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Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z(Jrich
154 Alain Lascoux Centre de Mathematique Ecole Polytechnique, Paris/France
Marcel Berger D~partement de Math6matique Faculte des Sciences de Paris, Paris/France
Vari6t6s K~hleriennes Compactes
Springer-Verlag Berlin.Heidelberg • New York 1970
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1970 Library of Congress Catalog Card Number 76-137787.Primed in Germany. Title No. 3311 Off~dmck: Juiim ~
W4~heim/B~g~r.
INTRODUCTION
Cet ouvrage est donn~es,
en 1968 e t
la redaction
1969,
de d e u x s d r i e s
de c o n f e r e n c e s
que j t a i
au S ~ m i n a i r e de M a t h ~ m a t i q u e s de l V E e o l e P o l y t e c h -
nique.
L'esprit
de c e s c o n f e r e n c e s
~tait
de f o u r n i r
un a p e r v u a s s e z
de l V u s a g e d e s m ~ t h o d e s de l a G ~ o m ~ t r i e D i f f ~ r e n t i e l l e La r ~ d a c t i o n
~crite
ple,
r~sultats
trEs,
que l e s
correspond
m a i s en £ n d i q u a n t
ce s e n s ,
le
lecteur
(par exemple,
le
au s t y l e
(h q u e l q u e s
est
plutS~
les
"conferences"
exceptions
pros)
idEes clefs
; crest
ainsi,
par exem-
sont effectivement
que l e d ~ t a i l
s u p p o s ~ p o s s ~ d e r une c e r t a i n e
langage des f a i s c e a u x ,
large
en G ~ o m ~ t r i e A l g ~ b r i q u e
d~mon-
des ealculs.
maturit~
En
math~matique
de l a c o h o m o l o g i e h v a l e u r
d a n s un
faisceau).
La l o u r d e par Alain licat
Lascoux,
que j e
remercie
a ~t~ l a v ~ r i f i c a t i o n
r~mes f a i s a n t effet
t ~ c h e de l a r ~ d a c t i o n
plusieurs
intervenir erreurs
des
ic£ vivement.
signes
la classe de s i g n e
a ~t~ e n t i ~ r e m e n t
dans
les
en c h a r g e
En p a r t i c u l i e r , diff~rentes
de C h e r n d e s f i b r e s
dans
prise
un p o i n t
formules
en d r o i t e s .
d~-
ou t h ~ o -
I 1 y a en
la littdrature.
Pour ce qui est du contenu proprement dit, il comprend essentiellement: -
l'~tude compacte
-
lt~tude
des formes harmoniques
k~hl~rienne
; des fibres
la d~monstration
ltintroduction
en d r o i t e s originelle
gement a l g ~ b r i q u e -
s u r une v a r i ~ t ~
; du t h ~ o r ~ m e de K o d a i r a
des vari~t~s
"~ l a W e l l " d e s c l a s s e s
ques applications
de c~ e t
c~.
sur
le plon-
de Hodge ; de C h e r n r ~ e l l e s
et
quel-
IV
J'ai portants.
e s s a y ~ de d o n n e r dee a p p l i c a t i o n s
En r~sum~, l l e s p r i t
u n e forme r ~ d u i t e , k~hl~riennes
un aper~u s y n t h ~ t i q u e ,
explicites
peut ~tre aussi
des r ~ s u l t a t s de d o n n e r ,
im-
eoue
m a i s a v e c des e x e m p l e s , dee v a r i ~ t ~ s
compactes.
Pour la preparation [4~,[7],[SJ,[ll],E13~,[23 eet ausei
de ce t e x t e
dane
~,
de c e s c o n f e r e n c e s ,
~. Le t r a i t e m e n t
volume I I ,
ehapitre
jtai
dee c l a s s e s
utilie6
lee r~f~rences
de C h e r n , p r i e
dane [ 4 ] ,
XII.
M a r c e l BERGER
TABLE -
INTRODUCTION CHAPITRE i.
I
-
2.
Calcul
3.
Vari6t~s
I.
VARIETES
-
=
DES MATIERES -
-
=
-
= - = - = - =
......................................... ......................................
riemanniennes
................................................
2.
Vari~t4
presque-complexe
Vari4t6
hermitienne
4.
Calcul
diff~rentiel
1.
D4finition Exemples IV-
....................................
I.
Eclatement
d'un
2.
EClatement
d'une
sous-vari4t~
3.
Eclatement
d'une
vari~t~
Th~orie
Cohomologie
17
3.
0p~rateurs
diff4rentiels
4.
0p4rateurs
diff4rentiels
5.
0p4ratenrs
elliptiques
1.
Formes
effectives
2.
Cohomologie
3.
Exemples
20
~0NIQUES
homog~nes
22
.......................
25
riemanniens
...............
23 25
les
fibres
vectoriels
.........
28
dans
les
fibres
hermitiens
.........
29
......................................
un
21
dans
DES VARIETES sur
20
........................
de R h a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
espaces
- COHOMOLOGIE
10
16
...............................
k~hl~rienne
ET FORMES
i.
VI
8
16
point .......................................
2.
CHAPITRE
8
13
ECLAT~ENTS ..........................................
des
2
11
..................................................
de H o d g e -
I
.........................................
....................................................
V - COHOLOGIE
I
.........................................
V A R I E T E S KAHLERIENNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
III
3
C~ ..........................................
3.
CHAPITRE I I I -
RII~LANNIENNES .................
................................................
diff~rentiel
Introduction
CHAPITRE
~
Cm - VARIETES
II - V A R I E T E S
CHAPITRE
m
.......................................................
Introduction
CHAPITRE
~
espace
KAHLERIENNES vectoriel
................
hermitien
.................................................
....................................................
.........
29 31 31 32
4.
Cohomologie
entibre
.........................................
55 36
5.
Vari4%4s
Picard,
Jacobi
38
de
..................................
VI
CHAPITRE V I I
-
ESPACES FIBRES VECTORIELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
D~finitions
2°
Formes
3.
C~ F i b r ~
1.
.................................................
diff~rentielles
CKAPITRE V I I I
2.
Suite
Rdsultat
de
une varidt~
39 fibrd
vectoriel
complexe .................
................................................. fondamentale
fondamental
........................................
Applications
5.
Vanishing
...........................
................................................ theorem
....
39 40 43 43
cohomologie
4.
CHAPITRE I X -
sur
darts un
Cw FIBRES EN DROITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G~n~ralit~s
3.
~ valeurs
hermitien
-
39
45 46 47
...........................................
48
SURFACES DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1o
Diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.
Diviseurs
..............................
51
..............................
52
et
fibres
3.
Cas des
4.
T h ~ o r b m e de R i e m a n n - R o c h
....................................
52
5o
Exemples
....................................
54
T H E O R ~ E DE KODAIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
CHAPITRE
X
-
vari~tds
principaux
et
1.
Quelques
2.
Th~or~me de
non
applications
suites
exactes
Lefschetz
3.
Th~or~me de K o d a i r a
4o
Propri~t~s
5.
R~duction
.........................................
du problbme
Lemme p r ~ p a r a t o i r e
7.
D~monstration
8.
Applications
..................................... .......................................
utilis~es
6.
CHAPITRE X I -
compactes
1.
Connexions Courbure
3.
Connexion
.......................................
58
..........................................
du th~orbme
un C~ fibr~
d'une
connexion
sur
une vari~t~
4.
Fibr~
5.
Une f o r m u l e
tangent
sur
de K o d a i r a de K o d a i r a
59
........................
60
.........................
61
vectoriel
62
.........................
.................................... complexe
une vari~t~
mirifique
57 58
du th~or~me
sur
57
........................................
CONNEXIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
56
..........................
riemannienne
.. ................
.......................................
62 64 65 66 68
YII
CHAPITRE
XII
-
CLASSE
1*
Utili
2 ,
C1 a s s e s
3,
Proprigt~s
4,
Exploitation
5.
La c l a s s e
S
ati
de
on
DE
CHERN
la
cou
Ch e r n
de
r
.....................................
rb u r s
~ e I1 e s
des classes
cI(T(X))
et
70
eDDDe¢ooobI$eoeeoseJettooeto°°$tt°
.
eeecttto4eta4etoceeee.eetceeee*e,¢
de C h e r n r 6 e l l e s
de l a c l a s s e
70
c ~ ( (TX ) )
la conjecture
•
71
.....................
72
• •
79
........................
de C a l a b i . . . . . . . . . . . . . . .
75
BIBLIOGttAPftlE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
INDEX TE]IINOLOGIQUE
...............................................
79
................................................
82
INDEX DES NOTATIONS
CHAPITRE VARIETES ~
§ i.
D~finition
:
Une v a r i ~ t ~
~
recouvrement soit
ouvert
~.
est
1.1.2.
g~ e s t
s~par~ paracompact
a p p e l ~ s y s t ~ m e de c o o r d o n n ~ e s
d o n t on se donne un d a n s R n, t e l s
s u r U . Nous ne c o n s i d ~ -
~ o r p h i s m e de ~ - v a r i ~ t ~ s .
applications
g:lf
f de X d a n s Y s e r a gi sent ~.
dire
~,
On n o t e ~ ( X , Y )
ou e n c o r e un m o r p h i s m e , ltensemble
si
des morphismes
de X d a n s Y.
1.1.3.
Espaces
tangent
En un p o i n t
voisinage L'espace
aussi
et cotangent.
x de X, on d ~ f i n i t
llespace
de coordonn~es de x, (x I . . . . . x n ) vectoriel
dual est
n o t e Tx(X ) e t a
cotangent
Tx~(X) en p r e n a n t
un
~ne base de T*(X) e s t (dx 1,. . . . d ~ n ) pour base
X
(5/5x
i
.....
n
•
5/~x ) note
(~1 . . . . )"
On v o i t
facilement
tangent
en x ~ X.
1.1.4.
Applications
tangentes.
Si f est
morphisme
canoniquement
que c e s d ~ f i n i t i o n s
un
attach~es
sont
intrins~ques
! Tx(X ) e s t
de X d a n s Y, on a deux a p p l i c a t i o n s
b f :
(~) X
•
Tx(x)
~ T~(x) (Y)
X
L'application 1.1.5.
que
de d i m e n s i o n f i n i e .
Une a p p l i c a t i o n (~)
un e s p a c e
[U ~ e t d e s hom~omorphismes g~ de U
r o n s que d e s v a r i ~ t ~ s
les
- VARIETES RIE~ANNIENNES
INTRODUCTION
1.1.1.
g~g~
I
T (f) X
est
l'auulication
tan~ente
b fen
x.
Immersion. o~
f E C/ (X,Y) e s t
une i m m e r s i o n en x s i T x ( f ) e s t
injective.
l'espace
lin6aires,
1.1.6.
Plongement. f est
de X e t
un p l o n g e m e n t
un h o m ~ o m o r p h i s m e
Ces c o n d i t i o n s telles
de X d a n s Y s i de X s u r
se t r a d u i s e n t
que ~ o f soit
par
f est
une
immersion
en tout
point
f(X).
: il
existe
un i s o m o r p h i s m e
des
cartes
de f - l ( u )
locales
~,
s u r un s o u s - e s p a c e
s u r Y, vectoriel
de ~n fl ~ ( U ) . X
Par
exemple,
l'injection
f
>
Y
ensembliste
~
sur
la
figure
est
une
immersion
et
non
un p l o n g e m e n t Un s o u s - e n s e m b l e X dans Y est
1.1.7.
X de Y e s t
Vari~t~
si
dtun
elle
(resp.
de p o l y n 3 m c s
1.1.8.
Intersection
est
(resp.
§ 2.
1.2.1.
elle
n-k
est
espace
le
lieu
affine des
de
~n
z~ros
(resp. d'un
projectif
nombre
fini
~Rn))
est
de p o l y n ~ m e s
complete. de ~ n
(resp.
de d i m e n s i o n
k et
de l ~ R n ) )
est
peut
d~finie
~tre
dire
une par
intersection n-k
com-
polynSmes
CALCUL D I F F E R E N T I E L
Crochet
de d e u x c h a m p s de v e c t e u r s . X ffi ~ x i b .
et
Y = ~ib..
1
champ de v e c t c u r s
1.2.2.
canonique
polynSmes homog~nes).
Soient le
ltinjection
homog~nes en n+ 1 variables).
X sous-vari~t~ si
de Y s i
alg~brique.
alg~brique
plete
sous-vari~t~
un p l o n g e m e n t .
Une s o u s - v a r i ~ t ~ dire
une
Le c r o c h e t
de X e t Y, n o t ~
IX,Y],
est
1
Z(X i
1
by j. _ y i 5x 1 =
bX~)bj.1 bx
Formes diff~rentielles. Localement
une
r-forme
diff~rentielle
st~crit
avec f.. E~(X). 1j...
~f..
dx 1A dx J A . . .
Ij...
Ceci nous permet de d~finir le faisceau des germes de r-formes diff~ren-
tielles
Ar(X).
On a un o p ~ r a t e u r
d : Ar(x)
d(fi 1 .
"
.i
~ Ar÷I(x) i1 dx A . . .
r
A dx
que l ' o n jr)
=
d~finit ~f. 1... k ~x k Z
*ocalement dx k A dx
iI
par A ...
i A dx r
et dent on montre En identifiant
~
qu'il EAr
est intrins~que.
~ une r-forme
altern~e
sur l'espace
tangent
en x b X, par
X
dx
i1
i A dx r
A
(
"'"
bx
i1
~'. ')
i1
=
1
et
r
~x
i
dx
A
Adx
r (
"'"
~ .... Jl' ~x
n'est pas une permutation
d~(V o .....
=
0
si
(Jl ..... Jr )
Z(-I) i V i ~(V o ..... V i . . . .
=
Vr )
)
de (il,...,ir) , on montre
+
1.2.3.
,...,
b
Z (-I) i+j i<j ~([Vi'Vj]'
alors que
:
) ^ ,vj, V° ..... Vi . . . . . . .
)
Produit. Sur ~ Ar(x),
on a un p r o d u i t
d'alg~bre
gradu~e
anticommutative
~ A ~,
r
avec d ( a A ~)
1.2.4.
Groupes
ffi
d a A ~ + ( - 1 ) P ~ A d~
exacte
de f a i s c e a u x , 0
>
dans qui
R
R n ([14],
est
~r(x) ~r m est
dit
7r
Le lemme de P o i n c a r ~ est
isomorphe
>
A°
on d ~ d u i t fine
> ...
>
diff~rentielles
que
de ]R An
a une
: >
ferm~es
l'on
0
(d~ = 0)
r-~ormes qui sont des bords (~ ~ l d ~ = ~).
= i~me r et
p.86)
une r~solution
Th~or~me de de Rham Soient ~r(x) = r-formes
Le g r o u p e
~ E A p.
de de Rham
Du lemme de P o i n c a r ~ suite
pour
groupe
de de Rham.
la th~orie
b Hr(x ! R) (c'est
des faisceaux
le
th~or~me
entra~nent
de de Rham, v o i r
que ce g r o u p e par
exemple
[14], p.152). § 3.
1.3.1.
VARIETES RIEMANNIENNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D~finition (X,g)
T*®T*
dont
la
vari~t~
~
restriction
est
dire
riemannienne
~ chaque
T
est X
une
si
g est
forme
une
d~finie
section positive.
~
de
1.3.2.
Propri~t~s ~l~mentaires utilis~es par la suite -
partitions
-
addition
des
~g + ( 1 -
~)h est
pour
de
structures
~ E [0,1]
-
structure
-
route
:
l'unit~, riemanniennes
une
structure
:
riemannienne
si
get
h le
sont
;
induite
vari~t~
par
une
immersion
paraeompacte
peut
;
~tre
munie
d'une
structure
riemannienne.
1.3.3.
Exemple Soit
:
Gun
espaces groupe
X = G/H ffi ~ e n s e m b l e lequel
G opbre
la
:
par
par
sous-groupe
~ droite
fermi,
gH} e s t
dit
espace
homog~ne
sur
translation.
(X,g)
b gauche
par
Hun
classes
~ gauche
translation
invariante
de L i e ,
des
D~finition
homog~nes.
est y,
dit
notre
espace
homog~ne
~,
une
est
riemannien
isom~trie,
i.e.
si
V Y EG,
si
g est
~.
Ddfinition
m EX projection de l ' ~ l ~ m e n t neutre de G. Le o sous-groupe de GL(T m ( X ) ) , H . = {Tm ( ~ ) , y E H ] , e s t d i t r e p r e s e n t a t i o n lingo o aire d'isotropie sur l'espace vectoriel T (X). m o Lemme sur Si
T
m
l'on
(~%,
:
(X) une
Soit
3 sur X une
structure
structure
euclidienne
riemannienne invariante
invariante
par
par
G ~
H..
o
part
d'une
~*Wm)
Si H. est
structure
compact,
irr~ductible,
Lemme deux
:
l'une
on p e u t cette
Si une
formes
finie,
sont
proportionnelles.
de c e s
Cas particuliers
-
(
Projectifs
structure
, ),
formes
~tant
on d ~ f i n i t
g(Vm,Wm) =
i n
est
telle
structure
unique
lin~aire
un espace positive,
(par
d~coule
irr~ductible
sur
d~finie
: cela
m o.
du
laisse
vectoriel alors
moyenne).
invade d i m e n -
les
deux
formes
:
complexes
de
une
sym~triques
Grassmanniennes,complexes unitaire
trouver
representation
bilin~aires
sion
-
euclidienne
b l'aide d'une translation quelconque ramenant m e n
Si H est
riante
:
.
pn
=
U(n+l)
U(n)
xU(1)
u(p+q)
U(p)~(q)
'
U(p)
~tant
le
groupe
SO(n+2) quadriques Sn
1.3.4.
complexes SO(n + 1) SO(n)
=
peut
faire
riemannienne.
aussi
b. bx I'
un i s o m o r p h i s m e e n t r e de T es% d i r e
une l o i s
Si maintenan%
(X,g)
de m@me
E (E gij Xi)dxJ' j i
inverse
la matrice on p e u t
de
][gijl[
T e t T*
de T* une f o i s
g Etant la forme Z giJl.~.. i,j les
e% . . . ® T * ® . . . ® T
orientEe,
entre
# ( Z l i d x i) =
" m o n t e r ou d e s c e n d r e "
contravariante, de p l u s
e% # i n v e r s e s tensorielle).
indices
® ....
1 J
: on a
Une s e c t i o n
covariante.
sur l'alg%bre
ext6rieure,
on d E f i n i t
* : ArT * ~ An-rT * par (*=) (er+ I ..... en) ffi ~(e I ..... er) si (ei) es%
une base directe
orthonormEe
(-1) r(n-r)
s i m p l e de
1.3.5.
pour
* (~A ~).
structure
de T.
a 6 ArT * .
*1 6 AnT * e s t
Produi% s c a l a i r e Si Vest
Par contre,
une v a r i 6 t E
pr6hilbertienne
riemannienne
orientEe,
D~rivation D est
suivants,
covariante
un o p ~ r a t e u r
pour trois i)
IX,Y]
On voit facilement (DxY) x e T(V) e s t x
:
munir Ar(V) d'une v Etant
l a forme
X
"canonique"
diffErentiel
champs de v e c t e u r s
=
dEfinie
par g.
~-lin4aire tangents
dEfini
par les
deux a x i o m e s
:
DxY - DyX
que D existe et est unique. la derivation
on v E r i f i e
Dfx(Y ) = f DxY.
au c h a p i t r e
opErateur
l'alg~bre
sur
le fibre
covariante
qu'elle
On a de p l u s
Nous v e r r o n s ,
sur
on~ut
X g ( Y , Z ) = g(DxY,Z ) + g(Y,DxZ )
ii)
au p o i n t
pas d ' e x p r e s s i o n
: < a , ~ > = ~ aA * ~ = ~ ( a , f l ) v , X
1.3.6.
on n ' a
la forme volume.
~lobal.
volume.
nienne
=
...®T ®...®T*®...
est
~
l'algbbre
~ (~ xi~i)
[Igijll est
Si
"musicaux"
opErer sur
Grace ~ ces isomorphismes,
=
SO(n) x SO(2)
Isomorphismes musicaux.
Dans la base ~i =
•*
=
spheres.
,
On a deux i s o m o r p h i s m e s (qu'on
Gn, 2
sur
:
de Y s u i v a n t
tangent
Xx
Dx(fY ) = X(f)Y + fDxY.
les
connexions,
d e s champs de t e n s e u r s .
tangent
le vecieur
ne d e p e n d que de X e t non du champ X : x
: voir
11-1-11).
qu'on peut (D e s t
E t e n d r e DX en un
une c o n n e x i o n r i e m a n -
1.3.7.
Pour une forme diff~rentielle, aire
sur T(V),
on d 6 f i n i t
consid6r6e
comme u n e f o r m e m u l t i l i n 6 -
D par
D~(X ; X 1 ..... Xr) = X(~(X I ..... Xr) ) -
r Z a( .... X i _ l , V x X i , X i + l , . . . i=1
).
Car on a alors da(X ° .....
Xr)
= 5?(-1) i Da ( X i ; . . . X ° . . . . .
=
Xi . . . .
xi (xo ..... xi .... ) ^ i . . . . . . .,Vj V .
+ i
Expression classique
montre
que
=
~1 Z gik( bl gij + bj g i l - b i glj)
DxY
=
y(xi
en effet
Lemme 2
orthogonale,
uniquement
D X * ~ = * DX~ (puisque
la
V
les
deux membres
~ E At(v), *6 X E T ( V ) /
v = * 1).
5.
Si X est une vari6t6
Etant
sur A°(V) et AI(V),
forme volume,
riemannienne
ad,ioint formel ~ d, i.e. on cherche EA r . da A * ~
duale.
pour A). si vest
:
Op6rateur
dx k b a s e
da = Z dx k A D~k
:
des d~rivations
0
"
~i y k + F k i j x i y j ) 3 k .
bk u n e b a s e
(on le v6rifie
1.3.10.
s y m b o l e s de C h r i s t o f f e l .
:
Lemme I
=
les
:
rkjl
Lemmes
d' oh Vv
Les Y~'ij s o n t
Jl
Soit
6rant
= 52 Y~'ij bk"
?.
=
13
1.3.9.
)
d a n s u n s y s t ~ m e de c o o r d o n n 6 e s .
On p o s e D i ( b j ) On c a l c u l
)
=
donn~ la nullit~
compacte
orient6e,
~ d(cc A * ~) - ( - 1 ) r f cx A d ( * ~ ) de l a
on cherche un
6 tel que = <~,5~>, V a E A r-l,
deuxi~me int6grale,
.
(-1)n(r+l~*d*
fournit
la
solution. Vans u n s y s t b m e de c o o r d o n n 6 e s a = ~ a.1 dx i
'
ba = - ~~
locales,
E ~Xb i ({~j
a v e c g ffi d e t i g i j l ,
"' ~ ) glJ
pour une 1-forme
Pour une r ° f o r m e ,
l'expression
b a s e o r t h o n o r m ~ e on u n p o i n t ,
Lemme
:
5a
~
g~n~rale ntest (dxk),
Z int
g u ~ r e m a n i , a b l e ; on p r e n d u n e
e t on a a l o r s
le
(-~k) D ~xk
On d ~ f i n i t
int(V),
ext~rieure
par , int(
par lin~arit6
op~rateur
lin~aire
de d ~ r i v a t i o n
~ ) dx i - O s i i ~ j e t ~x s u r V, v e c t o u r t a n g e n t .
sur ltalg~bre
gradu~e
1 s i i ~ j ~ e t on ~ t e n d a n t
CHAPITRE
II
VARIETES ~t~
§ 1.
INTRODUCTION
2.1.1.
:
D~finitioD
Si on a des c a r t e s carte
se f a i s a n t
holomorphe, Elle
est
ou a n a l y t i q u e
alors
~ b u t d a n s des o u v e r t s
p a r des f o n c t i o n
holomorphes,
de ~n
on d i t
l e s c h a n g e m e n t s de
alors
que l a v a r i ~ t ~
est
complexe ou ~ w.
munie c a n o n i q u e m e n t d ' u n e s t r u c t u r e
de ~
vari~t~
r~elle
orient~e. 2.1.2.
~-
structure
On n o t e p a r G~(X,Y) l o s m o r p h i s m e s de Gw v a r i ~ t ~ s . En 2 . 1 . 1 ,
on s ' e s t
donn~ u n r e c o u v r e m e n t o u v e r t de X e t des ~ l ~ m e n t s de
~(Ui,~n ) . En x E X, l e p l a n t a n g e n t op~rateur
J
r~el est
(la multiplication
X
R - i s o m o r p h e b ~ n , ce q u i l e m u n i t d ' u n
p a r i darts ~ n ) t e l
R ~ c i p r o q u e m e n t , l a donn~e du champ d ' o p ~ r a t e u r vari~t~
p e r m e t de r e e o n s t i t u e r f ~ ~ ( X , ¢ n)
T(f) 2.1.3.
=
o JX
f ~ ~l(x,~n)
iT(f)
X
de l a s t r u c t u r e
~ I de l a
complexe :
et
( c o n d i t i o n s de C a u c h y ) .
Espace t a n g e n t I1 f a u t
s u r It
"
sa s t r u c t u r e
Jet
que j 2 = - i d e n t i t Y .
on
les espaces suivant
qu'ils
sont consid~r~s
~.
En u n p o i n t x, L'op~rateur
diff~rencier
Tx(X )
Jest
~ ~
B Bz i
la multiplication
J On a d ~ j ~ u n f i b r ~ pas l ' i d e n t i f i e r
=
i)
~
$ R
B ~ 1~ B Bx i Byi
par i et
Byi '
s'~crit
Bi}
By
-
dans le syst~me ~ i , - ~ i ) = Bx By •
Bx i
c o t a n g e n t T*(X) : Tx*(X) = ~B R d x i •
~ un ~ - e s p a c e v e c t o r i e l
Rdy i
; on ne p o u t
de m a n i ~ r e c o h ~ r e n t e a v e c c e l l o
qu'on
a choisi
T@ ffi T # ®R ~ (on notera
p o u r T.
On n o t e
T'(X)
le ~-dual
de T ( X )
(i.e.
T~(X)
=
~)).
Hom¢(T(X),
est
1)ensemble
d~sormais
par
des
R
formes
^l'op~ration
lin~aires
sur
T ~ valeurs
dans $
~R$ ) .
^
T*
=
semble
T'(X)
m T"(X)
des formes
0~note
avee
|
T"
=
T~(X)
=
eE
d~ ~
T"(X)
=
e¢
d~ ~
les
formes
•
X-
2.1.4.
Types
Ar(X),
on l e s
Si
lton
~r
consid~re
=
=
E T~I
~
o
a
=
i~}
; T" e s t
l'en-
'7
-
d~compose
AI(X)
{~
- antilin~aires.
diff~rentielles
sur X b valeurs
dans
{,
de m~me :
AI'°(X) $ A°'l(X)
r (A i'° $ A °' i) A
=
(A I'° = T' et A °'I ffi T" p a r d ~ f i n i t i o n )
p A i'° ® $ (A p+q=r
Ao,1)
Par ddfinition A p'q = ~ A i'° ® ~ A °'I est IVensemble des formes de type p - q . De m~me pour les germes Z f dz
: A p'q. ~ E AP'q(x)
A...A dz p A d z
A...A
~ localement
a sW~crit
avec f fonction de z et :.
On a alors des projecteurs P ci-dessus,
: Xr ~ A P , q d~finis par la d~composition P,q et un op~rateur C qui ~tend J ^
C z A r ~ Xr (Ca) (V I .... ,V r ) i.e.
C = r
=
~(JV I ..... JV r )
i p-q P P,q
2.1.5.
Par dualit4,
on considbre aussi T(X)
; les vecteurs tangents de
type 1 7 0 sont les vecteurs propres pour J correspondant propre i, ceux de type 0 - I
correspondant
vari4td r~elle sous-jacente
s'~crivent V + ~
Lemme
:
X(a)
Lemme
:
Le c r o c h e t
de t y p e
0-
1.
~ la valeur
~ -i. Les vecteurs tangents ~ la
= 0 pour X E Tt'°(X),
avec V de type 1 - 0 .
a E A°'I(X).
de d e u x c h a m p s de v e c t e u r s
de t y p e
O- 1 est
10
§ 2.
v_~_H~__~s_~_~_c_o_~_~
-
Nous a v o n s vu que l a @w s t r u c t u r e la ~ 1 structure
et
R~ciproquement,
on c h e r c h e ~ q u e l l e s
r~elle
l a donn~e du champ d ' o p ~ r a t e u r
de d i m e n s i o n p a i r e
2.2.1.
D~finition telle
2.2.2.
:
d'une
:
Une v a r i ~ t ~
L'~tude
une v a r i ~ t ~
des v a r i ~ t ~ s
complexes : voir
conditions
structure
que j 2 = - i d e n t i t ~
Lemme
d'une vari~t~
est
dire
presque
presque
d~termin~e
par
J. on p e u t m u n i r une v a r i ~ t ~
de v a r i ~ t ~
r~elle
~tait
complexe.
de d i m e n s i o n p a i r e presque
champ J
complexe.
complexe est
orientable.
complexes recouvre
Kobayashi-Nomizu (~16],
muni d ' u n
celle
volume II,
des v a r i ~ t ~ s Ch. IX) p o u r p l u s
de d ~ t a i l s . En p a r t i c u l i e r ~ et
-i.
l'op~rateur
Jest
On p e u t donc d ~ f i n i r
2.2.3.
diagonalisable
eta
poss~de une ~ w _ structure
structure
la forme
Lemme
:
presque
kh
il
structure presque complexe
nous reste
l'int~grabilit~ e est
antisym~trique
(p,q+ 1). 1 - 0.
~crire
~quivaut b la nullit~
d~finie
~ X (cf.[19
l'int~grabilit~ la condition
sous
en V,W e t
[JV,~J
r~elle
= 0 p o u r V,W E T ° ' 1
aussi
+ J[JV,W] + J[V,JWJ.
(e(V,W) r ~ e l
(puisque
la d~finition
w de t y p e
(p-q),
Pour cela
il
suffit
de l a t o r s i o n .
par
dw e s t
p o u r V,W r ~ e l s ) .
9(V,W) = e ( V , w ) , ¥ v , w )
o r e(V,W) ffi 2 (EV,W) - i J E V , W J ) p o u r V,W E T ° ' 1 ,
type
~ v~rifier
c o m p l e x e ; on p r ~ f ~ r e
O(V,W) = [V,W] -
On t r o u v e
int~grable
:
La t o r s i o n
e = 0 * e(v,w)
: X presque complexe
sous-jacente
G r a c e au t h ~ o r ~ m e p r e c e d e n t , d'une
si l e crochet de deux
de type O - 1 est de type O - I.
On a d'ailleurs un th~or~me difficile
2.2.5.
i
des t y p e s .
Une structure presque complexe est int~grable
e est
propres
Varidt~ presque complexe int~grable
champs de vecteurs
2.2.4.
deux v a l e u r s
suivante
d'o~
le
de l ' i n t ~ g r a b i l i t ~
une somme de f o r m e s de t y p e
de v ~ r i f i e r
la condition
!
lemme.
sur
les
:
(p+ 1,q) f o r m e s de
et
II
Lemme
:
les deux d 6 f i n i t i o n s
E n effe%,
V V de type Vw(W)
O - 1.
- Ww(V)
2.2.6.
les formes
On veu% d ~ ( V , W )
- ~([V,W])
Remarques
:
aucune
Si X est de d i m e n s i o n structure
fournissent
§ 3.
est
r6elle
Une structure structure
Une v a r i 6 t 6
2.3.2.
O(V,JV)
riemannienne
structure
: voir
1 - O.
0 - I.
presque
complexe
[22].
structure
presque
complexe,
tangent
V non nul et JV
presque
complexe
= O.
Une forme
antilin6aire
On peu% d 6 c o m p o s e r dans
A(ie,i6)
Ret
par J,
i.e.
munie
g(JV,JW)
d'une
est
une
= g(V,W)
structure
~V,W.
hermitienne.
second,
un espace
dans telle
H : H = S + iA, A forme
E,
vectoriel
g lin6aire
que H(e,~) avee
altern6e.
le
premier
= H(6,e)
S forme
On a a l o r s
de d i m e n s i o n
sur
V e,4
R-bilin6aire A(e,6)
finie
facteur
sur et
E E. sym6trique
= S(e,i6)
e%
= A(e,6).
R6ciproquement,
la donn6e
de d 6 f i n i r
U n espace
une
vectoriel
d6finie
2.3.3.
invariante
sur
H de E x E le
une vari6t6
hermitien
hermitienne
sur
sur
est une ~ W _ v a r i 6 t 6
vectoriel
es% u n e a p p l i c a t i o n
valeurs
hermitienne
hermitienne
Espace
tienne
une
= 0
VARIETE HERMITIENNE
2.3.1.
permet
et
~ : w(V)
O - 1 , ~ w de t y p e
d'une
eomplexe
: en x, un v e c t e u r
de T x ( X ) ,
6quivalentes.
= 0 ~ IV,W] es% de type
t r o u v e r X munie
2 et poss~de
song
les 1 - formes
V V,W d e t y p e
~ ~([V,W])
structure
int~grable
u n e base
1 - 0 song
ffi 0
= 0 ;
On peu%
ne p o s s 6 d a n t
cette
de type
de l ' i n t 6 g r a b i l i t 6
hermitien
positive
Justifions
d'une
forme
altern6e
forme h e r m i t i e n n e
(i.e.
est un espace
H(e,e)
l'appellation
A telle
que A ( i c , i 6 )
= A(e,6)
H. vectoriel
> 0 pour
de v a r i 6 t 6
muni
d'une
forme
hermi-
e # 0).
hermitienne
: on 6tend
gen
une
^
forme
~-bilin~aire
sur T(X)
qui d ~ t e r m i n e
une
forme
hermitienne
H :
^
H(X,~) = ~(x,Y) + ig(x,J~) On n o t e
par
w la
R6ciproquement, hermitienne mine
une
: si structure
forme 4tant
altern~e
w(X,Y)
donn6 une
2-forme
celle-ci
est
hermitienne
d6finie sur
la
~ X,Y ~ Tx(x).
= g(JX,Y)
I'I(x). ; ~u 6 A R
1,1 ~ 6 AIR ( X ) , positive,
vari6%6
elle
on dit complexe.
d6finit
une
q u e o~ > 0 e t
forme
~ d6ter-
12
2.3.4.
Lemme
:
Toute
vari~t~
(paracompacte)
presque
complexe
admet une
structure
hermitienne. On m e t u n e g'
structure
: g'(X,Y)
2.3.5.
= g(X,Y)
Expression Soit
prend Si
riemannienne
pour
1-3-2
(z 1 , . . . , z
pour une vari~t~
n) une carte
prend
r~elle
locale
; p a r s o u c i de n o r m a l i s a t i o n , 1 --1 n). ( x 1 ffi z + z , Y 1 , . . . , x n , y
associ~e
,xn,y n) est une base orthonorm~e pour g, "'" 1 n --1 (z ,...,z , z , . . . . z-n). S o u s c e t t e f o r m e , l e s
g s'~crit
I0 II I 0
propri~t~s
on
dans
la
de g s o n t
:
dvidentes
i) ii)
g(X,~)
iii) iv) Sur les
l'on
hermitienne
( x 1,
base
et
+ g(JX,JY).
locale
la base
g d'aprbs
=
g (X ,Y"~
g(X,X.) > 0
~
g(X,Y)
~
= 0
g(JX,JY)
X ~ 0 X,Y E TI'O(x) x
= g(X,Y)
coefficients,
ceci
= g(Y,X)
se t r a d u i t
par
n
g
i)
= i,jffil~ g i j
gi3
~ ~zJ
gil
> 0
iii)
gij
=
gi~
= g~i
(un facteur
d~ 1 A d z I
~ dzJ
:
en particulier 0
pour
1 s i,j
2n
w
+ ~ g~j ~zl
= g~j
ii)
iv)
dzl
=
+ i
1/2 peut
•
Z
i, j=l gij ~tre
s n
°
dz 1 A ~zzJ
introduit,
suivant
l'identification
que
l'on
fait
la
forme
( z l , z 1) = 1 on 1 / 2 ) .
Dans une b a s e v o l u m e de l a
orthonorm~e, structure
on v o l t
riemannienne
que wn = w A . . . A m = n l v sous-jacente.
o~ v e s t
:
13
§ 4.
CALCUL DIFFERENTIEL
2.4.1.
Sur une vari6g6 L'op6rateur
d'
: Ap ' q
sur
Ap ' q .
d'a
= d"~.
Notons pour
on a d6compos6
d respec~e
cette
~ Ap + l ' q
; d"
t Ap ' q
d'
song
des
que
et
d"
id'd"
~ E A~,
2.4.2.
~w,
formes
d~composition
~ Ap ' q + l ,
i.e.
d6rivations
( d e mSme q u e
d)
e n somme d i r e c t e
est
d'
: d '2
= Pp+l,qd,
d" = Pp,q+l d
= 0 = d ''2 ~ d ' d "
~ valeurs
@ Ap ' q p+q=r
: d = d' + d".
un op6rateur
diff6rentielles
Ar =
r6el,
dans
i.e.
= -d"d'
id'd"a
et
E A~
R.
F?rmes h o l o m o r p h e s D6finition
Lemme
:
:
~ E AP e s t
d'd"f
dite
= 0 pour
f
holomorphe
E ~(X,~)
si
~ E Ap ' °
~ localement
et
d"a
f = g+h
= 0.
avec
g,h E ~ ( u ) . La c o n d i t i o n
s'6crit
de t y p e
0-
morphe,
c% f = g + h .
Par
1,
exemple,
2.4.3.
d'h
dd"f = 0,
pour
f /
complexes
Une f o r m e gv,
~-dire
0 et
f ou ?
(par
d'apr~s
Poincar6
holomorphc
E ~ w,
d"f
; d"(f-h)
id'd'Loglfl
que
{I-2
fu'
r6elle
et
ne
par
= d h = 0,
~ d"f
f-h
6tang
es% h o l o -
2 = O.
.Adz n sur
d'apr~s
aussi
une
le
pas
forme
en coordonn6es U
id'd'Log ~ une autre
: ~
des
volume
complexe
d z n ; o n a de m~me d " L o g
germes
fu ~ id'd"Logfv. forme
volume
1.2.4). ~ 6 An'°(X) sU = d"Logs Vet
de D o l b e a u l t faisceau
de c a r t e s
= a + id(d"g), c'estgv v de c o h o m o l o g i e dans
de d " - c o h o m o l o g i e .
_~P l e
avec
un changement
le~e
l a m~me c l a s s e
de De Rham, v o i r
s U dz 1 A . . . A
l'ouvert
Pour
1,1 a E A ~ (X)
s'annulant
d6finissent
d6finig
d6finition,
positive.
donc une forme
th6or~me
l'on
Th6or~me Soit
.Adz nA dz 1 h.
volumes
localement
s ' "e c r l r a ,
strictement
d6finit
g foncgion
le
r6clle
d 1A.
fv ~ Idet
formes
classe
2.4.4.
h est
partoug
volume
avec
Signalons
une
fu {,
les
H2(X,~)
s'6crig
i.e.
volume
v = infu
E ~-(X,~),
holomorphe
est
d'o~
Forme volume Une f o r m e
fu
= 0,
de p f o r m e s
holomorphes.
qui
14
•
.
Theoreme
:
dr!
0 ~ ~P ~ A p ' °
...
Ap ' n
~ 0
est
une
rSsolution
fine
de ~P° Le t h $ o r ~ m e suivant
se
(Cf.
dSmontre
comme l e
lemme d e P o i n c a r ~ ,
en utilisant
le
lemme
[12]).
Lemme
:
Soient
A polydisque
de ~ n c o m p a c t ,
U un ouvert
contenant
A. O
Soit
a ~ AP'q(u)
avec
avec
d"~ = 0.
~ ~ ~ AP'q-I(A)
Les groupes
de D o l b e a u l t
~P'q(x)
~P'q(x)
=
{a ~ A P ' q ( x ) ,
d"a
~P'q(x)
ffi
~a E A P ' q ( x ) ,
~ ~ : a
La r ~ s o l u t i o n
fine
au sens
cohomologie
de la
entra~ne
Remarque sauf
Alors
darts lc
:
cas
En g~n~ral,
Hq(x,_GP(x))
est
de HP+q(x,$)
2.4.5.
Lemme
:
qui
Soit
d " ~ ffi a s u r
A .
~P'q(x) ~P'q(x)
=
d"i3}
de Dolbeault
~P'q(x)
~Hq(X,_~P(x))
un faisceau.
on n'a
pas
d'isomorphisme
~P'q(x)
~q'P(X),
kflhl~rienne.
"HP'q(x~).
: On a a u s s i
classes
que
0},
dit
dans
une vari~t~
not~
=
th~or~me
~ valeur
o~ X e s t
Attention
le
=
tel
les
groupes
contiennent
une
a E A~,I(x)I.
; si
HP'q(x,E),
forme
sous-ensemble
de t y p e
da = 0,
des
p-q.
localement
a = idt d,,f
avee f e ~ ( X , B ) . ffi dfl d t a p r ~ s
Poincar~
d'apr~s
Dolbeault,
globale
en 6.3.5)
2.4.6.
0p~rateurs
~tendons :
5" et nous
:
Le p r o d u i t formel
# b A(X) par Ap ' q
P 0 , 1 fl = 8 ; d t T
i,e.
a = id'd"
(a,~)v
une vari~t~
d~fini
~ pour
~-lin~arit~
-~ A n - q ' n - p
= 0 = d"fl,
(i(s-s)).(Voir
dto~ version
par
(.,.)
hermiti.enne une vari~t~
: riemannienne
orient~e
:
et
~
=
la
forme
(-1) r.
hermitienne,
et
v la
forme
volume
= aA ~ ~.
scalaire
b d"
P 1 , 0 fl = 7 ,
8 = d"8,
5 t sur
avons
On a de m~me, e n n o t a n t canonique
et
o
En 1.3.4, nous
; posons
7 ffi d ' s
global
dans
le
cas
<.,.>
= /x- ( . , . ) v
dWune v a r i ~ t ~
permet
compacte
de d~finir
:
un adjoint
~> = < a , 5 " ~ >
par
d~finition. ~,n e f f e t a A ~:~
E I n'n-1
=
~ d"a "X d'o~
A * ~ -- f
d"(a
d"(a
A ~) = d(a
A ~ ~ ) + ( - 1 ) r J" a A d "
A ~ ~) et
la
premiere
~ ~.
int~grale
est
;
15
nulle.
On m e t
solution
2.4.7.
8"
seconde
On d 6 f i n i t 8 =
81
L emme base
la
sous
la
forme
" ( - 1 )~r ( -"1 )
orthonorm~e
+
notant
~ ~ A ~
d'~
~,
d'oh
la
:
de m~ie
5 t,
adjoint
forme
de
par
dv : 8t = -
~ d"~,
et
compacts
(dz k,
dz k)
8".
Soit en
un
X une
vari~t~
point.
Alors
hermitienne •
d~ a
=
E d z k A Dk
d"~
=
~d; k ^V~
bz
en
r+l
= -~dt~.
8"~
=
Dk,
D
-
~z k
~ int
(~_~k) Dk ~z
a
et
une
C H A P I T R E
III
VARIETES KAHLERIENNES
§ I.
DEFINITION
Nous a l l o n s plexes
dont
3.1.1.
d~finir
a u m o y e n du lemme s u i v a n t
la cohomologie
s'cxplicite
facilement
de v a r i 6 t ~ s
que d a n s l e c a s
com-
g~n~ral.
Lemme Soit
d~finie
(X,J,g
ou w) u n e v a r i ~ t ~
hermitienne,
Dla
d~rivation
covariante
en 1.3.6.
I1 y a ~quivalence
i)
entre
les
DoJ-JoD
ii)
conditions
i.e.
~
suivantes
:
Dx~=J~xY .
x,~,
D~ = 0
iii)
dm
=
0
i) = ii) ~ iii) t r i v i a l e m e n t .
~)
plus
un type
M o n t r o n s que iii) ~ i) : p o s o n s Xk - bz k
.
DXk~1 = o
o = d~(Xk,Xh,~ 1) = X k ~(Xh,~ 1) + Xh~(~I,X k) + ~I~(Xk,XQ - ~([Xk,Xh],~ 1 +
~([Xk,~l], x h) - ~([Xh,~l], Xk). Les seuls
termes
non nuls
sont Xkg(Xh,JX1)
+ Xhg(X1,JXk) , d'oh
g ( D x ~ I , X h) = o , ce qui en c o m b i n ~ n t ~ v c c l ' e ~ p ~ e s s i o n
,(D_ Xk,X h) = 0
g(DX X l , X h )
=
plus h~ut enshrine
~ h.
X1 DXk X i ffi 0 et par sym~trie ~ X
b)
On v e u t
g(J~Xl,~j) d'oh
montrer
=
le r~sultat.
i = 0.
JDXkX 1 = iDXkX1,
ig(DxkX 1,~j)
soit
puisque
ou - g ( D X k X 1 , J X j )
g est
non d6g~n~r4e,
= ig(DXkXI,Xj)
puisque
g o J / = g;
17
3.1.2.
D6finition
:
Une v a r i 6 t 6
hermitienne
6quivalentes west
du lemme 3 . 1 . 1 .
l a forme de k ~ h l e r
(X,Y,w) q u i v 6 r i f i e
est
dite
et d6finit
l'une
des t r o i s
conditions
kBhl6rienne.
une c l a s s e
de H I ' I ( x , R ) .
Elle
est > 0
( a u s e n s de 2 . 3 . 3 . ) . 3.1.3.
Proposition
:
S u r une v a r i 6 t 6 tive,
c o m p l e x e , une forme i d ' d " f ,
est
d6finie
posi-
e s t une forme de k ~ h l e r .
R6ciproquement, localement, C'est
en e f f e t
3.1.4.
Si ( X , J , w ) En e f f e t :
~
toute
forme de k ~ h l e r
s'6crit
sous c e t t e
forme.
l e lemme 2 . 4 . 5 .
Contre-proposition
bord. wn
si elle
~
En p a r t i c u l i e r ,
est kflhl~rienne compacte, wn e s t
d(aAtvn - p )
:
=
0.
les classes
puisque contenant
w ne p e u t @tre g l o b a l e m e n t un
l e volume ; s i wp = d~ (0 ~ p ~ n ) ,
de c o h o m o l o g i e d ' o r d r e
p a i r ne p e u v e n t ~ t r e n u l l e s
~P.
On en d 6 d u i t que S 2 n , S 2p+l x S 2q+l ne p e u v e n t ~ t r e m u n i e s d ' u n e s t r u c t u r e k f l h l ~ r i e n n e ( H * ( X x Y , ~ ) ~ H*(X,R) ® H*(Y,~) e t Hk(s p) = 0 p o u r 0 < k < p ) . Or ( v o i r
[6]
) on p e u t m u n i r S 2p+l x S 2 q + l d ' u n e s t r u c t u r e
§ 2.
EXEMPLES
3.2.1.
| n avec l a m 6 t r i q u e o r d i n a i r e
3.2.2.
Projectif
associ~
p la projection Lemme Soit
~no b a s e
:
E -
Log
:
i E dz J A d z J E. S o i t
I.I] l a norme s u r E,
{0] ~ ~ ( E ) . telle
que p*w °
id'd"Log
=
[z i /
'
]2
II 112.
O} de ~ ( E ) ,
12
Iz i bien d6finie.
Lemme
=
zn) orChonorm4e de E. Dans l ' o u v e r t x]~
d ' o ~ ~o e s t
~
~ un espace hermitien
~ ~o u n i q u e E A ~ ' I ( F ( E ) )
(z I . . . . .
onposo ~o : i d ' d
;
complexe.
z ~.~
[z i ~ o ~ n
[zj~0~,
2
3
G l o b a l e m e n t , ~o ne p e u t s ' ~ c r i r e
~o e s t une forme de k ~ h l e r
d ' d Lo~l~l
sur pn(~)
id'd"f.
(dire
canonique).
=0
18
II nous
U(n+l) est 0) o
reste
A vdrifier
que
(groupe
unitaire)
sur
invariante
; ~o(X,JX)
> 0. p* ~ est invariante par l'action de O n+l o pn : cette a c t i o n se projette sur et
est u n e ~ n s t a n t e
pour un v e c t e u r
o de norme 1,
tangent
> O.
3.2.3.
~
rev~tement
Si
(X,J,~)
rev6tement
soient
ture k ~ h l d r i e n n e Ceci ~h
~
s'applique
p : X ~X'.
est k ~ h l d r i e n n e des
isomdtries,
telle
que
aux totes
F est un sous-groupe
3.2.4.
immersion) par exemple
3.2.5.
Une ~ structure
que
localement
on peut
l-forme,
riemannienne,
carte
presque
complexe
trouver :
d'une
canonique
d'une sans
k~hl~rienne structure
struc-
de ~n
(resp.
une ~ w
k~hl~rienne
singularit~s
voir
plus
:
de pn.
peut
~tre munie
avec
l'orientation,
+ u/2.
z = f + ig. que
est
du degr~.
~ ~tant un o p ~ r a t e u r
~f = 0.et
cherch~e
II reste
~ v~-
int~grable.
df ~ 0.
elliptique,
* df est encore
.d~
d'une
loin 6.4.4).
et dw = 0 ~ cause
une
on a donc
f + ig.
s u i v a n t Ber~mann.
conditions,
k~hl~rienne
2 orient~e
ce qui permet,
complexe
f telle
M~trique k~hl~rienne Sous c e r t a i n e s
d'angle
hermitienne
qui est ferm~e
une s t r u c t u r e
la structure
vari~t~
r~elle
de Hodge,
la rotation
g : dg = *dr et la carte
3.2.6.
d'une
algdbriques
(et m~me
est alors
une
cn/r pour
canoniquement
de d i m e n s i o n
la structure
On cherche
canoniquement
de
:
structure
J comme
La structure rifler
est munie
vari~t~
On m u n i t X d'une
est muni
automorphismes
de rang 2n de sn).
sous-vari~t~
kflhl~rienne
de d~finir
complexes
les sous v a r i ~ t ~ s
Proposition
alors X'
que t o u s l e s
~ = p* ~'.
discret
De m~me une ~
et telle
on va p o u v o i r d ~ f i n i r
canonique (cf.
[23] p . 5 7 - 6 5 ) ,
s u r une ~w v a r i ~ t ~ ph~nom~ne q u i n ' e x i s t e
pas en g ~ o m ~ t r i e r i e m a n n i e n n e .
Esquisse
:
holomorphes
sur X.
P o u r route
structure
.IA n'°
Soit X une ~ w v a r i ~ t ~
hermitienne
de X,
ne d~pend pas de l a s t r u c t u r e X
de d i m e n s i o n
n
; ~n(X)
les n - f o r m e s
2 *~ = i -n u pour u E A n'° , c ' e s t - ~ - d i r e
choisie,
de m6me que l e p r o d u i t
scalaire
19
Gn c o n t i e n t
u n aoua e s p a c e p r ~ h i l b e r t i e n
V
:
[~ E ~ n ,
(a,~)
< +~.
On m o n t r e
alora
qua V e a t u n H i l h e r % b b a s e d ~ n o m b r a b l e ( a i ) . On a a l o r a u n e forme 2 c a n o n i q u e @ : i n Z aiA ~ i E ~ ' n ( x ) . Par c o n a t r u c % i o n @ es% invarian%e p o u r
%ou% ~ W au%omorphiame de C, e t A 8, on a a a o e i e
w de l a m a n i ~ r e a u i v a n t e
= id'd"Log ~ fifi.
ii)
3.2.7.
on% ~%~ % r a i t ~ a
u n ouver% b o r n 6 de Cn , une h y p e r s u r f a e e voir
1
1
ai w eat d6finie
poai%ive.
:
p e r Bergmann
de ~ n d ~ f i n i e
p a r u n polynome de d e g r 4 a n + 2 z
[15].
Th~or~me de Chow
([12],
p.
Une a o u a - v a r i ~ % ~ a n a l y t i q u e ea% d 4 f i n i e
: a i ~. = f . d z l A . . . A d z n ,
Le p r o b l ~ m e e a t done de v ~ r i f i e r
Lea deux e a a a u i v a n t a i)
8 ~ 0.
p a r des p o l y n ~ m e s .
170) ( c o m p a c t e ) de p n e s % a l g ~ b r i q u e ,
i.e.
CHAPI
TRE
IV
ECLATEMENTS
Le corps de base ( R
§ I.
ECLATEMENT D'UN POINT
4.1.1.
Espace Soit
L'dcla%4
vectoriel
de d i m e n s i o n
E un espace
vectoriel
E de E e n l ' o r i g i n e
(z 1 .....
E,
de P ( E ) .
~ e~t
Si
l'on
un
isomorphisme
est
recouvert
finie.
de d i m e n s i o n
es% l a
Zn) , z ~ 0 } de E x P ( E ) ,
homogbnes sur
ou $) est not4 k.
fermeture
(z 1 ....
note
par
n sur
k.
du sous-espace
,Zn)
4%ant un syst~me
~ : E ~ E x P(E)
analytique
[Zl,...,Zn,
de ~
-
~ E la
~-1(0)
sur
de c o o r d o n n 6 e s projection
E -
{0},
de
et
~-I(o) ~ ~ ( E ) Noton~ q u e
par
n ouver%s
de c o o r d o n n ~ e s
U.1
zI [zi,?-,...~.
:
n ...9
Zi
1
-Z. I
}.
4.1.2.
Vari6%~
:
Remarquons
un isomorphisme pouvons
alors
voisinage
d4finir
que
analytique l'4clat~
de c o o r d o n ~ e s
la
vari6t~
pros,
V d'une
de c e p o i n t U
E obtenue
du choix varidt~
est
ind6pendante,
de c o o r d o n n ~ e s
en un point
sur
E.
x en prenant
Nous un
: >
-i( U f)
>
U
,
>
V
u'
'
>
E
L'6clat6 U de U est isomorphe analytiquement ~ ~-I(U') et V e s t recollement de U avec V - U. L'espace obtenu V e s t choisi
^ ~
obtenu par
ind6pendant de l'ouvert
; on d~finit alors sans peine l'4clat4 d'une vari6t~ en un nombre fini
de points distincts,
la vari6t6 obtenue 6rant ind6pendante de l'ordre choisi
pour les points.
4.1.3.
Exemple Soit
projection ter
les
surface
:
surface
K un tore de
la
16 p o i n t s ,
de Kttmmer
complexe
sym~trie ce qui
de Kttmmer X es% l e
de d i m e n s i o n
d e ~2 q u i donne
une
quotient
laisse
2.
Sur
K on a u n e
involution
16 p o i n t s
invariants.
On f a i r
surface de K p a r
K sur ~.
laquelle
~ se remonte.
~, ~claLa
21
^
^
Ce q u o t i e n t K/c~ est en fair une v a r i ~ t 6 tement a p r 4 c i s 4 m e n t
cette vertu.
(alors que K / ~ ne l'es% pas),
Localement,
au v o i s i n a g e
l'~cla-
d'un point d'un di-
^
^
v i s e u r exceptionnel, K est le produit de $ par la droite agissant
sur la seconde par z ~ - z
complexe normale,
c~
; le q u o t i e n t de ~ par la sym4%rie est bien
une varlete.
§ 2.
E. C. L. A. T. E. M. E. N. T. . D'UNE SOUS-VARIETE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.
Soi% Y une s o u s - v a r i S t 4 N le fibr~ normal
On d~fini% x I = ... U2(x 1 ....
l'dclat~ X de X le long de Y localement
= x n =~ 0 d a n s l ' o u v e r t ,Xn) , X est au-dessus
U M Y x U2'
isomorphisme bien
i.e.
on ale
-l(y)
la est
diagramme
Fn-i
~
restriction
b
le
exceptionnel
diviseur
suivant,
-l(y)
de c h o i s i r
4.2.2.
: Si Y est
on pose X = ~ une
convention
Syst~me
( ~x ,. . . . . .
de U(y,x)
x.
)
" ' ' ~ x. ' nY l
xi
I
par
tout
-l(y)
'>
Y
vide).
:
X - Y est
de
l'~clatement
un :
la
fibre
point
es% i s o m o r p h e
y de Y :
>
1
t
X
>
1 d a n s X , X ffi X e t Nous
laissons
i ' ' e c l a t e * de X l e
long
au
~ est
l'identit6.
lecteur
le
soin
de ~ .
de coordonn4es.
Au-dessus n6es
pour
x
1 dans ~.
>
de codimension
(ensemble
X - -l(y)
Y dont
pour
1
Remarque
= Ui(Yl, '' .,yp) analytiquement
par
de U 2 e n l ' o r i g i n e .
y
S i Y = X,
: si Y est dSfinie
isomorphe
un diviseur puisque de codimension -1 que ~ (Y) e s t u n e s p a c e f i b r ~ s u r
Remarquons pn-l(k),
ouvert
l'~clat6
~ : X - X dont
analytique.
de X, de c o d i m e n s i o n n,
de c o o r d o n n ~ e s U ( y , x ) de c e t
U2 d 6 s i g n a n t
On a u n m o r p h i s m e
c'est
(sans singularit6s)
(7.1) ~ Y dans X.
X est
recouvert
'YP)'
-l(y)
par
les
6%an% l e
n o u v e r % s U.
de coorflon-
1
diviseur
d~fini
d a n s U.
1
ffi O.
1
Corollaire
:
Soit
s i d d r ~ comme l a s e c t i o n ~,-*(y) ~ -l(y). On a e n e f f e t localement Xl,...,x
par
n 4rant
les le
N le
nulle
de N,
m~mes 6 q u a t i o n s systbme
dans
fibr$
e% s i
pour
de c o o r d o n n 6 e s
ce cas
lin6aires.
normal
les
(7.1)
Nest
deux
~ Y dans X ; si
l'4clat6
de N le
4clatements,
long
con-
de Y,
N ~%an% d o n n ~
(xl,...,Xn,Yl,~..,yp) On r e m a r q u e
y est
que N a une
les
variables
structure
de
22
fibr~ en droites sur - l ( y )
qui le rend isomorphe au fibr~ normal de - l ( y )
darts X. 4.2.3.
Proposition
(se r e p o r t e r
au c h a p i t r e
Dans l e c a s de l ~ c l a t e m e n t
VIII pour les d~finitions).
de X en u n p o i n t ,
e s t i s o m o r p h e ~ ~ n - 1 e t n o t ~ P. A l o r s de ~ n - 1 .
~1
est
le diviseur
i s o m o r p h e au f i b r ~
exceptionnel standard X.
X,
~ ~
a pour fonctions
Notons qu~au c o n t r a i r e phe au f i b r ~
§ 3.
4.3.1.
de t r a n s i t i o n
pour l~inclusion
standard
Soit
~n
standard
"1.
X:
1
~
n-1 est P
isomor-
ECLATEMENT DvUNE VARIETE KAHLERIENNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proposition
est
~n-1
le fibr~
de ~ n - 1 .
:
Xa e s t une v a r i ~ t ~
S o i t ~ l a forme de k ~ h l e r ~
f . . ffi --L1 s u r P e t zj x. J
ferm~e e t p o s i t i v e ,
fune
fonction
s u r X, U v o i s i n a g e
mais ntest
plateau
kAhl~rienne si X l'est.
d~finie
de c o o r d o n n ~ e s de a ,
positive
que s u r ~ - I ( x -
~a]).
b s u p p o r t d a n s U (0 s f s 1 e t f = 1 au v o i s i n a g e
S u r Ux ( ~ n _ ~03) c o n s i d ~ r o n s
l a forme 8 ffi i d ' d " ( p l ~ f
P2~Logll 112), P l e t
de a~
P2
~ t a n t l e s deux p r o j e c t i o n s de U x (C n - [ 0 3 ) . C e t t e forme e s t p o s i t i v e s u r -1 ( f - 1 ( 1 ) ) e t sa r e s t r i c t i o n aux f i b r e s de P l e s t i p l ~ f d ' d " L o g l l ]12. E l l e se p r o j e t t e
est
sur U x ~n-~c)
~ 0 sur ~-i(b-l(1))
Donc i l
existe
d~finie
positive
4.3.2.
Remarque
et
un s c a l a i r e ; crest :
si
forme de k ~ h l e r
e t on e n c o n s i d ~ r e
~gaie
la restriction
~ i a forme c a n o n i q u e
¢ assez petit
de • n - 1 s u r ~ - i ( a ) .
p o u r que l a forme m ffi v~ + ~
soit
l a forme de k A h l e r c h e r c h ~ e . l'on
r e m p l a c e f p a r une a u t r e
mf, e s t
fonetion
plateau,
la
cohomologue b wn. ~f ffi da s u r X a - ~ - l ( a ) '
= d~ - d~ v s u r X - ~ - l ( a ) e t 0 s u r - 1 ( ~ ) , ~ mf mft a s i n a g e de u - l ( a ) , doric p o u v a n t ~ t r e p r o l o n g ~ e p a r O. -
¢ a Xa" A i n s i ¢
a'
"e t a n t
nulle
au v o i -
CHAPITRE
V
COHOMOLOGIE ET FORMES KAB~0"NIQUES
§ I.
THEORIE
5.1.1.
Soit
DE
X une ~vari~t~.
En 1 . 2 . 4 , Nous voudrions Pour
cela
nous avons
relever
munissons
orient~e.
~r(x)
~l~ment
de H r ( x , ~ )
d~termin~ pas
par
complet,
5.1.2.
RKAM
HODGE-DE
X d'une
est
la le
alors
projection probl~me
En e f f e t , tion
= est
structure
orthogonale est
de de Rham ~ r / ~ r
riemannienne
de 0,
de d ~ t e r m i n e r
si
get
supposons
pr~hilbertienne
~ un s o u s - e s p a c e
entre
a de c,
[[~[I = i n f ~Ec
iii)
groupes
~ Hr(X,R).
affine
X eompacte
(1.3.5).
C de ~ r ( x )
qui
que n o u s n o t e r o n s
~.
Un est
~r n'~tant
~ E ~r.
:
II. I], p o u r un ~ l ~ m e n t
6~
les
0r(x).
muni d'une
I1 y a ~quivalence
ii)
dans
structure
correspond
Proposition
i)
consid~r~
Hr(X,R)
les
trois
oh c E ~ r / ~ r
conditions
suivantes,
avee
la norme
:
[]~[[
0 la projection
II~+ d71] 2 =
orthogonale
][~]l2 + 2 < ~ ,
de 0 s u r
dT> + [Id~[[ 2 e t
la
classe
c.
<~,dT> = <6a,7>
par
d~fini-
de 6 ( 1 . 3 . 1 0 ) .
5.1.3.
T h ~ o r b m e de H o d g e - D e Rham. Soit
X compacte
une forme unique s'appelle On i n t r o d u i t
la
a telle
classe
c.
A ffi d5 + 8 d ,
appel~
laplacien,
pas 5.1.3.
s'~crit
A~(m) ffi -~. ~ 2
rateurs
elliptiques
sur
Dans c h a q u e
de l a
on a l ' e q u l v"a l e n c e "
Nous ne d~montrerons
orient~e.
classe
c,
il
existe
que 8a ffi 0.
forme harmonique
l'op~rateur
[[da[[ 2 + [18~[]2,
riemannienne
(m)
des conditions Dans u n e b a s e
; A est
une vari~t~
orthonorm~e
donc elliptique
compacte
et
comme < A a , a > =
Act -- 0 e t
d~montre
et
dot -- 0 ffi 8~t. e n m, l ' o p ~ r a t e u r
la
th~orie
en particulier
des
op~-
5.1.3.
24
(voir [21], pour une d~monstration rapide et moderne, ch.
ou ~20], oh. V , et [25]
III).
5.1.4.
Th~or~me
:
Aa = 0 .
De 5 . 1 . 3 .
on t i r e
Thdor~me
:
Soit ~cr(x) l'espace des r - f o r m e s que ~ r ( x )
harmoniques,
i.e. des a ~ Ar(x),
~Hr(X,R).
Soit X une vari~t~ riemannienne compacte orient~e
1)
dim ~r(x) <
2)
Ar(X) = ~cr(x) @ ~r(x) ~ 8(Ar+I(x)).
Nous ne d~montrerons pas I) qui provient aussi de la th~orie des op~rateurs diff~rentiel elliptiques. ~ r
~r, 8(Ar+I(x)) sont mutuellement
orthogonaux et
il reste h montrer qu'ils engendrent A r, ce qui r~sulte de 5.1.3. On p e u t
mettre
On i n t r o d u i t
2)
sous
souvent
les
orthogonale
de A r
valence
conditions
5.1.5.
des
Remarque
la
structure
forme Ar(x) op6rateurs
s u r 3Cr e t
de d e g r 6
G v6rifie
suivantes
= ~r(x)
~ A(Ar(X)). 0,
H et
G : H est
la
projection
1 = H + AG = H + GA. On a a l o r s
: a harmonique
l'~qui-
~ a = Ha ~ Ga = 0 ~ d a = 0 = 8 a .
:
Nous avons fois
la
donc
relev~
canoniquement
riemannienne avec
le
donn~e,
produit
A,
les
mais le
il
classes
faut
produit
de c o h o m o l o g i e ,
remarquer
une
que oe r e l ~ v e -
ment ne
commute p a s
de d e u x f o r m e h a r m o n i q u e s
n'~tant
pas harmonique
5.1.6.
Application ~ la cohomolo~ie des vari~t~s compactes orient6es.
en g~n~ral.
On peut munir X d'une structure riemannienne et consid~rer les formes harmoniques.
On a vu que ~r(x) ~ Hr(X,m). L'op~rateur
A commutant au signe
pros avec *, on aura ~r(x) ~ ~u-r(x) ce qui entra~ne H n - r ( x , ~ ) ~
D~finition dimmer(x)
:
On a l a
Dans
des vari~t~s
le
cas
on a de p l u s
nombre de B e t t i
= dim~Hr(X~)
c o m p a c t e X.
Hr(x,~).
sym~tric
un op~rateur
b
r
est = b
complexes [] = 8 " d "
le
r-i~me
n o m b r e de B e t t i
de l a
vari~t~
n-r compactes + d"8"
munics
des
formes
Qa = 0), et dans chaque classe de d"-cohomologie d"-harmonique et une seule (voir 6°2.6)°
d'une
structure
hermitienne,
d"-harmoniques
(2.4.4)"HP'q(x)
(i.e
une forme
25
§ 2.
COHOMOLOGIEDES ESPACES HOMOGENES RIE~tNNIENS
Nous a l l o n s g~nes riemanniens
appliquer (cf.
les
rSsultats
du p a r a g r a p h e
1 aux e s p a c e s
1.3.3).
On s u p p o s e X = G/H a v e c G g r o u p e de L i e c o m p a c t ,
H sous groupe fermi.
que X p o u v a i t
homog~ne r i e m a n n i e n
si H, est
5.2.1.
~tre
homo-
muni d ' u n e
structure
d'espace
On a vu (unique
irr4ductible).
Lemme Si
:
est
G
connexe,
route
forme harmonique
D4monstration
:
Les i s o m 6 t r i e s
commutent avec ~ : s i
sur X est
invariante
par
G.
^
monique.
Soit
Tt un s o u s g r o u p e b u n
a est
param~tre
harmonique,
de G, V l e
~*a
est
har-
champ de v e c t e u r s
associ~. ^
1
^
1
O
~V d 4 s i g n a n t COmme
d~
=
^
O
la d6riv4e
de L i e
suivant
1
^
le
champ V. ~V = i ( V ) o d + d o t ( V )
et
O,
^
0
~,o~ le r ~ s u l t a t
(pour Za for~uZe ZV = i ( V ) o d *
d o i ( V ) , v o i r p~r exemple [ 1 ~ ,
p.35). 5.2.2.
Remarque
G/H e s t
sym~trique
:
En g ~ n ~ r a l Invr(x) par
riemannien,
= ~r(x)
(oh l'on
not6
D~finition
:
G/H e s t
sym4trique
on a
Invr(x)
on v a m o n t r e r Invr(x)
~ ~r(x).
que l ' o n
l'ensemble
Par contre,
si
a l'6galit6
des r - f o r m e s
invariantes
G). dit
s'il
existe
une i n v o l u t i o n
~(~2 = 1) s u r G,
G connexe,
fixes
de a e t
rieman-
nien
t e l l e que Ga c H c G~, G~ 6 r a n t l e s o u s - g r o u p e d e s p o i n t s o Gg l a c o m p o s a n t e c o n n e x e de l ' o r i g i n e . Un t e l e s p a c e e s t d i t O
s i G/H e s t
L'application soit g(x o)
x
O
homog~ne r i e m a n n i e n .
S, d i r e
l'origine
= x,
g ~ G,
d6finition
est
l'origine
T
sym4trie
de G/H, c ' e s t - ~ - d i r e on p o s e
coh~rente. (G/H)
X
o
par rapport
S(x)
la classe
= ~(g).~
On a b i e n
~ l'origine,
. Co~e
0
S est
sQr°S 2 = i d e n t i t 6
=
ainsi
~ g a u c h e H. S i x
,
TX (S)
est
- identitY.
l'identit~
et,
sur
d~finie
:
6 G/H, s u r H,
l'espace
eette
tangent
26
on a a u s s i
Enfin
Lemme Soit par
Get
:
v g E O :
(voir
[17],
a une f o r m e
de d e g r ~
r.
p.178)
D~monstration
:
Puisque
est
o s = S o g
:
diff~rentielle
Alors
Tx ( S )
~(g)
sur
S*~ ffi ( - 1 ) r ~ .
(-identitY),
G/H,
espace
S est
on a : ( S * ~ ) x
tenant
x quelconque, :
Vue l ' i n v a r i a n c e
isom~trie.
. Soit
O
x = g(Xo).
invariante
une
= (-1)rax
O
vement
sym~trique,
En p a r t i c u l i e r
main-
O
de a p a r G, on a s u c c e s s i -
r
(g~S*a)x
ffi
g*((S*.)x
O
) = g*((-1)r, O
(g~s~-) x
=
que
( ( ~ ( ~ ) o ) ~ )S x
=
S est une
Th~or~me
-- s~(%(~))
isomdtrie,
5S*a
S est une
on p r e n d
on a u r a = S*(Sa)
(ceci
d'espaces
Tores
= (-I) r-I
est
car
vrai
8a,
le
quotient
harmoniques
5.2.4.
= O
a = g (r = 2).
5 o S * = S* o 8 et comme
~ 8a E I n v r - 1 ( G / H ) . d'oh
d b s que 6 ,
= d a ffi 5a ffi O, s o i t
plats
p a r un s o u s sym~trique,
Les ~n(~),
pour tout
G agit
D'apr~s
le lemme
8a = 0.
~ E Invr(G/H)
S agissent
par
~
diff~omorphisme).
a E 3Cr(G/H).
sym~triques
rdels
sont
alors,
d o S* = S * o d e t
:
On p r e n d m n m u n i de s a s t r u c t u r e
riemannien
(s~(g)~a)x
= ( s ~ ) x.
sym~trique,
on aura
: a E Invr(G/H)
de m~me q u e da = 0,
~ E Invr(G/H)
Exemples
5.2.3.
isom~trie,
= (-l)r6a
da E I n v r + l ( G / H ) Ainsi
ax
:
isom~tries,
On m o n t r e
: (-i)
:
D~monstration
par
= O
S i G/H e s t un e s p a c e r i e m a n n i e n r : Invr(G/H) = 3cr(G/H).
Comme
*
O
s~(%(g)%) voir
(-1)r(g*a)g(Xo)
O
((sog)*~) x
O
Pour
x )
celles
les
grassmanniennes
groupe
discret
on a doric
(5.2.2)
euclidienne
canonique
de r a n g maximum. Un t e l Invr(x)
= ~r(x)
et
espace
ainsi
les
~ coefficients
constants
e t b r ( X ) ffi ( ~ ) .
grassmanniennes
complexes
U(p÷ q)/U(p)xU(q)
r~elles
S0(p+q)/S0(p)
x S0(q).
on e n f a i r est
formes
et
les
:
27
Darts
ces
~(m)
=
trois
met Tm(~)
La s t r u c t u r e formes.
on utilise
= e iO
complexe
On p e u t
dans les Soil
cas,
=
le
cos
6rant
lemme
0 + sin
donc d6composer Invr(x)
~ E InvP'q(x)-
a(eiOgl
...
#
de c e l l e ffi
que I n v P ' q ( x )
~*~ = ~, i . e .
b2r+l(X)
0,
] ~ EG,
tel
que
de G, G r e s p e c t e
~ V.1 de t y p e ~
et
= 0 sip 1-O,
le
l'on
type
des
va montrer
~ q.
~(vl,. .. ,~p,Vp+r...yp+q)
d ' o f i b p~ q(X) = 0 p o u r p /
=
q,
= O.
:
Remarque Puisque
V
@ InvP'q(x), p+q=r
e i(~Vp+q) = e i O ( p - q ) ~ ( V 1 , . . . , V--p + q )
en particulier
les
formes
invariantes
a v o n s darts ce c a s u n e d 6 c o m p o s i t i o n type
mEX,
0 J.
le quotient
cas qui nous int6ressent
: ~
se d 6 c o m p o s e n t de ~ r ( x )
suivant
suivant
les
le type,
composantes
nous de
p-q,
XP'q(x), et nous avons pos6 b = dim X P ' q ( x ) , e n n o t a n t que P,q Z bp,q. Nous verrons que eeei est plus g6n6ralement v6rifi6 sur une p+q=r vari6t6 k~hl6rienne (voir 6.2.8).
br =
5.2.5.
C o h o m o l o g i e de m n ( ~ )
(Cf.3.2.2.)
Nous m v o n s d 6 j ~ que b 2 p + l = 0 , b p , q car
wp E I n v P ' P ( x ) ,
invariante
w ~tant
par U(n+l)
M o n t r o n s que l e s
Soit ~ E I~.P'P(w~(~)),
C~ =
i)
r~ ie e
ii)
n
E
dz n
On ,
•
s ( d z J1 . . . . .
iii)
x V(l)).
seules
invariantes
" .k
dz
sont
Jl
tel
que s ( d z ° ) = e
p r o u v e que J i tous =
par U(n+l).
~gaux,
puisque
(dzhl,...,dz
que .~*(m) = m ' ,
Proposition
:
bp,q(pn(~)
= 0 si
k d-~ p
p ~ q,
o dz o , . . , ~
s(dzn)
= ki
la f o r m e ~ s'~crit d o n c f . ~ * ( ~ P ) . tel
que b 2 p = b p , p ~ 1
que n o u s a v o n s c h o i s i e
' ~.~zki A . . . . '~ dz Jp A A...A
P
s E V(n+l)
et
P
~ s E g(n*t)
dz j p )
canonique
= U(n+l)/U(n) formes
~ q,
~ 1~ forme ~*~ sur z n + l _ {0].
ce q u i
Les ~ y l . . . k
les
~Jl"
J 1<.o- <Jp k l < . . .
Oo . . . . .
l a f o r m e de k ~ h l e r
(pn(~)
wp s o n t
= 0 sip
il
existe
s :
hp). ~ = fw p e t fest
comme ~m,m'
une constante.
bp,p(~n(c))
= 1.
E~n(c),
ffi
28
I1 suffit
d'appliquer
§ 3.
5.2.2.,
.
.
.
.
.
.
.
.
Soient 5.3.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D~finition
diff4rentiel
un e s p a c e
riemannien
sym~trique.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
VII pour les fibr6s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
d4finitions
vectoriels
relatives
aux f i b r e s ) .
c o m p l e x e s s u r X.
:
P de F(E) d a n s F ( F ) ,
d'ordre
÷"'÷
%,
une n o t i o n
r si
A
et
localement,
(sections
P s'~crit
~),
P(s)
=
est Z
dit A
op6rateur
Da(s),
section
locale
du f i b r 4 H o m ( E , F ) .
(On v 6 r i f i e
que
intrins~que).
On a r ~ 3 o u t ~ un ~ c t e u r 5.3.2.
.
(_i)lal (~ ~)~1...(~xn)= n ' ~ .....=n entiers positifs,
avec Va =
=
.
E , F deux ~
Un o p ~ r a t e u r
~onstant
( - i ) I~1 pour r a i s o n s
On peu% c o m p o s e r d e s o p ~ r a t e u r s Diffr(E,F ) l'espace
QoP
est
0PERATEURS DIFFERENTIELS DANS LES FIBRES VECTORIELS
(Voir le chapitre
c'est
car pn(~)
6 Diffp+q(E,G)
vectoriel
de commoditY.
diff~rentiels
e% l ' o n
des op~rateurs
si P 6 Diffp(S,F),
note par
diff~rentiels
Q 6 Diffq(F,G).
d'ordre
Diffo(E,F ) est
r.
l'espace
Hom(m,F). 5.3.3.
Symbole d ' u n o p ~ r a t e u r Soit
~r
f une ~
~ A (~-L) al I ~I = r ~ ~x I
xnferxeur
diff~rentiel.
section
trivial
~ s u r X. ~ i ~ f p ( e i ~ f s )
s + ...
los
termes ~t~nt
~)%
. ( ""
du f i b r 6
autres
=
de d e g r ~
~X n
~ r en ~.
D~finition
:
Le t e r m e c i - d e s s u s
est
symb P ( d f ~ . . . ®
df).s,
i.e.
s : ~ b P 6 r ( ® r T(X) ® H o m ( E , F ) ) . 5.3.4.
Exemples O)
Si P 6 Diffo(E,F),
1)
D ~ D i f f l ( E , T~(X) ® E ) , o~ D e s t e-iifD(eiifs)
2)
(symb d ) ( t )
3)
(symb
d")(O
= =
symb P ffi P
iidf irA.
--
sentan% le produit
une c o n n e x i o n comme en l l . L1
® s + Ds , d ' o ~ --
e(~)
ie(t") ext~rieur
symb D ( d f ) = i d f
:
® i •
pour t ~ A I ( X )
~vec
~" --
~1 ( t + i t
par t dans l'alg~bre
o J),
e(t)
A(X) e t t "
repr~~tant
29
l a c o m p o s a n t e de t y p e 0 - 1 . 4)
S o i e n ~ _d" (symb d " ) ( ~ )
5)
§ 4.
(on p e u t t o u j o u r s
fibres
le faire
et P ~ Diff
'
~ 1 (voir
fibr~
vectoriel.
7.2.2)
S y m b ( Q o P ) = Symb Qo Symb P.
S o i e n t deux ~
5.4.i.
= ie(~")
0PERATEURS DIFFERENTIELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
compacte
~ A r + I '(x , E ) , E ~
: Ar(X,E)
D~finition
r
.
DANS LES F I B R E S H E R M I T I E N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
c o m p l e x e s , m u n i s d~une s t r u c t u r e s
s u r une v a r i d t ~
paracompacte),
hermitienne
s u r une v a r i d t d
:
P~ ~ D i f f
( F , E ) s e r a d i ~ a d ~ o i n t f o r m e l de P s i ,
~ s ~ F(E)
r
~Ps, ~ >
5.4.2.
X
(E,F).
=
~ t ~ F(F) #
<s , P ~ > .
Proposition
:
Pour tout P E Diffr(E,F),
il
existe
un a d j o i n t
formel et
srmb(P *) = (symb P ) ~ . Montrons simplement la derni~re <e-i~fp(ei~fs),t> d t o ~ en ~ g a l a n t
=
de l a p r o p o s i t i o n
<s, e - i ~ f
Symbole de A
=
P~(eikft)>,
<s,
symb P * ( d f ) t > .
:
Nous a v o n s d d f i n i
Symb 8(~) = - i i . t ( ~ # ) .
u n i s o m o r p h i s m e # : T~ ~ T
(cf.
1.3.7.
po~r i . t . ) . D ' , p r ~ s
~ymb ~(~)
=
e ( ~ ) 0 i n t ( ~ #) ÷ i , t ( ~ # ) 0
i.e,
symb A(~)
=
I~[ 2 x i d e n t i t Y .
5.5.1.
D~finition
E T~(X), Pest
P~ e s t
symb P ( ~ )
elliptique, elliptique.
(1.3.4).
5.3.4.
5), on ~ ~ l o r s
e(~)
:
P E Diffr(E,F) Si
:
l o s f e r m e s en ~ r
<symb P ( d f ) s , t > 5.4.3.
partic
est
dit
elliptique
en un p o i n t m de X s i
E Isom(Em,Fm). P a r e x e m p l e , et
si
l'on
A est
~ ~ ~ 0,
elliptique.
munit E et F d'une structure
hermitienne,
30
5.5.2.
Th~or~me f o n d a m e n t a l
:
S o i t X une v a r i ~ t ~
compacte, P E Diffr(E,F)
1)
dim K e r P e t
elliptique.
Alors
dim c o k e r P s o n t f i n i e s .
On a d ' a i l l e u r s
2)
~
dim k e r P* = dim c o k e r P.
rCE) = P-1(o) ~P*(rCF)) r(F)
~ P*-I(o) • P(rC~))
Nous r e n v o y o n s ~ E21~ p o u r l a d ~ m o n s t r a t i o n . R e m a r q u o n s que ¢e th~or~me g ~ n ~ r a l i s e son propre a d j o i n t
Ar(x)
celui
formel
=
A-I(o) ~ A(Ar(X)).
de Hod~e-DeRham, ( 5 . 1 . 4 . ) ,
A ~tant
CHAPITRE
VI
COHOMOLOGIE DES VARIETES KAHLERIENNES
§ 1.
6.1.1.
.
Soit
hermitien,
E espace
bicovecteur w d6finit
par
D~finition
:
Une f o r m e
a est
(ek
ffi
E(int
=
~ int Zk((int
=
E(int
6rant
donn6e
par
par~
dire
Zk)
zk o i n t
ext~rieure
son adjoint
effective
~
la base
Zk)
= L : Ap ' q
~A p+l'q+l
: ~ ffi - *L* .
(Weil dit
primitive)
s i A~x = O.
a E ~r.
Dans une base
orthonorm~e
JS. ffi - i i n t
o int
de £ R ( E , ¢ ) ,
duale,
zk
zk
(w A a) + wA (int Zk.a))
Zk.W)Aa
zk int ZkW)Aa - (int ZkW ) A (int zk ¢) z k =) A ( i n t
lemme e n t e n a n t Zk¢ )
Lemme
ffi
Zk¢ ) + =A ( i n t
7,k ~) - i ~. e k A ( i n t compte que ~
zk int
Zka )
Zk¢ ) + i a) * 3 t
= net
que E Ok A ( i n t
¢ . Zka ) +
re.
•
(A ~k _ Lk#t)a =
k(n-
k - r + 1)Lk-la
que
l'on
d6montre
par
r6currence
sur k.
6.1.4.
•
avec
.
Theoreme a
un
k
a - i ~. Ok A ( i n t
+ E ek A ( i n t
6.1.3.
(Zk,
=
D'o~z l e
l'algbbre
(n-r)¢
ek^
par
+ (int in
structure
:
w = i
En d ~ s i g n a n t
=
L sur
On d ~ s i g n e
Lemme
la
~.
(AL - I ~ . ) a
iALa
vectoriel
un op6rateur
a ~ w A ¢.
6.1.2.
ESPACE VECTORIEL HERMITIEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FORMES EFFECTIVES S U R U N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
at effectif
r
•
[~
~r avec et
r ~ n+l,
E ~ : partie
~ s'~crit enti~re
de mani~re r
de ~.
unique
eomme
E Lt a t t=o
32
Ceci permet de d~composer en somme d i r e c t e ~r = j ~ - l ( 0 ) $ L ( A - I ( 0 ) ) ~2(A-1(o)) ~ ... 6.1.5.
Corollaire
:
r ~ n - 2, L : ~ r
6.1.6.
~r+2
est
D ~ m o n s t r a t i o n du th~or~me Soit
~ q et
p
(LPJ~, L q - l ~ )
~, J ~
= 0
injectif.
: alors
;
+ p(n- p- r+ 1)(LP-la,
On a donc une d ~ c o m p o s i t i o n
alLq~)
(L p
Lq-1~),
orthogonale
=
Lq-l~)
(~LP~,
donc p a r r ~ c u r r e n c e
de ~ r
; il
nous reste
=
( L P ~ , L q ~ ) = O.
k montrer
l'uni-
^
ci~
des ~
k ~ [~],
6.1.7.
ou l ' i n j e c t i v i t ~
alors
~ = 0. En e f f e t ,
Th~or~me
r ~ n+l,
= 0 ; on a de p l u s
(multiplication
par i),
Ce n ' e s t
qu'une
derni~re
est
§ 2.
~
~ s'~crit
le
tel
que ~
lemme 6 . 1 . 3 .
de m a n i ~ r e u n i q u e C ~tant
p o u r une r - f o r m e
reformulation
difficile
de 6 . 1 . 4 ,
k d~montrer,
= 0 = Lka e t Lk-l~
pour
= 0.
l'automorphisme
A ak a v e c
c a n o n i q u e de E
effective. ~ part
voir
comme E k
la formule dormant
par exemple
[23],
~a.
Cette
page 23.
COHOMOLOGIE
que n o u s a v o n s d ~ f i n i s culi~res
6.2.1.
kahl~rienne
= -id'.
2.4.7.
ES',L~
~
Les d i f f ~ r e n t s
op~rateurs
de c o m m u t a t i o n t r ~ s
parti-
l a c o h o m o l o g i e de X.
:
[8',L]
-i
h des lois
d'expliciter
=
-r int(k)
D~ = O, ES' , " l ~ -- - ~ ( i n t ( k ) ~ ) ^ =
compacte.
sur X ob~issent
qui v o n t nous p e r m e t t r e
Lemme
V'apr~s
6.2.2.
on u t i l i s e
= ~ Ln'rc~,
S o i t X une v a r i ~ t ~
Co~
~ E Ar e s t
:
Si a E ~ r , ~k
de L : s i
--k d
z
A D ~
Formulaire
£
=
-
D~(~A~) V~
+ • A i~t(k)
- ~^ int(k)
V~
V~.
+ ~^ i~(k)
V~
id".
:
On o b % i e n t p a r e i l l e m e n t
[8',L]
=
- id"
8'd"
+
d"8'
=
0
[8" , L ]
=
id'
8"d'
+
d'8"
=
0
E~.,d']
=
- i5"
Q
=
8'd'
+
d'8'
i8'
rn
=
~"d"
+
d"5"
A
=
2~
C~., d" ]
=
33
A e s t un o p ~ r a t e u r d'
r~el qui respecte
l e s t y p e s e t commute avec L, J~, *, C, d,
d".
6.2.3.
Corollaires
:
i)
vectoriel
directe,
L'espace
A respectant
W'(x)
=
Art
r ~n-
iii)
2
I
m o r p h i s m e s du diagramme
sent injectifs.
~t~r+l(Xm) est muni d'une structure complexe canonique par
l'op~rateur
C.
h E ~2r+l(x~R) s'4crit
=
~ ~'q(x)
L > Ar+2
I
Ch
les types,
A commute avec L : w A a est harmonique si ~ l'est
ii)
tousles
des f o r m e s h a r m o n i q u e s se d~compose en somme
~ a,
~ ia-b ha,b + ib-a ha,b
=
h a , b + ha," b
i Z i2r- 2b(h
&vec
a,b -
ha,b
ha,b )
En particulier b2r+1 est toujours pair. 6.2.4.
Formes e f f e c t i v e s . Th~or~me
:
Une r - f o r m e h a r m o n i q u e se d~compose de f a g o n u n i q u e en f o r m e s e f f e c tires
et harmoniques :
En o u t r e C'est
* ~
=
~ = ~
une c o n s 4 q u e n c e d i r e c t e
6.2.5.
O
+ w A ~1 + " ' "
( r ~ n + 1)
~ Ln - r C a j ~ ~ E Ar .
Th~or~me de l ' i n d e x
de 6 . 1 . 7
et 6.2.3.
de Hodge.
S o i t X compacte k f l h l ~ r i e n n e de d i m e n s i o n complexe n p a i r e .
Pour ~,~ 6 Hn(X~t), Sv ~ A ~ est une forme bilin4aire sym~trique dont on considbre l'index (= nombre de carr~s positifs -nombre
de carr4s n~gatifs quand on
diagonalise la forme). L'index est un invariant topologique de X, et index X = Z(-1) q hP'q(x)
a v e c h p ' q = dim~ . ~ P ' q ( x ) = b p , q .
Nous r e n v o y o n s
[ 2 3 ] p. 78 p o u r l a d ~ m o n s t r a t i o n . On a ,
plus g4n~ralement,
l a f o r m u l e s u r une v a r i ~ t ~
~w compacte
i n d e x X ffi ~ ( - 1 ) q d p , q ( X ) a v e c d p , q ( X ) nombre de D o l b e a u l t p.
188).
(2.4.4)
: (voir
[13],
34
6.2.6.
Relation
entre
Le t h ~ o r ~ m e une forme
~ les
forme harmonique
de H o d g e - d e
d4compositions
Rham,
~ (d,A)
et
(d",D),
donne pour
0
~ + d~ + 8~
~
=
0
=
0
O0
O0
=
appliqu6
:
0
=
- forme holomorphe
~ + d"~'
+ 8"~'
O~
0
Comme A = 2D,
~ = ~o.
Proposition Pour
:
~ 6 AP'°(X)
(section
globale),
il
y a ~quivalenee
entre
les
conditions harmonique
i)
ii)
da
=
d"a
iii)
=
0
Ce r 6 s u l t a t
est
de X,
que a p r i o r i
Ceci
alors d~coule
6.2.7.
i.e.
~ est
en ceci ~P'°(X)
de l a p r o p o s i t i o n
Proposition
que ~ P ( x )
d 4 p e n d de l a g6n6rale
kflhl~rienne
pour une forme
i)
A~
ffi
0
ii)
d~
=
0
iii)
d"a
=
= 0
G, q u i n o u s
avec
d",
= iii).
8",
d'o~
donn~
d'une
d'apr~s
i)
que,
l'on
dans
des
kahl4rienne
on a H r ( x , ¢ ) ce cas,
ffi
conditions
suivantes
On v~rifie
que
compacte
ont
qui
bp,q
dime p;lq(~(X))
=
a l'~galit4
trois
(5.L3).
donn4 cette
les
~quivalence,commutent
=
b
=
de A a v e c
p,q
=
b
q,P
.
d"-harmoniques
le fait
que
ou h a r m o n i q u e s
h commute a v e c
peut une =
s'interpr6ter
forme dp,q
de t y p e
dans
types,
ffi
comme l ' e n s e m b l e p-q.
dim C " H P ' q ( x )
E bp,q. p+qffir
. et
les
~ "HP'q(x)° p+qffir
contiennent
br
formes
et
"HP'q(x)
de H r ( x )
La c o m m u t a t i o n bn-p,n-q
l'identit6
vari~t~
5olo6,
classes
et
les
Cohomologie. Etant
Notons
choisie.
8"~
=
riemannienne
cas
kAhl6rienne
8~
de De Rham H e t
le
structure
globale
sur une v a r l e t 6
6.2.8.
ne d ~ p e n d q u e de l a ~ e s t r u c t u r e
:
compacte,
op4rateurs L, ~
holomorphe.
:
~quivalentes,
i) ~ ii)
A ou o
i~ressant,
Sur une varidt4 sont
pour
0
la
conjugaison
complexe
fournissent
des
35
§ 3.
EXEMPLES
6.3.1.
Tores Soit
k~hl~rienne
complexes plats. Pun
r~seau
quotient
est
Les f o r m e s h a r m o n i q u e s 5.2.3.),
de r a n g m a x i m a l d a n s ~ n . ~ n / F ' m u n i de l a dit
sont
ce q u i d o n n e b p , q
6.3.2.
Projectif
tore les
=
6.3.3.
il
n'y
par translations
(~) .
dim ~ P ( x ) =
(voir
canonique
que b
= 0 saul
P,q a p a s de p - f o r m e s
de m~me que
Surface
invariantes
En p a r t i c u l i e r
m u n i de s a s t r u c t u r e
i.e.
On p e u t v o i r
n
(p)(q).
Nous a v o n s v u ( 5 . 2 . 5 ) p o u r p ~ 1,
complexe plat.
formes
.
structure
fls [ U ( p + q ) 'U(p) x U(q)
b
P,P holomorphes
)
=
0
= 1.
dim ~ p ( p n )
= 0
globales.
pour s > 0
de Ktimmer
En 4 . 1 . 3 . ,
on a o b t e n u
c o m p l e x e de d i m e n s i o n
la
2p(K), p u i s K
surface
de Kflmmer p a r
par passage
~ >
~clatement
an quotient
d'un
tore
X = K/~.
X
~2/F b2,o(E2/F)
= 1 ; prenons
u~ g ~ n ~ r a t e u r
invariante
p a r ~.
est
Notons d'ailleurs tante,
alors
Le c a l c u l
~.p*0~ plus
w de b 2 , o. p*w e s t
u~e 2 - f o r m e
g~n~ralement
holomorphe
que s i
complet
des bp,q(X)
se fair
sur X et b2,o(X)
~ E ~(X,Y)
bp,o(Y ) ~ 0 ~ bp,o(X ) ~ 0 (d'apr~s
holomorphe
et
~ n'est
et ~ O.
pas cons-
6.2.6).
par d'autres
m~thodes
: on ~ r o u v e
b 1 = b 3 = 0 e t b 2 , ° = b o , 2 = 1, b l , 1 ffi 2 0 . 6.3.4.
Surface
de R i e m a n n k ~ h l ~ r i e n n e
Comae on a b o ( X ) ffib 2 ( X ) = I , Une 1 - f o r m e
ferm~e r~elle
N o t o n s que l e g e n r e complexe est 6.3.5.
L ~tant
topologique
b2, 0 = bo, 2 = O et bl, 1 : bl •
a = ~ + ~ + df avec
1 ~ b l ( X ) q u i n e d S p e n d p a s de l a
sur
les
vari~t~s
dim E X ~ 2. D ' a p r ~ s
k~hl~riennes
structure
6.2.8,
compactes
b2(X ) = 2b2, ° + bl, 1 ; il
l e t e r m e b l , 1. un op~rateur
bl, 1 = dim I
~ E ill(x).
~ g a l ~ b l , ° ffi dim H ° ( X , ~ I ) .
2 formes Soit
~tudier
s'~crit
compacte.
~'I(X)
r~el,
=
d'apr~s
6.2.4,
diml (~.-i(0) a ~ ' I ( x )
~ R~).
nous reste
36
Lemme
:
63(~'l(x),Ji~
ffi 0 ~ traceg
~ = O.Dans
une base orthonorm~e
@k o~
= i ~ k Ok A ~ k ' X ~ = E8 k = t r a c e g ~ . Proposition
:
a E ~'I(x)-plus
forte
s'4crit
traceg~
ffi 0.
On a m~me une p r o p o s i t i o n
:
Proposition
:
~01~1(X), et
kw + ~ a v e c
f fonction
alors,
~ffikw+ ~ + id'id"f,~avec
En p a r t i c u l i e r
r4elle.
si
trace
=
g~ = 0,
alors
~ harmonique
a=id'id"f. 1
D'apr%s = u+u
le
%h4or~me de H o d g e ,
avec u E AI'O(x)
a ffi a + d y ,
; d y = d"u + d'u
a harmonique
d'apr%s
les
et~
E A~(X).
types. O
Le m~me t h 6 o r ~ m e
de H e d g e a p p l i q u 6
~la
d" c o h o m o l o g i e
donne u = u + d"h et
O
a = a + d'd"(h-h),
§ 4.
d'o~
le
On a u n e a p p l i c a t i o n de r a n g
6.4.1.
b
r
j
on s a i t
proposition
pr$e6denge.
(non
que
les
Hr(X,l)
son% de t y p e
fini
injective)
: Hr(X,~)
~ Hr(X,~t).
Son i m a g e e s t
un
4tudier.
:
Une c l a s s e
de c o h o m o l o g i e
est
dite
enti~re
si
elle
appartient
de j .
En c o h o m o l o g i e tout
6.4,2.
la
5.4.1.).
que n o u s v o u l o n s
D~finition
l'image
sur
compacte,
de r a n g b r = d i m ~ H r ( X , ~ ) ( v o i r
r6seau
en a p p l i q u a n %
COHOMOLOGIE ENTIERE
Pour une vari4t4 et
rdsultat
simpliciale,
r-simplexe
Exemples i)
une
r-forme
es% un n o m b r e
a est
dire
enti%re
si
son int6gration
entier.
:
V f 6 ~(X,Y), H*(X,Z)
le diagramme <
suivant
est
commutatif
enti~re
s u r X.
H*(Y,Z)
f* en d'autres ii)
termes,
c est
enti~re
Sur le projectif
sur Y ~ f*c
~nct),
on a d ~ j b u n e 2 - f o r m e
w
= id'd"Log[I
O
w
O
= ~ d o n e Wo/n e s t
~n (car
b2(Pn ) = 1).
enti~re
puisque
~1 est
une b a s e
de l ' h o m o l o g i e
de
II2 ;
37
iii) est
•
Soit X sous-vari~t~
.
algebr~que
d'apr~s
oIx ~-
i),
enti~re.
C e c i p e r m e t de d o n n e r d e s e x e m p l e s de ~ ne s o n t p a s a l g ~ b r i q u e s iv)
Si ~n/r alors
il
tions
(i.e.
alg~brique
est
la
: d'apr~s
rapport
structure
=
Les 2 - f o r m e s
invariantes
triques
le tore
; si tj~
d~finie
soit
Remarque Un t o r e
le
-i
par
par transla-
2 2
2~
0
0
0
0
0
0 correspondent
il
existerait
entiers)
s o i n de v ~ r i f i e r
aux m a t r i c e s une m a t r i c e
sym~trique correspondant
(~ c o e f f i c i e n t s
: s u r 1~4/~ 4 ,
-i/n
n
alg~brique,
non a l g ~ b r i q u e
l'involution
-2n
0
~tait
invariante
on a une f o r m e de k f l h l e r e n t i ~ r e ;
de t o r e
par translation
entibre
au l e c t e u r
6.4.3.
iii)
1
une m a t r i c e
positive
laissons
~ enti~re,
alg~brique),
aux t r a n s l a t i o n s .
complexe d4finie 0
que
~w i s o m o r p h e ~ une v a r i ~ t ~
d o n n o n s un e x e m p l e ~ 7 ~ 5 ~
J
qui
:
k~hl~rienne
plat)
l a moyenne p a r
R~ciproquement,
compactes k~hl~riennes
6.3.1.).
(i.e.
une s t r u c t u r e
le tore
on en p r e n d
varifies
:
est
existe
on p r e n d
; par exemple
Tores complexes : (cf.
Proposition
est
de ~ n : a l o r s
antisym~-
~ telle
~ une f o r m e q u a d r a t i q u e
: w(X,Y) ffi g ( J X , Y ) .
Nous
l a non e x i s t e n c e .
: alg~brique
est
appel~ vari~t~
ab~lienne.
P o u r n = 1,
tout
tore
alg~brique.
6.4.4.
Vari~t~
de Hod~e :
Une v a r i ~ t ~ structure vari~t~s
Exemples
(on n ' a
~ calculer
i)
ii)
dite
s i b2(X ) = 1, X v a r i ~ t ~
si
l'on
supposer
vari~t~
de Hodge s ' i l
Le t h 6 o r ~ m e de K o d a i r a les vari~t~s
existe
une
(Ch.X) c a r a c t 6 r i s e
les
algdbriques
projectives.
une v a r i ~ t ~
de Hodge
:
qu'une
seule
fair
~clater
k~hl~rienne
(S i )
de e e l l e
on a une f o r m e de k ~ h l e r
est
p~riode). une v a r i ~ t ~
dim X ~ 2 ( s i n o n X a
donn~e p a r une base 4.3.1.,
enti~re.
de Hodge : ce s o n t e x a c t e m e n t
6.4.5.
On p e u t
c o m p a c t e ~w e s t
k~hl~rienne
= X).
de X - a e t sur X,
de H o d g e , X e s t
Une b a s e
de Hodge.
de l ' h o m o l o g i e
par la ~ibre p-l(a).
~ + p*~,
~ ~tant
de X e s t
D'apr~s
une f o r m e de k ~ h l e r
38
sur X YSi
=0
~
p*~ ,
; il
p-l(a)
ne r e s t e
plus qu'b normaliser
x
p o u r que f 1 ~ ~ ~" p- (a)
§ 5.
y
6.5.1.
_
S o i t X une v a r i ~ t ~
COB kAhl~rienne compacte.
On a v u que l e s H 2 r + I ( x , ~ ) ^ grace b 1 op~rateur C(6.2.3
nique, est
ETES_ E_PICA
s o n t munis d ' u n e s t r u c t u r e complexe c a n o 2r+l iii)). Pr(X) = H ( X ' ~ jZ I H 2Ir +Il f x/, ~ ~ l / 1 complexe de d i m e n s i o n ~ b 2 r + l .
donc u n t o r e
6.5.2.
Propri~t~s i) ii)
La ~w s t r u c t u r e
6 . 5 • 3.
de P
r
Si X e s t une v a r i ~ t 6 (i.e.
iii)
: ne d~pend que de c e l l e de Hodge, a l o r s
Pr(X) e s t une v a r i ~ t ~
f~r(X) l ' e s t
ab~lienne)
(voir
On a u n e d u a l i t ~ e n t r e P e t P fournie r n-r-1 H2 r + l e t H2 n - 2 r - 1 ( v o i r [ 7 ] , p. 5 0 ) .
V a r x""e t e" de P i c a r d
de t o r e
de P i c a r d de X, de d i m e n s i o n g = g e n r e de X.
6.5.4.
V a r i ~ t ~ d ' A l b a n e s e de X = 65 (X) n-1
6.5.5.
V a r i ~ t ~ de J a c o b i
d'une surface
de J a c o b i
~1 . . . . .
(~1 . . . . .
a2g),
o
~ m
la
e t on
f de X d a n s B 2 n / z 2n p a r
~2g ) . P o u r u n e s t r u c t u r e
complexe c o n v e n a b l e de ]R2 n .
o
f E ~ ~. f e s t u n p l o n g e m e n t p o u r g ~ 1, e t Jacobi.
plus haut est
m
m ~ (~ m
entre
de R i e m a n n .
S o i t dimmX = 1. On p r e n d une b a s e de j ( H I ( x , g ) ) , m
pour tout
p. 8 1 - 8 2 ) .
par la dualit~
complexe d ~ f i n i e
vari~t~
l'application
aussi
[23],
:
P I ( X ) muni de l a s t r u c t u r e
d~finit
~e X.
son image e s t
dire vari~t~
Nous r e n v o y o n s ~ [ 1 1 ] p . 2 4 8 p o u r l e s d g v e l o p p e m e n t s .
de
r
C H A P I T R E
VII
ESPACES FIBRES VECTORIELS
§ 1.
DEFINITIONS
Loealement toriel
un fibr4
de d i m e n s i o n
ouvert de X, tibilit~s
finie
vectoriel par
E sur X est
un ouvert
de X ,
(Ui) , et des isomorphismes
~videntes.
i.e.
les fibres
par
d4finir
suivants
la
suite
aussi
isomorphe
normal
0 ~ T(Y)
oh Y est
au fibr~
codimension
vec-
un recouvrement
k n x Ui, avec des compa-
: E ~ E', E ~ E', Hom(E,E').
fibr~
une
=
~tant
~ T(Y).
~ ~y
=
i
x n = 0,
l'injection
N admet
pour
n,
Y ~X. base
sur X, Nest
Darts l e
(8.1.2)
de X, T(X), T*(X).
Y de c o d i m e n s i o n
riemannienne
darts i~T(X)
f. ÷" -
~/~f. de N s o n t
vari6t~
~ N ~ 0,
structure
~ w isomorphe
et cotangents
sous
x I = ....
par
orthogonal
1, Nest
b une
~ i*T(X)
d~fini
~ . En choisissant "'~x n
~x I
existe
espace
seront ~ , ~w.
les fibr6s tangents
le
exacte
Dans un ouvert
il
d'un
Le corps de base k est ~tou ~.
Nous avons d~jb rencontr~ On p e u t
produit
~i : EIUi
E sera dit ~ , ~w suivant que X e% les ~i~j On d~finit
le
cas
o~ Y est
: les f o n c t i o n s
de
de transition
fij
J Etant
donn4 un morphisme
fibr4
image
2.
7 2.1.
le
r6ciproque
f de X d a n s Y,
et
un fibr~
E sur
Y,
on d4finit
le
f * E s u r X.
FORt~ES DIFFERENTIELLES A VALEURS DANS UN FIBRE VECTORIEL .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ar(X,E)
est
i.e.
faisceau
]R o u I
le dual
de
le
.
.
.
.
.
.
.
.
faisceau des
.
.
.
.
.
des
germes
.
.
.
.
.
.
.
.
formes de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
diff~rentielles
sections
de A r T * ( X )
le
trivial
.
.
.
.
.
~ valeurs @X E ,
dans
E,
(T* d~signant
T(X)). ^
Par
exemple
Ar(x)
ffi A r ( X , R ) ,
R d4signant
fibr~
X x ~t, e t
Ar(x)
=
Ar(x,~). Malheureusement,
nous n'avons plus d'op4rateur
pose d(~®e) = d ~ ® e ,
alors d ( ~ ® ~ )
=
de d4rivation
d~®e
sur E : si l'on
+ (de A ~ ) ® : ~e
d(~®e)
40
q u a n d d f A ~ ~ 0. 7.2.2.
0 p 6 r a % e u r d" Par contre,
Une t r i v i a l i s a t i o n s'~crit
: s u r u n ~w f i b r e ,"'
on p e u t
de E s u r u n o u v e r t
~tant
~ E (AP'q(x))~
fie
que d " e s t
s s'~crit
bien
Si nous notons
alors
H~ a v e c H m a t r i c e
de p r o d u i t
par E',
le fibr~
de A P ' q ( X , E )
(~ ® e ) A ( ~ '
int~rieur
® f)
Hom(E, $ ) ,
x AP''q'(X,E
= f(e)~
A ~',
')
et
holomorphe,
~AP'q+~,E). s de A P ' q ( X , E )
d'_~'s = d " ~ .
A sur AP'q(X,E)
on d ~ f i n i t
Si l'on
d'o~
l'on
chanv~ri-
! nous le ferons
a d"(~A~)
d"-cohomologie
: nous avons une r~solution
0 ~ ~P(X,E)
~ AP'°(X,E)
....
A
par
ffi d'__~'~ A ~ +
( - 1 ) P + q ~ A d'__~'~,
a.
Comme e n 2 . 4 . 4 , Serre-Dolbeault
un produit
dans AP+P''q+q'(x)
l'on
que a A ~ = ( - 1 ) ( P + q ) ( P ' + q ' ) ~ A
7.2.3.
une section
pour E = Hom(F,F) en 11.1.2.
bilin~aire ainsi
__d" : A P ' ~ X , E )
intrins~que.
Nous n e p o u v o n s d ~ f i n i r par contre
n = d i m E . On p o s e
avec
ge de t r i v i a l i s a t i o n ,
d~finir choisie,
fine
d ~ A P , n ( X , E ) ~ 0 q u i d o n n e l e t h 6 o r ~ m e de
:
Hq(x,~P(X,E))
~
~P'q(X,E)
5d~'q(X,E)
ffi
d" A P ' q - I ( x , E ) Hq(X,~P(x,E))
§ 3.
par d~finition
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D6finition
.
.
structures
fonction pas.
.
.
.
.
.
.
.
h(s(x),
Si l'on
donn6e par
.
sur
pour un fibr~
r~elle
.
.
.
.
.
.
.
.
hermitienne
hermitiennes
Par exemple,
est
de d_~"-cohomologie " H P ' q ( X , E ) .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
:
Une s t r u c t u r e
nule
le groupe
~o~ F I B R E H E R M I T I E N SUR UNE VARIETE COMPLEXE .
7.3.1.
est
hu,
fibres
en droites,
s(x))
choisit
les
les
sur un fibr4
sur
complexe E est
de E. la
structure
l'ouvert
o~ l a
des trivialisations
avec
la compatibilit~
U
~
>
Ux~
>
hu(sv,
~t
sera
section
locales
h EIU
de
u n champ ~
d~termin~e
par
s du f i b r ~
ne s'an-
du f i b r e ,
la
la
structure
Su) ffi [ f u v I - 2 h v ( s v , S v )
41
7.3.2.
Dualit6. S o i t E'
fibres
l e ~ - d u a l de E. On a l e s
au-dessus
de X :
Nous a v o n s d 6 f i n i avions fairs produit
~ > E'
d'__['e n 7 . 2 . 2 .
au c h a p i t r e
scalaire
On p o s e ,
E
II
" m u s i c a u x " de
# > E.
; p o u r 6 t e n d r e aux f i b r 6 s
sur le fibr6
constant,
il
les calculs
nous reste
que n o u s
~ d~finir
un
sur AP(x,E).
pour a,~
6 AP'q(X,E),
<~,~> = ~X a A # ~, oh ~ e s t
® b : AP'q(X,E) ~ An-p'n-q(X,E'). d6finie,
2 isomorphismes dits
On s u p p o s e r a ,
que X e s t c o m p a c t e . L ' i n v e r s e
Nous p o u v o n s a l o r s
appliquer
de
la th6orie
de A P ' q ( X , E ) d a n s A P ' q - I ( X , E )
est
~
6gal
p o u r que l ' i n t 6 g r a t i o n
est not6#
soit
= ( - 1 ) p+q * ® #.
de Hodge-De Rham : ~" = 8" ® 1 = - / d " ~
l'adjoint
f o r m e l de d " .
L'op4rateur ~ = d" 8" + ~"d" = (~" + d,,)2 est elliptique,
son symbole 6rant :
symb (D)(~) = [~,,[2 ® id. D respeete les types. 7.3.3.
Corollaires i)
d'apr~s
:
dim~ ~ P ' q ( X , E )
les propri6t6s ii) ~
"HD'q(X,E) e s t
= O~i
iii) ~"P'q(X,E)
de m a n i ~ r e u n i q u e ~ = & + d"~ + ~"T a v e c & h a r m o -
d"~ = 0 = ~"~.
y a'une
l'ensemble
ac'P'q(X,E) ~
(et not6e dp,q(E)),
d i r e d " - h a r m o n i q u e s i D ~ = 0. T o u t e
de l a d ~ e o m p o s i t i o n p r 4 c ~ d e n t e , il
finie
elliptiques.
f o r m e s d" h a r m o n i q u e s . ~ e s t
"HP'q(X,E),
7.3.4.
dim t
des o p ~ r a t e u r s
forme de A P ' q ( X , E ) s ' 6 c r i t nique.
=
formed"
on t i r e
que darts chaque c l a s s e
h a r m o n i q u e e t une s e u l e ,
et
si
l'on
de
note par
des d " - f o r m e s h a r m o n i q u e s de t y p e p , q ,
"HP'q(X,E).
Attention
!
A ne r e s p e c t e
pas l e s t y p e s
s u r une v a r i 6 t 6
complexe n o n k f l h l ~ r i e n n e ,
^
et l'on
n'a
pas ~ r ( x )
7.3.5.
Dualit6s
=
@ ~P'q(x) p+q=r
ou ~ ~ " P ' q
'
n i de s y m 6 t r i e d
De l a c o m m u t a t i o n au s i g n e p r o s du diagramme rn AP,q (X ,E)
>
AP'q(X,E)
>
An-p'n-q(X,E,
[]
An-P, n-q
(X,E,)
on d ~ d u i t l a d u a l i t 6 dp,q(X,E)
~c"P'q(X,E) ~ } c " n - p ' n - q ( X , E ' )
= dn_p,n_ q (X,E').
et
) ,
l'~galit6
P'q
= d
q'P
.
42 n
Soit K le fibr~
en d r o i t e s
s o u s l a f o r m e due b S e r r e Dans l e c a s de f i b r e s HI(x,fl(X,E)) 7.3.5.
~
A T'(X).
H~(X,fl(X,E)) ~ Hn-q(x,fln(X,E'))
: HA(X,~(X,E)) ~Hn-K(X,~(X,K
en d r o i t e
s u r une c o u r b e ,
d'Euler
Poincar~.
La p - i ~ m e c a r a c t ~ r i s t i q u e
du f i b r 6
La d u a l i t 6
® E')).
se t r a d u i t
par
H°(X,fl(X,K-E)).
Caract~ristiques
En p a r t i c u l i e r ,
ceci
s'~crit
le genre arithm~tique
de S e r r e
implique
E est
de X e s t
xP(x,E)
x°(X,I)
ffi E ( - 1 ) q d p , q ( X ) . q
= E(-1) q do,q(X). q
×P(X,E) ffi ( - 1 ) n X n - P ( x , E ' )
e t × ° ( X , E ) ffi
(-1) n x(X, K ® E'). Proposition
:
La c a r a c t ~ r i s t i q u e
d'Euler-Poincar~
de X e s t
n ~gale ~ E (-I) p ×P(x,E) o
( - 1 ) p+q d p , q "
P,q Par d~finition, alors
la suite
la earact~ristique exacte
de f a i s c e a u x
de X e s t 0 ~ f
E ( - 1 ) r dim H r ( X , t ) .
~ ~o
d ~1
...
~ fin ~ 0.
On u t i l i s e
C H A P I T R E
~
Dans ce chapitre plexes
sur
homologie
(dire
le Chapitre
§ 1.
nous
une vari~t~
FIBRES EN DROITES
allons
complexe
classe
XII)
et
consid~rer attacher
m~thode
aux cas
les
b tout
de C h e r n du f i b r e ) .
cette
VIII
~
fibres
tel
fibr~
en droites
Nous g~n~raliserons
de f i b r e s
(plus
vectoriels
sur
de c o -
tard
darts
des vari~t~
~.
GENERALITES
8.1.1.
Fonctions Soit
U N V,
de t r a n s i t i o n .
E fibr~
mes ~U : p - I ( u )
en droite
complexe
s u r X : on s ' e s t
~ U x ~ p o u r un r e c o u v r e m e n t
l'isomorphisme
s'~crit
de f i b r e s
triviaux
(x,y) sur V - (x, fuv(X)y)
par
~U ~-IV
donn~ d e s
des ouverts : (UNV) x~
~ (unv)
8.1.2.
de c o d i m e n s i o n
associ~ Y ~X.
l'~quation
~ une
fonctions
de t r a n s i t i o n
fibr~
s'~crit
qui
En g ~ o m ~ t r i e faisceau
de f o n c t i o n s Si Y est
Le f i b r ~
ouvert
associ~
fUV = f u f v 1" On a d o n c une
fu au-dessus
le
~
que Y e s t est
section
d~fini canonique
donn~ dans par
les
de c e
de U.
Y ~tant
~X ~ t a n t
I.
de X t e l
~ Y, n o t ~
pr~s.
le diviseur
faisceau
D,
los
structural
sections
de
sur X (i.e.
~
seront
le
~X = ~o ffi g e r m e s
holomorphes).
donn~e
que d o n c que
Le f i b r ~
alg~brique,
Ox(D),
sous-vari~t~
On a un r e c o u v r e m e n t
f u = 0.
x
dire fonction de transition
le fibr~ ~ un isomorphisme
Soit
; sur
sur U.
fUV est une fonction holomorphe au-dessus de U N V
Fibr~
isomorphis-
de l a b a s e
du fibre. Le syst~me des (fuv) d~termine
U par
com-
une classe
par une
le fibr~
standard
~quation
globale,
ne d ~ t e r m i n e
pas
S de ~ n e s t
donn~ par
l'~quation
fonctions
de t r a n s i t i o n
le
fibr~
h o m o g ~ n e z n = 0. de
sont
ne d~pend pas du choix de l'hyperplan.
le fibr~
la vari~t~ associ~ Localement
~
est
trivial
i on r e m a r -
Y.
~ un h y p e r p l a n ~n-1
s'~crit
Zn/Z zz.j " On v o i t 7~ i Zn j 1 L'ensemble Ho(~(S))
: soit
~n-1
z n / z i = 0, d o n c que
le
~ ~n los fibr~
de ses sections
est de dimension n + I, admettant une base que l'on peut noter z°,...,z n :
44
i.e.
dans
l'ouvert
En g ~ o m ~ t r i e est
Ui =
~z i /
alg~brique,
ces
sections
s'~crivent
des germes
Zo/Z i . . . . .
de s e c t i o n s
Zn/Z i .
holomorphes
de S
~Fn (1).
not~
8.1.3.
E x e m p l e de f i b r e s fibr~ -
Si E est E®E'
0~,
le faisceau
K ffi An T ' ( X )
multiplication donn~ par
est
le
un f i b r ~
-
groupe
Les classes
des syst~me
de f i b r e s
pour
la multiplication ce g r o u p e
F(X). soit
a pour
en droites
la
de t r a n s i t i o n s fonctions
en droites
trivial
suite
(fuv),
E'
de t r a n s i t i o n
par
(guv),
(fuvguv).
:
de f i b r e s
®, l e f i b r ~ Dans
:
de f o n c t i o n s qui
d'isomorphismes
plicativement
fibres
en droites
note
8.1.4.
:
canonique
forment
f x X ~tant
on n o t e r a
un g r o u p e l'~l~ment
la multiplication
ab~lien
neutre. ® soit
On
multi-
additivement.
Proposition
carte
Sur ~n(~), dans l'ouvert
: (K . c o r r e s p o n d an f a i s c e a u Une K = S- (n+l) 70p n ( - n - l ) ) . z i ~ 0 est donnee par (Zo/Z i ..... zi ..... Zn/Zi). Les fonc-
tions
de t r a n s i t i o n
de K s o n t
les
2 -
jacobiens
de c h a n g e m e n t s
-2
Z 1
Z O * o
0
_ ~- z - 1
fl0
A
=
_
z1
(~-) 0
t)
-1 ZlZ °
-
que p o u r
le
fibr~
standard
f01
-
n+l
0 o m
alors
:
-1 ZlZnZ °
-
. . . . . . . .
de c o o r d o n n ~ e s
z1 Z O
8.1.5.
Eclatements Soit
:
X une ~
varietY,
X la vari~t~
obtenue
par
~clatement
du p o i n t
a ;
^
on p o s e lieu
(voir
4.1.2.)
P
~-l(a).
=
Les ~clatds
seront
maintenant
X an
de X comme p r ~ c ~ d e m m e n t . Proposition ^
:
~
K(X)
ffi
K(X)
+
~
d'un
recouvert
F a r l e s o u v e r t s V i de c o o r d o n n ~ e s ( z l / z i . . . . .
....
fonctions
les
a p o s ~ K(X) = ~ * ( K ( X ) ) ,
d a n s un v o i s i n a g e
K(X) a p o u r
de a ,
(o~ l'on
se placer
4.2.2).
voisinage
(n-l)
En d e h o r s
(~l/Zi
notes
deux fibres
de c o o r d o n n ~ e s
de t r a n s i t i o n
zi . . . . ) ~ ( ~ l / ~ j . . . . .
~j . . . . ).
sont
U de a ,
le
isomorphes (z 1 . . . . .
jacobien
Zn).
7.1).
; on p e u t p-l(u)
zi,...,Zn/~i) de
voir
donc
est
(~oir
45
z2 -z1
0
0 .......
tZl~2 f12
(~_~)n-I
z I 2 zn .z,
............
=
=
• .
"-.
0
'7,,
'.
z1
B
z2 et
F~
a pour
§ 2.
fonctions
On a u n e o~ le
de f o n c t i o n s
8.2.2.
suite
second
...
z1 12
z2
¢~-fibr4s vSrifient
la
~-dire
si
morphisme
en droite
existe
les
qui
est
ne
s'annulen%
~
HI(x,~)
F(X)
cocyeles
(%V)
et
faisceau
On e n d ~ d u i t
que
le
fonctions
(f~V)
gu telles
sont
dans
8.2.3.
Classe
de C h e r n
On n o t e signe
varie
par
d'un
fibr4
les
groupe
des
classes
suite
deux
fibres
l a m~me ¢ l ~ s s e loi
de
fUV d ' u n
q u e fUV = g u f u v g v
la
germes
fibr~
sont iso-1 ' c'est-
de c o h o ~ o l o g i e .
de groupe
ab41ien.
en droites
C l'homomorphisme
suivant
des
Ha(X,~ ) ~ ...
fUV fVW = fI?w e t
locales
~ 0
done une
de t r a n s i t i o n
l'isomorphisme F ( X ) ~ H I ( X , ~ * ) r e s p e c t e
De p l u s
compos4
auteurs)
et
= 0ssi
Best
: F ( X ) ~ H I ( X , ~ ~)
on dit
que C(B)
est
la
-8* H2(X,~). classe
de
de B.
8.2.4.
N o y a u de C
au fair
Proposition
:
qu'il
une
section
suites
:
On u t i l i s e
existe
les
deux
C(B)
~
~-trivial,
de B p a r t o u t
0
~
~
o
~
~
~
O,~
~
It ~tant done
~ * ~tan% l e
~ H I ( X , ~ ~) 8 ~
: les
sections
~ ~*(X)
pas.
autre
de c o c y c l i c i % $
des
: 0 ~ ~ ~ ~(X)
~ e 2~if
f
q u e H I ( X , ~ *) n ' e s t
condition
s'il
de f a i s c e a u x
-.I(X,~)
Remarquons
morphes
exacte
holomorphes
de c o h o m o l o g i e
Chern
f
SUITE FONDAMENTALE . . . . . . . . . . . . . . DE . . . . . . . .COHOMOLOGIE ...........
8.2.1.
(Le
de t r a n s i t i o n
les
le
faisceau
des
genes
Hi(x,_~ ~) = 0 pour
i>0.
(ce
qui
est
~quivalent
non nulle). ~
~*
~
0
n
~
~*
~
o
C
~ il
J
de f o n e t i o n
La c o m m u t a t i o n
est
~in
du diagramme
([10J,
p.157-158),
46
0
-
-~
T
H2(X,t)
_
H 1 ( X , C~)
-~
0
H2(X ,Z)
donne la proposition. 8.2.5.
Cas d e s v a r i d t . ~ s
Icl HI(x,~) 1 sion ~ b I .
~
Proposition c-l(0)
de F 0 ' I ( X ) en droites
§ 3.
qui
en sens
est
compactes.
=.~O'I(X)
est un $ espace vectoriel
de dimen-
:
est ~ w isomorphe
b
HI(x'R)
respecte
inverse
trivial~i
la
=
Pic(X)
structure
a ~ Po,l(a).
C(B) = 0
. On a un isomorphisme
complexe d~finie
Par exemple,
(~W-trivial,
en 6.2.3
t
s i b l ( X ) ffi O, u n f i b r ~
bien
sQr l ) .
RESULTAT FONDAMENTAL
On va mongrer
Im(jo
"H0'I(x)
~(X,~)
~ ~ + ~, e t
kghl~,'iennes
c) = j(HZ(x,z))
que pour une ~
n HI,I(x,R)
de H 2 ( X , ~ ) q u i
congiennent
8.3.f.
t
Lemme Soit
vari~g~
u n e f o r m e de t y p e
a une structure
compacte,
oh H I ' I ( x , ~ )
hermitienne
p e n d p a s de s oh s es% u n e ~ W - s e c g i o n
est I-I
l'ensemble
eg j : H 2 ( X , Z )
sur B ; alors
locale
d'd"
d e s classes -H2(X,R).
L o g l a ( s ) l ne d ~ -
de B n e s ' a n n u l a n t
pas.
S v
Rappelons
qu'une
structure
~U t BIU ~ U x ~
les
fibres
hermigienne
est ~quivalente
triviaux
lemme p r e c e d e n t
sur B d~fini
b la donn~e
Ux ~ avec la condition
n o u s p e r m e g de d ~ f i n i r
par des isomorphismes ~ . 3 . 1 )
de structures
de r e c o l l e m e n t
d'd"Log
hermitiennes a U sur I aU } f u v I 2 a V. Le
a (localement
par d'd"Log(au(l~
par exemple). :
Remarque
a(~s) pris 8.3.2.
= ~
a(s),
i.e.
au lieu
de p r e n d r e
une norme hermitienne,
on a
son carrY. Lemme
:
Quelle
que s o i t
la
structure
hermitienne
s u r B, on a j ( C ( B ) ) _ 2 ~1 i d ' d " L o g a .
47
Prenons un recouvrement simple (i.e. par des ouverts simplement connexes aux intersections successives simplement connexes) de X et trivialisant pour B. Alors B ~tant repr@sent~ par le cocycle (fuv), et C(B) est represent@ par CUVW
2~iI (Log fUV + Log fVW + Log fWU), ~tant donn~ que C = - 8"
D'un autre
cSt~ la suite
de De Rham 1 . 2 . 4 .
H°(X,A~) ~ H 2 ( X , ~ ) , A p ~ t a n t le sous-faisceau ferm~e s'@crit sur l'ouvert En p r e n a n t
8.3.3.
~U ffi - 2 ~1 i d ' L o g l a u , d~ U .
Soit
Explicitons
s'~crit
droite
muni d ' u n e
.2 ~ i . d d ' .L o g a U
~ j(H2(X,Z))
structure
~ s'dcrit
d ' d " ( f U - fV) = 0,
A~
: une 2 - f o r m e
une f o r m e f e r m ~ e
d~UV e t ~UVW = ~UV + ~VW + ~WU" de j ( c ( B ) ) ,
et
la
2 ~ i d ' d " L o g a U.
CUVW e s t
bien entier.
hermitienne
sur UnV,
sent@ p a r l e c o c y c l e
fv-
vari~t~
compacte,
que l a
A l o r s i l e x i s t e un f i b r d 1 que 2 - ~ d ' d " L o g a = ~.
a tel
en
i d ' d " f U a v e c f u E ~ ( X , R ) . Comme
fU ffi 't~V + hUV
a v e c hUV E ~W(X). a e s t
c ~ W = hUV + hVW + hwu ; a ~ t a n t entier
telle
N HI'I(x,~).
localement
c o h o m o l o g u e ~ un c o c y c l e
que dUV W ffi ° ~ W
isomorphisme
~,
:
de ~ a p p a r t i e n n e
2.4.5.,
cet
diff~rentielles
on a b i e n un 1 r e p r e s e n t a n t
~ une f o r m e f e r m d e s u r une ~
classe
D'apr~s
des p-formes
comme f u v f v w f w u ffi 1, l e c o c y c l e R~ciproque
l'isomorphisme
d~u, a v e c ~U E A 1. Or ~ V - ~U' ~ t a n t
simplement connexe UAV,
2-forme ferm~e est En o u t r e
le faisceau
des formes ferm~es. localement
fournit
CUVW, i . e . ,
il
existe
enti~re,
celui-ci
des constantes
repr~est
rUV t e l l e s
+ rUV + rVW + rWU"
On pose aiors % V
= exp(2~(huv + rUV)) et %
= exp(- 2 ~ % ) ,
d'o~ le r~sultat
en prenant le fibr~ d~fini par les fonctions de transitions fUV"
§
4.
8.4.1.
APPLICATIONS
S o i t X une ~ et
il
suffit
vari~t~ qu'il
existe
une f o r m e p o s i t i v e
ce q u i p r e c e d e ,
j(c(B))
> 0 (voir
8.4.2.
Soit X compacte kAhl~rienne. On a m o n t r ~ que I m ( j o c) = j ( H 2 ( X , $ ) )
-1
(0) est
un t o r e
faut
: pour qu'elle
d'apr~s
c
il
compacte et
il
suffit
qu'il
soit
de Hodge,
dans HI'I(x,R)N existe
un f i b r ~
il
faut
j(H2(X,g~ B tel
2.3.3).
N HI'I(x,~)~
1 c o m p l e x e de d i m e n s i o n c o m p l e x e ~ b l ( X ) .
F(X)
c-1(0)
e t que
que
48
vari~t~
Proposition
:
I m ( j o c) e s t
de r a n g ~ b l , 1 (X) e t
I m ( j o c) e s t u n r 6 s e a u d a n s H I ' I ( x , R ) ;
f o r m e n t un c~ne c o n v e x e o u v e r t n o n v i d e
bl,l(X),
il
la vari~t6
y a u r a au m o i n s un p o i n t
l e r a n g du r 6 s e a u e s t
du r 6 s e a u d a n s ce c 8 n e ,
c'est-b-dire
b 2 , 0 ( X ) = 0 i m p l i q u e que X e s t
j(H2(X,Z))
est
de r a n g b 2 d a n s H 2 ( X , ~ ) =
Im(j o c)
est
de rang m a x i m u m
que
HI'I(x,~),
de Hodge.
c'est-b-dire
b 2 ffi bl, I. E n p a r t i c u l i e r ,
si X est n o n
alg6-
b 2 , 0 ( X ) es% n o n n u l d ' a p r % s l e th4or%me de K o d a i r a .
VANISHING
8.5.0.
THEOREM
D6finition Un f i b r 6
8.5.1.
: en d r o i t e s
Th6or~me
Best
> 0, a l o r s
Par dualit6, 8.5.2.
si j((c(B))
Hq(x,fl°(B))
= 0 pour
la dualit~
Hq(X,~(B))
d'o~ si K - B
< 0, Hq(x,fl(B))
-
1
2~i
¥ p+q
A
d'd"Log
:
L~
=
- *L*
6I =
2.3.3.).
=
- *d"*
si Best
un f i b r ~
a n ÷ 1. M p+q
~ n - 1.
: q ~ I si B - K
> O.
de S e r r e ,
= 0 pour
ffi H n - q ( x , O ( K - B ) ) n- q ~ n-
I.
muni d ' u n e s t r u c t u r e
a ffi w, ~orme p o s i t i v e
wA~
pour
hermitienne
donn~e
aussi0n d6finit6.1.1)~lors: , comme en 2 . 4 . 6 . , l e s d i f f 6 r e n t s
m
> 0 (voir
:
On c o n s t r u i % u n f i b r 4 ffi
de Hodge de d i m e n s i o n n e t
ffi H n - q ( x , ~ n ( - B ) )
D6monstration
j(c(B))
si j(c(B))
< 0, H q ( X , ~ P ( B ) ) = 0
(Kodaira)
d'apr~s
positif
H q ( X , ~ P ( B ) ) ffi 0
Corollaire
En e f f e t ,
dit
: (dQ b K o d a i r a - A k i z u k i - N a k a n o )
S i X e s t une v a r i 6 t ~ en d r o i t e
8.5.3.
: si
les formes posi-
:
S o i t X compacte k ~ h l 6 r i e n n e ,
brique,
darts H1 ' 1 ,
s e r a de Hodge.
Remarque 4 . 3
§ 5.
e n t r a ~ n e que X e s t une
de Hodge.
En e f f e t , tives
l'4galit~
~ ~ AP'q(X,B)
(d'apr~s
op6rateurs
a tel
que
8 3.3.)
s u r B( v o i r
49
On n t a
pas
dtop~rateur
_8"~ eL l t o n
--
-a
d I sur
a la formule
:
~ une d"-forme H~'~]] 2
Or d ' a p r ~ s
employer
harmonique
=
< i d " _A?,_8'?>
=
l'idenfi%~
~ 0),
=
0,
ffi
(A"8'
+
:
=
m~mes m ~ t h o d e s
que pour
d " ~ ffi 0 ffi 6 " ~ )
qui
le fibr~
trivial
6 AP'q(X,B).
Ad")?T 8'~>
(voir =
-
11.2.2.4) iA
-]li_A?l] 2
~ E AP'q(X,B),
c'esf-h-dire
- i51
* 8,8,')~>
6'8"
=
=
de B i a n c h i
E]_8,?]] 2 A?
les (i.e.
<-5'~,-5'~>
8"8'
Lives
A d" - d" A
=
d'o~
6"
(*_d"(~?))
Nous pouvons mainfenanf soil
B ; on peu% c e p e n d a n % d ~ f i n i r
~P'q(X,B)
--
O.
p+ q ~ n+ 1 ffi 0
pour
=
p+q
~
= 0 (pas ~ n+l.
de f o r m e s
effec-
:
CHAPITRE
IX
SURFACES DE RIEMANN
D~finition dite
surface
vari~t~
orient~e
sur
~ est
r~me de K o d a i r a
§.
1
; d'aprbs
surface une
par
des fonctions
mes de f o n c t i o n s des
section
~ le
complexe faut
et
2. Une c o u r b e
de d i m e n s i o n il
suffit
algdbrique
R~ciproquement,
de R i e m a n n c o m p a c t e
1, X e s t
que X s o i t
une
projective
non
d'apr~s
est
le th~o-
alg~brique.
holomorphes
m~romorphes
fonctions
nulle,
9.1.2.
Faisceau
des diviseurs
globale
de c e f a i s c e a u .
9.1.3.
Diviseur
est
pas.
~ est
s E ~ s'~crit
inversibles
le
~*
faisceau
des ger-
~ avec g E ~*), g (i.e. diff~rentes
(dans ~),
suppos~
holomorphes,
connexe).
~* et
~* s o n t
de l a
des fais-
:
quotient On n o t e
principal
D E H°(X,~)
de f o n c t i o n s
ne s ' a n n u l a n t
X ~tant
multiplicatifs.
le faisceau
des germes
(localement
m~romorphes
identiquement
est
:
faisceau
c e a u x de g r o u p e s
~Y~/~*. Un d i v i s e u r
div.
sur X est
une
section
l e m o r p h i s m e ~b~ ~ ~.
: dit
principal
si
D est
l'image
d'une
section
f de ~Yr~,
D = div(f).
9.1.4.
Remarque D'apr~s
en tout fu
il
de R i e m a n n .
surface
m~romorphes
On n o t e
i.e.
3.2.5,
de d i m e n s i o n
une
(10.3),
Fonctions
celui
une vari~t~
DIVISEUR
9.1.1.
celui
Si X est
de R i e m a n n
r~elle
singuli~re
:
point
: notre
d~finition,
on a un v o i s i n a g e
un d i v i s e u r ouvert
U tel
est
localement
principal,
que DIU ffi d i v ( f u )
i.e.
pour
E H°(U,~R~).
9.1.5.
Autre
presentation
Dans tout de z ~ r o s sible
et
compact,
de p S l e s
; on e n d ~ d u i t
: une
fonction
m~romorphe
; une fonction
m~romorphe
qu'un
s'~crit
diviseur
sans
~niPi,
n'admet z~ros avec
qu'un ni
nombre
pSles
est
~Pi~ e n s e m b l e
fini inver-
discret
51
de p o i n t s tif
qui
sera
dit
(ou effectif)
si
support les
n.
de D e t
sont
not~
s u p p D. Un d i v i s e u r
est
dit
posi-
> 0.
1
Avec
cette
Cousin
notation
consiste
~ n.P.,
i.e.
9.1.6.
Lemme
I
I
~)est
un faisceau
~ chercher
des
z~ros
les
de g r o u p e s
fonctions
additifs.
m~romorphes
de multiplicit~
n.
si
I
n.
> 0,
I
Le p r o b l b m e
qui
ont
des
pSles
de
un diviseur si
n.
donn~
< 0.
I
:
Le f a i s c e a u
• est
fin
(cf.
[101,
p.
156 p o u r
la
d~finition). div
On a d o n c H i ( x , ~ )
ffi 0 V i
~ 1 ; en particulier
0 ~ H°(X,~ *)
--4
~ H°(X,~)
O. 9.1.7.
D~finition D(X)
=
Deux d i v i s e u r s
: H°(X,~)/Im
sont
dits
D(X). On a 1 ' i n j e c t i o n
div
est
le
lin~airement
D~finition ~fu} est
un ensemble
de f o n c t i o n s
vrement
de X p a r
des
ouverts
U,
que
les
fu'
et
des
classes
de d i v i s e u r s .
: D ~ D'
si
D - D'ffi 0 d a n s
D(X) ~ F(X) ~ HI(x,~*).
9.1.8.
D]U ffi d i v
groupe
~quivalents
:
des
ouverts
de p l a c e
sections
U iselent
fu les
de D s ' i l
de F ( U , ' ~ ) P.
existe telles
un recouque
= S u p p D.
1
§ 2.
DIVISEURS ET FIBRES PRINCIPAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En 8 . 1 . 2 . , un fibr~
nous
en droites
~,
avons
associ~
~ une
c'est-~-dire
sous
~ un point
vari~t~ nous
de c o d i m e n s i o n
savons
associer
1, Y, un fibre.
n.
Plus
g~n~ralement,
9.2.1.
9.2.2.
Lemme
:
6*(9)
est
Sections
~
8*(D)
une
alors
section
diviseur
m~romorphes
d'un
~(B)
le
9.2.3.
s est
s est une
d~fini
si On p e u t
du fibr~
faisceau
= ~ ( B ) @~ ~ .
m~romorphe
de
= par
Su ffi fUV Sv" fUV ~ t a n t le
B.
1
repr~sent~
On a d ~ f i n i On p o s e
= ~
le
fibr~
des
fonction
les
de sections
sections
des
~
par
holomorphes
ouverts
de fonctions
holomorphe
div(Su)
et
fUV ffi f u / f v .
:
germes
une ~llection
par
CUV ffi f v / f u
Sn utilisant
B = prendre
cocycle
, pour
ne une
d e B,
trivialisant m~romorphes
s'annulant section
pas
sur
m~romorphe
fl(B).
pour
B,
sU avec U n V, inversible.
(dans F(X)). fu pour
d~finir
la
trivialisation
locale
52
Corollaire Si f et 4quivalent
: g sont
~ div
g.
deux sections
Remarquons
si f, g 6 F ( X , ~ ( B ) ) ,
§ 3.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D'apr~s alors
H2(X,~)
.
.
.
.
.
.
[12],
= 0 qui
.
.
.
.
.
p.
.
.
Des d e u x
.
.
.
270,
.
9.4.1.
.
.
.
.
.
.
suites
du fibr4 trivial.
.
.
.
Supposons
X ~tant
.
.
que
De m~me H 2 ( X , Z )
0 ~ Z ~ ~ ~ ~* ~ 0
ffi 0,
et
de d i m e n s i o n
le fair
2
que H I ( x , ~ )
la vari6td
0 ~ ~* ~ ~
dtant
~ ~ ~ 0,
=
non on
= 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
maintenant
~
$et
une vari~t4
P(X,~gt~) ~ F(X,~) est surjective,
(c'est-b-dire
.
que X es% c o m p a c t e
l'homomorphisme
k~hl~rienne
HI'I(x,z).
D'apr~s
modulo
isomorphisme,
cet
complexe non compacte
RIEMANN-ROCH
DE .
H2(X,Z)
8.3.2.,
j
d'apr~s
la
~L.
orient4e.
~ H2(X,~)
dimension,
Im c = H I ' I ( x , z ) est
connexe
: H2(X,L)
injectif.
on a m~me H 2 ( X , $ )
La c l a s s e
d o n c un n o m b r e e n t i e r .
On a d o n c
est
de C h e r n d ' u n
S i B ffi ~ ,
C(B) e s t
= fibr4, dit
de D.
9.4.2.
:
Th~orbme
Si f E F(X,Z~(B)) D~monstration On p r e n d
ouverts
Vk,
Best
On p r e n d
comme a ,
fonctions fk 2
a(%) = ITuI
C(B) = Zn i.
: trivialisant
explicitement
~ bord
le fibr~
alors
et si div f = ZniPi,
un r e c o u v r e m e n t
on v a c o n s t r u i r e
e% d e s
; en particulier
de Cousin admet toujours une solution).
THEOREME .
des
lin6airement
:
que le problbme
et
= ~(B ® B')
; nous n'utiliserons
Si X est non compacte,
degr4
f est
.
alors.
H I ( x , ~ *) = H I ( x , ~ )
4.
.
X vari4t4
de S t e i n
en r4sulte
Th~or~me
§
~j~(B))
div
f/g est une section m4romorphe
une v a r i 4 t ~
compacte. tire
que ~ ( B )
alors
CAS DES VARIETES NON COMPACTES .
est
de ~ ( B ) ,
trivial
structure
~Vk r e c t i f i a b l e , puisque
a(fu)
une
-
U
qui
Pk c Vk C ~ k
section
f n'a
ni
Ifvf1 2
s u r U,
a(fk)
-
~
On peut noter
s u r Vk .
les
hermitienne
la
de r a c c o r d e m e n t
isole
Jfkl1 2
On a b i e n
busivement)a-
a s u r B. S o i e n t
CUk. z4ros
P'I = s u p p ( d i v f )
S u r U ffi X - V ( ~ k ) ni
poles. s u r Uk - V k
sur UnUk, 1
f 12
surX-UV k
,
53
I
Vk Le t h S o r ~ m e r ~ s u l t e C(B)
-
alors
I 2hi
fX
- 2nil
=
-
Uk
V1
du t h d o r ~ m e de C a u c h y : d'd"Log a
kE ~ .
dd'Log a
2n--T Z
1 2hi
-
~U d ' d " L o g
If~l 2
1 2 h i Z fbVk d ' L o g a
=
d Log Tk
ffi
~ nk
k
9.4.3.
Corollaires
:
i)
le fibr~
Si Best
R~ciproquement, d'apr~s
s i on a u n e
trivial, section
En. = 0 p o u r r o u t e
section
1
telle
que En. = 0, B e s t 1
~
m~romorphe~ trivial
8.2.4. ii)
C(~)
iii)
=
~.
1
s i C(B) < 0, a l o r s
H°(X,~(B))
:
0,
i.e.
on n ' a
p a s de s e c t i o n
holomorphe. On l e s a v a i t signifie 9.4.4.
d~j&, grace
au Vanishing
que l e nombre C(B) e s t
Theorem ( 8 . 5 ) ,
en r e m a r q u a n t
positif.
Th~or~me de R i e m a n n - R o c h
:
V~BEF(X), n ( B ) ffi dim H ° ( X , ~ ( B ) ) - dim H I ( x , ~ ( B ) ) de B e t constant
vaut
1 - g. La d e u x i ~ m e p a r t i e
s n r X. G r a c e ~ l a d n a l i t ~
H°(X,~(KB-1))
e t en n o t a n t
que B > 0
du t h ~ o r ~ m e e s t
de S e r r e
(7.3.5),
- C(B) ne d ~ p e n d p a s donn~e p a r l e f i b r ~
HI(X,~(B)) ~ H°(X,~I(B)
p a r 7(B) l a d i m e n s i o n s u r ~ de H ° ( X , ~ ( B ) ) ,
d ~ m o n t r e r que 7 ( B ) - 7(KB - 1 ) - (B) e s t
ind~pendant
on v e n t
de B, ce que n o u s f e r o n s
cn
n o u s r a m e n a n t au c a s o~ B = ~ . 9.4.5.
Proposition
:
D E D(X), n ( B ~ )
=
n(B). -I
On p e n t
et
se
limiter
comme l e f a i s c e a u
x(B) = x(B~ r~sultat
au c a s
S est
-1) + x(S),
(c(B~
o~D
est
un p o i n t
concentr~
n(B) = n(B~
- 1 ffi c ( B ) + c ( ~
P.
au p o i n t
0 ~n(B~
Pet
-1) + c(B~
- 1 ) ffi c ( B ) -
1).
) ~n(B)
a pour fibre -1)
~s
~o
~, on a
- c ( B ) + 1, d ' o ~ l e
54
9.4.6.
Proposition
:
V B E F(X), D'apr~s
9.4.5.,
~ D E D(X), H ° ( X , ~ ( B ~ ) )
n(B~])
= - C(~]
~ ~0~.
- c(B) + dim H ° ( X , ~ ( B ~ ) )
- dim H ° ( X , ~ ( K B - I ~ - I ) )
est
constant
que l e d e r n i e r
nul
p o u r deg D a s s e z
terme est
doit ~tre constant,
lorsque
D varie, grand,
or 9.4.3
iii)
nous dit
d ' o ~ dim H ° ( X , ~ ( B ~ ) ) - d e g D
ce qui n~ p e n t se c o n e e ~ o i r qu~ ~i H ° ( X , n ( S ~ ) )
~ ~0~
p o u r deg D >> 0.
9.4.7.
D~monstration En p r e n a n t
morphe f , donne
d'o~ par 9.2.3.
(9.4.5)
9.4.8.
du t h ~ o r ~ m e
un d i v i s e u r
n(B)
Remarque
B~
:
de d e g r ~ a s s e z
grand,
= ~d~-~,
BID-divf
tout
fibr~
fibr~
en d r o i t e s
a d m e t au m o i n s une s e c t i o n lindaire
B = K fibr~
pros
cotangent
Par d~finition Roch,
on t r o u v e
9.5.2.
(voir
peut
s'~crire
ce q u i
m~romorphe q u i d ~ t e r m i n e
~, le divi-
10.8.2).
complexe.
T(K) = dim H°(X , ~1) = ~b 1 I = g. En a p p l i q u a n t
Formule
de Gauss Bonnet
(si elle n ' d t a i t pas orientable,
feuillets). structure X(X)
Pour calculer
2~i
On a u r a
on p r e n d r a i t
la caract~ristique
c.~ avec c la courbure
X structure
c(K) = 2 - 2 g ,
9.5.3.
de d i m e n s i o n
2 sur ~ e t
orientable
son rev~tement
de X ( 7 . 3 . 5 ) ,
orientable
; b deux
on m u n i t X d ' u n e
eomplexe hermitienne.
la
Riemann
c ( K ) = 2g - 2.
Soit X une surface compacte
hermitienne. la
courbure
et
~ la forme volume r ~ e l l e
Les deux t e r m e s
r~elle
c.~ ~tant
Surfaces
de Riemann de g e n r e 0
Si X est
c o m p a c t e de g e n r e 0, X e s t
explicitement
comme c(K) ffi - 2 , Soit
trivial,
EXE~PLES ET A P P L I C A T I O N S
9.5.1.
par
Iest
holo-
:
seur b ~quivalence
§ 5.
a une s e c t i o n
= n(0).
Nous a v o n s d~montr~ que t o u t i.e.
i.e.
B~
(f,g)
l'isomorphisme
y(KB - 1 )
une b a s e
= 0 et
s o n t en e f f e t
~gale ~ - id'd"
~-isomorphe
en p r e n a n t
et
@B l ' a p p l i c a t i o n
Comme I ffi c ( B ) = deg d i v f = deg d i v g ,
f et
ne p e u t ~ t r e
du f i b r ~
f/g
~gaux Log a ( 1 1 . 5 . 3 ) .
~ ~1" B tel
que c ( B ) = 1 ;
l e t h ~ o r ~ m e de Riemann Roch donne y(B) ffi 2.
de H ° ( X , n ( B ) )
l e m~me ( s i n o n
un f i b r ~
determlnee
section
de X - ~ 1
X
~(f(x),g(x))
g o n t c h a c u n e un z ~ r o s i m p l e q u i trivial
serait
holomorphe
55
sans z~ro, bf - ag,
donc c o n s t a n t e ) .
section
~B e s t
donc d ~ f i n i e
de B, a un z ~ r o e t un s e u l
et
injective,
et
si
(a,b) E~I,
s u r X, d t o ~ l t i s o m o r p h i s m e
(ana-
lytique). 9.5.4.
Surfaces
de ~ e n r e 1
S i g = 1, X e s t ~
i s o m o r p h e ~ un t o r e
c o m p l e x e (X e s t
une c o u r b e
elliptique). y ( K ) ffi I e t (deg(divf)
c ( K ) ffi 0. On a donc une s e c t i o n ffi c ( K ) ) .
Comme H ° ( X , ~ ( K ) )
d ~ r e f comme une 1 - f o r m e quVon p e u t p r e n d r e laire
.- h , h e s t
alors
(6.5.5.)
x ~ (~
entra~ne
o que ~ e s t
que ~ e s t
~) est
o surjective,
un ~
et
~ HI'0(X),
en m u l t i p l i a n t
lVapplication
pas
on c o n s i p a r un s c a -
de J a c o b i
p l o n g e m e n t de X d a n s ~fZ 2. La d i m e n s i o n
donc un ~w i s o m o r p h i s m e . (On v ~ r i f i e
lVapplication
Jh(m)[ ~ 0 ) ) .
~ H0'I(x)
enti~re
une b a s e de j ( H I ( x , z ) )
h, ~x
un p l o n g e m e n t ,
s u r ~ de m o d u l e
h o l o m o r p h e f ~ 0 ne s V a n n u l a n t
~ HI(x,~)
tangente
(T~) m ~ t a n t
ais~ment
une h o m o t h ~ t i e
CHAPI
THEOREME
Dans ce chapitre complexes
routes
est
Notations
10.1.2.
les vari4t~s
~(-[~) sur
~(-[~)
pour
appelle
la
faisceau
la
).
s'annulant
~'~(B)
X - Y. On a a l o r s
Pour
si B 6 F ( X )
exacte
~ Y de
sur
Y,
et By.eSt
-
n(X)
-
h(Y) - O.
le fibr4 restreint
~P(By)
~ Y, on
~ 0.
0 -
f~P(B-FY])
~ ~'~(B)x." ~ ~ P - l ( B y - ~ y ) , • -
-
O.
:
I a"
= 0 sur
g dx. A...A 12
Y.
0 -~ G ( B - ~ ] )
faisceau
:
suite
p = O,
~n
holomorphes
le noyau de ~P(B)
[dx 1 A a' + a"
sur
F ~tant
eomme le faisceau des fonctions
o sur
pour B telle que Y a pour ~quation x lffi0,
s'~crit dx I A a' + a", a t' ne comportant
restriction
10.1.4.
~(F~
= H*(Y,F).
Dans une carte %rivialisante
=
I.
H*(X,F)
par
sur Y. On a la suite exacte 0 - n(-~])
D~monstration
O'~(S)
sont analytiques
ferm~e de X de codimension
peut s'interpr6%er
Proposition On a
Ie
X proiong~
Plus g~n6ralement,
a 6 oP(B)
consid~r~es
-I
faisceau
nulles
10.1.3.
KODAIRA
:
On ~ c r i % ie
DE
compactes.
Soit Y une sous vari~t~
10.1.1.
X
TRE
on a
Y}.
On e n v o i e
dx. . Le noyau 1 P
:
~ ~](B) ~ G(By) -. O.
pas dx I.
es%
g dx 1 A dxi2A...dx le
faisceau
des
i
sur P p-formes
57
§ 2.
TKEOREME DE LEFSCHETZ .
10.2.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Lemme
:
Si B~
-1 e s t
.
.
.
ndgatif,
Hq(X,~P(B)) ~ Hq(Y,~P(By)) dans Hq(Y,~P(By))
10.2.2.
le vanishing
theorem (8.5.1.),
on a une i n j e c t i o n
Hq(X,~P(B))
p o u r p + q ffi n - 1.
S o i t X une s o u s v a r i 6 t ~ g~n~rique
li~re,
en a p p l i q u a n t
pour p+ q s n- 2 et
(i.e.
intersection
Y est
alg6brique
de pN, e t Y une s e c t i o n
une s o u s v a r i ~ t ~
hyperplane
de c o d i m e n s i o n 1 non s i n g u -
de X e t d ' u n h y p e r p l a n ) .
Th~or~me de L e f s c h e t z
:
i*
est
: Hr(x,~)
~ Hr(y,~)
bijective
pour r ~ n-2,
injective
pour
r =n-l. On p r e n d B ffi f i b r d j(c~-l)
6tant
10.2.3.
Corollaire
trivial
< 0 (voir
et
une a u t r e
§ 3.
est
lemme 1 0 . 2 . 1
d~monstration
p o u r q ffi 0,
de ce t h ~ o r ~ m e d a n s
~ 8 3 , p . 3 9 ).
et X connexe alg~brique,
une s e c t i o n
hyperplane
connexe.
THEOREME DE KODAIRA
On v e u t m o n t r e r est
alg~brique
fit
de c o n s t r u i r e
faisceau
le
(Bertini)
S i d i m e n s i o n X > 2, generique
on a p p l i q u e
que s i X c o m p a c t e e s t
projective.
D'apr~s
de H o d g e , a l o r s 3.2.7.),
il
un f i b r i l q u i donne un p l o n g e m e n t darts pN ( c ' e s t - b - d i r e
des s e c t i o n s
base de H ° ( X , ~ ( B ) ) ,
de ce f i b r ~ on d o i t
est
avoir l e s
cl)
VxCX,
Is,
s(x):O
~)
v(~,y),
~ s,
s(~) : o,
~) ~ x Ex,
tr~s trois
~ v ETx(X), ~ s ,
Ces conditions expriment respectivement, dans ~ N d ~ f i n i
une v a r i f i t ~
l e t h ~ o r ~ m e de Chow ( v o i r
p a r x - (So(X) . . . . .
r a n g maximum, l ' a n a l y t i c i t f i
ample),
i.e.
conditions
si
X sufle
So, . . . . s N e s t
une
t
s(y) = o s(x) = o , v ( s ( x ) ) ~ o si l'on appelle fB le morphisme
SN(X)) , que fB e s t
fitant automatique.
d6finiepinjective
de X
e t de
58
§ 4.
PROPRIETES UTILISEES
Nous a l l o n s Les p r o p r i ~ t ~ s e"c l a t e
point
nous servir
des ~ c l a t e m e n t s p o u r ~ t u d i e r
que n o u s u t i l i s e r o n s
sont les
e s t x, e t P ffi ~ - l ( x ) )
10.4.1)
H°(X,~(B))
10.4.2)
K(X)
=
ces conditions.
suivantes ~otations
de 8 . 1 . 5 ,
le
:
ffi H ° ( X , ~ ( B ) )
K(X) + ( n - 1 )
~
(voir 8.1.5,
attention
h la notation
additive). 10.4.3)
~1,
fibre
si ~ est
conormal ~ P dans X e s t
le fibr6
standard
de P, e t donc
l a forme de K ~ h l e r c a n o n i q u e s u r P, j ( c ( ~ - l ) ) l p
= ~ (4.2.~. A
10.4.4)
Si l ' o n fibr~
fair
~clater
image r ~ c i p r o q u e de
sens ~ la notation
§ 5.
10.5.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pour satisfaire
.~(~-
mologie associ4e, H°(X,fi(B ) )
C1
~ ' x'
~-~
sur
diff6rents
est X
u : X ~ x,y
'
~gal ~ ~
,
Xx' a l o r s
~)
.
.
.
.
.
ce q u i donne un
(facile).
x,y
.
.
~ la condition
C1), on se s e r f
~(~)-~(~)-o
~ I ~ HI(x,fl(B -
F~))
l e l o n g d u q u e l on f a i t :
0 ^ " ^ H (X,f2(Bp))
~
~clater C'I
de l a s u i t e
etonutilise P
en r e m a r q u a n t que
s e r a doric i m p l i q u 4 p a r
:
10.1.4
De m~me^ p o u r C2, b l ' a i d e
^ H°CP,~](Bp)) = ~, d'o~a
=
l e p r e m i e r morphisme ~ t a n t
s ~ s(x),
X. Vx,.Hl(Xx,fi(Bx -
^
de l a s u i t e
~))
= 0.
0 ~ ~(B- F~
-
~ )
^
- ~(B- ~
- ~ (Bp
- ~p
Y
) - o. Y
On voi% que C2 s e r a i m p l i q u 4 p a r
: C'2 : V x , y ,
x ~ y,
^
H1 ^
^ (xx,y,~(Bx,y
10.5.3.
~
~)
~p)
~ 0,
dans une carte o~ P s'~crit S
0
Pour C3, on utilise la suite 0 - ~(~ - 2 ~ ) -~ ~ ( B p -
s ~
~
d'o~ H ° ( X , ~ ( B -
f = 0, le morphisme •
.
•
~ (a) qui est bien la derlvee
~))
- ~(~ - ~ ) -~ H°(P,f~(Bp-
ci-dessus
dans la direction
:
lasuitedecobo
^
10.5.2.
le
REDUCTION DU PROBLEME
o
x point
deux p o i n t s
~p))
est donn~ par
sur X correspondant
au
59
point
a de P . Done C ' 3
On a d o n c r ~ d u i t sachant
qu'il
consiste
§ 6.
10.6.1.
le probl~me'~
existe
B, f i b r ~
maintenant
D'apr~s
8.5.2,
en droite,
Lemme
~)
gel -1
On f i ~ e
est
la norse
si A est
d'abord x
On a
a
x
> O. La d i f f i c u l t ~
du V a n i s h i n g
> 0.
I1
la vari~t~
un fibr~
l a f o r m e de k a h l e r
- id'd" 2u
=
I[.LI.
Theorem.
faut
maintenant
6clat6e.
en droites
> ~, a l o r s
pour
= ~* j ( c ( A ) ) canonique
plateau
~
+ j(c~
sur P d'apr~s
P x U 2. S o i t
f,
-1) 10.4.3,
U1 v o i s i n a g e
f = 1 s u r U1, = 0 ~ l ' e x -
p~(~x) exacte
0
sur que a
sur P (puisque
pas b support
essentiel*e
: la
sur
x.
f o r m e de k ~ t h l e r c a n o 4.3.1.
En f a i r
clue
<x>).
e = ~ - I ( u 2) =
que 8upp
Le s e u l
,je d i s
ennui
que ¢ 1 t e s t .
o~ bZ e s t
-~ H 2 ( E , b ~ )
en
On a d o n c ( d ' a p r ~ s
est
compact tandis
comme u n ~ l ~ m e n t de H 2 ( Z , b ~ ) , de c o h o m o l o g i e H I ( b z )
10.4.3
E j(c(~-l))[p.
U 2 se r ~ t r a c t e
de U1
r~pond b la question
j(c(~-l))p.
: p~(~x)[p La r a i s o n
X
l'ext~rieur
U1
D'apr~s
~ la classe
de ~x)
1]2) b
]].]]2 Log[I
(f[l.l[21ogl[.l[2).
~ j(c(~-l)).
que p@(~x) n t e s t
U1
(f
On v a m o n t r e r
¢ de P a p p a r t i e n t
se r ~ t r a c t e
suite
BK - 1
sur
j(c(~-~))
On p r e n d u n e f o n c t i o n
[3x = i ~d t d ''
e = p*(~.)
lire
si
> 0 s u r P , e t m~me d a n s u n v o i s i n a g e
par construction
est
que j ( c ( B ) )
C~1, C~2, C~3
> o
>
et
v~rifiant
de U2.
On p o s e a l o r s
nique
0
=
U2
Posons
tel
de j ( c ( B ) )
que,
= d~ e s t
de x , U1 C U 2 "
avec
dtun fibr~
C3.
:
Comme j ( c ~ - l ) ) ] p -1)
HI(x,G(B))
la positivit~
gout
t~rieur
recherche
assurera
L~.~m. PREPARATOIRE
~ E AI~I(x)
j(c(~
la
= 0
~ se r a m e n e r a u c a s d t a p p l i c a t i o n
conserver 10.6.2.
• ~x, Hl(x~bf~(Bx-2~))
la fronti~re
-~ H 2 ( ~ )
~ventuel
Mais on p e u t de Z. La
-~ H 2 ( b Z) e n t r a ~ n e
60
l'isomorphisme
~ d~montrer
phe ~ bU2, e l l e - m ~ m e H2(S 2n-l)
ffi 0.
entre
H2(E)
hom~omorphe ~ la
On a b i e n
maintenant
et H2(S,~Z). sphbre
En e f f e t
S2n-1.
: A > ~
bE e s t
Comme n ^ -> 2 ,
entra~ne
j(c(A
-
hom~omor-
H'I(S 2n-1)
~))
=
> 0.
X
En e f f e t ,
d'apr~s
6 ffi u*(T)
+ ~*(~x ), o~ y E j(c(A)).
ce q u i
precede,
une classe
8 E j(c(A
Prenons
-
~))
~ > ~ . Alors
est -1
sur a
(UI) d'abord,
X
on a vu que ~*(~x)
> 0
et par c o n s t r u c t i o n
~
> 0 donc X
: ~(~)
+ ~*(~) ~ ~*(~x ) + ~ ( = )
On a ~ l ' e x t ~ r i e u r -,
sur X - P rieur
on a 8 ffi ~*(~x)
b)
X ~tant
> 0
~ + ~x > ~ x + ~ x ffi - ~ x + ~ x ffi O. Mais
:
de U I
X - <x>, u* r e s p e c t e
de UI)
~ ~*(~)
la
+ ~*(~)
compacte,
positivit~
stricte.
-I
Doric s u r
(ext~-
> O.
on t r o u v e
classiquement
~ ~ ~
V x ~ X. X
§ 7.
10.7.1.
DEMONSTRATION DU THEOREME DE KODAIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappelons
les
m~e w de t y p e de l ' h o m o m o r p h i s m e L tel que
10.7.2.
-
~gale
et
compacte
positive.
les notations,
est e n t r a ~ n ~
; - ~
par~
et
possbde
pour k assez
posons
positivit~
- K(X) = ; - K - n ~
une f o r m e
On a v u e n 8 . 3 . 3 .
n j(H2(X,~)).
~ HI'I(x,~)
= ~ > 0. En particulier,
simplifier
C'I
: X est
1- 1 enti~re
f o cest
j(c(L))
Pour
hypothbses
fer-
que l'image
On a donc un fibrd
grand,
j(c(Lk))
> 2a.
B ffi K(Lk) n+l = K A n+l de
= (n+l) A - n~
qui r ~ s u l t e
du
lemme 1 0 . 6 . 2 . pour C'2,
on a b e s o i n
de l a p o s i t i v i t ~
de
m
l a positivit~ le choix
de A - ~
de K o d a i r a
[12] p. 2s5
et
[9].
assur~e
par
le
lemme 1 0 . 6 . 2
et
de B.
C'3 est entraSn~ Le th~or~me
- ~
est
par la m~me
enfin
relation
avec
x = yet
demontre"" ; p o u r une t o u t
autre
le choix
de B.
m~thode voir
61
§ 8.
A. P. .P.L.I. C. A. T. .I.O.N. S.
10.8.1.
DU T H E O R E M E DE K O D A I R A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le t h ~ o r ~ m e de K o d a i r a p e u t des c o n d i t i o n s i)
X est
ii)
suivantes,
alg6brique
s'4noncer
On a vu en 8.4.1. sion finie,
de Hodge,
:
i.e.
> 0) sur X.
il existe une forme de type
e% positive.
l'~quivalence
de ii) et iii). L ' h o m o l o g i e
dtant de dimen-
:
il existe une forme de type I - i positive une classe de cohomologie
10.8.2.
(j(c(B))
on peut 4noncer iii) sous la forme
iii')
complexe compacte
projective
X est une v a r l e t 4 1 - 1 enti%re
l a f o r m e de l ' ~ q u i v a l e n c e
p o u r une v a r i 6 t 4
il existe un fibr~ positif
iii)
sous
qui a p p a r t i e n n e
rationnelle.
(Bertini) Soit X alg4brique
compacte,
B fibr~ en droites holomorphe.
Alors
il existe D, B = ~ . 0n prend un fibr~ F tel que F et BF soient tr%s amples sections n o n nulles de F e% BF respectivement,
(§3) ; on a donc des t t ~ - es% une section
set
S
m
romorphe
de B e t
B
vec D = div(
Y 6rant la sous v a r i ~ t ~
dirt,
),
volt
q.e B =
Z = div s, en r e m a r q u a n t
que F = ~ ,
BF =
et B = BF F -I.
10.8.3.
X k~hl4rienne projective.
10.8.4.
compacte
Tout rev~tement fini
d'une varidtd
( ~ ! on a d e s v a r i 4 t 4 s p* ~ e s t
10.8.5.
en e f f e t
est
algdbrique
compactes).
enti%re
Soit X algdbrique,
[13],
10.8.6
alg~brique
et positive
si
w
l'es%.
(Borel)
et Voir
telle que b2,0(X ) = 0 ; alors X est a l g 6 b r i q u e
Ceci a d~j~ 4t4 d6montr6 en 4.2, 4.3.
de g r o u p e p.
En e f f e t ,
alors
P 6rant
comme s t r u t u r e kfihldriens,
de f i b r e
F alg4brique
connexe. Alors E est
telle
que b l ( F ) = 0,
alg4brique.
141.
Si la courbure pacte,
E fibrd
structural
de R i c c i
X est
de t y p e
k~hldrienne.
en p a r t i c u l i e r
(11.4.2)p
est
> 0 sur ( X , g ) k a h l 6 r i e n n e
eom-
alg6brique.
1- 1 et enti~re Ceci s'applique aux e s p a c e s
d'aprbs
11.5,
on p e u t
la prendre
h de nombreux e s p a c e s homog~nes
sym4triques
compacts kfihl4riens.
XI
CHAPITRE
CONNEXIONS
CONNEXIONS S U R U N C ~ ~ F I B R E VECTORIEL
§ 1.
.
11.1.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D~finition Etant
fibr~
.
sur
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
:
donn6 un fibr~
R, une
.
~onnexion
vectoriel
E sur
E est
un op~rateur
sur
~,
ou le
D : A°(X,E) ~ AI(x,E) tel que D(f.s) = df ® s + f.Ds section
d'un
:
~ f E ~(X),
~ s
de E .
L'ensemble
11.1.2.
des
connexions
Remarques
1)
par
(gi)
chaque
: sur
sur
E est
not~
des
toujours
ouverts Ui,
D.x s..1j ffi 0 ,
trouver
triviallsants
on prend
~ j
une
; on pose
3)
Notation
sur
E et
de
E,
en prenant
une partition
sections
un re-
de l'unit~
de E e t
on d~finit
D ffi Z g i D i .
c'est-~-dire D - D '
est ~ ( X ) - l i n ~ a i r e .
soient V 6 V(X), s 6 F(X,E) ; on pose
:
DvS = D s . V
sij
alors
D - D' E AI(X,Hom(E,E)),
connexion pour
une base
2)
4)
Connex(E).
:
On p e u t
couvrement
Di p a r
complexifi~
t-lin~aire
~ r(X,E)
Connexion image r~ciproque
:
f~E A
Y
-*
E
~ x
elle est d6finie par la relation (f~D)v(SO f) = DT(f)V.S 5)
Somm~ directe de coi~r~exion__88 :
de eonnexions 6)
D k. On munit E de D - ~ D k en posant DV(~ sk) -- Z D~ sk Produit
D = DI®D 2 par 7) sur
E par
la
E ffi~ Ek, o~ les E k sont munis
tensoriel
D(s 1 ® s2)
Connexion relation
:
sur
E 1 ® E2,
munis
d e D1 ,
D2 ,
on d~finit
= D1 s I @ s 2 + s I ® D 2 s 2 .
sur
le
dual
:
c'est
D~ s u r
E* d~finie
~ partir
de D
:
d <s,sW> =
(e'est-~-dire ~ V, V < s , s # >
+
=
<s,D*
s*>
+
~ s section
de E,
< s, D~ V s~'>).
s* section
de E @
63
On p o u r r a
done 8)
sur A(X), bre
d~finir
C.onnexion
et
gradu~e
pour
une
A(X,E)
:
une connexion
sur
sur
A(X,E)
l'alg~bre
connexion
D sur
E,
~
d0 ® s + (-I) p e h Ds
Connexion d'une
sur A(X,Hom(E,E))
structure
partiennent d~finition
A AP(x).
d~finir
d comme c o n n e x i o n
connexion
sur
l'alg~-
II faut d'abord munir
gradu~e
: sur un ouvert trivialisant
est une matrice
est d~fini
ddfini
un crochet
D sur
dont les ~lSments
par ( x h Y ) i j
locale
de H o m ( E , E ) ,
Nous en verrons
10)
Lemme
si
:
= ZXil AYlj"
ap-
Cette
1.3.6,
Connexion on avait
+ (s,
d~finie d~fini
du fibr~
une
un fibr~
riemannien,
D est
de E * @ E * ;
+ g(s,Ss').
hermitienne
structure
d~rivation
: unique
Dg
une con-
sur
un fibr~
hermitien
riemannienne
covariante
:
b partir
Rappelons de g ,
struc-
tangent.
g d~finit
i)
avons
V a section
b Dg = O. g est une section
+ g(Ds,s')
D~finition-proposition une
nous
- a(Ds),
s').
par une
yhx.
+ (s,Ds').
connexion I~
comme e n 8 ) , = D(a(s))
Si E est
ffi ( D s , s ' )
de m~me u n e
(-1) degxdegy
en 11.2.4.
:
= (Dg)(s,s')
-
de E .
explicite
d((s(s'))
= (Dx s , s ' )
ture nemannienne
locale
ceci est Squivalent
On d ~ f i n i t
= xhy
(Da)s
riemannienne
= D(gCs,s'))
11)
v~rifie
une expression
riemannienne
X(s,s')
Elle
V s section
Connexion
Ix,y]
E ® E* ; en proc~dant
sur A(X,Hom(E,E)).
fibres,
:
d'algbbre
Le produit
nexion
d(g(s,s'))
E*.
est bien intrins~que.
de p l u s
Nous avons
la
E,
- lin~aire.
pour E, un $1~ment x de A P ( X , H o m ( E , E ) )
qu'en
on d~finit
0 ® s
que D 2 est A(X)
par
en prenant
(A p + I T * ) ® E
9)
~X,
:
~
A(X,Hom(E,E))
dite
engendr~e
(A p T * ) ® E
II est imm~diat
On p e u t
l'alg~bre
connexion
telle
que
:
ffi 0
£i)
DxY
-
DIX
12)
Connexion
nous
n'introduirens
=
IX,Y]
holomorphes que des
:
m~me s u r ~ W - v a r i ~ t ~
connexions
~.
Pour
et
pour
la notion
des ~w de
:
64
W
.
(~
-connexlons
la forme
O 11.2.2 4
est holomorphO,
c o n n e x i o n s ~ base de suites exactes,
§ 2.
11.2.1.
R(V,W)
Un c a l c u l
classique
est A°(X)
lin6aire en V e% W, c'est-~-dire
et
direct
montre
= DvDw - DwDV - D[V,W ] E H o m ( E , E ) . de la
11.2.2.
Exemples 1)
le
et une p r 6 s e n t a g i o n
des
[i].
COURBURE D'UNE CONNEXION ........................
courbure
darts
voir
connexion
Nous
cas
d'un
2)
Pour
3)
Produit
au lecteur
image
une
R 6 A2(X,Hom(E,E))
es% a p p e l ~
D.
laissons fibr4
q u e DvDws - DwDvs - D[V,W]S
le
r~ciproque
somme d i r e c t e
ext~rieur
soin
(difficile
de f i b r S s
: si
de v ~ r i f i e r
E est
que Rf. D = f~R D
!).
R
= RD1 ~ . . . $
de d i m e n s i o n
e,
R'
RDn
= trace
Rest
e
la
courbure
de l a
4)
connexion
Expression
sur U trivialisant. peut Si
locale
~ 6 Ar(u,Hom(E,E)),
Lemme
:
o(w) %s
-
:
faisan%
intervenir
lisatien
On n ' a
-
OA e
0(V)Dws -
=
locale
s.
1
de s e c t i o n s
de E des 0. j I
D 8 + e A 8.
=
de B i a n c h i
d'op~rateur de
- D w ( e ( V ) s ) - D[V,W]S
0([V,W])s
l'identit~
pas
d sur sens
(dO -
dR = - [ R , 0 ] ,
fois
(Ne(W))s
÷
0^ ~)(V,W)s.
A(X,Hom(E,E))
qu'une
=
qu'on
i.e. ; les
DR = 0 . expressions
a choisi
une
trivia-
un ouvert.
Remarque
A°(X)-lin~aire,
sot% une base
= %(e(W)s)
d n'ont
de E s u r 5)
R = dO -
on obtien%
Attention
:
A E.
D @ = d¢ - [0,~] -- d~ - 0 h ~ + (-I) r ~ h 0.
R(V,W)s
(DwO(V))s
En d ~ r i v a n % ,
sur
On pose Ds. = 0.Js. avec 8. j E AI(u). La m a t r i c e l l j I ~ u n ~ l ~ m e n t de AI(U,Hom(E,E)) q u ' o n n o t e 0.
~%re i d e n t i f i ~ e
En effe%,
induite
:
si
l'on note que D 2
:
AP(x,E)
-AP+2(X,E)
on peut a p p e l e r R la section de A 2 ( X , H o m ( E , E ) )
est
d4finie par
D 2 pour p = 0. L'identifi$ de Bianehi
est immediate
: d'aprbs
11.1.2.9) DR = D o D 2 - D 2 o D
=
0.
65
§ 3.
CONNEXIONS SUit UNE VARIETE COMPLEXE
11.3.1.
Connexion presque complexe
:
Soit X une vari6t6 presque complexe, D u n e
connexion sur son fibr~
tangent. D~finition
:
D est presque complexe si DJ = 0 11.3.2.
Connexion Soit
de t y p e
1-0
E un ~w-fibr4
D~finition D est
sur
une vari4t~
complexe.
:
de t y p e
1-0
si
V s section
holomorphe
de E, ~ X E T0'l ,
DX s = 0. Proposition I1
existe
:
une
connexion qui
soit
unique
que
hermitienne
1'on et
pourra
dire
de type
canonique,
sur
un ~w-fibr~
hermitien,
1-0.
Sol% s i u n e
base locale de FW(E), X E T 1'0, X(si,s j) = (Dxsi,sj) + (si,Dxs j)
ffi (Dx si,sj) , ce qui donne l'unicit~ et l'existence. Proposition
:
La c o u r b u r e
de l a
(i.e., ~ V,W 6 T 1'0
(R(v,w)s,s) = (DvDws,s) [v,w](s,s) = 0.
11.3.3.
Soit
canonique
est
de t y p e
:
- (DEv,wjs,s)
presque
les
complexe
conditions
munie
suivantes
la
connexion
d4finie
par
gest
presque
la
connexion
d4finie
par
gest
la
iii)
la
torsion
la
d4coule torsion
2.2.3,
k~hl~rienne.
la
est
nulle
du calcul
et
dw ffi 0
que nous
d'une
sont
i)
pas
1-1
= VWCs,s)
ii)
La p r o p o s i t i o n
D'apr~s
- (DwDvS,S)
X une varlet4
Proposition
sant
connexion
R(V,W) = 0 et R(V,W) = 0)
structure
avions
-
hermitienne.
~quivalentes
:
complexe
connexion
(avec
-wvCs,s)
w(X,Y)
fair
de type
1-0
canonique.
= -g(X,JY)).
en 3.1.1.,
en ne
nulle. structure
de la
vari~t~
est
alors
int~grable
e t X es%
suppo-
66
§ 4.
FIBRE .
11.4.1.
.
.
.
.
.
TANGENT
.
.
.
.
.
.
.
.
.
S U R UNE V A R I E T E .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nous r e n v o y o n s
h [16J,
calculs
prdsentent
quinc
.
.
.
.
symdtrique
On d d f i n i t
les
coefficients
F~.
(~!
pas
de s y m d t r i e
un t e n s e u r
tenseur
4 fois
1 lois
i.e.
le
tenseur
Pour
la
connexion
Rijkl Dans
qui
= - Rjikl le
reste
11.4.2.
ddfinie = - Rijlk
de R i c c i
C'est
trace
la
Courbure
11.4.4.
-
la trace
11.4.5.
~ pun qui
et
Pij
est
tenseur appeld
Courbure
sectionnelle un p l a n cst
avec
un s c a l a i r e
sectionnellc
Varidtd
D
.
.
.
.
pour
l'explicitation E est
positive
tangent
gij"
=
~ F~.. k lj
saul
la
connexion
pour
des
le fibrd
(5.) 5 • 5x J 5x 1
3 fois associ~
covariant;on :4Rijkl
sur
1.3.8),
® E
V
=
5 5xk ddfinie
par
g),
+ Riklj
que l a
-
utiliser
le
gim R ~ j k l '
Z
en permutant
Rijkl
~
prdf~re
V®W @X ®Y ~ g ( R ( V , W ) X , Y ) .
:
on a ,
l'identit~
de l ' e n d o m o r p h i s m e
Si Pest courbure
.
les
indices
+ Riljk
connexion
R(V,X)Y ; c'est
:
= 0.
ddfinie
par
un t e n s e u r
= - Z R~ k ikj"
scalaire
R(X1,X2,X1,X2)
appeld
.
n o u s ne c o n s i d d r o n s
sym~trique
On a s s o c i e on p r e n d
.
p. 1 4 1 ,
forme
g (Of.
= Rklij
du p a r a g r a p h e ,
covariant
est
h la
par
.
i i r'kj ) + Z(rmlj pi"km - ~kj r'Im)"
lui
correspond
Courbure
dcux fois 11.4.3.
qui
.
de d i f f i c u l t ~ s .
r ~ . . . ffi F~... 1j j1
contravariant,
covariant
.
ddfinie
par
l'on a R i pi "jkl = (Sk "lj - 51
Rest
.
pas
forme bilindaire
et
RIEKkNNIENNE
.
volume I,
muni d'une
on n ' a
.
1 fois
covariant
courburc
pour base
scalaire
orthonormde
q u i ne d d p e n d p a s
suivant
le plan
1 fois
contravariant,
T, T = Z pii- = . Z . g i j ~J
dont P~i'a
(X1,X2) , de l a b a s e
choisie
et
de 1 ~ n ,
i,j ....
de
est
P.
k~hl~rienne
Convention
:
les
indices
a,~ ....
varient
l,...,n, l,...,n. La m ~ t r i q u e
s'dcrit
D est la connexion D i = DS.. I
ds 2 ffi Z g a b d z a dz~ e t
d~finie
la
forme
w ffi + i Zga~ dz a A d z ~ .
par g = Di(Sj) = Z ~'ij ~k avec 5. J
5. 5z j
ct
67
F~... I j ~ 0 si les trois indices i,j,k ntappartiennent pas tous b [l,...,n] ou [1 . . . . , n ] ; l e s c o e f f i c i e n t s s o n t s y m ~ t r i q u e s ~ ' i j = ~ ' j i e t F l j k = F I l l~.
Les r e l a t i o n s
1.3.8
sV~crivent
Z
:
rcc "y8
g~
5 g7~ 8
=
*
5 z
La c o u r b u r e de D v ~ r i f i e
R(V,W) o J ffi J o R(V,W) e t R(JV,JW) ffi R(V,W) ce q u i i s u r l e s composantes_ p a r l a n u l l i t ~ des R. j k 1 a u t r e s que R~ 7 ~- =
se t r a d u i t _ R~ _
[367
_. [367
R~. . . .
et
R ~_
~y6
De m~me p o u r l e s R i j k l gi~ R'jkl R
~7~
ffi
en t e n a n t
; comme g ~ -R~7~
=
ffi g ~ -R
= 0,
~7
les seules
R7~
ffi
52 g ~ R~y~
compte du f a i r
~
=
= ~ gi~ R'jkl
composantes non n u l l e s
ffi R
5g~
que R i j k l
~7~
=
R~6~
+
sont
.
5g~z
r g bz 7 bz 5
La c o u r b u r e de R i c c i
est
bz 7
invariante
1 trace
( J o R ( V , J W ) ) . Les s e u l e s
p~
- Z RY
=
bz 5
p a r J (p(JV,JW) ffi p(V,W)) e t p(V,W) ffi composantes non nulles
sont p~
= p~[3
et
+ E 5~y' s T.
7
Y 5z[3
Darts une base orthonorm~e
:
Note importante concerne
p~
:
ffi
- E R =~ar7~
il n'y a pas de conventions uniformes en ce qui
les signes des diff6rentes
rants peuvent appara~tre
"
courbures,
et des facteurs cons-
(en particulier dans le choix de la base complexe x+iy o r t h o n o r m ~ e ; n o u s a v o n s p r i s z ffi ).
qu£ c o r r e s p o n d b u n e b a s e r ~ e l l e 11.4.6.
Autre expression On a vu en 3 . 1 . 3
= idld"f, On a a l o r s
kahl~rienne
st~crivait
avec f E ~ ( X , R ) . :
g~ =
11.4.7.
: que 1 0 c a l e m e n t une s t r u c t u r e
54~ ~f _
Courbure de ~n(1)
= idtd"
Log
n
Z
2 5~
= g~
53
f
f 5~[35 3 f
•
:
ZkZk dans IVouvert
k=o z z 1
1
[z i ~ 0] pour le syst~me de
68
coordonn~es homogbnes (z ° ..... Zn). L'actio~ de U(n+l) sur Pn pour laquelle est invariante montre que R.~.v est une constante ; pour calculer cette consIIII
tante,on utilise le fait (voir 6.4.2 ii) que, pour la structure riemannienne induite sur ~1, le volume de ~ I v a u t Ya
R ~ffi4.
orthonorm~,
On calcule ensuite R(Z 1 c o s ~ + Z 2 sin~,--, 9--)=4 avec < Z I , Z 2 > dToh
: R
-
-
Ra~ et les autres composantes, sont
~ ; donc la courbure en vaut 4. Donc
=
4
=
o
saul celles obtenues par permutation en 11.4.5,
nulles.
Quant pour
~ la
courbure
~ ~ ~.
4n(n+
de R i c c i ,
pa~
On a d o n c p ffi 2 ( n +
=
1)g
4 + 2(net
la
1)
=
courbure
2(n
+ 1) e t
scalaire
est
pa~
=
0
constante
=
1).
11.5.1.
Dans un cas
particulier,
d'introduction
on va d~montrer
aux classes
une
formule
qui
peut
servir
cn droites
com-
de Chern. e
$oit
E un ~ w fibr~
plexes
sur
D est
la
lequel
hermitien on a une
connexion
de d i m e n s i o n structure
canonique
est
la
trace
11.5.2.
Soient
(si)
(si,sj) e t a
hermitienne
1 b 2-~
que j(c(AE))
de - 2 R ~i'
AE e s t a,
un fibr~ forme
volume
R ~tant
une base
la
d'd"Loga.
courbure
locale
de
On v a m o n t r e r la
de s e c t i o n s
connexion
que cette
forme
holomorphes,
A la matrice
des
= det A.
(~) V(d'Loga.W)-W(d'Loga.V)
= _ :(a-lVa)(~)- ~(trace(A-i.VA))
une
deE;
canonique.
Pour deux vecteurs tangents de type 1- 0, (d"d'Loga)(V,W)
complexe
(11.3.2).
e
On a v u e n 8 . 3 . 2 .
e.
1 forme
da(X,Y)
\ -
(d'Loga)([V,WS
(~)-
W(d'Loga:V)
= _ trace(W(A-l).v(A))-trace(A-i.w(V(A)).
ffi X(aY) - Y(c~X) - a([X,Y])
(1)
pour
(2)
d'apr~s les types,
(3)
V(det A) = det A.trace(A-l.vA)
IV,W] = O,
d'Loga.W
= 0
69
Supposons
qutau
point
m la
W(A)ij
base
< si
V(A)ij..
=
~ ( j -I)
-
W(V(A))ij
=
soit
orthonorm~e
DW s j
< Dv s i, s.>j A - I . ~ ( A ) .A -2
=
- W(A)
au point m
si, D~ sj.> + < D~ D V s i, s.> J
d'o~ au point m (d"d'Loga)(V,W)
=
~ < si, D w Sk> < D V Sk, si> i,k - r. < D V Si, D~ si> - Z < D ~ D V 8i,
=
- E
=
+ trace
si>
R{V,W).
i Comme t r a c e R e s t 1 d'o~ - 2~1 trace
11.5.3.
de type
1- i e R E j(c(AE)).
Corollaire
(11.3.2.),
ona lV~galit~
d"d'Loga
trace
:
Pour un fibr~ en droites muni dtune structure hermitienne R ffi - d i d " L o g
=
a.
a,
R,
C H A P I T R E
XII
CLASSES DE CHERN
§ 1.
UTILISATION DE LA COURBURE .
12.1.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nous a v o n s t r o u v ~ , fibr~
HI'I(X,R)
vectoriel,
n j(H2(X,E)),
On c h e r c h e
.
.
.
.
.
.
.
en 1 1 . 5 . 1 . ,
un i n v a r i a n t 1 l a c l a s s e de - 2 u i
qui est D ~tant
b g~n~raliser
cette
"topologique", trace
p o u r un ~ w
R dans
la connexion ~nonique. m d t h o d e en c o n s i d ~ r a n t
d'autres
invariants
que
la trace. 12.1.2.
Commen~ons
par le cas d'un espace vectoriel.
Soit E ~-espace
f de E, d e t ( l + triques ~k (g f l
vectoriel
~f) = ~=o
~k ~ k ( f . . . . .
f)
! les
~k s u r Hom(E,E) s o n t i n v a r i a n t e s g
-1
.....
g fk g-l)
Corollaire V k,
f,
On p r o l o n g e m a i n t e n a n t
~k(fl
® ~1 . . . . .
fl'''''fk ~1 . . . . .
e t on p r o l o n g e
~k
fk)
ce c a l c u l ~
au c a s o~ E e s t
=
0
un ~ - f i b r ~
vectoriel
Ark(x)' =
~k(fl .....
sections
locales
de Hom(E,E)
sections
locales
de A r ( x ) ,
~tant
possible
a u t o m o r p h i s m e s de E.
Soit
~ g E Aut(E).
~e = d e t f .
f k ® ~k )
~, l e r e c o l l e m e n t
Exemple
sym~-
p a r l e s a u t o m o r p h i s m e s de E :
ffi ~ k ( f l . . . . .
~k : [ A r ( X ' H ° m ( E ' E ) ) ~ k en p o s a n t
formes k-multilin~aires
:
~o = 1, ~1 = t r a c e 12.1.3.
finie e. Pour un endomorphisme
(en d~rivant l'expression ci-dessus) : k fk 'g' ~ ~k(fl ..... fh-l'Efh'g]' fh+l .... ) h=l
fl .....
Exemples
avec
de dimension
:
D E Connex E, R s a c o u r b u r e .
f k ) ® (~1 A . . . A a k )
grace b l'invariance
par les
:
71
On
pose
12.1.4.
alors
-R ..,2~i ) E A2k(x). c~(D) = ~k(2-~1,.
Parall~lement k
~ 1-2,
on o b t i e n t
Z (-I) (h) q)k(Xl . . . . . Xh_l,[Xk,Y], Xk+ I . . . . ) = O, h--1 ¥ y, x 1 ..... xk e A(X,Hom(E,E)) e t homog~nes ; (h) e s t Sgal b deg y( Z deg Xl) ( et
l>h
deg a 1 deg a 2 + l [fl ® al'
12.1.5.
f2 @ a2]
Enfin,
ffi
+ (-1)
d ~k(Xl,...,Xk)
:
d
Z deg~. l
CLASSES DE CHERN REELLES
bun
~-fibr~ dites
~
s u r X, v a r i ~ t ~
classes
r~elle,
de Chern r ~ e l l e s
des c l a s s e s
de
g r a c e au :
Th~orbme : - ¥ D E Connex ( E ) , Vk, dCtk(D ) ffi 0 -
on v e r r a
on a un o p ~ r a t e u r
k Z (_1) [ h I ~ k ( X l , . . . . X h _ l , d X h , X h + t . . . . ) a v e c [ h ] : hffil
On va a s s o c i e r
12.2.2.
par d~finition.
!) e t
cohomologie c~(E) E H2k(x,~) 12.2.1.
f2fl
dans une b a s e s u r un o u v e r t t r i v i a l i s a n t ,
(non c a n o n i q u e
§ 2.
flf2
~ D,D',
V k,
Remarques
~ a
c~(D)
- c~(D')
da
=
:
1)
c~(E) = 0
2)
Si E e s t ~w, de m~me que X, on s a i t
par la suite
pour k > inf
(i dim~X,e)
que l e s c l a s s e s
que c ~ ( E ) E j ( H 2 ( X , Z ) )
de Chern s e n t e n t i ~ r e s
pour tout
; fibr$
e t t o u t k. 3)
Les c l a s s e s
v a l e n c e au s e n s ~
de Chern r ~ e l l e s
ne d ~ p e n d e n t que de l a c l a s s e
d'$qui-
du f i b r $ . e
4) 12.".3.
c~(E) ffi j ( c ( A E ) )
p o u r E ~m d ' a p r ~ s
D6.m.ons'tratiou de l a l ~ r e p a r t i e
la formule 11.5.1 et 11.2.2.3).
du th6or~me.
On p r e n d tm o u v e r t t r i v i a l i s a n t (-2~i) k d cj(D) --
~
Z ~k ( . . . . R,dR,R . . . . )
k ~k(aR,R .... ) (!)
(I)
dR-
JR, {~]
(2)
Lemme 1 2 . 1 . 4
_ k ~k([R,O],R,...)
II.2.2.4). a v e c x k = R,
y = e.
(2) 0
72
12.2.4.
Deuxibme
1)
partie
Lemme
2)
Posons
d Dt dt
e
-
R))
applique
on o b t i e n t
ffi
~([e,B],R .... 3)
=
En p o s a n t
R).
) ; d'apr~s
le
lemme 1 1 . 2 . 2 .
; ) d'apr~s
a v e c x 1 ffi e, x 2 . . . . .
D t = (11 d
4),
....
)
=
12.1.5.
x k = R e t y = e, 0 et
l'~galit~
annonc~e.
t ) D + tD',
- c ~ ( D ) = f ~'~ ( c ~ ( D t ) ) d t 1 o k ( - 2 ~ i ) k ~ d~k ( 0 , R . . . . ) d r O
=
que
) + (k-1)~(0,[R,%],R alors
de C o n n e x (E)
2).
) - (k - 1 ) ~ ( 0 , d R , R . . . .
12.1.4
c~(D')
=
11.1.2.
dO - E o , e ]
~(d0,R ....
maintenant
1 parambtre
k(d~k)(0,R .....
k ~(~-~,R .dR ....
ffi
~
d'aprbs
et montrons =
de - 0 A O - O A 0
(d~)(0,R .... ) Si l'on
familie ~
; Hom(E,E))
On a d ~ ( ~ ( R , . . . , R ) ) =
Vt u n e
d Dt d---~ E A I ( x
d-~(~k(R . . . . .
dR dt
:
soit
:
k(-2~i) k
1
d ~
~k ( ~ '
R ....
)dt
O
et
la deuxibme partie
§ 3. 12.3.1.
du t h ~ o r ~ m e e s t
d~montr~e.
PROPRIETES DES CLASSES DE CHERN REELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On p o s e c'(E) = Z c ~ ( E ) alg~bre
On a a l o r s
les
E H~(X,~),
gradude
anticommutative.
propri~t~s
caract~ristiques
RI
e (E)
n2k(x
R2
naturalit~
),
H~ ~tant c o n s i d ~ r ~ e des classes
comme u n e
de C h e r n r ~ e l l e s
%(E) = 1
p o u r l e c h a n g e m e n t de b a s e
E
Y ~ R3
X
c'(f*(E))
Sommes de f i b r e s
Normalisation
pour le fibr~ avec c(8)
=
c'(E1)
x ... x c'(E
)
."
standard
E H2(pn(~),Z)
Nous r e n v o y o n s
f*(c'(E))
:
'(E I ~ ... • En) R4
--
S au-dessus d~finie
~ El3] pour voir
de P n b ) ,
c'(S)
= I+j(c(S))
en 8.2.3. que R I . . . R 4 c a r a c t ~ r i s e n t
bien
73
les
classes
enti~res. trer
de C h e r n
Saul
pour
directemen%
r4elles,
images par
c 1 (grace
que
les
b 12.2.2.
classes
c!
1
j des classes
4)
sont
on ne s a l t
de C h e r n pas
d~mon-
i m a g e s de c l a s s e s
enti~res.
12.3.2.
Pour
simplifier
les
caraet4ristique" factorisation
~tant
On a a l o r s
du f i b r ~
formelle.
L(E*)
e%
notations,
=
=
L(~ ® ~ , ) p LCAE) =
=
eh(~®e)
2)
12.4.1.
pr4cbde
Prenons
ch(E) + ch(E')
=
ch(e)-eh(~)
direetement de 1 1 . 2 . 2 . 1
1 + c{(E),
stablemen%
(X,J,m)
une b a s e
(R(V,•)ep,eq)
E2 tels
6 A2(X);on
a alors
montre
(T2 _ 4 [ p ] 2
1
c~(D)
alors
IP]
ffi
]R[ = Lorsque reste
m varie
constant.
existe
mais
(ep), ffi
- ~
que c ~ ( D )
et
n.
les
D'apr~s
compatible
~ p
tri-
ce qui (i.e.
ne
avec J).
R~(V,W)
q =
~w f i b r e s
= 1.
darts H4(X,~t)
posons
e% d e s
deux fibr6s
c'(E)
de d i m e n s i o n (X,J)
c[(E)
d~j~ pour
alors
de
des
P
=
q
@ wn
]R[2)
162 avec
s'il
choisie
e n un p o i n t ,
,
ffi
i.e.
compacte
k~lhl4rienne
orthonorm4e
savions
que E ~ E 1 ffi E 2 ,
Un e a l c u l s a n s d i f f i c u l ~ avec
trivial,
es% un i n v a r i a n t
structure
7i )x) P
avee la d6finition et 11.2.2.2.
c e que n o u s
kflhl4rienne
c~(T(X))
de l a
la
ffi E e 7 i
+ ~j(~')~)
=
Si E est
Soit
d~pend pas
i,j Ci + ( h ( ~ )
11.5. i).
El,
ch(E)
L(E) • L(E')
(formule
viaux
"fonction
= E c!l(E) x i = ~(1+ 7ix), de C h e r n de E,
~ (I + (Til + . . . l~il<...
Ces formules se d6montren% f o r m u l e s % e l l e s que c e l l e s 12.3.3. Corollaires : =
une
~ ( 1 - Yix )
L(E (~ E')
c'(~E)
E : L(E)
Le c a r a c t ~ r e
ch(E ~9 E')
1)
on peu% u t i l i s e r
+
n o r m e de l a
courbure
de R i c c i
n o r m e de l a c o u r b u r e . darts
sa classe
de c o h o m o l o g i e ,
(ciet
n-2 w
modifi4spar
sont
SX e i ( D ) A wn - 2 un c o b o r d ) ,
done
= ~X ~ ~ •
74
Proposition
:
~X ( 2_ 41p12 + iR]2)v est invariant pour un changement w ~ w + da.
12.4.2.
Structures On e s t
res
k~hl~riennes
d'Einstein
amen~, p a r un c a l c u l
riemanniennes
telles
sur ces shuctures
(voir
que p = k g , ~2~). V o i c i
l e m e n t c~ e t c~ p o u r l e f i b r ~
sur pn.
des variations, dites
~ consid~rer
d'Einstein.
un r ~ s u l t a t
les
structu-
On s a i C peu de c h o s e s
d'unieit~
utilisant
essentiel-
T(X).
Proposition : Soit (]pn, j ,w) kllhl~rienne d'Einstein : alors (~n, jo,W ) est isomorO
phe ~ (]pn, J o ' i)
k'Wo)
k E It ~
On a w = k ' w
e t d~ s ' ~ c r i t
id'd"f
minimum de f ,
wet
+d~ puisque
0
(f E ~(X,R),
w ~tant o on p e u t s u p p o s e r k ' = 1. ii)
Soit
k(w ° + da)
que k = 2 ( n + l )
iii)
d'apr~s
d~finies
D'apr~s
6.3.5.),
positives,
12.4.1.
n
2
o
11.4.7,
en un ~ normer w
on a c'est
doric n ~ c e s -
z = • . O
~ ¢ n = ~ ¢o who " P r e n o n s une b a s e o r t h o n o r m ~ e
(Ro)sst~ , (Po)ss'
Comme p = 2(n+ 1)g, E ~st = 0 t
n-2
> O. Q u i t t e
E c~(~n($)),
En p a r t i c u l i e r
~o l e s
Posons (R)sst ~ = (Ro)sst~ + ast, courbure de
~2-41p12+
5.2.5.)
ee q u i e n t r a [ n e
que k '
pb, pob
; comme
p = 2(n+l)g.
:
( p o u r w) e t d ~ s i g n o n s p a r
On a alors
ffi 1 ( d ' a p r ~ s
donc w = w° + d~ e t p = k g . D ' a p r b s
po~ = 2 ( n + l ) w ° ; p ~ = sairement
b2(Pn(~))
quantit~s
obtenues
en 1 1 . 4 . 7 .
(l~n, Jo,W).
Ipl 2 = 8n(n+ 1) 2 = Ipo 12
V set
IRI2 >- ~2-41Po12o + 4s~t ?? IRl2sstt + 2s=iEn ]Rlssss2
+ 4 E
s~t
l ~ s t 12 + 2E l a
ss
12
+
4z
{RoI2s~t~
2
+
2 z IRols~s~
~2o - 41Po 12 + IRo 12 ¢ n
~ f ¢on
mologues. les
autres
=
S ¢o n
Pour qu'on air Rstuv soient
m~me t e n s e u r
de c o u r b u r e
holomorphe constante
puisque
l'~galit~, nuls,
i.e.
~o e s t une c o n s t a n t e il
faut
que Z [ ~ s t 12 = 0 = E [ ~ s s ]2 e t que
que R ffi Ro. C ' e s t
que ( p n , J , W o ) ,
positive".
I1 est
e t w, w° s o n t c o h o -
et est
classique
doric que ( p n , J o ' W ) a
doric "~ c o u r b u r e que c e c i
sectionnelle
entra~ne
l'isomor-
phisme annonc~. 12.4.3.
Th~or~me : Si (X,J,w) est kAhl~rienne
a v e e p = 0 e t c ~ ( T ( X ) ) = 0, a l o r s
(X,J,w)
75
est
un q u o t i e n t
Rest
nulle.
exemple
spectre
que X e s t
fini
d'un tore
de ( ~ n , J o 'mo ) p a r son s p e c t r e riemannienne
savoir
darts q u e l l e les
(Cf.
~,
: voir
~k ~ t a n t
A e s g un o p ~ r a g e u r
avec leur multiplicitY)
mesure il pr~s.
~3]) que l ' o n
d'o~
par
caract~rise
On u g i l i s e
les valeurs
est
la vari~g~
la fonction
propres.
dong l e discreg
eg s a s t r u c -
:
u
=
0
du
~inakshisundaram-Pleyel
a un d ~ v e l o p p e m e n t a s y m p t o t i q u e
de e e g g e f o n c g i o n ,
~ a .it~ a v e c a i = f u i v , l e s u.~ ~ t a n t i~O de X, eg v l a m e s u r e c a n o n i q u e . On p e u t e x p l i c i g e r
riemanniens
;
caracg~risgique
1 O, ~z/4~tln/2
quand t t e n d v e r s
termes
compacte,
propres
b isom~grie
~o e - ~ k t '
ont montr~
premiers
un q u o t i e n t
IRI 2
0 = ~ ~ ~ = ~
Caracg~risation
(ensemble des valeurs
spectre
En e f f e g
p.105.
riemannienne
riants
alors
k~hl~rien.
S u r une v a r i ~ t ~ on v o u d r a i t ture
d'un tore
On s a i g
[24],
12.4.5.
fini
des invales
1 T
Ul
-
6
u2
-
1 (8 2 360
- 21pl2 + 2[RI2)
Th~or~me : S i S p e e ( ~ n , J o ' W ) = S p e c ( ~ n, J o , W o ) ,
alors
( p n , J o ' ~) e s t
isomorphe
b (~n, jo,Wo) " Comme b 2 ( ~ n ) =
1, w = kw
v = f Vo' d ' o ~ k = 1. D ' a p r ~ s eg l e t r o i s i ~ m e
l'~galit~
~(T 2 - 41pl 2 + R 2 ) v e s g un i n v a r i a n t ,
= [ ( T ~ + 2 [ P o ] 2 ) v o. P o u r gouge v a r i ~ g ~
esg ~quivalente
[~ ~ v l 2 ~ ~ 2
~ ce que l a v a r i ~ g ~
2n
• -~n
eour qu'on ~ig l ' ~ g ~ i g ~ d'o~ la conclusio9
§ 5.
t e r m e donne
t e r m e donne ~ ( 5 T2 - 21pl 2 + 2 1 R I 2 ) v = y ( 5 T2-o 2]Po 12+ 21RoI2)Vo
On a donc y ( T 2 + 2 I p l 2 ) v et
12.4.1,
+ d a . Le p r e m i e r
O
~ ~
d'apr~s
2
2 )v
=
Ip[ 2 ~ T2/2n
soig d'Einstein.
2[Po 2
=
o
- ~ ~oVo , i l ~ u g que (~n, ~ o , ~ ) soig d ' m n s g e i n ,
12.4.2.
~__cDs_s~- (q(~(X))_~_T__~__C_ON_~CT__V~____DE__CA__L~__I_ |
12.5.1.
Dans l ' e s p r i t faisons
soig ~ l'ensemble w + id'd"f
varier
w " d a n s une m~me c l a s s e
des foncgions
f : X ~ •
de K ~ h l e r " .
q u i song ~
> 0. A l o r s ~ f E ~ on a une s t r u c t u r e
Maintenang la courbure est
de p~ E e ~ ( T ( X ) ) p o u r ( X , J , w ) v a r i ~ g ~ k A h l ~ r i e n n e ,
n~cessairement
de R i e c i
de c e t t e
~ g a l e ~ P ~w + i d ' d " f
et gelles
k~hl~rienne
structure
= Pw + i d ' d " g ,
C'esg-~-dire que
w + id'd"f.
kAhl~rienne
b ' Pw+id'd"f' o~ g = X ~ ~ e s t
:
76
~-~ ( d ' a p r ~ s
6.3.5
de c o h o m o l o g i e ,
ef parce
~ savoir
que Pw+id ~ 'd"-$ e f p ~ a p p a r t i e n n e n t
c i ( T ( X ) ) ). c~l
Dana
five et l o c a l e m e n t une c o n s t a n t e
12.5.2.
additive
Exemples i)
existe
surjeetive
surjeetive.
dire
d'applications
d6finie,
de la conjecture
w la structure
h E ~(X).
de Calabi est
en f o n e t i o n
de f ,
qu'b
inifiale
la conjecture
: p~E c i ( T ( X ) ) =
~ f telle
w telle que p : =
il
0 donc ~ . 3 . ~
que =
0
telle que c~(T(X))
fini de fore. En effef,
X une structure kShlSrienne
= 0. Alora
:
de Rieci nulle.
~ id'd"(-h) Pw +
=
Soit X compacfe hghl~rienne
Alors X eat un quofient
(si elle $fait d~montr4e)
telle que c~(T(X))
~ courbure
k~hl4rienne
D'apr~s
pb w+id' d"f ii)
:
pros).
Soit X compaete kghl~rienne
soit
= id'd"h,
~$me e l a e a e
Cal est injec-
de p~. La conjecture
g n'est
aur X une structure k~hl4rienne
En e f f e t ,
~ la
une a p p l i c a t i o n
de ce que l'application
au voiainage
(A v r a i
donc a i n s i
~'(x).
-
[5] on trouvera une d4monstration
que C a l e a t
p
, ~
On d 4 f i n i t
dVapr~s
= c~(T(X))
= 0.
i), on peut mettre
aur
0. II n'y a plus qutb appliquer
12.4.3.
12.5.3.
Remarque
:
Trouver f felle ver f telle
que l a
que p 0~ v + i d ' d " f
structure
En e f f e t
(11.5.3)
on a p
d~finies
a e u l e m e n f en 6 c r i t u r e
kghl6rienne
= idtd"log
a ~ue s e n s
intrins~que)
v,
locale),
idWd.g (v/v'
=
P
+ id'd"g
c~+ i d ' d " f
air
est
6quivalenf
une f o r m e v o l u m e d o n n S e .
b+idtd,,f = i d ' d " l o g Pw
v I (v, v'
d'o~
~ b id, d.log = P c v + i d t d " f - Pw =
; ainsi
v/v'
= constante
~ frou-
x e g.
vt
sont
BIBLI
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complex and complex
INDEX
vari~t~
T ERMI
6.4.3
Ab~lienne Adjoint
vari~t~
1.3.10
formel
6.5.4
d'Albanese
vari~t~
Alg~brique
vari~t~
Analytique
n o m b r e s de
Betti
t h ~ o r ~ m e de conjecture
de
1.1.7
de
tore
2.1.1
complexe
5.1.6
Bertini
10.8.2
Calabi
12.5.
Caract~ristique classes
N 0 L 0 6 1 QUE
7.3.5
d'Euler-Poincar~
Chern
8.2.3
Complexe
3.2.3 1.1.I
Coordonn~es Courbure dtune p r o b l ~ m e de
11.2.1
connexion
9.1.5
Cousin Crochet de deux champs de vecteurs
1.2.1
Degr~ dtun diviseur
9.4.1
D~rivation covariante
1.3.6
Diviseur
9.1.
Diviseur exceptionnel
4.2.1
Diviseur principal
9.1.3
g r o u p e s de
Dolbeault
2.4.4
t h ~ o r ~ m e de
Dolbeault
2.4.4
Dualit~ de Serre
7.3.5
Eclatement dtun point
4.1.2
Eclatement
4.2.1
dtune sous-vari~t~
diviseur
Effectif
9.1.5
forme
Effective
6.1.1
structure riemannienne
dt
12.4.2
Einstein Bspace homog~ne
1.3.3
et
5.2.1
Espace homog~ne riemannien
1.3.3
Espace riemannien sym~trique
5.2.2
Fibr~ canonique K
8.1.3
Fibr~ en droites
8
Fibr~ image inverse
7.1.
80
espace
f o r m u l e de
Fibr~ normal
7.1
Fibr~
8.1.2
standard
Fibr~ vectoriel
7.1
Fonctions
de p l a c e
9.1.8
Fonctions
de t r a n s i t i o n
8.1.1
Formes d i f f e r e n t i e l l e s
1.2.2
Forme de K a h l e r
3.1.2
Gauss-Bonnet
9.5.2
Genre a r i t h m ~ t i q u e
7.3.5
Germes
1.2.2
forme
Harmonique
5.1.3
espace vectoriel
Hermitien
2.3.2
structure,
Hermitienne
2.3.1
Hodge
6.4.4
vari~t~
vari~t~
de
t h ~ o r ~ m e de
structure complexe
H o d g e - d e Rham
Immersion
1.1.5
Index
6.2.5
presqueInt~grable
grouped' de
vari~t~ surface
et 5.1.3 2.1.1
2.2.3
Intersection
vari~t~
1.2.4
Holomorphe
de
complete
1.1.8
Isomorphismes musicaux
1.3.4
Isotropie
1.3.3
Jacobi
6.5.4
Kflhl~rienne
3.1.2
Kflmmer
6.3.3 5.1.3
Laplacien t h ~ o r ~ m e de
10.2
Lefschetz Morphismes
I.I.2. et
Op~rateur diff~rentiel 0p~rateur vari~t~
de
diff~rentiel
2.1.1 5.3.1
elliptique
5.5.1
Picard
6.5.3
Plongement
1.1.6
diviseur
Positif
9.1.5
fibr~
Positif
8.5
2 - f o r m e de t y p e ~ 1
Positive
2.3.3
structure
Presque-complexe
2.2.1
diviseur
Principal
9.1.3
Projectif
3.2.2
en d r o i t e s
/
81
groupe s
de Rham
1.2.4
t h ~ o r ~ m e de
de Rham
1.2.4
vari~t~
Riemannienne
1.3.1
S y m b o l e s de C h r i s t o f f e l
1.3.8
Symbole d ' u n
op~rateur
5.3.3
diff~rentiel
espace
Tangent
1.1.3
a p p l i c a t i on
Tangente
1.1.4 5.2.3
Tore 3.2.3
Tore complexe Type d ' u n e Vanishing
et
2.1.4
forme d i f f ~ r e n t i e l l e
8,5
theorem
1.1.1
Vari~t~ Vari~t~ forme
6.4.2
alg~brique
1.1.7
1.3.4
Volume
0 @
et
2.4.3
INDEX
DES
NOTATIONS
A r ( x ) , Ar(X)
1.2.2
A r ( x ) , A P ' q ( x ) , A_P'q(x)
2.1.4
Ar(X,E)
7.2.1
AP'q(X,E)
7.2.2
~(x)
1.2.4
~'q(x)
2.4.4
b
6.2.5
P,q
C
2.1.4
c!
12.2
1
~m
2.1.1
I~...1j
1.3;8
C
8.2.3
d'
d"
2 4.1
d"
7.2.2
5
1.3.10
5t
5"
2.4.6
5"
7.3.2
A
5.1.3
D(X)
9.1.7
~)
9.1.2
:~'q
2.4.4
~'q(X,E)
7.2.3
F(x)
8.1.3
a~(x)
1.2.4
~P'q(x)
2.4.4
h
6.2.5
P,q
Hr(X,R)
1.2.4
/
83
"HP' q ( X , C )
2.4.4
"HP' q ( X , E )
7.2.3
x~(x) ;~(x)
5.1.4 6.2.3 6.2.3
u3~P' q ( X , E )
7.3.3
J,
2.1.2
J
x
K
7.3.5
et
L, A
8.1.3 6.1.1 9.1.1
0pn(1), P
8.1.2
OX, Ox(D)
21.4
P,q
Pic(X)
82.5
S
81.2
Tx(x)
11.3 11.4
T~(x), T,(x), T,,, ~,
~*, ~(x)
21.3 3.1.2
O~
2.4.4 8.2.1
xP(x,E)
7.3.5
w~>O
2.3.3
j(c(B))
>
o
8.5
[]
5.1.6
D
7.3.2
4~
1.3.4
m
b,#
1.3.4
et 7.3.2 7.3.2
R
8.1.2
