 1923) behandelt die aUgemeine Relativitätstheorie. (H.)

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2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

§ 7. Von der Weiterverbreitung der n e u e n Doktrin. Die Entwicklung Seit 1911 bzw. 1909. A l s „ n e u e D o k t r i n ' ' soll hier die Auffassung b e z e i c h n e t sein, d a ß d i e R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der G a h l e i - N e w t o n - G r u p p e in allen Teilen der P h y s i k durch die R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der Lorentzgruppe ersetzt werden müsse. D i e Mehrzahl der älteren P h y s i k e r h a t sich ihr n u r zögernd, w e n n ü b e r h a u p t , angeschlossen, w i e p s y c h o l o g i s c h v e r s t ä n d h c h ist. W e r D e z e n n i e n hindurch in sich eine b e s t i m m t e D e n k w e i s e a u s g e s t a l t e t h a t , k a n n sich n i c h t plötzlich u m s c h a l t e n . Jedenfalls wird er i m m e r v e r s u c h e n , auf d e m W e g e über seine früheren A n s ä t z e hinüber die n e u e n F o r m u l i e r u n g e n z u erfassen, w a s z u aUerlei U m s t ä n d h c h k e i t e n führen m u ß . So ist es z. B . m i t L o r e n t z selbst. Ganz anders die jüngere Generation. Vieles, w a s in der E l e k t r o d y n a m i k k o m p h z i e r t erschien, w u r d e j e t z t p l ö t z h c h e i n f a c h ; wir w e r d e n darauf n o c h m a n n i g f a c h z u r ü c k k o m m e n u n d m a n c h e E i n z e l n a m e n n e n n e n . E s e n t s t a n d ein vielseitiges e n t h u s i a s t i s c h e s Vorwärtsstreben. A l s prinzipieUe F o r t ­ schritte aber wiU ich n e n n e n , d a ß es P l a n c k s c h o n 1907 gelangt), die t h e r m o d j m a m i s c h e n Lehren m i t der n e u e n Auffassung in V e r b i n d u n g z u s e t z e n , u n d d a ß H e r g l o t z 1911 die M e c h a n i k der deformierbaren Körper, für w e l c h e Minkowski s c h o n A n s ä t z e g e g e b e n h a t t e , in a b s c h h e ß e n d e r W e i s e b e h a n d e l t e 2). D o c h dieses s i n d D i n g e , die wir hier nur beiläufig berühren können. W i c h t i g e r für u n s ist es, z u k o n s t a t i e r e n b z w . z u erklären, d a ß die M a t h e m a t i k e r i n großer Zahl sich sofort der n e u e n B e w e g t m g a n ­ s c h l ö s s e n . Auf der einen Seite k a n n hierzu g e s a g t werden, d a ß der­ jenige, der durch die Schule der N i c h t e u k l i d i s c h e n Geometrie g e g a n g e n war, von vornherein prädisponiert war, die G a l i l e i - N e w t o n - G r u p p e , s o b a l d dies w ü n s c h e n s w e r t s c h i e n , g e g e n die Lorentzgruppe, v o n der sie ein GrenzfaU ist, z u v e r t a u s c h e n . E s fiel in dieser H i n s i c h t e b e n j e d e innere H e m m u n g fort. A b e r v i e l w i c h t i g e r war n o c h , daß die M a t h e m a t i k e r die n e u e n G e d a n k e n r e i h e n , die jetzt verlangt w u r d e n , v e r m ö g e ihrer i n v a r i a n t e n t h e o r e t i s c h e n (oder geometrischen) U n t e r ­ s u c h u n g e n , w e n n a u c h in anderer F o r m , o h n e es z u w i s s e n , bereits fertig in sich h e r u m t r u g e n . N i e m a n d h a t d i e s lebhafter e m p f u n d e n u n d die d a d u r c h g e g e b e n e Sachlage höher e i n g e s c h ä t z t als Minkowski s e l b s t , der in s e i n e m o b e n u n t e r d) g e n a n n t e n Vortrag v o r der G ö t ­ t i n g e r m a t h e m a t i s c h e n GeseUschaft sich z u E i n g a n g folgendermaßen äußert: „ D e r M a t h e m a t i k e r ist b e s o n d e r s g u t prädisponiert, die n e u e n 1) Sitzungsberichte der BerUner Akademie 1907 = Ann. d. Phys. (4), Bd. 26 (1908). η Ann. d. Phys. (4), Bd. 36 (1911).

Β. I. § 7. Von der Weiterverbreitung der neuen Doktrin.

77

A n s c h a u u n g e n a u f z u n e h m e n , w e i l es sich d a b e i u m eine A k k l i m a t i ­ sierung a n Begriffsbildungen h a n d e l t , die i h m längst äußerst geläufig sind, während der P h y s i k e r jetzt diese Begriffe z u m Teil n e u erfinden u n d sich durch e i n e n U r w a l d v o n U n k l a r h e i t e n m ü h e v o U einen P f a d durchholzen m u ß , indessen g a n z i n der N ä h e die längst vortrefflich a n g e l e g t e Straße d e s Mathematikers b e q u e m vorwärtsführt. Über­ h a u p t w ü r d e n die n e u e n A n s ä t z e , fäUs sie t a t s ä c h l i c h die E r s c h e i n u n g e n richtig wiedergeben, fast d e n größten T r i u m p h b e d e u t e n , d e n je die A n w e n d u n g der M a t h e m a t i k gezeigt h a t . E s h a n d e l t sich, — so kurz w i e möglich außgedrückt — d a r u m , d a ß die W e l t in R a u m u n d Zeit in g e w i s s e m Sinne eine vierdimensionale N i c h t e u k l i d i s c h e Mannig­ faltigkeit ist. E s w ü r d e z u m R u h m e der M a t h e m a t i k e r , z u m grenzen­ losen E r s t a u n e n der übrigen Menschheit offenbar werden, d a ß die Mathematiker rein i n ihrer P h a n t a s i e ein großes Gebiet geschaffen h a b e n , d e m , o h n e d a ß dieses je in der A b s i c h t dieser so idealen Ge­ sellen gelegen h ä t t e , eines T a g e s die v o l l e n d e t e reale E x i s t e n z z u ­ k o m m e n sollte.'' Zu diesen W o r t e n Minkowskis k a n n ich nur erklären, d a ß sie z u ­ gleich die Auffassungen u n d d i e V o r b e d i n g u n g e n g e n a u treffen, v o n d e n e n aus die gegenwärtige Darstellung u n t e r n o m m e n w u r d e . U n d sie werden n o c h weiter reichen. Sie werden a u c h deren k o m m e n d e n Teile n o c h u m s p a n n e n , sofern es u n s gelingt, z u d e n weiteren p h y s i k a h s c h e n A n s ä t z e n Stellung z u n e h m e n , die durch E i n s t e i n s gedankenreiche A r b e i t e n v o n 1911 ausgelöst w o r d e n sind^). I n d e m E i n s t e i n n a c h e i n e m F o r m a l i s m u s s u c h t e , der eine innere E i n f ü g u n g der Lehre v o n der Gravitation in d i e Theorie der e l e k t r o m a g n e t i s c h e n E r s c h e i n u n g e n ermöglichte, k a m er s p o n t a n dazu, die R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der Lorentz­ gruppe, also einer linearen Gruppe m i t einer b e s c h r ä n k t e n Zahl v o n P a r a m e t e r n , durch die R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der Gruppe aher P u n k t ­ transformationen, also einer unendlichen kontinuierlichen Gruppe n a c h der v o n Lie eingeführten B e z e i c h n u n g s w e i s e — z u ersetzen. Wir w e r d e n nachher, u m das z u v e r s t e h e n , w e i t ausholen u n d n a m e n t l i c h der tiefgründigen I d e e n g e d e n k e n m ü s s e n , welche R i e m a n n i n seiner H a b i l i t a t i o n s v o r l e s u n g v o n 1854 „ Ü b e r die H y p o t h e s e n , w e l c h e der Geometrie zugrunde h e g e n " e n t w i c k e l t h a t . D a ß R i e m a n n dabei g a n z w e s e n t l i c h v o n naturphilosophischen Interessen geleitet war, w u r d e s c h o n in B d . 1 hervorgehoben. I m übrigen n e n n e ich gerne n o c h einen andern in unserer R i c h t u n g liegenden Fortschritt, der 1909 v o n m a t h e m a t i s c h e r Seite g e w o n n e n wurde. E s trifft sich so, d a ß ich wieder a n d a s Erlanger P r o g r a m m a n k n ü p f e n k a n n . A n die B e t r a c h t u n g der E u k l i d i s c h e n Gruppe des m i t ihren 6 P a r a m e t e r n s c h h e ß t sich dort die B e t r a c h t u n g derjenigen 1) Vergleiche S. 67, Anm. 3 (H.).

78

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

erweiterten Gruppe, welche aus ihr durch H i n z u n a h m e der Trans­ formation durch reziproke R a d i e n e n t s t e h t . E s ist eine Gi^, die ich s p ä t e r k u r z w e g die konforme Gruppe g e n a n n t h a b e , weil sie sich (wie d i e s der Sache n a c h s c h o n 1845 v o n LiouviUe erkannt wurde) m i t der G e s a m t h e i t derjenigen R a u m t r a n s f o r m a t i o n e n d e c k t , w e l c h e {dx^ + dy^ -f dz^ in ein Multiplum seiner selbst überführen. A u c h sie läßt sich als eine h o m o g e n e lineare Gruppe schreiben, w e n n m a n n ä m l i c h

und

s e t z t : sie ist d a n n durch diejenigen h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u t i o n e n der 5 Variablen ξ, η, ζ, ρ, w dargesteUt, w e l c h e die quadratische Glei­ chung

in sich überführen.

AUes d a s läßt sich auf η D i m e n s i o n e n ü b e r t r a g e n ;

e s e n t s t e h t eine G^(„+i)(„+2)> i m also eine G^g^). — Andererseits h a t 2 W . T h o m s o n in s e i n e n ersten A r b e i t e n (1845) b e k a n n t h c h n a c h ­ g e w i e s e n u n d w e i t g e h e n d b e n u t z t , d a ß aus jeder P o t e n t i a l f u n k t i o n V{x, y, z) d e s R^, d. h. jeder F u n k t i o n , w e l c h e die Gleichung A=O befriedigt, durch Inversion a m K o o r d i n a t e n a n f a n g s p u n k t u n d D i v i s i o n durch r eine n e u e P o t e n t i a l f u n k t i o n , n ä m l i c h

h e r v o r g e h t . A u c h d i e s e s läßt sich m i t leichter Modifikation auf beliebig v i e l e D i m e n s i o n e n übertragen xmd d a b e i d a n n die ganze zugehörige konforme Gruppe h e r a n z i e h e n ; ich darf w e g e n dieser Sachlage auf die beiden B ü c h e r v o n Pockels^) u n d Bocher^) verweisen. — N u n lernten wir, d a ß d i e MaxweUschen Gleichimgen n a c h E i n ­ f ü h r u n g v o n / für ict auf das e n g s t e m i t der P o t e n t i a l t h e o r i e d e s v i e r d i m e n s i o n a l e n R a u m e s (die durch die Gleichung D = O gegeben wird), zusammenhängen. E s ist also fast s e l b s t v e r s t ä n d ­ lich, d a ß m a n sich fragt, o b m a n die MaxweUschen Gleichungen n i c h t durch g e s c h i c k t e A n w e n d u n g aUgemeiner konformer Transfor­ m a t i o n e n der X, y, z, I in sich v e r w a n d e l n k ö n n e . T r o t z d e m scheint 1) Hiermit haben sich Darboux, Lie und ich selbst in den Jahren 1869—1872 viel beschäftigt; siehe z . B . die zusammenfassende Darstellung in meinen „Vor­ lesungen tiber höhere Geometrie", Teü 1 (Berlin, 1926). 2) Über die partielle Differentialgleichung ?7 -|- Ä^iJ = O und ihr Auftreten in der mathematischen Physik. Leipzig, 1891. 8) Über die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie. Leipzig, 1894.

Β. I I . § 1. Elemente der zugehörigen Viereranalysis.

79

n i e m a n d a n diese Möglichkeit g e d a c h t zu h a b e n , bis sie 1909 v o n den englischen Mathematikern C n n n i n g h a m n n d B a t e m a n in voUem U m f a n g e b e s t ä t i g t w u r d e ; insbesondere h a t B a t e m a n sehr interessante invariantentheoretische E n t w i c k l u n g e n hierzu gegeben (siehe P r o c e e d ings of t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l Society (2), V l l l , 1910ff.). Man h a t die X, Y , Z, L , M, N jeder einzelnen konformen Transformation des i?4 entsprechend selbst einer h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u t i o n zu unterwerfen, deren Koeffizienten nur keine k o n s t a n t e n Größen, s o n ­ dern b e s t i m m t e einfache F u n k t i o n e n v o n x, y, z, t sind. D i e Methode der Relativitätstheorie h a t also für die MaxweU­ s c h e n Gleichungen eine n o c h wesentlich über die Lorentzgruppe h i n a u s g e h e n d e B e d e u t u n g . D i e wunderbare H a r m o n i e aber, w e l c h e z w i s c h e n d e n alten E n t w i c k l u n g e n der reinen Mathematiker u n d d e n G e d a n k e n k o n s t r u k t i o n e n der neueren P h y s i k e r b e s t e h t , b e w ä h r t sich aufs n e u e auf e i n e m erweiterten Gebiete. — Merkwürdigerweise h a b e n diese U n t e r s u c h u n g e n jedenfalls b e i uns in D e u t s c h l a n d bisher nur w e n i g B e a c h t u n g gefimden u n d a u c h wir werden d a r u m nur gelegent­ lich auf sie z u r ü c k k o m m e n k ö n n e n .

II. B e h a n d l u n g d e r L o r e n t z g r u p p e in o r t h o g o n a l e r Form. Unsere weiteren Ausführungen über die R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der Lorentzgruppe g h e d e m sich v o n selbst in z w e i T e ü e . W i r werden zuerst, u m die innere S y m m e t r i k der A n s ä t z e hervorzukehren, v o n der o r t h o g o n a l e n Schreibweise der S u b s t i t u t i o n e n Gebrauch m a c h e n , also v o n d e n x^, x^, x^, usw. (gemäß § 2 der vorigen Abteilung) ausgehen. W i r werden d a n n zweitens den besonderen R e a l i t ä t s ­ v e r h ä l t n i s s e n der Lorentzgruppe R e c h n u n g tragen. D i e s e T r e n n u n g läßt sich aUerdings, w e n n m a n Wiederholungen v e r m e i d e n wiU, nicht v ö l l i g durchführen, aber wird doch für die folgenden A b t e i l u n g e n 11 u n d I I I i m g a n z e n charakteristisch sein.

§ 1. Elemente der zugehörigen Viereranalysis. 1. D i e P u n k t k o o r d i n a t e n x^, x^, x^, x^, (oder auch yi,y2,y3>y4. ^sw.) der vierdimensionalen „ W e h " , für die sich die Lorentzgruppe als I n b e ­ griff derjenigen ooi» n i c h t - h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u t i o n e n darsteUt, (1)

.

= α,^ι + ß,X2 + YiXs + s,x,

b e i d e n e n die a „ ß„

+ C.·, ( ^ = 1, · · ·, 4)

e,· eine orthogonale Matrix v o n der D e t e r ­

m i n a n t e 1 bilden. 2. D i e Vierervektoren,

d . h . K o m p l e x e v o n 4 G r ö ß e n , welche die

80 Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik. h o m o g e n e n S u b s t i t u t i o n e n erleiden, die v o n (1) übrig bleiben, w e n n m a n d i e G h e d e r Ci wegstreicht. E m f a e h e Beispiele bilden die Differenzen zweier R e i h e n v o n P u n k t k o o r d i n a t e n : ^i-yi*

H-y^y

^z-yz>

^^^-y^

u n d insbesondere die Differentiale: dxi,

dx^y dx^,

dx^;

e b e n s o aber a u c h die partieUen Differentialzeichen:

(weil b e i o r t h o g o n a l e n S u b s t i t u t i o n e n der U n t e r s c h i e d v o n Kogredienz u n d K o n t r a g r e d i e n z fortfällt). W i r w e r d e n es i m folgenden n i c h t nur m i t einzelnen V e k t o r e n , son­ dern m i t Vektorfeldern z u t u n h a b e n . W i r bezeichnen daher die Vierer­ v e k t o r e n , d a m i t ihre K o m p o n e n t e n n i c h t m i t P u n k t k o o r d i n a t e n ver­ w e c h s e l t w e r d e n k ö n n e n , durch (2)

Ui, U^,

W4

b z w . Vi, V2, V^, V^ u s w .

D i e e i n f a c h s t e n in der V e k t o r a n a l y s i s auftretenden Skalare d a n n i n der q u a d r a t i s c h e n F o r m (3)

ul + ul + ul + ul

bzw.

vi+

vi+

vi+

h a b e n wir

vi

u n d i n der z u g e h ö r i g e n P o l a r e v o r u n s : U^Vi + U2V2 + U^Vi +

(4)

u^v^.

E s i s t n u n nur e i n besonderer F a l l v o n (4), w e n n wir b e i Vektorfelde u (x) v o n der Großdivergenz

einem

s p r e c h e n ; d i e Vorsilbe „ G r o ß " , die w i r n a c h S o m m e r f e l d gebrauchen, soU h i e r u n d i n ä h n l i c h e n F ä l l e n daran erinnern,

d a ß w i r es

mit

vier, u n d n i c h t m i t drei Variablen z u t u n h a b e n . 3 . Sei / (X) i r g e n d e m Skalar, d a n n i s t df dV^'

df dV^'

e i n Vierervektor, d e r Großgradient Skalare einerseits

df ä^' von /.

df dV, A u s i h m e n t s t e h e n als n e u e

Β . I I . § I. Elemente der zugehörigen Viereranalysis.

81

w e l c h letzteren wir wieder m i t (6) bezeichnen.

• /

4. D i e Sechsertensoren,

d . h . K o m p l e x e v o n je 6 Größen Α,^ (oder

a u c h μ^τ^, die sich w i e die zugehörigen U n t e r d e t e r m i n a n t e n ^,-¾. (bzw. q^j^ einer zweigliedrigen K o m p o n e n t e n - M a t r i x v o n Vierervektoren

I substituieren.

u,

u,

u,

u,

I

W i r h a b e n für die λ^, zwei

Die „dualen" gegeben:

Invarianten:

s i n d a m übersichtlichsten durch die

(8)

Gleichungen

. . . = | £ ^

worauf Λ d e n W e r t a n n i m m t : (9)

^

=/^14/^23 + / ^ 2 4 / ½ ! +/^34/^12·

A l s o ist auch u m g e k e h r t :

CO)

^,.=¾·

I m übrigen werden wir wieder, je n a c h Bedürfnis:

(11)

=

Λ·,=-ο

(und ähnlich für die /^,¾) in die F o r m e l n emführen. b e v o r z u g e n wir freihch i m m e r den I n d e x 4.

Im

besonderen

5. W i c h t i g ist weiterhin der besondere Sechsertensor, der — imter U irgend ein Vierervektor v e r s t a n d e n — aus der Matrix

hervorgeht, a l s o : (12)

^ . . = ¾ - ¾ ·

Wir nennen ihn Rot

die Großrotation

des Vektorfeldes (w).

A u s den K o o r d i n a t e n A,·^ b z w . /^,¾ eines b e h e b i g e n Sechsertensors u n d e i n e m b e h e b i g e n Vierervektor w,- lassen sich, w i e schon in I, § 2 e r w ä h n t , z w e i n e u e Vierervektoren n a c h d e m einfachen S c h e m a z u sammensetzen: (13)

=

Klein, Entwicklung der Mathematik. 11.

bzw.

ν^^Σμι^^ι^' 6

82

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

6. U m m m d o c h e t w a s N e u e s z u g e b e n , b e m e r k e n whr, d a ß sich aus d e n K o o r d i n a t e n Xi jc zweierlei Größentripel z u s a m m e n s e t z e n lassen, die w i r Dreiertensoren nennen. B i l d e t m a n n ä m h c h die b e i d e n Skalare Ω

±2Ä,

so erhält m a n 2 t e m ä r e I n v a r i a n t e n : (λΐ4 ± λ,,)^

+ {X,, ± Aai)^ + {X,, ±

λl,)^·

daraus folgt, d a ß sich die b e i d e n G r ö ß e n s y s t e m e : (14)

λ ι , + λ,3,

λ , , + λ3ΐ,

+

bzw.

λι,-λ,3,

λ,,-λ3ΐ,

^34-

je t e m ä r o r t h o g o n a l (übrigens n i c h t e t w a kogredient) s u b s t i t u i e r e n ; auf die E i n z e l h e i t e n w e r d e n wir in § 2 z u r ü c k k o m m e n . H i e r sei a n die urs p r ü n g h c h e e l e k t r o m a g n e t i s c h e B e d e u t u n g der Xi erinnert. W i r h a t t e n

E s h a n d e l t sich also b e i d e n Dreiergrößen (14) ima die k o m p l e x e n Verbindimgen (15)

L±iX,

M±iY,

N±iZ,

die m a n b e i der B e h a n d l i m g der M a x w e l l s c h e n Gleichungen s c h o n oft eingeführt h a t , o h n e gerade d a s hier z u t a g e t r e t e n d e Prinzip hervor­ zukehren. 7. E n d h c h die Zehnertensoren, die s c h o n o b e n (Kap. 1 B , § 4) erwälmt w a r e n . E s h a n d e l t sich ima d e n Inbegriff der Koeffizienten irgend einer aus d e n K o o r d i n a t e n eines Vierervektors g e b i l d e t e n quadratischen F o r m , also ima G r ö ß e n k o m p l e x e a^^, die sich b e i der Lorentzgruppe s o substituieren, daß (16)

ZdikUiUj,

i n v a r i a n t i s t . W i r n a n n t e n a. a. O. a u c h s c h o n Zehnertensor m i t d e n Koeffizienten <J,^ = 0 ( ^ + ^ ) , Ou= l.

den

besonderen

8. E s g i b t eine einfache M e t h o d e , aus e i n e m Sechsertensor λ, ^ e i n e n Zehnertensor abzuleiten. Schreiben w i r g e m ä ß (13): Vi-Σλi^UJc, so h a b e n w i r e i n e n n e u e n Vierervektor, t m d e b e n s o , w e n n w i r diese Substitution wiederholen: i

Β. I I . § 1. Elemente der zugehörigen Viereranalysis. Ziehen w i r z u s a m m e n , s o h a b e n w i r :

i m d i n d e m hier auftretenden Koeffizientensystem, weil e s zur H a u p t ­ diagonale s y m m e t r i s c h i s t , einen Zehnertensor *. E s verlohnt sich, dies Koeffizientensystem ausführlich hinzuschreiben. W i r erhalten b e i geeigneter A n o r d m m g der I n d i z e s : /-λΐ^-λίζ-λΐ,

^13^32 + ^14^42

^14^43 + ^ 1 2 ^ 3

^12^4+^13^34

^3^31+^24^41

-^ΐ3-^ΐ4-^1ΐ

^24^43 + ^ 1 ^ 1 3

^1^14 + ^3^34

\ \

^32^1+^34^41

^34^42 + ^31^12

-^ΐ4-^1ΐ-^ΐ2

^31^14 + ^ 3 2 ^ 4

I

\ ;.42>^21 + >^43Λη hzh2+Klk2 KlKz+Κ'ζΚζ ^ ^ll^ ^l^^ ' Addieren wir hier n o c h überaU ^ ό ^ ^ - β , s o b e k o m m e n w i r folgende M a t r i x * , die b e i d e n U n t e r s u c h i m g e n über d a s elektromagnetische F e l d der XiT, eine große Rolle spielt u n d d i e dementsprechend m i t d e m b e ­ sonderen B u c h s t a b e n F bezeichnet sein soU: /_2_/Af, + ; ? a + ; h \

ι_14ζ + 4.+λΙΛ

J,/^l. + ^ii + AiA

D e r T e r m rechts u n t e n n i m m t , w e n n w i r ü i n n o c h durch dividieren, in d e n Z , Y , Z , L , M , N geschrieben, folgende Gestalt a n : ^

( Z 2 + y 2 + z 2 + L 2 + M 2 + iV2).

D i e s e n Ausdruck pflegen d i e Physiker die spezifische (auf d i e E i n h e i t des V o l u m e n s berechnete) Energie d e s elektromagnetischen F e l d e s z u n e n n e n . V o n hier d a s besondere Interesse, welches m a n d e m Zehner­ tensor F z u g e w a n d t h a t (so d a ß m a n i h n gelegentlich geradezu a l s „ W e l t t e n s o r " bezeichnet). D i e spezifische Energie i s t also gegenüber der Lorentzgruppe keineswegs e t w a s Invariantes, sondern eben n u r eine der K o m p o n e n t e n eines Zehnertensors. A u f d i e physikaüsche B e ­ d e u t u n g der übrigen K o m p o n e n t e n werden wir später z u r ü c k k o m m e n . 9. A u s d e n K o m p o n e n t e n Uiy. eines Zehnertensors u n d d e n Uj, eines Vierervektors e n t s t e h t aUgemein i n der Gestalt i = l, 2, 3, 4

84

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

ein neuer Vierervektor.

A l s b e s o n d e r e n F a l l h a b e n wir w i e d e r :

(18)

=

•••.4).

D i e s e n V e k t o r b e z e i c h n e t S o m m e r f e l d als die Vektor divergenz desZehnertensors atjc- F ü r den e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Zehnertensor verschwindet d i e Vektordiver^enz v e r m ö g e der M a x w e l l s c h e n Gleichungen i d e n t i s c h (wie m a n aus d e m B i l d u n g s g e s e t z v o n F ablesen oder a u c h hinterher durch w i r k h c h e A u s r e c h n u n g verifizieren m a g ) . W i r w e r d e n darauf in § 6 e m g e h e n .

§ 2· Neue Einschaltung über Quaternionen. D i e E n t w i c k l u n g e n d e s v o r i g e n Paragraphen g e h e n in i h r e m W e s e n alle auf M m k o w s k i s große A r b e i t v o n 1 9 0 7 / 0 8 zurück. Minkowski e r w ä l m t dort g e l e g e n t h c h auch, d a ß der F o r m a h s m u s der Quaternionen D i e n s t e leisten k ö n n e , i h m aber z u schwerfällig scheine. I c h m ö c h t e aber a n g e b e n , w i e einfach sich d i e Grundformeln der Theorie i n Qua­ ternionen schreiben lassen. B e r e i t s K a p . I B , § 3 w u r d e gezeigt, w i e m a n d i e aUgemeinen o r t h o ­ g o n a l e n S u b s t i t u t i o n e n v o n der D e t e r m i n a n t e 1 b e i 4 u n d b e i 3 Ver­ änderhchen durch Quaternionen darsteUen k a n n . W i r h a b e n j e t z t nur einige n e u e B e z e i c h n u n g e n h i n z u z u n e h m e n . Z u n ä c h s t schreiben wir e i n e n Vierervektor (u) als Q u a t e r n i o n : (u) =iui+ju^

+ ku^ + U^.

W i r bezeichnen f e m e r d i e Q u a d r a t s u m m e + + + d^ der Koeffizienten einer Q u a t e m i o n q = i α + j b + k c + d mit Nq, d. h. N o r m v o n q. D a n n schreibt s i c h für d e n Vierervektor (u) d i e aUg e m e i n s t e tmimodulare o r t h o g o n a l e S u b s t i t u t i o n , d. h. d i e allgemeine L o r e n t z s u b s t i t u t i o n i n orthogonaler F o r m i n der G e s t a l t :

«

« = ^ ·

H i e r s i n d q, q' z w e i b e h e b i g e Quaternionen. N e h m e n w i r aber i n s ­ besondere q = q-^, s o w i r d Nq'Nq' = 1, u^ = u^, u n d w i r b e h a l t e n in der F o r m e l (2)

(iu^ +jü,

+ Hü^) = q (iu,+ju,

+

ku,)

d i e allgemeinste t e m ä r e tmimodulare o r t h o g o n a l e S u b s t i t u t i o n der 3 Variablen Wj, u^, u^. N u n w u r d e n d o c h i m v o r i g e n P a r a g r a p h e n Dreiertensoren g e ­ n a n n t , d. h. K o m p l e x e , w e l c h e b e i A u s ü b u n g der q u a t e m ä r e n S u b ­ s t i t u t i o n (1) auf die u selbst t e m ä r e o r t h o g o n a l e S u b s t i t u t i o n e n er­ leiden. D i e s e S u b s t i t u t i o n e n s m d n u n d e m W e s e n n a c h durch (2)

Β. I I . § 2. Neue Einschaltung über Quaternionen. 85 gegeben. Man findet n ä m l i c h , b e i Voraussetzmig der F o r m e l (1), für d e n Dreiertensor die S u b s t i t u t i o n

i {λ,, + K,) + / Ca,, + ^3I) +

(3)

= q'-'

L·)

^ (Ä34 +

(Al4 + A,3) + / (^24 + A31) + >fe (A34 + Ai,)) / ,

aus der q g a n z herausfäUt, u n d für d e n anderen Dreiertensor Al4~A,3,

A,4~A3i,

A34~Ai,

die entsprechend g e b a u t e S u b s t i t u t i o n

i (Äi4 - Ä,3) +

(3')

= i?

/ (Ä24 ~

Ä31) + ^ (I34 - 1 1 2 )

(Ai4 ~ A,3) + / a , 4 ~ A31) + MA34 -

Ai,))

H i e r m i t sind ersichtlich auch die S u b s t i t u t i o n e n , w e l c h e die bei Anwendung

einzeln

der L o r e n t z s u b s t i t u t i o n (1) erleiden, in einfachster

W e i s e explizite hingeschrieben. Aber a u c h die Maxwellschen Gleichungen selbst lassen sich j e t z t in knappster W e i s e z u s a m m e n f a s s e n . W i r h a b e n z u d e m Zwecke nur d e n Operator z u b i l d e n :

D a n n schreiben sich die b e i d e n R e i h e n der M a x w e h s c h e n Gleichungen, w i e m a n durch N a c h r e c h n e n b e s t ä t i g t , einfach folgendermaßen: I

V(^'(^14+A23) + /(A24 + A3l) + MA34 + A i 2 ) ) = 0 ,

In.

(i'(Ai4~A,3) + / ( A , 4 - A 3 i ) + M A 3 4 - A i , ) ) 0 - O .

D e r B e w e i s aber, d a ß diese Gleichungen b e i d e n Substitutionen (1) b z w . (3) u n d (2) invariant bleiben, ergibt sich o h n e jede Zwischenrechnung. ~ ~

E s g e n ü g t aus S y m m e t r i e g r ü n d e n ,

d a ß wir d e n F a k t o r

v o n (1) in B e t r a c h t ziehen, u n d ¢''==1 setzen.

die Gleichungen I ungeändert, w e ü besagter F a k t o r b o l () vorzusetzen

ist,

der andere F a k t o r

überhaupt keine Ä n d e r u n g erleidet.

D a n n bleiben dem

(A14 + A23) 4- · · ·

Symaber

D i e Gleichungen I I aber n e h m e n

z u n ä c h s t die G e s t a l t a n : ^ (^· (Ai4 ~ A,3) + / (A,4 ~ A31) + MA34 ~ A i J ) r

^

O ==

u n d hier h e b e n sich die b e i d e n durch die horizontale K l a m m e r z u s a m m e n g e f a ß t e n F a k t o r e n (die m a n n a c h d e m assoziativen Gesetz der Q u a t e m i o n e n - M u l t i p l i k a t i o n z u s a m m e n z i e h e n darf) b i s auf d e n nicht weiter i n B e t r a c h t k o m m e n d e n N e n n e r N {q) gegenseitig w e g , so d a ß

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik nnd Physik.

86

n u r q v o m a l s F a k t o r z u g e s e t z t erscheint, w o d u r c h die Gültigkeit d e r G l e i c h u n g e n n i c h t a u f g e h o b e n wird. F o r m e l (1) l ä ß t n o c h eine V e r a U g e m e i n e n m g z u , d i e u n s für s p ä t e r n ü t z l i c h s e i n w k d . I m N e n n e r Von (1) s t e h t d i e Quadratwurzel

U m rationale D a r s t e U u n g z u erzielen, woUen w i r , w a s ersichthch k e i n e

(6)

^,2 +

+

,2 +

^2 ^

^'2 +

J'2 +

,'2 +

^'2

n e h m e n u n d , u m a u c h diese B e d i n g u n g d u r c h rationale unabhängiger Weise

^ +

Parameter

-

^ + ^>'

>«

— γ - - ^ * setzen. (8)

z u erfüUen,

R

— Γ - = ^ 2 >

i n schehibar

c + c* ^ — 2 -= ^2.

Funktionen

unsymmetrischer

d-d* _ — ^ = - ^ 2

W i r h a b e n d a n n , (6) e n t s p r e c h e n d , A

+

^1^2

+ ^iQ +

^1^2 =

0,

s o d a ß i n d e r T a t e i n e dieser 8 Größen d u r c h d i e 7 a n d e m rational ausgedrückt werden kann. dies wirkhch ausführten. sämthch

beibehalten

D i e S y n u n e t r i e w ü r d e leiden, w e n n w k

W i r w e r d e n d a r u m d i e 8 Größen A^, . . - D a

und fordem,

g e b u n d e n s e i n soUen.

d a ß sie a n d i e B e d i n g u n g e n (8)

I m übrigen w k d n u n , w e n n w k

f^i

+ ^Ci + I>i =

öl

f ^ a + y ß a + ÄCa + 2 ) 2 = ^ 2

setzen,

also a ^ ^ ^ o - + d^ = ( ^ • ( ^ - ^ ) + / ( ^ 1 - ^ ) =

+ ^ ( ^ - ^ +

( 2 ) , - ¾ ) -

(^1-¾)-^.

D a h e r schreibt s i c h d i e F o r m e l (1) j e t z t i n d e r F o r m (9)

(«)(ÖX-¢2) =

(01 +

02)(«)

(wo d i e 8 G r ö ß e n A^, . . . , Z)^·, d i e w k d e r B e d k i g u n g (8) unterwarfen, ersichtlich h o m o g e n v o r k o m m e n , s o d a ß w k i n imserer F o r m e l d i e richtige

Zahl v o n 6 w e s e n t h c h e n P a r a m e t e m h a b e n ) . Ü b r i g e n s findet

sich d i e kleine Z w i s c h e m e c h n u n g , d i e u n s v o n (1) z u (8) u n d (9) führte, b e r e i t s i n C a y l e y s urspriingKcher VeröffentHchung; n u r gerade i n u m gekehrter Reihenfolge

(so d a ß F o r m e l (1) d e n S c h l u ß a b g i b t ;

siehe

Β. II. § 2. Neue Einschaltuug über Quateruioueu.

87

CreUes Journal 5 0 . 1855 = Cayleys Werke I I , S. 2 0 2 ff., insbesondere S. 2 1 3 - 2 1 5 daselbst). N u n m ö g e n folgende B e m e r k u n g e n angeschlossen werden: 1. W i U m a n nicht uf + ul + u^ + u^ durch eine Hneare S u b ­ s t i t u t i o n m i t reeUen Koeffizienten i n sieb transformieren, sondern + + ^ 8 ~ " ^ L s o m u ß m a n d i e F o r m e h i (9) s o umschreiben: (10)

^""^ ^

+ ^

^^*'^^

~ ^^'^

w o ε d i e g e w ö b n b c b e imaginäre Einheit i s t : ε^ = — !. D i e Formehl (3), (3') für d i e Transformation der Dreiertensoren aber werden dann so lauten: (11)

(βΐ~«β2)(^Χΐΐ4 + « ^ 2 3 ) + / ( 4 4 + « 4 ΐ ) + Α μ 3 4 + «^"ΐ2)) = ( ^ ( Α ι , + ε Α 2 3 ) + /(Α24 + «Α3ΐ) + Α ( Α 3 4 + ε Α ΐ 2 ) ) ( β ι - ε ρ , ) ,

(H')

( ^ · μ ΐ 4 ~ « 4 3 ) + / μ 2 4 - « ΐ 3 ΐ ) + Α μ 3 4 - « ^ " ΐ 2 ) ) ( β ΐ + «β2) = (βΐ + « β 2 ) ( ^ ^ 4 - « ^ 2 3 ) + / ( 4 4 - ε Α 3 , ) + Α ( ^ 3 4 - « ^ 1 2 ) )

2. W i r w e r d e n diese F o r m e h i m i t d e n früheren zusammenfassen, i n d e m w i r freistehen, ε^= ±:l z u n e h m e n , f a w i r w e r d e n s i e n o c b so v e r a U g e m e i n e m k ö n n e n , d a ß ul + ul + in sieb tibergebt, i n d e m w i r

=

ul±c^ul nehmen.

Hierin b e g t d i e Möghcbkeit, nicht n u r der Lorentzgruppe i n ihrer auf d i e Lichtgeschwindigkeit c beztighcben reeUen F o r m gerecht z u w e r d e n , sondern a u c b d i e Gahlei-Newton-Gruppe als d e n für c = ΘΟ h e r a u s k o m m e n d e n GrenzfaU g l a t t hinzuschreiben. W i r h a b e n n u r b e i (10) d i e B e d i n g u n g ε^ = O hinzuzufügen, also m i t ε s o z u reebnen, w i e m a n dies b e i u n e n d h c h kleinen Größen z u t u n pflegt. W i r s i n d hiermit i n d e n Bereich der s o g e n a n n t e n Biquaterionen g e l a n g t , d e r seitens der G e o m e t e r schon lange bearbeitet wurde — nur d a ß v o n i h n e n Wj, % n a t ü r h c h nicht physikalisch g e d e u t e t wur­ d e n , sondern als Verbältniskoordinaten i m R a u m v o n 3 D i m e n s i o n e n . D i e S u b s t i t u t i o n e n (10) g e b e n d a n n , je n a c h d e r Verfügung tiber d a s ε^, die „ B e w e g u n g e n " d e s eUiptiscben, b5nperbobscben u n d parabobscben (um d i e B e n e n n u n g e n z u gebraueben, d i e i c b selbst seinerzeit für die verschiedenen A r t e n v o n Cayleys projektiver M a ß b e s t i m m u n g vor­ s c h l u g t ) ; e s beißt unnötigerweise böbere G e d a n k e n v e r b i n d u n g e n heran­ ziehen, w e n n m a n s t a t t dessen m e i s t , i n A n l e h n u n g a n R i e m a n n s aUgemeine A n s ä t z e , v o n R ä u m e n konstanter positiver oder negativer oder verschwindender K r ü m m u n g spricht). 1) Vgl. Bd. I, S. 151—155.

88

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik nnd Physik.

Man pflegt d i e U n t e r s c h e i d u n g der dreierlei A r t e n v o n B i q u a t e r i o n e n Öe n a c h d e m ε^= + 1, —l oder O ist) auf C l i f f o r d zurückzuführen, der i n einigen u n v o U e n d e t g e b h e b e n e n A b h a n d l u n g e n 1873 u n d 1876 hierüber sehr anregende, aber n i c h t abgeschlossene B e m e r k u n g e n hinterlassen h a t (Werke, Nr. 2 0 u n d 42). W i e m a n die B e w e g u n g e n d e s E u k h d i s c h e n R a u m e s v e r m ö g e (10) i m t e r der A n n a h m e ε^ = 0 n a c h allen R i c h t u n g e n b e q u e m beherrschen k a n n , h a t insbesondere S t u d y u n t e r s u c h t (Math. A n n . 3 9 , 1891). Genaueres über d i e n i c h t unbeträchtliche Literatur der B i q u a t e m i o n e n — gerade a u c h i n ihrer B e z i e h u n g z u d e n orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n v o n 4 Veränderlichen — findet m a n i n d e m Artikel I , 5 der französischen E n z y k l o p ä d i e „ N o m b r e s c o m p l e x e s " v o n S t u d y i m d Cartan (vgl. Nr. 3 6 — 3 6 daselbst) ^).

§ 8· V o m Ersatz der Maxwellschen Gleichungen durch Integralbeziehungen. D i e Quaternionen sind n u r eines der H i l f s m i t t e l , durch die m a n die S y m m e t r i e der M a x w e l l s c h e n Gleichungen b e q u e m hervorkehren k a n n . M a x w e l l selbst h a t i n s e i n e m Treatise, w i e w i r s c h o n wiederholt b e ­ m e r k t e n , ü b e r h a u p t keine Differentialgleichungen hingeschrieben, s o n ­ dern I n t e g r a l b e z i e h u n g e n aufgestellt — ein Verfahren, w e l c h e s d a s E r g e b n i s der e x p e r i m e n t e l l e n Messungen zweifellos u n m i t t e l b a r e r z u m Ausdruck bringt u n d ü b e r h a u p t mancherlei V o r z ü g e h a t , i n d e m es z. B . d e n F a l l einfacher i m e l e k t r o m a g n e t i s c h e n F e l d e auftretender U n S t e t i g k e i t e n m i t imifaßt. V o n m a t h e m a t i s c h e r Seite i s t m a n , w i e es scheint, erst n e u e r d i n g s hierauf g e n a u e r e i n g e g a n g e n ; i c h b e z i e h e m i c h insbesondere auf d i e s c h o n g e n a n n t e A r b e i t v o n B a t e m a n i n (2) V I I der P r o c e e d i n g s der L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y v o n 1 9 0 9 / 1 0 . W i r w e r d e n a u c h vielfache Integrale z u b e t r a c h t e n h a b e n u n d schreiben sie i n diesen P a r a g r a p h e n unter B e n u t z u n g der G r a ß m a n n ­ s c h e n S t u f e n ; so also, d a ß wir ein „ F l ä c h e n e l e m e n t " durch die U n t e r d e t e r m i n a n t e n d e s a u s 2 R e i h e n v o n Differentialen g e b i l d e t e n Schemas: dx^ dx^ dxs dx, d'x^

d'x,

d'Xs

d'x,

1) Ich verweise noch anf einen anch dort nnr beüänfig genannten und sonst so gut wie nnbekannten Geometer, den Wiesbadener GymnasiaUehrer U n v e r z a g t . Schon 1871 beschäftigte er sich mit den Versnchen, die Qnatemionenlehre für die allgemeinen Maßverhältnisse des Enkhdischen i?s fruchtbar zn machen, nm dann mit einer ansführHchen DarsteUung hervorzutreten (Theorie der goniometrischeu und longimetrischen Quaternionen, Wiesbaden 1876). Die DarsteUung ist natürhch eine andere, meines Erachteus ungelenkere, als wir sie gewohnt sind. Niemand hat das Buch von Unverzagt damals beachtet. Es ist tragisch zu sehen, wie ein zweifeUos hochbegabter Mann, dem die Verbmdung mit Gleichstrebenden fehlte, zur Wirkungslosigkeit verurteili gewesen ist.

Β. II. § 3. Vom Ersatz der MaxweUschen Gleichungen durch Integralbeziehungen. 8 9 festlegen, e i n „ R a n m e l e m e n t " durch d i e entsprechende dreighedrige D e t e r m i n a n t e , e i n „ W e l t e l e m e n t " durch eine vierghedrige D e t e r ­ m m a n t e . D a s Verhalten der Integrale b e i E i n f ü h r u n g neuer Veränder­ lichen l ä ß t sich s o b e q u e m e r v e r s t e h e n , als b e i der gewöhnlichen Schreibweise. Sei beispielsweise ein vierfaches Integral (erstreckt über irgendem W e l t s t ü c k ) vorgelegt, d a s w i r s o schreiben:

I

dx-^ dx^ dx^ dx^ . . . . d'x^ . . . . d"x, d"'x,. . . . d'"xt

d-x, (12)

d"xi

Wir setzen nun etwa (13) w o b e i f {Χχ, X^, X», X*) in f {Vv Vi-Va· Vt) übergehen m ö g e . E s i s t d a n n o h n e weiteres klar, d a ß d a s transformierte Integral l a u t e t :

dyi (14)

.. •dy.

d-y,

..

d"yi

.. •
d"'y,..

•

d"'y.

unter g ( y ^ ' y ' ' y * ' y " ) diebezügKcheFiuiktionaldetenninanteverstanden, H a n d e l t e s sich b e i (13) u m e i n e S u b s t i t u t i o n der Lorentzgruppe, s o i s t diese D e t e r m i n a n t e gleich eins u n d w i r h a b e n i n s b e s o n d e r e :

Ist

i{Xi. Xt,x», χύ eine Invariante der Gruppe (φ „Skalar"), so auch das Integral; wir haben eine Integralinvariante der Gruppe. A n a l o g e B e m e r k u n g e n w e r d e n b e i dreifachen, zweifachen, einfachen Integralen a m P l a t z e sein. E i n dreifaches I n t e g r a l w i r d sich s o schreiben:

rrrl

dx,

'·

dx^ dx.

dx.

(15)

d-xi

d-x,

d"xi

d-'x,

u n d w i r d I n t e g r a h n v a r i a n t e der Lorentzgruppe sein, w e n n fi.U.f», h einen Vierervektor bezeichnet. E i n zweifaches Integral k ö n n e n w i r s o a n s e t z e n : (16)

Il2fiAdXid'x^-d-x,dx,);

w i r h a b e n e i n e Integralinvariante der Lorentzgruppe, w e n n d i e e i n e n Sechsertensor vorsteUen. B e i allgemeiner S u b s t i t u t i o n (13) aber wird hervorkommen: (17)

Sl2kn(dyn,d'yn-d-y„,dy,).

90

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

WO sich die

^ a u s d e n /^¾ so z u s a m m e n s e t z e n :

(und i n den fi^^^t x^.. .x^ n a t ü r h c h durch yi.. .y^ auszudrücken sind). H i e r a n reihen sich die Sätze, welche m a n bei 3 D i m e n s i o n e n n a c h Gauß u n d Stokes z u b e n e n n e n pflegt u n d die i n allgemeinster F o r m .(für w-fache Integrale i n w-fach ausgedehnten R ä u m e n ) z. B . bei P o i n c a r i i ) u n d G o u r s a t « ) aufgesteUt sind. I c h wiU m i c h hier auf d e n F a l l eines Doppelintegrals beschränken. D a s Integral sei über eine geschlossene F l ä c h e g e n o m m e n , welche einen dreidimensionalen R a u m einschheßt. D a s . ü b e r die F l ä c h e erstreckte Integral k a n n durch ein über den R a i m i erstrecktes dreifaches Integral ersetzt werden. Schreibt m a n , da /,¾ ein Sechsertensor sein soll, A,·^ für /^¾ u n d führt, w i e früher, iW.* == ein, so gut die F o r m e l :

dx,

dx,

d-x,

d'x,

d-x,

d-x,

d"x,

d'-x,

d"x,

dx,

dx, d"x.

.

E s folgt, d a ß d a s Doppelintegral, erstreckt über eine beHebige ges d i l o s s e n e Fläche, i m m e r O ist, w e i m i m g a n z e n

die Differential-

gleichimgen b e s t e h e n :

^ ¾ = » .

^ f e - o .

^ ^ - 0 .

^ ¾ : - » -

U n d a u c h d e n R ü c k s c h l u ß wird m a n m a c h e n können, w e n n anders die die d a z u erforderhchen Stetigkeitsbedingungen erfüllen*. D a m i t s i n d wir v o n selbst a n die Maxwellschen Gleichungen herangekonmaen. I n der T a t h a t t e n wir diesen früher die F o r m g e g e b e n : I·

i ; f e = 0.

11-1^^

= 0

für

. =

1.2.3.4.

W i r w e r d e n s t a t t ihrer jetzt die Integralbeziehungen s e t z e n :

ll^^μiΛΛ'Oid'^r.~ä.'x,dx^)

= ^

die Integrale g e n o m m e n über eine beKebige geschlossene Fläche. 1) Acta Mathematica 9 (1887). «) liouviUes Journal (6). Bd. 4 (1908).

Und

Β . I I . § 4. Das Viererpotential und der zu ihm gehörige Variationsansatz. 91 d a m i t h a b e n w i r o h n e w e i t e r e s eine E i n s i c h t i n d i e I n v a r i a n z der M a x weUschen

Gleichungen

wir

^ b z w . //,¾ als

die

bei

behebiger

Lorentztransformation,

Bestimmungsstücke

a n s e h e n (und d e m e n t s p r e c h e n d transformieren). mit

emes

leichter R e c h n u n g , d a ß unsere Gleichungen b e i beliebiger

former

Transformation der x^..

wir oben

(BI, §7,

.x,,

kon-

also b e i der g a n z e n G^g, v o n der

E n d e ) sprachen,

b e i s o n s t i g e n Transformationen.

faUs

Sechsertensors

W i r finden aber a u c h

u n g e ä n d e r t bleiben, n i c h t aber

Hierüber vergleiche m a n d i e S. 79

g e n a n n t e Arbeit v o n B a t e m a n .

§ 4. Das Viererpotential und der z u i h m gehörige Variationsansatz. I n i m m i t t e l b a r e r V e r b i n d u n g m i t d e n E n t w i c k l u n g e n d e s vorigen Paragraphen

steht

dii» ^2»QB* ^ύ'

die Einführung

des

sogenannten

Viererpotentials

^nser i n v a r i a n t e s D o p p e l m t e g r a l SJΣλiAdXid'x,^-d'x,dx,),

g e n o m m e n über eine b e h e b i g e geschlossene F l ä c h e , O ist, w i r d es, g e ­ n o m m e n über e i n e b e r a n d e t e F l ä c h e , gleich e i n e m längs d e s R a n d e s erstreckten einfachen Integrale s e i n : (21)

J{qidxi

+

dx, + q^dx^ + q,dx^

,

w o r a u s m a n n a c h d e m veraUgemeinerten S t o k e s s c h e n S a t z e s c h h e ß t , daß (22)

A , , = = | j - g =

gesetzt werden kann

(womit

i d e n t i s c h erfüUt sind). qi' '-q,

Rot,

d a n n die MaxweUschen Gleichimgen I I

D a b e i w k d m a n , o h n e die

noch

^

^ z u ändern, d i e

vermehren können,

unter /

eine

beliebige F u n k t i o n der χ v e r s t a n d e n , d i e d e n n ö t i g e n E i n d e u t i g k e i t s imd durch

Stetigkeitsbedingungen geeignete

Wahl

d a ß ihre Großdivergenz

genügt.

Infolgedessen

dieser F i m k t i o n

kann m a n

der B e d i n g u n g

die q

unterwerfen,

verschwindet:

D i e q h a b e n d a n n g e g e n ü b e r Lorentztransformationen, w e g e n der i n ­ v a r i a n t e n B e d e u t u n g y p n (22), d e n Charakter v o n V e k t o r k o m p o n e n t e n . D i e s e r g a n z e A n s a t z , der außerordenthche formale Vereinfachungen b i e t e t , i s t i m K e i m e schon b e i MaxweU selbst v o r h a n d e n , voU hervor­ g e k e h r t aber w u r d e er erst, w i e e s scheint, 1 8 9 8 v o n L i 6 n a r d (Bd. 16 der Eclairage 61ectrique).

A b e r natürlich n o c h in

unsymmetrischer

92

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physüc.

F o r m , deren sich a u c h Lorentz i n Nr. 4 seines Enzyklopädiereferates V , 14 b e d i e n t , w e n n er schreibt:

(2.)

(Xy.^ — i | ? - g r a d . , (L,ili,i\r) = r o t a ,

— u n t e r α e i n dreighedriges „Vektorpotentiar* (^i, a^, ^ g ) , imter (p e i n S k a l a r p o t e n t i a l (des dreidimensionalen R a u m e s ) verstanden. Schreibt m a n hier n a c h i m s e m früheren F e s t s e t z u n g e n

L = ^3, f e m e r für (25)

ict

Μ = λ3ΐ,

b z w . χ^,χ^,χ^*

iV =

Ai„

u n d n i m m t endlich

^1, « 2 . «3.7^ = — 9i> — ¢'2. - qz» ^ O »

s o fällt m a n g e n a u auf die F o r m e h i (22) zurück. D i e s e sjmimetrischen F o r m e h l s i n d natürlich v o n M i n k o w s k i eingeführt; m a n vergleiche seinen Vortrag v o r der Göttinger M a t h e m a t i s c h e n GeseUschaft v o m N o v . 19072). W i r tragen j e t z t die Ausdrücke (22) i n die MaxweUschen Gleichungen 1 ein. W i r erhalten d a n n die 4 Gleichungen: (26)

O q . - ' - ^ = 0 .

u n d daraus, i n d e m w i r (23) z u Hilfe n e h m e n : (27)

•^, =

0.

D i e Differentialgleichungen d e s e l e k t r o m a g n e t i s c h e n F e l d e s s i n d hierm i t w o h l auf ihren einfachsten A u s d r u c k gebracht ^). E m weiterer Schritt ist, d a ß w i r die MaxweUschen Gleichungen 1: V ¾ ^ = 0 i n einen Variationsansatz

(2^)

für

. = 1,2,3,4

zusammenziehen.

^ SSSS 3

Wir haben zu schreiben:

^^4=0 *), dqi

1) Die Minuszeichen bei q^, q^, q^ entsprechen dem Umstände, daß Lorentz ein Rechtskoordinatensystem (x, z) benutzt, wir aber im Anschluß an Hertz ein Linkskoordinatensystem. *) Siehe S. 74. 8) Man beachte die formale Analogie m i t S. 61, Formel (3) und (4). (H.) *) Wir kehren zur übhchen Bezeichnung des Volumelements durch dx^'ä,x^...ä,x^ zurück.

Β. II. § 4. Das Viererpotential und der zu ihm gehörige Vaxiationsansatz. 9 3 ZU s e t z e n i s t u n d die Variation so gebildet w e r d e n soll, d a ß wir die qi- · -q, u m beliebige dqi -. .dq, ändern (die nur a n d e n Grenzen ver­ s c h w i n d e n niüssen, w a s durch die Horizontalstriche b e i m Integral­ z e i c h e n a n g e d e u t e t wird). I n der T a t f m d e n wir die Variation δJ unseres Integrals n a c h d e n g e w ö h n l i c h e n R e g e h i :

w a s sofort z u d e n MaxweUschen Gleichungen I führt. D i e Invarianz der MaxweUschen Gleichungen gegenüber Lorentz­ transformationen liegt hier o h n e weiteres z u t a g e , w e ü . ^ ^ f c g e g e n ­ über diesen Transformationen ein Skalar ist. Aber a u c h die z w i s c h e n i h n e n b e s t e h e n d e differentieUe A b h ä n g i g k e i t :

e r k e n n t m a n unmittelbar. D i e fc bleiben doch ungeändert, w e n n m a n die qi u m irgendwelche

vermehrt.

Schreibt m a n d e m e n t s p r e c h e n d m

d i e Variation (29) für d i e dqi die W e r t e

, so b e k o m m t m a n

die

identische Gleichung:

durch U m g e s t a l t u n g v e r m ö g e partieUer I n t e g r a t i o n für e m b e h e b i g e s df ergibt d a s :

WO n u n d i e g e n a n n t e A b h ä n g i g k e i t hervorleuchtet. E s ist interessant, d i e s e n vöUig s y m m e t r i s c h e n V a r i a t i o n s a n s a t z m i t d e m u n s y m m e t r i s c h e n z u vergleichen, d e n w i r B d . 1, K a p . V n a c h Mac CuUagh gaben. W k h a b e n , u m letzteren z u b e k o m m e n , m unseren n u n ­ mehrigen E n t w i c k l u n g e n nur ^4 = O z u s e t z e n (was a n sich kerne E m s c h r ä n k u n g ist, aber n u r die Variationen dqi, dq,, Sq^ z u r Geltung k o m m e n läßt). Variationsansätze sind i m m e r besonders brauchbar, w e n n e s sich u m Einführung neuer Veränderlicher h a n d e l t . D i e s e R e g e l woUen w k n o c h b e n u t z e n , u m u n s z u ü b e r z e u g e n , d a ß d i e M a x w e U s c h e n Glei­ c h u n g e n b e i der allgemeinsten konformen Transformation der Xj^...x,, also b e i der g a n z e n C j s , w e l c h e (30)

{dxl + . . . + dxl)==Q^ {dyl + . . . + dyl)

(ρ + 0)

94

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik u n d Physik.

bewhrkt, invariant sind. Variationsansatz ( 2 8 ) :

U n s e r B e w e i s beruht einfach darauf, d a ß der

bei beliebiger konformer Transformation nicht geändert wird. S e i , w i e i n (13), ψ^(yl^y2.ys.yύ' Ό2iΏn i s t z u n ä c h s t , w i e seinerzeit J a c o b i d a r l e g t e , u n d w i r i n (12), (14) v e r m ö g e d e r Graßmannschen Schreibweise d e s Differentials n o c h anschauhch gemacht haben, (31)

dx^'dx^'dx^'dx^

durch

D-dyi-dy^-dy^-dy^

z u ersetzen, u n t e r D d i e F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e ^""0(^1...η) verstanden. B l e i b t z u u n t e r s u c h e n , w i e sich dxj umsetzt. W i r h a b e n z u n ä c h s t für d i e dXi d i e h o m o g e n e n linearen S u b s t i t u tionen : (32)

,... = | ^ , , , + ... +

(deren D e t e r m i n a n t e Operation

gl,y,

e b e n d i e F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e JD i s t ) . D i e

, ..., ^

u n d e b e n s o d i e qi v e r h a l t e n sich natürlich z u

d e n dXi kontragredient (letzteres, w e i l qidx^ + · · · + q^dx^ invariant sein soU). W i r h a b e n beispielsweise (indem w i r d i e transformierten q durch Horizontalstriche b e z e i c h n e n ) : (33)

^, = ¾ , , +

··· +

¾^...

E s k o m m t nvm. darauf a n , d i e transformierten λ, also d i e Größen (34)

=

ZU berechnen. M a n k ö n n t e ztmächst m e i n e n , d a ß i n d i e F o r m e h i d i e z w e i t e n Differentialquotienten d e r φ n a c h d e n y eingingen. A b e r d i e R e c h n u n g zeigt, d a ß sich d i e betreffenden T e r m e gerade w e g h e b e n . A l l e s g e h t v o r sich, w i e w e n n d i e Koeffizienten d e r linearen S u b s t i t u ­ tionen (32), (33) k o n s t a n t wären. Insofern s i n d wir, w i e früher, i m B e ­ reich d e r e l e m e n t a r e n I n v a r i a n t e n t h e o r i e : d i e A,·^ v e r h a l t e n sich w i e

Β. II. § 5. Beispiele für die Anwendung unserer Viereranalysis.

95

die D e t e r m i n a n t e n a u s z w e i R e i h e n z u d e n äx kontragredienter Größen. W i r s m d sogar i m Bereich der orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n , nur d a ß Zd A v e r m ö g e (30) nicht m Zdy\, sondern e b e n i n ^Zdy\ über­ geführt wird. E i n e kurze Ü b e r l e g u n g zeigt, d a ß d i e S u b s t i t u t i o n s ­ determinante Ώ n u n nicht ± 1» sondern ± ρ* i s t , d a ß andererseits Σ7^^ i n Z^Ic'' ρ* übergeht. D i e beiden u n t e r d e m Integralzeichen h i n z u t r e t e n d e n P o t e n z e n v o n ρ kompensieren sich also gerade g e g e n ­ seitig u n d d a s Integral bleibt b i s auf e m e n e t w a i g e n Vorzeichenwechsel ungeändert. Dieser Vorzeichenwechsel ist aber b e d e u t u n g s l o s , w e n n w i r die Variation d e s Integrals = O setzen woUen. D i e M a x w e l l s c h e n Gleichungen bleiben also i n der T a t ungeändert.

§ 5. Beispiele für die A n w e n d u n g unserer auf besondere Probleme.

Viereranalysis

W i r h a b e n als Transformationsgruppen, welche die MaxweUschen G l e i c h u n g e n invariant lassen: 1. d i e Lorentzgruppe, 2. diese u m f a s s e n d d i e konforme Gig, u n d es e n t s t e h t die Frage, w e l c h e n N u t z e n w i r hieraus ziehen k ö n n e n . I n aUen solchen F ä h e n b i e t e n sich für d a s m a t h e m a t i s c h e D e n k e n zwei Stufen: a) die B e n u t z u n g der Transformationen, u m aus b e k a n n t e n B e z i e ­ h u n g e n neue z u m a c h e n , b) die E n t w i c k l u n g der D e n k g e w o h n h e i t e n bis z u d e m Grade der A b s t r a k t i o n , d a ß m a n nur n o c h auffaßt, w a s b e i der Gruppe invariant ist. D i e s e r E n t w i c k l u n g s p r o z e ß wurde a m Beispiel der neueren Geometrie, w a s d i e projektiven U m f o r m u n g e n d e s R a u m e s a n g e h t , s c h o n i n B d . I , K a p . I V geschildert: der durchgebildete Projektiviker läßt alle die Ü b e r t r a g u n g e n durch Projektion, welche frühere Geometer vollzogen u n d als w e s e n t l i c h e R e s u l t a t e ansahen, nur m e h r als Selbst­ verständlichkeiten g e l t e n ; sie s m d für i h n verschiedene F a s s i m g e n desselben Grundgedankens. Genau d i e beiden Stufen s i n d b e i der Lorentzgruppe, w i e schon o b e n a n g e d e u t e t , durchlaufen worden. Ursprünglich — b e i Lorentz selbst, b e i Larmor u. a. — nur e m HiHsmittel i m Sinne v o n a ) , wurde sie durch P o m c a r o u n d v o r allem durch E i n s t e i n u n d M m k o w s k i die G n m d l a g e einer n e u e n , d e m S t a n d p u n k t b) entsprechenden „ W e l t ­ anschauung". Anders b e i der Gi 5, die überhaupt n o c h n i c h t viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen h a t . Sie i s t bisher nur i m S m n e v o n a) b e n u t z t w o r d e n , u n d d a s Gefühl der Physiker, die i c h d a n a c h fragte, sträubte sich durchaus dagegen, d e n Ü b e r g a n g z u b) z u vollziehen.

96

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik. D e m referierenden Charakter dieses B u c h e s e n t s p r e c h e n d werde a u c h

ich

weiterhin fast a u s s c h h e ß h c h

d i e G^q b e h a n d e h i ;

n i c h t erst K o m p r o m i s s e m i t dehi ü b e r k o m m e n e n Denken

schheßen,

sondern

d e r jeweilige

dabei wiU ich

dreidimensionalen

vierdimensionale

Ansatz

soU v o n vornherein i n seiner g a n z e n E i n f a c h h e i t z u r Geltung gebracht werden. Sprechen w i r i n d i e s e m P a r a g r a p h e n v o n d e r V e r w e n d u n g der Lorentzgruppe i m Sinne a ) .

I c h werde n u r zwei A u f g a b e n

bringen, d i e b e i d e e i n einzelnes E l e k t r o n betreffen. K o o r d m a t e n m ö g e n m i t Χχ,, ,Χ4, b e z e i c h n e t sein. u m n i c h t u n s y m m e t r i s c h z u s e i n , d e n Begriff faUen lassen

heran-

Seine j e w e i h g e n

Wir müssen dann, der Geschwindigkeit

(welcher eine B e v o r z u g u n g d e s ^4 hnplizieren würde).

V i e h n e h r woUen wir Χχ, ,,x^, n a c h d e m i n v a r i a n t e n B o g e n e l e m e n t

(35)

ds = idxl + dxl + dxl + dxl

differenzieren u n d d e n Inbegriff d e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n :

als Richtungsvektor bezeichnen; selbstverständlich ist dabei (37)

x^2+,,,_^^2

=

l.

W i r k o m m e n d e r g e w ö h n l i c h e n Auffassimg e n t g e g e n , w e n n w i r durch g e e i g n e t e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n e n i m einzelnen A u g e n b h c k e Xi = X2 = X^ = X^ = O

u n d ebenso

x{ = x'^ = x'^

O

m a c h e n , w o b e i x'^ = + I g e n o m m e n sein soU. M i n k o w s k i n a n n t e dieses NuUsetzen d e r 3 ersten R i c h t i m g s k o m p o n e n t e n : das Elektron auf Ruhe transformieren. W i r z i e h e n d a n n für e i n solches ruhendes E l e k t r o n d i e traditioneUen p h y s i k a h s c h e n K e n n t n i s s e heran, u m a u s i h n e n m i t t e l s einer beliebigen Lorentztransformation aUgemeinere G e setze herzuleiten. Erste

A u f g a b e : Einwirkung eines gegebenen elektromagnetischen

Feldes auf ein beliebig bewegtes Elektron, Gegeben s i n d d i e ^,¾, d i e m i t d e n g e w ö h n h c h g e b r a u c h t e n X, Y, Z, L,M,N

n a c h unseren früheren F e s t s e t z u n g e n s o z u s a m m e n h ä n g e n :

W k b ü d e n u n s daraus d e n Begriff der Viererkraft, d. h. e m e s auf d a s Elektron wirkenden Pi,

Pi,

Vierervektors,

den Kraftkomponenten

dessen

drei erste

Komponenten

der gewöhnlichen Mechanik

ent-

sprechen soUen, w ä h r e n d d i e v i e r t e , P4, s o z u berechnen s e m w k d , d a ß aUeweil (38)

XiPi

+X2P2

+ ^ P3 + < ^4 = O

Β. ΙΙ.§ 5. Beispiele für die Anwendung unserer Viereranalysis.

97

sein soll. Für ein ruhendes Elektron von der Ladung e haben wir dann gemäß den traditionellen physikalischen Gesetzen im gegebenen elektromagnetischen Felde die Viererkraft anzuschreiben: (39)

Pi-ßZ,

also in den A,,: (39') p ^ = . ^ £ ö A i 4 ,

P s - ^ y ,

Pa = O ^ ,

P4 =

0,

Pa = — £ 6 ^ 2 4 , Pg== — £6^34, P4 = 0 .

Ferner werde postuUert, daß bei einem bewegten Elektron die Viererkraft nur noch von den ersten Differentialquotienten %\. . . %\ abhängt, und zwar linear. Dann ist klar, daß die Formeln (39) als Spezialfall folgenden allgemeinen Ansatzes anzusehen sind: (40) Ρχ^-ε^Ι'Αι,^, .... = Hiermit ist unsere Aufgabe bereits gelöst; wir wollen aber noch einiges wenige über die Bewegung des Elektrons im gegebenen Kraft­ felde sagen. Nach Analogie mit der gewöhnhchen Mechanik setzen wir an (unter m die träge Masse verstanden, die mit dem Elektron ver­ bunden ist): (41)

mx!-^P,^~EeZK^x^'

Drückt man hier die A,/, durch das Viererpotential ^ des Feldes aus, so lassen sich diese Differentialgleichungen wieder elegant in einen Variationsansatz zusammenziehen (der dem Hamütonschen Prinzip der gewöhnlichen Mechanik entspricht): (42)

(die sind zu variieren; die Horizontalstriche beim Integralzeichen sollen, wie früher, andeuten, daß die Variationen an den Integral­ grenzen verschwinden). In der Tat, bilden wir aus (42) nach den all­ gemeinen Regeln der Variationsrechnung die Gleichungen

so fallen wir genau auf die Formeln (41) zurück. — Da Σ^Τ' — 1 ist, können wir das Prinzip (42) auch durch das folgende ersetzen, welches für bestimmte Auffassungen Vorteile bietet, (43) 1) Denn nach (13) S. 81 stellt (40) jedenfalls einen Vektor P^, . . ., P4 dar, und Σχ\ P\ ist invariant. Für das spezielle System x'^ = x'.^ = x'^ = 0, 4 = 1 haben die Komponenten die durch (39') gegebenen Werte, die ^ ; τ ^ Ρ , - 0, also (38), erfüllen.

Folglich gilt (38) in j e d e m System.

Klein, Entwicklung der Mathematik. II.

7

98

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

H i e r sind aUe T e r m e h o m o g e n erster Ordnung in den x^ wir können also a u c h schreiben:

(43')

δ ] {miZ^xl

+ ee Z q i dx^ = O .

Z w e i t e A u f g a b e : Von dem elektromagnetischen Felde eines gleich­ förmig bewegten Elektrons. I c h will, u m nicht z u viele Indizes n e b e n e m a n d e r schreiben z u m ü s s e n , s t a t t Xi, x^, x^ wieder x, y, z, I setzen, u n d für x[, 4» 4» ^4» kurzweg α, β, γ, δ (wobei natürlich (x.^ + ß ^ + δ^ = I ist). E m E l e k t r o n wird gleichförmig b e w e g t heißen, w e n n es i m B.^ e m e gerade L m i e beschreibt, w e n n also s e m e Koordinaten sich i n die Gestalt setzen lassen: (44)

+sa,

yo+^ß>

^ + sy,

h +

sδ.

Z w e c k s B e s t i m m u n g d e s Feldes suchen wir das zugehörige Vierer­ p o t e n t i a l auf. W i e d e r w ä h l e n wir als A u s g a n g s p u n k t des Elektrons zunächst d e n K o o r d i n a t e n a n f a n g s p u n k t u n d transformieren auf R u h e , setzen also ^0 = 3^0 = ^ = ^0 = 0 ; In

diesem

Koordinatensystem

i , y, f, / heißen.

a = i 8 = y = 0, mögen

die

(5 = 1 .

laufenden

Koordinaten

D e n elementaren physikalischen A n s c h a u u n g e n wird

d a n n folgendes Viererpotential entsprechen: (45) wo

^« = 0 , y=yp

^^ = 0 ,

+ y2_|,P+/2

^, = 0 ,

und ε =

qi —

"^.

ist. I n der T a t s i n d dadurch

die Gleichungen •

=. . .= •

= O,

D i v = O

erfüUt. N u n berechnen w k aus (22) S. 91 die K o m p o n e n t e n des elektromagnetischen F e l d e s :

1

^ = -^^4 = ^ , = 0,

Ϋ = -εΑ,4=^,

^ =

M = O,

2ΝΓ = 0 ,

w a s m i t der traditionellen Auffassung

-βΐ34^,

überemstimmt.

E s k o m m t jetzt n u r darauf an, das Viererpotential (45) auf den a l l g e m e i n e n FaU der Gleichungen (44) z u ' ü b e r t r a g e n . I c h b e h a u p t e , d a ß die L ö s u n g die folgende i s t : (46)

,.—'-ψ.

, . — ' 4 .

^~—·4-

w o R sich so darsteUt:

(46') R = +U(X'-Xor

+ - + {l'-lor)-{o^{X'-Xo)

+ "' +

dil'-lo)T^

Β. I I . § 6. Beispiele für die Anwendung unserer Viereranalysis.

99

Z u m B e w e i s e gentigt es z u bemerken, d a ß (46) einen Vierervektor festlegt (weil jR aus lauter Skalaren z u s a m m e n g e s e t z t ist), u n d d a ß (46) in speziellen F ä l l e n in (45) tibergeht. Man wird übrigens R, w i e m a n i m besonderen FaUe leicht sieht, als senkrechten A b s t a n d des P u n k t e s X, y, z, I v o n der v o m E l e k t r o n beschriebenen Weltgeraden (44) inter­ pretieren k ö n n e n . D e r auf der Weltgeraden zufäUig herausgegriffene P u n k t x^^y^^z^, spielt ni (46), (46') kerne besondere Rolle. D e n n m a n s i e h t , d a ß jR sich auch folgendermaßen schreiben l ä ß t :

WO die

die zweigliedrigen D e t e r m m a n t e n des Schemas X-Xq

y—yo

Z-Zq

β

γ

l—k

δ

s m d , die ihrerseits g e w i ß ungeändert bleiben, w e n n m a n Xo^yo^^o^^o durch die aUgemenien Ausdrücke (44) ersetzt. Man k a n n diesen U m s t a n d b e n u t z e n , u m die F o r m e h i (46),(46') n o c h z u vereinfachen. Man w ä h l e n ä m l i c h den P u n k t Xq, yo, Zq, Iq auf der W e l t g e r a d e n so, d a ß (X-

X^' + {y-yo)'

+ (Z-

Zo)^ + (i-

Iq)^^o^).

D a n n wird (47)

9. = - ψ ,

q. = - i .

? . = - f .

wo (47')

P = {oL{x-x,)+ß{y-y^^Y{z-z^

+ 6

(Ι-Ιύ).

D a s s o geschriebene R e s u l t a t ist ein besonderer FaU der Formeln, w e l c h e L i i n a r d 1898 (Bd. 16 der Eclairage ilectrique) u n d unabhängig v o n ürni W i e c h e r t 1900 (Archives Neerlandaises, 1900, S. 549) ftir das Viererpotential enies b e h e b i g e n g e w ä h l t e n (punktförmig gedachten) E l e k ­ trons aufgesteUt h a b e n ; wir k o m m e n auf diese Formehi zurück (S. 115). D i e b e h a n d e l t e n beiden Beispiele m ö g e n ftir die V e r w e n d u n g der Lorentzgruppe ^^^^ i^it a) bezeichneten Snine gentigen. WoUte m a n , b e i unserm z w e i t e n Beispiel, s t a t t ihrer die konforme G15 v e r w e n d e n , s o würde m a n d e n FaU e m e s Elektrons erhalten, welches s i c h i m JR4 der x, y, z, I auf e n i e m Kreise, i m R a u m der x, y, z, t daher auf einer H y p e r b e l b e w e g t , deren A s y m p t o t e n zwei Erzeugenden des K e g e l s dx^+ cW = O paraUel laufen. E s ist dies der FaU der v o n B o r n s o g e n a n n t e n „ H y p e r b e l b e w e g u n g " (enies Elektrons). — I c h m u ß es m i t dieser A n d e u t u n g hier b e w e n d e n lassen. — 1) Hierdurch ist Χο,γο,ζ^, erst bis auf ein unbestimmtes Vorzeichen festge­ legt, eine eindeutige Verabredung werden wir im nächsten Abschnitt treffen. 7*

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

100

§ β. Die Relativitätstheorie der Lorentzgruppe. W i r h a b e n n u n d e n P u n k t b) des vorigen Paragraphen e t w a s aus­ zuführen. V o n B e d e u t u n g soU also nur noch sein, w a s gegenüber der Lorentzgruppe invariant i s t ; e t w a , d a ß ein Skalar einen b e s t i m m t e n Zahlenwert h a t , d a ß ein Vierervektor oder ein Zehnertensor oder die Vektordivergenz eines Zehnertensors identisch v e r s c h w i n d e t usw. Alle A u s s a g e n der P h y s i k m ü s s e n so z u s a m m e n g e f a ß t werden, d a ß sie diesen Charakter h a b e n . D a s ist die eigentlich relativistische D e n k ­ weise, welche wir als das E n d e r g e b n i s der Theorie a n z u s e h e n h a b e n . D i e p h y s i k a h s c h e n E n t w i c k l u n g e n der gegenwärtigen Darstellung g e h e n leider nicht w e i t genug, u m hierfür eine größere Zahl v o n Bei­ spielen z u h a b e n . So werde hier nur b e t o n t , d a ß gegenüber der traditionellen Auf­ fassung der P h y s i k , w a s sonst als Skalar erschien, jetzt e n t w e d e r ein Skalar bleiben, oder die vierte K o m p o n e n t e eines Vierervektors, oder die l e t z t e K o m p o n e n t e eines Zehnertensors sein k a n n (wie m a n sofort sieht, w e n n m a n die Lorentz-Gjo, i n d e m m a n /' = / setzt, auf die g e ­ wöhnhche Eukhdische reduziert; die vierte K o m p o n e n t e eines Vierervektors u n d die letzte K o m p o n e n t e eines Zehnertensors werden dadurch e t w a s für sich stehendes). Skalare bleiben z. B . die Masse m u n d die L a d u n g e (eines Elektrons), w e n n wir sie so einführen, w i e dies in (41) des vorigen Paragraphen g e s c h e h e n ist. K o m p o n e n t e eines Vierervefctors wird das skalare P o t e n t i a l des e l e k t r o m a g n e t i s c h e n F e l d e s (das φ der F o r m e l (24) in § 4), K o m p o n e n t e eines Zehnertensors (wie schon a m Schluß v o n § 1 erwähnt) seine spezifische Energie. D i e s e n besonders wichtigen Zehnertensor (Formel (17) des § 1) m ö c h t e ich n o c h , d a m i t die V e r b i n d u n g m i t der traditionellen P h y s i k klarer z u t a g e tritt, in den K o m p o n e n t e n X, Y, Z, L, M, N anschreiben, unter A b s p a l t u n g d e s F a k t o r s ec aus d e n G h e d e m der letzten H o r i z o n t a l - u n d Vertikalreihen. E r l a u t e t d a n n s o : LM LM

+ XY

LN + NY-

XZ MZ

1/

+

LN

XY

ί M^—m—L^

\

Λ+γ'^—χ^—ζν MN+YZ LZ

1/

—NX

+

MN+YZ

MX-LY

Seine K o m p o n e n t e n sind z u Idxdy,

dy^,...,dt^

\^

LZ — NX

MX-LY

(N^-L^-M^\

\ dx^,

NY-MZ

XZ

1

iL^+M^+m\

Β. I I . § 6. Die Relativitätstheorie der Lorentzgruppe.

101

kontragredient. Ich h a b e die Terme durch Querstriche gleich so voneinander abgetrennt, wie es die traditionelle physikalische Auf­ fassung v e r l a n g t : Der letzte Term b e d e u t e t , wie schon gesagt — jetzt m i t u m g e ­ kehrtem Vorzeichen — die spezifische Energie. D i e 3 anderen Terme der letzten Horizontal- oder werden wir als elektromagnetischen Impuls bezeichnen.

Vertikakeihe

D i e ersten n e u n Terme aber sind das, w a s m a n sonst die MaxweU­ schen S p a n n u n g e n des Mediums nannte. N u n war d o c h eine wesentliche Eigenschaft das Zehnertensors (48), daß seine Vektordivergenz identisch verschwand. F ü r die vierte Horizontalreihe schreibt sich das jetzt s o : d{ (49)

).d{

)

d fL^ + M^ + N^ + X^+Y^

+ Z^\

+

D i e s drückt in der F o r m , welche P o y n t i n g zuerst gegeben h a t (Phil. Transactions 1884) das Gesetz der Erhaltung der Energie a u s : D i e I m ­ p u l s k o m p o n e n t e n sind als „ S t r ö m u n g s k o m p o n e n t e n ' ' der Energie an­ zusehen (weshalb m a n auch v o n einem P o y n t i n g s t r o m redet). Aber zugleich ergibt sich hier, daß dieser Satz nur einer v o n 4 koordi­ nierten i s t ; die drei andern b e s a g e n , d a ß entsprechend die Maxwell­ schen S p a n n u n g e n der einzelnen Horizontalreihe als S t r ö m u n g s k o m p o ­ n e n t e n der einzelnen I m p u l s k o m p o n e n t e anzusehen sind. D e r Energiesatz u n d die drei Impulssätze verschmelzen also wieder zu einer E i n h e i t , wie dies für das Gebiet der klassischen Mechanik s c h o n in A , § 2 gezeigt (oder in Aussicht gesteUt) wurde. Genug dieser allgemeinen A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n ! — W i r älteren Forscher vollziehen die innere U m s c h a l t u n g der physikalischen Auf­ fassung, wie sie die k o n s e q u e n t e Relativitätstheorie der Lorentzgruppe v e r l a n g t , i m m e r nur m i t einer gewissen Mühe; es ist die Aufgabe der jüngeren Generation, v o l l e n d s in die neue D e n k w e i s e hineinzuwachsen ^). 1) Es fragt sich, ob die Relativitätstheorie der konformen Gruppe Gjg für das physikalische Denken jemals dieselbe Rolle spielen wird. Ich glaube dies nicht. Die Lorentzgruppe hat bei allen Abweichungen im einzelnen immer noch eine gewisse Verwandtschaft zur Galilei-Newton-Gruppe der klassischen Theorie, die sich am deutlichsten darin ausspricht, daß letztere als GrenzfaU der ersteren für den FaU unendhch großer Lichtgeschwindigkeit anzusehen ist (Siehe S. 87, §2). Der Übergang zur Relativitätstheorie der, konformen Gj 5 würde viel radikaler wirken. Man bedenke nur, daß die G^g jede beliebige Tranformation durch rezi« proke Radien in sich begreift, daß es also bei ihr möglich ist, jeden beliebigen Raum-Zeitpunkt XQ' ^O' ins Unendliche zu werfen. — Eben deshalb (weü sie den Unterschied des Endhchen und des UnendUchweiten aufhebt) hat auch die Denkweise der projektiven Geometrie in der Physik keine rechte Wurzel schlagen können.

102

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

i n . Hervorkehrung der Realitätsverhältnisse der Lorentzgruppe. Wir haben uns jetzt m i t den Festsetzungen u n d Umändenmgen z u befassen, d i e n ö t i g s i n d , w e n n w i r für x,y,zj

yneder x, y, z, ect

s e t z e n (unter c d i e L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t v e r s t a n d e n ) u n d u n s d a n n auf r e e J J e W e r t e d e r x, y, z, t b e s c h r ä n k e n . x,y,z,t

D e n Inbegriff dieser reellen

n e n n e n w i r m i t M m k o w s k i d i e WeÜ,

§1.

Einleitendes.

1. D i e f u n d a m e n t a l e q u a d r a t i s c h e F o r m , deren I n v a r i a n z d i e h o m o ­ genen Lorentztransformationen besthnmt, heißt jetzt: i

(1)

{X-x^)^

+ iy-y^^

{ t - Q \

Λ- {Z-ZQ)^-C^

I n d e m w i r ] / / a l s Entfernung zweier W e J t p u n k t e b e z e i c h n e n , erhalten vrir für d e n A b s t a n d ds zweier unendHch n a h e r P i m k t e :

(2)

ds^ = dx^ + dy^ + dz^-cHt^.

1)

N e b e n d i e Länge^ d e s BogeneJementes ds s e t z e n w i r — d e m indefin i t e n Charakter der q u a d r a t i s c h e n F o r m e n t s p r e c h e n d — z w e c k m ä ß i g e r w e i s e seine Dauer dx.

Wir setzen:

,3)

. ^ . , ^ - £ ί ± ^ 1 ± ί ί . 2. K o g r e d i e n z u n d K o n t r a g r e d i e n z fallen j e t z t n i c h t m e h r g e n a u

z u s a m m e n . W i r h a b e n n ä m j i c h aJs Skalar jedenfaUs d i e Polare d e r DifferentiaJform ( 2 ) :

(4)

dxd'x + dy d'y -f dz d'ζ -

dt d't.

A n d e r e r s e i t s m ö g e d i e Linearform

(5)

ud'x + vd'y+

e m Skalar s e m . kontragredienten

D i e z u dx\ u,

dx, dy, dz, — c^dt. (6) Wir

dj\

v, w, w,

dt\

a l s o auch z u dx, dy, dz, dt sich

ersichthch

wie

F ü r s i e gilt a l s f u n d a m e n t a l e q u a d r a t i s c h e F o r m : ^2+^2

müssen

wd'z + wd't dz\

substituieren

dementsprechend

+

^2_J.

jetzt durdiweg

zweierlei

(zueinandre

duale) V i e r e r v e k t o r e n u n t e r s c h e i d e n . 1) Natürlich kann man diese DifferentiaMorm an die Spitze steUen, was die Schreibweise abkürzt; ich betone aber, daß wir es bei der Lorentzgruppe noch mit den algebraischen Ansätzen der elementaren Invariantentheorie, also mit den Auffassungen von Graßmann-Cayley zu tun haben, und es keinen Zweck hat, mit Riemann ein aUgemeines ds* 2afj^dXfdXj^ (mit „irgendwie" von den χ abhän­ genden a^j) an die Spitze zu steUen.

Β. π ι . § 1 . Einleitendes. 3. Insbesondere werden d i e S y m b o l e d d d •^'

103

d ττ

jetzt z u d e n dx, dy, dz, dt kontragredient sein. S o lautet der Skalar erster Ordmmg, d e n w i r a u s e i n e m gegebenen Skalar / ableiten können, jetzt

Ci

(Ιί)'+(Ιί)'+(|ί)-^(Κ)'

imd mit • sein:

wird der Differentialoperator 2 . Ordnimg z u bezeichnen

D i e Großdivergenz eines Vektorfeldes 2 . A r t aber wird l a u t e n : /Q\

du

dv

dw

I dw

,

4. D i e früheren orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n :

d'x^

a n dx-, +

dx^ +

dx^ + a i 4 dx^

schreiben sich jetzt f o ^ e n d e r m a ß e n :

d'y = a^idx+X2idy (10)

d'Z=^OL,,dx

+ OL,,dy

+

a,3dz+ecxtidt,

+ OL,,dz + S C O L , , d t .

d't = ''-^^^^^±^^^±^

+

.,,dt.

D a w i r d i e Lorentzgruppe fortan auf reelle S u b s t i t u t i o n e n aex x,y,zj beschränken, s o m ü s s e n a i 4 , OL^^, OL^^^ i m d α 4 ΐ , α 4 2 , α 4 3 rein imaginär, die übrigen α , · r e e l l g e n o m m e n w e r d e n , w i e m a n leicht durch E i n ­ s e t z e n spezieller W e r t s y s t e m e dx, . . . , dt erkennt. D i e independente Darstellung der s o definierten h o m o g e n e n Lorentz­ substitution durch B i q u a t e m i o n e n ergibt sich a u s § 2 d e s vorigen A b s c h n i t t e s folgendermaßen: S e i

Seien f e m e r ¢ 1 , ^ 2 r e e l l e

Quaternionen^):

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

104

w e l c h e der „ O r t h o g o n a l i t ä t s b e d i n g u n g " u n t e r h e g e n : A^A,

+ B^B,

+ CiCg + D^D,

D a n n schreiben sich die S u b s t i t u t i o n e n {άΊ +8(id^x+

(11)

j d'y =

+ k d'z))

(Qi +

= O.

(10) i n der F o r m :

(Qi -

ε Q,) 8(idx+jdy

eQ,){dt+

+

5. Sprechen wir j e t z t v o m Viererpotential q^., qy, dadurch

ermöglichten

Schreibweise

kdz)),

q^, q^ u n d der

der MgLxwellschen

Gleichungen.

U n s e r e n e u e n q w e r d e n als V e k t o r 2. Art a n z u s e h e n sein, w e i l doch, w i e auf S. 91 b e m e r k t , qxdx

+ qydy

+ q^dz + q^dt

skalar sein soU.

D i e B e z i e h u n g z u d e n frühereu qi^q^^q^* q^ i s t a l s o : (12) qx = qu Die Divergenzbedingung

= ^2^ lautet:

qz = qz>

qt-^oq,.

(13) Die elektromagnetischen Feldgrößen nanten des Schemas

qx gegeben.

qy

sind

qz

j e t z t durch die

Determi­

f,

B e r ü c k s i c h t i g e n wir, d a ß wir

g e s e t z t h a b e n , so ergibt sich:

(14) L = w a s m i t d e n auf S. 9 2 a n g e g e b e n e n F o r m e l n v o n L o r e n t z ü b e r e i n s t i m m t , w e n n wir sein

(dreidimensionales) V e k t o r p o t e n t i a l α = —· {q^,qy,

u n d sein „ s k a l a r e s " P o t e n t i a l φ = ^ da).

q^)

s e t z e n (siehe F o r m e l (25) e b e n ­

F ü r unsere n e u e n q aber g e l t e n außer (13) die G l e i c h u n g e n :

(15) unter •

• ^ ^ = 0,

• ^ ^ = 0,

• ^ , = 0,

• ^ , = 0,

d e n Operator (8) v e r s t a n d e n .

§ 2 . Geometrische Hilfsvorstellungen. W i r w e r d e n n u n m i t Minkowski, aber vielfach über i h n h i n a u s ­ g e h e n d , die „ v i e r d i m e n s i o n a l e W e l t " der Λ ; , 3/, ^ , ί durch g e w i s s e g e o ­ m e t r i s c h e HilfsvorsteUungen b e l e b e n .

Β. I I I . § 2. Geometrische Hilfsvorstellungen. a ) A l g e b r a i s c h e B e z i e h u n g e n i).

105

1. E n t s p r e c h e n d der F o r m e l (1) des vorigen Paragraphen läuft v o n j e d e m P u n k t e XQ, yo, ZQ, IQ ein ,,Hyperkegel" (1)

/ =

-

^^)2 + (3, _ 3,J2 +

,2

g2 _ O

aus. Alle diese Kegel sind ,,parallel g e s t e l l t " ; sie schneiden den u n ­ endlich fernen unserer vierdimensionalen W e l t in d e m s e l b e n fun­ damentalen Gebilde. U m dies reinlich darzustellen, führen wir vor­ übergehend h o m o g e n e K o o r d i n a t e n sein, i n d e m wir s e t z e n : (2) D a s betreffende Gebilde w i r d d a n n durch die Z u s a m m e n s t e l l u n g der beiden Gleichungen dargestellt s e i n : (3)

i5 = 0,

if + i i + i | - c 2 i | = 0,

in (kontragredienten) E b e n e n k o o r d i n a t e n ν,,ν^,ν^,ν^,ν^ werden wir m i t der einen Gleichung v o n verschwindender D e t e r m i n a n t e : (4)

vi + r i +

r|-3=

0

ausreichen. F ü r alle Realitätsverhältnisse m a ß g e b e n d ist die in diesen Gleichungen auftretende V o r z e i c h e n k o m b i n a t i o n . W i r w e r d e n unser F u n d a m e n t a l g e b i l d e (3) d e m e n t s p r e c h e n d als EUipsoid bezeichnen. D i e H y p e r k e g e l / = const e n t h a l t e n aUe dieses EUipsoid u n d sind eben dadurch gekennzeichnet. 2. Anschaulicher wird dieses Sachverhältnis, w e n n wir u m eine D i m e n s i o n herabsteigen u n d u n s e t w a auf ζ = ZQ beschränken, x, y,t aber als rechtwinklige K o o r d i n a t e n eines -Rg interpretieren. W i r h a b e n d a n n lauter R o t a t i o n s k e g e l : (5)

(X -xo)^

+ {y~

y^)^ ~c^(t~

g2 _

o.

Sie h a b e n zur ^-Achse paraUele R o t a t i o n s a c h s e n , u n d wir dürfen sie, w e n n wir das Zentimeter u n d die S e k u n d e als E i n h e i t e n zugrunde legen, als sehr flach b e z e i c h n e n ; h a t doch die Lichtgeschwindigkeit c d a n n den „sehr g r o ß e n " W e r t 3 · 10^« cm/sec. D i e s h a t abstrakt m a t h e ­ m a t i s c h natürlich w e n i g auf sich, p s y c h o l o g i s c h aber u m so mehr. D e n n es m a c h t infolgedessen der A n s c h a u u n g keine Schwierigkeit, den F a l l C = OO, w o (5) in die doppeltzählende E b e n e I = IQ ü b e r g e h t , als Grenzfall aufzufassen. 3. W i r erkennen bei dieser E i n s c h r ä n k u n g auf 3 D i m e n s i o n e n , d a ß es m i t den geradlmigen E r z e u g e n d e n der H y p e r k e g e l (1) (6)

x = Xo + QOi, y = yo + Qß> ^ = ^0 + QY> t = to + Qd

1) Wegen der mehrdimensionalen Ausdrucksweise vergleiche man etwa den zusammenfassenden Artikel von Segre: Enzyklopädie, Bd. 3 C, 7.

106

2. Kap.

(wo OL^ +

Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

+

—

= O sein soll) eine besondere B e w a n d t n i s h a t .

E i n e solche E r z e u g e n d e ist für jeden ihrer P u n k t e

Kegekrzeugende.

Mehr n o c h ; alle die K e g e l , w e l c h e v o n den P u n k t e n der E r z e u g e n d e n auslaufen,

berühren

sich

längs" der

Erzeugenden.

Indem

wir

die

s ä m t l i c h e n P u n k t e der E r z e u g e n d e n m i t der zugehörigen, in d i e s e m FaUe f e s t e n ,

Tangentialebene:

z u s a m m e n n e h m e n , h a b e n wir ein einfachstes B e i s p i e l für das, w a s wir später 1) m i t L i e einen Streifen n e n n e n werden (nur d a ß i m allgemeinen bei e i n e m

Streifen m i t d e m P u n k t der Streifenkurve die zugehörige

Tangentenebene wechselt). 4. I n d e m in (1) nur die Q u a d r a t e der Differenzen (X—XQ) a u f t r e t e n , w e r d e n die x-, y-, irgend

- ^ O )

•.

z-, ^ A c h s e n d e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s z u

4 „ k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r n " unseres H y p e r k e g e l s

parallel.

Offenbar bleibt diese Sachlage bei beliebiger Lorentztransformation u n geändert,

und

wir

können

die

einzelne

Lorentztransformation

so

w ä h l e n , d a ß irgend ein Quadrupel konjugierter D u r c h m e s s e r v o n (1) zu den Achsen

parallel wird.

D a b e i ist es w i c h t i g , die v o n Xo,yo,Zo,

auslaufenden reellen V e k -

toren : (8)

(X-Xo)>

in raumartige

(y-yo)>

u n d zeitartige

(^-½),

zu trennen.

(i-io)

E i n V e k t o r h e i ß t raumartig,

w e n n für ihn / > O ist (wenn er also in d e m „ f l a c h e n " W e l t t e i l „außerh a l b " d e s K e g e l s (1) verläuft), zeitartig, w e n n für ihn / < 0 Übergangsfall, w o er in eine K e g e l e r z e u g e n d e fällt, / = gular.

ist.

Im

0 , h e i ß t er Sin-

E s ist nur eine andere A u s d r u c k s w e i s e für d a s T r ä g h e i t s g e s e t z

der q u a d r a t i s c h e n F o r m e n , w e n n wir s a g e n , d a ß v o n 4 reeUen k o n j u g i e r t e n D u r c h m e s s e r n d e s H y p e r k e g e l s (1) i m m e r 3 raumartig, 1 zeitartig sind. 5. D a d u r c h , zeichnen, die

eines

Punkte

daß

wir

als E n t f e r n u n g

D i e „ L ä n g e " e i n e s r a u m a r t i g e n V e k t o r s ist d a n n reeU.

zeitartigen

rein imaginär,

des fundamentalen

auf

werden

(1) konjugiert

senkrecht

die e i n e s singulären N u l l .

Gebildes (3) h a b e n v o n e i n e m

R a u m p u n k t e eine E n t f e r n u n g Vektoren

zweier W e l t p u n k t e b e -

k o m m e n w i r in d e n B e r e i c h der aUgemeinen affinen Maß-

bestimmung.

Zwei v o n X^, y^, zueinander

s i n d , d. h. w e n n

der

heißen,

z^, t^ wenn

Die

beliebigen auslaufende

sie

in

bezug

eine in der P o l a r e b e n e

des

a n d e r e n liegt usw.

1) Dieser Hinweis bezieht sich auf das geplante vierte Kapitel, das unausgeführt geblieben ist. Vgl. das Vorwort. (H.)

Β. I I I . § 2. Geometrische b) D i e e i n f a c h s t e n A n s ä t z e der

Hilfsvorstellungen.

107

Infinitesimalgeometrie.

1. Wir werden jetzt x,y,zj und XQ, VQ, ^Q, als benachbart voraussetzen. Der Vektor (8) soll dann durch den anderen: (9) dx, dy, dz, dt ersetzt werden. Die quadratische Form (1) verwandelt sich in das Quadrat des Bogenelementes (10)

ds^ = ί / λ 2 - f dy-

+ dz^ —

c^dt^.

Sollte dieses negativ ausfallen, so führen wir, wie bereits in (3) des vorigen Paragraphen, ein (11)

CiT^ ^

d t ^ - " ^ ; ^ ^ ' " ' ,

wo dr nunmehr (nach Minkowski) das Element der Eigenzeit heißen soü. Wir setzen noch fest, daß ds bzw. dr, falls sie reeü ausfallen und nicht gerade verschwinden, immer positiv genommen werden sollen. Natürlich unterscheiden wir die Vektoren (9), je nachdem daß i f s 2 > 0 , als raumartige, zeitartige und singulare. Den Hyperkegel, den die singulären Fortschreitungsrichtungen (9) erfüUen: (12) dx^ + dy^ + dz^ — dt^ = O pflegt man, im Zusammenhang der folgenden Infinitesimalbetrach­ tungen, einen Mon^^schen Kegel zu nennen, weü Monge in seiner grundlegenden „Application de Γanalyse a Ia geometrie" ^), zuerst der­ artige nichtUneare Differentialbeziehungen geometiisch gedeutet hat, natürlich unter Beschränkung auf 3 Dimensionen. Die singulären Fortschreitungsrichtungen müssen im folgenden immer gesondert be­ trachtet werden. 2. Bei irgendwelchen in der Welt x,y,z,t verlaufenden Kurven werden wir raumartige und zeitartige, evtl. auch singulare Stücke unterscheiden; bei den ersteren werden wir von einer Länge 5 = Jds , bei den zeitartigen Stücken von einer Eigenzeit τ = Jdr sprechen (wobei die Integralgrenzen auf dem Stück beliebig genommen werden können). 3. Wir können die „Richtung" der Kurve in einem ihrer Punkte dementsprechend durch

1) Zuerst erschienen 1808. Die zweite, von Liouville besorgte Ausgabe ( = „5. Auflage"), 1850, m welche neben vielen interessanten anderen Einzel­ heiten insbesondere aucli Gauß' Disquisitiones circa superficies curvas (1827) aufgenommen sind, ist sozusagen die Bibel der modernen Differentialgeometrie: auf ihr ruht die großartige Entwicklung, welche die genannte Disziphn bei allen Nationen genommen hat Vgl. Bd. I S. 77

108

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

festlegen, oder a u c h durch

-=¾.

(">

-¾.

wobei jenachdem (15)

x'^ + y'^ + z'^-cW^^l,

oder

/

2

_

_

i

A n a l o g wird m a n die „ K r ü m m u n g ' ' der K u r v e n durch die Differentialquotienten (16)

x",y",z",t"

festlegen. (17)

bzw.

zweiten

x/y/z/t

D a b e i ist

x'x"Jry'y"Jrz'z"-cH'r

= Q

bzw.

/ / - ^ ^ ^ ± - ^ = 0.

R i c h t u n g s - u n d K r ü m m u n g s v e k t o r s t e h e n also i m m e r aufeinander senkrecht. A l s „ K r ü m m u n g s r a d i u s " ρ w i r d m a n den reziproken W e r t der Quadratwurzel

(18)

yA;-2 + y - 2 - + 7 7 ^ Z r ^

bzw.

|//2^^L±ll±i_'

bezeichnen. 4. E s ist w i c h t i g , sich zu überzeugen, d a ß die raumartigen b z w . zeitartigen G e r a d e n der W e l t zugleich ihre g e o d ä t i s c h e n L i n i e n sind, d. h. die L ö s u n g e n der Variationsprobleme (19)

ojis = 0

bzw.

OJiT = O

bilden. D i e kleine R e c h n u n g sei nur für die raumartigen Linien durch­ geführt. W i r w e r d e n d a n n (19) ausführlicher schreiben: (20)

δ]

ix'^ + y'^ + z^^cH~^

ds = 0

u n d hier x,y,zj b e i F e s t h a l t u n g der Grenzen als F u n k t i o n e n v o n s beliebig variieren. D i e s gibt n a c h d e n R e g e l n der Variationsrechnung:

u n d hieraus, i n d e m wir (15) heranziehen, durch direkte x'^oL,

y = ß ,

ζ'=γ,

Integration:

f = ö

oder i n Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t (44), S. 9 8 : (21)

x=^x^+soL,

y^y^

+ sß,

ζ = ζ^ + 8γ,

t^t^

+

sd^.

F ü r die singulären Geraden v e r s a g t dieser A n s a t z , weil b e i der Z w i s c h e n 1) Wobei jetzt natürlich OL^

-\-—

= 1 zu wählen ist.

Β. I I I . § 2. Geometrische Hilfsvorstellungen.

109

rechnung der Ausdruck y%'2 ^ y 2 ^ ^'2__ ^2'^2 ^ ^jer für sie ver­ schwindet, in den Nenner tritt. W e n n wir sie trotzdem später kurzweg als singulare geodätische Linien bezeichnen, so kann das nur m e i n e n , daß sie zwischen den raumartigen und den zeitartigen geodätischen Linien den Übergang bilden. 5. Mit Rücksicht auf spätere E n t w i c k l u n g e n werde hier in F o r m eines bloßen Referates noch einiges über Scharen geodätisch äquidistanter Hyperflächen angeführt. Schon Gauß h a t in seiner oben ge­ n a n n t e n grundlegenden A b h a n d l u n g v o n 1827 den Fall v o n 2 D i m e n ­ sionen in Betracht g e z o g e n : Kurvenscharen, deren orthogonale Tra­ jekt orien geodätische Linien sind, sind i m m e r auch geodätisch äquidistant. D a b e i legt Gauß natürhch ein definites ds^ zugrunde. Beltrami hat diese Theorie 1869 auf >i-fach a u s g e d e h n t e R ä u m e mit beliebig v o r z u g e b e n d e m definiten ds"^ = Za^^ dx^ dx^ übertragen; natürlich handelt es sich dann u m Scharen {n — l ) - f a c h ausgedehnter äquidistanter Mannigfahigkeiten. Bei unserm ds"^ (10) tritt als neues Moment hinzu, d a ß es indefinit ist, so daß wir zwischen raumartigen und zeitartigen Hyperflächenscharen unterscheiden u n d den zwischen­ liegenden Übergangsfall als singulär einer besonderen B e t r a c h t u n g vorbehalten m ü s s e n . R a u m a r t i g werden wir die Schar der H y p e r ­ flächen nennen, w e n n ihre orthogonalen geodätischen Trajekt orien zeitartig sind, und umgekehrt. N a c h der anderen Seite ist unser F a h besonders einfach, weil ja unsere geodätischen Linien gerade Linien sind. Die zentrale B e d e u t u n g dieser geometrischen Theorie liegt darin, d a ß die B e d i n g u n g für die geodätische Äquidistanz der Flächenschar: (22)

F{x,y,z,t)=k

durch die einfache partielle Differentialgleichung 1. Ordnung gegeben ist: (23) w o b e i positives K die raumartigen Fälle, n e g a t i v e s K die zeitartigen charakterisiert (während K = O den hier noch ausgeschlossenen singulären Fall ergibt). D a s S t ü c k der orthogonalen Trajektorie, welche v o n irgend e i n e m P u n k t e der Fläche F = k^ bis zu F = k, hinreicht (und dabei eine geodätische Linie ist), h a t die Länge

bzw. die Eigenzeit (24') Man m a c h e sich dies an d e m einfachen Falle deutlich, der d e m Fall

110

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

konzentrischer K u g e l n der E l e m e n t a r g e o m e t r i e entspricht, w o n ä m l i c h F durch d i e F o r m e l g e g e b e n i s t : (25)

F = iK[{X-

X,)^ + (y _

C) D i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g

+

_ Z,)^-

+

(t -

(¾) -

t,Y].

^ ¾ ) ^ = 0.

Ersichtlich definiert v o r s t e h e n d e Differentialgleichung solche H y p e r flächen (26)

F{x,y,zJ)

= 0 ,

die i n j e d e m ihrer P u n k t e v o n d e m v o n diesem auslaufenden Mongeschen K e g e l dx^ + dy^ ·\-dz^ — c^dt^ = 0 berührt werden. Um unsere DarsteUung derjenigen v o n Monge selbst näher z u bringen, d e n k e n w i r u n s (26) n a c h t aufgelöst u n d schreiben: (27)

t-^0{x,y,z)=O,

Setzen wir dann noch dt

^

dt

dt

so schreibt sich unsere partieUe Differentialgleichung: (28)

^2 + ^2 + ,2 = 1 ^ .

Mit (27) ist auch Φ = const eine Lösung. A l s n ä c h s t h e g e n d e s B e i s p i e l h a b e n wir d e n v o m P u n k t e Xo,yo,ZQ, auslaufenden H y p e r ­ kegel / = O s e l b s t ; nur m ü s s e n wir seine Gleichung jetzt so schreiben:

(29)

t-]|'^ΞM±^^I±FΞΐl^t,.

E b e n s o erfüUen (28) aUe H y p e r e b e n e n , w e l c h e einen solchen K e g e l (oder, w a s dasselbe i s t , d a s f u n d a m e n t a l e EUipsoid) berühren, d. h. d i e Hyperebenen ViX+ V^y+ V^z+ V^t+Vr^ = O mit

.! + ^1 + ^ 1 - 3 = 0 (vgl. Gleichung (4) o b e n ) . D i e aUgemeine Theorie der partieUen Differentialgleichungen L Ord­ n u n g soweit w i r sie i m folgenden brauchen, ist für d e n FaU dreier Variablen v o n L a g r a n g e geschaffen u n d v o n C a u c h y (1819) auf W Variable a u s g e d e h n t worden. M o n g e h a t d a n n , z u n ä c h s t für 3 V a ­ riable, die g e o m e t r i s c h e D e u t u n g hinzugefügt, (siehe sein W e r k v o n 1808, 1. C S. 107), d i e L i e u m 1870 h e r u m auf w Variable a u s d e h n t e u n d dadurch vervöUständigte, d a ß er prinzipieU nicht n u r v o n d e n „Punkten**

Β. I I I . § 2. Geometrische Hilf s vor st eilungen. Hl x,y,z,t... einer Integralmannigfaltigkeit, sondern v o n ihren „ E l e ­ menten" x , y , z , t , . . . , p , q , r , . . . sprach. A n die Stelle irgend­ welcher auf der Integralmannigfaltigkeit gezogenen „ K u r v e n " treten d a n n , wie schon oben a n g e d e u t e t , „Streifen". A u s d e m ausgedehnten m a t h e m a t i s c h e n Gebiet, welches wir hier­ m i t berühren, w o h e n wir — m i t Rücksicht auf die Bedürfnisse des F o l g e n d e n — nur einen einzigen P u n k t herausgreifen bzw. an der par­ tieUen Differentialgleichung (28) erläutern. D a s ist die Lehre v o n den Charakteristiken (wie Monge sagte) oder, in Liescher A u s d r u c k s w e i s e , v o n den charakteristischen Streifen. Wir wollen bei 4 Variablen x,y,zj bleiben u n d die vorgelegte partielle Differentialgleichung 1. Ordnung allgemein m i t (30)

Ü(x,y,zj,p,q,r)=0

bezeichnen. E s handelt sich d a n n u m Streifen, welche durch das S y s t e m gewöhnhcher Differentialgleichungen gegeben s i n d : α χ : dy: dz '. dt: α ρ : α q : dr = ί^θΩ

,

(ΘΩ ,

ΘΩ ,

ΘΩ\

8Ω\

(ΘΩ ,

: (ΘΩ ,

: ,ΘΩ\

ΘΩ\

Der „Streifencharakter" ist dabei dadurch gewährleistet, d a ß ersichtlich dt-{pdx

+ qdy+

rdz)

= 0

ist. D a n n gut folgendes merkwürdige T h e o r e m : AUe I n t e g r a l m a n n i g f a h i g k e i t e n v o n (30) (im allgemeinen, weil wir 4 Variable h a b e n , selbst dreifach a u s g e d e h n t e Gebilde) werden v o n cx)2 charakteristischen Strei­ fen ü b e r d e c k t ; u n d m a n erhält geradezu aUe Integralmannigfaltig­ k e i t e n von (30), i n d e m m a n solche cx)^ charakteristische Streifen z u s a m m e n f a ß t , welche eine b e h e b i g vorgegebene Hyperfläche (die sich i m besonderen F a l l auf eine zweidimensionale Fläche, oder auf eine K u r v e oder auch auf einen einzelnen P u n k t reduzieren kann) berühren. D i e volle L ö s u n g der p a r t i e l l e n Differentialgleichung 1. Ordnung (30) k o m m t also auf die Lösungen der g e w ö h n l i c h e n Differentialgleichungen (31) hinaus. E s ist nicht möglich, diese Theorie hier z u begründen, wohl aber, sie auf die partieUe Differentialgleichung (28) a n z u w e n d e n . W i r h a b e n für ihre charakteristischen Streifen (32)

dx:dy:dz'.dt:

dp : dq : dr:

= ρ : q : r : p^ + q^ + r^:

w o b e i m a n nach (28) p^ + q^ + r^ durch ~ zu ersetzen h a t .

0:0:0, Diep,q,r

112

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie m Mechanik und Physik

sind also konstant. Wir setzen, um den Anschluß an frühere Ent­ wicklungen zu erhalten:

also wegen (28): + ^2 _|_ ^2 __ ^2 ^2 ^ q der Gleichung (32) gibt dann:

Die weitere Integration

Das sind genau die Streifen, welche von den Erzeugenden (6) der Hyperkegel (1) bzw. den zugehörigen Tangentialebenen (7) gebildet werden. Anders ausgedrückt: Die charakteristischen Kurven fallen mit den singulären Geraden (die wir auch die singulären geodätischen Linien nannten), die ihren Punkten zugeordneten Hyperebenen mit den durch diese Geraden hindurchgehenden Tangentialebenen an das funda­ mentale Ellipsoid zusammen.

Zum Schluß wollen wir die vorliegende Theorie auf die allgemeine partielle Differentialgleichung (23) ausdehnen. Zu diesem Zweck müssen wir uns in den Raum von 5 Dimensionen x,y, zj,u begeben und Hyperflächen dieses Raumes mit der Gleichungsform (35)

u =

F{x,y,z,t)

suchen. Schreiben wir für die partiellen Differentialquotienten kurz: dF

dF__

dF ___

dF

dx~^'

dy'~^'

dz

dt

so haben wir die Differentialgleichung vor uns: (36)

π^ + κ^ +

ρ^-^'^Ι^Κ.

Für die zugehörigen charakteristischen Streifen aber erhalten wir, indem wir die Rechnungen etwas zusammenziehen: 1. Die Differentialgleichungen: (37)

dx:dy:dz:dt:du:

dn : dK'.dq:

da

= π : κ: ρ :--^2 : i ^ : 0 : 0 : 0 : 0 . 2. Sodann, indem wir die hiernach konstanten Werte der7Γ,?<,ρ,σ mit

, X-, ^ }ii ]K )K meter verstehen: (38)

X = X^+ois,

bezeichnen und unter s einen geeigneten Para-

y = y^ + ßs,

z = z^ + ys,

t = to + ds,

u=

ti^+]Ks,

Lassen wir hier die Gleichung mit u weg, so heißt dies, daß wir die Kurve (38) des fünfdimensionalen Raumes auf den uns geläufigen

Β. I I I . § 3. Physikalische Ergänzungen unseres Weltbildes. 113 vierdimensionalen R a u m der x,y,z,t ,,projizieren". W i r h a b e n dann g e n a u die Gleichungen (21) der raumartigen b z w . zeitartigen g e o ­ dätischen Linien der „vierdimensionalen WeIt"^). D i e s e geodätischen Linien erscheinen also als Projektion der charakteristischen K u r v e n des fünfdimensionalen R a u m e s . Zugleich ist u — UQ n i c h t s anderes als die m i t y K multiphzierte Länge des gerade b e t r a c h t e t e n geodäti­ schen K u r v e n s t ü c k e s . W i r können diese B e z i e h u n g natürhch weiter ausführen, i n d e m wir auch die π , κ, ρ, σ vierdimensional deuten u n d darauf die Integration der Gleichung (36) durch die zugehörigen charakteristischen Streifen m i t den unter b) g e m a c h t e n A n n a h m e n über die I n t e g r a t i o n durch geodätische Linien in volle Verbindung bringen. W i r h a b e n i m m e r nur die Mannigfaltigkeit u = F {x,y,z,t) des im durch die Schar der ,,Niveauflächen", längs deren F k o n s t a n t ist, zu v e r a n s c h a u ­ lichen. Ist F eine L ö s u n g v o n (35), so w e r d e n diese N i v e a u f l ä c h e n i m R^ geodätisch äquidistant sein usw. E s ist eine Art darstellende Geometrie, welche die Verhältnisse des R^^ im R, z u studieren ge­ stattet. E s ist unmöglich, d a ß ich diese an sich hochinteressanten B e z i e h u n ­ gen, die v o n den G e n a n n t e n nach vielen R i c h t u n g e n a u s g e b a u t sind, hier n o c h weiter verfolge. W i r werden ihnen in unseren späteren E x k u r s e n über analytische Mechanik wieder begegnen2).

§ 3. Physikalische Ergänzungen unseres Weltbildes, mit weiteren geometrischen Ausführungen. U m d e m S t a n d p u n k t der modernen P h y s i k v o l l e n d s gerecht zu werden, h a b e ich die E n t w i c k l u n g e n des vorigen Paragraphen n a c h einigen R i c h t u n g e n zu vervollständigen. a ) N ä h e r e F e s t l e g u n g der p h y s i k a l i s c h e n

Grundbegriffe.

E s h a n d e l t sich u m zwei F e s t s e t z u n g e n , welche m i t den bisherigen B e t r a c h t u n g e n zwar verträglich, aber nicht durch sie g e g e b e n sind. D a s erste ist, daß die P h y s i k e r , trotz aller einschneidenden Ä n d e ­ rungen, welche das R e l a t i v i t ä t s p r i n z i p der Lorentzgruppe betreffend unsere Vorstellungen über R a u m u n d Zeit m i t sich bringt, an d e m Unterschiede von Vergangenheit und Zukunft, w a s die einzelne R a u m s t e l l e a n g e h t , festhalten m ü s s e n . Genauer g e s a g t : E s s o h e n nur solche S u b ­ s t i t u t i o n e n (10) zulässig sein, bei denen einem p o s i t i v e n I n k r e m e n t v o n t bei festgehaltenem x, y, ζ ein positives I n k r e m e n t v o n t' entspricht, bei 1) Nur daß immer t statt / geschrieben ist und dementsprechend δ eine modi­ fizierte Bedeutung hat. 2) Siehe Note 3, S. 67.

114

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik nnd Physik.

d e n e n also der Koeffizient p o s i t i v i s t ! — D i e Verträglichkeit dieser F e s t s e t z u n g m i t d e n relativistischen I d e e n , wie wir sie hier voransteUen, h e g t darin, d a ß d i e i e n i g e n reellen S u b s t i t u t i o n e n (11), welche ein posi­ tives h a b e n , f ü r s i c h eine Gruppe bilden^). W i r erkennen a u c h , d a ß die B e s c h r ä n k u n g auf p o s i t i v e a44, a n der wir fortan festhalten, eine V o r a u s s e t z u n g dafür ist, d a ß die zugehörigen reeUen L o r e n t z s u b s t i t u t i o n e n ein Kontinuum bilden. Infolge dieser B e s c h r ä n k u n g k a n n jeder der in (1), S. 105 definierten Kegel: -

^o)'

+ C y - y^^ +

-

^)'

-

o\t

- g2

_ο

w i e M i n k o w s k i e s ausdrückt, i n einen Vorkegel u n d einen Nachkegel ein­ d e u t i g zerlegt w e r d e n (von d e n e n der erstere der „Vorwelt'' [t < ^), der letztere der „ N a c h w e l t " (^ > ^) angehört). Auf jeder zeitartigen K u r v e aber (und schließlich a u c h auf jeder singulären Kurve) k ö n n e n w i r e i n e n p o s i t i v e n S ü m festsetzen, der m j e d e m P u n k t e der K u r v e v o n der V o r w e l t zur N a c h w e l t w e i s t . N t m aber eine z w e i t e p h y s i k a h s c h e E i n s c h r ä n k u n g der b i s j e t z t e n t ­ w i c k e l t e n D e n k w e i s e : A u s der g e w ö h n l i c h e n P h y s i k soU der Begriff des materiellen Punktes (der i m Laufe der Zeit m i t sich selbst, wie m a n sagt, i d e n t i s c h bleibt — m a g e s sich d a b e i u m ein Teilchen ponderabler Materie oder u m ein E l e k t r o n handeln) ü b e r n o m m e n werden. W ä h r e n d m a n s o n s t s a g t e , d a ß ein solcher P u n k t sich i m R ä u m e beliebig b e w e g t e , so w e r d e n w i r n u n — w i e d e r m i t M i n k o w s k i — v o n der Weltlinie sprechen, die er in d e m v i e r d i m e n s i o n a l e n Gebiete der y, z, t beschreibt. Whr w e r d e n f e m e r festsetzen, d a ß , i m Sinne der g e w ö h n l i c h e n Sprechweise, die G e s c h w i n d i g k e i t eines materieUen P u n k t e s n i e m a l s > c sein soU. D i e s h e i ß t hier, d a ß die W e l t l i n i e i m m e r z e i t a r t i g u n d nur i m Grenz­ fall Singular sein soll^). — W i r m ü s s e n u n s d a s B i l d m a c h e n , d a ß i m Ge­ b i e t e der v i e r d m i e n s i o n a l e n W e l t s o v i e l e dieser Linien nebeneinander Sehr hübsch kommt dies bei der independenten Darstellung der Substitu­ tionen durch Biqnaternionen heraus, wie wir sie in Formel (11), § 1 erwähnten. Der Koeffizient a^^^ hat dabei nämlich den Wert

wo der Zähler (bei reellen ... · ) an sich positiv ist nnd der Nenner die Norm der Biqnaternionen ß i ± sQ^ vorstellt. Nun setzen sich unsere Substitutionen zusammen, indem man die zugehörigen Biquatemionen miteinander multipliziert. Bei der Multiplikation zweier Quaternionen multiplizieren sich aber auch ihre Normen. Ergo usw. 2) Je größer die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes x, y, ζ (im Sinne der gewöhnhchen Ausdrucksweise) ist, um so flacher verläuft seine Welthnie. Jedes Stück der Weltlinie besitzt seine „Eigenzeit". Es ist die kühne Idee Ein­ steins, daß eine vom materiellen Punkte mitgeführte Uhr eo ipso diese Eigenzeit registrieren würde.

Β. I I I . § 3. Physikalische Ergänzungen unseres Weltbildes. 115 herlaufen (ohne einander z u treffen), als wir eben materieUe P u n k t e unter­ scheiden wollen, u n d d a ß aUes physikalische Geschehen sich durch B e ­ ziehungen zwischen diesen W e l t h n i e n ausdrücken läßt. W i r werden dabei an d e m gewöhnlichen Kausalitätsprinzip festhalten, d. h. voraus­ setzen, d a ß i m m e r nur die Vergangenheit auf die Zukunft wirkt, nicht umgekehrt. D i e einzehie SteUe einer Weltlinie 1 k a n n d a n n nur v o n demjenigen Stück einer anderen Weltlinie 11 beeinflußt werden, das innerhalb oder auf ihrem Vorkegel hegt. D a b e i b e w e i s t m a n leicht, daß bei zeitartigem Verlauf v o n 11 i m m e r nur ein P u n k t auf 11 vorhanden ist, in w e l c h e m 11 v o n d e m Vorkegel der auf 1 a n g e n o m m e n e n SteUe geschnitten wird. W e n n wir uns denken — ich faUe auf die traditioneUe Ausdrucksweise zurück —, d a ß v o n den verschiedenen P u n k t e n 11 eine W i r k u n g ausgeht, die sich m i t Lichtgeschwindigkeit c fortpflanzt, so ist es nur diese eine SteUe v o n 11, v o n der die auf 1 a n g e n o m m e n e SteUe b e e m f l u ß t wird. D e s h a l b nannte M m k o w s k i diese SteUe auf 11 den zur SteUe v o n 1 gehörigen Lichtpunkt. D i e größere B e s t i m m t h e i t , welche unsere p h y s i k a h s c h e n VorsteUungen m i t diesen F e s t s e t z u n g e n g e w o n n e n h a b e n , woUen wir hier nur v e r w e n d e n , u m die früheren A n g a b e n über das v o n einem gleichförmig b e w e g t e n E l e k t r o n emittierte Viererpotential z u vervollständigen. D a s Elektron soll sich m i t einer Geschwindigkeit < c b e w e g e n . Zu j e d e m Weltpunkte y, z, t gehört dann auf seiner Weltlinie n a c h d e m eben Gesagten gerade e i n L i c h t p u n k t χy^, ζt^ (wobei 1^<1). W i r werden f e m e r n a c h der Formel (14) S. 108 v o n den zugehörigen R i c h t u n g s ­ k o m p o n e n t e n XQ, y^, ZQ, IQ sprechen (die bei e i n e m gleichförmig b e w e g t e n Elektron natürlich ftir aUe SteUen seiner Weltlinie denselben W e r t haben) D a b e i ist n a c h der neuerdings getroffenen Verabredung > 0. D i e K o m p o n e n t e n des zugehörigen Viererpotentials, die auf S. 9 9 (Formel 47) nur bis aufs Vorzeichen angegeben werden k o n n t e n , werden jetzt

(2)

<ι.=-Ά·

? v = - ä .

?.=-J4.

?.=+ϊ.

wobei P den i m m e r positiven Wert b e d e u t e t : (2·)

P^k

{t-to)

-

""^ +

+ '° ^'-'^ ·

In der T a t h e g t x, y, z, t i m m e r auf d e m N a c h k e g e l v o n XQ, y^, ZQ, IQ. I c h verzichte auf die Einzelheiten der Nachrechnung u n d wiU nur a n ­ geben, d a ß diese Formehi w e s e n t h c h tibereinstimmen m i t den u n s y m ­ metrisch geschriebenen, die seinerzeit (wie S. 9 9 berichtet) v o n Lionard bzw. Wiechert ftir den FaU eines b e l i e b i g m i t Unterlichtgeschwindigkeit b e w e g t e Elektrons aufgesteUt worden sind. D a ß m a n hierbei auf die­ selben Formehl (2) k o m m t , w i e i m FaUe eines g l e i c h f ö r m i g b e w e g t e n Elektrons, ist eine merkwürdige Tatsache, auf die m a n geführt wird, w e n n m a n die Theorie der partieUen Differentialgleichung, v o n der wir 8*

116

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik u n d Physik.

i m folgenden P a r a g r a p h e n h a n d e h i werden, e t w a s w e i t e r verfolgt, als es dort m ö g l i c h i s t . M a n vergleiche e t w a die DarsteUung i n der w i e d e r ­ h o l t g e n a n n t e n A r b e i t v o n S o m m e r f e l d v o m J a h r e 1910.

b) W e i t e r e g e o m e t r i s c h e A u s f ü h r u n g e n . Die m e r k w ü r d i g e H a r m o n i e , die z w i s c h e n d e n früheren G e d a n k e n ­ schöpfungen der m a t h e m a t i s c h e n Theoretiker u n d d e m h e u t i g e n R ü s t ­ z e u g der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k e r b e s t e h t , w u r d e w i e d e r h o l t hervor­ g e h o b e n . I c h k a n n m i r n i c h t v e r s a g e n , n o c h auf z w e i besondere P u n k t e e i n z u g e h e n , b e i d e n e n sich diese H a r m o n i e erneut b e w ä h r t h a t . H a n d e l t es sich d o c h um g e o m e t r i s c h e Auffassungsweisen, w e l c h e i n d e n Jahren 1 8 6 9 / 7 1 v o n D a r b o u x , v o n L i e u n d v o n m i r selbst, z u m T e i l i n persönh c h s t e r Z u s a m m e n a r b e i t , e n t w i c k e l t w o r d e n sind. M a n woUe e t w a die A b h a n d l u n g e n v o n L i e u n d m i r i n B d . 5 der Math. A n n . (1871) oder a u c h die z u s a m m e n f a s s e n d e DarsteUung i n B d . 1 m e i n e r autographierten Vorlesung über höhere Geometrie (1893) vergleiche η i). 1. A b b i l d u n g

der vierdimensionalen

Kugeln

des dreidimensionalen

W e l t x, y, z, t a u f d i e Raumes

W i r ersetzen einfach d e n P u n k t XQ, y^, z^, w e l c h e n der v o n i h m auslaufende (3)

{X-Xo)^+

x,y,z.

durch d e n S c h n i t t ,

H5φerkegel

{y-yoV+{Z-Zo)^-C^t^

Q^ = O

m i t d e m dreidimensionalen R a u m ^ = O g e m e i n h a t . E s i s t dies die K u g e l , w e l c h e XQ, yQ ZQ zum M i t t e l p u n k t e u n d ± zum R a d i u s h a t . D i e B e z i e h u n g w i r d vöUig eindeutig, w e n n w i r a u c h n o c h K u g e h i v o n p o s i t i v e m u n d n e g a t i v e m R a d i u s (sogenannte „orientierte" K u g e h i ) unterscheiden, w i e dies i n der Lie'schen „ K u g e l g e o m e t r i e ' ' (oder a u c h b e i Laguerre u n d anderen m o d e r n e n G e o m e t e m ) durchaus üblich i s t . W a s w i r d b e i d i e s e m Übertragungsprinzip a u s der W e l t l i n i e v o n XQ, yQ, ZQ, IQ? E i n e Schar v o n K u g e h i oder, u m e s n o c h physikalischer auszudrücken, v o n kugelförmigen LichtweUen, w e l c h e i n d e m i r g e n d w i e m i t U n t e r l i c h t g e s c h w i n d i g k e i t b e w e g t e n R a u m p u n k t e XQ, yQ ZQ ihren M i t t e l p u n k t h a b e n . Solange < O (Vergangenheit), h a b e n w i r L i c h t ­ weUen, die sich auf ihren M i t t e l p u n k t z u s a m m e n z i e h e n , s o b a l d > 0, LichtweUen, die sich v o n d a a u s (immer m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t c) ausbreiten. I m übrigen w e r d e n sich die K u g e h i für < O wie die für IQ > O b z w . u m s c h h e ß e n (ohne einander i n reeUen P u n k t e n z u schneiden). 1) Siehe Note 1 S. 29.

Β. I I I . § 3. Physikalisclie Ergänzungen unseres Weltbildes.

117

E s w i r d m a n c h e m heber sein, sich m i t d i e s e m B i l d e , s t a t t m i t d e m emer vierfach a u s g e d e h n t e n P u n k t m a n n i g f a l t i g k e i t (XQ, y^, ZQ, IQ) ZU beschäftigen. S o h a t es T i m e r d i n g i m 2 1 . Jahresberichte der D e u t ­ schen Mathematikervereinigung 1912 in Vorschlag gebracht. A b e r auch B a t e m a n in der S. 79 g e n a n n t e n A b h a n d l u n g v o n 1909 h a t es bereits b e n u t z t , u n d dabei b e m e r k t , d a ß die S u b s t i t u t i o n e n der G15, welche dx^ + dy^ + dz^ — c^dt^ = 0 in sich v e r w a n d e h i , gleichorientierte K u g e h i des R^, die sich berühren, in ebensolche transformieren u n d u m ­ gekehrt. E r n e n n t b e s a g t e Transformationen daher „spherical w a v e transformations"!). 2. D i e

Lorentzgruppe

als

Grenzfall

einer

allgemeineren

Gruppe. N a c h d e n allgemeinen Grundsätzen Cayleys v o n 1859, w i e sie i n B d . 1, K a p . I V , dargelegt w u r d e n , läßt sich die Lorentzgruppe b z w . die z u ­ gehörige „affine" M a ß b e s t i m m u n g auf die projektive B e t r a c h t u n g d e s in (4) S. 105 g e n a n n t e n Gebildes 2. Klasse

rf + rf + r i — J = O

(4)

gründen. D i e s e s Gebilde w u r d e dort (da wir es m i t 5 h o m o g e n e n Variablen z u t u n hatten) als solches v o n verschwindender D e t e r m m a n t e bezeichnet. D e m g e s c h u l t e n Geometer m a c h t es kerne Schwierigkeit, a n seine SteUe das aUgemeinere Gebilde z u s e t z e n (5)

^! + ^1 + ^ 1 - ^ + ^ = 0 ,

aus w e l c h e m (4) als GrenzfaU für = 00 hervorgeht. W i r h a b e n d a n n a u c h in h o m o g e n e n P u n k t k o o r d m a t e n s t a t t der z w e i Gleichungen (3) S. 105 eine einzige quadratische Gleichung

(6)

f? + li + f i - c ' f f + ^^li = o

zugrunde z u legen. I n d e m wir die E m h e i t der E n t f e r n u n g schicklich w ä h l e n , m ö g e n wir als „ E n t f e r n u n g zweier P u n k t e " in der zugehörigen projektiven M a ß b e s t i m m u n g d e n Ausdruck (7)

R. arc cos ^^^^^ + ^2^2 + ^jVz ~ οΗ,η, + RH.n,^^

w ä h l e n , der s i c h in

Bateman ist im aUgemeinen über die in Betracht kommende Literatur aus­ gezeichnet orientiert. Aber hier ist ihm entgangen, daß besagte Kugeltransforma­ tionen sachlich und formell zusammenfallen mit denjenigen der Lie'schen Kugel­ geometrie.

118

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik,

umsetzen läßt, w o

^ die d o p p e l t geränderte D e t e r m i n a n t e b e d e u t e t : 1

O

O

O

O

1

O

O

O

Vi

O

O

1

O

O

Vz

O

O

O

O -c»

O

O

O

O

Vl

f.

O

Vi VB

ξ.

i4

i5

O

O

Vl

Vi »75

O

O

D i e s e F o r m e l (8) b z w . (9) w i r d bier angeführt, w e i l sie a m einfachsten erkennen l ä ß t , d a ß (7) bei Ü b e r g a n g z u = oo d e n E n t f e m u n g s b e g r i f f der Lorentzgruppe liefert. I n der T a t e n t s t e h t für = c» a u s (8) ^1O)

nin.

- hmf

± ( g ^ » - hn.Y

+ (hn. - ¢ . ¾ ) ' -

(¢.¾ -

f.^g,

u n d das ist bei i n h o m o g e n e r Schreibweise n i c h t s anderes als der u n s wohlbekannte Ausdruck

l e b w ü r d e d i e s e g a n z beiläufige A u s e i n a n d e r s e t z u n g hier n i c h t e i n g e s c h a l t e t h a b e n , w e n n n i c h t E i n s t e i n in seiner n e u e s t e n Veröffentl i c h u n g (Sitzungsberichte der Berliner A k a d e m i e v o m Februar 1917) v o n k o s m o l o g i s c b e n B e t r a c h t u n g e n a u s z w a r n i c h t i n vöUig durchgebildeter F o r m , aber d o c h d e m W e s e n der S a c h e n a c h g e n a u zu d e m A n s a t z (7) g e k o m m e n wäre ^). I h m lag daran, d i e „ W e l t a n s c h a u u n g " der Lorentzgruppe d a h i n z u modifizieren, d a ß die W e l t zwar zeitlich u n e n d h c h a u s g e d e h n t b l e i b t , n i c h t aber r ä u m b e b . D i e s a,ber w i r d g e n a u durch d e n A n s a t z (7) erreicht (icb b r a u c h e für d e n G e o m e t e r n i c h t auseinanderzusetzen, d a ß e s s i e b , i m S i n n e m e i n e r a l t e n T e r m i n o l o g i e , d a r u m b a n d e l t , an die S t e h e der „ p a r a b o b s c b e n " M a ß b e s t i m m u n g d e s Lorentzfalles eine „eUiptiscbe" M a ß b e s t i m m u n g z u s e t z e n ) .

§ 4. Historisches über die Integration der partiellen Differentialgleichung W k h a b e n die I n t e g r a t i o n der M a x w e l l s c h e n Gleichungen durch E i n f t i h n m g d e s Viererpotentials auf d a s G l e i c b u n g s s y s t e m •^. = 0 1) Wie Klein selbst an dieser SteUe handschrifthch nachgetragen hat, ist diese Angabe nicht genau. Formel (7) entspricht einem Ansatz de S i t t e r s , nicht Einsteins. Vgl. F. Klein: Über die IntegraUorm der Erhaltungssätze und

B.III. §4. IntegrationderpartieUenDifferentialgleichung|^ + . . . ~ i

119

zurückgeführt. J e t z t wird es. sich also für u n s u m die emzelne Gleichung

h a n d e l n , d i e wh: die dreidmiensionale Schwingungsgleichung n e n n e n k ö n n e n ; sie s t e h t überall i m Mittelpunkte, w o e s sich u m S c h w i n g u n g s ­ probleme dreidhnensionaler (isotroper) räumhcher K o n t m u a handelt. Sie ist bereits 1759 b e i U n t e r s u c h u n g e n über SchaUbewegung v o n E u l e r aufgesteUt worden ^). E i n e voUe historische W ü r d i g u n g des E n t w i c k l u n g s g a n g e s i s t natür­ lich nur m ö g l i c h , w e n n m a n einerseits auf d i e eindimensionale S c h w i n ­ gungsgleichung

andererseits auf die Differentialgleichung d e s P o t e n t i a l s

zurückgreift. I n beiderlei H i n s i c h t bringen d i e bis j e t z t erschienenen Teile d e s z w e i t e n B a n d e s der m a t h . E n z y k l o p ä d i e , m s b e s o n d e r e aus der F e d e r v o n B u r k h a r d t , reiches Material; m a n vergleiche auch d e n u m f a n g ­ reichen B e r i c h t v o n B u r k h a r d t i n B d . 1 0 ; 2 , a, b der Jahresberichte der D e u t s c h e n MathematUcervereinigung (1908). H i e r k a n n nur sozusagen die persönhche Seite der historischen E n t ­ w i c k l u n g (die sich n u n über m e h r als 150 Jahre h i n z i e h t ) , g e k e n n z e i c h n e t werden. E s ist gerade u m g e k e h r t , w i e b e i d e n Theorien, die wir bisher i m Z u s a m m e n h a n g m i t der Lorentzgruppe b e h a n d e l t e n . B e i letzteren ist e s die r e m m a t h e m a t i s c h e Spekulation, w e l c h e v o r a n g e h t , u n d die m a t h e m a t i s c h e P h y s i k h a t , w e n n sie ö k o n o m i s c h verfahren wiU, die Möghchkeit, sich fertig v o r h e g e n d e r Gedankenreihen für ihre Z w e c k e z u bedienen. B e i unseren partieUen Differentialgleichungen ist das S a c h v e r h ä l t n i s g e n a u u m g e k e h r t . Hier h a b e n die m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k e r d i e grundlegenden G e d a n k e n a n s ä t z e v o n sich a u s geschaffen u n d die r e m e n M a t h e m a t i k e r erst hinterher b e g o n n e n , die g e n a u e n B e ­ d i n g u n g e n , unter d e n e n d i e s e A n s ä t z e m ö g h c h sind, herauszuarbeiten. Sprechen wir, w a s die Integrationstheorie der Gleichung (1) a n g e h t , z u n ä c h s t v o n ihrer Grundlösung, d. h. derjenigen L ö s u n g , d i e i m R ä u m e der X, ζ eine m ö g h c h s t einfache P u n k t s m g u l a r i t ä t h a t u n d sich i m U n e n d h c h e n m ö g l i c h s t u n s c h u l d i g verhält. B e i der Differentialgleichung

die Theorie der räumhch geschlossenen Welt. Gött. Nachr. I9I8, S. 394 = Ges. Abh. Bd. 1, S. 586. (H.) M Gesamtausgabe, 3. Serie, Bd. I, S. 480.

120

2. Kap. SpezieUe Relativitätstheorie in Mechanik und Physik. m i t einer Masse CQ

i s t dies, w e n n w i r d e n singulären P u n k t x^, y^, s t a t t e n , bekanntUcli

w o r = y(iv — iVo)2 + · . . + — ^ o ) ^ d e n k t m a n s i c h d i e Masse ω a u c h n o c h v o n der Zeit t a b h ä n g i g , s o w i r d d i e s

A l s Grundlösung v o n (1) ergibt s i c h n u n die n u r w e n i g kompliziertere Form

die m a n h e u t e als verzögertes (retardiertes) P o t e n t i a l b e z e i c h n e t (es k o m m t e b e n diejenige Masse d e s singulären P u n k t e s zur G e l t u n g , d i e s i c h dort z u der „früheren" Zeit t—^

b e f a n d ) . I m P r i n z i p findet s i c h diese L ö ­

s u n g schon in d e n sogleich z u n e n n e n d e n A r b e i t e n v o n P o i s s o n ;

die

m o d e r n e B e z e i c h n u n g treffe i c h z i m i ersten Male i n der z w e i t e n Auf­ lage v o n P o i n c a r o s Electricito e t O p t i q u e , P a r i s , 1901 (S. 4 5 5 d a s e l b s t , w o sie aber als b e k a n n t v o r a u s g e s e t z t wird). I m ü b r i g e n dürfte, w a s die I n t e g r a t i o n s t h e o r i e v o n (1) a n g e h t , d i e folgende A u f z ä h l u n g die H a u p t f o r t s c h r i t t e

treffen:

1. V o r a n s t e h e n die A r b e i t e n v o n P o i s s o n a u s d e n J a h r e n v o n 1808 b i s 1819. E s w i r d v o r aUen D i n g e n eine F o r m e l g e w o n n e n , w e l c h e d i e z e i t l i c h e A u s b r e i t u n g einer i r g e n d w i e i m R a i m i zur Zeit t = O g e g e b e n e Anfangsstörung behandelt.

E s i s t j e w e ü s ü b e r d i e H a u p t l ö s u n g e n (2)

b z w . ihre n a c h t genonamenen D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n z u s i m i m i e r e n , die s i c h auf d i e j e n i g e n R a i m i p u n k t e XQ, y^, ZQ b e z i e h e n , für w e l c h e t ist^).

D i e F o r m e l b e s t e h t d e m e n t s p r e c h e n d a u s der Sunmae

^= O zweier

Doppelintegrale*). 2. D i e P o i s s o n s c h e F o r m e l k a n n als L ö s u n g einer b e s o n d e r e n „ R a n d ­ wertaufgabe" angesehen werden. welche F und ^ aufzufassen

D e n n die Mannigfaltigkeit t = 0, für

g e g e b e n v.'erden, i s t als R a n d der „ H a l b w e l t " t > O

(der „ p o s i t i v e n H a l b w e l t " , w i e

s i c h M i n k o w s k i gern g e ­

s p r ä c h s w e i s e a u s d r ü c k t e ) , für w e l c h e d i e L ö s u n g g e s u c h t w u r d e . E s h a t d a n n voUe 4 0 J a h r e g e d a u e r t , e h e H e l m h o l t z

(„Theorie der L u f t ­

s c h w i n g u n g e n in R ö h r e n m i t offenen E n d e n " , 1 8 5 9 , CreUes

Journal

B d . 57) u n t e r H e r a n z i e h u n g i n s b e s o n d e r e der v o n Green für die P o t e n 1) Welche für x, y, t „Lichtpunkte" sind. «) Sie findet sich in aUen emschlägigen Büchern der mathematischen Physik, z. B. in R a y l e i g h s „Theory of sound'' (London, 1. Aufl. 1877/78. 2. Aufl. 1894).

Β. III. § 4. Integration der partiellen Differentialgleichung ^ + . . . - ± ^ = 0. 121 tialtheorie e n t w i c k e l t e n M e t h o d e n , aUgemeinere R a n d w e r t a u f g a b e n in Angriff n a h m . I n denselben Gedankenkreis, nur n o c h mehr vierdhnensional a u s g e p r ä g t , gehört K i r c h h o f f s b e r ü h m t e B e g r ü n d u n g d e s H u y g h e n s s c h e n Prinzips (Berliner Sitzungsberichte 1882). E s h a n d e l t sich u m die B e s t i m m u n g v o n F in einem zylinderartigen W e l t s t ü c k , welches irgend ein R a t u n s t ü c k als Basis u n d lauter E r z e u g e n d e paraUel zur ^ A c h s e h a t . 3. I n R a y l e i g h s eben zitierter „ t h e o r y of s o u n d " , findet sich s o d a n n vieles weitere Material. U n t e r a n d e m w i r d dort d a s dreifache I n t e ­ gral b e h a n d e l t

(3)

—

-äxody^dz^,

welches über d e n Vorkegel eines b e h e b i g e n W e l t p u n k t e s

t er­

streckt w k d ; es zeigt sich, d a ß (3) der partieUen Differentialgleichimg: d^F , d^F , d^F

I d^F

.

g e n ü g t , w o r a u s m a n rückwärts die B e d e u t i m g der Grundlösung (2) u n d ihr Auftreten m der Poissonschen Formel ableiten kann. (Dieselbe E n t ­ wicklung in elektromagnetischer D e u t u n g später unter a n d e r m b e i Lorentz, La thoorie olectromagnetique de MaxweU, L e y d e n , 1892.) 4. D i e A n g a b e n aus 2. sind n o c h dahin z u vervoUständigen, d a ß in ihnen w e g e n der A n w e n d u n g auf A k u s t i k sehr b a l d (5)

Ε=^φ{χ,γ,ζ)ε^^^

g e s e t z t wird, wodurch a n SteUe v o n (1) die partieUe Differentialgleichung m i t nur 3 unabhängigen Veränderlichen t r i t t :

Ü b e r die hier anknüpfende umfangreiche Literatur vgl. die v o n mir vera n l a ß t e Monographie „ D i e Differentialgleichung Au + Xu = 0 " v o n P o c k e l s (1891), sowie das interessante Referat v o n S o m m e r f e l d in B d . 2, A 7 c der m a t h . E n z y k l o p ä d i e (1900), d a s i n z w i s c h e n selbst durch die m o d e m e E n t w i c k l u n g bereits überholt ist. 5. A n d e n hiermit zitierten SteUen ist b e i B e h a n d l u n g der R a n d ­ w e r t a u f g a b e n n i c h t nur v o n der V e r w e n d u n g der H a u p t l ö s u n g (1) u n d ihrer VeraUgememerung, der ,,Greenschen Funktionen" gegebener B e ­ reiche, s o n d e m auch v o n der Methode der Reihenentwicklungen die R e d e , die auf (1) a n g e w a n d t , über (5) h m a u s g e h e n d , für jeden Bereich eine unendliche K e t t e v o n Partikularlösungen (7)

J 22

2. Kap. SpezieEe Relativitätstheorie in Mechanik u n d Physik,

suchen wird, u m die angestrebte Lösung F in der GcstaJt (8)

F =

Ec^F,

horzustcJJcn. D e r französische Forscher L a m 6 h a t der hiermit an> g e d e u t e t e n FragcstcJJung für die zu seiner Zeit i m Vordergrund des I n ­ teresses stehenden particJJcn Differentialgleichungen der P h y s i k einen g u t e n TciJ seiner Lebensarbeit g e w i d m e t . A n ihn anknüpfend h a b e ich später für zahlreiche R e i h e n e n t w i c k l u n g e n der dreidimensionalen PotcntiaJthcoric d a s formaJc Gesetz aufweisen k ö n n e n ; m a n vergleiche d a s daran anknüpfende B u c h „RcihcncntwickJungcif der PotcntiaJtJicorie" v o n B o c h c r , 1894. E s fchJtc noch der K o n v c r g c n z b c w c i s der Jiervorkommcnden R e i h e n , aber auch dieser ist durch die moderne Forschung erbracht worden. K e i n ZwcifeJ, d a ß m a n b e i d e m A n s a t z (7), (8) in entsprechender W e i s e vorgehen kann ^). Erinnern wir daran, d a ß unsere particJJc Differentialgleichung (I) nicht nur b e i d e n Substitutionen der zchngJicdrigcn Lorentzgruppe, sondern auch b e i denjenigen der fünfzchngJicdrigcn Gruppe in sich übergeht, so h a b e n wir eine ganze R e i h e v o n Methoden zur Verfügung, u m geeignete PartikuJarJösungen v o n (I) b z w . geeignete Lösungen der MaxweJJschen Gleichungen z u finden ^).

§ 5. Die elementare Optik, insbesondere die geometrische Optik als erste Näherung der Maxwellschen Gleichungen. In diesem Parapraphcn wiJJ ich e n t w i c k e l n , w i e die aUgemeine Optik, d. h. die Lehre v o n der allgemeinen Integration der Maxwellschen Gleichungen b e i geeigneten A n n a h m e n u n d dreidimensionaler Inter­ pretation in die gewöhnlichen A n s ä t z e der elementaren Wellenoptik b z w . der geometrischen Optik, übergeht. D i e allgemeine Optik h a t es, w i e wir gerade b e m e r k t e n , m i t d e n Differentialgleichungen: (1)

•^, = 0

DiV^=O

1) Bei den Reihenentwieklungen der dreidimensionalen Potentialtheorie macht man nirgends von der allgemeinen hypergeometrisehen Funktion Gebrauch, \vie sie nach Gauß oder Riemann definiert wird, sondern immer nur von Spezialfällen und Grenzfänen (Kugelfunktionen, Besselsehen Funktionen usw.). Es folgt aber aus den formalen Ansätzen, die ich eben erwähnte, daß dies bei sinngemäßer AufgabensteHung für die Differentialgleichung (1) anders wird. In der Tat h a t B a t e m a n in Bd. 7 der 2. Serie der Proeeedings der London Mathematical Society (1909) hierher gehörige Formeln gegeben. 2) Es müßte sehr interessant sein, zu untersuchen, wie weit diese Methoden in ihrer Anwendung auf praktische Fälle reichen bzw. wie weit sieh die Entwiek­ lungen, welche die Physiker für solche Einzelfälle gemacht haben, sieh hier ein­ ordnen. Aber es ist unmöglich, dieser Fragestellung hier nachzugehen.

Β. Π Ι . § 5. Die elementare Optik.

123

zu t u n . W i r finden den Ü b e r g a n g zur gewöhnlichen Wellenoptik, i n ­ d e m wir (2)

,, = c . ; ^ ' ^ ' - ' " ^ - > ^

(ε=

setzen u n d hier die „ W c h e n l ä n g c " λ als kleine Größe b e t r a c h t e n , derart, d a ß wir in allen v o r k o m m e n d e n Gleichungen niedrige P o t e n z e n v o n 1/A gegen höhere wegwerfen dürfen. D a n n ergibt sich aus den Gleichungen • ^ ^ = 0 ü b e r e i n s t i m m e n d :

Das ist die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung Ist φ eine L ö s u n g v o n (3), so s t e h e n die Flächen (4)

t -

φ{χ,

(28) von 5 . 110.

ζ) + const

d e s dreidimensionalen R a u m e s für die \'erschiedeaen Werte v o n t Licht­ wellen eines z u s a m m e n g e h ö r i g e n W e l l e n z u g e s dar. E s sind — im elementaren Sinne — ä q u i d i s t a n t e Flächen m i t einem g e m e i n s a m e n N o r m a l e n s y s t e m , w o b e i der längs einer solchen N o r m a l e n g e m e s s e n e A b s t a n d zweier, d e n W e r t e n t^ u n d t^ entsprechenden F l ä c h e n c Ιΐ^ — ί,Ι beträgt. D i e N o r m a l e n selbst n e n n e n wir die z u d e m W e l l e n z u g e g e ­ hörigen Lichtstrahlen. Sie sind die Projektionen der singulären g e o ­ dätischen Linien (der „Charakteristiken"), welche i m R ä u m e der X, y, z, t die Mannigfahigkeiten (4) überdecken. D a s wäre d a s W e r k z e u g der g e o m e t r i s c h e n Optik. U m zur vollen W e l l e n o p t i k z u k o m m e n , e n t n e h m e n wir der D i v e r g e n z b e d i n g u n g (1)

u n d berechnexi d a m m a c h der F o r m e l (14) S. 1 0 4 d e n elektrischen Vektor (X, Y, Z) u n d d e n m a g n e t i s c h e n Vektor (L, Af, N). W i r finden:

(6)

(7,

X=lψΓ^°""•{c,+

c,^)

^.^^«'^"-'.(.¾-,.¾)

H i e r a u s als identische Folgerung (8)

^ ¾ + ^ ^ ¾ + ^ ¾ = «

u n d v e r m ö g e (ö) e b e n s o : (9)

usw.

124

2. K a p . Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

D i e m a g n e t i s c h e , w i e die elektrische Schwingung, sind also beide zur Wellenfläche tangential. Ferner: (10)

Z L + YM

+ ZN

= 0;

die zweierlei S c h w i n g u n g e n s t e h e n aufeinander senkrecht. E n d h c h berechnen w i r n o c h : {U)

X 2 + Y 2 + z ^ ^ L ^ + M^+m==---^{cl

+ 4 + cl~^)e

'

^\

woraus sich n a c h (48), S. 100 für d i e spezifische Energie d e s F e l d e s ergibt:

D e r P o y n t i n g - V e k t o r aber ((48) ebenda), der w e g e n (9), (10) längs d e s Lichtstrahls u n d natürlich i m Sinne der fortschreitenden WeUenbeweg u n g gelegen i s t , b e k o m m t d i e L ä n g e :

(13)

Ii

+

+

J).'^""".

AUes dies i s t einfach g e n u g ; i c h führe gern a n , d a ß i c h auf d e n g e n a u e n Grenzübergang, der v o n (1) z u (3) führt, erst v o n D e b y e aufmerksam gemacht worden bin.

C. V o n d e r A n p a s s u n g d e r M e c h a n i k a n d i e Relativitätstheorie der Lorentzgruppe. N a c h d e m wir die Lorentzgruppe für sich u n d i n ihren grundlegenden B e d e u t u n g für die E l e k t r o d y n a m i k einigermaßen h a b e n kennen lernen, wird e s sich d a r u m h a n d e l n , d i e klassische Mechanik, die n a c h unseren D a r l e g u n g e n unter A . d e m R e l a t i v i t ä t s p r i n z i p der Galilei-Newton-Gruppe a n g e p a ß t i s t , s o u m z u f o r m e n , d a ß s i e sich d e m R e l a t i v i t ä t s p r i n z i p der Lorentzgruppe einfügt. D i e theoretische Möghchkeit hierfür h e g t darin, d a ß die Lorentzgruppe, w i e schon erwähnt, für c -> oo i n die GalileiN e w t o n - G r u p p e übergeht.

§ 1 . D e r Grenzübergang v o n der Lorentzgruppe z u r Galilei-Newton-Gruppe. Man pflegt d e n Ü b e r g a n g z u r G a l ü e i - N e w t o n - G r u p p e g e w ö h n h c h a n d i e spezielle Lorentztransformation a n z u k n ü p f e n , d i e w i r oben (S. 72) s o schrieben:

C § 1. Der Grenzübergang von der Lorentz- zur Galilei-Newton-Gruppe. S e t z t m a n n ä m l i c h hier cq = ν u n d vernachlässigt die T e r m e

125 und

, so b e k o m m t m a n : (1)

^' = ^ + t;^,

y = y ,

/

=

z,

w a s eine S u b s t i t u t i o n der G a h l e i - N e w t o n - G r u p p e ist. Man m ü ß t e hier a n s c h h e ß e n d n u n einen entsprechenden Grenzübergang für ein voUes S y s t e m erzeugender Operationen der Lorentzgruppe m a c h e n . W i r hier k ö n n e n alle solche B e t r a c h t u n g e n beiseite lassen, i n d e m wir u n s darauf berufen, d a ß a u s der i n d e p e n d e n t e n Darstellung der Lorentzgruppe durch B i q n a t e r n i o n e n die G a h l e i - N e w t o n - G r u p p e hervorgeht, i n d e m m a n nicht = —

, sondern = O s e t z t ; vgl. die A n g a b e n v o n S. 87.

Hierbei wird, wie schon o b e n (S. 56) ausgesprochen, die GIQ der v i e r ­ d i m e n s i o n a l e n W e l t i m p r i m i t i v , i n d e m sich bei ihr die Mannigfaltigkeiten (2)

t = const

nur m e h r untereinander vertauschen. D i e früheren, durch dx^ + · · · — dt^ = O g e g e b e n e n ,,Mongeschen K e g e F ' g e h e n dabei i n die diesen Mannigfaltigkeiten angehörigen doppeltgezählten E l e m e n t e dt^ = 0 über. D a m i t ändert die ,,affine'' M a ß b e s t i m m u n g der Lorentzgruppe durchaus ihren Charakter. D i e Gleichung des „ f u n d a m e n t a l e n E U i p s o i d s " in E b e n e n k o o r d i n a t e n , die n a c h S. 105 die Gestalt h a t t e :

g e h t n u n i n die quadratische Gleichung v o n doppelt v e r s c h w i n d e n d e r D e t e r m i n a n t e (vom R a n g e 3 über): (3)

vl^vl

+

vl^O.

I n P u n k t k o o r d i n a t e n verlangt dies ausgeartete Gebilde z u seiner D a r ­ stellung n i c h t weniger als 3 Gleichungen:

(4)

^4

= 0,

i! + li + li = o,

ξ, = 0,

es ist n i c h t s anderes als der K u g e l k r e i s der g e w ö h n l i c h e n dreidimensio­ n a l e n m e t r i s c h e n Geometrie, aufgefaßt als ein Gebilde der v i e r d i m e n s i o ­ nalen Welt.

D e r Ausdruck für den zeithch g e n o m m e n e n

„Abstand"

zweier E l e m e n t e :

]/(,._,)•-<'.-'• + '^;:>·'·+".-^ degeneriert j e t z t z u (5) u n d nur, w e n n

h~tQ, —verschwindet,

wird der i m g e w ö h n h c h e n Sinne

d e n A b s t a n d bezeichnende A u s d r u c k : (6) ]'{x-xo)' + eine invariante B e d e u t u n g b e h a l t e n .

{yi-yo?+~(z,-ZQy

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

126

D i e Vorstellung v o n W e l t l i n i e n , welche d a s vierdimensionale K o n ­ t i n u u m der X, y, z, t durchfurchen u n d dabei einen b e s t i m m t e n F o r t schreitungssinn h a b e n , k ö n n e n w i r n a t ü r h c h festhalten. D a s E l e m e n t

wird einfach dt, s o d a ß z w i s c h e n der „ E i g e n z e i t " eines materiellen P u n k t e s u n d der „Zeit s c h l e c h t h i n " kein U n t e r s c h i e d m e h r z u m a c h e n ist. A n SteUe d e s „ R i c h t u n g s v e k t o r s " der Weltlinie (S. 108), n ä m h c h X, y, z, i, tritt n u n

If. If. >.

C)

an SteUe ihres K r ü m m u n g s v e k t o r s x, y, z, t (ebenda)

S' S- 0 .

(8)

I c h h a b e b e i diesen A n g a b e n d i e gewöhnliche DarsteUung bereits s o u m g e f o r m t , d a ß i c h d i e der Lorentzgruppe entsprechenden s y m m e t r i ­ schen Begriffsbildungen voranstellte. D i e s scheint m i r b e q u e m e r a l s d a s u m g e k e h r t e Verfahren, v o n den traditioneUen Begriffen ausgehend jeweils a d h o c d i e richtige Lorentzformel z u suchen^). 1) Vielleicht darf ich den Gegensatz noch genauer an dem skalaren Begriff des Krümmungsradius erläutern: Hierfür gab ich auf S. 108 bereits die Formel: (9) (die Dimension dieses ρ ist die einer „Zeit", und es wird für eine zeitartige Welt­ linie reell). Als Parameter aber, nach dem differenziert wird, ist die der Weltlmie zugehörige „Eigenzeit" genommen. Fuhrt man statt ihrer irgend einen anderen Parameter ein und bezeichnet die nach ihm genommenen Differentialquotienten der X, y, z, t vorübergehend durch Akzente, so ist (9) durch die allgemeinere Formel 1

^2-|-/^2_|./^2_g2^^^2) 11 (X'X''^ y'y^*Jr^'z--d^ Vr) - {x'^^y'^J^z'^-c^ η (X^'

(die sich im Falle der Eigenzeit auf (9) reduziert). Wir wollen nun das Koordinaten­ system X, y, z, t insbesondere so wählen, daß wir die Tangente der Weltlmie an der gerade betrachteten Stelle als ^Achse nehmen und damit x', y\ z' als O vor­ setzen (also auf ,,Ruhe transformieren", wie wir es S 96 mit Minkowski nannten). Das Koordinatensystem mag ferner u m die ^Achse so gedreht werden, daß auch x", gleich Null sind. Endlich soll als Parameter der Weltlinie das t des so eingeführten Koordinatensystems selbst gewählt werden. Dies gibt:

Aus Formel (10) wird aber (U)

-i- =

^ ? i

C. § 2. Dynamik eines Massenpunktes.

127

§ 2· Dynamik eines Massenpunktes. D i e D y n a m i k des einzelnen Massenpunktes entwickeln wir g e n a u so, wie es schon S. 96 bei der Einwirkung eines elektromagnetischen F e l d e s auf ein Elektron geschah, i n d e m wir nämlich d e m P u n k t e eine skalare Masse m beilegen, v o n einer auf ihn wirkenden „Viererkraft" P^, P^, P^, reden, die ein kogredienter^) Vektor sein soll, u n d (1)

m'x = P^,

setzen.

my = Py,

mz = P,,

mt =

P,

D a die Gleichung gilt xx + yy + zz-cH'.

=

0,

m ü s s e n wir die K r a f t k o m p o n e n t e stets der entsprechenden B e d i n g u n g (2)

iP^

+ yPy + zP. — c^tP^ == O

unterworfen d e n k e n : D i e Viererkraft steht also immer (im Sinne unserer M a ß b e s t i m m u n g ) auf d e m R i c h t u n g s v e k t o r des Massenpunktes senkrecht. Wir werden der Gleichung (2) identisch g e n ü g e n , i n d e m wir, unter A u f n a h m e des b e i m Elektron geltenden A n s a t z e s (S. 97), jetzt rein formal 6 Größen, X, Y, Z, L , M , N einführen, die nur noch v o n den X, y, z, t des Massenpunktes a b h ä n g e n : - Ny

+

Xt

-+Yt (3)

P^ =

hl:zJ^^z^

^^^Xx+Yy+Zz Insbesondere werden wir v o n einem Viererpotential reden, w e n n wir diese 6 Größen, w i e damals, als Großrotation eines Vierervektors darstellen können. B e i Zugrundelegung der x, y, z, t schreiben sich die betreffenden F o r m e l n , wie schon auf S. 104 a n g e g e b e n , s o : ^

\dq,

Idq,

v__ldqy

)-^"T"ä7-" .

^ - T l l - ' T

U-lf-t.

«=M.

I 8 q, dy'

7 _ i_ ^ C dt--

^=¾-¾

1 ^ ?i cTz

•

Hier ist ^ das, was Minkowski die Ruhebeschleunigung des gerade betrachteten materiellen Punktes nannte. Dieser Ausdruck ist dann von vielen Autoren aufgenommen worden. Mir scheint es viel überzeugender, die Formel (9) bzw. (10) voranzustellen. 1) Zu dieser Terminologie vgl. Note 1 S. 167. (H.)

128

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

E s scheint aber v o n vornherein keine N o t w e n d i g k e i t vorzuhegen, diese qx> qy> <Ιζ> qt auch n o c h , w i e i m FaUe der MaxweUschen Gleichungen, den B e d i n g u n g e n [2qi = 0 , D i v ^ = O zu unterwerfen. I m übrigen k ö n n e n wir die A n s ä t z e (3), (4), w i e auf S. 97, zu e i n e m „ H a m i l t o n s c h e n Prinzip" zusammenfassen (5)

(5 J (¾^

{CH^ - i 2 _ y'2 _ ;j2) + (tp^ ^^p^j^yp^j^

zP,))

- O,

auch diejenigen Modifikationen anschließen, v o n denen damals die R e d e war. D a s W i c h t i g s t e bei diesen A n s ä t z e n ist jedenfalls das Auftreten v o n 4 koordinierten B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n (1) nebeneinander. N e n n e n wir (6)

mx,

die 4 Impulskomponenten, herauslesen:

my,

mz,

ml

so k ö n n e n wir aus (1) die 4 I m p u l s s ä t z e

(7) d{mx)=P^dr, d{my)=P,dx, d{mz)=P,dr, d(mi)=P^dx u n d in i h n e n den g e n a u e n Ausdruck für das in unserer Mechanik geltende Trägheitsprinzip erblicken. D i e drei ersten dieser Sätze entsprechen natürlich den 3 I m p u l s s ä t z e n der g e w ö h n l i c h e n Mechanik; es ist n u n h ö c h s t b e m e r k e n s w e r t , d a ß der vierte b e i m Grenzübergang zur g e w ö h n l i c h e n Mechanik direkt den Satz der lebendigen Kraft hefert; dam i t wird die Zusammengehörigkeit des letzteren m i t den üblichen I m pulssätzen, v o n der wir s c h o n o b e n S. 57 g e h a n d e l t h a b e n , aus einer natürlichen Quelle g e w o n n e n . D i e R e c h n u n g verläuft g a n z einfach. Schreiben wir unseren n e u e n (vierten) I m p u l s s a t z s o :

(wo X, y, z, w i e bisher, - ^ , - ~ , ~ä'^i'Tt

u n d x\ y \ z' i m Gegensatz

dazu

^e<^^uten soUen; es ist bei der U m s e t z u n g nur v o n der B e -

z i e h u n g dx^ = df^ —

+

y -f dz

Qg|^j.^^^j^ g e m a c h t ) . Lassen wir bei

den Quadratwurzeln n u n m e h r R e i h e n e n t w i c k l u n g e n P l a t z greifen, so ergibt sich: (9)

di^^^""'^'-^'"^+"

')=^{PJx

+ Pydy

+ PJz)

(1+

···)•

H i e r n u n werden die s ä m t l i c h e n m i t . . . a n g e d e u t e t e n Glieder b e i m Grenzübergang z u c = oo wegfallen, w ä h r e n d x, y, ζ in x\ y, z' übergehen, s o daß in der T a t der g e w ö h n h c h e S a t z der lebendigen Kraft (10)

d {^iS^l±^l±£^

herauskommt.

^P^dx

+ P,dy

+

P,dz

C § 3. Zur Theorie des starren Körpers.

129

D i e gleiche Koordinierung der 3 I m p u l s s ä t z e m i t d e m Energiesatz war uns i m Gebiet der Maxwellschen Gleichungen bereits auf S. 101 entgegen getreten. Für die geschichtliche Auffassung der Mechanik aber ergibt sich ein merkwürdiges Resultat. E s ist zwei Jahrhunderte her, daß zwischen den Cartesianern u n d den Leibnizianern der lebhafteste Streit t o b t e , o b die „ Q u a n t i t ä t der B e w e g u n g " oder „die lebendige Kraft'' der w i c h ­ tigere Grundbegriff sei, o b also, in moderner W e i s e ausgedrückt, die Impulssätze oder der Energiesatz den Vorrang h a b e n . J e t z t lernen v i r , daß überhaupt kein Gegenstand des Streites da war, d a ß vielmehr die beiden Gegner dieselbe Sache, nur v o n verschiedenem S t a n d p u n k t aus, vor A u g e n h a t t e n .

§ 3. Zur Theorie des starren Körpers. D i e große Rolle, welche der Begriff des starren Körpers in der klas­ sischen Mechanik spielt, braucht nicht weiter b e t o n t z u werden. E s lag also nahe, diesen Begriff irgendwie auf die Lorentzmechanik z u über­ tragen. Für m a n c h e n Physiker scheint es hinterher aUerdings fast selbstverständlich, daß kein rechtes A n a l o g o n gefunden werden k o n n t e , weU m a n doch m i t d e m Begriff der Starrheit die Idee instantaner Kraftübertragung i m Innern des Körpers verbindet, w a s m i t d e m Rela­ tivitätsprinzip der Lorentzgruppe unvereinbar scheint. D i e Schwierig­ keit der Übertragung b e g i n n t aber nicht erst bei der Einführung des Kraftbegriffs, sondern liegt bereits in den k i n e m a t i s c h e n Verhältnissen. E s scheint mir nützlich, dies klarzustellen u n d dabei auch den Ver­ suchen, welche die Aufstellung eines A n a l o g o n s b e z w e c k t e n , i m Einzel­ nen nachzugehen. Der starre Körper der klassischen Mechanik ist ein Aggregat v o n Anfang an gleichzeitiger P u n k t e , das irgendwelchen G a h l e i - N e w t o n Transformationen unterworfen werden k a n n . D i e Zahl dieser Trans­ formationen ist, w i e wir wissen, co^^, aber in der v o r a u s g e s e t z t e n Gleich­ zeitigkeit der Ausgangslagen seiner P u n k t e liegt, daß der zugrunde ge­ legte starre Körper in der vierdimensionalen W e l t x, y, z, t doch nur 007 Lagen a n n i m m t . In der T a t ziehen sich die in den bezüglichen S u b ­ stitutionsformeln (II, S. 54) v o r k o m m e n d e n 3 A g g r e g a t e :

für P u n k t e , welche v o n H a u s e aus dasselbe t h a b e n , auf dieselben 3 Einzelterme z u s a m m e n . E s k o m m t dies darauf hinaus, d a ß die Mannig­ faltigkeit (1)

t =

Klein, Entwicklung der Mathematik. 11.

9

130

2. K a p . Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

bei d e n dreifach u n e n d h c h v i e l e n

Galilei-Newton-Transformationen

(2)

p u n k t w e i s e u n g e ä n d e r t bleibt. — I n d e m m a n die Zeit t n i c h t weiter m i t z ä h l t , drückt m a n die hiermit berührte T a t s a c h e in der traditio­ neUen Mechanik g e w ö h n l i c h d a h i n aus, d a ß der starre Körper 6 Grade der Freüieit b e s i t z t . N u n ist a priori klar, d a ß b e i der Lorentzgruppe hierzu kein u n ­ mittelbares A n a l o g o n existiert. D e n n eine S u b s t i t u t i o n , w e l c h e die Mannigfaltigkeit (1) p u n k t w e i s e u n g e ä n d e r t läßt, ist n o t w e n d i g e r w e i s e v o n der F o r m ^ geht d o c h a u c h (1) b e i b e l i e b i g e n L o r e n t z ­ transformationen i n oo^Lagen (3) a^x + ß^y + γ^ζ + + C4 = 0 über. W o l l t e n wir d e n starren Körper als irgend ein i n (1) oder i n (3) gelegenes P u n k t s y s t e m definieren, auf das sämtliche Lorentzsubstitutionen angewandt werden sollen, so w ü r d e er i n der W e l t x, y, z, t n o t w e n d i g e r w e i s e oo^® v e r s c h i e d e n e L a g e n a n n e h m e n . — D i e Sachlage ist also gründlich verschieden u n d es ist n u r n o c h die Frage, o b wir die auf den einzelnen starren Körper a u s z u ü b e n d e n L o r e n t z s u b s t i t u t i o n e n n i c h t doch n o c h e i n s c h r ä n k e n d e n B e d i n g u n g e n unterwerfen k ö n n e n , welche für die K i n e m a t i k i m engeren Sinne eine g e w i s s e Analogie aufrechterhalten. I n der , , K i n e m a t i k i m engeren S i n n e " b e t r a c h t e t m a n Scharen v o n OO1 L a g e n , w e l c h e e i n starrer Körper n a c h e i n a n d e r a n n e h m e n kann. U m hierfür ein p l a s t i s c h e s B i l d z u h a b e n , woUen wir die W e l t ­ linien b e t r a c h t e n , w e l c h e die einzelnen P u n k t e des starren Körpers bei einer solchen „ B e w e g u n g " beschreiben. I n F i g u r 1 s i n d u n t e r der vereinfachenden A n n a h m e , d a ß alle d i e s e W e l t l i n i e n i n der x, ^ E b e n e liegen, zwei solche W e l t l i n i e n eingetragen. D a n n ist o h n e w e i t e r e s klar — wir sind bei der Galilei-Newton-Gruppe — , daß sie w e g e n der Starrheit des Körpers in horizontaler R i c h t u n g g e ­ m e s s e n ä q u i d i s t a n t s i n d , i m d d a ß diese Ä q u i d i s t a n z die einzige B e ­ d i n g u n g ist, der sie g e n ü g e n m ü s s e n . D i e s k a n n m a n n u n in einer g e ­ w i s s e n k ü n s t h c h e n F o r m a u s d r ü c k e n , welche eine VeraUgemeinerung g e s t a t t e t . I n der W e l t x, y, z, t der Lorentzgruppe wird m a n irgend 2 R i c h t u n g e n orthogonal n e n n e n , w e n n die B e d i n g u n g : dxd'x ^dyd'y -^-dzd'z (4)

C. § 3. Zur Theorie des starren Körpers. erfüllt ist.

131

D i e s geht für c = oo in die triviale Gleichung über: dtd't

= 0

(wie a u c h geometrisch klar ist, w e n n m a n die Mongeschen K e g e l der L o r e n t z w e l t i n die d o p p e h z ä h l e n d e n E b e n e n t = der G a h l e i - N e w t o n WeIt ü b e r g e h e n läßt). I n letzterer k a n n m a n also zwei R i c h t u n g e n z u ­ einander orthogonal n e n n e n , w e n n längs der einen t = const ist (wenn die eine i n der Figur horizontal verläuft). W i r werden i m Sinne dieser Ausdrucksweise sagen dürfen, d a ß i m G a h l e i - N e w t o n - F a l l e die Weltlinien irgend zweier P u n k t e eines starren Körpers orthogonal äquidistant sind ^). D i e s e Formulierung ist zwar in h o h e m Grade willkürlich, aber m a n h a t a n sie a n g e k n ü p f t , u m die B e w e g l i c h k e i t d e s starren Körpers für d e n F a ü der Lorentzgruppe z u definieren. So ist es z u n ä c h s t v o n B o r n 1909 g e s c h e h e n (Ann. d. P h y s . [4] 30) u n d es s i n d d a n n v o n E h r e n f e s t (Physikalische Zeitschr. X , 1909), H e r g l o t z u n d F r i t z N o e t h e r (Ann. d. P h y s . [4] 3 1 , 1910) aus d i e s e m B o m s c h e n A n s ä t z e die n ä h e r e n K o n s e q u e n z e n gezogen w o r d e n . Sollen die W e l t l i n i e n der P u n k t e e i n e s starren Körpers auch i m Lorentzfahe ,,normal äquidistant'* sein, so sind, w i e insbesondere H e r g l o t z zeigt, für die B e w e g u n g d e s starren Körpers n o c h z w e i Fälle m ö g h c h : (a) D i e R e i h e der u n e n d h c h vielen Ortsänderungen i n der vier­ dimensionalen W e l t b e s t e h t a u s den W i e d e r h o l u n g e n einer u n d derselben infinitesimalen Lorentztransformation. (b) D i e W e l t l i n i e n der verschiedenen P u n k t e d e s starren Körpers treten i n Jedem A u g e n b h c k e senkrecht a u s der i h n t r a g e n d e n linearen Mannigfaltigkeit hervor. A d (a) dürfen wir als Beispiel die S c h r a u b e n b e w e g u n g a n s e t z e n : ^;' = c o s i O ' A ; - - s i n i O ' y , y ' = sin ω - Λ ; + c o s ω • y , [ω ein Parameter.)

(6) t' =

t.

F ü r die dreidimensionale Auffassung ,,rotiert" d a n n der starre Körper m i t k o n s t a n t e r Geschwindigkeit u m die Achse (an deren Stelle m a n durch Koordinatentransformation natürlich eine beliebige Gerade s e t z e n kann). E i n e b e s c h l e u n i g t e R o t a t i o n d a g e g e n , also auch eine v o n der 1) Der Winkel, deh die Welthnien des starren Körpers im Galilei-Newton-Falle mit den Mannigfaltigkeiten ί = const bilden, muß keineswegs = gesetzt, sondern kann beliebig angenommen werden. Denn der für die Lorentzgruppe geltende Ausdruck des Winkels zweier Fortschreitungsrichtungen: c^dtd't-dx d'x - dy d'y - dzd'z

wird für c =

132

2. K a p . Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

R u h e b e g i n n e n d e , würde unser starrer Körper nicht ausführen k ö n n e n , weil die Weltlinien seiner P u n k t e , Schraubenhnien v o n wechselnder Steighöhe, normal nicht äquidistant sein k ö n n e n (wie m a n durch Nachrechnen bestätigt). Mehr Interesse hat der FaU (b) gefunden, den wir N o r m a l e n ­ b e w e g u n g n e n n e n woUen. T r o t z d e m dadurch gewisse F e i n h e i t e n verwischt w e r d e n , woUen wir u n s z u seiner B e h a n d l u n g wieder der „orthogonalen" Koordinaten Z, I = ict b e d i e n e n u n d u n s s o ausdrücken b z w . die Figuren so zeichnen, als w e n n diese Größen reell wären. Figur 2 m a g wieder den F a l l erläutern, w o y u n d Z k o n s t a n t sind. D i e Zeichenebene ist also die x, / - E b e n e . D i e Weltlinien der ein­ zelnen P u n k t e des starren Körpers erscheinen d a n n als orthogonale Trajektorien irgend einer Geradenschar, d. h. sie sind die z u einer vorgegebenen E v o l u t e gehörigen E v o l v e n t e n . W a s die Mannigfaltigkeit v o n (a) u n d (b) angeht, so gibt es nur cx)io B e w e g u n g e n (a) — w e ü d o c h durch die zugrundegelegte infinitesimale Transformation der Lorentzgruppe der ganze Verlauf der B e w e g u n g b e s t i m m t i s t ; — i m Falle der N o r m a l e n b e w e g u n g aber ist die B e w e g u n g festgelegt, w e n n die Weltlinie eines beliebigen P u n k t e s des starren Körpers beliebig v o r g e g e b e n ist. U m dies einzusehen, werde wieder eine Figur, dieses Mal im R a u m der x, y, I b e t r a c h t e t (Figur 3). W i r h a b e n erstlich die Weltlinie P , P ' , P " , d a n n als N o r m a l e b e n e n z u ihr die hnearen Mannigfaltigkeiten (3), w e l c h e die P u n k t e d e s starren Körpers tragen. Alle anderen W e l t h n i e n (und d a m i t die ganze B e w e g u n g des starren Körpers) ergeben sich d a n n eindeutig als normale Trajektorien der d a m i t g e g e b e n e n Schar linearer Mannigfaltigkeiten. H i e r m i t ist die „ N o r m a l b e w e g u n g ' ' in ihrem aUgemeinen Charakter f e s t g e l e g t ; wir woUen n o c h ihre infinitesimalen Transformationen u n d d a n n die v o n ihnen erzeugten endlichen Transformationen b e t r a c h t e n . Mögen wir die i n s t a n t a n e Lage d e s starren Körpers innerhalb I = O n e h m e n . Jeder P u n k t des starren Körpers soU n u n aus / = O senkrecht hervortreten, es soU also für ihn δχ = 0, δy = 0, δζ = 0 sein. Mithin l a u t e t die infinitesimale Transformation (wenn wir gleich dafür sorgen, d a ß es eine orthogonale Transformation w i r d ) :

C. § 3. Zur Theorie des starren Korpers.

(7)

ζ'=

133

0 +

0 +

0+

y+

Ο + δε^'Ι +

Ο,

0 +

0 +

ζ + δε^^

Ο,

%+

V =-^δε^'X-~δε^'y-δε^^z+

+

+ Ι+

δζ^,

D a hier 4 infinitesimale I n k r e m e n t e {δε^ δε^, δ ε^, δζ^ zur Verfügung s t e h e n , werden wir s a g e n : Der starre Köper b e s i t z t i m FaUe (b) i m Unendlichkleinen 3 Freiheitsgrade. E s h e g t n u n der F e h l s c h l u ß nahe, d a ß der starre Körper i m E n d l i c h e n nur oo* Lagen a n ­ n e h m e n könne. D e m ist aber nicht so. Viel­ mehr k a n n er alle durch Lorentztransforma­ tionen herstellbaren Lagen erreichen. D a ich diesen P u n k t in der Literatur nicht besonders b e h a n d e l t finde, wiU ich e t w a s näher darauf eingehen u n d knüpfe dabei an Figur 4 an. Ich sage z u n ä c h s t : ich kann (durch eine N o r m a l e n b e w e g u n g ) jeden P u n k t P v o n Z = O in j e d e m P u n k t P' u n d gleichzeitig die durch P hindurchgehende „ E b e n e " Z = O in jede durch P' gehende E b e n e E' überführen. Zu diesem Zweck habe ich nur durch P irgendeine gegen Z = O senkrechte K u r v e z u ziehen — welche in P' senkrecht gegen E' m ü n d e t — u n d diese K u r v e als WeUlinie v o n P zu n e h m e n . Aber noch m e h r ! Ich kann bei ^ Fig. 5. der großen Willkür in der W a h l der Kurve P P ' a u c h noch j edes durch P i n n e r h a l b Z = O laufende A z i m u t in jedesdurch P' in der E b e n e E' laufende A z i m u t überführen (was in der Figur durch die kleinen, den P u n k t e n P u n d P' beigesetzen Pfeile a n g e d e u t e t sein soU). U m das zu zeigen, g e n ü g t es nachzuweisen, d a ß b e i festgehaUenem P die E b e n e I = O durch eine R e i h e v o n N o r m a l e n b e w e g u n g e n schließlich in sich selbst u m einen beliebigen W i n k e l verdreht werden kann. Man b e t r a c h t e , u m d a s e i n z u s e h e n , Figur 5. G e m e i n t i s t : Man drehe d i e E b e n e I = O zunächst u m die R i c h t u n g d e s A u s g a n g s a z i m u t s PA als Achse, b i s sie auf ihrer ursprünglichen Lage senkrecht s t e h t , bringe sie v o n da aus durch D r e h u n g u m die N o r m a l e PA' ihrer ur­ sprünglichen Lage in der R i c h t u n g des neuen A z i m u t s PA" u n d lege sie durch abermalige D r e h u n g u m 90^, j e t z t u m die Achse PA", derart in ihrer Anfangslage I = O zurück, d a ß sie m i t dieser gleichstimmig zu­ sammenfällt. D a ß die Zahl der Freiheitsgrade im E n d l i c h e n solcherweise m i t der i m U n e n d l i c h k l e i n e n nicht s t i m m t , darf nicht überraschen. In seiner

134

2. Kap. Spezielle Relativitätstheorie in Mechanik und Physik.

nachgelassenen Mechanik (1. c. S. 68) h a t H e r t z E n t s p r e c h e n d e s aus­ führlich für die auf fester U n t e r l a g e rollende K u g e l auseinandergesetzt. Sie h a t nur 3 Freiheitsgrade i m Unendlichkleinen, 5 i m E n d l i c h e n . H e r t z h a t für dieses Verhalten den Terminus g e p r ä g t , daß die B e ­ dingungen, welche die B e w e g l i c h k e i t der K u g e l i m einschränken, n i c h t ,,holonom"

seien.

Unendlichkleinen

Schließlich ist die Sache d e m

Mathematiker, der sich m i t der Theorie des Pfaffschen P r o b l e m s b e ­ schäftigt h a t , w o h l b e k a n n t .

B e d i n g e ich (um b e i m einfachsten FaUe

v o n 3 Variablen zu bleiben) Xdx+Ydy+

ZdZ = O,

so ist der P u n k t x, y, ζ durch diese B e d i n g u n g nur d a n n an eine b e ­ s t i m m t e F l ä c h e F = const g e b u n d e n , w e n n sich die linke Seite durch Multiplikation m i t irgendeinem M in die Gestalt df setzen läßt, w a s die Bedingung

erfordert; andernfalls k a n n unser P u n k t noch an jede behebige SteUe des R a u m e s gebracht werden. Resümieren wir, so h a t auch die m i t der A n n a h m e der Lorentzgruppe verträgliche z w e i t e Möglichkeit für die B e w e g u n g eines starren Körpers, die „ N o r m a l e n b e w e g u n g " , m i t derjenigen, die i m Falle der GalileiN e w t o n - G r u p p e auftritt, w e n i g Ähnlichkeit. U m w e n i g s t e n s i m U n ­ endlichkleinen die Ü b e r e i n s t i m m u n g zu sichern, h a t B o r n 1910 in den Göttinger N a c h r i c h t e n einen anderen Vorschlag g e m a c h t , der sich e t w a so formulieren l ä ß t : „ J e d e r starre Körper besitzt einen Zentralpunkt P^, dessen W e l t ­ linie s t e t s senkrecht auf der linearen Mannigfaltigkeit (3) s t e h t , welche den starren Körper e n t h ä l t . U m diesen P u n k t aber k a n n sich der starre Körper innerhalb dieser Mannigfaltigkeit behebig drehen." D i e s e Definition würde also, w e n n wir wieder m i t der linearen Mannig­ faltigkeit I = O b e g i n n e n , die infinitesimale Transformation m i t 7 u n ­ endlich kleinen I n k r e m e n t e n zulassen: x'^

X+

δχ-γ-διρ-ζ

γ = - δ χ · χ + ζ'=

δψ-χ

ί'=

— δε^·χ-~

y+

+ δε^-ί δψ'Ζ+δε^'ί

— δφ-y+ δε^'y—δε^^z+

ζ + δε^'ί

+ + +

Ο, Ο, Ο, t+δξ^.

D i e P a r a d o x i e n sind d a m i t aber nicht aus der W e l t geschafft; d e n n i m E n d l i c h e n b e h ä l t der Körper g e w i ß seine F ä h i g k e i t , die er s c h o n vorher b e s a ß , OQiO L a g e n a n z u n e h m e n . E s ist mir n i c h t b e k a n n t , d a ß j e m a n d diesen A n s a t z weiter verfolgt h ä t t e . D i e allgemeine Auffassung ist w o h l i m m e r mehr die g e w o r d e n , d a ß m a n den Begriff des starren Körpers, den n o c h H e r t z z u m F u n d a -

Schlußbemerkung. Erläuterungen.

135

m e n t seiner Mechanik m a c h e n w o h t e , in der Lorentzmechanik kurzer H a n d beiseite lassen soll. Man sieht, welche Änderungen unsere p h y s i k a ­ lischen Grundanschauungen erleiden.

Schlußbemerkung. D i e letzten Paragraphen zeigen, daß in der Lorentzmechanik doch mancherlei anders zu fassen ist, als in der klassischen Theorie. Überall da, aber auch nur da, wird ein prinzipieller Unterschied eintreten, w o in der letzteren die Vorstellung zeitloser Ü b e r t r a g u n g grundlegend ist. D e s h a l b läßt sich die Mechanik der K o n t i n u a der Lorentzgruppe u n ­ mittelbar anpassen. Ich m u ß mich aber hier darauf beschränken, dieserhalb erneut auf die wichtige Arbeit v o n H e r g l o t z über E l a s t i ­ zitätstheorie (Ann. d. P h y s . [4], 36, 1911) zu verweisen. W i r selbst m ü s s e n u n s , d e m Zweck dieser Darstellung e n t s p r e c h e n d , auf die e l e m e n t a r e n A n f ä n g e der Mechanik beschränken (wie wir dies auch bei der E l e k t r o d y n a m i k g e t a n haben). Unser Ziel k a n n nicht sein, ein Lehrbuch der m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k zu ersetzen. Vielmehr h a n ­ delt es sich nur d a r u m , fühlbar zu m a c h e n , d a ß die Physiker die m a t h e m a t i s c h e n H i l f s m i t t e l , deren sie bei der Durchführung ihrer m o d e r n e n Spekulationen b e d ü r f e n , in der M a t h e m a t i k des 19. Jahr­ hunderts fertig ausgebildet vorfinden.

Erläuterungen z u m zweiten Kapitel. 1. S. 6 4 Z. 1 0 : Hier liegt ein i m Riccikalkül allgemein a n g e w a n d t e s Verfahren vor, das „ Ü b e r s c h i e b u n g " oder „ V e r j ü n g u n g " g e n a n n t wird (vgl. E d d i n g t o n 1. c. S. 205). 2. S. 67: D a ß die Gleichungen der Elektronentheorie nicht end­ gültig richtig sein k o n n t e n , folgt bereits aus der E x i s t e n z der Elektronen selbst, die nach den alten Feldgleichungen zunächst nicht zu verstehen ist. Man hat n u n v e r s u c h t , die Feldgleichungen so abzuändern, d a ß die E l e k t r o n e n als spezielle Lösungen aus ihnen herauskommen^) (Mie, E i n s t e i n , Hilbert, W e y l , E d d i n g t o n ) . J e d o c h erlangte m a n auf d i e s e m W e g e keine befriedigenden R e s u l t a t e . Inzwischen war aber die klas­ sische Elektronentheorie auch noch v o n einer anderen Seite her er­ schüttert worden, nämlich durch die E n t d e c k u n g der Quantenerschei­ n u n g e n (Planck, Einstein) u n d die daran anschließende Erforschung der Atomstruktur2) (insbesondere durch Bohr). Der A u s g a n g s p u n k t lag 1) Einen zusammenfassenden Bericht gibt W. Pauli jr. in seinem Artikel über Relativitätstheorie in der Enc. d. Math. Wiss. Bd. V (19), S. 749ff. Siehe ferner noch F. Jüttner: Math. Ann. Bd.87. 1922; A. Einstein: Berl. Ber. 1922—1924; S. A. Eddington: Relativitätstheorie. Berlin 1925. 2) Zusammenfassende Darstellungen: A. Sommerfeld: Atombau und Spektral­ linien, 4. Aufl. Braunschweig 1924; M. Born: Atommechanik. Berlin 1925.

136

3. Kap

Gruppen analytischer Punkttransformationen.

d a b e i allerdings weniger auf Seiten der E l e k t r o d y n a m i k als auf Seiten der klassischen Mechanik, welcher n o c h zusätzlich gewisse B e s c h r ä n ­ k u n g e n (die Q u a n t e n b e d m g u n g e n ) auferlegt wurden. I n neuester Zeit h a t endlich eine E n t w i c k l u n g der Quantentheorie b e g o n n e n , die sich eine einheitliche B e s c h r e i b u n g aller Strahlungs- u n d A t o m v o r g ä n g e z u m Ziele setzt (Heisenberg, B o r n , Jordan, Schrödinger, P a u h , D k a c ) . D a diese E n t w i c k l u n g sich n o c h i m F l u ß befindet u n d a u c h die Elektro­ d y n a m i k selbst vorläufig nicht vöUig m i t eingearbeitet ist, k a n n zur Zeit nicht z u s a m m e n f a s s e n d darüber referiert werden. 3. S. 8 3 Z. 4 : Schlußverfahren der ,,Quotientenregel". d i n g t e n (1. c. S. 205) S. 7 0 — 7 3 . 4.

Vgl. E d -

S. 8 3 Z. 1 2 : D i e A d d i t i o n v o n ^ ö ^ ^ ß ist erlaubt, w e ü ^d^j, Ω

ein z u m vorher a n g e g e b e n e n kogredienter Tensor ist. Vgl. A n m e r k u n g 4 z u m ersten K a p i t e l . 5. S. 90 Z. 8 v . u . : W ä r e n ä m l i c h a n einer Stelle

= O {i

=1,...,4)

nicht erfüht, so k ö n n t e m a n , ähnlich wie das b e i b e k a n n t e n Schlüssen der Variationsrechnung g e s c h i e h t , das Integrationsgebiet so u m die Stelle herumlegen, d a ß das Integral v o n NuU verschieden wird.

Drittes

Kapitel^).

Gruppen analytischer Punkttransformationen bei Zugrundelegung einer quadratischen Differentialform. A.

Die allgemeinen Lagrangeschen der kl assi schen

Gleichungen

Mechanik.

Vorbemerkung. Bisher b e t r a c h t e t e n wir n u r Gruppen linearer S u b s t i t u t i o n e n irgend­ welcher Veränderlicher Xi, ...,x^. U n s e r Fortschritt soU jetzt sein, d a ß wir Gruppen beliebiger S u b s t i t u t i o n e n : (1)

X^ = 9?i {y^ . ..yn),

· · ·, Χη=^ψη

{yi

"-yn)

1) Diegrundlegenden Arbeiten Sind: W. Heisenberg: Zeitschr.f.Phys.Bd.33,S.879. 1925; M. Born und P. Jordan: Zeitschr. f. Phys. Bd. 34, S. 858. 1925; Heisenberg, Born und Jordan: Zeitschr. f. Phys. Bd. 35, S. 557. 1926; M. Born: Zeitschr. f. Phys. Bd.40, S.167. 1926; Jordan: Zeitschr.f.Phys. Bd.40. S.809. 1927; E. Schrö­ dinger,: Verschiedene Arbeiten in den Ann. d. Phys., auch in Buchform: Ab­ handlungen zur Wellenmechanik. Ferner zahlreiche Abhandlungen von P. A. M. Dirac in Proc. of the roy. soc. of London. 2) Man vergleiche Anmerkung 1 am KapitelscHuß. (H.)

Vorbemerkung

137

ins A u g e fassen. I n d e m wir die Xi.. .Xn z u m e i s t als P u n k t k o o r d i n a t e n in e i n e m w-fach a u s g e d e h n t e n R ä u m e auffassen, sprechen wir kurzweg v o n P u n k t t r a n s f o r m a t i o n e n . E s s t e h t dabei frei, sich e n t w e d e r das K o o r d i n a t e n s y s t e m als fest und den R a u m b z w . die in i h m gelegenen Gebilde als transformierbar anzusehen, oder, wie es zunächst b e q u e m e r ist, den als fest und das K o o r d i n a t e n s y s t e m als veränderhch (so daß also die (1) eine ,,Koordinatentransformation" vorstellen). D i e Xi - . . Xn bzw. yi- - -yn denken wir uns dabei bis auf weiteres als reelle Größen und beschränken unsere B e t r a c h t u n g e n auf ein solches R a u m s t ü c k , innerhalb dessen die F u n k t i o n e n φ, die wir der E i n f a c h h e i t halber als a n a l y t i s c h v o r a u s s e t z e n werden, durchaus regulär verlaufen und eine nicht verschwindende F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e haben^). D i e Substitutionen (1) lassen sich dann innerhalb des uns interessierenden Bereiches eindeutig umkehren, der Gruppenbegriff also so fassen, d a ß in der Gruppe neben der Substitution (1) i m m e r auch die inverse auftritt. W ä h r e n d aber die Gruppen linearer S u b s t i t u t i o n e n , die wir früher b e t r a c h t e t e n , nur e n d h c h viel Parameter enthalten, werden es nunmehr, allgemein zu reden, unendhch viele sein. W i r werden die sogar z u m e i s t keinen anderen B e s c h r ä n k u n g e n unterwerfen, als den bereits voraufgeschickten; wir sprechen dann v o n der Gruppe aller Punkttransformationen und bezeichnen diese vielfach kurzweg als GooI m m e r h i n b e s t e h t m i t der Gruppe der linearen S u b s t i t u t i o n e n v o n η Veränderhchen der K o n t a k t , daß sich g e m ä ß (1) die Differentiale dXi h o m o g e n l i n e a r substituieren:

(2)

^-"=¾'^^^+···+¾:^^»· ebenso auch die Differentiationszeichen

die sich einfach zu (2) kon-

tragredient u m s e t z e n : dyi

dyi

dx, ~^

dyn

dyn dx^~^ '

~^ dy^ dx^

(3) "^äy„ dx,;

Hiermit ist der eigenthche A u s g a n g s p u n k t für alle folgenden B e t r a c h t u n g e n gegeben.

Überall knüpfen wir an die Invariantentheorie

der

l i n e a r e n S u b s t i t u t i o n e n an, w o b e i nur v o n vornherein b e a c h t e t w e r d e n m u ß , d a ß die D e t e r m i n a n t e der linearen S u b s t i t u t i o n (2) b z w . (3) — die F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e der χ nach den y — i m allgemeinen nicht, 1) Diese Beschränkungen werden weiterhin, wo nicht das Gegenteil gefordert wird, immer stillschweigend vorausgesetzt.

138

3 Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

w i e wir bisher g e w ö h n h c h v o n der S u b s t i t u t i o n s d e t e r m i n a n t e v o r a u s ­ s e t z t e n , gleich 1 sein wird. Als geeignete Objekte unserer invariantentheoretischen U n t e r ­ s u c h u n g erscheinen d e m e n t s p r e c h e n d neben irgendwelchen (analyti­ schen , in unserem Bereich eindeutigen) F u n k t i o n e n / (x-^...x„) in erster Linie Differentialformen (4a) oder auch

F [X^...X,',

dx,...dx,)

die in den Differentialen b z w . den Differentiationszeichen h o m o g e n (im einfachsten F a l l e rational, ganz u n d h o m o g e n ) sind — daneben d a n n allgemeinere F o r m e n , welche mehrere R e i h e n v o n Differentialen d'Xi, . . . , jede h o m o g e n , b z w . v o n Differentiationszeichen ^ r .

dx^, * '' >

jede R e i h e h o m o g e n , oder auch, in geeigneter H o m o g e n i t ä t , beiderlei A r t e n v o n S y m b o l e n nebeneinander e n t h a l t e n . N a t ü r l i c h ist es keineswegs unsere A b s i c h t , eine Invariantentheorie dieser F o r m e n b e i Zugrundelegung unserer Goo s y s t e m a t i s c h zu ent­ wickeln. Vielmehr beschränken wir uns auf solche v e r h ä l t n i s m ä ß i g einfachen A n s ä t z e , welche für die m a t h e m a t i s c h e P h y s i k v o n b e ­ sonderer B e d e u t u n g geworden sind. I n d e m wir ihren historischen W e r d e g a n g , w i e wir ihn auffassen, u n d ihre T r a g w e i t e in großen Zügen m ö g h c h s t eindringhch auseinandersetzen, hoffen wir auch für weitere Kreise e t w a s N ü t z h c h e s zu leisten. W i r w e n d e n u n s z u n ä c h s t nur zur B e t r a c h t u n g einer quadratischen Differentialform: (5)

einzelnen

Za,^dx,dx,,

(die a^^ „in u n s e r e m B e r e i c h e " e i n d e u t i g e , regulär verlaufende analy­ t i s c h e F u n k t i o n e n der x^. ..x^] die D e t e r m i n a n t e der a^y. e b e n d a v o n N u l l verschieden). Mit der so v o r a n g e s t e l l t e n B e s c h r ä n k u n g schließen wir ersichtlich an die B e t r a c h t u n g e n des vorigen K a p i t e l s an, für welche die besondere quadratische F o r m (6)

dx^+dy^

+

dz^-cHt^

f i m d a m e n t a l war. I n der T a t ist es eine unserer H a u p t absiebten, a u s ­ e i n a n d e r z u s e t z e n , w i e sich aus der an (6) a n k n ü p f e n d e n , auf die L o r e n t z g r u p p e b e z ü g h c h e n niederen („speziellen") R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e der m o d e r n e n P h y s i k e r in den l e t z t e n Jahren eine h ö h e r e („allge­ m e i n e " ) R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e e n t w i c k e l t h a t , welche eine allgemeinere q u a d r a t i s c h e Differentialform v o n 4 Veränderlichen zugrunde legt u n d als Gruppe die aller P u n k t t r a n s f o r m a t i o n e n heranzieht^). D a s 1) Das sollte ipi vierten Kapitel dieses Buchs geschehen, das Klein nicht mehr vollendet hat. (H.)

Α. § 1 Einführung der Lagrangeschen Gleichungen und ihrer Gruppe G«,.

139

Sachverhältnis ist wieder d i e s e s , daß der m a t h e m a t i s c h e Apparat hierfür in der H a u p t s a c h e seit l a n g e m ausgebildet vorlag u n d nur der I n a n s p r u c h n a h m e durch neue physikalische Ideenbildungen b e ­ durfte. U m dies klarzustellen, m ü s s e n wir m e h r als ein Jahrhundert zurückgehen, b i s zu der klassischen Formulierung, welche Lagrange der a n a l y t i s c h e n Mechanik in seinem F u n d a m e n t a l w e r k erteilt hat (Mocanique a n a l y t i q u e , 1. Auflage 1788).

§ 1. Einführung der Lagrangeschen Gleichungen und ihrer Gruppe Goo. W i r stellen nur die H a u p t p u n k t e , auf die es uns a n k o m m t , in knapper Aufzählung z u s a m m e n . D a b e i b e d i e n e n wir uns, w o es ange­ zeigt ist, moderner Terminologie, beschränken uns überhaupt nicht auf Lagranges eigene E n t w i c k l u n g e n . 1. D i e allgemeinen Lagrangeschen Gleichungen beziehen sich auf S y s t e m e irgendwelcher Massenpunkte yi,

(1)

Z,,

welche an irgendwelche

„Bedingungsgleichungen"

(2)

φ = 0, ¥^ = 0, · · ·

g e b u n d e n sein können derart, daß sich die χ y i , ζ^ innerhalb des B e ­ reiches, der u n s gerade interessiert, als reguläre analytische F u n k ­ tionen v o n η u n a b h ä n g i g e n Parametern (3) darsteHen l a s s e n . Auf den einzelnen P u n k t (1) soH eine Kraft m i t den K o m p o n e n t e n X^, Y^, Z^· w i r k e n ; gesucht werden die Differential­ gleichungen, denen unter diesen U m s t ä n d e n die ^ Ί · . als F u n k t i o n e n der Zeit t genügen. 2. D i e v o n Lagrange gegebenen F o r m e l n verlangen b e k a n n t h c h nur, d a ß m a n einerseits die l e b e n d i g e K r a f t des S y s t e m s :

(4)

r = i - Ä ( : . f + yf + if)

durch die q^, q^ ausdrückt, andererseits die A r b e i t , w e l c h e die Kräfte bei einer virtuellen Verrückung der Angriffspunkte leisten, also (5) in ZPoL^qoL einfach:

Σ

{Xi^Xi

umrechnet.

OA=

Die

+ Y^δyi

+ Ζ , δζ,)

Bewegungsgleichungen

werden

dann

3. U m die außerordenthche Tragweite dieser Gleichungen a b z u ­ s c h ä t z e n , m u ß m a n sich klarmachen (was bei Lagrange merkwürdiger-

140

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

w e i s e n i c h t ansdrtickhch h e r v o r g e h o b e n ist, w a s aber i m A n s c h l u ß an L a g r a n g e i m m e r m e h r oder m i n d e r b e k a n n t g e w e s e n i s t ) , d a ß die F o r m e l n , w e l c h e die Xi, yi, d u r c h die ausdrücken, n e b e n d e n q^ gern a u c h die Zeit t e n t h a l t e n k ö n n e n (wie dies beispielsweise n o t w e n ­ digerweise eintritt, w e n n die B e d i n g u n g s g l e i c h u n g e n (2) ihrerseits bereits das t enthalten) ^). Man h a t nur bei der B e r e c h n u n g v o n δA d a s t n i c h t mitzuvariieren, v i e l m e h r allgemein z u s e t z e n : (7)

δA =

ΣPaδqa·

B e i der B e r e c h n u n g v o n T b z w . der nach der Zeit g e n o m m e n e n Dif­ f e r e n t i a l q u o t i e n t e n Xi, yi, Zi k o m m t diese A b h ä n g i g k e i t v o n t aber natürlich zur Geltung. D e m e n t s p r e c h e n d w i r d d a s u m g e r e c h n e t e T, a l l g e m e i n z u reden, eine Gestalt h a b e n : (8)

T = ^Σ^aßqaqß

+

Σbaqa

(unter d e n a^ß, F u n k t i o n e n der q^ u n d d e s t v e r s t a n d e n ) . N e b e n d e m i n d e n q quadratischen T e r m tritt also ein Linearterm auf, der d a n n bei A u s r e c h n u n g der Gleichung (6) diejenigen Zusatzgheder liefert, w e l c h e m a n n a c h d e m A s t r o n o m e n C l a i r a u t (1742) oder d e m T e c h n i k e r C o r i o l i s (1832) z u n e n n e n pflegt. 4. D e r B e w e i s der Gleichungen (6) k a n n natürlich durch direkte U m r e c h n u n g der in d e n x, y, ζ geschriebenen B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n geleistet w e r d e n . S t a t t dessen b e d i e n t m a n sich m e i s t d e s Variations­ a n s a t z e s , d e n wir hier d a h i n formulieren, d a ß (9)

] {δΤ +

δΑ)(α

=

0

sein soll, wofern wir i m Integrationsintervall die q^ beliebig variieren, a n d e n Grenzen aber festhalten^). I n der T a t h a b e n wir in d e m T e r m

(10)

JöTdt^]{z{l^jg„)+i

(II δ ^J) dt

d e n z w e i t e n B e s t a n d t e i l nur in b e k a n n t e r W e i s e durch partielle I n t e ­ g r a t i o n u m z u f o r m e n u n d die Definition v o n δA g e m ä ß (7) heranzu­ z i e h e n , u m aus (9) die F o r m e l z u erhalten:

die u n m i t t e l b a r z u den Gleichungen (6) hinführt. 1) Vgl. zu den Angaben des Textes überall den einführenden Artikel des Bandes 4 (Mechanik) der Math. Enzyklopädie: A. Voß, Die Prinzipien der rationeUen Mechanik. 2) Das Verschwinden der Variation an den Integrationsgrenzen wird wieder durch die Querstriche beim Integralzeichen angedeutet.

Α. § 1. Einführung der Lagrangeschen Gleichungen und ihrer Gruppe G^.

141

5. Wir fragen v o r a l l e m , wieso der K o m p l e x der Lagrangeschen Gleichungen (6) gegenüber behebigen Transformationen der P a r a ­ m e t e r q^, genauer g e s a g t : gegenüber der G^o aller in unserem B e ­ reiche regulären a n a l y t i s c h e n S u b s t i t u t i o n e n :

(12)

^1 = 9^1 (q^-q'n,

η

qn-9n{qi'-ql t==t'

η

invariant ist. D i e präzise A n t w o r t hierauf gibt unser V a r i a t i o n s a n s a t z . W i r h a b e n bei unserer Frage T und d a m i t δΤ, andererseits δ A v o n v o m h e r e i n als gegeben u n d d a m i t als invariant a n z u s e h e n . Wir schheßen, d a ß gleicherweise der unter d e m Integralzeichen (11) s t e h e n d e Integrand, also

eine I n v a r i a n t e ist. D i e linken Seiten der Gleichungen (6) sind nichts anderes als die m i t n e g a t i v e m Zeichen g e n o m m e n e n , m i t den verschie­ denen δq^ in dieser Invariante verbundenen Koeffizienten. N u n werden wir den K o m p l e x der δq^ selbst nach Analogie m i t unseren früheren E n t w i c k l u n g e n einen Vektor nennen. Unsere Koeffizienten bezeichnen dann einen kontragredienten Vektor u n d die Invarianz unseres Glei­ c h u n g s k o m p l e x e s erscheint danach kurzweg darin b e g r ü n d e t , d a ß er das identische Verschwinden eines kontragredienten Vektors verlangt. 6. Wir wollen unsere Auffassung v o n der in ihrer W i r k u n g v i e l ­ leicht nicht ganz durchsichtigen partieUen I n t e g r a t i o n u n a b h ä n g i g m a c h e n . W i r erreichen dies, w e n n wir den Term, der bei der par­ tiellen Integration wegfäUt, unter d e m Integralzeichen b e i b e h a l t e n , n ä m l i c h s t a t t (13) einfach schreiben:

(14)

öT-^'^XΣ'ö^Ho)

+ ΣP.δq^

( w a s m i t (13) ü b e i e i n s t i m m t , w e ü ο^=^δ'^-=

.

Der Ausdruck (14) ist invariant, weil er aus lauter I n v a r i a n t e n (der Gruppe (12)) z u s a m m e n g e s e t z t ist. W i r h a b e n damit g e n a u Anschluß a n die Art u n d W e i s e g e n o m m e n , wie Lagrange selbst in seiner Mecanique a n a l y t i q u e , I, 3. A u f l . , S . 326^) v o m Prinzip der virtuellen Verrtickungen aus ohne B e n u t z u n g der V a ­ riationsrechnung zu seinen allgemeinen Gleichungen vordringt. I n der T a t setzte er (ich h a l t e dabei unsere B e z e i c h n u n g e n f e s t ) , die durch das g e n a n n t e Prinzip gegebene Gleichung (15)

Σ{(Xi-<^i)

1) Ges. Werke, Bd. I L

+ (Yi~%

yi) δy, + ( Z , - m , ^ ) δζ,) = O

142

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

direkt i n folgende u m : (16)

U(XiOXi

+ Y , dy,+

Ζ,δζ,)—^-

{Im,

+ ö l { ^ ( i l + yf +

(xdx, + ydy, +

z,oz,))

zl))=0,

w o n u n die linke Seite m i t (14) begrifflich direkt ü b e r e i n s t i m m t . Herr H e u n , der sich u m d a s Verständnis v o n Lagranges analytischer Mechanik so große V e r d i e n s t e erworben h a t , n e n n t d e n Ü b e r g a n g v o n der linken Seite v o n (15) z u der v o n (16) geradezu Lagranges Zentralgleichung^). Zugleich h a t er d e m g e d a n k h c h e n I n h a l t e v o n (16) fol­ g e n d e p r ä g n a n t e F o r m g e g e b e n : D i e virtuelle Arbeit der a m S y s t e m angreifenden Kräfte i s t gleich der Ä n d e r i m g s g e s c h w i n d i g k e i t der „virtueUen I m p u l s a r b e i t " v e r m m d e r t u m die virtuelle Ä n d e r u n g der l e b e n d i g e n Kraft.

§ 2. Die Goo der Lagrangeschen Gleichungen und die Galilei-Newton-Gruppe. Kopernikanische und Ptolemäische

Koordinaten.

E i n s t e i n h a t b e k a n n t l i c h die F o r d e n m g aufgestellt, allen N a t u r ­ g e s e t z e n eine solche F o r m z u g e b e n , d a ß sie v o n beliebigen Transfor­ m a t i o n e n der zur F e s t l e g i m g eines W e l t p u n k t e s d i e n e n d e n Koordi­ n a t e n , also v o n x, z, t i m a b h ä n g i g erscheinen. D i e E n t w i c k l i m g e n d e s v o r i g e n P a r a g r a p h e n lassen erkennen, w i e w e i t dieser F o r d e n m g — auf d e m Gebiete der Mechanik — bereits durch Lagranges aUge­ m e i n e n Gleichimgen e n t s p r o c h e n ist. D e r A n s a t z v o n Lagrange greift n a c h der e i n e n Seite über d a s E i n s t e i n s c h e P o s t u l a t h i n a u s , i n d e m er s t a t t d e s einzelnen M a s s e n p i m k t e s P i m k t s y s t e m e b e t r a c h t e t , er bleibt andererseits i n d e n ü b h c h e n DarsteUimgen dahinter zurück, m d e m in d e n Gleichungen (12) die Zeit t g e w ö h n h c h n i c h t mittransformiert w d . D i e Zeit t i n die a U g e m e m e n T r a n s f o r m a t i o n e n m i t e i n z u b e z i e h e n , ist i n der T a t e m neuer p h y s i k a h s c h e r G e d a n k e , der durch die Lorentz­ gruppe der m o d e r n e n E l e k t r o d y n a m i k herangebracht w u r d e . E s ist E i n s t e i n s e i g e n s t e s Verdienst, diesen G e d a n k e n i n seiner prinzipiellen T r a g w e i t e erfaßt z u h a b e n . I m übrigen aber wolle m a n d i e L e i s t u n g e n v o n Lagrange n i c h t ü b e r s e h e n . S u c h e n wir n o c h klar herauszuarbeiten, w i e eigentlich die Invarianz der L a g r a n g e s c h e n Gleichungen g e g e n ü b e r der durch (12) definierten Goo sich z u der I n v a r i a n z gegenüber der G a l i l e i - N e w t o n - G r u p p e v e r ­ h ä l t , die wir i m vorigen K a p i t e l insbesondere für das Vielkörperp r o b l e m der A s t r o n o m e n erläuterten. W i r h a b e n die Differentialglei­ c h u n g e n des Vielkörperproblems d a m a l s i n d e n g e w ö h n l i c h e n recht1) Vgl. z. B. Math. Enzyklopädie IV, 11, S. 447.

Α. § 2. Die

der Lagrangeschen Gleichungen.

143

winkligen Parallelkoordinaten der H i m m e l s m e c h a n i k — sagen wir, in „Kopernikanischen'^ Koordinaten — aufgestellt: (17)

m,x = ~k^2:fn,m,-'-^-~^

usw.

Diese Gleichungen als solche bleiben bei der zehngliedrigen Gruppe linearer S u b s t i t u t i o n e n der x, y, z, t, die wir nach Galilei-Newton n a n n t e n , aber nicht e t w a bei der G^o der Gleichungen (12) ungeändert. U m den Vergleich der beiden Gruppen z u erleichtern, wollen wir in der Gl Q der Galilei-Newton-Gruppe, w i e sie auf S. 5 4 defmiert ist, die S u b s t i t u t i o n t = ±t' + durch die identische S u b s t i t u t i o n ersetzen. E s liegt dann nur mehr eine G^ v o r , welche direkt eine Untergruppe der durch (12) gegebenen G^ ist. W i r d e n k e n u n s jetzt, sofern r Himmelskörper z u betrachten sind, die 3 r Koordinaten x^, yi, Zi irgendwie als F u n k t i o n e n v o n t u n d v o n η = 3r Parametern ^ χ . . .^n · AufsteUung der für diese g e l t e n d e n Lagrangeschen Gleichungen (6) ist besonders einfach, w e ü sich die in (14) auftretenden K r a f t k o m p o n e n t e n in b e k a n n t e r W e i s e als die partiellen Differentialquotienten — , —^ , —^ der p o ­ tentiellen Energie

(18)

u=

^k^Σ'^

darstellen lassen; wir h a b e n also nur dieses U als eine F u n k t i o n der der qi'' - qn u m z u r e c h n e n u n d

ZU n e h m e n . U n d n u n tritt u n s v o m invariantentheoretischen S t a n d p u n k t aus die Frage e n t g e g e n : w i e ist es z u verstehen, d a ß die neuen Gleichungen nicht nur bei der G», v o n der wir gerade sprachen, sondern bei der G^ (12) ungeändert bleiben ? Offenbar nur so, d a ß wir u n s neben den qi'.-qn auch T u n d U b z w . deren Differentialquotienten (soweit sie v o r k o m m e n ) den Gleichungen (12) entsprechend transformiert denken m ü s s e n . W i r h a b e n es bei der in R e d e stehenden Invarianz unserer Lagrangeschen Gleichungen gar nicht schlechtweg m i t der G^o der Gleichungen (12) z u t u n , sondern m i t der „ e r w e i t e r t e n " Gruppe, die dadurch e n t s t e h t , d a ß wir die Ausdrücke der T u n d U als F u n k t i o n e n der transformierten q'^ hinzufügen. J e n a c h d e m wir diese Trans­ formation w ä h l e n , ändern die T u n d U ihre Gestalt, u n d die i n q^, q^ g e s c h r i e b e n e n Differentialgleichungen ebenfahs. Sie erscheinen nur dadurch in der einheitlichen F o r m der Lagrangeschen Gleichungen, weil wir in sie neben d e n die S y m b o l e T u n d U eingeführt h a b e n . D a b e i behält neben der G^o die

natüriich ihr R e c h t .

Seien die

144

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

S u b s t i t u t i o n e n derselben, i n d e n ursprünglichen K o o r d i n a t e n geschrie­ b e n , aUgemein durch Xi>yi>Zi=-S{t',xlylz\) bezeichnet. Seien f e m e r d i e F o r m e h i , durch die wir das einzehie S y s t e m der q einführen: Xü yi> ^ t = die n a c h den

y {i> ?i

g e n o m m e n e n Auflösungen dieser

Gleichungen

seien durch

?1 . . . ?n =

{t\ Xv yv

H> ' ' '>

yr. ^r)

bezeichnet. D i e Lagrangeschen Gleichungen d e s Vielkörperproblems, die wir für dieses einzehie S y s t e m der qi- - .q» aufstellen, w e r d e n d a n n in g e s c h r i e b e n i m m e r gerade b e i derjenigen ungeändert b l e i b e n , d i e wir in leicht verständUcher S y m b o h k so schreiben: (20) ?i...?n = ^-^5F(/;i;...i;). D i e Invarianz i m erweiterten Gebiet der aber tritt, w i e s c h o n g e s a g t , erst n a c h „ A d j u n k t i o n " der F u n k t i o n s z e i c h e n T u n d U ein^). A n diese Erörterungen knüpfen sich w i c h t i g e historische Erinne­ rungen. D a s n ä c h s t h e g e n d e K o o r d i n a t e n s y s t e m , d e s s e n sich der b e o b a c h ­ t e n d e A s t r o n o m n a t u r g e m ä ß b e d i e n t , i s t das „ P t o l e m ä i s c h e " , n ä m ­ h c h H ö h e u n d A z i m u t d e s Gestirns, w i e sie sich d e m B e o b a c h t e r darstellen, u n d die E n t f e r n u n g d e s Gestirns v o m S t a n d p u n k t des B e o b a c h t e r s . U m in d e n so definierten K o o r d i n a t e n die B e w e g u n g s ­ gleichungen für die verschiedenen Körper d e s S o n n e n s y s t e m s a n ­ zuschreiben, h a b e n wir nur auf das aUgemeine S c h e m a unserer L a g r a n g e s c h e n Gleicnungen zurückzugreifen. D a s R e s u l t a t i s t n a t ü r ­ lich v i e l komplizierter als unser obiger A n s a t z in K o p e m i k a n i s c h e n K o o r d i n a t e n , u n d wir m ö g e n daran e r m e s s e n , welcher ungeheure F o r t s c h r i t t durch K o p e m i k u s erreicht w o r d e n ist. Er selbst e m p f a n d Das ganze Sachverhältnis, um welches es sich hier handelt, kennen wir von einem einfachen Beispiel her, das in Kap. 1, S. 22ff. ausführlich besprochen wurde. Es handelte sich damals um die Beziehung zwischen den Invarianten der orthogo­ nalen und der allgemeinen linearen Gruppe. Eine orthogonale Invariante (die als solche nur bei denjenigen linearen Substitutionen ungeändert bleibt, welche h in sich selbst überführen) konnte sofort als eine Invariante der all­ gemeinen Imearen Gruppe angesehen werden, wenn wir den vorgelegten Variabein­ systemen (Komplexen) noch die quadratische Form hinzufügten, welche aus / = Arf + · · · + bei der jeweiligen allgemeinen linearen Transformation her­ vorgeht. F ü r die geometrische Auffassung führte das zur allgemeinen affinen oder auch (wenn man die Verhältnisse x^ix^'. - . •'^n Punktkoordinaten in interpretierte) zu Cayleys allgemeiner „projektiver" Maßbestimmung. — Die Dinge werden immer entsprechend liegen, wenn man von tjer Invariantentheorie irgendwelcher Stibstitutionsgruppe zur Invariantentheorie einer umfassenden Gruppe übergeht.

A § 3. Vereinfachte Variationsprinzipe. Übergang zur Geometrie

145

w o h l nur die große Vereinfachung des r ä u m h c h e n B i l d e s , in welches m a n die B e w e g u n g e n der Sterne n u n m e h r rein q u a l i t a t i v einordnen k o n n t e . D i e Arbeiten v o n Galilei und N e w t o n h a b e n d a n n gezeigt, daß m a n so auch das Q u a n t i t a t i v e der Erscheinungen, die wirkenden K r ä f t e , d. h. eben die B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n in einfachster W e i s e formulieren k o n n t e . D i e ganze Lehre v o n d e n planetaren Störungen ist v o n hier aus e n t s t a n d e n . Aber die s u g g e s t i v e Kraft des g e w o n ­ n e n e n d y n a m i s c h e n A n s a t z e s ging in der F o l g e noch w e i t e r , z. B . war es nur v o n da aus m ö g h c h , die E r s c h e i n u n g e n des F o u c o u l t s c h e n P e n d e l s vorauszusagen. A h e s dies wird v o n uns nur a n d e m ein­ fachen S c h e m a begriffen, welches die Kopernikanischen K o o r d i n a t e n v e r m i t t e l n u n d immer" erst hinterher, für die Zwecke der B e o b a c h ­ tung, in P t o l e m ä i s c h e K o o r d i n a t e n u m g e s e t z t . D i e Forderungen E i n s t e i n s oder die B e d e u t u n g der aUgemeinen Lagrangeschen Gleichungen sind also n i c h t dahin z u v e r s t e h e n , als w e n n es schlechtweg einerlei wäre, welches K o o r d i n a t e n s y s t e m m a n b e n u t z t . H ä t t e m a n die allgemeinen Lagrangeschen Gleichungen vor­ w e g g e k a n n t , so wäre es einer der größten Fortschritte g e w e s e n , w e n n j e m a n d hinterher e n t d e c k t h ä t t e , d a ß es besondere K o o r d i n a t e n s y s t e m e gibt, für welche die Differentialgleichungen des Vielkörperproblems die einfache F o r m (17) a n n e h m e n u n d für w e l c h e sich infolgedessen die immer in der Gestalt (20) vorhandene Galilei-Newton-Gruppe linear darstellt. V o m aUgemeinen S t a n d p u n k t e aus werden die Kopernikani­ schen K o o r d i n a t e n durch diese m a t h e m a t i s c h e T a t s a c h e geradezu definiert.

§ 3 . Vereinfachte Variationsprinzipe, Übergang zur Geometrie. W e n n wir uns, w i e dies b e i m Vielkörperproblem der FaU ist, die auf

unser

mechanisches

System

wirkenden

Kraftkomponenten

P„

g e m ä ß den Gleichungen (19) durch die partieUen Differentialquotienten — ^Y

^i^^^ potentieUen Energie U g e g e b e n d e n k e n (die außer v o n

den ^ 1 - .

auch n o c h v o n t a b h ä n g e n k a n n ) , so v e r w a n d e l t sich der

Variationsansatz (8) in denjenigen, den m a n in D e u t s c h l a n d g e w ö h n h c h das Hamiltonsche (21)

Prinzip

nennt i): d~[{T-U)dt

= 0

I n d e m wir jetzt weiter voraussetzen, d a ß weder in T n o c h in U das t explizite auftritt, n e h m e n wir voUends d e n Ideenkreis auf, der schon in 1) Wegen der eigentümlichen historisch-literarischen Verhältnisse siehe Bd. I, Kap. V.

146 3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen. B d . 1, K a p . V ausführüch dargelegt wurde. D i e lebendige Kraft T wird z u r h o m o g e n e n quadratischen F o r m der q^,

(22)

T^^Uao^ßq.qß,

u n d wir h a b e n als eine Folge der Lagrangeschen Integral der lebendigen Kraft (23)

T+U

Gleichungen d a s

= K

m i t dessen Hilfe wir die Gleichung (21) durch d e n J a k o b i s c h e n V a ­ riationsansatz ersetzen k ö n n e n : (24)

d]i(h--U)

. T dt =

0.

H i e r tritt d a s t nur n o c h formal auf. I n der T a t h a b e n wir, i n d e m w i r d a s dt m i t unter die Quadratwurzel n e h m e n (25)

(5/)/1 U(h

-ma^ßdq^dqß^O,

so d a ß die B a h n k u r v e n unseres S y s t e m s i m „ R ä u m e der q** m i t d e n geodätischen Linien dieses R a u m e s zusammenfaUen, w e n n dessen „ B o g e n e l e m e n t " ds durch die F o r m e l g e g e b e n i s t :

(26)

ds^^u'-^a^ßdqadqß.

D i e Zeit aber, b i n n e n deren irgend ein S t ü c k einer solchen geodätischen Linie durchlaufen wird, ergibt sich n a c h (23) durch die Quadratur:

D e n v o l l e n A n s c h l u ß a n die R i e m a n n s c h e Geometrie d e s w-dimensionalen R a u m e s erhalten wir schheßlich, i n d e m wir d a s U ü b e r h a u p t k o n s t a n t v o r a u s s e t z e n (so d a ß auf unser m e c h a n i s c h e s S y s t e m keinerlei „ K r a f t " m e h r wirkt) u n d d a n n der Einfachheit halber n o c h h—U = l n e h m e n . D i e B a h n k u r v e n unseres S y s t e m s faUen d a n n einfach m i t d e n geodätischen Linien desjenigen z u s a m m e n , dessen B o g e n e l e m e n t

(28)

ds =

]/lUaaßdqadqß

ist, w ä h r e n d die Zeit t g e m ä ß (27) direkt m i t der B o g e n l ä n g e d e s durchlaufenen S t ü c k s zusammenfäUt. W i r h a b e n diese aUbekannten D i n g e hier nur reproduziert, d a m i t v o n vornherein deutlich ist, w i e die geometrischen U n t e r s u c h u n g e n v o n G a u ß u n d R i e m a n n , z u deren B e s p r e c h u n g wir u n s n u n h i n ­ w e n d e n , auf d e m Mutterboden der Lagrangeschen Gleichungen er­ w a c h s e n sind. I m übrigen k ö n n e n w i r die Aufgabe, d i e u n s n u n b i s auf weiteres

Β. § 1. Zur Orientierung.

147

beschäftigen soU, so resümieren. I n d e m das in den S u b s t i t u t i o n e n (12) v o r k o m m e n d e t nicht m e h r e x p h z i t e auftreten soU, h a b e n w i r in den Formeln = ψι[qi

"-qn)

(29) qn = ψη [qi - ^-qn) die Goo aller Punkttransformationen des v o n deji q erzeugten

vor

uns. W i r s o h e n eine quadratische Differentialform ds^ = Σ^αβ i m Sinne der zugehörigen Invariantentheorie behandeln. D a b e i k a n n m a n der A n s c h a u h c h k e i t halber ds als das Bogendifferential d e s R^ deuten.

B . D i e L e h r e v o n der inneren Geometrie z w e i ­ dimensionaler Mannigfaltigkeiten auf der Grundlage v o n Gauß' Disquisitiones circa superficies curvas. § 1. Zur Orientierung. G a u ß ' große A b h a n d l u n g , die wir in vorläufiger F o r m s c h o n in B d . 1, K a p . I, besprachen u n d die für unsere ferneren E n t w i c k l u n g e n d e n A u s g a n g s p u n k t bilden wird, ist n a c h d e n verschiedensten Seiten v o n bahnbrechender B e d e u t u n g gewesen. E r w a c h s e n aus G a u ß ' g e o d ä ­ tischen A r b e i t e n u n d getragen v o n seinen philosophischen Spekula­ t i o n e n über die N a t u r unseres R a u m e s h a t sie n a c h t h e o r e t i s c h - m a t h e ­ m a t i s c h e r Seite der g e s a m t e n Differentialgeometrie den w i c h t i g s t e n Impuls gegeben. I c h darf, w a s d a s historische Z u s t a n d e k o m m e n der Disquisitiones a n g e h t , m i c h auf die e b e n n u n erscheinende, auf g e n a u e s t e s QueUens t u d i u m zurückgehende DarsteUung v o n S t ä c k e l berufen^). D i e E n t ­ w i c k l u n g n a c h theoretischer Seite ist z u n ä c h s t die g e w e s e n , daß sich die Gaußischen G e d a n k e n m i t denjenigen, die M o n g e v o n 1800 a n in seiner Application de Vanalyse ä Ia gdometrie g e g e b e n h a t t e , v e r ­ b a n d e n , w i e u. a. Liouvilles fünfte A u s g a b e der „ A p p l i c a t i o n " v o n 1850 b e w e i s t , in der n e b e n zahlreichen weiteren Ausführungen v o n LiouviUe selbst ein A b d r u c k v o n G a u ß ' A b h a n d l u n g P l a t z gefunden hat^). D i e Differentialgeometrie als selbständige Disziplin h a t d a n n sehr b a l d bei aUen K u l t u m a t i o n e n eifrige Pflege gefunden. E s g e n ü g e hier, auf die einschlägigen Artikel in I I I , 3 der Math. E n z y k l o p ä d i e w i e insbesondere auf die großen Lehrbücher hinzuweisen, die gegen E n d e d e s 19. Jahr­ hunderts e n t s t a n d e n s i n d :

1) Gauß' Werke. Bd. 10, IV. 10* 2) Vgl. S. 107.

148

3. Komp. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

1. D a s inhaltsreiche, vierbändige W e r k v o n D a r b o u x „Legons sur Ia thiorte ginirale des surfaces'' (Paris 1 8 8 7 — 9 6 , 2. Aufl. 1914), dessen F o r t s e t z u n g die 1898 in erster, 1910 in zweiter Auflage erschienenen „Le9ons sur les s y s t e m e s o r t h o g o n a u x et les coordonnees curvilignes'* desselben Verfassers b i l d e n . 2. D a s L e h r b u c h v o n B i a n c h i „Lezioni di g e o m e t r i a differenziale'* (Pisa 1894), in deutscher Ü b e r s e t z u n g 1899 in erster, 1910 in zweiter, erweiterter Auflage v o n L u k a t herausgegeben. 3. D i e „ E i n l e i t u n g in die aUgemeine Theorie der k r u m m e n F l ä c h e n " v o n K n o b l a u c h (Leipzig 1888), 1913 z u einer umfassenderen Darstel­ l u n g „ G r u n d l a g e n der Differentialgeometrie'' erweitert^). A u s d e m g a n z e n I n t e r e s s e n k o m p l e x , der m i t diesen A n g a b e n u m ­ s p a n n t wird, k a n n hier nur ein b e s t i m m t e r A u s s c h n i t t zur Geltung gebracht w e r d e n . Gauß h a t in seiner A b h a n d l u n g z w i s c h e n der äußeren u n d der inneren Geometrie einer F l ä c h e unterschieden, w o b e i die erstere die Gestalt der F l ä c h e i m dreidimensionalen R a u m b e h a n d e l t , die innere Geometrie aber nur diejenigen F r a g e n herausgreift, w e l c h e b e i einer beliebigen „isometrischen'' Transformation der F l ä c h e ungeändert bleiben. Man d e n k e sich die K o o r d i n a t e n des F l ä c h e n p u n k t e s durch z w e i P a r a m e t e r u, ν dargestellt. D i e E n t f e r n u n g zweier u n e n d h c h naher F l ä c h e n p u n k t e wird d a n n n a c h Gauß durch eine F o r m e l g e g e b e n (1) ds^ = Edu^ + 2Fdudv + G dv\ (wo die rechter H a n d s t e h e n d e quadratische Differentialform positiv definit ist) — u n d die innere Geometrie der F l ä c h e h a t sich m i t allen B e ­ z i e h u n g e n z u beschäftigen, w e l c h e sich u n t e r Zugrundelegung dieses ds^ b e i beliebigen Transformationen der P a r a m e t e r u, ν als invariant erweisen. Sie ist also die geometrische A u s g e s t a l t u n g des a m E n d e der vorigen A b t e i l u n g (S. 147) aufgesteUten a l l g e m e i n e n P r o b l e m s i m niedersten F a l l e η = 2. D i e s e g e o m e t r i s c h e A u s g e s t a l t u n g erscheint b e i unserer D a r l e g u n g als das eigentlich N e u e . G a u ß s e t z t d a b e i s t i h s c h w e i g e n d v o r a u s , daß m a n es nur m i t einer solchen F l ä c h e n k a l o t t e z u t u n h a t , auf der je zwei P u n k t e nur durch eine einzige g e o d ä t i s c h e (oder, w i e er s a g t : kür­ zeste^)) Linie v e r b u n d e n w e r d e n k ö n n e n , u n d verfolgt d a n n den Ge­ d a n k e n , unter B e n u t z u n g dieser g e o d ä t i s c h e n Linien auf der F l ä c h e g e n a u so eine Geometrie, insbesondere Trigonometrie, z u g r ü n d e n , w i e 1) Inzwischen erschienen: Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie. Bd. 1, Berlin 1921; Bd. 2, Berlin 1923. (H.) 2) Die Benutzung des Ausdruckes „geodätische Linie" (bei Zugrundelegung irgend einer die Linie tragenden Fläche) ist nach Stäckel (Leipziger Berichte 1893: Zur Geschichte der geodätischen Linien) erst mit Liouville (1850) allgemein üblich geworden, also merkwürdigerweise seit der Zeit, wo die Beziehung zur wirklichen Geodäsie, die bei Gauß noch so lebendig war, für die theoretischen Geometer völlig zurücktrat.

Β. § 1. Zur Orientierung.

149

dies in der E b e n e unter B e n u t z u n g der geraden Linien geschieht. A n die SteUe des A b s t a n d e s zweier P u n k t e schlechthin tritt dann ihr „geodätischer A b s t a n d " , d. h. die Länge der sie verbindenden geodä­ t i s c h e n Linie. W i r k ö n n e n diesen E n t w i c k l u n g e n n o c h eine abstraktere F o r m g e b e n , i n d e m wir v o n der Vorstellung einer i m dreidimensionalen R a u m verlaufenden F l ä c h e ganz absehen u n d die Variablen u, ν kurzweg als K o o r d i n a t e n in der E b e n e interpretieren. W i r betrachten d a n n (1) als D e f i n i t i o n des B o g e n e l e m e n t e s einer in der E b e n e zu entwerfenden Q u a s i g e o m e t r i e (bei der v o m dreidimensionalen R ä u m e gar n i c h t m e h r die R e d e ist). D i e zwei P u n k t e verbindende geodätische Linie definieren wir durch die Forderung, d a ß d a s a n ihr entlang erstreckte Bogenintegral Jds bei festgehaltenen Grenzpunkten einen stationären W e r t h a b e n (eine verschwindende erste Variation besitzen) soUe. D e r W e r t des dadurch festgelegten Integrals heißt die geodätische E n t ­ fernung der beiden P u n k t e . Dieser a n sich farblosere A n s a t z h a t den Vorzug, d a ß die Aufmerk­ s a m k e i t v o n d e m , w a s wir o b e n die innere Geometrie der Fläche n a n n t e n , in keiner W e i s e abgezogen wird. W i r h a b e n d a m i t die Freiheit, für d a s ds^ beliebige, a u c h indefinite, Differentialformen heranzuziehen. B e i d e n späteren Verallgemeinerungen R i e m a n n s u n d d e n neuen E n t w i c k ­ lungen der P h y s i k e r w e r d e n wir das brauchen. D i e B e z i e h u n g zur Mechanik ergibt sich, w e n n wir

als „lebendige Kraft" eines in der E b e n e u, ν b e w e g t e n P u n k t e s v o n der Masse 1 deuten. S o zeigt sich ein merkwürdiger Parallehsmus zwischen Gauß' Ge­ d a n k e n e n t w i c k l u n g u n d d e n gleichzeitigen Arbeiten v o n H a m i l t o n über „Strahlensysteme" (Transactions of t h e R. Irish A c a d e m y , vgl. B d . 1, S. 194). E s war schon lange vor H a m i l t o n b e k a n n t , d a ß m a n d e n Verlauf d e s Lichtstrahls in irgendwelchem Medium, dessen optische D i c h t e v o n Ort zu Ort beliebig wechseln m a g , durch das N u l l s e t z e n der ersten Variation eines a m Strahl entlang erstreckten Integrals b e s t i m m e n k a n n (Fermats Prinzip). Bezeichnen wir den I n t e g r a n d e n dieses P r o b l e m s m i t ds, so ist ds^ (wenn wir uns auf isotrope Medien beschränken) als irgendwelche definite ternäre quadratische Differen­ tialform der Differentiale der R a u m k o o r d i n a t e n dx, dy, dz z u d e n k e n . Soweit illustriert die geometrische Optik das mechanische Prinzip der kleinsten (oder wie H a m i l t o n vorsichtiger s a g t : der stationären) W i r k u n g . A b e r n u n faßte H a m i l t o n den W e r t des längs d e s Licht­ strahls hin erstreckten Integrals als F u n k t i o n seiner b e i d e n Grenz­ p u n k t e auf. D i e A r t , wie sich das Integral bei Verschiebung der

150

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

G r e n z p u n k t e ändert, n a n n t e er d a s Prinzip der variierenden Wirkungi). D a s ist i m Grunde derselbe Schritt, d e n Gauß b e i η == 2 vollzog, i n d e m er den Begriff der g e o d ä t i s c h e n E n t f e r n u n g zweier P u n k t e in d e n M i t t e l p u n k t seiner B e t r a c h t u n g rückte.

§ 2 . Von den Differentialgleichungen der geodätischen Linien. 1. F ü r die z u m B o g e n e l e m e n t (1) gehörigen g e o d ä t i s c h e n h a b e n wir z u n ä c h s t d e n Variationsansatz (2)

-^Edu^+

2FdUdV+

Gd^^ =

Linien

0,

w o m a n n a c h W a h l b a l d u, b a l d ν als u n a b h ä n g i g e Variable b e t r a c h t e n m a g . W i e auf S. 145, 1 4 6 ausgeführt, ist (2) m i t (3)

δ ] (EU^ + 2Fύύ

+

Gvηdt=^0

ä q u i v a l e n t ; d a m i t s m d die g e o d ä t i s c h e n Linien als B a h n k u r v e n eines kernen Kräften unterworfenen P u n k t e s eingeführt. W i r h a b e n also zur B e s t i m m u n g der geodätischen L m i e n die b e i d e n Lagrangeschen Differentialgleichungen

2

^

¾

^

= ^..^ + 2 F . . ^ +

G.^^

d i e ausgeführt folgendermaßen l a u t e n : 2EÜ + 2Fv + E^ύ^ + 2E,ύv ^ ^

2Fü

+

{2F,~G^)ύ^==0

+ 2Gv + (2F^-E,)u^+2G^aij

+ G,v'

=

0.

D i e K o n s t a n z der l e b e n d i g e n Kraft ergibt sich, m d e m wir die linken Seiten b z w . m i t ύ u n d ν multiplizieren u n d a d d i e r e n ; m a n erhält d a n n m der T a t -~^{EU^ + 2Fuv

+

Gi^==0.

W i r dürfen (vgl. o b e n S. 146) insbesondere (6) setzen.

EU^ + 2Füi

+ GU^ = l

D a n n f ä h t t m i t der B o g e n l ä n g e der g e o d ä t i s c h e n Linie z u -

1) Ich habe das in Bd. 1, K a p . V ausführlich auseinandergesetzt und ins­ besondere geschludert, wie von diesem Ansatz aus seine späteren Beiträge zur aU­ gemeinen Mechanik entstanden sind.

Β. § 3. Die einfachsten Sätze und Begriffe aus Gauß' Disquisitiones.

151

s a m m e n , u n d die n a c h t g e n o m m e n e n Differentialquotienten ύ, ν, b e k o m m e n eine einfache, rein geometrische B e d e u t u n g .

ü/v

2. N a c h d e m alles so vorbereitet ist, wird e s bequemer, bei den ge­ n a n n t e n Differentialquotienten nicht nur z u der Leibnizschen Schreib­ w e i s e -J^,

. . . , J^,

...

zurückzukehren, sondern m i t der i m N e n n e r

s t e h e n d e n P o t e n z v o n dt

heraufzumultiplizieren

und mit

den

Dif­

ferentialen du,

dv,d^u,dH

d i r e k t zu operieren. So ist e s i m 18. Jahrhundert i m m e r g e m a c h t worden u n d in der Differentialgeometrie seit Gauß allgemein üblich. D e r Strenge der Begriffsbildungen wird d a m i t n i c h t s v e r g e b e n , w o h l aber eine u n n ö t i g e Schwerfälligkeit der B e z e i c h n u n g e n v e r m i e d e n . D e m g e m ä ß wollen wir in den Gleichungen (5) m i t dt^ herauf­ multiplizieren u n d die e n t s t e h e n d e n linken Seiten m i t 2 Ψ 2Ψ^ b e ­ zeichnen :

^'^

2W^ = 2Ed^u

+ 2FdH+E^du^

2W,

+ 2GdH+{2F^-E^)du^+

= 2Fd^u

+ 2E^dudv

+

{2F^^G^)dv^

2G^dUdV+

G.dvK

D a s V e r h a l t e n der Gleichungen (5) gegenüber beliebigen P u n k t t r a n s ­ formationen wird jetzt in A n l e h n u n g an A § 1 (S. 141. 142) folgender­ m a ß e n charakterisiert w e r d e n k ö n n e n : a) Versteht m a n unter du, δ ν eine beliebige „ V a r i a t i o n " der u, v, s o ist (8)

W^öu

+

W^öv

eine I n v a r i a n t e (also Ψ^^, Ψ^ ein z u öu, δ ν kontragredienter Vektor). b) Man erkennt dies a m einfachsten, w e n n m a n sich überlegt, d a ß (8) g e m ä ß Lagranges Zentralgleichung auch s o geschrieben w e r d e n k a n n :

c) D i e Differentialgleichungen der geodätischen Linien b e s a g e n , d a ß der Ausdruck (9) für beliebig g e w ä h l t e öu, δν v e r s c h w i n d e n soU (Prinzip der virtuellen Verrückungen). d) E b e n hierin liegt a m unmittelbarsten ausgesprochen, d a ß die g e o d ä t i s c h e n Linien n a c h A d j u n k t i o n der Differentialform ds^ eine v o n der W a h l d e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s u n a b h ä n g i g e B e d e u t u n g h a b e n .

§ 3 . Die einfachsten Sätze und Begriffe aus Gauß' Disqui­ sitiones in invariantentheoretischer Fassung. D i e Begriffe u n d Theoreme, die hier kurz z u s a m m e n g e s t e U t w e r d e n sollen, sind a u s den Lehrbüchern allgemein b e k a n n t .

152

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

1. I n v a r i a n t e n , welche z w e i kogrediente V e k t o r e n d i m d δ ( d . h . du, dv u n d δu, δν) e n t h a l t e n : a) die „ P o l a r e " (11)

P = Eduδu

+ F{duδv

+ dv δu) +GdV

δν,

m i t deren Hilfe sich der W m k e l z w i s c h e n d e n b e i d e n V e k t o r e n so dar­ stellt: (12) 9? = arc c o s b) E n t s p r e c h e n d wird (13) so d a ß der I n h a l t d e s v o n d e n b e i d e n V e k t o r e n b e g r e n z t e n Dreiecks durch die w i c h t i g e F o r m e l (14)

2A = iEG-P'

{du δν

-~dvδu)

g e g e b e n ist. 2. I n v a r i a n t e n , welche einen kontragredienten V e k t o r

enthalten.

W i r b e s c h r ä n k e n \ m s hier auf d e n e i n f a c h s t e n F a h , d a ß (neben ds^) irgend e m e F i m k t i o n / {u, v) g e g e b e n ist, w o d a n n df

df

e i n e n k o n t r a g r e d i e n t e n V e k t o r vorstellt. a) D i e g e w ö h n l i c h e Theorie der quadratischen F o r m e n ergibt als e m f a c h s t e I n v a r i a n t e diejenige Größe, welche B e l t r a m i später (im A n s c h l u ß a n die v o n L a m έ für die m a t h e m a t i s c h e P h y s i k a u s g e b ü d e t e Terminologie) d e n ersten Differentialparameter von / genannt hat: dl I E F du ! :

F (15)

DAf)

dl

b) D i e partieUe

(EG-F^).

— df

Differentialgleichung

(16)

Diif)

=

!

definiert die K u r v e n / = C als Parallelkurven unserer M a ß b e s t i m m u n g , i n der W e i s e , d a ß die K u r v e n f = C + dC u n d / = C überaU in normaler R i c h t u n g m n d a s k o n s t a n t e S t ü c k dC v o n e i n a n d e r a b s t e h e n . c) N i m m t m a n die K u r v e n u = C selbst als solche ä q u i d i s t a n t e K u r v e n , die K u r v e n ν = C aber als ihre rechtwhildigen Trajektorien, so erhält m a n (17) [Gaußsche

ds^ = du^ + G dv^ Koordinaten),

Β. § 4. Zur Einführung des Gaußschen Krümmungsmaßes.

153

d) D e r Vergleich m i t d e n Differentialgleichungen des § 2 gibt d a n n , d a ß die K u r v e n ν = const geodätische Linien sind. U m g e k e h r t wird durch die r e c h t w i n k h g e n Trajektorien einer Schar geodätischer Linien eine Schar äquidistanter K u r v e n u == const g e g e b e n . D i e s e Wechselbeziehung zwischen der partiellen Differentialgleichung (16) u n d d e n Scharen der g e o d ä t i s c h e n Linien f äUt unter die allgemeine Lehre v o m Z u s a m m e n h a n g der L ö s u n g e n einer partiellen Differential­ gleichung 1. Ordnung m i t ihren Charakteristiken, wie wir diese i m 2. K a p . B I I I , § 4, 5 dieses B a n d e s u n d B d . 1, K a p . V n a c h verschie­ d e n e n R i c h t u n g e n h i n ausgeführt h a b e n .

§ 4. Zur Einführung des Gaußschen K r ü m m u n g s m a ß e s . 1. E i n besonderer FaU d e s Gaußschen K o o r d i n a t e n s y s t e m s sind die v o n irgend einer SteUe O unseres Gebietes auslaufenden geodä­ tischen Polarkoordinaten {φ = const die v o n O unter d e m „ A z i m u t ' ' φ auslaufenden geodätischen Linien, r = const die u m O h e r u m g e l e g t e n geodätischen Kreise). W o l l e n wir für sie die F o r m e l (17) a n s e t z e n , so m ü s s e n wir beachten, d a ß O ein singulärer P u n k t d e s n e u e i n ­ geführten K o o r d i n a t e n s y s t e m s ist, für unser ds^ aber a n sich selbst­ verständlich keine singulare B e d e u t u n g h a b e n soU. D i e Überlegung zeigt, d a ß infolgedessen das in (17) v o r k o m m e n d e G hier folgende Form haben m u ß : (18) G {r, φ)^τ^ + τ^^ {r cos φ, r sin ψ), w o 5ß irgend eine n a c h d e n b e i g e s e t z t e n A r g u m e n t e n fortschreitende, in der U m g e b u n g des A n f a n g s p u n k t e s k o n v e r g e n t e Potenzreihe sein wird; n e n n e n wir ihr k o n s t a n t e s Glied α, so werden wir für kleine W e r t e von r mit Annäherung haben: (19)

ds^ = dr^+(r^

+

ar^)dφ^

2. D e r S i n n der F o r m e l n (18), (19) wird n o c h deutlicher, w e n n wir s o g e n a n n t e Riemannsche Normalkoordinaten einführen, i n d e m wir (20) setzen. (21)

rcosφ

= X,

rsmφ=y

W i r b e k o m m e n d a n n aus (18): ds^ = {dx^ + dy^) + ^ {x,y)

{ydx-xdy)'

und der Annäherungsformel (19) entsprechend: (22)

ds^ ^ (dx^ + dy^) + α (ydx

-

xdy^

.

3. D i e R i e m a n n s c h e n N o r m a l k o o r d i n a t e n sind durch ihren A n 1) Eben in dieser Umrechnung auf Normalkoordinaten liegt begründet, daß G (r, φ) die besondere in (18) angegebene Bauart besitzen muß. Wir würden bei der Annahme eines allgemeineren G {r, φ) kein in der Umgebung von O gleich­ zeitig endliches und eindeutiges ds^ bekommen, wie wir es in (21) vor uns haben. Vgl. W. Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie, 2. Aufl., 8.96—97. Berlin 1924.

154

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

f a n g s p u n k t natürlich nur b i s auf eine orthogonale S u b s t i t u t i o n (eine D r e h u n g u m O b z w . eine Spiegelung a n einer durch O g e h e n d e n Achse) b e s t i m m t . A b e r hierbei b l e i b t nicht nur dx^ + dy^, sondern a u c h (ydx— xdyy ungeändert. D i e in. (22) auftretende K o n s t a n t e α h a t also einen v o n ZufäUigkeiten u n a b h ä n g i g e n Charakter: sie m i ß t die Abweichung, w e l c h e unsere M a ß b e s t i m m u n g in der n ä c h s t e n U m g e b t m g des P u n k t e s O v o n einer Euklidischen M a ß b e s t h n m u n g besitzt. 4. Solcherweise sind w i r n u n z u m Begriff d e s Gaußschen Krüm­ mungsmaßes g e k o m m e n . I n der T a t i s t dieses v o n u n s e r e m α nur u m einen Zahlenfaktor v e r s c h i e d e n : (23)

K =

-3oi

(wo d a s — 3 nur z u g e s e t z t i s t , u m d e n A n s c h l u ß a n d i e v o n Gauß der ä u ß e r e n G e o m e t r i e einer F l ä c h e e n t n o m m e n e ursprüngliche Defi­ nition v o n K a l s P r o d u k t der H a u p t k r ü m m u n g e n z u g e w i n n e n ) . D a s K r ü m m u n g s m a ß erscheint unmittelbar als eine nur v o n d e m ds^ s e l b s t a b h ä n g e n d e I n v a r i a n t e d e r e i n z e l n e n S t e l l e O g e g e n ü b e r b e l i e b i g e n T r a n s f o r m a t i o n e n d e r u, v, 5. D i e hier gegebene E i n f ü h r u n g des i s t dieselbe, welche R i e m a n n in s e i n e m Habilitationsvortrage v o n 1854^) gleich für R ä u m e v o n η D i m e n s i o n e n gegeben h a t . W i r h a b e n , u m d e n Vergleich voUständig z u m a c h e n , nur n o c h z u b e m e r k e n , d a ß (ydχ—xdyy g e m ä ß (14) d a s Quadrat d e s d o p p e l t e n Dreiecksinhaltes i s t , der durch d i e E c k e n 0 , (dx, dy) u n d d e n b e i F o r m e l (22) d e m P u n k t e O gleichfaUs unendlich n a h e l i e g e n d e n P u n k t (x, y) gebildet wird. D a s Charakteristische der B e t r a c h t u n g gegenüber der g e w ö h n l i c h e n a n G a u ß u n m i t t e l b a r a n ­ k n ü p f e n d e n DarsteUungsweisen i s t , d a ß w i r gar nicht a u s d e m zweid h n e n s i o n a l e n Gebiet der u, ν herausgetreten sind, d a ß also dieses Gebiet i n keiner W e i s e als eine k r u m m e F l ä c h e eines R a u m e s v o n 3 D i m e n s i o n e n interpretiert z u werden b r a u c h t . D i e B e n e n n u n g , , K r ü m ­ m u n g s m a ß " trägt d i e s e m U m s t ä n d e nicht g e n ü g e n d R e c h n u n g , sondern ist g e e i g n e t , Mißverständnisse herbeizuführen. T r o t z d e m werden w i r , d a sie aUgemein verbreitet i s t , a n ihr festhalten m ü s s e n . 6. E i n e g e o m e t r i s c h e Interpretation d e s K r ü m m u n g s m a ß e s ergibt sich z w a n g l o s a u s (19). W i r erhalten v o n d a a u s a l s Peripherie d e s m i t d e m kleinen R a d i u s r um O beschriebenen Kreises: 2π (24) Z

Π:=J{r+-^rήdφ

=

2πr+oiπr\

a = - f = l i m ( ^ ^ ) .

1) „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen". Riemanns Werke, 2. Aufl.. S. 272. Selbständig erschienen mit Erläuterungen von Weyl, Berlin 1919.

Β. § 5. Von der analytischen Darstellung des Krümmungsmaßes K.

155

I m Interesse der später für beliebiges η z u treffenden Verallgemeine­ rung schreiben wir diese Formel noch s o : (25')

«= - 1 = 2

1 ^ ( ¾ ^ ^ ) .

W i r k ö n n e n statt der K r e i s p h e r i p e r i e / 7 hier auch leicht d e n K r e i s inhalt / einführen (der jΠ

dr i s t ) . W i r erhalten d a n n :

(26)

J ^ n r ^ + ^

"

also (27)

« = _ | = 4 1im(^iJ).

D i e s e Formeln, welche U m f a n g u n d Inhalt eines geodätischen Kreises (von d e m verschwindenden Radius r) m i t d e m U m f a n g u n d I n h a l t eines m i t demselben R a d i u s beschriebenen Euklidischen Kreises in Verbindung setzen, sind u m 1860 herum v o n den französischen G e o metern a u s d e n Gaußischen E n t w i c k l u n g e n abgeleitet worden. Schließ­ lich h ä t t e n wir die Integration m i t gleichem Erfolge s t a t t auf die ganze Peripherie d e s Kreises auf irgend ein S e g m e n t desselben b z w . den z u ­ gehörigen Kreissektor beziehen können.

§ 5. Von der analytischen Darstellung des K r ü m m u n g s m a ß e s K bei beliebig gegebenem rf^^. N a c h d e m wir die Größe K geometrisch definiert h a b e n , wollen wir sie für ein beliebig gegebenes ds^ = Edti^ + 2Fdu dv + G dv^ ana­ l y t i s c h darstellen. Gauß selbst h a t dafür, nicht ohne Mühe ^), auf Grund längerer R e c h n u n g die folgende Formel gefunden (welche n e b e n E, F , G nur deren erste u n d zweite Differentialquotienten nach u u n d ν e n t h ä l t ) : (28) 4 {EG - FyK = E (E,G, - 2F^G, + Gl) + F {E^G,-E,Gu-2 E,F, + 4:F^F,-2G^F,) + G{E,,G,-2F^E^ + El) -2(EG-F^) (E,,-2F^, + G^J. U m d a s Bildungsgesetz dieses Ausdrucks zu v e r s t e h e n , w e n d e n wir u n s wieder z u R i e m a n n , — in diesem Falle z u der Preisschrift, die er 1861 der Pariser A k a d e m i e einreichte u n d die erst 1876 a u s seinem N a c h l a ß in seinen g e s a m m e l t e n W e r k e n veröffentlicht worden ist2). D o r t finden sich i n m i t t e n anderer E n t w i c k l u n g e n k n a p p e A n ­ g a b e n , w i e m a n das Analogon für K bei einem beliebigen v o n 1) Vgl. stäckel: 1. c. S. 147. 2) Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab illustrissima Academia propositae . . . {2. Auü. der \Yerke, S. 391—404).

156

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

η Variablen a b h ä n g e n d e n ds^ zu bilden h a b e i ) . I n d e m wir uns vorerst auf W = 2 beschränken, reproduzieren wir diese A n g a b e n in e t w a s breiterer Darstellung. 1. Vorbereitendes. U m den W e r t v o n K in O zu finden, h a t t e n wir vorhin das g a n z e B ü s c h e l der v o n O auslaufenden geodätischen Linien herangezogen. E i g e n t h c h b e n u t z t wurde aber nur ihr Verlauf in der n ä c h s t e n N ä h e v o n 0. Dieser Verlauf wird durch die Differential­ gleichungen (5) b z w . die Ausdrücke (7) des § 2 beschrieben u n d an diese werden wir n u n m e h r anknüpfen. W i r ziehen v o n O aus zwei V e k t o r e n , die wir abkürzend m i t d i m d ό b e z e i c h n e n : ein behebiger v o n O auslaufender Vektor ist dann durch Kd + λδ gegeben. Außer d e n Zeichen d^ u n d δ^ w e r d e n wir n o c h das Zeichen dδ = δd zu b e ­ n ü t z e n h a b e n ; das zweite Differential, welches sich an den Vektor Kd + λδ anreiht, ist dann m i t [Kd + λδ)^ = K^d^ + 2 κλdδ + AM^ z u bezeichnen. Man h a t auch diese Ausdrücke — u n d alle ä h n h c h e n , die wir in der F o l g e b e n u t z e n , — i m m e r als Zähler geeigneter Differential­ q u o t i e n t e n aufzufassen. Hierbei stört nur die h e u t z u t a g e übliche B e ­ z e i c h n u n g der bei F u n k t i o n e n mehrerer Variablen in B e t r a c h t z u ziehenden Differentialquotienten. H a t m a n z. B . eine F u n k t i o n v o n z w e i Variablen t u n d r, so sollte m a n die I n k r e m e n t e v o n t u n d τ m i t dt u n d δ τ b e z e i c h n e n u n d d e m e n t s p r e c h e n d die ersten u n d zweiten Differentialquotienten so schreiben:

± i

bzw

dt' δτ dß' dtöx' δτ^' (Eine ä h n h c h e B e m e r k u n g betreffend die unter einem mehrfachen Integral auftretenden Differentiationssymbole m a c h t e n wir schon i m K a p . II.) Mit diesen Schreibweisen gehen wir n u n in die Differential­ gleichungen (5): Ψη=0, Ψ^=0 ein. W i r ersetzen also die dort auf­ tretenden du, dv, d^u, d^v durch

{κd + λδ)u,

'{κd + λδ)v,

{κd + λδYu,

{Kd+λδΥν.

W i r ordnen n a c h κ^, κλ u n d u n d setzen die Koeffizienten dieser Terme einzeln = 0. W i r erhalten so 6 Gleichungen, die wir in sofort verständhcher W e i s e durch folgende A b k ü r z u n g e n b e n e n n e n :

1) Werke, 2. Aufl., S. 402, 403.

Β. § 5. Von der analytischen Darstellung des Krümmungsmaßes K,

157

D i e s e 6 Gleichungen z u s a m m e n stehen d a s dar, w a s w i r die v o m P u n k t e O auslaufende „ U m g e b u n g ' ' geodätischer B a h n e n nennen können. Sie g e s t a t t e n , die 6 zweiten Differentiale d'^u, döu, 0 ½ , d^v, . . . durch die 4 ersten, nämlich du, du, dv, δ ν auszudrücken. F a s s e n w i r Je 2 zusammengehörige der Gleichungen (29) nach d e m Muster v o n (8) z u s a m m e n , i n d e m wir n o c h einen dritten, wiUkürlich bleibenden Vektor δ' einführen. S t a t t = 0, = O verlangen wir, ά2.ί^Ψ^δ\+Ψ^δ*ν (welches gegenüber beliebiger Koordinatentrans­ formation eine Invariante ist) für aUe W e r t e der ö*u, δ*ν v e r s c h w i n d e t . B e d i e n e n w i r u n s dann noch, w i e in (9), der v o n Lagrange angegebenen U m s e t z u n g , so h a b e n w i r s t a t t der Gleichungen (29) die drei F o r m e l n : 0==2d{Eduöu'+F{duö'v+ö'udv) + Gdvö'v)^ö'{Edu^ + 2Fdudv + Gdv^), 0 = d[Eöuö'u+F(öuö'v + ö'uöv) + Gövö'v) . , . ^ . . _^ ^ , , _^ ο . . ^''^ +ö(Eduö'u+F(duö'v+ö'udvHGdvö'vr' ( ^ . . 6 . + F(.^.6.^^ 0 = 2ö{Eöuö'u

+ 2F(öuö'v

+ ö'uöv) + Gövö'v)--ö'(Eöu^

+ 2Föuöv

+

D e r Übersichtlichkeit halber woUen wir die Variablen u n d d i e Koeffi­ zienten E, F, G durch Indizes unterscheiden, also e t w a (31)

ds^^^a^j^dXidxj,

setzen.

W i r h a b e n dann s t a t t (30): 0=-2dUa,,dXi

(32)

δ'χ,-δ'ΣdXi

O == dZoitic 0 = 2δΣa^^,

dx^,

d'Xk + 6 2(^ikdXi δχ,

- δ'Σ

δ'Xj, —δ*Σ(^iu

dxiöxj,,

(^tk ^Xi ^½·

In dieser Form finden sich die Gleichungen hei Riemann l. c. (nur d a ß die S u m m e n b e i i h m immer v o n 1 bis η laufen, worauf w i r erst später ein­ g e h e n können). 2. D e r entscheidende Ansatz. R i e m a n n bildet n u n m e h r einen Ausdruck in d e n Differentialen d, ό, der g e w i ß invariant ist u n d d e n wir Ω nennen woUen: (33)

Ω = δδΣa^Jc dx, dx^ -2dö

Σ «^¾ dx^ δχ^, + dd Σ «^¾ β ^ , ό%..

H i e r ist jedes Glied rein formal z u berechnen, i n d e m m a n n u r v o n der Vertauschbarkeit der Operationen d u n d δ Gebrauch m a c h t .

E s ist

also beispielsweise: δδΣaiJ,dXidx,

= δ {Σ^ai,dXidx,

+ Σα,^

(ödx^dx,

+

dx^ödx,)),

w o δα, Man erkennt, d a ß der Ausdruck so gebildet i s t , d a ß b e i der A u s ­ rechnung alle Terme m i t d r i t t e n Differentialen, z . B . aiy^dööXi.. .i%

Göv^.

158

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

v o n s e l b s t w e g f a l l e n . E s bleiben also nur Terme m i t den ersten u n d z w e i t e n Differentialen dx,, ÖXi, dH„ döx,, ÖH, stehen. W i r tragen j e t z t in (33) ftir die z w e i t e n Differentiale diejenigen W e r t e ein, w e l c h e sich a u s den Gleichungen (29) b z w . (30) oder (32) ergeben. D a n n v e r w a n d e l t sich Ω, w i e m a n tiberschlägt, in einen n e u e n A u s d r u c k , der in den ersten Differentialen dXi w i e in d e n δχ, h o m o g e n z w e i t e n Grades ist u n d d e n wir [Ω] n e n n e n wollen. Man erkennt auch, d a ß d i e s e s [ ß ] , w e g e n der Gestalt d e s Ω selbst u n d der Gestalt der Gleichungen (29) bis (32) s o gebildet ist, d a ß e s sich n u r u m einen k o n ­ s t a n t e n F a k t o r , n ä m l i c h u m (κν—λμ)^ ändert, w e n n m a n d u n d δ b z w . durch xd + λδ, μd + νδ ersetzt. Ω b z w . [Ω] sind also Kornbinanten v o n d u n d δ (siehe S. 11). W i r s c h l i e ß e n , d a ß [Ω] sich in folgende F o r m s e t z e n l ä ß t : (34)

[Ω] = [

] (dx, δχ,^δχ,

dx,)\

w o die K l a m m e r g r ö ß e [ ] rechter H a n d eine g e w i s s e V e r b i n d u n g aUein der α,· ^ u n d ihrer n a c h den χ g e n o m m e n e n ersten u n d z w e i t e n Differentialquotienten ist. 3. Mit der A u f s t e l l u n g dieser I n v a r i a n t e [ ß ] h a b e n wir n u n ge­ w o n n e n e s Spiel. W i r k e n n e n n ä m l i c h eine z w e i t e I n v a r i a n t e ( K o m b i n a n t e ) m i t d e m F a k t o r (dxιδx^-δ x^dx^^, das ist das Quadrat d e s v o n d e n Vek­ toren d, δ u m g r e n z t e n Dreiecksinhaltes. I n der T a t h a b e n wir n a c h F o r m e l (14), § 3 in jetziger Schreibweise (35)

4 Zl^= I

2l

I (dx,

δx,^δxιdx,γ^)

D e r Q u o t i e n t v o n (34) u n d (35) w i r d also eine v o n den d, δ u n a b h ä n g i g e I n v a r i a n t e sein. U n d n u n ist R i e m a n n s B e h a u p t u n g , d a ß dieser Quo­ t i e n t v o n d e m Gaußischen K r t i m m u n g s m a ß n u r u m einen Zahlen­ faktor v e r s c h i e d e n ist, g e n a u e r d a ß

ist, — w o m i t d a s B i l d u n g s g e s e t z v o n K v o U k o m m e n klar liegt.

§ 6. Beweis der Riemannschen Formel und verschiedene Ausführungen dazu. D e n B e w e i s der F o r m e l (36) brauchen wir n i c h t ftir ein b e l i e b i g g e g e b e n e s ds^ z u führen; d e n n die rechte Seite v o n (36) ist jedenfaUs 1) Das können wir übrigens, um mit Riemanns eigener Angabe in Überein­ stimmung zu bleiben, auch so schreiben: (35')

4Z12

Z^ik^^t^^'k

' Σ(f,kδ'^\δxJ^

-

{Σα^ι,αχ^δχ^;)^.

Β. § 6. Beweis der Riemannschen Formel und verschiedene Ausführungen dazu. 1 5 9 eine Invariante, es g e n ü g t also, i m F a l l e d e r B e n u t z u n g R i e ­ m a n n s c h e r N o r m a l k o o r d i n a t e n ihre Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t der in § 4 gegebenen, auf B e n u t z u n g eben dieser Koordinaten gegrün­ deten Definition des K z u z e i g e n * . Dieser N a c h w e i s gelingt aber fast o h n e R e c h n u n g : a) W i r k ö n n e n , d a die höheren Glieder in y für die K a l o t t e der v o m Koordinatenanfangspunkt auslaufenden geodätischen B a h n e n doch nicht i n Betracht k o m m e n , gleich m i t der angenäherten F o r m (22) § 4 d e s B o g e n e l e m e n t e s arbeiten, die sich in jetziger B e z e i c h n u n g s o schreibt: (37)

ds^ = dxl + dxl +Oi (Xl dxl + x\dxl-2x^x^

dx,

dx,).

b) W i r finden d a n n a u s d e n Gleichungen (29), d a ß die zweiten Differentiale:

d^x,, dH,, ddxi, ddx,, δ^,,

δΗ,

in unserem FaUe sämtlich = O z u setzen sind. c) Infolgedessen berechnet sich [Ω] s o , d a ß wir i n d e m Ausdrucke Ω = δδΣaiJ,dXidxJ,-2dδΣ aij, dx, δxJ, + ddΣ a^j, δχ, δχ^ die Variationen alle nur auf die α,·^ werfen. D e r B e s t a n d t e i l dx\ + dx\ v o n (37) liefert dabei, weil er konstante Koeffizienten h a t , keinen Bei­ trag. B l e i b t , d a ß wir -2X^x,

α {d d (x\ dxl

-2dδ(xldx,

dx, dx,

+Xl

δχ, - X, X, dx,δx, -x,x,δx,dx,

+ dd(xlδxl

-2χ,χ,δχ,

dx,

dxl)

+ xldx, δχ,) + Xl δχ\^}

in der angegebenen W e i s e berechnen. U n d hier gibt n u n jede der drei Horizontalen d e n gleichen Beitrag:

2^(δx,dx,-δx,dx^'^, so d a ß wir i m ganzen (38)

[ i 3 ] = 6 a (δχ., dx, -δχ,

dx,f

erhalten. d) Andererseits wird nach Formel (14), § 3 :

(39)

4Δ'^ =

(δx,dx,-δx,dx^^,

so d a ß wir aus (36) X = —3a erhalten, w a s m i t der i n Formel (23), § 4 gegebenen ursprünghchen Definition d e s K übereinstimmt. Wir knüpfen a n diesen N a c h w e i s noch eine andere D e u t u n g v o n K, 1. W i r betrachteten schon S. 152 sogenannte Gaußische Koordi­ n a t e n , für welche ds^ = du^ + Gdv^ wird, w o die w = const Parallel­ kurven, die V = const aber ihre (geodätischen) orthogonalen Trajek­ torien sind. W i r wollen unsere Betrachtung auf die n ä c h s t e U m g e b u n g

160 3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen. v o n U = O beschränken u n d d e m e n t s p r e c h e n d eine R e i h e n e n t w i c k l u n g des G n a c h P o t e n z e n v o n u ansetzen, die wir m i t d e n Gliedern zweiter Ordnung a b b r e c h e n : (41)

ds^ = du^ + {φ(ν) + urpiv) +

u^x(v))dv\

I n d e m w k d a s ν n o c h geschickt w ä h l e n , erreichen w k , d a ß hier φ{ν) = I g e s e t z t werden kann. Man n e h m e n u n a n , d a ß speziell u = 0 selbst eine geodätische K u r v e sei. E n t l a n g u = 0 m ü s s e n d a n n die Glei­ chimgen (d, d) = 0, (d, d)=0 (S. 156) erfüUt sein. Aber e n t l a n g = O i s t e o ipso du = d^u = 0, dv ist gleich der B o g e n l ä n g e z u setzen u n d also d^v = O zn n e h m e n . W i r folgern, d a ß G^ längs u = 0 verschwindet. H i e m a c h m u ß ψ (v) =0 sein u n d wir h a b e n : (42) ds^ = du^+{l+u^x(v))dv\ 2. N u n wollen wir der Berechnung v o n [Ω] Figur 6 zugrundelegen (wo der Vektor ό für die P u n k t e v o n W = O je durch d a s S t ü c k der durch den P u n k t hindurch­ g e h e n d e n K u r v e V = const zwischen u = 0 u n d u = du >Kuruetiü^konst definiert sein soU, unter bu irgend einen v o n ν u n a b h ä n ­ gigen W e r t verstanden). W i r h a t t e n bereits (für das Fortschreiten längs u = 0) d^u = 0, dH = 0; jetzt tritt ddu = O und (wegen Ot^ = O) iOt^ = O u n d O n o c h hinzu. Aber die Linie ν = const ist selbst eine geodä­ tische Linie, u n d d a s a n ihr h i n erstreckte Ss fällt m i t du z u s a m m e n . D a h e r ist a u c h S^u = O zu setzen. [Ω] ist also wieder s o z u b e ­ rechnen, d a ß wir n u r die v o n d e n ersten Differentialen abhängigen T e r m e beibehalten. 3. D i e direkte Ausrechnung d e s [Ω] ergibt jetzt einfach χ(ν) = — Κ, so d a ß (hnmer entlang u = 0): (43)

ds^ = du^ +

(l'-u^'K)dv^

wird. W i r schließen beüäufig: ziehen w i r zwischen irgend z w e i P u n k t e n v o n U = O eine N a c h b a r k u r v e , s o wird d a s auf sie bezügliche Integral

d a s e n t l a n g u = 0 g e n o m m e n e Integral u m

Β. § 7. Von der Äquivalenz zweier binärer ds^. 161 übertreffen. Hierauf folgen b e k a n n t e Sätze über die zweite Variation der Bogenlänge der geodätischen Linie u = 0, insbesondere, daß diese Variation bei n e g a t i v e m K stets positiv ist (Jacobi) ^). 4. Vor allen Dingen aber ergibt sich eine einfache geometrische Interpretation des K,

die v o n den früher gegebenen verschieden ist.

Wir wollen, u m die Bezeichnungen besser anschreiben zu können, das einzelne Viereck v o n Fig. 6 in vergrößertem Maßstabe zeichnen (Fig. 7). Formel (43) gibt uns dann

ddds^

= — K Ou^ ds^,

also

1 ööds2 (^^)

^ = -

2du^ds2'

D i e Formel ist unabhängig v o n dem A z i m u t , unter welcl^em die geodätische Linie u = 0 durch den P u n k t , dessen K wir b'östimmen wollen, verläuft. — D i e hierin liegende D e u t u n g des K (die ich C a r a ­ t h e o d o r y verdanke) ist so schön, daß ich sie hier nicht übergehen w o l l t e , trotzdem ich sie im folgenden nicht benutzen werde. Der Gegensatz gegen die frühere D e u t u n g v o n K wird wohl am klarsten, w e n n wir an das durch die Meridiane u n d ^ Breitenkreise der Erdkugel repräsentierte f 7 K o o r d i n a t e n s y s t e m denken. Beidemal b e ^fdv ds^hdcfds trachten wir die Längenänderung eines / J zwischen zwei Meridianen eingeschlossenen ' ^1^7 Stücks eines Breitenkreises: das erstemal '^* in der N ä h e des Pols, das zweitemal in der N ä h e des Äquators.

§ 7. Von der Äquivalenz zweier binärer ds^. Genaueres über den Fall konstanten Krümmungsmaßes. a) Mit jeder Gruppe von Transformationen ist selbstverständlich ein Äquivalenzproblem v e r b u n d e n : W a n n kann ich zwei vorgegebene Gebilde durch Transformationen der Gruppe ineinander überführen? E b e n s o selbstverständlich ist der Zusammenhang des Problems m i t der Invariantentheorie der Gruppe: alle Invarianten des einen Gebildes m ü s s e n denen des anderen gleich sein. Daher ist es ein alter Gedanke, den Begriff der Invariante geradezu aus d e m Äquivalenzbegriff zu deduzieren. So hat es z. B . für die ah­ g e m e i n e lineare Invariantentheorie A r o n h o l d in seiner ,,Fundamen­ talen Begründung der Invariantentheorie" in Crelle 6 2 (1863) versucht. D o c h zeigen sich hierbei K o m p l i k a t i o n e n , sofern m a n nicht im ah­ gemeinen bleiben, sondern alle besonderen Fälle mitbeherrschen wih. Als Beispiel diene d a s , was in K a p . I (S. 25) über die Äqui­ valenz zweier Bilinearformen ΣoiikUiXjc, UßncUiXj, (Bilinearformen 1) Werke IV, S. 39—55.

162

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

m i t k o n t r a g r e d i e n t e n Veränderlichen) g e s a g t wurde. Sei dijc i n b e k a n n t e r W e i s e = 1 für i = k u n d = O für i S k. D a n n g e n ü g t es i m allgemeinen, w e n n die b e i d e n D e t e r m h i a n t e n |a,Ä. + ^(5,·¾| u n d Ißtk + ^dijcl als P o l y n o m e in λ aufgefaßt, ü b e r e i n s t i m m e n . A u s ­ n a h m e n aber t r e t e n eüi, w e n n die g e n a n n t e n P o l y n o m e als F u n k t i o n e n v o n λ aufgefaßt mehrfache Linearfaktoren darbieten. Man wird d a n n z u der interessanten, aber w e i t s c h i c h t i g e n Theorie der „ E l e m e n t a r teiler" geführt. E s h e i ß t dies, i n v a r i a n t e n t h e o r e t i s c h a u f g e f a ß t : m a n m u ß n e b e n d e n D e t e r m i n a n t e n |a,fc - f ^(5,¾ | n o c h diejenigen I n v a r i a n t e n heranziehen, die aus d i e s e n D e t e r m i n a n t e n e n t s t e h e n , w e n n m a n sie m i t 1, 2 . . . R e i h e n v o n u n b e s t i m m t e n Größen, w e l c h e sich je n a c h d e m m i t d e n χ kogredient oder kontragredient substituieren, rändert. Ä h n h c h in aUen anderen F ä h e n . Man wird gewöhnlich besser fahren, w e n n m a n n i c h t m i t d e m Ä q u i v a l e n z p r o b l e m b e g i n n t , s o n d e m zuerst B i l d u n g s g e s e t z e für I n v a r i a n t e n aufstellt, u m d a n n hinterher z u prüfen, o b m a n m i t der AufsteUung der I n v a r i a n t e n hinreichend w e i t g e g a n g e n ist, u m d a s Ä q u i v a l e n z p r o b l e m in j e d e m FaUe z u erledigen. b) So ist es auch m i t der F r a g e der Ä q u i v a l e n z zweier (binärer) Differentialformen ds^ u n d ds'^ g e g e n ü b e r unserer G^o. SoU ds^ durch e m e S u b s t i t u t i o n Λ;, = 9?,· (Λ^ί, 4 ) i n ds'^ ü b e r g e h e n , so m u ß d a s K r ü m m u n g s m a ß K {Xi, x^ gleich sein d e m K r ü m m u n g s m a ß K' {x\, 4 ) . Gleiches wird beispielsweise für die ersten Differentialparameter und g e l t e n . Hierdurch ^st die S u b s t i t u t i o n , u m die es sich h a n ­ dehi k a n n , bereits i m aUgemeinen b e s t i m m t . Aber es g i b t FäUe, w o m a n d a m i t n i c h t a u s k o m m t (wenn D^K eüie F u n k t i o n v o n K selbst ist). D a n n m u ß m a n weitere Kriterien heranziehen, die m a n i n m o d e m e r F a s s u n g (im A n s c h l u ß a n D a r b o u x ' Lehrbuch) z. B . i n V o ß ' E n z y ­ klopädieartikel über die Isometrie der F l ä c h e n ( = I I I D , 6 a ) i n Nr. 19 findet. D i e s e g a n z e F r a g e ist b a l d n a c h d e m E r s c h e ü i e n der G a u ß s c h e n D i s q u i s i t i o n e s zuerst v o n M i n d i n g u n t e r s u c h t w o r d e n (CreUe 6, 1830). Minding h a t insbesondere gezeigt, d a ß , w e n n K k o n s t a n t (d. h. v o n ΛΓ^, X^ u n a b h ä n g i g ) ist, die Gleichheit der beiderseitigen K die h i n ­ reichende B e d ü i g i m g für die Ä q u i v a l e n z der b e i d e n ds^ ist. H i e r m i t h ä n g t z u s a m m e n , d a ß ds^ d a n n in verschiedene N o r m a l f o r m e n g e s e t z t w e r d e n k a n n , w e l c h e n u r v o n K a b h ä n g e n . Zugleich ergibt sich, d a ß jede solche N o r m a l f o r m u n d also d a s eüizelne ds'^, durch eine kontinuier­ liche Gruppe v o n dreifach u n e n d l i c h v i e l e n Transformationen in sich selbst v e r w a n d e l t w e r d e n k a n n . V o n hier aus die B e d e u t u n g , w e l c h e d i e Lehre v o n d e n ds^ k o n s t a n t e r K r ü m m u n g in d e n U n t e r s u c h u n g e n über die G m n d l a g e n der Geometrie h a t . Man k o m m t für K = O auf die F o r m e h i der g e w ö h n l i c h e n (Euklidischen) P l a n i m e t r i e , für p o s i t i v e s K auf die der sphärischen, für n e g a t i v e s K auf die der p s e u d o s p h ä r i s c h e n Geometrie.

Β. § 7. Von der Äquivalenz zweier binärer ds^.

163

c) Zu den Mannigfaltigkeiten „ k o n s t a n t e r K r ü m m u n g ' ' (und zwar nicl\t nur z u den zweidimensionalen) s i n d wir in früheren Teilen dieser DarsteUung schon v o n anderer Seite geführt w o r d e n , n ä m h c h v o n C a y l e y s projektiver M a ß b e s t i m m u n g a u s (vgl. B d . 1, S. 1 4 9 — 1 6 4 , oder a u c h die kurze B e m e r k u n g in B d . 2, S. 22). In Anknüpfung a n die hier i m Vordergrunde der B e t r a c h t u n g s t e h e n d e n projektiven B e z i e h u n g e n h a b e n Clifford u n d ich s c h o n v o r Jahren auf ehien w e s e n t h c h e n U m s t a n d aufmerksam g e m a c h t , auf d e n z. B . Enriques m s e i n e m E n z y k l o p ä d i e a r t i k e l über die Prinzipien der Geometrie ( = I I I A , B I ) ausführhch eingeht. U n s e r e U n t e r s u c h u n g e n über die Gestalt des ds"^ betreffen nämlich zunächst nur einen einfach zu­ sammenhängenden Bereich der Mannigfaltigkeit, die wir untersuchen, w o die Koordinatenwerte u, ν den P u n k t e n der Mannigfaltigkeit ein­ d e u t i g zugeordnet sind. Erfaßt m a n d e m e n t g e g e n den Gesamtverlauf der Mannigfaltigkeiten, so k ö n n e n sich d i e s e , bei d e m s e l b e n W e r t e d e s K , o h n e in ihrem Innern irgendwie singulare P u n k t e z u besitzen, sehr w o h l durch die Zusammenhangverhältnisse unterscheiden, welche sie darbieten. U m das v o n Chfford e n t d e c k t e charakteristische B e i ­ spiel z u n e n n e n : Mannigfaltigkeiten konstanter verschwindender K r ü m m u n g (also m i t durchweg E u k h d i s c h e m B o g e n e l e m e n t ) k ö n n e n sehr w o h l geschlossen in sich zurückkehren, so d a ß sie nur endlichen G e s a m t i n h a l t darbieten. V o n den Lehrbüchern ist bisher, soviel ich w e i ß , nur das v o n K ü h n g auf diese D i n g e eingegangen (Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I, 1893) ^). U n d doch handelt es sich u m eine FragesteUung, die für alle Differentialgeometrie fimda­ m e n t a l ist u n d die sich sinngemäß auf behebige höhere Differential­ formen ü b e r t r ä g t : u m die F r a g e , welche Zusammenhangsverhältnisse der unbegrenzt fortgesetzten Mannigfaltigkeit m i t einer vorgegebenen F o r m d e s ds^ verträghch sind. d) W i r h a l t e n i m folgenden an der A n n a h m e fest, d a ß die u, ν nur reeUer W e r t e fähig sein soUen. Infolgedessen k ö n n e n wir die Differen­ tialformen E du^ + 2F dudv +GdV^ in ihrer A b h ä n g i g k e i t v o n den du, dv n a c h den Gesichtspunkten einteüen, welche das Trägheitsgesetz der quadratischen F o r m e n an die H a n d gibt. N e h m e n wir, wie bisher, das ds^ als p o s i t i v d e f i n i t an, so h a b e n wir nur eine der hierbei z u unterscheidenden Klassen herausgegriffen. Schon d a s S t u d i u m der Lorentzgruppe h a t t e u n s v e r a n l a ß t , i n d e f i n i t e F o r m e n , w i e dx^ — c^dt^ (oder, bei 4 Variablen, dx^ + dy^ +dz^—c^ dt^ heranzu­ ziehen. E s w i r d zu untersuchen sein, w i e sich unsere E n t w i c k l u n g e n auf solche indefinite F o r m e n übertragen, u n d w a s bei ihnen abgeändert oder ergänzt werden m u ß . 1) Vgl. auch die inzwischen erschienene Arbeit von H. H o p f : Zum QiffordKleinschen Raumproblem. Math. Ann. 95 (1926). (H.) 11*

164

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

D i e Definitionen, w e l c h e wir für K g a b e n , u n t e r h e g e n b e i m Ü b e r ­ g a n g z u diesen indefiniten F ä l l e n g e w i s s e n B e s c h r ä n k u n g e n . B e i s p i e l s ­ w e i s e k ö n n e n wir jetzt n i c h t , w i e auf S. 1 5 5 g e s c h a h , über den voUen U m f a n g eines geodätischen K r e i s e s integrieren, sondern wir m ü s s e n u n s , g e m ä ß der S c h l u ß b e m e r k u n g des d a m a l i g e n Paragraphen, auf ein S e g m e n t desselben b e s c h r ä n k e n .

C

Riemanns n-dimensionale Mannigfaltigkeiten. L Die formalen Grundlagen.

D i e E n t w i c k l u n g e n , w e l c h e wir i m A b s c h n i t t B g e g e b e n h a b e n , sind bereits so z u r e c h t g e m a c h t , d a ß sie v o n selbst z u den E r w e i t e ­ rungen ü b e r l e i t e n , die R i e m a n n für η D i m e n s i o n e n e n t w i c k e l t h a t . W i r tragen diese E r w e i t e r u n g e n so vor, d a ß einige g a n z in R i e m a n n s Sinne h e g e n d e E n t w i c k l u n g e n , w e l c h e sehr b a l d v o n anderer Seite g e g e b e n w u r d e n , gleich m i t zur G e l t u n g k o m m e n .

§ 1. Historische Angaben. V o n R i e m a n n selbst k o m m e n für i m s in B e t r a c h t : 1. D e r HäbiUtationsvortrag (von 1 8 5 4 ) : Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen, n a c h d e m T o d e R i e m a n n s (1866) v o n D e d e k i n d in B d . 13 der G ö t t i n g e r A b h a n d l u n g e n (1868) veröffentlicht i). 2. D i e Pariser Preisarbeit (von 1 8 6 1 ) : Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab ill. Academia Parisiensi propositae\ D i e A u f g a b e b e h a n d e l t ein P r o b l e m der W ä r m e l e i t u n g , d a s u n s als solches hier n i c h t interessiert; e s findet sich aber darin ein kurzer A b s a t z , der v o n d e n q u a d r a t i s c h e n Differentialfornien v o n η V e r ä n d e r h c h e n h a n d e l t (vgl. S. 4 0 1 - 4 0 4 der G e s a m m e l t e n W e r k e , 2. Auflage), u n d dieser ist für u n s g r u n d l e g e n d . D i e A r b e i t (welche d e n Preis der Pariser A k a d e m i e n i c h t erhielt) w u r d e erst 1876 durch die v o n D e d e k i n d u n d W e b e r b e s o r g t e erste A u s g a b e v o n R i e m a n n s g e ­ sammelten Werken bekannt. N r . 1 e n t h ä l t , w e i l e s sich u m einen V o r t r a g v o r der G e s a m t f a k u l t ä t h a n d e l t e , k a u m F o r m e l n , aber u m so m e h r prinzipieUe Begriffsentwick­ l u n g e n . W a s G a u ß in seinen D i s q u i s i t i o n e s sorgfältig v e r s c h w i e g e n h a t t e : d a ß es sich bei i h m n i c h t nur u m W e i t e r e n t w i c k l u n g der G e o ­ m e t r i e , sondern u m ihre G r u n d l e g u n g (und d a m i t die G r u n d l e g u n g der theoretischen N a t u r w i s s e n s c h a f t ü b e r h a u p t ) h a n d l e , s t e h t hier v o r a n . D a v o n w u r d e in B d . 1 bereits einiges erzählt. I m jetzigen Z u s a m m e n 1) Vgl. Note 1. S. 154.

^ Vgl. Note 2. S. 155.

C § 1. Historische Angaben.

165

h a n g h a n d e l t e s sich nur d a r u m , d a ß R i e m a n n in N r . 1 die Grund­ linien für eine s y s t e m a t i s c h e B e h a n d l u n g der quadratischen Differential­ formen m i t η Veränderlichen: ds^ = U^ikdXidxj, g e g e b e n h a t , ins­ besondere bei ihnen eine I n v a r i a n t e definiert, die als genuine Ver­ allgemeinerung der i m FaHe w = 2 v o n u n s m i t [ ß ] bezeichneten I n ­ v a r i a n t e erscheint. V o n hier a u s d a n n , w i e n o c h ausführlicher z u schildern, die v o n R i e m a n n gegebene Verallgemeinerung d e s Gaußischen K r ü m m u n g s m a ß e s auf η D i m e n s i o n e n . — D i e Veröffentlichung v o n Nr. 1 fiel in die Zeit, als ich e b e n anfing, m i c h selbständig m i t m a t h e ­ m a t i s c h e n P r o b l e m e n z u beschäftigen. So h a b e ich n o c h lebhafte Erinnerung a n d e n außerordentlichen Eindruck, d e n R i e m a n n s Ge­ d a n k e n g ä n g e d a m a l s auf die jungen Mathematiker m a c h t e . Vieles erschien u n s dunkel u n d schwerverständlich u n d doch wieder v o n unergründhcher Tiefe, w o der heutige Mathematiker, der alle diese D i n g e v o n vornherein in seine D e n k w e i s e a u f g e n o m m e n h a t , nur noch die Klarheit u n d P r ä g n a n z der Auseinandersetzung b e w u n d e r t . Nr. 2 bringt dann, in allerdings sehr knapper F a s s u n g , die ergänzen­ den F o r m e l n , insbesondere die Definition des K r ü m m u n g s m a ß e s bei b e h e b i g e m ds^. Man fragt sich, w i e R i e m a n n s o w i c h t i g e E n t w i c k ­ lungen einer Preisarbeit anvertrauen k o n n t e , die d a n n unveröffentlicht liegen blieb (weil die A k a d e m i e m i t d e m n e u e n Gedankeninhalte nichts anzufangen w u ß t e ) . E s ist hier einer der P u n k t e , w o die ö k o n o m i s c h e n Verhältnisse in die E n t w i c k l u n g unserer Wissenschaft hineinragen. D i e B e t e i h g u n g an a k a d e m i s c h e n Preisbewerbimgen w a r d a m a l s noch eines der w e n i g e n Mittel, w i e die m a t h e m a t i s c h e n Forscher hoffen durften, ihre s c h m a l e n E i n k ü n f t e z u ergänzen. Preise, w e l c h e hinterher als A n e r k e n n u n g für große wissenschafthche Leistungen v o n akademi­ s c h e n Körperschaften oder Stiftungen frei vergeben werden, waren d a m a l s n o c h nicht Sitte. D i e Veröffenthchung v o n N r . 1 i m Jahr 1868 g a b sofort z u einer großen R e i h e weiterbauender A b h a n d l u n g e n anderer A u t o r e n Anlaß. V o n H e l m h o l t z ' hierher gehörigen Arbeiten über die Grundlagen der Geometrie i s t an gegenwärtiger SteUe nicht z u reden, ebensowenig v o n d e m parallellaufenden A u s b a u der projektiven Geometrie, a n d e m ich selbst b e t e i h g t war. E s sind drei andere A u t o r e n , die für u n s in erster Linie in B e t r a c h t k o m m e n : B e l t r a m i , C h r i s t o f f e l u n d L i p s c h i t z . I n d e m ich m i r vorbehalte, auf die historischen B e d i n g u n g e n der ein­ z e l n e n A r b e i t e n noch z u r ü c k z u k o m m e n , gebe ich hier vorweg die äußeriichen D a t e n . V o n B e l t r a m i k o m m e n v o r aUen D i n g e n zwei Arbeiten in B e t r a c h t : seine allgemeine Theorie der R ä u m e konstanter K r ü m m u n g (1868, Annali di Mat. [ 2 ] , 11 = Werke, B d . 1) u n d seine U n t e r s u c h u n g über Differentialparameter bei beliebig vorgegebenem B o g e n e l e m e n t (1869, A t t i di B o l o g n a [ 2 ] , V l I l = Werke, B d . 2).

166

3 Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

C h r i s t O f f e i stellt das Äquivalenzproblem zweier beliebiger Differentialformeu ^^ik^^i^^k u n d ZhiudyidyT, voran (CreUes Jour­ n a l 7 0 : Ü b e r die Transformation der h o m o g e n e n Differentialausdrücke z w e i t e n Grades, datiert 3. J a n . 1869). W i e weit er dieses erledigt, u n d w e l c h e Ausnahmefälle er ausdrücklich beiseite läßt, w i r d später z u besprechen sein. Hier sei v o r a b nur b e m e r k t , daß er die R i e m a n n s c h e Invariante [ ß ] seinerseits auffindet u n d in den Mittelpunkt der B e ­ trachtung rückt. L i p s c h i t z hat eine größere Zahl v o n Arbeiten (aUe in CreUes Jour­ nal). D i e erste ist v o m 4. J a n . 1869 datiert u n d u n m i t t e l b a r hinter der Christoffeischen A b h a n d l u n g i m ersten H e f t e des 70. B a n d e s abgedruckt. Lipschitz untersucht dort insbesondere die (von Christoffel ausge­ schlossene, aber v o n R i e m a n n in Nr. 2 explizite b e a n t w o r t e t e ) Frage, w a n n sich Z(^ik dXidXj^ in eine F o r m m i t k o n s t a n t e n Koeffizienten i m d d a m i t in die „ E u k l i d i s c h e " F o r m Σ^yI verwandeln läßt. V o n hier aus wird er ebenfaUs zur I n v a r i a n t e [ ß ] geführt u n d findet, daß ihr iden­ tisches Verschwinden die n o t w e n d i g e u n d hinreichende B e d i n g u n g ist. — V o n d e n weiteren Lipschitzschen Arbeiten ist diejenige in B d . 72 (1870) hervorzuheben, w e i l dort S. 16^ 17 die invariantenerzeugenden Prozesse, deren auch wir u n s bedienen, in übersichthcher W e i s e zu­ s a m m e n s t e h t u n d weiterhin nach verschiedenen R i c h t u n g e n h i n ver­ w a n d t werden. W i r nennen endlich die Arbeit in B d . 82 (1877), die an d a s Erscheinen v o n R i e m a n n s Preisschrift anknüpft u n d die volle Verbindung v o n R i e m a n n s eigener Definition der F o r m [ ß ] m i t d e n v o n Lipschitz selbst e n t w i c k e l t e n F o r m e l n hersteUt. Ich g e b e d e m n u n m e h r z u e r s t a t t e n d e n Berichte wieder eine weniger historische als s y s t e m a t i s c h e F o r m , w i e sie sich an unsere früheren Darlegungen anschließt, i m übrigen aber gerade als Erträgnis der vor­ g e n a n n t e n Literatur anzusehen ist.

§ 2· Differentialformen mit nur ersten Differentialen. A l s Substrat unserer B e t r a c h t u n g e n h a b e n wir fortan die Mannig­ faltigkeit (den R a u m ) irgend η unabhängiger Veränderlicher x^...x^y w e l c h e wir der Gc^o aller P u n k t t r a n s f o r m a t i o n e n (oder besser: aUer Koordinatentransformationen) (1)

Xi=^9i{yi'

'-yni

i m Sinne v o n S. 136 unterworfen denken. D a sich das S y s t e m der Dif­ ferentiale dx^...dXn bei diesen Transformationen nach d e n A u s f ü h ­ rungen auf S. 137 in j e d e m P u n k t linear u m s e t z t (2)

dx,

so nennen wir es einen Vektor, — k ö n n e n e s u n s a u c h , wie s c h o n C a u c h y

C. § 2. Differentialformen mit nur ersten Differentialen.

167

in seiner B e g r ü n d u n g der Differentialrechnung v o r s c h l u g , in jedem Augenblicke durch eine v o m P u n k t e (x) auslaufende Strecke v o n end­ licher Länge veranschaulicht denken. D i e in K a p . I entwickelten Begriffe der linearen Invariantentheorie finden hier unmittelbare A n ­ w e n d u n g , nur d a ß die S u b s t i t u t i o n s d e t e r m i n a n t e v o n (2) im allge­ m e i n e n v o n E i n s verschieden ist (während wir in K a p . I unimodulare S u b s t i t u t i o n e n behandelten). Als Objekt unserer Untersuchungen denken wir uns in erster Linie lineare F o r m e n

(3)

Uu.dx,,

w o die Ui v o n den x,. ..x^ selbst abhängen werden, so d a ß wir einen „Pfaffschen Ausdruck'' v o r uns h a b e n ; der einfachste FaU ist, d a ß es sich u m das Differential

irgend einer F u n k t i o n / der ί^Λ; handelt. W i r n e n n e n d a s S y s t e m der Ui — faUs 21 Ui dXi eine Invariante ist — einen kontragredienten Vektor 1). Wir schreiten f e m e r zu G r ö ß e n s y s t e m e n , die sich bei den T r a n s ­ formationen (1) wie Verbindungen z w e i t e n Grades der dx, oder auch der Ui substituieren u n d die wir d a n n kogrediente b z w . kontragrediente Tensoren n e n n e n . D a b e i unterscheiden wir den s y m m e t r i s c h e n u n d den antisymmetrischen FaU. D i e K o m p o n e n t e n eines s y m m e t r i s c h e n Tensors substituieren wir i m kogredienten FaUe w i e die (4a) dxl 2dx,dx^, dxl ... oder auch, w e n n d u n d δ z w e i kogrediente Vektoren sind, wie die bUinearen Verbindungen

(4b)

dx,dx,,

dx,dx^ + dx^dx,^ dx^dx^^ ...

analog i m kontragredienten FaUe. — Als einfachster FaU eines anti­ s y m m e t r i s c h e n Tensors werden u n s die U n t e r d e t e r m i n a n t e n aus den K o m p o n e n t e n zweier Vektoren d, δ beschäftigen (5)

PiJC^

dXiδxJ,-dxJ,δXi;

m a n überlege siqh die linearen Substitutionen, welche die Größen­ s y s t e m e (4) u n d (5) entsprechend den Transformationen (2) erleiden. I n d e m wir uns sogleich eine quadratische F o r m der dx, gegeben d e n k e n (6)

U^ijcdXidXj,,

1) Statt „kontragredienter Vektor" sagt man heute „kovarianter Vektor", ebenso „kontravariant" statt „kogredient". Bei Tensoren ist der Sprachgebrauch noch schwankend. Vgl. auch S. 193, Note 1.. (H.)

168

3. K a p . Gruppen analytischer Punkttransformationen.

h a b e n wir in d e n «^¾ einen z u d e n K o m p o n e n t e n (4 a) kontragredienten Tensor. E i n e entsprechende alternierende F o r m

(7)

Σλ,,,ρ,,,

w i r d u n s v i e l beschäftigen. E s h a t keinen Zweck, hier s y s t e m a t i s c h v o n entsprechenden Dif­ ferentialformen höheren Grades, insbesondere v o n d e n höheren Graß­ m a n n s c h e n Stufen z u reden. AUes, w a s in der e l e m e n t a r e n I n v a r i a n t e n ­ theorie b e i algebraischen F o r m e n z u sagen i s t , alle F o r m e n a r t e n , welche in der affinen oder profektiven Geometrie eine RoUe spielen, — k o m ­ m e n hier i n der I n v a r i a n t e n t h e o r i e der Differentialformen m i t n u r ersten Differentialen ebenfaUs in B e t r a c h t . Ich m ö c h t e hier n u r v o n der F o r m [ ß ] , w e l c h e d e n Zähler des R i e ­ m a n n s c h e n K r ü m m i m g s m a ß e s einer quadratischen F o r m (6) a b g i b t , einiges Vorläufige sagen. Sie erscheint algebraisch als eine gewisse quadratische V e r b i n d u n g der in (5) eingeführten U n t e r d e t e r m i n a n t e n , die wir in der F o l g e so schreiben w e r d e n : (8)

rs)p,^Prs-

N e h m e n wir i m A n s c h l u ß a n K a p . I I w = 4 , so ist ein derartiges [ ß ] in der p r o i e k t i v e n Geometrie (wo die pi^ als h o m o g e n e Linien­ koordinaten d e s dreifach a u s g e d e h n t e n R a m n e s interpretiert werden) die h n k e Seite der Gleichimg eines „ L i n i e n k o m p l e x e s z w e i t e n Grades". D a r a n knüpft sich für m i c h eine merkwürdige, persönliche Erinnerung, die zeigt, w i e w e n i g die Z u s a m m e n h ä n g e z w i s c h e n verschiedenen m a t h e ­ m a t i s c h e n G e b i e t e n , die w i r hinterher als s e l b s t v e r s t ä n d l i c h a n s e h e n , i m Status n a s c e n d i d e n N ä c h s t b e t e i h g t e n b e w u ß t z u sein b r a u c h e n . I c h h a t t e m i r i m H e r b s t 1 8 6 8 , in A n k n ü p f u n g a n die U n t e r s u c h u n g e n m e i n e s v e r s t o r b e n e n Lehrers Plücker, die allgemeine Theorie der g e ­ n a n n t e n L i n i e n k o m p l e x e als T h e m a g e w ä h l t . Referent w a r L i p s c h i t z , d e r , w i e v o r h i n bereits e r w ä h n t , selbst d a m a l s m i t der AufsteUung u n d U n t e r s u c h u n g der Differentialform [Ω] i n t e n s i v beschäftigt war. Lipschitz h a t d a m a l s a u c h ausführlich m i t m i r über d e n G e g e n s t a n d meiner D i s s e r t a t i o n g e s p r o c h e n . Aber k e i n W o r t über die B e z i e h i m g m e i n e r A r b e i t z u d e m R i e m a n n s c h e n H a b i l i t a t i o n s v o r t r a g , der doch in jener Zeit für L i p s c h i t z selbst s o z u s a g e n die t ä g h c h e N a h n m g a b ­ g a b ! U n d als ich einige Jahre später (1872) m e i n Erlanger P r o g r a m m s c h r i e b , m i t der ausdrücklichen A b s i c h t , über die n e b e n e i n a n d e r herlaufenden B e t r a c h t u n g e n der G e o m e t e r eine Ü b e r s i c h t v o n e i n e m e i n h e i t h c h e n S t a n d p i m k t e a u s z u g e w i n n e n , h a b e ich z w a r stark her­ v o r g e h o b e n , d a ß eine P u n k t t r a n s f o r m a t i o n (1) für eine imendlich kleine P a r t i e d e s R a m n e s i m m e r d e n Charakter einer h n e a r e n Transfor­ m a t i o n h a t , aber ich b i n a n den A r b e i t e n v o n R i e m a n n , Christoffel u n d l i p s c h i t ? , die d e n s c h ö n s t e n B e l e g für m e i n e Auffassungen gebildet hätten, immer noch vorbeigegangen.

C § 3. Vorbemerkungen über das Riemannsche Krümmungsmaß.

169

§ 3 . Vorbemerkungen über das Riemannsche Krümmungsmaß. Wir denken jungiert : (9)

u n s fortan

f{d,d)

eine

quadratische

=

Differentialform

ad-

2ai,dXidx,,

die w k als Quadrat eines B o g e n e l e m e n t e s d e s interpretieren u n d dementsprechend m i t ds^ bezeichnen. D i e sind irgendwelche i n d e m für u n s i n B e t r a c h t k o m m e n d e n Bereiche reguläre F u n k t i o n e n der X. D a b e i n e h m e n wir b i s auf weiteres wieder a n , d a ß nur reelle Werte der x, (wie auch der «^¾) in B e t r a c h t k o m m e n soUen u n d d a ß unter dieser A n n a h m e ds^ positiv definit sei. D i e D e t e r m i n a n t e v o n (9) (10)

\α,,\=α

ist dann ebenfaUs positiv. Wir ziehen zunächst die algebraische Invariantentheorie der g e ­ w ö h n h c h e n quadratischen F o r m e n heran u n d s t e h e n folgende Sätze 1. Mit (9) ist auch die Polare (11)

f{d,d)

eine Invariante.

=

2ai,dXidx,

Ferner h a b e n wir die elementare K o m b i n a n t e :

(12) ^ ^

j,^\fid,d)fid,d)\ \f{d,d)f{d,d) I

(die d e m vierfachen Quadrat d e s unendlich kleinen Dreiecksinhaltes entspricht, der v o n d e m v o m P u n k t e auslaufenden V e k t o r e n d u n d δ b e s t i m m t wird). 2. W e n n wir dieses F ausrechnen, b e k o m m e n wir z u n ä c h s t :

/ (13)

F=

2{^ir^lcs-a,r^

dx^dxröxj^öxs+

dxj,dx,öxJxA

\ - dx, dx, δχ^ ÖXr-dXj,dx,

δχ, δχ,Ι '

die S u m m e g e n o m m e n über alle K o m b i n a t i o n e n t, k b z w . r, s w o r ^ s . W i r können hier nach d e n Graßmannschen Größen zweiter Stufe (5) ordnen u n d erhalten: (14)

F = Ui^iT

^kS - ^kT ^is) PiJcPrS ·

Dabei b e a c h t e m a n , d a ß zwischen irgend 6 solchen ^^¾, die z u s a m m e n dieselben 4 verschiedenen Indizes enthalten, quadratische I d e n t i t ä t e n nach folgendem Muster b e s t e h e n (vgl. S. 6 , 7 ) : (15)

P ^ Pl2pB,+PlBp42+PlAp2B

= O.

Wir können also die rechte Seite in (14) (indem wir die P m i t beliebigen K o n s t a n t e n multipliziert hinzuaddieren) verschiedenthch modifizieren. U n t e r all d e n so e n t s t e h e n d e n Ausdrücken v o n F i s t derjenige, der

170 3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen. i n (14) hingeschrieben i s t , d a d u r c h ausgezeichnet, d a ß er „normiert" i s t , d. h. d a ß z w i s c h e n d e n Koeffizienten der Glieder pi^p^s dieselben I d e n t i t ä t e n b e s t e h e n , w i e z w i s c h e n den pi^prs selbst. In der T a t h a t m a n der Gleichung (15) e n t s p r e c h e n d folgende I d e n t i t ä t e n :

™

|::::::IH^:SKI::::;:I=»

3. D i e D e t e r m i n a n t e \a\ ist fetzt k e i n e Invariante. Geht Σαι^άχ^άχ^ b e i den S u b s t i t u t i o n e n (2) in Σ^ί^άγ^άγ^ über, s o hat man vielmehr (17)

10,•J

=

unter r die F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e der ( — ) v e r s t a n d e n .

Ebensowenig

ist die „ z u g e o r d n e t e " quadratische F o r m (welche a u s α durch „ R ä n d e n m g " m i t k o n t r a g r e d i e n t e n Variabein u e n t s t e h t ) : (18) an sich eine I n v a r i a n t e . Man erhält aber eine solche, w e n n m a n Φ durch α dividiert. Speziell woUen wir s e t z e n

(19)

^±^2]^''

^WO α** = ~ ~ ^ ~ ~ ) > ^ n d (19) al$ reziproke

F o r m v o n / b e z e i c h n e n , weil

sich zeigt, d a ß die B e z i e h u n g der b e i d e n F o r m e n zueinander eine durch­ a u s gegenseitige ist. 4. A u s der I n v a r i a n z v o n (19) folgt, d a ß die α** z u d e n binären P r o d u k t e n dXi dx kogredient sind. W i r werden also beispielsweise a u s F (14) w i e d e r I n v a r i a n t e n e r h a l t e n , w e n n wir für die dXidx oder a u c h die dXidx oder schKeßKch für b e i d e , die i h n e n kogredienten eintragen. D i e s g i b t freilich n i c h t s n e u e s : B e i d e m ersten Schritte erhalten wir (« — 1) / ( ό , ό ) b z w . [n—l) f{d,d) b e i d e m z w e i t e n Schritt den Zahlen wert Λ (« — 1) ^). 6. W i r g e d e n k e n n o c h d e s i n v a r i a n t e n A u s d r u c k s , der bei Z u g n m d e l e g u n g d e s / für das R a u m e l e m e n t der « - d i m e n s i o n a l e n Mannigfaltig­ k e i t resultiert. Man d e n k e sich v o n e i n e m P u n k t e [x) auslaufend η linear u n a b h ä n g i g e V e k t o r e n : k

k

k

rf. iert solche Angaben am einfachsten, indem man / (d, d)r ν sich immer dnrch Einführung linearer Verbindnngen der dx erreichen läßt, gleich ZCidyl wird

nimmt. Die zugeordnete Form bekommt dann die Gestalt Zc,c pf . k

k

F aber

C. § 3. Vorbemerkungen über das Riemannsche Krümmungsmaß.

171

E s wird sich d a n n einfach u m die D e t e r m i n a n t e der bezüghchen άχψ, multiphziert m i t der Quadratwurzel aus α h a n d e l n :

6. W e n d e n wir uns jetzt zur höheren Theorie unseres /. E s h a n ­ delt sich bei ihr darum, d a ß die α,·^ v o n den x,.. .x^ abhängen (daß m a n in ihnen ein F e l d kontragredienter Tensoren vor sich h a t . Man wird nach Invarianten — Differentiahnvarianten — suchen, welche n e b e n d e n α,· ^ deren erste, zweite, . . . Differentialquotienten nach den χ e n t h a l t e n * [für deren Invarianz statt der Goo (1) d a n n eine entsprechend erweiterte Goo m a ß g e b e n d i s t ] . Als einfachste dieser Invarianten er­ gibt die nähere U n t e r s u c h u n g den Zähler des schon in § 2 g e n a n n t e n R i e m a n n s c h e n K r ü m m u n g s m a ß e s , den wir m i t [Ω] b e z e i c h n e t e n : (21) m=-Z{ik,f S)Pi^p,,, auf dessen Bildungsgesetz wir sofort eingehen werden.

Der

Quotient

ist dann die Definition des Riemannschen Krümmungsmaßes. Für « = 2 , w o nur ein einziges ρ,^. = Pi^ vorhanden ist, welches d a n n i m Zähler u n d Nenner v o n (22) als Quadrat auftritt, h e b t sich dieses eben darum eo ipso w e g , Kj^ wird eine F u n k t i o n der a^j, u n d ihrer Differentialquotienten, also eine Ortsinvariante; diese fällt m i t d e m Gaußschen K r ü m m u n g s m a ß z u s a m m e n . F ü r größere W e r t e v o n η aber wird KR außerdem v o n den ^^¾, d. h. v o n der W a h l des B ü s c h e l s der Vektoren xd + λδ a b h ä n g e n ; wir nennen es d a r u m eine Büschelinvariante. E s gibt natürlich besondere FäUe, w o die Koeffizienten der piupra i m Zähler den entsprechenden Koeffizienten des Nenners proportional sind, u n d unter ihnen ist wieder derjenige ausgezeichnet, w o Kj^ auch v o n den unabhängig, d . h . überhaupt eine. K o n s t a n t e wird. D i e s sind die Mannigfaltigkeiten, welche R i e m a n n insbesondere als Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung^) bezeichnet. H a t das k o n ­ s t a n t e KR insbesondere den W e r t 0 , so spricht m a n v o n einer Eukli­ dischen Mannigfaltigkeit. W i r wollen auf K^ hier gleich den unter 4. g e n a n n t e n S u b s t i t u t i o n s 1) Siehe K a p . I . S.38ff. 2) Vgl. hierzu F. Schur: Räume konstanten Krümmungsmaßes II, Math. Ann. 27 (1886). S. 537.

172 3. K a p . Gruppen analytischer Punkttransformationen. prozeß einmal oder z w e i m a l a n w e n d e n . D a s erstemal erhalten wir eine I n v a r i a n t e , die wir als Richtungstnvanante bezeichnen (weil sie nur n o c h ein S y s t e m v o n dx, u n d zwar h o m o g e n v o m nullten Grade enthält) ZHk (23)

Σα,.αχ,

rs)l

dx,-

D a s z w e i t e m a l aber eine

^''dx,dx.

+

a^'dx,dxA

2(n^l)t(d.d)

'

Ortsinvariante

(24) K= (Der auf d e n h n k e n Seiten v o n ( 2 3 ) , (24) auftretende Ausdruck K,j, ist in leichtverständlicher W e i s e durch die rechten Seiten definiert). B e i d e I n v a r i a n t e n werden u n s n o c h beschäftigen. I m besonderen FaUe W = 4 b i l d e n sie n e b e n d e m ^ d e n A u s g a n g s p u n k t der E i n ­ s t e i n s c h e n G r a v i t a t i o n s t h e o r i e , b z w . der v o n H i l b e r t in seinen .,Grundlagen der Physik'^ (Göttinger N a c h r i c h t e n v o m D e z . 1915) g e ­ g e b e n e n E n t w i c k l u n g e n . D e r G e d a n k e , die dXidxj, u s w . in Kj^ durch die ihnen kogredienten α** z u ersetzen, ist übrigens bereits v o n L i p ­ schitz in seinen ersten U n t e r s u c h u n g e n b e n u t z t worden ^).

§ 4· Die Gleichungen der geodätischen Linien und die m i t i h n e n z u s a m m e n h ä n g e n d e n Invarianten*. W i r h a b e n schon bei ^ = 2 i m A n s c h l u ß an R i e m a n n s aUgemeinen A n s a t z aUes s o weit vorbereitet, u m die ferneren E n t w i c k l u n g e n glatt auf b e h e b i g e s η übertragen z u k ö n n e n . Wieder b e t r a c h t e n wir s t a t t der g e o d ä t i s c h e n Linien (die d a s Objekt der rein geometrischen B e t r a c h t u n g sein werden) in erster Linie die sie definierenden B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n eines P u n k t e s , der sich i m m i t d e m B o g e n e l e m e n t e ds^ kräftefrei b e w e g t . W i r h a b e n d e m ­ entsprechend d a s Variationsproblem

u n d f m d e n (siehe überall d e n § 2 d e s vorigen A b s c h n i t t e s ) , d a ß für behebige öxjc die Invariante v e r s c h w i n d e n m u ß : (26)

2d (Σ a,^ dx, δχ^) -

Die bei der Ausrechnung

δΣα,^

dieses A u s d r u c k s

dx, dx^. zunächst

auftretenden

Gheder m i t dd h e b e n sich g e g e n s e i t i g w e g ; wir h a b e n also e m lineares 1) Vgl. insbesondere CreUes Journal 72 (1870), S. 33 und 34, Fußnote. Was Wh· im Texte K nennen, heißt bei Lipschitz - - ^ Γ Ν ""^^ ebenso bei Hilbert «(n~l)'

C § 4. Die Gleichungen der geodätischen Linien.

173

Aggregat der Differentiale öx^. d a s wir m i t Lipschitz folgendermaßen bezeichnen:

(27)

2ΣΨτ{α.α)

δX,.

Hier sind d i e Ψ^ folgende Verbindungen d e r

(28)

(dj) = ^^ird^i

+2^1

(¾

dx,d^x:

+'^)

dXi dx,.

Wir b e k o m m e n also als Bewegungsgleichungen u n d d a m i t a l s Definition der v o n d e m kräftefreien P u n k t durchlaufenen B a h n k u r v e n , d. h. d e r geodätischen Linien, d i e F o r m e l n : (29)

Wrid.d)

= 0 .

Zugleich ergibt sich a u s der Invarianz v o n (27), d a ß aUgemein d i e A u s drücke Wr{d,d) einen k o n t r a g r e d i e n t e n Vektor vorstellen. Wir erhalten einen k o g r e d i e n t e n Vektor, i n d e m w i r d i e mit den Koeffizienten Λ*"* der zur Grundform reziproken F o r m m u l t i ­ plizieren u n d addieren. D i e K o m p o n e n t e n dieses Vektors w e r d e n : (30, « , . - ^ . + ^ £ - • ( ¾ + ¾ - ¾ . ) , , , , , . . Also nicht d i e d^Xg selbst, sondern erst die solcherweise vervoUständigten Ausdrücke h a b e n Vektorcharakter. I m übrigen i s t deutlich, d a ß wir in diesen Sätzen s t a t t der {d, d) a u c h d i e e t w a s allgemeineren Ausdrücke (31)

^Aä,ö)^2;<^^.äö.,

+

setzen dürfen. D i e hier überaU auftretenden q u o t i e n t e n der UiJ,:

•3^)

4(¾·+¾-¾?)

ZU^+'e^-'-^)ä^.ö., Verbindungen

erster

Differential-

1:^-(¾+¾:-¾-*)

haben sich natürlich j e d e m dargeboten, der sich m i t d e n hier vorhegenden Problemen beschäftigt h a t . S o zunächst R i e m a n n , Christoffel u n d Lipschitz. Jeder dieser Autoren h a t auch für sie besondere A b k ü r z u n g e n eingeführt. D i e Einseitigkeit der literarischen E n t w i c k l u n g h a t e s dann m i t sich gebracht, d a ß einzig die v o n Christoffel g e w ä h l t e n A b k ü r z u n g e n Verbreitung gefunden h a b e n u n d Christoffeische Symbole erster b z w . meiter Art genannt werden. Diese bieten sich also in der Theorie der geodätischen Linien v o n selbst dar. D i e Invariante (26) k ö n n t e m a n aber auch, ohne v o n e i n e m Variationsproblem z u sprechen, a u s rein formalen Gründen als einfachste ihrer A r t hinschreiben.

174

3. K a p . Gruppen analytischer Punkttransformationen.

§ 5*. D a s R i e m a n n s c h e [ ß ] . W i r beginnen, i m A n s c h l u ß an R i e m a n n , m i t d e n Gleichungen ψ^ = 0. W i r ziehen v o n einem P u n k t e {x) a u s ein g a n z e s „ B ü s c h e l " von Vektoren Hd + λδ u n d denken u n s jeden derselben geodätisch fortgesetzt. So entsteht, w a s wir eine durch [x) laufende „geodätische F l ä c h e " n e n n e n werden. W i r gebrauchen hier nur erst, w a s w i r als ihr angehörige „ U m g e b u n g " des P u n k t e s O b e z e i c h n e n k ö n n e n , u n d w a s , d e n F o r m e l n (29) v o n S. 1 5 6 entsprechend, durch die 3 η Differentialgleichungen g e g e b e n sein w i r d : (34)

WAd,d)

= 0,

Wr{d,6)=0,

((5,(5)=0.

J e drei nebeneinanderstehende dieser Gleichungen h a b e n K o m b i n a n t e n ­ natur, d. h. sie bleiben z u s a m m e n g e n o m m e n ungeändert, w e n n m a n s t a t t d u n d δ irgend z w e i andere V e k t o r e n des durch sie b e s t i m m t e n B ü s c h e l s xd-\- λδ einführt. — S t a t t der Gleichungen (34) k ö n n e n wir der F o r m e l (30) entsprechend auch schreiben:

(35)

D e r zweite Schritt zur B i l d i m g d e s [ ß ] wird n u n sein, d a ß wir d e n Ausdruck (36) Ω = δδΣai^dXidxJ,-dδΣai^dXiδx^ + ddΣa,^,δXiδx^ ins A u g e fassen. E s b i e t e n sich g e n a u dieselben B e m e r k u n g e n , die wir schon b e i M = 2 m a c h t e n : Ω ist eine I n v a r i a n t e gegenüber b e h e b i g e n S u b s t i t u t i o n e n (1), weil e s a u s lauter I n v a r i a n t e n z u s a m m e n g e s e t z t ist. E s e n t h ä l t f e m e r , ausgerechnet, n e b e n d e n Differentialen d, δ n u r n o c h solche der z w e i t e n Ordnung d^,dδ,δ^, E s b l e i b t schheßlich gegenüber linearen S u b s t i t u t i o n e n

d'=κd

+ λδ,

δ'=μd+vδ,

sofern w i r κ v — λ// = 1 n e h m e n , völlig ungeändert (was d e n genaueren Begriff der , , K o m b i n a n t e " als einer unverändert bleibenden F o r m , nicht n u r eines g e l t e n d b l e i b e n d e n Gleichungssystems a u s m a c h t ) . Viel­ leicht m a g m a n sich a u c h überlegen, d a ß Ω unter allen A u s d r ü c k e n , welche m a n d i e s e n drei A u s s a g e n entsprechend aufbauen k a n n , d a s einfachste i s t . U n d n u n erhalten w i r d a s gesuchte [ ß ] (37)

C § 6. Die ausgerechnete Formel für das Riemannsche Krümmungsmaß. 1 7 5 indem w i r i n (36) für d i e zweiten Differentiale d^ dd, ihre Werte aus (35) eintragen. I n der T a t entsteht dann eine F o r m , welche n u r noch d i e ersten Differentiale dx,δx, — jede dieser Größenreihen h o m o g e n i m 2. Grade - enthält, welche außerdem die K o m b i n a n t e n ­ eigenschaft besitzt u n d eben darum eine h o m o g e n e F u n k t i o n z w e i t e n Grades der D e t e r m i n a n t e n sein m u ß . D i e Koeffizienten aber, welche w i r kurzweg m i t (ik,rs) bezeichnet haben, werden n e b e n d e n Ui j, selbst deren erste u n d zweite Ableitungen v o n d e n χ e n t h a l t e n . Ihre ausgerechneten W e r t e werden w i r sogleich i n allgemeiner F o r m angeben, bemerken aber vorweg, d a ß w i r diese allgemeine F o r m n i e g e b r a u c h e n , sondern i n d e n F ä h e n , welche w i r betrachten, u n s d a s spezielle [Ω] lieber jedesmal direkt bilden. Wir sind b e i der Herstehung d e s [Ω] a u s Ω durchaus R i e m a n n gefolgt. Lipschitz h a t i n seiner schon o b e n g e n a n n t e n Arbeit i n Crelle 82 (1877) d e n Prozeß vollends ins Formentheoretische emporgehoben, indem er d i e in Ω auftretenden zweiten Differentiale nicht durch d i e G l e i c h u n g e n ψ^ = 0, sondern durch Subtraktion einer geeigneten Verbindung der A u s d r ü c k e Wr(d,d), Wr (d, δ), Wr (δ, δ) entfernt. Sein R e s u l t a t schreibt sich i n unserer Bezeichnung s o :

(38)

[Ω] = Ω-2[Σα^^

W, [d, δ) W, (d, δ) - Σ^^'(d,d)

W,(δ,δ)).

Man überzeugt sich sofort, daß das rechter H a n d zugesetzte Glied nicht nur eine Invariante der Vektoren d, δ, sondern auch eine K o m b i n a n t e derselben ist ^).

§ 6. Die ausgerechnete Formel für das Riemannsche Krümmungsmaß. Ich verweise z u m Schluß noch einmal auf d i e Definition d e s R i e ­ mannschen Krümmungsmaßes: 1 [Ω]_ Z[ik,ys)p,^ (22) Kn = u n d teile d i e ausgerechneten W e r t e der Koeffizienten

(ik, rs) m i t .

1) Wir können im Text die Beziehungen zur Mechanik, welche Lipschitz vor­ anstellt, leider nicht verfolgen. Immerhin wollen wir angeben: denkt man sich die X, als Funktionen der „Zeit" t, läßt also den Punkt {x) — den wir mit der „Masse" 1 ausstatten wollen — eine bestimmte Bahn mit gegebener Geschwindigkeit und Beschleunigung durchlaufen, so h a t man in

diejenige Größe, welche man nach Gauß als Zwang der Punktbewegung bezeichnet. Indem Lipschitz dementsprechend die Überschrift seines Aufsatzes wählte (Be­ merkungen zum Prinzip des kleinsten Zwanges), ist dieser, wie es scheint, bisher von den Geometern nicht hinreichend beachtet worden.

176

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

w i e sie R i e m a n n (S. 4 0 2 der W e r k e , 2. Aufl.) in seiner Pariser Preis­ arbeit selbst a n g i b t u n d m a n sie in v i e l e n B ü c h e r n findet:

+^!"«••((•:)(1-)-(7)(*:)). Man wird diese F o r m e l n durch d i e quadratischen I d e n t i t ä t e n P = O, d i e für W ^ modifizieren durch

4 zwischen können.

d e n p^j,

bestehen

(S. 6, 7),

Die mitgeteilten Werte

verschiedentlich

der (ik,rs)

s i n d da­

e i n d e u t i g festgelegt, d a ß m a n sie, w i e die Koeffizienten d e s

N e n n e r s , „ n o r m i e r t " h a t , d. h. so g e w ä h l t h a t , d a ß z w i s c h e n (ik,rs)

drei

m i t d e n s e l b e n v i e r untereinander v e r s c h i e d e n e n I n d i z e s dieselbe

lineare R e l a t i o n b e s t e h t , w i e z w i s c h e n den e n t s p r e c h e n d e n

pi^Prs'

d e n (iky rs) s i n d d a n n , w i e m a n sofort a b z ä h l t , nur n o c h ^

Von linear

unabhängig. A n a l o g w i r d für die K o m p o n e n t e n unserer einfachsten R i c h t u n g s ­ invariante:

-..=,4,[21α;{·;}-5^Π)Η-ι:(π|';}-{·;}Γ;))] unter |

| d i e Christoffeischen S y m b o l e zweiter Art v e r s t a n d e n .

Aus­

drücke dieser A r t , n o c h e t w a s verallgemeinert, finden sich zuerst in der A r b e i t v o n Christoffel.

D . R i e m a n n s /i-dimensionale Mannigfaltigkeiten. II, N o r m a l k o o r d i n a t e n , G e o m e t r i s c h e D e u t u n g e n , W i r h a b e n bisher d i e formalen B i l d u n g s g e s e t z e vorangestellt, w i e sie in R i e m a n n s Preisarbeit skizziert s i n d : s t a t t d e s s e n greifen wir j e t z t auf die g e o m e t r i s c h e n Ü b e r l e g u n g e n zurück, die R i e m a n n in s e i n e m H a b i l i t a t i o n s v o r t r a g g e g e b e n h a t (1854).

§ 1. R i e m a n n s c h e Normalkoordinaten und die Gestalt des zugehörigen ds^. E s h a n d e l t sich w i e d e r u m eine g e w i s s e E r w e i t e r u n g d e s s e n , w a s wir schon b e i η = 2 g e m a c h t h a b e n , z u n ä c h s t die E i n f ü h r u n g eines b e s o n d e r e n z w e c k m ä ß i g e n K o o r d i n a t e n s y s t e m s (vgl. S. 158, 159). A l s K o o r d i n a t e n a n f a n g s p u n k t O w ä h l e n wir irgend einen P u n k t d e s unserer B e t r a c h t u n g u n t e r l i e g e n d e n R a u m s t ü c k e s . W i r d e n k e n u n s f e m e r die s ä m t l i c h e n , v o n O auslaufenden g e o d ä t i s c h e n Linien konstruiert, welche

D. § 1. Riemannsche Normalkoordinaten und die Gestalt des zugehörigen ds^.

177

einen endlichen Bereich u m O h e r u m (auf dessen B e t r a c h t u n g wir uns jetzt beschränken wollen) einfach überdecken werden.

Jeder

Punkt

des Bereiches wird dann b e s t i m m t sein, w e n n wir seine geodätische E n t f e r n u n g ρ v o n O u n d das A z i m u t a n g e b e n , unter d e m die ihn m i t O verbindende geodätische Linie v o n O ausläuft. U m d e m e n t s p r e c h e n d e Formeln aufzustehen, d e n k e n wir uns die ursprünglichen Koordinaten durch eine Hilfstransformation v o r a b so abgeändert, daß das i m P u n k t e O selbst die Gestalt

Σ dxl

annimmt

(was natürlich

ds^ auf

u n e n d h c h viele W e i s e n erreicht werden kann). D i e R i c h t u n g einer v o n O auslaufenden geodätischen Linie m ö g e dann durch die W e r t e der ( ^ * ) fixiert werden. koordinaten)

Unsere neuen Koordinaten (die Riemannschen

Normal­

sollen dann durch die Formeln definiert s e i n :

(1) H i e r n a c h ist

(2)

ρ = V ^ f + · · · +yl

u n d es stellen sich die v o n O auslaufenden g e o d ä t i s c h e n Linien durch je (n — 1) h o m o g e n e lineare Gleichungen zwischen den y, dar; wir h a b e n ein Analogon zu den v o n einem festen P u n k t e O auslaufenden rechtwinkligen Parallelkoordinaten eines Euklidischen (oder richtiger: eines Graßmannschen) R a u m e s . Insbesondere ist unser K o o r d i n a t e n ­ s y s t e m der y, nur festgelegt bis auf eine beliebig a n z u n e h m e n d e h o ­ m o g e n e orthogonale Substitution. D i e n ä c h s t e Begriffsbildung, welche sich hier anschließt, ist die eines v o n O auslaufenden geodätischen U n t e r r a u m s v o n ν D i m e n s i o n e n {R,). W i r verstehen darunter jede Mannigfaltigkeit, die durch {n — v) linear u n a b h ä n g i g e h o m o g e n e hneare Gleichungen z w i s c h e n den yi dar­ gestellt ist — oder auch jede Mannigfaltigkeit v o n R a u m p u n k t e n unseres Bereichs, die aus ν linear unabhängigen V e k t o r e n d^^^y. d^'^y,

d^^'^y

in der W e i s e erwächst, d a ß m a n (3)

dy, =

i^^i) y, +

d^^) y^ + -^ + λy d^') yi

s e t z t u n d jeden der so e n t s t e h e n d e n V e k t o r e n g e o d ä t i s c h fortsetzt. Der früher e r w ä h n t e FaH einer v o n e i n e m P u n k t e auslaufenden g e o d ä t i s c h e n „ F l ä c h e " ist hier für/ v = 2 inbegriffen. E i n f a c h s t e Beispiele solcher geodätischer R^ erhält m a n , w e n n m a n {n -— v) der Koordinaten y,, sagen wir ^ / ^ ^ ^ , . . . , y^, gleich NuU setzt. Man h a t dann erstens den wichtigen Satz, d a ß die n i c h t v e r s c h w i n ­ denden K o o r d i n a t e n , also 3^1, · · /^^ diesen R^ seihst Normalkoordi­ naten sind. D e n n die v o n O auslaufenden g e o d ä t i s c h e n Linien des welche den R^ erfüUen, sind für diesen selbst g e w i ß auch geodätische

178 3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen. Linien. Ferner aber, w a s ich d a s Prinzip von der Beweglichkeit des Normalkoordinatensystems n e n n e n will: d a ß m a n n ä m l i c h jeden ein­ zelnen , den m a n b e t r a c h t e n m a g , durch geeignete W a h l d e s S y s t e m s der y gerade durch die Gleichungen y^+i = 0 , . . . , y „ = O darstehen k a n n . D e n n die orthogonale Transformation, der ich die y b e h e b i g unterwerfen k a n n , e n t h ä l t g e w i ß die hierfür erforderliche Zahl will­ kürlicher P a r a m e t e r (die n e u e n y sind sogar nur b e s t i m m t bis auf eine b e h e b i g e orthogonale Transformation, der ich die n i c h t verschwin­ d e n d e n yi ' " yv u n d andererseits eine beliebige orthogonale Trans­ formation, der ich die v e r s c h w i n d e n d e n y^^, · · · y « unterwerfen m a g ) . N a c h diesen V o r b e m e r k u n g e n ist es l e i c h t , die allgemeine F o r m a n z u g e b e n , w e l c h e d a s ds^ b e i Zugrundelegung der N o r m a l k o o r d i ­ n a t e n y, a n n e h m e n m u ß . W i r b e t r a c h t e n z u n ä c h s t d e n U n t e r r a u m v o n 2 D i m e n s i o n e n , für w e l c h e n a h e y, b i s auf y i , y^ v e r s c h w i n d e n . N a c h F o r m e l (21), S. 1 5 3 m u ß für diesen U n t e r r a u m s e i n : (4)

ds^-

{dy\ + dyl)+%

(yi, y^)

(y.dy,-yidy,)\

unter ^5 t y i , y 2 ) irgendeine n a c h g a n z e n p o s i t i v e n P o t e n z e n der y^, y^ fortschreitende, in der U m g e b u n g v o n O k o n v e r g e n t e R e i h e verstanden. Auf diese F o r m m u ß sich also d a s ds^ unseres R^ b e i N u l l s e t z e n v o n yg . . . y „ reduzieren. — Mehr n o c h , ds^ m u ß sich n a c h d e m Prinzip v o n der B e w e g l i c h k e i t d e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s i m m e r auf diese F o r m reduzieren, n a c h d e m wir vorher die y i · · · yn irgend einer h o m o g e n e n linearen o r t h o g o n a l e n S u b s t i t u t i o n unterworfen h a b e n u n d hierauf die n e u e n y a . . . y« gleich N u l l setzen. E i n rein algebraischer Schluß er­ gibt daraus, d a ß d a s ds^ d e s R^ jedenfalls die F o r m h a b e n w i r d : (5)

ds^ = ^dyf

w o die %ic,rs

+ Σ %k,rB ( y i . . . Jn) (yidyjc-

yjc^y(yrdy,-

y,dy,),

geeignete, in der U m g e b u n g v o n O k o n v e r g e n t e P o t e n z ­

reihen der b e i g e s e t z t e n A r g u m e n t e sein w e r d e n . U n d n u n ist d a s Schöne, d a ß diese P o t e n z r e i h e n , sofern sie nui konvergieren, b e h e b i g a n g e n o m m e n werden k ö n n e n . Man verifiziert dies, i n d e m m a n sich überzeugt, d a ß b e i Zugrundelegung eines ds^ v o n der F o r m (5) die früher aufgesteUten Gleichungen W^ = O der g e o ­ dätischen Linien erfüllt sind, w e n n m a n entsprechend (1) die dy, d e n y , proportional s e t z t u n d die d^y, gleich N u l l s e t z t , d a ß ferner die längs einer so b e s t i m m t e n g e o d ä t i s c h e n Linie v o n O aus g e m e s s e n e g e o ­ dätische E n t f e r n u n g gleich iy\ + . . . + yl wird. N a t ü r l i c h k ö n n e n wir die F o r m e l (5) wieder e n t s p r e c h e n d den z w i ­ schen d e n U n t e r d e t e r m i n a n t e n (y, dy^, — y^. dy,) b e s t e h e n d e n quadra­ tischen I d e n t i t ä t e n normieren, so d a ß also (β) wird usw.

^Jl>,34+ ^ 1 3 , 4 2 + ^ ^ 3 ^ O

D. § 2. Beschränkung auf die nächste Umgebung v o n O .

179

W i r w o l l e n i m f o l g e n d e n i m m e r v o r a u s s e t z e n , d a ß diese N o r m i e r u n g vorliege.

Sie gilt d a n n insbesondere a u c h für die k o n s t a n t e n A n f a n g s ­

glieder der %jc^RSY die wir α^^,^β n e n n e n .

§ 2 . Beschränkung auf die nächste Umgebung v o n O. Die allgemeine geometrische Bedeutung des K r . I n d e m wir jetzt d i e B e t r a c h t u n g auf die n ä c h s t e U m g e b x m g P u n k t e s O einschränken, ersetzen wir die P o t e n z r e i h e n Anfangsglieder u n d schreiben also s t a t t

(5):

(7)

y^ dy,) (y, dy, -

ds^ = 2dy^

+ Σ^KTS

[Ji dy^-

des

durch ihre

y,dy,).

Für d e n P u n k t O selbst wird hierbei

ds^^yjdy! Ρ^ΣΡΙ

^

(wo

Pi,^dy,dy,-dyM,

Ferner findet sich für irgend ein B ü s c h e l κi^ + A ö v o n O auslaufender geodätischer Linien a u s d e n Gleichungen Wj. = ^2^, = 0,

ddy, =

0,

d^y, =

0: 0.

D a s [ ß ] berechnet sich d a n a c h g e n a u so einfach, w i e e s für w = 2 S. 1 5 8 g e s c h e h e n ist.

D a s Schlußresultat ist, d a ß d a s R i e m a n n s c h e

m u n g s m a ß i m P u n k t e O d e n einfachen W e r t

(9)

^

Krüm­

annimmt:

= -

E s h ä n g t also, — w i e i m FaUe

= 2 — auf d a s G e n a u e s t e m i t der

A b w e i c h u n g z u s a m m e n , w e l c h e d a s ds^ (7) g e g e n ü b e r d e m E u k h d i s c h e n FaUe darbietet. I m übrigen aber ergibt sich n u n sofort, i n d e m wir die I n v a r i a n t e n ­ eigenschaft d e s R i e m a n n s c h e n K r ü m m u n g s m a ß e s e r w ä g e n , durch B e ­ t r a c h t u n g eines einzehien FaUes dessen aUgemeine g e o m e t r i s c h e deutung.

Wir betrachten den Unterraum

b i s auf yi,y2 alle dy„

dy, m i t i >

(10)

jRg, für d e n s ä m t h c h e

Be­ y,

v e r s c h w i n d e n (für d e s s e n g e o d ä t i s c h e Linien also auch 2 gleich NuU sind). F ü r d a s zugehörige ds^ g i b t (7):

ds^ = (dyl + dyl)

+ a i 2 . 1 2 {>Ί dy, -

y,dy,)^

w ä h r e n d d a s zugehörige R i e m a n n s c h e K r ü m m u n g s m a ß n a c h (9) d e n Wert

annimmt:

(11)

ii^Ä = ~ 3 a i 2 . i 2 ,

also m i t d e m

Gaußischen Krümmungsmaß des

Differentialausdrucks

(10), b e r e c h n e t für d e n K o o r d i n a t e n a n f a n g s p u n k t , z u s a m m e n f ä U t . schheßen Die nennen,

Wir

sofort:

Büschelinvariante, ist nichts

anderes

welche wir das Riemannsche als das Gaußische

Krümmungsmaß

Krümmungsmaß derjenigen

180 3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen. geodätischen Fläche {Kalotte), welche aus dem Büschel der Vektoren Hd + λδ durch geodätische Verlängerung entsteht. G e n a u so h a t R i e m a n n e s in seinem Habilitationsvortrag definiert. I n d e m wir (im vorigen A b s c h n i t t ) d a s i n v a r i a n t e B i l d u n g s g e s e t z v o n KR v o r w e g n a h m e n , h a b e n w i r die A n g a b e n , w i e sie sich a u s der Nebeneinanderstellung d e s H a b i h t a t i o n s v o r t r a g e s u n d der Preisschrift ergeben, geradezu u m g e k e h r t . W i r h a b e n d a m i t erreicht, d a ß ü b e r a ü a u c h die B e w e i s g r ü n d e z u t a g e treten.

§ 3 . Die geometrische Bedeutung der Ortsinvariante K. I n § 3 der vorigen A b t e i l u n g (S. 172) h a b e n wir a u s d e m R i e m a n n ­ schen K r ü m m u n g s m a ß eine einfache R i c h t u n g s i n v a r i a n t e :

u n d eine ebensolche Ortsinvariante K abgeleitet. I n d e m wir ihre Defi­ nitionen entsprechend (7) für d e n A n f a n g s p u n k t O in Normalkoordi­ n a t e n anschreiben, erhalten w i r o h n e weiteres die schönen D e u t u n g e n derselben, w i e sie H e r g l o t z neuerdings (im Dezemberheft der L e i p ­ ziger Berichte v o n 1916) abgeleitet h a t . B e g i n n e n wir m i t K, D a v e r m ö g e (5) in O alle d e n W e r t 1, a h e anderen α,^, d e n W^ert O h a b e n , wird n a c h F o r m e l (24) (S. 72) für d e n P u n k t O: (12)

^-"-Μ^1)Τ2·

N u n ist ! ^ i ! ^ gerade die Zahl der B ü s c h e l {i,k), welche d e m „w-Bein" der . . . y „ als „ V e r b i n d u n g s w ä n d e zwischen d e n B e i n e n " eingelagert sind, — 3 αα·,α- aber ist d a s d e m einzelnen B ü s c h e l zugehörige Gaußische K r ü m m u n g s m a ß . W i r werden daher s a g e n : K ist der Mittel­ wert aher dieser Gaußischen K r ü m m u n g s m a ß e . D a b e i ist K s e i n e m W e s e n n a c h v o n der A u s w a h l d e s v o u O auslaufenden η - B e i n s der yi ''' yn unabhängig. W i r w e r d e n in d i e s e m Sinne K geradezu als mittleres Gatißisches Krümmtmgsmaß für den Punkt O bezeichnen können^). D i e s ist d a s erste H e r g l o t z s c h e R e s u l t a t , d a s wir n u n n o c h durch eine N e b e n b e t r a c h t u n g ergänzen: In der Interpretation desüC liegt, d a ß ^ a , · ^^ ^ b e i beliebiger ortho­ gonaler S u b s t i t u t i o n der y invariant sein m u ß . D i e s ist a u c h alge­ braisch o h n e weiteres klar. D e n n b e i einer orthogonalen S u b s t i t u t i o n der y g e h t a u c h Σ i n sich über, d . h . a u c h die pij, erfahren eine (natürlich spezielle) orthogonale S u b s t i t u t i o n , b e i der sich d a n n Γ α , , . , als niederste Invariante der quadratischen F o r m ^α^-^ rs ^tfc:^rs dar1) Dieser Begriff h a t natürlich nichts mit dem in der Flächentheorie üblichen Begriff „mittlere KrümniEng" zu tun.

D. § 3. Die geometrische Bedeutung der Ortsinvariante K.

181

bietet. I m übrigen sind die i n R e d e s t e h e n d e n hnearen Substitutionen der PiJ^ s o beschaffen, d a ß b e i ihnen die G e s a m t h e i t der Gleichungen P = O ungeändert b e s t e h e n bleibt, d i e Ausdrücke P also sich hnear kombinieren. Zieht m a n d i e partiellen Differentialgleichungen heran, denen alle Invarianten g e n ü g e n m ü s s e n , die bei orthogonaler Substi­ t u t i o n der y ungeändert b l e i b e n , s o b e w e i s t m a n geradezu, d a ß b e i „ n o r m i e r t e n " OL.k.rs (für w e l c h e die linearen R e l a t i o n e n b e s t e h e n , die den Gleichungen P = O parallel laufen, S. 179 oben) die Z^iu.ik sogar die einzige i n den a.fc^s lineare I n v a r i a n t e der quadratischen F o r m 2o^ik,rsPikPrs ist. H i c r v o n Werden wir sofort Gebrauch m a c h e n , i n d e m wir eine n e u e D e u t u n g v o n K durch H e r a n z i e h e n v o n I n h a l t oder Oberfläche einer kleinen u m O h e r u m g e l e g t e n K u g e l suchen. E i n e solche D e u t u n g h e g t n a c h d e m , w a s wir auf S. 155 f ü r n = 2 ausführten, n a h e u n d i s t mir s c h o n vor längerer Zeit v o n R u n g e vorgeschlagen worden. Inzwischen h a t V e r m e i l auf m e i n e n W u n s c h die hierfür er­ forderhchen R e c h n u n g e n gemacht^), die ich folgendermaßen resümiere: a) Man führe s t a t t der y, . . . y^ Polarkoordinaten n a c h d e m S c h e m a ein, das ich der Kürze halber hier nur für η = 4 hersetze: (13)

^^== ρ C O S ^ , = ρ sin ^ cos 9?, 3/3 = ρ sin sin φ cos ψ , y^ = ρ sin ϋ sin 9? sin ^ . b) Man überzeugt sich d a n n leicht, d a ß das V o l u m e n einer sehr kleinen geodätischen K u g e l (bei dessen B e r e c h n u n g wir die abgekürzte F o r m (7) d e s ds^ zugrunde legen dürfen) m i t d e m V o l u m e n / einer E u k l i d i s c h e n K u g e l v o n d e m s e l b e n R a d i u s durch eine F o r m e l folgender Art z u s a m m e n h ä n g t : (14)

V = J+

(homogene lin. F u n k t i o n der α,·rs)'Q^/·

c) N u n g i b t unser invariantentheoretischer Satz ohne weiteres, d a ß die hier auftretende lineare F u n k t i o n nur ein Multiplum yon Σo^ik,ik s e m k a n n ; e s bleibt die A u f g a b e , dieses Multiplum z u b e s t i m m e n , w a s durch Heranziehen eines m ö g l i c h s t einfachen Ausdrucks für d i e I n ­ haltsformel geschehen kann. d) I n d e m i c h d i e Ausführungen i m einzelnen übergehe, setze ich hier nur das E n d r e s u l t a t h e r :

e) W i r h a b e n hieraus als n e u e Interpretation d e s K:

(was m i t der früheren F o r m e l f ü r n = 2

(27) S. 155 -

übereinstimmt).

f) WiU m a n s t a t t des K u g e l i n h a l t s die Oberfläche s e t z e n , s o braucht 1) Gött. Nachr., letztes Heft 1917.

182

3. Kap.

Gruppen analytischer Punkttransformationen

m a n diese nur a l s n a c h ρ g e n o m m e n e n Differentialquotienten d e s Inhalts einzuführen. So k o m m t heraus (unter F d i e Oberfläche der Euklidischen K u g e l v e r s t a n d e n ) :

g) I c h bemerke n o c h d e r Vollständigkeit w e g e n , d a ß / maßen

bekannter­

durch folgende F o r m e l n g e g e b e n i s t : 1. für gerades η {n = 1v):

/ =

,

2. für ungerades η (n = 2 . + 1 ) : / = ^ - ' ψ -

I m übrigen i s t e s weiterhin z w e c k m ä ß i g , d a s n u n auf verschiedene W e i s e n interpretierte K, der D i m e n s i o n s z a h l d e s zugrunde gelegten R a u m e s entsprechend, m i t K^""^ z u bezeiclmen. E s i s t ohne weiteres klar, w a s m a n analog, i m P u n k t e 0 , unter d e m m i t t l e r e n Gaußischen Krümmungsmaß eines durch O h i n d u r c h g e h e n d e n g e o d ä t i s c h e n Unterraumes z u v e r s t e h e n h a t . H i e r v o n w e r d e n w i r sofort G e ­ brauch m a c h e n . I c h b e m e r k e n o c h der D e u t h c h k e i t halber, d a ß iC^) s c h l e c h t w e g O ist. D e n n für w = 1 w e r d e n V u n d / beide gleich 2 ρ .

§ 4 . Die geometrische Bedeutung der einfachsten Richtungsinvariante. Übergang zur mittleren K r ü m m u n g Ä^^^-D. W i r berechnen jetzt a u s (7) für d e n P u n k t O d e n Wert i einfachsten R i c h t u n g s i n v a r i a n t e u n d finden: EK^^ldXidxu_

^dyl (αΐ2.ΐ2 + · · -«ΐη,ΐη) + 2 ^ n dy, (αΐ3,23 + · · · αΐη,2η) + · · · *

N a c h d e m Prinzip v o n d e r B e w e g l i c h k e i t d e s N o r m a l k o o r d i n a t e n ­ s y s t e m s g e n ü g t e s , die geometrische Interpretation für eine einzelne R i c h t u n g dy z u g e b e n u n d d a s R e s u l t a t dann allgemein aufzufassen. Wir. setzen e t w a aUe dy, b i s auf dy, gleich N u h u n d erhalten für die rechte Seite v o n ( 1 9 ) : (20) .3......4---;+....-. Wieder i s t e s e i n Mittelwert Gaußischer K r ü m m u n g s m a ß e ,

nämlich

;d.2. S. 288. Leipzig

D § 4. Geometrische Bedeutung der einfachsten Richtungsinvariante.

183

derjenigen, die sich auf irgend (n — 1) zueinander orthogonal durch den Vektor dyi . . . dy^ hindurchgelegten Büschel beziehen. Dies ist Herglotz' zweites Resultat, das wir nun noch, ebenfalls nach Herglotz, einer einfachen Umformung unterziehen. Wir ersetzen die Summe a i 2 U 2 + . · · + o^mnn durch folgende Differenz: (21) ^Σ0i^,,^,-_^0L,,^,,. Dadurch verwandelt sich (20) in (22)

I ii(n)„^~_2^(n-l)^

unter K^^~^^ das mittlere Gaußische Krümmungsmaß desjenigen R^^~^^ verstanden, das durch Vj = O gegeben ist. Eine entsprechende Formel wird bei sinngemäßer Deutung für jede Richtung dy-^ . . . dy^ be­ stehen. Indem wir zu allgemeinen Koordinaten x-^ . , . χwieder zurückkehren, sprechen wir das Resultat gleich so aus: Versteht man unter K^^~^^ das mittlere Gaußische Krümmungsmaß desjenigen -i, das auf der Richtung der dxi, ..,,dx^ im Sinne unserer Maßbestimmung senkrecht steht, so haben wir:

Indem wir nach K^-^^ auflösen, haben wir:

Also unser i^^^-D selbst ist ebenfalls eine Richtungsinvariante. Wir wollen im Hinblick auf spätere Entwicklungen (vdeder Herglotz folgend)

«'"-=!!::£;£: setzen, um damit anzudeuten, daß dei Tensor ^ für η = 4: in der Einsteinschen Gravitationstheorie eine wichtige Rolle spielt. Dabei sei gleich bemerkt, daß bei Einstein selbst nur der Tensor i^, ^ auftritt und der Tensor G,;^ seine prinzipielle Stehung erst durch Hilberts Untersuchungen bekommen hat. Inzwischen wohc man alle diese Zitate nur cum grano sahs verstehen, nämlich bis auf Zahlenfaktoren und Vorzeichen, welche bei unserer Darstellung durchaus eindeutig herauskommen, während die anderen Autoren über sie aus irgend­ welchen bei ihnen vorliegenden Bequemlichkeitsrücksichten verfügt haben. Noch eines muß erwähnt werden. Das der Annahme η == 4: ent­ sprechende ds^, welches der Einsteinschen Theorie zugrunde liegt, hat zwar (als Form der dx-^^, dx,, dx^, dx^) eine nicht verschwindende Determinante, ist aber indefinit: es entspricht, um es genauer zu sagen, im Sinne des Trägheitsgesetzes der Vorzeichenkombinalion + + H

184

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

(vgl. das i m vorigen K a p i t e l i m m e r b e t r a c h t e t e , m i t der Lorentz­ gruppe z u s a m m e n h ä n g e n d e : dx'^ + dy'^ + dz^ — c'^dt'^). D i e s hindert n i c h t , d a ß wir v o n zugehörigen N o r m a l k o o r d i n a t e n u n d Mittelwerten s p r e c h e n ; es ist nur i m m e r d e m einen a b w e i c h e n d e n Vorzeichen R e c h ­ n u n g z u tragen. D a g e g e n fällt die Vermeilsche I n t e g r a t i o n über eine u n e n d l i c h kleine K u g e l w e g , d e n n ds'^ = const b e d e u t e t jetzt eine hyperboloidartige Mannigfaltigkeit, die sich e n t l a n g ds'^ = 0 ins U n ­ endliche zieht.

§ 5. D a s Äquivalenzproblem in R ä u m e n verschwindenden, bzw. konstanten Riemannschen K r ü m m u n g s m a ß e s . N a c h Analogie m i t d e m , w a s wir im η = 2 e n t w i c k e l t e n , s o h t e n jetzt einige A n g a b e n über das Ä q u i v a l e n z p r o b l e m zweier ds'^ (mit η Variablen) folgen. A b e r wir m ü s s e n diese Erörterungen n o c h h i n a u s ­ schieben, weil u n s b e s t i m m t e Hilfsbegriffe, die erst weiter i m t e n er­ örtert w e r d e n k ö n n e n , n o c h nicht zur Verfügimg s t e h e n . E b e n s o w e n i g k ö n n e n hier s c h o n allgemeinere A n g a b e n über diejenigen ds^ g e m a c h t werden, welche durch kontinuierliche Scharen v o n Transformationen (die sich d a n n als Gruppen m i t endlicher Parameterzahl erweisen) in sich übergehen. N u r v o n den F ä l l e n , w o d a s R i e m a n n s c h e K r ü m m u n g s ­ m a ß e n t w e d e r i d e n t i s c h v e r s c h w i n d e t oder (unabhängig v o n den p,^, und den . . Λ ; J einen k o n s t a n t e n W e r t h a t , soll hier die R e d e sein. Beispiele für derartige Fälle sind u n m i t t e l b a r zur H a n d : 1. Der ,,Euklidische'' Raum von η Dimensionen, w o das ds'^, in N o r m a l k o o r d i n a t e n geschrieben, die einfache F o r m a n n i m m t (26)

ds^ =

Σdyh

die ferneren Gheder der F o r m e l (5) aber w e g f a h e n , so d a ß das R i e ­ mannsche

Krümmungsmaß gewiß identisch verschwindet.

Das

s t e h e n d e ds^ bleibt nicht nur b e i orthogonalen S u b s t i t u t i o n e n der

vor­ y,,

sondern a u c h b e i V e r m e h r u n g der y, u m beliebige K o n s t a n t e n c, un­ g e ä n d e r t , w a s z u s a m m e n eine Gruppe v o n ^ ^'^^

Parametem ergibt:

die Gruppe der E u k l i d i s c h e n B e w e g u n g e n u n d U m l e g u n g e n . 2. Die Dimensionen

innere

Geometrie

gelegenen

der im

n-dimensionalen

Euklidischen Kugel.

Räume

von

Ferner: (^ - f 1)

— Man denke sich in

d e m g e n a n n t e u R ä u m e ein S3'stem gewöhnlicher, zueinander recht­ winkliger Parallelkoordinaten

eingeführt. Kugel (27)

W i r h a b e n d a n n als Gleichung einer u m O h e r u m g e l e g t e n

z'^ + zl + zl + '-+zf,

=

a\

D. § 5. Äquivalenzproblem in Räumen konstanter Krümmung.

185

u n d die inneren Maßverhältnisse dieser Kugel werden g e w i ß b e i der Gn(n+i) der (homogenen, linearen) orthogonalen Substitutionen der z, Z^, . · ·, nicht geändert. N u n m e h r wolle m a n (27) dadurch identisch befriedigen, d a ß m a n die ζ, z,, .. ., z^ irgendwie als F u n k t i o n e n v o n η unabhängigen Parametern ... anschreibt. D a s ds^ des (n + 1 ) dimensionalen R a u m e s , ds^ = dz^ + dz^ + · · · + dz^, verwandelt sich dann in eine quadratische Form m i t nur η Differentialen (28)

ds^^

Za,^dx,dx^,

welche durch eine Gruppe v o n Transformationen mit

Para­

metern in sich übergeführt wird. Diese Transformationen werden g e ­ s t a t t e n , jeden P u n k t [x) in dem R a u m s t ü c k der x, innerhalb dessen die Z eindeutige F u n k t i o n e n der χ sein m ö g e n , in jeden anderen u n d jedes v o n einem P u n k t e [x) auslaufende Büschel Kd + λδ in jedes andere derartige Büschel z u verwandeln. Daher erhält das R i e m a n n ­ sche K r ü m m u n g s m a ß v o n (28) notwendigerweise in konstanten Wert. A m einfachsten scheint es, als Parameter x, . . in gewöhnlicher Weise Polarkoordinaten einzuführen, also e t w a nach d e m Schema, das ich hier der Kürze halber nur für = 3 hersetze (vgl. [13] S. 1 8 1 ) :

(29)

^ = ACOSt?,

= Ä sin

cos φ ,

^ = ä sin

sin φ cos

Unser ds^ (28) n i m m t dann folgende F o r m a n : (30)

ds^ = a^d^^ + a^ sm^^dφ^

+ a^ sin^ ^ sin^ φ dxpK

Wir werden n u n z u R i e m a n n s c h e n Normalkoordinaten übergehen, i n d e m wir setzen (31)

ρ = α^,

y, = ρ cos φ,

= ρ sin φ cos

w o ρ, w i e es sein m u ß = iyl + yl + yt wird.

,33,

.s.= . . . +

j/g = ρ sin φ sin Man berechnet

sofort:

. . ( s i „ i ; ^ J ^ . ^ - i .

Hier ist bei O nicht e t w a eine Unstetigkeit vorhanden, vielmehr ent­ wickelt sich das ds^ nach ganzen positiven P o t e n z e n der y, in eine R e i h e , deren Anf angst erme s o l a u t e n : (34)

ds^ = Σαγί

-

Σ(y^dy,

-

y.dy.y.

Man erkennt: Das Riemannsche Krümmungsmaß hat für den PunktO, unabhängig von der Auswahl des Büschels xd + λδ und damit, wegen

186

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

der Gn(n + i ) , für jeden

anderen

Punkt

(y)

und jedes

andere

Büschel

wJt:

den (35)

X« =

^.

D i e geometrische E i n k l e i d u n g der Überlegung betrifft dabei nur die F o r m der D a r l e g u n g ; das R e s u l t a t (32),

(35) m u ß sich aus den F o r m e l n

(33), a u c h w a s die Gleichberechtigung eines beliebigen P u n k t e s

(y) m i t d e m P u n k t e O a n g e h t , rein rechnerisch ergeben. W i r schließen daraus, d a ß wir eine Mannigfaltigkeit k o n s t a n t e r K r ü m m u n g v o r uns haben, a u c h w e n n das in (35) definierte

n e g a t i v , also der R a d i u s

der A u s g a n g s k u g e l rein imaginär sein s o ü t e . D a m i t h a b e n wir n u n , w e n n anders wir m i t d e m

Bogenelement

b e g i n n e n wollen, in (32), (33) den A u s g a n g s p u n k t zur B e h a n d l u n g der R a u m f o r m e n k o n s t a n t e r K r ü m m u n g , w i e sie in der N i c h t e u k l i d i s c h e n Geometrie unterschieden werden. D e r F a h v e r s c h w i n d e n d e r K r ü m m u n g ordnet sich als Ü b e r g a n g s f a h ein, i n d e m m a n α unendlich groß w e r d e n läßt.

I m übrigen k o m m e n , w i e wir s c h o n b e i η = 2 a n d e u t e t e n , w e n n

wir den Gesamtverlauf der R ä u m e b e t r a c h t e n wollen, noch weitere U n t e r s c h e i d u n g e n h i n z u , die m a n a m b e s t e n faßt, w e n n m a n nicht v o m Infinitesimalen b e g i n n t , sondern die Allgemeinauffassungen

der pro­

j e k t i v e n Geometrie voranstellt ^). Mit

den

leichtere

vorstehenden Entwicklungen

Hälfte

litationsvortrag

der A n g a b e n , gemacht

(33) z u K R = O Annahme

K R = O

hat,

b z w . KR = bzw.

welche erledigt.

haben

wir

Riemann Nicht

nur

in

daß

die eine

seinem (26)

Habi­

und

führen, sondern d a ß umgekehrt

K R = ^

mit Notwendigkeit

(32), die

z u den hin­

geschriebenen F o r m e n d e s ds^ führen, ist die H a u p t s a c h e .

Riemann

h a t sich m i t einer b l o ß e n A n d e u t u n g seines G e d a n k e n g a n g e s u n d einer A n g a b e der T a t s a c h e b e g n ü g t . E i n e n ersten, noch recht u m s t ä n d l i c h e n B e w e i s gibt L i p s c h i t z in Crelle 70, 7 2 ( 1 8 6 9 , 7 0 ) .

Einfacher sind die

E r l ä u t e r u n g e n , welche W e b e r diesbezüglich der R i e m a n n s c h e n Preis­ arbeit in der 2. Auflage v o n R i e m a n n s W e r k e n hinzugefügt h a t (1892). E i n e n B e w e i s v o n Christoffels allgemeinen U n t e r s u c h u n g e n betr. die Ä q u i v a l e n z zweier quadratischer Differentialformen aus gibt B i a n c h i in (5), V I I 2 der R e n d i c o n t i deh' A c a d e m i a dei Lincei (1897). I c h werde hier den B e w e i s eines allgemeineren, g a n z e l e m e n t a r e n S a t z e s skizzieren, den ich m i t Fri. N o e t h e r u n d Herrn V e r m e i l überlegt habe. A u s i h m folgen die Sätze betr. KR = O u n d KR =

als bloße Korollare.

1) Es wird dies nur deshalb wiederholt vermerkt, weil verbreitete Lehrbucher der Nichteuklidischen Geometrie m dieser Hinsicht versagen (z B. Bianchi-Lukat, Bonola-Liebmann u s w ) .

D. § 5. Äquivalenzproblem m Räumen konstanter Krümmung.

187

W i r h a b e n bei Zugrundelegung v o n N o r m a l k o o r d i n a t e n n a c h (5), S. 178 ds^ = 2dy!

+ 2%ic,rs

w o wir für die ^5,^

(y. dy,-y,dy,)

(y,dy,-y,

dy,),

irgendwelche n o c h p o s i t i v e n P o t e n z e n der y fort­

schreitende R e i h e n n e h m e n dürfen (die nur der B e d i n g u n g unterliegen w e r d e n , für hinreichend kleine W e r t e der y

z u konvergieren).

An­

dererseits berechnen wir u n s die Koeffizienten {ik, rs) der K r ü m m u n g s Form

[Ω] [Ω] = 2(ik,

rs) (dy, dy, -

dy, dy,) (dy^dy,

-

n a c h (37), S. 174 ebenfalls als solche P o t e n z r e i h e n . die

^5,fc

noch

mannigfach

etwas abzuändern. d e n p,Je,Pr8

modifizieren,

dy,

dy,)

N u n k ö n n e n wir

ohne an d e m ds^

irgend

H i e r z u dienen e i n m a l die I d e n t i t ä t e n , die z w i s c h e n

m i t v e r s c h i e d e n e n Indizes

PilcPrs+PirPslc

bestehen

+ P^s PlCT = O;

wir h a t t e n sie s c h o n früher in B e t r a c h t gezogen, als wir nur v o n den k o n s t a n t e n Ghedern der %k,r8

handelten.

Ferner aber die n o c h e i n ­

facheren B e z i e h u n g e n m i t 3 I n d i z e s :

y i P k r + yicPri + y r P i k ^ O . Man wird diese I d e n t i t ä t e n b e n u t z e n k ö n n e n , u m die

"^,k^rs

ter, hier nicht auszuführender W e i s e zu normieren.

in b e s t i m m ­

Endlich

kommt

in B e t r a c h t , d a ß die R e i h e n g h e d e r , welche bei der E n t w i c k l u n g {ik,rs)

auftreten,

eo

ipso

eine

große

Zahl

linearer

d a r b i e t e n , die g e n a u den B e z i e h u n g e n z w i s c h e n den Koeffizienten normierten Aus

^,jc^rs

normierten

berechnet

werden

der

entsprechen.

dem Bildungsgesetz

von

[Ω]

w e l c h e s es sich hier h a n d e l t , daß der

der

Beziehungen

^5,-^^^5 cius den können.

folgt dann das T h e o r e m ,

nämlich

die

einzelnen

Reihengliedern

Man

hat

für

Glieder eine g a n z e R e i h e v o n F o r m e l n ,

die

deren

der

(ik,

um

Reihenglieder rs)

eindeutig

aufeinanderfolgenden niederste

durch

die

F o r m e l (9) S. 179 g e g e b e n sind, w e n n wir sie so s c h r e i b e n : (36)

«^fc,rβ = y ( ^ * ^ . ^ s ) o , 0 , . . . , 0 .

I n s b e s o n d e r e folgt, d a ß die normierten ^5,·¾: rs s ä m t l i c h v e r s c h w i n d e n , w e n n K R ^ O a n g e n o m m e n wird, u n d d a ß sie gerade die W e r t e (32), (33) a n n e h m e n , w e n n m a n KR = -^ s e t z t . Man darf v e r m u t e n , d a ß durch die so skizzierten einfachen Ü b e r l e g u n g e n gerade der G e d a n k e n g a n g reproduziert wird, den R i e m a n n bei seinem Habilitationsvortrage vor Augen hatte. (S. 282

der W e r k e ,

2. A u f l . ) ,

daß

durch

das

H e i ß t es d o c h d a kurz Krümmungsmaß

Maßverhältnisse der Mannigfaltigkeit v o h s t ä n d i g b e s t i m m t s e i e n :

die Auch

188

3. K a p . Gruppen analytischer Punkttransformationen.

die R e i h e n f o l g e der s o n s t i g e n E n t w i c k l u n g e n dort läuft m i t der hier ein­ g e h a l t e n e n parallel. Insbesondere wird verständlich, w e n n er betreffend die Mannigfaltigkeiten k o n s t a n t e n K r ü m m u n g s m a ß e s 1. c. fortfahrend s a g t : „ e s s i n d daher u m einen P u n k t n a c h allen R i c h t u n g e n die M a ß v e r h ä l t n i s s e g e n a u dieselben, w i e u m einen anderen, u n d also u m i h n dieselben K o n s t r u k t i o n e n ausführbar, u n d folglich k a n n in den Mannigfaltigkeiten m i t k o n s t a n t e m K r ü m m u n g s m a ß den Figuren jede b e h e b i g e Lage g e g e b e n w e r d e n . " - U m die E x i s t e n z einer Gn(^ + 1 ) , welche die Mannigfaltigkeit k o n s t a n t e r K r ü m m u n g in sich transformiert, v o n vornherein v e r s t ä n d l i c h zu m a c h e n , h a t t e n wir zu A n f a n g des P a r a ­ graphen an die B e t r a c h t u n g einer w-dimensionalen K u g e l des {n + 1)d i m e n s i o n a l e n E u k l i d i s c h e n R a u m e s a n g e k n ü p f t . D i e s h a t n a c h der zitierten A n g a b e R i e m a n n s natürlich nur p ä d a g o g i s c h e n W e r t , die E x i ­ stenz der A u t o m o r p h i e n ergibt sich v o n selbst, ohne d a ß m a n aus der „ i n n e r e n " Geometrie des heraustritt. Ü b r i g e n s aber hat R i e m a n n sicher auch a n das K u g e l b e i s p i e l g e d a c h t . D e n n die F o r m des B o g e n ­ e l e m e n t e s k o n s t a n t e r K r ü m m u n g , w e l c h e s er 1. c. des weiteren angibt (37)

ds=

^

i'^dx^'

ergibt sich sofort, w e n n m a n die B e z i e h u n g z w i s c h e n der K u g e l u n d d e m E u k l i d i s c h e n R a u m der χ durch g c w ö h n h c h e stereographische P r o ­ jektion herstellt.

E . Einiges v o n der Weiterentwicklung Riemann hinaus.

über

§ 1. Charakterisierung der u m 1870 hervortretenden Persönlichkeiten und ihres nachwirkenden Einflusses. W i r h a b e n i m Vorhergehenden s c h o n verschiedentlich auf die Ar­ beiten von B e l t r a m i , C h r i s t o f f e l und L i p s c h i t z hingewiesen, auch m a n c h e r l e i v o n der a u s g e p r ä g t e n formentheoretischen Auffassung, die die reifste F r u c h t der L i p s c h i t z s c h e n Arbeiten ist, zur Geltung g e ­ bracht. I n d e m wir jetzt u n t e r n e h m e n , darüber ausführlicher zu b e r i c h t e n , m ü s s e n wir z u n ä c h s t v o n der Art ihrer Persönlichkeiten u n d v o n d e n B e d i n g u n g e n , unter d e n e n sie g e w i r k t h a b e n , einiges sagen. B e l t r a m i g e h t ursprünglich v o n der F l ä c h e n t h e o r i e a u s u n d w e n d e t sich später, v o n 1869 a n , w e s e n t l i c h zur m a t h e m a t i s c h e n P h y s i k . I n d e m er u n t e r n i m m t , a u c h hier d i e allgemeine Theorie der quadratischen

Ε. § 1. Charakterisierung der um 1870 hervortretenden Persönlichkeiten.

189

Differentialformen zur Geltung z u bringen, b e v o r z u g t er bei der E n t ­ w i c k l u n g der Theorie diejenigen FragesteUungen u n d Methoden, w e l c h e i n P h y s i k u n d Mechanik ihre E n t w i c k l u n g gefunden h a b e n . D a h e r überall die Voranstellung der Variationsprinzipe u n d der Integralsätze, worüber wir n o c h genauer z u berichten h a b e n werden. A u c h bei Lipschitz spielt die B e z i e h u n g zur Mechanik u n d V a r i a t i o n s ­ rechnung eine große Rolle. E r setzt die ganze E n t w i c k l u n g , w e l c h e diese Disziplinen über Lagrange hinaus durch J a c o b i gefunden h a b e n , fort­ g e s e t z t als b e k a n n t voraus. Hierin m a g einer der Gründe liegen, w e s ­ h a l b seine Arbeiten v o n selten der Geometer u n d Algebraiker bis in die n e u e s t e Zeit nur teilweise B e a c h t u n g gefunden h a b e n . D a scheint Christoifel bequemer, der nur algebraische U m f o r m u n g e n u n d Differen­ t i a t i o n e n b e n u t z t . Aber es k o m m t n o c h ein weiteres dazu. Lipschitz ist zwar ein sehr pflichttreuer, aber kein anregender Lehrer g e w e s e n , w a s Christoffel i m h ö c h s t e n Grade w a r ; 1869 v o n der Berliner Gewerbe­ schule an das Züricher P o l y t e c h n i k u m berufen, h a t er a n b e i d e n Orten dauernde A n r e g u n g e n zur Weiterarbeit auf d e m v o n i h m b e t r e t e n e n Gebiet hinterlassen. I n Berlin lebt sein A n d e n k e n bis auf d e n h e u t i g e n T a g in der flächentheoretischen Schule n a c h , deren H a u p t einst W e i n ­ g a r t e n gewesen ist. V o n Zürich aus aber erstreckte sich sein Einfluß auf I t a l i e n , w o sich B i a n c h i a n i h n a n s c h l o ß u n d seine G e d a n k e n durch R i c c i eine s y m p a t h i s c h e Weiterbildung gefunden h a b e n . R i c c i h a t für die Invariantentheorie der quadratischen Differentialformen einen b e ­ sonderen Kalkül e n t w i c k e l t , welchen er den ,,Calcolo differenziale assoluto" n a n n t e ; m a n findet eine ausgearbeitete Darstellung desselben m i t zahlreichen A n w e n d u n g e n auf die verschiedensten F r a g e n der Geometrie, Mechanik u n d P h y s i k insbesondere in einer v o n i h m z u s a m m e n m i t L e v i - C i v i t a verfaßten A b h a n d l u n g in B d . 54 der M a t h e m a t i s c h e n A n n a l e n (1900/01). Ricci verwirft die A n s ä t z e seines L a n d s m a n n e s Beltrami, die in der T a t nur besondere I n v a r i a n t e n liefern (s. u.), a u s ­ drücklich als „troppo artificiosi''. D i e Christoffel-Riccische D a r s t e h u n g h a t w e i t h i n Verbreitung g e ­ funden. I n der Monographie v o n E d m u n d W r i g h t , „ I n v a r i a n t s of a quadratic form" (Cambridge tracts, 1908) n i m m t sie d e n E h r e n p l a t z e i n (während v o n R i e m a n n nur beiläufig u n d v o n Lipschitz gar nicht die R e d e ist). E b e n s o ist z. B . E i n s t e i n in der Christoffel-Riccischen Tra­ dition aufgewachsen. W i r h a b e n diese Verhältnisse hier zur Sprache gebracht, weil ihre K e n n t n i s für ein wirkliches Verständnis der einschlägigen Literatur unerläßlich scheint. Trotz aller Jahresberichte u n d E n z y k l o p ä d i e n , trotz aller durch Kongresse e r m ö g h c h t e n persönhchen B e z u g n a h m e z w i s c h e n den Mathematikern b e h a u p t e t bei der Weiterführung der m a t h e m a t i s c h e n Forschung die zufälhge Tradition u n d die S c h u l b ü d u n g ihren Einfluß.

3 Kap

Gruppen analytischer Punkttransformationen

§ 2. Invariantenbildung bei Beltrami. D i e M e t h o d e der V a r i a t i o n s r e c h n u n g . E s ist ein altes Problem der m a t h e m a t i s c h e n Physik, d e n Ausdruck ^2^=

+ οψ, + ~Qj2 (den Lam^ d e n „zweiten Differentialparameter"

v o n U nannte)

in beliebige krummlinige Koordinaten umzurechnen.

D e n einfachsten Ansatz scher Methoden) (Über

eine

S. 1 9 3 ff.).

d a z u h a t (in VeraUgemeinerung

Jacobi

Lagrange­

in Grelles Journal B d . 36 (1848)

gegeben

partikuläre L ö s u n g

der Gleichung A^u = O] Werke I I ,

Man

den

berechne

in

neuen

Koordinaten

zunächst

ds^ = dx^ + dy^ + dz^ u n d daraus d e n ,,ersten" Differentialparameter A^u = {f^y+

(1^)'+ iljj'

der g e s u c h t e n Formel für A^ k o m m t

m a n d a n n durch die B e m e r k u n g , d a ß (1)

JJjA.udxdydz,

erstreckt über irgend ein vorgegebenes R a u m s t ü c k , eine Integralinvariante dieses R a u m s t ü c k s ist, u n d d a ß dementsprechend auch die bei F e s t h a l t u n g der Begrenzung gebildete Variation (2)

δ JJJ

A,udxdydz

= — 2jJJ

A^uöudxdydz

eine invariante B e d e u t u n g h a b e n m u ß . D i e s e n A n s a t z h a t n u n Beltrami 1868 (sulla theoria generale dei parametri differenziali, Memorie di B o l o g n a (2) V I I I = Werke I) auf η Variable u n d ein beliebig vorgelegtes B o g e n e l e m e n t ds^ = ^^tk dxidxjg übertragen. W i r bezeichnen, w i e früher, die D e t e r m i n a n t e v o n i^s^ m i t α, die Koeffizienten der reziproken F o r m m i t a'^. D e r „erste Differential­ parameter" einer F u n k t i o n u wird d a n n s e i n :

A n Stelle d e s Integrals (1) aber t r i t t : (4)

!!•••jA,u]adx,...dx„,

erstreckt über irgend ein w-dimensionales R a u m s t ü c k . D e n „ z w e i t e n Differentialparameter" A^u werden wir n u n in der Weise definieren, d a ß wir die bei F e s t h a l t u n g der Integrationsgrenzen gebildete V a r i a t i o n : (^) setzen.

(6)

^II"'I^i^Udx,.,,dy,=--2jJ-Jj,uöu

]'adx,...dx,

Hier wird n a c h d e n R e g e l n der Variationsrechnung:

Ε. § 2. Invariantenbildung bei Beltrami.

191

und ist, weil nur mit invarianten Größenverbindungen gerechnet wird, eo ipso eine Invariante. Die hiermit erläuterte Methode der Invariantenbildung wird im fol­ genden noch mehrmals zur Geltung gelangen. Wir wollen dabei von vornherein hervorheben, daß die Irrationahtät ya in Δnur scheinbar auftritt, daß sie sich vielmehr bei Ausführung der in (6) angedeuteten Differentiationen von selbst weghebt. — Im übrigen kann man, wie dies Beltrami auch ausführt, die Invarianz von (6) gegenüber beliebigen Koordinatentransformationen natürlich durch direkte Umrechnung des Differentialquotienten bestätigen. Es müßte geradezu möglich sein, die charakteristische Umsetzung, welche die Variationsrechnung beim Übergang von (5) zu (6) durch partielle In­ tegration bewerkstelligt, durch eine algebraische Identität zu ersetzen. So haben wir es auf S. 142 oben für das bei einem System einzelner Massenpunkte auftretende Integral der kleinsten Wirkung vermöge Übergangs zur Lagrangeschen ,,Zentralgleichung" gemacht. Indes scheint dies für mehrfache Integrale, wie wir sie hier und in der Folge vor uns haben, noch nicht ausgeführt zu sein. D i e M e t h o d e der I n t e g r a l b e z i e h u n g e n .

Eine Verallgemeinerung der gerade gelösten Aufgabe, den zweiten Differentialparameter einer skalaren Funktion u zu berechnen, ist die, für ein irgendwie gegebenes Vektorfeld des ti-dimensionalen Raumes die Divergenz aufzustellen. Wir müssen jetzt nur, im Gegensatz zum vorigen Kapitel, wo wir ausschließlich mit orthogonalen Koordinaten operierten, festsetzen, ob unsere Vektorkomponenten zu den dx, k o ­ gredient oder kontragredient sein sollen. Die Komponenten des zu­ nächst erledigten speziellen Falles sind kontragredient, also mögen wir auch im allgemeinen FaUe zunächst kontragrediente Komponenten an­ nehmen, die wir (7)

U,, U,,

nennen wollen. Das erste ist dann freilich, daß wir uns aus ihnen ko­ grediente Komponenten verschaffen, indem wir etwa setzen. Im übrigen können wir etwa so vorgehen: Wir bilden uns unter Benutzung Graßmannscher Determinanten die Invariante:

(8) • d^"-'^x.

(wo die d^^^ ... d^^~^^ die Symbole von irgend (n — 1) kogredienten

192

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

Differentialien sein werden). Hieraus w i e d e r die über irgend eine (n-— 1)d i m e n s i o n a l e Mannigfaltigkeit erstreckte I n t e g r a l v a r i a n t e : (9)

! ! ' " ! α ω .

D i e s e Mannigfaltigkeit w ä h l e m a n n u n insbesondere geschlossen, in der W e i s e , d a ß sie ein b e s t i m m t e s w-dimensionales R a u m s t ü c k umgrenzt. D a n n k ö n n e n wir (9) in ein w-faches über dieses R a u m s t ü c k erstrecktes Integral u m s e t z e n , d a s b e i üblicher Schreibweise d e s Raumdifferentials folgende Gestalt h a t :

I n d e m wir i m N e n n e r u n d Zähler n o c h ]/a als F a k t o r hinzusetzen, er­ k e n n e n wir, d a ß

(11)

' - ^ ^ „ ^

eine Ortsinvariante ist. Sie wird allgemein die Divergenz unseres Vektor­ feldes (7) bedeuten, weil sie es im Falle rechtwinkliger Parallelkoordina­ ten tut. A u c h diese ganze U m r e c h n u n g ist, soviel ich s e h e n kann, zuerst v o n Beltrami g e g e b e n , freilich nur i m spezieUen F a l l e w = 3 in einer daran a n g e p a ß t e n g e o m e t r i s c h e n B e g r ü n d u n g . Man sehe seine ,,Ricerche sulla cinematica dei fluidi", T e ü 1 (Memoria di B o l o g n a (3), 1, 1871 = W e r k e 11).

§ 3 . Lipschitz und Christoffel: Invariantenbildung durch Differentiation und Elimination, insbesondere durch ,, kontragrediente Differentiation * *. D i e i m vorigen Paragraphen b e s p r o c h e n e n M e t h o d e n der Jnvariantenbildung m a g m a n insofern als ,,transzendent" bezeichnen, als bei ihrer E n t w i c k l u n g nicht nur Differentiationen sondern auch I n t e g r a t i o n e n b e n u t z t w e r d e n . D e m g e g e n ü b e r kehren wir jetzt z u d e m e l e m e n t a r e n A n s a t z zurück, der u n s s c h o n i m A b s c h n i t t C z u der f u n d a m e n t a l e n I n ­ variante [ ß ] (der R i e m a n n s c h e n K r ü m m u n g s f o r m ) führte u n d dessen Grundgedanken wir e t w a so formulieren k ö n n e n : „ E s m ö g e sich u m B ü d u n g v o n I n v a r i a n t e n h a n d e l n , welche, w e n n überhaupt, nur erste Differentiale der x, e n t h a l t e n . H a t m a n in / eine erste solche I n v a r i a n t e , so sind natürlich δJ oder δδJ, . . . oder irgend­ w e l c h e V e r b i n d u n g e n solcher Ausdrücke, selbst w i e d e r I n v a r i a n t e n . E n t h ä l t d a n n diese V e r b i n d u n g keine höheren Differentiale der x, als z w e i t e , so wird m a n diese durch S u b t r a k t i o n geeigneter A g g r e g a t e der

Ε. § 3 . Lipschitz und Christof fei: Invariantenbildung durch Differentiation. 1 9 3 in der Theorie der geodätischen Linien auftretenden Invarianten b e ­ seitigen können, wodurch m a n dann wieder eine Invariante m i t nur ersten Differentiahen h a t . " So wurde d a s Verfahren v o n Lipschitz in Crehe 7 2 , S. 16—17 (1870) dargelegt u n d in erster Linie z u einer möglichst direkten Berechnung einer quadrilinearen Invariante Ψ (d'^, δ'^, d^^, δangewandt, a u s der unser [Ω] entsteht, w e n n m a n d^ == d^ δ^= δ^ setzt. Lipschitz fahrt dann fort: „Auf demselben Grunde ruht d i e Methode d e s Herrn Chri­ stoffel (Crelle 70, S. 57, 1869), u m a u s einer m i t / {x) kovarianten mehr­ fach linearen F o r m : F{d^^)x, d^^H,

'",d^-)x)

eine v o n gleicher Eigenschaft abzuleiten, bei der d i e Zahl der S y s t e m e v o n Differentialen u m E i n s größer i s t . " D i e s e Methode soll hier dargelegt werden, weil sie für Christoffels eigene E n t w i c k l u n g e n , w i e die ganze a n ihn anschließende Literatur grundlegend ist. Insbesondere wurde sie v o n Ricci in seinem Calcolo assoluto in d e n Vordergrund gerückt u n d als ,,kovariante" Differentiation bezeichnet; wir selbst werden, entsprechend d e m v o n u n s festgehaltenen Sprachgebrauch, lieber kontragrediente Differentation sagen ^). W i r beginnen m i t d e m einfachsten Beispiele. Sei ein Pfaffscher Ausdruck

(12)

Σu,dx,

(d. h. e i n kontragredientes Vektorfeld . .. u^) gegeben u n d d a m i t eo ipso als eine der Grundformen in d i e Reihe der v o n u n s niederzu­ schreibenden Invarianten aufgenommen. W i r bilden u n s δ(Σ'^ι^Χί), was wir so schreiben werden:

(13)

δ (Σu, dx,) =

dx, δχ,

+Σ^r^dx,.

Andererseits haben wir u n s in der Theorie der geodätischen (S. 173) d e n z u d e n dXr kogredienten Vektor hergestellt:

Linien

(unter d e m Klammerausdruck d a s sogenannte Christoffeische S y m b o l zweiter Art verstanden). W i r h a b e n danach d i e weitere I n v a r i a n t e : (14)

Σ^'τ

δαχ^+

Σ^Ι^τdx^

δχ,.

Die Bezeichnung von Ricci hat sich heute fast allgemein eingebürgert. Vgl. Note 1, S 167. Bei = const, d. h. für Euklidische Räume geht die kovariante Differentiation in die gewohnliche Differentiation über. (H )

Kap.

194

Gruppen analytischer Punkttransformationen.

W i r subtrahieren (14) v o n (13) u n d h a b e n s o als neue, nur erste Diffe­ rentiale enthaltende Invariante d i e Bilinearform:

(15)

Σψι-Σ^'.^^-^^^.·

die wir abkürzend m i t (15')

{O)[ZuJx,)

bezeichnen wollen. D i e Erweiterung d e s A n s a t z e s auf höhere Fälle geschieht, w i e schon angedeutet, in der Weise, d a ß m a n s t a t t der Linearform (12) eine Multilinearform zugrunde legt, Stellen w i r e t w a die Bilinearform (16) an die Spitze,

(17)

ΣU^JXJ'X, W i r h a b e n d a n n als abgeleitete Invariante z u n ä c h s t :

b [Z^u,,ixJ'x}^

= Σ'Zy^^^'^u ^Xl

+ Σ

U^Jx,^ä'x,,

f e m e r als Invarianten g e m ä ß der Theorie der g e o d ä t i s c h e n L i n i e n :

Z^r.d'xJddx,+ (18) bzw.

^'^ Σ'^^sdx^

Σ[l}d'^^^^l) (dd'x,+ Σ^ΐΥ^^^Χι^^.

I n d e m wir v o n (17) die beiden (18) subtrahieren, b e k o m m e n wir die Trilinearin Variante:

USW, fort. N a t ü r l i c h steht n i c h t s i m Wege, in diesen F o r m e l n verschiedene Differentialreihen dx^,d*Xi, , , , zusammenfallen z u lassen u n d dadurch zu Differentialformen überzugehen, welche in einzelnen Differentialen höheren Grades sind. U m g e k e h r t k a n n m a n vorgelegte Invarianten höheren Grades durch geeignete Polarenbildung i m m e r durch m u l t i ­ lineare Verbindungen verschiedener R e i h e n dx,, d'x,, , . , ersetzen. A l s Einzelausführungen m ö g e n n o c h folgende A n g a b e n hier ihre SteUe finden: 1, D i e kontragrediente A b l e i t u n g v o n ds^ selbst b z w , seiner Polare Ia,,dx,

d'x,

ist identisch N u U (Ricci u n d Levi-Civita, Math, A n n , 54, S. 138),

E § 4. Über Christoffels Abhandlung von 1869 2. Setzt m a n in (15) für die dx,, „

erhalt „ a „ . η

^

δχ,

^ ^ . .

195

die ihnen kogredienten Λ * * , ^

in rationaler F o r m die Divergenz des Vektorfeldes u (die wir oben, S. 192, in irrationaler F o r m abgeleitet h a t t e n ) ; vgl. Math. A n n . 54, S. 195. 3. U m die Koeffizienten [ik, rs) der R i e m a n n s c h e n K r ü m m u n g s ­ form durch kontragrediente Differentiation zu g e w i n n e n , bedarf es eines kleinen U m w e g s , den wir v o n rückwärts durchlaufen wollen. Man leite n ä m h c h aus d e m Lipschitzschen Ψ, das wir o b e n (S. 193) e r w ä h n t e n , durch E i n t r a g u n g v o n Σ i ü r die d'x, die neue Invariante a b : (21) 2{ik,rs)a^^u,ö'x,dXrdx,. i,k,r,s,p E b e n diese, in den δ'χ, dx, δ χ trilineare F o r m erzeugt m a n aus d u r c h B i l d u n g der Differenz * (22)

[δ) ((5') [yu,

dx,) -

[δ') [δ) [ZuJxJ

dx,

.

Man vergleiche Math. A n n . 54, S. 143. (Es ist dieses die Art, wie E i n ­ stein i n seiner Schrift über die Grundlagen der allgemeinen R e l a t i v i t ä t s ­ theorie, A n n . d. P h y s . 49, 1916, zu den {ik,rs) vordringt.) § 4.

Ü b e r Christoffels A b h a n d l u n g v o n

1869.

W i r h a b e n n u n alle Voraussetzungen, u m Christoffels S. 166 ge­ n a n n t e A b h a n d l u n g v o n 1869 n a c h ihrem Aufbau u n d ihren R e s u l ­ t a t e n zu charakterisieren; unser Bericht schheßt sich m i t den S c h l u ß ­ erörterungen des vorigen A b s c h n i t t s g u t z u s a m m e n . 1. W i e schon früher e r w ä h n t , m a c h t Christoffel nirgendwo v o n Integralrechnung oder Variationsrechnung G e b r a u c h ; seine einzigen H i l f s m i t t e l sind Differentiation u n d algebraische E l i m i n a t i o n . 2. I m übrigen b e g i n n t er keineswegs damit, wie wir es seither t a t e n , direkte Methoden zur Aufstellung v o n I n v a r i a n t e n (oder, w i e er s a g t : Kovarianten) der vorgelegten quadratischen Differentialform Σ JXtd X^ zu e n t w i c k e l n . Vielm hr g e h t er v o n d e m Ä q u i v a l e n z p r o b l e m a u s : w a n n k a n n Σ^^k dxjx, v e r m ö g e einer S u b s t i t u t i o n x, — (x[ . . . Λ:^) in eine zweite vorgelegte F o r m Z^ik^Xidx'j^ transformiert w e r d e n ? U n d erst v o n hier aus k o m m t er auf d e m W e g e komplizierter E l i m i n a t i o n zu d e m Begriff der I n v a r i a n t e (bzw. Kovariante) v o n ds^, welche der e n t s p r e c h e n d e n I n v a r i a n t e v o n ds'^ gleich sein m u ß , falls Ä q u i v a l e n z s t a t t f i n d e n soh. Hierzu ist zu b e m e r k e n : auch i m Falle der elementaren (linearen) Invariantentheorie h a t m a n versucht, die Äquivalenzfrage als A u s g a n g s ­ p u n k t zu w ä h l e n (vgl. Aronhold in Crelle 62 (1863): Ü b e r eine funda­ m e n t a l e B e g r ü n d u n g der Invariante^ntheorie). Man ist aber je länger

196

3. Kap.

Gruppen analytischer Punkttransformationen.

je m e h r d a v o n z u r ü c k g e k o m m e n , n i c h t nur w e i l die Rechnxmgen sehr kompliziert ausfallen, s o n d e r n w e i l m a n n i c h t ü b e r s e h e n k a n n , wie w e i t die B e t r a c h t t m g e n , die sich g a n z i m aUgemeinen h a l t e n m ü s s e n , spezieUen FaUe ausreichend sein m ö g e n .

im

W i r h a b e n d a s s c h o n früher

erörtert!). 3. W i e d e m a u c h sei, e s g e l i n g t Christoffel durch B e w ä h i g u n g eines sehr u m f a n g r e i c h e n F o r m e l a p p a r a t e s ,

(der P o l a r e n v o n ds^) eine quadrilineare

a u s der

Bihnearform:

Kovariante

a b z u l e i t e n , die

bis auf e i n e n Zahlenfaktor m i t d e m v o r h i n e r w ä h n t e n , bei L i p s c h i t z auf­ t r e t e n d e n Ψ i d e n t i s c h ist u n d w i e d i e s e s als Polare der R i e m a n n s c h e n Krümmtmgsform 4.

Aus seinem

wendung

[ ß ] angesehen werden kann. G^ g e w i n n t d a n n Christoffel d u r c h w i e d e r h o l t e A n ­

der k o n t r a g r e d i e n t e n

Differentiation

weiterer m u l t i l i n e a r e r K o v a r i a n t e n .

eine

unendliche

Zahl

W i r h a b e n s o schließlich eine u n ­

endliche R e i h e v o n Differentialformen: G^, G4, G5, Ge, G7,

...

5. U n d n u n e n t w i c k e l t er einen S a t z 2), d e n

ich

als d a s

ergebnis seiner Ü b e r l e g t m g e n ansehe u n d d e n Reduktionssatz

Haupt­ nennen

m ö c h t e , w e i l er die F r a g e n a c h der Ä q u i v a l e n z z w e i e r ds^ v e r m ö g e b e ­ liebiger S u b s t i t u t i o n x, = φ, (x\ . . . x'^) auf eine Ä q u i v a l e n z f r a g e l i n e a r e n Invariantentheorie

der

reduziert.

D i e S a c h e i s t f o l g e n d e : Mit d e n S u b s t i t u t i o n e n x, = φ, h a t m a n für die Differentiale die linearen S u b s t i t u t i o n e n : (24)

dx, =

l?ldx[+...+'£:dx'„.

A u f g e f a ß t als F o r m e n dieser Differentiale m ü s s e n also die ^2^^4^^5-··

mit den

linear ä q u i v a l e n t sein (wobei die x, P a r a m e t e r n spielen). (25)

Gg,G^,G^,...

. . . x^ b z w . x\

. . . xl, die R o l l e v o n

Sei j e t z t dx, = c,^dx{+

' "

+c.^dx'n

eine lineare S u b s t i t u t i o n , w e l c h e t a t s ä c h l i c h d i e G^ in die e n t s p r e c h e n d e n G'^ überführt. (26)

D a n n w i r d m a n z u einer z u g e h ö r i g e n

Substitution:

= 9^a ( % • • • < )

1) Auch Riemann geht in seiner Preisarbeit zunächst von der Äquivalenzfrage aus: wann kann Σ a^j, dx^dx^^ in ein ds^ mit konstanten Koeffizienten übergeführt werden? Aber nachdem er so die Bedingungen (ik, rs) = O in ziemlich komphzierter Weise erhalten hat, wendet er sich mit den Worten: „ U t indoles harum expressionum melius perspiciatur" zu dem direkten Bildungsgesetze des [i^], wie wir es oben in den Abschnitten B und C voranstellten. 2) Ohne ihn allerdings als solchen allgemein auszusprechen; dies ist erst durch R i c c i geschehen.

Ε. § 4. Über Christoffels Abhandlung von 1869. d o c h nur d a n n aufsteigen k ö n n e n , w e n n die ¢,¾., b e d i n g u n g e n befriedigen:

197

die Integrabilitäts-

Christoffels Satz ist n u n der, d a ß diese B e d i n g u n g e n (im Falle unserer Formenreihe Gg, G4, G5, . . . ) v o n s e l b s t erfüllt sind, so d a ß also die ganze Äquivalenzfrage in die Frage einer l i n e a r e n Ä q u i v a l e n z ver­ w a n d e l t ist. D e r g e n a n n t e Satz erweitert, w i e m a n sieht, d e n Herrschbereich der h n e a r e n Invariantentheorie. Aber m a n m u ß sein R e s u l t a t nicht e t w a als besonders einfach auffassen. D e n n schon die Frage, o b g e g e b e n e n ­ falls u n d G4 m i t u n d G^ — w a s die Differentiale angeht — linear ä q u i v a l e n t sind, liegt jenseits der Leistungsfähigkeit der expliziten elementar-invariantentheoretischen Methoden. 6. E h e wir d a s Begriffliche weiter verfolgen, m ü s s e n wir a n d e u t e n , w i e Christoffel seinen Satz des weiteren b e n u t z t . E r führt zu d e m Zwecke eine f u n d a m e n t a l e Fallunterscheidung e i n : α) e n t w e d e r ds^ g e h t (wie wir es h e u t e ausdrücken) durch eine kontinuierliche Gruppe v o n Substitutionen = φ, {x[ . . . %^) in sich selbst über, ß) oder es gibt solche Substitutionen überhaupt nicht oder d o c h nur in diskreter Zahl. 7. D e n Fall α), der gewissermaßen der interessanteste ist, weil er die b e i d e n Fälle K^ = O u n d = const u m f a ß t , läßt Christoffel d e s weiteren bei Seite. I c h n e h m e an, daß dies ursprünglich nicht sein P l a n , sondern die F o l g e späterer R e s i g n a t i o n g e w e s e n ist. H a t t e er d o c h vorher die hierhergehörigen Fälle η = 2 bereits in Angriff g e n o m m e n ^). Aber s c h o n bei ^ = 3 gibt es eine große Zahl v o n hier in Betracht k o m m e n d e n Möglichkeiten. E s k o n n t e dies erst klargestellt werden, als durch Lie eine allgemeine Theorie der kontinuierlichen Transformations­ gruppen geschaffen war. B e i g e g e b e n e m ds^ k o m m t i m m e r nur eine Gruppe m i t endlicher Parameterzahl in B e t r a c h t u n d e b e n diesen „ e n d ­ l i c h e n " Gruppen h a t Lie sein großes, v o n 1 8 8 8 — 1 8 9 3 erschienenes z u ­ s a m m e n f a s s e n d e s W e r k g e w i d m e t ^). I m Anschluß daran h a t B i a n c h i später aUe bei η = 3 auftretenden Möghchkeiten aufgezählt ^). W i r k ö n n e n diese Sache hier nicht weiter verfolgen. 8. U m so eingehender b e h a n d e l t Christoffel d e n F a h ß). Wenn überhaupt eine isolierte S u b s t i t u t i o n v o r h a n d e n ist, welche ds^ in ds'^ überführt, so m u ß sich d i e s schon a n der linearen Ä q u i v a l e n z einer e n d 1) Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke. Math. Abhandlungen der Berliner Akademie ( = Christoffels Ges. Werke I, S. 297ff.). 2) Theorie der Transformationsgruppen. 3 Bde., Leipzig, 188—93. Unter Mitwirkung von Fr. Eng^l. 3) Memoria della Societä Itahana delle Scienze, ser. 3 a, t. XI, 1897.

198

3 Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

lichen Zahl der aufeinander folgenden Reihenglieder G^, G^, Gg, . . . m i t den bezüglichen Gg, G^, Gg, . . . zeigen. E i n e obere, in jedem Falle aus­ reichende Grenze für die Zahl dieser Reihenglieder wird aber nicht g e ­ geben. A u c h bedarf wohl d a s , w a s Christoffel über d e n N a c h w e i s dieser Ä q u i v a l e n z durch d e n Vergleich der beiderseits aufzustellenden Linear­ invarianten sagt, der Nachprüfung.

Ich deute n u n an, w i e Christoffels R e d u k t i o n s s a t z m i t d e n a m E n d e des vorigen A b s c h n i t t s gegebenen B e t r a c h t u n g e n (S. 187 ff.) z u ­ sammenhängt. E s sei ds'^ m i t ds^ i n der Weise äquivalent, d a ß d e m P u n k t e O d e s R a u m e s der % der P u n k t O' d e s R a u m e s der x' entspricht. D a n n sind G^, G^, . . . , berechnet für d e n P u n k t O m i t d e n G^» Gg, . . . berechnet für d e n P u n k t 0 ' , d. h. zwei R e i h e n v o n Differential­ formen m i t konstanter Koeffizienten, die wir zweckmäßigerweise (28)

G^, G^ G^,...

und

G^\G',\G',\

...

nennen, linear äquivalent. W i r werden sie vereinfachen, i n d e m wir beiderseits R i e m a n n s c h e N o r m a l k o o r d i n a t e n y-, - - - yn b z w . y\ - · - y^ einführen. E s verwandeln sich d a n n G?, b z w . Go^ oder vielmehr die i h n e n entsprechenden ds^ u n d ds'^, in 2J^y, b z w . Σdyl^, u n d die lineare Äquivalenz wird notwendigerweise eine orthogonale (nicht nur der dy,, sondern auch, weil e s sich u m k o n s t a n t e Substitutionskoeffizienten handelt, der y, selbst). I n d e m wir die Substitution ausdrücklich als solche bezeichnen, k ö n n e n wir fortan Gl u n d Go^ aus der R e i h e der z u Vergleiv^h g e s t e h t e n F o r m e n weglassen. Also GlGl . . . u n d G^l G'^l . . . sohen durch eine orthogonale S u b s t i t u t i o n der y, äquivalent sein. N u n entspricht Gl w i e wir v o n früher her wissen, bis auf einen Zahlenkoeffizient^n der quadrilinearen Polare d e s R i e m a n n s c h e n Differentialausdrucks: (29)

Σ (ik, rs),

[dy, dy, -

dy, dy,)

(dy, dy, -

dy,

dy,).

E i n e einfache Überlegung, die wir hier leider nicht ausführen können, zeigt ferner, d a ß Gl Gl . . . in ähnhcher Weise, — b i s auf Terme niederer Ordnung, welche d e n Vergleich nicht stören — , d e n (29')

Σ(^Krs)^(dy, Σ(ίΚ

rs),(

dy,-dy,dy,) ) (

(dy, dy,-dy,

dy,)

)

usw. entsprechen, unter (ik, rs)-,, (ik, rs)^, . . . die Terme erster, zweiter usw, Ordnung v e r s t a n d e n , welche b e i der R e i h e n e n t w i c k l u n g der (ik, rs) n a c h P o t e n z e n der y, e n t s t e h e n . D e r Christoffeische S a t z läuft d a n a c h darauf h i n a u s , d a ß diese sukzessiven Ausdrücke v e r m ö g e einer orthogo-

Ε. § 5. Charakterisierung von Invarianten nalen S u b s t i t u t i o n der y, den entsprechenden akzentuierten Ausdrücken ä q u i v a l e n t sein sollen, das heißt aber, daß überhaupt (30)

Σ {ik, rs) {dy, dy, -

dy, dy,)

{dy, dy, -

dy,

dy,)

d e m entsprechenden Ausdruck in akzentuierten B u c h s t a b e n orthogonal äquivalent sein m u ß . N u n k o m m t doch die orthogonale S u b s t i t u t i o n in diese ganze F a s s u n g nur dadurch hinein, daß bei g e g e b e n e m O die N o r m a l k o o r d i n a t e n y, i m m e r n o c h bis auf eine orthogonale S u b s t i t u t i o n u n b e s t i m m t sind. D e m W e s e n der Sache nach läuft daher der Christoffeische Satz g e n a u auf die B e h a u p t u n g v o n S. 187 hinaus, daß das normierte ds^ durch A n g a b e des Ausdrucks (30) vöUig m i t g e g e b e n ist. W i r k ö n n e n s a g e n , daß der Christoffeische Satz für ein beliebiges K o o r d i n a t e n s y s t e m {^i - " ^n) g e n a u das ausspricht, w a s wir für das spezialisierte K o ­ o r d i n a t e n s y s t e m auf S. 187 entwickelt haben. Ich h a b e diesen g a n z e n Gedankengang hier nur e b e n skizzieren k ö n n e n u n d hoffe sehr, daß er bald v o n anderer Seite eine ausführlichere Darlegung findet. Man sehe z. B . die a m 25. Januar 1918 der Göttinger Societät vorgelegte N o t e v o n F r l . N o e t h e r : „Invarianten beliebiger Differentialausdrücke/' i)

§ 5. Charakterisierung von Invarianten durch infinitesimale Transformationen (Lie). Infinitesimale Transformationen sind eigentlich nur eine besondere Art, Variationen irgendwelcher Parameter aufzufassen; das N e u e gegen­ über den Arbeiten aus den ersten D e z e n n i e n des 19. Jahrhunderts liegt in ihrer Verbindung m i t d e m Gruppenbegriff bzw. der I n v a r i a n t e n theorie. D a ß m a n die Invarianten der Gruppe linearer S u b s t i t u t i o n e n durch ihr Verhalten gegenüber infinitesimalen Transformationen charakteri­ sieren k ö n n e , u n d daß hierauf das B e s t e h e n linearer partieller Differen­ tialgleichungen für die Invarianten beruhe, wurde w o h l zuerst v o n S y l v e s t e r (1852) b e m e r k t . E i n einfachstes Beispiel m a g g e n ü g e n , u m den Grundgedanken hervortreten zu lassen. W i r b e t r a c h t e n eine binäre quadratische F o r m (31)

/ = ^11^? + 2 ^ 1 2 ^ 1 ^ 2 + ^ 2 2 ^ 2

(mit k o n s t a n t e n Koeffizienten) u n d wollen untersuchen, o b e s rationale g a n z e , h o m o g e n e Verbindungen z w e i t e n Grades der a,, gibt, welche gegenüber unimodularen linearen S u b s t i t u t i o n e n : (32) x^^o.x[+ßx, I 1) x.^yxi

+ dx^ I

1) Vgl. ferner: H. V e r m e i l : Differentialinvarianten bei quadratischen Diffe­ rentialformen, Math. Ann.79 (1919), sowie H . W e y l : Raum, Zeit,Materie; Anhang 1 der 5. Auflage, Berlin 1925.

200 3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen. invariant sind. — Z u d e m Zwecke bemerken wir — ich verfahre g a n z ohne Kunstgriff — , d a ß sich unter d e n S u b s t i t u t i o n e n (32) folgende infinitesimale befinden:

'-'::::;!:;::· <-::::Γ"· (aus denen sich die allgemeinsten (32) durch W i e d e r h o l u n g u n d K o m ­ bination z u s a m m e n s e t z e n lassen). W i r können die S u b s t i t u t i o n e n (33) a u c h s o schreiben:

<->:::;;:::·

•-'::::;"-

E s h a n d e l t sich n u n v o r allen D i n g e n darum, die S u b s t i t u t i o n e n a n z u ­ g e b e n , welche diesen (33), (34) entsprechend die Koeffizienten a,, v o n / erleiden!). W i r finden: ad a) = α,,(1 + 2ε)χ,^

+ 2α,,χ,χ',

+

α,,(1~~2ε)χ,'

und damit: (35a)

ΟΛιι = 2 ε Λ ι ι ,

δα,^ = 0,

ba^^ = -

2εα^2.'

E n t s p r e c h e n d k o m m t a d b) u n d c ) : (35b)

^ ' ^ 1 1 = 0, ό'Λΐ2 = ^7«η, 0^^22 = 2^7^12

(35c)

&'a,, = 2 C « i 2 , <5''«i2 = C«22> <5''«22 = 0 .

D i e I n k r e m e n t e , w e l c h e eine Invariante / ( Λ ^ , α,^, «22) bei diesen i n infitesimalen S u b s t i t u t i o n e n g e w i n n t , m ü s s e n N u U sein. D a h e r erhält m a n die drei partiellen Differentialgleichungen, welche zugleich / als I n v a r i a n t e charakterisieren : = 0,

= 0. Soll n u n / (um bei u n s e r e m einfachsten Beispiel z u bleiben) eine lineare V e r b i n d u n g der A g g r e g a t e z w e i t e n Grades sein:

irgend

« f l , « n « 1 2 > «n«22> «f2, «12«22>«i2, so findet m a n sofort, d a ß / b i s auf einen Zahlenfaktor m i t (37) übereinstimmen m u ß .

Zl =«11^722-«12

1) Es ist natürhch immer so zu rechnen, d a ß man Potenzen höheren Grades der ε, η, ζ wegwirft. 2) Vgl. Weitzenböck (1. c. S. 2), S. 204ff. (H.)

Ε. § 5. Charakterisierung von Invarianten.

201

Ä h n l i c h in aUen höheren FäUen. Man wird sofort v e r s t e h e n , w a s die Methode

hauptsächlich

leistet:

Die

volle

Ausrechnung

höherer

In­

v a r i a n t e n k a n n k a u m der Z w e c k sein, denn m a n k a n n m i t den resul­ tierenden l a n g e n A u s d r ü c k e n d o c h nicht operieren.

V i e l m e h r h e g t die

Stärke der Methode n a c h s e l t e n der A b z a h l u n g der linear u n a b h ä n g i g e n I n v a r i a n t e n irgendwelcher B a u a r t . Nun

die

Verallgemeinerung,

die

mein

Jugendfreund,

der

Nor­

weger S o p h u s L i e (der bei m e i n e m Erlanger P r o g r a m m P a t e s t a n d , u n d v o n d e s s e n Arbeiten n o c h in e i n e m späteren K a p i t e l dieses B u c h s v i e l die R e d e sein wird)i) in zahlreichen Veröffenthchungen v o n e t w a 1875 a b d i e s e m G e d a n k e n g e g e b e n h a t . A n Stelle der Gruppe (32), b z w . der sie erzeugenden infinitesimalen Transformationen

(33) wird m a n eine b e ­

h e b i g e k o n t i n u i e r h c h e Substitutionsgruppe u n d die z u ihr gehörigen i n ­ finitesimalen Transformationen s e t z e n , u n d d a n n für diejenigen Größen, a u s d e n e n m a n eine I n v a r i a n t e z u s a m m e n s e t z e n wiU, die zugehörigen ,,induzierten'* infinitesimalen Transformationen

berechnen.

W i r w ä h l e n als Gruppe hier gleich diejenige Goo, die u n s ü b e r h a u p t g e g e n w ä r t i g b e s c h ä f t i g t , also die G e s a m t h e i t aller a n a l y t i s c h e n

Sub­

stitutionen (38) Χχ = Ψχ(Χι.··<)· Sie e n t h ä l t als erzeugende infinitesimale Transformationen ^% = / i ( % . . . ^ J ,

(39)

^^. =

diese:

/.(^1...^.),

unter / s o n s t beliebige a n a l y t i s c h e F u n k t i o n e n der (x, . . .

χverstanden,

die m a n i n d e m Bereiche, in w e l c h e m m a n gerade operiert, w o h l g e m e r k t , m i t allen ihren Differentialquotienten, als u n e n d l i c h kleine Größen b e ­ h a n d e l n darf. N e h m e n wir e t w a der E i n f a c h h e i t halber wieder w = 2 u n d als Objekt der I n v a r i a n t e n b i l d u n g eine quadratische (40)

ds^ = Edxl

Differentialform

+ 2Fdx,dx,

+

Gdxl,

s o werden wir erstlich die induzierten S u b s t i t u t i o n e n b e r e c h n e n , welche d e n F o r m e l n (39) e n t s p r e c h e n d die dx,, den

Xi,

x,

genommenen

d a n n die E, F, G, d a n n ihre n a c h

ersten u n d z w e i t e n partiellen

Differential­

q u o t i e n t e n erleiden. D i e s e S u b s t i t u t i o n e n w e r d e n z i e m h c h u m s t ä n d h c h , weil die in (39) auftretenden /,· nicht nur selbst, sondern m i t ihren ersten u n d z w e i t e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n eingehen.

Mit ihrer Hilfe m a g m a n

d a n n beispielsweise k o n s t a t i e r e n , d a ß das Gaußische

Krümmungsmaß

in der T a t bei Zugrundelegung unserer Goo eine I n v a r i a n t e v o n (40) ist. N e u e induzierte S u b s t i t u t i o n e n (für die partiellen D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n irgendwelcher vorgegebener F u n k t i o n F (x^ . . . x^) m ü s s e n wir h e r a n - * z i e h e n , w e n n wir das A n a l o g e für die B e l t r a m i s c h e n 1) Das Kapitel blieb unvollendet. (H.)

Differentialpara-

202

3. K a p . Gruppen analytischer Punkttransformationen.

m e t e r b e w e i s e n wollen, usw. So ist es i m 16. B a n d e der A c t a Mathe­ m a t i c a v o n Lies Schüler, d e m P o l e n Z o r a w s k i , ausgeführt worden. W o l l t e m a n seine R e c h n u n g e n als bloße Verifikationen b e k a n n t e r R e s u l t a t e ansehen, so w ü r d e m a n ihnen vieUeicht w e n i g W e r t beilegen. Aber sie reichen tatsächlich weiter, i n d e m sie zeigen, d a ß es, i m vor­ liegenden FaUe, einfachere I n v a r i a n t e n , als die g e n a n n t e n , überhaupt nicht gibt. B e i größeren W e r t e n v o n η g i b t es natürlich viel zahlreichere I n v a r i a n t e n . A b z a h l u n g e n in dieser H i n s i c h t h a t ein anderer Schüler v o n Lie, der Amerikaner H a s k i n s , a n g e s t e l l t ; vgl. Transactions of the A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l Society, t. I I I , 1902. Ich wiU hier nicht auf E i n z e l h e i t e n eingehen. W o h l aber wiU ich i m folgenden Paragraphen n o c h an e i n e m B e i s p i e l e zeigen, w i e n ü t z lich eine Verbindung dieser Ü b e r l e g u n g e n m i t den I n t e g r a l m e t h o d e n der Variationsrechnung sein kann. E s ist ein Mangel der L i e s c h e n Schule, d a ß sie dieser Verbindung i m m e r ausgewichen ist.

§ 6. Von der vektorieUen Divergenz eines beliebigen Tensors tn^. D a m e i n n ä c h s t e s Ziel ist, die B e d e u t u n g der hier Theorien für die m o d e r n e P h y s i k darzulegen

entwickelten

wähle ich das Beispiel

in e n g e m A n s c h l u ß a n die p h y s i k a h s c h e n B e t r a c h t u n g e n des z w e i t e n Kapitels.

Wir hatten

damals Anlaß,

die

Variabeinzahl

^ = 4

zu

s e t z e n u n d d a s B o g e n e l e m e n t in der einfachsten W e i s e zu definieren: (41)

ds^ = dxl + dxl + dxl +

dxl

(wodurch der U n t e r s c h i e d z w i s c h e n kogredienten u n d kontragredienten Größen v e r s c h w a n d ) . W a r d a n n t,, ein s y m m e t r i s c h e r Tensor (ein Zehnertensor, w i e wir d a m a l s s a g t e n ) , so leiteten wir aus i h m einen zugehörigen V e k t o r a b , den wir seine vektorieUe Divergenz n a n n t e n . Seine K o m p o n e n t e n waren einfach

<«)

2¾ 2"¾

(siehe S, 8 4 u n d die auf S. 101 folgenden E r l ä u t e r u n g e n über deren physikalische B e d e u t u n g ) . D i e A u f g a b e soll sein, diese E n t w i c k l u n g e n n u n m e h r auf ein b e h e b i g e s ds^ = Z<^ik dx, (mit η Variabein) s i n n ­ g e m ä ß z u übertragen. Sei u n s also wieder ein s y m m e t r i s c h e r Tensor t,, g e g e b e n (den wir jetzt ausdrücklich als „ k o n t r a g r e d i e n t " bezeichnen, u m a n z u d e u t e n , d a ß sich seine K o m p o n e n t e n e b e n s o u m s e t z e n sollen, w i e die a,,). 1) iVgl. W r w edas r d e Vorwort. n f e m e r (H.) n e b e n d e n a,, gleich die Koeffizienten a'^ der

Ε. § 6. Von der vektoriellen Divergenz eines beliebigen Tensors t^j,. 2 0 3 konjugierten F o r m einführen. E s ist d a n n ZUk oder, w e n n wir u n s auf unendhch kleine Werte der α*^ beschränken, die wir δα^^ n e n n e n . eine Invariante, ebenso natürlich d a s über irgend ein Gebiet erstreckte Integral

(44)

I{ZtxJcda^^{iadx,...dxJ.

Wir berechnen n u n insbesondere die Werte der όα*^. welche durch eine infinitesimale Transformation: (45)

X, = Xl +fr (X,,..

Xj

induziert werden. Zu d e m Zwecke m ü s s e n wir uns vor allen D i n g e n daran erinnern, d a ß sich, bei irgendwelchen Transformationen der χ^ die α* ^ z u d e n P r o ­ d u k t e n dx,dx, kogredient verhalten. Andererseits werden wir Terme höherer Ordnung in d e n unendlich kleinen b z w . ihren Differential­ quotienten, v o n vornherein vernachlässigen. W i r finden d a n n durch kurze Zwischenrechnung, w e n n wir setzen: (46)

(x\...

4) =

{Xi-••

Xn) -

Σα''fr

-Σα"'fr-

Aber wird durch

ZVl ersetzen sein. (47)

Solcherweise ergibt sich: δα^^ =

α^^'{χ,...χ^-α^ΗΧΐ'''Χη) 'fr-a^rflc__^krfiV

Mit diesen W e r t e n der Oa^ ^ gehen wir in das Integral (44) ein. W i r e halten s o als neue Integralinvariante: (48) i n der bb( Hier g e sstalten t a l t e n wir die Glieder m i t /^, e k a n n t e n Weise durch c e h m e n , d a ß der sonst partielleΪ Integration u m , i n d e m wir zugleich aan n iche Vektor f a n d e n Integrationsgrenzen Integrationsgrenzen verschwindet. S o b e ­ wiUkürliche dividiert h a b e n , als Invariante k o m m e n1 wir, n a c h d e m wir noch durch 2 dividiert

204 3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen. aber ist ein ganz willkürlicher, kogredienter Vektor. Wir schheßen, daß der Ausdruck

^^;^^¾ für y = 1, 2, 3 , 4 einen kontragredienten Vektor delmiert, den wir eben die vektorieUe D i v e r g e n z v o n t,, n e n n e n . In der T a t reduziert er sich, w e n n die a^^ k o n s t a n t sind, auf

und w e n n spezieh alle α** =

1, die anderen a^^ = O sind, auf

d. h. auf die Größen (42). D i e s w i h heißen, d a ß der Vektor (50) aus (42) hervorgeht, sobald wir für die ursprünglichen χ beliebige F u n k t i o n e n derselben als n e u e χ einführen u n d das a u s ^dxf dabei e n t s t e h e n d e neue ds^ m i t 2J^tk dx,dx, bezeichnen. W i r erhalten hierbei natürlich nicht d a s allgemeinste ds^, sondern i m m e r nur ein solches v o n v e r ­ schwindendem Riemannschen Krümmungsmaß. I m m e r h i n wird es eine s i n n g e m ä ß e Verabredung sein, auch bei b e l i e b i g v o r g e g e b e n e m ^ den V e k t o r (50) als vektorieUe D i v e r g e n z d e s Tensors t,, zu bezeichnen. D e n n die R e c h n u n g e n , die wir ansteUten, sind so elementar, d a ß sie durch N u l l s e t z e n des R i e m a n n s c h e n K r ü m m u n g s m a ß e s a n keiner SteUe eine Vereinfachung erfahren. — E s ist dies g e n a u dasselbe Verfahren der Analogie, dessen sich B e l t r a m i b e d i e n t e , w e n n er d e n Begriff des ersten oder z w e i t e n Differentialparameters auf b e h e b i g e ds^ a u s d e h n t e — oder schheßlich ü b e r h a u p t dasselbe Verfahren, v o n d e m R i e m a n n selbst Gebrauch m a c h t e , als er ein beliebiges ds^ als Grundlage für die G e o ­ metrie des w-dimensionalen R a u m e s a n die Spitze stellte.

Schlußbemerkung. I n d e m wir hiermit die E n t w i c k l i m g e n d e s dritten K a p i t e l s schließen, wollen wir n i c h t unterlassen h e r v o r z u h e b e n , d a ß wir t r o t z großer Ausführhchkeit d o c h nur einen kleinen Teil der i n der Literatur v o r ­ liegenden E n t w i c k l u n g e n , sei es der reinen A n a l y s i s , sei es der a n a l y t i ­ schen Geometrie oder a n a l y t i s c h e n Mechanik, in unsere DarsteUung eingearbeitet h a b e n . Aber vielleicht h a t unsere D a r s t e l l u n g doch einiges Verdienst, weil wir b e s t i m m t e I d e e n b i l d u n g e n in d e n Vordergrund g e ­ stellt h a b e n , die sonst nur hinterher u n d m e h r beiläufig zur G e l t u n g gebracht werden.

Erläuterungen zum dritten Kapitel.

205

Erläuterungen z u m dritten Kapitel. 1. D i e moderne Differentialgeometrie in η D i m e n s i o n e n hat über den Z u s t a n d hinaus, den Klein bei der Abfassung dieses K a p i t e l s vor A u g e n h a t t e , zwei wesentliche Fortschritte g e m a c h t . I. Der n e u e n t s t a n d e n e Begriff ,,Infinitesimale P arallelv er Schiebung" hat die Theorie der geodätischen Linien u n d die des Gaußschen K r ü m ­ m u n g s m a ß e s vertieft u n d hat die B e d e u t u n g der „ D r e i i n d i z e s s y m b o l e " geklärt. I L D u r c h den Ricci-Kalkül ist d a s rein Rechnerische der Probleme so durchsichtig geworden, daß die wesentlichen geometrischen Fragen nicht mehr v o n Schwierigkeiten formaler Art verdeckt w e r d e n ; d a s war früher anders. D i e schnellste Einführung in die moderne Differentialgeometrie gibt d a s zweite Kapitel des Werkes v o n A, S. Eddington: Relativitätstheorie in mathematischer Behandlung (Berlin 1925). Mehr Arbeit erfordern die folgenden, tieferen DarsteUungen des Gegenstandes: H. Weyl: Raum, Zeit, Materie. Berlin, 3. Aufl. I 9 I 9 , 5. Aufl. 1925. T. Levy-Civita: Lezioni di calcolo differenziale assoluto. R o m 1925. E i n e n gründlichen Bericht über alle einschlägigen Arbeiten findet m a n in d e m Werk v o n D . J. Struik: Mehrdimensionale Differen­ tialgeometrie. Berlin 1922. Kleins B e h a n d l u n g s w e i s e des Gebietes h a t auch h e u t e nicht ihren W e r t verloren. Sie legt das F u n d a m e n t frei, auf d e m die modernen Methoden stehen. Wer in ihnen s c h o n aufgewachsen ist, läuft Gefahr, jene Grundlagen z u vergessen und nur noch „weiterzurechnen''. Dem würd hier entgegengewirkt. D i e v o n Klein bevorzugte invariantentheoretische F o r m u l i e r u n g ver­ hält sich z u m Tensorbegriff, der die anderen DarsteUungen beherrscht, ähnlich wie die Gleichung bx = a sich zu

verhält. SchneU rechnen k a n n m a n nur m i t der zweiten. Aber an entschei­ d e n d e n Stellen wird m a n auf die erste zurückgreifen m ü s s e n . 2. S. 1 5 9 : Vgl. A n m e r k u n g 4 z u m ersten Kapitel. 3. S. 1 7 1 : Offenbar k a n n m a n die D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e n auf­ fassen als Grenzfälle v o n S i m u l t a n i n v a r i a n t e n zweier oder m e h ­ rerer P u n k t e des F e l d e s , die m a n z u s a m m e n r ü c k e n l ä ß t . 4. S. 1 7 2 / 1 7 4 : Z u § § 4 , 5 vergleiche m a n besonders die DarsteUung bei E d d i n g t o n (1. c. A n m e r k u n g I ) ; der Leser wird dort ohne weitere

206

3. Kap. Gruppen analytischer Punkttransformationen.

leitung die Fortschritte erkennen, die die moderne Forschung über den Kleinschen Bericht hinaus erzielt hat. 5. S. 1 8 2 : Formel (19) gibt die Möglichkeit, aus d e n R i e m a n n s c h e n N o r m a l k o o r d i n a t e n s y s t e m e n , die ja nur bis auf eine orthogonale S u b ­ s t i t u t i o n b e s t i m m t waren, eine invariante A u s w a h l zu treffen: Man suche das S y s t e m so zu w ä h l e n , daß die quadratische F o r m ΣK^l ^dxjc auf H a u p t a c h s e n transformiert ist, d. h. keine g e m i s c h t e n Glieder e n t ­ hält. D a s ist immer m ö g l i c h , u n d zwar i m wesentlichen nur auf eine W e i s e , w e n n die E i g e n w e r t e der F o r m alle verschieden sind.

Namenverzeichnis. Abraham 42, 47 Aronhold 161, 195 Ball 48 Bateman 79, 88, 91, 117, 122 Beltrami 190, 152, 165, 188, 189, 190—192 Bianchi 148, 189. 197 Blaschke 49, 148, 153 Bocher 2, 26, 78, 122 Bolyai 22 Born 99, 131, 134, 136 Burali-Forti 48 Burkhardt 43, 44, 119 Caratheodory 161 Cartan 25, 88 Cauchv 61, 110. 166 Cayley 17, 22. 23, 24, 33, 44, 86, 102. 117. 163 Christoffel 165. 166. 173. 176. 188, 189. 193. 1 9 5 - 1 9 8 Clairaut 140 Clebsch 5. 29. 56 Clifford 41. 88, 163 Coriolis 140 Cunningham 79 Darboux 78, 116, 148 Debve 124 Dirac 136 Drude 43 Eddington 135. 205 Ehrenfest 131 Einstem 67. 73, 74, 77, 95. 118, 135, 145. 172, 183. 189. 195 Engel 58 Enriques 163 Euler 31, 119 Fano 29 Faraday 67 Föppl 47 Frobenius 25. 26 Galilei 53. 145 Gauß 15, 16. 20, 109, 122, 146. 147, 148 Gibbs 38, 45—47 Goursat 90

Graßmann 5, 8, 10, 11. 14. 21, 36. 42. 44. 4 6 - 4 8 . 102 Hamilton 32. 35, 38. 39, 40, 44. 149 Haskins 202 Heaviside 47, 60 Heisenberg 136 Helmholtz 66, 68, 120, 165 Herglotz 57, 76, 131, 135. 180. 183 Hertz 60. 68. 74, 134 Hesse 10, 51 Heun 142 Hilbert 134. 172. 183 Hittorf 66 Hopf. H. 163 Hurwitz 5 Jakobi 16—19, 23. 27. 56, 57, 65. 70, 94. 161, 190 Jordan 136 Juttner 135 Killing 163 Kirchhof 121 Knoblauch 148 Kronecker 17, 26 Lagrange 27. 31, 116. 1 3 9 - 1 4 2 . 157 Lam^ 46, 122, 152 Laplace 27 Larmor 67, 68, 72, 95 Laue. V. 75 Levi-Civita 194. 205 Lie 1. 2, 28, 29, 58, 78, 106, 110, 11], 116, 197, 201, 202, 205 L i ^ a r d 91, 99. 115 Liouville 78. 147, 148 Lipschitz 165. 166. 168. 172. 173, 175. 186. 188, 189, 192, 193. 196 Lobatscheffski 22 Lorentz 69. 71. 72, 76, 92. 95. 121 Mac Cullagh 60, 93 Marcolongo 48, 49 Maxwell 1, 2, 39, 40, 41, 45. 47, 59. 60, 65. 66, 68, 91 Mie 135 Minding 162 Minkowski 62, 74. 75. 77. 84. 92. 95. 96, 102, 104, 107, 114. 115. 120. 126 Möbius 12 Monge 107, 110. 147 Myrberg 51

Namenverzeichnis. Newcomb 45 Newton 53. 145 Noether. E. 186. 199 Noether. F. 131 Pauli 135. 136 Peano 48 Peirce 45 Pfaff 23. 42 Planck 76 Plücker 12. 168 Pockels 78. 121 Poincare 68. 73. 74, 90. 95. 120 Poisson 120. 121 Poynting 68. 101 Rankine 43. 44 Rayleigh 120. 121 Ricci 52. 189. 193. 194. 205 Riemann 19. 77. 102. 122. 146. 154. 155. 157. 158. 164. 165. 171—174. 176. 180. 1 8 6 - 1 8 8 . 196 Runge 181 Salmon 10 Schonten 34. 45 Schrödinger 136 Schur 171 Schütz 58 Sitter. de 118 Sommerfeld 75. 80. 84. 117. 121, 135 Stäckel 148. 157

Stokes 42 Stoney 67 Struik 205 Study 32. 59. 88 Sylvester 2. 4. 11. 17. 18. 26. 43. 46. 199 Tait 44 Thomson. J. J. 68 Thomson. W. 39. 41. 78 Timerding 117 Tisserand 27 Unverzagt 88 Vermeil 180, 186. 199 Voigt 36. 70 Voß 140 Waals. V. d. 69 Waerden. v. d. 51 Wälsch 34 Weber. H. 186 Weber, W. 66 Weierstraß 17, 26 Weingarten 189 Weitzenböck 2. 8. 49, 59. 200 Weyl 4. 135. 154. 199. 205 Wiechel t 67. 99. 115 Wright 189 Zorawski 202