Vjerojatnost i statistika - Slučajne varijable

Neven Elezovi´c Redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike i raˇcunarstva Zavod za primijenjenu matematiku VJEROJATNOST...

Author: Neven Elezović

97 downloads 1338 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Neven Elezovi´c Redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike i raˇcunarstva Zavod za primijenjenu matematiku

VJEROJATNOST I STATISTIKA Sluˇcajne varijable

0. izdanje

Zagreb, 2007

c Prof. dr. sc. Neven Elezovi´c, 2007.

Urednik Sandra Graˇcan, dipl. inˇz.

Nakladnik Element, Zagreb

Lektorica Dunja Vujec, prof.

Dizajn ovitka Edo Kadi´c

Tisak Element, Zagreb

Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnaˇzati na bilo koji naˇcin, bez pismenog dopuˇstenja nakladnika

ˇ SADRZAJ

5. Neprekinute sluˇcajne varijable . . . . . . . . . . . . 5.1. Sluˇcajne varijable i razdiobe . . . . . . . . . 5.2. Funkcije neprekinutih sluˇcajnih varijabli 5.3. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

. . . . .

1 1 16 21 28

6. Primjeri neprekinutih razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Eksponencijalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Normalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Raˇcunanje razdiobe i kvantila normalne sluˇcajne varijable . . 6.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. ..

. . . . . .

33 33 39 49 54 56

7. Sluˇcajni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Sluˇcajni vektori, razdiobe i gusto´ce . . . . 7.2. Uvjetne razdiobe. Uvjetno oˇcekivanje . . 7.3. Dvodimenzionalna normalna razdioba . . 7.3. Viˇsedimenzionalna normalna razdioba . . 7.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

. . . . . . .

60 60 69 72 78 83 86

8. Funkcije sluˇcajnih vektora . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Funkcije neprekinutih sluˇcajnih vektora . 8.2. Razdiobe izvedene iz normalne . . . . . . . 8.3. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

. 91 . 91 . 100 . 108 . 114

9. Zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . 9.1. Zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije 9.3. Centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. ..

. . . . . .

119 119 126 129 132 134

Odgovori i rjeˇsenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Tablica normalne razdiobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.

Neprekinute slucˇ ajne varijable 1. 2. 3. 4.

Sluˇcajne varijable i razdiobe . . . . . . . . Funkcije neprekinutih sluˇcajnih varijabli . Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 1 . 16 . 21 . 28

5.1. Slucˇ ajne varijable i razdiobe U ovom c´emo poglavlju prouˇcavati sluˇcajne varijable kojima je skup vrijednosti interval (ograniˇcen ili ne) u skupu realnih brojeva. Takve sluˇcajne varijable mogu poprimiti svaku vrijednost unutar tog intervala. S obzirom da mogu´cih vrijednosti ima neprebrojivo mnogo, vjerojatnost realizacije svake od njih redovito c´e biti jednaka nuli. Po tome se ovakve sluˇcajne varijable razlikuju od diskretnih, gdje je takva vjerojatnost bila pozitivan broj. Pri prouˇcavanju neprekinutih sluˇcajnih varijabli koristimo se aparatom matematiˇcke analize. Nizove brojeva koji zadaju razdiobu zamijenit c´e realna funkcija, umjesto suma koristit c´emo tehnike integralnog i diferencijalnog raˇcuna. Posebice, efikasno sredstvo u teorijskom i praktiˇcnom pogledu cˇinit c´e Fourierova i Laplaceova transformacija.

Sluˇcajna varijabla

Zapoˇcnimo s definicijom, koja se minimalno razlikuje od definicije diskretne slucˇajne varijable, a u sebi ukljuˇcuje i tu vrstu sluˇcajnih varijabli. Sluˇcajne varijable i funkcija razdiobe

Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Preslikavanje X : Ω → R nazivamo sluˇcajna varijabla ako je za svaki x ∈ R skup Ax = {ω ∈ Ω : X(ω ) < x} - dakle element algebre F . dogadaj, Skup {ω ∈ Ω : X(ω ) < x} oznaˇcavat c´emo kra´ce sa {X < x} . Funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X je funkcija F : R → [0, 1] definirana formulom F(x) := P ({X < x}). (5.1) 1

2

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Funkcija razdiobe (i njezina derivacija) bit c´e najvaˇzniji pojam vezan uz sluˇcajnu varijablu. Poznavanjem funkcije razdiobe, moˇzemo u potpunosti opisati pripadnu sluˇcajnu varijablu. Upoznajmo se odmah s osnovnim svojstvima funkcije razdiobe. Funkcija razdiobe Teorem 5.1. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X . Ona posjeduje svojstva: 1◦ P ({x1 X < x2 }) = F(x2 ) − F(x1 ) , 2◦ F je neopadaju´ca: x1 < x2 =⇒ F(x1 ) F(x2 ) , 3◦ lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1 , x→−∞

x→∞

4◦ F je neprekinuta slijeva: F(x − 0) := lim F(x − ε ) = F(x), ε ↓0

∀x ∈ R.

Dokaz. 1◦ Neka je x1 < x2 . Onda vrijedi F(x2 ) = P ({X < x2 }) = P ({X < x1 } ∪ {x1 X < x2 }) = P ({X < x1 }) + P ({x1 X < x2 }) = F(x1 ) + P ({x1 X < x2 }). 2◦ Neka je ponovo x1 < x2 . Kako vrijedi {X < x1 } ⊂ {X < x2 } , tvrdnja slijedi zbog monotonosti vjerojatnosti. 3◦ Neka je (xn ) po volji odabran padaju´ci niz realnih brojeva, limn→∞ xn = −∞ . Oznaˇcimo An = {X < xn } . Onda su An padaju´ci skupovi: A1 ⊃ A2 ⊃ . . . i vrijedi ∩∞ n=1 An = ∅ . Zato je, zbog svojstva neprekinutosti vjerojatnosti, lim F(x) = lim F(xn ) = lim P (An ) = 0.

x→−∞

n→∞

n→∞

Druga se tvrdnja dokazuje na isti naˇcin. 4◦ Tvrdnja ponovo slijedi iz neprekinutosti vjerojatnosti. Naime, ako je (εn ) niz pozitivnih brojeva koji opada prema nuli, onda je s An = {X < x − εn } definiran rastu´ci niz skupova za koji vrijedi ∪∞ n=1 An = {X < x} pa tvrdnja slijedi zbog neprekinutosti vjerojatnosti: F(x − 0) = lim F(x − ε ) = lim F(x − εn ) ε ↓0

n→∞

= lim P (An ) = P (A) = F(x), n→∞

∀x ∈ R.

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

3

I RAZDIOBE

F

F 1

F

1

1

x

x

x

Sl. 5.1. Graf funkcija razdioba nekih sluˇcajnih varijabli. Koja se svojstva tih varijabli mogu oˇcitati iz ovog grafa?

1 4

,

1 2

Primjer 5.1. Sluˇcajna varijabla X uzima vrijednosti −1 , 0 , 1 s vjerojatnostima

,

1 4

redom. Odredimo funkciju razdiobe varijable X i nacrtajmo njezin graf.

- {X < x} ima vjerojatnost 0 te je F(x) = 0 za Ako je x −1 , tada dogadaj takve x . Za −1 < x 0 vrijedi P (X < x) = P (X = −1) =

1 4

Za 0 < x 1 vrijedi P (X < x) = P (X = −1) + P (X = 0) =

1 4

+

1 2

=

3 4

itd. Tako dobivamo ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1, 4 F(x) = ⎪ 3, ⎪ ⎪ ⎩ 4 1,

6

b

b

r

y

x −1, −1 < x 0,

1

0 < x 1, 1 < x.

b

r

r

1

1

x

Sl. 5.2.

∗∗∗ Op´cenito, funkcija razdiobe diskretne sluˇcajne varijable sa zakonom x1 x2 x3 · · · X∼ p1 p2 p3 · · · je stepenasta funkcija sa skokovima u toˇckama x1 , x2 ,. . . . Iznosi skokova su vjerojatnosti p1 , p2 ,. . . .

4

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Sl. 5.3. Graf funkcije razdiobe diskretne sluˇcajne varijable je stepenasta funkcija. U toˇckama prekida neprekinuta je slijeva. Iznos skokova jednak je vjerojatnosti s kojom sluˇcajna varijabla poprima vrijednost u toj toˇcki.

∗∗∗ Neprekinute sluˇcajne varijable

Upoznat c´emo sada drugu vaˇznu klasu sluˇcajnih varijabli. Neprekinute sluˇcajne varijable. Gusto´ca razdiobe

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da je neprekinuta (kontinuirana) ako postoji nenegativna funkcija f : R → R takva da vrijedi x F(x) = f (t)dt. (5.2) −∞

Funkcija f naziva se gusto´ca razdiobe vjerojatnosti sluˇcajne varijable X . Ona nije nuˇzno neprekinuta, no u toˇckama neprekinutosti od f vrijedi dF(x) f (x) = . (5.3) dx

Dakako, funkcija razdiobe neprekinute sluˇcajne varijable je i sama neprekinuta, jer je to funkcija gornje granice integrala. Zato vrijedi P (X = x) = F(x+0)−F(x) = 0 za - {x1 < X < x2 } , {x1 X < x2 } , {x1 < X x2 } , svaki x ∈ R . Stoga su i svi dogadaji {x1 X x2 } jednako vjerojatni. Njihova se vjerojatnost raˇcuna na naˇcin x2 f (t)dt. (5.4) P (x1 < X < x2 ) = F(x2 ) − F(x1 ) = x1

Funkcija gusto´ce pozitivna je funkcija s integralom ∞ f (x)dx = 1. −∞

Slika prikazuje neku funkciju razdiobe i pripadnu gusto´cu

(5.5)

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

5

I RAZDIOBE

F

F

1

1 F(b)-F(a) a

a

b

b

Sl. 5.4. Razlika vrijednosti funkcije razdiobe jednaka je vjerojatnosti da sluˇcajna varijabla X poprimi vrijednost u tom intervalu. Kod funkcije gusto´ce ta je vjerojatnost predoˇcena povrˇsinom ispod grafa funkcije.

Znamo da je funkcija razdiobe neopadaju´ca funkcija s vrijednostima unutar intervala [0, 1] . Stoga c´emo neke formule zapisivati u skra´cenom obliku. Tako npr. umjesto zapisa ⎧ x 0, ⎨ 0, F(x) = x, 0 < x < 1, ⎩ 1, 1 x, pisat c´emo kratko F(x) = x,

0 < x < 1,

jer je tada nuˇzno F(x) = 0 za x 0 i F(x) = 1 za x 1 . - ako gusto´cu razdiobe definiramo nekom formulom za x ∈ [a, b] , tada Takoder, smatramo da je van tog intervala po definiciji jednaka nuli. Na koncu, ako je funkcija F ili f definirana nekom formulom bez naznake podruˇcja definicije, tada c´e to redovito biti cˇitav R . Jednolika razdioba

Opiˇsimo sad jednostavnu, ali vrlo vaˇznu razdiobu. Prisjetimo se situacije koju smo imali kad je podruˇcje vrijednosti sluˇcajne varijable S = {x1 , . . . , xn } , bio diskretan skup. Sluˇcajna varijabla, koja je poprimala vrijednosti unutar S s jednakim vjerojatnostima, opisivala je pokus biranja na sre´cu elementa skupa S . Tad je vjerojatnost 1 njezine realizacije bila P (X = xk ) = , za svaki k = 1, . . . , n . n Jasno je da pove´canjem broja elemenata u skupu S ove vjerojatnosti teˇze k nuli. Ako je na primjer S skup prirodnih brojeva, moˇzemo postaviti pitanje: postoji li algoritam kojim bi, s jednakom vjerojatnoˇsc´u, birali neki prirodni broj. Odgovor na ovo vaˇzno pitanje je negativan, takav algoritam ne postoji. Naime, jasno je da bi vjerojatnost izbora svakog prirodnog broja morala biti jednaka nuli, pa je zbog svojstva σ -aditivnosti vjerojatnosti P i vjerojatnost izbora bilo kojeg podskupa skupa prirodnih brojeva jednaka nuli.

Pretpostavimo sad da je skup S interval [a, b] . Toˇcaka unutar tog intervala ima beskonaˇcno (neprebrojivo) mnogo. Zamislimo postupak odabira na sre´cu nekog broja unutar tog intervala.

6

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Na sre´cu odabrani broj. Jednolika razdioba

Kaˇzemo da biramo na sre´cu broj unutar intervala [a, b] ako je vjerojatnost da c´e on biti izabran unutar nekog podintervala proporcionalna duljini tog podintervala. Za sluˇcajnu varijablu koja uzima vrijednost ovako izabranog broja kaˇzemo da ima jednoliku (uniformnu) razdiobu na intervalu [a, b] .

Neka X oznaˇcava tu sluˇcajnu varijablu. Odredimo njezinu funkciju razdiobe. Prema definiciji, mora biti F(x) − F(a) = P (a X < x) = K(x − a). X uzima vrijednost unutar intervala [a, b] . Zato je P {X < a} = 0 = F(a), 1 = P {a X < b} = F(b) − F(a) = K(b − a), i odavde je K =

1 . Tako dobivamo: b−a

Jednolika razdioba, alternativna definicija, razdioba i gusto´ca

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da je jednoliko (uniformno) distribuirana na intervalu [a, b] , ako je zadana funkcijom razdiobe odnosno funkcijom gusto´ce: x−a F(x) = , a x b, b−a 1 , a x b. f (x) = b−a Piˇsemo X ∼ U(a, b) .

Grafovi funkcije gusto´ce i pripadne funkcije razdiobe izgledaju ovako:

6

6

f (x )

F (x )

1 1

b a

a

b

x

a

b

x

Sl. 5.5. Funkcija razdiobe jednolike razdiobe je afina na intervalu [a, b] . Gusto´ca jednolike razdiobe konstantna je na tom intervalu. Odatle i ime razdiobi.

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

7

I RAZDIOBE

Primjer 5.2. Dvije toˇcke odabrane su na sre´cu unutar duˇzine duljine 1 . Definiraj- njima. Odredi funkciju razdiobe varijable mo sluˇcajnu varijablu Z kao udaljenost medu Z.

Izbor dviju toˇcaka x i y unutar intervala [0, 1] ekvivalentan je izboru jedne toˇcke (x, y) unutar kvadrata [0, 1] × [0, 1] . Vrijednost koju sluˇcajna varijabla Z poprima, jednaka je Z = |x − y| . Varijabla Z uzima vrijednosti iz intervala [0, 1] . Pritom je |x − z| < z ⇐⇒ x − z < y < x + z. Zato c´e nejednakost |x − y| < z biti ispunjena kad se odabere toˇcka (x, y) unutar podruˇcja Gz . Zato je F(z) = P {Z < z} = m(Gz ) = 2z − z2 ,

0 z 1.

6

y =x +z

y

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .z . . . .

G

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

y =x z

. . . . . . . .

z

1

x

Sl. 5.6.

Nezavisnost sluˇcajnih varijabli

Pojam nezavisnosti sluˇcajnih varijabli upoznali smo za varijable diskretnog tipa. Tako smo ukazali i na kriterij nezavisnosti koji se provjerava preko marginalnih razdioba sluˇcajnog vektora. Analogne definicije i tvrdnje vrijedit c´e i za op´cenite sluˇcajne varijable. O tome c´e biti viˇse rijeˇci u nastavku. Za sada, zadovoljit c´emo se definicijom nezavisnosti, a kriterije i dodatna svojstva moramo odloˇziti do poglavlja o sluˇcajnim vektorima. Definicija nezavisnosti

Kaˇzemo da su sluˇcajne varijable X i Y nezavisne, ukoliko za sve intervale A , B iz skupa R vrijedi P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B).

Oˇcekivanje i disperzija

Neka je X neprekinuta s gusto´com f . Njezino oˇcekivanje definira se na naˇcin ∞ E(X) = x f (x)dx (5.6) −∞

Ako ovaj nepravi integral ne konvergira, oˇcekivanje ne postoji. Oznaˇcimo x = E(X) . Disperzija D(X) sluˇcajne varijable X raˇcuna se uz pomo´c formula: D(X) = E[(X − x)2 ] = E(X 2) − x2 . Dakle

∞

D(X) = −∞

2

(x − x) f (x)dx =

∞

−∞

x2 f (x)dx − x2 .

Od svojstava oˇcekivanja i disperzije izdvojit c´emo samo najvaˇznija:

(5.7)

8

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Svojstva oˇcekivanja i disperzije

Za sve sluˇcajne varijable X , Y i realne brojeve s , t vrijedi E(sX + tY) = sE(X) + tE(Y) (svojstvo linearnosti oˇcekivanja). Za disperziju pak vrijedi D(sX) = s2 D(X). Ako su X i Y nezavisne, onda vrijedi E(XY) = E(X)E(Y), D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Ova c´emo svojstva dokazati naknadno. ∗∗∗ Primjer 5.3. (Jednolika razdioba) Izraˇcunajmo oˇcekivanje i disperziju jednolike razdiobe. Promotrit c´emo najprije, jednostavnosti radi, jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Za nju je gusto´ca f (x) = 1 , pa imamo 1 1 x2 1 E(X) = x dx = = , 2 0 2 0 1 1 1 1 x2 1 1 1 2 x dx − = − = − = . D(X) = 4 2 0 4 3 4 12 0

Ako Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] , tada sluˇcajna varijabla Y −a X= b−a ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Obratno, ako X ima jednoliku razdiobu na [0, 1] , onda Y = (b − a)X + a ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] . Oˇcekivanje ove sluˇcajne varijable je E(Y) = E[(b − a)X + a] = (b − a)E(X) + a 1 a+b = (b − a) · + a = , 2 2 a njezina disperzija D(Y) = D[(b − a)X + a] = (b − a)2 D(X) =

(b − a)2 . 12

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

9

I RAZDIOBE

Primjer 5.4. Na sre´cu odabiremo toˇcku T unutar kvadrata stranice 2. Neka je vrijednost sluˇcajne varijable X najmanja od udaljenosti te toˇcke do stranica kvadrata. Odredimo funkciju razdiobe i oˇcekivanje od X .

Odredimo najprije funkciju razdiobe: F(x) = P {X < x} = P {T ∈ Gx } =

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .x . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

-

4 − (2 − 2x)2 m(Gx ) = m(S) 4

= 2x − x2 , 0 x 1. Gusto´ca razdiobe je f (x) = 2 − 2x, 0x1 te oˇcekivanje iznosi 1 1 x(2 − 2x)dx = . E(X) = 3 0

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . .

G

Sl. 5.7.

Primjer 5.5. Toˇcka se bira na sre´cu unutar polukruga polumjera r . Neka je X udaljenost toˇcke do promjera. Odredimo oˇcekivanje varijable X .

U ovom primjeru ne´cemo raˇcunati funkciju razdiobe, ve´c c´emo gusto´cu odrediti na temelju veze: F(x + Δx) − F(x) P (x < X < x + Δx) f (x) = F (x) = lim = lim . Δx→0 Δx→0 Δx Δx Za male Δx vrijedi stoga √ m(ΔS) . 2 r2 − x2 Δx . f (x)Δx = P (x < X < x + Δx) = . = 1 2 m(S) 2r π

ΔS

Sl. 5.8. Pri raˇcunanju povrˇsine ΔS , prugu debljine Δx moˇzemo aproksimirati pravokutnikom iste debljine. Pritom je uˇcinjena pogreˇska veliˇcine (Δx)2 , koja u limesu ne utjeˇce na funkciju f (x) .

x +Δx x

S

.. ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . ..... ..... ..... r ..... ..... . . . . .... ..... @C

Odavde dobivamo funkciju gusto´ce: 4 2 r − x2 , 0 x r. f (x) = 2 r π Sad moˇzemo izraˇcunati oˇcekivanje: r

r 4x 2 2 4r 2 E(X) = r − x dx = − 2 r2 − x2 d(r2 − x2 ) = . 2 r π 0 3π 0 r π

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

10

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Riemann-Stieltjesov integral

Neka je F : R → R monotono rastu´ca funkcija, neprekinuta slijeva. Neka je g : [a, b] → R ograniˇcena. Izaberimo bilo koju particiju P = {x0 , x1 , . . . , xn } intervala [a, b] , a = x0 < x1 < . . . < xn = b . Definirajmo integralnu sumu n g(˜xi )[F(xi ) − F(xi−1 )]. S(P, g, F) = i=1

Oznaˇcimo s Δ = max |xi − xi−1 | , Riemann-Stieltjesov integral, definicija

Kaˇzemo da je g Riemann-Stieltjes integrabilna u odnosu na F , ako postoji limes integralnih suma, neovisno o izboru particije i toˇcaka x˜i ∈ [xi−1 , xi ] . Taj limes nazivamo Riemann-Stieltjesov integral, a oznaˇcavamo na sljede´ci naˇcin: b g(x)dF(x) := lim S(P, g, F) a

Δ→0

Primijetimo da za F(x) = x Riemann-Stieltjesov integral postaje Riemannov integral. ∗∗∗ Sad c´emo dovesti u vezu Riemann-Stieltjesov i klasiˇcni Riemannov integral, za sˇ iroku klasu funkcija F vaˇznih u primjenama. Neka je F po dijelovima konstantna na intervalu [a, b] , sa skokom iznosa p u toˇcki c unutar tog intervala: r, xc F(x) = r + p, x > c

b Izraˇcunajmo a g(x)dF(x) , za neku funkciju g , neprekinutu na intervalu [a, b] .

Sl. 5.9.

Za bilo koju particiju vrijedi F(xi ) − F(xi−1 ) = 0 za svaki indeks i osim za onaj za koji je xi−1 c < xi , jer je funkcija F konstantna lijevo i desno od toˇcke c . Zato

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

11

I RAZDIOBE

u integralnoj sumi ostaje samo jedan cˇlan: S(P, g, F) = g(˜xi )[F(xi ) − F(xi−1 )] = g(˜xi ) · p U limesu, kad Δ → 0 , toˇcka x˜i teˇzi ka c . Zato je b g(x)dF(x) = g(c) · p. a

Op´cenito, ako F ima skokove iznosa pi u toˇckama ci , za njezin RiemannStieltjesov integral vrijedi b n g(x)dF(x) = g(ci ) · pi . a

i=1

∗∗∗ Neka je sad F neprekinuto diferencijabilna funkcija. Tad, po teoremu srednje vrijednosti imamo F(xi ) − F(xi−1 ) = F (ξi )(xi − xi−1 ) , za neku toˇcku ξi ∈ xi−1 , xi . Integralna suma glasi n g(˜xi )F (ξi )(xi − xi−1 ). i=1

Limes ove integralne sume oˇcito definira Riemannov integral b g(x)F (x)dx. a

Riemann-Stieltjesov integral, naˇcin raˇcunanja

Ako F ima skokove iznosa pi u toˇckama ci , za njezin Riemann-Stieltjesov integral vrijedi b n g(x)dF(x) = g(ci ) · pi . a

i=1

Ako je F neprekinuto diferencijabilna funkcija, onda vrijedi b b g(x)dF(x) = g(x)F (x)dx. a

a

Prema tome, koriˇstenjem Riemann-Stieltjesovog integrala mi c´emo istovremeno pokrivati obje vaˇzne klase sluˇcajnih varijabli, diskretne i neprekinute sluˇcajne varijable. Tako, na primjer, oˇcekivanje neke sluˇcajne varijable moˇzemo izraziti formulom ∞ x dF(x), E(X) = −∞

a disperziju

∞

D(X) = −∞

Integrali su Riemann-Stieltjesovi.

x2 dF(x) − E(X)2.

12

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Primjer 5.6. Izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable cˇ ija je funkcija razdiobe zada-

na slikom:

6

F (x )

1

a

3 4

q

1 2

a

1 4

q

0

1

2

x

Sl. 5.10.

Funkcija razdiobe glasi

⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 x, 4 F(x) = 1 ⎪ x + 14 , ⎪ ⎪ ⎩ 4 1,

x 0, 0 < x 1, 1 < x 2, 2 x.

1 4

u toˇckama x = 1 i x = 2 . Zato je ∞ E(X) = xdF(x)

F ima skokove iznosa

−∞ 1

x F (x)dx + 1 ·

= 0

=

0

1

x 1 dx + + 4 4

2

1

1 + 4

1

2

x F (x)dx + 2 ·

1 4

x 2 5 dx + = . 4 4 4

Karakteristiˇcna funkcija

Svakoj sluˇcajnoj varijabli X moˇzemo pridruˇziti karakteristiˇcnu funkciju. To je funkcija realnog argumenta s kompleksnim vrijednostima, ϑ : R → C zadana formulom ∞ ϑ (t) := E(eitX ) = eitx dF(x). (5.8) −∞

Osnovna svojstva karakteristiˇcne funkcije su - razdiobu: dvije razliˇcite razdi1◦ Karakteristiˇcna funkcija jednoznaˇcno odreduje obe ne mogu imati istu karakteristiˇcnu funkciju. 2◦ Ako su X1 , . . . , Xn nezavisne, tada je

ϑX1 +...+Xn (t) = ϑX1 (t) · . . . · ϑXn (t).

(5.9)

◦

3 Vrijedi formula E(X r ) =

ϑ (r) (0) , ir

r = 1, 2, . . .

(5.10)

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

13

I RAZDIOBE

ukoliko oˇcekivanje postoji. Specijalno, E(X) = −iϑ (0),

(5.11) D(X) = −ϑ (0) + ϑ (0)2 . Ako je ϑX karakteristiˇcna funkcija varijable X , tada varijabla Y = a + bX ima karakteristiˇcnu funkciju eita ϑX (bt). Primjer 5.7. Odredimo karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable jednoliko distribuirane na intervalu [a, b] .

1 Gusto´ca ove razdiobe je f (x) = , a x b . Stoga b−a ∞ b 1 eibt − e−iat ϑ (t) = eitx f (x)dx = eitx dx = . b−a (b − a)it −∞ a U sluˇcaju simetriˇcnog intervala [−a, a] , karakteristiˇcna funkcija postaje realna: eiat − e−iat sin at ϑ (t) = = . (a + a)it at ∗∗∗ Ako je X neprekinuta sluˇcajna varijabla, s gusto´com f , tada njezina karakteristiˇcna funkcija iznosi ∞ ϑ (t) = eitx f (x)dx. (5.12) −∞

To je upravo

∞ Fourierova transformacija funkcije f . Stoga c´e, ukoliko ϑ zadovoljava uvjet −∞ |ϑ (t)|dt < ∞ , vrijediti formula inverzije ∞ 1 ϑ (t)e−itx dt. (5.13) f (x) = 2π −∞ jom

Primjer 5.8. Odredi funkciju gusto´ce razdiobe odredene karakteristiˇcnom funkci-

ϑ (t) = e−|t| ,

t ∈ R.

- formulom Ova je funkcija apsolutno integrabilna, stoga c´e gusto´ca biti odredena inverzije (5.13) ∞ ∞ 1 1 −itx f (x) = e ϑ (t)dt = e−itx e−|t| dt 2π −∞ 2π −∞ 0 ∞ 1 = e−itx et dt + e−itx e−t dt 2π −∞ 0 (−ix+1)t 0 (−ix−1)t ∞ e 1 e + = 2π −ix + 1 −∞ −ix − 1 0 1 1 1 1 = + = . 2π −ix + 1 ix + 1 π (1 + x2 ) Razdioba s ovom gusto´com naziva se Cauchyjeva razdioba. Zbog jedinstvenosti, zakljuˇcujemo da je t → e−|t| karakteristiˇcna funkcija te razdiobe.

14

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Laplaceova transformacija

Karakteristiˇcna je funkcija Fourierova transformacija gusto´ce. Pri izboru transformacije gusto´ca pozitivne sluˇcajne varijable, moˇzemo koristiti i Laplaceovu transformaciju. Ako je F funkcija razdiobe pozitivne sluˇcajne varijable X , onda je njezin Laplace-Stieltjesov transformat ∞ f ∗ (s) = E(e−sX ) = e−sx dF(x) (5.14) 0

Ako je X neprekinuta s gusto´com f , onda je f ∗ uobiˇcajeni Laplaceov transformat funkcije f : ∞ ∗ f (s) = e−sx f (x)dx. (5.15) 0

Ako je pak X diskretna sluˇcajna varijabla koja uzima vrijednosti u skupu {0, 1, 2, . . .} , tad Laplace-Stieltjesov transformat glasi ∞ f ∗ (s) = e−sk pk = ψX (e−s ). (5.16) k=0

Dakle, u ovom se sluˇcaju Laplaceov transformat podudara kojoj je argument z zamijenjen s e−s . Derivacijom integrala po parametru dobivamo ∞ d ∗ (−x)e−sx dF(x) f (s) = ds 0 ∞ d2 ∗ f (s) = (−x)2 e−sx dF(x) ds2 0 .. . ∞ n d ∗ f (s) = (−x)n e−sx dF(x) dsn 0 Odavde, stavljaju´ci s = 0 , slijedi ∞ dn f ∗ (s) xn dF(x) = (−1)n E(X n) = dsn 0

s funkcijom izvodnice u

.

(5.17)

s=0

Singularne sluˇcajne varijable

Do sada smo promatrali diskretne i neprekinute sluˇcajne varijable. Spomenimo da uz njih postoji i tre´ca klasa tzv. singularnih sluˇcajnih varijabli, cˇija je funkcija razdiobe neprekinuta, no nemaju gusto´ce. Takva se funkcija ne moˇze napisati u obliku

x f (t)dt . Klasu singularnih sluˇcajnih varijabli ne susre´cemo u primjenama, jer se −∞ njihova funkcija razdiobe ne moˇze eksplicitno izraziti sluˇze´ci se samo ograniˇcenim brojem elementarnih funkcija (iskljuˇcimo li graniˇcne procese). Definirajmo na intervalu [0, 1] funkciju F1 (x) F1 (x) =

1 2

za

1 3

x 23 . F1 (0) = 0. F1 (1) = 1.

F1 je neprekinuta i afina na intervalima (0, 13 ), ( 23 , 1).

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

15

I RAZDIOBE

Graf funkcije F1 nacrtan je na slici:

6

F1 (x )

1 1 2

0

1 3

1

2 3

-

x

Sl. 5.11.

U drugom koraku svaki od intervala [0, 13 ] , [ 23 , 1] podijelimo na tri dijela i definiramo neprekinutu funkciju F2 : ⎧ 1 x ∈ [ 19 , 29 ], ⎪ ⎨ 4, 1 F2 (0) = 0. F2 (1) = 1. F2 (x) = x ∈ [ 13 , 23 ], 2, ⎪ ⎩ 3 x ∈ [ 79 , 89 ]. 4, Na ostalim intervalima definiramo F2 da bude neprekinuta i afina:

6

F2 (x )

1 3 4 1 2 1 4

0

1 9

2 9

3 9

6 9

7 9

8 9

1

-

x

Sl. 5.12.

Nastavimo ovaj postupak. Niz funkcija {Fn } teˇzit c´e ka funkciji F koja je neprekinuta, neopadaju´ca, s vrijednostima u [0, 1] . Pritom je F(0) = 0 , F(1) = 1 i F predstavlja funkciju razdiobe neke sluˇcajne varijable. Derivacija funkcije F jednaka je nuli svugdje gdje je F konstantna. Duljina takvih intervala se za svaku funkciju Fn pove´cava i iznosi 1 1 1 1 1 +2· +4· + ... = . = 1. 2 3 9 27 3 1− 3

x tj. F (x) = 0 skoro svuda i F se ne moˇze napisati u obliku −∞ f (t)dt . Stoga ne postoji gusto´ca ove razdiobe. ∗∗∗ Svaka se funkcija razdiobe F moˇze napisati u obliku F = p1 F1 + p2 F2 + p3 F3 , gdje je pk 0 , p1 + p2 + p3 = 1 , a F1 , F2 , F3 su redom funkcije razdioba diskretne, neprekinute i singularne sluˇcajne varijable.

16

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

5.2. Funkcije neprekinutih slucˇ ajnih varijabli Kompozicija sluˇcajne varijable X i realne funkcije ψ : R → R ponovo je sluˇcajna varijabla: Y = ψ (X) : Ω → R. - njezin zakon razdiobe za sluˇcaj kad je X diskretnog tipa. Nauˇcili smo kako se odreduje Neka je X neprekinuta sluˇcajna varijabla s gusto´com f i funkcijom razdiobe F . Traˇzimo gusto´cu g (ako postoji) i razdiobu G sluˇcajne varijable Y = ψ (X) . Imamo G(y) = P (Y < y) = P (ψ (X) < y) = P (X ∈ ψ −1 ( −∞, y )) = P (X ∈ Ay ). - {Y < y} ostvaruje se onda i samo onda kad se ostvaruje dogadaj Dakle, dogadaj −1 X ∈ Ay . Ovdje je ψ (A) oznaka za original skupa A :

ψ −1 (A) := {x ∈ R : ψ (x) ∈ A}.

6

y =ψ (x )

......... ........ .............. ..... .... .................. . . . . . . . y . . ... ..... . . .... . . ... . . . . . ...... ... .. ... . . . . . . . . . . . . .......................... ... .... ... . ... .. .. ... .. ... Ay .. .. . ψ 1 ((1 y ))=fx 2R:ψ (x )
6

6

(

1 y)

f g=PfX2A g

P Y
6

-

y

Sl. 5.13.

Primjer 5.9. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X . Odredimo funkciju razdiobe sluˇcajne varijable −X .

G(y) = P (Y < y) = P (X ∈ Ay ) = P (X > −y) = 1 − F(−y). Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da je simetriˇcna, ako su X i −X identiˇcno distribuirane. Tada vrijedi F(x) = FX (x) = F−X (x) = 1 − F(−x) i odavde deriviranjem f (x) = f (−x) . Gusto´ca razdiobe neprekinute simetriˇcne sluˇcajne varijable je parna funkcija.

@@ 6 @@ @@ @ y

y

Sl. 5.14.

Ay

5.2. FUNKCIJE

17

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VARIJABLI

∗∗∗ Ako je ψ monotono rastu´ca, tada je (slika 5.15) Ay = ψ −1 { −∞, y } = −∞, ψ −1 (y) = −∞, x . Odavde dobivamo G(y) = P (X ∈ Ay ) = P (X ∈ −∞, x ) = P (X < x) = F(x), d d dx dx g(y) = G(y) = F(x) · = f (x) . dy dx dy dy a)

6

6

b) .... y=ψ (x) .... .... .... .... ..... ..... y ...... .......... ................... ............................................

. ... . . . .... ..... . . . . . ........ y .......... . . . . . . . . . ............. .................. ........................ Ay =(

1 x)

y =ψ (x )

x =ψ

1

(y)

-

x =ψ

1

(y)

Ay =(x

1)

-

Sl. 5.15.

Za monotono padaju´cu funkciju ψ dobivamo (slika 5.15) Ay = ψ −1 { −∞, y } = ψ −1 (y), ∞ = x, ∞ , G(y) = P (X ∈ Ay ) = P (X ∈ x, ∞ ) = P (X > x) = 1 − F(x), d d dx dx g(y) = G(y) = [1 − F(x)] = −f (x) . dy dx dy dy U oba sluˇcaja se rezultat moˇze napisati istom formulom: Transformacija funkcije gusto´ce

Neka je Y = ψ (X) . Ako je funkcija ψ rastu´ca ili padaju´ca funkcija, onda vrijedi dx y = ψ (x), g(y) = f (x) , (5.1) dy tj. g(y) = f (ψ

−1

−1 dψ (y) . (y)) dy

Op´cenitije, ova formula vrijedi za svaku injektivnu funkciju ψ . Ukoliko je potrebno odrediti samo oˇcekivanje ili momente funkcije sluˇcajne varijable, tada nam nije potrebno raˇcunati njezinu gusto´cu. Umjesto toga, jednostavnije je primijeniti formulu: ∞ k k E(Y ) = E(ψ (X) ) = ψ (x)k f (x)dx. (5.2) −∞

18

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Primjer 5.10. (Cauchyjeva razdioba) Kroz toˇcku A(0, 1) povuˇcen je pravac koji sijeˇce os Ox u toˇcki B . Kut α sˇ to ga zatvara pravac s osi Oy je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu − π2 , π2 . Neka je X apscisa toˇcke B . Odredi funkciju gusto´ce varijable X .

Gusto´ca varijable α je 1 α ∈ − π2 , π2 . f (α ) = , π Vrijedi X = tg α , a funkcija tangens je injektivna (rastu´ca) na intervalu − π2 , π2 . Zato je gusto´ca varijable X dana sa dα 1 d(arc tg x) 1 g(x) = f (α ) = · = . dx π dx π (1 + x2 )

6 @@ @ @@ 1

A α

X

0

@@ B

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da ima Cauchyjevu razdiobu.

Sl. 5.16. Primjer 5.11. Sluˇcajna varijabla X ima Cauchyjevu razdiobu, s gusto´com

f (x) =

1 . π (1 + x2 )

Odredi gusto´cu i funkciju razdiobe sluˇcajne varijable A. Y = X 2 ; B. Y = 1/X . A. Funkcija razdiobe F varijable X je x 1 F(x) = du 2 −∞ π (1 + u ) 1 1 = + arc tg x. 2 π Zato imamo G(y) = P (Y < y) = P (X ∈ Ay ) √ √ = P (− y < X < y) √ √ 2 √ = F( y) − F(− y) = arc tg y, π 1 , y > 0. g(y) = √ π y(1 + y)

6

y =x 2

y

py 01

Ay

py-

Sl. 5.17.

y > 0,

I ovdje moˇzemo gusto´cu dobiti i na drugi naˇcin. Funkcija x → x2 je injektivna na intervalima −∞, 0 , 0, ∞ : dx 1 1 1 x < 0 : g1 (y) = f (x) = · √ = √ , y > 0, 2 dy π (1 + x ) 2 y 2π y(1 + y) dx 1 1 1 x > 0 : g2 (y) = f (x) = · √ = √ , y > 0, dy π (1 + x2 ) 2 y 2π y(1 + y) Funkcija g je zbroj ovih dviju funkcija 1 g(y) = g1 (y) + g2 (y) = √ , π y(1 + y)

y > 0.

5.2. FUNKCIJE

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VARIJABLI

1 b) Funkcija x → je injektivna, zato x dx 1 1 1 1 = · 2 = . g(y) = f (x) = 2 1 dy π (1 + x ) y π (1 + y2 ) π 1 + 2 y2 y 1 - Cauchyjevu razdiobu. ima takoder te i Y = X Primjer 5.12. Sluˇcajna varijabla X ima neprekinutu funkciju razdiobe F . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = F(X) . Y poprima vrijednosti unutar intervala [0, 1] . P (Y < y) = P (F(X) < y) = P (X < F −1 (y)) = F(F −1 (y)) = y. dakle, Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Modeliranje sluˇcajnih varijabli

Jedan od vaˇznijih naˇcina ispitivanja stohastiˇckih zakonitosti, naroˇcito u primjenama, jest njihovo modeliranje koje ostvarujemo generiranjem sluˇcajnih varijabli koje su ukljuˇcene u eksperiment. Pokazuje se da je u praksi dovoljno posjedovati generator sluˇcajnih brojeva, pomo´cu kojeg moˇzemo modelirati po volji odabranu razdiobu. Generator sluˇcajnih brojeva daje vrijednosti jednolike razdiobe na unaprijed odabranom intervalu (ili konacˇnom skupu). Postavlja se pitanje: kako c´emo pomo´cu generatora jednolike razdiobe dobiti vrijednosti bilo koje sluˇcajne varijable s poznatom razdiobom F ? Ovaj je problem obrnut od onog koji je rijeˇsen u prethodnom primjeru. Tamo smo poˇsavˇsi od varijable X s razdiobom F dobili sluˇcajnu varijablu U s jednolikom razdiobom. Funkcionalna veza ovih dviju varijabli je U = F(X) . To nam ukazuje da se obrnuti problem moˇze rijeˇsiti koriˇstenjem inverzne funkcije. Ako U ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] , tada bi sluˇcajna varijabla X definirana formulom X = F −1 (U) trebala imati razdiobu opisanu funkcijom razdiobe F. Uvjerimo se u to, najprije u jednostavnijem sluˇcaju kad funkcija F posjeduje inverz F −1 . S obzirom da je F neopadaju´ca funkcija, njezin c´e inverz postojati kad god sluˇcajna varijabla X nema atoma — toˇcaka s pozitivnom vjerojatnoˇsc´u. U tom je sluˇcaju P (X < x) = P (F −1 (U) < x) = P (U < F(x)) = F(x). Dakle, F je uistinu razdioba sluˇcajne varijable X . ∗∗∗

- opisati pomo´cu njezine Modeliranje diskretne sluˇcajne varijable moˇze se takoder funkcije razdiobe. Neka je x1 x2 . . . xn X∼ . p1 p2 . . . pn Pripadna funkcija raziobe ima sljede´ci graf:

19

20

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Sl. 5.18. Funkcija razdiobe diskretne sluˇcajne varijable.

Oblik ove funkcije govori na koji naˇcin treba generirati vrijednosti sluˇcajne varijable: interval [0, 1] treba podijeliti na dijelove I1 , I2 , . . . , In kojima su duljine proporcionalne vjerojatnostima p1 , p2 , . . . , pn . Ako jednolika razdioba poprimi vrijednost unutar intervala Ij , tada za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo xj .

Sl. 5.19. Generiranje diskretne sluˇcajne varijable

Ovaj se postupak moˇze matematiˇcki opisati pomo´cu poop´cene inverzne funkcije. Neka je G∗ (u) = inf{x | F(x) > u},

0 u < 1.

Tada X = G∗ (U) ima razdiobu opisanu funkcijom F . Ako F ima inverznu funkciju, onda je G∗ = F −1 . Ako F ima skok u toˇcki xj , iznosa pj , tada je funkcija G konstantna na intervalu Ij duljine pj , a njezina vrijednost na tom intervalu iznosi xj . Na sljede´coj slici nacrtan je graf funkcije razdiobe sluˇcajne varijable X koja poprima tri diskretne vrijednosti, te graf funkcije G kojom se ta sluˇcajna varijabla moˇze generirati iz jednolike razdiobe.

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

21

Sl. 5.20. Graf funkcije razdiobe F i njezinog poop´cenog inverza G∗ .

5.3. Rijeˇseni zadatci Zadatak 5.1. Unutar kvadrata ABCD stranice a na sre´cu se bira toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost tako odabrane toˇcke od vrha A . Izraˇcunaj pripadnu funkciju razdiobe FX .

Oznaˇcimo zadani kvadrat sa S , m(S) = a2 . Vrijedi FX (x) = P (X < x) =

m(Gx ) m(Gx ) . = m(S) a2

Razlikujemo dva sluˇcaja. ....... 1) 0 x a . Tada je podruˇcje Gx cˇetvrtina kruga ...... ...... ..... ..... .... i vrijedi m(Gx ) = 14 x2 π . .... .... √ Gx ... ... ... 2) a x a 2 . Tada je podruˇcje Gx sastavljeno ... x ... . od dva trokuta i kruˇznog isjeˇcka. Neka je α kut tog x p isjeˇcka, α = π /2 − 2β (slika 5.21). Vrijedi x2 π a a β α =⇒ α = − 2 arc cos . cos β = β x 2 x a Zato Sl. 5.21.

1 π a − 2 arc cos . m(Gx ) = a x2 − a2 + x2 2 2 x

p

Tako dobivamo

⎧ π 2 ⎪ ⎪ ⎨ 4a2 x , FX (x) = x 2 π x2 a ⎪ ⎪ ⎩ − 1 + 2 x2 − 2 arc cos , a 4a a x

0 x a, √ a x a 2.

a2

22

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Zadatak 5.2. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe

−1 x 0, 0 x 1.

x + 1, 1 − x,

f (x) =

Napiˇsi funkciju razdiobe od X . Izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju varijable X . Funkciju razdiobe raˇcunamo po formuli x f (t)dt. F(x) = −∞

Ako je x 0 , integral glasi

x

F(x) = −1

Specijalno, F(0) =

(t + 1)dt = 12 (x + 1)2 .

1 2

. Za 0 x 1 imamo x F(x) = F(0) + (1 − t)dt = 1 − 12 (1 − x)2 . 0

∞

xf (x)dx =

E(X) = −∞

2

0 −1

0

2

x (x + 1)dx +

D(X) = E(X ) =

1

x(x + 1)dx +

−1

0

0 1

x(1 − x)dx = 0,

x2 (1 − x)dx =

1 . 6

Zadatak 5.3. Neprekinuta sluˇcajna varijabla zadana je gusto´com

π π <x< . 4 4 - {0 < X < π } . Odredi konstantu C, funkciju razdiobe F i vjerojatnost dogadaja 8 −

f (x) = C cos 2x,

Konstantu C odredujemo iz uvjeta π /4 ∞ π /4 1 1= f (x)dx = C cos 2x dx = C 2 sin 2x = C. −π /4

−∞

−π /4

Funkcija razdiobe jednaka je nuli za x < vrijedi x x F(x) = f (t)dt = −∞

− π4

−π /4

, jedinici za x >

π 4

. Za x ∈ − π4 , π4

cos 2t dt = 12 (sin 2x + 1).

Vjerojatnost dogadaja {0 < X < π8 } moˇzemo izraˇcunati pomo´cu funkcije razdiobe √ π π 2 = F( ) − F(0) = P 0<X< . 8 8 4

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

23

Zadatak 5.4. Unutar pravokutnika S = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 1} na sre´cu je odabrana toˇcka s koordinatama (X, Y) . Definirajmo sluˇcajnu varijablu Z = max{X, Y} . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe od Z te izraˇcunaj vjerojatnost - {Z 1 } . dogadaja 2

Vrijedi

m(G) P (X, Y) ∈ G = = 12 m(G) m(S)

jer se toˇcka (X, Y) bira na sre´cu u podruˇcju S . Zavisno od toga da li je z 1 ili 1 < z 2 skup G c´e imati razliˇcite oblike. Stoga razlikujemo dva sluˇcaja ⎧ 2 ⎪ 1 ⎨ z , 0 z 1, 0 z 1, 2 m(G1 ), 2 F(z) = P (Z < z) = = 1 ⎪ 1 < z 2, ⎩ z, 2 m(G2 ), 1 < z 2. 2 Dakle, Z je neprekinuta sluˇcajna varijabla. Zato je 1 1 1 1 P (Z ) = P (Z < ) = F( ) = . 2 2 2 8 Na slici su nacrtana podruˇcja G1 i G2 te graf funkcije F .

6

6

F (x )

y

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .............. ............... ............... . . . . . . . .1. . . . . . ............... . . . . . . .

G

z

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .2 . . . . . . . .

G

1

. . . . . . .

. . . . . . .

z

-

1 x

,

1

2

x

Sl. 5.22. Zadatak 5.5. Na odresku [0, T] na sre´cu su odabrane dvije toˇcke koje ga dijele na - funkciju razdiobe za duljinu svakog od ta tri dijela. tri dijela. Nadi

Spojimo krajeve intervala i zamislimo umjesto njega kruˇznicu iste duljine. Izbor dviju toˇcaka unutar intervala ekvivalentan je izboru triju toˇcaka unutar kruˇznice, od - mjesto reza. Zbog simetrije je jasno da c´e duljina kojih jedna, recimo prva, odreduje svakog dijela imati identiˇcnu razdiobu. Vratimo se na interval i oznaˇcimo sa X duljinu prvog dijela. Odredimo funkciju razdiobe varijable X : F(x) = P (X < x) = 1 − P (X x). Da bi se realizirao dogadaj {X x} obje toˇcke moraju pasti u interval [x, T] . Vjero 2 - je T − x . Dakle: jatnost tog dogadaja T T − x 2 , 0 x T. F(x) = 1 − T

24

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Zadatak 5.6. Dokaˇzi da za svaku sluˇcajnu varijablu X s konaˇcnim oˇcekivanjem

vrijedi

lim x[1 − F(x)] = 0.

x→∞

∞ Neka je ε > 0 po volji mali. Kako oˇcekivanje −∞ x dF(x) postoji, slijedi da

∞ je M x dF(x) < ε za dovoljno veliki M . ∞ ∞ M(1 − F(M)) = M dF(x) x dF(x) < ε . M

M

Dakle, vrijedi M[1 − F(M)] < ε za dovoljno veliki M i zbog proizvoljnog odabira za ε slijedi lim x[1 − F(x)] = 0. x→∞

Zadatak 5.7. Neka je F funkcija razdiobe neprekinute pozitivne sluˇcajne varijable X . Pokaˇzi da vrijedi ∞ E(X) = [1 − F(x)]dx. 0

∞ x dF(x) = − x[1 − F(x)] dx 0 ∞ 0 ∞ [1 − F(x)]dx = −x[1 − F(x)] + 0 0 ∞ [1 − F(x)]dx = = − lim x[1 − F(x)] + ∞

E(X) =

x→∞

0

∞

0

[1 − F(x)]dx

jer je limes jednak nuli, prema rezultatu proˇslog zadatka. ∗∗∗ Zadatak 5.8. Gusto´ca razdiobe sluˇcajne varijable X zadana je slikom. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = X 2 .

a)

b)

6

6

f (x )

0

1

f (x )

2

3

4

5

x

3

1 0

Sl. 5.23.

a) U ovom je sluˇcaju funkcija x → x2 injektivna. Vrijedi f (x) = 13 ,

x ∈ [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [4, 5] √ dx 1 x = y, = √ . dy 2 y

1

2

x

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

25

Varijabla y poprima vrijednosti u skupu [0, 1] ∪ [4, 9] ∪ [16, 25] . dx 1 g(y) = f (x) = √ , y ∈ [0, 1] ∪ [4, 9] ∪ [16, 25]. dy 6 y b) x → x2 sada nije injektivna. Rastavljamo podruˇcje definicije na dva dijela: 1 x ∈ [−3, 1] : g1 (y) = √ , y ∈ [1, 9], 6 y 1 x ∈ [1, 2] : g2 (y) = √ , y ∈ [1, 4]. 6 y I sada je g(y) = g1 (y) + g2 (y) , medutim moramo pripaziti na razliˇcita podruˇcja definicije u ovim formulama: ⎧ ⎧ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + , y ∈ [1, 4] y ∈ [1, 4], √ √ ⎨ 6 y 6 y ⎨ 3√y , g(y) = = 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ √ , ⎩ √ , y ∈ [4, 9] y ∈ [4, 9]. 6 y 6 y Zadatak 5.9. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu razdiobe

f (x) = e−x ,

x > 0. 2

Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = (X − 1) . Funkcija razdiobe F sluˇcajne varijable X iznosi F(x) = 1 − e−x ,

6

x > 0.

Razlikujemo tri sluˇcaja: a) y 0 : G(y) = 0 , √ √ b) 0 < y 1√: G(y) =√F(1 + y) − F(1 − y) = e−1+ y − e−1− y , √ √ c) 1 < y : G(y) = F(1 + y) = 1 − e−1− y . Dakle: √ √ 1 y √ + e− y ), 2e y (e g(y) = √ 1√ − y , 2e y e

y 1 y

.. ...y (x 1)2 ... .... .. ... ... .... x 1 =1 y .. ... ... ... ... ... x 2 =1+ y ... ... . ... ... .... .... .... .... ..... .... . ....... . . . . . .................

=

p p

x1

0 < y 1,

1

Sl. 5.24.

1 < y.

Zadatak 5.10. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gusto´ce

f (x) =

x2

1 . π (1 + x2 )

Odredi i skiciraj funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = ψ (X) , gdje je x, x 1, ψ (x) = 1, x > 1.

-

26

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

6

y =ψ (x )

1

y y

-

1

6 G

a

..............q ................ .............. . . . . . . . . . . . . . . .................. ................................ 3 4

1

-

Sl. 5.25.

Funkcija razdiobe varijable X glasi 1 1 + arc tg x. 2 π Varijabla Y uzima vrijednosti unutar intervala −∞, 1] . Prema tome, za y > 1 je G(y) = 1 . Ako je y 1 , F(x) =

G(y) = P (Y < y) = P (X < y) = F(y). Dakle,

G(y) =

1 2

+

1,

1 π

Vidimo da G ima u toˇcki 1 skok iznosa

arc tg y, 1 4

y 1, y > 1.

.

Zadatak 5.11. Odredi oˇcekivanje duljine sekante koja spaja fiksnu toˇcku A kruzˇ nice polumjera R sa na sre´cu odabranom toˇckom B na kruˇznici.

Oznaˇcimo s α srediˇsnji kut nad manjim lukom AB . To je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, π ] . Vrijedi α X = 2R sin = ψ (α ), 2 gdje je X duljina sekante AB . Njezino oˇcekivanje iznosi

π

E(X) = 0 π 0

B

α

Sl. 5.26.

ψ (α )f (α )dα 2R sin

=

A

α 1 4R . · dα = 2 π π

Zadatak 5.12. Sluˇcajna varijabla X koja uzima samo pozitivne vrijednosti, zadana je gusto´com razdiobe f . Odredi zakon razdiobe sluˇcajnih varijabli A. Y = √ X2 , B. Y = X , C. Y = X (najve´ce cijelo od X ).

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

27

Funkcije x → x2 kao i x → Zato je

√

x su injektivne (monotono rastu´ce) na (0, ∞) .

A.

dx 1 √ g(y) = f (x) = f ( y) · √ . dy 2 y

B.

dx g(y) = f (x) = f (y2) · 2y. dy

C. U ovom je sluˇcaju Y diskretna sluˇcajna varijabla koja poprima vrijednosti 0, 1, 2, . . . s vjerojatnostima k+1 pk = P (Y = k) = P (k X < k + 1) = f (x)dx. k

Zadatak 5.13. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu (− π2 , π2 ) .

Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = cos X .

Prvo rjeˇsenje. Varijabla Y poprima vrijednosti unutar intervala [0, 1] . Gusto´ca varijable X iznosi π π 1 − <x< . f (x) = , π 2 2 Zato je G(y) = P (Y < y) = P (X ∈ Ay ) π π = P (− X < x1 ) + P (x2 < X < ) 2 2 − arc cos y π /2 1 1 2 = dx + dx = 1 − arc cos y. π π π −π /2

Dakle, g(y) =

6

π =2

1 y

x1

Ay =( π2 x 1 ) (x 2 π2 ) x 1 = arc cos y x 2 =arc cos y

Sl. 5.27.

arc cos y

1 2 ·

, π 1 − y2

0 y < 1.

Drugo rjeˇsenje. Funkcija x → cos x nije injektivna na intervalu − π2 , π2 , medutim, taj interval moˇzemo podijeliti na dijelove (na dva dijela) na kojima c´e ta funkcija biti injektivna i potom za svaki dio odrediti doprinos gusto´ci varijable Y : dx 1 y = cos x =⇒ x = arc cos y. . =

dy 1 − y2

π 1 1 , 0 y < 1. 1) x ∈ − , 0 , g1 (y) = ·

2 π 1 − y2 π 1 1 , 0 y < 1. 2) x ∈ 0, , g2 (y) = ·

2 π 1 − y2

-

x 2 π =2

28

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Obje funkcije g1 i g2 imaju istu domenu. Stoga je gusto´ca g varijable Y dana sa 2 1 , 0 y < 1. g(y) = g(y1 ) + g(y2 ) = ·

π 1 − y2 § 5. Zadatci za vjeˇzbu

1. Moˇze li za neku vrijednost argumenta biti a) funkcija razdiobe ve´ca od jedinice, b) gusto´ca razdiobe ve´ca od jedinice, c) funkcija razdiobe negativna, d) gusto´ca razdiobe negativna, e) funkcija razdiobe prekidna, f) gusto´ca razdiobe prekidna? 2. Koje od ovih funkcija su funkcije razdiobe: a) 34 + 21π arc tg x ; b) 12 + π1 arc tg x ; x , x > 0; c) 1+x −x d) 2−e ; e) 1 − e−x , x > 1 ? 3. Pokaˇzi da su funkcije a) 1 − |1 − x| , 0 < x < 2 ; b) |x| , −1 < x < 1 ; ex c) , x ∈ R; (1 + ex )2 x e 2 · , x∈R d) π 1 + e2x gusto´ce neke razdiobe. 4. Odredi konstantu C tako da sljede´ce funkcije budu gusto´ce razdioba: a) f (x) = C , x ∈ [a, b] ; b) f (x) = C|x − a| , x ∈ [c, d] . 5. Odredi konstantu C tako da sljede´ce funkcije budu gusto´ce razdioba a) f (x) = Cx3 e−λ x , x > 0 ; 2 b) f (x) = Ceα (x−a) , x > 0 . 6. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiC obe f (x) = 2 , x > 1 . Odredi konstantu C te x vjerojatnost dogadaja {1 < X < 2} . 7. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gustoc´e f (x) = Cx2 e−ax , x > 0. Odredi konstantu C te vjerojatnost dogadaja {0 < 1 X < }. a

8. Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X ako je njezina gusto´ca razdiobe a) sin x , 0 < x < π2 ; b) x − 12 , 1 < x < 2 ; c) 3 sin 3x , π6 < x < π3 . 9. Diskretna sluˇcajna varijabla X zadana je razdiobom “ ” −1 0 1 2 . X ∼ −2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 Odredi funkciju razdiobe i nacrtaj njezin graf. Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja {|X| 1} . 10. Gusto´ca razdiobe sluˇcajne varijable X iznosi 2 π π f (x) = cos2 x, x ∈ (− , ). π 2 2 Izraˇcunaj vjerojatnost da od tri realizacije varijable X , toˇcno dvije padnu unutar intervala (0, π4 ) . 11. Ako za sluˇcajne varijable X i Y vrijedi P (X < 1) = 0.9 , P (Y < 2) = 0.5 , pokaˇzi da je P (X + Y < 3) 0.4 . 12. Za sluˇcajnu varijablu X je P (0 < X < 1) = 0.3 , a za varijablu Y je P (−1 < Y < 0) = 0.9 . Dokaˇzi da je P (−1 < X + Y < 1) 0.2 . ∗∗∗ 13. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gusto´ce a) f (x) = Cx , 0 < x < 1 ; b) f (x) = Cx , 0 < x < 2 ; c) f (x) = C(x2 + 2x) , 0 < x < 1 ; d) f (x) = Ce−|x| , x ∈ R . Odredi konstantu C . Izraˇcunaj E(X) i D(X) . 14. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe a) F(x) = 14 x , 0 < x < 4 ; b) F(x) = 1 − e−λ x , x > 0 . Odredi oˇcekivanje od X . 15. Funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X zadana je slikom. Odredi oˇcekivanje od X .

ˇ 5. ZADATCI ZA VJE ZBU

29 j

a)

6 F

1

1 2

1

b)

0

6

x

F

1

1 2

2

c)

1

6

0

x

F

1 1 2

1

0

1

2

x

16. Sluˇcajna varijabla ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] . Odredi tu razdiobu ako je poznato E(X) = 4 i D(X) = 3 . 17. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe 1 f (x) = xn e−x , x > 0. n! Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . ∗∗∗ 18. Toˇcka pada na sre´cu unutar kruga polumjera R . Udaljenost te toˇcke do srediˇsta kruga je vrijednost sluˇcajne varijable X . Odredi njezinu funkciju razdiobe, oˇcekivanje i disperziju. 19. Zadan je trokut s osnovicom a i visinom v na osnovicu. Toˇcka se bira na sre´cu unutar trokuta. Za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo udaljenost toˇcke do osnovice. Izraˇcunaj oˇcekivanje varijable X. 20. U prostoru su zadane dvije koncentriˇcne kugle s polumjerima r i R ( r < R ). Na sre´cu odabiremo toˇcku unutar manje kugle. Neka je X udaljenost te toˇcke do povrˇsine ve´ce kugle. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe varijable X , te izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable X . 21. Duljine stranica pravokutnika ABCD su 3 cm i 4 cm. Biramo na sre´cu toˇcku T unutar pravokutnika. Sluˇcajna varijabla X je udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice pravokutnika. Izraˇcunaj matematiˇcko oˇcekivanje E(X) sluˇcajne varijable X . 22. Toˇcka T na sre´cu se bira unutar jednakostranicˇnog trokuta stranice a . Ako je X udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice trokuta, izraˇcunaj oˇcekivanu vrijednost te udaljenosti.

23. Toˇcka T bira se na sre´cu unutar pravilnog sˇ esterokuta stranice a . Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice sˇ esterokuta. Skiciraj funkciju gusto´ce i izraˇcunaj oˇcekivanje varijable X . 24. Unutar kvadrata {(x, y) : 0 x, y 1} izabrana je na sre´cu toˇcka i potom opisan krug maksimalne povrˇsine sa srediˇstem u toj toˇcki, a koji leˇzi unutar kvadrata. Odredi funkciju razdiobe povrˇsine tog kruga i izraˇcunaj vjerojatnost da je ona ve´ca od π 16 . 25. U kocki duljine brida 1 bira se na sre´cu toˇcka S . Neka je X volumen najve´ce kugle koja se moˇze upisati u kocku, a srediˇste joj je toˇcka S . Odredi i skiciraj funkciju distribucije FX te izraˇcunaj oˇcekivanje E(X) . 26. U jednakostraniˇcnom trokutu sa stranicom duljine a , na sre´cu se odabire toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je povrˇsina najve´ceg kruga upisanog - i u trokut, sa srediˇstem u odabranoj toˇcki. Nadi skiciraj gusto´cu vjerojatnosti sluˇcajne varijable X . 27. Na kruˇznici polumjera R izabrane su dvije toˇcke A i B i zatim spojene sa srediˇstem kruˇznice S . Izraˇcunaj matematiˇcko oˇcekivanje povrˇsine trokuta ABS . Kolika je vjerojatnost da je ta povrˇsina ve´ca od R2 /4 ? 28. Unutar jednakokraˇcnog trapeza, cˇija ve´ca baza ima duljinu 2 a krakovi i kra´ca baza duljinu 1, odabire se na sre´cu toˇcka i opisuje krug cˇije je srediˇste u odabranoj toˇcki, a dodiruje najbliˇzu stranicu trapeza. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe vjerojatnosti FX (x) duljine polumjera tako konstruiranog kruga. ∗∗∗ 29. Zadan je trapez prema slici. Toˇcka se bira na sre´cu unutar trapeza. Za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo udaljenost toˇcke do ve´ce osnovice. Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce te izraˇcunaj E(X) . Provjeri rezultat ako je a = c ili c = 0 . j c

b

J a

J JJ

30. Duljine stranica pravokutnika ABCD su 3 cm i 4 cm. Biramo na sre´cu toˇcku T unutar pravokutnika. Neka je X sluˇcajna varijabla: udaljenost - i skiciraj funkciju toˇcke T do dijagonale AC . Nadi razdiobe varijable X . 31. Unutar kvadrata sa stranicom a = 4 cm bira se na sre´cu toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost te toˇcke do bliˇze dijagonale kvadrata. - oˇcekivanu vrijednost te udaljenosti. Nadi

30

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

32. Unutar kvadrata ABCD stranice duljine a , bira se na sre´cu toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke do pravca koji prolazi poloviˇstima E , F stranica AB odnosno AD . Odredi i skiciraj gusto´cu vjerojatnosti sluˇcajne varijable X

43. Toˇcka T1 sluˇcajno se odabire na dijagonali AC , a toˇcka T2 na dijagonali BD kvadrata ABCD stranice 2. Vrijednost sluˇcajne varijable X jedna- gusto´cu ka je udaljenosti toˇcaka T1 i T2 . Nadi vjerojatnosti od X i skicirajte njezin graf.

33. Unutar kocke ABCDEF brida duljine a bira se na sre´cu toˇcka T . Sluˇcajna varijabla X je uda- E(X) . ljenost te toˇcke do brida AB . Nadi

44. Kroz srediˇste S kvadrata ABCD stranice a povlaˇcimo na sre´cu pravac. Ako su sjeciˇsta pravca sa - oˇcekivanu vrirubom kvadrata toˇcke T1 i T2 , nadi jednost duljine odsjeˇcka T1 T2 .

34. Toˇcka T odabire se na sre´cu unutar jednakokraˇcnog trokuta kome je duljina osnovice 6, a duljina krakova 5. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do visine spuˇstene na osnovicu trokuta. Skiciraj gusto´cu vjerojatnosti varijable X i izraˇcunaj njezino oˇcekivanje E(X) . ∗∗∗ 35. Unutar intervala [0, 1] na sre´cu su izabrane dvi- njima. Odreje toˇcke. Neka je X udaljenost medu di zakon razdiobe varijable X te izraˇcunaj E(X) , D(X) , E(X n ) . 36. Biramo na sre´cu tri broja unutar intervala [a, b] . - njima. Odredi i Neka je X drugi po veliˇcini medu skiciraj funkciju gusto´ce varijable X . 37. n toˇcaka izabrano je na sre´cu unutar intervala [0, 1] . Neka Xk oznaˇcava vrijednost koju poprima k -ta toˇcka slijeva. Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Xk . 38. Unutar intervala (0, 1) biraju se na sre´cu tri - njima. broja, a , b i c . Neka je X najve´ci medu Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce od X te izraˇcunaj oˇcekivanje E(X) . 39. Na sre´cu odabrana toˇcka unutar intervala [0, 1] dijeli ga na dva dijela. Oznaˇcimo sa X duljinu vec´eg dijela. Odredi funkciju razdiobe i oˇcekivanje varijable X . 40. Na odresku [0, T] na sre´cu je odabrano n toˇcaka. Te toˇcke ga dijele na n+1 dio. Duljina svakog dijela je sluˇcajna varijabla. Pokaˇzi da sve te sluˇcajne varijable imaju iste funkciju razdiobe. Odredi tu funkciju. 41. Na sre´cu odabrana toˇcka T unutar duˇzine AB duljine l dijeli tu duˇzinu na dva dijela. Neka je X = | |AT| − |TB| | . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce varijable X te izraˇcunaj E(X) i D(X) .

45. U pravokutniku sa stranicama 3 i 4 na sre´cu odabiremo po jednu toˇcku na dvije nasuprotne kra- odabranim toˇckama c´e stranice. Udaljenost medu - i skiciraj pripadnu je sluˇcajna varijabla X . Nadi gusto´cu razdiobe FX . 46. Toˇcka T na sre´cu se bira na obodu pravokutnika ABCD sa stranicama 3 i 4 . Sluˇcajna varijabla X je udaljenost toˇcke do vrha A . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) . 47. Toˇcka T bira se na sre´cu na osnovici AB jednakostraniˇcnog trokuta ABC stranice 2 cm. Sluˇcajna varijabla X predstavlja kvadrat udaljenosti toˇcke T do vrha C . Odredi razdiobu i oˇcekivanje od X . 48. Toˇcka T na sre´cu se bira na obodu kvadrata ABCD stranice a . Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do poloviˇsta stranice AB . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) varijable X. 49. Toˇcka se bira na sre´cu unutar kvadrata stranice 2. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost do najbliˇzeg vrha kvadrata. Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce varijable X . 50. U jednakokraˇcnom trokutu ABC duljina kra- tim krakovima kova AC i BC je 20 cm, a kut medu γ = 120◦ . Toˇcka T odabire se na sre´cu unutar trokuta. Ako je sluˇcajna varijabla X definirana kao udaljenost toˇcke T do vrha C , odredi i skiciraj pripadnu funkciju razdiobe FX . ∗∗∗ 51. Unutar kvadrata stranice a bira se na sre´cu toˇcka T . Neka su X1 X2 X3 X4 udaljenosti toˇcke T do stranica kvadrata. Odredi funkciju razdiobe i oˇcekivanje sluˇcajne varijable X2 .

∗∗∗

52. Toˇcka se bira na sre´cu unutar jednakostraniˇcnog trokuta stranice a . Neka je X najve´ca od udaljenosti toˇcke do stranica trokuta. Odredi gusto´cu i oˇcekivanje varijable X .

42. Toˇcke A , B biraju se na sre´cu na dvije susjedne stranice kvadrata sa stranicom 1. Neka je sluˇcajna - njima. Odredi i skicivarijabla X udaljenost medu raj funkciju gusto´ce od X .

53. Zadana je kruˇznica k polumjera R i toˇcka A udaljena od srediˇsta kruˇznice za d , d > R . Na kruzˇ nici biramo na sre´cu toˇcku T . Vrijednost sluˇcajne - gusto´cu varijable X je udaljenost od T do A . Nadi f X varijable X .

ˇ 5. ZADATCI ZA VJE ZBU

31

54. Kruˇznica k podijeljena je promjerom na dvije polukruˇznice. Toˇcku T1 biramo na sre´cu na jednoj, a toˇcku T2 na drugoj polukruˇznici. Udaljenost toˇcaka T1 i T2 je sluˇcajna varijabla X . Odredi i skiciraj pripadnu funkciju razdiobe FX . 55. Toˇcka T sluˇcajno se odabire na cˇetvrtini luka AB kruˇznice polumjera R , sa srediˇstem u toˇcki S . Neka je X manja od udaljenosti toˇcke T do duˇzina AS odnosno BS . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce sluˇcajne varijable X i izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 56. U trapezu ABCD cˇiji krakovi iznose d a osnovice 2d i 3d , bira se na sre´cu toˇcka T . Vrijednost sluˇcajne varijable X je manja od udaljenosti toˇcke T do produˇzenih krakova trapeza. Odredi i skiciraj gusto´cu od X . ∗∗∗ 57. Neka je F funkcija razdiobe neprekidne sluˇcajne varijable X . Pokaˇzi da je Z ∞ 1 F(x)dF(x) = . 2 −∞ 58. Neka je X proizvoljna ograniˇcena sluˇcajna varijabla, s vrijednostima unutar intervala [a, b] . Dokaˇzi a) a E(X) b ; b) D(X) 14 (b − a)2 ; c) Veliˇcina E(X − m)2 poprima minimum za m = E(X) . 59. Koji uvjet moraju zadovoljavati nezavisne slucˇajne varijable X i Y da bi bilo D(XY) = D(X)D(Y)? 60. Neka je X diskretna sluˇcajna varijabla, koja poprima samo pozitivne vrijednosti i ima konaˇcno oˇcekivanje E(X) . Pokaˇzi da za svaki a ∈ R+ vrijedi E(X) . P{X > a} < a 61. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju oˇcekivanja E(X) = a , E(Y) = b . Dokaˇzi da za disperziju sluˇcajne varijable XY vrijedi D(XY) = D(X) D(Y) + a2 D(Y) + b2 D(X). 62. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f koja je parna, po dijelovima neprekidna funkcija na intervalu [−π , π ] , jednaka nuli van tog intervala. Dokaˇzi da je ∞ X π3 an + 4π (−1)n 2 , D(X) = 3 n n=1

gdje su an koeficijenti Fourierovog reda funkcije f .

63. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima funkciju razdiobe F(x) . Dokaˇzi da za svaki realni α = 0 vrijedi Z ∞ xα −1 (1 − F(x))dx. E(X α ) = |α | 0

∗∗∗ 64. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 2] . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe varijable a) Y = X 2 ; b) Y = |X − 1| . 65. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 4π ] . Odredi funkciju razdiobe i gustoc´u razdiobe sluˇcajne varijable Y = sin X . 66. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−2, 2] . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FY sluˇcajne varijable Y = min{X 2 , −X + 2}. 67. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 5] . Odredi i skiciraj gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = |X − 1| . Izraˇcunaj E(Y) . 68. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Odredi funkciju razdiobe slucˇajne varijable Y = 1/X 2 . Postoji li oˇcekivanje E(Y) ? ∗∗∗ 69. Sluˇcajna varijabla X poprima samo pozitivne vrijednosti. Neka je f X njezina funkcija gusto´ce. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable a) Y = √ X3 ; b) Y = 1/X ; d) Y = eX ; c) Y = X ; −X f) Y = ln X . e) y = e ; 70. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f X . Odredi gusto´ce sluˇcajnih varijabli a) Y = arc tg X ; b) Y = tg X ; c) Y = |X| ; d) Y = X 2 ; 1 1 f) Y = ; e) Y = 2 ; X 1 + X2 √ 2 h) Y = e−X ; g) Y = R2 − X 2 ; i) Y = a sin ω X , ( a, ω > 0 ). 71. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = eX . 72. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f (x) . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = |1 + X| . 73. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu razdiobe f . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = min{X, X 2 } .

32

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

74. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varija- funkciju razdiobe sluˇcajnih varijabli ble X . Nadi a) aX + b , b) X 2 , c) |X| , d) sin X , e) g(X) , g proizvoljna rastu´ca funkcija. ∗∗∗ 75. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = 1 − e−2x , x > 0. Napiˇsi funkciju razdiobe varijable Y = X 2 . 76. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe f (x) = C| sin x| ,

|x| π .

Izraˇcunaj funkciju gusto´ce sluˇcajne varijable Y = X 2 i oˇcekivanje E(Y) . 77. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f (x) = e−x , x > 0. Odredi gusto´cu razdiobe i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Y = |X − 1| . 78. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com f (x) = C e−2x ,

x 1.

Odredi konstantu C . Odredi gusto´cu razdiobe slu1 cˇajne varijable Y = . 1−X 79. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com −x

f (x) = e

,

x > 0.

1 . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = 1+X 80. Neka je X Cauchyjeva sluˇcajna varijabla s gusto´com 1 f X (x) = , x ∈ R. π (1 + x2 ) - i skiciraj funkciju razdiobe GY sluˇcajne variNadi 1 jable Y = min{ , |X|} . X 81. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N(2, 1) . Izraˇcunaj gusto´cu razdiobe vjerojatnosti varijable Y = |X| , te vjerojatnost dogadaja {Y < 1} .

82. Gusto´ca vjerojatnosti f X sluˇcajne varijable X iznosi 0xπ f X (x) = 12 sin x , Odredi i skiciraj gusto´cu vjerojatnosti sluˇcajne varijable Y = 12 sin X , te izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 83. Neka je X sluˇcajna varijabla zadana gusto´com ( 1 x ∈ [−4, −2], 4, f X (x) = 1 x ∈ [−1, 3]. 8, Odredi i skiciraj funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = X2 . 84. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N(1, 2) . Odredi funkciju gusto´ce sluˇcajne varijable Y = X 2 + 1 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja { | Y − E(Y)| < 1 } . 85. Sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Odredi zakon razdiobe i izraˇcunaj oˇcekivanje diskretne sluˇcajne varijable Y = X (najve´ce cijelo od X ). 86. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu razdiobe j ﬀ 1 1 1 f (x) = √ · 2 · exp − 2 . 2x 2π x Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = 1/X . 87. Sluˇcajna varijabla X ima Cauchyjevu razdiobu. 2X 1 3X − X 3 Pokaˇzi da sluˇcajne varijable , , 2 X 1−X 1 − 3X 2 - Cauchyjevu razdiobu. imaju takoder ∗∗∗ 88. Promjer kruga d izmjeren je pribliˇzno, u granicama a d b . Ako d ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] , izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju povrˇsine kruga. 89. U rombu stranice 10 cm oˇstri kut α je sluˇcajna varijabla s gusto´com razdiobe 8 3 π > < , 0α , π 4 f (α ) = π π > : C, α . 4 2 Izraˇcunaj konstantu C , funkciju razdiobe povrˇsine romba i vjerojatnost da je ta povrˇsina ve´ca od 50 cm2 . 90. Unutar duˇzine duljine 2 na sre´cu je odabrana toˇcka koja ju dijeli na dva dijela. Neka je X povrˇsina pravokutnog trokuta cˇije su katete ti dijelovi. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) .

6.

Primjeri neprekinutih razdioba

1. Eksponencijalna razdioba . . . . . . . . . . . 2. Normalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . 3. Raˇcunanje razdiobe i kvantila normalne sluˇcajne varijable 4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . 54 . . . . . . . . . 56

Neke su razdiobe vaˇznije od drugih, jer su vaˇznije situacije u kojima se one pojavljuju. Medu svim neprekinutim razdiobama izdvojit c´emo dvije koje se (uz jednoliku radiobu) najˇceˇsc´e pojavljuju.

6.1. Eksponencijalna razdioba Eksponencijalna razdioba javlja se u problemima vezanim za vrijeme ispravnog - cˇije se karakteristike ne mijenjaju u vremenu: vrijeme ispravnog rada zˇ arurada uredaja - dva uzastopna poziva) u telefonskoj centrali, lje, vrijeme do prvog poziva (pa i izmedu vrijeme do ulova prve ribe, do pojave neke nesre´ce i op´cenito vrijeme do pojave nekog - cˇija je vjerojatnost pojavljivanja u svakom kratkom intervalu jednake duljine dogadaja jednaka. Eksponencijalna razdioba, definicija

Kaˇzemo da sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ > 0 ako ona poprima pozitivne vrijednosti s gusto´com f (x) = λ e−λ x , x > 0. Piˇsemo X ∼ E(λ ) . Njezina je funkcija razdiobe F(x) = 1 − e−λ x ,

(6.1)

x > 0.

33

34

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

f

F λ

1

x

x

Sl. 6.1. Funkcija razdiobe i gusto´ce eksponencijalne razdiobe

Fizikalni opis eksponencijalne razdiobe

Neka je X sluˇcajna varijabla, recimo vrijeme ispravnog rada nekog uredaja. Na tu se varijablu moˇze gledati i kao na proteklo vrijeme do pojave kvara. Model, u kojem se javlja eksponencijalna razdioba, mora ispunjavati sljede´ce uvjete: Eksponencijalna razdioba, izvod iz modela pojavljivanja

- u Teorem 6.1. Pretpostavimo da je uvjetna vjerojatnost pojavljivanja dogadaja - nije pojavio nekom vrlo kratkom intervalu (x, x + Δx) , ako je poznato da se dogadaj do trenutka x , proporcionalna duljini tog podintervala i ne ovisi o vrijednosti x : r P (X < x + Δx | X > x) = λ Δx + r, → 0 kad Δx → 0. Δx Tada je X sluˇcajna varijabla distribuirana po eksponencijalnom zakonu E(λ ) .

Dokaz. Po formuli za uvjetnu vjerojatnost moˇzemo napisati P (X > x + Δx) = P (X > x) · P (X > x + Δx | X > x). Medutim, kako je P (X > x + Δx | X > x) = 1 − P (X < x + Δx | X > x) = 1 − λ Δx − r, dobivamo P (X > x + Δx) = P (X > x)(1 − λ Δx − r). Definirajmo funkciju

Q(x) := P (X > x) = 1 − F(x).

Ona zadovoljava relaciju Q(x + Δx) − Q(x) = Q(x)[−λ Δx − r] te je Q(x + Δx) − Q(x) r dQ(x) = lim = lim Q(x)[−λ − ] = −λ Q(x). Δx→0 Δx→0 dx Δx Δx

6.1. EKSPONENCIJALNA RAZDIOBA

35

Rjeˇsenje ove diferencijalne jednadˇzbe je Q(x) = Ce−λ x . Konstantu C odredujemo iz poˇcetnog uvjeta: Q(0) = P {X > 0} = 1 . Odavde C = 1 i zato F(x) = 1 − Q(x) = 1 − e−λ x , te X zaista ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Veza s Poissonovom razdiobom

- u Neka Poissonova sluˇcajna varijabla Z mjeri broj pojavljivanja nekog dogadaja nekom jediniˇcnom vremenskom razdoblju. Oznaˇcimo parametar te razdiobe s λ . (Taj je parametar jednak oˇcekivanom broju realizacija varijable Z unutar tog jediniˇcnog intervala.) - u intervalu Op´cenitije, neka sluˇcajna varijabla Zx mjeri broj realizacija dogadaja - Poissonova varijabla, s oˇcekivanjem λ x . [0, x] . To je takoder Definirajmo sada sluˇcajnu varijablu X kao vrijeme do prvog pojavljivanja dogadaja. Pokaˇzimo da X ima eksponencijalnu razdiobu. Neka je x fiksno vrijeme nakon poˇcetnog trenutka, izraˇzeno u jedinicama vremena. Sluˇcajna varijabla X c´e poprimiti vrijednost manju od x ukoliko se u intervalu [0, x] - tj. ako Zx poprimi vrijednost ve´cu od nule: realizira barem jedan dogadaj, P (X < x) = P (Zx > 0) = 1 − P (Zx = 0) = 1 − e−λ x . Vidimo da X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . Oˇcekivanje i disperzija eksponencijalne razdiobe

Odredimo Laplaceov transformat, karakteristiˇcnu funkciju, oˇcekivanje, disperziju i centralne momente eksponencijalne razdiobe. Laplaceov transformat eksponencijalne razdiobe E(λ ) iznosi ∞ ∞ f ∗ (s) = e−sx f (x)dx = e−sx λ e−λ x dx 0 0 x=∞ ∞ λ −(s+λ )x λ −(s+λ )x =λ e dx = − e = s+λ s+λ 0 x=0 (Pri uvrˇstavanju gornje granice uvaˇzavamo da je f ∗ definirana za s > 0 .) Karakteristiˇcnu funkciju eksponencijalne razdiobe moˇzemo napisati pomo´cu poznate veze: ϑ (t) = f ∗ (−it) :

λ . λ − it Oˇcekivanje eksponencijalne razdiobe izraˇcunat c´emo iz veze momenata i Laplaceovog transformata> λ ∗ = 1. E(X) = −f (0) = − s+λ λ ϑ (t) =

s=0

36

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

Ishodiˇsni moment reda n raˇcunamo ovako: n

n ∗ (n)

E(X ) = (−1) f

(0) = (−1) n!λ = n! . = (s + λ )n+1 s=0 λ n

n

λ s+λ

(n)

s=0

Sad za disperziju vrijedi D(X) = E(X 2 ) − (EX)2 =

2 1 1 − = 2. λ2 λ2 λ

∗∗∗ Iz ovog izvoda vidimo da je oˇcekivanje eksponencijalne razdiobe reciproˇcna vrijednost njezinog parametra: sˇ to je parametar razdiobe ve´ci, to je manje njezino oˇcekivanje. Interesantno je da vjerojatnost realizacije varijable prije oˇcekivanja ne ovisi o parametru razdiobe. Naime, vrijedi: 1 1 P (X < E(X)) = P (X < ) = F( ) = 1 − e−λ ·(1/λ ) = 1 − e−1 . λ λ - u godini dana bio 10 puta u kvaru. Kolika je vjerojatnost Primjer 6.1. Neki je uredaj da c´e prvi mjesec sljede´ce godine raditi ispravno? Neka je X sluˇcajna varijabla: vrijeme do prvog kvara. X ima eksponencijalnu razdiobu. Na temelju podataka, njezino oˇcekivanje je E(X) = 12 10 , pa je parametar 10 razdiobe λ = 12 . Sada vrijedi 10 P (X > 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − 1 − e− 12 ·1 = e−5/6 = 0.435. - je sluˇcajna varijabla distribuPrimjer 6.2. Vrijeme ispravnog rada nekog uredaja irana po eksponencijalnom zakonu s oˇcekivanjem 2 mjeseca. Kolika je vjerojatnost da - pokvariti tijekom c´e se uredaj A. prvog mjeseca, B. drugog mjeseca, C. drugog mjeseca, ako je poznato da se tijekom prvog mjeseca nije nalazio u kvaru. Po uvjetu zadatka je X ∼ E( 12 ) . 1 A. P (X < 1) = 1 − e− 2 = 0.393 , 1 1 1 B. P (1 < X < 2) = (1 − e− 2 ·2 ) − (1 − e− 2 ·1 ) = e− 2 − e−1 = 0.239 , P (1 < X < 2, X > 1) C. P (1 < X < 2 | X > 1) = P (X > 1) 1 1 P (1 < X < 2) e− 2 − e−1 = 1 − e− 2 = 0.393. = = 1 − P (X > 1) e 2 Primijeti da se prva i tre´ca vjerojatnost podudaraju.

6.1. EKSPONENCIJALNA RAZDIOBA

37

Odsustvo pam´cenja

Svojstvo iz prethodnog primjera moˇze se poop´citi. Za sve x, t > 0 vrijedi P (X < x + t | X > t) = P (X < x). sˇ to moˇzemo rijeˇcima iskazati na naˇcin: eksponencijalna razdioba nema pam´cenja. Evo primjera: ako je oˇcekivano vrijeme do ulova prve ribe jedan sat, i ako je prvih 50 minuta proteklo bez ikakvog ulova, tada oˇcekivano vrijeme do ulova te ribe ostaje (na zˇ alost) i dalje jedan sat, bez obzira na proteklo vrijeme. Ovo svojstvo karakterizira eksponencijalnu razdiobu. Karakterizacija eksponencijalne razdiobe Teorem 6.2. Neka za sluˇcajnu varijablu X koja uzima samo pozitivne vrijednosti za sve pozitivne x i t vrijedi P (X < x + t | X > t) = P (X < x). (6.2) Tada X ima eksponencijalnu razdiobu.

DOKAZ. Oznaˇcimo Q(x) := P (X > x) = 1 − F(x) , gdje je F traˇzena funkcija razdi- vrijedi Q (x) = −f (x) < 0 obe. Po pretpostavci je Q(0) = P (X > 0) = 1 . Takoder, za x > 0 . Oznaˇcimo Q (0) =: −λ . Osnovnu relaciju (6.2) moˇzemo napisati na naˇcin 1 − P (X > x + t | X > t) = 1 − P (X > x) te je P (X > x + t, X > t) = P (X > x) P (X > t) ili P (X > x + t) = P (X > t)P (X > x). Tako dobivamo funkcionalnu jednadˇzbu Q(x + t) = Q(t)Q(x),

∀t, x > 0

(6.3)

Sluˇcajnu varijablu traˇzimo u klasi neprekinutih varijabli. Zato moˇzemo pretpostaviti da je Q diferencijabilna funkcija. Deriviranjem relacije (6.3) po varijabli t dobivamo Q (x + t) = Q (t)Q(x). Uvrˇstavanjem t = 0 slijedi Q (x) = Q (0)Q(x) = −λ Q(x) i odavde dobivamo Q(x) = Ce−λ x . Kako je Q(0) = 1 , dobivamo C = 1 . Zato je F(x) = 1 − Q(x) = 1 − e−λ x .

38

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Primjer 6.3. Vrijeme ispravnog rada elektroniˇckog elementa opisano je eksponencijalnom razdiobom s parametrom λ . U trenutku x = T , doˇslo je do strujnog udara. Vjerojatnost da element “ne preˇzivi” taj udar (ako je do tog trenutka joˇs uvijek bio ispravan) jednaka je p . Nakon toga, vrijeme daljnjeg ispravnog rada bit c´e opet eksponencijalna razdioba, s moˇzda promijenjenim parametrom μ A. Odredi i nacrtaj funkciju razdiobe ove sluˇcajne varijable. B. Izraˇcunaj njezino oˇcekivanje.

Na intervalu 0 x < T vrijedi F(x) = 1 − e−λ x . Vrijednost ove funkcije u trenutku T iznosi 1 − e−λ T . Suprotna vjerojatnost, e−λ T je vjerojatnost da je element joˇs uvijek ispravan, neposredno prije strujnog udara. Vjerojatnost da c´e on biti ispravan i nakon tog udara jednaka je umnoˇsku vjerojatnosti (1 − p) · e−λ T , - od preˇzivljavanja u normalnim uvjetima. jer je preˇzivljavanje udara nezavisan dogadaj Dakle, u toˇcki T vrijedi F(T) = 1 − (1 − p)e−λ T . Zato je P (X > T) = 1 − F(T) = (1 − p)e−λ T . Oznaˇcimo ovu vjerojatnost s r . Za x > T sad moˇzemo napisati 1 − F(x) = P (X > x) = P (X > x | X > T) · P (X > T). Zbog odsustva pam´cenja (nakon trenutka T) uvjetnu vjerojatnost dobivamo ovako: P (X > x | X > T) = P (X > x − T) = e−μ (x−T) . Konaˇcno, imamo za x > T F(x) = 1 − e−μ (x−T) · (1 − p)e−λ T = 1 − (1 − p)e−λ T −μ (x−T) . Graf ove funkcije nacrtan je na slici:

Sl. 6.2.

Iznos skoka u toˇcki T iznosi pe−λ T .

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

39

Sluˇcajna varijabla je mjeˇsovitog tipa. Zato c´e njezina gusto´ca imati δ -udar u toˇcki ⎧ −λ x ⎪ 0 x < T, ⎨ λe , − λ T f (x) = pe δ (x − T), x = T, ⎪ ⎩ −λ T −μ (x−T) μ (1 − p)e e , x > T. Oˇcekivanje nalazimo integriranjem: e−λ T (1 − p)e−λ T 1 + . E(X) = − λ λ μ Ovo oˇcekivanje moˇzemo napisati i na sljede´ci naˇcin: 1 −λ T 1 −λ T −λ T 1 E(X) = −e +T + pTe +T . + (1 − p)e λ λ μ Prvi je pribrojnik doprinos oˇcekivanju sluˇcajne varijable do trenutka T , drugi opisuje doprinos udara, a tre´ci ponaˇsanje sluˇcajne varijable nakon trenutka T . Objasni, ne raˇcunanju´ci oˇcekivanja, kako se dobiva svaki od tih pribrojnika. T:

Modeliranje eksponencijalne razdiobe

Funkcija razdiobe eksponencijalne sluˇcajne varijable monotono je rastu´ca na intervalu [0, ∞ . Zato postoji njezin inverz: 1 F(x) = 1 − e−λ x = y =⇒ x = F −1 (y) = − ln(1 − y) λ Prema tome, ako je U sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] , 1 onda c´e − ln(1 − U) imati eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . λ

6.2. Normalna razdioba Opis razdiobe

Normalna (govorimo joˇs i Gaussova) razdioba najvaˇznija je neprekinuta razdioba, ima li se u vidu uˇcestalost i vaˇznost modela u kojima se ona pojavljuje. Razlog tome je sˇ to se ta razdioba javlja kao graniˇcna u svim situacijama kad je sluˇcajna varijabla dobivena kao zbroj velikog broja medusobno nezavisnih pribrojnika. Normalna razdioba, definicija

Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu s parametrima a ∈ R i σ 2 > 0 ako je X neprekinuta sluˇcajna varijabla s gusto´com (x − a)2 1 . (6.1) f (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π Piˇsemo X ∼ N (a, σ 2 ) . Graf ove funkcije zvonolika je krivulja koju nazivamo Gaussova krivulja.

40

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

0.4

0.3

σ=1

0.2

σ=2

0.1

-4

-2

2

4

Sl. 6.3. Graf gusto´ce normalne razdiobe, za vrijednost parametra a = 0 .

Jediniˇcna normalna razdioba

Izaberemo li parametre a = 0 i σ = 1 , dobivamo sluˇcajnu varijablu N (0, 1) koja se zove jediniˇcna normalna razdioba. Njezinu gusto´cu oznaˇcavamo sa 1 2 1 φ (u) = √ e− 2 u . (6.2) 2π Za pripadnu funkciju razdiobe Φ vrijedi u u 1 2 1 φ (t)dt = √ e− 2 t dt. (6.3) Φ(u) = 2π −∞ −∞ Ovaj integral nije elementaran, ne moˇze se eksplicitno izraziti pomo´cu elementarnih funkcija. Funkcija φ je parna, pa ima sljede´ca svojstva: 0 1 ∞ 1 φ (t)dt = φ (t)dt = , 2 2 −∞ −∞ u u 1 φ (t)dt = φ (t)dt. 2 −u 0 Sad moˇzemo napisati u 0 u Φ(u) = φ (t)dt = φ (t)dt + φ (t)dt −∞ −∞ 0 1 1 u 1 = + φ (t)dt = 1 + Φ∗ (u) . 2 2 −u 2 Dakle, funkcija razdiobe Φ moˇze se prikazati pomo´cu funkcije u 1 2 1 ∗ e− 2 t dt. Φ (u) = √ 2π −u

(6.4)

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

Sl. 6.4. Vrijednost funkcije Φ∗ jednaka je povrˇsini ispod grafa funkcije, a nad ovim simetriˇcnim intervalom.

U ovoj c´emo knjizi koristiti tabelirane vrijednosti funkcije Φ∗ . Ta je funkcija neparna, pa je dovoljno znati njezine vrijednosti za pozitivne vrijednosti od u . - jediniˇcne i op´cenite normalne razdiobe Veza izmedu

Neka je X jediniˇcna normalna radioba, a bilo koji realni i σ bilo koji pozitivni broj. Definirajmo sluˇcajnu varijablu Y = a + σ X. Odredimo njezinu razdiobu! Za pripadnu gusto´cu g vrijedi y−a x= , y = a + σ x, σ y−a dx 1 g(y) = φ (x) · . = φ dy σ σ Dobili smo: (y−a)2 1 g(y) = √ e 2σ 2 . σ 2π Prema tome, varijabla Y ima normalnu razdiobu s parametrima a i σ 2 . Na potpuno isti naˇcin dobili bismo i obrnutu vezu. Ako krenemo od normalne varijable X ∼ N (a, σ 2 ) , tada sluˇcajna varijabla X−a Y= σ ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. Veza jediniˇcne i op´ce normalne razdiobe

Jediniˇcna i op´ca normalna razdioba mogu se dobiti jedna iz druge linearnom transformacijom: X ∼ N (0, 1) =⇒ a + σ X ∼ N (a, σ 2 ), X−a ∼ N (0, 1). X ∼ N (a, σ 2 ) =⇒ σ

41

42

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Karakteristiˇcna funkcija

Odredimo karakteristiˇcnu funkciju normalne razdiobe N (a, σ 2 ) . Najprije c´emo odrediti karakteristiˇcnu funkciju jediniˇcne normalne razdiobe N (0, 1) . Vrijedi ∞ 1 1 2 √ e− 2 x eitx dx. ϑ (t) = 2π −∞ Deriviramo ovu funkciju i primijenimo parcijalnu integraciju ∞ 1 2 1 ϑ (t) = √ ixe− 2 x eitx dx 2π −∞ ∞ ∞ i itx − 12 x2 itx − 12 x2 + ite e dx −e e =√ 2π −∞ −∞ ∞ 1 1 2 = −t √ eitx e− 2 x dx = −tϑ (t). 2π −∞ Prema tome, ϑ zadovoljava diferencijalnu jednadˇzbu dϑ (t) = −tϑ (t) dt uz poˇcetni uvjet ϑ (0) = 1 , koji vrijedi za svaku karakteristiˇcnu funkciju. 1 2 1 2 dϑ (t) = −t dt =⇒ ϑ (t) = ϑ (0)e− 2 t = e− 2 t . ϑ (t)

Ako je X ∼ N (0, 1) , tada a + σ X ∼ N (a, σ 2 ) i dobivamo karakteristiˇcnu funkciju op´ce normalne razdiobe N (a, σ 2 ) :

ϑa+σ X (t) = eita ϑX (σ t) = eita e− 2 σ 1

2 2

t

2 2

= eita− 2 σ t . 1

Oˇcekivanje i disperzija: parametri normalne razdiobe

Izraˇcunat c´emo oˇcekivanje i disperziju, koriste´ci karakteristiˇcnu funkciju. Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) . Vrijedi

ϑ (t) = eita− 2 σ 1

2 2

t

2 2

ϑ (t) = (ia − σ 2 t)eita− 2 σ t , 1

ϑ (0) = ia 2 2

ϑ (t) = [−σ 2 + (ia − σ 2 t)2 ]eita− 2 σ t , 1

ϑ (0) = −σ 2 − a2 .

Zato je E(X) = −iϑ (0) = a, D(X) = −ϑ (0) + ϑ (0)2 = σ 2 . Time smo odredili znaˇcenje parametara normalne razdiobe: parametar a jednak je oˇcekivanju, a parametar σ 2 disperziji normalne razdiobe. Korijen iz disperzije je σ , koji se naziva standardno odstupanje ili standardna devijacija normalne razdiobe

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

43

Raˇcunanje vjerojatnosti za jediniˇcnu normalnu razdiobu

Neka je X jediniˇcna normalna razdioba. Pokaˇzimo kako se raˇcunaju temeljne vjerojatnosti, da sluˇcajna varijabla poprimi vrijednost unutar nekog intervala. Racˇ unanje vjerojatnosti za jediniˇcnu normalnu razdiobu

Za jediniˇcnu normalnu razdiobu X vrijedi: P (u1 < X < u2 ) = Φ(u2 ) − Φ(u1 ) =

1 ∗ Φ (u2 ) − Φ∗ (u1 ) . 2

Posebice, u sluˇcaju simetriˇcnog intervala 1 P (|X| < u) = Φ∗ (u) − Φ∗ (−u) = Φ∗ (u). 2

(6.5)

(6.6)

Primjer 6.4. Neka je X jediniˇcna normalna varijabla. Odredi vjerojatnost dogadaja B. −2 < X < 0 ; E. X < 1 ;

A. 0 < X < 1 ; D. 1 < X < 2 ;

C. −1 < X < 2 ; F. X > 1 .

P (0 < X < 1) = 12 [Φ∗ (1) − Φ∗ (0)] = 12 Φ∗ (1) = 0.341, P (−2 < X < 0) = 12 [Φ∗ (0) − Φ∗ (−2)] = 12 Φ∗ (2) = 0.477, P (−1 < X < 2) = 12 [Φ∗ (2) − Φ∗ (−1)] = 12 [Φ∗ (2) + Φ∗ (1)] = 0.819, P (1 < X < 2) = 12 [Φ∗ (2) − Φ∗ (1)] = 0.136, P (X < 1) = P (X > 1) =

1 2 1 2

+ 12 Φ∗ (1) = 0.841, − 12 Φ∗ (1) = 0.159.

Raˇcunanje vjerojatnosti op´cenite normalne razdiobe

X−a ∼ N (0, 1) i funkciju razdiobe F varijable σ X moˇzemo izraziti uz pomo´c funkcije Φ : x−a F(x) = Φ(u) = 12 [1 + Φ∗ (u)], u= . σ Tako raˇcunamo x1 − a X−a x2 − a < < P (x1 < X < x2 ) = P σ σ σ x − a x − a 1 x − a 2 1 2 ∗ ∗ x1 − a =Φ Φ −Φ = −Φ . σ σ 2 σ σ Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) . Tada je

44

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

Primjer 6.5. Neka je X ∼ N (2, 4) . Odredi vjerojatnost dogadaja A. 0 < X < 4 ;

B. 2 < X < 6 ;

C. X > 4 .

Ako X ima op´cu normalnu razdiobu, tada c´emo sa X oznaˇcavati pripadnu X−a jediniˇcnu normalnu sluˇcajnu varijablu, X = . σ A.

0−2 X−2 4−2 < < 2 2 2 ∗ = P (−1 < X < 1) = Φ (1) = 0.683.

P (0 < X < 4) = P

B.

2−2 X−2 6−2 P (2 < X < 6) = P < < 2 2 2 ∗ 1 = P (0 < X < 2) = Φ (2) = 0.477. 2

C. Na isti naˇcin P (X > 4) = 12 (1 − Φ∗ (1)) = 0.158 .

Pravilo 3σ

Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) Izraˇcunajmo P (|X − a| < kσ ),

k = 1, 2, 3.

Sl. 6.5.

Imamo P (|X − a| < kσ ) = P (−kσ < X − a < kσ ) = P (−k < X < k) = Φ∗ (k). Vrijedi Φ∗ (1) = 0.6827 , Φ∗ (2) = 0.9545 , Φ∗ (3) = 0.9973 . Dakle, s vjerojatnoˇsc´u 99.73% (odnosno, praktiˇcki sigurno) normalna varijabla uzima vrijednosti unutar intervala (a − 3σ, a + 3σ ) . Ta se cˇinjenica naziva pravilo tri sigma.

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

45

Zadatak 6.1. Sistematska greˇska odrˇzavanja zrakoplova na danoj visini je 100 m, a sluˇcajna greˇska je normalna varijabla s odstupanjem 200 m. Odredi vjerojatnost da A. zrakoplov leti kroz koridor sˇ irine 500 m B. zrakoplov leti iznad tog koridora ako je zrakoplov usmjeren da leti sredinom koridora.

Oznaˇcimo sa X sluˇcajnu varijablu: odstupanje zrakoplova od sredine koridora. Ta je varijabla zbroj sistematske i sluˇcajne pogreˇske. Stoga je X ∼ N (100, 2002 ) . −250 − 100 X − 100 250 − 100 P (−250 < X < 250) = P < < 200 200 200 ∗ 3 ∗ ∗ 1 7 1 = 2 [Φ ( 4 ) − Φ (− 4 )] = 2 [Φ (0.75) + Φ∗ (1.75)] = 0.733 250 − 100 X − 100 P (250 < X) = P < 200 200 = 12 [1 − Φ∗ (0.75)] = 0.5 − 0.273 = 0.227 Stabilnost normalne razdiobe

Ve´c smo upoznali svojstvo stabilnosti pojedinih razdioba (recimo, kod binomne i Poissonove razdiobe), kad zbroj nezavisnih sluˇcajnih varijabli ima razdiobu istog tipa. Normalna razdioba je jedina koja ima pojaˇcano svojstvo stabilnosti. Stabilnost normalne razdiobe Teorem 6.3. Neka su X1 i X2 nezavisne sluˇcajne varijable s normalnim razdi-

obama

X1 ∼ N (a1 , σ12 ),

X2 ∼ N (a2 , σ22 )

i s1 , s2 bilo koji realni brojevi. Tada vrijedi s1 X1 + s2 X2 ∼ N (s1 a1 + s2 a2 , s21 σ12 + s22 σ22 ).

Dokaz. Karakteristiˇcne funkcije sluˇcajnih varijabli X1 i X2 su Zato je

ϑXk (t) = exp(ak t − 12 σk2 t2 ), ϑsk Xk (t) = exp(sk ak t − 12 s2k σk2 t2 ),

k = 1, 2. k = 1, 2.

pa dobivamo

ϑs1 X1 +s2 X2 (t) = exp((s1a1 + s2 a2 )t − 12 (s21 σ12 + s22 σ22 )t2), sˇ to je karakteristiˇcna funkcija normalne razdiobe N (s1 a1 + s2 a2 , s21 σ12 + s22 σ22 ) . ∗∗∗ Moˇze se dokazati, u sˇ to se ovdje ne moˇzemo upuˇstati, da ovo svojstvo karakterizira normalnu razdiobu. To znaˇci da je normalna razdioba jedina stabilna na uzimanje linearnih kombinacija nezavisnih pribrojnika.

46

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Primjer 6.6. Teˇzina proizvoda A podvrgava se normalnom zakonu s parametrima a1 = 40 p, σ1 = 5 p, a teˇzina proizvoda B normalnom zakonu s parametrima a2 = 100 p, σ2 = 10 p. U jedan omot pakiraju se po dva proizvoda A i dva proizvoda - 270 p i 300 p. B . Odredi vjerojatnost da se teˇzina tako naˇcinjenog paketa kre´ce izmedu (Teˇzinu omota zanemari.)

Neka su XA i XB sluˇcajne varijable koje opisuju teˇzinu proizvoda A , odnosno B . Prema uvjetima je XA ∼ N (40, 52 ), XB ∼ N (100, 102 ). Oznaˇcimo s Y teˇzinu paketa. On sadrˇzi dva proizvoda A i dva proizvoda B , pa bismo mogli napisati Y = 2XA + 2XB . No, taj zapis nije ispravan. Naime, mi ne raˇcunamo dvostruku teˇzinu proizvoda A , ve´c zbroj dviju teˇzina koje su nezavisne jedna od druge, a imaju istu razdobu. Zato je ispravno napisati Y = XA + XA + XB + XB . ovdje su XA i XA nezavisne kopije sluˇcajne varijable XA , dakle, nezavisne sluˇcajne varijable koje imaju istu razdiobu kao i XA . Sliˇcno vrijedi za XB i XB . Prema teoremu 6.3, vrijedit c´e Y ∼ N (40 + 40 + 100 + 100, 25 + 25 + 100 + 100) = N (280, 250). Trebamo izraˇcunati vjerojatnost P (270 < Y < 300) : 300 − 280 270 − 280 ∗ √ P
Neka je X ∼ B(n, p) binomna sluˇcajna varijabla. Razdioba ove varijable za velike brojeve n nalikuje funkciji gusto´ce normalne varijable Y ∼ N (np, npq) . Za fiksni n , kvaliteta aproksimacije je bolja sˇ to je p bliˇzi 12 .

Sl. 6.6. Razdioba vjerojatnosti binomne sluˇcajne varijable i funkcija gusto´ce odgovaraju´ce normalne razdiobe. Vjerojatnosti binomne razdiobe su skalirane (za isti faktor) da bi odgovarali krivulji normalne razdiobe

Oznaˇcimo s f gusto´cu varijable Y . Tada vrijedi Lokalni teorem Moivre-Laplacea Teorem 6.4. Vjerojatnosti realizacija binomne sluˇcajne varijable B(n, p) mogu se aproksimirati pomo´cu funkcije gusto´ce normalne varijable N (np, npq) : 2

P (X = m) ≈ P (m −

1 2

< Y < m + 12 ) ≈ f (m) = √

(m−np) 1 − e 2npq . 2π npq

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

47

Primjer 6.7. Novˇci´c je baˇcen 20 puta. Koliki je najvjerojatniji broj pojavljivanja pisma? S kojom vjerojatnoˇsc´u?

Broj pojavljenih pisma je sluˇcajna varijabla s razdiobom X ∼ B(40, 12 ) . Najvjerojatniji broj realizacija ove varijable je 20 . Po lokalnom teoremu, vrijednost P (X = 20) moˇzemo aproksimirati formulom 1

P (X = 20) ≈ 2π · 40 · Toˇcna vrijednost iznosi

0.12537

40 20

·

−

1 2

·

1 2

e

(20−40· 21 )2 2·40· 21 · 12

=√

1 = 0.12616 . 20π

1 = 0.12537 . Uoˇcite kvalitetu ove aproksimacije. 240

Centralni graniˇcni teorem – Teorem Moivre-Laplacea

Jedan od najvaˇznijih zakona prirode, koji uvodi red u kaotiˇcnu sluˇcajnost, jest centralni graniˇcni teorem. Iskaz teorema i dokaz odloˇzit c´emo do 9. poglavlja. Ovdje c´emo se zadovoljiti s iskazom najvaˇznije posebnog sluˇcaja tog vaˇznog teorema, koji se odnosi na sluˇcajne varijable koje imaju binomnu razdiobu. Neka X ima binomnu razdiobu, X ∼ B(n, p) . Oˇcekivanje ove varijable je np , a X − np disperzija npq . Zato varijabla √ ima oˇcekivanje 0 i disperziju 1. npq

Teorem Moivre-Laplace Teorem 6.5. Neka je X ∼ B(n, p) . Za veliki n razdioba sluˇcajne varijable X − np moˇze se aproksimirati jediniˇcnom normalnom razdiobom: √ npq x2 1 2 B(n, p) − np 1 e− 2 u du. (6.7) < x2 ≈ √ P x1 < √ npq 2π x1

Piˇsemo B(n, p) ≈ N (np, npq) , za dovoljno veliki n .

Aproksimacija je dobra ve´c za relativno male vrijednosti broja n , npr. za n 10 . Nadalje, aproksimacija je to bolja (i toˇcnija za male vrijednosti od n ) sˇ to je vrijednost parametra p bliˇza 12 .

48

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Primjer 6.8. Izraˇcunaj vjerojatnost da se u 10 000 bacanja ispravnog novˇci´ca broj - 4 950 i 5 100. pisama nalazi izmedu

Oznaˇcimo sa X broj pojavljenih pisama. Tada je X ∼ B(10000, 12 ) . Medutim, vjerojatnost dogadaja (4950 < X < 5100) ne moˇze se jednostavno izraˇcunati, zbog mukotrpnog raˇcunanja binomnih koeficijenata i velikog broja pribrojnika. Stoga X aproksimiramo normalnom razdiobom N (5000, 2500) . Zbog velikog broja n = 10000 aproksimacija c´e biti iznimno dobra. 4950 − 5000 X − 5000 5100 − 5000 √ √ P (4950 < X < 5100) = P < √ < 2500 2500 2500 ∗ ∗ 1 = 2 [Φ (2) + Φ (1)] = 0.477 + 0.341 = 0.818. Primjer 6.9. Vjerojatnost rodenja djeˇcaka pribliˇzno je jednaka 0.515 . Kolika je - 10 000 novorodene vjerojatnost da medu djece bude viˇse djevojˇcica? Broj novorodene muˇske djece je sluˇcajna varijabla X ∼ B(10000, 0.515) . Ponovo c´emo aproksimirati X normalnom razdiobom s parametrima a = 10000 · 0.515 , σ 2 = 10000 · 0.515 · 0.485 , X ∼ N (5150, 2497.75) . Traˇzimo vjerojatnost dogadaja {X < 5000} : 1 ∗ 5000 − 5150 √ P (X < 5000) = = 12 [1 − Φ∗ (3.01)] = 0.0013. 1+Φ 2 2497.75 - vjerojatnost rodenja Primjer 6.10. Kako se odreduje djeˇcaka? Ako je vjerovati poˇ dacima, od 1871 do 1900 u Svicarskoj se rodio 1 359 671 djeˇcak i 1 285 086 djevojˇcica. Odredimo interval unutar kojeg se s vjerojatnoˇsc´u 0.997 nalazi vjerojatnost p rodenja muˇskog djeteta. Kao vrijednost vjerojatnosti p uzimamo relativnu frekvenciju rodenja muˇskog djeteta m 1 359 671 p0 = = = 0.5141. n 2 644 757 Broj m novorodene muˇske djece ravna se po binomnoj razdiobi s parametrima p0 i n = 2 644 717 . Moˇzemo ga aproksimirati sa zakonom N (np0 , np0 q0 ) . Stoga je razdioba varijable p p q m 0 0 p= . ∼ N p0 , n n p0 q0 Oznaˇcimo σ = . Po pravilu 3σ vrijedi P(|p − p0 | < 3σ ) = 0.997 . Primijetin mo joˇs da je uvijek p0 q0 < 14 . Stoga p0 q0 3 3σ = 3 √ = 0.00013. n 3 4n Dobili smo 0.5132 < p < 0.5160 s vjerojatnoˇsc´u od barem 0.997 .

ˇ ˇ 6.3. RACUNANJE RAZDIOBE I KVANTILA NORMALNE SLU CAJNE VARIJABLE

- pri jednom pokusu je 0.3 . S Primjer 6.11. Vjerojatnost pojavljivanja dogadaja - u 100 pokusa leˇzi u kojom vjerojatnoˇsc´u moˇzemo tvrditi da uˇcestalost tog dogadaja granicama 0.2 – 0.4 ? - u 100 pokusa je sluˇcajna varijabla X ∼ B(100, 0.3) Broj pojavljivanja dogadaja koju moˇzemo aproksimirati normalnom N (30, 21) . 19.5 − 30 X − 30 40.5 − 30 √ P (20 X 40) = P < √ < √ 21 21 21 10.5 = Φ∗ √ = Φ∗ (2.29) = 0.978. 21 Da bismo pove´cali toˇcnost rezultata kod aproksimacije diskretne razdiobe neprekidnom, donju smo granicu s 20 smanjili na 19.5 , a gornju granicu s 40 pove´cali na 40.5 . Ta se korekcija primjenjuje za relativno male vrijednosti od n . Naime, dogadaju (X = k) 1 1 - (k − < X < k + ) kod aproksimacije za diskretnu varijablu X odgovara dogadaj 2 2 neprekinutom varijablom. Pretpostavimo da gornji pokus ponavljamo 1000 puta. Izraˇcunaj vjerojatnost da - bude u istim granicama i usporedi rezultate. uˇcestalost dogadaja

6.3. Racˇ unanje razdiobe i kvantila normalne slucˇ ajne varijable Vrijednosti funkcije Φ∗ , ili neke druge funkcije pomo´cu koje se ona moˇze lako izraˇcunati, zapisane su u mnogim dˇzepnim raˇcunalima i svim programima koji se koriste za statistiˇcku obradu podataka. Lako je napisati nezavisan potprogram za raˇcunanje ove funkcije. Opisat c´emo proceduru. Raˇcunanje vrijednosti funkcije ercf

Pokazuje se da je najlakˇse izraˇcunati repnu vjerojatnost koju opisuje ercf funkcija: ∞ 2 1 ercf(x) = √ e−t /2 dt. 2π x Veze s ve´c uvedenim funkcijama su oˇcite: Φ(x) = 1 − ercf(x), Φ∗ (x) = 1 − 2 ercf(x). Za svaki x vrijedi ercf(−x) = 1 − ercf(x) , pa je dovoljno poznavati vrijednosti ove funkcije za pozitivne brojeve x . ( ercf(0) = 12 ). Neke istaknute vrijednosti za ercf , kao i za njezin inverz, dane su u sljede´cim tablicama. Te vrijednosti c´e posluˇziti kao provjera numeriˇckih postupaka koji c´e uslijediti. Sve decimale u ovoj tablici su toˇcne:

49

50

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

x 1 2 3 4 5 6 7

ercf(x) 1.586552539 × 10−1 2.275013195 × 10−2 1.349898032 × 10−3 3.167124183 × 10−5 2.866515719 × 10−7 9.865876450 × 10−10 1.279812544 × 10−12

q 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7

ercf −1 (q) 1.281551565 2.326347874 3.090232306 3.719016485 4.264890793 4.753424309 5.199337582

Program ercf-1. Sljede´ci algoritam * daje vrijednosti funkcije ercf s pogreˇskom koja je manja od 7.5 × 10−8 . x2 h(t), ercf(x) = exp − 2 1 p = 0.2316419, t= , 1 + px h(t) = a1 t + a2 t2 + a3 t3 + a4 t4 + a5 t5 = t a1 + t a2 + t a3 + t a4 + a5 t Koeficijenti polinoma h dani su u tablici: 0.127414796 a1 = a2 = −0.142248368 0.710706871 a3 = a4 = −0.726576013 0.530702714 a5 = Vrijednosti polinoma h treba raˇcunati pomo´cu prikaza sa zagradama, jer se tako smanjuje broj operacija i numeriˇckih pogreˇsaka. Primjenom ovog algoritma dobivaju se vrijednosti: x ercf(x) 1 0.15865526 1.586552597992 0.02275006 2.275006205343 0.00134997 1.349967224684 3.168603 × 10−5 3.168603464985 2.871050 × 10−7 2.871050000316 0.990122 × 10−10 9.90121858959 Program ercf-2. Jednostavniji (i manje precizan) algoritam temelji se na sljede´coj aproksimaciji funkcije h : p = 0.33267, h(t) = b1 t + b2 t2 + b3 t3 . * M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Washington 1964 (na stranicama 932 i 933).

ˇ ˇ 6.3. RACUNANJE RAZDIOBE I KVANTILA NORMALNE SLU CAJNE VARIJABLE

Koeficijenti su:

b1 b2 b3

= = =

0.174012080 −0.047939936 0.373927802

Primjenom ovog algoritma dobivaju se vrijednosti: x 1 2 3 4 5 6

ercf(x) 0.15864866 0.022758810 0.001354904 3.199352 × 10−5 2.920580 × 10−7 1.014997 × 10−9

Raˇcunanje kvantila — inverz ercf funkcije

Pri rjeˇsavanju obratnog problema, nalaˇzenju vrijednosti broja xq za koji vrijedi ercf(xq ) = q , moˇzemo postupiti na dva naˇcina. Program inverz-1. Prvi je naˇcin primjeniti op´ceniti iterativni postupak za rjeˇsavanje inverznog problema. Izaberemo x0 po volji, a zatim raˇcunamo 1 h(tn ) , xn+1 = 2 ln tn = 1 + pxn q pri cˇemu je h(t) polinom koriˇsten u prethodnom algoritmu. Zatim se postupak ponavlja prema ovoj iterativnoj formuli. Prekidamo ga kad se decimale od xn ustale. Konvergencija je neovisna o izboru poˇcetne vrijednosti za x0 . Program inverz-2. Drugi je naˇcin raˇcunanja direktan, opisan algoritmom:

c0 + c1 t + c2 t2 , t = −2 ln q. xq = t − 2 3 1 + d1 t + d2 t + d3 t Koeficijenti su: c0 c1 c2

= = =

2.515517 0.802853 0.010328

d1 d2 d3

= = =

1.432788 0.189269 0.001308

Uˇcinjena pogreˇska manja je od 4.5 × 10−4 Primjenom prvog algoritma (inverz-1) dobivaju se vrijednosti: x 1 2 3 4 5 6

ercf(x) 0.15865526 0.022750062 0.001349967 3.168603 × 10−5 2.866516 × 10−7 9.901219 × 10−10

q 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6

ercf −1 (q) 1.281552 2.326347 3.090252 3.719090 4.265043 4.753673

51

52

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

Primjenom drugog algoritma (inverz-2): q 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6

ercf −1 (q) 1.281729 2.326785 3.090522 3.719124 4.264845 4.753258

Program inverz-3. Brˇzi algoritmi, direktni t=

−2 ln q,

xq = t −

a0 + a1 t 1 + b1 t + b2 t2

Koeficijenti su: a0 a1

= =

2.30753 0.27061

b1 b2

= =

0.99229 0.04481

Uˇcinjena pogreˇska manja je od 3 × 10−3 . Primjenom tre´ceg algoritma (inverz-3): q 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6

ercf −1 (q) 1.28013 2.32765 3.09262 3.72178 4.26770 4.75613

Aproksimacija veriˇznim razlomcima

U raˇcunalnim programima vrijednost error funkcije, a time i funkcije distribucije normalne razdiobe, raˇcuna se primjenom algoritma za raˇcunanje veriˇznih razlomaka. Naime, error funkcija moˇze se prikazati na dva razliˇcita naˇcina pomo´cu veriˇznih razlomaka. Za zadani x raˇcunamo 2 1 ϕ (x) = √ e−x /2 2π i zatim: Prikaz A. ercf(x) = ϕ (x) · g(x), 1 1 2 3 4 g(x) = ..., x+ x+ x+ x+ x+

x 1.

ˇ ˇ 6.3. RACUNANJE RAZDIOBE I KVANTILA NORMALNE SLU CAJNE VARIJABLE

Prikaz B. 1 − ϕ (x)h(x), 2 x −x2 2x2 −3x2 4x2 h(x) = ..., 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ ercf(x) =

0 x 4.

Formula A vrijedi za svaki x > 0 , ali je za x < 1 konvergencija spora. Isto tako, formula B vrijedi za svaki x 0 . Veriˇzni se razlomci mogu raˇcunati na dva razliˇcita naˇcina, prema naprijed — gdje se u svakoj iteraciji dodaje joˇs jedan razlomak u prikazu, ili unazad, kad se unaprijed odredi potreban broj iteracija i raˇcuna od posljednjeg razlomka prema prvom. Drugi je naˇcin numeriˇcki stabilniji. Algoritam izgleda ovako: 1. Odredi se broj n . 2A. Raˇcunaju se rekurzije: n zn = x + . x n−1 , z n −1 = x + zn n−2 z n −2 = x + , z n −1 .. . 2 z2 = x + , z3 2 z1 = x + , z2 1 h(x) = . z1 2B. Raˇcunaju se rekurzije: (−1)n · nx2 , 2n + 1 (−1)n−1(n − 1)x2 = (2n − 3) + , zn

zn = (2n − 1) + z n −1 .. . 2x2 , z3 −x2 , z1 = 1 + z2 x g(x) = . z1 z2 = 3 +

53

54

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

Potreban broj iteracija ovisi o broju x . Da bi se dobila toˇcnost od 10 znamenaka, dovoljno je uzeti sljede´ci broj iteracija: x 10−10 10−5 0.01 0.1 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 10 15 20

A − − − − − − 162 77 45 31 23 15 12 10 6 5 4

B 1 1 1 3 4 5 8 12 14 18 21 30 − − − − −

ercf(x) 0.4999999999 0.4999960105 0.4960106436 0.4601721627 0.4207402905 0.3085375387 0.1586552539 0.06680720126 0.02275013194 0.006209665325 0.001349898031 3.167124183 × 10−5 2.866515718 × 10−7 9.865876450 × 10−10 7.619853024 × 10−24 3.670966199 × 10−51 2.753624118 × 10−89

U prvom stupcu dana je vrijednost nepoznanice x , u drugom i tre´cem minimalni broj iteracija n za svaki od dvaju algoritama, a u cˇetvrtom vrijednost error funkcije.

6.4. Rijeˇseni zadatci

Zadatak 6.2. Bacamo kocku 80 puta. Koliki je najvjerojatniji broj pojavljivanja jedinice? S kojom vjerojatnoˇsc´u?

Broj pojavljivanja jedinice je sluˇcajna varijabla s razdiobom X ∼ B(80, 16 ) . Najvjerojatniji broj realizacija ove varijable je 13 (vidi poglavlje o binomnoj razdiobi). Po lokalnom teoremu, vrijednost P (X = 13) moˇzemo aproksimirati formulom P(13) ≈

1 2π · 80 ·

−

1 6

·

5 6

e

(13−80· 61 )2 2·80· 61 · 65

= 0.119085.

Toˇcna vrijednost iznosi 0.119506 , s vrlo dobrom aproksimacijom. Greˇska se pove´cava s odstupanjem od ove vrijednosti: vjerojatnost dogadaja {X = 7} iznosi 0.018823 dok gornja formula daje 0.019685 , s relativnom pogreˇskom 4.6% .

ˇ 6.4. RIJE SENI ZADATCI

55

Zadatak 6.3. Test na razredbenom postupku na FER-u sadrˇzi 40 zadataka. Za svaki zadatak je ponudeno 5 odgovora od kojih je samo jedan toˇcan. Toˇcan odgovor donosi 15 bodova, a netoˇcan −4 boda. Izraˇcunaj vjerojatnost da pristupnik koji nasumce - prag upisa od 135 bodova. odgovori na sva postavljena pitanja 1 prijede

Oznaˇcimo sa X broj toˇcnih odgovora, a sa Z broj dobivenih bodova. Tada je Z = 15X − 4(40 − X) = 19X − 160. Traˇzimo vjerojatnost dogadaja (Z 135) tj. (19X − 160 135) , tj. (X 16) . X je binomna sluˇcajna varijabla s parametrima n = 40 i p = 15 . Aproksimirat c´emo je normalnom razdiobom N (8, 6.4) : X−8 15.5 − 8 1 1 P (X 16) = P √ > √ = − Φ∗ (2.96) = 0.0016. 2 2 6.4 6.4 Zadatak 6.4. Koliki broj nezavisnih pokusa moramo izvesti da bi vjerojatnost po- A barem 15 puta bila 0.8 , ako je vjerojatnost pojavljivanja dogajavljivanja dogadaja daja A u jednom pokusu 0.2 ?

Neka je X sluˇcajna varijabla: broj pojavljivanja dogadaja A u n nezavisnih pokusa. Tada je X ∼ B(n, p) i moˇzemo aproksimirati X ≈ N (np, npq) . Tu je p = 0.2 , pq = 0.16 . 1 1 ∗ 14.5 − 0.2n √ P (15 X) = 2 − 2 Φ 0.16n 0.2n − 14.5 √ = 0.8 = 12 + 12 Φ∗ 0.4 n Dobivamo Φ

∗

0.2n − 14.5 √ 0.4 n

= 0.6.

U tablicama cˇitamo Φ∗ (0.841) = 0.59965 , Φ∗ (0.842) = 0.60021 . Interpolacijom zakljuˇcujemo Φ∗ (0.84164) = 0.6 . Dakle 0.2n − 14.5 √ = 0.84164 0.4 n sˇ to nakon sredivanja daje s rjeˇsenjem

√ 0.2n − 0.33666 n − 14.5 = 0 √ n = 9.40 =⇒ n = 88.31.

Pokus moramo ponoviti 89 puta. 1

Analiza testova (broja rjeˇsavanih zadataka i rezultata) pokazuje da uvijek postoje takvi.

56

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Zadatak 6.5. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po binomnom zakonu s parametrima n = 100 i nepoznatim p . Odredi p ako je poznato P (X 20) = 0.841 .

Binomnu razdiobu X ∼ B(100, p) moˇzemo aproksimirati normalnom, X ≈ N (100p, 100p(1 − p)) . X − 100p 19.5 − 100p P (X 20) = P > = 0.841. √ √ 10 pq 10 pq Vidimo da vrijedi 19.5 − 100p < 0 . Prema tome: 100p − 19.5 1 = 0.682 = Φ∗ (1) Φ∗ = 2 0.841 − √ 10 pq 2 i dobivamo

100p − 19.5 = 10 p(1 − p) =⇒ 101p2 − 40p + 3.8025 = 0, s rjeˇsenjima p1 = 0.2376, p2 = 0.1585 od kojih zadovoljava samo prvo. Zadatak 6.6. Igla, koju je 1901.g. Lazzarini bacio 3408 puta, u 1356 navrata presjekla je neki od paralelnih pravaca dobivˇsi za π aproksimaciju π ≈ 3, 1415929 . Kolika je vjerojatnost da c´e netko, ponovivˇsi ovaj pokus, dobiti Lazzarinijev rezultat?

Broj pokusa u kojima c´e igla presje´ci neki od pravaca je binomna sluˇcajna varijabla 2l = 0.397887 . Traˇzimo vjerojatnost dogadaja X , s parametrima n = 3408 i p = aπ (X = 1356) , pomo´cu lokalnog teorema Moivre-Laplacea. 3408 1356 2052 P (X = 1356) = p q 1356 (1356 − 3408 · p)2 1 = 0.01396. exp − ≈√ 2 · 3408 · pq 2π · 3408 · pq § 6. Zadatci za vjeˇzbu

1. Odredi oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne varijable zadane gusto´com razdiobe f (x) = 10e−10x ,

x > 0.

- je slu2. Duljina X ispravnog rada nekog uredaja cˇajna varijabla s eksponencijalnom razdiobom. Ako - raditi isje poznato da c´e s vjerojatnoˇsc´u 0.4 uredaj pravno tijekom jedne godine, kolika je vjerojatnost - njih barem 40 ispravno da c´e od 50 takvih uredaja raditi tijekom prvih sˇ est mjeseci?

3. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe f (x) = 13 e−x/3 , x > 0. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja A = (X > 3), B = (X > 6 | X > 3), C = (X > t+3 | X > t).

ˇ 6. ZADATCI ZA VJE ZBU

57

4. Vrijeme ispravnog rada sklopa A u nekom uredaju je sluˇcajna varijabla X s eksponencijalnom razdiobom i oˇcekivanjem E(X) = 6 mjeseci. Ako se sklop A pokvari, u rad se ukljuˇcuje rezervni sklop B s istim karakteristikama. Kolika je vjerojatnost - ispravno raditi tijekom jedne godine? da c´e uredaj 5. Vrijeme (u danima) ispravnog rada nekog stroja je eksponencijalna sluˇcajna varijabla s parametrom 1 λ = 200 . Nakon godinu dana ispravnog rada, stroj se servisira (bez obzira na ispravan rad). Izraˇcunaj oˇcekivano vrijeme rada stroja do servisiranja. 6. Neka X ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Izraˇcunaj E(X k ) . 7. Neka je X sluˇcajna varijabla: vrijeme ispravnog rada nekog uredaja. Pretpostavimo da je uvjetna - prestati s radom unutar vjerojatnost da c´e uredaj kratkog vremenskog intervala (x, x + Δx) , ako je poznato da je ispravno radio do trenutka x , jednaka P (X < x + Δx | X > x) = λ (x)Δx + r, r → 0 kad Δx → 0. Δx Pokaˇzi da funkcija razdiobe varijable X glasi „ Z x « F(x) = 1 − exp − λ (u)du . 0

8. Ako je u prethodnom zadatku λ (x) = λ (konstanta, nepromjenjiva u vremenu), dokaˇzi da X ima ˇ eksponencijalnu razdiobu. Cesto se vrijeme ispravnog rada elektroniˇckih uredaja ravna po Weibullovoj razdiobi, kod koje je λ (x) = Cα xα −1 , (α < 1) . Odredi pripadnu funkciju razdiobe i gusto´ce. 9. Sluˇcajna varijabla X ima Erlangovu distribuciju, s gusto´com xn e−x , x 0, n! a sluˇcajna varijabla Y ima Poissonovu razdiobu f (x) =

λ n −λ e . n! Pokaˇzi da vrijedi 1 − F(λ ) = G(n) , gdje su F , G redom funkcije razdioba varijabli X i Y . pn =

∗∗∗ 10. Odredi konstantu C tako da f (x) = Ce−x

2

+4x

, x∈R

bude gusto´ca (normalne) razdiobe. Izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju te razdiobe.

11. Neka je X jediniˇcna normalna sluˇcajna varijabla. Odredi vjerojatnost sljede´cih dogadaja A. 0 < X < 1.42 ; B. −0.73 X < 0 ; C. −1.73 < X < 2.01 ; D. 0.65 X 1.26 ; E. −1.79 < X < −0.54 ; F. X > 1.13 ; G. |X| 0.5 . 12. Neka je X jediniˇcna normalna varijabla. Odredi broj t tako da bude A. P (0 < X < t) = 0.4236 , B. P (X < t) = 0.7967 , C. P (t < X < 2) = 0.1 . 13. Neka je X normalna varijabla s oˇcekivanjem 8 i odstupanjem 4 . Odredi A. P (5 < X < 10) , B. P (10 < X < 15) , C. P (X > 15) , D. P (X 5) . 14. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (2, 4) . Izraˇcunaj uvjetnu vjerojatnost P (−1 < X < 1 | 0 < X < 3). 15. Greˇska pri mjerenju je normalna varijabla s parametrima a = 0 i σ = 30 m. Odredi vjerojatnost da je greˇska po apsolutnoj vrijednosti manja od 42 m. 16. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu s oˇcekivanjem a = 3 , i vrijedi P (X < 5) = 0.6915 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja {−1 < X < 6} . 17. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po normalnom zakonu N (4, σ 2 ) . Odredi σ ako je poznato P (2 < X < 6) = 0.8664 . 18. Neka je sluˇcajna varijabla X distribuirana po normalnom zakonu N (0, σ 2 ) i neka su 0 < a < b zadani brojevi. Uz koje c´e odstupanje σ vjerojatnost dogadaja (a < X < b) biti najve´ca? 19. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po normalnom zakonu N (a, σ 2 ) . Odredi E(|X − a|) . 20. p Sluˇcajna varijabla Y zadana je formulom Y = |X| . Odredi gusto´cu razdiobe varijable Y ako X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. 21. Duljina nekih detalja distribuirana je po zakonu normalne razdiobe. Srednja vrijednost duljine je 50 cm, a 10 % proizvoda ima duljinu ve´cu od 52 cm. Odredi simetriˇcni interval oko srednje vrijednosti unutar kojeg se s vjerojatnoˇsc´u 99% nalaze duljine tih detalja. 22. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (a, σ 2 ) . Odredi gusto´cu i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Y = (X − a)2 .

58

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

23. Teˇzina nekog proizvoda ravna se po normalnoj razdiobi. Srednja vrijednost je 1000 p, a 10% proizvoda ima teˇzinu ve´cu od 1020 p. Odredi simetriˇcni interval oko srednje vrijednosti unutar kojeg se s vjerojatnoˇsc´u 99% nalazi teˇzina tog proizvoda? ∗∗∗ 24. Teˇzina serijski radenog gradevinskog elementa sluˇcajna je varijabla podvrgnuta normalnoj razdiobi s parametrima a = 0.5 tona, σ = 0.01 tona. Kolika je vjerojatnost da teˇzina 5 takvih elemenata premaˇsi 2.55 tona? 25. U paket stavljamo 3 proizvoda tipa A i 2 proizvoda tipa B . Ako je teˇzina proizvoda A normalna varijabla X ∼ N (aX = 200p, σX = 10p), - normalna varijabla a teˇzina proizvoda B takoder Y ∼ N (aY = 100p, σY = 20p), kolika je vjerojatnost da teˇzina paketa bude ve´ca od 750 p? 26. Sluˇcajne varijable X1 , X2 , X3 su medusobno nezavisne, s normalnim razdiobama N (0, 1) , N (1, 1) , N (2, 4) redom. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (X1 < X3 − X2 ) . 27. Medusobno nezavisne sluˇcajne varijable X , Y , Z podvrgavaju se normalnim radiobama, redom X ∼ N (1, 1) , Y ∼ N (4, 4) , Z ∼ N (9, 9) . Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja (X 3Y − 2Z) . 28. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y podvrgavaju se normalnim razdiobama sa sredinama aX = 2 , aY = 3 te disperzijom σX2 = σY2 = σ 2 . Odredi σ 2 - (X > Y) ima vjerojatnost 40%. ako dogadaj 29. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju normalne razdiobe s parametrima aX = 1 , aY = 3 i nepoznatim σX , σY . Ako vrijedi P (0 < X < 1) = P (2 < Y < 4) = 0.4, kolika je vjerojatnost dogadaja (2 < X + Y < 6) ? 30. Neka su X1 i X2 medusobno nezavisne slucˇajne varijable s normalnim distribucijama: X1 ∼ N (5, 4) , X2 ∼ N (4, 9) , nadalje, neka je Z = 2X1 + X2 , W = X1 + 2X2 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (Z > W) . 31. Teˇzina proizvoda A je normalna sluˇcajna varijabla s parametrima μA = 3 , σA = 0.7 , a teˇzina proizvoda B normalna sluˇcajna varijabla s parametrima μB = 4 , σB = 0.2 . Ako na prvi krak vage stavimo 6 proizvoda tipa A , a na drugi krak iste vage 5 proizvoda tipa B , kolika je vjerojatnost da c´e drugi krak pretegnuti?

∗∗∗ - vjerojatnost da se broj devetki medu - 10 000 32. Nadi - 940 i na sre´cu odabranih znamenki nalazi izmedu 1060. 33. Kocka je baˇcena 1200 puta, pritom se broj 1 pojavio 140 puta. Moˇze li se prihvatiti hipoteza o ispravnosti ove kocke? 34. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = x2 , 0 < x < 1 . Izraˇcunaj vjerojatnost da u 50 nezavisnih pokusa varijabla X poprimi - 0.25 i 0.5 barem 10 puta. vrijednost izmedu 35. Vjerojatnost rodenja djeˇcaka pribliˇzno je jed- 100 naka 0.515 . Kolika je vjerojatnost da medu novorodene djece bude od 50 do 55 djeˇcaka? 36. Koliko puta treba baciti kocku da vjerojatnost dogadaja ˛ « „˛ ˛ ˛m ˛ − 1 ˛ 0.01 ˛n 6˛ bude barem 0.5 , gdje je m broj pojavljivanja jedinice u n bacanja. 37. Neprekidna sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = ax2 , 0 x 3. Odredi konstantu a . Izraˇcunaj vjerojatnost da u 100 nezavisnih pokusa sluˇcajna varijabla X popri- 1 i 2 barem 30 puta. mi vrijednost izmedu 38. Neki stroj proizvodi 60 % proizvoda prve kva- 75 proizvoda litete. Izraˇcunaj vjerojatnost da medu barem 40 bude prve kvalitete. 39. Vjerojatnost realizacije dogadaja A u jednom pokusu je 0.1 . Koliko nezavisnih pokusa mora- A mo uˇciniti da bi se s vjerojatnoˇsc´u 0.8 dogadaj realizirao barem 5 puta? 40. Neki stroj proizvodi 40% proizvoda prve kvalitete. Koliko je proizvoda u svakoj seriji potrebno proizvesti, da bi s vjerojatnoˇsc´u 70% u svakoj seriji imali barem 30 proizvoda prve kvalitete? 41. Bacamo par kocaka. Neka je A = { zbroj brojeva na obje kocke je barem 10 } . Izraˇcunaj P (A) . Odredi potreban broj bacanja tako da vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A barem jednom, bude vec´a od 0.8 . Izraˇcunaj oˇcekivanje broja bacanja do pojavljivanja dogadaja A. 42. Vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A u svakom od nezavisnih pokusa je 0.8 . Koliko pokusa treba napraviti da bi s vjerojatnoˇsc´u 0.9 broj pojavljivanja dogadaja A bio ve´ci od 75? 43. Toˇcka se bira na sre´cu unutar kvadrata stranice 1. Kolika je vjerojatnost da c´e od 50 izabranih toˇcaka barem 40 pasti unutar kruga upisanog tom kvadratu?

ˇ 6. ZADATCI ZA VJE ZBU

∗∗∗ 44. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po Laplaceovom zakonu ako je njezina gusto´ca „ « 1 |x − a| f (x) = exp − 2α α gdje je a ∈ R proizvoljan te α > 0 . Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . 45. Sluˇcajna varijabla X ima lognormalnu razdiobu ako je njezina gusto´ca „ « (ln x − a)2 1 √ exp − , x>0 f (x) = 2σ 2 xσ 2π gdje je a ∈ R proizvoljan te σ > 0 . ( X opisuje razdiobu veliˇcine cˇestica pri mrvljenju, npr. veliˇcinu - i distribuciju veliˇcine cˇestica zrnca pijeska, takoder pla´ca.) Odredi oˇcekivanje i disperziju od X .

59 46. Sluˇcajna varijabla X ima Rayleighovu razdiobu, s gusto´com 2 2

f (x) = 2h2 xe−h

x

,

x > 0.

Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . 47. Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima (α , β ) , ako je njezina gusto´ca f (x) =

β α α −1 −β x e , x > 0. x Γ(α )

Izraˇcunaj a) E(X) , b) D(X) , c) E(X n ) . 48. Izraˇcunaj mod, oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne varijable s gusto´com f (x) =

γ m−1 −m −γ /x x e , x > 0. (m − 2)!

(Piersonov zakon prvog tipa.)

7.

Sluˇcajni vektori

1. 2. 3. 3. 4. 5.

Sluˇcajni vektori, razdiobe i gusto´ce . . Uvjetne razdiobe. Uvjetno oˇcekivanje Dvodimenzionalna normalna razdioba Viˇsedimenzionalna normalna razdioba Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

60 69 72 78 83 86

7.1. Slucˇ ajni vektori, razdiobe i gusto´ce U nekom stohastiˇckom eksperimentu moˇzemo promatrati viˇse od jedne sluˇcajne varijable. Na primjer, pri sluˇcajnom odabiru neke osobe iz velike populacije, sluˇcajne varijable mogu biti njezina dob, visina, teˇzina, broj cipela. . . . Svaka od tih varijabli ima odredenu razdiobu. Poznavanje tih razdioba ne donosi punu informaciju o obiljeˇzjima te osobe. Naime, varijable koje su ovdje ukljuˇcene su medusobno ovisne, znaju´ci jednu od njih, s ve´com ili manjom sigurnoˇsc´u moˇzemo neˇsto kazati i - tim sluˇcajnim varijablama. o vrijednosti drugih. Zbog toga je nuˇzno poznavati i veze medu Da bismo obuhvatili meduovisnost dviju ili viˇse sluˇcajnih varijabli, moramo razviti matematiˇcki aparat kojim moˇzemo prouˇcavati viˇsedimenzionalne sluˇcajne varijable — sluˇcajne vektore.

Razdioba sluˇcajnih vektora

n -dimenzionalni sluˇcajni vektor jest uredena n -torka sluˇcajnih varijabli X = n (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω → R . Funkcija razdiobe sluˇcajnog vektora definira se na analogan naˇcin kao i u jednodimenzionalnom sluˇcaju: (7.1) F(x1 , . . . , xn ) := P (X1 < x1 , . . . , Xn < xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . U dvodimenzionalnom sluˇcaju koristit c´emo jednostavnije oznake. Vektor c´emo uglavnom oznaˇcavati sa (X, Y) . Funkcija razdiobe u ovom sluˇcaju je definirana formulom F(x, y) := P (X < x, Y < y). 60

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

61

´ I GUSTO CE

Sl. 7.1. Vrijednost funkcije razdiobe u toˇcki (x, y) jednaka je vjerojatnosti da sluˇcajan vektor poprimi vrijednost u kvadrantu s gornjim vrhom u toˇcki (x, y) .

∗∗∗ Odredivanje funkcije razdiobe nije toliko jednostavno kao u jednodimenzionalnom sluˇcaju: Primjer 7.1. Toˇcka se bira na sre´cu unutar trokuta ((x, y) : x > 0, y > 0, x + y < 1) . Neka su (X, Y) kartezijeve koordinate te toˇcke. Odredi funkciju razdiobe i gusto´ce tog vektora.

Ravninu moramo rastaviti na sˇ est podruˇcja (slika 7.2). Na dijelu 1 je 2

F(x, y) = P (X < x, Y < y) = 0.

y

Unutar trokuta, na dijelu 2 vrijedi

y

F(x, y) = xy. Na dijelu 3 imamo F(x, y) = 1 − (1 − x)2 − (1 − y)2 Poviˇse trokuta, na dijelu 4 vrijedi F(x, y) = 1 − (1 − x)2 .

1

6 @

4

6

@@ 3 @@ 5 2 @ q

q

x

x 1

Sl. 7.2.

Ovu vrijednost moˇzemo dobiti iz prethodne uvrˇstavaju´ci y = 1 . Naime, na ovom podruˇcju vrijedi P (X < x, Y < y) = P (X < x, Y < 1) . Sliˇcno, na podruˇcju 5 dobivamo F(x, y) = 1 − (1 − y)2 dok je na podruˇcju 6 F(x, y) = 1 . Prema tome, dobili smo ⎧ 0, x 0 ili y 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xy, 0 x 1, 0 y 1, x + y 1, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 − (1 − x)2 − (1 − y)2 , 0 x 1, 0 y 1, x + y 1, F(x, y) = 2 ⎪ , 0 x 1, y 1, 1 − (1 − x) ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 0 y 1, x 1, 1 − (1 − y) , ⎪ ⎪ ⎩ 1, x 1, y 1

62

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

∗∗∗ Treba naglasiti joˇs jednu bitnu razliku prema jednodimenzionalnom sluˇcaju. Poz- i ovdje sluˇcajan vektor u potpunosti, ali pomo´cu navanje funkcije razdiobe odreduje vrijednosti te funkcije ne moˇzemo na jednostavan naˇcin odgovoriti na temeljno pitanje: kolika je vjerojatnost da sluˇcajan vektor poprimi vrijednost unutar nekog podruˇcja G ?. Direktan odgovor na to pitanje mogu´c je samo za podruˇcja koja su oblika kvadranta, ili neka koja se mogu lako prikazati unijom ili presjekom takvih kvadranata. Medutim, interesantna podruˇcja u ravnini uglavnom nemaju takve oblike. Tako na primjer, pomo´cu funkcije razdiobe ne moˇzemo odgovoriti na to pitanje za podruˇcja koja su oblika kruga ili na primjer, trokuta. Tako c´e pri prouˇcavanju sluˇcajnih vektora glavnu ulogu imati gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora. Gusto´ca razdiobe. Neprekinuti sluˇcajni vektori

Za sluˇcajan vektor (X1 , . . . , Xn ) kaˇzemo da je neprekinut ako postoji funkcija f : Rn → [0, ∞ takva da za sve x1 , x2 , . . . , xn vrijedi x1 xn F(x1 , . . . , xn ) = ··· f (u1 , . . . , un )du1 . . . dun . (7.2) −∞

−∞

Funkciju f nazivamo gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora. Tamo gdje je F diferencijabilna, vrijedi ∂ n F(x1 , . . . , xn ) (7.3) f (x1, . . . , xn ) := ∂x1 · · · ∂xn

∗∗∗ Prema (7.2) i definiciji funkcije razdiobe, moˇzemo napisati x y f (u, v) du dv P (X < x, Y < y) = −∞ −∞

Odavde lako slijedi sljede´ca formula x2 y2 P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) =

f (x, y) dx dy. x1 y1

Prema tome, za pravokutnik G = {(x, y) : x1 < x < x2 , y1 < y < y2 } vrijedi formula f (x, y) dx dy. P ((X, Y) ∈ G) = G

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

63

´ I GUSTO CE

Svako se dovoljno dobro podruˇcje moˇze rastaviti na, prema potrebi beskonaˇcnu, uniju pravokutnika. Koriste´ci svojstva aditivnosti i neprekinutosti integrala, moˇzemo stoga prihvatiti sljede´cu temeljnu formulu: Racˇ unanje vjerojatnosti realizacije slucˇ ajnog vektora

Za svaki izmjerivi skup G ⊂ Rn vrijedi P ((X1 , . . . , Xn ) ∈ G) = ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn .

(7.4)

G

Primjer 7.2. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe f . Izrazimo vjerojat- a) X > Y ; b) X > |Y| ; c) |X| < Y ; d) Y − X > 1 . nosti dogadaja

Vrijedi P ((X, Y) ∈ G) =

6 y

a)

. . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

G

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

b)

-

6 y

. . . . . .

@

x

f (x, y)dx dy.

G

. . . .

.

. .

. G . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

@@

x

c)

6 y

@@G @ . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . .

x

Sl. 7.3.

x dx f (x, y)dy, −∞ −∞ ∞ y c) dy f (x, y)dx,

a)

∞

−y

0

∞

b) d)

0

∞

−∞

dx dx

6 G y

d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

. . .

. . . . . . . . .

1

x

x

f (x, y)dy, −x ∞

f (x, y)dy

x+1

Marginalne razdiobe

Ako nam je poznata razdioba vektora (X1 , X2 , . . . , Xn ) , tada moˇzemo odrediti razdiobu svake njegove komponente Xi . Takve se razdiobe nazivaju marginalne razdiobe sluˇcajnog vektora. Vrijedi P(Xi < xi ) = P(X1 < ∞, . . . , Xi < xi , . . . , Xn < ∞) To znaˇci da se vrijednost marginalne funkcije razdiobe moˇze dobiti tako da se izracˇuna limes u beskonaˇcnosti po svim varijablama, osim one s indeksom i . To kratko zapisujemo na naˇcin: Fi (xi ) := F(∞, . . . , xi , . . . , ∞).

64

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

U praksi, cˇeˇsc´e baratamo s gusto´cama. Zbog veze funkcije razdiobe i gusto´ce za marginalnu gusto´cu varijable Xi vrijedi ∂Fi (xi ) = ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn . f i (xi ) := ∂xi Rn−1

Za dvodimenzionalni sluˇcajni vektor (X, Y) koristit c´emo jednostavnije oznake. Za gusto´cu vrijedi ∂ 2 F(x, y) , ∂x ∂y

f (x, y) := marginalne razdiobe:

FX (x) := F(x, ∞) = FY (y) := F(∞, y) = marginalne gusto´ce: f X (x) := f Y (y) :=

∞

−∞ ∞

x

dx −∞ y

dy −∞

∞

−∞ ∞

x

f (x, y)dy = −∞ y

f (x, y)dx =

−∞

−∞

f X (x)dx, f Y (y)dy,

f (x, y)dy, f (x, y)dx.

−∞

Nezavisnost

Komponente X1 , . . . , Xn sluˇcajnog vektora (X1 , . . . , Xn ) su sluˇcajne varijable. One mogu ali ne moraju biti medusobno nezavisne. Prisjetimo se, sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne ako vrijedi P (X1 ∈ A1 , . . . , Xn ∈ An ) = P (X1 ∈ A1 ) · . . . · P (Xn ∈ An ) za sve izmjerive skupove A1 , . . . , An ⊂ R . Izaberimo skupove Ai = −∞, xi . Onda je P (Xi ∈ Ai ) = P (Xi < xi ) = Fi (xi ) . Ako su X1 , . . . , Xn nezavisne, onda zakljuˇcujemo da vrijedi F(x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) · . . . · Fn (xn ),

∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn

(7.5)

Preko funkcija gusto´ca kriterij za nezavisnost moˇzemo iskazati ovako: Kriterij nezavisnosti za neprekinute slucˇ ajne vektore Teorem 7.1. Komponente X1 , . . . , Xn neprekinutog sluˇcajnog vektora (X1 , . . . , Xn ) su nezavisne onda i samo onda ako vrijedi f (x1 , . . . , xn ) = f 1 (x1 ) · . . . · f n (xn ), ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .

(7.6)

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

65

´ I GUSTO CE

Dokaz. Jedan smjer slijedi iz (7.5), deriviranjem te jednakosti po varijablama x1 , . . . , xn . Obrat c´emo, zbog jednostavnosti zapisivanja, dokazati za dvodimenzionalan vektor. Neka su A i B intervali u R i G = A × B pravokutnik. Onda vrijedi P (X ∈ A, Y ∈ B) = P ((X, Y) ∈ G) = f (x, y)dx dy G

Prema (7.6), vrijedi f (x, y) = f X (x)f Y (y) , pa je ovaj integral jednak f X (x)f Y (y) dx dy = f X (x)dx · f Y (y)dy = P (X ∈ A) · P (Y ∈ B). A

G

B

Dakle, X i Y su nezavisne.

6 @ S @ @@ @@ y

1

Primjer 7.3. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu

f (x, y) =

1 2,

0,

1 x

(x, y) ∈ S, (x, y) ∈ / S,

Sl. 7.4.

gdje je S kvadrat na slici. Odredimo marginalne gusto´ce slucˇajnih varijabli X i Y . Jesu li te varijable nezavisne?

ˇ je gusto´ca razliˇcita od nule na podruˇcju koje nema oblik pravokutnika sa Cim stranicama paralelnim koordinatnim osima, komponente vektora moraju biti zavisne. Izraˇcunajmo marginalne gusto´ce. ⎧

∞ x −1 : ⎪ −∞ 0 · dy = 0, ⎪ ⎪ ⎪

⎪ x+1 1 ∞ ⎨ −1 x 0 : dy = 1 + x, −x−1 2 f X (x) = f (x, y)dy =

1 − x 1 ⎪ −∞ ⎪ dy = 1 − x, 0x1: ⎪ x−1 2 ⎪ ⎪

∞ ⎩ 1<x: −∞ 0 · dy = 0. Dakle,

1 + x, 1 − x,

−1 x 0, 0 x 1.

Na isti naˇcin dobivamo 1 + y, f Y (x) = 1 − y,

−1 y 0, 0 y 1.

f X (x) =

Vidimo da je f (x, y) = f X (x)f Y (y) te su X i Y zaista zavisne.

6= @@ @ fX fY

1

1

0

Sl. 7.5.

1

x

66

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Primjer 7.4. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2] , a sluˇcajna varijabla Y funkciju gusto´ce f Y (y) = 2y , 0 y 1 . Uz pretpostavku da su X i Y nezavisne, izraˇcunaj vjerojatnost da Y poprimi vrijednost manju nego X .

Zbog nezavisnosti varijabli X i Y vrije- (Y X) , cˇidi f (x, y) = f X (x)f Y (y) . Dogadaj ju vjerojatnost traˇzimo, moˇzemo napisati u obliku ((X, Y) ∈ G) , gdje je G podruˇcje skicirano na slici. Dakle, P (Y X) = P ((X, Y) ∈ G) = f (x, y)dx dy G

= G

1 · 2y dx dy = 2

6

y =x

y

1

................ .................. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . ........................ .......................... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ...............................

G

-

2 x

Sl. 7.6.

1

ydy 0

2

dx = y

2 . 3

∗∗∗ Ako toˇcku biramo na sre´cu unutar nekog podruˇcja, je li funkcija gusto´ce uvijek konstantna? Da, ako su kartezijeve koordinate u pitanju. No, ponekad je povoljnije uzeti drugi, recimo polarni sustav. Kakva je tad gusto´ca? Primjer 7.5. Toˇcka se bira na sre´cu unutar jediniˇcnog kruga. Neka su (R, Φ) polarne koordinate te toˇcke. Odredi funkciju gusto´ce sluˇcajnog vektora (R, Φ) . Jesu li komponente R i Φ nezavisne?

6

............................... ............. ....... ....... . .... ........................................... ........ . . . .. ... .... .... . . . . . . . . . .......... ...... ... . . . . ..... . . . . . .G .. . . . . . .. . . . r ......... . .. . .. . .. . .. . .. . .. ...... .... ... .... . . . . . . .. .. ... ... . . .ϕ. . . . . . . . . ... .. . . . ... . .. ... .. ... . . ... . S ... ... .... ... ..... .... . . . ...... . ..... ........... ........................................

-

Sl. 7.7. Polarne koordinate znaju biti povoljnije od kartezijevih u podruˇcjima ovakvih oblika. Iako je kod kartezijevih koordinata funkcija gusto´ce konstantna, jednadˇzbe tog podruˇcja u tom su sustavu nepriliˇcne. Stoga je prijelaz u polarni sustav opravdan. Tu gusto´ca ne´ce biti konstantna, ali c´ e komponente biti — za razlliku od kartezijevih — nezavisne!

Neka je S jediniˇcni krug, T na sre´cu odabrana toˇcka te G podruˇcje iscrtkano na slici. Po definiciji funkcije razdiobe, imamo F(r, ϕ ) = P (R < r, Φ < ϕ ) = P (T ∈ G) = Deriviranjem, dobivamo f (r, ϕ ) =

∂ 2 F(r, ϕ ) r = . ∂r ∂ ϕ π

m(G) r2 ϕ . = m(S) 2π

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

67

´ I GUSTO CE

Ova se gusto´ca moˇze faktorizirati. Kako R uzima vrijednosti unutar intervala [0, 1] , a Φ unutar intervala [0, 2π ] , (umjesto da raˇcunamo marginalne razdiobe) napisat c´emo f (r, ϕ ) = 2r ·

1 , 2π

0 < r < 1,

0 < ϕ < 2π .

Prema tome, R i Φ su nezavisne. R ima razdiobu f R (r) = 2r , 0 < r < 1 , dok Φ ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] . b Nezavisnost varijabli, oˇcekivanje i karakteristiˇcna funkcija

Sad c´emo dokazati neka svojstva oˇcekivanja i disperzije koja smo koristili u prethodnim poglavljima. Svojstva oˇcekivanja Teorem 7.2. Za svake dvije sluˇcajne varijable X, Y : Ω → R vrijedi

E(X + Y) = E(X) + E(Y). Ako su X i Y nezavisne, onda je E(XY) = E(X) · E(Y).

(7.7) (7.8)

Tvrdnju smo dokazali za diskretne sluˇcajne varijable. Dokaz c´emo sad proˇsiriti i za neprekinute sluˇcajne varijable. Dokaz za varijable op´ceg tipa zahtjeva matematiˇcki aparat koji prelazi okvire ovog kursa. Dokaz. Neka je f (x, y) gusto´ca sluˇcajnog vektora (X, Y) . Tada vrijedi ∞ ∞ E(X + Y) = (x + y)f (x, y)dx dy −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ x dx f (x, y)dy + y dy f (x, y)dx = −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ = x f X (x)dx + y f Y (y)dy −∞

−∞

= E(X) + E(Y). Pretpostavimo sad da su X i Y nezavisne. Tad se funkcija gusto´ce moze faktorizitati: f (x, y) = f X (x)f Y (y) pa vrijedi ∞ ∞ ∞ ∞ E(XY) = xyf (x, y)dx dy = xyf X (x)f Y (y)dx dy −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ = x f X (x)dx · y f Y (y)dy = E(X) · E(Y). −∞

−∞

68

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

∗∗∗ Svojstvo oˇcekivanja (7.8) vrijedi i za bilo koje dvije funkcije sluˇcajnih varijabli: E(ψ (X)χ (Y)) = E(ψ (X)) · E(χ (Y)). Dokaz je identiˇcan ovom u teoremu. Posebno je vaˇzan primjer funkcija ψ (x) = eitx . Tada je E(ψ (X)) karakteristiˇcna funkcija varijable X ! Svojstvo karakteristiˇcne funkcije Teorem 7.3. Ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable, za karakteristiˇcnu funkciju zbroja vrijedi ϑX+Y (t) = ϑX (t) · ϑY (t).

Korelacijska i kovarijacijska matrica, disperzija zbroja

Za sluˇcajan vektor (X1 , . . . , Xn ) definiramo kovarijacijsku i korelacijsku matricu ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ k11 . . . k1n r11 . . . r1n ⎠, ⎠ K = ⎝ ... R = ⎝ ... kn1 . . . knn rn1 . . . rnn s elementima kij = cov(Xi , Xj ) = E(Xi Xj ) − E(Xi )E(Xj ), cov(Xi , Xj ) rij =

. D(Xi )D(Xj ) Ukoliko su komponente sluˇcajnog vektora nekorelirane, kovarijacijska je matrica dijagonalna. ∗∗∗ Disperzija zbroja nezavisnih varijabli jednaka je zbroju disperzija pribrojnika: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Uvjet nezavisnosti u ovom je sluˇcaju prejak. Naime, dokaz aditivnosti disperzije, koji smo naˇcinili za diskretne sluˇcajne vektore, zahtijevao je samo svojstvo (7.8), a to svojstvo vrijedi za nekorelirane sluˇcajne varijable. Dokaˇzimo op´cenitije: Disperzija zbroja

di

Teorem 7.4. Ako su X1 , X2 , . . . , Xn nekorelirane sluˇcajne varijable, tada vrije-

D(X1 + X2 + . . . + Xn ) = D(X1 ) + D(X2 ) + . . . + D(Xn ).

ˇ 7.2. UVJETNE RAZDIOBE . UVJETNO O CEKIVANJE

69

Dokaz. Lijeva i desna strana se ne mijenjaju ako od varijabli oduzmemo oˇcekivanje, zato moˇzemo pretpostaviti da je E(Xk ) = 0 . Sad imamo 2 n n n n Xk = E Xk = E Xj Xk D k=1

j=1 k=1

k=1

=

=

n n

E(Xj Xk ) =

j=1 k=1 n k=1

=

E(Xk2) +

E(Xk2) =

k=1

j =k n

E(Xj Xk )

j =k

k=1

E(Xk2) +

n

n

E(Xj )E(Xk )

D(Xk ).

k=1

Primjer 7.6. Unutar intervala [0, 1] fiksirana je toˇcka a . Sluˇcajna varijabla X ima - varijable jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Odredi kovarijacijski moment izmedu X i varijable Y = |X − a| : udaljenosti toˇcke X do a . Za koju vrijednost broja a su X i Y nekorelirane?

1

x · dx =

E(X) = 0

1 , 2

1

|x − a|dx =

E(Y) = 0

E(XY) = E(X|X − a|) = = 0

a

(a − x)dx +

0

x(a − x)dx + 3

a

(x − a)dx = a2 − a + 12 ,

1

x|x − a|dx

0

a

1

a

1

x(x − a)dx =

a3 a 1 − + . 3 2 3

2

a 1 a − + i samo za a = 12 je cov(X, Y) = 0 . To nipoˇsto ne 3 2 12 znaˇci da su X i Y = X − 12 nezavisne, dapaˇce, te su varijable vezane funkcionalnom zavisnoˇsc´u. Dakle, cov(X, Y) =

7.2. Uvjetne razdiobe. Uvjetno ocˇ ekivanje Toˇcka T bira se na sre´cu unutar jediniˇcnog kruga {(x, y) : x2 +y2 1} . Razdioba vektora (X, Y) je konstantna na tom podruˇcju. Ako je poznato da je varijabla Y poprimila vrijednost 12 , sˇ to se moˇze re´ci o varijabli X ? Koje vrijednosti ona moˇze poprimiti u ovom sluˇcaju? S kojim vjerojatnostima? Odgovor na ovo pitanje vodi nas do novog pojma uvjetnih razdioba.

70

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

∗∗∗ Uvjetna gusto´ca

Neka je f (x, y) gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) . Ako je poznata realizacija Y = y varijable Y , tada se uvjetna gusto´ca varijable X uz uvjet Y = y definira formulom f (x, y) f (x, y) f X |Y=y (x) := . (7.1) = ∞ f Y (y) −∞ f (x, y)dy Uglavnom piˇsemo jednostavnije f (x | y) , umjesto f X |Y=y (x) . Raˇcun s uvjetnim vjerojatnostima omogu´cava nam lakˇse raˇcunanje vjerojatnosti, - ili neke sluˇcajne varijable ovisi gusto´ca i oˇcekivanja u sluˇcaju kad realizacija dogadaja o nekoj drugoj sluˇcajnoj varijabli. Tu uvjetne gusto´ce igraju sliˇcnu ulogu kao i uvjetne vjerojatnosti i hipoteze u formuli potpune vjerojatnosti. Tako dobivamo i analogne formule. Najprije, iz definicijske formule moˇzemo zapisati f (x, y) = f (x | y)f Y (y), f (x, y) = f (y | x)f X (x). Marginalne gusto´ce dobivamo integriranjem lijeve strane ovih jednakosti: Marginalne i uvjetne gusto´ce

Marginalne gusto´ce moˇzemo raˇcunati formulama ∞ f X (x) = f (x | y)f Y (y)dy, −∞ ∞ f Y (y) = f (y | x)f X (x)dx. −∞

- efikasno sredstvo u raˇcunanju oˇcekivanja, pa i vjeroUvjetne gusto´ce su takoder jatnosti dogadaja (koji ovisi o mogu´cim realizacijama sluˇcajne varijable: Uvjetna oˇcekivanja i vjerojatnosti

Oˇcekivanje varijable X koja ovisi o realizacijama varijable Y : ∞ E(X | Y=y)f Y (y)dy. E(X) =

(7.2)

- koji ovisi o realizacijama sluˇcajne varijable X : Vjerojatnost dogadaja ∞ P (A | X=x)f X (x)dx. P (A) =

(7.3)

−∞

−∞

ˇ 7.2. UVJETNE RAZDIOBE . UVJETNO O CEKIVANJE

71

Primjer 7.7. Biramo na sre´cu broj Y ∈ [0, 1] , zatim na sre´cu broj X ∈ [0, Y] . Izraˇcunaj gusto´cu razdiobe i oˇcekivanje varijable X .

Koristit c´emo formulu f X (x) =

∞

−∞

f X |Y=y (x)f Y (y)dy.

Tu je f Y gusto´ca jednolike razdiobe U(0, 1) : 0 y 1. f Y (y) = 1, f X |Y=y je gusto´ca jednolike razdiobe na intervalu [0, y] : 1 f X |Y=y (x) = , 0 x y. y Zato je 1 1 1 f X (x) = f X |Y=y (x)dy = dy = − ln x, 0 < x 1, 0 x y 1 1 x2 1 x2 x(− ln x)dx = − ln x + = . E(X) = 2 4 4 0

0

Samo oˇcekivanje moˇzemo lakˇse dobiti formulom ∞ E(X | Y=y)f Y (y)dy. E(X) = −∞

Tu je E(X | Y=y) uvjetno oˇcekivanje varijable X uz uvjet Y = y : ∞ y 1 y E(X | Y=y) = x · f X |Y=y (x)dx = x · dx = y 2 −∞ 0 te je 1 y 1 E(X) = dy = . 2 4 0 Primjer 7.8. Zadan je polukrug s promjerom AB , polumjera R . Neka je C toˇcka na sre´cu odabrana na luku polukruˇznice. Kolika je vjerojatnost da na sre´cu odabrana toˇcka T unutar polukruga leˇzi unutar trokuta ABC ?

Neka je S srediˇste polukruga. Oznaˇcimo s ϕ kut < )CSB . Izbor kuta ϕ odreduje jednoznaˇcno toˇcku C i obratno. Re´ci da je C izabrana na sre´cu na luku polukruˇznice znaˇci zapravo da ϕ ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, π ] . C

Z

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ϕ ..

Z

ZZ Z

@C

A

S

Sl. 7.8.

ZZ ZB

72

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Neka je D dogadaj D = {Toˇcka T leˇzi unutar trokuta ABC }. Povrˇsina trokuta ABC je · R2 sin ϕ + 12 R2 sin(π − ϕ ) = R2 sin ϕ . - D je Za fiksnu vrijednost od ϕ vjerojatnost traˇzenog dogadaja m(ABC) =

1 2

P(D | ϕ ) =

m(ABC) R2 sin ϕ 2 = = sin ϕ . 1 2 1 2 π 2R π 2R π

Kako je gusto´ca varijable ϕ dana sa f (ϕ ) =

1 , π

to po formuli (7.3) dobivamo π P(D) = P(D | ϕ )f (ϕ )dϕ = 0

0

0 < ϕ < π, π

π 2 1 2 cos ϕ 4 sin ϕ · · dϕ = − = . π π π 2 0 π 2

7.3. Dvodimenzionalna normalna razdioba Vektor (X, Y) ima dvodimenzionalnu normalnu razdiobu ako je njegova gusto´ca dana sa (x−a1 )2 1 1 (x−a1 )(y−a2 ) (y−a2 )2 √ f (x, y) = exp − −2r + . 2(1−r2 ) σ1 σ2 σ12 σ22 2πσ1 σ2 1−r2 (7.1) Piˇsemo (X, Y) ∼ N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Provjerimo najprije da je definicija dobra, tj. da funkcija f ima svojstva gusto´ce sluˇcajne varijable. Funkcija f je pozitivna, potrebno je provjeriti da je njezin integral jednak jedinici. Uvedimo pritom supstituciju x − a1 y − a2 = u, =v σ1 σ2 pri cˇemu je dx dy = σ1 σ2 du dv . Dobivamo ∞ ∞ I := f (x, y)dx dy −∞ −∞ ∞ ∞ 1 1 2 2

= exp − − 2 ρ uv + v ) du dv (u 2(1 − ρ2 ) 1 − ρ2 −∞ −∞ 2π ∞ ∞ 1 1

exp − = [(u − ρv)2 + (1 − ρ2 )v2 ] du dv. 2 2(1 − ρ ) 2π 1 − ρ2 −∞ −∞

7.3. DVODIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

u − ρv Slijedi joˇs jedna supstitucija, w =

, z = v , s jakobijanom 1 − ρ2

1 − ρ2 ρ

∂(u, v) = 1 − ρ2 . J= = 0 1 ∂(w, z) Tako dobivamo ∞ ∞ 2 2 1 I= e−w /2 dw e−z /2 dz = 1. 2π −∞ −∞ Marginalne razdiobe

Neka vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Uvjerimo se da tada varijable X i Y imaju normalnu razdiobu N (a1 , σ12 ) , odnosno N (a2 , σ22 ) . Funkcija gusto´ce vektora (X, Y) moˇze se napisati na naˇcin (x−a1 )2 1 (x−a1 )(y−a2 ) (y−a2 )2 1 √ exp − − 2r + f (x, y) = 2(1−r2 ) σ1 σ2 σ12 σ22 2πσ1 σ2 1−r2 2 y − a2 1 1 x − a1 √ =√ exp − −r × 2 2 2(1 − r ) σ2 σ1 2πσ2 1 − r 2 (x − a1 )2 1 1 2 (x − a1 ) √ exp − −r × 2(1 − r2 ) σ12 σ12 2πσ1 1 (x − a1 )2 = f 1 (x, y) · √ exp − . 2σ12 2πσ1 Zamjenom varijabli y − a2 1 x − a1 √ −r =z σ2 σ1 1 − r2

∞ vidimo da je −∞ f 1 (x, y)dy = 1 za svaki x , jer je podintegralna funkcija gusto´ca normalne razdiobe. Zato ∞ ∞ 1 (x − a1 )2 f (x, y)dy = √ exp − f 1 (x, y)dy f X (x) = 2σ12 σ1 2π −∞ −∞ 1 (x − a1 )2 = √ exp − 2σ12 σ1 2π tj. X ima normalnu razdiobu N (a1 , σ12 ) . Zbog simetrije zakljuˇcujemo da vrijedi - Y ∼ N (a2 , σ 2 ) . takoder 2 Znaˇcenje koeficijenta r

Neka je (X, Y) ∼ N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Dokaˇzimo da je r koeficijent korelacije varijabli X i Y . Izraˇcunajmo najprije kovarijacijski moment cov(X, Y) = E(X − a1 )(Y − a2 ) 1 1 √ (x − a1 )(y − a2 )e− 2 Q(x,y) dx dy = 2 2πσ1 σ2 1 − r R2

73

74

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

gdje je

x − a1 2 1 (x − a1 )(y − a2 ) y − a2 2 Q(x, y) = − 2r + . 1 − r2 σ1 σ1 σ2 σ2

Uvedimo supstituciju x − a1 , u= √ σ1 1 − r2

v=

Tada slijedi cov(X, Y) =

(1 − r2 )3/2σ1 σ2 2π

(1 − r ) σ1 σ2 √ = 2π 2 3/2

y − a2 √ , σ2 1 − r2

1

dx dy = σ1 σ2 (1 − r2 )du dv

2

R2

2

uv e− 2 (u −2ruv+v ) du dv

∞

− 12 v2 (1−r2 )

ve

−∞

∞

−∞

u − 1 (u−rv)2 2 √ e du dv. 2π

Integral u zagradi moˇzemo shvatiti kao oˇcekivanje normalne varijable N (rv, 1) i on iznosi rv . Dakle ∞ √ 1 − r2 − 1 v2 (1−r2 ) 2 cov(X, Y) = r(1 − r )σ1 σ2 v2 √ e 2 dv. 2π −∞ Ovaj je pak integral disperzija normalne varijable N (0, 1−1r2 ) i iznosi je

1 . Stoga 1 − r2

cov(X, Y) = rσ1 σ2 i zato r=

cov(X, Y) cov(X, Y) =

= r(X, Y), σ1 σ2 D(X)D(Y)

sˇ to je i trebalo pokazati. Nezavisnost i nekoreliranost normalnih varijabli

Normalan sluˇcajan vektor posjeduje svojstvo koje nije uobiˇcajeno za druge razdiobe: njegove komponente X i Y su nezavisne ako i samo ako su nekorelirane. Ako su X i Y nezavisne, tada su i nekorelirane, poˇsto ta tvrdnja vrijedi za sluˇcajne varijable s bilo kojom razdiobom. Ako su pak X i Y nekorelirane, tada je r = r(X, Y) = 0 i gusto´ca razdiobe vektora (X, Y) 1 (x − a1 )2 (y − a2 )2 f (x, y) = exp − − 2πσ1 σ2 2σ12 2σ22 moˇze se faktorizirati u produkt f X (x)f Y (y) , te su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable.

7.3. DVODIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

75

Primjer 7.9. Neka je (X, Y) normalan sluˇcajan vektor uz a1 = a2 = 0 te (ρ, ϕ ) - gusto´cu razdiobe vektora (R, Φ) te marginalnu polarne koordinate toˇcka (x, y) . Nadi gusto´cu varijable Φ .

Vrijedi

cos ϕ −ρ sin ϕ x = ρ cos ϕ ∂(x, y) = ρ. = =⇒ sin ϕ ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ ∂(ρ, ϕ )

Ovim preslikavanjem se ravnina R2 preslikava u pravokutnik [0, ∞) × [0, 2π ) . Jakobijan ne mijenja znak, zato je g(ρ, ϕ ) = f (x, y) · ρ = f (ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) · ρ 2 cos ϕ ρ ρ2 cos ϕ sin ϕ sin2 ϕ √ = exp − − 2r + . 2(1−r2 ) σ1 σ2 σ12 σ22 2πσ1 σ2 1−r2 Kako je ∞ 2 1 1 ρe− 2 Cρ dρ = , C 0 dobivamo marginalnu gusto´cu varijable ϕ : √ ∞ 1 − r2 1 gΦ (ϕ ) = g(ρ, ϕ )dρ = · . 2 2πσ1 σ2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin2 ϕ 0 − 2r + σ1 σ2 σ12 σ22 Ako je σ1 = σ2 (= σ ) i r = 0 , tj. ako vrijedi (X, Y) ∼ N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) , tada se gusto´ca vektora (R, Φ) moˇze faktorizirati: ρ2 ρ g(ρ, ϕ ) = exp − 2 = gΦ (ϕ ) · gR (ρ). 2πσ 2 2σ U tom su sluˇcaju R i Φ nezavisne, R ima Rayleighovu razdiobu s gusto´com ρ2 ρ ρ → 2 exp − 2 , ρ 0, σ 2σ a Φ jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ) . Primjer 7.10. X i Y su nezavisne sluˇcajne varijable, distribuirane po normalnom - a) |Y| < X ; b) Y < X ; c) Y < |X| . zakonu N (0, σ 2 ) . Odredi vjerojatnost dogadaja

a)

6 y

. . . . . .

@

. . . .

. . . . . . . . . . .

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

G . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

@@ @

6 y

b)

x

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

Sl. 7.9.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

@ 6 @@ @ y

.

c) .. .. .. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

G

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

x

76

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Kako vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) , to su, po prethodnom primjeru, varijable R i Φ nezavisne. U sluˇcaju a) imamo 1 P ((X, Y) ∈ G) = P (R ∈ [0, ∞), Φ ∈ [0, π4 ]) = P (Φ ∈ [0, π4 ]) = . 4 U druga dva sluˇcaja ta vjerojatnost iznosi 12 odnosno 34 . Primjer 7.11. Neka je (X1 , X2 ) normalan sluˇcajan vektor s oˇcekivanjem a1 =

a2 = 0 i neka je

y1 = x1 cos α + x2 sin α y2 = −x1 sin α + x2 cos α rotacija koordinatnog sustava za kut α . Dokaˇzi da je sluˇcajan vektor (Y1 , Y2 ) takoder normalan i izraˇcunaj mu gusto´cu. Da li se kut α moˇze izabrati tako da Y1 i Y2 budu nezavisne? - varijablama (x1 , x2 ) i (y1 , y2 ) dana je sa Inverzna veza medu x1 = y1 cos α − y2 sin α x2 = y1 sin α + y2 cos α i zato jakobijan preslikavanja glasi ∂(x1 , x2 ) cos α − sin α = 1. = ∂(y1 , y2 ) sin α cos α On ne mijenja predznak i prema tome gusto´ca vektora (Y1 , Y2 ) iznosi g(y1 , y2 ) = f (x1, x2 ) = f (y1 cos α − y2 sin α , y1 sin α + y2 cos α ). Nakon uvrˇstavanja i sredivanja dobivamo ovakav izraz 1 1 2 2 √ exp − (Ay1 − 2By1 y2 + Cy2 ) g(y1 , y2 ) = 2(1 − r2 ) 2πσ1 σ2 1 − r2 gdje je A=

cos2 α cos α sin α sin2 α − 2r + 2 σ1 σ2 σ1 σ22

B=

cos α sin α sin2 α − cos2 α sin α cos α − r − 2 σ1 σ2 σ1 σ22

sin2 α cos α sin α cos2 α − 2r + . 2 σ1 σ2 σ1 σ22 - normalnu razdiobu. Njegove c´e Time je pokazano da vektor (Y1 , Y2 ) ima takoder komponente biti nezavisne ako su nekorelirane, tj. ako je koeficijent B jednak nuli: C=

sin2 α − cos2 α σ2 − σ2 r = cos α sin α 2 2 2 1 σ1 σ2 σ1 σ2 tj.

2rσ1 σ2 2 sin α cos α sin 2α = = = tg 2α 2 2 2 2 cos α − sin α cos 2α σ1 − σ2

7.3. DVODIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

i mora biti 1 2

α=

arc tg

77

2rσ1 σ2 . σ12 − σ22

∗∗∗ Pretpostavimo da normalan vektor (X1 , X2 ) ima razdiobu N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) . Tada su X1 , X2 nezavisne sluˇcajne varijable s razdiobama X1 ∼ N (0, σ 2 ) , X2 ∼ N (0, σ 2 ) . Prema ovom primjeru, vektor (Y1 , Y2 ) definiran sa y1 = x1 cos α + x2 sin α , y2 = −x1 sin α + x2 cos α , ima gusto´cu g(y1 , y2 ) =

y2 1 y22 1 , exp − − 2πσ 2 σ2 σ2

i zato Y1 ∼ N (0, σ 2 ) , Y2 ∼ N (0, σ 2 ) i Y1 , Y2 su nezavisne. Drugim rijeˇcima, varijable Y1 , Y2 dobivene rotacijom koordinatnog sustava imaju istu razdiobu. To svojstvo invarijantnosti prema rotaciji koristimo kod odredivanja vjerojatnosti da normalan vektor (X1 , X2 ) poprimi vrijednost unutar nekog podruˇcja u ravnini. Evo primjera. Primjer 7.12. X i Y su nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Izraˇcunaj - (|X| + |Y| 1) . vjerojatnost dogadaja

Skup G = ((x, y) ∈ R2 : |x|+|y| 1) je kvadrat s vrhovima u toˇckama (1, 0) , (0, 1) , (−1, 0) , (0, −1) (slika 7.10.) a) . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 @@ G @ @-

. . . . . . . . . . . . .

@@ @@

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

1

Sl. 7.10.

b) . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . .

G

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

-

p

2

Rotirati c´emo koordinatni sustav za kut α = π4 . Pritom podruˇcje G prelazi u G : kvadrat cˇije su stranice paralelne s koordinatnim osima. Razdioba vektora (X, Y) ostaje nepromijenjena i u novom sustavu: √ √ 2 2 P ((X, Y) ∈ G) = P ((X, Y) ∈ G ) = P |X| , |Y| 2 2 √ √ 2 2 · P |Y| = P |X| 2 2 √2 √2 ∗ ∗ =Φ ·Φ = 0.271. 2 2

78

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Uvjetne gusto´ce normalnog sluˇcajnog vektora

Neka je (X, Y) normalan sluˇcajni vektor s razdiobom N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Poka- normalna, zˇ imo da je uvjetna razdioba varijable Y uz poznatu realizaciju X = x takoder te da vrijedi σ2 Y | X = x ∼ N a2 + r (x − a1 ), σ22 (1 − r2 ) . σ1 Marginalna razdioba varijable X je normalna, X ∼ N (a1 , σ12 ) . Zato uvjetna gusto´ca glasi f (x, y) 1 1 f (y|x) = × =√ · √ f X (x) 2π σ2 1 − r2 2 2 y−a2 x−a1 1 (x−a1 )(y−a2 ) (x−a1 )2 × exp − − 2r + − . 2(1−r2 ) σ1 σ1 σ2 σ2 2σ12 Izraz u eksponentu je potpuni kvadrat: 2 y − a2 1 x − a1 1 √ exp − −r f (y|x) = √ 2(1 − r2 ) σ2 σ1 2π σ2 1 − r2 2 1 σ2 1 √ . =√ y − a exp − 2 − r (x − a ) 2 1 σ1 2σ2 (1 − r2 ) 2π σ2 1 − r2 Time je tvrdnja dokazana. Zbog razloga simetrije, uvjetna razdioba varijable X uz poznatu realizaciju Y = y - normalna: je takoder σ1 X | Y = y ∼ N a1 + r (y − a2 ), σ12 (1 − r2 ) . σ2

7.4. Viˇsedimenzionalna normalna razdioba Element prostora Rn je uredena n -torka (x1 , x2 , . . . , xn ) koju moˇzemo oznaˇciti jednostavnije s x . Skalarni produkt dvaju elemenata ovog prostora raˇcuna se formulom (x | y) = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn a norma (duljina) elementa

x = (x |x) = x21 + x22 + . . . + x2n . Neka su Xi ∼ N (0, 1) (i = 1, 2, . . . , n) nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Onda je gusto´ca sluˇcajnog vektora (X1 , X2 , . . . , Xn ) dana s f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f X1 (x1 ) · f X2 (x2 ) · · · f Xn (xn ) 2

2

x1 xn 1 1 = √ e− 2 · . . . · √ e− 2 2π 2π 1 2 2 1 = e− 2 (x1 + . . . + xn ) n/2 (2π )

ˇ 7.4. VISEDIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

Jediniˇcna n -dimenzionalna normalna razdioba

zadan funkcijom gusto´ce Za sluˇcajan vektor X 1 2 1 e− 2 x f (x) = n/2 (2π ) ∼ N (0, I) . kaˇzemo da ima jediniˇcnu normalnu razdiobu u Rn i piˇsemo X

Neka je R = (rij ) kvadratna matrica reda n . Za nju kaˇzemo da je simetriˇcna ako za nju vrijedi R = R , odnosno, rij = rji za sve i, j . Kazat c´emo da je matrica R pozitivno definitna, ako je simetriˇcna i ako za svaki vektor x vrijedi ⎤⎡ ⎤ ⎡ x1 r11 · · · r1n n ⎦ ⎣ .. ⎦ = (x | Rx) = x Rx = [x1 , . . . , xn ] ⎣ ... rij xi xj 0. . i,j=1 rn1 · · · rnn xn Ako je k tome matrica R regularna (tj. postoji R−1 , odnosno, determinanta |R| matrice R je razliˇcita od nule), tada je za x = 0 ispunjeno x Rx > 0 . Matrica je pozitivno definitna ako su joj sve glavne minore nenegativne: r11 · · · r1n r11 r12 . 0, . . . , . 0. r11 0, . r21 r22 r ··· r n1 nn Op´ca n -dimenzionalna normalna razdioba

Neka je R regularna pozitivno definitna matrica i a = (a1 , . . . , an ) zada = (X1 , . . . , Xn ) ima n -dimenzionalnu ni vektor. Kazat c´emo da vektor X normalnu razdiobu s oˇcekivanjem a i kovarijacijskom matricom R ako je njegova gusto´ca definirana sa 1 1

exp − (x − a) R−1 (x − a) . f (x) = 2 (2π )n/2 |R| Piˇsemo X ∼ N (a, R) .

Provjerimo da oznaka nije pretenciozna, da je R uistinu kovarijacijska matrica vektora (X1 , . . . , Xn ) . Raˇcunajmo za n = 2 . Gusto´ca vektora (X1 , X2 ) dana je sa x1 − a1 2 1 1 √ exp − − f (x1 , x2 ) = 2(1 − r2 ) σ1 2πσ1 σ2 1 − r2 (x1 − a1 )(x2 − a2 ) x2 − a2 2 + − 2r σ1 σ2 σ2 1 1 = exp − (x − a) R−1 (x − a) . 2 2π |R|

79

80

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Usporedivanjem ovih izraza vidimo da R−1 ima elemente: 1 1 r r11 = , r22 = , r12 = a21 = − . 2 2 2 2 (1 − r2 )σ1 σ2 (1 − r )σ1 (1 − r )σ2 Determinanta ove matrice je |R−1 | = r11 r22 − r12 r21 =

1 (1 − r2 )σ12 σ22

i moˇzemo izraˇcunati matricu R : R = (R−1 )−1 =

σ 2 rσ1 σ2 1 r22 −r12 1 . = |R−1 | −r21 r11 rσ1 σ2 σ22

Dakle, elementi matrice R su upravo kovarijacijski momenti vektora (X1 , X2 ) . Primjer 7.13. Sluˇcajan vektor (X, Y, Z) ima normalnu razdiobu s gusto´com

√

1 3 2 2 2 exp − + 4y + z − 2yz + 10z − 10y + 25] [2x 8 16π 3/2 Odredimo njegovu kovarijacijsku matricu. f (x, y, z) =

Izraz u eksponentu moramo dovesti na oblik − 12 (x − a) A−1 (x − a) : 1 − [2x2 + 4y2 + z2 − 2yz + 10z − 10y + 25] 8 1 = − [2x2 + 4y2 + (z + 5)2 − 2y(z + 5)] 8 1 x2 y2 (z + 5)2 2y(z + 5) =− + + − 2 2 1 4 4 ⎤% ⎡1 & 0 0 x 2 1 1 = − (x, y, z + 5) ⎣ 0 1 − 4 ⎦ . y 2 1 1 z + 5 0 −4 4 Dakle,

⎤ ⎤ ⎡ 0 0 2 0 0 4 4 = ⎣ 0 1 − 14 ⎦ =⇒ A = ⎣ 0 3 3 ⎦ . 0 43 16 0 − 14 41 3 ⎡1

A −1

2

Nezavisnost komponenti

Ako je matrica R dijagonalna (s elementima rii = E(Xi − ai )(Xi − ai ) = σi2 , tada je i R−1 dijagonalna: ⎡ 2 ⎡ ⎤ ⎤ 1/σ12 0 . . . 0 σ1 0 . . . 0 ⎢ 0 σ22 ⎢ 0 1/σ22 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ =⇒ R−1 = ⎢ ⎥. R=⎢ . . ⎣ .. ⎣ ⎦ . . . .. . . . ... ⎦ .. . 0 0 . . . σn2 0 0 . . . 1/σn2

ˇ 7.4. VISEDIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

Gusto´ca normalnog vektora (X1 , . . . , Xn ) tada iznosi x − a 2 1 1 x1 − a1 2 n n f (x1 , . . . , xn ) = exp − + . . . + . 2 σ1 σn (2π )n/2 σ1 · · · σn Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su u tom sluˇcaju nezavisne, s gusto´cama 1 1 xi − ai 2 f Xi = √ exp − . 2 σi 2πσi Specijalno, za a1 = . . . = an = 0 i σ1 = . . . = σn = 1 (tj. ako je a = 0 , R = I ), dobivamo jediniˇcnu normalnu razdiobu N (0, I) s gusto´com 1 f (x1 , . . . , xn ) = exp(− 12 (x21 + . . . + x2n )), (2π )n/2 ili, kra´ce zapisano, 1 f (x) = exp(− 12 x x). (2π )n/2 Veza jediniˇcne i op´ce razdiobe

Ako je R pozitivno definitna matrica, onda se moˇze pokazati da postoji matrica A sa svojstvom R = A · A . (Matricu A nazivamo drugi korijen matrice R .) ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. Transformirajmo taj sluˇcajni vektor Neka X . Odredimo gusto´cu vektora Y . djelovanjem matrice A , Y = AX Gusto´ca vektora Y = (Y1 , . . . , Yn ) dana je s ∂(x1 , . . . , xn ) . f Y (y) = f X (x) · ∂(y1 , . . . , yn ) Kako je x = A−1y , vrijedi ∂(x1 , . . . , xn ) 1 = |A−1 | = . ∂(y1 , . . . , yn ) |A| Zato je f Y (y) = f X (A−1y)

1 |A|

1 1 −1 2 y exp − A 2 (2π )n/2 | det(A)| 1 1

−1 y y exp − = (AA ) 2 (2π )n/2 | det(B)| 1 1

= exp − y R−1y . 2 (2π )n/2 det(R) =

Dakle, vektor Y ima normalnu razdiobu N (0, R) . , dobit c´emo vektor s razdiobom N (a, R) . Stavimo li Y = a + AX Dakle, svaki se normalni vektor moˇze dobiti iz jediniˇcne normalne razdiobe tran. sformacijom oblika Y = a + AX

81

82

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

∗∗∗ Osim pomo´cu funkcija gusto´ca, normalna se razdioba moˇze ( cˇak jednostavnije) opisati i koriˇstenjem karakteristiˇcnih funkcija. Taj je pristup tim vaˇzniji jer nam omogu´cava da opiˇsemo i sluˇcajeve degeneracije kad kovarijacijska matrica R nije regularna i formula za gusto´cu gubi smisao, jer ne postoji R−1 . Karakteristiˇcna funkcija jediniˇcne normalne razdiobe dana je s ∞ u2 ϑX (u) = E[eiXu ] = eixu f X (x)dx = e− 2 . −∞

Op´cenito se karakteristiˇcna funkcijua n -dimenzionalnog vektora X raˇcuna formulom |u) i(X ϑX (u1 , . . . , un ) = E[e ]= · · · ei(x|u) f (x)dx1 · · · dxn . R

R

Odredimo tu karakteristiˇcnu funkciju za normalnu razdiobu. Ako je X ∼ N (0, I) , jednaka umnoˇsku funkcija gusto´ce pojedinih onda je funkcijua gusto´ce vektora X komponenti, pa vrijedi hX (u) = · · · ei(x1 u1 +...xn un ) f X1 (x1 ) · · · f Xn (xn )dx1 · · · dxn R ∞ R ∞ ix1 u1 ixn un = e f X1 (u1 )dx1 · · · e f Xn (un )dxn =

−∞ 1 2 2 e− 2 (u1 +...+un )

−∞

=

1 2 e− 2 u .

(Ova se formula moˇze izvesti i direktno jer je karakteristiˇcna funkcija vektora, cˇ ije su komponente nezavisne, jednaka umnoˇsku karakteristiˇcnih funkcija pojedinih komponenti.) . Karakteristiˇcna funkcija ovog vektora je Neka je sada Y = AX

ϑY (u) = E[ei(Y |u) ] = E[ei(AX |u) ] = E[ei(X|A

u)

] = ϑX (A u)

Nadalje, vrijedi A u2 = (A u) A u = u AA u = u Ru i zato je 1

ϑY (u) = e− 2 (Ru|u) Op´cenito, za X ∼ N (a, R) vrijedi 1

ϑX (u) = ei(a|u)− 2 (Ru|u) .

ˇ 7.5. RIJE SENI ZADATCI

83

7.5. Rijeˇseni zadatci Zadatak 7.1. Zadana je funkcija gusto´ce sluˇcajnog vektora (X, Y)

0 < x < 1, 0 < y < 1. f (x, y) = 6x2 y, Jesu li X i Y nezavisne? Odredi vjerojatnost dogadaja 1 1 (0 < X < , < Y < 2). 2 2 Funkcija gusto´ce f (x, y) moˇze se faktorizirati: f (x, y) = f X (x)f Y (y),

∀(x, y) ∈ R2 ,

gdje su 0 < x < 1, f X (x) = 3x2 , 0 < y < 1, f Y (y) = 2y, marginalne funkcije gusto´ca varijabli X i Y . Zato su X i Y nezavisne. 12 1 1 1 f (x, y)dx dy P (0 < X < , < Y < 2) = 1 2 2 0 2 12 1 3 6x2 y dx dy = = . 1 32 0 2 Zadatak 7.2. Funkcija f (x, y) = 18 (6 − x − y) , 0 < x < 2 , 2 < y < 4 je funkcija

gusto´ce sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi funkciju razdiobe i marginalne gusto´ce. Jesu li komponente vektora (X, Y) nezavisne? Vrijedi

x

63

y

y

f (x, y)dx dy.

F(x, y) = −∞

−∞

5

4

Medutim, u sluˇcajevima kad je gusto´ca jednaka nuli na 2 4 nekim dijelovima ravnine, raˇcunanje funkcije razdiobe se 2 komplicira. Ovdje moramo rastaviti ravninu na pet podrucˇja, kao na slici. Na svakom od njih c´e funkcija razdiobe 1 imati razliˇcitu formulu 0 2 Na podruˇcju 1 je f (x, y) = 0 pa je i F(x, y) = 0 Na podruˇcju 2: Sl. 7.11. 1 x y 1 F(x, y) = (6 − x − y)dx dy = x(y − 2)(10 − x − y). 8 0 2 16 Na podruˇcju 3: 1 F(x, y) = 8

x 0

2

4

(6 − x − y)dx dy =

1 x(6 − x). 8

x

84

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Na podruˇcju 4: 1 F(x, y) = 8

0

2

2

y

(6 − x − y)dx dy =

Na podruˇcju 5 je F(x, y) = 1 . Dakle, ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨ 16 x(y − 2)(10 − x − y), 1 F(x, y) = 8 x(6 − x), ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 8 (8 − y)(y − 2), 1,

1 (8 − y)(y − 2). 8

x 0 ili y 2, 0 < x 2, 2 < y 4, 0 < x 2, 4 < y, 2 < x, 2 < y 4, 2 < x, 4 < y.

Primijetimo ipak da je ‘najvaˇznija’ formula na podruˇcju 2. Iz nje se uvrˇstavanjem rubne vrijednosti y = 4 , odnosno x = 2 , mogu dobiti formule na podruˇcjima 3, 4 pa i 5. Marginalne gusto´ce su: ∞ 1 4 1 f X (x) = f (x, y)dy = (6 − x − y)dy = (3 − x), 0 < x < 2, 8 2 4 −∞ 2 ∞ 1 1 f (x, y)dx = (6 − x − y)dx = (5 − y), 2 < y < 4. f Y (y) = 8 0 4 −∞ kako je f (x, y) = f X (x)f Y (y) , varijable X i Y su zavisne. Zadatak 7.3. Dvodimenzionalan sluˇcajan vektor (X, Y) zadan je gusto´com

0 < x < π2 , 0 < y < π2 .

f (x, y) = C sin(x + y),

Izraˇcunaj konstantu C . Odredi marginalne razdiobe komponenti X i Y . Konstantu C odredujemo iz uvjeta da je integral ispod funkcije gusto´ce jednak jedinici: π /2 π /2 π /2 1= C sin(x + y)dx dy = C (sin x + cos x)dx = 2C =⇒ C = 12 . 0

0

0

Odredimo funkciju razdiobe vektora (X, Y) : 1 x y 1 x F(x, y) = sin(x + y)dx dy = − [cos(x + y) − cos x]dx 2 0 0 2 0 1 = [sin x + sin y − sin(x + y)], 0 < x < π2 , 0 < y < π2 . 2 Marginalne razdobe su FX (x) = F(x, π2 ) = 12 (1 + sin x − cos x),

FY (y) = F( π2 , y) = 12 (1 + sin y − cos y),

f X (x) = 12 (sin x + cos x), f Y (y) = 12 (sin y + cos y).

ˇ 7.5. RIJE SENI ZADATCI

85

Zadatak 7.4. Zadana je funkcija razdiobe F(x, y) neprekinutog sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi vjerojatnost da vektor poprimi vrijednost u podruˇcju G na slici.

Odredimo najprije vjerojatnost za pravokutnik oblika [a, b] × [c, d] .

3 2 1

0

6 y

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... . .. . .. . .. . .. . .. .......... .......... .......... ..........

G

1

2

-

3 x

P (a<X
nezavisne ako i samo ako vrijedi

)n

k=1

k=1

ak bk = 0 .

Prema svojstvu normalnih varijabli, znamo da su Y i Z normalne sluˇcajne varijable, s razdiobama Y ∼ N (0, a21 + . . . + a2n ) , Z ∼ N (0, b21 + . . . + b2n ) . Varijable Y i Z su nezavisne ako i samo ako su nekorelirane. Raˇcunamo kovarijacijski moment cov(X, Y) = E(YZ) − E(Y)E(Z) = E(YZ) n n =E ak Xk bj Xj =E

k=1 n n

j=1 n n ak bj Xk Xj = ak bj E(Xk Xj ).

k=1 j=1

k=1 j=1

Varijable Xk i Xj su nezavisne za k = j s oˇcekivanjem E(Xk ) = 0 za svako k i disperzijom D(Xk ) = E(Xk2) = 1 . Stoga vrijedi E(Xk Xj ) = E(Xk2 )δkj = δkj i zato E(YZ) =

n k=1

ak bk .

86

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Dakle, vrijedi cov(Y, Z) = 0 ⇐⇒

n

ak bk = 0

k=1

sˇ to je i trebalo pokazati. Zadatak 7.6. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, distribuirane po normalnom zakonu N (a, σ 2 ) , N (b, σ 2 ) . Odredi polumjer R kruga S sa srediˇstem u toˇcki (a, b) za kojeg vrijedi P ((X, Y) ∈ S) = 0.6 .

Mora biti

1 1 2 2 exp − [(x − a) + (y − b) ] dx dy. 0.6 = P ((X, Y) ∈ S) = 2πσ 2 2σ 2 S Uvedimo supstituciju * x = a + σρ cos ϕ =⇒ dx dy = σ 2 ρdρ dϕ . y = b + σρ cos ϕ Dobivamo: 2π R/σ R2 1 2 1 0.6 = dϕ e− 2 ρ ρdρ = 1 − e− 2σ 2 . 2π 0 0 dakle,

R2

e− 2σ 2 = 0.4 =⇒ R = 1.35σ. § 7. Zadatci za vjeˇzbu

1. Je li funkcija 8 < 0, F(x, y) = 0, : 1,

5. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu za x < 0 ili y < 0 x+y<1 za ostale vrijednosti

funkcija razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) ? 2. Sluˇcajni vektor ima jednoliku razdiobu na kvadratu ((x, y) : 0 x 1 , 0 y 1) . Napiˇsi funkciju razdiobe F vektora (X, Y) . 3. Toˇcka T izabrana je na sre´cu unutar polukruga polumjera R . Sluˇcajna varijabla X je udaljenost toˇcke do srediˇsta, a Y udaljenost toˇcke do promjera polukruga. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) . 4. Toˇcka T bira se na sre´cu na a) jediniˇcnoj kruˇznici (x2 + y2 = 1) , b) jediniˇcnoj sferi (x2 + y2 + z2 = 1) . Odredi funkciju gusto´ce x -koordinate te toˇcke.

f (x) = a · x2 , 0 x 2, a sluˇcajna varijabla Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Uz pretpostavku da su X i Y nezavisne, odredi vjerojatnost P (X + Y 1) . 6. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 4] , a sluˇcajna varijabla Y zadana je funkcijom gusto´ce g(y) = e−y , y > 0 . Uz pretpostavku da su X i Y nezavisne, odredi vjerojatnost dogadaja (Y X) . 7. X i Y su nezavisne sluˇcajne varijable. X ima normalnu razdiobu N (0, 2) , a Y funkciju gusto´ce g(y) = a · y , 0 y 2 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (X 1 , Y 1) . 8. X i Y su nezavisne sluˇcajne varijable, X ima normalnu razdiobu N (0, 12 ) , a Y gusto´cu g(y) = 2y , 0 y 1 . Napiˇsi funkciju gusto´ce sluˇcajnog vektora (X, Y) , izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja

ˇ 7. ZADATCI ZA VJE ZBU

87

(X 1 , Y 0.5) i oˇcekivanje sluˇcajne varijable X·Y. 9. Sluˇcajni vektor (X, Y) poprima vrijednost u trec´em kvadrantu (x<0, y<0) . Ako je pripadna gusto´ca vjerojatnosti f (x, y) = k · e2x+3y , izraˇcunaj konstantu k te vjerojatnost dogadaja A = (Y > X + 1) . 10. Zadana je funkcija gusto´ce sluˇcajnog vektora (X, Y) :

18. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je gusto´com razdiobe f (x, y) = Cxy , na podruˇcju D = ((x, y) : 0x1, 0y1, x + y1). Odredi konstantu C . Izraˇcunaj marginalnu gusto´cu f X (x) te uvjetnu vjerojatnost

f (x, y) = Ce−(2x+y) , x > 0, y > 0. Jesu li X i Y nezavisne? Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja A = (X>Y) , B = (X=Y) . 11. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = 1 − e−x , a varijabla Y formulom Y = X 2 . Napiˇsi funkciju razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) .

19. Zadana je gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) :

∗∗∗ 12. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je funkcijom gusto´ce: f (x, y) = Cx(1 − x)y, 0 < x < 1, 0 < y < 1. Izraˇcunaj uvjetnu vjerojatnost dogadaja 1 (X + Y > 1 | Y < ). 2 13. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je funkcijom gusto´ce: f (x, y) = 8 x(1 − y)(1 − x), 0 < x < 1, 0 < y < 1. Izraˇcunaj uvjetnu vjerojatnost dogadaja (X + Y < 1 | Y > 1/2). 14. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima gusto´cu f (x, y) = Cxy na podruˇcju S = ((x, y) : 0 y x 1). Odredi marginalne gusto´ce f X i f Y . Jesu li X i Y nezavisne sluˇcajne varijable? Izraˇcunaj vjerojatnost P (X > 12 | X + Y > 12 ) . 15. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je funkcijom gusto´ce f (x, y) = 8xy(1 − y2 ), 0<x<1, 0 1 ) .

(X > Y | Y < 1/2). ∗∗∗

f (x, y) = 2(x + y − 3xy2 ), 0 < x, y < 1 Jesu li X i Y nezavisne sluˇcajne varijable? Odredi marginalne gusto´ce. 20. Gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) iznosi f (x, y) = [(1 + ax)(1 + ay) − a]e−x−y−axy , ( x > 0, y > 0 ) gdje je 0 < a < 1 . Odredi marginalnu gusto´cu sluˇcajnih varijabli X i Y . 21. Gusto´ca vektora (X, Y) iznosi f (x, y) = xe−(1+y)x , x > 0, y > 0 Odredi marginalne gusto´ce. 22. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na trapezu OABC , s vrhovima O(0, 0) , A(8, 0) , B(4, 4) , C(0, 4) . Izraˇcunaj marginalne funkcije gusto´ce sluˇcajnih varijabli X i Y . 23. Sluˇcajni vektor (X, Y, Z) ima jednoliku razdiobu unutar valjka (x2 + y2 R2 , −H z H). Odredi marginalne gusto´ce njegovih komponenti. Jesu li one nezavisne? 24. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na krugu polumjera R sa srediˇstem u ishodiˇstu. Pokaˇzi da su X i Y zavisne, ali nekorelirane. 25. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na podruˇcju omedenom pravcima x = 2 , y = 2 , x + y = 2 . Odredi marginalnu funkciju razdiobe varijable X te oˇcekivanje E(X) . 26. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na trokutu T = ((x, y) : x > 0, y > 0, x + y < 1). Izraˇcunaj marginalne gusto´ce. Pokaˇzi da su komponente X i Y zavisne. 27. Na sre´cu odabrana toˇcka iz intervala [0, 1] dijeli ga na dva dijela. Neka je sluˇcajna varijabla Y duljina duljeg, a sluˇcajna varijabla X duljina kra´ceg dijela. Odredi funkcije gusto´ca i oˇcekivanja od X i Y . Jesu li X i Y nezavisne? Izraˇcunaj E(XY) .

88

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

28. Dvodimenzionalan sluˇcajni vektor zadan je funkcijom gusto´ce π π f (x, y) = A sin(x+y), 0<x< , 0 1 ). Odredi i skiciraj marginalnu gusto´cu varijable X te izraˇcunaj oˇcekivanje E(X) . ∗∗∗ 30. Sluˇcajni vektor (X, Y) s nenegativnim komponentama ima funkciju razdiobe F(x, y) = 1 − e−α x − e−β y + + e−α x−β y , α > 0, β > 0. Odredi oˇcekivanje i korelacijsku matricu tog vektora. Jesu li njegove komponente zavisne ili nezavisne? 31. Toˇcka (X, Y) ima jednoliku razdiobu unutar trokuta s vrhovima (0, 0) , (1, 0) , (0, 1) . Odre- X i Y. di koeficijent korelacije izmedu 32. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] . Neka je Y1 = cos X , Y2 = sin X . Izraˇcunaj cov(Y1 , Y2 ) . Jesu li Y1 i Y2 nezavisne? 33. Sluˇcajna varijabla Y je zbroj triju sluˇcajnih varijabli, Y = X1 + X2 + X3 . Poznato je E(X1 ) = 1 , E(X2 ) = 2 , E(X3 ) = 0 , D(X1 ) = 0, 01 , D(X2 ) = 4 , D(X3 ) = 0, 36 , r12 = 0, 2 , r13 = 0, 3 , r23 = −0, 1 . Izraˇcunaj E(Y) i D(Y) . 34. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Odredi koeficijent korelacije za sljede´ce parove sluˇcajnih varijabli: a) X i X 2 b) X i X3 35. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu (−1, 1) . Neka je Y = X 2n−1 , n ∈ N . Odredi korelacijsku matricu vektora (X, Y) . 36. Neka su X1 i X2 nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable i Y1 = X1 + X2 , Y2 = X1 − X2 . Pokaˇzi da je r(Y1 , Y2 ) = 0 . 37. Odredi kovarijacijsku matricu vektora (X, Y) cˇija je gusto´ca razdiobe 2 . f (x, y) = π (x2 + y2 + 1)3

38. Odredi gusto´cu razdiobe te kovarijacijsku matricu vektora (X, Y) zadanog funkcijom razdiobe π F(x, y) = sin x sin y, 0 < x, y < . 2 39. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(Y1 , Y2 ) para sluˇcajnih varijabli Y1 = X 2 i Y2 = X 4 . 40. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 2] . Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(Y1 , Y2 ) para sluˇcajnih varijabli Y1 = X 2 i Y2 = X 3 . 41. Sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu, a sluˇcajna varijabla Y normalnu razdiobu s pripadnim gusto´cama f X (x) = 3 e−3x , x > 0 2 1 f Y (y) = √ e−(y+4) /8 , y ∈ R. 2 2π Ako su X i Y medusobno korelirane sluˇcajne varijable s koeficijentom korelacije r(X, Y) = −0.5 , izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable Z = X 2 − 3XY + 2Y 2 . 42. Neka su f 1 , f 2 gusto´ce, a F1 , F2 funkcije razdiobe nekih sluˇcajnih varijabli. Dokaˇzi da je za svaki a , |a| < 1 , funkcija f (x, y) = f 1 (x)f 2 (y)(1+ + a[2F1 (x) − 1][2F2 (y) − 1]) gusto´ca nekog sluˇcajnog vektora (X, Y) . Dokaˇzi da su gusto´ce sluˇcajnih varijabli X i Y upravo funkcije f1 i f2 . 43. Sluˇcajne varijable X1 i X2 imaju oˇcekivanja E(X1 ) = a1 , E(X2 ) = a2 ; disperzije D(X1 ) = σ12 , D(X2 ) = σ22 i koeficijent korelacije r . Odredi numeriˇcke karakteristike sluˇcajne varijable Y = α X1 + β X2 + γ . 44. Zadan je sluˇcajan vektor (X, Y) s numeriˇckim karakteristikama E(X) = E(Y) = 0 , D(X) = 100 , D(Y) = 25 , E(XY) = 16 . Odredi linearnu transformaciju oblika X = U,

Y = aU + V

tako da komponente vektora (U, V) budu nekorelirane. Odredi numeriˇcke karakteristike za U i V . 45. Nezavisne sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn imaju jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Neka je X = X1 + . . . + Xn . Izraˇcunaj E(X 2 ) .

ˇ 7. ZADATCI ZA VJE ZBU

46. Neka su X1 , . . . , Xn pozitivne, jednako distribuirane sluˇcajne varijable. Odredi „ « X1 + . . . + Xk E (1 k n). X1 + . . . + Xn ∗∗∗ 47. Neka je X nenegativna sluˇcajna varijabla s gusto´com f X . Neka Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, X] , te Z = X − Y . Pokaˇzi da su Y i Z nezavisne ako i samo ako je f X (x) = λ 2 x e−λ x , x > 0. 48. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne i imaju istovjetnu distribuciju. Izraˇcunaj uvjetnu gusto´cu f X|X+Y=z (x) varijable X uz uvjet X + Y = z , ako a) X i Y imaju eksponencijalnu razdiobu E(λ ) , b) X i Y imaju jednoliku razdiobu na [0, 1] . 49. Sluˇcajna varijabla X1 ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] , X2 jednoliku razdiobu na [x1 , x1 + 1] , gdje je x1 realizacija varijable X1 . Analogno se definiraju sluˇcajne varijable X3 ,. . . , Xn . Izraˇcunaj E(Xn ) . 50. Toˇcke A1 , . . . , An biraju se na sre´cu na kruˇznici - ( Toˇcka S sa srediˇstem u O . Neka je Bn dogadaj O leˇzi unutar konveksnog mnogokuta s vrhovima A1 , . . . , An ) . a) Kolika je vjerojatnost dogadaja Bn ? b) Neka sluˇcajna varijabla ν poprima vrijednost - Bn . najmanjeg broja n za kojeg je ispunjen dogadaj Odredi E(ν ) i D(ν ) . ∗∗∗ 51. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na krugu polumjera r , sa srediˇstem u ishodiˇstu. Izraˇcunaj marginalnu gusto´cu f X (x) i uvjetnu gusto´cu f (x|y) . Jesu li komponente X i Y nezavisne? Jesu li nekorelirane? 52. X, Y, Z su nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (Z < X + Y) . 53. Neka su X1 , X2 , X3 nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Odredi funkciju gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Y = X1 + X2 + X3 . 54. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = ((x, y) : x > 0, y > 0, x + 2y < 2). Nadi uvjetnu gusto´cu f X|Y=y (x) = f (x|y) i prikaˇzi je grafiˇcki. Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(X, Y) .

89 55. Prodavaonica radi od 8 do 20 sati. Vrijeme ulaska kupca u nju je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom. Vrijeme boravka kupca u prodavaonici ima eksponencijalnu razdiobu, s oˇcekivanjem 1/ 2 sata i neovisno je o trenutku ulaska (u 20 sati kupac mora izi´ci van). Kolika je vjerojatnost da kupac boravi u prodavaonici duˇze od 1 sata? Ako je izaˇsao u 12 sati, kolika je vjerojatnost da je uˇsao prije 11 sati? 56. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti nad podruˇcjem G = ((x, y) : 0 < x < 2, y > 0, 2x > y). Nadi uvjetnu gusto´cu f (x | Y = y) i prikaˇzi je grafiˇcki. Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(X, Y) . 57. Unutar duˇzine AB odabrana je na sre´cu toˇcka C . Zatim je na ve´cem od dijelova AC , CB odabrana na sre´cu toˇcka P . Kolika je vjerojatnost da se od dobivenih dijelova moˇze sastaviti trokut? 58. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = ((x, y) : x < 2, y > 0, x − 2y > 0). - uvjetnu gusto´cu f Nadi X|Y=y (x) = f (x|y) i prikaˇzi je grafiˇcki. 59. Polumjer R kruga sluˇcajna je varijabla jednoliko distribuirana na [r1 , r2 ] . Toˇcka T bira se na sre´cu unutar kruga. Kolika je vjerojatnost da udaljenost toˇcke T do srediˇsta kruga poprimi vrijednost manju od r1 ? 60. Polumjer kruga je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Srediˇste kruga bira se na sre´cu unutar kvadrata stranice 2. Kolika je vjerojatnost da krug ne´ce sije´ci stranicu kvadrata? 61. U jednakostraniˇcnom trokutu ABC duljina stranice je sluˇcajna varijabla jednoliko distribuirana na intervalu [10, 30] . Toˇcka T bira se na sre´cu unutar trokuta. Kolika je vjerojatnost da je udaljenost od T do stranice AB manja od 15 ? 62. Sluˇcajna varijabla R ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] i predstavlja polumjer kruga sa srediˇstem u ishodiˇstu. Ako je T toˇcka na sre´cu izabrana unutar tog kruga, izraˇcunaj oˇcekivanje udaljenosti toˇcke T do srediˇsta kruga. ∗∗∗ 63. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu s gusto´com #! " 1 1 x2 y2 f (x, y) = exp − + . σ1 σ2 2π 2 σ12 σ22 Odredi zakon razdiobe sluˇcajne varijable Z = X − Y.

90

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

64. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, σ 2 , σ 2 , r) . Odredi zakon razdiobe sluˇcajne varijable Z = X + Y . 65. Sluˇcajni vektor (X, Y, Z) ima normalnu razdiobu s gusto´com 1 √ × 2π 6π « „ × exp −(x2 + 16 y2 + 12 z2 − 14 xz) .

f (x, y, z) =

Odredi kovarijacijsku matricu vektora (X, Y, Z) . 66. Neka je (1, −1, 0) oˇcekivanje i ! 1 0 −1 0 2 1 1 1 3 kovarijacijska matrica vektora (X, Y, Z) koji ima normalnu razdiobu. Napiˇsi njegovu gusto´cu. 67. Neka je f (x, y) =

√

„ « 3 exp − 12 [x2 + y2 − xy] 4π

gusto´ca razdiobe normalnog vektora (X, Y) . Odredi uvjetnu gusto´cu varijable X uz uvjet Y = 1 . 68. Neka je (X, Y) sluˇcajan vektor s normalnom razdiobom N (3, 1, 16, 25, 0.6) . Odredi vjerojatnost dogadaja (3 < Y < 8 | X = 7) , (−3 < X < 3 | Y = −4) . 69. Neka su X1 , X2 , X3 nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Neka je 1 Y1 = √ (X1 − X2 ), 2 1 Y2 = √ (X1 + X2 − 2X3 ), 6 1 Y3 = √ (X1 + X2 + X3 ). 3 Pokaˇzi da su i Y1 , Y2 , Y3 nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable.

70. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu s gusto´com 1 f (x, y) = √ exp(− 23 (x2 − xy + y2 )). π 3 X Odredi zakon razdiobe varijable Z = . Y 71. Zadana je gusto´ca razdiobe normalnog vektora (X, Y) : „ « 1 f (x, y) = exp − 21 (x2 + 2xy + 5y2 ) . π a) Odredi gusto´ce varijabli X i Y , b) Odredi gusto´cu varijable Z = X + Y , c) Odredi gusto´cu vektora (U, V) gdje je U = X + Y, V = X − Y. 72. Neka je

„ « 3 exp −(x21 − 14 x1 x2 + 52 x22 ) . 2π = (X1 , X2 ) . gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora X Odredi matricu B reda 2 tako da vektor Y = BX ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. f (x, y) =

73. Neka je (X, Y) ∼ N (0, 0, σ12 , σ22 , r) . Dokaˇzi da je gusto´ca razdiobe sluˇcajne varijable Z = X/Y jednaka √ σ12 σ22 1 − r2 . f Z (z) = π (σ22 z2 − 2rσ1 σ2 z + σ12 ) 74. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, 1, 1, r) . Odredi gusto´cu, te oˇcekivanje varijable Z = max(X, Y) . 75. Dokaˇzi da postoji samo jedna razdioba sluˇcajnog vektora (X, Y) u ravnini sa svojstvima a) X i Y su nezavisne i jednako distribuirane, b) razdioba vektora (X, Y) je sferno simetriˇcna, tj. funkcija gusto´ce u toˇcki (x, y) ovisi samo o udaljenosti te toˇcke od ishodiˇsta: q f (x, y) = h(t), r = x2 + y2 za neku funkciju h . To je dvodimenzionalna normalna razdioba N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) .

8.

Funkcije sluˇcajnih vektora

1. 2. 3. 4.

Funkcije neprekinutih sluˇcajnih vektora Razdiobe izvedene iz normalne . . . . . Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 91 100 108 114

U ovom c´emo poglavlju nauˇciti tehnike raˇcunanja razdioba funkcija neprekinutih sluˇcajnih vektora. Nakon toga c´emo upoznati razdiobe izvedene iz normalne razdiobe, koje se koriste u metematiˇckoj statistici.

8.1. Funkcije neprekinutih slucˇ ajnih vektora Neka je X = (X1 , . . . , Xn ) zadani n -dimenzionalni sluˇcajni vektor i Ψ : Rn → Rn obostrano jednoznaˇcno preslikavanje (bijekcija). Slika sluˇcajnog vektora X pri preslikavanju Ψ je sluˇcajni vektor Y = Ψ(X) . Neka je f (x1, . . . , xn ) gusto´ca razdiobe vektora (X1 , . . . , Xn ) , a g(x1 , . . . , xn ) gusto´ca razdiobe vektora (Y1 , . . . , Yn ) . Postavlja - ovih dviju funkcija? se pitanje: koja je veza izmedu Prikaˇzimo preslikavanje Ψ u komponentama: y1 = ψ1 (x1 , . . . , xn ), .. (8.1) . yn = ψ1 (x1 , . . . , xn ), Pretpostavili smo da je ovo preslikavanje bijekcija, pa stoga postoje inverzna preslikavanja: x1 = χ1 (y1 , . . . , yn ), .. (8.2) . xn = χn (y1 , . . . , yn ). 91

92

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Jakobijan inverznog preslikavanja definira se formulom gdje je ∂x1 1 ∂y · · · ∂x ∂yn 1 ∂(x1 , . . . , xn ) . = . J= ∂(y1 , . . . , yn ) ∂x. n ∂xn ∂y1 · · · ∂yn Neka je G podruˇcje u Rn i G slika tog podruˇcja pri preslikavanju Ψ . Onda vrijedi

P ((X1, . . . , Xn ) ∈ G) = P ((Y1 , . . . , Yn ) ∈ G ), ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = ··· g(y1 , . . . , yn )dy1 . . . dyn . G

G

Sad c´emo iskoristiti poznatu formulu zamjene varijabli u viˇsestrukom integralu: ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = ··· f (x1 , . . . , xn )|J|dy1 . . . dyn . G

G

- funkcija gusto´ca: Odavde moˇzemo zakljuˇciti da postoji veza izmedu Transformacija gusto´ca pri bijektivnom preslikavanju

∂(x1 , . . . , xn ) g(y1 , . . . , yn ) = f (x1 , . . . , xn ) · ∂(y1 , . . . , yn )

(8.3)

Kartezijeve i polarne koordinate

Ilustrirajmo izvedenu formulu na primjeru transformacija kartezijevih u polarne koordinate. Neka je f gusto´ca razdiobe vektora (X, Y) i (R, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y) . Izvedimo formulu za gusto´cu razdiobe vektora (R, Φ) . - koordinatama je Veza medu x = r cos ϕ , y = r sin ϕ i jakobijan preslikavanja iznosi

cos ϕ −r sin ϕ ∂(x, y) = r. = J= ∂(r, ϕ ) sin ϕ r cos ϕ

Zato je traˇzena gusto´ca jednaka g(r, ϕ ) = f (x, y) · |J| = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r.

8.1. FUNKCIJE

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Primjer 8.1. Gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) je

+ x2 + y2 , 1 . exp − 2πσ 2 2σ 2 Neka su (R, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y) . Izraˇcunajmo gusto´cu razdiobe vektora (R, Φ) te marginalne gusto´ce varijabli R i Φ . Jesu li one nezavisne? f (x, y) =

Vektor (R, Φ) uzima vrijednosti u podruˇcju [0, ∞) × [0, 2π ) . Po prethodnoj formuli je + r2 , 1 g(r, ϕ ) = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r = exp − 2 ·r 2πσ 2 2σ i g(r, ϕ ) se moˇze faktorizirati u produkt gR (r)gΦ (ϕ ) . Varijable R i Φ su stoga nezavisne. R ima Rayleighovu razdiobu s gusto´com + r2 , r gR (r) = 2 exp − 2 , r 0, σ 2σ a ϕ jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] .

= (X1 , . . . , Xn ) zadan je funkcijom gusto´ce f . Primjer 8.2. Sluˇcajan vektor X

Neka je A regularna matrica reda n . Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajnog vektora Y = AX . Matrica A je regularna, stoga je preslikavanje y = Ax bijektivno. Odredimo njegov jakobijan. Za i -tu komponentu vektora Y vrijedi yi = aij xj j

i zato je ∂yi = aij . ∂xj Prema tome, jakobijan preslikavanja y = Ax glasi a11 . . . a1n ∂(y1 , . . . , yn ) . = |A| = .. ∂(x1 , . . . , xn ) an1 . . . ann dakle, upravo determinanta matrice A . Jakobijan inverznog preslikavanja x = A−1y je 1 J= . Gusto´ca vektora Y glasi |A| 1 g(y1 , . . . , yn ) = f (x1, . . . , xn ) · |J| = f (x1, . . . , xn ) · . |A|

93

94

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Funkcija sluˇcajnog vektora

Dosadaˇsnje c´emo razmatranje pojednostavniti tako sˇ to c´emo promatrati preslikavanje ψ : Rn → R i sluˇcajnu varijablu Z = ψ (X1 , X2 , . . . , Xn ) dobivenu ovakvim preslikavanjem. Pitamo se: kako moˇzemo odrediti razdiobu varijable Z ? Radi jednostavnosti zapisivanja, promatrat c´emo sluˇcaj n = 2 i preslikavanje oblika Z = ψ (X, Y). Pretpostavit c´emo da nam je poznata gusto´ca vektora (X, Y) . Pokazat c´emo kako se - gusto´ca varijable Z . odreduje Preslikavanje ψ : R2 → R c´emo nadopuniti do preslikavanja iz R2 u R2 , kako - gusto´ca sluˇcajnih vektora. Najjednostavbismo mogli iskoristiti poznate veze izmedu nije je to uˇciniti tako da prvu komponentu vektora ostavimo nepromijenjenu. Tako dobivamo sustav: x = x, z = ψ (x, y), Oznaˇcimo preslikavanje inverzno ovome: x = x, y = χ (x, z). Jakobijan inverznog preslikavanja glasi ∂x 1 0 ∂y ∂(x, y) ∂x ∂x ∂z = ∂y ∂y = ∂y ∂y = . ∂(x, z) ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z Prema tome, po formuli (8.3), gusto´ca vektora (X, Z) je ∂y g(x, z) = f (x, y) , ∂z Gusto´cu gZ sluˇcajne varijable Z moˇzemo dobiti preko marginalne gusto´ce ovog vektora. Gusto´ca funkcije sluˇcajnog vektora

Gusto´ca sluˇcajne varijable Z = ψ (X, Y) dobiva se formulom ∞ ∂y gZ (z) = f (x, y) dx, ∂z −∞ gdje je f gusto´ca vektora (X, Y) .

(8.4)

8.1. FUNKCIJE

95

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Primjer 8.3. Neka je f (x, y) gusto´ca sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Z ako je A. Z = X + Y ,

B. Z = Y − X ,

Koristimo formulu (8.4): A.

y = z − x,

B.

y = z + x,

C.

y=

D.

y = zx ,

z , x

gZ (z) =

∞

−∞ ∞

C. Z = XY ,

D. Z = Y/X .

f (x, z − x)dx .

gZ (z) = f (x, z + x)dx . ∞ −∞ z 1 f (x, ) dx . gZ (z) = x x −∞ ∞ gZ (z) = f (x, zx)|x|dx . −∞

Razdioba zbroja nezavisnih varijabli

Zbroj nezavisnih varijabli iznimno je vaˇzan primjer funkcije sluˇcajnog vektora. Pokazali smo da c´e za neke vaˇzne razdiobe poput binomne, Poissonove ili normalne, zbroj nezavisnih varijabli imati razdiobu istog tipa. To op´cenito nije sluˇcaj. Izvest c´emo op´cenitu vezu gusto´ca nezavisnih sluˇcajnih varijabli i gusto´ca njihovog zbroja. Ako su X i Y nezavisne, i f (x, y) gusto´ca vektora (X, Y) , onda se ta funkcija moˇze faktorizirati u umnoˇzak marginalnih gusto´ca: f (x, y) = f X (x)f Y (y). Za gusto´cu zbroja Z = X + Y ovih sluˇcajnih varijabli vrijedi, prema prethodnom primjeru ∞ ∞ gZ (z) = f (x, z − x)dx = f X (x)f Y (z − x)dx. −∞

−∞

U integralu zdesna prepoznajemo konvoluciju gusto´ca f X i f Y . Uzastopnom primjenom ovog zakljuˇcka, dobivamo sljede´ce: Gusto´ca zbroja nezavisnih varijabli Teorem 8.1. Ako su sluˇcajne varijable X1 , X2 , . . . , Xn nezavisne, onda je gusto´ca njihovog zbroja Z = X1 + X2 + . . . + Xn dana konvolucijom gZ (z) = f X1 ∗ f X2 ∗ . . . ∗ f Xn .

96

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Primjer 8.4. Sluˇcajne varijable X1 , X2 i X3 nezavisne su i imaju jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Odredimo gusto´cu gZ sluˇcajne varijable A. Y = X1 + X2 , B. Z = X1 + X2 + X3 .

Gusto´ca varijabli Xi je f (x) = 1 , 0 < x < 1 .

A. Gusto´ca varijable Y dana je konvolucijom:

gY (x) =

∞

−∞

f (u)f (x − u)du

Daljnje raˇcunanje ovisi o vrijednosti argumenta. Funkcija gusto´ce razliˇcita je od nule za 0 < x < 2 . Podruˇcje integracije svodi se na ono na kojem je argument funkcija u granicama od 0 do 1, jer je van toga funkcija gusto´ce jednaka nuli. Prema tome, mora biti 0 < u < 1 i 0 < x − u < 1 . Zato u mora zadovoljavati sustav 0 < u < 1, x − 1 < u < x. a) Za 0 < x 1 oba su uvjeta zadovoljena ako je 0 < u < x : x x gY (x) = f (u)f (x − u)du = du = x. 0

0

b) Za 1 < x < 2 mora biti x − 1 < u < 1 : 1 f (u)f (x − u)du = gY (x) = x−1

1 x−1

du = 2 − x.

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1

1.5

2

Sl. 8.1. Graf gusto´ce zbroja dviju uniformnih razdioba. B. Raˇcunanje poput prijaˇsnjeg postaje nespretno za ve´ci broj pribrojnika. Moˇzemo napisati f (x) = u(x) − u(x − 1),

tu je u jediniˇcna step funkcija. Laplaceova transformacija gusto´ce je 1 1 f ∗ (s) = − e−s s s Konvoluciji u donjem podruˇcju odgovara umnoˇzak. Odatle je 3 1 1 −s 1 ∗ −s −2s −3s gZ (s) = = 3 1 − 3e + 3e −e . − e s s s

8.1. FUNKCIJE

97

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Original ove funkcije je traˇzena gusto´ca: gZ (x) = 12 x2 − 32 (x − 1)2 u(x − 1) + 32 (x − 2)2 u(x − 2) − 12 (x − 3)2 u(x − 3) Zapiˇsimo tu funkciju i na sljede´ci naˇcin: ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 x2 , ⎪ ⎨ 2 gZ (x) = −x2 + 3x − 32 , ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 ⎪ x − 3x + 92 , ⎪ ⎩ 2 0, 1

x < 0, 0 x 1, 1 x 2, 2x3 3 < x.

n=2

0.8 n=4

0.6

n=6

n=8 n = 10

0.4 0.2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sl. 8.2. Graf gusto´ce zbroja n uniformnih razdioba. Primjetite da za veliki n ovaj graf (koji je polinom stupnja n − 1 ) nalikuje na graf gusto´ce normalne razdiobe.

Primjer 8.5. X i Y su nezavisne sluˇcajne varijable, distribuirane po jediniˇcnom normalnom zakonu. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = Y/X .

Po rezultatu Primjera 8.3, gusto´ca varijable Z iznosi ∞ g(z) = f (x, zx)|x|dx. −∞

Zbog nezavisnosti od X i Y je f (x, y) = f X (x)f Y (y) . 0 ∞ g(z) = − xf X (x)f Y (zx)dx + xf X (x)f Y (zx)dx, −∞

0

gdje je 1 2 1 f X (x) = f Y (x) = √ e− 2 x . 2π

98

8. FUNKCIJE

Dakle

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

∞ 1 − 1 x2 (1+z2 ) 1 − 1 x2 (1+z2 ) 2 g(z) = − x· e dx + x· e 2 dx 2π 2π −∞ 0 ∞ 1 1 ∞ − 1 x2 (1+z2 ) − 12 x2 (1+z2 ) e 2 x dx = − e = 2 π 0 π (1 + z ) 0 1 = . π (1 + z2 ) 0

Prema tome, kvocijent dviju nezavisnih jediniˇcnih normalnih varijabli ima Cauchyjevu razdiobu. Ako je N ∼ N (0, σ12 ) , Y ∼ N (0, σ22 ) , provjeri da je σ1 1 . · g(z) = σ2 π 1 + ( σ1 z)2 σ2

∗∗∗ U sluˇcaju kad preslikavanja (8.1) nisu injektivna, ali i onda kad je nepraktiˇcno koristiti formulu (8.4) (obiˇcno zbog toga sˇ to gusto´ca f nije razliˇcita od nule na cˇitavom R2 , sˇ to oteˇzava odredivanje granica u integralu (8.4)), funkciju gusto´ce varijable Z nalazimo pomo´cu funkcije razdiobe: f (x, y)dx dy, FZ (z) = P{ψ (X, Y) < z} = Gz

gdje je

Gz = {(x, y) : ψ (x, y) < z}.

Primjer 8.6. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe

f (x, y) = x + y, 0 x 1, 0 y 1. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = X + Y . Z poprima vrijednosti unutar intervala [0, 2] . FZ (z) = P{Z < z} = P{(X, Y) ∈ Gz } = f (x, y)dx dy

Gz = {(x, y) : x + y < z}

podruˇcje iscrtkano na slici. Razlikujemo dva sluˇcaja: 1)

0 z 1,

2)

1 z 2,

y

1

@@ @ z 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .z ......... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .z. . . . . . ............... . . . . . . . .

@@ @@ G @ G @ @@=-+ @@ @= +

Gz

gdje je

6

. . . . . . . .

. . . . . . .

z

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

y

1

y

z −x z3 dx (x + y)dy = . Sl. 8.3. 3 0 0 1 1 dx (x + y)dx = 13 (−z3 + 3z2 − 1). FZ (z) = 1 − z

FZ (z) =

z −1

z −x

x z

x

x z

8.1. FUNKCIJE

99

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Dakle,

gZ (z) =

z2 , 2z − z2 ,

0 z 1, 1 z 2.

Dobijmo ovaj rezultat uz pomo´c formule iz Primjera 8.3: ∞ f (x, z − x)dx. gZ (z) = −∞

Varijabla x (prvi argument funkcije f ) uzima vrijednosti unutar [0, 1] (za x ∈ / [0, 1] , f (x, y) jednaka je nuli). Dakle 1 gZ (z) = f (x, z − x)dx. 0

I drugi argument funkcije f mora biti unutar intervala [0, 1] . Razlikujemo dva sluˇcaja: 1) 0 z 1 . Tada je uvijek z − x 1 i biramo x da bude z − x 0 , tj. x z : z z gZ (z) = f (z, z − x)dx = (x + z − x)dx = z2 . 0

0

2) 1 z 2 . Sada je uvijek z − x 0 no, moramo osigurati da bude z − x 1 , tj. x z − 1 . 1 1 gZ (z) = f (x, z − x)dx = (x + z − x)dx = 2z − z2 . z −1

z −1

Primjer 8.7. Nezavisne sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrima λ1 , . . . , λn . Pokaˇzi da sluˇcajna varijabla Y = min{X1 , . . . , Xn } - eksponencijalnu razdiobu, s parametrom λ = λ1 + . . . + λn . ima takoder

Vrijedi FY (y) = P{Y < y} = 1 − P{Y x} = 1 − P{min{X1 , . . . , Xn } x} = 1 − P{X1 x, . . . , Xn x}. Zbog nezavisnosti varijabli X1 , . . . , Xn dobivamo FY (x) = 1 − P{X1 x} · . . . · P{Xn x} = 1 − e−λ1 x · . . . · e−λn x = 1 − e−(λ1 +...+λn )x , te je Y ∼ E(λ1 + . . . + λn ) . Ovaj rezultat ima sljede´cu interpretaciju: u sustavu od n serijski vezanih nezavisnih komponenti, od kojih svaka ima oˇcekivano vrijeme ispravnog rada a1 , . . . , an , oˇcekivano vrijeme ispravnog rada cijelog sustava a je odredeno sa 1 1 1 + ... + . = a a1 an

100

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

8.2. Razdiobe izvedene iz normalne razdiobe Gama funkcija

Eulerov integral druge vrste ili gama funkcija definirana je nepravim integralom ∞ xα −1 e−x dx, (α > 0). Γ(α ) := 0

Ovaj se integral moˇze definirati i za sve kompleksne brojeve α za koje je Re α > 0 . Osnovna svojstva gama funkcije Teorem 8.2. Vrijede sljede´ce formule

Γ(α + 1) = α Γ(α ), Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ N, √ 1 Γ( 2 ) = π , 2n + 1 √π = n (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1. Γ 2 2

DOKAZ. Parcijalnom integracijom dobivamo ∞ 1 Γ(α ) = xα −1 e−x dx = xα e−x α 0 1 = Γ(α + 1) α i odavde slijedi Γ(α + 1) = α Γ(α ) . Prema dokazanoj relaciji vrijedi

∞ ∞ +1 xα e−x dx α 0 0

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n!Γ(1). Kako je

Γ(1) =

∞

e−x dx = 1,

0

dobivamo Γ(n + 1) = n! . U dokazivanju tre´ceg svojstva iskoristit c´ emo svojstvo gusto´ce jediniˇcne normalne razdiobe: ∞ √ − 12 −x − 12 1 1 2 Γ( 2 ) = x e dx = x = 2 t , x dx = 2dt 0 ∞ ∞ √ √ √ 1 2 2 − 12 t2 = e 2dt = π · √ e− 2 t dt = π . 2π 0 0

8.2. RAZDIOBE

101

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

Koriste´ci prvo i tre´ce svojstvo, dobivamo 2n + 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1 2n − 3 3 1 1 Γ = Γ = ... = · ··· · · Γ 2 2 2 2 2 2 2 2 √ 1 = n (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1 · π . 2 Centralni momenti normalne varijable

Pomo´cu gama funkcije moˇzemo iskazati centralne momente normalne sluˇcajne varijable. S obzirom da vrijedi E(X n) = 0 za svaki neparni prirodni broj n , izvest c´emo op´cenitiju formulu za momente sluˇcajne varijable |X| . Neka je X ∼ N (0, σ 2 ) . Onda imamo ∞ 1 x 2 1 |x|n e− 2 ( σ ) dx E(|X|n) = √ σ 2π −∞ & % ∞ 2 2 t = 2xσ 2 n − 12 ( σx )2 x e dx = = √ dx = √σ2t dt σ 2π 0 ∞ 1 1 σ 2 = √ (2σ 2 ) 2 n t 2 n √ e−t dt σ 2π 0 2t 1 σ n 12 n ∞ n−1 2 2 nσ n n + 1 . (8.1) t 2 e−t dt = √ Γ =√ 2 2 π π 0 Tako na primjer, vrijedi

5 2 2 2 σ5 5 E(|X| ) = √ Γ(3) = 8σ , π π 6 2 2 σ 6 7 8σ 6 5 3 1 6 √ = √ · · ·Γ = 30σ 6 . Γ E(|X| ) = 2 2 π π 2 2 5

Gama razdioba

Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima α i λ , ako je njezina gusto´ca razdiobe definirana sa f (x) =

λ α α −1 −λ x e , x Γ(α )

x > 0,

(α , λ > 0).

Piˇsemo X ∼ G(α , λ ) . Odredimo karakteristiˇcnu funkciju gama razdiobe. ∞ λ α α −1 −λ x ϑ (t) = eitx e dx x Γ(α ) 0 ∞ λα xα −1 e−x(λ −it) dx. = Γ(α ) 0

102

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Uvedimo supstituciju x(λ − it) = z α −1 ∞ z λα dz ϑ (t) = e−z Γ(α ) 0 λ − it λ − it α α ∞ λ 1 λ = zα −1e−z dz = . λ − it Γ(α ) 0 λ − it - oˇcekivanje i disperzija gama razdiobe Odavde se sad lako odreduju E(X) =

α , λ

D(X) =

α . λ2

(8.2)

Stabilnost gama razdiobe. Erlangova razdioba

Dokaˇzimo sad stabilnost gama razdiobe na zbrajanje: ako nezavisne varijable X1 i X2 imaju gama razdiobu s parametrima (α1 , λ ) , (α2 , λ ) , tada zbroj X1 + X2 ima gama razdiobu s parametrima α1 + α2 i λ . Karakteristiˇcna funkcija zbroja X1 + X2 jednaka je produktu karakteristiˇcnih funkcija pribrojnika i iznosi α1 α2 α1 +α2 λ λ λ ϑX1 +X2 (t) = = . λ − it λ − it λ − it Ova je funkcija karakteristiˇcna funkcija gama razdiobe s parametrima α1 + α2 i λ , sˇ to je i trebalo dokazati. Eksponencijalna razdioba je ujedno i gama razdioba s parametrom α = 1 . Zato zbroj n nezavisnih eksponencijalnih sluˇcajnih varijabli X1 , . . . , Xn ima gama razdiobu s parametrima λ i n . Tu razdiobu nazivamo joˇs i Erlangova razdioba. Njezina je gusto´ca λ n xn−1 −λ x f (x) = e , x > 0. (n − 1)!

0.35

n=2

0.3 0.25 0.2

n=4 n=6

0.15

n=8

0.1

n = 10

0.05 5

10

15

20

Sl. 8.4. Grafovi funkcija gusto´ca Erlangove razdiobe, za prvih nekoliko vrijednosti indeksa n .

8.2. RAZDIOBE

103

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

Veza normalne i eksponencijalne razdiobe

Ako X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu, onda varijabla Y = X 2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Za x 0 je FY (y) = 0 . Za x > 0 vrijedi √ √ FY (y) = P{X 2 < y} = P{− y < X < y} √y √y 1 2 2 1 − 12 x2 e dx = √ e− 2 x dx. =√ √ 2π − y 2π 0 Zato je

1 1 1 1 2 1 f Y (y) = FY (y) = √ e− 2 y √ = √ y− 2 e− 2 y 2 y 2π 2π

a to je gusto´ca gama razdiobe G( 12 , 12 ) . χ2 -razdioba χ2 -razdioba

Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable s jediniˇcnom normalnom razdiobom. Tada kaˇzemo da sluˇcajna varijabla χn2 definirana sa

χn2 := X12 + X22 + . . . + Xn2 ima χ 2 -razdiobu (hi kvadrat razdiobu) sa n stupnjeva slobode. Gusto´ca ove razdiobe je 1 1 1 f χn2 (x) = n/2 1 x 2 n−1 e− 2 x , 2 Γ( 2 n) a oˇcekivanje i disperzija E(χn2 ) = n,

D(χn2 ) = 2n.

Dokaˇzimo ove tvrdnje. Pokazali smo da varijabla Xk2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Zbog nezavisnosti sluˇcajnih varijabli, zbroj X12 + . . . + Xn2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 n, 12 ) . Prema tome, gusto´ca χn2 -razdiobe dana je sa f χn2 (x) =

1 1 1 x 2 n−1 e− 2 x . 2n/2 Γ( 12 n)

Prema formuli (8.2) znamo odrediti oˇcekivanje i disperziju: E(χn2 ) =

1 2n 1 2

= n,

D(χn2 ) =

1 2n 1 4

= 2n.

104

8. FUNKCIJE

n. √

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Nacrtat c´emo funkciju gusto´ce χn2 razdiobe za prvih nekoliko vrijednosti indeksa

Odredimo gusto´ce tih razdioba. Koristimo pritom svojstva gama funkcije: Γ( 12 ) = √ π , Γ(1) = 1 , Γ( 32 ) = 12 π , Γ(2) = 1 . f 1 (x) = √

n=1:

1 1 e− 2 x , 2π x

x>0

1 − 12 x e , x>0 2 1 √ − 12 x xe , x > 0 f 3 (x) = √ 2π 1 1 f 4 (x) = xe− 2 x , x > 0 4

n=2:

f 2 (x) =

n=3: n=4: Vrijedi

lim f k (x) = 0, k 1 ⎧ k = 1, ⎨ ∞, 1 lim f k (x) = , k = 2, x→0 ⎩ 2 0, k 3. Odredimo ekstreme. Vrijedi 1 1 1 1 1 1 x 2 n−1 e− 2 x = x 2 n−2 e− 2 x ( n − 1 − x) = 0 2 2 za x = n − 2 . Zato f n poprima maksimum u x = n − 2 . x→∞

y 6

... n=1 ... . y=χ2n (x) 0.5 .... .... .... .. ....... . n=2........ ......... ... ........ . . . . . . . . 0.24 n=3 . . . . . ........................................................................ . . . . 0.18 . ......................... .................................................................................................. .............. ................... ........................... ... .....n=4 ........ .......................... ........................... ......... ...................... . × 1

2

Sl. 8.5. Graf funkcija gusto´ca prvih nekoliko χ 2 razdioba.

x

8.2. RAZDIOBE

105

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

χ -razdioba

χ -razdiobom zovemo sluˇcajnu varijablu

χ = χ 2 = X12 + . . . + Xn2 , gdje su Xi nezavisne jediniˇcne normalne varijable. Odredimo funkciju gusto´ce varijable χ. χ 2 -razdioba dana je gusto´com 1 1 1 f χ 2 (x) = n/2 1 x 2 n−1 e− 2 x , x > 0. 2 Γ( 2 n)

Stoga je gusto´ca varijable χ = χ 2 dana sa f χ (x) = f χ 2 (x2 ) · 2x =

2xn−1 2

1 n 2

Γ( 12 n)

1 2

e− 2 x .

Skicirajmo grafove funkcija gusto´ce χn -razdiobe, za n = 1, 2, 3 . Napiˇsimo najprije jednadˇzbe pripadnih gusto´ca: n=1: n=2: n=3: Vrijedi

pa f χn

1 2 2 f 1 (x) = √ e− 2 x , 2π

x > 0,

1 2

f 2 (x) = xe− 2 x , x > 0, 1 2 2 f 3 (x) = √ x2 e− 2 x , x > 0, 2π

(Rayleighova razdioba) (Maxwellova razdioba)

1 2 1 2 xn−1 e− 2 x = e− 2 x xn−2 (n − 1 − x2 ), √ ima maksimum u x = n − 1 . y

6

y=χn (x) ....n=1 .......... ...... ..... n=2 n=3 .................... .......... ....... ........... ......... . . ... .. ............. ......... ......... .. .. ....... ......... ........ ..... . .. . .... ..... ......... ......... ... .... ...... ...... ..... ........ ....... ....... . . ............ ........................ ... ....... .................................................. . . . . . . . . . . × √ x 1 2

Sl. 8.6. Graf funkcija gusto´ca prvih nekoliko χ -razdioba.

106

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Studentova razdioba

Neka su X, X1 , . . . , Xn nezavisne jediniˇcne normalne varijable. Tada kaˇzemo da sluˇcajna varijabla X t := (X12 + . . . + Xn2 )/n ima studentovu razdiobu sa n stupnjeva slobode. Piˇsemo cˇesto tn umjesto t . Sama razdioba zove se i t -razdioba. Odredimo funkciju gusto´ce studentove razdiobe. Varijabla X12 + . . . + Xn2 ima χ -razdiobu, stoga je gusto´ca varijable Z = (X12 + . . . + Xn2 )/n dana sa √ 2( nx)n−1 − 1 nx2 f Z (x) = n/2 1 e 2 . 2 Γ( 2 n) X Po Primjeru 8.3, gusto´ca studentove razdiobe t = dana je sa Z ∞ f X (xy)f Z (y)|y|dy f t (x) = −∞ √ √ n −1 ∞ 2 1 1 2 2 2 n( ny) 1 √ e− 2 x y = e− 2 ny y dy 1 n/2 2 Γ( n) 2π 0 2 √ n ∞√ 2( n) n + x2 n − 1 y2 (n+x2 ) √ √ = y e 2 dy. 2π 2n/2 Γ( 12 n) n + x2 0 1 Ovaj integral jednak je E(|Y|n) , gdje je Y ∼ N (0, n+x 2 ) i po formuli (8.1) iznosi 1 1 2n/2 n + 1 · . Dakle, · √ ·Γ 2 2 (n + x2 )n/2 π n + 1 n/2 √ n Γ 2 1 2( n) 2 n √ · ·√ f (x) = 2 )n/2 2 π (n + x n/2 2 2 Γ n+x 2 n + 1 − n+1 Γ 2 x2 2 n 1 + =√ . n nπ Γ 2

∗∗∗ Odredimo oˇcekivanje i disperziju tn -razdiobe. Za n = 1 gusto´ca glasi f (x) = 1 (Cauchyjeva razdioba) i ona nema niti oˇcekivanje, niti disperziju. π (1 + x2 )

8.2. RAZDIOBE

107

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

Neka je n > 1 . Gusto´ca tn -razdiobe je parna funkcija i zato je E(tn ) = 0 . Izraˇcunajmo disperziju: − n+1 ∞ Γ n+1 2 x2 2 2 2 D(tn ) = E(tn ) = dx. 1 + x √ n n −∞ nπ Γ 2 Γ( n+1 ) Oznaˇcimo, zbog kratko´ce zapisa, Cn = √ 2 n . Tada vrijedi nπ Γ( 2 ) − n+1 ∞ 2 x2 2 D(tn ) = Cn x 1+ dx n −∞ * ∞ − n+1 − n+1 ∞ 2 2 x2 x2 x2 dx − n dx = Cn n 1+ 1+ 1+ n n n −∞ −∞ − n−1 − n+1 ∞ ∞ 2 2 x2 x2 = nCn dx − n Cn 1 + dx. 1+ n n −∞ −∞ Drugi je integral jednak jedinici, poˇsto je podintegralna funkcija gusto´ca tn razdiobe. Da bismo prvi integral sveli na integral po gusto´ci tn−2 -razdiobe, uvedimo supstituciju n x2 u2 = =⇒ dx = du. n n−2 n−2 Dobivamo

n 1 · n − 2 C n −2

∞

C n −2 1 +

u2 n−2

− n−1 2

du − n D(tn ) = nCn −∞ n Cn =n −n · n − 2 C n −2 n − 2 n + 1

√ (n − 2) π Γ Γ n n 2 · 2 −n =√ · n − 1 n − 2 √nπ Γ n Γ 2 2 n−1 n· 2 −n= n = n−2 n−2 2

108

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

8.3. Rijeˇseni zadatci Zadatak 8.1. Neka su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable, obje s istom eksponen-

X . X+Y

cijalnom razdiobom E(λ ) . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Z =

Kako su X i Y pozitivne, slijedi da je 0 < Z < 1 . Gusto´ca razdiobe vektora (X, Y) je x, y > 0. f (x, y) = λ 2 e−λ (x+y) , Tako imamo FZ (z) = P{

X 1−z < z} = P{Y > X} X+Y z

= P{(X, Y) ∈ Gz } =

∞

= 0

= λ2 =λ

∞

1 −z z x

∞

λ 2 e−λ (x+y) dy

e−λ x dx

0

∞

∞

1 −z z x

6 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .z . . . . . . . . . . . . . . .

G

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

y

Sl. 8.7.

e−λ x/z dx = z.

0

Prema tome, Z ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Zadatak 8.2. Nezavisne varijable X i Y zadane su svojim gusto´cama

x > 0, f X (x) = e−x , f Y (y) = 1, 1 y 2. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = Y/X . Zbog nezavisnosti varijabli X i Y vrijedi

6 y

2

y =zx . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . z. . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .

G

1

-

f X (x)f Y (y)dx dy

= Gz

2

dy

= 1

∞

x

Sl. 8.8. −x

e dx

y/z

= −z(e−2/z − e−1/z ),

z > 0.

. . . . . .

. . . . . .

1 z z x x

e−λ y dy

f (x, y) = f X (x)f Y (y) = e−x na podruˇcju x > 0 , 1 y 2 . Zato Y FZ (z) = P{ < z} = P{(X, Y) ∈ Gz } X

. . . . . .

=

f (x, y)dx dy Gz

dx

y

ˇ 8.3. RIJE SENI ZADATCI

109

Dobili smo 1 2 gZ (z) = FZ (z) = e−1/z − e−2/z + e−1/z − e−2/z , z z

z > 0.

Izvedi ovaj rezultat pomo´cu formule ∞ gZ (z) = f (x, zx)|x|dx. −∞

Zadatak 8.3. Na sferi polumjera R izabrane su na sre´cu dvije toˇcke A i B . Nadi - njima. funkciju razdiobe i izraˇcunaj oˇcekivanje udaljenosti medu Fiksirajmo toˇcku A (nakon izbora!) u sjevernom polu sfere. Toˇcka B ima jednoliku razdiobu na sferi. Oznaˇcimo sa (R, Φ, Ψ) njezine koordinate u sfernom sustavu. Kako je prva koordinata konstantna, dovoljno je odrediti zakon razdiobe za vektor (Φ, Ψ) . Neka je dS element povrˇsine sfere. Toˇcka se bira na sre´cu, stoga je P{B ∈ dS} =

dS R2 sin ψ dψ dϕ = 4π R2 4π R2

i dalje je

A

................................................. ......... ....... .... ...... .... .. ...... . . . . X ......... ........... ... ... ... .. B . ... . .. .. . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . .. . . . . ..... ..... ... ... . . . . . . . ... ... . .... . . . . . . ... . ψ... . .... .... ... ... ..... ..... . . ... ... . .. .. .. ..ϕ ...... ... .. .... .... ... . .... .. ... . .. . .... ... . .. . .. ... ... ... ... ... ... ... .... . . .. ..... ..... ...... ..... ....... ........... ....... ................................... yz|}

Sl. 8.9.

1 sin ψ , f (ψ , ϕ ) = 4π

0 ϕ < 2π , 0 ψ π

- toˇckama A i B vrijedi gusto´ca razdiobe vektora (Ψ, Φ) . Za udaljenost X medu ψ X = 2R sin 2 . Odredimo funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X . ψ x F(x) = P{2R sin < x} = P{ψ < 2 arc sin } 2 2R x 2 arc sin 2R 2π 1 sin ψ dψ = dϕ 4π 0 0 x 1 1 = 2 − 2 cos 2 arc sin 2R x 2 x = sin2 arc sin . = 2R 2R Dakle, x f (x) = , 0 x 2R, 2R2 i odavde

E(X) = 0

2R

x·

x dx = 43 R. 2R2

110

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Zadatak 8.4. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu f (x, y) = 4xy , 0 x 1 , 0 y 1 . Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = XY te njezino oˇcekivanje.

Z uzima vrijednosti u intervalu [0, 1] FZ (z) = P{Z < z} = P{XY < z} = f (x, y)dx dy

z

dx

= 0 2

1

0 2

1

z/x

4xy dy 0

z

Oˇcekivanje moˇzemo izraˇcunati na viˇse naˇcina: a) Pomo´cu izraˇcunate gusto´ce varijable Z : 1 E(Z) = − 2z2 ln z2 dz = −4 0

∞ ∞

1

z2 ln zdz =

0

1 zf (x, y)dx dy =

−∞ −∞

1

x

Sl. 8.10.

0 z 1.

E(Z) = E(XY) =

xy =z

.. (z 1) . .. . .. . .. . .. ..... . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... (1 z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ........... ....................... . . .G . .z . . . . . . . . . ..................... .......................

0 z 1.

gZ (z) = −2z ln z2 ,

b) Direktno,

y

Gz

dx z

= z − 2z ln z, Dakle,

1

4xy dy +

6 .........

0

0

4 . 9

1

4xy · xy dx dy =

c) X i Y su nezavisne jer je f (x, y) = 4xy = 2x · 2y = f X (x)f Y (y) 1 2 2x2 dx = . E(Z) = E(X)E(Y) = E(X) = E(Y) = 3 0

4 . 9

te vrijedi 4 . 9

Zadatak 8.5. Zadan je sluˇcajan vektor (X, Y) . Odredi gusto´cu razdiobe g sluˇcajne varijable Z = max{X, Y} ako je poznato a) gusto´ca razdiobe f vektora (X, Y) , b) gusto´ce f X i f Y ako su X i Y nezavisne varijable, c) gusto´ca x → f (x) ako su X i Y nezavisne i identiˇcno distribuirane.

Neka je F funkcija razdiobe vektora (X, Y) . FZ (z) = P{Z < z} = P{max{X, Y} < z} = P{X < z, Y < z} z z f (x, y)dx dy = F(z, z) = −∞

−∞

a) U ovom je sluˇcaju

* z z d gZ (z) = FZ (z) = f (x, y)dx dy dz −∞ −∞ z z = f (z, y)dy + f (x, z)dx. −∞

−∞

ˇ 8.3. RIJE SENI ZADATCI

111

b) Zbog nezavisnosti od X i Y je f (x, y) = f X (x)f Y (y) . Uvrstimo to u upravo dobivenu formulu: z z gZ (z) = f X (z)f Y (y)dy + f X (x)f Y (z)dx −∞ −∞ z z f Y (y)dy + f Y (z) f X (x)dx = f X (z) −∞

−∞

= f X (x)FY (z) + f Y (z)FX (z). c) Sada je f X = f Y =: f , FX = FY =: F i dobivamo gZ (z) = 2f (z)F(z).

Zadatak 8.6. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable distribuirane po - funkciju razdiobe sluˇcajne varijable eksponencijalnom zakonu s parametrom λ . Nadi

Y = max{X1 , . . . , Xn }. FY (x) = P{max{X1 , . . . , Xn } < x} = P{X1 < x, . . . , Xn < x} = P{X1 < x} · · · P{Xn < x} = (1 − e−λ x )n .

Zadatak 8.7. Gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) je

2 (1 − x2 − y2 ), x2 + y2 1. π Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajnog vektora (R, Φ) , polarnih koordinata toˇcke (X, Y) . f (x, y) =

Formulama

⎧

⎨ x2 + y2 r = x = r cos ϕ ⇐⇒ x ⎩ ϕ = arc tg y = r sin ϕ y

definirano je obostrano jednoznaˇcno preslikavanje kruga {(x, y) : x2 + y2 1} na pravokutnik {(r, ϕ ) : 0 r 1, 0 ϕ 2π } . Zato je ∂(x, y) = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r g(r, ϕ ) = f (x, y) · ∂(r, ϕ ) 2 0 r 1, 0 ϕ < 2π . = (1 − r2 )r, π

112

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Zadatak 8.8. Sluˇcajan vektor (X, Y, Z) ima gusto´cu razdiobe

f (x, y, z) = (y − z)e−x , 0 x, 0 y x, 0 z y. Odredi zakon razdiobe varijable W = X − Y + Z . Nadopunimo do sustava ⎧ ⎧ ⎨ u = x, ⎨ x = u, v = y, y = v, ⇐⇒ ⎩ ⎩ w = x − y + z, z = −u + v + w. Jakobijan ovog preslikavanja glasi 1 0 0 ∂(x, y, z) = 0 1 0 = 1 ∂(u, v, w) 1 1 1 i gusto´ca vektora (U, V, W) dana je sa g(u, v, w) = f (x, y, z) · 1 = f (u, v, −u + v + w) = (u − v)e−w . Medutim, moramo odrediti podruˇcje na kojem je g definirana ovom formulom: 0x 0u 0w 0 y x ⇐⇒ 0vu wu ⇐⇒ 0zy u−vwu u−wvu Sada je ∞ ∞ ∞ u du g(u, v, w)dv = du (u − w)e−w dv gW (w) = −∞ −∞ w u −w ∞ = w(u − w)e−u du = we−w , w 0. w

Zadatak 8.9. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Definirajmo diskretnu sluˇcajnu varijablu ν : ν := min{n : X1 + . . . + Xn > 1}. Pokaˇzi da je E(ν ) = e .

Oznaˇcimo Sn = X1 + . . . + Xn . Izraˇcunajmo Fn (x) = P{Sn x} , ali samo za x 1. Za n = 1 vrijedi F1 (x) = P{X1 x} = x. Za n = 2 ,

F2 (x) = P{X1 + X2 x} = = 0

x

dx2

0

dx1 dx2

{x1 +x2 x}

x−x2

dx1 =

0

x

(x − x2 )dx2 =

x2 . 2

ˇ 8.3. RIJE SENI ZADATCI

113

xn . Dokazujemo indukcijom: n! Fn+1 (x) = P{X1 + . . . + Xn + Xn+1 x} x dxn+1 dx1 · · · dxn =

Tvrdimo da je Fn (x) =

0

{x1 +...+xn x−xn+1 }

x

= 0

Fn (x − xn+1 )dxn+1 =

x

0

(x − xn+1 )n xn+1 dxn+1 = . n! (n + 1)!

Sada je 1 , n 2. n! 1 1 1 − = . P{ν = n} = P{ν > n − 1} − P{ν > n} = (n − 1)! n! n(n − 2)! P{ν > n} = P{X1 + . . . + Xn 1} = Fn (1) =

Dakle, E(ν ) =

∞

n=2

∞

n·

1 1 = = e. n(n − 2)! m! m=0

Zadatak 8.10. Odredi funkciju razdiobe zbroja dviju nezavisnih sluˇcajnih varijabli, od kojih je jedna jednoliko distribuirana na intervalu [−a, a] , a druga zadana funkcijom razdiobe F .

Oznaˇcimo prvu varijablu sa X , drugu sa Y , te Z = X + Y .Tada je FZ (z) = P{X + Y < z} = P{(X, Y) ∈ Gz } a P{Y < z − x}f X (x)dx = −a

1 = 2a

a

1 FY (z − x)dx = 2a −a

@@ 6 @@ @@ G @ @ y

. . .

a

z+a

F(t)dt. z −a

. . . . . .

. . .

. .

x. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a x

. . . . .

. .

z . . .

. . . .

y =x z

Sl. 8.11.iz interZadatak 8.11. Biramo tri duˇzine cˇ ije su duljine na sre´cu odabrani brojevi vala [0, a] . Izraˇcunaj vjerojatnost da se od tri duˇzine moˇze sastaviti trokut.

Neka su X , Y , Z duljine izabranih duˇzina. Od njih c´e se mo´ci sastaviti trokut ako vrijedi X + Y Z , X + Z Y , Y + Z X . Stoga se zadatak moˇze rjeˇsavati preko geometrijske definicije vjerojatnosti. Izbor trojke (X, Y, Z) odgovara izboru na sre´cu odabrane toˇcke unutar kocke sa stranicom a postavljene u prvi oktant. Gornji uvjeti - Jedini je problem sˇ to je teˇsko od nje odsijecaju dio koji je povoljan za traˇzeni dogadaj. uoˇciti o kojem se dijelu kocke radi. Stoga c´emo pozvati u pomo´c uvjetne vjerojatnosti. Traˇzimo vjerojatnost dogadaja A = {X + Y Z, Z + X Y, Y + Z X}.

114

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Fiksirati c´emo vrijednost varijable Z . Tada gornji uvjeti prelaze u {A | Z=z} = {X + Y z, X − Y −z, X − Y z} = {|X − Y| z, X + Y z} =: Az . Skup Az , podskup kvadrata sa stranicom a u xOy ravnini nacrtan je na slici. y y =x +z

6

y = x +z

@ @@

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .z . . . .

A

@ z

. . . . . . .

@

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

y =x z

. . . . . . . .

-

a

x

Sl. 8.12.

Njegova je vjerojatnost P(Az ) =

2az − 32 z2 . a2

1 Gusto´ca varijable z je f Z (z) = , 0 < z < a . Zato, po formuli a a a 1 3 1 1 P(A | Z=z)f Z (z)dz = (2az − z2 ) · dz = . P(A) = 2 a 2 a 2 0 0

§ 8. Zadatci za vjeˇzbu

1. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, a] . Odredi gusto´ce sljede´cih sluˇcajnih varijabli a) X + Y , b) X − Y , c) XY , d) X/Y . 2. Neka su X i Y nezavisne, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Odredi gusto´cu varijable X Z= . X+Y 3. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju funkcije gusto´ce vjerojatnosti f (x) = 1 za 0 x 1, 2y za 0 y 3. g(y) = 9 Odredi funkciju √ gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X 2 + Y 2 .

∗∗∗ 4. Duljine stranica pravokutnika su nezavisne slucˇajne varijable, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, a] . Odredi gusto´cu razdiobe povrˇsine tog pravokutnika. 5. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na trokutu s vrhovima O(0, 0) , A(1, 0) , B(1, 1) . Odredi funkciju razdiobe varijable Z = X − Y . 6. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na podruˇcju D = {(x, y) : 0 y x 1}. Odredi funkciju razdiobe varijable Z = X − Y . Izraˇcunaj P{Z < 12 } .

ˇ 8. ZADATCI ZA VJE ZBU

115

7. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na kvadratu {|x| 1 , 0 y 2} . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = XY . 8. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti unutar kruga polumjera 1 . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X/Y . 9. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju D = {(x, y) 0 x a , - i skiciraj funkciju gusto´ce vjero0 y b} . Nadi jatnosti sluˇcajne varijable X−a Z= . Y−b 10. Sluˇcajni vektor (X, Y) jednoliko je distribuiran na podruˇcju S = {(x, y) : y > 2, x < 3, y − x < 1}. - i skiciraj gusto´cu sluˇcajne varijable Z = X + Nadi 2Y . 11. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = {(x, y) : x > 0, y > 0, 1 − x − y > 0}. Odredi funkciju razdiobe FZ sluˇcajne varijable Z = Y . Kolika je vjerojatnost da Z poprimi neku 1+X ” “ vrijednost iz intervala 14 , 34 ?

16. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X − Y , ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable s gusto´cama razdioba: 1 , −1 < x < 1, 2 −y f Y (y) = e , y > 0.

f X (x) =

17. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe f (x, y) = ax + y, 0<x<1, 0
1 , π (1 + x2 )

g(y) = konst.,

x ∈ R, 1 y 3.

Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Z = X/Y .

12. Dvodimenzionalni sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na podruˇcju D = {(x, y) : x - i skiciraj funkciju 0, y 0, x + y 2} . Nadi Y +1 gusto´ce sluˇcajne varijable Z = . X 13. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na kvadratu G = {(x, y) : 0 x 2 , 0 y 2}. - i skiciraj funkciju gusto´ce f Z sluˇcajne varijaNadi ble Z = max{X, Y+1} .

Izraˇcunaj marginalnu gusto´cu f X (x) i gusto´cu slucˇajne varijable Z = XY .

∗∗∗

Odredi i skiciraj funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Z =Y −X.

14. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne s gustoc´ama razdioba: f X (x) = 12x2 (1 − x), 0 < x < 1, f Y (y) = 2y,

0 < y < 1.

Odredi razdiobu sluˇcajne varijable Z = XY . 15. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je funkcijom gusto´ce f (x, y) = 8xy(1 − x2 ), 0<x<1, 0
20. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je gusto´com f (x, y) = C(x − y),

0 y x 1.

21. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je gusto´com f (x, y) = 9e−3x−3y ,

x > 0, y > 0.

22. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe f (x, y) = C(x + y) ,

0 y x 1.

Odredi marginalnu gusto´cu varijable X , te gusto´cu i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Z = XY . 23. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe f (x, y) = C(x + y) ,

0xy1

Odredi marginalnu gusto´cu varijable X , te gusto´cu i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Z = XY .

116

8. FUNKCIJE ∗∗∗

24. Neka su X , Y nezavisne s normalnim zakonom N (a, σ 2 ) , te Z = max{X, Y} . Pokaˇzi da vrijedi σ E(Z) = a + √ . π 25. Neka su X i Y nezavisne, s normalnim za2 konom √ N (0, σ ) . Dokaˇzi da sluˇcajna varijabla 2 2 Z = X + Y ima Rayleighovu razdiobu, s gusto´com ﬀ j z z2 f Z (z) = 2 exp − 2 , z > 0. σ 2σ 26. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju gusto´ce razdioba 1 , −1 < x < 1, f X (x) = √ π 1 − x2 1 2

f Y (y) = ye− 2 y ,

y > 0.

Dokaˇzi da sluˇcajna varijabla varijabla Z = XY ima normalnu razdiobu. 27. X1 i X2 su nezavisne sluˇcajne varijable, X1 ∼ N (0, σ12 ) , X2 ∼ N (0, σ22 ) . Dokaˇzi da sluˇcajna X X varijabla Y = q 1 2 ima normalnu razdiobu X12 + X22 « „ 1 1 N 0, 2 + 2 . σ1 σ2 28. Neka su X , Y , ϑ nezavisne sluˇcajne varijable, pri cˇemu X , Y imaju normalnu razdiobu N (0, 1) , a varijabla ϑ jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] . Odredi zakon razdiobe sluˇcajne varijable X cos ϑ + Y sin ϑ . ∗∗∗ 29. Sluˇcajni vektor (X, Y) zadan je gusto´com razdiobe: f (x, y) = xe−x(1+y) ,

x > 0, y > 0.

Pokaˇzi da sluˇcajna varijabla Z = XY ima eksponencijalnu razdiobu E(1) . 30. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, s eksponencijalnim zakonom E(λ ) . Odredi gusto´ce sljede´cih funkcija a) X + Y , b) X − Y , c) |X − Y| , d) X/Y . 31. Neka su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable s eksponencijalnim zakonom E(λ ) . Odredi zakon X+Y . razdiobe sluˇcajne varijable Z = X

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

32. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . Dokaˇzi da sluˇcajne varijable W = X + 12 Y

Z = max {X, Y} ,

imaju jednaku razdiobu. Izraˇcunaj tu razdiobu. 33. Sluˇcajne varijable X1 i X2 su nezavisne s eksponencijalnom razdiobom s parametrima λ1 i λ2 . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X1 . Y= X1 + X2 34. Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne s eksponencijalnim zakonom E(λ ) . Odredi gusto´cu varijable X1 X= . X1 + . . . + Xn 35. Sistem koji se sastoji od n jedinica prestaje s radom cˇim bilo koji dio prestane s radom. Vremena ispravnog rada pojedinih dijelova su nezavisne slucˇajne varijable distribuirane po eksponencijalnom zakonu s parametrima λ1 , . . . , λn . Izraˇcunaj oˇcekivano vrijeme ispravnog rada sustava. ∗∗∗ 36. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne, identiˇcno distribuirane sluˇcajne varijable sa funkcijom razdiobe F . Odredi razdiobe sluˇcajnih varijabli Y = min{X1 , . . . , Xn }, Z = max{X1 , . . . , Xn }. 37. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, X poprima vrijednosti 0 , 1 s vjerojatnostima 12 , Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Odredi razdiobu varijable X + Y . 38. Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Neka je Sn = X1 + . . . + Xn , te ϕn gusto´ca od Sn . Dokaˇzi da je Z x ϕn+1 (x) = ϕn (z)dz. x−1

39. Neka su X1 , . . . , Xn , Y nezavisne sluˇcajne varijable, pri cˇemu je „ « 0 1 Xi ∼ 1 1 , i = 1, . . . , n, 2

2

a Y ima jednoliku razdiobu na [0, 1] . Dokaˇzi da sluˇcajna varijabla n X Xk Y + 2n 2k k=1

ima jednoliku razdiobu na [0, 1] .

ˇ 8. ZADATCI ZA VJE ZBU

40. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, poprimaju vrijednosti unutar intervala [−π , π ] , a njihove gusto´ce su zadane Fourierovim redom ! ∞ X 1 an cos(x − αn )n , 1+ f X (x) = 2π n=1 ! ∞ X 1 bn cos(x − βn )n . 1+ f Y (y) = 2π n=1

Odredi gusto´cu zbroja Z = X + Y . - uzorci. Neka su X1 , X2 , . . . , Xn neza41. Uredeni visne identiˇcno distribuirane sluˇcajne varijable. Njihovu funkciju razdiobe oznaˇcimo sa F , a gusto´cu sa f . Te varijable moˇzemo shvatiti kao rezultate neke sluˇcajne varijable X pri n -terostrukom ponavljanju pokusa. Za svaki ω ∈ Ω dobivamo realizacije, niz brojeva X1 (ω ), X2 (ω ), . . . , Xn (ω ) kojeg c´emo poredati u rastu´cem poretku.. Neka X(1) (ω ) oznaˇcava najmanji, X(2) (ω ) sljede´ci po redu, itd. Tako dobivamo uredenu rastu´cu n -torku sluˇcajnih varijabli X(1) X(2) . . . X(n) koju nazivamo uredeni uzorak. Specijalno, vrijedi X(1) = min{X1 , . . . , Xn }, X(n) = max{X1 , . . . , Xn }.

117 b) Odredi marginalne gusto´ce varijabli X i Y . c) Odredi gusto´cu vektora (R, Φ) , polarnih koordinata od (X, Y) . 45. Neka je 1 f (x, y, z) = 2 . π (1 + x2 + y2 + z2 )2 a) Pokaˇzi da je f gusto´ca razdiobe nekog vektora (X, Y, Z) . b) Odredi marginalne gusto´ce varijabli X , Y i Z. c) Odredi gusto´cu sfernih koordinata (R, Θ, Φ) toˇcke (X, Y, Z) . 46. Zadan je sluˇcajan vektor (X, Y) s gusto´com (x, y) → f (x, y) . Odredi gusto´cu vektora (U, V) , ako je a) U = X + Y , V = X − Y ; b) U = X cos α + Y sin α , V = −X sin α + X cos α . 47. Neka su X i Y nezavisne, sa zakonom N (0, σ 2 ) . Odredi gusto´cu vektora (U, V) , gdje je X V= . U = X2 + Y 2, Y Da li su U i V nezavisne? 48. X1 i X2 su nezavisne varijable, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Definirajmo Y1 = min { X1 , X2 },

Odredi a) funkciju razdiobe varijable X(1) ; b) funkciju razdiobe varijable X(n) ; c) razdiobu vektora (X(1) , X(n) ) ; d) gusto´cu varijable X(k) , 1 k n ; e) gusto´cu vektora (X(k) , X(m) ) , 1 k m n ; f) gusto´cu uredenog uzorka (X(1) , . . . , X(n) ) .

Odredi funkciju razdiobe i gusto´ce sluˇcajnog vektora (Y1 , Y2 ) te potom marginalne razdiobe za Y1 i Y2 .

∗∗∗

49. Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu G(α , λ ) . Izraˇcunaj E(X k ) .

42. Neka su X , Y , Z nezavisne sluˇcajne varijable s normalnim zakonom N (0, σ 2 ) . Odredi gusto´cu vektora (R, Θ, Φ) , polarnih koordinata toˇcke (X, Y, Z) . 43. Neka vektor (X, Y, Z) ima funkciju gusto´ce f koja p je izotropna (ovisi samo o udaljenosti r = x2 + y2 + z2 toˇcke do ishodiˇsta), oblika f (x, y, z) = h(r). Neka su (R, Θ, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y, Z) . Odredi gusto´cu vektora (R, Θ, Φ) te marginalne razdiobe komponenti. Da li su one nezavisne? 1 p . 44. Neka je f (x, y) = 2π (1+x2 +y2 )3 a) Pokaˇzi da je f gusto´ca razdiobe nekog vektora (X, Y) .

Y2 = max { X1 , X2 }

∗∗∗

50. X ima χn2 -razdiobu. Izraˇcunaj E(X k ) . 51. X ima χn razdiobu. Izraˇcunaj E(X k ) . 52. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable distribuirane po normalnom zakonu N (a, σ 2 ) . P Oznaˇcimo X = 1n nk=1 Xk . Dokaˇzi da: n 1 X (Xk − a)2 ima χn2 -razdiobu. a) Sn∗ = 2 σ k=1

n 1 X 2 b) Sn = 2 (Xk − X)2 ima χn−1 -razdiobu. σ k=1

53. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable, jednoliko distribuirane na [0, 1] . Pokaˇzi da 2 varijabla X = 2 ln(X1 · · · Xn ) ima χ2n -razdiobu.

118

8. FUNKCIJE

54. Sluˇcajna varijabla X ima beta razdiobu s parametrima (α , β ) , (α , β > 0) , ako je njezina gusto´ca razdiobe Γ(α + β ) α −1 x (1 − x)β −1 , f (x) = Γ(α )Γ(β ) (0 < x < 1) . Izraˇcunaj njezino oˇcekivanje i disperziju. 55. Neka su X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Pokaˇzi da je gusto´ca razdiobe varijable X=

2 X12 + . . . + Xm Y12 + . . . + Yn2

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

jednaka „ « m+n Γ m+n m 2 „ « „ « x 2 −1 (1 + x)− 2 , n m Γ Γ 2 2

(x > 0).

56. Neka su X11 , X12 , X21 , X22 nezavisne sluˇcajne varijable sa zakonom N (0, 1) . Odredi razdiobu varijable ˛ ˛ ˛X X ˛ Δ = ˛ X11 X12 ˛ . 21

22

57. Sluˇcajne varijable X1 i X2 su nezavisne s eksponencijalnom razdiobom s parametrima λ1 i λ2 . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X1 . Y= X1 + X2

9.

Zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem

1. Zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . 2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije 3. Centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . . . 4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 119 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

126 129 132 134

Dva su najvaˇznija zakona teorije vjerojatnosti, zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem. I jedan i drugi zakon objaˇsnjavaju graniˇcno ponaˇsanje niza sluˇcajnih varijabli. U ovom c´emo poglavlju objasniti o cˇemu ti zakoni govore i dokazati te zakone uz najjednostavnije pretpostavke o sluˇcajnim varijablama.

9.1. Zakoni velikih brojeva U poˇcetcima teorije vjerojatnosti, ona je smatrana dijelom fizike. Ako se neki pokus moˇze u nepromijenjenim uvjetima ponoviti neograniˇcen broj puta, vjerojatnost - definira se kao m , njegova relativna frekvencija pojavljivanja. dogadaja n Danas se na ovu fizikalnu definiciju vjerojatnosti gleda kao na jednostavnu primjenu zakona velikih brojeva. Opiˇsimo detaljnije pokus koji vodi prema ovoj definiciji. On c´e nam pomo´ci da lakˇse shvatimo razliˇcite definicije konvergencije. 119

120

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Od indikatorske varijable prema binomnoj razdiobi

- koji promatramo, i neka je p = P (A) vjerojatnost njegove Neka je A dogadaj realizacije. Indikatorska sluˇcajna varijabla poprima vrijednost 1 ako se taj dogadaj ostvario, 0 ako nije. Neka je Ik indikatorska varijabla koja prati realizaciju u k -tom ponavljanju pokusa. Onda sve varijable I1 , I2 , . . . imaju identiˇcnu razdiobu, a medusobno su nezavisne: 0 1 . Ik ∼ q p Oˇcekivanje ovih varijabli je p , a disperzija pq . Ako se pokus ponavlja n puta, onda je broj realizacija dogadaja A dan zbrojem I1 + I2 + . . . + In . Time je definirana sluˇcajna varijable Xn = I1 + I2 + . . . + In . Za nju znamo da ima binomnu razdiobu s parametrima n i p . Pogledamo li bolje na definiciju indikatorske varijable, uoˇcit c´emo da je njezina razdioba B(1, p) . Zbroj nezavisnih kopija ove varijable, prema svojstvu stabilnosti - binomnu razdiobu s parametrima n i p . binomne razdiobe, ima takoder - A u n ponavljana pokusa iznosi Relativna frekvencija pojavljivanja dogadaja I1 + . . . + In Xn = . n n Da bismo opravdali fizikalnu definiciju vjerojatnosti, moramo pokazati da je razlika Xn − p n po volji malena. Ova je razlika sluˇcajna varijabla, tako da najprije moramo utvrditi naˇcin na koji c´emo mjeriti njezinu veliˇcinu. U graniˇcnom sluˇcaju, pisat c´emo Xn lim = p. n→∞ n s tim da najprije moramo utvrditi sˇ to je to limes sluˇcajnih varijabli. Konvergencija po vjerojatnosti

Konvergencija niza sluˇcajnih varijabli nije jednoznaˇcan pojam, jer postoji viˇse razliˇcitih definicija te konvergencije. Konvergencija po vjerojatnosti

Niz (Xn ) konvergira po vjerojatnosti ka sluˇcajnoj varijabli Y ako za svaki ε > 0 vrijedi lim P (|Xn − Y| > ε ) = 0. (9.1) n→∞

P

Piˇsemo Xn −→ Y . U ovoj definiciji konvergencije, vjerojatnost odstupanja sluˇzi kao mjera za bliskost dviju sluˇcajnih varijabli. Formula (9.1) moˇze se napisati i na sljede´ci naˇcin: lim P (|Xn − Y| < ε ) = 1 n→∞

9.1. ZAKONI VELIKIH

121

BROJEVA

Izvedimo sad ocjenu za ovo odstupanje. ˇ Nejednakosti Markova i Cebiˇ seva Teorem 9.1. ( Nejednakost Markova ) Ako X poprima nenegativne vrijednosti, onda za svaki ε > 0 vrijedi E(X) P (X ε ) . ε ( Lp nejednakost ) Za svaku sluˇcajnu varijablu X s oˇcekivanjem mX vrijedi

E(|X − mX |p . εp ˇ seva) Posebice, za p = 2 , vrijedi (Nejednakost Cebiˇ D(X) P (|X − mX | ε ) . ε2 P (|X − mX | ε )

Dokaz. Nejednakost Markova slijedi iz ocjene integrala: x 1 1 ∞ dF(x) x dF(x) = E(X). P (X a) = dF(x) a 0 a xa xa a Primjenimo tu ocjenu na pozitivnu sluˇcajnu varijablu |X − mx | . Imamo, za svaki p > 0: E(|X − mX |p ) . P (|X − mX | ε ) = P (|X − mX |p ε p ) εp ˇ seva. Za p = 2 dobivamo nejednakost Cebiˇ Slabi zakon velikih brojeva

Sad smo u mogu´cnosti formulirati i dokazati prvi vaˇzni zakon teorije vjerojatnosti. Slabi zakon velikih brojeva, definicija

Kaˇzemo da niz X1 , X2 , . . . sluˇcajnih varijabli zadovoljava slabi zakon velikih brojeva ako n 1 (Xk − EXk ) −→ 0, kad n → ∞ (9.2) n k=1

po vjerojatnosti, tj. ako za svaki ε > 0 vrijedi n , + 1 (Xk − EXk ) > ε = 0. lim P n→∞ n k=1

(9.3)

122

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Od interesa je prona´ci najslabije uvjete na niz (Xk ) , uz koji c´e vrijediti ovaj zakon velikih brojeva. Dovoljni uvjeti za slabi zakon velikih brojeva Teorem 9.2. Ako varijable X1 , X2 , . . . zadovoljavaju uvjet

1 Xk = 0, lim 2 D n→∞ n n

k=1

tada on zadovoljava zakon velikih brojeva. Taj c´ e uvjet biti ispunjen ako su na primjer 1) X1 , X2 , . . . nekorelirane, s ograniˇcenim varijancama. 2) X1 , X2 , . . . nezavisne s istom varijancom σ 3) X1 , X2 , . . . nezavisne s istom distribucijom i konaˇcnom varijancom.

ˇ seva, vrijedi: Dokaz. Neka je ε > 0 po volji. Po nejednakosti Cebiˇ 1 ) n D X n k + 1 , n k=1 P (Xk − EXk ) > ε n ε2 k=1

1 1 D Xk −→ 0 ε 2 n2 n

=

kad n → ∞

k=1

sˇ to je i trebalo pokazati. Pretpostavimo sad da vrijedi 1) . Disperzija zbroja nekoreliranih sluˇcajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih disperzija. Ako su sve one ograniˇcene brojem M , onda vrijedi n n 1 1 M 1 D X D(Xk ) 2 · n · M = −→ 0. = k n2 n2 n n k=1

k=1

Uvjet 2) poseban je sluˇcaj od 1) , a uvjet 3) poseban sluˇcaj od 2) . ∗∗∗ Spomenimo na koncu da niz indikatorskih sluˇcajnih varijabli Ik zadovoljava uvjet 3) ovog teorema. Zato taj niz zadovoljava slabi zakon velikih brojeva. Pri tom je E(Ik ) = p , pa vrijedi I1 + . . . + Ik lim = p. n→∞ n Interpretacija slabog zakona velikih brojeva

Zakon c´emo interpretirati u najjednostavnijoj situaciji, kad je rijeˇc o indikatorskim sluˇcajnim varijablama. Neka je Xn = I1 +I2 +. . .+In njihov zbroj. Tada Xn mjeri broj

9.1. ZAKONI VELIKIH

123

BROJEVA

- u n ponavljanja pokusa. Prema slabom zakonu velikih brojeva, pojavljivanja dogadaja vrijedi Xn p(1 − p) P − p < ε > 1 − n nε 2 Izaberimo ε = 0.1 . Vrijedi p(1 − p) 14 , pa dobivamo Xn 1 P − p < 0.1 > 1 − n 0.04n ˇ Zelimo ponavljanjem pokusa odrediti vjerojatnost p . Prema ovoj ocjeni, ako okus ponovimo n = 1000 puta, vjerojatnost da je relativna pogreˇska manja od 0.1 iznosi X1000 − p < 0.1 > 0.975 P 1000 Kako treba tumaˇciti ovaj rezultat? Recimo da se pokus sastoji od bacanja novˇci´ca 1000 puta. U stotinu takvih pokusa barem 97 puta odstupanje vjerojatnosti od relativne frekvencije bit c´ e manje od 0.1 . Ova je ocjena vrlo gruba. Vidjet c´emo u nastavku, da je u stvarnosti to odstupanje neusporedivo manje. Joˇs je jednu stvar bitno naglasiti. Slabi zakon velikih brojeva niˇsta ne govori o rezultatima jednog pokusa. U svakom pojedinaˇcnom ponavljanju bacanja novˇci´ca, na temelju ovog zakona, nemamo garanciju da c´e relativna frekvencija u tim bacanjima teˇziti ka vjerojatnosti. Slabi zakon velikih brojeva je statistiˇcke naravi. On se moˇze interpretirati samo na temelju velikog broja ponavljanja cjelokupnog pokusa. Iz iskustva znamo da se priroda ponaˇsa drukˇcije. Kad bacamo novˇci´c u svakom pokusu relativna frekvencija teˇzi ka 12 . O tome govori jaki zakon velikih brojeva. Jaki zakon velikih brojeva

Iskaz i interpretacija jakog zakona velikih brojeva vezana je uz drugi tip konvergencije sluˇcajnih varijabli. - niz Neka je (Xn ) niz sluˇcajnih varijabli. Za svaki ω ∈ Ω , time je nizom odreden realnih brojeva (Xn (ω )) . Tako moˇzemo postaviti potanje: ima li taj niz limes? Ako limes postoji, on se mijenja izborom elementarnog dogadaja ω , pa i sam predstavlja sluˇcajnu varijablu. Kako moˇzemo opisati konvergenciju niza sluˇcajnih varijabli (Xn ) prema varijaboi Y ? Oznaˇcimo: K := {ω ∈ Ω : lim Xn (ω ) = Y(ω )} n→∞

Ovaj skup K predstavlja sve elementarne dogadaje za koje c´e niz realnih brojeva (Xn (ω )) konvergirati prema broju Y(ω ) . Nije jasno da skup K mora pripadati algebri dogadaja, i to se op´cenito ne mora dogoditi. To znaˇci da on ne mora imati vjerojatnost. Medutim, nama c´e biti interesantni sluˇcajevi kad taj skup ima vjerojatnost i kad je ona jednaka 1.

124

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Konvergencija gotovo sigurno

Niz (Xn) konvergira gotovo sigurno ka sluˇcajnoj varijabli Y ako vrijedi P ( lim Xn = Y) = 1. n→∞

g.s.

Piˇsemo Xn −→ Y , ili Xn −→ Y g.s. Koja je veza konvergencije gotovo sigurno i konvergencije po vjerojatnosti? Usporedba konvergencija Teorem 9.3. Ako niz sluˇcajnih varijabli (Xn ) konvergira gotovo sigurno prema sluˇcajnoj varijabli Y , tada on konvergira prema istoj sluˇcajnoj varijabli i po vjerojatnosti.

Dokaz. Oznaˇcimo Ak (ε ) := {ω : |Xk (ω ) − Y| > ε } - kod kojih se varijabla Xk znaˇcajno razlikuje Ovaj skup obuhva´ca elementarne dogadaje od limesa. Bn (ε ) := Ak (ε ). k n

- kod kojih se to dogada - za barem jednu Skup Bn (ε ) obuhva´ca elementarne dogadaje varijablu Xk , s indeksom ve´cim od n . Primjetimo da je Bn (ε ) padaju´ci niz dogadaja. Njegov limes oznaˇcimo s: ∞ . A(ε ) := Bn (ε ). n=1

Elementarni dogadaj ω pripadat c´e ovom skupu ako se uvijek moˇze prona´ci dovoljno veliki k za koji c´e biti |Xk (ω ) − Y(ω )| > ε . Za takve ε niz (Xk (ω )) sigurno ne´ce konvergirati prema Y(ω ) . Sad zakljuˇcujemo da za konvergenciju skoro sigurno mora biti ispunjeno P A(ε ) = 0. ε >0

U tom sluˇcaju mora biti P (A(ε )) = 0 , za svaki ε . Zbog neprekinutosti vjerojatnosti, tada vrijedi lim P (Bn (ε )) = 0 n→∞

S obzirom da je An (ε ) ⊂ Bn (ε ) , zakljuˇcujemo da je lim P (An (ε )) = 0 n→∞

to jest

lim P (|Xn − Y| > ε ) = 0.

n→∞

No, to znaˇci da (Xn ) konvergira prema Y po vjerojatnosti.

9.1. ZAKONI VELIKIH

125

BROJEVA

∗∗∗ Sad moˇzemo iskazati jaku varijantu zakona velikih brojeva. Jaki zakon velikih brojeva Teorem 9.4. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable s konaˇcnim oˇcekivanjem m . Onda vrijedi n 1 Xk −→ m s.s. n k=1

Dokaz ovog teorema nije jednostavan i ne moˇzemo ga napraviti na ovom mjestu. Interpretacija jakog zakona i veza sa slabim

Zakon c´emo interpretirati u situaciji kad su X1 , X2 , dots indikatorske sluˇcajne varijable. Tad je oˇcekivanje m jednako vjerojatnosti p realizacije dogadaja. Jaki zakon tvrdi da c´e pri skoro svakom ponavljanju dogadaja relativna frekvencija teˇziti ka vjerojatnosti, i to je cˇinjenica koju iskustveno poznajemo. Teorijski, to se pri nekim ponavljanjima pokusa ne mora dogoditi, ali vjerojatnost iznimke jednaka je nuli. Konvergencija skoro sigurno povlaˇci konvergenciju o vjerojatnosti. Zati jaki zakon velikih brojeva povlaˇci i slabi zakon. Primjetimo ipak, da su ovdje pretpostavke na slucˇajne varijable pojaˇcane, jer se zahtijeva da one budu nezavisne i identiˇcki distribuirane. Primjetimo jos da se u ovom zakonu ne mora pretpostaviti ograniˇcenost varijance, ve´c samo postojanje oˇcekivanja. Usporedba konvergencija Teorem 9.5. Ako niz (Xn ) sluˇcajnih varijabli konvergira prema sluˇcajnoj varijabli X po vjerojatnosti, tada on konvergira i po distribuciji.

Dokaz. Neka je x toˇcka neprekinutosti za funkciju FX . Za svaki ε > 0 vrijedi FXn (x) = P (Xn < x) = P (Xn < x, X < x + ε ) + P (Xn < x, X x + ε ) P (X < x + ε ) + P (X − Xn > ε ) FX (x + ε ) + P (|Xn − X| > ε ) Pustimo da n teˇzi u beskonaˇcnost i iskoristimo pretpostavku. Drugi pribrojnik zdesna teˇzi u nulu, pa vrijedi lim sup FXn (x) FX (x + ε ).

126

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Na sliˇcan naˇcin dobivamo FX (x − ε ) = P (X < x − ε ) = P (X < x − ε , Xn < x) + P (X < x − ε , Xn x) P (Xn < x) + P (Xn − X > ε ) FXn (x) + P (|Xn − X| > ε ) Odavde slijedi FX (x − ε ) lim inf FXn (x). Limes inferior uvijek je manji od limesa superiora, pa imamo FX (x − ε ) lim inf FXn (x) lim sup FXn (x) FX (x + ε ). Funkcija FX prema pretpostavci je neprekinuta u toˇcki x . Pustimo da ε teˇzi u nulu. U graniˇcnom sluˇcaju, nejednakosti prelaze u jednakosti. Zato limn→∞ FXn (x) postoji i jednak je FX (x) .

9.2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije Joˇs je jedan vid konvergencije sluˇcajnih varijabli koristan u primjenama. ˇ Cesto se raˇcunanje vjerojatnosti dogadaja {X ∈ A} odvija tako da se raˇcun provede za neku drugu sluˇcajnu varijablu Y koja je po nekom kriteriju bliska s X . Tada oˇcekujuemo da c´e vrijediti P (X ∈ A) ≈ P (Y ∈ A) . Izaberemo li za A interval −∞, x , ove se vjerojatnosti izraˇzavaju preko funkcija razdioba tih varijabli. Konvergencija po distribuciji

Niz (Xn ) konvergira po distribuciji ka sluˇcajnoj varijabli X ako za odgovaraju´ci niz funkcija razdiobe vrijedi lim FXn (x) = FX (x), n→∞

D u svakoj toˇcki x gdje je FX neprekinuta. Piˇsemo Xn −→ X .

i , n 1 i = 1, . . . , n s vjerojatnoˇsc´u . Dokaˇzimo da ona teˇzi po distribuciji ka sluˇcajnoj n varijabli X koja ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Primjer 9.1. Neka je Xn diskretna sluˇcajna varijabla koja poprima vrijednosti

Za svaki x ∈ [0, 1] vrijedi FX (x) = x . Za sluˇcajnu varijablu Xn vrijedi pak 1 FXn (x) = P (X < x) = . n i/n<x

9.2. KONVERGENCIJA PO DISTRIBUCIJI

ˇ I KARAKTERISTICNE FUNKCIJE

Suma se zbraja po svim prirodnim brojevima i = 1, 2, . . . koji su manji od nx . Zato je 1 ona ve´ca ili jednaka x − , a manja od x . Dakle vrijedi n 1 x − FXn (x) < x = FX (x). n Odavde slijedi lim FX (x) = FX (x). n→∞

∗∗∗ - konvergencije sluˇcajnih varijabli i analiSljede´ci teorem uspostavlja vezu izmedu tiˇckog aparata karakteristiˇcnih funkcija. Teorem ne moˇzemo na ovom mjestu dokazati, jer je za to potrebno detaljno israˇziti svojstva karakteristiˇcnih funkcija. Pri tom se koristi aparat matematiˇcke analize koji nadmaˇsuje onaj koji se uˇci na studiju tehnike. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije Teorem 9.6. (P. Levy) Niz (Xn ) sluˇcajnih varijabli konvergira po distribuciji k varijabli X ako i samo ako niz karakteristiˇcnih funkcija (ϑn ) varijabli Xn konvergira (po toˇckama) prema karakteristiˇcnoj funkciji ϑ varijable X .

Ovaj c´emo teorem ilustrirati na nekim intresantnim primjerima. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom

Neka je Xn,p sluˇcajna varijabla distribuirana po binomnom zakonu B(n, p) . Ako p → 0 i n → ∞ , tako da np → λ , dokaˇzimo da (Xn,p) konvergira po distribuciji k Poissonovoj razdiobi s parametrom λ . Koristit c´emo Levyjev teorem. Moramo pokazati da karakteristiˇcna funkcija slucˇajne varijable B(n, p) teˇzi, uz gornje uvjete, ka karakteristiˇcnoj funkciji Poissonove razdiobe P(λ ) . Imamo 1 ·pn n p ϑXn,p (t) = q + peit = 1 + p(eit − 1) . 1/p it teˇzi k ee −1 kad p → 0 , a kako pn → λ , to vrijedi Izraz 1 + p(eit − 1) it

lim ϑXn,p (t) = eλ (e

−1)

p →0 np→λ

a to je upravo karakteristiˇcna funkcija razdiobe P(λ ) .

127

128

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Aproksimacija Poissonove razdiobe normalnom

Neka je X distribuirana po Poissonovom zakonu s parametrom λ . Dokaˇzimo da se za veliki λ razdioba P(λ ) moˇze aproksimirati normalnom razdiobom N (λ , λ ) , tj. da vrijedi X−λ √ −→ N (0, 1), kad λ → ∞ λ po distribuciji. Pokazat c´emo da karakteristiˇcne funkcije ϑλ varijabli prema karakteristiˇcnoj funkciji

X−λ √ teˇze, kad λ → ∞ , λ

1 2

ϑ (t) = e− 2 t

jediniˇcne normalne razdiobe. Karakteristiˇcna funkcija Poissonove razdiobe je it

ϑX (t) = eλ (e

−1)

.

Kako vrijedi ϑa+bX (t) = eiat ϑX (bt) , to je karakteristiˇcna funkcija od √ 1 − λ + √ X dana sa λ

ϑ (t) = e−

√

λ t λ (eit/

e

√ λ

X−λ √ = λ

−1)

√ √ * it/ λ = exp λ (e − 1) − i λ t √ * i2 t 2 i3 t3 it √ + . . . − 1 − i λt = exp λ 1 + √ + + 2λ λ 6λ λ 2 * + t2 , 3 t it = exp − − + . . . −→ exp − kad λ → ∞, 2 6λ 2 a to je i trebalo pokazati. Od novˇci´ca do jednolike razdobe

Neka je X1 , X2 , . . . niz nezavisnih sluˇcajnih varijabli koje mogu poprimiti vrijednosti ±1 s vjerojatnoˇsc´u 12 . Definirajmo Yn =

n 1 Xk . 2k k=1

Pokaˇzimo da niz (Yn ) teˇzi po distribuciji k sluˇcajnoj varijabli Y koja ima jednoliku razdiobu na [−1, 1] . Odredimo karakteristiˇcne funkcije varijabli Xk :

ϑXk (t) = 12 e−it + 12 eit = cos t, 1 ϑ 1k Xk (t) = cos( k t). 2 2

ˇ 9.3. CENTRALNI GRANICNI TEOREM

129

Zbog nezavisnosti sluˇcajnih varijabli X1 , X2 , . . . , karakteristiˇcna funkcija varijable Yn jednaka je produktu karakteristiˇcnih funkcija:

ϑYn (t) =

n / k=1

cos

t 2k

t t t sin 2n t t = cos cos · · · cos n−1 cos n · 2 4 2 2 sin t 2n t sin n−1 t t t 2 = cos cos · · · cos n−1 · t = ... 2 4 2 2 sin n 2 sin t sin t = t −→ t = ϑY (t) 2n sin n 2

sin t karakteristiˇcna je funkcija jednolike razdiobe na intervalu [−1, 1] . Dakt D le, ϑYn (t) → ϑY (t) i zato Yn −→ Y . Funkcija

9.3. Centralni graniˇcni teorem Centralni graniˇcni teorem govori o tome da se zbroj sluˇcajnih varijabli, uz neke uvjete na njihove distribucije, asimptotski ponaˇsa kao normalna (Gaussova) razdioba. Ne postoje nuˇzni i dovoljni uvjeti za opis razdioba slucajnih varijabli uz koje c´e vrijediti centralni graniˇcni teorem. Neki od dovoljnih uvjeta ukljuˇcuju i sluˇcajeve slabe - varijablama. zavisnosti medu Varijanta teorema koju c´emo mi dokazati jest jednostavna i zahtjeva jake uvjete na pribrojnike. Centralni graniˇcni teorem Teorem 9.7. Neka je (Xn ) niz identiˇcki distribuiranih nezavisnih sluˇcajnih va-

rijabli s oˇcekivanjem m i disperzijom σ 2 . Onda za normirani zbroj vrijedi )n k=1 (Xk − m) D √ −→ N (0, 1). σ n

Da je zbroj normiran znaˇci da je oˇcekivanje sluˇcajnih varijabli sijeva jednako nuli, a disperzija jedinici.

130

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Dokaz. Bez smanjenja op´cenitosti moˇzemo pretpostaviti da je m = 0 . Inaˇce, varijable Xn moˇzemo zamijeniti s centriranim, Xn − m koje imaju istu disperziju. Sve varijable imaju istu razdiobu, pa im je i karakteristiˇcna funkcija jednaka. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija tih varijabli. Zbog nezavisnosti pribrojnika, karakteristiˇcna funkcija zbroja jednaka je umnoˇsku karakteristiˇcnih funkcija: ϑX1 +...+Xn (t) = ϑ (t)n . n 1 Oznaˇcimo Zn = √ Xk . Karakteristiˇcna funkcija te varijable jednaka je σ n k=1 n t √ ϑZn (t) = ϑ . σ n Prikaˇzimo funkciju ϑ Taylorovim redom:

ϑ (t) = c0 + c2 t + c2 t2 + R2 Ostatak R2 teˇzi u nulu brˇzne nego t2 . Za svaku karakteristiˇcnu funkciju je c0 = ϑ (0) = 1 . Druga dva koeficijenta su c1 = ϑ (0) = iE(X1) = im = 0, 1 1 1 c2 = ϑ (0) = − E(X12 ) = − σ 2 . 2 2 2 Tako dobivamo:

1 t2 ϑZn (t) = 1 − σ 2 · 2 + R2 2 σ ·n

n

t2 = 1− + R2 2n

n

−→ e−t

2

/2

.

∗∗∗ Sad moˇzemo dokazati ve´c prije koriˇsteni teorem aproksimacije binomne razdiobe normalnom: Teorem Moivre-Laplacea Teorem 9.8. Normirana binomna razdioba teˇzi po distribuciji k jediniˇcnoj nor-

malnoj razdiobi:

B(n, p) − np D −→ N (0, 1) √ npq

Dokaz. Dovoljno je primjeniti centralni graniˇcni teorem na niz (Ik ) indikatorskih sluˇcajnih varijabli. Oˇcekivanje ovih varoijabli je p , a disperzija pq . Onda je n (Ik − p) = X − np k=1

pri cˇemu X ima binomnu razdiobu B(n, p) . Tvrdnja sad slijedi iz prethodnog teorema.

ˇ 9.3. CENTRALNI GRANICNI TEOREM

131

Primjer 9.2. Zbrajamo 10 000 brojeva koje smo zaokruˇzili na m decimala. Izraˇcunaj interval unutar kojeg se s vjerojatnoˇsc´u 0.99 nalazi pogreˇska uˇcinjena zbog zaokruˇzivanja. Pretpostavljamo da su greˇske zaokruˇzivanja pojedinih brojeva nezavisne sluˇcajne varijable, jednoliko distribuirane na intervalu − 12 10−m , 12 10m .

Oznaˇcimo n = 10 000 . Neka su X1 , . . . , Xn greˇske zaokruˇzivanja pojedinih brojeva. To su identiˇcki distribuirane nezavisne varijable s oˇcekivanjem E(Xk ) = 0 i disperzijom ( 1 · 10−m + 12 · 10−m )2 1 D(Xk ) = 2 = · 10−2m . 12 2 ) Tada je X = nk=1 Xk greˇska nastala zbog zaokruˇzivanja tih brojeva. Po centralnom graniˇcnom teoremu vrijedi )n Xk D k=1 −→ N (0, 1) −2m 10 12 n 10−2m n 1 tj. X ≈ N 0, · 10−2m+4 ) . Traˇzimo takav t za kojeg je = N (0, 12 12 P{|X| < t} 0.99 . * X t P {|X| < t} = P 10−m+2 < 10−m+2 = 0.99 = Φ∗ (2.577) √ √ 12

i odavde je

12

2.577 t= √ · 10−m+2 = 74.4 · 10−m . 12

Prema tome, greˇska zaokruˇzivanja se s vjerojatnoˇsc´u 0.99 nalazi unutar intervala −74.4 · 10−m , 74.4 · 10−m , dok teorijski najve´ca mogu´ca greˇska iznosi cˇak 5000 · 10−m . Primjer 9.3. U prosjeku je svaki tre´ci proizvod (recimo — jabuka!) prve kvalitete. - 100 primjeraka prve Neka je Sn broj proizvoda koje treba pregledati dok se ne pronade - {S100 > 400} . kvalitete. Odredi razdiobu te varijable. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja

Neka je Xk broj jabuka koje je potrebno pregledati da bi se pronaˇsla prvoklasna jabuka, a nakon sˇ to je ve´c pronadena k − 1 takva. Tada je oˇcito Sn = X1 + X2 + . . . + Xn . Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne, jednako distribuirane. One imaju geometrijsku razdiobu: j−1 2 1 pj = P(Xk = j) = . 3 3 Vrijedi E(Xk ) = 3 , σ 2 (Xk ) = 9 . Iako nam je poznata razdioba svih varijabli Xk , razdiobu njihove sume ne moˇzemo lako odrediti. Stoga koristimo centralni graniˇcni teorem. Sn − 3n √ −→ N (0, 1) 9n

132

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

te je Sn ≈ N (3n, 9n) . Traˇzena vjerojatnost iznosi −300 + 350 √ P (S > 350) = P N > = P (N > 1.666) = 0.097. 900

9.4. Rijeˇseni zadatci Zadatak 9.1. Neka je {Xn } niz nezavisnih sluˇcajnih varijabli, identiˇcki distribuiranih s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] i f : [0, 1] → R neprekinuta funkcija. Pokaˇzi da vrijedi 1 n 1 f (Xk ) −→ f (u)du, kad n → ∞. n 0 k=1

Sluˇcajne varijable f (Xk ) su identiˇcki distribuirane s oˇcekivanjem 1 a = E f (Xk = f (u)du. 0

Stoga, po jakom zakonu velikih brojeva 1 n 1 f (Xk ) −→ f (u)du, n 0

kad n → ∞

k=1

skoro sigurno. Zadatak 9.2. Neka je {Xn } niz nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Pokaˇzi da √ 1 n X1 · X2 · · · Xn −→ , kad n → ∞ e skoro sigurno.

Varijable ln X1 , ln X2 ,. . . su nezavisne, identiˇcki distribuirane s oˇcekivanjem 1 1 E(ln Xk ) = ln x dx = (x ln x − x) = −1 0

0

i konaˇcnom varijancom, stoga zadovoljavaju jaki zakon velikih brojeva: n 1 ln Xk −→ −1, skoro sigurno n k=1

tj. odnosno

1 ln(X1 · X2 · · · Xn ) −→ −1, n √ n

X1 · X2 · · · Xn −→ e−1 =

1 , e

skoro sigurno skoro sigurno.

ˇ 9.4. RIJE SENI ZADATCI

Zadatak 9.3. Vrijeme ispravnog rada nekog potroˇsnog dijela sloˇzenoga stroja je sluˇcajna varijabla, s oˇcekivanjem T0 = 100 sati i odstupanjem σ = 60 sati. Koliko takvih dijelova treba osigurati da bi s vjerojatnoˇsc´u 0.95 stroj radio u toku t = 8000 ˇ se moˇze kazati ako ta sluˇcajna varijabla ima eksponencijalnu razdiobu? sati? Sto

Oznaˇcimo s Xt sluˇcajnu varijablu: broj dijelova koji c´e biti upotrebljeni do trenutka t . Ta se varijabla moˇze povezati s vremenima Tk ispravnog rada pojedinog potroˇsnog dijela. Naime, vrijedi {Xt n} = {T1 + T2 + . . . + Tn t}. Ova jednakost moˇze se ispriˇcati rijeˇcima: do trenutka t bit c´e dovoljno n dijelova ako i samo ako je ukupno vrijeme ispravnog rada prvih n potroˇsnih dijelova ve´ce od t ! Varijable T1 , . . . , Tn , . . . su nezavisne i imaju jednaku (nama nepoznatu!) razdiobu. Po centralnom graniˇcnom teoremu vrijedi T1 + . . . + Tn ≈ N (na, nσ 2 ) ≈ N (100n, 3600n). Oznaˇcimo ovu normalnu razdiobu s Y . Iz uvjeta P{Y t} = 0.95 raˇcunamo dalje ovako: * t − 100n 1 ∗ 100n − t ˜ √ √ P Y = 0.95 =⇒ 2 Φ = 0.45 60 n 60 n 100n − t √ = 1.65 te slijedi n = 89 . 60 n Primjetimo da je oˇcekivani broj rezervnih dijelova 80, te da s 10% ve´com koliˇcinom imamo 95%-tnu sigurnost ispravnoga rada! Ukoliko nam nije poznata disperzija σ , moˇzemo postupiti ovako. Pretpostavimo da varijable Tk imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ , 1/λ = ETk = 100 , tada sluˇcajna varijabla Xt ima toˇcno Poissonovu razdiobu, Xt ∼ P(λ t) ∼ P(80) . Tako moramo odrediti n iz uvjeta P{Xt n} 0.05 Medutim, cˇak je i sada opravdano zamjeniti varijablu Xt normalnom, poˇsto je njezin parametar dovoljno velik. Vrijedi P(80) ≈ N (80, 80) = Z . Naˇs uvjet sada postaje n − 80 P{Z n} 0.05 =⇒ P{Z˜ √ } 0.05 80 √ n − 80 Odavde Φ∗ √ 0.9 te je n−80 80·1.645 = 14.7 . Odavde n 95 . Ve80 c´u vrijednost od gornje dobili smo stoga sˇ to je u ovom sluˇcaju pretpostavljena disperzija ve´ca od gore zadane. Odavde je

Zadatak 9.4. Sluˇcajna varijabla X aritmetiˇcka je sredina n nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli s matematiˇckim oˇcekivanjem 20 i disperzijom 4 . Izraˇcunaj vjerojatnost da X uzima vrijednosti iz intervala (19.9, 20.1) .

Oznaˇcimo sluˇcajne )nvarijable iz zadatka sa Xk , k = 1, . . . , n . Vrijedi E(Xk ) = 1 20 , D(Xk ) = 4 , X = n k=1 Xk . Po centralnom graniˇcnom teoremu je )n k=1 Xk − n · 20 D √ −→ N (0, 1) kad n → ∞ 2 n

133

134

9. ZAKON VELIKIH

i zato vrijedi

4 tj. X ≈ N (20, ) . Zato n

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

X − 20 √ ≈ N (0, 1), 2/ n

X − 20 20.1 − 20 19.9 − 20 √ √ < √ < P (19.9 < X < 20.1) = P 2/ n 2/ n 2/ n Za n > 3600 ta je vjerojatnost praktiˇcki jednaka jedinici.

√n =Φ . 20 ∗

Zadatak 9.5. Pokaˇzi da se za veliki n varijabla χn2 moˇze aproksimirati normalnom varijablom N (n, 2n) , preciznije, vrijedi

χn2 − n D √ −→ N (0, 1). 2n Po definiciji varijable χn2 vrijedi χn2 = X12 + . . . + Xn2 , gdje su Xk identiˇcki distribuirane nezavisne jediniˇcne normalne varijable. No, tada Xk2 imaju gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Njihovo oˇcekivanje je 1 , a disperzija 2 . Ispunjeni su svi uvjeti centralnog graniˇcnog teorema i zato )n 2 χn2 − n D k=1 Xk − n · 1 √ √ = √ → N (0, 1). 2n 2 n

§ 9. Zadatci za vjeˇzbu

1. Sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju σ (X) = 0.2 . Ocijeni vjerojatnost dogadaja A = {0.5 < X < 1.5} . 2. Broj sunˇcanih dana u nekom gradu u toku jedne godine je sluˇcajna varijabla sa matematiˇckim oˇcekivanjem 75 dana. Pokaˇzi da je vjerojatnost da u toku jedne godine u tom gradu ne bude viˇse od 200 sunˇcanih dana ve´ca od 58 . 3. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju - A = {0 < X < 3} ima σ (X) = 0.4 . Da li dogadaj vjerojatnost ve´cu od 90 % ? 4. Matematiˇcko oˇcekivanje i standardna devijacija brzine vjetra na nekoj visini su jednaki: E(X) = 25 km/ h, σ (X) = 4.5 km/ h. Kolika se brzina vje-

tra moˇze oˇcekivati na toj visini sa vjerojatnoˇsc´u ne manjom od 0.9 ? 5. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju σ (X) = 0.4 . Pokaˇzi da je vjerojatnost dogadaja A = {X < 3} ve´ca od 95% ! 6. Ocijeni vjerojatnost da odstupanje proizvoljne sluˇcajne varijable od njezinog oˇcekivanja nije ve´ce od 3σ , gdje je σ devijacija te varijable. Kolika je ta vjerojatnost ako sluˇcajna varijabla ima normalnu razdiobu? 7. Neka su X1 , X2 ,. . . nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable s konaˇcnim oˇcekivanjem a = E(X1 ) i disperzijom σ 2 = D(X1 ) . Dokaˇzi

ˇ 9. ZADATCI ZA VJE ZBU

15. Odredi karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable X zadane gusto´com

da tada vrijedi X= S2 =

1 n 1 n

n X k=1 n X

135

Xk → a, (Xk − X)2 → σ 2 ,

k=1

kad n → ∞ . ∗∗∗

f (x) = e−x ,

x>0

Izraˇcunaj E(X n ) . 16. Neka X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu, X ∼ N (0, 1) . Koriste´ci karakteristiˇcnu funkciju, izraˇcunaj E(X n ) , n ∈ N . 17. Odredi karakteristiˇcnu funkciju ϕX (t) sluˇcajne varijable X zadane gusto´com f (x) =

1 −|x−1| 2e

,

x∈R

8. Pokaˇzi da binomna razdioba B(n, p) u graniˇcnom prelazu n → ∞ , p → 0 , np = a (konstanta) prelazi u Poissonovu P(a) .

te izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 18. Zadana je karakteristiˇcna funkcija

9. Neka je X1 , X2 , . . . niz nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli koje uzimaju vrijednosti 0 ili 1 s vjerojatnostima 12 . Neka je X = 0, X1 X2 . . . binarni prikaz broja X . Dokaˇzi da X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] .

ϑ (t) = eiat−b|t| . Odredi gusto´cu razdiobe pripadne sluˇcajne varijable. 19. Pokaˇzi da funkcija j √ 1 − t2 , |t| 1, ϑ (t) = 0, |t| > 1. nije karakteristiˇcna funkcija niti jedne razdiobe. 20. Pokaˇzi da je ∞ X ϑ (t) = ak cos kt,

10. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [−1, 1] . Dokaˇzi, s pomo´cu Levyjevog teorema Pn k=1 Xk D √ −→ N (0, 1). 3n ∗∗∗

k=0

∗∗∗

P ( ak > 0, ak = 1 ) karakteristiˇcna funkcija i odredi pripadnu razdiobu. - A = {X + Y > 21. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja 0} , ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable zadane svojim karakteristiˇcnim funkcijama 1 ϑX (t) = (1 + cos t), 2 1 ϑY (t) = (3 + cos t). 4

12. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe f (x) = 1 − |x|, |x| < 1.

22. Neka je ϑX (t) = cos2 t karakteristiˇcna funkcija sluˇcajne varijable X . Ako je Y = X + X 2 , odredi karakteristiˇcnu funkciju ϑY (t) varijable Y .

11. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable,Ps Poissonovom razdiobom, Xk ∼ P(λk ) . Ako je ∞ k=1 λk = ∞ , dokaˇzi da P Pn Xk − nk=1 λk D k=1 qP −→ N (0, 1). n k=1 λk

∗∗∗

Odredi njezinu karakteristiˇcnu funkciju.

23. Bochnerov teorem. ϑ R → C je karakteristiˇcna funkcija neke sluˇcajne varijable ako i samo ako zadovoljava uvjete: 1 − cos x a) ϑ (0) = 1 , . f (x) = π x2 b) ϑ je neprekinuta, c) ϑ je pozitivno definitna, tj. za svaki n ∈ N , 14. Sluˇcajna varijabla X ima funkciju gusto´ce f (x) = sve brojeve z1 , . . . , zn ∈ C , t1 , . . . , tn ∈ R vrijedi a· sin x , 0 x π . Odredi karakteristiˇcnu funkn X ciju i pomo´cu nje oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne zj zk ϑ (tj − tk ) 0. varijable X . 13. Odredi karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable X cˇija je gusto´ca razdiobe

j,k=1

136

9. ZAKON VELIKIH

Provjeri nuˇznost ovih uvjeta: karakteristiˇcna funkcija varijable X zadovoljava gornje uvjete. (Dokaz dovoljnosti vrlo je sloˇzen.) 24. P Neka su {ϑk } karakteristiˇcne funkcije te ak > P 0, ak = 1 . Pokaˇzi da je i ϑ = ak ϑk karakteristiˇcna funkcija. 25. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija. Dokaˇzi da su funkcije t → eϑ (t)−1 , 1 t → 2 − ϑ (t) - karakteristiˇcne funkcije. takoder

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

26. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija. Pokaˇzi da je i Z 1 t ϑ (u)du t → t 0 - karakteristiˇcna funkcija. takoder 27. Dokaˇzi sljede´ce svojstvo karakteristiˇcnih funkcija: p |ϑ (t + h) − ϑ (t)| 2(1 − Re ϑ (h)). 28. Ako za neki T > 0 karakteristiˇcna funkcija ϑ ima svojstvo ϑ (T) = 1 , dokaˇzi da je tada ϑ periodiˇcka funkcija, te da je T njezin period.

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

137

Odgovori i rjeˇsenja

§ 5. Neprekinute sluˇcajne varijable

20. FX (x) = 1 − E(X) = R − 34 r .

1. Ne, da, ne, ne, da , da. 2. Ne, da, da, da, da. 3. Funkcije su pozitivne i integral po R jednak im je jedinici.

λ4 1 5. . , √ 6 2 −απ 6. 1 , 0.5 . 5 a3 , 1− . 2 2e 8. Funkcije su definirane formulama na istim intervalima, i iznose: a) 1 − cos x , b) 12 (x2 − x) , c) − cos 3x . 8 0, x −2, > > > > 0.1, −1 < x −1, > > < 0.3, −1 < x 0, 9. F(x) = > 0.5, 0 < x 1, > > > > > : 0.8, 1 < x 2, 1, 2 < x. P {|X| 1} = 0.7 . „ «2 π + 2 3π − 2 10. 3 . 4π 4π 11. Uputa: {X + Y < 3} ⊃ {X < 1, Y < 2} . 12. Uputa: Ako je AB ⊂ C , tada vrijedi P (C) P (A) + P (B) − P (A + B) P (A) + P (B) − 1 13. a) 2 , 2 , 1 ; b) 1 , 4 , 2 ; 3 18 2 3 9 c) 3 , 11 , 0.052 ; d) 1 , 0 , 2 . 4 16 2 14. 2 , 1/λ . 15. − 1 , − 5 , 1 . 2 4 2 1 x 7, 16. f (x) = 16 , 1 x 7. F(x) = 16 x − 16 , 17. n + 1 , n + 1 . 7.

18. (x/R)2 , 0 < x < R , 19. v/3

2 1 2 3 R , 18 R .

(R − x)3 , R−r x R; r3

9 . 16 √ a 3 22. . 18

21.

„ « √ 4 2x 23. f X (x) = √ 1 − √ , x ∈ [0, a 3/2] ; a 3 √ a 3 a 3 E(X) = . 6 p 24. 1 − (1 − 2 x/π )2 , 0 x π4 ; 0.25 . p 25. F(x) = 1 − (1 − 2 3 3x/4π )3 , 0 x π /6 . r 2 1 12 12 · √ − 2 , x ∈ [0, a12π ] . 26. f X (x) = 2 a π x a π 4 R2 √ , 0x ; 4 2 2 π R − 4x 2 2 2 R R }= . ; P {X > E(X) = π 4 3 √ √ 2 28. FX (x) = 209 3 x − 32 x ∈ [0, 3/4] . 9 x , 27. f X (x) =

30. F(x) = √ a 2 31. . 12

5 144 (24x

− 5x2 ) , x ∈ [0,

12 5 ]

8 √ √ 2 > > , x ∈ [0, 42 a] < a 32. f (x) = √ √ √ > 3 2 2 > : x ∈ [ 42 a, 3 4 2 a] − 2 x, 2a a 8 π > x, x ∈ [0, a], < 2a2 33. f X (x)= √ > : π x − 2x arc cos a , x ∈ [a, a 2]. 2 2 x 2a a 3π a √ E(X) = [ 2 + ln tg( )] 3 8 34. f X (x) = 23 − 29 x , x ∈ [0, 3] ; E(X) = 1 . 35. F(x) = 2x − x2 , x ∈ [0, 1] ; E(X) = 2 1 ; D(X) = 18 . E(X n ) = (n + 1)(n + 2)

1 3

;

138

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

6(x − a)(b − x) , x ∈ [a, b] (b − a)3 „ «„ « n − 1 xk−1 (1 − x)n−k . 37. f k (x) = n 1 k−1 36. f X (x) =

3 . 4 < x < 1 ; E(X) = 0.75 .

38. f X (x) = 3x2 , E(X) = 39. F(x) = 2x − 1 ,

1 2

(T − x)n , 0xT. Tn 1 41. f X (x) = , x ∈ [0, l] ; E(X) = 12 l ; l 1 2 D(X) = 12 l 8 < π2 x, x ∈ [0, 1], √ 42. f X (x) = 1 π : 2 x − 2x arc cos , x ∈ [1, 2]. x 8 √ π > x, x ∈ [0, 2], < 4 √ 43. f X (x) = √ 2 > : π4 x − x arc cos , x ∈ [ 2, 2]. x „ « 3π 4a ln tg 44. . π 8 √ 2 1 2 2 45. FX (x) = 16 9 + 3 x − 16 − 9 x , x ∈ [4, 5] . 40. 1 −

46. FX (x) = 17 x, x ∈ [0, 3] ; √ 1 + x2 − 9) , x ∈ [3, 4] ; 14 (x + 3 √ √ 1 2 2 14 (7 + x − 9 + x − 16) , x ∈ [4, 5] . √ 47. F(x) = x − 3 , x ∈ [3, 4] ; E(X) = 10 3 . x 48. FX (x) = , x ∈ [0, a/2] ; 2a 1√ 2 1 4x − a2 , x ∈ [a/2, a] ; + 4 4a √ 1√ 2 1√ 2 1 + 4x − a2 + x − a2 , x ∈ [a, a 25 ] . 4 4a 2a 8 πx > , x ∈ [0, 1], < 2 49. f X (x) = √ > : π x − 2x arc cos 1 , x ∈ [1, 2]. 2 x π π x2 √ x2 , 0x10 ; √ + 50. FX (x) = 300 3 300 3 √ 2 2 x arc cos 10/x x − 100 √ √ − ; 10x20 . 10 3 100 3 4x2 51. FX2 (x2 ) = 22 , x2 ∈ [0, a2 ] ; E(X2 ) = 13 a a √ 5 3a . 52. E(X) = 18 2x 53. f X (x) = p . 2 2 π 4R d − (d2 + R2 − x2 )2

„ « x 4 2 arc sin , 0 x 2R . 2R π2 4 R , x ∈ [0, √ ] ; 55. f X (x) = √ 2 π R2 − x2 √ 2 E(X) = (2 − 2)R . π 8 √ 8 > > x ∈ [0, d 2 3 ], < √ , 5 3d 56. f X (x) = √ √ > 12 16x d 3 3d 3 > : √ − , x ∈ [ , 2 4 ]. 15d2 5 3d 59. E(X) = E(Y) = 0 . √ y+1 2y 64. a) , 0 y 1; , 1 y < 4; 3 3 1 y 2y , 0 y < 1; + , 1 y 2. b) 3 3 3 1 1 65. FY (x) = 2 + π arc sin x , −1 < x < 1 ; 1 , −1 < x < 1 . f Y (x) = √ π 1 − x2 ( 1 1√ 0 y 1, 4 y + 2 y, 66. FY (y) = 1 1√ 1 y 4. 2 + 4 y, ( 1 y ∈ [0, 2], 3, E(Y) = 53 . 67. gY (y) = 1 y ∈ [2, 4]. 6, 54. FX (x) =

1 68. FY (y) = 1 − √ , y 1 . y 1 √ p f ( 3 y) , 0 < y < ∞ ; 3 3 y2 1 1 b) 2 f ( ) , 0 < y < ∞ ; y y c) 2yf (y2 ) , 0 < y < ∞ ; 1 d) f (ln y) , 1 < y < ∞ ; y 1 1 e) f (ln ) , 0 < y < 1 ; y y f) ey f (ey ) , −∞ < y < ∞ . 71. F(ln x) , x > 0 . 72. g(y) = f (y−1) + f (−y−1) , y 0 1 √ 73. f (y) , y ∈ / (0, 1) ; f ( y) √ , y ∈ (0, 1) . 2 y “x − b” 74. a) F , a > 0; “ x − ba ” 1−F + 0 , a < 0; √ √ a b) F( x) − F(− x + 0) , x 0 ; c) F(x) − F(−x + 0) , x 0 ; e) F(g−1 (x)) . 69. a)

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA √

75. 1 − e−2 y , y > 0 . √ sin y 76. g(y) = √ , 0 y π 2 ; E(Y) = 1 . 4 y 8 < 2 ch y, y ∈ [0, 1], e 77. gY (y) = : −y−1 e , y ∈ [1, ∞). 2 E(Y) = . e 2 2 78. C = 2e2 , gY (y) = 2 exp( ) , y < 0 . y y e 1 79. gY (y) = 2 exp(− ) , 0 < y < 1 . y y 8 1 1 > > y < 0, < − arc tg , π y 80. GY (y) = > 2 > : 1 + arc tg y, y > 0. 2 π 1 81. gY (y) = √ 2π 4y 82. gY (y) = p , 0 y 12 ; 1 − 4y2 π E(Y) = . 8 8 1√ > 0 y 1, > 4 y, > > > < 1 √y + 1 , 1 y 4, 8 8 83. FY (y) = 3√ 3 > y − 4 y 9, > > 8 8, > > 1√ : 9 y 16. 4 y, » “ √ ( y−1+1)2 ” 1 exp − 84. gY (y)= p 4 4 π (y−1) “ (√y−1−1)2 ” , y 1 ; 0.1193 . + exp − 4 eλ − 1 −kλ 1 85. P {Y = k} = . e , E(Y) = λ eλ e −1 86. Y ∼ N(0, 1) . 87. Uputa: Ako X ima Cauchyjevu razdiobu, tada je X = tg α i α ima jednoliku razdiobu. 88.

π a2 + ab + b2 · , 4 3

π2 (b − a)2 (4b2 + 7ab + 4a2 ) . 720 1 3 y , 0 y 89. C = ; F(y) = arc sin π π 100 √ √ 1 y 1 50 2 ; + arc sin , 50 2 y 100 ; 2 π 100 0.5 . √ 90. FX (x) = 1 − 1 − 2x , 0 < x < 0.5 .

139

§ 6. Primjeri neprekinutih razdioba 1. 0.1 ; 0.01 . 2. Y ∼ B(50,

√

0.4) ; P (Y 40) = 0.00705

1 3. u sva tri sluˇcaja. e 1 4. FZ (z) = 1 − e−λ z − λ ze−λ z , λ = ; 6 3 P (Z > 12) = 2 . e 5. 168 dana k! 6. k λ Z 1 ∞ n −x 9. F(λ ) = 1−P (X > λ ) = 1− x e dx . n! λ Parcijalnom integracijom dobivamo F(λ ) = 1 − e−λ

n X λi = 1 − G(n). i! i=0

10.

1 1 √ , 2; . 2 e4 π

A. 0.422 ; B. 0.2673 ; C. 0.9359 ; D. 0.1540 ; 0.2579 ; F. 0.1292 ; G. 0.3830 . A. 1.43 ; B. 0.83 ; C. 1.16 . A. 0.4649 ; B. 0.2684 ; C. 0.0401 ; D. 0.2266 . 0.281 . 0.839 . 0.6147 . 17. 4 . 3 s b2 − a2 . 18. 2(ln b − ln a) p 19. σ 2/π .

11. E. 12. 13. 14. 15. 16.

4y 20. √ exp(− 21 y4 ) , y > 0 . 2π 21. (45.825 , 54.175) 22. f Y (y) =

y 1 √ exp(− 2 ) , y > 0 ; 2σ σ 2π y

E(Y) = σ 2 . 23. (960 p , 1040 p) 24. 0.0128 . 25. 0.934 .

140

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

26. 0.658 .

§ 7. Sluˇcajni vektori

28. 7.75 .

1. Ne. 2. F(x,y)= 8 0 > > > > < xy x > > > y > : 1

√ 27. P (A) = 12 [1 − Φ (7/ 73)] = 0.2063 . 29. 0.6681 . 30. 0.60924 . 31.

1 2

„ « 2 + 12 Φ∗ √ = 0.87 . 3.14

32. 0.95 33. Ne, vjerojatnost da se broj 1 pojavi 140 puta je 1 − Φ∗ (4.65) = 0 . 34. 0.483 . 35. 0.443 . 36. n 632 . 37. a = 1 ; 0.792 . 9

√ 38. 0.5 + 0.5Φ (5/ 18) = 0.8806 . 39. 71. 40. 81 . 41. P (A) = E(Y) = 6 .

log 5 1 , n 6 log 1.2

n = 9,

=⇒

42. 101 pokus. 43. 0.398 . 44. E(X) = α , D(X) = 2α 2 . 2

2

45. E(X) = ea+σ /2 , E(X 2 ) = e2a+2σ , 2 2 D(X) = e2a (eσ − 1)eσ . √ 4−π π , D(X) = 46. E(X) = . 2h 4h2„ « 4 1 3 2 − . 47. E(X) = √ , D(X) = 2 π h 2 h π 48. a) α /β ; b) α /β 2 ; c) α (α + 1) · · · (α + n − 1)/β n .

γ γ , E(X) = , m m−2 2 γ D(X) = . (m − 2)2 (m − 3)

49. xm =

, x 0 ili y 0, , 0 < x 1, 0 < y 1, , 0 x < 1, 1 < y, , 1 < x, 0 y < 1, , 1 < x, 1 < y.

4xy p , 0 y x R. x2 − y2 1 1 ; b) , |x| 1 . 4. a) √ 2 2 π 1−x 3 5. . 4 6. 0.245 . 7. 0.190 . 2 2y 8. f (x, y) = √ e−x , 0 y 1 ; π p = 0.0198 ; E(XY) = 0 . 3 9. k = 6 ; 2 . 5e 10. X i Y su nezavisne, P (A) = 13 , P (B) = 0 .

3. f (x, y) =

R2 π

11. F(x, y) = 1 − e−x , ako je x2 < y ; √ − y 1−e , ako je y < x2 . 12. 0.275 . 13. 11 40 14. f X (x) = 4x3 , x ∈ [0, 1] ; f Y (y) = 4y − 4y3 , y ∈ [0, 1] ; X i Y su zavisne; 18 19 123 15. P (A | B) = . 160 17. 1 − (λ + 1)e−λ . 18. C = 24 ; f X (x) = 12x(1 − x)2 , x ∈ [0, 1] ; p= 8 . 11 19. f X (x) = 1 , 0 < x < 1 , f Y (y) = 1 + 2y − 3y2 , 0 < y < 1 . 20. f X (x) = f Y (x) = e−x , x > 0 . 21. f X (x) = e−x , x > 0 ; 1 , y > 0. f Y (y) = (1 + y)2

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

141

8 1 > x ∈ [0, 4], < , 6 22. f X (x) = > : 8 − x , x ∈ [4, 8], 24 8−y f Y (y) = , y ∈ [0, 4] . 24 2 √ 2 23. f X (x) = f Y (x) = R − x2 , π R2 1 |x| < R ; f Z (z) = , −H < z < H . 2H Zavisne su. x2 4 , 0 < x < 2 ; E(X) = . 4 3 26. f X (x) = 12 (1 − x) = f Y (x) . 25. FX (x) =

; E(X) = 14 ; 3 f Y (y) = 2 , 12 y 1 ; E(Y) = ; 4 1 X i Y su zavisne, E(XY) = . 6 1 28. A = 0.5 ; FX (x) = 2 (1 + sin x − cos x) ; FY (y) = 12 (1 + sin y − cos y) ; 0.2071 .

27. f X (x) = 2 , 0 x

1 2

29. f X (x) = 34 x2 + 32 x , x ∈ [0, 1] ; E(X) = 11 . 16 30. F(x, y) = FX (x) · FY (y) , FX (x) = 1 − e−α x , 1 1 FY (y) = 1 − e−β y ; E(X) = , E(Y) = , α β 1 1 D(X) = 2 , D(Y) = 2 . Nezavisne su. α β 1 31. − . 2 32. cov(Y1 , Y2 ) = 0 . Zavisne su. 33. E(Y) = 3 , D(Y) = 4.246 . √ 21 34. 0 , . 5 1 1 , 35. D(X) = , D(Y) = 2 4n − 1 p 3(4n − 1) rxy = . 2n + 1 ! 1 2 0 37. 0 12 ” “ 0 38. cos x cos y , π −3 0 π −3 . √ 3 5 39. . 7 40. 0.9597 . 41. 407 . 9

43. E(Y) = α a1 + β a2 + γ , D(Y) = α 2 σ12 + β 2 σ22 + 2αβ rσ1 σ2 44. E(XY) = aE(U 2 )+E(UV) . Ako je E(UV) = 0 , tada slijedi a = 0.16 , D(Y) = a2 E(U 2 ) + E(V 2 ) = a2 D(X) + D(V) , tj. D(V) = 22.44 . 45. n/3 . 46. k/n . 1 1 48. a) , 0 x z , b) , 0 x z na inz z 1 , z − 1 x 1 , na tervalu 0 < z 1 , 2−z intervalu 1 z 2 . 49. n/2 . 50. a) 1 − n · 21−n . Toˇcka O ne´ce leˇzati unutar takvog mnogokuta samo ako neki od lukova izmedu dva susjedna vrha bude dulji od Rπ . b) E(ν ) = 5 , D(ν ) = 4 . Naime, vrijedi Bn = (ν n) i moˇzemo koristiti formule X P(ν n), E(ν ) = X E[ν (ν − 1)] = 2 n(n − 1)P(ν > n). 2 √ 2 r − x2 , x ∈ [−r, r] ; r2 π 1 , f (x | y) = konst. = p 2 − y2 2 r p p x ∈ [− r2 − y2 , r2 − y2 ] ; X i Y su zavisne ali nisu korelirane 52. 5 . 6 8 1 2 > y , y ∈ [0, 1], > < 2 53. f Y (y) = −y2 + 3y − 32 , y ∈ [1, 2], > > : 1 2 y ∈ [2, 3]. 2 (y − 3) ,

51. f X (x) =

54. f (x | y) =

1 , x ∈ [0, 2−2y] ; 2 − 2y

r(X, Y) = − 1 . 2 55. 0.135 ; 0.25 . 56. f (x | y) = r(X, Y) = 0.5 . 57. 2 ln 2 − 1 . 58. f (x | y) = 59. r1 /r2 . 60. 1 3 √ 3 ln 3 61. 2

2 , x ∈ [y/2, 2] ; 4−y 1 , x ∈ [2y, 2] . 2 − 2y

142

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

62. E(X) =

1 . 3

63. N (0, σ12 + σ22 ) . 2

64. N (0, 2σ (1 + r)) . ! 1 0 1 0 3 0 . 65. 1 0 2 1 √ exp(− 61 (5x2 +2y2 +2z2 −2xy+4xz− 66. 2π 6π 2yz − 12x + 6y − 6z + 5)) . 67. N ( 12 , 1) . 68. 0.44 , 0.642 . 2 . 70. √ 1 π 3[ 3 (2z − 1)2 + 1] r r 2 2 71. exp(− 25 x2 ) , exp(−2y2 ) , 5π π 1 √ exp(− 12 z2 ) , 2π 1 exp(− 12 (u2 − 2uv + 2v2 )) , 2π “ ” 1 2 72. 1 1 . Z z 1 u2 −2ruz+z2 exp(− )du , 74. f Z (z) = √ 2 2(1 − r2 ) p π 1 − r −∞ E(Z) = (1 − r2 )/π

§ 8. Funkcije sluˇcajnih vektora

1. b) c) d) 2.

3.

˛ ˛« ˛x ˛ 1 1 − ˛˛ − 1˛˛ , 0 x 2a ; a) a „a ˛ ˛« ˛x˛ 1 ˛ ˛ 1 − ˛ ˛ , |x| a ; a a a2 1 ln , 0 < x < a2 ; x a2 1 1 , 0 x 1. 2 , x 1 . 2 2x j ﬀ 1 1 1 min 2 , , 0 x 1. 2 x (1 − x)2 8 2 2 > z , z ∈ [0, 1], > < 9 2 f Z (z) = z ∈ [1, 3], 9 z, > √ √ > : 2 2 z ∈ [3, 10]. 9 z(1 − z − 9), „

4. f (x) =

1 a2 ln , 0 < x < a2 . x a2

5. 2z − z2 , 0 < z < 1 . 6. FZ (z) = 2z − z2 , z ∈ [0, 1] ; 3 4 1 2 7. f Z (z) = ln , z ∈ [−2, 2] . 4 |z| 1 , z ∈ R. π (1 + z2 ) 8 a b > < , 0 : a , a < z < ∞. b 2bz2 ( 1 5 z 7, 6 (z − 5), 10. gZ (z) = 1 7 z 11. 12 (11 − z), 8. f Z (z) =

11. FZ (z) = 12. f Z (z) = 13. f Z (z) =

z(3 − z) , 0 < z < 1 ; 0.4143 . 1+z 8z2 − 2z − 1 , z ∈ [ 21 , ∞) . 4z2 (z + 1)2 ( 1 1 z ∈ [1, 2), 2z − 4, 1 2,

z ∈ (2, 3].

14. 12z(1 − z)2 , 0 < z < 1 . 15. 4z(z2 − 2 ln z − 1) , 8 z > < sh(1)e , 1 z 16. e, 1 + 12 z − 2e > : 1, ( 17. a = 1 ; f Z (z) = ( 18. FZ (z) =

0 < z < 1. z −1, −1 < z 1, z > 1. z2 ,

0 z 1,

2z − z2 ,

1 z 2.

sh 1 · ez ,

z −1,

1 + 12 z + 12 ez−1 , −1 z 1. √ 20. f Z (z) = 6 + 6z − 12 z , 0 z 1 . ( 1 3z z < 0, 2e , 21. FZ (z) = 1 −3z 1 − 2 e , z > 0. 22. f X (x) = 3x2 , x ∈ [0, 1] ; f Z (z) = 2 − 2z , z ∈ [0, 1] ; E(Z) = 2

1 3

.

23. f X (x) = −3x + 2x + 1 , 0 < x < 1 ; 1 f Z (z) = 2 − 2z , z ∈ [0, 1] , E(Z) = . 3

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

143

24. Vrijedi FZ (x) = FX (x)2 . Zato Z ∞ xFX (x)dFX (x) E(Z) = 2 −∞

1 = πσ 2

Z

∞

−∞

σ =a+ √ . π

„Z x

x

−

−∞

e

43. g(r, ϑ , ϕ ) = h(r)r2 sin ϑ , 0 < r < ∞ , 0 < ϑ < π , 0 < ϕ < 2π . Zato su R , Θ , Φ nezavisne, s gusto´cama (z−a)2 2σ 2

28. Normalna razdioba N (0, 1) . 30. a) λ 2 xe−λ x , x > 0 ; λ b) e−λ |x| , −∞ < x < ∞ ; 2 c) λ e−λ x , x > 0 ; 1 d) , x 0. (1 + x)2 1 31. F(z) = 1 − , z > 1 . z

λ1 x , 0 < x 1. (λ1 − λ2 )x + λ2 n−2

, 0 < x < 1. 34. (n − 1)(1 − x) 1 . 35. λ1 + λ2 + . . . + λn 36. FY (x) = 1 − [1 − F(x)]n ; FZ (x) = F(x)n . 37. Jednolika na [0, 2] . 39. Dokaˇzi najprije sluˇcaj n = 1 . Nakon toga primjeni indukciju, koriste´ci relaciju „ n+1 « n+1 X 1 X Xk Y X1 Y Xk + . + = + 2 2 2n 2k 2n+1 2k−1 k=1

40. f Z (z) =

1 , π (1 + x2 ) r p . g(r, ϕ ) = 2π (1 + r2 )3 44. f X (x) = f Y (x) =

1 . π (1 + x2 ) 2 1 1 c) g(r, θ , ϕ ) = 4π f 1 (r)r · 2 sin ϑ · 2π , 1 . gdje je f 1 (r) = 2 π (1 + r2 )2 1 “x + y x − y” ; 46. a) g(x, y) = f , 2 2 2 b) g(x, y) = f (x cos α − y sin α , x sin α + y cos α ) . 45. b) f X (x) = f Y (x) = f Z (x) =

32. FZ (t) = FW (t) = (1 − e−λ t )2 , t > 0 . 33. FY (y) =

gR (r) = 4π h(r)r2 , 1 gΘ (ϑ ) = sin ϑ , 2 1 . gΦ (ϕ ) = 2π

« dz dx

k=2

” ∞ 1 “ 1 P 1+ an bn cos n(x−αn −βn ) . 2π 2 n=1 n

41. a) F(1) (x) = 1 − (1 − F(x)) ; b) F(n) (x) = F(x)n ; c) F(1,n) (x, y) = F(y)n − (F(y) − F(x))n , x y; n! d) F(x)k−1 [1 − F(x)]n−k f (x) ; (k − 1)!(n − k)! n! F(x)k−1 × e) (k − 1)!(m − k − 1)!(n − m)! ×[F(y) − F(x)]m−k−1 [1 − F(y)]n−m f (x)f (y) ; f) n!f (x1 )f (x2 ) · · · f (xn ) , x1 x2 ...xn . !3 2 1 − r √ e 2σ 2 r2 sin ϑ . 42. g(r, ϑ , ϕ ) = σ 2π

−

u

e 2σ 2 1 = gU (u)gV (v) . · 47. g(u, v) = π (1 + v2 ) 2σ 2 Nezavisne su. 48. F(y1 , y2 ) = 2y1 y2 − y21 , y1 y2 , f (y1 , y2 ) = 2 , y1 y2 , f 1 (y1 ) = 2 − 2y1 , 0 y1 1 , f 2 (y2 ) = 2y2 , 0 y2 1 . 49.

Γ(k + α ) . λ k Γ(α )

50. n(n + 2) · · · (n + 2k − 2) . „ « „ « k+n n 51. 2k/2 Γ /Γ . 2 2

α αβ , . α + β (α + β )2 (α + β + 1) 56. Stavimo

54.

1 1 (X11 + X12 ),Y22 = (X11 − X22 ), 2 2 1 1 Y12 = (X12 + X21 , Y21 = (X12 − X21 ). 2 2 Ove sluˇcajne varijable imaju normalnu razdiobu N (0, 12 ) . Jer su nekorelirane, zakljuˇcujemo da su 2 2 2 2 + Y21 i Y22 + Y12 imai nezavisne. Zato Y11 2 ju eksponencijalnu razdiobu E(1) ( χ -razdiobu s dva stupnja slobode). Vrijedi pritom Y11 =

2 2 2 2 Δ = (Y11 + Y21 ) − (Y22 − Y12 ).

144 Odavde se dobiva razdioba od Δ : gΔ (x) = 12 e−|x| . λ1 x 57. FY (y) = , 0 < x 1. (λ1 − λ2 )x + λ2

§ 9. Konvergencija nizova sluˇcajnih varijabli

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

eitπ + 1 π , E(X) = , 2 2(1−t2 ) π2 − 8 . D(X) = 4 1 , E(X n ) = n! . 15. ϑX (t) = 1 − it 16. 0 , za neparni n ; 1 · 3 · · · (n − 1) za parni n . 14. ϑ (t) =

eit , E(X) = 1 . 1 + t2 b 18. . π [b2 + (x − a)2 ] 17. ϑX (t) =

1. P(A) > 0.84 . E(X) , nejednakost Markova. a 3. P(A) = P{|X − E(X)| < 2} 0.96 . 4. 10.8 – 39.2 km/ h. ˇ sevljevu nejednakost, P(A) 0.96 . 5. Primjeni Cebiˇ 6. 0.889 , 0.997 . 2(1 − cos t) . 12. t2 j 0, |t| > 1 . 13. ϑ (t) = 1 − |t|, |t| 1 2. P{X > a} <

20. P {X = ±k} = 12 ak , P {X = 0} = a0 . 21. 9 . 32 22. θY (t) = 12 + 14 e2it + 14 e6it 24. Iskoristi Bochnerov teorem 25. Razvij u red po ϑ i primjeni prethodni zadatak. 26. Iskoristi Bochnerov teorem.

KAZALO

145

KAZALO B

beta razdioba, 117

N

D

nejednakost Markova, 121 ˇ seva, 121 nejednakost Cebiˇ neprekinuta sluˇcajna varijabla, 4, 62 normalna razdioba, 39 — — , dvodimenzionalna, 72 — — , viˇsedimenzionalna, 79

E

O

C

Cauchyjeva razdioba, 13, 18 Centralni graniˇcni teorem, 129 disperzija, 36 eksponencijalna razdioba, 33 Erlangova razdioba, 102

oˇcekivanje, 35

F

pozitivno definitna matrica, 79

fizikalna definicija vjerojatnosti, 119 funkcija razdiobe, 1, 60

G

gama funkcija, 100 gama razdioba, 101 Gaussova krivulja, 39 generator sluˇcajnih brojeva, 19 gusto´ca razdiobe, 4, 62

H2

χ -razdioba, 103 χ -razdioba, 105

I

ishodiˇsni moment, 35

J

jaki zakon velikih brojeva, 123 Jakobijan inverznog preslikavanja, 92 jediniˇcna normalna razdioba, 40 jednolika razdioba, 6

K

karakteristiˇcna funkcija, 12, 35 konvergencija po distribuciji, 126 — gotovo sigurno, 124 — po vjerojatnosti, 120 korelacijska matrica, 68 kovarijacijska matrica, 68

P

R

Rayleighova razdioba, 93, 115 razdioba, beta, 117 — , Cauchyjeva, 13, 18 — , Erlangova, 102 — , jediniˇcna normalna, 39 — , jednolika, 6 — , Rayleighova, 93, 115 — , studentova, 106 Riemann-Stieltjesov integral, 10

S

slabi zakon velikih brojeva, 121 sluˇcajna varijabla, 1 — — , indikatorska, 120 — — , neprekinuta, 4, 62 — — , simetriˇcna, 16 — — , singularna, 14 sluˇcajne varijable, nezavisne, 7, 64 sluˇcajni vektor, n -dimenzionalni, 60 stabilnost normalne razdiobe, 45 studentova razdioba, 106

T

Teorem Moivre-Laplacea, 46, 47, 130

U

L

Laplaceov transformat, 14, 35 linearnost oˇcekivanja, 8

- uzorak, 117 uredeni uvjetna gusto´ca, 70 uvjetno oˇcekivanje, 70

M

Z

marginalne gusto´ce, 64, 70 marginalne razdiobe, 64

zakon velikih brojeva, 119 zbroj nezavisnih varijabli, 95

TABLICA NORMALNE RAZDIOBE: FUNKCIJA Φ∗

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

00000 00798 01596 02393 03191 03988 04784 05581 06376 07171 07966 08759 09552 10343 11134 11924 12712 13499 14285 15069 15852 16633 17413 18191 18967 19741 20514 21284 22052 22818 23582 24344 25103 25860 26614 27366 28115 28862 29605 30346 31084 31819 32551 33280 34006 34729 35448 36164 36877 37587 38292 38995 39694 40389 41080 41768 42452 43132 43809 44481 45149 45814 46474 47131 47783

00080 00878 01675 02473 03270 04067 04864 05660 06456 07251 08045 08838 09631 10422 11213 12002 12791 13578 14363 15147 15930 16711 17491 18269 19044 19819 20591 21361 22129 22895 23659 24420 25179 25936 26690 27441 28190 28936 29680 30420 31158 31893 32624 33353 34079 34801 35520 36236 36948 37657 38363 39065 39763 40458 41149 41837 42520 43200 43876 44548 45216 45880 46540 47196 47848

00160 00957 01755 02553 03350 04147 04944 05740 06535 07330 08124 08918 09710 10502 11292 12081 12869 13656 14442 15226 16008 16789 17569 18346 19122 19896 20668 21438 22206 22971 23735 24496 25255 26011 26765 27516 28265 29011 29754 30494 31232 31966 32697 33426 34151 34873 35592 36307 37019 37728 38433 39135 39833 40527 41218 41905 42588 43268 43943 44615 45283 45946 46606 47261 47913

00239 01037 01835 02633 03430 04227 05023 05819 06615 07410 08204 08977 09789 10581 11371 12160 12948 13735 14520 15304 16086 16867 17646 18424 19199 19973 20745 21515 22282 23048 23811 24572 25330 26087 26840 27591 28340 29085 29828 30568 31305 32039 32770 33499 34223 34945 35664 36379 37090 37799 38504 39205 39903 40587 41287 41974 42657 43336 44011 44682 45349 46012 46672 47327 47978

00319 01117 01915 02712 03510 04306 05103 05899 06694 07489 08283 09076 09868 10660 11450 12239 13027 13813 14599 15382 16165 16945 17724 18502 19277 20050 20822 21592 22359 23124 23887 24648 25406 26162 26915 27666 28414 29160 29902 30642 31379 32113 32843 33571 34296 35017 35735 36450 37161 37869 38574 39275 39972 40666 41356 42042 42725 43403 44078 44749 45416 46078 46737 47392 48042

00399 01197 01995 02792 03589 04386 05183 05979 06774 07569 08362 09155 09948 10739 11529 12318 13106 13892 14677 15461 16243 17023 17802 18579 19354 20128 20899 21668 22436 23201 23963 24724 25482 26237 26991 27741 28489 29234 29976 30716 31452 32186 32916 33644 34368 35089 35807 36521 37232 37940 38644 39345 40042 40735 41425 42111 42793 43471 44145 44816 45482 46145 46803 47457 48107

00479 01277 02074 02872 03669 04466 05262 06058 06853 07648 08442 09235 10027 10818 11608 12397 13184 13971 14756 15539 16321 17101 17880 18657 19432 20205 20976 21745 22512 23277 24040 24800 25558 26313 27066 27816 28563 29308 30050 30789 31526 32259 32989 33716 34440 35161 35878 36593 37303 38011 38714 39415 40111 40804 41493 42179 42861 43538 44212 44882 45549 46211 46869 47522 48172

00559 01356 02154 02951 03749 04545 05342 06138 06933 07727 08521 09314 10106 10897 11687 12476 13263 14049 14834 15617 16399 17179 17958 18734 19509 20282 21053 21822 22589 23353 24116 24876 25633 26388 27141 27891 28638 29383 30124 30863 31599 32332 33062 33789 34512 35233 35950 36664 37374 38081 38785 39484 40181 40873 41562 42247 42929 43606 44280 44949 45615 46277 46934 47588 48237

00638 01436 02234 03031 03828 04625 05421 06217 07012 07807 08600 09393 10185 10976 11766 12554 13342 14128 14912 15695 16477 17257 18035 18812 19587 20359 21130 21899 22665 23430 24192 24952 25709 26464 27216 27966 28713 29457 30198 30937 31673 32405 33135 33861 34585 35305 36022 36735 37445 38152 38855 39554 40250 40942 41631 42316 42997 43674 44347 45016 45681 46342 47000 47653 48302

00718 01516 02314 03111 03908 04705 05501 06279 07092 07886 08680 09472 10264 11055 11845 12633 13420 14206 14991 15774 16555 17335 18113 18889 19664 20436 21207 21976 22742 23506 24268 25027 25784 26539 27291 28040 28787 29531 30272 31011 31746 32478 33208 33934 34657 35377 36093 36806 37516 38222 38925 39624 40319 41011 41699 42384 43064 43741 44414 45083 45748 46408 47065 47718 48366

TABLICA NORMALNE RAZDIOBE: FUNKCIJA Φ∗

0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

48431 49075 49714 50350 50981 51607 52230 52848 53461 54070 54675 55275 55870 56461 57047 57629 58206 58778 59346 59909 60467 61021 61570 62114 62653 63188 63718 64243 64763 65278 65789 66294 66795 67291 67783 68269 72867 76986 80640 83849 86639 89040 91087 92814 94257 95450 96427 97217 97855 98360 98758 D0678 D3066 D4890 D6268 D7300 D8065 D8626 T0332 T3261 T5347 T6818 T7844 T8553 ˇ C0381 ˇ C3666

48495 49139 49778 50413 51043 51670 52292 52909 53522 54131 54735 55334 55929 56520 57106 57687 58263 58835 59403 59965 60523 61076 61625 62168 62707 63241 63770 64295 64815 65330 65840 66345 66845 67341 67831 68750 73300 77372 80980 84146 86896 89260 91273 92970 94387 95557 96514 97289 97911 98405 98793 D0946 D3272 D5046 D6386 D7388 D8129 D8673 T0670 T3504 T5519 T6938 T7927 T8610 ˇ C0770 ˇ C3928

48560 49203 49842 50476 51106 51732 52354 52971 53583 54191 54795 55394 55989 56579 57164 57745 58321 58892 59459 60021 60579 61131 61679 62222 62761 63294 63823 64347 64866 65381 65890 66395 66895 67390 67880 69227 73729 77754 81316 84439 87149 89477 91457 93124 94514 95662 96599 97358 97966 98448 98826 D1207 D3472 D5198 D6500 D7472 D8191 D8718 T0998 T3738 T5685 T7054 T8008 T8665 ˇ C1145 ˇ C4180

48624 49267 49905 50539 51169 51794 52415 53032 53644 54252 54855 55454 56048 56637 57222 57803 58378 58949 59516 60077 60634 61186 61734 62276 62814 63347 63876 64399 64918 65432 65941 66445 66945 67439 67929 69699 74152 78130 81648 84728 87398 89690 91637 93275 94639 95764 96683 97425 98019 98490 98859 D1462 D3667 D5345 D6610 D7554 D8252 D8762 T1315 T3964 T5844 T7166 T8085 T8719 ˇ C1505 ˇ C4422

48689 49331 49969 50602 51232 51857 52477 53093 53705 54312 54915 55513 56107 56696 57280 57860 58436 59006 59572 60133 60690 61241 61788 62330 62868 63400 63928 64451 64970 65483 65992 66495 66994 67488 67978 70166 74571 78502 81975 85013 87644 89899 91814 93423 94762 95865 96765 97491 98072 98531 98891 D1709 D3856 D5489 D6718 D7634 D8311 D8805 T1622 T4183 T5999 T7274 T8160 T8770 ˇ C1852 ˇ C4655

48753 49395 50032 50666 51294 51919 52539 53155 53766 54373 54975 55573 56166 56755 57339 57918 58493 59063 59628 60189 60745 61296 61843 62384 62921 63453 63981 64503 65021 65534 66042 66546 67044 67538 68026 70628 74986 78870 82298 85294 87886 90106 91988 93596 94882 95964 96844 97555 98123 98571 98923 D1951 D4040 D5628 D6822 D7712 D8367 D8846 T1919 T4394 T6148 T7378 T8232 T8819 ˇ C2185 ˇ C4878

48818 49459 50096 50729 51357 51981 52601 53216 53827 54433 55035 55632 56225 56813 57397 57976 58550 59120 59685 60245 60800 61351 61893 62438 62975 63506 64033 64555 65073 65585 66093 66596 67094 67587 68075 71086 75395 79233 82617 85571 88124 90309 92159 93711 95000 96060 96923 97618 98173 98611 98953 D2186 D4220 D5764 D6924 D7787 D8422 D8886 T2206 T4598 T6291 T7478 T8301 T8866 ˇ C2505 ˇ C5093

48882 49523 50159 50792 51420 52043 52663 53277 53888 54494 55095 55692 56284 56872 57455 58033 58607 59176 59741 60300 60856 61406 61951 62492 63028 63559 64086 64607 65124 65636 66143 66646 67143 67636 68124 71538 75800 79592 82931 85844 88358 90508 92327 93852 95116 96155 96999 97679 98221 98649 98983 D2415 D4394 D5895 D7022 D7859 D8476 D8925 T2483 T4795 T6430 T7574 T8368 T8912 ˇ C2813 ˇ C5299

48946 49587 50223 50855 51482 52105 52724 53339 53947 54554 55155 55751 56343 56930 57513 58091 58664 59233 59797 60356 60911 61461 62006 62546 63081 63612 64138 64659 65176 65687 66194 66696 67193 67685 68172 71986 76200 79945 83241 86113 88589 90704 92492 93989 95230 96247 97074 97739 98269 98686 99012 D2638 D4564 D6023 D7118 D7930 D8527 D8962 T2751 T4986 T6564 T7668 T8432 T8955 ˇ C3108 ˇ C5496

49010 49650 50286 50918 51545 52168 52786 53400 54009 54614 55215 55811 56402 56989 57571 58148 58721 59290 59853 60412 60966 61515 62060 62600 63135 63665 64190 64711 65227 65738 66244 66745 67242 67734 68221 72429 76595 80295 83547 86370 88817 90897 92655 94124 95341 96338 97148 97798 98315 98723 99040 D2855 D4729 D6148 D7210 D7998 D8577 D8998 T3011 T5170 T6693 T7757 T8494 T8998 ˇ C3393 ˇ C5686