Von Zahlen und Grössen: dritthalbtausend Jahre Theorie und Praxis

Heinz Lüneburg

Von Zahlen und Größen Dritthalbtausend Jahre Theorie und Praxis Band 1

Birkhäuser Basel · Boston · Berlin

Autor: Heinz Lüneburg Fachbereich Mathematik Technische Universität Kaiserslautern Erwin-Schrödinger-Straße D-67663 Kaiserslautern e-mail: [email protected]

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Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Der rote Faden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii I. Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Inkommensurabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Dedekindsche Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Proportionenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Rechnen mit Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. Fl¨ acheninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6. Die vierte Proportionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7. Ziffer, das Wort und die Sache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8. Dezimalbr¨ uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9. Nepers Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10. Sinustafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 II. Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Die Lehre vom Geraden und Ungeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rationale Gr¨ oßenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Buch IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zahlen aus Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nochmals Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 174 196 211 221 230 236 254

III. Das zehnte Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Definitionen und allgemeine S¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Mediale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Existenzaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen von irrationalen Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Unabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wurzeln aus Binomialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra in den Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibonaccis kubische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 267 273 282 285 289 299 314 316

IIII. Gleichungen 2., 3. und 4. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Al-Hwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Berechnung von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nepers Arithmetica localis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dramatis personae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wut u ¨ber eine verspielte Gelegenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331 345 360 378 387 400

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Inhaltsverzeichnis

7. Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 8. Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 9. Briefverkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 1. Nu˜ nez und Bombelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 2. Polynome und negative Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 3. Polynome bei Nu˜ nez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 4. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 5. Polynome bei Bombelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 6. Das delische Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 7. Negative Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 VI. Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 1. Vi`ete und Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 2. Cauchy, Exercices de math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 3. Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 4. Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 5. Potenzsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 6. Angeordnete K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 7. Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 8. Gaußens zweiter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 9. R´esum´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Inhaltsverzeichnis von Band II VII. Resultanten. 1. Das gaußsche Lemma. 2. Resultanten. 3. Polynomiale Restesequenzen. 4. Subresultanten. 5. Algorithmen. 6. Der laplacesche Entwicklungssatz. ¨ VIII. Lagrange. 1. Einheitswurzeln. 2. Die große Arbeit. 3. Uber die Aufl¨ osung ¨ von Gleichungen dritten Grades. 4. Uber die Aufl¨ osung von Gleichungen vierten Grades. 5. Gleichungen f¨ unften und h¨ oheren Grades . 6. Strategiewechsel. VIIII. Der abstrakte K¨ orperbegriff. 1. Weber. 2. Galoisfelder. 3. Die Kreisteilungspolynome. 4. Der Satz von Zsigmondy. 5. Der Satz von Wedderburn. 6. Endlich erzeugte Moduln. 7. Torsionsmoduln. 8. Der duale Modul. 9. Endliche abelsche Gruppen sind galoissche Gruppen. X. Steinitz. 1. Die p-adischen Zahlen. 2. Einfache Erweiterungen. 3. Algebraische Erweiterungen. 4. Separable und inseparable Erweiterungen. 5. Einfache algebraische Erweiterungen. 6. Der Satz von L¨ uroth. 7. Der petersonsche Algorithmus. XI. Transfinite Methoden. 1. Auswahlaxiom und Wohlordnungsprinzip. 2. Weitere transfinite Werkzeuge. 3. Der Heiratssatz. 4. Unabh¨angigkeitsstrukturen. 5. Transzendenzbasen. 6. Der algebraische Abschluss eines K¨orpers. 7. Formal reelle K¨orper. 8. Reelle Algebra. 9. Sturmsche Ketten. 10. Rodolfo Bettazzi

Inhaltsverzeichnis

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XII. Geometrie lebt von der Algebra. 1. Gauß und Vandermonde. 2. Wantzel. 3. Pythagoreische K¨ orper. 4. Reine Gleichungen. 5. Die Kreisteilungsgleichung. 6. Kreisteilungsk¨ orper. XIII. Galois. 1. Cauchy 1815 und 1844. 2. Die sylowschen S¨atze. 3. Aufl¨ osbare Gruppen. 4. Kongruenzrelationen und Faktorstrukturen. 5. Freie Gruppen. 6. Galois’ M´emoire I. 7. Irreduzible Gleichungen von Primzahlgrad. 8. Es steht alles schon bei Dedekind. XIIII. Miszellen. 1. Normalbasen. 2. Der Fundamentalsatz der Algebra. 3. Der Satz von L¨ uroth. 4. Ganzzahlige Polynome. 5. Topologische R¨ aume. 6. Topologische Vektorr¨ aume. 7. Das henselsche Lemma. 8. Algebraische Erweiterungen von Qp . 9. Der algebraische Abschluss von Qp . 10. Der Satz von Heine-Borel. XV. Transzendente Zahlen. 1. Kettenbr¨ uche. 2. Die Kettenbruchentwicklung reeller Zahlen. 3. Liouvillesche Zahlen. 4. Die algebraischen Zahlen sind abz¨ ahlbar 5. Intermezzo: Lineare Unabh¨ angigkeit. 6. Huygens. 7. Euler. 8. Zusammenhang in topologischen R¨aumen. 9. Die Exponentialfunktion. 10. Die Transzendenz von e und π. Lebensdaten - Literaturverzeichnis - Index

Vorwort Als mein Enkel Florian f¨ unftehalb1 Jahre alt war, u ¨berraschte er mich eines Tages mit der Bemerkung: Opa, man kann nicht mit ” Null anfangen zu z¨ ahlen“. Und f¨ uhrte dies vor, indem er z¨ ahlte: Null, eins, zwei, drei, vier“, wobei er mit dem Daumen der linken ” Hand anfangend, eben den Daumen, den Zeigefinger, den Mittelfinger, den Ringfinger und zum Schluss den kleinen Finger ausstreckte. Und seine Begr¨ undung, weshalb man nicht mit Null anfangen k¨ onne zu z¨ ahlen, lautete: Denn dann z¨ ahlst du die Eins mit dem falschen ” Finger, die Zwei mit dem falschen Finger, die Drei mit dem falschen Finger.“ Kinder haben es viel leichter als Philosophen.

Der Hunger nach Historie war groß in den neunziger Jahren des letzten Jahrhunderts. Ich war ihm schon mit Vorlesungen u ¨ ber Fibonaccis liber abbaci begegnet und versuchte nun, auch in meinen eigentlichen mathematischen Vorlesungen die Geschichte meiner Vorlesungsthemen mit zu behandeln. Der Stil war durch die Vorlesungen u ¨ ber Fibonaccis Buch vorgegeben: Mathematik wird an Hand der alten Texte entwickelt, was im vorliegenden Buche h¨aufig genug heißt, dass erst der heutige Stand dargestellt wird, bevor die Alten zu Wort kommen. Ging und geht es doch vor allem darum, dem heutigen H¨orer und Leser klar zu machen, worum es eigentlich ging bei dem, was dann zu unserer Mathematik wurde. Heutige Mathematik hat ja viel subtilere M¨ oglichkeiten ihrer Darstellung als die Mathematik in fr¨ uheren Zeiten, was zu einem leichteren Verst¨andnis gerade auch des Alten beitr¨ agt. Von der Entwicklung dieser M¨ oglichkeiten wird zu berichten sein. Meine erste Idee war die, an Hand der K¨orpertheorie einen L¨angsschnitt durch die Geschichte der Algebra zu geben. Bei meinen Studien f¨ ur diese Vorlesungen wurde aber immer klarer, dass die Frage nach der L¨ osbarkeit von algebraischen Gleichungen insbesondere auch eine Frage nach dem Zahlbegriff ist. Ich habe die erste Idee also modifiziert und dem Zahlbegriff und seiner Geschichte breiten Raum einger¨ aumt. Die K¨ orpertheorie von Galois bis Steinitz und Artin bekommt auf diese Weise ihren angemessenen Rahmen. Es begann mit der Entdeckung des Irrationalen durch die Pythagoreer im 5. Jahrhundert vor Christus, was sich bei Euklid als Proposition X 115a niederschlug: Man zeige, dass im Quadrat die Seite zur Diagonalen linear inkommensurabel ist. Diese Proposition ist der Aufh¨ anger f¨ ur dieses Buch. Um dann aber die griechische Antwort auf die Entdeckung des Irrationalen zu verstehen und um den Schatz zu heben, der sich in Buch V der Elemente Euklids verbirgt, ist es n¨ otig, erst von den Grundlagen der reellen Zahlen zu reden, so wie sie von Dedekind und anderen im neunzehnten Jahrhundert gelegt wurden. Erst dadurch wird uns Heutigen die 1 Der Leser, der seinen Wissensdurst sofort stillen m¨ochte, findet die Erkl¨ arung dieses Wortes schnell mit Hilfe des Indexes.

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Vorwort

Sch¨ onheit und Tragweite dieses Buches offenbar. Die Proportionenlehre leistete fast dasselbe, was heute die reellen Zahlen leisten. Das f¨ unfte Buch Euklids gibt also mit der eudoxischen Proportionenlehre Antwort auf die Probleme, die die Entdeckung des Irrationalen aufgeworfen hatte. Es zeigt, dass die Griechen den Zahlbegriff nicht erweiterten. Sie blieben vielmehr bei Zahl als der nat¨ urlichen Zahl. Die Araber, das Mittelalter, die Renaissance, das Barock gingen mit dem Zahlbegriff v¨ollig naiv um. Insbesondere identifizierten sie Zahlen mit Strecken, ohne dies zu rechtfertigen. Erst im 19. Jahrhundert gab es eine uns befriedigende Antwort auf die Frage, was Zahlen f¨ ur den Mathematiker sind. Dies wird ein Thema sein, das uns begleitet. Ein anderes Thema wird die Entdeckung der L¨ osungsformel f¨ ur kubische und biquadratische Gleichungen sein. Hier wird Cardano immer wieder als der Eidesbrecher dargestellt, dabei steht in diesem Streit Aussage gegen Aussage, wobei Cardano selbst sich nicht in den Streit zwischen Tartaglia und Ferrari einmischt und ihn in seiner Autobiografie nur ganz beil¨ aufig erw¨ ahnt: . . . , mit dem ich mich ” damals herumzankte.“ (Kap. 4, Absch. 5). Bei der Korrespondenz zwischen Cardano und Tartaglia ist bemerkenswert, wie schnell Briefe zwischen Venedig und Mailand in damaliger Zeit hin und her gingen, so dass ich dem vierten Kapitel einen Abschnitt u ¨ ber das Briefwesen zu dieser Zeit hinzugef¨ ugt habe. Henri Lebesque sagt wenig Schmeichelhaftes u ¨ ber Gaußens siebtes Kapitel der Disquisitiones und auch u ¨ber Gauß selbst. Er ist der Ansicht, ohne dies als Plagiat zu werten — was er betont —, dass Gauß seine Ideen aus einer Arbeit Vandermon¨ des habe. Er hat f¨ ur seine Behauptung allerdings nur Indizien: Die Ahnlichkeit der Strukturen beider Arbeiten, die er sorgf¨ altig analysiert, und eine Notiz von Gaußens Hand in dessen Nachlass, die es nahe legt, dass er die einschl¨ agige Arbeit Vandermondes gesehen hat. Auch dar¨ uber wird hier berichtet. In diesem siebten Kapitel der gaußschen Disquisitiones bzw. in der Arbeit Vandermondes geht es um die Kreisteilungspolynome. Sie seien mittels Radikale aufl¨ osbar, behaupten beide. Vandermonde liefert eine Beweisskizze, die dem Leser noch viel zu tun l¨ asst. Gauß f¨ ullt die L¨ ucken und bemerkte dar¨ uber hinaus, dass man auch das Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Dies war Vandermonde entgangen. Das war die Situation, bevor Abel zeigte, dass die allgemeine Gleichung n-ten Grades, das ist die Gleichung n-ten Grades mit Unbestimmten als Koeffizienten, nicht durch Radikale l¨ osbar ist, wenn nur n ≥ 5 ist. Das eigentliche Problem, ob n¨amlich Polynome mit rationalen Koeffizienten stets durch Radikale l¨ osbar sind, l¨ oste erst Galois. Sie sind es nicht. Sein Kriterium f¨ ur die Aufl¨ osbarkeit von Gleichungen werde ich ausf¨ uhrlich darstellen. Mir erscheint sein Beweis viel klarer als alles, was sich in heutigen Lehrb¨ uchern zu diesem Thema findet, mein eigenes Buch Gruppen, Ringe, K¨ orper“ eingeschlossen. Ein ” Leckerbissen bei Galois ist, dass er seine Galoisfelder als Indexmengen benutzt! Die historische Betrachtung des Gegenstandes, so wie ich sie hier versuche, liefert gleichzeitig eine sorgf¨altige Analyse dessen, was man zu den einzelnen Be-

Vorwort

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weisen an Voraussetzungen ben¨otigt. H¨ aufig finden sich ja S¨ atze, bei deren Beweis Voraussetzungen benutzt werden, die nicht explizit formuliert sind. Man sah eben Dinge noch nicht so scharf, wie wir das heute tun, und unterstellte Dinge als selbstverst¨andlich, die es nicht sind. Die Analyse historischer Texte hilft also auch, unser heutiges Verst¨andnis unserer Wissenschaft zu vertiefen. Es ist merkw¨ urdigerweise das Unbeholfene und Rudiment¨ are, das uns klarer blicken l¨ asst. Auf der anderen Seite gibt es S¨ atze, die sich gleichen und deren Beweisstrukturen identisch sind. So gibt es S¨ atze der Zahlentheorie, die mit abstrakt gruppentheoretischen Argumenten bewiesen werden, ebenso S¨atze u ¨ ber Permutationsgruppen oder von Gruppen, die in der Geometrie auftauchen. So erh¨ alt man einen Fundus an impliziter Gruppentheorie, wie Hans Wußing dies trefflich nennt. Dies werden wir beobachten und sehen, wie dann die heutige Theorie entstand. Warum interessiert man sich f¨ ur die Untergruppen einer Gruppe? Weil man sich immer f¨ ur die Unterstrukturen der Strukturen interessiert, die man betrachtet. So sieht der Student das heute und so bekommt er es von uns beigebracht. Der urspr¨ ungliche Grund war aber ein anderer. Darauf gibt dieses Buch auch eine Antwort wie auch auf die Frage nach der Bedeutung des Wortes dritthalb“ im ” Titel und f¨ unftehalb“ im Motto des Buches ” Obwohl Zahlen und Gr¨ oßen in diesem Buch eine große Rolle spielen, werde ich philosophischen Fragen in diesem Zusammenhang nicht nachgehen. Mir geht es vor allem darum zu zeigen, wie Zahlen in der Alltagsmathematik gehandhabt wurden. Hier sind die Zeugnisse von Neper und Regiomontanus sehr beeindruckend: die Sinustafel von diesem und die Logarithmentafel von jenem. Bei ihren Berechnungen steht unausgesprochen im Hintergrund, was Dedekind und andere sp¨ ater axiomatisch fassten, dass eine reelle Zahl nichts anderes ist, als die Summe ihrer Approximationen. Bei der Sinustafel des Regiomontanus ist auch bemerkenswert, wie einfach ihr Ger¨ ust zu berechnen ist. Dieses Ger¨ ust besteht aus den Sinuswerten der Winkel, die Vielfache von 45 sind. Diese lassen sich allein mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und einem Algorithmus f¨ ur die Berechnung der Quadratwurzel aus einer reellen Zahl berechnen. Das ist selbst Sch¨ ulern zug¨ anglich. Belassen wir es bei diesen Andeutungen zum Inhalt. Ausf¨ uhrlicher informiert das Inhaltsverzeichnis und der rote Faden im Anschluss an dieses Vorwort. Die Frage nach der L¨ osbarkeit von algebraischen Gleichungen f¨ uhrte auf die Frage nach dem Zahlbegriff. Dieser umfasst heute die reellen und die komplexen Zahlen und alle ihre Teilk¨ orper. Das sind die K¨ orper, die Dedekind urspr¨ unglich im Sinn hatte. Mit ihnen ist man bei Fragen der Mengenlehre und der Topologie gelandet. Heinrich Weber abstrahierte dann endg¨ ultig den K¨ orperbegriff, was wiederum zur Mengenlehre f¨ uhrte. Die henselschen p-adischen Zahlen sind abstrakt definierte K¨ orper, die eine Topologie tragen. Die Topologie spielt also auch hier ihre Rolle. Unser Thema f¨ uhrt uns also auch in Nachbargebiete der Algebra. Es ist daher eine Sisyphusarbeit, jeder auftauchenden Frage nach Geschichte in all ihren Verzweigungen nachzugehen, insbesondere dann, wenn man die Originalarbeiten sprechen lassen will. Der Leser m¨oge mir daher verzeihen, dass die Information

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Vorwort

an Geschichte in diesem Buch unterschiedlich dicht ist. Am meisten empfinde ich diese L¨ ucke bei der Eliminationstheorie. Hier hatte ich das Problem, an die Literatur des 18. Jahrhunderts heranzukommen, die in der Bibliothek einer jungen Universit¨ at nicht vorhanden ist. In der Sekund¨ arliteratur fand ich auch keine Hilfe bei diesem Thema. Hier scheint noch einiges zu tun zu sein. Sporadisch sind auch die biografischen Notizen. Es gibt aber eine Liste mit den Namen fast aller vorkommenden Autoren mit ihren Lebensdaten. Diese Daten stammen meist aus dem Lexikon bedeutender Mathematiker“, das im Literatur” verzeichnis aufgelistet ist (Gottwald et al. 1990). Vierzehn Jahre habe ich an diesem Buch gearbeitet. Es hatte folglich das gleiche Schicksal wie Heinrich Webers Lehrbuch der Algebra“, eine Rechtschreibreform ” zu erleben. Bei Weber passierte das zwischen dem Erscheinen der ersten beiden B¨ande der zweiten Auflage und dem dritten Band, so dass diese B¨ ande unterschiedlicher Orthografie folgen. Ich wollte urspr¨ unglich die ersten Kapitel dieses Buches so stehen lassen, wie sie waren, um das zu dokumentieren. Da aber im¨ mer wieder Anderungen anzubringen waren, die insbesondere beim ersten Kapitel sehr umfangreich waren, habe ich den ganzen Text der neuen Rechtschreibung angepasst. Dabei ist mir das Missgeschick passiert, dass auch die Zitate aus der ¨ thaerschen Ubersetzung der Elemente der neuen Orthografie angepasst wurden. Der Leser m¨oge es mir nachsehen. Dieses Buch kann sehr vielen Zwecken dienen. Dem Leser wird sicher manches einfallen. Ich sehe es insbesondere auch als Anleitung zum Genuss“ der Origi” nale. Der Leser sollte selbst immer wieder einmal die urspr¨ unglichen Texte zur Hand nehmen. Es gibt so vieles zu entdecken, Dinge, die beim Tradieren verloren gegangen sind und die es wert sind, ins Ged¨ achtnis zur¨ uckgerufen zu werden. Danken m¨ ochte ich den Angestellten unserer Bibliothek, die mir u ¨ber die Fernleihe so manchen Text besorgten. Die weiteste Reise unternahm eine Vorlesungsausarbeitung von Emil Artin aus dem Jahre 1938, die in Europa nicht nachzuweisen war. Sie kam aus New York. Danken m¨ ochte ich Frau Petra Meyer (Walldorf) und den Herren Peter Schreiber (Stralsund), Theo Grundh¨ ofer und Hans-Joachim Vollrath (beide W¨ urzburg). Frau Meyer hat als wissenschaftliche Mitarbeiterin die Anf¨ ange dieses Buches hier in Kaiserslautern miterlebt und immer wieder gemahnt, den roten Faden nicht zu verlieren, so dass ich am Ende einen solchen schrieb, dem Leser zu Nutze. Die Herren Grundh¨ ofer und Schreiber haben w¨ ahrend all der Jahre die Arbeit verfolgt und mir mit Rat und Tat zur Seite gestanden. Am intensivsten habe ich das Buch mit Herrn Vollrath diskutiert. Als Frucht dieser Diskussionen hat sich die Lesbarkeit des Buches an so mancher Stelle wesentlich erh¨oht. F¨ ur einzelne Hinweise habe ich auch anderen zu danken. Das ist an den jeweiligen Stellen im Buche geschehen. Das Buch geht nun hinaus in die Welt. M¨ oge der Leser beim Lesen so viel Freude empfinden wie ich bei seinem Schreiben. Kaiserslautern, im Januar 2008

Heinz L¨ uneburg

Der rote Faden Es begann mit der Entdeckung des Irrationalen durch die Griechen im 5. Jahrhundert vor Christus, dass n¨ amlich in jedem Quadrat Seite und Diagonale linear inkommensurabel sind. Dies war eine geometrische Entdeckung, durch die klar wurde, dass die Proportionenlehre nat¨ urlicher Zahlen nicht gen¨ ugte, um geometrische und dann auch physikalische Ph¨ anomene zu beschreiben, so dass eine Proportionenlehre geschaffen werden musste, die auch mit dem Irrationalen fertig wurde. Eudoxos gelang dies. Seine meisterliche L¨ osung des Problems findet sich in Buch V der Elemente Euklids. Dass die eudoxische Gr¨ oßenlehre wirklich als Antwort auf die Entdeckung des Irrationalen gedacht war, ist nicht durch Quellen belegt. Es ist unsere heutige Interpretation, da wir uns nichts anderes vorstellen k¨ onnen. Das Werkzeug eudoxische Proportionenlehre“ haben wir durch das Werkzeug ” reelle Zahlen“ ersetzt. Diese werden daher hier als erstes vorgestellt und zwar mit ” Hilfe der dedekindschen Schnitte. Dann erst wird die eudoxische Proportionenlehre erl¨autert und gezeigt, dass man sie auch heute noch mit Vorteil verwenden kann. Die Proportionenlehre wurde bis ins 19. Jahrhundert benutzt und die Elemente Euklids explizit zitiert. So von Bernoulli beim Beweis seiner Ungleichung und von Neper bei der Konstruktion der Logarithmen, um nur zwei prominente Beispiele zu nennen. Bevor man reelle Zahlen definierte, hat man sie approximiert. Fr¨ uhe Belege sind Verfahren, Quadrat- und Kubikwurzeln zu approximieren, deren Existenz offenbar nie in Frage gestellt wurde. Bemerkenswert auch die Approximation der Verh¨ altniszahl τ des goldenen Schnitts durch die Quotienten Fn+1 /Fn der Fibonaccizahlen, die schon Simon Jacob im 16. Jahrhundert bekannt war. Besonders interessant in diesem Zusammenhang sind die ptolem¨aischen Sehnentafeln (2. Jahrh. n. Chr.). In diesen Tafeln werden die N¨ aherungswerte mittels Sexagesimalbr¨ uchen dargestellt. Diese finden sich auch noch in den Preußischen Tafeln des Erasmus Reinhold. Im 15. Jahrhundert benutzte Regiomontanus bei der Berechnung seiner Sinustafeln einen Kreis mit dem Radius 107 , rechnete also implizit mit sieben Stellen nach dem Komma. Dezimalbr¨ uche kannte man damals aber noch nicht. Neper tabellierte zu Beginn des 17. Jahrhunderts Logarithmen der Sinusfunktion, wobei er die Sinuswerte einer Nachfolgetafel der regiomontanusschen Tafel entnahm. Er rechnete also auch mit einem Kreis vom Radius 107 , wobei er bei seinen Rechnungen weitere sieben Stellen nach dem Komma ber¨ ucksichtigte. Er rechnete also mit doppelter Genauigkeit. Die neperschen Rechnungen sind das fr¨ uheste Beispiel wissenschaftlichen Rechnens, das ich kenne, bei dem die kurz zuvor von Stevin eingef¨ uhrten Dezimalbr¨ uche benutzt wurden. Es war Neper v¨ ollig klar, dass die Werte in seiner Tafel nur N¨ aherungswerte sind. Das erkennt man daran, dass er die eigentlichen Werte in Schranken einschließt. Mit seinen Rechnungen werden wir uns ausf¨ uhrlich besch¨aftigen. Die nepersche Logarithmentafel gibt Anlass, sich mit Stevins B¨ uchlein Thien” de“ zu besch¨aftigen, in dem er die Dezimalbr¨ uche einf¨ uhrte. Dabei wird man neugierig auf das Wort Ziffer“ und auf die Sache, die sich dahinter verbirgt. ”

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F¨ ur Euklid sind Zahlen Ansammlungen von Einheiten. Seine Zahlen sind also die nat¨ urlichen Zahlen. Spuren seiner Auffassung findet man noch im 19. Jahrhundert in Redewendungen der Art: . . . soviele, wie sich in n Einheiten finden.“ Auf ” solche Redewendungen werde ich immer wieder einmal hinweisen. Die axiomatischen Begr¨ undungen der nat¨ urlichen Zahlen durch Dedekind und Peano im 19. Jahrhundert sind letztlich Pr¨ azisierungen dessen, was sich schon bei Euklid findet. Das Und-so-weiter bzw. die P¨ unktchen . . . in Beweisen, waren nicht mehr tragbar. Sie wurden ersetzt durch das Induktionsprinzip und den dedekindschen Rekursionssatz. Euklid untersucht in den arithmetischen B¨ uchern, das sind die B¨ ucher VII, VIII und IX der Elemente, die multiplikative Struktur der nat¨ urlichen Zahlen und er hat S¨ atze, die eine Verbindung schaffen von der Geometrie zur Algebra (Buch X). Er braucht die Algebra, bzw. die Zahlentheorie, um die Existenz gewisser Strecken sicherzustellen, die nach heutigem Verst¨ andnis quadratischer und biquadratischer Natur sind. Schon dieses fr¨ uhe Zeugnis zeigt, dass Geometrie von der Algebra lebt. Die klassischen Probleme der Kreisteilung, der Winkeltrisektion, der W¨ urfelverdopplung und der Kreisquadratur wurden erst gel¨ ost, nachdem die algebraischen und analytischen Methoden entsprechend weit entwickelt waren. Von all diesem werden wir zu handeln haben. Bei Al-Hwarizmi, einem Zeitgenossen Karls des Großen, gibt es quadratische Gleichungen. Es werden ihre L¨ osungen beschrieben und in jedem Einzelfalle nachgerechnet, dass die m¨ oglichen L¨ osungen auch wirklich L¨ osungen sind. Der Name Al-Hwarizmi lebt fort in unserem Wort Algorithmus“. ” Fibonacci wiederholt, was er von den Arabern gelernt hat. Erst Nu˜ nez gibt in seinem Buch von 1567 einen Beweis daf¨ ur, dass die notwendigen Bedingungen an die Gestalt der L¨osungen quadratischer Gleichungen auch hinreichend sind. Hier werden Strecken wie Zahlen behandelt, ohne dass es daf¨ ur eine Rechtfertigung gibt. Bei Fibonacci findet sich eine Gleichung dritten Grades, an der er scheitert. Immerhin zeigt er, dass die im zehnten Buche Euklids vorkommenden Irrationalit¨ aten nicht L¨ osungen dieser Gleichung sind. Da er nichts weiter u ¨ber die L¨ osungen herausfindet, approximiert er sie mit hoher Genauigkeit. Bemerkenswert ist hier, dass Fibonacci nicht an der Existenz einer L¨ osung zweifelt, und außerdem, dass er Strecken mit Zahlen gleichsetzt. Er verliert aber kein Wort dar¨ uber, dass er dies tut, geschweige, dass er ein Wort dar¨ uber verl¨ ore, dass er dies tun darf. Seine algebraische Interpretation von Buch X findet sich wohl schon bei den Arabern. Diese Interpretation liefert nach heutigem Verst¨ andnis eine Theorie u ¨ ber gewisse algebraische Zahlen, deren geometrische Interpretation bei Fibonacci und weiter bis ins 19. Jahrhundert hinein der Begr¨ undung mangelte. Dies ist bei Euklid anders, wie schon gesagt, er hat S¨atze, die die Br¨ ucke von der Algebra zur Geometrie schlagen. Dass Euklid die Br¨ ucke von der Geometrie zur Algebra schl¨ agt, dass seine S¨atze also geometrische S¨atze sind, hat seinen Preis. Seine Darstellung ist schwerf¨allig. Wenn Fibonacci die Existenz gewisser Irrationalit¨aten nachweisen will, schreibt er

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nur die passenden Zahlen hin. Sein Kommentar, so denke ich mir: Eccolo. Das heißt auf Deutsch, um mit Gauß zu reden: Liggetse. Die H¨ orer meiner Vorlesung waren sichtlich erleichtert, als ich bei der Darstellung von Buch X zu Fibonacci wechselte, nachdem ich zuerst Euklid gefolgt war. Buch X war eine Sackgasse, Fibonacci und den Arabern geh¨ orte die Zukunft. Die Br¨ ucke zur Geometrie hat dann aber erst wieder Hilbert geschlagen (Hilbert 1899). Seinen Br¨ uckenbau werden wir nicht nachvollziehen. Die Suche nach L¨ osungen der Gleichungen dritten und vierten Grades besch¨ aftigte die Mathematiker lange Zeit. Noch 1494 glaubte Luca Pacioli nicht daran, dass man eine L¨osung finden k¨ onne. Doch wenige Jahre sp¨ ater, zu Beginn des 16. Jahrhunderts, fand Scipio del Ferro und nach ihm und unabh¨ angig von ihm dann auch Tartaglia und Cardano und nach Cardanos Zeugnis, das uns aus der Feder Tartaglias u ¨ berliefert ist, schließlich auch noch quel diauolo de messer Zuanne Colle (= jener Teufel von Herrn Giovanni da Coi) zusammen mit einem Kompagnon, dessen Name nicht genannt wird, die L¨ osungen f¨ ur die Gleichungen dritten Grades. Damals waren die M¨oglichkeiten, Mathematik aufzuschreiben, sehr bescheiden. Es gab nicht nur einen Standardtyp von Gleichung, wie bei uns, die wir als Descartes’ Sch¨ uler ein Polynom einfach gleich 0 setzen, sondern es gab viele Typen, da in den vorkommenden Termen nur positive Glieder standen. Del Ferro konnte nur einen der Typen dritten Grades l¨ osen. Tartaglia den gleichen und noch zwei weitere. Diese drei Typen hatten kein quadratisches Glied. Erst Cardano konnte alle F¨ alle l¨ osen. Ferrari fand schließlich einen L¨ osungsweg f¨ ur die Gleichungen vierten Grades. Auch dies noch im 16. Jahrhundert. Es ist hier zu erw¨ ahnen, dass bei der L¨ osung der Gleichungen dritten Grades die negativen und komplexen Zahlen ganz zwangsl¨ aufig ins Spiel kamen, und zwar auch dann, wenn alle L¨ osungen reell sind. Dass dies zwingend so ist, zeigte erst die galoissche Theorie. Sp¨ atestens seit Nu˜ nez Untersuchungen in den dreißiger Jahren des 16. Jahrhunderts l¨ osten sich die linken und rechten Seiten algebraischer Gleichungen aus diesen Gleichungen und wurden als Polynome zu selbstst¨ andigen Objekten mathematischer Untersuchungen. Hier nun taucht die Division mit Rest bei Polynomen auf, zuerst bei Nu˜ nez, der seine Untersuchungen erst 1567 publizite und dann bei Bombelli 1572. Auch sie zwingt zur Einf¨ uhrung der negativen Zahlen, was Nu˜ nez klar erkannte. Im 16. Jahrhundert kommen also die negativen und komplexen Zahlen hinzu. Wenig sp¨ater tauchen negative Zahlen auch bei den Logarithmen auf. Zuallererst aber erschienen sie bei linearen Problemen mit mehreren Unbekannten, dort stets als Schulden interpretiert. Das war in Fibonaccis liber abbaci. An einer Stelle dieses Buches, bei der Approximation einer Kubikwurzel, taucht eine echte negative Zahl auf, mit der auch gerechnet wird. Das blieb rund dreihundert Jahre lang singul¨ ar. Nu˜ nez gibt nat¨ urlich keine formale Definition von Polynomen. Er rechnet aber mit seinen Ausdr¨ ucken so, wie wir das mit Polynomen tun. Es sind insbesondere keine Polynomfunktionen. Statt die Division mit Rest auszuf¨ uhren, l¨ asst er die

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Quotienten auch einfach stehen und rechnet mit ihnen, wie auch wir das heute noch tun. Man sieht hier die ersten Spuren dessen, was wir den Funktionenk¨ orper in einer Unbestimmten u ¨ ber dem K¨ orper der rationalen Zahlen nennen. Bei der Suche nach L¨osungsformeln f¨ ur Gleichungen h¨ oheren Grades hoffte man, solche ebenfalls in Form von rationalen Ausdr¨ ucken von Wurzelausdr¨ ucken1 zu finden, wie dies ja f¨ ur Gleichungen 2., 3. und 4. Grades gelungen war. Dieses Problem aber widersetzte sich lange hartn¨ackig einer L¨ osung. Anfang des 17. Jahrhunderts gab es wieder Fortschritte, die die Entwicklung in zwei Richtungen aufspaltete. Einmal schloss Vi`ete aus dem Bau der Koeffizienten auf die Wurzeln der Gleichungen, w¨ ahrend Descartes mit seiner cartesischen Zeichenregel absch¨atzte, wieviele der Wurzeln einer Gleichung positive reelle Zahlen sind. Bleiben wir zun¨ achst bei ihm. Descartes gibt keinen Beweis seiner Zeichenregel. Es sieht aber so aus, als ben¨ otige man f¨ ur ihn den Satz, dass eine Polynomfunktion f , f¨ ur die es zwei reelle Zahlen a und b mit f (a)f (b) < 0 gibt, zwischen a und b eine Nullstelle hat. Dies ist wiederum eine Frage an die Struktur von R und an stetige Funktionen u ¨ber R, die Dedekind im 19. Jahrhundert zu seinen Grund legenden Untersuchungen u ¨ ber Stetigkeit und Irrationalit¨ at veranlasste. Dies hat auch zur Folge, dass eine Polynomfunktion ungeraden Grades u ¨ber R stets eine Nullstelle in R hat. Descartes Zeichenregel gibt einen Hinweis, wo man die Nullstellen einer Polynomfunktion zu suchen hat. Dieser Hinweis ist weitgehend unabh¨ angig davon, welche Struktur die Wurzeln haben, er h¨ angt nur an den Vorzeichen der Koeffizienten. Dem gleichen Zweck dient die Ungleichung von Cauchy aus den zwanziger Jahren des 19. Jahrhunderts f¨ ur die Absolutbetr¨ age der Wurzeln, die nun auch komplex sein d¨ urfen. Diese Ungleichung und die Bemerkung, dass ein reelles Polynom ungeraden Grades stets eine reelle Nullstelle hat, sind die Basis f¨ ur den cauchy-argandschen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Dies ist ein Satz, der eine Existenzaussage u ¨ber die Nullstellen einer algebraischen Gleichung liefert, mehr aber nicht. Ob die Nullstellen rationale Funktionen in Wurzelausdr¨ ucken2 sind, bleibt v¨ ollig offen. Der cauchy-argandsche Beweis ist funktionentheoretischer Natur. Was Descartes mit seiner Zeichenregel begann, kulminiert im 19. Jahrhundert in der Arbeit von Sturm u ¨ber die heute so genannten sturmschen Ketten, die ¨ ¨ einen v¨ olligen Uberblick u ¨ber die Anzahl und einen gewissen Uberblick u ¨ber die Lage der reellen Nullstellen eines reellen Polynoms liefern, ohne jedoch — im Gegensatz zur cartesischen Zeichenregel — die Vielfachheiten zu ber¨ ucksichtigen. Die Eigenschaften von R, die zu der cartesischen Zeichenregel wie auch zu den sturmschen Ketten f¨ uhren, lassen sich axiomatisch beschreiben. Dies f¨ uhrt dann auf die Untersuchung der formal reellen und der reell abgeschlossenen K¨orper, die von Artin und Schreier im 20. Jahrhundert begonnen wurde. Doch dazu bedurfte es 1 Hier ist Wurzel als das zu verstehen, was es ursp¨ unglich war, L¨ osung einer Gleichung der Form xn = a. 2 Siehe Fußnote 1.

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der axiomatischen Beschreibung dessen, was wir K¨orper nennen, die erst im Jahre 1893 von Weber gegeben wurde. Reell abgeschlossene K¨orper gibt es in H¨ ulle und F¨ ulle. Die Untersuchungen u ¨ ber formal reelle K¨ orper sind ohne die Entwicklung der Mengenlehre nicht denkbar. Diese hatte aber nicht nur die Algebra als eine ihrer Wurzeln. Eine weitere Quelle war die Fassung eines neuen Funktionsbegriffs, der durch die Theorie der Fourierreihen und da insbesondere die Frage nach ihrer Konvergenz n¨ otig geworden war, was wiederum zum Nachdenken u ¨ ber die Struktur der reellen Zahlen f¨ uhrte. Vi`ete schließt, wie schon gesagt, aus dem Bau der Koeffizienten einer Gleichung auf deren Wurzeln. Insbesondere haben diese Gleichungen immer n Wurzeln, Vielfachheiten gez¨ahlt. Ob die Koeffizienten einer Gleichung immer die fragliche Struktur haben, ist gleichbedeutend mit der Frage, ob alle Polynome u ¨ber Q oder auch R in einer geeigneten Erweiterung von Q bzw. R in Linearfaktoren zerfallen. Nimmt man dies an, was gerechtfertigt ist, wie wir heute wissen, so kommt man zu algebraischen Beweisen des Fundamentalsatzes, wie sie von Euler-Lagrange und Laplace Ende des 18. Jahrhunderts gegeben wurden. Gauß kritisierte, vom damaligen Stand der Dinge aus zu recht, die Annahme, dass Polynome irgendwo Nullstellen haben sollten. Sein erster Versuch, den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen, ist nach heutigem Verst¨andnis ebenfalls l¨ uckenhaft. Bei seinem zweiten Beweis ist sehr bemerkenswert, wie er mit geschickten Argumenten die Klippe des Zerf¨ allungsk¨ orpers umschifft. Dieser Beweis findet sich in Kapitel 6. Gauß bediente sich bei diesem Beweis der symmetrischen Funktionen und insbesondere des Satzes von Waring, dass sich jedes symmetrische Polynom auf eine und nur eine Weise als Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen darstellen l¨ asst. Diesen Satz benutzt er in seiner ganzen Sch¨arfe. Meist wird n¨ amlich nur die M¨ oglichkeit der Darstellung benutzt, nicht jedoch ihre Einzigkeit. Von Polynomen werden wir also reden m¨ ussen und werden dies auch mit aller Sorgfalt tun. Sie sind Beispiele freier Objekte und haben vielf¨ altige Anwendungen. In der Frage, ob es L¨osungsformeln f¨ ur Gleichungen h¨ oheren als vierten Grades gebe, gab es lange keinen Fortschritt. Lagrange publizierte 1770/71 eine große Arbeit in zwei Teilen, wo er das bisher Erreichte systematisch zusammenfasste und dar¨ uberhinaus eine Idee Tschirnhausens aus dem Jahre 1683 sorgf¨altig analysierte. Tschirnhaus f¨ uhrte seine Idee nur am Beispiel der Gleichungen dritten Grades vor, war aber zuversichtlich, dass sie immer zum Ziele f¨ uhrte. Lagrange zeigte aber, dass man vom Regen in die Traufe kommt, dass n¨amlich das tschirnhausensche Verfahren von einer Gleichung des Grades n zu einer Gleichung des Grades n! f¨ uhrt. Dabei kommen nun die symmetrischen Gruppen ins Spiel, wobei Lagrange nicht richtig ausn¨ utzt, dass die Sn eine Gruppe ist, geschweige denn, dass er ihre Untergruppen untersucht. Das tat erst Ruffini. Der Leser lasse sich durch das Wort Resolvente“ nicht ins Bockshorn jagen. ” Resolvente“ heißt ja Aufl¨ osende“, also erwartet man, dass Resolventen bei der ” ” Aufl¨ osung von Gleichungen wirklich helfen. Lagrange beschreibt, welche Eigen-

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schaften eine Resolvente idealerweise haben sollte. Eine formale Definition gibt er nicht. Eine formale Definition habe ich, von speziellen Resolventen abgesehen, auch nirgendwo sonst gefunden. Wenn man analysiert, wie Lagrange mit diesem Begriff hantiert, so merkt man, dass er alle seine Kandidaten f¨ ur Resolventen untersucht und dass diese Kandidaten nichts Anderes sind als die Minimalpolynome von rationalen Funktionen in n Unbestimmten u ¨ ber Erweiterungen des K¨ orpers der symmetrischen rationalen Funktionen in den gleichen Unbestimmten. Gesucht wurden solche Funktionen, deren Minimalpolynome kleine Grade haben. Mit andern Worten, man suchte einen Turm von Zwischenk¨orpern zwischen dem K¨ orper der symmetrischen rationalen Funktionen und dem K¨ orper aller rationalen Funktionen, so dass die Grade dieser K¨ orper in Bezug auf den vorherigen K¨ orper m¨ oglichst klein sind3 . Hier kommen nun die Untergruppen der symmetrischen Gruppen ins Spiel. Der Grad eines solchen Minimalpolynoms ist n¨ amlich der Index des Stabilisators einer seiner Wurzeln in der symmetrischen Gruppe. Dies ist der Grund, weshalb man Untergruppen in die Untersuchungen einbeziehen muss. Ruffini hat das in den neunziger Jahren des 17. Jahrhunderts erkannt. Er behauptete, dass die allgemeine Gleichung f¨ unften Grades nicht durch Radikale l¨ osbar sei. Um dies zu beweisen, bestimmte er alle Untergruppen der S5 . Neben der alternierenden Gruppe, die den Index 2 hat, fand er nur noch Untergruppen mit einem Index gr¨ oßer oder gleich 5. Das war der Clou! Ruffinis Liste ist nicht vollst¨ andig und sein Beweis auch sonst nicht koscher. Die Idee aber trug Fr¨ uchte und f¨ uhrte schließlich zum Ziel. Cauchy griff Ruffinis Idee auf und bewies, dass eine Untergruppe der Sn einen Index hat, der gleich 1 oder 2 oder aber gr¨ oßer oder gleich der gr¨oßten Primzahl ist, die n! teilt. Seinen sch¨ onen Beweis, den er 1815 publizierte, werden wir zu ur sehen bekommen. In einer Arbeit aus dem Jahre 1844 zeigte er, dass die Sn f¨ alle Primzahlen p, die n! teilen, eine p-Sylowgruppe enth¨ alt4 . Abel bewies schließlich die ruffinische Behauptung. Seine Arbeiten sind schwer verdauliche Kost. Ich werde sein Resultat daher hier mit Hilfe der galoisschen Kennzeichnung der algebraischen Gleichungen, die durch Radikale l¨ osbar sind, herleiten und auf Abel selbst nicht eingehen. Lange bevor Abel seinen Satz publizierte, hat Vandermonde in einer Publikation von 1774 behauptet, dass die Kreisteilungsgleichungen durch Radikale l¨ osbar seien. 3 Es gibt noch zwei weitere Quellen der Konfusion in diesem Zusammenhang, n¨amlich einmal den Begriff Werte einer Funktion“ und zum andern den Begriff algebraische ” ” Gleichung“. Die Funktionen, die hier betrachtet werden, sind Quotienten von Polynomen, also nicht wirklich Funktionen. Was mit Werten“ gemeint ist, sind die Bilder der Funk” tion unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe, die ja als Automorphismengruppe auf dem K¨ orper der rationalen Funktionen operiert. Vor Galois bedeutete algebraische Gleichung“ stets eine Gleichung, deren Koeffizien” ten Unbestimmte sind, im Gegensatz zu den numerischen Gleichungen, deren Koeffizienten reelle oder auch komplexe Zahlen sind. 4 Die Arbeit stammt nicht wirklich aus dem Jahre 1844. Dar¨ uber mehr im Text.

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Er befasste sich in seiner Arbeit mit dem Problem der Aufl¨osbarkeit schlechthin und spezialisierte seine Resultate am Ende auf die Kreisteilungspolynome. Seine Arbeit ist eine umfangreiche Skizze. Gauß lieferte in seinen Disquisitiones von 1801 die Beweise. Hier ist noch zu erw¨ ahnen, dass in diesem Zusammenhang in der Literatur, z. B. bei Galois und Abel, auch die Gleichungen herumspuken, die bei der Teilung der Lemniskate auftauchen. Auch sie seien aufl¨osbar. Die Lemniskatenteilung ist eng mit den elliptischen Funktionen verkn¨ upft. Wir werden hier nicht auf sie eingehen. Der Leser, der N¨aheres wissen m¨ochte, findet den Anfang des Fadens in Vahlen 1911 und Berggren, Borwein, Borwein 1997. Galois gelang es nun, jeder Gleichung u ¨ber einem K¨ orper der Charakteristik 0 eine Gruppe zuzuordnen, die auf dem Zerf¨ allungsk¨ orper des Polynoms als Gruppe von Automorphismen operiert. Dabei ist K¨ orper der Charakteristik 0“ ” und Zerf¨ allungsk¨ orper“ unsere Interpretation dessen, was nach heutigem Ver” st¨andnis aus seinem schriftlichen Verm¨ achtnis herauszuholen ist. Er beweist dann, dass eine Gleichung genau dann durch Radikale l¨ osbar ist, wenn die Gruppe eine Kette von Untergruppen enth¨alt, von denen jede in der n¨ achstfolgenden Normalteiler von Primzahlindex ist. Gruppen, die eine solche Kette von Untergruppen enthalten, heißen heute aufl¨ osbar . Er zerlegt die gegebene Aufgabe also in Teilaufgaben. Dabei ist bei jedem Schritt wichtig zu wissen, was die rationalen Gr¨ oßen sind. Rational sind einmal die zun¨ achst gegebenen Gr¨ oßen, das sind f¨ ur uns die Elemente des K¨ orpers, aus dem die Koeffizienten des Polynoms stammen, das wir betrachten. Dann werden nach und nach weitere Gr¨ oßen adjungiert, n¨ amlich Nullstellen von geeignet gew¨ ahlten Polynomen, wie etwa Kreisteilungspolynomen aber auch anderen, so dass man einen weiteren Teilk¨ orper erh¨ alt, u ¨ ber dem eine schon erhaltene Zerlegung des gegebenen Polynoms sich weiter verfeinern l¨ asst, bis am Ende gen¨ ugend Koeffizienten rational bekannt sind, um das Polynom vollst¨ angig in Linearfaktoren zerlegen zu k¨onnen. Statt von Teilk¨ orpern spricht er immer von der Gesamtheit der rationalen Elemente in den schon bekannten und den im n¨ achsten Schritt zu adjungierenden Gr¨ oßen. Er f¨ uhrt bei seinen Untersuchungen gleichsam sorgf¨ altig Buch u ¨ ber das, was schon erreicht ist. F¨ ur die allgemeine Gleichung n-ten Grades finden sich diese Ideen bei Lagrange und Abel. Galois hat diese Ideen dem klassischen Fall der algebraischen Gleichungen mit rationalen Koeffizienten zug¨ anglich gemacht. Die Struktur von Galois’ Beweis ist, wie im Vorwort schon erw¨ahnt, viel erhellender als alle heutigen Beweise, zumindest dann, wenn er in heutiger Sprache interpretiert wird. Man findet dort den kompletten Bourbakismus: Wenn es eine Primzahl gibt, die etwas tut, so gibt es auch eine kleinste Primzahl, die das tut. Insbesondere tun alle kleineren Primzahlen dieses nicht. Bemerkenswert die eigene Kritik an seinem Aufl¨ osbarkeitskriterium, dass es n¨amlich im Einzelfall nicht praktikabel sei, dass es aber h¨aufig genug eben doch helfe, usw., usw. Wir werden das alles in Kapitel 13 erl¨ autern.

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Wozu aber die Galoisfelder? Sie dienen ihm dazu, aufl¨ osbare primitive Permutationsgruppen zu konstruieren. Seine Permutationsgruppen sind die Gruppen der Permutationen der Form i x → axp + b mit a, b ∈ GF(pn ) und a = 0 sowie 0 ≤ i < n. Er glaubte zun¨ achst, dass dies bis auf wenige Ausnahmen alle primitiven aufl¨ osbaren Permutationsgruppen seien, revidierte aber sp¨ ater diese Behauptung, ohne auf Einzelheiten einzugehen. Neben den Teilk¨ orpern spielen nun auch die Automorphismengruppen von K¨ orpern und ihre Untergruppen zun¨ achst in Gestalt der Gruppen von Gleichungen ihre Rolle. Doch schon Galois bemerkte, um in unserer Sprache zu reden, dass die Gruppe nicht von dem primitiven Element abh¨ angt, das zur Konstruktion des Zerf¨ allungsk¨ orpers benutzt wurde. Die Gruppe geh¨ ort folglich zum Zerf¨ allungsk¨ orper und ist somit Gruppe von vielen Gleichungen. Gut zehn Jahre nachdem Liouville die Arbeiten Galois’ publiziert hatte, trug Dedekind in seinen G¨ ottinger Vorlesungen des WS 1856/57 und des WS 1857/58 die galoissche Theorie vor. Seine Nachschrift dieser Vorlesungen wurde 1981 von Winfried Scharlau publiziert, so dass sie nun bequem zug¨ anglich ist. Diese Vorlesungen bieten wiederum einen idealen Zugang zu den galoisschen Schriften. In ihnen formulierte er den K¨ orperbegriff im Sinne von Teilk¨ orper des K¨orpers der komplexen Zahlen, wenn auch nicht unter dem Namen K¨ orper“. Der Name selbst ” taucht erst auf im Supplement 10 der zweiten Auflage der durch Dedekind herausgegebenen Vorlesungen u ¨ ber Zahlentheorie“ von Dirichlet. Mit Hilfe dieses ” Begriffes wird der Begriff rationale Gr¨ oße“ bzw. rational bekannt“ sehr viel ” ” besser greifbar. Dedekind weist in diesen Vorlesungen auch darauf hin, dass die Gruppe einer Gleichung eigentlich Gruppe des Zerf¨ allungsk¨ orpers ist. Im zehnten Supplement der 4. Auflage der dirichletschen Zahlentheorie, die 1894 erschien, stellte er daher die Monomorphismen der Teilk¨ orper von C in C in den Vordergrund seiner Untersuchungen und bahnte so den Weg zu Artins Zugang zur galoisschen Theorie. Im Jahre 1892 publizierten Dedekind und Weber eine Arbeit u ¨ber algebraische Funktionen in einer Variablen. Auch dort tauchten Strukturen auf, die wir heute K¨ orper nennen, die aber nicht von Natur aus Teilk¨ orper des K¨orpers der komplexen Zahlen waren. Das f¨ uhrte dann im Jahre 1893 zu einer Publikation Webers, in der er den Begriff des K¨orpers ohne Bezug auf C abstrakt definierte. Dieser Begriff umfasst nun auch die Galoisfelder. Die gemeinsame Arbeit von Dedekind und Weber wird hier nicht vorgetragen. In seiner Arbeit von 1893 legte Weber die Grundlagen f¨ ur eine K¨ orpertheorie im heutigen Sinne. Um K¨ orper axiomatisch zu beschreiben, gab er erst eine abstrakte Definition der Gruppen. F¨ ur endliche Gruppen gab es schon vorher solche Definitionen. Doch statt der Existenz des Inversen wurde bei ihnen stets die G¨ ultigkeit der beiden K¨ urzungsregeln verlangt, die im Unendlichen nicht ausreichen, um Gruppen zu definieren.

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Weber hatte noch Schwierigkeiten mit den K¨ orpern der Charakteristik p > 0. Diese u ¨ berwand erst Steinitz mit seiner großen Arbeit aus dem Jahre 1910. In dieser Arbeit geht es nicht um galoissche Theorie, sondern darum, wie sich K¨orper aus einfacheren K¨ orpern zusammensetzen. Es geht also insbesondere nicht nur um algebraische Erweiterungen eines K¨orpers, seien sie endlich oder nicht, sondern auch um transzendente Erweiterungen, deren einfachster Typ der K¨ orper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten u ¨ber einem K¨orper K ist. Hier nun sp¨ atestens ben¨otigt man auch transfinite Hilfsmittel, um mit der allgemeinen Situation fertig zu werden. Gleichzeitig hat man sich von dem urspr¨ unglichen Thema Zahlen und Gr¨ oßen“ meilenweit entfernt. Mathematik entwickelt sich nach eige” nen, eigenartigen Gesetzen. Die Untersuchungen Ruffinis ließen nach den Untergruppen der symmetrischen Gruppe fragen. Die lagrangeschen Untersuchungen zeigten, dass deren Ordnungen Teiler von n! sind. Die ruffinischen und cauchyschen Ergebnisse zeigten wiederum, dass nicht alle Teiler von n! Ordnungen von Untergruppen sind. Umso spektakul¨ arer der Satz, den Cauchy bewies, dass die symmetrischen Gruppen stets p-Untergruppen maximal m¨oglicher Ordnung enthalten, wenn nur p eine Primzahl ist. Dieser Satz gilt f¨ ur alle Permutationsgruppen — und dann auch f¨ ur alle endlichen Gruppen —, wie Sylow sp¨ ater bewies. Bei Cauchy und Galois wurden die Untergruppen der symmetrischen Gruppen zu eigenst¨andigen Objekten mathematischer Forschung. Dedekind widmete ihnen folglich das erste Kapitel seiner G¨ ottinger Vorlesungen. Eine umfangreiche Monografie publizierte Camille Jordan unter dem Titel Trait´e des substitutions et des ” ´equations alg´ebriques“, die 1870 in Paris erschien. In vorliegendem Buche besch¨aftigen wir uns auch ein wenig mit dem Thema Gruppen, insbesondere auch deswegen, um ein wenig Gesp¨ ur f¨ ur aufl¨ osbare Gruppen zu bekommen. Dabei werden wir generell von Kongruenzrelationen und Faktorstrukturen zu handeln haben, einem Thema der universellen Algebra. Dabei ist interessant zu beobachten, dass bei Ringen Faktorstrukturen meist benutzt werden, um Beispiele von Ringen mit bestimmten Eigenschaften zu bekommen, z. B. einen Erweiterungsk¨ orper eines K¨orpers, in dem ein gegebenes Polynom eine Nullstelle hat, w¨ ahrend bei endlichen Gruppen die Faktorgruppen vor allem in Induktionsbeweisen auftauchen. Nachdem die K¨orpertheorie sich vom eigentlichen Zahlbegriff gel¨ ost hatte, kamen auch die transfiniten Werkzeuge der Mengenlehre ins Spiel, wie oben schon erw¨ahnt. Wir werden uns daher hier auch mit ihnen zu besch¨ aftigen haben. Interessant ist, dass das simultane Ausw¨ahlen aus Mengenfamilien zuerst in der Analysis problematisiert wurde, n¨amlich von Peano beim Beweise seines Existenzsatzes f¨ ur L¨osungen gew¨ohnlicher Differentialgleichungen. — Einzelheiten im Text. Die Existenz transzendenter Zahlen wurde erst im 19. Jahrhundert sichergestellt. Liouville erkannte, dass sich algebraische Zahlen nicht sonderlich gut approximieren lassen und konstruierte dann mit Hilfe von Kettenbr¨ uchen Zahlen, die sich besonders gut approximieren lassen, die also nicht algebraisch und damit transzendent sind. Das gibt uns Gelegenheit, auch ein wenig u ¨ ber Kettenbr¨ uche

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zu lernen, einem faszinierenden Gegenstand der Mathematik. Eine andere M¨ oglichkeit, die Existenz transzendenter Zahlen zu beweisen, bietet die Mengenlehre mit ihren M¨ achtigkeitsbetrachtungen, sind die algebraischen Zahlen doch abz¨ahlbar, die reellen Zahlen aber nicht. Schließlich werden wir noch von zwei Individuen zeigen, dass sie transzendent sind, n¨amlich von e (Hermite) und von π (Lindemann), wobei wir jedoch nicht die Originalbeweise vortragen werden. Das vorletzte Kapitel des Buches bringt verschiedene Anwendungen der K¨orpertheorie. Ein besonderer Leckerbissen ist die Konstruktion des algebraischen Abschlusses der henselschen p-adischen Zahlen ohne Verwendung transfiniter Werkzeuge. Auf diese M¨oglichkeit wies Steinitz in seiner großen Arbeit hin. Mit den karstschen Resultaten zum l¨ urothschen Satz sind wir dann in der Jetztzeit angekommen. Um den algebraischen Abschluss der henselschen p-adischen Zahlen zu konstruieren, ohne das Auswahlaxiom zu benutzen, m¨ ussen wir uns topologischer Methoden bedienen. Sie werden im 14. Kapitel bereit gestellt. Sie geben uns Gelegenheit, auch einiges aus dem ersten Lehrbuch der Topologie wiederzugeben, das Felix Hausdorff 1914 publizierte. Ferner werden wir in diesem Zusammenhang auch den Satz von Heine-Borel beweisen und einiges zu seiner Geschichte sagen. Topologische Methoden werden auch ben¨ otigt, um den Zusammenhang der beiden Zahlen e und π herzustellen, den wir beim Nachweis der Transzendenz von π ben¨ otigen. Es ist die Gleichung eπi = −1. Wie Euler sie herleitete“ wird auch ” beschrieben. Dies bringt uns in die Nachbarschaft der Nicht-Standard-Analysis. Doch ihr wird in diesem Buch kein Platz einger¨aumt.

I. Gr¨ oßen 1. Inkommensurabilit¨ at. Am Ende des zehnten Buches der Elemente Euklids findet sich die folgende Aufgabe (X.115a. Wir zitieren die Elemente im Folgenden ¨ immer nach der thaerschen Ubersetzung. Euklid 1980): Man soll zeigen, daß in jedem Quadrat die Diagonale der Seite linear inkommensurabel ist. Der Beweis dieser f¨ ur die Geometrie und die gesamte Mathematik so folgenschweren Entdeckung ist ein Widerspruchsbeweis. Er verl¨ auft, wie folgt. Es sei ABCD das Quadrat und AC seine Diagonale. Mit dem Satz von Pythagoras, der in I.47 bewiesen wird, dort aber nicht Satz von Pythagoras heißt, folgt, wenn man mit q(XY ) das Quadrat u ¨ber der Strecke XY bezeichnet, q(AC) = 2q(AB). Strecken und Fl¨ achen — wir w¨ urden sagen ihre L¨ angen und Fl¨ acheninhalte — sind Gr¨ oßen, also keine Zahlen. Sind sie kommensurabel, was hier von AC und AB angenommen wird, so haben sie aber ein Verh¨ altnis wie Zahl zu Zahl. Hier wird X.5 zitiert. Das Verh¨altnis sei EF : g, wobei EF und g die kleinsten unter den Zahlen seien, die das gleiche Verh¨altnis haben wie sie. Dass es solche kleinsten Zahlen gibt, wird in VII.33 bewiesen. Dann wird argumentiert, dass EF nicht die Einheit sei. Dies ist eine Ungereimtheit, die schon bei X.5 auftritt. Die Einheit wird n¨ amlich in der Antike und bis weit in die Neuzeit hinein nicht als Zahl angesehen. Damit Satz X.5 unter dieser Einschr¨ ankung richtig ist, muss man dort voraussetzen, dass keine der beiden Gr¨ oßen die andere misst, was nicht geschieht. Die Argumentation hier, dass EF nicht die Einheit sei, zeigt, dass in X.5 auch Verh¨ altnisse wie 1 : d und d : 1 zugelassen sind. F¨ ur uns, die wir die Eins zu den Zahlen rechnen, ist dies in Ordnung. Dass EF nicht die Einheit ist, liegt daran, dass AC > AB ist. Dies f¨ uhrt n¨ amlich zusammen mit der Definition V.5 der Gleichheit von Verh¨ altnissen dazu, dass EF > g ist. Hieraus folgt, dass EF nicht die Einheit ist. Wegen CA : AB = EF : g folgt mit VI.20 und VIII.11, dass q(CA) : q(AB) = (EF )2 : g 2 ist. Wegen q(CA) = 2q(AB) folgt wiederum unter Benutzung der Definition V.5 der Gleichheit zwischen Verh¨altnissen, dass (EF )2 = 2g 2 ist. Folglich ist (EF )2 nach VII, Definition 6 gerade. Hieraus folgt wiederum, dass EF gerade ist. W¨ are n¨ amlich EF ungerade, so w¨are auch (EF )2 ungerade, da eine Summe einer ungeraden Anzahl ungerader Summanden nach IX.23 ungerade ist. Nach VII.22 sind EF und g teilerfremd. Also ist g ungerade. Aber EF wird in H halbiert. Es folgt 4(EH)2 = (EF )2 . Nun ist (EF )2 = 2g 2 und folglich g 2 = 2(EH)2 . Dann ist

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Kapitel I. Gr¨ oßen

aber g 2 und damit g gerade: ein Widerspruch. Also sind CA und AB doch linear inkommensurabel. Auch dem nur wenig Ge¨ ubten d¨ urfte es nicht schwer fallen, diesen Beweis nachzuvollziehen, auch wenn er beispielsweise nicht weiß, wie die Gleichheit von Verh¨ altnissen definiert ist. Andererseits wird aus dem Wenigen schon klar, dass die Antike von den Objekten, mit denen es auch wir immer noch zu tun haben, eine ¨ durchaus andere Vorstellung hatte, die im Ubrigen nichts von ihrer G¨ ultigkeit eingeb¨ ußt hat. Im Gegensatz zu Zahlen werden Gr¨ oßen in Euklids Elementen niemals miteinander multipliziert. Jedenfalls nicht in dem Sinne, dass das Produkt eine Gr¨ oße derselben Art w¨are. Daher meine Bezeichnung q(XY ) an Stelle von (XY )2 wie sie sich beispielsweise bei Thaer findet. Alles das Zahl zu nennen, was wir Zahl nennen, ist gewiss nicht selbstverst¨andlich, was hier schon deutlich wird. Zahl war lange, lange Zeit nur nat¨ urliche Zahl, wobei die Eins nicht zu den Zahlen gerechnet wurde. Sie galt vielmehr als der Ursprung aller Zahl, so wie der Punkt nicht als Linie, sondern als der Ursprung jeder Linie angesehen wurde. Da Euklid die Eins nicht zu den Zahlen rechnet und andererseits nur von Zahlen gesagt wird, wann sie gerade heißen, ist es n¨otig nachzuweisen, dass EF eine Zahl ist. Was ein Verh¨altnis ist, sagt Euklid nicht, oder vielmehr, er gibt eine Definition, mit der man nichts anfangen kann. Er gibt aber eine a¨ußerst geschickte Definition daf¨ ur, wann zwei Verh¨ altnisse gleich sind, und nur dies ist, was man braucht, will man mit Verh¨altnissen rechnen. Es passiert dann durchaus, dass A : B = c : d gilt, wobei A und B aus einem und c und d aus einem anderen Gr¨ oßenbereich stammen. Ja, Kommensurabilit¨ at der Gr¨ oßen A und B ist gleichbedeutend damit, dass es nat¨ urliche Zahlen m und n gibt mit A : B = m : n. Dieser Satz wurde bei dem gerade vorgef¨ uhrten Beweis an einer wesentlichen Stelle benutzt. Die Definition von Verh¨ altnissen muss also so angelegt sein, dass Paare von Gr¨oßen aus verschiedenen Gr¨ oßenbereichen gleiches Verh¨altnis haben k¨ onnen. Es wurde weiter benutzt, dass Zahlenverh¨ altnisse A : B einen Standardvertreter haben, n¨ amlich ein Paar a, b mit A : B = a : b und ggT(a, b) = 1. Es wurde benutzt, dass q(AC) : q(AB) = (EF )2 : g 2 ist, falls AC : AB = EF : g ist mit Zahlen EF und g, und es sei hier noch einmal darauf hingewiesen, dass Gr¨ oßen in den Elementen niemals miteinander multipliziert werden. Ferner wurden Eigenschaften gerader und ungerader Zahlen zum Beweis herangezogen. Ganz zu Anfang spielte nat¨ urlich der Satz von Pythagoras seine Rolle. Da der Satz u ¨ber die Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale des Quadrats ein Satz u ¨ber ein geometrisches Objekt ist, kann es nicht ohne Geometrie abgehen. Diese Bemerkungen machen deutlich, dass der Satz u ¨ ber die Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale im Quadrat einiges an Vorbereitung zu seinem Beweis bedarf. Insbesondere ist die Lehre von den Gr¨oßen zu studieren und die Lehre von den Verh¨ altnissen nat¨ urlicher Zahlen. Dies werden wir tun und zwar einmal, um die unterschiedlichen Aspekte herauszuarbeiten, die wir und die antiken Autoren von dem haben, was wir heute reelle Zahlen nennen, und zum andern auch, um die ungeheure Kontinuit¨ at der Mathematik zu bewundern, die diese Wissenschaft

1. Inkommensurabilit¨ at

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vor allen anderen auszeichnet. Der sehr elementare Beweis von X.115a passt nicht zu der hochentwickelten Theorie des zehnten Buches, zumal er eine banale Folgerung aus X.9 ist. Dort heißt es n¨ amlich, dass die Seiten der Quadrate mit den Fl¨ acheninhalten A und B genau dann linear kommensurabel sind, wenn A : B = u2 : v 2 mit u, v ∈ N ist. ¨ ber der Diagonalen von Q gilt aber F¨ ur ein Quadrat Q und das Quadrat Q u Q : Q = 1 : 2, so dass ihre Seiten also nicht linear kommensurabel sind. ¨ Ahnliches geschieht am Ende von Buch IX, wo nach der hochentwickelten Zahlentheorie der B¨ ucher VII, VIII und eben IX die banale Lehre vom Geraden und Ungeraden entwickelt wird. Sie besagt letztlich, dass sich jede nat¨ urliche asst Zahl n auf nur eine Weise als n = 2t m mit einer ungeraden Zahl m darstellen l¨ und dass f¨ ur jeden Teiler u von n gilt, dass u = 2s v ist mit s ≤ t und einem Teiler v von m. Dies folgt aber unmittelbar aus der zuvor entwickelten Teilbarkeitslehre nat¨ urlicher Zahlen und bedarf somit keiner eigenen Begr¨ undung mehr. Der eigentliche Abschluss von Buch IX sind die Beispiele vollkommener Zahlen, die bis heute die einzigen Beispiele geblieben sind. Angewendet wird die Lehre vom Geraden und Ungeraden in den Elementen nur beim Beweise von X.115a. Wie lassen sich solche Stilbr¨ uche erkl¨aren? Nun, bei antiken griechischen Schriftstellern kommt es h¨aufig vor, wie man bei Jaeger nachlesen kann (Jaeger 1912, S. 38ff.), dass am Ende der Buchrolle Nachtr¨ age stehen, die entweder vom Autor selbst stammen, der etwa sein Vorlesungsmanuskript erg¨ anzte, oder von Herausgebern angef¨ ugt wurden, die aus Piet¨ at den eigentlichen Text nicht ver¨ anderten. Am Ende etwas anzuf¨ ugen, war bei der Buchrolle die technisch einfachste Art der Erg¨ anzung. Welche Gr¨ unde Euklid oder seine Herausgeber bewogen, die Lehre vom Geraden und Ungeraden und den Satz von der Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale im Quadrat an das Ende von Buch IX bzw. X aufzunehmen, wird im Dunkeln bleiben. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden ist pythagoreisch, also sehr viel a¨lter als Euklids Elemente und auch der in Buch X reproduzierte Beweis der Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale im Quadrat ist zumindest von seiner Idee her voreuklidisch. Dies schließt man aus einer Aristotelesstelle (Becker 1934, S. 544, Fußn. 11. Zitiert nach Becker 1965, S. 136), wo es in diesem Zusammenhang heißt, dass die gegenteilige Annahme darauf hinauslaufe, dass die ungeraden Zahlen den geraden gleich seien. In Euklids Elementen ist der Sinn der Lehre vom Geraden und Ungeraden verwischt. Becker (1934, 1965) hat versucht zu rekonstruieren, wie diese Lehre ausgesehen haben mag und dass ihr Ziel gewesen sein k¨onnte, vollkommene Zahlen zu konstruieren, sowie den Nachweis der Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale im Quadrat zu f¨ uhren. Eine sehr sch¨ one und lesenswerte Arbeit, mit der wir uns noch besch¨ aftigen werden und die Szab´ o (1969, S. 284) sagen ließ: Nachdem die Lehre vom Geraden und Ungeraden auf die erste H¨alfte, ” wenn nicht schon den Anfang des 5. Jahrhunderts zu datieren ist, d¨ urfte der Satz

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Kapitel I. Gr¨ oßen

(n¨ amlich X.115a, Anm. H. L.), der uns in diesem Zusammenhang interessiert, einen der a¨ltesten Beweise der griechischen Mathematik enthalten.“ Damit sind wir bei der Frage: Wie alt ist das Wissen um die Inkommensurabilit¨ at? Antiken Quellen zufolge, die, was die erste Phase der Entdeckung anbelangt, erst sehr sp¨at fließen, f¨ allt diese Entdeckung etwa in die Mitte des 5. Jahrh. v. Chr. Heutige Autoren wie Kurt von Fritz (1945) und Siegfried Heller (1958) kommen zu dem gleichen Schluss, wenn es auch abweichende Meinungen gibt, die die Entdeckung 50 bis 60 Jahre sp¨ ater ansetzen, was Szab´ o sehr sarkastisch kommentiert (Szab´ o 1969, S. 27). Ein wichtiger Beleg f¨ ur die Ansicht, dass sie sicherlich schon im f¨ unften Jahrhundert v. Chr. gemacht wurde, ist eine Stelle in Platons Dialog Theaitetos“, die wir in der schleiermacherschen, anhand von Szab´ o 1969 ” ¨ korrigierten Ubersetzung zitieren. Theaitetos sagt dort zu Sokrates (Platon 1970, Band 6, S. 19, 147d. Wenn Sie eine andere Platonausgabe benutzen als ich, so hilft Ihnen die Angabe 147d, die zitierte Stelle zu finden. Diese und ¨ahnliche Angaben beziehen sich auf die Seiten und Abschnitte der Platonausgabe von Henricus Stephanus, Paris 1578. Sie wurden von vielen neueren Ausgaben u ¨bernommen): Von den Vierecken zeichnete uns Theodoros etwas vor, indem er uns von den ” dreif¨ ußigen und f¨ unff¨ ußigen bewies, daß sie der L¨ ange nach nicht meßbar w¨ aren durch das einf¨ ußige. Und so ging er jedes einzeln durch bis zum siebzehnf¨ ußigen, bei diesem hielt er inne. Uns nun fiel so etwas ein, da der Quadrate unendlich viele zu sein schienen, wollten wir versuchen, sie zusammenzufassen in eins, wodurch wir diese alle bezeichnen k¨onnten.“ Dieser Dialog, im Jahre 368/67 v. Chr. verfasst, spielt im Todesjahr des Sokrates, also im Jahr 399 v. Chr. Er ist zwar fiktiv, es ist aber anzunehmen, dass historische Tatsachen nicht verf¨alscht wurden. Dann ist diese Stelle aber so zu interpretieren, dass Theodoros von Kyrene etwa Ende des 5. Jahrh. v. Chr. die Irrationalit¨ at der Seiten von gewissen Quadraten bekannt war. Diese f¨ ur die Geschichte der Mathematik so wichtige, da fr¨ uheste, die Inkommensurabilit¨ at erw¨ahnende Stelle hat die unterschiedlichsten Interpretationen erfahren. Kritik dieser Interpretationen und eigene Interpretation findet der Leser in dem hochinteressanten Buch Szab´o 1969. Als Entdecker der Inkommensurabilit¨ at gilt von alters her Hippasos von Metapont in Apulien. Unklar scheint zu sein, welche geometrischen Gr¨ oßen er als inkommensurabel erkannte. Kurt von Fritz macht klar, dass Hippasos in der Lage war, die Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale des regul¨ aren F¨ unfecks zu entdecken. Es ist aber kein Beweis aus der Antike f¨ ur diese Tatsache bekannt (Gericke 1992, S. 101). Hier noch ein paar kurze Hinweise zur Text¨ uberlieferung der Elemente, die ¨ ich Schreiber 1987, S. 78ff. entnehme. Altestes Textfragment sind sechs Tonscherben aus der 2. H¨ alfte des 3. Jahrh. v. Chr., die in den Jahren 1906–1908 auf der Insel Elephantine n¨ ordlich Assuans ausgegraben wurden. Es sind Fragmente der Propositionen 10 und 16 aus Buch XIII. Ihr Wortlaut entspricht nicht dem heute kanonisierten Text Heiberg-Menge. Es gibt weiter ein Papyrusfragment aus Herkulaneum, worauf sich Teile von Buch I finden. Auch hier keine w¨ ortliche ¨ Ubereinstimmung mit Heiberg-Menge. Ferner etwa 120 Zeilen Text aus der Zeit

1. Inkommensurabilit¨ at

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vor dem 4. Jahrh. n. Chr., die zur H¨ alfte nicht dem Standardtext entsprechen. Die Unterschiedlichkeit der Texte f¨ uhrt zu der wohl nicht beweisbaren These, dass die Elemente u ¨ ber einen l¨ angeren Zeitraum hinweg als Vorlesungsmanuskripte und Sch¨ ulermitschriften zirkulierten, bis sich allm¨ ahlich ein feststehender Text herauskristallisierte. Nach Jaeger (1912, II. Teil, 1. Kap., 1. Abschnitt, S. 131–148) entdeckten die Griechen das Buch als Publikationsorgan zu der Zeit, als auch das attische Drama aufkam. Das war im 5. Jahrhundert v. Chr. Dabei ist Buch als Publikations” organ“ so zu verstehen, dass man dieses, so wie auch heute, beim Buchh¨andler kaufen konnte, der f¨ ur die Vervielf¨ altigung sorgte. Die Philosophen haben sich aber nur sehr langsam des Buches bem¨ achtigt. Ihre Lehre trugen sie noch lange m¨ undlich im Kreise ihrer Sch¨ uler vor. Das heißt jedoch nicht, dass sie auf die Schrift verzichteten. Im Gegenteil, sie schrieben auf, was sie zu sagen hatten, und lasen das Geschriebene in ihren Vorlesungen vor. Sorgfalt beim Aufschreiben lohnte sich, da sie, wie bezeugt, ihre Vorlesungen wiederholten. Das Aufgeschriebene, die Anekdoten, das ist das Nicht-herausgegebene, was zu verstehen ist als das Nicht-aus-dem-Haus-gegebene, war Eigentum der Schule, wurde von Studenten abgeschrieben, von den Nachfolgern erg¨anzt und umgeschrieben und wieder in ihren Vorlesungen vorgetragen. Publik war die Lehre also, aber eben nicht beim Buchh¨ andler zu haben. Jaeger (op. cit., S. 143) schreibt dazu: Die Person, das ” Recht des geistigen Eigentums und seines Ruhms verblassen vor dem Gesetz der Sache.“ Dies alles ist bezeugt, wenn auch nicht f¨ ur Euklid. Man kann sich aber vorstellen — und die Funde weisen in diese Richtung —, dass das alles auch mit den Texten Euklids geschah. Was ich gerade schrieb, betrifft nur die Anekdota. Es widerspricht daher nicht obiger Bemerkung, dass Herausgeber aus Piet¨at Texte nicht ver¨ anderten. Platons Dialoge waren immer Platons Dialoge. Dies alles entnehme ich, wie schon gesagt, Jaeger 1912. Um 370 n. Chr. wirkte Theon in Alexandria. Wohl ber¨ uhmter als er ist seine Tochter Hypatia, die 415 vom christlichen Mob ermordet wurde. Er hat eine Bearbeitung der Elemente verfasst, wobei er um Klarheit und Widerspruchsfreiheit des Textes bem¨ uht war. Er erg¨ anzte den Text, indem er Beweise ausf¨ uhrlicher gestaltete und zus¨atzliche Lemmata und Korollare einf¨ ugte. Zumindest eine dieser Erg¨ anzungen ist zu identifizieren. In einem Kommentar zum Almagest des Ptolemaios erw¨ahnt er n¨ amlich, dass er Proposition VI.33 erg¨ anzt h¨ atte. Napoleon nun beraubte bei einem seiner italienischen Feldz¨ uge auch die vatikanische Bibliothek. Gaspard Monge, der ber¨ uhmte Geometer, brachte dabei den Kodex Codex Vat. graec. 190 nach Paris. Dieser Kodex enth¨ alt den theonischen Zusatz nicht. Fran¸cois ´ Peyrard, Bibliothekar der Ecole polytechnique, hatte 1804 eine dreib¨andige Ausgabe der Elemente besorgt, griechisch, lateinisch und franz¨osisch. Bei einer weiteren Neuauflage, der von 1814/16, ber¨ ucksichtigte er den Text aus dem Vatikan. Dieser Kodex ist die auch Hauptquelle f¨ ur die lateinisch/griechische Textfassung von Heiberg. Er wurde 1814 nach Napoleons Sturz an den Vatikan zur¨ uckgegeben. Codex Vat. graec. 190 stammt aus dem 10. Jahrh. Er enth¨alt den a¨ltesten heute

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Kapitel I. Gr¨ oßen

bekannten Text der Elemente. Das a¨lteste, den vollst¨andigen Text enthaltende Manuskript ist d’Orville 301 im Besitz der Bodleian Library in Oxford. Es wurde im Jahre 888 von dem byzantinischen Kalligraphen Stephanus f¨ ur Aretas den Erzbischof von Kappadokien geschrieben. Weitere Pergamenthandschriften aus dem 10., 11. und 12. Jahrh. befinden sich in Bibliotheken in Florenz, Bologna, Wien und Paris. Noch ein Wort zu Gaspard Monge. Er schrieb das erste Buch zur darstellenden Geometrie, seine G´eom´etrie descriptive. Sie erschien im Jahre VII in Paris. Nach unserem Kalender ist das Jahr VII die Zeitspanne vom 22. September 1798 bis zum 21. September 1799 (Bureau des Longitudes 1994, S. 125). Man beachte, dass das Jahr VII ein Schaltjahr war). Dieses Buch erlebte eine zweite Auflage im Jahre 1811. In der Zwischenzeit hatte Napoleon verf¨ ugt, dass zum 1. Januar 1806 der alte Kalender wieder in Kraft zu treten habe. Monges G´eom´etrie descriptive beginnt wie folgt: Pour tirer la nation fran¸caise de la d´ependance o` u elle a ´et´e jusqu’` a pr´esent de l’industrie ´etrang`ere, il faut, premi`erement, diriger l’´education nationale vers la connoissance des objet qui exige de l’exactitude, ce qui a ´et´e totalement n´eglig´e jusqu’` a ce jour, et accoutumer les mains de nos artistes au maniement des instrumens de tous les genres, qui servent a ` porter la pr´ecision dans les travaux et a mesurer ses diff´erens degr´es: alors les consommateur, devenus sensibles a ` ` l’exactitude, pourront l’exiger dans les divers ouvrages, y mettre le prix n´ecessaire; et nos artistes, familiaris´es avec elles d`es l’ˆ age le plus tendre, seront en ´etat de l’atteindre. Die ´education nationale muss also reformiert werden, um vom Ausland unabh¨ angig zu werden, und dazu ist vor allem n¨ otig, die jungen Leute mit der G´eom´etrie descriptive vertraut zu machen, wie ausf¨ uhrlich alle Vorz¨ uge der Darstellenden Geometrie preisend erl¨autert wird. Das klingt alles so vertraut, nur dass es hier und heute Standort Deutschland“ heißt. ” 2. Dedekindsche Schnitte. Wir machen zun¨achst einen gewaltigen Sprung in das 19. und daran anschließende 20. Jahrhundert. Ich kann nicht erwarten, dass der Leser im Laufe seines Studiums eine Konstruktion der reellen Zahlen vorgef¨ uhrt bekam, und wenn er eine solche gesehen hat, dann nicht notwendig eine, die von dedekindschen Schnitten Gebrauch machte. Aber gerade eine solche ben¨ otigen wir f¨ ur das Verst¨andnis der eudoxischen Proportionenlehre, einen der H¨ ohepunkte griechischer Mathematik. Die naive Konstruktion der reellen Zahlen mittels dedekindscher Schnitte des ucken. Ich merkte dies, als ich im Herbst K¨ orpers der rationalen Zahlen hat ihre T¨ 1970 f¨ ur privaten Gebrauch einen Aufbau des Zahlensystems“ aufschrieb. Da ich ” die Konstruktion der reellen Zahlen durch Cauchyfolgen kannte, wollte ich die mit dedekindschen Schnitten aufschreiben, bin aber kl¨ aglich gescheitert. Mit Klaus Madlener, damals noch Assistent in Mainz und heute Kollege in der Informatik, kam ich auf dem Flur des Mainzer Instituts dar¨ uber ins Gespr¨ ach. Er meinte, das h¨ atten sie alles im Analysisunterricht — damals ganz fortschrittlich in kleinen

2. Dedekindsche Schnitte

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Gruppen — gemacht und es st¨ unde doch alles in Spivacs Calculus“, bzw. in ” Rudins Principles of Mathematical Analysis“. Wir gingen in die Bibliothek, um ” diese B¨ ucher zu konsultieren. Es stellte sich heraus, dass in Rudins Buch das Produkt zweier Schnitte zwar definiert, von den grundlegenden Eigenschaften der Multiplikation aber keine bewiesen war. Dieses Buch war also keine Hilfe. Bei Spivac sind die Beweise im Wesentlichen durchgef¨ uhrt. Das Ganze ist aber so h¨ asslich, was Spivac selbst auch konstatiert, dass ich es vorzog, die Konstruktion aufzuschreiben, die ich beherrschte, n¨ amlich die mit Cauchyfolgen. Dedekinds Originalschrift von 1872 enth¨ alt u ¨ brigens auch so gut wie nichts an Beweisen, wie ich sp¨ ater sah. Anlass f¨ ur Dedekinds Untersuchungen war seinen Worten zufolge sein erstes Analysiskolleg, welches er im Jahre 1858 am eidgen¨ ossischen Polytechnikum in Z¨ urich hielt (Dedekind 1872). Er bemerkte bei dieser Gelegenheit, dass es keine Begr¨ undung f¨ ur den K¨ orper der reellen Zahlen gab, dass man sich vielmehr immer auf die geometrische Anschauung berief, wenn man etwa den Satz beweisen wollte, daß jede Gr¨ oße, welche best¨andig, aber nicht u ¨ber alle Grenzen w¨achst, sich gewiß ” einem Grenzwerth n¨ ahern muß“. Dedekind suchte also nach einer arithmetischen Begr¨ undung dieser Tatsache, da er alles Bisherige nicht als wissenschaftlich ansah. Nach seinem Zeugnis fand er sie am 24. November 1858. Er publizierte seine L¨ osung erst im Jahre 1872, nachdem er sie schon zuvor Sch¨ ulern und Kollegen mitgeteilt hatte. Er erw¨ ahnt in seiner Publikation auch die Arbeiten E. Heine 1872 und G. Cantor 1872, in denen die reellen Zahlen mit Hilfe von Cauchyfolgen beschrieben werden. Ich schreibe hier — aufgrund einer kritischen Bemerkung von Herrn Walter Felscher zu einer fr¨ uheren Version dieses Kapitels — bewusst nicht, dass Cantor und Heine, dessen Diskussion der reellen Zahlen der von Cantor sehr verwandt ist, sie mittels Cauchyfolgen konstruiert h¨ atten, da der heutige Leser damit assoziierte, ¨ dass sie sie als Aquivalenzklassen von Cauchyfolgen auffassten. Nein, ist a eine Cauchyfolge, so ordnen sie ihr ein Zeichen b zu und sagen, b sei Grenzwert von a. Dann definieren sie Gleichheit zwischen diesen Zeichen, eine Ordnungsrelation, sowie Addition und Multiplikation solcher Zeichen, usw. Wo sie diese Zeichen hernehmen, ¨ sagen sie nicht. Ahnlich geht auch Dedekind vor. Er schreibt: Jedesmal nun, ” wenn ein Schnitt (A1 , A2 ) vorliegt, welcher durch keine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl α, welche wir als durch diesen Schnitt (A1 , A2 ) vollst¨andig definiert ansehen; wir werden sagen, dass die Zahl α diesem Schnitt entspricht, oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt. Es entspricht also von jetzt ab jedem bestimmten Schnitt eine und nur eine bestimmte rationale oder irrationale Zahl und wir sehen zwei Zahlen stets und nur dann als verschieden oder ungleich an, wenn sie wesentlich verschiedenen Schnitten entsprechen.“ Auf diese Neusch¨ opfung von Zahlen legt Dedekind großen Wert, wie man aus einem an H. Weber gerichteten Brief vom 24. 1. 1888 sieht (Werke, Band 3, S. 488–490). Dort heißt es u. a.: Es ist dies ganz dieselbe Frage (es ging ” vorher um endliche Ordinal- und Kardinalzahlen. Anm. H. L.), von der Du am Schlusse Deines Briefes bez¨ uglich meiner Irrational-Theorie sprichst, wo Du sagst,

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Kapitel I. Gr¨ oßen

die Irrationalzahl sei u ¨berhaupt Nichts anderes als der Schnitt selbst, w¨ahrend ich es vorziehe, etwas Neues (vom Schnitt Verschiedenes) zu erschaffen, was dem Schnitte entspricht, und wovon ich sage, dass es den Schnitt hervorbringe, erzeuge. Wir haben das Recht, uns eine solche Sch¨ opfungskraft zuzusprechen, und außerdem ist es der Gleichartigkeit aller Zahlen wegen viel zweckm¨aßiger, so zu verfahren. Die rationalen Zahlen erzeugen doch auch Schnitte, aber ich werde die rationalen Zahlen gewiß nicht f¨ ur identisch angeben mit dem von ihr erzeugten Schnitte; und auch nach Einf¨ uhrung der irrationalen Zahlen wird man von Schnitt-Erscheinungen oft mit solchen Ausdr¨ ucken sprechen, ihnen solche Attribute zuerkennen, die auf die entsprechenden Zahlen selbst angewendet gar seltsam klingen w¨ urden.“ In einem Brief an R. Lipschitz vom 10. 6. 1876 schreibt er (Werke Band 3, S. 471): (will man keine neuen Zahlen einf¨ uhren, so habe ich nichts dagegen; der von mir ” bewiesene Satz (§ 5, IV) lautet dann so: Das System aller Schnitte in dem f¨ ur sich unstetigen Gebiete der rationalen Zahlen bildet eine stetige Mannigfaltigkeit)“. Lipschitz hatte, so sagt mir die Lekt¨ ure des Briefes, nichts von dem verstanden, worum es Dedekind ging, n¨ amlich den Existenzfragen, um die sich die Alten nicht gek¨ ummert hatten. Das geht aus dem Zitierten nat¨ urlich nicht hervor. Wieso es beim Nachweis, dass die Menge R der dedekindschen Schnitte des K¨ orpers Q der rationalen Zahlen versehen mit der Komplexaddition und -multiplikation als Addition und Multiplikation ein K¨ orper ist, zu Schwierigkeiten kommt, sei kurz angedeutet. Ein Schnitt von Q ist eine disjunkte Zerlegung von Q in zwei nicht leere, disjunkte Teilmengen A und B, so dass a ≤ b f¨ ur alle a ∈ A und alle b ∈ B gilt. Es kann nun passieren, dass A ein Supremum sup(A) hat. In diesem Falle ist sup(A) ∈ A oder sup(A) ∈ B. Da beide Schnittm¨ oglichkeiten die gleiche rationale Zahl definieren, n¨ amlich sup(A), muss man auf der Menge der Schnitte noch ¨ ur die eine Aquivalenzrelation einf¨ uhren, bzw. etwa nur solche Schnitte zulassen, f¨ sup(A) ∈ A gilt, falls sup(A) existiert. Ist nun (A, B) ein solcher Schnitt, so ist (−B, −A) ein Schnitt mit sup(−B) = −sup(A) ∈ −A. Man muss hier also zum aquivalenten Schnitt ¨ (−B ∪ {−sup(A)}, −(A − {sup(A)}) u ¨ bergehen. (Es bedeute X − Y die mengentheoretische Differenz der Mengen X und Y .) Will man nun etwa das Distributivgesetz (A + B)C = AC + BC nachweisen, wobei man nat¨ urlich nur den unteren Teil eines Schnittes betrachtet, der ja den oberen Teil v¨ ollig festlegt, so hat man sehr viele Fallunterscheidungen zu machen, selbst dann, wenn die Kommutativit¨at der Addition schon gezeigt ist. Bei den anderen nachzuweisenden Regeln ist die Situation a¨hnlich konfus. Diesen Weg geht man also besser nicht. Dedekind sah nat¨ urlich die Schwierigkeiten, die hier auftreten. Er schreibt (Dedekind 1872): Ebenso wie die Addition lassen sich auch die u ¨ brigen Ope” rationen der sogenannten Elementar-Arithmetik definieren, n¨ amlich die Bildung

2. Dedekindsche Schnitte

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der Differenzen, Producte, Quotienten, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, man √ √und √ gelangt auf diese Weise zu wirklichen Beweisen von S¨atzen (wie z. B. 2· 3 = 6), welche meines Wissens bisher nie bewiesen sind. Die Weitl¨aufigkeiten, welche bei der Definition der complicirteren Operationen zu bef¨ urchten sind, liegen theils in der Natur der Sache, zum gr¨ oßten Theil aber lassen sie sich vermeiden.“ Dann f¨ uhrt er den Begriff des Intervalls ein, der dazu sehr n¨ utzlich sei, und f¨ ahrt fort: Noch viel gr¨oßere Weitl¨aufigkeiten scheinen in Aussicht zu stehen, wenn man ” dazu u ¨ bergehen will, die unz¨ ahligen S¨ atze der Arithmetik der rationalen Zahlen (wie z. B. den Satz (a + b)c = ac + bc) auf beliebige reelle Zahlen zu u ¨bertragen. Dem ist jedoch nicht so; man u ¨berzeugt sich bald, daß hier Alles darauf ankommt, nachzuweisen, daß die arithmetischen Operationen selbst eine gewisse Stetigkeit besitzen. Was ich hiermit meine, will ich in die Form eines allgemeinen Satzes einkleiden: ,Ist die Zahl λ das Resultat einer mit den Zahlen α, β, γ, . . . angestellten Rechnung, und liegt λ innerhalb des Intervalles L, so lassen sich Intervalle A, B, C, . . . angeben, innerhalb deren die Zahlen α, β, γ, . . . liegen, und von der Art, daß das Resultat derselben Rechnung, in welcher die Zahlen durch beliebige Zahlen der Intervalle A, B, C, . . . ersetzt werden, jedesmal eine innerhalb des Intervalls L liegende Zahl wird.‘ Die abschreckende Schwerf¨ alligkeit aber, welche dem Ausspruche eines solchen Satzes anklebt, u ¨ berzeugt uns, daß hier etwas geschehen muß, um der Sprache zu H¨ ulfe zu kommen; dies wird in der That auf die vollkommenste Weise erreicht, wenn man die Begriffe der ver¨anderlichen Gr¨ oße, der Functionen, der Grenzwerthe einf¨ uhrt, und zwar wird es das Zweckm¨ aßigste sein, schon die Definitionen der einfachsten arithmetischen Operationen auf diese Begriffe zu gr¨ unden, was hier jedoch nicht weiter ausgef¨ uhrt werden kann.“ Es ist in der Tat noch einiges zu tun. Dem von Dedekind vorgeschlagenen Weg m¨ochte ich aber nicht folgen. Nicht nur Dedekind war unbehaglich zu Mute, wenn er an die Begr¨ undung der reellen Zahlen dachte. Wir erw¨ ahnten schon Cantor und Heine, die sich zu diesem Thema ¨außerten und so Dedekind dazu brachten, seine Ergebnisse ebenfalls zu publizieren. Weierstraß behandelte diesen Gegenstand in seinen Vorlesungen. Seine Ergebnisse wurden von seinen Sch¨ ulern publiziert (Gericke 1970, S. 109ff.) In Frankreich publizierte Charles M´eray eine Arbeit zu diesem Thema (M´eray 1870) und in Italien war es Ulisse Dini, der die Notwendigkeit einer Begr¨ undung der reellen Zahlen sah. Er h¨ orte von den Dingen, die in Deutschland geschehen waren und wandte sich an Heinrich E. Heine, um N¨ aheres zu erfahren. Heine informierte ihn ausf¨ uhrlich, wie Dini im Vorwort seines Buches schreibt. Dini berichtete weiter, dass er in seiner Analysisvorlesung des Jahres 1871/72 die dedekindschen Ergebnisse vortrug. Diese Vorlesung hat er sp¨ ater publiziert (Dini 1878). Es war dies das erste Analysisbuch und blieb auch lange Zeit das einzige, das eine Begr¨ undung der reellen Zahlen enthielt, so dass der Verlag B. G. Teubner im Jahre 1892 eine ¨ deutsche Ubersetzung publizierte, um dem deutschen Publikum dieses Buch leich¨ ter zug¨anglich zu machen. Diese Ubersetzung wurde von Jacob L¨ uroth, dem wir noch einmal begegnen werden, und Premierlieutenant a. D. Adolf Schepp angefer-

10

Kapitel I. Gr¨ oßen

tigt. Schaut man in Dinis Buch, so ist man entt¨ auscht. Er definiert die Schnitte im Bereich aller rationalen Zahlen und definiert ferner, wie man zwei Schnitte addiert und subtrahiert. Er weist darauf hin, dass ±β + α = α ± β gilt (Abschn. 7, S. 9f.). Auf S. 10 steht dann: Similmente si estenderanno ai nuovi numeri le altre operazioni aritmetiche; e con ci` o tutte queste operazioni, non esclusa la estrazione di radice pei numeri razionali e irrazionali positivi, verrano sempre possibili; e i noti teoremi sulle varie operazioni e sulle eguaglianze o diseguaglianze pei numeri ¨ setzt man die reali veranno anche ad estendere ai numeri irrazionali, dh., Ahnlich ” anderen arithmetischen Operationen auf die neuen Zahlen fort. Damit werden alle diese Operationen stets m¨oglich, das Ausziehen von Wurzeln positiver rationaler und irrationaler Zahlen nicht ausgeschlossen, und die bekannten S¨ atze u ¨ ber die verschiedenen Operationen und u ¨ber Gleichheit und Ungleichheit zwischen reellen Zahlen lassen sich auch auf irrationale Zahlen ausdehnen.“ Bewiesen wird nichts, so dass dem Leser die Unannehmlichkeiten verborgen bleiben, es sei denn, er versucht die n¨ otigen Nachweise selbst zu f¨ uhren. — In der deutschen Ausgabe werden die reellen Zahlen mittels Cauchyfolgen eingef¨ uhrt. Es wird auch mehr bewiesen (Dini 1892). Bemerkenswert an Dinis Behandlung der Schnitte ist jedoch, dass er beweist, dass Schnitte in R nichts Neues liefern. Es gibt bequemere und gleichzeitig elegantere Wege als den von Dedekind vorgeschlagenen, von Dini u ¨ bernommenen und von Spivac durchgef¨ uhrten, um die reellen Zahlen mittels dedekindscher Schnitte zu konstruieren. Ich bin ihnen erst Jahre sp¨ater begegnet. Der erste Weg ist der, zun¨achst nur die positiven rationalen Zahlen mittels Schnitten zu den positiven reellen Zahlen zu erweitern und dann die negativen reellen Zahlen so zu konstruieren, wie man die negativen ganzen Zahlen aus den nat¨ urlichen Zahlen konstruiert. Dies findet man bei Weber 1895 skizziert, wobei Weber bei der Einf¨ uhrung der Multiplikation von der vierten Proportionalen Gebrauch macht, deren Existenz er beweist. In methodisch reiner Form fand ich diese Konstruktion bei Bettazzi 1890 und bei Landau 1930. Eine andere M¨ oglichkeit ist die, die additive Gruppe von Q mittels Schnitten zur additiven Gruppe von R zu komplettieren und dann die Multiplikation mit Hilfe der ordnungstreuen und ordnungsumkehrenden Endomorphismen dieser Gruppe einzuf¨ uhren. Dies ist bei Felscher 1978, Bd. II durchgef¨ uhrt, der sich auf Bettazzi 1890 beruft. Bei Bettazzi finden sich in der Tat alle Hilfsmittel, die Felscher bei seiner Konstruktion benutzt, doch Bettazzi f¨ uhrt die Multiplikation in R+ ein, indem er zwei Schnitte elementweise miteinander multipliziert (Bettazzi 1890, S. 92 f.). Auf die bettazzischen S¨ atze werden wir im Abschnitt u ¨ ber die vierte Proportionale n¨ aher eingehen. Die Antike kannte keine negativen Zahlen und Gr¨ oßen. Daher konstruieren wir hier zun¨ achst auch nur die positiven reellen Zahlen. Dabei werden wir nach dem ¨ Vorgange von J. Schmidt (1956) bei unseren Betrachtungen die Aquivalenzklassen dedekindscher Schnitte durch die normalen Anf¨ ange ersetzen, dh., wir werden von einem dedekindschen Schnitt (A, B) nur den Teil A betrachten und daf¨ ur Sorge

2. Dedekindsche Schnitte

11

tragen, dass sup(A) ∈ A gilt, falls sup(A) existiert. Diese Mengen kann man sehr sch¨on, wie J. Schmidt zeigte, mit den Operatoren Mi und Ma beschreiben, die wir gleich definieren werden. Gelernt habe ich das, was folgt, aus Felscher 1978, Bd. II. Dedekindsche Schnitte werden mit Hilfe der auf Q+ etablierten Ordnung erkl¨ art und die Ordnung von Q+ setzt sich zu einer solchen von R+ fort. Wir werden dar¨ uberhinaus in diesem Buche noch weiteren Anordnungsph¨ anomenen begegnen — jeder Gr¨ oßenbereich ist von Natur aus angeordnet —, so dass wir zun¨ achst angeordnete Mengen als solche untersuchen. Es sei M eine Menge und ≤ sei eine bin¨are Relation auf M . Man nennt ≤ eine Ordnung auf oder eine Teilordnung von M , falls gilt: 1) Es ist a ≤ a f¨ ur alle a ∈ M . 2) Sind a, b ∈ M und gilt a ≤ b und b ≤ a, so ist a = b. 3) Sind a, b, c ∈ M , ist a ≤ b und b ≤ c, so ist a ≤ c. Die Ordnung ≤ auf M heißt linear , falls je zwei Elemente von M vergleichbar sind, wenn also gilt: 4) Sind a, b ∈ M , so ist a ≤ b oder b ≤ a Es sei (M, ≤) eine angeordnete Menge. Ist X ⊆ M und s ∈ M , so heißt s obere Schranke von X, falls y ≤ s f¨ ur alle y ∈ X gilt. Entsprechend heißt s untere Schranke von X, falls s ≤ y f¨ ur alle y ∈ X gilt. Mit Ma(X) bezeichnen wir die Menge der oberen und mit Mi(X) die Menge der unteren Schranken von X. Dabei erinnere Ma an Majorante und Mi an Minorante. Enth¨ alt Ma(X) ein kleinstes Element, so heißt dieses Supremum von X, und enth¨ alt Mi(X) ein gr¨ oßtes Element, so heißt dieses Infimum von X. Wir schreiben sup(X) und inf(X). Satz 1. Es sei (M, ≤) eine angeordnete Menge. Dann gilt: 1) Sind X, Y ⊆ M und ist X ⊆ Y , so ist Mi(Y ) ⊆ Mi(X) und Ma(Y ) ⊆ Ma(X). 2) Ist X ⊆ M , so ist X ⊆ MaMi(X) und X ⊆ MiMa(X). 3) Es ist MaMiMa = Ma und MiMaMi = Mi. 4) Ist Ξ eine Teilmenge der Potenzmenge P (M ) von M , so ist    Ma X = Ma(X) X∈Ξ

und

X∈Ξ

   X = Mi(X). Mi X∈Ξ

X∈Ξ

5) Ist Ξ ⊆ P (M ), so ist Ma

 X∈Ξ

 X

⊇

 X∈Ξ

Ma(X)

12

Kapitel I. Gr¨ oßen    X ⊇ Mi(X). Mi

und

X∈Ξ

X∈Ξ

Beweis. 1) und 2) sind trivial. 3) Wegen X ⊆ MiMa(X) ist Ma(X) ⊇ MaMiMa(X). Andererseits ist Y ⊆ MaMi(Y ) f¨ ur alle Y ⊆ M . Mit Y := Ma(X) folgt Ma(X) ⊆ MaMiMa(X). Also ist MaMiMa= Ma. Ebenso beweist man, dass MiMaMi = Mi ist. 4) Es ist Y ⊆ X∈Ξ X f¨ ur alle Y ∈ Ξ. Hieraus folgt Ma



 ⊆ Ma(Y )

X

X∈Ξ

  Mi X ⊆ Mi(Y )

und

X∈Ξ

f¨ ur alle Y ∈ Ξ. Also ist Ma



 X

X∈Ξ

⊆



Ma(X)

X∈Ξ

   Mi X ⊆ Mi(X).

und

X∈Ξ



Es sei t ∈ X∈Ξ Ma(X) und y ∈ Wegen t ∈ Ma(Y ) ist t ≥ y. Also ist



x∈Ξ

X∈Ξ X.

t ∈ Ma



Es gibt dann ein Y ∈ Ξ mit y ∈ Y .

 X ,

X∈Ξ

dh., es ist

 X∈Ξ

Ma(X) ⊆ Ma



 X .

X∈Ξ

Mit der bereits bewiesenen Inklusion ergibt dies    Ma(X) = Ma X . X∈Ξ

X∈Ξ

2. Dedekindsche Schnitte

13

  Es sei t ∈ X∈Ξ Mi(X) und y ∈ X∈Ξ X. Es gibt dann wiederum ein Y ∈ Ξ mit y ∈ Y . Wegen t ∈ Mi(Y ) ist t ≤ y und daher   X , t ∈ Mi X∈Ξ

so dass auch



  Mi(X) = Mi X

X∈Ξ

X∈Ξ

gilt.  5) Dies folgt unmittelbar aus X∈Ξ X ⊆ Y f¨ ur alle Y ∈ Ξ. Damit ist alles bewiesen. In 5) gilt in der Regel nicht die Gleichheit. Ist n¨ amlich Xn := {z | z ∈ Z, z ≤ −n} f¨ ur alle n ∈ N, so ist

∞ n=1

Xn = ∅ und folglich   ∞ Mi Xn = Z. n=1

ur alle n ∈ N und folglich Andererseits ist Mi(Xn ) = ∅ f¨ ∞ 

Mi(Xn ) = ∅.

n=1

Es sei (M, ≤) eine angeordnete Menge. Ist A ⊆ M , so heißt A ein Anfang von M , falls aus x ∈ A, y ∈ M und y ≤ x stets folgt, dass y ∈ A ist. Satz 2. Es sei (M, ≤) eine angeordnete Menge. Setze τ := MiMa. Dann hat τ die folgenden Eigenschaften: 1) Es ist X ⊆ τ (X) f¨ ur alle X ⊆ M . 2) Es ist τ 2 = τ . 3) Ist X ⊆ Y ⊆ M , so ist τ (X) ⊆ τ (Y ). 4) F¨ ur alle X ⊆ M ist τ (X) ein Anfang von M . Beweis. Die erste und dritte Aussage sind nur Umformulierungen von Aussagen des Satzes 1. Die vierte Aussage ist banal. Schließlich folgt die zweite Aussage unter Benutzung von Satz 1, 3) aus τ 2 = MiMaMiMa = MiMa = τ. Ist (M, ≤) eine angeordnete Menge und Y ⊆ M , so heißt Y normaler Anfang von M , falls τ (Y ) = Y ist. Normale Anf¨ange sind nach Satz 2, 4) immer auch Anf¨ ange.

14

Kapitel I. Gr¨ oßen

Satz 3. Es sei (M, ≤) eine linear geordnete Menge und Y sei ein Anfang von M . Ist s ∈ τ (Y ) − Y , so ist s = sup(Y ). Insbesondere enth¨ alt τ (Y ) − Y h¨ ochstens ein Element. Beweis. Es sei s ∈ τ (Y ) − Y . Ist y ∈ Y , so ist s ≤ y, da Y ein Anfang ist. Weil M linear geordnet ist, ist also y < s. Es folgt s ∈ Ma(Y ). Andererseits ist s ∈ τ (Y ) = MiMa(Y ), so dass in der Tat s = sup(Y ) ist. Damit ist alles bewiesen, da eine Teilmenge einer geordneten Menge h¨ochsten ein Supremum hat. Satz 4. Es sei (M, ≤) eine linear geordnete Menge und Y sei ein Anfang von M . Genau dann ist Y normal, wenn gilt: Ist s = sup(Y ), so ist s ∈ Y . Beweis. Es sei Y normal. Ist s = sup(Y ), so ist s das kleinste Element von Ma(Y ). Also ist s ∈ MiMa(Y ) = τ (Y ) = Y . Es gelte umgekehrt: Ist s = sup(Y ), so ist s ∈ Y . Satz 3 zeigt, dass dann τ (Y ) = Y ist. Also ist Y normal. Mit Q+ bezeichnen wir im Folgenden die Menge der positiven rationalen Zahlen und mit R+ die Menge der von ∅ und Q+ verschiedenen normalen Anf¨ ange von Q+ . Die Elemente von R+ werden wir positive reelle Zahlen nennen. Die Elemente von R+ bilden zusammen mit ihren Komplementen ein Vertretersystem der Menge ¨ der Aquivalenzklassen von dedekindschen Schnitten von Q+ . Sind X, Y ∈ R+ , so schreiben wir X ≤ Y , falls X ⊆ Y gilt. Satz 5. Die Relation ≤ ist eine lineare Ordnung von R+ . F¨ ur sie gilt der Satz von der oberen Grenze, dh.: Ist Ξ eine nicht leere, nach oben beschr¨ ankte Teilmenge von (R+ , ≤), so hat Ξ ein Supremum. Beweis. Da ⊆ eine Ordnungsrelation ist, gen¨ ugt es zu zeigen, dass je zwei Elemente X und Y von R+ vergleichbar sind. Es sei daher y ∈ Y − X. Es gibt dann kein x ∈ X mit y ≤ x, da X ja ein Anfang ist. Es ist also, da Q+ linear geordnet ist, x < y f¨ ur alle x ∈ X und folglich X ≤ Y . Es sei Ξ eine beschr¨ankte, nicht leere Teilmenge von R+ . Setze S := τ



 X .

X∈Ξ

Dann ist S nicht leer, da Ξ nicht leer ist und die Elemente von R+ nicht leer sind. Es sei M eine obere Schranke von Ξ. Dann ist X ⊆ M f¨ ur alle X ∈ Ξ. Es folgt S=τ



 X

⊆ τ (M ) = M.

X∈Ξ

Weil Ξ nach Voraussetzung wenigstens eine obere Schranke T hat, folgt S ⊆ T = Q+ und damit S ∈ R+ . Es sei wieder M eine beliebige Schranke von Ξ. Dann ist, wie gerade gesehen, S ⊆ M , so dass M auch obere Schranke von S ist. Wegen X ⊆ S f¨ ur alle X ∈ Ξ

2. Dedekindsche Schnitte

15

ist auch S eine obere Schranke von Ξ und damit die kleinste obere Schranke von Ξ. Also gilt S = sup(Ξ). Damit ist alles bewiesen. Der n¨ achste Satz gibt die dyadische Entwicklung f¨ ur X ∈ R+ . Orientiert man sich an dem, was man am Ende haben will und auch haben wird, so konstruiert der Satz Folgen  und x mit i ∈ {0, 1} und n 

xn = xN +

i:=N +1

i 1 ≤ X < xn + n . 2i 2

Die Folge  tritt im Satz nicht explizit auf. Satz 6. Es sei X ∈ R+ . Wir definieren zun¨ achst N ∈ N0 wie folgt. Ist 1 ∈ X, so setzen wir N := 0 und bezeichnen mit xN die gr¨ oßte nat¨ urliche Zahl, die in X enthalten ist. Da X beschr¨ ankt ist, existiert xN . Ist 1 ∈ X, so gibt es, da i → ( 12 )i 1 eine Nullfolge ist, ein k ∈ N mit 21k ∈ X und 2k−1 ∈ X. Hier setzen wir N := k 1 und xN := 2N . Dann gilt in jedem Falle xN ∈ X und xN + 21N ∈ X. Es sei n ≥ N . Ferner sei xn ∈ X und xn + 21n ∈ X. Setze xn+1 :=

xn , xn +

1

2n+1

,

falls xn + falls xn +

1 2n+1 1 2n+1

∈ X ∈ X.

Dann ist x eine monoton steigende Folge auf X mit 21N ≤ xn f¨ ur alle n ≥ N . Definiert man y durch yn := xn + 21n , so ist y monoton fallend und es gilt yn ∈ X f¨ ur alle n ≥ N . Beweis. Weil X nicht leer ist gibt es ein r ∈ X. Es gibt ferner ein m ∈ N mit ≤ r. Es folgt 21m ∈ X. Unter all den m’s, f¨ ur die 21m ∈ X ist, gibt es eine 1 kleinste Zahl k. Ist 2k−1 ∈ / X, so ist die Existenz von k, N und xN gesichert. Ist 1 ∈ X, so folgt aus der Minimalit¨ at von k, dass k − 1 = 0 ist. Somit ist 1 ∈ X. 2k−1 Dann ist N = 0. Weil X beschr¨ankt ist, gibt es dann eine gr¨oßte nat¨ urliche Zahl xN in X. Damit ist auch in diesem Falle die Existenz von xN sichergestellt. Dass xn ∈ X gilt und dass x monoton steigt, folgt unmittelbar aus der Definition von x. Ferner ist 21N ≤ xN ≤ xn f¨ ur alle n ≥ N . Dass yn ∈ X ist, ist ebenfalls sehr einfach nachzuweisen. Ist xn = xn−1 , so ist 1 2m

yn−1 = xn−1 + Ist xn = xn−1 +

1 2n ,

1 1 1 = xn + n−1 > xn + n = yn . 2n−1 2 2

so ist

yn−1 = xn−1 +

1 1 1 1 = xn − n + n−1 = xn + n = yn . 2n−1 2 2 2

Damit ist gezeigt, dass y monoton f¨ allt.

16

Kapitel I. Gr¨ oßen

are Verkn¨ upfung ⊕ durch Satz 7. Auf R+ definieren wir eine bin¨ X ⊕ Y := τ (X + Y ) f¨ ur alle X, Y ∈ R+ , wobei X + Y wiederum erkl¨ art ist durch X + Y := {x + y | x ∈ X, y ∈ Y }. Dann gilt: a) Die Verkn¨ upfung ⊕ ist assoziativ und kommutativ. b) Sind X, Y , Z ∈ R+ und gilt X ⊕ Z = Y ⊕ Z, so ist X = Y . c) Sind X, Y , Z ∈ R+ und ist X ≤ Y , so ist X ⊕ Z ≤ Y ⊕ Z. d) Sind X, Y ∈ R+ und ist X < Y , so gibt es ein Z ∈ R+ mit X ⊕ Z = Y . e) Sind X, Y , Z ∈ R+ und ist X ⊕ Z = Y , so ist X < Y . f ) Definiert man die Abbildung α von Q+ in R+ durch α(r) := {x | x ∈ Q+ , x ≤ r}, so ist α ein Monomorphismus von Q+ in R+ , dh., dass α injektiv ist und die Addition wie auch die Anordnung respektiert. g) Es sei Y ∈ R+ und n ∈ N. Definiere nY rekursiv durch 1Y := Y und (n + 1)Y := nY ⊕ Y . Dann ist nY = {ny | y ∈ Y }. h) Ist X ∈ R+ und n ∈ N, so gibt es ein Y ∈ R+ mit nY = X. i) Sind X, Y ∈ R+ , so gibt es ein n ∈ N mit nY > X. Beweis. Wegen X, Y = ∅ ist X + Y = ∅ und dann auch X ⊕ Y = ∅. Wegen X, ange Y = Q+ gibt es Elemente s ∈ Q+ − X und t ∈ Q+ − Y . Weil X und Y Anf¨ sind, ist s ∈ Ma(X) und t ∈ Ma(Y ). Es folgt s + t ∈ Ma(X + Y ) und damit X ⊕ Y ⊆ α(s + t). Wegen s + t < s + t + 1 ist α(s + t) = Q+ und damit X ⊕ Y = Q+ . Wegen τ (X ⊕ Y ) = τ τ (X + Y ) = τ (X + Y ) = X ⊕ Y ist X ⊕ Y schließlich ein normaler Anfang, so dass X ⊕ Y ∈ R+ ist.

2. Dedekindsche Schnitte

17

a) Es ist X ⊕ Y = τ (X + Y ) = τ (Y + X) = Y ⊕ X. Also ist ⊕ kommutativ. Es seien X, Y , Z ∈ R+ . Wir setzen L := X ⊕ (Y ⊕ Z), und R := (X ⊕ Y ) ⊕ Z und M := τ (X + Y + Z). Nun ist Y + Z ⊆ Y ⊕ Z. Hieraus folgt X + Y + Z ⊆ X + (Y ⊕ Z) und daher

 M = τ (X + Y + Z) ⊆ τ (X + Y ⊕ Z) = X ⊕ (Y ⊕ Z) = L. Wir zeigen nun, dass

 Ma(X + Y + Z) ⊆ Ma(X + Y ⊕ Z) ur alle x ∈ X, y ∈ Y ist. Dazu sei t ∈ Ma(X + Y + Z). Dann gilt t ≥ x + y + z f¨ und z ∈ Z. Es folgt −x + t ≥ y + z und somit −x + t ∈ Ma(Y + Z) f¨ ur alle x ∈ X. (Beachte, dass t − x > 0, also t − x ∈ Q+ ist.) Ist v ∈ Y ⊕ Z = MiMa(Y + Z), so ist also v ≤ −x + t und daher x + v ≤ t, so dass

 t ∈ Ma X + (Y ⊕ Z) ist. Damit ist die fragliche Inklusion bewiesen. Mit Satz 1, 1) folgt nun

 M = MiMa(X + Y + Z) ⊇ MiMa X + (Y ⊕ Z) = L. Also ist M = L. Die Aussage τ (X + Y + Z) = X ⊕ (Y ⊕ Z) gilt f¨ ur alle X, Y und Z. Also ist M = τ (X + Y + Z) = τ (Z + X + Y ) = Z ⊕ (X ⊕ Y ) = (X ⊕ Y ) ⊕ Z = R Also ist L = M = R, so dass a) bewiesen ist. b) Weil R+ linear geordnet ist, d¨ urfen wir X ≤ Y annehmen. Angenommen es w¨are X < Y . Es gibt dann ein y ∈ Y − X. Es ist y = sup(X), da andernfalls y ∈ X w¨are, weil X ja ein normaler Anfang ist. Es gibt also eine nat¨ urliche Zahl urliche Zahl b und ein zb ∈ Z mit a mit y − a1 ∈ X. Nach Satz 6 gibt es eine nat¨ 1 zb + 21b ∈ Z und 21b ≤ 4a . Wegen y − a1 ∈ X ist y − a1 eine obere Schranke von X.

18

Kapitel I. Gr¨ oßen

Ist nun x die in Satz 6 beschriebene Folge auf X, so ist also xm ≤ y − 1 m. Es sei m so beschaffen, dass xm + 21m ≥ y − 2a ist. Dann ist

1 a

f¨ ur alle

1 1 1 − xm = xm + m − xm ≥ y − m 2 2 2a 1 1 1 −y+ = . ≥y− 2a a 2a Also gibt es h¨ ochstens endlich viele solcher m’s, so dass es ein n gibt mit xn + 21n < 1 y − 2a . Es sei nun u ∈ X und v ∈ Z. Dann ist 1 1 1 1 1 1 + zb + b ≤ y − + zb + + zb + b < y − 2n 2 2a 2 2a 4a 1 = y + zb − . 4a

u + v < xn +

Hieraus folgt 1 < y + zb 4a f¨ ur alle w ∈ X ⊕ Z. Wegen y + zb ∈ Y ⊕ Z = X ⊕ Z folgt der Widerspruch w ≤ y + zb −

y + zb < y + zb . Also ist doch X = Y . c) ist banal. d) Setze Z := {z | z ∈ Q+ , es ist x + z ∈ Y f¨ ur alle x ∈ X}. Wegen X < Y gibt es ein y ∈ Y − X. Weil sup(X), so es existiert, zu X geh¨ort, gibt es ein n ∈ N mit y − n1 > x f¨ ur alle x ∈ X, so dass n1 ∈ Z ist. Somit ist Z nicht leer. Ist x ∈ X, so ist z < x+ z ∈ Y f¨ ur alle z ∈ Z und daher Z ⊆ Y , so dass Z = Q+ ist. Es ist noch zu zeigen, dass Z ein normaler Anfang ist. Es sei w ≤ z ∈ Z. Dann ist x+w ≤x+z ∈Y f¨ ur alle x ∈ X und folglich x + w ∈ Y f¨ ur alle x ∈ X. Somit ist w ∈ Z, so dass Z ein Anfang ist. Es existiere s := sup(Z), aber es gelte s ∈ Z. Dann gibt es ein x ∈ X mit x + s ∈ Y . Es gibt dann ein n ∈ N mit x + s − n1 ∈ Y . Es folgt s − n1 ∈ Z und damit s = sup(Z). Damit ist gezeigt, dass Z ein normaler Anfang ist. Schließlich m¨ ussen wir noch zeigen, dass X ⊕Z = Y ist. Nat¨ urlich ist X ⊕Z ≤ Y . Es sei y ∈ Y und y ∈ X ⊕ Z. Wie schon verschiedentlich gesehen, gibt es ein n ∈ N mit y − n1 ∈ X ⊕ Z. Nach Satz 6 gibt es ein z ∈ Z mit z + 21n ∈ Z. Es folgt x+z ≤y−

1 n

2. Dedekindsche Schnitte

19

und weiter x+z+

1 1 1 ≤y− + n
f¨ ur alle x ∈ X. Also ist x + z + 21n ∈ Y f¨ ur alle x ∈ X. Dies ergibt den Widerspruch z + 21n ∈ Z. Also ist doch X ⊕ Z = Y . e) Es sei X ⊕ Z = Y . Wegen x < x + z f¨ ur z ∈ Z ist X ≤ X ⊕ Z = Y . Es sei X = Y . Nach Satz 6 gibt es eine Folge x auf X mit xn + 21n ∈ X. Es sei z ∈ Z. Dann ist xn + z ∈ X und folglich xn + z < xn +

1 2n

und daher z < 21n f¨ ur alle hinreichend großen n. Es folgt der Widerspruch z = 0. Also ist X < Y . f) Nach Satz 4 ist α(g) ein normaler Anfang. Sind g, h ∈ Q+ und ist x ∈ α(g) und y ∈ α(h), so ist x+y ≤g+h und folglich α(g) ⊕ α(h) ⊆ α(g + h). Es sei u ∈ α(g + h). Es sei u ≤ g. Es gibt ein n ∈ N mit nu > h. Es folgt u − n1 h < u und folglich u − n1 h ∈ α(g). Ferner ist auch n1 h ∈ α(h). Daher ist u=u−

1 1 h + h ∈ α(g) + α(h). n n

Ist g < u, so ist u − g ≤ g + h − g = h. Daher ist u − g ∈ α(h) und folglich u = g + u − g ∈ α(g) + α(h). Insgesamt erhalten wir daher, dass α(g) ⊕ α(h) ⊆ α(g + h) ⊆ α(g) + α(h) ⊆ α(g) ⊕ α(h) ist. Dass α ordnungstreu und injektiv ist, ist banal. Also gilt auch f). g) Wir zeigen zun¨ achst, dass nY ⊕ Y = nY + Y ist. Es ist nY + Y ⊆ nY ⊕ Y . Es sei s Supremum von nY ⊕ Y . Ferner sei y ∈ Y . Dann ist (n + 1)y ∈ nY ⊕ Y und folglich (n + 1)y ≤ s. Es folgt y≤ so dass

s n+1

s , n+1

eine obere Schranke von Y ist.

20

Kapitel I. Gr¨ oßen

Es sei t eine obere Schranke von Y und es gelte t ≤ so ist n+1  yi ≤ (n + 1)t.

s n+1 .

Sind y1 , . . . , yn+1 ∈ Y ,

i:=1

Folglich ist (n + 1)t eine obere Schranke von Y + . . . + Y . Hieraus folgt mit Satz 4, dass s ≤ (n + 1)t ist. Also ist t=

s , n+1

so dass t Supremum von Y ist. Weil Y ein normaler Anfang ist, ist nach Satz 4 folglich t ∈ Y . Es folgt s = (n + 1)t ∈ nY + Y, so dass auch nY +Y ein normaler Anfang ist. Also ist (n+1)Y = nY ⊕Y = nY +Y . Es ist {ny | y ∈ Y } ⊆ nY . Es sei x ∈ nY . Nach dem, was wir gerade bewiesen n , . . . , x ∈ Y mit x = haben, gibt es x 1 n i:=1 xi . Setze z := max{x1 , . . . , xn } und n 1 y := i:=1 n xi . Dann ist y ≤ n1 nz = z. Es folgt y ∈ Y und x = ny ∈ {nw | w ∈ Y }. Damit ist g) bewiesen. h) Setze Y := {y | y ∈ Q+ , ny ∈ X}. Dann ist Y ∈ R+ . Ist n¨amlich z ≤ y ∈ Y , so ist nz ≤ ny ∈ X und folglich nz ∈ X, was wiederum z ∈ Y impliziert. Also ist Y ein Anfang. Weil X nicht leer ist, gibt es ein x ∈ X. Es folgt, dass nx ∈ Y ist. Folglich ist Y nicht leer. Weil X von Q+ verschieden ist, ist auch Y von Q+ verschieden. Um schließlich die Normalit¨ at von Y zu zeigen, sei s ∈ Q+ aber s ∈ Y . Dann ist ns ∈ X. Weil X ein normaler Anfang ist, ist ns nicht Supremum von 1 ) ∈ X und damit X. Es gibt also ein k ∈ N mit ns − k1 ∈ X. Es folgt n(s − nk 1 s − nk ∈ Y . Also ist s = sup(Y ). Dies zeigt, dass Y ein normaler Anfang ist. Somit ist Y ∈ R+ . Da man jedes Element von X durch n dividieren kann, ist {ny | y ∈ Y } = X. Mit g) folgt schließlich nY = X. i) Es gibt ein y ∈ Y und ein z ∈ X. Es gibt ferner ein n ∈ N mit ny > z. Es folgt ny ∈ X. Daher ist nY ≤ X und folglich nY > X. Damit ist alles bewiesen. Das Element Y aus h) ist eindeutig bestimmt. Sind n¨ amlich U , V ∈ R+ und ist U > V , so gibt es ein W ∈ R+ mit U = V ⊕ W . Es folgt nU = nV ⊕ nW > nV , so dass die Abbildung U → nU injektiv ist. Soviel zun¨ achst an Vorbereitung, die uns helfen wird, das N¨ achste besser zu verstehen. 3. Proportionenlehre. Hier geht es nun um die Antwort, die die Griechen auf die Fragen gefunden haben, die die Entdeckung der Irrationalit¨ at aufgeworfen ¨ hatte. Zahl war bei ihnen nat¨ urliche Zahl und der Uberlieferung nach waren die

3. Proportionenlehre

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Pythagoreer der Ansicht, dass sich alles durch sie ausdr¨ ucken ließe. Die Entdeckung der Irrationalit¨ at aber zeigte, dass diese Hoffnung trog. Erst die reellen Zahlen scheinen das zu leisten, was sich die Phytagoreer von den nat¨ urlichen Zahlen erhofften. Es dauerte aber sehr, sehr lange, bis sich neben den nat¨ urlichen Zahlen auch noch andere Gebilde als Zahlen durchsetzten. Dennoch war man in der Lage, mit Situationen fertig zu werden, bei denen wir uns zu ihrer Beherrschung der reellen Zahlen bedienen. Das Werkzeug, das die Griechen schufen, ist die Proportionenlehre. Sie beeinflusste nachhaltig das mathematische Denken und noch im 19. Jahrhundert bediente man sich ihrer. Wir werden dies alles belegen. Bis auf die B¨ ucher VIII, IX, XII und XIII beginnen alle B¨ ucher der Elemente mit Definitionen und bis auf Buch X enthalten sie im Innern keine weiteren Definitionen. Um dem Leser einen Eindruck davon zu vermitteln und auch, weil wir mit einigen von ihnen arbeiten wollen, seien hier die Definitionen von Buch V in ¨ der thaerschen Ubersetzung wiedergegeben. 1. Teil einer Gr¨ oße ist eine Gr¨ oße, die kleinere von der gr¨oßeren, wenn sie die gr¨ oßere genau mißt; 2. Und Vielfaches die gr¨ oßere von der kleineren, wenn sie von der kleineren genau gemessen wird. 3. Verh¨ altnis ist das gewisse Verhalten zweier gleichartiger Gr¨oßen der Abmessung nach. 4. Daß sie ein Verh¨altnis zueinander haben, sagt man von Gr¨ oßen, die vervielf¨ altigt einander u ¨bertreffen k¨onnen. 5. Man sagt, daß Gr¨ oßen in demselben Verh¨altnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielf¨ altigung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegen¨ uber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich gr¨oßer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind; 6. Und die dasselbe Verh¨altnis habenden Gr¨ oßen sollen in Proportion stehend heißen; 7. Wenn aber von den Gleichvielfachen das Vielfache der ersten Gr¨ oße das Vielfache der zweiten u ¨ bertrifft, w¨ ahrend das Vielfache der dritten das Vielfache der vierten nicht u ¨bertrifft, dann sagt man, daß die erste Gr¨ oße zur zweiten ein gr¨ oßeres Verh¨altnis hat als die dritte zur vierten. 8. Die k¨ urzeste Proportion besteht aus drei Gliedern. 9. Wenn drei Gr¨ oßen in Proportion stehen, sagt man von der ersten, daß sie zur dritten zweimal im Verh¨ altnis stehe wie zur zweiten. 10. Und wenn vier Gr¨ oßen in Proportion stehen, sagt man von der ersten, daß sie zur vierten dreimal im Verh¨altnis stehe wie zur zweiten, und ¨ahnlich immer der Reihe nach je nach der vorliegenden Proportion. 11. Als entsprechende Gr¨oßen bezeichnet man Vorderglied zu Vorderglied und Hinterglied zu Hinterglied. 12. Verh¨ altnis mit Vertauschung ist die Inbeziehungsetzung von Vorderglied zu Vorderglied und Hinterglied zu Hinterglied.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

13. Verh¨ altnis mit Umkehrung ist die Inbeziehungsetzung von Hinterglied als Vorderglied zu Vorderglied als Hinterglied. 14. Verh¨ altnisverbindung ist die Inbeziehungsetzung von Vorderglied mit Hinterglied vereinigt zum selben Hinterglied. ¨ 15. Verh¨ altnistrennung ist die Inbeziehungsetzung des Uberschusses von Vorderglied u ¨ ber Hinterglied zum selben Hinterglied. ¨ 16. Verh¨ altnisumwendung ist die Inbeziehungsetzung von Vorderglied zum Uberschuß von Vorderglied u ¨ber Hinterglied. 17. Verh¨ altnis u ¨ber Gleiches weg hat man, wenn sich bei Zusammenstellung mehrerer Gr¨ oßen mit gleichviel weiteren, so daß sie paarweise immer in demselben Verh¨ altnis stehen, dann: wie in der ersten Reihe die erste Gr¨ oße zur letzten, ebenso in der zweiten Reihe die erste Gr¨oße zur letzten verh¨ alt; oder anders: Es ist die Inbeziehungsetzung der a¨ußeren Glieder unter Weglassung der mittleren. 18. Eine u ¨berkreuzte Proportion hat man, wenn sich bei drei Gr¨ oßen und gleichviel weiteren: wie in der ersten Reihe eine vorangehende Gr¨ oße zur folgenden, ebenso in der zweiten Reihe eine vorangehende zur folgenden verh¨ alt, zugleich aber wie in der ersten Reihe die folgende Gr¨ oße zu noch einer, ebenso in der zweiten Reihe noch eine zur vorangehenden. Wie sind diese Definitionen zu verstehen? Etliches verraten sie nat¨ urlich schon selbst. Anderes muss man aus dem, was folgt, entnehmen. Was Gr¨ oßen sind, wird nicht gesagt. Das ist also guter mathematischer Brauch zu verschweigen, was die Elemente sind, mit denen man es zu tun hat. Wichtig ist zu wissen, wie man mit ihnen operiert. Hierzu wird einiges gesagt, auch wenn es uns nicht v¨ ollig befriedigt. Eines wird jedoch sofort klar. Man kann Gr¨ oßen der Gr¨oße nach miteinander vergleichen. Ferner kann man sie addieren und die Analyse des Beweises des ersten Satzes macht klar, dass implizit vorausgesetzt wird, dass die Addition assoziativ und kommutativ ist. Gehen wir die Definitionen im Einzelnen durch. 1. Hier wird gesagt, wann die Gr¨ oße b Teil der Gr¨ oße a ist. Es muss dem damaligen Leser klar gewesen sein, was genau messen“ bedeutet. Klar wird f¨ ur uns ” hier nur, dass b < a zu sein hat, wenn b die Gr¨ oße a genau misst. Der weitere Text zeigt aber, dass es bedeutet, dass es eine nat¨ urliche Zahl n > 1 gibt und Gr¨ oßen β1 , . . . , βn mit n  a= βi i:=1

und βi = b f¨ ur alle i. In dieser Form wird die Definition in den Beweisen immer verwendet. Wir w¨ urden und werden auch immer wieder einmal a = nb daf¨ ur schreiben. 2. Dies ist nur eine Umformulierung der ersten Definition. 3. Diese Definition besagt uns Heutigen u ¨berhaupt nichts. Sie spielt zum Gl¨ uck im Folgenden auch keine Rolle. Sie k¨onnte auf den Algorithmus der Wechselwegnahme hindeuten (Schreiber 1987, S. 47), auf ein Messverfahren also, dass nicht notwendig nach endlich vielen Schritten abbricht. Dabei bedeutet Wechselwegnahme, dass von zwei Gr¨ oßen die kleinere von der gr¨oßeren abgezogen wird und

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dass dies mit dem neuen Paar wiederholt wird, es sei denn, die beiden neuen Gr¨ oßen sind gleich. 4. Hat man zwei gleichartige Gr¨ oßen a und b, so gibt es eine nat¨ urliche Zahl n mit na > b. Gr¨ oßenbereiche mit dieser Eigenschaft werden heute archimedisch genannt. Dies ist nicht gerechtfertigt, da Archimedes ja sp¨ ater als Euklid ist. Andererseits herrscht Konsens, dass die Proportionenlehre auf Eudoxos, einen Zeitgenossen Platons, zur¨ uckgeht, so dass dieses Postulat eigentlich nach Eudoxos eudoxisch genannt werden m¨ usste. In der Literatur ist es aber u ¨ blich, solche Gr¨ oßenbereiche eudoxisch zu nennen, in denen die Existenz der vierten Proportionalen gesichert ist. Ich werde mich im Folgenden, wenn auch mit Bedauern, an den heute u ¨blichen Sprachgebrauch halten und vom archimedischen Postulat reden, wenn verlangt wird, dass es zu zwei Gr¨ oßen a und b stets eine nat¨ urliche Zahl n gibt mit na > b. In der Umgangssprache liest sich das archimedische Axiom so: Can I cut?“ Mit dieser Frage bot Michelangelo einer Gruppe von Steinmetzen ” seine Hilfe an, die gerade am Arbeiten waren, als er auf einem Streifzug in der Umgebung von Florenz bei ihnen hereinschneite. Die Steinmetze geh¨ orten alle der selben Familie an. Michelangelo kannte sie schon lange. The grandfather, turning his wheel, replied: ,Every little bit helps‘ said the ” father who peed into the Arno because his son’s boat was beached at Pisa.“ (Stone 1987, S. 47) 5. Diese Definition z¨ ahlt zu den Glanzleistungen der Mathematik, wie der Leser, wenn er bereit ist, mir weiterhin zu folgen, selbst noch erkennen wird. Sie hat Kritik hervorgerufen, insbesondere weil in ihr u ¨ber alle nat¨ urlichen Zahlen quantifiziert wird. Doch bis heute wurde keine bessere Definition gefunden. In unserer Sprache lautet sie: Sind a und b Gr¨ oßen gleicher Art und sind c und d ebenfalls Gr¨oßen gleicher Art, aber nicht notwendig von gleicher Art wie a und b, so haben a und b das gleiche Verh¨altnis wie c und d, in Zeichen a : b = c : d, genau dann, wenn f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen m und n gilt: Ist ma > nb, so ist mc > nd. Ist ma = nb, so ist mc = nd. Ist ma < nb, so ist mc < nd. Diese Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen von Gr¨ oßen ist Eudoxos’ Antwort auf die Herausforderung durch die Entdeckung inkommensurabler Gr¨ oßen, die zeigte, dass man die f¨ ur nat¨ urliche Zahlen g¨ ultige Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen nicht auf beliebige Gr¨ oßen u ¨ bertragen konnte. Sie beruht n¨ amlich, wie wir noch sehen werden, auf dem Algorithmus der Wechselwegnahme, der bei nat¨ urlichen Zahlen nach endlich vielen Schritten mit dem gr¨ oßten gemeinsamen Teiler der beiden Ausgangszahlen endet. Es gibt Spuren in der Literatur, u. a. bei Aristoteles und Euklid (Prop. X.2, die wir in Kap. 3 behandeln), dass vor der eudoxischen Definition noch eine andere in Gebrauch war, die ebenfalls auf der Wechselwegnahme beruhte, die nun aber nicht nach endlich vielen Schritten zu terminieren brauchte. N¨ aheres hierzu bei Gericke (1970, S. 39ff.) und van der

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Waerden (1947/49, S. 687ff.). Von dieser hier nicht ausgesprochenen Definition ist bis heute unbekannt, ob sie das Gleiche leistet wie die eudoxische. Definiert man ϕ(a, b) durch ϕ(a, b) :=

 m

m, n ∈ N, mb ≤ na , n

so ist ϕ(a, b) ∈ R+ , wie wir noch sehen werden, und es gilt a : b = c : d genau dann, wenn ϕ(a, b) = ϕ(c, d) ist. Damit wird der Zusammenhang mit den Entwicklungen des vorigen Abschnitts hergestellt sein. Es ist klar, dass a : b = a : b ist. Ferner ist unmittelbar zu sehen, dass a : b = c : d die Gleichung c : d = a : b impliziert. Ebenso einfach ist zu sehen, dass auch a : b = c : d und c : d = e : f die G¨ ultigkeit von a : b = e : f nach sich ¨ zieht. Letzteres ist im Ubrigen Inhalt von Proposition V.11. Betrachtet man die Relation der Gleichheit von Verh¨ altnissen auf einem Gr¨oßenbereich P allein, so ist ¨ ¨ sie eine Aquivalenzrelation. Es ist daher naheliegend, die Aquivalenzklassen dieser Relation mit a : b zu bezeichnen. Von dieser Bezeichnung werden wir in Abschnitt 6 Gebrauch machen, woran dann noch einmal erinnert wird. Bis dahin werden wir diese Bezeichnung nur in der Form der Gleichheitsrelation a : b = c : d benutzen. Mit a : b werden wir jedoch niemals einen Bruch bezeichnen. 6. Gilt a : b = c : d, so heißen a, b, c, d in Proportion stehend. F¨ ur Verh¨ altnis benutzten die Griechen das Wort  eines von mindestens drei griechischen W¨ ortern f¨ ur unser Wort Wort“. Die andern beiden sind  und . Ersteres ” haben wir noch als Epos und finden es in Epik wieder, letzteres ist unser Mythos. Logos ist eigentlich das Sammeln und von daher das Verm¨ ogen, Begriffe zu bilden und auszusprechen. Es ist also das Wort oder die Folge von W¨ ortern, mit dem bzw. mit der ein Sinn, eine Einsicht ausgedr¨ uckt wird. Von daher nimmt es auch die Bedeutung Gesetz“ an. Wir finden es in unserem Wort Logik“ wieder. Epos ist ” ” das gesprochene Wort, das Wort, welches im H¨orer ein Bild, ein Gef¨ uhl hervorruft, die Rede, die Erz¨ahlung und auch das Gedicht. Mythos ist das Wort, die Rede, ¨ die Außerung, die Erz¨ ahlung aus grauer Vorzeit, die Sage. Logos ist also im mathematischen Sinne das Verh¨ altnis, jedenfalls zu Zeiten Euklids. Fr¨ uher wurde auch die Differenz Logos genannt, wie durch eine Stelle bei Archytas und eine bei Aristoteles belegt ist. Hiervon gebildet ist das Adaltnis nach gleich“, in Proportion verb    welches bedeutet dem Verh¨ ” ” stehend“. Sein Ursprung liegt in der mathematischen Terminologie. Von hier aus ist es dann als analog“ bzw. Analogie“ in den Wortschatz der europ¨aischen Ge” ” ¨ bildeten aufgenommen worden. Hierbei spielte wohl eine Rolle, dass die Ahnlichkeit von geometrischen Figuren mittels der Analogie, dh. dem Im-gleichen-Verh¨ altnisstehen ausgedr¨ uckt wurde, wie wir noch sehen werden (Szab´ o 1962/67, S. 215 und 1969, S. 47). Dies ist sicherlich ein seltener Vorgang, dass ein Terminus technicus der Mathematik in die gehobene Umgangssprache Eingang findet. Bemerkenswert ist auch, dass es Cicero war, der das griechische Wort Analogie mit proportio ins Lateinische u ¨ bersetzte (Timaeus seu De universo 4 §12): Id optime assequitur, ”

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quae Graece  Latine (audendum est enim, quoniam haec primum a nobis novantur) comparatio proportiove dici potest“ (Zitiert nach Szab´ o 1969, S. 193). Bulmer-Thomas meint (Scholz 1990, S. 71), dass Definition 6 klarmache, dass ¨ Definition 5 wirklich eine Definition der Verh¨ altnisgleichheit — er, bzw. sein Ubersetzer, sagt Proportion“ — sei. Das griechische Original l¨ asst aber keinen Zweifel ” daran, dass Definition 5 eine Definition der Verh¨ altnisgleichheit ist. In ihr wird von gleichem Logos sein“ definiert, w¨ahrend in Definition 6 das Wort analogon“ ” ” eingef¨ uhrt wird, das mit je nach Verh¨altnis gleich“ zu u ¨ bersetzen ist. Dieses wird ” hier wie auch in Buch VII bei der Formulierung von S¨ atzen benutzt, die uralt zu sein scheinen, und die zum Teil w¨ortlich in Buch V u ¨bernommen wurden, wobei nur das Wort Zahl durch das Wort Gr¨ oße ersetzt und die Adjektive in Kasus und Numerus angepasst wurden. Zahl ist im Griechischen ein Maskulinum, w¨ ahrend Gr¨ oße ein Neutrum ist. Ausf¨ uhrliches zu diesem Thema in Szab´o 1969, insb. S. 208ff. 7. Gibt es ein Paar nat¨ urlicher Zahlen m, n mit ma > nb und mc ≤ nd, so gilt per definitionem a : b > c : d. Hier m¨ usste man nun beweisen, dass nicht gleichzeitig auch c : d > a : b sein kann und dass die Relation > transitiv ist, das heißt, dass aus a : b > c : d und c : d > e : f stets auch a : b > e : f folgt. Euklid ¨ tut dies nicht und auch ich u ¨berlasse dies dem Leser als Ubungsaufgabe. 8. Die k¨ urzeste Proportion ist a : b = b : c. 9. Ist a : b = b : c, so sagt man a stehe zweimal im Verh¨altnis zu c wie zu b. 10. Hier muss man erg¨anzen, dass sie in stetiger Proportion stehen sollen. Es soll also gelten a : b = b : c = c : d. 11. Versteht sich von selbst. 12. Hat man vier gleichartige Gr¨ oßen, so betrachtet man neben den Verh¨ altnissen a : b und c : d auch die Verh¨ altnisse a : c und b : d. Im Hintergrund steht der Satz, dass aus a : b = c : d die Gleichung a : c = b : d folgt, wie wir sp¨ater sehen werden. 13. Hier betrachtet man neben a : b auch b : a. 14. Hier betrachtet man neben a : b auch (a + b) : b 15. Hier betrachtet man neben a : b mit a > b auch (a − b) : b. Dies zeigt, dass man im Falle b < a stets auch ein c haben muss mit a = b + c, dass also partielle Subtraktion stets m¨ oglich ist. 16. Hier betrachtet man neben a : b mit a > b auch a : (a − b). ur 17. Gegeben Gr¨ oßen a1 , . . . , an und b1 , . . . , bn mit ai : ai+1 = bi : bi+1 f¨ i := 1, . . . , n − 1, so ist, was noch zu beweisen ist, a1 : an = b1 : bn . 18. Dies wird mit V.23 klar. Dort wird gezeigt, dass aus a : b = e : f und b : c = d : e folgt, dass a : c = d : f ist. Dies und was noch kommen wird, f¨ uhrt auf folgende Definition. Ein Gr¨ oßenbereich ist eine Menge P versehen mit einer bin¨ aren Operation + und einer linearen Ordnung ≤, so dass gilt: a) Die Addition + ist assoziativ und kommutativ. b) Es ist a < a + b f¨ ur alle a, b ∈ P .

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Kapitel I. Gr¨ oßen

c) Sind a, b ∈ P und ist b < a, so gibt es genau ein c ∈ P mit a = b + c. Dieses Element c bezeichnen wir auch mit a − b. d) Sind a, b ∈ P , so gibt es ein n ∈ N mit na > b. Dabei ist na rekursiv definiert durch 1a := a und (n + 1)a := na + a. Hat der Gr¨ oßenbereich P auch noch die Eigenschaft e) Ist a ∈ P und n ∈ N, so gibt es ein b ∈ P mit a = nb, so heißt P dividierbar . Dass man eine Gr¨oße in n gleiche Teile teilen kann, wird bei Euklid stillschweigend unterstellt mit der Ausnahme des Gr¨oßenbereiches der Strecken, der als dividierbar nachgewiesen wird (Proposition VI.9 von Abschnitt 4). abe es ein d mit b = c+d. Ist nb = nc, so ist b = c. W¨ are n¨ amlich etwa b > c, so g¨ Es folgte der Widerspruch nc = nc = nc+nd > nc. Aus b) folgt, dass (n+1)b > nb ist. Daher impliziert die Gleichung nb = nc, dass b = c ist. Ferner folgt mit d), dass ein Gr¨ oßenbereich keine Null und keine negativen Elemente enth¨ alt. Dass wir Gr¨oßenbereiche mit P bezeichnen, soll daran erinnern, dass Gr¨ oßenbereiche Positivbereiche von archimedisch angeordneten Gruppen sind. Wir formulieren und beweisen nun die S¨ atze, die sich in Buch V der Elemente finden, wobei wir uns moderner Notation bedienen, aber dennoch versuchen, ein wenig von dem Flair des Buches durchschimmern zu lassen. Es beginnt damit, dass Regeln f¨ ur das Rechnen mit Vielfachen von Gr¨ oßen gegeben werden. Das ist das, was auch wir tun, wenn wir Rechenoperationen definiert haben, dass wir n¨ amlich die Rechenregeln nachweisen, deren wir uns anschließend bedienen wollen. Es gibt nicht viel Neues unter der Sonne. V.1. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Ferner seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ P und k ∈ N. Gilt dann ai = kbi f¨ ur alle i, so ist n  i:=1

n 

ai = k

bi ,

i:=1

bzw., wie wir es formulierten, n  i:=1

kbi = k

n 

bi .

i:=1

Beweis. Euklid beweist den Satz nur f¨ ur den Fall n = k = 2. Sein Beweis verl¨auft wie folgt. AB und CD seien Gleichvielfache von e bzw. f . Nach Voraussetzung gilt AB = AG + GB mit AG = GB = e und CD = CH + HD mit CH = HD = f . Er argumentiert weiter AB + CD = AG + GB + CH + HD = AG + CH + GB + HD und beachtet, dass AG + CH = GB + HD = e + f ist. Man beachte, dass die Assoziativit¨ at und Kommutativit¨ at der Addition benutzt wurde.

3. Proportionenlehre

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Bei Euklids Beweis kommt die Zahl 2 nicht explizit vor, es ist immer nur von Gleichvielfachen die Rede. Der Beweis ist in der Tat so angelegt, dass es f¨ ur uns kein Problem ist, aus diesem Beweis einen uns befriedigenden Induktionsbeweis zu machen. Dazu zerlegen wir AB wieder in zwei Teile AG und GB mit AG = e und GB = (k − 1)e und entsprechend CD in die Teile CH und HD mit CD = f und HD = (k − 1)f . Wie eben folgt AB + CD = AG + CH + GB + HD, nur dass diesmal AG + CH = e + f und GB + HD = (k − 1)(e + f ) ist. Letzteres nach Induktionsannahme. Damit ist der Satz im Falle n = 2 bewiesen. Ist nun n > 2, so folgt mit einer zweiten Induktion n  i:=1

kbi =

n−1  i:=1

kbi + kbn = k

n−1  i:=1

bi + kbn = k

n 

bi .

i:=1

Bei diesem zweiten Teil des Beweises ben¨otigt man neben dem bereits bewiesenen Fall n = 2 nur noch die rekursive Definition der Summe, also weder die Assoziativit¨ at noch die Kommutativit¨at der Addition. Euklid sagt nie, welche Gr¨ oßen von gleicher Art sein m¨ ussen und welche nicht. Das muss der Leser aus dem Kontext erschließen. In diesem Buche sei jedoch stets darauf hingewiesen. V.2. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a1 , a2 , a5 ∈ P , a3 , a4 , a6 ∈ Q und k, l ∈ N. Ist dann a1 = ka2 , a3 = ka4 , a5 = la2 und a6 = la4 , so ist a1 + a5 = (k + l)a2 und a3 + a6 = (k + l)a4 . Wir formulieren heute so: Ist a ∈ P und sind k, l ∈ N, so ist ka + la = (k + l)a. Dann gilt dieser Sachverhalt auch f¨ ur Q. Dies ist eine unmittelbare Folge der Assoziativit¨ at der Addition. V.3. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a1 , a2 ∈ P , a3 , a4 ∈ Q und k, l ∈ N. Ist dann a1 = ka2 und a3 = ka4 , so ist la1 = lka2 und la3 = lka4 , dh., es ist l(ka) = (lk)a f¨ ur alle k, l ∈ N und alle a ∈ P . Wiederum k¨ onnen wir auf Q verzichten. Beweis. Nach V.2 ist ka + ka = (k + k)a = (2k)a. Hier endet Euklids Argumentation. Wir vollenden den Beweis mit Induktion unter nochmaliger Benutzung von V.2.

 l(ka) = (l − 1)(ka) + ka = (l − 1)k a + ka = (lk)a. Beim n¨achsten Satz spielen die beiden Gr¨ oßenbereiche wirklich eine wesentliche Rolle.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

V.4. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b ∈ P , c, d ∈ Q und k, l ∈ N. Ist a : b = c : d, so ist auch ka : lb = kc : ld. Beweis. Setze e := ka, g := lb, f := kc und h := ld. Es ist zu zeigen, dass e : g = f : h ist. Mit V.3 folgt me = m(ka) = (mk)a mf = m(kc) = (mk)c ng = n(lb) = (nl)b nh = n(ld) = (nl)d. Ist nun me > ng, so ist (mk)a > (nl)b und wegen a : b = c : d daher (mk)c > (nl)d also mf > nh, etc. V.5. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Ferner seien a, b, c, a , b , c ∈ P und k ∈ N.  Ist a = b + c und a = b + c und ist a = ka und b = kb , so ist c = kc . Beweis. Zum Beweise dieses Satzes benutzt Euklid die Eigenschaft von Gr¨oßenbereichen, Gr¨ oßen durch nat¨ urliche Zahlen dividieren zu k¨ onnen. Dies ist nicht erforderlich, wie wir gleich sehen werden. Doch zun¨achst Euklids Beweis. Setze AB := a, CD := a , AE := b und CF := b . Dann ist EB = c und F D = c . Es sei CG so gew¨ahlt, dass kGC = EB wird. Mit V.1 folgt k(GC + CF ) = kGC + kCF = EB + AE = AB = kCD = k(CF + F D). Es folgt GC + CF = CF + F D und weiter GC = F D. Also ist kc = kF D = kGC = EB = c. Man braucht nicht die Gleichheit von GC und F D zu beweisen, wie Euklid dies tut. Man kann vielmehr auch so schließen: Mit V.1 folgt kCG + kCF = EB + AE = AB = kCD = k(CF + F D) = kCF + kF D. Dies wiederum impliziert kCG = kF D und damit c = kc . Man braucht auch nicht, wie schon gesagt, die Dividierbarkeit von P . Mit V.1 folgt n¨ amlich kb + kc = ka = a = b + c = kb + c, so dass in der Tat c = kc ist. V.6. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a1 , a11 , a12 , b1 ∈ P , a2 , a21 , a22 , b2 ∈ Q und k, l ∈ N. Ist dann a1 = kb1 , a11 = lb1 und a1 = a11 + a12 sowie a2 = kb2 , a21 = lb2 und a2 = a21 + a22 , so ist entweder a12 = b1 und a22 = b2 oder es gibt eine nat¨ urliche Zahl n > 1 (die Eins ist keine Zahl) mit a12 = nb1 und a22 = nb2 .

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Wir formulieren: Sind b, c ∈ P und k, l ∈ N und gilt lb + c = kb, so ist k − l ∈ N und es gilt c = (k − l)b. ¨ Der Beweis ist eine einfache Ubungsaufgabe. V.7. Gleiche Gr¨ oßen haben zu einer festen Gr¨ oße dasselbe Verh¨ altnis, ebenso die feste Gr¨ oße zu den gleichen. Wir zerbrechen uns dar¨ uber nicht den Kopf. Euklid beweist dies, indem er zeigt, dass die Bedingungen der Definition 5 erf¨ ullt sind, was banal ist. Zusatz. Sind a und b Gr¨ oßen aus einem und c und d Gr¨ oßen aus einem evt. anderen Gr¨ oßenbereich, so gilt mit a : b = c : d auch b : a = d : c. Im Text steht, dies sei nun klar. Der Zusatz hat mit V.7 jedoch nichts zu tun. Er ist aber leicht zu beweisen. Ist n¨ amlich mb > na, so ist na < nb und folglich nc < md, so dass md > nc ist. Ebenso folgt aus mb = na, dass md = nc ist. Schließlich impliziert mb < na, dass auch md < nc ist. Damit ist der Zusatz bewiesen. V.8. Ist P ein Gr¨ oßenbereich, sind a, b, d ∈ P und ist a > b, so ist a : d > b : d und d : b > d : a. Beweis. Der nun folgende Beweis ist in gestraffter Form der euklidische. Es sei a = b + c. Es gibt ein k ∈ N mit kb > d und kc > d. Wegen 1d = d < kb gibt es ein n ∈ N mit nd ≤ kb < (n + 1)d. Es folgt unter Benutzung von V.1 (n + 1)d = nd + d ≤ kb + d < kb + kc = ka. Es ist also ka > (n + 1)d und kb < (n + 1)d. Hieraus folgt sowohl a : d > b : d als auch d : b > d : a. Da zwei Gr¨oßen stets miteinander vergleichbar sind, folgt aus V.8 unmittelbar V.9. Sind a, b, c Elemente des Gr¨ oßenbereichs P und gilt a : c = b : c oder c : a = c : b, so ist a = b. Nun sind wir in der Lage, die Umkehrung von V.8 zu beweisen. V.10. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich und es seien a, b, c ∈ P . Ist a : c > b : c oder c : b > c : a, so ist a > b. Beweis. Wegen V.7 ist a = b und wegen V.8 kann nicht a < b sein. Weil a und b vergleichbar sind, ist also a > b. Als N¨achstes wird die Transitivit¨at der Gleichheitsrelation zwischen Verh¨ altnissen bewiesen. V.11. Es seien P , Q und R Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b ∈ P , c, d ∈ Q und e, f ∈ R. Ist a : b = c : d und c : d = e : f , so ist auch a : b = e : f .

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Beweis. Es seien m, n ∈ N. Ist ma > nb, so ist mc > nd und dann auch me > nf . Ebenso folgt aus ma = nb, dass me = nf ist, und aus ma < nb, dass me < nf ist. Also ist in der Tat a : b = e : f . V.12. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Sind a1 , . . . , at , b1 , . . . , bt ∈ P , sind ur alle i, so ist α, β ∈ Q und gilt α : β = ai : bi f¨ α:β=

t 

ai :

i:=1

t 

bi .

i:=1

Beweis. Euklid beweist diesen Satz f¨ ur den Fall t = 3. Wir, die wir das Hilfsmittel der vollst¨ andigen Induktion zur Verf¨ ugung haben, sehen, dass es gen¨ ugt, diesen Satz f¨ ur t = 2 zu beweisen. Es seien m, n ∈ N. Ist mα > nβ, so ist mai > nbi und daher m(a1 + a2 ) = ma1 + ma2 > nb1 + nb2 = n(b1 + b2 ). Ebenso sieht man, dass aus mα = nβ die Gleichung m(a1 + a2 ) = n(b1 + b2 ) folgt, und dass mα < nβ die Ungleichung m(a1 + a2 ) < n(b1 + b2 ) nach sich zieht. Also ist α : β = (a1 + a2 ) : (b1 + b2 ). So im Wesentlichen auch Euklids Beweis, der jedoch die Verwendung von V.1 ausdr¨ ucklich erw¨ ahnt. V.13. Hier sind sechs Gr¨ oßen a, b, c, d, e und f aus drei Gr¨ oßenbereichen gegeben. Ist a : b = c : d und c : d > e : f , so ist a : b > e : f . Beweis. Banal. V.14. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich und a, b, c und d seien Elemente von P . Ist a : b = c : d und gilt a > c, so ist b > d, ist a = c, so ist b = d, und ist a < c, so ist b < d. Beweis. Es sei a > c. Nach V.8 ist dann a : b > c : b. Nun ist a : b = c : d, so dass nach V.13 auch die Ungleichung c : d > c : b gilt. Nach V.10 ist daher b > d. Die restlichen Aussagen beweisen sich ¨ahnlich, so Euklid. V.15. Sind a und b Gr¨ oßen desselben Gr¨ oßenbereichs und ist k ∈ N, so ist ka : kb = a : b. k ur alle i. Entsprechend ist kb = Beweis. Es ist ja ka = i:=1 αi mit αi = a f¨ k ur alle i und mit V.12 folgt i:=1 βi . Es folgt αi : βi = a : b f¨ ka : kb =

k  i:=1

αi :

k 

βi = a : b.

i:=1

V.16. Sind a, b, c und d Gr¨ oßen desselben Gr¨ oßenbereichs und ist a : b = c : d, so ist auch a : c = b : d.

3. Proportionenlehre

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Beweis. Es seien m, n ∈ N. Nach V.15 ist a : b = ma : mb. Also ist nach V.11 auch c : d = ma : mb. Ebenso ist c : d = nc : nd und daher ma : mb = nc : nd. Ist nun ma > nc, so ist nach V.14 auch mb > nd. Ebenfalls nach V.14 impliziert ma = nc, dass mb = nc ist, und ma < nc zieht mb < nd nach sich. Also ist in der Tat a : c = b : d. V.17. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b ∈ P und c, d ∈ Q. Ist (a + b) : b = (c + d) : d, so ist a : b = c : d. Beweis. Es seien m, n ∈ N. Ist ma > nb, so folgt mit V.1 und V.2 m(a + b) = ma + mb > nb + mb = (m + n)b. Wegen (a + b) : b = (c + d) : d folgt mc + md = m(c + d) > (m + n)d = md + nd. Hieraus folgt wiederum mc > nd. Ebenso zeigt man, dass aus ma = nb die Gleichung mc = nd und aus ma < nb die Ungleichung mc < nd folgt. Also ist a : b = c : d. Die Umkehrung gilt nat¨ urlich auch. V.18. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche und es gelte a, b ∈ P und c, d ∈ Q. Ist dann a : b = c : d, so ist auch (a + b) : b = (c + d) : d. Beweis. Euklids Beweis ist ein Widerspruchsbeweis, der V.17 benutzt. Um diesen Satz anwenden zu k¨onnen, ben¨ otigt man die Existenz der vierten Proportionalen. Dies besagt, dass es zu u, v ∈ P und zu x ∈ Q stets ein y ∈ Q gibt mit u : v = x : y. Man kommt aber ohne diese Existenzforderung aus, wie der folgende Beweis zeigt. Angenommen es sei (a + b) : b = (c + d) : d. Dann ist ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit (a + b) : b < (c + d) : d. Es gibt also m, n ∈ N mit m(a + b) ≤ nb und m(c + d) > nd. Es folgt ma + mb ≤ nb und damit mb < nb. Hieraus folgt n − m ∈ N und ma ≤ (n − m)b. Wegen a : b = c : d ist dann mc ≤ (n − m)d. Hieraus folgt der Widerspruch m(c + d) = mc + md ≤ (n − m)d + md = nd < m(c + d). V.19. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Ferner seien a, b, c, d ∈ P . Ist (a+b) : (c+d) = a : c, so ist auch (a + b) : (c + d) = b : d.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Beweis. Nach V.16 gilt (a + b) : a = (c + d) : c. Hieraus folgt mit V.17, dass b : a = d : c gilt. Mit V.16 folgt a : b = c : d und mit V.18 dann (a+ b) : b = (c+ d) : d. Nochmalige Anwendung von V.16 liefert schließlich (a + b) : (c + d) = b : d. Zusatz. Sind a, b, c, d Gr¨ oßen eines Gr¨ oßenbereiches und gilt (a+b) : b = (c+d) : d, so gilt auch (a + b) : a = (c + d) : c. Beweis. Mit V.16 folgt (a + b) : (c + d) = b : d. Mit V.19 folgt weiter (a + b) : (c + d) = a : c und mit V.16 dann schließlich die Behauptung. Man kann diesen Zusatz auch anders beweisen und braucht dann nur, dass a und b bzw. c und d aus dem jeweils gleichen Gr¨oßenbereich stammen. Aus (a + b) : b = (c + d) : d folgt mit V.17, dass a : b = c : d ist. Mit dem Zusatz zu V.7 folgt b : a = d : c und mit V.18 weiter (a + b) : a = (c + d) : c. Wenn wir an Gr¨ oßen denken und an Verh¨ altnisse von Gr¨ oßen, so denken wir an reelle Zahlen und an Quotienten von reellen Zahlen. F¨ ur uns w¨ are es dann klar, dass (a : b)(b : c) = a : c = (b : c)(a : b) ur ist. Doch in den Elementen werden Gr¨ oßen nicht miteinander multipliziert. F¨ diese Formel und Konsequenzen aus ihr m¨ ussen also Substitute gefunden werden. Diese liefern die folgenden S¨atze. V.20. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b, c ∈ P und d, e, f ∈ Q. Ist dann a : b = d : e und b : c = e : f , so gilt: Ist a > c, so ist d > f . Ist a = c, so ist d = f und ist a < c, so ist d < f . Beweis. Es sei a > c. Nach V.8 ist dann a : b > c : b. Nun ist b : c = e : f und daher c : b = f : e. Daher ist d : e = a : b > c : b = f : e. Hieraus folgt mit V.10, dass d > f ist. Die anderen beiden Aussagen zu beweisen, u ¨ berl¨ asst Euklid dem Leser. Wir f¨ uhren die Beweise hier noch vor. Ist a : b = c : b, so folgt entsprechend d : e = f : e und mit V.9 dann d = f . Ist a < c, so vertausche man die Rollen der Elemente aus P mit den Rollen der Elemente aus Q und wende das schon Bewiesene an. Bei der n¨achsten Proposition sind die Rollen von d : e und e : f vertauscht. V.21. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b, c ∈ P und d, e, f ∈ Q. Ist a : b = e : f und b : c = d : e, so ist d > f , falls a > c, und d = f , falls a = c, und d < f , falls a < c. Beweis. Es sei a > c. Nach V.8 ist dann a : b > c : b. Nach dem Zusatz von V.7 ist c : b = e : d. Also ist e : f = a : b > c : b = e : d.

3. Proportionenlehre

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Mit V.10 folgt hieraus d > f . Entsprechend beweist man, dass aus a = c folgt, dass d = f , und dass a < c impliziert, dass d < f ist. Damit ist alles bewiesen. V.22. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a1 , . . . , at ∈ P und b1 , . . . , ur i := 1, . . . , t − 1, so ist a1 : at = b1 : bt . bt ∈ Q. Ist dann ai : ai+1 = bi : bi+1 f¨ Beweis. Es gen¨ ugt diesen Satz f¨ ur den Fall t = 3 zu beweisen, wie Euklid dies tut. Eine einfache Induktion erledigt dann den verbleibenden Rest. Es seien also a, b, c ∈ P und d, e, f ∈ Q und es gelte a : b = d : e und b : c = e : f . Ferner seien m, n, p ∈ N. Nach V.4 ist dann ma : nb = md : ne und nb : pc = ne : pf . Mit V.20 folgt: Ist ma > pc, so ist md > pf , ist ma = pc, so ist md = pf , und ist ma < pc, so ist md < pf . Damit ist V.22 bewiesen. Der n¨ achste Satz ist ein Substitut f¨ ur die Kommutivit¨ at der Multiplikation von reellen Zahlen. Euklid benutzt zu seinem Beweis V.16. Bei ihm m¨ ussen die vier Gr¨ oßen also aus ein und demselben Gr¨oßenbereich stammen. Wir geben hier einen alternativen Beweis, bei dem das nicht vorausgesetzt werden muss. oßen eines eventuell anderen V.23. Es seien a, b, c Gr¨ oßen eines und d, e, f Gr¨ Gr¨ oßenbereiches. Ist dann a : b = e : f und b : c = d : e, so ist a : c = d : f . Beweis. Es seien m, n ∈ N. Zweimalige Anwendung von V.15 liefert ma : mb = a : b = e : f = ne : nf. Es gilt also ma : mb = ne : nf. Mit V.4 folgt mb : nc = md : ne. Mittels V.21 folgt hieraus: Ist ma > nc, so ist md > nf , und ist ma = nc, so ist md = nf , und ist ma < nc, so ist md < nf . Also ist a : c = d : f . V.24. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b, c ∈ P und u, v, w ∈ Q. Gilt a : c = u : w und b : c = v : w, so gilt auch (a + b) : c = (u + v) : w. Beweis. Es ist a : c = u : w. Mit V.7 folgt aus b : c = v : w die Gleichung c : b = w : v. Nach V.22 ist daher a : b = u : v. Mit V.18 folgt (a+b) : b = (u+v) : v. Nun ist aber auch b : c = v : w, so dass nochmalige Anwendung von V.22 die Behauptung ergibt. oßen des gleichen Gr¨ oßenbereichs. Ist dann a : V.25. Es seien a, b, c und d Gr¨ b = c : d und ist a = b, c, so ist die Summe aus Maximum und Minimum der Elemente a, b, c, d gr¨ oßer als die Summe aus den beiden anderen Elementen. Beweis. Wir d¨ urfen annehmen, dass a das gr¨oßte Element ist. Wegen a > c ist nach V.14 auch b > d. Wegen a > b und a : b = c : d folgt auch noch aufgrund der Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen c > d. Also ist d das kleinste der vier

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Elemente. Es ist also zu zeigen, dass a + d > b + c ist. Wegen a > c gibt es ein u mit a = c + u und wegen b > d gibt es ein v mit b = d + v. Es ist dann (c + u) : (d + v) = a : b = c : d, so dass nach V.19 auch a : b = (c + u) : (d + v) = u : v gilt. Wegen a > b ist dann u > v nach V.14. Also ist a + d = u + c + d > v + c + d = b + c. Damit ist der Satz bewiesen. Ist in diesem Satz a = b oder a = c, so sind die fraglichen Summen gleich. Kann man mit diesem Satz etwas anfangen? Nun, Jacob Bernoulli konnte es. So findet sich bei ihm der folgende Satz (Es ist die Proposition IV gleich zu Beginn der Abhandlung: Bernoulli 1689. Wieder abgedruckt in Bernoulli 1744 und 1993. Das Zitat hier aus B. 1744. Der Herausgeber dieser Opera hat offenbar die mathematischen Symbole seiner Zeit angepasst. Siehe B. 1993, S. 48 oben und Fußn. 3): Si sit progressio geometrica quæcunque A, B, C, D, E; & alia arithmetica totidem terminorum A, B, F, G, H, incipiens ab iisdem terminis A & B, erunt reliquorum singuli in geometrica singulis ordine sibi respondentibus in arithmetica majores, tertius tertio, quartus quarto, ultimus ultimo, adeoque omnes omnibus. Quia enim A : B = B : C = C : D = D : E. erit per 25. 5. EUCL. tum A + C > 2B = (ex nat. Progr. arith.) A + F ; unde C > F : tum A + D > B + C > B + F = A + G; unde D > G: tum A + E > B + D > B + G = A + H; unde E > H. Quæ erant demonstranda. In unserer Sprache ausgedr¨ uckt heißt dies: Ist g eine geometrische und a eine ur i ≥ 3. arithmetische Reihe und ist g1 = a1 und g2 = a2 , so ist gi > ai f¨ Beweis. Da g eine geometrische Reihe ist, gilt g1 : g2 = gi : gi+1 f¨ ur alle i. Insbesondere ist g1 : g2 = g2 : g3 . Die a¨ußeren Glieder sind die extremen. Daher gilt nach V.25, dass g1 + g3 > 2g2 ist. Nun ist aber g 2 − g 1 = a2 − a1 = a3 − a2 = a3 − g 2 , da a eine arithmetische Reihe ist. Also ist 2g2 = g1 + a3 . Es folgt g1 + g3 > 2g2 = g1 + a3 und daher g3 > a3 . Es sei gn > an . Es ist g1 : g2 = gn : gn+1 . Mit V.25 folgt wieder g1 + gn+1 > g2 + gn > a2 + an .

3. Proportionenlehre

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Weil a eine arithmetische Reihe ist, ist a2 + an = a1 + an+1 . Es folgt g1 + gn+1 > a1 + an+1 und wegen g1 = a1 dann auch gn+1 > an+1 . Damit ist die Aussage des Satzes bewiesen. Setzt man q := g2 : g1 , so folgt gi+1 = g1 q i und ai = a1 + (i − 1)(a2 − a1 ) = g1 + (i − 1)(g2 − g1 ). Also ist g1 q i > g1 + i(g2 − g1 ). Wegen q =

g2 g1

folgt weiter q i > 1 + i(q − 1).

Ersetzt man schließlich q durch 1 + q, so erh¨ alt man die f¨ ur alle i > 1 und alle q > −1 g¨ ultige bernoullische Ungleichung (1 + q)i > 1 + iq. Wie so oft, so ist auch die Zuschreibung dieser Ungleichung zu Bernoulli nicht korrekt. Sie wurde, sogar noch eine Spur allgemeiner, schon fr¨ uher von Isaac Barrow publiziert (Barrow 1670. VII. Vorlesung. Zitiert nach Barrow 1916). Barrow setzt bei sonst gleichen Voraussetzungen nur voraus, dass a2 ≤ q2 ist. Barrows Beweis verl¨auft wie der bernoullische, ohne dass er jedoch Euklid zitierte. Das Bernoullizitat und den Hinweis auf Barrow fand Kollege Ivo Schneider (M¨ unchen) f¨ ur mich, nicht ohne Aufwand und mit viel Gl¨ uck“. ” Dies ist der Inhalt von Buch V der Elemente Euklids in unsere Sprache u ¨bersetzt. ¨ Dabei hat die Ubersetzung nichts wesentlich ver¨andert. Steht im Text, vier Gr¨ oßen st¨ unden in Proportion, so steht hier, es gelte a : b = c : d. Ist im Text von Gleichvielfachen die Rede, so wird dies hier durch na, nb wiedergegeben. Die moderne Symbolik macht die Zeichnungen u ¨ berfl¨ ussig, die hier dann auch weggelassen wurden. Am Ende sieht man, dass Buch V rein algebraischen Inhalts ist. Es ist mir daher unerkl¨ arlich, dass die eudoxische Proportionenlehre h¨ aufig geometrisch genannt wird. Dass sie sich zur Veranschaulichung der Strecken bedient, ist kein Grund sie geometrisch zu nennen. Wir bedienen uns ja auch geometrischer Bilder, um Analysis anschaulich zu machen. Dennoch kommt niemand auf die Idee, unsere Analysis geometrisch zu nennen. Man beachte, dass Existenzfragen in Buch V nicht angesprochen werden. Gr¨oßenbereiche, die in den Elementen auftreten, sind der Bereich der Strecken, der Bereich der Fl¨acheninhalte und der Bereich der Volumina. Die Proportionenlehre von N wird in den Elementen gesondert abgehandelt. Darauf werden wir noch oßenbereiche. Von zur¨ uckkommen. F¨ ur uns sind nat¨ urlich auch Q+ und R+ Gr¨

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Kapitel I. Gr¨ oßen

R+ haben wir das ja im letzten Abschnitt bewiesen und von Q+ werden wir es in Abschnitt 3 von Kapitel 2 nachweisen. Wir wollen nun noch den Zusammenhang mit dem herstellen, was wir in Abschnitt 2 gemacht haben. Satz 1. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Sind a, b ∈ P , so definieren wir ϕP (a, b) durch  m

m, n ∈ N, mb ≤ na . ϕP (a, b) := n Dann ist ϕP (a, b) ∈ R+ . Sind c und d Gr¨ oßen eines zweiten Gr¨ oßenbereiches Q, so gilt genau dann a : b = c : d, wenn ϕP (a, b) = ϕQ (c, d) ist. Beweis. Es sei uv ≤ m n ∈ ϕP (a, b). Dann ist einmal un ≤ vm und zum anderen mb ≤ na. Es folgt unb ≤ vmb ≤ vna und damit ub ≤ va, so dass uv ∈ ϕP (a, b) ist. Dies zeigt, dass ϕP (a, b) ein Anfang ist. Es sei m n ∈ ϕP (a, b). Dann ist mb > na, so dass mb − na ∈ P gilt, da in Gr¨ oßenbereichen partielle Subtraktion ja m¨ oglich ist. Es gibt folglich ein k ∈ N mit k(mb − na) > nb. Es folgt (km − n)b > kna und damit

mk − n m 1 − = ∈ ϕP (a, b). n k kn Daher ist m n nicht Supremum von ϕP (a, b). Also ist ϕP (a, b) normaler Anfang. Es gibt k, l ∈ N mit kb > a und b < la. Es folgt k ∈ ϕP (a, b) und 1l ∈ ϕP (a, b). Dies zeigt schließlich, dass ϕP (a, b) ∈ R+ ist. Es sei a : b = c : d. Dann ist auch b : a = d : c. Ist nun m n ∈ ϕP (a, b), so ist mb ≤ na. Wegen b : a = d : c folgt md ≤ nc und damit m n ∈ ϕQ (c, d). Also ist ϕP (a, b) ⊆ ϕQ (c, d). Wegen c : d = a : b gilt dann auch ϕQ (c, d) ⊆ ϕP (a, b) und folglich ϕP (a, b) = ϕQ (c, d). Um die Umkehrung zu beweisen, m¨ ussen wir sup(ϕP (a, b)) charakterisieren. Es gilt, genau dann ist m = sup(ϕ (a, b)), wenn mb = na ist. Es sei mb = na und P n ub = va. Dann ist mva = mub = una u und daher mv = un bzw. m ochstens ein Element in ϕP (a, b) n = v . Es gibt also h¨ mit mb = na. u Es seien m n , v zwei verschiedene Elemente in ϕP (a, b) und es gelte mb = na. Nach dem gerade Bewiesenen ist dann ub < va. Es folgt

una = umb < mva

3. Proportionenlehre

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m und daher un < mv, bzw. uv < m n . Damit ist gezeigt, dass n das Supremum von ϕP (a, b) ist. Es sei umgekehrt m n ∈ ϕP (a, b). Ferner sei mb < na. Dann ist na − mb ∈ P . Es gibt also ein k ∈ N mit k(na − mb) > b. Es folgt (km + 1)b < kna und weiter

m m 1 km + 1 < + = ∈ ϕP (a, b). n n kn kn Also ist m n nicht das Supremum von ϕP (a, b). Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. Es gelte nun umgekehrt ϕP (a, b) = ϕQ (c, d). Es seien m, n ∈ N. Ist mb > na, so m ist m n ∈ ϕP (a, b) und daher n ∈ ϕQ (c, d), so dass md > nc gilt. Ist mb = na, so ist nach der gerade bewiesenen Bemerkung m n das Supremum von ϕP (a, b) und damit das Supremum von ϕQ (c, d), so dass auch md = nc gilt. Ist schließlich mb < na, so ist zun¨ achst md ≤ nc. Weil m n aber nicht das Supremum von ϕP (a, b) und damit auch nicht das von ϕQ (c, d) ist, ist md < nc. Also ist b : a = d : c und damit a : b = c : d. Damit ist Satz 1 bewiesen. Wir notieren noch, was zwischendurch bewiesen wurde. Satz 2. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Ferner sei ϕP die in Satz 1 definierte Abbildung. Sind a, b ∈ P und m, n ∈ N, so gilt genau dann mb = na, wenn m n = sup(ϕP (a, b)) ist. Der n¨ achste Satz findet sich bei Bettazzi (1890, S. 68–84), allerdings auf mehrere S¨ atze verteilt. Daher die Seitenangaben 68–84. Um ihn zu beweisen, formulieren und beweisen wir zun¨ achst einen Hilfssatz, bei dessen Beweis wir von der Archimedizit¨at eines Gr¨ oßenbereichs keinen Gebrauch machen. Die bettazzische Arbeit wurde im Jahre 1889 preisgekr¨ont, und allein der Satz, den wir ihr entnehmen, ist einen Preis wert. Der Preis war ein Preis des Erziehungsministeriums (premio di Matematica del Ministero della Pubblica Istruzione). Die R. Accademia dei Lincei war mit der Durchf¨ uhrung des Wettbewerbs betraut. Die Arbeit ist nur z¨ ah zu lesen. Das liegt daran, dass Bettazzi sehr sparsam in seiner Notation ist und alles in Worten ausdr¨ uckt. Das handschriftliche Exemplar der Arbeit liegt heute im Archiv der Accademia Nazionale dei Lincei unter der Signatur B26–F83–SF5. Es ist datiert Pisa Agosto 1887 . Der Leser, der mehr u ¨ ber die Regia Accademia dei Lincei wissen m¨ochte, sei an L¨ uneburg 1993 verwiesen. Hilfssatz. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich, der kein kleinstes Element enth¨ alt. Sind dann x ∈ P und n ∈ N, so gibt es ein y ∈ P mit ny ≤ x. Beweis. Weil P kein kleinstes Element enth¨ alt, gibt es ein y ∈ P mit y < x. Es sei 2y > x. Dann ist 2(x − y) = x − y + x − y < 2y − y + x − y = x.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Ersetzt man nun y durch x − y, so gilt y < x und 2y < x. Es sei n ∈ N und es gebe ein z ∈ P mit z < x und 2n z < x. Nach dem gerade Bewiesenen gibt es ein y < z mit 2y < z. Es folgt y < x und 2n+1 y < 2n z < x. Dies zeigt, dass es zu jedem n ∈ N ein y < x gibt mit 2n y < x. Wegen n < 2n folgt schließlich, dass auch ny < x ist. Damit ist der Hilfssatz bewiesen. Satz 3. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Ferner sei e ∈ P . Definiere die Abbildung f von P in R+ durch f (a) := ϕP (a, e), wobei ϕP die in Satz 1 definierte Abbildung sei. Dann ist f ein Monomorphismus von P in R+ mit f (e) = α(1) = {r | r ∈ Q+ , r ≤ 1}. Sind a, b ∈ P und ist a < b, so ist f (a) < f (b). Gilt in P der Satz von der oberen Grenze, so gibt es entweder ein Element u in P mit P = {nu | n ∈ N} oder es gibt kein solches Element. Dann ist f bijektiv. Ist g ein weiterer ordnungstreuer Monomorphismus von P in R+ und gilt g(e) = 1, so ist g = f . Beweis. Nach Satz 1 ist klar, dass f eine Abbildung von P in R+ ist. Ist f (a) = f (b), so gilt ebenfalls nach Satz 2 die Gleichung a : e = b : e. Mit V.9 folgt a = b, so dass f injektiv ist. Es bleibt zu zeigen, dass f additiv ist. u Es sei m n ∈ f (a) und v ∈ f (b). Dann ist me ≤ na und ue ≤ vb. Es folgt vme ≤ vna und nue ≤ nvb. Dies impliziert (vm + nu)e ≤ vn(a + b), so dass

vm+nu vn

∈ f (a + b) gilt. Also ist f (a) + f (b) ⊆ f (a + b).

Weil f (a + b) ein normaler Anfang ist, folgt weiter f (a) ⊕ f (b) ⊆ f (a + b). Um zu zeigen, dass auch f (a + b) ⊆ f (a) ⊕ f (b) gilt, zeigen wir zun¨ achst, dass f (a), f (b) ⊆ f (a) + f (b) ist. Wegen der Kommutativit¨ at der Addition gen¨ ugt es, dies f¨ ur f (a) zu beweisen. Dazu sei xy ∈ f (a). Da f (b) ein Anfang und da Q+ x archimedisch ist, gibt es ein n ∈ N mit ny ∈ f (b). Wir d¨ urfen annehmen, dass n ≥ 2 ist. Dann ist (n − 1)x x < ny y

3. Proportionenlehre und folglich

(n−1)x ny

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∈ f (a), da f (a) ein Anfang ist. Es folgt x (n − 1)x x = + ∈ f (a) + f (b). y ny ny

Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. Es sei xy ∈ f (a + b). Wir nehmen an, dass xy nicht Supremum von f (a + b) sei. Nach Satz 2 ist dann xe < y(a + b). Ist xy ∈ f (a) oder xy ∈ f (b), so ist xy ∈ f (a) + f (b) nach unserer Vorbemerkung. Wir d¨ urfen daher annehmen, dass xy ∈ f (a) und xy ∈ f (b) gilt. Dann ist xe > ya und xe > yb. Es gibt ein k ∈ N mit

 k y(a + b) − xe > e.

Es gibt ferner ein u ∈ N mit (u − 1)e < k(xe − yb) ≤ ue. Ist u = 1, so ist dies als k(xe − yb) ≤ e zu lesen. W¨are nun ue ≥ kya, so folgte der Widerspruch

 e = ue − (u − 1)e > kya − k(xe − yb) = k y(a + b) − xe > e. Also gilt doch ue < kya. Es folgt

u ky

∈ f (a). Wegen

x y

∈ f (a) und weil f (a) ein Anfang ist, folgt weiter x kx u < = ky y ky

und damit u < kx. W¨ are (kx − u)e > kyb, so folgte kyb < kxe − ue ≤ kxe − (kxe − kyb) = kyb. Dieser Widerspruch zeigt die G¨ ultigkeit der Ungleichung (kx − u)e ≤ kyb.

40 Also ist

Kapitel I. Gr¨ oßen kx−u ky

∈ f (b) und damit kx u kx − u x = = + ∈ f (a) + f (b). y ky ky ky

Mit Satz 2.4 folgt daher f (a + b) ⊆ f (a) ⊕ f (b). Also ist f (a + b) = f (a) ⊕ f (b). Es ist m f (e) = ϕP (e, e) = n



m, n ∈ N, me ≤ ne = α(1).

Es seien a, b ∈ P und es gelte a < b. Es gibt dann ein c ∈ P mit a + c = b. Es folgt f (a) ⊕ f (c) = f (b) und damit f (a) < f (b). Es sei g ein weiterer ordnungstreuer Monomorphismus von P in R+ mit g(e) = 1. Es sei weiter m n ∈ f (a). Dann ist me ≤ na. Schreiben wir der Deutlichkeit halber wieder α(1) an Stelle von 1, so folgt aus der Ordnungstreue von g, dass mα(1) = mg(e) = g(me) ≤ g(na) = ng(a) m ist. Also ist m n ∈ n α(1) ⊆ g(a), da R+ ja dividierbar ist und da die Anordnung auf R+ ja nichts anderes als die Inklusionsrelation ist. Somit gilt f (a) ⊆ g(a). Es sei m n ∈ f (a). Dann ist me > na und folglich

mα(1) = mg(e) = g(me) > g(na) = ng(a). m Hieraus folgt α( m n ) > g(a) und weiter n ∈ g(a), da g(a) ja ein Anfang ist. Also gilt auch g(a) ⊆ f (a). Folglich ist g(a) = f (a) und daher g = f . Um die noch offene Aussage zu beweisen, sei zun¨achst u ∈ P und es gelte u ≤ x f¨ ur alle x ∈ P . Ist dann x ∈ P , so gibt es, da die Anordnung von P ja archimedisch und u ≤ x ist, ein n ∈ N mit nu ≤ x < (n + 1)u. W¨ are nu < x, so w¨are x − nu ∈ P sowie x − nu < u. Dies widerspr¨ ache der Minimalit¨ at von u. Also ist x = nu. Folglich ist P = Nu. Hat P also ein kleinstes Element, so gilt die erste alt. Aussage. Es bleibt der Fall, dass P kein kleinstes Element enth¨ Es sei r ∈ R+ . Ferner sei   X := u | u ∈ P, f (u) ≤ r .

Weil f monoton ist, ist X ein Anfang von P . Wir nehmen an, X sei leer. Es sei u ∈ P . Dann ist r < f (u). Weil R+ archimedisch ist, gibt es ein n ∈ N mit f (u) < nr. Nach dem Hilfssatz gibt es ein w ∈ P mit nw ≤ u. Weil f ein Monomorphismus ist folgt nf (w) = f (nw) ≤ f (u) < nr

3. Proportionenlehre

41

und damit f (w) < r, so dass w ∈ X gilt. Dieser Widerspruch zeigt, dass X nicht leer ist. Es sei u ∈ X. Es gibt dann ein n ∈ N mit r < nf (u) = f (nu). Es folgt nu ∈ X, so dass X, da X ein Anfang ist, beschr¨ ankt ist. Somit hat X ein Supremum s. Angenommen es sei f (s) < r. Es gibt dann ein n ∈ N mit

 n r − f (s) > α(1) und ein y ∈ P mit ny ≤ e. Es folgt, da R+ dividierbar ist, f (s) ⊕

1 1 α(1) ≥ f (s) ⊕ f (ny) = f (s + y). n n

Weiter folgt 

1 nr > nf (s) ⊕ α(1) = n f (s) ⊕ α(1) ≥ nf (s + y) n und damit r > f (s + y). Also ist s + y ∈ X im Widerspruch zu s = sup(X). Daher ist r ≤ f (s). Angenommen es sei r < f (s). Es gibt dann ein n ∈ N mit

 α(1) < n f (s) − r . Da R+ dividierbar ist, folgt 1 α(1) < f (s) − r. n Nach dem Hilfssatz gibt es ein y ∈ P mit y < e und ny ≤ e. Weil s das Supremum von X ist und weil P kein kleinstes Element enth¨ alt, gibt es ein t ∈ X mit s−t < y. Es folgt 1 1 1 n f (y) = f (ny) ≤ f (e) = α(1) n n n n < f (s) − r ≤ f (s) − f (t).

f (s) − f (t) = f (s − t) < f (y) =

Dieser Widerspruch zeigt, dass f (s) = r ist. Somit ist f bijektiv. Damit ist der Satz bewiesen. Wendet man die letzte Aussage von Satz 3 auf R+ an, so sieht man, dass es zu jedem e ∈ R+ einen Automorphismus von R+ gibt, der e auf α(1) abbildet. Diese Eigenschaft von R benutzte Felscher, um auf R eine Multiplikation einzuf¨ uhren, die zusammen mit der auf R schon definierten Addition R zum K¨orper der reellen

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Zahlen macht. F¨ ur Einzelheiten der Konstruktion sei auf Felscher 1978, Bd. II verwiesen. Es sei nochmal darauf hingewiesen, dass wir nirgendwo von der Dividierbarkeit von Gr¨ oßenbereichen Gebrauch gemacht haben. F¨ ur den euklidischen Beweis von V.5 haben wir ja einen Ersatz gefunden. Satz 3 besagt, dass man Gr¨ oßen mit reellen Zahlen identifizieren kann. Wie sich Proportionen durch reelle Zahlen ausdr¨ ucken lassen, werden wir erst sehen, wenn wir auf der Menge der reellen Zahlen eine Multiplikation definiert haben. Es wird sich dann zeigen, dass ϕP (a : b) = f (b)−1 f (a) ist. Das ist nat¨ urlich das, was man erwartet. Gr¨ oßen und ihre Verh¨ altnisse m¨ ussen also dasselbe leisten, was auch reelle Zahlen leisten. Wie dr¨ uckt sich also unser πr2 f¨ ur den Fl¨ acheninhalt des Kreises mit dem Radius r in der Sprache der Gr¨ oßen und ihrer Proportionen aus? Diese Frage werden wir im u ¨bern¨ achsten Abschnitt beantworten. Die eudoxische Proportionenlehre, das haben wir nun gesehen, ist noch so frisch und sch¨ on wie in den Tagen, da Euklid sie in Alexandria lehrte. Dennoch ist sie auf Kritik gestoßen. Borelli (1679) schreibt in seiner Adresse an den Leser (S. 5ff.), dass es niemand bezweifle, dass die tradierten Definitionen des f¨ unften Buches a¨ußerst dunkel seien im Gegensatz zu den entsprechenden Definitionen von Buch VII. Die Definition V.4, unsere Definition V.3, stelle Euklid nicht zufrieden, falls sie nicht u ¨berhaupt von anderen hinzugef¨ ugt worden sei, so dass er sie durch Definition V.5 erg¨ anze. An dieser st¨ort ihn, Borelli, aber, dass unendlich viele Bedingungen nachzupr¨ ufen seien, er st¨ort sich also daran, dass Euklid u ¨ber alle nat¨ urlichen Zahlen quantifiziert. Arabische Autoren h¨ atten schon versucht, zufriedenstellende Definitionen zu finden, wie Campanus (j¨ ungerer Zeitgenosse Fibonaccis) berichte. Das gleiche h¨ atten Johannes Baptista Benedictus (Giovanni-Battista Benedetti, Sch¨ uler Tartaglias) und andere ber¨ uhmte M¨ anner bis in seine Zeit versucht. Das Ziel sei dann immer gewesen, die Definition V.5 unter die Propositionen aufzunehmen, also zu beweisen, dass unter den in dieser Definition gegebenen Bedingungen die vier gegebenen Gr¨ oßen auch gem¨aß den neuen Definitionen in Proportion stehen, um damit Anschluss an das zu erhalten, was in Buch V bewiesen ist. Hier nun Borellis Definition der Gleichheit zweier Verh¨ altnisse, die von der entsprechenden Definition in Buch VII inspiriert ist, aber eben auch noch inkommensurable Verh¨altnisse ber¨ ucksichtigt, die es ja bei ganzen Zahlen nicht gibt. Die Definition leistet alles Gew¨ unschte, ist aber meines Erachtens bar jeglicher Eleganz. Zun¨ achst definiert er Teilbarkeit von Gr¨ oßen, wie es auch Euklid tut. Haben die Gr¨ oßen a und b einen gemeinsamen Teiler c und ist a = mc und b = nc n mit m, n ∈ N, so wird a als m n b und b als m a aufgefasst. Ob das wohldefiniert sei, wird nicht gefragt. Haben a und b ein gemeinsames Maß, so haben sie ein kommensurables Verh¨altnis, andernfalls ein inkommensurables. Was das Verh¨altnis

3. Proportionenlehre

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denn sei, sagt er aber auch nicht. Es ist ja auch u ¨ berfl¨ ussig, wie wir wissen. Haben nun a und b wie auch u und v ein kommensurables Verh¨altnis und gilt a = mc, b = nc und u = mw, v = nw, so setzt er a : b = u : v. Ist a : b ein inkommensurables Verh¨altnis und c : d ein kommensurables, etwa c : d = m oßer als c : n — hier interpretieren wir wieder —, so heißt a : b gr¨ d, wenn a > m n b ist, andernfalls kleiner. Sind schließlich a : b und c : d beide inkommensurabel, so heißt a : b kleiner als c : d und c : d gr¨ oßer als a : b, wenn es ein kommensurables u : v gibt mit a : b < u : v < c : d. Schließlich heißen a : b und c : d gleich, wenn a : b weder gr¨oßer noch kleiner als c : d ist. Da Borelli das alles in Worten ausdr¨ uckt, nehmen diese Definitionen bei ihm viel mehr Platz in Anspruch als hier. Mit dieser Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen entwickelt er nun seine Gr¨ oßenlehre, die am Ende dann auch alles umfasst, was in Buch V zu finden ist. Die technischen Propositionen V.1, V.2, V.3, V.5, V.6, V.20 und V.21 l¨ asst er jedoch weg, wobei er aber V.3 als Axiom formuliert. Axiom ist bei ihm auch die Existenz der vierten Proportionalen, das heißt, er verlangt, dass es zu Gr¨oßen a, b und c, wobei c evt. aus einem anderen Gr¨ oßenbereich ist, stets ein d aus demselben Gr¨oßenbereich wie c gibt mit a : b = c : d. Was dies f¨ ur Konsequenzen hat, werden wir in Abschnitt 6 studieren. Es sei schließlich noch gesagt, dass sich die borellische Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen bei Weber 1895, S. 11 wiederfindet. Weber sagt aber nicht, woher er sie hat. Vielleicht gefiel ihm die eudoxische auch nicht oder er hatte seinen Euklid nicht zur Hand und sich dann selbst eine Definition u ¨berlegt. Viel Spielraum hat man ja nicht. Die dritte Auflage von Borellis Euclides restitutus ist ein schmales, handliches B¨andchen. Mein Exemplar ist in Pergament gebunden und hat einen Rundumrotschnitt, der allerdings nicht mehr sehr frisch ist. Als ich nun studierte, wie Borelli das f¨ unfte Buch der Elemente wiederhergestellt hatte, machte ich zun¨achst eine Bestandsaufnahme und schrieb mir alle Propositionen heraus zusammen mit den Marginalien, die den Zusammenhang mit den euklidischen Propositionen herstellten. Als nach Proposition XIII Proposition XV kam, dachte ich, ich h¨ atte etwas u ¨ berlesen. Ich bl¨atterte zur¨ uck. Ich hatte nichts u ¨ berlesen. Erst der Vergleich der Seitenzahlen machte klar, dass das Buch noch nicht komplett aufgeschnitten war. Die Seiten 122/123 hatte in den 315 Jahren seit Erscheinen des Buches noch niemand zuvor gelesen. Der Falz des Bogens schnitt genau mit den u ¨ brigen Seiten ab und hatte auch die Farbe des Rotschnitts angenommen, dar¨ uberhinaus ist das Papier — mit großem K¨onnen handgesch¨ opft — so d¨ unn, dass ich es beim Bl¨ attern nicht merkte, dass ich zwei Bl¨atter gleichzeitig in der Hand hatte. Ein Taschenmesser tat das u ¨ brige. Proposition XIV fand sich auf S. 123. Dass es auch anders h¨ atte sein k¨onnen, zeigt der schon von Borelli bemerkte Fehler, dass n¨amlich die Nummern der Propositionen XV bis XXXVII des 6. Buches alle um Eins zu hoch sind, also von XVI bis XXXVIII laufen. Eine weitere Kuriosit¨ at ist, dass es zu

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Kapitel I. Gr¨ oßen

dem Kapitel mit der Gr¨ oßenlehre einen Anhang gibt, der erst geschrieben wurde, als das Buch schon gedruckt war. Dieser Anhang ist an der richtigen Stelle mitgeheftet worden, so dass das Buch jetzt zwischen den Seiten 144 und 145 zw¨ olf nicht numerierte Seiten hat. Dies zeigt, dass es nicht nur in der Antike Nachtr¨age zu B¨ uchern gab. Zu bemerken ist ferner, dass die B¨ ucher VII, VIII, IX und X keine Aufnahme in Borellis Euclides restitutus fanden. Nach Borelli, so lasen wir oben, berichtet Campanus, dass auch die Araber an den Definitionen von Buch V Anstoß nahmen. Einen von diesen Texten, die vom Beginn des 10. Jahrhunderts stammende epistola de proportione et proportionalitate des Ahmed ibn Yussuf habe ich mir angesehen. Der Titel macht klar, dass ich nicht das arabische Original las, sondern dessen von Gerhard von Cremona stam¨ mende lateinische Ubersetzung. Dies stimmt auch nicht ganz. Der lateinische Text ¨ wurde zusammen mit einer englischen Ubersetzung von Sister M. Walter Reginald Schrader O. P. (1961) herausgegeben, so dass ich mir u ¨ ber das Englische Zugang zu Ahmeds Text verschaffte. Gelegentlich verstand ich das Englische nicht. Dann half das Lateinische weiter, das ich auch sonst immer konsultierte. Der Name Sister M. Walter Reginald Schrader O. P. ist geheimnisvoll. Ich kann nur eine Erkl¨ arung f¨ ur die Abk¨ urzung O. P. geben. Sie steht f¨ ur den Pr¨ amonstratenserorden, der auch einen weiblichen Zweig hat. Ahmed, bzw. Ametus wie er in lateinischen Texten heißt, kritisiert zun¨ achst die Definition V.3 Verh¨ altnis ist das gewisse Verhalten zweier gleichartiger Gr¨oßen ” ¨ der Abmessung nach.“ Er vermutet, dass der Ubersetzer des griechischen Textes in Unkenntnis der griechisch-mathematischen Terminologie gewisse Nuancen bei ¨ der Ubersetzung ins Arabische unterschlagen habe, auf diese Weise den Text verst¨ ummelnd. Dann kritisiert er die eudoxische Definition der Verh¨ altnisgleichheit, die Definition V.5 also, dass sie die Gleichheit von nicht definierten Objekten definiere. Dann versucht er selbst eine Definition des Begriffes Verh¨ altnis, ohne dass ihm das gelingt. Nachdem dies geschehen ist, stellt er vier keines Beweises bed¨ urfende Postulate an die Spitze seiner Untersuchungen. Es sind dies die folgenden: 1. Ist a : b = c : d, so ist auch b : a = d : c. 2. Ist a : b = c : d, so gilt: Ist a > b, so ist c > d, ist a = b, so ist c = d und ist a < b, so ist c < d. 3. Ist a : b = c : d und ist n ∈ N, so ist a : nb = c : nd. 4. Ist ad = bc, so ist a : b = c : d. Wieso diese Dinge unmittelbar einsichtig sind und daher keines Beweises bed¨ urfen, ist mir nicht klar. Es kann auch nicht klar sein, da der Begriff Verh¨ altnis — und dann auch die Gleichheit von Verh¨ altnissen, wor¨ uber Ametus kein Wort verliert — nicht definiert ist. Von unserem Standpunkt aus k¨ onnte man nat¨ urlich sagen, es sei eine Gleichheitsrelation gegeben, f¨ ur die die angegebenen Eigenschaften gelten. Doch dann ist da immer noch das Problem des Produktes zweier Gr¨ oßen. Explizit wird nur gesagt, dass das Produkt zweier Strecken das Rechteck aus diesen Strecken sei. Zahlen kann man nat¨ urlich auch miteinander multiplizieren. Was das

3. Proportionenlehre

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Produkt anderer Gr¨ oßen ist, bleibt jedoch offen. Hinzu kommt schließlich, dass 4. im Folgenden nicht gen¨ ugt. Verh¨ altnisse m¨ ussen auch der Gr¨oße nach verglichen werden, so dass 4. etwa noch dahingehend zu erg¨ anzen ist, dass ad > bc gleichwertig mit a : b > c : d ist. Ametus gibt keine Definition f¨ ur die Anordnungsrelation auf der Menge der Verh¨ altnisse. Mit diesen Forderungen an die Gleichheit von Verh¨ altnissen ist Ametus — von uns aus gesehen mit Vorbehalten — in der Lage, die Definition V.5 als Proposition zu beweisen, um auf diese Weise Anschluss an Buch V zu gewinnen. Das eigentliche Anliegen Ametus’ ist jedoch der Transversalensatz des Menelaos, den er dem Almagest des Ptolemaios entnimmt, der seinerseits Menelaos nicht zitiert. Der Transversalensatz des Menelaos lautet: Ist ABE ein Dreieck und ist DC eine Transversale des Dreiecks mit D auf AB und C auf AE, ist ferner F der Schnittpunkt der Transversalen mit BE, so ist AC : AE = (CD : DF )(BF : BE), das heißt, dass das Verh¨ altnis AC : AE aus den Verh¨ altnissen CD : DF und BF : BE zusammengesetzt ist. Der Leser begeht keinen mathematischen Fehler, wenn er das Zusammensetzen von Verh¨altnissen als Produkt reeller Zahlen interpretiert. Wie Euklid das Zusammensetzen von Streckenverh¨altnissen definiert, werden wir in Abschnitt 4 im Zusammenhang mit Proposition VI.23 sehen. Diesen Transversalensatz untersucht Ametus in allen Variationen. Wir werden diesen Seitenpfad nicht weiter verfolgen. Kurz zuvor fiel zum ersten Mal das Wort Axiom. Ich habe lange Zeit den Unterschied im Gebrauch der W¨orter Axiom, Postulat, Annahme, Hypothese, Forderung, und was dergleichen Namen mehr sind, in der Mathematik nicht verstanden. F¨ ur mich waren dies alles Synonyme, so dass ich insbesondere das Wort Axiom mied, da von ihm gesagt wird, dass es eine dem gesunden Menschenverstand unmittelbar einleuchtende Tatsache bezeichne, die keines Beweises bed¨ urfe. Dieses Vorurteil“ (Szab´ o 1960, S. 67) scheint auf Aristoteles zur¨ uckzugehen. Wenn ” ich diesem Worte begegnete, versuchte ich mir immer vergeblich vorzustellen, was sich der gemeine Mann wohl d¨ achte, wenn er mit der Axiom genannten Forderung uhl alleine konfrontiert w¨ urde. Heute brauche ich mich nicht mehr auf mein Gef¨ zu verlassen. Nach der Lekt¨ ure von Szab´ o loc. cit. weiß ich, dass diese W¨orter im heutigen mathematischen Sprachgebrauch Synonyma sind, dass dies jedoch nicht immer der Fall war. Die griechischen W¨ orter f¨ ur Annahme, Postulat und Axiom sind 

  und  dh. Hypothesis, Aitema und Axioma. Sie alle heißen auf Deutsch zun¨ achst Annahme“, unterscheiden sich jedoch in einer winzigen, aber ” dennoch bedeutenden Nuance voneinander. Hypothesis ist die mit der Zustimmung des Dialogpartners getroffene Annahme, die als Grundlage f¨ ur eine gemeinsame Untersuchung dient, w¨ ahrend Aitema und Axioma es offen lassen, ob der Partner dieser Annahme zustimmt. Diese Begriffe entstammen nach allem, was man heute sagen kann, der Dialektik der Eleaten und die neue Wissenschaft der Mathematik,

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Kapitel I. Gr¨ oßen

die etwa gleichzeitig mit der Dialektik der Eleaten entstand, hat sich diese Begriffe sogleich zu eigen gemacht. Der Widerspruchsbeweis, ebenfalls aus der Dialektik kommend, beginnt stets mit einer Hypothese, die dann ad absurdum gef¨ uhrt wird. Das Verb zu  ist  Es heißt als billig fordern, verlangen“. ” Die Eleaten — Parmenides, sein Sch¨ uler Zenon und andere — leugneten die Existenz des Raumes und der Bewegung, was so zu verstehen ist, dass sie der Meinung waren, dass u ¨ber sie keine widerspruchsfreien Aussagen gemacht werden k¨ onnen. Dieses wurde von Zenon mit scharfsinnigen Paradoxien, wie wir heute sagen, untermauert (s. Capelle 1968, S. 169–180). Da der Raum nicht widerspruchsfrei gedacht werden kann, kann es auch keine Wissenschaft vom Raume, dh. keine Geometrie geben. Um nun doch Geometrie betreiben zu k¨ onnen — die Mathematiker waren unbek¨ ummert genug, sich von der eleatischen Philosophie zu l¨ osen —, so folgert Szab´o aus den noch vorhandenen Quellen, hat man die drei Aitemata eingef¨ uhrt, dass es zu zwei Punkten stets die sie verbindende Strecke gibt, dass man Strecken geradlinig verl¨ angern und dass man um jeden Punkt mit jedem Radius den entsprechenden Kreis ziehen kann. Auf diese Weise sollte die Bewegung aus der Geometrie eliminiert und somit eine Wissenschaft vom Raume erm¨oglicht werden. Hier werden also Annahmen gemacht, die nicht von allen anerkannt werden. Daher heißen diese Annahmen eben Aitemata. Eine Zwischenbemerkung zum Wort eliminieren“. Sein wesentlicher Bestandteil ” ist das lateinische Wort limen, welches T¨ urschwelle“ bedeutet. Das aus diesem ” Wort und dem W¨ ortchen ex gebildete Verb eliminare heißt dann aus dem Haus ” treiben“. Neben den Definitionen und Postulaten gibt es im ersten Buch der Elemente noch eine dritte Gruppe von Annahmen, die in den auf uns gekommenen Texten     d. i. allen Menschen gemeinsame Vorstellungen, heißen. Dieser Begriff geht auf die Stoiker zur¨ uck. Anhand des Prokloskommentars zum ersten Buch der Elemente schließt Szab´o, dass diese Annahmen urspr¨ unglich Axiomata hießen. Unter diesen befindet sich auch die Forderung Das Ganze ist gr¨oßer als ” sein Teil“. Auch dieses richtet sich gegen eine der Paradoxien Zenons, in der er zeigte, dass das Halbe seinem Doppelten gleich sei. Auch diese Forderung wird also nicht von allen anerkannt. Auch wir heutigen Mathematiker akzeptieren diese Bedingung nicht in jeder Situation. Bei unendlichen Mengen finden wir ja stets echte Teilmengen, die zur Ausgangsmenge gleichm¨achtig sind. Im Wintersemester 1993/94 hatten wir einen Philosophen aus Innsbruck hier in Kaiserslautern als Kolloquiumsgast, Herrn Reinhard Kleinschmidt, der sich auf diese angeblich allen Menschen gemeinsame Vorstellung berief, um die cantorsche Mengenlehre madig zu machen, anders kann ich es nicht nennen. Er hatte im u ¨ brigen keine Argumente, sondern nur Gef¨ uhle. Ich wusste damals leider noch nicht, was ich heute weiß, so dass mir als Geste des Protests nur u ¨ brig blieb, kurz vor Ende des Vortrags den H¨orsaal zu verlassen. Kannte er wirklich die eleatische Philosophie nicht, wusste er also nicht, dass auch sie schon dieses Axiom nicht anerkannten, oder wollte er uns bewusst f¨ ur dumm verkaufen? Nachdem die eleatische Philosophie nicht mehr im Vordergrund des Interesses

4. Rechnen mit Proportionen

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stand, verschwand auch der Unterschied in der Bedeutung der W¨ orter 

  und  so dass sie auch schon in der Antike als Synonyme benutzt wurden (Szab´ o 1960). 4. Rechnen mit Proportionen. Wir werden nun im Wesentlichen den Inhalt von Buch VI der Elemente Euklids vorf¨ uhren. Dies hat verschiedene Gr¨ unde. Einmal werden die Ergebnisse dieses Buches Grundlage f¨ ur die in Buch X entwickelte Theorie der quadratischen und biquadratischen Irrationalit¨ aten sein, so dass wir nicht umhin kommen, sie zur Kenntnis zu nehmen. Zum andern aber auch zum unmittelbaren intellektuellen Vergn¨ ugen, um n¨ amlich an einigen Beispielen zu sehen, wie man sich Proportionen zu Nutze machen kann, um Aussagen u ¨ ber Fl¨ acheninhalte von geometrischen Figuren zu bekommen. Dabei wird sich einmal mehr herausstellen, wie klug die Definition der Gleichheit von Proportionen getroffen ist, da sie es gestattet, Verh¨altnisse von Gr¨ oßen unterschiedlicher Gr¨ oßenbereiche in Beziehung zu setzen. So zeigt der erste Satz, wie man dies benutzen kann, um gewisse Fl¨ acheninhalte mit Strecken zu parametrisieren. Interessant auch, wie die Fl¨ achengleichheit von Parallelogrammen mit den Seiten a und b, bzw. c und d ausgedr¨ uckt wird. Wir w¨ urden sagen, dass sie genau dann gleich seien, wenn ab = cd sei. Hier heißt es, dass sie genau dann gleich sind, wenn a : c = d : b ist. Es gibt noch einen dritten Grund, um Buch VI zu studieren. In VI.30 werden wir lernen, eine Strecke stetig zu teilen. Dies versetzt uns in die Lage, das regul¨ are F¨ unfeck mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Dies ist das zweite Mal, dass Euklid auf dieses Thema zu sprechen kommt, ohne es hier direkt zu sagen. In IV.11 gibt er schon eine Konstruktion, die nicht von Proportionen Gebrauch macht. Es sind dies die fr¨ uhesten Zeugnisse f¨ ur die Konstruktion dieses F¨ unfecks. In den Elementen findet sich auch die Konstruktion des regul¨ aren Zehn- und des regul¨ aren F¨ unfzehnecks. Letzteres war f¨ ur die Astronomen interessant, da die Seite des F¨ unfzehnecks eine Sehne des Kreises ist und der Kreisbogen u ¨ ber dieser Sehne zum Winkel von 24◦ geh¨ort. Nach den Messungen des Oinopides von Chios (5. Jahrh. v. Chr.) ist dies aber die Schiefe der Ekliptik (Szab´ o 1994, S. 38). Einen Fortschritt, was die Konstruktion regul¨ arer n-Ecke anbelangt, gab es erst wieder vor rund zweihundert Jahren, als Gauß, noch nicht zwanzigj¨ ahrig, einen wesentlichen Beitrag zu der Frage lieferte, welche regul¨aren n-Ecke mit Zirkel und Lineal zu konstruieren sind, und insbesondere zeigte, dass das regul¨ are Siebzehneck es ist. Hierauf werden wir im Laufe unseres Berichtes noch zur¨ uckkommen. Um die S¨atze, die hier angef¨ uhrt werden, zu beweisen, ben¨ otigen wir S¨ atze fr¨ uherer B¨ ucher, die wir ohne Beweis u ¨ bernehmen werden. Vielleicht nimmt der Leser dies zum Anlass, selbst einmal in den Euklid zu schauen. Was der Fl¨ acheninhalt einer Figur sei, wird von Euklid nicht definiert. Das einzige, was er erkl¨arend hierzu sagt, ist Axiom I.7, welches lautet: Was einan” der deckt, ist einander gleich.“ Dabei wird das Einander-Decken wiederum nicht erkl¨ art. Man muss sich also umsehen um herauszufinden, was Euklid tut, um Gleichheit von Fl¨ achen zu beweisen. Sie werden in endlich viele, paarweise kongru-

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Kapitel I. Gr¨ oßen

ente — das ist meine Vokabel — oder auf andere Weise als fl¨achengleich erkannte St¨ ucke zerlegt. Dabei bezieht sich paarweise“ auf jeweils ein St¨ uck der einen und ” ein St¨ uck der anderen Fl¨ ache, deren Inhaltsgleichheit nachgewiesen werden soll. Dies funktioniert bei Polygonen. Bei krummlinig begrenzten Fl¨ achen muss man sich aber noch etwas einfallen lassen. Hierzu gibt es im n¨achsten Abschnitt eine Kostprobe. Der n¨ achste Satz ist fundamental. Ohne ihn kein Buch X, wie wir sehen werden. Sein Beweis ist denkbar einfach und sch¨ on. VI.1. Dreiecke sowie Parallelogramme unter derselben H¨ ohe verhalten sich zueinander wie die Grundlinien. Beweis. Zum Beweise dieses Satzes wird ganz wesentlich Satz I.38 benutzt, der besagt, dass zwei Dreiecke auf gleichen Grundlinien und zwischen denselben Parallelen gleichen Fl¨ acheninhalt haben. Dieser Satz wird schon zu Beginn des Beweises benutzt, wo Dreiecke in spezieller Lage ausgew¨ahlt werden, ohne dass er eigens erw¨ahnt wird. Auf Grund dieses Satzes kann man n¨ amlich die beiden Dreiecke so w¨ahlen, dass die gemeinsame H¨ohe gleichzeitig gemeinsame Seite der beiden Dreiecke ist. Diese gemeinsame Seite werde AC genannt. Die Grundlinie BC des ersten Dreiecks setzt dann die Grundlinie CD des zweiten Dreiecks geradlinig fort. Es seien nun m, n ∈ N. Wir tragen auf der Verl¨ angerung von BC u ¨ ber B hinaus ur i := 1, Punkte B2 , . . . , Bm ab und setzen B1 := B, so dass Bi+1 Bi = BC ist f¨ A

B3

B2

B = B1

C

D = D1

D2

. . . , m − 1. Entsprechend tragen wir Punkte D2 , . . . , Dn auf der Verl¨ angerung von CD u ¨ ber D hinaus ab und setzen D1 := D, so dass Di+1 Di = DC ist f¨ ur i := 1, . . . , m − 1. Aufgrund des schon erw¨ ahnten Satzes I.38 ist dann ABi+1 Bi = ABC f¨ ur i := 1, . . . , m − 1. Da Entsprechendes auch f¨ ur die Di und n gilt, erhalten wir ABm C = mABC sowie ACDn = nACD und Bm C = mBC sowie CDn = nCD. Nun impliziert Bm C > CDn offenbar ABm C > ACDn und Bm C = CDn die Gleichung ABm C = ACDn und Bm C < CDn die Ungleichung ABm C < ACDn . Hieraus folgt die Behauptung u ¨ber die Dreiecke. Die Behauptung u ¨ber Parallelogramme wird auf die Aussage u ¨ ber Dreiecke zur¨ uckgef¨ uhrt. I.36 besagt, dass Parallelogramme auf Grundlinien gleicher L¨ ange, die zwischen denselben Parallelen liegen, gleichen Inhalt haben. Daher d¨ urfen wir annehmen, dass die fraglichen Parallelogramme zwischen den gleichen Parallelen

4. Rechnen mit Proportionen

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liegen und eine Seite etwa AC gemeinsam haben, wobei A und C auf verschiedenen Parallelen liegen. Das eine Parallelogramm sei BACD und das andere ACEF . Die Diagonalen DA und AE halbieren die Parallelogramme und nach dem Bewiesenen gilt DC : CE = DAC : CAE. Ferner gilt nach V.15 von Abschnitt 3 die Gleichung 2DAC : 2CAE = DAC : CAE und daher BACD : ACEF = DC : CE. Damit ist VI.1 bewiesen. VI.2. Zieht man in einem Dreieck parallel zu einer Seite eine gerade Linie, so teilt diese die Dreiecksseiten proportional; und wenn Dreiecksseiten proportional geteilt sind, dann muss die Verbindungsstrecke der Teilpunkte zur letzten Dreiecksseite parallel sein. Beweis. Es sei ABC ein Dreieck und DE sei Parallele zu BC und schneide AB in D und AC in E. Es gilt, dass die Dreiecke DEB und DEC gleichen Inhalt haben, C E

A

D

B

da sie die gleiche Grundlinie DE haben und zwischen den gleichen Parallelen liegen. Dies ist der Inhalt von Satz I.37, der zum Beweise des Satzes I.38, den wir schon benutzt haben, verwandt wird. Nach V.17 haben gleiche Gr¨ oßen zu einer festen Gr¨ oße dasselbe Verh¨altnis. Also ist BDE : ADE = CDE : ADE. Das Lot von E auf AB ist H¨ ohe von BDE und ADE. Nach VI.1 gilt also BDE : ADE = BD : DA. Ebenso folgt CDE : ADE = CE : EA. Insgesamt erhalten wir also BD : DA = CE : EA. Es seien nun umgekehrt die Seiten AB und AC in den Punkten D bzw. E geteilt und es gelte AD : DB = AE : EC. Mit VI.1 folgt wieder BDE : ADE = BD : DA

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Kapitel I. Gr¨ oßen

und CDE : ADE = CE : EA. Die Transitivit¨ at der Gleichheitsrelation (Satz V.11 von Absch. 3) liefert dann BDE : ADE = CDE : ADE. Hieraus folgt mit V.9 von Abschnitt 3, dass BDE = CDE ist. Somit hat man zwei inhaltsgleiche Dreiecke mit gleicher Basis DE, so dass nach I.39 folgt, dass BC und DE parallel sind. Satz VI.3 lassen wir aus. VI.4. In winkelgleichen Dreiecken stehen die Seiten um gleiche Winkel in Proportion, und zwar entsprechen einander die, die gleichen Winkeln gegen¨ uberliegen. Beweis. Es gen¨ ugt nat¨ urlich, die Situation bei einer Ecke zu analysieren. Dazu seien ABC und CDE winkelgleiche Dreiecke. Ferner seien ihre Eckpunkte so buchF A

D B

C

E

stabiert, dass 

ABC =  DCE,



BAC =  CDE und  ACB =  DEC

ist. Wir d¨ urfen weiter annehmen, dass CE die Verl¨ angerung von BC u ¨ ber C hinaus ist. Es ist  ABC +  ACB kleiner als zwei Rechte. Hier wird I.17 zitiert. (I.17 macht nicht davon Gebrauch, dass die Winkelsumme im Dreieck gleich zwei Rechten ist. Dies wird erst in I.32 bewiesen.) Ferner ist  ACB =  DEC und uhmten Postulat folglich  ABC +  DEC kleiner als zwei Rechte. Nach dem ber¨ 5 treffen sich BA und ED daher bei Verl¨ angerung in einem Punkt F . Nun ist  DCE =  ABC. Hieraus folgt, dass BF zu CD parallel ist. Dies wird mit I.28 ¨ begr¨ undet. Ahnlich erh¨ alt man, dass AC zu F E parallel ist. Folglich ist F ACD ein Parallelogramm. Mit I.34 ergibt dies F A = CD und AC = F D. Im Dreieck F BE ist AC parallel zu F E. Nach VI.2 ist daher BA : AF = BC : CE. Wegen AF = CD ist dann BA : CD = BC : CE. Hieraus folgt wiederum AB : BC = DC : CE. Nach der eingangs gemachten Bemerkung ist der Satz f¨ ur uns nun bewiesen. Euklid beweist die G¨ ultigkeit der Aussage f¨ ur die restlichen Ecken unter Beibehaltung der Figur.

4. Rechnen mit Proportionen

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Den n¨achsten Satz, welcher die Umkehrung von VI.4 ist, u ¨berspringen wir wieder. VI.6. Wenn in zwei Dreiecken ein Winkel einem Winkel gleich ist und die Seiten um die gleichen Winkel in Proportion stehen, dann m¨ ussen die Dreiecke winkelgleich sein, und zwar m¨ ussen in ihnen die Winkel gleich sein, denen entsprechende Seiten gegen¨ uberliegen. Beweis. Es seien ABC und DEF Dreiecke, deren Winkel bei A und D gleich A D G

E

B

F

C

seien und f¨ ur die BA : AC = ED : DF gelte. Man trage an die Strecke DF im Punkte D den Winkel  F DG =  BAC und im Punkte F den Winkel  DF G =  ACB an. Da die Winkelsumme im Dreieck gleich zwei Rechten ist, ist dann  ABC =  DGF , so dass die Dreiecke ABC und DF G winkelgleich sind. Nach VI.4 ist also BA : AC = GD : DF . Nach Voraussetzung ist BA : AC = ED : DF . Also ist GD : DF = ED : DF . Mit V.9 von Abschnitt 3 folgt GD = ED. Ferner haben die beiden Dreiecke die Seite DF gemeinsam. Schließlich gilt  EDF =  F DG. Mit I.4 folgt, dass die Dreiecke DEF und F GD kongruent sind. Hieraus folgt alles weitere. ahnlich, wenn der Winkel bei Ai Die n-Ecke A1 . . . An und B1 . . . Bn heißen ¨ gleich dem Winkel bei Bi ist und wenn u ¨ berdies Ai Ai+1 : Ai+1 Ai+2 = Bi Bi+1 : Bi+1 Bi+2 ist f¨ ur i := 1, . . . , n. Dabei sind die Indizes n + 1 und n + 2 als 1 bzw. 2 zu lesen. Dies ist Euklids Definition VI.1. VI.8. F¨ allt man in einem rechtwinkligen Dreieck das Lot aus dem rechten Winkel auf die Grundlinie, so sind die Dreiecke am Lot sowohl dem ganzen als auch einander a ¨hnlich. Beweis. Es sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei A. Es sei D der Fußpunkt des Lotes von A auf die Grundlinie BC. Die Winkel  BAC

52 und



Kapitel I. Gr¨ oßen BDA sind Rechte, also einander gleich. (Dies ist Postulat I.4, dass rechte A

B

D

C

Winkel einander gleich seien.) Der Winkel  ABD ist beiden Dreiecken gemeinsam. Da die Winkelsumme im Dreieck gleich zwei Rechten ist, folgt  BAD =  BCA. Die beiden Dreiecke ABC und ABD sind also winkelgleich. Mit VI.4 folgt DB : BA = BA : BC, BD : DA = AB : AC und AC : CB = AD : AB. Damit ¨ sind die Bedingungen der Definition 1 der Ahnlichkeit von geradlinig begrenzten Figuren hergeleitet, so dass die Dreiecke ABC und BDA ¨ahnlich sind. Aus Symmetriegr¨ unden sind auch die Dreiecke ABC und CDA ¨ahnlich. Euklid sagt nicht aus Symmetriegr¨ unden etc.“ Er leitet die Proportionen DA : ” DC = BA : AC, etc. nat¨ urlich mit den gleichen Argumenten explizit her, um die Bedingungen von Definition 1 auch f¨ ur die Dreiecke ABC und ADC herzuleiten, ¨ deren Ahnlichkeit ja nachzuweisen ist. Man sieht dann auch explizit die Gleichungen BD : DA = AB : AC = DA : DC und erh¨ alt auf diese Weise den Zusatz. F¨ allt man in einem rechtwinkligen Dreieck aus dem rechten Winkel das Lot auf die Grundlinie, so ist das Lot die mittlere Proportionale zwischen den beiden Abschnitten der Grundlinie. VI.9. Von einer gegebenen Strecke einen vorgeschriebenen Teil abzuschneiden. Konstruktion. Nach Definition V.1 von Abschnitt 3 heißt Teil immer n-ter Teil. Die gegebene Strecke sei AB. Von A aus soll auf ihr der n-te Teil abgetragen werden. Man w¨ ahle einen Punkt D, der nicht auf der Geraden durch A und B liegt, und trage auf der Verl¨ angerung der Strecke AD u ¨ ber D hinaus (n − 1)-mal die Strecke AD ab. Der Endpunkt sei C. Dann verbinde man C mit B und ziehe durch D die Parallele zu CB. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit AB sei F . Nach VI.2 ist dann (n − 1)AD : AD = CD : AD = BF : F A. Wegen (n − 1)AD = CD folgt mit Definition V.5 von Abschnitt 3, dass BF = (n − 1)F A ist. Also ist AB = BF + F A = nF A. Somit ist AF der n-te Teil der Strecke AB.

4. Rechnen mit Proportionen

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Der Aufgabe VI.9 verwandt ist auch die folgende Aufgabe. VI.10. Eine gegebene ungeteilte Strecke einer gegebenen geteilten Strecke a ¨hnlich zu teilen. Konstruktion. Die gegebene ungeteilte Strecke sei AB. Die gegebene geteilte Strecke sei unter beliebigem Winkel an A angelegt (dass dies m¨oglich ist, wird in Buch I gezeigt). Sie heiße AC und sei in den Punkten D und E geteilt. Dann verbinde man B mit C und ziehe durch D und E die Parallelen zu BC, usw. Es kommt wieder VI.2 zum Tragen. Dass diese Aufgabe l¨ osbar ist, wird von Neper bei der Konstruktion seiner Logarithmen benutzt, wobei er VI.10 ausdr¨ ucklich zitiert (s. Anf. von Absch. 9). VI.11. Gegeben seien die Strecken a und b. Gesucht ist eine Strecke c mit a : b = b : c. Man findet c wie folgt: Es sei ABC ein Dreieck mit BA = a und AC = b. Verl¨ angere AB u ¨ber B hinaus um die Strecke BD mit BD = b. Die Parallele zu BC durch D schneide die Verl¨ angerung von AC in E. Setze c := CE. Dann ist a : b = b : c. Beweis. Nach VI.2 ist a : b = BA : BD = AC : CE = b : c. VI.12. Zu drei gegebenen Strecken a, b und c die vierte Proportionale d zu finden. Diese findet man wie folgt: Es sei DGH ein Dreieck mit DG = a und DH = b. Man verl¨ angere DG u ¨ber G hinaus nach E mit GE = c. Durch E ziehe man die Parallele zu GH und bringe diese mit der Verl¨ angerung von DH u ¨ber H hinaus zum Schnitt. Der Schnittpunkt sei F . Setze d := HF . Dann ist a : b = c : d. Beweis. Dies folgt wieder mit VI.2. VI.13. Zu zwei Strecken a und c die mittlere Proportionale b zu finden. Man erh¨ alt b auf folgende Weise: Es sei AB = a und BC sei Fortsetzung der Strecke AB u ¨ber B hinaus mit BC = c. Die Senkrechte im Punkte B auf der Strecke AC schneide den Halbkreis u ¨ber dem Durchmesser AC im Punkte D. Dann ist b := BD die mittlere Proportionale zwischen a und c. Dies folgt unmittelbar mit dem Zusatz zu VI.8. Euklid beruft sich hier auf Proposition III.31 um festzuhalten, dass der Winkel bei D ein Rechter ist. VI.14. Es seien ADBF und BGCE Parallelogramme. Ist  DBF =  EBG, so gilt genau dann DB : BE = GB : BF , wenn ADBF und BGCE gleichen Fl¨ acheninhalt haben. Beweis. Wir d¨ urfen annehmen, dass BE die Verl¨ angerung von DB u ¨ ber B hinaus ist. Man bringe die Verl¨ angerungen von AF und CE zum Schnitt. Der Punkt heiße H. Nach VI.1 ist ADBF : F BEH = DB : BE und BGCE : F BEH = GB : BF . Also gilt DB : BE = GB : BF genau dann, wenn ADBF : F BEH = BGCE : F BEH ist. Dies ist nach V.7 und V.9 gleichbe-

54

Kapitel I. Gr¨ oßen

deutend damit, dass ADBF und BGCH gleichen Fl¨ acheninhalt haben. E

F

C

G

B

A

D

Dieser Satz sagt in unserer Sprache, dass die beiden Parallelogramme genau dann gleichen Fl¨ acheninhalt haben, wenn DB · BF = GB · BE ist. Dabei ist dieses Produkt nur dann gleich dem Fl¨ acheninhalt der beiden Parallelogramme, wenn diese Rechtecke sind. VI.15. Es seien ABC und ADE Dreiecke, deren Winkel bei A gleich seien. Genau dann sind die Fl¨ acheninhalte der beiden Dreiecke gleich, wenn CA : AD = EA : AB ist. Beweis. Wir d¨ urfen annehmen, dass AD die Verl¨ angerung von AC u ¨ ber A C

B A

D

E

hinaus ist. Nach I.14 ist dann wegen 

DAE +  DAB =  CAB +  DAB = 2 Rechte

auch AE die Verl¨ angerung von BA u ¨ ber A hinaus. Nach VI.1 ist CAB : BAD = CA : AD, da beide Dreiecke ja gleiche H¨ohe haben. Aus dem gleichen Grunde ist DAE : BAD = EA : AB.

4. Rechnen mit Proportionen

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Es ist also CA : AD = EA : AB genau dann, wenn CAB : BAD = DAE : BAD ist. Nach V.7 und V.9 ist dies wiederum genau dann der Fall, wenn die beiden fraglichen Dreiecke gleichen Fl¨acheninhalt haben. VI.16. Stehen vier Strecken in Proportion, so ist das Rechteck aus den ¨ außeren dem Rechteck aus den mittleren gleich. Und wenn das Rechteck aus den ¨ außeren Strecken, dem Rechteck aus den mittleren Strecken gleich ist, dann m¨ ussen die vier Strecken in Proportion stehen. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus VI.14, da Rechtecke ja winkelgleiche Parallelogramme sind. Euklid macht hier mehr Worte, sagt aber letztlich nichts anderes. Eine unmittelbare Folgerung aus VI.16 ist VI.17. Stehen drei Strecken in Proportion, so ist das Rechteck aus den ¨ außeren dem Quadrat u ¨ber der mittleren gleich. Und wenn das Rechteck aus den ¨ außeren Strecken dem Quadrat u ¨ber der mittleren gleich ist, dann m¨ ussen die drei Strecken in Proportion stehen. An dieser Stelle f¨ ugen wir einen Satz ein, der uns im Folgenden n¨ utzlich sein wird. Satz 1. Es seien a, b und c Strecken. Gilt a : b = b : c, so ist a : c = q(a) : q(b). Dabei bezeichne q(x), wie schon zuvor, das Quadrat u ¨ber der Strecke x. Beweis. Es bezeichne r(a, c) das Rechteck mit den Seiten a und c. Nach VI.17 ist dann r(a, c) = q(b). Es folgt q(a) : r(a, c) = q(a) : q(b). Das Quadrat u ¨ber der Strecke a und das Rechteck mit den Seiten a und c haben beide die H¨ohe a. Daher gilt nach VI.1, dass a : c = q(a) : r(a, c) ist. Also ist in der Tat a : c = q(a) : q(b). ¨ VI.18. Uber einer gegebenen Strecke eine einer gegebenen geradlinigen Figur a ¨hnliche und a ¨hnlich gelegte geradlinige Figur zu zeichnen. Konstruktion. Euklid f¨ uhrt die Konstruktion f¨ ur ein konvexes Viereck vor. Auf die Konvexit¨at kommt es hier aber sicher nicht an. Aus Euklids Konstruktion kann man sofort folgende Rekursion herleiten. Die Ecken der geradlinigen Figur seien der Reihe nach A1 , . . . , An und die ahnliche Figur anzutragen ist, sei B1 Bn . Man Strecke, an der die zu A1 . . . An ¨ trage an B1 Bn im Punkte Bn den Winkel  A1 An A2 ab und w¨ ahle B2 auf dem zweiten Schenkel, so dass A1 An : B1 Bn = A2 An : B2 Bn ist. (Dies kann man unter Benutzung von VI.12 mit Zirkel und Lineal ausf¨ uhren.) Das Dreieck A1 An A2 ist

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Kapitel I. Gr¨ oßen

ahnlich. Nach der nicht explizit ausgesprochenen nach VI.6 dem Dreieck B1 Bn B2 ¨ Induktionsannahme kann man die geradlinige Figur A2 . . . An ¨ahnlich und a¨hnlich gelegt an B2 Bn abtragen. Hieraus folgt alles weitere. VI.19. Es seien ABC und DEF ¨ ahnliche Dreiecke, in denen die Winkel bei B und E gleich seien. Ferner seien BC und EF entsprechende Seiten, dh., es gelte AB : BC = DE : EF . Dann stehen ABC und DEF zweimal in Proportion zu BC und EF , m. a. W., es ist ABC : DEF = q(BC) : q(EF ). Beweis. Es ist AB : BC = DE : EF . Nach V.16 von Abschnitt 3 ist dann auch AB : DE = BC : EF . Es sei BG die nach VI.11 existierende dritte Proportionale zu BC und EF . Dann ist BC : EF = EF : BG. Damit l¨ asst sich VI.15 auf die Dreiecke BAG und EDF anwenden, deren Winkel bei B und E ja A D

G

B

C

E

F

u ¨ bereinstimmen, so dass ihre Fl¨ acheninhalte gleich sind. Mit VI.1 folgt nun BC : BG = ABC : ABG = ABC : EDF. Mit Satz 1 folgt schließlich die Behauptung. ¨ VI.20. Ahnliche Vielecke lassen sich in ¨ ahnliche Dreiecke zerlegen, und zwar in gleichviele und den Ganzen entsprechende; und die Vielecke stehen zueinander zweimal im Verh¨ altnis wie entsprechende Seiten zueinander. Beweis. Euklid gibt einen Beweis f¨ ur den Fall konvexer, a¨hnlicher F¨ unfecke. Auch ich werde den Satz nur f¨ ur konvexe Vielecke beweisen. Er gilt nat¨ urlich, wie ¨ hier formuliert, multipliziert sich der Fl¨acheninhalt bei Ahnlichkeitstransformation doch mit dem Quadrat des Streckungsfaktors. Mir ist aber kein Beweis eingefallen, der mit den Mitteln der Elemente die fragliche Zerlegung in a¨hnliche Dreiecke liefert. Dazu muss man zwei nicht benachbarte Ecken E und F finden, so dass die von E und F verschiedenen Punkte der Strecke EF im Innern des Vielecks liegen. Hat man eine solche Strecke, so f¨ uhrt Induktion zum Ziel. Es seien also A1 A2 . . . An und B1 B2 . . . Bn ¨ahnliche, konvexe n-Ecke, deren Ecken so numeriert seien, dass der Winkel bei Ai dem Winkel bei Bi gleich ist und dass Ai Ai+1 : Ai+1 Ai+2 = Bi Bi+1 : Bi+1 Bi+2 f¨ ur i := 1, . . . , n − 2 und An−1 An : An A1 = Bn−1 Bn : Bn B1

4. Rechnen mit Proportionen

57

sowie An A1 : A1 A2 = Bn B1 : B1 B2 gilt. Eine m¨ ogliche Zerlegung in ¨ahnliche Dreiecke ist die, dass man A1 . . . An in die Dreiecke A1 A2 A3 , A1 A3 A4 , . . . , A1 An−1 An und B1 . . . Bn in die Dreiecke B1 B2 B3 , B1 B3 B4 , . . . , B1 Bn−1 Bn zerlegt, wie wir gleich sehen werden. Ist n = 3, so ist die Aussage von VI.20 identisch mit der Aussage von VI.19. Es sei also n > 3. Die Dreiecke A1 An An−1 und B1 Bn Bn−1 haben bei An und Bn gleiche Winkel und es gilt A1 An : An An−1 = B1 Bn : Bn Bn−1 . Die beiden Dreiecke A1 An An−1 und B1 Bn Bn−1 sind nach VI.6 und VI.4 a¨hnlich und es gilt An−1 A1 : A1 An = Bn−1 B1 : Bn B1 , so dass auch die Winkel bei A1 und B1 bzw. An−1 und Bn−1 in ihnen u ¨bereinstimmen. Hieraus folgt, dass in den (n − 1)-Ecken A1 . . . An−1 und B1 . . . Bn−1 die Winkel bei A1 und B1 bzw. An−1 und Bn−1 gleich sind. Nach VI.12 gibt es zu drei Strecken stets die vierte Proportionale. Es gibt also eine Strecke v mit An−1 A1 : A1 A2 = Bn−1 B1 : v. Nun ist An A1 : A1 An−1 = Bn B1 : B1 Bn−1 , wie oben gesehen. Nach V.20 von Abschnitt 3 folgt aus diesen beiden Gleichungen An A1 : A1 A2 = Bn B1 : v. Andererseits ist An A1 : A1 A2 = Bn B1 : B1 B2 , so dass mit V.9 von Abschnitt 3 folgt, dass v = B1 B2 ist. Also gilt An−1 A1 : A1 A2 = Bn−1 B1 : B1 B2 . Es gibt weiter eine Strecke w mit An−2 An−1 : An−1 A1 = Bn−2 Bn−1 : w. Ferner ist An−1 An : An−2 An−1 = Bn−1 Bn : Bn−2 Bn−1 , so dass An−1 An : An−1 A1 = Bn−1 Bn : w ¨ gilt. Die Ahnlichkeit der beiden Dreiecke A1 An−1 An und B1 Bn−1 Bn erzwingt An−1 An : An−1 A1 = Bn−1 Bn : Bn−1 B1 .

58

Kapitel I. Gr¨ oßen

Also ist w = Bn−1 B1 . Damit ist nachgewiesen, dass die (n − 1)-Ecke A1 . . . An−1 und B1 . . . Bn−1 ¨ ahnlich sind. Dass sie beide auch konvex sind, wird der Leser hoffentlich glauben. Will man die Konvexit¨ at wirklich beweisen, so ben¨otigt man den Satz, dass eine Strecke, die einen Punkt außerhalb eines Dreiecks mit einem Punkt inner¨ halb verbindet, den Rand des Dreiecks trifft. Uber dieses Problem hat sich erst Pasch im 19. Jahrhundert den Kopf zerbrochen. Da der Geometrie nicht unser Hauptaugenmerk gilt, werden wir diesen Faden nicht weiter verfolgen. Zur¨ uck zu unserem Beweis, der, wie gerade bemerkt, nicht lu ¨ ckenlos ist. Nach Induktionsannahme lassen sich die beiden (n − 1)-Ecke in die paarweise a¨hnlichen Dreiecke A1 A2 A3 , B1 B2 B3 , . . . , A1 An−2 An−1 , B1 Bn−2 Bn−1 zerlegen. Da, wie wir gesehen haben, die beiden Dreiecke A1 An−1 An und B1 Bn−1 Bn ¨ahnlich sind, haben wir auch eine solche Zerlegung f¨ ur A1 . . . An und B1 . . . Bn . Ferner gilt nach Induktionsannahme A1 . . . An−1 : B1 . . . Bn−1 = q(Ai Ai+1 ) : q(Bi Bi+1 ) f¨ ur i := 1, . . . , n − 1, wobei der Index n als 1 zu lesen ist. Nach VI.19 gilt ferner A1 An−1 An : B1 Bn−1 Bn = q(A1 An−1 ) : q(B1 Bn−1 ) = q(An−1 An ) : q(Bn−1 Bn ) = q(An A1 ) : q(Bn B1 ). Weil die Strecke A1 An−1 Seite von A1 . . . An−1 und von A1 An−1 An ist und Entsprechendes auch f¨ ur B gilt, folgt mit V.12, dass A1 . . . An : B1 . . . Bn = q(Ai Ai+1 ) : q(Bi Bi+1 ) f¨ ur i := 1, . . . , n gilt, wobei diesmal die Indizes modulo n zu lesen sind. Damit ist alles bewiesen. VI.21. Derselben geradlinigen Figur a ¨hnliche sind auch einander ¨ ahnlich. Beweis. Dies folgt aus der Transitivit¨ at der Gleichheitsrelation f¨ ur Winkel und der Transitivit¨ at der Gleichheitsrelation f¨ ur Verh¨ altnisse, die im vorigen Abschnitt bewiesen wurde. VI.22. Es seien AB, CD, EF und GH vier Strecken. Ferner seien U und V ¨hnliche und ¨ a ahnlich gelegene geradlinige Figuren u ¨ber AB bzw. u ¨ber CD und X und Y seien a ¨hnliche und ¨ ahnlich gelegene geradlinige Fl¨ achen u ¨ber EF bzw. GH. Genau dann gilt AB : CD = EF : GH, wenn U : V = X : Y ist. Beweis. Da der Beweis sich auf Satz VI.20 st¨ utzt, den wir nur f¨ ur konvexe Vielecke bewiesen haben, werden wir VI.22 am Ende auch nur f¨ ur konvexe Vielecke bewiesen haben. Der hier wiedergegebene Beweis unterscheidet sich ein wenig von dem euklidischen. Bemerkenswert ist, dass auch Euklid die S¨atze VI.11 und VI.12

4. Rechnen mit Proportionen

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zitiert, die die Existenz der vierten Proportionalen im Gr¨ oßenbereich der Strecken sicherstellen. Bei anderen Gr¨ oßenbereichen — von dem der nat¨ urlichen Zahlen abgesehen — benutzt er die vierte Proportionale, wann immer er sie braucht, ohne u ¨ ber die Existenzfrage etwas zu sagen. Es sei o die nach VI.11 existierende dritte Proportionale zu AB, CD und p die dritte Proportionale zu EF , GH. Dann ist AB : CD = CD : o und EF : GH = GH : p. Mit Satz 1 aus diesem Abschnitt und VI.20 folgt U : V = q(AB) : q(CD) = AB : o und X : Y = q(EF ) : q(GH) = EF : p. Also ist U : V = X : Y genau dann, wenn AB : o = EF : p ist. Es sei nun AB : CD = EF : GH. Mit V.22 von Abschnitt 3 folgt dann AB : o = EF : p und damit U : V = X : Y . Es sei umgekehrt U : V = X : Y . Dann ist AB : o = EF : p. Nach VI.12 gibt es eine Strecke QR mit AB : CD = EF : QR. Es sei q die dritte Proportionale zu EF , QR. Dann ist CD : o = AB : CD = EF : QR = QR : q. Etwas anders geschrieben liest sich dies so: AB : CD = EF : QR CD : o = QR : q. Nach V.22 von Abschnitt 3 ist folglich AB : o = EF : q und damit EF : q = EF : p. Dies hat nach V.9 von Abschnitt 3 zur Folge, dass q = p ist. Also ist EF : GH = GH : p und EF : QR = QR : p. Nach VI.17 ist daher q(GH) = r(EF, p) = q(QR) und folglich GH = QR. Es folgt AB : CD = EF : QR = EF : GH. Damit ist alles bewiesen. Es sei G ein Gr¨ oßenbereich. Wir setzen voraus, dass es zu vier Gr¨oßen a, b, c, d ∈ G stets k, l, m ∈ G gibt mit a : b = k : l und c : d = l : m. Diese Annahme ist sicher dann erf¨ ullt, wenn es zu drei Elementen in G stets die vierte Proportionale gibt. Sind n¨ amlich a, b, c, d ∈ G, so gibt es zu k ∈ G stets ein l ∈ G mit a : b = k : l. Ferner gibt es ein m ∈ G mit c : d = l : m. Diese Annahme ist aber auch in N erf¨ ullt, wie wir im n¨ achsten Kapitel sehen werden. Erf¨ ullt also G

60

Kapitel I. Gr¨ oßen

diese Annahme, so nennen wir k : m das aus a : b und c : d zusammengesetzte Verh¨ altnis, in Zeichen (a : b)(c : d) = (k : m). Euklid gibt diese Konstruktion f¨ ur den Gr¨ oßenbereich der Strecken im Beweis von VI.23. Zur Wohldefiniertheit sagt er kein Wort. Dass das zusammengesetzte Verh¨ altnis wohldefiniert ist, folgt aus V.22 von Abschnitt 3. Der Leser wird sich nichts dabei gedacht haben, dass wir diese Verkn¨ upfung von Proportionen mit dem Wort zusammensetzen“ bezeichnen, wie sollte er ” ¨ auch, Ubersetzungen geben ja nie die volle Wahrheit wieder. Das Wort, welches die Griechen f¨ ur diese Operation benutzen und welches wir mit zusammensetzen wiedergaben, ist das gleiche, welches sie benutzen, wenn sie sagen, dass sie zwei Zahlen oder zwei Gr¨oßen addieren, n¨ amlich  Ebenso sprechen sie von Subtraktion, wenn wir von Division von Verh¨ altnissen reden. Das kommt nicht von ungef¨ ahr. Proportionen wurden n¨ amlich zuerst in der Musiktheorie am Monochord studiert. Das ist ein Musikinstrument, welches zum Experimentieren,

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

aber nicht zum Musizieren benutzt wurde. Dieses Instrument hat, wie der Name Monochord“ sagt, nur eine Saite, unter der eine in 12 gleiche Teile geteilte Skala ” angebracht ist, wie in der Skizze angedeutet. Auf ihr gleitet ein Steg,   genannt, und hier bei der Markierung 9 angesetzt, der den Rest der Saite still legt, so dass nur der Teil von 0 bis zum Steg schwingt, wenn er angezupft wird. Im Falle der Neun erh¨ alt man die Quart u ¨ber dem Grundton. Sie wird repr¨ asentiert durch das Verh¨altnis 12 : 9 von Grundton zur Quart. Das Verh¨ altnis von Grundton zur Quint wird durch 12 : 8 repr¨ asentiert. Nimmt man die Quart zum Grundton, so 8 · 9 = 6 repr¨ asentiert. Dies wird die Quint u ¨ber der Quart durch den Punkt 12 ist die Oktave u ¨ ber dem urspr¨ unglichen Grundton. Diese wird aber repr¨ asentiert durch das Verh¨ altnis 12 : 6 = 6 : 3 = (6 : 4)(4 : 3) = (12 : 8)(12 : 9). Andererseits wird, um die Quart ert¨ onen zu lassen, die Strecke [9, 12] stillgelegt. Um die Quint u ¨ ber der Quart erklingen zu lassen, wird dann noch zus¨ atzlich die Strecke [6, 9] insgesamt also die Strecke [6, 9] + [9, 12] = [6, 12] stillgelegt. Das Zusammensetzen von Verh¨altnissen wird hier also durch das Addieren von Strecken repr¨ asentiert und das ist kein Zufall. Sind n¨ amlich a, b und c positive reelle Zahlen und gilt a < b < c, so kann man das Intervall [a, b] als Repr¨ asentanten f¨ ur den Quotienten α := ab−1 und das Intervall [b, c] als

4. Rechnen mit Proportionen

61

asentiere Repr¨ asentanten f¨ ur den Quotienten β := bc−1 nehmen. Entsprechend repr¨ [a, c] den Quotienten γ := ac−1 . Wegen γ = αβ spiegelt sich die Multiplikation von α mit β durch die Addition der Strecken [a, b] und [b, c], die ja die Strecke [a, c] ergibt, wieder. Was wir prim¨ar als Multiplikation sehen, kann also durchaus auch als Addition verstanden werden. Entsprechend kann man die Division von Verh¨ altnissen als Differenz interpretieren. Mehr zur griechischen Terminologie und den Folgerungen, die man aus ihr f¨ ur die Geschichte der Mathematik ziehen kann, in Szab´ o 1969. Eine Bemerkung m¨ochte ich hier noch anf¨ ugen, die ich auch der Lekt¨ ure von Szab´ o verdanke. Unser Wort Ton“, kommt von dem griechischen , was ” zun¨ achst Spannung“ u ¨berhaupt und dann auch Spannung der Saite“ bedeutet. ” ” Von daher u ¨bernimmt es schon im Griechischen die gleiche Bedeutung, die es bei uns hat. Dies zeigt, dass die Saiteninstrumente in der griechischen Musik eine wichtige Rolle spielten. VI.23. Es seien ABCD und CEF G winkelgleiche Parallelogramme und es gelte  BCD =  ECG. Dann ist (BC : CG)(DC : CE) = ABCD : CEF G. Beweis. Es seien k, l und m Strecken und es gelte BC : CG = k : l und DC : CE = l : m. Solche Strecken gibt es, wie wir wissen. Dann ist also (BC : CG)(DC : CE) = k : m. Wir d¨ urfen annehmen, dass CG die Verl¨ angerung von BC ist. Dann ist CE die Verl¨ angerung von DC. Es sei H der Schnittpunkt von AD mit F G. Nach VI.1 ist dann ABCD : CGHD = BC : CG = k : l. Ebenfalls nach VI.1 ist CGHD : CEF G = DC : CE = l : m. Hieraus folgt mit V.22 von Abschnitt 3, dass ABCD : CEF G = k : m = (BC : CG)(CD : CE) ist. Man beachte, dass aus ABCD : CGHD = BC : CG und CGHD : CEF G = DC : CE nur u ¨ber den scheinbaren Umweg der k, l und m die Behauptung folgt. A

D

B

H

G

C

E

F

Dies liegt an der Definition der Zusammensetzung von Verh¨ altnissen, die zun¨ achst nur ein Verh¨ altnis von Gr¨ oßen aus dem gleichen Gr¨oßenbereich liefert.

62

Kapitel I. Gr¨ oßen

VI.24. In jedem Parallelogramm sind die Parallelogramme um die Diagonale sowohl dem ganzen als auch einander ¨ ahnlich. Beweis. ABCD sei ein Parallelogramm und AC seine Diagonale. Es sei F ein Punkt auf der Diagonalen. Die Parallele zu AD durch F schneide AB in E und DC in K. Die Parallele zu AB durch F schneide AD in G und BC in H. Wegen der Parallelit¨ at von EF und BC gilt nach VI.2 BE : EA = CF : F A. Entsprechend folgt CF : F A = DG : GA. Also ist BE : EA = DG : GA. Da AB = AE + EB und AD = AG + GC ist, folgt mit V.18 von Abschnitt 3 AB : EA = AD : GA. Hieraus folgt mit V.16 von Abschnitt 3, dass AB : AD = EA : GA ist. In den beiden Parallelogrammen ABCD und AEF G stehen also die Seiten um den gemeinsamen Winkel  BAD in Proportion. Es ist GF parallel zu DC. Also ist  AF G =  F CD. Hier zitiert Euklid I.29. Der Winkel  DAC ist den Dreiecken ADC und AGF gemeinsam. Daher ist, da die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte betr¨agt, auch  ADC =  AGF . A

E

B F

H

G

D

K

C

Also sind die Dreiecke ADC und AGF winkelgleich. Ebenso sieht man, dass auch die Dreiecke ABC und AEF winkelgleich sind. Es folgt, dass auch die Parallelogramme ABCD und AGF E winkelgleich sind. Die Winkelgleichheit der Dreiecke liefert mit VI.4 die G¨ ultigkeit der Proportionen AG : GF = AD : DC und AC : CB = AF : F E

4. Rechnen mit Proportionen

63

sowie DC : CA = GF : F A und CB : BA = F E : EA. Mit Hilfe der beiden mittleren Gleichungen folgt auch noch mittels V.22 von Abschnitt 3 die G¨ ultigkeit von DC : CB = GF : F E. Damit ist gezeigt, dass die fraglichen Parallelogramme ¨ahnlich sind. Das n¨achste ist eine Konstruktionsaufgabe. Sie benutzt wieder VI.18, was nur f¨ ur konvexe Polygone bewiesen ist. VI.25. Ein Polygon zu konstruieren, das einem gegebenen Polygon a ¨hnlich und einem weiteren inhaltsgleich sei. Konstruktion. Es sei A1 . . . Am das Polygon, zu dem wir ein a¨hnliches konstruieren sollen, dessen Fl¨acheninhalt gleich dem Fl¨ acheninhalt des Polygons P sei. Wir konstruieren ein Parallelogramm A1 Am EL, dessen Fl¨acheninhalt gleich dem des Polygons A1 . . . Am ist. Zwischen den beiden L

E

A1

Am B2

M

F

B3 B4

B1

Bm = B5

Parallelen, die A1 , Am bzw. E, L tragen, konstruieren wir ein weiteres Paralleloacheninhalt von P . Wie man dies bewerkstelligt lernt gramm Am F M E mit dem Fl¨ man in Buch I. Nach VI.1 gilt dann A1 . . . Am : Am F M E = A1 Am EL : Am F M E = A1 Am : Am F.

64

Kapitel I. Gr¨ oßen

¨ Nach VI.13 gibt es die mittlere Proportionale B1 Bm zu A1 Am und Am F . Uber B1 Bm konstruiere man gem¨aß VI.18 das zu A1 . . . Am ¨ahnliche Polygon B1 . . . Bm . Wir zeigen, dass B1 . . . Bm den gleichen Fl¨acheninhalt wie P hat. Mit VI.20 folgt A1 . . . Am : B1 . . . Bm = q(A1 Am ) : q(B1 Bm ). Nach Satz 1 ist also A1 . . . Am : B1 . . . Bm = A1 Am : Am F. Also ist A1 . . . Am : B1 . . . Bm = A1 . . . Am : Am F M E, so dass in der Tat B1 . . . Bm = Am F M E = P gilt, wobei sich die Gleichheit nur auf den Fl¨ acheninhalt bezieht. VI.26. Schneidet man aus einem Parallelogramm ein dem ganzen ¨ ahnliches Parallelogramm aus, das a ¨hnlich liegt und einen Winkel mit ihm gemein hat, so liegt es mit dem ganzen um dieselbe Diagonale. Beweis. Das gegebene Parallelogramm sei ABCD und das ihm a¨hnliche sei AEF G, wobei E ein Punkt auf der Seite AB und G ein Punkt auf der Seite AD sei. Es ist zu zeigen, dass der Punkt F auf der Diagonalen AC von ABCD liegt. Man schneide die Diagonale AC mit GF . Der Schnittpunkt sei H. Man ziehe A

K=E

B

G

D

H = F?

C

durch H die Parallele zu AD. Diese schneide AB in K. Dann liegt AKHG mit ABCD um dieselbe Diagonale. Nach VI.24 sind sie also ¨ahnlich. Daher ist DA : AB = GA : AK. ¨ Wegen der Ahnlichkeit von ABCD mit AEF G ist auch DA : AB = GA : AE. Aus diesen beiden Gleichungen folgt mit V.9 von Abschnitt 3 die Gleichung AK = AE und damit K = E. Weil KH und EF parallel sind, folgt KH = EH = EF und weiter H = F , so dass F in der Tat auf AC liegt.

4. Rechnen mit Proportionen

65

VI.27. Von allen Parallelogrammen, die man an eine feste Strecke so anlegen kann, dass ein Parallelogramm fehlt, welches einem u ¨ber ihrer H¨ alfte gezeichneten ahnlich ist und ¨ ¨ ahnlich liegt, ist das u ¨ber der H¨ alfte angelegte, das selbst dem fehlenden a ¨hnlich ist, das gr¨ oßte. ¨ Beweis. Es sei AB eine Strecke und ihr Mittelpunkt sei C. Uber der Strecke AC D

P L

G

A

C

N

E

F

K

H

B

sei das Parallelogramm ACDP gezeichnet. Das Parallelogramm DCBE ist dann zu ACDP ¨ ahnlich und a¨hnlich gelegen. Nach VI.24 und VI.26 bestimmen nun die Punkte F auf der Diagonalen DB von DCBE und nur diese Parallelogramme AKF G, so dass das fehlende Parallelogramm F KBH zu ACDP ¨ahnlich ist. Wir nehmen zun¨ achst an, wie auf der Zeichnung notiert, dass AK gr¨ oßer als AC ist. ¨ Dann liegt F zwischen D und B. In der thaerschen Ubersetzung steht nun, dass man die Figur fertig zeichnen solle. Das ist oben geschehen. Nach I.43 gilt nun, dass die Parallelogramme CKF L und F HEN den gleichen Fl¨acheninhalt haben. Hieraus folgt, dass wieder f¨ ur den Fl¨ acheninhalt die Gleichung CBHL = KBEN gilt. Ferner gilt CBHL = ACLG. Also ist ACLG = KBEN. Hieraus folgt AKF G = ACLG + CKF L = KBEN + CKF L = CBED − LF N D < CBED = ACDP. Ist AK kleiner als AC, so verl¨ angere man AP u ¨ ber P hinaus bis zum Punkt B   mit AP = P B und betrachte die Situation von der Strecke AB  aus. Dann hat man die gerade erledigte Situation, so dass auch in diesem Falle die behauptete Ungleichung gilt. Die Voraussetzung der n¨achsten Konstruktionsaufgabe, dass der Fl¨ acheninhalt der anzulegenden Figur nicht gr¨ oßer sein darf als der des u ¨ ber der H¨ alfte errichteten Parallelogramms, beruht auf dem gerade bewiesenen Satz.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

VI.28. An eine gegebene Strecke ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm so anzulegen, dass ein einem gegebenen a ¨hnliches Parallelogramm fehlt; hierbei darf die gegebene geradlinige Figur nicht gr¨ oßer sein als das dem fehlenden a ¨hnliche u ¨ber der H¨ alfte der Strecke zu zeichnende Parallelogramm. Konstruktion. Es sei AB die Strecke, an der das fragliche Parallelogramm ange¨ tragen werden soll, und E sei ihr Mittelpunkt. Uber EB errichte man das dem gegebenen Parallelogramm a¨hnliche Parallelogramm EBF G. Ferner sei H so bestimmt, dass ABF H ein Parallelogramm ist. Hat die gegebene Figur — diese Fallunterscheidung macht Euklid — den gleiG

H O

T

A

E

P

F

Q

S

R

B

chen Fl¨ acheninhalt wie AEGH, so sind wir fertig, da AEGH das Verlangte leistet. Dies ist der Fall, wo die Konstruktion nur eine L¨ osung hat. Euklid geht im Folgenden aber nicht darauf ein, dass es im allgemeinen zwei L¨ osungen gibt. Es sei also der Fl¨ acheninhalt der gegebenen Figur, die C heißen m¨oge, kleiner als der Fl¨ acheninhalt von AEGH. Dann ist er auch kleiner als der Fl¨ acheninhalt von EBF G. Man lege nun gem¨ aß VI.25 an GF ein dem gegebenen ¨ahnliches und ahnlich gelegenes Parallelogramm GOQP an, dessen Fl¨acheninhalt gleich EBF G− ¨ C ist. Nach VI.26 liegt Q auf der Diagonalen BG. Man bringe die Gerade durch O und Q mit AH zum Schnitt. Der Schnittpunkt heiße T . Diese Gerade schneidet andererseits auch BF in einem Punkt, den wir R nennen. Die Parallele zu BF durch Q schneide AB in S und F H in P . Das Parallelogramm ASQT leistet nun das Verlangte, sein Fl¨acheninhalt ist also gleich dem von C, wie wir nun zeigen werden. Nach VI.24 ist das Parallelogramm SBRQ zu EBF G und damit zu AEGH ¨ahnlich. Somit ist nur noch zu zeigen, dass der Fl¨ acheninhalt von ASQT gleich dem Fl¨acheninhalt von C ist. Es ist — die Gleichungen sind als Gleichungen zwischen Fl¨acheninhalten zu lesen — EBF G = C + OQP G. Andererseits ist EBF G = OEBF P Q + OQP G und daher OEBF P Q = C. Ferner ist AEOT = EBRO = SBF P.

4. Rechnen mit Proportionen

67

Daher ist ASQT = AEOT + ESQO = SBF P + ESQO = OEBF P Q = C. Damit ist alles bewiesen. Diese Konstruktionsaufgabe hat noch eine zweite L¨ osung, die von Euklid aber nicht erw¨ ahnt wird. Der Leser entnehme sie folgender Figur. H

G R

T

t = BR A

E

S

B

r = AB

Das gegebene Parallelogramm sei ein Rechteck. Setze r := AB. Das Seitenverh¨ altnis des gegebenen Parallelogramms sei r : t. Setze x := AT . Dann ist SB : x = SB : BR = r : t und folglich — in unserer Sprache — SB = rt x. Daher berechnet sich x aus der Gleichung   r r − x x = C. t Diese Gleichung ist gleichbedeutend mit der Gleichung r rx = C + x2 . t Ihre L¨ osung ist t t x= ± 2 2



rt − 4C . rt

Die Bedingung an den Fl¨ acheninhalt von C bewirkt, dass rt ≥ 4C ist, so dass die Gleichung, wie wir ja schon gesehen haben, nicht negative reelle L¨ osungen hat. Die n¨achste Aufgabe l¨ asst eine ¨ahnliche Interpretation zu, die wir im Anschluss an ihre L¨ osung geben werden. Der Satz wird wiederum nur f¨ ur konvexe Polygone bewiesen. VI.29. An eine gegebene Strecke ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm so anzulegen, dass ein einem gegebenen a ¨hnliches Parallelogramm u ¨berschießt.

68

Kapitel I. Gr¨ oßen Konstruktion. Die gegebene Strecke sei AB, das gegebene Polygon C und das F

B

A

R

M

L

P

E N

Q

O

gegebene Parallelogramm D. Der Mittelpunkt von AB sei E und u ¨ber EB konstruiere man das Parallelogramm EBLF , welches zu D ¨ahnlich ist. Unter Benutzung des Winkels  EF L konstruiere man ein zu D ¨ahnliches Parallelogramm F N OM mit M auf F L und N auf F E, dessen Fl¨acheninhalt gleich EBLF + C ist. Nach VI.26 liegt O auf der Diagonalen F B. Die Gerade durch A und B schneide OM in P und die Gerade durch B und L schneide N O in Q und die Parallele zu N F durch A schneide ON in R. Dann ist AROP das gesuchte Parallelogramm. Der ¨ Uberschuss BQOP ist ja nach VI.24 a¨hnlich zu EBLF und damit zu D. Ferner ist nach Konstruktion EN OP + BP M L = C. Andererseits ist BP M L = EN QB = ARN E, so dass in der Tat AROP = ARN E + EN OP = BP M L + EN OP = C ist. Um diese Konstruktion zu kommentieren, setzen wir wieder r := AB und bestimmen t dadurch, dass r : t gleich dem Verh¨altnis der Seiten des Parallelogrammes D ist. Ferner setzen wir x := AR. Dann ist auch OP = x und QO : OP = r : t, dh., QO = rt x. Somit berechnet sich x aus der Gleichung   r r + x x = C, t dh. aus der Gleichung

r rx + x2 = C. t Diese Gleichung hat nur eine positive L¨ osung, n¨ amlich  tC t2 t + . x=− + 2 4 r

4. Rechnen mit Proportionen

69

Die zweite L¨osung ist t x=− − 2



tC t2 + . 4 r

Bei den Interpretationen der Aufgaben VI.28 und VI.29 ist zu beachten, dass sie unsere Interpretationen sind. Bei Euklid sind dies geometrische Aufgaben und der Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen wird von ihm nicht hergestellt und kann von ihm auch nicht hergestellt werden, da Gr¨ oßen, die nicht Zahlen sind, nicht miteinander multipliziert werden. Man h¨ ute sich also, das Wort geometri” sche Algebra“, das in diesem Zusammenhang oft f¨allt, zu u ¨ berstrapazieren. Die Behauptung, dass die Griechen nach der Entdeckung der Inkommensurabilit¨ at anfingen, algebraische Aufgaben geometrisch zu interpretieren, ist durch nichts belegt (Szab´ o 1969, S. 457f, S. 471–479, S. 487). Es folgt nun eine Konstruktionsaufgabe, deren L¨ osung eine Konstruktion des regul¨ aren F¨ unfecks erm¨oglicht. Dass Euklid eine Konstruktion des regul¨ aren F¨ unfecks ohne Verwendung der Proportionenlehre in IV.11 angab, wurde oben schon erw¨ahnt. VI.30. Eine gegebene begrenzte gerade Linie stetig zu teilen. Konstruktion. Es sei AB die gegebene Strecke. Gesucht ist der Punkt E auf AB, so dass BA : AE = AE : EB ist. Man betrachte das Quadrat ABHC mit der Seite AB. Nach VI.29 lege man C

A

G

F

E

H

B

D

an AC das Rechteck CGDF so an, dass sein Fl¨acheninhalt gleich dem von q(AB) ¨ ist und dass der Uberschuss AGDE zu ABHC ¨ahnlich und folglich ein Quadrat ist. Die Behauptung ist, dass E der gesuchte Punkt ist. Nach Konstruktion ist ABHC = CGDF und daher AGDE = EBHF. Mit VI.14 folgt daher F E : ED = AE : EB.

70

Kapitel I. Gr¨ oßen

Es ist aber F E = CA = BA und ED = AE. Also ist, wie behauptet, BA : AE = AE : EB. Das regul¨are F¨ unfeck konstruiert sich nun wie folgt: Man teile die Strecke AB ¨ stetig. Der Teilungspunkt sei E und AE sei der gr¨oßere Teil. Uber AB konstruiere man das gleichschenklige Dreieck ABC mit AC = BC = AE. Man zeichne weiter den Kreis durch die drei Punkte A, B und C. Dann sind A, B und C drei Punkte des regul¨ aren F¨ unfecks mit der Seitenl¨ ange AE, dessen restliche beiden Punkte nicht mehr schwer zu finden sind. Da dieses Buch kein Geometriebuch ist, sei es dem Leser u ¨ berlassen, sich die Konstruktionsdetails selbst zu u ¨berlegen. In Buch VI folgen noch drei weitere S¨atze, die f¨ ur uns nicht weiter interessant sind. ¨ 5. Fl¨ acheninhalte. Uber die Definition von Fl¨ acheninhalten verliert Euklid, wie schon gesagt, kein Wort. Er sieht offenbar nicht die Probleme, die wir sich auft¨ urmen sehen. F¨ ur ihn, so scheint es, gibt es zu jedem Kreis ein ihm fl¨ achengleiches ¨ Quadrat, f¨ ur uns bedarf das eines Beweises. Uberlegen wir uns daher, was man mit dem anfangen kann, was uns bei Euklid gesichert erscheint. Da ist zun¨ achst zu beachten, dass die in Buch I bereitgestellten Verfahren gestatten, zwei Quadrate so zu zeichnen, dass sie eine Ecke und den rechten Winkel an dieser Ecke gemeinsam haben. Dann kann man sie der Gr¨ oße nach vergleichen. Es gilt also 1) Quadrate sind der Gr¨ oße nach vergleichbar. Mit dem Satz von Pythagoras folgt 2) Sind Q1 und Q2 Quadrate, so gibt es ein Quadrat Q3 , welches man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, mit Q3 = Q1 + Q2 . Da man Quadrate addieren kann, kann man auch nQ bilden, wenn n eine nat¨ urliche Zahl und Q ein Quadrat ist. Damit ist auch die Frage beantwortet, die sich der Leser vielleicht bei dem in Abschnitt 1 zitierten Theaitetostext gestellt hat, wie man sich denn ein drei- bzw. f¨ unff¨ ußiges Quadrat verschafft. Die Betonung liegt hier auf man“. Szab´ o 1969 macht n¨amlich klar, dass Theodoros oder ” irgendeiner seiner Zeitgenossen sich die Seite etwa des Quadrats mit 15 Quadratfuß Fl¨ acheninhalt als mittlere Proportionale von Strecken von 3 und 5 bzw. von 1 und 15 Fuß L¨ ange mit Hilfe des Satzes VI.11 verschafft h¨ atte, den man damals nat¨ urlich noch nicht als Euklid VI.11 zitieren konnte. Die Frage, ob die Addition von Quadraten assoziativ und kommutativ sei, direkt zu beantworten, ist schwierig, wie mir scheint. Mit Hilfe der n¨ achsten Aussage l¨asst sie sich aber leicht auf die entsprechende Frage u ¨ ber Strecken zur¨ uckf¨ uhren. 3) Es sei a eine Strecke und Q ein Quadrat. Es gibt dann eine Strecke c, so dass Q und das Rechteck r(a, c) mit den Seiten a und c fl¨ achengleich sind. Es sei b die Seite von Q. Nach VI.11 von Abschnitt 4 gibt es eine Strecke c mit a : b = b : c. Nach VI.17 von Abschnitt 4 ist dann r(a, c) = q(b) = Q,

5. Fl¨ acheninhalte

71

was zu beweisen war. Sind nun Q1 , Q2 und Q3 Quadrate und ist a eine Strecke, so gibt es Strecken ci , so dass Qi und r(a, ci ) ߬ achengleich sind. Es folgt

 (Q1 + Q2 ) + Q3 = r(a, c1 ) + r(a, c2 ) + r(a, c3 ) 

= r a, (c1 + c2 ) + c3

 = r a, c1 + (c2 + c3 )

 = r(a, c1 ) + r(a, c2 ) + r(a, c3 ) = Q1 + (Q2 + Q3 ). Die Kommutativit¨ at der Addition beweist sich entsprechend. 4) Sind Q1 und Q2 Quadrate und ist Q1 < Q2 , so gibt es eine nat¨ urliche Zahl m mit mQ1 > Q2 . Ist ai die Seite des Quadrates Qi , so gibt es ein n mit na1 > a2 . Dann ist aber auch n2 Q1 > Q2 . 5) Sind Q1 und Q2 Quadrate und ist Q1 > Q2 , so gibt es ein Quadrat Q3 mit Q3 = Q1 − Q2 . Ist AB eine Seite von Q1 , so zeichne man den Halbkreis K mit dem Durchmesser AB. Ist b die Seite von Q2 , so zeichne man den Kreis mit dem Radius b um A und bringe diesen mit K zum Schnitt. Der Schnittpunkt heiße C. Dann ist Q3 := q(BC) aufgrund des Satzes von Pythagoras die Differenz von Q1 und Q2 . 6) Ist R ein Rechteck, so gibt es ein zu R fl¨ achengleiches Quadrat Q. Es seien a und c die beiden Seiten von R. Nach VI.13 von Abschnitt 4 gibt es ein b mit a : b = b : c. Nach VI.17 von Abschnitt 4 ist Q := q(b) zu R fl¨ achengleich. 7) Ist Q ein Quadrat und n eine nat¨ urliche Zahl, so gibt es ein Quadrat S mit nS = Q. Es sei a die Seite von Q. Nach VI.9 von Abschnitt 4 gibt es eine Strecke b mit nb = a. Es sei R das Rechteck aus den Seiten a und b. Dann haben Q und R die H¨ohe a. Nach VI.1 von Abschnitt 4 ist folglich Q : R = a : b. Wegen a = nb folgt wieder Q = nR. Mit 6) folgt nun die Existenz eines zu R fl¨ achengleichen Quadrats S. Dann ist aber Q = nS. ¨ Die Aquivalenzklassen kongruenter Quadrate bilden also mit der in 2) definierten Addition einen Gr¨ oßenbereich. Dieser Gr¨ oßenbereich hat noch zus¨ atzliche Eigenschaften. 8) Sind a, b, c und d Strecken und gilt a : b = c : d, so gilt auch q(a) : q(b) = q(c) : q(d). Insbesondere gibt es zu drei Quadraten stets die vierte Proportionale.

72

Kapitel I. Gr¨ oßen

Betrachte die rechtwinkligen Dreiecke ABC und DEF mit den rechten Winkeln bei B bzw. E. Ferner sei AB = a, BC = b, DE = c und EF = d. Nach VI.6 und VI.4 beide von Abschnitt 4 sind die beiden Dreiecke ABC und DEF ¨ahnlich, so dass nach VI.19 von Abschnitt 4 die Gleichung q(a) : q(c) = q(b) : q(d) gilt. Nach V.16 von Abschnitt 3 gilt dann auch q(a) : q(b) = q(c) : q(d). Die letzte Aussage folgt aus dem bereits Bewiesenen, wenn man nur beachtet, dass es zu Strecken a, b und c nach VI.12 von Abschnitt 4 stets die vierte Proportionale d gibt. Dass die Winkel bei B und E Rechte sind, ist nicht wesentlich. Die Winkel an diesen Ecken m¨ ussen nur gleich sein. Rechtecke sind quadrierbar , dh., dass man zu jedem Rechteck ein ihm fl¨ achengleiches Quadrat finden kann. Dies haben wir schon gesehen. Dreiecke sind auch quadrierbar. Das sieht man so. Es sei ABC ein Dreieck. Man ziehe durch C die Parogen sich allele zu AB und durch B die Parallele zu AC. Diese beiden Parallelen m¨ in D schneiden. Dann hat das Parallelogramm ABCD den doppelten Fl¨ acheninhalt des Dreiecks ABC. Der Fl¨ acheninhalt des Rechtecks mit der Seite AB und der gleichen H¨ohe wie das Parallelogramm ist gleich dem Fl¨acheninhalt des Parallelogramms, wie I.38 sagt. Das Rechteck hat also den doppelten Fl¨acheninhalt wie das Dreieck. Rechtecke aber kann man quadrieren und Quadrate wiederum halbieren. Also kann man Dreiecke quadrieren. Dann kann man aber alle Vielecke quadrieren, da man sie triangulieren kann. Ob jede Triangulierung bis auf Kongruenz dasselbe Quadrat liefert, steht auf einem andern Blatt. Wir werden dieser Frage hier nicht nachgehen. Will man krummlinig begrenzte Fl¨ achen quadrieren, so kommt man um infinitesimale Methoden nicht herum. Man ben¨ otigt sie, um die Existenz des Fl¨acheninhaltes zu garantieren. Zu diesem Existenzproblem a¨ußert sich Euklid u ¨berhaupt nicht. Er unterstellt stillschweigend, dass es zu jedem Kreis ein fl¨achengleiches Quadrat gibt. Dann ist er aber in der Lage, Aussagen zu beweisen, die auch heute noch g¨ ultig sind. Die Alten haben sich u ¨ber die Existenz von Fl¨ acheninhalten von Fl¨ achen wie Kreise und Parabelsegmente etc. Gedanken gemacht, doch aus dem, was Heath (1981, S. 220ff.) schreibt, kann ich nicht entnehmen, wie zufrieden wir mit dem sein k¨onnen, was sie dazu sagten. Das eigentliche Problem scheint mir zu sein, dass sie nicht definierten, was der Fl¨ acheninhalt denn sei. Ich kann mich jedenfalls nicht daran erinnern, je etwas explizit zu diesem Thema gelesen zu haben. F¨ ur die Aussagen, die Euklid beweist, sind wiederum — cum grano salis — infinitesimale Methoden erforderlich. Darauf werden wir gleich zur¨ uckkommen. Eine Schl¨ usselrolle spielt dabei der zun¨achst zu formulierende und zu beweisende Satz X.1, dessen Aussage mit der Archimedizit¨at von Gr¨ oßenbereichen gleichbedeutend ist.

5. Fl¨ acheninhalte

73

Was hier u ¨ ber Fl¨ acheninhalte gesagt ist, gilt mutatis mutandis auch f¨ ur Kurvenl¨ angen. Die Existenzfrage scheint hier in der Antike nie gestellt worden zu sein (Gericke 1992, S. 126). So beweist Archimedes in seiner Abhandlung u ¨ ber Kreismessung, ohne Existenzfragen anzusprechen, den folgenden Satz: Jeder Kreis ” ist einem rechtwinkligen Dreiecke inhaltsgleich, insofern der Radius gleich der einen der den rechten Winkel einschließenden Seiten, der Umfang aber gleich der Basis ist.“ (Werke S. 367ff.) X.1. Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher Gr¨ oßen von der gr¨ oßeren ein St¨ uck gr¨ oßer als die H¨ alfte weg und vom Rest ein St¨ uck gr¨ oßer als die H¨ alfte und wiederholt dies immer, dann muss einmal eine Gr¨ oße u ¨brig bleiben, die kleiner als die kleinere Ausgangsgr¨ oße ist. Beweis. Euklid beweist mehr, als er in X.1 formuliert, er beweist n¨amlich das Folgende. Es seien a und c Gr¨ oßen eines Gr¨oßenbereiches P und es gelte c < a. Es gibt dann ein n ∈ N mit a < nc. Sind dann a1 , . . . , an−1 ∈ P und gilt   i−1 i−1   1 a k < ai < a − ak a− 2 k:=1

f¨ ur i := 1, . . . , n − 1, so ist a−

k:=1

n−1 

ak < c.

k:=1

Nachdem der Satz so pr¨ azisiert ist, wird er jedoch nur f¨ ur n = 3 bewiesen. Dieser Beweis l¨asst sich aber sofort in einen Induktionsbeweis umschreiben. Es ist, da wegen c < a ja n ≥ 2 ist, n2 ≤ n − 1 und folglich 1 n 1 a − a1 < a − a = a < c ≤ (n − 1)c. 2 2 2 Es sei 1 ≤ i < n − 1 und es gelte a−

i 

ak < (n − i)c.

k:=1

Dann ist n − i ≥ 2 und folglich a−

i+1  k:=1

ak < a −

i 

ak −

k:=1

  i  1 ak a− 2 k:=1 

 i  1 = ak a− 2 k:=1

n−i < c 2 ≤ (n − i − 1)c.

74

Kapitel I. Gr¨ oßen

Also ist in der Tat a−

n−1 

ak < c.

k:=1

¨ Euklid kommentiert den Satz noch, indem er sagt: Ahnlich l¨ asst sich der Beweis auch f¨ uhren, wenn die weggenommen St¨ ucke die H¨alften sind. Wie sehen auch noch, dass bei der Absch¨atzung viel verschenkt wird. Der Beweis liefert ja, leicht modifiziert, dass sogar a−

i 

ak <

k:=1

n c 2i

ist. ¨ XII.1. Ahnliche Vielecke in Kreisen verhalten sich zueinander wie die Quadrate u ¨ber den Durchmessern. Beweis. Euklid beweist diesen Satz f¨ ur konvexe, Kreisen einbeschriebene F¨ unfecke. Wir werden uns auch auf konvexe Vielecke beschr¨ anken. Es sei A1 . . . An ein dem Kreis K und B1 . . . Bn ein dem Kreis L einbeschriebeA2 B2

A3

B3

A1 B1

L K

N M

nes, konvexes n-Eck und diese beiden n-Ecke seien einander ¨ahnlich. Ihre Ecken ur alle i einander gleich seien seien so numeriert, dass die Winkel bei Ai und Bi f¨ und dass Ai Ai+1 : Ai+1 Ai+2 = Bi Bi+1 : Bi+1 Bi+2 gilt f¨ ur i := 1, . . . , n, wobei die Indizes n + 1 und n + 2 als 1 bzw. 2 zu lesen sind. Weil die beiden n-Ecke ¨ahnlich sind, gilt nach VI.20 von Abschnitt 4 die Gleichung A1 . . . An : B1 . . . Bn = q(A1 A2 ) : q(B1 B2 ). Der Durchmesser von K durch A2 schneide K zum zweiten Mal in M und der Durchmesser von L durch B2 schneide L zum zweiten Mal in N . Nach III.21 ist 

A1 A3 A2 =  A1 M A2 ,

5. Fl¨ acheninhalte

75

da dies Winkel u ¨ber dem gleichen Kreisbogen sind. Aus dem gleichen Grund ist 

B1 B3 B2 =  B1 N B2 .

Die Winkel  A2 A1 M und B2 B1 N sind Rechte nach dem Satz von Thales. Weil die Winkelsumme im Dreieck 2 Rechte betr¨agt, gilt schließlich auch 

M A2 A1 =  N B2 B1 ,

so dass die Dreiecke A1 A2 M und B1 B2 N winkelgleich und nach VI.4 von Abschnitt 4 dann a¨hnlich sind. Mit VI.19 von Abschnitt 4 folgt hieraus q(A1 A2 ) : q(B1 B2 ) = q(A2 M ) : q(B2 N ). Wegen der Transitivit¨ at der Gleichheitsrelation von Verh¨ altnissen gilt daher A1 . . . An : B1 . . . Bn = q(A2 M ) : q(B2 N ). Damit ist der Satz bewiesen. Beim Beweis des n¨achsten Satzes ist zu beachten, dass keine Grenzwerte gebildet werden. Dies umgeht man dadurch, dass man einen Widerspruchsbeweis macht und gleichzeitig noch — implizit — die Existenz eines zum Kreis fl¨ achengleichen Quadrates annimmt. Auf diese Weise erreicht man, dass die Argumentation nur endlich viele Schritte erfordert. Der n¨achste Satz, so sagt die Tradition, stammt von Hippokrates von Chios, einem Mathematiker des 5. vorchristlichen Jahrhunderts, der hier wiedergegebene Beweis wird Eudoxos zugeschrieben. XII.2. Kreise verhalten sich zueinander wie die Quadrate u ¨ber den Durchmessern. Beweis. Es seien K und L Kreise und d und e seien Durchmesser von K bzw. L. Wir nehmen an, es sei K : L = q(d) : q(e). An dieser Stelle muss man nun hineinstecken, dass Kreise quadrierbar sind. Dann gibt es also ein Quadrat Q, welches zu K fl¨ achengleich ist. Nach 8) gibt es zu q(d), q(e) und Q die vierte Proportionale S. Es gilt dann K : S = Q : S = q(d) : q(e). Es ist S = L. Es sei zun¨achst S < L. Es gibt dann ein n ∈ N mit n(L − S) > L. Es sei B1 . . . B2n ein dem Kreis L einbeschriebenes regelm¨aßiges 2n -Eck. Dann ist, wie jetzt gezeigt wird, L − B1 . . . B2n < L − S. Es sei B1 B2 B3 B4 ein dem Kreis L einbeschriebenes Quadrat. Betrachte das Quadrat C1 C2 C3 C4 aus den Tangenten an L in den Bi . Nach I.41 ist B1 B2 B3 B4 = 1 2 C1 C2 C3 C4 . Weil nun B1 B2 B3 B4 < L < C1 C2 C3 C4 = 2B1 B2 B3 B4

76

Kapitel I. Gr¨ oßen

ist, ist insbesondere auch B1 B2 B3 B4 >

1 L. 2

Es sei nun B1 . . . B2i ein dem Kreis L einbeschriebenes regelm¨aßiges 2i -Eck. Dann ist L − B1 . . . B2i = L − B1 B3 B5 . . . B2i −1 −

i−1 2

(B2j−1 B2j B2j+1 ),

j:=1

wobei der Index 2i + 1 als 1 zu lesen ist. Wir zeigen nun, dass i−1 2

(B2j−1 B2j B2j+1 ) >

j:=1

1 (L − B1 B3 B5 . . . B2i −1 ) 2

ist. Dazu betrachte man das Dreieck B2j−1 B2j B2j+1 und ziehe durch B2j die Tangente tj an den Kreis L. Man errichte in den Punkten B2j−1 und B2j+1 die Senkrechten. Diese schneiden tj in C2j−1 und C2j+1 . Dann gilt B2j−1 B2j B2j+1 =

1 r(B2j−1 B2j+1 , B2j−1 C2j−1 ). 2

Es sei Lj das Kreissegment u ¨ ber der Strecke B2j−1 B2j+1 . Dann ist B2j−1 B2j B2j+1 < Lj < r(B2j−1 B2j+1 , B2j−1 C2j−1 ) = 2B2j−1 B2j B2j+1 . Hieraus folgt 1 Lj < B2j−1 B2j B2j+1 2 und weiter i−1 2

i−1

2 1 1 (B2j−1 B2j B2j+1 ) > Lj = (L − B1 B3 B5 . . . B2i −1 ). 2 2 j:=1 j:=1

Dies zeigt, da B1 B3 B5 . . . B2i −1 ein regul¨ ares 2i−1 -Eck ist, dass man L−B1 . . . B2n so interpretieren kann, dass man von L zun¨ achst etwas mehr als die H¨alfte und dann beim i-ten Schritt vom i-ten Rest wieder etwas mehr als die H¨alfte hinwegnimmt, so dass mit X.1 in der Tat folgt, dass L − B1 . . . B2n < L − S ist. Hieraus folgt, dass B1 . . . B2n > S

6. Die vierte Proportionale

77

ist. Es sei A1 . . . A2n ein dem Kreis K einbeschriebenes regul¨ares 2n -Eck. Dieses ist ahnlich. Nach XII.1 ist daher zu dem 2n -Eck B1 . . . B2n ¨ A1 . . . A2n : B1 . . . B2n = q(d) : q(e). Es ist aber auch K : S = q(d) : q(e). Also ist A1 . . . A2n : B1 . . . B2n = K : S. Nun ist B1 . . . B2n > S. Nach V.14 von Abschnitt 3 folgt, dass A1 . . . A2n > K ist im Widerspruch zu A1 . . . A2n < K. Dieser Widerspruch zeigt, dass S > L ist. Es ist mit Q als einem zu K fl¨ achengleichem Quadrat S : Q = S : K = q(e) : q(d). Es sei Q ein zu L fl¨ achengleiches Quadrat. Es gibt dann ein Quadrat S  mit L : S  = Q : S  = S : K = q(e) : q(d). Wegen L < S ist nach V.14 von Abschnitt 3 auch S  < K. Dies ist aber wieder der schon ad absurdum gef¨ uhrte Fall. Also ist unsere Annahme, dass K : L = q(d) : q(e) ist, zu verwerfen, so dass XII.2 bewiesen ist. Weiß man nun und wir werden dies bald sehen, dass Verh¨altnisse Quotienten von reellen Zahlen sind, und bezeichnet man mit π den Inhalt des Einheitskreises, so folgt aus dem gerade bewiesenen Satz, dass i(K) =

d2 π = r2 π 4

ist, wenn i(K) den Inhalt, d den Durchmesser und r den Radius von K bezeichnet. 6. Die vierte Proportionale. In Buch V benutzt Euklid an einer Stelle die Existenz der vierten Proportionalen, n¨ amlich beim Beweis von V.18. Wir haben in Abschnitt 3 beim Beweis dieses Satzes jedoch gesehen, dass man auch ohne die vierte Proportionale auskommt. Beim Beweise von XII.2 wird von der vierten Proportionalen aber wesentlich Gebrauch gemacht. Dort ist das jedoch unproblematisch, da wir die Existenz der vierten Proportionalen f¨ ur den Gr¨ oßenbereich der quadrierbaren Fl¨ achen nachgewiesen haben. In Abschnitt 3 hatten wir auch notiert, dass Borelli die Existenz der vierten Proportionalen stets voraussetzt. Was sie f¨ ur eine Rolle spielt, wollen wir nun untersuchen.

78

Kapitel I. Gr¨ oßen

Den n¨ achsten Satz fand ich bei Weber 1895, S. 13. Er kommentiert ihn, indem er sagt: Der Satz ist eine unmittelbare Folgerung der vorausgesetzten Stetigkeit ” (= G¨ ultigkeit des Satzes von der oberen Grenze. Anm. H. L.).“ Um dann nur noch die L¨ osung d anzugeben. Die doch nicht so ganz auf der Hand liegenden Details des Beweises zu liefern, u ¨ berl¨ asst er dem Leser. Satz 1. In R+ gibt es zu drei Elementen stets die vierte Proportionale. Beweis. Es seien a, b, c ∈ R+ . Setze M := {x | x ∈ R+ , a : b ≤ c : x}. Die Archimedizit¨at von R+ liefert die Existenz eines n ∈ N mit a ≤ nb. Setze c , was nach 2.7 h) m¨ oglich ist. Dann ist y := n+1 c>c−

c = ny n+1

und a ≤ nb. Also ist c : y > a : b und daher y ∈ M , so dass M nicht leer ist. Es gibt ferner ein m ∈ N mit ma > b. Setze y := mc. Dann ist ma > b und mc ≤ y. Also ist c : y < a : b und folglich y ∈ M und somit M = R+ . Ist y ≤ x ∈ M , so gilt nach V.8 von Abschnitt 3 die Ungleichung c : x ≤ c : y. Folglich ist a : b ≤ c : y und daher y ∈ M . Somit ist M ein nicht leerer Anfang von R+ , der von R+ verschieden ist. Folglich ist M nicht leer und beschr¨ ankt, so dass d := sup(M ) existiert. Um zu zeigen, dass a : b = c : d ist, nehmen wir an, dies sei nicht der Fall. Dann ist a : b < c : d oder a : b > c : d. Es sei a : b < c : d. Es gibt dann m, n ∈ N mit mc > nd und ma ≤ nb. Nach Satz 6 von Abschnitt 2 gibt es ein N ur alle und eine monoton wachsende Folge x auf Q+ mit xi ∈ d und xi + 21i ∈ d f¨ i ≥ N . Bezeichnet α(r) wieder die Menge der positiven rationalen Zahlen kleiner oder gleich r, so ist   1 α(xi ) ≤ d < α xi + i . 2 Es gibt ein γ ∈ c mit mγ ∈ nd, da ja mc > nd ist. W¨are   1 n xi + i ≥ mγ 2 f¨ ur alle i, so folgte, da mγ ≥ nxi ist, mγ = lim i→∞ nxi . Weil x monoton w¨achst, folgte mγ = sup{nxi | i ≥ N }.

6. Die vierte Proportionale

79

Weil nd ein normaler Anfang ist, folgte hieraus der Widerspruch mγ ∈ nd. Es gibt also ein i mit   1 n xi + i < mγ. 2 Es folgt

  1 mc ≥ mα(γ) > nα xi + i . 2

Andererseits ist ma ≤ nb und folglich   1 a : b < c : α xi + i . 2 Hieraus folgt α(xi + 21i ) ∈ M und wegen d < α(xi + 21i ) dann der Widerspruch d < sup(M ) = d. Somit ist c : d ≤ a : b und damit c : d < a : b. Nach Satz 6 von Abschnitt 2 gibt es ein N ∈ N0 und eine Folge x auf d mit ur alle n ≥ N . Es folgt xn + 21n ∈ d f¨   1 d < α xn + n 2 und nach V.8 von Abschnitt 3 daher   1 c : α xn + n < c : d < a : b. 2 Wir nehmen zun¨ achst an, dass die Folge x nicht konstant werde. Zu jedem n ≥ N gibt es dann ein j > n mit xn < xj , da x ja monoton steigt. Es folgt α(xn ) < α(xj ) ≤ d. ur alle n ≥ N . Somit ist α(xn ) ∈ M f¨ ur alle n ≥ N , da Also ist α(xn ) < d f¨ d = sup(M ). Da also d < α(xn + 21n ) und xn ∈ M gilt, ist   1 c : α xn + n < c : d < a : b ≤ c : α(xn ) 2 f¨ ur alle n ≥ N . Wegen c : d < a : b gibt es k, l ∈ N mit ka > lb und kc ≤ ld. Es gibt ferner ein n ∈ N mit n(ka − lb) > a. Es folgt (nk − 1)a > nlb. Andererseits ist (nk − 1)c < nkc ≤ nld,

80

Kapitel I. Gr¨ oßen

indem wir k durch nk − 1 und l durch nl ersetzen, sehen wir, dass wir von vorneherein kc < ld annehmen d¨ urfen. Wegen   1 c : α xn + n < c : d 2   1 kc ≤ lα xn + n 2

ist dann auch

und wegen a : b ≤ c : α(xn ) auch kc > lα(xn ). Es ist also — man erinnere sich an die Definition von < auf R+ —   1 lα(xn ) ⊆ kc ⊆ lα xn + n 2 f¨ ur alle n ≥ N . Es folgt 

lα(xn ) = kc =

n≥N

  1 lα xn + n . 2

 n≥N

Banalerweise gilt aber auch   1 lα(xn ) ⊆ ld ⊆ lα xn + n 2 und daher



lα(xn ) = ld =

n≥N

 n≥N

  1 lα xn + n . 2

Damit erhalten wir den Widerspruch kc = ld. Somit wird x doch konstant. Es gibt ur alle i. Definiere die Folge y durch yn := xn − 21n also ein M ≥ N mit xM = xM+i f¨ f¨ ur alle n > M . Dann ist y ebenfalls eine Folge auf d, da ja d ein Anfang ist und 1 1 1 < M ≤ N ≤ xn 2n 2 2 f¨ ur alle n > M gilt. Wie eben folgt, da y nicht konstant wird,  n>M

lα(yn ) = kc =

 n>M

  1 lα xn + n 2

6. Die vierte Proportionale und



81

lα(yn ) = ld =

n>M

 n>M

  1 lα xn + n . 2

Hiermit erhalten wir den den Satz beweisenden, endg¨ ultigen Widerspruch kc = ld. Und nun der Satz, der uns zeigt, was man gewinnt, wenn in einem Gr¨ oßenbereich die Existenz der vierten Proportionalen zu drei gegebenen Elementen stets gesichert ist. Solche Gr¨oßenbereiche heißen in der modernen Literatur eudoxische Gr¨ oßenbereiche, wobei der Name auf Krull (1960) zur¨ uckzugehen scheint. Ihn zu formulieren und zu beweisen, geht auf eine Bemerkung zur¨ uck, die seit den Vorlesungen Euklids in Alexandria jeder h¨ atte machen k¨ onnen, die jedoch erst Descartes machte und in seiner G´eom´etrie von 1637 publizierte. Ihm ist es n¨ amlich gelungen, Strecken miteinander zu multiplizieren und als Resultat wieder eine Strecke zu erhalten. Seine Idee ist so einfach und gleichzeitig so genial, dass sie hier in seinen Worten wiedergegeben sei. Hier der Beginn seiner Abhandlung (Descartes 1954. Das Original ist Anhang zum Discours de la Methode und beginnt auf S. 297): Tous les Problesmes de Geometrie se peuuent facilement reduire a tels termes, qu’il n’est besoin par apr´es que de connoistre la longeur de quelques lignes droites, pour les construire. Et comme toute l’Arithmetique n’est compos´ee, que de quatre ou cinq operations, qui sont l’Addition, la Soustraction, la Multiplication, la Diuision, & l’Extraction des racines, qu’on peut prendre pour vne espece de Diuision: Ainsi n’a-t-on autre chose a faire en Geometrie touchant les lignes qu’on cherche, pour les preparer a estre connu¨es, que leur en adiouster d’autres, ou en oster, Oubien en ayant vne, que ie nommeray l’vnit´e pour la rapporter d’autant mieux aux nombres, & qui peut ordinairement estre prise a discretion, puis en ayant encore deux autres, en trouuer vne quatriesme, qui soit `a l’vne de ces deux, comme l’autre est a l’vnit´e, ce qui est le mesme que la Multiplication; oubien en trouuer vne quatriesme, qui soit a l’vne de ces deux, comme l’vnit´e est a l’autre, ce qui est le mesme que la Diuision; ou enfin trouuer vne, ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l’vnit´e, & quelque autre ligne; ce qui est le mesme que tirer la racine quarr´ee, on (sic) cubiques, &c. Et ie ne craindray pas d’introduire ces termes d’Arithmetique en la Geometrie, affin de me rendre plus intelligibile. Soit par exemple AB l’vnit´e, & qu’il faille multiplier BD par BC, ie n’ay qu’a E C

D

A

B

ioindre les poins A & C, puis tirer DE parallele a CA, & BE est le produit de cete

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Multiplication. ¨ Hier die von Ludwig Schlesinger stammende Ubersetzung dieses Textes (Descartes 1969): Alle Probleme der Geometrie k¨onnen leicht auf einen solchen Ausdruck ge” bracht werden, dass es nachher nur der Kenntnis der L¨ ange gewisser gerader Linien bedarf, um diese Probleme zu konstruieren. Und gleichwie sich die gesamte Arithmetik nur aus vier oder f¨ unf Operationen zusammensetzt, n¨amlich aus den Operationen der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation, der Division und des Ausziehens von Wurzeln, das ja auch als eine Art von Division angesehen werden kann: so hat man auch in der Geometrie, um die gesuchten Linien so umzuformen, dass sie auf Bekanntes f¨ uhren, nichts anderes zu tun, als andere Linien ihnen hinzuzuf¨ ugen oder aber von ihnen abzuziehen; oder aber, wenn eine solche gegeben ist, die ich, um sie mit den Zahlen in n¨ ahere Beziehung zu bringen, die Einheit nennen werde, und die gew¨ ohnlich ganz nach Belieben angenommen werden kann, und man noch zwei andere hat, eine vierte Linie zu finden, die sich zu einer dieser beiden verh¨ alt, wie die andere zur Einheit, was dasselbe ist, wie die Multiplikation; oder aber eine vierte Linie zu finden, die sich zu einer der beiden verh¨ alt, wie die Einheit zur anderen, was dasselbe ist wie die Division; oder endlich eine oder zwei oder mehrere mittlere Proportionale zu finden zwischen der Einheit und irgendwelchen anderen Linien, was dasselbe ist wie das Ausziehen der Quadrat- oder Kubikkwurzel usw. — Und ich werde mich nicht scheuen, diese der Arithmetik entnommenen Ausdr¨ ucke in die Geometrie einzuf¨ uhren, um mich dadurch verst¨ andlicher zu machen. Es sei z. B. AB die Einheit und es sei BD mit BC zu multiplizieren, so habe ich nur die Punkte A und C zu verbinden, dann DE parallel mit CA zu ziehen und BE ist das Produkt dieser Multiplikation.“ Hier ist zun¨ achst dazu zu sagen, dass in Buch X der Elemente stets eine beliebig gegebene Strecke als rational angesehen wurde. Kommensurabilit¨ at und Inkommensurabilit¨ at bezogen sich immer auf diese. Dies werden wir noch sehen. Diese Strecke wird von Descartes nun einfach als Einheit genommen. Ferner wird in Buch VII gezeigt, dass f¨ ur a, b, c, d ∈ N genau dann a : b = c : d gilt, wenn ad = bc ist. Insbesondere ist also a : b = c : 1 genau dann, wenn a = bc ist. Diese beiden Beobachtungen brachten Descartes also zu seiner Definition der Multiplikation von ¨ Strecken. Von den nun zu verifizierenden Rechenregeln hat er im Ubrigen keine einzige verifiziert. Um diese Definition der Multiplikation von Strecken und dann auch von Gr¨ oßen, wie wir es gleich tun werden, aussprechen zu k¨onnen, muss man nat¨ urlich in der Lage sein, Gr¨ oßen mit nat¨ urlichen Zahlen zu multiplizieren, da man solche Produkte ja bei der eudoxischen Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen braucht. Man braucht sie auch bei der Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen von nat¨ urlichen Zahlen, wie sie in Buch VII steht, wobei dort nicht von der Gleichheit von Verh¨ altnissen die Rede ist, sondern davon, dass vier Zahlen in Proportion stehen, was f¨ ur uns auf dasselbe hinausl¨ auft. Man kann Descartes’ Definition also nicht auf

6. Die vierte Proportionale

83

nat¨ urliche Zahlen anwenden, so dass seine Idee wirklich etwas Neues ist. Dass man die Division auch von Br¨ uchen mit Hilfe von Proportionen einf¨ uhrt, ist hingegen alter Brauch, der sich schon bei arabischen Mathematikern findet (Tropfke 1980, S. 231 f.). Ich stieß durch provozierten Zufall darauf. Als ich den Abschnitt vom Geraden und Ungeraden des zweiten Kapitels aufschrieb, erinnerte ich mich, Dinge dieser Art bei Bachet (1624) gesehen zu haben. Ich holte meine Kopien dieses Buches vor, las den zahlentheoretischen Anfang des Buches und fand dort die Proposition XIV, die besagt, dass f¨ ur vier Zahlen A, B, A C = D ist. Beim Beweis heißt es dann (Bachet, op. C, D, die in Proportion stehen, B cit., S. 13): Car puisque diuisant A par B, le quotient est E, il y a telle proportion de A, a ` B. que de E, a ` l’vnit´e, par la definition de la diuision. Nach der Definition der Division ist also A/B : 1 = A : B = C : D = C/D : 1 und damit A/B = C/D. Das elektrisierte mich. Ich sah bei Tropfke nach und fand die Aussage Bachets best¨atigt, der in seinem Buch nat¨ urlich nichts u ¨ber das eigentliche Rechnen schreibt. Bachet zitiert nichts und die bei Tropfke zitierten Werke waren mir alle nicht zug¨ anglich. Ich suchte also in meinen Kopien, Ausgaben und Originalen von Rechenb¨ uchern und wurde zweimal f¨ undig. Einmal bei Reisch (1517) und zum anderen bei Cataneo (1557). Der einzige Franzose in meiner Sammlung, Chuquet, war unergiebig. Bei Reisch fragt in Buch III von Kapitel VIII der Sch¨ uler: Quid est diuisio? und der Lehrer antwortet; Est numeri procreatio proportionabiliter se habentis ad vnitatem/ut dividendus ad divisorem. Dies ist also genau die Definition, die Bachet bei seinem Beweise benutzt hat. Dann kommt das Beispiel 20 durch 4 mit dem Ergebnis 5, da ja 20 : 4 = 5 : 1 ist. Darauf wieder der Sch¨ uler: Divisionis formam haud pretereas, dh., du m¨ ogest auf gar keinen Fall an der Form der Division vorbeigehen. Dieser Wunsch ist nat¨ urlich verst¨ andlich, aber wieso fragt der Sch¨ uler nicht zun¨ achst, was eine Proportion sei? Diese wird n¨amlich nirgendwo erkl¨ art und, da Reisch u ¨ber die Anfangsgr¨ unde des Rechnens schreibt, kann man auch nicht erwarten, dass der Sch¨ uler anderswo Kenntnis u ¨ber Proportionen gewonnen hat. Der Autor, der diesen fiktiven Dialog schrieb, wusste nat¨ urlich, dass auf diese Definition nirgends mehr Bezug genommen wird. Warum aber nimmt er sie dann in ¨ sein Buch auf? Bei dieser Definition wird im Ubrigen Zahl genannt, was eigentlich nicht Zahl genannt werden d¨ urfte. Es wird ja eine Zahl x gesucht mit a : b = x : 1 und dieses x ist in den seltensten F¨ allen eine nat¨ urliche Zahl. Aber nur nat¨ urliche Zahlen sind nach Euklids Definition, die von Reisch u ¨bernommen wird, Zahlen. Mit dieser Inkonsequenz steht Reisch nicht alleine da. Einzelheiten hierzu bei Gericke (1970, insb. Kap. 3). Auch bei Cataneo (1557) findet sich diese Inkonsequenz. Er beruft sich bei seiner Definition von Zahl auf Euklid und sagt, dass diese Definition von Leonardo Pisano bekr¨ aftigt werde. Ich sehe das ein wenig anders, wie man in L¨ uneburg (1994) nachlesen kann. Leonardo sagt n¨amlich: Denn Zahl ist Menge von Einheiten“. ”

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Er definiert also nicht selbst, sondern benutzt die alte Definition als Begr¨ undung und zwar bei seiner Argumentation, dass sich alle nat¨ urlichen Zahlen dezimal darstellen lassen. Wichtiger als dies ist hier aber Cataneos Definition der Division. Er schreibt: Partire un numero per un’altro `e trouar tal parte del numero che si parte laqual possi tante uolte entrare in esso numero che si parte quante unit` a sono nel partitore. Eine Zahl durch eine andere zu teilen, heißt also, einen Teil der zu teilenden Zahl zu finden, der in dieser Zahl sooft aufgeht, wie die Einheit im Teiler aufgeht. Hier wird also der Begriff des Verh¨ altnisses vermieden, obgleich klar ist, dass er im Hintergrund dieser Definition steht. All dies zeigt, dass Descartes’ Definition des Produktes zweier Strecken auf gut vorbereitetem Boden stattfand, was seine Leistung aber nicht schm¨alert. Didaktisch gut vorbereitet wird der n¨ achste Satz nun niemanden mehr u ¨ berraschen. Ich fand ihn f¨ ur P = R+ bei Weber 1895, S. 14, und in einer zu der vorliegenden a¨quivalenten Formulierung bei Krull 1960. Keiner der beiden Autoren bezieht sich auf Descartes. Satz 2. Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich. Ferner sei 1 ein beliebig gew¨ ahltes Element von P . Zu a, b ∈ P gibt es dann genau ein mit ab bezeichnetes Element in P mit ab : a = b : 1. Bezeichnet man diese bin¨ are Verkn¨ upfung auf P mit ·, so gilt: a) (P, ·, 1) ist eine abelsche Gruppe. b) In (P, +, ·) gelten die Distributivgesetze. c) Sind a, b, c ∈ P und ist b < a, so ist bc < ac. Beweis. Dieser Satz f¨allt uns aufgrund der in Buch V der Elemente geleisteten Arbeit als reife Frucht in den Schoß. Die L¨osbarkeit der Gleichung x : a = b : 1 nach x ist gleichbedeutend mit der L¨osbarkeit der Gleichung 1 : b = a : x nach x, dh., mit der Existenz der vierten Proportionalen zu 1, b, a. Diese ist aber gesichert, da P eudoxisch ist. Wir zeigen der Reihe nach: ur alle a, b ∈ P . 1) Es ist ab = ba f¨ Es ist ab : a = b : 1. Mit V.16 von Abschnitt 3 folgt hieraus ab : b = a : 1. Andererseits ist ba : b = a : 1 und daher ab : b = ba : b. Mit V.9 von Abschnitt 3 folgt schließlich ab = ba. 2) Es ist a1 = 1a = a f¨ ur alle a ∈ P . Aus der Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen folgt 1 : 1 = a : a. Ferner ist a1 : a = 1 : 1. Mit V.9 von Abschnitt 3 folgt daher, dass a1 = a ist. Mit 1) folgt auch die zweite Aussage.

6. Die vierte Proportionale

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3) Es ist (ab)c = a(bc) f¨ ur alle a, b, c ∈ P . Es ist (ab)c : ab = c : 1 und ab : a = b : 1 = cb : c. Mit V.23 von Abschnitt 3 folgt (ab)c : a = cb : 1 und wegen cb = bc schließlich (ab)c : a = bc : 1. Andererseits ist a(bc) : a = bc : 1, so dass in der Tat a(bc) = (ab)c ist. 4) Ist a ∈ P , so gibt es ein b ∈ P mit ab = 1. Nach Voraussetzung gibt es ein b ∈ P mit b : 1 = 1 : a. Es folgt ab : a = b : 1 = 1 : a, so dass ab = 1 ist. 1) bis 4) besagen, dass (P, ·, 1) eine abelsche Gruppe ist. 5) Es ist a(b + c) = ab + ac f¨ ur alle a, b, c ∈ P . Einerseits ist a(b + c) : a = (b + c) : 1. Andererseits ist ab : a = b : 1 und ac : a = c : 1. Mit V.24 von Abschnitt 3 folgt (ab + ac) : a = (b + c) : 1. Mit V.9 von Abschnitt 3 folgt dann die Behauptung. Es sei b < a. Es gibt dann ein u ∈ P mit b + u = a. Wegen b) folgt bc + uc = ac, so dass bc < ac ist. Damit ist alles bewiesen. Heutige Mathematiker fragen nach diesem Satz nat¨ urlich sofort, was passiert, wenn man statt 1 ein anderes Element e zur Definition der Multiplikation nimmt. Jeder wird erwarten, dass die beiden Strukturen isomorph sind. Dies ist tats¨ achlich der Fall, wie wir nun sehen werden. Wann aber heißen P1 und Pe isomorph? Nun, wenn es einen Isomorphismus von P1 auf Pe , dh. eine Bijektion σ von P auf sich gibt mit den Eigenschaften: a) Es ist σ(1) = e. b) Es ist σ(a + b) = σ(a) + σ(b) f¨ ur alle a, b ∈ P .

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Kapitel I. Gr¨ oßen

c) Es ist σ(ab) = σ(a) ∗ σ(b) f¨ ur alle a, b ∈ P . Dabei bezeichne ∗ die mittels e definierte Multiplikation. d) Sind a, b ∈ P und ist a < b, so ist σ(a) < σ(b). Satz 3. Es seien 1 und e Elemente des eudoxischen Gr¨ oßenbereiches P . Sind · und ∗ die beiden mittels 1 bzw. e definierten Multiplikationen auf P und ist σ die durch σ(x) := ex definierte Abbildung von P in sich, so ist σ ein Isomorphismus von (P, +, ·, 1, <) auf (P, +, ∗, e, <). Beweis. Weil (P, ·, 1) eine Gruppe ist, hat e ein Inverses. Daher ist σ bijektiv. a) Es ist σ(1) = e1 = e. b) Es ist σ(a + b) = e(a + b) = ea + eb = σ(a) + σ(b). d) ist nur eine Umformulierung von Satz 2 c), wobei e hier die Rolle von c spielt. c) Mittels b) folgt σ(na) = nσ(a) f¨ ur alle n ∈ N und alle a ∈ P . Daher folgt aufgrund von d) und der Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen, dass a : b = c : d genau dann gilt, wenn σ(a) : σ(b) = σ(c) : σ(d) ist. Also gilt ab : a = b : 1 genau dann, wenn σ(ab) : σ(a) = σ(b) : σ(1) gilt. Wegen σ(1) = e gilt also ab : a = b : 1 genau dann, wenn σ(ab) : σ(a) = σ(b) : e = σ(a) ∗ σ(b) : σ(a), dh. genau dann, wenn σ(ab) = σ(a) ∗ σ(b) ist. Der n¨ achste Satz ist Verallgemeinerung von Proposition XIV aus Bachets Problemes, die wir oben erw¨ ahnten. Satz 4. Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich. Ferner sei 1 ∈ P und · sei die mittels 1 auf P definierte Multiplikation. Sind dann a, b, c, d ∈ P , so gilt a : b = c : d genau dann, wenn b−1 a = d−1 c ist. Beweis. Es ist a : b = bb−1 a : b = b−1 a : 1 und entsprechend c : d = d−1 c : 1. Also gilt genau dann a : b = c : d, wenn b−1 a : 1 = d−1 c : 1, dh., genau dann, wenn b−1 a = d−1 c ist. Nun sind wir in der Lage, zu a, b, c ∈ P die vierte Proportionale zu berechnen.

6. Die vierte Proportionale

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Korollar. Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich, auf dem wie nun schon u ¨blich eine Multiplikation eingef¨ uhrt sei. Sind a, b, c ∈ P , so ist ca−1 b die vierte Proportionale von a, b und c. Beweis. Es ist ja (ca−1 b)−1 c = b−1 ac−1 c = b−1 a, so dass mit Satz 4 die Behauptung folgt. Hilbert bewies in seinen Grundlagen der Geometrie“ den in diesem Zusammen” hang wichtigen und auch f¨ ur sich gesehen interessanten Satz, dass ein archimedisch angeordneter K¨ orper stets kommutativ ist (Hilbert 1899, S. 72 f.). Da bislang von angeordneten K¨ orpern noch nicht die Rede war, werde ich den Satz etwas umformulieren, so dass er in unseren Zusammenhang passt. Sein Beweis ist ein Kinderspiel nach allem, was wir bislang gemacht haben. Satz 5. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich, der eine weitere bin¨ are Verkn¨ upfung ∗ trage. Es sei (P, ∗) eine Gruppe und es gelte (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c f¨ ur alle a, b, c ∈ P . Gilt ferner, dass f¨ ur alle a, b, c ∈ P aus a < b stets a ∗ c < b ∗ c folgt, so ist P eudoxisch. Ist dann 1 das neutrale Element der Gruppe (P, ∗) und · die mittels 1 gem¨ aß Satz 2 auf P definierte Multiplikation, so ist a ∗ b = ab f¨ ur alle a, b ∈ P . Insbesondere ist ∗ also kommutativ. Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass f¨ ur alle m ∈ N und a, b ∈ P gilt, dass m(a ∗ b) = (ma) ∗ b ist. Dies ist sicher richtig f¨ ur m = 1. Es sei also m ≥ 1. Dann ist (m + 1)(a ∗ b) = m(a ∗ b) + a ∗ b = (ma) ∗ b + a ∗ b = (ma + a) ∗ b

 = (m + 1)a ∗ b. Damit ist die Behauptung bewiesen. Als n¨ achstes zeigen wir, dass P eudoxisch ist. Dazu seien a, b, c ∈ P . Setze d := (b ∗ a ) ∗ c, wobei a das Inverse von a bez¨ uglich ∗ bezeichne. Es seien m, n ∈ N. Ist ma > nb, so ist m1 = m(a ∗ a ) = (ma) ∗ a > (nb) ∗ a = n(b ∗ a ). Hieraus folgt 



mc = m(1 ∗ c) = (m1) ∗ c > n(b ∗ a ) ∗ c = n (b ∗ a ) ∗ c = nd. Ebenso folgt aus ma = nd die Gleichung mc = nd und aus ma < nb die Ungleichung mc < nd. Folglich ist d die vierte Proportionale zu a, b, c, so dass P eudoxisch ist. Weil P eudoxisch ist, kann man mittels des Einselements der Gruppe (P, ∗) auf P gem¨aß Satz 2 eine Multiplikation einf¨ uhren. Nach dem Korollar zu Satz 4 ist

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Kapitel I. Gr¨ oßen

at von dann auch ca−1 b vierte Proportionale von a, b, c. Wegen der Kommutativit¨ · ist daher (b ∗ a ) ∗ c = ba−1 c f¨ ur alle a, b, c ∈ P . Mit a = 1 folgt b ∗ c = bc f¨ ur alle b, c ∈ P , womit der Satz bewiesen ist. Bei diesem Beweis haben wir von der Assoziativit¨ at von ∗ keinen Gebrauch gemacht. Um dies deutlich zu machen, habe ich bei der Definition von d Klammern gesetzt. Man kann also einen allgemeineren Satz formulieren. Diesen Satz findet man auf v¨ ollig andere Art im letzten Kapitel von L¨ uneburg 1999 bewiesen und zwar innerhalb des Beweises von Satz 4.3. Der Satz selbst wird auch dort nicht formuliert. oßenbereich, so dass wir gem¨aß Satz 2 R+ ist nach Satz 1 ein eudoxischer Gr¨ auf R+ eine Multiplikation einf¨ uhren k¨ onnen. Nach Satz 3 ist dabei kein Element von R+ vor einem anderen ausgezeichnet. Wir w¨ahlen als 1 daher ein Element, welches auf andere Weise hervorgehoben ist, n¨amlich das Element α(1) = {x | x ∈ Q+ , x ≤ 1}. Dieses Element bezeichnen wir in Zukunft meist ebenfalls mit 1. Diese Wahl des Einselementes in R+ hat zur Folge, dass α ein Monomorphismus von (Q+ , +, ·) in (R+ , +, ·) ist, wie Satz 6 zeigen wird. Als n¨achstes werden wir das Versprechen einl¨ osen, das wir am Ende von Abschnitt 3 gegeben haben. Dazu erinnern wir zun¨ achst an Folgendes. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Sind a, b ∈ P , so definieren wir ϕP (a, b) wie in Satz 1 von Abschnitt 3 durch  m

mb ≤ na . ϕP (a, b) := n Nach Satz 1 von Abschnitt 3 h¨ angt ϕP (a, b) nur von dem Verh¨ altnis a : b von a zu b ab, so dass wir auch ϕP (a : b) stattdessen schreiben. Ist e ∈ P , so definieren wir wieder die Abbildung f von P in R+ durch f (a) := ϕP (a, e). Nach Satz 1 von Abschnitt 1 ist f ein ordnungstreuer Monomorphismus von P in R+ . Satz 6. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich und e sei ein Element von P . Mit den gerade eingef¨ uhrten Bezeichnungen gilt: Sind a, b ∈ P , so ist ϕP (a : b) = f (b)−1 f (a). Beweis. Nach Satz 1 von Abschnitt 3 ist f ein ordnungstreuer Monomorphismus von P in R+ . Daher ist a : b = f (a) : f (b). (Hier sieht man einmal mehr, wie

6. Die vierte Proportionale

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geschickt die Definition der Gleichheit von Verh¨ altnissen getroffen ist.) Mit Satz 4 folgt a : b = f (b)−1 f (a) : 1. Schreibt man kurz ϕ f¨ ur ϕR+ , so folgt mit Satz 1 von Abschnitt 3, dass

 ϕP (a : b) = ϕ f (b)−1 f (a) : 1 ist. Um den Satz zu beweisen, gen¨ ugt es also zu zeigen, dass f¨ ur x ∈ R+ die Gleichung ϕ(x : 1) = x gilt. Ist x ∈ R+ und n ∈ N, so gestattet nx zwei Interpretationen, einmal die, dass nx = (n − 1)x ⊕ x, und zum andern die, dass nx = {nξ | ξ ∈ X} ist. Nach Satz 7 g) aus Abschnitt 2 stimmen beide Mengen aber u ¨ berein. Dies ist im Folgenden zu beachten. Es sei also x ∈ R+ . Statt 1 schreiben wir hier der Deutlichkeit halber α(1), um die 1 in R+ von der in Q+ zu unterscheiden. Dann ist

 ϕ x : α(1) =



 m

mα(1) ≤ nx . n

Es sei m n ∈ ϕ(x : α(1)). Weil die Anordnungsrelation ≤ auf R+ mit der Inklusion ⊆ identisch ist, folgt, da ja 1 ∈ α(1) gilt, m = m1 ∈ mα(1) ⊆ nx und damit

m n

∈ x. Also ist

Es sei andererseits

r s

 ϕ x : α(1) ⊆ x.

∈ x. Ferner sei r

u v

∈ α(1). Dann ist

u v

≤ 1 und daher

r u ≤ r1 = s ∈ sx. v s

Nach Satz 7 von Abschnitt 2 g) ist also rα(1) ⊆ sx, dh., es ist rα(1) ≤ sx. Somit ist

r s

∈ ϕ(x : α(1)), so dass in der Tat ϕ(x : 1) = x

ist. Dabei haben wir f¨ ur α(1) wieder 1 geschrieben.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Korollar. Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich. Sind dann a, b, c, d ∈ P , so ist

 ϕP (a : b)(c : d) = ϕP (a : b)ϕP (c : d). Beweis. Weil P eudoxisch ist, gibt es Elemente k, l, m ∈ P mit a : b = k : l und c : d = l : m. Nach der Definition des zusammengesetzten Verh¨ altnisses ist dann (a : b)(c : d) = k : m. Mit Satz 1 von Abschnitt 3 und Satz 6 folgt ϕP (a : b)ϕP (c : d) = ϕP (k : l)ϕP (l : m) = f (k)f (l)−1 f (l)f (m)−1 = f (k)f (m)−1 = ϕP (k : m), was zu beweisen war. In Abschnitt 3 haben wir im Zusammenhang mit dem Satz von Menelaos gesagt, dass der Leser keinen mathematischen Fehler begehe, wenn er das Zusammensetzen von Verh¨altnissen als Produkt reeller Zahlen interpretiere. Mit dem gerade bewiesenen Korollar haben wir diese Aussage best¨ atigt. Satz 7. Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich. Ferner sei 1 ∈ P . Mittels · bezeichnen wir die mit Hilfe von 1 gem¨ aß Satz 2 auf P definierte Multiplikation. ¨bliche Bedeutung und f sei definiert durch f (a) := ϕP (a : 1). Es habe ϕP die u Dann ist f ein Monomorphismus von (P, +, ·, 1, ≤) in (R+ , +, ·, 1, ≤). Beweis. Nach Satz 3 von Abschnitt ist f ein Monomorphismus von (P, +, ≤) in (R+ , +, ≤). Offenbar gilt auch f (1) = 1, so dass nur noch zu zeigen ist, dass f (xy) = f (x)f (y) f¨ ur alle x, y ∈ P gilt. Es seien also x, y ∈ P . Dann ist xy : x = y : 1. Es folgt ϕP (xy : x) = ϕP (y : 1) = f (y). Hiermit folgt unter Benutzung von Satz 6 f (x)f (y) = f (x)ϕP (xy : x) = f (x)f (x)−1 f (xy) = f (xy). Damit ist alles bewiesen. (Q+ , +, ≤) ist ein Gr¨ oßenbereich. Um zu zeigen, dass Q+ eudoxisch ist, zeigen wir, dass f¨ ur alle a, b, c ∈ Q+ gilt, dass a : b = c : ca−1 b ist. Dazu seien m, n ∈ N. Gilt ma > nb, so gilt auch mc = mca−1 a = ca−1 ma > ca−1 nb = nca−1 b. Ebenso folgt aus ma = nb die Gleichung mc = nca−1 b und aus der Ungleichung ma < nb die Ungleichung mc < nca−1 b. Also ist in der Tat ca−1 b die vierte

6. Die vierte Proportionale

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uhrt man nun mittels Proportionale zu a, b, c, so dass (Q+ , +, ≤) eudoxisch ist. F¨ 1 eine Multiplikation ∗ auf Q+ ein, so folgt mit dem Korollar zu Satz 4, dass c ∗ a−1 ∗ b = ca−1 b ist f¨ ur alle a, b, c ∈ Q+ . Dabei ist das Inverse von a auf den beiden Seiten sinngem¨aß zu interpretieren. Mit a = 1 folgt c ∗ b = cb f¨ ur alle c, b ∈ Q+ . Wir haben also — zu unserer Zufriedenheit — nichts Neues gewonnen. Mit Satz 6 folgt daher, dass α ein Monomorphismus von (Q+ , +, ·, 1, ≤) in (R+ , +, ·, 1, ≤) ist. Satz 8. Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich. Ferner sei 1 ∈ P und · sei die mittels 1 auf P definierte Multiplikation. Ist dann Q := {x | x ∈ P, x > 1}, so ist (Q, ·, <) ein Gr¨ oßenbereich. Beweis. Zun¨achst ist nachzuweisen, dass Q unter der Multiplikation abgeschlossen ist. Dass die Multiplikation in Q assoziativ und kommutativ ist, versteht sich dann von selbst, da sie es ja in dem gr¨oßeren Bereich P ist. Es bleibt noch zu zeigen (s. Abschnitt 3): b) Es ist a < ab f¨ ur alle a, b ∈ Q. c) Sind a, b ∈ Q und ist b < a, so gibt es genau ein c ∈ Q mit bc = a. d) Sind a, b ∈ Q, so gibt es ein n ∈ N mit an > b. Es seien a, b ∈ Q. Es gibt dann ein c ∈ P mit b = 1 + c. Es folgt ab = a + ac > a. Wegen a > 1 ist also ab > 1 und damit ab ∈ Q, so dass Q unter · abgeschlossen ist. Gleichzeitig haben wir die G¨ ultigkeit von b) nachgewiesen. Es seien a, b ∈ Q und es gelte b < a. Es gibt, weil P eine Gruppe ist, genau ein c ∈ P mit bc = a. Wegen b < a ist c = 1. W¨ are c < 1, so w¨are 1 = c + d mit einem d ∈ P . Es folgte der Widerspruch b = b1 = bc + bd = a + bd > a > b. Also ist doch c > 1 und damit c ∈ Q, so dass auch c) gilt. Um d) nachzuweisen, seien a, b ∈ Q. Es gibt dann ein c ∈ P mit a = 1 + c. Mittels der Bernoullischen Ungleichung (s. Abschnitt 3) folgt an = (1 + c)n ≥ 1 + nc

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Kapitel I. Gr¨ oßen

f¨ ur alle n ∈ N. Es gibt nun ein n mit nc > b − 1, so dass an > b ist. Damit ist alles bewiesen. Was besagt f¨ ur (Q, ·, <) die Dividierbarkeit? Nun, dass es zu a ∈ Q und zu n ∈ N stets ein b ∈ Q gibt mit bn = a. In diesem Fall spricht man statt von Dividierbarkeit also besser von Radizierbarkeit . Diese Bemerkung wird dem Leser klar machen, dass Dividierbarkeit bei Gr¨ oßenbereichen eine starke Einschr¨ankung ist. Der Leser ist m¨oglicherweise schon ungeduldig und m¨ ochte nun endlich sehen, wie man mit Hilfe von R+ auch noch die negativen reellen Zahlen und die Null konstruiert. Das soll nun geschehen, ohne dass wir hier auf die Geschichte der ¨ negativen Zahlen eingehen. Uber sie wird sp¨ater, insbesondere in den Kapiteln 4 und 5, berichtet werden. Bei der Konstruktion von R aus R+ werden wir uns so allgemein fassen, dass auch klar wird, wie man den Ring der ganzen Zahlen nur mittels N konstruieren kann. Es sei P eine nicht leere Menge mit zwei bin¨ aren Verkn¨ upfungen + und ·, die wir nat¨ urlich Addition und Multiplikation nennen. Wir nennen (P, +, ·) einen Halbring, falls gilt: a) Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ. b) Es gelten die Distributivgesetze. c) Sind a, b, c ∈ P und gilt a+b = a+c, so ist b = c, dh., es gilt die K¨ urzungsregel bez¨ uglich der Addition. Satz 9. Es sei P ein Halbring. Wir definieren auf dem cartesischen Produkt P × P von P mit sich selbst eine Addition + und eine Multiplikation · durch (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) und (a, b)(c, d) := (ac + bd, ad + bc). Dann sind + und · assoziativ und kommutativ und es gelten beide Distributivgesetze. Wir definieren auf P × P eine Relation ∼ durch (a, b) ∼ (c, d) genau dann, wenn a + d = c + b ist. Dann ist ∼ eine Kongruenzrelation auf ¨ (P × P, +, ·), dh., ∼ ist eine Aquivalenzrelation und es gilt a) Ist (a, b) ∼ (c, d), so ist (a, b) + (e, f ) ∼ (c, d) + (e, f ) f¨ ur alle e, f ∈ P , sowie b) Ist (a, b) ∼ (c, d), so ist (a, b)(e, f ) ∼ (c, d)(e, f ) f¨ ur alle e, f ∈ P . Die zum Nachweis dieser Aussagen n¨otigen Rechnungen sind einfach, aber langweilig. Wer diesen Satz nicht kennt oder seiner G¨ ultigkeit misstraut, muss sie selber

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ausf¨ uhren. Hier sei nur darauf hingewiesen, dass man zum Nachweis der Transitivit¨ at von ∼ die K¨ urzungsregel bzgl. der Addition ben¨ otigt. In (P × P, +, ·) gilt nicht die K¨ urzungsregel bzgl. ·. ¨ Ist M eine Menge und ist ∼ eine Aquivalenzrelation auf M , so bezeichne M/∼ ¨ die Menge der Aquivalenzklassen von ∼. Ist x ∈ M , so bezeichne ferner κ(x), die ¨ Aquivalenzklasse von ∼, zu der x geh¨ort. Man nennt κ den kanonischen Epimorphismus von M auf M/∼. Satz 10. Es sei P ein Halbring und + und · seien die in Satz 9 definierte Addition bzw. Multiplikation auf P × P . Ferner sei ∼ die in Satz 9 auf P × P definierte Kongruenzrelation. Setze K(P ) := (P × P )/∼. Sind X, Y ∈ K(P ), so definieren wir X + Y und XY wie folgt: Sind A ∈ X und B ∈ Y , so sei X + Y := κ(A + B) und XY := κ(AB). Dann ist (K(P ), +, ·) ein Ring. Ist b ∈ P und setzt man σ(a) := κ(a + b, b) f¨ ur alle a ∈ P , so ist σ ein Monomorphismus von P in K(P ), der von der Wahl von b unabh¨ angig ist. Beweis. Es seien A, A ∈ X und B, B  ∈ Y . Dann ist also A ∼ A und B ∼ B  . Da ∼ nach Satz 9 eine Kongruenzrelation ist, folgt A + B ∼ A + B ∼ A + B  und AB ∼ A B ∼ A B  und damit κ(A + B) = κ(A + B  ) bzw. κ(AB) = κ(A B  ). Dies zeigt, dass die auf K(P ) definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert ist. Wegen A ∈ κ(A) und B ∈ κ(B) folgt weiter κ(A + B) = κ(A) + κ(B) und κ(AB) = κ(A)κ(B), so dass κ ein Epimorphismus von (P × P, +, ·) auf (K(P ), +, ·) ist. Hieraus folgt nun sofort die Assoziativit¨ at von +. Sind n¨ amlich X, Y , Z ∈ K(P ) und ist A ∈ X, B ∈ Y und C ∈ Z, so ist



 X + (Y + Z) = κ(A) + κ(B) + κ(C) = κ A + (B + C)

 = κ (A + B) + C = (X + Y ) + Z.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Auf die gleiche Art beweist man ferner die Assoziativit¨ at der Multiplikation, die Kommutativit¨ at von Addition und Multiplikation und die beiden Distributivgesetze. Sind a, b ∈ P , so ist a + b = b + a und daher κ(a, a) = κ(b, b). Ferner folgt mit a, b, c ∈ P , dass κ(a, a) + κ(b, c) = κ(a + b, a + c) = κ(b, c) ist. Also ist κ(a, a) die Null in K(P ). Schließlich ist κ(a, b) + κ(b, a) = κ(a + b, b + a), so dass jedes Element in K(P ) ein additives Inverses hat. Damit ist gezeigt, dass K(P ) ein Ring ist. Es ist κ(a + b, b) = κ(a + c, c). Sind nun u, v ∈ P , so folgt σ(u + v) = κ(u + v + b, b) = κ(u + v + b + b, b + b) = κ(u + b, b) + κ(v + b, b) = σ(u) + σ(v). Weiter folgt

 σ(u)σ(v) = κ(u + b, b)κ(v + b, b) = κ (u + b, b)(v + b, b) = κ(uv + ub + vb + b2 + b2 , ub + b2 + vb + b2 ) = σ(uv). Schließlich sei σ(u) = σ(v). Dann ist (u+b, b) ∼ (v +b, b) und daher u+2b = v +2b, was u = v zur Folge hat. Damit ist alles bewiesen. Es ist Z = K(N) der Ring der ganzen Zahlen. Satz 11. Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich. Ferner sei 1 ∈ P und · sei die mittels 1 auf P definierte Multiplikation. Dann ist K(P ) ein K¨ orper. Identifiziert man a ∈ P mit σ(a), wobei σ der in Satz 10 definierte Monomorphismus von P in K(P ) ist, so ist K(P ) = P ∪ {0} ∪ −P sowie P ∩ −P = ∅ und 0 ∈ P , −P . Setzt man f¨ ur a, b ∈ K(P ) genau dann a < b, wenn b − a ∈ P gilt, so ist K(P ) bez¨ uglich < ein angeordneter K¨ orper. Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass σ(1) die Eins in K(P ) ist. Dazu sei k ∈ K(P ). Es gibt dann a, b ∈ P mit k = κ(a, b). Es folgt σ(1)k = κ(1 + c, c)κ(a, b) = κ(a + ca + cb, b + cb + ca) = κ(a, b) = k. Es sei weiterhin k ∈ K(P ) und k = κ(a, b). 1. Fall: Es ist b < a. Es gibt dann ein c ∈ P mit a = c + b. Es folgt k = κ(c + b, b) = σ(c) = c ∈ P.

6. Die vierte Proportionale

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2. Fall: Es ist b > a. Dann ist nach dem gerade Bewiesenen −k = κ(b, a) ∈ P. 3. Fall: Es ist a = b. In diesem Falle ist k = 0. Es ist 0 ∈ P und dann nat¨ urlich auch 0 ∈ −P . Es sei k ∈ P ∩ −P . Dann ist k = κ(a, b) = κ(c, d) mit b < a und c < d. Es folgt der Widerspruch a + d = b + c < a + d. Es sei nun 0 = k ∈ K(P ). Ist k ∈ P , so gibt es ein l ∈ P mit kl = 1 = σ(1). Ist k ∈ P , so ist −k ∈ P . Es gibt dann wieder ein l ∈ P mit −kl = 1. Es folgt k(−l) = 1. Es sei a, b ∈ K(P ). Dann kann nach dem bereits Bewiesenen nicht gleichzeitig b − a ∈ P und a − b ∈ P gelten. Also gilt h¨ ochstens eine der beiden Relationen a < b und b < a. Ist a = b, so gilt aber a − b ∈ P oder b − a ∈ P . Daher sind je zwei Elemente vergleichbar. Sind a, b, c ∈ K(P ) und gilt a < b und b < c, so ist c − b, b − a ∈ P und dann auch c − a = c − b + b − a ∈ P, so dass die Relation < transitiv ist. Es seien a, b, c ∈ K(P ) und es gelte a < b. Dann ist b − a ∈ P und daher b + c − (a + c) = b − a ∈ P, so dass auch a + c < b + c gilt. Ist u ¨berdies c > 0, dh., c ∈ P , so ist c(b − a) ∈ P und folglich ca < cb. Damit ist gezeigt, dass < eine Anordnung von K(P ) ist, die mit der Addition und der Multiplikation vertr¨ aglich ist. Wendet man Satz 11 auf R+ an, so erh¨ alt man den K¨ orper R der reellen Zahlen. Man erh¨ alt noch mehr aus unseren Untersuchungen, worauf auch Bettazzi hinweist (Bettazzi 1890, S. 93). Es bezeichne R>1 die Menge der reellen Zahlen, die oßenbereich, in dem u ¨ berdies gr¨ oßer als 1 sind. Nach Satz 7 ist (R>1 , ·, <) ein Gr¨ der Satz von der oberen Grenze gilt, da dieser Satz ja von Addition und Multiplikation unabh¨ angig ist. Nach Satz 3 von Abschnitt 3 gibt es daher zu jedem a ∈ R>1 genau einen Isomorphismus loga von (R>1 , ·, <) auf (R+ , +, <) mit loga (a) = 1. Die Abbildung loga ist der Logarithmus zur Basis a, wenn man ihn noch, was nicht schwer ist, auf ganz (R+ , ·) fortsetzt, so dass er zu einem Isomorphismus von urgi und (R+ , ·, <) auf (R, +, <) wird. Die Entdeckung der Logarithmen durch B¨ Neper um die Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert und ihre Weiterentwicklung durch Briggs und Kepler war ein Meilenstein in der Entwicklung der Rechentechnik. Aufgrund der Funktionalgleichung loga (xy) = loga (x) + loga (y)

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Kapitel I. Gr¨ oßen

und umfangreicher Tabellen der Logarithmusfunktion war es nun m¨ oglich, die aufwendige Multiplikation vielstelliger Zahlen auf die weniger aufwendige Addition zur¨ uckzuf¨ uhren. Der Name Logarithmus, der Verh¨altniszahl bedeutet — Logos ist ja das Verh¨ altnis, wie wir wissen, und Arithmos die Zahl —, wurde von ¨ Neper eingef¨ uhrt. Der nepersche Logarithmus Λ ist im Ubrigen eine affine Version der heute gebr¨auchlichen Logarithmusfunktionen, wie wir in Abschnitt 9 sehen werden. Dort werde ich die neperschen Schriften zu den Logarithmen eingehend analysieren. Sie sind auch deswegen so beachtenswert, weil diese Schriften den Dezimalbr¨ uchen Stevins zum Durchbruch verhalfen. Es ist bemerkenswert, wie schnell der Logarithmus in unserer Zeit wieder vergessen wurde. Anfang der 70er Jahre des 20. Jahrhunderts stimmten wir bei einer Elternversammlung der Klasse meines Sohnes dar¨ uber ab, ob im Mathematikunterricht der Rechenschieber oder der Taschenrechner eingef¨ uhrt werden sollte. Ich war, wie immer, auf der Seite der Minderheit. Der Taschenrechner wurde eingef¨ uhrt. Benutzt wurde er dann nur, um aus exakten Br¨ uchen abgebrochene Dezimalbr¨ uche herzustellen. Als meine T¨ochter dann nachr¨ uckten, war es u ¨ berhaupt keine Frage mehr, ob der Taschenrechner eingef¨ uhrt werden sollte. Frage ich heute einen Studenten im Vordiplom oder Zwischenexamen nach der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, so kommt diese meist ohne Z¨ ogern. Die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktion kommt dagegen h¨ aufig erst u ¨ ber den Umweg u ¨ ber die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Das l¨ asst nat¨ urlich R¨ uckschl¨ usse auf meine Vorlesung zu, zeigt aber auch, dass die Logarithmentafel aus der Schule verschwunden ist. Als ich im Sommersemester 1994 rein zuf¨allig in einer Vorlesung, die nichts mit Rechnen zu tun hatte, meine H¨ orer fragte, ob sie schon mal einen Rechenschieber gesehen h¨atten, war die Antwort: Nein. Das n¨ achste Mal ließ ich dann zwei Exemplare zirkulieren. Eine letzte Bemerkung sei diesem Abschnitt noch angeschlossen, n¨amlich die, dass der K¨orper der reellen Zahlen nur den trivialen Automorphismus hat. Um dies zu zeigen, sei σ ein Automorphismus von R. Dann ist σ(1) = 1. Ist k ∈ R+ , so gibt es ein l ∈ R+ mit l2 = k. (Dies ist eine der ersten Folgerungen, die man aus dem Satz von der oberen Grenze zieht.) Es folgt σ(k) = σ(l)2 > 0. Sind a, b ∈ R und gilt a > b, so ist a − b > 0 und daher σ(a) − σ(b) = σ(a − b) > 0, so dass σ(a) > σ(b) ist. Folglich ist σ ordnungstreu. Weil auch id(1) = 1 und weil id nat¨ urlich auch ordnungstreu ist, folgt mit Satz 3 von Abschnitt 3, dass in der Tat σ = id ist. Bei diesem Beweis haben wir nicht voll ausgenutzt, dass σ ein Automorphismus ist. Wir benutzten nur, dass σ additiv ist und σ(1) = 1 gilt, und schlossen ugte, um σ = id zu beweisen. aus σ(k 2 ) = σ(k)2 , dass σ monoton ist. Dies gen¨ Man braucht nun nicht den Satz 3 von Abschnitt 3 zu zitieren. Aus den ersten beiden Eigenschaften folgt n¨ amlich σ(x) = x f¨ ur alle rationalen Zahlen x, die von Darboux als kommensurable Gr¨ oßen angesprochen werden. Weil diese in R dicht

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liegen, folgt dann wegen der Monotonie von σ auch σ(x) = x f¨ ur alle x ∈ R. Dies ist Darboux’s Argument (Darboux 1880), der diesen Sachverhalt benutzte, um eine L¨ ucke in einem Beweise von von Staudt zu schließen. Es ging dabei um die Charakterisierung der Projektivit¨ aten der projektiven Geraden u ¨ber R als derjenigen Abbildungen, die harmonische Lage von Punkten respektieren (von Staudt o. J., S. 50, Nr. 106). Darboux erw¨ ahnt nicht explizit, dass sein Satz zur Folge hat, dass die Automorphismengruppe von R nur aus der Identit¨ at besteht. Was er jedoch erw¨ ahnt, ist, dass man in der Mechanik und Physik h¨ aufig auf die Funktionalgleichung σ(x + y) = σ(x) + σ(y) stieße und dass Cauchy in seiner Analyse Alg´ebrique alle stetigen σ, die dieser Funktionalgleichung gen¨ ugten, angegeben h¨ atte. Nicht stetige L¨osungen findet man u ¨ber das Auswahlaxiom, doch das war damals noch nicht bekannt. Die Mengenlehre war gerade erst im Entstehen. Zur Geschichte des Auswahlaxioms wird im elften Kapitel einiges gesagt werden. Dort wird das nun zu sagende in den rechten Zusammenhang ger¨ uckt. Zermelo formulierte das Auswahlaxiom in Zermelo 1904. Im n¨ achsten Band der Mathematischen Annalen gab Hamel die erste algebraische Anwendung dieses Axioms — so Steinitz 1910 —, indem er mit seiner Hilfe bewies, dass der QVektorraum R eine Basis besitzt (Hamel 1905). Q-Basen von R heißen demzufolge heute Hamelbasen. Mit Hilfe solcher Hamelbasen war Hamel dann in der Lage, alle unstetigen σ, die der Funktionalgleichung σ(x + y) = σ(x) + σ(y) gen¨ ugen, zu beschreiben. Die darbouxsche Note war die erste Originalarbeit, die ich las. Ich durfte in der ¨ letzten Ubungsstunde zur Analytischen Geometrie von Frau Moufang im Wintersemester 1956/57 u ¨ ber sie berichten. Peter Dembowski, der Frau Moufang bei ¨ den Ubungen assistierte, half mir bei der Vorbereitung meines Vortrags. 7. Ziffer, das Wort und die Sache. Ziel ist, Nepers Berechnung seiner Logarithmentafel zu erl¨ autern. Wenn man aber rechnet, spielt eine Rolle, wie die Zahlen dargestellt sind, mit denen man es zu tun hat. Wir sind an die dezimale Darstellung von Zahlen und Br¨ uchen gew¨ohnt und daran, sie schriftlich zu manipulieren. Doch unsere Verfahren sind noch nicht allzu alt. Daher hier ein Wort zu ihren Grundlagen. Die Araber, die lange Zeit u ¨ ber Sizilien und Spanien herrschten, haben die indische Art, Zahlen zu schreiben, nach Europa gebracht. Im 12. Jahrhundert wurde sie durch lateinische Bearbeitungen der Arithmetik des Al-Hwarizmi in Spanien in die abendl¨ andische mathematische Literatur aufgenommen (Allard 1992), wo sie ihren Platz im Gegensatz zu den gerbertschen Apices, die ja keine Tradition begr¨ undeten, nicht mehr aufgegeben hat. In diesen Bearbeitungen liest man, dass die Inder Sch¨ opfer eines neuen Systems seien, alle Zahlen zu schreiben, ohne dass das Wort neu“ f¨allt. Dies wird dann, ” z. B. in Dixit algorizmi, pr¨ azisiert (Allard 1992, S. 1): Fecerunt igitur IX literas quarum figure sunt he 987654321, das heißt, Sie schufen also IX Buchstaben, deren ” Formen diese sind: 987654321.“ Die indischen Ziffern traten also im Abendland zuerst unter dem Namen litterae, Buchstaben, auf, die eine gewisse figura haben

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Kapitel I. Gr¨ oßen

und figura wurde f¨ ur eine ganze Weile zum Namen f¨ ur diese Zeichen. Neben dem Wort litera benutzen die Bearbeiter auch das Wort caracter f¨ ur die Zeichen, die wir heute Ziffern nennen (Allard 1992, S. 3, 5, 6 und andere Stellen). Das war im 12. Jahrhundert. Das Wesentliche an der genialen indischen Erfindung ist, dass sie mit neun Charakteren und dem Zeichen 0 alle Zahlen schreiben kann, wobei das Zeichen 0 zun¨ achst nur ein Fehlen anzeigt. Daher r¨ uhrt der arabische Name as-sifr f¨ ur es, dessen Grundbedeutung das Leere“ ist. Die Zeichenreihen, die die Zahlen ” darstellen, kann man nun aber schriftlich manipulieren, um die Zeichenreihe zu finden, die das Ergebnis der Rechnung darstellt. Dieses Manipulieren geschieht Charakter f¨ ur Charakter, so dass es gen¨ ugt — wie schon beim Rechnen auf dem Rechenbrett —, das kleine Eins-und-eins und das kleine Einmal-eins auswendig zu wissen. Die Null aber als einer der Grundcharaktere ist dabei den elementaren Rechenoperationen unterworfen. Sie kommt ja bei den gegebenen Daten vor, erscheint aber auch bei Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit Rest als Zwischenergebnis zur Weiterverwendung. Sie erwarb daher sofort den Status einer Zahl. Das Gleiche gilt aus dem gleichen Grunde auch f¨ ur diei Eins, auch wenn von ihr noch im 16. Jahrhundert gesagt wurde, sie sei keine Zahl, vielmehr der Ursprung aller Zahlen (Reisch 1517, Buch IIII, Kapitel III). Dreißig Jahre sp¨ ater stellt Ferrari im dritten cartello di sfida Tartaglia als dreißigste Aufgabe noch die Frage, se l’unit` a `e numero ouer n` o . Tartaglia meint in seiner Replik, ¨ das sei eine Frage an den Metaphysiker und macht es im Ubrigen vom Zusammenhang abh¨ angig (Ferrari & Tartaglia 1547/1974, S. 68 und 95). Leonardo von Pisa jedoch nennt schon im 13. Jahrhundert in seinen Schriften folgerichtig und unbek¨ ummert beide, die Null und die Eins, numerus, d. i. Zahl, ohne jedoch u ¨ber den Zahlenbegriff zu reflektieren. Hierzu L¨ uneburg 1994. Leonardo schreibt in seinem liber abbaci von 1228, dass das Zeichen 0 auf Arabisch zephirum heiße. An einer Stelle in den eingangs erw¨ ahnten Bearbeitungen heißt die Null ciffra (Allard 1992, S. 25), w¨ ahrend sie dort sonst circulus genannt wird. Zephirum und ciffra sind Latinisierungen des arabischen as-sifr . Zephirum, cifra, ciffra, cyphra hat sich als Wort f¨ ur das Zeichen und die Zahl 0 bis in das 19. Jahrhundert hinein gehalten. So findet sich cyphra sehr, sehr h¨aufig im Sinne von null in Nepers Rabdologia von 1617 (Neper 1617/1966) und auch in seinen beiden B¨ uchern zu den Logarithmen, die wir im u ¨ bern¨ achsten Abschnitt untersuchen werden. Auch Gauß benutzte cifra noch in diesem Sinne in seinen Schriften (Gauß Werke 3, S. 8). Die Engl¨ ander benutzen es selbst heute noch so. Wenn ein Engl¨ ander von jemandem sagt, he is a mere cipher“, so meint er damit, dass ” dieser eine reine Null sei. Verbreitung erfuhr die indische Art, Zahlen darzustellen, durch Leonardo von Pisas liber abbaci und mehr noch — so Allard 1992 — durch die B¨ ucher seiner Zeitgenossen Johannes de Sacrobosco und Alexandre de Villedieu. F¨ ur die Zeichen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 benutzt Leonardo das Wort figura, bzw. figurae im Plural, wie dies auch schon die Bearbeiter taten. Das lateinische Wort figura wurde eingedeutscht zu Figur“. Dieses deutsche Wort hatte lange Zeit auch die Bedeutung, die wir ”

7. Ziffer, das Wort und die Sache

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heute mit Ziffer wiedergeben. Es findet sich mit diesem Sinne bei Adam Ries und seinen Zeitgenossen, die vor allem dieses Wort benutzten, wenn sie von Ziffern redeten. Die Bedeutung Ziffer“ hat das Wort Figur“ im Deutschen mittlerweile ” ” wieder verloren. Wir sprechen von f¨ uhrenden Nullen, wenn wir heute wie Ungebildete — so Fibonacci — Datumsangaben wie 01. 02. 2004 schreiben. F¨ uhrende Nullen stehen also vor der Zahl. Die letzte Ziffer einer Zahl, die Ziffer also, die ganz rechts steht, ist die Ziffer der Einerstelle. So wurde nicht immer gez¨ ahlt. In den lateinischen Bearbeitungen der Arithmetik Al-Hwarizmis aus dem 12. Jahrhundert ist die erste Stelle die Stelle rechter Hand, also die Stelle, an der die Ziffer der Einer steht. Die zweite Stelle ist dann die, an der die Ziffer der Zehner steht, usw. Das bleibt so u ¨ ber Leonardo Pisanos liber abbaci von 1228, das Bamberger Rechenbuch von 1483, die summa von Luca Pacioli 1494, die Rechenb¨ ucher von Adam Ries von 1522 und aus sp¨ ateren Jahren, die Praktik des Piero Cataneo von 1567, das Rechenb¨ uchlein von Simon Jacob 1571, die Arithmetik von Christopher Clavius 1607, bis hin zu Christian von Wolffs Anfangsgr¨ unde“ von 1749. Wann sich unser Sprachgebrauch ” durchgesetzt hat, weiß ich nicht. Dass unsere rechtsl¨aufige Schreibweise die Umorientierung erzwang, zeigt sich in einem italienischen Rechenbuch aus dem 14. Jahrhundert, in dem von Numeration und der Z¨ ahlung der Stellen nicht die Rede ist, wo es bei der Division durch 2 aber heißt: In questo modo puniamo, che noi uolessemo partire 7936 per mezzo, si cchominciamo dalla testa dele migliaia e di’: lo 12 di 7 `e 3 e rrimane .1. Das heißt: Wir rechnen auf folgende Weise, wenn ” wir 7936 in Halbe teilen wollen. Wir beginnen am Kopf, bei den Tausendern und sagen: ein Halb von 7 ist 3 und es bleibt 1.“ Hier beginnt man also die Division am Kopf, bei den Tausendern“ (Vogel 1977, S. 38). ” Auch bei Pacioli k¨ undigt sich diese Umorientierung an. Bei ihm heißt es von den Ziffern, die er figure nennt (Pacioli 1494, f. 19r ): lequali dieci sono in tutto: avenga che l’una d’esse non sia significatiua: ma al altro (quando fra loro ouer in fine del altre fosse posta) da el significare. Zu Deutsch: Zehn sind es insgesamt: ” es ist aber so (avenga), dass eine von ihnen nicht bedeutsam ist, aber anderen (wenn sie zwischen sie oder an ihr Ende gesetzt wird) Bedeutung gibt.“ Hieran ist bemerkenswert, dass die erste Stelle pl¨otzlich zum Ende wird. Die Stellen z¨ ahlt Pacioli jedoch, wie schon gesagt, more arabum von rechts nach links. Er sagt also ausdr¨ ucklich, dass das Z¨ahlen der Stellen von rechts nach links arabische Art sei. Dieses more arabum kommt im Text des Luca Pacioli h¨aufig vor und ist offensichtlich eine lateinische Floskel. Meist ist die Endung um“ abgek¨ urzt. Nach ” langer Suche findet man die Floskel aber auf f. 46r ausgeschrieben. Hier nun, was Fibonacci zu f¨ uhrenden Nullen meint. Zun¨ achst ist zu sagen, dass er zwei verschiedene Verfahren f¨ ur die Multiplikation bereitstellt. Das eine entspricht unserem Verfahren, wobei bei ihm die Zeilen jedoch rechtsb¨ undig und nicht — wie bei uns — diagonal verschoben untereinander geschrieben werden. Daf¨ ur wird bei ihm dann diagonal addiert. Uns interessiert hier das andere Verfahren. Bei diesem wird die Multiplikation von zwei je k-stelligen Zahlen erkl¨art, wobei die Multiplikation wiederum nur f¨ ur k := 2, 3, 4, 5 und 8 erl¨ autert wird.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Nachdem die Multiplikation zweier achtstelliger Zahlen erkl¨ art ist, rechnet Fibonacci das Beispiel 345 mal 698541. Diese Zahlen sind aber nicht gleich lang. Um sie gleich lang zu machen, f¨ ugt er der Zahl 345 drei f¨ uhrende Nullen hinzu, er rechnet also 000345 mal 698541. Dann sagt er: Verum quod de positione zephirorum post figuras dictum est, non nisi rudibus necessarium fore arbitrior, quia subtiles non indigent tali positione zephirorum. Das heißt: Was aber von der Positionierung ” der Nullen vor (er schreibt post also ,hinter‘) die Ziffern gesagt wurde, erscheint mir nur f¨ ur Ungebildete (rudibus) n¨ otig zu sein, da Feinsinnige (subtiles) solcher Positionierung von Nullen nicht bed¨ urfen.“ Das Zitat bei Boncompagni 1857, S. 17. — Was w¨ urde Fibonacci wohl von der heutigen Unsitte sagen, Datumsangaben wie 01. 04. 2007 zu schreiben, und das selbst in von Hand geschriebenen Texten? As-sifr, zephirum, cifra, Ziffer ist also urspr¨ unglich die Null. Es gibt aber eine Textstelle aus dem 13. Jahrhundert, bei der das Wort cifra schon eine andere Bedeutung hat. Diese Stelle findet sich in einer Abschrift des liber abbaci, die heute in der vatikanischen Bibliothek aufbewahrt wird und die laut Katalog aus eben dem 13. Jahrhundert stammt. In ihr kommen die W¨ orter zephirum und cifra nebeneinander vor. Ob mit cifra unsere Ziffern gemeint sind oder aber jedwede Zahl, ist nicht zu entscheiden, da die cifra genannten Zahlen dort alle einstellig sind, im Prinzip aber auch zwei- und mehrstellig sein k¨ onnten. Das Wort kommt n¨ amlich im Zusammenhang mit der Division mit Rest vor. Es steht dort eine Divisionstabelle, die wie folgt beginnt. de

est

cifra

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3

1 2 3 4 5 1 2 3

0 1 1 2 2 0 0 1

1 3

8

2

1 1 1 2

··· 2

··· In der ersten Zahlenreihe fehlt der Rest 1. Die letzte Zahlenreihe liest sich etwa: 1 Drittel von 8 ist 2 cifra 2. In anderen Abschriften des liber abbaci steht an Stelle von cifra die Floskel et remanet , was und es verbleibt“ heißt. Hier sieht man auch ” das Auftreten der Null als Ergebnis einer Rechnung. Im Bamberger Rechenbuch von 1483 kommt auch zweimal das Wort Ziffer“ vor. ” Die erste Stelle lautet: Auch ein iglicher in teutschen lesen vnd in ciffren erfaren ” mag an (= ohn. Anm. H. L.) alle vntter weysung von im selbs solichs gelernen.“ Hier kann man in ciffren erfaren“ als im Rechnen erfahren“ interpretieren, so ” ”

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wie im Englischen to cipher ja auch rechnen“ bedeutet. Bei der zweiten Stelle ” bleibt die Bedeutung von Ziffer“ mir unklar. Klar ist jedoch, dass an dieser Stelle ” nicht die Null gemeint ist. Die Stelle lautet: . . . vnd magst auch solichs alles nach ” der rechnung der ciffren der Tolleten.“ Was wir mit Ziffer“ bezeichnen, heißt in ” diesem Buch immer Figur“. ” Auch bei Adam Ries kommt das Wort Ziffer schon im heutigen Sinn vor. So heißt es in der ersten Auflage Seint aber mer dann vier ziffer vorhanden/so setz vff die ” vird ein Punctlein/als vffs tausent“ usw. (Deschauer 1991, S. 4). Ein zweites Mal kommt dieses Wort dort nicht vor. In den Auflagen von 1551, die achtundreißigste nach Gebhardt und Rochhaus, und 1558, die f¨ unfundvierzigste, die von Christian Egenolff in Frankfurt am Main gedruckt wurden, erscheint das Wort Ziffern“ ” schon im Titel (Gebhardt und Rochhaus 1997). Er lautet: Rechenbuch/auff den ” Linien vnd Ziphren/in allerley Handthierung/Gesch¨ aften vnnd Kauffmanschafft.“ Nachdem er in diesem Buch das Rechnen auf den Linien, das ist auf dem Rechenbrett, erkl¨ art hat, f¨ ahrt er fort: Volgen die Species mit Federn oder Kreiden in ” Ziffern zu rechnen“ (Ries 1574/1978. Dies ist die 69. Auflage.). Von den Species zeigt er dann, wie man sie mit der Feder oder der Kreide — schriftlich also — durchf¨ uhrt. Wie kam es dazu, dass das Wort Ziffer nicht mehr nur die Null bezeichnete? Nun, das lag daran, dass die Null einen neuen Namen bekam, n¨ amlich den Namen Null“. Dieser Name kommt von dem lateinischen Wort nullus, nulla, nullum, ” welches keiner, keine, keines“ heißt. Dies tauchte vor f¨ unfhundert Jahren und ” mehr in den Mathematikb¨ uchern Italiens, Frankreichs und Deutschlands auf. Ein sehr fr¨ uhers Beispiel ist das Buch arte giamata aresmetrica (Die Kunst, genannt Arithmetik) eines unbekannten lombardischen Rechenmeisters vom Beginn des 15. Jahrhunderts (Anonimo 15. Jahrh./1983, S. III f¨ ur die Datierung). Dort heißt die Null la nula (Anonimo, S. 2). Merkw¨ urdigerweise benutzt Adam Ries in seinem Rechenbuch kein Wort f¨ ur die Null. Kommt sie vor, so steht dort immer der Kringel 0. Bei Peter Apian, einem Zeitgenossen von Adam Ries, finden sich die W¨orter f¨ ur alle Ziffern, die bei ihm wie damals u ¨ blich figuren“ heißen. Der Kringel heißt ” bei ihm ein Nulla“. Es steht wirklich ein“ da und, was ich bei Simon Jacob ” ” fand, deutet darauf hin, dass man damals das Nulla“ sagte. Dies ist deswegen ” merkw¨ urdig, weil nulla im Lateinischen weiblich ist. Wir sagen heute dementsprechend die Null“. Die weibliche Form findet sich sp¨ atestens 1749 bei Christian von ” Wolff. Er sagt: die Nulle.“ ” Luca Pacioli kann sich nicht entscheiden. Bei ihm findet sich nulla mit dem annliche un, el auf f. 20r . Mit dem m¨annlichen wie dem weiblichen Artikel. Der m¨ weiblichen Artikel la findet sich nulla bei dem, was Pacioli zur Numeration sagt (Pacioli 1494, f. 19r ). Mit dem neuen Namen f¨ ur die Null wurde das Wort cifra bzw. Ziffer frei und konnte nun auch die anderen Zahlzeichen bezeichnen, aus denen sich das indische System aufbaut. ¨ Da gibt es nun gleich eine hochinteressante Uberraschung, wie n¨ amlich Albrecht D¨ urer das Wort ziffer“ in seiner Underweysung“ verwendet. Es kommt dort ” ”

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dreiunddreißigmal vor. Das Wort zal“ habe ich zweiundsechzigmal gez¨ahlt. Sieht ” man von der Stelle ab, an der die Zahlen 2, 4, 8, 16, bzw. 3, 9, 27, 81 durch Strecken repr¨ asentiert und zal“ genannt werden — es ist die Figur 49 aus Buch I —, werden ” beide W¨ orter synonym f¨ ur Zeichenketten aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 verwendet. Die vorkommenden Zeichenketten sind maximal zweistellig, aber auch zweistellige werden Ziffer genannt. Benutzt werden diese Zeichenketten nun nicht, um Zahlen zu repr¨asentieren, sie werden vielmehr als Namen f¨ ur geometrische Objekte benutzt, wobei es D¨ urer auf die Systematik der Namensgebung ankommt. Es geht ihm darum, geometrische Zuordnungen zu beschreiben. Besonders sch¨ on auch auf Blatt 17v — man muss die Bl¨atter, anfangend mit dem Titelblatt, selber z¨ahlen — in Zeile 3 Das thue ich auf allen getzifferirten linien“. Diese Linien sind ” von 1 bis 11 getzifferirt“ (D¨ urer 1525/1983). ” In dem von Pangratz Jacob herausgegebenen Rechenb¨ uchlein seines verstorbenen Bruders Simon Jacob (Jacob 1571) werden die Bl¨ atter durchnummeriert. Am Ende des Buches findet sich eine Liste von Errata. Es heißt dort: Correctur. Die ” erst ziffer bedeut das blat/a die erst/b die ander seit des blats/die folgend zal zeigt die lini/vnd darnach folgt/wie mann den jrthumb recht lesen soll.“ Der erste notierte Fehler findet sich auf Folio 17b und der letzte auf Folio 144a. Es werden also auch hier zwei- und dreistellige Zahlen Ziffern genannt. Im vierten Kapitel wird es um die Entdeckung der L¨ osungsformel f¨ ur die kubischen Gleichungen gehen. Tartaglia, der sie gefunden hatte, berichtet davon, dass Cardano ihn bedr¨ angte, ihm, Cardano, die L¨ osungsformel mitzuteilen. Er lehnte zun¨ achst ab, weil er die L¨osung selbst publizieren wolle. Nach langem Dr¨ angen, reiste er dann doch von Venedig, wo er zu Hause war, noch nach Mailand, wo sie sich in Cardanos Haus trafen und miteinander sprachen. Es gibt nur Tartaglias Bericht von diesem Gespr¨ ach, und weil es sp¨ater Unstimmigkeiten zwischen den beiden gab, ist dieser Bericht mit Vorsicht zu genießen. Was aber in unserem Zusammenhang wichtig ist, ist unabh¨ angig davon, ob der Bericht die Wahrheit wiedergibt oder nicht. Tartaglia berichtet n¨amlich, dass Cardano ihm unter Eid versprochen habe, seine — Tartaglias — Entdeckung nicht zu publizieren und dass er sie sich in zifera notieren wolle, damit niemand die Notiz lesen k¨ onne, falls er st¨ urbe (Tartaglia, Quesiti Buch 9, Quesito XXXIIII). Schon damals bedeutete also in zifera in Geheimschrift“. Ausf¨ uhrlicheres zu diesem Bericht im vierten Kapitel. ” Laut dem grimmschen W¨orterbuch hat auch schon Luther, ein etwas a¨lterer Zeitgenosse von Tartaglia und Cardano, Ziffer im Sinne von Geheimschrift benutzt. In diesem W¨orterbuch mehr zum Stichwort Ziffer“. ” Heute bezeichnen wir Geheimschriften mit dem franz¨ osischen Wort Chiffre, das nat¨ urlich auch von as-sifr abstammt. Zu diesem Wort geh¨ oren zwei Verben, chiffrieren“ und dechiffrieren“. Das erste bedeutet, dass man einen Text, der nur ” ” einem Befugten zug¨anglich sein soll, verschl¨ usselt, dh., mittels eines systematischen Verfahrens unleserlich macht. Dabei ist es wichtig, dass das Verfahren systematisch ist, dh., festgelegten Regeln folgt, damit n¨amlich der, der den Schl¨ ussel hat, den Text wieder entschl¨ usseln kann. Statt entschl¨ usseln“ sagt man dann auch dechif” ” frieren“. Es gibt im Deutschen noch das Wort entziffern“. Auch dieses bedeutet, ”

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einen unleserlichen Text wieder lesbar zu machen. Doch der Unterschied zu dem Wort dechiffrieren“ ist der, dass der Schreiber des Textes, der entziffert werden ” soll, den Text nicht willentlich und systematisch chiffriert hat. Die alten Schriften ¨ der Babylonier und Agypter mussten wieder entziffert werden, da die Kenntnis dieser Schriften im Laufe der Jahrhunderte verloren gegangen war. Diese meine Unterscheidung zwischen entziffern“ und dechiffrieren“ gilt zu” ” mindest f¨ ur das 19. Jahrhundert nicht ganz so streng, wie das folgende Zitat zeigt. Auf ihre R¨ uckkehr nach Rom bezieht sich ein anderes undatiertes Schreiben an ” denselben Vincenzo Giordano; es enth¨ alt absichtliche nicht mehr zu entziffernde Dunkelheiten und offenbar mit ihrem Diener verabredete Namen; auch die Unterschrift ist eine konventionelle Ziffer.“ (Gregorovius, 1874/1997, S. 137.) Es geht hier um einen Brief Lucrezia Borgias. Das Wort Chiffre wird noch in einem zweiten, verwandten Sinne gebraucht, verwandt, weil es wie die Geheimschrift stellvertretend und dar¨ uberhinaus abk¨ urzend und verdichtend f¨ ur etwas steht und durch seinen Gebrauch beim Betrachter, beim H¨ orer oder beim Leser die gew¨ unschte Assoziation auf das Dargestellte hervorruft. Bei Koschatzky liest sich das so: K¨ unstlerische Emotion wird also nur durch ganz bestimmte Bedingungen aus” gel¨ost, durch bestimmte, dem Werk und dem Menschen innewohnende Gesetzlichkeiten. Diese tragen die wesentliche Bedeutung des Kunstwerks, ihre zu Chiffren verdichtete Aussage.“ (Koschatzky 1986, S. 13) Weitere Beispiele bei Koschatzky 1986 auf den Seiten 17 und 18, sowie bei P¨ orsken 1989, S. 58/59, 64 und Rinser 2003, S. 18 Heutzutage kann Ziffer auch jedwede Zahl bedeuten. Wer keinen Beleg zur Hand hat, der sei auf Vogt 1962, S. 98, und Thomas Mann 1975, S. 169 verwiesen. Das Ziffer jegliche Zahl bedeuten kann, wird auch durch das h¨ aufig vorkommende Wort Dunkelziffer“ belegt. ” Irgendetwas beziffert sich auf . . . “ Hier geht es meist um eine Summe Geldes. ” Schließlich haben Uhren ein Zifferblatt und die r¨ omischen Zahlzeichen nennt man gelegentlich auch r¨ omische Ziffern. Am 5. Juli 2007 lernte ich noch eine zweite Bedeutung des Wortes beziffern“, ” n¨ amlich eine Zahl mittels Ziffern darstellen“. Hier zwei Belege aus Boetters 2005, ” S. 13/14 bzw. S. 16: Durch diesen Angang kommen einzelne Verbalisierungen anderer Art, vor ” allem aber Bezifferungen in den Blick, die erst in r¨omischer, sp¨ ater in arabischer Form h¨ aufig begegnen. Der oft vernachl¨ assigte Umstand, dass den Zahlw¨ortern mit den Ziffern ein zweites (wenn auch nur schriftlich verwendbares) Symbolsystem zur Seite steht, gestattet die Wahl und den Wechsel der Systeme bei der Textproduktion. Daraus ergibt sich die M¨ oglichkeit von Interferenzen, deren Aufdeckung die Ber¨ ucksichtigung auch der bezifferten Halbzahlwerte erforderlich macht.“ Dabei kann nun prinzipiell eine Stufe gew¨ ahlt werden, die unter oder u ¨ber ” dem gemeinten Zwischenwert liegt. So l¨ asst sich 18 von 10 wie auch von 20 aus erreichen (dt. achtzehn : lat. duodeviginti, . . . Beide Arten des Angangs sind auch bei Bezifferung m¨oglich. Im r¨ omischen System wird 11 von unten (XI), 9 von oben

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(IX) her erfasst, wurde 90 bald als LXXXX, bald als XC ausgebracht.“ Der Ausdruck j¨ udische Ziffern“ in Seibt 2003, S. 293. Dort: Vier Synagogen ” ” markierten in Prag den Mittelpunkt des j¨ udischen Lebens. Ein bekanntes Rathaus aus der Renaissanceepoche mit weithin sichtbarem Uhrturm k¨ undete auch vom Reichtum der bis 1848 selbst¨andigen (sic) Gemeinde. Aber eben: Die Rathausuhr zeigte j¨ udische Ziffern, und die Zeiger gingen im umgekehrten Sinn.“ Das Rathaus steht in der ,Maislova ulice‘. Es hat zwei Uhren, eine konventionelle nahe der Turmspitze und die erw¨ ahnte, die sich am Giebel befindet. Beide Uhren wurde von dem k¨ oniglichen Hofuhrmachermeister Sebastian Landesberger im Jahre 1764 gebaut. H¨ alt man eine Ansichtskarte der fraglichen Uhr in der Hand — meine schickte mir Peter Schreiber aus Prag —, so sieht die Uhr zun¨ achst nicht anders aus als andere Uhren, sieht man von den ungew¨ ohnlichen Zahlzeichen ab. Insbesondere ist auf den ersten Blick nicht zu erkennen, dass sie entgegen dem Uhrzeigersinn (sic) herum l¨ auft. Klar wird das dem nicht Eingeweihten erst, wenn er die j¨ udischen Ziffern mit dem vergleicht, was Menninger dazu schreibt (Menninger 1958, Band 2, S. 70). — Man sieht nur, was man weiß. Im Dogenpalast in Venedig gibt es auch eine Uhr, deren Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn laufen. Ihr Geheimnis: Die Uhr hat zwei Zifferbl¨ atter, eines auf der Vorderseite und eines auf der R¨ uckeite der Zimmerwand. Ein Zeigerpaar falsch herumlaufen zu lassen, vereinfacht die Mechanik. Im Englischen, Franz¨ osischen und Italienischen heißt die Null heute zero. Dieses Wort findet sich, wie erw¨ ahnt, auch bei Pacioli auf f. 19r . Er sagt, die Null hieße nulla oder zero. Auch zero kommt von as-sifr . Ziffer, chiffre, cipher, cifra, das sind W¨ orter f¨ ur Ziffer“ im Deutschen, Franz¨ o” sischen, Englischen und Italienischen. Das Englische hat daneben auch noch das Wort figure bewahrt und to figure und to cipher stehen in dieser Sprache f¨ ur rechnen“. Auch im heutigen Niederl¨ andischen steht cijferen f¨ ur rechnen“. Der ” ” Titel einer Arithmetik von 1718 lautet: De Cyfer-Konst. Sie stammt von David Cock und wurde f¨ ur eine weitere Auflage von einem Dritten durchgesehen. Das liest sich dann so: Van alle voorgaende Druck-fauten gesuyvert ende verbetert door Guilliam Vander Heyden, School ende Cyfer-Meester der Stadt Brussel. Das Spanische und das Portugiesische benutzen ebenfalls das Wort cifra in diesem Sinne. Beide Sprachen haben aber auch noch ein anderes Wort f¨ ur Ziffer, n¨ amlich guarismo (spanisch) bzw. algarismo (portugiesisch). Wie erkl¨ aren sich diese Namen? Nun, sie leiten sich von dem Namen Al-Hwarizmi her. So beginnt die erste von Allard abgedruckte Bearbeitung der Arithmetik Al-Hwarizmis mit dixit algorizmi, dh., es sprach Al-Hwarizmi. Dies wird wenig sp¨ ater wiederholt. Auf der n¨ achsten Seite heißt es inquit Algorizmi, dh., sagte AlHwarizmi. Es wird also immer wieder auf den Autor des urspr¨ unglichen Textes Bezug genommen. Auch in den anderen Bearbeitungen ist von Alchoarismi, Alchorismi als von einem Manne die Rede. Was das Abendland von ihm lernte, lief schon bald unter dem Namen algorismus (Tropfke 1980, S. 3). Portugiesen und Spanier haben das in ihren Sprachen bewahrt. Als Beleg habe ich nur die langenscheidtschen Taschenw¨orterb¨ ucher dieser beiden Sprachen und die Versicherung

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von Kollegen, deren Muttersprache Spanisch bzw. Portugiesisch ist. Literarische Spuren habe ich aber aus dem Englischen. Der Begriff figures of augrim taucht schon in einem englischen Manuskript Ancrene Wisse“ vom Beginn des 13. Jahrhunderts auf. Dies erz¨ahlte mir vor ” Jahren der Romanist Otfried Lieberknecht. Man findet den Ausdruck in der Oxforder Handschrift auf f. 57 verso. Dies entnehme ich der Edition Tolkien,1 wo die fragliche Stelle auf S. 111 in der ersten Zeile steht (Tolkien 1962). So, wie der Text dort wiedergegeben ist, kann ich ihn hier nicht nachschreiben, da mir einige der von Tolkien benutzten Charaktere fehlen, die er dem Schreiber der Handschrift nachmacht und dazu dienen, Laute zu schreiben, die dem Englischen eigen sind. Ich kann dem Leser jedoch versichern, dass das Englische, das der anonyme Autor benutzt, sehr, sehr fremd ist, viel fremder noch als das Englische, das Chaucer rund anderthalb Jahrhunderte sp¨ ater schreibt, von ¨ dem wir gleich eine Kostprobe erhalten. Ich muss mich daher mit der Ubersetzung ¨ ¨ dieser Stelle begn¨ ugen, wobei ich dem Ubersetzer aber nicht in seiner Ubersetzung des figures of augrim in arithmetical figures folge, sondern die urspr¨ unglische For¨ mulierung stehen lasse. Hier also die Ubersetzung von Hugh White (White 1993, S. 101): The covetous person is his ashbum. He plays about with the ashes and sets ” himself busily to heap together many great heaps. He blows on them and blinds himself, he pokes about and makes figures of augrim in them, as these accountants do who have a lot to count.“ Das Wort ashbum“, Aschengammler“, steht f¨ ur ” ” ein Wort des Originals, das nicht eindeutig zu interpretieren zu sein scheint. Der ¨ ¨ Ubersetzer kommentiert seine Ubersetzung ashbum“ jedenfalls und bezieht sich ” auch noch auf einen weiteren Kommentator. Da es in Ancrene Wisse nicht ums Rechnen geht — es ist ein Buch, das Anachoretinnen Regeln an die Hand gibt, ihr Einsiedlerleben Gott gef¨ allig zu gestalten —, kann man aus dem Kontext nicht erschließen, ob mit figures of augrim wirklich die Ziffern der Inder gemeint sind. Vermutlich ist dar¨ uber schon trefflich gestritten worden. Ich belasse es daher bei der Erw¨ ahnung der Stelle, mache nur darauf aufmerksam, dass diese Schrift etwa zur gleichen Zeit geschrieben wurde, wie die zweite Version von Leonardos liber abbaci. In Chaucers Treatise on the Astrolabe — ich fand ihn auf dem Internet —, der Ende der neunziger Jahre des 14. Jahrhunderts geschrieben wurde und in dem Chaucer einem Jungen von zehn Jahren den Gebrauch des Astrolabs erkl¨ art, finden sich in den Abschnitten 7, 8 und 9 von Teil I die folgenden S¨ atze: Over ” ¨ welchen Gradthe whiche degrees there ben noumbres of augrym . . . “, dh., Uber ” markierungen Zahlen in augrym stehen . . . “ And the nombre of the degrees of ” thoo signs be writen in augrym above, . . . “, dh., Und die Zahl der Grade jener ” Zeichen (der Tierkreiszeichen) ist in augrym dar¨ uber geschrieben.“ — Das be ” written“ muss hier mit ist geschrieben“ u ¨ bersetzt werden, da es an dieser Stelle ” um die Beschreibung eines fertig vorliegenden Instrumentes geht. — bzw. . . . , ” and the nombre in augrym writen under that cercle.“ Und die Zahl unter jenen ” 1

Dies ist der Tolkien, der auch das Buch Der Herr der Ringe“ schrieb. ”

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Kreis in augrym geschrieben.“ Mit augrym sind offenkundig die indischen Ziffern gemeint. Chaucers Treatise on the Astrolabe ist das a¨lteste Werk zu einem wissenschaftlichen Thema, das wir kennen, das in englischer Sprache geschrieben ist. Dass er kein Latein benutzt, begr¨ undet er mit den noch nicht sehr großen Lateinkenntnissen seines Adressaten. Ironisch bemerkt er dar¨ uber hinaus, dass auch die Griechen kein Latein geschrieben h¨ atten. Man liest immer wieder in B¨ uchern zur Geschichte der Mathematik, dass die Stadt Florenz im Jahre 1299 den Kaufleuten den Gebrauch der indischen Ziffern in ihren Gesch¨ aftsb¨ uchern verbot. Dies erw¨ahnte eine Kommilitonin bei ihrem Vortrag im Katastrophenseminar des WS 2001/02. Dieses Verbot sei Ausfluss der Haltung von Vertretern der Kirche gewesen, die Ziffern als heidnisches Teufelszeug verdammt h¨ atten. Das ließ mich aufhorchen, hatte mir doch ein B¨ acker in Rom erz¨ahlt, dass der Vatikan einmal eine Salzsteuer einf¨ uhrte, woraufhin die B¨ acker in der Toscana, in Umbrien und in einer dritten italienischen Provinz, deren Namen ich vergessen habe, den Brotteig nicht mehr salzten, um so die Steuer zu umgehen. Die Tradition, ungesalzenes Brot zu backen, ist in Florenz ungebrochen. Ich konnte mir also nicht vorstellen, dass Florentiner Kaufleute kirchlicher Vertreter wegen auf eine Bequemlichkeit verzichteten. Sie mussten bessere Gr¨ unde haben. Ich ging der Sache nach. Zun¨ achst aber noch eine Bemerkung zu dieser Florentiner Geschichte. Sie hat einen Haken. Florenz war immer unabh¨ angig vom Vatikan. Wenn die Geschichte nicht stimmen sollte, so zeigt sie doch, was man den Toskanern zutraute. Es gibt von ihr noch eine zweite Version, die ich damals — zum Gl¨ uck, muss ich heute sagen, — noch nicht kannte, dass n¨ amlich um 1100 herum, Pisa und Florenz im Streite lagen, so dass Florenz vom Salz abgeschnitten war, usw. Die Kommilitonin hatte mir als ihre Quelle das Buch von Wußing genannt (Wußing 1989). Und in der Tat, dort findet sich diese Aussage (S. 121). Dort findet sich aber auch, wenn auch nicht direkt auf das Verbot bezogen, dass die indischen Ziffern nach damaligem Verst¨ andnis leicht zu f¨ alschen seien. Das hatte die Kommilitonin unterschlagen. Es ist ja auch nicht so spektakul¨ ar. Wußing gibt keine Quellen. Ich schrieb ihm und fragte ihn nach diesen. Er verwies mich an Menninger. Bei Menninger nichts von der Ansicht der Vertreter der Kirche u ¨ber die indischen Ziffern. Er sagt nur allgemein: Die einen halten sie f¨ ur Teufelswerk“, wobei ” er keine Quellen angibt (Bd. II, S. 240). Er erw¨ ahnt aber als Quelle f¨ ur das Verbot des Gebrauchs der indischen Ziffern das statuto (sic) dell’arte di (sic) cambio, ohne bibliografische Details zu geben (Menninger 1979, II, S. 244). Er zitiert ferner aus einem — wie er sagt — alten venezianischen Werk u ¨ber Buchf¨ uhrung, dass man sich nur der alten Ziffern bedienen solle, da die modernen sich so leicht f¨ alschen ließen. Auch zu diesem Werk macht er keine bibliografischen Angaben. ¨ Die statuti dell’arte del cambio fand ich u ¨bers Internet. Uber das alte veneziani¨ sche Werk gr¨ ubelte ich lange. Dann wurde ich bei Tropfke f¨ undig, der im Ubrigen wiederholt, dass den Florentiner Kaufleuten im Jahre 1299 der Gebrauch der indi-

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schen Ziffern untersagt wurde. Er beruft sich auf Nagl 1889 und Hankel 1874/1965 (Tropfke 1980, S. 63). Bei Hankel steht in der Fußnote auf S. 341 u. a.: Im XIII. S¨ac. scheinen sie ” (die Ziffern, Anm. H. L.) in der That bereits von Kaufleuten gebraucht worden zu sein, da im Jahre 1299 den Florentiner Kaufleuten verboten wird, ihre B¨ ucher in abbaco zu halten (um m¨ oglichen Missbrauch zu verh¨ uten?) und geboten, sich der lettere romane zu bedienen oder die Zahlw¨ orter auszuschreiben (Archivio storico, Append. t. III. Florenz 1848. p. 528. (Struik 1968 zitiert in seiner Fußnote (1) offensichtlich die gleiche Stelle, jedoch mit der Jahreszahl 1846.))“ Was an der von Hankel zitierten Stelle wirklich steht, konnte ich bislang nicht kontrollieren. Nagl ist wohl Menningers Quelle. Bei ihm findet sich das statuto. mit o am Ende und dem di vor cambio, wie es sich auch bei Menninger findet. Hinzukommt, dass die von Menninger w¨ ortlich wiedergegebene Stelle aus dem alten venezianischen Werk u ¨ ber die Buchf¨ uhrung ebenfalls bei Nagl steht, kein Wort mehr, kein Wort weniger. Bei Nagl steht es in der Fußnote 2) von S. 166. Dort wird auch die Quelle genannt: Domenico Manzoni, Libro mercantile ordinato col suo Giornale et Alfabeto per tener conti doppi al modo di Venetia di Domenico Manzoni da Uderzo, Venedig 1564 und 1573. Nagl zitiert dar¨ uberhinaus w¨ ortlich die fragliche Stelle aus den statuti dell’arte del cambio. Er klagt, dass sie noch nicht im Druck zug¨ anglich gemacht seien. Das ist in der Zwischenzeit geschehen (Marri 1955). Ich zitiere zun¨achst nach dieser Ausgabe. CII. QUOD NULLUS DE ARTE SCRIBAT IN SUO LIBRO PER ABBACUM. Item statutum et ordinatum est quod nullus de hac arte audeat vel permictat per se vel per alium scribere vel scribi facere in suo libro vel quaterno vel in aliqua parte eius, in quo vel quibus scribat data et accepta, aliquid quod per modum vel licteram abbachi intelligatur, set aperte et extense scribat per licteram. Facienti contra teneantur consules tollere nomine pene soldos viginti florenorum parvorum pro qualibet vice et pro qualibet scripta, et nicchilominus teneantur consules, si ad eorum manus pervenerit aliquid scriptum esse contra predicta vel aliquod predictorum, per se et eorum offitium condempnare modo predicto. Et predicta locum habeant a medio mense aprelis sub annis Domini millesimo ducentesimo nonagesimo nono, yndictione duodecima, in antea, scilicet de libris incipiendis scribi a medio mense aprelis, in antea et pro rationibus que scribentur a medio mensi aprelis in antea. In diesem Text kommt zweimal das Wort abbacus im Sinne von Ziffer vor. Im Titel heißt es, Dass keiner der Gilde (ars) mittels Ziffern (per abbacum) in sein ” Buch schreibe.“ Im eigentlichen Text heißt es dann umst¨andlich und penibel — juristisch muss der Text ja v¨ ollig klar und unzweideutig sein —, dass man die Ausgaben und Einnahmen nicht nach Art der Rechenkunst, dh., mittels ihrer Schriftzeichen (per modum vel licteram abbachi), sondern nur mittels Buchstaben (per licteram) in sein Buch oder sein Heft schreiben oder von Dritten schreiben lassen d¨ urfe. Jeder einzelne Verstoß w¨ urde mit einer Strafe von 20 Schillingen geahndet. Belege daf¨ ur, dass abbaco, der italienische Abk¨ ommling von abbacus, im

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Sinne von Ziffer benutzt wird, finden sich in Edler 1934/1970. In den Statuten findet sich keine Begr¨ undung f¨ ur dieses Verbot. Begr¨ undungen geh¨oren da auch nicht hinein. Sie geh¨ oren in die Diskussion vor Erlass solcher Statuten und in nachfolgende Kommentare. Von den Diskussionen vor Erlass dieser Statuten und nachfolgenden Kommentaren scheint aber nichts bekannt zu sein. Es sind die statuti dell’arte del cambio, die Statuten der Gilde der Geldwechsler also. Waren die Florentiner Kaufleute Mitglieder dieser Gilde? Wenn ja, so muss man ein Wort dar¨ uber verlieren. Nagl nennt die Statuten auf S. 163 seiner Arbeit Gesetz“ und spricht auf ” S. 165 Von einem ausdr¨ ucklichen gesetzlichen Verbote der Anwendungen der ” Abacus-Darstellung und der arabischen Ziffern“ und Menninger sagt in diesem Zusammenhang, dass der Rat von Florenz den Kaufleuten dieser Stadt den Gebrauch der Ziffern verboten h¨ atte (Menninger 1979, S. 244). Das ließ mich nach der Rechtsaufsicht der damaligen Zeit u ¨ber Gewerbe und Handel fragen. Die Sache ist verzwickt und wohl auch f¨ ur den Fachmann nicht leicht zu durchschauen. Hier in a¨ußerster K¨ urze, was ich bei Davidsohn 1969 u ¨ ber die Zust¨ande im damaligen Florenz fand. Im 13. Jahrhundert mehrten sich die sozialen Spannungen in Florenz. Die Oberschicht, i magnati, herrschte nach ihrem Gutd¨ unken und Mord und Totschlag waren an der Tagesordnung. Die Blutrache, la vendetta, die uns an Korsika und Albanien denken l¨ asst, geh¨orte zum Florentiner Alltag. Das Volk, i popolani, das heißt die Handwerker und kleinen Gesch¨ aftsleute, in den Gilden organisiert, wurde sich langsam seiner Macht bewusst, da es durch seine Arbeit maßgeblich zum Reichtum der Stadt beitrug. Es gab einundzwanzig Gilden, zw¨ olf arti maggiori und neun arti minori. Bislang kenne ich nur vier von ihnen mit Namen: Arte di Calimara, Arte di Cambio, Arte della Lana, Arte della Seta, das sind die Z¨ unfte der Wollh¨ andler, der Geldwechsler, der Wollwirker, der Seidenspinner. Die Großkaufleute geh¨ orten alle der Arte di Calimara — also nicht der Arte di Cambio — an. Den Gilden gelang es nun — unblutig, wie es scheint —, die Magnaten aus der Regierung zu verdr¨ angen. Im Januar 1283 traten die Ordinamenti della Giustizia in Kraft. Sie waren das Grundgesetz der Florentiner Republik, die bis 1529/30 w¨ahrte. Dieses Grundgesetz richtete sich direkt gegen die magnati, die in irgendwelchen Listen namentlich genannt sind. Es sind klangvolle Namen. Die Antinori und wohl auch andere gibt es heute noch. W¨ ahrend der anderthalb Jahrhunderte, die die Republik bestand, f¨ uhrten die Gilden die Gesch¨ afte der Stadtregierung. Wie dies im Einzelnen geregelt war, weiß ich nicht. Auch meine urspr¨ ungliche Frage nach der Rechtsaufsicht u ¨ ber die Gilden und der Rechtswirksamkeit ihrer Statuten, ist nicht beantwortet. Klar ist aber die enge Verflechtung — um nicht von Filz zu sprechen — von Gilden und Stadt. Nagl liest den Artikel CII — bei ihm CI — der Statuten der Gilde der Geldwechsler als Verbot des Gebrauchs der indischen Ziffern in den B¨ uchern der florentinischen Kaufleute, was meines Erachtens nicht gerechtfertigt ist. Ich bin da mit Struik einer Meinung, der auf das Beispiel F. Cajori verweist, der auch behauptet, dass den Florentiner Kaufleuten im Jahre 1299 der Gebrauch der indischen Zif-

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fern verboten worden sei (Cajori 1938, S. 121). Cajori gibt keinen Beleg f¨ ur seine Behauptung. Nagl berichtet nun an Hand vieler Quellen, dass die Kaufleute nur sehr langsam anfingen, sich der indischen Ziffern und der mit ihnen verbundenen Rechenverfahren zu bedienen. Als Grund kommt er immer wieder auf das Verbot von 1299 zur¨ uck. Von Venedig sagt er, Von einem ausdr¨ ucklichen gesetzlichen Verbote der ” Anwendung der Abacus-Darstellung und der arabischen Ziffern, wie sie in Florenz bestand, ist mir zwar f¨ ur Venedig nichts bekannt, aber dass der Rechtssatz dort ebenfalls bestand, unterliegt schon nach jener absichtlichen Umgehung der Ziffern keinem Zweifel, . . . “ Hier scheint mir der Wunsch Vater des Gedankens. Er f¨ uhrt als weiteren m¨ oglichen Grund f¨ ur den anfangs nicht sehr h¨ aufigen Gebrauch der Ziffern an, dass mit r¨ omischen Zahlzeichen geschriebene Zahlen vor Gericht beweiskr¨ aftiger waren (Nagl 1889, S. 167). Daf¨ ur gibt er aber keinen Beleg. Er hat jedoch noch eine Quelle f¨ ur ein Verbot des Gebrauchs von Ziffern. Den Rechenmeistern der Stadt Frankfurt am Main wurde es im Jahre 1494 verboten, sich der indischen Ziffern in den Rechnungsb¨ uchern der Stadt zu bedienen. Er beruft sich dabei auf Kriegk (1886/1969, Bd. II, S. 83), der dort berichtet, dass er in den Rechnungsb¨ uchern der Stadt Frankfurt am Main zum ersten Male am Karlstag, das ist der 28. Januar, des Jahres 1494 indischen Ziffern begegnete, dass den Rechenmeistern der Stadt deren Benutzung aber kurz darauf untersagt wurde, wie am Tage Invocavit (s. u.) des gleichen Jahres im B¨ urgermeisterbuch vermerkt sei. Kriegk f¨ uhrt weiter aus, dass er den indischen Ziffern erst wieder ab 1546 in den Rechnungsb¨ uchern der Stadt begegnete. Man muss sich hier auf Kriegk verlassen, der im 19. Jahrhundert eine Weile Leiter des Frankfurter Stadtarchivs war, da die Rechnungsb¨ ucher der damaligen Zeit bei den Luftangriffen des Jahres 1944 auf Frankfurt verbrannt sind. Die B¨ urgermeisterb¨ ucher aber haben den Krieg u ¨ berdauert. In dem Buch, das im Laufe des Jahres 1493 beginnt, finden sich unter dem Datum Quarta post Inuocauit , das ist der Donnerstag, bzw. der Mittwoch, falls der Sonntag mitgez¨ ahlt wird, nach dem ersten Fastensonntag des Jahres 1494, u. a. die folgenden beiden Eintr¨ age, die unmittelbar aufeinander folgen. — Item vff hude haben die Rechenmeister die rechnung getan Inen dancken vnd sagen vlijs zu thun Die Schuld Intzufordern sie sollen auch Inn die m¨ untz gehen — Item sollen die Rechenmeister sich hinf¨ ure mit Zifferen zu rechen maßen (B¨ urgermeisterbuch von 1493, f. 103verso . Im Original zwei lange S statt des ß. Keine Satzzeichen.) Das Wort maßen“ ist laut dem grimmschen W¨orterbuch mehrerer Deutungen ” f¨ ahig. Die Deutung m¨aßigen“, nicht gebrauchen“ scheint die richtige zu sein, da ” ” Kriegk berichtet, dass die indischen Ziffern erst viele Jahre sp¨ ater in den Rechnungsb¨ uchern wieder auftauchen. Wenn man beide Eintr¨ age zusammen betrachtet und seiner Fantasie freien Lauf l¨ asst, kann man sich vorstellen, dass die Rechenmeister bei der Rechnungslegung sich der indischen Ziffern bedienten und dadurch die Kontrolleure u ¨ berforderten, so dass es zu dem Verbote kam. Nagl findet in dem oben erw¨ ahnten venezianischen Werk u ¨ber die doppelte

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Buchf¨ uhrung einen weiteren Grund f¨ ur den sp¨ arlichen Gebrauch der indischen Ziffern durch die Kaufleute, indem dort auf die leichte F¨ alschbarkeit der Ziffern hingewiesen wird: Aus der Null — sie heißt dort il nulla — k¨ onne man leicht eine Sechs oder eine Neun machen. Dieses Argument hat Menninger u ¨ bernommen, wie wir sahen. Als das venezianische Werk erschien, hatte Adam Riesens Buch schon die 69. Auflage erlebt (Gebhard und Rochhaus 1997). In diesem Zusammenhang ist von Interesse, dass das Institut f¨ ur Stadtge” schichte“ der Stadt Frankfurt einige Gesch¨ aftsb¨ ucher der venezianischen Filiale der Frankfurter Firma Wolf Blum aus den Jahren 1492–1494 aufbewahrt, deren Eintr¨ age mit indischen Ziffern geschrieben wurden, was nicht heißt, dass nicht gelegentlich eine mit r¨omischen Ziffern geschriebene Zahl vork¨ame. Schließlich ruft Nagl auch noch Luca Pacioli zum Zeugen an, der in der Tat schreibt, man solle die Jahreszahl mit r¨ omischen Zahlzeichen zuoberst in die B¨ ucher schreiben. Er zitiert w¨ ortlich, sagt aber nicht, dass wenige Zeilen sp¨ater steht (Pacioli 1494, Blatt 202r): Donca dirai cosi. traendola fore pure alabacco antico per piu belle¸ca non dimeno aqual che tu te caui non fa caso etc. Donca dirai cosi Jesus MccccLxxxxiij Das heißt: Du wirst also sagen, indem du sie (die Jahreszahl. Anm. H. L.) der ” gr¨ oßeren Sch¨onheit halber mit r¨ omischen Ziffern schreibst — wenn du es nicht tust, so macht es auch nichts —, du wirst also sagen“ Jesus MccccLxxxxiij. Pacioli gibt also als Grund die gr¨ oßere Sch¨onheit an, weshalb man die Jahreszahl mit r¨ omischen Ziffern in seine B¨ ucher schreiben soll, per piu belle¸ca. Einen anderen Grund nennt er nicht. In dem oben schon erw¨ahnten Glossar von Edler findet sich, dass der Ausdruck abbaco antico benutzt wird, die r¨ omischen Zahlzeichen zu bezeichnen. Als Beleg gibt sie die gerade angef¨ uhrte Stelle an. In der Schrift dixit Algorismi heißen die Ziffern litterae und caracteres. Diese Namen finden sich f¨ ur sie dann auch in der franz¨ osischen Form lettres bzw. charact`eres bei Albert Girard 1629. Es ist dann auch nicht mehr verwunderlich, die Menge der Ziffern Alphabet genannt zu sehen (Ramus 1627, S. 3 und S. 5). Trotz der indischen Ziffern und der M¨ oglichkeit des schriftlichen Rechnens, die sie boten, war das Rechnen auf den Linien, sprich, auf dem Rechenbrett, noch im 18. Jahrhundert u ¨blich. Dies zeigt eine Stelle in einem Brief Bettine von Arnims an Goethe (Bettine von Arnim 1985, S. 654. Der Brief ist datiert Am 12. November.“ ” Keine Jahreszahl.): Kein Spielwerk konnte ihn (J. W. Goethe. Anm. H. L.) mehr ” fesseln als das Zahlbrett seines Vaters, auf dem er bayrische Halbgulden stundenlang hin und her z¨ ahlte. Damals war er sieben Jahre alt.“ Goethes Vater, Caspar Wolfgang Goethe, bediente sich also noch des Rechenbrettes. Menninger (1979, S. 180/181) kommt zum gleichen Schluss, indem er vorgibt, eine Stelle eines Briefes Bettine von Arnims an Goethe zu zitieren. Sein Zitat lautet: Kein Spielwerk kon” nte ihn mehr fesseln, als das Zahlbrett seines Vaters, auf dem er mit Zahlpfennigen die Stellung der Gestirne nachmachte.“ Wie kommt es zu dieser Diskrepanz? Nun,

8. Dezimalbr¨ uche

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Bettine von Arnim hat ihren Briefwechsel mit Goethe und dessen Mutter zum Vorwurf eines Briefromans genommen. Bei diesem Briefroman erlaubte sie sich Freiheiten. Die Briefe in ihrem Roman sind also fiktiv, auch wenn wirkliche Briefe den Untergrund abgeben. Ob Menninger nicht gewusst hat, dass er keinen echten Brief zitierte? Hier w¨ are nun der Platz zu berichten, wie das schriftliche Manipulieren der dezimal dargestellten Zahlen bei den vier Species gelehrt wurde und sich im Abendland einb¨ urgerte. Doch das ist schon sooft geschehen, dass ich mir das sparen kann. Der Leser, der Einzelheiten wissen m¨ ochte, sei an Tropfke 1980 oder f¨ ur Fibonacci an L¨ uneburg 1993 verwiesen. 8. Dezimalbr¨ uche. Die Verfahren, die man zum Rechnen benutzt, h¨ angen, wie schon gesagt, an der Datenstruktur, in der die Objekte gegeben sind, mit denen gerechnet werden soll. Philosophen sind immer wieder irritiert, wenn sie von der Ungenauigkeit des Rechnens reden und dann gefragt werden, welche Datenstrukturen sie zu ihrem Rechnen denn benutzten. Sie denken, ohne dass ihnen das bewusst ist (sic), immer nur an Dezimalbr¨ uche, die, das sei ihnen zugestanden, wirklich gute Hilfsmittel beim Rechnen sind. Von dieser Datenstruktur und ihrer Geschichte sei ein wenig erz¨ahlt. Von ihrer ersten Bew¨ahrungsprobe wird dann im n¨ achsten Abschnitt berichtet. Zu den Dezimalbr¨ uchen geh¨ ort auch die Art, wie sie geschrieben sind. Diese leitet sich ab von der indischen Art, Zahlen in einem Positionssystem zu schreiben, hier dem dezimalen. L¨asst man diesen wesentlichen Bestandteil der Dezimalbr¨ uche f¨ ur den Augenblick außer acht, so haben die Dezimalbr¨ uche Vorl¨ aufer. Dazu geh¨ oren die schon im Altertum benutzten physikalischen Br¨ uche, minutiae physicales, wie Reisch — und nicht nur er — sie nennt (Reisch 1517, Bogen m, f. iijv ). Das sind Br¨ uche von der Form n  ai 60i i:=1 mit nicht negativen ganzen Zahlen ai , f¨ ur die 0 ≤ ai < 60 gilt. Die a1 , a2 , a3 , usw. wurden als minutae oder minutiae primae, minutae secundae, minutae tertiae, usw. angesprochen, wobei man im ersten Fall das primae und in allen anderen F¨ allen meist das minutae wegließ. Das Wort Minuten“ kommt vom lateinischen ” minutus, das zerst¨ uckelt“ heißt. ” Minuten, Sekunden, Terzen, usw. nannte man auch scrupuli primi, scrupuli secundi, scrupuli terzii, usw. So z. B. Vi`ete, der sagt, dass Reinhold die L¨ange des tropischen Jahres zu 365 Tagen, 5 Stunden, 49 ersten Skrupeln und 16 zweiten Skrupeln bestimmte (Vi`ete Werke, S. 433). Hier sind die sechzigsten Teile der Stunde und der Minute gemeint. Reinhold lehrt in seinen preußischen Tafeln das ¨ 1571). Diesem Reinhold werden wir Rechnen mit solchen Br¨ uchen (Reinhold d. A. noch zweimal kurz begegnen. Geschrieben wurden physikalische Br¨ uche a b c d ,

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Kapitel I. Gr¨ oßen

wie wir das heute noch f¨ ur die Minuten und Sekunden bei Zeit- und Gradangaben machen. Dies ist nat¨ urlich kein echtes Positionssystem — auch wenn die einzelnen Summanden wohl immer in dieser Reihenfolge geschrieben wurden —, da die 1 durch die Akzente angedeutet werden. Potenzen von 60 Anders ist dies bei Fibonaccis aufsteigenden Kettenbr¨ uchen. Da ist zun¨achst zu sagen, dass Fibonacci als Erster Br¨ uche mit Hilfe des Bruchstriches schreibt, was eine große Erleichterung ist. Aufpassen muss man aber dennoch, denn Ausdr¨ ucke 6 156 und 2610 sind zu unterscheiden. Der zweite bezeichnet einen gew¨ohnwie 21 65 10 lichen Bruch, w¨ ahrend beim ersten die Leerr¨aume Zahlen voneinander trennen, die Rollen spielen, die von der Position der Zahlen abh¨ angen. Wir definieren diese ¨ bliche Ausdr¨ ucke in unserer Notation rekursiv wie folgt. Zun¨ achst ist ab11 der u Bruch mit dem Z¨ ahler a1 und dem Nenner b1 . F¨ ur n > 1 setzen wir a1 . . . an a1 . . . an−1 1 an := · + . b 1 . . . bn b1 . . . bn−1 bn bn Diese Rekursion l¨ asst sich auch wie folgt fassen: a1 . . . an = b 1 . . . bn

an +

a1 . . . an−1 b1 . . . bn−1 . bn

Dies macht klar, weshalb diese Ausdr¨ ucke auch aufsteigende Kettenbr¨ uche genannt werden. Aufl¨ osen der Rekursion zeigt, dass generell (der Leser beachte hier und im Folgenden den Unterschied zwischen der durch tief stehende Punkte markierten Aufz¨ ahlung b1 . . . bn und dem durch zentrierte Punkte gekennzeichneten Produkt b1 · · · bn .) a1 . . . an an an−1 a1 = + + ...+ b 1 . . . bn bn bn bn−1 bn bn−1 · · · b1 ist. Darauf werden wir gleich zur¨ uckkommen. Bei der Definition der aufsteigenden Kettenbr¨ uche sind die ai und bi willk¨ urlich ¨ w¨ahlbar, sie m¨ ussen nicht einmal ganzzahlig sein. Ublicherweise entstehen die ai aber bei wiederholter Division mit Rest. Die typische Situation l¨ asst sich wie folgt beschreiben. Es sei z eine ganze Zahl und b1 , . . . , bn seien nat¨ urliche Zahlen. Es gibt ganze Zahlen q1 und a1 mit z = q1 b1 + a1 und 0 ≤ a1 < b1 . Es folgt z a1 = q1 + b1 b1 und 0 ≤ ab11 < 1. Es sei 1 < k ≤ n und es gebe ganze Zahlen qk−1 , a1 , . . . , ak−1 mit 0 ≤ ai < bi f¨ ur i := 1, . . . , k − 1 und a1 . . . ak−1 <1 b1 . . . bk−1 sowie

a1 . . . ak−1 z = qk−1 + . b1 · · · bk−1 b1 . . . bk−1

8. Dezimalbr¨ uche

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Division mit Rest liefert ganze Zahlen qk und ak mit qk−1 = qk · bk + ak und 0 ≤ ak < bk . Es folgt ak ≤ bk − 1 und weiter z ak a1 . . . ak−1 1 a1 . . . ak = qk + + · = qk + b1 · · · bk bk b1 . . . bk−1 bk b 1 . . . bk und 0≤ Somit ist

a1 . . . ak ak a1 . . . ak−1 1 bk − 1 1 = + · < + = 1. b 1 . . . bk bk b1 . . . bk−1 bk bk bk a1 . . . an b 1 . . . bn

eine Darstellung des gebrochenen Anteils der Zahl z , b1 · · · bn wenn man die ak , wie beschrieben, rekursiv bestimmt. Bei dieser Konstruktion ist der gebrochene Anteil auch dann nicht negativ, wenn z negativ ist. Diese Bemerkung liefert nun etwas, was die aufsteigenden Kettenbr¨ uche in der Hand des K¨onners zu einem hervorragenden Werkzeug werden l¨ asst. Sind n¨ amlich urliche Zahlen und gilt d1 , . . . , dm und v weitere nat¨ d1 · · · dm = vb1 · · · bn , so ist

Ist dann

sv s = . d1 · · · dm b1 · · · bn c1 . . . cm sv  = qm + d1 · · · dm d1 . . . dm

  mit 0 ≤ ci < di f¨ ur alle i und ist qm ganz, so folgt qn = qm und

a1 . . . an c1 . . . cm = , b 1 . . . bn d1 . . . dm wobei die Gleichheit nur f¨ ur die dargestellten Br¨ uche, nicht aber f¨ ur ihre Darstellungen gilt. Mit n = 2 und d1 = b1 b2 folgt z DIV (b1 b2 ) = (z DIV b1 ) DIV b2 und

 z MOD (b1 b2 ) = z MOD b1 + b1 (z DIV b1 ) MOD b2 ,

wobei aDIV b und aMODb den Quotienten und den Rest bei der Division mit Rest bezeichnen. Diese wichtigen Relationen kann man nat¨ urlich auch direkt beweisen.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Man bekommt sie in diesem Rahmen aber gratis. Um dieses Resultat sp¨ ater bequem zitieren zu k¨ onnen, sei es noch als Satz formuliert. Dieses Resultat findet sich schon bei Paul Bachmann 1902, S. 52, wenn auch nicht mit DIV und MOD formuliert. Satz. Sind a, b und c nat¨ urliche Zahlen, so ist a DIV (bc) = (a DIV b) DIV c und

 a MOD (bc) = a MOD b + (a DIV b) MOD c b.

Fibonacci benutzt die Kettenbr¨ uche z. B. in folgender Situation. Eine Aufgabe liefert etwa den Preis einer Ware als b1 b2sb3 b4 Pfund. Das Pfund hatte damals 20 Schilling und der Schilling hatte 12 Denare. Durch Umsortieren der bi und eventuellem Erweitern des Bruches, kann man dann erreichen, dass statt der bi gewisse dj im Nenner stehen, so dass d5 = 20 und d4 = 12 ist. Dann ist s a4 1 a1 a2 a3 vs a5 + + · = =S+ . b1 b2 b3 b4 d1 d2 d3 d4 d5 20 20 · 12 20 · 12 d1 d2 d3 Das heißt aber, dass der Preis der Ware S Pfund, a5 Schillinge und etwas mehr als a4 Pfennige kostet. Das ist eine typische Situation. Im 13. Jahrhundert und sp¨ ater noch gab es ja eine Vielfalt von W¨ahrungen, L¨ angen-, Gewichts-, Fl¨ ussigkeits- und anderen Maßen. Achtete man darauf, indem man n¨ otigenfalls den Bruch so erweiterte, dass die Bruchteile der Einheit — 60 Minuten und 60 Sekunden bei den Graden, 20 Schillinge und 12 Pfennige bei den Pfunden — als letzte und vorletzte Divisoren auftraten, so erhielt man das Ergebnis sofort richtig dimensioniert. Ob dann der Rest noch zu ber¨ ucksichtigen war, zeigte der Zusammenhang. Dies zeigt, dass der Refrain aller Regeln, die ich bei der Bruchrechnung lernte, und das ” K¨ urzen nicht vergessen“ nicht zu allen Zeiten g¨ ultig war. Fibonacci kennt nat¨ urlich noch keine Indizes, ja er hat nicht einmal Variable, um seine Br¨ uche und aufsteigenden Kettenbr¨ uche zu beschreiben und S¨ atze u ¨ ber sie zu beweisen. Wenn sie auftauchen, stehen immer explizite, dezimal geschriebene Zahlen auf und unter dem Bruchstrich. Der Divisor, der ganz rechts steht und durch den zuletzt dividiert wird, ergibt dann den Bruch der nach unserem Verst¨andnis dem ganzen Anteil des Ergebnisses am n¨achsten steht. Daher erscheint uns die Schreibweise der aufsteigenden Kettenbr¨ uche unorganisch. Fibonacci aber schreibt seine Br¨ uche nach unserem Verst¨andnis vor den ganzen Anteil, so dass der Bruch abnn dem ganzen Anteil wiederum am n¨achsten steht. Inkonsequent wird es bei ihm aber dann, wenn so ein Ergebnis in der Umgangssprache des Kaufmanns wiedergegeben wird. Dann wird die Reihenfolge der Br¨ uche an dem ganzen Anteil gespiegelt, so dass sich im Schriftbild ihre Reihenfolge umkehrt. ur alle i, so zeigt Ist 0 ≤ ai < bi f¨ an an−1 a1 a1 . . . an = + + ...+ , b 1 . . . bn bn bn bn−1 bn bn−1 · · · b1

8. Dezimalbr¨ uche

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dass man die Zeichenfolge an an−1 . . . a1 auffassen kann, als die Darstellung des aufsteigenden Kettenbruches in der Mischbasis −1 b−1 n , . . . , b1 .

Hat man eine zweite Darstellung cn cn−1 . . . c1 eines aufsteigenden Kettenbruches bez¨ uglich der gleichen Mischbasis, so ist die Summe dieser beiden Br¨ uche, zun¨ achst nicht normiert, gleich (an + cn )(an−1 + cn−1 ) . . . (a1 + c1 ). Um die Darstellung zu normieren, muss man, rechts beginnend, die Reste und Quotienten modulo b1 , . . . , bn bestimmen, die Reste an der Stelle belassen, an der ¨ man gerade arbeitet, und die Quotienten als Ubertr¨ age zu der Stelle links neben ¨ der aktuellen Stelle addieren. Dieses Ubertragen muss nat¨ urlich vor der n¨ achsten Division geschehen. Hierzu gibt es bei Fibonacci im Zusammenhang mit einer Zinseszinsaufgabe eine sch¨ one Aufgabe. Bei ihr sind b1 = b2 = b3 = b4 = 5 und es sind die Zahlen 10|0000 12|0000 14|2000 17|1200 20|3320 24|4202 zu addieren. (Ich habe die Notation in unsere heutige ge¨ andert.) Fibonacci f¨ uhrt dies durch, wie man es erwartet. Er addiert Spalte f¨ ur Spalte und berechnet ¨ die Ubertr¨ age der Spalten rechts des senkrechten Striches modulo 5 und die der restlichen Spalten modulo 10. F¨ ur Einzelheiten sei an L¨ uneburg 1993, S. 185ff. verwiesen. Dort auch das w¨ ortliche Zitat der entsprechenden Stelle bei Fibonacci, sowie einige Bemerkungen zum Thema Zins und Kirche“. ” Die aufsteigenden Kettenbr¨ uche haben im weiteren Verlauf der Geschichte kaum Beachtung gefunden. Sie werden wohl nur in der Hand des Ge¨ ubten zum geschmeidigen Werkzeug. Implizit finden sie sich bei Lucas Pacioli und bei Tartaglia. N¨ aheres in L¨ uneburg 1993, S. 232. Mussten Kaufleute mit langen Zahlen rechnen, so lag das Schwergewicht dieser Zahlen, so scheint es mir, bei ihrem ganzzahligen Anteil. Der Bruchteil eines Pfennigs konnte vernachl¨ assigt werden, es sei denn, er wurde so stark vervielfacht, dass das Vielfache wiederum einen nicht zu vernachl¨ assigenden ganzzahligen Anteil hatte, den man dann zu den schon vorhandenen Ganzen hinzuschlagen musste. Vom Kaufmann kam daher wohl kein großer Anreiz, sich f¨ ur das Bruchrechnen einen besser handhabbaren Ersatz zu verschaffen. Das war bei Astronomen und Landvermessern anders. So heißt es bei Simon Stevin in der Adresse an den Leser zu Beginn seiner Thiende aus dem Jahre 1585 (Stevin 1585/1958):

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Anghesien dan dat de Stoffe deser voorghestelder Thiende (diens naems Orsake de volgende eerste Bepalinghe verclaren sal) is Ghetal, vviens Daets nutbaerheydt yeder van ulieden door de ervaring genouch bek˜et is, so en valt daer af hier niet vele gheseyt te vvord˜e, vvant ist een Sterrekijcker , hy vveet dad de Werelt door des Sterrekonsts Rekening˜e , als Maeckende Oirsaecke der constighe verre Seylaigen (vvant de verheffing des Evenaers ende Aspunts, leert sy den Stierman duer t’middel vande Tafel des dagelicschen afvvijcksels der Sonnen; Men beschrijft door haer der plaetsen vvare langden ende breeden, oock der selver verandering˜e op yder Streecke, &c.) een prieel der vvellusticheydt gevvorden is, overvloedlich tot vel˜e plaetsen, van dies het Eertrijk daer nochtans uyt der Natueren niet voortbrengehn en can. Maer vvant selden besoeten sonder besueren so en is hen oock de moeyelickheyt sodanigher rekeningen niet verborghen, door de lastighe Menichvuldighinghen ende Deelinghen, dieder rijsen uyt de tsestich deelige voortganck der Boogskens, die geno˜et vvorden Gradus, Minuta, Secunda, Tertia, etc. Maer ist een Landtmeter, hem is bek˜et de groote vveldaet, die de Werelt ontfangt uyt sijne Conste, door de vvelcke vele svvariched˜e ende tvvisten geschouvvet vvord˜e, die om des Landts onbekende inhout onder de Menschen daghelijcx rijsen soud˜e. Beneven dit so en sijn hem oock niet verholen (voornamelick den gen˜e die van sulcx veel te doen valt) de verdrietighe Menichvuldigingen dieder spruyten, uyt de Roeden, Voeten, ende dickmael Duymen onder malcanderen, vvelche niet alleene moeyelick en sijn, maer (hoe vvel nochtans het meten ende dander voorgaende recht gedaen sijn) dickmael oirsaeck van dvvalinghe, streckende tot groote schade van desen of dien, oock tot verderfnis vande goede mare des Meters: Ich habe bei dieser Wiedergabe die Rollen der Schrift des Fließtextes und der ¨ Auszeichnungsschrift vertauscht, dem Beispiel der Ubersetzung der Thiende von ¨ Helmuth Gericke und Kurt Vogel folgend. In dieser Ubersetzung liest sich der zitierte Text so (Stevin 1965). In Anbetracht dessen nun, dass der Gegenstand der hier vorgelegten Thiende (den Grund f¨ ur diesen Namen wird die nachstehende erste Erkl¨ arung deutlich machen) die Zahl ist, deren wirksamer Nutzen jedem von Ihnen aus Erfahrung gen¨ ugend bekannt ist, braucht davon hier nicht viel gesagt zu werden. Wenn einer ein Astronom ist, so weiß er, dass durch astronomische Berechnungen als unerl¨ assliche Voraussetzung f¨ ur geschickt durchgef¨ uhrte weite Segelfahrten (denn ¨ sie lehren den Steuermann die Neigung des Aquators und des Poles mittels der Tafel der t¨ aglichen Deklination der Sonne; man beschreibt durch sie die wahre L¨ange und Breite der Orte, auch ihre Ver¨ anderungen auf der Reise usw.) die Welt ein Ort der Freude geworden ist, an vielen Orten u ¨berreich an Dingen, die die Erde von Natur aus nicht u ¨berall hervorbringen kann. Da es selten S¨ ußes ohne Bitteres gibt, so ist ihnen auch die Schwierigkeit solcher Rechnungen nicht verborgen, wegen der l¨astigen Multiplikationen und Divisionen, die sich aus der sechzigteiligen Reihe der Bogenteile ergeben, die Grad, Minute, Sekunde, Terz usw. heißen. Wenn aber einer ein Landmesser ist, dann ist ihm die große Wohltat bekannt, die die Welt von seiner Kunst empf¨angt, durch welche viele Schwierigkeiten und Zwistigkeiten vermieden werden, die wegen des unbekannten Inhalts von Landst¨ ucken unter den

8. Dezimalbr¨ uche

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Menschen t¨aglich entstehen w¨ urden. Daneben sind ihm aber auch nicht verborgen (besonders demjenigen, dem viele solche Arbeit zuf¨ allt) die verdrießlichen Multiplikationen, die da bei Ruten, Fuß, oftmals auch Zoll, untereinander auftreten, welche nicht nur m¨ uhsam sondern (selbst wenn die Messung und die u ¨brige Prozedur richtig ausgef¨ uhrt ist) oft Ursache von Irrt¨ umern sind, die diesem oder jenem zu großem Schaden gereichen, auch zur Beeintr¨achtigung des guten Rufes des Landmessers. Hier wird klar, dass es Leute gab, die viel rechnen mussten, und dass sie bei ihrem Rechnen nicht mit Addition und Subtraktion alleine auskamen. Die Astronomen bedienten sich bei ihren Rechnungen der physikalischen Br¨ uche (tsestich deelige voortganck ). Das Multiplizieren und Dividieren dieser Br¨ uche sei aber l¨ astig. Stevin war also mit den physikalischen Br¨ uchen vertraut und, was er nun 1 fortschreiten, macht, ist, dass er statt der Br¨ uche, die nach Potenzen von 60 1 Br¨ uche nahm, die nach Potenzen von 10 fortschreiten. Die Analogie der beiden 1 Systeme geht sogar soweit, dass die Potenzen von 10 in der Darstellung der Dezimalbr¨ uche durch ihre Exponenten angezeigt werden, die in einem Kringel hinter 1 durch die entsprechende Ziffer geschrieben werden, so wie die Potenzen von 60 Akzente angedeutet wurden. Auch die Bezeichnungen Erste“, Zweite“ (Eerste, ” ” Tweede), usw. u ¨ bernimmt er von den physikalischen Br¨ uchen. Hier sind nat¨ urlich Zehntel, Hundertstel, usw. gemeint. An dieser Stelle sei erw¨ahnt, was ich in der Literatur bislang nicht fand, was dem Leser aber bewusst sein sollte, dass die stevinschen Dezimalbr¨ uche, so wie die physikalischen Br¨ uche, allesamt endliche Br¨ uche sind. Ich finde es ferner bemerkenswert, dass den Rechnern seit der Antike klar, aber wohl nicht bewusst war, dass die Menge der physikalischen Br¨ uche in der Menge der reellen Zahlen dicht liegt, wie wir heute sagen, dass man also alles, was man u ¨ berhaupt durch rationale Zahlen approximieren kann, auch durch physikalische Br¨ uche approximieren kann. Sp¨ atestens seit Stevins Zeiten ist dies auch f¨ ur die Dezimalbr¨ uche klar. Stevin sagt zu Beginn, was die Thiende soll. Sie soll alles Rechnen, was unter Menschen anf¨allt, auf das Rechnen mit ganzen Zahlen (heele ghetalen) zur¨ uckf¨ uhren. Dies geschehe mittels der Thiendezahlen, die mittels der u ¨blichen Ziffern, die bei ihm cijfferletteren heißen, geschrieben werden. Er rekapituliert am Beispiel der Zahlen 1111 und 2378 das Prinzip, das hinter den Dezimalzahlen steckt, dass n¨ amlich jede 1 den zehnten Teil des Wertes repr¨ asentiert, den die vor ihr stehende Eins repr¨ asentiert (dat elcke 1, het thiende deel is von sijn naest vorgaende). — Man erinnere sich, was im letzten Abschnitt u ¨ ber die Reihenfolge der Ziffern in einer Zahl berichtet wurde. Unser rechtsl¨ aufiges Schreiben hat also gewonnen. — Bei der Zahl 2378 heißt es umst¨andlich, dass jede Einheit der 8 der zehnte Teil von jeder Einheit der 7 sei und dass Entsprechendes f¨ ur die andern Ziffern gelte. Hier schimmert Euklids Definition von Zahl durch, dass sie n¨ amlich Ansammlung von Einheiten sei. Auch dar¨ uber mehr im n¨ achsten Kapitel. Ganze Zahlen (heel ghetal) heißen in diesem Zusammenhang Anfang. Man 0 Jeder zehnte Teil der schreibe hinter sie eine Null in einem Kringel. Also 364. Einheit des Anfangs heiße Erstes. Sein Zeichen sei . 1 Jeder zehnte Teil der Ein-

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Kapitel I. Gr¨ oßen

2 usw., jedem zehnten Teil seines heit des Ersten heiße Zweites, sein Zeichen sei , Vorg¨angers immer in der Folge eines mehr. 1 7  2 5  3 9 . 4 Es wird zun¨ achst gesagt, Das wird erl¨ autert an Hand von 3  wie dies zu lesen sei: 3 Erste, 7 Zweite, 5 Dritte, 9 Vierte. Hier kann man also auch noch lernen, was Dritte“ und Vierte“ heißt: Derden und Vierden. Dann wird ” ” erkl¨ art, dass dies die Zahl

7 5 9 3 + + + , 10 100 1000 10000 das heißt die Zahl

3759 10000 sei. Es wird ferner gesagt, dass die benutzen Zeichen, außer bei den Anf¨ angen 1 12 , 2 sondern stattniemals u ¨ ber 9 hinausgingen. Man schriebe also nicht 7  dessen 8  1 2 . 2 Stevin weist auch darauf hin, dass man Nullen schreiben soll. Also nicht 5  0 7 , 2 sondern 5  0 0  1 7 . 2 Dies ist nat¨ urlich nicht wirklich erforderlich, da sein System, so wie das System der physikalischen Br¨ uche, kein echtes Positionssystem ist, sondern nur der Keim eines solchen. Zu einem wirklichen Po0 durch einen sitionssystem wird es erst durch Nepers Vorschlag, das Zeichen  Punkt oder ein Komma zu ersetzen und die anderen Kringel alle wegzulassen. Diesen Vorschlag machte er in seiner Rabdologia, der St¨ abchenrechnung, auf S. 21, wobei er ausdr¨ ucklich auf Stevin verweist (Neper 1617/1966. Das fehlende h abdos) ist der Stab, die Rute). in Rabdologia“ geht zu Lasten Nepers.  (rh´ ” In der englisch-nordamerikanischen Literatur hat sich der Punkt und in der kontinentaleurop¨ aischen das Komma durchgesetzt. Stevin erkl¨ art dann, wie mit den Thiendezahlen zu rechnen ist. Dies ist wegen ¨ der Kringel umst¨ andlich, birgt aber f¨ ur uns keine Uberraschungen. Da es schon sooft dargestellt wurde, kann ich auf Einzelheiten verzichten. Erw¨ ahnen m¨ ochte 1 durch 3  2 zu dividieren. Diese Division ich jedoch das Beispiel, die Zahl 4  geht nicht auf. Er kommentiert das, indem er schreibt: Daraus ist ersichtlich, ” dass unendlich viele Dreien herauskommen werden, ohne dass sie einmal genau ausreichen. In solchem Falle mag man soweit gehen, wie es die Sache erfordert, 1 ¨ 0 3  1 33  2 oder und den Uberschuss vernachl¨ assigen. Es ist wohl wahr, dass 13  1 13  0 3  1 3  2 33  3 usw. genau das Gesuchte sein werden, aber unsere Absicht ist, in dieser Thiende mit lauter ganzen Zahlen zu arbeiten, weil wir auf das sehen, was bei den Gesch¨aften der Menschen statt hat, wo man den tausendsten Teil einer Mijt, eines As, eines Gran und dergleichen wegl¨ asst.“ (Stevin 1585/1966, S. 19). Nicht aufgehende Divisionen werden also solange ausgef¨ uhrt, bis der Rest vernachl¨ assigt werden kann. Die Idee, nur solange zu dividieren, bis man dem nicht zu erreichenden Resultat gen¨ ugend nahe gekommen ist, findet sich schon in den Bearbeitungen liber Alchorismi und liber pulueris der Arithmetik Al-Hwarizmis. Dort steht die folgende Passage (Allard 1992, S. 173): Preceptum. Quotiens autem ex aliqua divisione siue integrorum siue fractionum aliquid remanserit, multiplica illud in LX, et quod ex

9. Nepers Logarithmen

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multiplicatione prouenerit diuide per quod prius diuisisti, et quod inde exierit erunt minuta. Quod si adhuc de divisione remanserit, similiter multiplicabis per LX, et quod prouenerit diuides per quod et prius; quod exierit erunt secunda. Sic facies donec aut nichil remanserit, aut si forte ad ultimum aliquid remanserit, non curabis. Quod si hoc facere uolueris, denominabis illud quod remansit, scilicet quota pars sit illius numeri per quem diuidis. Dies heißt: Vorschrift. Wie oft aber bei ” einer Division, sei es von Ganzen, sei es von Br¨ uchen, etwas u ¨ brig bleibt, multipliziere es mit 60 und was bei der Multiplikation herauskommt, teilst du durch das, wodurch du fr¨ uher geteilt hast. Was dabei herauskommt, sind Minuten. Was nun bei der Division u ¨brig bleibt, multipliziere gleichermaßen mit 60, und was herauskommt, teile durch das Fr¨ uhere; was herauskommt, sind Sekunden. So tust du entweder solange, bis nichts mehr u ¨ brig bleibt, oder bis es dich nicht mehr k¨ ummert, falls immer etwas u ¨ brig bleibt. Wenn du willst, wirst du dem, was bleibt, einen Nenner geben, dh. (sagen), der wievielte Teil jener Zahl es sei, durch die du teilst.“ Hier ist also n  ci rn+1 a = c0 + + n , i b 60 60 b i:=1 wobei u ¨ ber n frei verf¨ ugt wird. Ob der Rechner das letzte Glied ber¨ ucksichtigt, bleibe ihm u ¨ berlassen. Ein Wort f¨ ur die Null habe ich in Stevins Text nicht gefunden. Bevor Stevin seine Thiende im Jahre 1585 publizierte, hat er die dort dargestellten Verfahren von holl¨ andischen Landmessern erproben lassen, die er zuvor geschult hatte. Dies schreibt er zu Beginn seiner Thiende (Stevin 1585/1966, S. 11). Und nun zur ersten Bew¨ ahrungsprobe der Dezimalbr¨ uche, von der wir noch Spuren haben. 9. Nepers Logarithmen. Die Menge an astronomischen Daten wuchs. Tycho Brahe und Johannes Kepler, um nur zwei Namen zu nennen, hatten umfangreiche Rechenaufgaben zu erledigen. Da die damalige Astronomie vor allem Winkel oder auch deren Tangens maß, waren es Rechenaufgaben, die die Winkelfunktionen betrafen. Es waren vielziffrige Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren. Das Multiplizieren und Dividieren vielziffriger Zahlen ist aber m¨ uhsam. Man suchte daher nach Methoden, die diese beiden Spezies auf Addition und Subtraktion zur¨ uckf¨ uhrten. Durchschlagenden Erfolg hatten schließlich Jost B¨ urgi und John Neper. Um es gleich vorweg zu sagen, ich habe mich nicht darum gek¨ ummert, was Jost B¨ urgi zu den Logarithmen schreibt. Da sie Zeitgenossen waren — Neper lebte von 1550 bis 1617 und B¨ urgi von 1552 bis 1632 — muss ihre Vorstellung der Logarithmen gleich abenteuerlich gewesen sein. Es gab ja noch keine Differentialund Integralrechnung und selbst der Begriff der Funktion war noch nicht gefasst. Funktionen tauchten erst implizit auf. Vom Sinus, Tangens und Secans ist bei Neper die Rede (Neper 1620a, u. a. auf den Seiten 10, 11, 19, 22, 23, 24), wobei er auch diese Namen benutzt. Das Wort Trigonometrie erscheint im Titel und auch

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Kapitel I. Gr¨ oßen

im Innern des Buches. Die Funktionen Cosinus und Cotangens und ihre Namen kommen bei ihm nicht explizit vor. Um auch dies gleich zu sagen, in Nepers Schrift de arte logistica, die Henry Briggs gewidmet ist, werden die Logarithmen mit keinem Wort erw¨ahnt. Diese Schrift wurde 1839 erstmals durch Mark Napier, einem Nachfahren John Nepers, publiziert. Das von Neper geschriebene Manuskript ging vermutlich zusammen mit anderen Dokumenten bei einem Brand Ende des 18. Jahrhunderts verloren. Eine Abschrift seines Sohnes Robert hat sich aber erhalten (Neper 1839, S. iv). Zahlen werden mit Strecken identifiziert und S¨ atze aus Euklids Elementen“ ” zitiert, um u ¨ ber die Geometrie Aussagen u ¨ ber Zahlen zu bekommen. Zu Nepers Zeiten war man viel weniger sorgf¨ altig, als es Euklid war, der Zahlen nicht mit Strecken identifizierte, vielmehr S¨ atze hatte, die aus Eigenschaften von Zahlen auf Eigenschaften von Strecken schließen ließen und die nach heutigem Verst¨ andnis sehr sorgf¨altig begr¨ undet waren. Dar¨ uber mehr in Kapitel 3. Zu Nepers Zeiten war die Mathematik schlecht begr¨ undet. Dennoch haben seine Ergebnisse heute noch G¨ ultigkeit. Man kann nur staunen, wie robust Mathematik ist, dass sie es immer wieder gestattet, Dinge im Nachhinein zu rechtfertigen, die lange vorher schon zu ihrem Gegenstand geworden waren, ohne zun¨achst pr¨ azise gefasst zu sein. Da das Folgende so vielschichtig ist, sei hier noch einmal bemerkt, dass Zahlen mit Strecken identifiziert werden, wenn es darum geht, mit Hilfe der Geometrie Eigenschaften und funktionale Zusammenh¨ ange von Zahlen zu erkennen. Wenn gerechnet wird, dann mit den Zahlen selbst, bzw. ihren Approximationen. Neper publizierte sein Buch Mirifici logarithmorum canonis descriptio, seu arithmeticarum supputationum mirabilis abbreviatio. Eiusque vsus in vtraque Trigonometria, vt etiam in omni Logistica Mathematica, amplißimi, facillimi, & expeditißimi explicatio im Jahre 1614 in Edinburg. Eine von einem E. Wright stam¨ mende Ubersetzung ins Englische erschien zwei Jahre sp¨ater in London (Napier/ MacDonald 1889/1966, S. 137–147. Dort die Beschreibung aller mit den Logarithmen zusammenh¨angenden Schriften Nepers, einschließlich deren Auflagen). Ich besitze ein Exemplar der lateinischen Version dieses Buches, das als Erscheinungsort und -jahr Lugdunum, also Lyon, 1620 vermerkt. Dem Titel dieser Auflage fehlt das Mirifici, ist aber ansonsten identisch mit dem Titel der ersten Auflage. Der Druck meines Exemplars des Buches einschließlich der Logarithmentafel war am 1. Oktober 1619 beendet. Es ist zusammengebunden mit Nepers Beschreibung der Berechnung der Logarithmentafel Mirifici logarithmorum canonis constructio. Auch dieses Buch vermerkt Lyon 1620 als Erscheinungsort und -jahr. Der Druck wurde am 31. M¨ arz 1620 beendet. Herausgegeben wurde es von Nepers Sohn Robert. Es enth¨ alt Anmerkungen von Henry Briggs. Als Druckerverleger beider B¨ ucher firmiert Bartholomæus Vincentius. In den Ausz¨ ugen aus den franz¨ osisch geschriebenen Privil`eges du Roi wird Barthelemy Vincent Marchand Libraire a ` Lyon genannt. Tropfke, loc. cit., nennt eine Ausgabe dieses Buches, die 1620 in Leiden erschienen sei. Sollte hier Lugdunum, Lyon, mit Lugdunum Batavorum, Leiden, verwechselt sein? Er nennt keinen Drucker.

9. Nepers Logarithmen

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Diese Frage war einmal eine echte Frage. Wie ich mittlerweile weiß, lautet die Anwort Ja“. Napier/MacDonald kennt keine in Leiden erschienene Auflage. ” Raymond Ayoub spricht von einer Ausgabe aus dem Jahre 1619 ohne einen Ort oder Drucker anzugeben (Ayoub 1993). Das ist hochinteressant. Von der Ausgabe der constructio gibt es nach Napier/MacDonald loc. cit. einige Exemplare der Auflage Lyon 1620, die die Jahreszahl 1619 tragen. Die Vermutung ist, dass der Satz und der Druck des Buches 1619 begonnen wurde und dass einige der Titelbl¨ atter schon gedruck waren, bevor man merkte, dass der Druck sich im Jahre 1619 nicht fertigstellen ließe, dass man die Bl¨atter aber doch verwendete. Neper berechnet eine Logarithmentafel f¨ ur die Sinuswerte der Winkel von 0◦ ◦  bis 90 mit einer Schrittweite von 1 . Dabei ist Sinuswert cum grano salis zu nehmen. Die Sinuswerte wurden damals n¨ amlich nicht am Einheitskreis abgeleα

γ

ω

C

sen, sondern an einem Kreis, dessen Radius je nach der gew¨ unschten Genauigkeit gew¨ahlt wurde. Neper w¨ ahlt 107 als Radius, was er als 10000000 notiert und wie damals u ¨ blich sinus totus nennt. Das ist der Sinus des rechten Winkels. Ist also αω der sinus totus, ist der Winkel bei C ein rechter und tr¨ agt man Cω als γω auf αω ab, so ist γω der Sinus des Winkels bei α, so wie man es damals verstand. Der Strecke γω, bzw. ihrer L¨ ange, weist Neper nun eine Zahl zu, die er ihren Logarithmus nennt. Davon gleich mehr. Woher Neper die Sinuswerte hatte, wird auch noch kommentiert werden. Der Sinus, der hier stellvertretend f¨ ur die trigonometrischen Funktionen stehe, ist eine Funktion, die aus der Geometrie kommt. Das macht diese Funktion anschaulich. Man sieht den Winkel bei α, man f¨ allt das Lot aus ω auf den anderen Schenkel des Winkels, das ihn in C trifft. Man u ¨bertr¨ agt, die Strecke ωC nach ωγ und nennt dann diese Strecke, bzw. ihre L¨ ange den Sinus des Winkels bei α. Das alles erschiene mir unproblematisch, st¨ unde da nicht das bzw. ihre L¨ ange“. ” Hinzukommt, dass man nicht von Winkeln schlechthin redet, sondern diese ebenfalls mit Zahlen kodiert, die nach Graden, Minuten, Sekunden, Terzen, usw. gez¨ahlt werden. In Erg¨ anzung dessen, was im letzten Abschnitt zu den physikalischen Br¨ uchen gesagt wurde, sei hier noch erw¨ahnt, dass sich in Nepers descriptio auf S. 7 die vollen Ausdr¨ ucke minutias primas, minutias secundas, minutias tertias, usw. also erste Minuten, zweite Minuten, dritte Minuten, usw. finden. Die Instrumentenmacher der Renaissance und des Barock fertigten hervorragende Ger¨ate zum Winkelmessen, mit denen man Winkel bis auf 5 Sekunden genau

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Kapitel I. Gr¨ oßen

messen konnte (Schmidt 1935/1988, S. 304), und auch das L¨ angenmessen bot in praxi bei kleinen L¨ angen keine Schwierigkeiten, so dass die Zweifel, die uns qu¨ alen, ob Strecken L¨angen haben, dem Praktiker nicht kamen. Er gr¨ ubelte also nicht dar¨ uber, ob es erlaubt und m¨ oglich sei, Strecken mit Zahlen zu identifizieren und Winkel mit Zahlen zu kodieren. Er tat es ganz einfach, auch wenn nicht definiert war, wie die Multiplikation zweier Strecken auszuf¨ uhren sei, um wieder eine Strecke zu erhalten. Das erledigte sich, so scheint es, u ¨ber die rationalen N¨ aherungen der Strecken, die selbst im Hintergrund blieben. Erst Descartes ist es gelungen, wie wir in Abschnitt 6 gesehen haben, das Produkt zweier Strecken so zu definieren, dass das Ergebnis wieder eine Strecke ist. Was die astronomischen Instrumente und Instrumente der Feldmesskunst anbelangt, sei der Leser an Zinner 1957 sowie Schmidt 1935/1988 und Wunderlich 1977 verwiesen. Der Sinus ist also anschaulich, der Logarithmus ist es nicht. Er ist eine Funktion, die auf Zahlen definiert ist und Zahlen als Ergebnis hat. Ihn zu finden bedarf es anderer Intuition. Am Anfang von Nepers Buch Logarithmorum canonis descriptio von 1620 stehen die folgenden beiden Diagramme Mom˜eto.

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 C D E F G H I K L MN O b b b b b b b b b b b b

und β β β β β β β β β β β β

SR

Q

ω α

γ δ  ζ η ι κ λ μ ν ξ o &c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Zu beachten ist, dass das ω am Ende der Strecke im zweiten Diagramm als Endpunkt der Strecke zu interpretieren ist. Dies geht aus dem Kontext klar hervor. Zu beachten ist ferner, dass die Diagramme rein schematisch sind, die numerischen Verh¨ altnisse im Hintergrund also nicht maßstabsgetreu veranschaulichen. Um bequemer sprechen zu k¨onnen, geben wir den Punkten neue Namen. Wir ur diese Punkte nennen die Punkte A, C, D, usw., im Folgenden A0 , A1 , A2 , usw. F¨ ¨ ber b noch verf¨ ugt wird. gelte, dass die L¨ange der Strecke A0 Ai gleich ib sei, wobei u Entsprechend nennen wir die Punkte α, γ, δ, usw., α0 , α1 , α2 , usw. Sie seien — rekursiv — so gew¨ahlt, dass f¨ ur i := 0, 1, 2, . . . gilt, dass Mom˜eto.

αi+1 ω : αi ω = QR : QS ist. Dass diese Wahl der αi m¨oglich ist, begr¨ undet Neper mit Euklid VI.10. Das ist die Aufgabe, eine gegebene Strecke in einem gegebenen Verh¨altnis zu teilen (s. ur die ai+1 : ai = a1 : a0 f¨ ur alle i gilt, Abschnitt 4). Zahlen oder Gr¨ oßen ai , f¨

9. Nepers Logarithmen

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heißen in stetiger oder auch in geometrischer Proportion stehend . Die αi ω stehen also in stetiger Proportion. Nun bringt Neper die beiden Diagramme dadurch zusammen, dass er auf beiden Strahlen bei A, bzw., bei α beginnend einen Punkt sich nach rechts bewegen l¨ asst, wobei der erste Punkt sich linear bewegt, dh., in der Zeit t den Weg bt zur¨ ucklegt, wobei das b das gleiche ist, das schon im vorigen Absatz vorkam. Wie der zweite Punkt sich bewegt, beschreibt Neper nicht sehr pr¨azise. Hier kommt an mathematisch Verwertbarem nur heraus, dass er zum Zeitpunkt i ∈ N0 sich im Punkte αi befindet. Die Funktion α ist also nur auf N0 definiert. Neper hantiert aber mit der Funktion, als sei αt zu jedem Zeitpunkt t definiert. Er nennt bt den Logarithmus der Strecke αt ω. Wir bezeichnen diesen Logarithmus von αt ω mit Λ(αt ω). Das wenige, mathematisch Verwertbare liefert uns f¨ ur Λ(αi ω) nach heutigem Verst¨andnis das Folgende, wenn nur i ∈ N0 ist. Aus der Definition der αi folgt αi ω = α0 ω(QR : QS)i = α0 ω(α1 ω : α0 ω)i . Nach Nepers Definition ist ib sein Logarithmus von αi ω, so dass f¨ ur i ∈ N0 die Gleichung Λ(αi ω) i= b gilt. Mit irgendeinem unserer Logarithmen folgt log(αi ω) = log(α0 ω) +

 Λ(αi ω)

log(α1 ω) − log(α0 ω) . b

Hieraus folgt weiter Λ(αi ω) =

b b log(α0 ω) · log(αi ω) − . log(α1 ω) − log(α0 ω) log(α1 ω) − log(α0 ω)

Ersetzt man in dieser Gleichung i durch t und nimmt diese Gleichung als Definition f¨ ur Λ auf dem Intervall (0,sinus totus], so ist Λ die Funktion, die von Neper berechnet wird, wobei er den sinus totus als 10000000 ansetzt. Die Strecken QR und QS w¨ahlt er so, dass QR : QS = 9999999 : 10000000 gilt. Dies ist auch im Sinne von Euklid, also nicht zu beanstanden. Bei dieser Wahl ist α0 ω = 10000000 und αi+1 ω = αi ω −

αi ω . 10000000

Diese Zahlen sind einfach zu berechnen, was noch eine Rolle spielen wird.

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Nepers Logarithmusfunktion ist also eine affine Version von log. Wirklich definiert hat Neper seine Funktion aber nur an abz¨ ahlbar vielen Stellen. Man sieht, dass der Logarithmus in der Tat von ganz anderer Qualit¨ at ist als die Sinusfunktion. Ihre Anschaulichkeit fehlt dem Logarithmus v¨ ollig. Entsprechend schwach und l¨ uckenhaft ist Nepers Definition. Alles mathematisch Verwertbare aus seiner Definition des Logarithmus ist notiert. Umso erstaunlicher ist, dass seine Zeitgenossen ihn sofort verstanden und ihn und seine Entdeckung entsprechend feierten. Neper hat die Logarithmen urspr¨ unglich numeri artificiales genannt, k¨ unstliche Zahlen also, im Gegensatz zu den Argumenten der Logarithmusfunktion, die er numeri naturales, nat¨ urliche Zahlen, nannte. Diese Namen werden noch in der constructio von 1620 benutzt, wobei das Wort numerus artificialis gleich beim ersten Auftreten auf S. 5 als Marginalie das Wort Logarithmus beigesellt bekommt, was auf S. 12 noch zweimal geschieht. In der descriptio von 1620 wird immer der Name logarithmus verwendet. Wenn ich das, was Robert Neper schreibt, richtig verstehe, hat aber schon sein Vater das Wort logarithmus benutzt. Der Name Logarithmus“, Verh¨ altniszahl“, erkl¨ art sich wohl so, dass Nepers Funktion Λ ” ” die bemerkenswerte Eigenschaft hat, dass a : b = c : d genau dann gilt, wenn Λ(a) − Λ(b) = Λ(c) − Λ(d) ist. Bei ihm heißt es: Proportionalium numerorum, aut quantitatum, æqui-differentes sunt Logarithmi, dh., die Logarithmen proportionaler Zahlen oder Gr¨ oßen sind ¨ aquidifferent. Er beweist dies aber nur f¨ ur die Gr¨ oßen αi ω. Die Berechnung der Logarithmentafel lebt von dieser Eigenschaft der Logarithmusfunktion. Unterstellt man die Existenz einer Funktion mit dieser Eigenschaft, so ist an Nepers constructio nichts mehr zu bem¨angeln. Briggs nahm diese Eigenschaft der Logarithmen zu ihrer Definition. Sein Buch beginnt: Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti æquales servant ” differentias“, dh., Logarithmen sind Zahlen, die, Proportionalen zugeordnet, glei” che Differenzen liefern.“ Nach einigen Erl¨ auterungen heißt es noch einmal: ut non ” incommode Logarithmi dici possint, numerorum proportionalium comites æquidifferentes.“ Das heißt: Somit k¨ onnen, nicht unbequem, ¨ aquidifferente Begleiter von ” Proportionalen Logarithmen genannt werden.“ (Briggs, 1628/1976, S. 1). Sch¨ on das Wort comes. Es besagt genau das, was wir heute unter einer Funktion verstehen, dass sie n¨amlich jedem ihrer Argumente einen Begleiter“ beigesellt. ” Bezeichnet L irgendeinen Logarithmus im briggsschen Sinne, so folgt wegen ab : a = b : 1, dass L(ab) − L(a) = L(b) − L(1) ist. Hieraus folgt weiter L(ab) = L(a) + L(b) − L(1). Die Logarithmen in unserem Sinne sind also dadurch gekennzeichnet, dass L(1) = 0 ist. Auf diese Sorte Logarithmen hat Briggs schon in seinen Anmerkungen zu Nepers constructio hingewiesen und mit dem dekadischen Logarithmus in Briggs 1628 verwirklicht.

9. Nepers Logarithmen

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Tropfke schreibt, dass Briggs in den Jahren 1614/1615 von dem neperschen Logarithmus Kenntnis erhielt und sogleich u ¨ ber ihn in seinen Vorlesungen am Gresham College in London vortrug. Schon damals h¨ atte er vorgeschlagen, die Logarithmen so einzurichten, dass der Logarithmus von 1 gleich 0 sei (Tropfke 1980, S. 317). Bevor ich nun an die Kommentierung der constructio gehe, m¨ ochte ich noch eine Verabredung treffen. Die nepersche Logarithmenfunktion ist eine monoton fallende Abbildung von (0,sinus totus] auf die Menge [0, ∞). Ihre Argumente, also die Elemente des Intervalls (0,sinus totus], werde ich im Folgenden Naturale nennen. Dies in Anlehnung an Neper, der diese Argumente numeri naturales nannte. Dabei erhoffe ich mir, dass Verwirrung wegen des vorbesetzten Namens sinus vermieden wird. Dennoch werde ich nicht umhin kommen, auch das Wort Sinuswert“ zu ” benutzen. Gemeint ist dies dann immer im Sinne der Zeit Nepers. Versteht sich Sinuswert auf diese Weise, so ist jede Naturale Sinuswert eines Winkels zwischen 0◦ und 90◦ Beim Berechnen seiner Logarithmentafel geht Neper so vor, dass er zun¨achst drei Listen, im Folgenden auch Tabellen oder Tafeln genannt, berechnet, von denen die ersten beiden eine durchaus andere Rolle spielen als die dritte. Die erste Liste besteht aus den ersten 101 der αi ω, wobei der sinus totus gleich 10000000 ist. Deren Logarithmen sind die ib, wobei u ¨ ber b erst sp¨ater verf¨ ugt wird. Dieses b wird jedoch nicht explizit bestimmt, sondern nur in Schranken eingeschlossen, womit sich dann Schranken f¨ ur die Λ(αi ω) ergeben. Als N¨achstes berechnet er eine weitere Liste β0 ω, . . . , β50 ω von Naturalen, die wieder in stetiger Proportion stehen, wobei β0 ω der sinus totus und β1 ω eine Approximation an α100 ω ist. Er entwickelt nun Techniken, um aus bekannten Schranken f¨ ur die Logarithmen von Naturalen Schranken f¨ ur die Logarithmen von Naturalen zu finden, die solchen Naturalen benachbart sind. Mit den Schranken alt er daher Schranken f¨ ur Λ(β1 ω) und genau dies ist die Rolle f¨ ur Λ(α100 ω) erh¨ der ersten Liste, Schranken f¨ ur Λ(β1 ω) zu liefern. Sie spielt dann weiter keine Rolle mehr. Die Schranken f¨ ur Λ(β1 ω) werden dann mittels der fundamentalen Eigenschaft der Logarithmen, die ihnen wohl den Namen gab, u ¨ber alle Λ(βi ω) an Λ(β50 ω) weitergereicht. Der Witz hierbei ist, dass die βi zwar irgendwelche αt sind, dass man aber t nicht ben¨ otigt, um die Schranken von tb = Λ(αt ω) = Λ(βi ω) zu bekommen. Schließlich wird noch eine dritte Liste γij ω f¨ ur i := 0, . . . , 20 und j := 1, . . . , 69 berechnet, die er dann sp¨ ater, erg¨ anzt durch ihre Logarithmen, radicalis tabula nennen wird, was ich durch Basistafel wiedergeben m¨ ochte. In dieser Matrix stehen die Eintr¨ age der Spalten in geometrischer Proportion und auch die Eintr¨ age der ersten Zeile. Ferner ist γ01 ω der sinus totus und γ11 ω ist Approximation an β50 ω, womit die Schranken des entsprechenden Logarithmus an Schranken in der zweiten Liste angekn¨ upft werden, womit die zweite Liste ihre Schuldigkeit getan

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hat. Schließlich ist γ0,i+1 ω eine Approximation von γ20,i ω. Damit ergeben sich dann Schranken f¨ ur die Logarithmen aller Eintr¨age dieser dritten Liste. Diese Liste erg¨anzt durch die (angen¨ aherten) Logarithmen ihrer Eintr¨age ist die Wurzel“ f¨ ur die Berechnung der Logarithmen der Sinuswerte — diese sind ” Naturale — der Winkel von 90◦ bis hinunter zu 30◦ . Die dann noch fehlenden Logarithmen erh¨alt man schließlich aus den schon berechneten mittels der fundamentalen Eigenschaft des Logarithmus f¨ ur proportionale Zahlen a¨quidifferent zu sein. Neper hat noch eine zweite M¨ oglichkeit, die Logarithmen der Sinuswerte kleiner Winkel zu berechnen. Dar¨ uber sp¨ ater mehr. Die ersten beiden Listen dienen also nur dem Zweck, Schranken f¨ ur die Logarithmen der Eintr¨ age der dritten Listen zu finden, dabei wird nur bei der ersten Liste explizit von t und b Gebrauch gemacht. Bei der Beschreibung der Berechnungen erw¨ahnt Neper vieles, was f¨ ur die Rechnung nicht ben¨ otigt wird, so dass es bei der ersten Lekt¨ ure nicht leicht ist, den Faden zu finden. Das Ganze ist sehr komplex und ein delikates Beispiel rechnender Mathematik. Gehen wir an die Details. Ich entnehme sie Nepers Buch Mirifici logarithmorum canonis constructio (Neper 1620b). Nepers Grunds¨ atze bei der Berechnung der Logarithmentafel (Ich folge der neperschen Nummerierung, u ¨berspringe aber 1. und 2.): 3. Der sinus totus ist 10000000. 4. Beim Rechnen werden Zahlen durch Anh¨ angen eines Punktes sowie von Nullen (cyphrae) verl¨ angert, das heißt, es wird die Arbeit mit Dezimalbr¨ uchen vorbereitet. Der Grund ist, dass beim h¨ aufigen Multiplizieren kleine Fehler immens wachsen k¨onnen, wie Neper sagt. Neper rechnet also im Definitionsbereich seiner Logarithmenfunktion mit doppelter Genauigkeit, um diesen Ausdruck aus der FORTRAN-Zeit noch einmal zu gebrauchen. 5. Wenn die Ziffernfolge einer Zahl durch einen Punkt getrennt wird, so bilden die Ziffern nach dem Punkt den Z¨ ahler eines Bruches, dessen Nenner aus einer Eins gefolgt von so vielen Nullen besteht, wie nach dem Punkt Ziffern sind. 4 und 25.803 f¨ ur Als Beispiele f¨ uhrt er an: 10000000.04 stehe f¨ ur 10000000 100 803 5021 25 1000 und 9999998.0005021 f¨ ur 9999998 10000000 , usw. 6. In der Tafel selbst werden die Br¨ uche weggelassen. Dies ergibt, da kleiner als 1, keinen f¨ uhlbaren Fehler. In der Tafel steht statt 9987643.8213051, das ist 8213051 , also nur 9987643. 9987643 10000000 Dass der Fehler nicht f¨ uhlbar ist, liegt daran, dass Neper nach unserem Verst¨andnis im Definitionsbereich seiner Funktion mit vierzehn Stellen nach dem Komma rechnet und dann am Schluss nur noch sieben Stellen ber¨ ucksichtigt. Die Stetigkeit des Logarithmus h¨alt dann auch die durch das Abbrechen entstehenden Fehler in Grenzen. 7. Eine unbekannte Gr¨ oße (quantitas ignota) oder eine irrationale Zahl (numerus inexplicabilis), wird zwischen Zahlschranken (termini numerales) eingeschlossen, die sich um h¨ ochstens eine Einheit unterscheiden.

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Als Beispiel nimmt er einen Kreis mit dem Durchmesser 497. Mit dem etwas ur π erh¨alt er, dass der zu großen archimedischen (Archimedes wird genannt) 22 7 f¨ Umfang des Kreises mit diesem Radius zwischen 1562 und 1561 liegt. Neper nennt immer die gr¨ oßere Schranke zuerst. Ferner: Die Diagonale eines Quadrates von der Seitenl¨ ange 1000 hat als L¨ange die Quadratwurzel aus 2000000. Hier gibt er als obere und untere Schranken die 604 604 und 1414 1829 (die Ungereimtheit schon im Original) an, was er Zahlen 1414 2828 zu 1415 und 1414 vereinfacht. 8. Die Schranken unbekannter Gr¨ oßen m¨ ussen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Das wird nun n¨ aher erl¨autert. 9. Beim Addieren zweier Gr¨ oßen m¨ ussen die jeweils oberen und unteren Schranken addiert werden. Beispiel. Eine Strecke ac ist im Punkte b unterteilt, so dass die L¨ ange von ab zwischen 123.5 und 123.2 und die von bc zwischen 43.2 und 43.1 liegt. Dann liegt die L¨ ange von ac zwischen den Schranken 166.7 und 166.3. Diese Zahlen l¨ asst er stehen. Beim Multiplizieren gilt das Entsprechende, dass n¨ amlich die oberen bzw. die unteren Schranken miteinander zu multiplizieren sind. Hier dient als Beispiel ein Rechteck mit den Seiten ab und ac, die durch die Zahlen 10.502 und 10.500 (man beachte die beiden Nullen) bzw. 3.216 und 3.215 eingeschlossen sind. F¨ ur den Fl¨ acheninhalt des Rechtecks abac erh¨alt er die Schranken 33.774432 und 33.757500 10. Beim Subtrahieren ist die untere Schranke der kleineren Gr¨ oße von der oberen Schranke der gr¨ oßeren Gr¨ oße abzuziehen und die obere Schranke der kleineren Gr¨ oße von der unteren Schranke der gr¨oßeren. Als Beispiel nimmt er das Beispiel f¨ ur die Addition aus 9. Er subtrahiert also bc von ac. Als Grenzen f¨ ur ac hat er die Zahlen 166.7 und 166.3 und f¨ ur bc die Zahlen 43.2 und 43.1. Er hat also zu rechnen 166.7 − 43.1 und 166.3 − 43.2. Das ergibt 123.6 und 123.1. Das sind schlechtere Schranken als die Ausgangsschranken. Dies wird von Neper herausgestellt. 11. Auch hier nimmt er das entsprechende Beispiel aus 9. und beobachtet das gleiche Ph¨anomen wie bei der Subtraktion, dass sich n¨ amlich die Schranken verschlechtern. Die urspr¨ unglichen Schranken f¨ ur ab waren 10.502 und 10.500. Als 857 2364 und 10.496 3216 . neue Schranken erh¨ alt er 10.505 3215 Hier macht Neper das, was Stevin sagt, das man machen k¨ onnte, n¨ amlich bei der Entwicklung eines Bruches in einen Dezimalbruch in der letzten Stelle einen Bruch stehen zu lassen, dass dies jedoch den Witz des Rechnens mit Dezimalbr¨ uchen verd¨ urbe. Neper geht es hier aber nicht ums Rechnen, sondern um die theoretischen Hintergr¨ unde des Rechnens. 12. Die Br¨ uche der Schranken sind zu entfernen und die Ganze der oberen Schranke um 1 zu erh¨ ohen. Soviel sei u ¨ ber die Genauigkeit zu sagen. Nun geht es um die Erleichterung der Rechenarbeit.

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13. Arithmetische Reihen seien stets einfach zu berechnen, da man hier nur addiere bzw. subtrahiere. Geometrische Reihen seien jedoch nicht immer einfach zu berechnen, da man hier multiplizieren, dividieren und auch Wurzeln ziehen m¨ usse. 14. Leicht sei es, durch solche Zahlen zu dividieren, die aus einer Eins gefolgt von Nullen best¨ unden. Hier streiche man soviele der letzten Ziffern, wie die Zahl Nullen habe. Der Text ist interessant, weil die Null cyphra heißt und die letzten — nicht die ersten! — Ziffern abgetrennt werden: Partes numeri faciles dicimus, partes quaslibet cuius denominationes vnitate & cyphris quotcumque notantur: habentur avtem hæ partes,reiiciendo tot figuras vltimas principales numeri, quot sunt cyphras in denominatore. Dies ist nicht ganz das, was er sp¨ater tut. Er rechnet n¨ amlich sp¨ ater f¨ ur verschiedene n mit Zahlen, bei denen m ≥ n Stellen nach dem Dezimalpunkt ber¨ ucksichtigt werden. Dividiert er solche Zahlen durch 10n , so muss er den Dezimalpunkt um n Stellen nach links verschieben — was er nicht sagt —, wodurch er eine Zahl mit m + n Stellen nach dem Dezimalpunkt erh¨ alt. Davon werden dann die letzten n Stellen gestrichen. 15. Nicht ganz so leicht sei das Teilen durch 2, 20, 200, etc. Hier streiche man soviele der letzten Ziffern, wie der Nenner Nullen hat (reiiciendo tot figuras vltimas principalis numeri, quot sunt cyphras in denominatore) und halbiere den Rest. 16. Nun geht es endlich ans Berechnen der ersten Liste. Wie zu Anfang gesagt, nimmt Neper 10000000 als sinus totus und f¨ ur QR : QS nimmt er

9999999 : 10000000 = (10000000 − 1) : 10000000.

Es folgt  αi+1 ω = αi ω 1 −

1 10000000

 = αi ω −

αi ω . 10000000

Das Streckenverh¨altnis wird hier als Zahlenverh¨ altnis gegeben. Neper rechnet nun mit 7 Stellen nach dem Dezimalpunkt (maioris accurationis gratiˆ a , d. i., der gr¨ oßeren Genauigkeit halber). Seine Rechnungen lassen sich verfolgen und heute auch rechtfertigen, wie oben gesagt. Wo Neper jedoch seine Sicherheit hernahm, bleibt mir r¨ atselhaft. Zun¨ achst berechne man ausgehend von α0 ω die Werte α1 ω bis α100 ω. Sie entstehen der Reihe nach durch einen Shift um 7 Stellen nach rechts und nachfolgender Subtraktion, wobei die Stellen ab der achten nach dem Dezimalpunkt, die beim Shiften entstehen, noch vor der Subtraktion unterdr¨ uckt werden. Das deutet er mit folgender Tabelle an.

9. Nepers Logarithmen

129 Prima Tabula 10000000.0000000 1.0000000 9999999.0000000 9999999 9999998.0000001 9999998 9999997.0000003 9999997 9999996.0000006 ··· ··· 9999900.0004950

urlich nur N¨ aherungen. Die Werte f¨ ur α3 ω, . . . , α100 ω sind nat¨ ur i := 2, . . . , 50 zu 17. Nun geht es darum, so scheint es zun¨ achst, αi·100 ω f¨ berechnen. F¨ ur diese gilt — bei Neper nur in Worten formuliert — αi·100 ω : α(i+1)ω·100 = α0 ω : α100 ω = 10000000.0000000 : 9999900.0004950. Eine Reihe in dieser stetigen Proportion zu berechnen sei aber schwierig. Die Reihe in stetiger Proportion 100000 : 99999 k¨ ame jedoch der gew¨ unschten Reihe gen¨ ugend nahe, wenn man dem sinus totus sechs Nullen hinzuf¨ uge. Sie aber l¨ asst sich einfach berechnen, n¨ amlich wieder durch Shiften, Abbrechen und Subtrahieren. Man erh¨ alt dann eine zweite Liste, die er andeutet, wie hier wiedergegeben. Secunda Tabula 10000000.000000 100.000000 9999900.000000 99.999000 9999800.001000 99.998000 9999700.003000 99.997000 9999600.006000 ··· ··· 9995001.222927 Diese Liste hat von 10000000.000000 bis 995001.222927 einundf¨ unfzig Eintr¨ age. Vom sinus totus abgesehen, der nat¨ urlich exakt ist, sind dies N¨ aherungen f¨ ur

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Kapitel I. Gr¨ oßen

α100 ω, α200 ω, α300 ω, . . . , α4900 ω, α5000 ω. Das ist richtig. Man lasse sich aber nicht ins Bockshorn jagen, denn: Wenn man dann weiterliest und nach allen Vorbereitungen an die eigentliche Berechnung der Logarithmentafel kommt, lernt man, dass die in der zweiten Liste aufgef¨ uhrten Werte β0 , β1 , . . . , β50 nicht als N¨ aherungen f¨ ur α0 ω, α100 ω, α200 ω bis α5000 ω angesehen werden, sondern dass sie selbst die Rolle von gewissen der αa ωt u ¨ bernehmen, wobei dann, ohne explizit auf t einzugehen, Schranken f¨ ur Λ(αt ω) bestimmt werden. Nur dass der erste Eintrag nach dem sinus totus in der zweiten Liste, also β1 = 9999900.000000, eine N¨aherung von α100 ω = 9999900.0004950 ist, wird sich als wichtig herausstellen. Wie die Schranke f¨ ur β1 und damit die Schranken f¨ ur die restlichen βi gefunden werden, wird weiter unten erl¨ autert. Um es noch einmal zu sagen: Das Einzige, was bei der zweiten Liste z¨ahlt, ist, dass die βi in stetiger Proportion stehen und dass β1 eine N¨aherung von α100 ω ist. Dies zeigt sich aber erst sp¨ ater. 18. Es wird noch eine dritte Liste berechnet. Diese hat 69 Spalten mit jeweils 21 Eintr¨ agen. Die eigentlichen Eintr¨ age, dh. die, die man zun¨ achst erwartet, folgen einer stetigen Proportion, die wieder schwer zu berechnen ist, n¨ amlich der Proportion  50 1 : 1, β50 : β0 = 1 − 100000 zwischen dem letzten und dem ersten Element der zweiten Liste — Neper benutzt keine Formeln —. Die Potenz auf der rechten Seite ist aber nicht sehr verschieden von 1 1 =1− , 1 − 50 · 100000 2000 so dass er diese Proportion f¨ ur seine N¨aherungen benutzt. Jetzt sieht man auch, weshalb er unter 15. von der Division durch 2, 20, 200, usw. sprach. Er deutet zun¨ achst an, wie die erste Spalte der dritten Liste zu berechnen sei. 10000000.00000 5000.00000 9995000.00000 4997.50000 9990002.50000 4995.00125 9985007.49875 4992.50374 9980014.99501 ··· ··· 9900473.57808 Im weiteren Verlauf der Rechnung streicht er die letzte Dezimale dieser Zahlen, da dies keinen f¨ uhlbaren Fehler ergebe.

9. Nepers Logarithmen

131

ur i := 0, . . . , 20. Der letzte Eintrag Hier haben wir also N¨ aherungen f¨ ur γi,1 f¨ ist N¨ aherung von γ20,1 . 19. Es ist  20 1 :1 γ20,1 : γ0,1 = 1 − 2000 1 1 )20 liegt nahe bei 1 − 100 . Neper berechnet ausgehend vom sinus und (1 − 2000 totus, den er nun mit vier Nullen nach dem Dezimalpunkt erg¨ anzt, die Werte

 i−1 1 γ0,i = 10000000.0000 · 1 − 100 f¨ ur i := 2, . . . , 69. Diese nimmt er als die Anfangswerte der Spalten 2 bis 69. 20. Dann berechnet er die restlichen Eintr¨age dieser Spalten, jeweils von ihrem ersten Eintrag ausgehend, mittels des Faktors 1−

1 . 2000

Dann ist also der erste Eintrag von Spalte i + 1 N¨ aherung f¨ ur den letzten Eintrag von Spalte i. Er skizziert das alles mit der folgenden Tabelle. Bei ihr ist zu beachten, dass die 6 in der zweiten Zeile der zweiten Spalte auch im Original steht. Hier hat der Setzer offensichtlich die Letter 9 auf den Kopf gestellt. PROPORTIONALIA TERTIÆ TABVLÆ Prima Columna. 10000000.0000 9995000.0000 9990002.5000 9985007.4987 9980014.9950 ··· ··· 9900473.5780

Secunda Col. 9900000.0000 9865050.0000 9890102.4750 9885157.4237 9880214.8451 ··· ··· 9801468.8423

Tertia Col. Inde 4a . 5a &c. vsq. ad &c. vsque ad 9801000.0000 &c. vsque ad 9796099.5000 &c. vsque ad 9791201.4503 &c. vsque ad 9786305.8495 &c. vsque ad 9781412.6967 ··· ··· ··· 9703454.1539 vsque tandem ad

69am column. 5048858.8900 5046334.4605 5043811.2932 5041289.3879 5038768.7435 ··· 4998609.4034

21. Hat man die Listen komplett berechnet, so hat man in der dritten Liste zwischen dem sinus totus und seiner H¨alften achtundsechzig Zahlen im Verh¨ altnis

132

Kapitel I. Gr¨ oßen

100 zu 99 eingef¨ ugt. Ferner zwischen je zwei von ihnen zwanzig weitere Zahlen im Verh¨altnis 10000 zu 9995. Zwischen die ersten beiden von ihnen, dh., zwischen 10000000 und 9995000 sind in der zweiten Liste f¨ unfzig Zahlen im Verh¨ altnis 100000 zu 99999 eingef¨ ugt. Schließlich sind zwischen der ersten und zweiten Zahl dieser Liste mittels der ersten Liste hundert Zahlen im Verh¨ altnis 10000000 zu 9999999 eingef¨ ugt. Die Br¨ uche k¨onne man weglassen. Man sei nun in der Lage, die Logarithmentafel zu berechnen. So Neper. Es sei hier noch einmal erw¨ahnt, dass die ersten beiden Listen nur dazu dienen, gute Ungleichungen f¨ ur Λ(γ1,1 ) zu bestimmen, womit mit dann auch Ungleichungen f¨ ur die restlichen γij erh¨alt. Zun¨ achst muss u ¨ ber b verf¨ ugt werden. Um klar zu machen, was uns erwartet, greifen wir auf unsere heutigen Kenntnisse zur¨ uck. Wir kennen ja schon die Funktion, um die es geht. Es ist  t 1 αt ω = 107 1 − 7 . 10 Leitet man dies nach t ab, so erh¨ alt man, wenn log den nat¨ urlichen Logarithmus bezeichnet,   t 1 1  7 αt ω = 10 log 1 − 7 1− 7 . 10 10 Mit t = 0 erh¨ alt man (s. etwa L¨ uneburg 1981a, S. 211), α0 ω

 i   ∞  1 1 (−1)i−1 7 = 10 log 1 − 7 = 10 − 7 10 i 10 i:=1   ∞ i−1 1 1 =− . i 107 i:=1 7

Die Reihe liegt nahe bei 1+

1 1 · = 1.00000005. 2 10000000

Es kommt heraus, dass Neper in der Tat b = 1.00000005 w¨ahlt. Schauen wir uns an, wie er diese Wahl begr¨ undet (Nummern 30., 31.). 22. Die Naturale in Tafel 3 fallen geometrisch, w¨ ahrend ihre Logarithmen arithmetisch steigen. 23.–24. Hier werden die Definitionen von arithmetisch steigen und von geometrisch bzw. stetig fallen aus der descriptio wiederholt. 25. Hier wird behauptet, was man heute folgendermaßen beschreiben kann. Ist αi ω die Geschwindigkeit im Punkte αi , so gibt es ein γ, welches nat¨ urlich gr¨ oßer ur alle i. Die Begr¨ undung habe ich nicht verstanden. als null ist, mit αi ω = γ · αi ω f¨ Da der Logarithmus nicht definiert ist, kann die Begr¨ undung nat¨ urlich auch keine

9. Nepers Logarithmen

133

Begr¨ undung, sondern allenfalls ein Plausibel-machen sein. Umso bemerkenswerter ist die Vorstellungskraft Nepers, mit der er das, was nur vage gefasst ist, ¨außerst pr¨ azise berechnet. Was wir Dank der Prinzipien der Mengenlehre zun¨ achst abstrakt erfassen, bevor wir ans Rechnen gehen, n¨amlich die Existenz der Logarithmusfunktion, kommt zu Nepers Zeiten durch Approximation ans Tageslicht. — Bevor es die reellen Zahlen gab, gab es ihre Approximation und unsere heutige Definition der reellen Zahlen ist letztlich nichts Anderes als die abstrakte Fassung dessen, was die Rechenpraxis immer schon wusste: Eine reelle Zahl ist der Inbegriff ihrer Approximationen. 26. Hier wird die — mathematisch wenig ergiebige — Definition des Logarithmus aus der descriptio wiederholt. 27. Der Logarithmus des sinus totus ist null. 28.–29. Es sei T S der sinus totus und gegeben sei der Sinus dS. Man verl¨ angere TS u ¨ ber T hinaus bis zu dem Punkt o, f¨ ur den oS : T S = T S : dS gilt. o

T

d

S

Dann ist T d < Λ(dS) < oT. Zun¨ achst folgt — Nepers Rechnung ist sehr gestrafft. Er zitiert nichts. Braucht er wohl auch nicht, da seinen Zeitgenossen das Rechnen mit Proportionen gel¨ aufig war. — (oT + T S) : T S = oS : T S = T S : dS = (T d + dS) : dS. Mit dem Zusatz von V.19 aus Abschnitt 3 folgt oS : oT = (oT + T S) : oT = (T d + dS) : T d = T S : T d. Hieraus folgt mit dem Zusatz zu V.7 von Abschnitt 3 die Gleichung oT : oS = T d : T S. Weil T S der sinus totus ist, ist T = α0 . Daher wird die Strecke oT in der gleichen Zeit durchlaufen wie die Strecke T d. Dies ist aber auch die Zeit, die der Punkt auf der linearen Strecke“ ben¨ otigt, um von A0 aus nach rechts hin die Strecke der ” L¨ange Λ(dS) abzutragen. Die Geschwindigkeiten in den Punkten A0 und α0 sind aber gleich und die Geschwindigkeit des Punktes der geometrisch fallenden Skala verringert sich. Also ist T d < Λ(dS). Bei dieser Argumentation wird von der Existenz von Λ Gebrauch gemacht und von der intuitiven Vorstellung, dass bei kleiner werdender Geschwindigkeit eine k¨ urzere Strecke zur¨ uckgelegt wird als bei gleichbleibender Geschwindigkeit. Was hier gesagt wurde, gilt mutatis mutandis auch f¨ ur das n¨ achste Argument. agt, Die Strecke der L¨ ange Λ(dS), die man von A0 ausgehend nach links hin abtr¨ wird ebenfalls in der fraglichen Zeit durchlaufen. Diese Strecke ist aber k¨ urzer als

134

Kapitel I. Gr¨ oßen

oT , da hier im Punkte o die Geschwindigkeit gr¨ oßer ist als im Punkte α0 . Daher gilt auch Λ(dS) < oT . Die hier statisch gefundenen Schranken sollen nun dynamisch berechnet werden, wobei die W¨ orter statisch“ und dynamisch“ von mir gew¨ahlt wurden, um den ” ” Unterschied zwischen 28. und 29. deutlich zu machen. Neper stellt in 29. nur die Aufgabe und verweist auf das Beispiel 30. Dort wird endlich u ¨ber b verf¨ ugt. 30.–31. Um nun b herauszufinden, nimmt Neper f¨ ur die Punkte o, T , d, S die Punkte α−1 , α0 , α1 und ω. Es gilt dann  α−1 ω = 10 1 − 7

1 10000000

−1 .

Nun ist b = b · 1 = Λ(α1 ω). Nach 28. gilt also α0 α1 < Λ(α1 ω) < α−1 α0 . Nun ist α0 α1 = 10000000 − 9999999 = 1 und

10000000 − 10000000 9999999 10000000 − 999999 = 10000000 · 999999 1 =1+ . 9999999 Die Zahl rechts ist um einen Hauch gr¨oßer als 1.0000001. Neper nimmt folglich als Schranke f¨ ur b die Werte 1.0000000 und 1.0000001, wobei er auch noch auf die Korrektur 1.00000010000001 der oberen Schranke hinweist. F¨ ur b nimmt er schließlich den Mittelwert 1.00000005 der ersten beiden Schranken. Damit haben wir nun alles in der Hand, die Logarithmen oder besser gesagt, Schranken f¨ ur die Logarithmen der Naturalen auszurechnen, die in den drei Tabellen aufgelistet sind. Dabei sei noch einmal betont, dass die ersten beiden Listen eine andere Rolle spielen als die dritte. Bevor wir darauf eingehen, werfen wir jedoch einen Blick nach vorne, was u ¨ berhaupt erreicht werden soll. Ich sagte zu Anfang, dass Neper eine Logarithmentafel f¨ ur die Sinuswerte von 0◦ bis 90◦ mit einer Schrittweite von 1 berechnet. Die erste Seite dieser Tafel ist auf der n¨ achsten Seite abgedruckt. Dabei habe ich die wenigen Korrekturen u ¨ bernommen, die ein Vorbesitzer meines Exemplars der descriptio eingetragen hat. Es sind noch Fehler stehen geblieben, wie der Leser unschwer entdecken wird. Zu beachten ist, dass von den Logarithmen nur ihr ganzer Anteil in die Tafel aufgenommen wurde. Man schreibe die Sinuswerte der Winkel, die Vielfache von 45 sind, mit dem kleinsten beginnend, der G¨ oße nach auf und notiere auch alle Differenzen. Diese α−1 α0 = 10000000 ·

9. Nepers Logarithmen Gr.

135

0 +|−

0 min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Sinus Logarithmi Differentia Logarithmi Sinus 0 Infinitum Infinitum 0 10000000 60 2909 81425681 81425680 1 9999999 59 5818 74494213 74494211 2 9999998 58 8727 70439560 70439556 4 9999998 57 11636 67562746 67562739 7 9999993 56 14544 65331315 65331304 11 9999989 55 17453 63508099 63508083 16 9999986 54 20362 61966595 61966573 22 9999980 53 23271 60631284 60631256 28 9999974 52 26180 59453453 59453418 35 9999967 51 29088 58399857 58399814 43 9999959 50 31997 57446759 57446707 52 9999950 49 34906 56576646 56576584 62 9999940 48 37815 55776222 55776149 73 9999928 47 40724 55035148 55035064 84 9999917 46 43632 54345225 54345129 96 9999905 45 46541 53699843 53699734 109 9999892 44 49450 53093600 53093577 123 9999878 43 52359 52522019 52521881 138 9999863 42 55268 51981356 51981202 154 9999847 41 58177 51468431 51468361 170 9999831 40 61086 50980537 50980450 187 9999813 39 63995 50515342 50515137 205 9999795 38 66904 50070827 50070603 224 9999776 37 69813 49645239 49644995 244 9999756 36 72721 49237030 49236765 265 9999736 35 75630 48844826 48844539 287 9999714 34 78539 48467431 48467122 309 9999692 33 81448 48103763 48103431 332 9999668 32 84357 47752859 47752503 356 9999644 31 87265 47413852 47413471 381 9999619 30 89

Differenzen teile man in drei Teile, so dass sie gleichm¨aßig abnehmen und zwar so, dass der mittlere Teil genau ein Drittel der Differenz sei. Ist also d eine dieser Differenzen, so teilt er sie in 13 d+a, 13 d und 13 d−a. Wie u ¨ ber a zu verf¨ ugen ist, sagt er nicht. Damit hat er dann die Sinuswerte der Winkel, die mit einer Schrittweite von 15 wachsen. Entsprechend bestimme man die Sinuswerte der Winkel, die mit einer Schrittweite von 5 wachsen, und schließlich die, die mit einer Schrittweite von 1 wachsen. Pr¨aziser wird er nicht.

136

Kapitel I. Gr¨ oßen

Regiomontanus hat sich des zweiten Verfahrens bedient, um seine Tabelle zu berechnen, aber etliche der Werte der Kontrolle halber auch nach der ersten Methode bestimmt. Er h¨ atte keinerlei Abweichungen festgestellt. Dies die Nacherz¨ahlung von Regiomontanus’ Beschreibung seiner Rechnungen f¨ ur die Sinustafel zum sinus totus 6000000. Ein Faksimile des lateinischen Textes, ¨ wie er 1541 gedruckt wurde, und eine Ubersetzung ins Deutsche findet sich in Glowatzki & G¨ottsche 1990. Die Tafel zum sinus totus 10000000 wird er wohl ¨ahnlich berechnet haben. Ob er zur Bestimmung der Sinuswerte der Vielfachen von 45 den sinus totus 10000000 · 100 w¨ahlte, ist nicht bekannt. Betrachtet man die Tafel, so stellt sich unter Anderem auch die Frage, wie Neper die Sinuswerte der Winkel ausgerechnet hat. In der Sekund¨ arliteratur (Tropfke, Wußing, Smith, Gericke, Anglin-Lambek, Ayoub, Peiffer & Dahan-Dalmedico) fand ich auf diese Frage keine Antwort. Bei Neper dauert es auch geraume Zeit, bis man eine Antwort erh¨alt. Er hat sie nicht berechnet! Schreibt er doch in seiner constructio auf S. 33: Hos sinus suppeditabit tibi communis sinuum Reinholdi Tabula, vel si qua exactior , dh., diese Sinuswerte liefert dir die gew¨ ohnliche Sinustafel ” des Reinhold oder eine genauere.“ Was es mit dieser Tafel auf sich hat, erfahren wir im n¨ achsten Abschnitt. Hat man nun die Sinuswerte der reinholdschen Tafel oder einer anderen entnommen, so stellt man fest, dass nur ein kleiner Teil von ihnen unter den bislang ausgewerteten Naturalen vorkommt und dass man von den ausgewerteten Naturalen andererseits viele unter den Sinuswerten vergeblich sucht. Es bleibt also auch noch theoretische Arbeit zu tun, bevor die eigentliche Tafel erstellt werden kann. Wir nehmen den Faden wieder auf. 32.–33. Die Logarithmen aller Naturalen der ersten Tafel k¨ onnen in Grenzen eingeschlossen und folglich gen¨ ugend exakt wiedergegeben werden. Wir haben ja schon herausgefunden, dass 1.0000000 < Λ(9999999) < 1.0000001 ist. Nach allem, was schon gezeigt ist, folgt 2.0000000 < Λ(9999998.0000001) < 2.0000002 3.0000000 < Λ(9999997.0000003) < 3.0000003, und so weiter. F¨ ur die Logarithmen selbst k¨onne man die Zahlen 0 f¨ ur den sinus totus und 1.00000005, 2.00000010, 3.00000015, usw. f¨ ur die weiteren Sinuswerte nehmen. 34. Die Differenz zwischen den Logarithmen des sinus totus und einer gegebenen Naturalen ist der Logarithmus der gegebenen Naturalen. Hier f¨allt auf, dass unter der Differenz zweier Gr¨ oßen a und b der Wert |a − b| verstanden wird. Es ist also

Λ(10000000) − Λ(αt ) = Λ(αt ),

9. Nepers Logarithmen

137

da ja Λ(10000000) = 0 ist. 35. Es sei αs < αt . Dann ist

Λ(αs ) − Λ(αt ) + Λ(αt ) = Λ(αs ) und

Λ(αs ) − Λ(αs ) − Λ(αt ) = Λ(αt ).

Dies ist rein verbal beschrieben, so dass man, wie bei 34., erst auf den zweiten Blick erkennt, dass die Differenz von a und b gleich |a − b| ist. Es wird noch einmal ausdr¨ ucklich erw¨ahnt, dass der Logarithmus f¨allt, wenn die Naturale steigt, und umgekehrt. 36. Hier wird nochmal gesagt, dass Naturalen gleicher Proportion a¨quidifferente Logarithmen haben. Das wird an Hand von Eintr¨ agen der ersten Liste klar gemacht. 37. Ist αr : αs = αs : αt , so ist 2Λ(αs ) = Λ(αr ) + Λ(αt ). F¨ ur uns klar. 38. Ist αr : αs = αt : αu , so ist Λ(αs ) + Λ(αt ) = Λ(αr ) + Λ(αu ). F¨ ur uns klar. 39. Die hier formulierte und bewiesene Ungleichung ist f¨ ur das Folgende entscheidend. V T c d e S Gegeben ist der sinus totus T S und die beiden Naturalen dS und eS, wobei dS der gr¨ oßere Wert sei. Die Punkte V und c werden so konstruiert, dass ST : T V = eS : de und T S : T c = dS : de gilt. Behauptet wird, dass T c < Λ(eS) − Λ(dS) < V T ist. Nach Konstruktion ist ja T S : T V = eS : de und T S : T c = dS : de. Mit S¨ atzen u ¨ ber Proportionen, die Neper nicht zitiert, folgert er V S : T S = T S : cS und T S : cS = dS : eS. Hierzu muss einiges gesagt werden. Die letzte Aussage kann man folgendermaßen beweisen. Dabei ist zu beachten, dass e zwischen d und S liegt. (Die Proportionen gelten ja nicht wirklich zwischen ¨ den Strecken selbst, sondern f¨ ur Aquivalenzklassen von kongruenten Strecken.) Es ist (T c + cS) : T c = T S : T c = dS : de = (de + eS) : de. Hieraus folgt mit V.17 (Abschnitt 3), dass cS : T c = eS : de ist. Hieraus folgt nach dem Zusatz zu V.7 (Abschnitt 3) T c : cS = de : eS und weiter T S : cS = (T c + cS) : cS = (de + eS) : eS = dS : eS.

138

Kapitel I. Gr¨ oßen

Um die erste Aussage zu beweisen, bemerke man zun¨achst, dass aus T S : T V = eS : de nach dem Zusatz zu V.7 folgt, dass T V : T S = de : eS ist. Mit V.18 von Abschnitt 3 folgt weiter V S : T S = (V T + T S) : T S = (de + eS) : eS = dS : eS. Mit der in Abschnitt 3 bewiesenen Transitivit¨ at der Gleichheit von Verh¨ altnissen folgt hieraus V S : T S = T S : cS ist. Damit ist auch die erste Aussage bewiesen. Aus T S : cS = dS : eS folgt mit 34. und 36. weiter



Λ(cS) = Λ(T S) − Λ(cS) = Λ(dS) − Λ(eS) = Λ(eS) − Λ(dS). Da ja V S : T S = T S : cS gilt, folgen mit 28. hieraus schließlich die Ungleichungen T c < Λ(cS) < V T und damit die Behauptung. Der Beweis zeigt dar¨ uber hinaus, dass die Differenz der Logarithmen zweier Naturalen der Logarithmus einer Naturalen ist. Genauer gilt: Korollar. Mit den Voraussetzungen von 39. gilt   dS Λ vS · = Λ(eS) − Λ(dS). eS Dieses Korollar steht nicht explizit bei Neper, wird von ihm aber schon in seinem fr¨ uheren Buch, der Descriptio, benutzt. Darauf kommen wir in Abschnitt 7 von Kapitel 5 zur¨ uck. 40. Dieser Punkt besteht in der Aufgabe, Schranken f¨ ur die Differenz der Logarithmen zweier gegebener Naturale zu bestimmen. Um dies zu erreichen, werden — verbal — die statischen Proportionen von 39. dynamisch in eine Folge von arithmetischen Operationen aufgel¨ ost, um die gesuchten numerischen Werte zu erhalten. Das Beispiel, das gerechnet wird, zeigt schließlich, dass hier der spezielle Fall gemeint ist, wo der sinus totus gleich 10000000 ist. Hemmungslos werden hier wieder Strecken mit Zahlen und Verh¨ altnisse mit Quotienten von Strecken gleichgesetzt. Bezeichnet a die gr¨ oßere der beiden Naturalen a und b und sind u und v die beiden in 39. definierten Grenzen, so gilt zun¨ achst 10000000 : v = b : (a − b) und

10000000 : u = a : (a − b).

9. Nepers Logarithmen

139

Hieraus folgt weiter (Es werden Verh¨ altnisse als Quotienten interpretiert.) u=

(a − b) · 10000000 a

v=

(a − b) · 10000000 . b

und

Es ist u < Λ(b) − Λ(a) < v. Das Beispiel, das Neper rechnet, ist a = 9999975.5000000

und

b = 9999975.000300.

Neper errechnet f¨ ur a−b das Ergebnis .4999700. Man beachte, dass links vom Dezimalpunkt keine Null steht. Die Null vor dem Dezimalpunkt nicht zu schreiben, ist heute noch Brauch in England und Nordamerika. F¨ ur u erh¨alt er .49997122 und f¨ ur v erh¨alt er .49997124, wobei er mit acht Stellen nach dem Komma rechnet. Beide Zahlen sind korrekt. Es ist also .49997122 < Λ(b) − Λ(a) < .49997124. Es g¨ abe einen kaum merkbaren Fehler, mit Λ(b) − Λ(a) = .4999712 weiter zu rechnen. 41. Nun wird die Aufgabe gestellt, den Logarithmus einer Naturalen a bis auf einen unerheblichen Fehler zu berechnen, wenn die Naturale nicht zu denen der ersten Liste geh¨ort, aber zwischen zweien dieser Werte liegt. Hier wird die Existenz von Λ(a) unterstellt! Zun¨ achst wird die dem a n¨ achstliegende Naturale der Liste aufgesucht, sei sie gr¨ oßer oder auch kleiner. Wir nennen sie b. Dann bestimme man gem¨aß 33. die Schranken von Λ(b). Dann bestimme man nach 40. die Schranken f¨ ur

Λ(a) − Λ(b) . Dann erh¨ alt man mittels 8., 10. und 35. Schranken f¨ ur Λ(a), wobei man ber¨ ucksichtigen muss, ob a ober- oder unterhalb von b liegt. Erstes Beispiel: a = 9999975.5000000. Dann ist b = 9999975.0000300. Nach 33. ist 25.0000000 < Λ(b) < 25.0000025 und nach 40. ist — ohne merklichen Fehler — Λ(b) − Λ(a) = .4999712.

140

Kapitel I. Gr¨ oßen

Es folgt 24.5000288 < Λ(a) < 24.5000313. Zweites Beispiel: a = 9999900.0000000. Hier sieht man, dass er das Dazwischenliegen nicht w¨ ortlich nimmt. Dieses a ist der zweite Eintrag der zweiten Liste, der aber von dem letzten Eintrag der ersten Liste nicht sehr stark abweicht. Es ist also b = 9999900.0004590. Nach 33. gilt 100.0000000 < Λ(b) < 100.0000100. Nach 40. ist Λ(a) − Λ(b) = .0004950. Dabei ist mit 40. die dortige Methode gemeint, das Beispiel selbst wurde dort nicht vorgef¨ uhrt. Mit 35. folgt dann 100.0004950 < Λ(a) < 100.0005050. Damit sind zwei Beispiele f¨ ur die beiden vorkommenden M¨ oglichkeiten andeutungsweise vorgerechnet. Mit dem, was Neper schreibt, und auch mit dem ersten Beispiel f¨ uhrt Neper seine Leser in die Irre. Die ganze Liste wird n¨amlich, wie schon gesagt, nur benutzt, um die Grenzen f¨ ur Λ(9999900.0000000) zu etablieren. 42. Mit diesen Schranken hat man den Schl¨ ussel f¨ ur die Absch¨ atzung der Logarithmen der Naturalen der zweiten Liste in der Hand. Sie zu bestimmen, wird nun erl¨autert. Man hat also schon 100.0004950 < Λ(9999900.0000000) < 100.0005050. Nach 32. sind diese Schranken nun zu verdoppeln, zu verdreifachen, usw., zu verf¨ unfzigfachen. Man erh¨ alt 200.0009900 < Λ(9999800.001000) < 200.0010100 300.0014850 < Λ(9999700.003000) < 300.0015150 usw. bis 5000.0247500 < Λ(9995001.222927) < 5000.0252500 43. Hier wird die Aufgabe gestellt, den Logarithmus von solchen Naturalen zu berechnen, die zwischen Naturalen der zweiten Liste liegen. Das Verfahren ist das gleiche wie unter 41. Das Beispiel, das Neper hier bringt, ist a = 9995000.000000. Es ist die erste, nicht triviale Naturale der dritten Liste. Die n¨ achstliegende Naturale der zweiten Liste ist b = 9995001.222927. Nach 42. ist 5000.0247500 < Λ(9995001.222927) < 5000.0252500.

9. Nepers Logarithmen

141

F¨ ur Λ(a) − Λ(b) ergeben sich die Schranken (b − a) · 10000000 = 1.2298847 a (b − a) · 10000000 = 1.2298849 v= b

u=

Aus all dem folgt 5001.2546347 < Λ(9995000.000000) < 5001.2551349. Was auch immer Neper — und die Sekund¨ arliteratur — schreibt, die zweite Liste dient Neper nur zu dem Zweck, die gerade bewiesenen Ungleichungen zu etablieren. Neper hat hier andere Werte f¨ ur u und v, n¨ amlich die Werte 1.2235386 und 1.2235387. Das macht sich in der ersten Spalte der dritten Liste noch bis in die Stelle vor dem Dezimalpunkt bemerkbar, verschwindet dann aber in der Basistafel, wo er nur noch eine Stelle nach dem Dezimalpunkt ber¨ ucksichtigt. Ob dieses Verschwinden auf Runden beruht oder eine andere Rechnung zu Grund liegt, bleibe offen. 44. Damit ist man nun in der Lage, die Schranken der Logarithmen f¨ ur die Naturalen der ersten Spalte der dritten Liste zu bestimmen. Sie sind ja gerade die i-fachen der Schranken des ersten nicht trivialen Eintrags. Es geht also weiter mit 10002.5092694 < Λ(9990002.5000) < 10002.5102698 und endet mit 100025.092694 < Λ(9980014.9950) < 100025.102698. Hier hat Neper, wie gesagt, leicht verschiedene Werte. In der Basistafel stimmen Nepers Werte, nun nur noch mit einer Stelle nach dem Dezimalpunkt, zumindest in der ersten Spalte mit meinen Werten u ¨berein. Sp¨ ater gibt es wieder leichte Verschiedenheiten. Doch darauf kommt es hier nicht an. 45. Es muss schließlich noch der Anschluss des ersten Eintrags der zweiten Spalte an den letzten Eintrag der ersten Spalte gefunden werden, also der Anschluss von a = 9900000.0000 an b = 9900473.5780. Fr¨ uhere Methoden liefern — Neper folgt hier einem anderen Weg. Er ist flexibel — (b − a) · 10000000 = 478.33 b (b − a) · 10000000 = 478.35 v= a

u=

und schließlich 100503.3 < Λ(990000.0000) < 100503.5.

142

Kapitel I. Gr¨ oßen

46.–47. Aus den beiden Schranken 100503.3 und 100503.5 erh¨ alt man nun rekurur siv durch Addieren dieser Werte zu den Schranken von Λ(γ0,j ) die Schranken f¨ Λ(γ0,j+1 ). Addiert man zu diesen Schranken dann jeweils zwanzigmal die Grenzen 5001.2546347 und 5001.2551349, so erh¨alt man die Schranken aller Logarithmen der Eintr¨ age der dritten Liste. Durch Mittelbildung bekommt man schließlich N¨ aherungen f¨ ur die Λ(γij ). Die Basistafel wird von Neper wie folgt angedeutet. RADICALIS TABVLÆ Columna prima Naturales Artificiales 10000000.0000 0 9995000.0000 5001.2 9990002.5000 10002.5 9985007.4987 15003.7 9980014.9950 20005.0 ··· ··· 9900473.5780 100025.0

···

···

Columna secunda Naturales Artificiales 9900000.0000 100503.3 9895050.0000 105504.6 9890102.4750 110505.8 9885157.4237 115507.1 9880214.8451 120508.3 ··· ··· 9801468.8423 200528.2

Columna 69 Naturales Artificiales 5048858.8900 6834225.8 5046333.4605 6839227.1 5043811.2932 6844228.3 5041289.3879 6849229.6 3038768.7435 6854230.8 ··· ··· 4998609.4034 6934250.8

Zu beachten ist der offensichtlich falsche Wert 3038768.7435 in Spalte 69, der schon im Original steht. Mittels der Basistafel ist es nun m¨oglich, die Logarithmen der Sinuswerte der Winkel von 90◦ bis 30◦ durch Interpolation zu berechnen. — Ab jetzt geht es wirklich um Sinuswerte. 49. Die Logarithmen der Sinuswerte oberhalb 999700 sind sehr leicht zu bestimmen. Neper hat hier 999700, meint aber 9996700. Dies zeigt das Beispiel, das er erl¨autert, und weiter die Bemerkung, dass er die Strecke bis zum ersten, nicht trivialen Eintrag der Basistafel, n¨amlich 9995000 u ¨ berbr¨ ucken muss. Nach 29. gilt 3300 < Λ(9996700) < 3301. Hier kann man ohne merklichen Fehler 3300 f¨ ur den fraglichen Logarithmus nehmen. Entsprechendes gelte f¨ ur gr¨ oßere Sinuswerte. 50. Nun gilt es, die Logarithmen von Sinuswerten zu bestimmen, die zwischen Werten liegen, die in der Basistafel vorkommen. Hier lautet die Anweisung in heutiger Sprache formuliert:

9. Nepers Logarithmen

143

Wir nennen den gegebenen Sinuswert a. Man suche in der Basistafel den n¨ achstgelegenen Sinuswert b. Der kann gr¨ oßer sein oder auch kleiner. Dann multipliziere man die Differenz von a mit b, also |a − b|, mit dem sinus totus, also 10000000. Das Ergebnis dividiere man — und hier zeigt sich der geschickte Rechner — durch a oder b oder durch eine andere, zwischen a und b gelegene Zahl, welche immer f¨ ur die Division am bequemsten sei. Nach 39. w¨ are der Fehler nicht wirklich f¨ uhlbar. Nennen wir die Zahl, die wir erhalten, zu unserer Bequemlichkeit u, so ist u nach 39. N¨ aherung f¨ ur |Λ(a) − Λ(b)|. Ist a > b, so rechnet man mit u = Λ(b) − Λ(a) weiter, andernfalls mit u = Λ(a) − Λ(b), wobei man den Wert f¨ ur Λ(b) der Basistafel entnimmt. Wie die Beispiele zeigen, die er vorf¨ uhrt, erg¨ anzt er den Sinuswert a noch um vier Nullen nach dem Dezimalpunkt bevor er anf¨ angt zu rechnen, um ihn den Sinuswerten der Basistafel anzupassen. 51. Die n¨ achste Bemerkung liest sich in unserer Notation so: Λ(a) − Λ(2a) = 6931469.22. Der Beweis ist sehr einfach. Es ist ja Λ(a) − Λ(2a) = Λ(5000000) − Λ(10000000) = Λ(5000000). Der Sinuswert 5000000 liegt im Bereich der Basistafel, mit deren Hilfe sich dann Λ(5000000) = 6931469.22 errechnet. Durch Iteration ergibt sich Λ(a) − Λ(4a) = 13862938.44 Λ(a) − Λ(8a) = 20794407.66 52. Diese Bemerkung liest sich in unserer Notation so: Λ(a) − Λ(10a) = 23025842.34. Hier hat man zun¨ achst nach 50., dass Λ(8000000) = 2231434.68 ist. (Dies glaubt man oder man muss rechnen.) Nach 51. gilt Λ(1000000) − Λ(8000000) = 20794407.66. Hieraus ergibt sich Λ(1000000) = 23025842.34. Der Rest folgt dann wieder aus der Bemerkung, dass Λ(a) − Λ(10a) = Λ(1000000) − Λ(10000000) = Λ(1000000)

144

Kapitel I. Gr¨ oßen

ist. 53. Hier werden die Differenzen Λ(a) − Λ(ka) f¨ ur k := 2, 4, 8, 10, 20, 40, usw. in einer kleinen Tafel zusammengestellt.

Sinuum proportiones datæ.

Artificialium respondentes differentiæ.

Sinuum proportiones datæ.

Artificialium respondentes differentiæ.

Dupla Quadrupla Octupla Decupla 20cupla 40cupla 80cupla Centupla 200pla 400pla 800pla Millecupla 2000pla 4000pla

6931469.22 13862938.44 20794407.66 23025842.34 29957311.56 36888780.78 43820250.00 46051684.68 52983153.90 59914623.12 66846092.34 69077527.02 76008996.24 82940465.46

8000pla 10000pla 20000pla 40000pla 80000pla 100000pla 200000pla 400000pla 800000pla 1000000pla 2000000pla 4000000pla 8000000pla 10000000pla

89871934.68 92103369.36 99034883.58 105966307.80 112897777.02 115129211.70 122060680.92 128992150.14 135923659.36 138155054.04 145086523.26 152017992.48 158949461.70 161180896.38

54. Mit Hilfe der letzten Tafel ist es schließlich m¨oglich, auch die Logarithmen von solchen Sinuswerten zu berechnen, die außerhalb der Basistafel liegen. Man multipliziere ihn n¨ amlich mit 2, 4, 8, 10, 20, 40, 80. 100, 200 oder einem anderen in der Tafel aufgelisteten Wert, so dass der entstehende Wert innerhalb der Basistafel liege. Dann verfahre man mit diesem Wert gem¨ aß 50. Zu dem Logarithmus, den man erh¨ alt, addiere man noch die entsprechende Differenz aus der Tafel 53. Sein Beispiel. Es sei a := 378064. Dann ist 20a = 7561280 und diese Zahl ist im Bereich der Basistafel. Mittels 50. erh¨ alt man Λ(20a) = 2796444.9. Hierzu addiert man 29957311.56. Das ergibt 32752756.4 und damit Λ(378064) = 32752756. 55. Als N¨achstes beweist Neper f¨ ur Winkel, die kleiner als 90◦ sind, was wir als 1 2

sin 12 π : sin 12 ϕ = sin 12 (π − ϕ) : sin ϕ

notieren. Hier steht sin f¨ ur den Sinus im Sinne Nepers, also f¨ ur unsere mit 107 multiplizierte Sinusfunktion. Zum Beweise bedient er sich der folgenden Figur.

9. Nepers Logarithmen

145 e h d g

f k a

i

b

c

Dabei habe ich der neperschen Figur die gestrichelten Linien hinzugef¨ ugt, um das Lesen zu erleichtern. Bei Neper finden sich nur die Punkte f , g, h, b und d markiert. Die Strecke ab repr¨ asentiert den sinus totus. Diese Strecke wird u ¨ ber b hinaus ¨ verl¨ angert nach c, so dass bc gleich dem sinus totus ist. Uber ac wird der Halbkreis gezeichnet. Winkel heißen bei Neper in diesem Zusammenhang arcus, das ist Bogen“. Der Winkel ϕ ist der durch den Bogen ade (das d ist kein Versehen) ” dargestellte Winkel. Ich schreibe hier stattdessen schulgem¨aß ϕ =  abe. Dann ist abd = 12 ϕ =  dbe   

ebc = π − ϕ ebh = 12 (π − ϕ) =  hbc.

Von e aus werde das Lot auf ab gef¨ allt, das diese Strecke in i treffe. Schließlich sei k der Mittelpunkt der Strecke ab. Dann ist ei = sin ϕ ef = sin 12 ϕ eg = sin 12 (π − ϕ) ak = 12 sin 12 π. Es ist zu zeigen, dass ak : ef = eg : ei ist. Neper bemerkt zun¨achst, dass die Dreiecke  cea und  cie gleichwinklig und ¨ damit a¨hnlich sind, wobei das Wort ¨ ahnlich“, dh. sein lateinisches Aquivalent, ” nicht f¨ allt. Sie sind ja beide rechtwinklig, das Dreieck cie auf Grund seiner Konstruktion und das Dreieck cea, weil e auf der Peripherie des Halbkreises u ¨ ber ac liegt. Ferner ist  ace =  ice, so dass dann auch die restlichen Winkel gleich sind, was wiederum nicht ausdr¨ ucklich gesagt wird. Nun ist ac die Hypotenuse und ae die kleinere Kathete von  ace. Ferner ist ce die Hypotenuse und ei die kleinere Kathete von cei. Also gilt ac : ae = ce : ei. Wegen ac = 2ab und ce = 2eg folgt hieraus ab : ae = eg : ei. Schließlich ist ab = 2ak und ae = 2ef , so dass ak : ef = eg : ei

146

Kapitel I. Gr¨ oßen

ist. Damit ist alles bewiesen. Bei diesem Beweis wird der Satz von Thales benutzt, wie auch, dass die Summe der Winkel im Dreieck gleich zwei Rechten ist, und nat¨ urlich werden Zahlen wieder mit Strecken identifiziert. 56. Hier beweist Neper, was wir wie folgt notieren. 



2Λ sin π4 = Λ 12 sin π2 . Neper nennt dies einen Spezialfall von 55. und argumentiert an Hand einer Figur, die der gerade benutzten Figur entspricht, wobei, in unserer Sprache gesprochen, ϕ = π2 ist. Setzen wir dies in unsere Formel 55. ein, so erhalten wir 1 2

Hieraus folgt Λ

1 2

sin π2 : sin π4 = sin π4 : sin π2 .







 sin π2 − Λ sin π4 = Λ sin π4 − Λ sin π2

und wegen



Λ sin π2 = 0

dann auch die Behauptung. 57. Dieser Punkt ist eine unmittelbare Folgerung aus 55. In unserer Sprache liest es sich sehr einfach, w¨ahrend Neper sehr viel mehr Worte machen muss: Λ

1 2





 sin π2 + Λ(sin ϕ) = Λ sin ϕ2 + Λ sin( π2 − ϕ2 ) .

Folglich ist Λ(sin ϕ2 ) bekannt, falls die anderen drei Logarithmen bekannt sind. Als Beispiel rechnet er ϕ = 69◦ 20 . Hier sei Λ(sin ϕ) = 665143. Nach 51. sei Λ

1 2

 sin π2 = 6931469.

Ferner ist die H¨alfte von 69◦ 20 gleich 34◦ 40 . Es folgt, dass 55◦ 20 die H¨ alfte des Komplements von ϕ ist. Es folgt 

Λ sin 12 (π − ϕ) = 1954370. Aus all diesem folgt

 Λ sin ϕ2 = 6931469 + 665143 − 1954370 = 5642242. 58. Sind die Logarithmen der Sinuswerte von Winkeln oberhalb 45◦ gegeben, so sind auch die Logarithmen der Sinuswerte von Winkeln unterhalb 45◦ leicht zu haben. Ist n¨amlich ϕ der Bogen eines Winkels, der gr¨ oßer als 45◦ Grad ist, so ist

9. Nepers Logarithmen

147

− ϕ) Bogen eines Winkels der ebenfalls gr¨oßer als 45◦ ist. Daher greift 57., da ja Λ( 12 sin π2 ) nach 51. bekannt ist. Damit kommt man aber zun¨ achst nur bis zu den Logarithmen der Sinuswerte von Winkeln, die gr¨ oßer oder gleich 22◦ 30 sind. Im n¨ achsten Schritt komme man bis 11◦ 15 , usw. 59. Hier fasst Neper alles Vorige zusammen und beschreibt im Detail, wie die Tafel anzulegen sei. Er beginnt: Paginæ præparentur quadraginta quinque longiusculæ, vt præter margines superiorem & inferiorem, sexaginta etiam lineas numerales capere valeant. Das ist: Man pr¨ apariere f¨ unfundvierzig l¨ angliche Bl¨ atter, ” so dass sie neben dem oberen und unteren Rande noch sechzig Zeilen mit Zahlen zu fassen in der Lage sind.“ In der gedruckten Logarithmentafel ist der Inhalt dieser Bl¨ atter jeweils auf zwei Seiten wiedergegeben. Wie die Seiten ansonsten eingeteilt sind, wieviele Spalten sie haben, was in jeder Spalte steht und was ihre ¨ Uberschriften sind, welche Spalten durch einfache und welche durch doppelte Linien zu trennen und wo die waagrechten Linien anzubringen sind, wird in aller Ausf¨ uhrlichkeit erl¨ autert und ist an der oben abgedruckten ersten Seite der Tabelle klar zu erkennen. Bei dieser Beschreibung sagt er auch, dass man die Sinuswerte z. B. der Tafel des Erasmus Reinhold entnehmen k¨ onne, wobei er den Vornamen nicht nennt. Dies wurde auch schon erw¨ ahnt und wird gleich n¨ aher erl¨autert werden. Er schreibt weiter, dass man die Tafel unter Benutzung von 54. oder von 58. berechnen k¨ onnen. Im ersten Falle berechne man mittels 49. und 50. die Logarithmen der Sinuswerte der Winkel zwischen 90◦ und 30◦ , um dann mittels 54. auch die Logarithmen der Sinuswerte kleinerer Winkel zu bekommen, und im zweiten Falle berechne man ebenfalls mittels 49. und 50. die Sinuswerte der Winkel zwischen 90◦ und 45◦ , um dann mittels 58. die restlichen Logarithmen zu berechnen. Das zweite Verfahren sei das bessere. 60. Hier bemerkt er abschließend, dass gelegentlich die Methoden 54. und 58. unterschiedliche Ergebnisse br¨ achten. So sei Λ(378064) nach 54. berechnet gleich 32752756 und nach 58. gleich 32752741. Er meint, das l¨ age daran, dass die Sinustafeln nicht in Ordnung seien. Er empfiehlt, exaktere Sinustafeln zu berechnen und 100000000 also 108 als sinus totus zu nehmen. Dadurch a¨ndert sich auch seine weitere Strategie ein wenig, doch an der Idee ¨andert sich nichts. Der aufmerksame Leser wird noch fragen, was die Zeichen + und − u ¨ ber der Spalte mit den Differenzen sollen. Dazu sei vorl¨aufig nur Folgendes bemerkt. Die Funktion Λ ist auf dem Intervall 1 2 (π

{x | 0 < x ≤ 107 } definiert. Es ist aber leicht, sie auch f¨ ur Werte zu definieren, die gr¨ oßer als 107 sind. Die Funktionswerte sind dann negativ, wie Neper in seiner descriptio bemerkt. Bei ihm liest sich das so: Vnde sinus totius 10000000. null˜ u seu 0 est logarithmus; & per consequ˜es maior˜ u sinu toto logarithm. sunt nihilo minores. Das heißt: Daher ” ist der Logarithmus des sinus totus 10000000 null, bzw., 0; & folglich sind die Logarithmen von Zahlen, die gr¨ oßer als der sinus totus sind, kleiner als nichts.“ Er nennt im weiteren Verlauf die Logarithmen von Sinuswerten, die immer gr¨oßer als

148

Kapitel I. Gr¨ oßen

nihil seien, abundantes, und die Logarithmen, die kleiner als nihil sind, defectivi. Jene werden mit einem +, das auch wegbleiben kann, und diese mit einem − bezeichnet, so wie wir es heute noch halten. Die defektiven Logarithmen spielen bei Aufgaben ihre Rolle, die Neper beispielhaft f¨ ur die Verwendung der Logarithmen rechnet. Wir werden den Faden negative Logarithmen“ hier erst einmal liegen lassen. ” Negative Zahlen tauchen n¨ amlich noch an weiteren Stellen auf, so dass ich erst einmal noch Material sammeln m¨ ochte, das ich dann im Zusammenhang am Ende von Kapitel 5 er¨ ortern werde. Man kann nur staunen. Was eine Zahl denn sei, bleibt offen. Es werden Strecken benutzt, um Zahlen darzustellen, und mittels geometrischer S¨ atze Eigenschaften von Zahlen und funktionale Zusammenh¨ ange zwischen ihnen etabliert. Es werden Werte einer Funktion approximiert, die nach unserem Verst¨ andnis nur an abz¨ ahlbar vielen Stellen definiert ist, usw., usw. Man kann nur staunen, welche Vorstellungskraft Neper hatte. Auch u ¨ ber seinen Zugang zu seiner Logarithmusfunktion u ¨ber den Begriff der Geschwindigkeit, der ebenfalls noch nicht gefasst war. Dieser Begriff aber lag in der Luft. Tartaglia schrieb zur Ballistik. Galileis Fallgesetze waren gerade entdeckt und auch Kepler hatte schon die ersten beiden seiner Gesetze beschrieben. Diese Gesetze aber beschreiben globale Eigenschaften von Bewegungen, w¨ahrend Geschwindigkeit etwas Infinitesimales ist. Man kann nur staunen. 10. Sinustafeln. Die Sinusfunktion sei anschaulich, schrieb ich im letzten Abschnitt. Das ist richtig, solange man sich darauf beschr¨ ankt, theoretisch zu beschreiben, wie zum Winkel ϕ die Strecke sin ϕ konstruiert wird. Will man aber die L¨ange der Strecke sin ϕ in Zahlen ausdr¨ ucken, so hat man einiges zu tun. Das Identifizieren von Strecken mit Zahlen ist doch nicht so selbstverst¨andlich. Das Berechnen einer Sinustafel bedeutet also Arbeit. So ist es nicht verwunderlich, dass Neper auf eine vorhandene Tafel zur¨ uckgriff. Er schreibt, wie schon berichtet, Hos sinus suppeditabit tibi communis sinuum Reinholdi Tabula, vel si qua exactior , das ist, Diese Sinuswerte liefert dir die gew¨ ohnliche Sinustafel des ” Reinhold oder eine genauere.“ Man ist versucht anzunehmen, dass er sich der Tafel des Erasmus Reinhold bediente. Doch die subtilen Untersuchungen von Ernst Glowatzki und Helmut G¨ ottsche zeigen, dass dies nicht der Fall war (Glowatzki und G¨ ottsche 1990). Bevor wir auf diese Untersuchungen eingehen, m¨ochte ich ein paar Worte zu Erasmus Reinhold sagen, obwohl seine Rolle hier schon ausgespielt ist. Da ist zun¨achst zu sagen, dass es zwei M¨anner dieses Namens gibt, Vater und Sohn. Es ist der Vater, der hier so unerwartet auftritt, doch auch der Sohn ist f¨ ur die Geschichte der Mathematik interessant. Er hat n¨ amlich das erste — den Anwendern zu Nutze — deutsch geschriebene Buch u ¨ ber Markscheidekunst verfasst (Reinhold d. J. 1574). Das fragliche Buch hat zwei Teile. Im ersten Teil geht es ums Feldmessen. Dieser Teil gehe auf einen Entwurf seines Vaters zur¨ uck, schreibt er in der Vorrede zu diesem Teil. Der zweite Teil, u ¨ ber das Markscheiden, scheint eine

10. Sinustafeln

149

¨ eigenst¨andige Arbeit des Sohnes zu sein. Der Sohn hat im Ubrigen sein Studium der Mathematik in Wittenberg abgebrochen und sich der lukrativeren Medizin zugewandt. Er war dann sp¨ ater als Arzt, Apotheker und letztlich als Bergvogt t¨ atig. Das Amt des Bergvogts hatte er in Saalfeld inne, der Heimatstadt seines Vaters. Er selbst war in Wittenberg geboren. Erasmus Reinhold d. J. publizierte auch einen Artikel u ¨ ber die Nova des Jahres 1572, der von Tycho Brahe sehr gelobt wurde. Die beiden haben sich nach dem Zeugnis Tycho Brahes in Saalfeld getroffen. Dies alles entnehme ich Koch 1909. Die Sinustafel, die Neper erw¨ ahnt, befindet sich in dem Buche Primus liber tabularum directionum, das 1554 in T¨ ubingen erschien. Als Autor firmiert Erasmus ¨ Reinholdus Salveldensis, das ist Erasmus Reinhold der Altere. Das Widmungsschreiben an Herzog Albrecht von Preußen ist datiert: VVitebergæ Anno 1553, Calendis Februarij. Knapp drei Wochen sp¨ ater, am 19. Februar 1553, raffte ihn die Schwindsucht in seinem zweiundvierzigsten Lebensjahr in seiner Heimatstadt Saalfeld hinweg. Er war von Wittenberg aus schon 1552 v¨ ollig ersch¨ opft dorthin zur¨ uckgekehrt, also lange bevor in Wittenberg die Pest ausbrach. Letzteres Ereignis ist wohl schuld daran, dass sich bis heute das Ger¨ ucht h¨ alt, er sei an der Pest gestorben. Zeitzeugen aber sagen, es sei die Schwindsucht gewesen. Belege finden sich bei Koch 1908, wo ich auch die sonstigen Angaben zu Reinholds Leben her habe. Was das Wittenberg“ in der Datierung des Widmungsschreibens angeht, so ist ” Koch der Meinung, dass dies in Saalfeld geschrieben sei, da alles darauf hindeute, dass Reinhold Saalfeld nach seiner R¨ uckkehr im Jahre 1552 nicht mehr verlassen habe. Erasmus Reinhold, 1511 geboren, wie der Leser sicher schon nachgerechnet hat, studierte Mathematik in Wittenberg, wo er vor 1536 die Magisterw¨ urde erlangte. Dies schließt man daraus, dass er in diesem Jahr dort zum Professor ernannt wurde. Er hielt Vorlesungen u ¨ber mathematische und astronomische Themen. Der Astronomie galt seine Liebe. Noch ohne Fernrohr, machte er erstaunlich genaue Beobachtungen. Aus ihnen ging unter anderem hervor, dass der Mond sich nicht auf einem Kreis um die Erde bewegt. Die Zeit, die er f¨ ur das tropische Jahr ermittelte, haben wir auch schon fest gehalten. Dabei hatten wir uns auf Vi`ete berufen. In der Ausgabe der preußischen Tafeln von 1571 findet man auf f. 139v die Angabe, dass das tropische Jahr um 5 Stunden, 46 Minuten und 16 Sekunden l¨ anger sei als das agyptische Jahr. Das scheint ein Druckfehler zu sein. Von zwei und drei tropischen ¨ Jahren wird n¨ amlich gesagt, dass sie 11 Stunden, 38 Minuten und 32 Sekunden, bzw., 17 Stunden, 27 Minuten und 47 Sekunden l¨ anger seien als zwei bzw. drei agyptische Jahre. Das passt nur zusammen, wenn es bei einem Jahr 5 Stunden, ¨ 49 Minuten und 16 Sekunden heißt, was auch Vi`ete als den reinholdschen Wert angibt. Was in der ersten Auflage steht, weiß ich nicht. Das a¨gyptische Jahr hat eine L¨ange von 365 Tagen. Philipp Melanchthon und Georg Joachim Rhaeticus waren Freunde von Eras¨ mus Reinhold dem Alteren. Melanchthon nutzte seinen Einfluss bei den Herrschern der Zeit zu Gunsten seines Freundes und durch Rhaeticus erhielt Reinhold Zugang

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Kapitel I. Gr¨ oßen

zu dem revolutionierenden Werk des Nikolaus Kopernikus, noch bevor es publiziert war. Er, Reinhold, behandelte die neue Theorie sogleich in seinen Vorlesungen in Wittenberg. So viel zu Erasmus Reinhold. Danken m¨ochte ich an dieser Stelle Herrn Dr. Wolfgang M¨ uller, dem ehemaligen Leiter des Erasmus-Reinhold-Gymnasiums“ ” in Saalfeld, der mir den Zugang zu diesem hochinteressanten Mann er¨offnete. Er versorgte mich insbesondere mit Kopien der beiden Artikel von Ernst Koch und einer Kopie der Ausgabe von 1571 der preußischen Tafeln. Was nun die Sinustafel des Erasmus Reinhold anbelangt, so stellt sich heraus, dass sie eine unter vielen ist, die allesamt keine Neuberechnungen sind, sondern direkt oder indirekt auf die Sinustafel des Regiomontanus zur¨ uckgehen, die dieser im Jahre 1468 zum sinus totus 10000000 berechnete, die aber erst postum im Jahre 1541 gedruckt wurde. Die Abh¨angigkeit jener Sinustafeln von der des Regiomontanus bzw. von einander haben Glowatzki und G¨ ottsche durch sorgf¨ altige Analyse der in ihnen vorkommendenen Druck- und Rechenfehler herausgefunden. Dabei kam auch heraus, dass Neper nicht die reinholdsche Tafel benutzte, sondern die Tafel von Finck 1583 oder von Lansberg 1591. Welche, l¨asst sich an Hand dieser Analyse nicht entscheiden, da Lansberg sich der finckschen Tafel bediente. Beide Tafeln jedoch sind Folgetafeln der regiomontanusschen. F¨ ur Einzelheiten dieser Analyse und die Abh¨angigkeiten der untersuchten Tafeln sei der Leser an die exzellente Arbeit Glowatzki und G¨ ottsche 1990 verwiesen. Die ¨alteste uns bekannte Tafel, die dem wissenschaftlichen Rechnen diente, ist die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios aus seinem Almagest“, den er um 150 n. ” Chr. schrieb. In ihr wird zu den Winkeln zwischen 1/2 und 180 Grad, die L¨ ange der A

M

B

Sehne AB angegeben, die durch die Schenkel des Winkels bei M bestimmt wird, wie die Abbildung zeigt. Die Tafel schreitet nach halben Graden fort, so dass sie 360 Eintr¨ age enth¨alt. Der Radius des Kreises wurde zu 60 partes angenommen. Dabei ist pars nur eine Z¨ ahleinheit, also keine L¨ ange. Bruchteile eines Grades wie Bruchteile eines pars werden in physikalischen Br¨ uchen angegeben. Ptolemaios beschreibt die Berechnung seiner Sehnentafel so pr¨ azise, dass es ein Leichtes ist, sein Verfahren zu programmieren. Die Tafel, griechisch und deutsch, die Beschrei¨ bung ihrer Berechnung, griechisch und deutsch, die Geschichte ihrer Uberlieferung, ein PL/I-Programm zu ihrer Berechnung und ihre Neuberechnung mittels dieses Programms finden sich in Glowatzki und G¨ ottsche 1976. Wie mit den physikalischen Br¨ uchen selbst zu rechnen sei, erl¨autert Ptolemaios jedoch nicht. Das lehrte erst sein Kommentator Theon. Auch dessen Anleitung findet sich in der Arbeit von Glowatzki und G¨ ottsche beschrieben.

10. Sinustafeln

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Die Sehnentafeln des Ptolemaios wurden durch die Araber in Sinustafeln umgewandelt. Dies ist sehr einfach, da die halbe Sehne ja der Sinus des halben Winkels ist. Der Radius des Kreises betrug nach wie vor 60 partes, so dass man nicht umhin kam, mit Br¨ uchen zu rechnen, wobei man sich nach dem Vorbilde Ptolemaios’ der physikalischen Br¨ uche bediente. Der Erste, von dem wir wissen, dass er einen großen Radius f¨ ur den sinus totus w¨ahlte, um das Rechnen mit Br¨ uchen zu vermeiden, ist Giovanni Bianchini, mit dem Regiomontanus in Verbindung stand. Er berechnete eine Sinustafel zum sinus totus von 60000. Von ihm hatten offenbar Peurbach und Regiomontanus die Idee, den sinus totus zu vergr¨oßern (Glowatzki & G¨ ottsche 1990, S. 94), wobei Regiomontanus noch einen Schritt u ¨ber Bianchini hinausging, indem er den sinus totus verhundertfachte und die Schrittweite von 10 auf 1 verringerte. Die Berechnung dieser Tafel zum sinus totus 6000000 hat er ausf¨ uhrlich beschrieben. Diese seine Beschreibung werden wir hier wiedergeben, da es uns ja interessiert, wie man fr¨ uher Zahlen handhabte, ohne eine wirkliche Definition von Zahl zu haben, die u ¨ ber den Begriff nat¨ urliche Zahl“ hinausging. ” Regiomontanus machte am Ende dann noch einen weiteren Schritt, indem er 10000000 als sinus totus nahm und so Verfahren und Tafel vollst¨ andig dezimalisierte. Dies ist die Tafel, die vielfach kopiert wurde und die auch Neper indirekt seinen Rechnungen zu Grunde legte. Regiomontanus war mit dem Almagest und den Kommentaren Theons vertraut. Dank seiner hervorragenden Griechischkenntnisse, konnte er die Originaltexte studieren, was er tat und was sich auch in seinem literarischen Schaffen niederschlug. Einzelheiten hierzu bietet Rose 1975, Kap. IV: Regiomontanus in ” Italy.“ Die Methoden, die Regiomontanus benutzt, um seine Tafeln zu berechnen, gehen u ¨ ber die des Ptolemaios nur insofern hinaus, dass er f¨ ur die Darstellung der Zahlen das indische Positionssystem benutzt, das Ptolemaios ja noch nicht kannte. Was beide beherrschen mussten, war neben der Elementargeometrie das Ausziehen von Wurzeln. Was Theon hierzu sagt, findet sich bei Glowatzki & G¨ ottsche 1976 kommentiert. Beim Wurzelziehen kann man sich mit Vorteil der Bemerkung bedienen, dass sich reelle Zahlen auf vielf¨ altige Weise approximieren lassen. Es gilt ja 1√ 2 √ ak = a. k √ Dies impliziert, dass man √a mit vorgegebener Genauigkeit berechnen kann, indem man die gr¨ oßte Ganze aus ak 2 berechnet und dann durch k dividiert. Dabei muss k nur so gew¨ ahlt werden, dass k1 gen¨ ugend klein wird. Hat man√a insbesondere dezimal gegeben und nimmt man f¨ ur k eine Potenz von 10, so wird a mittels eines Bruches approximiert, dessen Nenner eine Potenz von 10 ist. Dieser Trick findet sich schon in einer der Bearbeitungen der Arithmetik des Al-Hwarizmi (Allard, S. 58). Fibonacci erw¨ahnt dieses Verfahrens f¨ ur beliebiges k, benutzt es bei seinen

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Kapitel I. Gr¨ oßen

Rechnungen aber nur f¨ ur Potenzen von 10 (L¨ uneburg 1993, S. 259. Boncompagni 1857, S. 355). Kommen wir zu den Details der Rechnungen. Im Folgenden wird das Wort kennen“ in dem Sinne benutzt, dass Zahlenwerte ” f¨ ur L¨ angen von Strecken explizit bekannt oder aber durch Rechnen bekannt zu machen sind. Proposition 1. Kennt man den Sinus eines Bogens der kleiner ist als ein Viertel des Kreisumfangs, so kennt man auch den Sinus seines Komplementes zu diesem Viertel. b

e

a

g

o

f

Steht ϕ f¨ ur den Winkel f oe, so ist ef sein Sinus. Ferner  der Sinus von  ist eg 90◦ −ϕ. Ferner ist eg gleich of . Mit Pythagoras folgt sin2 90◦ −ϕ = ob2 −sin2 ϕ. Dabei ist ob der sinus totus. Proposition 2. Die Sinuswerte der B¨ ogen angeben, die Vielfache von 15◦ sind. In der nachstehenden Figur sei ae der Bogen zum Winkel von 30◦ . Dann ist eb der Bogen zum Winkel von 60◦ . Es folgt, dass die Sehne eb die Seite eines dem Kreise einbeschriebenen Sechsecks ist. Also ist die L¨ ange der Sehne eb gleich der L¨ange von eo. Es ist ef parallel zu og und eg parallel zu f o. Also sind ef und og gleich lang. Ferner sind auch og und gb gleich lang, da ja oeb ein gleichseitiges b

e

g

l m a

f

o

k h d

c

10. Sinustafeln

153

Dreick ist. Es folgt

sin 30◦ =

1 2

sin 90◦ .

Mit Proposition 1 erh¨ alt man √ 3 sin 90◦ . sin 60 = 2 ◦

Es sei ah die H¨ alfte des Bogens ad. Dann ist ak der Sinus von 45◦ . Nach dem Satz von Pythagoras ist 4 sin2 45◦ = ad2 = 2oa2 = 2 sin2 90◦ , das heißt

1 sin 45◦ = √ sin 90◦ . 2

Ist m der Mittelpunkt der Sehne ae, so ist am der Sinus von 15◦ . Es ist ferner 4 sin2 15◦ = ae2 = ef 2 + af 2 = sin2 30◦ + (sin 90◦ − sin 60◦ )2 , alt man schließlich auch woraus sich sin 15◦ bestimmen l¨asst. Mit Proposition 1 erh¨ noch sin 75◦ . Regiomontanus rechnet hier mit sin 90◦ = 600000000 (acht Nullen). Er erh¨ alt die folgende Liste. 90 600000000 30 300000000 60 519615242 45 424264069 15 155291427 75 579555496 Bei der n¨achsten Proposition ist zu beachten, dass der Cosinus damals noch keinen Namen hatte. Er ist ja auch nur ein phasenverschobener Sinus. Stattdessen wurde die Funktion sinus versus betrachtet. Diese Funktion ist definiert durch sinvers ϕ := sin 90◦ − sin(90◦ − ϕ). Es ist also sinvers ϕ = sin 90◦ − cos ϕ. Proposition 3. Ist ϕ kleiner als 45◦ , so ist 1 sin 90◦ : sin ϕ = sin ϕ : sinvers 2ϕ. 2 Es sei ϕ der Winkel roc und soc der doppelte. Dann haben die rechtwinkligen Dreiecke cus und toc den Winkel oct gemein. Folglich stimmen sie auch im dritten Winkel u ¨ berein, so dass sie ¨ahnlich sind. (Hier wird benutzt, dass die Winkelsumme

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Kapitel I. Gr¨ oßen

ucklich erw¨ ahnt.) Also gilt oc : tc = sc : cu. im Dreieck gleich 180◦ ist. Dies sei ausdr¨ b s r t o

x

u

c

Hieraus folgt oc : sc = tc : cu. Ferner gilt oc : sc = 2cx : 2ct = cx : ct und damit tc : cu = cx : ct. Wegen uc = sinvers 2ϕ ist daher sin ϕ : sinvers 2ϕ = tc : cu = cx : ct =

1 sin 90◦ : sin ϕ. 2

Damit ist die Behauptung bewiesen. Ist ϕ kleiner als 90◦ und kennt man seinen Sinus, so kennt man nach Proposition 1 auch den Sinus von 90◦ − ϕ. Damit kennt man den sinus versus dieses Winkels und mit Proposition 3 dann auch den Sinus von 12 ϕ. Insbesondere bekommt man mit dem Sinus des Winkels von 15◦ den von 7◦ 30 und damit den von 3◦ 45 . Proposition 1 liefert die Sinuswerte der komplement¨ aren Winkel. Entsprechend f¨ ur die anderen schon bekannten Sinuswerte. Es ergibt sich die Tabelle 7 82 3 86 22 67 11 78 37 52 18 71 41 48 33 56 26 63

30 30 45 15 30 30 15 45 30 30 45 15 15 45 45 15 15 45

78315715 594866917 39241877 598715354 229610059 554327720 117054193 588471168 365256858 476012004 192863679 568158078 395607489 451103884 333342140 498881767 265373214 538123645

10. Sinustafeln

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Die n¨achste Proposition ist wieder eine Aufgabe. Proposition 4. Die Seiten des dem Kreis einbeschriebenen Zehn- und F¨ unfecks sind bekannt zu machen. Wir betrachten den Halbkreis abc mit dem Mittelpunkt o. Es sei m der Mittelpunkt der Strecke oc. Die Strecke mb werde an m u ¨ ber o hinaus angetragen. Der Endpunkt heiße n. Die Behauptung ist nun, dass bn die Seite des F¨ unfecks und on die Seite des Zehnecks ist. b

a

n

o

m

c

Nach Euklid II.6 ist cn · no + om2 = mn2 = mb2 . Andererseits ist mb2 = ob2 + om2 . Aus diesen beiden Gleichungen folgt cn · no = ob2 = oc2 und damit cn : oc = oc : no. Also ist oc die mittlere Proportionale zwischen cn und no. Wegen nc = no + oc ist schließlich (no + oc) : co = cn : co = co : no. Hieraus folgt mit Euklid XIII.9, dass no die Seite des dem Kreis einbeschriebenen Zehnecks ist. Es ist no2 + ob2 = nb2 . Weil no die Zehnecksseite und ob die Seite des dem Kreis einbeschriebenen Sechsecks ist, ist nb nach Euklid XIII.10 die Seite des dem Kreis einbeschriebenen F¨ unfecks. — Der Beweis ist der ptolem¨aische. Das macht man sich nun so zu nutze. Es ist ob2 + om2 = mb2 = nm2 . Damit ist mn bekannt. Davon subtrahiere man om. Es bleibt on. Nun ist on2 + ob2 = nb2 ,

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Kapitel I. Gr¨ oßen

so dass auch nb bekannt ist. Das ist die L¨ ange der Sehne zum Winkel 72◦ . Es folgt, dass 1 sin 36◦ = nb 2 ist. Mit den Propositionen 1 und 3 erh¨ alt man hieraus nach und nach die Sinuswerte der Winkel 36◦ , 2◦ 15 , 40◦ 30 , 15◦ 45 ,

54◦ , 87◦ 45 , 49◦ 30 , 74◦ 15 ,

18◦ , 27◦ , 20◦ 15 , 38◦ 15 ,

72◦ , 63◦ , 69◦ 45 , 51◦ 45 ,

9◦ , 13◦ 30 , 42◦ 45 , 24◦ 45 ,

81◦ , 76◦ 30 , 47◦ 15 , 65◦ 15 ,

4◦ 30 , 6◦ 45 , 31◦ 30 , 29◦ 15 ,

85◦ 30 , 83◦ 15 , 58◦ 30 , 60◦ 45 .

Alle diese Werte, die hier nicht angegeben seien, zum sinus totus 600000000. Man beachte — worauf Regiomontanus hinweist —, dass nur solange halbiert wird, wie die Minutenwerte gerade sind. Proposition 5. Die Seite des dem Kreise einbeschriebenen F¨ unfzehnecks ist bekannt zu machen. Wir betrachten den Viertelkreis ab mit dem Zentrum c. Die Sehne be sei die Seite des 10-Ecks, die wir ja konstruieren k¨ onnen, und die Sehne bd sei gleich dem Radius des Kreises. Dann ist eb der Bogen von 36◦ und der Bogen bd der von 60◦ . Folglich sind die B¨ ogen ea und da die von 54◦ und 30◦ . Es folgt, dass ed der Bogen zum Winkel 90◦ − 30◦ − 36◦ = 24◦ ist. Wegen 24 · 15 = 360 ist daher die Sehne ed die Seite des dem Kreis einbeschriea

d

f e

g i

c

h

k

b

benen 15-Ecks. Es geht also darum, die L¨ange dieser Sehne zu berechnen. Die Strecken df und ge seien orthogonal zu ca und die Strecken dh und ek orthogonal zu cb. Dann ist eg = sin 54◦ und hi = ek = sin 36◦ . Ebenso ist ig = df = sin 30◦ und dh = sin 60◦ . Diese Sinuswerte sind allesamt nach dem bereits Erledigten bekannt. Also sind ei = eg − ig = sin 54◦ − sin 30◦ und

di = hd − hi = sin 60◦ − sin 36◦ .

10. Sinustafeln

157

bekannt. Nun ist aber de2 = ei2 + di2 . Damit ist die Aufgabe gel¨ ost. Wir haben implizit das Folgende bewiesen, das wir f¨ ur notieren. Regiomontanus sieht hier auch, dass der Beweis kommen wir gleich zu sprechen, wenn das Korollar ins Spiel Korollar. Ist ae der Bogen zum Winkel α und eb der Bogen 4 · sin2

sp¨ atere Verwendung mehr liefert. Darauf kommt. zum Winkel β, so ist

2

2 α−β = sin α − sin β + sin(90◦ − β) − sin(90◦ − α) . 2

Zur¨ uck zum F¨ unfzehneck. Es ist de die Sehne zum Winkel von 24◦ und daher sin 12◦ = 12 de. Mit Proposition 3 erh¨ alt man dann auch die Sinuswerte von 6◦ , 3◦ , 1◦ 30 und von  45 . Nimmt man noch Proposition 1 hinzu, so erh¨ alt man schließlich die Sinuswerte aller Winkel, die Vielfache von 45 sind, das sind insgesamt 120 Werte. Alle diese Werte werden zum sinus totus 600000000 gerechnet und aufgelistet. Die Sinuswerte der Winkel, die Vielfache von 45 sind, sind nun alle bekannt. Sie bilden das Ger¨ ust, mit dessen Hilfe weitere Sinuswerte mittels Interpolation berechnet werden. Dazu ben¨otigt man Ungleichungen, um die Genauigkeit abzusch¨ atzen. Diese liefert die n¨achste Proposition. Proposition 6. Es seien bc und cd gleichlange B¨ ogen auf dem Viertelkreis oaq. Sind ef und f g ihre orthogonalen Projektionen auf die Strecke aq, so ist ef l¨ anger als f g. a

b c

h k o

e

d

g

f

q

l m

Die Sehnen bc und cd sind gleich lang. Die Dreiecke chb und dkc sind rechtwinklig. Ihre Umkreise sind also gleich (Umkehrung des Satzes von Thales). Der Winkel cbh ist aber gr¨ oßer als der Winkel dck, weil der Bogen cm gr¨ oßer ist als

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Kapitel I. Gr¨ oßen

der Bogen dl. Hieraus folgt, dass der Bogen zum Winkel cbh des ersten Kreises gr¨ oßer ist als der Bogen zum Winkel dck. Hieraus folgt, dass auch die Sehne ch des ersten Kreises l¨anger ist als die Sehne dk des zweiten Kreises. Weil ch und f e, bzw. dk und gf gleich lang sind, folgt die Behauptung. Dieses Argument ist sehr fragw¨ urdig. Ich stelle mir vor, dass man mittels einer Drehung um o den Punkt c nach b bringt. Dann wandert d nach c. Dann sieht ” man“, dass das Bild des Bogens dl innerhalb des Bogens cm bleibt, so dass die Aussage u ¨ ber die Gr¨ oßenverh¨altnisse der beiden Winkel stimmt. Doch, was ist die L¨ange bzw. Gr¨ oße eines Bogens? Was heißt innerhalb“? Was bleibt bei Drehungen ” invariant? Dieses Argument zeigt andererseits, dass es Regiomontanus bewusst war, dass die Aussage der Proposition nicht banal ist. Regiomontanus zieht nun Konsequenzen aus dieser Proposition. Zun¨ achst bestimmt er Schranken von sin 1◦ . Dies erl¨autert er an der folgenden Figur. Der Radius des Viertelkreises sei der sinus totus und was parallel erscheint, sei parallel.Es sei ad der Bogen des Winkels 45 und ag der Bogen des Winkels 1◦ 30 , ferner ae der a

b

c

d

e f g

h

i

k

l m n

Bogen des Winkels 1◦ . Dann ist sin 45 = hl sin 1◦ 30 = hg sin 1◦ = hm. Nach Fr¨ uherem, was wir erst hier explizit notieren, gilt sin 45 = 7853773 und ◦  sin 1 30 = 15706169. Der Bogen ad wird in drei gleiche Teile ab, bc, cd geteilt und der Bogen eg in zwei solche, ef und eg. Dann sind ab, bc, cd, de, ef und f g allesamt B¨ogen, die ur die L¨ angen der Strecken hi, den Winkel 15 darstellen. Nach Proposition 6 gilt f¨ ik, usw. hi > ik > kl > lm > mn > ng. Wegen hi + ik + kl = hl = sin 45 = 7853773 folgt 2617924 =

1 · 7853773 > kl > lm 3

und damit (man lasse sich nicht durch die Notation verwirren!) 10471697 = 7853773 + 2617924 > hl + lk > hl + lm = sin 1◦ .

10. Sinustafeln

159

Damit ist eine obere Schranke f¨ ur den Sinus von 1◦ gewonnen. Wie kurz zuvor notiert, gilt hg = sin 1◦ 30 = 15706169 und daher lg = hg − hl = 15706169 − 7853773 = 7852396. Wegen lg = lm + mn + ng folgt weiter, dass lm > Also ist

1 · 7852396 = 2617465. 3

sin 1◦ = hl + lm > 7853773 + 2617465 = 10471238.

Insgesamt erhalten wir also 10471238 < sin 1◦ < 10471697. Mittels der Proposition 1 erh¨ alt man aus den Schranken f¨ ur sin 1◦ die Schranken 599908613 < sin 89◦ < 599908621 f¨ ur sin 89◦ . Ferner mittels Proposition 3 Schranken f¨ ur sin 30 , wobei er nur die obere Schranke 5236044 angibt. Dann sagt er, dass es f¨ ur die Tafel ausreiche, den Wert 6000000 (sechs Nullen) als sinus totus zu w¨ahlen, da die damit erzielte Genauigkeit ausreiche. Damit erhalte man die Schranken 52358 < sin 30 < 52360. Man erh¨ alt diese Werte durch Weglassen der letzten beiden Stellen der Schranken, die man mit dem großen Wert f¨ ur den sinus totus berechnet hat. F¨ ur den Sinus von 30 nimmt er dann den Mittelwert der beiden Schranken, also sin 30 = 52359. Hieraus erh¨ alt man sin 15 = 26180. Ferner setzt er sin 1◦ = 104715. Weiter ermittelt er mittels dieser Werte sin 89◦ 45 = 5999943 sin 89◦ = 5999086. All dieses versetze einen nun in die Lage, die Sinuswerte aller Winkel auszurechnen, die in Viertelgraden fortschreiten. Hier hat nun das Korollar zur Proposition 5 seinen Auftritt. Regiomontanus schreibt begr¨ undend: Nam iuxta ingenium dict˜ u in quinta ex sinu arcus 30 minutorum sinuque sui complementi, item sinu arcus 52 graduum & 30. minutor˜ u, sinuque sui complementi reperies chordam arcus 52. graduum, inde sinus arcum 26. graduum notus

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fiet , . . . Das heißt: Denn du wirst gem¨ aß dem in Proposition 5 genannten Kunst” griff (ingenium) aus dem Sinus zum Bogen von 30 Minuten sowie dem Sinus seines Komplements und aus dem Sinus zum Bogen von 52 Grad und 30 Minuten sowie dem Sinus seines Komplements die Sehne zum Bogen von 52 Grad ermitteln. Da¨ raus wird der Sinus zum Bogen von 26 Grad bekannt, . . . “ (Zitat und Ubersetzung aus Glowatzki & G¨ ottsche 1990). Hier wird also das Korollar mit α = 52◦ 30 und  β = 30 benutzt und das Schema des Beweises von Proposition 5 mit Kunstgriff“ ” bezeichnet. Aus all dieser Information w¨are es nun ein Leichtes, mit den bereit gestellten onne Mitteln die Sinuswerte aller Winkel die Vielfache von 15 zu berechnen. Man k¨ aber auch anders verfahren. Regiomontanus hat sich des zweiten Verfahrens bedient, um seine Tabelle zu berechnen, aber etliche der Werte der Kontrolle halber auch nach der ersten Methode bestimmt. Er h¨ atte keinerlei Abweichungen festgestellt. Man schreibe die Sinuswerte der Winkel, die Vielfache von 45 sind, mit dem kleinsten beginnend, der G¨ oße nach auf und notiere auch alle Differenzen. Diese Differenzen teile man in drei Teile, so dass sie gleichm¨aßig abnehmen und zwar so, dass der mittlere Teil genau ein Drittel der Differenz sei. Ist also d eine dieser ¨ ber a zu verf¨ ugen Differenzen, so teilt er sie in 13 d + a, 13 d und 13 d − a. Wie u ist, sagt er nicht. Damit hat er dann die Sinuswerte der Winkel, die mit einer Schrittweite von 15 wachsen. Entsprechend bestimme man die Sinuswerte der Winkel, die mit einer Schrittweite von 5 wachsen, und schließlich die, die mit ahlung einer Schrittweite von 1 wachsen. Pr¨aziser wird er nicht. Dies die Nacherz¨ von Regiomontanus’ Beschreibung seiner Rechnungen f¨ ur die Sinustafel zum sinus totus 6000000. Ein Faksimile des lateinischen Textes, wie er 1541 gedruckt wurde, ¨ und eine Ubersetzung ins Deutsche findet sich in Glowatzki & G¨ ottsche 1990. Die Tafel zum sinus totus 10000000 wird er wohl ¨ahnlich berechnet haben. Ob er zur Bestimmung der Sinuswerte der Vielfachen von 45 den sinus totus 10000000 · 100 w¨ahlte, ist nicht bekannt. Auf der vorigen Seite ist die letzte Seite der regiomontanusschen Tafel zum sinus totus 10000000 abgedruckt, so wie ich sie bei Glowatzki & G¨ottsche abgeschrieben habe. Bei den Eintr¨ agen 86◦ 2 und 89◦ 6 springen Fehler sofort ins Auge. Es gibt aber auch weniger auff¨ allige. Was nehmen wir aus all dem mit? Nun, es gibt keinen Zahlenbegriff, der auch nicht-nat¨ urliche Zahlen umfasst. Dennoch sieht es f¨ ur uns so aus, dass jeder Strecke eine Zahl zugeordnet ist, die dann, da nicht explizit zug¨ anglich, durch rationale Zahlen approximiert wird. Relationen zwischen den Zahlen im Hintergrund werden mittels geometrischer S¨atze etabliert wie dem Satz von Pythagoras, dem Satz u ¨ ber die Winkelsumme im Dreieck, der Umkehrung des Satzes von Thales und dem Satz, dass Dreiecke ¨ahnlich sind, wenn sie in allen Winkeln u ¨bereinstimmen. Mittels dieser Relationen werden dann wiederum die N¨ aherungen dieser Zahlen berechnet. All dies ist nach unserem Verst¨andnis m¨ oglich, da alle Funktionen, die hier behandelt werden, stetig sind. Mir scheint, man kann nicht genug staunen, dass das alles funktionierte.

10. Sinustafeln G m ¯ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

85

86 portio ¯ Sinus unius 2 Sinus 10 9961947 4 2 9975641 9962200 9975843 9962452 9956045 9962703 9976246 9962954 9976446 9963204 9976645 9963453 4 1 9976843 9963701 9977040 9963948 9977237 9964194 9977433 9964440 9977628 9964685 9977822 9964929 9978015 9965172 4 0 9978207 9965414 9978398 9965655 9978589 9965895 9978779 9966135 9978968 9966374 9979156 9966612 9979343 9966849 3 9 9979530 9967085 9979716 9967320 9979901 9967555 9980085 9967789 9980268 9968022 9980450 9968254 9980631 9968485 3 8 9980811 9968715 9980991 9968944 9981170 9969173 9981348 9969401 9981525 9969628 9981701 9969854 9981877 9970079 9982052 9970304 3 7 9982226 9970528 9982399 9970751 9982571 9970973 9982742 9971194 9982912 9971414 9983082 9971633 3 6 9983251 9971851 9983419 9972069 9983586 9972286 9983752 9972502 9983917 9972717 9984081 9972931 9984245 9973145 9984408 9973358 3 5 9984570 9973570 9984731 9973781 9984891 9973991 9985050 9974200 9985209 9974408 9985367 9974615 9985524 9974822 3 4 9985680 9975028 9985835 9975233 9985989 9975437 9986143 9975640 9986295

161 87 portio ¯ unius 2 Sinus 10 3 4 9986295 9986447 9986598 3 3 9986748 8986897 9987045 9987193 9987340 9987486 9987631 3 2 9987775 9987918 9988061 9988203 9988344 9988454 9988623 3 1 9988761 9988899 9989036 9989172 9989307 9989441 9989574 3 0 9989706 9989837 9989968 9990098 9990227 9990355 9990432 2 9 9981608 9981731 9990859 9990983 9991106 9991228 9991349 2 8 9991470 9991590 9991770 9991827 9991944 9992060 9992175 2 7 9992290 9992404 9992517 9992629 9992740 9992850 9992960 9993069 2 6 9993177 9993284 9993390 9993495 9993599 9993703 9993806 2 5 9993908

88 portio ¯ unius 2 Sinus 10 2 5 9993908 9994009 9994109 9994208 9994307 9994405 9994502 2 4 9994598 9994693 9994787 9994881 9994974 9995066 9995157 2 3 9995247 9995336 9995424 9995512 9995599 9995685 9995770 2 2 9995854 9995937 9996019 9996101 9996182 9996262 9996341 2 1 9996419 9996496 9996573 9996649 9996724 9996798 9996871 2 0 9996943 9997014 9997085 9997155 9997224 9997292 9997359 1 9 9997425 9997491 9997556 9997620 9997683 9997745 9997806 1 8 9997867 9997927 9997986 9998044 9998101 9998157 9998212 1 7 9998267 9998321 9998374 9998426 9998477

89 portio ¯ unius 2 Sinus 10 1 7 9998477 9998527 9998576 9998625 1 6 9998673 9998720 9898766 9998811 9998855 9998899 9998942 1 5 9998984 9999025 9999065 9999104 9999143 9999181 9999218 1 4 9999254 9999289 9999323 9999356 9999389 9999421 9999452 1 3 9999481 9999511 9999539 9999566 9999593 9999619 9999644 1 2 9999668 9999691 9999713 9999735 9999756 9999776 9999795 1 1 9999813 9999830 9999846 9999861 9999877 9999891 9999904 1 0 9999916 9999927 9999938 9999948 9999957 9999965 9999972 0 9 9999978 9999984 9999989 9999993 9999996 9999998 9999999 0 8 10000000

portio unius ¯ 2 10 0 8

0

7

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6

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5

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162

Kapitel I. Gr¨ oßen

Blickt man noch einmal zur¨ uck auf das, was wir u ¨ ber Buch V der Elemente gelernt haben, und vergleicht man dies mit dem, was bei Regiomontanus und bei Neper geschieht, so sieht man sehr klar, dass der Inhalt von Buch V rein algebraisch ist. Zu guter Letzt sei noch bemerkt, dass die Minute bei Regiomontanus s¨achlich ist. Der Nominativ lautet also minutum. Das folgt aus dem von ihm benutzten Plural minuta des Wortes (Glowatzki & G¨ otsche 1990, S. 16, Zeilen 15 und 16).

II. Zahlen 1. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden. Am Ende von Buch IX der Elemente steht eine Gruppe von S¨ atzen, die von geraden und ungeraden Zahlen handeln. Diese passen wegen ihrer Banalit¨ at nicht so recht zu der zuvor zu großer H¨ ohe gebrachten Theorie, wie wir schon im ersten Abschnitt des ersten Kapitels behaupteten und wie wir noch sehen werden. Hinzukommt, dass diese S¨atze nur einmal zum Tragen kommen und zwar an einer Stelle, die ebenfalls nicht in den Zusammenhang passen will, n¨amlich beim Beweis des Satzes, dass in jedem Quadrat die Diagonale der Seite linear inkommensurabel ist. Es scheint also so, wie schon im ersten Kapitel gesagt, dass Euklid oder sein fr¨ uher Herausgeber diese S¨ atze f¨ ur wert fand, nicht vergessen zu werden, und sie deshalb an das Ende der jeweiligen B¨ ucher aufnahm. Dabei scheint einiges vom Sinn und Ziel dieser S¨atze verloren gegangen zu sein. O. Becker hat nun versucht, wie ebenfalls schon erw¨ahnt, die pythagoreische Lehre vom Geraden und Ungeraden aus dem zu rekonstruieren, was sich in den Elementen findet, und zu zeigen, dass es Ziel und H¨ ohepunkt dieser Lehre gewesen sein k¨onnte, die Zahlen der Form 2n−1 (2n − 1), wobei 2n − 1 eine Primzahl ist, als vollkommen zu erkennen. Diese Rekonstruktion soll hier wiedergegeben werden, bevor wir uns an unsere eigentliche Aufgabe machen, Verh¨altnisse ganzer Zahlen zu studieren. Sie ist sehr sch¨on und gibt dem ein oder anderen vielleicht Ideen f¨ ur eine Unterrichtsstunde. En passant sei noch Folgendes angemerkt. Primzahlen sind erste Zahlen“, ” n¨ amlich die ersten Zahlen eines neuen Maßstabes. Es sind die von Eins verschiedenen unzerlegbaren Zahlen. Es ist daher nicht verwunderlich, dass man f¨ ur die zusammengesetzten Zahlen auch den Begriff Sekundzahl findet. So bei Boethius (1867/1966) u. a. auf Seite 30. Wie schon gesagt, enthalten die B¨ ucher VIII und IX keine Definitionen. Sie bilden mit Buch VII eine Einheit, so dass sich alle einschl¨ agigen Definitionen in Buch VII befinden. Die f¨ ur das Folgende relevanten seien zun¨ achst zitiert. 1. Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird. 2. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. 3. Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der gr¨ oßeren, wenn sie die gr¨ oßere genau misst; 4. Und Menge von Teilen, wenn sie sie nicht genau misst; 5. Und Vielfaches die gr¨ oßere von der kleineren, wenn sie von der kleineren genau gemessen wird. 6. Gerade ist die Zahl, die sich halbieren l¨ asst;

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Kapitel II. Zahlen

7. Und ungerade die, die sich nicht halbieren l¨ asst, oder die sich um die Einheit von einer geraden Zahl unterscheidet. 8. Gerademal gerade ist die Zahl, die sich von einer geraden Zahl nach einer geraden Zahl messen l¨asst; 9. Gerademal ungerade ist die, die sich von einer geraden Zahl nach einer ungeraden messen l¨asst; 12. Gegeneinander prim sind Zahlen, die sich nur durch die Einheit als gemeinsames Maß messen lassen. 13. Zusammengesetzt ist eine Zahl, die sich durch irgendeine Zahl messen l¨asst; 15. Man sagt, dass eine Zahl eine Zahl vervielf¨ altigt, wenn die zu vervielf¨ altigende so oft zusammengesetzt wird, wieviel Einheiten jene enth¨ alt, und so eine Zahl entsteht. 16. Wenn zwei Zahlen bei gegenseitiger Vervielf¨altigung eine Zahl bilden, wird die entstehende eine ebene Zahl genannt, und die einander vervielf¨altigenden Zahlen ihre Seiten; 22. Eine vollkommene Zahl ist eine solche, die ihren Teilen zusammen gleich ist. Diese Definitionen sind nicht alle selbstverst¨andlich, so dass einige Worte der Erl¨ auterung angebracht sind. 1. Zu dieser Definition der Einheit ist viel Interessantes geschrieben worden (s. z. B. Szab´ o 1994, insb. S. 357ff). Ich habe nichts hinzuzuf¨ ugen. 2. Zahlen sind nach dieser Definition also salopp gesagt Strichlisten oder Haufen omischen calculi. Wir benutzen diese Darvon DZ, das sind Rechensteine, die r¨ stellung der Zahlen immer noch bei theoretischen Untersuchungen wie auch in der Praxis, wobei die am h¨ aufigsten wahrgenommene und am wenigsten beachtete Verwendung wohl die des Schlagens der Stunde ist. Dieser Hinweis geht auf Joseph Krist (M. Cantor 1863, S. 112) zur¨ uck. Zu beachten ist hier, dass die Definitionen 1 und 2 von den Alten und bis in die Neuzeit hinein stets so interpretiert wurden, dass die Eins keine Zahl sei. Ein besonders sch¨oner Beleg aus j¨ ungster Zeit f¨ ur diese Tatsache ist das Zitat aus Schillers Piccolomini (= zweiter Teil der Wallensteintrilogie. 2. Aufzug, 1. Auftritt), das ich hier wiederholen m¨ ochte: F¨ unf ist des Menschen Seele. Wie der ” Mensch aus Gutem und B¨ osen ist gemischt, so ist die F¨ unfe die erste Zahl aus Grad’ und Ungerade.“ Die F¨ unf ist also die erste Zahl aus Gerade und Ungerade und nicht die Drei. Dass die Eins nicht unter die Zahlen gerechnet wird, haben wir schon beim Beweise von X.115a zu Anfang dieses Buches hervorgehoben, wo an einer Stelle von einer Zahl nachgewiesen wurde, dass sie wirklich eine Zahl, also von eins verschieden sei. Wir werden noch verschiedentlich Beweise sehen, bei denen diese Sonderrolle der Eins — f¨ ur uns u ¨berfl¨ ussig — ber¨ ucksichtigt wird. Das Schillerzitat sagt nat¨ urlich nichts dar¨ uber aus, was Schiller u ¨ber die Eins dachte. Als er seinen Wallenstein schrieb, da waren Null und Eins von den Mathematikern schon l¨ angst als Zahlen akzeptiert. Die Wallensteintrilogie wurde ja in Weimar in den Jahren 1798/99 uraufgef¨ uhrt. In dieser Zeit wurde Gauß in Helmstedt promoviert.

1. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden

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3. Dies ist zu interpretieren, wie auch schon Definition 1 von Buch V zu interpretieren war, dass n¨amlich, falls a, b ∈ N ist, b Teil von a ist, falls es ein c ∈ N gibt mit a = cb, wie wir schreiben, mit a = ci:=1 b, wie wir schreiben sollten, da dies dem Verst¨andnis Euklids n¨ aher k¨ ame. 4. Hier wird zun¨ achst nur ein Name eingef¨ uhrt, dass n¨ amlich b Menge von Teilen von a ist, falls b nicht Teil ist. Zu verstehen ist das, wie das Folgende zeigt, auf diese Weise: Weil a und b nat¨ urliche Zahlen sind, haben sie einen gemeinsamen Teil; sicherlich die Eins, m¨ oglicherweise aber auch andere. Ist d ein solcher gemeinsamer Teil, so ist also a = md und b = nd mit m, n ∈ N, dh., es ist b gleich n von m a und entsprechend a = m nb . Teilen von a. Wir schreiben daf¨ ur auch b = n m Da Zahlen stets ein gemeinsames Maß haben, sind sie immer kommensurabel. Das unterscheidet Zahlen von Gr¨ oßen anderer Bereiche. Rationale Zahlen sind u ¨ brigens auch immer kommensurabel, nur dass man dies u ¨ blicherweise dadurch umschreibt, dass man sagt, (Q, +) sei eine Rang-1-Gruppe, was gleichbedeutend damit ist, dass endlich erzeugte Untergruppen dieser Gruppe zyklisch sind. 5. Dies ist eine Umformulierung von 3. 6. Hier wird nicht gesagt, was Halbieren heißt. Stellt man eine gerade Zahl mit weißen und schwarzen Rechensteinen dar, so sieht sie wie folgt aus: ◦◦◦◦◦◦◦◦◦ •••••••••. Dass Zahlen mit Rechensteinen dargestellt wurden, geht u. a. aus einem Text des Kom¨odiendichters Epicharmos aus Syrakus, der um 480–470 v. Chr. lebte, hervor. Er schreibt:          DZ       DZ          !" # $" % & ' ( )  # * + , & -%  . Das heißt: Wenn einer zu einer ungeraden Zahl, oder auch einer geraden einen Stein ” zulegen oder auch von den vorhandenen einen wegnehmen will, meinst du wohl, sie bliebe noch dieselbe? — Bewahre.“ (Diels 1992/93, Band 1, S. 196): Dieses Zitat zeigt, dass auch die Begriffe der geraden und ungeraden Zahl zu jener Zeit gel¨aufig waren. 7. Dass sich nicht halbieren lassen“ und sich von einer geraden Zahl um Eins ” ” zu unterscheiden“ dasselbe ist, ist zwar beweispflichtig, aber doch wohl auch dem Einf¨ altigsten klar, wie das Zeugnis des Caesarius von Heisterbach best¨ atigt. In seinem Dialogus miraculorum, von Strange 1851 herausgegeben, wird ein gewisser Werimbold als Beispiel christlicher Einfalt vorgestellt. Von ihm heißt es im Kapitel VII der sechsten Distinktion unter anderem (der lateinische Text von mir eingedeutscht): In der Kirche des heiligen Martyrers Gereon zu K¨ oln lebte noch zu unseren ” Zeiten ein gewisser Kanonikus, Werimbold mit Namen, von Herkunft adlig, sehr reich an kirchlichen Eink¨ unften. Er war von solcher Einfalt, dass er von nichts etwas kapierte, außer dass er die Parit¨ at einer Zahl feststellen konnte. Als er zuzeiten viele Schinken in seiner K¨ uche h¨ angen hatte, betrat er sie und z¨ahlte die Schinken auf folgende Weise, damit ihm nichts weggenommen werden k¨onne: Da ist ein Schinken und sein Genosse, da ist ein Schinken und sein Genosse, und so mit den u ¨ brigen.

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Kapitel II. Zahlen

Einer von diesen war ihm durch die Nichtsnutzigkeit der Diener weggekommen, als er wiederum eintrat und seine Schinken auf besagte Weise z¨ahlte. Als eine ungerade Zahl herauskam, rief er: Ich habe einen Schinken verloren! Seine Diener antworteten ihm l¨ achelnd: Gut gez¨ ahlt, Herr! und lockten ihn aus der K¨ uche hinaus. Sie nahmen einen weiteren hinweg, um die Anzahl wieder gerade zu machen. Und so hineingef¨ uhrt z¨ ahlte er sie ein zweites Mal, und, als Gerades herauskam, sagte er ihnen ¨ sehr heiter (und dunkel. Anm. d. Ub.): Eia ihr Herren, allzu lange konnte ich schweigen.“ Wie es scheint, war Werimbold der Ansicht, dass die Parit¨atskontrolle jeden Diebstahl aufdecke. Seine Diener wussten es besser. Mit dieser Geschichte k¨onnen Sie rheinische Frohnaturen testen, die von sich behaupten, Experten in K¨ olner Stadtgeschichte zu sein. Noch tumber als Werimbold sind Schwarzw¨alder Baursleut, wie das folgende Zitat aus Grimmelshausens Simplicissimus“ zeigt: Einer sagte, wenn man unge” ” rade, es seien gleich Erbsen, Steinlein oder etwas anderes, in ein Nast¨ uchlein binde und hineinh¨ ange (in den Mummelsee. Anm. H. L.), so ver¨ andere es sich in gerad; also auch, wenn man gerad hineinh¨ange, so finde man ungerad.“ (Grimmelshausen 1970, 5. Buch, 10. Kapitel, S. 422. Auf diese Stelle machte mich Herr Radbruch aufmerksam.) Aber auch sie sind offenbar in der Lage, gerad und ungerad zu unterscheiden. 8., 9. und 12. verstehen sich von selbst. 13. Irgendeine Zahl“ ist zu interpretieren als irgendeine von der gegebenen ” ” Zahl verschiedene Zahl“. Zahl ist immer von Eins verschieden. Daher ist der Begriff der zusammengesetzten Zahl identisch mit unserem. 16. ist wieder klar. 22. Beispiele vollkommener Zahlen sind 6 und 28. Die Teile von 6 sind 1, 2 und 3, ihre Summe 6, und die Teile von 28 sind 1, 2, 4, 7, 14 und ihre Summe ist in der Tat 28. In diesem Abschnitt werden wir noch mehr u ¨ber vollkommene Zahlen erfahren. Beweise sind didaktische Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich oder mein Gegen¨ uber von der Richtigkeit meiner Behauptung zu u ¨berzeugen (L¨ uneburg 1993, S. 176). In diesem Sinne sind die nun folgenden Beweise zu verstehen. In ihnen wird jeweils eine konkrete Situation geschildert, die klar machen soll, dass der im jeweiligen Satz beschriebene Sachverhalt allgemein gilt. Die Aussagen handeln von geraden und ungeraden Zahlen, die bei den Beweisen durch weiße und schwarze Rechensteine dargestellt werden. Becker legt die Zahlen linear aus, sagt aber auch, dass Zahlen auch zweidimensional mittels Rechensteine ausgelegt wurden. Namen wie Dreieckszahlen und Quadratzahlen wiesen darauf hin. Ich erlaube mir daher die Freiheit, die Zahlen so auszulegen, wie ich es f¨ ur gut finde, ohne mir Gedanken zu machen, ob meine Konfiguration nun historisch ist oder nicht. Insbesondere werde ich gerade Zahlen h¨ aufig durch eine Doppelreihe von weißen und schwarzen Steinen darstellen. Im u ¨ brigen hoffe ich, dass das meiste selbstverst¨andlich sein wird. Da ich mir hier Freiheiten erlaube, bitte ich den Leser, falls er weitergibt, was er hier liest, nicht zu sagen, so sei es gewesen, sondern allenfalls, so k¨ onne es

1. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden

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gewesen sein. IX.21. Setzt man beliebig viele gerade Zahlen zusammen, so ist die Summe gerade. Beweis. Die folgende Zeile sollte den Leser von der Richtigkeit von IX.21 u ¨ berzeugen. ◦◦◦◦ •••• ◦◦◦ ••• ◦◦ •• = ◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ••••••••• IX.22. Setzt man beliebig viele ungerade Zahlen zusammen und ist ihre Anzahl gerade, so muss die Summe gerade sein. ¨ Beweis. Der Uberhang auf der rechten Seite der Gleichung ◦◦◦◦ ••• ◦◦• •• ◦◦ • ◦• • = ◦◦◦◦◦◦◦◦•◦• ••••••• ist gleich der Anzahl der Summanden auf der linken Seite. Er besteht also aus einer geraden Anzahl von Steinen. Somit ist die rechte Seite eine Summe von geraden Zahlen also nach IX.21 gerade. IX.23. Setzt man beliebig viele ungerade Zahlen zusammen und ist ihre Anzahl ungerade, so muss auch die Summe ungerade sein. Beweis. Die folgende Figur zeigt wieder klar die Korrektheit der Aussage. ◦◦◦◦ ••• ◦◦• •• ◦◦ • = ◦◦◦◦◦◦◦•◦ •••••• IX.24. Nimmt man von einer geraden Zahl eine gerade weg, so muss der Rest gerade sein. Beweis. Man nehme immer einen weißen und einen schwarzen Stein weg. IX.25. Nimmt man von einer geraden Zahl eine ungerade weg, so muss der Rest ungerade sein. Beweis. Man nehme vom Minuenden wie auch vom Subtrahenden immer einen weißen und einen schwarzen Stein weg bis vom Subtrahenden nur noch ein Stein u ¨ brig ist. Das Zwischenergebnis ist nach IX.24 gerade. Nimmt man von ihm auch noch den letzten Stein weg, so erh¨ alt man als Ergebnis eine ungerade Zahl. IX.26. Nimmt man von einer ungeraden Zahl eine ungerade weg, so muss das Ergebnis gerade sein. Beweis. Dies wird auf IX.24 zur¨ uckgef¨ uhrt. ◦◦◦◦ ••• − ◦◦◦ •• = ◦◦◦ ••• − ◦◦ •• IX.27. Nimmt man von einer ungeraden Zahl eine gerade weg, so muss der Rest ungerade sein. Beweis. ◦◦◦ •••• − ◦◦ •• = ◦◦◦ ••• − ◦◦ •• + •

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Kapitel II. Zahlen

IX.28. Entsteht eine Zahl dadurch, dass eine ungerade Zahl eine gerade vervielf¨ altigt, so muss das Produkt gerade sein. Beweis. Multiplikation ist verk¨ urzte mehrfache Addition. Daher ist IX.28 ein Spezialfall von IX.21. IX.29. Entsteht eine Zahl dadurch, dass eine ungerade Zahl eine ungerade Zahl vervielf¨ altigt, so muss das Produkt ungerade sein. Beweis. Dies ist ein Spezialfall von IX.23. Der n¨ achste Satz ist ein Spezialfall des Satzes, dass eine Zahl a die zu b teilerfremd ist, aber das Produkt bc teilt, ein Teiler von c ist. IX.30. Eine ungerade Zahl muss, wenn sie eine gerade Zahl misst, auch deren H¨ alfte messen. Beweis. Aufgrund von IX.29 ist der Kofaktor der ungeraden Zahl gerade. Daher entsteht als Darstellung des Produktes ein Rechteck mit einer geraden und einer ungeraden Seite, im Beispiel 36 = 3 · 12. ◦◦◦◦◦◦•••••• ◦◦◦◦◦◦•••••• ◦◦◦◦◦◦•••••• Man sieht unmittelbar, dass 3, dh. der ungerade Faktor, die H¨ alfte des Produkts, in diesem Falle 18, teilt. Dabei ist die 18 mit einem Blick kaum noch zu erkennen. Dass 3 aber die H¨alfte teilt, erkennt das Auge sofort, da alle Kolonnen die L¨ ange 3, dh., die L¨ ange des ungeraden Divisors haben. IX.31. Wenn eine ungerade Zahl gegen irgendeine Zahl prim ist, dann muss sie auch gegen deren Doppeltes prim sein. Beweis. Der Beweis ist ein Widerspruchsbeweis. Es sei b eine ungerade Zahl und sie sei zu a prim, aber nicht zu 2a. Es sei d ein gemeinsames Maß von b und 2a. Dann ist d als Teil von b ungerade, teilt nach IX.30 also a im Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und b. Beim Beweise des n¨achsten Satzes weichen wir nach dem Vorbilde Beckers wesentlich von Euklid ab, der zu seinem Beweis einen Satz u ¨ ber Primzahlpotenzen heranzieht, den er vorher bewiesen hat. Die S¨atze 32, 33 und 34 sind Spezialf¨ alle unseres Satzes von der eindeutigen Primfaktorzerlegung. IX.32. Jede der Zahlen, die durch Verdoppeln von der Zwei aus entstehen, ist ausschließlich gerademal gerade. Beweis. Es sei a eine Zahl die durch fortgesetztes Verdoppeln aus der Zwei entsteht, also eine Potenz von 2. Ist d eine ungerade Zahl, die a teilt, so teilt d nach IX.30 auch die H¨ alfte von a und dann wiederum die H¨ alfte der H¨ alfte usw. und schließlich die 2, was nicht geht. alfte ungerade ist, ist ausschließlich gerademal ungerade. IX.33. Eine Zahl, deren H¨

1. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden

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Beweis. Es sei a eine Zahl, deren H¨alfte ungerade sei, also a = 2u. W¨ are a = 2v2w, so folgte u = v2w, so dass u gerade w¨are. Also ist ein Faktor immer ungerade. Nach IX.29 ist der andere dann gerade. Also ist a ausschließlich gerademal ungerade. Bei dem n¨achsten Satz hat Thaer das eingeklammerte Wort gerade“ hinzuge” f¨ ugt. IX.34. Wenn eine (gerade) Zahl weder zu denen geh¨ ort, die durch Verdoppeln von der Zwei aus entstehen, noch eine ungerade Zahl als H¨ alfte hat, dann ist sie sowohl gerademal gerade als auch gerademal ungerade. Beweis. Es sei a eine solche Zahl. Weil die H¨ alfte von a nicht ungerade ist, ist a gerademal gerade. Halbiert man nun a und halbiert wiederum die H¨ alfte und f¨ uhrt dies weiter, so muss man einmal auf eine ungerade Zahl treffen, da a andernfalls durch fortgesetztes Verdoppeln aus der 2 entst¨ unde. Hier endet die Lehre vom Geraden und Ungeraden. Was sie im Wesentlichen besagt, ist, dass sich eine nat¨ urliche Zahl nur auf eine Weise als eine Potenz von 2 mal einer ungeraden Zahl darstellen l¨ asst, und ferner, dass jeder ungerade Teiler dieser Zahl ein Teiler der in diesem Produkt auftauchenden ungeraden Zahl ist. Sie ist also — wohl auch historisch — Vorl¨aufer des Satzes von der eindeutigen Primfaktorzerlegung, der ja f¨ ur nat¨ urliche Zahlen gilt, und der die Teilbarkeitslehre nat¨ urlicher Zahlen beherrscht. Den n¨ achsten Satz bei Euklid lassen wir aus. Er besagt in unserer Sprache, dass n 

qi =

i:=0

q n+1 − 1 q−1

ist. Dieser Satz wird im Folgenden nur f¨ ur q = 2 angewandt. In diesem Fall kann man die G¨ ultigkeit des Satzes aber mit Rechensteinen veranschaulichen. Um dies zu tun, ist es g¨ unstig, die Formel als 1+

n 

2i = 2n+1

i:=0

und das Ergebnis 2n+1 als das Doppelte des letzten Summanden zu interpretieren. Die Eins außerhalb der Summe stellen wir im Folgenden durch einen Stern dar. Schauen wir uns nun das folgende Quadrat an. ∗◦••◦◦◦◦•••••••• ••••◦◦◦◦•••••••• ◦◦◦◦◦◦◦◦•••••••• ◦◦◦◦◦◦◦◦•••••••• •••••••••••••••• •••••••••••••••• •••••••••••••••• •••••••••••••••• ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦

170

Kapitel II. Zahlen

Dieses Quadrat entsteht wie folgt. F¨ ur n = 0 ergibt sich zun¨ achst ∗◦. Das Ergebnis der Addition ist das Doppelte des letzten Summanden, n¨ amlich ••. Legt man diese Steine untereinander, so erh¨ alt man das Quadrat ∗◦ •• Die Summe dieser Zahlen ist wiederum das Doppelte des letzten Summanden, n¨ amlich •• •• Legt man dieses Quadrat neben das schon vorhandene, so erh¨alt man ∗◦•• •••• Im n¨achsten Schritt entsteht dann wieder ein Quadrat, n¨ amlich ∗◦•• •••• ◦◦◦◦ ◦◦◦◦ Dann wieder ein Rechteck, ein Quadrat, ein Rechteck und schließlich obiges Quadrat. Bei jedem Schritt wird das Ergebnis der letzten Summe dieser Summe hinzugef¨ ugt und man erh¨ alt als Ergebnis das Doppelte des letzten Summanden der neuen Summe. Schaut man sich nun noch einmal das große Quadrat an, nun wissend, wie es gelegt wurde, so sieht man: Die untere H¨alfte des Quadrats aus weißen Steinen ist gleich der Summe der in der oberen H¨ alfte dargestellten Zahlen. Sie ist auch gleich dem Doppelten des letzten Summanden dieser Summe, der durch die rechte H¨alfte aus schwarzen Steinen der oberen H¨alfte dargestellt wird. Dieser Summand ist wiederum gleich der Summe der in der linken H¨ alfte der oberen H¨ alfte dargestellten Zahlen und gleichzeitig das Doppelte des letzten Summanden dieser Summe. Damit ist die G¨ ultigkeit obiger Formel wohl hinreichend klar gemacht. Diesen Beweis so zu beschreiben, wie hier geschehen, ist der Sache nat¨ urlich nicht angemessen. Legt man ihn wirklich mit Steinen oder benutzt man Folien, nein, nat¨ urlich Power Point, die man u ¨bereinander legt, so ist er in seiner Augenscheinlichkeit unserem Induktionsbeweis sicherlich ebenb¨ urtig. IX.36. Verschafft man sich beliebig viele Zahlen, von der Einheit aus in Reihe nach dem Verh¨ altnis 1 : 2, bis die Summe aus allem eine Primzahl wird, und bildet die Summe, mit dem letzten Glied vervielf¨ altigt, eine Zahl, so muss das Produkt eine vollkommene Zahl sein. n Beweis. Es ist also das Folgende zu beweisen. Ist p := i:=0 2i eine Primzahl, so ist 2n p eine vollkommene Zahl. Es ist klar, dass die Zahlen 1, 2, 22 , . . . , 2n , p, 2p, 22 p, . . . , 2n−1 p echte Teiler achst, dass dies alle echten Teiler von V sind. von V := 2n p sind. Wir zeigen zun¨ Dazu sei t Teiler von V .

1. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden

171

1. Fall: t sei ungerade. Nach IX.30 teilt t die H¨alfte von V . Ist sie gerade, auch deren H¨alfte, usw. Am Ende teilt t auch p. Weil p Primzahl ist, ist t = 1 oder t = p. 2. Fall: t sei gerade aber keine Potenz von 2. Dann ist auch die H¨ alfte von t Teiler von V . Ist die H¨alfte ebenfalls gerade, so ist auch ihre H¨alfte Teiler von V . Dies treibe man solange, bis man auf einen ungeraden Teiler t0 von t und damit von V st¨oßt. Nach dem im ersten Fall Bewiesenen, ist t0 = 1 oder t0 = p. Da t keine Potenz von 2 ist, gilt letzteres. Dann ist t = 2i p. Weil t ein echter Teiler von V ist, ist i < n. are k > n, so erhielte man durch 3. Fall: t ist Potenz von 2. Es sei t = 2k . W¨ fortgesetztes Halbieren, dass 2k−n Teiler von p w¨are. Dieser Widerspruch zeigt, dass obige Teiler alle echten Teiler von V sind. Schließlich ist noch zu ¨ ber die echten Teiler von V nzeigen, dass die Summe u gleich V ist. Es sei also i:=0 2i eine Primzahl p. Hier ist eine: ◦••◦◦◦◦ ••••◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦ Ihr letzter Summand ist — mit Steinen unterschiedlicher Farbe dargestellt — ∗◦•• •••• ◦◦◦◦ ◦◦◦◦ Ersetze hierin jeden Stein durch das Schema f¨ ur die Primzahl, wobei die die Primzahl darstellenden Steine nun in jedem Schema, vom ersten abgesehen, jeweils so gef¨arbt seien wie der Stein, den sie ersetzen. Man erh¨ alt: ◦••◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ••••••• ••••••• ••••◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦•••••••••••••••• ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦•••••••••••••••• ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦•••••••••••••••• ••••••• ••••••• ••••••• ••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••• ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦ Also ist die Anzahl In diesem Schema ist 2n mal die Eins durch p ersetzt worden. n i 2 interpretieren wir der Steine im Schema gleich 2n p = V . Wegen p = i:=0 n die Ersetzung von ∗ durch p nun so, dass wir sagen ∗ sei durch i:=0 2i ersetzt worden. Und so wie die schwarzen und weißen Steine im Schema f¨ ur 2n gruppiert wurden, sind nun, durch ihre Farbe kenntlich gemacht, auch die Schemata f¨ ur p gruppiert. Hieran sieht man, dass in der Tat n  i:=0

ist. Damit ist alles bewiesen.

i

2 +

n−1  i:=0

2i p = V

172

Kapitel II. Zahlen

Da wir wirklich mit Steinen den Beweis gef¨ uhrt haben, ist die Formel n 

1+

2i = 2n+1

i:=0

nicht explizit benutzt worden. Die in obigem Schema dargestellte vollkommene Zahl ist 16 · 31 = 496. Die Umkehrung des Satzes IX.36, dass n¨ amlich jede gerade vollkommene Zahl die in IX.36 beschriebene Form hat, wurde von Jamblichos ausgesprochen (Becker 1934, S. 543, bzw. Becker 1980, S. 135). Der erste publizierte Beweis scheint von Euler zu sein. Er stammt aus Eulers Nachlaß und wurde 1849 publiziert (Euler 1849. Zitiert nach Dickson 1971, Vol. I). Wir geben hier den Beweis, der sich bei Becker findet. Er passt vom Stil her in den Rahmen dessen, was wir bisher gemacht haben. Es sei V = 2n u eine gerade vollkommene Zahl, wobei u eine ungerade Zahl sei. Die Summe der echten Teiler von 2n ist 1 + 2 + . . . + 2n−1 = 2n − 1, so dass 2n keine vollkommene Zahl ist. Also ist u = 1. Es ist u+

n−1 

2i u = 2n u = V.

i:=0

Es seien u1 , . . . , ut die von u verschiedenen ungeraden Teiler von V . Unter diesen befindet sich auch die Eins. Dann sind 2i uj mit i := 0, . . . , n, j := 1, . . . , t und 2i u mit i := 0, . . . , n − 1 die echten Teiler von V . Also ist t n  

2i uj +

i:=0 j:=1

Es folgt u=

n−1 

2i u = V.

i:=0

t n  

2i uj =

i:=0 j:=1

n  i:=0

2i ·

t 

uj .

j:=1

Weil V gerade ist, ist n ≥ 1 und daher n 

2i > 1.

i:=0

t

Somit ist j:=1 uj ein echter Teiler von u. Mit IX.30 folgt, dass die uj Teiler von u sind. Wegen uj = u sind dies die echten Teiler von u, so dass es ein k gibt mit uk =

t  j:=1

uj .

1. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden

173

Dann ist aber t = 1 = k und u1 = 1, so dass u eine Primzahl ist. Ferner folgt u=

n 

2i .

i:=0

Damit ist die Umkehrung von IX.36 bewiesen. Im T¨opfereimuseum in H¨ohr-Grenzhausen lernte ich, dass die Alten im Kanneb¨ ackerland unter Euler immer noch den T¨ opfer verst¨ unden, w¨ ahrend bei den Jungen dieses Wort mehr und mehr in Vergessenheit geriete. Ursprung dieses Wortes ist das lateinische aula bzw. olla, welches Topf bedeutet. So auch das grimmsche W¨orterbuch. Becker loc. cit. zeigt auch, dass man den Beweis der Inkommensurabilit¨at von Diagonale und Seite im Quadrat mit den in diesem Abschnitt bereitgestellten Mitteln beweisen kann. Am Anfang schließt er mir jedoch zu rasch. Wir hatten beim Beweise dieses Satzes den Satz X.5, den wir noch zu beweisen haben, zitiert, der besagt, dass zwei kommensurable Gr¨ oßen ein Verh¨altnis wie Zahl zu Zahl haben. Einen Satz dieser Art muss man in jedem Fall verwenden. Da bei keinem Beweis in diesem Abschnitt von Verh¨altnissen Gebrauch gemacht wurde, sollen sie auch hier vermieden werden. Die Seite s und die Diagonale d eines Quadrats seien kommensurabel. Dann gibt es eine Strecke t und nat¨ urliche Zahlen m und n mit s = mt und d = nt. Es folgt q(d) = n2 q(t) und q(s) = m2 q(t). Nun ist q(d) = 2q(s), was man auch ohne den Satz von Pythagoras einsehen kann, und daher n2 q(t) = q(d) = 2q(s) = 2m2 q(t). Hieraus folgt n2 = 2m2 . An dieser Stelle setzt Becker erst ein. Sind nun m und 2 n beide gerade, so setze man n := n2 und m := m = 2m2 . So 2 . Dann gilt n fortfahrend sieht man, dass man annehmen darf, dass nicht beide der Zahlen m und n gerade sind. Dann muss aber n gerade sein, da sonst n2 nach IX.29 ungerade w¨are, und folglich m und damit m2 wiederum nach IX.29 ungerade. Somit ist die H¨alfte von 2m2 ungerade. Andererseits ist n2 gerademal gerade. Dies widerspricht IX.33. Wir haben in diesem Abschnitt gesehen, dass man mit der doch sehr einfachen Lehre vom Geraden und Ungeraden schon S¨ atze beweisen kann, die gar nicht auf der Hand liegen, n¨ amlich den Satz IX.36, der eine sch¨one Konstruktion von vollkommenen Zahlen gibt, die einzige bis heute bekannte, und den Satz X.115a u ¨ ber die Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale im Quadrat. Wenn man davon redet, dass bis heute nur eine Konstruktion von vollkommenen Zahlen bekannt sei und dass diese Konstruktion nur gerade vollkommene Zahlen liefert, so sagt das noch nichts u ¨ ber die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen aus. Es sei daher noch gesagt, dass bis heute keine ungeraden vollkommenen Zahlen bekannt sind, dass ihre Existenz fraglich ist. Gibt es ungerade vollkommene Zahlen, so sind sie riesengroß.

174

Kapitel II. Zahlen

Abschließend sei bemerkt, dass Bachet in seinen Problemes plaisans et delectables (Bachet 1624) die Lehre vom Geraden und Ungeraden weiter entwickelt hat, indem er das Verhalten der nat¨ urlichen Zahlen modulo 4 untersuchte. Die S¨ atze, die er beweist, und die euklidischen S¨ atze, die er zitiert, spielen bei einer ganzen Reihe seiner Aufgaben ihre Rolle. 2. Teilbarkeit. Im letzten Abschnitt haben wir nach dem Vorgang von O. Becker schon die Dinge des neunten Buches vorweggenommen, die zu den a¨ltesten Teilen der von den Griechen geschaffenen Mathematik zu geh¨ oren scheinen. Nun gehen wir zur¨ uck an den Anfang von Buch VII, stellen die noch verbleibenden Definitionen vor, entwickeln die Teilbarkeitslehre der nat¨ urlichen Zahlen und ihre Lehre der Proportionen. Bei der Proportionenlehre k¨ onnte man sich nat¨ urlich auf Buch V berufen, doch Euklid tut das nicht. Er gibt eine eigene Definition von Proportionalit¨ at f¨ ur N und beweist die einschl¨agigen S¨ atze aufs Neue. Definition und Beweise h¨angen wesentlich daran, dass zwei Zahlen stets ein gemeinsames Maß haben. Hier zun¨ achst die noch fehlenden Definitionen. Definition 10 betrifft noch die Lehre vom Geraden und Ungeraden, wurde dort aber nicht explizit gebraucht und wird auch sp¨ ater nicht gebraucht. 10. Ungerademal ungerade ist die (Zahl, Anm. H. L.), die sich von einer ungeraden Zahl nach einer ungeraden Zahl messen l¨asst. 11. Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit messen l¨ asst; 14. Gegeneinander zusammengesetzt sind Zahlen, die sich durch irgendeine Zahl als gemeinsames Maß messen lassen. 17. Wenn drei Zahlen bei gegenseitiger Vervielf¨altigung eine Zahl bilden, ist die entstehende eine k¨orperliche Zahl, und die einander vervielf¨ altigenden Zahlen sind ihre Seiten. 18. Quadratzahl ist eine Zahl gleichmal gleich, oder die von zwei gleichen Zahlen umfasst wird. 19. Kubikzahl ist eine Zahl gleichmal gleichmal gleich, oder die von drei gleichen Zahlen umfasst wird. 20. Zahlen stehen in Proportion, wenn die erste von der zweiten Gleichvielfaches oder derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen ist, wie die dritte von der vierten. ¨ 21. Ahnliche ebene und k¨ orperliche Zahlen sind solche, deren Seiten in Proportion stehen. Es sei zun¨achst noch einmal betont, dass Zahl in unserer Sprache nat¨ urliche Zahl gr¨oßer als Eins bedeutet. 11. Diese Definition ist nicht ganz konsistent mit Sp¨ aterem. Es wird n¨ amlich sp¨ ater auch gesagt und benutzt, dass jede Zahl sich selbst misst. Jedoch ist klar, dass die Eins keine Primzahl ist, da sie ja keine Zahl ist. 14. Dieser Begriff ist nichts anderes als die Verneinung der Teilerfremdheit, dh. der Definition 12. 17., 18. und 19. verstehen sich von selbst.

2. Teilbarkeit

175

20. Hier wird nicht definiert, was es heißt, dass zwei Zahlenpaare gleiches Verh¨ altnis haben, sondern es wird definiert, wann vier Zahlen in Proportion stehen. Da man diese quatern¨ are Relation aber auch als eine Definition auf der Menge der Zahlenpaare auffassen kann — die Eins wird hier u ¨brigens implizit zu den Zahlen gerechnet —, umschreiben wir diese Relation f¨ ur den Augenblick mit (a, b) π (c, d). Dann gilt also (a, b) π (c, d) genau dann, wenn wenigstens eine der folgenden Bedingungen erf¨ ullt ist: a) Es gibt ein m ∈ N mit a = mb und c = md. b) Es gibt ein n ∈ N mit b = na und d = nc. c) Es gibt ein gemeinsames Maß e von a und b und ein gemeinsames Maß f von c und d sowie nat¨ urliche Zahlen m und n, so dass a = me und b = ne sowie c = mf und d = nf gilt. Die Bedingung c) ist die Definition dessen, was es heißt, dass a dieselbe Menge von Teilen von b ist wie c von d. Diese Definition wird von Euklid nicht eigens formuliert. Man muss sie aus dem Zusammenhang erschließen. Diese Definition der Proportionalit¨ at hat Borelli, wie wir gesehen haben, auf kommensurable Gr¨ oßen u ¨ bertragen. Da wir die Eins auch zu den nat¨ urlichen Zahlen rechnen, brauchen wir a) und b) nicht eigens zu formulieren. Sie sind die Spezialf¨ alle n = 1, e = b, f = d bzw. m = 1, e = a, f = c von c). ¨ Die Relation π ist eine Aquivalenzrelation. Dies nachzuweisen ist nicht ganz ohne. Euklid vers¨ aumt es, obwohl er insbesondere von der Transitivit¨ at der Relation lebhaften Gebrauch macht. Wir werden darauf zu gegebener Zeit zur¨ uckkommen. ¨ Obwohl π noch nicht als Aquivalenzrelation erkannt ist, bezeichnen wir trotz¨ dem schon ihre Aquivalenzklassen mit a : b. Bei unseren Beweisen werden wir aber nicht davon Gebrauch machen, dass a : b eine Menge ist. Wir werden also nur a : b = c : d anstelle von (a, b) π (c, d) schreiben. 21. Ist m = ab und n = cd, so heißen m und n ¨ahnlich, wenn a : b = c : d gilt. Ebenso heißen m = abc und n = def ¨ ahnlich, wenn a : b = d : e und b : c = e : f ist. Beides h¨angt von der Faktorisierung und der Reihenfolge der Faktoren ab. Weshalb diese Begriffe interessant sind, sieht man an Folgendem, wobei wir von noch unbewiesenen Dingen Gebrauch machen. Es ist m = ab = Wegen

a 2 b b

und n = cd =

c 2 d . d

a c = b d

ist also m : n = b2 : d2 , so dass m n ein Quadrat ist. Entsprechend zeigt man im zweiten Fall, dass Kubus ist. Darauf werden wir noch zur¨ uckkommen.

m n

ein

176

Kapitel II. Zahlen

Euklid benutzt den Begriff des genauen Messens, wie wir zu Beginn von Abschnitt 1 sahen, in dem Sinne, dass a von b genau gemessen wird, falls a=

c 

bi

i:=1

ist mit bi = b f¨ ur alle i. Wir k¨ urzten diesen Sachverhalt ab und schrieben stattdessen a = cb. Wir interpretierten diesen Begriff also dahingehend, dass b ein Rechtsteiler von a ist. Daran wollen wir vorl¨aufig festhalten, da Euklid sp¨ ater die Kommutativit¨ at der Multiplikation beweist. Assoziativit¨ at und Distributivgesetze benutzt er implizit gleich beim Beweise des ersten Satzes. Die G¨ ultigkeit des Distributivgesetzes ist Aussage des Satzes VII.5. Sein Beweis macht von den zuvor bewiesenen S¨ atzen keinen Gebrauch, so dass kein circulus vitiosus vorliegt. Er beweist sich ¨ genauso wie V.1 (s. Kap. 1, Absch. 3) und ist im Ubrigen ein Spezialfall von V.1, sowie das andere Distributivgesetz ein Spezialfall von V.2 und die Assoziativit¨ at der Multiplikation in N ein Spezialfall von V.3 ist. Zum Beweise dieser Aussagen wird die Assoziativit¨ at und Kommutativit¨ at der Addition benutzt. Beim Beweise von VII.1 wird auch benutzt, dass aus ac = bc + d folgt, dass c Teiler von d ist. Das ist der Inhalt von VII.7 Hier ist nat¨ urlich ac > bc und daher a > b, so dass es ein e ∈ N gibt mit a = b + e. Es folgt bc + ec = (b + e)c = ac = bc + d und damit ec = d. Dieses Argument sahen wir schon beim Beweise von V.5 in Abschnitt 3 von Kapitel 1. Wegen e = b − a und d = bc − ac liest sich das auch als (b − a)c = bc − ac. Ebenso folgt aus ca = cb + d, dass c Linksteiler von d ist. Ist wieder a = b + c, so folgt cb + ce = c(b + e) = ca = cb + d und damit ce = d. Wegen e = b − a und d = bc − ac folgt schließlich c(b − a) = cb − ca. Eine Reihe der S¨ atze von Buch VII sind, wie schon gesagt, Spezialf¨ alle der S¨ atze aus Buch V, da die Menge der nat¨ urlichen Zahlen ja ein Gr¨ oßenbereich ist. Dies war auch den Alten klar. Warum Euklid dennoch eine von Buch V unabh¨ angige Proportionenlehre der nat¨ urlichen Zahlen darstellt, dar¨ uber kann man nur mutmaßen. Nach Pappos — so in Scholz 1990, S. 69 — sei es wohl aus Fairness gegen¨ uber Anderen und aus seinem Wunsch heraus geschehen, deren Arbeit Rechnung zu tragen. Man vergleiche hierzu, was ich nach dem Beweis von X.115a und im Zusammenhang mit der Text¨ uberlieferung der Elemente in Abschnitt 1 von Kapitel 1 zu diesem Thema gesagt habe.

2. Teilbarkeit

177

Es geht nun zun¨ achst darum, den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier und dann auch mehrerer Zahlen zu berechnen. Da macht sich gleich die Sonderrolle der Eins bemerkbar, indem zun¨ achst ein Kriterium daf¨ ur angegeben wird, wann zwei Zahlen teilerfremd sind. Der Beweis dieses Kriteriums ist insofern interessant, da in ihm so etwas wie Division mit Rest, allerdings ohne den Quotienten explizit anzugeben, benutzt wird. Dies ist die fr¨ uheste Ann¨ aherung an die Division mit Rest, die ich kenne. In der Literatur habe ich bislang vergeblich nach einem Hinweis gesucht, wo die Division mit Rest zum ersten Mal auftritt. Sie scheint niemals zum Gegenstand historischer Forschung gemacht worden zu sein. Sie ist zwar fundamental f¨ ur das Rechnen in N, sie ist aber andererseits wenig spektakul¨ar. Sie kommt vor in Leonardo Pisanos liber abbaci, den wir in der Version von 1228 kennen (L¨ uneburg 1993), und sie wird ger¨ uhmt von Clavius (L¨ uneburg 1993, S. 215f). Wenn ich Division mit Rest sage, meine ich nicht notwendig ein Verfahren, welches Quotient und Rest ausrechnet, sondern auch die bloße Aussage, dass es zu a, b ∈ N stets q, r ∈ N0 gibt mit a = qb + r und r < b. VII.1. Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher Zahlen abwechselnd immer die kleinere von der gr¨ oßeren weg, so m¨ ussen, wenn niemals ein Rest die vorangehende Zahl genau misst, bis die Einheit u ¨brig bleibt, die uspr¨ unglichen Zahlen gegeneinander prim sein. Beweis. Hier wird ein Algorithmus angegeben und vorausgesetzt, dass keiner der auftretenden Reste die gr¨oßere Zahl teilt, es sei denn, der Rest ist die Einheit. Bei diesem Satz kann man voraussetzen — braucht es also nicht zu beweisen —, dass der Algorithmus terminiert, da es hier nicht um die Existenz des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers geht. Beim n¨achsten Satz wird der gleiche Algorithmus aber benutzt, um den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen. Da muss man nat¨ urlich wissen, dass er nach endlich vielen Schritten mit einer Zahl oder aber mit der Eins abbricht. Von Rechts wegen muss man dies mit Induktion beweisen. Die Intuition sagt aber, dass es nur endlich viele Kandidaten f¨ ur die Reste gibt, n¨amlich die Zahlen, die kleiner als die gr¨ oßere der beiden Ausgangszahlen sind, und die Eins, und dass die Reste immer kleiner werden, so dass keine Periodizit¨ at auftreten kann. Dass es unterhalb einer nat¨ urlichen Zahl nur endlich viele nat¨ urliche Zahlen gibt, ist beweispflichtig. Die Alten haben das offenbar nicht gesehen. Campanus habe Postulate in seinem Kommentar zu den arithmetischen B¨ uchern Euklids aufgestellt, darunter eines, welches besagt, dass sich eine Zahl nicht ins Unendliche vermindern lasse, so Thaer in seinem Kommentar (Euklid 1980, S. 441). Das impliziert nat¨ urlich, dass es unterhalb einer Zahl nur endlich viele Zahlen gibt. Euklid hat keinerlei Hypotheseis, Aitemata oder Axiomata u ¨ ber Zahlen und den Umgang mit ihnen aufgestellt. Dies hat in uns befriedigender Weise erst Dedekind 1888 getan, um damit den letzten Schritt in der Begr¨ undung unseres Zahlensystems zu tun. Darauf werden wir in Abschnitt 7 dieses Kapitels zur¨ uckkommen. Dass Euklid — und Euklid steht hier stellvertretend f¨ ur die Mathematiker der Antike — keine Begr¨ undung f¨ ur das Rechnen mit nat¨ urlichen Zahlen gibt, wird

178

Kapitel II. Zahlen

von Szab´ o damit erkl¨ art, dass Zahlen nicht sichtbare und nicht tastbare Gebilde sind im Gegensatz zu den Objekten der Geometrie, die zumindest sichtbar sind, so dass die Alten nicht das Bed¨ urfnis versp¨ urten, sie durch Postulate u ¨ber ihre Handhabung von der widerspr¨ uchlichen Wirklichkeit zu l¨ osen, wie das bei der Geometrie geschah, wie oben erl¨autert. Andererseits zeigen die Definitionen von Buch VII, ausgehend von dem eleatischen Unteilbarkeitsdogma der Eins, deutlich den Einfluß der eleatischen Philosophie, so dass anzunehmen ist, dass die in Buch VII dargestellte Theorie etwa gleichzeitig mit der eleatischen Philosophie, dh., in der ersten H¨alfte des 5. Jahrhunderts v. Chr. entstand (Szab´ o 1960, S. 428–430). Zum Beweis von VII.1 nehmen wir an, dass a und b zwei Zahlen seien, die die Voraussetzungen des Satzes erf¨ ullen, die aber nicht teilerfremd seien. Ferner sei a > b und f sei ein gemeinsames Maß von a und b. Der Beweis ist also ein Widerspruchsbeweis. Nun wird a in a + c zerlegt, so dass b die Zahl a genau misst und dass c < b gilt. Dies ist also die implizite Form der Division mit Rest. Dass sie m¨oglich ist, wird einfach unterstellt. Es wird also kein Wort dar¨ uber verloren, wie man sie erhalten kann. Dann zerlegt er b in b + d, so dass c die Zahl b genau misst und d < c ist. Er zerlegt schließlich noch c nach dem gleichen Muster in c + e, so dass d Teiler von c ist und dass e < d gilt. Schließlich nimmt er an — er kennt keine Induktion —, dass e die Einheit sei. Weil f Teiler von b und b Teiler von a ist, ist f Teiler von a . (Wenn man den Beweis hierzu aufschreibt, sieht man, dass das Assoziativgesetz der Multiplikation benutzt wird.) Es ist f aber auch Teiler von a und damit von c, da ja a = a + c ist. (Hier wird das Assoziativitgesetz der Addition beim R¨ uberbringen von a auf die linke Seite und dann das Distributivgesetz benutzt.) Dann spielt er das Spiel mit b und c und erh¨ alt, dass f auch c und d teilt. Ebenso erh¨ alt er, dass f ein Teiler von d und e und damit insbesondere der Einheit e ist. Dies ist aber ein Widerspruch zur Definition 2, da f nach ihr aus Einheiten zusammengesetzt ist, e ist dies aber nicht. Bei diesem Beweis haben wir gesehen, dass die Assoziativit¨at der Addition wie auch der Multiplikation explizit benutzt wurde und auch das Distributivgesetz. Dieses in der unangenehmen Form (a− b)c = ac− bc. Wir werden auch im weiteren Verlauf unserer Untersuchungen unser Augenmerk darauf richten, was alles an grundlegenden Eigenschaften der nat¨ urlichen Zahlen in die Beweise eingeht. Als n¨achstes kommt der ber¨ uhmte euklidische Algorithmus, der jedoch ein bisschen anders lautet als der, den wir heute euklidischen Algorithmus nennen. Wir benutzen bei unserem Algorithmus die Division mit Rest, was Euklid nicht tut. Sein Algorithmus ist die Wechselwegnahme. Beim Beweise jedoch, dass der Algorithmus das Verlangte leistet, benutzt er wieder die implizite Division mit Rest, die er auch schon beim Beweise von VII.1 benutzt hat. Die Aufgabe lautet nun: VII.2. Zu zwei gegebenen Zahlen, die nicht prim gegeneinander sind, ihr gr¨ oßtes gemeinsames Maß zu finden. Konstruktion. Die beiden Zahlen seien a und b und es gelte a > b. Wird a

2. Teilbarkeit

179

von b gemessen, so ist b das gr¨oßte gemeinsame Maß, da b ja auch sich selbst misst und da b offenbar das gr¨ oßte Maß von b ist. Mit dieser Bemerkung beginnt Euklid seinen Beweis. Den Rest erledigen wir durch Induktion. Da a − b < a ist, existiert nach Induktionsannahme g := ggT(a−b, b), wobei wir mit ggT das gr¨ oßte gemeinsame Maß, dh., den gr¨oßten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen bezeichnen. Da g gemeinsames Maß von a − b und b ist, ist g auch gemeinsames Maß von a − b + b = a und b. Ist andererseits f ein gemeinsames Maß von a und b, so ist es auch gemeinsames Maß von a − b und b und misst folglich nach der nicht explizit formulierten Induktionsannahme auch g. Dies impliziert, dass g das gr¨oßte gemeinsame Maß von a und b ist. Da dieser Induktionsbeweis f¨ ur die G¨ ultigkeit der Konstruktion aus Euklids Beweis herauspr¨apariert wurde, wundert es nicht, dass sich auch folgender Zusatz bei Euklid findet. Zusatz. Hiernach ist klar, dass eine Zahl, die zwei Zahlen misst, auch ihr gr¨ oßtes gemeinsames Maß messen muss. Die im Zusatz ausgesprochene Eigenschaft des gr¨oßten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen nehmen wir heute als Definition des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers, da sie sich auch auf Ringe verallgemeinern l¨asst, die nicht angeordnet sind. Unter den Ringen, in denen je zwei Elemente einen gr¨ oßten gemeinsamen Teiler haben, befinden sich so wichtige Ringe wie die Polynomringe u ¨ber einem K¨orper. Der Leser wird fragen, was f¨ ur eine Rolle VII.1 wohl spiele. Eigentlich keine. Beim Beweise von VII.2 wird nur bemerkt, dass der Algorithmus aufgrund von ur unser Verst¨ andnis k¨ onnte er auch genauso gut mit VII.1 mit einer Zahl endet. F¨ 1 enden. Nichts w¨ urde sich ¨andern. Fragt man etwa bei inhomogenen linearen Gleichungssystemen mit rationalen Koeffizienten nach ganzzahligen L¨ osungen, so stellt sich unweigerlich die Frage nach der simultanen L¨osbarkeit von linearen Kongruenzen und dies f¨ uhrt letztlich auf die Frage, Kongruenzen der Form ax ≡ 1 mod b mit teilerfremden a und b zu l¨ osen. Probleme dieser Art finden sich z. B. in Fibonaccis liber abbaci, ohne dass dort jedoch die Frage nach der L¨ osbarkeit der Kongruenz ax ≡ 1modb beantwortet w¨ urde. Fibonacci gibt die L¨ osungen, die er braucht, entweder direkt an, ohne zu sagen, wie er sie gefunden hat, oder er bestimmt sie durch systematisches Probieren (L¨ uneburg 1993, S. 125, 158, 175, 213). Die Frage nach der L¨ osbarkeit der Kongruenz ax ≡ 1 mod b mit teilerfremden a und b ist im Abendland erst von Bachet (Bachet 1624) beantwortet worden. Ob sie in China oder Indien schon fr¨ uher beantwortet wurde, weiß ich nicht. Dieses sch¨one St¨ uck Mathematik m¨ochte ich meinen Lesern nicht vorenthalten. Hier zun¨ achst Bachets Aufgabe (Bachet 1624, S. 18). Deux nombres premiers entre eux estant donn´ez, treuuer le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’vnit´e vn multiple de l’autre. Es sind also zwei teilerfremde Zahlen A und B gegeben und gesucht ist das kleinste Vielfache VA von A und das kleinste Vielfache WB von B, so dass es

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Kapitel II. Zahlen

Vielfache VB und WA von B und A gibt mit VA = VB +1 und WB = WA +1. Zuvor hat Bachet schon gezeigt, dass es h¨ ochstens ein VA gibt mit VA < kgV(A, B) = AB. Das Gleiche gilt nat¨ urlich auch f¨ ur WB . Bachet beginnt nun seine Konstruktion, indem er sagt, man m¨ oge B sooft von A subtrahieren, wie es gehe. Es bliebe noch etwas u ¨ brig, da sonst B der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von A und B w¨are. Das widerspr¨ ache aber der Teilerfremdheit. Hieraus wird klar, dass er B > 1 annimmt. Heißt das, dass er die Eins nicht zu den Zahlen rechnet, oder ist es nur Nachl¨assigkeit, dass er nicht sagt, dass B > 1 ist? Es bleibt also etwas u ¨brig. Er nimmt zun¨ achst an, es bliebe 1 u ¨ brig. Es sei also A = QB + 1. Hier tut’s VA := A und VB := QB. Es ist klar, dass A < AB ist, da B ja eine Zahl ist. (Der Leser beachte, dass wir den Quotienten Q eingef¨ uhrt haben. Bei Bachet tritt er hier noch nicht auf.) Dann berechnet er E := AB + 1 − A. Es ist klar, dass E um Eins gr¨ oßer ist als ein Vielfaches von A und dass dieses Vielfache kleiner ist als AB. Es folgt E = AB + 1 − QB − 1 = (A − Q)B. In diesem Falle leisten also WB := (A − Q)B und WA := A(B − 1) das Verlangte. Ist A = QB + C mit C > 1, so geht das Spiel mit B, C weiter, bis schließlich, so sage ich Bachets Argument verk¨ urzend, irgendwann der Rest 1 auftritt. Zur Begr¨ undung zitiert er, ohne die Literaturstellen zu pr¨ azisieren, Campanus und Clavius, die dies bewiesen h¨ atten. Bei seinem Verfahren merkt Bachet sich die Reste, berechnet aber hier ¨ noch nicht die Quotienten. Damit wir nicht die Ubersicht verlieren, gebe ich von nun an Bachets Algorithmus und Argumentation in unserer Sprache wieder. Wir setzen a−1 := A und a0 := B und berechnen weitere ai , qi , so dass gilt: a−1 = q−1 a0 + a1 a0 = q0 a1 + a2 .. . an−2 = qn−2 an−1 + an an−1 = qn−1 an + 1 mit ai < ai−1 f¨ ur alle fraglichen i. Weil an nicht der letzte Rest ist, ist an > 1. Wie schon erw¨ ahnt, berechnet Bachet an dieser Stelle nur die ai , indem er sagt,

2. Teilbarkeit

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ater, wenn er die qi man solle ai−1 sooft von ai−2 subtrahieren, wie es ginge. Sp¨ dann doch ben¨ otigt, berechnet er sie aus obigen Gleichungen. Ist n gerade, so setzen wir Rn := 1 und Rn−1 := qn−1 . Dann ist Rn < an und Rn−1 < an−1 und Rn an−1 = Rn−1 an + 1. Ist n ungerade, so setzen wir Rn := an − 1 und Rn−1 := an−1 − qn−1 . Dann gilt wiederum Rn < an und Rn−1 < an−1 . Wir haben zu Beginn des Beweises schon gesehen, dass Rn−1 an = Rn an−1 + 1 gilt. F¨ ur i ≤ n setzen wir schließlich Ri−2 := qi−2 Ri−1 + Ri . Dann ist, falls i gerade und |i − j| = 1 ist, Ri aj = Rj ai + 1. Ferner ist Ri < ai f¨ ur alle i. Insbesondere ist R0 < B und R0 A = R−1 B + 1. Die erste Aussage gilt f¨ ur i = n und j = n − 1, falls n gerade ist, und f¨ ur i = n−1 und j = n, falls n ungerade ist. Eine banale Induktion zeigt die G¨ ultigkeit der Ungleichung Ri < ai . Es gelte nun Ri aj = Rj ai + 1 mit geradem i und |i − j| = 1. Es folgt j = i + 1 oder j = i − 1. Es sei zun¨achst j = i + 1. Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung Ri qi−1 ai . Dann ist Ri aj−2 = Ri ai−1 = Ri (ai+1 + qi−1 ai ) = Ri aj + Ri qi−1 ai = Rj ai + Ri qi−1 ai + 1 = (Rj + Rj−1 qj−2 )ai + 1 = Rj−2 ai + 1. Ferner gilt |i − (j − 2)| = |i − (i + 1 − 2)| = 1. Es sei j = i − 1. Dann addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung Rj qj−1 aj . Dann ist Ri−2 aj = (Ri + Rj qj−1 )aj = Rj ai + Rj qi−2 ai−1 + 1 = Rj ai−2 + 1 ¨ und |i − 2 − j| = 1. Uberdies ist i − 2 gerade, da ja i gerade ist. Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. Offenbar ist R0 A das gesuchte VA . Wir sind noch nicht fertig mit der L¨ osung von Bachets Aufgabe, da wir erst VA bestimmt haben. Bevor wir aber auch noch WB bestimmen, will ich auf die Frage

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Kapitel II. Zahlen

eingehen, wie Bachet mit dieser Induktion fertig wird. Nun, er geht nur bis n = 3, nimmt also an, dass schon beim vierten Schritt der Rest Eins auftaucht, wobei er keinerlei Indizes benutzt, noch irgendwelche Formeln schreibt. Er rechnet dann jeden einzelnen der drei Schritte vor, die er zu rechnen hat, um VA zu erhalten. Seine Zahlen sind, jedenfalls im eigentlichen Text, nur mit ihren Namen A, B, C, usw. gegeben. In einem Kasten außerhalb kann man die Belegung der Variabeln an dem Beispiel A = 67 und B = 60 verfolgen, wobei die Kontrolle der Rechnung dem Leser u ¨ berlassen bleibt. Er diskutiert das Verfahren aber weiter. Um n¨amlich WB auszurechnen gibt es zwei M¨oglichkeiten, die erste nutzt die Kenntnis von VA , w¨ahrend die zweite den gleichen Algorithmus benutzt, wie die Berechnung von VA , nur dass in diesem Falle Rn und Rn−1 ihre Rollen tauschen, dh., Rn−1 , so wie hier definiert, wird zu Rn und Rn zu Rn−1 . Die u ¨ brigen Ri werden mit der gleichen Rekursion wie zuvor berechnet. Die Voraussetzung an i muss u ¨ berdies lauten, dass i ungerade sei. Auch diese M¨ oglichkeit wird von Bachet Schritt f¨ ur Schritt durchgerechnet. Schließlich sagt er noch, dass man so wie gerade bei der Berechnung von WB vorgehen solle, wenn n gerade sei. Bei seinem Beispiel ist ja n = 3, also ungerade. Dabei l¨ asst er es bewenden. Hier Bachets erstes Verfahren, WB aus der Kenntnis von VA zu berechnen. Er setzt WB := AB + 1 − VA . oßer ist als ein Vielfaches von A, da VA ja ein Dann ist klar, dass WB um Eins gr¨ Vielfaches von A ist. Außerdem ist WB < AB, da A und damit VA als Zahl nicht Eins ist. (Hier interpretiere ich wieder.) Andererseits ist WB = AB + 1 − VB − 1 = AB − VB , so dass WB ein Vielfaches von B ist. Bachet schließt die Diskussion der Aufgabe mit einem Advertissement, dass man sich n¨amlich einen Teil der Rechnung sparen k¨ onne, indem man nur die Ri und ur den Fall nicht auch die Ri aj mit |i − j| = 1 berechne, wobei er die Rechnung f¨ n = 3 vollst¨andig durchf¨ uhrt. F¨ ur uns ist das selbstverst¨andlich, da wir die Ri aj immer faktorisiert vor Augen haben, f¨ ur Bachet aber nicht, da er keine Formeln schreibt. Bemerkenswert finde ich an diesem Beweis, dass Bachet keine negativen Zahlen benutzt, mit denen man damals gerade anfing zu rechnen, und dass er nur sehr sparsam subtrahiert. Bemerkenswert auch die Tatsache, dass er die Produkte atzt und zwar durch ai ai+1 bzw. ai ai−1 . Wir, die wir Ri ai+1 und Ri ai−1 absch¨ das Produkt stets faktorisiert vor Augen haben, sch¨ atzen nat¨ urlich Ri durch ai nach oben ab. Bachet f¨ uhrt all diese Absch¨ atzungen durch, um VA absch¨ atzen zu k¨ onnen. Wir schließen mehr daraus, dass n¨ amlich beim Rechnen mit der Maschine alle Ri in ein Maschinenwort passen, wenn A und B in ein Maschinenwort passen. Was Bachets Analyse des Algorithmus nur noch fehlt, ist, die Anzahl der Rechenoperationen abzusch¨ atzen. Die bekannteste Absch¨atzung stammt von Lam´e (1844). Auf sie werden wir gleich zu sprechen kommen.

2. Teilbarkeit

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Bachet berechnet also zuerst die Reihe ai der Reste, die mit Eins endet, und deren Anzahl n + 1. Er ben¨ otigt die Parit¨ at von n, sowie die Quotienten qi , die er nachtr¨ aglich mittels der ai berechnet, und, wenn n ungerade ist, auch noch an und an−1 zur Bestimmung der Ri . Sein Verfahren ist also das der R¨ uckw¨artssubstitution, wie man sagt. Dieses Verfahren wird auch von Euler in seiner Vollst¨andigen ” Anleitung zur Algebra“, die in erster Auflage 1770 erschien, benutzt (Euler 1942, S. 348, Nr. 19.). Euler wird immer wieder als der Erste angegeben, der eine praktikable L¨osung f¨ ur diophantische Gleichungen ersten Grades gegeben habe. Dabei hat schon Lagrange an mindestens zwei Stellen auf die L¨ osung von Bachet hingewiesen ` R´epublicaine, Band II, S. 376, 525). La(Lagrange 1770, Euler, l’an IIIe, de L’ERE grange selbst gibt eine andere L¨osung f¨ ur das gleiche Problem, die heute auch das Verfahren der Vorw¨ artssubstitution heißt und die aus Lagranges Theorie der Kettenbr¨ uche fließt. Dieses Verfahren ist rechnerisch genauso aufwendig wie das bachetsche, ben¨ otigt aber weniger Speicherplatz, so dass es heute allgemein verwandt wird. Es findet sich ebenfalls in den Additions zu Eulers Algebra. Hier nun die Absch¨ atzung Lam´es f¨ ur die Anzahl der Rechenschritte, die bei Anwendung des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers zweier nat¨ urlicher Zahlen auszuf¨ uhren sind. Th´ eor` eme. Le nombre des divisions ` a effectuer, pour trouver le plus grand commun diviseur entre deux entiers A, et B < A, est toujours moindre que cinq fois le nombre des chiffres de B. Der nun folgende Beweis dieses Satzes ist der von Lam´e. Wir definieren zun¨ achst die Fibonaccizahlen. Dabei indizieren wir sie so, dass die Indizierung Fibonaccis Kaninchenz¨ ahlung entspricht, der am Ende des ersten Monats zwei Kaninchenpaare vorfindet (Boncompagni 1857, S. 283/284). Wir setzen F0 := 1 und F1 := 2 sowie Fn+2 := Fn+1 + Fn f¨ ur n ≥ 0. Die Fibonaccizahlen haben bei Lam´e loc. cit. keinen Namen. Wenn meine Erinnerung nicht t¨ auscht, nennt Binet sie lam´esche Zahlen und erst Lucas gibt ihnen den Namen Fibonaccizahlen. Ich finde jedoch die Belege nicht mehr. Kaiser (1929) weiß jedenfalls, dass sie lam´esche Zahlen genannt werden, nennt die Folge F aber keplersche Reihe, da Kepler sie schon vor Lam´e gekannt und benutzt habe. Als seine Quelle nennt er Sonnenburg, Programmabhandlung des Kgl. ” Gymnasiums zu Bonn, 1881, S. 17“. Diese Begr¨ undung zeigt, dass er Fibonaccis Kaninchenaufgabe nicht kannte. Lam´e stellt und beantwortet nun die Frage nach der Anzahl der k-stelligen Fibonaccizahlen, wobei sich k-stellig auf ihre Darstellung als Dezimalzahl bezieht. Satz 1. Es sei k ∈ N. Es gibt dann mindestens vier und h¨ ochstens f¨ unf k-stellige Fibonaccizahlen. Beweis. Die ersten sechs Fibonaccizahlen sind 1, 2, 3, 5, 8, 13, so dass es genau f¨ unf einstellige Fibonaccizahlen gibt. Es sei k ≥ 1 und der Satz gelte f¨ ur k. Es sei

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Kapitel II. Zahlen

Fn die kleinste Fibonaccizahl mit mehr als k Stellen. Dann ist n ≥ 5, da ja F4 = 8 ist. Wegen der Minimalit¨ at von n gilt Fn−1 , Fn−2 < 10k und folglich Fn = Fn−1 + Fn−2 < 2 · 10k . Es folgt weiter Fn+1 = Fn + Fn−1 < 3 · 10k Fn+2 = Fn+1 + Fn < 5 · 10k Fn+3 = Fn+2 + Fn+1 < 8 · 10k . Die vier Fibonaccizahlen Fn , Fn+1 , Fn+2 und Fn+3 sind also (k + 1)-stellig, so dass es mindestens vier (k + 1)-stellige Fibonaccizahlen gibt. Es ist Fn−2 < Fn−1 . Also ist 10k ≤ Fn = Fn−1 + Fn−2 < 2 · Fn−1 und damit Fn−1 >

1 · 10k . 2

Hiermit folgt der Reihe nach 3 · 10k 2 5 = Fn+1 + Fn > · 10k 2 8 = Fn+2 + Fn+1 > · 10k 2 13 · 10k = Fn+3 + Fn+2 > 2 21 · 10k . = Fn+4 + Fn+3 > 2

Fn+1 = Fn + Fn−1 > Fn+2 Fn+3 Fn+4 Fn+5

Also ist Fn+5 > 10k+1 , so dass Fn+5 mindestens (k + 2)-stellig ist. Damit ist der Satz bewiesen. Satz 2. Ist Fn die n-te Fibonaccizahl und ist k die Anzahl ihrer Dezimalstellen, so ist n < 5k. Beweis. Dies ist richtig f¨ ur k = 1. Es sei also k ≥ 1 und der Satz gelte f¨ ur ochstens k-stellig. Nach k. Ist Fn nun (k + 1)-stellig, so ist Fn−5 nach Satz 1 h¨ Induktionsannahme ist daher n − 5 < 5k und folglich n < 5(k + 1). Satz 3. Es seien a, b ∈ N. Ferner seien q, r ∈ N0 und es gelte a = qb + r und r < b. Sind Fn , Fn−1 , Fn−2 drei aufeinander folgende Fibonaccizahlen und gilt Fn ≥ a > b ≥ Fn−1

2. Teilbarkeit

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und r ≥ Fn−2 , so ist Fn = a, Fn−1 = b und Fn−2 = r. Beweis. Wegen a > b ist q ≥ 1. Also gilt Fn ≥ a = qb + r ≥ b + r ≥ Fn−1 + Fn−2 = Fn . Hieraus folgt alles weitere. Im Zusamenhang mit Fibonaccis aufsteigenden Kettenbr¨ uchen sind wir schon einmal den Operatoren DIV und MOD begegnet. F¨ ur a, b ∈ N war a DIV b, der Quotient und a MOD b der Rest von a bei der Division von a durch b. Mittels MOD definieren wir noch den Algorithmus GGT durch GGT(a, 0) := a und GGT(a, b) := GGT(b, a MOD b) f¨ ur alle a, b ∈ N. Mit w(a, b) bezeichnen wir die Anzahl der Aufrufe von GGT innerhalb von GGT(a, b). Es gilt: Satz 4. Es seien a, b ∈ N. Sind Fn−1 und Fn aufeinander folgende Fibonaccizahlen und gilt Fn−1 ≤ b < Fn , so ist w(a, b) ≤ n. Beweis. Ist a MOD b = 0, so ist w(a, b) = 1 ≤ n. Es sei also a MOD b = 0. Setze r := a MOD b. Dann ist r = 0 und w(a, b) = w(b, r) + 1. Es gibt ein i ∈ N mit Fi−1 ≤ r < Fi . Dann ist Fi−1 ≤ r < b < Fn und folglich i ≤ n. Nach Induktionsannahme ist w(b, r) ≤ i. Ist i < n, so folgt w(a, b) = w(b, r) + 1 ≤ i + 1 ≤ n. Ist i = n, so ist Fn−1 ≤ r < b < Fn . Setze s := bMODr. Dann ist w(b, r) = w(r, s)+1 und folglich w(a, b) = w(r, s)+2. W¨ are nun Fn−2 ≤ s, so folgten mit Satz 3 die Gleichungen s = Fn−2 , r = Fn−1 und insbesondere b = Fn im Widerspruch zu b < Fn . Also ist s < Fn−2 und daher w(r, s) ≤ n − 2. Somit gilt w(a, b) = w(r, s) + 2 ≤ n. Damit ist alles bewiesen.

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Kapitel II. Zahlen

Die Absch¨ atzung in Satz 4 ist bestm¨ oglich, da w(Fn , Fn−1 ) = n ist. Sie ist aber andererseits nicht sehr handlich. Handlicher ist die aus ihr von Lam´e hergeleitete Schranke, die man unmittelbar an b ablesen kann. Sie gilt es nun noch zu beweisen. Es sei Fn−1 ≤ b < Fn . Nach Satz 4 ist w(a, b) ≤ n. Nach Satz 2 ist n − 1 < 5dez(Fn−1 ) und damit n ≤ 5dez(b). Daher ist w(a, b) ≤ n ≤ 5dez(Fn−1 ) ≤ 5dez(b). Damit ist die lam´esche Schranke etabliert. Dupr´e (1845) verbesserte diese Schranke zu w(a, b) ≤ 4, 785 · dez(b) − 0, 3, wobei er die von Binet (1843) gefundene Formel 1 Fn = √ 5



√ n+1  √ n+1  1− 5 1+ 5 − 2 2

benutzte. Lam´e war nicht der Erste, der die Kosten eines Algorithmus zur Berechnung von ggT(a, b) absch¨ atzte. Zieht man auch negative Zahlen in Betracht, so kann man zu ai−2 und ai−1 einen Quotienten qi und einen Rest ai bestimmen mit ai−2 = qi ai−1 + ai und |ai | ≤ 12 ai−1 . Nimmt man bei der Division mit Rest immer diesen absolut kleinsten Rest, so erh¨ alt man b = a0 ≥ 2 n an und weiter n<

10 1 log(b) < log(b), log 2 3

wobei log den Logarithmus zur Basis 10 bezeichne. Diese Absch¨atzung stammt von Binet (1841). Die fr¨ uheste bekannte Absch¨atzung f¨ ur die Anzahl der Rechenschritte stammt von A.-A.-L. Reynoud. Sie lautet w(a, b) ≤ b, was nat¨ urlich trivial ist. Bemerkenswert ist nur, dass er die fragliche Anzahl u ¨berhaupt absch¨ atzt. In der 9. Auflage seines Trait´e d’arithm´etique von 1821 verbesserte er die Schranke auf 2b . Im Jahre 1841 gab P.-J.-E. Finck die Absch¨ atzung w(a, b) ≤ 2 log2 b + 1, die nur wenig schlechter als die von Lam´e ist. F¨ ur Einzelheiten, und auch wer sonst in diesem Zusammenhang noch zu erw¨ahnen ist, sei der Leser auf Shallit 1994 verwiesen.

2. Teilbarkeit

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Zur¨ uck zu Buch VII. Der n¨ achste Satz wird von Euklid nur f¨ ur drei Zahlen formuliert und zwar als Aufgabe. Wir formulieren ihn als Satz und u ¨berlassen den ¨ Beweis dem Leser als Ubungsaufgabe. Es ist klar, dass man die Zahl c durch n − 2 Zahlen ersetzen kann, so dass man eine Rekursion erh¨alt, den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler von n Zahlen auszurechnen. VII.3. Sind a, b und c Zahlen, so ist

 ggT(a, b, c) = ggT ggT(a, b), c .

Satz VII.4, den wir hier u ¨bergehen, zeigt noch einmal den fundamentalen Unterschied zwischen dem Bereich der Zahlen und anderen Gr¨ oßenbereichen, den wir schon im Kommentar der vierten Definition von Buch VII im letzten Abschnitt festgestellt haben: Zahlen sind stets kommensurabel, dh., sie haben stets ein gemeinsames Maß. Euklid hat diesen Satz wohl nicht wegen dieser Aussage formuliert, die banal ist, sondern wegen seines Beweises, der in naheliegender Weise mit dem gr¨ oßten gemeinsamen Maß der beiden Zahlen operiert. Als n¨achstes wird das Distributivgesetz ka + kb = k(a + b) bewiesen, was oben schon erl¨autert wurde. VII.5. Wenn eine Zahl von einer Zahl ein Teil ist und eine weiter Zahl von einer weiteren derselbe Teil, dann muss auch die Summe von der Summe derselbe Teil sein, wie die eine Zahl von der entsprechenden. Im Gegensatz zu seinem Vorgehen in Buch V formuliert und beweist er das andere Distributivgesetz hier nicht. Da wir es aber gleich brauchen werden, sei es hier noch einmal hergeleitet. Es ist (a + b) · 1 = a + b = a · 1 + b · 1. Mit Induktion folgt dann (a + b)(n + 1) = (a + b)n + a + b = an + bn + a + b = a(n + 1) + b(n + 1). Wir haben damit alle Rechengesetze f¨ ur N zur Verf¨ ugung bis auf das Kommutativgesetz der Multiplikation, welches wir bislang noch nicht benutzt haben von den Untersuchungen zu dem bachetschen Algorithmus abgesehen, die aber unsere Untersuchungen zu Buch VII nicht tangieren. VII.6. Wenn eine Zahl von einer Zahl eine Menge von Teilen ist und eine weitere Zahl von einer weiteren Zahl dieselbe Menge von Teilen, dann muss auch die Summe von der Summe dieselbe Menge von Teilen sein, wie die eine Zahl von der entsprechenden. Beweis. Hier sind also Zahlen a, b, c, d, e, f , m und n gegeben mit a = me, b = ne, c = mf und d = nf . Dies bedeutet ja gerade, dass a dieselbe Menge von Teilen von b ist wie c von d. Es folgt a + c = me + mf = m(e + f )

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Kapitel II. Zahlen

und b + d = ne + nf = n(e + f ). Somit ist a + c dieselbe Menge von Teilen von b + d wie a von b. Damit ist schon alles bewiesen. Dies gibt Euklids Gedankengang wieder. Als n¨ achstes wird gezeigt, dass eine Zahl, die a und b teilt, auch a − b teilt. Auch das haben wir schon kommentiert (S. 176). VII.7. Wenn eine Zahl von einer Zahl der Teil ist, welcher ein St¨ uck von einem St¨ uck ist, dann muss auch der Rest vom Rest derselbe Teil sein, wie das Ganze vom Ganzen. Gebraucht wurde dies schon beim Beweise von VII.1 und VII.2 und gebraucht wird dies beim Beweis des n¨achsten Satzes. Dort bedeutet Zahl, wie immer, nat¨ urliche Zahl. St¨ uck ist dann jede kleinere Zahl und der Rest ist die Differenz. VII.8. Wenn eine Zahl von einer Zahl die Menge von Teilen ist, welche ein St¨ uck von einem St¨ uck ist, dann muss auch der Rest vom Rest dieselbe Menge von Teilen sein, wie das Ganze vom Ganzen. Beweis. Hier ist also A = B + c und D = E + f und es gibt Zahlen a, b, m und n mit A = ma, D = na, B = mb und E = nb. Es folgt c = m(a − b) und f = n(a − b), so dass c ebensoviele Teile von f ist wie A von D. Der n¨ achste Satz sagt in unserer Sprache, dass darf.

a c

=

ma mc

ist, dass man also k¨ urzen

VII.9. Ist ma = b und mc = d, so ist a ebensoviele Teile von c wie b von d. Beweis. Dies ist richtig f¨ ur m = 1. Es sei m > 1 und der Satz gelte f¨ ur m − 1. Es ist (m − 1)a = b − a und (m − 1)c = d − c. Nach Induktionsannahme ist dann a ebensoviele Teile von c, wie b − a von d − c. Es gibt daher Zahlen u, v, x und y mit b − a = ux und d − c = vx sowie a = uy und c = vy. Es folgt b = ux + a = u(x + y) und d = vx + c = v(x + y). Damit ist der Satz bewiesen. Der n¨ achst Satz verallgemeinert dies wieder, indem m auch rational sein darf. VII.10. Es sei a ebensoviele Teile von b wie c von d. Dann ist a ebensoviele Teile von c wie b von d. Beweis. Es gibt Zahlen e, f , m und n mit me = b, ne = a, mf = d und nf = c. Nach VII.9 ist also a ebensoviele Teile von c wie e von f und e ist ebensoviele Teile von f wie b von d.

2. Teilbarkeit

189

Die n¨ achsten vier Propositionen stimmen im griechischen Text fast w¨ ortlich mit den Propositionen 19, 12, 16 und 22 des f¨ unften Buches u ¨ berein. Die Unterschiede resultieren daraus, dass das Wort Gr¨ oße“ durch das Wort Zahl“ ersetzt ” ” wurde — oder besser das Wort Zahl“ durch das Wort Gr¨ oße“, da die S¨ atze ” ” aus Buch V die j¨ ungeren sind — und dass sich, da diese W¨ orter unterschiedliches Geschlecht haben, die Adjektive diesem anpassen. Das mathematische Vokabular dieser S¨atze unterscheidet sich, so Szab´o (1962/67, S. 219–222), von dem sonst benutzten Vokabular dieser beiden B¨ ucher. Hieraus zieht er interessante Schl¨ usse u ¨ ber die Entwicklung der mathematischen Terminologie, die hier darzulegen uns zu weit von unserem Wege wegf¨ uhrten. Hinzukommt, dass ich mich nicht kompetent f¨ uhle, u ¨ber Feinheiten der griechischen Sprache zu berichten. ¨ Der thaerschen Ubersetzung zu folgen, ist erm¨ udend. Da ich denke, dass ich von ihr einen hinreichend guten Eindruck gegeben habe, werde ich den Text im Folgenden bei komplizierteren Sachverhalten modernisieren. So liest er sich leichter. Ich ¨ hoffe, dass der Flair des alten Textes — der ja auch schon durch die Ubersetzung verf¨ alscht wird — nicht v¨ ollig verloren geht. VII.11. Es seien a, b, c, d ∈ N. Ist (a + b) : (c + d) = a : c, so ist auch (a + b) : (c + d) = b : d. Beweis. Wegen a < a + b kann a + b nicht Teil von a sein. Wegen (a + b) : (c + d) = a : c ist a derselbe Teil von a + b wie c von c + d oder aber dieselbe Menge von Teilen von a + b wie c von c + d. Wegen VII.7 und VII.8 ist daher auch b derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen von a + b wie d von c + d. ur alle i, VII.12. Sind a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , α, β ∈ N und gilt α : β = ai : bi f¨ so ist n n   α:β= ai : bi . i:=1

i:=1

Beweis. Beim Beweise von V.12 hatten wir angemerkt, dass Euklid diesen Satz f¨ ur n = 3 bewiese, dass es uns aber aufgrund der uns zur Verf¨ ugung stehenden vollst¨andigen Induktion gen¨ uge, ihn f¨ ur n = 2 zu beweisen. Nun, auch ohne Induktion gen¨ ugt es Euklid im vorliegenden Falle, den Satz nur f¨ ur n = 2 zu beweisen. Es sei also a : b = c : d. Dann ist, so Euklid, c von d derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen, wie a von b. Nach VII.5 und VII.6 ist dann auch a + c derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen von b + d wie a von b also ist (a + c) : (b + d) = a : b. Man beachte, dass der Fall, b ist Teil von a, offenbar stillschweigend unter den Fall, dass a Menge von Teilen von b ist, subsumiert wird. VII.13. Sind a, b, c und d Zahlen und ist a : b = c : d, so ist auch a : c = b : d. Beweis. Es ist a ein ebensolcher Teil oder eine ebensolche Menge von Teilen von b wie c von d. Mit VII.9 und VII.10 folgt, dass a ein ebensolcher Teil oder eine ebensolche Menge von Teilen von c ist wie b von d. Also ist a : c = b : d.

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Kapitel II. Zahlen

Beim Beweise der n¨achsten Proposition benutzt Euklid die Transitivit¨ at der Relation des Im-gleichen-Verh¨ altnis-stehens. Dasselbe geschieht bei VII.16 und VII.19. Im Gegensatz zu der entsprechenden Relation bei Gr¨oßen, wo er die Transitivit¨ at beweist, beweist er sie hier aber nicht. Ihre G¨ ultigkeit liegt aber ganz und gar nicht auf der Hand. Wir haben etwas zu tun! Satz 5. Es seien a, b ∈ N. Ist a = m ggT(a, b) und b = n ggT(a, b), so ist ggT(m, n) = 1. Beweis. Es ist ggT(m, n)ggT(a, b) gemeinsamer Teiler von a und b. Nach dem Zusatz von VII.2 ist folglich ggT(m, n)ggT(a, b) Teiler von ggT(a, b). Also ist in der Tat ggT(m, n) = 1. Man vergleiche Satz 5 mit VII.22. Satz 6. Es seien a, b, c, d, e, f ∈ N. Ist a : b = c : d und c : d = e : f , so ist auch a : b = e : f. Beweis. Es gibt A, B, u, v ∈ N mit a = Au,

b = Bu,

c = Av,

d = Bv.

Ebenso gibt es C, D, u , v  ∈ N mit c = Cu ,

d = Du ,

e = Cv  ,

f = Dv  .

Es gibt ferner m, n ∈ N mit A = m ggT(A, B) und B = n ggT(A, B). Nach Satz 5 ist ggT(m, n) = 1. Es folgt weiter a = m ggT(A, B)u

und

b = n ggT(A, B)u.

Mit dem Zusatz von VII.2 folgt, dass ggT(A, B)u Teiler von ggT(a, b) ist. Die Teilerfremdheit von m und n erzwingt dann, dass ggT(A, B)u = ggT(a, b) ist. Also ist a = m ggT(a, b) und

b = n ggT(a, b).

Ebenso folgt c = m ggT(c, d)

und d = n ggT(c, d).

Spielt man das gleiche Spiel mit c, d, e und f , so erh¨ alt man Zahlen m und n mit c = m ggT(c, d) und

und d = n ggT(c, d)

e = m ggT(e, f ) und f = n ggT(e, f ).

2. Teilbarkeit

191

Es folgt m = m und n = n und damit a : b = e : f . Damit ist der Satz bewiesen. Die S¨atze 5 und 6 waren Euklid zug¨ anglich. VII.14. Es seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ N. Ist dann ai : ai+1 = bi : bi+1 f¨ ur i := 1, . . . , n − 1, so ist a1 : an = b1 : bn . Beweis. Es gen¨ ugt dies f¨ ur n = 3 zu beweisen, wie dies auch Euklid tut, da eine einfache Induktion dann die Allgemeing¨ ultigkeit herstellt. Es gelte also a : b = d : e und b : c = e : f . Mit VII.13 folgt a : d = b : e und b : e = c : f . Nach Satz 6 gilt also a : d = c : f . Mit VII.13 folgt schließlich a : c = d : f . Die n¨ achste Proposition ist rein technischer Natur und dient der Vorbereitung des Beweises von VII.16. Letztere Proposition kann aber sehr einfach mittels VII.14 und VII.9 bewiesen werden, wie wir jetzt sehen. Der Beweis ist der, den wir benutzten, um die Kommutativit¨ at der Multiplikation in eudoxischen Gr¨ oßenbereichen nachzuweisen. Hier zeigt sich einmal mehr das feine Gesp¨ ur, das Euklid f¨ ur die Grundlagen der Mathematik hat. VII.16. Sind a, b ∈ N, so ist ab = ba. Beweis. Es sei 1 die Einheit. Nach VII.9 ist dann 1 : a = b : ba. Mit VII.14 folgt 1 : b = a : ba. Andererseits ist 1 : b = a : ab. Nach Satz 6 ist also a : ba = a : ab und folglich ba = ab. Bei diesem Beweis haben wir eine Folgerung von VII.9 bzw. VII.12 benutzt, die Euklid erst jetzt formuliert, n¨ amlich VII.17. Sind a, b, m ∈ N, so ist a : b = ma : mb. Mittels VII.16 folgt hieraus VII.18. Sind a, b, m ∈ N, so ist a : b = am : bm. Der n¨ achste Satz macht klar, dass Verh¨altnisse nat¨ urlicher Zahlen sich mit unseren rationalen Zahlen kodieren lassen. Dar¨ uber sp¨ ater mehr. VII.19. Sind a, b, c, d ∈ N, so gilt genau dann a : b = c : d, wenn ad = bc ist. Beweis. Es gelte a : b = c : d. Nach VII.18 gilt a : b = ad : bd und nach VII.17 gilt c : d = bc : bd. Nach Satz 6 ist also ad : bd = a : b = c : d = bc : bd und folglich ad = bc. Ist ad = bc, so folgt ebenfalls mit VII.18, VII.17 und Satz 6 a : b = ad : bd = bc : bd = c : d. Satz 6 werden wir in Zukunft nicht mehr zitieren. Euklid zeigt nirgendwo, dass in N die Definition V.5 und die Definition VII.20 dasselbe leisten. (Es ist wirklich Definition 20 von Buch VII gemeint und nicht

192

Kapitel II. Zahlen

die Proposition mit gleicher Nummer.) Thaer in seinem Kommentar zu den Elementen (Euklid 1980, S. 440 und 442) ist der Ansicht, dass mit Proposition VII.19 der Zusammenhang leicht herzustellen sei. Er schreibt u. a. Der Beweis, dass Pro” portionalit¨ at, wo die Definitionen des V. und VII. Buches beide anwendbar sind, stets zusammen besteht, l¨asst sich jetzt f¨ uhren; er wird so einfach, dass Fortlassung verst¨andlich ist, wenn man die Darstellbarkeit der Rechtecksfl¨ ache durch das Produkt der Maßzahlen der Seiten als Axiom behandelt.“ Er ist ferner der Ansicht, dass dies Euklid bewusst gewesen sei. Aber so einfach kann das nicht sein, scheint mir. Wo bekommt Thaer den Bereich der Maßzahlen her? Hat man die reellen Zahlen, so kann man den Zusammenhang u ¨ber Satz VII.19 herstellen, indem man Satz 5 aus Abschnitt 4 des Kapitel 1 heranzieht. Doch das erscheint mir als ein viel zu schweres Gesch¨ utz. Man kann VII.19 aber tats¨ achlich zum Beweis der Gleichwertigkeit der beiden Definitionen benutzen, ohne den Umweg u ¨ber die Rechtecke zu gehen. Um dies zu zeigen, schreiben wir a : b =e c : d, wenn die vier Zahlen a, b, c und d gem¨aß der eudoxischen Definition in Proportion stehen. Es seien a, b, c, d ∈ N und es gelte a : b = c : d. Nach VII.19 ist dann ad = bc. Es seien m, n ∈ N. Ist ma > nb, so ist mcb = mad > nbd und folglich mc > nd. Ist ma = nb oder ma < nb, so folgt analog mc = nd bzw. mc < nd. Also gilt auch a : b =e c : d. are Es gelte umgekehrt a : b =e c : d. W¨ da > cb, so folgte dc > cd, was nicht sein kann. Ebenso f¨ uhrt da < cb zu einem Widerspruch. Also ist ad = da = cb und folglich a : b = c : d. Somit liefern die beiden Definitionen f¨ ur N das Gleiche. Wir haben schon bemerkt, dass Euklid die G¨ ultigkeit von einigen der S¨ atze, die er f¨ ur Proportionen von Gr¨ oßen beweist, im Falle der nat¨ urlichen Zahlen unterstellt. Ein weiterer dieser S¨ atze ist der folgende. Ist a : b = c : d und ist a < c, so ist b < d. Diesen Satz ben¨ otigt man schon allein, um die Bedeutung von VII.20 klarzumachen, wie auch beim Beweise dieses Satzes. VII.20. Sind a, b unter den Zahlen, die das gleiche Verh¨ altnis haben wie c und d, die kleinsten, so gibt es eine Zahl m mit c = ma und d = mb. Beweis. Wegen a : b = c : d gilt nach VII.13 auch a : c = b : d. Es gibt also Zahlen e, f , m und n mit a = ne, c = me, b = nf und d = mf . Es ist e ≤ a und f ≤ b, da n > 1 ist. Nach VII.17 gilt e : f = ne : nf = a : b = c : d.

2. Teilbarkeit

193

Die Minimalit¨ at von a und b erzwingt n = 1 und somit c = ma und d = mb. — Dieser Beweis ist im Wesentlichen der euklidische, nur dass Euklid hier VII.12 zitiert, wovon VII.17 ein Spezialfall ist. VII.21. Zahlen, die gegeneinander prim sind, sind unter denen, die dasselbe Verh¨ altnis haben wie sie, die kleinsten. G¨ abe es kleinere, so folgte mit VII.20 ein Widerspruch. VII.22. Die kleinsten unter den Zahlen, die dasselbe Verh¨ altnis haben wie sie, sind gegeneinander prim. Beweis. Es seien a und b diese kleinsten Zahlen. Ist a = ce und b = de, so ist a : b = c : d, so dass e = 1 ist aufgrund der Minimalit¨ at von a und b. VII.23. Sind zwei Zahlen gegeneinander prim, so muss jede die eine von ihnen messende Zahl gegen die andere prim sein. Beweis. Es seien a und b teilerfremde Zahlen und c teile a. Dann ist jeder gemeinsame Teiler von c und b ein solcher von a und b. Hieraus folgt die Behauptung. VII.24. Sind a und b teilerfremd zu c, so ist auch ab teilerfremd zu c. Beweis. Es sei e ein gemeinsamer Teiler von ab und c. Weil e Teiler von c ist, c und a jedoch teilerfremd sind, ist e nach VII.23 teilerfremd zu a. Definiere f durch ab = f e. Nach VII.19 ist daher a : e = f : b. Weil a und e teilerfremd sind, sind a und e nach VII.21 minimal sind, folgt mit VII.20, dass e Teiler von b ist. Weil e als Teiler von c nach VII.23 zu b teilerfremd ist, folgt schließlich e = 1. Damit ist alles bewiesen. Eine unmittelbare Folgerung aus diesem Satz ist der n¨ achste Satz, den wir nicht eigens erw¨ahnen w¨ urden. VII.25. Sind a und b teilerfremd, so sind auch a2 und b teilerfremd. Zweimalige Anwendung von VII.24 liefert VII.26. Sind a und b teilerfremd zu c und d, so ist ab teilerfremd zu cd. Die n¨achste Proposition ist nun auch eine Banalit¨ at. VII.27. Sind a und b teilerfremd, so sind auch an und bn teilerfremd f¨ ur alle n ∈ N. Die n¨achste Proposition ist interessanter, ihr Beweis banal. Wir w¨ urden sie im ¨ Ubrigen sparsamer formulieren. VII.28. Sind a und b teilerfremd, so sind a und b zu a + b teilerfremd. Sind umgekehrt a und b zu a + b teilerfremd, so sind auch a und b teilerfremd. VII.29. Ist p eine Primzahl und ist n eine Zahl, die von p nicht geteilt wird, so sind p und n teilerfremd. Beweis. Klar, da 1 und p die einzigen Teiler von p sind.

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Kapitel II. Zahlen

Die n¨ achste Proposition, von Hardy und Wright (1960, S. 3) Euclid’s First Theorem genannt, ist der grundlegende Satz f¨ ur die Arithmetik der nat¨ urlichen bzw. ganzen Zahlen. VII.30. Wenn zwei Zahlen, indem sie einander vervielf¨ altigen, irgendeine Zahl bilden und irgendeine Primzahl dabei das Produkt misst, dann muss diese auch eine der urspr¨ unglichen Zahlen messen. Beweis. Die Primzahl p messe das Produkt ab. Ferner werde a von p nicht gemessen. Nach VII.29 sind p und a dann teilerfremd. Nach VII.24 kann p zu b nicht teilerfremd sein, so dass p nach VII.29 ein Teiler von b ist. Wir brauchen VII.30 im n¨ achsten Abschnitt in einer scheinbar allgemeineren Form. Beide Formen sind in N mit dem Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung a¨quivalent. Satz 5. Sind a, b, c ∈ N, gilt ggT(a, c) = 1 und ist c Teiler von ab, so ist c Teiler von b. Beweis. Nach VII.24 kann c zu b nicht teilerfremd sein, es sei denn es ist c = 1. Dann ist c aber Teiler von b. Setze k := ggT(b, c). Dann ist kc teilerfremd zu a und zu kb und damit auch teilerfremd zu a kb . Andererseits ist kc Teiler von a kb . Folglich ist kc = 1, dh., c = k, so dass c Teiler von b ist. VII.31. Ist a zusammengesetzt, so wird a von einer Primzahl gemessen. Beweis. Es sei a = bc mit Zahlen b und c. Dann ist insbesondere 1 < b < a. Ist b eine Primzahl, so sind wir fertig, andernfalls f¨ uhrt Induktion zum Ziele. Der Leser wird keine M¨ uhe haben sich zu u ¨ berlegen, wie Euklid argumentiert, der ja keine Induktion kennt. Wir h¨ atten VII.31 ausgelassen und gleich VII.32 bewiesen. VII.32. Jede Zahl ist entweder eine Primzahl oder wird von einer Primzahl gemessen. Beweis. Folgt unmittelbar aus VII.31. Nun folgt wieder einmal eine Aufgabe. VII.33. Zu beliebig vielen gegebenen Zahlen die kleinsten von denen zu finden, die das gleiche Verh¨ altnis haben wie sie. Konstruktion. Die gegebenen Zahlen seien a1 , . . . , an . Konstruiere gem¨ aß VII.3 d := ggT(a1 , . . . , an ) und setze bi := ai d−1 . Dann gilt nach VII.17 ai : ai+1 = bi : bi+1 f¨ ur alle in Frage kommenden i. Es seien c1 , . . . , cn weitere Zahlen mit ai : ai+1 = ci : ci+1 f¨ ur alle i < n. Ferner seien die ci kleinstm¨oglich. Dann gilt, was von

2. Teilbarkeit

195

ur alle Euklid nicht bewiesen wird, wie vor VII.20 erw¨ ahnt wurde, dass ci ≤ bi ist f¨ i. Mit VII.13 folgt ai : ci = ai+1 : ci+1 . ur alle u. Ferner sei au = nu eu und cu = mu eu f¨ ur alle u. Setze eu := ggT(au , cu ) f¨ Dann ist ggT(mu , nu ) = 1 f¨ ur alle u. Nun ist a1 : c1 = ai : ci f¨ ur alle i. Mit VII.19 folgt n 1 e 1 m i e i = a 1 ci = c1 a i = m 1 e 1 n i e i und weiter n 1 mi = m1 n i . Wegen ggT(n1 , m1 ) = 1 = ggT(ni , mi ) ist n1 nach Satz 5 Teiler von ni und mi Teiler von m1 . Es folgt n1 = ni und m1 = mi f¨ ur alle i. Im Folgenden schreiben wir m bzw. n f¨ ur m1 und n1 . Es folgt ei : ei+1 = nei : nei+1 = ai : ai+1 f¨ ur alle i. Wegen der Minimalit¨ at der ci und wegen ei ≤ ci ist daher ei = ci und somit m = 1 und folglich ai = nci f¨ ur alle i. Hieraus folgt, dass n ein Teiler von d ist. Also ist bi = ai d−1 ≤ ai n−1 = ci . Folglich ist bi = ci f¨ ur alle i. Damit ist die verlangte Konstruktion durchgef¨ uhrt. VII.34. Zu zwei gegebenen Zahlen die kleinste zu finden, die von ihnen gemessen wird. Konstruktion. Hier geht es also um die Konstruktion des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von zwei Zahlen a und b. Euklid unterscheidet wegen der Sonderrolle der Eins die beiden F¨ alle, wo a und b teilerfremd bzw. nicht teilerfremd sind. Wir behandeln hier beide F¨ alle zusammen. Es seien e und f die kleinsten unter den Zahlen, die das gleiche Verh¨ altnis haben wie a und b. Dann sind e und f , wie gezeigt, teilerfremd. Wegen a : b = e : f ist af = eb, so dass af ein gemeinsames Vielfache von a und b ist. Es sei d eine Zahl — hier weichen wir von Euklid ab, der voraussetzt, dass d kleiner als af ist —, die von a und b gemessen wird. Es sei d = ga und d = hb. Es folgt ga = hb und damit a : b = h : g. Nach Fr¨ uherem folgt, dass h ein Vielfaches von e und g ein Vielfaches von f ist. Also ist f a ein Teiler von ga = d. Damit ist gezeigt, dass f a = eb das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b ist. Gezeigt ist aber auch die G¨ ultigkeit von VII.35. Wenn zwei Zahlen irgendeine Zahl messen, muss auch die kleinste von ihnen gemessene Zahl dieselbe messen. VII.36. Zu drei gegebenen Zahlen die keinste Zahl zu finden, die von ihnen gemessen wird.

196

Kapitel II. Zahlen

¨ Es bleibe dem Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen zu zeigen, dass

 kgV(a, b, c) = kgV kgV(a, b), c ist. Dies ist das, was Euklid nachweist. Die letzten drei Propositionen des siebten Buches sind nach unseren Begriffen u ¨ berfl¨ ussig. F¨ ur Euklid sind sie es nicht, da er die Multiplikation von c mit b stets als c  bi i:=1

mit bi = b f¨ ur alle i interpretiert. Wir haben daf¨ ur cb geschrieben und dann die Aussage von VII.16 als cb = bc interpretiert, w¨ ahrend Euklids Formulierung, modern interpretiert, eine Stufe darunter bleibend c  i:=1

bi =

b 

ci

i:=1

lautet. VII.37 etwa lautet nun: Ist b ein Teil von a, so enth¨ alt a einen Teil c mit ¨ a = bc. Wir brauchen dar¨ uber kein Wort mehr zu verlieren. Ahnlich VII.38 und VII.39. 3. Rationale Gr¨ oßenbereiche. Im letzten Abschnitt haben wir den Gr¨ oßenbereich der nat¨ urlichen Zahlen gem¨ aß Buch VII der Elemente Euklids untersucht. Dieser Gr¨oßenbereich zeichnet sich dadurch aus, dass je zwei Gr¨oßen kommensurabel sind. Mathematiker von heute fragen dann nat¨ urlich sofort, ob man alle Gr¨ oßenbereiche dieser Art beschreiben kann. Man kann dies in der Tat, wie wir nun sehen werden. Zun¨ achst aber wollen wir mit Hilfe der Entwicklungen des Abschnitts 2 eine Konstruktion f¨ ur Q+ angeben. Wir haben zwar Q+ schon ausgiebigst in Kapitel 1 benutzt, doch die Entwicklungen von Abschnitt 2 sind von denen des ersten Kapitels unabh¨ angig, so dass wir keinen Zirkelschluß machen. ¨ a : b mit a, b ∈ N der Als Elemente von Q+ nehmen wir die Aquivalenzklassen ¨ Aquivalenzrelation des In-Proportion-stehens. Wir definieren eine Addition und eine Multiplikation auf Q+ durch (a : b) + (c : d) := (ad + bc) : bd und (a : b)(c : d) := (ac) : (bd). Wir m¨ ussen nun zeigen, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Dazu sei a : b = a : b und c : d = c : d . Nach VII.19 von Abschnitt 2 gilt dann ab = ba und cd = dc . Es folgt (ad + bc)b d = ab dd + bcd b = a bdd + bc db = (a d + b c )bd,

3. Rationale Gr¨ oßenbereiche

197

so dass nach VII.19 von Abschnitt 2 die Gleichung (a : b) + (c : d) = (ad + bc) : bd = (a d + b c ) : b c = (a : b ) + (c : d ) gilt. Die Addition ist also wohldefiniert. Was die Multiplikation anbelangt, so gilt acb d = ab cd = a bc d = a c bd, so dass auch (a : b)(c : d) = ac : bd = a c : b d = (a : b )(c : d ) gilt. Nun m¨ ußte man nachrechnen, dass Addition und Multiplikation assoziativ uglich der und kommutativ sind, dass die Distributivgesetze gelten, dass Q+ bez¨ Multiplikation eine Gruppe ist und dass f¨ ur die Addition die K¨ urzungsregel gilt. ¨ Der Leser wird dies alles schon einmal als Ubungsaufgabe nachgerechnet haben. Wenn nicht, so sei er hiermit aufgefordert, dies nachzuholen. Sind a : b, c : d ∈ Q+ , so setzen wir a : b < c : d genau dann, wenn ad < bc ist. Hier ist zun¨achst wieder zu zeigen, dass dies von der Auswahl der Vertreter unabh¨ angig ist. Dazu sei a : b = a : b und c : d = c : d . Dann ist ab = a b und  cd = c d. Es folgt a d bc = a bcd = ab c d < bcb c und damit a d < b c . Dies zeigt die Wohldefiniertheit der Relation <. Es ist auch klar, dass nicht gleichzeitig a : b < c : d und c : d < a : b gelten kann. Um die Transitivit¨ at zu beweisen, sei a : b < c : d und c : d < e : f . Dann ist ad < bc und cf < ed. Es folgt af dc = adcf < bced = bedc und weiter af < be, so dass a : b < e : f ist. Sind a : b, c : d ∈ Q+ , so ist ad < bc oder ad = bc oder ad > bc und daher a : b < c : d oder a : b = c : d oder a : b > c : d. Damit ist gezeigt, dass < eine lineare Ordnung von Q+ ist. Es ist (a : b) + (c : d) = (ad + bc) : bd und abd < abd + b2 c = b(ad + bc). Daher ist a : b < (a : b) + (c : d). Ist andererseits a : b < e : f , so ist af < be. Setze c := be − af und d := bf . Es folgt mit den Entwicklungen des Abschnitts 2 (a : b) + (c : d) = (ad + bc) : bd = (af b + bc) : bd = (af + c) : d = be : bf = e : f.

198

Kapitel II. Zahlen

Damit ist gezeigt, dass f¨ ur x, y ∈ Q+ genau dann y < x gilt, wenn es ein z ∈ Q+ gibt mit x = y + z. Hieraus folgt dann wiederum sehr einfach, dass < mit der Addition und der Multiplikation vertr¨ aglich ist. Hier noch eine Definition. Der Halbring (H, +, ·) heißt Halbk¨ orper , falls (H − {0}, ·) eine Gruppe ist. (Halbringe brauchen keine Null zu haben.) Mit dieser Definition sind wir in der Lage, den folgenden Satz zu formulieren, der die zuvor gemachten Bemerkungen zusammenfasst. uhrten Addition und Multiplikation ein HalbSatz 1. Q+ ist mit der soeben eingef¨ k¨ orper und < ist eine mit der Addition und Multiplikation vertr¨ agliche lineare Ordnung von Q+ . Satz 2. Definiere die Abbildung ψ von N in Q+ durch ψ(n) := n : 1. Dann ist ψ ein Monomorphismus von N in Q+ . Beweis. Genau dann ist ψ(m) = ψ(n), wenn m : 1 = n : 1 ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn m1 = n1, dh., wenn m = n ist. Somit ist ψ injektiv. Es ist ψ(m) + ψ(n) = (m : 1) + (n : 1) = (m + n) : 1 = ψ(m + n) und ψ(m)ψ(n) = (m : 1)(n : 1) = (mn) : 1 = ψ(mn). Aus m = n + p folgt ψ(m) = ψ(n) + ψ(p), so dass n < m die Ungleichung ψ(n) < ψ(m) nach sich zieht. Damit ist ψ als Monomorphismus erkannt. Satz 3. Ist a : b ∈ Q+ und n ∈ N, so ist n(a : b) = na : b = (n : 1)(a : b).

Beweis. Die zweite Gleichung ist Folge der Definition der Multiplikation in Q+ . Wegen 1(a : b) = a : b = 1a : b und

 n(a : b) = (n − 1)(a : b) + (a : b) = (n − 1)a : b + (a : b)



 = (n − 1)ab + ab : b2 = (n − 1)a + a : b = na : b

gilt auch die erste Gleichung. Aufgrund von Satz 2 d¨ urfen wir n : 1 mit n identifizieren und Satz 3 besagt, dass die beiden m¨ oglichen Interpretationen von n(a : b) das gleiche Ergebnis liefern. Satz 4. (Q+ , +, <) ist ein Gr¨ oßenbereich, in dem je zwei Elemente kommensurabel sind.

3. Rationale Gr¨ oßenbereiche

199

oßenbereich ist. Dazu ist nur noch Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass Q+ ein Gr¨ zu zeigen, dass Q+ archimedisch ist. Es seien a : b, c : d ∈ Q+ . Es gibt dann ein n ∈ N mit nad > bc. Also ist n(a : b) = na : b > c : d. oßenbereich. Also ist Q+ in der Tat archimedisch und folglich ein Gr¨ Um zu zeigen, dass je zwei Elemente aus Q+ kommensurabel sind, seien a : b, urfen wir annehmen, dass c : d ∈ Q+ . Wegen a : b = ad : bd und c : d = cb : db d¨ b = d ist. Setze e := ggT(a, c). Es gibt dann u, v ∈ N mit a = ue und c = ve. Es folgt a : b = ue : b = u(e : b) und c : b = ve : b = v(e : b). Somit ist e : b ein gemeinsames Maß von a : b und c : b. Damit ist Satz 4 bewiesen. Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass es gleichg¨ ultig ist, welche der beiden Definitionen des Im-gleichen-Verh¨ altnis-stehens wir der Theorie zugrunde legen, wenn wir Verh¨ altnisse in N betrachten. Wir werden daher f¨ ur den n¨ achsten Satz und seinen Beweis die Definition V.5 zugrunde legen. Hier zeigt sich wieder, wie genial die eudoxische Definition getroffen ist, da sie Verh¨altnisgleichheit auch f¨ ur Paare von Elementen aus unterschiedlichen Gr¨ oßenbereichen definiert. Satz 5. F¨ ur a : b, c : d ∈ Q+ gilt (a : b) : (c : d) = ad : bc. Beweis. Es seien m, n ∈ N. Ferner sei m(a : b) > n(c : d). Nach Satz 3 ist dann ma : b > nc : d. Es folgt mad > nbc. Ebenso folgt aus m(a : b) = n(c : d) die Gleichung mad = nbc und aus der Ungleichung m(a : b) < n(c : d) die Ungleichung mad < nbc. Also ist in der Tat (a : b) : (c : d) = ad : bc. Satz 5 zeigt, dass wir Verh¨altnisse rationaler Zahlen als rationale Zahl auffassen d¨ urfen und dass wir andererseits auch jede rationale Zahl als Verh¨ altnis ansehen k¨ onnen, da ja a : b = (a : b) : (1 : 1) oder auch a : b = (a : 1) : (b : 1) ist. Diese Identifizierung wurde auch schon von Fibonacci vorgenommen, ohne dass er eine Begr¨ undung gab. F¨ ur ihn sind Verh¨ altnisse rationaler Zahlen rationale Zahlen und jede rationale Zahl ist auch ein Verh¨ altnis (Boncompagni 1857, S. 170. Siehe hierzu auch L¨ uneburg 1994). Satz 5 zeigt weiter, dass (a : b) : (c : d) =

a:b c:d

ist. Man darf hier also den Doppelpunkt als Zeichen f¨ ur die Division auffassen. Mit b = c = 1 und unserer Konvention, a : 1 mit a zu identifizieren, erh¨alt man weiter a a:b= . b

200

Kapitel II. Zahlen

Aus all dem folgt schließlich, dass auch f¨ ur rationale Zahlen u, v, x und y genau dann u : v = x : y gilt, wenn uy = vx ist. Satz 6. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich und x, y ∈ P . Genau dann sind x und y kommensurabel, wenn es m, n ∈ N gibt mit mx = ny. Ist mx = ny, so ist x : y = n : m. Beweis. Es seien x und y kommensurabel. Es gibt dann ein e ∈ P und m, n ∈ N mit x = ne und y = me. Es folgt mx = mne = nme = ny. Es seien umgekehrt m, n ∈ N und es gelte mx = ny. Wir d¨ urfen annehmen, dass ggT(m, n) = 1 ist. Nach der bachetschen Aufgabe aus Abschnitt 2 gibt es i, j ∈ N mit i < n und j < m sowie mi = nj + 1. Es folgt niy = mix = njx + x und daher, da offenbar iy > jx ist, x = n(iy − jx) mit iy − jx ∈ P . Ferner ist m(n − i) + 1 = mn − mi + 1 = mn − nj − 1 + 1 = n(m − j). Es folgt m(m − j)x = n(m − j)y = m(n − i)y + y und weiter y = m(mx − jx − ny + iy) = m(iy − jx). Also ist iy−jx ein gemeinsamer Teiler von x und y, so dass x und y kommensurabel sind. Es sei mx = ny. Ferner seien a, b ∈ N. Ist ax > by, so folgt any = amx > bmy und daher an > bm. Ebenso folgt aus ax = by, dass an = bm, und aus ax < by, dass an < bm ist. Also ist in der Tat x : y = n : m. Damit ist auch Proposition X.5 bewiesen, dass n¨amlich kommensurable Gr¨ oßen ein Verh¨altnis haben wie Zahl zu Zahl. Dies ist der einfachere Teil von Satz 6, zu dessen Beweis das bachetsche Resultat nicht ben¨ otigt wird. Diese Proposition spielt beim Beweise von X.115a eine maßgebliche Rolle, wie wir zu Beginn des ersten Kapitels sahen. Es sei P eine nicht leere Teilmenge von Q+ . Gilt f¨ ur x, y ∈ P stets x + y ∈ P und im Falle x > y auch x − y ∈ P , so ist P mit der von Q+ ererbten Addition,

3. Rationale Gr¨ oßenbereiche

201

partiellen Subtraktion und Anordnung ein Gr¨ oßenbereich. Um diesen Sachverhalt oßenbereich. zu beschreiben, sagen wir, P sei ein in Q+ enthaltener Gr¨ oßenbereich, so sind je zwei Elemente aus Satz 7. Ist P ein in Q+ enthaltener Gr¨ P kommensurabel. Beweis. Sind x, y ∈ P , so gibt es wegen P ⊆ Q+ nach Satz 4 und Satz 6 nat¨ urliche Zahlen m und n mit mx = ny. Nun ist aber mx, ny ∈ P , so dass aus Satz 6 die Behauptung folgt. Ist P ein Gr¨ oßenbereich, in dem je zwei Gr¨oßen kommensurabel sind, so nennen wir P rational . Der n¨ achste Satz sagt, dass es zu jedem rationalen Gr¨oßenbereich eine isomorphe Kopie in Q+ gibt. Satz 8. Es sei P ein rationaler Gr¨ oßenbereich. Ferner sei e ∈ P . F¨ ur a ∈ P gibt es dann m, n ∈ N mit na = me. Setzt man f (a) := m : n, ¨ gilt f (e) = 1. so ist f ein Monomorphismus von P in Q+ . Uberdies Beweis. Die Existenz von m und n folgt aus Satz 6. Ist u ¨ berdies n a = m e, so ist ebenfalls nach Satz 6 m : n = a : e = m : n, so dass f wohldefiniert ist. Ist f (a) = f (b), so ist a : e = b : e und daher a = b, so dass f injektiv ist. Um die Additivit¨at von f zu beweisen, seien a, b ∈ P . Es gibt m, m , n, n ∈ N mit na = me und n b = m e. Es folgt nn (a + b) = (mn + m n)e und damit f (a + b) = (mn + m n) : nn = (m : n) + (m : n ) = f (a) + f (b). Aus der Additivit¨ at folgt, wie schon verschiedentlich bemerkt, die Ordnungstreue. Damit ist f als Monomorphismus erkannt. Schließlich ist f (e) = 1 : 1 = 1. Damit ist alles bewiesen. Wenn es darum geht, die Isomorphietypen von rationalen Gr¨ oßenbereichen zu bestimmen, so gen¨ ugt es nach diesem Satz und Satz 7, die in Q+ enthaltenen Gr¨ oßenbereiche zu studieren, die die Eins enthalten. oßenbereich mit 1 ∈ P . Ist dann Satz 9. Es sei P ein in Q+ enthaltener Gr¨ und ggT(m, n) = 1, so ist n1 ∈ P .

m n

∈P

202

Kapitel II. Zahlen

Beweis. Nach der bachetschen Aufgabe gibt es i, j ∈ N mit in = jm + 1. Es folgt i > j m n und damit in − jm m 1 = = i · 1 − j ∈ P. n n n Sind a, b ∈ N, so bezeichnen wir mit r(a, b) den gr¨ oßten zu b teilerfremden Teiler von a. Dieses Konzept wurde von O. Helmer (1943) bei seinen Untersuchungen u ¨ ber die smithsche Normalform u ¨ ber B´ezout-Bereichen eingef¨ uhrt und von mir dem algebraischen Rechnen zug¨ anglich gemacht (L¨ uneburg 1986, 1987, 1989a, 1993a). Es ist ein ¨außerst n¨ utzliches Konzept, das wir jedoch nur im Zusammenhang mit N untersuchen werden. Satz 10. Sind a, b ∈ N und ist g := ggT(a, b), so ist r(a, b) = r(ag −1 , g). Ist g = 1, so ist r(a, b) = r(a, 1) = a. Ist v ein zu b teilerfremder Teiler von a, so ist v Teiler von r(a, b). Beweis. Es ist a = cg mit c ∈ N. Setze s := r(a, b). Dann sind s und g teilerfremd, da g Teiler von b ist. Weil s Teiler von a ist, ist s folglich ein zu b und damit zu g teilerfremder Teiler von c = ag −1 . Es sei t ein zu g teilerfremder Teiler von c = ag −1 . Ferner sei b = dg. Weil c zu d teilerfremd ist, ist auch t zu d teilerfremd, so dass t zu d und g und damit nach VII.24 von Absschnitt 2 zu b teilerfremd ist. Daher ist t ≤ s, so dass s = r(ag −1 , g) ist. Die zweite Aussage ist banal. Es ist kgV(v, r(a, b)) Teiler von a und auch von vr(a, b). Nach VII.24 von Abschnitt 2 ist vr(a, b) zu b teilerfremd. Folglich ist auch kgV(v, r(a, b)) zu b teilerfremd. Also ist kgV(v, r(a, b)) ≤ r(a, b) und damit

 kgV v, r(a, b) = r(a, b). Dies hat zur Folge, dass v Teiler von r(a, b) ist. Der gerade bewiesene Satz bietet die M¨oglichkeit, r(a, b) zu berechnen, ohne die Primfaktorzerlegung von a und b zu benutzen. Darin liegt seine Bedeutung, die er an den n¨ achsten Satz weiterreicht, der es seinerseits gestattet, kgV(a, b) als Produkt AB  darzustellen mit teilerfremden A und B  , wobei A Teiler von a und B  Teiler von b ist, ohne die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen a und b zu benutzen. b a ) und B := r(b, ggT(a,b) ). Dann Satz 11. F¨ ur a, b ∈ N setzen wir A := r(a, ggT(a,b) gilt B A ) = 1 = ggT(B, ggT(A,B) ). a) ggT(A, ggT(A,B)

3. Rationale Gr¨ oßenbereiche

203

b) kgV(a, b) = kgV(A, B). a b a c) ggT( A , B ggT(A, B)) = 1 = ggT( Bb , A ggT(A, B)).

Beweis. Es ist

 ggT

a b , ggT(a, b) ggT(a, b)

a Teiler von a. Daher ist Außerdem ist ggT(a,b) Dies dr¨ ucken wir dadurch aus, dass wir

A ≡ 0 mod

 = 1.

a ggT(a,b)

nach Satz 10 Teiler von A.

a ggT(a, b)

a a ) = 1. Also ist auch ggT(A, B) zu ggT(a,b) teilschreiben. Nun ist ggT(B, ggT(a,b) erfremd. Somit gilt nach dem nach VII.30 von Abschnitt 2 formulierten Satz

a A ≡ 0 mod . ggT(A, B) ggT(a, b) Es folgt ggT(a, b)

A ≡ 0 mod a. ggT(A, B)

ggT(a, b)

B ≡ 0 mod b. ggT(A, B)

Analog erh¨ alt man

Nun zeigen wir, dass

  a b ggT , =1 A B

a . Einen solchen gibt es nach VII.32 von Abist. Dazu sei p ein Primteiler von A schnitt 2, wenn A < a ist. Nur in diesem Falle ist aber etwas zu beweisen. Es b b teilerfremd ist. Weil aber A zu ggT(a,b) ist pA > A, so dass pA nicht zu ggT(a,b) b teilerfremd ist, ist p Teiler von ggT(a,b) . W¨ are p auch ein Teiler von Bb , so folgte a genauso, dass p auch Teiler von ggT(a,b) w¨are. Folglich w¨ are p nach dem Zusatz zu VII.2 von Abschnitt 2 Teiler von   b a , ggT = 1. ggT(a, b) ggT(a, b)

Dieser Widerspruch zeigt, dass   a b , ggT =1 A B ist.

204

Kapitel II. Zahlen

Aufgrund des gerade Bewiesenen gibt es nach der bachetschen Aufgabe i, j ∈ N mit b a 1 = i − j. A B Es folgt, dass kgV(A, B) =

AB B A =a i−b j ggT(A, B) ggT(A, B) ggT(A, B)

ist. Wie schon gezeigt, ist ggT(a, b) Also ist erst recht b

A ≡ 0 mod a. ggT(A, B)

A ≡ 0 mod a. ggT(A, B)

Also ist kgV(A, B) ≡ 0 mod a. Ebenso folgt kgV(A, B) ≡ 0 mod b. Nach VII.35 von Abschnitt 2 ist folglich kgV(A, B) ≡ 0 mod kgV(a, b). Andererseits ist A Teiler von a und damit von kgV(a, b). Ebenso ist B Teiler von kgV(a, b). Nach VII.35 von Abschnitt 2 ist folglich kgV(A, B) Teiler von kgV(a, b). Also ist kgV(A, B) = kgV(a, b). Damit ist b) bewiesen. a b Teiler von ggT(a,b) und damit Wie oben bemerkt, ist jeder Primteiler von A kein Teiler von A. Folglich ist   a , ggT(A, B) = 1. ggT A Ferner gilt a b ggT( , ) = 1, A B wie wir schon gesehen haben. Nach VII.24 von Abschnitt 2 ist also   a b ggT , ggT(A, B) = 1. A B a Ebenso folgt ggT( Bb , A ggT(A, B)) = 1, so dass auch c) gilt.

3. Rationale Gr¨ oßenbereiche

205

Es bleibt a) zu beweisen. Nach b) ist ab AB = . ggT(A, B) ggT(a, b) Daher ist

Nun ist aber

 ggT A,

B ggT(A, B)

 ggT A,



b ggT(a, b)

 = ggT A,



 ab . AggT(a, b)

  a = 1 = ggT A, , A

ab ) = 1 und folglich so dass nach VII.24 von Abschnitt 2 gilt, dass ggT(A, AggT(a,b) auch   B ggT A, =1 ggT(A, B)

ist, da ja B ab = AggT(a, b) ggT(A, B) A ) = 1. Damit ist alles bewiesen. gilt. Ebenso folgt ggT(B, ggT(A,B)

Es sei P ein in Q+ enthaltener Gr¨ oßenbereich. Wir setzen N (P ) :=

n



n ∈ N, es gibt ein m ∈ N

mit ggT(m, n) = 1 und

 m ∈P . n

Satz 12. Ist P ein in Q+ enthaltener Gr¨ oßenbereich, so gilt: a) Es ist 1 ∈ N (P ). b) Ist n ∈ N (P ) und ist t Teiler von n, so ist t ∈ N (P ). c) Sind n, s ∈ N (P ), so ist kgV(n, s) ∈ N (P ). Beweis. a) Es ist N (P ) = ∅, so dass es ein n ∈ N (P ) gibt. Weil 1 Teiler von n ist, folgt a) aus b), was wir jetzt beweisen werden. b) Es gibt ein zu n teilerfremdes m mit m n ∈ P . Es sei n = st. Dann ist m m = s ∈ P. t n Weil t Teiler von n und weil n zu m teilerfremd ist, ist auch t zu m teilerfremd. Also ist t ∈ N (P ). Damit ist b) und dann auch a) bewiesen. c) Nach Satz 11 gibt es einen Teiler A von n und einen Teiler B von s mit B ggT(A, B) = 1 — es spielt B hier die Rolle, die ggT(A,B) in Satz 11 spielte —

206

Kapitel II. Zahlen

und AB = kgV(n, s). Nach b) gilt A, B ∈ N (P ). Es gibt also u, v ∈ N mit u v , B ∈ P . Es folgt ggT(u, A) = 1 = ggT(v, B) und A uB + vA u v = + ∈ P. AB A B Es sei p ein Primteiler von AB. Dann ist p Teiler von A oder von B. Wir d¨ urfen annehmen, dass p Teiler von A ist. Dann ist p kein Teiler von u und auch kein Teiler von B. Also ist p kein Teiler von uB. Weil p andererseits Teiler von vA ist, ist p kein Teiler von uB + vA, da p sonst uB teilte. Also ist AB zu uB + vA teilerfremd und daher AB ∈ N (P ). Satz 13. Es sei M eine Menge von nat¨ urlichen Zahlen und es gelte: a) M ist nicht leer. b) Ist n ∈ M und ist t Teiler von n, so ist t ∈ M . c) Sind n, s ∈ M , so ist kgV(n, s) ∈ M . Ist dann P die Menge aller m n mit m ∈ N und n ∈ M , so ist P ein in Q+ enthaltener Gr¨ oßenbereich mit 1 ∈ P und es gilt N (P ) = M . Beweis. Banal. Beispiele solcher Mengen M sind: Die Menge N aller nat¨ urlichen Zahlen. Die Menge aller Teiler einer gegebenen nat¨ urlichen Zahl. Die Menge aller quadratfreien Zahlen. Die Menge aller Potenzen einer Primzahl. Die vier hier angegebenen Beispiele definieren nicht isomorphe rationale Gr¨ oßenbereiche, wie Satz 17 zeigen wird. Satz 14. Es seien P und Q in Q+ enthaltene Gr¨ oßenbereiche und es gelte 1 ∈ P . Ist σ eine Isomorphismus von P auf Q, so ist σ(x) = xσ(1) f¨ ur alle x ∈ P . Beweis. Setze a := σ(1). Es sei n ∈ N (P ). Nach Satz 9 ist a = σ(1) = σ und damit σ( n1 ) = x= m n . Es folgt

1 n a.

1 n

∈ P . Es folgt

    n 1 = nσ n n

Ist nun x ∈ P , so gibt es ein m ∈ N und ein n ∈ N (P ) mit 

   m 1 m σ(x) = σ = mσ = a = xa. n n n

Satz 15. Es seien P und Q in Q+ enthaltene Gr¨ oßenbereiche und es gelte 1 ∈ P , Q. Ferner sei σ ein Isomorphismus von P auf Q. Schließlich sei σ(1) = α β und ggT(α, β) = 1. Dann ist N (Q) =



n

γ γ teilt β und n ∈ N (P ) . ggT(n, α)

3. Rationale Gr¨ oßenbereiche

207

Beweis. Es sei n ∈ N (P ) und β = δγ. Mit Satz 9 folgt

δ n

∈ P und weiter

α   ggT(n, α) δ δ α δα . σ = = = n n nβ n δγ γ ggT(α, n) Weil Nenner und Z¨ ahler des letzten Bruches teilerfremd sind, gilt n γ ∈ N (Q). ggT(α, n) Es sei umgekehrt v ∈ N (Q). Nach Satz 9 ist v1 ∈ Q. Es gibt ein m ∈ N und ein 1 n ∈ N (P ) mit ggT(m, n) = 1 und σ( m n ) = v . Es folgt 

1 m =σ v n

 =

mα = nβ

m α ggT(m, β) ggT(α, n) β n ggT(α, n) ggT(m, β)

.

Unter Benutzung von VII.26 von Abschnitt 2 sieht man, dass Z¨ ahler und Nenner des letzten Bruches teilerfremd sind. Br¨ uche mit nat¨ urlichen Zahlen als Nenner und Z¨ ahler sind aber Verh¨ altnisse nat¨ urlicher Zahlen. Nach VII.21 von Abschnitt 2 ist daher α m 1= ggT(m, β) ggT(α, n) und v=

β n . ggT(α, n) ggT(m, β)

Aus der ersten Gleichung folgt unter anderem m = ggT(m, β), so dass β = mγ ist mit einem γ ∈ N. Also ist n γ. v= ggT(α, n) Damit ist Satz 15 bewiesen. In Abschnitt 2 haben wir gesehen, dass jede von 1 verschiedene nat¨ urliche Zahl durch eine Primzahl teilbar ist. Dies impliziert, dass jede nat¨ urliche Zahl Produkt von Primzahlen ist. Dass diese Zerlegung in Primzahlen eindeutig ist, haben wir noch nicht bewiesen. Dies folgt durch eine einfache Induktion aus VII.30. Darauf werden wir sp¨ ater noch zur¨ uckkommen. Im Folgenden machen wir von dem Satz u ¨ ber die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer nat¨ urlichen Zahl Gebrauch. Der Leser, dem das nicht gef¨allt, ist eingeladen, diesen Satz hier zun¨achst zu beweisen.

208

Kapitel II. Zahlen

Es sei P ein rationaler Gr¨ oßenbereich. Ist p eine Primzahl, so setzen wir   E(p) := n | n ∈ N0 , pn ∈ N (P ) . Nach Satz 12 a) ist 1 ∈ N (P ) und daher 0 ∈ E(p) f¨ ur alle Primzahlen p. Wir definieren nun fP wie folgt: Ist E(p) nicht beschr¨ ankt, so setzen wir fP (p) := ∞. Ist E(p) beschr¨ankt, so setzen wir

 fP (p) := max E(p) . Ist N (P ) = N, so ist fP (p) = ∞ f¨ ur alle Primzahlen p. Ist N (P ) die Menge der quadratfreien Zahlen, so ist fP (p) = 1 f¨ ur alle Primzahlen p. Ist N (P ) die Menge der Teiler von n, so ist  pfP (p) . n= p

Ist N (P ) die Menge der Potenzen der Primzahl p, so ist fP (p) = ∞ und fP (q) = 0 f¨ ur alle von p verschiedenen Primzahlen q. amlich Die  Funktion fP beschreibt ihrerseits die Menge N (P ) vollst¨andig. Ist n¨ ur endlich viele Primzahlen von Null verschieden ist, n = p pe(p) , wobei e(p) nur f¨ so ist genau dann n ∈ N (P ), wenn e(p) ≤ fP (p) ist f¨ ur alle p. Ist a ∈ N und ist p eine Primzahl, so sei fa (p) dadurch definiert, dass pfa (p) die h¨ ochste Potenz von p ist, die a teilt. Dann ist also fa (p) ∈ N0 f¨ ur alle Primzahlen p. Satz 16. Es seien P und Q in Q+ enthaltene Gr¨ oßenbereiche und es gelte 1 ∈ P , Q. Ferner sei σ ein Isomorphismus von P auf Q. Ist σ(1) = α β mit teilerfremden α und β, so ist fQ (p) = fP (p) − fα (p) + fβ (p) f¨ ur alle Primzahlen p. Dabei ist fP (p) − fα (p) + fβ (p) als ∞ zu interpretieren, falls fP (p) = ∞ ist. Ist fα (p) = 0, so ist fβ (p) = 0, und ist fβ (p) = 0, so ist fα (p) = 0. Beweis. Die letzte Aussage folgt aus der Teilerfremdheit von α und β. β −1 Wegen σ(1) = α (y) = y α f¨ ur alle y ∈ β ist β ∈ N (Q). Mit Satz 14 folgt σ ur alle Q. Mit y = 1 folgt daher α ∈ N (P ). Insbesondere ist fα (p) ≤ fP (p) f¨ Primzahlen p. Es sei p eine Primzahl und es sei n eine nat¨ urliche Zahl mit n ≤ fQ (p). Ferner teile p weder α noch β. Es gibt dann nach Satz 15 ein m ∈ N (P ) und einen Teiler γ von β mit m γ. pn = ggT(m, α)

3. Rationale Gr¨ oßenbereiche

209

Weil p kein Teiler von β ist, folgt γ = 1, so dass pn als Teiler von m nach Satz 12 β b) in N (P ) liegt. Also ist fQ (p) ≤ fP (p). Weil σ −1 durch α vermittelt wird, gilt auch fP (p) ≤ fQ (p) und damit fQ (p) = fP (p) = fP (p) − fα (p) + fβ (p). Es sei p Teiler von α. Ferner sei n ∈ N0 und n ≤ fP (p) − fα (p). Dann ist m := pn+fα (p) ∈ N (P ) und folglich pn =

m ∈ N (Q). ggT(m, α)

Folglich ist fP (p) − fα (p) ≤ fQ (p). Es sei umgekehrt n ≤ fQ (p). Weil p kein Teiler von β ist, gibt es ein m ∈ N mit pn =

m . ggT(m, α)

Es folgt, dass m durch pn+k teilbar ist, wobei k dadurch definiert sei, dass dies die h¨ ochste Potenz von p ist, die m teilt. Dann muss, wenn n > 0 ist, was wir annehmen d¨ urfen, k = fα (p) sein, da andernfalls ggT(m, α) durch pk+1 teilbar w¨are, was nicht geht. Also ist fQ (p) ≤ fP (p) − fα (p). Es folgt fQ (p) = fP (p) − fα (p) = fP (p) − fα (p) + fβ (p). Ist schließlich p Teiler von β, so erh¨ alt man, indem man die Rollen von P und Q vertauscht, fP (p) = fQ (p) − fβ (p) und damit fQ (p) = fP (p) + fβ (p) = fP (p) − fα (p) + fβ (p). Satz 17. Es seien P und Q in Q+ enthaltene Gr¨ oßenbereiche und es gelte 1 ∈ P , ur die fP (p), fQ (p) = ∞ und Q. Ferner sei IP,Q die Menge der Primzahlen p, f¨ fP (p) = fQ (p) gelten, und VP,Q sei die Menge der Primzahlen p mit fP (p) = fQ (p). Genau dann sind P und Q isomorph, wenn IP,Q endlich ist und VP,Q = IP,Q gilt. Beweis. Es sei σ ein Isomorphismus von P auf Q. Ferner sei σ(1) = α β mit ggT(α, β) = 1. Nach Satz 16 ist dann fQ (p) = fP (p) − fα (p) + fβ (p) f¨ ur alle Primzahlen p. Weil α und β nur endliche viele Primteiler haben, folgt, dass IP,Q endlich ist. Außerdem kann fQ (p) = fP (p) nur dann gelten, wenn beide Werte in N liegen. Also ist VP,Q = IP,Q .

210

Kapitel II. Zahlen

ur die Primzahl Es sei IP,Q endlich und es gelte VP,Q = IP,Q . Wir definieren a(p) f¨ p wie folgt: Ist p ∈ IP,Q und ist fQ (p) < fP (p), so setzen wir a(p) := fP (p) − fQ (p). In allen andern F¨ allen setzen wir a(p) := 0. Ferner definieren wir b(p) auf folgende Weise: Ist p ∈ IP,Q und ist fP (p) < fQ (p), so setzen wir b(p) := fQ (p) − fP (p). In allen anderen F¨ allen setzen wir b(p) := 0. Mittels a und b definieren wir α und β verm¨oge  α := pa(p) p

und β :=



pb(p) ,

p

wobei die Produkte u ¨ ber alle Primzahlen zu erstrecken sind. Weil IP,Q endlich ist, sind α und β nat¨ urliche Zahlen, die aufgrund ihrer Definition teilerfremd sind. Wir definieren einen Monomorphismus σ von P in Q+ durch α σ(x) := x . β Setze Q := σ(P ). Es ist a(p) ≤ fP (p) f¨ ur alle p. Daher ist α ∈ N (P ). Nach Satz 9 ist folglich α1 β und damit α ∈ P . Also ist 1 ∈ Q . Nach Satz 16 und aufgrund der Voraussetzung VP,Q = IP,Q ist dann fQ (p) = fP (p) − fα (p) + fβ (p) = fQ (p) f¨ ur alle Primzahlen p. Es folgt N (Q ) = N (Q). Wegen 1 ∈ Q gilt nach Satz 9, ur alle n ∈ N (Q). Also ist dass n1 ∈ Q ist f¨ 

Q =



m n



m ∈ N und n ∈ N (Q) = Q,

so dass σ ein Isomorphismus von P auf Q ist. Damit ist Satz 17 bewiesen. Aus dem gerade bewiesenen Satz folgt unmittelbar, dass P zu N isomorph ist, falls N (P ) gerade aus den Teilern einer nat¨ urlichen Zahl besteht. Jeder Automorphismus eines in Q+ enthaltenen Gr¨ oßenbereichs P , der die Eins enth¨ alt, wird ebenfalls durch Multiplikation mit einer rationalen Zahl α β realisiert. Daf¨ ur gilt dann fP (p) = fP (p) − fα (p) + fβ (p)

4. Geometrische Reihen

211

f¨ ur alle Primzahlen p. Dies zeigt, dass α und β nur durch solche Primzahlen p teilbar sind, f¨ ur die fP (p) = ∞ ist. Sind umgekehrt α und β teilerfremde Zahlen, die nur durch Primzahlen p teilbar sind, f¨ ur die fP (p) = ∞ ist, so ist die durch σ(x) := x αβ definierte Abbildung σ ein Automorphismus von P . ¨ Hier noch einige Kommentare. Die Aquivalenzrelation ∼, die wir in Satz 8 aus Kapitel 1, Abschnitt 6 f¨ ur Halbringe definierten, h¨ angt nur von der Addition ab. Dass sie auch mit der Multiplikation vertr¨ aglich ist, ist eine willkommene Dreingabe. Verzichtet man auf die Multiplikation, so kann man diese Konstruktion f¨ ur beliebige Gr¨ oßenbereiche P durchf¨ uhren. Man erh¨ alt auf diese Weise eine Gruppe G(P ), von der man annehmen darf, dass P ein Teil von G(P ) ist. Auf Grund der Konstruktion von G(P ) l¨ asst sich dann jedes g ∈ G als Differenz g = a − b mit a, b ∈ P darstellen. Sind g, h ∈ G(P ) und setzt man h < g genau dann, wenn g − h ∈ P ist, so ist (G(P ), +, <) eine archimedisch angeordnete Gruppe. ¨ Uberdies erh¨alt man jede archimedisch angeordnete Gruppe auf diese Weise. Der Gr¨ oßenbereich P ist genau dann rational, wenn G(P ) lokal zyklisch, dh., wenn jede endlich erzeugte Untergruppe von G(P ) zyklisch ist. Eine torsionsfreie abelsche Gruppe G heißt Rang-1-Gruppe, wenn es zu a, b ∈ G − {0} stets m, n ∈ Z − {0} gibt mit ma + nb = 0. W¨ ahlt man e ∈ G − {0}, so gibt es zu jedem a ∈ G Zahlen m, n ∈ Z mit n = 0 und na = me. Definiert man σ(a) durch σ(a) := m n (s. Satz 8), so wird σ zu einem Monomorphismus von G in die additive Gruppe von Q. Es folgt, dass G archimedisch ist, und mit Satz 7 folgt ¨ weiter, dass G lokal zyklisch ist. Satz 17 gibt daher auch einen Uberblick u ¨ ber alle Isomorphietypen von torsionsfreien abelschen Rang-1-Gruppen. Die entsprechende Aussage findet sich bei Baer 1937, Theorem 2.8. Der Monomorphismus σ findet sich ebenfalls in der baerschen Arbeit. Dass die additive Gruppe der rationalen Zahlen lokal zyklisch ist, steht schon in dem von Dedekind stammenden Supplementum XI von Dirichlet 1893, §172, S. 515. In den ersten drei Auflagen habe ich diesen Satz vergeblich gesucht (Dirichlet 1863, 1871, 1879). Die Mengen M von nat¨ urlichen Zahlen mit den Eigenschaften a) M ist nicht leer, b) Ist n ∈ M und ist t Teiler von n, so ist t ∈ M , c) Sind n, s ∈ M , so ist kgV(n, s) ∈ M , wurden schon von Steinitz (1910, S. 249ff.) untersucht. Er benutzte sie zur Beschreibung der algebraischen Erweiterungen von GF(p). In L¨ uneburg 1979 wurden sie dar¨ uberhinaus auch benutzt, um die Teilk¨ orper der maximalen abelschen Erorpern weiterung Qab von Q zu beschreiben, die Vereinigung von Kreisteilungsk¨ sind. Die Beschreibung dieser Mengen M durch die Abbildungen f der Menge der Primzahlen in N0 ∪{∞} stammt ebenfalls aus der großen und bedeutenden Arbeit von Steinitz aus dem Jahre 1910, mit der wir uns noch ausf¨ uhrlich zu besch¨aftigen haben werden. 4. Geometrische Reihen. Der Begriff der geometrischen Reihe ist uns bei den neperschen Logarithmen schon einmal begegnet. Hier m¨ochte ich nun berichten,

212

Kapitel II. Zahlen

was Euklid dazu schreibt. Dazu ist zun¨ achst zu sagen, dass laut Thaer dieser Begriff in der Antike nicht vorkommt (Euklid 1980, S. 443). Im griechischen Original der Elemente st¨ unde der Reihe nach in Proportion stehend“. Wir definieren ” hier formal: Eine Folge g von (nat¨ urlichen) Zahlen heißt geometrische Reihe, falls gi : gi+1 = g1 : g2 ist f¨ ur alle in Frage kommenden i. Fibonacci nennt solche Zahlen als in stetiger Proportion stehend: Est enim quedam alia proportio, que vocatur continua, in qua omnes numeri sunt in una, et eadem per ordinem ad inuicem proportione, uidelicet sicut primus numerus est ad secundum, ita secundus ad tertium, et tertius ad quartum, et quartus ad quintum; et deinceps per ordinem est unusquisque ad unumquemque (Boncompagni 1857, S. 171). Im Mittelalter sp¨ atestens hatten solche Folgen also einen Namen. Von geometrischen Reihen nun handelt Buch VIII und zum Teil auch noch Buch IX der Elemente Euklids. VIII.1. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe und sind dabei die a ¨ußeren Glieder gegeneinander prim, so sind sie unter denen, die dasselbe Verh¨ altnis haben wie sie, die kleinsten. Beweis. Es seien g1 , . . . , gn+1 Zahlen einer geometrischen Reihe und es gelte ggT(g1 , gn+1 ) = 1. Es sei h1 , . . . , hn+1 eine zweite geometrische Reihe und es ur i := 1, . . . , n. Nach VII.14 von Abschnitt 2 gelte gi : gi+1 = hi : hi+1 f¨ ist g1 : gn+1 = h1 : hn+1 . Nach VII.20 von Abschnitt 2 gibt es ein m ∈ N mit h1 = mg1 und hn+1 = mgn+1 . Euklid erh¨ alt hier einen Widerspruch, da er ur alle i. Dass er diese Annahme machen darf, angenommen hat, dass hi < gi ist f¨ begr¨ undet er nicht. Dazu bedarf es der Induktion, der wir uns nun bedienen. Es sei 1 ≤ i ≤ n und es gelte hi = mgi . Dann ist mgi : mgi+1 = gi : gi+1 = hi : hi+1 = mgi : hi+1 und daher mgi+1 = hi+1 . Damit ist alles und noch ein bisschen mehr bewiesen. Das Mehr notieren wir als Korollar. Es seien g und h geometrische Reihen auf N und es sei ggT(g1 , gn+1 ) = ur ein und damit f¨ ur alle i. Dann gibt es ein m ∈ N 1 sowie gi : gi+1 = hi : hi+1 f¨ mit hi = mgi f¨ ur alle i. Als N¨achstes folgt wieder eine Aufgabe. Es w¨ are geschickter gewesen, die Folge α, die konstruiert wird und die die Aufgabe l¨ ost, in einen Satz aufzunehmen, da sie sp¨ater immer wieder in Beweisen benutzt wird. So muss man stets auf die Konstruktion verweisen. Der Leser pr¨age sie sich also gut ein. VIII.2. Kleinste Zahlen in geometrischer Reihe in gegebenem Verh¨ altnis zu finden, soviele verlangt werden. Konstruktion. Der Zusatz soviele verlangt werden“ zeigt, dass es darum geht, ” eine endliche geometrische Reihe zu finden. Mehr kann man auch bei beliebig gegebenem Verh¨altnis nicht erwarten, wie die sp¨ateren Entwicklungen zeigen werden.

4. Geometrische Reihen

213

Das gegebene Verh¨altnis sei, in kleinsten Zahlen, a : b. Wir setzen αi := an−i+1 bi−1 . f¨ ur i := 1, . . . , n + 1. Mit VII.17 von Abschnitt 2 folgt αi : αi+1 = an−i+1 bi−1 : an−i bi = a : b. Nach VII.22 von Abschnitt 2 gilt ggT(a, b) = 1, so dass aus VII.27 von Abschnit 2 die Teilerfremdheit von an und bn folgt. Nach VIII.1 ist somit die Folge α minimal. Daher leistet α das Verlangte. Euklid f¨ uhrt diese Konstruktion f¨ ur n = 3 und n = 2 — in dieser Reihenfolge — vor. Dem Leser sollte dann klar sein, wie er in anderen F¨allen vorzugehen hat. Euklid f¨ ugt aber noch ein Korollar hinzu, das sehr wichtig ist. Zusatz. Hiernach ist klar, dass, wenn drei Zahlen in geometrischer Reihe unter denen, die dasselbe Verh¨ altnis haben wie sie, die kleinsten sind, dann die ¨ außeren Glieder Quadratzahlen sind, und wenn vier, dann Kubikzahlen. — Wir f¨ ugen hinzu: Wenn n + 1, dann n-te Potenzen. Wirklich klar ist dieser Zusatz aber erst nach der folgenden Proposition und ihrem Beweis. VIII.3. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe, die kleinsten unter denen, die dasselbe Verh¨ altnis haben wie sie, dann sind die ¨ außeren Glieder gegeneinander prim. aß VII.33 Beweis. Es sei β1 , . . . , βn+1 die gegebene Folge. Man konstruiere gem¨ von Abschnitt 2 die kleinsten Zahlen a und b mit β1 : β2 = a : b. Konstruiere α mittels a und b gem¨aß VIII.2. Dann ist auch α kleinstm¨oglich und daher α = β. Hieraus folgt die Behauptung. Dies ist, komprimiert, Euklids Argumentation. VIII.4. Zu beliebig vielen in kleinsten Zahlen gegebenen Verh¨ altnissen die kleinsten in den gegebenen Verh¨ altnissen der Reihe nach in Proportion stehenden Zahlen zu finden. ur i := 1, . . . , n und j := 1, 2 gegeben und es gelte Konstruktion. Es seien bij f¨ ur i := 1, . . . , n. Gesucht sind dann Zahlen a1 , . . . , an+1 mit ggT(bi1 , bi2 ) = 1 f¨ ai : ai+1 = bi1 : bi2 , die dar¨ uberhinaus noch kleinstm¨ oglich seien. Ist n = 1, so setze man a1 := b11 und a2 := b12 . Es sei 1 ≤ n und a1 , . . . , an seien so gefunden, dass sie kleinstm¨oglich seien mit ai : ai+1 = bi1 : bi2 f¨ ur i := 1, . . . , n − 1. Der Beweis von VII.33 von Abschnitt 2 zeigt, dass dann ggT(a1 , . . . , an ) = 1

214

Kapitel II. Zahlen

ist. Setze

bn1 ggT(an , bn1 )

k := und

ai := kai

f¨ ur i := 1, . . . , n sowie an+1 :=

an bn2 . bn1

Dann ist ai : ai+1 = bi1 : bi2 f¨ ur i := 1, . . . , n − 1 und an = kgV(an , bn1 ) sowie an+1 =

kgV(an , bn1 ) · bn2 . bn1

Insbesondere gilt an+1 ∈ N. Es folgt an : an+1 = kgV(an , bn1 ) :

kgV(an , bn1 )bn2 = bn1 : bn2 . bn1

Es bleibt die Minimalit¨ at der ai zu beweisen. Es ist k = kggT(a1 , . . . , an ) = ggT(a1 , . . . , an ) und folglich, da bn1 und bn2 wegen der Minimalit¨ at teilerfremd sind, ggT(a1 , . . . , an+1 ) = ggT(k, an+1 )   bn1 an = ggT , bn2 ggT(an , bn1 ) ggT(an , bn1 ) = 1. Mit VII.33 von Abschnitt 2 folgt, dass die a1 , . . . , an+1 kleinstm¨oglich sind. Damit ist alles bewiesen. Euklid beweist diesen Satz f¨ ur n = 3. Ich habe aus seinem Beweis dann den Induktionsbeweis gemacht. Mittels dieses Satzes — und das erhellt seine Wichtigkeit — lassen sich auch Verh¨ altnisse nat¨ urlicher Zahlen zusammensetzen. Es bedarf also nicht des Umwegs urliche Zahlen, so u ¨ ber die rationalen Zahlen. Sind n¨ amlich a1 , b1 , a2 und b2 nat¨ aß Satz stelle man a1 : b1 und a2 : b2 mit kleinsten Zahlen dar und bestimme gem¨ VIII.4 Zahlen g1 , g2 , g3 mit g1 : g2 = a1 : b1 und g2 : g3 = a2 : b2 . Dann ist (a1 : b1 )(a2 : b2 ) = g1 : g3 .

4. Geometrische Reihen

215

amlich a1 a2 Der n¨ achste Satz liefert die erwarteten Repr¨asentanten f¨ ur g1 und g3 , n¨ und b1 b2 . VIII.5. Ebene Zahlen haben zueinander das zusammengesetzte Verh¨ altnis aus den Seiten. In Formeln: Ist a = cd und b = ef , so ist a : b = (c : e)(d : f ). Beweis. Man bestimme, wie eben geschildert, gem¨aß VIII.4 Zahlen g, h und k mit c : e = g : h und d : f = h : k. Dann ist (c : e)(d : f ) = g : k. Es ist zu zeigen, dass a : b = g : k ist. Es ist a : ed = cd : ed = c : e = g : h. Andererseits ist ed : b = ed : ef = d : f = h : k. Nach VII.14 von Abschnitt 2 ist daher a : b = g : k. Also gilt, wie behauptet, a : b = (c : e)(d : f ). VIII.6. Hat man beliebige Zahlen in geometrischer Reihe und misst dabei die erste die zweite nicht, dann kann auch sonst keine irgendeine (sp¨atere) messen. Beweis. Euklid beweist nur einen Spezialfall und sagt, dass man den allgemeinen Fall a¨hnlich beweise. Wir beweisen hier gleich den allgemeinen Fall. Es sei g1 , . . . , gn eine geometrische Reihe und g1 teile nicht g2 . Andererseits sei i < j ≤ n und gi teile gj . Mittels VII.14 von Abschnitt 2 folgt g1 : gj−i+1 = gi : gj = 1 :

gj . gi g

Mit VII.21 und II.20, beide von Abschnitt 2, folgt g1 = g1 · 1 und gj−i+1 = g1 · gji . urfen also i = 1 Also ist g1 Teiler von gj−i+1 , wobei j − i + 1 ≥ 2 ist. Wir d¨ annehmen. Bestimme b1 , . . . , bj gem¨aß VII.33 von Abschnitt 2 kleinstm¨oglich mit gk : ur k := 1, . . . , j − 1. Nach VII.14 von Abschnitt 2 ist dann gk+1 = bk : bk+1 f¨ g1 : gj = b1 : bj . Weil g1 Teiler von gj ist, folgt auf Grund der Definition der Verh¨ altnisgleichheit, dass b1 Teiler von bj ist. Nach VIII.3 sind b1 und bj aber teilerfremd. Also ist b1 = 1. Nun ist g1 : g2 = b1 : b2 = 1 : b2 , so dass g1 doch Teiler von g2 ist im Widerspruch zu unserer Annahme. VIII.7. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe und misst die erste dabei die letzte, dann muss sie auch die zweite messen. Beweis. M¨aße sie die zweite nicht, dann m¨aße sie nach VIII.6 auch die letzte nicht. Proposition VIII.7 hat ein hochinteressantes Korollar, welches Euklid sp¨ ater f¨ ur n = 2 und 3 formuliert (Propp. VIII.14 und 15), welches wir aber schon hier in voller Allgemeinheit formulieren.

216

Kapitel II. Zahlen

Korollar. Sind a, b, n ∈ N und ist an Teiler von bn , so ist a Teiler von b und es gilt  n b bn = n. a a Oder auch: Ist r ∈ Q+ und rn ∈ N, so ist r ∈ N. Beweis. Es sei also an Teiler von bn . Nach VIII.7 teilt an dann das zweite Glied der geometrischen Reihe an , an−1 b, . . . , abn−1 , bn , dh., an−1 b. Es folgt, dass a ur alle i. Wir Teiler von b ist. Mittels Induktion folgt, dass ai Teiler von bi ist f¨ zeigen, dass ai : bi = (a : b)i ist f¨ ur alle i. Dies ist richtig f¨ ur i = 1. Es sei i ≥ 1 und die Aussage gelte f¨ ur i. Dann folgt mit VIII.5 ai+1 : bi+1 = (ai : bi )(a : b) = (a : b)i+1 . Nun ist aber und

ai+1 : bi+1 = 1 : a−(i+1) bi+1 (a : b)i+1 = (1 : a−1 b)i+1 = 1 : (a−1 b)(i+1) .

Wegen der Gleichheit der linken Seiten sind auch die rechten Seiten gleich. Daraus folgt dann wiederum, dass  i+1 bi+1 b = i+1 a a ist. Daher gilt in der Tat

 n b bn = n. a a

Bis hierher haben wir das Rechnen in Q+ vermieden. Die zweite Formulierung des Korollars benutzt aber schon Q+ , so dass wir nun in Q+ rechnen und insbesondere von der Formel  n b bn = n a a Gebrauch machen. urliche Zahlen Setze v := rn . Dann ist nach Voraussetzung v ∈ N. Es gibt nat¨ a und b mit r = ab . Es folgt an v = bn . Nach dem gerade Bewiesenen ist a Teiler von b, so dass r ∈ N gilt. VIII.8. Wenn sich zwischen zwei Zahlen Zahlen in stetiger Proportion einschalten lassen, dann lassen sich ebensoviele Zahlen, wie sich zwischen jene in stetiger Proportion einschalten lassen, auch zwischen solche Zahlen, die dasselbe Verh¨ altnis haben, in stetiger Proportion einschalten. Beweis. Die beiden Zahlen seien g1 und gn+1 . Zwischen ihnen seien g2 , . . . , gn so eingeschaltet, dass g1 , g2 , . . . , gn , gn+1 eine geometrische Reihe ist. Es sei a : b = g1 : g2 mit teilerfremden a und b. Setze αi := an−i+1 bi−1

4. Geometrische Reihen

217

f¨ ur i := 1, . . . , n+1. Dann ist α nach VIII.2 kleinstm¨ oglich unter den geometrischen Reihen h mit hi : hi+1 = a : b. Nach dem Korollar zu VIII.1 gibt es ein m ∈ N ur alle i. — Dieses Korollar beweist Euklid an dieser Stelle, ohne mit gi = mαi f¨ es explizit zu formulieren. — Es sei nun k1 : kn+1 = g1 : gn+1 . Dann ist k1 : kn+1 = mα1 : mαn+1 = α1 : αn+1 . Nun sind α1 und αn+1 nach VIII.3 teilerfremd. Es gibt also ein v ∈ N mit k1 = vα1 und kn+1 = vαn+1 . Setze ki := vαi f¨ ur i := 2, . . . , n. Dann sind k1 , k2 , . . . , kn , kn+1 in geometrischer Reihe. VIII.9. Sind zwei Zahlen gegeneinander prim und kann man zwischen sie Zahlen in stetiger Proportion einschalten, dann m¨ ussen sich ebensoviele Zahlen, wie sich zwischen jene in stetiger Proportion einschalten lassen, auch zwischen jede von ihnen und die Einheit in stetiger Proportion einschalten lassen. Beweis. Die beiden Zahlen seien α und β. Es sei m¨oglich, n − 1 Zahlen zwischen ihnen so einzuschalten, dass die entstehende Folge von n + 1 Zahlen eine geometrische Reihe ist. Nach dem Zusatz zu VIII.2 gibt es dann Zahlen a und b mit α = an und β = bn . Dann sind 1, a, a2 , . . . , an = α und 1, b, b2 , . . . , bn = β die gesuchten geometrischen Reihen zwischen 1 und α bzw. 1 und β. Euklid argumentiert hier sehr viel umst¨ andlicher. Es fehlen ihm unsere Ausdrucksm¨oglichkeiten. Umso mehr muss man bewundern, was er und die Alten schon erreichten. Der n¨ achste Satz, die Umkehrung des gerade bewiesenen, ist f¨ ur uns auch nur noch eine Trivialit¨ at. VIII.10. Kann man zwischen jede von zwei Zahlen und die Einheit (gleichviele) Zahlen in stetiger Proportion einschalten, dann m¨ ussen sich ebensoviele Zahlen, wie sich zwischen jede der beiden und die Einheit in stetiger Proportion einschalten lassen, auch zwischen jene in stetiger Proportion einschalten lassen. Beweis. Weil die gegebenen Zahlen zur Einheit teilerfremd sind, sind sie nte Potenzen, dh., sie sind von der Form an , bn . Definiert man α durch αi := ur i := 1, . . . , n + 1, so ist α die gesuchte geometrische Reihe. an+1−i bi−1 f¨ Die folgenden Propositionen sind Folgerungen aus VIII.10, die wir nicht eigens formulieren w¨ urden. VIII.11. Zwischen zwei Quadratzahlen gibt es eine mittlere Proportionale; und die Quadratzahl steht zur Quadratzahl zweimal im Verh¨ altnis wie die Seite zur Seite. VIII.12. Zwischen zwei Kubikzahlen gibt es zwei mittlere Proportionale; und die Kubikzahl steht zur Kubikzahl dreimal im Verh¨ altnis wie die Seite zur Seite. VIII.13. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe und bildet jede, indem sie sich selbst vervielf¨ altigt, eine weitere, so m¨ ussen die Produkte in Proportion stehen; und wenn die urspr¨ unglichen Zahlen, indem sie die Produkte vervielf¨ altigen,

218

Kapitel II. Zahlen

weitere bilden, so m¨ ussen auch diese in Proportion stehen. Mit anderen Worten: m Ist g1 , . . . , gn+1 eine geometrische Reihe und ist m ∈ N, so ist auch g1m , . . . , gn+1 eine geometrische Reihe. Beweis. Euklids Beweis ist ein anderer als der hier vorgef¨ uhrte. Diesen h¨ atte Euklid aber auch geben k¨ onnen. Ist m = 1, so ist nichts zu beweisen. Es sei also m ≥ 1 und der Satzt gelte f¨ ur m. Dann folgt mit VIII.5 m+1 m = (gim : gi+1 )(gi : gi+1 ) gim+1 : gi+1

= (g1m : g2m )(g1 : g2 ) = g1m+1 : g2m+1 . Die n¨ achsten beiden Propositionen sind Spezialf¨ alle des Korollars zu VIII.7. Wegen ihrer Wichtigkeit seien sie hier eigens formuliert. VIII.14. Wenn ein Quadrat eine Quadratzahl misst, dann muss auch die Seite die Seite messen; und wenn die Seite die Seite misst, so muss auch die Quadratzahl die Quadratzahl messen. VIII.15. Wenn eine Kubikzahl eine Kubikzahl misst, dann muss auch die Seite die Seite messen; und wenn die Seite die Seite misst, dann muss auch die Kubikzahl die Kubikzahl messen. In L¨ uneburg 1993, S. 264 r¨ atselte ich, woher Fibonacci die Sicherheit habe, dass eine rationale Zahl, deren Quadrat eine nat¨ urliche Zahl ist, bereits selbst eine nat¨ urliche Zahl ist. Er benutzt diese Tatsache immer wieder, ohne explizit darauf hinzuweisen. Nun, da Fibonacci seinen Euklid in und auswendig kannte, wie ich in jenem Buche schon feststellte, wird ihm auch VIII.14 bekannt gewesen sein. Da er unterstellen durfte, dass auch seine Leser — m¨ annliche wie weibliche — ihren Euklid kannten, brauchte er diese Tatsache nicht eigens zu erw¨ ahnen. Man sollte, wenn man die Geschichte der Mathematik studiert, doch mit Euklid anfangen und nicht einfach irgendwo mitten drin, wie ich es tat. Die Propositionen VIII.16 und VIII.17 sind nur Umformulierungen von VIII.14 und 15, wir u ¨bergehen sie daher. VIII.18 und 19 sind Verallgemeinerungen von VIII.11 bzw. 12. VIII.18. Zwischen zwei ¨ ahnlichen ebenen Zahlen gibt es eine mittlere Proportionalzahl; und die ebene Zahl steht zur ebenen Zahl zweimal im Verh¨ altnis wie eine Seite zur entsprechenden Seite. Beweis. Es sei a = cd und b = ef und es gelte c : d = e : f . Setze m := de. Wegen c : d = e : f ist de = cf nach VII.19 von Abschnitt 2. Es folgt a : m = cd : de = c : e = f c : f e = de : ef = m : b. Folglich ist m mittlere Proportionale zwischen a und b.

4. Geometrische Reihen

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Wegen c : d = e : f gilt c : e = d : f nach VII.13 von Abschnitt 2. Es folgt a : b = cd : ef = (c : e)(d : f ) = (c : e)(c : e) = (d : f )(d : f ). Damit ist alles bewiesen. VIII.19. Zwischen zwei ¨ ahnliche k¨ orperliche Zahlen lassen sich zwei mittlere Proportionale einschalten und die k¨ orperliche Zahl steht zur k¨ orperlichen Zahl dreimal im Verh¨ altnis wie eine Seite zur entsprechenden Seite. ¨ Der Beweis sei dem Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen. VIII.20. L¨ asst sich zwischen zwei Zahlen eine mittlere Proportionale einschalten, so m¨ ussen die Zahlen ¨ ahnliche ebene Zahlen sein. Beweis. Es sei m mittlere Proportionale zwischen a und b. Es seien d und e minimal mit a : m = d : e. Nach VII.20 von Abschnitt 2 gibt es ein k ∈ N mit a = kd und m = ke. Hieraus folgt, dass a eine ebene Zahl ist. (Der Fall, dass k = 1 ist, wird von Euklid nicht eigens erw¨ ahnt. Er kommt aber auch nur als Entartungsfall vor.) Es ist a : m = m : b. Daher ist m : b = d : e. Es gibt daher ein l ∈ N mit ld = m und le = b. Dies besagt, dass b eine ebene Zahl ist. Ferner ist ke = m = ld und folglich d : k = de : ke = de : ld = e : l. Wegen a = dk und b = el sind a und b also a¨hnlich. VIII.21. Lassen sich zwischen zwei Zahlen zwei mittlere Proportionale einschalten, so sind die Zahlen a ¨hnliche k¨ orperliche Zahlen. Beweis. Euklid f¨ uhrt diesen Satz auf den vorigen zur¨ uck. Wir geben einen anderen Beweis. Es sei a1 , a2 , a3 , a4 eine geometrische Reihe. Wir m¨ ussen zeigen, dass a1 und a4 ¨ ahnliche k¨ orperliche Zahlen sind. Wir konstruieren gem¨ aß VII.33 von Abschnitt 2 minimale b1 , b2 , b3 b4 mit ai : ai+1 = bi : bi+1 f¨ ur i := 1, 2, 3. ur i := 1, 2, 3, 4 und zum andern gibt es Dann gibt es einmal ein k mit ai = kbi f¨ u und v mit b1 = u3 , b2 = u2 v, b3 = uv 2 und b4 = v 3 . Es folgt a1 = (ku)uu und a4 = (kv)vv. Ferner gilt ku : u = k : 1 = kv : v, usw. VIII.22. Bilden drei Zahlen eine geometrische Reihe und ist die erste eine Quadratzahl, so muss auch die dritte eine Quadratzahl sein. Beweis. a, b, c seien in geometrischer Reihe. Nach VIII.20, so schließt Euklid, sind a und c ¨ ahnliche ebene Zahlen. Da a ein Quadrat sei, sei auch c ein ¨ Quadrat. Dieser Schluß ist nicht zwingend, da das Ahnlich-sein von der Faktorisierung abh¨ angt. Darauf haben laut Thaer (Euklid 1980, S. 444) auch schon andere hingewiesen. Thaer reproduziert einen korrekten Beweis von Clavius. Wir schließen wie folgt: Es gibt Zahlen k, u und v mit a = ku2 , b = kuv und c = kv 2 . Es gibt ferner ein d mit d2 = a = ku2 . Nach dem Korollar zu VIII.7 ist u Teiler von d und es gilt  2 d d2 k= 2 = , u u

220

Kapitel II. Zahlen

so dass auch k ein Quadrat ist. Definiert man l durch d = lu, so folgt c = kv 2 = l2 v 2 = llvv = lvlv = (lv)2 . Also ist auch c ein Quadrat. Auch der Beweis der n¨ achsten Proportion weist die gleiche L¨ ucke auf. Sie beweist sich jedoch ganz analog wie VIII.22. VIII.23. Bilden vier Zahlen eine geometrische Reihe und ist die erste eine Kubikzahl, so ist auch die vierte eine Kubikzahl. Ganz allgemein gilt: Ist g1 , . . . , gn+1 eine geometrische Reihe und ist g1 eine n-te Potenz, so ist auch gn+1 eine n-te Potenz. VIII.24. Haben zwei Zahlen zueinander ein Verh¨ altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl und ist die erste ein Quadrat, so ist auch die zweite ein Quadrat. Beweis. Die gegebenen Zahlen seien a und b und es gelte a = c2 . Nach Voraussetzung gibt es m, n ∈ N mit a : b = m2 : n2 . Mit VII.19 von Abschnitt 2 folgt (cn)2 = c2 n2 = an2 = m2 b. Hieraus folgt mit dem Korollar zu VIII.7 die Behauptung. Euklid schließt anders. Zu m2 , n2 gibt es nach VIII.11 eine mittlere Proportionale. Nach VIII.8 haben daher auch a und b eine mittlere Proportionale. Nach VIII.20 sind a und b folglich a¨hnliche ebene Zahlen. Da a ein Quadrat ist, ist nach VIII.22 auch b ein Quadrat. Ganz analog beweist sich VIII.25. Haben zwei Zahlen zueinander ein Verh¨ altnis wie eine Kubikzahl zu einer Kubikzahl und ist die erste eine Kubikzahl, so ist auch die zweite eine Kubikzahl. ¨ VIII.26. Ahnliche ebene Zahlen haben zueinander ein Verh¨ altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl. Beweis. Es seien a und b ¨ ahnliche ebene Zahlen. Sie haben dann nach VIII.18 eine mittlere Proportionale c. Es seien e, f und g minimal mit a : c = e : f und c : b = f : g. Nach dem Zusatz zu VIII.2 sind e und g Quadrate. Wegen a : b = e : g folgt schließlich die Behauptung. Wiederum analog beweist sich ¨ VIII.27. Ahnliche k¨ orperliche Zahlen haben zueinander ein Verh¨ altnis wie eine Kubikzahl zu einer Kubikzahl. Soweit Buch VIII der Elemente. Es dreht sich vor allem um die Frage, wann zwischen zwei Zahlen eine oder mehrere mittlere Proportionale eingeschaltet werden k¨ onnen. In unserer Sprache formuliert lautet die Antwort: Zwischen die Zahlen a und b lassen sich genau dann n − 1 mittlere Proportionale einschalten, wenn es

5. Buch IX

221

Zahlen u und v gibt mit a : b = un : v n . Dies ist gleichbedeutend damit, dass es einen gemeinsamen Teiler k von a und b gibt, so dass sowohl ka als auch kb eine n-te Potenz ist. Zwischen nat¨ urlichen Zahlen gibt es also nur sehr selten eine oder mehrere mittlere Proportionale. Dies ist in R+ ganz anders. Jede positive reelle Zahl ist n-te Potenz, so dass es zu a, b ∈ R+ stets eine geometrische Reihe g1 , amlich a = un und b = v n , so tut’s . . . , gn+1 gibt mit g1 = a und gn+1 = b. Ist n¨ n−i+1 i−1 v definierte Reihe. Dies ist f¨ ur das delische Problem von die durch gi = u Bedeutung. Bei diesem Problem geht es darum, zu einem W¨ urfel mit der Seitenl¨ ange a einen zweiten W¨ urfel zu konstruieren, dessen Volumen das Doppelte des Volumens ange des ersten W¨ urfels, also 2a3 , ist. Hierzu muss man mittels a die Kantenl¨ des zweiten W¨ urfels bestimmen. Hippokrates von Chios bemerkte, dass es dazu gen¨ uge, zwei mittlere Proportionale zwischen a und 2a einzuschalten. Gilt n¨ amlich a : u = u : v = v : 2a, so ist — wir rechnen so, wie wir es gewohnt sind — u2 = av und uv = 2a2 . Hieraus folgt u3 = auv = 2a3 , so dass u die Seitenl¨ ange des gesuchten W¨ urfels ist. Hippokrates gelang es nicht, u zu konstruieren. Dies gelang erst Archytas. Seine r¨ aumliche Konstruktion — er bringt einen Torus, eine 2-Sph¨ are und einen Zylinder zum Schnitt — ist uns durch Eutokios, dem Kommentator des Archimedes, u ¨ berliefert, der sich auf Eudemos beruft. Dieser war um 320 v. Chr. ein Sch¨ uler des Aristoteles. Er schrieb u. a. eine Geschichte der Geometrie. Seine Schriften sind heute verloren. Das Eu¨ tokioszitat findet sich zusammen mit einer deutschen Ubersetzung sowie einer Zeichnung in Diels 1992/93, Band I, S. 425–427. Dem Leser leichter zug¨anglich ist m¨oglicherweise Mainzer 1980. Dort wird die L¨osung des Archytas auf den Seiten 37/38 vorgef¨ uhrt. Es gibt noch weitere L¨ osungen aus der Antike, darunter eine, ¨ die Platon zugeschrieben wird. N¨ aheres zur Uberlieferung des Problems und seinen L¨osungen bei Heath 1981, vol. I, S. 244 ff. Dass eine Konstruktion mittels Zirkel und Lineal alleine nicht m¨ oglich ist, wurde erst im letzten Jahrhundert bewiesen. Darauf werden wir zur¨ uckkommen. Demselben Hippokrates von Chios gelang es aber, einige Kreisbogenzweiecke, die sog. M¨ ondchen des Hippokrates mit Zirkel und Lineal zu quadrieren. Die Hoffnung, auch den Kreis mit diesen Konstruktionsmitteln alleine quadrieren zu k¨ onnen, trog, wie wir seit gut hundert Jahren nun wissen. Dass die ludolphsche Zahl π, die ja den Inhalt des Einheitskreises wiedergibt, transzendent ist, wissen wir erst seit dieser Zeit. Auch davon werden wir zu berichten haben. 5. Buch IX. Dieses Buch enth¨alt die Lehre vom Geraden und Ungeraden, die wir in Abschnitt 1 dieses Kapitels schon vorgestellt haben. Die Masse dessen, was u ¨ brig bleibt, dreht sich weiterhin um das Thema, das auch in Buch VIII vor allem abgehandelt wurde, n¨ amlich geometrische Reihen. Dabei werden nun

222

Kapitel II. Zahlen

aber auch Primzahlen ins Spiel kommen und zwei Spezialf¨ alle des Satzes von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bewiesen werden. Der eine der beiden, der besagt, dass pn , falls p eine Primzahl ist, nur die Teiler pi mit i ≥ 0 hat, kommt in der Sprache der geometrischen Reihen daher. Ein H¨ ohepunkt von Buch IX ist Proposition IX.20, die besagt, dass die Anzahl der Primzahlen nicht endlich ist. IX.1. Entsteht eine Zahl dadurch, dass zwei ¨ ahnliche ebene Zahlen einander vervielf¨ altigen, so muss das Produkt eine Quadratzahl sein. Beweis. Es seien a und b ¨ ahnliche ebene Zahlen. Nach VIII.18 von Abschnitt 4 gibt es eine mittlere Proportionale zwischen a und b. Wegen a : b = a2 : ab gibt es nach VIII.8 von Abschnitt 4 auch eine mittlere Proportionale zwischen a2 und ab. Weil a2 eine Quadratzahl ist, ist nach VIII.22 von Abschnitt 4 auch ab eine Quadratzahl, q. e. d. IX.2. Bilden zwei Zahlen, indem sie einander vervielf¨ altigen, eine Quadratzahl, so sind sie a ¨hnliche ebene Zahlen. Beweis. Es sei ab = c2 . Dann ist a : b = a2 : ab = a2 : c2 . Nach VIII.11 von Abschnitt 4 gibt es zwischen a2 und c2 eine mittlere Proportionale und damit nach VIII.8i von Abschnitt 4 auch eine zwischen a und b. Nach VIII.20 von Abschnitt 4 sind a und b daher a¨hnliche ebene Zahlen. IX.3. Entsteht eine Zahl dadurch, dass eine Kubikzahl sich selbst vervielf¨ altigt, so muss das Produkt eine Kubikzahl sein. Beweis. Es sei a = c3 . Dann ist 1 : c = c : c2 = c2 : a. Ferner ist 1 : a = a : a2 . Da sich zwischen 1 und a zwei mittlere Proporptionale einschalten lassen, n¨amlich c und c2 , so lassen sich auch zwischen a und a2 zwei mittlere Proportionale einschalten. Da a eine Kubikzahl ist, ist auch a2 nach VIII.23 von Abschnitt 4 eine Kubikzahl. Ganz analog beweist man nat¨ urlich auch: Ist a eine n-te Potenz, so ist auch a2 eine n-te Potenz. Mit Induktion folgt, dass auch am eine n-te Potenz ist f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen m. Mit anderen Worten, es ist (bn )m = (bm )n f¨ ur alle b und alle m und n. Euklid benutzt IX.3 beim Beweise der folgenden Verallgemeinerung. IX.4. Entsteht eine Zahl dadurch, dass eine Kubikzahl eine Kubikzahl vervielf¨ altigt, so muss das Produkt eine Kubikzahl sein.

5. Buch IX

223

Beweis. Es seien a und b Kubikzahlen. Es ist a : b = a2 : ab. Nach IX.3 ist a2 eine Kubikzahl. Zwischen a und b lassen sich, da beides Kubikzahlen sind, zwei mittlere Proportionale einf¨ ugen und damit auch zwischen a2 2 und ab. Weil a eine Kubikzahl ist, ist nach VIII.23 von Abschnitt 4 auch ab eine Kubikzahl. Hier wurde also ein Spezialfall von un v n = (uv)n bewiesen. IX.5. Entsteht eine Kubikzahl dadurch, dass eine Kubikzahl irgendeine Zahl vervielf¨ altigt, so muss die vervielf¨ altigte eine Kubikzahl sein. Beweis. Wir w¨ urden VIII.15 von Abschnitt 4 zum Beweise heranziehen. Euklid schließt anders. Es sei a die Kubikzahl und b sei die vervielf¨ altigte Zahl. Es ist a : b = a2 : ab. Hierin sind a, a2 und ab Kubikzahlen, also auch b. IX.6. Entsteht eine Kubikzahl dadurch, dass eine Zahl sich selbst vervielf¨ altigt, so muss auch diese eine Kubikzahl sein. Beweis. Es ist a : a2 = a2 : a3 . Hierin sind a3 und — nach Voraussetzung — a2 Kubikzahlen. Daher ist auch a eine Kubikzahl. IX.7. Entsteht eine Zahl dadurch, dass eine zusammengesetzte Zahl irgendeine Zahl vervielf¨ altigt, so muss das Produkt eine k¨ orperliche Zahl sein. Beweis. F¨ ur uns v¨ ollig banal. IX.8. Bilden beliebig viele Zahlen von der Einheit aus eine geometrische Reihe, so muss die dritte von der Einheit aus eine Quadratzahl sein, ebenso die folgende, wenn man immer eine u ¨berspringt; ferner die vierte eine Kubikzahl, ebenso alle folgenden, wenn man immer zwei u ¨berspringt; und die siebente ist zugleich Kubikzahl und Quadratzahl, ebenso die folgenden, wenn man immer f¨ unf u ¨berspringt. Beweis. F¨ ur uns ist das eine simple Induktion. Euklid, der keine Induktion kennt, betrachtet nur die ersten sieben Glieder 1, a, b, c, d, e, f der geometrischen Reihe. Es ist 1 : a = a : b. Wir schl¨ ossen nun, da 1 eine Quadratzahl ist, ist auch b nach Fr¨ uherem eine Quadratzahl. Nicht so Euklid, die Eins ist ja keine Zahl. Er folgert, dass b = a2 ist, Nachdem gezeigt ist, dass b ein Quadrat ist, f¨ahrt Euklid fort: Da ferner b, c, d eine geometrische Reihe bilden und b eine Quadratzahl ist, ” so ist auch d eine Quadratzahl (VIII.22). Aus demselben Grunde ist auch f eine ¨ Quadratzahl. Ahnlich l¨ asst sich zeigen, dass auch alle folgenden, wenn man immer eine u ¨ berspringt, Quadratzahlen sind.“

224

Kapitel II. Zahlen

Bei der zweiten Aussage schließt man zusammen mit b = a2 , was ja schon bewiesen ist, aus 1 : a = b : c = a2 : c, dass c = a3 ist. Dann schließt man weiter mit viergliedrigen geometrischen Reihen. Thaer interpretiert diesen Beweis als das wohl erste Beispiel f¨ ur die Schlussart ” der vollst¨andigen Induktion“, worauf ein gewisser G. Vacca 1910 hingewiesen h¨ atte (Euklid 1980, S. 444). Der Leser entscheide f¨ ur sich, ob er dies auch so sieht. IX.9. Bilden beliebig viele Zahlen von der Einheit aus stetig eine geometrische Reihe und ist die nach der Einheit eine Quadratzahl, so m¨ ussen auch die u ¨brigen s¨ amtlich Quadratzahlen sein; und ist die nach der Einheit eine Kubikzahl, so m¨ ussen auch die u ¨brigen s¨ amtlich Kubikzahlen sein. Beweis. Ist 1, g2 , g3 , . . . die geometrische Reihe, so wissen wir bereits, dass alle g2i+1 Quadratzahlen sind. Nun ist g2 nach Voraussetzung eine Quadratzahl. Es sei i ≥ 1 und g2i sei eine Quadratzahl. Weil g2i , g2i+1 , g2i+2 eine geometrische Reihe ist, ist auch g2i+2 eine Quadratzahl. ¨ l¨ asst sich Euklid, der ja keine Induktion kennt, argumentiert mit Ahnlich ” zeigen, dass auch die u ¨ brigen s¨ amtlich Quadratzahlen sind.“ Bei der Aussage u ¨ ber die Kubikzahlen gilt zun¨ achst nur, dass g3i+1 also jede dritte Zahl der Folge g eine Kubikzahl ist. Der Beweis muss hier zu Anfang also eine Spur anders verlaufen als im Falle der Quadrate. Nun folgt aus 1 : g2 = g2 : g3 wieder, dass g3 = g22 ist. Weil g2 nach Voraussetzung eine Kubikzahl ist, ist daher auch g3 nach IX.3 eine Kubikzahl. Also sind g2 , g3 und g4 Kubikzahlen, so dass der Induktionsanfang und damit die Induktion gesichert ist. Euklid beweist noch explizit, dass d, unser g5 , eine Kubikzahl ist und schließt den Beweis mit den Worten: Aus demselben Grunde ist auch e eine Kubikzahl, und a¨hnlich ” sind auch die u ¨ brigen s¨ amtlich Kubikzahlen — q. e. d.“ Das ist also wieder eine P¨ unktcheninduktion, die wir versuchen, unseren Studenten auszutreiben. IX.10. Bilden beliebig viele Zahlen von der Einheit aus eine geometrische Reihe und ist die nach der Einheit keine Quadratzahl, so kann auch sonst keine eine Quadratzahl sein, abgesehen von der dritten von der Einheit aus und allen, die bleiben, wenn man immer eine u ¨berspringt; und ist die nach der Einheit keine Kubikzahl, so kann auch sonst keine eine Kubikzahl sein abgesehen von der vierten von der Einheit aus und allen, die bleiben, wenn man immer zwei u ¨berspringt. ¨ Der Beweis sei dem Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen. IX.11. Bilden beliebig viele Zahlen von der Einheit aus eine geometrische Reihe, so misst die kleinere die gr¨ oßere nach einer der in der Reihe vorkommenden Zahlen. Beweis. Es sei g die geometrische Reihe. Ferner seien gm und gn zwei Glieder dieser Reihe und es gelte m < n. Dann ist g1 : g2 = gm : gm+1 .

5. Buch IX

225

Es sei g1 : gk = gm : gm+k−1 . Wegen gk : gk+1 = gm+k−1 : gm+k folgt g1 : gk+1 = gm : gm+k . Diese Formel gilt also f¨ ur alle k. Mit k = n − m folgt g1 : gn−m+1 = gm : gm+n−m = gm : gn und weiter gm gn−m+1 = g1 gn = gn , da ja g1 = 1 ist. Euklid analysiert bei seinem Beweis den Fall m = 2 und n = 7. Anschließend formuliert er noch, was auch wir gesehen haben: Zusatz. Und es ist klar, dass die Zahl, nach der gemessen wird, von der gemessenen aus nach r¨ uckw¨ arts denselben Platz hat, wie die messende Zahl von der Einheit aus. In unseren Worten: Es ist g1+(m−1) gn−(m−1) = gn . Mit m = 2 folgt g2 gn−1 = gn , woraus mit Induktion gn = g2n−1 folgt. Setzt man q := g2 , so folgt weiter q m q n = gm+1 gn+1 = gm+1 gn+m+1−m = gn+m+1 = q m+n . Dies ist die Potenzregel. IX.12. Bilden beliebig viele Zahlen von der Einheit aus eine geometrische Reihe, so l¨ asst die neben der Einheit sich durch alle Primzahlen messen, durch die die letzte sich messen l¨ asst. Beweis. Euklids Beweis ist ein umst¨andlicher Widerspruchsbeweis. Wir bewiesen den Satz mit Induktion. Ist n = 2, so ist nichts zu beweisen. Es sei also n > 2. Mit dem Zusatz folgt gn = g2 gn−1 . Ist p ein Primteiler von gn , so ist p nach VII.30 Abschnitt 2 Teiler von g2 oder von gn−1 . Ist p Teiler von gn−1 , so ist p nach Induktionsannahme auch Teiler von g2 , so dass p in jedem Falle g2 teilt. Der n¨ achste Satz ist eine hochinteressante Folgerung aus IX.12. Er besagt ur eine Primzahl p keine anderen n¨ amlich in unserer Sprache formuliert, dass pn f¨ Teiler als pi mit i ≤ n hat.

226

Kapitel II. Zahlen

IX.13. Bilden beliebig viele Zahlen von der Einheit aus eine geometrische Reihe und ist die Zahl nach der Einheit eine Primzahl, so l¨ asst die gr¨ oßte Zahl sich durch keine andere messen, außer durch die in der Reihe vorkommenden Zahlen. Beweis. Es sei g die fragliche geometrische Reihe. Es lasse sich gn durch e messen und e sei keine der Zahlen gi . Außerdem sei e — wir straffen den euklidischen Beweis — minimal gew¨ahlt. Dann ist e insbesondere keine Primzahl, da e sonst nach IX.12 Teiler von g2 und damit gleich g2 w¨are, da g2 ja eine Primzahl ist. Da e also zusammengesetzt ist, gibt es nach VII.31 von Abschnitt 2 eine Primzahl p, die e teilt. Da p dann auch gn teilt, teilt p nach IX.12 auch g2 , so dass p = g2 ist. Dies wird gleich wesentlich gebraucht. Es sei e = pf . Weil e keine Primzahl ist, ist ur ein passendes j f > 1. Ferner ist f Teiler von gn . Weil f < e gilt, ist f = gj f¨ wegen der Minimalit¨ at von e. Es folgt e = pf = pgj = g2 gj = gj+1 im Widerspruch zur Annahme. IX.14. Die kleinste Zahl, die von gewissen Primzahlen gemessen wird, l¨ asst sich durch keine andere Primzahl messen außer den urspr¨ unglichen. Beweis. Euklids Beweis u ¨ berzeugt. Es sei a die kleinste Zahl, die von den Primzahlen b, c und d gemessen werde. Es sei e eine weitere, a messende Primzahl und f sei der Kofaktor von e. Nach VII.30 von Abschnitt 2 sind b, c und d, da sie e nicht teilen, Teiler von f im Widerspruch zur Minimalit¨ at von a. Die beiden letzten Propositionen zeigen, dass Euklid um den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung ringt. Er hat ihn f¨ ur Primzahlpotenzen und f¨ ur quadratfreie Zahlen. Er hat in VII.30 auch das Mittel, ihn in voller Allgemeinheit zu beweisen. Was ihm offenbar fehlt, sind die sprachlichen Mittel, ihn zu formulieren. Dabei deutet eine Stelle bei Platon darauf hin (Gesetze 737E–738B. 1970, Band 8, 1. Teil, S. 311–313), dass der Satz auch schon vor Euklid benutzt wurde. Es heißt dort n¨ amlich, dass die Zahl 5040 einen weniger als sechzig Teiler habe. Diese Anzahl ist offenbar u ¨ber die Primfaktorzerlegung von 5040 gefunden worden. Es ist ja 5040 = 7! = 2 · 3 · 4 · 5 · 2 · 3 · 7 = 24 · 32 · 5 · 7, so dass die Anzahl der echten Teiler von 5040 aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gleich 5 · 3 · 2 · 2 − 1 = 60 − 1 ist. ¨ Das griechische Aquivalent von einen weniger als sechzig“ wurde von dem ” ¨ Ubersetzer der von mir benutzten Ausgabe, Klaus Sch¨ opsdau, mit neunund” f¨ unfzig“ u ¨bersetzt. Das ist unverzeihlich. Wenn Platon eins weniger als sechzig“ ”

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schreibt und nicht den griechischen Ausdruck f¨ ur neunundf¨ unfzig nimmt, ist anzunehmen, dass er sich dabei etwas gedacht hat, so dass man den Text auch entsprechend u ¨ bersetzen muss. Der Mathematiker kann n¨amlich aus dieser Darstellung von 59 schließen, wie das Ergebnis zustandegekommen ist. Hier f¨ ur den, der ein wenig Griechisch lesen kann, der Originaltext, der auch noch besagt, dass die Zahlen von 1 bis 10 allesamt unter den Teilern von 5040 vorkommen.                       !  " #  $ % &  '(!   $)  *  +  ) , '  ' -.$ /# 0 +1 ) '2  3%  +  + Am 2. 8. 1999 er¨ offnete der Vizepr¨asident der Universit¨at von Augsburg, ein Altphilologe, die Tagung Fq5“ mit einer kurzen Ansprache, in der er auch auf ” diese Platonstelle zu sprechen kam. Auch er sprach von 59 Teilern. Als ich ihn nach dem Vortrag daraufhin ansprach, erinnerte er sich an den griechischen Text. Er kam des Abends zu meinem Vortrag und berichtete mir, dass er einen Assistenten ¨ beauftragt h¨ atte, die in ihrer Bibliothek vorhandenen deutschen Ubersetzungen der fraglichen Stelle zu pr¨ ufen. Sie alle h¨ atten 59. Hat da einer vom anderen abgeschrieben? IX.15. Sind drei Zahlen in geometrischer Reihe die kleinsten von denen, die dasselbe Verh¨ altnis wie sie haben, dann sind zwei beliebige zusammengenommen gegen die dritte prim. Beweis. Nach VIII.2 von Abschnitt 4 gibt es Zahlen u und v, so dass die geo¨ sind u und v teilerfremd. Nach metrische Reihe die Form u2 , uv, v 2 hat. Uberdies 2 II.3, das Euklid hier zitiert, ist u + uv = u(u + v). Weil u und v teilerfremd sind, sind auch u und v 2 nach VII.25 von Abschnitt 2 teilerfremd zueinander. Nach VII.28 von Abschnitt 2 ist u + v zu v und damit zu v 2 teilerfremd. Nach VII.24 von Abschnitt 2 sind dann auch u(u + v) und v 2 teilerfremd. Analog beweist sich, dass auch v 2 + uv zu u2 teilerfremd ist. So schließt Euklid. Dass auch u2 +v 2 zu uv teilerfremd ist, beweist Euklid wie folgt. Es ist u+v zu u und v teilerfremd. Also ist (u+v)2 zu uv teilerfremd. Wegen (u+v)2 = u2 +v 2 +2uv ist dann auch u2 + v 2 zu uv teilerfremd. Bei diesem letzten Argument zitiert Euklid VII.24, 25 und 28 sowie II.4. Letztere Proposition etabliere die Formel (u+v)2 = u2 +v 2 +2uv. Diese ist aber eine Aussage u ¨ ber Zahlen, w¨ ahrend jene von Strecken, Quadraten und Rechtecken handelt. Hier klafft eine L¨ ucke, die in den Elementen nicht geschlossen wird. Das gleiche gilt auch f¨ ur den ersten Teil des Beweises, wo II.3 benutzt wird, um das Distributivgesetz in N zu etablieren. Ich h¨atte mir gew¨ unscht, dass Euklid hier V.1 und V.2 zitierte, womit die Distributivgesetze f¨ ur N etabliert w¨ aren. Die binomische Formel ließe sich dann mittels der Distributivgesetze herleiten. (Der Leser beachte auch den Kommentar in Kapitel 3, Abschnitt 3, zu X.28a.) Die gerade kommentierte Stelle ist die einzige Stelle in den B¨ uchern VII, VIII und IX, wo Propositionen aus den geometrischen B¨ uchern zitiert werden.

228

Kapitel II. Zahlen

IX.16. Sind zwei Zahlen gegeneinander prim, so ist nicht m¨ oglich, dass wie die erste zur zweiten, sich die zweite zu einer weiteren verhielte. Beweis. Es seien a und b prim zueinander. Ferner gebe es ein c mit a : b = b : c. Weil a und b teilerfremd sind, sind sie nach VII.21 von Abschnitt 2 die kleinsten unter denen, die das gleiche Verh¨ altnis haben wie sie. Nach VII.20 von Abschnitt 2 gibt es ein m mit b = ma und c = mb. Das kann aber nicht sein, nimmt man die Definition von Zahl w¨ ortlich, da a und b teilerfremd sind. Dies ist ein Spezialfall der n¨ achsten Proposition. IX.17. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Reihe und sind dabei die außeren von ihnen gegeneinander prim, so ist nicht m¨ ¨ oglich, dass sich, wie die erste zur zweiten, so die letzte zu einer weiteren Zahl verh¨ alt. Beweis. Es sei g1 : g2 = gn : v und g1 und gn seien prim zueinander. Es folgt g1 : gn = g2 : v. Hieraus folgt wegen der Teilerfremdheit von g1 und gn wieder, dass g1 ein Teiler von g2 ist. Angenommen es sei i ≥ 2 und g1 teile gi . Wegen g1 : g2 = gi : gi+1 ist g1 gi+1 = gi g2 . Weil g2 und gi von g1 geteilt werden, teilt g1 dann auch gi+1 . Diese Induktion zeigt, dass g1 Teiler von gn ist. Dies widerspricht aber der Teilerfremdheit von g1 und gn , da g1 ja eine Zahl sein sollte. Dieser Satz besagt also, dass sich eine geometrische Reihe g1 , . . . , gn , deren außere Glieder teilerfremd sind, nur dann erweitern l¨ ¨ asst, wenn g1 = 1 ist. IX.18. Bei zwei gegebenen Zahlen zu pr¨ ufen, ob es m¨ oglich ist, zu ihnen eine dritte Proportionale zu finden. Test. Die beiden zu pr¨ ufenden Zahlen seien a und b. Euklid bemerkt zun¨ achst, dass es nach IX.16 sicher dann keine dritte Proportionale zu a und b gibt, wenn a und b teilerfremd sind, so dass er annehmen darf, dass sie es nicht sind. Das benutzt er aber bei seinem weiteren Beweise nicht. Er zeigt nun, dass a und b genau dann eine dritte Proportionale haben, wenn a Teiler von b2 ist. Es ist ja a : b = b : c gleichbedeutend mit b2 = ac. IX.19. Bei drei gegebenen Zahlen zu pr¨ ufen, ob es m¨ oglich ist, zu ihnen eine vierte Proportionale zu finden. Der u ¨ berlieferte Text des Testes ist verderbt. Man kann aber aus ihm herauspr¨ aparieren, dass wegen der Gleichwertigkeit von a : b = c : d mit ad = bc die Existenz von d zu gegebenen a, b und c gleichwertig mit der Aussage ist, dass a Teiler von bc ist. IX.18 ist nat¨ urlich ein Spezialfall dieses Sachverhalts. Bei den beiden Propositionen IX.18 und 19 habe ich mir zun¨ achst nichts weiter gedacht. Erst Peter Schreiber (Greifswald, Stralsund) machte mich darauf aufmerksam, dass hier etwas Aufregendes geschehen ist. Es wird n¨amlich bei ihnen nicht nach Zahlen oder geometrischen Objekten gefragt, sondern nach einem

5. Buch IX

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Wahrheitswert gesucht. Die L¨osung der Aufgaben ist so, dass man die Werte ja“ ” bzw. nein“ algorithmisch bestimmen kann. ” Die n¨ achste Proposition ist sehr ber¨ uhmt insbesondere auch wegen ihrer Formulierung. Sie steht hier ganz unvermittelt und wird auch im weiteren Verlauf der Elemente nirgends mehr benutzt. IX.20. Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Ein jeder kennt die euklidische Beweisidee. Dennoch sei Euklids Beweis hier ¨ noch einmal in der Thaerschen Ubersetzung vorgef¨ uhrt. Er zeigt, dass es vier Primzahlen gibt, wenn es drei gibt. Dennoch macht er v¨ ollig klar, dass der Satz korrekt ist. Die vorgelegten Primzahlen seien a, b, c. Ich behaupte, dass es mehr Primzahlen gibt als a, b, c. Man bilde die kleinste von a, b, c gemessene Zahl (VII.36); sie sei DE, und man f¨ uge zu DE die Einheit DF hinzu. Entweder ist EF dann eine Primzahl, oder nicht. Zun¨ achst sei es eine Primzahl. Dann hat man mehr Primzahlen als a, b, c gefunden, n¨ amlich a, b, c, EF . Zweitens sei EF keine Primzahl. Dann muss es von irgendeiner Primzahl gemessen werden (VII.31); es werde von der Primzahl g gemessen. Ich behaupte, dass g mit keiner der Zahlen a, b, c zusammenf¨ allt. Wenn m¨ oglich tue es dies n¨ amlich. a, b, c messen nun DE; auch g m¨ ußte dann DE messen. Es misst aber auch EF . g m¨ usste also auch den Rest, die Einheit DF messen, w¨ahrend es eine Zahl ist; dies w¨are Unsinn. Also f¨ allt g mit keiner der Zahlen a, b, c zusammen; und es ist Primzahl nach Voraussetzung. Man hat also mehr Primzahlen als die vorgelegte Anzahl a, b, c gefunden, n¨ amlich a, b, c, g — q. e. d. Diese Beweisidee Euklids kann man auch im Falle des Polynomrings K[x] u ¨ ber einem kommutativen K¨orper K verwenden um zu zeigen, dass es u ¨ ber K unendlich viele irreduzible Polynome gibt. Dies lernte ich von Irving Kaplansky in seiner Vorlesung des akademischen Jahres 1965/66 am Queen Mary College in London. Kaplansky ben¨ otigte diese Aussage um zu zeigen, dass es unendlich viele nicht isomorphe endliche K¨orper der Charakteristik p gibt. Weil irreduzible Polynome u ¨ ber einem algebraisch abgeschlossenen K¨orper den Grad 1 haben, folgt weiter, dass algebraisch abgeschlossene K¨orper nicht endlich sind. — Hier sind einige Stichw¨ orter gefallen, die erst sp¨ ater definiert werden. Auf diesen Satz folgt nun die Lehre vom Geraden und Ungeraden, die wir in Abschnitt 1 in der Rekonstruktion von O. Becker schon vorgef¨ uhrt haben. Dabei haben wir eine Proposition ausgelassen, die wir in ihrer Allgemeinheit nicht ben¨ otigten, und nur einen Spezialfall bewiesen, den wir dann auch nicht explizit verwendet haben. Die noch fehlende Proportion lautet: IX.35. Hat man beliebig viele Zahlen in geometrischer Proportion und nimmt man sowohl von der zweiten als von der letzten der ersten gleiche weg, dann muss ¨ ¨ sich, wie der Uberschuss der zweiten zur ersten, so der Uberschuss der letzten zur Summe der ihr vorangehenden verhalten.

230

Kapitel II. Zahlen

Beweis. Es sei g1 , . . . , gn+1 eine geometrische Reihe. Es wird behauptet, dass (g2 − g1 ) : g1 = (gn+1 − g1 ) :

n 

gi

i:=1

ist. Wir w¨ urden diesen Satz als n 

gi = g1 ·

i:=1

gn+1 − g1 g2 − g1

formulieren und durch Induktion beweisen. Euklid unterstellt u ¨brigens, dass g2 > g1 ist, was gi+1 > gi zur Folge hat. Es ist g2 : g1 = gi+1 : gi und nach VII.13 von Abschnitt 2 daher (g2 − g1 + g1 ) : (gi+1 − gi + gi ) = g2 : gi+1 = g1 : gi . Mit VII.11 von Abschnitt 2 folgt g1 : gi = g2 : gi+1 = (g2 − g1 ) : (gi+1 − gi ). Nochmalige Anwendung von VII.13 von Abschnitt 2 liefert (g2 − g1 ) : g1 = (gi+1 − gi ) : gi . Dies gilt f¨ ur i := 1, . . . , n. Mit .VII.12 von Abschnitt 2 folgt hieraus (g2 − g1 ) : g1 =

 n

   n n  (gi+1 − gi ) : gi = (gn+1 − g1 ) : gi .

i:=1

i:=1

i:=1

Damit ist auch die letzte noch ausstehende Proposition bewiesen. 6. Zahlen aus Einheiten. Zahlen sind, so die Definition Euklids, Ansammlungen von Einheiten und diese Definition wurde immer wieder wiederholt, auch wenn schon l¨angst andere Zahlen als die nat¨ urlichen Zahlen Zahlen genannt wurden. Diese Feststellung ist nicht neu, was ich aber vermisse, ist ein Bericht dar¨ uber, dass die Vorstellung der nat¨ urlichen Zahlen als Ansammlung von Einheiten bis ins 19. Jahrhundert hinein den Alltag der Mathematiker pr¨ agte. Davon m¨ ochte ich ein paar Zeugnisse geben. Leonardo von Pisa alias Fibonacci beginnt seinen liber abbaci wie folgt (Boncompagni 1857, S. 2). Nouem figure indorum he sunt 9

8

7 6

5 4

3 2

1

6. Zahlen aus Einheiten

231

CVm his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur. Nam numerus est unitatum perfusa collectio siue congregatio unitatum, que per suos in infinitum ascendit gradus. Das heißt: Die neun Figuren der Inder sind diese 9

8

7 6

5 4

3 2

1

Mit diesen neun Figuren und mit dem Zeichen 0, welches arabisch Zephirum genannt wird, schreibt sich jedwede Zahl, wie weiter unten gezeigt wird. Denn Zahl ist die aus Einheiten gebildete (perfusus) Sammlung oder auch die Schar von Einheiten, die gem¨ aß ihren Graden ins Unendliche steigt. Hier wird nicht definiert, was Zahl ist, sondern an die Definition von Zahl erinnert: Denn Zahl ist . . . “ ” In der boncompagnischen Ausgabe des liber abbaci findet sich auf S. 304 folgende herrliche Aufgabe und ihre L¨ osung. Es geht bei ihr darum, die Zahl herauszufinden, die nicht gr¨ oßer als 105 ist und von der die Reste modulo 3, 5 und 7 bekannt sind. Es ist eine von mehreren Aufgaben unterschiedlicher Typen, bei denen es darum geht, eine Zahl herauszufinden, die sich jemand gedacht hat. Auf dieses eine Zahl ” herauszufinden“ bezieht sich das de eodem. De eodem, cum numerus excogitatus non sit ultra 105. Diuidat excogitatum numerum per 3, et per 5, et per 7; et semper interroga, quot ex unaquaque diuisione superfuerit. Tu uero ex unaquaque unitate, que ex diuisione ternarij superfuerit, retine 70; et pro unaquaque unitate, que ex diuisione quinarii superfuerit, retine 21; et pro unaquaque unitate, que ex diuisione septenarij superfuit, retine 15. Et quotiens numerus super excreuerit tibi ultra 105, eicias inde 105; et quod tibi remanserit, erit excogitatus numerus. Vom Gleichen, dabei sei die gedachte Zahl nicht gr¨ oßer als 105. Er teile die gedachte Zahl durch 3 und durch 5 und durch 7; und immer frage, wieviel bei einer jeden Division u ¨brig geblieben sei. Du nun, f¨ ur eine jegliche Einheit, die beim Gruppieren zu je Dreien u ¨brig geblieben ist, halte 70 und f¨ ur eine jegliche Einheit, die beim Gruppieren zu je F¨ unfen u ¨brig geblieben ist, halte 21 und f¨ ur eine jegliche Einheit, die beim Gruppieren zu je Siebenen u ¨brig geblieben ist, halte 15. Und wie oft die Zahl dir u ¨ber 105 hinausw¨ achst, wirf 105 hinweg; und was dir bleibt, ist die gedachte Zahl. Ich habe bei diesem Text divisio zun¨ achst mit Division“ und dann mit Grup” ” pieren“ u ¨ bersetzt. Letzteres deswegen, weil es mir deutlicher vor Augen zu f¨ uhren scheint, was die lateinischen Zahladjektive ternarius, quinarius und septenarius suggerieren, die ja neben der Zahlangabe 3, 5 bzw. 7 noch das je“ in sich tragen. ” Die gleiche Aufgabe wird noch mit den Zahlen 315 = 5 · 7 · 9 gestellt. Hier halte man f¨ ur jede Einheit, die bei der Division mit 5 u ¨brig bleibt, 126, f¨ ur jede Einheit, die bei der Division mit 7 u ¨brig bleibt, 225 und f¨ ur jede Einheit, die bei

232

Kapitel II. Zahlen

der Division mit 9 u ¨brig bleibt, 280. Diese Summe wird schließlich modulo 315 reduziert, womit die gesuchte Zahl gefunden ist. Hier wird die Division mit Rest allem Anschein nach so aufgefasst, dass die Einheiten, die den Dividenden ausmachen, in B¨ undel aufgeteilt werden, von denen jedes soviele Einheiten enth¨ alt, wie der Divisor Einheiten besitzt. Die schließlich u ¨ brig bleibenden Einheiten bilden den Rest. Hier l¨ ost Fibonacci also chinesische Resteprobleme. Seine L¨osungen sind in lagrangescher Form, wie wir heute sagen, da Fibonaccis L¨osung und die lagrangesche Interpolationsformel aus unserer Sicht, die zwei Seiten der gleichen M¨ unze sind. Dies ist eine der Stellen, die ich in Abschnitt 2 im Sinne hatte, als ich sagte, dass Fibonacci sich nicht um Rechenverfahren k¨ ummerte, zu gegebenen, teilerfremden a und b ein x zu berechnen mit ax ≡ 1 mod b. Er gibt die Koeffizienten 70, 21 und 15, bzw., 126, 225, 280 explizit, ohne zu sagen, wie er auf sie kommt. Im Anschluss an diese beiden Aufgaben findet sich eine weitere, bei der eine gedachte Zahl zu errechnen ist. Sie ist in mehrfacher Hinsicht interessant. Sie lautet: Aliter de eodem. Precipe, ut duplicet numerum excogitatum; et duplicato addat 5; quod totum multiplicet per 5; et multiplicate summe addat 10; quo addito, multiplicet totum, quod habuerit, per 10; et interroga eum, quot habet; et ex hoc, quod ipse habuerit, tacite in corde tuo, extrahe 350; et quot centenaria tibi superfuerint, tot unitates in corde suo proposuit: et si aliquis numerus tibi superfuerit, qui sit minor 100, considera ex eo, que pars sit unius centenarij; quia talis pars unius integri, super ipsa integra, que ex centenarijs collegeris, proposuit ipse in corde suo; Anderes vom Gleichen. Verlange, dass er die gedachte Zahl verdopple; dem Verdoppelten f¨ uge er 5 hinzu; das Ganze multipliziere er mit 5; nachdem die Summe multipliziert ist, addiere er 10; nachdem dies addiert ist, multipliziere er das Ganze, das er hat, mit 10; frage ihn, was er habe; und von dem, was er erhalten hat, ziehe still in deinem Herzen 350 ab; und soviele, wie dir an Hundertern u ¨brig bleiben, soviele Einheiten hat er in seinem Herzen bewahrt (proposuit): und wenn dir irgendeine Zahl u ¨brig bleibt, die kleiner als 100 ist, ersehe aus ihr, welcher Teil eines Hunderts sie sei; weil solcher Teil einer Ganzen zuz¨ uglich der Ganzen selbst, welche du aus den Hundertern gezogen (collegeris) hast, das ist, was er in seinem Herzen bewahrte (proposuit). Das Erste, was zu bemerken ist, ist, dass das Lateinische poetisch im Herzen bewahrt, was wir im Sinn halten. Das Herz in Rekord beachten wir nicht mehr. Das Zweite ist, dass eine Zahl soviele Hunderter enth¨alt, wie die gesuchte Zahl Einheiten. Hier schimmert ein wenig von Fibonaccis Souver¨ anit¨ at im Umgang mit der Mathematik durch, dass er n¨ amlich Hunderter gleichsam als Einheiten auffasst. Das Dritte ist, dass der Mitspieler offenbar auch eine Zahl“ in seinem Herzen ” verbergen darf, die keine nat¨ urliche Zahl ist. Ist die Zahl im Herzen n¨ amlich eine nat¨ urliche Zahl, so ist die Zahl, die der Mitspieler am Ende preisgibt, vermindert

6. Zahlen aus Einheiten

233

um 350, eine durch 100 teilbare Zahl. Ist die vom Mitspieler genannte, um 350 ¨ verminderte Zahl kein ganzzahliges Vielfaches von 100, so ist der Uberschuss noch gesondert zu behandeln. In unserer Sprache ist das leicht zu verfolgen. Einer denkt sich also eine Zahl n. Er berechnet dann

 5 · (2n + 5) + 10 · 10 = 100n + 350. Letztere Zahl gibt er preis. Ist n eine nat¨ urliche Zahl, von der wir annehmen d¨ urfen, dass sie dezimal dargestellt ist, so ist n sofort zu erkennen. Ist aber n = m + a mit m ∈ N0 und 0 ≤ a < 1, so ist 100n = 100m + 100a und 0 ≤ 100a < 100. Dann ist m wieder leicht zu erkennen und es ist noch 100a durch 100 zu teilen, um a herauszufinden. 1 , so ist 100n + 350 = 2056 32 . Im Herzen 350 subtrahiert Ist etwa n = 17 + 15 2 ergibt 1706 3 . Hier ist die gesuchte Zahl gleich 17 +

2 20 1 6 + = 17 + = 17 + . 100 300 300 15

Luca Pacioli sagt von der Eins in seiner Summa von 1494 auf f. 19r , sie sei Regina et fundamentum omnium numerorum, also K¨ onigin und Fundament aller Zahlen. Gregor Reisch schreibt in Kapitel III von Buch IIII seiner Margarita philosophica. Magister. Numerus est vnitat˜ u collectio: vel qu˜ atitatis acervuus ex vnitatibus pfusus. Est aut vnitas qua vnaqueque res vna dicit. Unitas aut non est numerus: ¯ principium numeri, sicut magnitudinis punct˜ sed u. Das heißt: Lehrer. Zahl ist Sammlung von Einheiten oder aus Einheiten gebildeter (perfusus) Haufe einer Gr¨ oße. Es ist aber Einheit das, nach dem eine jegliche Sache eins genannt wird. Die Einheit ist keine Zahl, sondern der Ursprung der Zahl, so wie der Punkt (Ursprung) f¨ ur die Gr¨ oße (ist).“ Im sechsten Abschnitt von Kapitel 1 haben wir im Zusammenhang mit Descartes’ Definition der Multiplikation von Strecken von der Definition der Division bei Gregor Reisch und Pietro Cataneo gesprochen, einer Definition, an die Bachet in seinen R´ecr´eations erinnert. Diese Definitionen besagen alle das Gleiche, n¨ amlich: Eine Zahl durch eine andere zu teilen, heißt, einen Teil der zu teilenden Zahl zu finden, der in dieser sooft enthalten ist wie die Einheit in jener. Damals haben wir dem Wort Einheit“ keine Beachtung geschenkt. Nachdem wir, was Reisch ” anbelangt, schon seine Definition von Zahl nachgetragen haben, schauen wir uns jetzt noch Cataneos Definition der Zahl und der Multiplikation an. Hier zun¨ achst seine Definition von Zahl (loc. cit. f. 2r ): E Da sapere che in tutta l’Arithmetica & Geometria non s’interuengono se non quattro trauagliamenti che son questi, cio`e. Summare, Sottrarre, Multiplicare, & Partire, i quali a chi esperto ragioniere esser desidera cosi di rotti come d’integri

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Kapitel II. Zahlen

conuiene hauer bene in prattica. Ma innanzi che a ` quelli si peruenga, `e di bisogno intender che cosa sia numero, & come si rileuino piu figure di numeri al che dando principio, dico il numero secondo Euclide essere una composta moltitudine d’unit` a, & Leonardo Pisano ci` o confirmando dice numero essere adunation d’unit` a, & chiamasi unita, quella cosa che sempre `e detta una quando non habbi in se compositione, perche si chiarifica unit` a non esser numero, conciosia che alle uolte per numero si pigli, & questo auuiene quando `e composto in modo che sia diuisibile, come dicendo un soldo che `e numero di denari, ma unit` a `e principio di numero. ¨ In der folgenden Ubersetzung habe ich das Wort trauagliamento, das heute lange Arbeit“, M¨ uhe“, Qual“ bedeutet, etwas blass mit wirkliche Aufgabe“ ” ” ” ” wiedergegeben. Man muss wissen, dass einem in der ganzen Arithmetik und Geometrie nur ” vier wirkliche Aufgaben begegnen. Es sind diese hier: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren. Es ist bequem, gute Praxis in ihnen zu haben, wobei der ge¨ ubte Rechner w¨ unscht, sie sowohl f¨ ur Br¨ uche als auch f¨ ur Ganze zu haben. Aber vor allem, was jene betrifft (die Aufgaben. Anm. H. L.), ist es n¨ otig zu wissen, was eine Zahl ist und wie sich mehrere Figuren zur Zahl zusammenf¨ ugen, ihr so Ursache gebend. Ich sage also, Euklid folgend, Zahl ist eine aus Einheiten zusammengesetzte Vielheit. Auch Leonardo von Pisa sagt, dies best¨ atigend, Zahl sei Vereinigung von Einheiten. Einheit nennt sich jene Sache, die immer eins“ ” genannt wird, wenn sie in sich nicht zusammengesetzt ist. Von daher ist klar, dass die Einheit keine Zahl ist, weil sie sich jedesmal zur Zahl h¨ auft. Dies geschieht, wenn sie in der Weise zusammengesetzt ist, dass sie sich teilen l¨asst, wie man von einem Schilling sagt, dass er eine gewisse Anzahl von Pfennigen ist. Aber die Einheit ist der Ursprung der Zahl.“ Cataneos Definition der Multiplikation (f. 7v ): MVltiplicare un numero in un altro secondo Euclide nel settimo, `e tante uolte pigliare il numero che si deue multiplicare quante unit` a sono nel multiplicante, & ouer meglio fartelo intendere, dico che nel multiplicare bisognano 2 numeri, de quali l’uno si dice multiplicante, & l’altro multiplicando, cio` e che si deue multiplicare, & l’Algorismo dice nel sesto capitolo, multiplicare un numero per un’altro `e uoler trouare un altro numero che tanto uolte contenga il multiplicando, quante unit` a sono nel multiplicante, & puossi multiplicare il numero in se medesimo, ouero in altro numero, & nota che quando si multiplica un numero per un’altro, & faccia il detto numero, `e necessario quello esser multiplicato per unit` a come per il Megarense nel settimo si manifesta. Eine Zahl in eine andere zu multipliziern bedeutet gem¨ aß Euklid, im Siebten, ” die Zahl, die multipliziert werden soll, sooft aufzuh¨ aufen, wie Einheiten im Multiplikator (multiplicante) sind, oder, um es dir besser verst¨andlich zu machen, sage ich, dass 2 Zahlen beim Multiplizieren n¨ otig sind, von denen die eine sich Multiplikator nennt und die andere Multiplikand, das ist die zu Multiplizierende. Und der Algorismus sagt im sechsten Kapitel: Eine Zahl mit einer anderen zu multiplizieren heißt, eine andere Zahl finden zu wollen, die den Multiplikanden sooft enth¨ alt, wie

6. Zahlen aus Einheiten

235

Einheiten im Multiplikator sind. Du kannst eine Zahl in sich selbst multiplizieren oder in eine andere Zahl. Beachte, wenn man eine Zahl in eine andere multipliziert und man erzeugt (faccia) besagte Zahl, dass es dann notwendig ist, dass jene durch Einheiten vervielf¨ altigt sei, wie beim Megarenser im Siebten manifestiert.“ Mit dem Megarenser ist Euklid gemeint, der lange Zeit mit dem Philosophen Euklid von Megara (um 450–um 380 v. Chr.) verwechselt wurde (Schreiber 1987, 26f. und S. 110). Bei der Erl¨auterung von Stevins Thiende“ im Abschnitt 8 von Kapitel 1 habe ” ich schon darauf hingewiesen, dass Stevin schreibt, dass bei der Zahl 2378 jede Einheit der 8 der zehnte Teil jeder Einheit der 7 sei und so bei allen andern. Daran sei hier noch einmal erinnert. Hier noch einige Zitate aus j¨ ungerer Zeit, an denen der Leser seine Z¨ ahne ausbeißen m¨ oge. Clavius 1607, S. 14. Multiplicatio est ductus vnius numeri in alium. Tunc autem numerus quilibet in alium duci dicitur, cum alter ipsorum toties augetur, quoties in altero continetur vnitas. Neper 1620. Constructio S. 39. Anhang. 1. Dentur duo sinus & sui Logarithmi. Si totidem numeri equales sinui minori in se ducantur, quot sunt vnitates in maioris Logarithmo: & contr` a, totidem æquales sinui maioris in se ducantur, quas sunt vnitates in minoris Logarithmo; . . . Auf S. 40: 8. Sinus primus dividis tertium, quoties sunt vnitates in A; numerus secundus diuidit eundem tertium, quoties sunt vnitates in B: Item primus diuidit quartum, quoties sunt vnitates in C; & idem secundus diuidit eundem quartum, quoties sunt vnitates in D. Dico, quæ est ratio A ad B, eadem est C ad D, & Logarithmi secundi ad Logarithmum primi. 9. Hinc fit quod numeri oblati Logarithmus, est numerus locorum seu figurarum, quas comprehendit factum ex oblato toties in se ducto quoties sunt vnitates in 10,000,000,000. Euler 1749 (Werke, Bd. 6, S. 79), . . . , que l’exposant de sa plus haute puissance contient unit´es. Von dem Berliner Philosophen Moses Mendelssohn (1729–1786) stammt der folgende kuriose Text aus seinem Buch Ueber die Empfindungen“ aus dem Jahre ” 1771. Auf diese Stelle machte mich Hans Lausch (Melbourne) aufmerksam. Warum entstehet eine positive Quantit¨ at, wenn ich zwo negative mit einander ” verdoppele? Dieses ist nicht schwer zu beantworten. Verdoppeln heißt, eine Gr¨ oße so vielmal nehmen, als eine andere Einheiten in sich fasset. Verdoppele ich also −a mit b; so muss ich a so vielmal abziehen, als b Einheiten hat, das heißt = −ab. oße so vielmal abgezogen, Verdoppele ich aber −a mit −b; so soll eine negative Gr¨ oder, welches eben so viel, eine ihr gleiche positive Gr¨ oße so vielmal hingethan werden, als eine andere Einheiten in sich fasst: daher ist das Produkt eine positive, oder hinzuthuende Gr¨ oße.“ Statt hingethan“ sagten wir heute hinzugetan“. ” ” Dieses Zitat ist auch wegen des Gebrauchs des Wortes verdoppeln“ im Sinne ”

236

Kapitel II. Zahlen

von multiplizieren“ interessant. ” Im gleichen Jahr wie Mendelssohns Ueber die Empfindungen“ erschien auch ” der zweite Teil von Lagranges großer Arbeit, die wir noch zu kommentieren haben. Welch ein Kontrast! Lagrange 1770/71, Werke, Bd. 3, S. 231: qu’il y a d’unit´es dans le degr´e de la propos´ee. Auf der gleichen Seite, etwas fr¨ uher: qu’il y a d’unit´es dans le degr´e de cette derni`ere ´equation; Lagrange 1770/71, Werke, Bd. 3, S. 252: . . . , donc chacune se trouvera r´ep´et´ee autant de fois qu’il y a d’unit´es dans nl ; Hier wird offenbar auch der Bruchteil einer Einheit zugelassen. Cauchy 1821, . . . que son degr´e renferme unit´es. Es sei hier noch einmal an Joseph Krist erinnert (Abschnitt 1), der bemerkte, dass wir beim Stundenschlag die Zahlen von 1 bis 12 auch heute noch als Ansammlungen von Einheiten ansehen. 7. Induktion und Rekursion. Nach dem Weiterz¨ahlen ist das hervorstechendste Merkmal der nat¨ urlichen Zahlen das Prinzip der vollst¨ andigen Induktion. Dieses hat Dedekind — und auch Peano ein Jahr nach ihm — zur axiomatischen Beschreibung der nat¨ urlichen Zahlen benutzt, wie wir gleich sehen werden. Aber es gab schon viel fr¨ uher im Ringen um das Unendliche ein Ahnen von diesem Prinzip, was Beweismethoden zeigen, mit denen klar gemacht wurde, dass etwa n! die Anzahl der m¨ oglichen Sitzanordnungen von n Personen an einem Tisch ist. Solche Aussagen wurden glaubw¨ urdig gemacht, indem man sie f¨ ur die ersten Werte von n verifizierte, wobei beim Nachweis der G¨ ultigkeit der Aussage etwa f¨ ur n = 4 von ihrer schon bewiesenen G¨ ultigkeit f¨ ur n = 3 Gebrauch gemacht wurde und entsprechend nat¨ urlich bei den fr¨ uheren Werten f¨ ur n. Dabei wurde dann v¨ ollig klar, wie man vorzugehen h¨atte, wenn man die Aussage auch f¨ ur n = 5, 6, usw. nachzuweisen h¨atte, so dass der wirkliche Nachweis sich er¨ ubrigte, der Beweis also klar war. Ein Beispiel hierzu haben wir in dem bernoullischen Beweis der nach ihm benannten Ungleichung in Abschnitt 3 von Kapitel 1 gesehen und auch aus einigen euklidischen Beweisen haben wir Induktionsbeweise herauspr¨ apariert (VII.2, VII.14, VII.4, IX.20). Auf die Sitzanordnungen werden wir gleich zur¨ uckkommen. Wie man der sehr lesenswerten Arbeit Rashed 1972 entnimmt, scheiden sich die Geister an der Frage, wo vollst¨ andige Induktion zum ersten Male auftauchte. Darum soll es mir hier nicht gehen. Ich m¨ochte vielmehr nur einige Beispiele vorf¨ uhren, um das zu belegen, was ich gerade das Ahnen von diesem Prinzip genannt habe. Dann aber werde ich auf Dedekind und Peano eingehen. Merkw¨ urdig an der Arbeit von Rashed ist, dass sie zwar auf Peano eingeht, Dedekind aber mit keinem Wort erw¨ ahnt. Die heute unter dem Namen bachetsches W¨ageproblem bekannte Aufgabe findet sich schon in Fibonaccis liber abbaci (Boncompagni 1857, S. 297). Es wird danach gefragt, welches Gewicht vier Gewichte haben m¨ ussen, damit man mit ihnen alle ganzzahligen Gewichte von einem bis vierzig Pfund wiegen kann. Fibonacci beginnt damit festzustellen, dass man ein Gewicht von einem Pfund braucht, um ein

7. Induktion und Rekursion

237

Gewicht von einem Pfund zu wiegen. — Hier zeigt sich der Mathematiker, der auch eine solche Banalit¨ at erw¨ahnt. — Als zweites Gewicht nimmt er eines von 3 Pfund, welches er einmal als das Doppelte des ersten Gewichtes plus 1 und zum andern als das Dreifache des ersten Gewichtes beschreibt. Mit diesen beiden Gewichten lassen sich die Gewichte von 1, 2, 3 und 4 Pfund wiegen. Als drittes Gewicht nimmt er ein Gewicht, das um eins gr¨oßer ist als das Doppelte der Summe der beiden schon vorhandenen. Dieses Gewicht ist aber auch das dreifache des zweiten. Das dritte Gewicht hat also 9 Pfund. Das vierte Gewicht, wiegt 1 plus (zweimal) des Gewicht der restlichen Gewichte, das ist dreimal das dritte, das ist 27. Addiert man alle diese Gewichte, so erh¨alt man 40. Das eingeklammerte Zweimal fehlt im Text. Es geht aber aus dem Kontext hervor, dass dies ein Versehen ist. Wenn man Fibonaccis Schriften studiert, wird klar, dass er seinen Euklid inund auswendig kannte. Er kannte also insbesondere die Proposition IX.35, die uns in Abschnitt 5 begegnet ist, und die im vorliegenden Falle liefert, dass 3n+1 = 1 + 2

n 

3i

i:=0

ist. Das erkl¨art die jeweils zwei verschiedenen Beschreibungen des jeweils n¨achsten Gewichtes. Fibonacci kommentiert dies nicht. Wie macht Fibonacci nun klar, dass man mit den Gewichten 1, 3, 9, 27 alle ganzzahligen Gewichte von 1 bis 40 wiegen kann? Zun¨ achst muss man dazu noch sagen — was der Kontext zeigt —, dass man von einer Waage mit zwei Waagschalen ausgeht und dass die Gewichte auf beide Schalen gelegt werden d¨ urfen. Wir w¨ urden nun verallgemeinern und Induktion machen. Fibonacci geht davon aus, dass er mit den Gewichten 1, 3, 9 alle Gewichte von 1 bis 1 + 3 + 9 = 13 wiegen kann. Legt man das neue Gewicht, also 27, auf die eine Waagschale und die anderen Gewichte auf die andere, so ist die Differenz 14, so dass man also 14 Pfund an Ware zu den kleineren Gewichten hinzuf¨ ugen muss, um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen. Unterstreicht man die 14, so l¨ asst sich ihre Rolle als Ware bequem wie folgt beschreiben. 1 + 3 + 9 + 14 = 27. Hieran sieht man sofort, wie 15 darzustellen ist. 3 + 9 + 15 = 27. Dies ist offensichtlich und wird von Fibonacci nicht erl¨ autert. F¨ ur 16 gilt 3 + 9 + 16 = 27 + 1, wie Fibonacci erl¨autert. Schließlich erw¨ ahnt er noch, dass 9 + 22 = 27 + 3 + 1

238

Kapitel II. Zahlen

ist. Den Rest s¨ahe man ebenso ein. Dann f¨ ahrt er fort: Et si adderes quintum pesonem, cuius pondus esset triplum quarti, scilicet 81, ponderari cum hijs quinque pesonibus, quotlibet libre, a libra una usque in libras 121; et sic eodem ordine possunt addi pesones in infinitum. Das heißt: Und wenn du ein f¨ unftes Gewicht ” hinzuf¨ ugst, dessen Gewicht das Dreifache des vierten ist, werden mit diesen f¨ unf Gewichten jegliche Pfunde von einem Pfund bis zu 121 Pfunden gewogen; und so k¨ onnen Gewichte in dieser Ordnung in infinitum hinzugef¨ ugt werden.“ Man sieht hier das Bem¨ uhen, doch die Darstellung ist nicht so, dass man sofort einen Induktionsbeweis nach heutigen Vorstellungen daraus machen k¨ onnte. Man sieht insbesondere nicht, wie die Annahme benutzt wird, dass man mit den Gewichten 1, 3, 9 alles bis zum Gewicht 13 wiegen k¨ onne. Das ist bei Bachet anders (Bachet 1624, S. 215–219). Er beweist zuerst, die schon oben notierte Formel 3

n+1

=1+2

n 

3i .

i:=0

Diese Formel liest sich bei ihm so. Plusieurs termes estant proposez en continuelle proportion triple commen¸cante par 1. Le dernier est esgal au double de la somme de tous les precedens y adioustant 1. Dann stellt er fest, dass 1 = 1, 3 = 3, 1 + 3 = 4 und 1 + 2 = 3 ist. Nun nimmt er die Gewichte 1, 3, 9 und behauptet, dass er damit alles von 1 bis 13 wiegen kann. Er erinnert daran, dass er gerade gezeigt hat, dass er mit den Gewichten 1 und 3 alles bis 4 wiegen kann. Dann kann er aber mit dem weiteren Gewicht auch alles zwischen 9 − 1 − 3 und 9 + 1 + 3 wiegen. Nach seinem Satz gilt 1 + 2(1 + 3) = 9. Also ist 9 − 1 − 3 = 1 + (1 + 3), so dass die Gewichte, die nun noch gewogen werden k¨ onnen, sich nahtlos an die Gewichte anreihen, die man schon wiegen konnte. Bachet f¨ ahrt dann fort: & cette ” demonstration est vniuerselle, les mesmes raisons ayant lieu en tout nombre de pois choisis de mesme fa¸con. C’est pourquoy pour eviter prolixit´e ie mettray fin `a ceste questions.“ Bei Bachet sieht man sofort die Induktion, die man machen muss, will man beweisen, dass mit den Gewichten 1, 3, 32 , . . . , 3n alle ganzzahligen Gewichte man n i von 1 bis i:=0 3 wiegen kann. Insbesondere wird hier auch klar, weshalb Fibonacci die Potenzen von 3 mittels der vorhergehenden Potenzen von 3 beschrieb. Bachet nennt seinen Beweis allgemeing¨ ultig (vniuerselle). Er beende daher hier die Sache, um Weitscheifigkeit (prolixit´e ) zu vermeiden. Kehren wir zu Fibonacci zur¨ uck. Bei ihm gibt es viele implizite Induktionsbeweise, die besser durchgef¨ uhrt sind, als der bei der L¨ osung des W¨ageproblems. Insbesondere kommt auch die Situation vor, dass ein Vorzeichen von der Parit¨at von n abh¨ angt. In diesem Falle werden mehrere auf einander folgende Werte von n untersucht. Dann muss dem Leser klar sein, wie der allgemeine Fall aussieht. F¨ ur

7. Induktion und Rekursion

239

ein Beispiel sei der Leser an L¨ uneburg 1993, S. 164 verwiesen. Bei Fibonacci finden sich aber nicht nur Beispiele f¨ ur implizite Induktion, sondern auch f¨ ur Rekursion. Hier ist so ein Beispiel. Da Quadrate unter nat¨ urlichen Zahlen die Ausnahme sind, m¨ ussen Wurzeln aus nat¨ urlichen Zahlen approximiert werden. Dazu ben¨ otigt man als Anfangswert f¨ ur die Approximation die Wurzel aus dem gr¨ oßten ganzzahligen Quadrat unterhalb der Zahl, aus der die Quadratwurzel gezogen werden soll. Entsprechendes gilt f¨ ur Kubikwurzeln. Fibonacci lehrt also zun¨ achst, wie man die Wurzel dieses Quadrats findet. Dazu macht er zun¨ achst die Aussage, dass man die Anzahl der Stellen der Wurzel, wie wir die gesuchte ganze Zahl der Einfachheit halber nennen wollen, an der Zahl der Stellen der gegebenen Zahl ablesen kann. Ein- und zweistellige Zahlen haben einstellige, drei- und vierstellige Zahlen zweistellige, f¨ unf- und sechstellige Zahlen dreistellige Wurzeln und so ginge das weiter, dass n¨ amlich die Wurzel um eine Stelle w¨ achst, wenn der Radikand um eine oder zwei Stellen wachse. Dies wird festgestellt, aber nicht bewiesen. Um die Wurzel aus einer ein- oder zweistelligen Zahl zu ziehen, m¨ usse man die Quadrate der Zahlen 1 bis 9 im Kopf haben. Dann lehrt er an Hand der Beispiele 743 und 8754, wie man die Wurzel aus drei- und vierstelligen Zahlen zieht. Keine ¨ Uberraschung. Er lehrt den Algorithmus, den ich noch auf der Schule lernte. Die ¨ Uberraschung kommt jetzt. Um die Wurzel aus der f¨ unfstelligen Zahl 12345 zu ziehen, sagt er, man solle gem¨aß dem gerade Gelernten die Wurzel aus 123 ziehen. Herausk¨ ame 123 = 112 +2. Dann ist, in unserer Sprache formuliert, (112 + 2) · 100 = 12300 < 12345 < 122 · 100 und es geht weiter mit dem Ansatz 110 + k, wobei k so gew¨ahlt werden muss, dass 12100 + 220 · k + k 2 = (110 + k)2 m¨oglichste nahe an 12345 herankommt. Entsprechend geht er bei der sechstelligen Zahl 927435 vor. Bereits Gelerntes liefert, dass 9264 = 962 +58 ist. Dann bestimmt er auch noch explizit die letzte Stelle der Wurzel. Bei Kubikwurzeln geht er mutatis mutandis ebenso vor. Das sind Rekursionen, wie wir sie heute noch programmieren. Wer sich f¨ ur weitere Einzelheiten interessiert, sei an L¨ uneburg 1993, S. 256ff. oder direkt an Fibonaccis Text Boncompagni 1857, S. 353ff. verwiesen. Ich m¨ochte in diesem Zusammenhang jedoch noch an Hand eines fast vergessenen Algorithmus zeigen, dass man die P¨ unktcheninduktion auch heute noch Gewinn bringend im Unterricht einsetzen kann. Dabei meine ich jedoch nicht den Anf¨ angerunterricht an der Universit¨ at. Da sollte man auf formale Strenge achten. Es sei die Aufgabe gestellt, die nat¨ urliche Zahl k zu finden, f¨ ur die 763791 = k 2 + r < (k + 1)2

240

Kapitel II. Zahlen

gilt. Systematisches Probieren wird sofort als zu aufwendig erkannt. Die Formel

 (n + 1)2 = n2 + 2(n + 1) − 1 zeigt, dass das n-te Quadrat die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ist. Man k¨ onnte also versucht sein, sukzessive die Zahlen 1, 3, 5, usw. zu subtrahieren, bis man ein Ergebnis erreicht, das kleiner ist, als die n¨ achste ungerade Zahl in der Folge der ungeraden Zahlen. Die Anzahl der subtrahierten ungeraden Zahlen ist dann das gesuchte k. Um k zu finden, ben¨ otigt man im ersten Fall k Multiplikationen und im zweiten Fall k Subtraktionen. Das ist kein wesentlicher Gewinn. Dennoch m¨ochte ich dem zweiten Fall den Namen das große Schema geben, da wir es f¨ ur unsere Untersuchungen ben¨ otigen werden. Lassen wir uns von Fibonaccis Rekursion leiten. Nach seinem Vorschlag m¨ ussten wir zuerst die Quadratwurzel aus 7637 ziehen. Ich gehe in der Rekursion noch einen Schritt weiter zur¨ uck und beginne damit die Quadratwurzel aus 76 zu ziehen. Dazu benutze ich das große Schema. Dies ist etwas erweitert in der folgenden Tabelle systematisch aufgeschrieben.

1 2 3 4 5 6 7 8

76 1 75 3 72 5 67 7 60 9 51 11 40 13 27 15 12

76 = 02 + 76 2·1−1 76 = 12 + 75 2·2−1 76 = 22 + 72 2·3−1 76 = 32 + 67 2·4−1 76 = 42 + 60 2·5−1 76 = 52 + 51 2·6−1 76 = 62 + 40 2·7−1 76 = 72 + 27 2·8−1 76 = 82 + 12

In diesem Schema enthalten die beiden Spalten links des Doppelstrichs die ganze Information des großen Schemas, w¨ahrend die beiden Spalten rechts des Doppelstrichs diese Information kommentieren. Das Ganze f¨angt an mit der 76 und der selbstverst¨andlichen Bemerkung, dass 76 = 02 + 76 ist. Wie es weiter geht, sei an der vierten Doppelzeile erl¨autert. Ihre obere Zeile enth¨ alt die Zahl 67. Sie entstand aus der 76, indem der Reihe nach 1, 3, 5 insgesamt also 32 von ihr abgezogen wurde. Das ist in der letzten Spalte dieser Zeile als 76 = 32 + 67 notiert. In der zweiten Zeile der vierten Doppelzeile ist die 4 notiert, die Hausnummer dieses Blocks. Dann

7. Induktion und Rekursion

241

folgt die 7, die n¨ achste ungerade Zahl nach der 5, das ist die vierte ungerade Zahl. Diese Information steht in der dritten Spalte dieser Zeile als 2 · 4 − 1. Subtrahiert man nun die 7 von der 67, so kommt man mit dem Ergebnis 60 in die obere Zeile des f¨ unften Blocks. Der zweite Eintrag dieser Zeile ergibt sich dann aus 76 = 32 + 7 + 67 − 7 = 32 + 2 · 3 + 1 + 60 = 42 + 60. Es ist klar, wie es weiter geht. In der ersten Zeile des 9. Block schließlich steht in der zweiten Spalte der Rest 12. F¨ ur ihn gilt 12 < 17, wobei 17 die n¨ achste ungerade Zahl ist. Daher gilt 76 = 82 + 12 < 82 + 17 = 92 . Damit sind wir am ersten Ziel angelangt. Jetzt geht es darum, mit Hilfe der gewonnenen Information die Quadratwurzel aus 7637 zu bestimmen. Wenn man die Ungleichungskette, die zuletzt aufgeschriealt man ben wurde, mit 102 = 100 multipliziert, so erh¨ 7600 = 802 + 1200 < 802 + 1700 = 902 . Weil 1237 auch noch kleiner als 1700 ist, folgt weiter 7637 = 802 + 1237 < 802 + 1700 = 902 . Das heißt aber, dass f¨ ur die Quadratwurzel k von 7637, die ja die Ungleichungen k 2 ≤ 7637 < (k + 1)2 erf¨ ullt, auch die Ungleichungen 802 ≤ k 2 < 902 und damit die Ungleichungen 80 ≤ k < 90 gelten. Die Zahl k ist also zweistellig und ihre erste Ziffer ist eine 8. Es geht also nun darum, ihre zweite Ziffer zu bestimmen. Nichts einfacher als das. Die Gleichung 7637 = 802 + 1237 besagt ja nichts anderes, als das wir in den 81. Block des großen Schemas gesprungen sind. Diesen Block aber kann man unmittelbar hinschreiben. 81

1237 161

7637 = 802 + 1237 2 · 81 − 1

Von hier weiter zu rechnen, ist ein Kinderspiel. Nach sp¨ atestens acht Schritten ist die n¨ achste Ziffer erreicht. Im vorliegenden Fall hat man die n¨ achste Ziffer im 87. Block erreicht. Die beiden Eintr¨ age der ersten Zeile des 88. Blockes sind 68 und 7637 = 872 + 68. Mit diesem Ergebnis folgt 763791 = 7637 · 100 + 91 = 8702 + 6891.

242

Kapitel II. Zahlen

Wir springen also in den Block 871. Es geht dann weiter wie folgt: 871 872 873

6891 1741 5150 1743 3407 1745 1662

763791 = 8702 + 6891 2 · 871 − 1 763791 = 8712 + 5150 2 · 872 − 1 763791 = 8722 + 3407 2 · 873 − 1 763791 = 8732 + 1662

Damit haben wir 763791 = 8732 + 1662. Statt der 873 Subtraktionen sind es nun nur noch 8+7+3 = 18. Das ist wirklich eine große Ersparnis. Die Ersparnis wird um so gr¨ oßer, je mehr Stellen die Zahl hat, deren Quadratwurzel man berechnen will. Dieses Beispiel macht klar, so denke ich, dass der folgende, informell formulierte Algorithmus das Verlangte leistet Gegeben sei die Zahl n. Hat n h¨ ochstens zwei Dezimalstellen, so schreibe f¨ ur n das große Schema auf, um Zahlen k und r zu finden mit n = k 2 + r < (k + 1)2 . Hat n mehr als zwei Dezimalstellen, so trenne von der gegeben Zahl die beiden letzten Ziffern ab. Die Zahl, die sie darstellen, heiße b und der Kopf heiße a, so dass die Zahl also gleich a · 100 + b ist und u ¨ berdies b < 100 gilt. Berechne die Quadratwurzel k aus a. Dann ist a · 100 + b = (k · 10)2 + r · 100 + b. Mit dieser Information springe man in den Block mit der Hausnummer k · 10 + 1 des großen Schemas, usw. Hier passiert es nun in aller Regel, dass a mehr als zwei Stellen hat, so dass man die Quadratwurzel von a nicht direkt berechnen kann. Also muss man das Verfahren nun auf a an Stelle von n anwenden. Weil aber a zwei Stellen weniger als n hat, ist a kleiner als n, so dass man irgendwann an ein Ende kommt. Dieser Algorithmus wurde f¨ ur die Sprossenradmaschinen erfunden, mechanischen Rechenmaschinen, mit denen man alle vier Species beherrschte. Man findet sie heute noch gelegentlich auf Flohm¨arkten. Der Erfinder des Algorithmus ist der nach einem Chemiestudium zum Physiker gewordene August Joseph Ignaz Toepler. Publiziert wurde er durch den Ingenieur Franz Reuleaux (Reuleaux 1866). Letzterer ist bekannt durch das reuleauxsche Dreieck, ein Kreisbogendreieck konstanter Breite, und durch das erste Buch, in dem die Kinematik systematisch dargestellt wurde (Reuleaux 1875). Das reuleauxsche Dreieck dort auf den Seiten 131–133. Bei Luca Pacioli findet sich die Aufgabe, die Anzahl der m¨ oglichen Gruppierungen von 10 Personen an einem Tisch herauszufinden (Pacioli 1494, f. 43v , 44r ). Die Argumentation verl¨ auft wie folgt. Einer kann nur auf eine Weise platziert werden. Zwei auf zwei Weisen, einmal sitzt der eine am Kopfende, das andere Mal der andere. Drei k¨ onnen auf 6 Weisen gesetzt werden. Sitzt der dritte am Kopfende, so

7. Induktion und Rekursion

243

k¨ onnen die andern beiden noch auf zwei Weisen gesetzt werden. Sitzt der zweite am Kopfende, so k¨ onnen die restlichen zwei noch auf zwei Weisen platziert werden. Das ergibt 4 M¨oglichkeiten. Sitzt schließlich der erste am Kopfende, so kommen zwei weitere M¨oglichkeiten hinzu. Damit hat man die sechs M¨ oglichkeiten. Bei vieren gibt es 24 M¨oglichkeiten. Bleibt der vierte immer am gleichen Platz, so gibt es f¨ ur die restlichen drei 6 M¨oglichkeiten, commo habbiamo veduto, wie wir gesehen haben. Mit dem dritten am Kopfende ergeben sich 6 weitere M¨ oglichkeiten. Das ergibt 12. Sitzt der zweite am Kopfende, 6 weitere, also 18. Sitzt der erste am Kopfende, so gibt es weitere 6 M¨oglichkeiten, so dass es bei vier Personen insgesamt 24 M¨oglichkeiten gibt. Dann nimmt bei 5 Personen ein jeder der Reihe nach am Kopfende Platz. Man erh¨ alt hier 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 120 M¨ oglichkeiten. Hier wird die Situation nun analysiert und festgestellt, was ich nur durch die folgenden Gleichungen andeuten m¨ ochte, da der Leser die Situation kennt, 2 = 1 · 2, 6 = 2 · 3, 24 = 6 · 4 und 120 = 24 · 5. Damit schließt Pacioli dann weiter, dass es f¨ ur sechs Personen 120 · 6 = 720, f¨ ur sieben Personen 720 · 7 = 5040, f¨ ur 8 Personen 5040 · 8 = 40320, f¨ ur 9 Personen 40320 · 9 = 362880 und f¨ ur 10 Personen 3628800 M¨oglichkeiten gibt. Damit ist die Aufgabe gel¨ ost. Er geht aber noch weiter und gibt auch noch die Anzahl der Platzierungsm¨ oglichkeiten bei 11 Personen: 3628800 · 11 = 39916800. Danach f¨ ahrt er fort: per .12. dirai .12. via quello & sic in infinitum elqual modo si proua per la deducti˜ oe che prima comen¸camo a fare ideo &˜c. Das heißt: F¨ ur 12 werde ich sagen, 12 mal jener, ” und so in infinitum. Das beweist sich mittels der Herleitung, die wir wie zuvor einrichten werden (comen¸camo a fare) usw.“ In den Arbeiten Pascals zum arithmetischen Dreieck kommt nun Neues vor (Pascal 1998). Die eigentliche Arbeit gibt es in zwei Versionen, einer lateinischen ¨ und einer franz¨ osischen, wobei keine die Ubersetzung der anderen ist. Sie unterscheiden sich schon in der Erzeugung des arithmetischen Dreiecks, das bei Pascal in Wirklichkeit aus abz¨ahlbar vielen arithmetischen Dreiecken besteht. Die Arbeiten Pascals zum arithmetischen Dreieck sind zusammen mit Anwendungen dieses Dreiecks postum erstmals 1665 erschienen. N¨aheres hierzu in Pascal 1998, S. 1051 ff. In diesem Band auch die von mir benutzten Quellen. In beiden Versionen definiert er ein rechteckiges Schema von Zahlen, dessen Zeilen und Spalten sukzessive mit den nat¨ urlichen Zahlen 1, 2, 3, usw. nummeriert werden. Wir notieren hier den Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte mit Ai,j . Pascal kennt noch keine Indizes, was die Darstellung sehr beeintr¨achtigt und eine saubere Durchf¨ uhrung vollst¨ andiger Induktion verhindert. Die Quadrate, die durch das Schneiden von Zeilen und Spalten entstehen, heißen bei ihm Zellen und die Folgen der Zellen, deren Indizes i und j die Gleichung i + j = n + 1 erf¨ ullen, heißen Basen, wobei die Nummer n bei ihm nicht explizit auftritt. Zu gegebem n bilden ur die i + j ≤ n + 1 gilt, mit ihren Inhalten ein arithmetisches die Zellen Ai,j , f¨ Dreieck, das n-te. Pascal nennt auch das ganze Schema A arithmetisches Dreieck, was auch wir tun wollen. Was die Inhalte der Zellen sind, wird nun erkl¨ art. In der lateinischen Version erzeugt Pascal das arithmetische Dreieck A wie folgt: j ur alle j ∈ N und Ai+1,j := r:=1 Ai,r f¨ ur alle i, j ∈ N. Das Ganze Es ist A1,j := 1 f¨

244

Kapitel II. Zahlen

wird, wie schon angedeutet, nur in Worten beschrieben. Dabei ist interessant, dass er offensichtlich auch Summen aus nur einem Summanden zul¨ asst, wozu er sich ur alle i ∈ N zur aber nicht a¨ußert. Dass er solche Summen zul¨asst, hat Ai,1 = 1 f¨ Folge, was nicht eigens notiert wird. Die erste Folgerung, die er notiert, ist die, dass Ai+1,j = Ai+1,j−1 + Ai,j ist f¨ ur alle i, j ∈ N mit j ≥ 2. Es ist ja Ai+1,j :=

j−1 

Ai,r + Ai,j = Ai+1,j−1 + Ai,j .

r:=1

Diese Rekursionsgleichung benutzt er in der franz¨osischen Version zur Definition des arithmetischen Dreiecks. Dort belegt er die erste Zelle mit einer beliebigen Zahl, die er jedoch meist mit 1 identifiziert. Dann definiert er f¨ ur i ∈ N0 und j ∈ N den Inhalt der Zelle Ai+1,j durch Ai+1,j = Ai+1,j−1 + Ai,j . Hier passiert es nun, dass A0,j und Ai+1,0 nicht definiert sind. Kommen diese nicht definierten Zellen vor, so belegt Pascal sie ausdr¨ ucklich mit 0. Die Rekursionsgleichung, die zur Erzeugung des arithmetischen Dreiecks in der lateinischen Version benutzt wird, wird nun zur Folge. Inhaltlich unterscheiden sich die beiden Versionen ansonsten kaum, so dass wir unser Augenmerk nur noch auf die erste richten. Alles, was an Folgerungen gezogen wird, wird aus der Definition des arithmetischen Dreiecks herausgeholt. Irgendwelche kombinatorischen Interpretationen, Interpretation als die Koeffizienten der Entwicklung der n-ten Potenz eines Binoms oder Anwendung auf die Frage, wie der Einsatz bei Gl¨ ucksspielen zu verteilen sei, wenn das Spiel vorzeitig abgebrochen wird, werden in eigenen Noten abgehandelt. Im Zusammenhang mit Induktion sind die Folgerungen 6 und 7 interessant. Folgerung 6. Es ist n 

Ai+1,n+1−i = 2

i:=0

n−1 

Ar+1,n−r .

r:=0

Mit Folgerung 1 folgt n 

Ai+1,n+1−i = A1,n+1 + An+1,1 +

i:=0

n−1 

Ai+1,n+1−i

i:=1

= A1,n + An,1 +

n−1 

(Ai+1,n−i + Ai,n+1−i ).

i:=1

7. Induktion und Rekursion

245

Es ist A1,n +

n−1 

Ai+1,n−i =

i:=1

und An,1 +

n−1 

n−1 

Ai+1,n−i

i:=0

Ai,n+1−i = An,1 +

i:=1

= An,1 +

n−1  i:=1 n−2 

Ai−1+1,n−(i−1) Ai+1,n−i

i:=0

=

n−1 

Ai+1,n−i .

i:=0

Damit ist alles gezeigt. n Folgerung 7. Es ist i:=0 Ai+1,n+1−i = 2n . Hier sagen wir: Induktion mit 6. Pascal jedoch ist an dieser Stelle noch ganz im Alten gefangen. Seine Formulierung der siebten Folgerung und deren Beweis lauten: Summa cellularum basis cuiuslibet, numerus est progressionis duplae quae ab unitate sumit exordium, quippe ille cujus exponens idem est ac exponens basis. Etenim prima basis ex generatione est 1 Secunda ex praeced . dupla est primae, est ergo 2 Tertia ex praec. dupla est secundae, est ergo 4 etc. Das heißt: Die Summe der Zellen irgendeiner Basis ist eine Zahl aus der bei eins ” beginnenden Zweifachprogression, genauer, diejenige Zahl, deren Exponent gleich ist dem Exponenten der Basis. In der Tat, die erste Basis ist auf Grund der Erzeugung gleich 1. Die zweite auf Grund des Vorhergehenden das Doppelte der ersten, also 2. Die dritte auf Grund des Vorhergehenden das Doppelte der zweiten, also 4. Und so weiter.“ Dies ist also die bis dato u ¨ bliche P¨ unktcheninduktion. Hier ist zu bemerken, dass Pascals exponens nicht unser Exponent ist. Er nennt die Zeilenindizes des arithmetischen Dreiecks exponentes und offensichtlich auch die Hausnummern der Potenzen von 2 in der Folge 1, 2, 22 , usw., wobei er die Glieder mit 1 anf¨ angt zu z¨ ahlen. Seine Exponenten sind nach unserem Verst¨ andnis also um 1 zu groß. Was wir Spaltenindizes nennen, heißt bei ihm radix , also Wurzel. Wenig sp¨ater heißt es dann als elfte Folgerung Duarum quarumlibet cellularum contiguarum ejusdem basis, inferior est ad superiorem, ut radix inferioris, ad exponentem seriei superioris. Dies heißt: Von zwei benachbarten Zellen der gleichen Basis verh¨alt sich die ” untere zur oberen wie die Wurzel der unteren zum Exponenten der oberen.“ In heutige Sprache u ¨bersetzt lautet das:

246

Kapitel II. Zahlen

Folgerung 11. Ist i > 1, so ist Ai,j : Ai−1,j+1 = j : (i − 1). Bevor er an den Beweis dieser Folgerung geht, kommentiert er sie, Neues schaffend. Sunt huius propositionis infiniti casus, sunt enim infinitae bases, breviter tamen demonstrabo supponendo duo lemmata. Primum (quod ex se manifestum est) proportionem istam in secunda base contingere, ϕ enim est ad σ, ut 1 ad 1. Secundum, illud est. Si haec proportio contingit in base quacumque, necessario et in sequenti base contingere. Das heißt: Diese Proposition beinhaltet unendlich viele F¨ alle, da es ja unendlich viele ” Basen gibt. Dennoch werde ich sie kurz gefasst (breviter ) beweisen, indem ich zwei Lemmata zu Grunde lege. Das erste, (was aus sich heraus klar ist.) Die Proportion gilt in der zweiten alt sich n¨ amlich zu σ (unser A1,2 ) wie 1 zu 1. Basis, ϕ (unser A2,1 ) verh¨ Das zweite dieses ist.Wenn diese Proportion in irgendeiner Basis gilt, gilt sie notwendigerweise auch in der n¨ achsten.“ Und dann kommt das Dominosteinargument: Der erste Stein f¨ allt nach Lemma 1, also auch der zweite nach Lemma 2, also auch der dritte nach Lemma 2 und so in infinitum. Im Original liest sich das so: Ex his lemmatis facile concluditur singulas bases hanc sortiri proportionem, contingit enim in secunda base ex lemma 1 . Ergo ex 2 lemm. continget etiam in tertia base, quare ex eodem et in quarta et sic in infinitum. Und dann der Kommentar: Totum ergo negotium in secundi lemmatis demonstratione consistit, quae sic fiet. Das ist: Die ganze Arbeit besteht also im Beweise des zweiten Lemmas. Der ” verl¨ auft so.“ Er nimmt nun an, dass die Aussage f¨ ur die vierte Basis gelte, und beweist unter dieser Annahme, dass A4,2 : A3,3 = 2 : 3 ist. Aus Pascals Beweis l¨asst sich ein Beweis herauspr¨ aparieren, der auch uns zufrieden stellt. Er ist wieder ein sch¨ ones Beispiel f¨ ur das Rechnen mit Proportionen. Die benutzten S¨ atze m¨oge der Leser sich selbst heraussuchen. Es ist Ai,1 = 1 und Ai−1,2 = i − 1 f¨ ur alle i ≥ 2. Also gilt Ai,1 : Ai−1,2 = 1 : (i − 1). Am anderen Ende einer Basis gilt ebenfalls A2,j : A1,j+1 = j : 1. Wir machen Induktion nach n := i + j − 1. Es sei n = 2. Dann ist i = 2 und j = 1. In diesem Falle gilt die Aussage, wie schon gesehen. Es sei also n ≥ 2 und der Satz gelte f¨ ur n. Es sei i ≥ 2 und i + j − 1 = n + 1. Ist i = 2, so gilt die fragliche Ausssage, wie schon bemerkt. Es sei also i > 2. Nach Induktionsannahme ist Ai,j−1 : Ai−1,j = (j − 1) : (i − 1).

7. Induktion und Rekursion

247

Rechnen mit Proportionen liefert zusammen mit 1. Ai,j : Ai−1,j = (Ai,j−1 + Ai−1,j ) : Ai−1,j = (i + j − 2) : (i − 1). Nach Induktionsannahme gilt weiter Ai−1,j : Ai−2,j+1 = j : (i − 2). Hieraus folgt Ai−2,j+1 : Ai−1,j = (i − 2) : j und weiter Ai−1,j+1 : Ai−1,j = (Ai−2,j+1 + Ai−1,j ) : Ai−1,j = (i + j − 2) : j. Hieraus folgt wiederum Ai−1,j : Ai−1,j+1 = j : (i + j − 2). Hieraus folgt schließlich mit dem bereits bewiesenen Ai,j : Ai−1,j = (i + j − 2) : (i − 1), dass Ai,j : Ai−1,j+1 = j : (i − 1) ist. Damit ist alles bewiesen. Pascal l¨ uftet also einen weiteren Schleier vom Prinzip der vollst¨ andigen Induktion. Seine sprachlichen Mittel waren aber noch nicht so weit gereift, dass er sie makellos h¨atte durchf¨ uhren k¨ onnen. Saubere Induktionsbeweise finden sich bei K¨ astner. So zeigt er, dass die Anzahl der Versetzungen von n Dingen gleich n! ist, wobei er dieses Symbol aber noch nicht kennt. Sein Argument besteht darin, dass er in jede der n − 2 L¨ ucken zwischen n − 1 Elementen ein n-tes Element setzen kann, wie auch an ihren Anfang und an ihr Ende. Somit erh¨ alt er n · (n − 1)! = n! Versetzungen f¨ ur n Elemente, falls (n − 1)! die Anzahl der Versetzungen von n − 1 ur Elementen ist. (K¨ astner 1794, S. 33f.). Ebenso sauber zeigt er, dass 2n > n ist f¨ alle n ∈ N (S. 40f.). Es sei hier noch angemerkt, dass Pascal die Zahlen aus N vulgo numeri naturales, das ist wie u ¨ blich nat¨ urliche Zahlen“ nennt (Œuvre I, Ss. 194, 276, 277). ” Dedekind beschreibt die nat¨ urlichen Zahlen im Rahmen der Mengenlehre, die damals erst im Entstehen war. Dedekinds B¨ uchlein Was sind und was sollen die ” Zahlen“, das 1888 zum ersten Male erschien, hat seinen Beitrag zu ihrer Entwicklung geleistet. Zu Anfang dieses B¨ uchleins beschreibt Dedekind n¨ amlich — ohne eine Axiomatik zu versuchen — den Umgang mit Mengen und Abbildungen. Ist S eine Menge — Dedekind nennt Mengen Systeme —, ist ϕ eine Abbildung von S in sich und ist X eine Teilmenge von S, so heißt X Kette, falls ϕ(X) ⊆ X ist.

248

Kapitel II. Zahlen

Ob X Kette ist oder nicht, h¨ angt also von ϕ ab. Es bezeichne Kϕ die Menge der Ketten von S. Ist A eine Teilmenge oder ein Element von S, so setzt er  X. Ao := A⊆X∈Kϕ

Der Operator o ist ein Beispiel f¨ ur einen H¨ ullenoperator. Dedekind ist nun in der Lage, den Begriff des einfach unendlichen Systems zu definieren. Es heißt N also einfach unendliches System, wenn es eine Abbildung ϕ von N in sich gibt und ein Element 1 ∈ N , so dass Folgendes gilt: β) Es ist N = 1o . γ) Es ist 1 ∈ ϕ(N ). δ) Die Abbildung ϕ ist injektiv. Dedekinds Vokabular ist ein klein wenig anders, doch das tut nichts zur Sache. Die Bedingung α), die hier weggelassen wurde, besagte, dass ϕ eine Abbildung von N in sich ist. Die Bedingung β) ist nat¨ urlich das Induktionsprinzip. Ist n¨ amlich X eine Teilmenge von N , ist 1 ∈ X und gilt ϕ(x) ∈ X f¨ ur alle x ∈ X, so ist X eine Kette von N mit 1 ∈ X, so dass N = 1o ⊆ X und daher X = N gilt. Man beachte, dass bei β) u ¨ ber alle Teilmengen von N quantifiziert wird. Die Abbildung ϕ imitiert das Z¨ahlen: 2 = ϕ(1), 3 = ϕ(2), usw. Wenig sp¨ater erkl¨art er dann: Wenn man bei der Betrachtung eines einfach ” unendlichen, durch eine Abbildung ϕ geordneten Systems N von der besonderen Beschaffenheit der Elemente g¨anzlich absieht, lediglich ihre Unterscheidbarkeit festh¨alt und nur die Beziehung auffaßt, in der sie durch die Abbildung ϕ zu einander gesetzt sind, so heißen diese Elemente nat¨ urliche Zahlen oder Ordinalzahlen oder auch schlechthin Zahlen, und das Grundelement 1 heißt die Grundzahl der Zahlenreihe N .“ Hier nimmt er vorweg, was erst mit Hilfe des Rekursionssatzes bewiesen werden kann, dass alle einfach unendlichen Systeme isomorph sind. Der dedekindsche Beweis des Rekursionssatzes wird durch eine Reihe von S¨atzen vorbereitet, die auch f¨ ur sich gesehen interessant sind. U. a. wird die Anordnung von N definiert und ihre grundlegenden Eigenschaften abgeleitet. Bevor hier der Rekursionssatz formuliert und bewiesen wird, sei die Bezeichnung ein klein wenig abge¨ andert, so dass der Text besser zu lesen ist. Insbesondere bekommt die Abbildung ϕ einen neuen Namen und statt einfach unendliches ” System“ werden wir Dedekindtripel“ sagen. ”  Es sei N eine Menge. Ferner sei 1 ∈ N und sei eine Abbildung von N in sich. Wir nennen (N, 1,  ) Dedekindtripel , falls gilt a) Es ist 1 ∈ N  . b) Die Abbildung  ist injektiv. c) Ist T eine Teilmenge von N , ist 1 ∈ T und gilt T  ⊆ T , so ist T = N .

7. Induktion und Rekursion

249

Fasst man die Abbildung  als Nachfolgerfunktion auf, so besagt also a), dass 1 keinen Vorg¨ anger hat, w¨ ahrend b) besagt, dass kein n ∈ N zwei Vorg¨anger hat. Diese beiden Eigenschaften beschreiben also das Minimum dessen, was man beim Z¨ahlen erwartet. Die Eigenschaft c) ist das Induktionsprinzip. Hinter ihm verbirgt sich die ganze Macht der Mengenlehre, wird bei ihm doch u ¨ ber alle Teilmengen von N quantifiziert. Grundlegend f¨ ur alles Kommende ist der Rekursionssatz von Dedekind. Er macht eine Aussage dar¨ uber, dass man unter gewissen Bedingungen eine Abbildung der Menge der nat¨ urlichen Zahlen in eine andere findet, die wiederum gewissen vorgegebenen Eigenschaften gen¨ ugt. Bei seinem Beweis wird seinerseits u ¨ ber alle Teilmengen einer gewissen Menge quantifiziert. Rekursionssatz. Es sei (N, 1,  ) ein Dedekindtripel, A sei eine Menge und R sei eine Abbildung von A in sich, die sog. Rekursionsregel. Ist dann a ∈ A, so gibt es genau eine Abbildung f von N in A mit f (1) = a und

 f (n ) = R f (n) f¨ ur alle n ∈ N . Beweis. Es sei Φ die Menge aller bin¨aren Relationen g auf N × A mit den Eigenschaften a) Es ist (1, a) ∈ g. b) Ist n ∈ N , b ∈ A und (n, b) ∈ g, so ist (n , R(b)) ∈ g. Setze f :=



g.

g∈Φ

Dann leistet f das Verlangte, wie wir nun zeigen werden. Zun¨ achst ist klar, dass f ∈ Φ gilt. Wir m¨ ussen zeigen, dass f eine Abbildung ist. Dazu m¨ ussen wir zeigen, dass es zu n ∈ N genau ein b ∈ A gibt mit (n, b) ∈ f . Um dieses zu zeigen, sei T die Menge der n ∈ N , f¨ ur die es genau ein b ∈ A gibt mit (n, b) ∈ f . Wir zeigen zun¨ achst, dass 1 ∈ T gilt. Das einzige, was wir ja wirklich zur Verf¨ ugung haben, ist das Induktionsprinzip, so dass wir auf seine Anwendung hinsteuern. Es gilt (1, a) ∈ f . Es sei a = w ∈ A und (1, w) ∈ f . Wir setzen f ∗ := f −{(1, w)}. Wegen w = a ist dann (1, a) ∈ f ∗ , so dass a) gilt. Es sei weiter (n, b) ∈ f ∗ . Dann ist (n, b) ∈ f und folglich (n , R(b)) ∈ f . Nun ist 1 ∈ N  und daher (n , R(b)) = (1, w), so dass sogar (n , R(b)) ∈ f ∗ gilt. Folglich ist f ∗ ∈ Φ und daher f ⊆ f ∗ . Wegen (1, w) ∈ f folgt der Widerspruch (1, w) ∈ f ∗ . Dieser Widerspruch zeigt, dass 1 ∈ T gilt. Es gelte n ∈ T . Es gibt dann genau ein b ∈ A mit (n, b) ∈ f . Es folgt (n , R(b)) ∈ f . Es sei R(b) = w ∈ A und es gelte (n , w) ∈ f . Wir setzen wieder f ∗ := f − {(n , w)}. Wegen n = 1 ist dann (1, a) ∈ f ∗ . Es sei m ∈ N und es gebe at von  , dass ein x ∈ A mit (m, x) ∈ f ∗ . Ist m = n, so folgt aus der Injektivit¨     auch m = n ist. Dies hat wiederum (m , R(x)) = (n , w) zur Folge, so dass

250

Kapitel II. Zahlen

(m , R(x)) ∈ f ∗ ist, da ja (m, x) ∈ f gilt. Ist m = n so folgt x = b und damit (n , R(b)) ∈ f ∗ . Es folgt wieder der Widerspruch f ⊆ f ∗ . Also gilt auch n ∈ T . Auf Grund des Induktionsprinzips ist daher T = N , so dass f in der Tat eine Abbildung ist. Schreibt man nun f (n) = b an Stelle von (n, b) ∈ f , so gilt also f (1) = a. Ist f (n) = b, so bedeutet das in der urspr¨ unglichen Schreibweise (n, b) ∈ f . Es folgt (n , R(b)) ∈ f , dh., f (n ) = R(f (n)). Damit ist die Existenzaussage des Satzes bewiesen. Um die Einzigkeitsaussage zu beweisen, sei g eine Abbildung von A in sich und ur alle n ∈ N . Es sei T die Menge aller es gelte g(1) = a und g(n ) = R(g(n)) f¨ n ∈ N mit f (n) = g(n). Dann ist 1 ∈ T . Ist n ∈ T , so folgt



 f (n ) = R f (n) = R g(n) = g(n ) und damit n ∈ T . Mittels des Induktionsprinzips folgt T = N und weiter f = g. Damit ist alles bewiesen. Der hier wiedergegebene Beweis ist verschieden von dem dedekindschen. Dedekind konstruiert die Abbildung f von unten her. Korollar. Sind (N, 1N ,  ) und (M, 1M ,  ) Dedekindtripel, so gibt es einen Isomorphismus von (N, 1N ,  ) auf (M, 1M ,  ). Beweis. Definiere die Abbildung RM von M in sich durch RM (x) := x . Auf Grund des Rekursionssatzes gibt es dann genau eine Abbildung σ von N in M mit σ(1N ) = 1M und

 σ(n ) = RM σ(n) = σ(n) . Dies zeigt, dass σ ein Homomorphismus ist. Ebenso gibt es einen Homomorphismus τ von (M, 1M ,  ) in (N, 1N ,  ), dh., eine Abbildung τ von M in N mit τ (1M ) = 1N und τ (m ) = τ (m) . Es folgt τ σ(1N ) = τ (1M ) = 1N . Es sei n ∈ N und τ σ(n) = n. Dann ist



 τ σ(n ) = τ σ(n) = τ σ(n) = n . Das Induktionsprinzip besagt daher, dass τ σ = idN ist. Dann ist aber auch στ = idM . Folglich ist σ bijektiv und τ ist die zu σ inverse Abbildung. Somit ist σ ein Isomorphismus. Es gibt also bis auf Isomorphie nur ein Dedekindtripel, falls es u ¨berhaupt eins gibt. Ein solches nennen wir in Zukunft N und sprechen von ihm als der Menge der nat¨ urlichen Zahlen. Diesen Rekursionssatz, bzw. Varianten von ihm, ben¨ otigt man zur Definition von Addition und Multiplikation auf N und nat¨ urlich immer, wenn etwas durch

7. Induktion und Rekursion

251

Rekursion definiert wird. Wir wollen das hier nicht weiter ausf¨ uhren und gehen im Folgenden mit N so um wie bisher. Jahrtausende alte Erfahrung im Umgang mit nat¨ urlichen Zahlen hat uns die Sicherheit verschafft, sie in der richtigen Weise zu gebrauchen. Ich wollte hier nur daran erinnern, dass das Hantieren mit nat¨ urlichen Zahlen auch der Begr¨ undung bedarf und dass es diese Begr¨ undung gibt. Wer an Einzelheiten interessiert ist, sei an Dedekinds Originalschrift, die viele Auflagen erlebt hat, oder etwa an L¨ uneburg 1989 verwiesen. Dort wird eine Variante des Rekursionssatzes formuliert und bewiesen, die nicht von mir stammt. Die Einf¨ uhrung der Anordnung, der Addition und der Multiplikation auf N, sowie die Theorie der endlichen Mengen wird im Wesentlichen wie bei Dedekind durchgef¨ uhrt. Vor Dedekind hatte schon Frege (1884/1987) eine rein aus der Logik erwachsende Beschreibung der nat¨ urlichen Zahlen versucht. Sein B¨ uchlein war f¨ ur mich schwer verdaulich. Es besteht zum gr¨oßeren Teil aus Kritik an Versuchen Anderer, die Natur der nat¨ urlichen Zahlen zu erkl¨ aren, wie im Verwerfen von Vorschl¨agen, die der Leser vielleicht machen k¨onnte. Er erkl¨ art schließlich den Begriff der Gleichzahligkeit der Begriffe F und G, indem er sagt: Es gibt eine Beziehung ϕ, welche ” die unter den Begriff F fallenden Gegenst¨ ande den unter G fallenden Gegenst¨ anden beiderseits eindeutig zuordnet.“ Der Kontext macht klar, dass eine beiderseits eindeutige Beziehung das ist, was wir heute mit Bijektion bezeichnen. Weiter definiert er: Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes ” ,gleichzahlig dem Begriff F‘“. Er definiert auch 0 und 1 wie auch, wann m Vorg¨anger von n ist. Die nat¨ urlichen Zahlen selbst werden rekursiv definiert, wobei diese Rekursion keine Begr¨ undung erf¨ ahrt. Bei der Definition der Anzahl setzt wohl Russels Kritik ein, die er in einem Brief an Frege vom 16. Juni 1902 a¨ußerte (Frege 1987, S. 144). Frege sah danach seinen Versuch der nur auf der Logik begr¨ undeten Einf¨ uhrung der nat¨ urlichen Zahlen als gescheitert an (Frege 1987, S. 145). H¨ aufig wird die dedekindsche Beschreibung der nat¨ urlichen Zahlen peanosches Axiomensystem genannt. Das ist schon deswegen nicht korrekt, als Peano seine Beschreibung der nat¨ urlichen Zahlen erst 1889 publizierte (Peano 1889). Das peanosche Axiomensystem leistet nun zwar das Gleiche wie das dedekindsche, doch ist in ihm ein Stilbruch zu bemerken, der, wenn u ¨berwunden, in eine neue Richtung weist, die wir in diesem Buch allerdings nicht verfolgen werden. Peano beginnt n¨ amlich seine kleine Schrift wie folgt: Quaestiones, quae ad mathematicae fun” damenta pertinent, etsi hisce temporibus a multis tractatae, satisfacienti et adhuc carent. Hic difficultas maxime ex sermonis ambiguitate oritur.“ Das heißt: Fragen, ” die die Grundlagen der Mathematik betreffen, sind, obgleich von vielen bis in die heutige Zeit angegangen, bislang ohne befriedigende L¨ osung geblieben. Die wirklich große Schwierigkeit hier beruht auf der Zweideutigkeit der Sprache.“ Um also Sprache mit ihrer Zweideutigkeit zu vermeiden, formalisiert er das, was er zu sagen hat. Nach der Einleitung schreibt er zun¨ achst eine Reihe von Propositionen der Logik auf beginnend mit

252

Kapitel II. Zahlen

1. a ⇒ a 2. ((a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)) ⇒ (a ⇒ c) 3. (a = b) = ((a ⇒ b) ∧ (b ⇒ a)) 4. a = a 5. (a = b) = (b = a) usw. Nur selten kommt ein Wort der Erl¨auterung. Es gibt auch Propositionen u ¨ ber Mengen, die bei ihm Klassen heißen. Die Aussage k ist Klasse“ beschreibt ” er durch k  K und a  k liest er als a ist ein k“. Es folgen die Grundlagen der ” Arithmetik. Dies liest sich dann so: Explicationes Signo N significatur   1   a+1   =

numerus (integer positivus) unitas sequens a sive a plus 1 est aequalis

Das Gleichheitszeichen sieht er in diesem Zusammenhang als neues Zeichen an, wie er kommentierend schreibt. Es kam schon in den Propositionen aus der Logik vor in der Bedeutung, dass etwas gleichwertig sei — gleichg¨ ultig, wie Germain Kreweras mit der Logik, aber nicht der Sprachgewohnheit auf seiner Seite bei einem Vortrag bei dem S´eminaire lotharingien de combinatoire am 18. 9. 1990 in Salzburg sagte, den er auf Deutsch hielt. — Peanos Kommentar steht im Original noch in der Liste der Explicationes. Es geht dann weiter. Axiomata 1. 1  N . 2. a  N. ⇒ .a = a. 3. a, b  N. ⇒: a = b. = .b = a. 4. a, b, c  N. ⇒ . . . a = b. b = c :⇒ .a = c. 5. a = b. b  N :⇒ .a  N . 6. a  N. ⇒ .a + 1  N. 7. a, b  N. ⇒: a = b. = .a + 1 = b + 1. 8. a  N. ⇒ .a + 1 ¬ = 1. Dabei bezeichne ¬ die Verneinung non. 9. k  K . . . 1  k . . . x  N.x  k :⇒x x + 1  k ::⇒ N ⊆ k. Notieren wir das in der Umgangssprache. 1. 1 ist Zahl. 2. Ist a Zahl, so ist a = a. 3. Sind a und b Zahlen, so ist a = b gleichbedeutend mit b = a. 4. Sind a, b und c Zahlen, ist a = b und b = c, so ist a = c. 5. Ist a = b und ist b Zahl, so ist a Zahl. 6. Ist a Zahl, so ist a + 1 Zahl. 7. Sind a und b Zahlen, so ist a = b gleichbedeutend mit a + 1 = b + 1.

7. Induktion und Rekursion

253

8. Ist a Zahl, so ist a + 1 verschieden von 1. Bislang ist das Wort Menge“ noch nicht gefallen. In 9. heißt es jedoch: ” 9. Ist k Menge, ist 1 ein k und folgt aus, ist x Zahl und ist x ein k, dass auch x + 1 ein k ist, so ist jede Zahl ein k. In 9. wird also u ¨ ber alle Mengen quantifiziert, w¨ ahrend in den Axiomen 2 bis 8 nur u ¨ ber Zahlen quantifiziert wird. Das ist ein Stilbruch. Ich weiß nicht, ob dies Peano bewusst war. Es ist aber anderen aufgefallen und man fing an, die Bedingung 9 im Rahmen der Modelltheorie abzuschw¨ achen. Daraus entstand dann, was heute Peano-Arithmetik genannt wird. Bevor hierzu ein kurzes Wort gesagt wird, sei noch bemerkt, dass Peano keinen Rekursionssatz in seiner Arbeit hat. Er muss den dedekindschen Rekursionssatz aber gekannt haben, sagt er doch in seiner Arbeit: Utilius quoque mihi fuit recens ” scriptum: R. DEDEKIND, Was sind und was sollen die Zahlen, Braunschweig, 1888, in quo quaestiones, quae ad numerorum fundamenta pertinent, acute examinantur.“ Zuvor hatte er noch gesagt, dass er bei den Beweisen von der Arithmetik von Graßmann 1861 Gebrauch gemacht habe. Im Anf¨ angerunterricht f¨ uhrt man das Induktionsprinzip meist sehr salopp ein, indem man von Eigenschaften E redet, die von n abh¨ angen. Dass dann E(n) f¨ ur alle n gelte, wenn E(1) gelte und wenn aus der G¨ ultigkeit von E(n) stets die G¨ ultigkeit von E(n + 1) folgte. Dabei bleibt v¨ ollig offen, wie so eine Eigenschaft denn aussehen kann. Hier setzen nun die formalen Sprachen ein und es sei kurz geschildert, wie eine formale Sprache f¨ ur die Nachfolgertheorie aussehen kann. Dabei lasse ich mich aber nicht auf Feinheiten ein wie die, dass man nicht wirklich alle die Zeichen ben¨otigt, von denen gleich die Rede sein wird. Wir benutzen die Zeichen =, ¬, ∨, ∧, →, ⇐⇒ , ∀, ∃ sowie eine sich ¨offnende und eine sich schließende Klammer. Man ben¨otigt ferner abz¨ ahlbar viele Variable n1 , ur nat¨ urliche Zahlen, das Operationssymbol  und das Konstantensymbol n2 , etc. f¨ 1. Alle diese Symbole bilden das Alphabet A, welches der Sprache zu Grunde liegt, die uns interessiert. Die Menge A∗ der W¨ orter u ¨ ber A ist die Menge der endlichen achst die Folgen aus Buchstaben des Alphabets A. Aus A∗ sondern wir nun zun¨ Menge der Terme aus. 1) 1 ist ein Term. 2) Die nj sind Terme. 3) Ist t ein Term, so ist auch t ein Term. 4) Nur solche W¨ orter sind Terme, die sich durch endlich viele Anwendungen der Regeln 1), 2) und 3) erzeugen lassen. Die Menge der Terme bezeichnen wir mit T . Die Terme dieser formalen Sprache haben alle eine sehr einfache Form. Es sind n¨ amlich die ni mit endlich vielen Strichen rechts oben wie zum Beispiel n oder 1 mit endlich vielen Strichen rechts i oben. Die Variable nj kommt in der Zeichenreihe Z ∈ A∗ vollfrei vor, wenn nj in Z vorkommt, wenn in Z aber keine Zeichenreihe der Form ∃nj oder ∀nj vorkommt,

254

Kapitel II. Zahlen

wenn nj also nirgendwo in Z durch Quantoren gebunden ist. Kommt nj in Z vollfrei vor, so deuten wir das auch durch Z(nj ) an. Die hierzu geh¨ orende formale Sprache S ist nun wie folgt definiert: a) Sind t1 , t2 ∈ T , so ist (t1 = t2 ) ∈ S. b) Ist H ∈ S, so ist ¬H ∈ S. c) Sind H1 , H2 ∈ S, so ist (H1 ∧ H2 ) ∈ S, (H1 ∨ H2 ) ∈ S, (H1 → H2 ) ∈ S, (H1 ⇐⇒ H2 ) ∈ S. d) Ist H(nj ) ∈ S und kommt nj in H(nj ) vollfrei vor, so ist ∀nj H(nj ) ∈ S und ∃nj H(nj ) ∈ S. e) Nur solche W¨ orter aus A∗ geh¨oren zu S, die sich durch endlich viele Anwendungen der vorstehenden vier Regeln erzeugen lassen. Nun kann man Axiome angeben, die unter anderem die Verh¨ altnisse in N beschreiben. Die Axiome 1 bis 5 von Peano verstehen sich auf Grund der von uns getroffenen Verabredungen von selbst. Die Axiome 6 und 8 lesen sich wie folgt: 6 . ∀n1 ∃n2 (n1 = n2 )

 7 . ∀n1 ∀n2 (n1 = n2 ) ⇐⇒ (n1 = n2 ) 8 . ∀n1 ¬(n1 = 1) Das letzte, aus der Reihe fallende Axiom wird nun ersetzt durch 9 . In diesem Axiom ist H ein Ausdruck von S, welcher eine Variable vollfrei enth¨alt.



  9 . H(1) ∧ ∀n1 H(n1 ) → H(n1 ) → ∀n2 H(n2 ) . Hier werden also nur noch Ausdr¨ ucke betrachtet, die der formalisierten Sprache S angeh¨ oren, und quantifiziert wird nur u ¨ber die Variablen n1 und n2 , wobei in dem Ausdruck ∀n2 H(n2 ) die Variable n2 der besseren Lesbarkeit halber gew¨ ahlt wurde. Man kann eine gebundene Variable ja stets durch eine andere ersetzen. Diese Abschw¨achung des Axiomensystems hat zur Folge, dass es viel mehr Modelle gibt, die dieses Axiomensystem erf¨ ullen, als nur die nat¨ urlichen Zahlen. Dieses Ergebnis scheint zuerst von Skolem 1934 publiziert worden zu sein. Dass es viel mehr Modelle gibt als nur die nat¨ urlichen Zahlen, hat zur Folge, dass der Rekursionssatz in einer so axiomatisierten Theorie erster Stufe nicht gelten kann, da er zur Folge hat, dass es bis auf Isomorphie nur ein Modell gibt, wie wir gesehen haben. Diese modelltheoretischen Fragen werden wir, wie gesagt, nicht weiter verfolgen. Der interessierte Leser sei f¨ ur den allgemeinen Hintergrund an Schreiber 1984 und f¨ ur die Peanoarithmetik insbesondere an Kaye 1991 verwiesen. Die Diskussion u ¨ber die Art und Weise, wie man nat¨ urliche Zahlen einf¨ uhren k¨ onne, ging im 20. Jahrhundert weiter. Wir brechen unseren Bericht hier jedoch ab und verweisen den Leser f¨ ur weitergehende Einzelheiten auf Gericke 1970. 8. Nochmals Peano. Zu Peano’s Arbeit ist noch nicht alles gesagt. Im Anschluss an die Beschreibung der nat¨ urlichen Zahlen gibt er eine Konstruktion

8. Nochmals Peano

255

der rationalen Zahlen, wobei er immer wieder auf Euklid verweist. Er fasst sich hier aber sehr viel k¨ urzer als bei den nat¨ urlichen Zahlen, geht mit seinen S¨ atzen ¨ und Beweisen jedoch so weit, dass der Anschluss an das zumindest heute Ubliche hergestellt ist, so dass seine Leser keine Schwierigkeiten haben d¨ urften, die in Frage stehenden Rechenregeln zu beweisen. Gegen seine Einf¨ uhrung der positiven rationalen Zahlen ist nichts einzuwenden. Ich sage das deswegen, weil sonst immer auf Weber 1895 hingewiesen wird, wenn es um die Konstruktion der positiven rationalen Zahlen geht. So auch in Gericke 1970, S. 123f. Der Quotientenk¨ orper eines Integrit¨ atsbereiches, von dem die Konstruktion des K¨ orpers der rationalen Zahlen ein Spezialfall ist, scheint erst von Steinitz 1910 konstruiert worden zu sein. Peano f¨ uhrt auch die reellen Zahlen ein. Dabei fasst er sich noch k¨ urzer als bei der Einf¨ uhrung der rationalen Zahlen. Hier tut er das, was Dedekind vorgeschwebt hat, als er davon sprach, dass er zu jedem Schnitt, der nicht von einer rationalen Zahl hervorgerufen wird, eine neue Zahl schaffe. Ist n¨ amlich a eine Menge von rationalen Zahlen, so nennt er Ta terminus summus also h¨ ochsten Term bzw. limes summus also h¨ ochste Grenze von a. Dann definiert er, wann eine rationale Zahl kleiner, gleich oder gr¨ oßer als ein solcher h¨ochster Term ist. Da Ta letztlich nichts anderes als das Supremum von a ist, k¨onnen meine Leser sicher rekonstruieren, wie diese Definitionen lauten. Es folgt dann: Ist r eine rationale Zahl, so ist r = T{x | x rational, x < r}. Also ist jede rationale Zahl auch ein h¨ ochster Term. Auf diese Weise erreicht Peano das, was auch Dedekind durch seine Neusch¨ opfung von Zahlen erreichen will, dass die rationalen Zahlen sich unter den reellen Zahlen wiederfinden und nicht bloß eine isomorphe Kopie von ihnen. Zu jedem Ta geh¨ort die Menge Ua := {x | x rational, x < Ta}. Diese Menge hat bei Peano keinen Namen. Er benutzt sie, um zu definieren, wann Ta = Tb ist, n¨amlich genau dann, wenn Ua = Ub ist. Ferner ist Ta < Tb, wenn Ua echt in Ub enthalten ist. Schließlich ist a > b, wenn b < a ist. Sind a und b h¨ ochste Terme, so definiert Peano a + b und ab durch a + b := T{x + y | x, y rational x < a, y < b} und ab := T{xy | x, y rational x < a, y < b}. Hierzu bemerkt er, dass man zeigen m¨ usse, dass diese beiden Operationen f¨ ur rationale a und b nichts Neues liefern. Er beweist an dieser Stelle nichts. Ich habe das angedeutete Programm nicht durchexerziert, so dass ich nicht sagen kann, wie gangbar dieser Weg ist.

256

Kapitel II. Zahlen

¨ In einem abschließenden Abschnitt definiert Peano Inneres (interior ), Außeres (exterior ) und Rand (limes) einer Teilmenge von reellen Zahlen. Dabei heißt y ∈ X innerer Punkt von X, falls es ein offenes Intervall gibt, welches y enth¨ alt und ¨ das ganz in X enthalten ist. Das Außere ist das Innere des Komplementes und ¨ der Rand ist das Komplement der Vereinigung von Außerem und Innerem. Dann formuliert er und beweist zum Teil rund f¨ unfzig S¨ atze u ¨ ber Relationen, die zwischen diesen Begriffen bestehen. Dabei macht er nur von der linearen Ordnung der reellen Zahlen Gebrauch, so dass diese S¨ atze sehr viel allgemeiner sind, als er sie formuliert. Dieser letzte Abschnitt von Peanos Schrift m¨ usste f¨ ur die Geschichte der Topologie interessant sein.

III. Das zehnte Buch 1. Definitionen und allgemeine S¨ atze. Didaktiker haben sicher ihre helle Freude an Euklids Elementen, sind sie doch das Beispiel par excellence, wie man Mathematik ihrer Meinung nach nicht darstellen sollte. Euklid kommentiert sich n¨ amlich nirgendwo. So sagt er auch im zehnten Buche nicht, wozu seine Untersuchungen gut sind. Nun, sie werden im dreizehnten Buche bei der Konstruktion der f¨ unf platonischen K¨ orper benutzt. Auf diese werden wir nicht eingehen. Es sei dies dem Leser nur gesagt, damit er weiß, dass die Untersuchungen des zehnten Buches nicht ohne Ziel gef¨ uhrt werden. Diese Untersuchungen sind aber auch f¨ ur sich gesehen interessant. Die lineare Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale im Quadrat zeigt uns, dass die Elemente von Q+ nicht allesamt Quadrate sind. Adjungiert man zu Q alle Quadratwurzeln aus positiven rationalen Zahlen, ¨ber so erh¨alt man einen K¨ orper Q1 , der immer noch den Defekt hat, dass man u ihm keine euklidische Geometrie betreiben kann, da auch in ihm nicht alle positiven Elemente Quadrate sind. (Das besagen u. a. die Ergebnisse von Buch X.) Man muss auch zu ihm wieder die Wurzeln aus allen seinen positiven Elementen adjungieren, um zu einem K¨ orper Q2 zu gelangen, der dann immer noch nicht das Verlangte leistet. Iteration und Vereinigung aller Qi liefert dann den kleinsten K¨ orper, u ¨ber dem euklidische Geometrie m¨oglich ist. Euklid geht in seinen Untersuchungen grosso modo nur bis Q2 . (Proposition X.115 konstruiert Elemente in Qn . Doch dieseProposition wird als sp¨ aterer Zusatz angesehen.) ∞ Der K¨ orper i:=1 Qi ist abz¨ahlbar, also sicherlich nicht zu R isomorph. Somit sind die Geraden u ¨ber diesem K¨ orper nicht l¨ uckenlos. Dass die L¨ uckenlosigkeit der Geraden in einer euklidischen Geometrie nicht denknotwendig ist, hat wohl Dedekind als Erster ausgesprochen. Was ich hier als L¨ uckenlosigkeit bezeichne, nennt Dedekind meist Stetigkeit und so sagt er am Ende des § 3 seiner Schrift Stetigkeit und irrationale Zahlen“ (Dedekind 1872): Hat u ¨ berhaupt der Raum ” ” eine reale Existenz, so braucht er doch nicht nothwendig stetig zu sein; unz¨ ahlige seiner Eigenschaften w¨ urden dieselben bleiben, wenn er auch unstetig w¨ are.“ Im Vorwort zu seinem Was sind und was sollen die Zahlen“ (Dedekind 1888) pr¨ azisiert ” er dies, indem er schreibt: . . . ; vielmehr habe ich im §. 3 meiner Schrift verschiedene Gr¨ unde angef¨ uhrt, ” weshalb ich die Einmischung der messbaren Gr¨ oßen g¨ anzlich verwerfe, und namentlich am Schlusse hinsichtlich deren Existenz bemerkt, dass f¨ ur einen großen Theil der Wissenschaft vom Raume die Stetigkeit seiner Gebilde gar nicht einmal eine nothwendige Voraussetzung ist, ganz abgesehen davon, dass sie in den Werken

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Kapitel III. Das zehnte Buch

u ¨ ber Geometrie zwar wohl dem Namen nach beil¨ aufig erw¨ ahnt, aber niemals deutlich erkl¨ art, also auch nicht f¨ ur Beweise zug¨anglich gemacht wird. Um dies noch n¨ aher zu erl¨autern, bemerke ich beispielsweise Folgendes. W¨ahlt man drei nicht in einer Geraden liegende Puncte A, B, C nach Belieben, nur mit der Beschr¨ankung, dass die Verh¨ altnisse ihrer Entfernungen AB, AC, BC algebraische (Hier folgt eine Fußnote mit einem Hinweis auf Dirichlet’s Vorlesungen u ¨ ber Zahlentheorie) Zahlen sind, und sieht man im Raume nur diejenigen Puncte M als vorhanden an, f¨ ur welche die Verh¨altnisse AM , BM , CM , zu AB ebenfalls algebraisch sind, so ist der aus diesen Puncten M bestehende Raum, wie leicht zu sehen, u ¨ berall unstetig; aber trotz der Unstetigkeit, L¨ uckenhaftigkeit dieses Raumes sind in ihm, so viel ich sehe, alle Constructionen, welche in Euklid’s Elementen auftreten, genau ebenso ausf¨ uhrbar, wie in dem vollkommen stetigen Raume, die Unstetigkeit dieses Raumes w¨ urde daher in Euklid’s Wissenschaft gar nicht bemerkt, gar nicht empfunden werden. Wenn mir aber Jemand sagt, wir k¨ onnten uns den Raum gar nicht anders als stetig denken, so m¨ochte ich das bezweifeln und darauf aufmerksam machen, eine wie weit vorgeschrittene, feine wissenschaftliche Bildung erforderlich ist, um nur das Wesen der Stetigkeit deutlich zu erkennen und um zu begreifen, dass außer den rationalen Gr¨ oßen-Verh¨ altnissen auch irrationale, außer den algebraischen auch transcendente denkbar sind.“ Nach all dem ist klar, dass es nicht nur ein Modell der euklidischen Geometrie gibt. Welches meinen die Philosophen, wenn sie von euklidischer Geometrie reden? Der Historiker hat u ¨ brigens auch keine Freude an Euklid, da er von keinem Ergebnis sagt, wer der Urheber ist. So ist man, insbesondere was die Mathematiker vor Euklid anbelangt, von denen sich keine Schriften erhalten haben, auf die Hinweise angewiesen, die man bei anderen Autoren findet, bei Platon und Aristoteles etwa — Beispiele daf¨ ur haben wir gesehen —, oder aber auch bei Proklos, der im f¨ unften nachchristlichen Jahrhundert einen Kommentar zum ersten Buch der Elemente schrieb, und Eutokios, der im darauf folgenden Jahrhundert einen Kommentar zu Archimedes Werken, wie auch einen Kommentar zu den ersten vier B¨ uchern des Apollonios u ¨ ber Kegelschnitte verfasste. Diese beiden sind nat¨ urlich auch Sp¨ atgeborene, zu ihrer Lebenszeit war aber die antike Tradition noch nicht abgerissen, so dass sie zu vielem noch Zugang hatten, was nun im Original verloren ist, was aber dennoch dank ihres Dar¨ uber-schreibens und Zitierens nicht v¨ ollig vergessen ist. Das griechische Original des Archimedes-Kommentars von Eutokios wurde von Heath in seine Archimedesausgabe Archimedes 1910–15 auf¨ genommen. Es gibt auch eine Ubersetzung ins Franz¨osische (Archimedes 1960). ¨ Von den Kommentaren zu Apollonios scheint es nur eine lateinische Ubersetzung zu geben (Apollonius 1891–1893, Band 2). Den Prokloskommentar zu Buch I der ¨ Elemente Euklids gibt es seit 1945 in deutscher Ubersetzung. Dieses Buch scheint noch vor der Besetzung durch die Alliierten in Halle an der Saale gedruckt worden zu sein. Es enth¨ alt jedenfalls keinen Genehmigungsvermerk durch eine Besatzungsmacht. Es geht also nun um Buch X. Die Definitionen finden sich in diesem Buche nicht

1. Definitionen und allgemeine S¨ atze

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nur am Anfang. Es werden noch zwei weitere Gruppen von Definitionen folgen. Die ersten vier Definitionen lauten: 1. Kommensurabel heißen Gr¨ oßen, die von demselben Maß gemessen werden, und inkommensurabel solche, f¨ ur die es kein gemeinsames Maß gibt. 2. Strecken sind quadriert kommensurabel, wenn die Quadrate u ¨ber ihnen von derselben Fl¨ ache gemessen werden, und (quadriert) inkommensurabel, wenn es zu den Quadraten u ¨ber ihnen keine Fl¨ ache gibt, die gemeinsames Maß w¨ urde. 3. Die Ausgangsstrecke soll die Rationale heißen; und die mit ihr sei es linear und quadriert, sei es nur quadriert kommensurablen sollen rationale Strecken heißen, die mit ihr inkommensurablen irrationale. 4. Auch das Quadrat u ¨ber der Ausgangsstrecke soll rational, und die mit diesem kommensurablen Fl¨ achen sollen rational, die mit ihm inkommensurablen aber irrational heißen; irrational auch die quadriert dieselben ergebenden Strecken, n¨ amlich, wenn die Fl¨ achen Quadrate sind, ihre Seiten selbst, wenn aber andere geradlinige Figuren, dann die Seiten der ihnen gleichen Quadrate. Die Definition 1 ist klar, solange man ganz abstrakt von Gr¨ oßen spricht. Spricht man von der Kommensurabilit¨ at von Strecken und auch von der von Fl¨ achen, so muss man sich zun¨achst daran erinnern, dass Strecken und Fl¨ achen als solche keine ¨ Gr¨ oßenbereiche bilden, dass man sie vielmehr zu Aquivalenzklassen zusammenfassen muss, Strecken in die Klassen der kongruenten Strecken, was im heutigen Sinne die Strecken gleicher L¨ange sind, und Fl¨ achen in zerlegungsgleiche Fl¨ achen. Dabei heißen zwei Fl¨achen F und G zerlegungsgleich, wenn es eine Zerlegung von F achen G1 , . . . , Gn gibt, so dass Fi und Gi in Fl¨ achen F1 , . . . , Fn und eine von G in Fl¨ f¨ ur alle i kongruent sind. Spricht man von kommensurablen Fl¨ achen, so bedeutet ¨ dies also, dass ihre Aquivalenzklassen kommensurabel sind. Dann sind nat¨ urlich ¨ fl¨ achengleiche Fl¨achen stets kommensurabel. Im Ubrigen sind die Fl¨ achen, die in Buch X explizit auftauchen, allesamt Rechtecke und Summen von Rechtecken. Definition 2 ist nach den Erl¨ auterungen zur ersten Definition wohl auch klar. Sind zwei Strecken linear kommensurabel, so sind sie auch quadriert kommensurabel. Ist n¨ amlich a = me und b = ne, so ist q(a) = m2 q(e) und q(b) = n2 q(e). Euklid formuliert dies in X.9 ein wenig anders. Die Ausgangsstrecke als die Rationale zu benennen, stimmt mit heutigen Gepflogenheiten u ¨berein, nehmen wir doch die Ausgangsstrecke nach dem Vorgang von Descartes als die Eins. Ein Quadrat q(a) und das Quadrat u ¨ber seiner Diagonalen d sind stets kommensurabel. Ist q(a) mit dem Quadrat u ¨ ber der Rationalen kommensurabel, so ist es auch q(d), so dass d in diesem Falle rational ist. Dies widerstrebt unseren Vorstellungen, ist aber der hier vorgetragenen Theorie bestens angepasst. Iteriert man dies, ist D also die Diagonale von q(d), so ist √ 2 √ D = d 2 = a 2 = 2a, so dass D auch in unserem Sinne rational ist.

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Kapitel III. Das zehnte Buch

Das Quadrat u ¨ ber der Rationalen als rational zu bezeichnen, entspricht wieder heutigen Gepflogenheiten. Wenn das Quadrat u ¨ber der Strecke a irrational ist, ist a nicht quadratisch kommensurabel mit der Rationalen, dann aber auch nicht linear. Die erste Proposition des zehnten Buches haben wir schon im f¨ unften Abschnitt des ersten Kapitels vorgef¨ uhrt. Wir ben¨ otigten sie beim Beweise des Satzes, dass sich zwei Kreise zueinander verhalten wie die Quadrate u ¨ ber ihren Durchmessern. Auf die folgende Proposition haben wir im dritten Abschnitt von Kapitel 1 schon hingewiesen, sie deutet daraufhin, dass es vor der eudoxischen Definition von Verh¨ altnisgleichheit noch eine andere gegeben hat, die auf der Wechselwegnahme beruht, dass n¨ amlich zwei Verh¨altnisse gleich sind, wenn sie die gleiche Wechselwegnahme haben, dass sie also gleich sind, wenn ihre Kettenbruchentwicklungen gleich sind. X.2. Misst, wenn man unter zwei ungleichen Gr¨ oßen abwechselnd immer die kleinere von der gr¨ oßeren wegnimmt, der Rest niemals genau die vorhergehende Gr¨ oße, so m¨ ussen die Gr¨ oßen inkommensurabel sein. Beweis. Wir f¨ uhren zun¨ achst den Beweis durch, um ihn dann anschließend zu kommentieren. Es seien a und b Gr¨ oßen, deren Wechselwegnahme niemals ende und es sei a > b. Andererseits sei e ein gemeinsames Maß von a und b. Man oßen r1 , r2 , bestimme mit Hilfe der Wechselwegnahme Gr¨oßen b1 , b2 , etc. und Gr¨ etc. mit a = b1 + r1 b = b2 + r2 r1 = b3 + r3 .. . so dass b Teiler von b1 , r1 Teiler von b2 , r2 Teiler von b3 usw. ist und dass r1 < b, r2 < r1 , r3 < r2 , usw gilt. Dann ist, da ri−1 ja Teiler von bi ist, wenn man noch r0 := b und r−1 := a setzt, 2bi ≥ bi + ri−1 > bi + ri = ri−2 , so dass man von ri−2 immer mehr als die H¨alfte wegnimmt. Nach X.1 von Abschnitt 5 von Kapitel 1 gibt es daher ein n mit rn < e. Weil e ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, ist e ein Teiler von a und b1 und damit von r1 . Mittels Induktion folgt, dass e alle ri und insbesondere rn teilt. Dies ist aber wegen rn < e unm¨ oglich. Also sind a und b doch inkommensurabel. Zun¨ achst ist zu bemerken, dass der Beweis einer von den indirekten Beweisen ist, wie sie sich von Anfang an in der griechischen Mathematik finden. Zum andern wird von der Archimedizit¨ at von Gr¨ oßenbereichen wiederholt Gebrauch gemacht. Wegen 1b = b < a gibt es ja eine nat¨ urliche Zahl n mit nb ≤ a < (n + 1)b. Es ist dann b1 = nb und r1 = a − b1 < b. Dieses n taucht bei Euklid aber nicht

1. Definitionen und allgemeine S¨ atze

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explizit auf. Entsprechendes gilt f¨ ur die anderen bi und ri . Hier tritt also das gleiche Ph¨ anomen auf, welches wir schon in Abschnitt 2 von Kapitel 2 beim Beweise von VII.1 beobachteten. schließlich wird die Archimedizit¨ at noch einmal ben¨ otigt, um Satz X.1 von Abschnitt 5 des Kapitels 1 anwenden zu k¨ onnen. X.3. Zu zwei gegebenen kommensurablen Gr¨ oßen ihr gr¨ oßtes gemeinsames Maß zu finden. Konstruktion. Es seien a und b zwei kommensurable Gr¨oßen. Man konstruiere ri und bi wie im Beweise von X.2. Da a und b kommensurabel sind, gibt es ein n, so dass rn Teiler von rn−1 ist. Induktion zeigt, dass rn alle ri und dann auch b und a teilt. Also ist rn ein gemeinsamer Teiler von a und b. Eine weitere Induktion zeigt, dass jeder gemeinsame Teiler von a und b auch Teiler von rn ist. Folglich ist oßte. rn unter allen gemeinsamen Teilern von a und b der gr¨ Haben zwei Gr¨oßen ein gemeinsames Maß, so haben sie also auch ein gr¨oßtes gemeinsames Maß. Dies liegt im Wesentlichen an der Archimedizit¨at von Gr¨ oßenbereichen. Mitbewiesen wurde auch der schon von Euklid notierte Zusatz. Zusatz. Hiernach ist klar, dass eine Gr¨ oße, die zwei Gr¨ oßen misst, auch ihr gr¨ oßtes gemeinsames Maß messen muss. Bei der n¨achsten Aufgabe hat man wieder zu zeigen, dass

 ggT(a, b, c) = ggT ggT(a, b), c ist. Der tern¨are Fall ist dann auf den bin¨ aren zur¨ uckgef¨ uhrt. X.4. Zu drei gegebenen kommensurablen Gr¨ oßen ihr gr¨ oßtes gemeinsames Maß zu finden. Die n¨ achsten beiden Propositionen haben wir schon bewiesen. Sie bilden n¨ amlich gerade den Inhalt des Satzes 6 von Abschnitt 3 des letzten Kapitels. Proposition X.5 spielt bei dem zu Beginn dieses Buches vorgef¨ uhrten Beweis der linearen Inkommensurabilit¨ at von Seite und Diagonale im Quadrat eine wichtige Rolle. Bei dem im Rahmen der Lehre vom Geraden und Ungeraden gef¨ uhrten Beweis dieses Satzes, der ohne die Theorie der Proportionen auskommt, musste er durch ein ad hoc-Argument ersetzt werden. Euklids Beweis von X.6 ist l¨ uckenhaft. Euklid nimmt bei seinem Beweis n¨amlich einfach an, dass aus der G¨ ultigkeit der Gleichung a : b = m : n folgt, dass es ein c gibt mit a = mc. Dies ist zwar richtig, wie wir gesehen haben, doch unser Beweis benutzte Bachets Aufgabe, dass es zu teilerfremden m und n — was angenommen werden darf — stets u und v gibt mit um = vn + 1. Euklid scheint, soweit ich sehe, X.6 nur auf den Gr¨ oßenbereich der Strecken und den der Fl¨ achen anzuwenden. Von dem er nachgewiesen hat, dass er dividierbar ist (Satz VI.9 von Kap. 1, Absch. 4), woraus sehr einfach folgt, dass es auch der andere ist. Wenn Euklid beim Beweise von X.6 auch fehlt, so ist sein Argument vielleicht doch einmal von Nutzen. Daher sei es hier vorgetragen.

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Kapitel III. Das zehnte Buch

Es seien a und b zwei Gr¨oßen und es gelte a : b = m : n mit m, n ∈ N. Euklid nimmt nun an, wie schon gesagt, dass es eine Gr¨oße c gebe mit a = mc. Dann schließt er weiter a : nc = mc : nc = m : n = a : b. Dann ist aber b = nc nach Fr¨ uherem, so dass c ein gemeinsames Maß von a und b ist. Hier nun die beiden Propositionen, die wir schon bewiesen haben. Sie sind ungemein n¨ utzlich, bringen sie doch beliebige kommensurable Gr¨ oßen mit nat¨ urlichen Zahlen in Verbindung. Insbesondere werden sp¨ ater mit Hilfe des Zusatzes zu X.6 Relationen zwischen Zahlen als Relationen zwischen Strecken interpretiert, die dann zu Existenzaussagen geometrischer Art f¨ uhren (Abschnitt 6). Es sei hier schon gesagt, dass es sich bereits in den Elementen zeigt, dass Geometrie ohne Algebra nicht auskommt. X.5. Kommensurable Gr¨ oßen haben zueinander ein Verh¨ altnis wie eine Zahl zu einer Zahl. X.6. Haben zwei Gr¨ oßen zueinander ein Verh¨ altnis wie eine Zahl zu einer Zahl, dann m¨ ussen die Gr¨ oßen kommensurabel sein. Zu X.6 gibt es noch einen Zusatz, der von Thaer als von sp¨ aterer Hand gekennzeichnet ist. Er sei in moderner Sprache formuliert, wobei meine Kommentare in runden Klammern zugef¨ ugt sind. Zusatz. Sind m, n ∈ N und ist a eine Strecke, so gibt es eine Strecke c mit a : c = m : n. Nach VI.9 von Abschnitt 4 des Kapitels 1 gibt es eine Strecke u mit a = mu. Setze c := nu. Es sei d die mittlere Proportionale zwischen a und c. Dann ist, da Quadrate sich nach VI.20 von Kap. 1, Absch. 4 zweimal wie ihre Seiten verhalten, a : c = (a : d)(d : c) = (a : d)(a : d) = q(a) : q(d). Hieraus folgt q(a) : q(d) = m : n und damit die Behauptung. Die n¨ achsten beiden Propositionen werden von Thaer wiederum als von sp¨ aterer Hand angesehen. Da sie nur die Negationen von X.5 und X.6 sind, u ¨ bergehen wir sie. X.9. Die Quadrate u ¨ber linear kommensurablen Strecken haben zueinander ein Verh¨ altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl; und von Quadraten, die zueinander ein Verh¨ altnis haben wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl, m¨ ussen auch die Seiten linear kommensurabel sein. Beweis. Die Strecken a und b seien linear kommensurabel. Nach X.5 gibt es dann m, n ∈ N mit a : b = m : n. Nach VI.20 von Kap. 1, Absch. 4 — Quadrate sind konvex — stehen q(a) und q(b) zweimal im Verh¨altnis wie ihre Seiten, dh., es ist q(a) : q(b) = (a : b) ◦ (a : b) = (m : n) ◦ (m : n) = m2 : n2 ,

1. Definitionen und allgemeine S¨ atze

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wobei die letzte Gleichung mit VIII.5 von Kap. 2, Absch. 4 folgt (Dies ist mein Zitat. Euklid schließt hier mit VIII.11). Damit ist die erste Aussage bewiesen. Es seien a und b Strecken und es gelte q(a) : q(b) = m2 : n2 mit m, n ∈ N. Es folgt (a : b)2 = q(a) : q(b) = m2 : n2 = (m : n)2 . Euklid folgert hieraus ohne n¨ ahere Erl¨ auterung, dass a : b = m : n sei. Dies zu beweisen, ist aber nicht schwer. Seien n¨ amlich u, v ∈ N und es gelte ua > vb. Dann ist u2 q(a) > v 2 q(b) und folglich (um)2 = u2 m2 > v 2 n2 = (vn)2 . Hieraus folgt aber um > vn. Ebenso folgt aus ua = vb, dass um = vn ist, und aus ua < vb folgt um < vn. Also ist in der Tat a : b = m : n. Nach X.6 sind a und b daher kommensurabel. Damit ist alles bewiesen. Mit Hilfe von X.9 folgt nun X.115a: Das Quadrat Q u ¨ ber der Diagonalen des Quadrates Q verh¨ alt sich zu Q wie 2 : 1, wie schon Sokrates den Sklaven des Menon herausfinden ließ (Platon, Werke II, 543–553 (82c–84b)). W¨ aren nun die Diagonale und die Seite von Q, dh., die Seiten von Q und Q kommensurabel, so g¨ abe es nach X.9 Zahlen u, v ∈ N mit u2 : v 2 = Q : Q = 2 : 1. Hieraus folgte mit VIII.24 von Kap. 2, Absch. 4, weil auch 1 ein Quadrat ist, der Widerspruch, dass 2 ein Quadrat w¨ are. Dieser Widerspruch zeigt, dass im Quadrat Seite und Diagonale linear inkommensurabel sind. Dieser Beweis zeigt, dass die Stellung von X.115a und der Beweis dieser Proposition aus dem Rahmen des zehnten Buches herausfallen, wie schon fr¨ uher betont. Die n¨achste Proposition und ihr Beweis gelten als sp¨atere Zuf¨ ugung. X.10. Zu einer vorgegebenen Strecke zwei Strecken zu finden, die ihr inkommensurabel sind, eine nur linear, eine auch quadriert. Konstruktion. Es sei a die gegebene Strecke. Ferner seien m, n ∈ N und m verhalte sich zu n nicht wie ein Quadrat zu einem Quadrat. Mit dem Zusatz zu X.6 erhalten wir eine Strecke b mit q(a) : q(b) = m : n. Weil m und n sich nicht wie ein Quadrat zu einem Quadrat verhalten, sind a und b nach X.9 linear inkommensurabel. Nach X.6 sind q(a) und q(b) aber kommensurabel, so dass a und b quadratisch kommensurabel sind. Man verschaffe sich zu a und b die mittlere Proportionale c. Dann ist a : b = q(a) : q(c). Nun ist a zu b linear inkommensurabel. Daher sind q(a) und q(c) inkommensurabel, so dass a und c quadratisch inkommensurabel sind. Die gesuchten Strecken sind b und c. Dabei ist b zu a linear inkommensurabel, aber quadratisch kommensurabel, w¨ahrend c zu a quadratisch und damit auch linear inkommensurabel ist.

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Kapitel III. Das zehnte Buch

X.11. Stehen vier Gr¨ oßen in Proportion und ist die erste mit der zweiten kommensurabel, dann muss auch die dritte der vierten kommensurabel sein; und ist die erste der zweiten inkommensurabel, dann muss auch die dritte der vierten inkommensurabel sein. Beweis. Es sei a : b = c : d und a und b seien kommensurabel. Es gibt dann nach X.5 Zahlen m und n mit a : b = m : n. Es folgt c : d = m : n, so dass nach X.6 auch c und d kommensurabel sind. X.12. Was derselben Gr¨ oße kommensurabel ist, ist auch einander kommensurabel. Beweis. Es seien a und b mit c kommensurabel. Es gibt dann Zahlen u, v, x und y mit a : c = u : v und c : b = x : y. Man verschaffe sich gem¨aß VIII.4 von Kap. 2, Absch. 4 Zahlen m, n und p mit u : v = m : n und x : y = n : p. Dann ist a : c = m : n und c : b = n : p. Es folgt a : b = m : p, so dass a und b nach X.6 kommensurabel sind. Eine Konsequenz aus X.12, die sehr wichtig ist, von Euklid aber nicht eigens erw¨ahnt wird, formulieren wir ausdr¨ ucklich als Korollar. Korollar. Rationale Strecken sind quadriert kommensurabel. Beweis. Es seien a und b rationale Strecken. Dann sind q(a) und q(b) zum Quadrat u ¨ber der Rationalen kommensurabel. Nach X.12 sind sie daher auch einander kommensurabel. Dieses Korollar wird im Folgenden h¨ aufig benutzt, ohne dass es je erw¨ ahnt werden wird. Die n¨achste Proportion ist eine unmittelbare Folgerung aus X.12. X.13. Wenn zwei Gr¨ oßen kommensurabel sind und die eine von ihnen irgendeiner Gr¨ oße inkommensurabel, dann muss auch die andere zu derselben inkommensurabel sein. Es ist interessant zu beobachten, wie die S¨ atze abwechseln. Manche sind allgemein f¨ ur Gr¨ oßen formuliert, andere wiederum nur f¨ ur Strecken. Dies immer dann, wenn von Quadraten die Rede ist. Quadrate sind Fl¨ achen und keine Produkte. Gr¨ oßen werden niemals miteinander multipliziert. X.14. Stehen vier Strecken in Proportion und u ¨bertrifft quadriert die erste um das Quadrat einer ihr [linear] kommensurablen die zweite, dann muss quadriert die dritte auch um das Quadrat einer ihr [linear] kommensurablen die vierte u ¨bertreffen; und u ¨bertrifft quadriert die erste um das Quadrat einer ihr [linear] inkommensurablen die zweite, dann muss quadriert die dritte auch um das Quadrat einer ihr [linear] inkommensurablen die vierte u ¨bertreffen. Beweis. Die Strecken seien a, b, c und d und es gelte a : b = c : d. Es seien weiterhin e und f Strecken und es gelte q(b) + q(e) = q(a) und q(d) + q(f ) = q(c). Weil a : b = c : d gilt und weil Quadrate konvex sind, gilt nach VI.22 von Kap. 1, Absch. 4 auch q(a) : q(b) = q(c) : q(d). Daher ist



 q(b) + q(e) : q(b) = q(d) + q(f ) : q(d).

1. Definitionen und allgemeine S¨ atze

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Mit V.17 von Kap. 1, Absch. 3 folgt q(e) : q(b) = q(f ) : q(d). Mit VI.22 von Kap. 1, Absch. 4 folgt e : b = f : d. Hieraus folgt wiederum b : e = d : f . Wegen a : b = c : d folgt daher mit V.22 von Kap. 1, Absch. 3, dass a : e = c : f ist. Mit X.11 folgt nun die Behauptung. Bei der n¨achsten Proposition erinnere man sich, was wir im Zusammenhang mit dem Zusammensetzen von Proportionen u ¨ ber den entsprechenden griechischen Terminus technicus gesagt haben, dass n¨amlich der griechische Ausdruck f¨ ur zusammensetzen zun¨achst addieren heißt. Thaer hat in der n¨ achsten Proposition diesen Ausdruck w¨ ortlich mit zusammensetzen u ¨ bersetzt. Er h¨atte genauso gut auch Addiert man zwei kommensurable Gr¨ oßen“ u ¨ bersetzen k¨onnen. ” X.15. Setzt man zwei kommensurable Gr¨ oßen zusammen, so muss auch das Ganze ihnen beiden kommensurabel sein; und wenn das Ganze einer von ihnen kommensurabel ist, m¨ ussen auch die urspr¨ unglichen Gr¨ oßen kommensurabel sein. Beweis. Der Satz ist nicht ganz klar formuliert. Was er beinhaltet ist: Sind a und b zwei Gr¨oßen und sind a und b kommensurabel, so ist a + b zu a und zu b kommensurabel. Ist a + b zu a oder b kommensurabel, so sind a und b kommensurabel. Ist n¨amlich a = me und b = ne mit einer Gr¨ oßen e, so ist a + b = me + ne = (m + n)e, so dass e gemeinsames Maß von a + b, a und b ist. Ist a + b = me und etwa a = ne, so ist b = (a + b) − a = me − ne = (m − n)e, so dass e wieder gemeinsames Maß von a + b, a und b ist. Proposition X.16 ist nur eine Umformulierung von X.15. Wir lassen sie daher weg. Die Materie wird nun komplizierter. Wir werden daher im Folgenden, wann immer es bequemer erscheint, von der thaerschen Formulierung abweichen und uns heutiger Notation bedienen. Dabei werden wir jedoch darauf achten, dass Gr¨ oßen nicht miteinander multipliziert werden, so dass wir f¨ ur das Quadrat u ¨ber ur das Rechteck aus den Seiten x und y nach der Strecke a weiterhin q(a) und f¨ wie vor r(x, y) schreiben. Die n¨ achsten beiden Propositionen sind wieder Variationen voneinander, so dass wir nur die erste notieren. Sie sind bemerkenswert, weil sie die Natur der L¨osungen einer quadratischen Gleichung mit den Koeffizienten dieser Gleichung in Verbindung bringen. X.17. Es seien a und b Strecken mit a < b. Nach VI.28 von Kap. 1, Absch. 4 gibt es eine Strecke x mit r(x, b − x) = q( a2 ). Genau dann sind x und b − x linear kommensurabel, wenn es eine zu b linear kommensurable Strecke c gibt mit q(b) = q(a) + q(c).

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Kapitel III. Das zehnte Buch

Beweis. Es seien B und C die Endpunkte der Strecke b. Man lege nun gem¨ aß achengleiches Rechteck so VI.28 von Kap. 1, Absch. 4 ein dem Quadrat q( a2 ) fl¨

B

F

E b−x b

D

C x

an die Strecke BC an, dass beim Punkt C ein Quadrat u ¨brig bleibt. Die auf BC u ¨ brigbleibende Strecke sei x und ihr von C verschiedener Endpunkt D. Man halbiere die Strecke BC im Punkte E. Ferner trage man von E aus in Richtung B die Strecke ED ab. Ihr zweiter Endpunkt sei F . Dann ist DC = F B. Mit II.5, was wir unbewiesen u ¨ bernehmen, folgt r(BD, DC) + q(ED) = q(EC). Hieraus folgt 4r(BD, DC) + 4q(ED) = 4q(EC). Nun ist 4r(BD, DC) = 4r(b − x, x) = q(a) und 4q(ED) = q(DF ), da ja 2ED = DF ist. Ferner ist 4q(EC) = q(BC) = q(b). Also ist q(b) = q(a) + q(DF ). Setze c := DF = b − 2x. Es seien nun x und b − x, dh., DC und BD linear kommensurabel. Es ist zu zeigen, dass b = BC mit c = DF linear kommensurabel ist. Nach X.15 folgt aus der linearen Kommensurabilit¨ at von DC und BD die lineare Kommensurabilit¨ at von DC, BD und BC. Wegen DC = BF sind auch BF , BD und BC linear kommensurabel. Hieraus folgt, dass auch b = BC und BD − BF = F D = c linear kommensurabel sind. Es seien b und c linear kommensurabel. Dann sind auch b, c, b − c = 2x und b + c = 2(b−x) linear kommensurabel. Also sind 2x und 2(b−x) linear kommensurabel und damit auch x und b − x. Mit den in diesem Abschnitt vorgestellten S¨ atzen ist die Br¨ ucke von der Geometrie zur Algebra geschlagen und u ¨ber diese Verbindung schon die Existenz

2. Die Mediale

267

der einfachsten quadratischen und biquadratischen geometrischen Irrationalit¨ aten sichergestellt. Es wird sich auch weiterhin zeigen, dass die Existenz der quadratischen und biquadratischen Irrationalit¨ aten auf Eigenschaften von nat¨ urlichen Zahlen beruht, die mittels der Theorie der geometrischen Reihen etabliert wurden. Zun¨ achst sei noch vereinbart, Quadrate in Zukunft auch mit q(a, b) zu bezeichnen, wenn zwei der vier Seiten des Quadrats hervorgehoben werden sollen. 2. Die Mediale. Der einzige Gr¨oßenbereich, in dem die Existenz von inkommensurablen Gr¨ oßen sichergestellt ist, ist der Gr¨oßenbereich der Strecken. Dabei besagt X.10 von Absch. 1, dass es auch biquadratische Irrationalit¨ aten in diesem Gr¨ oßenbereich gibt. Diese Untersuchungen werden nun vertieft. X.19. Das Rechteck aus linear kommensurablen rationalen Strecken ist rational. Beweis. Es seien AB und BC die beiden Seiten des Rechtecks und es gelte oBdA. die Ungleichung BC < AB. Man zeichne u ¨ber AB das Quadrat q(AB, BD). Weil AB = BD ist und weil AB und BC linear kommensurabel sind, sind auch D

C A

B

BD und BC linear kommensurabel. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 gilt r(AB, BC) : r(AB, BD) = BC : BD. Nach X.11 von Absch. 1 sind daher auch r(AB, BC) und r(AB, BD) = q(AB) kommensurabel. Weil AB rational ist, ist auch q(AB) rational. Nach X.12 von Abschnitt 1 ist daher auch r(AB, BC) rational. Bei der n¨achsten Proposition ist mit Fl¨ ache“ ein Rechteck gemeint, wie der ” Beweis zeigt und wie auch Proposition X.19 nahe legt, deren Umkehrung X.20 ist. X.20. Legt man an eine rationale Strecke eine rationale Fl¨ ache an, so wird die Breite rational und der Strecke, an die angelegt wurde, linear kommensurabel. Beweis. Es sei AB eine rationale Strecke. An diese lege man auf der einen Seite das Rechteck r(AB, BC) und auf der anderen Seite das Quadrat q(AB, BD) an. Die Seiten eines Quadrates sind stets linear kommensurabel. Daher ist q(AB, BD)

268

Kapitel III. Das zehnte Buch

nach X.19 rational. Das Rechteck r(AB, BC) ist nach Voraussetzung rational. C A

B

D

Somit sind r(AB, BC) und q(AB, BD) nach X.12 von Abschnitt 1 kommensurabel. Nach Satz VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 gilt r(AB, BC) : q(AB, BD) = CB : BD. Nach 1.X.11 sind CB und BD also linear kommensurabel. Wegen DB = AB sind dann auch CB und AB linear kommensurabel. Weil AB rational ist, ist daher auch CB rational. X.21. Das Rechteck aus nur quadriert kommensurablen rationalen Strecken ist irrational; auch die quadriert dasselbe ergebende Strecke ist irrational; sie heiße Mediale. Beweis. Hier geht es also um k, l ∈ R+ mit k 2 /l2 ∈ Q+ und k/l ∈ Q+ . Da k , l2 ∈ Q+ . Behauptet wird, dass sowohl kl als und l √ rational sind, gilt u ¨ berdies k 2√ auch kl irrational sind. Dabei ist kl die Mediale. Dies ist mit unseren Mitteln schnell einzusehen. Es ist ja kl =

k 2 · l ∈ Q+ , l

√ da ja k/l ∈ Q+ und l2 ∈ Q+ gilt. Dann ist aber erst recht kl ∈ Q+ . Euklids Argument verl¨ auft wie folgt: Es sei r(AB, BC) ein Rechteck und seine D

C

A

B

beiden Seiten AB und BC seien rational, aber nur quadriert kommensurabel. Es sei r(AB, BD) mit AB = BD das Quadrat u ¨ber AB. Nun sind AB und BC nicht linear kommensurabel. Wegen BD = AB sind dann auch BD und BC nicht linear kommensurabel. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist DB : BC = r(AB, BD) : r(AB, BC).

2. Die Mediale

269

Mit X.11 von Abschnitt 1 folgt, dass r(AB, BD) und r(AB, BC) inkommensurabel sind. Nun ist aber r(AB, BD) ein Quadrat mit rationalen Seiten, so dass dieses Quadrat rational ist. Dann ist aber r(AB, BC) irrational. Folglich ist auch die Mediale m, das ist die Strecke m mit q(m) = r(AB, BC), irrational. In unsere Sprache u ¨ bersetzt sind die Medialen genau die vierten Wurzeln aus positiven rationalen Zahlen, die keine Quadrate und damit auch keine vierten Potenzen sind. Ist n¨ amlich m ∈ R+ eine Mediale, so gibt es k, l ∈ R+ mit k 2 , 2 l ∈ Q+ und kl ∈ Q+ sowie m2 = kl. Es folgt zun¨ achst m, m2 ∈ Q+ und m4 ∈ Q+ 3 4 −3 und dann auch m ∈ Q+ , da sonst m = m m ∈ Q+ w¨are. Also ist m die vierte Wurzel aus einer positiven rationalen Zahl, die kein Quadrat ist. Es sei umgekehrt m die vierte Wurzel aus einer rationalen Zahl, die kein Quadrat ist. Setze k := m2 . Dann sind k und 1 im Sinne Euklids interpretiert zwei quadriert kommensurable rationale Strecken, die wegen k ∈ Q+ nicht linear kommensurabel sind. Wegen m2 = k · 1 ist m eine Mediale. X.22. Legt man das Quadrat einer Medialen an eine rationale Strecke an, so entsteht als Breite eine rationale, aber der, an die angelegt wurde, linear inkommensurable Strecke. Beweis. Es sei a die gegebene Mediale und BC die gegebene rationale Strecke. Man konstruiere das Rechteck r(BC, CD), dessen Fl¨acheninhalt gleich dem von q(a) ist. Es ist zu zeigen, dass CD rational ist, dass BC und CD aber nicht linear kommensurabel sind. Aufgrund der Definition der Medialen (X.21) gibt es ein Rechteck r(F E, EG) mit rationalen, aber nur quadriert kommensurablen Strecken F E und EG, so dass q(a) = r(F E, EG) ist. Es folgt r(BC, CD) = r(F E, EG) der Fl¨ ache nach. Die Rechtecke r(BC, CD) und r(F E, EG) sind aber auch winkelgleiche Parallelogramme. Daher stehen ihre Seiten um gleiche Winkel nach VI.14 von Kap. 1, Absch. 4 umgekehrt in Proportion, dh. es gilt BC : EG = EF : CD. Mit VI.22 von Kap. 1, Absch. 4 folgt q(BC) : q(EG) = q(EF ) : q(CD), was wiederum q(BC) : q(EF ) = q(EG) : q(CD) zur Folge hat. Die Strecken BC und EG sind rational also quadriert kommensurabel. Nach X.11 von Abschnitt 1 sind folglich auch q(EF ) und q(CD) kommensurabel, so dass mit EF auch CD rational ist. Nun sind EF und EG nicht linear kommensurabel. Ferner gilt nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 EF : EG = q(EF ) : r(EF, EG).

270

Kapitel III. Das zehnte Buch

Daher sind q(EF ) und r(EF, EG) inkommensurabel. Weil CD und EF rational sind, sind q(CD) und q(EF ) kommensurabel. Ferner sind auch r(F E, EG) und r(DC, CB) kommensurabel, da sie der Fl¨ache nach beide gleich q(a) sind. Es folgt, dass die Fl¨ achen q(CD) und r(DC, CB) nicht kommensurabel sind. Dann sind aber CD und CB nicht linear kommensurabel. Damit ist X.22 bewiesen. X.23. Jede einer Medialen kommensurable Strecke ist medial. Beweis. Es sei a eine Mediale und b sei mit a kommensurabel. Man lege an eine rationale Strecke CD das Rechteck mit r(CD, DE) = q(a) an. Dann ist DE nach X.22 rational, aber nicht mit DC linear kommensurabel. Ferner lege man an DC das Rechteck r(CD, DF ) mit r(CD, DF ) = q(b) an. Weil a mit b kommensurabel ist, sind auch q(a) und q(b) kommensurabel. Weil q(a) und r(CD, DE) bzw. q(b) und r(CD, DF ) gleichen Fl¨acheninhalt haben, sind r(ED, DC) und r(CD, DF ) kommensurabel. Mit VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 folgt r(ED, DC) : r(CD, DF ) = ED : DF. Somit sind ED und DF linear kommensurabel nach X.11 von Abschnitt 1. Nun ist ED rational, aber nicht linear kommensurabel zu DC. Weil ED und DF linear kommensurabel sind, ist dann auch DF rational. W¨ are DF linear kommensurabel zu CD, so w¨are auch ED wegen der Transitivit¨ at der Kommensurabilit¨ at mit DC linear kommensurabel, was nicht der Fall ist. Also sind DF und CD nicht linear kommensurabel. Somit ist r(CD, DF ) ein Rechteck aus den rationalen, aber nicht linear kommensurablen Strecken CD und DF . Ferner ist q(b) = r(CD, DF ) der Fl¨ ache nach. Weil CD und DF rational und damit quadratisch kommensurabel, weil sie aber, wie wir gesehen haben, nicht linear kommensurabel sind, ist b nach X.21 eine Mediale. Euklid sagt nicht, was es heißt, dass eine Fl¨ ache medial ist. Es ist offenbar eine solche, zu der es eine Mediale b gibt, so dass die gegebene Fl¨ache und q(b) gleichen Fl¨ acheninhalt haben. Zusatz. Hiernach ist klar, dass jede einer medialen Fl¨ ache kommensurable medial ist. Beweis. Bei Euklid steht kein Beweis. Da f¨ ur uns der Umgang mit den euklidischen Begriffen aber noch ungewohnt ist, geben wir hier den in der Tat ganz simplen Beweis. Es sei F eine mediale und G sei eine mit F kommensurable Fl¨ ache. Es gibt dann eine Mediale a mit q(a) = F . Es gibt ferner ein b mit q(b) = G. Dann sind also q(a) und q(b) kommensurabel, so dass a und b quadriert kommensurabel sind. Nach X.23 ist b daher medial. Die n¨achsten beiden S¨ atze handeln von Rechtecken, deren Seiten Mediale sind. ¨ Uberlegen wir erst in unserer Sprache, was zu erwarten ist. Es seien also k und l Mediale, dh. zwei vierte Wurzeln aus rationalen Zahlen, die keine Quadrate sind.

2. Die Mediale

271

Von k und l setzen wir voraus, dass sie kommensurabel sind. Dann gilt k 2 /l2 ∈ Q+ . Es sei x ∈ R+ und es gelte x2 = kl. Dann ist x4 = k 2 l2 =

k2 4 l ∈ Q+ . l2

Somit ist x rational, dh. x ∈ Q+ bzw. x2 ∈ Q+ , oder aber medial. Sind k und l linear kommensurabel, gilt also k/l ∈ Q+ , so folgt wegen l2 ∈ Q+ , dass auch x2 = kl =

k 2 l ∈ Q+ l

ist. In diesem Falle ist x vierte Wurzel aus einer rationalen Zahl, die kein Quadrat ist. Es kann also nur dann x2 ∈ Q+ gelten, wenn k und l nur quadriert kommensurabel sind. Ist nun m eine Mediale, so setze man k := rm3 und l = sm mit r, s ∈ Q+ . Dann sind k und l Mediale mit kl ∈ Q+ . Der n¨ achste Satz ist laut Thaer ein sp¨aterer Einschub. X.24. Das Rechteck aus linear kommensurablen medialen Strecken ist medial. Beweis. Es seien AB und BC linear kommensurable Mediale und r(AB, BC) sei das Rechteck aus diesen beiden Strecken. Man zeichne u ¨ ber AB das Quadrat q(AB, BD). Dieses Quadrat ist medial, da ja q(AB) = q(AB, BD)i ist. Ferner ist AB : BC = BD : BC = q(AB, BD) : r(AB, BC). Weil AB und BC linear kommensurabel sind, sind folglich auch q(AB, BD) und r(AB, BC) kommensurabel. Da q(AB, BD) medial ist, ist daher nach dem Zusatz zu X.24 auch r(AB, BC) medial. X.25. Das Rechteck aus nur quadriert kommensurablen medialen Strecken ist entweder rational oder medial. Beweis. Es sei r(AB, BC) ein Rechteck mit den medialen Seiten AB und BC, die nur quadriert kommensurabel seien. Dieses Rechteck, so wird behauptet, ist rational oder medial. Man zeichne u ¨ber AB das Quadrat, es sei BD eine weitere F

A

G

C D

B

O

H

M

EK L

N

Seite. Ebenso zeichne man u ¨ber BC das Quadrat BOEC. Die Quadrate q(AB) und

272

Kapitel III. Das zehnte Buch

q(BC) sind beide medial, weil ihre Seiten ja medial sind. Es sei F G eine rationale Strecke und F GM H ein Rechteck mit gleichem Fl¨acheninhalt wie q(AB). Ferner sei HM N K ein Rechteck, welches den gleichen Fl¨acheninhalt wie r(AB, BC) hat. Schließlich lege man an KN das Rechteck r(KN, KL) mit dem Fl¨acheninhalt q(BC) an. Da q(AB) und q(BC) beide medial sind und q(AB) = r(GF, F H) sowie q(BC) = r(N K, KL) gilt, sind r(GF, F H) und r(N K, KL) beide medial. Sie sind auch beide der rationalen Seite F G angelegt. Daher sind F H und KL nach X.22 rational, aber nicht linear kommensurabel zu AB. Die Quadrate q(AB) und q(BC) sind nach Voraussetzung kommensurabel. Also sind auch r(GF, F H) und r(N K, KL) kommensurabel. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist r(GF, F H) : r(N K, KL) = F H : KL, so dass F H und KL linear kommensurabel sind. Nach X.19 ist das Rechteck r(F H, KL) daher rational. Ferner ist DB = BA und OB = BC. Also ist DB : BC = AB : BO. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist aber DB : BC = q(AB) : r(AB, BC) und AB : BO = r(AB, BC) : q(BC). Also ist q(AB) : r(AB, BC) = r(AB, BC) : q(BC). Es ist q(AB) = r(GF, F H), r(AB, BC) = r(M H, HK) und q(BC) = r(N K, KL) nach Konstruktion. Also ist r(GF, F H) : r(M H, HK) = r(M H, HK) : r(N K, KL). Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist somit F H : HK = HK : KL. Nach VI.17 von Kap. 1, Absch. 4 ist daher r(F H, KL) = q(HK). Wie schon gesehen ist r(F H, KL) rational, so dass auch q(HK) rational ist. Dann ist aber auch HK rational. Ist HK mit HM linear kommensurabel, so ist r(KH, HM ) nach X.19 rational. Ist HK mit HM nur quadriert kommensurabel, so ist r(KH, HM ) nach X.21 rational oder medial. Nun ist aber r(AB, BC) = r(KH, HM ), so dass r(AB, BC) wie behauptet rational oder medial ist. ¨ X.26. Der Uberschuss einer medialen Fl¨ ache u ¨ber eine mediale ist nicht rational.

3. Existenzaussagen

273

Beweis. Es seien a und b Mediale. Ferner sei c eine Strecke und es gelte q(a) = q(b) + q(c). Es ist zu zeigen, dass q(c) nicht rational ist. Wir nehmen an, dass q(c) rational ist. Es sei ferner EF eine rationale Strecke. An diese lege man das Rechteck EF IH an, dessen Fl¨acheninhalt gleich dem von q(a) ist. Auf EH und F I seien Punkte G und K so bestimmt, dass F KGE ein Rechteck mit dem gleichen Fl¨ acheninhalt wie q(b) ist. Dann ist KIHG ein Rechteck mit dem Fl¨ acheninhalt q(c). Weil q(c) rational ist, ist r(KG, GH) rational, und weil q(a) und q(b) medial sind, sind auch r(F E, EH) und r(F E, EG) medial. Weil F E rational ist, sind nach X.22 auch EH und EG rational, aber beide sind nicht linear kommensurabel mit F E. Nun ist r(KG, GH) rational. Ferner ist auch KG rational. Daher ist nach X.20 die Strecke GH rational und außerdem linear kommensurabel mit KG = EF . Weil EG mit EF nicht linear kommensurabel ist, ist GH mit EG nicht linear kommensurabel, wegen der Transitivit¨ at der linearen Kommensurabilit¨ at. Es ist — hier muss man auf der rechten Seite GH als eine geeignete Strecke der L¨ange GH interpretieren — EG : GH = q(EG) : r(EG, GH). Weil EG und GH linear inkommensurabel sind, sind daher auch q(EG) und r(EG, GH) inkommensurabel. Nun sind die Fl¨ achen q(EG) und q(EG) + q(GH) rational, also kommensurabel. Daher sind r(EG, GH) und q(EG) + q(GH) inkommensurabel. Weil r(EG, GH) und 2r(EG, GH) jedoch kommensurabel sind, sind 2r(EG, GH) und q(EG)+q(GH) inkommensurabel. Es folgt, dass q(EG)+q(GH) und q(EG) + q(GH) + 2r(EG, GH) = q(EH) inkommensurabel sind. Nun ist q(EG) + q(GH) rational. Folglich ist q(EH) irrational und damit auch EH. Dies ist ein Widerspruch, da EH schon als rational erkannt war. 3. Existenzaussagen. In Abschnitt 2 vor Proposition X.24 haben wir in heutiger Sprache dargelegt, wie Rechtecke aussehen, deren Seiten kommensurable Mediale sind. Sie sind rational oder medial und sicher dann medial, wenn die Seiten linear kommensurabel sind. Andererseits haben wir auch Beispiele daf¨ ur gesehen, dass das Rechteck rational ist, obgleich beide Seiten medial sind. Im euklidischen Text wird erst jetzt auf die Frage der Existenz eingegangen, so bei den n¨ achsten beiden Propositionen. Sie sind laut Thaer wieder sp¨ atere Einf¨ ugungen und im ¨ Ubrigen Korollare zu X.31 und X.32. Da wir die Existenzfrage schon beantwortet haben und andererseits X.31 und X.32 beweisen werden, zitieren wir hier die beiden Propositionen, ohne auf die zu ihrer L¨ osung erforderlichen Konstruktionen einzugehen. X.27. Nur quadriert kommensurable mediale Strecken zu finden, die ein rationales Rechteck umfassen.

274

Kapitel III. Das zehnte Buch

X.28. Nur quadriert kommensurable mediale Strecken zu finden, die ein mediales Rechteck umfassen. Es folgen zwei Aufgaben, die von Thaer als Hilfss¨ atze bezeichnet werden. Laut Thaer sind sie ebenfalls Einsch¨ ube von sp¨ aterer Hand, wobei Hilfssatz X.28a wohl voreuklidisch sei, da man an eine vollst¨andige Diskussion der Reduzibilit¨ at von  ” √ √ r( A ± B) nicht herangegangen sein wird, ehe man die Frage f¨ ur den ein√ 2 2 facheren Ausdruck a + b gel¨ost hatte“ (Euklid 1980, S. 454). Bei X.28a geht es also darum, pythagoreische Tripel zu finden. Dabei heißt ein Tripel (a, b, c) unfzehn solcher von nat¨ urlichen Zahlen pythagoreisch, falls a2 + b2 = c2 ist. F¨ Zahlentripel finden sich schon in einem babylonischen Text (Gericke 1992, Mathematik in Antike und Orient, S. 34). Dickson 1971, (Vol. II, S. 165ff), dem sonst nichts entgeht, erw¨ ahnt diesen Text nicht. Er war wohl, als Dickson sein Buch verfasste, noch nicht erschlossen. Dickson hat daf¨ ur f¨ unf Tripel, die im Indien des f¨ unften vorchristlichen Jahrhunderts bekannt waren. Wer sich f¨ ur die Geschichte des Problems, pythagoreische Zahlentripel zu finden, interessiert, muss Dickson konsultieren. X.28a. Zwei Quadratzahlen so zu finden, dass auch ihre Summe eine Quadratzahl ist. Konstruktion. Es seien a und b zwei gerade oder zwei ungerade Zahlen, die dar¨ uberhinaus a¨hnliche ebene Zahlen sind. Ferner sei a > b. Dann sind a − b und a + b in jedem Falle gerade. Es folgt — hier zitiert Euklid Proposition II.6 — 2  2  a+b a−b = . ab + 2 2 Nach IX.1 von Kap. 2, Absch. 5 ist ab eine Quadratzahl. Damit ist die Aufgabe gel¨ost. Wenn man diese Stelle in den Elementen aufmerksam liest, f¨ allt einem ein Stilbruch, ja eine L¨ ucke im Beweis auf. Ich schrieb, dass Euklid hier Proposition II.6 zitiert. Nun lautet diese Proposition wie folgt: Halbiert man eine Strecke und ” setzt ihr irgendeine Strecke gerade an, so ist das Rechteck aus der ganzen Strecke mit der Verl¨ angerung zusammen mit dem Quadrat u ¨ber der H¨ alfte dem Quadrat u ¨ ber der aus der H¨ alfte und der Verl¨ angerung zusammengesetzten Strecke gleich.“ Es sei a die Strecke zusammen mit der Verl¨angerung. Die Verl¨ angerung sei b. Dann ist a − b die Ausgangsstrecke. Die Aussage des Satzes ist nun       a−b a+b a−b r(a, b) + q +b =q =q . 2 2 2 Benutzt wird bei der Konstruktion von X.28a aber die f¨ ur Zahlen a und b g¨ ultige Formel  2  2 a−b a+b ab + = . 2 2

3. Existenzaussagen

275

Zahlen sind jedoch keine Strecken und außerdem werden Strecken nicht miteinander multipliziert. Man kann sich daher nicht direkt auf II.6 berufen, um diese Formel zu beweisen. Dass man Zahlen mit Strecken identifizieren darf, ist ein keineswegs banales Problem. Es wird in den Elementen nicht diskutiert. Will man die Weste seines Helden rein erhalten, muss man also schließen, dass X.28a tats¨achlich nicht von Euklid stammt. Aber leider passiert dieser Fauxpas hier nicht zum ersten Male. Beim Beweise von IX.15, was nicht als von sp¨aterer Hand deklariert wird, werden II.3 und II.4 benutzt und als Distributivgesetz f¨ ur N bzw. als die Formel (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab f¨ ur a, b ∈ N interpretiert. Thaer sieht hier keine Schwierigkeiten, ich schon, zumal Euklid sonst sehr, sehr sorgf¨ altig vorgeht, wenn er Geometrie und Zahl miteinander verkn¨ upft. Ich w¨ unschte mir, Euklid h¨ atte in beiden F¨ allen mit Proposition V.1 geschlossen, die ja f¨ ur N gerade das Distributivgesetz beinhaltet. Die oben gegebene Konstruktion zur Auffindung pythagoreischer Tripel gibt auch Fibonacci (Boncompagni 1857, S. 401). Dies sind aber auch alle L¨ osungen, wie der Zusatz zu X.28a sagt. Um dies zu zeigen seien x, y, z ∈ N und es gelte x2 + y 2 = z 2 . Setze a := z + y und b := z − y. Dann ist a − b = 2y, so dass a und b gleiche Parit¨at haben. Ferner gilt   2  2 2 a−b a+b a−b 2 x + = = ab + . 2 2 2 Daher ist x2 = ab. Mit IX.2 folgt, dass a und b ¨ahnliche ebene Zahlen sind. Fibonacci gibt noch eine andere L¨ osung, die zwar nur spezielle Tripel liefert, die daf¨ ur aber auch keiner Vorbereitung bedarf. Sie beruht auf der Bemerkung, dass n 

(2i − 1) = n2

i:=1

ist, wie eine einfache Induktion zeigt, da ja n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 ist oder, wie Fibonacci in seinem liber quadratorum sagt, da die Differenz zweier aufeinander folgender Quadratzahlen gleich der Summe der Wurzeln ist. Ist nun m eine ungerade nat¨ urliche Zahl, so setze man n := 12 (m2 + 1). Dann ist 2n − 1 = m2 und folglich n2 =

n 

(2i − 1) =

i:=1

n−1 

(2i − 1) + m2 = (n − 1)2 + m2 .

i:=1

276

Kapitel III. Das zehnte Buch

Fibonacci nimmt als Beispiel m = 7. Dann ist also n = 25 und folglich 252 = 242 + 72 (Boncompagni 1857, S. 401). Fibonacci beginnt seinen liber quadratorum mit der Formel n 

(2i − 1) = n2 ,

i:=1

mittels derer er eine Reihe sehr sch¨oner Resultate erzielt. Auch in diesem Buch bringt er cum grano salis die allgemeine L¨osung f¨ ur die Aufgabe X.28a, wobei das K¨ ornchen Salz darin besteht, dass er mit zwei Quadratzahlen gleicher Parit¨ at startet. Das ist aber keine wesentliche Einschr¨ ankung, wie wir wissen, da die pythagoreischen Tripel (x, y, z) mit ggT(x, y, z) = 1 alle von der Form sind, wie Fibonacci sie gibt, ohne dass er dies jedoch erw¨ ahnt (Boncompagni 1860, Fibonacci 1987). Die Formel 4ab = (a + b)2 − (a − b)2 wurde fr¨ uher auch benutzt, um das Produkt ab auszurechnen. Dabei bediente man sich einer Quadrattafel, so dass man nur Summe und Differenz von a und b auszurechnen hatte, deren Quadrate in der Tafel aufsuchte, die Differenz bildete und dann noch durch 4 dividierte. Beispiel einer solchen Quadrattafel ist S´eguin 1828. Mein Exemplar stammt aus der Sternwarte des eidg. Polytechnikums Z¨ urich — die es ausgemustert und zu Geld gemacht hat —, so dass es wohl wirklich zum Rechnen benutzt wurde. Es gab auch Tafeln, wo die Quadrate von nat¨ urlichen Zahlen und deren H¨ alften tabuliert waren. Da konnte man dann direkt die Quadrate a−b ussen. von a+b 2 und 2 aufsuchen und erhielt ab, ohne noch durch 4 dividieren zu m¨ Nach Bischoff (1990, S. 65) war Jobus Ludolff der erste, der solche Quadrattafeln zum Rechnen benutzte. Seine Rechentafeln trugen den Titel Tetragonometria Tabularia und erschienen 1712 in Jena. X.28b. Zwei Quadratzahlen so zu finden, dass ihre Summe keine Quadratzahl ist. Konstruktion. Es seien a und b ¨ ahnliche ebene Zahlen gleicher Parit¨ at. Dann ist ab eine Quadratzahl und es gilt  ab +

a−b 2

Behauptet wird, dass

 ab +

keine Quadratzahl ist.



2 =

a+b 2

a−b −1 2

2

2 .

3. Existenzaussagen

277

Wir k¨ urzen den Beweis ab, indem wir bemerken, dass  ab +

a−b −1 2

2

 =

a+b −1 2

2 + 2b

a+b 2 2 ist. Hieraus folgt die Behauptung, da es zwischen ( a+b 2 − 1) und ( 2 ) keine Quadratzahl gibt.

X.29. Zwei nur quadriert kommensurable rationale Strecken so zu finden, dass quadriert die gr¨ oßere um das Quadrat einer mit ihr linear kommensurablen die kleinere u ¨bertrifft. Konstruktion. Es sei AB eine rationale Strecke. Ferner seien c und d Quadratzahlen mit c > d, so dass c − d keine Quadratzahl sei. Nach dem Zusatz zu X.6 von Absch. 1 gibt es eine Strecke AF mit q(AB) : q(AF ) = c : (c − d). Wir d¨ urfen uns F so gew¨ahlt denken, dass AF B ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei F ist. Wegen q(AB) : q(AF ) = c : (c − d) sind q(AB) und q(AF ) nach X.6 von Absch. 1 kommensurabel. Weil AB rational ist, ist q(AB) und dann auch q(AF ) rational. Daher ist auch AF rational. Weil c eine Quadratzahl ist, c − d aber nicht, haben c und c − d nach VIII.24 von Kap. 2, Absch. 4 kein Verh¨ altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl. Nach X.9 von Absch. 1 sind AB und AF daher nicht linear kommensurabel, dh., AB und AF sind nur quadriert kommensurabel. Nun ist q(AF ) = q(AB) − q(F B) und daher

 q(AB) : q(AB) − q(F B) = c : (c − d).

Wegen q(AB) = q(F B) + q(AB) − q(F B) und c = d + c − d folgt mit V.17 von Kap. 1, Absch. 3

 q(F B) : q(AB) − q(F B) = d : (c − d). Mit V.16 und V.22 von Kap. 1, Absch 3 folgt weiter q(AB) : q(F B) = c : d. Weil c und d Quadratzahlen sind, sind AB und F B nach X.9 von Absch. 1 linear kommensurabel. Damit haben wir zwei nur quadriert kommensurable Strecken gefunden, n¨ amlich AB und AF , und eine mit AB linear kommensurable, n¨ amlich F B, so dass q(AB) = q(AF ) + q(F B)

278

Kapitel III. Das zehnte Buch

gilt. Damit ist die gew¨ unschte Konstruktion geleistet. X.30. Zwei nur quadriert kommensurable rationale Strecken so zu finden, dass quadriert die gr¨ oßere um des Quadrat einer ihr linear inkommensurablen Strecke die kleinere u ¨bertrifft. Konstruktion. Es seien c und d zwei Quadratzahlen, so dass c + d keine Quadratzahl sei. Ferner sei AB eine rationale Strecke. Es gibt wieder eine Strecke AF , so dass q(BA) : q(AF ) = (c + d) : d ist. Wir d¨ urfen wieder annehmen, dass AF B ein rechtwinkliges Dreieck ist mit dem rechten Winkel bei F . Weil sich die Quadrate q(BA) und q(AF ) wie Zahl zu Zahl verhalten, sind sie kommensurabel. Weil q(BA) rational ist, ist folglich auch q(AF ) und damit AF rational. Weil d ein Quadrat ist, c + d aber nicht, folgt mit X.9 von Absch. 1, dass BA und AF nicht linear kommensurabel sind. Somit sind AB und AF zwei rationale Strecken, die nur quadriert kommensurabel sind. Nun ist q(BA) = q(AF ) + q(F B) und folglich 

q(AF ) + q(F B) : q(AF ) = (c + d) : d. Hieraus folgt q(F B) : q(AF ) = c : d und weiter q(AF ) : q(F B) = d : c, was wiederum q(AB) : q(F B) = (c + d) : c zur Folge hat. Also sind auch AB und F B nur quadriert kommensurabel. Wegen q(AB) = q(AF ) + q(F B) sind AB, AF und F B Strecken der gesuchten Art. Es seien a und b Strecken mit a < b. Es gibt dann eine Strecke x mit r(x, b−x) = q( a2 ). Proposition X.17 von Abschnitt 1 besagt nun, dass x und b − x genau dann linear kommensurabel sind, wenn es eine zu b linear kommensurable Strecke c gibt mit q(b) = q(a) + q(c). Bei der n¨achsten Aufgabe geht es nun darum a und b so zu bestimmen, dass a und b medial und nur quadriert kommensurabel sind, so dass es ein zu b linear kommensurables c gibt mit q(b) = q(a) + q(c). In der folgenden Konstruktion tragen a und b die Namen c und d und c kommt nur implizit vor. X.31. Zwei nur quadriert kommensurable mediale Strecken, die ein rationales Rechteck umfassen, so zu finden, dass quadriert die gr¨ oßere um das Quadrat einer mit ihr linear kommensurablen (oder inkommensurablen) Strecke die kleinere u ¨bertrifft.

3. Existenzaussagen

279

Konstruktion. Es seien a und b zwei nach X.29 existierende nur quadriert kommensurable rationale Strecken, so dass a, die gr¨ oßere, quadriert das Quadrat q(b) um das Quadrat einer mit ihr linear kommensurablen Strecke u ¨bertrifft. Es sei c so bestimmt, dass q(c) = r(a, b) gilt. Nach X.21 von Absch. 2 ist c medial. Nach I.44 gibt es eine Strecke d mit q(b) = r(c, d). Weil b rational ist, ist q(b) und damit r(c, d) rational. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist a : b = r(a, b) : q(b). Ferner ist r(a, b) = q(c) und q(b) = r(c, d). Also ist a : b = q(c) : r(c, d) = c : d. Hier haben wir wieder VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 verwendet. Die Strecken a und b sind nur quadriert kommensurabel. Daher sind auch c und d nach X.11 von Absch. 1 nur quadriert kommensurabel. Weil c medial ist, ist d nach X.23 von Absch. 2 ebenfalls medial. Da a : b = c : d ist und da q(a) das Quadrat q(b) um das Quadrat einer mit ihr linear kommensurablen Strecke u ¨bertrifft, u ¨bertrifft auch q(c) nach X.14 das Quadrat q(d) um das Quadrat einer mit c linear kommensurablen Strecke. Die gesuchten Strecken sind also c und d. ¨ Euklid beendet den Beweis mit der Bemerkung: Ahnlich l¨ asst der Beweis sich ” f¨ uhren auch: um das Quadrat einer inkommensurablen Strecke, wenn a quadriert um das Quadrat einer zu ihm inkommensurablen Strecke b u ¨ bertrifft (X.30).“ Dies hat Thaer wohl veranlasst, den Kommentar oder inkommensurablen“ einzuf¨ ugen. ” Es sei dem Leser u ¨ berlassen, die Einzelheiten des Beweises sich selbst zu u ¨ berlegen. Die Strecken c und d sind medial und nur quadriert kommensurabel. Das Rechteck r(c, d) ist rational. Also l¨ osen c und d die Aufgabe X.27. X.32. Zwei nur quadriert kommensurable mediale Strecken, die ein mediales Rechteck umfassen, so zu finden, dass quadriert die gr¨ oßere um das Quadrat einer mit ihr linear kommensurablen (oder inkommensurablen) Strecke die kleinere u ¨bertrifft. Konstruktion. Es seien a, b und c drei rationale Strecken, die nur quadriert kommensurabel seien. Ferner sei a > c und q(a) u ¨ bertreffe q(c) um das Quadrat einer mit a linear kommensurablen Strecke. So beginnt Euklids Konstruktion, wobei noch auf X.29 hingewiesen wird. Doch X.29 liefert nur die Existenz von a und c, wobei a eine beliebig gegebene rationale Strecke ist. Euklid sagt nicht, woher er b erh¨alt, so dass b sowohl zu a als auch zu c nur quadriert kommensurabel ist. Wir versuchen nicht, √ den Methoden Euklids zu stopfen, und sagen nur: √ dieses Loch mit a := 3r, b := 2r und c := 5r leisten das Verlangte, √ √ wenn r die Rationale ist. Dies liegt an der linearen Unabh¨ angigkeit von 1, 2, 5. Die gleiche L¨ ucke findet sich auch im Beweis der hier nicht vorgestellten Proposition X.28. Die Existenz von a, b und c vorausgesetzt bestimme man eine Strecke d mit q(d) = r(a, b). Nach X.21 von Absch. 2 sind d und damit q(d) medial. Es sei weiter e so bestimmt, dass r(b, c) = r(d, e) ist. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist r(a, b) : r(b, c) = a : c.

280

Kapitel III. Das zehnte Buch

Mit r(a, b) = q(d) und r(b, c) = r(d, e) folgt a : c = q(d) : r(d, e) = d : e. Weil a mit c nur quadriert kommensurabel ist, ist auch d mit e nur quadriert kommensurabel. Weil d medial ist, ist auch e medial nach X.23 von Absch. 2. Nach Voraussetzung u ¨ bertrifft q(a) das Quadrat q(c) um ein Quadrat, dessen Seite mit a linear kommensurabel ist. Wegen a : c = d : e u ¨ bertrifft q(d) nach X.14 von Absch. 1das Quadrat q(e) um ein Quadrat, dessen Seite mit d kommensurabel ist. Schließlich ist r(b, c) nach X.21 von Absch. 2 medial, so dass wegen r(b, c) = r(d, e) auch r(d, e) medial ist. Das zweite Paar von Medialen, die ein mediales Rechteck umfassen, so dass oßeren das Quadrat u ¨ber der kleineren um ein Quadrat das Quadrat u ¨ ber der gr¨ u ¨ bertrifft, dessen Seite mit der Seite des gr¨oßeren nicht linear kommensurabel ist, konstruiert sich ganz entsprechend, indem man mit einem Tripel rationaler Strecken a, b und c beginnt, die nur quadratisch kommensurabel sind und f¨ ur die q(a) = q(c) + q(u) gilt mit einer Strecke u die mit a linear inkommensurabel ist. X.33. Zwei quadriert inkommensurable Strecken zu finden, aus denen die Quadratsumme rational und das Rechteck medial wird. Konstruktion. Man konstruiere gem¨ aß X.30 zwei nur quadriert kommensurable rationale Strecken AB und BC, so dass q(AB) das Quadrat q(BC) um das Quadrat u ¨ ber einer zu AB linear inkommensurablen Strecke u ¨bertrifft. Man halbiere BC in D und lege an AB gem¨aß VI.28 von Kap. 1, Absch. 4 ein Rechteck mit Fl¨ acheninhalt q(BD) = q(DC) an, so dass bei B ein Quadrat fehlt. Es sei dies das Rechteck r(AE, EB), wobei EB wieder sinngem¨aß zu interpretieren ist.

A

E

B

D

C

¨ Uber AB als Durchmesser zeichne man einen Halbkreis und bringe diesen mit der Senkrechten zu AB im Punkte E zum Schnitt. Der Schnittpunkt sei F . Dann ist q(AF ) + q(F B) = q(AB). Weil AB rational ist, ist auch q(AB) rational. Es ist zu zeigen, dass r(AF, F B) medial ist. Setze b := AB und a := BC und x := EB. Schließlich sei c durch q(b) = q(a) + q(c) definiert. Dann ist   a r(x, b − x) = q . 2 Nun sind c und b nicht linear kommensurabel. Nach X.17 von Absch. 1 sind daher auch x und b − x, dh. EB und AE nicht linear kommensurabel. Nach VI.1 von

3. Existenzaussagen

281

Kap. 1, Absch. 4 ist AE : EB = r(BA, AE) : r(AB : BE). Ferner folgt mit VI.8 von Kap. 1, Absch. 4, dass r(BA, AE) = q(AF )

und

r(AB, BE) = q(BF )

ist. Also ist AE : EB = q(AF ) : q(BF ). Weil AE und EB nicht linear kommensurabel sind, sind q(AF ) und q(BF ) nicht kommensurabel. Also sind AF und BF quadriert inkommensurabel. Nun ist r(AE, EB) = q(EF ) und nach Konstruktion ist r(AE, EB) = q(BD). Also ist EF = BD und folglich BC = 2EF . Somit sind r(AB, BC) und r(AB, EF ) kommensurabel. Nach X.21 von Absch. 2 ist r(AB, BC) medial, da AB und BC nur quadriert kommensurabel sind. Also ist auch r(AB, EF ) nach dem Zusatz zu X.23 von Absch. 2 medial. Nun ist aber r(AB, EF ) = r(AF, F B), so dass auch r(AF, F B) medial ist. Damit ist alles bewiesen. Wir fassen die Konstruktionen zu den n¨ achsten beiden Aufgaben zusammen. X.34. Zwei quadriert inkommensurable Strecken zu finden, aus denen die Quadratsumme medial und das Rechteck rational wird. X.35. Zwei quadriert inkommensurable Strecken zu finden, aus denen die Quadratsumme medial und das Rechteck medial wird und dabei zu der Quadratsumme inkommensurabel. Konstruktion. Man beginne mit zwei medialen Strecken AB und BC, die f¨ ur Aufgabe X.34 ein rationales und f¨ ur Aufgabe X.35 ein mediales Rechteck umfassen und die außerdem die Eigenschaft haben, dass q(AB) − q(BC) gleich einem Quadrat mit einer zu AB linearen inkommensurablen Seite ist. Solche Strecken AB und BC kann man nach X.31 und X.32 stets finden. Man halbiere BC in E und lege an AB gem¨aß VI.28 von Kap. 1, Absch. 4 ein zu q(BE) inhaltsgleiches Rechteck r(AF, F B) an, so dass bei B ein Quadrat fehlt. Schließlich zeichne man u ¨ ber AB den Halbkreis und bringe die von AF verschiedene Rechtecksseite durch F mit ihm zum Schnitt. Der Schnittpunkt sei D. Um den Zusammenhang mit X.17 von Absch. 1 herzustellen, setzen wir b := AB, a := BC und x := F B. Dann ist b − x = AF . Schließlich sei c eine Strecke mit q(b) = q(a)+q(c). Nach Voraussetzung sind b und c linear inkommensurabale. Nach X.17i von Absch. 1 sind daher x und b−x, dh. F B und AF linear inkommensurabel. Es ist AF : F B = r(AB, AF ) : r(AB, F B).

282

Kapitel III. Das zehnte Buch

Weil AF und F B linear inkommensurabel sind, sind nach X.11 von Absch. 1 auch r(AB, AF ) und r(AB, F B) inkommensurabel. Nach VI.8 von Kap. 1, Absch. 4 ist r(AB, AF ) = q(AD) und r(AB, F B) = q(DB). Daher sind auch q(AD) und q(DB) inkommensurabel. Nun ist q(AB) = q(AD) + q(DB). Nach Voraussetzung ist AB und damit q(AB) medial. Also ist q(AD) + q(DB) medial. Es bleibt noch zu zeigen, dass r(AD, DB) rational (X.34) bzw. medial (X.35) ist. Es ist r(AF, F B) = q(F D). Nach Konstruktion ist r(AF, F B) = q(BE). Also ist F D = BE und damit BC = 2F D. Daher ist r(AB, BC) = 2r(AB, F D), so dass mit r(AB, BC) auch r(AB, F D) rational bzw. medial ist. Weil die Dreiecke ABD und ADF nach VI.8 von Kap. 1, Absch. 4 a¨hnlich sind, gilt AB : BD = AD : DF , so dass r(AB, F D) = r(AD, BD) gilt. Damit ist auch r(AD, BD) rational, bzw. medial. Damit sind die beiden Propositionen bewiesen. 4. Summen von irrationalen Strecken. Nun werden Summen von im vorigen Abschnitt konstruierten irrationalen Strecken untersucht. Die sich ergebenden Strecken werden wir in Abschnitt 7 nach dem Vorgang von Fibonacci auch noch auf den Zahlbegriff zur¨ uckf¨ uhren. Die Struktur der Beweise von X.36 und X.37 ist fast dieselbe. Wir werden sie ¨ daher zusammenfassen. Sie zeigen im Ubrigen auch, dass man die Voraussetzungen der beiden Propositionen erf¨ ullen kann. X.36. Setzt man zwei nur quadriert kommensurable rationale Strecken zusammen, dann ist die Summe irrational; sie heiße Binomiale. X.37. Setzt man zwei nur quadriert kommensurable mediale Strecken, die ein rationales Rechteck umfassen, zusammen, dann ist die Summe irrational; sie heiße erste Bimediale. Beweis. Es seien AB und BC zwei rationale oder zwei mediale, nur quadriert kommensurable Strecken. Sind AB und BC medial, so sei das Rechteck, das sie umfassen, rational. Solche Strecken gibt es nach X.10 von Abschnitt 1 bzw. X.31 von Absch. 3. Wir m¨ ussen zeigen, dass AC irrational ist. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist AB : BC = r(AB, BC) : q(BC). Da AB und BC nicht linear kommensurabel sind, sind daher r(AB, BC) und q(BC) nicht kommensurabel. Nach Voraussetzung sind q(AB) und q(BC) kommensurabel. Daher sind auch q(AB) + q(BC) und q(BC) kommensurabel. Weil

4. Summen von irrationalen Strecken

283

2r(AB, BC) und r(AB, BC) kommensurabel sind, r(AB, BC) und q(BC) aber nicht, sind 2r(AB, BC) und q(AB) + q(BC) nicht kommensurabel. Hieraus folgt wegen q(AC) = q(AB) + q(BC) + 2r(AB, BC), dass q(AC) nicht zu q(AB)+q(BC) und auch nicht zu r(AB, BC) kommensurabel ist. Sind nun AB und BC rational, so ist auch q(AB) + q(BC) rational. Folglich ist q(AC) irrational und damit auch AC. Sind AB und BC beide medial, so ist r(AB, BC) nach Voraussetzung rational. Also ist auch in diesem Falle q(AC) und damit AC irrational. Damit sind die beiden Propositionen bewiesen. X.38. Setzt man zwei nur quadriert kommensurable mediale Strecken, die ein mediales Rechteck umfassen, zusammen, dann ist auch die Summe irrational; sie heiße zweite Bimediale. Beweis. Es seien AB und BC nur quadriert kommensurable mediale Strecken, die ein mediales Rechteck umfassen. Solche Strecken gibt es nach X.32 von Absch. 3. Es ist wieder zu zeigen, dass AC irrational ist. Mit DE bezeichnen wir die Rationale, die hier zum ersten Male explizit auftaucht. Was von ihr benutzt wird, ist aber nur, dass sie rational ist. Man lege an DE das Parallelogramm DEF G an, dessen Inhalt gleich dem von q(AC) sei. Nun ist q(AC) = q(AB) + q(BC) + 2r(AB, BC). Man teile die Strecke DG so in H, dass r(ED, DH) = q(AB) + q(BC) wird. Dann ist r(HG, GF ) = 2r(AB, BC). Nun sind q(AB) und q(BC) nach Voraussetzung kommensurabel. Daher sind sie beide mit q(AB) + q(BC) kommensurabel. Weil sie medial sind, ist auch q(AB) + q(BC) medial. Nach Voraussetzung ist r(AB, BC) und dann auch 2r(AB, BC) medial. Es folgt, dass r(ED, DH) und R(HG, GF ) medial sind. Weil sie der Rationalen angelegt sind, sind nach X.22 von Absch. 2 die Strecken DH und HG rational, aber mit DE nicht linear kommensurabel. Es ist AB : BC = q(AB) : r(AB, BC), so dass q(AB) und r(AB, BC) inkommensurabel sind, da AB und BC ja nicht linear kommensurabel sind. q(AB) und q(BC) sind aber kommensurabel. Also sind auch q(AB) + q(BC) und q(AB) kommensurabel. Ferner sind auch r(AB, BC) und 2r(AB, BC) kommensurabel. Folglich ist q(AB) + q(AB) mit 2r(AB, BC) nicht kommensurabel, da ja 2r(AB, BC) und q(AB) inkommensurabel sind. Wegen q(AB) + q(BC) = r(ED, DH) und r(HG, GF ) = 2r(AB, BC) sind dann auch

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Kapitel III. Das zehnte Buch

r(ED, DH) und r(HG, GF ) inkommensurabel. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist DH : HG = r(ED, DH) : r(HG, GF ), so dass DH und HG linear inkommensurabel sind. Als rationale Strecken sind sie aber quadriert kommensurabel. Nach X.36 ist DG daher irrational. Weil ED rational ist, ist r(ED, DG) nach X.20 von Absch. 1 irrational. Nun ist q(AD) = r(ED, DG). Daher ist auch AD irrational. X.39. Setzt man zwei quadriert inkommensurable Strecken, aus denen die Quadratsumme rational und das Rechteck medial wird, zusammen, dann ist die Summenstrecke irrational; sie heiße Major. Beweis. AB und BC m¨ogen die Voraussetzungen erf¨ ullen. Dann ist r(AB, BC) medial und q(AB) + q(BC) rational. Es folgt, dass auch 2r(AB, BC) medial ist. Es folgt weiter, dass auch q(AC) = q(AB) + q(BC) + 2r(AB, BC) nicht zu q(AB) + q(BC) kommensurabel ist. Da q(AB) + q(BC) rational ist, ist q(AC) folglich irrational. Dann ist aber auch AC irrational. — Die Terminologie, wenn sie uns auch unvertraut ist, ist der Situation bestens angepasst. Dass die Voraussetzungen der n¨achsten beiden Propositionen zu erf¨ ullen sind, folgt mit X.34 und X.35 von Absch. 3. X.40. Setzt man zwei quadriert inkommensurable Strecken, aus denen die Quadratsumme medial und das Rechteck rational wird, zusammen, dann ist die Summenstrecke irrational; sie heiße Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende. Beweis. AB und BC seien quadriert inkommensurable Strecken. Ferner sei q(AB) + q(BC) medial und r(AB, BC) rational. Es folgt, dass auch 2r(AB, BC) rational ist. Es folgt wieder, dass q(AC) = q(AB) + q(BC) + 2r(AB, BC) irrational ist. Folglich ist auch AC irrational. X.41. Setzt man zwei quadriert inkommensurable Strecken, aus denen die Quadratsumme medial und das Rechteck medial und dabei zu der Quadratsumme inkommensurabel wird, zusammen, dann ist die Summenstrecke irrational; sie heiße Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende. Beweis. Es seien AB und BC die fraglichen Strecken. Es ist zu zeigen, dass AC irrational ist. Es sei ED die Rationale. Ferner sei EDF G ein Parallelogramm, dessen Fl¨acheninhalt gleich dem von q(AB) + q(BC) sei. Ferner lege man an GF das Parallelogramm GF HK an, dessen Fl¨acheninhalt gleich dem von 2r(AB, BC) ist. Es folgt, dass q(AC) = r(ED, DK) ist. Es folgt ferner, dass die Fl¨ achen r(ED, DG)

5. Lineare Unabh¨ angigkeit

285

und r(F G, GK) medial sind. Weil ED und damit auch F G rational ist, folgt mit X.22 von Absch. 2, dass auch DG und GK rational sind, dass DG aber zu ED und GK zu GF = ED linear inkommensurabel ist. Nach Voraussetzung sind q(AB) + q(BC) und r(AB, BC) inkommensurabel. Daher sind auch q(AB)+q(BC) und 2r(AB, BC) inkommensurabel. Es folgt, dass auch r(ED, DG) und r(F G, GK) inkommensurabel sind. Wegen DG : GK = r(ED, DG) : r(F G, GK) sind dann auch DG und GK nicht linear kommensurabel. Weil diese Strecken rational sind, sind sie also nur quadriert kommensurabel. Nach X.36 ist DK also eine Bimediale, insbesondere also irrational. Nun ist aber DE rational. Nach X.20 von Absch. 2 ist r(ED, DK) folglich irrational. Wegen q(AC) = r(ED, DK) ist dann auch q(AC) irrational, was zur Folge hat, dass AC irrational ist. Damit ist der Satz bewiesen. 5. Lineare Unabh¨ angigkeit. Der Titel dieses Abschnitts ist als Fanfare gemeint. Nat¨ urlich gibt es den Begriff der linearen Unabh¨ angigkeit bei Euklid nicht. Dennoch werden nun Aussagen gemacht und bewiesen, die wir heute unter diesem Begriff subsumieren. Die Untersuchungen beginnen mit einem Hilfssatz. X.41a. Man lege eine Strecke AB zugrunde und teile die ganze Strecke in ungleiche Abschnitte sowohl in C als auch in D, nehme dabei AC > DB. Ich behaupte, dass q(AC) + q(CB) > q(AD) + q(DB) ist. Dieser Hilfssatz ist so nicht korrekt. Man muss auch noch voraussetzen, dass AD < DB ist. Beweis. Formulieren wir diesen Hilfssatz zuerst in unserer Sprache. Gegeben sind also u, v, x, y ∈ R+ mit u > y > x und u + v = x + y. Behauptet wird, dass u2 + v 2 > x2 + y 2 ist. Weil u2 + v 2 + 2uv = x2 + y 2 + 2xy ist, ist die erste Ungleichung gleichbedeutend mit der Ungleichung uv < xy. Diese wiederum besagt, dass das Quadrat unter allen umfangsgleichen Rechtecken den gr¨ oßten Fl¨ acheninhalt hat. Wir schl¨ ossen nun wie folgt. Wegen u + v = x + y und u > y ist v < x und folglich v < u, da ja auch x < y gilt. Also ist y−x >0 2

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Kapitel III. Das zehnte Buch

und

u−v > 0. 2

Ferner gilt x+y u+v u+v u−v y−x =y− =y−
u−v 2

2



 2  2 2 u+v x+y x−y = = xy + 2 2 2  2 u−v < xy + 2 =

Hieraus folgt uv < xy und damit die Behauptung. Euklid schließt wie folgt. Es sei E der Mittelpunkt von AB. Wegen AD < DB < AC < AB liegt D zwischen A und C und C zwischen D und B — das sagt Euklid nicht —. Daher ist AC = AD + DC und DB = DC + CB. Es folgt AD > CB. Nun ist AD + DE = AE = EB = EC + CB und daher DE < EC. Nach II.5 ist r(AC, CB) + q(EC) = q(EB) = r(AD, DB) + q(ED) und folglich r(AD, DB) > r(AC, CB). Wegen q(AD) + q(DB) + 2r(AD, DB) = q(AB) = q(AC) + q(CB) + 2r(AC, CB) folgt schließlich die Behauptung. Was Euklid wirklich ben¨ otigt, ist der folgende Hilfssatz. Er sagt einerseits weniger, andererseits mehr als X.41a. Es ist das Mehr, was gebraucht wird. Hilfssatz. Sind C und D zwei Punkte auf der Strecke AB, so ist



q(AC) + q(CB) − q(AD) − q(DB) = 2 r(AD, DB) − r(AC, CB) . Ferner ist q(AC) + q(CB) = q(AD) + q(DB) genau dann, wenn {AC, CB} = {AD, DB} der L¨ ange nach gilt. Beweis. Die erste Gleichung zwischen den Betr¨agen ist f¨ ur uns banal. Um die zweite Aussage zu beweisen, bemerken wir das Folgende. Ersetzen wir C durch den

5. Lineare Unabh¨ angigkeit

287

am Mittelpunkt von AB gespiegelten Punkt C  , so ist AC = C  B und AC  = CB und folglich q(AC) + q(CB) = q(AC  ) + q(C  B) und

r(AC, CB) = r(AC  , C  B).

Wir d¨ urfen daher annehmen, dass AC > CB ist. Aus dem gleichen Grunde d¨ urfen wir auch annehmen, dass AD < DB ist. Indem wir gegebenenfalls die Rollen von A und B sowie C und D vertauschen, d¨ urfen wir dar¨ uber hinaus noch annehmen, dass AC ≥ DB ist. Dann folgt die letzte Aussage aus X.41a. Euklid formuliert die Aussage u ¨ ber die Absolutbetr¨ age so, dass der Unterschied von q(AC) + q(CB) und q(AD) + q(DB) gleich dem Unterschied von 2r(AC, CB) und 2r(AD, DB) sei. Die nun folgenden Propositionen X.42 bis X.47 sind nicht w¨ ortlich zu nehmen, es gibt n¨amlich — darin dr¨ uckt sich die Kommutativit¨at der Addition aus — immer zwei Punkte, in denen die fraglichen Strecken auf die fragliche Art zerfallen. Diese Punkte liegen spiegelbildlich zum Mittelpunkt der zu untersuchenden Strecken. Dies ist f¨ ur die Beweise, die von X.41a Gebrauch machen, wesentlich. Die Schlampigkeit bei der Formulierung von X.41a setzt sich also fort. Wir haben mit diesen Spiegelpunkten beim Beweise des Hilfssatzes gearbeitet, den wir im Folgenden benutzen werden, so dass sie nun nicht mehr explizit auftreten werden. X.42. Eine Binomiale zerf¨ allt nur in einem Punkt in Glieder. Beweis. Hier wird Folgendes behauptet. Sind r, s, u, v ∈ R+ , sind r2 , s2 , u2 , v 2 ∈ Q+ , sind r/s, u/v ∈ Q+ und ist r + s = u + v, so ist {r, s} = {u, v}. Es sei AB eine Binomiale. Es gibt dann einen Punkt C zwischen A und B, so dass AC und CB nur quadriert kommensurable rationale Strecken sind. Es sei D ein von C verschiedener Punkt zwischen A und B und die Strecken AD und DB seien rational. Dar¨ uber hinaus sei {AC, CB} = {AD, DB}. Dann ist nach dem Hilfssatz



q(AC) + q(CB) − q(AD) − q(DB) = 2 r(AD, DB) − r(AC, CB) und die Ausdr¨ ucke rechts wie links sind von Null verschieden. Weil die Strecken AC, CB, AD, DB rational sind, ist der Ausdruck auf der linken Seite rational. Weil AB als Binomiale nicht rational ist, sind AD und DB, so wie AC und CB, nur quadriert kommensurabel. Daher sind r(AD, DB) und r(AC, CB) nach X.21 von Absch. 2 medial. Ihre Differenz ist nach X.26 von Abschnitt 2 folglich irrational. Damit erhalten wir den Widerspruch, dass Rationales gleich Irrationalem ist. X.43. Eine erste Bimediale zerf¨ allt nur in einem Punkt. Beweis. Es sei AB eine erste Bimediale. Es gibt dann einen Punkt C zwischen A und B, so dass AC und CB nur quadriert kommensurable mediale Strecken sind, die ein rationales Rechteck umfassen. Es sei D ein zweiter Punkt zwischen A und B,

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Kapitel III. Das zehnte Buch

so dass AD und DB mediale Strecken seien, die quadriert kommensurabel sind und ein rationales Rechteck umfassen. Es ist zu zeigen, dass {AC, CB} = {AD, DB} ist. Die Quadrate q(AC) und q(CB) sind kommensurabel. Nach X.15 von Abschnitt 1 sind dann auch q(AC) und q(AC) + q(CB) kommensurabel. Aus dem Zusatz zu X.23 von Absch. 2 folgt, dass auch q(AC) + q(CB) medial ist. Ebenso folgt, dass auch q(AD)+q(DB) medial ist. Wir nehmen nun an, dass {AC, CB} = {AD, DB} sei. Dann ist nach dem Hilfssatz q(AC) + q(CB) von q(AD) + q(DB) verschieden. Nach X.26 von Absch. 2 ist der Unterschied dieser beiden Fl¨achen medial. Andererseits ist dieser Unterschied nach dem Hilfssatz gleich dem Doppelten des Unterschieds der rationalen Fl¨achen r(AC, CB) und r(AD, DB) also rational. Dieser Wiederspruch zeigt, dass doch {AC, CB} = {AD, DB} ist. X.44. Eine zweite Bimediale zerf¨ allt nur in einem Punkt. Beweis. Es sei AB eine zweite Bimediale. Dann gibt es einen Punkt C, so dass AC und CB nur quadriert kommensurable mediale Strecken sind, so dass auch r(AC, CB) medial ist. Indem wir C gegebenenfalls an dem Mittelpunkt der Strecke AB spiegeln, sehen wir, dass wir annehmen d¨ urfen, dass AC ≥ CB ist. Weil AC und CB nicht linear kommensurabel sind, ist sogar AC > CB. Es sei D ein weiterer Punkt auf der Strecke AB, so dass AD und DB nur quadriert kommensurable mediale Strecken sind, die ein mediales Rechteck umfassen. Wieder mit dem Spiegelpunkt argumentierend, sehen wir, dass wir AD < DB annehmen d¨ urfen. Schließlich d¨ urfen wir auch noch annehmen, dass DB < AC ist, indem wir gegebenenfalls die Rollen von A und B sowie C und D vertauschen. Nach X.41a gilt dann q(AD) + q(DB) < q(AC) + q(CB). Es sei EF eine rationale Strecke. Ferner sei EF KN ein Rechteck, das mit q(AB) fl¨ achengleich sei. Es sei H ein Punkt auf der Strecke EN und G ein Punkt auf der Strecke F K, so dass EHGF ein Rechteck sei, welches den gleichen acheninhalt wie q(AC) + q(CB) habe. Schließlich sei M ein weiterer Punkt Fl¨ auf EN und L ein weiterer Punkt auf F K, so dass F LM E ein zu q(AD) + q(DB) fl¨ achengleiches Rechteck sei. Dann ist r(GK, KN ) = 2r(AC, CB) und r(LK, KN ) = 2r(AD, DB). Weil q(AC) und q(CB) medial sind, ist, wie schon mindestens einmal gesehen, q(AC) + q(CB) und dann auch r(F E, EH) medial. Weil F E rational ist, ist daher nach X.22 von Abschnitt 2 die Strecke EH ebenfalls rational, aber der Strecke F E nur quadriert kommensurabel. Weil r(HN, HK) ebenfalls medial ist, ist aus dem gleichen Grunde HN rational und zu N K = EF nur quadriert kommensurabel. Weil AC und CB nur quadriert kommensurabel sind und AC : CB = q(AC) : r(AC, CB) gilt, sind q(AC) und r(AC, CB) nicht kommensurabel. Andererseits sind q(AC) und q(AC) + q(BC) kommensurabel, da AC und CB quadriert kommensurabel

6. Binomiale

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sind. Ferner sind auch r(AC, CB) und sein Doppeltes 2r(AC, CB) kommensurabel. Daher sind 2r(AC, CB) und q(AC) = q(CB) nicht kommensurabel. Es ist q(AC) + q(CB) = r(F E, EH) und 2r(AC, CB) = r(HN, N K). Daher sind r(F E, EH) und r(HN, N K) nicht kommensurabel. Wegen N K = F E ist EH : HN = r(F E, EH) : r(HN, N K). Hieraus folgt, dass EH und HN nicht linear kommensurabel sind. Da beide Strecken rational sind, sind sie nur quadriert kommensurabel. Also ist EN eine Bimediale, die in H zerf¨allt. Spielt man das Spiel mit dem Punkte D, so erh¨alt man, dass die Bimediale EN auch in M zerf¨allt. Mit X.43 folgt, dass EH = M N ist. Hiermit folgt q(AC) + q(CB) = 2r(AD, DB) und dann q(AD) + q(DB) < q(AC) + q(CB) = 2r(AD, DB). Dies widerspricht aber II.7, wo gezeigt wird, dass q(AD) + q(DB) ≥ 2r(AD, DB) ist. X.45. Eine Major zerf¨ allt nur in einem Punkt. Beweis. Es sei AB eine Major. Dann gibt es einen Punkt C auf der Strecke AB, so dass AC und CB quadriert inkommensurable Strecken sind, so dass q(AC) + q(CB) rational und r(AC, CB) medial ist. Ab hier verl¨ auft der Beweis dann wie der Beweis von X.41, nachdem man sich dort die Situation verschafft hat, dass q(AC) + q(CD) rational und r(AC, CB) medial ist. X.46. Eine Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende zerf¨ allt nur in einem Punkt. Beweis. Es sei AB eine Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende. Es gibt dann einen Punkt C auf der Strecke AB, so dass AC und CB quadriert inkommensurabel sind, dass q(AB) + q(BC) medial und dass r(AC, CB) rational ist. Den Rest des Beweises entnimmt man nun dem Beweis von X.43. X.47. Eine quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende zerf¨ allt nur in einem Punkt. ¨ Der Beweis sei dem Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen. 6. Binomiale. Die im vorletzten Abschnitt definierten Binomialen werden nun einer genaueren Analyse unterzogen. Diese beginnt mit einer weiteren Gruppe

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von Definitionen, die u ¨blicherweise als Zweite Definitionengruppe“ angesprochen ” wird, obgleich zwischen ihr und der wirklich ersten Definitionengruppe eine Reihe von weiteren Definitionen eingestreut sind. Hier die Definitionen jener Gruppe. Bei Vorliegen einer Rationalen und einer in ihre Glieder zerlegten Binomialen, deren gr¨ oßeres Glied quadriert um das Quadrat einer ihm linear kommensurablen Strecke das kleinere u ¨ bertrifft, 1. wollen wir, wenn das gr¨ oßere Glied mit der zugrunde liegenden Rationalen linear kommensurabel ist, von einer ersten Binomialen sprechen; 2. wenn dagegen das kleinere Glied mit der zugrunde liegenden Rationalen linear kommensurabel ist, wollen wir von einer zweiten Binomialen sprechen; 3. und wenn keines der Glieder mit der zugrunde liegenden Rationalen linear kommensurabel ist, wollen wir von einer dritten Binomialen sprechen. ¨ Ubertrifft andererseits quadriert das gr¨ oßere Glied um das Quadrat einer ihm inkommensurablen Strecke [das kleinere], 4. dann wollen wir, wenn das gr¨ oßere Glied mit der zugrunde liegenden Rationalen linear kommensurabel ist, von einer vierten Binomialen sprechen; 5. wenn dagegen das kleinere, von einer f¨ unften; 6. und wenn keines, von einer sechsten. An dieser Stelle setzt Fibonacci in seinem liber abbaci ein. Doch lesen wir zun¨ achst, was er in seiner flos schreibt (Boncompagni 1860, S. 228): Altera uero questio a ´ predicto magistro Iohanne proposita fuit, vt inueniretur quidam cubus numerus, qui cum suis duobus quadratis et decem radicibus in unum collectis essent uiginti: super hoc meditando putaui huius questionis solutionem egredi ex his que continentur in .X.o lib.o Euclidis; et ob hoc super ipso .X.o Euclidis accuratius studui, adeo quod sui teor¸emata ipsius memorie commendaui, et ipsarum (ipsorum? H. L.) intellectum comprehendi. Et quia difficilior est antecedentium et quorumdam sequentium librorum Euclidis, ideo ipsum Xm librum glosari incepi, reducens intellectum ipsius ad numerum, qui in eo per linea et superficies demonstratur; qui liber .X.s tractat de diuersitatibus XV. linearum rectarum, quarum .XV. linearum due uocantur rite, seu ratiocinate. Dies heißt: Das zweite von Magister Iohannes gestellte Problem war, eine Kubikzahl zu ” finden, die zusammen mit zwei ihrer Quadrate und zehn ihrer Wurzeln in Eines ¨ versammelt Zwanzig ergebe: Uber dieses Problem nachdenkend gelang es mir, mich seiner L¨ osung mit Hilfe dessen zu n¨ahern, was sich im X. Buch Euklids findet; und deshalb habe ich das X. Buch Euklids sorgf¨ altig studiert, solange bis ich die Theoreme desselben dem Ged¨achtnis eingepr¨ agt und ihre Bedeutung verstanden hatte. Und weil es schwieriger ist als die vorangehenden und nachfolgenden B¨ ucher, habe ich begonnen, dieses X. Buch zu glossieren und seinen Inhalt (intellectum ipsius), der in ihm mittels Strecken und Fl¨ achen dargestellt wird, auf den Zahlbegriff zur¨ uckzuf¨ uhren; das Buch X handelt von XV Typen (diversitatibus) von Strecken, wobei die Strecken zweier Typen rite bzw. rational genannt werden.“

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¨ Dieser Text bedarf des Kommentars. Zun¨ achst ein Wort zu meiner Ubersetzung. Im lateinischen Text steht ziemlich genau in der Mitte ipsarum intellectum. Ich sehe nun nicht, worauf sich ipsarum beziehen k¨ onnte, w¨ ahrend ein ipsorum intellectum ohne M¨ uhe interpretiert werden kann als ihre — der Theoreme — Bedeutung. Daher meine Frage, ob es nicht ipsorum heißen muss. Das Original liegt in der Biblioteca Ambrosiana in Mailand und enth¨ alt an dieser Stelle wohl ein K¨ urzel, das man so und anders interpretieren kann. Ich habe u ¨bersetzt, als st¨ unde ipsorum da. Das Wort numerus ist f¨ ur mich schwer zu fassen, was an meiner geringen Belesenheit liegt. Im Altertum, so der Georges (1983) steht numeri auch f¨ ur Mathematik, wobei poetisch auch der Singular benutzt wird. Fibonacci scheint die W¨ orter numerus, numeri und abbacus weitgehend synonym zu verwenden im Sinne von Mathematik und Rechenkunst, wobei ein Gegensatz zwischen Mathematik und Rechenkunst auf der einen Seite und Geometrie auf der andern zu bestehen scheint. Das Wort numeri im Sinne von Mathematik gebraucht umfasst also nicht die Geometrie. Um diesen Gegensatz zur Geometrie deutlich zu machen, habe ich ad numerum hier mit auf den Zahlbegriff“ u ¨ bersetzt. Mehr zum Gebrauch der W¨orter ” numerus und abbacus durch Fibonacci in L¨ uneburg 1993. Die Information ist u ¨ber das Buch verstreut, so dass der Index helfen muss, sie zu finden. Das Problem, das Meister Iohannes Fibonacci stellte, lautet in unserer Sprache, eine L¨osung x der Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20 zu finden, wobei zu beachten ist, dass x3 als cubus numerus als Zahl also angesprochen ist, wobei doch sofort klar ist, dass 1 < x3 < 2 gilt. Was Fibonacci daraus machte, werden wir am Ende dieses Kapitels sehen. Er tat jedenfalls anfangend das, was man immer tut, wenn einem zun¨ achst nichts einf¨allt. Er schaute sich in der Literatur um und das einzige tiefergehende St¨ uck Mathematik, das er fand und das vielleicht helfen konnte, war Euklids Buch X. Dieses studierte er sehr sorgf¨ altig, wie er sagt, bis er es sich ganz zu eigen gemacht hatte. Dann stellt er fest, dass Buch X schwieriger sei als die u ¨ brigen B¨ ucher der Elemente, und da er offenbar glaubt, den Zugang zu diesem Buch erleichtern zu k¨ onnen, schreibt er einen Kommentar zu ihm. An der vorliegenden Stelle heißt es nur, dass er Buch X angefangen h¨ atte zu glossieren. Er scheint es aber auch vollendet zu haben, wenn die einzige sonstige Spur, die auf uns gekommen ist, richtig interpretiert wird. Von ihm wird n¨ amlich in einem trattato di praticha darismetricha eines anonymen Autors gesagt, dass Leonardo Pisano einen libro sopra il 10o deuclide geschrieben habe. Laut Boncompagni tr¨ agt der Kodex die Signatur E. 5. 5. der I. e R. Biblioteca Palatina di Firenze (Boncompagni 1854, S. 245f). Er m¨ usste sich heute also in der Biblioteca Nazionale di Firenze befinden, die ja aus dem Zusammenschluss der Biblioteca Palatina und der Biblioteca Magliabechi im 19. Jahrhundert hervorgegangen ist, als Florenz f¨ ur kurze Zeit Hauptstadt Italiens war. Die Bem¨ uhungen Fibonaccis um Buch X sind aber an anderer Stelle noch greifbar. Einmal in der flos, aus der die zitierte Stelle stammt, und zum anderen im

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liber abbaci. Da kann man insbesondere verfolgen, was er meint, wenn er sagt, dass er die Theorie auf den Zahlbegriff zur¨ uckgef¨ uhrt habe. Dazu ist des Nachdrucks halber nach einmal zu sagen, dass der Begriff Zahl noch lange nach Fibonacci der der Alten war, n¨ amlich Kollektion von Einheiten, dass der Name Zahl aber f¨ ur sehr viel mehr Dinge als nur die nat¨ urlichen Zahlen benutzt wurde. So nennt er alles das Zahlen, was auch wir Zahlen nennen w¨ urden: Die Null, die Eins, rationale Zahlen, Quadratwurzeln, Kubikwurzeln, Irrationalzahlen. Dies habe ich in L¨ uneburg 1994 n¨ aher belegt. Es war aber nicht Fibonacci, der als erster auch andere Zahlen als die nat¨ urlichen Zahlen Zahlen nannte, vielmehr hatte sich dieser Sprachgebrauch schon im Altertum begonnen zu etablieren (Gericke 1970, Kap. 3). Dieser erweiterte Spachgebrauch war, so scheint es mir, v¨ ollig unreflektiert. Jedenfalls ist bei Gericke (loc. cit.) zu lesen, dass erst im 16. Jahrhundert u ¨ber einen weiter gefassten Zahlbegriff nachgedacht wurde. Aber Fibonacci — und nicht nur er — nennen nicht nur alles das Zahlen, was auch wir Zahlen nennen w¨ urden, er addiert auch Zahlen der verschiedenen Typen zu- und multipliziert sie miteinander, ohne jedoch auf eine Definition von Addition und Multiplikation einzugehen. Wie naiv noch Euler mit diesen Dingen umging, lese man in seiner Vollst¨andigen ” Anleitung zur Algebra“ nach. So wie dort der Umgang mit den Zahlen gelehrt wird, habe ich das noch auf der Schule gelernt. Sein didaktisches Konzept hat sich also lange gehalten. Hier erhebt sich einmal mehr die Frage nach den Quellen Fibonaccis. Wenn Fibonacci sagt, er habe die Ergebnisse von Buch X auf den Zahlbegriff gegr¨ undet, heißt das dann, dass er in dieser Hinsicht keinen Vorl¨ aufer hat oder zumindest von keinem weiß? Was haben die Araber in ihren Kommentaren zu Buch X geschrieben? Es sind dreizehn arabische mittelalterliche Schriften bekannt, die sich ausschließlich mit Buch X der Elemente Euklids befassen. In ihnen muss schon eine Arithmetisierung der Geometrie stattgefunden haben, wie auch in anderen Schriften zu Euklids Elementen. Dies entnehme ich dem von Sonja Brentjes verfassten Kapitel Euklid in der islamischen Welt etc.“ in Schreiber 1987. Die wenigen Einzelheiten, ” die sie gibt, lassen nicht erkennen, ob Fibonacci Neues hat oder ob er nur wiederholt. Nicht m¨ achtig des Arabischen und des Russischen, aus dem Frau Brentjes ebenfalls sch¨ opft, kann ich der Frage nicht weiter nachgehen. Was Fibonaccis literarische Quellen anbelangt, so gibt er selbst uns einige Auskunft. Er zitiert im liber abbaci wie auch in der flos immer wieder Euklid, wobei er mit Euklid stets dessen Elemente meint. Er zitiert ferner den Almagest des Ptolemaios und das Buch u ¨ ber Proportionen des Ahmed ibn Yussuf. Er weiß, Archimedes Ann¨ a herung an π ist und berechnet selbst den besseren Wert dass 22 7 864 (Boncompagni 1860, S. 88). Einmal steht am Rande Maumeht. Nach dem 275 Zusammenhang k¨ onnte damit Al-Hwarizmis Algebra gemeint sein. Schließlich zitiert er noch ein Buch Milei, welches ich nicht identifizieren kann. Dem Namen Miley bin ich mittlerweile noch ein zweites Mal in Fibonaccis Schriften begegnet. Hier k¨ onnte man nun nach Fibonaccis Sprachkenntnissen fragen, doch die ge¨ rade erw¨ahnten B¨ ucher lagen zu Fibonaccis Zeit alle bereits in lateinischer Uber-

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setzung vor. Es bleibt also offen, ob er des Griechischen oder Arabischen m¨ achtig war. Fangen wir endlich an, die Definitionen 1 bis 6 zu kommentieren, indem wir uns der fibonaccischen Interpretation bedienen. Sie beginnt auf S. 356 von Boncompagni 1857. Auch hier im liber abbaci betont er, dass er die Theorie auf den Zahlbegriff aufbauen werde. Dies hat, das sage ich, den großen Vorteil, dass die Existenzaussagen zu Banalit¨ aten werden, vorausgesetzt, man ist im Besitz der ad¨ aquaten Zahlbereiche. Liest man den nun folgenden Text bei Fibonacci sehr sorgf¨altig, so stellt sich heraus, dass Fibonacci nicht wirklich definiert, sondern dass er nur kommentiert und sich darauf verl¨ asst, dass seine Leser ihren Euklid kennen. Bei der ersten Lekt¨ ure von Fibonaccis liber abbaci vor einigen Jahren, als ich von Euklid noch so gut wie nichts wusste, hatte ich meine Probleme mit dem, was ich f¨ ur Definitionen hielt. Heute bin ich besser vorbereitet. Fibonacci sagt, es gebe f¨ unfzehn Grundtypen von Strecken (lineae). Er weicht also wieder, zumindest was die Namen angeht, in die Geometrie aus. Strecken des ersten Typs nenne man riti, das hieße von rationaler (ratiocinata) L¨ange und von rationalem Quadrat. Als solche w¨ urden die rationalen Zahlen 1, 2, 3, usw. erkannt. Hier ist eine bemerkenswerte Verschiebung gegen¨ uber Euklid eingetreten. Euklid nennt eine Strecke die Rationale, alles andere wird via Kommensurabilit¨ at auf diese Rationale und deren Quadrat bezogen. Fibonacci tut so, als wisse jeder, wie man eine Strecke misst, und nennt dann diejenigen rational, die sich durch eine rationale Zahl messen lassen, wobei es v¨ollig offen gelassen wird, was die Einheit ist. Von Kommensurabilit¨ at ist an dieser Stelle nichts mehr zu sehen. Die Quadrate u ¨ ber rationalen Strecken sind ebenfalls rational, denn aus der Multiplikation irgendeiner ” Zahl in sich kommt notwendig eine Zahl heraus“, so seine Begr¨ undung, wobei Zahl als positive rationale Zahl zu lesen ist. Dies zeigt, dass er Fl¨ achen auch mit Zahlen identifiziert. Euklid geht hier v¨ ollig anders vor. Er nennt das Quadrat u ¨ber der Rationalen sowie alle mit diesem Quadrat kommensurablen Fl¨ achen rational. Er definiert also, wann eine Fl¨ ache rational zu nennen sei, w¨ ahrend Fibonacci mittels undet, dass Quadrate der Abgeschlossenheit von Q+ unter der Multiplikation begr¨ mit rationaler Seite rational sind, wobei er offenbar die Definition unterstellt, dass Fl¨ achen mit rationalem Fl¨ acheninhalt rational zu nennen seien. Strecken des zweiten Typs nenne man nur dem Quadrate nach riti. Es seien dies die Wurzeln aus rationalen Zahlen, die keine Quadrate sind. Fibonacci nennt solche Wurzeln auch surdae, stumm, da sie sich nicht durch rationale Zahlen ausdr¨ ucken lassen. In L¨ uneburg 1993 habe ich mich u ¨ber dieses Wort — wie auch u ¨ ber das ¨ Wort riti — und sein englisches Aquivalent surd ausgelassen. Herr Robert Ineichen aus Fribourg teilte mir nach der Lekt¨ ure meines Buches mit, dass er in deutschen mathematischen Texten des 19. Jahrhunderts das Wort surdisch“ ge” funden h¨ atte, so dass dieses Wort auch in die deutsche Sprache aufgenommen wurde. Er erg¨ anzte dies sp¨ater durch den Hinweis auf die Encyclop´edie m´ethodique von d’Alembert u. a. (d’Alembert 1785), wo unter den Stichw¨ortern irrationel bzw. sourd vom mathematischen Gebrauch dieses Wortes die Rede ist, und auf

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ein franz¨ osisch-deutsches mathematisches W¨orterbuch (M¨ uller 1900), wo sich die Stichw¨ orter sourd und surdisch finden. Im grimmschen W¨ orterbuch der deutschen Sprache, wo ich dann nachschaute, findet sich unter dem Eintrag surd“, dass ” dies wie auch surdisch“ ein Fachausdruck der Mathematik f¨ ur irrational“ sei. Er ” ” ¨ k¨ ame von der lateinischen Ubersetzung surdus des arabischen Wortes asamm“. ” Im grimmschen W¨orterbuch finden sich viele Belege f¨ ur den Gebrauch dieser beiden W¨ orter. Mittlerweile habe ich auch noch einen Beleg gefunden oder, besser gesagt, wiedergefunden. Denn schon als Student habe ich Eulers Vollst¨andige ” Anleitung zur Algebra“ gelesen. Dort findet sich die Stelle: Diese neue Art von ” Zahlen werden nun Irrationalzahlen genannt, und solche entstehen, so oft man die Quadratwurzel aus einer Zahl suchen soll, welche kein Quadrat ist. Also, weil 2 kein Quadrat ist, so ist auch die Quadratwurzel 2, oder diejenige Zahl, welche mit sich selbst multiplicirt genau 2 hervorbringt, eine Irrationalzahl. Bisweilen pflegen solche Zahlen auch surdische genannt zu werden.“ (Euler 1766/1942, S. 56). Das Wort surdisch kommt dort auch noch auf den Seiten 77 und 85 vor. Schließlich verdanke ich Herrn Hans-Joachim Vollrath den Hinweis auf das wolffsche Lexikon der Mathematik (Wolff 1734). Dort heißt es zu Quantitas irrationalis: Es wird ” dergleichen auch Quantitas surda genennet;“ Von den Primzahlen sagt Fibonacci, dass die Araber sie numeri hasam nennten (Boncompagni 1857, S. 30). Hier irrt Leonardo. Numeri hasam sind die Irrationalzahlen. Von den verbleibenden dreizehn irrationalen Strecken sei die erste einfach, sie werde Mediale genannt. Ihr Quadrat sei irrational, es werde mediale Fl¨ ache genannt. Sp¨ atestens hier wird deutlich, was ich schon eingangs sagte, dass Fibonacci nicht definiert, sondern kommentiert. Sein Kommentar geht weiter. Da die Mediale mittlere Proportionale zwischen zwei nur dem Quadrate nach kommensurablen Strecken sei, sei klar, dass sie die Wurzel der Wurzel einer Zahl sei, die kein Quadrat ist. Die Wurzeln aus Zahlen, die kein Quadrat seien, seien gerade die mittleren Proportionalen zwischen un¨ ahnlichen Zahlen, dh., Zahlen, die sich nicht zueinander verhalten, wie ein Quadrat zu einem Quadrat. Fibonacci benutzt hier ¨ zum ersten Male den Begriff der Ahnlichkeit, den er wieder en passant definiert oder vielmehr dem Leser wieder in Erinnerung ruft, wobei er diesen Begriff nur f¨ ur ebene Zahlen ben¨ otigt. Dabei bedient er sich nicht der euklidischen Definition, die, da von der Faktorisierung abh¨ angig, nicht sch¨ on ist, sondern der Charakterisierung VIII.26. Dann werden die zw¨olf weiteren Irrationalit¨ aten beschrieben, von denen wir zun¨ achst nur die ersten sechs vorstellen, da sie die algebraischen Interpretationen der Binomialen 1 bis 6 sind. Eine Binomiale ist die Summe α + β von positiven reellen Zahlen α und β mit urfen wir α > β annehmen. Es sei ferner α2 , β 2 ∈ Q+ und α/β ∈ Q+ . Dabei d¨ γ ∈ R+ und es gelte α2 = β 2 + γ 2 . Bei den ersten drei Binomialen gilt α/γ ∈ Q+ .

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1. Binomiale. Nach Fibonacci sind dies die Binome der Form m+

√ n

mit m, n ∈ Q+ , so dass m2 > n und m2 − n ein Quadrat ist. Sein Beispiel: m := 4 und n = 7. Hier ist 42 − 7 = 32 . Nach Euklids Definition ist α in diesem Falle mit der Rationalen linear komangigkeit von α und mensurabel. Also√ist α = m ∈ Q+ . Wegen der linearen Unabh¨ β ist dann β = n mit einem n ∈ Q+ , das kein Quadrat ist. Wegen α/γ ∈ Q+ folgt auch noch γ ∈ Q+ , so dass m2 − n wegen m2 − n = γ 2 ein Quadrat ist. Also hat jede erste Binomiale die von Fibonacci angegebene Form. 2. Binomiale. Nach Fibonacci sind dies die Binome der Form √ m+n mit m > n2 und m − n2 ¨ ahnlich zu m. Sein Beispiel: m = 112 und n = 7. Hier ist m − n2 = 63 und 63 : 112 = 9 : 16. √ Nach Euklids Definition ist β = n ∈ Q+ . Also ist α = m mit m ∈ Q+ und m kein Quadrat. Ferner ist (m − n2 ) : m = γ 2 : α2 = (γ : α)2 . Wegen γ/α ∈ Q+ sind m − n2 und m folglich a¨hnlich. Alle zweiten Binomialen sind also von der von Fibonacci angegebenen Form. 3. Binomiale. Nach Fibonacci sind dies die Binome der Form √ √ m+ n mit m > n und m − n ¨ ahnlich zu m. Sein Beispiel: m = 112 und n = 84. Hier ist m − n = 28 und 28 : 112 = 1 : 4. √ √ Nach Euklids Definition ist α = m und β = n, wobei m und n rationale Zahlen, aber keine Quadrate sind. Ferner sind m und n nicht a¨hnlich. Wegen alt sich m − n zu m wie ein Quadrat zu einem Quadrat, so dass γ/α ∈ Q+ verh¨ m − n und m in der Tat a¨hnlich sind. Somit haben alle dritten Binomiale die von Fibonacci angegebene Form. Bei den n¨achsten drei Binomialen gilt α/γ ∈ Q+ . 4. Binomiale. Nach Fibonacci sind dies die Binome der Form m+

√ n

mit m2 > n, so dass m2 − n kein Quadrat ist. Sein Beispiel: m := 4 und n = 10. Hier ist 42 − 10 = 6 kein Quadrat. √ Nach Euklids Definition ist α = m ∈ Q+ und dann β = n mit einer rationalen Zahl n, die kein Quadrat ist. W¨ are nun m2 − n = k 2 mit einem k ∈ Q+ , so w¨are 2 α/γ = m/k ∈ Q+ . Also ist m − n kein Quadrat.

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5. Binomiale. Nach Fibonacci sind dies die Binome der Form √ m+n mit m > n2 , so dass m − n2 nicht a¨√ hnlich zu m ist. Nach Euklids Definition ist α = m und β = n mit rationalen m und n, wobei m kein Quadrat ist. W¨ are m − n2 ¨ ahnlich zu m, so folgte wieder α/γ ∈ Q+ . 6. Binomiale. Nach Fibonacci sind dies die Binome der Form √ √ m+ n mit m > n, so dass m − n nicht a¨hnlich zu m ist. Man sieht wiederum leicht, dass jede sechste Binomiale euklidischer Definition auch eine solche fibonaccischer Definition ist. Da Euklids Definitionen, wie auch die Fibonaccis, eine vollst¨ andige Disjunktion der Binomialen liefern, sind die fibonaccischen Beschreibungen der Binomialen 1 bis 6 mit denen Euklids a¨quivalent. F¨ ur die f¨ unfte und sechste Binomiale gibt Fibonacci keine Beispiele. Solche lassen sich jedoch leicht finden. Was hat Fibonacci gewonnen? Nun, die Frage nach der Existenz von Binomialen des Typs 1 bis 6 ist in seiner Formulierung banal zu beantworten. Die Antwort bedarf der ganzen Vorbereitungen nicht, die Euklid zu treffen hat, und die wir schon nachvollzogen haben, um sie zu beantworten. Fibonacci schreibt einfach ein Beispiel hin und sagt: Eccolo. Hier zeigt sich in einem ganz fr¨ uhen Stadium der Entwicklung der Mathematik, dass der Geometer gut daran tut, seine geometrischen Probleme in algebraische zu u ¨bersetzen, da algebraische Probleme, wie die Erfahrung lehrt, meist einfacher zu l¨ osen sind als geometrische. Insbesondere die Entartungsf¨ alle eines geometrischen Satzes machen h¨aufig extreme Schwierigkeiten beim Beweise, w¨ahrend die Entartungsf¨ alle in der Algebra immer trivial sind. Bei der Interpretation der Definitionen 1 bis 6 mittels der fibonaccischen Beschreibung der verschiedenen Binomialen habe ich nat¨ urlich genauso geschlampt, wie der Verfasser von X.28a bei seiner Konstruktion pythagoreischer Tripel. Aber seit Hilberts Grundlagen der Geometrie“ von 1899 braucht der heutige Mathe” matiker keine Skrupel mehr zu haben, wenn er Zahlen mit Strecken identifiziert, ¨ die man im Ubrigen seit Descartes miteinander zu multiplizieren weiß, wie wir in Abschnitt 6 von Kapitel 1 schon sahen. Kehren wir zu Buch X zur¨ uck und sehen, wie Euklid die Existenz der verschiedenen Binomialen nachweist. Dies geschieht in der Form von Aufgaben und deren L¨osung, wobei auch er nicht ohne Algebra und ihre geometrische Interpretation auskommt, wie wir in Abschnitt 1 dieses Kapitels schon bemerkten. X.48. Eine erste Binomiale zu finden. Konstruktion. Es seien a und b zwei Zahlen, so dass (a + b) : b = m2 : n2

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ist mit nat¨ urlichen Zahlen m und n, dass a + b aber zu a kein Verh¨ altnis hat wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl. Es sei r die Rationale und EF sei eine mit r linear kommensurable Strecke. Dann ist EF insbesondere rational. Nach dem Zusatz zu X.6 von Absch. 1 gibt es eine Strecke F G mit (a + b) : a = q(EF ) : q(F G). Weil a + b und a Zahlen sind, sind q(EF ) und q(F G) nach X.6 von Absch. 1 kommensurabel. Weil EF rational ist, ist daher auch F G rational. Da a + b und a sich aber nicht wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl verhalten, sind EF und F G nach X.9 von Absch. 1 nicht linear kommensurabel. Somit sind EF und F G nur quadriert kommensurable rationale Strecken. Folglich ist EG nach Definition eine Binomiale. Es ist sogar, wie wir jetzt zeigen werden, eine erste Binomiale. Wegen a + b > a und (a + b) : a = q(EF ) : q(F G) ist q(EF ) > q(F G). Nun sei q(EF ) = q(F G) + q(h). Dann ist (a + b) : a = (q(F G) + q(h)) : q(F G) und folglich nach der Bemerkung zum Zusatz zu V.19 von Kap. 1, Absch. 3 auch (a + b) : b = (q(F G) + q(h)) : q(h) = q(EF ) : q(h). Es folgt m2 : n2 = q(EF ) : q(h). Nach X.9 von Absch. 1 sind EF und h daher linear kommensurabel. Damit ist gezeigt, dass EG eine erste Binomiale ist. X.49. Eine zweite Binomiale zu finden. Konstruktion. Es seien a und b zwei Zahlen, so dass (a + b) : b = m2 : n2 ist mit nat¨ urlichen Zahlen m und n, dass aber a + b zu a kein Verh¨ altnis hat wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl. Es sei wiederum r die Rationale und EF sei eine zu r linear kommensurable Strecke. Dann ist EF insbesondere rational. Nach dem Zusatz zu X.6 von Absch. 1 gibt es eine Strecke F G mit a : (a + b) = q(EF ) : q(F G). Nach X.6 von Absch. 1 sind q(EF ) und q(F G) kommensurabel, so dass mit EF auch F G rational ist. Nun hat a zu a+b aber kein Verh¨ altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl. Daher sind nach X.9i von Absch. 1 die Strecken EF und F G nicht linear kommensurabel. Folglich ist EG nach Definition eine Binomiale und zwar eine zweite, wie wir jetzt zeigen werden.

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Wegen a < a + b ist q(EF ) < q(F G). Es sei q(F G) = q(EF ) + q(h). Dann ist (a + b) : a = (q(EF ) + q(h)) : q(EF ) und folglich m2 : n2 = (a + b) : b = (q(EF ) + q(h)) : q(h) = q(F G) : q(h). Nach X.9 von Absch. 1 sind h und F G daher linear kommensurabel. Damit ist gezeigt, dass EG eine zweite Binomiale ist. X.50. Eine dritte Binomiale zu finden. Konstruktion. Auch hier ist die Ausgangssituation die, dass a und b Zahlen sind, so dass a+b und b ein Verh¨ altnis haben wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl, a + b und a aber nicht. Ferner sei d eine weitere Zahl, die keine Quadratzahl sei und die weder zu a + b noch zu a ein Verh¨altnis habe wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl. Schließlich sei r die Rationale. Nach dem Zusatz zu X.6 von Absch. 1 gibt es eine Strecke F G mit d : (a + b) = q(r) : q(F G). Folglich sind q(r) und q(F G) kommensurabel, so dass F G rational ist. Weil d und a + b sich nicht wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl verhalten, sind r und F G nach X.9 von Absch. 1 nur quadriert kommensurabel. Es gibt weiter eine Strecke GH, so dass (a + b) : a = q(F G) : q(GH) ist. Weil a+b und a sich nicht wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl verhalten, sind F G und GH nur quadriert kommensurabel. Weil F G rational ist, ist aber auch GH rational. Also ist F H eine Binomiale. Wir zeigen, dass sie eine dritte Binomiale ist. Es ist d : (a + b) = q(r) : q(F G) und (a + b) : a = q(F G) : q(GH). Nach V.22 von Kap. 1, Absch. 3 ist folglich d : a = q(r) : q(GH). Nun hat d zu a kein Verh¨ altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl. Folglich sind r und GH nur quadriert kommensurabel. Bisher ist nachgewiesen: F G und GH sind rational, aber mit r nicht linear kommensurabel. Ferner sind F G und GH nur quadriert kommensurabel. Wegen (a + b) : a = q(F G) : q(GH) ist q(F G) > q(GH). Es sei k eine Strecke mit q(F G) = q(GH) + q(k).

7. Wurzeln aus Binomialen

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Es ist noch zu zeigen, dass k mit F G linear kommensurabel ist. Es ist (a + b) : a = (q(GH) + q(k)) : q(GH) und damit (a + b) : b = (q(GH) + q(k)) : q(k) = q(F G) : q(k). Weil a + b zu b ein Verh¨ altnis hat wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl, folgt mit X.9 von Abschnitt 1, dass F G und k linear kommensurabel sind. Damit ist F H als dritte Binomiale erkannt. X.51. Eine vierte Binomiale zu finden. Konstruktion. Man beginne mit zwei Zahlen a und b, so dass a + b weder zu a noch zu b ein Verh¨altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl hat. Man konstruiere EF und F G wie bei der Konstruktion zu X.48. Dann ist EG eine vierte Binomiale. Der Beweis verl¨auft ganz entsprechend dem Beweis, dass die Konstruktion zu X.48 das Verlangte leistet, wobei man hier nur auszunutzen hat, alt. dass a + b zu b sich nicht wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl verh¨ X.52. Eine f¨ unfte Binomiale zu finden. Konstruktion. Man beginne mit zwei Zahlen a und b, so dass a + b weder zu a noch zu b ein Verh¨altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl hat. Dann verfahre man wie bei der Konstruktion zu X.49. X.53. Eine sechste Binomiale zu finden. Konstruktion. Auch hier beginne man wieder mit zwei Zahlen a und b, so dass a+b weder zu a noch zu b ein Verh¨ altnis wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl hat. Dann verfahre man weiter wie bei der Konstruktion zu X.50. Euklid f¨ uhrt alle Beweise in extenso vor. 7. Wurzeln aus Binomialen. Neben den Binomialen haben wir noch weitere Irrationale kennengelernt. Hier wird nun ihr Zusammenhang hergestellt. Wir erhielten diese Zusammenh¨ ange aus der Formel √ √ √ √  √ √ m+ m−n m− m−n + m+ n= 2 2 und auch Euklid benutzt sie, wenn auch in geometrischem Gewande, so dass sie nicht sogleich zu erkennen ist. Da diese Formel bei allen Beweisen der n¨achsten sechs Propositionen ihre Rolle spielt, formulieren wir erst alle diese Propositionen und beweisen sie dann der Reihe nach, so dass wir nicht immer auf den Beweis von X.54 verweisen m¨ ussen, wie Euklid das tut. X.54. Wird eine Fl¨ ache von der Rationalen und einer ersten Binomialen umfasst, dann ist die Strecke, die quadriert die Fl¨ ache ergibt, eine Irrationale, wie man sie Binomiale nennt.

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Kapitel III. Das zehnte Buch

X.55. Wird eine Fl¨ ache von der Rationalen und einer zweiten Binomialen umfasst, dann ist die Strecke, die quadriert die Fl¨ ache ergibt, eine Irrationale, wie man sie erste Bimediale nennt. X.56. Wird eine Fl¨ ache von der rationalen und einer dritten Binomialen umfasst, dann ist die Strecke, die quadriert die Fl¨ ache ergibt, eine Irrationale, wie man sie zweite Bimediale nennt. X.57. Wird eine Fl¨ ache von der Rationalen und einer vierten Binomialen umfasst, dann ist die Strecke, die quadriert die Fl¨ ache ergibt, eine Irrationale, wie man sie Major nennt. X.58. Wird eine Fl¨ ache von der Rationalen und einer f¨ unften Binomialen umfasst, dann ist die Strecke, die quadriert die Fl¨ ache ergibt, eine Irrationale, wie man sie Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende nennt. X.59. Wird eine Fl¨ ache von der Rationalen und einer sechsten Binomialen umfasst, dann ist die Strecke, die quadriert die Fl¨ ache ergibt, eine Irrationale, wie man sie Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende nennt. Beweis. Es sei ABCD ein Rechteck. Dabei sei AB die Rationale und AD sei eine Binomiale. Die Binomiale AD zerfalle im Punkte E in ihre Glieder, wobei AE das gr¨oßere Glied sei. Es gibt dann eine Strecke s mit q(AE) = q(ED) + q(s). A

B

G E

F

D

HK

L

C

R M

S

N

Q O

P

Es sei F der Mittelpunkt von ED. Es ist q(AE) = q(ED) + q(s) = 4q(EF ) + q(s). Man lege q(EF ) so an AE an, dass ein Quadrat fehlt. Das entstehende Rechteck sei r(AG, GE). Die Schnittpunkte der Parallelen durch G, E und F mit BC seien H, K und L. Man konstruiere zwei Quadrate M N P S und N RQO, so dass M N P S und r(AB, BH) sowie N RQO und r(GE, EK) gleichen Fl¨acheninhalt haben und dass M , N und O auf einer Geraden liegen. Dann liegen auch R, N und P auf einer Geraden. Man vervollst¨ andige diese Figur zu einem Quadrat, das wir im Folgenden mit seiner Diagonalen SQ ansprechen werden.

7. Wurzeln aus Binomialen

301

Es ist r(AG, GE) = q(EF ). Nach VI.17 von Kap. 1, Absch. 4 ist daher AG : EF = EF : GE. Mittels VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 folgt r(AG, GH) : r(EF, F L) = r(EF, F L) : r(GE, EK). Nun ist r(AG, GH) = q(SP ) und r(GE, EK) = q(N O). Also ist r(EF, F L) mittlere Proportionale zwischen q(SP ) und q(N O). Mittels VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 folgt q(SP ) : r(M N, N R) = P N : N R = M N : N O = r(M N, N R) : q(N O). Also ist auch r(M N, N R) mittlere Proportionale zwischen q(SP ) und q(N O), so dass r(EF, F L) = r(M N, N R) = r(ON, N P ) ist. Nun gilt r(AG, GH) + r(GE, EK) = q(SP ) + q(N O) und folglich SQ = q(SP ) + q(N O) + 2r(M N, N R) = r(AG, GH) + r(GE, EK) + 2r(EF, F L) = r(AB, BC). Mit andern Worten, es ist q(M O) = r(AB, BC). Nach unseren Vorstellungen ist M O also die Wurzel aus BC = AD, da AB ja die Rationale ist. Was wir bis hierher gemacht haben, wird bei den Beweisen aller sechs Propositionen benutzt. Dies besagt nicht, dass es bei den verschiedenen Beweisabschl¨ ussen nicht doch noch Wiederholungen g¨ abe. Bevor wir mit dem Beweis der Propositionen fortfahren, wollen wir die gerade bewiesene Formel noch in unserer Sprache interpretieren, um zu sehen, dass dies die eingangs √ ist. Dazu definieren wir m und n durch die Gleichungen √ erw¨ahnte Formel AE = m und ED = n. Dann ist die Wurzel aus AD gleich  √ √ m + n. Ferner ist q(M N ) = r(BA, AG) und q(N O) = r(GE, EK), dh., M N ist die Wurzel aus AG und N O ist die Wurzel aus GE. Setzt man x := GE, so ist √ n AG · GE = ( m − x)x = . 4

302

Kapitel III. Das zehnte Buch

Es folgt AG = und

√ √ m+ m−n 2 √

GE =

m−

√ m−n . 2

Also ist √ √ √ √ m+ m−n m− m−n MO = MN + NO = + . 2 2 Ad X.54: Es sei nun AD eine erste Binomiale. Nach Definition ist AE dann linear kommensurabel zu AB, w¨ahrend AE und ED nur quadriert kommensurabel sind. Schließlich ist die Strecke s zu AE linear kommensurabel. Es ist zu zeigen, dass M O eine Binomiale ist. Nach X.17 von Absch. 1 ist AG zu GE linear kommensurabel, da s zu AE linear kommensurabel ist. Weil auch AE zu AB linear kommensurabel ist. Nach X.15 von Absch. 1 sind dann auch AG und GE zu AE linear kommensurabel, so dass nach X.12 von Absch. 1 AG und GE zu AB linear kommensurabel sind. Weil AB die Rationale ist, sind r(AG, GH) und r(GE, EK) nach X.19 von Absch. 2 daher rational. Außerdem sind sie kommensurabel. Nun ist q(M N ) = r(AG, GH) und q(N O) = r(GE, GK), so dass auch q(M N ) und q(N O) kommensurabel sind. Also sind M N und N O rational. Nach X.13 von Absch. 1 sind AE und ED nicht linear kommensurabel, w¨ahrend AE zu AG und DE zu EF linear kommensurabel sind. Also sind AG und EF nach X.13 von Absch. 1 nicht linear kommensurabel. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 und X.11 von Absch. 1 sind folglich auch r(AG, GH) und r(EF, F L) nicht kommensurabel. Nun ist r(AG, GH) = q(M N ) und r(EF, F L) = r(M N, N R), so dass auch q(M N ) und r(M N, N R) nicht kommensurabel sind. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist aber q(M N ) : r(M N, N R) = M N : N R = M N : N O, so dass M N und N O nicht linear kommensurabel sind. Weil andererseits q(M N ) und q(N O) aber kommensurabel sind, sind M N und N O rational und nur quadriert kommensurabel. Folglich ist M O eine Binomiale. Ad X.55: Es sei AD eine zweite Binomiale. Dann sind, wie immer, AE und ED nur quadriert kommensurabel. Ferner ist ED mit der Rationalen AB linear kommensurabel und s mit AE. Weil AE und ED nicht linear kommensurabel sind, sind auch AE und AB es nicht. Nach X.17 von Absch. 1 sind AG und GE linear kommensurabel, da s und AE es sind. Es folgt mit X.15 von Absch. 1, dass AE sowohl zu AG als auch zu GE linear kommensurabel ist. Somit sind AG und GE nicht zu AB linear kommensurabel, da AE es nicht ist. Also sind AG und GE mit AB nur quadriert kommensurabel. Folglich sind r(AG, GH) und r(GE, EK)

7. Wurzeln aus Binomialen

303

medial. Daher sind wegen r(AG, GH) = q(M N ) und r(GE, EK) = q(N O) auch die Strecken M N und N O medial. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist r(AG, GH) : r(GE, EK) = AG : GE. Hieraus folgt, dass r(QG, GH) und r(GE, EK) kommensurabel sind. Dies besagt wiederum, dass auch q(M N ) und q(N O) kommensurabel sind. Folglich sind M N und N O quadriert kommensurabel. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist r(AG, GH) : r(EF, F L) = AG : EF. Die Strecken AG und AE sind linear kommensurabel, aber AE und ED und damit AE und EF sind es nicht. Folglich sind AG und EF nicht linear kommensurabel. Daher sind auch r(AG, GH) und r(EF, F L) und folglich q(M N ) und r(M N, N R) nicht kommensurabel. Wegen q(M N ) : r(M N, N R) = M N : N R = M N : N O sind dann auch M N und N O nicht linear kommensurabel. Folglich sind M N und N O nur quadriert kommensurabel. Es ist noch zu zeigen, dass das Rechteck r(M N, N O) = r(M N, N R) rational ist. DE ist mit AB und auch mit EF linear kommensurabel. Daher ist auch AB mit EF linear kommensurabel. Wegen AB = EK sind auch EF und EK linear kommensurabel. Beide Strecken sind rational. Also ist auch r(F E, EK) rational. Wegen r(F E, EK) = r(M N, N R) = r(M N, N O) ist dann auch r(M N, N O) rational. Damit ist gezeigt, dass M O die Summe zweier nur quadriert kommensurabler medialer Strecken M N und N O ist, die ein rationales Rechteck umfassen. Folglich ist M O eine erste Bimediale. Ad 56: Es sei AD eine dritte Binomiale. In diesem Falle sind AE und ED nur quadriert kommensurabel, w¨ ahrend s nach wie vor mit AE linear kommensurabel ist. Schließlich sind weder AE noch ED mit AB linear kommensurabel. Weil s mit AE linear kommensurabel ist, folgt mit X.17 von Absch. 1, dass AG und GE linear kommensurabel sind. Mit X.15 von Absch. 1 folgt, dass AE sowohl mit AG als auch mit GE linear kommensurabel ist. Somit sind AG und GE nicht zu AB linear kommensurabel, da AE es nicht ist. Also sind AG und GE mit AB nur quadriert kommensurabel. Folglich sind r(AG, GH) und r(GE, EK) medial. Daher sind wegen r(AG, GH) = q(M N ) und r(GE, EK) = q(N O) auch die Strecken M N und N O medial. Nach VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 ist r(AG, GH) : r(GE, EK) = AG : GE.

304

Kapitel III. Das zehnte Buch

Hieraus folgt, dass r(QG, GH) und r(GE, EK) kommensurabel sind. Dies besagt wiederum, dass q(M N ) und q(N O) kommensurabel sind. Folglich sind M N und N O quadriert kommensurabel. Folglich ist M O eine Bimediale. Die Strecken ED und AB = EK sind nicht linear kommensurabel. Andererseits ist ED mit EF linear kommensurabel. Folglich ist EK mit EF nicht linear kommensurabel, so dass diese beiden Strecken nur quadriert kommensurabel sind. Also ist r(F E, EK) und damit r(M N, N R) = r(M N, N O) medial. Nach der in X.38 von Absch. 4 ausgesprochenen Definition ist M O somit eine zweite Bimediale. Ad 57: Nun sei AD eine vierte Binomiale. Dann sind AE und ED nur quadriert kommensurabel und s und AE sind nicht linear kommensurabel. Andererseits ist AE zu AB linear kommensurabel. Nach X.17 von Absch. 1 — Euklid zitiert hier X.18, was eine Variante von X.17 ist, die wir nicht eigens notiert haben — sind AG und GE nicht linear kommensurabel, da s und AE es nicht sind. Es ist r(AG, GH) : r(GE, EK) = AG : GE. Folglich sind r(AG, GH) und r(GE, EK) nicht kommensurabel, da AG und GE nicht linear kommensurabel sind. Somit sind q(M N ) und q(N O) nicht kommensurabel. Somit sind M N und N O nicht quadriert kommensurabel. Andererseits ist AE zu AB linear kommensurabel. Folglich ist r(BA, AE) rational nach X.19 von Absch. 2. Ferner gilt r(BA, AE) = q(M N ) + q(N O). Also ist auch q(M N ) + q(N O) rational. Nun ist DE nicht linear kommensurabel zu AB und damit auch nicht zu EK. Andererseits ist DE zu EF linear kommensurabel. Also ist EK nicht zu EF linear kommensurabel, so dass EK und EF nur quadriert kommensurable rationale Strecken sind. Somit ist r(EF, F L) und damit r(M N, N R) = r(M N, N O) medial. Weil also M N , N O quadriert inkommensurabel sind, weil q(M N ) + q(N O) rational und weil r(M N, N O) medial ist, ist M O = M N + N O nach der in X.39 von Absch. 4 ausgesprochenen Definition eine Major. Ad X.58: Es sei AD eine f¨ unfte Binomiale. Dann ist ED mit AB linear kommensurabel. Die Strecken AE und ED sind nur quadriert kommensurabel und s ist mit AE nicht linear kommensurabel. Nach X.17 von Absch. 1 sind daher AG und GE nicht linear kommensurabel. Mit VI.1 von Kap. 1, Absch. 4 folgt wegen q(M N ) : q(N O) = r(BA, AG) : r(KE, EG) = AG : GE, dass q(M N ) und q(N O) nicht kommensurabel sind. Somit sind M N und N O nicht quadriert kommensurabel. ED und AB sind linear kommensurabel, w¨ ahrend AE zu ED nicht linear kommensurabel ist. Also sind auch AE und AB nicht linear kommensurabel. Daher ist das Rechteck r(AE, EK) medial. Wegen r(AE, EK) = q(M N ) + q(N O)

7. Wurzeln aus Binomialen

305

ist daher auch q(M N ) + q(N O) medial. Da ED zu AB = EK linear kommensurabel ist wie auch DE zu EF , ist auch EF zu EK linear kommensurabel. Weil aber EK rational ist, ist r(EF, EK) = r(M N, N R) = r(M N, N O) rational. Also sind M N und N O quadriert inkommensurable Strecken, deren Quadratsumme medial und das Rechteck aus ihnen rational ist. Also ist M O = M N + N O eine Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende. Ad X.59: Schließlich sei AD eine sechste Binomiale. Dann ist weder AE noch ED mit AB linear kommensurabel und AE und ED sind nur quadriert kommensurabel. Ferner sind s und AE nicht linear kommensurabel. Wie beim Beweise von X.58 sieht man, dass M N und N O nicht quadriert kommensurabel sind. Ebenso folgt wieder, dass q(M N ) + q(N O) medial ist. Weil ED und AB linear inkommensurabel sind, sind auch F E und AB = EK linear inkommensurabel. Aber F E und EK sind rational. Sie sind also nur quadriert kommensurabel. Es folgt, dass r(F E, EK) = r(M N, N R) = r(M N, N O) medial ist. Schließlich ist r(AE, EK) : r(EF, F L) = AE : EF, so dass r(AE, EK) und r(EF, F L) nicht kommensurabel sind. Nun ist aber r(AE, EK) = q(M N ) + q(N O) und r(EF, F L) = r(M N, N O). Daher sind auch q(M N ) + q(N O) und r(M N, N O) nicht kommensurabel. Beide Fl¨ achen sind aber medial und M N und N O sind nicht quadriert kommensurabel. Also ist M O = M N +N O quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende. Damit sind die Propositionen X.54 bis X.59 bewiesen. Als n¨achstes wollen wir mit Fibonacci (Boncompagni 1857, S. 357f.) die Irrationalit¨ aten erste und zweite Bimediale, Major, Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende und Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende auf den Zahlbegriff zur¨ uckf¨ uhren. Erste Bimediale. Nach X.37 von Absch. 4 ist dies die Summe zweier nur quadriert kommensurabler Mediale, die ein rationales Rechteck umfassen, dh., eine erste Bimediale hat die Gestalt   √ √ a+ b

306

Kapitel III. Das zehnte Buch

mit rationalen Zahlen a und b, die keine Quadrate sind und f¨ ur die √ a √ ∈ Q+ b und

  √ √ a· b ∈ Q+

aber

√ a √ ∈ Q+ b

gilt. Als Beispiel f¨ uhrt Fibonacci a = 3 und b = 27 an. Zweite Bimediale. Nach X.38 von Absch. 4 ist dies die Summe zweier nur quadriert komensurabler Mediale, die ein mediales Rechteck umfassen. Eine zweite Bimediale hat also die Gestalt   √ √ a+ b mit rationalen Zahlen a und b, die keine Quadrate sind und f¨ ur die √ a √ ∈ Q+ , b aber

√ a √ ∈ Q+ b

und

  √ √ √ a· b= c

mit einem c ∈ Q+ gilt, welches kein Quadrat ist. Hierzu gibt Fibonacci kein Beispiel. Major. Es sei  √ M := a + α + u + β eine Major. Dabei seien a, u ∈ Q+ und α, β ∈ Q+ . Nach X.39 von Absch. 4 ist dann a + α + u + β ∈ Q+ und folglich M=

√ √ a+α+ v−α

mit einem v ∈ Q+ . Ferner ist √  (a + α)(v − α) = d

7. Wurzeln aus Binomialen

307

mit einem d ∈ Q+ , welches kein Quadrat ist. Hieraus folgt v = a und b := α2 ∈ Q+ . Also ist   √ √ M = a+ b+ a− b mit a,b ∈ Q+ sowie a2 > b und a2 − b und b keine Quadrate. Es folgt automatisch, √ √ dass a + b und a − b quadratisch nicht kommensurabel sind. Ist umgekehrt   √ √ M := a + b + a − b mit a, b ∈ Q+ sowie a2 > b und b und a2 − b kein Quadrat, so ist M eine Major, wie man sich rasch u ¨ berzeugt. Fibonaccis Beispiel ist a := 4 und b := 13. Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende. Es sei M eine solche irrationale Strecke. Dann ist M = α + β mit irrationalen α und β, die quadriert inkommensurabel sind. Nach X.40 von Absch. 4 gilt ferner √ α2 + β 2 = d mit d ∈ Q+ , wobei d kein Quadrat ist und αβ = r ∈ Q+ gilt. Es folgt α2 β 2 = r2 und daher √ ( d − β 2 )β 2 = r2 . Somit ist β 2 und wegen der Symmetrie dann auch α2 L¨osung der Gleichung √ ( d − x)x = r2 . Setzt man oBdA voraus, dass α > β ist, so ist also √ √ d d − 4r2 2 + α = 2 2 √

und

d − β = 2 2

Setze a :=

d 4

und b :=

d−4r 2 4 ,

√ d − 4r2 . 2

so ist also

M=

  √ √ √ √ a+ b+ a − b.

Dabei sind a, b ∈ Q+ , es ist a > b und a ist kein Quadrat, da d kein Quadrat ist. Ferner ist d d − 4r2 = r2 a−b= − 4 4

308

Kapitel III. Das zehnte Buch

ein Quadrat. Es gilt

√ √ √ a + b + 2 ab a+ b √ = . √ a−b a− b

Weil α und β quadratisch inkommensurabel sind, ist ab kein Quadrat, so dass a und b nicht a¨hnlich sind. Es sei umgekehrt   √ √ √ √ a+ b+ a − b. M= Dabei sei a kein Quadrat, w¨ ahrend a − b ein Quadrat sei. Ferner seien a und b nicht a¨hnlich. Dann ist √ √ √ √ √ a + b + a − b = 4a, so dass

√ √ √ √ a + b + a − b eine Mediale ist. Ferner ist  √ √ √ √ √ a+ b· a − b = a − b ∈ Q+ .

Schließlich sind

  √ √ √ √ a + b und a − b quadratisch inkommensurabel, da ja √ √ √ a + b + 2 ab a+ b √ = √ a−b a− b

gilt und ab kein Quadrat ist. Somit ist M eine Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende. Fibonaccis Beispiel ist a = 20 und b = 4. Ich sollte hier erw¨ahnen, dass ich in diesem Zusammenhang in L¨ uneburg 1993, S. 262 Fibonacci falsch interpretierte. Dass ich dies nicht fr¨ uher merkte, liegt daran, dass Fibonacci an entscheidender Stelle die Beweislast dem Leser aufb¨ urdet und ich nur dies protokollierte (L¨ uneburg loc. cit., S. 272). Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende. Es sei M eine solche Irrationale. Dann gibt es zwei Irrationale α und β mit M = α + β, so dass α und β quadriert inkommensurabel sind und dass α2 + β 2 = und α·β =

√ d

√ e

mit Nichtquadraten d, e ∈ Q+ . Ersetzt man in den gerade gemachten Rechnungen √ alt man im vorliegenden Falle r durch e, so erh¨ √ √ d d − 4e + α = 2 2 2

7. Wurzeln aus Binomialen

309 √ √ d d − 4e − . β = 2 2

und

2

Setze a := auch

d 4

und b :=

d−4e 4 ,

so ist a kein Quadrat, da d kein Quadrat ist, und a−b=e

ist kein Quadrat. Schließlich folgt aus √ √ √ a + b + 2 ab a+ b √ = , √ a−b a− b dass ab kein Quadrat ist, a und b also nicht a¨hnlich sind, da α und β ja quadratisch inkommensurabel sind. Es sei umgekehrt   √ √ √ √ M= a+ b+ a− b mit a, b ∈ Q+ und a > b. Dabei seien a und a − b keine Quadrate und a und b seien nicht ¨ahnlich. Dann folgt, dass M quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende ist. Fibonaccis Beispiel ist a = 24, b = 7. Die n¨ achsten sechs Propositionen sind die Umkehrungen der vorangehenden sechs. Wir formulieren sie wie Euklid, beweisen sie aber auf algebraische Weise. X.60. Legt man das Quadrat einer Binomialen an die Rationale an, so entsteht als Breite eine erste Binomiale. √ √ Beweis. Die Binomiale sei a + b mit a > b. Dann ist √ √ √ ( a + b)2 = a + b + 4ab. Ferner ist 0 < (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab und daher 4ab < a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 . Ferner ist (a + b)2 − 4ab = (a − b)2 . Damit ist X.60 bewiesen. X.61. Legt man das Quadrat einer ersten Bimedialen an die Rationale an, so entsteht als Breite eine zweite Binomiale. Beweis. Eine erste Bimediale hat die Form   √ √ a+ b

310

Kapitel III. Das zehnte Buch

ur die außerdem mit Nichtquadraten a, b ∈ Q+ , f¨ √ a √ ∈ Q+ b und

  √ √ a· b ∈ Q+

aber

√ a √ ∈ Q+ b

gilt. Quadriert man dies, so erh¨ alt man   √ √ √ √ a+ b+2 a· b. Weil

√ √ √ √ a/ b, a· b ∈ Q+ gilt, gibt es rationale Zahlen r und n mit √

 √ √ a+ b+2 a·

 √ √ b = r a + n.

Setzt man noch m := r2 a, so hat das Quadrat der ersten Bimedialen die Form √ m + n, ist also eine zweite oder eine f¨ unfte Binomiale. Die √ Wurzel aus einer f¨ unften Binomialen ist aber keine erste Bimediale. Also ist m + n eine zweite Binomiale. X.62. Legt man das Quadrat einer zweiten Bimedialen an die Rationale an, so entsteht als Breite eine dritte Binomiale. Beweis. Eine zweite Bimediale hat die Form   √ √ a+ b ur die außerdem mit Nichtquadraten a, b ∈ Q+ , f¨ √ a √ ∈ Q+ b und

  √ √ √ a· b= c

mit einem Nichtquadrat c ∈ Q+ und √ a √ ∈ Q+ b

7. Wurzeln aus Binomialen

311

gilt. Quadriert man dies, so erh¨ alt man   √ √ √ √ √ √ √ a+ b+2 a· b = a + b + 2 c. Ferner gibt es wieder ein r ∈ Q+ mit √ √ √ √ √ a + b + 2 c = r2 a + 4c. Also ist das Quadrat einer zweiten Bimedialen eine dritte oder sechste Binomiale. Da die Wurzel aus einer sechsten Binomialen aber keine zweite Bimediale ist, ist das Quadrat einer zweiten Bimedialen eine dritte Binomiale. X.63. Legt man das Quadrat einer Major an die Rationale an, so entsteht als Breite eine vierte Binomiale. Beweis. Auch hier gen¨ ugt es zu zeigen, dass das Quadrat einer Major eine Binomiale ist. Eine Major ist von der Form   √ √ a+ b+ a− b mit geeigneten a, b ∈ Q+ . Ihr Quadrat ist  2a + 2 a2 − b. Weil a2 − b kein Quadrat ist, ist das Quadrat einer Major eine Binomiale und damit eine vierte solche. Die n¨achsten beiden Propositionen beweisen wir gemeinsam. X.64. Legt man das Quadrat einer Quadriert Rationales plus Medialem Ergebenden an die Rationale an, so entsteht als Breite eine f¨ unfte Binomiale. X.65. Legt man das Quadrat einer Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebender an die Rationale an, so entsteht als Breite eine sechste Binomiale. Beweis. Hier ist ein Ausdruck der Form   √ √ √ √ a+ b+ a− b zu quadrieren. Dies ergibt

√ √ 2 a + 2 a − b.

Hieraus folgt alles weitere. Jetzt wechselt das Thema wieder. Es werden nun S¨ atze formuliert und bewiesen, die besagen, dass eine Strecke, die mit einer der bislang untersuchten Irrationalen kommensurabel ist, eine Irrationale vom gleichen Typ ist, wobei in diesen

312

Kapitel III. Das zehnte Buch

S¨ atzen statt vom gleichen Typ“ von derselben Ordnung“ gesagt wird. Ferner ” ” wird gezeigt, dass eine Irrationale nicht zu zwei verschiedenen geh¨oren kann. Um den Leser nicht zu erm¨ uden, werden wir die Beweise an Fibonacci angelehnt in moderner Sprache f¨ uhren. X.66. Jede einer Binomialen linear kommensurable Strecke ist selbst eine Binomiale, und zwar von derselben Ordnung. Beweis. Jede Binomiale ist von der Form α+β mit α2 , β 2 ∈ Q+ und α/β ∈ Q+ . Jede zu dieser Binomialen kommensurable Strecke ist von der Form rα + rβ mit urlich (rα)2 , (rβ)2 ∈ Q+ und rα/rβ = α/β ∈ Q+ . einem r ∈ Q+ . Dann ist nat¨ Also ist auch rα + rβ eine Binomiale. Ist α oder β ein Element von Q+ , so ist auch rα bzw. rβ ein Element von Q+ und aus α2 = β 2 + γ 2 folgt (rα)2 = (rβ)2 + (rγ)2 . Hieraus folgt auch die zweite Aussage, dass die beiden Binomialen vom gleichen Typ sind. Bei den folgenden S¨ atzen weichen wir v¨ollig von den euklidischen Beweisen ab. X.67. Jede einer Bimedialen kommensurablen Strecke ist selbst eine Bimediale, und zwar von derselben Ordnung. Beweis. Ist B eine Bimediale und ist I eine Strecke, die zu B kommensurabel ist, so gibt es ein r ∈ Q+ mit B = rI oder B 2 = rI 2 . Indem man die erste Gleichung quadriert und r2 durch r ersetzt, sieht man, dass man von vorneherein annehmen darf, dass B 2 = rI 2 ist. Nun ist B 2 eine Binomiale, so dass I 2 nach X.66 eine Binomiale vom gleichen Typ wie B 2 ist. Also ist nach Fr¨ uherem I eine Bimediale und zwar eine solche vom gleichen Typ wie B. X.68. Jede einer Major kommensurable Strecke ist selbst eine Major. Beweis. Es sei M eine Major und I eine mit ihr kommensurable Strecke. Es gibt dann ein r ∈ Q+ mit M 2 = rI 2 . Nun ist M 2 eine Binomiale, so dass auch I 2 eine Binomiale gleichen Typs ist. Es folgt, dass I eine Major ist. X.69. Jede einer Quadriert Rationales plus Medialem Ergebenden kommensurablen Strecke ist [selbst] eine Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende. Beweis. Dies beweist man genau so, wie die Propositionen X.67 und X.68. X.70. Jede einer Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebenden kommensurable Strecke ist eine Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende. Beweis. Auch dies beweist man so, wie die Propositionen X.67 und X.68. X.71. Durch Zusammenlegen einer rationalen und einer medialen Fl¨ ache entstehen vier irrationale Strecken: entweder eine Binomiale oder eine erste Bimediale oder eine Major oder eine Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende. √ Beweis. Die entstehende Strecke ist von der Form a + β mit a, β 2 ∈ Q+ und β ∈ Q+ . Sie ist also die Wurzel aus einer Binomialen. Ist a > β, so ist sie eine Binomiale (X.54) oder eine Major (X.57). Ist a < β, so ist sie eine erste Bimediale (X.55) oder eine Quadriert Rationales plus Medialem Ergebende (X.58).

7. Wurzeln aus Binomialen

313

X.72. Durch Zusammenlegen von zwei zueinander inkommensurablen medialen ¨ Fl¨ achen entstehen die beiden Ubrigen irrationalen Strecken: entweder eine Zweite Bimediale oder eine Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende. √ Beweis. Die entstehende Strecke ist von der Form α + β mit α2 , β 2 ∈ Q+ und α, β, α/β ∈ Q+ . Also ist α + β eine dritte oder f¨ unfte Binomiale, so dass die Wurzel aus ihr eine zweite Bimediale (X.56) bzw. eine Quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende ist (X.59). X.72a. Die Binomiale und die auf sie folgenden Irrationalen sind weder mit der Medialen noch miteinander identisch. Der Beweis benutzt, dass die sechs Typen von Binomialen unitereinander nicht ¨ ¨ linear kommensurabel sind, und ist im Ubrigen eine einfache Ubungsaufgabe. Die letzten Beweise waren nicht im Sinne von Euklid gefasst. Wir haben Strecken miteinander multipliziert und das Ergebnis wieder als Strecke aufgefasst. Entsprechend haben wir Wurzeln aus Strecken gezogen und sie ebenfalls als Strecken interpretiert. Das hat die Beweise sehr stark vereinfacht. Ich hoffe dennoch, dass der Leser an Hand dessen, was vorher war, einen Eindruck von dem bekommen hat, wie Euklid vorging, und auch von dem, was Fibonacci an Vereinfachung erreichte, indem er die in Buch X dargestellte Theorie auf den Zahlbegriff gr¨ undete. Neben der Formel √ √ √ √  √ √ m+ m−n m− m−n m+ n= + 2 2 gilt auch die Formel √ √ √ √  √ √ m+ m−n m− m−n − m− n= 2 2 f¨ ur m > n. Diese wird wie jene in aller Ausf¨ uhrlichkeit diskutiert, wobei dies recht zu verstehen ist, da keine der beiden Formeln explizit vorkommt. F¨ ur die Ausdr¨ ucke √ √ m− n ¨ benutzt Thaer in seiner Ubersetzung der Elemente den griechischen Namen Apotome, w¨ahrend ich ihn mit Fibonacci Rezisum nennen werde. Von diesen Rezisen gibt es wieder sechs Typen, die sich durch die gleichen Bedingungen unterscheiden, wie die sechs Typen von Binomialen. Die Wurzeln aus den sechs Typen von Rezisen bekommen alle eigene Namen, die ich hier nicht eigens auff¨ uhren werde, da wir dadurch nichts Neues mehr lernten. Es wird wieder gezeigt, dass die sechs Typen von Rezisen und die Wurzeln aus ihnen wesentlich von einander verschieden sind und dass sie auch niemals gleich einer der bislang behandelten Irrationalit¨ aten sind. Davon wird Fibonacci bei seiner Untersuchung der kubischen Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20

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Kapitel III. Das zehnte Buch

Gebrauch machen, wie wir bald sehen werden. Es gibt noch ein paar andere Dinge in Buch X, auf die ich hier nicht mehr eingehen werde. Die letzte Proposition des Buches X ist X.115a, die zu Beginn unseres Buches steht: X.115a. Man soll zeigen, dass in jedem Quadrat die Diagonale der Seite linear inkommensurabel ist. 8. Algebra in den Elementen. Von Euklids Elementen ist alles das erl¨ autert, was mit unserem Thema zu tun hat. Obgleich also alles gesagt ist, m¨ochte ich dennoch noch einmal zusammenfassend resumieren, was es in den B¨ uchern V bis X alles an Algebra gibt. Da ist zun¨ achst die in Buch V festgehaltene Proportionenlehre des Eudoxos zu nennen, die ein herrliches St¨ uck Algebra darstellt, das bis heute seinen Glanz nicht verloren hat. Seine Definition der Proportionalit¨ at ist genial. Besonders bemerkenswert an ihr ist die Quantifizierung u ¨ber alle nat¨ urlichen Zahlen, die bei den Arabern und abendl¨ andischen Schriftstellern des Mittelalters und der Renaissance auf Kritik gestoßen ist. Bemerkenswert an ihr auch, dass die Relation A : B = c : d erkl¨ art wird f¨ ur A und B aus einem und c und d aus einem evt. anderen Gr¨ oßenbereich. Dass dies m¨oglich ist, wird im Folgenden h¨ aufig benutzt. So z. B. in VI.1, wo Fl¨ acheninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen zwischen Parallelen, dh. von Dreiecken und Parallelogrammen gleicher H¨ ohe, mittels Strecken parametrisiert werden. Der Beweis von VI.1 greift unmittelbar auf die eudoxische Definition der Proportionalit¨ at zur¨ uck, ist in seiner Methode also rein algebraisch. Satz VI.1 wird in Buch X mindestens 39 mal benutzt. In X.5 und X.6 wird gezeigt, dass zwei Gr¨ oßen genau dann kommensurabel sind, wenn sie sich verhalten wie Zahl zu Zahl. Der Zusatz zu X.6 besagt: Sind m, n ∈ N und ist a eine Strecke, so gibt es eine Strecke d mit q(a) : q(d) = m : n. Die Propositionen X.5 und X.6 und dieser Zusatz verkn¨ upfen die Geometrie mit den nat¨ urlichen bzw. positiven rationalen Zahlen und alle Existenzs¨ atze von Buch X laufen direkt oder indirekt u ¨ber diese Propositionen, auf diese Weise Eigenschaften nat¨ urlicher Zahlen und Relationen zwischen ihnen f¨ ur die Geometrie nutzbar machend. Euklid argumentiert hier viel sorgf¨ altiger als seine Nachfolger, die bis ins 19. Jahrhundert hinein Strecken mit Zahlen identifizierten, ohne eine Rechtfertigung dieses Tuns zu geben. Da die Konstruktionen in den Elementen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ahnt sind — wobei Euklid dies nicht explizit sagt und die Ger¨ ate schon gar nicht erw¨ —, sind die Fragen, die sich an nat¨ urliche Zahlen stellen, stets die, ob n ∈ N eine Quadratzahl sei oder ob sich m, n ∈ N wie Quadratzahl zu Quadratzahl verhielten. Diesen Fragen wird im Rahmen einer sehr sch¨onen Theorie geometrischer Reihen in Buch VIII und Teilen von Buch IX nachgegangen. Das Fundament f¨ ur diese Theorie wird in Buch VII gelegt.

8. Algebra in den Elementen

315

Von den Entwicklungen des Buches IX wird in Buch X nichts gebraucht, wenn man von der Konstruktion der pythagoreischen Tripel absieht, die im Rest des Buches auch nicht mehr verwendet werden, und von der letzten Proposition 115a, die ja auch, was ihren Beweis anbelangt, ein Fremdk¨ orper in Buch X ist. Von den Propositionen des Buches VIII werden VIII.4, VIII.11 und VIII.24 direkt zitiert, die Proposition VIII.24 viermal. Beim Beweise dieser drei Propositionen werden aufgerufen: VIII. 4: VII.13, VII.20, VII.34, VII.35; VIII.11: VII.17, VII.18; VIII.24: VIII.8, VIII.18, VIII.22; und weiter VIII.22: VIII.20: VIII.18: VIII. 8: VIII. 3: VIII. 2: VIII. 1:

VIII.20; VII.13, VII.20 VII.33; VII.13, VII.16, VII.17; VIII.3, VII.9, VII.14, VII.20, VII.21, VII.33; VIII.2, VII.22, VII.27, VII.3; VIII.1, VII.17, VII.18, VII.22, VII.27, VII.33; VII.14, VII.20, VII.21.

Von den Propositionen des Buches VIII werden in Buch X also direkt und indirekt die Propositionen 1, 2, 3, 4, 8, 11, 18, 20, 22 und 24 benutzt und von den Propositionen des Buches VII die Propositionen 9, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 27, 33, 34, 35 und weitere. Dies zeigt, dass die Wurzeln von Buch X tief in die B¨ ucher VII und VIII eindringen. Die Resultalte von Buch V werden in Buch X ebenfalls st¨andig benutzt. Kurz, ohne Algebra bleibt von dem, ach, so geometrischen Buch X nichts u ¨ brig. Nach dieser groben Analyse ist mir v¨ollig unverst¨ andlich, was Gericke schreibt (Gericke 1992, Math. in Antike und Orient, S. 238): Die arithmetischen ” B¨ ucher VII–IX scheinen den konsequenten Aufbau zu unterbrechen. Aber gerade wenn man weiß, dass die Verh¨ altnisse ganzer Zahlen f¨ ur die Geometrie nicht ausreichen, ist es sinnvoll, die Theorie dieser Zahlenverh¨ altnisse zu entwickeln, um zu sehen, wie weit man damit kommt und was man damit nicht mehr erreichen kann. Z. B. wird in VI, § 12 gezeigt, dass man zu drei Strecken stets mittels ¨ahnlicher Dreiecke eine vierte proportionale Strecke konstruieren kann, w¨ahrend in IX, § 19 gezeigt wird, dass es zu drei Zahlen a, b, c nur dann eine vierte Proportionale (a : b = c : x) gibt, wenn bc durch a teilbar ist.“ Van der Waerden, bei seinem Versuch nachzuweisen, dass die B¨ ucher X und XIII den gleichen Autor, n¨ amlich Theaitetos haben, sieht wohl, dass in Buch X auch algebraische Methoden verwendet werden. Dass Buch X aber von der Algebra lebt, sagt er nicht: Buch XIII arbeitet wie auch Buch X haupts¨ achlich mit den ” Methoden der geometrischen Algebra; Proportionen kommen in beiden B¨ uchern sehr wenig vor. In beiden B¨ uchern sind geometrische Konstruktionen geschickt mit algebraischen Berechnungen verflochten. Der Autor teilt nie den Gedankengang mit, der ihn durch eine algebraische Analyse zu seiner Konstruktion gef¨ uhrt hat, sondern er f¨ angt am anderen Ende an: Er konstruiert zuerst (kurz und ein-

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Kapitel III. Das zehnte Buch

fach, aber undurchsichtig) die Gr¨ ossen, zu denen seine algebraische Analyse ihn gef¨ uhrt hat, baut aus diesen Gr¨ ossen die gesuchte Figur auf (zum Beispiel eines der regul¨ aren Polyeder) und zeigt dann zum Schluss, dass diese Figur die gesuchten Eigenschaften besitzt (etwa dass eine Kugel mit Durchmesser e ihr umschrieben werden kann) (van der Waerden 1966, S. 284).“ Woher weiß van der Waerden, dass eine algebraische Analyse den Autor auf seine Konstruktion gebracht hat? Van der Waerden wird hier offenbar zum Gefangenen seiner eigenen Doktrin, die ¨ besagt, dass die sog. geometrische Algebra der Griechen eine Ubersetzung und Fortsetzung der babylonischen Algebra ist. Er schreibt auf S. 195 des soeben zitierten Werkes: Wie wir gleich n¨ aher erl¨autern, ist die geometrische Algebra die ” Fortsetzung der babylonischen Algebra. Die Babylonier nannten das Produkt xy auch schon ,Rechteck‘, das Quadrat x2 ,Viereck‘, aber sie benutzten daneben und zwischendurch auch arithmetische Ausdr¨ ucke, wie Multiplizieren, Wurzelziehen usw. Die Griechen vermeiden diese Ausdr¨ ucke ganz, ausser bei Rechnungen mit ganzen Zahlen und einfachen Br¨ uchen; sie u ¨ bersetzen alles in die geometrische ¨ Terminologie. Aber da es sich hier tats¨achlich um Ubersetzungen handelt und der Gedankengang algebraisch ist, so k¨ onnen wir die Herleitungen ruhigen Gewissens wieder zur¨ uck¨ ubersetzen in die Sprache der Algebra und unsere moderne Schreibweise gebrauchen, ohne dadurch den Gedankengang zu f¨ alschen.“ Van der Waerden gibt keine Belege daf¨ ur, dass es sich bei der geometrischen Algebra der Griechen um ein Einh¨ ullen der babylonischen Algebra in geometrisches Gewand handelt. Ich habe auch anderswo noch nie Belege daf¨ ur angef¨ uhrt gesehen. Zu erw¨ahnen ist hier noch die Konstruktion aller pythagoreischen Tripel in X.28a, wobei der Zusatz zu dieser Proportion aussagt, dass wirklich alle pythagoreischen Tripel konstruiert wurden. Wie erw¨ ahnt, wird von diesem Ergebnis weiter keinen Gebrauch gemacht. Mit Hilfe der in Buch VIII und IX entwickelten Theorie geometrischer Reihen beweist Euklid unter anderem Folgendes: — Sind a, b, n ∈ N und ist an Teiler von bn , so ist a Teiler von b. — Ist p eine Primzahl, so sind 1, p, . . . , pn−1 , pn s¨amtliche Teiler von pn . Ferner wird in den arithmetischen B¨ uchern Theorie und Praxis des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von nat¨ urlichen Zahlen abgehandelt. Außerdem wird der Standardvertreter f¨ ur a : b ermittelt. Weiter wird der so wichtige Satz bewiesen, dass eine Primzahl, die ein Produkt von nat¨ urlichen Zahlen teilt, wenigstens einen der Faktoren teilt. Jede Zahl ist Produkt von Primzahlen und zumindest quadratfreie Zahlen lassen sich nur auf eine Weise in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. ¨ ¨ Uber die Fl¨ achenanlegung, das ist das geometrische Aquivalent des algebraischen Problems der Aufl¨ osung quadratischer Gleichungen, das Steckenpferd der Historiker, will ich hier nicht weiter reden. Man findet es in dem von BulmerThomas stammenden Kapitel 2 von Scholz 1990 und in anderen gut zug¨ anglichen B¨ uchern zur Geschichte der Mathematik ausf¨ uhrlich erl¨ autert. 9. Fibonaccis kubische Gleichung. Von Euklid kennen wir nur sein Hauptwerk,

9. Fibonaccis kubische Gleichung

317

die Elemente, und einige weitere Schriften. Man weiß, dass er noch mehr als das ¨ Uberlieferte geschrieben hat, und man nimmt an, dass er um 300 v. Chr. am Musaion in Alexandria wirkte. Von Euklids Werk ist also einiges, von seinen Lebensumst¨ anden nichts bekannt. In seinem Werk findet sich ein großer Teil der zu seiner Zeit bekannten Mathematik versammelt und offenbar so gut dargestellt, dass sich fr¨ uhere Schriften zur Mathematik nicht erhalten haben, da man sie nicht mehr brauchte und sie folglich auch nicht mehr abschrieb. Sehr viel mehr wissen wir auch von einem anderen Manne nicht, der eine große Rolle beim Aufbl¨ uhen abendl¨ andischer Mathematik gespielt hat. Ich meine Fibonacci. Im Gegensatz zu Euklid hat er jedoch gelegentlich autobiographische Angaben in seinen B¨ uchern gemacht. Ferner gibt es noch ein Dokument der Stadt Pisa u ¨ ber ihn, so dass wir u ¨ ber ihn ewas besser informiert sind. Zu Beginn des liber abbaci schreibt Fibonacci, dass sein Vater in der algerischen K¨ ustenstadt Bougie Notar (publicus scriba) der Stadt Pisa war und dass sein Vater ihn als er noch Knabe oder schon Jugendlicher (in pueritia mea, wobei pueritia im Mittelalter die Zeitspanne von 0 bis 28 Jahren bezeichnet (Langosch 1988, S. 58/59)) war, nach Bougie kommen ließ, damit er dort das Rechnen mit den indischen Ziffern lernte. Bougie war damals eine bedeutende Handelsstadt und eines der wichtigsten kulturellen und wissenschaftlichen Zentren des Maghreb“ ” (A¨ıessani 1994). Dort also lernte Fibonacci den Umgang mit den indischen Zif¨ fern. Er schreibt weiter, dass er Reisen zu den Handelspl¨ atzen Agyptens, Syriens, Griechenlands, Siziliens und der Provence unternahm, und sp¨ ater wird klar, dass er auch Konstantinopel besuchte. Auf all diesen Reisen habe er die Mathematik studiert. Er hat also sowohl den griechischen als auch den arabischen Kulturkreis bereist und mit Sizilien den Platz besucht, wo sich diese beiden Kulturkreise durchdrangen. Es ist anzunehmen, dass ihm nichts Wesentliches an Mathematik der damaligen Zeit entgangen ist. Das Studium seiner Werke zeigt, dass er seinen Euklid in- und auswendig kannte. Der Almagest des Ptolemaios wird viermal zitiert und Archimedes einmal erw¨ ahnt. Wir haben fr¨ uher schon gesehen, dass er auch den Brief des Ahmed ibn Yussuf u ¨ber Proportionen kannte. Die Widmungen seiner Schriften zeigen, dass er auch zum Hofe Friedrichs II. Beziehungen hatte. Er wurde Friedrich, als dieser in Pisa war, vorgestellt. In welchem Jahr dies war, l¨ aßt sich nicht mehr eindeutig feststellen. Friedrich, der allen Wissenschaften gegen¨ uber sehr aufgeschlossen war und selbst ein wissenschaftliches Werk, das de arte venandi cum avibus, verfasste, hat, wie Fibonacci in seiner Widmung des liber quadratorum schreibt, seinen liber abbaci gelesen. Interessant die unterschiedlichen Formen der Widmungen. Michael Scottus wird mit Ihr angeredet, der Freund und verehrte Lehrer Dominicus mit Du. Aus der Widmung an Friedrich geht wiederum klar hervor, dass Friedrich Kaiser ist. Ebenso ist die Widmung der flos an den Kardinal Raniero Capocci mit dem geb¨ uhrenden Respekt abgefasst. Dieser firmiert in der Widmung nur als R., doch an Hand der u ¨brigen Angaben konnte Boncompagni (1854, S. 17–20) ihn identifizieren. Es ist also klar, dass Fibonacci einen lebhaften Austausch mit den f¨ uhrenden K¨ opfen seiner Zeit hatte. Und, wie im Werke Euklids, so ist im Werke Fibonaccis das mathematische Wissen seiner Zeit

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Kapitel III. Das zehnte Buch

geb¨ undelt. Der liber abbaci wurde im Jahre 1201 verfasst und erfuhr im Jahre 1227 eine Revision. Alle anderen von Fibonacci verfassten Schriften wurden in dieser Zeitspanne geschrieben. Dies erf¨ahrt man aus expliziten Jahresangaben oder aus Querverweisen. Nun gibt es, wie schon gesagt, noch ein weiteres Dokument u ¨ ber Fibonacci neben seinen B¨ uchern. Es ist eine Fußnote in dem Constitutum usus pisanae civitatis, das im Archivio di Stato in Pisa aufbewahrt wird. Dort heißt es (Bonaini 1870, S.1009): Considerantes nostre civitatis et civium honorem atque profectum, qui eis tam per doctrinam quam per sedula obsequia discreti et sapientis viri magistri Leonardi Bigolli, in abbacandis estimationibus et rationibus civitatis eiusque officialium, et aliis quoties expedit, conferuntur; ut eidem Leonardo, merito, dilectionis et gratie, atque scientie sue prerogativa, in recompensatione laboris sui, quem substinet in audiendis et consolidandis estimationibus et rationibus supradictis, a communi et camerariis publicis de communi et pro communi mercede sive salario suo, annis singulis, libre XX denariorum et amisceria consueta dari debeant; ipseque Pisano communi et eius officialibus in abbacatione de cetero, more solito, servat; presenti constitutione firmamus [ ]. Dies heißt: In Anbetracht unserer Stadt und der B¨ urger Ehre und Vorteil, der ihnen wie ” oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Sch¨atzungen und Rechnungen f¨ ur die Stadt und ihre Amtstr¨ ager und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, dass eben diesem Leonardo aus Wertsch¨atzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich f¨ ur seine Arbeit, die er ausf¨ uhrt durch Pr¨ ufung und Feststellung oben genannter Sch¨ atzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren K¨ ammerern — von der Gemeinde berufen und f¨ ur die Gemeinde handelnd — als Lohn bzw. sein Gehalt j¨ahrlich XX Pfund Pfennige und die u ¨blichen Naturalleistungen gegeben werden m¨ ussen und dass er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtstr¨ agern fortan wie gewohnt durch Ausf¨ uhrung von Rechnungen dient.“ ¨ Dieses Dokument, bei dessen Ubersetzung ich wertvolle Hilfe von Herrn Kollegen Arno Borst (Konstanz) erhielt, wird von Bonaini (Bonaini 1858) in das Jahr 1241 datiert, ohne dass er eine Begr¨ undung daf¨ ur gibt. Das Dokument selbst tr¨ agt keine Datierung. Es wird nur global am Ende der Konstituten gesagt, wann sie ge¨andert wurden. Diese Datumsangaben lauten im Original: MCCXXI, indictione VIII, XV kal. maii MCCXXXIII, indictione VII, ipso die kal. ianuarii MCCXLII, indictione XV, pridie nonas novembris MCCXLVIII, indictione VI, tertio kalendas decembris MCCLVIIII, indictione secunda,tertio kalendas ianuarii

9. Fibonaccis kubische Gleichung

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MCCLXXI, indictione XIII, XVI kalendas septembris MCCLXXXI, indictione nona, nono kalendas martii Nach heutiger Schreibweise sind dies die Daten 17. 4. 1221, 1. 1. 1233, 12. 11. 1242, 29. 11. 1248, 30. 12. 1259, 17. 8. 1271 und 21. 2. 1281. Dabei ist zu beachten, dass die Jahresangaben pisanisch, dass sie also unserer Jahresz¨ahlung um Eins voraus sind, bis auf die Jahresangaben 1. 1. 1233 und 21. 2. 1281, da der Neujahrstag in Pisa das Fest Mariae Verk¨ undigung also der 25. M¨ arz ist. In der ¨ Zeitspanne von 1221 und 1281 gab es keine weiteren Anderungen. Die vom Jahre 1281 ist die letzte vermerkte. Die Indiktion ist ein Zyklus von 15 Jahren. Die Nummer des Jahres in diesem Zyklus heißt R¨omerzinszahl des Jahres. Der Wechsel der R¨omerzinszahl ist unterschiedlich. Der Wechsel ist am 1. September (griechisch), am 24. September (kaiserlich), am 1. Januar (p¨ apstlich, r¨ omisch) (Zemanek 1990, S. 58). In Pisa scheint das kaiserliche Datum zu gelten. Demzufolge w¨ are die R¨ omerzinszahl f¨ ur Pisa wie folgt zu berechnen: vom 25. 3. bis 24. 9. (Jahreszahl + 2) MOD 15 vom 25. 9. bis 24. 3. (Jahreszahl + 3) MOD 15. Berechnet man die R¨omerzinszahl f¨ ur obige Daten nach diesem Schema, so erh¨alt man 8, 6, 15, 6, 2, 13, 9. Bis auf die zweite stimmt das mit dem Vorstehenden u ¨ berein. Ist dies ein von mir oder Bonaini begangener Kopierfehler? Oder hat der Schreiber VII statt VI geschrieben? Mir fiel das erst auf, als ich schon wieder zuhause war und meine Exzerpte bearbeitete. Die Datierung des Dokumentes ist insofern wichtig, als Fibonacci im Jahre 1201 sein erstes Buch, den liber abbaci, publizierte, wie wir schon bemerkten. Man weiß zwar nicht, wieviele Reisen er bis dahin schon unternommen hatte — vom liber abbaci ist nur die revidierte Version auf uns gekommen, so dass die autobiographischen Angaben gegen¨ uber der ersten Auflage ver¨ andert sein k¨ onnen —, dennoch bedarf es einer gewissen mathematischen Reife, um ein grundlegendes Buch u ¨ ber Mathematik zu schreiben, und wir d¨ urfen wohl annehmen, dass schon die erste Version des liber abbaci eine umfassende Einf¨ uhrung in die Mathematik war. Man nimmt also an, dass Fibonacci kaum j¨ unger als dreißig Jahre war, als er den liber abbaci schrieb. Unterstellt man die Richtigkeit von Bonainis Angabe, dass das Dokument aus dem Jahre 1241 stammt, so kann Fibonacci auch nicht sehr viel a¨lter als dreißig gewesen sein. Daher nimmt man an, dass Fibonacci ungef¨ ahr 1170 geboren wurde und nach 1240 — so die Sekund¨ arliteratur — starb. Diese Rechnung steht und f¨ allt mit der Autorit¨ at Bonainis. Ich w¨ unschte mir, er h¨atte seine Begr¨ undung f¨ ur die Datierung des Dokumentes preisgegeben. F¨ ur mich, dem Laien, k¨amen als Datum f¨ ur die Erg¨ anzung der Konstituten durch die Fibonacci betreffende Fußnote auch die Jahre 1220 und 1233 in Frage.

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Kapitel III. Das zehnte Buch

Wie zuverl¨ assig sind die Lebensdaten historischer Pers¨ onlichkeiten, die man in der Literatur findet? Kommen wir zu unserem eigentlichen Thema. Wir hatten in Abschnitt 6 eine Stelle aus Fibonaccis flos zitiert. Darinnen hieß es u. a. Das zweite von Magister ” Iohannes gestellte Problem war, eine Kubikzahl zu finden, die zusammen mit zwei ihrer Quadrate und zehn ihrer Wurzeln in Eines versammelt Zwanzig ergebe.“ In unserer Sprache heißt das, dass ein x gesucht ist mit x3 + 2x2 + 10x = 20. Diese Gleichung kommt auch schon bei Umar Khayyam vor. Darauf werden wir in Kapitel 4 noch zu sprechen kommen. Wir sagen heute, dass x Wurzel des Polynoms x3 + 2x2 + 10x − 20 sei, w¨ahrend in Fibonaccis Formulierung x Wurzel von x3 ist. Dies ist generell so, dh., algebraische Gleichungen werden — implizit — stets so interpretiert, dass x die Wurzel von xn ist und dass zwischen 1, x, x2 , . . . , xn eine lineare Abh¨ angigkeit besteht. Erst sp¨ ater, ich weiß nicht ab wann, wird auch von Wurzeln algebraischer Gleichungen geredet. ur Fibonacci der Anlass, das zehnte Die Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20 war f¨ Buch der Elemente zu studieren. Das obige Zitat endete mit der Feststellung, dass das zehnte Buch von f¨ unfzehn Typen von Strecken handle und dass zwei von diesen Typen rational genannt w¨ urden. In der flos geht es dann folgendermaßen weiter: Relique .XIIJ. dicuntur aloge, siue inratiocinate. Ex his duobus ritis una dicitur rite, seu ratiocinata longitudine et potentia. Alia uero potentia solum. Per primam ex his duabus intelligitur numerus, qui potest numerari, vt unus, duo, tres et ceteri, uel partes unitatis, ut medietas: tertia et quarta et cetere fractiones; qui omnes sunt radices quadratorum numerorum. Per secundam intelliguntur radices numerorum ratiocinatorum non quadratorum. Vnde potentia earum radicum numeratur, et ipse radices numerari non possunt. Et ideo uocantur numeri surdi. Et exi XIIJ.cim predictis lineis prima est simplex, que uocatur media, per quam intelligitur radix radicis numeri non quadrati. Et ex reliquis sex sunt radices numerorum binomiorum, hoc est duorum nominum. Relique sunt radices recisorum. Ex duobus quidem nominibus sunt numeri compositi ex numero et radice, uel ex duabus radicibus; que compositio fit sex modis. Recisus quidem numerus dicitur residuum, quod est inter numerum et radicem, uel inter duas radices; quod etiam fit sex alijs modis, ut Euclides dicit. Und dann folgt die hochinteressante Aussage, die letztlich ein Scheitern eingesteht: Et cum studiose super hos quindecim numeros, et super eorum diuersitates cogitarem, inueni nullum ipsorum congruere posse uni ex .X. radicibus supradictis, que cum duobus quadratis et cubo sint .XX., ut in sequentibus geometrice demonstratur.

9. Fibonaccis kubische Gleichung

321

¨ Lesen wir zun¨achst die Ubersetzung dieses Textes. ¨ Die Ubrigen dreizehn werden irrational genannt. Von den zwei rationalen wird ” eine von rationaler L¨ange und rationalem Quadrat genannt. Die andere aber nur von rationalem Quadrat. Unter der ersten von diesen beiden (Strecken) versteht ¨ man die Zahl, die sich z¨ ahlen l¨ asst, wie Eins, Zwei, Drei und die Ubrigen, oder ¨ Teile der Einheit, wie ein Halb, ein Drittel, ein Viertel und die Ubrigen Br¨ uche; sie alle sind Wurzeln von Quadratzahlen. Unter der zweiten versteht man die Wurzeln aus rationalen Zahlen, die keine Quadrate sind. Somit sind die Quadrate ihrer Wurzeln z¨ ahlbar, die Wurzeln selbst aber k¨ onnen nicht gez¨ ahlt werden. Sie werden daher surdische Zahlen genannt. Von den dreizehn genannten Strecken ist die erste einfach, sie wird Mediale genannt, unter ihr versteht man die Wurzel ¨ aus der Wurzel einer Zahl, die kein Quadrat ist. Von den Ubrigen sind sechs die ¨ Wurzeln aus Binomialzahlen, dh., von zwei Namen. Die Ubrigen sind Wurzeln aus Rezisen. Binomiale sind Zahlen zusammengesetzt aus Zahl und Wurzel oder aus zwei Wurzeln; es ergeben sich sechs Modi. Eine verminderte Zahl nennt man Residuum, das ist das zwischen einer Zahl und einer Wurzel oder das zwischen zwei Wurzeln; dies ergibt weitere sechs Modi, wie Euklid sagt.“ Und dann der Satz u ¨ber die Gleichung dritten Grades: Und da ich emsig u ¨ ber diese f¨ unfzehn Zahlenarten und ihre Unterschiede nach” dachte, fand ich heraus, dass keine von ihnen u ¨bereinstimmen konnte mit einer aus den oben genannten zehn Wurzeln, die mit zwei Quadraten und dem Kubus Zwanzig ergeben, wie im Folgenden geometrisch gezeigt wird.“ Fibonaccis Aussage ist also, dass rationale, surdische und mediale Zahlen, sowie Wurzeln aus Binomialen und Rezisen nicht L¨osungen der fraglichen kubischen Gleichung sind. Er zeigt sogar noch mehr, n¨ amlich, dass auch Binomiale und Rezisen nicht L¨ osungen sind. Andererseits scheint es f¨ ur ihn festzustehen, dass die Gleaichung eine L¨ osung hat, denn er beendet ihre Untersuchung mit den Worten: Et quia hec questio solui non potuit in aliquo suprascriptorum, studui solutionem eius ad propinquitatem reducere. Et inueni unam ex .X. radicibus nominatis, scilicet numerum .ab., secundum propinquitatem, esse unum et minuta .XXII. et secunda .VII. et tertia .XLII. et quarta .XXXIII. et quinta .IIII. et sexta .XL. Weil also die L¨ osung unter den euklidischen Irrationalit¨ aten nicht zu finden ist, hat er versucht, sie anzun¨ahern. Die Ann¨ aherung, die er fand, ist der physikalische Bruch (s. Abschnitt 8 von Kapitel 1) unum et minuta .XXII. et secunda .VII. et tertia .XLII. et quarta .XXXIII. et quinta .IIII. et sexta .XL., das ist, 1+

22 7 42 33 4 40 + + 3 + 4 + 5 + 6. 60 602 60 60 60 60

Der Fehler ist kleiner als 3 · 10−11 , wie moderne Rechnungen zeigen (Nenninger 1994). Wie Fibonacci diese N¨ aherung fand, ist sein Geheimnis. Da Fibonacci also

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Kapitel III. Das zehnte Buch

an die Existenz einer L¨ osung glaubt, hat er aufgezeigt, dass es noch andere Zahlen als die in den Elementen vorkommenden gibt. Zahlen! Deshalb die ausf¨ uhrlichen Zitate, weil sie zeigen, dass Fibonacci alles Zahl nennt, was auch wir heute Zahl nennen: Nat¨ urliche Zahlen, rationale Zahlen, surdische Zahlen, mediale Zahlen, Binomialzahlen. Es werden von Fibonacci also nicht nur nat¨ urliche Zahlen Zahlen genannt. Er geht sogar noch weiter, wie in Abschnitt 6 schon berichtet, dass er n¨ amlich die Ergebnisse des zehnten Buches der Elemente auf den Zahlbegriff st¨ utzen wolle. Dies alles zeigt, dass eine Entwicklung des Zahlbegriffes stattgefunden hat. Verfolgen wir Fibonaccis Nachweis, dass keine der euklidischen Irrationalit¨ aten und auch keine rationale Zahl L¨ osung obiger kubischer Gleichung sein kann. Bemerken wir zun¨ achst, dass zu Fibonaccis Zeiten als L¨osungen algebraischer Gleichungen nur positive Zahlen in Betracht gezogen wurden. Negative Zahlen kamen in Form von Schulden nur bei linearen Gleichungssystemen vor. Um uns Klarheit zu verschaffen, sei hier bemerkt, dass reelle L¨osungen der fraglichen Gleichung positiv sind, da ja

 20 = x3 + 2x2 + 10x = x (x + 1)2 + 9 und (x + 1)2 + 9 > 0 ist, falls x reell ist. Als erstes zeigt Fibonacci, dass x nicht ganz ist. Dazu legt er an eine Strecke der L¨ange 10 ein Rechteck mit der Breite x an. Daran wiederum ein Rechteck mit alt er dem Inhalt x3 und hieran wiederum ein Rechteck des Inhalts 2x2 . Damit erh¨ ein Rechteck (s. Figur weiter unten) mit den Seiten 10 und x+

x3 x2 + , 10 5

wobei von diesen drei Seiten nur x explizit auftritt. Da der Inhalt dieses Rechtecks 20 ist, ist die L¨ange dieser Seite gleich 2. Hieraus folgt, dass x < 2 ist. Ist x ganzzahlig, so ist also x = 1, aber 1 ist keine L¨ osung der Gleichung. Folglich ist x nicht ganz. An diesem Argument ist zun¨achst bemerkenswert, dass von einer Strecke, die gleich 10 sei, gesprochen wird. Es ist also nicht von einer Strecke von 10 Fuß oder dergleichen die Rede. Das Grundmaß — die Einheitsstrecke — wird nicht erw¨ ahnt. urfel interpretiert, sondern Ferner ist auch x eine Strecke, aber x3 wird nicht als W¨ als der Fl¨ acheninhalt eines Rechtecks, dessen eine Seite wiederum gleich 10 ist. Hier hat sich also gegen¨ uber Euklid einiges ver¨ andert. Als n¨achstes wird gezeigt, dass x kein Bruch sei, wobei die nat¨ urlichen Zahlen nicht unter die Br¨ uche gerechnet werden. Ist n¨amlich x ein Bruch, so ist x3 der Bruch des Bruches eines Bruches und x2 der Bruch eines Bruches. Ferner ist 2x2 ein Bruch oder der Bruch eines Bruches und 10x ist ein Bruch oder eine ganze Zahl. Es kann dann x3 + 2x2 + 10x keine ganze Zahl, also auch nicht 20 sein. Fibonacci argumentiert etwas l¨anger, da er die verschiedenen F¨ alle einzeln auff¨ uhrt, er sagt aber letztlich nicht mehr. Was diese Argumentation zutreffend macht, ist

9. Fibonaccis kubische Gleichung

323

der Satz VII.24 von Kap. 2, Absch. 2, dass c und ab teilerfremd sind, wenn c zu a und zu b teilerfremd ist. Hier wird also davon Gebrauch gemacht, dass ein Bruch potenziert noch br¨ uchiger wird. Diese Eigenschaft haben Wurzeln nicht. Ist n¨ a mlich n eine nat¨ u rliche √ 2 √ urliche Zahl. Zahl, die kein Quadrat ist, so ist n surdisch, aber n ist eine nat¨ An dieser Stelle tauchen wieder die Kunstw¨orter cubicare und cubicatio auf, deren sich Fibonacci auch im liber abbaci bedient. Nun zeigt Fibonacci, dass x nicht Wurzel aus einer rationalen Zahl ist. Dazu benutzt er die folgende Figur. Er nimmt an, dass x dh. .ab. doch die Wurzel aus k

x3

i

e

x3

2x 2

t

b

z

g

x

a

10x

10

d

einer rationalen Zahl sei. Man multipliziere .ab. in sich und herausk¨ ame die Zahl .bk.; und aus .ab. in .bk. entst¨ unde das Rechteck .ak., welches er durch seine Diagonale bezeichnet, wie dies auch Euklid h¨ aufig tut. Dieses Rechteck sei gleich dem Kubus der Zahl .ab. und damit gleich der Fl¨ ache .bz. Weil Rechtecke Parallelogrammei sind mit gleichen Winkeln, l¨ asst sich auf diese beiden Rechtecke Satz VI.14 von Kap. 1, Absch. 4 anwenden (Fibonacci verweist hier nur global auf Buch VI). Es gilt also .gb. : .bk. = .ab. : .be. In unserer Schreibweise ist das 3 10 : x2 = x : x10 . Weil .gb. und .bk. kommensurabel seien, seien es nach Buch X auch .ab. und .be. Weil .ab. Wurzel aus einer rationalen Zahl sei, sei also auch .be. Wurzel aus einer rationalen Zahl. Nun ist .ab. zu .be. kommensurabel. Folglich ist .ab. auch zu .ab. + .be. = .ae. kommensurabel. In unserer Sprache heißt das, dass x 3 und x + x10 kommensurabel sind. Folglich ist auch .ae. Wurzel aus einer rationalen Zahl. Folglich ist das Quadrat und nur das Quadrat von .ae. mit .ai., dh. mit 2

324

Kapitel III. Das zehnte Buch

kommensurabel. Nach Buch X ist daher das Rezisum .ei. = .ai. − .ae. = 2 − x −

x3 10

irrational. (Hier wird der Teil von Buch X zitiert, den wir nicht mehr ausf¨ uhrlich behandelt haben.) Daher ist auch das Rechteck r(.ti., .ie.), dh. 20 − 10x − x3 = 2x2 irrational. Nun ist aber q(.ab.) nach Annahme rational und außerdem gleich der H¨ alfte von r(.ti., .ie.), so dass r(.ti., .ei.) rational ist. Dieser Widerspruch zeigt, dass x nicht Wurzel aus einer rationalen Zahl ist. Wir h¨ atten diese Aussage aus der Formel x=

20 − 2x2 x2 + 10

erschlossen. Fibonacci kennt jedoch noch keine Buchstabenrechnung. Nun wird gezeigt, dass x auch nicht die vierte Wurzel aus einem Nichtquadrat ist. Es wird wieder ein Widerspruchsbeweis durchgef¨ uhrt. Es wird also angenommen, dass x eine Mediale, d. i. die vierte Wurzel aus einem Nichtquadrat sei. Es wird die gleiche Figur wie eben verwendet. Es folgt wieder .gb. : .bk. = .ab. : .be., dh. 10 : x2 = x :

x3 . 10 3

Weil .ab., dh. x vierte Wurzel aus einer rationalen Zahl ist, ist auch x10 , dh. .be. vierte Wurzel aus einer rationalen Zahl. Nun sind .gb. = 10 und .bk. = x2 nur dem 3 Quadrat nach kommensurabel. Daher sind auch .ab. = x und .be. = x10 nur dem Quadrat nach kommensurabel. Die Strecken .ab. und .be. sind Mediale. Da sie nur dem Quadrate nach kommensurabel sind, ist .ab. + .be. = .ae. dh.

x3 10 eine von zwei Bimedialen, dh. die Wurzel aus einer Binomialen. Fibonacci zitiert hier nichts, also lasse auch ich den Leser suchen. Multipliziert man nun .ab. in sich, so erh¨alt man die H¨ alfte der Fl¨ ache r(.ti., .ei.), das ist   x3 2 . x = .ti. × .ei. = 5 2 − x − 10 x+

9. Fibonaccis kubische Gleichung

325

Somit ist .ei. Wurzel aus einer rationalen Zahl, selbst aber keine rationale Zahl. Folglich ist .ei. mit .ai. = 2 nur quadratisch kommensurabel. Dies impliziert, dass .ae. = .ai. − .ei. ein Rezisum ist. Andererseits ist .ae. eine Bimediale. Das kann aber nicht sein, wie in Buch X gezeigt wurde. Also ist x = .ab. auch keine Mediale. Was nun noch kommt — der gr¨oßere Teil des Beweises —, k¨ undigt Fibonacci wie folgt an: Ostendam rursus, unam ex predictis radicibus, scilicet lineam .ab., esse non posse aliquam ex lineis compositis uel depositis, nec ex earum radicibus. Dies heißt: Es ist noch zu zeigen, dass nicht eine von den vorgenannten ” Wurzeln, dh. die Strecke .ab., irgendeine von den Summenstrecken oder Differenzenstrecken, noch deren Wurzeln sein kann.“ Ich zitiere das deswegen, weil ich das Paar lineis compositis uel depositis interessant finde, das ich mit Summenstrecken oder Differenzenstrecken wiedergegeben habe. Ein wirklich ad¨ aquater Ausdruck ist mir nicht eingefallen. St¨ unde nur lineis compositis da, h¨ atte ich dies mit zusammengesetzten Strecken“ u ¨ bersetzt. Aber auseinandergenommen“, das ” ¨” Gegenteil von zusammengesetzt“, passt nicht als Ubersetzung f¨ ur depositis. An ” dieser Stelle sagt Fibonacci u ¨brigens, dass er auch zeigen will, dass Binomiale und Rezisen die Gleichung ebenfalls nicht l¨ osen. Nachdem Fibonacci gesagt hat, worauf er hinaus will, erkl¨art er zun¨ achst die in Buch X auftretenden Summen- und Differenzenstrecken, die wir schon kennen. Dabei ist bemerkenswert, dass er nirgends seinen liber abbaci zitiert. Bedeutet das, dass er in der ersten Auflage seines Buches u ¨ber die Rechenkunst noch nichts zum zehnten Buch gesagt hatte? Wenn man bedenkt, dass die kubische Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20 ihm der Anlass war, das zehnte Buch zu studieren, wird dies wahrscheinlich, da die Aufgabe, diese kubische Gleichung zu l¨ osen, ihm ja bei einem Besuche Friedrichs in Pisa gestellt wurde. Dieser Besuch muss um 1220 ¨ stattgefunden haben. Im Ubrigen war Friedrich im Jahre 1201 erst sieben Jahre alt und streunte durch die Gassen Palermos, wo er u. a. Arabisch — wohl nicht nur die Hochsprache — lernte. Die Begegnung Fibonaccis mit Friedrich muss also sp¨ ater gewesen sein. Eine Major hat die Gestalt   √ √ a + b + a − b, w¨ahrend eine Quadriert Rationales plus Medialem bzw. die Summe zweier Medialer Ergebende von der Form   √ √ √ √ a+ b+ a− b ist. Bei den Beispielen, die Fibonacci f¨ ur diese Irrationalit¨ aten gibt, spricht er, was wir mit dem Minuszeichen bezeichnen, als minus an. So heißt es bei dem

326

Kapitel III. Das zehnte Buch

Beispiel f¨ ur eine Major: Vt si prima fuerit radix de .IIII. et ex radice de .XIII., et alia fuerit radix de .IIII. minus radice de .XIII. Bei den Rezisen benutzt er ebenfalls das Wort minus. Man darf sich aber nicht verleiten lassen, Fibonaccis minus mit der Bedeutung unseres Minuszeichens gleichzusetzen. Ein Beispiel aus dem liber ugen“ schon erw¨ ahnte, wird dies klar machen. abbaci, das ich in meinem Lesevergn¨ ” Auf S. 263 von Boncompagni (1857) steht n¨ amlich: que si in numeris habere uis, habeatur 4; de quibus extraas √ radicem de 7, remanebunt 4, minus radice de 7, que sunt recisum. Hier wird also 7 von 4 weggenommen und es verbleiben 4 minus √ 7. Hier sieht man deutlich, dass Minuszeichen nicht gleich Minuszeichen ist. Nun nimmt Fibonacci an, dass .ab. Summe einer rationalen Zahl und einer Wurzel aus einer rationalen Zahl ist. Dies wird am Ende vier der m¨oglichen Typen k

i

e

f

o

b

c

a

x3

2x 2

t

l

z

10

g

n

d

erledigen. Die Strecke .ab. sei zerlegt in .ac. + .cb, wobei .bc. der rationale Teil und .ca. die Wurzel aus einer rationalen Zahl sei. Wir setzen r := .ac.√und s := .cb.2 . Dann sind r, s ∈ Q+ und s ist kein Quadrat. Ferner gilt .ab. = r + s. Die Strecke .bk., das ist x2 , zerlege man in .bf. + .f k., wobei .bf. der rationale und .f k. der surdische Teil sei. Dann ist .bf. = r2 + s und

√ .f k. = 2r s.

Es folgt .f k. : .ca. =

√ √ s : 2r s = 1 : 2r,

9. Fibonaccis kubische Gleichung

327

so dass .f k. und .ca. linear kommensurabel sind. Es gilt r(.gd., .gk.) = r(.gn., .gf.) + r(.nd., .no.) + r(.pk., .kf.) + r(.pl., .po.). Ferner gilt .gf. = .no. = 10 + r2 + s und .gn. = .kp. = r sowie

√ .kf. = .po. = 2r s.

Also hat das erste Rechteck den Fl¨ acheninhalt r(10 + r2 + s) = 10r + r3 + rs. Das zweite Rechteck hat den Fl¨ acheninhalt √ s(10 + r2 + s) und das dritte

√ r · 2r s.

Das vierte schließlich hat den Fl¨acheninhalt √ √ s · 2r s = 2rs. Dass der Fl¨acheninhalt des letzten Rechtecks rational ist, erschließt Fibonacci daraus, dass .f k. = .po. und .ca. = .pl. linear kommensurabel sind, wie oben bemerkt. Die Fl¨ ache r(.gd., .gk.) hat also den Fl¨ acheninhalt √ 10r + r3 + 3rs + (10 + 3r2 + s) s. Dies ist aber auch der Fl¨ acheninhalt von r(.ae., .ez.) und damit gleich x3 + 10x. Nun ist√aber der Fl¨ acheninhalt von r(.tz., .ti.) gleich 2x2 , dh. gleich 2.bk. = 2r2 + 2s + 4r s. Somit erhalten wir den Widerspruch √ 20 = 10r + r3 + 3rs + 2r2 + 2s + (10 + 3r2 + s + 4r) s. Also kann x kein Binom der 1., 2., 4. oder 5. Art sein. Fibonacci, dessen Beweis wir in einem modernen Gewande vorstellten, erledigt hier mit Geist, was wir durch aßige Buchstabenrechnung nachpr¨ uften. √ routinem¨ Wir setzten einfach x := r + s und setzten dies in die Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20 ein, um den gleichen Widerspruch zu erhalten.

328

Kapitel III. Das zehnte Buch

Ist x Summe aus zwei Wurzeln, etwa √ √ x = r + s, so leitet Fibonacci auf a¨hnliche Weise wie zuvor her, dass gilt, was wir in unserer Sprache als √ √ √ 20 = 2(r + s) + 4 rs + (10 + r + 3s) r + (10 + 3r + s) s beschreiben. Dies, sagt er ohne n¨ahere Begr¨ undung, k¨ onne nicht sein. Es kann tats¨achlich nicht sein, wie wir unschwer nachpr¨ ufen k¨ onnen. Der Grund daf¨ ur ist, dass im vorliegenden Falle, rs kein Quadrat ist, da ja x eine echte Binomiale sein sollte. Als n¨achstes sagt er, dass man auf ¨ahnliche Weise zeige, dass x auch keines der sechs Rezisen sei. Die Beweislast dem Leser aufzub¨ urden, ist, wie wir hier sehen, uralter Brauch. Schließlich behauptet er, dass auch die Wurzeln aus Binomialen und Rezisen die fragliche Gleichung nicht l¨ osten. Nun, die Wurzel aus einer Binomialen bzw. aus einem Rezisum erster Art ist eine Binomiale bzw. ein Rezisum, so dass in diesem Falle nichts mehr zu beweisen ist. Es sei x die Wurzel aus einer Binomialen zweiter Art, also eine erste Bimediale. Es gibt dann r, s ∈ Q+ mit  √ x= r + s. Es folgt 10 + x2 = 10 + s +

√ r.

Weiter folgt mit geeigneten u, v ∈ Q+ , dass √ √ √ (10 + x2 )2 x2 = (10 + s + r)2 ( r + s) = u + v ist. Also ist

 √ (10 + x )x = u + v. 2

Somit ist

√ 20 = 2x2 + (10 + x2 )x = 2r + 2 s +

 √ u + v,

was wiederum nicht sein kann. Das ist kurz gefasst Fibonaccis Argument, dass x keine erste Bimediale sein kann. W¨are x Wurzel aus einer Binomialen der vierten oder f¨ unften Art, so schließe man entsprechend, da auch hier x Wurzel aus der Summe einer rationalen Zahl und der Wurzel einer rationalen Zahl sei. Schließlich sei  √ √ r + s. x= Dann ist

 √ √ √ √ √ √ r + s, 2x2 (10 + x2 )x = 2 r + 2 s + (10 + r + s)

9. Fibonaccis kubische Gleichung

329

was wiederum nicht gleich 20 sein kann. Letzteres begr¨ undet Fibonacci wiederum nicht. Dass auch die Wurzeln aus den Rezisen nicht L¨osung sind, u ¨berl¨ asst Fibonacci wieder dem Leser nachzuweisen. Er schließt, wie schon fr¨ uher bemerkt, die Untersuchung der Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20 mit den Worten: Ergo linea .ab., ut demonstratum est, non est aliqua ex quindecim lineis, de quibus fit mentio in .Xo . euclidis, ut predixi. Et quia hec questio solui non potuit in aliquo suprascriptorum, studui solutionem eius ad propinquitatem reducere. et inueni unam ex .X radicibus nominatis, scilicet numerum .ab., secundum propinquitatem, esse unum et minuta .XXII. et secunda .VII. et tertia .XLII. et quarta .XXXIII. et quinta .IIII. et sexta .XL. Nachdem er also gezeigt hat, dass die Irrationalit¨ aten aus Buch X nicht L¨ osungen sind, hat er die L¨ osung zumindest angen¨ ahert, wie oben schon erw¨ ahnt. Bemerkenswert ist, dass Fibonacci Strecken mit Zahlen identifiziert. Da er dies nicht begr¨ undet, erh¨ alt er eine andere Theorie als Euklid. In dieser Theorie ist es einfacher, die Existenz der fraglichen Irrationalit¨ aten zu beweisen. Bemerkenswert ist ferner, dass er nachweist, dass keine rationale Zahl und auch keine der Irrationalit¨ aten von Buch X L¨ osung der Gleichung x3 + 2x2 + 10x − 20 ist. Da er annimmt, dass diese Gleichung eine L¨osung hat — die er durch einen physikalischen Bruch approximiert —, muss es noch weitere Irrationalit¨ aten geben. Die Masse der Zahlen“ f¨ angt an sich zu strukturieren. ”

IIII. ∗

Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade 1. Al-Hwarizmi. Dieser Name, der Name eines Mathematikers, der um 780 n. Chr. geboren wurde und etwa siebzigj¨ ahrig starb, ist heute noch in aller Munde, immer dann n¨ amlich, wenn wir Algorithmus sagen. Sein vollst¨ andiger Name lautet Abu Abdallah Mohammed ibn Musa mit dem Zusatz al-Hwarizmi, wobei der Zusatz der Hwarizmier“ bedeutet. Ob er selbst dort herkam oder seine Vorfahren, ” l¨ asst sich ebensowenig mehr rekonstruieren wie die M¨ oglichkeit, dass er j¨ udischer Abstammung war, worauf der Name Musa, Moses, hindeutet. Hwarizm war Hauptstadt einer Provinz gleichen Namens, die sich weitgehend mit dem heutigen Usbekhistan deckte. Die Stadt liegt s¨ udlich des Aralsees und heißt heute Khiva. Er wirkte in Bagdad am Hause der Weisheit“, das von al-Mamun eingerichtet ward. ” Al-Mamun war derjenige der drei S¨ ohne Harun-al-Rashids, des ber¨ uhmten Kalifen und Gr¨ unders Bagdads, der das Ringen um die Nachfolge Harun-al-Rashids f¨ ur sich entschied (Zemanek 1981). Al-Hwarizmi schrieb neben astronomischen Werken auch zwei B¨ ucher zur Mathematik, von denen wir heute noch N¨ aheres wissen. Eines davon erkl¨ art das Rechnen mit den indischen Ziffern, das andere behandelt unter anderem die Theorie der quadratischen Gleichungen, die uns hier interessieren wird. Das erste Buch existiert nur noch in vier lateinischen Bearbeitungen aus dem 12. Jahrh., die k¨ urzlich von Allard kritisch herausgegeben wurden (Allard 1992). Diese Bearbeitungen firmieren als Dixit Algorizmi, Liber Ysagogarum Alchorismi, Liber Alchorismi und Liber pulueris. Von Dixit Algorismi existieren zwei Exemplare, wobei das vollkommenere Exemplar erst k¨ urzlich von M. Folkerts gefunden wurde (Folkerts 1997), so dass es von Allard nicht ber¨ ucksichtigt werden konnte. Vom Liber Ysagogarum existieren drei Versionen, w¨ahrend von den restlichen beiden nur je ein Exemplar bekannt ist (Allard 1992). Von dem anderen Buch, welches meist als Al-Hwarizmis Algebra angesprochen ¨ wird, existiert neben zwei lateinischen Ubersetzungen von Gerhard von Cremona (Libri 1967 Bd. I, S. 253–297) und Robert von Chester (Karpinski 1915, Hughes 1989) aus dem 12. Jahrhundert auch noch der urspr¨ ungliche arabische Text. Dieser wurde im letzten Jahrhundert von Rosen herausgegeben und gleichzeitig ins Englische u ¨ bersetzt (Rosen 1831/1986). Das erste Buch, welches u ¨ brigens das j¨ ungere ist, wie man aus der von Allard als erste wiedergegebenen Bearbeitung erschließt, wo die Algebra zitiert wird (Allard 1992, S. 1, Zeile 28), lehrte das Rechnen nach der indischen Methode. Es beginnt mit den Worten: Dixit Algorizmi, die zu Beginn des zweiten Absatzes wiederholt werden. Auf der n¨ achsten Seite beginnt ein Absatz mit: Inueni, inquit Algorizmi

332

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

. . . Das Incipit der dritten Bearbeitung lautet: Incipit prologus in libro Alchorismi de pratica arismetrice qui editus est a magistro Iohanne. Mit Johannes ist Johannes von Toledo gemeint. Bei beiden Versionen ist klar — bei der zweiten, weil Alchorismi von de pratica arismetrice gefolgt wird —, dass Algorizmi bzw. Alchorismi der Name eines Mannes ist. Sp¨ater bezeichnet algorismus wohl im Gefolge der Bearbeitungen der Arithmetik des al-Hwarizmi das Rechnen mit indischen Ziffern, wie man an den Titeln und Inhalten der B¨ ucher Carmen de algorismo und Algorismus vulgaris von Alexandre de Villedieu und Johannes de Sacrobosco, erkennt, wobei ich gestehen muss, dass ich keines der beiden B¨ ucher in der Hand hatte, ich mich also ganz auf die Sekund¨ arliteratur verlasse. ¨ Der Name Al-Hwarizmis kommt auch in den lateinischen Ubersetzungen seiner ¨ Algebra vor. In der von Karpinski herausgegebenen Version der Ubersetzung Robert von Chesters liest er sich Algaurizin (Karpinski 1915, S. 66 und 76). Hughes ¨ in seiner kritischen Ausgabe der chesterschen Ubersetzung hat Algaurizmi und Alguarizmi (Hughes 1989, S. 30 und 36), wobei beide Versionen mehrfach vorkommen, so das es sich bei den unterschiedlichen Schreibweisen wohl nicht um Druckfehler handelt. (Sicher kann man nat¨ urlich nicht sein, da z. B. Macros Druckfehler repetieren k¨ onnen, wie ich aus leidvoller Erfahrung weiß. Ja, man selbst schreibt ein Wort an einem Tage so und am andern Tage anders. Es gibt beim Schreiben keinen Fehler, der nicht gemacht w¨ urde, selbst das Undenkbare passiert.) Fibonacci benutzt das Wort algorismus in einem Sinne, der mir verborgen geblieben ist. Er schreibt ziemlich zu Anfang seines liber abbaci, unmittelbar nachdem er von seinen Reisen berichtet hat: Sed hoc totum etiam et algorismum atque arcus pictagore quasi errorem computaui respectu modi indorum, dh., Aber alles ” dies wie auch den Algorismus und die pythagoreischen B¨ogen erachtete ich gleichsam als Irrtum verglichen mit der Art der Inder“. Mit algorismus kann er hier kaum das Rechnen nach Art der Inder gemeint haben, lobt er dieses doch und lehrt es anschließend in seinem Buch. Allard (1994, S. 85) unterscheidet zwischen indischem Rechnen und indischem Rechnen, einmal dem, wo w¨ ahrend des Verlaufs der Rechnung Ziffern gestrichen werden, und zum andern dem, wo dies nicht geschieht. Letzteres sei das, was Fibonacci anstrebe und lehre, wobei er die Verfahren der ersten Art unter algorismus subsumiere. Fibonacci sagt das aber nicht. Allard muss dies aus dem Text interpretiert haben. Ich sehe nun nicht, dass Fibonacci bei seinen Rechenverfahren das Streichen von Ziffern vermeidet. Bei Addition und Subtraktion gibt es nichts zu streichen. Fibonaccis bevorzugtes Multiplikationsverfahren spielt sich vorwiegend im Kopf ab. Er fasst dezimal geschriebene Zahlen — in unserer Sprache gesprochen — als Polynome in Potenzen von 10 auf. Wenn er sie multipliziert, bestimmt er die (i + 1)-ste Dezimale des Produktes (ich z¨ahle die Stellen in der Reihenfolge ihres Entstehens), indem er den Koeffizienten bei 10i durch Faltung der entsprechenden Koeffizienten der beiden Faktoren im Kopf ¨ berechnet, den in der Hand gehaltenen“ Ubertrag hinzuaddiert und dann die ” letzte Stelle des Ergebnisses als (i + 1)-ste Stelle aufschreibt. Was links der letzten ¨ Stelle steht, beh¨ alt er als neuen Ubertrag in der Hand. Dieses Verfahren ist also so, dass nur die beiden Faktoren und das Ergebnis auf der Tafel stehen.

1. Al-Hwarizmi

333

Zahlen in der Hand zu halten bedeutet, sie mittels Fingerzahlen darzustellen. Das System der Fingerzahlen ist so ausgekl¨ ugelt, dass es m¨oglich ist, mit der linken Hand alle Zahlen zwischen 1 und 99 darzustellen. An der rechten Hand notiert die gleiche Konfiguration der Finger jeweils das Hundertfache. Mit beiden H¨ anden kann man also alle Zahlen zwischen 1 und 9999 darstellen. Da man die ¨ rechte Hand zum Schreiben braucht, d¨ urfen die Ubertr¨ age beim Multipliziern nicht ¨ gr¨ oßer als 99 werden. Solche Ubertr¨ age treten aber erst bei zw¨ olfstelligen Faktoren auf. Einzelheiten dieses Verfahrens sowie Einzelheiten zu den Fingerzahlen habe ich in meinem Lesevergn¨ ugen“ dargestellt. Bei dieser Art der Multiplikation wird ” von den Zwischenrechnungen also nichts auf der Tafel notiert und folglich auch nichts wieder gestrichen. Das zweite Multiplikationsverfahren, das Fibonacci lehrt, ist mit unserem identisch. Bei ihm stehen am Ende der Rechnung alle Zwischenrechnungen noch auf der Tafel. Bei der Division streicht er bei den Verfahren nicht ausdr¨ ucklich etwas von den Zwischenrechnungen, bei denen der Divisor einoder zweistellig ist. Bei der Formulierung des Algorithmus der Division durch eine dreistellige Zahl jedoch, streicht er ausdr¨ ucklich die nicht mehr ben¨ otigten Zwischenergebnisse, so dass am Ende der Rechnung auf der Tafel nur noch der Rest, der Dividend, der Divisor und der Quotient untereinander stehen. Auch hier findet der Leser Einzelheiten und Kommentare in meinem Lesevergn¨ ugen“. Wie Allard ” zu seinem Schlusse kommt, ist mir schleierhaft, ich kann ihn nicht nachvollziehen. Mir bleibt unklar, was Fibonacci mit algorismus meint. Arcus pictagore, die pythagoreischen B¨ogen, sind die gerbertsche Version des Rechenbrettes. Bei dieser Variante des Rechenbrettes, auch Klosterabacus genannt, tragen die Rechensteine, die man auslegt, Ziffern, so dass man nicht mehr mehrere Rechensteine in eine Spalte legt, sondern nur einen, dessen Ziffer die gew¨ unschte Anzahl vertritt. Die Ziffern sind die arabischen Gobarziffern jedoch ohne die Null. Was sie mit diesen Ziffern in der Hand hatten, haben Gerbert und die Benutzer des arcus pictagore nicht erkannt. N¨ aheres hierzu bei Menninger 1958, Bd. 2, S. 133ff. Die Ziffern, die die Rechensteine trugen, wurden apices genannt, wobei das Wort apex auch f¨ ur andere Schriftzeichen, u. a. auch die der musikalischen Notation benutzt wurde. Bei Dingelbacher lese ich: . . . , dass es ein Aspekt im Reformpathos ” der Zisterzienser war, die Benedictusregel ad apicem, buchstabengetreu zu befolgen“ (Dingelbacher 1998, S. 222). Sp¨ atestens seit dem 12. Jahrhundert benutzten die Kaufleute wieder das Rechenbrett der R¨ omer, das sie jedoch um 90◦ drehten, so dass die Einer unten zu liegen kamen. Der Klosterabacus verschwand bald wieder. Er war zu unpraktisch. Gerbert von Aurillac lebte in der zweiten H¨ alfte des 10. Jahrhunderts. Er wurde 999 zum Papst gew¨ahlt, wobei er den Namen Sylvester II. annahm. Er starb 1003. Ich schrieb oben, dass Fibonacci seine Ergebnisse auf einer Tafel notierte, ohne zu konkretisieren, um was f¨ ur eine Tafel es sich handelte. In meinem Lesever” gn¨ ugen“ habe ich das Wort tabula, welches Fibonacci stets benutzt, nach der Lekt¨ ure von Wattenbach 1871 stets mit Wachstafel u ¨ bersetzt. Unsicher war ich, wie man tabula dealbata wiedergeben sollte (L¨ uneburg 1993, S. 54). Bei Allard (1994, S. 85) finde ich tabula dealbata als Staubtafel interpretiert. Nachdem er

334

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

die oben wiedergegebene Erkl¨arung von Fibonaccis Gebrauch des Wortes algorismus beendet hat, f¨ ahrt er n¨ amlich fort: Il n’entend d’ailleurs pas plus renoncer ” compl`etement `a certains instruments pratiques comme la ‘table de poussi`ere’ sur laquelle les chiffres s’inscrivent eti s’effacent ais´ement avec les doigts17 “. Und die Anmerkung 17 lautet: C’est bien le sens qu’il faut donner au mot tabula dans ” l’oeuvre. Cette mˆeme tablette est d´ecrite `a propos de la multiplication comme tabula dealbata in qua littere leuiter deleantur .“ Mein Franz¨ osisch ist nicht so gut, dass ich absch¨atzen k¨onnte, wieviel Zweifel der Ausdruck c’est bien gestattet. Meine Zweifel an der Richtigkeit dieser Interpretation sind jedenfalls sehr groß. Ich finde nichts, was sie rechtfertigte. Neben der Wachstafel gab es im Altertum noch die geweißte Holztafel auch Album genannt, die auch mit tabula angesprochen wurde (Der Kleine Pauly). Dabei wurde beim Schreiben der weiße Gips¨ uberzug verletzt, so dass der dunkle Untergrund durchschimmerte. Diese Tafel konnte leicht — als Ganzes, so vermute ich — abgewaschen und neu geweißt werden. Die Staubtafel, der Schreibgrund des Geometers, hieß im Altertum abacus und nicht tabula. Ob sie — ich meine die Staubtafel — auch im Abendland u ¨berhaupt und dann auch zum Rechnen benutzt wurde, dar¨ uber schweigen meine Quellen. Bei Wattenbach finde ich nichts u ¨ber die geweißte Tafel geschrieben. Auch das Staubbrett ist bei ihm nicht als mittelalterlicher Schreibgrund erw¨ ahnt. Es ist mir also unklar, ob Staubtafel und Album im Mittelalter in Gebrauch waren und dann auch noch tabula genannt wurden. Die Wachstafel aber wurde bis ins 19. Jahrhundert hinein im Abendland benutzt. Viele Belege hierzu findet der Leser in dem Kapitel De l’usage non interrompu jusqu’` a nos jours des tablettes en cire von du M´eril 1867, 85–144. Wie dem auch sei, mir scheint nach wie vor, dass die Wachstafel das ad¨aquate Instrument f¨ ur das schriftliche Rechnen ist, da man bei ihr mit dem abgeplatteten Ende des Griffels auch einzelne Buchstaben bzw. Ziffern l¨ oschen kann. Bei meinem Ringen um das Verst¨andnis des Wortes tabula stieß ich in meinem lateinischen W¨ orterbuch, dem Georges, auf einen sch¨onen Ausdruck, den ich meinen Lesern nicht vorenthalten m¨ochte: abaco et pulvisculo se dedere. W¨ ortlich heißt dies, sich dem Abacus und dem Staub widmen, gemeint ist, sich der Geometrie widmen. Laut Georges ist der Staub auf dem Abacus sehr feiner, gr¨ uner Glasstaub. Wir sind wieder vom Wege abgewichen. Wir waren dabei, den Bedeutungswandel des Wortes Algorithmus zu verfolgen. Bei Reisch (1517) finde ich das Wort ¨ Algorithmus, nun mit th geschrieben, in drei Uberschriften: Algorithmus de minutijs vulgaribus, Algorithmus de minutijs physicalibus und Algorithmus cum denarijs piectilibus: seu calcularis, das ist, Algorithmus von den gemeinen Br¨ uchen, Algorithmus von den physikalischen Br¨ uchen, Algorithmus mit Rechenpfennigen, bzw. -steinen. Hier heißt Algorithmus, so scheint es mir, nichts anderes als Rechnen; das Rechnen mit gemeinen Br¨ uchen, mit physikalischen Br¨ uchen, mit Rechenpfennigen. Dabei sind physikalische Br¨ uche, wie wir wissen, die Sexagesimalbr¨ uche, wie sie bei astronomischen Rechnungen verwandt wurden. Dass Algorithmus nun mit th geschrieben wird, ist, so The Shorter Oxford English Dictionary“, eine ” Angleichung an das Wort Arithmetik. In Simon Jacobs Rechenb¨ uchlin (Jacob 1571, S. 2r ) wird das Wort Algorithmus

1. Al-Hwarizmi

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erkl¨ art: Algorithmus begreifft in sich die Species so zum rechnen dienstlich / als ” da sein / Numerirn / oder zelen / Summirn oder zuhauff thun / Subtrahirn / oder abziehen / Multiplicirn / das ist / vielfeltigen / Dividiren oder theylen.“ In Eulers Werken, die ich wegen des Problems der 36 Offiziere konsultierte, stolperte ich auch u ¨ ber das Wort Algorithmus. Specimen algorithmi singularis lautet der Titel einer Arbeit, die 1764 publiziert wurde (Werke Bd. 15, 31–49). In dieser Note geht es Euler um gute Bezeichnungen in der Mathematik. Um zu erhellen, wie n¨ utzlich diese seien, bringt er als Beispiel (specimen) eine Rekursion, die er Algorithmus nennt, um Z¨ ahler und Nenner von N¨ aherungsbr¨ uchen eines Kettenbruches auszurechnen. Er definiert Zeichen ( ), zwischen die er von links nach rechts Zahlen schreibt, die er in diesem Zusammenhang Indizes nennt, rekursiv wie folgt: () = 1, (a) = a, (a, b) = b(a) + (), (a, b, c) = c(a, b) + (a), (a, b, c, d) = d(a, b, c) + (a, b), (a, b, c, d, e) = e(a, b, c, d) + (a, b, c) etc.; Dies steht in der Einleitung der Arbeit. Die allgemeine Rekursionsformel (a, b, c . . . p, q, r) = r(a, b, c . . . p, q) + (a, b, c . . . p) folgt zwei Seiten sp¨ater, nachdem der Zusammenhang mit den Kettenbr¨ uchen hergestellt ist. Diese Rekursion heißt bei ihm Algorithmus. In einer Arbeit mit dem Titel De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo, die 1767 erschien (Werke, Bd. 3, S. 73–111), benutzt er diese rekursiv definierten Ausdr¨ ucke bei der L¨ osung der pellschen Gleichung. Da Euler von einem neuen Algorithmus spricht, muss es auch alte Algorithmen geben. Doch diese erw¨ahnt er in den beiden Noten nicht. In Dirichlet (1863, §. 23, S. 49.) findet sich der Satz: Wir schicken derselben ” einige S¨ atze u ¨ ber einen Algorithmus voraus, der zuerst von Euler behandelt und f¨ ur die Theorie der Kettenbr¨ uche, sowie auch f¨ ur unsere sp¨ateren Untersuchungen von Wichtigkeit ist.“ In der vierten Auflage von Dirichlets Zahlentheorie findet sich auch das Zitat der eulerschen Arbeit. Es ist die Arbeit Solutio problematis arithmetici de inveniendo numero qui per datos numeros divisus relinquat data residua, die 1740 publiziert wurde (Werke, Bd. 2, 18–32). Es geht hier also um das chinesische Resteproblem, das, wie wir wissen, von Bachet als Erstem gel¨ost wurde. Zu seiner L¨ osung muss man zuvor eine Kongruenz der Form ax ≡ 1 mod n l¨ osen. Dies ist, was auch Dirichlet ben¨ otigt, und er nennt Eulers Verfahren, x zu berechnen, das im Wesentlichen das bachetsche ist, Algorithmus. Euler benutzt an dieser Stelle dieses Wort nicht, im Gegensatz zu Gauß, der das R¨ uckw¨artssubstituieren als eigenst¨andigen Algorithmus formuliert und Algorithmus nennt (Werke, Bd. 1, S. 20/21).

336

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Pl¨ ucker benutzt das Wort Algorithmus im Vorwort seines Buches System der ” analytischen Geometrie“ im Sinne von Kalk¨ ul (Pl¨ ucker 1835, S. VII). Bachmann spricht vom euklidischen und vom binetschen Algorithmus (Bachmann 1902, S. 99ff, 120f). Dabei berechnet der binetsche Algorithmus ebenfalls den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen. Modern formuliert lautet er: Binetscher Algorithmus Eingabe: Zwei nat¨ urliche Zahlen a und b. Ausgabe: ggT(a, b). Beginn R := b; {ggT(a, b) teilt R} solange (R teilt nicht a) oder (R teilt nicht b) tue Beginn {R teilt nicht a} wiederhole R := a MOD R {ggT(a, b) teilt R} bis (R teilt a); wenn (R teilt nicht b) wiederhole R := b MOD R {ggT(a, b) teilt R} bis (R teilt b); Ende; {R teilt a und R teilt b} {ggT(a, b) teilt R} ggT := R Ende; Er findet sich in Binet 1841, wo Binet auch untersucht, wieviele Divisionen man h¨ ochstens machen muss, um den gr¨oßten gemeinsamen Teiler zweier nat¨ urlicher Zahlen zu finden, wenn man bei der Division mit Rest immer den absolut kleinsten Rest nimmt. Das Bachmannzitat ist das ¨alteste, das ich kenne, wo der euklidische Algorithmus euklidischer Algorithmus genannt wird. Das besagt nicht viel, da ich nicht systematisch gesucht habe, wie ich auch nicht systematisch nach dem Auftreten des Wortes Algorithmus gesucht habe. Der euklidische Algorithmus ist im doppelten Sinne nicht Euklids Algorithmus. Zum einen benutzt Euklid nicht die Division mit Rest, die wir bei ihm benutzen, und zum andern war die Wechselwegnahme, mit deren Hilfe Euklid den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen bestimmt, schon vor Euklid in Gebrauch. Perron (1921, S. 112) kennt einen cantorschen Algorithmus. Bei diesem ist eine ur alle ν ∈ N. Ausgehend von Folge p von nat¨ urlichen Zahlen gegeben mit pν > 1 f¨ einer positiven reellen Zahl γ0 wird eine Folge c nicht negativer ganzer Zahlen und

1. Al-Hwarizmi

337

eine Folge γ reeller Zahlen konstruiert mit γν = c ν +

γν+1 pν+1

und cν < γν ≤ cν + 1. Es sind also γ und c durch die Rekursion γν+1 := pν+1 (γν − cν ) und cν+1 := γν+1  − 1 mit den Anfangswerten γ0 und c0 = γ0  − 1 definiert. Diese Rekursion wird von Perron cantorscher Algorithmus genannt. Er verwendet dieses Wort hier also so, wie Euler dies bei den N¨ aherungsbr¨ uchen der Kettenbr¨ uche tat. Bei dem cantorschen Algorithmus hat man am Ende γ0 = c0 +

∞ 

cν . p p · · · pν 1 2 ν=1

Dabei ist die unendliche Reihe die Entwicklung des nicht ganzen Teils von γ0 in der Mischbasis p11 , p12 , p13 , . . . . Cantor benutzt weder das Wort Algorithmus noch ¨ das Wort Mischbasis in seiner Note (Cantor 1869). Uber diese Mischbasen beweist Cantor den folgenden Satz. Es sei p eine Folge nat¨ urlicher Zahlen mit pi > 1 f¨ ur alle i. Ist γ0 = nat¨ urlichen Zahlen a und q und ist das Produkt n 

pi

i:=1

durch q teilbar, ist ferner γ0 = c0 +

∞ 

cν p p · · · pν ν:=1 1 2

die oben beschriebene Darstellung von γ0 , so ist ci = p i − 1 f¨ ur alle i ≥ n.

a q

mit

338

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Hieraus folgt sofort die Irrationalit¨ at der Eulerzahl e, die sich in der Mischbasis . . . ja als ∞  1 e= n! n:=0

1 1 1 2, 3, 4,

darstellt. Diese hat aber die Eigenschaft, dass die nat¨ urliche Zahl q Teiler von q! ur alle nat¨ urlichen ist. Somit kann e nicht von der Form aq mit a ∈ N sein. Da dies f¨ Zahlen q gilt, ist e irrational. Die Bedingung cν < γn ≤ cν + 1 bewirkt, dass die Reihe γ0 = c0 +

∞ 

cν p p · · · pν 1 2 ν=1

niemals abbricht. Will man erreichen, dass diese Reihen unter den Voraussetzungen des Satzes ggf. abbrechen, will man also sozusagen Dezimalbr¨ uche mit einem Schwanz von lauter Neunen vermeiden, so muss man jene Bedingung durch die Bedingung cν ≤ γn < cν + 1 ersetzen. In diesem Fall sind γ und c durch die Rekursion γν+1 := pν+1 (γν − cν ) und cν+1 := γν+1  mit den Anfangswerten γ0 und c0 = γ0  definiert. Wie berechnen sich nun c und γ, wenn γ0 rational ist? Um dies zu kl¨ aren, sei γ0 = ab mit a, b ∈ N. Es gibt dann nicht negative ganze Zahlen q0 und r1 mit a = q0 b + r1 und r1 < b. Es folgt   a c0 = = q0 = a DIV b b und wegen c0 + ist dann

γ1 a r1 r1 = c0 + = = q0 + p1 b b b γ1 r1 = , p1 b

so dass

p1 r1 b ist. Wir nehmen an, wir h¨ atten γν und cν−1 und es gelte γ1 =

bγν = pν rν

1. Al-Hwarizmi

339

mit einer nicht negativen ganzen Zahl rν < b. Wir setzen cν := pν rν DIV b und rν+1 := pν rν MOD b. Dann ist, da ja pν rν = bγν ist, bγν = cν b + rν+1 . Es folgt



bγν γν  = b und weiter

 = cν

rν+1 γν+1 = . b pν+1

Damit ist

pν+1 rν+1 . b Es gilt also bγν+1 = pν+1 rν+1 mit einer nicht negativen ganzen Zahl rν+1 < b. Damit ist die Rekursion eins weiter getrieben. ur alle ν, so ist dieser Algorithmus der, den wir auf der Schule Ist pν = 10 f¨ lernten, um einen Bruch in einen Dezimalbruch zu verwandeln: Man multipliziere den aktuellen Rest mit 10 und dividiere das Produkt mit Rest durch b. Was F. Klein zum Worte Algorithmus schreibt, will ich meinen Lesern nicht vorenthalten. Zum vollen Verst¨ andnis der Entwicklung der Mathematik m¨ ussen ” wir aber noch eines dritten Momentes C gedenken, das neben und innerhalb der Entwicklungsreihen A und B sehr h¨aufig eine große Rolle spielt. Es handelt sich da um die Methode, die man mit einem durch Entstellung des Namens eines arabischen Mathematikers entstandenen Wortes als Algorithmus bezeichnet; algorithmisch ist im Grunde schließlich jedes geordnete formale Rechnen, insbesondere das Buchstabenrechnen. Welch einen großen Anteil an der Entwicklung der Wissenschaft das algorithmische Verfahren als eine gewissermaßen selbst¨ andig vorw¨ artstreibende, den Formeln innewohnende Kraft unabh¨ angig von der Absicht und Einsicht der jeweiligen Mathematiker und oft sogar ihr entgegen gehabt hat, das haben wir schon wiederholt betont; auch in den Anf¨ angen der Infinitesimalrechnung hat, wie wir weiterhin sehen werden, der Algorithmus h¨ aufig zu neuen Begriffen und Operationen gedr¨ angt, noch ehe man sich u ¨ ber ihre Zul¨ assigkeit Rechenschaft geben konnte. Selbst auf h¨ oheren Stufen der Entwicklung k¨ onnen diese algorithmischen Momente N¨ utzliches leisten und haben es tats¨ achlich getan, so dass man sie geradezu als den Untergrund der mathematischen Entwicklung bezeichnen kann; es heißt also unhistorisch denken, wenn man, wie es heute manchmal u ¨ blich ist, diese Umst¨ ande als bloß ,formale‘ Entwicklungen geringsch¨ atzig beiseite schiebt (Klein 1933, S. 85f. Die Auszeichnungen stammen von Felix Klein).“ γν+1 =

340

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

— Al-Hwarizmi Araber zu nennen, ist voreilig, wenn er auch Arabisch schrieb. Wir haben ja schon gesehen, dass er oder seine Vorfahren aus Usbekhistan gekommen zu sein scheinen und dass sie m¨oglicherweise Juden waren. Im heutigen Sinne benutzt findet sich das Wort Algorithmus bei Church 1936, S. 351. Dort heißt es: It is clear that for any recursive function of positive integers ” there exists an algorithm using which any required particular value of the function can be effectively calculated. For the derived equations of the set of recursion equations E are effectively enumerable, and the algorithm for the calculation of particular values of a function F i , denoted by a functional variable fni i consists in carrying out the enumeration of the derived equations of E until the required particular equation of the form fni i (k1 i , k2 i , · · · , kni i ) = k i is found.“ Das Wort Algorithmus war aber in den dreißiger Jahren nicht in allgemeinem Gebrauch. So benutzt A. Turing stattdessen den Ausdruck purely mechanical process“ und K. ” G¨ odel spricht von effektiver Methode“. ” Dass Algorithmus letztlich der Name eines Mannes war, war in der Zwischenzeit vergessen. Erst im Jahre 1849 wies Joseph Reinaud wieder daraufhin, dass es sich um den Namen eines Mannes handeln k¨ onnte. Er schrieb (Reinaud 1849, S. 303f): Je me permettrai ici une conjecture. Dans les trait´es latins du moyen age, le nouveau syst`eme de num´eration est d´esign´e par la d´enomination d ’Algorismus ou Algorithmus. D’un autre cˆ ot´e, les mots Algorismus et Alkhorismus servent ` a d´esigner un ´ecrivain arabe surnomm´e Al-Kharizmy ou le Kharizmin, du nom du Kharizm sa patrie; et cet ´ecrivain s’´etait occup´e de la science des nombres. Il me paraˆıt que le nom donn´e au nouveau syst`eme de num´eration n’est pas autre que celui du personnage dont les ´ecrits, traduit au latin, avaient r´epandu la connaissance de ce syst`eme en Occident . Der Name Al-Hwarizmi lebte auch in der außermathematischen Literatur weiter. Beispiele daf¨ ur haben wir in Abschnitt 7 von Kapitel 1 schon gesehen. Ein weiteres Beispiel ist das aus dem 13. Jahrhundert stammende, als Fiore zitierte Werk von Durante. Es ist eine freie Bearbeitung des ebenfalls aus dem 13. Jahrhundert stammenden Roman de la rose, in dem von Al-Hwarizmi als von maistre Algus geredet wird. Dort steht (VIII, Vers 1 ff.) Se mastro Argus che fece la nave in che Giason and´ o per lo tosone e fece a conto regole e ragione e le diece figure, com’on save vivesse, gli sarebb e forte e grave multiplicar ben ogne mia quistione ch ’Amor mi move, sanza mesprigione. Das heißt: Wenn Meister Argos, der baute das Schiff, in welchem Jason fuhr nach dem Vlies, und der auch f¨ ur’s Rechnen machte Regel und Grund und die zehn Ziffern, wie jedermann kund,

1. Al-Hwarizmi

341 (wenn) er (noch) lebte, w¨ ar’ es ihm hart und schwer, wohl und ohne Irrtum zu l¨ osen (moltiplicar ) alle Zweifel (quistione), die Amor in mir regt.

Hier wird Algus, d. i. Al-Hwarizmi, offenkundig mit dem Argos der Argonautensage identifiziert. Chaucers treatise on the astrolabe haben wir fr¨ uher schon erw¨ ahnt (Kap. 1, Absch. 7). Er erw¨ ahnt Al-Hwarizmi aber auch in seinen nicht-mathematischen Schriften. So findet sich in seinem Book of Duchess, Vers 434–442: Shortly, hit was so ful of bestes That thogh Argus, the noble countour, Sete to rekene in his contour And rekened with his figures ten — For by tho figures mowe al ken, If they be crafty, rekene and noumbre, And telle of every thing the noumbre — Yet shulde he fayle to rekene eben The wondres, me mette in my sweven. ¨ Bei der Ubersetzung muss man beachten, dass sich hit = it“ auf einen im Traum ” geschauten Wald bezieht, von dem vorher die Rede war. Kurz darauf war er (der Wald) so voll von Tieren, Dass selbst Argos, der noble Rechner, So er sich zum Rechnen setzte in sein Kontor. Und rechnete mit den Ziffern zehn — Denn mit den Ziffern k¨ onnen alle Menschen, Falls sie unterrichtet sind, rechnen und z¨ ahlen, Und von jedem Ding die Zahl sagen — Dass selbst er verfehlte richtig zu z¨ ahlen die Wunder, die ich tr¨ aumte in meinem Traum. In Chaucers Canterbury Tales“ findet sich eine andere Stelle, wo der Name Al” Hwarizmis benutzt wird. Es ist die Geschichte des M¨ ullers (Chaucer 1996, S. 79 ff. Insb. S. 81 unten). Sie handelt von einem turbulenten Liebesabenteuer, dass der Student Nikolas mit der jungen Frau des alten Zimmermannes hatte, bei dem er zur Untermiete wohnte. Zu Beginn der Geschichte wird die Kammer beschrieben, in der er lebte. Dort heißt es unter anderem (Vers 3208–3211): His almageste, and bookes grete and smale, His astrelabie, longynge for his art, His augrym stones layen faire apart, On shelves couched at his beddes heed; Dies heißt Sein Almagest und B¨ ucher groß und klein, Sein Astrolab, geeignet f¨ ur seine Wissenschaft, Seine Augrymsteine sauber gelegt daneben,

342

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade Auf Regalbrettern, befestigt am Kopfende seines Bettes;

Es sind die augrym stones, die an Al-Hwarizmi erinnern. Karpinski 1912 interpretiert sie als die gerbertschen Apices, als die Rechensteine also, die die Gobarziffern tragen. Doch ich bin mit Otfried Lieberknecht (D¨ usseldorf) der Meinung, dass mit Augrymsteine“ die ziffernlosen Rechensteine gemeint sind, die zu Chaucers ” Zeiten in Gebrauch waren. Der Klosterabacus scheint schon im 13. Jahrhundert nicht mehr benutzt worden zu sein und die Kaufleute haben sich seiner wohl nie bedient. Seine Erw¨ ahnung in der Einleitung zu Fibonaccis Liber abbaci ist die letzte, uns bekannte, w¨ ahrend das Rechenbrett des Kaufmanns, auf dem mit ziffernlosen Rechenpfennigen gerechnet wurde, sp¨ atestens seit dem 12. Jahrhundert wieder benutzt wurde. Es ist ja auch viel einfacher zu handhaben als der Klosterabacus, so dass sein Verschwinden nicht verwundert. Ob Chaucer der Zusammenhang von Argos, Al-Hwarizmi und Augrym bewusst war, l¨asst sich heute nicht mehr entscheiden. Dem Begriff figures of augrim sind wir in dem Abschnitt u ¨ber die Ziffern im ersten Kapitel begegnet. — Die Hinweise auf die außermathematische Literatur verdanke ich Herrn Otfried Lieberknecht. Soweit meine Notizen zum Stichwort Algorithmus. Sie sind, wie schon gesagt, nicht systematisch gesammelt. Vielleicht findet jemand angeregt durch sie dieses Stichwort wichtig genug, um seinem Bedeutungswandel und seinem Gebrauch systematisch nachzugehen. Suchen muss man sicherlich im Umfeld des Problems der Entscheidbarkeit bzw. der Unentscheidbarkeit. Dabei sollte die Antologie Davis 1965 helfen. Al-Hwarizmi verdanken wir auch das Wort Algebra. Dieses Wort kommt von dem arabischen Wort al-jabr“, welches Einrenken eines gebrochenen Knochens“ ” ” bedeutet. Als mathematischer Terminus, zusammen mit dem Wort Almuchabala, taucht es zum ersten Male im Titel des zweiten, noch erhaltenen Werkes von AlHwarizmi auf. Seine urspr¨ ungliche mathematische Bedeutung ist Beseitigung neg” ativer Glieder in Gleichungen“. Algebra macht aus x2 −6 = 3 also x2 = 9. Almuchabala beseitigt auf beiden Seiten einer Gleichung u ¨berfl¨ ussige positive Glieder. Almuchabala macht aus x2 + 3 = 12 also x2 = 9. Dabei wird die Operation Algebra immer zuerst ausgef¨ uhrt, damit am Ende der Umformungen auf beiden Seiten der Gleichung nur positive Glieder stehen. — Der Leser sei daran erinnert, dass die Mathematiiker der damaligen Zeit noch keine Formeln kannten, dass unsere Formelmanipulationen bei ihnen rein verbal vonstatten gingen. Daher wird ihre Art, Algebra zu betreiben, auch rhetorische Algebra genannt. Wer diesen Begriff gepr¨ agt hat, ist mir unbekannt. Die Spekulation, dass die beiden W¨ orter Algebra und Almuchabala schon vor Al-Hwarizmis Schrift in Gebrauch waren, und die darauf beruht, dass Al-Hwarizmi keine Erkl¨ arung des Gebrauchs dieser beiden W¨ orter gibt, ist unbegr¨ undet, wie Ruska (1917) zeigt, aber auch nicht zu widerlegen. Bei Fibonacci, also vierhundert Jahre nach Al-Hwarizmi, hat Algebra die Bedeutung Theorie der quadratischen Gleichungen“, wie ich in meinem Lesevergn¨ ugen“ ” ” dargelegt habe (S. 300 ff.). Der Bedeutungsumfang hat sich dann st¨ andig erweit-

1. Al-Hwarizmi

343

ert. Christian Wolff (1749, S. 692) definiert: Die Algebra ist eine Wissenschaft aus ” einigen gegebenen endlichen Gr¨ ossen andere ihres gleichen, von denen in Ansehung der gegebenen etwas bekannt gemacht wird, vermittelst gewisser Gleichungen zu finden.“ Was Euler unter Algebra verstand, ersieht man aus seiner Vollst¨andigen ” Anleitung zur Algebra“. Heute gibt es innerhalb der Algebra den Terminus technicus einer R-Algebra und in der Universellen Algebra spricht man von Ω-Algebren. Dies wollen wir nicht weiter verfolgen. Eines m¨ ochte ich hier jedoch noch mitteilen. In K¨ astner 1794 findet sich auf den S. XI–XIII das Folgende: Erinnerung bey der dritten Ausgabe. (Dies ist das Vorwort zur dritten Auflage. Wir zitieren hier nur den Teil, der uns interessiert. Die Auslassungen im zitierten Text auch im Original.) Hier noch etwas u ¨ ber den Namen Algebra. ” Die erste Syllbe entdeckt seinen Ursprung aus dem Arabischen. Jakob Golius zeigt ihn umst¨ andlich in seinen Anmerkungen u ¨ber den Alferganus an. Muhammedis fil. Ketiri, Ferganensis, qui vulgo Alfraganus dicitur, elementa Astronomica, Arabice et Latine, cum notis . . . opera Iacobi Golii; Amstelod. 1669 . Auf der 11. S. der Anmerkungen wird ein arabisches Wort angef¨ uhrt, dessen lateinische ¨ Ubersetzung ist: os fractum reposuit et consolidavit, seu in integrum restituit. Weil nun Theile der Einheit in der Rechenkunst, auch durch ein Wort angezeigt werden, das fractiones oder fragmenta bedeutet . . . so sagt Golius: Hinc et vulgatum illud nomen Algebra Analysin Mathematicam notat, utpote cujus praecipuum munus sit comparationis terminos reducere ad optatam aequationis formam, et speciatim eorumdem partes ad integros redigere. Veranlassung diese Etymologie beyzubringen, giebt dem Golius die arabische Einrichtung der Mondenjahre; ein Monat, welcher regelm¨ assig nur 29 Tage hat, bek¨ ommt im Schaltjahre 30 (Gatterer, Abriß der Chronologie 220. §.), wenn der Ueberschuß der astronomischen Zeit mehr als einen halben Tag betr¨agt: Da wird also aus Br¨ uchen, ein Ganzes gemacht. Bekanntlich haben die Spanier noch sehr viele W¨ orter von den Mohren behalten, die sonst in Spanien herrschten. So heißt Algebrista, ein Mann der Beinbr¨ uche und Verrenkungen heilt. Als Don Quixote den Spiegelritter vom Pferde stieß, blieben des Gefallenen Rippen nicht v¨ ollig in ihrer Ordnung, und er musste sich an einem Orte aufhalten, wo ein solcher Arzt ihn wiederum zurechte brachte . . . llegaron a ` un pu`eblo, donde fu`e vent` ura hall` ar a ` un Algebrista con qui`en se cur` o el Sanson desgraci` ado. Don Quixote Part. III. Lib V. Cap XV; am Ende. Algebra bedeutet also eigentlich nicht Analysis, nur Rechnung. Das analytische bei ihr k¨ ommt darauf an: was man sucht, durch ein Zeichen anzudeuten, und mit diesem Zeichen so zu rechnen, wie man mit einer Zahl rechnen w¨ urde. Das Exempel beym 59. §. kann dieses erl¨autern; selbst wie Bruchrechnung angewandt wird.“ Soweit das Zitat. Der Fließtext ist im Original in Fraktur gesetzt. Was hier kursiv ist, ist im Original in lateinischen Buchtaben geschrieben. Der Algebrista

344

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

in unserem Kursivtext ist im Original kursiv gesetzt. Die unterschiedliche Behandlung von ss und ß ist wie im Original, ebenso die Umlaute und die Interpunktion. Was hier fett ist, ist im Original gr¨ oßer gedruckt und wirkt dadurch fett. Die Stelle mit dem Algebrista findet sich in Cervantes 1969, Bd. 2, Kap. XV, S. 100. Dort ist algebrista mit Wundarzt u ¨bersetzt. Der oben teilweise zitierte Satz lautet insgesamt: En esto fueron razonando los dos, hasta que llegaron a un pueblo, donde fue ventura hallar un algebrista con quien se cur´ o el Sans´ on desgraciado. Cervantes 1987, Teil II, Kap XV, S. 229, Nr. 58/59. Die Akzentuierung ist in der modernen Ausgabe ver¨ andert. Als Fußnote 59a findet sich: algebrista: especialista en ´ algebra, arte de concertar los huessos ” desencajados y quebrados“. COV. Ver RM. Das ist: Algebrist: Spezialist in Algebra, das ist die Kunst, ausgerenkte und gebrochene Knochen wieder einzurenken bzw. zu heilen. COV = Sebasti´ an de Covarrubias, Tesoro de la lengua castellana o espa˜ nola, Madrid 1611 (Utilizo la ed. de Mart´ın de Riquer, Barcelona 1943. Hay nueva edici´on: Madrid, Ediciones Turner, 1977) RM = Ausgabe des Don Quijote: La Lectura, Cl´asicos Castellanos; Imprenta de la Revista de Archivos; Patronato del IV Centenario de Cervantes, Ediciones Atlas (Rodr´ıgues Mar´ın) Madrid 1911–49 Gekommen bin ich auf das Ganze durch eine Stelle bei F. Klein (1933, S. 81). Dort steht: K¨ astner hat u ¨ brigens sehr anregend geschrieben, hat er sich doch ” auch als Epigrammatiker in der Literatur einen bekannten Namen erworben. So verbreitet er sich, um ein Beispiel f¨ ur viele anzuf¨ uhren, in der Einleitung des eben erw¨ahnten Bandes u ¨ber den Ursprung des Wortes Algebra, das ja, wie der Artikel ,Al‘ anzeigt, aus dem Arabischen kommt. Ein Algebrist soll nach K¨ astner ein Mann sein, der Br¨ uche ,ganz macht‘, also etwa rationale Funktionen behandelt und auf einen Nenner bringt usw.; urspr¨ unglich soll sich das auch auf die T¨ atigkeit eines Wundarztes bezogen haben, der gebrochene Knochen heilt. K¨ astner f¨ uhrt daf¨ ur den Don Quichote an, der zu einem Algebristen geht, um sich seine Rippenbr¨ uche wieder einrenken zu lassen; ob sich Cervantes freilich damit wirklich dem Sprachgebrauch anschließt oder ob nur eine Satire in der Stelle liegt, mag unentschieden bleiben.“ Ich suchte in meinem Don Quijote vergeblich nach einer Stelle, wo Don Quijote mit gebrochenen Rippen zu einem Wundarzt ging. Kein Wunder, nicht er, sondern der Spiegelritter suchte ihn wegen seiner gebrochenen Rippen auf. Ich fand die Stelle erst u ¨ ber das k¨ astnersche Buch. Die Qualit¨ at des kleinschen Zitates l¨ asst sehr zu w¨ unschen u ¨brig. Was die Satire anbelangt, so sei hier nachdr¨ ucklich gesagt, dass al-jabre wirklich Einrenken eines gebrochenen Knochens heißt. Als ich einen irakischen Doktoranden einmal nach diesem Worte fragte, griff er sich spontan mit der rechten Hand an den linken Ellenbogen. Das sagte mir mehr als genug. Die Silbe Al in Algebra ist der arabische Artikel. Daher ist es nicht verwunderlich, in der Literatur statt des Wortes Algebra auch das Wort Gebra zu finden. Ich

2. Quadratische Gleichungen

345

¨ fand es in der lateinischen Ubersetzung des Briefes von Ahmed ibn Yussuf u ¨ ber Proportionen (Schrader 1961, S. 61). 2. Quadratische Gleichungen. Fl¨ achenanlegungen, wie sie in Buch VI und auch in Buch II der Elemente untersucht werden, l¨ osen, so sie in unsere Sprache u ¨ bersetzt werden, Gleichungen zweiten Grades, wie wir gesehen haben. Solchen Gleichungen wollen wir uns jetzt zuwenden. Sie bilden den einfachsten Fall algebraischer Gleichungen, um deren L¨ osungen lange, lange Zeit gerungen wurde, bis Ende des 18., Anfang des 19. Jahrhunderts dann erkannt wurde, dass Gleichungen vom f¨ unften und h¨ oheren Grade in der Regel nicht durch Radikale l¨osbar sind, wie man zuvor hoffte. Elfhundert Jahre nach Euklid schrieb Al-Hwarizmi seine Algebra und Almu” chabala“. In diesem Buch ging er ausf¨ uhrlich auf quadratische Gleichungen ein und es war dieser Teil des Buches, der im 12. Jahrhundert von Gerhard von Cremona und Robert von Chester ins Lateinische u ¨bersetzt wurde. Ich bediene mich hier ¨ der von Karpinski 1915 herausgegebenen Ubersetzung von Robert von Chester, die dieser im Jahre 1145 in Segovia angefertigt hat. Diese Ausgabe ist mir deshalb lieb, ¨ weil sie auch eine englische Ubersetzung enth¨alt. Sie enth¨ alt ferner ein lateinischenglisches Glossar, was dem n¨ utzlich sein mag, der einmal einen mathematischen Text aus dem Mittelalter lesen m¨ochte. Es ist n¨ amlich schwierig, außerhalb einer Schule Anschluss an eine offenbar vor allem m¨ undlich weitergereichte Tradition mittelalterlichen, mathematischen Vokabulars zu gewinnen, so dass man f¨ ur jedes bisschen Information dankbar sein muss. Die von Karpinski besorgte Edition wird von Hughes (1989, S. 9) kritisiert. Der Vorwurf ist, dass er ihr ein aus dem 16. Jahrhundert stammendes, revidiertes ¨ Manuskript der Ubersetzung Roberts von Chester zugrunde gelegt hat. Der revidierte Text stammt von Johann Scheubel (1494–1570), der in T¨ ubingen und W¨ urzburg Professor der Mathematik war. Ich habe die Texte immer wieder einmal miteinander verglichen und fand keine wesentlichen inhaltlichen Unterschiede. Karpinskis Edition enth¨ alt jedoch noch einen Anhang, der offenbar von Scheubl hinzugef¨ ugt wurde. Hughes’ op. cit. enth¨ alt auch ein kurzes lateinisch-englisches Glossar auf den Seiten 20 und 21. Drei Arten von Zahlen kommen in quadratischen Gleichungen vor, n¨ amlich Quadrate, Wurzeln und Zahlen. F¨ ur Quadrat benutzt Robert von Chester das Wort substantia, Wurzel heißt bei ihm radix und Zahl nat¨ urlich numerus. Bei Fibonacci heißt das Quadrat census oder quadratus oder auch potentia. Wie wir in Abschnitt 9 von Kapitel 3 schon erw¨ ahnten, wird eine quadratische Gleichung aufgefasst als eine lineare Gleichung zwischen Quadrat, Wurzel und Zahl. Die drei einfachsten Typen von quadratischen Gleichungen sind also ax2 = bx ax2 = c bx = c.

346

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Hierzu ist zun¨achst zu bemerken, dass zur damaligen Zeit Gr¨ oßen stets positiv waren und auf beiden Seiten einer Gleichung nur positive Glieder zu stehen hatten. Daher gibt es insgesamt sechs Typen von quadratischen Gleichungen, von denen wir die drei einfachsten notiert haben. Ferner ist zu bemerken, dass die Koeffizienten a, b und c nicht explizit vorkommen, sondern durch den Plural angedeutet werden. Im lateinischen Text heißt es n¨ amlich (der Text — nicht der Sinn — der hughesschen Edition weicht hier und auch sp¨ ater erheblich ab) Substantiae radices coaequant Substantiae numeros coaequant, et Radices numeros coaequant. Es folgen Beispiele f¨ ur diese drei Typen von Gleichungen. Das erste lautet x2 = 5x mit der L¨ osung x = 5. Das zweite Beispiel ist 1 2 x = 4x 3 mit der L¨ osung x = 12. Das dritte Beispiel f¨ ur eine Gleichung vom ersten Typ ist 5x2 = 10x mit der L¨ osung x = 2. Man beachte, dass die Null nicht als L¨ osung angesehen wird. F¨ ur den zweiten Gleichungstyp gibt es wiederum drei Beispiele. Die Normalform ist x2 = 9. Hier ist x = 3. Dann wird betont, dass man die Gleichung immer auf Normalform bringen, dh., dass man daf¨ ur Sorge tragen sollte, dass der Koeffizient bei x2 eins sei. Zwei Beispiele dieser Art haben wir bei der Behandlung des ersten Typs schon gesehen. Es folgen noch 5x2 = 80, 1 2 x = 18 2 osungen x = 4 und x = 6. mit den Normalformen x2 = 16 und x2 = 36 und den L¨ Der dritte Typ ist eine lineare Gleichung. Auch f¨ ur ihn gibt es drei Beispiele, n¨ amlich x = 3, 4x = 20 und 12 x = 10 mit den L¨ osungen x = 3, x = 5, x = 20 und den Quadraten 9, 25 und 400, die ausdr¨ ucklich erw¨ ahnt werden. Es folgen die Typen, bei denen Quadrat, Wurzel und bloße Zahl alle vorkommen. Von diesen drei Gr¨ oßen steht genau eine allein etwa auf der rechten Seite der Gleichung. Also gibt es auch hier genau drei Typen. Al-Hwarizmi argumentiert jedoch

2. Quadratische Gleichungen

347

nicht so. Er schreibt die sechs Typen einfach hin, ohne u ¨ber die Vollst¨andigkeit der Liste ein Wort zu verlieren. Die drei noch fehlenden sind die folgenden: Substantia et radices numeros coaequant Substantia et numeri radices coaequant, et Radices et numeri substantiam coaequant. Hier steht substantia stets im Singular, so dass die Gleichungen schon in Normalform sind. In unserer Schreibweise gilt also x2 + bx = c, x2 + c = bx, bx + c = x2 . Das erste Beispiel lautet x2 + 10x = 39. Anhand dieses Beispiels wird nun vorgef¨ uhrt, wie eine Gleichung dieses Typs gel¨ost wird. Nimm die H¨alfte der Wurzeln, im vorliegenden Falle also 5. Multipliziere dies mit sich selbst, was 25 ergibt. Dies addiere zu 39. Das Resultalt ist 64. Von dem Ergebnis nehme die Quadratwurzel. Sie ist 8. Hiervon subtrahiere die H¨alfte der Wurzeln, dh. 5. Es bleiben 3. Dies ist eine der Wurzeln und 9 ist das Quadrat. Hieraus muss der Leser also entnehmen, dass im Allgemeinen   2 b b +c− x= 2 2 ist. Bevor diese L¨osungsformel und die der anderen Typen als notwendig erkannt werden, werden weitere Beispiele gerechnet. So wird f¨ ur den vierten Typ noch das Beispiel 1 2 x + 5x = 28 2 vorgef¨ uhrt. Hier ergibt sich wieder die Gelegenheit, die Gleichung auf Normalgestalt zu bringen. Es wird also erst mit 2 multipliziert und dann das soeben vorgestellte Verfahren angewandt. F¨ ur den f¨ unften Gleichungstyp wird das Beispiel x2 + 21 = 10x vorgef¨ uhrt. Hier wird wieder die Zahl der Wurzeln durch 2 geteilt, was im vorliegenden Falle 5 ergibt. Im Text steht jedoch nicht die Zahl“, vielmehr steht ” dort . . . , vt radices primum per medium diuidas, et veniunt in hoc casu 5, . . . . Dies w¨ ortlich zu u ¨ bersetzen, bedeutete Verwirrung f¨ ur den Unge¨ ubten. Es sinngem¨aß zu interpretieren, bedeutet Verlust an Pr¨ azision. Wie auch immer man sich entscheidet, man trifft nicht das Richtige.

348

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Es wird also die Zahl der Wurzeln durch 2 dividiert. Die sich ergebende 5 wird quadriert und von dem Resultat 25 die 21 subtrahiert. Es bleiben 4. Daraus die Wurzel gibt 2. Dies wird von der H¨ alfte der Wurzeln also 5 subtrahiert. Das ergibt 3 als L¨osung der gegebenen Gleichung. Als weitere L¨osung ergibt sich aber auch 5 + 2 = 7. Die Gleichung des Typs x2 + c = bx hat also die L¨ osungen b x= + 2

  2 b −c 2

b x= − 2

  2 b −c 2

und

oder aber keine, wie wir sofort sehen, jedenfalls keine reelle. Dies wird auch von AlHwarizmi bemerkt. Wenn das Quadrat von 2b kleiner sei als c, so habe man keine Aufgabe (quaestio), wenn gleich, so sei 2b die Wurzel. Es werde nichts hinzugef¨ ugt noch etwas abgezogen. Es folgt noch ein Beispiel f¨ ur die Gleichung des sechsten Typs. Es lautet 3x + 4 = x2 . Hier wird 3 durch 2 dividiert, ergibt anderthalb. W¨ ortlich steht da: . . . et venit vnum et alterius medietas, das ist: . . . und es kommt heraus eins und des An” deren H¨ alfte.“ Quadriert ist dies 2 14 . Dies wird zu 4 addiert, macht 6 41 . Davon die 1 Quadratwurzel ist 2 2 . Dazu die H¨ alfte der Wurzeln ergibt 4. Dies ist die Wurzel und 16 ist das Quadrat. Es ist somit   2 b b x= +c+ 2 2 die L¨ osung der Gleichung vom sechsten Typ. Dann wird noch einmal gesagt, dass man den Koeffizienten beim Quadrat zu eins machen solle und dass bei den letzten drei Typen der Koeffizient bei der Wurzel halbiert werde. A propos eins und des Anderen H¨ alfte, dh., anderthalb. In Goethes Das r¨o” mische Carneval“ (Goethe 1995, Ss. 9 und 13) fand ich, dass der Corso, das ist in Rom die Straße, die vom Palazzo Venetia zur Piazza del Popolo geht, viertehalbtausend Schritte lang sei. Vom Palio, der Troph¨ ae der Pferderennen beim r¨ omischen Karneval, sagt er, sie sei drittehalb Ellen lang. Ich vermutete, dass hier von 3500 Schritt und 2 21 Ellen die Rede sei und diese Vermutung wurde vom grimmschen W¨orterbuch best¨ atigt: Eine Ordinalzahl mit angeh¨ angtem halb

2. Quadratische Gleichungen

349

bedeutet, dass diese Ordinalzahl nur noch zur H¨ alfte zu nehmen sei. Unter den Eintr¨ agen halb“ und viertehalb“ finden sich etliche Belege, darunter recht alte, ” ” f¨ ur diese Wortbildung. Heute scheint sich nur noch das Anderthalb erhalten zu haben, wenn man von Leuten absieht, denen Sprache Beruf ist. Ich fand n¨ amlich die W¨ orter dritthalb und f¨ unfthalb in einer aus dem Jahre 1938 stammenden ¨ deutschen Ubersetzung von Swifts Gullivers Reisen (Swift 1960, S. 106 und 158). Das ließ mich sofort fragen, ob auch das Englische eine a¨hnliche Konstruktion gestatte. Doch die von Harold Williams besorgte englische Ausgabe von Gullivers ” Reisen“ lieferte im ersten Falle two and a half“ und im anderen four Days and ” ” an Half“ (Swift 1965, S. 112 und 162). Hat der Herausgeber hier eingegriffen? Es scheint nicht so zu sein. Meine weiteren Nachforschungen, ob das Englische eine entsprechende Zahlwortbildung hat, verliefen alle im Sande. Bei diesen Nachforschungen erhielt ich aber einen Hinweis auf Herodots Historien. Dort findet sich die in diesem Zusammenhang hoch interessante Stelle (Herodot I.50.3):                  ! " #  # !  $ % &   ' ( #" )  *+ , -.   %  / 0#" &/  "  1 ( 2  & *+ 3  ( 

Dies heißt: Er (Kroisos. Anm. HL.) ließ auch eine L¨ owenfigur aus reinem Gold anfertigen, ” zehn Talente schwer. Als der Tempel in Delphi niederbrannte, fiel dieser L¨ owe von den Ziegeln herab, auf denen er ruhte. Jetzt steht er im Schatzhaus der Korinther und wiegt nur noch siebthalb Talente. Vierthalb Talente sind abgeschmolzen.“ ¨ Ich habe die Ubersetzung dahingehend abge¨ andert, dass ich dem Original folgend siebthalb (1 ( ) und vierthalb ( ( ) habe, ¨ wo in der Ubersetzung sechseinhalb und dreieinhalb steht. Die gleiche Konstruktion kommt auch noch in I.50.2 und I.51.2 vor. An der ersten Stelle heißt es # (  also dritthalb Talente, und an der zweiten 4 (   5 6   Das sind neunthalb Talente und noch zw¨olf Minen. Das Griechische kannte also auch diese Art der Zahlwortbildung. Die r¨ omische M¨ unze Sesterze“ ist das Dritthalb“, n¨ amlich zweieinhalb As. Der ” ” Leser schaue in einem Latein-Lexikon das Stichwort sesqui und seine Verbindungen nach. Er wird Faszinierendes entdecken. Das Wort vierthalben“ findet sich in Das Bamberger Rechenbuch von 1483“ ” ¨ ” auf den Seiten 126 bis 142 immer als Uberschrift: Golt zu vierthalben gulten.“ ” F¨ unftehalb auch im dreizehnten Kapitel von Theodor Fontanes Unterm Birn” baum“: Und der Keller ist auch wirklich nicht hoch genug (ich glaube keine ” f¨ unftehalb Fuß) und die Fenster viel zu klein.“ Fontanes Erz¨ ahlung erschien erstmals 1885. Dritthalb auch in von Bibra 1855, S. 215: Dritthalb Stunden nach der ersten ” Dosis wurden meine Lebensgeister merklich angeregt.“ Hier ist von Opium die Rede.

350

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Viele Belege fand ich schließlich in Adam Riesens zweitem Rechenbuch: Anderthalben, dritthalben, vierdthalben, f¨ unffthalben, sechsthalben, achthalben und zehenthalben (Ries 1574/1978). Die d¨ anische Z¨ahlreihe benutzt diese Art der Zahlwortbildung zusammen mit der Zwanzigerb¨ undelung, um Zahlw¨ orter f¨ ur die Zahlen 50, 70 und 90 zu bilden: 50 = halvtredsindstyve, 70 = halvfjerdsindstyve, 90 = halvfemsindstyve. Es ist also 50 gleich dritthalb-in-zwanzig, 70 gleich vierthalb-in-zwanzig und 90 gleich f¨ unfthalb-in-zwanzig, wobei tyve“ f¨ ur zwanzig steht. ” Soviel zum Anderthalb. Die Geschichte der halb-Zahlw¨ orter der deutschen Sprache findet der Leser in Boeters 2006. Nachdem die sechs Typen von quadratischen Gleichungen vorgestellt und die L¨osungsverfahren an Hand von Beispielen erl¨autert sind, werden die L¨ osungsverfahren nun geometrisch verifiziert. So wird jedenfalls behauptet. In Wirklichkeit werden die L¨ osungsverfahren nur verifiziert unter der Voraussetzung, dass es eine L¨osung gibt. Es wird also gezeigt, dass es h¨ochstens die angegebenen L¨ osungen gibt. Aber auch das ist problematisch, wie wir wissen, da es zu Al-Hwarizmis Zeit keine Begr¨ undung daf¨ ur gab, dass man Strecken und Fl¨ achen mit Zahlen identifizieren kann. Die Formeln so zu verifizieren, wie wir das tun, ist hier nat¨ urlich genauso problematisch, da es auch keine Begr¨ undung des Zahlensystems gab. Ich finde es erstaunlich, wie robust Mathematik ist, dass sie auch unpr¨ azises Argumentieren toleriert, dass die alten Ergebnisse immer noch g¨ ultig sind. Was in Al-Hwarizmis Algebra geschieht, ist im Grunde ein Schritt zur¨ uck hinter Euklid und seine Pr¨ azision. Es ist aber auch ein Schritt vorw¨ arts hin zu der heutigen Mathematik. Euklids Pr¨ azision, so scheint mir, wurde erst wieder im 19. Jahrhundert erreicht und u ¨bertroffen, so ungeheuer auch der Aufschwung der Mathematik in der Zwischenzeit war. Die L¨osungen der Gleichungen der ersten drei Typen verstehen sich von selbst, wenn man davon absieht, wie die Wurzel aus einem Nicht-Quadrat zu ziehen ist. Dieses Problem hat man aber auch bei den restlichen drei Typen. Geometrisch wird es mit Hilfe der mittleren Proportionalen gel¨ ost, wie wir wissen. Zuerst wird die L¨ osungsformel f¨ ur die Gleichung vom vierten Typ diskutiert. AlHwarizmi sagt, dass er sie bewiese, und die Historiker, die ich bislang konsultierte, folgen ihm darin. Was Al-Hwarizmi aber tut, ist nur, dass er zeigt, dass eine L¨osung, so sie existiert, die genannte Form hat. Nur im Fall der Gleichung des f¨ unften Typs sagt er, dass in gewissen F¨allen — wenn n¨ amlich, wie wir sagen, die Diskriminante kleiner als Null ist —, keine Aufgabe vorl¨ age. Ansonsten a¨ußert er sich nicht zur Frage der Existenz der L¨ osung. Die Existenz von L¨ osungen scheint ihm in allen anderen F¨ allen selbstverst¨andlich zu sein. Man denke sich ein Quadrat mit der Seite x. (Hier wird die Existenz der L¨ osung vorausgesetzt.) An dieses lege man vier Rechtecke mit dem Inhalt 4b x an. Dann hat das Kreuz den Inhalt b 4 · x + x2 = bx + x2 = c. 4

2. Quadratische Gleichungen

351

Erg¨ anze das Kreuz zu einem Quadrat. Die vier Eckfiguren sind Quadrate mit dem alt also ein Quadrat mit der Seite Inhalt ( 4b )2 . Man erh¨ x+ und dem Inhalt c+4·

b 2

 2  2 b b =c+ . 4 2 

Also ist b x+ = 2

 2 b c+ . 2

Hieraus folgt die G¨ ultigkeit der L¨ osungsformel. Es wird noch ein zweiter Beweis f¨ ur die G¨ ultigkeit der L¨ osungsformel gegeben, den ich u ¨ bergehe. osungsforAls N¨achstes geht es um die Gleichung x2 + c = bx. Hier lauten die L¨ meln   2 b b x= + −c 2 2 und b x= − 2

  2 b − c. 2

Ihre G¨ ultigkeit, falls es u ¨ berhaupt L¨ osungen gibt, wird folgendermaßen nachgewiesen. Zun¨achst wird stillschweigend angenommen, dass x > 2b ist. Dies ist der Fall der zweiten Gleichung. Es wird dann wieder ein Quadrat des Inhalts x2 betrachtet. Zwei seiner Seiten seien AH und HB. An die von HB verschiedene Seite durch B wird ein Rechteck mit dem Inhalt c angelegt. Der auf HB liegende Eckpunkt des Rechtecks sei D und BG sei eine Diagonale des Rechtecks. Der Inhalt des gesamten Rechtecks aus Quadrat und angef¨ ugtem Rechteck ist HD · x = x2 + c = bx, so dass HD = b ist. Halbiere HD im Punkte E. Im Punkt E wird die Senkrechte errichtet und ihr Schnittpunkt mit AG als T bezeichnet. ET ist dann gleich HA, dh. gleich x. Die Strecke ET wird u ¨ber E hinaus verl¨ angert, so dass T E+EC = T C gleich ED wird. Man ziehe durch C die Parallele zu EB und verl¨ angere GD u ¨ ber D hinaus. Auf diese Weise erh¨ alt man das Quadrat T CLG. W¨ ahle N auf ED und M auf CL, so dass CM N E ein Quadrat ist. Das Quadrat q(T C, CL) ist gleich ( 2b )2 . Ferner folgt, dass LM = T E = x ist. Außerdem ist x + DL = GL = HE = x + BE

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

und folglich BE = DL. Also ist r(ET, EB) = r(LM, DL). Es ist

  b b r(T E, ED) + r(LM, DL) = x + x −x =c 2 2

und daher q(T G) − r(T E, ED) − r(LM, DL) =

 2 b − c. 2

Andererseits ist das, was u ¨ brig bleibt, gleich q(EC). Folglich ist   2 b − c. EC = 2 Nun ist aber

b = x + BE = x + EC 2

und daher b x= − 2

  2 b − c. 2

Der Beweis der ersten Formel, bei der x > 2b ist, wird nur kurz angedeutet. Es bleibt die L¨ osungsformel   2 b b +c+ x= 2 2 f¨ ur die Gleichung bx + c = x2 zu verifizieren, wobei auch hier wieder die Existenz der L¨osung vorausgesetzt wird. Er beginnt n¨ amlich mit einem Quadrat ABCD des Inhalts x2 . Dieses ist andererseits gleich bx + c. Offenbar ist b < x, was Al-Hwarizmi nicht anmerkt, so dass b auf der Strecke AD vom Punkte A aus abgetragen werden kann. Dies ergebe den Punkt E, durch den die Parallele zu AB gezogen werde, die BC in F treffen m¨oge. Das Rechteck EF CD hat dann den Inhalt c. Die Strecke AE wird in G halbiert. ¨ Uber GE konstruiere man das Quadrat GELK, wobei dies so geschehe, dass L angere zwischen E und F liege. Dieses Quadrat hat dann den Inhalt ( 2b )2 . Man verl¨ GK u ¨ ber K hinaus bis zum Punkte M , so dass GM = GD = x − 2b ist. Schließlich vervollst¨andige man DGM zum Quadrat DGM O. Dieses hat den Inhalt (x − 2b )2 . Der Schnittpunkt von M O mit EF sei N . Nun ist aber KM = x −

b b − = x − b = N O. 2 2

2. Quadratische Gleichungen Ferner ist

353

  b b NF = x − x − = = M N. 2 2

Daher ist N OCF = KLM N und folglich c = EDON + KLN M. Also ist

 x−

Hieraus folgt

b 2

2 =

 2 b + c. 2

  2 b b x= +c+ . 2 2

Es sei hier noch einmal ausdr¨ ucklich gesagt, dass ich nirgendwo erw¨ahnt fand, dass Al-Hwarizmi nur beweist, dass es keine anderen L¨osungen gibt als die angegebenen. Dass die angegebenen L¨osungen wirklich immer L¨ osungen sind, wird nicht bewiesen. In Fibonaccis liber abbaci geschieht das Gleiche. Die Einzigkeit der L¨osung wird geometrisch bewiesen, die Existenz bleibt offen. Dies ist mir bei der ersten Lekt¨ ure entgangen. Es sei hier also nachgetragen. Dass einem solche Feinheiten entgehen, liegt wohl daran, dass man quadratische Gleichungen in- und auswendig kennt, so dass die Aufmerksamkeit beim Lesen nachl¨ asst, insbesondere dann, wenn der Text lateinisch geschrieben ist. Nicht genug hinweisen kann man auch auf den Gebrauch der Zahlen: Sowohl Strecken(l¨ angen) wie Fl¨ achen(inhalte) werden mit ihnen identifiziert. Das alles ganz naiv. Bevor nun Aufgaben gerechnet werden, wird noch einiges an Handwerkszeug bereit gestellt. Es geht dabei um die Frage, wie man zwei Ausdr¨ ucke der Form a + b bzw. a − b miteinander multipliziert. Es geht also vor allem um die Zeichenregeln, aber auch um die Frage, wie sich a und b multiplizieren, wenn eine der beiden oder beide Vielfache von Unbekannten sind. Bevor aber Binome abgehandelt werden, heißt es: In primis ergo sciendum est, quod numerus cum numero multiplicari non possit, nisi cum numerus multiplicandus toties sumatur, quoties in numero cum quo ipsi multiplicatur, vnitas reperitur, dh.: Zun¨ achst aber muss ” man wissen, dass eine Zahl mit einer Zahl nur multipliziert werden kann, indem die zu multiplizierende Zahl sooft aufaddiert wird, wie in der Zahl, mit der sie multipliziert wird, die Eins vorkommt.“ Diese Definition deckt aber allenfalls die Multiplikation von positiven rationalen Zahlen.

354

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Dann werden wirklich die folgenden vier Formeln verbal abgehandelt: (a + b)(c + d) = ac + bd + ad + bc (a − b)(c − d) = ac + bd − ad − bc (a − b)(c + d) = ac − bd + ad − bc (a + b)(c − d) = ac − bd − ad + bc. Bewiesen wird nichts. Die folgenden Beispiele werden gerechnet: (10 + 2)(10 + 1) = 100 + 20 + 10 + 2 = 132 (10 − 2)(10 − 1) = 100 − 20 − 10 + 2 = 72 (10 + 2)(10 − 1) = 100 + 20 − 10 − 2 = 108 und entsprechend mit Br¨ uchen  1+  1−

 1 1+ 6  1 1− 6

 1 =1+ 6  1 =1− 6

1 1 + 3 36 1 2 1 1 + = + . 3 36 3 36

Die zweite M¨oglichkeit, die linke Seite auszurechnen, um herauszufinden, ob wirklich das Gleiche herauskommt, wird nicht wahrgenommen. Dann wird gerechnet (x + 10)(x + 10) = x2 + 20x + 100 (x − 10)(x − 10) = x2 − 20x + 100. F¨ ur die letzte Formel sei die lateinische Version hier abgedruckt, damit der Leser einen Eindruck gewinnt, wie schwerf¨ allig der algebraische Apparat damals noch war. Similiter res sine 10 cum re sine 10: dic res cum re substantiam producit; sine 10 vero cum re 10 res producit diminuendas. Item res cum re 10 res diminuendas; sine 10 vero cum sine 10 100 ex numeris addendas procreant. Vnde totum multiplicationis productum ad 1 substantiam sine 20 radicibus, additis vero ex numeris 100, sese extendit. (Karpinski, 1915, S. 94/95.) Im zweiten Satz m¨ usste es Item sine 10 cum re 10 res diminuendas heißen. Dies hat auch schon Karpinski bemerkt. Res entspricht unserem x und substantia ist das Quadrat von res, also unser x2 . Das W¨ortchen sine wird wie ein Vorzeichen behandelt. Außerdem taucht das Wort multiplicationis productum auf, das Ergebnis der Multiplikation. Dieses Wort oder auch nur die Kurzfassung productum kommt sehr h¨ aufig vor. Es wird aber auch immer wieder, wenn auch weniger h¨ aufig, multiplicationis summa f¨ ur das Ergebnis einer Multiplikation benutzt. In der hughesschen Edition findet sich nur der zweite

2. Quadratische Gleichungen

355

Ausdruck. Laut Tropfke (1980, S. 226) benutzte schon Johannes de Sacrobosco im 13. Jahrhundert productum als Fachausdruck f¨ ur das Ergebnis einer Multiplikation. Auch bei den noch folgenden Beispielen werden immer wieder Situationen vorweggenommen, die sich bei den sp¨ ateren Aufgaben ergeben werden. (10 − x)10 = 100 − 10x (10 + x)10 = 100 + 10x (10 − x)(10 + x) = 100 − 10x + 10x − x2 = 100 − x2 (10 − x)x = 10x − x2 (10 + x)(x − 10) = 10x + x2 − 100 − 10x = x2 − 100 (10 + 12 x)( 12 − 5x) = 5 + 14 x − 50x + 52 x2 = 5 − 49 43 + 2 21 x2 (10 + x)(x − 10) = 10x − 100 + x2 − 10x = x2 − 100. Als N¨achstes wird, wieder ohne Beweis, die Regel √ √ k l = k2 l erl¨autert. Dies geschieht an Hand der Beispiele k := 2, 3, 12 und l = 9. Bei dem Beispiel mit 12 wird gesagt: Natura enim numeri hoc exigit, vt quemadmodum in numeris integris multiplicatur, it etiam et in numeris diminutis, hoc est in fractionibus. Hier wird von ganzen Zahlen gesprochen und Br¨ uche werden Zahlen genannt. Solche Belege interessieren uns ja im Zusammenhang mit der Entwicklung des Zahlbegriffs. √ √ √ √ √ √ Ferner werden noch die Regeln k : l = k : l und k l = kl vorgestellt. Alles ohne Beweise. Und nun folgt der Aufgabenteil. Zuerst wird zu jedem Gleichungstyp eine Aufgabe gerechnet. Dann folgen sechzehn weitere Aufgaben. Hier zun¨ achst die ersten sechs Aufgaben. andlich b aus der ersten 1. Es sei a + b = 10 und 4ab = a2 . Es wird umst¨ Gleichung ausgerechnet, b = 10 − a, und in die zweite Gleichung eingesetzt. Dies ergibt 4a(10 − a) = a2 . Hieraus folgt 40a = 5a2 und weiter 8a = a2 und damit a = 8 und b = 2. 2. Es sei a + b = 10 und 100 = 2a2 + 79 a2 . Es ist also a2 = 9 · 4 und folglich a = 6 und b = 4. 3. Es sei a + b = 10 und ab = 4. Hier wird wieder ungeschickt angefangen und a = 10 − b in die zweite Gleichung eingesetzt. Es folgt die Gleichung 10 = 5b, so dass b = 2 und a = 8 ist. 4. Gesucht r mit ( 13 r + 1)( 14 r + 1) = 20. Dies wird mit den zuvor gelernten Regeln umgeformt zu 12 · 16 r2 + ( 13 + 14 )r = 19. Nun steht im Text: Jam ergo substantiam compleas, das ist, nun m¨ ogest du das Quadrat vervollst¨ andigen.“ ” Von diesem kommt in der Gleichung ja nur ein Zw¨olftel vor, so dass es wieder

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

aufgef¨ ullt werden muss. Dies geschieht, indem die Gleichung mit 12 multipliziert wird. Herauskommt die Gleichung r2 + 7r = 228. Dies ist eine Gleichung vom Typ IV. Sie wird nun nach der eingangs aufgestellten Regel gel¨ost. Herauskommt r = 12. 5. Es sei a + b = 10 und a2 + b2 = 58. Hier wird 10 − a f¨ ur b in die zweite Gleichung eingesetzt. Nach einigen Umformungen erh¨ alt man die Gleichung a2 + 21 = 10a. Diese Gleichung war der Prototyp einer Gleichung vom Typ V. Sie wird hier noch einmal gel¨ost, wobei nur die kleinere L¨ osung ber¨ ucksichtigt wird. Es wird also a = 3 errechnet. Dann ist b = 7. Dies ist nat¨ urlich die zweite L¨ osung der Gleichung. Darauf wird aber nicht hingewiesen. 6. Gesucht ist r mit 13 r · 14 r = r + 24. Hier ergibt sich die Standardform r2 = 12r + 288 mit der L¨ osung r = 24. Es kommen sechzehn weitere Aufgaben, die auf quadratische Gleichungen f¨ uhren. Zun¨ achst folgen vier Aufgaben, bei denen a und b gesucht sind mit 10 = a + b unter den Nebenbedingungen ab = 21, a2 − b2 = 40, a2 + b2 + b − a = 54, bzw. a2 = 81b, wobei bei der dritten b > a vorauszusetzen ist. Bei diesen Aufgaben sind alle L¨osungen ganzzahlig. Bei der f¨ unften Aufgabe ist zwar von zwei substantiis die Rede, deren Differenz zwei und deren Quotient ein halb sei, doch dann wird sofort von rebus gesprochen. Die Aufgabe ist in der Tat linear. Die n¨achste Aufgabe ist sogar kubisch aber dennoch sehr simpel. Es ist n¨ amlich ein x gesucht mit x2 x = 3x2 . Bei der siebten Aufgabe ist ein x gesucht mit 3x · 4x = x2 + 44. Es wird x2 = 4 berechnet und u ¨ ber x nichts mehr gesagt. Bei der achten Aufgabe ist ein x gesucht mit 4x · 5x = 2x2 + 36. Hier ist x2 = 2. Von der Wurzel wird nicht geredet. √ Dann ist ein x gesucht mit x · 4x = 3x2 + 50. Hier ist x2 = 50 und x = 50. Hier wird die Wurzel aus 50 explizit erw¨ ahnt.

2. Quadratische Gleichungen

357

Bei der n¨achsten Aufgabe kommt die Wurzel aus substantiae nicht explizit vor. uhrt auf die Gleichung Es ist also ein s gesucht mit (s − 13 s − 3)2 = s. Dies f¨ s2 + 20

1 1 = 11 s. 4 4

W¨ ahrend bislang alle Rechnungen vorgef¨ uhrt wurden, heißt es nun: Operare igitur cum eis quemadmodum in meditatione radicis tibi diximus, dh., verfahre nun mit ” diesen, wie wir es dir im Kapitel u ¨ ber die Wurzel gesagt haben.“ Die L¨ osung wird nicht angegeben. Die elfte Aufgabe sucht wieder ein s mit 13 s · 14 s = s. Hier ist s = 12. ¨ Bei der zw¨olften Aufgabe ist bei der Ubersetzung aus dem Arabischen einiges schief gelaufen, wie Karpinski bemerkt (Karpinski 1915, S. 119, Fußnote 1), je¨ denfalls bei der Ubersetzung Robert von Chesters. In Gerhard von Cremonas ¨ Ubersetzung (Libri 1967, Bd. I, S. 285) zeigt sich, dass die Aufgabe darauf hinausl¨ auft, dass ein x gesucht ist mit 1 21 = 2x. 1+x Es folgt x = 12 . Die dreizehnte Aufgabe verlangt ein x2 zu finden mit x2 · 23 x2 = 5. Interpretiert wird diese Aufgabe als 23 y 2 = 5 mit der L¨osung y 2 = 7 21 . Von der Wurzel wird nicht geredet, schon gar nicht von der vierten. 1 Nun wird eine nat¨ urliche Zahl n gesucht mit n+1 = n1 − 16 . Dies ist eine anspruchsvolle Aufgabe innerhalb der rhetorischen Algebra. Die L¨ osung ist n = 2. Bei der f¨ unfzehnten Aufgabe wird ein x gesucht mit 13 (x2 − 4x) = 4x. Hier ist x = 16 und x2 = 256. Schließlich ist noch ein x zu bestimmen mit (x2 −3x)2 = x2 . Hier folgt x2 −3x = x und damit x = 4. Hierbei ist wieder zu beachten, dass zu Al-Hwarizmis Zeiten von negativen Zahlen noch keine Rede war. Die L¨osungen der Aufgaben sind meist rational. Die irrationalen L¨ osungen, die vorkommen, sind alle so, dass ihre Quadrate rational sind. Diese werden dann √ anstelle der L¨osungen angegeben mit der Ausnahme von 50, was einmal ausdr¨ ucklich als L¨osung erw¨ahnt wird. Dies ist, gerafft, der Inhalt dessen, was im 12. Jahrhundert von Gerhard von Cremona und Robert von Chester aus der Algebra Al-Hwarizmis ins Lateinische u ¨ bersetzt wurde. Vierhundert Jahre nach Al-Hwarizmi hat sich bei Fibonacci an der Theorie nichts ge¨andert (Boncompagni 1857, S. 406–409). Fibonacci unterscheidet ebenfalls sechs Typen, von denen er die ersten drei einfach (simplices) und die restlichen zusammengesetzt (compositi) nennt. Die Typen V und VI tauschen in seiner Liste die Pl¨ atze, so dass der interessanteste Gleichungstyp, der auch nach damaligem Verst¨andnis zwei L¨osungen haben konnte, an die letzte Stelle r¨ uckte. Dies w¨ are

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

nat¨ urlich nur ein a¨ußerer Grund die Typen V und VI die Pl¨ atze tauschen zu lassen. Es gibt auch einen inneren Grund, n¨ amlich die Symmetrie der beiden Gleichungstypen x2 + bx = c x2 = bx + c, auf die wir gleich noch zu sprechen kommen. Ob Fibonacci sie gesehen hat, kann man nur vermuten. Auch an der Sprache hat sich noch nichts ge¨ andert. So lautet die Beschreibung der Gleichungen vom vierten Typ: . . . , et uolueris inuenire quantitatem census, qui cum datis radicibus equetur numero dato, sic facias: dh,. . . . , ” und wenn du das Quadrat ausrechnen willst, welches mit gegebenen Wurzeln einer gegebenen Zahl gleich ist, so tue:“ Bevor er die L¨osungsformeln angibt, beschreibt er ausf¨ uhrlich an Hand von Beispielen, wie man den Koeffizienten bei x2 zu eins normiert. Um die L¨osungsformel von Gleichungen des Typs x2 + bx = c zu erl¨autern, benutzt er wie Al-Hwarizmi die Gleichung x2 + 10x = 39. Hier ist x = 3, wie wir schon feststellten. Diese Gleichung hat f¨ ur uns noch eine zweite L¨osung, n¨ amlich x = −13. Hat Fibonacci das geahnt oder warum nimmt er zur Erl¨ auterung der L¨ osungsformel f¨ ur Gleichungen des Typs x2 = bx + c die Gleichung x2 = 10x + 39 und nicht die Gleichung x2 = 3x + 4, die Al-Hwarizmi nimmt? Ist n¨amlich x L¨osung von x2 + bx = c, so ist −x L¨osung von x2 = bx+ c. Ist ihm aufgefallen, dass 13−3 = 10 und 3·13 = 39 ist, dass also die Koeffizienten dieser beiden Gleichungen aufs engste mit den L¨ osungen verkn¨ upft sind? Er schweigt dazu, wenn auch das Ph¨ anomen noch an einer zweiten Stelle zu beobachten ist. Im Aufgabenteil wird n¨ amlich eine Aufgabe gestellt, bei der Zahlen a und b zu bestimmen sind, die die 10 1 ullen. F¨ ur diese Aufgabe gibt er zwei Gleichungen 10 = a + b und 10 a · b = 6 4 erf¨ L¨osungswege. Auf dem zweiten f¨ uhrt er ohne Kommentar die Unbekannte res ein, die wir mit r abk¨ urzen, und setzt a := 2 − r und b := 8 + r. Dann ist zumindest die erste Gleichung erf¨ ullt. Mittels der zweiten Gleichung ergibt sich 1 100 = 6 · (16 − 6r − r2 ). 4 Hier rechnet er nicht weiter, sondern sagt: et age secundem algebra, et inuenies, rem esse nichil; Er verweist also auf die Theorie und gibt die L¨ osung r = 0 an. Von

2. Quadratische Gleichungen

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der L¨osung r = −6 ist keine Rede. H¨alt man sich an die Anweisung age secundum algebra, so erh¨alt man die Gleichung r2 + 6r = 0 und damit r=

 32 + 0 − 3 = 0.

Hier setzt sich Fibonacci u ¨ ber zeitgen¨ ossische Ansichten hinweg, dass ein Widerspruch vorl¨ age, da ja etwas Positives nicht Nichts sein kann. Er schließt vielmehr r = 0 und a = 2, b = 8. Aber, er macht noch einen zweiten Ansatz n¨ amlich a := 2 + r und b := 8 − r. Er ersetzt also, um in unserer Sprache zu reden, r durch −r. Damit erh¨ alt er die Gleichung 1 100 = 6 · (16 + 6r − r2 ). 4 Nun sagt er wieder: Vnde cum agimus secundum algebra in hiis inuenimus, rem esse 6 . Folgt man wiederum der Aufforderung, gem¨ aß der Algebra zu verfahren, erh¨alt man nat¨ urlich die Gleichung r2 = 6r. Diese liefert die L¨osung r = 6. Es erscheint also noch einmal vage das Ph¨anomen, dass die Nullstellen der Gleichung x2 = bx + c durch Spiegelung der Nullstellen von x2 + bx = c am Nullpunkt erhalten werden. ¨ Uberlegen wir uns den Zusammenhang. Dazu sei u2 + bu = c und v 2 = bv + c mit u, v ∈ R+ . Dann ist v 2 − u2 − bu = bv und daher (v + u)(v − u) = b(v + u). Hieraus folgt b = v − u und v > u, da ja b > 0 ist. Ferner folgt c = u2 + (v − u)u = vu. Da die formale Seite der Mathematik zu Fibonaccis Zeiten noch nicht sehr weit entwickelt war, w¨are es sicherlich nicht einfach gewesen, diesen Zusammenhang darzustellen. In Fibonaccis liber abbaci findet sich kein Hinweis auf ihn. Fibonaccis sechster Typ von quadratischen Gleichungen ist die Gleichung x2 + c = bx. osungen 4 und 10. Hier behandelt er das Beispiel x2 + 40 = 14x mit den L¨ Nach dem theoretischen Teil folgen bei Fibonacci u ¨ ber hundert Aufgaben, die auf quadratische Gleichungen f¨ uhren. Diese sind vielfach von ganz anderem Kaliber

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

als die bei Al-Hwarizmi. Viele dieser Aufgaben — so Karpinski 1914 — hat er der Algebra des Abu Kamil (Ende des 9., Anfang des 10. Jahrhunderts) entnommen. Fibonacci erl¨ autert z. B. die Gleichung √ (20 + 8)x = 60 + x2 mit der L¨ osung

 √ x = 10 + 2 − 42 + 800. √ √ Dann werden a und b gesucht mit a = b + 5 und a 8 = b 10. Hier ist √

b=

 √ 900 + 800000.

√ Dabei beachtet Fibonacci, dass 9002 − 800000 = 1002 ist. Somit ist 900 + 800000 eine erste Binomiale und folglich  √ √ 900 + 800000 = 20 + 500. Man sieht hieran schon, wie selbstverst¨andlich Fibonacci mit Wurzelausdr¨ ucken rechnet, was implizit st¨ utzt, was auch explizit durch andere Belege klar wird, dass Fibonacci auch die irrationalen Zahlen zu den Zahlen rechnet. Weitere Einzelheiten zu diesem Thema findet der Leser in L¨ uneburg 1994. Es sei hier noch erw¨ ahnt, dass Abu Kamil zur Diskussion der zusammengesetzten Typen die gleichen Gleichungen verwendet wie Al-Hwarizmi und sie auch in der gleichen Reihenfolge diskutiert (Karpinski 1914). Quadratische Gleichungen lassen sich also durch einfache Ausdr¨ ucke in den Koeffizienten der Gleichungen l¨ osen, wobei neben Addition, Multiplikation und dem Halbieren noch das Quadratwurzelziehen als Operation hinzukommt. F¨ unf der sechs Typen haben stets eine positive L¨ osung. Der letzte Typ hat entweder keine oder eine oder zwei positive L¨osungen. Dies konnte man an den Koeffizienten ablesen, ohne die L¨osungen zu bestimmen. Dass man auch heute noch ein ganzes Buch u ¨ ber quadratische Gleichungen schreiben kann, sieht man an D¨orrie 1943. Dies war das erste Mathematikbuch, das mir unter die Finger kam, als ich Primaner war. Vieles in ihm habe ich damals nicht verstanden. Es ist ein anspruchsvolles Buch. 3. Die Berechnung von Wurzeln. Theoretisch ist nun v¨ ollig klar, wann quadratische Gleichungen L¨ osungen im Bereich der positiven reellen Zahlen haben, √ doch in den L¨ osungsformeln tauchen Zahlen der Form r auf, die der Astronom und der Ingenieur nicht auf den Skalen seiner Instrumente findet. Sie wollen diese Zahlen mit den Zahlen darstellen, die sie in ihrem Alltag benutzen, mit ganzen Zahlen und mit Br¨ uchen also, mit physikalischen Br¨ uchen insbesondere. Wir wissen, dass dies meist nicht geht. Wir wissen aber auch, dass Quadratwurzeln und

3. Die Berechnung von Wurzeln

361

die u ¨ brigen irrationalen Zahlen sich mit den Alltagszahlen, so genau wie man will, approximieren lassen (Kapitel 1, Abschnitt 2, Satz 6). Das ist nicht weiter verwunderlich, ist jede reelle Zahl letztlich doch nichts Anderes als der Inbegriff ihrer Approximationen. Dass der Astronom wirklich Quadratwurzeln approximieren musste, haben wir im letzten Abschnitt des ersten Kapitels gesehen, wo wir von der Berechnung von Sinustafeln berichteten. Bei diesen Berechnungen wurde ja immer wieder der Satz von Pythagoras benutzt, dass n¨ amlich f¨ ur die Hypotenuse c in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b gilt, dass c=

 a2 + b 2

ist. Bei den Rechnungen wurden statt a und b N¨aherungen an sie benutzt und c ebenfalls nur n¨ aherungsweise berechnet. Eine gute Approximation zu finden, ist immer wieder eine neue Aufgabe, die im Falle der Quadratwurzel schon fr¨ uh gel¨ ost wurde. Was in der langen Zeitspanne, ¨ die man Altertum nennt, von den Mathematikern Mesopotamiens, Agyptens und Griechenlands dar¨ uber gewusst wurde, lese man bei Tropfke (1980) nach. Um wenigstens einer Quelle n¨ aher zu kommen, konsultiere man Glowatzki und G¨ ottsche 1976, S.46ff, wo sich die theonische Beschreibung des Ausziehens der Quadratwurzel ¨ in deutscher Ubersetzung findet. Theon schrieb im 4. Jahrhundert nach Christus. Wollten die Alten die Wurzel aus r ziehen, so scheinen sie immer von dem n¨ achstgelegenen Quadrat in N ausgegangen zu sein, ohne zu sagen, wie sie dieses gefunden haben. Wir lassen unseren Bericht mit Al-Hwarizmi beginnen, der zeigte, wie man die gr¨oßte nat¨ urliche Zahl n mit n2 < r finden kann. Hierzu bediente er sich geschickt der Darstellung von r im Dezimalsystem. Ich u ¨ berlasse es dem Leser, Al-Hwarizmis Algorithmus in heutiger Sprache zu formulieren. Es ist der Algorithmus, den ich gerne Tertianeralgorithmus nenne, da ich ihn in der Tertia gelernt habe. Heute wird er an unseren Schulen nicht mehr gelehrt. Der Leser, der nicht selbst nachdenken will, findet ihn in L¨ uneburg 1978, S. 27). Wenden wir uns den vier schon im ersten Abschnitt dieses Kapitels erw¨ ahnten lateinischen Bearbeitungen der Arithmetik von Al-Hwarizmi zu. In der ersten, Dixit Algorizmi, kommen Quadratwurzeln nicht vor. In den andern dreien werden sie mit unterschiedlicher Ausf¨ uhrlichkeit behandelt. Der liber ysagogarum beginnt die Er¨ orterungen mit der Definition der Quadratwurzel. Sie sei die Zahl, die mit sich selbst multipliziert, die gegebene Zahl ergebe. ¨ So sei 3 die Wurzel aus 9. Uber die Existenz von Wurzeln bzw. ihre Irrationalit¨ at wird explizit nichts gesagt. Es wird festgestellt, dass das Produkt zweier Zahlen, die eine Wurzel haben, ebenfalls eine Wurzel hat. Als Beispiel wird 4 · 9 mit der Wurzel 6 erw¨ahnt. Habe der Quotient zweier Zahlen eine Wurzel, so auch ihr Produkt. Hier wird das Beispiel 18 : 8 = 2 14 = (1 12 )2 bzw. 8 : 18 = ( 23 )2 mit 18 · 8 = 144 = 122 vorgef¨ uhrt. Dann wird betont, dass alle ungeraden Stellen eine Wurzel haben, die geraden aber nicht. Ich nehme an und diese Annahme wird durch die Lekt¨ ure des liber

362

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

alchorismi best¨atigt (Allard 1992, S. 177f.), dass hier die Zehnerpotenzen 1, 102 , 104 , etc. bzw. 10, 103 , 105 etc. gemeint sind. (Der heutige Leser beachte, dass die Einer die erste und nicht die nullte Stelle besetzen. Kap. 1, Absch. 7) Das Gleiche gesch¨ahe bei den Minuten, das sind die Br¨ uche der Form 601 i , wie wir wissen, und bei den Halben, das sind die Br¨ uche der Form 21j . Hier h¨ atten die ungeraden (Potenzen) keine Wurzeln, w¨ahrend die geraden eine h¨ atten. Bei diesen Aussagen stehen Euklid VIII.26 und IX.8 (Kap. 2, Abschnitt 4 bzw. 5) Pate. Erw¨ ahnt wird dies aber nicht, wie auch nichts bewiesen wird. Es sei jedoch betont, dass Euklids Elemente zu Al-Hwarizmis Zeiten schon ins Arabische u ¨ bersetzt waren. Nun wird ein Algorithmus angegeben, zu n ∈ N ein a ∈ N und ein r ∈ N0 zu bestimmen mit n = a2 + r < (a + 1)2 . Es ist der Tertianeralgorithmus. Ist r = 0, so nimmt man a+

r 2a

f¨ ur die Wurzel aus n. Dies undet. Wir wollen dies aber tun. √ wird nicht weiter begr¨ Definiert man s durch n = a + s, so folgt a2 + r = n = (a + s)2 = a2 + 2as + s2 . Nun ist s < 1 und daher s2 < s. Der Fehler, den man macht, wenn man s2 vernachl¨ assigt, ist h¨aufig zu tolerieren. Vernachl¨assigt man also s2 , so erh¨alt man r s = 2a . Setzt man dann a := a+ s, so kann man das Spiel mit dem neuen a wiederholen. Dies wird vierhundert Jahre sp¨ ater von Fibonacci wieder vorgeschlagen und auch benutzt, um Approximationen zu verbessern. √ Bei dem Algorithmus,  n zu berechnen, werden immer wieder Zahlen verdoppelt. Dieses Verdoppeln heißt bei dem Autor der Bearbeitung geminare und nicht duplare, wie man vielleicht erwartet. Die Null nennt er ciffra oder auch circulus, w¨ahrend Fibonacci das Wort zephirum f¨ ur sie benutzt. Beim ersten Beispiel ist die Wurzel aus 5625 zu bestimmen. Unter die letzte ungerade Stelle, hier also die dritte, die mit der 6 besetzt ist, wird die Wurzel aus dem gr¨oßten Quadrat unterhalb 56, also die 7, gesetzt, wie nachfolgend zu sehen. 5 6 2 5 7 Nun wird 72 = 49 von 56 abgezogen und die 56 durch die Differenz ersetzt. Auf dem Schreibgrund steht dann das Folgende: 7 2 5 7 Dann wird die 7 verdoppelt und das Ergebnis folgendermaßen plaziert: 7 2 5 1 4

3. Die Berechnung von Wurzeln

363

Schließlich wird die gr¨ oßte Ziffer b gesucht mit 14b · b ≤ 725 (dabei ist 14b als Ziffernfolge zu lesen). Es ergibt sich b = 5. Dies wird auch noch notiert: 7 2 5 1 4 5 Nun ist 145·5 = 725, so dass r = 0 also 5625 = 752 ist. Bei diesem Verfahren werden st¨andig Ziffern gel¨oscht und die frei werdenden Pl¨ atze mit neuen Ziffern belegt. Worauf schrieben die Araber ihre Rechnungen? Der Text sagt nichts dar¨ uber. Mit der Null zu rechnen war damals noch ungewohnt. Daher wird auch ein Beispiel behandelt, bei der die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, auf viele Nullen endet. Es wird also die Wurzel aus 10000 gezogen. Die letzte ungerade Stelle ist die f¨ unfte an der die Eins steht. Die Wurzel aus 1 ist nat¨ urlich 1. Sie wird von der 1, die an der f¨ unften Stelle steht, abgezogen. Dann steht 0 0 0 0 1 da. Nun wird die 1 verdoppelt und die Ziffer b gesucht, so dass 2b · b ≤ 00 ist. Offenbar geht dies nur mit b = 0. Folglich ergibt sich 0 0 0 0 2 0 und weiter

und schließlich

0 0 2 0 0 0 2 0 0

Das Ergebnis ist also 10000 = 1002 . Es wird nun doch noch etwas zur Begr¨ undung des Algorithmus gesagt, wenn auch der direkte Bezug des Gesagten zum Algorithmus nicht hergestellt wird. Es wird n¨ amlich bemerkt, dass 12 = 1 22 = 12 + 2 · 1 + 1 32 = 22 + 2 · 2 + 1 und generell dass (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 ist. Letzteres liest sich so: Omnis enim tetragonum constat ex precedenti et radice eius geminata et unitate. Das heißt: Jedes Quadrat n¨amlich besteht aus dem ” vorhergehenden und dessen verdoppelter Wurzel und der Einheit.“ Ferner wird

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

gesagt, dass das Produkt zweier Quadrate ein Quadrat ergibt. Dass das Produkt von Quadraten ein Quadrat ist, wurde fr¨ uher schon so erl¨ autert, dass das Produkt zweier Zahlen, die eine Wurzel haben, eine Wurzel hat. Und dann steht v¨ ollig unmotiviert da, dass dies auch f¨ ur Kuben gelte. Wiederum kein Beweis und auch kein Euklidzitat. Schließlich wird noch die Formel a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 beschrieben. Das klingt folgendermaßen: Omni namque numero in duas partes diviso idem fit ab unaquaque parte in se et una in alteram bis quod a duabus simul iunctis et in se ductis. Das heißt: Denn irgendeine Zahl in zwei Teile geteilt und ” einen jeglichen Teil mit sich und der eine mit dem anderen zweimal multipliziert ergibt das Gleiche, wie wenn man beide Teile addiert und (das Ergebnis) mit sich multipliziert.“ Soviel u ¨ ber das Ausziehen von Wurzeln aus nat¨ urlichen Zahlen. Nun wird das Ausziehen von Wurzeln aus Br¨ uchen erl¨ autert. Diese werden zun¨ achst gek¨ urzt. Dann wird mit dem zuvor bereitgestellten Verfahren gepr¨ uft, ob Z¨ ahler und Nenner Quadrate sind, wenn ja, so ist auch der Bruch ein Quadrat. Ist Z¨ ahler oder Nenner kein Quadrat, so auch der Bruch nicht. In diesem Falle benutzt man die Formel  1 √ 2 m = mk n, n kn um eine N¨aherung an die Wurzel zu finden. Dabei wird bemerkt, dass die N¨ aherung umso besser ist, je gr¨oßer k gew¨ahlt wird. Formuliert wird das alles nat¨ urlich etwas umst¨andlicher als hier geschehen, bewiesen wird nichts. Wenn die Wurzel aus einer gemischten Zahl zu ziehen ist, so muss man sie erst in einen Bruch verwandeln. Dann kann man verfahren, wie eben geschildert. Als Beispiel wird  1 1 2+ + 3 13 vorgerechnet. Die Zahl wird erst umst¨andlich eingerichtet. Man erh¨ alt 2+

1 1 94 3666 + = = . 3 13 39 392

Es ist 3666 = 602 + 66, so dass

66 11 = 60 + 2 · 60 20 die Wurzel aus 3666 ist. Insgesamt erh¨alt man  1 21 11 1 =1+ + , 2+ + 3 13 39 39 · 20 60 +

3. Die Berechnung von Wurzeln

365

wobei der letzte Bruch nicht √ mehr angegeben wird. An Hand des Beispiels 26 wird weiter gezeigt, wie man von vorneherein eine bessere Approximation finden kann. Man f¨ uge eine gerade Anzahl von Nullen hinzu, vier oder sechs, je mehr desto besser, und ziehe aus dieser Zahl die Wurzel. In vorliegendem Falle wird die Wurzel aus 260000 gezogen. Es gilt 260000 = 5092 + 919, wobei die Zahlen 509 und 919 direkt angegeben werden. Die 919 wird vernach9 l¨ assigt. Wir w¨ urden nun erwarten, dass 5 100 als Wurzel angegeben w¨ urde, doch 9 der Bruch 100 taucht explizit u ¨ berhaupt nicht auf. Er wird vielmehr in Minuten umgewandelt, also in eine Summe von Br¨ uchen mit Nennern der Form 60i . Wie das im Einzelnen geschieht, ist f¨ ur uns nebens¨ achlich. Das Ergebnis ist √ 24 5 + 26 = 5 + . 60 602 Im Text steht die rechte Seite als

5 5 2 4

Zu lesen ist dies als 5 und 5 Minuten und 24 Sekunden. Bei der Division wurde gelehrt, Sexagesimalbr¨ uche auf diese Weise zu schreiben. Dort findet sich als Beispiel (Allard 1992, S. 44) 1 2 2 4 3 0 4 5 0 0 5 0 Das sind 1224 Grad, 30 Minuten, 45 Sekunden und 50 Quarten. Dabei wird ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, dass die nicht vorhandenen Terzen durch die beiden Nullen zu repr¨ asentieren sind. Bei der zuvor behandelten Multiplikation von Sexagesimalbr¨ uchen wurde diese Schreibweise schon ohne Erl¨auterung benutzt. Soviel zu den Quadratwurzeln im liber ysagogarum. Andere Wurzeln als Quadratwurzeln werden nicht betrachtet. In den beiden anderen Bearbeitungen, dem liber Alchorismi und dem liber pulueris, wird etwas mehr zur Theorie gesagt und auch einige Beispiele mehr gerechnet. So wird z. B. gesagt, dass es Zahlen g¨ abe, aus denen die Wurzel zu ziehen schwierig sei, wie z. B. 91345. Hier ist 91345 = 3022 +141. Die Schwierigkeit kommt von der Ziffer Null in 302, die als zweite Ziffer bestimmt wird. Wir sehen diese Schwierigkeit nicht. Bei Fibonacci im 13. Jahrhundert kommt Neues hinzu, wobei ich nicht weiß, ob das Neue, das gleich erl¨autert wird, Fibonaccis geistiges Eigentum ist. Auch er definiert zun¨ achst den Begriff der Wurzel (radix ) als der Zahl, die mit sich selbst multipliziert, die gegebene Zahl ergebe. Dann sagt er, manche Zahlen h¨ atten eine

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Wurzel, dies seien die Quadrate, und manche h¨ atten keine. Deren Wurzel nenne man irrational. Dies muss man sich auf der Zunge zergehen lassen, zeigt es doch, wie verschwommen damals der Zahlbegriff war: Es gibt Zahlen die keine Wurzel haben und die Wurzeln dieser Zahlen, die keine Wurzel haben, heißen surdae, stumm also, da sie sich nicht durch Zahlen ausdr¨ ucken ließen. Hier der originale Wortlaut: Radix quidem cuiuslibet numeri est numerus qui, cum in se multiplicatur, facit ipsum numerum, ut 3, que sunt radix de 9. Et 6 de 36; quia ter tria faciunt 9, et sexcies 6 faciunt 36. Nam quidem numeri habent radices, et vocatur (sic) quadrati; et quidam non; quorum radices, que surde dicuntur, cum impossibile sit eas in numeris inuenire, qualiter in quantum plus possumus ferre, ad ipsas radices uenire demonstrauimus: (Boncompagni 1857, S. 353) Dies heißt: Wurzel ” einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert, jene Zahl ergibt, wie 3, welches Wurzel von 9 ist. Und 6 von 36; denn dreimal drei macht 9, und sechsmal 6 macht 36. Gewisse Zahlen haben Wurzeln, sie werden Quadrate genannt; gewisse nicht; deren Wurzeln, die stumm genannt werden, da es unm¨ oglich ist, sie in Zahlen auszudr¨ ucken, k¨onnen wir ann¨ ahern. Zu jenen Wurzeln zu gelangen, werden wir darlegen.“ Was nun ist neu? Hier zun¨achst das Zitat (Boncompagni 1857, S. 353): Et notandum, quod radix numerorum unius figure, uel duarum est numerus unius figure. Trium uero, et quatuor figurarum radix est numeri duarum figurarum. Quinque uero, et sex figurarum radix est numerus trium figurarum; et sic, addendo unam figuram, uel duas numeris, additur figura una in eorum radicibus, dh.: Und es ist ” zu bemerken, dass die Wurzel einer einziffrigen oder zweiziffrigen Zahl einziffrig ist. Einer drei- oder vierziffrigen Wurzel ist eine zweiziffrige Zahl. Einer f¨ unf- oder sechsziffrigen Wurzel ist eine dreiziffrige Zahl; und, eine oder zwei Ziffern Zahlen hinzugef¨ ugt, f¨ ugt ihren Wurzeln eine Ziffer hinzu.“ Diese Tatsache muss auch AlHwarizmi bekannt gewesen sein, doch ausgesprochen hat er sie nicht. Es ist ein fr¨ uhes Beispiel f¨ ur eine Komplexit¨atsbetrachtung, wird hier doch die Frage nach dem f¨ ur das Ergebnis ben¨ otigten Speicherplatz beantwortet. Fibonacci ben¨ otigt diese Information bei seinem Schema. Er schreibt n¨amlich die h¨ ochste Ziffer des Ergebnisses unter die k-te Stelle des Radikanden, falls dieser (2k − 1)- oder (2k)stellig ist. Sein Schema ist also anders als das Al-Hwarizmis. Ich werde es hier nicht noch einmal aufschreiben, da es in meinen Lesevergn¨ ugen“ zur Gen¨ uge dargestellt ” ist. √ Noch etwas ist neu. Fibonacci erl¨autert zun¨ achst die Berechnung von  n f¨ ur drei- und vierstellige Zahlen n. Es ist wieder der Tertianeralgorithmus, den er lehrt. Um die Wurzel aus einer f¨ unfstelligen Zahl, etwa 12345, zu ziehen, ziehe man die Wurzel aus der aus den ersten drei Ziffern gebildeten Zahl, hier also 123, mittels der bereits erl¨auterten Methode. Die Wurzel sei 11 sagt er. Dann ermittelt er, indem er noch den letzten Schritt des Tertianeralgorithmus vorf¨ uhrt, auch noch die letzte Ziffer der Wurzel. Sie ist 1. Dann zieht er die Wurzel aus einer sechstelligen Zahl und erl¨ autert dies am Beispiel der Zahl 927435. Zun¨ achst wiederholt er, dass die Wurzel dreistellig sei. Man ziehe die Wurzel aus der vierstelligen Zahl 9274 wie oben erl¨ autert, sie sei

3. Die Berechnung von Wurzeln

367

96 und der Rest sei 58. Dann wird wieder nur noch der letzte Rekursionsschritt erkl¨ art. Als ich diese klar herausgearbeitete Rekursion, die in Kapitel 2, Abschnitt 7 schon zur Sprache kam, zum ersten Male sah, war ich ungeheuer — zum Gl¨ uck werden Substantiva im Deutschen immer noch groß geschrieben — beeindruckt. Ich bin es immer noch. Diese Art der Darstellung erscheint mir auch vom didaktischen Standpunkt aus geschickter, als das, was ich zum Beispiel in meiner Zahlentheorie (L¨ uneburg 1978, S. 27) aufgeschrieben habe. Es kommt noch besser. Ich habe bislang verschwiegen, dass Fibonacci nicht nur die gr¨ oßte Ganze aus der Quadratwurzel einer Zahl bestimmt, sondern dass er auch noch bessere N¨aherungen angibt. Das Verfahren ist das, welches wir auch bei Al-Hwarizmi gesehen√haben und das √ seit alters her bekannt ist. Wenn er schon eine N¨aherung a an n hat, z. B.  n, so nimmt er als bessere N¨aherung a+

r , 2a

wobei r = n − a2 ist. Der Rest r ist u ¨ brigens meist negativ. Fibonacci sagt dann, a2 sei um R zu groß. Man dividiere R durch 2a und subtrahiere das Ergebnis von a. Seine Vorschrift lautet also in diesem Falle, dass a−

R 2a

die bessere N¨ aherung sei, wobei R = a2 − n ist. Beispiele hierzu gibt√er an, dh., er begn¨ ugt sich in aller Regel nicht mit der ersten N¨aherung, wobei  n als nullte N¨ aherung gez¨ahlt ist. Er betont auch, dass man, so man es w¨ unscht, u ¨ ber die zweite N¨aherung hinausgehen kann. r R als auch a − 2a das arithmetische Mittel Man beachte, dass sowohl a + 2a   1 n a+ 2 a von a und na ist. Das wird aber weder von Al-Hwarizmi noch von Fibonacci erw¨ahnt. Wir schließen mit Hilfe der Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel, dass    n √ 1 n a+ ≥ a· = n 2 a a ist. Außer evt. dem Anfangswert, liegen also alle N¨aherungswerte oberhalb der Wurzel. Das begr¨ undet unser obiges meist“. ” Es geht Fibonacci also auch um gute N¨ aherungen und wie gut er L¨ osungen von Gleichungen approximieren kann, haben wir in Abschnitt 9 von Kapitel 3 gesehen. Er stellt nun noch eine andere M¨ oglichkeit vor, die Wurzel eines Nicht-Quadrates

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

besser zu approximieren, die wir auch schon bei Al-Hwarizmi fanden, nur dass er sie viel pr¨ aziser formuliert. Es ist die Formel √ √ nk 2 , n= k die er in dieser Allgemeinheit formuliert und √ f¨ ur k = 10i benutzt, wie es das Dezimalsystem nahelegt. Als Beispiel rechnet er 7234 mit k = 100, so dass er also zun¨ achst die Wurzel aus 72340000 zu ziehen hat. Um dies zu tun, werde er nun eine weitere Methode lehren. Diese Methode ist aber nichts anderes als die Aufl¨ osung der zuvor gelehrten Rekursion, so dass wir den Tertianeralgorithmus doch noch explizit vorgef¨ uhrt bekommen. Das Ergebnis ist 72340000 = 85052 + 4975. Um nun die erste N¨ aherung der Wurzel von 72340000 zu erhalten, muss er 4975 durch 2 · 8505 = 17010 dividieren. Ge¨ ubter Rechner, ahr √ der er ist, sagt er, dies sei ungef¨ 1 1 . Er nimmt also 8505 als N¨ a herung an 72340000, die er nun noch durch 100 4 4 dividieren muss. Das Ergebnis ist √ 1 1 + . 7234 = 85 + 20 400 Fibonacci sagt nichts u ¨ ber das Ausziehen der Quadratwurzel aus einem Bruch. Eine Zahl heiße Kubus (cubus), falls sie Produkt von drei gleichen Zahlen, bzw. das Produkt von einer Quadratzahl mit ihrer Wurzel sei, so Fibonacci in seinem liber abbaci (Boncompagni 1857, S. 378). Beispiele sind 8 und 27, denn es sei ja 8 = 2 · 2 · 2 = 4 · 2 und 27 = 3 · 3 · 3 = 9 · 3. Die Kubikwurzel (radix cubica) aus 8 sei 2 und die aus 27 sei 3. Entsprechend sei es bei den u ¨brigen Kuben und ihren Wurzeln. Die restlichen Zahlen, die keine Kuben seien, k¨onnten keine Kubikwurzel in Zahlen haben. Ihre Kubikwurzeln nenne man daher stumm (surde). Wie man sie mit Zahlen approximieren k¨ onne, werde er nun zeigen. Es folgt die Formel (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 , die er in voller Allgemeinheit ausspricht und mit dem Beispiel 53 = (3+2)3 illustri¨ ert. Uber diese Formel h¨atte er lange nachgedacht und dann das Verfahren gefunden, die Kubikwurzel einer Zahl zu approximieren, das er weiter unten vorstellen werde. Dieses Verfahren reklamiert er also als sein geistiges Eigentum. Er beginnt nun zun¨ achst die Diskussion der Bestimmung der gr¨oßten Ganzen unterhalb der Kubikwurzel einer nat¨ urlichen Zahl, die er aber bald unterbricht, um sein Iterationsverfahren vorzustellen. Nachdem dies geschehen ist, kommt er auf die Berechnung der gr¨ oßten Ganzen zur¨ uck. Hierzu ben¨ otigt man zun¨ achst die Liste der Kuben der Zahlen von 1 bis 10. Sie wird angegeben: 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, 83 = 512, 93 = 729 und 103 = 1000. Diese Liste m¨ usse man auswendig wissen, bzw. im Herzen halten (cordetenus), wie es bei Fibonacci heißt (Boncompagni 1857, S. 380). Bei den Quadratzahlen verlangt er nicht, dass man sie auswendig

3. Die Berechnung von Wurzeln

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lerne. Daf¨ ur hat er fr¨ uher schon verlangt, das Ein-mal-Eins auswendig zu lernen, so dass man die Quadrate nicht extra lernen muss. Er schließt weiter, dass die Kubikwurzel einer (3k − 2)-, (3k − 1)- oder (3k)-stelligen Zahl k-stellig ist. Also auch hier wieder die Frage nach der L¨ ange der Darstellung des Ergebnisses in Abh¨ angigkeit von der L¨ ange der Eingangsdaten. Dann, so sagt er, m¨ usse man die Differenz zwischen einem Kubus und dem darauffolgenden Kubus wissen. Er beschreibt sie als

 3 (a + 1)a + 1. √ Hat er nun die dritte Wurzel aus n zu berechnen und ist a0 =  3 n sowie n = 3 a0 + r, so nimmt er f¨ ur uns u ¨berraschend a1 := a0 +

r 3(a0 + 1)a0 + 1

√ als erste N¨aherung an 3 n. Er setzt also n − a30 und die Differenz (a0 + 1)3 − a30 der Kuben (a0 + 1)3 und a30 in Proportion und addiert diesen Quotienten zu a0 . Dies ist die Approximation, die wir heute ebenfalls unter dem Begriff regula falsi subsumieren. Fibonaccis erste N¨aherung hat den Vorteil, dass a1 ≤

√ 3

n

ist, was wir zun¨achst zeigen werden. Wir setzen y := a1 > y sei. Nach der Definition von a1 ist dann

√ 3 n und nehmen an, dass

y 3 − a30 n − a30 = = a1 − a0 > y − a0 3a0 (a0 + 1) + 1 3a0 (a0 + 1) + 1 und daher

y 2 + ya0 + a20 > 1. 3a0 (a0 + 1) + 1

Hieraus folgt, da ja a0 + 1 > y ist, (a0 + 1)(y + a0 ) > y(y + a0 ) > 2a20 + 3a0 + 1 und weiter y + a0 >

2a0 (a0 + 1) + a0 + 1 = 2a0 + 1. a0 + 1

√ Dies hat schließlich den Widerspruch y > a0 +1 zur Folge. Also ist doch a1 ≤  3 n. Man beachte, dass bei diesem Beweise nicht benutzt wurde, dass a0 eine nat¨ urliche Zahl ist. Da a0 ≤ a1 ist, ist auch a1 ≤

√ 3 n < a0 + 1 ≤ a1 + 1,

370

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

alt also so dass man den Schluss mit a1 wiederholen kann. Man erh¨ √ rekursiv eine beschr¨ankte, monoton steigende Folge, die dann nat¨ urlich gegen 3 n konvergiert. Fibonacci bedient sich aber nicht dieser Rekursion. ¨ brigen ai vielmehr durch die Rekursion Nachdem a1 bestimmt ist, werden die u ai+1 := ai +

n − a3i 3(a0 + 1)ai

gegeben. Um diese Rekursion zu untersuchen, setzen wir f (x) := x +

n − x3 . 3(a0 + 1)x

f  (x) = 1 −

n + 2x3 . 3(a0 + 1)x2

Dann ist

Es ist genau dann f  (x) ≥ 0, wenn n + 2x3 − 3(a0 + 1)x2 ≤ 0 ist. Setze g(x) := n + 2x3 − 3(a0 + 1)x2 ≤ 0. Dann ist und

g  (x) = 6x2 − 6(a0 + 1)x g  (x) = 12x − 6(a0 + 1).

Nun ist g  (x) = 0 genau dann, wenn x = 0 oder x = a0 + 1 ist. Es ist g  (0) = −6(a0 + 1) und g  (a0 + 1) = 6(a0 + 1), so dass g bei 0 ein relatives Maximum, n¨ amlich n, und bei a0 + 1 ein relatives Minimum, n¨ amlich n − (a0 + 1)3 hat. Wegen g(−∞) = −∞ hat g eine Nullstelle links von 0 und wegen g(∞) = ∞ auch eine Nullstelle rechts von a0 + 1. Daher hat g genau eine Nullstelle α zwischen 0 ¨ und a0 + 1. Uberdies ist α eine einfache Nullstelle, so dass g auf dem halboffenen Intervall (α, a0 + 1] negativ ist. Daher ist f  auf diesem Intervall positiv, so dass √ f auf dem abgeschlossenen Intervall [α, a0 +√ 1] streng monoton steigt. Wegen 3 n < a0 + 1 steigt f auch auf dem Intervall [α, 3 n ] streng monoton. Es ist g(a0 ) = n − a30 − 3a20 . Daher ist α ≤ a0 , wenn n ≤ a30 + 3a20 ist. Wegen √ a0 ≤ a1 ≤ 3 n < a0 + 1 ist in diesem Falle a1 ∈ [α, a0 +1]. Wir zeigen, dass dies auch gilt, wenn n > a30 +3a20 , dh., wenn n ≤ a30 + 3a20 + 1 ist, was wir nun voraussetzen. Wir setzen n − a30 . r := 2 3a0 + 3a0 + 1

3. Die Berechnung von Wurzeln

371

Dann ist aufgrund unserer Annahme u ¨ber n r≥

3a20 + 1 . + 3a0 + 1

3a20

Hiermit folgt, da ja auch n ≤ a30 + 3a20 + 3a0 und 0 ≤ r ≤ 1 gilt, g(a1 ) = n + 2(a0 + r)3 − 3(a0 + 1)(a0 + r)2 = n − a30 + 3a0 r2 − 3a20 − 6a0 r + 2r3 − 3r2 ≤ a30 + 3a20 + 3a0 − a30 + 3a0 r2 − 3a20 − 6a0 r + 2r3 − 3r2 = 3a0 (r2 − 2r + 1) + 2r3 − 3r2 = 3a0 (1 − r)2 − r2 (3 − 2r) ≤ 3a0 (1 − r)2 − r2  2  2 3a20 + 1 3a20 + 1 ≤ 3a0 1 − 2 − 3a0 + 3a0 + 1 3a20 + 3a0 + 1 3 4 2 27a0 − 9a0 − 6a0 − 1 = . (3a20 + 3a0 + 1)2 ahler kleiner als Null und daher g(a1 ) < 0. Ist Ist a0 ≥ 3, so ist der Ausdruck im Z¨ a0 = 2, so ist 21 ≤ n ≤ 26 und r = n−8 19 . Es folgt g(a1 ) = n − 20 + 3r2 − 12r + 2r3 . Mit Hilfe eines Taschenrechners oder sonstwie stellt man nun √ fest, dass f¨ ur die sechs fraglichen n stets g(a1 ) < 0 ist, so dass auch hier a1 ∈ [α, 3 n ] gilt. Es sei schließlich a0 = 1. Dann ist 5 ≤ n ≤ 7 und r = n−1 7 . Es folgt g(a1 ) = n − 4 − 6r + 2r3 . ur alle fraglichen n. Somit ist auch im letzten Fall Auch hier √ gilt g(a1 ) < 0 f¨ a1 ∈ [α, 3 n ]. √ Es sei nun ai ∈ [α, 3 n]. Dann ist √ √ α ≤ ai ≤ ai+1 = f (ai ) ≤ f ( 3 n) = 3 n, √ die so dass√auch ai+1 ∈ [α, 3 n ] gilt. Daher ist a eine monoton steigende Folge, √ 3 durch n beschr¨ankt ist. Es folgt, dass a konvergiert und dass lim a = 3 n ist. Bei Fibonacci findet sich keine Spur von einem Beweis und auch keine Plausibilit¨ atsbetrachtungen, warum a1 , a2 , . . . gute N¨ aherungen sind. Er muss viele Beispiele gerechnet haben, um sich davon zu u ¨berzeugen, dass seine N¨aherungen das Verlangte leisten. Ich finde den Algorithmus sehr bemerkenswert.

372

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Juschkewitsch (1964, S. 381) schreibt, dass Fibonacci die N¨aherungsformel  r 3 a3 + r ≈ a + 3a(a + 1) + 1 als seine Erfindung ausg¨ abe, dass er jedoch nicht der erste sei, der sie gefunden habe, wie fr¨ uher (S.246 (in Wirklichkeit S. 244)) schon gesehen. Juschkewitsch scheint nicht zu bemerken oder dem keinen Wert beizulegen, dass der Ausdruck auf der rechten Seite f¨ ur Fibonacci nur die erste Approximation ist, die er noch verbessert, wobei er sich dazu einer anderen Formel bedient. Weil 3(a0 + 1)ai < 3(ai + 1)ai + 1 gilt, konvergiert Fibonaccis √ Folge schneller. √ achst ist 3 =  3 47. Die Differenz 20 = 47 − 33 Fibonacci berechnet 3 47. Zun¨ wird zu 43 − 33 = 37 in Proportion gesetzt. Der Bruch 20 oßer als 12 , so 37 ist etwas gr¨ 1 Fibonacci. Er nimmt daher 3 2 als erste N¨aherung. Den Kubus von 3 12 berechnet er mittels der binomischen Formel zu 1 1 7 1 27 + 13 + 2 = 42 . 8 2 4 8 Die Differenz zu 47 ist 4 18 . Als N¨achstes ist dann 4 81 33 1 33 1 1 =3 + =3 + 3 + 2 3 · 4 · 3 12 2 8 · 42 2 336 33 1 zu berechnen. Statt 336 nimmt er 10 , so dass er 3 35 f¨ ur die Kubikwurzel aus 47 erh¨alt. Wenn man m¨ oge, k¨onne man die Iteration wiederholen, um noch n¨ aher an die Kubikwurzel zu kommen. Was wir beim Quadratwurzelziehen schon bemerkten, sehen wir auch hier wieder, dass Fibonacci n¨ amlich Br¨ uche mit großen Z¨ahlern und Nennern durch in der N¨ahe liegende Br¨ uche ersetzt, die sich durch kleinere Zahlen ausdr¨ ucken lassen. ¨ Das geschieht bei√der n¨achsten Aufgabe wieder, wobei es zu einer Uberraschung kommt. Es wird 3 900 berechnet. Diei 0-te N¨aherung ist 9. Es folgt

900 − 93 = 900 − 729 = 171. Die erste N¨aherung w¨ are daher 9+

171 171 =9+ . 3 · 9 · 10 + 1 271

2 2 Doch Fibonacci sagt, 171 271 sei nur wenig kleiner als 3 , und nimmt 9 3 als erste 2 3 8 , N¨ aherung. Um die Differenz 900 − (9 3 ) auszurechnen, braucht er nur noch 27 2 2 2 2 3 · 9 · 3 = 162 und 3 · ( 3 ) · 9 = 12 von 171 abzuziehen. Er erh¨ alt

171 −

19 8 = 170 , 27 27

3. Die Berechnung von Wurzeln

373

170

19 19 − 162 = 8 27 27

und

19 − 12, 27 aber das geht nicht. Fibonacci sagt hierzu: . . . , uenient 12; que cum non possint 19 8 extrahere de 19 27 8, extrahes 27 8 de 12, remanent 27 3 diminuta. Dies heißt ”. . . 19 herauskommen 12. Da diese von 8 27 nicht abgezogen werden k¨onnen, ziehst du 19 8 8 27 von 12 ab. Es verbleiben 3 27 diminuta“. Das kann man wohl kaum anders interpretieren, als dass Fibonacci hier eine abstrakte negative Zahl als Ergebnis akzeptiert. Mit der nun gewonnenen negativen Zahl rechnet er noch weiter, bzw. er sagt, was nun noch zu tun sei. Er rechnet 8

8 8 3 27 3 27 . = 290 3 · 10 · 9 32

Diese Zahl sei von 9 32 abzuziehen. Dann h¨ atte man das Verlangte (Boncompagni 1857, S. 381). Negative Zahlen kommen bei Fibonacci bis auf die Stelle, die wir gerade erw¨ ahnten, wo beim Ausziehen einer Kubikwurzel als Zwischenergebnis eine abstrakte negative Zahl auftauchte, sonst nur in Form von Schulden, bzw. in Form von Geld vor, das zur¨ uckgegeben wird. N¨aheres dar¨ uber in meinem Lesevergn¨ ugen“ und ” in Kap. 5, Absch. 7. Bei den Arabern, so die Sekund¨ arliteratur, kamen negative Zahlen nicht vor. Es geht nun darum, Kubikwurzeln aus vier-, f¨ unf- und sechsstelligen Zahlen zu ziehen, bzw. zu approximieren. Um das Verfahren zu erl¨autern, dienen die Zahlen 2345, 56789 und 456789. Die Kubikwurzeln dieser Zahlen sind zweistellig. Es wird √ nun zun¨ achst a :=  3 n0  bestimmt, wobei n0 die Zahl aus der ersten, den ersten beiden bzw. den ersten drei Ziffern ist. Bei der ersten Zahl ist dies 1. Dies von n0 abgezogen ergibt 1 Dann ist die zweite Ziffer b so zu bestimmen, dass b maximal ist unter der Nebenbedingung 3a2 b · 100 + 3ab2 · 10 + b3 ≤ 1345. Es folgt b = 3. Die Idee, die bei der Bestimmung der Quadratwurzel zum Ziele f¨ uhrte, hilft auch bei der Kubikwurzel weiter. Es ist interessant zu bemerken, dass Fibonacci an dieser Stelle die Eins nicht eins nennt, sondern als figura ponata, als gesetzte Ziffer also anspricht. Die Ziffer b, die noch bestimmt werden muss, nennt er figura ponenda, zu setzende Ziffer. Dadurch erh¨alt er Allgemeing¨ ultigkeit. Bei den beiden anderen Zahlen geht er entsprechend√vor. Da sich Fibonacci bei der Berechnung von  n der Rekursion √ bediente, verwundert es uns nicht, dass er dies auch bei der Berechnung von  3 n tut, √ wenn n eine mindestens siebenstellige Zahl ist. Dies erl¨autert er am Beispiel  3 9876543. Hier werden die letzten drei Ziffern abgetrennt. Aus der verbleibenden Zahl 9876

374

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

werde an anderer Stelle die Kubikwurzel gezogen. Diese sei 21 und der Rest sei 615. Dann geht es weiter, wie gehabt. Halten wir noch einmal fest, was bei Fibonacci Neues hinzugekommen ist. Durch Abz¨ ahlen der Stellen der gegebenen Zahl n bestimmt er die Anzahl der Stellen der Quadrat- bzw. Kubikwurzel von n. Außerdem bedient er sich der Rekursion bei der Berechnung der gr¨ oßten Ganzen der Quadrat- bzw. Kubikwurzel einer mehr als vier- bzw. sechsstelligen Zahl. Beides erscheint mir bemerkenswert. Bemerkenswert auch die Folge der N¨ aherungen an die dritte Wurzel einer nat¨ urlichen Zahl, die er als sein geistiges Eigentum reklamiert. Was bei den Quadrat- und Kubikwurzeln funktioniert, sollte auch bei den n-ten Wurzeln funktionieren und in√der Tat, es tut’s. Hier geht es vor allem darum, zu gegebenem k ∈ N die Zahl  n k zu berechnen. Man nehme an, man habe a ∈ N und t ∈ N0 bereits gefunden, so dass an 10nt ≤ k < (a + 1)n 10nt √ ist. Ist t = 0, so ist a =  n k. Ist t > 0, so suche man ein b maximal bez¨ uglich der Eigenschaft (a10 + b)n 10n(t−1) ≤ k. Hat man b gefunden, so setze man a := a10 + b und t := t − 1. So fortfahrend erreicht man schließlich sein Ziel. Geht man nun ins Detail, so stellt man fest, dass man (a10 + b)n nach Potenzen von ai 10i bn−i entwickeln muss, da man im Verlaufe der Rechnung nicht immer wieder von vorne beginnen will, sondern die bereits vorhandenen Resultalte weiter verwenden und nur so geringf¨ ugig wie n¨ otig ab¨ andern m¨ ochte. Es ist also klar, dass in diesem Zusammenhang das pascalsche Dreieck auftauchen wird, lange bevor Pascal geboren ward. Gedruckt, so Tropfke 1980, S. 290, erscheint es zum ersten Male im Jahre 1527 auf der Titelseite von Apians Arithmetik, worin er Beispiele bis n = 8 rechnet, ohne irgendwelche Erkl¨ arungen abzugeben. Stifel, der Apians Arithmetik kannte, berechnete in seiner Arithmetica integra aus dem Jahre 1544 die Binomialkoeffizienten bis n = 17. Er nennt diese Zahlen numeri binomiales und gibt f¨ ur sie in Worten die Rekursionsregel (Tropfke, loc. cit.)       n n−1 n−1 = + . k k−1 k ¨ Scheybl, dem wir im Zusammenhang mit der Ubersetzung der Algebra Al-Hwarizmis von Robert von Chester schon begegneten, berechnet √ 10 1 152 921 504 696 846 976 = 64 sowie weitere n-te Wurzeln bis n = 24 (Smith 1958, Bd. 2, S. 149). Mir unverst¨ andlich ist, dass Tartaglia auf Blatt 69recto des zweiten Bandes seines General trattato den soeben skizzierten Algorithmus als sein geistiges Eigentum

3. Die Berechnung von Wurzeln

375

reklamiert und andererseits auf Blatt 42recto Michael Stifel (Michiel stifelio eccellente matematico) erw¨ahnt, der ein Verfahren vorgestellt habe, die f¨ unfte Wurzel aus einer f¨ unften Potenz zu ziehen. Vielleicht liegt es daran, dass Stifel nach den Worten Tartaglias nicht von den N¨ aherungen an die f¨ unften Wurzeln beliebiger Zahlen spricht. Tartaglia zitiert nicht die fragliche Stelle, so dass eine Kontrolle umf¨ anglicher Recherchen bed¨ urfte, die f¨ ur mich umso schwieriger sind, als unsere Bibliothek keine der Schriften Stifels besitzt. Tartaglia berechnet umst¨ andlich in rhetorischer Algebra die Binomialkoeffizienten bis n = 12, indem er f¨ ur n = 2, . . . , 11 die rechte Seite der Formel n   n+1   n + 1 n i n−i a b (a + b) = ai bn+1−i i i i:=1 i:=0 aus der linken ausrechnet. Das Ganze geht u ¨ber sechstehalb nicht gerade kleine Druckseiten. Das pascalsche Dreieck heißt in Italien heute noch triangolo di Tar¨ taglia. Uber zwei Beispiele, die Tartaglia neben anderen rechnete, wird im Zusammenhang mit dem Disput mit Lodovico Ferrari noch kurz berichtet werden. Ein Ausschnitt des pascalschen Dreiecks kommt bei Tartaglia auch an anderer Stelle vor, n¨ amlich bei der Frage, wieviele W¨ urfe man mit beliebig vielen W¨ urfeln machen kann. Tartaglia stellt aber keinen Zusammenhang her. Einzelheiten dazu findet der Leser in meinem Lesevergn¨ ugen“ S. 208ff. ” Zum Schluss dieses langen Abschnitts m¨ o√ chte ich noch einen von mir stammenden Algorithmus f¨ ur die Berechnung von  n k vorstellen. Um ihn zu etablieren ben¨ otigen wir die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel von n nicht negativen reellen Zahlen, zu deren Geschichte ich nichts zu sagen weiß. Satz 1. Sind a1 , . . . , an nicht negative reelle Zahlen, so gilt   n1 n n 1 ai ≤ ai n i:=1 i:=1 und Gleichheit gilt genau dann, wenn a1 = a2 = . . . = an ist. Beweis (W. Oberschelp 1971). Die Ungleichung gilt sicherlich, wenn eine der Zahlen ai null ist, da in diesem Falle die linke Seite null ist. Ferner gilt hier genau dann die Gleichheit, wenn alle ai null sind. Wir d¨ urfen im Folgenden annehmen, dass alle ai positiv sind. Sind sie alle gleich, so gilt die Gleichheit. Wir nehmen nun an, dass wenigstens zwei der ai voneinander verschieden sind. Dann ist zu zeigen, dass die Ungleichung echt ist. Wir machen Induktion nach n. Es sei zun¨achst n = 2. Dann ist (a1 + a2 )2 = (a1 − a2 )2 + 4a1 a2 > 4a1 a2 , da ja a1 − a2 = 0 ist. Hieraus folgt f¨ ur diesen Fall die Behauptung. Es sei n ≥ 2 und die Ungleichung gelte f¨ ur n. Wir nehmen oBdA an, dass a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ an+1

376

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

sei. Es gibt dann ein k ∈ R+ mit an+1 Es folgt an+1

n k = ai . n i:=1

n k = ai ≤ kan ≤ kan+1 n i:=1

und damit k ≥ 1. Weil wenigstens zwei der ai verschieden sind, folgt sogar k > 1. Es folgt weiter n+1 n  n+k  ai = ai n i:=1 i:=1 und damit 

    n n+1 n+1 n n 1  (n + k)n+1 1 1 · ai = · a a · i i n + 1 i:=1 (n + 1)n+1 n n i:=1 i:=1    n n+1 n 1 k−1 an+1 · = 1+ · ai . n+1 k n i:=1

Aufgrund der Induktionsannahme folgt 

 n+1 n+1 n+1 n 1  k−1 an+1  · ai ≥ 1+ · ai . n + 1 i:=1 n+1 k i:=1

Nun ist k > 1, so dass aufgrund der bernoullischen Ungleichung n+1  k−1 k−1 =k > 1 + (n + 1) 1+ n+1 n+1 gilt. Also ist



n+1 n+1 n  1  ai > an+1 ai . n + 1 i:=1 i:=1

Damit ist alles bewiesen. Satz 2. Sind a, n ∈ N und ist k ∈ N0 , so ist     √ 1 k n ≥  k. (n − 1)a + n−1 n a

3. Die Berechnung von Wurzeln Beweis. Es ist

377

√ n k=

 an−1 ·

k an−1

 n1 .

Wendet man auf die rechte Seite dieser Gleichung die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel an, so erh¨ alt man   √ √ 1 k n n  k ≤ k ≤ (n − 1)a + n−1 . n a 

Nun ist k an−1 und

≤

k an−1

 +

an−1 − 1 an−1

       1 k k 1 n−1 . ≤ + (n − 1)a + n−1 (n − 1)a + n−1 n a n a n

Setzt man dies in die urspr¨ ungliche Ungleichung ein, so erh¨ alt man schließlich     nan−1 − 1 1 k + (n − 1)a + n−1 n a nan−1     1 k < + 1. (n − 1)a + n−1 n a

√ n  k ≤

Damit ist die Ungleichung bewiesen.

√ Satz 3. Es seien a, n ∈ N und k ∈ N0 . Ist dann a >  n k, so ist     1 k < a. (n − 1)a + n−1 n a Beweis. Gilt die Ungleichung nicht, so ist erst recht   1 k (n − 1)a + n−1 ≥ a. n a Hieraus folgt k ≥ an , was sich mit der Voraussetzung des Satzes nicht vertr¨agt. Mit den beiden zuletzt bewiesenen S¨ atzen verifiziert sich sofort der folgende Algorithmus. √ Algorithmus n-te Wurzel. Gegeben n, k ∈ N. W¨ ahle a ≥  n k. Wiederhole w := a und

 a := (n − 1)a + k DIV an−1 DIV n √ bis a ≥ w ist. Dann ist w =  n k.

378

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

√ Beweis. Satz 2 besagt, dass a stets gr¨oßer oder gleich  n k ist. Satz √ 3 sagt, dass das neue a kleiner ist als das alte, falls dieses nicht schon gleich  n k ist. Da stets a ∈ N gilt, kann a aber nicht st¨ andig kleiner werden. Es tritt also der Fall ein, dass a ≥ w ist. Dann ist aber w die gesuchte Zahl. Es kommt vor, dass a > w ist. Ist n = 2 und k = a2 + 2a, so ist

 a + (a2 + 2a) DIV a DIV 2 = a + 1. F¨ ur n = 2 ist das der einzige Sonderfall. F¨ ur n > 2 gibt es mehr solcher F¨alle, die sich aber alle u ¨ berblicken lassen. Der Algorithmus ist in L¨ uneburg 1982 und f¨ ur n = 2 in Klostermair & L¨ uneburg 1984. Der Algorithmus f¨ ur n = 2 ist der a¨ltere. Von Klostermair stammt die gute Absch¨ atzung f¨ ur die Anzahl der Rechenschritte des Quadratwurzelalgorithmus. Die Absch¨atzungen f¨ ur den allgemeinen Algorithmus finden sich in L¨ uneburg 1989, S. 310f. Beide Algorithmen lassen an Effizienz nichts zu w¨ unschen u ¨brig. 4. Nepers Arithmetica localis. Es ist schon lange bekannt, dass sich jede nat¨ urliche Zahl als Summe von untereinander verschiedenen Potenzen von 2 darstellen l¨ asst. So wurden fr¨ uher Gewichtss¨ atze der Abstimmung 1, 2, 4, 8, 16, . . . , 2n benutzt, um alle Gewichte zwischen 1 und 2n+1 − 1 zu wiegen. Dies liest sich bei Tartaglia (1556, Nr. 34, 14recto. Im Original irrt¨ umlich mit 17 nummeriert.) so: Anchora questa medesima progressione doppia principiante dalla unita serue, & si costuma per far li campione per pesare con le bilanze materiali, che si oprano per pesare oro, argento, oueramente cose di speciarie di valore, . . . , dh.: Auch ” dient diese selbe mit der Einheit beginnende Zweierprogression dazu, und man ist es gew¨ohnt, um Gewichte f¨ ur reale Waagen herzustellen, die man benutzt, um Gold, Silber oder Spezereien von Wert zu wiegen.“ Leider sagt Tartaglia nicht, wie der Spezereienh¨andler oder der Juwelier die Zerlegung von k in Zweierpotenzen bewerkstelligte. Jener hatte diese Aufgabe sicher h¨aufig zu l¨ osen und wusste daher die L¨ osung f¨ ur die bei ihm auftretenden Zahlen auswendig. Dieser hatte aber wahrscheinlich vor allem das umgekehrte Problem zu l¨ osen, n¨amlich ein unbekanntes Gewicht zu ermitteln. Dies geschieht nat¨ urlich durch Probieren und anschließendes Aufsummieren der Maßzahlen der einzelnen Gewichtsst¨ ucke. Man kennt das ja in anderem Zusammenhang vom Wochenmarkt, wo beim Auswiegen von Kohlk¨ opfen zum Schluss noch der Druck der Waage auf den Finger bei der Festsetzung des Preises ber¨ ucksichtigt wird1) . Bachet bemerkt ebenfalls, dass man mit nach Potenzen von 2 geordneten Gewichten alles wiegen kann (Bachet 1624, S. 218, und wohl auch schon in der ersten Auflage). Auch bei Leibniz wird an verschiedenen Stellen erw¨ ahnt, dass die Zweierprogression f¨ ur Gewichtss¨ atze verwandt wird (Zacher 1973, Ss. 246, 252, 297, 354). Fibonacci erw¨ ahnt nicht ausdr¨ ucklich, dass sich Zahlen durch Zweierpotenzen darstellen lassen. Dass es ihm gel¨aufig ist, 1)

Die mit Gewichtsst¨ ucken zu bedienenden Waagen werden immer seltener. Man sieht sie im Jahr 2005 fast nur noch zum Wiegen von Kartoffeln.

4. Nepers Arithmetica localis

379

sieht man aus einer Aufgabe, die von Gef¨ aßen der Gewichte 1, 2, 4, 8 und 15 Mark Silber handelt, wobei ein Arbeiter, der 30 Tage arbeitet, t¨ aglich mit einer Mark auszuzahlen ist, sowie aus seiner Berechnung der Potenzen 220 , 518 und 912 , wo er, um in unserer Sprache zu reden, die Zerlegung der Exponenten in Summen von Zweierpotenzen benutzt. Die t¨ agliche Auszahlung von einer Mark Silber ist m¨oglich, ohne dass eines der Gef¨aße zerst¨ort werden muss. Bilder von nach Zweierpotenzen gest¨ uckelten Gewichtss¨ atzen finden sich in Kahnt & Knorr 1986 und L¨ uneburg 1989, Bilder und zus¨ atzliche Information in Houben 1984. In Houben 1990 lese ich auf S. 60f., dass franz¨ osische St¨adte des 13. Jahrh. Normalgewichte hatten, die bin¨ ar eingerichtet waren. Die St¨ ucke des l¨ angsten bekannten Gewichtssatzes aus dieser Zeit haben die Gewichte 18 , 14 , 12 , 1, 2, 4, 8 Unzen, 1 Pfund und 2 Pfund. Der a¨lteste bekannte Satz dieser poids de ville genannten Eichgewichte ist vom Jahre 1229 datiert. Er stammt aus der Stadt Condom. Weitere bekannte Gewichtss¨atze dieser Art: Sauveterre 1237, Toulouse 1238, Pamiers 1240, Rabastans 1241, Fleurance 1245, und sp¨atere. Bin¨are Gewichtss¨atze waren also schon zu Lebzeiten Fibonaccis zumindest in Frankreich verbreitet. Den Hinweis auf Houben 1990 verdanke ich wie schon fr¨ uher den Hinweis auf Houben 1984 meinem Freund Knud Wolf (Frankfurt/Main). Neper nun publizierte 1617 in einem Anhang zu seiner Rabdologie (St¨ abchenrechnung,  = Stab) seine Arithmetica localis, in der er rein mechanisch ablaufende Verfahren f¨ ur die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und das Quadratwurzelziehen f¨ ur dyadisch dargestellte nat¨ urliche Zahlen angibt (Neper 1617/1966). Dabei ist zu beachten, dass sein dyadisches System kein Positionssystem ist, da die Zweierpotenzen bei seiner Darstellung wirklich vorhanden sind. Seine Darstellung modelliert n¨ amlich die bin¨ ar strukturierten Gewichtss¨ atze, die er jedoch nicht erw¨ ahnt. Zun¨ achst verfertigt er einen Stab, der in soviele Pl¨ atze (loca, daher arithmetica localis) einzuteilen ist, wie man Zahlen bzw. Rechensteine unterzubringen w¨ unscht. Bei seinem Beispiel ist 16 die Anzahl der Pl¨ atze und mit Zahlen ist die mit 1 beginnende Folge der Zweierpotenzen gemeint, die in diesem Falle mit 32768 endet. Auf diesem Stab sind alle Zahlen unterhalb 65536 darstellbar. Wenn man den Stab in 24 Teile teilt, so ist 8388608 die vierundzwanzigste Zahl und alle Zahlen unterhalb 16777216 sind darstellbar. Wenn man aber mit noch gr¨ oßeren Zahlen zu rechnen w¨ unscht, etwa mit Sinus-, Tangens- und Secanswerten — die beiden ¨ letzteren Namen waren noch nicht lange in Gebrauch, der erste ist Ubersetzung des entsprechenden arabischen Begriffs —, so teile man einen Stab von 48 Fingern L¨ange in 48 Teile. (Im alten Rom war ein digitus = 1.85 cm. (Kahnt & Knorr 1987). Mehr Information habe ich nicht.) Auf dem letzten loco steht dann die Zahl 140 737 488 355 328. Mit diesem Stab kann man alle Zahlen unterhalb 281 474 976 710 656

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

darstellen. Zu Beispielzwecken nimmt er den Stab mit 16 loca. Er nennt sie der Reihe nach a, b, c, usw. bis q, so dass a = 1, b = 2, c = 4, d = 8, e = 16, f = 32, g = 64, h = 128, i = 256, k = 512, l = 1024, m = 2048, n = 4096, o = 8192, p = 16384 und q = 32768 ist. Der ein oder andere Leser mag bei dem Plural loca des Wortes locus gestutzt haben. Dieses Wort hat neben dem regul¨ aren Plural loci eben auch noch den Plura loca, der dann benutzt wird, wenn es sich um Orte gleicher Art handelt. Ein weiteres Beispiel f¨ ur diesen Plural findet sich in Fibonaccis liber abbaci, wo er gleich zu Beginn von den loca negotiationis spricht, den Handelspl¨atzen, die er besucht hat (Boncompagni 1857). Dann geht es darum, gemeine Zahlen (numeri vulgares) in lokale Zahlen (numeri locales) umzuwandeln und umgekehrt. Um gemeine Zahlen in lokale umzuwandeln, gibt er zun¨ achst zwei Verfahren, das der Subtraktion und das der Halbierung. Bei dem Verfahren der Subtraktion suche man in der Tabelle die gr¨ oßte Zahl unterhalb der gegebenen, subtrahiere sie und verfahre mit dem Rest genauso, bis die gegebene Zahl aufgebraucht sei. Die abgezogenen Zahlen werden dabei auf dem Stab mit Steinen markiert. Stattdessen k¨ onne man aber auch die abgezogenen Zahlen mittels ihrer Buchstaben auf dem Papier notieren. Die, sei es auf dem Stab, sei es auf dem Papier dargestellten Zahlen nenne man lokal. Dies wird nun an der Jahreszahl 1611 als Beispiel erl¨ autert. Dass 1611 Jahreszahl ist, ist meine Interpretation. 1611 − 1024 = 587 l 587 − 512 = 75 75 − 64 = 11

k g

11 − 3 −

8= 2=

3 1

d b

1 −

1=

0

a

Also ist lkgdba die lokale Darstellung von 1611. Die Buchstaben kann man nat¨ urlich beliebig permutieren, die dargestellte Zahl bleibt die gleiche. Die Halbierungsmethode verl¨ auft folgendermaßen. Es sei N die gegebene Zahl. Ist sie gerade, so tue man zun¨achst nichts. Ist sie ungerade, so lege man einen Stein an die mit a bezeichnete Stelle, bzw. man notiere a auf dem Papier. Ferner setze man in diesem Falle N := N − 1. Nun ist N in jedem Fall gerade. Man halbiere N und spiele das gleiche Spiel mit b anstelle von a, usw. Als Beispiel wird wieder die Jahreszahl 1611 benutzt. Sie ist ungerade. Also notiere man a. Es = 805. Dies ist wieder ungerade. Also wird b notiert und 805−1 = 402 folgt 1611−1 2 2 gerechnet. Dies ist gerade. Es wird wieder halbiert, was 201 ergibt, und mit dem Buchstaben d weitergemacht. 201 ist ungerade, also wird d notiert und 201−1 = 100 2 gerechnet. Dies ist durch 4 teilbar. Also kommen e und f in der Darstellung von 25−1 = 12 zu 1611 nicht vor. 100 2·2 = 25 ist ungerade, so dass g zu notieren und 2 rechnen ist. Dies ist wieder durch 4 teilbar. Also kommen h und i nicht vor. Es ist 12 2·2 = 3, so dass schließlich auch noch k und l zu notieren sind. Dieses Verfahren

4. Nepers Arithmetica localis

381

liefert also 1611 = abdgkl . F¨ ur das Umwandeln von lokalen Zahlen in gew¨ ohnliche hat man ebenfalls zwei Verfahren, eines der Addition und eines durch Verdoppeln. Bei dem durch Addition addiere man die mit Steinen oder Buchstaben angesprochenen Zahlen. Dies sind dezimal dargestellte Zweierpotenzen. Ihre Summe ist die gesuchte Zahl. So ergibt zum Beispiel abdgkl die Summe 1 + 2 + 8 + 64 + 512 = 1611. Das Verfahren durch Verdoppeln ist nichts anderes als der Teil des HornerRuffini-Schemas, der ein Polynom an einer gegeben Stelle, hier 2, auswertet (Ruffini 1804, Horner 1819). Man beginne bei dem f¨ uhrenden Buchstaben und steige herab bis zum a, indem man Folgendes tue. Ist S die f¨ uhrende Stelle der Zahl, so setze man n := 1. Hat man die Rechnungen bei der Stelle S abgeschlosssen, so pr¨ ufe man, ob an der Stelle S − 1 ein Stein liegt oder nicht. Liegt dort einer, so setze man n := 2n + 1, andernfalls setze man n := 2n. Schließlich setze man S := S − 1. So verfahre man, bis auch die Stelle a abgearbeitet ist. Dann ist n die gesuchte Dezimaldarstellung der lokal gegebenen Zahl vorausgesetzt, man hat das Verdoppeln und das Hinzuf¨ ugen der Eins immer im Dezimalsystem ausgef¨ uhrt. Das Beispiel ist lkgdba. Hier erh¨ alt man der Reihe nach f¨ ur n die Zahlen 1, 3, 6, 12, 25, 50, 100, 201, 402, 805, 1611. Unter dem Namen abbreviatio et extensio kommt nun das, was heute rewrite rules heißt, n¨ amlich abbreviatio: aa = b bb = c cc = d und so weiter, und extensio: b = aa c = bb d = cc usw. (Hierbei wird unterstellt, dass von links nach rechts gelesen wird.) Das sind die Regeln, die Addition und Subtraktion beherrschen. Nepers Beispiel f¨ ur die Addition ist acdeh + bcf gh = abccdef ghh = abddef gi = abeef gi = abf f gi = abggi = abhi und f¨ ur die Subtraktion abhi − bcf gh = abccdef ghh − bcf gh = acdeh.

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Die bislang vorgef¨ uhrten Verfahren f¨ ur die Addition und Subtraktion lokaler Zahlen entsprechen genau den Verfahren, die man f¨ ur die Addition und Subtraktion dezimal dargestellter Zahlen auf dem herk¨ ommlichen Rechentisch hat, nur dass im letzteren Falle die Rewrite-rules andere sind: F¨ unf Steine werden zu einem F¨ unfer geb¨ undelt und zwei F¨ unfer zu einem Zehner. Das nepersche Verfahren bietet also f¨ ur die Addition und Subtraktion keinen Vorteil. Durch den Zwang zur Umwandlung von einem System ins andere wird es sogar unvorteilhaft. Man ben¨ otigt den Additions- und Subtraktionsalgorithmus aber bei der Multiplikation und Division als Unteralgorithmen, so dass sie nicht nur theoretische Bedeutung haben. Die neperschen Multiplikations- und Divisionsalgorithmen haben jedoch solche Vorteile, dass sich die Umwandlung von dezimal in lokal lohnt. Nachdem Addition und Subtraktion zur Verf¨ ugung stehen, wird noch eine dritte M¨ oglichkeit der Umwandlung von dezimal in lokal und lokal in dezimal gegeben. Dazu dient die folgende Reduktionstafel. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

a b ab c ac bc abc d ad

bd ce bcde df bef cdef bcg eg bdeg

cfg dgh cdfi ehi cefghi degk cdefhk fik chik

dfghik eghikl defhikm fhiklm dhikn efgikln degikmn giklmn defiko

eiklo fklmp efilnop glmlnq egikpq tgkmopq efginr hmnor ehiklmnpr

fhklqr gkprstv gilmrs fghiknqt hkmnst fioqrst ghiklorv fgklmoqsv ilnotv fhikmnoqrtv

Der Eintrag am Kreuzungspunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ist die lokale Darstellung der Zahl i·j. Mit dieser Tafel ist man in der Lage, alle Zahlen zwischen 1 und 1999999 in beide Richtungen umzuwandeln. Ist etwa 3783 nach lokal umzuwandeln, so erh¨ alt man mittels dieser Tabelle 3000 = def hikm 700 = cdef hk 80 = eg 3 = ab. Also ist 3783 = abcddeeef f ghhikkm = abceghklm. Will man lokal in dezimal umwandeln, so suche man die gr¨ oßte in der Tabelle vorhandene lokale Zahl unterhalb der gegebenen, notiere die zugeh¨ orige Dezimalzahl und subtrahiere die gefundene von der gegebenen Zahl. Verfahre mit der Differenz genauso. Addiere die neugefundene Dezimalzahl zu der bereits vorhandenen, usw.

4. Nepers Arithmetica localis

383

Multiplikation, Division und das Quadratwurzelziehen wird auf einem quadratischen Brett, scacchiae abacus genannt, ausgef¨ uhrt, das je nach Wunsch in 18 × 18, 24 × 24 oder mehr quadratische Felder entsprechend einem Schachbrett eingeteilt wird. Neper w¨ ahlt zur Beschreibung seiner Verfahren das (24 × 24)-Brett. In die Felder des rechten Randes schreibt er im unteren Felde beginnend die Buchstaben a, b, c, d, e, f , g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, v, x, y, z und, da sein Alphabet nur 23 Buchstaben hat, das Zeichen &. Diese Buchstaben bzw. das Zeichen & schreibt er auch in die Felder des unteren Randes, rechts beginnend. Der Buchstabe a im außersten rechten Feld ist beiden Beschriftungen gemeinsam. In die Felder des ¨ oberen Randes schreibt er von dem Zeichen & abgesehen, das schon im rechten Felde steht, die griechischen Buchstaben α, β, γ, δ, , ζ, η, θ, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, o, π, ρ, σ, τ , υ, ϕ, χ und ψ und zwar entsprechend den lateinischen Buchstaben in der unteren Reihe von rechts nach links. Schließlich schreibt er diese Buchstaben auch noch von unten nach oben in die Felder des linken Randes, wobei das unterste Feld dieser Reihe nat¨ urlich schon von dem Zeichen & besetzt ist. Die lateinischen Buchstaben, das Zeichen & und die griechischen Buchstaben repr¨asentieren wieder Potenzen von 2 n¨ amlich a = 1, b = 2, c = 4, d = 8, . . . , z = 4194304, & = 8388608, α = 16777216, . . . , ψ = 70368744177664. Die Felder der Diagonalen, die von links oben nach rechts unten verl¨ auft, also ψ mit a verbindet, markiert er mit einem ¨ Punkt. Das dient der Ubersichtlichkeit. Wir benutzen im Folgenden die Buchstaben in den Feldern des rechten Randes als die Indizes der waagrechten Reihen (Zeilen) durch sie und entsprechend die Buchstaben in den Feldern des unteren Randes als die Indizes der senkrechten Reihen (Spalten) durch sie. Dann beschreibt Neper die m¨ oglichen Bewegungen der Rechensteine auf dem Brett: Sie k¨onnen sich einmal vertikal und horizontal, dh., parallel zu den Seiten bewegen wie der den Turm tragende Elefant (elephas turrifer ) und diagonal wie der Pfeiltr¨ ager (sagittifer ) des Schachspiels. Zwei Axiome beherrschen das Rechnen auf dem Brett, die jedoch nicht voneinander unabh¨ angig sind, was Neper nicht erw¨ ahnt. Axiom 1. Bewegt man einen Stein ein Feld nach oben oder ein Feld nach links, so verdoppelt er seinen Wert. Axiom 2. Die Diagonalen zwischen gleichen Buchstaben a, bb, c . c, d . . d, e . . . e, etc. haben alle den gleichen Wert. Schaut man sich einen Augenblick das folgende Diagramm an, so sieht man, dass in der Tat Axiom 2 eine Folge von Axiom 1 ist. Sind die Randfelder wie eingangs besprochen besetzt, so ist Axiom 1 auch Folge von Axiom 2. ·

d · d c d c b d c b a

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Multipliziert man nun den Buchstaben X mit dem Buchstaben Y , so muss man X sooft verdoppeln, wie man die 1 verdoppeln muss, um Y zu erhalten. Daher ist das Ergebnis der Multiplikation dasjenige Feld, in dem sich die Senkrechte durch X und die Waagrechte durch Y treffen. Hat man nun X1 X2 . . . Xs mit Y1 Y2 . . . Yt zu multiplizieren, so markiere man an der unteren Reihe mit Steinen die lokale Zahl X1 X2 . . . Xs und entsprechend an der rechten Seite die Zahl Y1 Y2 . . . Yt . Das Produkt erh¨ alt man dann aufgrund des Distributivgesetzes, welches Neper nicht erw¨ahnt, indem man die Schnitte der Senkrechten durch X1 , . . . , Xs mit allen Waagrechten durch Y1 , . . . , Yt mit Steinen belegt. Ihre Summe ist das Ergebnis. Dieses ist in aller Regel noch nicht bereinigt. Das folgende Diagramm zeigt das Beispiel acde · bef . · • • • • f • • • • • e • d · c · • • • · • b • · a f e d c b a • • • • Das Ergebnis ist bdef eghif hik. Auf dem Brett wird man das Bereinigen so durchf¨ uhren, dass man die Steine diagonal etwa an den rechten Rand schiebt und dann die Abk¨ urzungsregeln anwendet. Hierbei n¨ utzt man aus, dass die Felder einer Diagonalen zwischen zwei gleichen Buchstaben stets den Wert eben dieses Buchstabens haben. Auf dem Papier ergibt sich bdef eghif hik = bdf f f ghhiik = bdf ggikk = bdf hil. Die Division wird wie folgt durchgef¨ uhrt. Der Dividend wird mit Steinen neben dem rechten Rand notiert und der Divisor unter der unteren. Dann bringe man die zur rechten Seite parallele Reihe durch den f¨ uhrenden Buchstaben des Divisors mit der Nordost-S¨ udwestdiagonalen durch den f¨ uhrenden Buchstaben des Dividenden zum Schnitt. In die dadurch definierte waagrechte Reihe lege man eine Kopie des Divisors. Diese Kopie stellt nat¨ urlich nicht den Divisor, sondern ein 2k -faches des Divisors dar. Die so dargestellte Zahl subtrahiere man vom Dividenden, falls der Dividend nicht kleiner ist. Ist er kleiner, so lege man die Kopie eine Zeile tiefer. Dann ist die Subtraktion m¨ oglich. Wiederhole dieses Verfahren mit dem Rest als neuem Dividenden und dem alten Divisor, bis der Rest schließlich kleiner ist als der Divisor. Der Quotient ist die Zahl, die sich aus den Indizes der mit Steinen belegten Zeilen ergibt. Als Beispiel bringt Neper die Divisionen 250 : 13 und 728424 : 1206. Wir begn¨ ugen uns hier mit dem ersten Beispiel. Es ist 250 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 = hgf edb

4. Nepers Arithmetica localis

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und 13 = 8 + 4 + 1 = dca. Die Ausgangssituation sieht wie folgt aus.

• • · ·

• ·

· d c b a • • •

h g f e d c b a

• • • • • •

Hat man die in Zeile e liegende Zahl vom Divisor abgezogen, so wird jene Zahl passiv, was wir im folgenden Diagramm dadurch andeuten, dass wir die Steine mit einem ◦ bezeichnen. Zun¨achst m¨ usste man nun den Divisor in Zeile c legen, doch diese Zahl ist gr¨ oßer als der Rest, so dass sie in Zeile b kommt, wodurch sie halbiert und dadurch kleiner als der Rest wird. h g f • ◦ ◦ ◦ e d • · c · • • · • b • · a d c b a • • • Um den Divisor vom Rest abziehen zu k¨onnen, muss der Stein f aufgel¨ ost werden. Tut man dies, subtrahiert die in Zeile b liegende Zahl und bereitet den n¨ achsten Schritt vor, so erh¨ alt man die folgende Situation.

◦ ◦ ◦ · · ◦ ◦ · ◦ • • • d c b a • • •

h g f e • d c b a

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Subtrahiert man nun noch die Zahl, die in Zeile a liegt, vom Rest e, so erh¨ alt man ba, dh. 3. Der Quotient ergibt sich aus den Indizes der besetzten Zeilen zu eba = 16 + 2 + 1 = 19. Es bleibt das Wurzelziehen. Hier wird der Radikand wieder rechts neben der rechten senkrechten Reihe mit Steinen markiert. Dann wird vom f¨ uhrenden Stein aus die Nordost-S¨ udwestdiagonale (Neper benutzt diese W¨ orter nicht) mit der Nordwest-S¨ udostdiagonalen zum Schnitt gebracht. Ist der Schnitt ein Punkt, so lege man einen Stein in das Feld s¨ ud¨ ostlich dieses Punktes, ist der Schnitt ein Feld, so lege man einen Stein in dieses Feld. Dieser Stein heißt Kopfstein (caput gnomonum seu quadrati). ·

· · · •

· ·

•

· ·

Ich habe mich bislang darum gedr¨ uckt, das Wort Gnomon zu erkl¨ aren. Das unglich den Schatgriechische Wort  bedeutet als Terminus technicus urspr¨ tenzeiger der Sonnenuhr. Die alten Astronomen benutzten ihn bei ihren Beobachtungen, bei denen sie aus dem Verh¨ altnis der Gnomonl¨ ange zur Schattenl¨ ange ihre Schl¨ usse zogen — hier k¨ undigt sich der Tangens an —. Die Folge war, dass der Stab mit seinem Schatten als eine Einheit angesehen und dieses Gebilde nun Gnomon genannt wurde. Von daher erkl¨ art sich der Gebrauch, den Mathematiker von diesem Worte machen, die rechtwinklige, ebene Fl¨achenst¨ ucke, wie sie z. B. in Euklids Buch X h¨ aufig auftreten, Gnomone nennen. Neper benutzt dieses Wort in einem verwandten Sinn, wie wir jetzt sehen werden. Dies erkl¨ art dann auch, weshalb Neper den Kopfstein caput gnomonum nennt. Die durch den Kopfstein definierte Zahl wird vom Radikanden abgezogen. Der Kopfstein wird nun passiv. Als N¨ achstes lege man einen Stein in das Feld rechts vom Kopfstein, erg¨ anze zum Gnomon, so dass eine Quadratzahl entsteht. Wenn die Summe der Gnomonpunkte kleiner oder gleich dem Rest des Radikanden ist, so subtrahiere man diese Summe und die Gnomonpunkte werden ihrerseits passiv. L¨asst sich diese Summe nicht subtrahieren, so r¨ ucke man den Stein rechts vom Kopfstein ein Feld weiter nach rechts und erg¨ anze zum Gnomon, so dass wieder ein Quadrat aus vier Steinen entsteht, wie im folgenden Diagramm gezeigt. ◦ • • •

◦ ·

•

·

• •

Ist die Summe der Gnomonpunkte kleiner oder gleich dem Rest, so subtrahiere man die Summe. Danach sind die Gnomonsteine passiv. Ist die Summe gr¨oßer, so r¨ ucke man den Stein in der waagrechten Reihe durch den Kopfstein ein Feld weiter nach rechts, erg¨anze zum Gnomon, etc., bis einmal ein Gnomon gefunden wird,

5. Dramatis personae

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dessen Summe sich vom Rest abziehen l¨asst oder aber bis kein Feld mehr √ zum Probieren zur Verf¨ ugung steht. In diesem Falle repr¨ asentiert der Kopfstein  n. Findet man einen Gnomon, der sich subtrahieren l¨ asst, so subtrahiere man ihn und beginne das Spiel auf ein Neues. Ist das Spiel zuende gespielt, so liefern die Indizes der Zeilen oder auch √ die Indizes der Spalten, in denen Steine liegen, die lokale Darstellung von  n. Ein Beispiel wird die evt. noch bestehenden Unklarheiten beseitigen. √ Gesucht ist  1238. Es ist 1238 = 1024 + 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = lhgecb. Das folgende Diagramm zeigt die Situation, nachdem Kopfstein und erster Gnomon bereits gefunden und abgezogen sind. Die lokale Markierung von 1238 und der erste Rest sind mit ◦ in den beiden Spalten rechts der Buchstaben markiert, der aktive Gnomon und der aktive Rest mit •. Der Rest nach Abzug des aktiven Gnomons vom aktiven Rest ist mit ∗ markiert. Es folgt, dass 1238 = (abf )2 + acd = (1 + 2 + 32)2 + 1 + 4 + 8 = 352 + 13 ist. Hier nun das Diagramm

◦

◦ •

·

◦ • ·

·

◦ • • •

l k i h g f e d c b a

◦ ◦◦ ◦◦• ◦◦•

∗ ◦◦ ∗ ◦◦• ∗

f e d c b a √ Neper rechnet auch noch das Beispiel  2209 und erh¨ alt 2209 = 472 . Dies ist Beispiel daf¨ ur, dass sich die beiden Diagonalen nur in√einem Punkt schneiden. Der nepersche Algorithmus zur Berechnung von  n in seiner arithmetica localis ist die bin¨ are Variante des Tertianeralgorithmus. 5. Dramatis personae. Die Personen des Dramas im Zank um die Publikation der L¨ osungsformel f¨ ur die Gleichung 3. Grades sind Nicolo Fontana alias Tartaglia, Girolamo Cardano medico milanese und Lodovico Ferrari il suo creato. In weiteren Rollen Scipione dal Ferro, Professor der Mathematik an der Universit¨ at Bologna, Antonio Maria Fior, sein Sch¨ uler und Nachfolger im Amt, und viele andere.

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

In den Quesiti (Tartaglia 1554/1959, f. 69–70. Die fragliche Stelle ist auch bei Libri 1967, Bd. 3, S. 357ff. abgedruckt) gibt Tartaglia ein Gespr¨ ach wieder, das er mit dem Prior von Barletta f¨ uhrte und in dem er seine Jugend schilderte. Sein Vater mit Namen Michele, wegen des Geizes der Natur klein geblieben, w¨ are Micheletto genannt worden. Bei ihm sei die Natur auch nicht gerade verschwenderisch gewesen, meinte der Prior. Ja, das am¨ usiere ihn und erinnere ihn immer daran, dass er wirklich der Sohn seines Vaters sei. An den Nachnamen seines Vaters erinnere er sich nicht mehr, eben nur daran, dass er Micheletto der Pferdehalter genannt wurde. Dies deswegen, da er sich ein Pferd gehalten h¨ atte, mit dem er der Stadt Brescia als Bote diente. Der Vater sei gestorben, als er, Tartaglia, etwa sechs Jahre alt war. Neben ihm seien ein Bruder wenig gr¨oßer als ich“, eine Schwester kleiner ” ” als ich“ und die Mutter zur¨ uckgeblieben. Zuvor hatte Tartaglia von zwei Schwestern gesprochen, so dass eine offenbar fr¨ uh verstorben war. Kurz vor des Vaters Tod w¨ are er einige Monate in die Leseschule (scola di leggere) geschickt worden. Der Unterricht wurde, so scheint es, durch den Tod des Vaters unterbrochen. Als etwa Zw¨olfj¨ ahriger sei er bei der Pl¨ underung von Brescia durch franz¨ osische Truppen f¨ urchterlich zugerichtet worden, obgleich er mit seiner Mutter, seiner j¨ ungeren Schwester und anderen Menschen im Dom der Stadt Zuflucht gesucht h¨ atte. F¨ unf an sich t¨ odliche Wunden h¨ atte er erhalten. Der Sch¨adel sei ihm zertr¨ ummert worden, so dass das Gehirn bloß lag, und auch beide Kiefer gespalten. Er h¨ atte ausgesehen wir ein Monster. Seine Mutter h¨ atte ihm das Leben gerettet, indem sie ihm nach dem Beispiel der Hunde die Wunden leckte. F¨ ur Salben und Arzt h¨ atte sie kein Geld gehabt. Heute tr¨ uge er einen Bart, um die Verst¨ ummelungen zu verbergen. Die Verletzung des Kiefers h¨atten bewirkt, dass er nicht richtig sprechen k¨ onne, so dass man ihn Tartaglia, das ist der Stammler, nannte. Da er den Namen seines Vaters nicht wisse, h¨atte er den Namen Tartaglia als seinen Nachnamen beibehalten. Mit vierzehn sei er weitere f¨ unfzehn Tage (circa giorni 15 ) in die Schule, diesmal die Schreibschule (scola de scriuere) gegangen, um das Alphabet zu lernen. Die Zahlungsbedingungen seien die gewesen, dem Lehrer die erste Rate bei Beginn des Unterrichts, diei zweite, wenn das Abc bis zum Buchstaben K gelernt war, und der Rest am Ende des Unterrichts zu zahlen. Er h¨ atte nun die zweite Rate nicht zahlen k¨onnen und folglich den Unterricht abbrechen m¨ ussen. Er h¨atte versucht — offenbar mit Erfolg —, ein vollst¨andiges Alphabet von des Lehrers Hand geschrieben zu erlangen, um auch die restlichen Buchstaben des Alphabetes zu lernen. Von jenem Tage an h¨ atte er alles, was er noch lernte — und das war nicht wenig —, ohne einen Lehrer gelernt, einzig in Begleitung einer Tochter der Armut, Fleiß genannt: . . . , et piu non vi (zum Lehrer) tornai, perch`e sopra de quelli (den Vorlagen des Lehrers) imparai da mia posta, et cosi da quel giorno in qua, mai piu fui, ne andai da alcun’ altro precettore, ma solamente in compagnia di una figlia di poverta chiamata industria. Sopra le opere degli huomini defonti continuamente mi son travagliato. Die Pl¨ underung Brescias durch die Franzosen unter dem Befehl von Gaston de Foix begann am 19. Februar des Jahres 1512 und dauerte je nach Autor zwei oder

5. Dramatis personae

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auch sieben Tage. Die Angabe, er sei zu diesem Zeitpunkt ungef¨ ahr zw¨ olf Jahre alt gewesen, datiert seine Geburt in etwa in das Jahr 1500. In der Geschichte ” Venedigs in Grundz¨ ugen“ von Manfred Hellmann verbergen sich die Ereignisse, die Tartaglias Leben so nachhaltig beeinflussten, unter einem einzigen Satz: Nach ” einem blutigen Sommerkrieg des Jahres 1512, in dem die Franzosen trotz stolzer Siege doch aus Italien vertrieben wurden, schloss sich auch Maximilian der Heiligen Liga an“ (Hellmann 1989, S. 141). Stolze Siege! — Gaston de Foix fiel in der Schlacht von Ravenna am 11. April 1512 (Gregorovius 1874/1997, S. 273f.). F¨ ur uns klingt Leseschule und Schreibschule merkw¨ urdig, da es uns selbstverst¨andlich scheint, dass man Lesen und Schreiben gleichzeitig lernt. In fr¨ uheren Zeiten war es das nicht, so dass es Zeiten gab, wo mehr Leute lesen als schreiben konnten (Ari`es & Duby 1991, Bd. 3, S. 115 ff.). Hier noch ein Originalzitat als Beleg. In den Canterbury Tales von Chaucer heißt es in der Erz¨ ahlung der Priorin: Am jenseitigen Ende der Stadt stand eine kleine Schule f¨ ur die Christen, und ” eine grosse Schar von Kindern kam in dieses Haus, um dort jahrein, jahraus zu lernen, was man als Kind zu lernen pflegt, n¨ amlich Singen und Lesen.“ (Chaucer 1380/1996, S. 164) In den Quesiti hat Tartaglia eine große Zahl von Gespr¨ achen und Briefen zu einem Ganzen vereint. Hier findet man daher viele autobiographische Einzelheiten, wie die gerade vorgestellte Schilderung seiner Kindheit. Man kann ihnen auch entnehmen, dass er von etwa 1521 bis — und dies genau — 1534 in Verona lebte und als Privatlehrer seinen Lebensunterhalt verdiente und dass er im Jahre 1535 nach Venedig u ¨bersiedelte. Dort fand er in dem spanischen Botschafter Diego Hurtado de Mendoza einen M¨ azen. Die Verbindung zu diesem war im Jahre 1539 durch Cardano offenbar brieflich hergestellt worden (Quesiti, 123r und 125r ). In Verona und Venedig lehrte er, schrieb er und diskutierte er mit Laien und Fachkollegen Fragen der Mathematik, der Mechanik, der Fortifikation, der Ballistik und der Fabrikation von Schießpulver. Eine Reihe seiner Sch¨ uler sind heute noch namentlich bekannt. Der ber¨ uhmteste und bedeutendste unter ihnen ist Giovanni-Battista Benedetti, der uns im Zusammenhang mit der Kritik an der Definition 5 von Euklids Buch V schon einmal begegnet ist. Eine W¨ urdigung der Schriften Tartaglias findet der Leser in Rose 1975, Chap. ¨ 7. Hier sei nur erw¨ ahnt, dass er auch eine Ubersetzung der Elemente Euklids aus dem Lateinischen ins Italienische anfertigte und 1543 publizierte. Er hatte also Latein gelernt. Im gleichen Jahr ver¨ offentlichte er auch eine lateinische Version von vier Arbeiten von Archimedes. Hierbei hat er sich, so Rose (1975, S. 152 f.), ¨ der ihm andererseits Kenntnisse des Griechischen best¨atigt, der Ubersetzungen anderer bedient. Was die Gleichungen dritten Grades anbelangt, so werden wir auf dieses Thema im n¨achsten Abschnitt ausf¨ uhrlich eingehen. Im Archivio di Stato di Verona liegen Dokumente aus den Jahren 1529 bis 1533 — so der Dictionary of Scientific Biography —, die bezeugen, dass Tartaglia eine Familie hatte und dass er in a¨rmlichen Verh¨ altnissen lebte (that he was in reduced financial circumstances). Eines dieser Dokumente aus dem Jahre 1529 sagt, dass er in diesem Jahre 30 Jahre alt war. Demzufolge m¨ usste er 1499 geboren

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

sein (Quesiti, S. XIX). Es ist bemerkenswert, dass der an sich gut recherchierte Roman Der Rechenmeister“ von Dieter J¨ orgensen nicht erw¨ahnt, dass Tartaglia ” verheiratet war (J¨orgensen 1999). Tartaglia starb in der Nacht von Montag auf Dienstag des 13./14. Dezember des Jahres 1557 in der siebten Nachtstunde, so eine Bemerkung des Notars Rocco de Benedetti am unteren Rande seines Testamentes, das er wenige Tage vor seinem Tode verfasste. In diesem Testament nennt er seinen Bruder Zampiero Fontana. Er wusste also doch seinen wirklichen Nachnamen. Das Testament wird heute im Archiv der Stadt Venedig aufbewahrt (Quesiti, S. XIX). Wer mehr u ¨ ber Tartaglias Leben wissen m¨ochte, der lese die von Masotti besorgte Ausgabe der Quesiti, die vorbildlich dokumentiert und kommentiert ist (Tartaglia 1554/1959). Bevor wir uns Cardano zuwenden, eine Bemerkung zuvor. Die folgenden, nicht ¨ n¨ aher belegten Zitate stammen alle aus der hefeleschen Ubersetzung von Cardanos eigener Lebensbeschreibung (Cardano 1914). Cardano war mir lange Zeit unsympathisch. Er wird immer als der Eidesbrecher hingestellt, der Tartaglia um dessen Ruhm gebracht habe. Als ich die Geschichte der Entdeckung der L¨ osungsformel f¨ ur die kubische Gleichung in der Vorlesung vortrug, galt meine Sympathie vor allem Tartaglia. Ich warnte meine H¨ orer aber, dass ich die Quellen noch nicht ersch¨ opfend studiert habe und mich vor allem auf das verließe, was Tartaglia schrieb. Heute habe ich einiges nachgeholt und vor allem Cardanos eigene Lebensbeschreibung gelesen, die mein Bild von ihm nachhaltig korrigierte. Man muss sich Zeit lassen, will man seinen Helden gerecht werden, doch Vorlesungen haben ihre Termine, die eingehalten werden m¨ ussen. Girolamo Cardano wurde am 24. September 1501 in Pavia geboren. Er schreibt, man habe vergeblich versucht ihn abzutreiben und ihn dann am Ende mehr tot als lebendig aus der Mutter gezogen. Seine Mutter war Chiara Micheria, sein Vater Fazio Cardano. Er bemerkt zu dem Tag, dass an ihm einst Augustus zur Welt kam und dass der hocherlauchte K¨ onig Ferdinand von Spanien und seinei Gemahlin Elisabeth (Isabella) die erste Flotte ausgesandt h¨atten, die ihnen den ganzen Westen erobern sollte. Ferner erw¨ahnt er, dass an diesem Tage im ganzen r¨ omischen Reich die Zinszahl wechsle. Dar¨ uber haben wir schon in Abschnitt 9 von Kapitel 3 berichtet. Mit dem Leben davon gekommen hatte er drei Ammen. Die erste starb an der Pest. Die Milch der zweiten bekam ihm nicht. Sein Bauch schwoll an und wurde hart. Sie war schwanger, stellte sich heraus. Die dritte stillte ihn dann bis ins dritte Lebensjahr. Vater und Mutter waren j¨ ahzornig. Von beiden bezog er bis zu seinem siebten Lebensjahr viele Pr¨ ugel. Zu unrecht, wie Cardano meint. Dann h¨ atten sie beschlossen, ihn nicht mehr zu pr¨ ugeln, obgleich er nun Pr¨ ugel verdient gehabt h¨ atte. Seine Kindheit war nicht leicht. Er war h¨ aufig krank und sein Vater ließ ihn wie einen Sklaven f¨ ur sich arbeiten. Worin die Arbeiten bestanden, sagt er nicht. Sein ganzes Leben litt er unter den verschiedensten Krankheiten. Zweimal hatte er die Pest, zweimal die Pocken, einmal die Ruhr und immer wieder Fieber. Er hatte eiternde Geschw¨ ure, u ¨ belriechenden Auswurf wegen eines verdorbenen Magens und er litt

5. Dramatis personae

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unter Harnfluss, wobei er pr¨ azise Angaben zu den ausgeschiedenen Mengen von Urin macht, er war schließlich Arzt. Bis zu seinem dreißigsten Lebensjahr war er impotent. Als er seine Lebensbeschreibung aufschrieb, hatte er noch f¨ unfzehn Z¨ahne im Mund. Was die Heilung von der Ruhr anbelangt, die ihn befallen hatte, als er acht ¨ Jahre alt war, und die damals in Mailand grassierte, so schreibt er, dass zwei Arzte nicht helfen konnten. Doch dann besserte sich sein Zustand: Mein Vater hatte f¨ ur ” meine Gesundheit beim heiligen Hieronimus ein Gel¨ ubde getan; er war ein Mann, der ein frommes Herz hatte, und wollte darum lieber des Heiligen wundert¨ atige Kraft erproben als die eines gewissen b¨osen Geistes, mit dem er, wie er versicherte, in vertrautem Verkehr stand — eine dunkle Sache, der ich stets vers¨ aumt habe auf den Grund zu gehen.“ Cardano selbst hing auch manchem Aberglauben an und berichtet von so manchem Wunderzeichen, das ihm begegnete. — Zu seinen astrologischen Aktivit¨ aten konsultiere man Grafton 1999. Dort auch weitere Literatur zu Cardanos Leben und Werk. Bei Grafton fand ich den Holl¨ ander Hugo Blotius zitiert, der in seinen italienischen Reisenotizen, die er f¨ ur einen jungen Freund angefertigt hatte, die bologneser Adresse Cardanos angegeben hat mit dem Hinweis: Man muss sich davor h¨ uten, ihm plumpe Schmeicheleien zu sagen, man soll ” sich vielmehr kurz fassen und ihn fragen, ob in n¨ aherer Zukunft weitere B¨ ucher von ihm zu erwarten seien.“ Ferner, dass seine B¨ ucher in Deutschland und Belgien ” begeistert gelesen werden.“ (Grafton 1999, S. 36 und S. 173) Sein Vater unterrichtete ihn seit dem neunten Lebensjahr in Arithmetik, wobei er so tat, als sei dies eine Geheimwissenschaft. Sp¨ater unterrichtete er ihn auch in arabischer Astrologie. Seit dem zw¨olften Lebensjahr studierte er dann, ebenfalls unter Anleitung seines Vaters, die ersten sechs B¨ ucher von Euklid. Das alles ohne Latein. Dies lernte er sp¨ ater, von einem auf den andern Tag, wie er schreibt. Der Vater, selbst Jurist, wollte, dass der Sohn Jura studiere. Dieser aber studierte ab 1520 zun¨ achst in Pavia und dann in Padua Medizin, praktische Medizin und Philosophie. Mit vierundzwanzig Jahren wurde er Rektor der Universit¨ at zu Padua und das noch vor seiner Promotion zum Doktor der Medizin, die er erst im dritten Anlauf im Jahre 1526 schaffte. Mit dem Einmarsch des franz¨osischen K¨onigs Karl VIII. im Jahre 1494 endeten vierzig Jahre des Friedens in Italien. Es ging um Neapel. Sein Nachfolger, Ludwig XII., im Amt seit 1498, Urenkel von Gian Galeazzo Visconti, dem ersten Herzog von Mailand, erhob auf Grund dieser Abstammung Anspruch auf eben diese Stadt. Er zog nach Italien. Die St¨ adte Venedig, Mailand und Florenz, der Papst — unter den P¨ apsten der ber¨ uchtigte Borgia Alexander VI. —, der franz¨ osische K¨onig, der Kaiser, alle versuchten ihr Sch¨ afchen ins Trockene zu bringen, mit Gewalt versteht sich. Es waren schreckliche Zeiten. In den zwanziger Jahren wechselte Mailand zweimal den Landesherrn. In den Jahren 1526 und 1527 herrschte Hungersnot in Mailand: Die Preise f¨ ur die amtlichen Getreidescheine ” waren kaum zu erschwingen.“ Im Jahre 1528 w¨ uteten Pest und andere Seuchen. St¨ andig Kriege, unertr¨ aglich dr¨ uckende Abgaben“. Dennoch hatten die Kom” munen kein Geld, ihre Professoren zu bezahlen. Sie blieben ihnen jahrelang die

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Geh¨ alter schuldig. Die Folge dieser Wirren waren schlechte Berufsaussichten. Die ¨ mail¨andische Arzteschaft nahm ihn erst im dritten Anlauf auf. Dies war im Jahre 1539. Cardano lebte bis zu diesem Zeitpunkt in st¨andigen Geldn¨ oten. Er lebte von dem, was G¨ onner ihm zusteckten, und versuchte das Gl¨ uck im Schach- und W¨ urfelspiel. Er hatte nichts als Verluste. Das einzig Positive daraus ein Buch: de ludo aleæ (Werke, Bd. 1). Der Zug Karls VIII. nach Neapel hatte f¨ ur Europa verheerende Folgen, die sich ohne diesen Kriegszug aber auch eingestellt h¨ atten, wenn auch etwas langsamer. Columbus’ Mannschaft hatte von ihrer Fahrt nach Amerika die Syphilis mitgebracht, die schon 1493 in Spanien ihre ersten Opfer forderte. Spanische S¨ oldner, die eiligst nach Neapel verschifft worden waren, brachten sie mit nach dort. Die Stadt nun ergab sich den Truppen Karls weitgehend kampflos. Rund drei Monate gaben sie sich den w¨ ustesten Ausschweifungen hin. Sie frequentierten die Bordelle der Stadt, in denen sich zuvor die spanischen S¨ oldner am¨ usiert hatten. Im Heer brach die Seuche aus und dezimierte dieses f¨ urchterlich, so dass Karl sich zur¨ uckziehen musste. Auf dem R¨ uckzug verbreiteten die S¨ oldner die Krankheit in ganz Italien n¨ ordlich Neapels, in der Schweiz, im Elsass, in Frankreich. Karl VIII., erst achtundzwanzig Jahre alt, wurde ebenfalls ihr Opfer (Winkle 1997). Cardano erw¨ahnt die Syphilis, den morbus gallicus, die franz¨ osische Krankheit also, wie er — und nicht nur er — sie nennt, ebenfalls in seiner Lebensbeschreibung, hat er doch ein Buch u ¨ ber sie geschrieben. Der Titel dieses Buches: de lue indica, von der indianischen Seuche. Wer sich nicht vorstellen kann, was damals in Neapel geschah, der lese Die ” Haut“ von Malaparte (1979). Dieses Buch spielt im Neapel von 1943/44, doch wird sich das, was sich in diesen Jahren abspielte, von den fr¨ uheren Geschehnissen nicht wesentlich unterscheiden. Nach seiner Promotion ging Cardano nach Sacco, einem St¨adtchen in der N¨ ahe von Padua, wo er sechs Jahre als Arzt praktizierte. Dort lernte er Lucia Bandareni kennen, die er 1531 heiratete. Sie hatten drei Kinder, Gianbattista (*1534), Chiara (*1536) und Aldo (*1543). Der Sohn Gianbattista wurde 1560 zum Tode verurteilt, da er seine Frau vergiftet hatte. Das Gericht versprach, sein Leben zu schonen, falls er Verzeihung der Familie der Frau bek¨ame, doch Cardano konnte nicht genug bezahlen, um diese Familie zufrieden zu stellen. So wurde der Sohn hingerichtet. ¨ Uber diesen Verlust kommt Cardano Zeit seines Lebens nicht hinweg. Es blieben ihm ein Enkel und eine Enkelin, die fr¨ uh verstarb. Die Ehe seiner Tochter mit dem Mail¨ ander Patrizier Bartolommeo Sacco blieb kinderlos. Auch der j¨ ungste Sohn, ein Taugenichts, hatte keine Kinder. Er schreibt von seiner Freude an stilettartigen Schreibgriffeln, f¨ ur die er w¨ ahrend seines Lebens sicher 20 Golddukaten ausgegeben h¨ atte. Er schrieb also anscheinend noch auf der Wachstafel, die zumindest in Frankreich bis weit ins 19. Jahrhundert in Gebrauch war, wie wir in Abschnitt 1 schon erw¨ ahnten (du M´eril 1862). Er h¨ atte ferner große Geldsummen f¨ ur den Kauf von Federn ausgegeben. Dass er auf Papier (charta) schrieb, geht auch aus einer anderen Stelle hervor. Er erw¨ ahnt eine Uhr mit widerspenstigen Launen, die anscheinend ihm geh¨ orte. Anl¨ asslich der

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¨ Beschreibung seines Außeren spricht er von Malern, die kamen, sein Konterfei auf die Leinwand zu bringen, dass sie Schwierigkeiten hatten, etwas Charakteristisches an ihm zu finden, so dass man ihn schnell wiedererkannte. Bei diesem Anlass sagt er ebenfalls, dass sein Fuß einen sehr hohen Rist hatte, so dass er seine Schuhe vom Schuster nach Maß anfertigen lassen musste. Dies besagt doch wohl, dass man auch schon damals Konfektionsschuhe anfertigte. Er liebte auch zu angeln. Cardano verstand sich vor allem als Arzt, wenn er auch gelegentlich mit dem Lehren von Mathematik Geld verdiente. Von 1543 bis 1560 war er mit der Universit¨at von Pavia verbunden, wo er von 1543 bis 1552 und dann noch einmal von 1559 bis 1560 Medizin lehrte. Hier war es, wo die Stadt ihm das Gehalt schuldig blieb, woraus sich die Unterbrechung von sieben Jahren in der Lehrt¨ atigkeit erkl¨ art. Ab 1562 hatte er den Lehrstuhl f¨ ur Medizin an der Universit¨ at von Bologna inne. Dort hatte er mit vielen Intrigen zu k¨ ampfen, wie er schreibt. Als Arzt war er weit u ¨ ber die Grenzen Italiens hinaus ber¨ uhmt. Er wurde 1552 nach Schottland gerufen, um John Hamilton, den Erzbischof von Edinburg zu behandeln, der an Asthma litt. Viele englische Adlige nutzten seine Anwesenheit auf der Insel, ihn zu konsultieren. Der K¨ onig von D¨ anemark bot ihm eine gut dotierte Stelle, doch er nahm sie nicht an. Seine Gr¨ unde: Das rauhe Klima und die andere Religion. Der Protestantismus hatte sich schon ausgebreitet. Er bekam noch weitere ehrenvolle Angebote. Alle wollten ihn als Arzt, nur Brissac, ein Franzose, wollte ihn als Ingenieur. Das lateinische Wort f¨ ur Ingenieur ist machinator . Im u ¨ bertragenen Sinne bedeutet es Anstifter. Die weibliche Form machinatrix ist im Georges mit Anstifterin und nur mit Anstifterin u ¨bersetzt. Honni soit qui mal y pense. So erf¨ ahrt man nebenbei auch etwas u ¨ber die weltgeschichtlichen Ereignisse der damaligen Zeit. Er erw¨ahnt aber auch ausdr¨ ucklich wunderbare Dinge nat¨ urlicher Art, die in seiner Zeit ge- bzw. erfunden wurden. Die Entdeckung Amerikas. Dabei z¨ahlt er viele der L¨ ander mit Namen auf, die heute meist nicht mehr gebr¨ auchlich sind. Er bemerkt dazu: Bis alle diese L¨ander gerecht verteilt sind, wird es sicher” lich — dies ist wohl anzunehmen — noch große Misshelligkeiten geben.“ Ferner erw¨ahnt er das Pulver, den Magnetkompass und die Buchdruckerkunst. Diese drei Dinge waren zu seinen Lebzeiten aber schon nicht mehr so ganz neu. Cardano befasste sich mit allem und schrieb viel. Rose nennt ihn einen voracious polymath (Rose 1975, S. 146). Die Themen seiner Schriften stammen u. a. aus Astrologie, Medizin, Mathematik, Physik, Religion, Philosophie und Musik. Man findet bei ihm die Anleitung, eine Feder zurechtzuschneiden (Cardano 1663/1966, Bd. 3, S. 255ff.) wie auch die erste Beschreibung des heute meist Chinese ring puzzle genannten Geduldspiels. Das Puzzle findet sich zu Beginn des 15. Buches des de subtilitate (Cardano 1663/1966, Bd. 3, S. 587. Ich weiß nicht, welcher Auflage des de subtilitate die Werke folgen. Der Text stimmt aber im Wesentlichen — nicht im Wortlaut — mit dem Text aus der Pariser Auflage von 1551 u ¨ berein, der von der Biblioth`eque Nationale de France ins Internet gestellt wurde. Die erste Auflage erschien 1550 in Lyon). Seine medizinischen Schriften weisen ihn als mutigen Kritiker Galens aus (Haeser

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1881, S. 621, Neuburger und Pagel 1903, S. 122 f.). Seine gesammelten Werke f¨ ullen heute zehn B¨ande, wovon die mathematischen Arbeiten nur den vierten Band ausmachen. Cardano schreibt u ¨ber seine B¨ ucher in seiner Lebensbeschreibung, insbesondere aber auch in einer eigenen Schrift de libris propriis. In der Lebensbeschreibung sagt er zur ars magna, der Schrift, mit der wir uns gleich ausf¨ uhrlich besch¨ aftigen werden: Dann machte ich mich 1545 an die Abfassung der Ars magna, diei ich damals ” zusammenstellte, als ich mit Giovanni Colla und Niccol` o Tartaglia herumzankte. Von Tartaglia hatte ich verschiedenes in das erste Kapitel meines Werkes u ¨ bernommen; er aber wollte mich lieber zum Rivalen, und zwar zum u ¨ berlegenen Rivalen, als zum Freund und Dankverschuldeten haben.“ Dies ist die einzige Bemerkung, die ich in Cardanos Schriften zu der Auseinandersetzung mit Tartaglia gefunden habe. Am 6. Oktober 1570 wurde er in Bologna verhaftet, wegen Unglaubens und Ketzerei sagt die Sekund¨ arliteratur, er selbst sagt nichts u ¨ ber die Gr¨ unde. Siebenundsiebzig Tage blieb er in Kerkerhaft. Dann folgen noch achtundsechzig Tage Hausarrest. Befreundete Kardin¨ale helfen ihm aus seinen Schwierigkeiten. Was genau hinter der Sache steckte, kann man vielleicht jetzt erfahren, da der Vatikan die Akten der damaligen Zeit nun zug¨ anglich gemacht hat. Im Jahr 1571 u ¨ bersiedelte er von Bologna nach Rom, wo er am 6. Oktober, dem Tag des Sieges u ¨ber die T¨ urken ankam. Gemeint ist der Sieg der christlichen Flotte unter Don Juan d’Austria u ¨ber die T¨ urken bei Lepanto. Papst Pius V. setzte Cardano eine lebenslange Rente aus. An einer Stelle seiner Lebensbeschreibung blitzt der Mathematiker in ihm hervor. Er war ja lange Zeit in Geldn¨ oten. Und so u ¨ berlegte er, mit wieviel Kleidungsst¨ ucken ein Mensch auskomme. Er meinte, es gen¨ ugten vier von unterschiedlichen Stoffen, leichten bis schweren. Damit h¨atte man vierzehn M¨oglichkeiten sich zu kleiden, die M¨ oglichkeit alle vier Kleidungsst¨ ucke gleichzeitig zu tragen ausgeschlossen. Er kannte das M¨archen von des Kaisers neuen Kleidern nicht. Es war noch nicht geschrieben. Cardano starb am 21. September 1576 in Rom. Das Wenige, das ich hier vorgetragen habe, gibt nur sehr unvollkommen Cardanos eigene Lebensbeschreibung wieder. Die Melancholie des Buches, die M¨ uhsal des Lebens einerseits, die es beschreibt, und die Liebe Cardanos zu eben diesem Leben andererseits, vermag ich nicht darzustellen. Der Leser lasse sich selbst von diesem Buche r¨ uhren. Weiteres zu Leben und Werk Cardanos findet der Leser in Rose (1975) und im Dictionary of Scientific Biography. Dort auch mehr an Literatur. Lodovico Ferrari wurde am 2. Februar 1522 in Bologna geboren. Er starb ebenda im Oktober 1565. Seine Großvater Bartholomeo Ferrari war Mail¨ ander, wurde aber aus politischen Gr¨ unden ausgewiesen und siedelte nach Bologna u ¨ ber. Er hatte zwei S¨ohne Alessandro und Vincenzo. Von Alessandro stammte Ludovico ab (Ex Alexandro ortus est Ludouicus), so Cardano in seiner Vita Ludouici Ferrarii bononiensis (Werke, Band 9, S. 568–569), der Quelle, aus der wir unsere Kenntnis von Ferraris Leben sch¨opfen. Alessandro Ferrari wurde ermordet, woraufhin Lodovico

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in das Haus seines Onkels Vincenzo kam. Dessen Sohn Luca riss von zu Hause aus und ging nach Mailand, wo er in die Dienste Cardanos trat. Von dort ging er wiederum heimlich weg und kehrte nach Bologna zur¨ uck. Cardano beschwerte sich bei dessen Vater, der ihm daraufhin den vierzehnj¨ ahrigen Ludovico an Stelle des Sohnes schickte. Obgleich als Diener gekommen und nicht unterrichtet in den ” literarischen Wissenschaften, fesselte er mich durch Witz und Fruchtbarkeit der Erfindungsgabe, dass ich ihn als Schreiber benutzte. Darauf widmete er sich intensiv den lateinischen, griechischen und mathematischen Wissenschaften. Gerade achtzehn geworden, begann er o¨ffentlich zu lehren, sehr bewundert von allen, die ihn kannten.“ Er stritt o¨ffentlich mit Giovanni Colla, von dem wir noch h¨ oren werden, und danach mit Nicolo Tartaglia, beides ber¨ uhmte Mathematiker ihrer Zeit, schrieb Cardano rund zwanzig Jahre nach Tartaglias Tod. Er besiegte beide, was ihm großen Ruhm einbrachte. Er bekam daraufhin viele Angebote, darunter solche von Rom, von dem franz¨ osischen Vizek¨onig Brissac, von Kardinal Ercole Gonzaga von Mantua und von Kaiser Karl V., der ihn als Tutor f¨ ur seinen Sohn haben wollte. Es obsiegte der Kardinal, da sein Bruder Ferdinando Gonzaga ihm gerade die Oberaufsicht u ¨ ber die Vermessung des Gebietes von Mailand u ¨ bertragen hatte. F¨ ur diese Arbeit wurden fast vierhundert Coronati im Jahr ausgegeben, eine M¨ unze, die ich nicht identifizieren konnte. Vierhundert Coronati sind sicherlich keine unbetr¨ achtliche Summe, sonst h¨ atte Cardano sie wohl nicht erw¨ ahnt. In den acht Jahren im Dienste des Kardinals erhielt er fast viertausend Aureos coronatos. Dann ging er wieder nach Bologna, wo er bei seiner Schwester lebte. Dort war er vom September 1564 bis zu seinem pl¨ otzlichen Tod im Oktober des darauffolgenden Jahres Lektor f¨ ur Mathematik an der Universit¨ at dieser Stadt. Von dem pl¨ otzlichen Tode schreibt Cardano: . . . repente mortuus est non sine suspicione veneni. Es besteht also der Verdacht, dass Ferrari vergiftet wurde. Cardano verd¨ achtigt die Schwester. Da kein Testament vorlag, war sie die Erbin. Sie heiratete zwei Wochen nach des Bruders Tod einen Mann nicht ganz makelloser Vergangenheit und bei der Beerdigung vergoss sie keine Tr¨ ane. Tr¨ anen jedoch vergoss der Vetter, da ihm nichts aus der Erbschaft zukam. Cardano bemerkt noch, dass keine B¨ ucher u ¨ brig geblieben seien. Den Grund daf¨ ur kenne er nicht. Hæc fuit infœlix vitæ Ludouici Ferrarij, ingenio & eruditione in Mathematicis nulli Secundi, sed in humanis rebus minim`e sapientis, & in Deum parum pij; Scipione dal Ferro, mit dem alles begann, wurde am 6. Februar 1465 in Bologna geboren und starb in dieser Stadt zwischen dem 29. Oktober und dem 16. November 1526, so meine Quelle der Dictionary of Scientific Biography. Er war der Sohn des Papierers — eines Mannes also, der Papier sch¨opfte — Floriano Ferro und dessen Ehefrau Filippa. Man kennt von Scipione dal Ferro verschiedene notarielle Dokumente aus den Jahren 1517 bis 1523 — wo sie liegen, verschweigt meine Quelle — und man weiß, dass er von 1496 bis 1526 Professor f¨ ur Arithmetik und Geometrie an der Universit¨at von Bologna war. Zeitgenossen r¨ uhmen ihn als einen hervorragenden Algebraiker. Er hat als erster Europ¨ aer Gleichungen dritten Grades gel¨ost, aber seine Ergebnisse niemals publiziert. Es gibt von ihm weder etwas Gedrucktes noch etwas Handgeschriebenes.

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Scipione dal Ferro hatte eine Tochter Namens Filippa. Diese verm¨ ahlte er mit seinem Sch¨ uler und Nachfolger Annibale dalla Nave. Dieser wird auch noch einmal einen Augenblick auf der B¨ uhne stehen. Er war n¨ amlich im Besitz von Papieren Scipione dal Ferros, die die Gleichungen dritten Grades betrafen, die aber heute leider verloren sind. ¨ Uber Antonio Maria Fiores Leben habe ich so gut wie nichts herausfinden k¨ onnen. Sein Wettstreit mit Tartaglia wird uns sp¨ ater noch besch¨ aftigen. Matth¨ aus Schwarz, Buchhalter der Fugger in Augsburg, war in seiner Jugend nach Italien geritten, um in Mailand, Genua und Venedig die Buchhaltung zu erlernen, wobei er erst in Venedig seinen Meister fand, eben Antonio Maria Fior, von dem er am Ende dann aber doch sagte, dass auch er seicht gelehrt was“. Sein Name taucht ” auch in einem von Manzoni stammenden Lehrbuch der Buchhaltung auf, wo es in einem Beispiel einen Buchhaltungsposten gibt, der wie folgt lautet: Per verschiedene Unkosten // an Kasse, gezahlt an Meister Anton Maria Fior f¨ ur Unterricht im Rechnen und Buchhaltung, wie aus unserem Vertrag hervorgeht Duk. 6. Die Zitate finden sich in Penndorf 1933, S. 77 bzw. S. 73. Was war das f¨ ur eine Zeit, in der diese Personen lebten? Einige Andeutungen hierzu fanden wir schon in Cardanos eigener Lebensbeschreibung. Es war die Zeit, wo das Abendland sich aufmachte, den Globus zu entdecken, zu missionieren, zu unterjochen und auszubeuten. Heinrich der Seefahrer (Dom Henrique el Navegador 1394–1460), wie ihn das 19. Jahrhundert nannte, war schon eine Weile tot. Er war besessen von der Idee, den Seeweg um Afrika herum nach Indien zu finden. Er versammelte um sich in der Villa do Infante am Kap S˜ ao Vicente eine große Zahl von Experten: Kartographen, Astronomen, Mathematiker, Spezialisten f¨ ur den Bau astronomischer Instrumente, routinierte Kapit¨ ane und Schiffbauer, und er schickte immer wieder Schiffe aus, die Gew¨ asser vor der afrikanischen Ostk¨ uste und diese K¨ uste selbst zu erforschen. Es wurde systematisch und mit hohem finanziellen Einsatz alles an Information gesammelt, was sich erreichen ließ, es wurden Karten gezeichnet und alles neu Entdeckte eingetragen. Nichts wurde dem Zufall u ¨ berlassen. 1434 umschiffte Gil Eanes zum ersten Male Kap Bojador. An diesem Kap waren zuvor alle Expeditionen gescheitert. Es muss eine schreckliche Gegend sein. Scheußliche Winde treiben den Sand der Sahara bis weit hinaus ins Meer, wo er sich als Sandb¨ anke ablagert, die f¨ ur die Schiffahrt zusammen mit den garstigen Wetterverh¨ altnissen ein un¨ uberwindliches Hindernis zu sein schienen. Diese Umschiffung war ein Durchbruch, insbesondere auch ein geistig-seelischer, da es in den K¨ opfen der damaligen Seefahrer festsaß, dass am Kap Bojador die bewohnbare Welt ende. Bis zu Heinrichs Tod waren seine Schiffe bis Sierra Leone vorgedrungen und hatten die kapverdischen Inseln entdeckt. Kap Verde ist der westlichste Punkt Afrikas. Die Insel Madeira wurde wegen ihres Reichtums an W¨ aldern Madeira genannt, heißt dieses Wort doch nichts anderes als Holz. Es war vor allem das wundersch¨one Eibenholz und das Holz der Zedern, das Madeira exportierte. Weitere Exportg¨ uter

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waren Wein — Heinrich ließ die Malvasiertraube aus Kreta auf Madeira anpflanzen —, Weizen, Zuckerrohr, Honig, Wachs und das Harz des Drachenbaums, genannt Drachenblut, ein begehrter Rohstoff zur Herstellung roter Farbe. Sehr eintr¨ aglich muss der Sklavenhandel mit Afrika gewesen sein. Wo die Sklaven hin verkauft wurden, weiß ich nicht, Amerika war erst noch zu entdecken. Erst achtundzwanzig Jahre nach Heinrichs Tod, 1488 also, umsegelte Bartolomeo Diaz die S¨ udspitze Afrikas. Vasco da Gama vollendete das Werk. Er stach am 8. Juli 1497 als Achtundzwanzigj¨ ahriger in Lissabon in See, umrundete das Kap der guten Hoffnung, lief Mo¸cambique an und dann den Hafen Melinde (= Malindi ordl. Breite). Dort an der kenyattischen K¨ uste, n¨ ordlich von Mombasa. Etwa 3◦ n¨ wurde er mit dem ber¨ uhmtesten arabischen Steuermann handelseins und segelte mit ihm als Lotsen an die Malabark¨ uste in Vorderindien. Das Ziel war die Stadt Calicut. Sie liegt ungef¨ ahr auf dem 11. Breitengrad Nord an der Westk¨ uste Indiens. Vom Namen dieser Stadt leitet sich der Name Kaliko f¨ ur ein BaumwollNesselgewebe ab. Entlang dieses Weges nach Indien und in Indien selbst hatte Portugal Kolonien bis in die j¨ ungste Zeit. Der Traum Heinrichs, den arabischen Zwischenhandel auszuschalten, war in Erf¨ ullung gegangen. Die Schulden, die er bei seinem Tode hinterließ, zahlten sich f¨ ur die Portugiesen — es lebten zu Heinrichs uck. Zeiten ungef¨ ahr 1 41 Millionen von ihnen — hundertfach zur¨ In den achtziger Jahren des 15. Jahrhunderts tobte der Kampf um Granada, den die Katholischen K¨ onige Ferdinand und Isabella schließlich im Jahre 1492 gewannen, in dem Jahr, in dem Kolumbus Amerika entdeckte, von dem er bis zu seinem Tode glaubte, dass es Indien sei. Auch er suchte einen Seeweg nach diesem Land und er glaubte, ihn im Westen zu finden, da die Erde ja eine Kugel sei. Fern˜ ao de Magelh˜ aes oder Fernando Magellan, wie er sich schrieb, seit er, der Portugiese, in Spaniens Diensten stand, umsegelte 1519–1522 als Erster die Welt. Von seinen urspr¨ unglich ausgelaufenen f¨ unf Schiffen kehrten nur zwei wieder heim, wobei eines, die San Antonio, von Meuterern in ihre Gewalt gebracht, die Reise abbrach und nach Spanien zur¨ ucksegelte, noch bevor die Magellanstraße durchquert und der Pazifik erreicht war. Magellan selbst kehrte, wie die meisten der mit ihm Ausgelaufenen, nicht mehr zur¨ uck. Er wurde auf den Molukken durch den vergifteten — rein pflanzlich, nehme ich an — Pfeil eines Eingeborenen get¨ otet. Als einziges der vier Schiffe, die nicht aufgegeben hatten, kam die Victoria nach Spanien zur¨ uck mit nur noch achtzehn Mann an Bord. Der Bordkalender und der Kalender an Land differierten um einen Tag: Die Erde ist wirklich rund. Das Mittelmeer war nicht mehr der Nabel der Welt, auch wenn dies nicht sofort zu f¨ uhlen war. Spanien und Portugal teilten die Welt nun unter sich. England und die Niederlande kamen bald hinzu und fochten f¨ ur ihre Anspr¨ uche. Das Schlagwort von der Freiheit der Meere stammt von dem damaligen Habenichts England. Doch in dem Zank zwischen Tartaglia und Cardano war von alledem nichts zu merken. Wer mehr von den Entdeckungen und dem erbarmungslosen Kampf um die Weltmeere wissen m¨ochte, der lese Diwald 1980 und Parry 1964. Es gab noch etwas, was die Welt sogar binnen weniger Jahrzehnte ver¨ anderte, etwas, ohne das die Fehde zwischen Cardano und Tartaglia v¨ ollig anders ver-

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laufen w¨ are. Ich meine die neue, von Gutenberg (um 1397 bis 3. 2. 1468) initierte Buchdruckerkunst. Das Drucken war nicht neu. Einblattdrucke, gedruckte Kartenspiele und Blockb¨ ucher gab es schon seit l¨angerem. Bei diesen Drucken wurde der Druckstock aus einem Holzblock geschnitten. Dies war eine langwierige Arbeit. Es gab diese B¨ ucher auch noch nach der gutenbergschen Erfindung. Dies zeigt das Beispiel des Bamberger Blockbuches, einer Arithmetik aus der zweiten H¨alfte des 15. Jahrhunderts (Vogel 1980). Die beweglichen Lettern waren auch nicht neu. Sie gab es schon fr¨ uher in China und Korea. Sie waren jedoch aus Holz und mussten einzeln geschnitten werden. Das Neue bei Gutenberg war, dass er ein ganzes zusammenpassendes System entwarf: Die Legierung aus Blei, Zinn, Antimon und Wismuth f¨ ur die Lettern. Diese schmilzt schon bei Temperaturen unter 300◦ C. Wenn die Schmelztemperatur unterschritten wird, erstarrt die Legierung sofort, so dass an der Oberfl¨ache keine Vertiefung entsteht und die Letter ohne Nachbehandlung verwendet werden kann. Die Stahlstempel, mit denen die Matrizen geschlagen wurden, die dann wiederum in eine gut konstruierte Gussform eingesetzt werden konnten, die damit f¨ ur den Letternguss bereit war. Die Druckerpresse, die wohl aus der Weinpresse entstand, die Mischung der Druckerschw¨arze und die Behandlung des Papiers. Alles passte zusammen. Diese Erfindungen, in der Mitte des 15. Jahrhunderts gemacht, verbreiteten sich in Windeseile u ¨ ber Europa: Ende der f¨ unfziger Jahre in Straßburg und Bamberg, 1462 Wien, 1464 K¨oln und Basel, 1465 Subiaco bei Rom, 1466 Rom, 1468 Augsburg, 1469 Venedig, wo der Ber¨ uhmte Aldus Manutius seit 1490 seine Druckerei betrieb. In Venedig wurden 1482 durch Erhard Ratdolt die Elemente Euklids gedruckt. In dieser Ausgabe befinden sich die ersten Holzschnitte mit geometrischen Figuren. Weitere Stationen: 1470 Frankreich, 1473 Spanien und England, 1530 Island, 1539 Mexico. F¨ ur das alles vergleiche man Stiebner 1978, S. 17 und F¨ ussel 1999, S. 39–47. Regiomontanus richtete schon 1474/75 seine Druckerei in N¨ urnberg ein, wo es seit 1470 Druckereien gab. Meine Kopie der Margarita philosophica von Gregor Reisch wurde 1517 von Michael Furterius in Basel und meine Arithmetik von Filippo Calandri 1518 von Bernardo Zucchecta in Florenz gedruckt. Zu der Zeit war das Buchdrucken schon nichts besonderes mehr. Luthers Reformation w¨ are ohne den Buchdruck undenkbar. Der Buchdruck wiederum h¨ atte sich ohne das billige Papier nicht gegen die Handschrift durchsetzen k¨ onnen, da die Investitionen des Druckers f¨ ur sein Ger¨at doch f¨ uhlbar waren. Gutenberg selbst hat sowohl auf Papier als auch auf Pergament gedruckt (Sandermann 1992). Das 16. Jahrhundert sah einen großen Aufschwung der Mathematik, der sich schon im 15. Jahrhundert anbahnte. Mit Luca Pacioli erreichte die Mathematik am Ende des 15. Jahrhunderts wieder die H¨ ohe, die sie dreihundert Jahre zuvor bei Fibonacci hatte, und u ¨berschritt sie dann mit Scipione dal Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Benedetti, Nu˜ nez und anderen. Wichtige Beitr¨ age im 15. Jahrhundert — insbesondere auch zur Perspektive — leisteten Filippo Brunelleschi (1377–1446), der Erbauer der Kuppel des Florentiner Domes, und der Kirche Santo Spirito zu Florenz, Piero della Francesca (um 1420–1492), Maler und Mathematiker, Lehrer

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von Luca Pacioli, Leon Battista Alberti (1404–1472), ein umfassend gebildeter K¨ unstler und Verfasser einer Architektur in zehn B¨ uchern nach dem Vorbild Vitruvs. Damals kokettierten Gebildete noch nicht damit, dass schon ihr Vater von Mathematik nichts verstanden h¨ atte, vielmehr stand die Mathematik in hohem Ansehen. Im Jahre 1508 hielt Pacioli in Venedig einen Vortrag u ¨ ber Euklid, bei dem er 94 H¨orer hatte, darunter Aldus, Sanuto, Fra Giocondo, Giovanni-Battista Egnazio, Janus Lascaris, den Florentiner Bernardo Rucellai und Bernardo Bembo, so das Zeugnis von Pacioli (Opera Euclidis (1509), foll. 31rv . Zitiert nach Rose 1975, S. 53/54). Die Mathematik stand nicht nur in hohem Ansehen, die Humanisten sorgten auch daf¨ ur, dass die Bibliotheken der damaligen Zeit auch die Schriften der Mathematiker der Antike auf Griechisch wie auch auf Latein enthielten. Es wurde systematisch diesseits und jenseits der Alpen sowie in Konstantinopel nach griechischen Kodizes gesucht, diese abgeschrieben und ins Lateinische u ¨bersetzt. ¨ Dabei wurden diese Ubersetzungen nicht nur von Mathematikern angefertigt, sondern auch viele der Humanisten beteiligten sich an diesem Gesch¨ aft. P¨ apste wie Nikolaus V., F¨ ursten wie Guidobaldo da Montefeltre, Herzog von Urbino, und Familien wie die Medici waren großartige M¨ azene. F¨ ur die Medici zeugen davon noch die Biblioteca Laurenziana und die Biblioteca Ricardiana, die jeder florentinische Reisef¨ uhrer erw¨ahnt, und der Eingeweihte weiß, dass die Biblioteca Nazionale Centrale in Florenz im 19. Jahrhundert aus der Zusammenf¨ uhrung der Biblioteca Palatina, auch eine Medicibibliothek, und der Biblioteca Magliabechi entstand. Auskunft u ¨ber Antonio Magliabechi und seine Privatbibliothek gibt L¨ uneburg 1993. Die Philosophen r¨ aumten bei ihren Lehrplanentw¨ urfen der Mathematik in der Ausbildung der Jugendlichen einen wichtigen Platz ein. Sie waren u. a. von Quintilian beeinflusst, der in seiner Ausbildung des Redners“ forderte, dass der Redner, ” der zumeist ja auch Anwalt war, Mathematik beherrschen m¨ usse, um kompetent auftreten zu k¨ onnen. So h¨ atten Fl¨ achen bei gleichem Umfang noch lange nicht gleichen Inhalt, was ein Redner bei Grundst¨ ucksh¨andeln wissen m¨ usse (Quintilian 1972, I.10). K¨ unstler bedienten sich der neu entdeckten Perspektive bei der Konstruktion ihrer Bilder und wirkten selber aktiv an ihrer Weiterentwicklung mit, wie oben schon erw¨ahnt. Die Mathematik selbst und ihre Instrumente sowie antike als auch zeitgen¨ossische Mathematiker wurden zu Themen ihrer Bilder und Skulpturen. Das Interesse an Mathematik und ihrer Tochterwissenschaft der Astronomie dr¨ uckte sich auch in den vielen astronomischen und anderen Uhren aus, die seit dem 14. Jahrhundert in den gr¨ oßeren St¨ adten Italiens aufgestellt wurden und die mehr und mehr auch in die H¨ auser der Wohlhabenden Aufnahme fanden. Die Uhr war zur damaligen Zeit Symbol der Mathematik schlechthin. Im Almanus Manuskript, das zwischen 1475 und 1485 in Rom entstand, sind 30 Uhren beschrieben, die sich in r¨omischen H¨ausern befanden (Leopold 1971). Paulus Almanus war selber Uhrmacher, so dass seine Beschreibungen und Skizzen mit viel Sachverstand angefertigt sind und uns heute wertvolle Aufschl¨ usse u ¨ ber die Uhren der damaligen Zeit geben, von denen sich so gut wie keine erhalten hat. Eine sehr ber¨ uhmte astronomische Uhr ist die von Giovanni de Dondi aus der zweiten

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H¨ alfte des 14. Jahrhunderts. Grundlage f¨ ur die Konstruktion dieser Uhr war die ptolem¨aische Theorie der Planetenbewegungen mit der Erde im Mittelpunkt des Universums. Sie hatte neun Hauptzifferbl¨ atter, je eines f¨ ur die sieben Planeten Sonne, Mond, Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn, eines f¨ ur die Tageszeit mit Sonnenauf- und Sonnenuntergang und eines f¨ ur die Stellung der Mondknoten. Letztere sind wichtig f¨ ur die Vorhersage von Finsternissen. Die Uhr zeigt noch ¨ vieles andere an. Sie ist im Ubrigen Beweis daf¨ ur, dass die ptolem¨ aische Beschreibung der Planetenbewegung doch ganz gut war. Diese Uhr war eine Weile in Pavia und wurde, so scheint es, von Karl V. nach Spanien gebracht, wo sie im Kloster von San Yuste bei Toledo untergebracht wurde. Dort wurde sie am 9. August 1809 im Verlaufe der napoleonischen Kriege durch Feuer zerst¨ ort. Dondi hinterließ so pr¨ azise Beschreibungen der Uhr, dass sie im 20. Jahrhundert von zwei verschiedenen Leuten in England bzw. Italien nachgebaut werden konnte. Es gibt heute sechs Kopien von ihr. N¨ aheres hierzu und zu den Standorten der Uhren in Beyer 1982. Das 15. und 16. Jahrhundert war eine Zeit, wo sich die Mathematik hoher Wertsch¨atzung erfreute, wo Mathematiker, Philosophen und Humanisten miteinander verkehrten und Zugang zu den H¨ ofen der F¨ ursten hatten. Es war ein ungemein fruchtbarer Boden f¨ ur die Erneuerung und dann Weiterentwicklung der Mathematik. Ich wollte, wir f¨ anden heute nur ein wenig von dem Interesse in der ¨ Offentlichkeit, das die Mathematiker in der Renaissance fanden. Wer mehr von der Faszination der Erneuerung der Mathematik in Italien zu dieser Zeit erfahren m¨ochte, lese Rose 1975. 6. Wut u ¨ ber eine verspielte Gelegenheit. Im Ged¨ achtnis der Mathematiker scheint nur das haften geblieben zu sein, was Tartaglia zum Thema der Publikation der L¨ osungsformel f¨ ur die Gleichung dritten Grades gesagt hat. Er sch¨ aumte vor Wut, weil Cardano ihm mit seiner Publikation zuvorgekommen war, und bezichtigte ihn des Bruchs seines Eides. Was Tartaglia schreibt, ist sehr einpr¨ agsam und auch heute noch sehr gen¨ usslich zu lesen. Es ist aber nur eines Mannes Rede. Ich werde hier auch die andere Seite zu Wort kommen lassen, deren Sicht der Angelegenheit etwas anders ist. Eines sei aber von vorneherein gesagt. Es geht nicht um Priorit¨ at. Wer was wann gemacht hat, wird von Cardano in seiner Ars magna klar gesagt. Er verschweigt also nicht, dass seine anf¨ anglichen Kenntnisse u ¨ber kubische Gleichungen von Tartaglia stammen. Bagdader Mathematiker begannen im 9. Jahrhundert kubische Gleichungen zu untersuchen. Anstoß war eine Aufgabe des Archimedes, dass eine Kugel durch einen ebenen Schnitt so in zwei Segmente zu zerlegen sei, dass die Volumina der Segmente ein gegebenes Verh¨altnis haben (Archimedes Kugel und Zylinder“, ” Buch II, Abschnitt 4. Werke, S. 135 ff. Siehe auch Becker 1966, S. 89 f.). Eutokios gibt in seinem Kommentar zu Archimedes Werken eine geometrische L¨osung des Problems, bei der er eine Parabel und eine Hyperbel zum Schnitt bringt. Es gibt weitere geometrische L¨osungen aus der Antike, darunter auch solche, bei der eine Ellipse mit einer Hyperbel geschnitten wird. Es geht bei dieser Aufgabe nat¨ urlich darum, den Durchmesser senkrecht zur Schnittebene im richtigen Verh¨ altnis zu

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teilen. Es ist uns heute klar, noch bevor wir uns in Einzelheiten verlieren, dass die Bestimmung dieses Verh¨altnisses ein Problem dritten Grades ist. Die Verdoppelung des W¨ urfels l¨ auft algebraisch darauf hinaus, ein x so zu √ urfels ist. Auch finden, dass x = 3 2·a ist, wenn a die Seite des zu verdoppelnden W¨ hier wurden schon im Altertum viele geometrischei L¨osungen gefunden. Menaich¨ mos (um 360 v. Chr.), so diei Uberlieferung, sei durch das Studium dieses Problems auf die Kegelschnitte gestoßen. Wann das delische Problem darauf zur¨ uckgef¨ uhrt wurde, die Kubikwurzel aus 2 zu berechnen, weiß ich nicht. Die Archimedesaufgabe wurde zum ersten Male von al-Maham versucht, auf eine algebraische Gleichung zur¨ uckzuf¨ uhren, wie durch Umar Khayyam u ¨berliefert wird (Juschkewitsch 1964, S. 257). Es soll ihm nicht gelungen sein, die Gleichung zu finden. Kurz sp¨ ater gab es hierzu aber erfolgreiche Untersuchungen. Ferner wurden weitere geometrische Probleme untersucht, die auf kubische Gleichungen f¨ uhrten, darunter auch die Konstruktion des Siebenecks, die schon Archimedes durch ein Einschiebungsverfahren gel¨ ost hatte. Al-Haitham, im Abendland unter dem Namen Alhazen bekannt, l¨ oste Archimedes’ Problem mit Hilfe einer Parabel und einer Hyperbel. Der Boden war also vorbereitet f¨ ur die Untersuchung der Gleichungen dritten Grades schlechthin. Umar Khayyam (ungef¨ ahr 1048–1130), einem arabisch schreibenden, persischen Mathematiker und Astronomen, gelang als erstem die Aufl¨ osung dieser Gleichungen, wobei er sich geometrischer Methoden bediente. Seine Grundlagen waren Euklids Elemente und dessen Data sowie die ersten beiden B¨ ucher der Kegelschnitte des Apollonios, die er nur als die zwei B¨ ucher u ¨ ber ” Kegelschnitte“ anspricht, ohne also den Autor zu erw¨ ahnen (Winter & ’Arafat, S. 32). Ob seine Schriften im lateinischen Mittelalter und in der Renaissance bekannt waren, weiß ich nicht. Bemerkenswert ist jedoch, dass die von Fibonacci in seiner flos behandelte Gleichung dritten Grades x3 + 2x2 + 10x = 20 auch von Umar Khayyam behandelt wird (Winter & ’Arafat, S. 70). Das l¨ asst ¨ vermuten, dass es eine Verbindung gab. — Ich habe die Ubersetzung von Winter & ’Arafat nicht im Einzelnen studiert. Luca Pacioli diskutiert in seiner Summa auch Gleichungen h¨ oheren als zweiten Grades (Pacioli 1494, 149v /150r). Gleichungen wie zum Beispiel qx3 + px4 = x5 ließen sich auf quadratische Gleichungen zur¨ uckf¨ uhren, indem man durch x3 k¨ urzt. F¨ ur andere wiederum wie q + px = x3 , q + px2 = x3 , q + px3 = x4

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gebe es keine allgemeine Regel. Und wenig sp¨ater, noch im gleichen Absatz, schreibt er: . . . dirai che larte ancora a tal caso n˜ o a dato modo si c˜ omo ancora n˜ o e dato m˜ o al ˜qdrare del cerchio. Dies heißt: . . . ich w¨ urde sagen, dass die Kunst (= ” Algebra) in solchem Fall noch keine L¨osung gegeben hat, so wie sie noch keine L¨osung gegeben hat f¨ ur das Quadrieren des Kreises.“ Dies wiederholt er auch in der zweiten Auflage seiner Summa, Venedig 1523 (Maracchia, 1979, S. 189, Anm. 3). Doch schon zu Anfang des 16. Jahrhunderts, etwa um die Zeit, da die zweite Auflage der Summa erschien, war Scipione del Ferro im Besitz der L¨osung f¨ ur Gleichungen der Form x3 + px = q. Er hat sie nie publiziert, sondern sie nur seinen Sch¨ ulern Annibale dalla Nave und Antonio Maria Fior mitgeteilt. Dieser nun forderte, im Besitz der L¨ osungsformel, Tartaglia zu einem Wettstreit heraus, indem er ihm dreißig Aufgaben stellte, die bei dem Notar Iacomo di Zambelli sotto bolla hinterlegt waren. Davon berichtet Tartaglia in einem Gespr¨ach, welches er mit Zuanne di Tonini da Coi am 10. Dezember 1536 gef¨ uhrt und in den Quesiti 106r ff. abgedruckt hat. Di Tonini fragte bei diesem Gespr¨ ach nach den Aufgaben, die Antonio Maria Fior Tartaglia gestellt habe. Er h¨ atte geh¨ort, dass Tartaglia diese dreißig Aufgaben in nur zwei Stunden gel¨ ost h¨ atte. Das sei f¨ ur ihn schwer zu glauben. Dies h¨ atte daran gelegen, so Tartaglia, dass die Aufgaben alle vom gleichen Typ gewesen w¨ aren, n¨amlich vom Typ x3 + px = q. Im Gegensatz dazu h¨atte er dem Fiore dreißig wirklich verschiedene Aufgaben gestellt. Das L¨osungsprinzip h¨ atte er acht Tage vor Ablauf der Frist am 12. Februar 1535 in Venedig gefunden. Nach venezianischer Z¨ ahlung w¨ are das das Jahr 1534 (uero `e che in Venetia ueneua ` a esser del .1534. In Venedig war damals der 1. M¨ arz Neujahrstag). Am n¨ achsten Tag h¨ atte er noch die L¨ osung f¨ ur die Gleichungen der Form px + q = x3 gefunden. Die Aufgaben des Fiore finden sich in Quesito XXXI . Diese handelt von einem Gespr¨ ach, dass Tartaglia mit Zuanantonio da Bassano Libraro am 2. Januar 1539 f¨ uhrte. Dieser sagte, dass Cardano ihn schicke, ein sehr bedeutender Mathematiker (grandißimo Mathematico), der in Mailand o¨ffentlich u ¨ ber Euklid l¨ ase und gerade dabei w¨ are eine Praktik der Arithmetik, Geometrie und Algebra zu drucken. Cardano h¨ atte von dem Wettstreit zwischen Antoniomaria Fior und ihm geh¨ ort, dass jener ihm dreißig Aufgaben gestellt h¨ atte, die er alle mittels Algebra auf die Form atte, dass er ferner eine allgemeine Regel gefunden h¨ atte, px + x3 = q gebracht h¨ solche Aufgaben zu l¨osen und dass er schließlich die dreißig Aufgaben in zwei Stunden gel¨ ost h¨ atte. Cardano nun b¨ ate um die L¨ osungsformel, er wolle sie unter Tartaglias Namen in seinem Werk publizieren. Tartaglia lehnt dies ab, da er die L¨osung selbst publizieren wolle. So m¨ oge er ihm, Cardano, wenigstens die dreißig

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Aufgaben Antoniomaria Fiors und seine L¨ osungen dieser Aufgaben geben. Auch das lehnt Tartaglia ab, da er f¨ urchte, dass Cardano so auf die L¨ osungsformel kommen k¨onnte. Cardano hatte offenbar auch diese Reaktion vorhergesehen und l¨ asst nun durch Zuanantonio da Bassano Tartaglia die folgenden Aufgaben stellen. 1. Teile 10 in vier Teile in stetiger Proportion, der erste Teil sei 2. Die vier Teile in stetiger Proportion sind von der Form a, aq, aq 2 , aq 3 mit a = 2. Es ist also ein q gesucht mit 10 = 2 + 2q + 2q 2 + 2q 3 dh. mit 5 = 1 + q + q 2 + q 3 . 2. Teile 10 in vier Teile in stetiger Proportion, so dass der zweite Teil gleich 2 sei. Hier sind a und q gesucht mit 10 = a(1 + q + q 2 + q 3 ) und aq = 2. Dies f¨ uhrt auf die Gleichung 4q = 1 + q 2 + q 3 f¨ ur q. 3. Finde a1 , a2 , a3 , a4 in stetiger Proportion mit a1 = 2 und a1 + a3 = 10. Weil die ai in stetiger Proportion stehen, ist a1 = 2, a2 = 2q, a3 = 2q 2 , a4 = 2q 3 mit q = a2 : a1 . Die Bedingung an q lautet dann q + q 3 = 5. 4. Finde a1 , a2 , a3 , a4 in stetiger Proportion mit a1 = 2 und a2 + a3 = 10. Weil die ai in stetiger Proportion stehen, ist a1 = 2, a2 = 2q, a3 = 2q 2 , a4 = 2q 3 mit q = a2 : a1 . Die Bedingung an q lautet dann q 2 + q 3 = 5. 5. Finde a1 , a2 , a3 , a4 in stetiger Proportion mit a2 = 2 und a1 + a3 = 10. Dies l¨ auft darauf hinaus, ein q zu finden mit 1 + q 3 = 5q. 6. Finde a1 , a2 , a3 in stetiger Proportion mit a1 a2 = 8 und a2 + a3 = 10. Dies amlich f¨ uhrt auf eine Gleichung vierten Grades f¨ ur a1 n¨ a41 + 64 = 2a31 . 7. Gesucht wird x mit x2 (x + 3) = 21.

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Tartaglia antwortet hierauf, dass diese Aufgaben von Zuanne da Coi stammten. Er erkenne dies an den letzten beiden Aufgaben. Da Coi h¨ atte ihm vor zwei Jahren ahnliche geschickt mit der Bemerkung, er k¨onne sie nicht l¨ ¨ osen. Er, Tartaglia, h¨ atte die letzte, die auf eine Gleichung vom Typ x3 + px2 = q f¨ uhre, vor einem Jahr gel¨ ost und dabei eine Regel f¨ ur a¨hnliche F¨ alle gefunden. Da Bassano besteht darauf, sie von Cardano bekommen zu haben. Dann m¨ usse da Coi wohl nach Mailand gekommen sein und sie Cardano vorgelegt haben, so Tartaglia. Der h¨atte sie wohl auch nicht l¨ osen k¨onnen und sie dann ihm vorgelegt. Da Bassano wehrt sich dagegen. Cardano sei der beste Mathematiker in Mailand und finanziell unabh¨ angig, da der Marchese dal Vasto ihm eine große Pension (provisione) ausgestellt h¨atte. Die Aufgaben seien gewiss von ihm und er k¨ onne sie auch l¨osen. Tartaglia verneine nicht, dass Cardano sehr gelehrt sei und in besten Verh¨ altnissen lebe. Er k¨ onne aber unm¨ oglich im Besitz der L¨ osungen dieser sieben Aufgaben sein, da es ihm sonst ein Leichtes sein m¨ usse, Aufgaben der Form px + x3 = q zu l¨ osen, um deren L¨osungsformel er ihn so nachdr¨ ucklich b¨ ate, usw. usw. Zuanantonio da Bassano meinte schließlich: Ich weiß nicht, was ihnen zu antworten. ” Lassen wir den Streit.“ und bittet um die Aufgaben des Antoniomaria Fior, die Tartaglia ihm dann auch gibt, ohne seine L¨ osungen versteht sich. ( ihre L¨ osungen“ ” w¨are auch korrekt. Ich meine aber seine“.) Hier betont er wieder, dass er die ” L¨osungsformel acht Tage vor Ablauf der Frist gefunden und die dreißig Aufgaben dann in zwei Stunden gel¨ ost h¨atte. Hier nun die Aufgaben Antoniomaria Fiors, die wir in heutiger Notation interpretieren. 1. Gesucht x3 mit x3 + x = 6. 2. Gesucht x bzw. y mit y 2 x + x + y = 40 und y = 2x. Dies l¨auft auf die Gleichung x3 + 34 x = 10 hinaus. 3. Gesucht x mit x3 + x = 5. 4. Gesucht x, y, z in dreifacher Proportion mit x < y < z und x2 z + y = 7. Hier ist y = 3x und z = 3y und daher x3 + 13 x = 79 . Dass dreifache Proportion (tripla proportione) und in Aufgabe 2 zweifache Proportion als y = 3x bzw. y = 2x usw. zu interpretieren ist, fand ich beim Bl¨attern in Cardanos ars magna arithmeticae (Werke Bd. 4, S. 359). 5. Gesucht x und x3 mit x3 + x = 900. 6. Gesucht x mit x3 + x = 100. 7. Gesucht x3 mit x3 + 2x = 13. 8. Gesucht x3 mit x3 + 3x = 15. 9. Gesucht x3 mit x3 + 4x = 17. 10. Gesucht x und x3 mit x3 + x = 14.

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11. Gesucht x und x3 mit x3 + x = 20. 12. Gesucht x mit x3 + x = 2900. 13. Gesucht x3 mit x3 + x = 800. Diese Aufgabe sei im Wortlaut vorgestellt. Ein Jude leiht jemandem Bargeld, ich weiß nicht wieviel, zu der Bedingung, dass er ihm nach Ablauf eines Jahres an Zins die dritte Wurzel aus dem Kapital zur¨ uckzahlen m¨ usse. Am Ende des Jahres hat der Jude 800 Dukaten an Kapital und Gewinn. Wie hoch war das Kapital des Juden? 14. Gesucht x3 mit x3 + x = 13. 15. Gesucht x mit x3 + x = 500. autert. 16. F¨ uhrt auf 14 + z = z 5 + 2z 3 . Dies wird unten erl¨ 17. Gesucht x mit x3 + x = 12. 18. Gesucht x mit x3 + x = 9. 19. Gesucht x mit x3 + x = 25. 20. Gesucht x3 mit x3 + x = 26. 21. Gesucht x mit x3 + x = 28. 22. Gesucht x mit x3 + x = 27. 23. Gesucht x3 mit x3 + x = 29. 24. Gesucht x mit x3 + x = 34. 25. Gesucht x3 mit x3 + x = 12. 26. Gesucht x mit x3 + x = 100. 27. Gesucht x3 mit x3 + x = 140. 28. Gesucht x mit x3 + x = 300. 29. Gesucht x3 mit x3 + x = 810. 30. Gesucht x mit x3 + x = 70. Bei Aufgabe 16 scheint etwas schief gelaufen zu sein. Dort istein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten x und y und der Hypothenuse h = x2 + y 2 gegeben. √ Die Bedingungen an x und y sind x + y = 7 und x + 3 y = h. Aus der letzten Bedingung folgt √ √ x2 + 2x 3 y + ( 3 y)2 = x2 + y 2 . √ Setzt man z := 3 y. so folgt 2x + z = z 5 und mit x = 7 − y = 7 − z 3 dann 14 + z = z 5 + 2z 3 . Ich vermute, dass die zweite Nebenbedingung urspr¨ unglich x + Dann folgt √ x2 + 2x y + y = x2 + y 2 √ und mit z := y nach einfachen Rechnungen schließlich 14 + z = z 3 + 2z 2

√ y = h lautete.

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mit der L¨ osung z = 2, dh., y = 4 und x = 3. W¨ are das so, so h¨ atte man auch hier eine kubische Gleichung, in der allerdings ein quadratisches Glied vork¨ ame. Alle anderen Gleichungen sind von der Form x3 + px = q mit positiven p und q. Bei einigen der Aufgaben sind regelm¨aßige Polyeder gegeben, deren Volumina in solchen Beziehungen stehen, dass eben kubische Gleichungen zu l¨ osen sind, um diese Beziehungen explizit zu machen. Interessant sind die Namen, die Fior diesen K¨ orpern gab: W¨ urfel = corpo cubo, Tetraeder = corpo de quattro triangolari, Oktaeder = corpo de otto base triangolari equilateri, Dodekaeder = corpo de .12. base pentagonali, Ikosaeder = corpo de .20. base triangolari. Das Volumen heißt bei ihm area corporale. Bei Fibonacci fand ich auch schon, dass area das Volumen bezeichnet (L¨ uneburg 1993, S. 290). Im Deutschen kenne wir ein a¨hnliches Ph¨ anomen, indem wir von Stoffen sagen, dass sie w¨ urfelig gemustert seien. Die regul¨ aren Polyeder haben bei Fibonacci die vertrauten Namen: cubus, pyramis, octaedron, ycosaedron, dodecaedron bzw. duodecaedron (Boncompagni, Scritti, Bd. II). Interessant auch, was man in Lexika des Altgriechischen zu diesem Thema findet. Es finden sich dort die W¨ orter   und   Das erste ist zu u ¨ bersetzen mit Tetraeder“ und das zweite mit Oktaeder“. Die W¨orter   ” ”  und   die unseren Dodekaeder und Ikosaeder entspr¨ achen, finden sich dort nicht. Was man aber findet, sind die Adjektive       und   Sie werden u ¨ bersetzt mit mit vier (acht, zw¨ olf, ” zwanzig) Grundfl¨ achen“ (Rost 1902). Was ist daraus zu schließen? Nun, dass in der von dem Bearbeiter des W¨ orterbuches ausgewerteten Literatur, insbesondere ¨ also bei Euklid, die griechischen Aquivalente f¨ ur die Substantive Ikosaeder“ und ” Dodekaeder“ nicht vorkommen. ” Zur¨ uck zum Thema. Die Aufzeichnungen des Gespr¨ achs enden damit, dass Tartaglia sagt, er h¨ atte keine Kopie seiner Aufgaben, er wisse sie auch nicht auswendig, sie seien alle verschieden. Er solle zum Notar gehen, dort k¨ onne er sie kopieren. Cardano reagiert auf den Bericht des Boten mit einem Brief vom 12. Februar 1539, wobei ich nicht weiß, ob dies das Datum ist, an dem Cardano den Brief geschrieben oder an dem Tartaglia den Brief erhalten hat. Cardano sei sehr verwundert u ¨ ber die unpassenden Antworten, die da Bassano ihm u ¨berbracht h¨ atte, n¨ amlich keine bis auf die 30 Aufgaben Antoniomaria Fiores. Er sch¨ aumt u ¨ ber die Unterstellung, seine sieben Aufgaben seien von Zuanne da Coi und nicht von ihm. Das unterstelle, dass es in Mailand niemanden g¨ abe, der solche Aufgaben stellen k¨ onne. Es g¨ abe in Mailand viele, die dies k¨ onnten, er h¨ atte es schon gekonnt, bevor Herr Zuanne bis 10 zu z¨ ahlen wusste, falls er so jung sei, wie er t¨ate. Und u ¨ berdies h¨ atte er j¨ ungst zwei Exemplare von Tartaglias Buch scientia nuova de artegliarie gekauft, wovon er eines dem Herrn Marchese geschenkt und eines selbst behalten h¨ atte. Dem Herrn Marchese gegen¨ uber h¨ atte er es sehr gelobt in der Meinung, dass Tartaglia es nobler und h¨ oflicher aufn¨ ahme als Herr Zuanne, aber ihm schiene nur ein geringer Unterschied zu sein zwischen Tartaglia und jenem. Cardano ist zutiefst in seiner Eitelkeit verletzt. Er hat nicht richtig zugeh¨ ort

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oder da Bassano hat nicht richtig berichtet oder Tartaglia hat sein Gespr¨ach mit da Bassano nicht richtig wiedergegeben, jedenfalls behauptet Cardano jetzt, Tartaglia h¨ atte dem Libraro gesagt, wenn man nur eine Aufgabe des Antonio Maria Fiores l¨ osen k¨onne, k¨ onne man alle Aufgaben Cardanos l¨ osen. Tartaglia glaube wohl mit seinen Sch¨ ulern zu sprechen oder mit sonst welchen Leuten. Das Fundament f¨ ur die L¨osung aller 30 Aufgaben des Fiore sei die Berechnung der radice pronica media und diese basiere auf Euklid VI.8 und er erw¨ ahnt die Aufgabe, die auf die uhrt und die man wohl nicht mit der radice pronica media Gleichung 1 + x3 = 5x f¨ l¨ osen kann, und h¨ ohnt, dass Tartaglia sie mit seiner wunderbaren Kunst l¨ osen m¨oge. Tartaglia sei ein großer Ignorant in diesen Dingen wie auch Zuanne da Coi. Cardano kennt drei verschiedene radici proniche n¨ amlich eine minore, eine media und eine maggiore. Dies sind die Nullstellen von x2 + x = q, x3 + x = q, bzw. x4 + x = q (Cardano, Practica arithmeticae, 1539, Kap. LI. Zitiert nach Ferrari & Tartaglia 1974, S. CLXXVII f.) Tartaglia h¨ atte dem Libraro weiterhin gesagt, dass man alle Aufgaben Cardanos gel¨ost h¨atte, h¨ atte man eine gel¨ost. Das sei ganz und gar falsch und eine versteckte Beleidigung. Zu denken, er h¨ atte ihm sieben Aufgaben geschickt, die in Wirklichkeit nur eine seien! Er wolle 100 Skudi deponieren, wenn Tartaglia ebenso viele dagegen setzte, und nach Venedig kommen, wenn Tartaglia es wolle, oder eine Banksicherheit geben, wenn dieser nach Mailand k¨ ame, wohl um zu entscheiden, dass man diese Aufgaben nicht auf eine, zwei oder drei zur¨ uckf¨ uhren k¨ onne. Der Brief geht noch weiter. In dem gegen¨ uber dem Marchese so hochgelobten Buch scientia nuova di artegliarie sei die f¨ unfte Proposition des ersten Buches falsißima und gegen jede Vernunft und jedes Experiment. Die Grundlagen, mit denen er, Tartaglia, den Beweis f¨ uhre, seien grauer als die Antworten, die er dem Libraro gegeben habe. Er, Cardano, halte ihm aber zugute, dass die Artillerie ja nicht sein Metier sei, usw. Zum Schluss bittet er Tartaglia, dieser m¨ oge so gn¨adig sein, ihm die Aufgaben zu schicken, die er Antonio Maria Fior gestellt habe, sei es mit, sei es ohne L¨osungen. Außerdem w¨ are er ¨außerst erfreut, schickte er ihm die ein oder andere L¨ osung seiner Aufgaben, damit er sein großes Genie kennenlerne. Dann f¨ ugt er noch zwei Aufgaben hinzu. 1. Mache mir aus 10 vier Gr¨ oßen in stetiger Proportion, so dass die Summe ihrer Quadrate gleich 60 ist. Eine a¨hnliche Aufgabe stelle Fra Luca (Pacioli), ohne sie jedoch zu l¨ osen. Hier sind also a1 , a2 , a3 , a4 in stetiger Proportion gesucht mit 10 = a1 + a2 + a3 + a4 60 = a21 + a22 + a23 + a24 . 2. Zwei bilden eine Gesellschaft und besitzen, ich weiß nicht wieviele Dukaten. Sie gewinnen den Kubus des zehnten Teils des Kapitals. Und wenn sie 3 weniger gewonnen h¨ atten, als sie gewonnen haben, h¨atten sie ebensoviel gewonnen, wie ihr Kapital betr¨ agt. Frage, was war ihr Kapital und was ihr Gewinn. Ist k das Kapital,

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k 3 ) ihr Gewinn und es gilt so ist ( 10



k 10

3 = k + 3.

Damit endet der Brief. Tartaglia beantwortet dieses Schreiben am 18. Februar 1539. Er geht dabei ausf¨ uhrlich auf die von Cardano erhobenen Vorw¨ urfe ein. Er bekr¨ aftigt zun¨ achst, dass er der Ansicht sei, dass die Aufgaben von Zuanne da Coi seien, da dieser ihm eine a¨hnliche wie die vorletzte vor anderthalb Jahren gestellt habe, wobei da Coi klargestellt h¨ atte, dass er sie nicht l¨osen k¨onne und auch nicht versuchen werde, sie zu l¨osen. Er glaube weiterhin, dass Cardano nicht in der Lage sei, seine eigenen Aufgaben zu l¨osen, da sie auf merkw¨ urdigere Gleichungen f¨ uhrten, als es die Gleichungen px + x3 = q seien. Das w¨are das, was er dem Libraro gesagt habe. Er nehme ferner die Einladung an, die 100 Dukaten zu deponieren und pers¨ onlich nach Mailand zu kommen, falls Cardano nicht nach Venedig kommen wolle. Dann geht er noch auf den angeblichen Fehler in seinem Buch ein und meint, dass Cardanos Gr¨ unde und Argumente, die er anf¨ uhre, um seine f¨ unfte Proposition zu zerst¨ oren, so schwach seien, dass eine sieche Frau gen¨ uge, sie zur Erde zu schmettern. Cardanos Pr¨ amissen seien nicht richtig, usw., usw. Er wolle nicht sagen, dass Cardano ein großer Ignorant sei, wie dieser von ihm gesagt h¨atte, sondern nur ein Mann von geringer Urteilskraft. Und dann besch¨ amt er ihn. Und ” wenn Ihre Exzellenz sagt, u ¨ ber Artillerie zu schreiben sei nur wenig mein Metier, so habe ich mich doch bem¨ uht, u ¨ ber diese Kunst einiges H¨ ubsche zu schreiben.“ Er vergn¨ uge sich nicht damit, wie es andere t¨aten, seine B¨ ucher mit gestohlenen Dingen aus diesem oder jenem Autor zu f¨ ullen. Er habe Neues gemacht und u. a. zwei Instrumente entwickelt, zum Nivellieren und H¨ohenmessen das eine, das andere, um Entfernungen in der Ebene zu untersuchen. Diese beiden geh¨ orten zu seinem Artilleriebuch und er sende von jedem Instrument zwei Exemplare, eines von jedem f¨ ur den Herrn Marchese und je eines f¨ ur ihn. Es folgt die L¨ osung der ersten der neuen Aufgaben. Wir geben sie hier den L¨osungsweg Tartaglias nachzeichnend in moderner Form wieder. Es sei 10 = a1 + a2 + a3 + a4 60 = a21 + a22 + a23 + a24 und a2 : a1 = a3 : a2 = a4 : a3 . Ferner sei oBdA a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 , was Tartaglia stillschweigend annimmt. Tartaglia sagt nun, dass man a2 und a3 einzeln bestimmen k¨onne, wenn man a2 +a3 kenne, und ebenso a1 und a4 aus der Kenntnis von a1 + a4 . Dann nennt er a2 + a3 cosa. Es folgt zun¨ achst a1 + a4 = 10 − cosa. Wir setzen A := a2 + a3 und B := a1 + a4 . Dann ist A + B = 10. Tartaglia sagt nun, ohne dies nachzurechnen, dass A3 = a2 a3 = a1 a4 A + B + 2A

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sei. Dies ist f¨ ur uns leicht nachzupr¨ ufen, da ja a2 = a1 q, a3 = a1 q 2 und a4 = a1 q 3 a2 mit q = a1 ist. Mit a3 = A − a2 erh¨alt man, da ja A + B = 10 ist,  2 A3 A A2 = a2 (A − a2 ) = − a2 − . + 10 + 2A 2 4 Wegen a2 ≤ a3 folgt A a2 = − 2 und weiter A a3 = + 2





A3 A2 − 4 10 + 2A

A3 A2 − . 4 10 + 2A

Es ist a1 + a4 = B = 10 − A und daher A3 = a1 a4 = a1 (10 − A − a1 ) 10 + 2A  2 10 − A (10 − A)2 . + = − a1 − 2 4 Hieraus folgt a1 = und

10 − A − 2

10 − A a4 = + 2





A3 (10 − A)2 − 4 10 + 2A

A3 (10 − A)2 − . 4 10 + 2A

Bevor wir die Rechnung weiter verfolgen, sei das Zwischenergebnis in den Worten Tartaglias wiedergegeben. Prima sara .5. men . 12 . co. men R/.u .25. men .5. co. piu . 14 . ce. men .1. cubo esimo de .10. piu .2. co. El quadrato della qual quantita sara .50. men .10. co. piu . 12 . censo men .1. cubo. esimo de .10. piu .2. co. men, anchora el doppio del dutto de luna parte in laltra. La seconda sara . 12 . co. men R/.u . 14 . ce. men .1. cubo esimo de .10. piu .2. cose. Et el suo quadrato sara . 12 . ce. men .1. cu, esimo de .10. piu .2. co. men, anchora el doppio de luna parte in laltra. Entsprechend lauten die Formulierungen f¨ ur a3 und a4 . Interessant sind hierbei die vielen Abk¨ urzungen: men f¨ ur meno, das ist Minus, co f¨ ur cosa, das ist hier die Summe von a2 und a3 , ce f¨ ur censo, das ist das Quadrat von co. Besonders ur radice, das ist die Wurzel, und R/.u f¨ ur radice interessant ist die Abk¨ urzung R/ f¨ universalis. Dies soll bedeuten, dass die Wurzel aus dem gesamten Ausdruck zu ziehen ist, der noch folgt. Diese Abk¨ urzungen, die Vorl¨ aufer unserer Symbolik, finden sich schon bei Luca Pacioli. In diesem Zusammenhang ist zu erw¨ahnen,

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dass unsere Zeichen + und − sich zum ersten Mal im Druck in der Arithmetik von Johannes Widmann finden. Es tat sich zu dieser Zeit also auch einiges, was die Darstellung von Mathematik anbelangt. Das Wort esimo scheint ein Kunstwort zu sein. Gemeint ist hier der Nenner des Bruches. Das Suffix `esimo wird im Italienischen den Kardinalzahlen oberhalb zehn angeh¨ angt, um die entsprechende Ordinalzahl zu bezeichnen. (Die Bildung der Ordinalzahlen unterhalb Elf ist unregelm¨ aßig.) Die Ordinalzahlen werden wiederum benutzt, um die Zahlen im Nenner von Br¨ uchen zu bezeichnen (Battaglia & Pernicone 1987, S. 139 ff.). Ein esimo w¨are im Deutschen also mit ein Tel wiederzugeben, wobei Tel ein verblasstes Teil ist. So liest sich dreiviertel bei Adam Ries noch drey ” vier theil“ (Ries 1574/1978, F. 39r ) und a¨hnlich an anderen Stellen. Benutzt wird das Wort esimo von Tartaglia gleichsam als Funktionssymbol: esimo(10 + 2). Zwei Jahre nach dem ich dies schrieb, fand ich das Wort essimo bzw. esimo auch in dem spanisch geschriebenen Algebrabuch von Nu˜ nez (Nu˜ nez 1567, 30v , 138r , im Original f¨ alschlich 238r ) und noch etwas sp¨ ater auch in Bombellis Algebrabuch. Dar¨ uber mehr in Kapitel 5. Der ungeduldige Leser konsultiere den Index. Das Wort dutto statt prodotto ist nur konsequent, heißt multiplizieren doch auch ducere mit dutto als Partizip Perfekt. Es ist noch A zu bestimmen. Dazu muss man ausnutzen, dass a21 + a22 + a23 + a24 = 60 ist. Setzt man f¨ ur ai die gefundenen Ausdr¨ ucke ein, so sieht man, dass die gemischten Glieder sich wegheben. Es bleibt A3 10 + 2A a3 = 100 − 20A + 2A2 − 4 . 10 + 2A

60 = (10 − A)2 + a2 − 4

Also ist 4

A3 + 20 = 40 + 2A2 . 10 + 20A

Hieraus folgt A3 + 50A + 10a2 = 100 + 20A + 5A2 + A3 und weiter 30A + 5A2 = 100, dh. 6A + A2 = 20. Hieraus folgt schließlich A=

√ 29 − 3.

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Setzt man dies in die Formeln f¨ ur die ai ein, so erh¨alt man  √   90944 − 288 1 1 √ a1 = 6 2 − 7 4 − 49 21 − 1225 41 − 4 + 116  √   90944 − 288 1 1 1 1 √ a2 = 7 4 − 1 2 − 9 2 − 65 4 − 4 + 116  √   90944 − 288 1 1 1 1 √ a3 = 7 4 − 1 2 + 9 2 − 65 4 − 4 + 116  √   90944 − 288 1 1 1 1 √ a4 = 6 2 − 7 4 + 49 2 − 1225 4 − 4 + 116 Auch hier seien Tartaglias Formulierungen wiedergegeben. Der Leser achte wieder auf die von ihm benutzten Abk¨ urzungen. 1 1 La prima sara .6. 2 . men R/.7. 4 . men la R/.uniuersale de .49. 21 . men R/.1225. 41 . men questo esimo, cioe R/.41876. piu R/.9396. men .288. esimo de R/.116. piu .4. cioe da partire per R/.116. piu .4. La seconda sara R/.7. 14 . men .1 12 . men la R/.uniuersale de .9. 12 . men R/.65. 14 . men questo esimo, cioe R/.41876. piu R/.9396. men .288. da partire per R/.116. piu .4. La terza sara R/.7. 14 . men .1 12 . piu la R/.uniuersale de .9. 12 . men R/.65. 14 . men questo esimo, cioe R/.41876. piu R/.9396. men .288. da partire per R/.116. piu .4. La quarta sara .6. 12 . m˜e R/.7. 14 . piu la R/.uniuersale de .49. 21 . men R/.1225. 41 . men questo esimo, cioe R/.41876. piu R/.9396. men .288. esimo de R/.116. piu .4. come che nel principio fu concluso. √ √ √ Wie man sieht, hat Tartaglia 41876 + 9396 statt 90944, was nicht dasselbe ist. Wer hat recht? Nun, es ist √ √ A2 = ( 29 − 3)2 = 38 − 6 29 und

√ √ A3 = (38 − 6 29)( 29 − 3) √ √ = −3 · 38 − 6 · 29 + 38 · 29 + 18 · 29 √ √ = −288 + 382 · 29 + 182 · 29 √ = −288 + 562 · 29.

Nun ist 562 · 29 = 90944 und 182 · 29 = 9396, aber es ist 41876 = 362 · 29. Tartaglia hat also 362 · 29 statt 382 · 29 gerechnet, w¨ahrend die 38 in −3 · 38 − 6 · 29 = −288 bei ihm in die Rechnung eingegangen ist. Harig (1935/83, S. 64) behauptet, Tartaglia h¨ atte ausf¨ uhrliche L¨ osungen beider Aufgaben an Cardano geschickt, und verweist auf die Seiten 116r –119r der Quesiti.

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Dort findet sich aber nur die gerade vorgestellte L¨ osung der ersten Aufgabe. Die zweite Aufgabe f¨ uhrt n¨ amlich per Algebra (come credo che sapeti) [= durch Algebra (wie ich glaube, dass Sie wissen)] auf eine Aufgabe der Form px + q = x3 und Tartaglia offeriert, 10 Dukaten gegen 1 zu hinterlegen, dass Cardano Aufgaben dieses Typs nicht allgemein l¨osen k¨onne. Er h¨ utet sich jedoch, auch nur einen Hinweis zu geben, wie man Aufgaben dritten Grades l¨ osen kann. Er zweifelt im ¨ Ubrigen auch daran, dass Cardano die erste Aufgabe zu l¨ osen verstehe. Dann kommt er auf den Wunsch Cardanos zur¨ uck, ihm auch die Aufgaben zu schicken, die er Antonio Maria Fiore gestellt hatte. Er habe sie nicht mehr und er habe auch keine Zeit zum recherchieren, er habe n¨amlich schon vor zwei Tagen plakatiert, dass er am Sonntag in San Zuannepolo (SS. Giovanni e Paolo) u ¨ber die Wissenschaft der Gewichte, u ¨ ber einiges von ihm Gefundene u ¨ber das Artillerieschießen und einiges Andere vortragen wolle. Damit Cardano nicht glaube, dies sei eine Finte, schicke er ihm das Plakat, das seinen Vortrag ank¨ undige, und als Zeichen des guten Willens einige der Aufgaben, die ihm im Ged¨ achtnis geblieben seien. Es sind vier Aufgaben, die auf kubische Gleichungen der Form px2 + x3 = q, q + px2 = x3 , px + x3 = q und px + q = x3 f¨ uhren, und die er nur wenig pr¨ aziser beschreibt, als ich es hier tue. Dabei sagt er auch, dass er f¨ ur Gleichungen der Form x3 + q = px2 keine allgemeine Regel h¨atte. Ferner teilt er mit allen Details drei geometrische Aufgaben mit, die geometrisch zu l¨osen sind. Die achte und letzte Aufgabe, die er angibt, ist eine, wie sie auch heute noch auf unseren Schulen gerne gestellt wird: Aus einem Fass, welches mit reinem Wein gef¨ ullt ist, werden zwei secchi abgezapft und dann das Fass mit Wasser wieder gef¨ ullt. Dann werden wieder zwei secchi des Gemischs abgezapft und wieder mit Wasser nachgef¨ ullt, usw., das Ganze sechsmal. Danach besteht das Gemisch zur H¨alfte aus Wein und zur H¨ alfte aus Wasser. Gefragt ist nach dem Inhalt des Fasses. Es sei k der Inhalt des Fasses in secchi. Es sei v ein secco Wein und w ein secco Wasser und das Gemisch bestehe nach dem i-ten Schritt aus ai secchi Wein und bi secchi Wasser. Dann ist ai + bi = k. Ferner ist 2 ai+1 v + bi+1 w = ai v + bi w − (ai v + bi w) + 2w k      2 2 = 1− 1− ai v + bi + 2 w k k und daher unter anderem ai+1 = Es folgt

und wegen a0 = k und a6 =

  2 1− ai . k

 6 2 a6 = 1 − a0 k k 2

dann 1 = 2

 6 2 1− , k

6. Wut u ¨ber eine verspielte Gelegenheit

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was 2 k =2+ √ 6 2−1 zur Folge hat. Der Fassinhalt ist also gleich 18,3 secchi, was keine gute Approximation ist, wenn ein secco deutlich mehr als ein Liter sein sollte, was ich vermute, da sonst das Fass ein F¨ asschen w¨are. Ich habe die Relation eines secco zu einem Liter nicht herausfinden k¨ onnen. Ein ander Mal, so Tartaglia weiter, in gr¨ oßerer Behaglichkeit, werde er zum Notar gehen und ihm, Cardano, auch noch die restlichen Aufgaben schicken. Dann kommt er noch einmal auf die sieben Aufgaben zu sprechen, die Cardano ihm durch da Bassano hat stellen lassen und die Cardano, wie er schrieb, schon l¨ osen konnte, bevor da Coi bis 10 zu z¨ ahlen verstand, aber er, Tartaglia, glaube, dass Cardano sich an die L¨ osungen wohl nicht mehr erinnere. Damit endet der Brief. Tartaglia geht also auf die Aufgaben mit den Gleichungen dritten Grades nicht mehr ein. Als N¨achstes gibt es einen Brief von Cardano, der wohl am 13. M¨ arz 1539 geschrieben und am 19. M¨ arz von Tartaglia erhalten wurde. Cardano lenkt ein. Mein liebster Herr Nicolo“ redet er Tartaglia an, er h¨ atte dessen langen Brief ” erhalten, der ihm umso besser gefallen h¨ atte, je l¨anger er war. Und das doppelt, da seine scharfen Worte von Tartaglia nicht mit Hass und Boshaftigkeit beantwortet worden w¨aren. Er schmeichelt ihm, berichtet ihm, dass der Marchese, wie auch er, u ¨ ber die Instrumente erfreut war und dass jener mit ihm sich unterhalten wolle. Cardano l¨ adt ihn also in sein Haus nach Mailand ein. Es w¨ are nicht n¨ otig, die 100 Dukaten zu hinterlegen. (Mir ist der Sinn des Hinterlegens der 100 Dukaten bzw. Skudi nicht klar geworden.) Er erw¨ ahnt noch einmal seine pratica di Geometria, & di Arithmetica, & di Algebra, von der schon mehr als die H¨ alfte gedruckt sei. Er m¨ ochte gerne Tartaglias L¨ osungsformel dem Werk anf¨ ugen und Tartaglia als ihren Erfinder nennen. Wenn Tartaglia aber wolle, dass er sie geheim halten solle, so werde er sie geheim halten. Nach diesem Brief entschließt sich Tartaglia offenbar schweren Herzens, nach Mailand zu reisen: Per costui son ridutto ` a un stranio passo, perche se non uado ` a Millano il S. Marchese il potria hauer per male, & qualche male me potria riuscire, & mal uolontiera ui vado, pur ui voglio andare. Das heißt: Auf diese Weise bin ” ich in eine merkw¨ urdige Situation gebracht worden. Wenn ich nicht nach Mailand ¨ gehe, kann es mir der Herr Marchese u ¨ bel nehmen und etwas Ubles kann mir widerfahren. Ungern gehe ich dorthin, aber ich will dorthin gehen.“ Am 25. M¨ arz 1539 stehen sich die beiden 39 bzw. 38 Jahre alten M¨ anner, Tartaglia und Cardano, im Hause des letzteren in Mailand gegen¨ uber. Ihr Gespr¨ ach gibt Tartaglia in seiner Quesito XXXIIII wieder. Der Herr Marchese sei nach Vegeuene geritten, da h¨atten sie Zeit u ¨ ber ihre Dinge zu reden, meint Cardano und er l¨ asst wieder einen leisen Vorwurf anklingen, dass Tartaglia nicht mit seiner Formel herausr¨ ucke. Tartaglia erwidert, dass er nicht wegen seiner Formel den Prek¨ aren spiele, noch wegen der aus ihr gezogenen Folgerungen, sondern wegen der vielen anderen Dinge, die daraus noch zu

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folgern w¨aren. Doch er h¨atte im Moment keine Zeit, diese Dinge weiter zu verfolgen, da er dabei w¨ are, den Euklid ins Italienische zu u ¨bersetzen. Er sei mittlerweile bis zu Buch 13 gekommen. Der Euklid ginge vor. Er plane, eine Neue Algebra“ ” zu schreiben, wo er alle seine Entdeckungen und vieles andere mitteilen wolle. Dies sei der Grund, weshalb er sich allen verweigere, denn er f¨ urchte, dass sie und unter ihnen eben auch Cardano ihm zuvorkommen k¨ onnten. Das gefiele ihm nicht. Er wolle seine Entdeckungen in einem eigenen Werk publizieren und nicht in dem Werk einer anderen Person. Cardano meinte, er w¨ urde es dann geheim halten, wie er schon geschrieben h¨atte. Das h¨ atte er, Tartaglia, ihm nicht glauben wollen. Doch Cardano schw¨ort nun — so jedenfalls Tartaglia in seinem Protokoll — beim Heiligen Evangelium Gottes und als wahrer Edelmann, nicht nur Tartaglias Ergebnisse niemals zu publizieren, sondern er verspreche auch, und er verpf¨ ande seinen Glauben als echter Christ, dass er sie — die L¨ osung — sich nur chiffriert notieren wolle, damit nach seinem Tod niemand sie verstehen k¨onne. Wenn ihr ” mir glauben wollt, so glaubt es, wenn nicht, so lasst es.“ Hier der italienische Text, so wie Tartaglia ihn aufgeschrieben hat. Io ui giuro, ad sacra Dei euangelia, & da real gentil’huomo, non solamente da non publicar giamai tale uostre inventioni, se me le insignate. Ma anchora ui prometto, at impegno la fede mia da real Christiano, da notarmele in zifera, accio che dapoi la mia morte alcuno non le possa intendere, se me il uoleti mo credere credetilo, se non lassatilo stare. Interessant hierin der Ausdruck notarmele in zifera, den wir in Abschnitt 7 von Kapitel 1 schon diskutierten. Tartaglia meint nun, wenn er Cardanos Schw¨ uren keinen Glauben schenken wolle, verdiene er es sicherlich, als ein Mann ohne Glauben angesehen zu werden. Er z¨ ogert noch ein wenig, gibt aber dann die L¨ osung in Form eines Gedichtes preis, das er zu seiner Ged¨achtnisst¨ utze gedichtet hat und das er Cardano aufschreibt. Es lautet: Quando chel cubo con le cose appresso Se agguaglia a ` qualche numero discreto Trouan dui altri differenti in esso. Da poi terrai questo per consueto Che’llor produtto sempre sia eguale Al terzo cubo delle cose neto, El residuo poi suo generale Delli lor lati cubi ben sottratti Varra la tua cosa principale. In el secondo de cotesti atti Quando che’l cubo restasse lui solo Tu osseruarai quest’altri contratti, Del numer farai due tal part’` a uolo Che l’una in l’altra si produca schietto El terzo cubo delle cose in stolo Delle qual poi, per commun precetto

6. Wut u ¨ber eine verspielte Gelegenheit

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Torrai li lati cubi insieme gionti Et cotal somma sara il tuo concetto. El terzo poi de questi nostri conti Se solue col secondo se ben guardi Che per natura son quasi congionti. Questi trouai, & non con paßi tardi Nel mille cinquecent´e, quatroe trenta Con fondamenti ben sald’`e gagliardi Nella Citta dal mar’intorno centa. ¨ Hier zun¨ achst meine Ubersetzung dieses Gedichtes. Dies ist die erste Interpretation. Die zweite wird dann darin bestehen, die L¨ osungsformeln in moderne Notation zu u ¨bertragen. Dabei werden wir sie auch verifizieren und gleichzeitig zeigen, dass sie wirklich zu L¨osungen f¨ uhren. Was Tartaglia in seinem Gedicht wiedergibt, ist ja nur eine Umformulierung der Aufgabe. Sie leistet aber am Ende das Verlangte. Wenn der Kubus mit den Coßen daneben gleich ist einer diskreten Zahl, finden sich als Differenz zwei andere in dieser. Dann halte es wie gew¨ohnlich, dass n¨amlich ihr Produkt gleich sei dem Kubus des Drittels der Coßen, Und der Rest dann, so die Regel, ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert wird sein deine Hauptcoß. In dem zweiten von diesen F¨allen, wenn der Kubus allein steht und du betrachtest die anderen zusammengezogen, Von der Zahl mache wieder zwei solche Teile, dass der eine in den anderen multipliziert den Kubus des Drittels der Coßen ergibt. Von jenen dann, so die gemeine Vorschrift, nimm die Kubusseiten zusammen vereint und diese Summe wird dein Ergebnis sein. Die dritte nun von diesen unseren Rechnungen l¨ ost sich wie die zweite, wenn du wohl beachtest, dass sie von Natur aus gleichsam verwandt sind. Dieses fand ich, nicht schwerf¨alligen Schrittes, im Jahre tausendf¨ unfhundertvierunddreißig mit Begr¨ undungen triftig und fest In der Stadt vom Meer rings umg¨ urtet. Dieses Gedicht, so glaubt Tartaglia, sei so klar, dass Cardano es ohne jedes weitere Beispiel verst¨ unde. Sie verabschieden sich und Tartaglia droht noch einmal

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mit einer Gegenpublikation, falls Cardano doch die L¨ osung publizieren werde, sei es in dem Werk, was gerade im Druck sei, sei es in einem anderen. Cardano gibt Tartaglia einen Brief an den Marchese mit, der ja nach Vigeuene geritten war, da er glaubt, dass Tartaglia ihn noch aufsuchen werde. Doch Tartaglia, nachdem er Cardanos Andate in bon’hora notiert hat, schreibt: Um meines Glau” bens willen, ich will nicht nach Vigeuene gehen. Ich will sofort nach Venedig umkehren, gehe die Sache, wie sie wolle.“ Bevor ich beginne das Gedicht zu interpretieren, m¨ ochte ich betonen, dass nichts an ihm verschl¨ usselt ist, wie man gelegentlich behauptet findet. Es ist verfasst in der Sprache der Mathematik der damaligen Zeit. Cardano hatte gewiss keine Schwierigkeiten, es zu verstehen. Das Gedicht gibt die L¨ osung zuerst f¨ ur den Fall, dass der Kubus zusammen mit den dritten Wurzeln aus ihm eine Zahl ergibt. Es heißt le cose. Dies ist ein Plural, so dass wir dies in unseren Formeln mit px wiederzugeben haben. Es handelt sich hier also um Gleichungen dritten Grades der Form x3 + px = q, wobei p und q positive Zahlen sind. Die Zahl q ist als Differenz zweier weiterer Zahlen u und v darzustellen, also q = u − v, so dass

 3 p uv = 3 √ √ 3 3 ist. Setzt man dann y := u und z := v, das sind die Kubusseiten, so ist x := y − z eine L¨osung der obigen Gleichung. Soweit Tartaglia. Wir verifizieren dies, indem wir bemerken: Es ist 3yz = p und daher x3 + px = (y − z)3 + 3yz(y − z)

 = (y − z)2 + 3yz (y − z) = (y 2 − 2yz + z 2 + 3yz)(y − z) = (y 2 + yz + z 2 )(y − z) = y3 − z 3 = u − v = q. Die Zahlen u und v erh¨alt man aufgrund von  3  2 p q q2 = u(u − q) = u − − 3 2 4

6. Wut u ¨ber eine verspielte Gelegenheit als q u= + 2 und q v=− + 2 Somit ist

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  3 q2 p + 3 4   3 q2 p + . 3 4

        3 3   2 3 q 3 p p q q q2   x= + + . + − − + 2 3 4 2 3 4

Beim zweiten Fall steht x3 alleine. Hier handelt es sich um Gleichungen der Form x3 = px + q. Es sind u und v zu bestimmen mit q =u+v und

 3 p . 3 √ √ Setzt man wieder y := 3 u und z := 3 v, so ist x := y + z eine L¨osung. Soweit wiederum Tartaglia. Wir stellen zun¨ achst fest, dass 3yz = p ist. Hiermit folgt uv =

x3 = y 3 + z 3 + 3yz(y + z) = u + v + px = q + px. Also ist x tats¨achlich eine L¨osung. Die Zahlen u und v berechnen sich aus  2  3 p q q2 = u(q − u) = − u − + 3 2 4 zu

   3 p q q2 u= ± − + 2 3 4

und q v= ∓ 2 Also ist

   3 p q2 − + . 3 4

          3 3   2 3 3 p p q q q q2   x= ± − + ∓ − + + . 2 3 4 2 3 4

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Hier gibt es nat¨ urlich Probleme, wenn  3 p q2 > 3 4 ist. Wir sehen zwar auch dann die reelle L¨ osung, da x beim Konjugieren fest bleibt, also reell ist, doch komplexe Zahlen kannte man damals noch nicht. Vielmehr zwangen die kubischen Gleichungen erst dazu, sich auch mit diesen merkw¨ urdigen Gebilden zu befassen. Was Tartaglia zum dritten Fall, n¨ amlich dem Fall der Gleichungen vom Typ x3 + q = px sagt, gibt Anlass zu Spekulationen. Diese Gleichung gilt n¨ amlich genau dann, wenn (−x)3 = p(−x) + q ist. Somit ist x L¨osung einer Gleichung des dritten Typs, wenn −x L¨osung der konjugierten“ Gleichung vom zweiten Typ ist. Dies gilt auch f¨ ur evt. komplexe ” L¨osungen. Hat Tartaglia etwas Derartiges gemeint, wenn er sagt, dass sich die Gleichungen des dritten Typs wie die Gleichungen des zweiten Typs l¨ osen lassen? Dann h¨ atte er zumindest negative reelle Zahlen als Zahlen anerkennen und mit ihnen rechnen m¨ ussen. Ich weiß dazu nichts zu sagen. Da man in einer kubischen Gleichung ein evt. vorhandenes quadratisches Glied durch eine lineare Transformation, die sog. Tschirnhausentransformation, eliminieren kann, hat Tartaglia die allgemeine L¨ osung der kubischen Gleichungen. Er war sich dessen aber nicht bewusst. Er sagt in dem langen Brief vom 18. Februar 1539, dass er keine Formel zur L¨osung von Gleichungen des Typs x3 + q = px2 habe. Tartaglia ist also Hals u ¨ ber Kopf abgereist, ohne den Marchese vorher aufzusuchen, der am Karsamstag nach Mailand zur¨ uckkehrte und u ¨ ber die Abreise Tartaglias entt¨auscht war, wie aus einem Brief Cardanos vom 9. April 1539 hervorgeht. In diesem Brief bekr¨aftigt Cardano seine Dankbarkeit und hofft auf lebenslange Freundschaft. Mit einem Brief vom 12. Mai 1539 sendet er ihm ein Exemplar des nun fertiggestellten Buches. Er schreibt dazu: Quanto a ` l’opera che sia fornita per cauarui di sospetto ue ne mando una e ue la mando disligata che non ho uoluto farla battere per esser troppo fresca. Das heißt. Was das Werk anbelangt, das geliefert sei, um ” Sie vom Misstrauen zu erl¨osen, so schicke ich Ihnen eines und ich schicke es Ihnen ungebunden, da ich es nicht schlagen lassen wollte, weil es noch zu frisch war.“ Was soll das bedeuten? Nun, zur damaligen Zeit wurden die bedruckten Bl¨ atter

6. Wut u ¨ber eine verspielte Gelegenheit

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vor dem Binden mit 5 bis 6 Kilogramm schweren Planierh¨ammern geschlagen, um die durch die Feuchtigkeit beim Drucken wellig gewordenen Bl¨ atter wieder plan zu bekommen und sie gleichzeitig von der restlichen Feuchtigkeit zu befreien und sie zu verdichten. Ein Holzschnitt aus Jost Ammans Kartenspielhandbuch, der diese T¨atigkeit des Aus-den-Falten-schlagens zeigt, ist in Petersen (1991, S. 99) abgedruckt. In einem Brief, den Tartaglia am 4. August 1539 erhielt und mit dem auch die Verbindung mit Diego de Mendoza, dem spanischen Botschafter in Venedig, hergestellt wurde, weist Cardano auf das Problem hin, dass es bei Gleichungen der Form x3 = px + q sein k¨onne, dass ( p3 )3 > ( q2 )2 ist. Als Beispiel bringt er die Gleichung x3 = 9x + 10. Es k¨ onne in solchen F¨ allen mit der L¨ osungsformel bis zur Stunde nichts anfangen. Hier ist in der Tat   √ √ 3 3 x = 5 + −2 + 5 − −2, was nach unseren Vorstellungen eine reelle L¨ osung der fraglichen Gleichung ist. Tartaglia redet in seinem Antwortschreiben um den heißen Brei herum, ohne etwas preiszugeben, falls er etwas preiszugeben hat. √ √ osungen −2, Die Gleichung x3 = 9x + 10 hat √ die L¨ √ 1 + 6 und 1 − 6. Nimmt man als dritte Wurzel von 5 + i 2 die Zahl −1 + i 2, so erh¨ alt man die L¨ osung −2. Die andern beiden dritten Wurzeln, die man leicht mit Hilfe der dritten Einheitswurzeln bekommt, liefern die beiden anderen L¨osungen der Gleichung. Die dritten Einheitswurzeln waren aber auch noch zu entdecken. Was hier geschieht, war also wirklich nicht gleich zu verstehen. Von einem ehemaligen Sch¨ uler, Maphi Poueiani aus Bergamo, erh¨ alt er in einem Brief vom 10. Juli 1539 die Warnung, dass Cardano ein weiteres Buch in Algebra u ¨ ber einige neu gefundenen Resultate plane und dass er ihn offenbar betr¨ ugen wolle. In seinem Antwortschreiben vom 7. August 1539 auf den Brief Cardanos, den er am 4. August erhalten hatte, fragt Tartaglia ihn nach dem neuen Buch. Cardano sagt nicht ja, er schriebe ein Buch, noch dementiert er. Am 5. Januar 1540 schreibt Cardano an Tartaglia, dass auch quel diauolo de messer Zuanne Colle (= da Coi) im Besitz der L¨osungsformeln f¨ ur die Gleichungen der Form x3 + px = q und x3 = px + q sei. Er habe sie nach einigem Ausprobieren zusammen mit einem Kompagnon gefunden. Das Buch, die Ars magna, erscheint 1545 in N¨ urnberg. Es geht u ¨ber das hinaus, was Tartaglia an Ergebnissen zu den Gleichungen dritten Grades gefunden hatte. In ihm werden alle kubischen Gleichungen einer L¨ osung zugef¨ uhrt. Cardano l¨ asst die Geschichte der algebraischen Gleichungen mit Al-Hwarizmi beginnen, nennt Leonardo von Pisa und Luca Pacioli im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen. Dann sagt er, dass in seiner eigenen Zeit Scipione dal Ferro aus Bologna

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

atte kubische Gleichungen des Typs x3 + px = q gel¨ost h¨atte. Ihn nachahmend h¨ sein Freund Tartaglia in einem Wettstreit mit Antonio Maria Fiore den gleichen Fall gel¨ ost. Jener h¨ atte ihm nach langem Dr¨ angen die L¨ osungsformel gegeben, jedoch ohne ihren Beweis. Er selbst h¨ atte es aufgegeben gehabt, nach der Formel zu suchen, da Luca Pacioli von solchen Aufgaben gesagt h¨ atte, dass sie unm¨oglich allgemein zu l¨osen seien. Er bezieht sich wohl auf die Stelle Pacioli 1494, 149r –150r, wo Pacioli außer dem oben schon Erw¨ ahnten von den Gleichungen x4 + px2 = qx 4 2 und x = qx + px explizit sagt, dass sie unm¨oglich seien. Nachdem er, Cardano, Tartaglias Resultat erhalten habe, habe er versucht, Beweise f¨ ur sie zu finden, wodurch er mehr und mehr mit der Sache vertraut wurde und sie zum Teil auch mit Ferraris Hilfe schließlich vollst¨ andig l¨ oste. Zu Beginn von Kapitel XI erw¨ ahnt er nochmals die Urheberschaft Scipione dal Ferros, der seine L¨ osung vor ungef¨ ahr dreißig Jahren gefunden und sie an Antonio Maria Fiore weitergegeben habe. Tartaglia h¨atte bei seinem Wettstreit mit Fiore die Formel wiedergefunden und sie dann ihm gegeben, die Beweise aber zur¨ uckgehalten. Diese h¨ atte er nun gesucht, gest¨ utzt auf die gewonnene Information. Tartaglia reagierte mit seiner Publikation der Quesiti et inventioni diverse schon im darauffolgenden Jahr. Aus ihnen haben wir Tartaglias Sicht der Dinge gesch¨opft. Von ihren neun Kapiteln betrifft nur das neunte die Gleichungen dritten Grades. Es k¨onnte also sein, dass Tartaglia ihre Publikation schon l¨ anger plante. Sie nach Publikation der ars magna aufzuschreiben und sie ein bis anderthalb Jahre sp¨ ater gedruckt zu haben, w¨ are keine kleine Leistung. Darauf forderte Ferrari Tartaglia zum o¨ffentlichen Wettstreit auf, der in den Jahren 1547–1548 stattfand: Sechs cartelli di sfida — das heißt Fehdebriefe — von Ferrari wurden mit sechs Briefen von Tartaglia beantwortet. Ferraris zweiter Brief ist besonders interessant. Dort erinnert er Tartaglia daran (Ferrari & Tartaglia 1974, S. 27), dass er bei Tartaglias Unterredung mit Cardano in dessen Haus in Mailand dabei war und daher alle seine L¨ ugen durchschaue. Cardano habe sein Erfindungchen entgegengenommen. Er habe es dann in sein sehr feines und außerst gelehrtes Buch aufgenommen, wie man ein sieches und halbtotes B¨ ¨ aumchen in einen weiten, sehr fruchtbaren und anmutigen Garten aufn¨ ahme, und ihn als den Erfinder ger¨ uhmt. Was willst du mehr?“ schreibt er und wirft ihm seine ” Geheimniskr¨ amerei vor. Die L¨ osungsformel f¨ ur die kubischen Gleichungen geh¨ orten allen Menschen. Er wolle sie selbst in einem eigenen Buch publizieren. Wie lange solle das aber dauern? Sechshundert Jahre? Falls die nur reichen. Und er erz¨ ahlt weiter, dass er mit Cardano in Bologna war, wo sie Annibale dalla Nave aufsuchten, der ihnen ein B¨ uchlein in der Handschrift Ferros gezeigt h¨ atte, in das dieser die L¨osung f¨ ur die kubische Gleichung vom Typ x3 + px = q geschrieben hatte. Wie schon erw¨ ahnt, machten die Cartelli di sfida Ferrari ber¨ uhmt, so dass er ehrenvolle Angebote bekam. Selbst Karl V. wollte ihn als Erzieher seines Sohnes haben. Tartaglia war der Verlierer. Er h¨ atte die Euklid¨ ubersetzung hintansetzen und sich den kubischen Gleichungen widmen sollen. Er konnte nicht erwarten, dass andere unt¨ atig blieben. Er blieb bis an sein Lebensende voller schwarzer, bitterer

7. Kubische Gleichungen

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Wut, wie man an vielen Bemerkungen in seinem General trattato erkennt. Er schreibt dort immer von dem Disput zwischen ihm auf der einen und Cardano und Ferrari auf der anderen Seite, obwohl Cardano sich geschickt v¨ ollig im Hintergrund hielt. Dabei ist der Name Ferraris immer von einem ver¨ achtlichen suo creato, seine Kreatur, gefolgt. Dabei hat Ferrari ihm dieses Stichwort selbst in die Hand gegeben, indem er im ersten cartello di sfida von sich selbst sagt, dass er Cardanos Gesch¨opf sei: sono creato suo (Ferrari & Tartaglia 1547–1548/1974, S. 5). So schildert er in Teil II, Blatt 42r , dass er bei dem Disput mit Ferrari — er, wie gesagt, Hieronimo Cardano e Lodouico ferraro suo creato — u. a. die Aufgabe gestellt habe, die N¨aherung der 5. Wurzel von 9999999999 nach der allgemeinen 9 . Das sei in zweifacher Regel zu bestimmen. Die L¨osung, die sie lieferten, sei 99 10 9 Hinsicht falsch. Zum einen seien die 10 nicht nach der allgemeinen Regel gebildet. Zum anderen sei 9 5 4999 ) = 9950099900 100000 , (99 10 95001 so dass an 9999999999 noch 49900098 100000 fehlten. Man k¨ onne also klar sehen, dass dieses ein Fehlerchen (erroretto) oder vielmehr ein dicker, schwerer Fehler (errorazzo) sei, den man selbst in der Nacht ohne Licht sehen k¨ onne (Hor si puo chiaramente vedere se questo `e uno erroretto, ouero vno errorazzo da poter esser visto la notte senza lume. Als Marginalie findet sich, damit man auch beim Durchbl¨ attern es nicht u ¨bersieht: Errore fatto da Hieronimo Cardano, & da Lodouico ferraro suo creato nella rissolutione del mio 22 quesito a lor proposta nelle nostra publica disputa, come in quella appare. Und weiter: Vn’altro erore, ouvero errorazzo fatto dal detto Hieronimo Cardano & Lodouico ferraro suo creato nella rissolutione del detto mio 22 quesito a lor proposto nella nostra publica disputa. Und weiter sagt er, dass es u ¨ berhaupt keiner Regel bed¨ urfe, um die 5. Wurzel aus 9999999999 anzun¨ ahern, man f¨ ande sie mit nat¨ urlichem Urteil: 100 sei eine gute N¨ aherung, denn es sei ja

1005 − 9999999999 = 1. √ 490099500 Vorher hatte er 5 9999999999 schon regelgerecht ausgerechnet und 99 490099500 erhalten. Die zwei Fehler Cardanos und Ferraris bestanden also darin, dass sie nicht die richtige Formel verwendeten und dass ihre Approximation in der Tat sehr schlecht war. Er l¨ asst sich bei dieser Gelegenheit, ohne ins Detail zu gehen, noch u ¨ ber die N¨ aherungsformeln von Michael Stifel (michiel stifelio) und Orontius Fin´e (Orontio) aus. Zwei Fehler auch beim Ausziehen der 11. Wurzel aus 177148 21 . Auch hier wieder die Steigerung von errore zu errorazzo. Auch hier wieder Lodouico ferraro il suo creato (General Trattato, Teil II, Blatt 69r ). Und so noch an manch anderer Stelle. Wir brechen die Erz¨ ahlung hier ab. Romancier m¨ usste man sein, um den Stoff ad¨ aquat darzustellen. 7. Kubische Gleichungen. Bei Fibonacci kommen negative Zahlen als L¨osungen von linearen Gleichungsystemen in Form von Schulden vor. Dies wird in meinem

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Lesevergn¨ ugen“ ausf¨ uhrlich diskutiert und wir werden hier in Abschnitt 7 von ” Kapitel 5 darauf zur¨ uckkommen. In Abschnitt 3 des vorliegenden Kapitels sahen wir, dass Fibonacci beim Ausziehen der dritten Wurzel aus 900 als Zwischenergebnis eine abstrakte negative Zahl akzeptiert und mit ihr weiterarbeitet. Dies bleibt einmalig in seinem Werk und kommt auch lange Zeit sonst nicht mehr vor. Chuquets Triparty von 1484 enth¨ alt ein lineares Gleichungssystem, dessen L¨osungssystem die 0 und die Zahl −60 enth¨ alt. Auch hierauf werden wir noch ausf¨ uhrlicher zu sprechen kommen. Im vorigen Abschnitt sahen wir, dass negative Zahlen zwangsl¨aufig als Radikanden von Quadratwurzeln bei der L¨ osung von kubischen Gleichungen ins Spiel kommen. Negative Zahlen waren den Mathematikern des beginnenden 16. Jahrhunderts also nicht mehr v¨ ollig fremd. So verwundert h¨ ochstens die Intensit¨at, mit der sie nun bei Cardano vorkommen. Wenden wir uns ihm und seiner ars magna zu. Cardano beginnt seine ars magna mit der Betrachtung der Potenzen, die bei ihm denominationes (Singular denominatio) heißen. Es gebe gerade und ungerade. Die geraden seien — in heutiger Notation — x2 , x4 , x6 , usw., immer eine auslassend, und die ungeraden x, x3 , x5 , usw. Ist eine gerade Potenz gleich einer Zahl, so hat ihre Wurzel zwei Werte, einen positiven und einen negativen , denn minus mal minus ergebe plus (quoniam minus in minus ductum produit plus). Aus x2 = 9 folge x = 3 und x = −3. Aus x2 = 16 folge x = 4 und x = −4 und aus x4 = 81 folge x = 3 und x = −3. Was bei uns L¨ osung heißt, nennt Cardano aequatio oder auch aestimatio. F¨ ur positive L¨ osung“ benutzt er den Ausdruck aequatio vera und f¨ ur negative L¨ o” ” sung“ den Ausdruck aequatio ficta, also wahre bzw. fiktive L¨ osung. Jede ungerade Potenz bewahrt ihre Natur. Ist sie negativ, so kann sie nicht von einer positiven Zahl herstammen. Wenn mehrere ungerade Potenzen, selbst tausend von ihnen, aufsummiert einer Zahl gleichgesetzt werden, so gibt es nur eine L¨osung. Als Beispiel betrachtet er x3 + 6x = 20. Diese Gleichung hat die L¨ osung x = 2. Es g¨ abe keine weiteren, weder positive noch negative. Es ist nat¨ urlich klar, dass es auch im allgemeinen Fall nur eine reelle L¨osung gibt, die u ¨berdies positiv ist. Cardano kennt auch den Zusammenhang der beiden Gleichungen x3 + q = px und x3 = q + px, dass n¨amlich a genau dann L¨ osung der ersten Gleichung ist, wenn −a L¨osung der zweiten Gleichung ist. Davon  wird er sp¨ater Gebrauch machen. Hier beachtet er  osung der ersten Gleichung ist. Ihr Doppeltes noch, dass p3 im Falle 23 p p3 = q L¨

7. Kubische Gleichungen

423

ist L¨osung der zweiten Gleichung. Dies notiert er im Anschluss an das u ¨ bern¨ achste Beispiel, benutzt es aber schon beim n¨ achsten Beispiel. ullt und demnach 2 Als Beispiel hat er x3 +16 = 12x. Hier ist diese Bedingung erf¨ eine L¨osung. Es g¨abe noch eine weitere L¨osung, n¨ amlich das Negative der positiven L¨osung von x3 = 12x + 16. Diese Gleichung hat die L¨ osung 4, so dass −4 L¨osung 16 = 12x ist. Dies verifiziert er noch. von x3 + Ist 23 p p3 > q, so hat die Gleichung x3 + q = px drei L¨osungen, zwei positive und eine negative. Er begr¨ undet dies nicht. Wir werden dies am Ende dieses Abschnitts mit Hilfe der komplexen Zahlen beweisen. Die Situation hier ist f¨ ur den Mathematiker der damaligen Zeit verwirrend. Man erinnere sich, in Tartaglias L¨osungsformel f¨ ur diese Gleichung ist die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Das war f¨ ur die damalige Zeit unerh¨ ort. Es ist also unklar, wie Cardano zu diesem Resultat gelangte.  Als Beispiel f¨ ur diese Situation dient x3 + 9 = 12x. Hier sind 3 und die positiven L¨ osungen und die negative ist     1 1 1 1 − 3+ 5 −1 = −1 − 5 . 4 2 2 4

5 41 − 1 12

Die hier vorgef¨ uhrte Relation zwischen den drei Wurzeln steht auch bei Cardano ausdr¨ ucklich vermerkt. Indiesem Zusammenhang bemerkt er auch, was  wir oben schon erw¨ahnten, dass 2 p3 L¨osung von x3 = q + px ist, falls 23 p p3 = q ist. Man k¨ onnte also geneigt sein anzunehmen, dass Cardano eine Vorstellung von Vielfachheiten von L¨ osungen von Gleichungen dritten Grades hatte. Die Gelehrten sind sich in dieser Frage uneins.  Schließlich diskutiert er noch den Fall, dass 23 p p3 < q ist. In diesem Falle hat x3 + q = px keine positive L¨osung, sondern nur eine negative. Sie entspricht der positiven L¨ osung von x3 = px + q. Dies ist das f¨ ur uns wichtigste aus den Anfangskapiteln der Ars magna. Bewiesen wird in ihnen nichts. Cardano betrachtet neben den Grundtypen kubischer Gleichungen auch abgeleitete Typen, das sind solche Gleichungen, die aus kubischen Gleichungen entsteanken uns hier auf die Grundtypen. hen, wenn man x durch xk ersetzt.Wir beschr¨ Da sind einmal die kubischen Gleichungen, in denen kein quadratisches Glied vorkommt. Neben der reinen kubischen Gleichung x3 = p gibt es von diesen noch die folgenden drei Typen, die wir schon kennen. 1. x3 + px = q 2. x3 + q = px 3. x3 = px + q. Es gibt weitere drei Typen, in denen zwar ein quadratisches aber kein lineares Glied vorkommt. Es sind dies die Gleichungen 4. x3 + px2 = q 5. x3 + q = px2

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6. x3 = px2 + q. Schließlich gibt es noch sieben Typen, bei denen sowohl ein lineares als auch ein quadratisches Glied vorkommt. Es sind dies 7. x3 + px2 + qx = r 8. x3 + px2 + r = qx 9. x3 + px2 = qx + r 10. x3 + qx + r = px2 11. x3 + qx = px2 + r 12. x3 + r = px2 + qx 13. x3 = px2 + qx + r. Es gibt also vierzehn Typen von kubischen Gleichungen. Zun¨ achst werden nun die L¨ osungen quadratischer Gleichungen angegeben, wobei evt. auftretende negative L¨osungen nicht erw¨ ahnt werden. Hier geschieht nichts Neues. Erw¨ ahnenswert sind wegen ihrer irrationalen Koeffizienten die Beispiele √ 12 + 22 √ x2 = 12 + 20 √ x2 = 12 + 9 √ √ 3 x2 = 12 + 10,

x2 =

sowie die Bemerkung, dass die (positive) L¨osung von x2 = px + q minus der (positiven) L¨ osung von x2 + px = q gleich p ist. Dass ihr Produkt q ergibt, hat Cardano nicht notiert. In Abschnitt 2 hatten wir gefragt, ob sich Fibonacci des Zusammenhangs zwischen den Gleichungen x2 = px + q und x2 + px = q bewusst war. Die Frage blieb offen. Cardano aber war sich des Zusammenhangs jedenfalls im Wesentlichen bewusst. Bevor Cardano sich den kubischen Gleichungen zuwendet, etabliert er noch zwei Transformationen. Er geht aus von einer Gleichung mit drei Gliedern xn , pxk und q, wobei k < n ist. Die transformierte Gleichung hat im ersten Falle drei Glieder der Form xn , p xn−k und q und im zweiten Falle drei Glieder der Form xn , pxn−k und q  . Er sagt hier nur, wie p bzw. q  zu berechnen sind, er sagt aber nicht, wie die Nullstellen der gegebenen Gleichung mit den Nullstellen der transformierten Gleichung zusammenh¨ angen. Dies wird erst in den Anwendungen klar, wo der Zusammenhang dann auch geometrisch bewiesen wird, wenn auch nur f¨ ur den einzig interessierenden Fall n = 3 und k = 2. Hierbei zitiert er VI.16, VI.17 und XI.34 der Elemente Euklids. Wir formulieren diese Transformationen hier auf unsere Weise und stellen den Zusammenhang zwischen den Wurzeln der beiden Gleichungen sofort her. Satz 1. Es seien p, q ∈ R+ und n, k ∈ N und es gelte k < n. Wir setzen  p := p n q 2k−n

7. Kubische Gleichungen

425

und f¨ ur x = 0 setzen wir

 n q2 . x

y :=

Dann gilt: a) Genau dann ist xn + q = pxk , wenn y n + q = p y n−k ist. b) Genau dann ist xn + pxk = q, wenn y n = p y n−k + q ist. c) Genau dann ist xn = pxk + q, wenn y n + p y n−k = q ist. Beweis. Dazu schreiben wir die drei Gleichungen f¨ ur x zun¨ achst einheitlich als xn + apxk + bq = 0, wobei a und b gleich 1 oder −1 sind. Setzt man f¨ ur x den Ausdruck in y ein, den die Definition von y liefert, und multipliziert die entstehende Gleichung mit y n , so erh¨alt man  q 2 + ap n q 2k y n−k + bqy n = 0. Hieraus folgt, da ja b2 = 1 ist, bq + bap y n−k + y n = 0. Wendet man die Transformation ein zweites Mal an, so ist der Koeffizient des linearen Gliedes in der nun entstehenden Gleichung bis auf das Vorzeichen gleich   n p n q 2k−n · q 2(n−k)−n = p, so dass die Transformation involutorisch ist. Man braucht also nur den Weg von x nach y zu verfolgen, will man den Satz beweisen. a) In diesem Falle ist a = −1 und b = 1, so dass a) gilt. b) Hier ist a = 1 und b = −1, so dass auch b) gilt. c) Hier ist schließlich a = b = −1. Es gilt also auch c). Damit ist alles bewiesen. Die in Satz 1 formulierte Transformation ver¨ andert von den Koeffizienten nur das p. Die im n¨achsten Satz formulierte Transformation ver¨ andert nur das q. Satz 2. Es seien p, q ∈ R+ und n, k ∈ N und es gelte k < n. Wir setzen q  :=

 k q n−k

und y :=

√ k q x

f¨ ur x = 0. Dann gilt a) Genau dann ist xn + q = pxk , wenn y n + q  = py n−k ist.

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

b) Genau dann ist xn + pxk = q, wenn y n = py n−k + q  ist. c) Genau dann ist xn = pxk + q, wenn y n + py n−k = q  ist. Beweis. Wir schreiben wieder zusammenfassend xn + apxk + bq = 0. Dann folgt durch Einsetzen und Multiplizieren mit y n die Gleichung √ k q n + apqy n−k + bqy n = 0, die wiederum die Gleichung  b k q n−k + bapy n−k + y n = 0 nach sich zieht. Diskussion der m¨oglichen Werte f¨ ur a und b liefert nun die Aussagen des Satzes. Man beachte, dass   k  n−k n−k k  n−(n−k) q = q n−k = q q = ist. Cardano diskutiert nun die dreizehn verschiedenen Typen in dreizehn verschiedenen Kapiteln. Wir folgen diesen Kapiteln, die die verschiedenen Typen in einer anderen Reihenfolge behandeln, als wir sie auflisteten. Kap. XI. Typ 1. Dies ist der einfachste Fall, n¨ amlich x3 + px = q, den auch schon dal Ferro gel¨ ost hat. Dies wird von Cardano an dieser Stelle noch einmal erw¨ahnt, wie er hier auch noch einmal auf die Rolle Fiores und Tartaglias eingeht. Er schm¨ uckt sich also wirklich nicht mit fremden Federn. Dass die L¨ osungsformel f¨ ur kubische Gleichungen heute cardanisch heißt, liegt nat¨ urlich daran, dass er sie als erster publizierte. Es liegt aber auch daran, dass es Mathematiker mit der Zuordnung von Ergebnissen noch nie sehr genau genommen haben. Wenn man Zitate kontrolliert, wird man dies immer wieder feststellen. H¨aufig ist es so, dass an der bei der Zuordnung zitierten Stelle der wirkliche Autor genannt wird. Zitaten nachzugehen ist sehr vergn¨ uglich. Was Cardano nun auf geometrische Art beweist, ist, dass diese Gleichung h¨ ochstens eine positive L¨ osung hat und dass diese von der Form          2  2 3 3  3 3 q q p p q  q   + + − + − x= 3 2 2 3 2 2 ist. Dass dies auch immer eine L¨osung ist, zeigt er nicht. Er zeigt auch nicht, dass diese Gleichung keine negativen L¨ osungen hat. Dies folgt unmittelbar aus x(x2 + p) = x3 + px = q,

7. Kubische Gleichungen

427

da p und q positiv sind. Drei Beispiele f¨ uhrt Cardano an. Das erste ist x3 + 6x = 20. Die Formel gibt   3 √ 3 √ x= 108 + 10 − 108 − 10. Erst am Ende des Kapitels wird noch daraufhingewiesen, dass dieser Ausdruck gleich 2 sei, wobei ich Cardanos Begr¨ undung nicht verstand. Da die Gleichung aber nur eine positive — und im u ¨brigen wegen x(x2 + p) = q keine negative — L¨osung hat, ist diese Gleichheit f¨ ur uns klar.   √ √ 3 3 26 + 5 − 26 − 5. Diese Das zweite Beispiel ist x3 + 3x = 10. Hier ist x = L¨osung wird verifiziert. √ √ Das dritte Beispiel schließlich ist x3 + 6x = 2 mit der L¨ osung x = 3 4 − 3 2. Kap. XII. Typ 3. Dieser Typ hat die Form x3 = px + q. Hier macht Cardano die Voraussetzung, dass  3  2 q p ≤ 3 2 sei. Unter dieser Voraussetzung wird gezeigt, dass es h¨ochstens eine positive L¨osung gibt. Falls es eine solche gibt, ist sie von der Form             2 2   3 q 3 q p p q q   + − − − x= + . 2 2 3 2 2 3 Dass dies auch immer eine L¨osung ist, zeigt er nicht. F¨ ur den anderen Fall, dass n¨ amlich  3   q p > 3 2 ist, verweist er auf sein Buch Aliza — ein Wort, mit dem auch Italiener nichts anzufangen wissen — bzw. auf Kapitel XXV des vorliegenden Buches. In diesem Kapitel gibt er Regeln f¨ ur spezielle Koeffizienten p und q. Eine algebraische Formel, die reelle L¨ osung auf reellem Wege zu berechnen, findet er nicht, kann sie auch nicht finden, wie wir heute wissen.  √ 3 3 = 6x + 40 mit der L¨ o sung x = 20 + 392 + Beispiele, die er rechnet, sind x  √ √ √ 3 20 − 392 und x3 = 6x + 6 mit der L¨osung x = 3 4 + 3 2. Kap. XIII. Typ 2. Hier ist x3 +q = px. Es sei y L¨osung der Gleichung y 3 = py+q. (Er meint die positive.) Dann sind   2 y y x= + p−3 2 2 

und y x= − 2

 2 y p−3 2

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

zwei L¨osungen von x3 + q = px. Es ist ja   2 3 y 3 y 3 2 x +q = + y p−3 8 4 2   2    2 y y 3 3 + y p−3 +q + p−3 2 2 2 y3 3 9 + yp − y 3 + q 8 2 8  2   y 3 2 3 2 y +p− y p−3 + 4 4 2   2 3 y = −y 3 + q + yp + p p − 3 2 2   2 y 3 = −py + yp + p p − 3 2 2

=

= px. Der andere Fall rechnet sich genauso. Cardano bemerkt, dass die Summe dieser beiden L¨ osungen gleich der positiven L¨osung der Gleichung x3 = px + q ist. √ Cardanos Beispiel ist x3 + 12 = 10x. Die Gleichung y 3 = 10y +12 hat die L¨ osung 7+1. Folglich hat die Ausgangsgleichung wegen  √ 2  √ 2 7+1 1 = 10 − 3 3− 7 2 4 die L¨ osungen

und

√ 7 − 1.

√ √ 7+1 3− 7 + =2 2 2 √ √ 7+1 3− 7 √ − = 7 − 1. 2 2

Cardano notiert nicht, dass p−3( y2 )2 < 0 sein kann, wie das Beispiel x3 +24 = x zeigt. Hier ist y = 3 und 1 − 3( 23 )2 = − 23 4 , so dass diese Gleichung eine reelle L¨osung, n¨ amlich −3, und zwei konjugiert komplexe L¨ osungen hat. Kap. XIIII. Typ 6. Hier nun der erste Typ, der ein quadratisches Glied enth¨ alt, n¨ amlich x3 = px2 + q. Diese Gleichung wird gem¨aß Satz 1c) in die Gleichung √ y 3 + p 3 qy = 0

7. Kubische Gleichungen

429

transformiert, da ja n = 3 und 2k − n = 1 ist. Ist y L¨ osung dieser Gleichung, so ist  3 q2 x= y L¨osung von x3 = px2 + q. Cardano gibt die L¨ osungsformel direkt f¨ ur x. Beispiel. Es sei x3 = 6x2 + 20. Dann ist ein y gesucht mit √ 3 y 3 + 6 20y = 20. √ √ Die Formel liefert als L¨osungen der Ausgangsgleichung 18 + 260 und 18 − 260. Kap. XV. Typ 4. Die Gleichung lautet hier x3 + px2 = q. Es wird transformiert mittels x + p3 = y. Man erh¨ alt f¨ ur y die Gleichung y3 =

 3 p p2 y+q−2 3 3

bzw. y3 + 2

 3 p p2 = y. 3 3

Beispiel 1. Es ist x3 + 6x2 = 100. Hier ist p = 6, transformierte Gleichung ist also

p 3

= 2 und q = 100. Die

y 3 = 12y + 100 − 2 · 23 = 12y + 84. Beispiel 2. Es ist x3 + 6x2 = 16. Hier ist wieder p = 6 und Die transformierte Gleichung ist folglich

p 3

= 2, jedoch q = 16.

y 3 = 12y, √ 2 woraus Cardano sofort y√ = 12 und y = 12 folgert. √ Die L¨ osung der Ausgangsgleichung ist dann x =√ 12 − 2. Die L¨osungen x = 12 − 2 und insbesondere x = −2, die von y = − 12 und y = 0 herr¨ uhren, erw¨ ahnt Cardano nicht. Sp¨ ater wird es sich aber herausstellen, dass er auch den Fall y = 0, der immer wieder einmal auftaucht, nicht u ¨bersieht. Beispiel 3. Hier ist x3 +6x = 7. Die transformierte Gleichung lautet y 3 +9 = 12y. F¨ ur diesen Fall einer Gleichung der Form x3 + px2 = q gibt er noch eine zweite L¨osungsm¨ oglichkeit, die die Transformation des Satzes 2 benutzt und von der er nun sagt, dass sie von Lodovico Ferrari stammt. Die transformierte Gleichung ist √ also y 3 = py + q, da ja n = 3 und k = 2 ist. Als Beispiel hat Cardano hier √ x3 + 6x2 = 40 mit der Hilfsgleichung y 3 = 6y + 40. Kap. XVI. Typ 5. Dies ist die Gleichung x3 + q = px2 . Hier benutzt Cardano wieder die Transformation des Satzes 1. Diese f¨ uhrt auf die Hilfsgleichung y 3 + q = √ p 3 qy.

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

die Gleichung y 3 +64 = Beispiel: x3 +64 = 18x2 . Hier ergibt die Transformation √ 18 · 4 · y = 72y. Sie hat die L¨ osungen 8 und 24 − 4. Also ist wegen √ 3 642 16 = x= y y √ einmal x = 2 und zum andern x = 2( 24 + 4). Kap. XVII. Typ 7. Nun kommen die voll besetzten Typen. Bei all diesen Typen werden die Transformationen x = y − p3 oder x = y + p3 benutzt. Typ 7 bedeutet x3 + px2 + qx = r. Diese wird durch x = y − p3 transformiert. Es ergibt sich die Hilfsgleichung     p p p r = y3 + q − p +2 −q . 3 3 3 Hier ergeben sich allerlei F¨alle, die alle durch ein Beispiel belegt werden. Beispiel 1. Es sei x3 + 6x2 + 12x = 22. Hier ergibt sich y 3 = 30 und weiter √ √ 3 3 y = 30, dh. x = 30 − 2. Diese L¨osung wird von Cardano verifiziert. Beispiel 2. Hier ist x + 13 x2 + 19 x3 = 19. Es folgt x3 + 3x2 + 9x = 171. Die Transformierte ist y 3 + 6y = 178. 3 Beispiel 3. Gesucht ist x mit x3 + 6x2 + x = 14. Die √ Hilfsgleichung ist y = 11y. Cardano ber¨ ucksichtigt wieder nur die L¨osung y = 11 Beispiel 4. Hier lautet die Gleichung x3 + 12x2 + 27x = 400. Als Hilfsgleichung ergibt sich y 3 = 21y + 380. Beispiel 5. Die letzte Gleichung ist schließlich x3 + 6x2 + 2x = 3. Damit ergibt sich y 3 + 9 = 10y. Kap. XVIII. Typ 11. Hier handelt es sich um die Gleichung x3 + qx = px2 + r. Transformiert wird mittels x = y + p3 . Damit erh¨alt man y3 =

  3  p p p p −q y+2 +r−q . 3 3 3

¨ Hier passieren nun Uberraschungen. So dr¨ uckt sich Cardano nat¨ urlich nicht aus. Er verweist aber den Leser seines Buches auf die Beispiele, die gr¨ oßere Klarheit schaffen sollen. Er hat mit der Formulierung der Hilfsgleichung ganz offensichtlich Schwierigkeiten, die in der mangelhaften Notation begr¨ undet liegen. Beispiel 1. Gesucht ist x mit x3 +12x = 6x2 +25. Dies f¨ uhrt auf die Hilfsgleichung y 3 + 13y = 17. Beispiel 2. Hier ist x3 + 48x = 12x2 + 48. Der Zusammenhang zwischen x und y wird durch die Gleichung x = y + 4 ausgedr¨ uckt. Die Hilfsgleichung lautet — und ¨ dies ist die Uberraschung — y 3 = −16. Somit ist x=4+

√ √ 3 3 −16 = 4 − 16.

7. Kubische Gleichungen

431

√ Cardano hat hier Schwierigkeiten mit der Formulierung. Er sagt, dass y = 3 16 sei, dass aber y von 4 abzuziehen w¨are. Er rechnet also richtig. An dieser Stelle zeigt es sich, dass nicht nur die komplexen Zahlen durch die kubischen Gleichungen zwangsl¨aufig ins Spiel kommen, sondern auch die negativen Zahlen. Man erh¨ alt negative Zahlen als Zwischenergebnisse wie auch komplexe und muss mit ihnen weiter rechnen. Beispiel 3. Es sei x3 +15x = 6x2 +24. Hier lautet die Hilfsgleichung y 3 +3y = 10. Nichts Auff¨alliges. uhrt auf die Hilfsgleichung y 3 = Beispiel 4. Es sei x3 + 15x = 6x2 + 10. Dies f¨ 3 −3y − 4. Hier l¨ ost Cardano die Hilfsgleichung y + y = 4, erh¨ alt y = 1 und sagt, dass man dies von einem Drittel des Koeffizienten von x abziehen m¨ usse. In unserer Sprache gesprochen ersetzt er also y durch −y. Eine L¨ osung der Ausgangsgleichung ist also 1. 2 Beispiel 5. Die zu l¨ osende Gleichung lautet x3 + 10x = √6x + 4. Es ergibt sich 3 die Hilfsgleichung y = 2y. Cardano folgert hier nur y = 2, schließt aber weiter, √ √ dass x = 2 + 2, 2 − 2 oder 2 ist. Beispiel 6. Die n¨ achste Gleichung ist x3 + 21x = 9x2 + 5 mit der Hilfsgleichung y 3 + 4 = 6y. Beispiel 7. Das letzte Beispiel lautet x3 +26x = 12x2 +12. Hier ist y 3 = 22y +36. Verschiedene Beispiele haben drei L¨osungen. Bei diesen bemerkt er, dass ihre Summe gleich dem Koeffizienten bei x2 ist. Dies benutzt er, um aus der Kenntnis von zwei Wurzeln die dritte zu berechnen. Kap. XIX. Typ 9. Dieser Gleichungstyp hat die Form x3 + px2 = qx + r. Diese Gleichung h¨ angt mit ihrer Hilfsgleichung durch die Transformation x = y − p3 zusammen. Die Hilfsgleichung lautet     p p p y3 + 2 + q = q + p y + r. 3 3 3 Es k¨ onnen drei verschiedene F¨ alle auftreten. Diese werden durch Beispiele belegt. Beispiel 1. Es ist x3 + 6x2 = 20x + 56 mit der Hilfsgleichung y 3 = 32y. Beispiel 2. Es ist x3 + 6x2 = 20x + 112 mit der Hilfsgleichung y 3 = 32y + 56. Beispiel 3. Es ist x3 + 6x2 = 20x + 21 mit der Hilfsgleichung y 3 + 35 = 32y. Kap. XX. Typ 13. Dieser Typ hat die Form x3 = px2 + qx + r. Hier lautet die Transformationsgleichung x = y + p3 . Sie ergibt die Hilfsgleichung y 3 = (p p3 + q)y + 2( p3 )3 + q p3 + r. Als Beispiel dient x3 = 6x2 + 72x + 729. Kap. XXI. Typ 12. Hier ist x3 + r = px2 + qx. Die Hilfsgleichung lautet y 3 = + q)y + 2( p3 )3 + q p3 − r. Beispiel 1. Es ist x3 + 64 = 6x2 + 24x mit der Hilfsgleichung y 3 = 36y. Beispiel 2. Es ist x3 + 128 = 6x2 + 24x mit der Hilfsgleichung y 3 + 64 = 36y. Beispiel 3. Es ist x3 + 9 = 6x2 + 24x mit der Hilfsgleichung y 3 = 36y + 55.

(p p3

Kap. XXII. Typ 10. Dieser Typ hat die Gestalt x3 + qx + r = px2 . Als Hilfsgleichung ergibt sich y 3 + r = (p p3 − q)y + 2( p3 )3 − q p3 .

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

erh¨ alt man y 3 = 8y. Beispiel 1. Hier ist x3 + 4x + 8 = 6x2 . Als Hilfsgleichung √ Cardano ber¨ ucksichtigt zun¨achst nur die L¨ osung y = 8. Doch am Schluss des Kapitels — die Kapitel sind allesamt nur kurz — erw¨ ahnt er auch noch die L¨ osung y = 0 und bemerkt, dass dieser Fall auch schon fr¨ uher eingetreten w¨ are. Beispiel 2. Es gilt x3 + 4x + 16 = 6x2 . Hier ist y 3 + 8 = 8y die Hilfsgleichung. Beispiel 3. Die L¨ osung von x3 + 4x + 1 = 6x2 ist gesucht. Gefunden wird sie u ¨ ber die Hilfsgleichung y 3 = 8y + 7. Kap. XXIII. Typ 8. Die zu l¨ osende Gleichung lautet x3 + px2 + r = qx. Als 3 Hilfsgleichung ergibt sich y + 2( p3 )3 + q p3 + r = (p p3 + q)y. Hier gen¨ uge ein Beispiel, sagt Cardano. Es lautet x3 +6x2 +12 = 31x. Als Hilfsgleichung ergibt sich y 3 +90 = 43y. Nach all diesen vielen Fallunterscheidungen schauen wir uns nun noch an, wie man kubische Gleichungen heutzutage attakieren kann. Dabei fassen wir uns kurz. Mehr hierzu findet sich in D¨ orrie 1948. Es seien p, q, r ∈ R gegeben. Gesucht ist ein x mit x3 + px2 + qx + r = 0. Wir definieren y durch

p y := x + . 3

Dann gilt, wie einfach nachzurechnen ist,   p2 2p3 − 9qp + 27r = 0. y + q− y+ 3 27 3

Wir setzen P := q − bestimmen mit

p2 3

und Q :=

1 3 27 (2p

− 9qp + 27r). Nun gilt es u und v zu

v−u=Q und

 uv =

Setzt man y :=

P 3

3 .

√ √ 3 u − 3 v,

so ist √ √ √ √ √ √ y 3 + P y + Q = u − 3 3 u 3 v( 3 u − 3 v) − v + P ( 3 u − 3 v) + Q = −Q − P y + P y + Q = 0. Hat man also u und v, so hat man eine L¨osung der Hilfsgleichung und dann auch eine L¨osung der Ausgangsgleichung. Nach allem, was wir bislang gemacht haben,

7. Kubische Gleichungen

433

ist klar, dass sich u und v mittels einer quadratischen Gleichung berechnen lassen. Es ist ja  2  2  3 Q P Q = u(u + Q) = u + − . 3 2 2 Es folgt Q u=− ± 2 und Q ± v= 2





P 3

P 3



3 +



3 +

Q 2

Q 2

2

2 .

Dann ist         2   2 3 3   3 3 Q Q Q P P Q   y= − ± ± + − + . 2 3 2 2 3 2 Ist Q u=− + 2 so ist Q + v= 2



Ist u = −

Q − 2

so ist Q − v = 2



P 3

P 3

 

 

+ 

3 +

P 3

P 3



3

Q 2

Q 2



3 +



3 +

2 ,

2 .

Q 2

Q 2

2 ,

2 .

Es folgt u = −v und v  = −u. Daher ist y =

√ √ √ √ √ √ 3 3 u − v  = 3 −v − 3 −u = 3 u − 3 v = y.

Die andere Vorzeichenwahl liefert also keine neue L¨ osung. Unser Verfahren liefert also nur die L¨ osung         2   2 3 3   3 3 Q Q P P Q Q   + + − + . y= − + 2 3 2 2 3 2

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Wie bekommt man die√anderen L¨ osungen? Setze  := 12 (−1 + i 3), wobei i2 = −1 sei. Dann ist 2 = ¯ die zu  konjugiert komplexe Zahl. Ferner ist 3 = 1. Setzt man nun √ √ y :=  3 u − 2 3 v, wobei u und v die gleiche Bedeutung wie zuvor haben, so ist, da ja 3 = 1 ist, √ √ √ √ y 3 + P y + Q = u − 3 3 u 3 v( 3 u − 2 3 v) − v √ √ + P ( 3 u − 2 3 v) + Q = Q − P y + P y + Q = 0. Da wir bei der letzten Rechnung nur benutzt haben, dass 3 = 1 ist, k¨ onnen wir in osungen ihr  durch 2 und auch durch 1 ersetzen und erhalten auf diese Weise alle L¨ der Hilfsgleichung und dann auch alle L¨ osungen der Ausgangsgleichungen. Bemerkenswert ist das Folgende. Ist 

P 3



3 +

Q 2

2 < 0,

so ist u ¯ = −v und v¯ = −u. Daher ist √ √ √ √ ¯ −  3 v¯ = 2 3 −v −  3 −u = y. y¯ = 2 3 u Dies zeigt, dass in diesem Falle alle L¨osungen reell sind. 8. Biquadratische Gleichungen. Die Aufl¨ osung der Gleichungen vierten Grades geht laut Cardano (Ars magna, Kap. XXXIX) auf Lodovico Ferrari zur¨ uck, der selber nichts dar¨ uber publiziert hat. Cardano ist hier sehr viel weniger detailliert als bei den kubischen Gleichungen, doch seine Ausf¨ uhrungen machen klar, wie diese Aufl¨ osung zu bewerkstelligen ist. Betrachten wir zun¨achst das auch bei Cardano stehende Beispiel x4 + 6x2 + 36 = 60x. Indem man 6x2 zu dieser Gleichung addiert, erh¨alt man (x2 + 6)2 = 6x2 + 60x. Die Gleichung w¨ are einer L¨osung zug¨ anglich, wenn 6x2 + 60x ein Quadrat w¨are. Es ist dies aber nicht. Es wird nun versucht, zu dieser Gleichung einen in x quadratischen Ausdruck hinzuzuf¨ ugen, so dass rechts und links ein Quadrat entsteht. Damit von vorneherein klar ist, dass links ein Quadrat entsteht, macht man den Ansatz (x2 + 6)2 + 2b(x2 + 6) + b2 = 6x2 + 60x + 2b(x2 + 6) + b2 .

8. Biquadratische Gleichungen Dann ist

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(x2 + 6 + b)2 = 6x2 + 60x + 2b(x2 + 6) + b2 = (6 + 2b)x2 + 60x + 12b + b2   12b + b2 30 2 x+ = (6 + 2b) x + 2 . 6 + 2b 6 + 2b

Hierin ist 6+2b > 0, also ein Quadrat. Damit der Ausdruck in der zweiten Klammer ein Quadrat wird, muss  2 30 12b + b2 = 6 + 2b 6 + 2b sein. Hieraus folgt f¨ ur b die Bedingung 450 = (3 + b)(12b + b2 ), also eine Gleichung dritten Grades. Gleichungen dritten Grades k¨ onnen wir aber mittlerweile l¨ osen, so dass wir in der Tat ein b finden, dass diese Gleichung l¨ ost. Mit diesem b folgt  (x + 6 + b) = (6 + 2b) x + 2

und damit

2

 √ x + 6 + b = ± 6 + 2b x + 2

30 6 + 2b

2

 30 . 6 + 2b

Diese beiden quadratischen Gleichungen lassen sich nat¨ urlich wieder l¨ osen, womit wir f¨ ur die Ausgangsgleichung vier L¨ osungen erhalten. Der Leser pr¨ ufe sein K¨onnen, und berechne diese L¨osungen, oder er konsultiere Cardanos Ars magna f¨ ur die Einzelheiten. Heutzutage liest sich Ferraris Verfahren wie folgt. Die zu l¨ osende biquadratische Gleichung sei x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0. Man addiere auf der linken Seite (ux + v)2 , wobei u und v so gew¨ahlt sein sollen, dass es ein w gibt, so dass die Summe gleich 2  1 2 x + (px + w) 2 ist. Nimmt man an, man h¨ atte solche u, v und w gefunden, so ergibt sich f¨ ur die linke Seite x4 + px3 + qx2 + rx + s + u2 x2 + 2uxv + v 2 = x4 + px3 + (q + u2 )x2 + (r + 2uv)x + s + v 2

436

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

und f¨ ur die rechte Seite x4 +

p2 2 w 2 pw x + + px3 + wx2 + x 4 4 2  2 p w2 pw = x4 + px3 + + w x2 + x+ . 4 2 4

Es folgt p2 +w 4 pw r + 2uv = 2 w2 2 . s+v = 4 Aus der ersten und der letzten Gleichung ergibt sich q + u2 =

p2 +w−q 4 w2 v2 = − s. 4

u2 =

Aus der mittleren Gleichung ergibt sich dann 

pw −r 2

2

 2  w p2 −q+w −s = 4u v = 4 4 4  2  p = − q w2 + w3 − (p2 − 4q)s − 4ws. 4 

2 2

Nach einigen weiteren Umformungen erh¨alt man hieraus f¨ ur w die Gleichung w3 − qw2 + (pr − 4s)w − (r2 + p2 − 4qs) = 0. Diese Gleichung aber k¨ onnen wir l¨ osen. Dann berechnet sich u aus der ersten der obigen Gleichungen und anschließend v aus der zweiten. Mit diesen Werten erh¨alt man dann 2  p 2 x + (x + w) = (ux + v)2 . 2 Hieraus folgen nun die quadratischen Gleichungen p x2 + (x + w) + ux + v = 0 2 und

p x2 + (x + w) − ux − v = 0. 2

9. Briefverkehr

437

Die L¨osungen dieser quadratischen Gleichungen sind dann schließlich die L¨ osungen der Ausgangsgleichung. Mehr an Einzelheiten findet der Leser in D¨ orrie 1948 und in Abschnitt 4 von Kapitel 8. Gleichungen zweiten Grades konnte man schon lange l¨ osen. Die L¨osung kubischer Gleichungen wurde schließlich von Ferro, Tartaglia, Cardano und Ferrari auf die L¨ osung von quadratischen Gleichungen zur¨ uckgef¨ uhrt. Ferrari zeigte, wie man die L¨osung von biquadratischen auf die L¨ osung von kubischen Gleichungen zur¨ uckf¨ uhren kann. Kann man etwa auch Gleichungen n-ten Grades im Falle n ≥ 5 auf die L¨ osung von Gleichungen (n − 1)-sten Grades zur¨ uckf¨ uhren? Dabei soll unter L¨ osen das gemeint sein, was man sich naiv darunter vorstellt. Rund zweihundertf¨ unfzig Jahre sollte es noch dauern, bis es sich herausstellte, dass es f¨ ur Gleichungen h¨ oheren als vierten Grades keine L¨ osungsformel gibt. Dar¨ uber werde ich zu gegebener Zeit berichten. 9. Briefverkehr. Kommen wir noch einmal auf die zweiundvierzig Fragen des Buches 9 der Quesiti et inventioni diverse von Tartaglia zur¨ uck. Einige dieser Fragen wurden von Cardano gestellt und zwar brieflich, wie wir gesehen haben. Wenn man nun schon vor der Zeit der elektronischen Briefe mit Italienern korrespondiert hat, f¨ allt einem auf, dass der Briefverkehr zu Cardanos und Tartaglias Zeiten zwischen Mailand und Venedig nicht schlechter war als in der zweiten H¨ alfte des 20. Jahrhunderts. Das weckt die Frage nach dem Briefverkehr der damaligen Zeit. Schauen wir uns zun¨ achst unter diesem Blickwinkel die insgesamt f¨ unfzehn der Fragen des neunten Buches an, die der Fragesteller nicht Angesicht zu Angesicht stellte. Unter diesen Fragen sind auch solche, die nicht in den Zusammenhang mit den Gleichungen dritten Grades geh¨ oren, doch das ist f¨ ur die Frage nach dem Briefverkehr irrelevant. Quesito XIIII . Diese Frage wurde Tartaglia von Giovanni de Tonini da Coi, der in Brescia wohnte (cartello di sfida VI), durch Boten, einem Antonio da Cellatica, nach Verona geschickt. Ob die Frage schriftlich fixiert war oder von dem Boten m¨ undlich vorgetragen wurde, bleibt offen. Das war im Jahre 1530. Quesito XVIII . Diese Frage wurde ihm, wie er glaubt, von Antonio Maria Fior gestellt. Sie wurde ihm im Jahre 1534 heimlich (sotto mano) von einem Jungen (gargione) in Venedig u ¨berbracht. Wo sich Fior aufhielt, bleibt offen, ebenso, ob die Frage schriftlich fixiert war. Dass die Frage von einem Jungen u ¨ berbracht wurde, deutet aber darauf hin, dass Fior auch in Venedig war. — Diese Botschaft f¨ allt offenbar aus dem Rahmen. Quesito XX . Diese Frage stammte von Giovanni de Tonini da Coi, der sie ihm schriftlich und wiederum heimlich durch Dominico da Uderzo zukommen ließ. Dies war am 12. September 1535 in Venedig. Uderzo sagte, dass er den Brief durch einen Special (auch im Original groß geschrieben), der von Brescia kam, bekommen habe. Quesito XXVIII . Auch diese Frage stammt von Giovanni de Tonini da Coi. Hier wird ausdr¨ ucklich gesagt, dass sie in einem Brief formuliert war, der von Benedetto Cavalaro u ¨ berbracht wurde. Der Brief erreichte Tartaglia am 8. Januar

438

Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

1537. Datiert ist der Brief mit dem 5. Januar 1537. Es gibt keine Ortsangaben. Der Brief endet: . . . , & all’hora all’hora mandarmeli (die Antwort n¨ amlich) sel fusse poßibile uia piu che di galoppo, &c. Er h¨ atte die Antwort also gerne schneller als im Galopp. Quesito XXIX . Diese Frage ist wiederum von Giovanni de Tonini Der Brief erreichte Tartaglia in Venedig am 17. Februar 1537. Er wurde geschrieben am 14. Februar. In diesem Brief erw¨ ahnt de Tonini, dass Benedetto Cavalaro ihm best¨ atigt h¨ atte, seinen Brief bei Tartaglia abgeliefert zu haben. In seiner Antwort vom 3. M¨ arz 1537 (Venedig) schreibt Tartaglia, dass er insgesamt drei Briefe von Giovanni de Tonini erhalten habe, von denen zwei aber nur Mahnbriefe seien, den ersten endlich zu beantworten. Quesito XXXI . Dies ist der erste Kontakt zwischen Cardano und Tartaglia. Die Fragen Cardanos wurden durch Giovanni Antonio Libraro u ¨berbracht. Venedig, 2. Januar 1539. Quesito XXXII . Brief Cardanos vom 12. Februar 1539. Den Gepflogenheiten Tartaglias nach m¨ usste dieses Datum das Datum sein, an dem er den Brief erhielt. Die Antwort Tartaglias ist mit dem 18. Februar 1539 datiert. Quesito XXXIII . Brief Cardanos, der am 19. M¨ arz in Venedig eintraf und der am 13. M¨ arz datiert wurde. Quesito XXXV . Brief Cardanos, der am 9. April 1539 geschrieben wurde. Tartaglia war nach seinem Besuch in Mailand wieder in Venedig. Die Antwort Tartaglias stammt vom 23. April. Quesito XXXVI . Brief Cardanos vom 12. Mai 1539 an Tartaglia in Venedig. Antwort auf Tartaglias Brief vom 23. April. Tartaglia antwortet am 27. Mai. Quesito XXXVII . Brief von Maphio Poveiani aus Bergamo, einem fr¨ uheren Sch¨ uler Tartaglias. Der Brief ist vom 10. Juli 1539. Tartaglia antwortet am 19. Juli. Quesito XXXVIII . Brief von Cardano. Der Brief kam am 4. August 1539 an. Tartaglia antwortet am 7. August. Quesito XXXIX . Brief von Cardano vom 18. Oktober 1539. Quesito XL. Brief von Cardano vom 5. Januar 1540. Quesito XLI . Brief von Maphio Poveiani vom 15. April 1540. Tartaglia antwortete am 24. April. Im General Trattato, Teil II, 41r schreibt Tartaglia: gli la mandai per il correro da Milano. Tartaglia spricht hier von einem der cartelli di sfida, welchen er, kaum gedruckt, durch Boten an Lodovico Ferrari nach Mailand schickte. Ich hoffe, dass correro mit Bote korrekt u ¨ bersetzt ist. Es gibt dieses Wort nicht in meinen W¨ orterb¨ uchern. Wundern sollte man sich auch dar¨ uber, dass Cardanos Ars magna 1545 in N¨ urnberg und dass Nu˜ nez’ Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria 1567 in Antwerpen erschienen. Von diesem Buch wird im n¨achsten Kapitel berichtet werden. Nu˜ nez lebte in Coimbra (Portugal). Cardanos N¨ urnberger Druckerverleger Petrejus druckte auch dessen Buch zur

9. Briefverkehr

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Astrologie (Grafton 1999, S. 51). Ein fl¨ uchtiger Blick in Cardanos de libris propriis zeigt ferner, dass die verschiedenen Auflagen seines Buches de subtilitate in N¨ urnberg, Paris, Lyon und Basel erschienen sind (Cardano, Werke I, S. 71). Wenn man sich nun u ¨berlegt, dass zwischen den Autoren und den Druckerverlegern Absprachen getroffen werden, dass die Manuskripte in die H¨ ande des Setzers gelangen und dass Korrekturen gelesen werden mussten, so muss man zu dem Schluss kommen, dass es sichere — nicht notwendig periodische — Verbindungen zwischen all diesen St¨adten gab, so dass man insbesondere auch absehen konnte, wann die Sendungen die Empf¨ anger erreichten. Es wurden also offensichtlich Briefe von einer Stadt Europas in die andere gebracht. So ist es nicht weiter verwunderlich, in Rechenb¨ uchern Aufgaben u ¨ber Boteng¨ange zu finden. So zum Beispiel in Apian 1527. Da anzunehmen ist, dass die Aufgaben realistische Verh¨ altnisse widerspiegeln, kann man ihnen entnehmen, dass ein Bote von Wien nach Prag vier bis f¨ unf Tage unterwegs war, w¨ ahrend ein Botengang von Leipzig nach Venedig rund drei Wochen dauerte. Item ein Bot geht auß zu Leyptzig/v˜ n geht in 18 tagen ken Venedig vnd gleich in der stund geht ein Bot zu Venedig/auß der geht in 24 tagen ken Leiptzig. Ist die frag in wieviel tagen komen ˜ sie zusamen. ˜ (Bogenmarkierung M v. Dieses Buch hat keine Seitennummerierung.) Vier Seiten sp¨ ater: Nach dieser Regel magstu auch viel andere ding rechnen/alß wan ein Her einen botten lauffer von 1 meylen gibt 4 cr/ßo gehet er einen tag 5 meilen/gibt er jm ˜ 5 cr/so geht er einen tag 7 meilen. Ist die frage wan er jm ˜ von 1 meylen gibt 6 cr/wieviel meilen muß er einen tag gehen. Facit 8 meilen. Item ein bot geht alle tage 7 meyl wegs vnd ist schon 64 meilen gangen/ßo wil sein Herr noch einen boten hinach schicken/der gehet alle tage 9 maylen. Ist die frage in wie vil tagen ereylt er den ersten boten. Item eyn Bot gehet zu Prag auß kenn Wien in Osterreich geht alle tage 7 meiln. Vnnd gleich die selbige stunde gehet auch eine bot zu Wien auß ken Prag/ der gehet alle tage 9 meilen. Vnd von Prage ken wien sind 33 gemayne Teutsche meylen. Ist die frage in welchem tage komen ˜ sie zu samen. (Diese beiden Aufgaben auf der Seite vor der Seite mit der Bogenmarkierung N.) Die fr¨ uheste Form des Briefverkehrs ist die, dass zwischen Absender und Boten eine Vereinbarung dahingehend getroffen wird, dass der Bote den Brief in einer bestimmten Zeit an eine bestimmte Adresse bringt und daf¨ ur, sei es im Vorhinein, sei es im Nachhinein, vom Absender oder dem Empf¨anger entlohnt wird. Man spricht in diesem Falle von einem Werkvertrag zwischen Absender und Boten. Ein solcher Werkvertrag ist f¨ ur jeden Botengang neu zu schließen. Mittelalterliche Kl¨ oster und Universit¨ aten sowie St¨ adte des 12. und 13. Jahrhunderts, darunter die Hansest¨ adte f¨ ur den Verkehr untereinander und die oberdeutschen St¨adte f¨ ur den Handel mit Italien, hatten einen oder mehrere fest angestellte Boten. Sie bef¨ orderten Briefe, wenn sie anfielen, ohne dass der einzelne Botengang verg¨ utet wurde. Hier hatten Boten also einen Dienstvertrag. Als Beispiel diene Tartaglias Vater, von dem wir ja in Abschnitt 5 erfuhren, dass er mit seinem

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

Pferde der Stadt Brescia als Bote diente, so dass wir wohl annehmen d¨ urfen, dass er mit der Stadt einen Dienstvertrag hatte. Es ist interessant zu erfahren, dass die Nachrichten¨ ubermittlung f¨ ur den Warenaustausch zweitrangig war, da die Zweigniederlassungen der großen H¨ auser weitgehend selbstst¨andig handeln konnten. Das Problem war der Geldtransport in großem Stil, der nicht nur Begehrlichkeiten weckte, so er unterwegs war, sondern wegen des Gewichts der M¨ unzen auch technische Probleme bot. Geld bargeldlos zu transferieren war die L¨ osung des Problems. Dazu vor allem brauchte man den Boten, der Anweisungen und Wechselbriefe transportierte. Dass der Wechsel auch benutzt wurde, das kirchliche Zinsverbot zu umgehen, kann man bei Le Goff (1989) nachlesen. Was die Geschichte des Briefverkehrs anbelangt, so sagt Ohmann, dessen Buch (Ohmann 1909) vor fast hundert Jahren erschien, dass die fr¨ uhe Geschichte des Botenwesens nur f¨ ur Spanien intensiv erforscht sei, da bis dato nur die fr¨ uhen spanischen Quellen in gr¨ oßerem Umfang erschlossen seien. Da ich j¨ ungere Publikationen nicht kenne, kann ich also nicht sagen, wie weit man das Folgende auf ¨ andere europ¨ aische L¨ander verallgemeinern kann. Im Ubrigen f¨ uhle ich mich hier in guter Gesellschaft, beruft sich doch auch Martin Dallmeier (Dallmeier 1977) noch auf Ohmanns Buch. — F¨ ur uns hier nicht relevante, aber dennoch interessante andere Aspekte des Briefverkehrs und ihre Entwicklung finden sich in Heinz-Dieter Heimann 1998. Es hat offenbar schon fr¨ uh Leute gegeben, die ihr Brot mit Boteng¨ angen verdienten. Sie anzutreffen, wenn man sie brauchte, war ein Problem. Da entwickelte sich zumindest im Spanien des 14. Jahrhunderts auf sehr nat¨ urliche Weise, wie es scheint, das folgende System f¨ ur den privaten Briefverkehr. Die Boten liefen auf ihren Wegen immer wieder die gleichen Gasth¨ auser an. Das war bekannt und die Absender von Briefen u ¨bergaben diese dem Wirt, auf dass er sie dem Boten weiterreiche. Es haben sich dabei wohl Preise f¨ ur die einzelnen Boteng¨ange herauskristallisiert, so dass der Wirt den Botenlohn schon beim Empfang des Briefes kassieren konnte, auch ohne den Boten im Einzelnen zu fragen. Dabei hat der Wirt nat¨ urlich auch auf seinen Vorteil gesehen. So fing er an, beim Transport von Briefen eine zentrale Rolle zu spielen. Er wird zum Arbeitgeber der Boten, die aber nicht mehr seine, des Wirtes, Briefe transportieren, sondern die Briefe Dritter, die nun mit dem Wirt, der jetzt die Rolle des Unternehmers spielt, einen Werkvertrag haben, w¨ ahrend die Boten in einem Dienstverh¨ altnis zu ihm, dem Wirt, stehen. Ein m¨oglicher Gewinn wird vom Unternehmer eingesteckt. Zum Berufsboten geworden, leisteten Boten seit dem 14. Jahrhundert einen Amtseid. Sie bekamen st¨adtische und staatliche Abzeichen, die ihnen auf ihren Boteng¨ angen einen h¨ oheren Rechtsschutz gew¨ahrten. Gleichzeitig treten Stadt und Staat als Garant zwischen Boten und Absendern von Briefen auf. Es entwickelten sich Botenorganisationen, wobei die Wirte in Spanien ihrerseits selbst zu Mitgliedern dieser Organisationen wurden, dort dann aber einen h¨ oheren Rang als die Boten einnahmen. Das Wort Post“ ist bislang noch nicht gefallen. Das hat seinen Grund, war ”

9. Briefverkehr

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dieses Wort urspr¨ unglich doch anders besetzt. Zum ersten Male taucht es in unserem Zusammenhange laut Ohmann 1909, S. 37 in Marco Polos Beschreibung seiner Reise nach China auf, die er im Jahre 1298 in genuesischer Kriegsgefangenschaft einem Mitgefangenen diktierte, der sie in mittelfranz¨ osischer Sprache niederschrieb (Marco Polo 1986, S. 9 u. S. 21). In diesem Buch berichtet Marco Polo von Posten, die selbst von K¨ onigen benutzt werden k¨ onnten, so komfortabel seien ¨ sie eingerichtet, und die auch den Boten des Kaisers zum Ubernachten und zum ¨ Pferdewechsel dienten (Marco Polo 1986, S. 167 ff. Diese deutsche Ubersetzung kann nat¨ urlich nicht als Beleg f¨ ur das Vorkommen des Wortes Post“ dienen. Ich ” verlasse mich hier auf Ohmann, loc. cit.). ¨ Marco Polos Text erinnert seinen Leser daran, dass Posten dem Ubernachten von Reisenden und dem Pferdewechsel dienten. Von den Pferden, die an diesen Orten postiert waren, haben die Posten ihren Namen. Der Reisende mietete an den Posten ein Pferd und wohl auch einen F¨ uhrer, der ihn auf einem zweiten Pferd bis zur n¨ achsten Post begleitete, um dann das gemietete Pferd wieder zur Heimatpost zur¨ uckzubringen, w¨ ahrend der Reisende ein frisches Pferd und ggf. einen neuen F¨ uhrer mietete. Ein Bett f¨ ur die Nacht und eine Abendmahlzeit fanden sich des Abends im Gasthaus zur Post“, dessen Name nun verst¨andlich wird. Da Boten ” Reisende sind, postierten“ sie wie diese, will sagen, sie wechselten wie Reisende ” schlechthin ihr Pferd an den daf¨ ur vorgesehenen Posten. Der Begriff Post“ ist ” also zun¨ achst unabh¨ angig vom Briefverkehr, er beschreibt vielmehr eine Art des Reisens. Diese Art des Reisens war, so zeigt Marco Polos Schrift, schon Ende des 13. Jahrhunderts in Italien u ¨blich. Wie es an solchen Posten im 18. Jahrhundert zuging, schildert Henry Fielding in seinem Tom Jones“ sehr vergn¨ uglich: ” Jones had been absent a full half hour, when he returned into the kitchen in a ” hurry, desiring the landlord to let him know that instant what was to pay. And now the concern which Partridge felt at being obliged to quit the warm chimney-corner, and a cup of excellent liquor, was somewhat compensated by hearing that he was to proceed no farther on foot; for Jones, by golden arguments, had prevailed with the boy to attend him back to the inn whither he had before conducted Sophia; but to this however the lad consented, upon condition that the other guide would wait for him at the alehouse; because, as the landlord at Upton, was an intimate acquaintance of the landlord of Gloucester, it might some time or other come to the ears of the latter, that his horses had been let to more than one person, and so the boy might be brought to account for money which he wisely intended to put in his own pocket.“ We were obliged to mention this circumstance, trifling as it may seem, since ” it retarded Mr Jones a considerable time in his setting out; for the honesty of this latter boy was somewhat high — that is, somewhat high priced, and would have cost Jones very dear, had not Partridge, who, as we have said, was a very cunning fellow, artfully thrown in half a crown to be spent at the very alehouse, while the boy was waiting for the companion. This half crown the landlord no sooner got scent of, than he opened after it with such vehement and persuasive outcry, that

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Kapitel IIII. Gleichungen vom 2., 3. und 4. Grade

the boy was soon overcome and consented to take half a crown more for his stay. Here we cannot help observing, that as there is so much of policy in the lowest life, great men often overvalue themselves on those refinements in impostures, in which they are frequently excelled by some of the lowest of the human species.“ Als sie ankamen, war Sophia schon weiter gereist. Pferde gab es keine. Also mussten die schon weit gereisten Pferde noch einmal herhalten. Doch zuvor sollten sie etwas zu fressen bekommen. Das Kapitel endet: While the beasts were eating their corn, or rather were supposed to eat it; (for ” the boy was taking care of himself in the kitchen, the ostler took great care that his corn should not be consumed in the stable) Mr Jones, at the earnest desire of Mr Dowling, accompanied that gentleman into his room, where they sat down together over a bottle of wine.“ (Fielding 1749/1985, Book 12, Chapt. 9, S. 537 ff.) Eine ber¨ uhmte Botenorganisation war die im Jahre 1305 gegr¨ undete Compagnia dei Corrieri della Illustrissima Signoria, wobei die Illustrissima Signoria nat¨ urlich die Stadt Venedig ist. Es gibt schriftliche Zeugnisse dieser Organisation, die bis zum Ende des 16. Jahrhunderts reichen. (Was danach war, l¨ asst Ohmann offen.) Ihre Mitglieder besorgten vor allem den amtlichen, aber eben nicht nur diesen Briefverkehr, der insbesondere zwischen Venedig und Rom sehr lebhaft war. Die Unterlagen zeigen, dass die Boten jeweils den ganzen Weg zur¨ ucklegten, auf ihren Wegen aber postierten. Das Botenwesen der Kurie war a¨hnlich dem Venedigs organisiert. Was bei dem Botenwesen der Kurie auff¨allt, ist, dass viele Boten der Kurie aus dem Bergamaskischen stammten. Man findet Bergamasker als Boten auch im Dienste Venedigs. — Als Pf¨ alzer erinnert man sich an die Kuseler Musikanten, die im Fr¨ uhjahr aufbrachen, auf den Kerwen im Land aufzuspielen, und die sich zu Bordkapellen formiert auf Passagierschiffen nach Amerika ihr Geld verdienten. — Etliche kommen aus dem Tal des Brembo, der nordwestlich von Bergamo in die Poebene tritt, um sich s¨ udwestlich von Bergamo in die Adda zu ergießen. Unter ihnen auch die Tassis, die wir schon im Dienste der Kurie und in den Diensten Venedigs finden. Der Name scheint urspr¨ unglich ein Beiname zu sein, der auf den Monte Tasso — den Dachsberg, einen Berg dieser Gegend — deutet. Als Taxis sind sie als die Sch¨opfer des deutschen Postwesens bekannt. Davon gleich noch einige Worte. Es war der Staat der Renaissance, der, zu einem Kunstwerk“ (Jacob Burck” hard) geworden, begierig nach schneller Information war. Auf seine Initiative ging die Einf¨ uhrung einer Neuerung zur¨ uck, die die Briefbef¨ orderung wesentlich beschleunigen sollte, die dann erst wieder durch die Eisenbahn noch schneller wurde. Es war die Einf¨ uhrung der Stafettenpost. Nun war es nicht mehr ein Bote, der den Brief bzw. die Briefe vom Absender zum Empf¨anger brachte, sondern es war eine Kette von Boten, die das Felleisen mit den Briefen eine Station weit bef¨ orderten und es dann dem n¨ achsten, frischen Boten auf frischem Pferd weiterreichten. Schon 1444 gibt es Stafettenketten im K¨ onigreich Neapel. Laut Ohmann ist aber das Herzogtum Mailand die eigentliche Heimat der staatlichen Stafettenpost. Von ihr haben sich von der Stafette Stundenp¨ asse erhalten, die von Mailand u ¨ber

9. Briefverkehr

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den Comersee, das Tal der Adda und das Wormser Joch ins Inntal und dann nach Innsbruck f¨ uhrte. Stundenp¨ asse sind Begleitzettel der Briefsendungen, auf denen ¨ die Boten die Ubergabe der Sendung durch ihre Unterschrift best¨ atigten, so dass man in ihnen den Nachweis hat, dass es sich wirklich um eine Stafette handelte. Der Kurs u ¨ ber den Wormser Pass wurde 1495 eingerichtet. Treibende Kraft auf Mail¨ ander Seite war Ludovico Sforza, dessen Schwester Bianca Maria seit 1494 mit Maximilian I. verheiratet war. F¨ ur Maximilian war diese Verbindung nach Mailand wichtig, wollte er nicht das italienische Feld seinem Widersacher Karl VIII. u ¨ berlassen, von dessen Italienfeldzug mit seinen f¨ ur das Abendland so verheerenden Folgen in Abschnitt 5 berichtet wurde. In einer habsburgischen Urkunde vom 11. Dezember 1489 wird zum ersten Mal ein Taxis erw¨ahnt, der Obrister Postmeister Johannet Dax“. Es waren dann Mit” glieder dieser im Botenwesen Venedigs und der Kurie schon seit langem erprobten Familie, die unter Maximilian, der 1493 Kaiser wurde, ein modernes Postsystem einrichteten, das sich von den Niederlanden bis nach Italien erstreckte. Die Idee war eigentlich die, dass die Post f¨ ur Maximilian und seine Verwaltung arbeitete und daf¨ ur von ihm entlohnt w¨ urde, doch Maximilians Zahlungen waren mehr als schleppend. Die Taxis aber nutzten die Post auch in ihrem eigenen Interesse, indem sie Post von Privaten zusammen mit der offiziellen Post bef¨ orderten. Dabei kam ihnen die famili¨ are Bindung zugute, da am Ende immer ein Taxis das Felleisen als Erster in die Hand bekam. Den Beamten der Rechnungskammer in Innsbruck war dies ein Dorn im Auge, doch Maximilian hat es geduldet. Ohne die privaten Einnahmen der Taxis w¨ are das Postwesen sicher sehr bald wieder zusammengebrochen. So aber sammelten die Taxis schon im 16. Jahrhundert ein großes Verm¨ogen und am Ende dieses Jahrhunderts war die rechtliche Situation in ihr Gegenteil verkehrt. Die Taxis wurden nicht mehr vom Staat bezahlt, was, wie gesagt, nur sehr schleppend geschah, vielmehr bezahlten sie dem Staat daf¨ ur, dass sie die Post bef¨ordern durften. Gegen dieses Monopol wehrten sich die Botenorganisationen, die noch lange nicht am Ende waren. Es ging offensichtlich um ein eintr¨ agliches Gesch¨aft. Beispielhaftes zu diesem Streit um die Bef¨orderungsrechte findet sich in der K¨ olner Postgeschichte“ von Peter Ditgen (Ditgen 1998). ” Die taxischen Post endete durch einen Vertrag vom 28. Januar 1867 gegen Entsch¨ adigung von 9 Millionen Mark. Fazit: Der Eindruck, den Tartaglias Schilderung in den Quesiti vermittelt, dass das Schreiben und Versenden von Briefen zur damaligen Zeit nichts Ungew¨ ohnliches war, wird durch die Literatur zur Geschichte des Postwesens best¨atigt. Der Zufall in Gestalt meines Freundes Knud Wolf verschaffte mir den Kontakt zu Dr. Peter Ditgen, Kenner der K¨ olner Postgeschichte, der mir weiterhalf, so dass ich schließlich das Buch von Ohmann fand, dem ich hier gefolgt bin. Herrn Ditgen sei auch hier f¨ ur seine Hilfe herzlich gedankt.

V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome 1. Nu˜ nez und Bombelli. Die Zeit war reif. Auch wenn noch lange u ¨ ber die Natur von negativen Zahlen und Gr¨ oßen ger¨atselt wurde, so war die Zeit doch reif, mit ihnen zu rechnen und das Rechnen mit ihnen zu erkl¨ aren. Wir hatten im dritten Abschnitt des vierten Kapitels gesehen, dass Fibonacci bei der Approximation der dritten Wurzel aus 900 als Zwischenergebnis eine negative Zahl erhielt, mit der er korrekt weiterrechnete. Als L¨ osungen linearer Gleichungssysteme traten sie in Form von Schulden bei ihm ebenfalls auf, wie hier schon einmal vermerkt sei. Das tartagliasche Gedicht ließ die Frage aufkommen, ob Tartaglia m¨oglicherweise an negative Zahlen dachte, als er sagte, dass die kubischen Gleichungen vom zweiten und dritten Typ gleichsam verwandt seien. Bei dem Verfahren Gleichungen vom zweiten und dritten Typ zu l¨ osen, traten negative Zahlen bei manchen Gleichungen ganz zwangsl¨aufig als Radikanden von Quadratwurzeln auf — obgleich die L¨ osung selbst reell war —, so dass nun komplexe Zahlen nicht mehr u ¨ bersehen werden konnten. Cardano ließ auch negative Zahlen als L¨ osungen kubischer Gleichungen zu. Es kommt ein Weiteres hinzu. Es trennen sich n¨ amlich die linken Seiten von algebraischen Gleichungen wie ax2 + bx + c = 0 und werden als eigenst¨andige Objekte der Form ax2 + bx + c untersucht. Dies ist nicht w¨ ortlich zu verstehen, da Gleichungen in der Form f (x) = 0 aufzuschreiben sich erst seit Descartes’ G´eom´etrie durchsetzte. Gleichungen dieser Form finden sich vereinzelt aber auch schon bei Bombelli (Bombelli 1572/1966, Ss. 191, 213, 214). Bei den Polynomen stellt sich heraus, worauf Nu˜ nez ausdr¨ ucklich hinweist, dass negative Zahlen nicht zu umgehen sind, will man gut formulierbare Ergebnisse u ¨ber Polynome erhalten. Dies wird den Leser sicher ebenso u ¨ berraschen, wie es mich u ¨ berraschte. Ich bitte ihn jedoch noch um etwas Geduld, bevor ich darauf zu sprechen komme. Die Zeit war also wirklich reif, dass das Thema negative und komplexe Zahlen von den Buchautoren aufgenommen wurde.

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Da sind nun zwei B¨ ucher zu nennen, die Algebra von Rafael Bombelli aus dem Jahre 1572 und der Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria von Pedro Nu˜ nez aus dem Jahre 1567. Beide handeln von negativen Zahlen und beide handeln von Polynomen. Bombelli weiß zudem auch viel u ¨ ber komplexe Zahlen zu berichten. Ich weiß nicht, wieso Nu˜ nez von den Historikern so stiefm¨ utterlich bis gar nicht behandelt wird. Tropfke erw¨ ahnt ihn nicht. Gericke nennt ihn weder in seiner Geschichte des Zahlbegriffs“ noch in seinem Buch Mathematik im Abendland“. ” ” Auch das Buch von Juschkewitsch Geschichte der Mathematik im Mittelalter“ ” kennt ihn nicht. In Smith’s Rara arithmetica“ findet sich nat¨ urlich sein Libro de ” ” Algebra en Arithmetica y Geometria“. Smith erw¨ ahnt ihn auch in seiner History ” of Mathematics“. M. Cantor geht etwas ausf¨ uhrlicher auf ihn ein, ohne ihm jedoch gerecht zu werden. Er findet sich auch in dem Lexikon bedeutender Mathe” matiker“, das von Gottwald und anderen herausgegeben wurde. Der entsprechende Artikel wurde von P. Schreiber geschrieben, so dass es nicht erstaunt, Nu˜ nez auch in seinem B¨ uchlein Die Mathematik und ihre Geschichte im Spiegel der Philatelie“ ” wiederzufinden. Wußing nennt ihn im biografischen Anhang seiner Vorlesungen ” zur Geschichte der Mathematik“, wobei er erw¨ahnt, dass Nu˜ nez die erste Theorie der Loxodrome aufgestellt h¨atte. Im eigentlichen Text kommt Nu˜ nez nicht vor. C. B. Boyers Buch A History of Mathematics“ weiß wiederum nichts von ihm und ” auch die von Scholz herausgegebene Geschichte der Algebra“ kennt ihn nicht. Vic” tor Katz widmet ihm gut eine Seite. Dabei fallen auf den Text der Algebra“, sieht ” man von der Besprechung einer Aufgabe ab, die etwas vom Atmosph¨ arischen (flavor) des Buches wiedergeben soll, gerade mal drei Zeilen (Katz 1993, S. 327). Es ist dann nicht mehr verwunderlich, dass auch Peiffer & Dahan-Dalmedico (1994) ihn nicht nennen. Das Buch 4000 Jahre Algebra“ von Alten et alii, das 2003 erschien, ” widmet ihm eine knappe Seite. Auch dieser Text wird Nu˜ nez nicht gerecht. Kommen wir zu Nu˜ nez’ Buch. Es erschien 1567 in Antwerpen. Nu˜ nez ist portugiesischer Jude und die portugiesische Form seines Namens ist Nunes. Ich benutze die spanische Form, da sie sich auf dem Titelblatt seines Buches findet. Die latinisierte Form seines Namens ist Nonius. Darauf kommen wir bald zur¨ uck. Das Buch ist auf Spanisch geschrieben mit Ausnahme des Vorworts, einer knapp vierseitigen Anrede auf Portugiesisch AO MVITO ALTO ET MVITO EXCELLENTE

Principe o Cardeal Iffante Dom Anrique, Carta do Autor desta obra. In dieser Anrede sagt er, er h¨ atte das Buch vor dreißig Jahren auf Portugiesisch geschrieben, es dann aber wegen dringender anderer Studien liegen gelassen, nun aber, um einen gr¨ oßeren Leserkreis zu erreichen, ins Kastilische u ¨ bersetzt und publiziert. Diese Anrede ist datiert mit dem 1. Dezember 1564. Das Buch wurde also in den dreißiger Jahren des 16. Jahrhunderts verfasst, demnach noch vor der

1. Nu˜ nez und Bombelli

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¨ klingt nun Publikation der L¨ osungsformel f¨ ur die kubische Gleichung. Ubersetzt“ ” so, als h¨atte er den Text nicht mehr u ¨ berarbeitet. Das scheint auch wirklich so zu sein, endet das Buch doch mit einer Adresse an den Leser, wo er ihm die in der Zwischenzeit gewonnenen Erkenntnisse wenigstens zum Teil mitteilt und diese auch noch eingehend analysiert, w¨ahrend sich im eigentlichen Text nichts u ¨ ber sie findet. Doch eins nach dem andern. In seiner Vorrede betont er, dass von allen bislang publizierten Mathematikb¨ uchern die B¨ ucher der Algebra diejenigen seien, die am Besten h¨ ulfen, unbekannte Gr¨ oßen zu bestimmen, nach denen in Arithmetik und Geometrie, und in allen anderen Wissenschaften, die Zahl und Maß benutzten, wie Kosmografie, Astrologie, Architektur und die Kaufmannschaft, gefragt w¨ urde. Das Wort Algebra sei arabisch und bedeute Wiederherstellung. Andere sagten, es k¨ ame von dem Namen Gebra eines maurischen Mathematikers, der diese Kunst erfunden h¨ atte. Doch Johannes von K¨ onigsberg (Regiomontanus, 1436 –1476) erw¨ahne in seiner oratio (Regiomontanus 1537), in der er Mathematikern die Ehre g¨abe, dass schon in den B¨ uchern Diophants diese Kunst beschrieben sei. Das erste gedruckte Algebrabuch sei das von Frey Lucas de Burgo, in dem wir Luca Pacioli wiedererkennen, dessen Buch Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni & Proportionalita oben fl¨ uchtig erw¨ ahnt wurde. Von diesem Buche sagt er, dass es sehr dunkel und ohne Methode geschrieben sei. Es sei auch schon sechzig Jahre her, dass es gedruckt wurde, und noch heute n¨ ahmen — wohl deshalb — in Spanien nur wenige Notiz von der Algebra, w¨ ahrend es in Italien viele in dieser Kunst ge¨ ubte M¨ anner g¨ abe, da jede Stadt bezahlte Lehrer der Arithmetik und Geometrie h¨ atte. ¨ Uber den Hinweis auf Regiomontanus Mas Ioanne de Monteregio em hu˜ a ” oraca˜ o que fez dos lonnores das Mathematicas, . . . “ in der Vorrede habe ich eine Weile ger¨atselt. In Rose 1975, S. 95 fand ich dann die L¨ osung des R¨atsels. Es handelt sich bei oraca˜ o um eine Geschichte der Mathematik mit dem Titel Oratio introductoria in omnes scientias mathematicas, die Regiomontanus um 1464 verfasste und die erst lange nach seinem Tode im Jahre 1537 in N¨ urnberg gedruckt wurde. Regiomontanus, Astronom, Mathematiker, Humanist und Publizist, ist ein wichtiger Mann f¨ ur die Sichtung, die Kritik und Verbreitung antiker Texte. Unter anderem richtete er in den Jahren 1471/72, das war gerade zwanzig Jahre nach Gutenbergs Erfindung, eine Druckerei in N¨ urnberg ein und publizierte ein Programm dessen, was er zu publizieren plane. Leider verstarb er zu fr¨ uh, so dass er nur gerade erst beginnen konnte, sein Programm zu verwirklichen. Wer mehr u ¨ ber Regiomontanus und u ¨ber die Wiedergeburt der Mathematik im 15. und 16. Jahrhundert wissen m¨ ochte, lese, wie schon im vierten Kapitel empfohlen, Rose 1975. In Italien gab es bezahlte Lehrer der Arithmetik und Geometrie. In den freien Reichsst¨adten Frankens, so auch in N¨ urnberg, gab es sie schon im 15. Jahrhundert (s. Endres 1989). Im 16. Jahrhundert wirkten Adam Ries in Annaberg in Sachsen und Simon Jacob in Frankfurt am Main. Gab es sie in Spanien und Portugal nicht? Oder waren sie nur nicht so gut wie ihre italienischen Kollegen? Ich weiß es nicht. Dass es sie nicht gab, kann ich mir nicht recht vorstellen, bedarf die

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Universit¨ atsmathematik doch einigermaßen vorgebildeter Studenten und Nu˜ nez war Ordinarius der Mathematik an der Universit¨ at von Coimbra, wie sich vom Titelblatt seiner Algebra ablesen l¨ asst. Es nahmen nur wenige auf der iberischen Halbinsel Notiz von der Algebra. Um diese Lehre in der allerreichsten Stadt Lissabon mit ihrem umfangreichen Handel mit dem a¨ußersten Orient, mit dem Okzident, mit den Inseln im Atlantik, bekannt zu machen, in der Stadt, in der auch der K¨ onig, unser Herr, Buchhalter u ¨ber seine G¨ uter besch¨ aftige, habe er dieses Buch geschrieben. Dann schildert er noch die Vorz¨ uge seines Buches, das in der Tat sehr systematisch und klug aufgebaut ist. Wie oben n¨ aher erl¨autert, sagt er, dass er das Buch schon vor dreißig Jahren geschrieben h¨atte. Auch Bombelli geht es darum, den Praktiker von den Handreichungen Dritter unabh¨ angig zu machen. Zun¨achst sagt er, dass er wisse, dass er seine Zeit verschwende, wenn er mit endlichen Worten das unendliche Herausragen der mathematischen Disziplinen bekannt machen wolle angesichts so vieler herausragender Autoren seltenen Intellekts. Dennoch sei sein schwaches Zeugnis nicht weniger n¨ otig, um bekannt zu machen, dass der gr¨oßere Teil der Arithmetik — heute gemeinhin Algebra genannt — unter all jenen mathematischen Disziplinen den Primat inne h¨ atte, da alle anderen sie n¨ otig h¨ atten — so klingt es auch bei Nu˜ nez —. Der Arithmetiker wie der Geometer k¨onnten ohne sie ihre Aufgaben nicht l¨ osen, noch der Astrolog die Himmel und die Grade messen und mit dem Kosmografen (cosmografo, die Italiener benutzten damals schon das F an Stelle des Ph und die Sprache Dantes ist dennoch nicht zu Grunde gegangen) die Schnittpunkte der Kreise und geraden Linien wieder auffinden, ohne sich auf von anderen gemachte Tafeln verlassen zu m¨ ussen, die v¨ ollig korrumpiert seien, da immer und immer wieder von Leuten gedruckt, die nichts von der Sache verst¨ unden. Der Benutzer nun begehe auf Grund der Schuld jener Leute unendlich viele Fehler beim Aufsuchen jeglicher Parallelen, von Geraden, von Kreisen und von Graden. Er beklagt die Musik und vor allem die Architektur, die die Grundlagen f¨ ur Befestigungen und Kriegsmaschinen entwerfe, usw., usw. Er schreibt weiter: Hanno poi, e Barbari e Italiani a’ nostri tempi scritto, come furno Oroncio, Scribelio et il Boglione, Francesi; Giovan Stifelio Todesco, e un certo Spagnuolo, il quale nell’idioma suo assai ne scrisse, ma invero alcuno non `e stato che nel secreto della cosa sia penetrato, oltre che Cardano Melanese nella sua arte magna, . . . Das heißt: (Dazu) haben in unseren Zeiten Ausl¨ ander und Italiener geschrieben, wie Orontius, Scribelius und der Boglione, alles Franzosen; Johannes Stifel, ein Deutscher, und ein gewisser Spanier, der in seiner Landessprache schrieb, aber niemand von ihnen drang wirklich in die Geheimnisse der Coß ein, außer dem Mail¨ ander Cardano in seiner ars magna, . . . Dabei ist Orontius der Franzose Oronce Fin´e und Scribelius, wohl der Deutsche Heinrich Schreyber aus Erfurt, der auch Grammateus genannt wird. Boglione ist nicht identifiziert und Johannes Stifel ist nat¨ urlich Michael Stifel. Nach allem, was wir von Nu˜ nez u ¨ ber den Zustand der Algebra auf der iberischen Halbinsel geh¨ ort haben, muss mit dem Spanier Nu˜ nez gemeint sein. Falls Bombelli dessen Buch nicht selbst in der Hand gehabt

1. Nu˜ nez und Bombelli

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haben sollte, musste er doch einiges u ¨ ber den Inhalt gewusst haben, da er Cardano den anderen gegen¨ uber so hervorhebt. Er erw¨ ahnt auch Luca Pacioli, Ferrari und Tartaglia, der fast alle noblen Intellektuellen beleidigt habe (che offese quasi tutti i nobili intelletti). Bemerkenswert ist, dass Bombelli Nicht-Italiener dem Vorbild der Griechen folgend, die alle nicht Griechisch Sprechenden lautmalend   nannten, Barbari nennt. Luca Pacioli, habe gesagt, das Wort Algebra stamme aus dem Arabischen, wobei Bombelli f¨ ur die Algebra als Disziplin wie schon Nu˜ nez auf den griechischen Autor Diophant von Alexandria, aus der Zeit Antoninus Pius’ verweist. Antonio Maria Pazzi, Lektor der Mathematik in Rom, h¨atte ihm ein k¨ urzlich in der vatikanischen Bibliothek gefundenes Werk des Diophant gezeigt, von dem sie dann f¨ unf der sieben B¨ ucher u ¨ bersetzt h¨atten. Die restlichen beiden h¨ atten sie anderer Arbeiten wegen nicht mehr geschafft. Bombelli hat seine Algebra in der Villa seines Dienstherrn — Rose 1975, S. 146 nennt keinen Namen. Das Lexikon bedeutender Mathematiker versieht Rufini als seinen Namen mit einem Fragezeichen — in Frascati in den Jahren 1557 bis 1560 konzipiert. Von den f¨ unf B¨ uchern wurden nur die ersten drei, die der Algebra gewidmet sind, zu Bombellis Lebzeiten publiziert. Bombelli starb 1572 kurz nach ihrem Erscheinen. Die beiden letzten B¨ ucher, die geometrischen, wurden erst im 20. Jahrhundert herausgegeben. Die algebraischen B¨ ucher weichen erheblich von dem urspr¨ unglichen Entwurf ab, der sich heute in der Biblioteca dell’Archiginnasio in Bologna befindet (Bombelli 1966, S. XXXI). Sowohl die Terminologie als auch die Wahl der Aufgaben lassen den Einfluss von Diophant deutlich werden (Rose 1975, S. 147, Bombelli 1966, S. XXXVII f.), den er ja in der Zwischenzeit studiert und ¨ zum gr¨ oßeren Teil u ¨ bersetzt hatte. Die Ubersetzung gilt heute als verloren. Schon Commandino h¨ atte versucht, sie zu finden, wobei u ¨ ber Erfolg oder Misserfolg der Suche nichts bekannt sei (Rose 1975, S. 147 und 207f.). Bevor wir uns den B¨ uchern der beiden Autoren zuwenden, noch eine Bemerkung zu Nu˜ nez. Die latinisierte Form seines Namens ist Ingenieuren und Feinmechanikern noch heute von der Schieblehre her gel¨ aufig. Die Nonius genannte Vorrichtung bei Skalen gestattet, noch Bruchteile der kleinsten Einheit abzulesen. Nehmen wir an, wir h¨ atten eine L¨angeneinheit Non, wie in der Abbildung gezeigt, die noch in 10 Dezinon unterteilt sei. Dann teilt man eine Strecke, den Nonius, von 9 Dezinon 9 Dezinon lang ist. Beim Messen in 10 gleiche Teile, so dass jede Teilstrecke 10 verschiebt sich diese Strecke, deren Skalenstriche man sich von 0 bis 10 numeriert denke. Bleibt der Nullpunkt bei der Messung, so wie in der Abbildung gezeigt, kurz hinter der Stelle 6.3 Non stehen, so suche man den Teilstrich des Nonius, der mit einem Strich der oberen Skala zusammenf¨ allt. Dies ist hier der dritte Teilstrich. Die Behauptung ist, dass die gemessene Strecke 6.33 Non lang ist. Ist n¨amlich die n Dezinon von 6.3 Non entfernt, so gilt Stelle, wo der Nullpunkt steht, 10 n 9 +3· =3 10 10

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Dezinon. Es folgt n = 3 und damit die Richtigkeit der Behauptung.

Man kann dies noch variieren. So kann man, wie es bei meiner Schieblehre eingerichtet ist, statt einer Strecke von 9 mm eine solche von 39 mm nicht nur in 10 1 mm genau messen. sondern in 20 Teile teilen. Dann kann man sogar bis auf 20 Neben der Schieblehre findet sich der Nonius auch auf anderen Skalen, so zum Beispiel auf meinem Barometer, das den Luftdruck in Zoll Quecksilbers¨ aule misst. Man findet ihn auch auf Gradskalen, die man jedoch — man denke an das Bogenmaß — ebenfalls als L¨angenskala interpretieren kann. Wie so oft, so gilt auch hier, dass die Zuweisung Nu˜ nez zum Ger¨at Nonius nicht korrekt ist. Was wir heute als Nonius bezeichnen, ist die Erfindung von Pierre Vernier. Von seiner Publikation habe ich nur einen unvollst¨ andigen Titel n¨ amlich La construction, l’usage . . . du quadrant nouveau de math´ematique . . . Br¨ ussel 1631. Nu˜ nez hat etwas anderes erfunden, was dem vernierschen Nonius nicht gleichbedeutend ist. Nu˜ nez beschreibt sein Ger¨ at in seiner Schrift de crepusculis liber unus von 1542. In dieser Schrift l¨ost Nu˜ nez das Problem, den Tag zu bestimmen, an dem an einem Ort gegebener Breite die D¨ammerung am k¨ urzesten ist. Wer eine L¨osung dieser Aufgabe sehen will, konsultiere etwa D¨ orrie 1950, S. 487ff. Im Amerikanischen, Englischen und Franz¨osischen heißt das Ger¨ at, das wir Nonius nennen, vernier , wie es sich geh¨ort. Die Italiener benutzen sowohl verniere als auch nonio. In meinen W¨ orterb¨ uchern des D¨anischen, Portugiesischen und Spanischen fand ich keines der beiden W¨ orter. Nu˜ nez nennt sein Ger¨at, eine Kreisscheibe, Astrolab. Den linken oberen Quadranten dieses Astrolabs (s. Figur. Es ist, bis auf die Sterne, die nu˜ nezsche Figur) versieht er mit 45 Viertelkreisen, deren Abst¨ande beliebig gew¨ahlt werden k¨ onnen, *

* *

b

*

f

* e

a

c

g

d

wie er sagt. Diese Kreisb¨ ogen sind von innen nach außen als 46, . . . , 89, 90 nummeriert. Viertelkreisbogen k ist in k gleiche Teile geteilt. Im Zentrum ist ein Diopter

1. Nu˜ nez und Bombelli

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beweglich befestigt. Mit ihm peilt man den gew¨ unschten Stern an und sucht den Teilpunkt, der von der Peillinie getroffen wird. Dieser Punkt sei f auf dem Kreisbogen k. Es sei x der Schnittpunkt der Peillinie mit Kreisbogen 90. Dann ist x : 90 = f : k. Es folgt x = 90f /kk + Rest. Den Rest entwickelt er nach Potenzen von 1/60, bis die Division aufgeht oder die Genauigkeit gen¨ ugend groß ist. Er bekommt das Ergebnis also in Graden, Minuten, Sekunden, Terzen, . . . Er empfiehlt, bei der Herstellung des Astrolabs schon vorhandene Teilpunkte, ¨ die immer dann auftreten, wenn k und l nicht teilerfremd sind, der Ubersichtlichkeit halber nicht noch einmal zu markieren. Aus dem gleichen Grunde f¨ uhren die Kreise 1, . . . , 45 zu nichts Neuem. Das entstehende Gebilde ist nicht sehr homogen im Gegensatz zum vernierschen Nonius. Die Teilpunkte h¨aufen sich um die 45o w¨ahrend unterhalb 1o und oberhalb 89o keine Teilpunkte auftauchen. Ob Nu˜ nez sein Astrolab baute, geht aus seinem Text nicht hervor. Zinner schreibt (Zinner 1957, S. 224), dass Tycho Brahe die nu˜ nezsche Teilung auf einigen seiner Quadranten anbrachte, dass er aber mit ihr nicht zufrieden war. Zinner zitiert Brahe 1913–1929, V, 119–124, wobei ich annehme, dass mit V der Band 5 der gesammelten Werke gemeint ist. Immer auf der Jagd nach Randbemerkungen sei hier notiert, dass in der nu˜ nezschen Schrift von der D¨ ammerung sich der Ausdruck scribantur notis algoristicis findet. Hier scheint nota algoristica, algoristisches Zeichen, die Bedeutung unseres Wortes Ziffer zu haben. Die Portugiesen wahrten das Andenken von Nu˜ nez auf ihrer 100 Escudo-M¨ unze, die am 1. 1. 2002 aber dem Euro-Cent weichen musste. Tycho Brahe war also mit dem nu˜ nezschen Nonius nicht zufrieden. Es gibt 900

800

700

600

500

400

300

200

100

20 40 60 80 10 30 50 70 90

665/1000 der Einheit

nun noch eine andere M¨ oglichkeit, Bruchteile der Einheit zu messen, n¨amlich die Transversalteilung, die erstmals im 14. Jahrhundert in einer Schrift Levi ben Gersons auftaucht (Schmidt 1935/1988, S. 279). Tycho Brahe hatte sie auf einem Jacobsstab, den er seit 1563 verwendete (Zinner 1967, S. 209). Ein sch¨ ones Beispiel

452

Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

100

eines Lineals mit tychonischer Teilung (regolo con scala ticonica), wie ich es in einer italienischen Schrift genannt fand (Catamo und Lucarini 2002, S. 29), ist in die linke Wand des Chores der Basilica di Santa Maria degli Angeli e dei Martiri in Rom eingelassen. Die L¨ange der Einheit, hier siebeneinhalb Pariser Zoll, das sind 20.34 cm, ist durch senkrechte Striche in zehn gleiche Teile geteilt. Das Zehntel ganz links ist diagonal geteilt, wie die Zeichnung zeigt. Hinzu kommt noch die Teilung durch horizontale Linien gleichen Abstandes. Dieser regolo ticonico, wie er auch kurz genannt wurde, geh¨ort zu einem Meridian, der in der Basilika von Francesco Bianchini 1701/1702 eingerichtet wurde. Der Meridian dient dazu, mittels seines Gnomonlochs das Sonnenlicht einzufangen und das Bild der Sonne auf den Boden zu projizieren, so dass man des Mittags den Durchgang der Sonne durch den Meridian beobachten kann. Das Ganze ist also eine große Camera obscura. Das Gnomonloch befindet sich in der S¨ udwand der Kirche 750 Pariser Zoll u ¨ber ihrem Fußboden. Vom Fußpunkt des Lotes, das man vom Gnomonloch auf den Fußboden f¨ allt, erstreckt sich die Projek-

w 100

190

200

tion des Meridians durch diesen Fußpunkt nach Norden ins Kircheninnere. Liegt

w

190

200

nun der Mittelpunkt des Sonnenbildes zwischen den Marken 194 und 195, wie in der Vergr¨ oßerung gezeigt, die gegen¨ uber dem Original eine starke Verkleinerung ist, so tritt das tychonische Lineal in Aktion. Man u ¨bertr¨ agt den Abstand des Bildmittelpunktes vom Punkt 194 so auf das Lineal, dass der linke Endpunkt in den Bereich des ersten Zehntels f¨allt, w¨ ahrend der rechte Endpunkt auf einer der senkrechten Teilungslinien zu liegen kommt. Mit Hilfe der Horizontallinien und der Transversalen erfasst man dann noch den tausendsten Teil der Einheit. Fasst man die Bilder 1 und 3 zusammen, so erh¨alt man also 194,665 Einheiten. Das ist der Tangens zum sinus totus 100 des Winkels w. Nach unserer Gewohnheit gilt

1. Nu˜ nez und Bombelli

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also tg w = 1, 94665, so dass man an diesem Ger¨ at den Tangens des Winkels w auf f¨ unf Dezimalen genau ablesen kann. Dieser Meridian ist ein sch¨ ones Beispiel daf¨ ur, dass Astronomen den Tangens von Winkeln messen, der sich ganz nat¨ urlich anbietet. Dies wurde zu Beginn des Abschnitts 9 von Kapitel 1 schon einmal erw¨ ahnt. Papst Clemens XI. beauftragte Francisco Bianchini im Jahre 1700 mit dem Bau dieses Meridians. Der Anlass war der, dass das Jahr 1700 auf Grund der gregorianischen Kalenderreform kein Schaltjahr war und dass nun Messungen angestellt ¨ werden sollten, die die Uberlegenheit des gregorianischen Kalenders gegen¨ uber dem julianischen nachwiesen, an dem die protestantischen L¨ ander immer noch festhielten (Catamo und Lucarini 2002). Wie die Sache ausgegangen ist, wissen wir. Schließlich hat sich auch Russland der Reform angeschlossen. Dazu brauchte es die Sowjets. Ich kann jedem Rombesucher nur empfehlen, sich den Durchgang der Sonne durch den Meridian anzusehen. Die Tageszeit, wann dies geschieht, ist in dem Buch von Catamo und Lucarini angegeben und wird auch in der Basilika angezeigt. Wahrscheinlich findet man sie auch im Internet. Zur¨ uck zu unserem eigentlichen Thema. Der erste Teil des in drei Hauptteile geteilten Buches von Nu˜ nez handelt von quadratischen Gleichungen, die die Grundlage f¨ ur alles Weitere bilden. Zun¨ achst schildert er Ziel und Methode der Algebra, um dann auf den Begriff der Zahl einzugehen. Da mir dieses Reflektieren u ¨ ber Sinn und Zweck wichtig erscheint, sei der Anfang des Buches im Wortlaut wiedergegeben. Parte Primera desta Obra. Cap. primero del fin de la Algebra, y de sus Conjugaciones y Reglas. EN esta Arte de Algebra el fin que se pretende, es manifestar la quantidad ignota. El medio de que vsamos para alcan¸car este fin, es ygualdad. Las principales qu˜ atidades a ˜q por discursos dem˜ ostratiuos procuramos esta yqualdad, dando les o quitandoles quanto c˜ ouiene, como quien pone en balan¸ca, son tres: Numero, Cosa, Censo. Das heißt: Das Ziel, das sich die Wissenschaft der Algebra setzt, ist, die ” unbekannte Gr¨ oße zu erkennen. Das Mittel, dessen wir uns bedienen, dieses Ziel zu erreichen, ist die Gleichung.” Als Gr¨oßen, die in Balance zu setzen sind, kommen vor allem Zahl, Coß und Censo vor. Dann sagt er, was er unter Zahl versteht und definiert die Begriffe Zahl, Coß und Censo. Numero en esta Arte se dize qualquiera quantidad, quando la entendemos compuesta de vnidades, o sea numero entero, o sea quebrado, o sea Raiz, aun ˜q sea sorda. Como quien dixiesse: 8.9.10. 12 . 13 . 14 . 8 12 .8 13 .8 14 . Raiz de .8. Raiz de .9. Raiz de .10. Raiz de . 12 . Raiz de . 13 . Raiz de . 14 . Raiz de .8 12 . Raiz de .8 13 . Raiz de .8 14 . Cosa se diza la Raiz de qualquier quadrado, y Censo llamamos el quadrado que sale de aquella Raiz . Zahl in dieser Wissenschaft (arte) — das muss man sich auf der Zunge zergehen lassen — nennt sich eine jegliche Gr¨oße. Dies wird dann etwas erl¨ autert. Zu den Zahlen z¨ ahlen nat¨ urlich die aus Einheiten zusammengesetzten Zahlen, seien

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

es ganze Zahlen, seien es Br¨ uche. Es geh¨oren aber auch die stummen“ Wurzeln ” dazu. Der Zahlbegriff, hier definiert, bleibt im Buch schwimmend. Sehr h¨ aufig meint Zahl nur rationale Zahl und nicht eine beliebige Gr¨ oße, wie in dieser Definition. Was Gr¨ oße bedeutet, sagt Nu˜ nez nicht, wie es keiner der Autoren der damaligen Zeit tut. Cosa ist unser x und Censo unser x2 . Es folgen die sechs Normalformen f¨ ur quadratische Gleichungen. Ihre Reihenfolge: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Censos yguales a Cosas. (ax2 = bx) Censos yguales a Numero. (ax2 = c) Cosas yguales a Numero. (bx = c) Censo y cosas yguales a numero. (x2 + bx = c) Cosas y numero yguales a censo. (bx + c = x2 ) Censo y numero yguales a cosas. (x2 + c = bx)

Man beachte den Wechsel vom Plural censos zum Singular censo bei den zusammengesetzen Typen. Es werden die L¨ osungsregeln angegeben und mit Beispielen erl¨ autert. Beim sechsten Typ werden beide L¨ osungen in Betracht gezogen. Das l¨auft alles in gewohnten Bahnen. Daher bringe ich hier nur ein Beispiel, bei dem die Null eine Rolle spielt. osung x = 3 hat. Die Null der Es ist das Beispiel x2 + 9 = 6x, das nur die L¨ Diskriminante, die bei Nu˜ nez keinen Namen hat und auch nicht als eigenst¨andiges Objekt auftaucht, heißt bei diesem Beispiel und auch sp¨ ater cifra. Nach der Behandlung der Beispiele werden die Beweise der L¨osungsregeln gegeben, wobei die Existenz der L¨ osung wieder angenommen wird. Es wird also wiederum, wie auch bei a¨lteren Autoren, nur gezeigt, dass die L¨osungen wie angegeben aussehen, vorausgesetzt sie existieren. Nachdem er die u ¨ blichen Beweise f¨ ur die Notwendigkeit der L¨ osungsformeln gegeben hat, gibt er, wie er sagt, neue und vollkommenere Beweise f¨ ur die L¨ osungsregeln: Siguense otrasi demonstraciones nueuaz y mas perfectas.“ (fol. 14r ) ” Was er in Wirklichkeit macht, ist, die Existenz von L¨osungen zu zeigen. Hier geschieht also etwas Neues! Seine Argumentation ist, wie schon zuvor, geometrisch. Es werden Zahlen mit Strecken und Fl¨ achen identifiziert. Bei all diesen Beweisen zitiert er Euklid I.47, II.4, 5, 6 und III.3, sowie Campanus und Jordanus f¨ ur deren Euklidausgaben. Dann folgen Aufgaben, die auf Gleichungen zweiten Grades f¨ uhren. Sie bieten uns nichts Neues. Wie es weiter geht, wird im n¨achsten Abschnitt berichtet. Dort dann auch mehr u ¨ ber die bombellische Algebra. Hier sei zun¨achst erw¨ahnt, uh das Ausziehen von Qua√ dass Bombelli schon fr¨ ¨blichen Algorithdratwurzeln erkl¨ art. Um  n zu bestimmen, benutzt er den u mus. Von Ziffern redet er in diesem Zusammenhang als von caratteri (Bombelli 1572/1966, S. 34). Dieser Algorithmus entscheidet auch sofort, ob n ein Quadrat ist. Dass sei aber u. U. sehr m¨ uhselig nachzurechnen. Wenn es nur darum ginge

2. Polynome und negative Zahlen

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zu entscheiden, ob n ein Quadrat sei, so zeigten die Endziffern sehr h¨ aufig, dass n kein Quadrat sei, denn Quadrate endeten mit den Ziffern 21 41 61 81 01 24 44 64 84 04 225 425 625 825 025 16 36 56 76 96 29 49 69 89 09 oder aber mit einer geraden Anzahl von Nullen (Bombelli 1572/1966, S. 40). Auch hier berichtet er nur. F¨ ur mich neu war, dass (a · 10 + 5)2 eine gerade Anzahl von Hundertern hat. Dies folgt aber unmittelbar aus (a · 10 + 5)2 = a(a + 1) · 100 + 25. Eine genauere Analyse zeigt dann noch, dass a(a + 1) ≡ 0, 2, 6 mod 10 ist, dass also die Ziffernfolgen 425 und 825 ebenfalls nicht vorkommen. Dies wird von Bombelli nicht erw¨ ahnt. Man erkenne Nichtquadrate auch daran, dass ein Quadrat den Neunerrest 0, 1, 4, 7 habe (Bombelli 1572/1966, S. 40). Besteht eine Zahl diese beiden Tests, so muss man den Quadratwurzelalgorithmus anwenden, um eine Entscheidung zu f¨allen. Soviel zur Einstimmung. 2. Polynome und negative Zahlen. Der zweite Hauptteil von Nu˜ nez’ Buch undigt durch beginnt auf Seite 24r . Er wird angek¨ Segunda Parte Principal desta Obra, laqual es partida en tres partes. En la primera tractaremos del Algorithmo delas dignidades, y enla segunda delas raizes, y en la terceni delas proporciones. Der zweite Hauptteil ist also seinerseits in drei Teile unterteilt. Der erste behandelt den Algorithmus der Rangordnungen (dignidades), der zweite den der Wurzeln und der dritte den der Proportionen. Wir beachten zun¨ achst, dass hier das Wort Algorithmus vorkommt. Es taucht immer wieder in den alten Texten auf. Seine Bedeutung ist jedoch nicht pr¨ azise zu fassen. Hier bedeutet es das Rechnen mit Polynomen und ihren Quotienten, das Rechnen mit Wurzeln und das Rechnen mit Proportionen. Dies zeigt der Text. F¨ ur das Wort dignidad gibt das langen¨ scheidtsche Taschenw¨orterbuch nur die Ubersetzung W¨ urde“. Der Georges gibt ” f¨ ur das Wort dignitas des klassischen Lateins auch die Bedeutung W¨ urde, die ”¨ auf dem Rang der Person in der Gesellschaft beruht.“ Daher meine Ubersetzung Rangordnungen“ f¨ ur dignidades. Gemeint sind die Potenzen xn . Sie heißen im ”¨ Ubrigen auch bei Bombelli dignit` a . Was hier nun unter algorithmo delas dignidades firmiert, wollen wir uns jetzt im Einzelnen ansehen.

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Zun¨ achst ist zu bemerken, dass Nu˜ nez keinerlei Motivation gibt. Er bemerkt nur ganz global, dass es h¨ aufig n¨ otig sei, die nun zu definierenden Gr¨ oßen zu summieren, abzuziehen, zu multiplizieren und zu teilen und zwar in Ganzen (Polynomen) wie in Br¨ uchen (Quotienten von Polynomen) und diese in kleinstm¨ ogliche zu k¨ urzen. Letzteres lehrt er jedoch nicht in voller Allgemeinheit. Weshalb es h¨ aufig n¨ otig ist, mit Polynomen und ihren Quotienten zu rechnen, wird sp¨ ater klar. Nun muss ich nachtragen, worum ich mich bislang gedr¨ uckt habe, dass n¨ amlich die Potenzen einer Gr¨ oße Namen tragen, die man u. a. bei Luca Pacioli, Tartaglia, Cardano und nun auch bei Nu˜ nez und Bombelli findet. Nu˜ nez betrachtet Gr¨oßen in stetiger Proportion, deren erste er, wie uns schon bekannt, cosa nennt. Ihr gibt er die Bezeichnung (denominacion) 1. Die zweite heißt, uns auch schon bekannt, censo. Ihr gibt er die Bezeichnung 2. Die Gr¨ oße cubo erh¨alt die Bezeichnung 3. Neu f¨ ur uns sind die weiteren Namen censo de censo 4, relato primo 5, censo de cubo 6, relato secundo 7, censo de censo de censo 8, cubo de cubo 9, censo de relato primo 10. Das Bildungsgesetz ist multiplikativ, wobei die Primzahlen von 5 an mit relato primo, relato segundo, etc. durchnummeriert werden. Er stellt diesen Namen ihre Bezeichnungen gegen¨ uber. Zusammen mit den Potenzen von 2 sieht das bei ihm wie folgt aus: Co.2. Ce.4. Cu.8. Ce.ce.16. Re po .32. Ce.cu. o Cu.ce.64. Denomiaci˜o.1. 2. 3. 4. 5. 6. Und mit den Dignidad .10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.

Potenzen von 3 so: censo de relato primo. 59049 cubo de cubo. 19683. censo de censo de c˜eso. 6561. relato segundo. 2187. censo de cubo. 729. relato primo. 243. censo de censo. 81. cubo. 27. censo. 9. cosa. 3. 1. Er sagt, dass es auf die Namen nicht ankomme, dass vielmehr der Exponent (denominacion), wie ich der Deutlichkeit halber nun sagen werde, v¨ ollig gen¨ uge, das entsprechende Element in der Folge der in stetiger Proportion stehenden Elemente zu kennzeichnen, da hier nicht Zahlen untersucht w¨ urden (Y por que esta sciencia no tracta de nombres bastara nombrarla por sus denominaciones). Er ist also unserer Vorstellung von Unbestimmten sehr nahe. Der Leser wird die Null als Exponent der 1 in diesen Tabellen vermissen. Wenn sie gebraucht wird, und sie wird gebraucht, wird sie als Exponent, als denominacion der Eins also, benutzt. Der Name Exponent wurde u ¨brigens von Stifel eingef¨ uhrt (Stifel 1544, f. 236v ). Stifel spricht in diesem Zusammenhang vom Algorithmus der coßischen Zahlen (de algorithmo numerorum cossicorum). Es ist das Gleiche wie der algorithmo delas

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dignidades, also das Rechnen mit Polynomen. Da die nu˜ nezsche Darstellung sehr viel ausf¨ uhrlicher ist, halten wir uns an diese, wenn sie auch erst dreiundzwanzig Jahre nach der stifelschen Darstellung erschien. Man erinnere sich jedoch, dass das Manuskript des nu˜ nezschen Buches dreißig Jahre in der Schublade lag. Stifel gibt nur schematische Beispiele f¨ ur die Addition, Subtraktion und Multiplikation zweier Polynome, ohne die Schemata n¨ aher zu erl¨autern. Der Leser muss das allgemeine Verfahren an diesen Schemata erkennen. Er gibt auch zwei Beispiele f¨ ur die Division von Polynomen, die aber beide aufgehen. Die Division wolle er in Kapitel 12 noch einmal aufgreifen. Sunt enim exempla ista arte facta. Regulariter uero non potest diuisio fieri per diuisorem, habentes signum additorum aut subtractorum. Diese Beispiele seien n¨amlich k¨ unstlich gemacht. Im Allgemeinen k¨ onne man die Division nicht durchf¨ uhren, wenn der Divisor Additions- oder Subtraktionszeichen enthielte. Auch in Kapitel 12 kommt die Division mit Rest nicht vor. Das zweite Beispiel wollen wir aber doch aufschreiben, da es aus einem anderen Grund interessant ist. − 12z 12zz + 16c − 36z − 32d + 24 (6z + 8d − 6 2z + 0d − 4 2z + 0d − 4 2z + 0d − 4 Es ist der Koeffizient 0 im Divisor, der das Beispiel interessant macht. Wie schon gesagt, steht bei allen Rechenverfahren f¨ ur Polynome nicht mehr als ein solches Schema auf dem Papier. Nu˜ nez und Bombelli scheinen mit Stifels Arithmetik vertraut gewesen zu sein. Das sollte man im Ged¨achtnis behalten, wenn man die folgenden Ausf¨ uhrungen liest. Stifel benutzt u ¨ brigens die Zeichen + und − f¨ ur Addition und Subtraktion, was Nu˜ nez und Bombelli nicht tun, die stattdessen p ˜ und m, ˜ bzw. p und m schreiben. Warum sie die u ¨ bersichtlicheren Zeichen + und − nicht benutzten, ist mir r¨ atselhaft. Nu˜ nez beweist die Potenzregeln exemplarisch, wobei er sich auf die Proportionenlehre beruft. Bombelli erkl¨ art die Potenzen und ihre Namen gleich zu Beginn seines Buches. Er hat andere Namen, da er das Quadrat quadrato und nicht censo nennt. Daher sind die Namen dann quadrato, cubo, quadroquadrato, primo relato und quadrocubico bzw. cubicoquadrato. Weiter geht er nicht. Vielmehr schreibt er im Verlauf n f¨ ur unser xn . Er macht also ernst mit dem, was Nu˜ nez nur erw¨ ahnt, des Buches " dass man n¨amlich die Potenzen mit ihren Exponenten kodieren kann. Im zweiten Buch f¨ uhrt er andere Namen f¨ ur Potenzen ein. Das wird uns noch besch¨ aftigen. Es beginnt Kapitel 2 des ersten Teils des zweiten Hauptteils des nu˜ nezschen Buches mit S˜ umar los enteros. Was die Ganzen (los enteros) sind, wird nicht definiert. Wie sich zeigt, sind es — in unserer Schreibweise — formale Ausdr¨ ucke

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

der Form

n 

±ai q i .

i:=0

Die Koeffizienten sind hier also mit Vorzeichen versehen, wobei die Koeffizienten stets explizit gegebene Gr¨oßen sind. Wenn sie null sind, fehlt der entsprechende Summand. Die Addition wird punktweise definiert, was verbal beschrieben wird. Bevor er Beispiele bringt, erkl¨art er noch: La palabra mas se escriue assi ˜ p. y la palabra menos assi m. ˜ y ternemos en la memoria, ˜q aun que no se explique esta palabra mas, como no se declarare ˜q es menos, luego se entiene que es mas, dh., das Wort mehr schreibt sich so p ˜ . und das Wort weniger so m. ˜ und wir halten ” im Ged¨achtnis, dass ein jedes nicht Erkl¨ arte positiv ist, wie ein jedes nicht als negativ Erkl¨ arte sich ebenfalls als positiv versteht.“ Die Beispiele, die Nu˜ nez f¨ ur die Addition bringt, sind Exemplo desta 35.˜ p.10.co.˜ p.4.ce. Regla 40.˜ p.12.co.˜ p.7.ce. S˜ uma

75.˜ p.22.co.˜ p.11.ce.

Otro exemplo 30.˜ p.15.co.˜ p.2.ce.m.3.cu. ˜ 80.m.13.co. ˜ m.5.ce. ˜ m.2.cu. ˜ S˜ uma

110.˜ p 2.co.m.3.ce. ˜ m.5.cu. ˜

Zahlen werden, um es noch einmal zu sagen, mit Vorzeichen (declaracion) versehen, wobei ausdr¨ ucklich verabredet wird, dass Zahlen, die kein Vorzeichen haben, als positiv zu interpretieren sind. Demzufolge werden dann auch negative Ausdr¨ ucke zu anderen Ausdr¨ ucken addiert und, wie wir gleich sehen werden, auch von anderen Ausdr¨ ucken subtrahiert. Die Zeichen p ˜ und m ˜ werden von Nu˜ nez also implizit sowohl als un¨ are wie auch als bin¨ are Operationen aufgefasst. Das zeigt sich bei den n¨ achsten beiden Beispielen, wo es heißt, dass es gen¨ uge, Gr¨ oßen von verschiedener Natur einfach zu verbinden. Wenn man verlange p ˜.10. und p ˜ .1.ce. zu summieren, so w¨are die Summe .10.˜ p.1.ce. oder .1.ce.˜ p.10., bzw. wenn man verlange p ˜ .10. und m.1.ce. ˜ zu summieren, so sei .10.m.1.ce. ˜ die Summe. Es folgen weitere Beispiele, die klar machen, wie mit dem Minuszeichen zu verfahren ist. Dann kommt der Abschnitt Diminuir. EN qu˜ atidades semejantes de mas sacar mas, si la qu˜ atidad de ˜q sacamos es maior en numero, restara la differ˜ecia declarada por mas. Pero si lo de que sacamos fuere menor en numero, restara la differ˜ecia declarada por menos. Ziehe man eine positive Gr¨ oße von einer positiven Gr¨ oße gleicher Natur ab, so verbleibe die Differenz positiv genommen, wenn die Gr¨ oße, von der abgezogen werde, gr¨ oßer an Zahl sei. Andernfalls verbleibe die negativ genommene Differenz. Die Beispiele: Ex˜eplo de p ˜.20.co. sacar p ˜.15.co. restan p ˜.5.co. y de p ˜.20.ce sacar p ˜.24.ce. rest˜ a m.4.ce. Dabei ist das zweite Beispiel besonders interessant, da als Ergebnis m.4.ce. ˜ ˜ stehen bleibt.

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Es wird weiter beschrieben, wie man in den drei anderen F¨ allen der Subtraktion von Gr¨ oßen gleicher Natur das Ergebnis der Subtraktion erh¨ alt. Schließlich wird noch angegeben, wie sich die Differenz zweier Gr¨oßen unterschiedlicher Natur ergibt. Hier gibt es nat¨ urlich wieder vier F¨ alle zu betrachten, da die Koeffizienten ja stets im- oder explizit mit einem Vorzeichen behaftet sind. Man beachte: Die Subtraktion von Polynomen ist unbeschr¨ ankt ausf¨ uhrbar! Schließlich wird klar, dass f¨ ur Nu˜ nez die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist. Als Probe f¨ ur die gelungene Subtraktion berechnet er n¨ amlich die Summe aus Differenz und Subtrahend: Tienen estas reglas la misma prueua, ˜q s˜ umando lo ˜q sacamos c˜ o lo ˜q resta restauramos la primera quantidad . Als n¨achstes wird die Multiplikation von Polynomen erkl¨ art. Diese ist mit Hilfe der Potenzgesetze und der zuvor etablierten Addition von Polynomen einfach einzuf¨ uhren. Dies wird an Hand von Beispielen getan vom Einfachen — Multiplikation eines Skalars mit einem Monom — zum Komplizierteren — Polynom mal Polynom — fortschreitend, wobei auch die Zeichenregeln erl¨autert werden. Am Beispiel der Multiplikation von 15.m.4.co. ˜ mit 3.ce.m.5.co. ˜ s¨ ahe man das alles sehr klar. Es folgt das Schema, das auch heute nicht viel anders aussieht. 15. m. ˜ 4. co. 3. ce. m. ˜ 5. co. 45. ce. m. ˜ 12. cu. m. ˜ 75. co. p ˜ 20. ce. S˜ uma 65. ce. m. ˜ 75. co. m. ˜ 12. cu. Seine Beweise f¨ ur die Zeichenregeln benutzen, dass Zahlen Ansammlungen von Einheiten sind. Sie sind also nur f¨ ur rationale Zahlen als Skalare g¨ ultig. Bei ihm heißt es n¨ amlich: Porque multiplicar vn numero por otro, es s˜ umarlo tantas vezes, quantas son las vnidades del otro. Pues si menos se multiplica por mas, hara tantos menos, quantas vnidades ay enel mas, das ist: Da eine Zahl mit einer ” anderen zu multiplizieren heißt, sie so oft zu addieren, wie die andere Einheiten enth¨ alt. Ferner, wenn Negatives multipliziert wird mit Positivem, wird man so viele Negative haben, wie Einheiten in der Positiven sind.“ Dass minus-mal-minus plus ergibt, versucht er unter Einsatz des Distributivgesetzes zu beweisen, f¨ ur welches er Euklid zitiert, der es f¨ ur Strecken, und Campanus und Jordanus, die es f¨ ur Zahlen bewiesen h¨atten. Hier erwarteten wir den Einsatz der Null, doch sie spielt keine Rolle. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Auch diese ist bei Nu˜ nez, um es gleich vorweg zu sagen, immer ausf¨ uhrbar. Er schreibt das Ergebnis der Division von f durch g als fg , wenn er dieses Ergebnis nicht durch Division mit Rest oder anderswie ver¨ andern kann. Ist man erst so weit, so muss man auch noch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Br¨ uchen aus Polynomen erkl¨ aren. All das geschieht im Folgenden. Bleiben wir aber zun¨ achst bei der Division mit Rest. Dabei ist zu beachten, dass Nu˜ nez immer nur von Division spricht und nicht von Division mit Rest. Wenn wir a = qb + r sagen, heißt das bei Nu˜ nez ab = q + rb .

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Das m¨oge der Leser beachten, wenn ich im Folgenden immer wieder einmal in der uns vertrauten Weise von Division mit Rest rede. Nu˜ nez beginnt das Kapitel u ¨ber das Dividieren mit den Worten: QVi˜e sabe la raz˜ o del multiplicar, no puede errar el partir , . . . , das ist: Wer die Erkl¨ arung ” f¨ ur das Multiplizieren kennt, kann beim Dividieren nicht irren.“ Hier schon deutet sich Nu˜ nez’ Auffassung der Division als der Umkehrung der Multiplikation an. Das wird sp¨ ater klar werden, wenn er als Probe f¨ ur die Richtigkeit der Rechnung die Multiplikation von Quotient mit Divisor empfiehlt. Das Produkt muss gleich dem Dividenden sein, was bei seiner Art der Multiplikation von Br¨ uchen nicht immer sofort zu erkennen ist! Dies wird uns Einsicht in Nu˜ nez’ Verst¨andnis der Br¨ uche von Polynomen liefern. Zur¨ uck zur Division. Er erkl¨ art zun¨ achst wieder die Division eines Monoms axm n durch ein Monom bx . Im Falle m > n sei das Ergebnis ab xm−n . Im Falle m < n m a sei es ax ucklich, dass n und im Falle m = n sei es b . Im zweiten Fall sagt er ausdr¨ bx m ax bxn Bruch (quebrado) genannt werde. Dabei ist quebrado der Name, der schon zuvor f¨ ur die Br¨ uche nat¨ urlicher Zahlen benutzt wurde und im Spanischen immer noch wird. An dieser Stelle kommt auch die Null als Exponent (denominacion) ins Spiel. Es geht um die Division eines Monoms durch eine Zahl. Dort heißt es beim erl¨auternden Beispiel, si queremos partir .30.ce. por el numero .5. por˜q la denominaci˜ o del censo es .2. y la de numero es cifra, restara la misma denominacion entera, y el quoci˜ete sera .6. censos: Wenn wir 30.ce durch die Zahl .5. ” teilen wollen, da der Exponent von censo .2. ist, und der der Zahl ist null, bleibt der gleiche ganzzahlige Exponent, und der Quotient wird sein .6. censos.“ Nun beherrscht man auch die Division von Polynomen. Ist n¨ amlich die Aufgabe gestellt, das Polynom f durch das Polynom g zu teilen, ist m der Grad von f und n der von g, ist ferner fm der Leitkoeffizient von f und gn der von g, so ist der erste Schritt der Division mit Rest der, das Polynom f − fm gn−1 xm−n g zu berechnen. Iteration f¨ uhrt dann zum Ziele. Von Nu˜ nez wird dies ganz ausf¨ uhrlich, Schritt f¨ ur Schritt, an Hand des Beispiels 12.cu.˜ p.18.ce.˜ p27.co.˜ p.17.numero geteilt durch .4.co.˜ p.3. erl¨ autert. Nachdem er dies getan hat, schreibt er noch das folgende Schema hin, in dem wir die auch noch von uns praktizierte Division mit Rest eines Polynoms durch ein anderes wiedererkennen. Partidor .4.co.˜ p.3. 12.cu.˜ p. 18.ce.˜ p.27.co.˜ p 17. 12.cu.˜ p. 9.ce. 9.ce.˜ p. 27.co. p ˜ 17. 9.ce.˜ p. 6.co. 43 . 20.co. 41 .˜ p.17. 3 20.co. 41 .˜ p.15 16 . 1 13 16 . 3.ce.˜ p 2.co. 41 .˜ p.5

1 p 16 .˜

13 1 16 par.4.co.˜ p.3

2. Polynome und negative Zahlen

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Der Divisor steht also links vom Dividenden, das Ergebnis unten, wobei der Rest 13 par.4.co.˜ p.3, also als Bruch angegeben wird, wobei par. f¨ ur partidor steht. als 1 16 Die Probe, die Nu˜ nez nun macht, l¨ asst klar erkennen, dass die Division f¨ ur ihn die Umkehrung der Multiplikation ist. Er multipliziert n¨ amlich den Quotienten mit dem Divisor, um die s˜ uma principal wieder zu erhalten. Bei ihm liest sich das wie 1 13 p 5 16 .˜ p 1 16 . partidor .4.co. folgt: La prueua sera que multiplicando 3.ce.˜ p 2.co. 41 .˜ p ˜ .3. por el partidor haremo la s˜ uma principal . Es folgt das Schema 1 3.ce.˜ p 2.co. 41 . p ˜ 5 16 . 4.co. p ˜ 3.

12.cu.˜ p 9.ce. 9.ce.

p ˜ 20.co. 41 . 3 p ˜ 6.co. 43 . p ˜ 15 16 . 13 1 16 .

12.cu.˜ p 18.ce. p ˜ 27.co.

p ˜ 17.

¨ Und nun kommt eine Uberraschung, die uns etwas ins Ged¨ achtnis zur¨ uckruft, was beim Tradieren lange vergessen ward, dass man die Division mit Rest nicht so wie bei nat¨ urlichen Zahlen immer ohne Schwierigkeiten durchf¨ uhren kann: . . . , con todo esso no se puede hazer particion por el modo delos enteros, . . . Als Beleg bringt er das folgende Beispiel: Es sei .20.cu.˜ p.8 durch 4.ce.˜ p 2.co. zu dividieren. Das ginge nicht so wie beim ersten Beispiel. Der Grund ist der, wie er ausf¨ uhrt, dass 4.ce.˜ p.2.co. mit 5.co. zu multiplizieren und das Ergebnis 20.cu.˜ p10.ce. von 20.cu.˜ p.8. zu subtrahieren w¨ are. In diesem Ausdruck findet sich aber nichts, was den 10.ce in jenem entspricht! Er begn¨ ugt sich daher zun¨ achst damit, als Ergebnis 20.cu.˜ p.8. hinzuschreiben. Wir halten hier als Ergebnis der Division den Bruch . 4.ce.˜ p.2.co. fest, dass die Division mit Rest f¨ ur nat¨ urliche Zahlen nicht aus dem Bereich der nat¨ urlichen Zahlen herausf¨ uhrt. Dies ist in scharfem Kontrast zu der Division mit Rest im Bereich der Polynome mit positiven Koeffizienten. Hier ist sie nicht immer durchzuf¨ uhren, wie Nu˜ nez feststellt. Doch er hat vorgesorgt. Er f¨ ahrt fort: Y si quisiesemos en la dicha particion proseguir la via de mas, y de menos, no seria aun ese modo bastante para euacuar la s˜ uma ˜q se ha de partir, y el processo yria a infinito: Und wenn wir bei besagter Division den Weg ” von Plus und Minus verfolgen wollten, so w¨ urde auch diese Art nicht gen¨ ugen, die Summe, die zu teilen ist, auszusch¨opfen und der Prozess ginge ins Unendliche.“ Hier sind zwei Dinge bemerkenswert. Einmal, dass man den Divisionalgorithmus durchf¨ uhren kann, wenn man nur auch negative Zahlen ins Spiel bringt, und zum andern, dass die Division nicht immer aufgeht, der Divisionsalgorithmus also nicht zum Stillstand kommt. Division mit Rest: Sie bedarf der negativen Zahlen! Es sind also nicht nur die linearen Gleichungssysteme und die quadratischen und kubischen Gleichungen, die die Einf¨ uhrung der negativen Zahlen erzwingen! Verfolgen wir, was Nu˜ nez noch zu obigem Beispiel sagt. In unserer Schreibweise ¨bliche Divisionsalgorithmus, wie ihn ist 20x3 + 8 durch 4x2 + 2 zu dividieren. Der u

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auch Nu˜ nez durchf¨ uhrt, liefert zun¨ achst 5 5x + 8 20x3 + 8 = 5x − + 2 . 2 4x + 2x 2 4x + 2x Wir erwarteten, dass der Bruch auf der rechten Seite nun nach Potenzen von x−1 entwickelt w¨ urde. Das erg¨ abe ∞ 5 −1 11  (−1)i −i−2 x . x + 4 4 i:=0 2i+1

Doch Nu˜ nez verheddert sich hier. Er rechnet 5 −10x2 + 8 5x + 8 = + , 2 4x + 2x 2 4x2 + 2x indem er die Division mit der Division von 5x durch 2x beginnt. Dann erscheint nat¨ urlich wieder x2 im Z¨ ahler, so dass er nun −10x2 durch 4x2 dividiert, um dann 5 5x + 8 −10x2 + 8 =− + 2 , 4x2 + 2x 2 4x + 2x zu erhalten, womit er in eine unfruchtbare Periode schliddert, aus der er nicht ¨ mehr herauskommt. Negative Exponenten kommen bei Nu˜ nez im Ubrigen nicht vor. Bei der Division von 20x2 + 8 durch 4x + 2 muss man wieder den Weg von Plus und Minus gehen. Man erh¨ alt als Quotienten 5x − 2 21 +

13 4x+2 .

Auch hier kommt er wieder in die gleiche Schleife wie beim vorigen Beispiel. Manchmal erhielte man auch den korrekten Quotienten, verfolge man den Weg von Plus und Minus. Seine Beispiele: x3 + 1 = (x + 1)(x2 + 1 − x) x3 + 8 = (x + 2)(x2 + 4 − 2x) x3 + 27 = (x + 3)(x2 + 9 − 3x) x3 + 64 = (x + 4)(x2 + 16 − 4x). Sein Schluss hieraus: De suerte ˜q numero ˜q esta en la compani˜ a del cubo fuere cubico, la sua raiz cubica con mas .1.co. sera el partidor ˜q da quociente justo. Es ahrt fort: Y gibt also x + q als Teiler von x3 + q 3 einen exakten Quotienten. Er f¨ si el numero cubico fuere declarado por m. ˜ tambi˜e la sua raiz cubica ira declarada por menos enel partidor. Ex˜eplo .1.cu.m.8. ˜ terna por justo partidor .1.co.m.2. ˜ Es

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ahnt, aber nicht ist also x − q Teiler von x3 − q 3 . Das Beispiel, das er hier erw¨ durchrechnet, ist, dass x − 2 Teiler von x3 − 8 ist. Bombelli erl¨autert den Umgang mit positiven und negativen Zahlen explizit an Hand eben dieser Zahlen und nicht nur implizit bei der Erkl¨ arung von Addition und Subtraktion von Polynomen, wie Nu˜ nez dies tut. Es sei hier kurz auf seine Ausf¨ uhrungen eingegangen (Bombelli 1572/1966, S. 62 ff.), bevor wir mit der Schilderung dessen fortfahren, was Nu˜ nez zu den Polynomen schreibt. ¨ Mitten in den Ausf¨ uhrungen zu irrationalen Gr¨ oßen steht pl¨ otzlich die Uberschrift Moltiplicare di pi` u e meno. Es folgt ein Satz der Begr¨ undung und dann die Zeichenregeln: Pi` u via pi` u fa pi` u Meno via meno fa pi` u Pi` u via meno fa meno Meno via pi` u fa meno Pi` u 8 via pi` u 8 fa pi` u 64 Meno 5 via meno 6 fa pi` u 30 Meno 4 via pi` u 5 fa meno 20 Pi` u 5 vie meno 4 fa meno 20 Dann rechnet er drei Beispiele. ¨ Die n¨ achste Uberschrift Del partire pi` u e meno, vom Teilen von Plus und Minus also, zeigt schon durch das Del = vom, dass hier nicht die volle Wahrheit ausgesprochen wird. Der Abschnitt beginnt (Bombelli 1572/1966, S. 63): Bench`e da qualcuno di quest’arte sia stato messo il partire del pi` u e meno, io (per quanto ho operato) mai ho conosciuto, che possa accadere partire per meno, perch`e se si ha un binomio, o un residuo per partitore, o qual si voglia quantit` a composta saranno di diversa natura (come `e stato detto) e per` o non si pu` o partire semplicemente. Das heißt: Obgleich von einem (Anh¨ anger) dieser Kunst (Nu˜ nez?) das Teilen von ” Plus und Minus dargelegt wurde, habe ich (bei allem was ich gerechnet habe) niemals bemerkt, dass es geschehen kann durch Minus zu teilen. Hat man n¨ amlich ein Binom oder ein Residuum als Divisor oder was auch immer f¨ ur eine zusammengesetzte Gr¨ oße, so werden sie von verschiedener Natur sein (wie beschrieben worden ist) und daher kann man nicht einfach dividieren.“ Wenn man aber eine beliebige Gr¨ oße, sei sie einfach, sei sie zusammengesetzt, durch eine einfache Gr¨oße dividiere, so a¨nderten die Vorzeichen nicht ihre Natur. Er l¨ asst diese Frage also beiseite und wendet sich dem Summieren und dem Subtrahieren von Plus und Minus zu. Sehr viel sp¨ ater im Buch, auf S. 102 der Ausgabe von 1966, heißt es aber: E bench`e io habbia detto che il partir per meno non mi era accaduto, e hora qui dimostro accadere, per` o non `e necessario e si pu` o fuggire. Ma per non esser tassato da glossatori malevoli, ho voluto porre questo caso, e ancora dar la regola del partir . Das heißt: Und obgleich ich gesagt habe, dass das Teilen durch Minus mir ” nicht vorgekommen ist, werde ich hier nun zeigen, was geschieht, obwohl es nicht notwendig ist und man sich dr¨ ucken k¨ onnte. Um aber nicht von u ¨ belwollenden Kommentatoren taxiert zu werden, habe ich diese Angelegenheit erledigen und

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

die Regel des Teilens geben wollen.“ Und dann folgen die Regeln: A A A A

partire partire partire partire

pi` u per pi` u, ne viene pi` u meno per meno ne viene pi` u pi` u per meno ne viene meno meno per pi` u ne viene meno

Glossatori malevoli! Man erinnere sich! Man ging mit Kollegen nicht zimperlich um in der Renaissance. Plus mit Plus vereinigt sich und gibt Plus. Minus mit Minus vereinigt sich und gibt Minus. Bei Plus mit Minus nimmt man die kleinere von der gr¨ oßeren Gr¨ oße und was u ¨ brig bleibt ist von der Natur der gr¨ oßeren Gr¨ oße. Es folgen einige Beispiele. Dann wird die Subtraktion erl¨ autert. Es passiert f¨ ur uns nichts Neues. Es seien daher hier nur die Beispiele angef¨ uhrt, um einen Eindruck des Originals zu geben. p. 15 cavato di p. 20 resta p. 5 p. 13 cavato di p.6 resta m. 7 m. 28 cavato di m.20 resta p. 8 m. 12 cavato di m. 20 resta m. 8 p. 10 cavato di m. 6 resta m. 16 m. 10 cavato di p. 7 resta p. 17. Zur¨ uck zu Nu˜ nez. Nachdem Addition, Subtraktion, Multiplikation und die Division mit Rest von Polynomen erkl¨ art ist, erl¨autert er Br¨ uche von Polynomen und ihre Verkn¨ upfungen. Einleitend sagt er: La practica de los quebrados de primera intenci˜ o en las dignidades, sera como el Algorithmo de los enteros, das ist, Die ” Praxis der Br¨ uche erster Art in Potenzen wird wie der Algorithmus bei den ganzen Zahlen sein“ und in der Tat sehen wir hier — was man auch schon bei Stifel finden kann — und was uns heute gel¨ aufig ist, das Rechnen mit Quotienten von Polynomen. Bemerkenswert ist, dass alle vier Spezies unbeschr¨ankt ausf¨ uhrbar sind, wobei Nu˜ nez allerdings nichts u ¨ ber die Sonderrolle der Null bei der Division sagt. Er beschreibt auch nur die Verkn¨ upfungen, ohne sich darum zu k¨ ummern, ob etwa Addition und Multiplikation assoziativ seien oder ob die Distributivgesetze gelten. Die Gleichheit von Br¨ uchen wird nicht definiert, aber korrekt gehandhabt. Die Subtraktion wird als die Umkehrung der Addition verstanden, was man daran erkennt, dass zur Probe empfohlen wird, Differenz und Subtrahend zu addieren, um — hoffentlich — den Minuenden zur¨ uckzuerhalten. Entsprechendes gilt f¨ ur die Division. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Zur ihrer Probe werden Quotient und Divisor miteinander multipliziert. Erh¨ alt man den Dividenden, so war die Rechnung korrekt. Interessant ist, dass Nu˜ nez wie Tartaglia das Kunstwort esimo bzw. essimo (Druckfehler?) f¨ ur den Nenner benutzt. Liegt das an der Verwandtschaft des Spanischen mit dem Italienischen oder hat Nu˜ nez dies von Tartaglia u ¨ bernommen? Er kannte dessen Quesiti et inventiones, wo dieses Wort vorkommt, wie wir in Abschnitt 6 von Kapitel 4 bemerkten. Dieses Wort kommt auch bei Bombelli vor.

2. Polynome und negative Zahlen

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Er benutzt es ebenso wie Tartaglia als Funktionszeichen: esimo di . . . (Bombelli 1572/1966, S. 160 und an vielen anderen Stellen). Um zwei Br¨ uche zu addieren oder voneinander zu subtrahieren, muss man sie gleichnamig machen. Nu˜ nez nimmt als gemeinsamen Nenner das Produkt der Nenner der gegebenen Br¨ uche. Hat er ein Polynom f mit einem Bruch zu verkn¨ upfen, sei es additiv, sei es multiplikativ, so fasst er es als den Bruch f1 auf. Beim Gleichnamig-machen von Br¨ uchen werden Br¨ uche insbesondere erweitert. Um zu beweisen, dass ab dasselbe ist wie ac bc , beruft er sich auf Euklid. Bemerkenswert ist im Zusammenhang mit der Addition von Br¨ uchen, dass er von der Regel des Gleichnamig-machens (Regla de reduzir ) sagt: LA demonstracion desta Regla de reduzir haremos enel primero exemplo, la qual vniuersalmente se entendera en qualquier otro: Den Beweis dieser Regel des Gleichnamig-machens werden wir ” durch das erste Beispiel erhalten, da er sich universell fortsetzt auf ein jegliches andere“. Es war ja in damaliger Zeit u ¨blich, ein oder mehrere Beispiele zu analysieren, die dann klar machten, dass der fragliche Sachverhalt immer gilt. Nu˜ nez sagt hier nun explizit, dass die Analyse des einen Beispiels gen¨ uge, um den Beweis in jeglichem anderen Fall nachvollziehen zu k¨ onnen. Dies ist das erste Mal, dass ich diese Bemerkung in der Literatur finde. Kann man aus der nu˜ nezschen Formulierung des Satzes schließen, dass er sich vorstellt, dass jede Belegung der Parameter des vorgelegten Problems ihren Beweis fordere und dass man diesen Beweis ¨ dann an Hand des Musters nachvollziehe? Dies ist im Ubrigen nicht die einzige Stelle, wo Nu˜ nez darauf hinweist, dass der beispielhafte Beweis universell ist (Foll. 30r , 35r , 38r,v ). Das K¨ urzen gelingt ihm nur unvollkommen. Er hat zwar die Division mit Rest, doch nutzt er sie nicht, um den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier Polynome zu bestimmen. Das liegt vielleicht daran, dass er sie anders formuliert, als wir es tun. Was wir heute euklidischen Algorithmus nennen, war damals aber schon beim Ausrechnen des gr¨oßten gemeinsamen Teilers zweier nat¨ urlicher Zahlen im nez kannte dieses Gebrauch, wie die Stelle Pacioli 1494 Foll.49r,v , 50r zeigt, und Nu˜ Buch. Das nu˜ nezsche K¨ urzen beschr¨ ankt sich darauf, durch einen gemeinsamen Teiler ganzzahliger Koeffizienten zu k¨ urzen oder aber alle Koeffizienten durch den Leitkoeffizienten des Z¨ ahlers oder Nenners zu teilen, um einen Leitkoeffizienten in dem neu entstehenden Bruch zu eins zu normieren, oder er k¨ urzt durch eine Potenz von x, die sowohl im Z¨ ahler als auch im Nenner aufgeht. Das Wort gr¨ oßter gemeinsamer Teiler kommt im Zusammenhang mit Polynomen nicht vor. Pacioli (loc. cit.) geht ausf¨ uhrlich auf das K¨ urzen von Br¨ uchen nat¨ urlicher Zahlen ein. Er schildert erst, wie viele es machten, indem sie die Zahlen von 2 an beginnend bis zum Z¨ ahler durchprobierten, ob eine von ihnen, den Z¨ ahler teile und ob diese Zahl dann gegebenfalls auch den Nenner teilt. Dabei w¨ urden aber zusammengesetzte Zahlen nicht getestet. Um diese Weitschweifigkeit zu vermeiden, h¨ atten andere in ihren B¨ uchern Tafeln abgedruckt, die meist bei 11 beg¨ annen und bis 1000 gingen, wo zwischen Nicht-Primzahlen und Primzahlen unterschieden w¨ urde. Aus der fraglichen Stelle geht nicht hervor, ob die Nicht-Primzahlen faktorisiert oder nur als Nicht-Primzahlen gekennzeichnet sind. Die mir zug¨ anglichen

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Arithmetiken enthalten keine solchen Tafeln. F¨ ur das Begriffspaar Nicht-Prim” zahlen, Primzahlen“ bedient er sich lapidar des Ausdrucks Regola. Non regola. Das sind Zahlen mit Maß und Zahlen ohne Maß. Diese Begriffsbildung findet sich schon bei Fibonacci (s. L¨ uneburg 1993, S. 66). Eine andere M¨ oglichkeit f¨ ande man bei Boetius im zweiten (Buch, Anm. H. L.) seiner Arithmetik. Dann schildert er das dort gegebene Verfahren, in dem wir das schon von Euklid angegebene Verfahren der Wechselwegnahme wiedererkennen. In der friedleinschen Ausgabe von Boetius’ Arithmetik findet sich das Verfahren der Wechselwegnahme in Abschnitt XVIII von Buch I (Boetius 1966, S. 37 f.). Das ¨ alles verwirft er nun, indem er in der Uberschrift des n¨achsten Abschnitts sagt: Modus prae ceteris breuior et leuior schisandi et scientificus et per nos vsitatus urzen, die qui ex prima .2a . et .39a .7i . Euclidis elicitur , das ist: Eine Art zu k¨ ” k¨ urzer ist und leichter als alle u ¨ brigen und wissenschaftlich und von uns benutzt, die sich aus der ersten, der zweiten und neununddreißigsten des siebten Euklidis herauspr¨ aparieren l¨ asst.“ Und dann erl¨autert er das uns nun gel¨ aufige Verfahren, welches die Division mit Rest ausnutzt. Dies ist das fr¨ uheste Auftreten dieses Verfahrens in der Literatur, das ich kenne, was auch immer ich in einem anderen Buch gesagt haben mag. (Dies schrieb ich am 16. 1. 1998.) Da der euklidische Algorithmus so bedeutend ist, sei hier Luca Paciolis Wortlaut wiederholt: VN altro modo vsiamo a trouare ditto schisatore quale fra tutti e ne el meno laborioso: e piu breue: e piu scicuro che niun delli altri. Quale si fa in questo modo. Sempre parti quello de soto la riga per quello di sopra e poi quel di sopra per l’auan¸co che fosse de ditto partimento. E poi partitore di questo partimento: partirai per lo suo auan¸co. E cosi sempre andarai partendo el partitore per lo auan¸co: finche al partire te auan¸cara nulla e la galea te virra netta. E commo tu arai el partimento netto senza alcuno auan¸co: alora quel tal partitore che t’ara dato netto el partimento sira schisatore vltimato di quel tal rotto: e mai se porra poi piu sbassare. E questa e ne regola generalissima verbi gratia (Pacioli, 1494, 50r ). Das heißt: Wir benutzen eine andere Methode, um den besagten gr¨ oßten gemeinsamen ” Teiler (schisatore) zu finden, welche unter allen die am wenigsten aufwendige ist, k¨ urzer und sicherer als irgendeine der anderen. Sie verl¨ auft in dieser Weise. Immer teile die (Zahl) unter dem Strich durch die dar¨ uber und dann die dar¨ uber durch den Rest, der sich bei der besagten Division ergibt. Und dann teilst du den Teiler dieser Division durch seinen Rest. Und so schreitest du fort, immer teilend den Teiler durch seinen Rest, bis dass beim Teilen dir null hervorgeht und dir die Galeere rein (daher) kommt. Und sobald du erreicht hast die reine Division, ohne irgendeinen Rest, so ist der Teiler, der dir die reine Division ergibt, der gr¨ oßte gemeinsame Teiler (schisatore vltimo) dieses Bruches: er l¨asst sich dann nicht mehr erniedrigen. Und dies ist allgemeinste Regel. Beispiel.“ Galeere bezieht sich auf ein schriftliches Divisionsverfahren, das auch von Pacioli neben anderen Verfahren gelehrt wird (Pacioli 1494, Fol. 34r ff.), bei dem am Ende

2. Polynome und negative Zahlen

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eine Figur aus lauter Ziffern auf dem Papier steht, die die Zeitgenossen an eine Galeere erinnerte. Pacioli l¨ asst sich hier auch zur Didaktik des Rechenunterrichtes aus. Er sagt, nachdem er das umst¨andliche Verfahren des Ausprobierens geschildert hat, dass er dieses Verfahren nicht wegen seiner Korrektheit beklagen k¨onne, dass es jedoch arbeitsreich und lang sei. Er benutze dieses Verfahren u ¨brigens auch im Anf¨ angerunterricht — jedoch nur kurze Zeit (al quanti giorni) — einmal, um das Arbeiten mit Zahlen zu u ¨ben, und zum andern, dass das andere Verfahren mit um so gr¨oßerer Freude gelernt werde und sich in der Gewohnheit festsetze, weil man nicht mehr zu fr¨ uherem Ungemach zur¨ uckkehren m¨ usse. Dies nach dem bekannten Sprichwort, dass der das Gute nicht erkenne, der nicht zuvor einiges ¨ Ubel kennengelernt, bzw., dass der die S¨ uße nicht verdiene, der nicht das Bittere verkostet habe. So mache man sich gute Sch¨ uler und dem Lehrer werde Ehre zu Teil. Er spinnt diesen Faden noch weiter aus, dass man den Sch¨ uler nicht gleich anfangs erschrecken und ihm dadurch die Schule vergraulen solle, usw. Dabei beruft er sich zum Schluss auf Quintilian und Pietro Paolo Vergerio (1370–1444) und dessen Werk De ingenuis moribus ac liberalibus studiis von 1400–1402. Dieses Werk war seinerzeit eine hochgesch¨atzte Abhandlung zur Erziehungswissenschaft (Rose 1975, S. 13 f.). Zur¨ uck zu Nu˜ nez. Dass er nicht durch andere Teiler als Konstante und Potenzen von x k¨ urzt, auch dann nicht, wenn Teiler offenkundig sind, r¨ acht sich an 12. 8. durch .2.co.˜ p 1.ce. zu teilen. Zun¨ achst manchen Stellen. Hier ein Beispiel: Es ist 1.co. p.8. . Dividieren heißt mit dem wird der Divisor eingerichtet. Herauskommt 2.cu.˜ 1.ce. Kehrwert multiplizieren. Nu˜ nez dr¨ uckt sich so aus, dass er sagt, die Br¨ uche seien 12.ce. u ¨ ber Kreuz zu multiplizieren. Dies ergibt hier 2.ce.ce.˜ p.8.co. . Dann wird durch 2.co. 6.co. gek¨ urzt. Herauskommt der Bruch 1.cu.˜p.4. . Dies ist das Ergebnis. Zur Probe wird 2.cu.˜ p.8. 6.co. dieser Quotient mit dem Divisor multipliziert, dh. 1.cu.˜ p.4. mit 1.ce. . Das ergibt 12.ce.ce.˜ p.48.co. uhrt wurde, ist es notwendig, dass 1.re.primo.˜ p.4.ce. . Wenn die Division gut ausgef¨ dieses Produkt gleich dem ersten Bruch ist, der zu teilen war. Um nun die Gleichheit dieser beiden Br¨ uche zu zeigen, bringt er sie auf einen Nenner. Das erreicht er, indem er die vier Polynome der beiden Br¨ uche kreuzweise miteinander multipliziert, den neuen Nenner, das Produkt der beiden alten Nenner aber nicht ausrechnet. Er rechnet also nur die Z¨ ahler aus, die im vorliegenden Fall sich als gleich herausstellen. Im Original liest sich dies so: Pero para saberemos si es ” del valor del primero quebrado, multiplicarlos emos en  para ser˜e reduzidos a vna misma denominaci˜ o, y hallarlos emos yguales. Por˜q multiplicando .12. por .1.re.primo p ˜.4.ce. haremos .12.relatos primeros ˜ p.48.ce. y multiplicando .1 co. por .12.ce.ce.˜ p.48. haremos tambi˜e 12. relatos primeros ˜ p. 48.ce. que son dos numeradores yguales en respecto de vn mismo denominador, el qual se haze por mulp.4.ce. y por tanto yguales son estos dos quebrados tiplicacion de .1.co. por .1.re.po .˜ 12.ce.ce.˜ p.48.co. 12. y “ 1.co 1.re.primo p ˜ .4.ce. Die Handhabung von Ausdr¨ ucken der Art

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome 1 p.5 16 .˜ p 1 13 p.3 3.ce.˜ p 2.co. 41 .˜ 16 par.4.co.˜

und .20.cu.m.8. ˜ zeigt, dass Nu˜ nez’ Vorstellung von ihnen unserem Polynombegriff n¨ aher ist als dem Begriff der Polynomfunktion. Das Schreiben dieser Ausdr¨ ucke ist noch sehr unbeholfen. Umso erstaunlicher ist, was Nu˜ nez alles u ¨ ber sie auszusagen vermag, insbesondere, dass er sie v¨ollig formal manipuliert und auch das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren solcher Ausdr¨ ucke und ihrer Br¨ uche lehrt. Doch wozu dient ihm das alles? 3. Polynome bei Nu˜ nez. Um diese Frage zu beantworten, gehen wir an den Anfang zur¨ uck. Dort hieß es: EN esta Arte de Algebra el fin que se pretende, es manifestar la quantidad ignota. El medio de que vsamos para alcan¸car este fin, es ygualdad : Das Ziel, das sich in der Wissenschaft der Algebra stellt, ist, die ” unbekannte Gr¨ oße zu erkennen. Das Mittel, dieses Ziel zu erreichen, ist die Gleichung.“ Es geht bei Nu˜ nez also um Probleme, bei denen eine Gr¨oße q gesucht wird, f¨ ur die es zwei rationale Funktionen f und g gibt mit (∗)

f (q) = g(q).

Die nu˜ nezsche Methode, dies anzugehen, besteht darin, durch Manipulation von f und g mittels der nun bereitstehenden Hilfsmittel zwei Polynome ϕ und ψ zu finden, so dass (∗) genau dann gilt, wenn (∗∗)

ϕ(q) = ψ(q)

gilt. Dabei werden ϕ und ψ zun¨ achst nur grob bestimmt. Dann aber versucht Nu˜ nez durch weiteres Manipulieren von ϕ und ψ zu erreichen, dass die dann umgeschriebenen ϕ und ψ in (∗∗) einen gemeinsamen Teiler haben. Diesen Teiler hebt er auf beiden Seiten heraus, wodurch der Grad der Gleichung erniedrigt wird. Die Gleichungen, die bei ihm zun¨ achst entstehen, sind alle vom Grad 3 beziehungsweise Gleichungen, die aus Gleichungen dritten Grades durch Einsetzen von q n entstehen. In letzterem Fall hat er erst eine Gleichung dritten Grades und dann eine reine Gleichung zu l¨ osen. Umformung der Gleichung dritten Grades liefert immer wieder einmal eine Gleichung mit einem gemeinsamen linearen — seltener quadratischen — Faktor, so dass er schließlich eine Gleichung 2. bzw. 1. Grades erh¨alt, die er l¨ osen kann. Hierauf beruht wohl, dass man den Satz, dass ein Polynom f mit der Nullstelle a durch x − a teilbar ist, Satz von Nu˜ nez nennt. Hier einige Beispiele, die zu Beginn des dritten und l¨ angsten Teil seines Libro de algebra stehen. Auf Folio 125v findet sich die Aufgabe, die Gleichung x3 + x2 = x2 + 7x + 6

3. Polynome bei Nu˜ nez

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zu l¨ osen. Dies f¨ uhrt auf x3 = 7x + 6 und weiter zu x3 + 1 = 7x + 7. Division durch x + 1 ergibt x2 − x + 1 = 7 mit der L¨ osung x = 3. Die L¨osungen −1 und −2 werden nicht erw¨ahnt. Auf Folio 126r wird nochmals ein x mit x3 = 7x + 6 gesucht. Hier stellt er fest, dass 2 · 7 = 14 = 6 + 8 ist. Addition von 8 ergibt x3 + 8 = 7x + 14 und damit nach Division durch x + 2 die Gleichung x2 − 2x + 4 = 7. Das ergibt die Gleichung x2 = 2x + 3, deren L¨osung x = 3 ist. Die beiden negativen L¨ osungen werden wieder nicht in Betracht gezogen. Es werden noch weitere Beispiele dieser Art gerechnet. Das Prinzip ist, ein k zu finden mit x3 + k 3 = ax + b + k 3 = a(x + k), dh. ein k mit ak = b + k 3 , wobei die Ausgangsgleichung x3 = ax + b lautete. Hat man ein solches k, so sind rechte und linke Seite der Gleichung durch x + k teilbar, so dass man dann nur noch eine quadratische Gleichung zu l¨ osen hat. Bei allen Beispielen, die ich gesehen habe, wurde −k nicht als L¨ osung in Betracht gezogen. Es werden auch Beispiele vorgef¨ uhrt, bei denen k durch −k ersetzt wurde, wo also ein k gesucht wurde mit x3 − k 3 = ax + b − k 3 = a(x − k), dh. mit k 3 = ak + b. Es gibt weitere Tricks dieser Art. Im Folgenden ist die Blattnummerierung durcheinander geraten. Die Abfolge ist 121, 122, 125, 124, 127, 126, 129, 128, 131, 132, 133, 134, 13 (sic), 136. Sie ist auch an anderen Stellen nicht in Ordnung. Der Drucker hat sich offenbar bei der Vorbereitung des Druckes nicht auf die Blattnummerierung bezogen, sondern auf das erste Wort in der ersten Zeile der n¨ achsten Seite, das ja fr¨ uher immer — eben zur Orientierung des Druckers — auf der vorigen Seiten in der Fußzeile unten rechts erschien. Diese Markierungen nannte man und nennt sie noch immer Kustoden“. ” Auf Folio 128r (Originalnummerierung) findet sich: Y si cosas fueren yguales a 1 cubo, y censos, y numero, y estos tres juntos fuer˜e yguales en numero al numero

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

delas cosas, vernan a Capitulo manifiesto, y lo mismo sera, si censos fueren yguales a 1.cu. y cosas y numero, con la misma c˜ odicion de yqualdad. Porque haremos que 1 cu.m.1. ˜ quede ygual a co.m ˜ ce.m.numero ˜ enel primero caso destos, y las cosas quedaran yguales en numero al numero delos censos, con el numero que esta en la compa˜ nia delos censos, y ternan commun partidor, el qual sera 1.co.m.1. ˜ y haremos que el primero quotiente deshaga al numero que va en la compa˜ nia del trinomio, que se parte. Ich gebe dies in unserer Symbolik wieder: Ist ax = 1x3 + bx2 + c und a=1+b+c oder gilt ax2 = 1x3 + bx + c und a = 1 + b + c, so ist im ersten Falle x3 − 1 = ax − bx2 − c − 1 und im zweiten x3 − 1 = ax2 − bx − c − 1. Weil in beiden F¨ allen 1 = a−b−c ist, folgt, dass x−1 beide Seiten der Gleichungen teilt. Man beachte, dass Nu˜ nez hier nicht sagt, dass 1 L¨osung der Ausgangsgleichung sei. Er macht vielmehr eine Annahme u ¨ ber die Koeffizienten. Dann kommt das Beispiel 5x = x3 + x2 + 3. Hier ist x = 1 L¨ osung, was Nu˜ nez nicht sagt. Er beobachtet vielmehr, wie gerade erl¨autert, dass f¨ ur die Koeffizienten die Gleichung 5 = 1 + 1 + 3 gilt. Es folgt x3 − 1 = 5x − x2 − 4 = (4 − x)(x − 1) und damit x2 + x + 1 = 4 − x. Also ist (x + 1)2 = 4. Hier wird nur noch die L¨ osung x = 1 akzeptiert. Von der weiteren M¨oglichkeit x = −3 wird nicht gesprochen. Auch dass die Eins zweimal als L¨ osung der Ausgangsgleichung erscheint, wird nicht kommentiert. Auf Fol. 131r das Beispiel 6x = x3 + x2 + 4. Hier folgt x3 − 1 = −x2 + 6x − 5 = −x2 + 1 + 6x − 6 = (x − 1)(5 − x).

3. Polynome bei Nu˜ nez

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Also ist x2 + x + 1 = 5 − x und damit (x + 1)2 = 5

√ √ mit den beiden L¨ osungen x = 5 − 1 und x = − 5 − 1, wovon Nu˜ nez nur die erste akzeptiert. Dass auch 1 eine L¨osung ist, wird wieder nicht beachtet. Beispiel auf Fol. 131v . 6x2 = x3 + x + 4. Hier hat man 6 = 1 + 1 + 4, so dass x − 1 gemeinsamer Teiler von x3 − 1 = 6x2 − x − 5 = (x + 5)(x − 1) √ ist. Hieraus ergibt sich x2 + x + 1 = 6x + 5, woraus sich x = 12 (5 + 41) oder √ x = 12 (5 − 41) ergibt, wobei Nu˜ nez nur die erste L¨osung akzeptiert. Vor diesem Beispiel erl¨autert er die allgemeine Situation. Beispiel auf Fol. 132r . 2x2 + 3x = x3 + 4. Vor diesem Beispiel die Beschreibung der allgemeinen Situation. Hier ergibt sich x3 − 1 = 2x2 + 3x − 5, usw. Auch vor dem n¨ achsten Beispiel auf Fol. 132v die allgemeine Beschreibung der Situation. Das Beispiel: 5x2 + 3 = x3 + 7x. Hier ist x3 − 1 = 5x2 − 7x + 2 = 5x2 − 5 − 7x + 7, etc. Weiteres Beispiel auf Fol. 132v . 3x2 + 3x = x3 + 1. Hier wird nur gesagt, x + 1 sei gemeinsamer Teiler und die Quotienten seien 3x 2 Ber¨ ucksichtigt wird nur die und x2 − x + 1. Aus √ deren Gleichheit folgt (x − 2) = 3. √ osungen x = 1 und x = 2 − 3 werden nicht erw¨ahnt. L¨osung x = 2 + 3. Die L¨ Die allgemeine Situation ist die, dass f ein Polynom vom Grade 1 oder 2 und g ein Polynom vom Grade 3 mit Leitkoeffizient 1 ist, so dass die Summe der Koeffizienten von g gleich der Summe der Koeffizienten von f ist. Gesucht ist x mit f (x) = g(x). Dann wird die Gleichung umgeformt zu 

x3 − 1 = f (x) − g(x) − x3 − 1

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

und mittels der Annahme u ¨ber die Koeffizienten die 1 auf der rechten Seite durch die anderen Koeffizienten ausgedr¨ uckt. Dann erkennt man, dass x − 1 Teiler beider Seiten ist. In unserer Sprache ausgedr¨ uckt, wird also davon Gebrauch gemacht, dass

 x3 − 1 = f (x) − f (1) − g(x) − x3 − g(1) + 1 ist, da ja f (1) = g(1) gilt. Nu˜ nez argumentiert hier also nicht mittels der Division mit Rest, was man auch k¨ onnte. Auf Fol. 132v geht es um die Gleichung 2x2 + 2 = x3 + x und um die Gleichung 3 x + x = 5x2 + 5. In beiden F¨ allen ist x2 + 1 gemeinsamer Teiler der linken und der rechten Seiten. Im ersten Falle folgt x = 2 und im zweiten x = 5. Auf Fol. 204v ff. das folgende Problem: Gesucht sind a und b mit (a − b)(a2 − b2 ) = 10 (a + b)(a2 + b2 ) = 20. Hierzu l¨ost er zun¨achst das Problem 2(x − 1)(x2 − 1) = (x + 1)(x2 + 1). Wir sehen sofort den gemeinsamen Faktor x + 1 der beiden Seiten. Nu˜ nez multipliziert erst aus und erh¨ alt nach einigen Umformungen die Gleichung x3 + 1 = 3x2 + 3x. Hier sieht er den gemeinsamen Teiler x + 1, teilt ihn heraus und erh¨ alt x2 − x + 1 = 3x dh. x2 + 1 = 4x. √ √ Dies l¨ ost er nach dem bekannten Verfahren und erh¨ alt x = 2 + 3 und x = 2 − 3. Dass auch −1 L¨osung ist, wird nicht erw¨ ahnt. Wegen der Homogenit¨ at der linken Seiten der Ausgangsgleichungen in a und b ist es dann nicht mehr schwer, diese beiden Gr¨ oßen zu bestimmen. Man liest und liest und liest in Nu˜ nez’ Buch und das, da ohne Spanischkenntnisse, nicht ohne M¨ uhe. Man ist erstaunt, was man alles findet, und dennoch bleibt ein Unbehagen. Sollte er nichts von dem gewusst haben, was in Italien geschehen war? Nach 645 Seiten dann, man wartet schon auf nichts mehr, heißt es El Autor desta obra, a los Lectores. Der Autor dieses Werkes an die Leser“. Und diese Adresse an die Leser bringt die ” Erl¨ osung. Er wusste Bescheid und nicht nur das, er kommentiert die Ergebnisse auch noch. Es schiene ihm gut, die Algebrab¨ ucher anzuzeigen, die bis heute nach Spanien gekommen seien. Da ist zun¨achst das Buch Summa de arithmetica, geometria, proportioni & proportionalita von Fra Luca, dem exzellenten Mathematiker. Er l¨ ose

3. Polynome bei Nu˜ nez

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viele Fragen mit dieser Wissenschaft (arte) der Algebra, schreibe sie jedoch ohne Ordnung auf. Dieses Buch sei nicht f¨ ur den Lernenden geschrieben. Außerdem sei es schon viele Jahre alt. Hieronimo Cardano habe ein anderes Buch geschrieben (otra suma). ˜ Dies in Nachahmung von Fra Luca, wie die gemeinsamen Fehler zeigten. Er geht nicht sehr freundlich mit Cardano um. Das Buch sei so nachl¨assig und ohne Aufmerksamkeit geschrieben, dass es nur so strotze vor Ignoranz. Dieser Autor halte am Anfang Ordnung, schriebe dann aber konfus und h¨ atte am Ende einen schlecht gemischten Salat (Este Autor tuuo enel principio orden, mas despues escriue confusamente, y haze de todo vna ensalada mal hecha, y despues embio un otro libro de Algebra, que es vn chaos). Hier wird noch ein zweites Algebrabuch Cardanos erw¨ ahnt, das ein Chaos sei. Ich habe nicht nachgeforscht, um welche B¨ ucher Cardanos es sich handelt. Er lobt Tartaglias Buch — es muss der General trattato sein —, das sehr gut geeignet sei, die Kunst zu erlernen. Er nennt Tartaglia einen sehr großen Meister des Rechnens und guten Geometer. Er weiß auch, dass Tartaglia nicht mehr lebt. Er lobt, wie gesagt, Tartaglias Buch. Dennoch sei es nicht das absolute Werk, da es sich auch auf andere Autoren berufe und nicht nur auf Euklid, wie er, Nu˜ nez, es t¨ate. Das erkl¨art dann auch, weshalb die Euklidzitate in Nu˜ nez’ Buch sehr pr¨azise sind, w¨ahrend die anderen Autoren, die er zahlreich zitiert, nur sehr unpr¨ azise zitiert werden. Die Liste der zitierten Autoren ist imposant und zeigt die Belesenheit von Nu˜ nez. Hier eine Auswahl: Campano, Zamberto (sic) (Bartolomeo Zamberti, 1473–1539) 44r / Architas Tarentino, Platon, Eratosthenes, Eudoxo, Apolonio, (sic) Pergeo, Hiero, Diocles, Phylopono, Pappo, Nicomedes 45r / Theon, Campano 67r / Jacobo Pelletario (Jacques Peletier, 1517–1582), Theon, Campano 67v / Archimedes 68r / Theon, Campano, Iordano, Archimedes (Sphæra y Cylindro) 68v / Hieronimo Cardano (libro delas subtilezas), Iordano, Aristoteles (en la mechanica), Victor Fausto 69v / Iacobo Pelletaria, Iordano 70r / Marsilio Ficino 72v , 73r / Georgio Valla Placentino (Giorgio Valla aus Piacenza 1447–1500) 74v / Archimedes (Sphæra y Cylindro), Menelaos (enel tercero libro dela Geometria delas Sphæras) 80v / Ptolemaios (Almagest) 81r / Oroncio, Eutocio Ascalonita, Theon 85v , 95v / Aristoteles diza en atter 145, 146, 147 la Mechanica 114r , Archimedes 114v / Campano 145r (Die Bl¨ tragen im Original die Nummern 245, 147, 147) / Fray Lucas 184v und 199v / Cardano 203r , 203v , 204v , 206r / Fray Luca 217v , 219v , 222v , dreimal auf 223v , 225v / Ieronimo Cardano 226v / Oroncio Fineo 248r / Fray Lucas de Burgo 250r / . . . en la proposicion .14. del segundo libro delos triangolos de Iuan de Monteregio, . . . 269v / Iuan de Monteregio 270r , 272v , 274v , 276v / Fray Lucas 278v / Hieronimo Cardano 279r / Archimedes 288v / Sein eigenes Buch De ratione nauigandi 311v / Oroncio Fineo 316r / Campanos Euklid 322r . Dies sind lauter illustre Namen. Sie finden sich alle wieder in Rose 1975. Dann geht er n¨ aher darauf ein, was die Anderen nicht gut machten, wo sie fehlerhaft argumentierten und wo auch der so sehr gelobte Tartaglia nicht vollkommen sei, und darauf, wieviel besser er es mache. Er f¨ uhrt Beweise von Fra Luca, Tartaglia und Cardano vor und vergleicht sie mit seinen eigenen. Das ist erm¨ udend und f¨ ur unsere Fragen nicht sehr erhellend. Pl¨ otzlich heißt es dann aber

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

auf Fol. 323v : Empero el dicho Nicolao Tartalla fue grandissimo Arithmetico, y hallo capitulos nueuos de cosas y cubo yguales a numero, y los c˜ opa˜ neros deste, de los quales haze mencion enel su libro de las invenciones, los quales capitulos no son aun diuulgados, y de creer es, que si biui˜edo el diuulgara esta su Algebra que anda impressa, la embiara tan emendada, que no vuiera en ella que apuntar. Y porque auiendo vos dicho ˜q hallo capitulos nueuos me podriades dar culpa, por no los traer en este my libro, os dare desto alguna razon. Dize enel dicho libro delas inu˜ eciones, ˜q auiendole pedido Hieronimo Cardano Regla para saber el valor dela cosa, quando cosas y cubo son yguales a numero, le monstrara este su inuento eneste soneto. Tartaglia, grandioser Mathematiker, hat also neue Ergebnisse gefunden, die die Gleichung x3 + ax = b anbelangen. Dann kommen Dinge, die wir schon kennen, insbesondere, dass er in seinen Quesiti et inventiones schreibt, dass er Cardano die neu gefundene Regel in einem Gedicht mitgeteilt habe, von dem Nu˜ nez nur die ersten neun Zeilen wiedergibt, wobei ihm eine Reihe von Schreibfehlern unterlaufen, die wohl zu Lasten der Verwandtschaft der beiden Sprachen gehen. Er erz¨ ahlt auch die Geschichte mit dem Schwur und dass Cardano dennoch die L¨ osungsformel publiziert h¨ atte. Tartaglia sei sehr ver¨argert gewesen, sei es, weil Cardano seinen Schwur nicht gehalten h¨ atte, sei es, weil er Antonio Maria Fior als den Erstentdecker nannte. — Diese Passage aus Cardanos ars magna, wo er auch sagt, er h¨ atte die L¨osungsformel von Tartaglia erhalten, kennen wir. — Dies alles qu¨ alte Tartaglia so sehr und er spr¨ ache mit solcher Aufgeregtheit (passion) davon, dass es schiene, er h¨atte den Verstand verloren. Hier der Originalwortlaut: Y porque despues desto el dicho Hieronymo Cardano diuulgo vna obra, en la qual trae la misma regla, confessando que la deprendiera del mismo Nicolao Tartalla, pero que temiendo la Regla facilm˜ete por si hallara la demonstracion, enojose mucho desto, o por que no le cumplio la promessa, o porque escriuio que el primero inuentor fuera Scipio Ferreo Bononiense, del qual la deprendiera Antonio Maria Florido Veneciano, y que apertando mucho en vna disputa este Antonio Maria a Nicolao Tartalla, hallara tambien la misma Regla el dicho Tartalla, el qual se aquexa tanto, y habla con tanta passion, que paresce auer perdido el seso. Dann beschuldigt er Tartaglia selbst der Unredlichkeit: Mas pues este Nicolao Tartalla tanto celaua los sus inuentos, y tanto pesar recebia por que otro los diuulgasse, puesto que confesase auer los deprendido, no vuiera de atribuir assi los libros de ponderibus de Iordano, los quales puso por obra suya enel dicho libro suyo delas inuenciones, los quales libros de Iordano yo tengo escriptos de mano, y fueron trasladados de la libreria de San Victor de Parys. Aber da dieser Nicolo Tartaglia so sehr seine Resultate verbarg und so in Sorge war (pesar recebia), dass andere sie publizieren k¨ onnten, weil er (Cardano) bekennt, sie genommen zu haben, h¨ atte nicht auch er (Tartaglia) Jordanus die B¨ ucher zuschreiben m¨ ussen, die er in den Inventiones als seine eigenen ausgab, B¨ ucher des Jordanus, die ich von Hand geschrieben besitze, und die aus der Bibliothek von Saint Victor zu Paris nach hier gebracht wurden? (Die Bedeutung von vuiera

3. Polynome bei Nu˜ nez

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h¨ atte ich ohne Hilfe des Romanisten Otfried Lieberknecht nicht herausgefunden, der seinerseits einen des Spanischen m¨achtigen Kollegen konsultierte. Hier der Ausschnitt aus seiner elektronischen Botschaft vom 22. 12. 1997: ,vuiera‘ ist, wie ” ich mir von meinem hispanistisch versierten Kollegen Gerd Poppenberg soeben am Telephon habe erkl¨ aren lassen, eine in ¨alterer Zeit o¨fter (z.B. in den Drucken des Don Quixote) begegnende Schreibung des indefinido subjuntivo von ,haver‘. Es m¨ usste eigentlich ,(h)uviera‘ geschrieben werden, aber aufgrund der damals in den Schreibformen bedingt noch gegebenen Austauschbarkeit von konsonatisch v und vokalisch u (und weil verstummtes h ohnehin weggelassen wurde) wurde gelegentlich ,vuiera‘ geschrieben. An der fraglichen Stelle ist also haver de, m¨ ussen, zu verstehen.“) Bei den B¨ uchern des Jordanos handelt es sich um die beiden B¨ ucher de ponderibus und de ratione ponderis, die die Grundlage von Buch VIII der Quesiti et inventiones bilden. Schon Ludovico Ferrari hatte ihn des Plagiats bezichtigt, dem Tartaglia mit dem Hinweis begegnete, er h¨atte des Jordanus Beweise erheblich verbessert (Rose 1975, S. 153. Das rosesche Zitat ist nicht korrekt. Es muss lauten:i Quesito XLII. Propositione XV, fol. 97r .) Das Buch de ponderibus war ” durch Pietro Apiano herausgegeben 1533 im Druck erschienen, w¨ ahrend de ratione ponderis im Jahre 1565 durch Tartaglias Verleger und Drucker Curzio Troiano aus dem Nachlass Tartaglias herausgegeben wurde mit dem Titel Jordani opusculum de ponderositate Nicolai Tartaleae studio correctum, novisque figuris auctum (Tartaglia 1959, S. XXXV f.). Nach diesem, hier erweiterten, Intermezzo kommt Nu˜ nez zum eigentlichen Thema zur¨ uck, n¨ amlich der Interpretation der ersten neun Zeilen des Quando chel cubo, die er an Hand der Gleichung x3 + 3x = 10 erl¨autert, wie dies schon Tartaglia in seinen Quesiti fol. 121v tat. Die L¨ osung ist   3 3 3 3 10 3 3 10 2 2 x= ( 10 ( 10 2 ) + (3) + 2 − 2 ) + (3) − 2 . Schreibt man die Gleichung als x3 + px = q, so sieht die L¨osung wie folgt aus:  x=

3

( q2 )2

+

( p3 )3

+

q 2

 3 − ( q2 )2 +( p3 )3 − 2q .

Dann geht er noch darauf ein, dass kubische Gleichungen dieser Art, wenn auch selten, rationale L¨osungen haben und dass dies auf zweierlei Art geschehen k¨ onne. F¨ ur die erste Art gibt er das Beispiel x3 + 9x = 26.

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Hier sind die dritten Wurzeln der L¨ osungsformel rational, n¨ amlich 3 und 1, so dass x = 2 ist. Die zweite M¨oglichkeit ist die, dass die Radikanden der dritten Wurzeln dritte Potenzen von Binomen aus Quadratwurzel und rationaler Zahl sind. Hierf¨ ur gibt er das Beispiel x3 + 6x = 20. √ √ Hier ist der Radikand unter der dritten Wurzel 108 + 10 bzw. 108 − 10. Es ist aber √ √ ( 3 + 1)3 = 108 + 10 √ √ ( 3 − 1)3 = 108 − 10. Daher erh¨alt man auch hier eine rationale L¨ osung, n¨ amlich x = 2. Ein weiteres Beispiel dieser Art, das er anf¨ uhrt, ist x3 + 3x = 14. √ √ Hier sieht er, dass ( 2 + 1)3 = 50 + 7 ist, so dass er auch hier noch einmal 2 als rationale L¨ osung erh¨ alt. Er hat gen¨ ugend Fertigkeit, um festzustellen, dass die L¨osung   3 √ 3 √ 26 + 5 − 26 − 5 der Gleichung x3 + 3x = 10 nicht rational ist, dass also die Radikanden nicht dritte Potenzen sind. Noch einmal zur¨ uck zur Gleichung x3 + 3x = 14. Von ihr, so berichtet er, h¨ atte Tartaglia behauptet, sie h¨ atte zwei L¨osungsregeln, n¨ amlich die eine, die wir kennen, und eine zweite, noch unbekannte, die die rationale L¨ osung sofort erkennen ließe. Und dann f¨ ahrt er interpretierend fort: Y quanto a esto que el dize, auemos de entender que su intencion no seria ˜q responden dos valores dela cosa, el vno racional, y el otro irracional, quando cubo y cosas son yguales a numero, porque esto es impossibile: Und was das anbelangt, was er sagt, so haben wir zu ” verstehen, dass seine Intention nicht sein kann, dass die Coß zwei Werte annehme, einen rationalen und einen irrationalen, wenn Kubus und Coßen einer Zahl gleich sind, denn das ist unm¨ oglich.“ Und dann zeigt er wieder mit einem beispielhaften Beweis, dass x3 + 3x = 14 genau eine Nullstelle hat. Sein Argument: Ist x < 2, so ist x3 + 3x < 8 + 6 = 14, und ist x > 2, so ist x3 + 3x > 8 + 6 = 14. Weil dies ein fr¨ uhes Beispiel f¨ ur das Rechnen mit Ungleichungen ist, sei auch dies im Original notiert: Porque en este exemplo, si el valor dela cosa que es irracional, es menor que 2. valdran las 3 cosas menos que 6. y el cubo menos que 8. y todo junto menos que 14. Y si es mayor que 2. valdran las 3 cosas mas que 6. y el cubo mas que 8. y todo junto mas que 14. Mas el verdadero sentido deue ser este,

3. Polynome bei Nu˜ nez

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que por la Regla que aun no es hallada, nos vernia el valor dela cosa racional descubiertamente, que en este exemplo concluiria ser 2. Die Regel, die die Wurzel als rational erkennt, ist also noch nicht gefunden. ¨ Uber die restlichen sechzehn Zeilen des Gedichtes sagt er nichts, nicht einmal, dass es sie gibt. Nicht nur Nu˜ nez hatte die Polynome mit all ihren arithmetischen Operationen, nein, auch Stifel und Bombelli waren in ihrem Besitz, schon bevor Nu˜ nez’ Libro de Algebra erschien. Stifels Buch erschien ja schon 1544 und nach U. Forti hat Bombelli seine 1572 erschienene Algebra schon um 1550 verfasst (Bombelli 1572/1966, S. vii), das sind nur wenige Jahre nach Erscheinen der Ars magna von Cardano. Es lag also offenbar in der Luft, Polynome zu definieren und ihre Eigenschaften zu untersuchen. Was Nu˜ nez nur sagt, dass man n¨ amlich die Potenzen der cosa mit den Exponenten identifizieren k¨ onne, hat Bombelli konsequent durchgef¨ uhrt, indem er den Exponenten in eine runde Klammer setzte, um damit die verschiedenen Potenzen der cosa auf einfache Weise auseinanderzuhalten. Das vereinfachte das Hantieren mit Polynomen erheblich. Dar¨ uber werden wir im u ¨ bern¨ achsten Abschnitt noch etwas mehr erfahren. Es sei jedoch hier noch einmal erw¨ahnt, dass die Division mit Rest nur bei Nu˜ nez wirklich klar formuliert ist. In Stevins Arithm´etique, die 1585 in Leyden erschien, finden sich ebenfalls die Polynome und ihre Arithmetik wieder. Er geht u ¨ber Nu˜ nez und Bombelli hinaus, indem er auch noch den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier Polynome mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt. Er sieht die Analogie zu den nat¨ urliche Zahlen v¨ ollig klar, wie aus dem folgenden Zitat hervorgeht, das auch zeigt, dass er mit der nu˜ nezschen Algebra vertraut ist. Dass er auch Bombellis Algebra kennt, geht aus anderen Stellen seiner Arithm´etique hervor. Hier das Zitat. Es befindet sich im Original auf Seite 237 und in der struikschen Ausgabe auf Seite 577. PROBLEME LIII. EStant donnez deux multinomies algebraiques: Trouuer leur plus grande commune mesure. NOTA. Petrus Nonius au commencement de la troisiesme partie de son Algebre, estimoit qu’alors ce probleme n’estoit par generale reigle inuent´e, parquoi il en descripuoit quelques maniere tastons. Nous descriprons sa legitime construction, qui sera semblable a` l’operation de l’inuention, de la plus grande commune mesure des nombres Arithmetiques entiers du 5 probleme: a` s¸cauoir on diuisera premierement le maieur par le moindre, & puis le diuiseur autrefois par la reste, iusques, `a ce qu’il n’y reste rien, &c. comme le tout sera plus clair par exemple. alt als ggT Und dann kommt das Beispiel ggT(x3 + x2 , x2 + 7x + 6). Er erh¨ das Polynom 6x + 6. Schon dieses erste Beispiel der Berechnung des ggT’s zweier Polynome zeigt, dass die Koeffizienten bei ungeschicktem Rechnen u ¨ ber Geb¨ uhr wachsen. Mittels Division mit Rest zeigt er, dass 6x + 6 ein gemeinsamer Teiler der Ausgangspolynome ist. Gleichzeitig erh¨alt er die Kofaktoren 16 x2 und 16 x + 1. Da diese teilerfremd sind, so er, ist 6x + 6 auch der gr¨ oßte gemeinsame Teiler.

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Stevin ben¨ otigt den ggT zweier Polynome, um Br¨ uche von Polynomen auf Normalgestalt zu bringen, wobei er das Wort Normalgestalt nicht benutzt. Die Beispiele, die wir auf den Seiten 468 bis 472 betrachteten, stammen vom Beginn des dritten Teils von Nu˜ nez Algebra. Dies zur Erhellung der stevinschen Bemerkung. 4. Komplexe Zahlen. Im ersten Buch seiner Algebra schreibt Bombelli (Bombelli 1572/1966, S. 133): Ho trovato un’altra sorte di R. c. legate molto differenti dall’altre, la qual nasce dal Capitolo di cubo eguale ai tanti e numero, quando il cubato del terzo delli tanti `e magiore del quadrato della met` a del numero, come in esso Capitolo si dimostrar` a, lai qual sorte di R. q. ha nel suo Algorismo diversa operatione dall’altre ei diverso nome; perch`e quando il cubato del terzo delli tanti `e maggiore del quadrato della met` a del numero, lo eccesso loro non si pu` o chiamare n`e pi` u n`e meno, pero lo chiamar` o pi` u di meno quando egli si dover` a aggiongere, e quando si dover` a cavare lo chiamer` o (sic) men di meno, e questa operazione `e necessarijssima pi` u che l’altre R. c. L per rispetto delli Capitoli di potenze di potenze, accompagnati con li cubi, o tanti, o con tutti due insieme, che molto pi˜ u sono li casi dell’agguagliare dove ne nasce questa sorte di R. che quelli dove nasce l’altra, la quale parer` a a molti pi` u tosto sofistica che reale, e tale opinione ho tenuto anch’io, sin che ho trovato la sua dimonstratione in linee (come si dimostrar` a nella dimostratione del detto Capitolo in superficie piana) e prima trattar` o del moltiplicare, ponendo la regola del pi` u et meno. ¨ Bevor ich die Ubersetzung gebe, m¨ochte ich etwas zur Terminologie sagen. Bombelli benutzt n¨ amlich hier schon Termini technici, die er erst im zweiten Buch erkl¨ art, und es kommt ein Begriff vor, der zwar von Bombelli schon erkl¨art wurde, der f¨ ur uns aber bislang keine Rolle spielte. Fangen wir mit dem letzeren an. Das Zeichen R. c. wird jeder schnell als Radice cuba, als Kubikwurzel, erkennen und R. q. als Radice quadrata, als Quadratwurzel. Das L nun hinter einem solchen Symbol bedeutet legata, gebunden, und eine R. c. L bezeichnet eine Kubikwurzel aus einem zusammengesetzten Ausdruck. Dieser zusammengesetzte Ausdruck wird eingeleitet mit eben diesem L und geschlossen mit einem spiegelbildlichen L. Ich werde mich hier der Ersatzsymbole  und  bedienen. Die hier schon benutzten, aber noch nicht erkl¨ arten Ausdr¨ ucke sind tanto und potenza an Stelle von cosa und quadrato. Hier zeigt sich der Einfluss Diophants, auf den er sich wegen dieser Namensgebung ausdr¨ ucklich beruft (Bombelli 1572/1966, ¨ S. 155). Darauf werden wir im n¨ achsten Abschnitt zur¨ uckkommen. Beim Ubersetzen werde ich tanto weiterhin mit Coß und potenza mit Quadrat u ¨ bersetzen. Ein letztes Wort zum Vokabular. Statt sorte (Druckfehler?) st¨ unde im heutigen Italienisch sorta. ¨ Hier nun die Ubersetzung: Ich habe eine andere Art von gebundenen Kubik” wurzeln gefunden, wirklich verschieden von anderen, die ans Licht kommen im Abschnitt, wo der Kubus gleich ist Coßen und Zahl und zugleich der Kubus des Drittels der Coßen gr¨ oßer ist als das Quadrat aus der H¨ alfte der Zahl. Wie in diesem Abschnitt sich zeigen wird, hat diese Art von Kubikwurzeln in ihrem Algorithmus eine von den anderen verschiedene Art von Operation und einen anderen

4. Komplexe Zahlen

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Namen. Denn wenn der Kubus des Drittels der Coßen gr¨ oßer ist als das Quadrat ¨ der H¨ alfte der Zahl, kann man ihren Uberschuss (soll heißen, die Quadratwurzel aus diesem. Anm. HL) weder positiv noch negativ nennen. Daher werden wir ihn positiv-negativ nennen, wenn er addiert werden soll, und wenn er abgezogen werden soll, werden wir ihn negativ-negativ nennen. Und diese Operation ist am allern¨ otigsten, mehr als die anderen gebundenen Kubikwurzeln, im Abschnitt der Quadroquadrate in Begleitung von Kuben oder Coßen oder von beiden zusammen. Denn viel h¨ aufiger sind solche F¨ alle von Gleichsetzungen, bei denen diese Sorte von Kubikwurzeln entsteht, als jene, wo die andere entsteht. Das Ganze wird vielen eher spitzfindig erscheinen als real und dieser Meinung war auch ich, bevor ich ihren Beweis mittels Linien fand (wie sich zeigen wird im Beweis mittels ebener Fl¨ achen in besagtem Abschnitt). Zun¨ achst aber werde ich das Multiplizieren behandeln, indem ich die Regel von Positiv-negativ traktiere.“ Wir erinnern uns. Beim L¨ osen kubischer Gleichungen ist es der Fall, dass man ein x sucht mit x3 = px + q und positiven p und q, der problematisch ist. Eine solche L¨ osung x wird gegeben durch           2   2 3 3   3 q 3 q p q p q   + − − − + + + , x= 2 3 2 2 3 2 wie wir gesehen haben, und das Problem ist, dass  3  2 q p > 3 2 sein kann. In diesem Fall entsteht eine negative Zahl und aus dieser ist auch noch die Quadratwurzel zu ziehen. Hat man diese, so folgt dann noch die Schwierigkeit, dass man  √ 3 a + b −1 und

 √ 3 a − b −1

bestimmen muss, wobei in unserem Falle a und b positive reelle Zahlen sind. An dieser Stelle ist noch nicht einmal klar, dass jede komplexe Zahl eine dritte Wurzel hat. Uns ist schon klar, dass Bombelli mit den negativen Zahlen keine Schwierigkeiten hatte. Er kennt die Regeln, wie mit ihnen zu rechnen ist, und an diese h¨ alt er sich. Genauso stellt er nun Regeln auf, denen die komplexen Zahlen folgen. Dass Addition und Multiplikation assoziativ und kommutativ sind, stellt er nicht in Frage. Hier muss man, glaube ich, dem Ingenieur dankbar sein, der, erfolgsorientiert, sich nicht lange mit philosophischen Gr¨ ubeleien aufh¨ alt. Wieviele Vortr¨ age von

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Philosophen habe ich nicht schon geh¨ ort, die alle nicht u ¨ ber die erste H¨ urde hinweg kamen. Schon Euklid rechnet im zehnten Buch der Elemente mit geometrischen quadratischen und biquadratischen Irrationalit¨ aten. Die Araber wendeten dies ins Algebraische und wohl in ihrem Gefolge auch Fibonacci. Tartaglia, Cardano und Nu˜ nez rechneten mit reellen quadratischen und h¨ oheren Irrationaliten und auch Bombelli tat dies. Von daher gesehen, fehlte es den Mathematikern der Renaissance nicht an Rechenfertigkeit, nun auch mit Ausdr¨ ucken der Form √ a + b −1 fertig zu werden. Was an diesen nur so irritierte, war, dass man ihnen nicht das Attribut positiv oder negativ zuweisen konnte. Schauen wir uns einiges von dem an, was Bombelli u ¨ber die komplexen Zahlen herausbekam. Von den neuen Ausdr¨ ucken sagt Bombelli, dass sie diverso nome h¨ atten. Dies scheint sich auf die Vorzeichen zu beziehen, die er ja durch die √Vorzeichen“√pi` u ” di meno und meno di meno erg¨ anzt, die die Rolle von unseren + −1 und − −1 spielen. F¨ ur sie und die schon vorhandenen Vorzeichen pi` u und meno formuliert er die folgenden Rechenregeln: Pi` u via pi` u di meno, fa pi` u di meno Meno via pi` u di meno, fa meno di meno Pi` u via meno di meno, fa meno di meno Meno via meno di meno, fa pi` u di meno Pi` u di meno via pi` u di meno, fa meno Pi` u di meno via meno di meno, fa pi` u Meno di meno via pi` u di meno, fa pi` u Meno di meno via meno di meno, fa meno Danach sagt er, es m¨ usse erw¨ahnt werden, dass die fragliche Sorte von gebundenen Kubikwurzeln nicht vorkommen k¨ onne, ohne dass das Binom von seinem Residuum begleitet sei. Zur Erl¨auterung der Begriffe Binom und Residuum in diesem Falle, w¨ahlt er das Beispiel R.c.2.p.di.m.R.q.2, das ist

 √ √ 3 2 + −1 2,

als Binom, wobei in Wirklichkeit der Radikand das Binom ist, und dem zugeh¨ origen Residuum R.c.2.m.di.m.R.q.2, das ist

 √ √ 3 2 − −1 2.

4. Komplexe Zahlen

481

Ihm sei es bislang bei seinen Rechnungen nie begegnet, dass eine der beiden Gr¨oßen ohne die andere vorgekommen w¨ are. Es k¨onne auch nicht sein, dass eine der beiden Gr¨ oßen ein Monom sei, ohne dass es auch die andere sei. Hierzu ist zun¨ achst zu sagen, dass ich das bei Bombelli stehende Wort nome mit Monom interpretiert habe, da es dort im Gegensatz zu binomio steht. Zum andern ist zu sagen, dass die Fragestellung, wann es zu rationalen a und b ein rationales c gibt mit √ √ √ a + b = c, √ √ wann also a+ b ein Monom ist, immer wieder behandelt wurde mit der Antwort, dass dies genau dann der Fall sei, wenn es k, l ∈ N gibt mit a : b = k 2 : l2 . Der Boden, auf dem die Saat der komplexen Zahlen aufgehen sollte, war also gut vorbereitet. Es folgen viele Multiplikationsaufgaben, bei denen immer wenigstens eine Kubikwurzel aus einer komplexen Zahl vorkommt. Die erste und einfachste lautet: Man multipliziere R.c.2.p.di.m.1.p.R.c.2.m.di.m.1 ¨ mit 4. Keine Uberraschung. Die 4 wird als 64 in die Kubikwurzeln gezogen. Deutlich anspruchsvoller ist die Aufgabe, R.c.3.p.di.m.4.p.R.c.3.m.di.m.4.p.R.c.40 mit R.c.2.p.di.m.1.p.R.c.2.m.di.m.1 zu multiplizieren. Hier kommen als Zwischenergebnisse die Ausdr¨ ucke R.c.2.p.di.m.11 und R.c.2.m.di.m.11 vor. Er weist nach, dass diese Ausdr¨ ucke sich als komplexe Zahlen“ darstellen ” lassen. Es gilt n¨amlich R.c.2.p.di.m.11 = 2.p.di.m.1 und R.c.2.m.di.m.11 = 2.m.di.m.1. Wie er auf diese L¨osung gekommen ist, beschreibt er wenig sp¨ater, nachdem er noch einige Aufgaben dieser Art gerechnet hat. Der besseren Verst¨andlichkeit halber benutze√ich im Folgenden unsere heutige Schreibweise und schreiben insbesondere i f¨ ur −1. Zu a, b ∈ R sind dann u, v ∈ R gesucht mit a + bi = (u + vi)3 = u3 − 3uv 2 + (3u2 v − v 3 )i.

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Multipliziert man die erste Gleichung mit dem konjugiert Komplexen und zieht die dritte Wurzel, so erh¨alt man  3

a2 + b 2 = u 2 + v 2 .

Die zweite Gleichung liefert a = u3 − 3uv 2 . Genau das dr¨ uckt Bombelli nun in Worten aus, dass man die dritte Wurzel aus a2 + b2 berechne und dann versuche, durch Probieren (tentone) u und v so herauszufinden, dass die beiden Gleichungen g¨ alten. Er erl¨ autert das an Hand des Beispiels a = 2 und b = 11. Hier ist a2 + b2 = 4 + 121 = 125 = 53 und daher

√ 3 a2 + b2 = 5. Es werden nun u und v gesucht mit 5 = u2 + v 2

und 2 = u3 − 3uv. Optimistisch wie er ist, sucht er eine nat¨ urliche Zahl u mit u2 < 5 und u3 > 2 und findet u = 2. Dann ist aber v = 1 und 2 + i ist in der Tat L¨ osung des Problems. Sein n¨ achstes Beispiel ist a = 52 und b = 47. Hier ist a2 + b2 = 4913 = 173 . Man suche nun ein u mit u2 < 17 und u3 > 52. Er findet ein solches u in 4. Es folgt v = 1 und weiter 52 + 47i = (4 + i)3 . Von dieser Regel sagt er dann: . . . e con questa regola (bench`e non sia generale, ma pi` u tosto pratica) sar` a quasi impossibile, quando dette R. haveranno lato, non lo trovare. . . . und mit dieser Regel (obgleich nicht allgemein, so doch praktisch) ” wird es gleichsam unm¨ oglich sein, wenn besagte Wurzeln eine Seite haben, sie nicht zu finden.“ Es folgt ein weiteres Beispiel, das etwas komplizierter ist, n¨amlich a = 8 und b=

8 232 27 . Hiermit folgt

8 = (6 23 )3 . a2 + b2 = 296 27

Weil 23 nicht gr¨ oßer als 8 und weil 32 gr¨ oßer als 6 23 ist, ist 2 < u < 3. Mit dieser  √ √ sp¨ arlichen Motivation setzt er nun u := 1+ 2. Hiermit ergibt sich v = 3 32 − 8. Man muss nun noch kontrollieren, ob auch wirklich 8+i

   √ √ 3 8 232 27 = 1 + 2 + i 3 32 − 8

5. Polynome bei Bombelli

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ist. Bombelli tut dies und gut zwei Seiten Rechnung zeigen, dass dem so ist. Ein letztes Beispiel zeigt, dass auch a < 0 sein darf. Bombelli zeigt n¨ amlich, dass −117 + i44 = (3 + i4)3 ist. Hier geht er genauso vor wie zuvor, dass er n¨amlich u und v sucht mit  3 25 = 1172 + 442 = u2 + v 2 und −117 = u3 − 3uv 2 . Nachdem u und v gefunden sind, muss man noch zeigen, dass in der Tat −117 + i44 = (3 + i4)3 ist. Diese Rechnung wird ausf¨ uhrlich erl¨ autert, wobei sie von folgendem Diagramm begleitet wird. 3.p.di.m.4 3.p.di.m.4 9.m.16 .p.di.m.12.p.di.m.12 .m.7.p.di.m.24 3.p.di.m.4 .m.21.m.96 .p.di.m.72.m.di.m.28 .m.117.p.di.m.44 Dieses Diagramm, das stellvertretend f¨ ur viele andere steht, zeigt deutlich, dass Bombelli auch mit komplexen Zahlen schriftlich rechnet. Das Gleiche gilt auch f¨ ur Ausdr¨ ucke mit reellen Irrationalit¨ aten. Er betrachtet dann noch die unterschiedlichsten algebraischen Ausdr¨ ucke, die immer auch komplexe Zahlen enthalten, addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert sie und zeigt auf diese Weise, dass er das Rechnen mit komplexen Zahlen beherrscht. Damit endet Buch I seiner Algebra. 5. Polynome bei Bombelli. In den indischen Ziffern und den aus ihnen gebildeten Zeichenreihen finden wir seit dem 12. Jahrhundert im Abendland Gebilde, die schriftlich manipuliert werden k¨ onnen, um etwa Summe, Differenz und Produkt zweier Zahlen oder die gr¨ oßte Ganze aus der Quadratwurzel einer Zahl mit Hilfe der sie darstellenden Zeichenreihen zu finden, wobei die Regeln des schriftlichen Rechnens es eben gestatten, die Zeichenreihe zu finden, die das Resultat der Rechnung darstellt. Bis zu diesem Zeitpunkt fielen das Schreiben von Zahlen und das Rechnen mit ihnen noch auseinander. Dass das Schreiben von Zahlen und das Rechnen mit ihnen auseinanderfiel, solange man sich der r¨ omischen Zahlzeichen bediente, wird in der Geschichtsschreibung st¨ andig wiederholt. Liest man die folgende, herrliche Stelle in Gottfried Kellers Erz¨ ahlung Der gr¨ une Heinrich“, die zu Beginn des 19. Jahrhunderts ”

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

spielt, so k¨ onnen einem doch leise Zweifel kommen, ob dies stimmt (Keller 1961, S. 66 ff.): Im tiefsten Hintergrunde aber saß jederzeit eine bejahrte, dicke Frau ” in altert¨ umlicher Tracht in einem tr¨ uben Helldunkel, w¨ ahrend ein noch a¨lteres, spitziges, eisgraues M¨annchen mit Hilfe einiger Untergebenen in der Halle herumhantierte und eine zahlreiche Menge Leute abfertigte, welche fortw¨ahrend ab und zu ging. Die Seele des Gesch¨afts war aber die Frau und von ihr aus gingen alle Befehle und Anordnungen, ungeachtet sie sich nie von ihrem Platze bewegte und man sie noch weniger je auf einer Straße gesehen hatte. Sie trug immer bloße Arme und hatte schneeweiße Hemds¨ armel, auf eine k¨ unstliche Art gef¨altet, wie man es sonst nirgends mehr sah und es vielleicht vor hundert Jahren so getragen wurde. Es war die originellste Frau von der Welt, welche schon vor dreißig Jahren mit ihrem Manne blutarm und unwissend in die Stadt gezogen, um da ihr Brot zu suchen. Nachdem sie mit Tagelohn und saurer Arbeit eine Reihe von m¨ uhseligen Jahren durchgek¨ ampft hatte, gelang es ihr, einen kleinen Tr¨ odelkram zu errichten, und erwarb sich mit der Zeit durch Gl¨ uck und Gewandtheit in ihren Unternehmungen einen behaglichen Wohlstand, welchen sie auf die eigent¨ umlichste Weise beherrschte. Sie konnte nur gebrochen Gedrucktes lesen, hingegen weder schreiben noch in arabischen Zahlen rechnen, welche letzteren es ihr nie zu kennen gelang; sondern ihre ganze Rechenkunst bestand in einer r¨omischen Eins, einer F¨ unf, einer Zehn und einer Hundert. Wie sie diese vier Ziffern in ihrer fr¨ uhen Jugend, in einer entlegenen und vergessenen Landesgegend u ¨berkommen hatte, u ¨ berliefert durch einen Jahrtausend alten Gebrauch, so handhabte sie dieselben mit einer merkw¨ urdigen Gewandtheit. Sie f¨ uhrte kein Buch und besaß nichts Geschriebenes, war aber jeden Augenblick imstande, ihren ganzen Verkehr, der sich oft auf mehrere Tausende in lauter kleinen Posten belief, zu u ¨ bersehen, indem sie mit großer Schnelligkeit das Tischblatt mittelst einer Kreide, deren sie immer einige Endchen in der Tasche f¨ uhrte, mit m¨ achtigen S¨ aulen jener vier Ziffern bedeckte. Hatte sie aus ihrem Ged¨achtnisse alle Summen solchergestalt aufgesetzt, so erreichte sie ihren Zweck einfach dadurch, daß sie mit dem nassen Finger eine Reihe um die andere ebenso flink wieder ausl¨ oschte als sie dieselben aufgesetzt hatte, und dabei z¨ ahlend die Resultate zur Seite aufzeichnete. So entstanden neue kleinere Zahlengruppen, deren Bedeutung und Benennung niemand kannte als sie, da es immer nur die vier gleichen nackten Ziffern waren und f¨ ur andere aussahen, wie eine altheidnische Zauberschrift. Dazu kam noch, daß es ihr nie gelingen wollte, mit einem Bleistift oder Feder oder auch nur mit dem Griffel auf einer Schiefertafel das gleiche Verfahren vorzunehmen, indem sie nicht nur r¨ aumlich einer ganzen Tischplatte bedurfte, sondern auch nur mittelst der weichen Kreide ihre markigen Zeichen zu bilden imstande war. Sie beklagte oft, daß sie sich gar nichts Fixiertes aufbewahren k¨ onne, war aber gerade dadurch zu ihrem außerordentlichen Ged¨ achtnisse gelangt, aus welchem jene wimmelnden Zahlenmassen pl¨otzlich gestalt- und lebevoll erschienen, um ebenso rasch wieder zu verschwinden.“ Kennt man diese Stelle, so wird man beim aufmerksamen Lesen sich von Fußnote zu Fußnote hangelnd auch in der wissenschaftlichen Literatur f¨ undig. In einer Ab-

5. Polynome bei Bombelli

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handlung von Jacques Joseph Champollion-Figeac u ¨ber franz¨ osische Dialekte und insbesondere die Dialekte des D´epartement Is`ere findet sich die Bemerkung: Nous citerons mˆeme comme une preuve de cette influence l’habitude q’ont, dans le d´epartement de l’Is`ere, les habitans de la campagne qui se livrent a ` quelque trafic mercantile, et surtout ceux de la rive gauche de cette rivi`ere, de se servir de pr´ef´erence des chiffres romains, en laissant ceux que nous nommons improprement chiffres arabes a ` l’usage des villes et des personnes qui ont quelqu’instruction (Champollion-Fig´eac 1809/1970, S. 62f.). Hier wird also als weiterer Beweis f¨ ur den zu Anfang des 19. Jahrhunderts immer noch sp¨ urbaren Einfluss ehemaliger r¨ omischer Besatzung angef¨ uhrt, dass die Landbewohner des Departements Is`ere, besonders die vom linken Ufer des Flusses, so sie einigen merkantilen Verkehr hatten, sich der r¨ omischen Ziffern bedienten und den Gebrauch der indischen Ziffern den St¨ adten und den Leuten von Bildung u ¨ berließen. ´ elestand du M´eril. Er gibt sie Die Stelle bei Champollion-Figeac fand ich bei Ed´ in Fußnote (1) als Beleg f¨ ur die folgende Aussage: Ainsi, pour en citer un exemple qui se lie bien ´etroitement au sujet de cette ´etude et confirme par une preuve singuli`ere l’opinion que nous aurions voulu y d´efendre: malgr´e la grande incommodit´e des chiffres romains et les difficult´es presque insurmontables dont ils compliquent les calculs les plus simples, nagu`ere encore les paysans du Dauphin´e continuaient opiniˆ atr´ement ` a s’en servir (1) (du M´eril 1862, S. 141). Hier sind aus den Landbewohnern (habitans de campagne) Bauern (paysans) geworden, die k¨ urzlich noch hartn¨ ackig an den r¨ omischen Ziffern fest hielten. Die Aussage Bauern“ wurde von Nagl u ¨bernommen (Nagl 1889, Fußnote 1, S. ” 168). So entstehen Ger¨ uchte. Wie ich auf Nagl kam, findet der Leser in Kapitel 1, Abschnitt 7. Damit ist mein Weg zu Champollion-Figeac aufgedeckt. Jacques Joseph Champollion-Figeac (1778–1867) ist der Bruder von Jean Fran¸cois Champollion (1790–1832), dem Entzifferer der Hieroglyphen. Er nahm den Namen ihrer beider Geburtsstadt, Figeac, zu seinem Namen hinzu, um sich von seinem Bruder zu unterscheiden (Doblhofer 1964, S. 59). Jean Fran¸cois Champollion kam 1801 als Elfj¨ ahriger nach Grenoble, wo sein Bruder schon seit 1798 weilte. Er, Jean Fran¸cois, ging nun dort zur Schule. Im gleichen Jahre 1801 wurde Jean Baptiste Fourier zum Pr¨ afekten des Departement Is`ere mit Sitz in Grenoble ernannt. Bei seinen Schulinspektionen fiel ihm der hoch begabte Jean Fran¸cois auf, den er zu sich nach Hause einlud, um ihm seine ¨agyptischen Altert¨ umer zu zeigen. Er erm¨oglichte ihm auch den Zugang zu den wissenschaftlicher Soireen der Stadt. Der Junge interessierte sich schon seit seinem ¨ siebten Lebensjahr leidenschaftlich f¨ ur alles Aqyptische. Fourier wiederum hatte ¨ seine erlesene Sammlung bei Napoleons Feldzug in Agyten zusammengetragen. Bei dieser Unternehmung war Fourier die Seele der franz¨ oschen wissenschaftlichen ”¨ Kommission, die unter Napoleon in Agypten wirkte, und der Verfasser der großen

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

historischen Einleitung zu dem Prachtwerk dieser Kommission, der Description de ˆ ¨ l’Egypte, der Beschreibung von Agypten.“ (Doblhofer 1964, S. 55.) Wir werden Fourier sp¨ ater noch einmal begegnen. Figeac ist eine Stadt im Departement Lot (das O ist offen, das T wird gesprochen), nord-nord¨ostlich von Toulouse. Zur¨ uck zu unserem Thema. Wir haben gesehen, dass auch das Rechnen mit Polynomen bei Stifel, Nu˜ nez und Bombelli schriftlich ist und dass bei Bombelli das Gleiche f¨ ur komplexe Zahlen gilt. Die benutzten Schemata sind an denen f¨ ur im Dezimalsystem dargestellten nat¨ urlichen Zahlen orientiert. Die Analogie liegt ja auf der Hand. Bei Bombelli kommt nun noch hinzu, dass er mit dem ernst macht, was bei Nu˜ nez nur als M¨ oglichkeit erw¨ahnt ist, dass er n¨ amlich die Potenzen der Coß mit ihren Exponenten codiert. Damit gewinnt das Handhaben von Polynomen an Klarheit. Hiervon sei zun¨ achst berichtet. Ich habe schon erz¨ahlt, dass Bombelli den Terminus cosa durch den Terminus tanto ersetzte. Dies gegen alten Brauch, was sicherlich manchen verwundere. Er findet tanto — was ja soviel“ heißt — besser geeignet, eine unbekannte nu” merische Gr¨oße zu bezeichnen, als cosa (= Sache), was jede beliebige unbekannte Sache bezeichnen k¨onne. Diophant (Diofante. Das F grassiert in Italien), griechischer Autor, habe sie auch schon so benannt. Dies sei kein kleines Argument, da er ein antiker Schriftsteller von hoher Wertsch¨ atzung sei. Wenig sp¨ater wird er sich wiederum auf Diophant berufen, wenn er das Quadrat potenza nennt. Dabei ¨ ist potenza die Ubersetzung des griechischen Wortes dynamis, welches Diophant benutzte, um das Quadrat zu bezeichnen. Was es mit dem Wort dynamis als Terminus technicus in der griechischen Mathematik auf sich hat, lese man bei Szab´ o nach (Szab´ o 1994, 211 ff.). F¨ ur das, was wir mit Potenz bezeichnen, benutzt Bombelli das Wort dignit` a , das wir als dignidad ja auch schon bei Nu˜ nez fanden. Ich werde im Folgenden bei unseren modernen Bezeichnungen bleiben und diese, wenn n¨otig, um das Wort Coß erg¨ anzen. Dann wird tanto — dieses Wort sei also doch noch einmal gebraucht — erkl¨ art 1 bezeichnet werde. Dabei benutzt er das Wort caratero und gesagt, dass es mit " f¨ ur eben dieses Zeichen. Im heutigen Italienisch lautete es carattere. 2 3 , die dritte Potenz mit " und Das Quadrat der Coß wird mit dem Charakter " 4 die vierte mit " bezeichnet. Dann folgt eine Liste der Namen der ersten zw¨olf Potenzen, nun von den 1 bis W¨ ortern tanto und potenza abgeleitet, mit den zugeh¨ origen Charakteren " 12 . " Nach dieser Liste findet sich folgender Text: S`ı come nella parte minore dell’Arimetica (sic) occorrono quattro atti, cio`ei Moltiplicare, Partire, Sommare e Sotrare, cos`ı nella parte maggiore ne occorrono cinque, le quattro detti di sopra, e lo agguagliare, ch’`e ili quinto, il qual `e il pi` u difficile ed importante. Dh., Wie es in ” der niederen Arithmetik vier Grundrechenarten (atti) gibt, n¨ amlich Multiplizieren, Teilen, Summieren und Subtrahieren, so gibt es in der h¨ oheren deren f¨ unf, die vier oben genannten und das Gleichsetzen, das ist die f¨ unfte. Sie ist die schwierigste

5. Polynome bei Bombelli

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und wichtigste.“ Ich m¨ ochte zun¨ achst noch einmal festhalten, was zuvor schon erw¨ahnt wurde, dass n¨ amlich Bombelli nach seinem Zeugnis Arithmetik nennt, was von Zeitgenossen schon Algebra genannt wurde. Er kennt nun, wie die zitierte Stelle zeigt, eine niedere und eine h¨ohere Algebra. Letztere ist Gleichungslehre, wobei die Grundrechenarten f¨ ur Polynome zur Gleichungslehre z¨ ahlen. Von der Gleichungslehre sagt er, dass sie sehr schwierig, aber auch sehr wichtig sei. Wie schwierig sie ist, werden wir immer intensiver erfahren. Bombelli erkl¨art zuerst die Multiplikation von Monomen. Diese ist ja die Grundlage alles Weiteren. Das Wesentliche hierbei ist, dass die Koeffizienten zweier Monome miteinander multipliziert und ihre Exponenten addiert werden. Hierzu 1 1 2 via " fa " beginnt gibt es Beispiele und schließlich eine Tabelle, die mit " 5 7 12 und mit " via " fa " endet. Von dieser Tabelle sagt er, sie h¨atte die gleiche Bedeutung wie der kleine abbachino sie zu haben pflegt als Begleiter und zum Verst¨andnis f¨ ur die Anf¨ anger in der niederen Kunst dieser Disziplin. F¨ ur mich als den mit den schulischen Sitten der damaligen Zeit nicht Vertrauten ist nicht klar, ob abbachino eine Tabelle des kleinen Ein-mal-eins ist oder wirklich ein kleines Rechenbrett bezeichnet. 2 2 2 2 4 fa 12" , 7" via 18" fa 126" , Es folgen weitere Beispiele, darunter 4 via 3" 4 3 7 1 4 5 3" via 5" fa 15", 56" via 12" fa 672". Das Teilen von Monomen ist einfach, solange der Exponent des Dividenden mindestens so groß ist wie der Exponent des Divisors. Man dividiert in diesem Falle die Koeffizienten und bildet die Differenz der Exponenten. Bei dem Beispiel 3 3 durch 3" heißt es, man subtrahiere den Exponenten des Divisors von dem 8" des Dividenden, resta nulla, dh., es verbleibt nichts. Hier sehen wir den Vorl¨ aufer unseres Wortes null. Sind die Exponenten von Divisor und Dividend gleich, so ist das Ergebnis der Division eine Zahl. Ist der Exponent des Dividenden kleiner als der des Divisors, so werden nun nicht konsequenter Weise negative Exponenten eingef¨ uhrt, vielmehr wird verfahren — so Bombelli — wie bei den Br¨ uchen. Bombelli benutzt hier wieder die Funktion“ esimo, warnt aber vor m¨ oglichen Konfusionen und empfiehlt stattdes” sen wirkliche Br¨ uche zu schreiben, also den Bruchstrich zu benutzen. Hat er nun einen Bruch a " b " mit a < b, so k¨ urzt (schisare) er noch, um

1 c

" mit c = b − a zu erhalten. Dann geht es um das Summieren und Subtrahieren von Monomen. Haben die Monome den gleichen Exponenten, so werden die Koeffizienten summiert bzw. subtrahiert gem¨ aß den schon zuvor etablierten Regeln. Haben sie verschiedene

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Exponenten, so bleiben die Monome einfach stehen. Hieran schließen sich noch einmal die Zeichenregeln f¨ ur Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division an. Es folgt das Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren von Polynomen (dig¨ nit` a composte) im Allgemeinen. Keine Uberraschungen. Bombellis konsequente Bezeichnungsweise macht das Ganze aber u ¨bersichtlicher. Als n¨achstes wird das Multiplizieren von Polynomen mit Br¨ uchen erkl¨ art. Die ¨ Uberschrift des Abschnittes lautet: Moltiplicare de’ sani via rotti, das ist, Das ” Multiplizieren von Ganzen mit Br¨ uchen.“ Der Kontext zeigt, dass hier mit sani, das sind Ganze, Polynome gemeint sind. Das Adjektiv ganz“ begleitet Polynome ” also von Anfang an. Wir haben es in diesem Sinne ja auch schon bei Nu˜ nez verwandt gesehen. Bombelli benutzt es im Folgenden immer wieder. Der Abschnitt u ¨ ber das Dividieren von Polynomen beginnt Il partire di dignit` a composte rarissime volte si pu` o fare se non per via di esimi. . . : Das Dividieren von ” Polynomen l¨ asst sich nur sehr selten ausf¨ uhren, es sei denn mittels Br¨ uchen . . . “ Bombelli bringt drei Beispiele f¨ ur die Division von Polynomen n¨ amlich 6x2 +13x+5 geteilt durch x + 1 und 9x2 − 4 geteilt durch 3x + 2 sowie x3 + 8 durch x + 2, die allesamt aufgehen. Das Schema f¨ ur die schriftliche Durchf¨ uhrung dieser Division ist etwas anders als unser heutiges Schema. Es ist dem Divisionsschema nat¨ urlicher Zahlen nachempfunden, das die Italiener partire a danda nennen, da das fertige Bild sie an ein G¨angelband (= danda) erinnert. Bei diesem Schema wird unter dem Dividenden Platz gelassen, der dann im Laufe der Rechnung mit dem Ergebnis gef¨ ullt wird. Nach dem ersten Beispiel sagt er, dass diese Art Teilung nicht m¨ oglich sei, wenn am Ende nicht null (zero) verbliebe. In diesem Falle ginge die Division nur per viai d’esimi. Dass die Division mit Rest ungemein n¨ utzlich ist, scheint ihm nicht aufgegangen zu sein. Dann werden weiterhin die Rechenoperationen f¨ ur Br¨ uche aus Polynomen erl¨ autert. Nichts Neues gegen¨ uber Nu˜ nez. In der Ausgabe der bombellischen Algebra von 1966 beginnt die Gleichungslehre auf S. 182. Gleichung ist hier nach heutigem Verst¨ andnis die Gleichheit von zwei rationalen Funktionen in einer Unbestimmten, wodurch die Unbestimmte gebunden und damit bestimmt wird. Die Br¨ uche werden gehoben (levare), indem die Gleichungen mit den Nennern multipliziert werden. Dann werden durch die alten Operationen Algebra und Almuchabala, die nun keine Namen mehr haben, die Gleichungen auf die Gestalt gebracht, dass auf beiden Seiten der Gleichung ein Polynom steht, dessen von null verschiedene Koeffizienten positiv sind. Das wird alles an Hand von Beispielen erl¨ autert. Die einfachsten Beispiele von Gleichungen sind nat¨ urlich die reinen Gleichungen. Diese werden von Bombelli folglich als erste behandelt. Da ist zun¨achst die osung gibt lineare Gleichung gx = q. Hier ist nat¨ urlich x = gq . Neben dieser L¨ Bombelli noch zwei geometrische L¨osungen, von denen uns hier die zweite besonders interessiert, da hier Dinge vorweg genommen werden, die erst Descartes in seiner Geometrie von 1637 explizit machen sollte. Dort f¨ uhrte er ja, wie schon in Abschnitt 6 von Kapitel 1 gefeiert, eine Einheitsstrecke ein, mit deren Hilfe er

5. Polynome bei Bombelli

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unter Ausnutzung des Strahlensatzes das Produkt zweier Strecken definierte, so dass das Produkt wieder eine Strecke ergab. Bei der ersten L¨osung f¨ uhrt Bombelli nun auch eine Strecke f ein, die er dann bei der zweiten L¨ osung ebenfalls benutzt und von der er sagt: . . . e la misura commune sia .f., quale sia un brazzo, un piede, un palmo, o qual si vogli altra misura materiale; Die Strecke f ist also das gemeine Maß, sei es eine Elle, ein Fuß, eine Handbreit, oder was man auch immer f¨ ur ein anderes materielles Maß wolle. Hier wird die Strecke Euklids, auf die sich Kommensurabilit¨ at und die verschiedenen Grade der Inkommensurabilit¨ at bezogen, zur Einheitsstrecke. Diese Strecke f spielt auch bei der zweiten L¨ osung ihre Rolle. Hier betrachtet er die folgende Figur. h a e

b

d

f g

c

In ihr ist f die Einheitsstrecke und g ist die Strecke, die dann den Koeffizienten bei x repr¨ asentiert. Die Strecke ab sei gleich q. Diese Strecke wird u ¨ber b hinaus verl¨ angert bis hin zum Punkte c, so dass bc gleich g ist. Durch c ziehe man eine weitere Strecke ch und trage von c aus die Strecke f ab. Dies ergebe den Punkt d. Durch a ziehe man die Parallele zu bd. Diese schneide ch in e. Nach Euklid VI.11 — so Bombelli. Bei uns ist es Kap. 1, Absch. 4, Satz VI.12 — ist dann ab : bc = ed : dc. Wegen der Wahl der verschiedenen Strecken ist also q : p = ed : 1 und damit x = ed. Bemerkenswert ist hier, um es noch einmal zu sagen, die Einheitsstrecke, von der Descartes ja so fruchtbaren Gebrauch machte. F¨ ur die reine Gleichung zweiten Grades werden ebenfalls zwei geometrische L¨osungen gegeben. Die reine Gleichung dritten Grades wird nur noch mittels des Beispiels 3x3 = 24 und die reine Gleichung n-ten Grades nur noch an Hand des autert. Die Approximation n-ter Wurzeln wurde schon im Beispiels 2x5 = 486 erl¨ ersten Buch erkl¨art. Es folgen allgemeine quadratische Gleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen und reine Gleichungen zur¨ uckf¨ uhren lassen. Hier gibt es, wie schon erw¨ahnt, Gleichungen, bei denen 0 auf der rechten Seite steht. F¨ ur uns wieder interessant ist Bombellis Behandlung der kubischen Gleichungen. Er beginnt mit der einfachsten unter den zusammengesetzten Gleichungen,

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

n¨ amlich der Gleichung x3 + px = q mit der L¨ osung       2  3   2  3   3 q 3 p p q q q   + + − − + + , x= 2 2 3 2 2 3 wobei er statt p und q die Werte 6 und 20 hat. Was hier nun Neues hinzutritt, ist, dass Bombelli beweist, dass die gegebene Gleichung eine L¨osung hat. Wir erinnern uns, dass Cardano nur zeigte, dass eine L¨ osung, so sie existiert, die fragliche Gestalt hat. Dies zeigt Bombelli auch zuerst. Er benutzt dabei die Zerlegung eines W¨ urfels, die wir hier in unserer Formelsprache verfolgen. Der Leser zeichne sich selbst die entsprechende Figur. Es ist (x + y)3 = x3 + 3(x + y)yx + y 3 , wobei x L¨osung der Gleichung x3 + px = q ist. Der W¨ urfel mit der Seitenl¨ ange x+ y ist also zerlegt in die beiden W¨ urfel x3 und y 3 und in drei Parallelepipede des Inhalts (x + y)yx. Der Wert von y wird nun so bestimmt, dass die Fl¨ ache (x + y)y des Parallelepipeds gleich p3 wird. Dann ist (x + y)3 = x3 + px + y 3 = q + y 3 . Aus (x + y)y =

p 3

folgt x=

p − y. 3y

Setzt man dies in die vorige Gleichung ein, so erh¨ alt man nach einigen Umformungen die Gleichung  2  3  2 p q q 3 y − = + . 2 3 2 Was hier passiert, dass n¨amlich die Resolvente den Grad 6 = 3! hat, ist nun typisch, wie wir im achten Kapitel sehen werden. Hier aber hat man den Gl¨ ucksfall, dass sich diese Gleichung sechsten Grades zur¨ uckf¨ uhren l¨ asst auf die L¨osung einer quadratischen Gleichung und einer reinen Gleichung dritten Grades. Geht man mit Bombelli diesen L¨ osungsweg, so erh¨alt man in der Tat f¨ ur x obige Formel. F¨ ur seine konkreten Werte p = 6 und q = 20 erh¨ alt er zun¨ achst   3 √ 3 √ 108 + 10 − 108 − 10. x= Nun ist

 √ 3 √ 108 + 10 = 3 + 1,

5. Polynome bei Bombelli

491

wie Bombelli bemerkt, und  √ 3 √ 108 − 10 = 3 − 1. Folglich ist x = 2. Statt p und q schreiben wir im Folgenden nun U und V , um mit den Buchstaben der bombellischen Figur nicht in Konflikt zu geraten. Wir betrachten also die Gleichung x3 + U x = V , wobei U und V beide positiv seien. Die Strecke .o. der folgenden Figur ist die Einheitsstrecke. Die Fl¨ ache .p. der Zeichnung sei gleich V a

o l

m

h

b

d c

g f

e

q i

p

und das Quadrat .l.h.i. habe den gleichen Fl¨acheninhalt wie .p. Wie man dieses Quadrat konstruiert, haben wir im ersten Kapitel gelernt. Bombelli sagt nichts dazu. Man verl¨ angere die Seite .l.h. u ¨ ber .h. hinaus bis nach .f. Die Strecke .h.c. sei gleich U und .d.c. sei gleich 1, dh. gleich der Strecke .o. In .c. errichte man die Senkrechte. Ist man soweit, so ben¨ otigt man zwei materielle rechte Winkel .g. und .q. Diese rechten Winkel bewege man nun wie folgt. Der rechte Winkel .q. bleibt mit seinem Scheitel stets im Eckpunkt .i. des Quadrates. Der linke Schenkel des rechten Winkels .g. gehe immer durch den Punkt .d. und der Scheitel von .g. bewege sich auf der Geraden .c.a. Man suche nun den Schnittpunkt .e. der Schenkel der beiden rechten Winkel auf der Geraden .h.f., so dass .m.h. und .b.c. gleich lang werden. Dass man dies erreichen kann, wird von Bombelli nicht in Frage gestellt. Die Behauptung ist, das .b.c. die gesuchte L¨osung der Gleichung ist. Wir folgen Bombellis Argumentation, benutzen aber heutige Notation. Schreiben wir x f¨ ur .c.d., so ist x2 = .d.c. × .c.e. Weil .d.c. gleich 1 ist, ist also .c.e. = x2 . Es folgt x × .h.e. = x(U + x2 ) = x3 + xU. Andererseits ist .m.h. ebenfalls gleich x und folglich x(U + x2 ) = .m.h. × .h.e. = .i.h. × .h.l. = p = V. Also ist x L¨ osung der fraglichen Gleichung. Euklid wird an dieser Stelle von Bombelli genau so wenig zitiert wie von uns. Bombelli kommentiert dieses L¨osungsverfahren noch als nicht praktisch, dennoch sei es nicht gering zu sch¨atzen, denn wo K¨ orper ins Spiel kommen, kann ”

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

man nicht anders verfahren“ (perch`e dove intervengono corpi non si pu` o fare altrimente). Was hat er damit wohl gemeint? Bezieht sich das auf die Unm¨ oglichkeit von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, wenn der Grad eines Problems 2 u ¨bersteigt? Es scheint so zu sein, denn eine a¨hnliche Formulierung findet sich auch sp¨ ater noch einmal. Auf sie werden wir im n¨ achsten Abschnitt zur¨ uckkommen. Wir erinnern uns. Beim L¨ osen kubischer Gleichungen ist es der Fall, dass man ein x sucht mit x3 = px + q und positiven p und q, der problematisch ist. Eine solche L¨ osung x wird gegeben durch           2   2 3 3   3 3 p q p q q q   x= + − − − + + + , 2 3 2 2 3 2 wie wir gesehen haben, und das Problem ist, dass  3  2 q p > 3 2 sein kann. Hier leitet Bombelli Rechenregeln f¨ ur Ausdr¨ ucke der Form .p.di.m.a und .m.di.m.b mit a, b ∈ R+ ab, die er dann skrupellos auch auf Ausdr¨ ucke der ogliches Form a.p.di.m.b und a.m.di.m.b anwendet, wobei b ∈ R+ ist und wir ein m¨ Vorzeichen von a in a selbst aufgenommen haben, also a ∈ R annehmen. Mittels der gerade angegebenen Formel l¨ost Bombelli zun¨ achst die folgenden Aufgaben: x3 = 6x + 40 x3 = 9x + 28 x3 = 12x + 20 x3 = 3x + 2 x3 = 3x + 4 Dabei erl¨ autert er an Hand der ersten, wie man auf die L¨ osungsformel kommt. Wir benutzen wieder den allgemeinen Ausdruck x3 = px + q, um diesen Weg zu beschreiben. Gesucht werden zwei Zahlen, deren Produkt gleich p3 und deren Kuben addiert gleich q sei. Bombelli bezeichnet die erste Zahl, die wir u nennen wollen, mit 1 wie die gesuchte L¨osung x der fraglichen Gleichung. Die dem gleichen Zeichen " Bezeichnungen sind also noch nicht optimal. Die zweite Zahl ist dann p . 3u Hiermit erh¨ alt er die zweite Gleichung u3 +

p3 = q. 33 u3

5. Polynome bei Bombelli

493

und weiter u6 +

 3 p = qu3 . 3

Dies ist eine quadratische Gleichung in u3 und die L¨ osung solcher Gleichungen hat er zuvor schon behandelt. Dann ist x = u + v eine L¨osung der Ausgangsgleichung. Dies beweist er nicht. Bemerkenswert ist aber, dass er wieder auf eine Resolvente vom Grade 6 st¨ oßt, wie es eine sp¨atere Theorie ja verlangt. Dass auch diese Resolvente sich l¨osen l¨asst, indem man erst eine quadratische Gleichung und dann eine reine Gleichung dritten Grades l¨ ost, liegt ebenfalls in der Natur der Dinge, wie wir noch sehen werden.  √ √ 3 20 + 392 = 2 + 2 und v = Bei der ersten Aufgabe erh¨ a lt Bombelli u =  √ √ 3 20 − 392 = 2 − 2 und damit x = 4. Bei der zweiten ist u = √ 3 und v = 1, dh., √ x = 4. √ √ Bei der dritten ist u = 3 16 und v = 3 4 und damit x = 3 16 + 3 4. Bei der vierten ist u = v = 1 und weiter x = 2.  √ √ 3 3 Bei der letzten ist schließlich x = 2 + 3 + 2 − 3. Die Aufgaben erscheinen mir auf Grund der unterschiedlichen L¨ osungstypen gut gew¨ahlt. Der Leser kontrolliere die Resultate, nicht durch Einsetzen, sondern durch Nachrechnen. Dann kommt das Beispiel x3 = 12x + 9. Hier ist nun  2  2   9 q p = . = 43 > 3 2 2 In diesem Falle empfiehlt Bombelli nach dem Vorbild von Cardano eine Zahl a zu suchen, so dass px + q + a3 durch x + a, bzw., dass px + q − a3 durch x − a teilbar ist. Er hatte vorher schon gezeigt, dass x3 + a3 durch x + a und x3 − a3 durch x − a teilbar ist. Im vorliegenden Falle ist x3 + 27 = 12x + 9 + 27 = 12(x + 3). Es folgt x2 − 3x + 9 = 12. ¨ Hieraus bestimmt er dann die einzige positive L¨ osung der Ausgangsgleichung. Uber die negativen L¨ osungen verliert er kein Wort. Bei dem n¨achsten Beispiel funktionierte diese Strategie auch, aber Bombelli geht einen anderen Weg. alt Gesucht ist x mit x3 = 15x + 4. Hier nun benutzt er obigen Ansatz und erh¨ √ u3 = 2 + −1 · 11. Er hatte aber √ fr¨ uher schon gezeigt, was √ wir im letzten Abschnitt notierten, dass dann u = 2 + −1 ist. Es folgt v = 2 − −1 und damit √ √ x = u + v = 2 + −1 + 2 − −1 = 4.

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Herrlich! Dann greift er wieder das Beispiel x3 = 6x+40 auf, um an Hand dieses Beispiels auf geometrische Weise zu zeigen, dass die L¨osung x die fragliche Form hat. Er sagt aber, dass dieser Beweis nicht allgemein sei, dass er n¨amlich dann versage, wenn  3  2 p q > 3 2 sei. Er l¨asst aber nicht locker. Er zeigt ebenfalls auf geometrische Weise, dass die Gleichung x3 = px + q immer eine positive L¨osung hat, wobei er jedoch weiterhin unterstellt, dass p und q positiv sind. Sein Beweis scheint der erste Beweis f¨ ur diese Tatsache zu sein. Hier nun sein Beweis. Wir betrachten die Gleichung x3 = U x + V , wobei wir wieder U und V schreiben, um nicht mit den Bezeichungen der folgenden Figur durcheinander zu kommen. Die Strecke .q. sei die Einheit. Man ziehe die Gerade q p d

a

c e

b

g

l

m

f o i h

r

¨ .e.m. und .l.m. sei gleich .q., dh., gleich 1 und .l.f. sei gleich U . Uber der Strecke .f.l. zeichne man das Parallelogramm .f.l.a. — der vierte Eckpunkt ist .b. — mit dem Fl¨acheninhalt V . Die Strecke .a.b. wird u ¨ber .b. hinaus verl¨ angert nach .d. hin und die Strecke .a.l. u ¨ ber .l. hinaus in Richtung .r. Dann ben¨ otigt man wieder zwei Rechtecke. Das Rechteck .o. bewegt sich mit seinem Scheitel .i. auf der Geraden .a.r., wobei der rechte Schenkel stets durch den Punkt .m. geht. Man bewege nun den Scheitel .i. zu dem Punkt, dass die Diagonale .i.f. die Gerade .a.d. in dem Punkt .c. schneidet, dass der rechte Winkel .p. mit dem einen Schenkel auf der Geraden .a.d. und dem Scheitel in .c. liegend mit dem anderen Schenkel den linken Schenkel von .o. auf der Geraden .m.e. trifft. Dann, so die Behauptung, ist .l.i. das gesuchte x. Es sei also x die Strecke .l.i. Wir zeigen, dass x die gegebene Gleichung erf¨ ullt. Mit S¨ atzen am rechtwinkligen Dreieck folgt, dass x2 = .l.m. × .g.l. = .g.l. ist. Das Rechteck .i.l.g. ist dann gleich x3 und das Parallelogramm .i.l.f. ist gleich U x., da ja .l.f. gleich U ist. Die Parallelogramme .f.l.a. und .h.f.g. haben gleichen

6. Das delische Problem

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Fl¨ acheninhalt — Bombelli kennt seinen Euklid —, so dass V + U x = x3 ist. Damit ist die Existenz einer L¨osung sichergestellt. Bombelli betrachtet an dieser Stelle die Gleichung 3 1 " eguale a 6".p.4.

Da er an dieser Stelle aber den Koeffizienten 6 mit der Strecke .f.l. und den Koeffizienten 4 mit der Fl¨ ache des Parallelogramms .f.l.a. kodiert, erh¨alt er Allgemeing¨ ultigkeit f¨ ur seinen Beweis. Dies habe ich, wie an anderer Stelle besprochen, auch schon bei Fibonacci beobachtet (L¨ uneburg 1993, S. 247, 285). Dort kommentierte ich dies als guten Programmierstil, die Konstanten mit Namen zu belegen. Bombelli diskutiert noch die Gleichung x3 + q = px. Er weiß, dass sie gelegentlich nur eine negative L¨ osung — und nach unserem Verst¨ andnis zwei komplexe L¨osungen — hat. Sein Beispiel hierf¨ ur ist die Gleichung x3 + 4 = 3x. Er sagt hier onne, es sei denn fingiert. Mit genauer, dass man x3 + 4 und 3x nicht gleichsetzen k¨ dem Minuszeichen behaftete Zahlen, so sie als L¨ osungen vorkommen, nennt er fingiert (finto) oder falsch (falso), positive wahr (vero). Er kennt auch Beispiele mit zwei wahren L¨osungen und einer fingierten. Sein Beispiel hier ist x3 + 8 = 14x. Ist x L¨osung der Gleichung x3 + q = px, so ist −x L¨osung der Gleichung y 3 = py + q. In diesem Zusammenhang heißt die L¨osung einer solchen Gleichung bei ihm auch la valuta del Tanto, Wert der Coßen also. Tanto als Bezeichnung der Unbekannten ist immer groß geschrieben. Ich habe bei Bombelli keine Stelle gefunden, wo komplexe Zahlen als L¨osungen von Gleichungen auch nur in Erw¨ agung gezogen wurden. Sie kommen bei der L¨ osung von Gleichungen nur als Zwischenergebnisse vor, dann aber auch immer, wie Bombelli bemerkt, zusammen mit ihren konjugiert komplexen. 6. Das delische Problem. Im letzten Abschnitt hatten wir gesehen, dass Bombelli die Existenz einer positiven L¨ osung der Gleichung x3 = px + q auf geometrische Weisei zeigte. Dabei bediente er sich zweier rechter Winkel, die er gegeneinander verschob, bis sie sich in einer vorher fest gelegten Lage befanden, die es dann gestattete, die L¨ osung an der entstandenen Figur abzulesen. Diesen geometrischen Beweis nennt er ganz allgemein“ und f¨ahrt dann fort (Bombelli ” 1572/1966, S. 228): . . . , ma perch´e dove intervengono li corpi le linee medie non si possono ritrovare se non per via d’instromento, per` o non paia ad alcuno strano se questa dimonstratione haver` a la medesima difficult` a, che quando non l’havesse saria stata vana la inventione di Platone ed Archita Tarentino con tanti altri valent’huomini nel voler duplare l’altare overo Cubo (come largamente ne ha parlato il Barbaro nel Comento del suo Vitruvio), per` o havendo lo scudo di tanti valent’huomini non mi affaticar` o in volere sostentar tal dimostratione non si potere far altramente che con l’instromento. Das heißt: . . . aber da es nicht m¨ oglich ist, ” wo K¨ orper ins Spiel kommen, die Medialen aufzufinden, es sei denn mittels eines Instruments, wird es wohl niemandem seltsam erscheinen, dass dieser Beweis die gleiche Schwierigkeit aufweist, da sonst, wenn er sie nicht h¨atte, die Erfindung

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Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Platons und Archytas von Tarent und sovieler anderer hochgesch¨ atzter M¨anner in dem Bestreben den Altar, dh. den W¨ urfel zu verdoppeln (wovon Barbaro im Kommentar zu seinem Vitruv ausf¨ uhrlich berichtete), eitel gewesen w¨are. Unter dem Schild sovieler hochgesch¨atzter M¨anner werde ich mich also nicht mehr damit abm¨ uhen, zu sostentar zu wollen einen solchen Beweis, er l¨asst sich nicht anders machen denn mit Instrument.“ Das Wort sostentar macht mir Kopfzerbrechen. Die Lexika geben als Bedeutung die W¨ orter ern¨ahren“, erhalten“, wobei erhalten“ im Sinne von bewahren“ ” ” ” ” und nicht von bekommen“ zu verstehen ist. ” Von all den Schriften, die bislang besprochen wurden, ist Bombellis Algebra die erste, in der das delische Problem explizit erw¨ ahnt wird. Die Stelle zeigt, dass er auf dem Laufenden ist. Nach Rose (1976, S. 199) hat Daniele Barbaro im Jahre 1568 das neunte Buch von Vitruvs Zehn B¨ ucher u ¨ ber Architektur“ mit Kommentaren ” versehen herausgegeben. In diesem neunten Buch findet sich ziemlich zu Anfang erw¨ahnt, dass die Delier von einem Religionsfrevel ents¨ uhnt w¨ urden, wenn sie den Altar Apollos dem Inhalt nach verdoppelten (Vitruv 1981, S. 410/411). Archytas von Tarent und Eratosthenes von Kyrene h¨ atten f¨ ur dieses Problem L¨ osungen angegeben, wobei sich Eratosthenes eines Mesolabiums bediente, w¨ahrend Archytas mit Zylindern im Raum operierte. Beider Konstruktionen liefern zu Strecken a und b zwei mittlere Proportionale zu diesen Strecken, dh., zwei Strecken x und y, f¨ ur die a:x=x:y=y:b gilt. Hippokrates von Chios hatte n¨ amlich gezeigt, dass dies gen¨ uge, um das delische Problem zu l¨ osen. Hat man x und y gefunden, so ist x2 = ay und y 2 = bx und xy = ab. Also ist x3 = xay = a2 b. Ist insbesondere b = 2a, so ist x3 = 2a3 , so dass x die Seitenl¨ ange des W¨ urfels mit doppeltem Inhalt ist, wenn a die Seitenl¨ ange des gegebenen W¨ urfels ist. Alle bis heute bekannt gewordenen L¨ osungen f¨ uhren das Problem zur¨ uck auf die Konstruktion der zwei mittleren Proportionalen und es gibt viele L¨ osungen, auch schon viele aus dem Altertum. Diese sind ausf¨ uhrlich erl¨ autert in Heath 1981, S. 244–270. Bei aller Ausf¨ uhrlichkeit erw¨ ahnt Heath Vitruv aber nicht. Eine L¨ osung wird auch Platon zugeschrieben, wie obige Stelle zeigt, doch ist zweifelhaft, ob dies korrekt ist. N¨aheres hierzu bei Heath, loc. cit. Dem heathschen Argument f¨ ur den Zweifel an der Urheberschaft Platons an einer der L¨ osungen, dass n¨amlich Eratosthenes ihn auf seiner Plakette nicht erw¨ ahnt, l¨ asst sich hinzuf¨ ugen, dass auch Vitruv ihn nicht erw¨ ahnt. Eratosthenes von Kyrene ist u ¨ brigens der, von dem das Primzahlsieb stammt. Er hat auch den Umfang der Erde bestimmt. — Die Vorstellung, dass die Erde eine Kugel sei, ist nicht so neu, wie manche glauben. Ausf¨ uhrliches auch zum Problem der W¨ urfelverdopplung im Abschnitt IV des zweiten Teils Kubische Aufgaben im 4. und 3. Jahrhundert“ von Oskar Becker ” 1957.

6. Das delische Problem

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Die archytassche L¨osung, so wie sie uns von Eutokios u ¨ berliefert ist, findet sich in Diels 1992/93, Bd. I, S. 425–428. Beschrieben ist sie nat¨ urlich auch bei Heath und und bei Becker. Bombelli gibt in seinem Buch zwei L¨osungen f¨ ur das delische Problem. Die eine ist die, die Platon zugeschrieben wird, die andere offenbar eine eigene. Bei beiden L¨osungen gibt er, wie schon zuvor bei der Konstruktion der mittleren Proportionalen zweier Strecken, eine Einheitsstrecke vor (essendo data una misura nota). Im Korrektheitsbeweis der bombellischen Konstruktion klafft eine L¨ ucke, die ich nicht schließen konnte. Ich beschreibe daher hier die platonische Konstruktion. Dort ist (s. die Figur) .d.c. gleich der Einheitsstrecke und .d.e. im rechten Winkel c i

f

d

e

g

h

dazu die Strecke, aus der die Kubikwurzel zu ziehen ist. Man hat nun einen rechten Winkel .g.f.c., dessen oberer Schenkel stets durch .c. geht und dessen Scheitel stets auf .e.i. liegt, sowie einen zweiten rechten Winkel, dessen rechter Schenkel stets durch .e. geht und dessen linker Schenkel stets parallel zum unteren Schenkel des ersten rechten Winkels ist. Diese beiden Schenkel werden nun so bewegt, dass der Schnittpunkt des unteren Schenkels des ersten rechten Winkels mit dem rechten Schenkel des zweiten rechten Winkels auf der Gerade .d.h. liegt. Dann folgt mit bekannten S¨ atzen der Elementargeometrie .d.c. : .d.f. = .d.f. : .d.g. = .d.g. : .d.e., so dass .d.f. die gesuchte Strecke ist. In der Figur sind die rechten Winkel so gezeichnet, dass der untere Schenkel des ersten rechten Winkels und der linke Schenkel des zweiten rechten Winkels zusammenfallen. Es gen¨ ugt aber, dass sie parallel sind. Implizit wird das delische Problem auch bei Nu˜ nez erw¨ahnt indem er sagt: Delos geometros antiguos los mas excellentes, como fueron Architas, Tarentino, Platon, Eratosthenes, Eudoxo, Apolonio, Pergeo, Hiero, Diocles, Philopono, Pappo, Nicomedes, y otros trabajaron mucho por hallar dos lineas medias proporcionales entre qualesquiera dos. Pero no pudieron alcan¸car esto sin ayuda de algun mechanico artificio, n ˜o es cierto. Das heißt: Von den alten Geometern haben die ” ber¨ uhmtesten, als da sind Archytas von Tarent, Platon, Eratosthenes, Eudoxos,

498

Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Apollonios von Perga, Heron, Diokles, Philoponos, Pappos, Nikomedes und andere hart gearbeitet, um zwei mittlere proportionale Linien zwischen irgendzwei solchen zu finden. Jedoch konnten sie dies nicht ohne Hilfe eines mechanischen Kunstgriffs, das ist sicher.“ (Nu˜ nez 1567, 45r,v ) 7. Negative Zahlen. Wir haben im zweiten Abschnitt gesehen, dass es zwischen dem Bereich der Polynome mit nicht negativen Koeffizienten und der Menge der nicht negativen ganzen Zahlen einen wesentlichen Unterschied gibt. Beide Mengen sind zwar gegen¨ uber Addition und Multiplikation abgeschlossen, aber im Gegensatz zu der Menge der nicht negativen ganzen Zahlen ist in der Menge der Polynome mit nicht negativen Koeffizienten die Division mit Rest nicht unumschr¨ ankt ausf¨ uhrbar. Um dieses Werkzeug zur Verf¨ ugung zu haben, hilft nur, den Weg von plus und minus zu gehen, wie Nu˜ nez bemerkt. An dieser Stelle kommen die negativen Zahlen also zwangsl¨aufig ins Spiel. Das war in der zweiten H¨ alfte des 16. Jahrhunderts. Schon vorher sind wir bei den kubischen Gleichungen auf das gleiche Ph¨ anomen gestoßen und das auf eine sehr unangenehme Art. Dort traten die negativen Zahlen als Radikanden von Quadratwurzeln auf. Sie erschienen dort also gleichzeitig mit den komplexen Zahlen. Einmal ins Leben getreten, l¨ asst Cardano sie dann auch als L¨osungen von algebraischen Gleichungen und insbesondere auch als 2n-te Wurzeln aus positiven Zahlen zu. Wegen (−k)2n = k 2n gibt es ja immer zwei 2n-te Wurzeln aus einer positiven Zahl. Ferner stellt er fest, dass  2n+1 −k 2n+1 nur die L¨ osung −k hat, wobei bei ihm stets k > 0 ist. Hier beruft er sich darauf, dass das Produkt positiver Zahlen stets positiv sei. Das war Mitte des 16. Jahrhunderts. In Abschnitt 3 von Kapitel 4 haben wir eine Stelle bei Fibonacci diskutiert, an der eine √ echte negative Zahl vorkommt. Dies geschah anl¨asslich der Approximation von 3 900. An dieser Stelle zeigte es sich schon, dass negative Zahlen beim Rechnen bequem sein k¨onnen. Sie zwangen sich hier aber nicht auf. Das war 1227. Bei der Diskussion der 2n-ten und (2n + 1)-sten Wurzeln spielten die Zeichenregeln eine Rolle. Wenn man Formeln wie (a − b)(c − d) = ac + bd − ab − bc diskutiert, spricht man auch immer von Zeichenregeln. Das ist bequem und suggestiv und somit gerechtfertigt, geht aber meines Erachtens an den Gegebenheiten vorbei, wenn man das Minuszeichen als Symbol f¨ ur eine bin¨ are Verkn¨ upfung auffasst. Meist beachten wir gar nicht, dass wir das Minuszeichen f¨ ur drei verschiedene Dinge benutzen. Einmal als Symbol f¨ ur die bin¨ are Verkn¨ upfung der (partiellen)

7. Negative Zahlen

499

Subtraktion, dann als Symbol f¨ ur die un¨ are Operation des additiven Invertierens und schließlich, wie in −7, um eine Zahl unterhalb null zu bezeichnen. Im Rechenunterricht der Schule begegnet uns das Minuszeichen zuerst als Symbol f¨ ur die partielle Subtraktion: a−b ist die Anzahl der Schritte, die man r¨ uckw¨arts schreiten muss, um von a nach b zu gelangen, wobei immer b ≤ a angenommen wird. Es ist also a − b die L¨osung der Gleichung x + b = a. Hat man schon die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation von nicht negativen ganzen Zahlen bewiesen, so fahre man fort wie folgt. 1. Es ist (a + b) − b = a: Beweis. Nach Definition ist (ich erw¨ahne nicht alle Rechenregeln, die ich benutze)



 b + (a + b) − b = (a + b) − b + b = a + b = b + a. Die K¨ urzungsregel der Addition liefert die Behauptung. 2. Ist b ≥ c und a ≥ b − c, so ist a + c ≥ b und es gilt a − (b − c) = (a + c) − b. Beweis. Nach Definition ist

 a = a − (b − c) + (b − c) und (b − c) + c = b, Hieraus folgt

 a + c = (a − (b − c)) + (b − c) + c



 = a − (b − c) + (b − c) + c

 = a − (b − c) + b.

Hieraus folgt mit 1. 

(a + c) − b = (a − (b − c)) + b − b = a − (b − c). 3. Ist a ≥ b, so ist (a − b)c = ac − bc. Beweis. Mit dem Distributivgesetz folgt

 (a − b)c + bc = (a − b) + b c = ac. Mit 1. folgt weiter

 (a − b)c = (a − b)c + bc − bc = ac − bc. (Hier auch Punkt-vor-Strichregel f¨ ur das Minuszeichen.) 4. Es sei a ≥ b und c ≥ d. Dann ist (a − b)(c − d) = ac + bd − ad − bc.

500

Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

Beweis. Es ist (a − b)(c − d) = a(c − d) − b(c − d) = (c − d)a − (c − d)b = (ca − da) − (cb − db)

(mit 3.) (mit 3.)

= (ac − ad) − (bc − bd) = (ac − ad) + bd − bc = ac + bd − ad − bc.

(mit 2.)

Dass ich die Formel so schreibe, wie ich sie schreibe, hat seinen Grund darin, dass bei partieller Subtraktion links etwas stehen muss, dass mindestens so groß ist, wie das Abzuziehende. Im ersten Kapitel sagte ich bei den neperschen Logarithmen, dass sich auch bei ihnen die negativen Zahlen aufdr¨ angen, vertr¨ ostete aber auf diesen Abschnitt, so dass ich ein Versprechen einzul¨ osen habe. Zun¨ achst aber noch ein Wort zu der Situation, wo sich die negativen Zahlen zuerst aufdr¨ angten. Es waren Systeme von linearen Gleichungen, wo man vor die Frage gestellt wurde, ob es so etwas wie negative Zahlen gibt. Diese traten zuerst in Form von Schulden auf oder in Form von Geld, das der Finanzbeamte, dem vermeintlichen Steuerschuldner zur¨ uckzahlen musste. Fibonacci stellte u. a. eine Aufgabe, die nach einigen Umformungen das Gleichungssystem D1 + B = D2 + B = D3 + B = D4 + B = D5 + B =

5 T 7 10 T 13 17 T 21 26 T 31 37 T 43

ergibt. Dabei ist T = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + B und B ist ein freier Parameter, n¨ amlich eine Geldb¨ orse, die von einer Gruppe von f¨ unf Leuten gefunden wird, die ihrerseits je Di Denare besitzen. Von dieser Aufgabe sagt Fibonacci, dass sie unl¨osbar sei, es sei denn, der erste Mann habe Schulden. Addiert man diese f¨ unf Gleichungen, so erh¨ alt man T + 4B =

1452803 T. 363909

7. Negative Zahlen

501

Fibonacci setzt nun T := 4 · 363909 und erh¨ alt B = 1452803 − 363909 = 1088894. Andererseits ist D1 + B =

5 · 4 · 363909 = 1039740. 7

Also ist D1 + B < B ¨ und folglich D1 < 0, wie behauptet. Dies gilt im Ubrigen immer, solange T > 0 ist. Bei Fibonacci sieht das alles ein bisschen anders aus, da er nicht unsere Formelschreibweise kennt. F¨ ur Einzelheiten sei der Leser auf L¨ uneburg 1993, S. 151 ff. oder direkt auf Boncompagni 1857, S. 215 f. verwiesen. Es gibt noch weitere Systeme von linearen Gleichungen in Fibonaccis liber abbaci, die nur dann l¨ osbar sind, wenn wenigstens einer der Beteiligten Schulden hat. Chuquets Triparty von 1484 enth¨ alt das folgende Gleichungssystem: x2 + x3 + x4 + x5 = 120 x1 + x3 + x4 + x5 = 180 x1 + x2 + x4 + x5 = 240 x1 + x2 + x3 + x5 = 300 x1 + x2 + x3 + x4 = 360. W¨ ortlich heißt es dort: Encore Je veulx trouuer cinq nombres de telle nature que tous ensemble sans le pr’mier facent .120. Sans le second .180. Sans le tiers .240. Sans le quart .300. et sans le quint .360. Hier ist demnach ein Gleichungssystem zu l¨ osen, dessen Koeffizienten Zahlen sind, die nicht mit irgendwelchen Dimensionen behaftet sind. Die L¨ osungen sind daher ebenfalls Zahlen, die keine Dimensionen tragen. Sie sind also insbesondere nicht als Schulden zu interpretieren, falls sie negativ sind. Chuquet gibt die folgende L¨ osung. Et pour Iceulx trouuer Je assemble tous ces cinq nombres et montent .1200. que je diuise par .4. et men vient .300. desquelz Je soustraiz les cinq nombres dessus ∗∗ cestas ∗∗ .120. 180. 240. 300. et .360. et me reste .180. 120. 60. 0. et moins .60. qui sont les cinq nombres que Je desiroye (Chuquet 1880, S. 642. Die Sterne stehen f¨ ur Zeichen im Text, ein stilisiertes d und ein stilisiertes R, die ich weder interpretieren noch wiedergeben konnte). Unter den L¨ osungen kommen also auch die Zahlen (nombres) 0 und moins 60 vor. Chuquet kommentiert dies zumindest an dieser Stelle nicht. Chuquets Buch scheint erst im 19. Jahrhundert, durch Aristide Marre besorgt, gedruckt worden zu sein. Es hatte zuvor offenbar keine weite Verbreitung gehabt und w¨ are den Historikern und damit mir wohl entgangen, h¨ atte nicht ein gewisser Estienne de la Roche — laut Tropfke 1980, S. 697 Chuquets Sch¨ uler — dieses Werk in seiner 1520 erschienen Larismethique nouvellement compos´ee ausgiebig

502

Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

zitiert. Er scheint im Besitz des chuquetschen Manuskriptes gewesen zu sein, das, als Marre seine Arbeit schrieb, in der Biblioth`eque Nationale de France lag, wo es wahrscheinlich heute noch ist (Marre 1880). Falls Chuquet Einfluss gehabt haben sollte, dann wohl nur durch de la Roche. Bei Nu˜ nez kommt ein Gleichungssystem vor, das im jetzigen Zusammenhang von Interesse ist, da eine der L¨osungen null ist (Nu˜ nez 1567, 164v f.). Es lautet in heutiger Umschreibung: Gesucht sind x, y, z und w mit 2 x + (y + z + w) = 40 3 3 y + (x + z + w) = 40 4 4 z + (x + y + w) = 40 5 5 w + (x + y + z) = 40 6 Nu˜ nez l¨ost dieses System wie folgt, wobei seine L¨osungsschritte noch etwas kleiner sind als die hier wiedergegebenen: Aus der letzten Gleichung folgt 1 x + y + z = 48 − w − w 5 und aus der ersten

2 2 x + (y + z) = 40 − w. 3 3 Subtrahiert man diese Gleichung von jener, so folgt 1 8 (y + z) = 8 − w 3 15 und damit

8 y + z = 24 − w. 5

Daher ist

2 x = x + y + z − y − z = 24 + w. 5 Aus der zweiten Gleichung und der f¨ ur x folgt   3 3 3 2 y + z = 40 − 24 + w − w 4 4 5 4 1 = 22 − w − w. 20

Subtrahiert man diese Gleichung von der f¨ ur y + z, so erh¨ alt man und weiter z = 8 − 2w − 15 w. Hieraus folgt   1 3 y = y + z − z = 24 − w − w − 8 − 2w − w = 16 + 5 5

1 4z

= 2−

3 w. 5

11 20 w

7. Negative Zahlen

503

Nun ist   1 4 3 4 2 z + (x + y + w) = 8 − 2w − w + 24 + w + 16 + w + w 5 5 5 5 5 3 = 40 − w. 5 Also ist 40 = 40 − 35 w. Es folgt weiter 40 = 40 + 35 w und 0 = 35 w und schließlich w = 0. Dann hat man x = 24, y = 16 und z = 8 und nat¨ urlich w = 0 (y el quarto sera cifra de numero, das heißt, und die vierte wird null an Zahl sein“). ” Nu˜ nez nennt unser w cosa und bezieht sich auf x, y und z, indem er von der ersten, der zweiten, der dritten gesuchten Zahl redet, wobei er auch statt cosa immer wieder einmal die vierte sagt. Es gibt noch eine weitere Gelegenheit, wo die negativen Zahlen sich aufdr¨ angen. Es sind die Logarithmen, wo man ohne sie nicht auskommt. Die nepersche Logarithmusfunktion Λ ist eine monoton fallende Abbildung von (0, 107 ] in die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. Damit k¨ onnte man sich zufrieden geben, w¨ aren da nicht Bed¨ urfnisse praktischer Art. Neper ben¨ utzt seinen Logarithmus f¨ ur trigonometrische Rechnungen. Diese waren es ja, die nach Vereinfachung der Verfahren f¨ ur das Multiplizieren und Dividieren suchen ließen. Neben dem Sinus benutzte man bei diesen Rechnungen auch die Tangens- und die Sekansfunktion. Diese Funktionen aber sind Quotienten, so dass ihre Logarithmen Differenzen sind, wobei nun nicht mehr sicher gestellt ist, dass der Minuend nicht kleiner als der Subtrahend ist. So beeilt sich Neper denn auch zu sagen, dass der Logarithmus von Naturalen oberhalb von 107 negativ (defectivus) sei (Descriptio, Corollarium auf S. 4). Rufen wir uns die Gestalt von Nepers Logarithmentafel durch einen Ausschnitt ihrer ersten Seite wieder in Erinnerung. Gr. 0 +|− 0 Sinus min Sinus Logarithmi Differentia Logarithmi 0 0 Infinitum Infinitum 0 10000000 60 2909 81425681 81425680 1 9999999 59 1 2 5818 74494213 74494211 2 9999998 58 .. . 27 28 29 30

78539 81448 84357 87265

48467431 48103763 47752859 47413852

48467122 48103431 47752503 47413471

309 332 356 381

9999692 9999668 9999644 9999619 89

33 32 31 30

Die erste Spalte der Tabelle enth¨ alt die Werte der Grade von 0◦ bis 45◦ und anzen sich die in die siebte Spalte die Werte der Grade von 90◦ bis 45◦ . Dabei erg¨ einer Zeile stehenden Gradwerte stets zu 90◦ .

504

Kapitel V. Negative und komplexe Zahlen, Polynome

In der zweiten Spalte stehen die Sinuswerte der Grade linker Hand. Dies pr¨ azisiert Neper, indem er sagt, dass dieser Sinus der Schenkel der im rechtwinkligen Dreieck dem kleineren Winkel gegen¨ uber liegenden Seite sei. Entsprechend stehen in der sechsten Spalte die Sinuswerte der Grade rechter Hand. Diese seien die Schenkel der im rechtwinkligen Dreieck dem gr¨oßeren Winkel gegen¨ uber liegenden Seite. Dabei sei diei Hypothenuse des Dreiecks der sinus totus. Dies zeigt wieder, dass Neper Zahlen mit Strecken identifiziert. In der dritten Spalte stehen die neperschen Logarithmen der Sinuswerte zu ihrer linken und in der f¨ unften Spalte die Logarithmen der Sinuswerte zu ihrer rechten. Die Logarithmenwerte in der dritten Spalte fallen und die in der f¨ unften steigen. ¨ Uberdies sind die Logarithmenwerte in der f¨ unften Spalte allesamt kleiner als die Logarithmenwerte in der dritten Spalte. In der vierten Spalte schließlich stehen die Differenzen der Logarithmen in Spalte drei und f¨ unf. Die Zeichen + und − am Kopf dieser Spalte besagen, dass die Differenzen positiv sind, wenn man den Wert der f¨ unften Spalte von dem der dritten Spalte abzieht, und negativ im anderen Falle. Die Differenzen positiv genommen nennt er Differentialzahlen (differentiales numeri) der linken und negativ genommen Differentialzahlen der rechten Gradzahlen und er f¨ ahrt fort: 21. Suntque logarithmi proportionis minoris cruris rectanguli ad eiusdem crus maius. 22. Itemque sunt Logarithmi fæcundorum, siue tangentium arcuum sinistrorum. Bzw. f¨ ur die negativ genommene Differenz: 24. Suntque logarithmi proportionis maioris cruris rectanguli ad eiusdem crus maius. 25. Itemque sunt Logarithmi fæcundorum, siue tangentium arcuum dextrorum. Das heißt: 21. Und sind die Logarithmen der Proportion des kleineren Schenkels des rechten Winkels zum gr¨oßeren Schenkel. 22. Und sind also die Logarithmen der Tangenswerte der linken B¨ogen. 24. Und sind die Logarithmen der Proportion des gr¨oßeren Schenkels des rechten Winkels zum kleineren Schenkel. 25. Und sind also die Logarithmen der Tangenswerte der rechten B¨ogen. Fæcundus, fecundus, fœcundus (= fruchtbar, reichlich, unersch¨ opflich) ist ein ¨ anderer, damals gebr¨auchlicher Name f¨ ur den Tangens, den ich bei der Ubersetzung nicht wiedergegeben habe. Die Wahl des Namens fecundus kann ich nicht erkl¨ aren. Das und“ zu Beginn von 21. bzw. 24. bezieht sich auf die Nummern 20. bzw. 23., ” die oben zusammengefasst kommentiert wurden. Was zun¨achst auff¨allt, ist, dass in 21. und 23. von der Proportion des einen Schenkels zum anderen die Rede ist, und daraus dann in 22. und 24. gefolgert wird, dass der Eintrag in der vierten Spalte der Logarithmus des Tangens sei. Ist ϕ ein Eintrag in Spalte 1, so sagt das Korollar zu 39. aus Abschnitt 9 von Kapitel 1, dass   

sin ϕ 7 Λ 10 · = Λ(sin ϕ) − Λ sin(90◦ − ϕ) ◦ sin(90 − ϕ)

7. Negative Zahlen

505

ist, und in der Tat wurde der Tangens zu Nepers Zeiten wie folgt definiert: tg ϕ = 107

sin ϕ , sin(90◦ − ϕ)

wobei 107 stellvertretend f¨ ur einen im Allgemeinen beliebigen sinus totus steht (Glowatzki und G¨ ottsche 1990). Es ist also Λ(tg ϕ) < 0, falls 45◦ < ϕ ≤ 90◦ ist. Negative Zahlen sind also nicht zu vermeiden. Mit sin ist hier nat¨ urlich der Sinus zum sinus totus 107 gemeint, was den Wert von tg ϕ als solchen aber nicht beeinflusst. Jeder andere Sinus tut das Gleiche. Um die Aufgabe zu l¨ osen, zu gegebenem tg ϕ den Logarithmus zu finden, geht Neper so vor, dass er in einer Tafel f¨ ur den Tangens den Winkel ϕ aufsucht und zu diesem dann in der vierten Spalte seiner Tafel die zugeh¨ orige Differenz bestimmt, wobei sie positiv zu nehmen ist, wenn ϕ < 45◦ , und negativ, wenn ϕ > 45◦ ist. Neper sagt nicht, welcher Tafeln er sich bedient. Die Arbeit von Glowatzki und G¨ ottsche best¨atigt aber, dass es zu Nepers Zeiten solche Tafeln gab. Neben anderen Autoren publizierte Erasmus Reinhold 1554 zusammen mit seiner Sinustafel eine Tangenstafel, zu deren Berechnung er sich — direkt oder indirekt — der Sinustafel von Regiomontanus zum sinus totus 107 bediente. Sie umfasst die Grade von 0◦ bis 90◦ in 1-Minutenschritten fortschreitend, wobei der letzte Grad sogar in 30Sekundenschritte unterteilt ist (Reinhold 1554). Der Sekans, heute weitgehend vergessen, wurde damals definiert durch die Gleichung 107 . sec ϕ = 107 sin(90◦ − ϕ) Hieraus ergibt sich



 Λ(sec ϕ) = Λ(107 ) − Λ sin(90◦ − ϕ) = −Λ sin(90◦ − ϕ) , so dass diese Werte immer negativ sind. Auch bei gegebenem sec ϕ bedient sich Neper einer Tafel, um ϕ zu bestimmen, so dass er dann mittels seiner Tafel alt. −Λ(sin(90◦ − ϕ)), dh., Λ(sec ϕ) erh¨

VI. Nullstellen von Polynomen 1. Vi` ete und Descartes. Wir haben im letzten Kapitel gesehen, dass die M¨ oglichkeiten, Mathematik aufzuschreiben, bei Nu˜ nez und Bombelli immer noch sehr beschr¨ankt waren. Das a¨ndert sich nun am Ende des 16. Jahrhunderts. Im Jahre 1591 erschien Vi`etes In artem analyticen isagoge (Opera, S. 1–12). In dieser Arbeit legte er seine Auffassung von Algebra dar und schuf die Grundlagen f¨ ur das, was wir heute nicht sehr gl¨ ucklich Buchstabenrechnung nennen. Dies wird in seinen folgenden Arbeiten sehr viel deutlicher, wenn auch seine Formeln immer noch mit vielen Worten durchsetzt sind. So kennt er noch kein Gleichheitszeichen, sagt ¨ vielmehr immer æquetur bzw. æquatur oder Ahnliches, je nach Kontext. Statt ¨ a · b, bzw. ab, schreibt er a in b. Statt Klammern benutzt er Uberstreichungen, was sich auch noch fast zweihundert Jahre sp¨ ater bei Waring findet, wenn auch nicht durchgehend. Gelegentlich benutzt er auch Klammern zum gruppieren (Waring 1782). Descartes Formeln dagegen unterscheiden sich kaum noch von den unsrigen. Indizes kennt Descartes im Gegensatz zu Exponenten noch nicht. Statt unserer Klammerung benutzt er nur eine sich o¨ffnende bzw. eine sich schließende, geschweifte Klammer und schreibt die Ausdr¨ ucke, die wir zwischen zwei Klammern setzen, u ¨ bereinander. Sein Gleichheitszeichen ist nicht in meinem Zeichenvorrat. Es ist das um 180◦ gedrehte ∝. Das Produkt von a mit b wird bei ihm durch ab bzw. a . b bezeichnet. Was sie beide vor allem voneinander unterscheidet, ist, dass Vi`etes Gr¨oßenbereiche graduiert sind, dass er nur Gr¨ oßen gleichen Grades addieren kann und dass das Produkt einer Gr¨ oße des Grades m und einer des Grades n eine Gr¨ oße des Grades m + n ergibt, wobei Addition und Multiplikation nicht definiert werden. Descartes hingegen ist es gelungen, eine Multiplikation von Strecken zu definieren, deren Ergebnis wieder eine Strecke ist. Dies haben wir in Kapitel 1, Abschnitt 6 schon geb¨ uhrend gefeiert. Mehr zu dem Thema Notation in Scholz 1990, Kap. VII. Wir d¨ urfen uns von nun an moderner Bezeichnungsweisen bedienen, ohne immer darauf hinweisen zu m¨ ussen, dass dies aber unsere Ausdrucksweise sei. Dies erz¨ahlte ich meinen H¨ orern im April 1996. Nachdem ich nun im Fr¨ uhjahr 2004 die neperschen Abhandlungen u ¨ber den Logarithmus studiert habe, weiß ich, dass der Fortschritt in der Notation doch eine Weile brauchte, bis er sich durchgesetzt hatte. Hier nun eine Kostprobe aus Vi`etes De emendatione æquationum. Tractatus secundum (von Alexander Anderson im Jahre 1615 herausgegeben. Opera mathematica, S. 158), n¨ amlich sein ber¨ uhmter Wurzelsatz. Dabei ist zu beachten, dass

508

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Vi`ete die Unbekannten mit Vokalen, die Bekannten mit Konsonanten bezeichnet. CAPUT XIV. Collectio quarta. Theorema I. Si B + D in A− A quad., æquetur B in D: A explicabilis est de qualibet illarum duarum B vel D. 3N − 1Q, æquetur 2. fit 1N 1, vel 2. Theorema II. Si A cubus −B − D − G in A quad. +B in D + B in G + D in G in A, æquetur B in D in G: A explicabilis est de qualibet illarum trium B, D, G. 1C − 6Q + 11N , æquatur 6. Fit 1N 1, 2, vel 3. Theorema III. Si B ∈ D in G + B in D in H + B in G in H + D in G in H in A −B in D − B in G − B in H − D in G − D in H − G in H in A quad. +B + D + G + H in A cubum − A quad.quad. æquetur B in D in G in H: A explicabilis est de qualibet illarum quatuor B, D, G, H. 50N − 35Q + 10C − 1QQ, æquatur 24. fit 1N 1, 2, 3, vel 4. Theorem IV. Si A quadrato-cubus −B − D − G − H − K in A quad.quad. usw., æquetur B in D in G in H in K: A explicabilis est de qualibet illarum quinque B, D, G, H, K. 1QC − 15QQ + 85C − 225Q + 174N , æquatur 120. Fit 1N 1, 2, 3, 4, vel 5. Atque hæc elegans & perpulchræ speculationis sylloge, tractatui alioquin effuso, finem aliquem & Coronida tandem imponito. FINIS. Das Usw. des vierten Satzes wird der Leser leicht durch den eigentlichen Text ¨ ersetzen k¨onnen. Die langen Uberstreichungen machen es schwer, ihn zu setzen. Daher das Usw. ¨ Ersetzen wir Vi`etes Worte in den Formeln durch unsere Zeichen und die Uberstreichungen durch Klammern. Dann lesen sich die S¨ atze wie folgt: Ist I.

(B + D)A − A2 = BD,

so ist A = B oder A = D. Beispiel: 3x − x2 = 2 impliziert x = 1 oder x = 2. Ist II.

A3 + (−B − D − G)A2 + (BD + BG + DG)A = BDG,

so ist A = B, A = D oder A = G. Beispiel: x3 − 6x2 + 11x = 6 impliziert x = 1, x = 2 oder x = 3.

1. Vi`ete und Descartes

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Und entsprechend die S¨ atze 3 und 4. Vi`ete spricht seinen Satz also f¨ ur Gleichungen der Grade 2, 3, 4 und 5 aus, wobei v¨ ollig klar wird, wie er f¨ ur Gleichungen h¨ oheren Grades zu formulieren ist. Auf der rechten Seite der Gleichung steht immer das Produkt der Wurzeln. Folglich ist, da die Vorzeichen der Koeffizienten alternieren, die linke Seite nach steigenden Potenzen der Unbekannten A geordnet, wenn der Grad der Gleichung gerade ist, und nach fallenden Potenzen, wenn er ungerade ist. Die Koeffizienten sind, bis auf das Vorzeichen, das, was man die elementarsymmetrischen Funktionen nennt. Ihr Bau wird aus den vorgestellten S¨ atzen klar, so dass man nun sieht, auch wenn Vi`ete das nicht explizit sagt, wie man zu einem n ∈ N eine Gleichung n-ten Grades konstruiert, die n verschiedene Wurzeln hat, wobei man die Wurzeln noch beliebig vorschreiben kann. Diese vier S¨atze sind wieder ein sehr sch¨ones Beispiel daf¨ ur, wie man sich in vergangener Zeit zu helfen wusste, wo nach heutiger Vorstellung Induktion oder Rekursion im Spiele ist. Vi`ete hat die Publikation des Wurzelsatzes nicht mehr erlebt. Auch schon zu seinen Lebzeiten wurden Arbeiten von ihm durch andere f¨ ur den Druck fertig gemacht. Seine eigentliche Arbeit, er war Jurist und beriet als solcher u. a. auch Henri IV., ließ ihm f¨ ur die Mathematik nur wenig Zeit. So kam er auch mit seinen Vorschl¨agen zur Kalenderreform durch Papst Gregor XIII. zu sp¨at. Diese Kalenderreform wurde unter der Federf¨ uhrung von Christopherus Clavius vorbereitet, der u. a. bei Nu˜ nez in Coimbra studiert hatte. Ausf¨ uhrlicheres zu Leben und Werk von Vi`ete findet sich aus der Feder von J. E. Hofmann in Vi`ete 1970. Vi`ete sagt bei seinem Wurzelsatz nicht, wie er auf ihn gekommen ist. Er sagt also nichts dar¨ uber, wie sich der Bau der Koeffizienten algebraischer Gleichungen aus dem Produkt (A − B)(A − D)(A − F )(A − G) · · · erkl¨ art. Das Produkt kommt bei ihm u ¨ berhaupt nicht vor. Es passt ja auch nicht zu seiner Darstellung der Gleichungen, bei denen auf der rechten Seite immer das Produkt der Wurzeln steht. Dies ist bei Descartes ganz anders. Der sagt zwar nichts u ¨ ber den Bau der Koeffizienten einer algebraischen Gleichung, daf¨ ur spricht er in seiner Geometrie (1637) um so ausf¨ uhrlicher von dem multiplikativen Aufbau von Polynomen durch Linearfaktoren. Er sagt, dass gr¨ undliche Kenntnis der algebraischen Gleichungen f¨ ur die Geometrie unerl¨ asslich sei, will er sie doch mit Hilfe der Algebra beherrschen. F¨ ur eine Ansicht moderner Autoren zum Thema Algebra, Geometrie und Descartes lese man Beutelspacher & Rosenbaum 1992, S. 51 oben. Schildern wir also, was Descartes in seiner Geometrie u ¨ ber die Nullstellen von Polynomen berichtet (Descartes 1954, S. 157 ff.). Zun¨achst sagt er, dass es h¨aufig am besten sei, sich die Gleichung als f (x) = 0 vorzustellen. Man k¨ onne ja von der Gleichung f (x) = g(x) stets zu der Gleichung f (x) − g(x) = 0 u ¨ bergehen. Er bringt also alle Terme auf die linke Seite. Dann sagt er, und das sei w¨ ortlich zitiert: Scach´es donc qu’en chasque Equation, autant que la quantit´e inconnue a de dimensions, autant peut il y auoir de diuerses racines, c’est a dire de valeurs de

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

cete quantit´e . Hierin sind zwei Dinge bemerkenswert. Einmal die Bemerkung, dass eine Gleichung soviele verschiedene Wurzeln haben kann, wie ihr Grad betr¨ agt, wobei er den Grad Dimension nennt, und zum andern, dass er die L¨ osungen der Gleichung racines, Wurzeln also, nennt. Wir hatten gesehen, dass in fr¨ uherer Zeit die Auffassung die war, dass x die Wurzel von xn sei und dass zwischen den Gr¨ oßen 1, der Wurzel x und x2 , . . . xn , den Potenzen der Wurzel x, die Relation n i unde. In der Zwischenzeit hat also eine Umdeutung stattgei:=0 ai x = 0 best¨ funden, die m¨ oglicherweise erst Descartes vollzog. Wie Vi`ete das Wort radix verwendet, ist mir aus den wenigen Stellen, die ich bei Vi`ete gesehen habe, nicht klar geworden. Descartes belegt die Aussage u ¨ ber die Wurzeln mit Beispielen. Er betrachtet die Gleichungen x = 2 und x = 3, oder, was dasselbe w¨are, die Gleichungen x − 2 = 0 und x − 3 = 0. Dann multipliziert er diese beiden Gleichungen und erh¨ alt die Gleichung x2 − 5x + 6 = 0 mit den L¨ osungen x = 2 und x = 3. Diese Gleichung multipliziert er wiederum mit der Gleichung x − 4 = 0, um x3 − 9x2 + 26x − 24 = 0 mit den L¨ osungen 2, 3 und 4 zu erhalten. Es passiere h¨ aufig, dass einige der Wurzeln einer Gleichung negativ seien, wobei er die negativen Wurzeln racines fausses, falsche Wurzeln also, nennt. Ich will nicht dar¨ uber r¨ atseln, was f¨ ur eine Auffassung Descartes’ von negativen Zahlen sich hinter dem Wort fausse verbirgt, wie auch nicht u ¨ber das Wort imaginaire, das er f¨ ur nicht reelle Wurzeln algebraischer Gleichungen benutzt, wie wir gleich sehen werden. Ich nehme beide unreflektiert als Vokabeln, die er benutzt, um Dinge zu bezeichnen, deren Status damals noch nicht gekl¨art war, mit denen man aber erstaunlich gut hantieren konnte. Was f¨ ur eine Vorstellung Descartes von negativen und komplexen Zahlen hatte, werden wir nicht mehr herausfinden. Er betrachtet nun die Gleichung x + 5 = 0 mit der L¨osung −5. Multiplikation mit obiger Gleichung dritten Grades ergibt x4 − 4x3 − 19x2 + 106x − 120 = 0. Diese Gleichung nun hat die L¨ osungen 2, 3, 4 und die falsche 5, dh., −5. Dann formuliert er den Satz, den wir kurz so aussprechen: Ist f eine Polynom, so ist die Gr¨oße λ genau dann Nullstelle von f , wenn es eine Polynom g gibt mit f (x) = (x − λ)g(x) f¨ ur alle x. Was den Beweis dieses Satzes anbelangt, so sagt er nur, dass seine G¨ ultigkeit von dem Vorhergehenden her evident sei. Imagin¨ are Nullstellen zieht er dabei nicht in Betracht. Da dieser Satz so wichtig ist, sei er hier im Wortlaut wiederholt. Man beachte, dass er nicht Polynomfunktion, bzw. Polynom sagt, sondern somme d’vne equation.

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Et on voit euidemment de cecy, que la somme d’vne equation, qui contient plusieurs racines, peut tousiours estre diuis´ee p` ar vn bin´ ome compos´e de la quantit´e inconnu¨e, moins la valeur de l’vne des vrayes racines, laquelle que ce soit; ou plus la valeur de l’vne des fauss´es. Au moyens de quoy on diminue d’autant ses dimensions. Et reciproquement que si la somme d’vne equation ne peut estre diuis´ee par vn bin´ ome compos´e de la quantit´e inconnu + ou − quelque autre quantit´e, cela tesmoigne que cete autre quantit´e n’est la valeur d’aucune de ses racines. Comme cete derniere x4 − 4x3 − 19x2 + 106x − 120 = 0 peut bien estre divis´es, par x − 2, & par x − 3, & par x − 4, & par x + 5; mais non point par x + ou − aucune autre quantit´e. cequi monstre qu’elle ne peut auoit que les quatre racines 2, 3, 4, & 5. (Die 5 wird bei Descartes nicht ausdr¨ ucklich negativ genannt.) Auf diesen Satz folgt unmittelbar das, was wir heute cartesische Zeichenregel nennen. Sie gibt eine Schranke f¨ ur die Anzahl der positiven Wurzeln einer algebraischen Gleichung. Da sie einer der Ausgangspunkte f¨ ur das folgende sein wird, verschieben wir ihre Diskussion ein wenig und schildern zun¨ achst noch, was sich weiter u ¨ ber Polynome in Descartes’ Geometrie findet. Er stellt fest, dass man aus einem Polynom f ein solches g machen kann, dass genau dann f (λ) = 0 gilt, wenn g(−λ) = 0 ist. Aus den negativen Wurzeln von f werden dann positive Wurzeln von g, so dass man die cartesische Zeichenregel auf g anwenden kann, um eine obere Schranke f¨ ur die Anzahl der negativen Wurzeln von f zu bekommen. Dieses g zu finden, ist sehr einfach. Man a¨ndere bei allen Koeffizienten von f , die bei ungeraden Potenzen von x stehen, das Vorzeichen, w¨ahrend alle u ¨ brigen Koeffizienten ihr Vorzeichen beibehalten. Descartes setzt also g(x) := f (−x), ohne das so zu sagen. Als Beispiel nimmt er obige Gleichung vierten Grades. Sie wird zu x4 + 4x3 − 19x2 − 106x − 120 = 0. Diese Gleichung hat die L¨ osungen 5 und −2, −3, −4. Er beschreibt auch, was die Transformation x = y − a f¨ ur Folgen hat. Die Zahl der negativen bzw. positiven Wurzeln ist bei dieser Transformation keine Invariante, w¨ ahrend die Gesamtzahl der Wurzeln gleich bleibt. Er betont, dass man mit dieser Transformation den zweith¨ ochsten Term einer algebraischen Gleichung zum verschwinden bringen kann. Ist n¨ amlich f (x) = xn + bxn−1 + . . . , so definiere man y durch die Gleichung x = y − nb . Dann ist der Koeffizient von y n−1 in dem durch g(y) := f (y − nb ) definierten Polynom gleich null. Diese Transformation hat auch schon Cardano benutzt, wie wir gesehen haben.

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Er kennt auch den Effekt der Transformation x = αy auf die Wurzeln. Mittels solcher Transformationen kann man erreichen, dass aus rationalzahligen Gleichungen ganzzahlige werden. Gelegentlich k¨onne man sie auch verwenden, um Gleichungen, deren Koeffizienten surdisch (sours) sind, zu rationalzahligen zu machen. Er bemerkt ferner, dass alle diese Transformationen aus imagin¨ aren Wurzeln wieder imagin¨are machen. Dies sagt er ausdr¨ ucklich. Er weiß, dass die ganzzahligen Wurzeln eines ganzzahligen Polynoms, dessen Leitkoeffizient eins ist, Teiler des Absolutgliedes sind. Hat ein geometrisches Problem auf eine ganzzahlige Gleichung dritten Grades mit Leitkoeffizient eins gef¨ uhrt und findet sich unter den Teilern des Absolutgliedes keinei L¨ osung der Gleichung, so ist das Problem nicht mit Zirkel und Lineal, sondern nur mit Kegelschnitten l¨ osbar. Auch f¨ ur diese Aussage, die richtig ist, gibt er keinen Beweis. Ob der Teiler a des Absolutgliedes Wurzel ist, testet er dadurch, dass er nachsieht, ob die Division mit Rest durch x − a bzw. x + a aufgeht. Das sollte den Leser an das HornerRuffinischema erinnern. In dieser Aussage Descartes’ haben wir ein fr¨ uhes, wenn nicht sogar das erste Irreduzibilit¨ atskriterium vor uns. Er behandelt auch noch Gleichungen vierten, f¨ unften und sechsten Grades und zeigt, wie man sie mit Hilfe von Kegelschnitten l¨osen kann. Diese L¨osungsm¨oglichkeit bietet er auch f¨ ur Gleichungen dritten Grades an, wo Cardanos Formel versagt: En sortei que toutes celles des Equations cubiques qui ne peuuent estre exprim´ees pari les reigles de Cardan, le peuuent estre autant ou plus clairement par la fa¸con icy propos´ee (Descartes 1954, S. 214). Kommen wir zur cartesischen Zeichenregel. Descartes formuliert sie, gibt aber keinen Beweis (Descartes 1954, S. 161). Zun¨achst ben¨ otigen wir noch etwas an Vorbereitung. Es sei a eine endliche oder unendliche Folge u ¨ber R. Sind i und j Indizes mit . = aj−1 = 0, so sprechen wir von einem i < j und gilt ai aj < 0 und ai+1 = . . n ¨ber R, Zeichenwechsel der Folge a. Ist f (x) = i:=0 ai xi eine Polynomfunktion u so sind die Zeichenwechsel von f gerade die Zeichenwechsel der Koeffizientenfolge a. Satz 1. Ist a eine Folge u ¨ber R, so gilt a) Ist a1 an > 0, so ist die Anzahl der Zeichenwechsel der Folge a1 , . . . , an gerade. b) Ist a1 an < 0, so ist die Anzahl der Zeichenwechsel der Folge a1 , . . . , an ungerade. Beweis. Ist n = 2, so ist die Anzahl der Zeichenwechsel im Falle a) gleich 0 und im Falle b) gleich 1, so dass die Aussagen in diesem Falle gelten. Es sei n > 2 und der Satz gelte f¨ ur alle k¨ urzeren Folgen. Es sei m der gr¨ oßte Index unterhalb n mit ur die Folge a1 , . . . , am . Nun sind am = 0. Nach Induktionsannahme gilt der Satz f¨ ¨ vier F¨ alle zu diskutieren, was dem Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen sei. Wir ben¨ otigen einen weiteren Satz, der laut D¨orrie 1955, S. 113 von Gauß stammt.

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Satz 2. Ist f eine von null verschiedene Polynomfunktion u ¨ber R und ist p ∈ R+ , ist ferner w(f ) die Anzahl der Zeichenwechsel von f und w((x − p)f ) die von (x − p)f , so ist w((x − p)f ) um eine ungerade Zahl gr¨ oßer als w(f ). n urfen annehmen, dass an > 0 ist, da Beweis. Es sei f (x) = i:=0 ai xi . Wir d¨ die Funktionen −f und (x − p)(−f ) die gleiche Anzahl von Zeichenwechsel haben wie f bzw. (x − p)f . Wir d¨ urfen ferner annehmen, dass a0 = 0 ist. Es ist n  n+1 (x − p)f (x) = an x + (ai−1 − pai )xi − pa0 . i:=1

Es sei zun¨achst w(f ) = 0. Mit Satz 1 folgt, dass a0 > 0 ist. Dann ist aber −pa0 < 0, so dass w((x − p)f ) nach Satz 1 ungerade ist. Also gilt der Satz in diesem Falle. Es sei also w(f ) > 0. Es sei I die folgendermaßen definierte Teilmenge von {0, 1, . . . , n}: Es ist n ∈ I. Es sei i ≤ n und i ∈ I. Ist j der gr¨ oßte unter den Indizes unterhalb i mit ai aj < 0, so sei j ∈ I. Die Indizes i, j ∈ I mit i > j heißen benachbart, falls aus i ≥ k ≥ j und k ∈ I folgt, dass i = k oder k = j ist. Wegen w(f ) > 0 enth¨ alt I wenigstens zwei Elemente. Es seien i und j zwei benachbarte Indizes aus I mit i > j. Dann ist ai aj < 0. ur alle k mit i > k > j auf Grund der Definition Ferner ist ai ak ≥ 0 bzw. ak aj ≤ 0 f¨ von I. 1. Fall. Es ist i = n. Dann ist also an aj < 0 und an aj+1 ≥ 0. Wegen p > 0 folgt an (aj − paj+1 ) = an aj − pan aj+1 < 0. Nach Satz 1 enth¨ alt die Folge an , an−1 − pan , . . . , aj − paj+1 also eine ungerade Anzahl von Zeichenwechsel. 2. Fall. Es ist i < n. Dann ist (ai − pai+1 )(aj − paj+1 ) = ai aj − p(ai+1 aj + ai aj+1 ) + p2 ai+1 aj+1 . Auf Grund der Definition von I ist ai aj < 0. Ferner ist ai+1 = 0 oder ai+1 und ai haben entgegengesetzte Vorzeichen. Weil auch ai und aj entgegengesetzte Vorzeichen haben, ist also ai+1 aj ≥ 0. Schließlich gilt auch ai aj+1 ≥ 0. Weil p positiv ist, ist folglich −p(ai+1 aj + ai aj+1 ) ≤ 0. Wie schon bemerkt, ist ai+1 ai ≤ 0 und aj+1 ai ≥ 0. Daher ist ai+1 aj+1 a2i ≤ 0 und wegen a2i > 0 schließlich ai+1 aj+1 ≤ 0. Aus all dem folgt (ai − pai+1 )(aj − paj+1 ) < 0,

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

so dass auch die Folge ai − pai+1 , . . . , aj − paj+1 eine ungerade Anzahl von Zeichenwechsel hat. Mit diesen beiden F¨ allen haben wir uns an Hand der Zeichenwechsel in der ¨ Koeffizientenfolge von f einen Uberblick verschafft u ¨ ber die Zeichenwechsel in der Folge an , an−1 − pan , . . . , aj − paj+1 , wobei j der kleinste Index aus I ist. Es sei weiterhin j der kleinste Index aus I. Dann ist aj a0 > 0. Weil w(f ) nicht null ist, ist j < n. Also ist aj+1 definiert und es gilt aj+1 a0 ≤ 0. Es folgt (aj − paj+1 )(−pa0 ) = −paj a0 + p2 aj+1 a0 < 0. Nach Satz 1 hat die Folge aj − paj+1 , . . . , −pa0 eine ungerade Anzahl von Zeichenwechsel. Wir zerlegen nun die Folge an , an−1 − pan , . . . , aj − paj+1 , den F¨ allen 1 und 2 entsprechend in w(a) Teilfolgen. Die k-te Teilfolge hat dann 1 + 2vk Zeichenwechsel mit vk ∈ N0 . Der noch fehlende Rest der Koeffizientenfolge hat ebenfalls eine ungerade Anzahl 1 + 2vw(f )+1 von Zeichenwechseln. Also ist w(f )+1 w(f )+1  

 w (x − p)f = (1 + 2vi ) = w(f ) + 1 + 2 vi . i:=1

i:=1

Damit ist Satz 2 bewiesen. Cartesische Zeichenregel. Ist f eine Polynomfunktion u ¨ber R, so ist die Anzahl der positiven Nullstellen von f — Vielfachheiten mitgez¨ ahlt (Dies ist mein Zusatz) — h¨ ochstens so groß wie die Anzahl der Zeichenwechsel von f . Ein sp¨ aterer Zusatz besagt noch, dass die Differenz dieser beiden Zahlen gerade ist. ¨ Beweis. Hat f keine positiven Nullstellen, so gilt die Absch¨ atzung. Uberdies haben der Leitkoeffizient und das Absolutglied von f gleiches Vorzeichen, weil sonst f (0) und f (∞) unterschiedliches Vorzeichen h¨atten. Dann h¨ atte f aber eine positive Nullstelle, da f ja eine Polynomfunktion u ¨ber den reellen Zahlen ist. Weil also Leitkoeffizient und Absolutglied gleiches Vorzeichen haben, ist die Anzahl der Zeichenwechsel in f nach Satz 1 gerade. Also gilt auch der Zusatz. Es sei also p eine positive Nullstelle von f . Es gibt dann nach dem Satz von Nu˜ nes eine Polynomfunktion g mit f (x) = (x − p)g(x). Es sei a(f ) die Anzahl der positiven Nullstellen von f und a(g) die von g. Dann ist a(f ) = a(g) + 1,

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vorausgesetzt, man z¨ahlt auch die Vielfachheiten der Wurzeln mit. Nach Induktionsannahme ist a(g) ≤ w(g) und w(g) − a(g) gerade. Nach Satz 2 ist w(f ) = w(g) + 2k + 1 mit k ∈ N0 . Es folgt w(f ) − a(f ) = w(g) + 2k + 1 − a(g) − 1 = w(g) − a(g) + 2k. Nun ist die rechte Seite der Gleichungskette aber eine nicht negative gerade Zahl. Damit ist die cartesische Zeichenregel einschließlich des Zusatzes bewiesen. Den hier wiedergegebenen Beweis fand ich im Wesentlichen in D¨orrie 1955. D¨ orrie sagt nichts u ¨ ber die Vielfachheit von Wurzeln. Implizit benutzt er sie aber, da er f zerlegt in f (x) = (x − α)(x − β) · · · (x − ) · ϕ(x), wobei ϕ keine positiven Wurzeln mehr hat. Weber spricht auch nicht ausdr¨ ucklich von den Vielfachheiten. Ohne sie wird der Zusatz aber falsch. Es ist ja w((x − 1)n ) = n. Die Anzahl der positiven Wurzeln ohne Vielfachheit ist 1, aber n − 1 ist abwechselnd gerade und ungerade. Ganz zu Anfang dieses Beweises und nur dort haben wir davon Gebrauch gemacht, dass f eine Polynomfunktion u ¨ber R ist, indem wir den Satz benutzten, dass eine Polynomfunktion f , f¨ ur die es zwei reelle Zahlen a und b gibt mit f (a)f (b) < 0, eine Nullstelle zwischen a und b hat. Von diesem Satz macht etwa auch Cauchy Gebrauch, wie wir im n¨ achsten Abschnitt sehen werden. Dieser Satz jedoch stand damals noch auf schwankendem Boden, da immer noch nicht definiert war, was unter reellen Zahlen zu verstehen sei. Es sei hier schon erw¨ ahnt, dass es K¨ orper gibt, die in vieler Hinsicht dem K¨ orper der reellen Zahlen gleichen, ohne zu ihm isomorph zu sein. Es sind dies die reell abgeschlossenen K¨ orper. Das sind solche K¨ orper, in denen −1 nicht Summe von Quadraten ist, w¨ ahrend in allen ihren algebraischen Erweiterungen −1 im Gegensatz dazu sich als Summe von Quadraten darstellen l¨ asst. Diese K¨orper lassen sich stets anordnen und haben dann auch die Eigenschaft, dass ein Polynom f zwischen a und b eine Nullstelle hat, falls f (a)f (b) < 0 ist. In solchen K¨orpern gilt dann auch die cartesische Zeichenregel. Angeordnete K¨orper werden noch in diesem Kapitel Gegenstand unserer Untersuchungen sein. Die cartesische Zeichenregel gibt nur obere Schranken f¨ ur die Anzahl der positiven Wurzeln einer Polynomfunktion u ¨ber R, dh., f¨ ur die Anzahl der Wurzeln einer solchen Funktion im Intervall (0, ∞). Ist die Anzahl der Zeichenwechsel ungerade, so ergibt sie auch eine Existenzaussage, wobei der Fall genau eines Zeichenwechsels uns im n¨achsten Abschnitt noch gute Dienste leisten wird. Verallgemeinerungen der cartesischen Regel auf Intervalle (a, b), wobei a und b beliebige reelle Zahlen sind, gibt es von Newton, Budan und Fourier, wie auch von Jacobi. ¨ die genaue Anzahl der N¨aheres hierzu findet sich in Weber 1895, 341–364. Uber

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Wurzeln zwischen a und b, jedoch ohne deren Vielfachheit, gibt der sturmsche Satz Auskunft, mit dem wir uns noch ausf¨ uhrlich besch¨ aftigen werden. Er gilt auch f¨ ur reell abgeschlossene K¨orper wie die cartesische Zeichenregel. 2. Cauchy, Exercices de math´ ematiques. Zwei Fragen wurden im letzten Abschnitt angesprochen, n¨ amlich die Frage nach dem Bau der Koeffizienten einer Polynomfunktion und die Frage nach den Nullstellen einer solchen Funktion. Der vietasche Wurzelsatz folgert bei einer Gleichung n-ten Grades die Existenz von n Nullstellen aus dem Bau der Koeffizienten. Ob die Koeffizienten einer Polynomfunktion immer so gebaut sind, wie Vi`ete in seinem Satz postuliert, l¨ asst er offen. Die Bejahung dieser Frage ist grosso modo gleichbedeutend mit der G¨ ultigkeit des Fundamentalsatzes der Algebra, die wir in diesem Abschnitt nachweisen werden. Sp¨ ater werden wir f¨ ur den Fundamentalsatz noch zwei weitere Beweise geben, die auf Laplace und Gauß zur¨ uckgehen und die weitgehender Verallgemeinerung f¨ ahig sind. Noch sp¨ater, in Kapitel 14, werden wir einen vierten Beweis geben, der von Artin und Schreier stammt. F¨ ur das Folgende vergleiche man Kap. 11, Abschn. 7, 8, 9. Wichtig f¨ ur Theorie und Praxis ist eine, wie es scheint, auf MacLaurin zur¨ uckgehende und von Cauchy weitergef¨ uhrte Absch¨ atzung f¨ ur die Wurzeln einer Gleichung. Cauchy hatte zun¨ achst in seinem Cours d’Analyse S. 274ff. (Œuvres, ¨ ber alle Grenzen w¨achst, wenn f eine PolynomIII) gezeigt, dass |f (x)|2 mit |x| u funktion u ¨ber C ist. Dabei benutzte er, was er vorher √ gezeigt hatte, dass sich jeder imagin¨ are Ausdruck (expression imaginaire) u + v −1 als √

 r cos ϕ + −1 sin ϕ mit r ≥ 0 darstellen l¨ asst. Damit bekommt er f¨ ur |f (x)|2 einen Ausdruck in r, 2 cos ϕ und sin ϕ, der zeigt, dass |f (x)| tats¨achlich mit |x| gegen Unendlich strebt. Daraus folgert er, ohne dies zu begr¨ unden, dass |f (x)|2 an einer endlichen Stelle ein Minimum annimmt. Von diesem Minimum zeigt er dann, dass es null ist. Dass ist die Struktur des Beweises, die laut Sekund¨arliteratur auf Argand (Annales de Gergonne 1815, zitiert nach D¨ orrie 1955, S. 7) zur¨ uckgeht. Cauchy selbst schreibt, dass sein Beweis eine Variante des Beweises sei, den Legendre in seiner Th´eorie des Nombres, Ire Partie, §XIV gegeben habe. Hier taucht also ein weiterer Name im Zusammenhang mit dem Fundamentalsatz der Algebra auf, Legendre. Geht man dem cauchyschen Zitat nach, so findet man dort (Legendre, an VI, S. 161): Les m´ethodes qu’on vient d’exposer ne laissent rien a ` desirer pour ce qui regarde les racines r´eelles des ´equations. Quant aux racines imaginaires, il peut ˆetre utile aussi d’en avoir une expression approch´ee ind´efiniment, et l’analyse ind´etermin´ee offre des cas o` u l’on a besoin de convertir en fraction continue la partie r´eelle de ces racines. Nous saisirons cette occasion de pr´esenter quelques vues nouvelles sur l’approximation des racines imaginaires, objet jusqu’` a pr´esent assez n´eglig´e des Analystes.

2. Cauchy, Exercices de math´ematiques

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On√sait que toute racine imaginaire d’une ´equation peut ˆetre repr´esent´ee par α + β −1, α et β ´etant des quantit´es reelles; Dieses Zitat zeigt, dass es Legendre nicht um den Fundamentalsatz der Algebra geht, dessen G¨ ultigkeit er in der Form unterstellt, wie er zu seiner Zeit √ bewiesen war: Alle Wurzeln einer algebraischen Gleichung haben die Form α + β −1 mit α, β ∈ R. Er will vielmehr eine gegebene Approximation an eine komplexe Nullstelle verbessern. Die Techniken, die er dabei anwendet, wendet nun Cauchy an, um zu asst, falls f (k) nicht null ist. zeigen, dass das Minimum |f (k)|2 sich verkleinern l¨ In seinen Exercices de math´ematiques. Quatri`eme ann´ee, die im Jahre 1829 erschienen, f¨ ugt Cauchy der Wachstumsaussage noch eine Schranke f¨ ur die Nullstellen einer komplexen Polynomfunktion hinzu. Dort reproduziert er auch eine weitere Variante des schon zuvor gegebenen Beweises f¨ ur den Fundamentalsatz der Algebra. Bevor all dies durchgef¨ uhrt werden kann, muss etwas u ¨ber die komplexen Zahlen gesagt werden. Sie waren damals noch nicht Allgemeingut der Mathematik und so findet sich sowohl in Cauchys Cours d’analyse von 1821 wie auch in seinen Exercices de math´ematiques von 1829 eine ausf¨ uhrliche Beschreibung der komplexen Zahlen. Dabei liegt in seinem Cours d’analyse neben der Definition der imagin¨ aren Ausdr¨ ucke (expressions imaginaires), wie er die komplexen Zahlen nennt, das Schwergewicht auf der Darstellung der komplexen Zahlen als Ausdr¨ ucke der Form √ 

r cos ϕ + −1 sin ϕ mit zahlreichen Interpretationen trigonometrischer Formeln. Ich beziehe mich hier stattdessen auf das Kapitel Sur la r´esolution des ´equations num´eriques et sur la th´eorie de l’´elimination der Exercices de math´ematiques, wo die trigonometrischen Funktionen nicht mehr die dominierende Rolle spielen. Dieses Kapitel findet sich auf den Seiten 65–128 des zitierten Lehrbuchs. In diesem Kapitel res¨ umiert Cauchy zun¨ achst, was andere vor ihm gemacht haben, um vor allem die reellen Nullstellen, aber nicht nur diese, einer Polynomfunktion zu bestimmen. Er erw¨ ahnt u. a. Lagrange, der die Wurzeln einer Gleichung mit Hilfe einer anderen Gleichung i. a. h¨ oheren Grades versuchte zu berechnen, deren Unbekannte als Werte die Differenzen der Quadrate der Nullstellen h¨ atten. Man bediene sich dieser Funktion, um den Minimalabstand zweier reeller Nullstellen zu bestimmen. Er, Cauchy, habe gezeigt, dass man zu diesem Zweck sich auch des Produktes der Differenzen der Wurzeln bedienen k¨ onne. Er zitiert hier nur seine Analyse alg´ebrique, Note III, die sich im Anhang seines Cours d’analyse befindet. Das alles klingt f¨ ur den Uneingeweihten obskur. Ich hoffe, sp¨ ater Licht in dieses Dunkel zu bringen (Kap. 11, Absch. 8 und 9). Er erw¨ ahnt weitere Resultate zu diesem Gegenstand von Newton, de Hall´e, Euler, Lagrange, Budan und Legendre, ohne seine Zitate zu pr¨ azisieren. Ferner nennt er Fourier, der ein Resultat in diesem Kontext angek¨ undigt, der aber noch keinen Beweis dieses Resultats publiziert habe. Die fouriersche Ank¨ undigung wird bibliographisch belegt. Von Legendre sagt er, dass er in der 2. Auflage seiner

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Th´eorie des nombres auch komplexe Nullstellen (racines r´eelles et imaginaires) betrachtet habe. Die erste Bemerkung, die zu machen ist, ist die, dass seine Koeffizienten Indizes tragen. So findet sich auf S. 66 die lineare Gleichung a0 x + a1 = 0 und auf Seite 67 die quadratische Gleichung a0 x2 + a1 x + a2 = 0. Generell schreibt er a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an = 0. Er verwendet die Indizes also gegenl¨ aufig zu den Exponenten. ¨ Die Diskussion der linearen Gleichungen bietet keine Uberraschung. Von den quadratischen Gleichungen benutzt er die der Form x2 + B = 0 zur Motivation f¨ ur die Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen. Ist B < 0, so habe sie ur alle reellen zwei reelle L¨osungen. Ist B > 0 etwa B = 1, so ist x2 + 1 ≥ 1 f¨ x, so dass diese Gleichung keine — wir sagen, reelle — Nullstellen habe. Dann schreibt er weiter, wobei man beachten muss, dass √ die Formeln (12) und (13), die √ er anspricht, die L¨ osungen x = −B und x = − −B der Gleichung x2 + B = 0 im Falle B < 0 geben (S. 68): Dans le mˆeme cas, les valeurs de x, donn´ees par les formules (12) et (13), savoir, (18)

√ x = − −1,

(19)

x=

√

−1,

ne seront plus que des expressions alg´ebriques qui ne signifieront rien par ellesmˆemes, et qui, pour cette raison, sembleraient devoir ˆetre exclues de l’alg`ebre. N´eanmoins il peut ˆetre utile de les conserver dans le calcul. C’est en effet ce qui r´esulte des observations suivantes. Er setzt also die L¨ osungen der Gleichung x2 + 2 1 = 0 genauso √ an, wie√im Falle x + B = 0 mit negativem B. Dann sagt er, dass ucke seien und f¨ ur sich gesehen die Werte −1 und − −1 nur algebraische Ausdr¨ nichts bedeuteten, so dass es scheine, man m¨ usse sie aus der Algebra ausschließen. Nichtsdestotrotz k¨onne es n¨ utzlich sein, sie in den Kalk¨ ul einzubeziehen. Das w¨ are in der Tat das, was aus den folgenden Beobachtungen resultiere. Wir hatten gesehen, dass die negativen Zahlen und die Wurzeln aus ihnen beim Studium der Gleichungen dritten Grades auf ganz nat¨ urliche Weise ins Spiel kamen. Euler hat mit ihnen virtuos gerechnet, wenn auch nicht immer fehlerlos. Doch was die komplexen Zahlen wirklich sind, war lange Zeit ein R¨ atsel. Was Euler in seinem Buch Vollst¨andige Anleitung zur Algebra“ u ¨ber sie sagt, klingt f¨ ur uns ” ebenso komisch wie das, was er u ¨ ber die reellen Zahlen sagt (Euler 1942, Kap. 13,

2. Cauchy, Exercices de math´ematiques

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√ √ √ √ √ √ S. 59–63). Dort schließt er auch aus der Formel a b = ab, dass −2 −3 = 6 w¨are. Dass das Wurzelziehen wirklich ein schwieriges Problem ist, l¨asst sich auch ¨ aus dem Bayerischen Wurzelerlass ersehen, der im Ubrigen Euler auch nicht vor seinem Fehler bewahrt h¨ atte. Ich zitiere aus der Bek. d. Staatsmin. f. Unt. u. Kult. ” vom 29. 3. 1955 Nr. VIII 19291 u ¨ ber den Unterricht in Mathematik; hier: Definition und Gebrauch des Wurzelzeichens“, die sich an die Direktorate der H¨ oheren Lehranstalten und Mittelschulen richtet. Nachdem dort die gegenw¨ artige Lage, die Lage in der Hochschulmathematik und die nun verbindliche Definition der n-ten Wurzel √ urliche Zahl und a positiv Das Zeichen n a hat nur einen Sinn, wenn √ n eine nat¨ ” bestimmte) positive oder 0 ist. F¨ ur a > 0 versteht man unter n a die (eindeutig √ Zahl, deren n-te Potenz die Zahl a ist, f¨ ur a = 0 gilt n 0 = 0.“ erl¨autert wurden, findet sich unter IV. Folgen f¨ ur den Unterricht“ ” √ √ √ 3 oheren Schule nicht 3. Ebenso sollen Symbole wie −2, −8, i auf der H¨ ” definiert werden (vgl Ziff. 9 dieses Abschnitts). Damit soll nicht verboten werden, dass im Zuge der formalen Aufl¨ osung einer Gleichung (etwa einer quadratischen) einmal ein solches Symbol auftritt. Aber es muss dann sofort die Feststellung folgen: Wir sind auf ein Symbol gestoßen, dem kein Sinn innewohnt. Außerdem ist sogleich zu erw¨agen, was dies f¨ ur die angestrebte L¨osung der Aufgabe bedeutet.“ und etwas sp¨ ater 6. Bei Aufgaben u ¨ber Berechnung von Wurzelausdr¨ ucken mit allgemeinen ” Zahlen ist zun¨ achst darauf zu achten, dass ihr Radikand positiv ist. Außerdem muss in den Lehrb¨ uchern solchen Aufgaben eine Vorbemerkung vorausgeschickt werden, die besagt, dass alle Buchstaben unter der Wurzel positive Zahlen bedeuten. Sonst w¨are jedesmal eine nicht immer leichte Fallunterscheidung notwendig, z. B.: √ a2 = +a f¨ ur a > 0 √ a2 = −a f¨ ur a < 0 √ a2 = 0 f¨ ur a = 0 Allerdings sollen die Sch¨ uler an einigen gut u ¨bersehbaren Einf¨ uhrungsaufgaben an dieses Problem herangef¨ uhrt werden.“ Es findet sich noch mehr zum Schmunzeln dort. Welcher Mathematiker hat dieses Kuckucksei dem zust¨andigen Referenten, wohl einem Juristen, untergeschoben? Auf den Bayerischen Wurzelerlass machte mich ein M¨ unchener Kollege aufmerksam. Wallis (1616–1703), der norwegische Geod¨at Caspar Wessel (1745–1818) und der schweizerische Buchhalter Jean Robert Argand (1768–1822) sowie andere gaben geometrische Interpretationen der komplexen Zahlen, hatten aber alle keinen sonderlichen Einfluss auf andere. Argand und Wessel geh¨ orten nicht zu den Großen der Wissenschaft, denen man Beachtung schenkte, und bei Wessel kam hinzu, dass

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

er seine Arbeit auf D¨ anisch publizierte. Diese Arbeit, 1798 publiziert, wurde knapp ¨ hundert Jahre sp¨ ater ins Franz¨osische u ¨ bersetzt und so 1897 der Offentlichkeit zug¨anglich gemacht. (Remmert in Ebbinghaus et al. 1992, S. 46ff., Gericke 1970, S. 68 ff.). Zu der Zeit aber war kein Lorbeer mehr mit den komplexen Zahlen zu gewinnen. Gaußens geometrische Deutung schließlich, die er 1831 publizierte, fand die geb¨ uhrende Beachtung. Sie nahm den komplexen Zahlen alles Geheimnisvolle, wie Remmert schreibt (Ebbinghaus et al. 1992, S. 46ff.), so dass sie von nun an in die Mathematik eingeb¨ urgert waren. Dennoch gab es immer noch Unzufriedene. Wir heute sagen zurecht“, war doch ” die Geometrie damals auch eine Disziplin ohne Grundlagen. Die Lehrmeinung heute ist, dass Hamilton 1835 als erster eine hieb- und stichfeste Definition der komplexen Zahlen gegeben h¨ atte. Richtig ist, dass Cauchy mit seiner in seinem Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique von 1821 gegebenen und in seinen Exercices de math´ematiques von 1829 wiederholten Definition nicht zufrieden war, wie aus Cauchy 1847 hervorgeht. Dort entwickelt er, wie er schon im Titel sagt, eine neue Theorie der Imagin¨aren (une nouvelle th´eorie des imaginaires). Und in der Tat ist das, was er macht, in gewisser Weise neu. Er u ¨bertr¨ agt n¨ amlich das von Gauß, auf den er sich ausdr¨ ucklich beruft, eingef¨ uhrte Rechnen mit Kongruenzen modulo einer ganzen Zahl n auf den Polynomring u ¨ ber R, indem er von zwei Polynomen ϕ(x) und χ(x) sagt, dass sie nach dem Modul #(x) kongruent seien, wenn ihre Reste nach diesem Polynom gleich seien. Er schreibt daf¨ ur ! (3) ϕ(x) ≡ χ(x) mod .#(x) . Man k¨ onne stattdessen aber auch R(ϕ(x)) = R(χ(x)) schreiben. Das sei aber noch nicht alles, schreibt er: Ce n’est pas tout. Au lieu de placer une lettre caract´eristique R devant une fonction enti`ere ϕ(x), pour indiquer le reste qu’on obtient quand on divise cette fonction par #(x), on pourrait convenir que l’on se servira, pour cette indication, d’une lettre symbolique substitu´ee `a la variable x, dans la fonction elle-mˆeme. Soit i cette lettre symbolique. La seule pr´esence de la lettre i, substitu´ee `a x, on doit la r´eduire au reste de sa division par #(x), et alors la formule (3) pourra s’´ecrire comme il suit: (5)

ϕ(i) = χ(i),

tandis que la formule (4), qui suppose la fonction f (x) divisible par #(x) donnera (6)

f (i) = 0.

Comme la plus simple des fonctions divisibles par le diviseur #(x) est ce diviseur lui-mˆeme, la plus simple des ´equations symbolique de la form (6) sera (7)

#(i) = 0.

2. Cauchy, Exercices de math´ematiques

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Usw., usw. Cauchy rechnet also mit den Resten als Repr¨asentanten der Kongrualt er dann die komplexen Zahlen. enzklassen modulo #(x). Mit #(x) = x2 + 1 erh¨ — Gute Bezeichnungen sind das halbe Leben. Die hamiltonsche Konstruktion von C als der Menge aller Paare (a, b) mit a, b ∈ R, auf der in geeigneter Weise eine Addition und Multiplikation definiert wird, ist allen heute gel¨ aufig. An dieser Konstruktion ist nichts auszusetzen. Bei Hamilton bleibt nur seine Vorstellung der reellen Zahlen fragw¨ urdig. Dies nat¨ urlich auch bei Cauchy. Er definiert die imagin¨ a ren Ausdr¨ u cke, wie er die komplexen √ Zahlen nennt, als α + β −1 mit α, β ∈ R. Er definiert die Gleichheit solcher Ausdr¨ ucke durch √ √ α + β −1 = γ + δ −1 genau dann, wenn α = γ und β = δ ist. Ferner definiert er die Addition und Multiplikation von solchen Ausdr¨ ucken. Er diskutiert nicht die Assoziativit¨ at und Kommutativit¨ at von Addition und Multiplikation und auch nicht die Distributivgesetze. In seinem Cours d’analyse von 1821 sagt er jedoch, ohne es zu beweisen, dass man in einem Produkt von beliebig vielen Elementen die Multiplikationen in beliebiger Reihenfolge aus¨ uben kann. Das hat nat¨ urlich die Kommutativit¨ at und Assoziativit¨ at der Multiplikation zur Folge. Er definiert weiter: On dit que deux expressions imaginaires sont conjugu´ees l’une a ` l’autre, lorsque √ ces deux expressions ne diff`erent entre elles que par le signe du co´efficient de −1. La somme de deux semblables expressions est toujours r´eelle, ainsi que leur produit. En effet les deux expressions imaginaires conjug´ees √ √ (22) α + β −1, α − β −1 donne pour somme 2α, et pour produit α2 + β 2 . La racine carr´ee de ce produit; ou  (33) α2 + β 2 est, ce qu’on nomme le module de chacune des expressions (22). Er definiert also den Begriff des Konjugiertseins, zeigt, dass Summe und Produkt zweier konjugierter Zahlen reell sind, und definiert den Absolutbetrag eines imagin¨ aren Ausdrucks, den er module nennt und f¨ ur den er keine eigene Bezeichnung hat. Er beweist die Dreiecksungleichung und folgert aus ihr, dass

|a| − |b| ≤ |a + b| ist. Er nennt konjugierte Elemente auch a¨hnlich (semblable), wobei das Wort konjugiert“ sich durchgesetzt hat. ” Ich finde, dass nach heutigem Standard das, was Cauchy macht, genauso perfekt ist, wie das, was Hamilton macht. Ich habe jedenfalls keine Schwierigkeiten mit seinen formalen imagin¨ aren Ausdr¨ ucken, wie sie Cauchy selber nach seinem eigenen Zeugnis wohl hatte. Heute kann man diese Ausdr¨ ucke im Rahmen der Mengenlehre, die es zu Cauchys Zeiten noch nicht gab, genau so sauber definieren wie Hamiltons

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Paare, die erst von Kuratowski 1921 als im Rahmen der Mengenlehre definierbar erkannt wurden, indem er   (a, b) := {a}, {a, b} setzte und dann zeigte, dass (a, b) = (c, d) genau dann gilt, wenn a = c und b = d ist. Bei Cauchy wie auch bei Hamilton ist jeder Bezug auf die Geometrie verschwunden. Der Sachverhalt, dass aus (a, b) = (c, d) folgt, dass a = c und b = d ist, wird auch Satz von der eindeutigen Lesbarkeit“genannt. Als ich diesen Satz in meiner ” Vorlesung des WS. 1986/87 an die Tafel schrieb, erntete ich großes Gel¨achter, das ich zun¨ achst nicht verstand. Meine Handschrift! ¨ Der Ausdruck quantit´e r´eelle oder Ahnliches bei Cauchy finde ich bei Historikern immer mit reeller Gr¨ oße u ¨ bersetzt. Das scheint mir h¨aufig nicht gerechtfertigt. Das franz¨osische Wort r´eel hat sowohl den Sinn reell“ wie auch den Sinn real“ ” ” bzw. wirklich“ und dies scheint mir h¨ aufig das zu sein, was Cauchy meint. H¨aufig ” genug ist seine Ausdrucksweise aber auch zweideutig. Das bleibt nicht aus, wenn man u ¨ ber Dinge redet, die noch nicht vollst¨ andig verstanden sind. Polynomfunktionen u ¨ber C und ihre Nullstellen sind das Thema Cauchys. Er zeigt zun¨ achst, dass aus a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = b0 xn + b1 xn−1 + . . . + bn−1 x + bn mit reellen oder komplexen ai und bi folgt, dass ai = bi ist f¨ ur alle i. Er schließt so, dass er zun¨ achst x = 0 setzt, womit er an = bn erh¨alt. Daraus folgt die G¨ ultigkeit von a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x = b0 xn + b1 xn−1 + . . . + bn−1 x f¨ ur alle x. Nun dividiert er durch x und erh¨ alt a0 xn−1 + a1 xn−2 + . . . + an−1 = b0 xn−1 + b1 xn−2 + . . . + bn−1 , was jedoch zun¨achst nur f¨ ur alle x = 0 gilt. Mit Hilfe der Stetigkeit von Polynomfunktionen folgt dann auch die Gleichheit f¨ ur x = 0. Doch dar¨ uber verliert Cauchy kein Wort. Er setzt vielmehr sofort wieder x = 0, erh¨ alt an−1 = bn−1 und sagt dann: Und so weiter. Wir ließen unseren Studenten einen solch grobmaschigen Schluss nicht durchgehen, zumal der entsprechende Satz bei endlichen K¨ orpern ja nicht gilt. Nachdem er die imagin¨aren Ausdr¨ ucke eingef¨ uhrt und wesentliche ihrer Eigenschaften hergeleitet hat, zeigt er, dass eine Gleichung 2. Grades u ¨ber R oder C h¨ ochstens zwei imagin¨are L¨osungen hat, aber in C stets auch l¨ osbar ist. Dann wendet er sich der reinen Gleichung √ xn = α + β −1 zu.

2. Cauchy, Exercices de math´ematiques

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Zun¨ achst behandelt er den Fall, dass n eine Potenz von 2 ist. Diesen Fall f¨ uhrt er zur¨ uck auf die L¨ osung von quadratischen Gleichungen x2 = y, y 2 = z, z 2 = u, usw. Da Rekursion und Induktion Pascal zum Trotz immer noch mit einem Usw. behaftet sind,√verdeutlicht Cauchy dieses Verfahren√an Hand von Beispielen: x2 = y, y 2 = α + β −1 oder x2 = y, y 2 = z, z 2 = α + β −1 und noch das Beispiel f¨ ur n = 16. Jede dieser Gleichungen habe zwei L¨ osungen, so dass man insgesamt 2t L¨osungen erhielte, falls n = 2t sei. — Das Pascal zum Trotz“ steht hier nat¨ urlich ” des Effektes halber. Was davon zu halten ist, findet sich in Abschnitt 7 von Kapitel 2. Dann behandelt er den Fall, dass n ungerade ist. Hier zeigt er,√ dass es wenigstens eine L¨osung gibt. Es sei also n ungerade. Es sei ferner a = α + β −1 mit α, β ∈ R und die Gleichung xn = a sei zu l¨osen. Cauchy betrachtet zun¨achst die beiden Sonderf¨ alle α = 0 und β = 0. Man kann sich aber darauf beschr¨ anken, den Fall α = 0 gesondert zu betrachten. Es sei also α = 0. Weil n ungerade ist, existiert √ n β, auch wenn β kleiner als null ist. Setze x := (−1)

 √ β −1.

n−1 n 2

Dann ist xn = a.  Es seien nun α = 0. Wir setzen g(x) := |xn − a|. Ist |x| > n 2|a|, so ist g(x) ≥ |x|n − |a| > 2|a| − |a| = |a|. Wie wir gesehen haben, gibt es ein x mit xn = α. Mit diesem x gilt

√ g(x) = α − α − β −1 = |β| < |a|, da ja α = 0 ist. Setze    S := x | x ∈ C, |x| ≤ n 2|a| . Weil S kompakt und da g stetig ist, hat g ein Minimum auf S und dieses Minimum ist kleiner als |a|. — Dass g ein Minimum hat, ist f¨ ur Cauchy offenbar selbstverst¨andlich. Er verliert kein Wort dar¨ uber, dies zu begr¨ unden. — Weil g(x) ≥ |a| f¨ ur alle x ∈ S gilt, ist dieses Minimum ein absolutes Minimum von g. Es sei λ ∈ S und g(λ) sei minimal. Wegen g(0) = |a| ist λ = 0. Wir nehmen an, es sei g(λ) = 0. Es ist n    n n−i i (λ + z)n − a = λn − a + nλn−1 z + λ z. i i:=2 Es sei η eine positive reelle Zahl, u ¨ ber die wir gleich verf¨ ugen werden. Setze z := −η

λn − a . nλn−1

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Dann ist, und hier wird benutzt, dass g(λ) = 0 ist, (λ + z)n − a = (λn − a)(1 − η + c1 η 2 + . . . + cn−1 η n ) mit nicht weiter interessierenden c’s. Es sei zun¨achst η < 1. Dann ist





(λ + z)n − a) ≤ |λn − a| 1 − η + |c1 |η 2 + . . . + |cn−1 |η n

 = |λn − a| 1 − η(1 − |c1 |η − . . . − |cn−1 |η n−1 ) . W¨ ahlt man nun η hinreichend klein, so ist

 0 < 1 − η(1 − |c1 |η − . . . − |cn−1 |η n−1 ) < 1. Damit erhalten wir den Widerspruch

(λ + z)n − a < |λn − a|. Also ist doch g(λ) = 0 und damit λn = a. Schließlich behandelt er den gemischten Fall, dass l

x2

(2m+1)

√ = α + β −1

ist. Diese Gleichung ersetzt er durch das System l

x2 = y,

√ y 2m+1 = α + β −1.

Dann heißt es: et, pour chacune de ces valeurs de y, l’´equation l

x2 = y, dont le degr´e se reduit a ` une puissance du nombre 2, fournira autant de valeurs de x que son degr´e renferme unit´es. Hier wird also die offenkundige Aussage u ¨ber die Anzahl der L¨ osungen der Gleichung gemacht. Bemerkenswert daran ist die Formulierung que son degr´e renferme unit´es, wie ihr Grad Einheiten umfasst. Hier treffen wir also wieder die alte Auffassung der Griechen von den nat¨ urlichen Zahlen. Cauchy benutzt hier bei der Diskussion der reinen Gleichung xn = a nicht die n-ten Einheitswurzeln, die er in seinem Cours d’analyse ausf¨ uhrlich studiert. Er muss gewusst haben, dass die Gleichung n L¨osungen hat, falls a = 0 ist. Wie schon Euler (Euler 1749) und auch Lagrange (Lagrange 1769), die von diesem Sachverhalt sagen, dass er allgemein bekannt sei, beweist auch Cauchy den Satz, den wir beim Beweis der cartesischen Zeichenregel benutzten, dass eine Polynomfunktion f u ¨ ber R, die die Ungleichung f (a)f (b) < 0 erf¨ ullt, zwischen a und b eine Nullstelle hat. Wir bringen hier Cauchys Formulierung dieses Satzes und vor allem seinen Beweis im Wortlaut, um Cauchys Verst¨andnis der reellen Zahlen

2. Cauchy, Exercices de math´ematiques

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zu dokumentieren. In Absch. 8 von Kapitel 11 werden wir auch Lagranges Beweis kennen lernen, der verallgemeinerungsf¨ ahig ist. Hier zun¨ achst die Gleichung, auf die er sich im Satz bezieht. (1)

xn + Axn−1 + Bxn−2 + . . . Ix + K = 0.

Dann weiter, es ist sein Th´eor`eme 8: Satz 1. Si, en substituant l’une apr`es l’autre, dans le premier membre de l’´equation (1), deux valeurs r´eelles et finies de x, par exemple x = a, x = b, on obtient deux r´esultats des signes contraires, on pourra en conclure que l’´equation admet au moins une racine r´eelle comprise entre a et b. D´emonstration. En effet concevons que l’on fasse varier x par degr´es insensibles depuis la limite x = a jusqu’` a la limite x = b. Le premier membre de l’´equation (1), ou le polynom (2)

xn + Axn−1 + Bxn−2 + . . . + Ix + K

variera lui-mˆeme par degr´es insensibles, en conservant une valeur finie, mais de mani`ere `a changer le signe; et il est clair qu’il s’´evanouira au moment ou il passera du positif au n´egatif, ou du n´egatif au positif. Zun¨ achst ist zu bemerken, dass er die linke Seite der Gleichung erstes Glied der Gleichung (premier membre de l’´equation) nennt. Dies auch an anderen Stellen. Er l¨ asst nun x von a nach b in unmerklichen Schritten (par degr´es insensibles) variieren, was zur Folge habe, dass auch die fragliche Polynomfunktion in unmerklichen Schritten sich ver¨ andere und dabei das Vorzeichen wechsle. Dann sei klar, dass sie verschw¨ande in dem Moment, wo sie vom Positiven zum Negativen oder vom Negativen zum Positiven wechsle. So vage wie dieses Argument ist auch seine Definition der Stetigkeit in seinem Cours d’analyse. Auch bei Sturm findet sich dieses mathematisch damals noch nicht gefasste en croissant par degr´es insensibles als Stetigkeitsargument (Sturm 1835, S. 277 und 282). Das ist die Situation, die Dedekind vorfand, als er im Jahre 1858 sein erstes Analysiskolleg hielt. Wie er ihr damals in Z¨ urich begegnete, wurde im Abschnitt 2 von Kapitel 1 berichtet. Cauchy zieht aus seinem Theorem 8 zwei Folgerungen, n¨amlich die, dass Polynome ungeraden Grades stets eine reelle Nullstelle haben, und die, dass der Ausdruck xn + Axn−1 + . . . + Ix + K, den ich mit f (x) bezeichnen m¨ochte, falls n gerade und K < 0 ist, eine positive und eine negative Wurzel hat. Argumentiert wird dabei, wie schon zuvor, damit, dass   I K A n f (x) = x 1 + + . . . + n−1 + n x x x

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

ist. Ist nun |a| groß, so folgt hieraus dass der Ausdruck in der Klammer nahe bei eins liegt, so dass, da n gerade ist, f (−a) und f (a) positiv sind. Andererseits ist f (0) = K < 0. Mit Theorem 8 folgt daher die Behauptung. Dies ist Cauchys Argumentation. Folgerung und Beweis findet sich ebenfalls schon in Euler 1749. Darauf werden wir noch zur¨ uckkommen. ¨ Wichtig f¨ ur das Folgende ist auch Cauchys Th´eor`eme 9, das sich im Ubrigen auch schon bei Lagrange findet (Lagrange 1769, Nr. 7). Satz 2. Es sei f (x) := xn + ρ1 xn−1 + . . . + ρm xn−m − ρm+1 xn−m−1 − . . . − ρn−1 x − ρn eine reelle Polynomfunktion. Es gelte m < n und ρi ≥ 0 sowie ρn > 0. Dann hat f genau eine positive Nullstelle. (Diese hat die Vielfachheit 1. Anm. H. L.) Beweis. Dies folgt, einschließlich meines Zusatzes, direkt aus der cartesischen Zeichenregel, da w(f ) = 1 ist. Cauchy argumentiert umst¨andlicher. Wie das Beispiel x3 + 2x2 − x − 2 = (x − 1)(x + 1)(x + 2) zeigt, kann eine solche Polynomfunktion mehr als eine negative Nullstelle haben. Interessant ist der Spezialfall m = 0. F¨ ur ihn gilt, was Cauchy notiert und dann wesentlich benutzt: Satz 3. Es sei f (x) := xn − ρ1 xn−1 − ρ2 xn−2 − . . . − ρn eine reelle Polynomfunktion mit ρi ≥ 0 f¨ ur alle i und ρn > 0. Ist r die nach Satz 2 existierende positive Wurzel von f , so ist r < 1 + max(ρi | i := 1, . . . , n), wie auch min



√ 

√ n nρi | i := 1, . . . , n ≤ r ≤ max n nρi | i := 1, . . . , n .

Beweis. Die erste Ungleichung gilt, falls r ≤ 1 ist. Es sei also r > 1. Setze ρ := max(ρi | i := 1, . . . , n). Dann ist rn = ρ1 rn−1 + ρ2 + . . . + ρn ≤ ρ Da r > 1 ist, folgt weiter r−1≤ρ

rn − 1 < ρ. rn

rn − 1 . r−1

2. Cauchy, Exercices de math´ematiques

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Damit ist die erste Aussage bewiesen. Um die zweite Aussage zu beweisen, sei die Annahme, dass r > 1 sei, wieder aufgehoben. Es ist ρ2 ρn ρ1 + 2 + ... + n. 1= r r r Die Summanden auf der rechten Seite sind dann alle gleich gr¨ oßer und einige sind kleiner als n1 . Es folgt, dass die Zahlen

1 n

oder einige sind

nρ1 nρ2 nρn , , ..., n r r2 r alle gleich 1 oder einige gr¨oßer, einige kleiner als 1 sind. Es folgt, dass einige der Zahlen √ √ n nρ nρ2 nρ1 n , , ... r r r kleiner oder gleich 1 und einige gr¨ oßer oder gleich 1 sind. Es gibt also i und j mit √ √ i nρ j nρ j i ≤1≤ . r r Hieraus folgt die zweite Aussage. Die n¨ achste Aussage, eine Absch¨atzung der Wurzeln von Polynomfunktionen u ¨ ber C, wird bei Cauchy nicht eigens als Satz oder Korollar formuliert. Sie kommt nur beim Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra vor. Heute spielt sie im Rahmen der Computeralgebra wieder ihre Rolle. Verwandte Ungleichungen stehen bei Lagrange 1769 (Werke Bd. 2, S. 553). Er sagt n¨ amlich, dass f¨ ur die gr¨ oßte positive Nullstelle λ von f gelte, dass

 λ ≤ 1 + max |Ai | | i := 1, . . . n, Ai < 0 sei. Von dieser Ungleichung sagt er, dass sie seines Wissens von MacLaurin stamme. F¨ ur die kleinste negative bekommt man eine entsprechende Ungleichung, wenn man die schon etablierte auf f (−x) anwendet. Bei Cauchy sind beide Ungleichungen zusammengefasst und es werden auch noch komplexe Nullstellen zugelassen. Eine zur zweiten Ungleichung a¨hnliche steht ebenfalls bei Lagrange loc. cit. Satz 4. Es sei f (x) := xn + A1 xn−1 + A2 xn−2 + . . . + An−1 x + An eine Polynomfunktion u ¨ber C. Ist dann λ eine Nullstelle von f , so ist

 |λ| < 1 + max |Ai | | i := 1, . . . , n und auch |λ| ≤ max

  i n|Ai | | i := 1, . . . , n .

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

ur alle i und r := |λ|. Dann folgt mit Hilfe der DreiecksBeweis. Setze ρi := |Ai | f¨ ungleichung und der ebenfalls generell geltenden Ungleichung ||a| − |b|| ≤ |a + b| zun¨ achst |A1 λn−1 + . . . + An | ≤ ρ1 rn−1 + . . . + ρn und damit dann rn − ρ1 rn−1 − . . . − ρn ≤ rn − |A1 λn−1 + . . . + An | ≤ |λn + A1 λn−1 + . . . + An |

= f (λ) = 0. Also ist rn ≤ ρ1 rn−1 + . . . + ρn . Der Ausdruck y n − ρ1 y n−1 − . . . − ρn hat genau eine positive Nullstelle ν. Ist y > ν, so kann wegen Satz 1, da ν die einzige positive Nullstelle ist, nicht y n − ρ1 y n−1 − . . . − ρn ≤ 0 gelten. Da diese Ungleichung aber mit r anstelle von y gilt, ist r ≤ ν, so dass mit Satz 3 die Behauptung folgt. Korollar. Es sei f (x) := xn + A1 xn−1 + . . . + An−1 x + An eine Polynomfunktion u ¨ber C. Dann ist

|x|n − |A1 ||x|n−1 − . . . − |An−1 ||x| − |An | ≤ f (x) f¨ ur alle x ∈ C. Insbesondere gilt: Ist K ∈ R+ , so gibt es ein L ∈ R+ , so dass

f (x) > K ist f¨ ur alle x mit |x| > L. Beweis. Die erste Ungleichung wurde im Beweis von Satz 4 hergeleitet. Um die zweite Aussage zu beweisen, beachte man, dass der Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung f¨ ur x = 0 gleich   |An | |A1 | |A2 | |x| 1 − − − ... − |x| |x|2 |x|n n

2. Cauchy, Exercices de math´ematiques

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ist und dass der Ausdruck in der Klammer f¨ ur große |x| nahe bei 1 liegt. Nun haben wir alles beisammen, um den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen. Wir werden sp¨ ater noch weitere Beweis dieses Satzes sehen und dann ein wenig auf seine Geschichte eingehen. Fundamentalsatz der Algebra. Es sei f eine Polynomfunktion u ¨ber C, deren Grad mindestens 1 sei. Dann hat f eine Nullstelle in C. Beweis. Es sei K ∈ R+ . Nach dem Korollar zu Satz 4 gibt es ein L ∈ R+ , so dass

f (x) > K ist f¨ ur alle x mit |x| > L. Setze   S := x | x ∈ C, |x| ≤ L . Falls f eine Nullstelle haben sollte, so liegt sie in S. Die Menge S ist abgeschlossen und beschr¨ ankt und daher kompakt. Da f Polynomfunktion ist, ist |f | stetig. Folglich nimmt |f | auf S ihr Minimum an. Es sei μ dieses Minimum und es werde an der Stelle λ angenommen. Es sei |λ| = L. Wegen der Stetigkeit von f ist dann μ ≥ K und damit |f (x)| ≥ K f¨ ur alle x ∈ C. Setze K  := 2μ. Dann gibt es wiederum ein L ∈ R+ mit |f (x)| > K  f¨ ur alle x mit |x| > L . Die Funktion |f | nimmt auf der Kreisscheibe   S  := x | x ∈ C, |x| ≤ L ihr Minimum an. Es sei f (λ ) dieses Minimum. W¨are nun |λ | = L , so folgte wie ur alle x ∈ C. Damit folgte der Widerspruch eben |f (x)| ≥ K  f¨

μ = f (λ) ≥ K  = 2μ ≥ 2K > 0. Also ist |λ | < L , so dass wir von vorneherein annehmen d¨ urfen, dass λ < L ist. Hieraus folgt die Existenz einer offenen -Umgebung von λ, in der μ das Minimum von |f | ist. Wir zeigen nun, dass μ = 0 ist. Dann ist ja |f (λ)| = 0 und damit f (λ) = 0, so dass λ Nullstelle von f ist. Dazu nehmen wir an, dass μ > 0 sei. Wir entwickeln nun f (λ + h) mit einem h ∈ C nach Potenzen von h. Dann ist f (λ + h) = f (λ) +

n 

ai h i .

i:=1

Es sei m die kleinste nat¨ urliche Zahl mit am = 0. Dann ist f (λ + h) = f (λ) +

n  i:=m

ai h i .

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Weil Polynomfunktionen stetig sind, gibt es ein δ ∈ R+ mit δ ≤ , so dass



n ai i−m

h

<1 a i:=m+1 m ist, wenn nur |h| < δ ist. Wir w¨ ahlen ein η > 0 mit ημ < δ m |am |. Da man aus jeder komplexen Zahl die m-te Wurzel ziehen kann und da am nicht null ist, gibt es ein H mit H m am = −ηf (λ). Es folgt |H|m |am | = ημ < δ m |am | und folglich |H| < δ. Damit ergibt sich f (λ + H) = f (λ) +

n 

ai H i

i:=m

= f (λ) − ηf (λ) − ηf (λ)

n  i:=m+1

ai i−m H . am

Wegen |H| < δ ist der Betrag der Summe in dieser Gleichungskette kleiner als eins. Daher ist

f (λ + H) < (1 − η)μ + ημ = μ. Dies ist aber ein Widerspruch, da wegen δ ≤  auch |H| <  ist. Wie schon erw¨ ahnt, geht Cauchy auf die topologischen Feinheiten nicht ein. Dies geschieht bei Weber in seinem Lehrbuch der Algebra (1895). Ob fr¨ uhere Autoren schon so sorgf¨altig wie Weber argumentierten, weiß ich nicht. Cauchy zieht noch drei Folgerungen aus dem Fundamentalsatz der Algebra, den er noch nicht so nennt. Wer diesem Satz den Namen gab, weiß ich nicht. Die erste Folgerung ist die, dass f das Produkt von Linearfaktoren ist, f = (x − a)(x − b) · · · (x − i)(x − k). Hieraus folgt — und dies ist mein Kommentar —, dass auch die Umkehrung des vietaschen Wurzelsatzes gilt, die heute u ¨ blicherweise vietascher Wurzelsatz genannt wird. Cauchy folgert aus der Zerlegung weiter, dass es außer a, b, . . . , i, k keine

3. Polynomringe

531

weiteren Nullstellen gibt, da ein Produkt ja nur dann null ist, wenn einer der Faktoren es ist. Ist schließlich f eine Polynomfunktion u ¨ber R und ist a eine Nullstelle, so ist auch die konjugiert Komplexe a ¯ Nullstelle von f . Nun ist aber ¯)x + a¯ a (x − a)(x − a ¯) = x2 − (a + a ein quadratisches Polynom u ¨ ber R, folglich lassen sich reelle Polynomfunktionen u ¨ ber R in ein Produkt von linearen und quadratischen Polynomen zerlegen. Der Leser u ¨ berlege sich, woran es liegt, dass der Beweis f¨ ur die Exponentialfunktion zusammenbricht. Diese hat ja keine Nullstelle in C. 3. Polynomringe. Damit wir im Folgenden wissen, wovon wir nach heutigem Verst¨andnis reden, werden wir nun Polynomringe definieren, so wie es heute u ¨blich ist. Dabei beschreiben wir zuerst das Rechnen mit Monomen, wobei wir dies an Hand ihrer Exponentenfolge tun. Wir folgen hier also den Spuren Bombellis. Es sei X eine nicht leere Menge. Wir bezeichnen mit [X] die Menge aller Abbildungen von X in N0 , deren Tr¨ ager endlich ist. Dabei ist der Tr¨ ager von f die Menge der x ∈ X mit fx = 0. Wir bezeichen ihn mit Tr(f ). Auf [X] definieren wir eine Multiplikation, die wir mittels Juxtapposition oder auch mit · bezeichnen, durch (f g)x := fx + gx f¨ ur alle x ∈ X. Ferner definieren wir e ∈ [X] durch ex := 0 f¨ ur alle x ∈ X. Dann ist ([X], e, ·) ein kommutatives Monoid, wie Routinerechnungen zeigen. Dabei ist ein Monoid eine Menge mit einer bin¨ aren, assoziativen Verkn¨ upfung und einem bez¨ uglich dieser Verkn¨ upfung neutralen Element. Zwei Bemerkungen. Der Leser stelle sich unter einem Element von [X], wie eingangs gesagt, eine Exponentenfolge eines ihm vertrauten Monoms vor. Wenn wir ein St¨ uck weiter sind, wird klar werden, dass wir f¨ ur f ∈ [X] auch 

xfx

x∈X

schreiben d¨ urfen und dann auch werden. Zun¨ achst aber rechnen wir mit den Exponentenfolgen. Es ist zweitens zu beachten, dass Monoid und Halbgruppe mit neutralem Element verschiedene Begriffe sind. Ein Untermonoid eines Monoids enth¨ alt stets auch das neutrale Element des Monoids und Monoidhomomorphismen bilden das neutrale Element des Urbildmonoides auf das neutrale Element des Bildmonoides ab. Diese beiden Sachverhalte brauchen bei Halbgruppen nicht zu gelten. Ist x ∈ X, so definieren wir i(x) ∈ [X] durch i(x)y :=

1, falls y = x 0, falls y = x.

532

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Ist f ∈ [X], so ist



f=

i(x)fx .

x∈Tr(f )

Ist y ∈ X, so gilt ja f¨ ur die rechte Seite der Gleichung     fx i(x) = fx i(x)y y

x∈Tr(f )

x∈Tr(f )

auf Grund der Definition der Multiplikation in [X]. Ist nun y ∈ Tr(f ), so ist i(x)y = 0 f¨ ur alle x ∈ Tr(f ) und daher 

fx i(x)y = 0 = fy .

x∈Tr(f )

Ist dagegen y ∈ Tr(f ), so ist ebenfalls 

fx i(x)y = fy .

x∈Tr(f )

Damit ist die Aussage bewiesen. Die Abbildung i ist injektiv. Daher d¨ urfen und werden wir i(x) mit x identifizieren. In diesem Sinne ist also  xfx . f= x∈Tr(f )

Interpretiert man noch x0 als e, so kann man auch f=



xfx

x∈X

schreiben selbst dann, wenn X unendlich ist. Wegen dieser Darstellung der f ∈ [X] nennen wir die Elemente aus [X] auch Monome. Sie sind die Bausteine der Polynomringe, die wir gleich definieren werden. Ist X = {x1 , . . . , xn }, so schreibt man die Monome auch als n 

xfi i ,

i:=1

dh., man nimmt als Argumente f¨ ur f nicht die xi , sondern nur deren Indizes. Die Indexmenge tr¨agt die u ¨ bliche Anordnung. Mit ihrer Hilfe und der auf N0 definierten Anordnung kann man Monome lexikalisch anordnen. Dies geschieht folgendermaßen. Sind f und g zwei verschiedene Monome, so gibt es einen Index

3. Polynomringe

533

ur alle i < μ und fμ = gμ . Es gelte genau dann f < g, wenn μ mit fi = gi f¨ fμ < gμ ist. Die lexikalische Anordnung der Monome ist wirklich eine Anordnung, die u ¨ berdies linear ist, dh., dass je zwei Monome vergleichbar sind. Weiter gilt, dass sie auch mit der Multiplikation von Monomen vertr¨ aglich ist. Sind n¨ amlich f , g und h Monome und ist f < g, so ist auch f h < gh. Es ist ja (f h)i = fi + hi = gi + hi = (gh)i f¨ ur alle i < μ und (f h)μ = fμ + hμ < gμ + hμ = (gh)μ . Und aus f h < gh folgt, wie man ebenso rasch sieht, dass f < g ist. Damit ist die Vertr¨ aglichkeit der Anordnung mit der Multiplikation gezeigt. Diese Anordnung wird uns noch in diesem Abschnitt gute Dienste leisten. Ich fand sie bei Gauß 1816, der sie bei seinem Beweis des Fundamentalsatzes u ¨ ber symmetrische Funktionen benutzt. Er f¨ uhrt sie folgendermaßen ein: Ante omnia inter singulos hos terminos ordinem certum stabiliemus, ad quem finem primo ipsas indeterminatas a, b, c etc. ordine certo per se quidem prorsus arbitrario disponemus, e. g. ita, ut a primum locum obtineat, b secundum, c tertium etc. Dein e duobus terminis 





M aα bβ cγ . . . et M aα bβ cγ . . . priore ordinem alteriorem tribuemus quam posteriori, si fit vel α > α , vel α = α et β > β  , vel α = α , β = β  et γ > γ  , vel etc. i. e. si e differentiis α − α , β − β  , γ − γ  etc. prima, quae non evanescit, positiva evadit. Quocirca quum termini eiusdem ordinis non differant nisi respectu co¨efficientis M , adeoque in terminum unum conflari possint, singulos terminos functionis ρ ad ordinem diversos pertinent supponemus. Dabei ist zu beachten, dass Gauß hier von Monomen einer Polynomfunktion ρ redet. Daher das M und der Hinweis darauf, dass das M auf die Anordnung keinen Einfluss hat. Bemerkenswert ist, dass Gauß sagt, dass man auch auf der Menge der Unbestimmten (ipsas indeterminatas, dieses Wort also auch schon bei Gauß) eine Ordnung einf¨ uhren m¨ usse, wobei er im vorliegenden Falle die des Alphabets nimmt. Gaußens Beweis des Fundamentalsatzes u ¨ ber symmetrische Funktionen werden wir im n¨ achsten Abschnitt kennen lernen. Das Alphabet soll Palamedes erfunden haben, der also, der auch den Wahnsinn des Odysseus als geheuchelt entlarvte, indem er ihm dessen neugeborenen Sohn Telemachos vor den Pflug legte. Die Griechen sagen jedoch nichts dar¨ uber, wer die alphabetische Anordnung von Listen von Namen und W¨ ortern, von Lexika und Katalogen erfunden hat. Die a¨ltesten Belege f¨ ur alphabetische Anordnung stammen aus dem geographischen Umkreis der alexandrinischen Bibliothek in der Zeit der ersten Ptolem¨aer. Euklid k¨ onnte sie also schon gekannt haben. Es gibt viele Gelegenheiten, sich alphabetischer Anordnung zu bedienen, insbesondere auch in

534

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

der Verwaltung. Doch die Listen, die da zu verarbeiten waren, waren noch nicht sehr umfangreich. Die alexandrinische Bibliothek dagegen hatte einen Riesenfundus an Information, der dem Benutzer zug¨anglich gemacht werden musste. Dieses Problem, das bis heute nicht gel¨ost ist, hat vielleicht dazu Anlass gegeben, Kataloge alphabetisch anzuordnen. Es ist jedenfalls bekannt, dass Kataloge dieser Bibliothek schon fr¨ uh alphabetisch angeordnet waren. Voraussetzung f¨ ur alphabetische Anordnung ist aber ein Alphabet mit nur wenigen Zeichen, die immer in der gleichen Reihenfolge aufgelistet werden. Die chinesischen Schriftzeichen erf¨ ullen diese Bedingung nicht. Das griechische Alphabet jedoch ist f¨ ur jenen Zweck bestens geeignet. Nachdem alphabetische Anordnung einmal erfunden war, wurde sie sofort auch von der a¨gyptisch-hellenistischen Verwaltung u ¨ bernommen, wie die vielen arch¨ aologischen Funde zeigen, die es sofort in großer F¨ ulle gibt. Zu erw¨ ahnen ist, dass zun¨ achst nur nach dem ersten Buchstaben sortiert wurde, dann aber auch nach den ersten beiden oder ersten dreien. Ein Beleg f¨ ur vollst¨andige alphabetische Anordnung einer Liste findet sich erst im 2. Jahrhundert n. Chr. Dass dies so war, liegt wohl wiederum daran, dass die Listen, die man zu ordnen hatte, nicht sehr umfangreich waren. Es liegt aber wohl auch daran, dass eine einmal aufgeschriebene Liste nur sehr aufwendig neu zu sortieren war. F¨ ur jeden Eintrag eine Karte zu verwenden, wie es sp¨ater geschah, ist ja wohl sehr extravagant. Die Indexe der meisten meiner B¨ ucher sind im u ¨ brigen noch so entstanden, dass jeder Eintrag zun¨ achst auf seinen eigenen Zettel geschrieben wurde. Wenn alles erfasst war, wurden diese Zettel sortiert und dann abgetippt, damit nicht der Wind, ein Kind oder ein ” anderer D¨ amon“ (Riordan 1964, S. 58) sie wieder durcheinander wirbeln konnte. Viele sch¨one Beispiele f¨ ur alphabetische Anordnung finden sich in dem von Gu´eraud und Jouguet 1938 herausgegebenen Buch eines Lehrers (wie man vermutet) aus dem dritten vorchristlichen Jahrhundert. Dort finden sich auch zweidimensionale Listen, wo die Zeilen nach dem ersten Buchstaben und die Spalten nach dem zweiten Buchstaben sortiert sind. Hier ist der Anfang einer solchen Liste, die im Original etwas verst¨ ummelt ist. (Man beachte die Behandlung des leeren Buchstabens in der ersten Spalte. Er kommt vor allen anderen Buchstaben. — So argumentieren wir.) αν βαν γαν δαν . . . ν βν γν δν . . . ην βην γην δην . . . ... ... ... ... ... In diesem Buch werden Zahlen mittels griechischer Buchstaben dargestellt. Es enth¨ alt auch eine — nicht ganz erhaltene — Tabelle der Quadrate der Zahlen 1, 2, . . . , 9, 10, 20, . . . , 90, 100, 200, . . . , 900. Ausf¨ uhrlicheres zur Geschichte der alphabetischen Anordnung findet sich in Daly 1967. Von zwei dezimal dargestellten nat¨ urlichen Zahlen ist die l¨ angere die gr¨ oßere. Sind sie gleich lang, so ist die lexikalisch gr¨ oßere auch die gr¨ oßere Zahl. Diese

3. Polynomringe

535

Anordnung ist schon recht komplex, sie basiert letztlich aber auf dem doch u ¨ berschaubaren, angeordneten Alphabet 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Wie fr¨ uher erw¨ ahnt (Kap. 1, Absch. 7, Kap. 3, Absch. 10), nennt Ram´ee die Folge der Ziffern Alphabet. Die Analogie zum eigentlichen Alphabet ist also schon lange gesehen. Zur¨ uck zur Mathematik. Sind f , g ∈ [X], so nennen wir g Teiler von f , wenn es ein h ∈ [X] gibt mit f = gh. Satz 1. Es sei X eine Menge und f und g seien Elemente von [X]. Genau dann ist g Teiler von f , wenn gy ≤ fy ist f¨ ur alle y ∈ X. Beweis. Es sei f = gh mit h ∈ [X]. Dann ist f y = g y + hy ≥ g y f¨ ur alle y ∈ X. Es sei umgekehrt gy ≤ fy f¨ ur alle y ∈ X. Definiere h durch hy := fy − gy f¨ ur alle y ∈ X. Dann ist hy ∈ N0 f¨ ur alle y ∈ X und der Tr¨ ager von h ist endlich. Folglich ist h ∈ [X]. Es folgt f = gh. Damit ist alles bewiesen. Die gleiche Beweisidee liefert auch noch den folgenden Satz, der besagt, dass in [X] die K¨ urzungsregel gilt. Satz 2. Sind g, h, h ∈ [X] und gilt gh = gh , so ist h = h . Diesen Satz brauchen wir beim Beweis des n¨achsten Satzes. Satz 3. Ist f ∈ [X], so ist die Anzahl der Teiler von f gleich  (fx + 1). x∈Tr(f )

Diese Anzahl ist insbesondere endlich. Beweis. Ist |Tr(f )| = 0, so ist f = e. Nach Satz 1 hat e aber nur einen Teiler n¨ amlich e, so dass der Satz in diesem Falle gilt. Es sei |Tr(f )| = n > 0 und der Satz gelte f¨ ur n − 1. Sei v ∈ Tr(f ). Dann ist f = hv fv mit einem nach Satz 2 eindeutig bestimmten h ∈ [X]. Sei a ≤ fv . Es sei ferner Za die Anzahl der Teiler g von f mit gv = a. Ist gv = a, so ist g = lv a . Mittels Satz 1 folgt, dass l Teiler von h ist. Ist umgekehrt l Teiler von h und setzt man g := lv a , so ist gv = a. Somit ist Za gleich der Anzahl der Teiler von h. Nach Induktionsannahme ist daher  (hx + 1). Za = x∈Tr(h)

536

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Nun ist aber Tr(h) = Tr(f ) − {v}. ur alle x ∈ Tr(f ) − {v}. Daher ist die Anzahl der Teiler von f Ferner ist hx = fx f¨ gleich   Za = (fv + 1) (fx + 1), 0≤a≤fv

x∈Tr(f )−{v}

q. e. d. Dieser Satz und sein Beweis erinnert schmerzlich daran, dass noch keine Geschichte der Kombinatorik geschrieben wurde. Satz 4. Es sei X eine Menge und (G, 1, ·) sei ein kommutatives Monoid. Ist f eine Abbildung von X in G, so gibt es genau einen Homomorphismus ϕ von ([X], e, ·) in (G, 1, ·) mit ϕ(x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ X. Beweis. Es sei g ∈ [X]. Dann ist 

g=

xgx .

x∈X

Definiere ϕ durch



ϕ(g) =

f (x)gx .

x∈X

Dann ist ϕ eine Abbildung von [X] in G, f¨ ur die offenbar ϕ(e) = 1 und ϕ(x) = f (x) gilt. Es bleibt zu zeigen, dass ϕ multiplikativ ist. Dazu sei h ein weiteres Element aus [X]. Dann ist, da G kommutativ ist, ϕ(gh) =



f (x)gx +hx

x∈X

=



 f (x)gx f (x)hx

x∈X

=



g(x)

f (x)

 

x∈X

 h(x)

f (x)

x∈X

= ϕ(g)ϕ(h). Dass ϕ der einzige Homomorphismus der verlangten Art ist, folgt aus ψ(g) =

 x∈X

ψ(x)gx =



f (x)gx = ϕ(g),

x∈X

falls ψ ein zweiter solcher Homomorphismus ist. Damit ist alles bewiesen. Dieser Satz zeigt, dass in ([X], e, ·) außer den Relationen, die erf¨ ullt sein m¨ ussen, damit ([X], e, ·) ein kommutatives Monoid ist, keine weiteren, davon unabh¨ angigen

3. Polynomringe

537

Relationen gelten, dass dieses Monoid also frei von weiteren Einschr¨ ankungen ist. Daher nennt man das Monoid ([X], e, ·) frei in den freien Erzeugenden X . Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und (G, 1, ·) sei ein kommutatives Monoid. Mit RG bezeichnen wir die Menge aller Abildungen von G in R, deren Tr¨ager endlich ist. Dabei ist der Tr¨ ager wie zuvor definiert als Tr(f ) := {g | g ∈ G, fg = 0}. Sind f , g ∈ RG, so definieren wir f + g und f g durch (f + g)x := fx + gx und



(f g)x :=

fy gz

y,z∈G, yz=x

f¨ ur alle x ∈ G. Langweilige, aber banale Rechnungen zeigen, dass RG ein kommutativer Ring mit eins ist, wobei die Eins von RG definiert ist durch 1, falls x = 1 ist, 1x := 0, falls x = 1 ist. Ist g ∈ G, so definieren wir g ∗ ∈ RG durch 1, falls x = g, ∗ gx = 0, falls x = g. Es ist klar, dass ∗ injektiv ist. Ferner ist (g ∗ h∗ )x =



gy∗ h∗z .

y,z∈G, yz=x

Nun ist genau dann gy∗ h∗z = 0, wenn y = g und z = h ist. Dann ist dieses Produkt aber gleich 1. Also gilt (g ∗ h∗ )x = (gh)∗x f¨ ur alle x, so dass ∗ ein Monomorphismus von G in (RG, ·) ist. Wir d¨ urfen daher im Folgenden g mit g ∗ identifizieren. Es sei A ein Ring und R sei ein kommutativer Ring mit Eins. Wir nennen A eine R-Algebra, falls gilt a) A ist ein R-Linksmodul mit 1a = a f¨ ur alle a ∈ A. b) Es ist r(ab) = (ra)b = a(rb) f¨ ur alle r ∈ R und alle a, b ∈ A. Es sei A eine R-Algebra und A habe eine 1. Wir definieren die Abbildung f von R in A durch f (r) := r1. Dann ist f (r + s) = (r + s)1 = r1 + s1 = f (r) + f (s)

538

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

und



 f (rs) = (rs)1 = r(s1) = r s(1 · 1) = r 1(s1) = (r1)(s1) = f (r)f (s), so dass f ein Homomorphismus von R in A ist. Es gilt ferner ra = r(a1) = a(r1) = af (r). Definiert man ar durch ar := af (r), so wird A auch zu einem R-Rechtsmodul und es gilt ar = ra f¨ ur alle r ∈ R und alle a ∈ A. Ist R ein kommutativer Ring mit 1 und ist G ein kommutatives Monoid, so definieren wir f¨ ur r ∈ R und f ∈ RG die Abbildung rf durch (rf )x := rfx f¨ ur alle x ∈ G. Dann ist RG eine R-Algebra. Der folgende Satz ist die Grundlage alles Weiteren. Satz 5. Es seien R und R kommutative Ringe mit Eins und α sei ein Homomorphismus von R in R . (Homomorphismen von Ringen mit 1 bilden die 1 auf die 1 ab.) Es sei G ein Monoid und A eine R -Algebra. Ist β ein Homomorphismus von G in (A, ·), so gibt es genau einen Homomorphismus γ der R-Algebra RG in die R -Algebra A mit γ(x) = β(x) f¨ ur alle x ∈ G und γ(rf ) = α(r)γ(f ) f¨ ur alle r ∈ R und alle f ∈ RG. Beweis. Wir definieren die Abbildung γ von RG in A durch γ(f ) :=



α(fx )β(x).

x∈G

Wegen α(1) = 1 ist γ(x) = α(1)β(x) = β(x) f¨ ur alle x ∈ G. Es seien f , g ∈ RG. Dann ist γ(f + g) =



α((f + g)x )β(x) =

x∈G

=



x∈G

α(fx )β(x) +





α(fx + gx )β(x)

x∈G

α(gx )β(x) = γ(f ) + γ(g).

x∈G

Entsprechend beweist man, dass γ(f g) = γ(f )γ(g) und dass γ(rf ) = α(r)γ(f ) ist.

3. Polynomringe

539

Um die Einzigkeit von γ zu beweisen, sei δ ein zweiter solcher Homomorphismus. Dann ist     fx x = α(fx )δ(x) = α(fx )β(x) = γ(f ) δ(f ) = δ x∈G

x∈G

x∈G

und folglich δ = γ. Damit ist alles bewiesen. Ist X eine nicht leere Menge und ist R ein kommutativer Ring mit 1, so ist R[X] eine R-Algebra. Man nennt sie den Polynomring in den Unbestimmten X u ¨ber R. Die Elemente rf mit r ∈ R und f ∈ [X] nennen wir den fr¨ uheren Begriff Monom erweiternd ebenfalls Monome. Wir sagen, dass das Monom f ∈ [X] in dem Polynom g ∈ R[X] vorkomme, falls der Koeffizient r, den das Monom f in g hat, von null verschieden ist. Ist g ∈ R[X], so setzen wir   Grad(g) := max fx | f kommt in g vor x∈X

und nennen Grad(g) den Grad von g. Grundlegend f¨ ur Polynomringe ist der folgende Satz. Satz 6. Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins und X sei eine nicht leere Menge. Ferner sei A eine kommutative R-Algebra mit Eins. Ist ϕ eine Abbildung von X in A, so gibt es genau einen Homomorphismus Ψ von R[X] in A mit Ψ(x) = ϕ(x) f¨ ur alle x ∈ X. Man nennt Ψ Auswertungshomorphismus, bzw. auch Einsetzungshomomorphismus. Beweis. Nach Satz 4 l¨ asst sich ϕ zu genau einem Homomorphismus von [X] in (A, ·) fortsetzen, so dass die Behauptung aus Satz 5 folgt. Ist X = {x1 , . . . , xn }, so schreiben wir R[x1 , . . . , xn ] an Stelle von R[X]. Ist A eine R-Algebra und sind a1 , . . . , an ∈ A, so ist gem¨aß Satz 6 der Auswertungshomorphismus Ψ definiert, der xi auf ai abbildet. Ist nun f ∈ R[x1 , . . . , xn ] so definieren wir f (a1 , . . . , an ) durch f (a1 , . . . , an ) := Ψ(f ). Satz 7. Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins, X sei eine Menge und y sei ein Element von X. Es bezeichne e die Eins in R[X −{y}][y]. Dann gibt es genau einen Isomorphismus σ von R[X − {y}][y] auf R[X] mit σ(xe) = x f¨ ur alle x ∈ X − {y} und σ(y) = y. Beweis. Nach unserer Konvention ist X − {y} ⊆ R[X − {y}]. Daher ist xe ∈ R[X − {y}][y] f¨ ur alle x ∈ X − {y}, so dass der Satz zumindest syntaktisch korrekt ist. Wir definieren eine Abbildung α von X in R[X − {y}] durch x, falls x = y α(x) := 0, falls x = y.

540

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Es gibt dann einen Homomorphismus f von R[X] in R[X − {y}] mit f (x) = α(x) f¨ ur alle x ∈ X. Wir definieren ferner eine Abbildung β von X − {y} in R[X] durch β(x) := x f¨ ur alle x ∈ X − {y}. Dann gibt es einen Homomorphismus g von R[X − {y}] in R[X] mit g(x) = β(x) = x f¨ ur alle x ∈ X − {y}. Mit x ∈ X − {y} folgt (f g)(x) = f (x) = x = idR[X−{y}] (x). Nach Satz 5 ist daher f g = idR[X−{y}] . Folglich ist f surjektiv und g injektiv. Es sei S die Teilalgebra von R[X], die von X − {y} erzeugt wird. Dann ist nat¨ urlich S = g(R[X − {y}]). Weil S ein Teilring von R[X] ist, ist R[X] eine SAlgebra. Nach Satz 5 gibt es daher einen Homomorphismus σ von R[X − {y}][y] in R[X] mit σ(ry n ) = g(r)σ(y n ) = g(r)y n f¨ ur alle r ∈ R[X − {y}] und alle n ∈ N0 . Insbesondere ist σ(xe) = g(x) = x f¨ ur alle x ∈ X − {y}. n Als N¨achstes zeigen wir, dass σ injektiv ist. Um dies zu zeigen, sei i:=0 ri y i im Kern von σ. Dann ist n  g(ri )y i . 0= i:=0

Indem wir y durch 0 ersetzen, erhalten wir mittels Satz 6, dass g(r0 ) = 0 ist. Weil g injektiv ist, wie wir gesehen haben, folgt r0 = 0. Weiter gilt 0=y

n 

g(ri )y i−1 .

i:=1

Schreiben wir f f¨ ur die Summe und erinnern wir uns, dass y mit der Abbildung y ∗ identifiziert wurde, so gilt also 

0 = (y ∗ f )yx =

u,v∈X, uv=yx



yu∗ fv =

fv

v∈X, yv=yx

f¨ ur alle x ∈ X. Nach Satz 2 folgt aus yv = yx, dass v = x ist. Also ist fx = 0 f¨ ur alle x ∈ X und daher f = 0. Die Summe ist also null. Induktion liefert nun r1 = . . . = rn = 0. Dies zeigt, dass σ injektiv ist. Es bleibt zu zeigen, dass σ surjektiv ist. Dazu definieren wir die Abbildung γ von X in R[X − {y}][y] durch γ(x) :=

y, falls x = y xe, falls x = y.

3. Polynomringe

541

Es gibt dann einen Homomorphismus τ von R[X] in R[X −{y}][y] mit τ (x) = γ(x) f¨ ur alle x ∈ X. Es folgt, dass (στ )(x) = x = idR[X] (x) ist f¨ ur alle x ∈ X. Daher ist στ = idR[X] , so dass σ in der Tat surjektiv ist. Die Einzigkeit von σ versteht sich von selbst. Beim Beweise von Satz 7 haben wir auch die G¨ ultigkeit des folgenden Korollars mitbewiesen. Korollar. Ist X eine nicht leere Menge und ist R ein kommutativer Ring mit 1, ist ferner x ∈ X und f ∈ R[X], so folgt aus xf = 0, dass f = 0 ist. Satz 7 ist sehr wichtig, besagt er doch, falls X = {x1 , . . . , xn } ist, dass es einen kanonischen Isomorphismus von R[x1 , . . . , xn−1 ][xn ] auf R[x1 , . . . , xn ] gibt. Diesen Satz kann man dahingehend interpretieren, dass es zu f ∈ R[x1 , . . . , xn ] eindeutig bestimmte r0 , . . . , rm ∈ R[x1 , . . . , xn−1 ] gibt mit rm = 0 und f=

m 

ri xin .

i:=0

Der Polynomring in n Unbestimmten kann also rekursiv erzeugt werden. Diese Bemerkung kann man benutzen bei der Wahl der Datenstruktur f¨ ur die Polyuhrenden Rechnungen. nome aus R[x1 , . . . , xn ], sowie bei den in diesem Ring auszuf¨ Außerdem beruht mancher Induktionsbeweis auf diesem Satz und in Abschnitt 5 von Kapitel 11 wird er beim Beweise von Satz 3 eine entscheidende Rolle spielen. n i ¨ ber dem komEs sei f = i:=0 ri x ein Polynom in der Unbestimmten x u mutativen Ring R mit 1. Ferner sei rn = 0. Dann ist n der Grad und rn der Leitkoeffizient von f . Das Nullpolynom hat keinen Grad. Der folgende Satz ist ebenfalls ungemein n¨ utzlich. Er beschreibt die in Polynomringen unter geeigneten Voraussetzungen m¨ogliche Division mit Rest. Satz 8. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R[x] sei der Polynomring in der Unbestimmten x u ¨ber R. Ferner seien f , g ∈ R[x] und der Leitkoeffizient von g sei eine Einheit. Es gibt dann eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ R[x] mit f = qg + r und r = 0 oder Grad(r) < Grad(f ). Beweis. Zun¨achst beweisen wir die Existenzaussage. Ist f = 0 oder Grad(f ) < Grad(g), so setzen wir q := 0 und r := f . Es sei also f = 0 und Grad(f ) ≥ Grad(g). Setze m := Grad(f ) und n := Grad(g). Schließlich sei l der Leitkoeffizient von f und k der Leitkoeffizient von g. Dann setzen wir h := f − lk −1 xm−n g. Es folgt, dass entweder h = 0 oder Grad(h) < m = Grad(f ) ist. Nach Induktionsannahme gibt es daher ein Q und ein r in R[x] mit h = Qg + r

542

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

und r = 0 oder Grad(r) < Grad(g). Setze q := lk −1 xm−n + Q. Dann leisten q und r das Verlangte. Es seien q  und r zwei weitere Polynome mit f = q  g + r und r = 0 oder Grad(r ) < Grad(g). Dann ist (q − q  )g = r − r. Ist q − q  = 0 und ist w der Leitkoeffizient von diesem Polynom, so ist wk der Leitkoeffizient von (q − q  )g, weil wk, da k ja eine Einheit ist, von null verschieden ist. Ferner folgt Grad((q − q  )g) = Grad(q − q  ) + Grad(g) und daher

 Grad (q − q  )g ≥ Grad(g) > Grad(r ) ≥ Grad(r − r)

 = Grad (q − q  )g . Dieser Widerspruch zeigt, dass doch q − q  = 0 und dann auch r − r = 0 ist. Damit ist auch die Einzigkeit von q und r bewiesen. Ist K ein K¨ orper, so folgt mit Satz 8, dass der Polynomring K[x] in der Unbestimmten x ein euklidischer Ring ist, da die von null verschiedenen Elemente eines K¨ orpers ja Einheiten sind. Dies hat f¨ ur K[x] die bekannten Folgen, dass n¨ amlich K[x] ein Hauptidealbereich ist, dass in K[x] der Satz von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gilt, wobei die Primelemente von K[x] gerade die irreduziblen Polynomeind, dass zwei Polynome stets einen gr¨oßten gemeinsamen Teiler haben und dass dieser gr¨ oßte gemeinsame Teiler sich stets aus den beiden gegebenen Polynomen linear kombinieren l¨ asst. Gauß (1816) nimmt die Division mit Rest im Ring der Polynomfunktionen u ¨ ber R als etwas Bekanntes: Y dividatur sueto more per Y  . Ob er auch den sich daraus ergebenden Algorithmus zur Berechnung des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers zweier solcher Funktionen als bekannt ansieht, kann ich dem Text nicht entnehmen. Er beweist jedoch, dass dieser Algorithmus den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der beiden Polynomfunktionen Y und Y  liefert und er zeigt ferner mit seiner Hilfe durch R¨ uckw¨artssubstitution, dass sich der gr¨oßte gemeinsame Teiler von Y und asst. Y  linear aus diesen beiden Funktionen kombinieren l¨ Die fr¨ uheste abstrakte Definition der Division mit Rest, die ich kenne, ist in Haupt, 1929, 4.9, S. 95 f. (O. Haupt (1887–1988). Haupt wurde wirklich 101 Jahre alt.) Die Einzigkeit von q und r in Satz 8 liegt daran, dass der Leitkoeffizient von g kein Nullteiler in R ist. Dabei heißt das Element a ∈ R∗ Nullteiler , falls es ein b ∈ R∗ gibt mit ab = 0. Die Nullteiler eines Polynomringes lassen sich mit einem von McCoy stammenden Satz sehr sch¨on charakterisieren. McCoy bewies seinen Satz zun¨achst nur f¨ ur Polynomringe in einer Unbestimmten, wobei er sich der Theorie der linearen Gleichungen bediente. Dann zeigte er, dass er auch f¨ ur Polynomringe in zwei Unbestimmten richtig ist. Dann sei er aber auch f¨ ur Polynomringe in n Unbestimmten richtig (McCoy 1942). Alexandra Forsythe (1943)

3. Polynomringe

543

gab einen anderen Beweis f¨ ur den Fall eines Polynomringes in einer Unbestimmten. Eine Variante dieses Beweises findet sich bei Scheja/Storch 1988, S. 40. Die Induktion, die man dann machen muss, um den Satz auch f¨ ur Polynomringe in mehreren Unbestimmten zu beweisen, findet sich dort angedeutet. Benutzt man die lexikalische Anordnung auf der Menge der Monome, die wir oben eingef¨ uhrt haben, so kann man die scheja/storchsche Variante mit Hilfe dieser Anordnung durchspielen und den Satz direkt f¨ ur R[x1 , . . . , xn ] beweisen, wie wir nun sehen werden. Die Induktion u ¨ber n l¨ asst sich also vermeiden. Die Induktion, die man dann immer noch machen muss, l¨asst sich auch im Falle n = 1 nicht umgehen. Satz 9. Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins und X sei eine Menge. Ist 0 = f ∈ R[X], so ist f genau dann Nullteiler in R[X], wenn es ein a ∈ R∗ gibt mit af = 0. Beweis. Ist 0 = a ∈ R und af = 0, so ist f nat¨ urlich ein Nullteiler. Es sei f ein Nullteiler. Es gibt dann ein von null verschiedenes g ∈ R[X] mit gf = 0. Da f und g Summen von endlich vielen Monomen sind, kommen in f und g nur endlich viele Unbestimmte aus X vor. Wir d¨ urfen daher annehmen, dass X = {x1 , . . . , xn } ist. Es gibt dann eine endliche Menge M von Abbildungen von {1, . . . , n} in N0 mit n   f= rν xνi i . Statt

n i:=1

i:=1

ν∈M

xνi i schreiben wir im Folgenden k¨ urzer xν . Dann ist also f=



rν xν .

ν∈M

Es sei zun¨achst grν = 0 f¨ ur alle ν ∈ M . Weil g = 0 ist, gibt es einen von null verschiedenen Koeffizienten a in g. F¨ ur diesen gilt arν = 0 f¨ ur alle ν und damit oßte. af = 0. Es gebe ein ν ∈ M mit grν = 0. Unter diesen ν sei μ das lexikalisch gr¨ ur alle Ein solches μ gibt es, da M endlich ist. Dann gilt grμ = 0 und grν = 0 f¨ ν ∈ M mit μ < ν. Es folgt 0 = gf =



grν xν .

ν∈M, ν≤μ

oßte in g vorkommende Monom, so ist sρ rμ xρ+μ potentiell Ist sρ xρ das lexikalisch gr¨ das h¨ ochste in  grν xν ν∈M, ν≤μ

vorkommende Monom. Daher ist sρ rμ xρ+μ = 0.

544

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

ochste in rμ g vorkommende Monom kleiner ist, Hieraus folgt sρ rμ = 0, so dass das h¨ als das h¨ ochste in g vorkommende. Die Monome, die in rμ g vorkommen, kommen aber — vom Koeffizienten abgesehen — auch in g vor. Daher folgt mit Induktion, ur alle ν ∈ M . Dann gibt es aber, wie wir dass es ein g gibt, so dass grν = 0 ist f¨ gesehen haben, ein a ∈ R∗ mit af = 0. Damit ist der Satz bewiesen. Nullteilerfreie Ringe heißen Integrit¨ atsbereiche. Mittels Satz 9 folgt dann als Korollar sofort Satz 10. Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins und X sei eine Menge. Genau dann ist R[X] ein Integrit¨ atsbereich, wenn R ein Integrit¨ atsbereich ist. In Polynomringen u ¨ber Hauptidealringen l¨ asst sich einfach testen, ob ein Polynom ein Nullteiler ist. Sind n¨ amlich a1 , . . . , am Elemente eines Hauptidealringes m R und ist dR = i:=1 ai R, so ist d ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von a1 , . . . , am . Denn erstens teilt d alle ai und zweitens wird d von allen gemeinsamen Teilern der ai geteilt, da d sich aus den ai ja linear kombinieren l¨ asst. Sind die ai nun die Koeffizienten eines Polynoms f aus R[X], so ist f genau dann Nullteiler in R[X], wenn d Nullteiler von R ist. Ist n¨amlich d Nullteiler, so gibt es ein b ∈ R∗ mit bd = 0. Es folgt bf = 0, so dass f Nullteiler ist. Ist andererseits f Nullteiler, so ur alle i. Weil sich d gibt es nach Satz 9 ein b ∈ R∗ mit bf = 0. Es folgt bai = 0 f¨ aus den ai linear kombinieren l¨ asst, ist auch bd = 0, so dass d Nullteiler ist. 4. Symmetrische Polynome. Mit Sn bezeichnen wir im Folgenden die symmetrische Gruppe vom Grade n, dh. die Gruppe aller Permutationen der Menge {1, . . . , n}. Ist R ein Ring und ist R[x1 , . . . , xn ] der Polynomring in den Unbestimmten x1 , . . . , xn , so gibt es nach Satz 3.6 zu jedem σ ∈ Sn einen Endomorur alle i. Es gilt phismus ϕσ dieses Polynomringes mit ϕσ (xi ) = xσ(i) f¨ ϕσ ϕσ−1 (xi ) = xi f¨ ur alle i. Wiederum mit Satz 3.6 folgt ϕσ ϕσ−1 = 1. Da dies f¨ ur alle σ ∈ Sn gilt, ist auch ϕσ−1 ϕσ = 1. Somit ist ϕσ bijektiv und somit ein Automorphismus des Rings R[x1 , . . . , xn ]. Das urzer mit f σ . Dann ist also Bild von f unter ϕσ bezeichnen wir in Zukunft k¨ f σ = f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ). Wir setzen   SymR [x1 , . . . , xn ] := f f ∈ R[x1 , . . . , xn ], f σ = f f¨ ur alle σ ∈ Sn .

4. Symmetrische Polynome

545

Dann ist SymR [x1 , . . . , xn ] ein Teilring von R[x1 , . . . , xn ], der Ring der symmetrischen Polynome in den Unbestimmten xi . Bei der Definition der einfachsten symmetrischen Polynome steht der vietasche Wurzelsatz Pate. Man erh¨alt sie auf folgende Weise. Wir definieren im Polynomring R[x1 , . . . , xn ][z] das Polynom n 

(−1)i λ(n)i z n−i

i:=0

durch

n 

(−1)i λ(n)i z n−i =

i:=0

Weil

n 

(z − xj ).

j:=1

n 

(z − xj ) =

j:=1

n 

(z − xσ(j) )

j:=1

ist f¨ ur alle σ ∈ Sn , folgt λ(n)i ∈ SymR [x1 , . . . , xn ] f¨ ur i := 0, . . . , n. Die λ(n)i heißen elementarsymmetrische Polynome in n Unbestimmten. H¨aufig werden sie auch elementarsymmetrische Funktionen genannt. Dies erkl¨art sich daher, dass Polynome urspr¨ unglich als Polynomfunktionen auftraten. Die Unterscheidung zwischen Polynomen und Polynomfunktionen war irrelevant, solange man sich nur mit unendlichen K¨ orpern besch¨ aftigte. Es ist nicht u ¨ blich, die elementarsymmetrischen Polynome mit λ zu bezeichnen. Ich benutze diesen Buchstaben, weil Gauß ihn zu diesem Zweck benutzte. Die elementarsymmetrischen Polynome lassen sich sehr einfach rekursiv erzeugen, wie der folgende Satz lehrt. Satz 1. F¨ ur die elementarsymmetrischen Polynome λ gilt: ur alle n ∈ N0 . a) Es ist λ(n)0 = 1 f¨ ur alle n ∈ N0 . b) Es ist λ(n + 1)n+1 = λ(n)n xn+1 f¨ ur alle i := 1, . . . n. c) Es ist λ(n + 1)i = λ(n)i + λ(n)i−1 xn+1 f¨ d) Ist n ∈ N und 0 ≤ i < n, so ist λ(n − 1)i =

i  j:=0

(−1)j λ(n)i−j xjn .

546

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Beweis. Es ist n+1 

(−1)i λ(n + 1)i z n+1−i =

i:=0

=

n+1 

(z − xi )

i:=1  n

 (z − xi ) (z − xn+1 )

i:=1

=

 n

i

(−1) λ(n)i z

n−i

 (z − xn+1 ).

i:=0

Ausmultiplizieren, Umsortieren und Umnummerieren liefern zusammen mit der ultigkeit von a), b) und c). Induktionsannahme λ(n)0 = 1 die G¨ d) gilt sicherlich f¨ ur i = 0. Es sei 0 ≤ i < n − 1. Dann folgt mit b) λ(n − 1)i+1 = λ(n)i+1 − λ(n)i xn = λ(n)i+1 −

i 

(−1)j λ(n)i−j xj+1 n

j:=0

=

i+1 

(−1)j λ(n)i+1−j xjn .

j:=0

Also gilt auch d). Ist M eine Menge und ist k ∈ N0 , so bezeichnen wir mit Pk (M ) die Menge der k-Teilmengen von M , wobei k-Teilmenge bedeutet, dass die fragliche Menge aus k Elementen besteht. ur das elementarsymSatz 2. Es seien i, n ∈ N0 und es gelte i ≤ n. Dann gilt f¨ metrische Polynom λ(n)i in den Unbestimmten x1 , . . . , xn die Gleichung λ(n)i =





xu .

T ∈Pi ({1,2,...,n}) u∈T

Das bez¨ uglich der lexikalischen Anordnung h¨ ochste in λ(n)i vorkommende Monom ist i  xj . j:=1

Ferner gilt Grad(λ(n)i ) = i. Beweis. Der Satz ist richtig f¨ ur i = 0 und i = n und alle n. Der Satz ist ebenfalls richtig f¨ ur n = 0 und n = 1 und alle i ≤ n. Es sei also n ≥ 1 und 1 ≤ i ≤ n. Nach Satz 1 ist λ(n + 1)i = λ(n)i + λ(n)i−1 xn+1 .

4. Symmetrische Polynome

547

Diese Zerlegung entspricht aber der Zerlegung aller i-Teilmengen von {1, . . . , n+1} in solche, die n+1 nicht enthalten, und solche, die n+1 enthalten, so dass Induktion zum Ziele f¨ uhrt. Damit ist die erste Aussage des Satzes bewiesen. Die beiden restlichen Aussagen folgen unmittelbar aus der ersten. Aus diesem Satz folgt weiter,

 dass die Anzahl der Summanden von λ(n)i gleich dem Binomialkoeffizienten ni ist. Das schon zeigt, wie umfangreich das Rechnen mit symmetrischen Polynomen sein wird. Satz 3. Es sei R ein kommutativer Ring und SymR [x1 , . . . , xn ] sei der Ring der ¨ber R. Ist f1 ≥ f2 ≥ symmetrischen Polynome in den Unbestimmten x1 , . . . , xn u . . . ≥ fn , ist ρ ∈ Sn und ist 1 2 n xfρ(1) xfρ(2) · · · xfρ(n)

das h¨ ochste in g ∈ SymR [x1 , . . . , xn ] vorkommende Monom, so ist 1 2 n xfρ(2) · · · xfρ(n) , xf11 xf22 · · · xfnn = xfρ(1)

dh., es ist fi = fρ−1 (i) f¨ ur i := 1, . . . , n. Beweis. Weil der Polynomring u ¨ ber R kommutativ ist, ist f



f



f



1 2 n xfρ(1) xfρ(2) · · · xfρ(n) = x1ρ (1) x2ρ (2) · · · xnρ (n) ,

wenn ρ die zu ρ inverse Permutation ist. Wir zeigen zun¨achst, dass fρ (1) ≥ fρ (2) ≥ . . . ≥ fρ (n) ist. Angenommen es sei fρ (k) < fρ (k+1) . Dann kommt wegen der Symmetrie von g das Monom f  fρ (k) ··· · · · xkρ (k+1) xk+1 ebenfalls in g vor und es ist gr¨ oßer als das gr¨ oßte Monom. Dieser Widerspruch allt. zeigt, dass die Folge f ρ monoton f¨ Weil g symmetrisch ist, kommt auch das Monom xf11 xf22 · · · xfnn . in g vor. Nun ist aber das gegebene Monom das lexikalisch h¨ ochste. Folglich ist f1 ≤ fρ (1) . Weil die fi monoton fallen, folgt hieraus f1 = fρ (1) . Es sei 1 ≤ k < n und es gelte f1 = fρ (1) , . . . , fk = fρ (k) . Dann ist fk+1 ≤ fρ (k+1) . Weil ρ als Permutation injektiv ist, sind die Werte ρ (1), . . . , ρ (k + 1) nicht alle kleiner als k + 1. Es gibt

548

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

also ein j ∈ {1, . . . , k + 1} mit ρ (j) ≥ k + 1. Wegen der Monotonie von f und f ρ ist also fρ (k+1) ≤ fρ (j) ≤ fk+1 ≤ fρ (k+1) , so dass auch fk+1 = fρ (k+1) ist. Damit ist der Satz bewiesen. Die Permutation ρ ist nicht notwendig die Identit¨ at, da f in aller Regel nicht streng monoton f¨ allt. Jedes Monom ist nat¨ urlich auch ein Polynom. Sein Grad ist die Summe der Exponenten der xi , die in ihm vorkommen. Haben alle in dem Polynom f vorkommenden Monome den gleichen Grad, wie das nach Satz 2 bei den elementarsymmetrischen Polynomen der Fall ist, so heißt f homogen. Das Produkt zweier homogener Polynome ist wieder homogen. Ist f ∈ R[y1 , . . . , yn ], so ist 

f λ(n)1 , . . . , λ(n)n ∈ SymR [x1 , . . . , xn ]. Das Einsetzen der elementarsymmetrischen Polynome f¨ ur y1 , . . . , yn liefert also viele symmetrische Polynome. Es liefert sogar alle, wie Waring bewies (Waring 1782). Warings Meditationes algebraicæ erschienen erstmals 1762. Wie er im Vorwort der dritten Auflage schrieb, schickte er ein Exemplar der ersten Auflage an Euler. Er berichtet dort weiter, dass er Exemplare der zweiten Auflage, die 1770 herauskam, an d’Alembert, B´ezout, Montucla, Euler, Lagrange und Frisius schickte, wobei er nur von Frisius eine Eingangsbest¨ atigung erhalten h¨ atte (Waring 1782, S. xxi). Wie sich die drei Auflagen unterscheiden, weiß ich nicht. Ich habe nur die dritte gesehen. Was die Autorenschaft des Satzes anbelangt, der heute der waringsche heißt und den wir gleich formulieren und beweisen werden, so ist sie mir unklar. Bei Euler findet sich n¨ amlich schon lange vor Erscheinen der ersten Auflage der Meditationes der Satz: Et par ces valeurs P , Q, R, S etc. on est en ´etat d’exprimer toutes les ex” pressions, dans lesqueles entrent toutes les racines ´egalement, par des formules rationelle compos´ees de P , Q, R, S etc.“ Dabei sind die P , Q, R, S, usw. die elementarsymmetrischen Funktionen in den Wurzeln eines gegebenen Polynomes (Euler 1750, S. 245/246. Werke Bd. 26, S. 56). Diese Arbeit ist auch ¨alter als die von Wußing zitierte Arbeit Waring 1762, in der Waring laut Wußing den fraglichen Satz publizierte (Wußing 1984, S. 85). Ist dies die erste Auflage der Meditationes? Ich habe diese Arbeit nicht gesehen. Auch Gabriel Cramer scheint in diesem Zusammenhang eine Rolle zu spielen, was nicht sehr pr¨azise Hinweise bei Lagrange andeuten. Genaueres hierzu in Kapitel 8, wo sich auch herausstellen wird, dass Lagrange offensichtlich sein Exemplar der Meditationes erhalten hat. Der Satz geh¨orte offenbar zur mathematischen Folklore des 18. Jahrhunderts, denn auch Vandermonde skizziert in seiner 1774 publizierten Arbeit (Vandermonde

4. Symmetrische Polynome

549

1774) umst¨andlich ein Verfahren, ein symmetrisches Polynom durch die elementar¨ symmetrischen Polynome darzustellen. Das ist im Ubrigen auch das, was Waring tut und das nicht minder umst¨ andlich. Es handelt sich bei Vandermonde um eine Arbeit, die er im Jahre 1770 vor der Acad´emie royale in Paris vorgetragen hatte, die aber erst 1774 in den Histoire von 1771 dieser Akademie erschien. In einer Fußnote auf der ersten Seite der Arbeit sagt er, dass Waring in seinen 1770 erschienen Meditationes ¨ ahnliche S¨ atze wie er habe. Er, Vandermonde, h¨ atte Warings Buch aber erst nach Fertigstellung seiner Arbeit in die H¨ ande bekommen. Wir reproduzieren hier den Beweis des sog. waringschen Satzes, wie er sich in Gauß (1816) findet und der von Dubreil (1946, S. 251) Methode von Waring genannt wird. Gauß sagt nichts zur Autorenschaft dieses Satzes. Satz 4. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und f sei ein symmetrisches ¨ber R. Es gibt dann genau ein g ∈ Polynom in den Unbestimmten x1 , . . . , xn u R[y1 , . . . , yn ] mit 

f = g λ(n)1 , . . . , λ(n)n . Die Abbildung g → g(λ(n)1 , . . . , λ(n)n ) ist also ein Isomorphismus des Ringes R[y1 , . . . , yn ] auf den Ring SymR [x1 , . . . , xn ]. Beweis. Es sei xa1 1 · · · xann das h¨ ochste in f vorkommende Monom. Nach Satz 3 ist dann die Folge a monoton fallend. Somit sind a1 − a2 , a2 − a3 , . . . , an−1 − an , an nicht negative ganze Zahlen. Setze an−1 −an λ(n)ann . h := λ(n)a1 1 −a2 λ(n)a2 2 −a3 · · · λ(n)n−1 Weil λ(n)i homogen vom Grade i ist, ist h homogen vom Grade n−1 

i(ai − ai+1 ) + nan =

i:=1 a −ai+1

Das h¨ochste in λ(n)i i

n 

ai .

i:=1

bzw. λ(n)ann vorkommende Monom ist a −ai+1

x1 i

a −ai+1

· · · xi i

bzw. xa1 n · · · xann . Daher ist xa1 1 xa2 2 · · · xann das h¨ ochste in h vorkommende Monom. Es sei r der Koeffizient des h¨ochsten in f vorkommenden Monoms. Dann hat das Polynom f − rh

550

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

die folgenden Eigenschaften: 1) Alle in f − rh vorkommenden Monome sind lexikalisch niedriger als das h¨ ochste in f vorkommende Monom. 2) Es ist Grad(f − rh) ≤ Grad(f ). 3) Das Polynom f − rh ist symmetrisch. Die Eigenschaft 1) folgt unmittelbar aus der Konstruktion von h. Weil die u ¨ ber R symmetrischen Polynome einen Ring bilden, folgt, dass rh und dann auch f − rh symmetrisch sind, so dass auch 3) gilt. Es bleibt die Bedingung 2) nachzuweisen, um die Gauß sich nicht k¨ ummert. Diese folgt aus der Homogenit¨at von h. Ist n¨ amlich der Grad von f gr¨ oßer als der Grad von rh, so ist Grad(f − rh) = Grad(f ). Ist Grad(f ) = Grad(rh), so folgt aus der Homogenit¨at von rh, dass in f − rh gegen¨ uber f nur solche Monome verschwunden bzw. hinzugekommen sind, deren Grad gleich dem Grad von f ist. Daher kann der Grad von f − rh nicht gr¨ oßer als der von f sein. Um den Existenzbeweis zu beenden, bedarf es nur noch der Bemerkung, dass es nur endlich viele Monome des Grades ≤ Grad(f ) gibt. Nach Induktionsannahme gibt es also ein l ∈ R[y1 , . . . , yn ] mit 

f − rh = l λ(n)1 , . . . , λ(n)n . Setzt man nun

n−1 g := ry1a1 −a2 y2a3 −a2 · · · yn−1

a

−an an yn

+ l,

so ist f = g(λ(n)1 , . . . , λ(n)n ). Damit ist die Existenz von g nachgewiesen. Um die Einzigkeit von g nachzuweisen, nehmen wir an, es gebe noch ein von g verschiedenes Polynom g  mit f = g  (λ(n)1 , . . . , λ(n)n ). Dann ist g − g  = 0. Es ist dann  wa y1a1 · · · ynan g − g = a∈M

mit einer endlichen Menge M von Abbildungen von {1, . . . , n} in N0 und 0 = ur alle a ∈ M . Es folgt wa ∈ R f¨  0= wa λ(n)a1 1 · · · λ(n)ann . a∈M

Das h¨ochste Monom in einem Summanden dieser Summe ist wa xa1 1 +...+an xa2 2 +...+an · · · xann . Unter diesen findet sich ein Monom, welches unter allen auf der rechten Seite befindlichen Monomen das lexikalisch h¨ ochste ist. Dies geh¨ore zu a ∈ M . Weil die

4. Symmetrische Polynome

551

Summe aber null ist, gibt es noch wenigstens ein von a verschiedenes b ∈ M , so dass xa1 1 +...+an xa2 2 +...+an · · · xann = xb11 +...+bn xb22 +...+bn · · · xbnn ist. Hieraus folgt aber

n 

aj =

j:=i

n 

bj

j:=i

f¨ ur i := 1, . . . , n. Dies hat den Widerspruch a = b zur Folge. Bemerkung. Die Einzigkeit kann man auch wie folgt beweisen. Weil das Einsetzen ein Homomorphismus ist, gen¨ ugt es zu zeigen, dass aus 

f λ(n)1 , . . . , λ(n)n = 0 folgt, dass f = 0 ist. Wir nehmen an, dass f nicht null sei. Dann ist f=

t 

ci yni

i:=0

mit ci ∈ R[y1 , . . . , yn−1 ] f¨ ur alle i. Es sei f so gew¨ahlt, dass t minimal sei. Dann ist c0 = 0, da andernfalls f = yn g mit einem g ∈ R[y1 , . . . , yn ] w¨ are. Damit folgte

 

0 = f λ(n)1 , . . . , λ(n)n = λ(n)n g λ(n)1 , . . . , λ(n)n und weiter g(λ(n)1 , . . . , λ(n)n ) = 0 im Widerspruch zur Minimalit¨ at von t. Im Falle n = 1 sind alle Polynome symmetrisch, also ist n > 1. Setzt man xn := 0, so ist λ(n)n (x1 , . . . , xn−1 , 0) = 0, wie aus Satz 1b) folgt. Also ist 0=

t 

i ci (λ1 , . . . , λn−1 ) λ(n)n (x1 , . . . , xn−1 , 0)

i:=0

= c0 (λ1 , . . . , λn−1 ), wobei

λi := λ(n)i (x1 , . . . , xn−1 , 0)

gesetzt wurde. Mittels Satz 1c) folgt λi = λ(n − 1)i (x1 , . . . , xn−1 ) f¨ ur i := 1, . . . , n−1. Auf Grund der nicht explizit formulierten Induktionsannahme ist daher doch c0 = 0, ein Widerspruch.

552

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Es gibt auch einen von Cauchy stammenden Beweis des waringschen Satzes (Dubreil 1946. Ohne Zitat). Dieser Beweis liefert noch etwas mehr, er deckt n¨amlich die Struktur des SymR [x1 , . . . , xn ]-Moduls R[x1 , . . . , xn ] auf. Es sei 2 ≤ n ∈ N. Wir bezeichnen mit E(n) die Menge aller Abbildungen von {1, . . . , n − 1} in N0 mit 0 ≤ ei ≤ i f¨ ur i := 1, . . . , n − 1. Dann gilt f¨ ur die Anzahl |E(n)| der Elemente in E(n) offenbar



E(n) = E(n − 1) · n = n! Sind x1 , . . . , xn Unbestimmte u ¨ ber einem Ring R und ist e ∈ E(n), so setzen wir — ein wenig anders als fr¨ uher — xe := xe21 xe32 · · · xenn−1 . Die Unbestimmte x1 kommt also in den Monomen xe nicht vor. Bei der Formulierung des folgenden Satzes und seinem Beweis werden wir von dem waringschen Satz keinen Gebrauch machen, da wir den waringschen Satz noch einmal als Korollar zu jenem erhalten wollen. (Schon Kronecker kannte diese Basis. Kummerfestschrift S. 39. Dort Hinweis auf fr¨ uhere Arbeit.) Satz 5. Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins und es sei 2 ≤ n ∈ N0 . Es sei weiter R[x1 , . . . , xn ] der Polynomring in den Unbestimmten x1 , . . . , xn u ¨ber R. Dann ist   Δ := xe | e ∈ E(n) eine Basis des R[λ(n)1 , . . . , λ(n)n ]-Moduls R[x1 , . . . , xn ]. Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass Δ ein Erzeugendensystem ist. Dazu f¨ uhren wir Unbestimmte ein, die wir sp¨ater durch elementarsymmetrische Polynome ersetzen werden. Dabei st¨ utzen wir uns auf Satz 6 von Abschnitt 3, nach dem das Auswerten ja ein Homomorphismus ist, so dass die Gleichungen, die wir herleiten, auch nach dem Ersetzen der Unbestimmten noch gelten. Dass wir zun¨achst in sehr viel gr¨oßeren Polynomringen als den gegebenen rechnen, hat den Vorteil, dass wir Division mit Rest benutzen k¨ onnen. ur i := 1, . . . , n und j := 1, . . . , i Unbestimmte Es seien also y1 , . . . , yn , s(i)j f¨ u ¨ ber R. Wir setzen s(i)0 := 1 f¨ ur alle i und definieren Polynome pi durch pi :=

i 

(−1)j s(i)j yii−j .

j:=0

Von den y’s kommt in pi nur yi vor. Der Leitkoeffizient von pi ist 1 und der Grad in yi ist i. ¨ Um im Folgenden den Uberblick zu wahren, schreiben wir bei (nicht allen) Polynomen, die wir betrachten, die Unbestimmten, die m¨ oglicherweise in ihnen vorkommen, in Klammern. Dabei bedienen wir uns der Abk¨ urzungen s(i) f¨ ur s(i)1 ,

4. Symmetrische Polynome

553

ur y1 , . . . , yn und entsprechend in anderen F¨ allen. Ferner setzen . . . , s(i)i und y f¨ wir den bislang nicht definierten Grad des Nullpolynoms gleich −1, damit bei der Division mit Rest das Nullpolynom nicht immer eigens erw¨ ahnt werden muss. Es sei f ∈ R[x1 , . . . , xn ]. Wir definieren Polynome Ai , Bi und Qi in den Unbestimmten y und s(i) durch den folgenden Algorithmus. Erst wenn alle diese Polynome berechnet sind, werden die s(i) durch die λ(i) ersetzt und y durch x. Der Algorithmus beginnt damit, dass in f die Unbestimmten x durch y ersetzt werden. Es bezeichne Gradu (π) den Grad des Polynoms π in der Unbestimmten u. Es spielt sich zun¨achst also alles im Polynomring ! R y, s(i) | i := 1, . . . , n in den Unbestimmten y1 , . . . , yn , s(1)1 , . . . , s(n)n ab. A0 (y) := f (y); Division mit Rest bzg. y1 liefert B1 und Q1 mit A0 (y) = Q1 p1 (s(1), y1 ) + B1 (s(1), y) und Grady1 (B1 ) < 1; (∗ Es ist Grady1 (B1 ) ≤ 0. ∗) F¨ ur i := 2 bis n tue { F¨ ur j := 1 bis i − 1 setze ti−1,j := jk:=0 (−1)k s(i)j−k yik ; (∗ Ersetze s(i − 1) in Bi−1 durch ti−1 . (∗ Dadurch wird s(i) eingef¨ uhrt. ∗) Ai−1 (s(i), y) := Bi−1 (ti−1 , y); (∗ Es gilt Gradyj (Ai−1 ) ≤ j − 1 f¨ ur alle j ≤ i − 1. ∗) Division mit Rest bzg. yi liefert Bi und Qi mit Ai−1 (s(i), y) = Qi pi (s(i), yi ) + Bi (s(i), y) und Gradyi (Bi ) ≤ i − 1. (∗ Es ist Gradyj (Bi ) ≤ j − 1 f¨ ur alle j ≤ i. ∗) } Die Division mit Rest ist immer durchf¨ uhrbar, da die Polynome pi in yi den Leitkoeffizienten 1 haben. Da ihr Grad in yi gleich i ist und yj f¨ ur j = i in pi nicht ¨ber die vorkommt, gelten auch die Aussagen u ¨ ber die Grade von Bi und damit u von Ai−1 . Weil Gradyi (Bn ) ≤ i − 1 ist f¨ ur alle i, gilt Bn =

 e∈E(n)

mit ae ∈ R[s(n)1 , . . . , s(n)n ].

ae y e

554

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

ur alle i und j durch die elementarsymmetrischen PolyWir ersetzen nun s(i)j f¨ nome λ(i)j in den Unbestimmten x1 , . . . , xn . Ferner ersetzen wir in ti−1,j die Unbestimmte yi durch xi . Nach Satz 1d) ist dann

 ti−1,j λ(i), xi = λ(i − 1)j und folglich



 Ai−1 λ(i), x = Bi−1 λ(i − 1), x

f¨ ur i := 2, . . . , n. Ferner gilt auf Grund der Definition der elementarsymmetrischen Polynome i

  pi λ(i), yi = (yi − xj ) j:=1

f¨ ur i := 1, . . . , n. Also ist i





 Ai−1 λ(i), y = Qi λ(i), y (yi − xj ) + Bi λ(i), y j:=1

ur alle k, so folgt f¨ ur i := 1, . . . , n. Setzt man schließlich yk := xk f¨



 Ai−1 λ(i), x = Bi λ(i), x f¨ ur i := 1, . . . , n. Mittels Induktion folgt hieraus, wenn man noch beachtet, dass λ(1) nur die Komponente λ(1)1 = x1 hat,

 f = Bn λ(n), x dh., f=



 ae λ(n) xe .

e∈E(n)

Damit ist gezeigt, dass Δ ein Erzeugendensystem des fraglichen Moduls ist. Wir haben noch zu zeigen, dass Δ linear unabh¨ angig ist. Dazu zeigen wir zun¨ achst, dass die Monome 1, xn , x2n , . . . , xn−1 linear unabh¨ angig sind. Es sei n 0=

n−1 

 ai λ(n)1 , . . . , λ(n)n xin

i:=0

mit ai ∈ R[y1 , . . . , yn ]. Weil das Nullpolynom symmetrisch ist, folgt 0=

n−1  i:=0

 ai λ(n)1 , . . . , λ(n)n xik

4. Symmetrische Polynome

555

f¨ ur alle k. Damit erhalten wir ein System von linearen Gleichungen f¨ ur die ai (λ(n)1 , . . . , λ(n)n ). Mit Hilfe der cramerschen Regel folgt, wenn D die Determinante des Systems ist, dass

 D · ai λ(n)1 , . . . , λ(n)n = 0 ist f¨ ur i := 0, . . . , n − 1. Nun ist D aber eine vandermondesche Determinante, so dass  D= (xj − xi ) 1≤i<j≤n

ist. Nach dem Satz von McCoy (Abschnitt 3, Satz 9) ist xj − xi wegen j = i kein Nullteiler. Da die Menge der Nicht-Nullteiler eines Ringes multiplikativ abgeschlossen ist, ist also auch D kein Nullteiler. Also ist

 ai λ(n)1 , . . . , λ(n)n = 0 linear unabh¨ angig sind. f¨ ur alle i. Dies zeigt, dass 1, xn , . . . , xn−1 n Es sei 1 < i ≤ n − 1. Setze   E  := e | e ∈ E(n), e1 = . . . = ei−1 = 0 und

  E  := e | e ∈ E(n), e1 = . . . = ei = 0 .

angig ist, und zeigen, dass es Wir nehmen an, dass {xe | e ∈ E  } linear unabh¨ dann auch {xe | e ∈ E  } ist. Es sei 

 ae λ(n)1 , . . . , λ(n)n xe . 0= e∈E 

Dann ist — mit sich hoffentlich selbst erkl¨ arender Indizierung der Koeffizienten — 0=

i−1    j:=0



 f j ajf λ(n)1 , . . . , λ(n)n x xi .

f ∈E 

Es sei k ≤ i. Betrachtet man nun die Permutation, die i mit k vertauscht, so wird andert. Weil die Koeffizienten der xf wegen fi = fk = 0 das Monom xf nicht ver¨ symmetrische Polynome sind, a¨ndern auch sie sich nicht. Daher gilt 0=

i−1    j:=0

f ∈E 



 f j ajf λ(n)1 , . . . , λ(n)n x xk

556

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

f¨ ur alle k ≤ i. Benutzt man nun wieder die cramersche Regel, die Bemerkung, dass die Determinante dieses Systems eine vandermondesche Determinante ist, den Satz von McCoy und die Induktionsannahme, so sieht man, dass

 aif λ(n)1 , . . . , λ(n)n = 0 ist f¨ ur alle i und f . Daher ist auch {xe | e ∈ E  } linear unabh¨ angig. Mit dieser Induktion ist auch die lineare Unabh¨ angigkeit von Δ bewiesen. Die Geschichtsschreibung lebt von der Wiederholung. Daher wiederhole ich hier ein weiteres Mal meinen Kommentar zur cramerschen Regel (s. L¨ uneburg 1989, S. 440, und 1993a, S. 214). Diese wird in fast allen B¨ uchern der linearen Algebra so formuliert, dass man annimmt, dass die Determinate des durch die quadratische Matrix a beschriebenen Systems von null verschieden sei. Dann sei, so diese B¨ ucher zurecht, di xi = det(a) f¨ ur alle i, wobei di eine von i, a und der rechten Seite des Gleichungssystems abh¨ angige Determinante ist. Dann sagen diese B¨ ucher meist aber auch sogleich, dass man diese Formel nicht zur Berechnung der xi benutzen solle, da man diese billiger haben k¨ onne. Man k¨ onnte daher auf die Idee kommen — und ich war fr¨ uher dieser Ansicht —, dass diese Formel nur eine Kuriosit¨ at sei. Formuliert man die cramersche Regel aber richtig als det(a)xi = di , so gilt sie in allen kommutativen Ringen, gleichg¨ ultig, ob det(a) null, Nullteiler, Nicht-Nullteiler oder Einheit ist. Hieraus kann man dann, wie eben gesehen, seine Schl¨ usse ziehen. Die cramersche Regel auf diese Weise aufzufassen lernte ich in Irving Kaplanskys Vorlesung am Queen Mary College, London, im akademischen Jahr 1965/66. Der Leser sehe in diesem Zusammenhang auch die Anwendung der cramerschen Regel in Abschnitt 5 von Kapitel 8 und beim Beweise von Satz 6 in Kapitel 14, Abscshnitt 8. Der Leser wird in aller Regel die cramersche Regel nur f¨ ur den Fall von linearen Gleichungssystemen u ¨ ber kommutativen K¨ orpern bewiesen gesehen haben. Mit den bislang entwickelten Methoden kann man sie aber auch fast schon f¨ ur Gleichungssysteme u ¨ ber kommutativen Ringen etablieren. Das Einzige, was uns zu diesem Zweck noch fehlt, ist die Konstruktion des Quotientenk¨ orpers eines Integrit¨atsbereiches. Diese wollen wir nun nach dem Vorgange von Steinitz (1910, S. 177–179) durchf¨ uhren. Er scheint der Erste gewesen zu sein, der diese Konstruktion f¨ ur Integrit¨ atsbereiche durchgef¨ uhrt hat. Die entsprechende Konstruktion von Q aus Z findet sich schon in Peano 1889/1959, S. 46–49, und Weber 1895 und f¨ ur K[x1 , . . . , xn ] in Weber 1893, wobei K[x1 , . . . , xn ] wieder den Polynomring in den

4. Symmetrische Polynome

557

orper werden wir in Unbestimmten x1 , . . . , xn bezeichnet. Diesen Quotientenk¨ Zukunft mit K(x1 , . . . , xn ) bezeichnen. Man nennt diesen K¨ orper auch den Funktionenk¨ orper in den n Unbestimmten x1 , . . . , xn . Es sei R ein Integrit¨atsbereich, der wenigstens zwei Elemente enthalte. Auf ¨ R × R∗ definieren wir eine Aquivalenzrelation ∼ durch (r, u) ∼ (s, v) genau dann, ¨ wenn rv = su ist. Dann ist ∼ eine Aquivalenzrelation. Sie ist ja sicherlich reflexiv und symmetrisch. Dass sie auch transitiv ist, sieht man wie folgt. Es sei (r, u) ∼ (s, v) und (s, v) ∼ (t, w). Dann ist rv = su und sw = tv. Es folgt rwv = rvw = suw = swu = tvu = tuv. Weil R ein Integrit¨atsbereich ist und v = 0 gilt, folgt rw = tu, so dass (r, u) ∼ (t, w) ist. Dies rechnet auch Steinitz nach. Auf R × R∗ definieren wir ferner eine Addition und eine Multiplikation durch (r, u) + (s, v) := (rv + su, uv) und (r, u)(s, v) := (rs, uv). Steinitz u ¨ berl¨ asst es dem Leser nachzuweisen, dass ∼ mit diesen beiden Operationen vertr¨ aglich ist. Setzt man nun Q(R) := (R × R∗ )/∼, urliche so erbt Q(R) von R × R∗ Addition und Multiplikation, so dass der nat¨ Epimorphismus auch mit diesen beiden Operationen vertr¨ aglich ist. Bezeichnet ¨ man die Aquivalenzklasse von (r, u) mit ur , so gilt also s rv + su r + = u v uv und

rs rs = . uv uv

Nachrechnen ergibt, dass (Q(R), +, ·) ein K¨orper ist. Auch dies u ¨ berl¨ asst Steinitz dem Leser. Man nennt Q(R) mit der soeben definierten Addition und Multiplikation den Quotientenk¨ orper von R. Die Abbildung r → r1 ist ein Monomorphismus urfen. von R in Q(R), so dass wir in Zukunft r mit 1r identifizieren d¨ Steinitz bemerkt noch, dass isomorphe Integrit¨ atsbereiche isomorphe Quotientenk¨orper haben. Diese Aussage l¨asst sich versch¨arfen zu dem folgenden, leicht zu beweisenden Satz. Satz 6. Ist R ein Integrit¨ atsbereich und ist σ ein Monomorphismus von R in den K¨ orper K, so l¨ asst sich σ zu genau einem Monomorphismus von Q(R) in K fortsetzen.

558

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Als Korollar formulieren wir noch Korollar. Es sei R ein Integrit¨ atsbereich mit wenigstens zwei Elementen und ¨ber R. Dann R[x1 , . . . , xn ] sei der Polynomring in den Unbestimmten x1 , . . . , xn u ist

 Q R[x1 , . . . , xn ] = Q(R)(x1 , . . . , xn ). Beweis. Nach Satz 10 von Abschnitt 3 ist R[x1 , . . . , xn ] ein Integrit¨ atsbereich, so dass das Korollar zumindest syntaktisch korrekt ist. Es ist

 R ⊆ R[x1 , . . . , xn ] ⊆ Q R[x1 , . . . , xn ] . Mit Satz 6 folgt Q(R) ⊆ Q(R[x1 , . . . , xn ]). Hieraus folgt wiederum

 Q(R)[x1 , . . . , xn ] ⊆ Q R[x1 , . . . , xn ] und mit Satz 6 dann auch Q(R)(x1 , . . . , xn ) ⊆ Q(R[x1 , . . . , xn ]). Andererseits ist R ⊆ Q(R) und damit R[x1 , . . . , xn ] ⊆ Q(R)[x1 , . . . , xn ] ⊆ Q(R)(x1 , . . . , xn ). Nochmalige Anwendung von Satz 6 liefert

 Q R[x1 , . . . , xn ] ⊆ Q(R)(x1 , . . . , xn ). Damit ist alles bewiesen. Was Steinitz en passant bemerkt und beweist, ist, dass endliche Integrit¨ atsbereiche stets K¨orper sind. Sein Argument ist, dass die Abbildung x → ax f¨ ur a = 0 injektiv ist. (Das Wort injektiv“ war damals noch nicht gebr¨ auchlich.) ” Injektive Abbildungen endlicher Mengen sind aber surjektiv. Es gibt daher zu jedem b ∈ R ein x ∈ R mit ax = b. Also ist R ein K¨ orper, falls R endlich ist. Dieses Argument kommt schon im 19. Jahrhundert im Zusammenhang mit der im Entstehen begriffenen Gruppentheorie vor. Dort sind Gruppen zun¨ achst endliche Permutationsgruppen, die dadurch definiert werden, dass man eine Menge von Permutationen betrachtet, die unter der Hintereinanderausf¨ uhrung von Permutationen abgeschlossen ist. Dies reicht im Unendlichen ja nicht zur Definition einer Gruppe. Wir bemerken hier noch das Folgende: Es sei K ein kommutativer K¨ orper und a sei eine (n × n)-Matrix u ¨ber K. Mit a(k,l) bezeichnen wir die Matrix, die aus a durch Streichen der k-ten Zeile und l-ten Spalte entsteht. Schließlich definieren wir die Adjunkte von a durch adj(a)lk := (−1)k+l det(a(k,l) ).

4. Symmetrische Polynome

559

Hierbei ist zu beachten, dass auf der linken Seite l, k und auf der rechten k, l steht. Es gilt nun: Laplacescher Entwicklungssatz. Ist K ein kommutativer K¨ orper, ist n ∈ N und ist a eine (n × n)-Matrix u ¨ber K, so ist adj(a)a = aadj(a) = det(a)E, wobei E die (n × n)-Einheitsmatrix ist. F¨ ur einen Beweis dieses Satzes sei der Leser etwa auf L¨ uneburg 1993a, S. 211f. verwiesen. Dieser Satz gilt nun auch f¨ ur beliebige kommutative Ringe, wenn man die Determinante einer (n × n)-Matrix a u ¨ ber einem solchen Ring durch det(a) :=



n 

sgn(σ)

σ∈Sn

aiσ(i)

i:=1

definiert. Um dies einzusehen, sei R ein kommutativer Ring mit Eins und a sei eine (n × n)-Matrix u ¨ber R. Es sei S := Z[αij | i, j := 1, . . . , n] ¨ ber Z. Weil Z nullteilerfrei ist, ist der Polynomring in den n2 Unbestimmten αij u nach Satz 10 von Abschnitt 3 auch S nullteilerfrei. Somit existiert der Quotientenk¨orper Q(S). Da α auch eine (n × n)-Matrix u ¨ber Q(S) ist, gilt adj(α)α = αadj(α) = det(α)E. Weil die Determinante einer Matrix eine Polynomfunktion in den Koeffizienten der Matrix ist, gilt der laplacesche Entwicklungssatz also auch schon u ¨ber S. Weil R eine Eins hat, ist z → z1 ein Homomorphismus von Z in R. Mit den S¨ atzen 4 und 5 von Abschnitt 3 folgt, dass es einen Homorphismus σ von S in R gibt mit σ(αij ) = aij . Hieraus folgt, dass auch adj(a)a = aadj(a) = det(a)E gilt. Anders geschrieben bedeutet das n  k:=1

adj(a)ik akj =

0, det(a),

falls i = j falls i = j.

560

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Der laplacesche Entwicklungssatz gilt also u ¨ ber beliebigen kommutativen Ringen mit Eins. Cramersche Regel. Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ferner sei a eine (n × n)-Matrix mit Koeffizienten aus R und b und x seien zwei n-Tupel u ¨ber R. Es gelte ax = b. F¨ ur 1 ≤ i ≤ n bezeichne da,i (b) die Determinante der Matrix, die man aus a dadurch erh¨ alt, dass man in a die i-te Spalte durch b ersetzt. Dann ist det(a)xi = da,i (b).

Beweis. Auf Grund des laplaceschen Entwicklungssatzes, den wir nun auch f¨ ur kommutative Ringe mit Eins haben, gilt da,i (b) = =

n  j:=1 n 

adj(a)ij bj =

n 

adj(a)ij

j:=1 n 

adj(a)ij ajk xk =

k:=1 j:=1

n 

ajk xk

k:=1 n 

det(a)Eik xk

k:=1

= det(a)xi . Damit ist die cramersche Regel auch f¨ ur Ringe etabliert. Zur¨ uck zu den symmetrischen Polynomen. Wir wollten noch zeigen, dass der waringsche Satz auch eine Folge von Satz 5 ist. Die Eindeutigkeitsaussage dieses Satzes folgt mit der nach Satz 5 gemachten Bemerkung. Es ist die Existenzaussage, die Kopfzerbrechen bereitet. Es sei f ∈ SymR [x1 , . . . , xn ]. Nach Satz 5 gibt es Polynome ge ∈ R[y1 , . . . , yn ] mit 

 ge λ(n)1 , . . . , λ(n)n xe . f= e∈E(n)

Wir zerlegen E(n) in die beiden Mengen   E  := e | e ∈ E(N ), e1 = 0 und

  E  := e | e ∈ E(N ), e1 = 1 . 

Dann ist xe = x2 xe mit e ∈ E  f¨ ur alle e ∈ E  und die Abbildung e → e ist bijektiv. Also ist f=

 e∈E 



   ge λ(n) xe + x2 ge λ(n) xe . e∈E 

4. Symmetrische Polynome

561



Weil x2 in xe nicht vorkommt, folgt aus der Symmetrie von f , dass auch 



   ge λ(n) xe + x1 ge λ(n) xe f= e∈E 

e∈E 

gilt. Somit haben wir ein System von zwei Gleichungen f¨ ur die beiden Summen mit der vandermondeschen Determinante D = x2 − x1 . Nach der cramerschen Regel ist D mal der zweiten Summe gleich   1 f det = 0. 1 f Da D, wie wir schon gesehen haben, kein Nullteiler ist, folgt, dass die zweite Summe null ist. Also ist 

 ge λ(n) xe . f= e∈E 

Es sei 1 ≤ i ≤ n − 1. Wir definieren E  aufs Neue und setzen   ur j ≤ i . E  := e | e ∈ E(n), ej = 0 f¨ Wir nehmen ferner an, dass f=



 ge λ(n) xe

e∈E 

sei. Ist i = n − 1, so ist f = g0...0 (λ(n)) und wir sind fertig. Es sei also i < n − 1.  Wir setzen E  := {e | e ∈ E  , ei+1 = 0}. Dann ist xe = xji+1 xe mit j = ei und einem eindeutig bestimmten e ∈ E  . Schreibt man nun noch gje statt ge , so gilt also i  

  xji+1 gje i λ(n) xe . f= e ∈E 

j:=0

Wiederum auf Grund der Symmetrie von f folgt f=

i 

xjk

j:=0



  gje λ(n) xe

e ∈E 

f¨ ur k := 1, . . . , i + 1. Eine nochmalige Anwendung der cramerschen Regel liefert, dass 

  gje λ(n) xe = 0 e ∈E 

ist f¨ ur j := 1, . . . , i. Diese Induktion zeigt, dass

 f = g0...0 λ(n)1 , . . . , λ(n)n

562

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

ist. Damit ist Warings Satz ein zweites Mal bewiesen. Wir schließen mit einem Satz, der nicht u ¨berrascht und der uns sp¨ ater noch n¨ utzlich sein wird. orper in den Satz 7. Es sei K ein K¨ orper und K(x1 , . . . , xn ) sei der Funktionenk¨ Unbestimmten x1 , . . . , xn u ¨ber K. Ist dann σ ∈ Sn , so gibt es genau einen Automorphismus von K(x1 , . . . , xn ), den wir ebenfalls mit σ bezeichnen, mit xσi = xσ(i) f¨ ur alle i und k σ = k f¨ ur alle k ∈ K. Es sei   ur alle σ ∈ Sn . SymK (x1 , . . . , xn ) := f | f ∈ K(x1 , . . . , xn ), f σ = f f¨ orper von K(x1 , . . . , xn ) und es gilt Dann ist SymK (x1 , . . . , xn ) ein Teilk¨

 SymK (x1 , . . . , xn ) = Q SymK [x1 , . . . , xn ] . Jede Basis des SymK [x1 , . . . , xn ]-Moduls K[x1 , . . . , xn ] ist auch Basis des SymK (x1 , . . . , xn )-Vektorraumes K(x1 , . . . , xn ), so dass die Dimension des SymK (x1 , . . . , xn )-Vektorraumes K(x1 , . . . , xn ) gleich n! ist. Beweis. Es gibt genau einen Automorphismus σ von K[x1 , . . . , xn ], wie wir bereits wissen, mit xσi = xσ(i) f¨ ur alle i und k σ = k f¨ ur alle k ∈ K. Nach Satz 6 l¨ asst sich dieser Automorphismus zu genau einem Isomorphismus von K(x1 , . . . , xn ) in K(x1 , . . . , xn ) fortsetzen, der wegen xσi = xσ(i) und k σ = k auch surjektiv ist. Dass SymK (x1 , . . . , xn ) ein Teilk¨orper von K(x1 , . . . , xn ) ist, ist trivial. Nat¨ urlich ist SymK [x1 , . . . , xn ] ⊆ SymK (x1 , . . . , xn ) und daher auch

 Q SymK [x1 , . . . , xn ] ⊆ SymK (x1 , . . . , xn ). Es sei — und dies ist Dedekinds Argument (Ded. 1981) — f ∈ SymK (x1 , . . . , xn ). Es gibt dann zwei Polynome g und h mit h = 0 und f = hg . Es seien h1 = h, h2 , . . . , ht die verschiedenen Bilder von h unter der symmetrischen Gruppe. Dann ist f=

gh2 · · · ht . h1 h2 · · · ht

Weil f und h1 · · · ht symmetrisch sind, folgt, dass auch gh2 · · · ht symmetrisch ist. Folglich ist f ∈ Q(SymK [x1 , . . . , xn ]).

5. Potenzsummen

563

Es sei B1 , . . . , Bn! eine nach Satz 5 existierende Basis des SymK [x1 , . . . , xn ]Moduls K[x1 , . . . , xn ]. Wir zeigen, dass sie auch eine Basis des SymK (x1 , . . . , xn )achst beweisen wir die lineare Unabh¨ angigkeit. Vektorraumes K(x1 , . . . , xn ) ist. Zun¨ Dazu seien ki ∈ SymK (x1 , . . . , xn ) und es gelte n! 

ki Bi = 0.

i:=1

Es gibt dann, wie gerade gesehen, ui , vi ∈ SymK [x1 , . . . , xn ] mit vi = 0 f¨ ur alle i, so dass ui ki = vi gilt. Es folgt 0=

n! 



vj ui Bi .

i:=1 j∈{1,...,n!}−{i}

Hieraus folgt wiederum



vj ui = 0

j∈{1,...,n!}−{i}

ur alle i. Also ist f¨ ur alle i. Weil die vj allesamt ungleich 0 sind, ist daher ui = 0 f¨ auch ki = 0 f¨ ur alle i. Damit ist die lineare Unabh¨ angigkeit der Bi bewiesen. Es sei schließlich k ∈ K(x1 , . . . , xn ). Dann ist k = hg mit g, h ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Indem wir den Bruch mit dem Produkt der von h verschiedenen Bilder unter der urfen, dass h symmetrisch ist. Dann Sn erweitern, sehen wir, dass wir annehmen d¨ gibt es aber symmetrische Polynome s1 , . . . , sn! mit g=

n! 

si Bi .

i:=1

Daher ist k=

n!  si Bi . h i:=1

Also sind die Bi auch ein Erzeugendensystem. Damit ist alles bewiesen. 5. Potenzsummen. Wir bleiben noch ein wenig bei den symmetrischen Polynomen und beweisen in diesem Abschnitt die newtonschen Formeln. Diese beinhalten die Darstellung der sogenannten Potenzsummen n  i:=1

xki

564

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

mit k ∈ N als Polynome in den elementarsymmetrischen Polynomen. Zu ihrem Beweis bedienen wir uns der K¨orper der formalen Laurentreihen, die wir zuerst beschreiben werden. Wann diese K¨ orper in der Literatur auftauchten und wer sie erfand, weiß ich nicht. Es sei K ein kommutativer K¨orper und L sei die Menge der Abbildungen f von Z in K, f¨ ur die es ein a ∈ Z gibt mit f (i) = 0 f¨ ur alle i < a. F¨ ur f , g ∈ L definieren wir f + g durch (f + g)(i) := f (i) + g(i) f¨ ur alle i ∈ Z. Wegen f , g ∈ L gibt es a und b ∈ Z mit f (i) = 0 f¨ ur alle i < a ur alle i < min(a, b), so dass und g(i) = 0 f¨ ur alle i < b. Dann ist f (i) + g(i) = 0 f¨ f + g ∈ L gilt. Es seien weiterhin f , g ∈ L und a und b haben die gleiche Bedeutung wie eben. Ist dann z ∈ Z und i < a, so ist f (i)g(z − i) = 0. Ist z − b < i, so ist z − i < b und daher f (i)g(z − i) = 0. Daher ist f (i)g(z − i) h¨ ochstens dann ungleich null, wenn a ≤ i ≤ z − b ist. Definiert man nun f g durch  f (i)g(z − i), (f g)(z) := i∈Z

so ist diese Definition also sinnvoll. Dar¨ uberhinaus folgt aus a ≤ i ≤ z − b, dass a + b ≤ z ist. Folglich ist (f g)(z) = 0, wenn z < a + b ist. Also ist f g ∈ L. Routinerechnungen zeigen, dass L mit diesen beiden Verkn¨ upfungen ein kommutativer Ring mit Eins ist, wobei die Eins durch 1(0) := 1 und 1(z) := 0 f¨ ur z = 0 definiert ist. Man nennt L den K¨ orper der formalen Laurentreihen u ¨ber K . Was die aus der Funktionentheorie bekannten Laurentreihen mit L zu tun haben, erkl¨ art sich sp¨ ater. Dass L ein K¨ orper ist, besagt der n¨ achste Satz. Satz 1. Es sei K ein kommutativer K¨ orper und L sei der K¨ orper der formalen Laurentreihen u ¨ber K. Dann ist L tats¨ achlich ein K¨ orper. Beweis. Es sei 0 = f ∈ L. Es gibt dann ein a ∈ Z mit f (a) = 0 und f (i) = 0 f¨ ur alle i < a. Wir definieren g ∈ L rekursiv wie folgt: Setze g(i) := 0 f¨ ur alle i < −a und g(−a) := f (a)−1 . Es sei z ∈ N und g(−a), . . . , g(−a + z − 1) seien bereits definiert. Setze −a+z−1  g(i)f (z − i). g(−a + z) := −f (a)−1 i:=−a

Dann ist (gf )(z) =



g(i)f (z − i) =

i∈Z

−a+z 

g(i)f (z − i).

i:=−a

Ist z < 0, so ist die zweite Summe leer, also gleich null. Es sei z = 0. Dann ist (gf )(0) = g(−a)f (a) = 1. Ist z > 0, so folgt (gf )(z) =

−a+z−1  i:=−a

g(i)f (z − i) + g(−a + z)f (a) = 0

5. Potenzsummen

565

auf Grund der Definition von g. Also ist gf = 1. Weil L kommutativ ist, ist auch f g = 1, so dass L ein K¨ orper ist. Ist f ∈ L∗ , so bezeichnen wir mit d(f ) die kleinste unter den ganzen Zahlen z, f¨ ur die f (z) = 0 ist. Sind f , g ∈ L∗ , so gilt d(f g) = d(f ) + d(g). Neben der Eins ist ein weiteres wichtiges Element von L das Element x, das wie folgt definiert ist. Es ist x(z) :=

1, falls z = 1 0, falls z = 1.

Satz 2. Es sei K ein kommutativer K¨ orper und L sei der K¨ orper der formalen Laurentreihen u ¨ber K. Setze   L0 := f | f ∈ L, f = 0 oder d(f ) ≥ 0 . Dann ist L0 ein euklidischer Teilring von L. Beweis. L0 ist offensichtlich additiv und multiplikativ abgeschlossen. Wegen d(f ) = d(−f ) ist (L0 , +) eine Gruppe und somit L0 ein Teilring von L, da ja wegen d(1) = 0 auch 1 ∈ L0 gilt. Wir zeigen, dass d eine Euklidfunktion ist. Sind f , g ∈ L0 , so ist d(f ) ≥ 0 und d(f g) = d(f ) + d(g) ≥ d(f ). Das sind zwei der drei definierenden Eigenschaften einer Euklidfunktion. Ist nun d(f ) < d(g), so ist f = 0g+f . Es sei also d(f ) ≥ d(g). F¨ ur das oben definierte x gilt d(x) = 1 und daher d(xn ) = n. Setze m := d(f ) − d(g). Dann ist m ≥ 0 und daher xm ∈ L0 . Es gibt ferner ein a ∈ L mit f = axn g, da L ja ein K¨ orper ist. Es folgt d(f ) = d(a) + m + d(g) = d(a) + d(f ) − d(g) + d(g) = d(a) + d(f ), so dass d(a) = 0 und damit a ∈ L0 ist. Hier ist also f = axm g + 0 mit axm ∈ L0 . Damit ist gezeigt, dass L0 tats¨achlich ein euklidischer Ring mit Euklidfunktion d ist. Beim Beweise von Satz 2 wurde mehr bewiesen als im Satz formuliert, n¨amlich Korollar. Sind a und b zwei Elemente aus L∗0 , so ist a Teiler von b oder b Teiler von a. Setzt man in dem gerade gef¨ uhrten Beweis g := 1, so sieht man dass es zu f ∈ L∗0 ein a ∈ L∗0 und ein m ∈ N0 gibt mit f = axm

566

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

und d(a) = 0. Es folgt 0 = d(1) = d(aa−1 ) = d(a) + d(a−1 ) = d(a−1 ), so dass a−1 ∈ L0 ist. Also ist a eine Einheit in L0 . Dass x ein Primelement und dann bis auf Assozierte das einzige Primelement von L0 ist, sieht man wie folgt. Es seien f , g ∈ L∗0 und x sei ein Teiler von f g. Dann ist f g = hx mit einem h ∈ L∗0 und daher d(f ) + d(g) = d(f g) ≥ d(x) = 1. Es folgt d(f ) ≥ 1 oder d(g) ≥ 1. Im ersten Falle ist x Teiler von f , wie wir gesehen haben, im zweiten von g, so dass x wirklich ein Primelement ist. Da in euklidischen Ringen die Zerlegung in Primfaktoren eindeutig ist, folgt, dass x bis auf Assoziierte das einzige Primelement von L0 ist. Da in euklidischen Ringen alle Ideale Hauptideale sind, gibt es zu jedem Ideal I von L0 , das von {0} verschieden ist, ein m ∈ N0 mit I = xm L0 . Ferner gilt ∞ 

xm L0 = {0}.

m:=0

Ist n¨amlich f ∈ L∗0 , so gibt es, wie wir gesehen haben, eine Einheit a von L0 und ein m ∈ N0 mit f = axm . Es folgt f ∈ xm+1 L0 , so dass die Behauptung bewiesen ist. Nimmt man diese Ideale in L als Umgebungsbasis der Null, so erh¨alt man eine hausdorffsche Topologie auf L. Wir begn¨ ugen uns hier damit zu zeigen, wie man mit Hilfe dieser Ideale einen Konvergenzbegriff f¨ ur Folgen auf L bekommt. Es sei F eine Folge auf L, dh. eine Abbildung von N0 in L. Ferner sei f ∈ L. Dann heißt F konvergent mit dem Grenzwert f , wenn es zu jedem n ∈ N0 ein N ∈ N0 gibt mit f − Fm ∈ xn L0 f¨ ur alle m ≥ N . Ist F konvergent und hat F die Grenzwerte f und g, so ist f = g. Ist n¨amlich n ∈ N0 , so gibt es ein N ∈ N0 mit ur alle m ≥ N . Es folgt f − Fm , Fm − g ∈ xn L0 f¨ f − g = f − Fm − (g − Fm ) ∈ xn L0 und damit, da n beliebig war, f −g ∈

∞ 

xn L0 = {0}.

n:=0

Also hat jede konvergente Folge nur einen Grenzwert. Diesen bezeichnen wir mit lim F . Ist k ∈ K und definiert man kˆ durch k, falls z = 0 ˆ k(z) := 0, falls z = 0.

5. Potenzsummen

567

Dann ist k → kˆ ein Monomorphismus von K in L, so dass wir kˆ mit k identifizieren d¨ urfen. Dies insbesondere auch deswegen, weil  n ˆ ˆ n )(i) = k(j)x (i − j) = kxn (i) (kx j∈Z

ist. Satz 3. Es sei K ein kommutativer K¨ orper und L sei der K¨ orper der formalen Laurentreihen u ¨ber K. F¨ ur f ∈ L∗ definieren wir die Folge F durch 

d(f )+m

Fm :=

fi xi .

i:=d(f )

Dann ist F konvergent und es gilt lim F = f . Beweis. Im Satz haben wir fi statt f (i) geschrieben. Dies werden wir im weiteren Verlauf des Beweises durchhalten, wobei wir bei den anderen Abbildungen die urspr¨ ungliche Bezeichnung beibehalten. Setze a := d(f ). Es seien m, n ∈ N0 und es gelte m ≥ n − a. Wir wollen nun zeigen, dass dann x−n (f − Fm ) ∈ L0 ist. Dazu sei i < 0. Dann ist  ! x−n (j)[f − Fm ](i − j) = [f − Fm ](i + n) x−n (f − Fm ) (i) = j∈Z

= fi+n − Fm (i + n). Nun ist, da ja (fα xn )(i + n) = fα xn (i + n) ist, Fm (i + n) =

a+m 

α

(fα x )(i + n) =

α:=a

a+m 

fα xα (i + n).

α:=a

Also ist Fm (i + n) = 0, falls i + n < a oder a + m < i + n ist. Der zweite Fall kann aber nicht eintreten, da sonst der Widerspruch 0 ≤ m − (n − a) < i < 0 folgte. Es ist also i + n ≤ a + m. Ist a ≤ i + n ≤ a + m, so ist Fm (i + n) = fi+n . Ist aber i + n < a, so folgt fi+n = 0 = Fm (i + n).

568

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Somit gilt f¨ ur alle i < 0 die Gleichung fi+n = Fm (i + n) und daher ! x−n (f − Fm ) (i) = 0. Es folgt f − Fm ∈ xn L0 f¨ ur alle m ≥ n − a. Damit ist der Satz bewiesen. Wie in der Analysis u ¨ blich setzen wir f = lim F =

∞ 

fn xn .

n:=a

Statt L schreiben wir in Zukunft K((x)) und statt L0 schreiben wir K[[x]]. Nun ist klar, weshalb K((x)) K¨ orper der formalen Laurentreihen heißt. Sinngem¨ aß nennt man K[[x]] Ring der formalen Potenzreihen u ¨ ber K. Ist f ∈ K((x)), so gibt es ein n ∈ N0 und ein g ∈ K[[x]] mit f = x−n g, wie an der Reihendarstellung von f unmittelbar abzulesen ist. Daher ist K((x)) der Quotientenk¨ orper von K[[x]]. Ist K ein kommutativer K¨ orper, so ist K[x] ein Teilring von K[[x]] und damit auch von K((x)). Es folgt, dass der Quotientenk¨ orperK(x) von K[x] zu einem Teilk¨ orper von K((x)) isomorph ist. Wie sieht man es nun einem f ∈ K((x)) an, dass es bereits in K(x) liegt? Die n¨ achstliegende Antwort ist die, dass die Koeffizienten von f einer linearen Rekursion gen¨ ugen, dass es also a0 , . . . , an−1 ∈ K gibt mit fn+i = a0 fi + a1 fi+1 + . . . + an−1 fi+n−1 f¨ ur i := 0, 1, 2, . . . . Ein Beweis dieses Sachverhaltes findet sich in L¨ uneburg 1979, S. 100f. Eine Kennzeichnung der linear rekurrenten Folgen findet sich bei Kronecker (1881/1897, S. 146–149). Seine Folgen sind Folgen von Gr¨ oßen, wobei er offen l¨asst, was er unter solchen versteht. Sein Satz und sein Beweis gilt jedenfalls f¨ ur Folgen, deren Koeffizienten aus einem kommutativen K¨ orper stammen. Zu seiner Charakterisierung ben¨ otigt er die aus den Koeffizienten von f gebildeteten Determinanten ⎞ ⎛ b0 . . . bn ⎜ b . . . bn+1 ⎟ Bn (f ) := det ⎝ 1 ⎠. ... bn . . . b2n Sein Satz lautet dann: Genau dann gen¨ ugt die Folge der Koeffizienten von f einer linearen Rekursion, wenn es eine nat¨ urliche Zahl N gibt mit Bn = 0 f¨ ur alle n ≥ N . Auch dieser Satz findet sich in L¨ uneburg 1979, S. 104 ff. bewiesen. Wir betrachten den Polynomring Z[y1 , . . . , yn ] in den Unbestimmten y1 , . . . , yn . Da Z ein Integrit¨atsbereich ist, ist es auch dieser Polynomring, der demzufolge einen Quotientenk¨ orper K hat. Wir betrachten das Element 1 ∈ K((x)). 1 − yk x

5. Potenzsummen

569

Um die Normalform dieses Elementes zu erhalten, stellen wir fest, dass  1 − ykm+1 xm+1 y m+1 xm+1 1 1 − − = k yki xi = 1 − yk x i:=0 1 − yk x 1 − yk x 1 − yk x m

ist. Nun ist d(1 − yk x) = 0, so dass 1 − yk x eine Einheit in K[[x]] ist. Folglich ist  1 − y i xi ∈ xm+1 K[[x]] ⊆ xn K[[x]] 1 − yk x i:=0 k m

f¨ ur alle m > n. Daher ist

∞  1 = y i xi . 1 − yk x i:=0 k

Es folgt

n  k:=1

∞  yk = τ (n)i+1 xi , 1 − yk x i:=0

wobei τ (n)i+1 :=

n 

yki+1

k:=1

gesetzt wurde. Man nennt τ (n)i die i-te Potenzsumme in n Unbestimmten. Ob diese Unbestimmten nun y heißen, so wie hier, oder x, ergibt sich aus dem Kontext. Die linke Seite der vorletzten Gleichung erinnert den Kenner an eine logarithmische Ableitung und so kann sie interpretiert werden. Sie ist n¨ amlich bis auf das Vorzeichen die logarithmische Ableitung des Polynoms f :=

n 

(1 − yk x)

k:=1

nach x. Bevor wir u ¨ ber das Ableiten von Polynomen reden, das man ganz formal definieren kann, wollen wir f noch auf Normalgestalt bringen. Es ist — wir rechnen im Quotientenk¨ orper des fraglichen Polynomringes und benutzen den Auswertungshomomorphismus — n 

f = xn

(x−1 − yk ) = xn

k:=1

=

n 

n 

(−1)i λ(n)i xi−n

i:=0

(−1)i λ(n)i xi .

i:=0

Damit ist die Normalgestalt von f gewonnen.

570

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R[x] sei der Polynomring in der n Unbestimmten x u ¨ ber R. Ist f ∈ R[x] und gilt f = i:=0 ri xi , so definieren wir f  durch n  iri xi−1 . f  := i:=1

F¨ ur das Ableiten gelten die u ¨blichen Rechenregeln, wie man sie aus der Analysis kennt. Dies nachzuweisen ist reine Routinesache. Wann diese formale Definition der Ableitung eines Polynoms in derLiteratur auftaucht, ist mir nicht bekannt. Zur¨ uck zu unserem Polynom f = nk:=1 (1−yk x). Mittels der Produktregel folgt f = −

n  k:=1

und damit −



yk

(1 − yi x)

i∈{1,...,n}−{k}

n  yk f = . f 1 − yk x k:=1

Mit der oben hergeleiteten Gleichung ergibt sich −f  = f

∞ 

τ (n)i+1 xi ,

i:=0

das ist

n 

(−1)k−1 kλ(n)k xk−1 =

k:=1

n 

(−1)k λ(n)k xk

k:=0

∞ 

τ (n)i+1 xi .

i:=0

Die rechte Seite dieser Gleichung ergibt ausmultipliziert i ∞  

(−1)j λ(n)j τ (n)i+1−j xi .

i:=0 j:=0

Dabei ist λ(n)j := 0 zu setzen, falls j > n ist. Koeffizientenvergleich liefert nun die newtonschen Formeln (I. Newton, Arithmetica universalis, S. 251. Zitiert nach Waring 1782, S. 2). Da die in ihnen auftretenden Koeffizienten alle ganzzahlig sind, gelten diese Formeln u ¨ ber beliebigen Ringen, wie man wieder mittels des Auswertungshomomorphismus sieht. Newtonsche Formeln. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Dann gelten im Polynomring in n Unbestimmten u ¨ber R f¨ ur die Potenzsummen τ (n)k die Rekursionsformeln k−1  (−1)j λ(n)j τ (n)k−j (−1)k−1 kλ(n)k = j:=0

=

k 

(−1)k−i λ(n)k−i τ (n)i

i:=1

5. Potenzsummen

571

f¨ ur k := 1, . . . , n und 0 = τ (n)n+i+1 − λ(n)1 τ (n)n+i + . . . + (−1)n λ(n)n τ (n)i+1 f¨ ur alle i ∈ N0 . Mittels dieser Rekursionsformeln gelingt es also, die τ (n)k als Polynome in den λ(n)j darzustellen. Ist R = K ein K¨ orper der Charakteristik null, so lassen sich diese Formeln auch nach den λ(n)i aufl¨ osen. In diesem Falle k¨ onnen die symmetrischen Polynome u ¨ ber K auch als Polynome in den τ (n)i dargestellt werden. Die ersten n der Rekursionsformeln kann man auch als ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die τ (n)k auffassen. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist ⎛ 1 ... 0⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

−λ(n)1 λ(n)2 −λ(n)3 λ(n)4 .. .

1 −λ(n)1 λ(n)2 −λ(n)3 .. .

1 −λ(n)1 λ(n)2 .. .

(−1)n λ(n)n

(−1)n−1 λ(n)n−1

(−1)n−2 λ(n)n−2

0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟. ⎟ 0⎟ .. ⎟ ⎠ . ... 1

... ... ... ... .. .

Dies ist eine Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente allesamt 1 sind. Folglich ist ihre Determinante gleich 1. Berechnet man nun τ (n)k mittels der cramerschen Regel, so sieht man, dass man nach Ersetzen der k-ten Spalte durch die rechte Seite obigen Gleichungssystems nur die Determinante der linken oberen (k × k)Matrix auszurechnen hat. Es ist also τ (n)k gleich ⎛ ⎞ 1 ... λ(n) ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ det ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1

−λ(n)1 λ(n)2 −λ(n)3 λ(n)4 .. .

1 −λ(n)1 λ(n)2 −λ(n)3 .. .

(−1)k−1 λ(n)k−1

(−1)k−2 λk−2

... ... ... ... .. .

−2λ(n)2 3λ(n)3 −4λ(n)4 5λ(n)5 .. .

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

. . . (−1)k−1 kλ(n)k

Multipliziert man nun die i-te Zeile mit (−1)i−1 und ist k = 2l oder k = 2l + 1, so folgt, dass (−1)l τ (n)k gleich ist der Determinante ⎛ 1 . . . λ(n) ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ det ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1

λ(n)1 λ(n)2 λ(n)3 λ(n)4 .. .

−1 −λ(n)1 −λ(n)2 −λ(n)3 .. .

1 λ(n)1 λ(n)2 .. .

λ(n)k−1

−λk−2

λ(n)k−3

... ... ... ... .. .

2λ(n)2 ⎟ ⎟ 3λ(n)3 ⎟ ⎟ 4λ(n)4 ⎟ . ⎟ 5λ(n)5 ⎟ ⎟ .. ⎠ .

. . . kλ(n)k

572

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Nun sind die F¨ alle zu unterscheiden, dass k gerade oder ungerade ist. Ist k gerade, so ist die Hausnummer der letzten Spalte gerade und nur die vorherigen Spalten mit gerade Hausnummer sind der Art, dass alle Koeffizienten ein Minuszeichen tragen. Multipliziert man alle diese Spalten mit −1, so ist die dann entstehende Determinante gleich (−1)l−1 (−1)l τ (n)k = −τ (n)k . Ist k ungerade, so multipliziere man alle Spalten mit gerader Hausnummer mit −1. Dann ist die entstehende Determinante gleich (−1)l (−1)l τ (n)k = τ (n)k . Vertauscht man nun nacheinander die letzte Spalte mit allen vorherigen, so ist die entstehende Determinane im Falle, dass k gerade ist, gleich (−1)k−1 (−1)τ (n)k = τ (n)k und im Falle, dass k ungerade ist, gleich (−1)k−1 τ (n)k = τ (n)k . Also gilt in jedem Falle ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ τ (n)k = det ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

λ(n)1 2λ(n)2 3λ(n)3 4λ(n)4 5λ(n)5 .. .

1 λ(n)1 λ(n)2 λ(n)3 λ(n)4 .. .

1 λ(n)1 λ(n)2 λ(n)3 .. .

(k − 1)λ(n)k−1 kλ(n)k

... λ(n)k−1

... λ(n)k−2

... ... ... ... ... .. . ... 1 . . . λ(n)1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Diese Determinantenformeln f¨ ur die Potenzsummen fand ich in Salmon 1877, S. 67. Salmon beweist sie nicht, er setzt sie vielmehr bei seinen Lesern ausdr¨ ucklich als bekannt voraus. Er gibt kein Quelle. 6. Angeordnete K¨ orper. Der zweite gaußsche Beweis f¨ ur den Fundamentalsatz der Algebra l¨asst sich weitgehend verallgemeinern. Um den Hintergrund zu verstehen, ben¨otigen wir den Begriff des angeordneten K¨ orpers. R und Q sind solche und von der Anordnung dieser K¨ orper haben wir schon vielf¨ altigen Gebrauch gemacht. Nun wollen wir die formale Seite der Theorie n¨ aher erl¨autern. Zur Historie der Theorie angeordneter K¨orper weiß ich nur zu sagen, dass sich in der ber¨ uhmten Arbeit von Artin und Schreier (1927) u ¨ber formal reelle K¨ orper die folgende Definition eines angeordneten K¨ orpers findet: Ein K¨ orper K heiße geordnet , wenn f¨ ur seine Elemente die Eigenschaft, positiv (> 0) zu sein, gem¨ aß den folgenden Forderungen definiert ist: 1. F¨ ur jedes Element a aus K gilt genau eine der Beziehungen a = 0,

a > 0,

−a > 0.

2. Ist a > 0 und b > 0, so ist a + b > 0 und ab > 0. Ist −a > 0, so sagen wir: a ist negativ . Definieren wir in einem geordneten K¨ orper allgemein eine Gr¨ oßenbeziehung durch die Festsetzung a > b (oder b < a), wenn a − b > 0,

6. Angeordnete K¨ orper

573

so zeigt man m¨ uhelos, dass die Anordnungsaxiome erf¨ ullt sind. Soweit das Zitat aus der Arbeit von Artin und Schreier. Dabei ist zu beachten, dass der Begriff K¨orper bei Artin und Schreier nur die kommutativen K¨ orper umfasst, w¨ahrend ich unter diesem Begriff auch nicht-kommutative K¨orper subsumiere. Will man auch diese in die Untersuchungen einbeziehen — was wir nicht tun werden —, so muss man noch die folgende Bedingung hinzunehmen, damit die Anordnung mit der Addition und Multiplikation vertr¨ aglich ist. Ist a > 0 und ist 0 = b ∈ K, so ist b−1 ab > 0. Wenn wir in Zukunft von angeordneten K¨ orpern oder Ringen reden, so werden wir implizit immer unterstellen, dass diese kommutativ sind. Wir werden unsere Untersuchungen jedoch auch auf Ringe ausdehnen. Es sei also R ein kommutativer Ring mit Eins. Wir nennen R angeordnet , wenn f¨ ur ihn die eben formulierten Bedingungen 1 und 2 gelten. Dass das Adjektiv angeordnet“ ” gerechtfertigt ist, zeigt der folgende Satz. Satz 1. Es sei R ein verm¨ oge < angeordneter Ring. Dann gilt: a) Sind a, b ∈ R, so gilt genau eine der Beziehungen a = b,

a < b,

b < a.

b) Sind a, b, c ∈ R, ist a < b und b < c, so ist a < c. c) Sind a, b, c ∈ R und ist a < b, so ist a + c < b + c. d) Sind a, b, c ∈ R, ist a < b und c > 0, so ist ac < bc. e) Sind a, b ∈ R∗ , so gilt genau dann ab < 0, wenn einer der beiden Faktoren positiv und der andere negativ ist. f ) Ist 0 = a ∈ R, so ist a2 > 0. Insbesondere gilt 1 > 0. Quadrate sind also stets positiv. Beweis. — a) Es gilt genau eine der Beziehungen a − b = 0 oder a − b < 0 oder b − a < 0. Dies beweist a). b) Wegen a < b und b < c ist 0 < b − a und 0 < c − b. Wegen 2 gilt 0< c−b+b−a=c−a und daher a < c. c) Es ist 0 < b − a = b + c − (a + c)

574

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

und daher a + c < b + c. d) Es ist 0 < c und 0 < b − a. Wegen 2 ist dann 0 < (b − a)c = bc − ac und daher ac < bc. e) Sind a und b beide positiv, so ist ab > 0. Sind sie beide negativ, so sind −a und −b beide positiv. Es folgt ab = (−a)(−b) > 0. Ist a < 0 und b > 0, so folgt mit d), dass ab < 0b = 0 ist. Wegen ab = ba ist damit e) etabliert. f) Es ist a oder −a positiv. Mit e) folgt daher a2 = (−a)2 > 0. Wegen 1 = 12 gilt dann auch die zweite Aussage von f). Damit ist alles bewiesen. Satz 2. Ist R ein angeordneter Ring, so ist R ein Integrit¨ atsbereich. Beweis. Es seien a und b von null verschiedene Elemente von R. Wegen



 ab = − (−a)b = − a(−b) = (−a)(−b) d¨ urfen wir annehmen, dass a und b beide positiv sind. Dann ist aber ab > 0, so dass R in der Tat nullteilerfrei ist. Wir nennen die Anordnung eines Ringes archimedisch, wenn es zu a, b ∈ R mit a > 0 stets ein n ∈ N gibt mit na > b. Wir wissen, dass Q und R archimedisch angeordnet sind. Gibt es auch nichtarchimedisch angeordnete Ringe? Ja! Solche gab es schon, bevor es die Theorie gab. Hilbert hat in seinen Grundlagen der Geometrie“ einen nicht-archimedisch ” angeordneten K¨ orper angegeben, der noch zus¨atzliche algebraische Eigenschaften hat, um die Unabh¨ angigkeit seines Anordnungsaxioms von den u ¨brigen Axiomen seines Axiomensystems f¨ ur die Geometrie zu beweisen (Hilbert 1899, S. 24ff.). Er erw¨ ahnt dort auch, dass Giuseppe Veronese in seinem Werk Grundz¨ uge der ” Geometrie“, deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894 einen Versuch unternommen h¨ atte, eine nicht archimedische Geometrie aufzubauen. Ob dieser Versuch gelungen sei, sagt er nicht. Das italienische Original ist 1891 in Padua unter dem Titel Fondamenti di a rettilinee esposti in forma elegeometria a pi` u dimensioni e a pi` u specie di unit` mentare erschienen. Ich habe es mir nur fl¨ uchtig ansehen k¨onnen. Soweit ich es u ¨ berblicke, ist es eine sehr detaillierte axiomatische Untersuchung nicht archimedischer Geometrien. Modelle in unserem Sinne enth¨ alt es nicht. Die Existenz solcher Geometrien scheint nicht in Frage gestellt zu werden, solange sich kein Widerspruch aus den Axiomen ergibt. Ich hoffe, ich habe nichts Wesentliches u ¨ bersehen. Um das hilbertsche Beispiel zu konstruieren, ben¨otigt man Dinge, die bislang noch nicht bereitgestellt wurden. Wir geben daher hier ein einfacheres Beispiel, das zur mathematischen Folklore geh¨ ort. Es sei R ein angeordneter Ring und R[x] sei der Polynomring in der Unbestimmten x. Ist f ∈ R[x], so setzen wir genau dann f > 0, wenn f = 0 und

6. Angeordnete K¨ orper

575

der Leitkoeffizient von f positiv ist. Dass dann 1 erf¨ ullt ist, ist banal. Die Summe zweier positiver Polynome ist nat¨ urlich wieder positiv. Kritisch ist dies nur f¨ ur den Fall, dass die beiden zu addierenden Polynome gleichen Grad haben. Dann ist aber der Leitkoeffizient der Summe gleich der Summe der positiven Leitkoeffizienten der beiden Summanden, also selbst positiv. Das gleiche gilt aber auch f¨ ur das Produkt. Da R nach Satz 2 ein Integrit¨ atsbereich ist, ist der Leitkoeffizient des Produktes zweier Polynome das Produkt der Leitkoeffizienten der beiden Faktoren, so dass das Produkt von zwei positiven Polynomen positiv ist. Nun ist aber 1 > 0 und n·1 < x f¨ ur alle n ∈ N, so dass die Anordnung von R[x] nicht-archimedisch ist. Da wir in Z, Q und R angeordnete Ringe haben, gibt es also auch nicht-archimedisch angeordnete Ringe. Eine andere M¨ oglichkeit, R[x] nicht-archimedisch anzuordnen, ist die folgende. Es sei 0 = f ∈ R[x]. Ferner sei f=

n 

ri xi

i:=m

mit rm = 0. Wir setzen genau dann f > 0, wenn rm > 0 ist. Auch dies liefert eine Anordnung von R[x]. Hier ist x > 0, aber nx < 1 f¨ ur alle n ∈ N, so dass auch diese Anordnung nicht-archimedisch ist. L¨asst man hier n = ∞ zu, so sieht man, dass sich auch der Ring R[[x]] der formalen Potenzreihen in der Unbestimmten x u ¨ ber dem Ring R anordnen l¨ asst. L¨asst man schließlich noch zu, dass m ∈ Z negativ ist, so zeigt sich, dass der K¨orper K((x)) der formalen Laurentreihen u ¨ber dem angeordneten K¨ orper K sich ebenfalls nicht-archimedisch anordnen l¨ asst. Es gibt also nicht nur nicht-archimedisch angeordnete Ringe, sondern auch nichtarchimedisch angeordnete K¨orper. Ist R ein angeordneter Ring, so ist R ein Integrit¨atsbereich. Folglich besitzt R nach den Entwicklungen von Abschnitt 4 einen Quotientenk¨ orper Q(R) und die Abbildung r → 1r ist ein Monomorphismus von R in Q(R) mittels dieses Monomorphismus l¨ asst sich die Anordnung von R auf das Bild von R unter diesem Monomorphismus transportieren. Es stellt sich die Frage, ob sich diese Anordnung des Bildes auf Q(R) fortsetzen l¨asst. Die Antwort lautet auch hier: Ja! Die fr¨ uheste Formulierung dieses Satzes, die ich kenne, ist in Artin und Schreier 1927, Abschnitt III, Hilfssatz. Satz 3. Es sei R ein angeordneter Ring und Q(R) sei sein Quotientenk¨ orper. Ist 0 = r ∈ Q(R) und ist r = ab mit a, b ∈ R und b = 0, so setzen wir r > 0 genau dann, wenn in R die Ungleichung ab > 0 gilt. Dann ist > eine Anordnung von Q(R), die die von R fortsetzt. Ist  > eine zweite Anordnung, die die von R fortsetzt, so ist > =  >. Beweis. Zun¨achst ist zu zeigen, dass < wohldefiniert ist. Dazu sei r = ab = Dann ist ab = a b. Es folgt, wenn man diese Gleichung mit bb multipliziert, abb2 = a b b2 .

a b .

576

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Nach Satz 1 f) sind b2 und b2 positiv, so dass ab und a b nach Satz 1 e) entweder beide positiv oder beide negativ sind. Damit folgt die Wohldefiniertheit von >. Es sei nun r ∈ R und es gelte r = 0. Ferner sei r = ab und r sei nicht gr¨oßer als null. Dann ist ab < 0. Es folgt −ab > 0 und damit −r = −a b > 0. Also gilt 1. Es seien r, s ∈ R und beide Elemente seien positiv. Ferner sei r = ab und s = dc . Dann ist also ab, cd > 0. Nun ist r+s= und rs =

ad + bc bd ac . bd

Es folgt (ad + bc)bd = abd2 + b2 cd > 0 und (ac)(bd) = abcd > 0, so dass r + s und rs beide gr¨ oßer als null sind. Damit ist gezeigt, dass (Q(R), <) ein angeordneter K¨ orper ist. Weil schließlich a > 0 genau dann gilt, wenn a · 1 > 0 ist, und weil a → a1 ein Monomorphismus ist, ist die Anordnung von Q(R) eine Fortsetzung der auf R gegebenen Anordnung. Es sei r = ab mit a, b ∈ R. Ferner seien < und < zwei Fortsetzungen der Anordnung von R. Es sei nun r > 0. Weil b2 > 0 gilt, ist dann 0 < rb2 = ab ∈ R. Daher ist auch

0 < rb2 .

Weil Quadrate bez¨ uglich jeder Anordnung positiv sind, folgt mit Satz 1 e), dass auch r  >0 gilt. Weil die Voraussetzungen an die beiden Anordnungen symmetrisch sind, folgt, dass die beiden Anordnungsrelationen gleich sind. Es sei < eine Anordnung auf R. Dann sind alle Quadrate bez¨ uglich dieser Anordnung positiv, wie wir gesehen haben. Alle Elemente der Form −k 2 sind dann negativ. Da dies aber alle von null verschiedenen Elemente von R sind, folgt, dass < die gewohnte Anordnung ist, m. a. W., es gibt nur eine Anordnung auf R, die R zu einem angeordneten K¨ orper macht. Auf R[x] gibt es mindestens zwei verschiedene Anordnungen, wie wir gesehen haben. Dann tr¨ agt aber auch der Quotientenk¨ orper R(x) zwei verschiedene Anordnungen. Auf Q wiederum gibt es nur eine Anordnung, die Q zu einem angeordneten K¨ orper macht. Es ist ja 1 > 0. Mit Induktion folgt n > 0 f¨ ur alle n ∈ N. Ist nun ab > 0, so folgt ab =

a 2 b > 0, b

6. Angeordnete K¨ orper

577

da ja b2 > 0 ist. Ist umgekehrt ab > 0, so ist a 2 b = ab > 0 b und wegen b2 > 0 und Satz 1 e) dann auch ab > 0. Dies zeigt, dass Q tats¨achlich nur eine Anordnung hat. Statt vom Positiv-sein zu reden, ist es manchmal g¨ unstiger die Menge der positiven Elemente als solche zu einer Menge P , dem Positivbereich, zusammenzufassen. Die Eigenschaften 1 und 2 dr¨ ucken sich dann so aus: 1. Es ist R = −P ∪ {0} ∪ P , wobei die Mengen −P , P und {0} paarweise disjunkt sind. 2. Es ist P + P ⊆ P und P P ⊆ P . Hat man eine Teilmenge P von R mit den Eigenschaften 1 und 2 und definiert man die Relation > auf R dadurch, dass f¨ ur a ∈ R genau dann a > 0 gilt, wenn a ∈ P ist, so ist R bez¨ uglich dieser Relation angeordnet und P ist der zugeh¨orige Positivbereich. Einen K¨ orper, dessen Quadrate einen Positivbereich bilden, nennt der Geometer euklidisch. Es sind dies die K¨ orper, u ¨ber denen euklidische Geometrie m¨oglich ist. Da es viele solcher K¨orper gibt, nicht nur den K¨ orper der reellen Zahlen, ist es f¨ ur mich unklar — ich wiederhole mich —, was Philosophen unter der euklidischen Geometrie verstehen. Geometer definieren im u ¨ brigen euklidische K¨ orper in der Regel so, dass sie sagen, der K¨orper K heiße euklidisch, wenn gilt: a) Es ist −1 kein Quadrat in K. b) Ist k ∈ K, so ist k oder −k ein Quadrat in K. c) Sind k, l ∈ K, so ist k 2 + l2 ein Quadrat in K. Da das Produkt von zwei Quadraten stets wieder ein Quadrat ist, bilden die Quadrate eines euklidischen K¨ orpers tats¨achlich einen Positivbereich. K¨ orper, die nur die Eigenschaften a) und c) haben, heißen pythagoreisch. Auch sie lassen sich anordnen. Die Quadrate bilden aber nicht notwendig einen Positivbereich. Mehr u ¨ ber diese Situation sp¨ ater in Kapitel 12. Es sei erw¨ahnt, dass das, was hier euklidischer K¨ orper heißt, von Schreiber platonischer K¨ orper genannt wird (Schreiber 1975, S. 73). K¨ onnen zwei verschiedene Anordnungen den gleichen Positivbereich haben? Nein, lautet die Antwort. Um dies einzusehen, seien < und < zwei Anordnungen auf R und es gelte genau dann 0 < a, wenn 0 < a ist. Ist dann a < b, so ist 0 < b − a und daher 0 < b − a und folglich a < b. Umgekehrt folgt aus a < b nat¨ urlich auch a < b. Also ist < = < . Eine weitere n¨ utzliche Bemerkung ist die, dass f¨ ur zwei Positivbereiche P und P    eines Ringes aus P ⊆ P folgt, dass P = P ist. Da die Quadrate eines K¨orpers bei allen Anordnungen positiv sind, hat ein K¨ orper daher nur eine Anordnung, wenn die Menge der Quadrate ein Positivbereich ist. Dies hatten wir, anders formuliert, schon zuvor bemerkt.

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Es sei P ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich und 1 sei ein Element von P . Wir hatten dann auf P mit Hilfe von 1 eine Multiplikation eingef¨ uhrt, so dass (P, +, ·) ein Halbk¨ orper wurde. Diesen Halbk¨ orper hatten wir wir in einen K¨ orper R(P ) eingebettet. Wie das geschah, sei hier noch einmal wiederholt. Wir hatten zun¨ achst auf P × P eine Addition und eine Multiplikation erkl¨ art durch (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) und (a, b)(c, d) := (ac + bd, ad + bc). Ferner hatten wir auf P × P eine Relation ∼ erkl¨ art durch (a, b) ∼ (c, d) genau dann, wenn a + d = b + d. Es stellte sich dann heraus, dass die zuvor definierte Addition und Multiplikation mit ∼ vertr¨ aglich sind und dass R(P ) := (P × P )/∼ mit der ererbten Addition und Multiplikation ein K¨ orper ist. Die Abbildung a → (a + b, b) modulo ∼ gelesen, ist ein Monomorphismus von P in R(P ). Es ist klar, dass das Bild von P unter dieser Abbildung die Eigenschaft 2 eines Positivbereiches hat. Es hat aber auch die Eigenschaft 1, da jedes Element von R(P ) sich in genau einer der Formen (a + b, b), (b, b), (b, a + b) darstellen l¨ asst, wobei man jedoch u ¨ ber b frei verf¨ ugen kann. Somit ist R(P ) ein angeordneter K¨orper. Ferner gilt, dass diese Anordnung archimedisch ist, da P auf Grund unserer Definition von Gr¨ oßenbereichen archimedisch ist. Ist umgekehrt P Positivbereich eines archimedisch angeordneten K¨ orpers, so ist (P, +, <) ein eudoxischer Gr¨ oßenbereich. Um nachzuweisen, dass P ein Gr¨ oßenbereich ist, muss man nur noch zeigen, dass es zu a, b ∈ P mit b < a ein c ∈ P gibt mit a = b + c. Es gibt sicherlich ein solches c ∈ K. Dann ist aber c = a − b > 0 und folglich c ∈ P . Es bleibt zu zeigen, dass es zu a, b, c ∈ P ein x ∈ P gibt mit a : b = c : x. Setze x := bca−1 . Dann ist c : x = c : bca−1 = a : b. Folglich ist x vierte Proportionale zu a, b, c. Es bleibt zu zeigen, dass x ∈ P ist. Wegen a > 0 und aa−1 = 1 > 0 ist nach Satz 1 e) auch a−1 > 0. Daher ist x > 0, was wir zu zeigen hofften. Nun ist klar, was auch fr¨ uher schon erw¨ ahnt wurde, dass zumindest eudoxische Gr¨ oßenbereiche Positivbereiche sind. Bezieht man auch angeordnete Gruppen in die Untersuchungen mit ein, so stellt sich heraus, dass auch die nicht eudoxischen Gr¨ oßenbereiche Positivbereiche sind, wenn auch nur f¨ ur Gruppen. Daher also die Wahl des Buchstabens P f¨ ur Gr¨ oßenbereiche. Mittels der S¨ atze 3 von Abschnitt 3 und 7 von Abschnitt 6 des Kapitels 1 sieht man, dass die archimedisch angeordneten Gruppen bis auf Isomorphie die Untergruppen von (R, +, <) und dass die archimedisch angeordneten K¨ orper bis auf Isomorphie gerade die Teilk¨ orper von (R, +, ·, <) sind. Diese S¨ atze gehen auf Bettazzi (1890) zur¨ uck. F¨ ur die Gruppen wird h¨ aufig H¨ older (1901) zitiert (Fuchs 1966, Prieß-Crampe 1983), doch die Priorit¨ at geb¨ uhrt Bettazzi.

7. Der Fundamentalsatz der Algebra

579

Hier sei noch einmal das hilbertsche Resultat erw¨ahnt, dass es nicht-kommutative, archimedische angeordnete K¨ orper nicht gibt. Es folgt dies unmittelbar aus Satz 5 von Abschnitt 3 des Kapitels 1. Bevor wir diesen Abschnitt verlassen, wollen wir noch den Absolutbetrag auf einem angeordneten K¨ orper einf¨ uhren, und zwar den Absolutbetrag, der von der Anordnung herr¨ uhrt. Es sei also K ein angeordneter K¨ orper. Ist k ∈ K, so setzen wir |k| := max(k, −k). Dann gilt: Es ist |k| ≥ 0 und |k| = |−k| f¨ ur alle k ∈ K. Genau dann ist |k| = 0, wenn k = 0 ist. Ferner ist, wie schnell zu sehen, |kl| = |k| |l|, f¨ ur alle k, l ∈ K. Außerdem gilt die Dreiecksungleichung |k + l| ≤ |k| + |l| f¨ ur alle k, l ∈ K. Diese Ungleichung gilt nat¨ urlich, wenn k und l beide nicht-negativ oder beide nicht-positiv sind. Um die Dreiecksungleichung zu beweisen, d¨ urfen wir also annehmen, dass k < 0 und l > 0 ist. Dann ist k = −|k|. Ist |k| ≤ l, so ist

|k + l| = −|k| + l = l − |k| ≤ l = |l| ≤ |k| + |l|. Ist |k| > l, so ist

|k + l| = −|k| + l = |k| − l ≤ |k| ≤ |k| + |l|. Damit ist die Dreiecksungleichung bewiesen. Ersetzt man in der Dreiecksungleichung k durch k − l, so folgt |k| ≤ |k − l| + |l| und damit |k| − |l| ≤ |k − l|. Dann gilt aber auch |l| − |k| ≤ |l − k| = |k − l|. Also gilt

|k| − |l| ≤ |k − l| f¨ ur alle k, l ∈ K. Die f¨ ur das Rechnen mit Absolutbetr¨ agen in R bekannten Regeln, gelten also auch f¨ ur Betr¨age angeordneter K¨ orper. 7. Der Fundamentalsatz der Algebra. Setzt man in die elementarsymmetrischen Polynome reelle Werte α1 , . . . , αn ein, so erh¨alt man in n 

(−1)i λ(α1 , . . . , αn )i xn−i

i:=0

ein reelles Polynom, das die gegebenen reellen Werte als Nullstellen hat. Mit diesem hier modern formulierten Satz war Vi`ete in der Lage, Polynome mit n reellen

580

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Nullstellen zu konstruieren. Descartes konstruierte solche, indem er das Produkt n i:=1 (x−αi ) in Normalgestalt brachte. Schon vorher hatte etwa Cardano gewusst, dass Gleichungen dritten und vierten Grades drei bzw. vier L¨ osungen haben k¨ onnen. Albert Girard (1595–1632) formulierte den Satz, dass jede Gleichung n-ten Grades n Nullstellen hat, so sie voll besetzt ist (Girard 1629, Blatt 22recto). Was mit den Gleichungen ist, bei denen einige der Koeffizienten null sind, l¨ asst er offen. Wo die Nullstellen zu finden sind, sagt er ebenfalls nicht. Seine Beispiele zeigen, dass er die Nullstellen gem¨ aß ihrer Vielfachheit z¨ ahlt, und es kommen auch komplexe Zahlen als Nullstellen vor. Das pascalsche Dreieck ist bei ihm ebenfalls zu finden. Er nennt es triangle d’extraction und er interpretiert die im Dreieck vorkommenden Zahlen als die Anzahl der Summanden in den elementarsymmetrischen Funktionen. Bewiesen wird nichts. Bei K¨astner, den wir schon wegen des Algebrista zitierten, steht (1794, S. 129): 210. Grunds. In jeder bestimmten Gleichung gibt es einen oder mehr, m¨ogliche oder unm¨ ogliche Werthe, f¨ ur die unbekannte Gr¨ osse. Dabei sind m¨ogliche Werthe“ reelle Gr¨oßen. Unm¨ogliche Werthe“ werden nicht ” ” definiert. Beispiele f¨ ur sie sind die Wurzeln aus verneinten, also negativen Gr¨ oßen. √ Und dann wird hemmungslos mit den Aggregaten der Form a + −b gerechnet. Ob dieser Grundsatz schon in der ersten oder zweiten Auflage des K¨astnerschen Buches steht, weiß ich nicht. Man kann eine solche Annahme wie die girardsche bzw. k¨ astnersche nat¨ urlich an die Spitze seiner Untersuchungen stellen und hoffen, keinen Schiffbruch zu erleiden. Euler tat das schon in seiner Arbeit Recherches sur les racines imaginaires des ´equations aus dem Jahre 1749. Er sagt dort (Werke, Bd. 6, S. 79): Toute ´equation donc, de quelque degr´e qu’elle soit, aura toujours autant de ” racines, que l’exposant de sa plus haute puissance contient unit´es.“ Er bemerkt, dass es h¨aufig vorkomme, dass die Wurzeln einer Gleichung nicht alle reell seien. (Man beachte, den schon diskutierten Bedeutungswandel des Wortes Wurzel“, wie auch die Formulierung wie der Exponent der h¨ ochsten Potenz ” ” Einheiten enth¨ alt“.) Die nicht reellen Wurzeln nennt er imagin¨ ar. Er definiert sie wie folgt: On nomme quantit´e imaginaire, celle qui n’est ni plus grande que z´ero, ni plus ” petite que z´ero, ni ´egale a` z´ero;“ Wie diese imagin¨ aren Gr¨oßen aussehen, sagt er nicht. Noch nicht. Er rechnet aber hemmungslos mit ihnen. Was Euler zun¨ achst zeigen will, ist, dass eine reelle Polynomfunktion f des Grades 2n sich in zwei Polynomfunktionen g und h, die beide den Grad 2n−1 haben, faktorisieren l¨ asst. Zun¨ achst beachtet er, dass man in einer Polynomfunktion π(x) = xm + Axm−1 + . . . A durch die Transformation x = y − m das zweith¨ ochste Glied zum verschwinden bringen kann. Diese Transformation ist sp¨atestens seit Cardanos ars magna von

7. Der Fundamentalsatz der Algebra

581

1545 bekannt. Er nimmt also an, dass n

n

f (x) = x2 + Bx2

−2

n

+ Cx2

−3

n

+ Dx2

−4

+ ...

ist. Er nimmt ferner an, dass sich f , wie jede Polynomfunktion, mittels imagin¨ arer Gr¨ oßen als Produkt von Linearfaktoren darstellen l¨ asst. Nennt man nun das Produkt u ¨ber die H¨ alfte der Linearfaktoren g und das Produkt u ¨ber die andere H¨ alfte der Linearfaktoren h, so ist f = gh und die Grade von g und h sind gleich 2n−1 . Es ist also nur zu zeigen, dass unter allen diesen Faktorisierungen von f auch wenigstens eine ist, bei der die Koeffizienten von g und h reell sind. Weil der zweith¨ ochste Term in f null ist, ist, wenn man noch N := 2n−1 setzt, g(x) = xN + uxN −1 + αxN −2 + βxN −3 + . . . und

h(x) = xN − uxN −1 + λxN −2 + μxN −3 + . . .

Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert 2N − 1 Gleichungen f¨ ur die 2N − 1 Unbekannten u, α, β, . . . , μ, ν, . . . Nun sagt Euler — und das ist der wunde Punkt in seinem Beweis —, die Unbekannten α, β, . . . , λ, μ, . . . hingen reell von u und den Koeffizienten B, C, etc. ab, wobei keine Wurzeln zu ziehen seien (Or la comparaison du produit de ces deux facteurs avec la propos´ee fournit autant d’´egalit´es, de sorte que toutes les lettres α, β, γ etc. se pourront d´eterminer par les connues B, C, D etc. et u r´eellement sans extraction de racines; Das ist alles, was Euler dazu sagt. W¨ are dies richtig — leider ist es das nicht, wie Lagrange 1772 zeigte —, so w¨are nur noch zu zeigen, dass unter allen m¨ oglichen u’s auch ein reelles vorkommt. Auch hier u ¨ bergeht Euler bei seinem Nachweis der Existenz eines solchen u’s die Sonderf¨ alle. Zeigen wir zun¨ achst, dass die erste Aussage von Euler nicht korrekt ist. Dazu teilen wir das Polynom x4 + Bx2 + CX + D durch das Polynom x2 + ux + α. (Ich lernte von Lagrange, hier Division mit Rest ins Spiel zu bringen. Diese zeigt sofort, das die Koeffizienten des Kofaktors rational von den Koeffizienten des ersten Faktors und den Koeffizienten des gegebenen Polynoms abh¨ angen und dass die Koeffizienten des Restes, die ja null sind, die Gleichungen liefern, die Koeffizienten des ersten Faktors zu bestimmen. Euler sieht das anders, n¨ amlich so, wie gerade geschildert.) Dann ist der Quotient x2 − ux + B − α + u2 und der Rest ist (C + uα − u(B − α + u2 ))x + D − α(B − α + u2 ). Da die Division aufgeht, ist der Rest null, so dass wir zwei Gleichungen f¨ ur u und α erhalten, n¨ amlich 2uα = uB + u3 − C

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

und D = α(B − α + u2 ). Hieran sieht man, dass Eulers Aussage nur richtig ist, wenn u = 0 ist. Schaut man sich das Polynom (x2 + 1)(x2 + 4) an, so sieht man, dass der Fall u = 0 durchaus eintreten kann. Schauen wir uns Eulers Beweisversuch noch weiter an. Bei Euler ist u zun¨ achst die Unbekannte. Wir nehmen sie als Unbestimmte und bilden das Polynom G=

 (u − p),

wobei das Produkt u ¨ber alle Summen p von 2n−1 der 2n reellen oder imagin¨ aren Wurzeln von f zu erstrecken ist. Der Grad von G ist dann par les r`egles des combinaisons, wie Euler und nach ihm auch Lagrange sagen, gleich 2n (2n − 1)(2n − 2)(2n − 3)(2n − 4) · · · (2n−1 + 1) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · · · 2n−1 und diese Zahl ist als Anzahl eine nat¨ urliche Zahl. Wir schreiben dieses Produkt in der Form 2n−1 −1 2n − i n 2 . i i:=1 Die h¨ochste Potenz von 2, die in i aufgeht, ist kleiner als 2n , da i < 2n ist. Daher ochste Potenz von 2, die in 2n − i aufgeht. teilt sie 2n und ist somit auch die h¨ Folglich ist 2n−1 −1 2n − i i

i:=1

ungerade, da gek¨ urzt Nenner und Z¨ ahler dieses Produktes ungerade Zahlen sind. Weil der Koeffizient A beim zweith¨ ochsten Term in f null ist, ist mit p auch −p Wurzel von G. Ist also V ein Vertretersystem der Menge der Paare von Mengen der L¨ange 2n−1 und ihren Komplementen und bezeichnet pv f¨ ur v ∈ V die Summe u ¨ ber die Elemente von v, so ist G=



  (u2 − p2v ). (u − pv )(u + pv ) = v∈V

v∈V

Weil |V | gleich dem halben Grad von G ist, ist |V | ungerade, wie wir gesehen haben. Also ist   p2v = − p2v . G(0) = (−1)|V | v∈V

v∈V

Das Produkt ist nat¨ urlich eine symmetrische Funktion in den Nullstellen von f , wie die urspr¨ ungliche Definition von G zeigt. Daher ist sie ein reelles Polynom

7. Der Fundamentalsatz der Algebra

583

in den elementarsymmetrischen Funktionen der Nullstellen von f . (Euler und Lagrange war dieser Satz offenbar so vertraut, dass sie ihn nicht explizit erw¨ahnen.) Diese elementarsymmetrischen Funktionen sind aber bis aufs Vorzeichen die Koeffizienten von f . Daher ist das Produkt reell. Euler behauptet nun, dass dieses Produkt sogar positiv sei. Wenn das so ist, so hat das Polynom G, dessen Grad ja gerade ist, eine positive und eine negative Nullstelle, wie wir im Anschluss an Satz 1 von Abschnitt 2 schon feststellten. Leider ist dies aber nicht immer so, wie Lagrange ebenfalls bemerkte. Wir haben schon gesehen, dass dieses Produkt null sein kann. Es kann aber auch negativ sein. Hier ist ein Beispiel. Die Nullstellen von (x2 + x + 1)(x2 − x − 1) √ √ √ √ ur p erh¨alt man dann etwa sind 12 (−1 + i 3), 12 (−1 − i 3), 12 (1 + 5), 12 (1 − 5). F¨ √ √ √ √ die drei Werte −1, 12 ( 5 + i 3) und 12 (− 5 + i 3). Hier ist nun das Produkt aus diesen drei Werten und ihren verneinten“ zu bilden. Dieses ergibt −4. Es ist also ” negativ. Angenommen nun, man w¨ usste, dass sich jedes Polynom des Grades 2n in ein Produkt von Polynomen des Grades 2n−1 zerlegen ließe, dann k¨ onnte man es auch, wie Induktion zeigt, in ein Produkt von Polynomen des Grades 2 zerlegen. Da jedes Polynom aber Faktor eines Polynoms vom Grade 2n ist, ließe sich jedes Polynom in ein Produkt von Polynomen des Grades 1 oder 2 zerlegen. Nullstellen von Polynomen des Grades 2 sind aber reelle oder komplexe Zahlen. Das ist, was Euler bemerkt. Wenn also ein Polynom in einem Erweiterungsk¨ orper von R — so formulieren wir das heute — in Linearfaktoren zerf¨ allt, so liegen diese Linearfaktoren bereits in C. Warum ich das alles erz¨ ahle, wo dieser Beweis doch so viele L¨ocher aufweist? Nun, Lagrange hat diese Beweisidee wieder aufgegriffen und zu einem guten Ende gebracht (Lagrange 1772). Gauß jedenfalls erhebt gegen die lagrangesche Arbeit nur noch den Einwand, dass er voraussetze, dass jedes Polynom ebensoviele Wurzeln habe, wie der Grad angibt. Die anderen Einw¨ ande, die er gegen Eulers Argumentation vorbringt, tr¨ afen den lagrangeschen Beweis nicht (Gauß 1799, Werke III, S. 20). Ich habe die lagrangesche Arbeit mir zwar angesehen, aber keine Einzelheiten kontrolliert. Ich verlasse mich also ganz auf Gauß, wenn ich sage: Die eulersche Beweisidee taugt also doch etwas. H¨atten wir nicht den laplaceschen Beweis f¨ ur den Fundamentalsatz der Algebra, m¨ usste der euler-lagrangesche Beweis auch heute noch explizit gemacht werden, da er verallgemeinerungsf¨ahig ist. Er benutzt von den Eigenschaften der reellen Zahlen ja nur, dass eine Polynomfunktion f zwischen den reellen Zahlen a und b eine Nullstelle hat, wenn f (a)f (b) < 0 ist. Das ist nat¨ urlich eine sehr viel sparsamere Verwendung der Ressourcen als die Benutzung von Kompaktheitsargumenten, wie es der argand-cauchysche Beweis tut. Die reellen Zahlen sind ja der einzige zusammenh¨angende, lokalkompakte topologische K¨orper, der sich als K¨ orper anordnen l¨ asst, wie aus dem pontrjaginschen Satz folgt, nach dem R, C und die hamiltonschen Quaternionen die einzigen lokalkompakten, zusammenh¨ angenden topologischen K¨ orper sind, w¨ ahrend es sehr

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

viel mehr angeordnete K¨orper gibt, die die Eigenschaft haben, dass ein Polynom f zwischen a und b eine Nullstelle hat, falls f (a)f (b) < 0 Das Bessere ist der Feind des Guten. Daher werden wir hier nichts weiter mehr zu Lagranges Rettung des eulerschen Beweises sagen, außer, dass auch er benutzt, dass ein Polynom immer in Linearfaktoren zerf¨ allt, um dann zu zeigen, dass die Wurzeln bereits in C liegen. So heißt die oben zitierte Arbeit auch bezeichnenderweise: Sur la forme des racines imaginaires des ´equations. Das Bessere nun ist Laplacens Beweis des Fundamentalsatzes. Das laplacesche Original habe ich nicht gesehen. Ich verlasse mich bei der Wiedergabe dieses Beweises auf Hellmuth Kneser (1939), den Doktorvater meines Doktorvaters. Auch Laplace macht bei seinem Beweis die Annahme, dass es zu jedem Polynom u ¨ber R einen Erweiterungsk¨orper L von C gibt, u ¨ber dem das gegebene Polynom in Linearfaktoren zerf¨ allt. Diese Annahme, die von allen gemacht wurde, die sich bislang mit dem Fundamentalsatz der Algebra besch¨ aftigten, wurde von Gauß kritisiert. Sie l¨ asst sich aber rechtfertigen, wie sich sp¨ater zeigen wird, so dass der euler-lagrangesche und der laplacesche Beweis nun hieb- und stichfest sind. Auch dar¨ uber sp¨ ater mehr. Wir betrachten nun also angeordnete K¨ orper K mit der Eigenschaft, dass jedes Polynom f ∈ K[x] in der Unbestimmten x u ¨ ber K zwischen a, b ∈ K eine Nullstelle hat, wenn f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen haben. Dass es eine Vielzahl solcher K¨orper gibt, werden wir sp¨ ater sehen. Ist K ein solcher K¨ orper, so ist jedes positive Element von K ein Quadrat. Ist n¨ amlich 0 < k ∈ K und ist f das durch f := x2 − k definierte Polynom, so ist f (0) = −k < 0. Andererseits ist f (k + 1) = k 2 + 2k + 1 − k = k 2 + k + 1 > 0. Es folgt, dass f zwischen 0 und k + 1 eine Wurzel hat, so dass k ein Quadrat ist. Hieraus folgt wiederum, dass K nur eine Anordnung hat, wie wir fr¨ uher schon bemerkten. Es sei K ein angeordneter K¨ orper. Ist u ∈ K, so ist u2 + 1 > 0, so dass das 2 Polynom x + 1 keine Nullstelle in K hat. Betrachten wir nun nach dem Vorgange √ von Cauchy die imagin¨ a ren Ausdr¨ u cke a + b −1 mit a, b ∈ K, definieren ihre √ √ Gleichheit durch a + b −1 = c + d −1 genau dann, wenn a = c und b = d ist, definieren wir Addition und Multiplikation zwischen ihnen durch √ √ √ (a + b −1) + (c + d −1) = (a + c) + (b + d) −1 und

√ √ √ (a + b −1)(c + d −1) = (ac − bd) + (ad + bc) −1 √ √ orper. und bezeichnen√dieses System mit K[ −1],√so ist K[ −1] ein K¨ ¯ := a−b −1, so wie wir das von den komplexen Ist u = a+b −1, so setzen wir u Zahlen ¯ ein Automorphismus von √ her gewohnt sind. Dann ist die Abbildung u → u K[ −1]. Es gilt u+u ¯ = 2a

7. Der Fundamentalsatz der Algebra

585

und u¯ u = a2 + b 2 . Nehmen wir zus¨atzlich an, dass jedes positive Element von K Quadrat ist, so wird durch  √ |a + b −1| := a2 + b2 √ √ ein Absolutbetrag auf K[ −1] mit Werten in K definiert. Ist α = a + b −1, so ist also √ |α| = αα. ¯ Daher gilt |α| = |¯ α|. Um nachzuweisen, dass durch diese Definition wirklich ein Absolutbetrag definiert wird, beachten wir das Folgende. Es gilt |α| ≥ 0 und |α| = |−α| f¨ ur alle imagin¨ aren Ausdr¨ ucke α. Ferner ist |α| = 0 genau dann, wenn α = 0 ist. Mittels ¯ |α|2 = αα folgt ¯ β¯ = |α|2 |β|2 |αβ|2 = αβ α und damit |αβ| = |α||β| f¨ ur alle imagin¨ aren Ausdr¨ ucke. Es bleibt, die Dreiecksungleichung zu etablieren. F¨ ur den Absolutbetrag von u gilt |u|2 = u¯ u. Es folgt uv¯ v = u¯ vu ¯v = |u¯ v|2 |u|2 |v|2 = u¯ √ √ und damit |u||v| = |u¯ v|. Ist u = a + b −1 und v = c + d −1, so ist √ u¯ v = ac + bd + (bc − ad) −1. Es folgt u¯ v+u ¯v = 2(ac + bd) ≤ 2|u¯ v | = 2|u||v|. Also ist

v + u¯v + |v|2 |u + v|2 = |u|2 + u¯ ≤ |u|2 + 2|u||v| + |v|2 = (|u| + |v|)2

und folglich |u + v| ≤ |u| + |v|. Damit ist auch die Dreiecksungleichung etabliert. Als N¨ achstes beweisen wir einen von Artin und Schreier (1927) stammenden Satz. Der Beweis, den wir geben, ist der, den Laplace f¨ ur den Fall des K¨ orpers der reellen Zahlen gegeben hat, so wie er bei H. Kneser (1939) wiedergegeben wurde. Dieser Beweis macht davon Gebrauch, dass jedes Polynom ungeraden Grades u ¨ ber R eine Nullstelle in R hat und dass jedes positive Element von R ein Quadrat in R ist. Der Beweis macht aber auch davon Gebrauch, dass jedes Polynom u ¨ ber

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

R in einem C umfassenden K¨orper L zerf¨allt. Der Satz, den Artin und Schreier formulierten, lautet nun: Satz 1. Es sei K ein angeordneter K¨ orper, in dem jedes positive Element Quadrat sei (K ist also euklidisch). Hat dann jedes Polynom ungeraden Grades √ aus K[x] eine Wurzel in K, so hat jedes Polynom aus K[x] eine Wurzel in K[ −1]. √ Beweis. Wir beachten zun¨achst, dass jedes Element √ aus K[ −1] Quadrat ist. Es sei also a + bi ein solches Element, wobei wir i := −1 gesetzt haben. Dann ist 1 2

und 1 2

√



 a + a2 + b2 ≥ 12 a + |a| ≥ 0

√



 −a + a2 + b2 ≥ 12 −a + |a| ≥ 0.

Nach Voraussetzung gibt es also r, s ∈ K mit r2 = und s2 =

1 2

1 2

√

 a + a2 + b 2

√

 −a + a2 + b2 .

Es folgt r2 − s2 = a und 4r2 s2 = b2 . Indem man gegebenenfalls r durch −r ersetzt, kann man erreichen, dass 2rs = b ist. Die Gleichung r2 − s2 = a wird dadurch nicht verletzt. Setze nun d := r + is. Dann ist d2 = r2 − s2 + 2rsi = a + bi. √ Da jedes Element von K[ −1], wie nun gesehen, √ ein Quadrat ist, haben alle quadratischen Gleichungen mit Koeffizienten in K[ −1] eine L¨osung. Es sei f ∈ K[x]. Ist der Grad von f ungerade, so hat f nach Voraussetzung eine Wurzeln in K. Es sei also n := Grad(f ) = 2k+1 u mit k ≥ 0 und einer ungeraden nat¨ urlichen Zahl u. Ferner√ haben alle Polynome, deren Grad nicht durch 2k+1 teilbar ist, eine Wurzel in K[ −1]. Nach einem Satz, von dessen komplizierter Geschichte wir in Kapitel 9 berichten und den wir f¨ ur die uns hier interessierende Situation im ebenfalls in Kapitel 9 und im allgemeinen Fall in Kapitel 10 beweisen √ werden, gibt es einen K¨ orper L, der K[ −1] als Teilk¨orper umfasst, so dass f in L vollst¨andig in Linearfaktoren zerf¨ allt. Es gibt also α1 , . . . , αn ∈ L mit f (x) =

n 

(x − αi ).

i:=1

Es seien t und y Unbestimmte u ¨ ber L. Wir setzen g(y, t; α) :=

 1≤i<j≤n

(y − αi − αj − αi αj t).

7. Der Fundamentalsatz der Algebra

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Dann sind die Koeffizienten von g symmetrische Polynome in den Nullstellen α von f . Folglich sind sie nach dem waringschen Satz Polynome in den elementarsymmetrischen Funktionen in α, dh., sie sind Polynome in den Koeffizienten von f , so dass die Koeffizienten von g in K liegen. Ersetzt man nun t durch Elemente aus K, so bleibt g(y, t; α) ein Polynom mit Koeffizienten aus K. Setzt man N := Grad(g(y, t; α)), so ist N=

n(n − 1) = 2k u(2k+1 u − 1) = 2k v, 2

wobei v eine ungerade nat¨ urliche Zahl√ist. Nach Induktionsannahme hat g(y, t; α) f¨ ur jedes t ∈ K eine Nullstelle in K[ −1]. Wir w¨ ahlen nun N + 1 verschiedene Werte t0 , t1 , . . . , tN ∈ K. Dies ist m¨oglich, √ da K als angeordneter K¨ orper unendlich ist. Dann gibt es also y0 , y1 , . . . , yN ∈ K[ −1] mit g(yi , ti ; α) = 0 f¨ ur i := 0, . . . , N . Die Definition von g zeigt, dass es eine Abbbildung μ von {0, . . . , N } in {1, . . . , n} × {1, . . . , n} gibt mit μ(i)1 < μ(i)2 f¨ ur alle i und yi = αμ(i)1 + αμ(i)2 + αμ(i)1 αμ(i)2 ti . Wegen μ(i)1 < μ(i)2 kommen nur n(n − 1) =N 2 Paare als Bilder von μ in Frage, so dass μ nicht injektiv sein kann. Es gibt also u, v ≤ N mit u < v und μ(u) = μ(v). Nun ist yu = αμ(u)1 + αμ(u)2 + tu αμ(u)1 αμ(u)2 yv = αμ(v)1 + αμ(v)2 + tv αμ(v)1 αμ(v)2 . Wegen tu = tv ist dieses Gleichungssystem in L auf genau eine Weise nach αμ(u)1 + αμ(u)2 = αμ(v)1 + αμ(v)2 αμ(u)1 μ(u)2 = αμ(v)1 μ(v)2

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Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

√ osbar. Daher sind αμ(u)1 + αμ(u)2 und zu l¨ osen. Es ist aber auch in K[ −1] l¨ √ αμ(u)1 αμ(u)2 Elemente aus K[ −1]. Nun sind aber αμ(u)1 und αμ(u)2 Wurzeln der quadratischen Gleichung x2 − (αμ(u)1 + αμ(u)2 )x + αμ(u)1 αμ(u)2 = 0. √ √ Da deren Koeffizienten in K[ −1] liegen, liegen auch αμ(u)1 und αμ(u)2 in K[ −1]. √ Also hat f wenigstens eine Wurzel in K[ −1]. Damit ist der Satz bewiesen. Dieser Beweis ist der f¨ ur mich sch¨onste von allen Beweisen f¨ ur den Fundamentalsatz der Algebra. Er bleibt auch der sch¨ onste, wenn man noch den u ¨ ber die Existenz des Zerf¨allungsk¨ orpers eines Polynoms und dessen Beweis hinzu nimmt, da dieser Satz und sein Beweis an Sch¨onheit jenem in nichts nachstehen. Bevor wir aber den so grundlegenden Satz u ¨ber den Zerf¨ allungsk¨ orper eines Polynoms vorstellen, schauen wir uns noch an, wie Gauß diese Klippe des Zerf¨ allungsk¨ orpers umschiffte. 8. Gaußens zweiter Beweis. In seiner Arbeit Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Gauß 1799) kritisiert Gauß die Beweisversuche von d’Alembert, Euler, Lagrange, Laplace, die sie unternommen haben, den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen. D’Alembert war der Erste, der einen solchen Versuch unternommen hat. Wir haben ihn bislang nicht erw¨ ahnt, obgleich Euler in der von uns kommentierten Arbeit, die d’alembertsche Arbeit zitiert, die drei Jahre vor der Niederschrift seiner Arbeit also im Jahre 1746 erschien (d’Alembert 1746). Euler sagt aber nichts dar¨ uber, dass auch d’Alembert u ¨ber den Fundamentalsatz schreibt. Er zitiert die Arbeit wegen einer anderen Sache. Nach Gaußens Beschreibung enth¨ alt die d’alembertsche Arbeit mehrere wirkliche Fehler topologischer und funktionentheoretischer Art, wie wir heute sagen w¨ urden. Diese Fehler ließen sich beheben, wenn er die Voraussetzung machte, dass die von ihm betrachteten Funktionen Polynomfunktionen sind. Dies macht er offenbar nicht. Bougainville h¨ atte es aber in seinem Trait´e du calcul int´egral , Paris 1754 nachgeholt. Es bleibt die ungekl¨ arte Existenz von Wurzeln, die d’Alembert voraussetzt. Bei der Beschreibung dessen, wie d’Alembert vorgeht, benutzt Gauß das Wort cifra im Sinne von null (Werke 3, S. 8). D’Alembert war also der Erste, der sich ernsthaft um einen Beweis des Fundamentalsatzes bem¨ uhte. So ist es nicht verwunderlich, dass die Franzosen den Fundamentalsatz th´eor`eme de d’Alembert nennen. Als Beleg seien hier, weil sie sich in meiner Bibliothek befinden, Dubreil 1946, S. 248 und Mignotte 1989, S. 149 angef¨ uhrt. Bei Euler (1749/51) kritisiert Gauß das, was schon Lagrange (1772) kritisierte und was auch wir angemerkt haben. Eine Wiederholung ist nicht n¨ otig. Des Nachdrucks halber sei jedoch noch einmal erw¨ahnt, dass auch Euler, von Gauß kritisiert, voraussetzt, dass jedes Polynom irgendwo und irgendwie in Linearfaktoren zerf¨ allt.

8. Gaußens zweiter Beweis

589

Dass man mit solchen eingebildeten Gr¨oßen dann auch noch rechnen k¨ onne, will Gauß ohne Begr¨ undung nicht akzeptieren. Lagrange habe die L¨ ocher in Eulers Beweis gestopft, so Gauß, wenn auch nicht so direkt, bis eben auf die Annahme, die auch er mache, dass jedes Polynom in Linearfaktoren zerfalle. Den laplaceschen Beweis erw¨ahnt Gauß in dieser Arbeit nicht. Er hat ihn damals wohl noch nicht gekannt. Sp¨ ater jedoch, in der Anzeige seiner Arbeit, die wir nun vortragen werden, kritisiert er ihn ebenfalls wegen der vorausgesetzten Existenz von Wurzeln (G¨ ottingische gelehrte Anzeigen. 1815 Dezember 23. Werke 3, S.105– 106). Im Jahre 1816 publizierte Gauß einen zweiten Beweis f¨ ur den Fundamentalsatz der Algebra. Dieser ist rein algebraisch, was angeblich nicht sein kann. Diesen Beweis werden wir nun vorstellen, da er methodisch und historisch sehr interessant ist. Nach heutigen Begriffen ist er der erste einwandfreie Beweis des Fundamentalsatzes, da Gaußens erster Beweis L¨ ucken in der topologischen Argumentation aufweist, die heute ebenfalls geschlossen werden k¨onnen, wie die L¨ ucke die Gauß bei den Beweisen seiner Vorg¨anger entdeckte. Bei dem nun vorzutragenden Beweis werden Polynomringe und ihre Auswertungshomomorphismen virtuos verwandt und der Satz von Waring in seiner vollen Sch¨arfe, dh. auch unter Ausnutzung der Einzigkeitsaussage, benutzt. Bei der Wiedergabe der gaußschen Arbeit weichen wir nur wenig von der Vorlage ab. Ihren Aufbau, dh. die Abfolge von Beweis und Satz bzw. Satz und Beweis, lassen wir unangetastet. Gauß spricht bei diesem Beweis von ganzalgebraischen Funktionen in der oder den Unbestimmten x oder a, b, . . . , oder dergl. Wichtig ist dass er das Wort Unbestimmte (indeterminata) hier benutzt. Er erkl¨ art nicht, was er unter Unbestimmten versteht, aber er geht mit ihnen so um, wie wir dies heute mit Unbestimmten, dh. mit Polynomen tun. Ich werde daher im Folgenden statt von ganzalgebraischen Funktionen von Polynomen reden. Ich weiß nicht, wie weit das, was Gauß nun macht, vorher bekannt war. M¨ oglicherweise findet sich einiges davon auch schon bei Lagrange, vielleicht sogar schon bei Euler. Gauß zitiert nichts, so dass der unkundige Leser im Ungewissen bleibt. Das erste Ziel, das Gauß ansteuert, ist die Zerlegung eines Polynomes (¨ uber R) in quadratfreie Faktoren, so sagen wir heute. Wir sehen sofort die M¨ oglichkeit einer solchen Zerlegung, da wir wissen, dass in euklidischen Ringen der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt, aus dem dieser Sachverhalt sofort folgt. Wie Gauß das ausdr¨ uckt und wie er es beweist, werden wir bald sehen. Er beginnt damit, den euklidischen Algorithmus f¨ ur zwei Polynome vorzustellen, wobei er die Division mit Rest, wie oben schon einmal gesagt, sueto more, wie bekannt also, durchf¨ uhrt. Er erh¨ alt damit den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler von zwei Polynomen und er zeigt durch R¨ uckw¨artssubstituieren, dass sich der gr¨ oßte gemeinsame Teiler zweier Polynome durch die Ausgangspolynome linear kombinieren l¨ asst. Er zeigt hier also, dass jedes endlich erzeugte Ideal von R[x] ein Hauptideal ist. Die Sprache der Ideale war damals aber noch nicht erfunden. Wenn zwei Polynome als gr¨ oßten gemeinsamen Teiler ein Polynom vom Grade null haben, so heißen die beiden

590

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Polynome teilerfremd. Er beweist, dass Y und Y  — dies ist nicht die Ableitung — genau dann teilerfremd sind, wenn es Z und Z  gibt mit ZY + Z  Y  = 1. Dann folgen die Untersuchungen u ¨ber symmetrische Polynome, die wir schon vorgetragen haben. ¨ Damit der Leser nicht den Uberblick verliert, sei hier schon gesagt, dass im Folgenden drei Polynome des Namens Ypsilon immer wieder vorkommen, n¨ amlich das Polynom m  (−1)i li xm−i y= i:=0

in den Unbestimmten x und l1 , . . . , lm und l0 = 1, das Polynom Y =

m 

(−1)i Li xm−i

i:=0

in der Unbestimmten x und den Bestimmten Li mit L0 = 1 und das Polynom m 

υ=

(x − ai )

i:=1

in den Unbestimmten x und a1 , . . . , am . Dann entsteht Y aus y durch Einsetzen von Li in li . Ferner gilt υ = y(x, λ(a)), wobei wir statt λ(n) der Deutlichkeit halber λ(a) geschrieben haben, da wir neben den Unbestimmten ai noch weitere Unbestimmte betrachten werden. Zerf¨allt Y in Linearfaktoren, so kann man noch mehr Zusammenh¨ ange herstellen. Dies also vorweg. Nach dieser Bemerkung geht es weiter mit dem eigentlichen Text. Gauß betrachtet nun m Unbestimmte, die er a, b, c, etc. nennt und die wir, wie eben schon vorweggenommen, a1 , a2 , a3 , etc. nennen werden. Er setzt  (ai − aj ). π := i,j∈{1,...,m},i=j

Dies ist eine symmetrische Funktion in den ai , so dass es genau ein Polynom p(l1 , . . . , lm ) in m Unbestimmten gibt mit  π = p(λ(a)1 , . . . , λ(a)m . Ist nun das Polynom Y = xm +

m 

(−1)i Li xm−i

i:=1

8. Gaußens zweiter Beweis

591

gegeben, so heißt

1

Dis(Y ) := (−1) 2 m(m−1) p(L1 , . . . , Lm ) die Diskriminante von Y . Es folgt sofort 1

Dis(υ) = (−1) 2 m(m−1) π. Gauß nennt p(L1 , . . . , Lm ) u ¨ brigens das (die?, der?) determinans von Y , doch dieses Wort hat mittlerweile eine andere Bedeutung. F¨ ur m = 2 ist dann p(l1 , l2 ) = −l12 + 4l2 und f¨ ur m = 3 erh¨ alt man p(l1 , l2 , l3 ) = −l12 l22 + 4l13 l3 + 4l23 − 18l1 l2 l3 + 27l32. Hat er nun ein Polynom Y = xm +

m 

(−1)i Li xm−i

i:=1

mit bestimmten Koeffizienten Li und gilt Y =

m 

(x − Ai ),

i:=1

so folgt durch Einsetzen Dis(Y ) =



(Ai − Aj )2 .

1≤i<j≤m

Ist Dis(Y ) = 0, so m¨ ussen zwei der Ai gleich sein. Ist Dis(Y ) = 0, so sind die Ai paarweise verschieden. Er betrachtet weiter die Ableitung Y  von Y . Dann ist einmal Y =

m−1 

(−1)i (m − i)Li xm−i−1

i:=0

und zum andern Y =

m 



(x − Aj ).

i:=1 j∈{1,...,m}−{i}

Wenn dann zwei der Ai gleich sind, etwa Au = Av , sagt die zweite Gleichung, dass Y  (Au ) = 0 ist. Folglich ist x − Au ein gemeinsamer Faktor von Y und Y  . Ist

592

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

umgekehrt x − Au Teiler von Y  , so gibt es ein von u verschiedenes v mit Au = Av . Es gilt also, indem wir sogleich verallgemeinern Satz 1. Ist Y ein Polynom in einer Unbestimmten x u ¨ber dem K¨ orper K, das vollst¨ andig in Linearfaktoren zerf¨ allt, so sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend: a) Es ist Dis(Y ) = 0 b) Y und die Ableitung Y  von Y haben einen gemeinsamen Faktor. Nachdem Gauß diesen Satz — f¨ ur R, versteht sich — formuliert hat, betont er, dass man zu seinem Beweis wesentlich benutzt habe, dass Y vollst¨andig in Linearfaktoren zerfalle. Als N¨ achstes wird das Polynom ρ in den Unbestimmten x und a1 , . . . , am eingef¨ uhrt durch die Definition ρ :=

m  i:=1



π

x − aj . (ai − aj )2

j∈{1,...,m}−{i}

Da π durch die Nenner teilbar ist, ist ρ wirklich ein Polynom in den Unbestimmten x und a1 , . . . , am , das u ¨ berdies in a1 , . . . , am symmetrisch ist. Wir setzen υ :=

m 

(x − ai ).

i:=1

Dann ist 

υ =

m 



(x − aj ).

i:=1 j∈{1,...,m}−{i}

Es folgt

(ρυ  )(a1 ) = ρ(a1 )υ  (a1 ) = π = π(a1 ),

da x in π nicht vorkommt, so dass ρυ  − π durch x − a1 teilbar ist. Entsprechendes gilt f¨ ur alle ai . Folglich ist ρυ  − π durch υ teilbar. Setzt man σ :=

π − ρυ  , υ

so ist σ ein Polynom in x und den ai , welches in den ai symmetrisch ist. Es gibt daher zwei Polynome r und s in Unbestimmten x und l1 , . . . , lm mit 

r x, λ(a)1 , . . . , λ(a)m = ρ und



s x, λ(a)1 , . . . , λ(a)m = σ.

8. Gaußens zweiter Beweis

593

Wir erinnern an das Polynom y = xm +

m 

(−1)i li xm−i

i:=1

in den Unbestimmten x und li . Setzt man l0 := 1, so folgt 

y =

m−1 

(−1)i (m − i)li xm−i−1 .

i:=0

Ersetzt man nun in den Polynomen p, y, y  , r und s die Unbestimmten li durch λ(a)i , so gilt

 (p − sy − ry  ) x, λ(a) = π − συ − ρυ  = 0. Hieraus folgt nach der Einzigkeitsaussage des Satzes von Waring (Abschnitt 4, Satz 4) p − sy − ry  = 0. Betrachtet man nun wiederum das Polynom Y =

m 

(−1)i Li xm−i

i:=0

mit Bestimmten Li , wie Gauß das ausdr¨ uckt, so folgt durch Auswerten

 Dis(Y ) = ± s(x, L)Y + r(x, L)Y  . Dies halten wir fest als Satz 2. Ist Y ein Polynom u ¨ber dem K¨ orper K und ist Y  die Ableitung von Y , so gibt es Polynome R und S u ¨ber K mit Dis(Y ) = RY + SY  . Gauß folgert hieraus, dass Dis(Y ) = 0 ist, falls Y und Y  einen Faktor gemeinsam haben, da ja Dis(Y ) ∈ K ist, und er beeilt sich zu sagen, dass auch die Umkehrung gilt, dass man also Satz 1 von der Voraussetzung befreien k¨ onne, dass Y in Linearfaktoren zerf¨ allt. Satz 3. Ist Y ein Polynom u ¨ber dem K¨ orper K, so gilt genau dann Dis(Y ) = 0, wenn Y und die Ableitung Y  von Y einen gemeinsamen Faktor haben. Beweis. Wir haben bereits gesehen, dass aus der Existenz eines gemeinsamen Faktors Dis(Y ) = 0 folgt. Es seien also Y und Y  teilerfremd. Es gibt dann Polynome f und ϕ mit f Y + ϕY  = 1.

594

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Wir benutzen wieder das Polynom υ = a1 , . . . , am . Dann ist

m

i:=1 (x − ai )

in den Unbestimmten x und

f υ + ϕυ  = 1 + f · (υ − Y ) + ϕ · (υ  − Y  ). Nun ist

m 

υ =

(x − ai ) + (x − a1 )w

i:=2

mit einem Polynom w. Die vorstehende Gleichung wird damit zu

[1]

ϕ

m 

  m  (x − ai )+(x − a1 ) ϕw + f (x − ai )

i:=2

i:=2

= 1 + f · (υ − Y ) + ϕ · (υ  − Y  ). Es sei wieder y = xm +

m

i m−i . i:=1 (−1) li x

Wir setzen

F (x, l1 , . . . , lm ) := f · (y − Y ) + ϕ · (y  − Y  ), wobei y  die Ableitung von y nach x bezeichne. Dann gilt also

 1 + f · (υ − Y ) + ϕ · (υ  − Y  ) = 1 + F x, λ(a) . alt man Setzt man x = a1 in [1], so erh¨ ϕ(a1 )

m 

 (a1 − ai ) = 1 + F a1 , λ(a) .

i:=2

Spielt man dieses Spiel mit aj an Stelle von a1 , so erh¨alt man [2]

ϕ(aj )



 (aj − ai ) = 1 + F aj , λ(a)

i∈{1,...,m}−{j}

f¨ ur j := 1, . . . , m. Das Produkt m 

 1 + F (aj , l1 , . . . , lm ) j:=1

ist ein Polynom in den Unbestimmten a1 , . . . , am und l1 , . . . , lm , welches in den ai symmetrisch ist. Es gibt daher ein Polynom ψ, so dass das Produkt gleich 

ψ λ(a), l1 , . . . , lm

8. Gaußens zweiter Beweis

595

ist. (Bei diesem Schluss wird u. a. auch der Satz 7 aus Abschnitt 3 benutzt, dass man n¨ amlich das Polynom ψ als ein Polynom im Ring K[a1 , . . . , am ][l1 , . . . , lm ] auffassen kann. Was Gauß hier intuitiv richtig erfasst, wurde von uns in Abschnitt 3 begr¨ undet.) Mit Hilfe von [2] folgt daher [3]

m 

π



ϕ(ai ) = ψ λ(a), λ(a)1 , . . . , λ(a)m .

i:=1

Dabei ist wie zuvor π=



(ai − aj ).

i,j∈{1,...,m},i=j

Das Produkt u ¨ ber die ϕ(ai ) ist symmetrisch in den ai . Es gibt daher ein Polynom t in m Unbestimmten, so dass das Produkt gleich t(λ(a)) ist. Ist p das Polynom, mit dessen Hilfe die symmetrische Funktion π gem¨aß dem waringschen Satz dargestellt wird, so folgt mittels der Eindeutigkeitsaussage des waringschen Satzes und [3] die Gleichung pt = ψ(l1 , . . . , lm , l1 , . . . , lm ).

[4] Ist nun Y = xm +

m

i m−i , i:=1 (−1) Li x

so ist

F (x, L1 , . . . , Lm ) = f · (Y − Y ) + ϕ · (Y  − Y  ) = 0. Hieraus folgt

m 

 1 + F (aj , L1 , . . . , Lm ) = 1. j:=1

Hiermit folgt weiter



ψ λ(a), L1 , . . . , Lm = 1

und mittels der Einzigkeitsaussage des waringschen Satzes dann wieder [5]

ψ(l1 , . . . , lm , L1 , . . . , Lm ) = 1.

Kombiniert man nun [4] und [5], so erh¨ alt man ±Dis(Y )t(L1 , . . . , Lm ) = p(L)t(L) = ψ(L1 , . . . , Lm , L1 , . . . Lm ) = 1. Dies zeigt, dass Dis(Y ) = 0 ist. Damit ist der Satz bewiesen. Gauß betrachtet immer nur Polynome mit reellen Koeffizienten. Aber seine Schl¨ usse haben bislang noch nicht von speziellen Eigenschaften von R Gebrauch

596

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

gemacht, so dass wir seine S¨atze f¨ ur beliebige kommutative K¨ orper formulierten. Das wird im Folgenden anders. Er bemerkt n¨ amlich nun, ohne es explizit zu sagen, dass die Ableitung eines Polynoms positiven Grades nicht null ist und einen kleineren Grad als das gegebene Polynom hat. Dass der Grad der Ableitung kleiner wird, ist immer richtig, aber bei K¨ orpern von Primzahlcharakteristik kann die Ableitung null werden. Da es uns auch darum geht zu sehen, wie weit Gaußens Argumente tragen, machen wir wieder einen Vorgriff auf die große steinitzsche Arbeit, die nun immer mehr ins Blickfeld r¨ uckt. Der erste, der den Begriff des kommutativen K¨orpers in heutiger Allgemeinheit formulierte, scheint Weber gewesen zu sein (Weber 1893). Steinitz jedenfalls beruft sich in seiner Arbeit auf Weber und sagt, dass er, Steinitz, den K¨ orperbegriff in der gleichen Allgemeinheit wie Weber verwende. Weber ging es um die galoissche Theorie endlicher K¨ opererweiterungen, w¨ ahrend es Steinitz darum ging zu sehen, wie K¨orper sich aus einfacheren K¨ orpern zusammensetzen. Die galoissche Theorie streifte er nur am Rande. Steinitz definiert K¨ orper also auf die gleiche Weise wie Weber. Beide notieren sofort, dass es auch endliche K¨orper gibt. Als erstes Beispiel geben sie Z/pZ mit einer Primzahl p. Diese K¨orper sind alles Primk¨ orper. Der einzige Primk¨orper, der noch fehlt, ist der K¨ orper der rationalen Zahlen. Bevor Steinitz auf den Begriff des Primk¨ orpers kommt, definiert er den Begriff des Integrit¨ atsbereiches und konstruiert zu jedem Integrit¨atsbereich, wie oben geschildert, den Quotientenk¨ orper. Dies ben¨ otigt er n¨ amlich, um alle Isomorphietypen von Primk¨ orpern zu bekommen. Primk¨ orper ist nach Steinitz’ Definition ein K¨ orper, der keinen echten Teilk¨ orper enth¨ alt. Die erste Folgerung aus dieser Definition ist die, dass ein K¨ orper stets genau einen Primk¨ orper enth¨ alt, n¨ amlich den Schnitt u ¨ber alle seine Teilk¨orper. Dann definiert Steinitz rekursiv die Vielfachen nα eines Elementes α ∈ K, wobei K ein K¨ orper ist. Durch die Vorschrift (−n)α := −(nα) erh¨ alt er dann alle ganzzahligen Vielfachen von α. Er bemerkt, dass f¨ ur α = 1 die Gleichungen m1 + m 1 = (m + m )1, m1 − m 1 = (m − m )1 und (m1)(m 1) = (mm )1 gelten. Er schließt hieraus, dass die Menge P := {m1 | m ∈ Z} ein Integrit¨atsbereich ist, der im Primk¨orper von K enthalten ist. Er folgert weiter, dass der Quotientenk¨ orper Q(P ) von P im Primk¨ orper von K enthalten ist. Weil Q(P ) aber ein K¨ orper ist, ist Q(P ) der Primk¨ orper. Zwei F¨alle seien nun zu unterscheiden, dass n¨ amlich die ganzzahligen Vielfachen m1 alle voneinander verschieden seien oder nicht. Im ersten Falle sei P zu Z und Q(P ) zu Q isomorph. Im zweiten Fall weist er nach, dass P zu GF(p) := Z/pZ isomorph ist. Steinitz’ Schl¨ usse geh¨oren heute zum Repertoire eines jeden Mathematikers, so dass ich sie hier nicht zu wiederholen brauche. Die Charakteristik Char(K) von K ist per definitionem 0, wenn Q der Primk¨ orper von K ist. Sie ist p, falls er gleich GF(p) ist. Wir ben¨ otigen auch noch den von Steinitz eingef¨ uhrten Begriff des vollkommenen K¨ orpers. Ein K¨ orper heißt bei ihm vollkommen, wenn alle u ¨ber ihm irreduz-

8. Gaußens zweiter Beweis

597

iblen Polynome in einem geeigneten Erweiterungsk¨orper nur einfache Nullstellen haben. Da uns im Augenblick noch die Mittel fehlen, mit dieser Definition zu hantieren, benutzen wir Steinitz Charakterisierung der vollkommen K¨ orper zu ihrer Definition. Dazu zun¨ achst noch die folgenden Beobachtungen. Sind p, i ∈ N, so ist     p p−1 i =p , i i−1

 ¨ ber k bezeichne. Ist p eine Primzahl und wobei nk den Binomialkoeffizienten n u u ¨ berdies i < p, so sind i und p teilerfremd. Daher gilt in diesem Falle   p ≡ 0 mod p. i Ist nun K ein K¨ orper der Charakteristik p, so folgt f¨ ur Unbestimmte x und y die Gleichung p    p i p−i p (x + y) = = xp + y p . xy i i:=0 Da das Einsetzen ein Homomorphismus ist, folgt, dass die Abbildung k → k p ein Endomorphismus von K ist, da nat¨ urlich auch (kl)p = k p lp gilt. Da aus k p = 0 folgt, dass k = 0 ist, ist dieser Endomorphismus injektiv. Ist er auch surjektiv, also ein Automorphismus, so heißt K vollkommen. K¨ orper der Charakteristik 0 heißen ebenfalls vollkommen. Alle anderen K¨ orper heißen unvollkommen. Nun k¨ onnen wir endlich das Korollar zu Satz 3 formulieren. Korollar. Ist K ein vollkommener K¨ orper und ist f ∈ K[x] ein Polynom positiven Grades mit Leitkoeffizient 1, so ist f Produkt von Polynomen, deren Diskriminante von null verschieden ist. Beweis. Ist Dis(f ) = 0, so ist nichts zu beweisen. Es sei also Dis(f ) = 0. Wir bezeichnen mit g den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler von f und f  . Nach Satz 3 ist der Grad von g dann mindestens gleich 1. Wir nehmen zun¨ achst an, dass die Charakteristik von K null ist. Es ist f  = m−1 + . . . , falls f = xm + . . . ist. Weil die Charakteristik von K null ist, ist mx m · 1 = 0, so dass der Grad von f  gleich m − 1 ist. Folglich ist der Grad von g h¨ ochstens gleich m − 1. Ist nun f = gh, so haben g und h kleineren Grad als f , so dass Induktion zum Ziele f¨ uhrt. ur ihn ist klar, dass f  Dies ist Gaußens Beweis, nur dass er nichts u ¨ ber f  sagt. F¨ nicht verschwindet. Wir m¨ ussen uns noch den Fall eines K¨orpers der Charakteristik p > 0 ansehen. Ist f  = 0, so ist auch der Grad von g h¨ ochstens gleich m − 1. Es folgt f = gh mit einem Polynom h, dessen Grad ebenfalls kleiner als m ist, so dass Induktion zum Ziele f¨ uhrt. m−1 Es sei schließlich f  = 0. Ist f = xm + i:=0 ai xi , so ist f  = mxm−1 +

m−1  i:=1

iai xi−1 .

598

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

ur alle i. Daher ist ai = 0 f¨ ur alle i, die nicht durch Es folgt m · 1 = 0 und iai = 0 f¨ p teilbar sind. Wegen 1 = 0 folgt weiter, dass m durch p teilbar ist. Also ist f = xpμ +

μ−1 

aip xip .

i:=0

ur alle i. Setzt man nun Weil K vollkommen ist, gibt es bi mit bpi = aip f¨ μ

g := x +

μ−1 

bi xi ,

i:=0

so ist f = g p , so dass auch hier Induktion zum Ziele f¨ uhrt. Damit ist der Satz auch in den Teilen bewiesen, die bei Gauß keine Rolle spielten. Neben den Polynomen y= Y = υ=

m 

(−1)i li xm−i

i:=0 m 

(−1)i Li xm−i

i:=0 m 

(x − ai )

i:=1

werden nun noch drei weitere Polynome ζ, z und Z eingef¨ uhrt. Dabei sind x, a und l die schon zuvor eingef¨ uhrten Unbestimmten und u ist eine weitere Unbestimmte. Zun¨ achst ist ζ das durch ζ(u, x, a) :=



 u − (ai + aj )x + ai aj

1≤i<j≤m

definierte Polynom in den Unbestimmten u, x und a1 , . . . , am . Dieses Produkt hat 12 m(m − 1) Faktoren. Das Polynom ζ ist symmetrisch in den ai . Es gibt daher ein Polynom z in den Unbestimmten u, x und l1 , . . . , lm mit

 ζ(u, x, a) = z u, x, λ(a) . Schließlich sei Z das durch Z(u, x) := z(u, x, L) definierte Polynom. Diese drei Polynome haben den Grad diesen und den zuvor eingef¨ uhrten Bezeichnungen gilt:

1 2 m(m

− 1) in u. Mit

8. Gaußens zweiter Beweis

599

Satz 4. Ist Dis(Y ) = 0, so ist Dis(Z) = 0. Beweis. Gauß beweist diesen Satz zuerst f¨ ur den Fall, dass Y in Linearfaktoren zerf¨allt, was sehr rasch geht. Im weiteren Verlauf des Beweises macht er davon aber keinen Gebrauch, so dass ich diesen Teil hier unterdr¨ ucke. Ist M der Grad von ζ, so ist die Diskriminante von ζ nach der Bemerkung, die wir nach der Definition von π machten, gleich (−1)

M (M −1) 2

mal dem Produkt aus allen Differenzen seiner Nullstellen (ai + aj )x − ai aj . Die Anzahl dieser Differenzen, und damit der Grad von Dis(ζ) in x, ist 1 2 m(m

 − 1) 12 m(m − 1) − 1 = 14 (m + 1)m(m − 1)(m − 2).

Dies ist dann aber auch der Grad von Dis(z), denn Dis(z) entsteht ja aus Dis(ζ) ∈ Z[a1 , . . . , am ][x], indem man die Koeffizienten als Polynome in den λ(a)i darstellt und dann die λ(a)i durch die li ersetzt. Ersetzt man diese wiederum durch die Li , so erh¨alt man Dis(Z). Es sei Φ die Menge aller injektiven Abbildungen von {1, 2, 3} in {1, . . . , m}. Dann ist  (aψ(1) − aψ(2) )(x − aψ(3) ) = Dis(υ)m−2 υ (m−1)(m−2) . ψ∈Φ

Zu gegebenen ψ(1) und ψ(2) gibt es ja noch m − 2 M¨ oglichkeiten f¨ ur ψ(3), so dass die Differenz aψ(1) − aψ(2) in dem Produkt (m − 2)-mal vorkommt. Entsprechend gibt es zu gegebenem ψ(3) noch genau (m − 1)(m − 2) M¨ oglichkeiten f¨ ur ψ(1), ψ(2). So erkl¨ aren sich die Exponenten auf der rechten Seite der Gleichung. Es ist 



(ai + aj )x − ai aj − (ak + al )x − ak al = (ai + aj − ak − al )x − ai aj + ak al . Der Ausdruch linker Hand ist genau dann Faktor von Dis(ζ), wenn i = j, k = l und

{i, j, k, l} ≥ 3 ist. Bei den Ausdr¨ ucken linker Hand kann man noch die Rollen von i und j bzw. die Rollen von k und l vertauschen, ohne den Ausdruck selbst zu ver¨ andern. Diese vier durch die Indizierung unterschiedenen Ausdr¨ ucke liefern also nur einen Faktor der Diskriminante von ζ. Dies ist zu beachten, wenn man die verschiedenen M¨ oglichkeiten der Indizierung abz¨ ahlt. So schon bei der folgenden Definition von ρ:

600

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Es bezeichne ρ das Produkt u ¨ber alle jene Ausdr¨ ucke, jeden nur einmal genommen, f¨ ur die

{i, j, k, l} = 4 ist. Dieses ρ, Teiler von Dis(ζ), wird gleich seine Rolle spielen. Zun¨achst aber wollen wir seinen Kofaktor in den Griff bekommen. Dazu sei

{i, j, k, l} = 3. Dann ist, da ja i = j und k = l ist, i = k oder j = k oder i = l oder j = l. Weil wir die Rollen von i und j bzw. k und l vertauschen d¨ urfen, d¨ urfen wir annehmen, dass i = k ist. Dann folgt



 (ai + aj )x − ai aj − (ak + al )x − ak al = (aj − al )x − ai (aj − al ) = (aj − al )(x − ai ). Hiermit und aus dem zuvor Gesagten folgt, dass Dis(ζ) = Dis(υ)m−2 υ (m−1)(m−2) ρ ist. Es sei r das Polynom in x und l1 , . . . , lm mit

 ρ = r x, λ(a) . Setze R := r(x, L). Dann ist also Dis(z) = Dis(y)m−2 y (m−1)(m−2) r und Dis(Z) = Dis(Y )m−2 Y (m−1)(m−2) R. Weil wir vorausgesetzt haben, dass Dis(Y ) = 0 ist, m¨ ussen wir nur noch zeigen, dass auch R = 0 ist. Wir f¨ uhren eine weitere Unbestimmte w ein und betrachten das Produkt 

 (ai + aj − ak − al )w + (ai − ak )(ai − al ) , i,j,k,l

wobei das Produkt u ¨ ber alle paarweise verschiedenen i, j, k, l ∈ {1, . . . , m} zu erstrecken ists, f¨ ur die k < l gilt. Die Anzahl der Faktoren dieses Produktes ist gleich 1 2 m(m − 1)(m − 2)(m − 3). Das Produkt ist symmetrisch in den ai . Es gibt daher ein Polynom f in den Unbestimmten w und l1 , . . . , lm , so dass das Produkt gleich 

f w, λ(a)1 , . . . , λ(a)m

8. Gaußens zweiter Beweis

601

ist. Der Grad von f in w ist dann 12 m(m − 1)(m − 2)(m − 3). Auf Grund der Definition des Produktes und der von f ist

 f 0, λ(a) = Dis(υ)(m−2)(m−3) und dann auch

f (0, l) = Dis(y)(m−2)(m−3) f (0, L) = Dis(Y )(m−2)(m−3) .

Nach Voraussetzung ist Dis(Y ) = 0, so dass auch f (0, L) = 0 ist. Daher ist f (w, L) = 0. Der h¨ ochste, nicht verschwindenden Term in f (w, L) sei N xν . Dann ist der h¨ ochste Term in m  f (x − ai , L) i:=1 m mν

gleich N x . Wir betrachten nun

m 

f (x − ai , l).

i:=1

Dieses Polynom ist symmetrisch in den ai . Es gibt also ein Polynom ϕ mit m 

 f (x − ai , l) = ϕ x, λ(a), l .

i:=1

Es folgt

m



  f x − ai , λ(a) . ϕ x, λ(a), λ(a) = i:=1

Nun ist (ai + aj − ak − al )(x − ai ) + (ai − ak )(ai − al ) = (ai + aj − ak − al )x − a2i − ai aj + ai ak + ai al + a2i − ai ak − ai al + ak al = (ai + aj − ak − al )x − ai aj + ak al . ur alle j, k und l, die von i und unterund dies ist ein Teiler von f (x − ai , λ(a)) f¨ einander verschieden sind und f¨ ur die k < l gilt. Hieraus folgt, dass ϕ von ρ geteilt wird. Es gibt also ein ψ mit



 ϕ x, λ(a), λ(a) = ρψ x, λ(a) . Also ist 0 =

m  i:=1

f (x − ai , L) = ϕ(x, L, L) = Rψ(x, L).

602

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Hieraus folgt, dass auch R nicht null ist, q. e. d. Das im folgenden Satz betrachtete Polynom ϕ hat nichts mit dem gerade untersuchten Polynom gleichen Namens zu tun. Satz 5. Es seien u und x sowie αi , βi und γi Unbestimmte, ferner sei ϕ das durch ϕ(u, x) :=

n 

(αi + βi u + γi x)

i:=1

definierte Polynom. Ist dann w eine weitere Unbestimmte, so ist   dϕ(u, x) dϕ(u, x) ,x − w Ω := ϕ u + w dx du durch ϕ(u, x) teilbar. Beweis. Wir definieren Qi durch ϕ(u, x) = (αi + βi u + γi x)Qi . Dann ist

und

dQ dϕ(u, x) = γi Qi + (αi + βi u + γi x) . dx dx dϕ(u, x) dQ = βi Qi + (αi + βi u + γi x) . du du

Es folgt     dϕ(u, x) dϕ(u, x) αi + βi u + w + γi x − w dx du   dQ(u, x) dQ(u, x) − γi w = (αi + βi u + γi x) 1 + βi w . dx du Also ist

 n   dQ(u, x) dQ(u, x) − γi w Ω = ϕ(u, x) 1 + βi w , dx du i:=1

q. e. d. Gauß benennt immer wieder einmal Polynome um, ohne dass mir ein Grund daf¨ ur klar wird. So gibt er nun dem Polynom z den neuen Namen f (u, x, l). Ist der Grund der, dass er nun die Unbestimmten in Klammern anf¨ ugt? Ich weiß es nicht. Mit diesem neuen Namen, den ich beibehalten werde, gilt dann

 ζ = f u, x, λ(a) .

8. Gaußens zweiter Beweis Nach Satz 5 ist daher

603

  dζ dζ f u + w , x − w , λ(a) dx du

durch ζ teilbar. Der Quotient ist ein in a1 , . . . , am symmetrisches Polynom. Es gibt daher ein Polynom ψ, so dass dieser Quotient gleich

 ψ u, x, w, λ(a) ist. Mittels der Einzigkeitsaussage des waringschen Satzes folgt   dζ dζ f u + w , x − w , l = zψ(u, x, w, l) dx du und dann auch   dζ dζ f u + w , x − w , L = Zψ(u, x, w, L). dx du Statt Z schreibt Gauß nun auch F (u, x). Dann ist — man erinnere sich an die Definition von ζ, z, f und Z — f (u, x, L) = F (u, x). Es gilt also

  dζ dζ F u + w ,x − w = Zψ(u, x, w, L). dx du

Wir ersetzen nun u und x durch die Bestimmten U und X und definieren X  und dZ  U  durch X  := dZ dx (U, X) und U := du (U, X). Dann ist, da ja Z = F ist, F (U + wX  , X − wU  ) = F (U, X)ψ(U, X, w, L). Ist nun U  = 0, so ersetze man w durch X −x U . Dann ergibt sich     XX  X  x X −x (A) F U+ −  , x = F (U, X)ψ U, X, ,L . U U U Dies merken wir uns f¨ ur sp¨ater. Wir setzen nun voraus, dass sich alles u ¨ ber einem angeordneten K¨ orper K abspielt, in dem die positiven Elemente allesamt Quadrate sind und in dem Polynome ungeraden Grades aus K[x] stets eine Nullstelle in K haben.

604

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

Ist Dis(Y ) = 0, so ist nach Satz 4 auch Dis(Z) = 0. Es gibt also nur endlich viele Werte aus K, f¨ ur die Dis(Z) verschwindet. Weil K als angeordneter K¨ orper unendlich viele Elemente umfasst, gibt es also unendliche viele Werte, f¨ ur die Dis(Z) nicht verschwindet. Es sei X ein solcher Wert. Dann ist also Dis(F (u, X)) = 0. Nach Satz 3 haben daher F (u, X) und dF (u,X) keinen gemeinsamen Teiler. du √ Es sei U ein Wert aus K oder auch aus K[ −1] — hier benutzt Gauß nun doch komplexe Zahlen — mit F (U, X) = 0. Dann ist u − U Teiler von F (u, X), also kein . Es folgt, dass U  = dF (u,X) (U ) ungleich null ist. (Hier zeigt Teiler von dF (u,X) du du (x) sich, wie ungeschickt, die nach wie vor gebr¨auchliche Bezeichnungsweise des dfdx ist. Ich hoffe, dass der Leser trotzdem versteht, was mit dF (u,X) (U ) gemeint ist: du Man leite das Polynom F (u, X) nach u ab und ersetze dann u durch U . Es sei an dieser Stelle gesagt, dass Gauß in der vorliegenden Arbeit auch das gerade d zur Bezeichnung der Ableitung benutzt und nicht das Zeichen ∂.) Mit (A) folgt     X −x XX  X  x −  , x = F (U, X)ψ U, X, , L = 0, F U+ U U U da ja F (U, X) = 0 ist. Also ist F (u, x) durch   XX  X  x XX  X x u− U + − − U − = u + U U U U teilbar. Ersetzt man nun u durch x2 , so folgt, dass F (x2 , x) durch x2 +

X x XX  − U − U U

teilbar ist. Demzufolge ist jede Nullstelle dieser quadratischen Gleichung auch eine Nullstelle des Polynomes F (x2 , x). Nullstellen der quadratischen Gleichung sind aber die beiden Werte √ −X  ± 4U U 2 + 4XX U  + X 2 2U  √ √ aus K bzw. K[ −1]. (Wir hatten ja gesehen, dass jedes Element aus K[ −1] unter den u ¨ber K gemachten Voraussetzungen ein Quadrat ist.) Diese sind aber auch Nullstellen von Y : Es ist ja 



 x2 − (ai + aj )x + ai aj f x2 , x, λ(a) = ζ(x2 , x, a) = =



1≤i<j≤m

(x − ai )(x − aj )

1≤i<j≤m

und folglich

 f x2 , x, λ(a) = υ m−1 .

8. Gaußens zweiter Beweis

605

Die Einzigkeitsaussage des waringschen Satzes impliziert wieder f (x2 , x, l) = y m−1 . Dies hat wiederum F (x2 , x) = f (x2 , x, L) = Y m−1 zur Folge, so dass in der Tat jede Nullstelle von F (x2 , x) auch Nullstelle von Y ist. Nun haben wir alles beisammen, um den folgenden Satz zu beweisen, den Gauß anders formuliert, n¨ amlich ohne die komplexen Zahlen zu erw¨ahnen. Er spricht von Zerlegung in Faktoren ersten und zweiten Grades. Beim Beweise kommt er aber ohne die komplexen Zahlen nicht aus. Satz 6. Es sei K ein angeordneter K¨ orper, in dem jedes positive Element Quadrat sei und in dem jedes Polynom aus K[x], dessen Grad ungerade ist, eine Nullstelle in K habe. Ist √ dann Y ∈ K[x] ein Polynom positiven Grades, so hat Y eine Nullstelle in K[ −1]. Beweis. Auf Grund des Korollares zu Satz 3 d¨ urfen wir annehmen, dass Dis(Y ) = 0 ist. Es gibt dann ein X ∈ K, so dass Dis(F (u, X)) nach Satz 3 nicht null ist. √ Die Frage ist nun, ob es ein U ∈ K[ −1] gibt mit F (U, X) = 0. Wie wir bei der Definition von ζ, z und Z vor Satz 4 feststellten, hat Z und damit F (u, X) den Grad 12 m(m − 1). Es sei m = 2k v mit einem ungeraden v. Ist k = 0, so hat Y eine Nullstelle sogar in K. Es sei also k > 0. Dann ist 1 m(m − 1) = 2k−1 v(2k v − 1), 2 so dass 2k−1 die h¨ ochste Potenz von 2 ist, die in Grad(F (u, √ X)) aufgeht. Nach Induktionsannahme hat√F (u, X) daher eine Nullstelle U in K[ −1], so dass auch angig von dem Y eine Nullstelle in K[ −1] hat. Damit ist Satz 6 nun auch unabh¨ Satz u ¨ ber den Zerf¨ allungsk¨ orper eines Polynoms bewiesen. Korollar. Es sei K ein angeordneter K¨ orper, in dem jedes positive Element Quadrat sei und in dem jedes Polynom ungeraden Grades aus K[x] √ eine Nullstelle in K habe. Ist dann Y ein Polynom positiven Grades aus K[ −1][x], so hat √ Y eine Nullstelle in K[ −1]. m−i . Setze Beweis. Es sei Y = m i:=0 Li x Y¯ :=

m 

¯ i xm−i . L

i:=0

√ Dann ist Y Y¯ ∈ K[x] und hat folglich eine Nullstelle k ∈ K[ −1]. Es folgt Y (k)Y¯ (k) = (Y Y¯ )(k) = 0

606

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

¯ = 0, so dass Y und damit Y (k) = 0 oder Y¯ (k) = √ 0. Im zweiten Fall ist aber Y (k) in jedem Fall eine Nullstelle in K[ −1] hat. Den entsprechenden Satz f¨ ur C formulierte Gauß erst bei seinem dritten Beweis des Fundamentalsatzes (Gauß 1850). 9. R´ esum´ ee. Dass es quadratische Gleichungen gibt, die zwei positive L¨ osungen haben, wusste schon Al-Hwarizmi im 9. Jahrhundert n. Chr. und in seinem Gefolge der Pisaner Fibonacci. Im 16. Jahrhundert dann fanden del Ferro, Tartaglia und Cardano die L¨ osungsformel f¨ ur die Gleichung dritten und Ferrari die L¨ osungsformel f¨ ur die Gleichung vierten Grades. Dabei wurde klar, dass Gleichungen dritten und vierten Grades bis zu drei bzw. vier L¨ osungen haben. Es stellte sich weiter heraus, dass man zur L¨osung von Gleichungen dritten Grades auf negative und komplexe Gr¨ oßen nicht mehr verzichten kann. Der Umgang mit ihnen wird immer sicherer. Dabei rang man lange um eine Begr¨ undung der komplexen Zahlen. Eine zufrieden stellende Begr¨ undung fand jedoch erst das 19. Jahrhundert. Zuerst wurden sie geometrisch gedeutet, so auch von Gauß, doch das befriedigte auf Dauer nicht. Cauchy gab zwei arithmetische Begr¨ undungen, die eine √ von 1821, die er 1829 wiederholte, bei der er von imagin¨ aren Ausdr¨ ucken a + b −1 mit a, b ∈ R als undefinierten Objekten sprach, was er nicht so ausdr¨ uckte, und zwischen diesen Objekten Gleichheit und eine Addition und Multiplikation definierte. Er zeigte, dass jeder von null verschiedene imagin¨ are Ausdruck ein Inverses besitzt. Die u ¨ brigen Rechenregeln, die man nachweisen muss um festzustellen, dass C ein K¨ orper ist, verifizierte er nicht. Cauchys zweite Begr¨ undung stammt von 1847. Hier rechnet er mit den Standardvertretern der durch das Polynom x2 + 1 auf dem Polynomring R[x] gegeben Kongruenzrelation. Hamiltons Begr¨ undung der komplexen Zahlen als Paare von reellen Zahlen, die von der herrschenden Lehrmeinung als die erste wirkliche Begr¨ undung angesehen wird, stammt von 1837. Sie liegt also zwischen den beiden von Cauchy. Ich finde die erste cauchysche ebenso stichhaltig wie die hamiltonsche, die zweite nat¨ urlich auch. ¨ Uber die L¨ osungsformeln fand man also, dass Gleichungen 2., 3. und 4. Grades bis zu zwei, drei bzw. vier L¨ osungen haben k¨ onnen. Diesem Ph¨ anomen wandten sich die Mathematiker ab dem 16. Jahrhundert zu. Die Losl¨ osung von den algebraischen Gleichungen hin zu den Polynomen und Polynomfunktionen, nach deren Nullstellen man dann fahndete, geschah u ¨ ber das bemerkenswerte Ph¨anomen, welches wir bei Nu˜ nez zum ersten Male beobachteten, dass die rechten und linken Seiten der Gleichung so manipuliert wurden, dass sich auf beiden Seiten ein gemeinsamer Faktor fand, so dass der Grad der Gleichung verringert werden konnte, indem man durch den gemeinsamen Faktor teilte. Betrachtete man nun nur, was auf einer Seite geschah, so war man wirklich bei den Polynomen und ihrer Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gelandet und, da die Division nur in den seltensten F¨allen aufging, erschienen auch sogleich die rationalen Funktionen in einer Unbestimmten. All das haben wir bei Nu˜ nez — und auch schon bei Stifel und wenig sp¨ ater bei Bombelli — beschrieben gesehen. Die Division mit

9. R´esum´ee

607

¨ Rest erzwingt im Ubrigen ebenfalls, dass negative Gr¨ oßen zugelassen werden. In nuce findet sich bei Nu˜ nez, dass x − β Teiler des Polynoms f ist, wenn f (β) = 0 ist. Dieser Satz, den ich mit anderen Satz von Nu˜ nez nennen m¨ ochte, beherrscht sp¨ atestens seit Descartes, der ihn explizit formulierte, das Manipulieren von Polynomen und Polynomfunktionen. Im 17. Jahrhundert schreibt Vi`ete Gleichungen jedoch noch so, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine positive Gr¨ oße steht. Sein Wurzelsatz lautet in heutiger Sprache dann, dass eine Gleichung der Form n−1 

(−1)n−i+1 λ(a1 , . . . , an )i xn−i = λ(a1 , . . . , an )n

i:=0

die Wurzeln a1 , . . . , an hat. Bei dieser Betrachtungsweise geht nat¨ urlich der Zusammenhang mit dem Produkt n 

(x − ai )

i:=1

verloren. Dieses Produkt wiederum betrachtet Descartes, ohne auf den Bau der Koeffizienten einzugehen. Es gibt also Polynome des Grades n, die n Wurzeln haben. Mittels des nu˜ nezschen Satzes folgt, dass sie auch nicht mehr als n Wurzeln haben k¨ onnen. Hier nun beginnt das Problem des Aufsuchens von Wurzeln von Polynomen sich in zwei Probleme aufzuspalten. Man fand keine L¨ osungsformeln f¨ ur die Wurzeln von Polynomen, deren Grad vier u ¨bersteigt. Wie Abel zu Beginn des 19. Jahrhunderts endg¨ ultig bewies, kann es auch keine L¨ osungsformel geben, wobei man nat¨ urlich noch sagen muss, welche Art L¨osungsformeln man u ¨ berhaupt zur Konkurrenz zul¨ asst. Da man also keine L¨osungsformel fand, fragte man, ob es u ¨berhaupt immer eine L¨osung g¨ abe. Dabei war klar, dass man als L¨ osung auch imagin¨ are Ausdr¨ ucke zulassen musste. Es ging bei dieser Frage also nicht mehr um die Konstruierbarkeit von Nullstellen von Polynomen, wobei zur Konstruktion auch k-te Wurzeln zugelassen wurden, sondern nur noch um die Existenz. Das ist bemerkenswert, zeigen sich hier doch die Wurzeln nicht mehr ganz heutiger bzw. nie ganz rein dagewesener Mathematik, bei der Fragen der Konstruierbarkeit v¨ ollig in den Hintergrund gedr¨ angt wurden. Erst das Werkzeug Computer brachte die Frage der Konstruierbarkeit von mathematischen Objekten einer Mehrheit von Mathematikern wieder ins Bewusstsein. Zuvor war es die Dom¨ane der Grundlagenforscher. Namen wie G¨ odel, Church, Rosser, Skolem, Turing sind hier zu nennen. Der Umgang mit Polynomfunktionen machte es plausibel, dass eine Polynomfunktion n-ten Grades genau n Wurzeln hat, wobei Vielfachheiten zu ber¨ ucksichtigen sind. Da man es nicht beweisen konnte, postulierte man dies. So Albert Girard in seiner Invention nouvelle en l’alg`ebre, wobei er es offen gelassen hat, wo diese n Wurzeln zu finden sind. Diese Annahme machten auch d’Alembert — so jedenfalls Gauß —, Euler, Lagrange und auch Laplace. Mit dieser Annahme

608

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

wurde dann bewiesen, dass die Wurzeln komplexe Zahlen seien. Die Beweisversuche von d’Alembert und Euler enthalten noch weitere L¨ ucken. Lagrange schloss diese L¨ ucken bei Euler. Die noch verbleibende L¨ ucke l¨asst sich mit dem Satz u ¨ ber den Zerf¨ allungsk¨ orper eines Polynoms schließen, den wir zu Beginn des neunten Kapitels formulieren und beweisen werden. Der erste Beweis von Gauß ist ebenfalls kritisiert worden. Sein zweiter Beweis ist endlich stichhaltig, wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben. Dieser Beweis ist ein Meisterst¨ uck. Wie Gauß in Polynomringen rechnet, wie er den Einsetzungshomomorphismus handhabt und wie er immer wieder den waringschen Satz u ¨ber symmetrische Polynome in voller Sch¨ arfe ausnutzt, ist nicht zu u ¨bertreffen. Dieser Beweis ist, auch wenn andere anderes behaupten, dass es n¨amlich keinen algebraischen Beweis f¨ ur den Fundamentalsatz g¨ abe, ein rein algebraischer Beweis. Er liefert ja auch einen viel allgemeineren Satz. Dass man den Satz von der oberen Grenze am Ende dann benutzen muss — dessen G¨ ultigkeit f¨ ur R ja charakteristisch ist — um zu zeigen, dass sich der Satz auf R bzw. C anwenden l¨ asst, braucht nicht zu verwundern. Irgendeine Eigenschaft von R muss es ja sein, die bewirkt, dass C algebraisch abgeschlossen ist. Von den topologisch bzw. funktionentheoretisch argumentierenden Beweisen haben wir hier nur den cauchy-argandschen kennen gelernt. Er l¨ asst an Einfachheit nichts zu w¨ unschen u ¨ brig. Von allen u ¨brigen hier vorgetragenen Beweisen ist der laplacesche f¨ ur mich der sch¨onste. Der Fundamentalsatz der Algebra in der Form, wie Gauß ihn verschiedentlich formulierte, dass n¨amlich jede Polynomfunktion u ¨ber R Produkt von Polynomen ersten und zweiten Grades ist, ist auch f¨ ur die Analysis von Interesse, gestattet dieser Satz doch die Partialbruchzerlegung von gebrochen rationalen Funktionen u ¨ ber R in integrierbare Br¨ uche. Dar¨ uber, so fand ich in der Literatur, h¨ atten schon Leibniz und Johann Bernoulli im Jahre 1702 sich ausgelassen und Bernoulli h¨ atte diese Fragen dann 1719 abschließend behandelt. Leider gab der Gew¨ ahrsmann keine Zitate, so dass mein Suchen zun¨achst vergeblich blieb. Walter Contro vom Leibnizarchiv in Hannover brachte mich dann auf die richtige Spur. Er verwies mich auf M. Cantor 1965, Band 3, wo sich die fraglichen Zitate auf den Seiten 272 bis 275 befinden. Ich bin nur den beiden Bernoullizitaten, n¨ amlich Bernoulli 1702 und 1719 nachgegangen. In der ersten Arbeit wird das Problem wie folgt formuliert: Probl` eme. Soit la differentielle pdx : q, dont p & q exprime des quantit´es rationelles compos´ees comme l’on voudra d’une seule variable x & de constantes; on demande l’int´egrale, ou la somme alg´ebra¨ıque, ou du moins qu’on la reduise a` la quadrature de l’hyperbole, ou du cercle; l’un ou l’autre ´etant to˜ ujours possible. Der weitere Text zeigt, dass mit quantit´es rationelle“ Polynomfunktionen ge” meint sind, wobei jedoch unklar bleibt, was die Koeffizienten sind. Sind sie reell? Sind sie komplex? Die L¨ osung beginnt dann damit, dass p durch q mit Rest r dividiert wird. Der Quotient bietet als Polynom der Integration keine Schwierigkeiten. Um den noch verbleibenden Bruch rq in den Griff zu bekommen, macht Bernoulli

9. R´esum´ee

609

den Ansatz rdx : q = adx : (x + f ) + bdx : (x + g) + cdx : (x + h) + &c. Wie es weiter geht, ist klar. Worauf es mir ankommt, ist, dass Bernoulli kein Wort dar¨ uber verliert, dass dieser Ansatz gerechtfertigt ist. Er ist es n¨amlich nicht. Er ist es nur dann, wenn q quadratfrei ist und wenn man außerdem komplexe Zahlen als Koeffizienten zul¨asst. Doch zu all dem gibt es kein Wort von Bernoullis Seite. Das Problem ist also nicht gel¨ost. In der zweiten Arbeit geht es um ein von dem ber¨ uhmten englischen Mathematiker Taylor den nicht-englischen Mathematikern gestelltes Problem. Es lautet (zitiert nach Bernoulli 1719): Invenire (sunt verba Taylori Latine reddita) per quadraturam circuli aut hy” perbolæ, fluentem hujus quantitatis δ

zz ˙ λ q−1 : (e + f z q + gz 2q ); ubi e, f , g, sunt quantitates constantes, z quantitas variabilis, δ numerus integer qualiscunque affirmatus aut negativus, & λ numerus quilibet husjus progressionis, 2, 4, 8, 16, 32, &c. hoc es potentia quævis numeri binarii. Peta autem (ita pergit Taylorus) ut hoc Problema solvatur, sine ulla limitatione par radices imaginarias; it quod non tantum uno modo præstari potest, quamvis Leibnitius in Actis Lips. an. 1702. pag. 218. demonstrare conatus fuerit contrarium in hoc casu x˙ : (x4 + a4 ), quir omnium simplicissimum est post hunc c˙ : (xx + aa) spectantem ad arcum circuli. Idem invenire potest respectu husus elementi δ

zz ˙ λ q−1 : (e + f z q + gz 2q + hz 3q ); sed exigo duntaxat solutionem prioris casu.“ Hier ist z˙ bzw. x˙ als dz und dx zu lesen, was Bernoulli auch sofort tut. Hier k¨ ampft also die Insel gegen den Rest der Welt. Bemerkenswert auch der Doppelpunkt als Zeichen f¨ ur die Division. Er wurde als solcher, wie auch der Malpunkt von Leibniz eingef¨ uhrt (Cajori 1993, S. 271 f. bzw. 267 f.). Bernoulli l¨ ost diese Aufgabe und noch mehr. Es hat also nun alles in der Hand, das in der ersten Arbeit gestellte Problem zu l¨osen, worauf er aber in dieser Note nicht mehr eingeht. Was den Fundamentalsatz der Algebra anbelangt, so ist aus diesen Arbeiten kaum etwas an Information zu erlangen. Dass Leibniz die Zerlegung √ √ x4 + a4 = (x2 + 2ax + a2 )(x2 − 2ax + a2 ) nicht gesehen hat, hat manche H¨ame in der damaligen Zeit hervorgerufen. Bernoulli verteidigt Leibniz f¨ ur mich nicht ganz u ¨ berzeugend. Er gibt weiter die zugeh¨ orige Partialbruchzerlegung von 1 x4 + a4

610

Kapitel VI. Nullstellen von Polynomen

an und verweist f¨ ur die Integration auf die Arbeit von 1702. Da er in dieser Arbeit sich die Nenner in Linearfaktoren zerlegt denkt, zeigt dies, dass er dort auch komplexe Zahlen als Koeffizienten zul¨ asst.

Literaturverzeichnis Angaben wie III.9 am Ende der Eintr¨ age verweisen auf das Kapitel und den Abschnitt, wo das Werk zitiert wird. Djamil A¨ıessani et al., Les math´ematiques `a Bougie m´edi´eval et Fibonacci. In: Leonardo Fibonacci. Il tempo, le opere, l’eredit`a scientifica. Herausgegeben von Marcello Morelli und Marco Tangheroni. Ospedaletto (Pisa) 1994, 67–82. III.9 Leon Battista Alberti, Zehn B¨ ucher u ¨ ber die Baukunst. Ins Deutsche u ¨ bertragen, eingeleitet und mit Anmerkungen und Zeichnungen versehen durch Max Theuer. Unver¨ anderter reprographischer Nachdruck der 1. Auflage, Wien und Leipzig 1912. Darmstadt 1991. III.5 Jean-Baptist le Rond d’Alembert, Recherches sur le calcul int´egral. Histoire de l’Acad´emie de Berlin. Ann´ee 1746. p. 182 sqq. (Zitiert nach Gauß Werke, Bd. 3, S. 7.). VI.8 d’Alembert, Bossut, de la Lande, Condorcet, Charles, &c., Encyclop´edie m´ethodique. Math´ematique, tome second. Paris, Li´ege 1785. III.6 Al-Hwarizmi, s. Allard, Folkerts, Hughes, Karpinski, Libri Bd. I, Rosen Andr´e Allard, Muhammad ibn M¯ us¯ a al-Khw¯arizm¯ı. Le calcul indien (algorismus). Versions latines du XIIe si`ecle. Vorwort von Roshdi Rashed. Br¨ ussel 1992. I.7, IIII.1, 3 — Les sources arithm´etiques et le calcul indien dans le Liber abbaci. In: Leonardo Fibonacci. Il tempo, le opere, l’eredit` a scientifica. Herausgegeben von Marcello Morelli und Marco Tangheroni. Ospedaletto (Pisa) 1994, 81–96. IIII.1 Almanus, s. Leopold H.-W. Alten, A. Djafari, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, W. Wußing, 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Berlin, Heidelberg 2003. V.1 Anonimo, Arte giamata aresmetrica. A cura e con introduzione di Maria Teresa Rivolo. Quaderna del Centro Studi della Matematica Medioevale 8. Siena 1983. I.7 Peter Apian, Eyn Newe vnnd wolgegr¨ undte vnderweysung aller Kauffmannß Rechnung in dreyen B¨ uchern/mit sch¨onen Regeln v˜ n Fragst¨ ucken begriffen. Nachdruck der Ausgabe Ingolstadt 1527. Buchsheim, Eichst¨att 1995. I.7, IIII.8 Apollonios, Apollonii Pergaei quae graece extant cum commentariis antiquis. Ed. J. L. Heiberg, Leipzig 1891–1893. Zwei B¨ande. Griechisch und Lateinisch. (Zitiert nach Gericke 1992, Math. in Antike und Orient. S. 226 und 240). III.1 ¨ Archimedes, Werke. Ubersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina. Darmstadt 1972. I.5, IIII.5 — Archimedis Opera omnia cum commentarii Eutocii. Ed. J. L. Heiberg. 2. Aufl., 3 Bde. Leipzig 1910–1915. Nachdruck Stuttgart 1972 (zitiert nach Gericke 1992). III.1

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Index 13. Jahrhundert 114 19. Jahrhundert 21, 58, 350, 606 5040 226 π 42, 77, 221 Abaco et pulvisculo se dedere 334 abacus, abbacus 107, 291, 334 abbachino 487 abbaco antico 110 Abel, N. H. 607 Abendland 97, 104, 334, 396 Ableitung eines Polynoms 570, 596 Absch¨ atzung der Wurzeln 516, 527 Absch¨ atzungen 182 Absolutbetrag 521, 579, 585 —glied 512 absolut kleinster Rest 186 Abu Kamil 360f. abundantes 148 Abzeichen, st¨adtische und staatliche 440 Adda 443 Addition negativer Ausdr¨ ucke 458 — rationaler Zahlen 196 — von Polynomen 457, 458 — — Quadraten 70 additive Gruppe der rationalen Zahlen 211 additives Invertieren 499 Adjunkte 558 aequatio 422 aestimatio 422 Afrika 397 ¨agyptisches Jahr 149 Ahmed ibn Yussuf 44ff., 292, 317 ¨ahnliche Dreiecke 153 — Zahlen 174, 175, 218f. ¨ Ahnlichkeit 24, 51, 294 Aitema 45 Alberti, L. B. 399 Albrecht von Preußen 149 Album 334 Alembert, J. B. le R. d’ 548, 588, 607

Alexander VI. 391 Alexandre de Villedieu 98, 332 Alexandria 42, 81 alexandrinische Bibliothek 533 Alfraganus 343 algarismo 104 Algaurizin, Algaurizmi, Alguarizmi 332 Algebrabuch 447, 472 Algebra 314ff. 342, 344, 359, 402, 447ff., 487, 509 —, Auffassung von 507 Algebra und Almuchabala 345ff., 488 Algebra von Al-Hwarizmi 357 algebraisch abgeschlossener K¨ orper 229 algebraische Erweiterung von GF(p) 211 — Gleichung 445, 468 — Probleme 296 Algebrist, Algebrista 343f. Algorismus 104, 234, 332 algorithmische Bestimmung 229 algorithmisches Verfahren 339 Algorithmus 331ff., 334f., 455, 456, 464, 478 — GGT 185 — n-te Wurzel 377f. — r 202ff. Al-Haitham 401 Alhazen 401 Al-Hwarizmi 97, 104, 292, 331ff., 340, 345ff., 360ff., 366f., 419, 606 al-jabre 342, 344 Allard, A. 98, 331, 332f. allgemeine Gleichung 437 Allgemeing¨ ultigkeit 495 Alliierte 258 Almagest 5, 45, 150, 151, 292, 317 al-Maham 401 al-Mamun 331 Almanus, P. 399

634 Almanus Manuskript 399 al-muchabala 342 Alphabet 110, 533ff. alphabetische Anordnung 533f. Altar des Apollo 496 Alten, H.-W. et al. 446 Altertum 361 Amerika 397 Amman, J. 419 Amtseid 440 Anachoretinnen 105 Analogie, analog 24 Analysis 35, 608 —buch 9 Ancrene Wisse 105 Anderson, A. 507 anderthalb 348ff. Anekdote 5 Anf¨ angerunterricht 253 Anfang (s. a. normaler A.) 13 Anfangswert 239 angeordneter K¨ orper 572ff., 579, 584ff. — Ring 573ff. angeordnetes Alphabet 535 Annaberg 447 Annahme 45 anonymer Autor 101, 291 Anordnung der reellen Zahlen 576 — von N 248 Ansehen der Mathematik 399 Antoninus Pius 449 Antwerpen 438, 446 Anzahl der irreduziblen Polynome 229 — — L¨osungen alg. Gleichungen 606 — — negativen Wurzeln 511 — — Nullstellen 531, 607 — — positiven Wurzeln 511, 515 — — Teiler in [X] 535 — — Wurzeln 510 Apian, P. 101, 374, 439 Apices 97, 333, 342 Apollo 496

Index Apollonios 258, 401 Apotome 313 Approximation 133, 361, 362, 489 —, bessere 365, 367 approximieren 117, 151 Araber 44, 97, 292 arabische Autoren 42 — Mathematiker 83 arabischer Kulturkreis 317 Archimedes 23, 73, 127, 221, 258, 292, 317, 389, 400, 401 archimedisch angeordnete Gruppe 26, 211, 578 — angeordneter K¨ orper 87, 578 — — Ring 574f. archimedischer Gr¨ oßenbereich 23 Archimedizit¨at 37, 73, 260 Archytas 24, 221, 495ff. Arcus 145 arcus pictagore 333 area 406 Aretas 6 Argand, J. R. 516, 519 argand-cauchyscher Beweis 583 Argonautensage 341 Aristoteles 3, 23, 24, 45, 221, 258 arithmetica localis 379ff. Arithmetik 334, 486 arithmetische Reihen 128 arithmetisches Dreieck 243f. Arithmos 96 Arnim, B. von 110 Ars magna 419, 423, 438 arti maggiori, minori 108 Artin, E. und Schreier, O. 516, 572, 585f. Aschengammler 105 Astrolab 105 as-sifre 98, 102, 104 Assoziativit¨ at 27, 70, 176 Assuan 4 Astrolab 450 Astronomie 47, 119 astronomische Rechnungen 334

Index — Uhr 399 aufsteigende Kettenbr¨ uche 112, 113, 115 Aufsuchen von Wurzeln 607 Aufwand 242 augrim 105 Augustus 390 Ausbildung 399 aus den Falten schlagen 419 Ausdrucksm¨ oglichkeit 217, 247 Auswahlaxiom 97 Auswertungshomomorphismus 539, 589 Automorphismus 96, 544 Axiom, Axioma 45, 46 Bachet, C. G. 83, 86, 174, 179ff., 238, 335, 378 Bachets Algorithmus 180 — Aufgabe 179, 261 bachetsches W¨ageproblem 236 Bachmann, P. 336 Baer, R. 211 Bagdad 331 Ballistik 148, 389 Bamberger Rechenbuch 99, 100, 349 Bandareni, L. 392 Barbaren 449 Barbaro, D. 495, 496 bargeldlos 440 Barometer 450 Barrow, I. 35 Basel 439 Basilica di Santa Maria degli Angeli 452 Basistafel 125 Bassano, Z. da 402 Battaglia und Pernicone 1987 410 Bau der Koeffizienten 516 bayerischer Wurzelerlass 519 Becker, O. 3, 163, 166, 173 Begleiter 124 Benedetti, G.-B. 42, 389, 390 Berechnung von Wurzeln 360ff.

635 Bergamo 442 Bernoulli, J. 34, 236, 608 bernoullische Ungleichung 35, 91, 236 bessere Approximation 365, 367 Bettazzi, R. 10, 37, 95, 578 Beutelspacher & Rosenbaum 509 bewegliche Lettern 398 Bewegung 46 Beweis 166, 465, 490 —last 328 —l¨ ucke 261, 274, 279 —methoden 236 bezahlte Lehrer 447 Bezeichnungen in der Mathematik 335 beziffern 103 B´ezout, E. 548 Bianca Maria Sforza 443 Bianchini, F. 452, 453 Bianchini, G. 151 Bibliotheken 399 Biblioth`eque Nationale de France 502 Bibra, E. von 349 Binet, J. 183, 186 binetscher Algorithmus 336 Binom 480, 481 Binomiale 282, 289ff., 294ff. Binomialkoeffizienten 374, 547, 597 biquadratische Irrationalit¨ aten 47 Blockbuch, Bamberger 398 Blockb¨ ucher 398 Blotius, H. 391 Blum, W. 110 Blutrache 108 Bodleian Library 6 Boethius 163, 466 Bogen 145 Boglione 448 Bombelli, R. 445, 446, 448, 456, 457, 463, 464, 477, 479, 480ff., 486, 487, 496, 497, 507, 606 Bonaini, F. 318 Boncompagni, B. 183, 199, 212 Borelli, G. A. 42ff., 77, 175

636 Borst, A. 318 Boten 439ff. —lohn 440 Bougainville, L. A. de 588 Bougie 317 Boyer, C. B. 446 Brahe, T. 119, 451 Brembo 442 Brescia 388 Briefverkehr 437 ff. Briggs, H. 95f., 120, 124, 125 Brissac 393 Bruch 112ff. 355, 456, 460 Br¨ uche von Polynomen 464ff. br¨ uchig 323 Bruchrechnung 114 —strich 112 Brunelleschi, F. 398 Buch 419 — V 21ff., 26ff., 162, 176 — VI 47ff. — VII 163ff., 174ff., 176, 177ff., 187ff. — VIII 212ff. — IX 167ff., 221ff, — X 47, 82, 258ff., 263, 290ff., 320, 325 — XII 74 — bei den Griechen 5 —druck 397f., 447 —druckerkunst 393 B¨ ucher des Jordanus 474 Buchhaltung 106, 107, 396 —h¨ andler 5 —rolle 3 —stabenrechnung 339, 507 Budan, F. 515, 517 Bulmer-Thomas, I. 25 Burckhard, J. 442 B¨ urgermeisterb¨ ucher 109 B¨ urgi, J. 95, 119 Caesarius von Heisterbach 165 Cajori, F. 108

Index Calandri, F. 398 calculi 164 Calicut 397 Campanus 42, 44, 177, 180, 459 Canterbury Tales 341, 389 Cantor, G. 7, 9, 337 Cantor, M. 164, 446 cantorsche Mengenlehre 46 cantorscher Algorithmus 336 carattero 454 Cardano, G. 387ff., 389, 390ff., 394, 400ff., 422ff., 438, 445, 448, 456, 473, 493, 498, 511, 580, 606, cartelli di sfida 98, 420 cartesische Zeichenregel 511, 512ff. Cataneo, P. 83, 99, 233 Cauchy, A.-L 97, 515, 516ff., 520, 521, 552, 584, 606 cauchy-argandscher Beweis 608 Cauchyfolgen 6, 7 Censo 454 Cervantes 344f. Champollion, J. F. 485 Champollion-Figeac, J. J. 485 Character 98, 110, 454, 486 Charakteristik 596 Chaucer. G. 105, 389 Chiffre 102, 103 chiffrieren 102, 414 China 441 chinese ring puzzle 393 chinesische Schriftzeichen 534 chinesisches Resteproblem 232, 335 christliche Einfalt 165 christlicher Mob 5 Chuguet, N. 83, 422, 501 Church, A. 340, 607 Cicero 24 ciffra, cifra (s. a. cyphra, Ziffer) 100, 362, 454, 588 cijferen 104 cijfferletteren 117 circulus 98, 362 Clavius, Ch. 177, 180, 219., 509

Index Clemens XI. 453 Cock, D. 104 Coimbra 438 Colle, Z. = da Coi 419 Columbus, C. 392 Comersee 443 comes 124 Commandino, F. 449 Compagnia dei Corrieri 442 Computer 607 —algebra 527 Condom 379 Contro, W. 608 Corso 348 Cosa 454, 486 Cosinus 120, 153 coßische Zahl 456 Cotangens 120 cramersche Regel 556f., 560 Cyfer-Konst 104 Cyfer-Meester 104 cyphra (s. a. Ziffer) 126, 128 Dachsberg 442 da Coi 419 Dallmeier, M. 440 Daly, L. W. 534 D¨ ammerung 450 D¨ amon 534 D¨ anemark 393 d¨ anische Z¨ahlreihe 350 Darboux, G. 96 darstellende Geometrie 6 Darstellung in Mischbasis 115 — von Zahlen 97 das große Schema 240 das Nulla (s. a. Null) 101 Das r¨ omische Carneval 348 Datenstruktur 111, 541 Datumsangaben 99 Dax, J. 443 dechiffrieren 102, 103 Dedekind, R. 7, 8, 177, 211, 236, 247f. 251, 255, 256f., 525

637 dedekindscher Schnitt 6ff., 10ff. Dedekindtripel 248, 250 Definition der Quadratwurzel 361 — — Wurzel 365 — rationaler Zahlen 196 — V.5 21 — und Gebrauch des Wurzelzeichens 519 Definitionsbereich 126 de Foix, G. 388 de libris propriis 439 delisches Problem 221f., 401, 495, 496, 497 Delos 496 de ludo aleæ392 de lue indica 392 Dembowski, P. 97 D´epartement Is`ere 485 der gr¨ une Heinrich 483 Descartes, R. 81ff., 84, 259, 445, 488, 507ff., 509ff., 580, 607 Des Kaisers neue Kleider 394 de subtilitate 439 determinans 591 Determinante 559 Deutschland 101 Dezimalbruch 111ff., 117, 127, 339 —punkt, -komma 118 —system 361f., 486 —zahlen 117 Dialektik 45 Dialogpartner 45 Diaz, B. 397 dicht liegen 117 Didaktik des Rechenunterrichts 467 Didaktiker 257 Diels, H. 221 Dienstvertrag 439 die Nulle (s. a. Null) 101 Differenz 24 dignit` a 486 dignitas 455 Dini, U. 9 Diophant 447, 449, 486

638 diophantische Gleichungen ersten Grades 183 Dirichlet, P. G. L. 335f. Diskriminante 454, 591, 592ff., 597ff. Distributivgesetz 26, 176, 187, 227 Ditgen, P. 443 DIV 113, 185 dividierbar 26, 52 Dividierbarkeit 92 Division 384, 463 — durch 10, 100, etc. 128 — mit Rest 100, 112f., 177, 178, 232, 336, 459, 461f., 466, 498, 541, 542, 581, 589, 607 — versus Multiplikation 460 — von Br¨ uchen 488 — — Polynomen 457, 459ff. Divisionstabelle 100 Divisionszeichen 609 Diwald, H. 397 dixit Algorismi 97, 104, 110 Doktorvater 584 Dominicus 317 Dondi, G. de 399 Don Juan d’Austria 394 Don Quijote 343f. doppelte Genauigkeit 126 D¨ orrie, H. 360, 437, 515 Drachenblut 397 Dreiecke 72 Dreiecksungleichung 521, 585 Dreieckszahlen 166 dritte Binomiale 290 dritter Beweis des Fundamentalsatzes 606 dritthalb 348, 349 drucken 419 Druckerverleger 439 Dubreil, P. 549 ducere 410 Dunkelziffer 103 duplare 362 Dupr´e, A. 186 Durante 340

Index D¨ urer, A. 101 dutto 410 dyadische Entwicklung 15 dynamis 486 Ebene Zahl 164 ´ Ecole polytechnique 5 Edinburg 120 Edler, F. 110 Egenolff, Chr. 101 eidgen¨ ossisches Polytechnikum 7 Einblattdrucke 398 Einer 99 einfach unendliches System 248 Einheit 1, 163, 230ff., 459 Einheitskreis 121 Einheitsstrecke 489 Einmal-eins 98, 487 ein Nulla (s. a. Null) 101 Eins 175, 177, 249, 259 — als Zahl 98 — ist keine Zahl 2, 164, 180, 223 Eins-und-eins 98 Einsetzungshomomorphismus 539, 908 Einsiedlerin 105 Einzigkeit der L¨ osung 353 Eisenbahn 442 Eleaten 45, 46 eleatische Philosophie 178 Elementargeometrie 151 elementarsymmetrische Funktionen, Polyome 545 Elemente Euklids 1, 3, 389 ¨ —, Uberlieferung 4ff. Elephantine 4 eliminieren 46 Elternversammlung 96 Email 437 endliche Br¨ uche 117 — K¨ orper 229, 596 endlicher Integrit¨ atsbereich 558 England 139, 397, 509 Engl¨ ander 98

Index Englisch 104 Entartungsf¨ alle 296 Entdeckung des Irrationalen 20 — Amerikas 393 Entscheidbarkeit 342 entschl¨ usseln 102 entziffern 102, 103 Epicharmos 165 Epos 24 Eratosthenes 496 erste Bimediale 282, 290 Erziehungswissenschaft 467 Escudo-M¨ unze 451 esimo 410, 464, 487, 488 Euclid’s First Theorem 194 Eudemos 221 eudoxische Gr¨ oßenbereiche 23, 81ff., 578f. — Proportionenlehre 35 Eudoxos 23, 75, 314 Euklid 2, 5, 23, 42, 47, 72, 81, 83, 120, 122, 176, 177, 191, 217, 225, 230, 234, 235, 237, 255, 261, 292, 293, 316, 317, 336, 362, 386, 401, 402, 407, 414, 465, 473, 489, 533 Euklid von Megara 235 euklidische Geometrie 258, 577 — Pr¨ azision 350 euklidischer Algorithmus 178f., 183, 336f., 465, 466f., 477 — Algorithmus f¨ ur Polynome 589 — K¨ orper 577 — Ring 542 Euklids Elemente 257 Euler, L. 172, 173, 183, 292, 294, 335f. 343, 517, 518,a524, 526, 548, 580, 583, 583, 588, 608 euler-lagrangescher Beweis 583 Europa 97, 398 Eutokios 221, 258, 400, 497 Existenz des Fl¨acheninhaltes 72 — von Binomialen 296ff. — von L¨ osungen 454f. — von Nullstellen 524, g07

639 —aussage 273ff., 515 —beweis 490 —fragen 8, 35 Exponent 245, 456f., 477, 486, 507 Exponentialfunktion 96 Faktortafeln 465 Fallgesetze 148 F¨ alschbarkeit 110 falsche Wurzeln 510 — Zahlen 495 f¨ alschen 106 fausse 510 Feder 101, 393 Fehdebriefe 420 Fehler 126 — bei d’Alembert 588 — bei Euler 581, 583 Feinsinnige 100 Felscher, W. 7, 10, 11, 41 Ferdinand und Isabella 390, 397 Fernrohr 149 Ferrari, L. 98, 387, 394f., 420ff., 434, 449, 475, 606 Ferro, S. dal 387, 395, 402, 419, 420, 426, 606, Fibonacci (s. a. Leonardo von Pisa) 99, 112ff., 115, 177, 179, 199, 212, 218, 230, 232, 236, 237, 275, 282, 290, 291ff., 293ff., 305, 313, 317ff., 320, 325., 332f., 342, 353, 357f., 359f., 362, 365ff., 368ff., 374, 378, 379, 380, 398, 401, 406, 419, 421, 424, 445, 466, 498, 500., 606 Fibonaccis Quellen 292f. — Sprachkenntnisse 292, 294 Fibonaccizahlen 183ff., 186 Fielding, H. 441 Figur 98 figura 97, 98 — ponata 373 — ponenda 373 figures of augrim 105 Fin´e, O. 421, 448

640 Finck, P.-J.-E. 186 Finck, Th. 150 Fingerzahlen 333 fingierte Zahlen 495 Finsternisse 400 Fior, A. M. 340f., 387, 396, 402, 406, 420, 426 Fl¨ ache 1 Fl¨ achengleichheit 47 Fl¨ acheninhalt des Kreises 42, 47, 70ff. Florentiner Dom 398 Florenz 106, 108f., 291 flos 290, 401 Folkerts, M. 331 Folklore 548, 574 Fontana, N. 387 —, Z. 390 Fontane, Th. 349 Forderung 45 formale Sprache 254 Forsythe, A. 543 Fortifikation 389 FORTRAN 126 fortschrittlich 6 Fourier, J. B. 485, 515, 517 Francesca, P. della 398 Frankfurt am Main 109, 110, 447 Frankfurter Firma 110 — Stadtarchiv 109 Frankreich 101, 379 Franzosen 588 Franz¨ osisch 104 franz¨ osische Dialekte 485 — St¨ adte 379 Frascati 449 Frege, F., L., G. 251 freies Monoid 537 Freiheit der Meere 397 Friedrich II. 317, 325 Frisius, n.n. 548 Fritz, K. von 4 Fugger 396 f¨ uhrende Nullen 99

Index F¨ uhrer 441 Fundamentalsatz, algebraischer Beweis 608 — der Algebra 516, 529, 579ff., 586, 588, 605, 608 F¨ unfeck 155 f¨ unfte Binomiale 290 f¨ unfthalb 349 F¨ unfzehneck 156 Funktionalgleichung 96, 97 — des Logarithmus 95 Funktionenk¨ orper 557 Funktion 124 Furterius, M. 398 Galeere 466 Galilei, G. 148 Gama, V. da 397 Gammler 105 G¨ angelband 488 Ganze 456, 488 ganze Zahlen 117, 355 ganzzahlige L¨ osungen 179 — Wurzeln 512 ganzzahliges Polynom 512 Gasthaus 440 — zur Post 441 Gatterer 343 Gauß, C. F. 47, 98, 164, 335, 512, 516, 520, 533, 542, 545, 549, 583, 588ff., 605, 606, 608 Gaußens zweiter Beweis 588ff. Gauß zitiert nichts 589 Gebildete 399 Gebra 344 gebrochener Anteil 113 gebundene Variable 254 gegeneinander prime Zahlen 164 — zusammengesetzte Zahlen 174 Geh¨ alter 392 Geheimschrift 102 Geldtransport 440 Geldwechsler 108 gemeine Br¨ uche 334

Index gemeiner Mann 45 gemeinsames Maß 165 geminare 362 genaues Messen 176 Genauigkeit 121, 128, 151 Geometer 296 Geometrie 2, 46, 178, 293, 509, 520, 522 — und Algebra 266, 509 G´eom´etrie descriptive 6 geometrische Algebra 69 — Anschauung 7 — Probleme 296 — Proportion 123 — Reihe 128, 169, 221, 223ff. 230, 237, 238 — Zuordnung 102 Gerad und Ungerad 163ff., 169, 174, 221, 229 gerade Zahl 1, 163, 167ff. Gerbert von Aurillac 97, 333 Gerhard von Cremona 44, 331, 345, 357f., 446 Gericke 23, 83, 315, 446 Geschichte 419 — der alphabetischen Anordnung 534 — der Geometrie 221 — der Kombinatorik 536 — der Mathematik 218, 447 — der Topologie 256 Geschwindigkeit 133, 148 Geste des Protests 46 gesunder Menschenverstand 45 geweißte Holztafel 334 Gewichtss¨atze 378f. Gewinn 440 Gil Eanes 396 Gilden 108 Girard, A. 110, 580, 607 Glanzleistung der Mathematik 23 Glasstaub 334 gleichg¨ ultig 252 Gleichheit 521 — von Verh¨ altnissen 1, 2, 23, 42, 44

641 Gleichheitszeichen 507 gleichnamig machen 465 Gleichung dritten Grades 396, 419, 420, 606 — vierten Grades 434ff., 606 Gleichungslehre 487 Glossar 345 Glossatori malevoli 464 Glowatzki, E. 148, 150 Gnomon 386 Gobarziffern 333, 342 G¨ odel, K. 340, 607 Goethe C. W. 110 Goethe, J. W. 110, 348 Golius, J. 343f. G¨ ottsche, H. 148, 150 Gottwald et alii 446 Grad 121, 541 — eines Polynoms 510, 539 graduierte Gr¨ oßenbereiche 507 Grammateus, H. 448 Granada 397 grassieren 486 Gregor XIII. 509 Grenoble 485 Grenzwert 7, 75, 566 Gresham College 125 Griechen 106, 449 Griechisch 406 griechische Mathematik 4, 6, 260 — Musik 61 griechischer Kulturkreis 317 Griffel 334 Grimmelshausen, H. J. C. 166 Gr¨ oßen 1, 2, 22, 42, 82, 346, Gr¨ oßen - Zahlen 191f., 227 Gr¨ oßenbereiche in Q+ 25, 38, 91, 201f., 205ff. gr¨ oßte Ganze 151 gr¨ oßter gemeinsamer Teiler 177ff., 183ff., 187, 261, 336, 542 — — — von Polynomen 477, 589 gr¨ oßtes gemeinsames Maß 261 Grundlagen der Geometrie 520

642 Grundrechenarten 486 — f¨ ur Polynome 487 Gruppentheorie 558 guarismo 104 Guidobaldo da Montefeltro 399 Gullivers Reisen 349 Gutenberg, J. 398, 447 Halb 348, 362 Halbgruppe 531 Halbieren 165 Halbk¨ orper 198 Halbring 92, 198 Hall´e, de 517 Halle an der Saale 258 Hamel, G. 97 Hamelbasis 97 Hamilton, J. 393 Hamilton, W. R. 520, 521, 606 hamiltonsche Konstruktion 521 — Quaternionen 583 Handel 448 Handelspl¨atze 380 Handschrift 522 Hankel, H. 107 Hardy und Wright 194 Harig, G. 411 harmonische Lage 97 Harun-al-Rashid 331 Haupt, O. 542 Hauptidealring 544 Haus der Weisheit 331 Heath, Th. 72, 221, 496 Hefele, H. 390 Heiberg-Menge 4 Heilige Liga 389 Heine, H. E. 7, 9 Heinrich der Seefahrer 396f. Heller 4 Helmer, O. 202 Henri IV. 509 Herkulaneum 4 Herodot 349 herrschende Lehrmeinung 606

Index Herz 232, 368 Heyden, G. van der 104 Hilbert, D. 87, 296, 574 Hippasos von Metapont 4 Hippokrates von Chios 75, 221, 496 Historiker 258, 316, 350 Hochschulmathematik 519 Hof Friedrichs II. 317 Hofmann, J. E. 509 h¨ ohere Lehranstalten 519 H¨ohr-Grenzhausen 173 H¨older, O. 578 homogenes Polynom 548 Homomorphismus 250 Horner-Ruffini-Schema 381, 512 Houben, G. M. M. 379 Hughes, B. B. 345 H¨ ullenoperator 248 Humanisten 399f. Hurtado de Mendoza, D. 389 Hwarizm 331 Hypagogeus 60 Hypatia 5 Hypothese 45 Imaginaire 510 imagin¨ are Ausdr¨ ucke 516, 517, 521, 584 — Wurzeln 512, 580 implizite Division mit Rest 178 in der Hand halten 332 in Proportion stehen 191, 199 Inbegriff 361 Inder 97 Indien 274, 396, 397 Indiktion 319 indirekter Beweis 260 indische Ziffern 109, 110 indisches Positionssystem 151 — System 101 Indizes 114, 507, 518 Induktion 509, 523 Induktionsprinzip 248, 249, 253 Ineichen, R. 293

Index Infimum 11 infinitesimale Methoden 72 Ingenieur 393, 479 inkommensurabel 260 Inkommensurabilit¨ at 1ff., 3, 23, 82, 173, 489 Innsbruck 443 Institut f¨ ur Stadtgeschichte 110 Instrumentenmacher 121 Integrit¨ atsbereich 544, 596 Interpolation 232 irakischer Doktorand 344 irrational 366 irrationale Zahl 7, 126, 360 Irrationalit¨ at von e 338 Irreduzibilit¨ atskriterium 512 irreduzibles Polynom 542 Isomorphismus 85, 250 Italien 101, 391, 447, 486 Italienisch 104 italienisches Rechenbuch 99 Jacobi, C. G. J. 515 Jacob, P. 102 Jacob, S. 99, 101, 102, 334, 447 Jaeger, W. W. 3, 5 Jamblichos 172 Johannes de Sacrobosco 98, 332 Johannes von Toledo 332 Jordanus 459 J¨ orgensen, D. 390 j¨ udische Ziffern 104 Jurist 519 Juschkewitsch, A. P. 372, 446 Kahnt & Knorr 379 Kaiser, L. 183 Kalender 6, 319, 397 Kalenderreform 453, 509 Kaliko 397 Kaninchenz¨ ahlung 183 Kanneb¨ ackerland 173 kanonischer Epimorphismus 93 Kap Bojador 396 — der guten Hoffnung 397

643 — S˜ ao Vicente 396 — Verde 396 Kaplansky, I. 229, 556 kapverdische Inseln 396 Kardinalzahl 410 Karl V. 395, 400, 420 Karl VIII. 391f., 443 Karpinski, L. C. 342, 345f., 354, 357, 360 Kartenspiele 398 Kartenspielhandbuch 419 K¨ astner, A. G. 247, 343, 344, 580 Katastrophenseminar 106 Katholische K¨ onige 397 Katz, V. 446 Kaufleute 108, 109, 110, 333 Kegelschnitte 400f. keine L¨osung 348 Keller, G. 483 Kepler, J. 95, 119, 148, 183 keplersche Reihe 183 Kette 247 Kettenbruch 260, 335 Khiva 331 Kinder Cardanos 392, 534 Kinematik 242 Kirche 106 Klammern 507 Klasse 252 Klein, F. 339, 344 Kleinschmidt, R. 46 kleinstes gemeinsames Vielfaches 195 Klippe 588 Kl¨ oster 439 Klosterabacus 333, 342 Klostermair, A. 378 Kneser, H. 584 Koeffizienten 516 Kommutativit¨ at 27 Koinai ennoiai 46 Kolumbus 397 Kombinatorik 394, 582 kommensurabel 165, 259, 262 Kommensurabilit¨ at 2, 489, 82

644 kommensurable Gr¨ oßen 96 Kommentar 1. Buch 258 Kommentare Theons 151 kommutativer K¨ orper 596 Kommutativit¨ at 70 — der Multiplikation 33, 176, 191 Kompaktheitsargument 583 komplexe Nullstellen 518 — Zahlen 418, 431, 445, 479, 486, 498, 510, 517, 518, 520, 580, 583, 605, 606, 607 — —, geom. Interpretation 519 Komplexit¨at 186, 366, 369 Konfektionsschuhe 393 Kongruenzen 335, 520 Kongruenzrelation 92 K¨ onigin der Zahlen 233 konjugiert komplexe Zahl 480, 521 konstante Breite 242 Konstruierbarkeit von mathematischen Objekten 607 — — Nullstellen 607 Konstruktion der positiven reellen Zahlen 10ff. — — reellen Zahlen 6 — mit Zirkel und Lineal 47 konvergent 566 Konvexit¨at 58 Kopernikus, N. 150 K¨ orper der formalen Laurentreihen. 564ff., 575, — — rationalen Funktionen 556, 568, 596 — — reellen Zahlen 7, 42, 94, 96 K¨ orperbegriff 596 k¨ orperliche Zahlen 174 Koschatzky, W. 103 Kosten eines Algorithmus 186f. Kreide 101 Kreis 75, 260 Kreisfl¨ache 77 Kreismessung 73 Kreisteilungsk¨ orper 211 Kreweras, G. 252

Index Kriegk, G. L. 109 Krist, J. 164 Kritik 25, 35, 150, 177, 226, 236, 255, 275, 308, 315, 350, 446, 522 — an Proportionenlehre 42, 44 Kroisos 349 Kronecker, L. 552, 568 Krull, W. 81, 84 krummlinig begrenzte Fl¨ achen 72 Kubikwurzel aus 2 239, 401 Kubikzahl 174, 217f., 220f. kubische Gleichungen 400ff., 418, 445, 475, 479, 492, 498, 512, 518 Kubus 175, 368 Kuckucksei 519 Kugel 400 Kuratowski, C. 522 Kurie 442 Kurvenl¨ angen 73 k¨ urzen 114, 456, 487 — von Br¨ uchen 465 — — Polynomquotienten 465 K¨ urzungsregel 92 — in [X] 535 Kuseler Musikanten 442 Kustoden 469 Lagrange, J.-L. 183, 232, 236, 517, 524, 548, 581, 582, 583f., 588, 608 Lam´e, G. 182, 183 Landau, E. 10 Lansberg, Ph. 150 Laplace, P. S. 516, 585, 588, 608 laplacescher Beweis 584ff., 589, 608 — Entwicklungssatz 559f. Latein 232 Lausch, H. 235 leerer Buchstabe 534 Lesevergn¨ ugen 333 Legendre, A.-M. 516, 517 Lehre vom Geraden und Ungeraden 3 Lehrmeinung 520 Lehrplan 399 Leibniz, G. W. 378, 608, 609

Index Leipzig 439 Leitkoeffizient 512, 541 Leonardo von Pisa (s. a. Fibonacci) 83f., 98, 99, 234 Leopold 399 Lepanto 394 Lesen und Schreiben 389 Leser 166, 328 Leserin 218 Leseschule 388 lettre 110 letzte Ziffer 99 Levi ben Gerson 451 lexikalische Anordnung 532f., 543 Leyden 120 liber abbaci 98, 99, 100, 105, 325, 332, 342, 380 liber quadratorum 276 Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria 438 Lieberknecht, O. 105, 475 linear inkommensurabel 1 — kommensurabel 3 lineare Algebra 556 — Gleichung 345, 500ff. — Gleichungssysteme 179, 445 — Kongruenzen 179 — Ordnung 11 — Rekursion 568 — Transformation 580 — Unabh¨ angigkeit 285 Lipschitz, R. 8 Lissabon 397, 448 litera 107 Literatur 177 littera 97, 110 loca 380 Logarithmentafel 96f., 121, 125, 126, 134 logarithmi defectivi 148 logarithmische Ableitung 569 Logarithmus 95ff., 119ff., 124, 500, 503 Logos 24, 96

645 lokal zyklisch 211 — kompakter topologischer K¨ orper 583 lombardischer Rechenmeister 101 L¨osung 422 Luca Pacioli 99, 409 Lucas, E. 183 L¨ ucke bei Bernoulli 609 — — Euklid 220, 227, 285 — — von Staudt 97 L¨ uckenlosigkeit 257 L¨ uneburg 6, 11, 83, 88, 97, 166, 177, 179, 199, 202, 211, 218, 251, 353, 367, 379, 556, 559, 568 L¨ uroth, J. 9 Lucrezia Borgia 103 Ludolff, J. 276 ludolphsche Zahl 221 Ludovico Sforza 443 Ludwig XII. 391 Luftangriffe 109 Luther, M. 102, 398 Lyon 120, 439 Machinator 393 machinatrix 393 MacLaurin, C. 527 Madeira 396 Madlener, K. 6 Magellan, F. 397 —straße 397 Magister Iohannes 290, 320 Magliabecchi, A. 399 magnati 108 Magnetkompass 393 Mailand 391, 437, 442 Mainzer, K. 221 Major 284 Majorante 11 Malabark¨ uste 397 Malaparte, C. 392 Maler 393 Malpunkt 609 Mann, Th. 103

646 Manzoni, D. 107 Marco Polo 441 Margarita Philosphica 398 Mariae Verk¨ undigung 319 Markscheidekunst 148 Marre, A. 501 Masotti, A. 390 maßen 109 m¨aßigen 109 Mathematik 2, 120, 389, 399, 400 — und Geometrie 291 Mathematiker 46, 400 — der Antike 177 — — Renaissance 480 Mathematikunterricht 96 mathematische Terminologie 24, 189f. Mauren 343 Maximilian I. 389, 443 McCoy, N. H. 542 Mechanik 97, 389 Mediale 267ff. Medici 399 Meditationes algebraicae 548 Megarenser 235 Melanchthon, Ph. 149 Melinde 397 Menaichmos 401 Mendelssohn, M. 235 Menelaos 45 Menge von Teilen 165 Mengenlehre 97, 247, 521 Menninger, K. 104, 106, 107, 110 meno di meno 480 Menon 263 M´eray, C. 9 Meridian 452ff. Mesolabium 496 messen von L¨ angen 122 — von Winkeln 121 Methode 151 Michael Scottus 317 Michelangelo 23 Milei 292 Minorante 11

Index minus 325 Minuszeichen 147, 326, 408, 410, 457, 498 Minuten 111, 362, 365 minutiae primae 121 minutum 162 Mischbasis 115, 337 mittelalterliches Vokabular 345 Mittelschulen 519 mittlere Proportionale 53, 70, 217ff., 350, 496 Modelltheorie 253 MOD 113, 185 module 521 Mond 149 Mondknoten 400 Monge, G. 5, 6 Monochord 60 Monoid 531 Monoidhomomorphismus 531 Monom 481, 532, 539 Monomorphismus von N in Q 198 Monopol 443 Monte Tasso 442 Montucla, J. E. 548 morbus gallicus 392 more arabum 99 Mo¸cambique 397 M¨ ondchen des Hippokrates 221 Moufang, R. 97 Multiplikation 10, 99, 196, 384 — von Gr¨ oßen 2, 84 — — Monomen 487 — — Polynomen 459 — — Strecken 81ff. 122 Multiplikationsverfahren 276, 332 multiplizieren 410 m¨ undliche Tradition 345 M¨ unzen 440 Musaion in Alexandria 317 musikalische Notation 333 Musiktheorie 60 Mythos 24

Index Nachfolgerfunktion 249 Nachrichten 440 Nachtr¨ age 3 Nagl, A. 107ff. N¨ aherung 122 Namen f¨ ur geometrische Objekte 102 Napier, M. 120 Napoleon 5, 6 napoleonische Kriege 400 Naturale 125, 503 nat¨ urliche Zahlen 23, 42, 82, 176, 177, 230ff., 247, 248, 239, 247, 250, 524 Nave, A. dalla 396, 402, 420 Neapel 391f., 442 negative Gr¨ oßen 10, 607 — reelle Zahlen 10 — Wurzeln 510 — Zahlen 10, 92, 182, 186, 373, 418, 421, 422, 431, 445ff., 461, 479, 498ff., 509, 510, 606 negativer Wert 147 Nenner 410 Neper, J. 95f., 98, 118, 119, 120, 127, 136, 145, 150, 151, 378, 379ff., 503 Neper, R. 120, 124 Neujahrstag 319, 402 Neusch¨opfung von Zahlen 7 Newton, I. 515, 517 newtonsche Formeln 570 nicht archimedisch angeordneter K¨ orper 575 — — angeordneter Ring 257 574f. — negative ganze Zahlen 498 Niederlande 397 Niederl¨ andisch 104 nihil 148 Nikolaus V. 399 Nonius 446, 451 —, das Ger¨ at 449 Nordamerika 139 normaler Anfang 10, 13 Normalform von quadratischen Gleichungen 346

647 —gewichte 379 nota algoristica 451 Notation 457, 507 n-te Einheitswurzeln 524 — Potenz 216, 220, 222 — Wurzel 374, 519 Null, (s. a. das Nulla, die Nulle) 98f., 101, 104, 110, 126, 128, 346, 362, 365, 429, 445, 454, 456, 457, 459, 487, 502f., 509, 588, 596 — als Ergebnis 100 — — Exponent 460 — — L¨osung 358 — — Zahl 98f. — vor Dezimalpunkt 139 nulla 104, 110 Nullpolynom 541 Nullstelle 424, 509, 585, 607 Nullteiler 542 — in R[x] 543ff. numbers of augrym 105 numeri artificiales 124 — naturales 124 numerus 291 Nunes, P. 446 Nu˜ nez, P. 438, 445, 446, 448, 451, 456, 457, 464, 465, 467, 473, 477, 486, 488, 497, 502, 507, 509, 606 N¨ urnberg 438, 439, 447 Obere Schranke 11 Oberschelp, W. 375 Odysseus 533 Oinopidos von Chios 47 Ordinalzahl 248, 348, 410 Ordnung 11 Paar 522 Pacioli, L. 99, 101, 104, 110, 115, 233, 242, 398, 399, 401, 419, 420, 449, 456, 465ff., 472, 473 Padua 391 Palamedes 533 Palazzo Venetia 348 Papier 392, 398

648 Pappos 176 Paradoxien des Zenon 46 Parametrisierung mit Strecken 47 Paris 439 Parit¨ at 165 Parit¨ atskontrolle 166 Parmenides 46 Parry, J. H. 397 pars 150 Partialbruchzerlegung 608 partielle Subtraktion 499 Pascal, B. 243, 247, 523 pascalsches Dreieck 374, 580 Pasch, M. 58 Pavia 390, 391 Pazzi, A. M. 449 Peano, G. 236, 251f., 254, 556 Peano-Arithmetik 253 Peiffer & Dahan-Dalmedico 446 pellsche Gleichung 335 Permutationen 242 Perron, O. 336 Pest 149, 391 Petersen, H 419 Petrejus, Io. 438 Peurbach, G. 151 Peyrard, F. 5 Pferdewechsel 441 Philosoph aus Innsbruck 46 Philosophen 5, 111, 258, 299, 400, 480, 577 Physik 97 physikalische Br¨ uche 111, 117f., 150, 334, 451 π 42, 77, 221 Piazza del Popolo 348 Piccolomini 164 Pisa 106, 317, 318, 319 pissen 23 pi˜ u di meno 480 Pius V. 394 Pl¨ ucker, J. 336 Pl¨ underung von Brescia 388 Plagiat 474

Index Planierhammer 419 Platon 4, 5, 221, 226, 258, 263, 495, 496 platonische K¨ orper 257 Pluszeichen 147, 409, 410, 457 poids de ville 379 Polyeder 406 Polynom 445, 477, 498, 509, 510, 606 — ungeraden Grades 585 —funktionen 522 —ring 531ff., 539ff., 541, 542, 568, 589, 608 popolani 108 Poppenberg, G. 475 P¨ orsken, U. 103 Portugal 397, 451 Portugiesen 451 Portugiesisch 104 Positionssystem 111, 118, 374 Positivbereich 26, 577 positive rationale Zahlen 257 Post 440 Posten 441 ff. postieren 441 Postulat f¨ ur mat¨ urliche Zahlen 45, 177 Postwesen 442 Potenz 422, 455, 457, 477, 486 —, n-te 213 potenza 486 Potenzen, ihre Namen 456f., 486 Potenzregel 225, 457 Potenzsumme 563ff., 569 Prag 104, 439 Pr¨ amonstratenserorden 44 Primelement, Laurentreihen 566 —k¨ orper 596f. —zahl 163, 174, 466 —zahlcharakteristik 596 —zahlen, Anzahl der 222, 229f. —zahlsieb 496 Prinzipien der Mengenlehre 133 privater Briefverkehr 442 Probe, Division 460, 461, 464, 467

Index —, Subtraktion 459, 464 Problem der 36 Offiziere 335 Produkt 354 Programmierstil 495 Proklos 258 Prokloskommentar 46 proportio 24 Proportion 60 Proportionalit¨ at von Zahlen 174, 175 Proportionenlehre 20ff. — der nat¨ urlichen Zahlen 174, 176 Protestantismus 393 ptolem¨aische Theorie 400 Ptolemaios, K. 5, 45, 150, 151, 155, 292, 317 Pulver 393 Punkt ist keine Linie 2 P¨ unktcheninduktion 224, 245 Pythagoreer 21 pythagoreische K¨orper 577 — Lehre 3 pythagoreisches Tripel 274, 275, 276, 316 Quadrate 1, 3, 70ff., 175, 239, 240, 486, 573 quadratische Gleichung 345, 353, 454ff., 518, 522, 606 — Irrationalit¨ aten 47 Quadrattafel 276 Quadratur des Kreises 221, 402 Quadratwurzel 445, 498 —ziehen 360, 386 Quadratzahl 166, 174, 217f., 219f., 275, 314, 455, 534 quadrierbar 72ff., 75 quadriert die Summe zweier Medialer Ergebende 284 — kommensurabel 259 — Rationales plus Medialem Ergebende 284 quantifizieren 23, 42, 249, 253, 314 Quantoren 253 Queen Mary College 229

649 Quesiti 46, 388ff., 402, 413, 420, 437ff., 474 Quintilian 399, 467 Quotientenk¨ orper 255, 556ff., 575, 596 Rabdologia 98, 379 radicalis tabula 125 Radizierbarkeit 92 Raethicus, G. J. 149 R-Algebra 537 Ram´ee, P. de la 535 Rang-1-Gruppe 165, 211 Raniero Capocci 317 Rashed, R. 236 Rationale 259 rationale Funktionen 606, 608 — Gr¨ oßenbereiche 196ff., 201ff. — Strecke 82 — Zahl als Verh¨altnis 199f. — Zahlen 96, 165, 196ff., 255 rationaler Gr¨ oßenbereich 209, 211 Raum 46 Rechenbrett 98, 101, 110, 333, 487 —fertigkeit 480 –maschine 242 —meister 109 –operation 98 —pfennige 334 —praxis 133 —regeln 26, 521 —schieber 96 —steine 165, 166, 333, 342 —technik 95 rechnen 104, 111, 126, 127 — auf den Linien 101 — mit Br¨ uchen 151 — — nat¨ urlichen Zahlen 177 — — Polynomen 455 — — Proportionen 47ff., 133, 246 — — Ungleichungen 127f., 476 Rechner 143 Rechnungsb¨ ucher 109 Rechtecke 72

650 rechter Winkel 121, 495 Rechtsaufsicht 108 rechtsl¨aufige Schreibweise 99 Rechtsschutz 440 Rechtsteiler 176 reell abgeschlossener K¨ orper 515 reelle Zahlen 14, 21, 42, 78ff., 133, 151, 255, 361, 515, 518, 521, 524, 583 Reformation 398 Regiomontanus, J. 150ff., 398, 447f., 505 regul¨ are n-Ecke 47 regul¨ ares F¨ unfeck 4, 47, 69 — F¨ unfzehneck 47 — Siebzehneck 47 — Zehneck 47 regula falsi 369 Reinaud, J. 340 reine Gleichung 488, 489, 522 ¨ 111, 136, 147, Reinhold, E., d. A. 148, 149, 150, 505 Reinhold, E., d. J. 148 rein pflanzlich 397 Reisch, G. 83, 111, 233, 334, 398 Rekord 232 Rekursion 239ff., 335, 367, 373, 509, 523 Rekursionsregel 249, 374 —satz 248, 249f., 254 rekursiv erzeugt 541 rekursive Erzeugung der elementarsymmetrischen Funktionen 545 remanet 100 Renaissance 400, 442 Residuum 480 Resolvente 490, 493 Reuleaux, F. 242 reuleauxsches Dreieck 242 rewrite rules 381 Reynoud, A.-A.-L. 186 Rezisum 313 rheinische Frohnatur 166 rhetorische Algebra 342

Index Ries, A. 99, 101, 110, 350, 447 Ring der formalen Potenzreihen 568, 575 — — ganzen Zahlen 92, 94, 556 — — symmmetrischen Polynome 545 Riordan, J. 534 Robert von Chester 331, 332, 345, 357f. Robustheit der Mathematik 350 Roche, E. de la 501 Rom 348, 379, 449 Roman de la rose 340 R¨omerzinszahl 319 r¨ omische Ziffern 103, 110, 485 Rose, P. L 389, 393, 394, 400, 473 Rosen, F. 331 Rosser, J. B. 607 R¨ uckw¨artssubstituieren 183, 335, 542, 589 Rudin, W. 7 Rufini, P. 449 Ruska, J. 342 Russel, B. A. W. 251 Russland 453 Saalfeld 149 Sacco bei Padua 392 Sacrobosco, J. de 355 Sahara 396 Saiteninstrumente 61 Salat 473 Salmon, G. 572 Salzsteuer 106 Santo Spirito 398 San Yuste 400 Satz von der eindeutigen Lesbarkeit 522 — — — eindeutigen Primfaktorzerlegung 168, 169, 194, 207, 222, 225f. — — — oberen Grenze 14, 78, 96 — — Nu˜ nez 468, 607 — — Pontrijagin 583 — — Pythagoras 1, 2, 70, 152, 153 — — Thales 146, 157

Index — — Waring 552, 560, 589 scacchiae abacus 383 Sch¨ onheit 110 Sch¨ opsdau, K. 226 Sch¨ ulermitschriften 5 Schachbrett 383 Schaltjahr 6 Schattenzeiger 386 Scheitern 320 Scheja, G. 543 Schepp, A. 9 Scheubel, Scheybl 345, 374 Schieblehre 449 Schiefe der Ekliptik 47 Schiefertafel 484 Schießpulver 389 Schiller, F. 164 schisare 487 schisatore 466 schlagen 418 Schlagen der Stunde 164 Schleiermacher, F. D. E. 4 Schlesinger, L. 82 Schl¨ ussel 102 Schmidt, J. 10 Schneider, I. 35 Schnitt 8 — in R 10 Scholz, E. 176, 446 Schrader, M. W. R. 44, 345 Schranke 126, 127 — f¨ ur die Nullstellen 517 — von Lam´e 183ff. Schreiber, P. 4, 22, 228, 446 Schreibgriffel 392 —schule 388 —weise 114 Schreyber, H. 448 schriftliche Division 466, 488 schriftliches Rechnen 97, 98, 101, 483, 486 Schule 5, 96, 292, 339, 345 Schwarz, M. 396 schwarzw¨alder Baursleut 166

651 Schwur 474 scientia nuova de artegliarie 406, 407 scrupulus 111 Sebastian Landesberger 104 sechste Binomiale 290 sechstehalb 375 Seeweg um Afrika 396 Segovia 345 Sehnentafel 150, 151 Seibt, F. 104 Seite 164, 174 Sekans 119, 379, 503, 505 Sekund¨ arliteratur 136 Sekunde 111 Sekundzahl 163 Sexagesimalbr¨ uche 334, 365 Shallit, J. 186 Siebeneck 401 Sierra Leone 396 Simplicissimus 166 Sinus 119, 121, 124, 379, 503 sinus totus 121, 128, 151, 157 — versus 153 Sinustafel 149, 150, 151, 505 Sizilien 97, 317 Skolem, Th. 254, 607 Smith, D. E. 446 Sokrates 4, 263 Sonderfall 581 Sonnenburg 183 Sonnenuhr 386 Sowjets 453 Spanien 97, 392, 397, 440, 447 Spanier 343 Spanisch 104 Speicherplatz 183 Spiegelritter 343, 344 Spiegelung der Nullstellen 359 Spivac, M. 7 Sprache Dantes 448 —, deutsche 148 —, englische 106 —, lateinische 106 Sprossenradmaschine 242

652 SS. Giovanni e Paolo 412 Staat 442 St¨ adte 439 Stafettenpost 442 Standort Deutschland 6 Statuti dell’arte del cambio 106 Staub 334 Staubtafel 333, 334 Staudt, C. G. Ch. von 97 Steckenpferd 316 Steinitz, E. 97, 211, 255, 256, 556, 558, 596 Stelle 99 Stephanus 6 Stephanus, H. 4 stetige Proportion 123, 212 Stetigkeit 257, 525 Stevin, S. 115ff., 127, 477 St. Gereon zu K¨ oln 165 Stifel, M. 374f., 421, 448, 456, 457, 464, 477, 486, 606 Stilbruch 3, 251, 253, 254 Stoiker 46 Storch, U. 543 Strafe 107 Strange, J. 165 Strecke 1, 120, 122, 146 — gleich Zahl 148 Struik, D. J. 108 Stundenp¨ asse 443 Sturm, J. C. F. 525 sturmsche Ketten 516 Subtraktion 459 — von Polynomen 458 Summa de arithmetica etc. 99, 447 Summand 244 Summe 244 suo creato 421 Supremum 11 surdisch 293, 512 surdus 293 Swift, J. 349 Sylvester II. 333 Symbol f¨ ur die Ableitung 604, 609

Index Symbolik 409 Symmetrie 358 symmetrische Funktionen 533 — Gruppe 544 — Polynome 544, 547 Sympathie 390 Syphilis 392f. System 247 ´ 3, 4, 24, 25, 45, 46, 70, Szab´ o, A. 164, 178, 189 Tabula 333f. — dealbata 333 Tal der Adda 443 Tangens 119, 379, 503, 505 Tangenstafel 505 tanto 486 Tartaglia, N. 42, 98, 115, 148, 374, 375, 378, 387ff. 390, 400ff., 426, 445, 449, 456, 465, 473, 476, 406 —, Streit 474f. Tartaglias Gedicht 414ff., 474, 475, 477 — Vater 439 tartagliasches Dreieck 375 Taschenrechner 96 Tassis 442 taxische Post 443 Taxis 442, 443 Taylor, B. 609 Teilbarkeitslehre 174ff. Teil einer Zahl 163 teilen durch 2, 20, etc. 128 Teiler 176 — in [X] 535 teilerfremde Polynome 590 Teilk¨ orper der max. abelschen Erw. von Q 211 —ordnung 11 Telemachos 533 Tel 410 Term 253 termini numerales 126

Index Tertianeralgorithmus 361, 366, 368, 387 Terzen 111 Testament Tartaglias 390 Teubnerverlag 9 Teufelszeug 106 Thaer, C. 1, 2, 177, 192f., 219, 224 Theaitetos 4, 70, 315 Theodoros 4, 70 Theon von Alexandria 5, 150, 151, 361 Th´eor`eme de d’Alembert 588 Tochter der Armut 388 Toepler, A. J. I. 242 Tolkien, J. R. R 105 Tom Jones 441 Ton 61 Tonini da Coi, Z. di 402 Tonos 61 T¨opfer 173 Topologie 566 topologische Feinheiten 530 Toscana 106 Tr¨ ager 531, 537 Transformation 424, 511 Transitivit¨ at der Gleichheitsrelation 29 — — Verh¨altnisgleichheit 190 Transversalensatz des Menelaos 45 Transversalteilung 451 Transzendenz von π 221 triangolo di Tartaglia 375 triangulieren 72 Trigonometrie 119 trigonometrische Funktionen 516, 517 — Rechnung 503 Troiano, C. 475 Tropfke, J. 83, 106, 361, 374, 446 tropisches Jahr 111, 149 Tschirnhausentransformation 418 Turing, A. 340, 607 T¨ urken 394 Tycho Brahe 149 tychonisches Lineal 452

653 ¨ Ubertrag 115, 332 Uhr 392, 399f. Umar Khayyam 320, 401 Umbrien 106 Umgangssprache 24 Unbestimmte 456, 533, 539, 589 Underweysung 101 Unendliche, das 236 Unentscheidbarkeit 342 Ungebildete 100 ungeheuer 367 ungerade Zahlen 1, 164, 240 ungesalzenes Brot 106 Ungleichung 33, 157, 285 — zwischen geom. und arithm. Mittel 375 Universit¨ at von Bologna 393, 395 — — Padua 391 — — Pavia 393 Universit¨ aten 439 Unteilbarkeitsdogma 178 untere Schranke 11 Untermonoid 531 Unterricht in Mathematik 519 unvollkommene K¨ orper 597 Ursprung aller Zahlen 98 Usbekhistan 331 Vacca, G. 224 Vandermonde, T. A. 548 Variable 114 Vatikan 106, 394 vatikanische Bibliothek 5, 100, 449 vendetta 108 Venedig 109, 389, 402, 437, 439, 442 verbindliche Definition der n-ten Wurzel 519 verdoppeln 362 Verdoppelung des W¨ urfels 401 Vergerio, P. P. 467 vergleichbar 11 Vergleichbarkeit von Gr¨ oßen 22 Verh¨ altnis 1, 2, 24 — als rationale Zahl 199f.

654 Verh¨ altniszahl 96 Vernier, P. 450 Veronese, G. 574 verschl¨ usseln 102 Vielecke 72 Vielfachheit 514, 515, 516, 526, 580, 607 vierte Binomiale 290 — Proportionale 23, 43, 53, 71, 77ff., 86 viertehalb 348, 349 vietascher Wurzelsatz 508, 509, 516, 530, 545, 607 Vi`ete, F. 111, 149, 507ff., 579, 607 Villa do Infante 396 Vincent, B. 120 Visconti, Gian Galeazzo 391 Vitruv 495, 496 Vogt, J. 103 Vokabular 345 vollfreie Variable 253 vollkommene Zahlen 3, 163, 164, 166ff., 170ff. vollkommener K¨ orper 596, 597 Vollrath, H.-J. 294 vollst¨andige Induktion 170, 177, 178, 179, 182, 191, 194, 212, 214, 224, 236ff. von Wolff, Chr. 99 Vorderindien 397 Vorg¨anger 249 Vorlesungen 5, 390 Vorlesungsmitschriften 5 Vorw¨artssubstitution 183 Vorzeichen 458 — komplexer Zahlen 480 Waage 378 Wachstafel 333, 392 Waerden, B. L. van der 24, 315 wahre Zahlen 495 Wahrheitswert 229 Wallensteintrilogie 164 Wallis, J. 519

Index Warenaustausch 440 Waring, E. 548, 549 waringscher Satz 608 Wattenbach 334 Weber, H. 7, 78, 84, 10, 43, 515, 530, 556, 596 Wechselwegnahme 22, 23, 178, 336, 466 Weierstraß, K. 9 Weimar 164 Weltumsegelung 397 Werimbold 165 Werk u ¨ ber Buchhaltung 106, 107 Werkvertrag 439 Wessel, C. 519 Wettstreit 402, 420 Widerspruchsbeweis 1, 46, 75 Widmann, J. 410 Widmungen 317 Wien 439 Wind 534 Winkel 119, 121, 122, 145 Winkelfunktionen 119 —summe im Dreieck 146, 154 Wirt 440 Wissenschaft der Mathematik 45 wissenschaftliches Rechnen 150 Wittenberg 149 Witz 125, 127 Wochenmarkt 378 Wolf Blum 110 Wolf, K. 379, 443 Wolff, Chr. 101, 343 Wormser Joch 443 Wort 24 Wright, E. 120 Wundarzt 344f. W¨ urfel 375 w¨ urfelig 406 W¨ urfelverdopplung 221f. Wurzel 239 320, 510, 580 — aus Binomialen 299ff. Wurzelzeichen 409 Wurzelziehen 151

Index Wußing, H. 106, 446 Wut 421 Zahl 1, 2, 103, 120, 122, 146, 165, 232, 353, 459 Zahl als Strecke 275 — aus Einheiten 353, 524, 580 —, Bedeutung von 174 —, Definition der 163 Zahlbegriff 2, 83f., 98, 282, 290, 292f., 322, 355, 453 — bei den Griechen 20 Z¨ahlen 248 Zahlen mit Maß 466 — sind Strichlisten 164 Z¨ahlung der Ziffern 99 Zahlungsbedingungen 388 Zahlzeichen 101 Zambelli, J. di 402 Zehneck 155 Zehner 99 —potenzen 362 Zeichenketten 102 Zeichenregel 353f., 459, 463ff., 480, 498 Zeichenwechsel 512ff. Zenon 46 zenonische Paradoxien 46 zephirum 98, 100, 362 Zerf¨ allungsk¨ orper 588, 608

655 Zermelo, E. 97 zero 104 Ziel der Algebra 453f., 468 zifera 102 Ziffer (s. a. ciffra) 97ff., 103, 107, 110, 117, 126, 128, 451, 454, 503 — im Sinne von Rechnen 100 — — — von Zahl 102 Zifferblatt 103 Zins und Kirche 115 Zinseszins 115 Zinsverbot 440 —zahl 390 Zirkel und Lineal 314, 512 Zitate 426 Zucchecta, F. 398 Z¨ urich 7 zusammengesetzte Zahl 164, 166 zusammengesetztes Verh¨altnis 60 — von Verh¨ altnissen 90, 214f. Zweideutigkeit der Sprache 251 Zweierpotenzen 379 —progression 378f. zweite Bimediale 283, 290 — L¨osung 348 zweiter gaußscher Beweis 572 zweith¨ ochster Term 511 zyklische Gruppe 165