Theoretische Meteorologie: Eine Einführung, 3.Auflage GERMAN

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Author: Dieter Etling

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Dieter Etling Theoretische Meteorologie

Dieter Etling

Theoretische Meteorologie Eine Einführung

3. erweiterte und aktualisierte Auflage Mit 149 Abbildungen

123

Professor Dr. Dieter Etling Leibniz Universität Hannover Institut für Meteorologie und Klimatologie Herrenhäuser Straße 2 30419 Hannover [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN 978-3-540-75978-2 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 10 3-540-42815-1 2. Auflage 2002 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 10 3-582-06661-X 1. Auflage 1996 Vieweg Verlag Wiesbaden

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 2008 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Satz: Druckreife Vorlage des Autors Herstellung: Christine Adolph Gedruckt auf säurefreiem Papier 30/2133/CA 5 4 3 2 1 0

Vorwort Die Atmosph¨ are der Erde stellt ein ungemein komplexes System physikalischer und chemischer Wechselwirkungen dar. Jeder Satellitenﬁlm, zusammengestellt aus zeitlich aufeinander folgenden Aufnahmen der Erdatmosph¨ are, zeugt eindrucksvoll von der Dynamik dieses Systems. Dieses Buch m¨ ochte die physikalischen Grundlagen dieser Dynamik untersuchen und daraus eine theoretische Beschreibung f¨ ur eine Vielzahl atmosph¨arischer Ph¨ anomene ableiten, wie sie etwa anhand der Wolkenstrukturen im nachstehenden Satellitenbild sichtbar werden. Der vorliegende Text war urspr¨ unglich als Lehrbuch f¨ ur das Fach Theoretische Meteorologie im Diplomstudiengang Meteorologie konzipiert. Die hier vorliegende dritte Auﬂage f¨ allt in die Zeit der Umstellung auf die Bachelor- und MasterStudieng¨ ange, wobei die Inhalte der Theoretischen Meteorologie je nach Universit¨atsstandort verschiedenen Modulen zugeordnet werden. Auch wenn sich das Buch haupts¨ achlich an Studierende der Meteorologie wendet, so werden Studierende der Physik und der Ozeanographie ebenfalls inhaltlich angesprochen. Der Inhalt dieses Buches ist in sich geschlossen und kann daher als Begleiter entsprechender Kursvorlesungen wie auch f¨ ur das Selbststudium dienen. Um der notwendigen Beschr¨ankung des Umfangs Rechnung zu tragen, wird der Leser im Literaturverzeichnis zu jedem Kapitel auf weiterf¨ uhrende Lehr- und Fachb¨ ucher verwiesen. Im Gegensatz zur Theoretischen Physik ist der Vorlesungs- und Pr¨ ufungsstoﬀ der Theoretischen Meteorologie noch stark von den individuellen Interessen des jeweiligen Hochschullehrers gepr¨agt. Aus diesem Grunde folgt das vorliegende Lehrbuch schwerpunktm¨aßig der traditionellen Ausrichtung auf die Thermodynamik und Dynamik der Atmosph¨are. Darauf wird in der Einleitung noch n¨ aher einzugehen sein. Andere Spezialgebiete mit stark theoretischen Komponenten wie etwa die Strahlungsphysik und die Wolkenphysik einschließlich Konvektion sind hier nur am Rande vertreten. Fachkollegen, die diese Gebiete als Schwerpunkte ihres Ausbildungsinhaltes gew¨ahlt haben, m¨ogen mir dies nachsehen. Dieses Buch ist aus einem Skriptum hervorgegangen, das ich f¨ ur die Kursvorlesungen Theoretische Meteorologie an der Universit¨ at Hannover verfasst hatte. In der hier vorliegenden dritten Auﬂage wurden neben der u ¨blichen Korrektur von Fehlern, die sich leider immer wieder in fertige Druckerzeugnisse einschleichen, zahlreiche Erg¨anzungen zu einzelnen Abschnitten vorgenommen. Ansonsten wurde der im großen und ganzen bew¨ahrte Stoﬀ beibehalten, ohne Anspruch auf Vollst¨ andigkeit f¨ ur das Gebiet der Theoretischen Meteorologie zu erheben. Vielmehr soll im vorliegenden Lehrbuch ein gewisses Grundlagenwissen u ¨ber Thermodynamik und Dynamik der Atmosph¨ are vermittelt werden, welches dann durch das Studium von weiterf¨ uhrenden Texten, wie sie im Literaturverzeichnis aufgelistet sind, erg¨ anzt werden kann. Die Satellitenbilder im Text wurden freundlicherweise von den Kollegen

VI

Vorwort

M.Eckardt und W.Wehry von der FU Berlin zur Verf¨ ugung gestellt. F¨ ur die Realisierung des Buchprojektes sei den beteiligten Mitarbeitern des Springer-Verlags herzlich gedankt.

Bild 1 Satellitenbild der Norwegischen See und Skandinaviens. Die Wolkenformationen zeigen eine Vielzahl atmosph¨arischer Str¨omungsph¨anomene: eine Karmansche Wirbelstraße im Lee der Insel Jan Mayen (rechts oben), eingebettet in linien- und zellenf¨ormige Muster der thermischen Konvektion, Leewellen im Gebirgsbereich S¨ udnorwegens, Wolkenstraße u ¨ber Mittelschweden sowie einen kleinr¨aumigen zyklonalen Wirbel in der N¨ahe des Nordkaps (rechts unten)

Dieter Etling

Hannover, im November 2007

Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ uhrung und Deﬁnitionen 1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Physikalische Gr¨oßen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Vektor- und Tensornotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Gase 2.1 2.2 2.3 3 Der 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

1 1 2 3

und Gasgemische 9 Thermodynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Reale Gase und Gasgemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Erste Hauptsatz der Thermodynamik Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erster Hauptsatz und Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . Das Joulesche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Speziﬁsche W¨armen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionale Zusammenh¨ange f¨ ur Energie und Enthalpie Zustands¨anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adiabatische Zustands¨anderungen . . . . . . . . . . . . .

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are 4.1 Wasserdampf als ideales Gas . . . . . . 4.2 Feuchtemaße . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Zustandsgleichung f¨ ur das Gemisch 4.4 Speziﬁsche W¨armen f¨ ur feuchte Luft . 4.5 Heterogene Systeme . . . . . . . . . . . 4.6 Latente W¨armen . . . . . . . . . . . . 4.7 Der Wasserdampfdruck bei S¨attigung .

. . . . . . . . . . . . . . feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 17 19 21 23 24 26 28

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31 31 32 33 35 37 39 44

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are 5.1 Der thermodynamische Zustand der Atmosph¨ are 5.2 Zur diabatischen W¨armezufuhr δQ . . . . . . . . 5.3 Zur Ber¨ ucksichtigung der latenten W¨arme L . . . 5.4 Kondensation in der Atmosph¨are . . . . . . . . . 5.5 Der Treibhauseﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . .

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49 49 50 56 58 61

6 Der 6.1 6.2 6.3 6.4

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65 65 66 72 75

vertikale Aufbau der Atmosph¨ are Das Geopotential . . . . . . . . . . . Die statische Grundgleichung . . . . Der vertikale Temperaturgradient . . Die statische Stabilit¨at . . . . . . . .

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VIII 6.5

Inhaltsverzeichnis Innere Energie und potentielle Energie in der Atmosph¨ are . . . . 81

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften 7.1 Die Eulersche Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Die Divergenz von Geschwindigkeitsfeldern . . . . 7.3 Die Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Die Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes . . . 7.6 Die Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Das Geschwindigkeitspotential . . . . . . . . . . . 7.8 Stromfunktion und Geschwindigkeitspotential . .

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87 87 89 91 93 94 96 98 99

8 Die Kontinuit¨ atsgleichung 101 8.1 Fl¨ usse und Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2 Die Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.3 Bodendrucktendenz und Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . . . . . . 105 9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen 9.1 Die Schwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Die Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Zur Ursache von atmosph¨arischen Bewegungsvorg¨ angen 9.4 Die Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft . . . . . . . 9.6 Die Bewegungsgleichungen im rotierenden System . . . 9.7 Analyse der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . 9.8 Die Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten . . . . 9.9 Die Bewegungsgleichungen im p-System . . . . . . . . .

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107 107 108 111 115 117 124 125 127 129

10 Der 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

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135 135 137 140 142 144 146

11 Die Vorticitygleichung 11.1 Vorticitygleichung f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung . . 11.2 Stromfunktion und Vorticitygleichung . . . . . . . . . . . . 11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung 11.4 Die linearisierte Vorticitygleichung . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Die Zirkulationsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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149 149 152 153 159 162

geostrophische Wind Deﬁnition des geostrophischen Windes . . . . . . . . Der thermische Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geostrophischer und thermischer Wind im p-System Barotrope und barokline Atmosph¨are . . . . . . . . . Gradientwind und zyklostrophischer Wind . . . . . . Skalenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange 169 12.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Inhaltsverzeichnis 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

IX

Gleichungen f¨ ur synoptische Bewegungsvorg¨ ange . . . Quasi-geostrophische Gleichungen . . . . . . . . . . . Die Omega-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die potentielle Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . Energiegleichungen f¨ ur eine reibungsfreie Atmosph¨ are Die Boussinesq-Approximation . . . . . . . . . . . . .

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170 172 176 177 180 183

13 Wellen in der Atmosph¨ are 13.1 Periodische Bewegungen in der Atmosph¨ are: Wellen . 13.2 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Externe Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Interne Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Schwerewellen u ¨ber ebenem Untergrund . . . 13.3.4 Schwerewellen u ¨ber nicht-ebenem Untergrund

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187 187 189 190 191 195 199 201

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese 207 14.1 Stabilit¨ atsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14.2 Barotrope Instabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.3 Barokline Instabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 14.3.1 St¨orungsgleichungen f¨ ur das Zwei-Schichten-Modell . . . . 214 14.3.2 St¨orungsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.3.3 Erl¨auterungen zum Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at222 14.4 Kleinr¨ aumige Instabilit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 15 Wirbeldynamik 15.1 Wirbel in der Atmosph¨are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Die Wirbelgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Mechanismen der Wirbelbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231 . 231 . 232 . 233

16 Einf¨ uhrende Bemerkungen zur Allgemeinen Atmosph¨ arischen Zirkulation 237 16.1 Die Allgemeine Atmosph¨arische Zirkulation . . . . . . . . . . . . 237 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung 243 17.1 Numerische Wettervorhersage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 17.2 Einf¨ uhrung in die Klimamodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . 250 18 Bewegungsgleichungen mit Reibung 255 18.1 Oberﬂ¨ achenkr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 18.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 18.3 Einfache L¨osungen der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . 262 19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

267

X

Inhaltsverzeichnis 19.1 19.2 19.3

Begriﬀe und Regeln zu Mittelbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 267 Die Reynolds-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte . . . 275

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung 20.1 Gleichung f¨ ur die gesamte kinetische Energie . . . . . . . . . 20.2 Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung 20.3 Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Maßzahlen f¨ ur die Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Mikro- und Makroturbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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281 281 282 283 287 291

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht 297 21.1 Die Einteilung der atmosph¨arischen Grenzschicht . . . . . . . . . 297 21.2 Die bodennahe Grenzschicht: Die Prandtl-Schicht . . . . . . . . . 299 21.3 Das Windproﬁl in der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . . . . . . . 300 21.4 Das Windproﬁl bei diabatischer Schichtung . . . . . . . . . . . . . 303 21.4.1 Erl¨auterungen zum allgemeinen Sprachgebrauch . . . . . . 303 21.4.2 Die Monin-Obukhov-Stabilit¨atsl¨ ange . . . . . . . . . . . . 304 21.4.3 Das Windproﬁl und der Diﬀusionskoeﬃzient . . . . . . . . 305 21.4.4 Die Proﬁlfunktionen in der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . 307 21.5 Das Potenzproﬁl f¨ ur die Windgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 309 21.6 Das Temperaturproﬁl in der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . . . . 312 21.6.1 Temperaturproﬁl und Proﬁlfunktion . . . . . . . . . . . . 312 21.6.2 Die Proﬁlmethode f¨ ur turbulente Fl¨ usse . . . . . . . . . . 315 21.7 Die atmosph¨arische Grenzschicht: Ekman-Schicht . . . . . . . . . 316 21.8 Die H¨ ohe der atmosph¨arischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . 320 21.9 Die turbulente Schubspannung in der Ekman-Schicht . . . . . . . 321 21.10 Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht . . . . . . . . . 322 21.11 Grenzschicht-Modelle mit einem Mischungswegansatz . . . . . . . 327 21.12 Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are 328 21.13 Die instation¨are Ekmanschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 21.14 Das Temperaturproﬁl in der Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . 336 22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are 22.1 Die Diﬀusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Die Konzentrationsverteilung f¨ ur momentane Punktquellen . 22.3 Konzentrationsverteilung f¨ ur kontinuierliche Punktquellen . 22.4 Die Konzentrationsverteilung als Gaußsche Normalverteilung 22.5 Diﬀusion unter Ber¨ ucksichtigung des Erdbodens . . . . . . . 22.6 Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung . . . . . . 22.7 Lagrange Partikelmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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341 341 343 345 348 349 351 354

Literaturverzeichnis

361

Sachwortverzeichnis

371

1 1.1

Einfu ¨ hrung und Deﬁnitionen Einleitung

Eine allgemein akzeptierte Charakterisierung der Theoretischen Meteorologie als Hochschulfach st¨ oßt auf Schwierigkeiten. Zum einen sind in den Kursvorlesungen die thematischen Schwerpunkte relativ stark von den pers¨ onlichen Pr¨ aferenzen der Hochschullehrer bestimmt, zum anderen haben sich in den letzten Jahrzehnten zahlreiche Teilgebiete der Theoretischen Meteorologie zu umfangreichen und eigenst¨ andigen Spezialdisziplinen entwickelt. Schaut man daher in aktuelle Lehr- und Fachb¨ ucher, wie sie etwa im Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrt sind, stellt man u ¨berraschenderweise fest, dass dort der Begriﬀ Theoretische Meteorologie nirgendwo auftritt. Stattdessen wird der Begriﬀ Dynamische Meteorologie (im Englischen: Dynamic Meteorology) verwendet. Dies kommt wohl daher, dass vor einigen Jahrzehnten Meteorologie meist nur aus synoptischer Meteorologie bestand, unser Fach sich also haupts¨ achlich mit der Beobachtung des Wettergeschehens befasste. Die dazugeh¨ orige theoretische Interpretation bezeichnete man dagegen als dynamische Meteorologie. Das Wort Dynamik heißt soviel wie Bewegung, und so k¨ onnte man die dynamische Meteorologie als die Theorie der Atmosph¨arenbewegungen bezeichnen. In der Tat befasst sich auch das vorliegende Lehrbuch fast ausschließlich mit den Bewegungsvorg¨angen in der Atmosph¨are und deren Entstehung. Andere Teilgebiete der Meteorologie haben nat¨ urlich auch eine starke theoretische Komponente. Es seien hier die Gebiete Wolkenphysik und Strahlungs¨ ubertragung besonders genannt, die sich mittlerweile als Spezialdisziplinen etabliert haben. Trotzdem wird wohl die Dynamische Meteorologie den Hauptteil der Vorlesungen und Pr¨ ufungsinhalte des Faches Theoretische Meteorologie ausmachen. Aus diesem Grund hat das vorliegende Buch den Titel Theoretische Meteorologie erhalten. Der Aufbau des Buches ist der folgende: Nach dieser Einleitung und einigen Deﬁnitionen, die im weiteren verwendet werden, befassen sich die Kapitel 2 bis 5 mit der Thermodynamik der Atmosph¨are. Kapitel 6 behandelt die Vertikalstruktur der Erdatmosph¨are und schließt damit die Beschreibung der ruhenden Atmosph¨ are ab. Mit Kapitel 7 bis 15 kommt sozusagen Bewegung in die Meteorologie. Hier werden die Eigenschaften von Geschwindigkeitsfeldern aufgezeigt und die Bewegungsgleichungen f¨ ur atmosph¨arische Str¨omungsvorg¨ ange in den verschiedensten Approximationen dargestellt. Dabei werden alle in der Atmosph¨ are wirkenden Kr¨ afte ber¨ ucksichtigt, außer der Reibungskraft. Dies ist eine brauchbare N¨ aherung f¨ ur synoptische Vorg¨ange (z. B. Entstehung von Tiefdruckgebieten), so dass in diesem Teil des Buches schwerpunktm¨aßig die großr¨ aumige Dynamik der Atmosph¨ are beschrieben wird.

2

1 Einf¨ uhrung und Deﬁnitionen

Die Kapitel 16 und 17 u arische Zirkulation und ¨ber die Allgemeine Atmosph¨ die Numerische Wettervorhersage sind als Erg¨anzung zu den bis dahin beschriebenen physikalischen Grundlagen von Thermodynamik und Dynamik gedacht. Diese Teilgebiete – fr¨ uher meist im Zyklus Theoretische Meteorologie integriert – haben sich in den letzten Jahrzehnten dermaßen ausgeweitet, dass sie heute als Spezialvorlesungen angeboten werden. An dieser Stelle soll deshalb nur ein kurzer Einblick in diese Gebiete der Meteorologie gegeben werden. Die bisher vernachl¨assigte Reibungskraft wird in Kapitel 18 eingef¨ uhrt. Mit der Problematik, dass die Atmosph¨are als turbulente Str¨ omung aufgefasst werden muss, befassen sich Kapitel 19 und 20. Die Turbulenz hat ihre gr¨ oßte Bedeutung in der atmosph¨ arischen Grenzschicht, die ausf¨ uhrlich in Kapitel 21 behandelt wird. Als Verkn¨ upfung zwischen theoretischer Meteorologie und der Umweltproblematik kann schließlich das letzte Kapitel u ¨ber die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are aufgefasst werden. Insgesamt kann man die Kapitel 18 bis 22 unter dem Begriﬀ Dynamik mit Reibung, Turbulenz und Diﬀusion zusammenfassen. Wie bereits eingangs erw¨ahnt, wird der Leser ausf¨ uhrliche Darstellungen zur Strahlung sowie zur Wolkenphysik (einschließlich Konvektion) vergeblich suchen. Zwar haben diese Teilgebiete ausgesprochen theoretische Komponenten, jedoch haben sie sich zu eigenen umfangreichen Spezialdisziplinen entwickelt, wie auch aus dem Literaturverzeichnis zu ersehen ist. Da das Hauptinteressengebiet des Autors auf der Dynamik der Atmosph¨are liegt, wird auf die genannten Teilgebiete hier nur hingewiesen.

1.2

Physikalische Gr¨ oßen und Einheiten

Die in diesem Buch beschriebenen Grundlagen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange lassen sich durch physikalische Gesetzm¨ aßigkeiten beschreiben. Neben der mathematischen Form dieser Beziehungen m¨ ussen stets die dabei auftretenden physikalischen Einheiten ber¨ ucksichtigt werden. Wir halten uns dabei an das internationale Einheitensystem (SI-Einheiten), dessen Grundeinheiten wie folgt festgelegt sind: Gr¨ oße L¨ange Masse Zeit Temperatur

Einheit Meter Kilogramm Sekunde Kelvin

Symbol m kg s K

Aus den Grundeinheiten lassen sich abgeleitete Gr¨ oßen deﬁnieren, die nachfolgend dargestellt sind.

1.3 Vektor- und Tensornotation Gr¨ oße Kraft Druck Energie Leistung

3

Einheit Symbol in Grundeinheiten Newton Pascal Joule Watt

N Pa J W

kg m s−2 N m−2 Nm J s−1

In der Meteorologie verwenden wir als thermodynamische Grundgr¨ oßen die Lufttemperatur (Einheit Kelvin) und den Luftdruck (Einheit Pascal). F¨ ur letzteren gilt hinsichtlich der fr¨ uheren Bezeichnungen Bar bzw. Millibar: Luftdruck:

1 bar = 105 Pa 1 mbar = 100 Pa = 1 hPa (Hektopascal)

Als dynamische Gr¨oße tritt noch die Windgeschwindigkeit hinzu, die in der praktischen Meteorologie in die Windrichtung (geographische Orientierung) und den Geschwindigkeitsbetrag (Einheit: m s−1 ) aufgespalten wird. Bei der Behandlung atmosph¨arischer Schwingungen und Wellen tritt auch der Begriﬀ der Frequenz auf. Mit der Schwingungsdauer τ (Zeitdauer f¨ ur eine Periode des Vorgangs) erhalten wir Gr¨ oße Schwingungsdauer Frequenz Kreisfrequenz

1.3

Deﬁnition Einheit τ 1/τ 2π/τ

Symbol

Sekunde s Hertz Hz, s−1 Radians/Sekunde Rad s−1

Vektor- und Tensornotation

Die Vorlesungen u anen meist ¨ber Theoretische Meteorologie sind in den Studienpl¨ erst nach dem Vordiplom vorgesehen. Es kann deshalb vorausgesetzt werden, dass bereits Kenntnisse u ¨ber Diﬀerential- und Integralrechnung einschließlich partieller Diﬀerentialgleichungen und Vektoranalysis vorliegen. Aus diesem Grund sollen hier lediglich die Notation hinsichtlich der Vektor- und Tensorschreibweise ausgef¨ uhrt werden, wie sie in diesem Buch verwendet wird. Bei der Frage, ob die Gleichungen in Vektor- oder Tensorschreibweise verwendet werden sollen, hat jeder Autor von B¨ uchern aus dem Bereich der Meteorologie eigene Ansichten. Da in den Fachzeitschriften beide Notationsarten verwendet werden, h¨ alt es der Verfasser f¨ ur sinnvoll, wenn die Studenten mit beiden Schreibweisen gleichermaßen vertraut sind. Deshalb werden in diesem Buch beide Methoden verwandt.

4

1 Einf¨ uhrung und Deﬁnitionen

...... z, 3, k, e 3 .. ... .. .. .. ... .. ... ....... y, 2, j, e2 .... .. ................ .. ........................... ...................... ..................... ..................... ..................... ....................... ....... x, 1, i, e1

Bild 1.1 Das kartesische Koordinatensystem mit den im Buch verwendeten Bezeichnungen

In den ersten Teilen u ¨ber Thermodynamik und Dynamik ohne Reibung wird u ¨berwiegend die Vektorschreibweise verwendet, wobei Vektoren durch Fettdruck der Buchstaben gekennzeichnet werden (z. B. A, v). Im letzten Teil u ¨ber Dynamik mit Reibung und Turbulenz wird praktisch ausschließlich die Tensorschreibweise (Indexschreibweise) verwendet (z. B. Ai , uk ). Bevor auf die genaue Notation eingegangen wird, muss man sich auf ein Koordinatensystem festlegen. Im folgenden gehen wir von einem rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystem aus, wie es in Bild 1.1 gezeigt ist. Die Bezeichnung der einzelnen Koordinaten wird wie folgt festgelegt: Gr¨ oße

Vektorform Tensorform

Koordinatenachsen – horizontal – vertikal Einheitsvektoren – horizontal – vertikal

x, y z

x1 , x2 x3

i, j k

e1 , e2 e3

Die Vektor- und Indexschreibweise lauten f¨ ur einen Ortsvektor x = xi + yj + zk

und

xi ei = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3

und entsprechend f¨ ur einen allgemeinen Vektor A = Ax i + Ay j + Az k

und

Ai ei = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 .

Speziell gilt f¨ ur den Geschwindigkeitsvektor v v = ui + vj + wk

und

ui ei = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3

mit den horizontalen Komponenten u, v bzw. u1 , u2 und der vertikalen Komponente w bzw. u3 . F¨ ur das Skalarprodukt der Einheitsvektoren gelten die Regeln

1.3 Vektor- und Tensornotation i·j=i·k=j·k=0

5 i·i=j·j=k·k=1 ,

und

und f¨ ur das Vektorprodukt die Beziehungen i×j=k ,

i × k = −j ,

j×k=i .

Die Skalar- bzw. Vektorprodukte beliebiger Vektoren A und B folgen den Regeln A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz , A × B = (Ay Bz − Az By ) i + (Az Bx − Ax Bz ) j + (Ax By − Ay Bx ) k . Bei der Tensorschreibweise (Indexschreibweise) erh¨ alt man f¨ ur das Skalarprodukt zun¨ achst formal A · B = Ai ei · Bi ei

= (A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 ) · (B1 e1 + B2 e2 + B3 e3 ) = A1 B1 e1 · e1 + A2 B2 e2 · e2 + A3 B3 e3 · e3 = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 .

Um nicht immer formal das Skalarprodukt unter Mitf¨ uhrung der Einheitstensoren e1 , e2 und e3 durchf¨ uhren zu m¨ ussen, hat man die sogenannte Summationskonvention eingef¨ uhrt: Treten in einem Ausdruck Indizes doppelt auf, so wird u ¨ber diese summiert. Dabei werden auch die Einheitstensoren ei fortgelassen, so dass sich das Skalarprodukt vereinfacht schreiben l¨asst als A · B = Ai Bi =

3

Ai Bi = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 .

i=1

Das Vektorprodukt A × B kann man mit Hilfe des alternierenden Einheitstensors ijk in der Tensorschreibweise wie folgt darstellen: A × B = ijk Aj Bk ei = (A2 B3 − A3 B2 )e1 + (A3 B1 − A1 B3 )e2 + (A1 B2 − A2 B1 )e3 . Der sogenannte alternierende Einheitstensor εijk , auch Permutationssymbol genannt, hat folgende Eigenschaften: ε123 = ε231 = ε312 = +1 ε132 = ε213 = ε321 = −1 εijk = 0 sonst

1

1

+ AK 2 - 3

− AU 2 3

Außer Vektoren und Skalaren werden im weiteren noch deren r¨ aumliche Ableitungen ben¨ otigt. Da im allgemeinen eine Funktion von allen drei Raumkoordinaten abh¨ angt (z. B. ψ(x,y,z)), ben¨otigen wir die partiellen Diﬀerentiale:

6

1 Einf¨ uhrung und Deﬁnitionen ∂ , ∂x

∂ , ∂y

∂ ∂z

bzw.

∂ , ∂x1

∂ , ∂x2

∂ . ∂x3

Diese werden h¨ auﬁg im sogenannten Nabla-Operator ∇ zusammengefasst: ∇=i

∂ ∂ ∂ +j +k . ∂x ∂y ∂z

In der Tensorschreibweise lautet dieser: ∇ = ei

∂ ∂ ∂ ∂ = e1 + e2 + e3 . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3

Mit den bisher vereinbarten Schreibweisen wollen wir einige immer wieder auftretende Diﬀerentialoperatoren in Vektor- und Tensorschreibweise auflisten. Als Operanden werden zur Veranschaulichung f¨ ur einen Vektor die Geschwindigkeit v und f¨ ur einen Skalar die potentielle Temperatur θ gew¨ ahlt. Entsprechend der Summationskonvention werden in der Tensornotation die Einheitsvektoren e fortgelassen. Eine Komponente eines Tensors erh¨ alt man, indem man statt i die gew¨ unschte Koordinate einsetzt, also z. B. i = 3 f¨ ur die z-Koordinate. Gradient: ∇θ =

∂θ ∂θ ∂θ i+ j+ k, ∂x ∂y ∂z

∂θ ∂θ ∂θ ∂θ = e1 + e2 + e3 . ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂x3 Divergenz: ∇·v =

∂u ∂v ∂w + + , ∂x ∂y ∂z

∂uk ∂u1 ∂u2 ∂u3 = + + . ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂x3 Advektion: v · ∇θ = u

uk

∂θ ∂θ ∂θ +v +w , ∂x ∂y ∂z

∂θ ∂θ ∂θ ∂θ = u1 + u2 + u3 . ∂xk ∂x1 ∂x2 ∂x3

1.3 Vektor- und Tensornotation

7

Advektion von v: v · ∇v

∂u ∂u u ∂u ∂x + v ∂y + w ∂z i

=

∂v + v ∂v + w ∂v j u ∂x ∂y ∂z

+

∂w ∂w u ∂w ∂x + v ∂y + w ∂z k ,

+

uk

∂ui ∂xk

=

∂u1 ∂u1 1 u1 ∂u ∂x + u2 ∂x + u3 ∂x e1 1

+ +

2

∂u2 ∂u2 2 u1 ∂u ∂x + u2 ∂x + u3 ∂x e2 1

3

2

3

∂u3 ∂u3 3 u1 ∂u ∂x + u2 ∂x + u3 ∂x e3 . 1

2

3

Laplace-Operator:

Rotation:

∇×v ∂uk εijk ∂xj

=

=

∇2 θ

=

∂2θ ∂2θ ∂2θ + + , ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

∂2θ ∂x2k

=

∂2θ ∂2θ ∂2θ + 2+ 2 . 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3

∂w ∂v − i+ ∂y ∂z

∂u3 ∂u2 − e1 + ∂x2 ∂x3

∂u ∂w − j+ ∂z ∂x

∂u ∂v − k, ∂x ∂y

∂u1 ∂u3 − e2 + ∂x3 ∂x1

∂u2 ∂u1 − e3 . ∂x1 ∂x2

Zum Schluss noch einige Regeln zur Vektoranalysis. Es seien A und B Vektoren und ψ ein Skalar. F¨ ur diese gelten folgende Regeln: ∇ × ∇ψ = 0 ∇ · (∇ × A) = 0 ∇ · (ψA) = ψ∇ · A + (A · ∇)ψ ∇ × (ψA) = ψ∇ × A + (∇ψ) × A = ψ∇ × A − A × (∇ψ) ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A) ∇ × (A × B) = A(∇ · B) + (B · ∇)A − B(∇ · A) − (A · ∇)B ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A A × (∇ × B) − (A × ∇) × B = A∇ · B − (A · ∇)B .

2

Gase und Gasgemische

2.1

Thermodynamische Systeme

Als System bezeichnet man allgemein Teile von Materie, die physikalische Prozesse durchf¨ uhren k¨onnen und in Wechselwirkung mit ihrer Umgebung (der nicht zum System geh¨ orenden Materie) treten. Nehmen wir als Beispiel einen K¨ uhlschrank. Das System K¨ uhlschrank f¨ uhrt einen thermodynamischen Prozess durch, indem es ein Luftvolumen abk¨ uhlt. Die dazu ben¨ otigte Energie wird aus der Umgebung des Systems aufgenommen (elektrischer Strom aus der Steckdose). Man unterscheidet h¨auﬁg zwischen oﬀenen, geschlossenen und isolierten Systemen, wie in Bild 2.1 dargestellt. Oﬀene Systeme k¨ onnen mit ihrer Umgebung sowohl Masse als auch Energie austauschen; geschlossene Systeme k¨ onnen keine Masse austauschen. Kann ein System weder Masse noch Energie mit seiner Umgebung austauschen, nennt man es ein isoliertes System. Unser Beispiel K¨ uhlschrank stellt ein geschlossenes System dar, wenn seine T¨ ur (luftdicht) verschlossen ist: er empf¨angt von außen nur Energie. Bei ge¨ oﬀneter K¨ uhlschrankt¨ ur kann ein Massenaustausch zwischen kalter K¨ uhlschrankluft und warmer Umgebungsluft stattﬁnden, was ein oﬀenes System darstellen w¨ urde. Unterbindet man bei geschlossener K¨ uhlschrankt¨ ur die Stromzufuhr, so wird weder Energie noch Masse mit der Umgebung ausgetauscht (perfekt isolierende W¨ ande vorausgesetzt): man hat ein (von seiner Umgebung) isoliertes System. Jedem System kann man physikalische Gr¨oßen zuordnen, wie z. B. Druck, Temperatur, Geschwindigkeit, Masse, Energie, Impuls usw. Wenn diese Gr¨ oßen sich mit der Zeit nicht ¨andern, beschreiben sie den Zustand eines Systems und werden dementsprechend Zustandsgr¨ oßen genannt. Im n¨ achsten Abschnitt werden wir sehen, dass die Zustandsgr¨oßen f¨ ur ein Gas sein Volumen, der Druck und die Temperatur sind, der Zustand eines Gases also durch Angabe dieser drei Gr¨ oßen festgelegt ist.

................................................... ...................................................

................................................

oﬀen

.................................................... ...............................................

...............................................

...................................................

geschlossen .....................................................

W¨ armeaustausch Massenaustausch

........... ...................................................... ........................................................ ............................................

.............................. ....................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ............... ......................... ............... ............... . . .. . .............. ................ ................ ......................... ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ .............. .............. . .. .. . . .. .. . ........................ ........................ ............... ............... . .. ............... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ............................... ......................................................................................................................................................

isoliert

w¨ armeleitende Wand isolierende Wand

Bild 2.1 Zum Begriﬀ des Systems. Links ist ein oﬀenes, in der Mitte ein geschlossenes und rechts ein isoliertes System dargestellt.

10

2 Gase und Gasgemische

p, T

p, T +

m, N , V Bild 2.2

p, T

.........................

m, N , V

2m , 2N , 2V

Mischung zweier gleicher Luftmassen

Wenn der Zustand eines Systems an jedem Raumpunkt der gleiche ist, d. h. die Zustandsgr¨ oßen u ¨berall die gleichen Werte haben, nennt man ein System homogen, andernfalls inhomogen. Als Beispiel f¨ ur ein inhomogenes System sei die ruhende Atmosph¨are angef¨ uhrt, bei der sich Luftdruck und Temperatur mit der H¨ ohe ¨ andern. Die physikalischen Eigenschaften eines Systems lassen sich in solche Gr¨ oßen aufteilen, die von der Masse abh¨angen, und solche, die massenunabh¨ angig sind. Die ersteren nennt man extensive, die letzteren intensive Gr¨ oßen. So sind z. B. Druck und Temperatur eines Gases intensive Gr¨ oßen, w¨ ahrend Teilchenzahl und Volumen extensive Gr¨oßen sind. Betrachten wir zur Veranschaulichung zwei homogene Luftmassen, d. h. solche gleichen Drucks und Volumens bei gleicher Temperatur, Masse und Teilchenzahl. Werden diese zun¨ achst isolierten Luftvolumina zusammengebracht, so dass sie anschließend eine homogene Luftmasse darstellen (Bild 2.2), so kann man leicht einsehen, dass Masse, Teilchenzahl und Volumen der so gebildeten Luftmasse gerade doppelt so groß sind wie die einer jeweils einzelnen Luftmasse vor dem Zusammenschluss. Druck und Temperatur bleiben jedoch gleich, unabh¨ angig davon, ob man die Luftvolumina getrennt oder vereinigt betrachtet. Alle speziﬁschen Gr¨ oßen, d. h. solche, die auf eine Masseneinheit bezogen sind, stellen auch intensive Gr¨ oßen dar, wie z. B. das speziﬁsche Volumen (gleich dem Kehrwert der Dichte), die speziﬁsche W¨ arme usw. Wenn sich der Zustand eines Systems, deﬁniert durch die Zustandsvariablen, nicht mit der Zeit ¨andert, nennt man dies einen Gleichgewichtszustand. Jede ¨ ¨ Anderung dieses Zustandes, auch den Ubergang zu einem anderen Gleichgewichtszustand, nennt man einen Prozess. Im weiteren sollen physikalische Prozesse des Systems Atmosph¨ are als Folge von thermischen Zust¨ anden des Gasgemisches Luft betrachtet werden. Der Zustand eines Gases wird charakterisiert durch das Volumen, welches eine bestimmte Masse des Gases einnimmt, durch den Druck und die Temperatur in diesem Gasvolumen, allgemein Z = f (p, T, V ) . Im thermodynamischen Gleichgewicht ist der Zustand eines Gases durch die Zustandsgleichung f (p, T, V ) = 0 bestimmt, d. h. jeweils zwei Zustandsvariablen legen die dritte Variable eindeutig fest. So bestimmt sich z. B. der Druck p eindeutig aus dem Volumen V und der Temperatur T oder die Temperatur aus Druck und Volumen.

2.2 Ideale Gase

11

Diese Gesetzm¨ aßigkeiten m¨ ussen selbstverst¨andlich noch genauer formuliert werden. Dies soll im folgenden Abschnitt geschehen.

2.2

Ideale Gase

Betrachten wir eine Gasmasse m mit N Gasmolek¨ ulen, welche unter dem Druck p und der Temperatur T das Volumen V einnimmt. Wenn wir dieses System Gasmasse als abgeschlossen annehmen, bleiben die Gesamtmasse und die Teilchenzahl konstant; der thermische Zustand der Gasmasse wird also durch Volumen, Druck und Temperatur bestimmt (Bild 2.3). Folgende Zusammenh¨ange lassen sich f¨ ur eine Gasmasse aus experimentellen Untersuchungen ableiten: Das Gay-Lussacsche Gesetz, das nach dem franz¨ osischen Chemiker J. GayLussac (1778–1850) benannt ist, lautet V /T = konstant

bei p = konstant.

(2.1)

Zu Ehren des englischen Physikers R. Boyle (1627–1691) und des franz¨ osischen M¨onches E. Mariotte (1620–1684) wird die folgende Beziehung als das BoyleMariottesche Gesetz bezeichnet: pV = konstant

bei T = konstant.

(2.2)

Aus der Zusammenfassung beider Gesetze erh¨alt man die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase: pV = mRT .

(2.3)

R ist die spezielle Gaskonstante, welche f¨ ur jedes Gas verschieden ist. Wenn man die Masse m kennt, ist durch (2.3) der Zustand des Gases eindeutig bestimmt, da R eine konstante Gr¨oße ist. H¨ auﬁger wird die Zustandsgleichung (auch Gasgleichung genannt) in einer Form angewandt, bei der statt des tats¨achlichen Volumens das speziﬁsche Volumen v = V /m (Volumen pro Einheitsmasse) verwendet wird. Diese Form erh¨ alt man aus der Division von (2.3) durch m:

V , m, N p, T

V m N p T

Bild 2.3

Volumen Masse Teilchenzahl Druck Temperatur

Die Beschreibungsgr¨oßen f¨ ur den thermischen Zustand einer Gasmasse

12

2 Gase und Gasgemische

pv = RT

(2.4)

oder auch, da v die reziproke Dichte ist (v = 1/ρ): p/ρ = RT

oder

p = ρ RT .

(2.5)

Die Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) gilt f¨ ur alle betrachteten Gase, wobei R die auf die Einheitsmasse (1 kg) bezogene Gaskonstante des jeweiligen Gases ist und der individuelle Wert von der Molmasse des Gases abh¨ angt. Betrachtet man jedoch statt des speziﬁschen Volumens dasjenige Volumen, welches durch ein Mol eines Gases eingenommen wird, so erh¨alt man mit vM = v mol , M = Molmasse in Kilogramm, aus (2.4): pv mol = M RT = R∗ T .

(2.6)

R∗

die universelle Gaskonstante, welche f¨ ur alle Gase denselben Hierbei ist Wert hat. Das kommt daher, dass nach der Hypothese von A. Avogadro (Graf von Quaregna und Ceretto, italienischer Chemiker und Physiker, 1776–1856) ein Mol eines jeden Gases die gleiche Anzahl von Teilchen enth¨ alt (Avogadro-Zahl N0 = 6,022 · 1023 Molek¨ ule mol−1 ) und deshalb das Molvolumen f¨ ur alle Gase (bei gleichem Druck und Temperatur) gleich ist. F¨ ur ein einzelnes Molek¨ ul wird die Gaskonstante durch die Boltzmann-Konstante k angegeben, benannt nach L. Boltzmann (¨ osterreichischer Physiker, 1844–1906). Die universelle Gaskonstante, die ja f¨ ur ein Mol gilt, ergibt sich demnach als Produkt aus Boltzmann-Konstante und Avogadro-Zahl: R∗ = k N0 ,

(2.7)

womit sich die Zustandsgleichung auch schreiben l¨ asst als pv mol = kN0 T .

(2.8)

Zu den Konstanten einige Zahlenwerte: Boltzmann-Konstante k Universelle Gaskonstante R∗ Gaskonstante f¨ ur trockene Luft RL

= 1,38 · 10−23 J K−1 = 8,3144 J mol−1 K−1 = 287 J kg−1 K−1 .

Zur Deﬁnition der Temperatur noch einige Bemerkungen: Mit T wird die absolute Temperatur in Kelvin (K) angegeben. Der Name dieser Maßeinheit erinnert an den schottischen Physiker W. Thompson (1824–1907), der seit 1892 als Lord Kelvin bekannt ist. Bei der Festlegung der Zahlenskala f¨ ur die Temperatur setzt man die Temperaturdiﬀerenz zwischen der Temperatur eines Gases u ¨ber einer siedenden Wasseroberﬂ¨ache und bei der Schmelztemperatur des Eises (bei jeweils konstantem Druck von 1 bar) zu 100 K fest. Nach dem Gasgesetz gilt f¨ ur ein bestimmtes Gas bei konstantem Druck:

2.3 Reale Gase und Gasgemische V /T = konstant

oder

13 V1 /T1 = V2 /T2

bzw.

V2 /V1 = T2 /T1 .

Setzt man f¨ ur V1 das Volumen des Gases beim Schmelzpunkt des Eises und f¨ ur V2 das Volumen beim Siedepunkt ein, sowie f¨ ur T1 bzw. T2 die Schmelz- bzw. Siedetemperatur und ber¨ ucksichtigt die Deﬁnition T2 − T1 = 100 K, so erh¨ alt man: V2 T1 + 100 K = . T1 V1 Durch Messung der Volumina V1 und V2 erh¨alt man den Wert der Temperatur f¨ ur den Schmelzpunkt des Eises T1 aus obiger Beziehung. Es ergibt sich: T1 = TSchmelz (H2 O bei 1 bar) = 273,15 K . Damit ist die Kelvin-Skala eindeutig festgelegt. Bildet man Temperaturdiﬀeren¨ zen, so ergibt die Festlegung der Kelvin-Skala eine Ubereinstimmung mit der h¨auﬁg verwendeten Celsius-Skala, deren Name an den schwedischen Astronomen A. Celsius (1701–1744) erinnert. Eine Temperaturdiﬀerenz von 1 K (Kelvin) entspricht der Temperaturdiﬀerenz 1 ◦ C (Grad Celsius). Der Zusammenhang der Absolutwerte von Kelvin- und Celsius-Graden ergibt sich aus der Festlegung des Nullpunktes der Celsius-Skala beim Schmelzpunkt von Eis: 0 ◦C = 273,15 K . Es soll allerdings noch einmal darauf hingewiesen werden, dass bei Angaben der absoluten Temperatur, z. B. in der Zustandsgleichung, immer die Kelvin-Skala verwendet werden muss.

2.3

Reale Gase und Gasgemische

Die im vorigen Abschnitt aufgestellte Zustandsgleichung gilt f¨ ur ideale Gase, d. h. f¨ ur solche, bei denen Kraftwirkungen zwischen den Molek¨ ulen innerhalb eines Gasvolumens nicht ber¨ ucksichtigt werden. Als Zustandsgleichung f¨ ur nichtideale, also f¨ ur reale Gase, ist die van der Waalssche Gleichung bekannt (nach J. van der Waals, niederl¨ andischer Physiker, 1837–1923):

p+

a (v − b) = RT . v2

(2.9)

14

2 Gase und Gasgemische

a und b sind Materialkonstanten, die von dem jeweiligen Gas abh¨ angen. Der Term a/v 2 stellt einen Zusatzdruck dar, welcher durch die Anziehungskr¨ afte zwischen den einzelnen Molek¨ ulen entsteht. Die Gr¨oße b stellt ein Restvolumen in Rechnung, welches dadurch entsteht, dass ein Gas nicht beliebig dicht komprimiert werden kann, da die Molek¨ ule selbst ein endliches Volumen haben. F¨ ur die Atmosph¨ are kann man das Gemisch trockene Luft mit guter N¨ aherung als ideales Gas ansehen, w¨ ahrend Wasserdampf mehr zu den realen Gasen gerechnet werden m¨ usste (in der Praxis wird jedoch auch der Wasserdampf als ideales Gas behandelt). Die Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) gilt zun¨achst f¨ ur jedes ideale Gas der gleichen Zusammensetzung, d. h. in dem betrachteten Volumen sind nur Molek¨ ule der gleichen Substanz vorhanden. Dementsprechend sind die Gaskonstante R und das speziﬁsche Volumen v bzw. die Dichte ρ materialabh¨ angig. Nun wissen wir aber, dass das atmosph¨arische Gas, also die Luft, ein Gasgemisch ist, sich also aus Anteilen verschiedener Gase zusammensetzt. Wie sieht nun die Zustandsgleichung f¨ ur ein Gemisch idealer Gase aus? Deﬁnieren wir dazu einen Partialdruck und ein Partialvolumen f¨ ur ein Gasgemisch. Der Partialdruck pi der i-ten Komponente eines Gasgemisches ist derjenige Druck, den dieses Gas aus¨ uben w¨ urde, wenn es bei gleicher Temperatur das Vo¨ lumen ausf¨ ullen w¨ urde, welches das Gasgemisch innehat. Ahnlich l¨ asst sich das Partialvolumen als dasjenige Volumen Vi deﬁnieren, welches das i-te Gas ausf¨ ullen w¨ urde, wenn es die gleiche Temperatur und Druck h¨ atte wie das Gasgemisch. F¨ ur Gasgemische gilt hinsichtlich des Gesamtdruckes p und des Gesamtvolumens V das Daltonsche Gesetz (nach J. Dalton, englischer Chemiker, 1766– 1844):

p=

pi

f¨ ur

T, V = konstant ,

(2.10)

Vi

f¨ ur

T, p = konstant .

(2.11)

i

V =

i

In Worten ausgedr¨ uckt: Der Gesamtdruck eines Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrucke; das Gesamtvolumen ist gleich der Summe der Partialvolumina. Das gleiche gilt auch f¨ ur die Partialmassen und die Partialdichten: m = i mi und ρ = m/V = i mi /V = i ρi . F¨ ur jedes Gas des Gemisches gilt ferner die Zustandsgleichung: pi V = mi Ri T .

(2.12)

Durch Anwendung des Daltonschen Gesetzes (2.10) ergibt als Gasgleichung f¨ ur das Gemisch: pV =

(mi Ri )T .

i

¯ f¨ Deﬁniert man nun eine mittlere Gaskonstante R ur das Gasgemisch,

(2.13)

2.3 Reale Gase und Gasgemische

¯≡ R

15

Ri mi /m , m = Gesamtmasse ,

i

so erh¨ alt man als Zustandsgleichung f¨ ur ein Gasgemisch: ¯ pV = mRT

¯ oder pv = RT

¯ . oder p = ρRT

(2.14)

F¨ ur ein Gasgemisch gilt also die gleiche Zustandsgleichung wie f¨ ur ein einzelnes Gas. Man muss lediglich das speziﬁsche Volumen und die speziﬁsche Gaskonstante f¨ ur das jeweilige Gemisch kennen. Die trockene Atmosph¨are (d. h. ohne den Wasserdampf) setzt sich etwa wie folgt zusammen: Gas Stickstoﬀ Sauerstoﬀ Argon Sonstige

Symbol Anteil [Volumen-%] N2 O2 Ar

78,110 % 20,953 % 0,934 % 0,003 %

Man erh¨ alt f¨ ur die Gaskonstante des Gemisches trockene Luft: ¯ = 287 J kg−1 K−1 . R

(2.15)

¯ fortgelassen und die GaskonIm weiteren wird der Mittelbildungsstrich u ¨ber R stante der Luft wie u ¨blich mit R bezeichnet.

3 3.1

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik Innere Energie

Betrachten wir als Beispiel eines abgeschlossenen Gasvolumens einen Luftballon, welcher sich in der Atmosph¨are bewegt. Dem System Luftballon k¨ onnen wir zu jeder Zeit eine kinetische Energie zuordnen, welche sich aus der Masse des Ballons und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit ergibt. Ebenso k¨ onnen wir seine potentielle Energie angeben, die der Ballon im Schwerefeld der Erde besitzt. Betrachten wir aber die mikroskopische Struktur des Systems Ballon, n¨ amlich die in dem Gasvolumen eingeschlossenen Gasmolek¨ ule, so besitzt jedes einzelne Molek¨ ul aufgrund seiner Eigenbewegung innerhalb des Gasvolumens eine kinetische Energie. Demzufolge kann man dem Gesamtvolumen des Gases eine Energie zuordnen, welche der Summe der kinetischen Energien aller im Volumen vorhandenen Molek¨ ule proportional ist. Diese Energieform nennt man innere Energie, da sie sich aus der mikroskopischen Struktur eines Systems ergibt. Man kann zur inneren Energie auch gewisse Bindungsenergien der Molek¨ ule hinzurechnen, etwa bei Festk¨ orpern, jedoch wollen wir uns hier auf Gase beschr¨ anken, bei denen die kinetische Energie der Molek¨ ule bereits beim Temperaturbegriﬀ eine wichtige Rolle spielte. Obwohl die genaue Deﬁnition der inneren Energie erst im folgenden gegeben wird, kann man schon aus dem eben erw¨ ahnten Zusammenhang zwischen kinetischer Energie der Molek¨ ule und Temperatur schließen, dass die innere Energie eines Gases seiner Temperatur proportional ist. Im weiteren betrachten wir die innere Energie eines idealen Gases. Der Zustand eines idealen Gases wird, wie im vorigen Abschnitt erl¨ autert, durch die Zustandsvariablen p, T, V, m und N bestimmt. Die innere Energie, hier zun¨ achst mit E bezeichnet, h¨angt nicht von der kinetischen und potentiellen Energie des (makroskopischen) Systems Gasvolumen ab, sondern nur vom Zustand des Gasvolumens, also von seinen Zustandsvariablen. Man bezeichnet deshalb die innere Energie E auch als Zustandsfunktion eines Gases, deﬁniert durch: dass E = f (p, T, V, m, N ) .

(3.1)

¨ Wir interessieren uns jetzt f¨ ur die Anderung der inneren Energie eines Gasvolumens. Betrachten wir dazu ein Gasvolumen der Masse m, dessen Zustand durch die Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) beschrieben werde. Da seine innere Energie eine Zustandsfunktion der Zustandsvariablen Druck, Temperatur und Volumen ist, ¨ ¨ wird man eine Anderung der inneren Energie durch eine Anderung des Zustandes des Gasvolumens erreichen k¨onnen. Nehmen wir den Fall einer Gasmasse

18

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. . . . . . . . .... .. . . . . . . . . .......... . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . ........ ... .... .... .... .... . . . . . . . .. ... .. .. .. . . . . . . . . ............ .... .... .... . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . ........ .. . . . . . . . ..... .. .. . . . .. . .. . .. . . . .. . .. .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ . . . . . . . . . . . . . .T2. . . . . T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p

dV

V m

.................

dx Bild 3.1 Ausdehnung eines Gasvolumens durch W¨armezufuhr. m und p seien konstant. Der geschl¨ angelte Pfeil kennzeichnet eine W¨armezufuhr, der gerade Pfeil eine Arbeitsleistung durch das System (hier die Ausdehnung von V ).

¨ unter konstantem Druck an, so erfolgt eine Zustands¨ anderung durch Anderung der Gastemperatur und/oder des Gasvolumens. Wie kann dies praktisch durchgef¨ uhrt werden? Einmal kann die Temperatur des Gasvolumens durch W¨ armezufuhr von außen erh¨oht werden, etwa mittels W¨armeleitung durch Kontaktnahme mit einem K¨ orper h¨ oherer Temperatur, wie im obigen Beispiel dargestellt. Diese Temperaturerh¨ohung kann ihrerseits zu einer Ausdehnung des Gasvolumens bei konstant gehaltenem Druck f¨ uhren, was sich in einer Verschiebung des beweglichen Kolbens (siehe Bild 3.1) und damit in einer Verrichtung von Arbeit durch das System ausdr¨ uckt. Nat¨ urlich k¨ onnte man auch das Volumen des Gases verringern, indem man den beweglichen Kolben zur Komprimierung des Volumens verwendet, was bei steigendem Druck ebenfalls zu einer Temperaturerh¨ ohung f¨ uhren w¨ urde. In diesem ¨ Fall h¨ atte man Arbeit an dem System Gasvolumen verrichtet. Eine Anderung der inneren Energie der Gasmasse, die unter dem Kolben eingeschlossen ist, l¨ asst sich durch Zufuhr (bzw. Entzug) von W¨arme oder durch Verrichtung mechanischer Arbeit am System (oder durch das System) erreichen. Setzen wir jetzt noch voraus, dass sich die (makroskopische) kinetische und potentielle Energie der Gasmasse nicht ¨andert (etwa ruhendes Gasvolumen), so folgt ¨ aus dem Prinzip der Erhaltung der Energie, dass die Anderung der inneren Energie dem Betrag nach gleich der Summe aus zugef¨ uhrter W¨ arme und am System ¨ geleisteter Arbeit sein muss. Bezeichnet man die Anderung der inneren Energie mit dE, die zugef¨ uhrte W¨armemenge mit δQ und die vom System verrichtete Arbeit mit δA, so l¨asst sich diese Aussage wie folgt formulieren: dE = δQ − δA .

(3.2)

Die Beziehung (3.2) nennt man den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Er stellt eine Anwendung des Prinzips der Energieerhaltung auf ein ideales Gas ¨ dar und verkn¨ upft die Anderung der inneren Energie eines Gasvolumens mit den Energieformen W¨arme und Arbeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Gleichungen und Gesetzm¨ aßigkeiten tr¨ agt der Erste Hauptsatz der Thermodynamik nicht den Namen eines Wissenschaftlers.

3.2 Erster Hauptsatz und Enthalpie

19

Die Formulierung des Ersten Hauptsatzes wird aber im allgemeinen auf den deutschen Arzt R. Meyer (1814–1878), den englischen Physiker J. Joule (1818– 1889) und den deutschen Physiker H. von Helmholtz (1821–1894) zur¨ uckgef¨ uhrt. ¨ In (3.2) sind die Vorzeichen so gew¨ahlt, dass die Anderungen vom System aus als positiv gerechnet werden, wenn eine Zunahme der inneren Energie, eine Zufuhr von W¨ arme oder eine an dem System geleistete Arbeit stattﬁndet. (Dies wird in verschiedenen Lehrb¨ uchern unterschiedlich deﬁniert!) Zur Verwendung der Diﬀerenzensymbole d und δ noch eine Bemerkung: Der Operator d stellt ein Diﬀerential dar, w¨ahrend δ lediglich eine kleine Quantit¨ at beschreiben soll, also keinesfalls den Regeln der Diﬀerentialrechnung unterliegen ¨ muss. Dass die Anderung der inneren Energie E mit dE bezeichnet werden kann, liegt daran, dass E eine Zustandsfunktion f¨ ur ideale Gase ist, also eindeutig von den Zustandskoordinaten p, V, T, m, N abh¨angt. Die zugef¨ uhrte W¨ armemenge δQ und die geleistete Arbeit δA sind aber keine Zustandsfunktionen des Systems; sie geben vielmehr den Austausch von Energie mit der Umgebung des Systems an. Bis hier wurde weder eine genaue Deﬁnition der inneren Energie gegeben, noch wurde die geleistete Arbeit konkreter gefasst. Beides soll im n¨ achsten Abschnitt geschehen. Es sei nur noch angemerkt, dass man den Ersten Hauptsatz (3.2) auch als allgemeine Deﬁnition f¨ ur die innere Energie (in diﬀerentieller Form) ansehen ¨ kann: Die Anderung der inneren Energie ist gleich der Diﬀerenz zwischen der dem System zugef¨ uhrten W¨arme und der vom System geleisteten Arbeit.

3.2

Erster Hauptsatz und Enthalpie

Im Falle des im vorigen Abschnitt dargestellten Systems eines unter konstantem Druck in einem Volumen mit beweglichem Kolben eingeschlossenen Gases wollen wir die vom System geleistete Arbeit berechnen. Wenn man mit F die Fl¨ ache des Kolbens und mit K die auf die Kolbenﬂ¨ache wirkende Kraft bezeichnet, so ergibt sich f¨ ur die vom Gasvolumen geleistete Arbeit (Verschiebung des Kolbens um dx durch Ausdehnung des Volumens von V auf V + dV ): δA = K dx = pF dx = p dV ,

K = pF , p = konstant

(hier ist dV > 0, da Ausdehnung!). Die durch das System geleistete Arbeit ist gleich dem Produkt aus Druck und Volumenvergr¨ oßerung. In diesem Zusammenhang ist noch anzumerken, dass bei dem hier dargestellten System mit beweglichem Kolben der Druck innerhalb des Gasvolumens mit dem Druck der Umgebung im Gleichgewicht steht (statischer Druck). Bei Ausdehnung des Gases wird vom System Arbeit gegen den ¨außeren Druck aufgewendet, bei Komprimierung Arbeit gegen den Druck im Gasvolumen geleistet. Mit der obigen Beziehung f¨ ur die durch Expansion geleistete Arbeit l¨ asst sich der Erste Hauptsatz (3.2) konkretisieren:

20

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

dE = δQ − p dV .

(3.3)

In dieser Form ist noch die Masse des jeweiligen betrachteten Gasvolumens mit ber¨ ucksichtigt, d. h. V ist das tats¨achliche Volumen der Gasmasse und δQ und dE die der gesamten Masse zugef¨ uhrte W¨arme bzw. Zunahme der inneren Energie. Bezieht man jedoch die Energieumsetzungen auf die Einheitsmasse (1 kg) und bezeichnet man die speziﬁschen Werte der einzelnen Gr¨ oßen mit kleinen Symbolen, so lautet (3.3), auf die Einheitsmasse bezogen: de = δq − p dv ,

e=

E . m

(3.4)

F¨ ur die Dimension von E bzw. e gilt: [E] = 1 Ws = 1 J = 1 kg m2 s−2 ,

[e] = 1 J/kg = 1 m2 s−2 .

Bezeichnet d ein Diﬀerential, dann gilt p dV = d(pV ) − V dp , und der Erste Hauptsatz in der Form (3.3) wird zu dE = δQ − d(pV ) + V dp bzw. d(E + pV ) = δQ + V dp . Die Gr¨ oße E + pV bezeichnet man als Enthalpie H: H = E + pV .

(3.5)

Den speziﬁschen Wert der Enthalpie (pro Masseneinheit) bezeichnet man mit h. Aus (3.5) ergibt sich: h = e + pv = e +

p . ρ

(3.6)

Die Enthalpie hat die Dimension einer Energie. Ihre Bedeutung als physikalische Gr¨oße wird in den folgenden Abschnitten bei der n¨ aheren Betrachtung des Ersten Hauptsatzes klar. Man kann jedoch bereits feststellen, dass auch die Enthalpie eine Zustandsfunktion f¨ ur ideale Gase ist, da die innere Energie eine solche Funktion darstellt und sowohl Druck als auch Volumen Zustandsvariablen sind. Mit der Enthalpie erhalten wir eine neue Form f¨ ur den Ersten Hauptsatz: dH = δQ + V dp ,

(3.7)

3.3 Das Joulesche Gesetz

m, T

Vakuum

p1 , V1

m=0 p=0

Bild 3.2

21

..........................

m, T p 2 , V2

Versuch zum Jouleschen Gesetz

dh = δq + v dp .

(3.8)

Die Formen (3.3), (3.4) und (3.7), (3.8) f¨ ur den Ersten Hauptsatz sind v¨ ollig ur die ¨aquivalent, da sie lediglich aus diﬀerentieller Umformung des Ausdrucks f¨ geleistete Arbeit entstanden sind. Es verbleibt die Aufgabe, innere Energie und Enthalpie auf die bekannten Zustandsgr¨oßen wie Druck, Temperatur oder Volumen zur¨ uckzuf¨ uhren, damit der Erste Hauptsatz eine f¨ ur die Handhabung geeignetere Form erh¨ alt. Dies soll in den folgenden Abschnitten geschehen.

3.3

Das Joulesche Gesetz

Im Zusammenhang mit der Herleitung des Ersten Hauptsatzes wurde festgestellt, dass ein Gasvolumen bei Ausdehnung gegen den ¨außeren Druck Arbeit verrichtet. Nun ist es aber auch m¨oglich, dass sich ein Gas ausdehnt, ohne Arbeit zu leisten, wie im Zweikammersystem in Bild 3.2 dargestellt wird. Das Gas in der linken Kammer expandiert nach Wegnahme der Trennwand in die evakuierte rechte Kammer und nimmt im Endzustand das Volumen V2 ein. Bei dieser Expansion leistet es keine Arbeit, da in der evakuierten Kammer kein Druck herrscht (δA = p dV = 0). Da die Gasmasse nach der Expansion ein gr¨oßeres Volumen einnimmt als vorher, muss dies aufgrund der Zustandsgleichung (2.3)–(2.5) eine Ver¨anderung von Druck oder Temperatur oder beider Gr¨ oßen zur Folge haben. Wenn man das dargestellte Zweikammersystem noch gegen die Umgebung isoliert, so dass kein W¨armeaustausch mit dieser stattﬁnden kann, so ﬁndet man bei Durchf¨ uhrung des beschriebenen Experimentes, dass die Temperatur des Gases konstant bleibt. Das ist die Aussage des Jouleschen Gesetzes: Ein Gas, welches keine W¨ arme erh¨ alt, bzw. abgibt und welches keine Arbeit leistet, ¨ andert bei Ausdehnung seine Temperatur nicht. Symbolisch ausgedr¨ uckt lautet das Joulesche Gesetz etwa so: dT = 0 f¨ ur δQ = δA = 0 , aber: dp = 0, dV = 0 .

(3.9)

F¨ ur das oben beschriebene System folgt aber aus dem Ersten Hauptsatz: dE = 0, d. h. ein isoliertes System, welches keine Arbeit leistet, ¨ andert seine innere Energie nicht. Diese Aussage aus dem Ersten Hauptsatz und das Ergebnis des Jouleschen Gesetzes haben eine wichtige Konsequenz zur Folge. F¨ ur ein Gas der Masse m

22

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

h¨angt die innere Energie, wie in den vorigen Abschnitten erl¨ autert, nur von den ¨ Zustandsgr¨ oßen p, V oder T ab. Ebenso ist eine Anderung der inneren Energie ¨ mit einer Anderung der Zustandsgr¨oßen verkn¨ upft: E = f (p, V, T ) ,

dE = f (dp, dV, dT ) .

Hier symbolisieren f und f allgemein Funktionen. Wenn aber nach dem Joule¨ ¨ schen Gesetz eine Anderung von Druck und Volumen keine Anderung der Temperatur zur Folge hat und in diesem Fall sich die innere Energie des Systems auch nicht ¨ andert, folgt daraus, dass die innere Energie allein eine Funktion der Temperatur ist: dE = f (dT ) ,

E = f (T ) .

(3.10)

Aus diesem wichtigen Zusammenhang gelingt es im folgenden Abschnitt, einen funktionalen Zusammenhang zwischen innerer Energie und Temperatur herzustellen. Aus der Beziehung (3.10) und der Deﬁnition f¨ ur die Enthalpie (3.6) kann man folgern, dass auch die Enthalpie nur von der Temperatur des Gases abh¨ angt: dH = d(E + pV ) = d(E + mRT ) = dE + mR dT = f (dT ) + mR dT . F¨ ur die Enthalpie ergibt sich: dH = g (dT ) ,

H = g(T ) .

(3.11)

Hier symbolisieren g und g allgemein Funktionen. Die Aussagen (3.10) und (3.11) ergaben sich, wenn man die Masse des betrachteten Gases konstant gehalten hatte; da sowohl innere Energie als auch Enthalpie extensive Gr¨ oßen sind, also von der Masse abh¨ angen, kann man nat¨ urlich E und H selbst bei konstanter Temperatur ¨ andern, indem man die Masse des Gasvolumens vergr¨ oßert oder verkleinert. Will man den Einﬂuss der Zustandsgr¨oße m auf die Aussage u ¨ber Energie und Enthalpie eliminieren, muss man auf die speziﬁschen Werte (pro Masseneinheit) u ¨bergehen:

de = f (dT ) , dh = g (dT ) ,

e = f (T ) , h = g(T ) .

(3.12) (3.13)

3.4 Speziﬁsche W¨armen

3.4

23

Speziﬁsche W¨ armen

Wenn man einer Gasmasse W¨arme zuf¨ uhrt, kann man dadurch die Temperatur der Gasmasse erh¨ ohen. Nun ist von Interesse, welche W¨ armemenge notwendig ist, um eine Einheitsmasse eines bestimmten Gases um eine gewisse Temperaturdiﬀerenz zu erh¨ ohen. Das Verh¨altnis von zugef¨ uhrter W¨ armemenge pro Masseneinheit und Temperaturerh¨ohung bezeichnet man als speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at oder kurz auch als speziﬁsche W¨ arme: δq . (3.14) dT Die speziﬁsche W¨ arme c h¨angt im allgemeinen von den Materialeigenschaften des betrachteten Stoﬀes ab und kann f¨ ur Gase, Fl¨ ussigkeiten und Festk¨ orper angegeben werden. Bei Gasen spielt es noch eine Rolle, unter welchen Umst¨ anden W¨ arme zugef¨ uhrt wird: Soll das Gas keine Ausdehnungsarbeit leisten, so h¨ alt man bei der W¨ armezufuhr sein Volumen konstant; l¨asst man eine Ausdehnung zu, so wird die W¨ arme bei konstantem Druck zugef¨ uhrt. Dementsprechend deﬁniert man zwei verschiedene W¨ armekapazit¨ aten f¨ ur Gase: c≡

cv cp

δq ≡ , dT v = konst.

δq ≡ . dT p = konst.

(3.15) (3.16)

Im Falle konstanten Volumens wird die zugef¨ uhrte W¨ arme nur zur Temperaturerh¨ohung des Gases verwendet. Im Falle konstanten Druckes wird gem¨ aß dem Ersten Hauptsatz ein Teil der W¨armemenge zur Temperaturerh¨ ohung genutzt, w¨ahrend ein anderer Teil zur Arbeitsleistung verwendet wird. Um bei konstantem Druck die gleiche Temperaturerh¨ohung zu erhalten wie bei konstantem Volumen, muss im ersten Fall eine gr¨oßere W¨armemenge zugef¨ uhrt werden als im zweiten. Das bedeutet f¨ ur die speziﬁschen W¨armen: cp > cv . Als Zahlenbeispiele seien die speziﬁschen W¨ armen f¨ ur trockene Luft genannt: cv = 717

J , kg K

cp = 1005

J . kg K

Verkn¨ upfen wir die Deﬁnitionen der speziﬁschen W¨ armen mit den Aussagen des Ersten Hauptsatzes, so folgt f¨ ur v = konstant, d. h. dv = 0, aus (3.4): de = δq ,

v = konstant .

F¨ ur p = konstant, d. h. dp = 0, folgt aus (3.8):

(3.17)

24

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik dh = δq ,

p = konstant .

(3.18)

Die Deﬁnition der speziﬁschen W¨armen l¨asst sich dann mit der speziﬁschen inneren Energie bzw. Enthalpie wie folgt schreiben:

cv cp

3.5

de = , dT v = konst.

dh = . dT p = konst.

(3.19) (3.20)

Funktionale Zusammenh¨ ange fu ¨ r Energie und Enthalpie

Fassen wir die Resultate aus dem Jouleschen Gesetz und die Deﬁnitionen der W¨armekapazit¨ aten zusammen, so sehen wir, da sowohl e als auch h nicht von v und p, sondern nur von T abh¨ angen, dass in den Beziehungen (3.19), (3.20) die Einschr¨ ankungen v = konstant bzw. p = konstant fallen gelassen werden k¨onnen. Es ergeben sich damit eindeutige Beziehungen zwischen innerer Energie und Enthalpie einerseits und Temperatur andererseits:

de = cv dT , dh = cp dT .

(3.21) (3.22)

Um die Energie bzw. Enthalpie selbst zu erhalten, m¨ usste man (3.21) bzw. (3.22) bei konstantem Volumen bzw. bei konstantem Druck integrieren:

e = h =

cv dT + ae ,

v = konstant ,

(3.23)

cp dT + ah ,

p = konstant .

(3.24)

Die Integration l¨ asst sich ausf¨ uhren, wenn man die Abh¨ angigkeit der speziﬁschen W¨armen von der Temperatur kennt. F¨ ur Gase sind die speziﬁschen W¨ armen nur in geringem Maße temperaturabh¨angig, so dass man sie mit guter N¨ aherung als konstant ansehen kann. Bleibt noch die Bestimmung der Konstanten ae und ah , welche nichts anderes als ein Referenzniveau f¨ ur die Energie bzw. Enthalpie darstellen. Will man keine negativen Werte f¨ ur e und h zulassen, so w¨ ahlt man als Referenzzustand e(T = 0) und h(T = 0) und setzt e(T = 0) = h(T = 0) = 0. Mit diesen Bedingungen ergibt die Integration von (3.23), (3.24):

e = cv T , h = cp T .

(3.25) (3.26)

3.5 Funktionale Zusammenh¨ange f¨ ur Energie und Enthalpie

25

Setzen wir jetzt die Beziehungen (3.21), (3.22) f¨ ur die speziﬁsche innere Energie und Enthalpie in den Ersten Hauptsatz (3.4) bzw. (3.8) ein, so erhalten wir:

= δq − p dv , = δq + v dp .

cv dT cp dT

(3.27) (3.28)

oder in der h¨ auﬁg verwendeten Form:

δq = cv dT + p dv , δq = cp dT − v dp .

(3.29) (3.30)

In der Form (3.29) sagt der Erste Hauptsatz aus, dass die zugef¨ uhrte W¨ armemenge δq einmal eine Temperaturerh¨ohung bei konstantem Volumen bewirkt und zum anderen bei konstant gehaltenem Druck das Gasvolumen vergr¨ oßert. In der Form (3.30) erfolgt die Temperaturerh¨ohung bei konstantem Druck, zum anderen wird der Druck bei konstantem Volumen ver¨andert. Gleichung (3.29) l¨ asst sich wie folgt umformen: δq

= cv dT + p dv = cv dT + d(pv) − v dp = cv dT + R dT − v dp = (cv + R)dT − v dp .

Durch Vergleich mit der Form (3.30) erh¨alt man die Beziehung: cv + R = cp ,

cp − cv = R .

(3.31)

Das Verh¨ altnis von Gaskonstante R zu speziﬁscher W¨ arme bei konstantem Druck bezeichnet man nach dem franz¨osischen Mathematiker S. Poisson (1781–1840) als Poisson-Konstante κ: κ≡

R cp − cv = cp cp

(3.32)

Ebenso wie die Beziehung (3.32) wird im folgenden noch das Verh¨ altnis der speziﬁschen W¨ armen zueinander h¨auﬁg auftreten: η ≡ cp /cv . F¨ ur trockene Luft ergeben sich folgende Zahlenwerte: κ = 0,286 ,

η = 1,4 .

(3.33)

26

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

p ...... p ... .. . .. T = konstant .. ... ..... ... . ...... ..... ..... . ... .... ....... ................ ... ... ...... ..... ......... .. ............. T ..... .. ...... 2 .. ....... .. .................. .. T1 ... T1 < T2 .. ...................................................................................... v (a) p = c1 v1 Bild 3.3

3.6

. v ....... ...... .. .. ... p = konstant ... v = konstant ..... ..... ... ... ..... ..... . v . ..... ..... 1 . ..... ..... .... p1 .. ... ... . ..... ..... . ..... ...... . .... . ....... .... ...... .. . .. . . ... .. .... .v .... ...... p2 .... ... .. ....... 2 .... . . . . . . . . . ...... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ... .. ... ..... .... ... ....... ............ ... ....... ............ .. .............. p1 < p2 v1 < v2 .. ................ .................. ................................................................................... ............................................................................................ T T (b) p = c2 T (c) v = c3 T

Beispiele f¨ ur thermodynamische Diagramme

Zustands¨ anderungen

Betrachten wir eine Einheitsmasse eines beliebigen Gases, so k¨ onnen wir den Zustand dieser Gasmasse durch die Angabe der Werte ihrer Zustandsvariablen p, v, T oder von Zustandsfunktionen wie Energie e oder Enthalpie h festlegen. ¨ Jede Zustands¨ anderung einer Gasmasse manifestiert sich also in der Anderung von Zustandsvariablen oder Zustandsfunktionen. Wie bereits fr¨ uher angedeutet, ¨ bezeichnet man den Ubergang von einem Zustand in einen anderen, also eine Zustands¨ anderung, auch als Prozess. F¨ ur ein Gas ist eine der drei Zustandsvariablen, also Druck, Temperatur oder Volumen, jeweils durch die beiden anderen auf Grund der Zustandsgleichung (2.4) eindeutig festgelegt. Dementsprechend gelingt es, den Zustand einer Gasmasse zu ver¨andern, obwohl jeweils eine der Zustandsgr¨ oßen konstant bleibt. Dies sei an den sogenannten Zustandsdiagrammen veranschaulicht; hierbei sind als Koordinaten jeweils zwei Zustandsvariablen gew¨ ahlt, z. B. p und v, w¨ ahrend die dritte Gr¨ oße, z. B. die Temperatur, als Iso-Linie in diesem Koordinatensystem dargestellt wird. Der Zustand einer Gasmasse wird durch einen Punkt in diesem Diagramm dargestellt; dort sind p, v und T eindeutig durch die Zustandsgleichung miteinander verkn¨ upft. Beispiele von solchen thermodynamischen Diagrammen sind in Bild 3.3 dargestellt. Eine Zustands¨ anderung w¨ urde sich f¨ ur eine Gasmasse dadurch manifestieren, dass diese von einem Zustand p1 , T1 , v1 in einen Zustand p2 , T2 , v2 u uhrt ¨bergef¨ wird. Wenn bei dieser Zustands¨anderung jeweils eine der Zustandsgr¨ oßen konstant bleibt, bezeichnet man eine solche Zustands¨ anderung als: isobar isochor isotherm

bei p = konstant bei v = konstant bei T = konstant .

So w¨ are z. B. eine isotherme Zustands¨anderung eine solche, bei der eine Gasmasse ihren Druck erniedrigt und dabei ihr Volumen erh¨ oht, ohne dabei ihre Temperatur zu ver¨ andern.

3.6 Zustands¨ anderungen ... p ...... ... ... ... .. ... .. ... ... ... ....Z2 =(p2 ,v2 ,T2 ) ... .. .. ... ..............................•......... .. ...... ......... .. ..... .•.. ... .... T2 .. . . ...Z1 =(p1 ,v1 ,T1 ) ..... ..... .. T1 ... ... ........................................................................................................................ v (a)

27 ...... ... ... ... ... ... ... ... Z2 =(p2 ,v2 ,T2 ) .. v=konstant . .. ........ ... ... ........... ... . .... .. ... ...• .. ... .................................................................................................. ......... ..... . . . .. . . . ......... .......... ... •.... ...p=konstant ..... T2 .. ...Z1 =(p1 ,v1 ,T1 )......... ..... .. T1 ... ... ........................................................................................................................ v (b) p

Bild 3.4 Zustands¨anderungen von Z1 nach Z2 im thermodynamischen Diagramm (a) auf beliebigem Wege entlang der Zustandskurve, (b) in jeweils isobaren und isochoren Teilschritten.

In der graphischen Darstellung bezeichnet man entsprechend die Linien gleicher Temperatur als Isotherme, gleichen Druckes als Isobare und gleichem Volumen als Isochore. Bei den oben genannten Zustands¨anderungen k¨ onnte man den jeweiligen Zustand in den Diagrammen dadurch bestimmen, dass man sich auf einer Linie mit konstantem T , p oder v bewegt und dabei die jeweils zugeh¨ origen Werte der Zustandskoordinaten bestimmt. Nat¨ urlich k¨ onnen auch solche Zustands¨anderungen erfolgen, bei denen sich alle drei Variablen, T , p und v, ¨andern. Eine solche Zustands¨ anderung ließe sich z. B. in einem p, v-Diagramm darstellen (Bild 3.4, linker Teil). Diese beliebige Zustands¨ anderung l¨asst sich aber auch dadurch erreichen, dass sie in kleinere Einzelschritte zerlegt wird, wobei man, vom Ausgangszustand p1 , v1 , T1 ausgehend, durch abwechselnd isobare und isochore Zustands¨ anderungen den Zustand p2 , v2 , T2 erreicht. Die Zustandskurve gibt an, in welchem thermodynamischen Zustand sich das betrachtete Gasvolumen beﬁndet, wenn es vom Zustand Z1 in den Zustand uhrt wird. Im Falle jeweils isobarer und isochorer Zustands¨ anderungen Z2 u ¨bergef¨ verl¨ auft die Zustandskurve entlang der Linien mit konstantem p bzw. v. Man kann die oben beschriebene Zustands¨anderung auch dadurch erreichen, ¨ dass man die Anderungen jeweils in isobaren und isothermen Einzelschritten ¨ durchf¨ uhrt, oder durch isotherme und isochore Anderungen. Eine Darstellung dieser Realisierungen kann man dann in einem p, T -Diagramm bzw. v, T -Diagramm analog zu Bild 3.4 gewinnen. Die Aufteilung eines thermodynamischen Prozesses, also einer Zustands¨anderung, in Einzelprozesse, wie hier erl¨ autert, ist ein h¨ auﬁg beschrittener Weg zur Realisierung von Zustands¨ anderungen, worauf wir in den folgenden Abschnitten noch zur¨ uckkommen werden.

28

3.7

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

Adiabatische Zustands¨ anderungen

Im vorhergehenden Abschnitt wurden Zustands¨anderungen erl¨ autert, ohne dabei zu kl¨ aren, auf welche Weise man den Zustand einer Gasmasse ¨ andern k¨ onnte. Aus den Betrachtungen, die zur Herleitung des Ersten Hauptsatzes durchgef¨ uhrt wurden, wissen wir bereits, dass der Zustand eines Gasvolumens dadurch ge¨ andert werden kann, dass ihm Energie in Form von W¨ arme von außen zugef¨ uhrt wird, oder dass dem Volumen Energie in Form von Arbeit entzogen wird. Mit diesen beiden Formen des Energieaustausches l¨asst sich jede beliebige Zustands¨ anderung eines Gases durchf¨ uhren. Bei thermodynamischen Prozessen, besonders auch in der Atmosph¨ are, werden sehr h¨auﬁg solche Zustands¨ anderungen betrachtet, welche ohne Austausch von Energie in Form von W¨arme stattﬁnden. Eine solche Zustands¨ anderung, bei der weder W¨arme einem Gasvolumen zugef¨ uhrt wird, noch von diesem an die Umgebung abgef¨ uhrt wird, nennt man eine adiabatische Zustands¨ anderung oder auch einen adiabatischen Prozess. In der Formulierung des Ersten Hauptsatzes besagt dies: δq = 0

bei adiabatischer Zustands¨ anderung.

(3.34)

In den Ersten Hauptsatz (3.29) oder (3.30) eingesetzt, folgt aus (3.34) f¨ ur adiabatische Prozesse:

cv dT cp dT

= −p dv , = v dp .

(3.35) (3.36)

Bei adiabatischen Prozessen erfolgt die Zustands¨ anderung durch Energieumsetzung in Form von Arbeit. Man stelle sich hierzu z. B. das in Kapitel 2 dargestellte System einer Gasmasse in einem Volumen mit beweglichem Kolben vor, welches aber bei einer adiabatischen Prozessrealisierung von der Umgebung thermisch isoliert sein muss. Die Zustands¨anderung kann dann dadurch erfolgen, dass man das Gas mit Hilfe des Kolbens komprimiert, was sowohl Druck und Volumen als auch die Temperatur der eingeschlossenen Gasmasse ¨andert. Hierzu muss nat¨ urlich Arbeit von außen gegen das System Gasmasse geleistet werden. Unter Verwendung der Zustandsgleichung l¨asst sich (3.36) auch schreiben: cp dT =

RT dp p

oder R dp dT = T cp p oder unter Verwendung von (3.32): d(ln T ) = κ d(ln p) .

(3.37)

3.7 Adiabatische Zustands¨anderungen

29

Die Ausf¨ uhrung der Integration von (3.37) zwischen p1 und T1 (p1 ) als Fixpunkte und einem beliebigen Wert p mit T = T (p) ergibt: ln(T /T1 ) = κ ln(p/p1 )

(3.38)

oder nach Entlogarithmieren:

T1 p1 κ = . (3.39) T p Die Beziehungen (3.37) bis (3.39) stellen die Zustandsgleichung f¨ ur adiabatische Zustands¨ anderungen dar. Druck und Temperatur sind u ¨ber diese Beziehungen eindeutig miteinander verkn¨ upft; die Zustandsvariable v, also das speziﬁsche Volumen, tritt in der Zustandsgleichung nicht mehr auf. Dies ist dadurch m¨ oglich geworden, dass das Zustandekommen der Zustands¨ anderung einer Einschr¨ ankung unterworfen ist, dass n¨amlich kein W¨armeaustausch m¨ oglich ist. Die Form (3.39) nennt man auch Poissonsche Gleichung; man kann sie auch wie folgt schreiben: T p−κ = T1 p−κ 1 = konstant .

(3.40)

Unter Verwendung der Zustandsgleichung (2.4) und der Deﬁnitionen (3.31) bis (3.33) kann man die Zustandsgleichung f¨ ur adiabatische Prozesse (3.40) auch in folgender Form angeben: T v η−1 = konstant ,

(3.41)

p vη

(3.42)

= konstant .

Die Beziehungen (3.40) bis (3.42) nennt man auch Adiabatengleichungen, da durch sie adiabatische Zustands¨anderungen beschrieben werden. So lassen sich mit Hilfe dieser Beziehungen adiabatische Zustands¨ anderungen in den bereits erw¨ ahnten Zustandsdiagrammen durch Isolinien darstellen, wie in Bild 3.5 als Beispiel angegeben. Adiabatische Prozesse und die Adiabatengleichung spielen in der Meteorologie eine wichtige Rolle. Betrachten wir dazu noch einmal die Adiabatengleichung in der Form (3.39). Die (zun¨achst willk¨ urlich festgelegte) Temperatur T1 ist eine Konstante f¨ ur den betrachteten adiabatischen Prozess: Welchen Wert T und p bei adiabatischer Zustands¨anderung einer Gasmasse auch annehmen, es gelingt immer, diese Zustandswerte mit Hilfe von (3.39) auf T1 und p1 zur¨ uckzuf¨ uhren. Die Temperatur T1 ist also f¨ ur jeden adiabatischen Vorgang eine charakteristische Gr¨ oße, wobei ihr Wert selbst nat¨ urlich auf einen gewissen Ausgangszustand bezogen werden muss. Diesen Ausgangszustand hat man in der Meteorologie nun so deﬁniert, dass T1 diejenige Temperatur ist, welche ein Luftteilchen hat, das durch einen adiabatischen Prozess auf den Druck p1 = 1000 hPa gebracht wird. Die so erhaltene Temperatur nennt man die potentielle Temperatur und bezeichnet sie mit θ:

30

3 Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

θ≡T

1000 hPa κ p

potentielle Temperatur.

(3.43)

Man kann mit (3.43) die Deﬁnition einer Adiabate auch so formulieren: θ = konstant, d. h. bei adiabatischen Zustands¨anderungen bleibt die potentielle Temperatur einer Gasmasse konstant. Dies f¨ uhrt auf die folgende Form des Ersten Hauptsatzes f¨ ur adiabatische Prozesse: dθ = 0

f¨ ur adiabatische Prozesse.

(3.44)

In graphischen Darstellungen bezeichnet man eine Linie gleicher potentieller Temperatur auch als Isentrope. Zu den verschiedenen M¨ oglichkeiten thermodynamischer Prozesse noch eine Erg¨anzung: F¨ ur einen adiabatischen Prozess gilt nach (3.42): p v η = konstant . F¨ ur einen isothermen Prozess ergibt (2.4): p v = konstant . Allgemein nennt man einen Prozess, f¨ ur den p v α = konstant

(3.45)

gilt, einen polytropen Prozess; man spricht dann von einer polytropen Zustands¨ anderung.

. p ....... .... ... ........ .... η .. . ... pv =konstant ........ .... .. .. ...................................... ... ... ........... .. .. Adiabate .. .... .... ... .... ... ... ................ ................ .......... .. ..................... ....... .......... ....... ... ...... ............... ....... ... .......... .. ...... ...................... ............ ........................ .. ..... ..... . ... . . . . . . .. . . ..... . . ... . . . . . . . . . . . . . . ............ .......... ... .. ........... .......... .......... .. .......... ... T =konstant .. .. .. Isotherme ....................................................................................................................... v Bild 3.5

. p ....... T p−κ =konstant .. ... Adiabate . .. .... .. .. .... ... . . .... . . . .... ..... ... .. .... .. ......... . .. ... .. ....... ...... ....... . .. . . . . . . . . ... . ... . .... .. ... .... v=konstant .. ............ ..... ............ .. . . . Isochore .. ... .......... ...... .... ... ........... ................ . ... .... . . ......... . . . . . .......... . ... ............. .......... ... ............................ ....... .... ... ............................ ......... .......... .......... .......... ... ... ......... .................................................................................................................................................. T

Adiabaten in p-v- und p-T -Diagrammen

4 4.1

Wasserdampf in der Atmosph¨ are Wasserdampf als ideales Gas

Bei der Behandlung des Gemisches Luft als ideales Gas hatten wir nur die sogenannten trockenen Komponenten bei der Zusammensetzung der Luft ber¨ ucksichtigt. In der Meteorologie spielt nun aber noch eine weitere Komponente eine wichtige Rolle, n¨ amlich der Wasserdampf und auch Wasser in ﬂ¨ ussiger Form (Wassertr¨ opfchen). Wasserdampf gelangt durch Verdunstung von Wasser vornehmlich u ¨ber den Weltmeeren in die Atmosph¨are und nimmt dort als Bestandteil der Luft an den physikalischen Prozessen teil. Durch Messungen hat man festgestellt, dass f¨ ur die in Frage kommenden Drucke und Temperaturen der Wasserdampf als ideales Gas behandelt werden kann. Wir k¨onnen also die in den vorhergehenden Kapiteln ermittelten Gesetzm¨ aßigkeiten der Thermodynamik auch auf das Gas Wasserdampf anwenden. Im folgenden sollen zur Unterscheidung von Wasserdampf und trockener Luft Indices eingef¨ uhrt werden, und zwar w als Index f¨ ur Wasserdampf und als Index f¨ ur trockene Luft. Alle Gr¨ oßen, welche sich auf das Gemisch feuchte Luft beziehen, erscheinen ohne Index. Nimmt eine Wasserdampfmasse mw unter dem Druck pw bei der Temperatur T das Volumen V ein, so gilt die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase auch f¨ ur den Wasserdampf: pw V = mw Rw T ,

(4.1)

pw vw = Rw T ,

(4.2)

pw

= ρw Rw T .

(4.3)

ur den Wasserdampf, vw = V /mw das speEs sind hierbei Rw die Gaskonstante f¨ ziﬁsche Volumen des Wasserdampfes und ρw = mw /V die Wasserdampfdichte. pw nennt man den Partialdruck des Wasserdampfes oder auch Wasserdampfdruck und bezeichnet ihn allgemein mit e. Die Gaskonstante f¨ ur Wasserdampf Rw ergibt sich zu: Rw = 461

J . kg K

(4.4)

Man gibt sie jedoch h¨auﬁger im Verh¨altnis zur Gaskonstante f¨ ur trockene Luft R an:

32

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

≡ R /Rw = 0,622 , Rw = R / .

(4.5) (4.6)

Wir werden sp¨ ater noch darauf eingehen, dass der Wasserdampfdruck e in der Atmosph¨ are nicht beliebig hoch sein kann, sondern dass er (bei konstanter Temperatur) nur so lange ansteigen kann, bis die Luft mit Wasserdampf ges¨ attigt ist. Diesen dann erreichten Druck nennt man den S¨ attigungsdampfdruck und bezeichnet ihn mit E. e = E =

4.2

Wasserdampfdruck, Wasserdampfdruck bei S¨attigung.

Feuchtemaße

W¨ahrend die Zusammensetzung der trockenen Luft praktisch konstant bleibt, unterliegt das Gemisch feuchte Luft = trockene Luft + Wasserdampf gr¨ oßeren Variationen. Man ist deshalb an Maßzahlen interessiert, welche angeben, wieviel Wasserdampf jeweils in der Luft vorhanden ist. Betrachtet man ein Volumen Luft, so deﬁniert man als speziﬁsche Feuchte das Verh¨ altnis der im Volumen beﬁndlichen Wasserdampfmasse mw zur Gesamtmasse der feuchten Luft m (m = mw + m ): mw mw = speziﬁsche Feuchte . (4.7) m mw + m Ein anderes Feuchtemaß erh¨alt man, wenn man statt der Gesamtmasse m des Gemisches feuchte Luft die Masse der trockenen Luft m mit der Wasserdampfmasse ins Verh¨ altnis setzt. Diese Gr¨oße bezeichnet man als das Mischungsverh¨ altnis r: q≡

r ≡ mw /m

Mischungsverh¨ altnis .

(4.8)

Aus (4.7) und (4.8) ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen q und r: r q , r= . (4.9) 1+r 1−q Wieviel Wasserdampf ist nun eigentlich in der Luft vorhanden? Messungen ergeben, dass in einem Kilogramm Luft nur einige Gramm Wasserdampf (z. B. 10 g) enthalten sind, weshalb die Zahlenwerte f¨ ur die speziﬁsche Feuchte und das Mischungsverh¨ altnis meist in Gramm Wasserdampf pro Kilogramm Luft (g kg−1 ) angegeben werden. Allgemein sind q und r, wenn man sie dimensionslos ausdr¨ uckt, immer kleiner als 0,04, weshalb man statt (4.9) mit guter N¨ aherung schreiben kann: q=

4.3 Die Zustandsgleichung f¨ ur das Gemisch feuchte Luft

q≈r .

33

(4.10)

Die praktische Messung von q und r durch direkte Bestimmung der jeweiligen Massenanteile ist jedoch schwierig, so dass die Bestimmung dieser Feuchtemaße meist indirekt u ucksichtigt man n¨ amlich, dass ¨ber Druckmessungen erfolgt. Ber¨ sowohl f¨ ur die trockene Luft als auch f¨ ur den Wasserdampf die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase gilt, so erh¨alt man p V = m R T

und eV = mw Rw T .

Daraus ergibt sich weiter: mw R w e = = r/ . p m R Den Messungen leichter zug¨anglich als p ist der Gesamtdruck p des Gemisches feuchte Luft p = p + e, womit sich f¨ ur das Mischungsverh¨ altnis ergibt: e e = 0,622 . (4.11) p−e p−e Da aber in der Atmosph¨are praktisch immer gilt: e ≤ 60 hPa, w¨ ahrend p ≈ 1000 hPa (in Bodenn¨ ahe), kann man statt (4.11) n¨aherungsweise auch r=

e ≈ q (4.12) p schreiben. Neben den beiden Feuchtemaßen q und r, welche die Massenverh¨ altnisse von Wasserdampf und Luft in einem Volumen feuchter Luft angeben, ist noch die Angabe des S¨attigungsgrades der Luft mit Wasserdampf eine h¨ auﬁg verwendete Gr¨ oße. Dieses Maß, relative Feuchte genannt, ist das Verh¨ altnis des Dampfdrucks zum S¨attigungsdampfdruck: r ≈ 0,622

e . (4.13) E Je kleiner dieser Wert ist, desto trockener ist die Luft; bei f = 1 ist die maximal m¨ogliche Konzentration des Wasserdampfes in der Luft erreicht. f=

4.3

Die Zustandsgleichung fu ¨ r das Gemisch feuchte Luft

In den vorhergehenden Abschnitten wurden trockene Luft und Wasserdampf jeweils gesondert als ideale Gase betrachtet. In der realen Atmosph¨ are stellt die Luft jedoch immer ein Gemisch aus trockener Luft und Wasserdampf dar, d. h. jede Messung von z. B. Druck und Temperatur ist eine Messung f¨ ur das Gas feuchte Luft. Es liegt deshalb nahe, die thermodynamischen Gleichungen f¨ ur die feuchte Luft aufzustellen. Die Zustandsgleichung f¨ ur feuchte Luft erhalten wir durch die Anwendung des Daltonschen Gesetzes (2.13) auf das Gemisch trockene Luft + Wasserdampf:

34

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

p = p + e = m R T /V + mw Rw T /V oder pV = (m R + mw Rw )T . F¨ uhrt man nun eine mittlere Gaskonstante f¨ ur das Gemisch feuchte Luft ein, R ≡ (m R + mw Rw )/m ,

(4.14)

ur feuchte Luft: wobei m = m + mw ist, so erh¨alt man als Zustandsgleichung f¨ pV = mRT .

(4.15)

Es ist die gleiche Beziehung wie f¨ ur trockene Luft, jedoch h¨ angt in diesem Fall die Gaskonstante R von der Zusammensetzung des Gemisches gem¨ aß (4.14) ab. Um nicht jedesmal die Gaskonstante neu bestimmen zu m¨ ussen, kann man diese auf die (feste) Gaskonstante f¨ ur trockene Luft zur¨ uckf¨ uhren: (m − mw )R + mw Rw m R + mw Rw = = (1 − q) R + qRw = m m q . = R 1 − q +

R =

Mit = 0,622 ergibt sich f¨ ur R: R = (1 + 0,608 q) R .

(4.16)

ur Die Zustandsgleichung kann jetzt unter Verwendung der Gaskonstanten R f¨ trockene Luft geschrieben werden als pV = m (1 + 0,608 q) R T .

(4.17)

Der Einﬂuss des Wasserdampfes auf Druck und Temperatur in einem Volumen feuchter Luft wird in (4.17) durch die speziﬁsche Feuchte ber¨ ucksichtigt. Man kann (4.17) auch so schreiben:

pv = (1 + 0,608 q) R T = R (1 + 0,608 q) T , pv = R Tv ,

(4.18)

wobei mit Tv eine neue Temperatur deﬁniert wird: Tv ≡ (1 + 0,608 q) T .

(4.19)

4.4 Speziﬁsche W¨armen f¨ ur feuchte Luft

35

Man bezeichnet Tv als virtuelle Temperatur und meint damit diejenige Temperatur, welche trockene Luft haben m¨ usste, wenn sie die gleichen Werte von p und v h¨ atte wie die feuchte Luft. Man erkennt an (4.19), dass diese Temperatur h¨ oher ist als diejenige des Gemisches feuchte Luft. Durch die Einf¨ uhrung der virtuellen Temperatur (4.19) kann das Gemisch feuchte Luft mit der Zustandsgleichung f¨ ur trockene Luft behandelt werden, wobei der Einﬂuss des Wasserdampfes durch einen Zuschlag zur aktuellen Temperatur T , den sogenannten virtuellen Temperaturzuschlag ΔT = 0,608 qT , ber¨ ucksichtigt wird. Um wieviel unterscheidet sich nun der Wert der virtuellen Temperatur Tv von der aktuellen Temperatur T ? Nehmen wir als typischen Wert f¨ ur die speziﬁsche Feuchte q = 10 g/kg = 0,01, so erhalten wir ΔT ≈ 6 · 10−3 T und somit bei T = 290 K f¨ ur die virtuelle Temperatur Tv = T +ΔT = 290,0 K+1,7 K = 291,7 K. Der virtuelle Temperaturzuschlag liegt also in der Gr¨ oßenordnung von 1 K.

4.4

Speziﬁsche W¨ armen fu ¨ r feuchte Luft

Ebenso wie f¨ ur die trockene Luft speziﬁsche W¨armen angegeben werden konnten, ist dies auch f¨ ur das Gas Wasserdampf m¨oglich. Als speziﬁsche W¨ arme bezeichneten wir diejenige W¨armemenge, die notwendig ist, um 1 kg eines Gases um 1 K zu erw¨ armen, wobei f¨ ur Gase noch unterschieden werden muss, ob die W¨ armezufuhr bei konstantem Druck oder konstantem Volumen geschieht. F¨ ur den Wasserdampf w¨ urde sich z. B. als Deﬁnition der speziﬁschen W¨ arme bei konstantem Druck ergeben:

cpw =

δQw mw dT p = konstant

=

δqw . dT p = konstant

Aus Messungen erh¨alt man folgende Zahlenwerte f¨ ur Wasserdampf: cpw = 1870

J , kg K

(4.20)

J . (4.21) kg K H¨auﬁg ben¨ otigt man die Verh¨altnisse der speziﬁschen W¨ armen von Wasserdampf und trockener Luft: cvw = 1410

cpw /cp = 1,87 ,

cvw /cv = 1,97 .

(4.22)

Um die speziﬁschen W¨armen f¨ ur das Gemisch feuchte Luft zu erhalten, k¨ onnen wir nicht einfach die jeweiligen speziﬁschen W¨armen addieren, sondern m¨ ussen die im Gemisch bestehenden Massenverh¨altnisse zwischen trockener Luft und Wasserdampf ber¨ ucksichtigen. Da speziﬁsche Gr¨oßen gleichzeitig intensive Gr¨ oßen sind, sei hier noch kurz die Additionsregel f¨ ur extensive und intensive Gr¨ oßen dargestellt.

36

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

Sei X eine extensive Gr¨oße und x = X/m deren speziﬁscher Wert, so gilt f¨ ur die Summe zweier extensiver Gr¨oßen X1 und X2 : X = X1 + X2 = m1 x1 + m2 x2 , wobei m1 und m2 die Partialmassen der beteiligten Systeme und x1 und x2 die jeweiligen speziﬁschen Werte sind. Andererseits ist X = mx, wobei m = m1 + m2 die Gesamtmasse der beteiligten Systeme ist. Insgesamt ergibt sich also mx = m1 x1 + m2 x2 und daraus f¨ ur den speziﬁschen Wert x: m1 x1 + m2 x2 m1 m2 = x1 + x2 . (4.23) m m m Bei der Bildung des speziﬁschen Wertes einer Gr¨oße f¨ ur ein aus unterschiedlichen Komponenten zusammengesetztes System muss man die jeweiligen Massenanteile m1 /m und m2 /m der beiden Komponenten ber¨ ucksichtigen. Die Beziehung (4.23) l¨asst sich nat¨ urlich auf beliebig viele Einzelkomponenten erweitern: x=

x=

N mi i=1

m

xi ,

m=

N

mi .

(4.24)

i=1

Wenden wir (4.23) auf die speziﬁschen W¨armen f¨ ur das Gemisch feuchte Luft = Wasserdampf + trockene Luft an, so ergibt sich:

cp

mw m mw mw cpw + cp = cpw + 1 − cp = m m m m

cpw − 1 q cp . = q cpw + (1 − q) cp = 1 + cp =

Mit (4.22) erh¨ alt man schließlich: cp = (1 + 0,87 q) cp .

(4.25)

Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die speziﬁsche W¨arme bei konstantem Volumen als Wert cv f¨ ur das Gemisch feuchte Luft: cv = (1 + 0,97 q) cv .

(4.26)

Die speziﬁschen W¨armen f¨ ur feuchte Luft ergeben sich aus denjenigen trockener Luft durch Ber¨ ucksichtigung der speziﬁschen Feuchte q gem¨ aß (4.25), (4.26). Setzt man einen Durchschnittswert f¨ ur q ein, z. B. q = 10 g Wasserdampf pro 1 kg feuchte Luft = 0,01, so ergibt sich aus (4.25), (4.26) eine Zunahme der speziﬁschen W¨armen gegen¨ uber dem Wert f¨ ur trockene Luft um gerade 1 %, so dass f¨ ur praktische Zwecke der Einﬂuss der Feuchte auf die speziﬁschen W¨ armen meist vernachl¨ assigt werden kann.

4.5 Heterogene Systeme

4.5

37

Heterogene Systeme

Bei den bisher angestellten Betrachtungen thermodynamischer Prozesse gingen wir davon aus, dass das jeweilige System entweder aus einer einheitlichen Materie bestand (z.B. Einkomponentengas) oder, falls es sich um Gemische handelte (Luft, feuchte Luft), sich die Zusammensetzung w¨ ahrend des Prozesses nicht ¨ haben wir uns auf geschlossene Systeme beschr¨ ankt, in de¨anderte. Im Ubrigen nen die Gesamtmasse immer konstant war. Obwohl wir uns im Hinblick auf die Atmosph¨ are bei der Ableitung der thermodynamischen Gesetzm¨ aßigkeiten auf die Behandlung von Gasen beschr¨ankt hatten, ist es genauso m¨ oglich, Thermodynamik f¨ ur die anderen Aggregatzust¨ande oder Phasen, n¨ amlich Fl¨ ussigkeiten und Festk¨ orper, zu betreiben. Wir wissen aus eigener Erfahrung, dass gerade in der Meteorologie die ﬂ¨ ussige Phase (Regen) und die feste Phase (Eis, Hagel) neben der Gasphase (feuchte Luft) eine große Rolle spielt. Nehmen wir z. B. eine Gewitterwolke als thermodynamisches System, so sind in diesem alle drei Phasen gleichzeitig vorhanden. Ein solches System, bei welchem verschiedene Phasen gleichzeitig vorhanden sind, nennt man ein heterogenes System, im Gegensatz zu einem homogenen System, in welchem jeweils nur eine Phase vorhanden ist. In einem heterogenen System k¨onnen nun Phasen¨ uberg¨ ange auftreten, d. h. ein Teil der Masse der ﬂ¨ ussigen Phase wird umgewandelt in die gasf¨ ormige Phase (Verdunstung) oder in die feste Phase (Gefrieren) usw. Jede einzelne Phase verliert oder gewinnt dabei Masse auf Kosten einer anderen Phase, wobei bei einem abgeschlossenen System die Gesamtmasse aller Phasen konstant bleibt. Bei einer Zustands¨ anderung eines heterogenen Systems muss man jetzt neben der ¨ ¨ Anderung von Druck, Temperatur oder Volumen auch die Anderung der Massenverh¨ altnisse durch Phasen¨ uberg¨ange ber¨ ucksichtigen. Dies ist in Bild 4.1 am Beispiel eines heterogenen Systems mit ﬂ¨ ussiger und gasf¨ ormiger Phase (z. B. Wasser und Wasserdampf) schematisch dargestellt, wobei die Phasen¨ uberg¨ ange je nach Richtung des Prozesses als Verdunstung oder Kondensation bezeichnet werden. ¨ Es soll jetzt die Anderung einer beliebigen Zustandsfunktion, z. B. der Energie .... .

ﬂ¨ ussig

mf,1

.... . ... .. .... . .. ..

.... .

Verdunstung ...........................................

p1 .... T1 gasf¨ ormig

mg,1

Z1 (p1 ,T1 ,mf,1 ,mg,1 )

p2 .... T2 ﬂ¨ ussig

Kondensation ............................................

mf,2

.... . ... .. .... . .. ..

gasf¨ ormig

mg,2

Z2 (p2 ,T2 ,mf,2 ,mg,2 )

Bild 4.1 Phasen¨ uberg¨ange zwischen dem ﬂ¨ ussigen und dem gasf¨ormigen Aggregatzustand. Aufgrund der Massenerhaltung gilt m = mf,1 + mg,1 = mf,2 + mg,2 und somit (mg,2 − mg,1 ) = −(mf,2 − mf,1 ).

38

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

oder der Enthalpie dieses heterogenen Systems beschrieben werden. Mit dem Index f sei dabei die ﬂ¨ ussige und mit g die gasf¨ormige Phase bezeichnet. F¨ ur die Zustandsfunktion Z gilt dann allgemein: Z = Zf + Zg , Z = Z(p,T,mf , mg ) = Z(p,T,m)

mit m = mf + mg ,

Zf = Zf (p,T,mf ) , Zg = Zg (p,T,mg ) . Bilden wir das totale Diﬀerential der Zustandsfunktionen Zf und Zg als Funktionen dreier unabh¨angiger Ver¨anderlicher, so erhalten wir f¨ ur die Zustands¨ anderungen dZf und dZg :

dZf =

∂Zf ∂p

dZg =

∂Zg ∂p

dp + T,mf

dp + T,mg

∂Zf ∂T ∂Zg ∂T

dT + p,mf

dT + p,mg

∂Zf ∂mf ∂Zg ∂mg

dmf ,

(4.27)

dmg .

(4.28)

p,T

p,T

Die letzten Terme der beiden Beziehungen geben denjenigen Anteil der Zustandsuber¨anderung an, welcher durch die Massen¨anderung dm aufgrund der Phasen¨ g¨ange erfolgt. Hierbei soll im Gesamtsystem wie auch in den Untersystemen (Phasen) der gleiche Druck p und die gleiche Temperatur T herrschen. Betrachten wir ein geschlossenes System, so gilt: m = mf + mg

und wegen dm = 0 :

dmf = −dmg .

Die letztere Beziehung besagt, dass sich die Masse der ﬂ¨ ussigen Phase in dem Maße erh¨ oht oder erniedrigt, wie sich die Masse der gasf¨ ormigen Phase erniedrigt oder erh¨ oht. F¨ ur die Zustands¨anderung des Gesamtsystems erh¨ alt man: dZ = dZf + dZg . Setzt man die Beziehungen (4.27), (4.28) ein und ber¨ ucksichtigt die oben genannten Aussagen f¨ ur die Massen in einem geschlossenen System, so erh¨ alt man

dZ =

∂Z ∂p

dp + T,m

∂Z ∂T

dT + p,m

∂Zf ∂Zg − ∂mg ∂mf

dmg .

(4.29)

p,T

Hierbei ist der letzte Term von (4.29), der den Anteil der Zustands¨ anderung durch Phasen¨ uberg¨ ange angibt, auf die gasf¨ormige Phase bezogen. Wenn auch die physikalische Bedeutung dieses Termes nicht ohne weiteres darstellbar ist, so werden ¨ wir im n¨ achsten Abschnitt sehen, dass er im Falle Z = H, wenn also die Anderung der Enthalpie von Interesse ist, die Umwandlungsw¨ armen (Verdunstungsoder Kondensationsw¨arme) angibt.

4.6 Latente W¨ armen Schmelzen ...................................................................... ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... Wasser Eis Gefrieren ...... .... . . ...... .... .. .... . . . ... ....VerKonden-.. . ...... ... ..... dampfen sieren ... . .... ... ..... .. . . .. .. ... .... . . Subli- . ... ....... . . . .. Ver. mieren ... ...... ... .... dunsten ... Wasser- .... ... dampf ......

4.6

39

Bild 4.2 Die Phasen¨ uberg¨ange des Wassers. Die durchgezogenen Pfeile deuten die Prozesse bei W¨armezufuhr, die gestrichelten die bei W¨armeentnahme an.

Latente W¨ armen

Wir hatten im vorigen Abschnitt bereits mehrfach von Phasenumwandlungen ¨ gesprochen, d. h. vom Ubergang von fester zu ﬂ¨ ussiger, oder ﬂ¨ ussiger zu fester Phase, wobei uns als wichtigstes Beispiel f¨ ur die Meteorologie die Phasen des Wassers, n¨ amlich Eis, Fl¨ ussigwasser und Wasserdampf interessieren. Die einzelnen Phasen zeichnen sich dadurch aus, dass die Materie verschieden kompakt ist, die Bindungskr¨ afte zwischen den Molek¨ ulen also unterschiedlich stark sind. ¨ Der Ubergang von einem Aggregatzustand zu einem anderen geschieht deshalb nicht einfach von selbst, sondern erfordert die Aufwendung von Energie, um die Bindungskr¨ afte zu u ussigen, muss man es ¨berwinden. Um z. B. ein Metall zu verﬂ¨ ¨ (meist sehr hoch) erhitzen, d. h. Energie in Form von W¨ arme zuf¨ uhren. Ahnlich ist es mit Eis, das man zum Schmelzen bringen will. F¨ ur die Phasen¨ uberg¨ ange des Wassers ist dies in Bild 4.2 schematisch dargestellt. Bei den Phasen¨ uberg¨angen Eis → Wasser, Eis → Wasserdampf und Wasser → Wasserdampf muss man der jeweils zuerst genannten Phase Energie in Form von W¨ arme zuf¨ uhren, um einen Phasen¨ ubergang zu bewerkstelligen. Verl¨ auft der Phasen¨ ubergang in der umgekehrten Richtung, z. B. Wasserdampf → Wasser (Kondensation), so wird diese Energie in Form von W¨ arme wieder freigesetzt – ein Prozess, der bei der Wolkenbildung in der Atmosph¨ are eine wichtige Rolle spielt. F¨ uhrt man nun einer Phase W¨arme zu, so kann dadurch der Zustand der Phase (Temperatur, Druck) ver¨andert werden, und/oder ein Phasen¨ ubergang erfolgen. Man bezeichnet denjenigen Anteil der zugef¨ uhrten W¨ armemenge, welcher nur f¨ ur die Phasenumwandlung verwendet wird, als latente W¨ arme. Diejenige W¨ armemenge, welche f¨ ur eine Phasenumwandlung der Einheitsmasse (z. B. 1 kg) notwendig ist, nennt man speziﬁsche latente W¨ arme und bezeichnet sie mit δQ speziﬁsche latente W¨ arme . dm Damit ergibt sich f¨ ur die latente W¨arme: l≡−

(4.30)

40

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are L ≡ δQ = −l dm .

(4.31)

Das negative Vorzeichen in (4.30) und (4.31) r¨ uhrt daher, dass diejenige Phase, der W¨ arme zugef¨ uhrt wird (δ Q > 0), ihre Masse zugunsten einer anderen Phase verringert (dm < 0). Bezeichnen wir die einzelnen Phasen des Wassers mit den Indizes e f¨ ur Eis, f f¨ ur Fl¨ ussigwasser und w f¨ ur Wasserdampf, so erhalten wir f¨ ur die latenten W¨ armen

Lg = −lg dme = lg dmf , Lv = −lv dmf = lv dmw , Ls = −ls dme = ls dmw ,

(4.32) (4.33) (4.34)

wobei die Indizes g die Schmelz- oder Gefrierw¨arme bezeichnet, v die Verdunstungs- oder Kondensationsw¨arme und s die Sublimationsw¨ arme bezeichnen. Bei den mittleren Teilen der Beziehung (4.32)–(4.34) wird jeweils W¨ arme f¨ ur einen Phasen¨ ubergang aufgewendet (L > 0, dm < 0); die rechten Seiten geben jeweils den f¨ ur die umgekehrte Richtung der Phasenumwandlungen notwendigen Entzug von latenter W¨ arme an (L < 0, dm < 0). Die speziﬁschen latenten W¨ armen f¨ ur die einzelnen Phasen¨ uberg¨ange h¨angen im allgemeinen von der Temperatur ab, bei der der Phasen¨ ubergang stattﬁndet. F¨ ur praktische Zwecke kann man aber f¨ ur die in der Atmosph¨are auftretenden Phasen¨ uberg¨ ange des Wassers diejenigen latenten W¨armen als konstante Werte verwenden, welche sich bei 0 ◦ C (Tripelpunkt Eis-Wasser-Wasserdampf) ergeben:

lg = 0,33 · 106 J kg−1 lv = 2,50 · 106 J kg−1 ls = 2,83 · 106 J kg−1

Schmelzw¨ arme , Verdunstungsw¨ arme , Sublimationsw¨ arme .

(4.35) (4.36) (4.37)

Wie man den Zahlenwerten entnimmt, ist die Sublimationsw¨ arme gerade gleich der Summe der Schmelzw¨arme und der Verdunstungsw¨ arme ls = lg + lv

oder lg + lv − ls = 0 .

(4.38)

Die Beziehung (4.38) gibt an, dass bei einem Prozess, bei dem eine Einheitsmasse Wasser von der Eisphase durch Schmelzen in Wasser, von Wasser durch Verdunstung in Wasserdampf und von Wasserdampf durch Sublimation wieder in Eis umgewandelt wird, insgesamt keine W¨arme aufgewendet werden muss. Die zun¨ achst f¨ ur das Schmelzen und Verdunsten in das System gesteckte W¨ arme wird beim Sublimationsprozess wieder frei und kann dem System wieder entnommen werden.

4.6 Latente W¨ armen

41

In den folgenden Betrachtungen wollen wir uns nur mit dem System Fl¨ ussigwasser → Wasserdampf besch¨aftigen, die feste Phase also außer Betracht lassen. Es wurde ausgef¨ uhrt, dass die latente W¨arme nur zur Phasenumwandlung verwendet wird und w¨ahrend dieses Prozesses keine Zustands¨ anderung der thermodynamischen Variablen erfolgt. Wenn man nun einem System W¨ arme zuf¨ uhrt, kann dies gem¨ aß dem Ersten Hauptsatz aber auch zur Erh¨ ohung seiner inneren Energie sowie zur Arbeitsleistung f¨ uhren. Ist zus¨atzlich noch eine Phasenumwandlung m¨ oglich, so kann man die zugef¨ uhrte W¨armemenge δQ aufspalten in einen Anteil, welcher zur Zustands¨anderung ben¨otigt wird und einen solchen, der die Phasenumwandlung bewirkt: δQ = δQ |Zustand +δQ |Phase = δQ |Zustand +L . Setzt man f¨ ur den Anteil δQ |Zustand die Beziehungen des Ersten Hauptsatzes ein, so erh¨ alt man: δQ = dE + p dV + L .

(4.39)

Dies ist eine erweiterte Form des Ersten Hauptsatzes f¨ ur ein System, welches Phasenumwandlungen zul¨asst. Nehmen wir ein System, das aus Fl¨ ussigwasser und Wasserdampf bzw. feuchter Luft besteht, und beziehen den Phasen¨ ubergang auf die ﬂ¨ ussige Phase, ist die latente W¨arme gem¨ aß (4.33) L = Lv = −lv dmf , so dass sich f¨ ur (4.39) ergibt: δQ = dE + p dV − lv dmf .

(4.40)

Hierbei ist E die innere Energie des Gesamtsystems, ebenso wie sich der Druck p und das Volumen V auf dieses beziehen (Gemisch trockene Luft + Wasserdampf + Fl¨ ussigwasser/Wassertr¨ opfchen). Unter der weiteren Voraussetzung eines geschlossenen Systems (was wir im u ur alle hier angestellten Betrachtungen ¨brigen f¨ annehmen wollen), ist die Gesamtmasse des Wassers konstant: dm = 0 ,

m = mw + mf =⇒ dmw = −dmf .

Statt die bei der Verdunstung erfolgte Massenabnahme des Fl¨ ussigwassers zu betrachten (dmf < 0), k¨onnen wir also auch die betragsgleiche MassenZunahme des Wasserdampfes bei der Berechnung der latenten Verdunstungsw¨ arme verwenden: δQ = dE + p dV + lv dmw .

(4.41)

In der Form (4.41) wird die Phasenumwandlung auf den Wasserdampf bezogen, ¨ was f¨ ur die Anwendung in der Meteorologie von Vorteil ist, da sich die Anderungen des Wasserdampfgehaltes der Luft leichter bestimmen lassen. Entsprechend k¨onnen wir auch den Ersten Hauptsatz mit der Enthalpie schreiben:

42

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are δQ = dH − V dp + lv dmw .

(4.42)

Die Beziehungen (4.41), (4.42) sind f¨ ur thermodynamische Prozesse in Verbindung mit der Bildung von Wolken wichtig, und zwar besonders f¨ ur den Spezialfall, dass einem System feuchter Luft keine W¨arme von außen zugef¨ uhrt wird (adiabatischer Prozess). Dies wird noch in einem sp¨ateren Kapitel behandelt. Jedoch k¨onnen wir an dieser Stelle f¨ ur diesen Fall noch eine Betrachtung von Enthalpie und latenter W¨ arme anstellen. F¨ ur einen adiabatischen Prozess (δQ = 0) ergibt sich aus (4.42): dH = V dp − lv dmw . ¨ Soll außerdem nur die Anderung der Enthalpie durch den Phasen¨ ubergang betrachtet werden, so folgt wegen dp = 0 in diesem Fall, dass dH = −lv dmw

(nur Phasen¨ ubergang)

oder lv = −

dH . dmw

(4.43)

¨ Betrachten wir andererseits die Anderung der Enthalpie hinsichtlich der Zustandsgr¨ oßen p,T,mw gem¨aß der allgemeinen Beziehung (4.29), indem wir dort Z = H setzen und einen reinen Phasen¨ ubergang voraussetzen (d. h. dp = dT = 0), so erhalten wir:

dH =

∂Hf ∂Hw − ∂mw ∂mf

dmw =

∂mf hf ∂mw hw − ∂mw ∂mf

dmw = (hw − hf ) dmw .

Aus dem Vergleich mit der Beziehung (4.43) zwischen der Enthalpie¨ anderung und der latenten W¨ arme erh¨alt man lv =

∂Hf ∂Hw − = hf − hw . ∂mf ∂mw

(4.44)

In einem Zweiphasensystem stellt die Diﬀerenz der Enthalpie¨ anderungen der jeweiligen Phase hinsichtlich ihrer Partialmasse gerade die speziﬁsche latente ¨ W¨arme des jeweiligen Phasen¨ uberganges dar; (4.44) gibt dies f¨ ur den Ubergang Fl¨ ussigwasser −→ Wasserdampf an. Auf diese Weise k¨onnen wir analog zu (3.27)–(3.30) Formen des Ersten Hauptsatzes f¨ ur ein System mit Phasen¨ uberg¨angen erhalten, wobei wir uns hier auf das Gemisch trockene Luft + Wasserdampf + Fl¨ ussigwasser beschr¨ anken:

mcv dT mcp dT

= +δQ − p dV − lv dmw , = +δQ + V dp − lv dmw ,

(4.45) (4.46)

4.6 Latente W¨ armen

43

oder

δQ = mcv dT + p dV + lv dmw , δQ = mcp dT − V dp + lv dmw .

(4.47) (4.48)

Die Beziehungen (4.45)–(4.46) werden uns sp¨ater noch bei der Betrachtung thermodynamischer Prozesse in der Atmosph¨are n¨ utzlich sein, wie z. B. Wolkenbildung oder Nebelentstehung, bei denen der Phasen¨ ubergang zwischen ﬂ¨ ussiger und gasf¨ ormiger Phase eine Rolle spielt. Die Anwendung dieser Beziehungen setzt die Kenntnis der Massen¨anderung des Wasserdampfes dmw voraus. Im vorhergehenden Kapitel haben wir jedoch erw¨ ahnt, dass in der Meteorologie die Bestimmung des Feuchteanteils in der Luft praktisch durch die Angabe der speziﬁschen Feuchte oder des Mischungsverh¨ altnisses erfolgt. Es ist deshalb zweckm¨ aßig, dies auch in (4.45)–(4.46) zu tun, d. h. die Wasserdampfmasse mw durch die speziﬁsche Feuchte auszudr¨ ucken. Es ist die Gesamtmasse des Gemisches feuchte Luft + Fl¨ ussigwasser, m = ml + mw + mf . Da im allgemeinen die Masse des Fl¨ ussigwasser mf gering ist, kann man, ohne gr¨ oßere Ungenauigkeiten zu begehen, mw mw ≈ =q m ml + mw setzen oder dmw ≈ d(mq) = m dq + q dm . Da aber die Gesamtmasse m konstant bleiben soll, folgt wegen dm = 0: dmw ≈ m dq .

(4.49)

Die Beziehung (4.49) kann nun in (4.45)–(4.46) eingesetzt werden. Man erh¨ alt z. B. statt (4.46) dH = δQ + V dp − mlv dq .

(4.50)

Von dieser Form ausgehend ist es auch m¨oglich, den Ersten Hauptsatz f¨ ur die speziﬁschen Werte der Funktionen anzugeben, z. B. h = H/m: dh = δQ/m + v dp − lv dq .

(4.51)

44

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

e = 0, mw = 0 . . . .

. . . .

. . . .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

Wasser . . . . . .

.

. .

.

.

e<E, T mw ...... . . . . . . . ... . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . .

.

.

.

.

T

. .

.

. .

.

trockene Luft

. . . .

.

. .

. .

Wasser . . . .

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

feuchte Luft

. .

. .

e=E, . .

.

.

.

.

T

mw = mws . . . .

. . . .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

Wasser . . .

. .

. .

.

. .

.

. .

.

. .

. . . .

. . . .

. . . .

feuchte Luft ges¨ attigt

Bild 4.3 Verdunstung an der Grenzﬂ¨ache zwischen Wasser und Luft. E bezeichnet den S¨attigungsdampfdruck, mws die Masse des Wasserdampfes bei S¨attigung.

4.7

Der Wasserdampfdruck bei S¨ attigung

Wir hatten bereits erw¨ahnt, dass der Wasserdampfdruck in einem Luftvolumen bei vorgegebener Temperatur nicht u ¨ber einen maximalen Wert ansteigen kann. Diesen maximalen Wert hatten wir mit S¨attigungsdampfdruck bezeichnet, was zum Ausdruck bringt, dass die Luft mit Wasserdampf ges¨ attigt ist, d. h. nicht mehr Masse an Wasserdampf aufnehmen kann. Wie kann man sich diesen Vorgang vorstellen? Betrachten wir dazu in Bild 4.3 ein (zun¨ achst trockenes) Luftvolumen u achst ein ¨ber einer ebenen Wasseroberﬂ¨ache bei fester Temperatur T . Es wird zun¨ Verdunstungsprozess stattﬁnden, d. h. Wassermolek¨ ule werden von der ﬂ¨ ussigen in die gasf¨ ormige Phase u ¨bergehen und in das Luftvolumen hineindiﬀundieren. Dabei steigt die Wasserdampfmasse im Luftvolumen und damit der Dampfdruck e an, und zwar so lange, bis sich die ﬂ¨ ussige und gasf¨ ormige Phase im Gleichgewicht beﬁnden, d. h. gerade so viele Wassermolek¨ ule durch Verdunsten in das Luftvolumen gelangen, wie von dort durch Kondensation wieder in die Wassermasse zur¨ uckkehren. In diesem Fall kann die Wasserdampfmasse nicht weiter ansteigen, sondern bleibt auf dem S¨attigungswert mws , so dass der Dampfdruck e den Wert des S¨ attigungsdampfdruckes E erreicht. Man hat durch Experimente festgestellt, dass diejenige Wasserdampfmenge, welche in einem Luftvolumen bei S¨attigung aufgenommen werden kann, um so gr¨oßer ist, je h¨ oher die Lufttemperatur, also auch die Wasserdampftemperatur ist. Man hat dar¨ uber hinaus festgestellt, dass der damit verbundene S¨ attigungsdampfdruck E nur von der Temperatur T abh¨angt. Eine solche Abh¨ angigkeit ist auf empirischem Wege gefunden worden und ist in Erinnerung an den deutschen Physiker und Chemiker H. G. Magnus (1802–1870) unter dem Namen MagnusFormel bekannt: 7,45 (T [K] − 273) T [K] − 38 E(T ) [hPa] = 6,1 · 10 ,

(4.52)

oder f¨ ur die Anwendung in der Praxis durch die Temperatur in Grad Celsius ausgedr¨ uckt:

4.7 Der Wasserdampfdruck bei S¨attigung

7,45 t [o C] 235 + t [o C] . E(t) [hPa] = 6,1 · 10

45

(4.53)

attiSetzt man in (4.52) T in K bzw. in (4.53) t in o C ein, so ergibt sich der S¨ gungsdampfdruck E in hPa. Aus dieser empirischen Beziehung zwischen S¨ attigungsdampfdruck und Temperatur kann man ersehen, welche Werte sich f¨ ur E unter atmosph¨ arischen Verh¨altnissen einstellen: t = 0 o C → E = 6,1 hPa ,

t = 35 o C → E = 56,4 hPa .

urfte praktisch Der Wert des Dampfdruckes f¨ ur eine Lufttemperatur von 35 o C d¨ der maximal vorkommende f¨ ur die Atmosph¨are sein, wenn wir uns u ¨berlegen, dass die Luft mit Wasserdampf meist nur u andig ges¨ attigt ¨ber den Ozeanen st¨ ist, und dort eine Temperatur von 35 o C wohl kaum u ¨bertroﬀen wird. Der Wasserdampfdruck macht also praktisch h¨ochstens 5% des Luftdruckes am Boden aus. Die Beziehung (4.52), (4.53) wurde aus Experimenten gewonnen; man kann aber auch die Abh¨angigkeit des S¨attigungsdampfdruckes von der Temperatur aus den Gesetzm¨ aßigkeiten thermodynamischer Prozesse erhalten. Betrachten wir dazu im p,v-Diagramm von Bild 4.4 den Phasen¨ ubergang einer Wassermenge m = mf in Wasserdampf der gleichen Masse m = mw . Ausgehend von einem Zustand A im Bereich der Fl¨ ussigwasserphase wird der Wassermasse m bei konstantem Druck W¨arme zugef¨ uhrt, wodurch sich Temperatur und Volumen erh¨ohen, bis der Zustand B erreicht ist: . p ....... T1. T.2 T. 3 T..c .... ... ... ... ........... T...5........ ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ........... ............. ... ... ... ... ... ... ... ..... ............ ... ... ... ..... .. ...... ... ... ... ...... ... ... ... ... . .. ...... . .. ... ... .... ... ...... . .. ........ .... Wasserdampf ... ... ... .. . ... ........ ... .... ... ... ... . ....... . . . .. . .... ... ... ... ... ....... ... . . . . . . . . . . . . ....... . ... .. . ... .. .. . .. .. .. .... ...... . .................... . . . . . ... . . . ... ... . . . . . . . . .. ... ... ... ..... . . ............................. .................. ... ... ... ... ... ... ... ...... . . . . . . . . ..... . .................................................... ... .. .. ... . .. . . . . .. Wasser ..... ..... ...... .... . . . . . . . . . . . . . . .... . ................ ................. ......... ... ... ....... . ... .. .. ......... ....... ... ... .... . . . . . . . . .. ... ... .. ........................................................................................................................................................................ .......................................................................................... ... ... ... ... .. . . T ........ . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .. ............................... ............................................ 5 . . . . . . . . . . ... . . ... ......... ............ ... . . .. ... . . . . . . . . ... . . . .......... ....... . . . . . . . ... T . . ... •...........................•.............................................................................................................................................................................................................................•.....................................................................................•............................................... c .. ....... ............D A B C . ... . . T3 .. ... . . . . . . . . . . . . .. .... ........................... . . . ...................... ... . . . . . . . . . . . . .. . . . . ............. .. ... . . . T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. . . . . 2–Phasen–Bereich ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... .. . . . . .. . . . . und . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... Wasserdampf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . .. .. . . . Wasser . ... ....... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. V Bild 4.4

Das Phasendiagramm des Wassers (schematisch)

46

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

A→B:

δQ → dT > 0 ,

dv > 0 , dm = dmf = 0 nur Fl¨ ussigwasser.

Der Zustand B liegt im Zwei-Phasen-Diagramm auf der Linie – – –, welche die reine Fl¨ ussigwasserphase vom sogenannten Zwei-Phasen-Bereich trennt, in dem bei gleichem Druck und gleicher Temperatur Fl¨ ussigwasser und Wasserdampf gleichzeitig existieren k¨onnen. Wird der Wassermasse jetzt weiter W¨arme zugef¨ uhrt, so ¨ andert sich bei gleichbleibendem Druck die Temperatur nicht; die W¨armezufuhr bewirkt lediglich den ¨ Ubergang von der ﬂ¨ ussigen zur gasf¨ormigen Phase (Verdunstung). Dies geschieht nun so lange, bis die gesamte Wassermasse mf in Wasserdampf umgewandelt worden ist, was sich im p,v-Diagramm im Zustand C einstellt: B→C:

dT = 0 , δQ → dv > 0 , dmf < 0 ,

insgesamt:

dmw > 0 ,

δQ = L = −lv dmf = lv mf = lv m .

Der Zustand C liegt auf der Kurve − · − · −·, welche den Zwei-Phasen-Bereich von der reinen Wasserdampfphase trennt. Hier hat der Wasserdampf bei (konstanter Temperatur und konstantem Druck) sein geringstes speziﬁsches Volumen, also seine gr¨ oßte Dichte. Man sagt in diesem Fall, die Luft sei mit Wasserdampf ges¨attigt, und nennt den entsprechenden Druck daher auch – wie schon erw¨ ahnt – den S¨ attigungsdampfdruck. W¨ urde man n¨amlich – vom Zustand C ausgehend – weiter W¨ arme zuf¨ uhren, w¨ urde sich die Temperatur des Wasserdampfes erh¨ohen, z. B. auf T3 , wobei sich entsprechend der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase das Volumen vergr¨oßern und damit die Wasserdampfdichte verringern w¨ urde (Zustand D). C→D:

δQ → dT > 0 ,

dv > 0 , dm = dmw = 0 , nur Wasserdampf.

Den S¨ attigungsdampfdruck kann man anhand des p,v-Diagramms auch folgendermaßen charakterisieren: Geht man vom Wasserdampfbereich aus und erh¨ oht den Druck bei konstant gehaltener Temperatur (z. B. T = T2 ), so ist derjeni¨ ge Druck, bei dem erstmals ein Ubergang zur ﬂ¨ ussigen Phase m¨ oglich ist, der S¨attigungsdampfdruck. Es interessiert jetzt, wie der S¨attigungsdampfdruck von der Temperatur abh¨angt. Rein qualitativ kann man in Bild 4.4 anhand der Trennlinie − · − · −· des Zwei-Phasen-Bereichs erkennen, dass der S¨attigungsdampfdruck mit der Temperatur ansteigt (T3 > T2 ). ¨ Betrachten wir jetzt den Phasen¨ ubergang B → C bei geringen Anderungen dp und dT von Druck bzw. Temperatur. Man kann das dadurch bewerkstelligen, dass man entweder den Druck und die Temperatur im Wasserbereich ¨ andert und dann den Phasen¨ ubergang durchf¨ uhrt, oder zun¨achst die Phasen¨ anderung vornimmt und dann im Wasserdampfbereich Druck und Temperatur erh¨ oht. Da beide Wege im p,v-Diagramm a¨quivalent sind (vgl. Bild 4.5), muss auch ¨ die Anderung einer thermodynamischen Funktion (z. B. Energie, Enthalpie) f¨ ur beide Vorg¨ ange die gleiche sein.

4.7 Der Wasserdampfdruck bei S¨attigung B (p+dp,T +dT )

Wasser

. ...

... ..

C (p+dp,T +dT )

.......................................•....... ..................................... .. ....... .....• ............ ... ...•......................................................................................................•.. .. ..

B(p,T ) ...

47

... .

Wasserdampf C(p,T )

Bild 4.5 ¨ Aquivalente Wege im Phasendiagramm: B → B → C und B → C → C

Aus einer genauen Analyse der verschiedenen m¨ oglichen Zustands¨ anderungen (Details sind in den genannten Lehrb¨ uchern der Thermodynamik nachzulesen) erh¨alt man die Beziehung lv dE = . dT T (vw − vf )

(4.54)

(4.54) wird nach dem deutschen Physiker R. Clausius (1822–1888) und dem franz¨ osischen Physiker B. Clapeyron (1799–1864) als Clausius-Clapeyron-Gleichung bezeichnet; sie gibt die Abh¨angigkeit des S¨ attigungsdampfdruckes von der Temperatur an. In der Form (4.54) ist dies f¨ ur den Phasen¨ ubergang Wasser −→ Wasserdampf g¨ ultig; die gleiche Beziehung gilt aber auch f¨ ur die anderen Phasen¨ uberg¨ ange. Man muss dann nur die entsprechenden latenten W¨ armen und die speziﬁschen Volumina der beteiligten Phasen einsetzen. F¨ ur den Wasserdampf l¨asst sich (4.54) noch etwas vereinfachen. Es ist die Dichte des Fl¨ ussigwassers ρf sehr viel gr¨oßer als die des Wasserdampfes ρw . Damit folgt aber f¨ ur die speziﬁschen Volumina wegen v = 1/ρ genau das Umgekehrte: vw vf

f¨ ur Wasserdampf und Wasser bei gleichem p, T .

Daher kann die Diﬀerenz der speziﬁschen Volumina in (4.54) n¨ aherungsweise durch das speziﬁsche Volumen des Wasserdampfes ersetzt werden. Ersetzt man weiterhin das speziﬁsche Volumen vw u ¨ber die Zustandsgleichung f¨ ur Wasserdampf Evw = Rw T durch den S¨attigungsdampfdruck E, so erh¨ alt man lv E dE = dT Rw T 2

(4.55)

oder als Abh¨ angigkeit des S¨attigungsdampfdruckes von der Temperatur d(ln E) =

lv dT . Rw T 2

(4.56)

Nimmt man jetzt in erster N¨aherung an, dass die latente W¨ arme lv nicht von der Temperatur abh¨angt, so erh¨alt man aus der Integration von (4.56) und der Kenntnis des Dampfdruckes E bei T = 273 K (aus Messungen, E=6,1 hPa) als Funktion f¨ ur den Dampfdruck bei S¨attigung: 8,26 E(T ) [hPa] = 6,1 · 10

T [K] − 273 T [K] .

(4.57)

48

4 Wasserdampf in der Atmosph¨ are

¨ Diese aus thermodynamischen Uberlegungen gewonnene Beziehung weicht f¨ ur die in der Atmosph¨are vorkommenden Temperaturwerte praktisch kaum von der empirischen Magnus-Formel (4.52), (4.53) ab, wie man durch Einsetzen verschiedener Temperaturen in die jeweilige Wasserdampfbeziehung ersehen kann. Analog zu (4.54) kann man die Abh¨angigkeit des Druckes bei der jeweils herr¨ schenden Temperatur auch f¨ ur den Ubergang Eis −→ Wasser und Eis −→ Wasserdampf erhalten. Anhand eines p,T -Diagramms sind diese Abh¨ angigkeiten in Bild 4.6 dargestellt. p ...... G(T ... ) Wasser E(T . ) .. ... ... . ... ... ... .. ... .. .. ...... . . . . . . ........ Kondensieren .. Gefrieren ........... ... ... ... ... . . ... . .. . ... .. .... ... Eis ... .... . . . . . ... ..... ... .. 6.1 hPa ......... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... ..... ......•.... Wasserdampf . .. . . ... . . .. . . ... . . ... Sublimieren ................ .... .. .. ... ...... .. ...... ... ... S(T ) ... .. ........................................................................................................................................................................................ 273 K T Bild 4.6 Die Phasen¨ uberg¨ange im p-T -Diagramm. E(T ) bezeichnet den Druck bei Kondensation oder Verdunstung (S¨attigungsdampfdruck), G(T ) den Druck beim Schmelzen oder Gefrieren und S(T ) den Druck beim Sublimieren oder Verdampfen.

5 5.1

Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are Der thermodynamische Zustand der Atmosph¨ are

Fasst man die Atmosph¨are als ein thermodynamisches System auf, so l¨ asst sich ihr Zustand durch die Variablen p, T und ρ darstellen (bzw. f¨ ur die feuchte Atmosph¨ are zus¨ atzlich noch durch ein Maß f¨ ur den Wasserdampfgehalt, meist die speziﬁsche Feuchte q). Man ist nun in der Meteorologie h¨ auﬁg an zwei Fragestellungen interessiert: 1. Welchen Zustand besitzt die Atmosph¨ are an einem bestimmten Ort und zu einem bestimmten Zeitpunkt? (Diagnose des Temperatur-, Druck- und Feuchtefeldes) 2. Wie ¨andert sich der thermodynamische Zustand der Atmosph¨are? (Prognose der Entwicklung von Temperatur, Druck und Feuchte) W¨ ahrend f¨ ur Druckdiagnose und -prognose im synoptischen Maßstab auf die statische Grundgleichung, ∂p/∂z = −gp/RT (siehe Abschnitt 6.2), zur¨ uckgegriﬀen wird und man f¨ ur das Feuchtefeld eine Erhaltungsgleichung f¨ ur den Wasserdampf und zus¨ atzliche Beziehungen zum Temperaturfeld wie die Clausius-ClapeyronGleichung verwendet, steht uns f¨ ur das Temperaturfeld insbesondere der Erste Hauptsatz der Thermodynamik zur Verf¨ ugung. Hierbei betrachten wir ein Luftpaket der Masse m oder mit dem Volumen V als ein abgeschlossenes System, so dass eine Zustands¨ anderung nur durch W¨ armeaustausch mit der Umgebung (anderen Luftpaketen) oder adiabatisch erfolgen kann. Ausnahmen hiervon werden z. B. bei speziellen Problemstellungen der Wolkenbildung gemacht, wo ein Massenaustausch mit der Umgebung zugelassen wird (Entrainment – oﬀenes System). Da in der Praxis Messungen der thermodynamischen Variablen mit Radiosonden oder an Bodenstationen immer auf eine Messung der Temperatur und des Druckes hinauslaufen, w¨ahrend man die Dichte bzw. das speziﬁsche Volumen mit Hilfe der Zustandsgleichung daraus berechnet, bietet sich f¨ ur die Meteorologie die Verwendung der Enthalpieform des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik an. Diese lautet, zun¨ achst noch in der extensiven Schreibweise: m (cp dT − v dp) = δQ .

(5.1)

50

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are

Die Druck¨ anderung dp erfolgt bei meteorologischen Prozessen meist entweder großr¨ aumig (Bodendruck¨anderungen bei synoptischen Prozessen) oder durch eine vertikale Anhebung von Luftpaketen, z. B. beim erzwungenen Aufsteigen an Bergen. Um diese Druck¨anderungen nicht gesondert betrachten zu m¨ ussen, erweist sich die in (3.43) eingef¨ uhrte potentielle Temperatur θ = T (p0 /p)R/cp als zweckm¨ aßig. Der Erste Hauptsatz (5.1) l¨asst sich mit Hilfe der potentiellen Temperatur θ in der folgenden Form darstellen: T dθ = δQ . (5.2) θ Anmerkung: Die potentielle Temperatur θ ist auch f¨ ur nicht-adiabatische Prozesse, δQ = 0, deﬁniert. F¨ ur adiabatische Prozesse, δQ = 0, gilt dagegen die bekannte Aussage dθ = 0 bzw. θ = konstant. m cp

5.2

Zur diabatischen W¨ armezufuhr δQ

Bevor wir den Ersten Hauptsatz (5.1) oder (5.2) zu einer Prognose der Temperatur einsetzen, m¨ ussen wir zun¨achst noch auf die nichtadiabatische W¨ armezufuhr, hier mit δQ symbolisiert, n¨aher eingehen, nicht zuletzt, weil an dieser Stelle in der meteorologischen Literatur unterschiedliche Bezeichnungen verwendet werden. In der urspr¨ unglichen Formulierung des Ersten Hauptsatzes bezeichnet δQ die einem System von außen zugef¨ uhrte Energie in Form von W¨ arme ( W¨ armemen” ge“), wobei der Begriﬀ W¨ arme andeutet, dass keine innere Energie zugef¨ uhrt wird (was ja aufgrund des Mengencharakters von E nur in einem oﬀenen System m¨ oglich w¨ are), sondern Energie in einer anderen, nicht als Zustandsgr¨ oße deﬁnierten Form. Der Begriﬀ zugef¨ uhrt ist seinerseits nicht ganz zutreﬀend, da ein System ja auch Energie in Form von W¨arme nach außen abgeben kann. Bezeichnen wir zur Verdeutlichung die einem System (Luftpaket) zugef¨ uhrte Energieform W¨arme mit Qz und die vom System wieder abgegebene W¨ armemenge mit Qa , so tr¨ agt ¨ zu einer Anderung der inneren Energie nur die Diﬀerenz Qz − Qa = δQ bei (Nettow¨ armezufuhr). In der urspr¨ unglichen Formulierung w¨ urde man daher den Ersten Hauptsatz wie folgt darstellen k¨onnen:

dE

¨ Anderung der inneren Energie

=

−p dV

Arbeitsleistung am/vom System

+

(Qz − Qa ) .

Netto-W¨ armeaustausch mit der Umgebung

Wie man dieser Gleichung entnehmen kann, hat sowohl die Arbeit als auch die Netto-W¨ armemenge die Dimension einer Energie (1 Joule). Als Zustandsfunktion eines Systems ist aber nur die innere Energie deﬁniert, d. h. Arbeit und W¨ arme

5.2 Zur diabatischen W¨armezufuhr δQ

51

sind keine Zustandsgr¨oßen; sie treten lediglich dann auf, wenn ein Prozess, d. h. eine Zustands¨ anderung, abl¨auft. Zur Verdeutlichung dieses Unterschiedes ist die folgende Aufstellung hilfreich: Energie als Zustandsfunktion: Ei Ek Ep

= m cv T innere Energie , = m v2 /2 kinetische Energie , = mgz potentielle Energie .

Dagegen treten folgende Energieformen nur bei Zustands¨ anderungen auf, also bei der Umwandlung oder beim Austausch von Energie: Symbol Energieform p dV δQ

L RW

Arbeit W¨ armeleitung, Strahlungsu ¨bertragung Latente W¨arme Reibungsw¨arme

Zustands¨ anderung Umwandlung potentieller in innere Energie Energieaustausch mit anderen Systemen

Phasenumwandlung innerhalb des Systems Umwandlung kinetischer in innere Energie

Die diabatische W¨armezufuhr δQ ist also eine Energieform, die nur bei Zustands¨ anderungen in Erscheinung tritt, und zwar bei Austausch von Energie mit der Umgebung oder anderen Systemen. Dies bedeutet, dass beim Energieaustausch Energie in Form von W¨arme oder Strahlung durch die Berandung (Oberﬂ¨ ache) eines Volumens (z. B. Luftpaket) hindurchtritt. Da jeder Prozess eine gewisse zeitliche Dauer besitzt, bezieht man meist den Energieaustausch auf eine Zeiteinheit und nennt dies dann einen Energiestrom oder Energieﬂuss. Ein Energiestrom ist also diejenige Energiemenge, welche pro Zeiteinheit einem System zugef¨ uhrt oder entzogen wird. Wird dieser Energiestrom auf eine Einheitsﬂ¨ ache bezogen, so spricht man von einer Energiestromdichte. Symbol Bezeichnung Q Q˙ Q˙

Dimension

Einheit

Energieaustausch Energie 1J −1 Energiestrom Energie/Zeit 1 Js = 1 W Energiestromdichte Energiestrom/Fl¨ ache 1 W m−2

Beispiel Solarkonstante: Der Wert der Solarkonstanten, 1370 W m−2 , gibt diejenige Energie an, die in Form kurzwelliger Strahlung von der Sonne ausgehend pro Zeit- und Fl¨ acheneinheit am Rand der Erdatmosph¨ are eintritt (Energiestromdichte der kurzwelligen Einstrahlung).

52 z

..... ... ... ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. ..

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are Q˙ a

. ......... ..... .... .......... ......... ... ... . ............................................................. ................................................................................................................. ............. ................... .......... ... .......... .. ........ .... ............ ..... . . . .......... . ... ............................................................................................................................................................................................. .... .. . .... .... . . .. ... .... .... . .. .... .... .... . .... ... ... .... . .. .... ... .... . .. .... . . . . . .... .. .... .... . . .. ... .... ... . . . ..... ..... .... . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .... ... .... . ....................... ............ .... ......................................................... .............................................................................................................................................. ....... ....... ..... .... .... .... .................

F

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Δz

Bild 5.1 Zur Energiebilanz eines Luftvolumens V = F Δz. Die vier Seitenﬂ¨achen sind isoliert.

Q˙ z

Mit der Einf¨ uhrung eines Energiestromes Q˙ l¨ asst sich eine Form des Ersten ¨ Hauptsatzes f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie bzw. Enthalpie und damit f¨ ur die zeitliche Temperatur¨anderung angeben. Hierzu ist es lediglich notwendig, das Diﬀerential d in (5.1) oder (5.2) durch die zeitliche Ableitung d/dt zu ersetzen. Damit lautet der Erste Hauptsatz statt (5.1): m cp

dT dp −mv = Q˙ z − Q˙ a = δ Q˙ . dt dt

(5.3)

˙ BeWie groß ist nun aber der Netto-W¨armestrom (besser: Energiestrom) δ Q? trachten wir dazu in Bild 5.1 ein Luftvolumen der Masse m und mit dem Volumen V , welches eine Energiezufuhr erf¨ahrt. Der Einfachheit halber sollen die Energiestr¨ ome Q˙ z und Q˙ a nur durch die Fl¨achen senkrecht zur vertikalen Koordinate z hindurchtreten, nicht aber durch die seitlichen R¨ ander. ˙ ˙ ache F ist Es gilt allgemein, dass Q = QF , d. h. der Energiestrom Q˙ durch eine Fl¨ ache, also gleich der Energiestromdichte Q˙ multipliziert mit der betrachteten Fl¨ Q˙ z = Q˙ z F ,

Q˙ a = Q˙ a F ,

δ Q˙ = (Q˙ z − Q˙ a ) F = −(Q˙ a − Q˙ z ) F . Bildet man jetzt den Diﬀerenzenquotienten der Energiestromdichten Q˙ u ¨ber die Vertikaldiﬀerenz, ΔQ˙ Q˙ a − Q˙ z = , Δz Δz so ergibt sich f¨ ur δ Q˙ insgesamt, dass ΔQ˙ ΔQ˙ Δz F = − V . δ Q˙ = (Q˙ z − Q˙ a ) F = − Δz Δz Betrachtet man nun eine inﬁnitesimal d¨ unne Luftschicht dz, so kann man den ˙ ˙ Diﬀerenzenquotienten ΔQ/Δz durch das Diﬀerential dQ/dz ersetzen,

5.2 Zur diabatischen W¨armezufuhr δQ

δ Q˙ = −V

dQ˙ dz

53

f¨ ur Δz → dz .

(5.4)

˙ nennt man die Divergenz der EnergieDen Diﬀerentialquotienten dQ/dz stromdichte (bzw. W¨armestromdichte, Strahlungsstromdichte). Im obigen Spezialfall ist nur der Anteil der vertikalen Energiestr¨ ome erfasst. Es gibt zwar auch horizontale Energiestr¨ome, aber f¨ ur zahlreiche Prozesse in der Atmosph¨ are gen¨ ugt die Betrachtung der vertikalen Energiestr¨ome. Mit Hilfe der Beziehung (5.4) l¨ asst sich der Erste Hauptsatz umschreiben als dT dp dQ˙ −mv = −V , (5.5) dt dt dz oder in der intensiven Form (pro Masseneinheit) unter Verwendung der Beziehung v = 1/ρ als m cp

cp

dT 1 dp 1 dQ˙ − =− . dt ρ dt ρ dz

(5.6)

Mit der potentiellen Temperatur θ ergibt sich aus (5.2):

cp

dθ 1 θ dQ˙ =− . dt ρ T dz

(5.7)

Aus der Form (5.7) lassen sich zwei Spezialf¨alle ableiten, die bei meteorologischen Prozessen eine wichtige Rolle spielen, n¨amlich • isobare Prozesse: ersetze θ durch T in (5.7), • adiabatische Prozesse: setze Q˙ = 0 in (5.7). Die Formen (5.6), (5.7) des Ersten Hauptsatzes gelten sowohl f¨ ur trockene Luft als auch f¨ ur feuchte, aber unges¨attigte Luft. In letzterem Fall muss man nur die ur das Gemisch feuchte entsprechenden speziﬁschen Konstanten, z. B. cp und R f¨ Luft einsetzen. Ist die Luft jedoch mit Wasserdampf ges¨ attigt, k¨ onnen Phasenumwandlungen auftreten, so dass zus¨atzlich die latente W¨ arme ber¨ ucksichtigt werden muss. Dies wird am Ende des Kapitels noch n¨ aher erl¨ autert. Welche Energiestr¨ome Q˙ f¨ uhren nun aber in der Atmosph¨ are zu thermodynamischen Zustands¨ anderungen? Hier sind es der Strom f¨ uhlbarer W¨ arme (molekulare oder turbulente W¨ armeleitung) und/oder kurzwellige und langwellige Strahlungsstr¨ome. Meist werden diese in der Literatur als Energiestromdichten angegeben (in W m−2 ), auch wenn h¨auﬁg nur von Strahlungs- oder W¨ armestr¨ omen gesprochen wird. Hierzu folgende Tabelle; die Symbole gelten nicht universell:

54

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are Symbol Bezeichnung S˙ k S˙ l ˙ W

Beispiel

Strahlungsstromdichte (kurzwellig) Solarkonstante Strahlungsstromdichte (langwellig) σT 4 (Schwarzer K¨ orper) ˙ W¨ armestromdichte (f¨ uhlbare) W = −λ dT /dz

In den Beispielen sind σ die Stefan-Boltzmann-Konstante (nach den ¨ osterreichischen Physikern J. Stefan, 1835–1893, und L. Boltzmann, 1844–1906) und λ die thermische Leitf¨ahigkeit (molekulare W¨armeleitung). Unter der vereinfachenden Annahme, dass nur Energiestr¨ome in vertikaler Richtung auftreten, l¨ asst sich der Erste Hauptsatz damit auch wie folgt schreiben: ⎧

⎫

˙ ⎬ dθ 1 θ ⎨ dS˙ k dS˙ l dW cp =− + + . dt ρ T ⎩ dz dz dz ⎭

(5.8)

Wie man aus (5.8) erkennt, kommt es also f¨ ur eine Temperatur¨ anderung in der Atmosph¨ are nicht auf die Gr¨oße der Strahlungs- oder W¨ armestromdichten selbst an, sondern auf die Divergenzen der Stromdichten. Dies ist nichts anderes als die Aussage zur Erl¨ auterung von δQ am Anfang dieses Abschnittes, dass es auf die Netto-Energiezufuhr ankommt, wenn man den Zustand eines Systems ¨andern will. F¨ ur die praktische Durchf¨ uhrung einer Temperaturprognose mit Hilfe von (5.8) ben¨ otigt man noch die Strahlungsstr¨ome S˙ k und S˙ l selbst. Dies ist aber keineswegs ein triviales Problem, sondern erfordert umfangreiche Rechnungen, besonders f¨ ur die langwellige Strahlung, was zu einer Spezialdisziplin in der Meteorologie gef¨ uhrt hat (Atmosph¨arische Strahlung). An dieser Stelle soll deshalb die rechte Seite von Gleichung (5.8) nur anhand eines einfachen Beispiels behandelt werden; vielmehr sei auf die weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen. Im allgemeinen kann gesagt werden, dass die kurzwellige Solarstrahlung nur in geringem Umfang in der Atmosph¨are selbst absorbiert wird. Vielmehr gelangt der gr¨oßte Teil zum Erdboden und wird dort im globalen Mittel zu etwa 70 Prozent absorbiert. 30 Prozent werden wieder in den Weltraum zur¨ uckgestreut, so dass die sogenannte planetare Albedo der Solarstrahlung etwa 0,3 betr¨ agt. Wie tr¨ agt nun aber die Solarstrahlung zur Erw¨ armung der Atmosph¨ are bei? Dies geschieht haupts¨achlich indirekt, indem der Erdboden durch die Sonneneinstrahlung erw¨ armt wird und dann wie eine Art Heizplatte f¨ ur die dar¨ uberliegende Atmosph¨ are wirkt. Die Erw¨armung der unteren Luftschichten geschieht durch molekulare und turbulente W¨armeleitung (letztere wird ausf¨ uhrlich in Kapitel 21 ˙ behandelt), welche unter dem Symbol W im Ersten Hauptsatz (5.8) aufgef¨ uhrt ist. Es verbleibt in (5.8) noch, die Wirkung der langwelligen Strahlung (Schwarzk¨orperstrahlung) zu erkl¨aren. Prinzipiell gibt jede Materie Energie in Form langwelliger Strahlung entsprechend dem Stefan-Boltzmann-Gesetz

5.2 Zur diabatischen W¨armezufuhr δQ

55

W (5.9) m2 K4 ab bzw. kann sie langwellige Strahlung anderer K¨orper absorbieren. Der Faktor α in (5.9) gibt den Emissions- bzw. Absorptionsgrad an, der von den Materialeigenschaften abh¨ angt (der Maximalwert α = 1 ergibt sich f¨ ur den Schwarzen K¨ orper). Neben festen K¨ orpern (z. B. der Erdoberﬂ¨ache) emittieren und absorbieren auch Gase die langwellige Strahlung. In der Atmosph¨are sind dies haupts¨ achlich Wasserdampf und CO2 . Da diese Gase in der Atmosph¨ are eine starke r¨ aumliche und zeitliche Variabilit¨at aufweisen, kann man leicht einsehen, dass die Wirkung der Divergenz der langwelligen Strahlungsstromdichte (Symbol S˙ in (5.8)) nicht so einfach anzugeben ist, sondern vielmehr umfangreiche Berechnungen erfordert (siehe Literatur zur atmosph¨arischen Strahlung). Es soll daher zum Schluss dieses Abschnitts nur ein einfaches Beispiel zur Wirkung der diabatischen W¨ armequellen im Ersten Hauptsatz der Thermodynamik (5.8) angef¨ uhrt werden. Wir nehmen an, dass die kurzwellige solare Einstrahlung die Atmosph¨ are ungehindert passiert und nur am Erdboden absorbiert wird. An einem wolkenlosen Sommertag gelangen in unseren Breiten um die Mittagszeit etwa 900 W m−2 zum Erdboden, wovon 30 Prozent wieder reﬂektiert werden. Somit verbleiben zur Erw¨ armung der Erdoberﬂ¨ache etwa 630 W m−2 . Die Erdoberﬂ¨ achentemperatur betrage 15 ◦ C, also T = 288 K, woraus sich f¨ ur die langwellige Ausstrahlung unter der Annahme α = 1 aus (5.9) ein Wert von 390 W m−2 ergibt. Da die solare Einstrahlung f¨ ur die Erdoberﬂ¨ache einen Energiegewinn, die langwellige Ausstrahlung jedoch einen Energieverlust darstellt, verbleibt als Nettoenergiezufuhr die sogenannte Strahlungsbilanz S˙ = ασT 4 ,

σ = 5,67 · 10−8

|S˙ k | − |S˙ | = ΔS˙

Strahlungsbilanz

(5.10)

u agt in unserem Beispiel ΔS˙ = 240 W m−2 . Mit dieser Energiezufuhr ¨brig. Sie betr¨ k¨onnte man nun den Erdboden unterhalb der Erdoberﬂ¨ ache mittels molekularer W¨armeleitung erw¨armen, was auch tats¨achlich geschieht. Wenn wir diesen Eﬀekt einmal vernachl¨ assigen, muss die Erdoberﬂ¨ache ihre aus der Strahlungsbilanz gewonnene Energie aber wieder abgeben, da in einer Fl¨ ache keine Speicherung von Energie m¨ oglich ist. Dies geschieht nun durch einen W¨ armestrom in die ˙ bezeichnet. F¨ Atmosph¨ are hinein, in (5.8) mit dem Symbol W ur die Energiebilanz der Erdoberﬂ¨ ache bedeutet dies: ˙ . |S˙ k | − |S˙ | = W

(5.11)

˙ = 240 W m−2 in die Atmosph¨are. Gem¨ aß (5.8) kommt es aber Somit gelangen W hinsichtlich der Temperatur¨anderung auf die Divergenz des W¨ armestromes an, wir ben¨ otigen also die vertikale Verteilung des W¨ armestromes in den unteren Atmosph¨ arenschichten.

56

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are

Dazu nehmen wir zur Vereinfachung an, dass der am Boden eintretende W¨ armestrom bis zu einer H¨ohe H vollst¨andig in der Atmosph¨ are absorbiert werden soll (was auch tats¨ achlich der Fall ist). Demzufolge haben wir bei z = 0 den W¨ arme˙ ˙ ˙ strom W = W0 , in der H¨ohe z = H dagegen ist W = 0. Unter der Annahme eines ˙ (z) erhalten wir schließlich aus (5.8): linearen Verlaufs des W¨armestromproﬁls W

˙ ˙ dθ 1 θ W (H) − W (0) =− . dt ρcp T H

(5.12)

F¨ ur nicht zu große Werte von H (einige hundert Meter) gilt θ ≈ T und somit erhalten wir ˙ (0) 1 W dT =+ . dt ρcp H

(5.13)

Wie groß ist nun die Temperaturzunahme in der Atmosph¨ are, wenn diese entsprechend (5.13) vom Erdboden her erw¨armt wird? In unserem Beispiel war ˙ (0) = 240 W m−2 . Es ergibt sich mit ρ = 1,25 kg m−2 und cp = 1005 J kg−1 K−1 W f¨ ur ρ cp ≈ 1250 J m−3 K−1 und somit z. B. dT /dt = 6,9 K h−1

f¨ ur H = 100 m,

−1

dT /dt = 1,4 K h

f¨ ur H = 500 m,

dT /dt = 0,7 K h−1

f¨ ur H = 1000 m.

Vergleicht man die Erw¨armungsraten mit gemessenen Werten des Tagesgangs der bodennahen Lufttemperatur, so liegen diese im Bereich von 1 K h−1 . In der realen Atmosph¨ are ¨andern sich aber sowohl die Strahlungsbilanz und somit der W¨armestrom am Erdboden als auch die H¨ohe H der erw¨ armten Luftschicht mit der Tageszeit, so dass das hier angef¨ uhrte Zahlenbeispiel nur einen Anhaltspunkt geben kann. Jedoch sind die Beziehungen (5.12) und (5.13) durchaus geeignet, die Temperatur¨ anderung in der bodennahen Atmosph¨ are durch diabatische Prozesse abzusch¨ atzen.

5.3

Zur Beru arme L ¨ cksichtigung der latenten W¨

Wie bereits erw¨ ahnt, gilt der Erste Hauptsatz (5.8) auch f¨ ur feuchte, aber unges¨attigte Luft, bei entsprechender Ber¨ ucksichtigung der speziﬁschen Konstanten. Die bei der Phasenumwandlung von Wasserdampf freiwerdende bzw. ben¨ otigte latente W¨ arme muß man erst dann ber¨ ucksichtigen, wenn die Luft ges¨ attigt ist, Kondensation also u arme im System ¨berhaupt eintreten kann. Da diese W¨

5.3 Zur Ber¨ ucksichtigung der latenten W¨arme L

57

(Luftvolumen) selbst latent vorhanden ist, kann man sie nicht unter dem Symbol δQ der von außen zugef¨ uhrten W¨arme auﬀ¨ uhren, sondern muss sie vielmehr ¨ wie die Anderung der inneren Energie und die Arbeit behandeln und somit auf die linke Seite des Gleichheitszeichens im Ersten Hauptsatz (5.1) setzen. In der Enthalpieform lautet der Erste Hauptsatz f¨ ur feuchte, aber ges¨ attigte Luft (Phasen¨ uberg¨ ange m¨ oglich): m cp dT − m v dp + m lv dqs = Qz − Qa = δQ .

(5.14)

arme (Kondensationsw¨ arme) Hierbei ist lv die speziﬁsche latente Verdunstungsw¨ attigungsfeuchte). Der Index s und qs die speziﬁsche Feuchte bei S¨attigung (S¨ macht deutlich, dass die latente W¨arme erst dann in Erscheinung tritt, wenn die Luft ges¨ attigt ist, also die Phasenumwandlung auch stattﬁndet. Der Zusammenhang zwischen der S¨attigungsfeuchte qs und den beiden thermodynamischen Variablen p und T ergibt sich u attigungsdampfdruck ¨ber den S¨ E und die Clausius-Clapeyron-Gleichung: qs =

E , p

(5.15)

lv dT dE = , E Rw T 2

(5.16)

dqs dE dp − . = qs E p

(5.17)

F¨ ur die Verwendung von (5.14) als prognostische Gleichung f¨ ur Temperatur¨ ande˙ wobei f¨ rungen muß man analog zu (5.5) setzen: d → d/dt und Q → Q, ur die W¨armequellen Q˙ die Gleichungen (5.4) und (5.8) gelten. Zur Erreichung der S¨attigungsfeuchte qs muß bekanntlich ein Luftvolumen auf die Taupunktstemperatur abgek¨ uhlt werden. Dies kann entweder durch diabatischen W¨ armeentzug (δQ < 0) geschehen, wie z. B. bei der n¨ achtlichen Abk¨ uhlung der bodennahen Luftschicht durch langwellige Ausstrahlung, oder durch adiabatische Temperaturerniedrigung, wie etwa bei der Anhebung von Luftpaketen w¨ahrend einer Berg¨ uberstr¨omung oder bei großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨ angen. Da gerade die letzteren Ph¨anomene sehr h¨auﬁg in der Atmosph¨ are auftreten, spielen auch bei Phasen¨ uberg¨angen adiabatische Prozesse eine große Rolle. F¨ ur feuchte, ges¨ attigte Luft bedeutet ein adiabatischer Prozess, dass kein W¨ armeaustausch mit der Umgebung erfolgt, aber dennoch Energie in Form von latenter W¨ arme freigesetzt wird, was zu einer Temperaturerh¨ ohung f¨ uhren kann. Der Erste Hauptsatz hat dann f¨ ur adiabatische Prozesse die Form cp dT − v dp + lv dqs = 0 , oder mit der potentiellen Temperatur

(5.18)

58

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are

T dθ + lv dqs = 0 . (5.19) θ Aus der Form (5.19) erkennt man am besten den Unterschied zu adiabatischen Prozessen in trockener bzw. unges¨attigter Luft: cp

dθ = −

θ lv dqs T cp

> 0 bei Kondensation < 0 bei Verdunstung

(dqs < 0) (dqs > 0)

.

Dies bedeutet, dass die potentielle Temperatur eines Luftvolumens bei Kondensationsvorg¨ ange zunimmt, auch wenn es sich dabei um einen adiabatischen Prozess handelt. Die dazu ben¨otigte Energie wird aber nicht von außen zugef¨ uhrt, sondern ¨ der latenten W¨ arme des Systems selbst entnommen. Die maximale Anderung der potentiellen Temperatur θ erh¨alt man, wenn der gesamte in einem Luftvolumen enthaltene Wasserdampf kondensiert ist, also f¨ ur dqs = −qs . Nehmen wir z. B. f¨ ur die speziﬁsche Feuchte qs den Wert 10 g kg−1 an, so w¨ urde sich f¨ ur die maximal ¨ m¨ogliche Anderung der potentiellen Temperatur ergeben: dθ = 25 K! An diesem Zahlenwert erkennt man, dass die latente W¨arme ein sehr großes Energiereservoir f¨ ur atmosph¨ arische Prozesse darstellt.

5.4

Kondensation in der Atmosph¨ are

Eine wichtige Rolle spielt der Prozess der Abk¨ uhlung in einer feuchten Atmosph¨ are, n¨ amlich dann, wenn ein Luftvolumen so stark abgek¨ uhlt wird, dass der darin vorhandene Wasserdampf kondensiert. Betrachten wir diesen Vorgang einmal f¨ ur einen isobaren und zum anderen f¨ ur einen adiabatischen Prozess. Der Abk¨ uhlungsprozess l¨asst sich in einem Zwei-Phasen-Diagramm f¨ ur den Dampfdruck e und die Temperatur T wie in Bild 5.2 darstellen. ...... E(T ) ... . ... .. WasserWasser . . .. .. ... dampf .. .... .. .. .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........B.......... .................................................................................A .. •....... .......... .......... e(T ) . ...•..... .. . .... ...... . . . ... . .... .. . . . . . .. ... . ... . .. . . . . . . . . . . .. . ... . . . . .. ... ..... ... . .. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .. .. ... . .................................................................................................................................................................. Te TE T e

Bild 5.2 Phasendiagramm zur Kondensationsbildung. TE bezeichnet die Taupunktstemperatur.

5.4 Kondensation in der Atmosph¨are

59

Die Luft wird von der Temperatur Te isobar bis zur Temperatur TE abgek¨ uhlt. Der Dampfdruck e(TE ) entspricht jetzt dem S¨attigungsdampfdruck E(TE ). Bei der Temperatur TE kann der in der Luft vorhandene Wasserdampf kondensieren. Ein bekanntes Ph¨anomen der Kondensation durch Abk¨ uhlung ist die Taubildung in Erdbodenn¨ahe. Deshalb nennt man auch diejenige Temperatur, auf die man ein Luftvolumen abk¨ uhlen muss, damit erstmals Kondensation eintritt, Taupunktstemperatur. Die eben beschriebenen isobaren Abk¨ uhlungsvorg¨ ange treten vorwiegend in den unteren Luftschichten auf, wodurch neben der Taubildung auch die Entstehung des Nebels durch den Kondensationsprozess mittels Abk¨ uhlung beschrieben werden kann. Als Hauptursachen f¨ ur die Abk¨ uhlung sind die im vorigen Abschnitt erw¨ ahnte langwellige Ausstrahlung und die W¨ armeleitung anzusehen. Man spricht daher im ersteren Fall auch von Strahlungsnebel und meint damit die mit der Abk¨ uhlung einer feuchten Luftmasse durch Ausstrahlung verbundene Kondensation des Wasserdampfes, der sich in Form von Nebel ausbildet. Eine andere M¨oglichkeit der Abk¨ uhlung ist diejenige, bei der eine feuchte, warme Luftmasse u ¨ber einen kalten Untergrund streicht und sich dabei durch W¨armeleitung mit dem Boden abk¨ uhlt. Wenn es dabei zur Kondensation kommt, entsteht der sogenannte Advektionsnebel. Er kommt z. B. in der k¨ alteren Jahreszeit an den K¨ usten vor, wenn w¨armere Luft vom Meer auf das kalte Festland gelangt (advehiert wird) und sich dort abk¨ uhlt. Eine weitere Art der Nebelbildung ist der Mischungsnebel, bei dem die Abk¨ uhlung nicht durch W¨armeentzug verursacht wird, sondern durch Vermischung zweier Luftmassen unterschiedlicher Temperatur und Feuchte. Hier hat man es also mit einem adiabatischen Prozess zu tun. Am einfachsten l¨ asst sich dieser Vorgang anhand des e,T -Diagramms in Bild 5.3 verdeutlichen. Die Luftmasse 1 mit dem Dampfdruck e1 und der Temperatur T1 wird mit der Luftmasse 2 mit e2 und T2 vermischt. Die sich einstellende Mischungstemperatur Tm und der Mischungsdampfdruck em liegen im e-T -Diagramm auf der Linie 1 ↔ 2, je nach Massenverh¨altnis. Ist dabei der Mischungsdampfdruck em (Tm ) . e ....... Wasser E(T ) . .. e2 ........... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ................•........ 2 ... ....... . ... Kondensation ..................... .... ... ...... .. Wasser.. m¨ oglich ....................... .................... .... . .. .. .. . . . . . dampf em ........... ........ ........ ........ ........ ..............•.................. ... .. ........ ... ... . . ...... .... . . . . ... ..... . . ... ............... ..... ... ... ...................... .. ... ... .. e1 ........... ........ ........ ....•........ .. ... 1 . ... . .... .... . ... .. ... .. ... .. .. ... ... . ............................................................................................................................................................. .. T1 Tm T2 T

Bild 5.3 Phasendiagramm f¨ ur die Luftmassenmischung

60

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are

gr¨oßer als der S¨ attigungsdampfdruck E(Tm ), so tritt Kondensation ein. Man erkennt an der Darstellung, dass Kondensation durch Mischung nur unter speziellen Verh¨ altnissen f¨ ur die beteiligten Luftmassen auftreten kann. Deshalb sind die Mischungsnebel seltener als die anderen Arten der Nebelentstehung. Außer durch Entzug von W¨arme kann ein Luftvolumen auch adiabatisch abgek¨ uhlt werden, und zwar durch Volumenexpansion oder durch Druckerniedrigung. F¨ ur einen adiabatischen Prozess gilt ja die Beziehung T = θ(p/p0 )κ , d. h. bringt man ein Luftteilchen von seinem Ausgangsdruck p0 auf einen niedrigeren Druck p, so verringert sich auch seine Temperatur T . Wenn die Druckerniedrigung so groß wird, dass die Taupunktstemperatur erreicht wird, ﬁndet Kondensation statt. Wie l¨ asst sich nun in der Atmosph¨are eine adiabatische Temperatur¨ anderung durchf¨ uhren? Eine Druckabnahme ﬁndet z. B. statt, wenn man ein Luftvolumen in Richtung der freien Atmosph¨are anhebt und gew¨ ahrleistet, dass der Luftdruck des Teilchens in jeder H¨ohe dem Luftdruck der Umgebungsluft entspricht. Da gem¨ aß der statischen Grundgleichung der Druck mit der H¨ ohe abnimmt, nimmt auch bei adiabatischer Verschiebung die Temperatur eines Teilchens mit der H¨ ohe ab. Wodurch wird nun aber ein Luftpaket zum Aufsteigen bewegt? Hier sind es zwei Eﬀekte, welche daf¨ ur verantwortlich sind: Einmal die erzwungene Anhebung bei einer Luftstr¨ omung an einem Berg und zum anderen das Aufsteigen eines erw¨armten Luftpaketes infolge der Konvektion bei labiler Temperaturschichtung. In beiden F¨ allen kann es bei gen¨ ugender Feuchtigkeit der Luft und entsprechender Temperaturerniedrigung in der H¨ohe zur Kondensation kommen, was man dann als Wolkenbildung bezeichnet. Betrachten wir diese beiden F¨ alle adiabatischer Abk¨ uhlung: In Bild 5.4 wird die feuchte Luft in Bodenn¨ahe wird durch die Str¨ omung am Berg zum Aufsteigen gezwungen, wobei sie sich adiabatisch abk¨ uhlt (und zwar feuchtadiabatisch, d. h. in der Adiabatengleichung h¨ angt der Wert von κ = R/cp noch von der speziﬁschen Feuchte der Luftmasse ab). Wird dabei die Taupunktstemperatur TE erreicht, kommt es zur Kondensation und damit zur Wolkenbil. z ....... ... p(z) κ ... T (z) = θ .. p0 ... ... ... ... .. ...... ... .... .... ... .... . ... ... Hebungs– ....... .. ..... ...... ..... ... Kondensation . . ... ....... . . . . . . .............................................................. . .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... ..........kondensa– ...... ............. .... .. ............... ............. . .............. ..... . ... .. tions– ................................................ ........ . ... . . .. . . . . . . niveau ..... . . . . ... ... ... ... . . ... ........ . . . . . . . . . . . . . . ... .. . . .. . . . . . .... ..... ... ... ... .... .... .... .... ............................................................................................ . . .... ...... ... . . . . . ... feuchte .............................................. ....... ................................................. ............ . . .. . .......................................................................... . ................................................ ... . ... ...... . Luft . ............................................ . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .......................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................... TE T0 T .................................................... Bild 5.4

Kondensation durch Hebung an einem Hindernis

5.5 Der Treibhauseﬀekt

61

...... . . ... .. ... Adiabate ... ... ... ... ... .... ... ... .... ........ . . . . . .. . ... .... . Kumulus– .......... . . . . . . . . . ... Kondensation . ............... . ... ........... .......... ............ .......... ............... .......... kondensa– ... . ............................................................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... . ..... . . . . . . . ...... ....... ... . ... ... .......... tions– .. .. .. . .. . . . ...... ....... . niveau ... ...... .... .... .. ... .. ... ..... .... ... ...... ... .... .. .... . ... feuchte ...... .............. ... Tu (z) ... .... ........................ TTeilchen ............ ............. ............ ............ ..... ... ............ .... .. Luft .. ... ........................................................................................ ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... TE T0 T .................................................... z

Bild 5.5 Kondensation durch den Aufstieg warmer Luft. F¨ ur eine labile Schichtung gilt ∂Tu /∂z < −Γ, wobei Tu die Umgebungstemperatur ist.

dung. Die H¨ ohe, in welcher aufgrund der erzwungenen Anhebung der Luftmasse erstmals Kondensation eintritt wird als Hebungskondensationsniveau bezeichnet. Eine andere M¨ oglichkeit der adiabatischen Abk¨ uhlung ergibt sich, wenn die Atmosph¨ are labil geschichtet ist (Bild 5.5). Wird in diesem Fall ein Luftpaket in Bodenn¨ ahe nach oben ausgelenkt, so ist es w¨armer als seine Umgebung (Temperatur Tu ) und steigt den Auftriebsgesetzen gem¨ aß in die H¨ ohe (diese werden in Abschnitt 6.4 eingehend behandelt). Dabei k¨ uhlt es sich adiabatisch ab und kann gegebenenfalls die Taupunktstemperatur erreichen, so dass Wolkenbildung durch Kondensation erfolgt. Die H¨ohe, in der bei dieser Methode der Anhebung von Luftpaketen erstmals Kondensation eintritt, nennt man Kumuluskondensationsniveau. Die in diesem Abschnitt eher qualitativ beschriebenen Vorg¨ ange, die zur Nebelund Wolkenbildung f¨ uhren, sollen lediglich einen Einblick in thermodynamische Prozesse geben, die in der Atmosph¨are ablaufen. Deshalb wird an dieser Stelle auf eine quantitative Beschreibung, also auf das Aufstellen der physikalischen Gleichungen, verzichtet werden. Es sei lediglich angemerkt, dass gerade die Physik der Kondensationsvorg¨ange und der Wolkenbildung recht kompliziert ist und diese in einem Spezialzweig der Meteorologie, der Wolkenphysik, ausf¨ uhrlich behandelt werden (siehe Literaturverzeichnis).

5.5

Der Treibhauseﬀekt

Zum Abschluss des Kapitels u are ¨ber thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ soll noch kurz der sogenannte Treibhauseﬀekt erl¨ autert werden, der im Zusammenhang mit der Diskussion um k¨ unftige Klima¨ anderungen auch in den Medien h¨auﬁg Erw¨ ahnung ﬁndet. Dazu sch¨atzen wir im Folgenden die globale mittlere Lufttemperatur in der N¨ahe der Erdoberﬂ¨ache ab. Diese Temperatur, im Folgenden mit Tm bezeichnet, ergibt sich aus der Mittelung u ache sowie ¨ber die Erdoberﬂ¨ u ¨ber das Jahr. Aus Letzterem folgt: d Tm /dt = 0 und auch d pm /dt = 0 (pm =

62

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are

mittlerer globaler Bodendruck). Somit muss entsprechend dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (5.3)die Nettoenergiezufuhr δ Q˙ verschwinden. Nehmen wir zun¨achst an, dass die Atmosph¨are f¨ ur kurzwellige solare Einstrahlung (S) und langwellige terrestrische Ausstrahlung (L) v¨ ollig durchl¨ assig ist. Dann entspricht die Gleichgewichtstemperatur Tm gerade der mittleren Temperatur der Erdoberﬂ¨ache. Da die Nettoenergiezufuhr verschwindet, muss ein Gleichgewicht zwischen der globalen solaren Einstrahlung (S) und terrestrischen Ausstrahlung (L) herrschen, die sogenannte Strahlungsbilanz ist ausgeglichen, d.h. es gilt: S = L. Die prinzipiellen Verh¨altnisse sind in Bild 5.6 dargestellt.

Bild 5.6 Prinzipielle Energiestr¨ome in Form kurzwelliger solarer Einstrahlung (S) und langwelliger terrestrischer Ausstrahlung (L).

Die gesamte, von der Sonne auf die Erde auftreﬀende Solarstrahlung betr¨ agt S = πR2 So (Einheit: Watt), wobei R der Erdradius und So die Solarkonstante, d.h. der pro Fl¨ acheneinheit einfallende solare Energiestrom (Einheit : Wm−2 ) ist. Diese Energiezufuhr muss nun auf die Erdoberﬂ¨ ache verteilt werden, da ja ein globales Mittel der Oberﬂ¨achentemperatur betrachtet werden soll. Die Gr¨ oße der Erdoberﬂ¨ ache betr¨agt 4πR2 und somit wird pro Fl¨ acheneinheit der Erde im Mittel an solarer Strahlung zugef¨ uhrt: Sm = So /4 . Die Erdoberﬂ¨ ache absorbiert aber nicht alle einfallende Sonnenstrahlung sondern reﬂektiert einen Teil wieder in den Weltraum zur¨ uck. Den Anteil der reﬂektierten Strahlung bezeichnet man als Albedo (α). Im Endeﬀekt wird der Erdoberﬂ¨ ache somit an kurzwelliger Strahlung zugef¨ uhrt: Sm =

So (1 − α) . 4

Dieser Energiegewinn wird durch langwellige thermische Ausstrahlung kompensiert (Bild 5.6). Nimmt man an, dass die Erdoberﬂ¨ ache ein perfekter Schwarzstrahler ist, so gilt f¨ ur die terrestrische Ausstrahlung pro Fl¨ acheneinheit (Lm ):

5.5 Der Treibhauseﬀekt 4 Lm = σ Tm

63 ,

σ = 5,67 · 10−8 W/(m2 K 4 ) .

σ ist die bereits in Abschnitt 5.2 eingef¨ uhrte Stefan-Boltzmann Konstante. Die mittlere Gleichgewichtstemperatur der Erdoberﬂ¨ ache ergibt sich somit aus: S0 4 (1 − α) = σ Tm . (5.20) 4 Setzt man f¨ ur die Albedo einen typischen Wert α = 0.3 und f¨ ur die Solarkonstante den mittleren Wert S0 = 1370W m−2 in (5.20) ein, so erh¨ alt man Tm ≈ 255K = −18◦ C. Aus Messungen ergibt sich aber ein Wert von Tm ≈ +15◦ C, d. h. die mittels (5.20) errechnete globale Mitteltemperatur ist um etwa 33◦ C zu niedrig. Woran liegt das nun? Wir hatten anfangs vorausgesetzt, dass kurz- und langwellige Strahlung die Atmosph¨ are ungehindert durchdringen. Dies ist aber keineswegs der Fall, vielmehr k¨onnen die in der Atmosph¨are vorhandene Gase Strahlung reﬂektieren, streuen und absorbieren. Die zum Teil komplexen Strahlungsgesetze werden ausf¨ uhrlich in den zu diesem Kapitel zitierten Lehrb¨ uchern behandelt. Hier sei nur angedeutet, dass der Einﬂuss der Atmosph¨are auf die solare Einstrahlung u ¨ber die Albedo α ber¨ ucksichtigt wird. Die langwellige Ausstrahlung wird haupts¨ achlich durch Wasserdampf (besonders Wolken), CO2 , O3 und andere gasf¨ ormige Spurenstoffe bestimmt. Diese Gase strahlen quasi wie schwarze K¨ orper. Die Atmosph¨ are strahlt somit sowohl in den Weltraum aus als auch zur Erdoberﬂ¨ ache zur¨ uck. Letzteres nennt man langwellige Gegenstrahlung(Lg). F¨ ur die Strahlungsbilanz der Erdoberﬂ¨ ache bedeutet dies, dass der Erdoberﬂ¨ ache aus der Atmosph¨ are auch langwellige Strahlung zugef¨ uhrt wird, die Netto-Ausstrahlung also verringert wird. Es ergibt sich bei Ber¨ ucksichtigung der Strahlungswirkung der Atmosph¨ are nunmehr statt (5.20): So 4 (1 − α) = σ Tm − Lg . (5.21) 4 Die Wirkung der Atmosph¨are auf die langwellige Strahlung nennt man den Treibhauseﬀekt. Man meint damit, dass ein Teil der von der Erdoberﬂ¨ ache ausgehenden langwelligen Strahlung durch die Atmosph¨ are zur¨ uckgestrahlt wird und somit zur Erw¨armung der unteren Atmosph¨ arenschichten f¨ uhrt. Die langwellige Gegenstrahlung betr¨agt im globalen Mittel nach Messungen etwa 150 Wm−2 . Setzt man diesen Wert in (5.21) ein, so erh¨alt man f¨ ur die globale Mitteltemperatur in Bodenn¨ ahe: Tm ≈ 288K = 15◦ C. Dieser Wert stimmt mit den Beobachtungen gut u aß (5.20) ¨berein. Aus dem Vergleich der Mitteltemperaturen gem¨ und (5.21) kann man die Strahlungswirkung der in der Atmosph¨ are vorhandenen ¨ Spurengase (dabei vor allem Wasserdampf) erkennen. Man kann ohne Ubertreibung formulieren, dass der sogenannte Treibhauseﬀekt, also die atmosph¨ arische Gegenstrahlung, erst ein f¨ ur das Leben auf der Erde f¨ orderliches Klima bewirkt.

64

5 Thermodynamische Prozesse in der Atmosph¨ are

Die zur Zeit diskutierte Problematik einer k¨ unftigen Zunahme der globalen Mitteltemperatur auf Grund anthropogner Freisetzung der sogenannten Treibhausgase (z.B. CO2 , O3 , Methan, etc.) kann in erster N¨ aherung u ¨ber die Strahlungsbilanz (5.21) verstanden werden. Die langwellige Gegenstrahlung Lg h¨ angt u.a. von der Strahlungswirksamkeit und der Gesamtmasse der einzelnen Luftbeimengungen (Spurengase) ab. Obwohl die Strahlungsphysik des Treibhauseﬀektes recht komplex ist, kann man grob sagen, dass die langwellige Gegenstrahlung proportional zur Masse der in der Atmosph¨are vorhandenen strahlungswirksamen Gase ist. Eine Zunahme dieser Gase, z.B. durch menschliche Aktivit¨ aten, f¨ uhrt zu einer erh¨ohten Gegenstrahlung und somit entsprechend (5.21) zu einer erh¨ohten mittleren bodennahen Temperatur Tm . Man spricht daher auch gelegentlich von dem anthropogen verursachten zus¨ atzlichen Treibhauseﬀekt. In der realen Atmosph¨are sind die Wechselwirkungen allerdings viel komplexer als dies durch die einfache Strahlungsbilanz (5.21) beschrieben wird. Eine erh¨ ohte Temperatur hat z.B. eine h¨ohere Verdunstung und somit eine h¨ auﬁgere Wolkenbildung zur Folge. Wolken wirken aber als Reﬂektoren der solaren Einstrahlung und erh¨ ohen dadurch die globale Albedo (α) in (5.21). Dies w¨ urde wieder zu einer Erniedrigung der Mitteltemperatur Tm f¨ uhren. Trotz dieser Komplexit¨ aten kann der Begriﬀ Treibhauseﬀekt in erster N¨aherung u ¨ber die Strahlungsbilanzen (5.20) und (5.21) erkl¨art werden.

6 6.1

Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are Das Geopotential

Wirkt auf einen K¨orper mit der Masse m nur die Gravitationskraft, so erf¨ ahrt dieser eine Beschleunigung, welche durch das Newtonsche Axiom (nach I. Newton, englischer Mathematiker, Physiker und Astronom, 1643–1727) gegeben ist durch: bg = Kg /m , bg = Erdbeschleunigung, Kg = Gravitationskraft. Diese Beschleunigung, auch Erdbeschleunigung genannt, ist zum Erdschwerpunkt gerichtet und h¨ angt vom Abstand der betrachteten Masse von der Erdoberﬂ¨ ache und (wegen der Erdabplattung und Zentrifugalbeschleunigung) auch von der geographischen Breite ab. Diese Abh¨angigkeit ist allerdings geringf¨ ugig (≈ 1%) und soll daher f¨ ur die uns interessierenden Probleme in der Meteorologie vernachl¨ assigt werden. Man erh¨alt als mittleren Wert f¨ ur den Betrag der Erdbeschleunigung, der mit g bezeichnet wird: g = 9,80665 m s−2

Erdbeschleunigung.

(6.1)

Betrachten wir nun die potentielle Energie, im weiteren mit Ep bezeichnet, die ¨ ein K¨ orper der Masse m im Schwerefeld der Erde besitzt. Die Anderung von Ep bei Verschiebung des K¨orpers entgegen der Richtung der Schwerkraft ergibt sich zu: dEp = −Kg · dr = mg dr = mg dz . r ist hierbei der Radiusvektor, welcher vom Erdmittelpunkt ausgeht. Das negative Vorzeichen vor dem Skalarprodukt ergibt sich daraus, dass die potentielle Energie zunimmt, wenn man die Masse gegen die Richtung der Gravitation bewegt, also dr antiparallel zu Kg steht. In der obigen Beziehung ist bereits angenommen worden, dass die Richtung von r mit der Vertikalkoordinaten z u ¨bereinstimmt, die senkrecht zur Erdoberﬂ¨ache steht, was trotz der nichtsph¨ arischen Gestalt des Erdk¨ orpers angen¨ahert zutriﬀt. Die Integration der angegebenen Beziehung ergibt f¨ ur die potentielle Energie: Ep (z) − Ep (z0 ) = m g (z − z0 ) .

(6.2)

Hierbei ist E(z0 ) die Referenzenergie in der H¨ohe z0 . Man hat nun festgelegt, dass diese Referenzenergie in einer H¨ohe z0 gleich Null sein soll und als diese Referenzh¨ ohe das Meeresniveau (NN) mit z0 = 0 gew¨ ahlt. Es ergibt sich also f¨ ur die potentielle Energie einer Masse m im Schwerefeld der Erde in bezug auf das Meeresniveau:

66

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

Ep (z) = mg z .

(6.3)

Im weiteren wollen wir die Vertikalkoordinate mit z bezeichnen und als Nullpunkt, z = 0, das Meeresniveau (NN) w¨ahlen. Bezieht man die potentielle Energie auf die Einheitsmasse 1 kg, so kann man eine neue Gr¨oße deﬁnieren, das Geopotential Φ Φ ≡ Ep /m = g z

Geopotential.

(6.4)

Das Geopotential hat die Dimension einer Energie pro Masseneinheit, also [Φ] = 1 m2 s−2 . Die Abh¨ angigkeit des Geopotentials von der H¨ ohe z ergibt sich aus (6.4) auch zu: dΦ/dz = g .

(6.5)

Da wir g als konstant annehmen wollen, ist Φ proportional zur H¨ ohe, weshalb man in der Meteorologie das Geopotential auch als H¨ ohenmaß verwendet. Man deﬁniert als geopotentielles Meter zgpm : zgpm ≡ Φ/9,80665

geopotentielles Meter, in m2 s−2 .

(6.6)

¨ Die zahlenm¨ aßige Ubereinstimmung zwischen geometrischem und geopotentiellem Meter ist exakt. Eine Angabe einer H¨ohendiﬀerenz in geopotentiellen Metern ist daher gleichbedeutend mit der Angabe einer auf die Erdbeschleunigung normierten Geopotentialdiﬀerenz. In der Praxis wird das geopotentielle Meter bei der Angabe der H¨ohen von Druckﬂ¨achen verwendet. Es ist in den sogenannten H¨ohenwetterkarten nicht der Druck in einer bestimmten H¨ ohenﬂ¨ache (z. B. 5 km) dargestellt, sondern die H¨ ohe einer bestimmten Druckﬂ¨ ache, z. B. 500 hPa.

6.2

Die statische Grundgleichung

In diesem und den folgenden Abschnitten interessieren wir uns f¨ ur die Struktur der Atmosph¨ are in der Vertikalen, d. h. f¨ ur den Verlauf thermodynamischer Gr¨ oßen wie Druck, Temperatur oder Dichte mit der H¨ ohe. Zun¨ achst betrachten wir den Luftdruck als Funktion der H¨ohe, wobei wir zun¨ achst voraussetzen wollen, dass die Druckﬂ¨achen u ¨berall horizontal verlaufen, also parallel zur Erdoberﬂ¨ ache. In diesem Fall sind keine horizontalen Druckunterschiede vorhanden; es k¨ onnen also auch keine Bewegungen durch Druckkr¨ afte hervorgerufen werden. Diesen Fall nennt man deshalb auch hydrostatisch, was soviel wie ruhend besagt. F¨ ur den Druck p1 in der H¨ohe z1 gilt

6.2 Die statische Grundgleichung

67

...... .. z = H .... .......................................................................................... p = 0 . . .. ..... ..... .... M 1 ........ ... .... . . .... . . z1 ... ................................................................................. p1 ... F ... ... z2 .... .......................................................................... p2 ... ... z = 0 ............................................................................... p(z = 0) z

Bild 6.1 Zur Herleitung der statischen Grundgleichung

p1 =

Kg,1 , F

wobei Kg,1 die Gewichtskraft der Luftmasse M1 oberhalb z1 und F die Fl¨ ache unter der Luftmasse M1 ist, wie in Bild 6.1 gezeigt. Mit der Erdbeschleunigung g gilt dann weiter: Kg,1 = M1 g , so dass M1 g . F Allgemein gilt f¨ ur den Druck p in einer beliebigen H¨ ohe z entsprechend: p1 =

p(z) =

M (z)g . F

Die Masse der Lufts¨aule oberhalb z bis zu einer H¨ ohe z = H, in der keine Masse mehr vorhanden ist, der Druck also verschwindet, bestimmt sich aus der Massenverteilung m(z) zu: M (z) = −

z H

dm(z ) = −

z H

ρ(z ) dV = −

z

ρ(z )F dz .

H

Hierbei ist die Massen¨anderung dm durch die Dichte¨ anderung mittels ρ = m/V ersetzt worden, wobei dV = F dz und F die oben angegebene Fl¨ ache ist. Es ergibt sich insgesamt f¨ ur den Druck in der H¨ohe z: p(z) = −g

z H

ρ(z ) dz .

(6.7)

68

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, dass p(z = H) = 0 gilt. Das negative Vorzeichen des Integrals in (6.7) und in den vorhergehenden Integralen r¨ uhrt daher, dass die z-Koordinate positiv nach oben deﬁniert ist, w¨ahrend der Druck p und auch die Masse M von z = H nach unten hin zunehmen. Man erkennt aus (6.7), dass der Luftdruck um so gr¨oßer wird, je weiter man sich dem Erdboden n¨ ahert. Dort, also bei z = 0, lastet das gesamte Gewicht der Luft oberhalb des Bodens auf der Grundﬂ¨ ache F , weshalb der Luftdruck am Boden seinen Maximalwert hat. Um nun aber die Druck¨anderung mit der H¨ohe an einer beliebigen Stelle in der Atmosph¨ are bestimmen zu k¨onnen, ist man an einer diﬀerentiellen Beziehung zwischen Druck und H¨ohe interessiert. Man erh¨ alt diese aus der Diﬀerentiation von (6.7) nach der Vertikalkoordinaten z: dp(z) = −gρ(z) . (6.8) dz Die Beziehung (6.8) wird als statische Grundgleichung bezeichnet, da sie die vertikale Druckverteilung in einer ruhenden, also statischen Atmosph¨ are beschreibt. An dieser Stelle noch eine Bemerkung zum Gebrauch der Diﬀerentiale dp und dz in (6.8). Die Herleitung f¨ ur die statische Grundgleichung geschah zun¨ achst f¨ ur horizontal orientierte Druckﬂ¨achen, so dass der Druck in diesem Fall nur von der Vertikalkoordinaten z abhing. Die statische Grundgleichung ist aber auch dann erf¨ ullt, wenn ein dreidimensionales Druckfeld vorliegt, wo also p = p(x,y,z) ist. Man betrachtet dann jeweils f¨ ur einen Punkt x,y,z die oberhalb dieses Ortes liegende Lufts¨ aule und deren Gewicht auf eine Fl¨ ache F in der H¨ ohe z. In Bild 6.2 sind zwei zweidimensionale Druckfelder p(x,z) dargestellt, wobei im linken Beispiel die Druckﬂ¨achen parallel liegen, aber der Bodendruck p(z = 0) sich in der Horizontalen ¨andert. Im rechten Bildteil h¨ angt zwar der Bodendruck p0 nicht von der horizontalen Koordinate ab, aber in der H¨ ohe variiert p mit x. In einem solchen Fall muss bei der Anwendung der statischen Grundgleichung die partielle Ableitung des Druckes nach der Ortskoordinaten z verwendet werden: z ...... p(x,z) ... ... ............. p = 0 ............................ . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................... .......... p1 .. ............................ ... ...................................................... ............ p2 ............ ................................ ............................................................ ............ p3 .. ................................ ............................................................ ........... p4 .. ............................... .................................................................................................................................... p(z=0) = p(x) x Bild 6.2

z ....... p(x,z) ... ..................... . . . . . . . . . ... . . ............... .... ................... p = 0 ................................. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................................... ............... p1 ... ..................................................................................................... p2 ... .................................................................................................... p3 .. .................................................................................................... p4 .................................................................................................................. p(z=0)=p0 =konstant x

Beispiele f¨ ur zweidimensionale Druckfelder

6.2 Die statische Grundgleichung

69

∂p(x,y,z) ∂p = = −gρ . (6.9) ∂z ∂z Da wir es in der Meteorologie im allgemeinen mit Druckfeldern zu tun haben, welche von allen drei Raumkoordinaten abh¨angen, wollen wir im folgenden die statische Grundgleichung in der Form (6.9) verwenden. Unser urspr¨ ungliches Anliegen, den Luftdruck als Funktion der H¨ ohe zu bestimmen, k¨ onnen wir mit Hilfe von (6.9) aber nur durchf¨ uhren, wenn wir die Dichteverteilung mit der H¨ohe kennen. Dies ist in der Praxis allerdings nur selten der Fall, weshalb die Dichte der Atmosph¨are meist auf die Lufttemperatur zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Dies wird weiter unten noch n¨ aher erl¨ autert werden. Nehmen wir aber zun¨ achst als Beispiel den einfachsten Fall, n¨ amlich den konstanter Dichte, ρ(z) = ρ0 = konstant. Hier l¨asst sich (6.9) integrieren: ∂p = −gρ0 ∂z

=⇒

p(z) − p(H) = g (H − z) ρ0 .

Hierbei soll z = H die Obergrenze der Atmosph¨are sein, also die H¨ ohe, in welcher der Luftdruck verschwindet: p(z=H)=0. Damit ergibt sich:

p(z) = g ρ0 (H − z) = g ρ0 H 1 −

z H

.

(6.10)

Es ist aber f¨ ur z = 0 gem¨aß (6.10): p(z = 0) = g ρ0 H = p0 , so dass man auch schreiben kann:

p(z) = p0 1 −

z H

,

p0 = Bodendruck.

(6.11)

Da der Druck am Boden am gr¨oßten ist, nimmt gem¨ aß (6.11) der Druck mit der H¨ohe linear ab. In der Atmosph¨are ist die Dichte nat¨ urlich nicht mit der H¨ ohe konstant, aber da die statische Grundgleichung auch f¨ ur Fl¨ ussigkeiten gilt, wird z. B. durch (6.11) die Druckverteilung in einer Wassers¨ aule beschrieben, wobei man die Dichte in etwa als konstant annehmen kann. F¨ ur den angenommenen Fall konstanter Dichte l¨ asst sich aber aus (6.10) f¨ ur die Atmosph¨ are ein Anhalt gewinnen, wie hoch eigentlich die Atmosph¨ are hinaufreicht, wie groß also H ist. Es ergibt sich: H=

p0 gρ0

H¨ohe der homogenen Atmosph¨ are.

(6.12)

Nehmen wir als mittleren Bodendruck 1000 hPa und als Dichte 1,2 kg m−3 an, so ergibt sich als H¨ohe der homogenen Atmosph¨ are: H = 8500 m. Wenn man bedenkt, dass die reale Atmosph¨are eine geringere Dichte hat, da diese mit der H¨ohe abnimmt, so gibt die H¨ohe der homogenen Atmosph¨ are eine untere Grenze f¨ ur die H¨ ohe der wirklichen Atmosph¨are an.

70

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

F¨ ur die Atmosph¨are l¨asst sich die statische Grundgleichung so umformen, dass die Luftdichte mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase eliminiert wird: p = ρRT , wobei zun¨achst die trockene Luft betrachtet wird: ∂p gp =− ∂z RT oder ∂ ln p g =− . (6.13) ∂z RT Der Druckverlauf mit der H¨ohe kann durch (6.13) bestimmt werden, wenn das vertikale Temperaturproﬁl T (z) bekannt ist. In der Praxis erh¨ alt man z. B. T (z) aus Radiosondenaufstiegen, worauf noch in einem sp¨ ateren Abschnitt eingegangen wird. F¨ ur den einfachen Fall einer isothermen Atmosph¨ are (T =konstant=T0 ) l¨ asst sich (6.13) integrieren. Man erh¨alt:

ln

p p0

=−

gz , p0 = p(z = 0) RT0

Bodendruck

oder

p(z) = p0 exp −

g z RT0

isotherme Atmosph¨ are.

(6.14)

Wo liegt nun die Obergrenze der isothermen Atmosph¨ are? Sie liegt dort, wo der Luftdruck verschwindet, wo also p(z) = 0 ist. Dies ist f¨ ur (6.14) nur m¨ oglich f¨ ur z → ∞. Die isotherme Atmosph¨are gibt als anderes Extrem sozusagen die maximal m¨ ogliche H¨ohe f¨ ur die Atmosph¨are an. Man kann aber angeben, wie hoch derjenige Teil der Atmosph¨are liegt, bei dem der Druck gerade auf die H¨ alfte des Bodendruckes p0 abgefallen ist. Oberhalb und unterhalb dieses Niveaus liegt also jeweils die H¨ alfte der Gesamtmasse der Atmosph¨ are, weshalb man diese H¨ ohe auch Halbwertsh¨ ohe nennt. Es ist

ln

p0 2p0

= ln

1 2

=−

g H1 RT0 2

oder H1 = 2

RT0 ln 2 g

Halbwertsh¨ohe isotherme Atmosph¨ are.

(6.15)

Mit T0 = 273 K ergibt sich H 1 ≈ 5 500 m. Nimmt man p0 = 1000 hPa an, so 2 l¨age das 500-hPa-Niveau gerade in der H¨ohe z = H 1 , also in etwa 5,5 km H¨ ohe, 2 was ein guter Anhaltswert f¨ ur die reale Atmosph¨ are ist. Nehmen wir als letztes einfaches Beispiel den Fall, dass die Lufttemperatur linear mit der H¨ ohe abnimmt, d. h.

6.2 Die statische Grundgleichung

71

T (z) = T (z = 0) − γz ,

γ = konstant.

Mit diesem Temperaturproﬁl ergibt sich f¨ ur den Verlauf des Luftdruckes mit der H¨ohe aus (6.13) die Beziehung

p(z) = p0

T (0) − γz T (0)

g γR

polytrope Atmosph¨ are,

(6.16)

die man auch als polytrope Atmosph¨ are bezeichnet. Man k¨ onnte f¨ ur spezielle Temperaturproﬁle T (z) noch weitere L¨ osungen der statischen Grundgleichung (6.13) angeben, jedoch geben die Beziehungen (6.14) f¨ ur die isotherme und (6.16) f¨ ur die polytrope Atmosph¨ are schon eine sehr gute Darstellung f¨ ur die Abnahme des Druckes mit der H¨ ohe in der realen Atmosph¨ are. Betrachten wir als ein Beispiel f¨ ur eine polytrope Atmosph¨ are die sogenannte US-Standardatmosph¨ are. Diese bezieht sich auf die mittleren atmosph¨ arischen Verh¨ altnisse bei 45o n¨ordlicher Breite und geht von st¨ uckweise konstanten Temperaturgradienten aus. Dieser betr¨agt z. B. in der Troposph¨ are γ = 0,65 K/100 m bis zu einer H¨ohe von 10 km. In der dar¨ uberliegenden Stratosph¨ are ist die Temperatur zun¨achst bis 20 km h¨ohenkonstant, also γ = 0, und nimmt dar¨ uber mit γ = 0,1 K/100 m bis zu einer H¨ohe von 30 km zu. Der vertikale Temperaturverlauf in der US-Standardatmosph¨ are ist in Bild 6.3 dargestellt. Man kann mit Hilfe der statischen Grundgleichung (6.13) die Temperatur sowohl als Funktion der H¨ohe als auch als Funktion des Druckes darstellen. Den Zusammenhang zwischen Druck und H¨ohe erh¨alt man aus (6.16), wenn man dort den Temperaturverlauf der US-Standardatmosph¨ are einsetzt. Als Resultat ergibt sich die sogenannte Druck-H¨ ohen-Kurve, die ebenfalls in Bild 6.3 dargestellt ist. h h . . [km] ...... [km] ...... . . . . 30 .... 30 ........ .. .. .... .. .... ... ... .... .. . .. ... ..... ... . ... . ... .. ... .. .... Stratosph¨ are 20 .... 20 .. .. ... ... ... ... ... ... .. .. .... ... ... ... ... ... . ... ... ........ ..... .............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... . ...... Tropopause ... . 10 .... 10 . . ...... ... . ... ...... . . ... ...... ... ... ... . ...... Troposph¨ a re . .. ... ...... ... ... ...... ... ... . ..... . . 0 ............................................................................................................................................... 0 ...................................................................................................................... T [K] 200 250 300 10 100 1000 p [hPa] Bild 6.3 Vertikalproﬁl der Lufttemperatur und des Luftdruckes f¨ ur die US-Standardatmosph¨ are 1962.

72

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

Praktisch kann man somit aus Druck- und Temperaturmessungen mittels der statischen Grundgleichung (6.13) die H¨ohe des Meßger¨ ates (Radiosonde) u ¨ber dem Erdboden erhalten. Tats¨achlich geschieht dies auch in H¨ ohenmessern von Flugzeugen oder f¨ ur Bergsteiger anhand von Standardatmosph¨ aren, etwa der in Bild 6.3 gezeigten US-Standardatmosph¨are oder der in der Luftfahrt verwendeten ICAO-Atmosph¨ are.

6.3

Der vertikale Temperaturgradient

Zur Bestimmung des Druckverlaufes mit der H¨ohe mit Hilfe der statischen Grundgleichung (6.13) war die Kenntnis des Temperaturproﬁls T (z) notwendig. Obwohl in der realen Atmosph¨are viele unterschiedliche Temperaturproﬁle vorkommen, ohe charakteristisch f¨ ur die sind doch gewisse Verl¨aufe der Temperatur mit der H¨ Struktur der Atmosph¨are. So kann man z. B. f¨ ur nicht allzu große H¨ ohenintervalle einen linearen Temperaturverlauf mit der H¨ohe annehmen, wobei in der Mehrzahl der F¨ alle die Temperatur mit zunehmender H¨ohe abnimmt. Man charakterisiert ¨ nun die Anderung der Temperatur mit der H¨ohe durch den Temperaturgradienten γ, welchen man wie folgt deﬁniert: ∂T vertikaler Temperaturgradient. (6.17) ∂z Da typische Gradienten einen Wert von 1 K/100 m haben, wird γ meist in Einheiten von 1 K/100 m angegeben, wobei hier f¨ ur die Dimension der Temperatur die Kelvin-Skala verwendet werden muss, da es sich ja um eine Temperaturdiﬀerenz handelt. Wie groß ist nun der vertikale Temperaturgradient in der Atmosph¨ are? Betrachten wir dazu den bereits im vorigen Abschnitt erw¨ ahnten Fall einer homogenen Atmosph¨ are, d. h. h¨ohenkonstanter Dichte. F¨ ur diesen lautet die statische Grundgleichung: γ≡−

∂p = −g ρ0 . ∂z Die Zustandsgleichung f¨ ur das Gas trockene Luft soll nun f¨ ur jede H¨ ohe in der Atmosph¨ are gelten, d. h. man denkt sich eine Lufts¨ aule zusammengesetzt aus einer Vielzahl von Luftpaketen, f¨ ur welche jeweils die Zustandsgleichung g¨ ultig ist. Damit l¨ asst sich die statische Grundgleichung wegen p = ρ0 RT f¨ ur die homogene Atmosph¨ are schreiben als ∂p ∂T = ρ0 R = −g ρ0 ∂z ∂z und somit

6.3 Der vertikale Temperaturgradient

γhom = −

∂T ∂z

= hom

g R

73

Temperaturgradient bei konstanter Dichte. (6.18)

F¨ ur eine homogene Atmosph¨are nimmt die Temperatur gem¨ aß (6.18) linear mit der H¨ ohe ab, u brigens unabh¨ a ngig davon, wie groß die (konstante) Dichte ist. ¨ Setzt man in (6.18) die bekannten Werte f¨ ur die Erdbeschleunigung g und die Gaskonstante R ein, so erh¨alt man f¨ ur den Temperaturgradienten den Wert γhom = 3,42 K/100 m. Dieser Wert ist viel zu groß im Vergleich zu den tats¨ achlich vorkommenden Temperaturgradienten, die im Zusammenhang mit der US-Standardatmosph¨ are angegeben wurden. Er mag aber als Anhaltspunkt f¨ ur die Gr¨ oßenordnung von γ dienen. Ebenso wie man jeder H¨ohenschicht in der Atmosph¨ are eine Lufttemperatur T zuordnen kann, kann man auch ein Proﬁl der potentiellen Temperatur angeben. Die potentielle Temperatur in der H¨ohe z w¨ are dann diejenige Temperatur, welche das in der H¨ohe z liegende Luftpartikel h¨ atte, wenn man es adiabatisch auf das Druckniveau 1000 hPa bringen w¨ urde. Der Begriﬀ der potentiellen Temperatur, welcher zun¨achst f¨ ur adiabatische Zustands¨ anderungen von einzelnen Luftvolumina eingef¨ uhrt wurde, soll auch f¨ ur die vertikale Struktur der Lufts¨ aule G¨ ultigkeit haben. Dies hat zur Folge, dass die potentielle Temperatur in einer beliebigen H¨ ohe z mit Hilfe der Adiabatengleichung (3.43) aus der Temperatur und dem Druck in dieser H¨ohe bestimmt werden kann.

θ(z) = T (z)

p0 p(z)

κ

,

p0 = 1000 hPa ,

κ=

R . cp

(6.19)

Ebenso wie man einen Gradienten der aktuellen Temperatur T bestimmen kann, ist dies auch f¨ ur den Gradienten der potentiellen Temperatur m¨ oglich. Um den Zusammenhang zwischen beiden Temperaturgradienten zu erhalten, diﬀerenzieren wir die Adiabatengleichung (6.19) nach der Vertikalkoordinaten z und machen von der statischen Grundgleichung (6.13) Gebrauch: ∂θ ∂z

=

=

θ T

p0 p

κ

∂T ∂ +T ∂z ∂z

∂T κ + g ∂z R

p0 p

κ

=

p0 p

κ

∂T κT ∂p − ∂z p ∂z

und somit θ ∂θ = ∂z T

∂T g + ∂z cp

.

(6.20)

Betrachten wir jetzt ein Luftteilchen, das adiabatisch in der Vertikalen verschoben wird, d. h. seine potentielle Temperatur in jeder H¨ ohe beibeh¨ alt. Wenn der Temperaturverlauf in der Atmosph¨are nun so ist, dass das adiabatisch verschobene Luftpartikel in jeder H¨ohe die gleiche Temperatur hat wie die Umgebungsluft, so ist auch die potentielle Temperatur der Atmosph¨ are gleich derjenigen des

74

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

betrachteten Partikels, d. h. in diesem Fall θ = konstant. Eine so geschichtete Atmosph¨ are, bei der sich die potentielle Temperatur nicht mit der H¨ ohe ¨ andert, nennt man adiabatisch geschichtet. ∂θ =0 adiabatische Schichtung. (6.21) ∂z Wie verl¨ auft nun aber die aktuelle Temperatur T in einer adiabatischen Atmosph¨ are mit der H¨ohe? Setzen wir dazu (6.21) in die Beziehung (6.20) ein, so erhalten wir f¨ ur den Temperaturgradienten: Γ≡−

g ∂T = , ∂z cp

θ konstant , Γ adiabatischer Temperaturgradient. (6.22)

Setzt man die Werte f¨ ur g und cp (f¨ ur trockene Luft) in (6.22) ein, so erh¨ alt man f¨ ur Γ: Γ = 0,974 K/100 m ≈ 1 K/100 m .

(6.23)

In einer adiabatisch geschichteten Atmosph¨are nimmt die Temperatur um etwa 1 K pro 100 m mit der H¨ohe ab. Aus (6.20), (6.22) und (6.23) erhalten wir f¨ ur die potentielle Temperatur θ: ∂T < −Γ =⇒ ∂z

∂θ < 0 : θ nimmt mit der H¨ ohe ab. ∂z

∂T = −Γ =⇒ ∂z

∂θ = 0 : θ ist h¨ohenkonstant. ∂z

(6.24)

∂T ∂θ > −Γ =⇒ > 0 : θ nimmt mit der H¨ ohe zu. ∂z ∂z Der Zusammenhang zwischen den Gradienten der aktuellen und der potentiellen Temperatur (6.24) wird noch sehr h¨auﬁg verwendet werden, besonders im Zusammenhang mit dem Begriﬀ der statischen Stabilit¨ at, der im n¨ achsten Abschnitt behandelt wird. Zur Umwandlung beider Temperaturgradienten gem¨ aß (6.20) muss man noch das Verh¨ altnis θ/T f¨ ur jede H¨ohe kennen. In guter N¨ aherung kann man aber θ/T ≈ 1 setzen, so dass man vereinfacht schreiben kann: ∂θ ∂T ≈ +Γ . (6.25) ∂z ∂z F¨ ur die in Abschnitt 6.2 erw¨ahnte US-Standardatmosph¨ are ergibt sich z. B. in der unteren Troposph¨are wegen ∂T /∂z = −0,65 K/100 m f¨ ur die potentielle Temperatur ∂θ/∂z ≈ +0,35 K/100 m.

6.4 Die statische Stabilit¨at

6.4

75

Die statische Stabilit¨ at

Bisher wurde eine statische Atmosph¨are betrachtet, d. h. die Luftmassen befanden sich im Ruhezustand und Bewegungsvorg¨ange wurden nicht ber¨ ucksichtigt. Bei dem im folgenden behandelten Problem untersuchen wir das Verhalten eines Luftpartikels, das sich in einer statischen Atmosph¨are beﬁndet, aber unterschiedliche thermische Eigenschaften wie Temperatur und Dichte besitzt. Die Eigenschaften des Partikels sollen im folgenden mit dem Index p gekennzeichnet werden, die entsprechenden Werte f¨ ur die Luft der Umgebung sollen ohne Index verwendet werden. Ein Luftpartikel der Masse Mp nehme das Volumen Vp ein. Unterscheidet sich die Masse des Partikels von derjenigen Masse der Umgebungsluft, die durch das Partikel verdr¨ angt wird, so erf¨ahrt das Partikel nach dem griechischen Mathematiker und Physiker Archimedes (285–212 v. Chr.) eine Auftriebskraft, welche gegeben ist durch K = (M − Mp ) g

Archimedischer Auftrieb,

wobei K positiv in positiver z-Richtung (nach oben) deﬁniert ist. Durch die Auftriebskraft erf¨ ahrt das Partikel gem¨aß dem Newtonschen Axiom eine Vertikalbeschleunigung b = d2 z/dt2 , welche nach oben gerichtet ist, wenn das Partikel leichter als die Luft der Umgebung ist, w¨ahrend ein schwereres Partikel nach unten absinkt: K = Mp b = Mp

d2 z = (M − Mp ) g , dt2

t : Zeit .

Dividiert man diese Beziehung durch das Volumen Vp des Partikels, so erh¨ alt man f¨ ur die Auftriebsbeschleunigung ρ − ρp d2 z = g . dt2 ρp

(6.26)

Ein Luftpartikel, welches sich in einer ruhenden Atmosph¨ are beﬁndet, erf¨ ahrt in dieser eine Vertikalbeschleunigung, wenn seine Dichte von derjenigen der Umgebungsluft abweicht. Es wird gem¨aß (6.27)–(6.28) aufw¨ arts beschleunigt, wenn seine Dichte geringer, und abw¨arts, wenn seine Dichte gr¨ oßer ist als die der Umgebungsluft. F¨ ur die weiteren Ausf¨ uhrungen sollen noch einige Voraussetzungen hinsichtlich der thermodynamischen Variablen getroﬀen werden: (a) Die Zustands¨anderung des Partikels w¨ahrend der Vertikalbewegung soll adiabatisch erfolgen, d. h. die potentielle Temperatur des Partikels soll konstant bleiben. (b) Der Druck p des Luftpartikels soll zu jeder Zeit gleich demjenigen in der Umgebung sein, pp = p.

76

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

(c) Die Masse des Partikels soll konstant bleiben, d. h. es soll keine Vermischung mit der Umgebungsluft stattﬁnden. Unter Verwendung der Voraussetzungen (b) und (c) erh¨ alt man aus (6.26) mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase: d2 z Tp − T g . (6.27) = 2 dt T Gem¨ aß (6.27) wird ein Luftpartikel nach oben beschleunigt, wenn es w¨ armer als seine Umgebung ist (Prinzip der thermischen Konvektion). Ist das Partikel k¨ alter als seine Umgebung, wird es in tiefere Schichten absinken. Wegen (b) gilt nun aber f¨ ur die potentielle Temperatur auch: κ p0 θ θp = = . Tp T p Dieses in (6.27) verwendet ergibt: θp − θ d2 z g . (6.28) = dt2 θ Betrachten wir jetzt das Verhalten eines Luftpartikels, welches sich zun¨ achst im Gleichgewicht mit seiner Umgebung beﬁndet, d. h. gleiche Temperatur und Dichte hat (f¨ ur den Druck ist dies f¨ ur alle F¨alle gem¨aß Voraussetzung (b) angenommen), und welches gegen¨ uber seiner Ausgangslage z0 um die H¨ ohe δz verschoben wird. Der Einfachheit halber wird hierbei angenommen, dass die Umgebungstemperatur einen linearen Verlauf mit der H¨ohe hat, der Temperaturgradient also konstant ist. Da nach Voraussetzung (a) die Verschiebung des Teilchens adiabatisch erfolgen soll, es seine potentielle Temperatur θp also beibeh¨ alt, ist es zweckm¨ aßig, f¨ ur die Betrachtung der Auftriebskr¨afte die potentielle Temperatur zu verwenden, also (6.28). Es sollen zwei F¨alle betrachtet werden:

(a) Die potentielle Temperatur nimmt mit der H¨ ohe zu

(b) Die potentielle Temperatur nimmt mit der H¨ ohe ab

∂θ >0 . ∂z

∂θ <0 . ∂z

Im Fall (a), der in Bild 6.4 dargestellt ist, hat das Partikel nach einer Auslenkung nach oben (+δz) eine geringere potentielle Temperatur θp als die Umgebung; es wird also gem¨ aß (6.28) wieder zur Ausgangslage z0 absinken. Bei einer anf¨ anglichen Auslenkung nach unten (−δz) ist das Partikel w¨ armer als die umgebende Atmosph¨ are; es wird eine Aufw¨artsbeschleunigung erfahren, also ebenfalls zum Ausgangspunkt zur¨ uckkehren. Eine solche Gleichgewichtslage, bei der ein Teilchen nach anf¨ anglicher Auslenkung in vertikaler Richtung zum Ausgangspunkt zur¨ uckkehrt, wird als stabile Gleichgewichtslage bezeichnet. Diejenige Temperaturschichtung, bei der ein stabiles Gleichgewicht herrscht, nennt man deshalb auch stabile Schichtung. In einem solchen Fall nimmt die potentielle Temperatur mit der H¨ ohe zu, wie man an der Abbildung zum Fall (a) erkennt.

6.4 Die statische Stabilit¨at (a)

77

z ........ θp θ(z) .... ..... .... . . .... . .. .... .... ... ......... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........... ........ ...................... ........ ........ ........ . •... z0 + δz .... ... ............. .... . . . . . +δz .. ... ..... ... . .... ............................................................................................. θ,θp z0 ............................................................................................ . . .. . . .. . . ... .. .... ... −δz ............ ........ ........ ........ ........ ........ ..................... ........ ............. ........ ........ ........ ........ ........ ........ . •... z0 − δz ... .... ... .. .... . . .... ..... . . . . .... .... ∂θ > 0 ..... ... .. ∂z

Bild 6.4 Vertikale Temperaturverh¨altnisse bei stabiler Schichtung. Bei Auslenkung des Luftpaketes um +δz nach oben wird θp < θ(z0 +δz), und es erf¨ahrt eine Abw¨artsbeschleunigung d2 z/dt2 < 0. Nach unten ausgelenkte Partikel werden nach oben beschleunigt.

Betrachten wir jetzt den anderen Fall, n¨amlich eine Luftschicht, in welcher die potentielle Temperatur mit der H¨ohe abnimmt (vgl. Bild 6.5). Im Fall (b) liegen die Verh¨altnisse nun genau umgekehrt: Wird das Teilchen von seiner Ausgangslage z0 nach oben um δz ausgelenkt, so ist es in der H¨ ohe z0 + δz w¨armer als die Umgebung. Es wird deshalb nach oben beschleunigt, d. h. es entfernt sich immer weiter von seiner Ausgangslage. Wird das Teilchen anf¨ anglich um −δz nach unten verschoben, so ist es in der H¨ ohe z0 − δz k¨ alter als die Umgebungsluft, es wird also nach unten beschleunigt und entfernt sich ebenfalls immer weiter vom Ausgangspunkt. Eine solche Situation, in welcher sich ein anf¨ anglich im Gleichgewicht mit seiner Umgebung beﬁndliches Luftpartikel nach einer Auslenkung von seiner Ausgangslage immer weiter entfernt, nennt man auch instabile oder labile Gleichgewichtslage, und bezeichnet die dazugeh¨ orige Temperaturschichtung als labile Schichtung. In diesem Fall nimmt die potentielle z ...... θp θ(z) .... ..... .... ..... .... .... ..... ... ..... ... .. ..... ........ ........ ........ ........ ........ ........ z0 + δz ............ ........ ........ ........ ........ ........ ................. ........ •........ .... ... .... .... . . . . ..... ... +δz . .. ... . ............................................................................................................. θ,θp z0 ............................................................................... .... ... .... .... −δz ..... ........ ..... .... .. ... . . z0 − δz ............. ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ •............. ........ ....................... ........ ........ ........ ..... .... .... ..... .... ∂θ .... .... .... .... < 0 .. .. .. ∂z

(b)

Bild 6.5 Vertikale Temperaturverh¨altnisse bei labiler Schichtung. Bei Auslenkung des Luftpaketes um +δz nach oben wird θp > θ(z0 + δz), und es erf¨ahrt eine Aufw¨artsbeschleunigung d2 z/dt2 > 0. Nach unten ausgelenkte Partikel werden nach unten beschleunigt.

78

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

Temperatur mit der H¨ohe ab. Außer den eben erl¨auterten F¨allen ist nat¨ urlich auch derjenige Fall m¨ oglich, bei dem die Atmosph¨ are selbst adiabatisch geschichtet ist, wo also das Luftpartikel auch nach einer Auslenkung von der Ruhelage die gleiche potentielle Temperatur hat wie die Umgebung. In diesem Fall wird das Partikel gem¨ aß (6.28) nicht beschleunigt; vielmehr bleibt es in der H¨ohe der anf¨ anglichen Auslenkung liegen. Diese Situation wird auch als neutrale oder indiﬀerente Gleichgewichtslage bezeichnet. Die dazugeh¨orende Temperaturschichtung, also h¨ ohenkonstante potentielle Temperatur, nennt man deshalb neutrale Schichtung. Insgesamt haben wir je nach Temperaturschichtung ein stabiles, labiles oder neutrales Gleichgewicht:

∂θ >0 ∂z

stabile Schichtung ,

(6.29)

∂θ =0 ∂z

neutrale oder indiﬀerente Schichtung ,

(6.30)

∂θ <0 ∂z

instabile oder labile Schichtung .

(6.31)

Der Zusammenhang zwischen der Art der Schichtung gem¨ aß (6.29) bis (6.31) und dem Gradienten der aktuellen Temperatur ∂T /∂z ergibt sich aus (6.24). Die Begriﬀe stabil und labil beziehen sich hier auf das Verhalten eines Teilchens in einer ruhenden, d. h. statischen Atmosph¨are. Deshalb spricht man in diesem Zusammenhang von statischer Stabilit¨ at, um den Stabilit¨ atsbegriﬀ von demjenigen bei dynamischen Vorg¨angen abzugrenzen. Welche Bewegung f¨ uhrt nun ein Teilchen aus, welches, wie eben beschrieben, in einer thermisch geschichteten Atmosph¨are von seiner Ruhelage auslenkt unter dem Einﬂuss der Auftriebskr¨afte beschleunigt wird? Nehmen wir dazu wieder an, dass wir einen linearen Temperaturverlauf mit der H¨ ohe haben. F¨ ur die Temperatur θ(z0 + δz) ergibt sich dann: θ(z0 + δz) = θ(z0 ) +

∂θ ∂θ δz = θ0 + δz . ∂z ∂z

Dabei bezeichnet θ0 die potentielle Temperatur in der H¨ ohe z0 . F¨ uhren wir eine neue H¨ ohenkoordinate ein, die ihren Ursprung in der Ausgangsh¨ ohe z0 hat, Z ≡ z − z0 = δz , so erhalten wir durch Einsetzen der oben gewonnenen Beziehung in die Gleichung (6.28): d2 Z g ∂θ Z =− dt2 θ0 ∂z

(6.32)

6.4 Die statische Stabilit¨at

79

oder d2 Z + N 2Z = 0 . (6.33) dt2 Hierbei bezeichnet N die nach den Meteorologen Sir David Brunt (Großbritannien, 1886–1965) und V. Vaisala (Finnland, 1899–1969, ﬁnnische Schreibweise: V¨ ais¨ al¨ a) benannte Brunt-Vaisala-Frequenz:

N=

g ∂θ θ0 ∂z

Brunt-Vaisala-Frequenz.

(6.34)

Sie gibt die Kreisfrequenz der Schwingung eines Luftteilchens um seine Ruhelage an, wenn die Atmosph¨are stabil geschichtet ist. Dies wird weiter unten ausgef¨ uhrt. (6.33) stellt die Schwingungsdiﬀerentialgleichung f¨ ur die Auslenkung Z(t) eines Teilchens aus seiner Ruhelage (Z = 0) dar. Bezeichnet man die Anfangsauslenkung zum Zeitpunkt t = 0 mit Za , so ergibt sich f¨ ur (6.33) je nach Gr¨ oße der Frequenz N f¨ ur den Ort des Teilchens in der Vertikalen als Funktion der Zeit: (a)

∂θ <0 ∂z

labile Schichtung

Z(t) = Za e|N |t (b)

(c)

⇒ N imagin¨ ar

Das Partikel entfernt sich immer weiter von seiner Anfangslage.

∂θ =0 ∂z

neutrale Schichtung

Z(t) = Za ∂θ >0 ∂z

⇒N =0

Das Partikel verbleibt in seiner Anfangslage. stabile Schichtung

⇒ N reell

Z(t) = Za cos(N t) Das Partikel f¨ uhrt eine harmonische Schwingung um die Ruhelage (Z = 0) aus, wobei seine Amplitude durch die Anfangsauslenkung Za bestimmt wird. Im Falle stabiler Temperaturschichtung (c) wirkt die Umgebungsluft als r¨ ucktreibende Kraft auf das Luftpartikel, ¨ahnlich wie die Feder beim Federpendel. Das Teilchen schwingt dabei um so schneller, je stabiler die umgebende Atmosph¨ are geschichtet ist. Wie groß ist nun die Dauer einer Schwingungsperiode in der Atmosph¨ are? Zun¨ achst ist die Schwingungsdauer τ deﬁniert durch τ=

2π N

Schwingungsdauer.

(6.35)

80

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

In der nachfolgenden Tabelle sind die Brunt-Vaisala-Frequenz N sowie die Schwingungsdauer τ f¨ ur verschiedene Gradienten der potentiellen Temperatur angegeben. Dabei entspricht der Gradient 0,4 K/100 m etwa dem Temperaturverlauf in der US-Standardatmosph¨are (vgl. Abschnitt 6.2). ∂θ/∂z [K/100 m] N 0,4 1,0 4,0

−1 s

0,011 0,018 0,036

τ [s] 550 345 173

Der Fall der stabil geschichteten Atmosph¨are spielt bei der Entstehung von Schwerewellen und Leewellen (hinter Gebirgen) eine große Rolle, wie in Abschnitt 13.2 noch n¨ aher ausgef¨ uhrt wird. Als charakteristische Frequenz tritt hierbei die in (6.34) deﬁnierte Brunt-Vaisala-Frequenz auf. Betrachten wir noch eine andere L¨osung der Schwingungsgleichung 6.33 f¨ ur den Fall stabiler Schichtung. Statt ein Luftpaket um die H¨ ohe Za von seiner Ausgangslage (z = 0) anzuheben und dann aus der Ruhelage (w = dz/dt = 0) schwingen zu lassen (L¨ osung: Z(t) = Za cos N t), erteilen wir jetzt dem Partikel in seiner Gleichgewichtslage (Z = 0) einen Vertikalimpuls w0 . Die Anfangsbedingungen lauten jetzt: t = 0 : Z = 0, w = dz/dt = w0 . Als L¨ osung ergibt sich wieder eine Schwingung mit der Brunt-Vaisala-Frequenz N: w0 Z(t) = sin N t . N Die maximale vertikale Auslenkung, die ein Luftpaket in einer stabilen Schichtung durch einen Anfangsimpuls der Vertikalgeschwindigkeit w0 erreichen kann ist somit w0 Zmax = . N Nehmen wir als Beispiel ∂θ/∂z = 0,4 K/100 m (N = 0,011 s−1 ) und w0 = 2 ms−1 . Dann ergibt sich Zmax = 182 m. Diese Beziehung f¨ ur die Schwingungsamplitude wird sp¨ater im Kapitel u ¨ber Schwerewellen noch eine Rolle spielen. Der Fall labiler Temperaturschichtung (a) gibt das Prinzip der thermischen Konvektion wieder, wobei ein im Vergleich zu seiner Umgebung w¨ armeres Luftpartikel aufsteigt und ein k¨alteres absinkt. Das Problem der thermischen Konvektion in der Atmosph¨ are umfasst zahlreiche Ph¨ anomene wie z. B. Cumulus-Wolken und ben¨ otigt zur Beschreibung sowohl die Gleichungen f¨ ur die Bewegungsvorg¨ange (Kapitel 12) als auch diejenigen f¨ ur die Wolkenmikrophysik. An dieser Stelle k¨onnen keine tiefergehenden Ausf¨ uhrungen zur atmosph¨ arischen Konvektion – mit oder ohne Wolkenbildung – gegeben werden. Der Leser sei auf die im Anhang aufgef¨ uhrte Spezialliteratur verwiesen.

6.5 Innere Energie und potentielle Energie in der Atmosph¨ are ....... .. ..................................................................................... ..... ..... p(z ) = p .. ..... s s ..... .. ..... .. .. ..... . ..... ... zs ......... ..... ..... ..... ..... ..................................................................................................................................................................................... ... . ..... .... ... .. ........ .... ..... ........ .. ... ...... ............................................................................... T , ρ, ... ............................................................................................................................................. ..... .. ...................................................................... . .. dz { ............................................................................................................... ....... ............... dm = ρ F dz ... . . ... ... .. .... .... ... ... ... ... ..... ..... ... ... .... .... ... ... ... F ... ... . .. .. ... . ..... ..... ... ... ... .... .... ... ... ... .... .. . .. ..... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ......... ..... ..... ... ... . p0 . . .. ..... ....... ........ . ... ..... . . . ........................................................................................................................................................ . 0

81

z

6.5

Bild 6.6 Die Einheitslufts¨aule

Innere Energie und potentielle Energie in der Atmosph¨ are

In Kapitel 3 hatten wir als eine Zustandsfunktion f¨ ur ein thermodynamisches System die innere Energie kennengelernt. F¨ ur die Gasmasse m ergab sich die innere Energie Ei zu Ei = m cv T

innere Energie .

Nun kann man auch f¨ ur eine Lufts¨aule in der Atmosph¨ are den Wert der inneren Energie angeben, jedoch muss man hierbei bedenken, dass die Atmosph¨ are ein inhomogenes System ist, dass sich also die Massenverteilung und auch die Temperatur mit der H¨ ohe und im allgemeinen auch in horizontaler Richtung ¨ andern. Betrachten wir den Fall, dass die Atmosph¨are nur in der Vertikalen inhomogen sei, so dass sich der Druck, die Temperatur und die Dichte nur in z-Richtung ¨andern. Die Luftmasse dm in Bild 6.6 beﬁndet sich in einer Schicht dz oberhalb einer Grundﬂ¨ ache F und besitzt die Temperatur T . F¨ ur diese Schicht ergibt sich die innere Energie dEi zu: dEi = cv T dm = cv T ρ dV = cv T ρ F dz . Hierbei h¨ angen nat¨ urlich T und ρ noch von der Vertikalkoordinaten z ab. Will man nun die gesamte innere Energie der Lufts¨aule berechnen, die sich vom Erdboden, z = 0, bis zur H¨ohe zs erstreckt, so muss man die Energien der einzelnen Schichten dz aufsummieren bzw. im Grenzfall integrieren. Es ergibt sich f¨ ur die Gesamtenergie Eis : Eis =

E(zs ) E(z=0)

zs

dEi =

0

cv T (z) ρ(z) F dz ,

wobei der hochgestellte Index s andeuten soll, dass es sich um eine Lufts¨ aule der H¨ohe zs handelt. Verzichten wir im folgenden auf diesen Index und implizieren, dass T und ρ von der H¨ohe abh¨angen, so ergibt sich f¨ ur die innere Energie einer Lufts¨ aule der H¨ ohe zs in vereinfachter Schreibweise

82

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are zs

Ei = cv F

T ρ dz ,

(6.36)

0

oder durch Anwendung der statischen Grundgleichung ρ dz = −dp/g: Ei = −

ps

cv F g

T dp .

(6.37)

p0

Man erkennt aus den Beziehungen (6.36), (6.37), dass der Wert der inneren Energie von den Vertikalproﬁlen der Dichte und der Temperatur, oder in der Form (6.37) vom vertikalen Druck-Temperatur-Verlauf abh¨ angt. ¨ Die gleichen Uberlegungen, wie sie f¨ ur die innere Energie angestellt wurden, kann man auch f¨ ur die potentielle Energie, hier mit Ep bezeichnet, durchf¨ uhren. F¨ ur die potentielle Energie einer Luftmasse m ergibt sich: Ep = m g z

potentielle Energie ,

wobei z die H¨ ohe der Masse u ur die potentielle Energie einer Schicht ¨ber NN ist. F¨ dz erh¨ alt man dEp = gz dm = gz ρ dV = gz ρ F dz . F¨ ur die gesamte potentielle Energie einer Lufts¨ aule u ache F bis zur ¨ber der Fl¨ H¨ohe zs ergibt sich E(zs )

Ep =

E(0)

zs

dEp = gF

ρz dz ,

(6.38)

0

oder nach Einsetzen der statischen Grundgleichung Ep = −F

ps

z dp .

(6.39)

p0

Die potentielle Energie einer Lufts¨aule h¨angt nach (6.39) vom Druckverlauf mit der H¨ ohe (Druck-H¨ohen-Kurve) ab. Sowohl die Beziehungen f¨ ur die innere Energie, (6.36) und (6.37), als auch diejenigen f¨ ur die potentielle Energie, (6.38) und (6.39), lassen sich allerdings nur f¨ ur einige Spezialf¨alle analytisch integrieren; durch eine weitere Umformung von (6.39) l¨ asst sich aber ein wichtiger Zusammenhang zwischen innerer und potentieller Energie erhalten. Die partielle Integration von (6.39) ergibt:

Ep

= −F

ps p0

z dp = −F

= −F p(zs )zs + F

zs

ps p0

d(pz) −

zs

p dz

=

z=0

RρT dz . 0

Durch Vergleich des Integrals mit der Beziehung (6.36) erh¨ alt man

6.5 Innere Energie und potentielle Energie in der Atmosph¨ are

83

R Ei . (6.40) cv Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen innerer und potentieller Eneraule, gie, wobei noch der Druck in der H¨ohe zs , also der Obergrenze der Lufts¨ ber¨ ucksichtigt werden muss. Betrachtet man jetzt aber eine S¨ aule der gesamten Atmosph¨ are, also bis hinauf zu p = 0, so erh¨alt man aus (6.40) Ep = −F p(zs )zs +

R Ei = (η − 1) Ei cv Da η = cp /cv = 7/5 , ergibt sich Ep =

Gesamtatmosph¨ are .

(6.41)

2 Ei . (6.42) 5 In einer vertikalen Lufts¨aule, welche die gesamte Atmosph¨ are erfasst, stehen innere Energie und potentielle Energie in einem festen Verh¨ altnis. Man kann die eine Energieform aus der jeweils anderen gem¨aß (6.42) durch eine einfache Faktorenmultiplikation gewinnen. Die aus innerer und potentieller Energie gebildete Gesamtenergie Eges ergibt sich zu Ep =

η Ep . (6.43) η−1 H¨auﬁg bezeichnet man die Summe Eges = Ep + Ei auch als totale potentielle Energie. Erinnern wir uns an den Zusammenhang zwischen innerer Energie und Enthalpie: Eges = Ep + Ei = ηEi =

Ei = mcv T ,

H = mcp T

und somit H = ηEi . Damit l¨ asst sich die Summe aus innerer und potentieller Energie in der Atmosph¨are auch durch die Gesamtenthalpie ausdr¨ ucken: Ei + Ep = H ,

(6.44)

wobei die Enthalpie H einer Lufts¨aule analog zu den Beziehungen (6.36), (6.37) zu berechnen w¨ are. Der in der thermodynamischen Betrachtungsweise noch wenig fassbare Begriﬀ der Enthalpie ﬁndet bei der gesamtatmosph¨ arischen Betrachtung eine Zuordnung als Summe zweier uns bekannter Energieformen, der inneren und der potentiellen Energie. Hierbei braucht aber gem¨ aß (6.40)–(6.42) nicht im einzelnen zwischen diesen beiden Energiearten unterschieden zu werden, da sie ¨ sich nur durch einen Zahlenfaktor unterscheiden und deshalb jede Anderung der ¨ einen Energie gleichzeitig eine Anderung der anderen Energieform, eben gem¨ aß (6.40)–(6.42), mit sich bringt.

84

6 Der vertikale Aufbau der Atmosph¨ are

p=0 ph

kalt ...

..... .... .. ... .. ... ... ... ..... . ............................................................................................................................. ... .... .. .... ... ... ... ... . ... . . . ... .. ... ... ... ... .. ........ ..

θ1 θ2

warm p0 Zustand I: Ep,I , Ei,I Bild 6.7

p=0

warm ....... .

θ2

.......... ......... .... ....... .... . ..... .... .... . ....... ......... . .......... ...... ....... .

.......................................................................................................................

kalt

p0 − ph

θ1 p0

Zustand II: Ep,II , Ei,II

Umlagerung von Luftmassen bei thermischer Konvektion

Die potentielle Energie einer Lufts¨aule, die sich bis zum Oberrand der Atmosph¨ are erstreckt, kann sich also nicht zugunsten der inneren Energie verrin¨ gern oder umgekehrt. Vielmehr muss eine Anderung dieser Energien wegen des Energieerhaltungsprinzips durch eine dritte Energieform auskompensiert werden. Diese Energie ist die kinetische Energie (hier als Ek bezeichnet), welche sich in der Bewegung der Luftstr¨omungen manifestiert. Es gilt also f¨ ur die Atmosph¨ are insgesamt: Ep + Ei + Ek = konstant,

(6.45)

Δ(Ep + Ei ) + ΔEk = 0

(6.46)

f¨ ur die Energie¨ anderungen

oder

η ΔEp . (6.47) η−1 Kinetische Energie, d. h. Bewegung von Luftmassen, kann erzeugt werden, wenn sich die innere bzw. potentielle Energie in der Atmosph¨ are a ¨ndert. Hier liegt die Verbindung von thermodynamischen Prozessen, verkn¨ upft mit dem vertikalen Aufbau der Atmosph¨are (Statik) und den Bewegungsvorg¨ angen in der Atmosph¨ are, die wir als Dynamik bezeichnen. Man kann durchaus allgemein formulieren, dass thermodynamische Prozesse die Grundlage f¨ ur Luftbewegungen und damit f¨ ur die allgemeine Zirkulation bis hin zu kleinsten Luftwirbeln bilden. An zwei einfachen Modellen f¨ ur derartige Umwandlungen der verschiedenen Energieformen soll dies erl¨autert werden. In Bild 6.7 wird das Prinzip des Vorganges der thermischen Konvektion erl¨ autert: Zwei homogene und adiabatisch geschichtete Luftmassen, welche sich nicht vermischen sollen, sind so u armere Luftmasse unter der ¨bereinander gelagert, dass die w¨ k¨alteren liegt. Wird diese Konﬁguration aus ihrer Gleichgewichtslage gebracht, so steigt die w¨ armere Luft auf, die k¨altere sinkt ab. Dies geschieht solange, bis die k¨ altere Luftmasse unten liegt, sich also eine stabile Schichtung einstellt. Bei diesem Vorgang werden die beiden Luftmassen bewegt, d. h. es bildet sich eine Vertikalzirkulation aus, welche man als Konvektion bezeichnet. ΔEk = −ηΔEi = −

6.5 Innere Energie und potentielle Energie in der Atmosph¨ are p=0

kalt

θ1 Pol

... ... ............... .......... . ......... ......... .... ...... ..... ... .... ... .... .. ...... .... ........ .......... .. ......... ............... ... ..

warm

θ2

warm

Temperatur– .......................................................................................... ausgleich ¨ Aquator

p=0

θ2

..............................................................................................................................................................

Pol

Zustand I

85

kalt

θ1

¨ Aquator

Zustand II

¨ Bild 6.8 Idealisierte Darstellung zum Temperaturausgleich zwischen dem Aquator und den Polen

Die mit der Umlagerungsbewegung verbundene kinetische Energie muss aus der inneren und potentiellen Energie des Systems entnommen werden. Dies dr¨ uckt sich dadurch aus, dass die Energien Ep und Ei von Zustand I gr¨ oßer sind als diejenigen von Zustand II, und der Diﬀerenzbetrag gerade in kinetische Energie der Konvektionsstr¨omung umgewandelt wurde. ΔEk = −η (Ei,II − Ei,I ) = −

η (Ep,II − Ep,I ) . η−1

¨ Man kann in einer etwas l¨angeren Berechnung zeigen, dass der Ubergang von Zustand I (labile Schichtung) zu Zustand II (stabile Schichtung) eine Schwerpunktsenkung des Gesamtsystems zur Folge hat und der damit verbundene Verlust an potentieller Energie in die kinetische Energie umgewandelt wurde. Ein ¨ ahnliches Prinzip liegt der großr¨aumigen allgemeinen Zirkulation zugrunde, wobei hier allerdings kalte und warme Luftmassen nebeneinander gelagert sind, wie in Bild 6.8 gezeigt. In der realen Atmosph¨are kommt es allerdings wegen der st¨ andig wirkenden unterschiedlichen Erw¨armung zwischen ¨aquatorialen und polaren Regionen nie zu einem vollst¨ andigen Temperaturausgleich, wie er in Bild 6.8 als Zustand II dargestellt ist. Dies bedeutet, dass zwar das thermodynamische System Atmosph¨are bem¨ uht ist, Temperaturgegens¨atze abzubauen, dabei jedoch die vorhandene totale potentielle Energie Ep + Ei nicht vollst¨andig in kinetische Energie, also in die Dynamik der großr¨aumigen Zirkulation umgewandelt werden kann. Man bezeichnet den eﬀektiv f¨ ur die Umwandlung in kinetische Energie zur Verf¨ ugung stehenden Anteil der totalen potentiellen Energie deshalb auch als verf¨ ugbare potentielle Energie. Die Berechnung der verf¨ ugbaren potentiellen Energie f¨ ur verschiedene atmosph¨arische Teilsysteme (z. B. Tiefdruckgebiete) wird ausf¨ uhrlich in B¨ uchern zur atmosph¨arischen Energetik und zur allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation beschrieben. Daher sei an dieser Stelle auf das Literaturverzeichnis verwiesen.

7 7.1

Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften Die Eulersche Zerlegung

Im folgenden soll zwischen den Begriﬀen Feld und Teilchen unterschieden werden. Unter einem Feld wird die r¨aumliche Verteilung einer Gr¨ oße oder Eigenschaft ψ (z. B. Temperatur, Feuchte usw.) in der Atmosph¨ are verstanden. In einer Wetterkarte wird unter anderem auch das Feld des Bodendruckes dargestellt, d. h. jedem Ort auf dieser Karte ist ein Wert des Luftdruckes zugeordnet. Meteorologische Felder sind fast immer r¨aumlich und zeitlich ver¨ anderlich, wie man leicht beim Betrachten der Bodenwetterkarte zu zwei verschiedenen Zeitpunkten feststellen kann. Unter einem Luftteilchen (oder auch Luftpaket, Luftpartikel) soll ein Luftvolumen verstanden werden, welches gen¨ ugend viele Luftmolek¨ ule enth¨ alt, um eine Aussage u onnen. ¨ber gewisse Eigenschaften des Gesamtvolumens machen zu k¨ Wenn man diesem Luftteilchen eine bestimmte Eigenschaft zuordnet (z. B. eine Temperatur), gilt diese Aussage f¨ ur das Mittel u ¨ber alle in dem Volumen vorhandenen Molek¨ ule. Die konkrete Identiﬁzierung eines Luftpartikels in der Atmosph¨ are ist nur in Ausnahmef¨allen m¨oglich, weshalb man die atmosph¨ arischen Eigenschaften lieber als Feldgr¨oßen, d. h. am festen Ort, darstellt. Darin besteht aber ein Grundproblem der Meteorologie bzw. der Str¨ omungslehre allgemein: Die mathematischen Gleichungen, die physikalische Prozesse in der Atmosph¨ are beschreiben, werden f¨ ur Luftpartikel hergeleitet, beschreiben also den Zustand eines einzelnen Teilchens. Die Messung der Zustandsgr¨ oßen f¨ ur ein Luftpaket ist aber nur in seltenen F¨allen m¨ oglich, z. B. mit Tetroons, Ballons, die in einem festen Druckniveau mit der Luftstr¨ omung driften. Im Routinedienst misst man aber am festen Ort (Wetterstation, Radiosonde), d. h. man misst meteorologische Felder. Das Problem besteht also darin, einen Zusammenhang zwischen den f¨ ur Partikel geltenden Vorhersagegleichungen und den aus Messungen erhaltenen Feldgr¨oßen zu gewinnen. Ein solcher Zusammenhang wird nachstehend hergeleitet. Es sei ψ = ψ(x,y,z,t) eine skalare oder vektorielle Feldgr¨ oße. Betrachtet man ¨ ein Luftpartikel in diesem Feld und fragt nach der zeitlichen Anderung der Eigenschaft ψ f¨ ur dieses Partikel, so gilt f¨ ur das totale Diﬀerential dψ/dt: dψ ∂ψ dx ∂ψ dy ∂ψ dz ∂ψ dt = + + + . dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt

(7.1)

Dabei gelten die partiellen Ableitungen (z. B. ∂ψ/∂x) f¨ ur das ψ-Feld und die individuellen Ableitungen (z. B. dx/dt) f¨ ur ein Partikel. Mithin sind die zeitlichen

88

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften

Ableitungen der Ortskoordinaten gerade die Komponenten der Geschwindigkeit, mit der sich das Luftteilchen durch das ψ-Feld bewegt: dx dy dz =u, =v, =w dt dt dt

bzw.

dx =v . dt

(7.2)

Die Gleichungen (7.1) und (7.2) k¨onnen nun verkn¨ upft werden, um dabei die sogenannte Eulersche Zerlegung (benannt nach dem schweizerischen Mathematiker L. Euler, 1707–1783) zu erhalten: dψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ = +u +v +w . dt ∂t ∂x ∂y ∂z

(7.3)

Man bezeichnet darin dψ dt

¨ als individuelle oder materielle Anderung von ψ mit ¨ der Zeit, d. h. als die Anderung der Teilcheneigenschaft ψ. Diese kann hervorgerufen werden durch

∂ψ , ∂t

¨ die lokal (am festen Ort) erfolgte Anderung des ψFeldes mit der Zeit, oder durch

¨ die advektive Anderung von ψ mit der Zeit. Diese kommt dadurch zustande, dass sich das Teilchen mit ∂ψ ∂ψ ∂ψ u +v +w , den Geschwindigkeitskomponenten (u,v,w) durch das ∂x ∂y ∂z ψ-Feld bewegt, das sich seinerseits r¨ aumlich ¨ andert, ausgedr¨ uckt durch ∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y, ∂ψ/∂z. Mit Hilfe der Eulerschen Zerlegung kann man eine Verkn¨ upfung zwischen der Eigenschaft ψ eines Luftpartikels und dem Feld der Gr¨ oße ψ herstellen. Nun tritt aber in (7.3) auf der rechten Seite die Geschwindigkeit des Partikels auf, die man wiederum praktisch nicht messen kann. Um die Eulersche Zerlegung u ¨berhaupt nutzen zu k¨ onnen, nimmt man an, dass die Partikelgeschwindigkeit gleich der Str¨ omungsgeschwindigkeit am festen Ort im ψ-Feld ist. Die letztere kann man messen, z. B. mit an T¨ urmen installierten Anemometern, so dass durch die oben gemachte Annahme Partikelgeschwindigkeit und Feldgr¨ oßen auch praktisch durchf¨ uhrbar miteinander verkn¨ upft sind. Mittels der in Kapitel 1 deﬁnierten Vektoroperationen soll die Eulersche Zerlegung (7.3) in Vektor- und Tensorschreibweise dargestellt werden: dψ ∂ψ = + v · ∇ψ dt ∂t

Vektorform ,

(7.4)

dψ ∂ψ ∂ψ = + uk dt ∂t ∂xk

Tensorform .

(7.5)

7.2 Die Divergenz von Geschwindigkeitsfeldern

89

¨ In einem ruhenden Medium (v=0) ist dψ/dt = ∂ψ/∂t, d. h. die zeitliche Anderung von ψ f¨ ur ein Partikel ist gleich derjenigen des Feldes. Oder anders ausgedr¨ uckt: Jedem Ort im Feld l¨asst sich ein Luftpartikel zuordnen, das seine Position nicht ver¨ andert. Falls die lokale Zeitableitung (am festen Ort, d. h. x, y, z = konstant) verschwindet, liegt ein station¨ ares Feld vor: ∂ψ =0 . ∂t

(7.6)

Wenn f¨ ur ein Teilchen die individuelle Zeitableitung f¨ ur die Gr¨ oße ψ verschwindet, dψ =0 , (7.7) dt bezeichnet man sie als konservative Gr¨ oße. In einem solchen Fall kann sich das Feld der Gr¨ oße ψ am festen Ort nur ¨andern, wenn durch die Luftstr¨ omung ψ advehiert wird (∂ψ/∂t = −v · ∇ψ). Als Beispiel f¨ ur eine konservative Gr¨ oße ergibt sich die potentielle Temperatur θ, wenn man im Ersten Hauptsatz der Thermodynamik (5.7) keine W¨armequellen zul¨asst. Bisher wurde der Feldbegriﬀ anhand von skalaren Gr¨ oßen (Temperatur, Druck) erl¨autert. Eine wesentliche Gr¨oße zur Beschreibung atmosph¨ arischer Vorg¨ ange ist die Windgeschwindigkeit, eine vektorielle Gr¨oße. Die Methode der Eulerschen Zerlegung gilt auch f¨ ur vektorielle Felder, wobei im Falle der Geschwindigkeit die Feldgr¨ oße quadratisch auftritt. F¨ ur Geschwindigkeitsfelder sollen im folgenden einige Begriﬀe und Zusammenh¨ange erl¨autert werden, wobei die f¨ ur die Entstehung der Geschwindigkeiten verantwortlichen Kr¨afte außer Betracht gelassen werden sollen. Diese Betrachtungsweise von Geschwindigkeitsfeldern nennt man Kinematik, im Gegensatz zur Dynamik, welche die wirkenden Kr¨ afte einbezieht.

7.2

Die Divergenz von Geschwindigkeitsfeldern

Die Divergenz eines Geschwindigkeitsfeldes ist eine skalare Gr¨ oße, die durch Anwendung des Nabla-Operators (r¨aumliche Ableitung) auf das Feld des Geschwindigkeitsvektors entsteht: ∇·v =

∂u ∂v ∂w ∂uk + + = . ∂x ∂y ∂z ∂xk

(7.8)

Unter der Geschwindigkeitsdivergenz kann man sich das Auseinanderstr¨ omen der Luft oder einer Fl¨ ussigkeit an einem Raumpunkt vorstellen. Wenn die Divergenz ein negatives Vorzeichen besitzt, bezeichnet man dies als Konvergenz und versteht darunter ein Zusammenstr¨omen.

90

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften ⎫

v v ⎪ ..................1.............. .........................2................... Geschwindigkeits- ⎪ ⎪ ¨ ⎪ ⎬ Anderung des divergenz Betrages, nicht v1 v2 ⎪ ............................................... ................................ Geschwindigkeits- ⎪ der Richtung ⎪ ⎪ ⎭ konvergenz ..... v..1............................... . . . . . . ............ ................. ....................... .....................v ......2.................. ... .................... .................... v1 .................... ........... ..... v2............................ . . . . . . . . . . . . . ............ ............... Bild 7.1

Richtungsdivergenz

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ nur Richtungs-

¨anderung des

Richtungskonvergenz

⎪ Geschwindigkeits⎪ ⎪ ⎪ ⎪ vektors ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Darstellung der Divergenz und der Konvergenz eines Geschwindigkeitsfeldes

Der Divergenzbegriﬀ ist f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung in Bild 7.1 veranschaulicht. F¨ ur eine zweidimensionale Str¨omung soll noch ein Koordinatensystem eingef¨ uhrt werden, das nicht fest im Raum deﬁniert ist, sondern sich mit den Luftpartikeln mitbewegt. Ein solches System nennt man nat¨ urliches Koordinatensystem; es ist in Bild 7.2 deﬁniert. Der Einheitsvektor s0 zeigt in Str¨omungsrichtung, w¨ ahrend der Einheitsvektor n0 in die Richtung normal zum Geschwindigkeitsvektor weist. Der Winkel α gibt die Richtungs¨ anderung zwischen den Vektoren v1 und v2 an. In einem solchen Koordinatensystem lassen sich Geschwindigkeitsvektor und Nabla-Operator schreiben als: v = |v| s0 , ∂ ∂ + n0 . ∂s ∂n Unter Verwendung der sogenannten Frenetschen Formeln ∇ = s0

. n n0 ... ........ 0 ......... . v1 . ... ......... .. ................. ... .............. . . s ............. .... . . . 0 . . . . . . . . . . ... . α ........ .......... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... .. ... .. .... .... .............. .... .... .... ... .... ... ... .... .. ... ........ ... .....s...........0....................... v.... 2 ... ... ... ..... ... ... ... .. ... .. .. ... ... .. ... .. .. . .... ... ... ..... .. .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... .. .. . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . .............. . . . . . . . . . . ... . ................ ... . ........... . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... .

Bild 7.2

Das nat¨ urliche Koordinatensystem

(7.9)

(7.10)

7.3 Die Vorticity

91

∂s0 ∂α ∂α ∂s0 = n0 , = n0 (7.11) ∂s ∂s ∂n ∂n kann man die zweidimensionale Geschwindigkeitsdivergenz schreiben als: ∂ |v| ∂s

∇2 · v2 =

+

Geschwindigkeitsdivergenz

7.3

∂α . ∂n Richtungsdivergenz |v|

(7.12)

Die Vorticity

Unter der Rotation eines Geschwindigkeitsfeldes versteht man den Vektor

∇×v =

∂w ∂v − i+ ∂y ∂z

∂u ∂w − j+ ∂z ∂x

∂v ∂u − k . ∂x ∂y

(7.13)

Die vertikale Komponente der Rotation bezeichnet man in der Meteorologie als Vorticity ζ. ζ =k·∇×v =

∂u ∂v − . ∂x ∂y

(7.14)

Das Wort Vorticity bedeutet soviel wie Wirbelhaftigkeit, hat also etwas mit dem Drehsinn von Str¨omungen zu tun. Es ist nicht identisch mit dem Begriﬀ Wirbel, denn es gibt geradlinige Scherstr¨omungen, die eine Vorticity besitzen, und Wirbel, die vorticityfrei sind. Die Vorticity l¨ asst sich etwas anschaulicher darstellen, wenn man sie in den im vorigen Abschnitt eingef¨ uhrten nat¨ urlichen Koordinaten schreibt: ζ=

∂ |v| |v| . + r ∂n ummungsvorticity Scherungsvorticity Kr¨ −

(7.15)

Hierbei ist r = ∂s/∂α der Kr¨ ummungsradius der Stromlinie mit r<0 r>0

f¨ ur antizyklonale Kr¨ ummung

.................. ..... ... ... ......... ..... ..... ... ...... ...... ...........

,

f¨ ur zyklonale Kr¨ ummung

........... ...... ...... ... ..... ..... ......... ... . ..... ..................

.

Die Begriﬀe Scherungsvorticity und Kr¨ ummungsvorticity sollen an nachfolgenden Beispielen erl¨autert werden:

92

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften

. y ........ .........................................................................................u .......................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................................................................... ...... .. .... .. . ..... ........................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ∂u .. .... .. ζ=− . ∂y ............................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ .. ................................................................................................................................................................. u

Bild 7.3 Geschwindigkeitsfeld mit Scherungs-, aber ohne Kr¨ ummungsvorticity (r −→ ∞). Die Scherungsvorticity ist durch einen Gleitwirbel veranschaulicht.

Betrachten wir eine geradlinige Scherstr¨omung mit u = f (y) und v = 0, wie in Bild 7.3 dargestellt. Man kann sich unter dem in der Abbildung eingezeichneten Gleitwirbel z. B. eine runde Scheibe vorstellen, welche in die Str¨omung eingebracht wird. Wegen der an Ober- und Unterkante verschieden großen Geschwindigkeiten wird die Scheibe in Rotation versetzt, und zwar in dem dargestellten Fall in antizyklonalem Sinne. Mit Hilfe dieses ﬁktiven Gleitwirbels kann man sich das Vorhandensein von Vorticity in einer geradlinigen Str¨omung veranschaulichen. Das andere Extrem ist ein Wirbel, der keine Vorticity besitzt. Dieser sogenannte Potentialwirbel besitzt ein kreissymmetrisches Geschwindigkeitsfeld, das gegeben ist durch

v=

a a k × r , mit |v| = . 2 r r

Darin ist im zyklonalen Fall a > 0, im antizyklonalen dagegen a < 0 zu setzen (vgl. Bild 7.4); r ist die Radiuskoordinate. Die Scherungsvorticity f¨ ur diesen Wirbel betr¨ agt

(a)

...................... .......... ....... ....... ......... ... .... ... ...... ....

............................................................ .............. .......... ......... .......... ........ ..... ..... ..... . . . . .... .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. .... ............... ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . ........ ...... ... . ... . . . . . . . . .... . ... .. .... .... . . . . ... .... .. ... . . ... . . . ... .. ................................ . ... . . . . ... . . . . . . ..... ... ... ..... ... . . . . . . .... ... ... ... ... ... .... . ... . ... ... ... .. ... .... ... .. ... ... ... . .. . ... . ... ... ... . . . . .. . . . ... ... ... . . .. . . . .... . . . ... ... . .. ... ..... . . . . ... ... . . . . ............ ............. . ... ... ........... ... ... .... ... .... ... .... ... .... ..... ... .... ... ...... ... ..... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . .... . ............................................... .... .... .... .... ..... ..... ...... ..... ......... ........ . . . . . ........... . . . . ....... ............... ......................................................

Bild 7.4 alwirbels

(b)

...................... ................ ........ . .......... ... ... ... . . .........

............................................................ .......... .............. ........ .......... ...... ......... ..... ..... . . . . .... .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. .... ............... ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . ....... ...... ... . . ... . . . . . . . . .... ... .. .... . . . . . . . . ... .... .. .... . . . ... . . ... .. ................................ . ... . . . . . ... . . . . . . ..... ... ... .. ..... . . . . . . . .... ... ... . ... ... ... ... . ... .... ... ... .. .. ... .... ... . ... ... ... .. .. . .. . ... . . ... ... . . .. . . . ... ... ... . . . . . . . . . . . .... ... ... . .. ... . ...... . . . ... ... . . . . .................................. . ... ... ... ... .... ... .... ... .... ... .... ..... ... .... ... ...... ... ..... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . .... ... ............................................... .... .... ..... .... ..... .... ...... ..... ......... ....... . . . . . ........... . . . ........ ................. .................................................

Geschwindigkeitsfeld (a) eines zyklonalen, (b) eines antizyklonalen Potenti-

7.4 Die Deformation

93 ζscher = − ζscher

|a| r2

zyklonal , (7.16)

|a| =+ 2 r

antizyklonal ,

und die Kr¨ ummungsvorticity ζkr = +

|a| r2

zyklonal ,

|a| ζkr = − 2 antizyklonal . r Somit ergibt sich aus (7.15) f¨ ur die Gesamtvorticity des Potentialwirbels ζ = ζkr + ζscher = 0

f¨ ur zyklonale und antizyklonale Wirbel.

(7.17)

(7.18)

Die zun¨ achst paradox erscheinende Aussage, dass ein Wirbel keine Vorticity besitzt, kl¨ art sich dadurch auf, dass der Potentialwirbel im Zentrum r = 0 eine Singularit¨ at besitzt. Hier gilt f¨ ur r → 0, dass v → ∞ und somit ζ → ∞.

7.4

Die Deformation

Divergenz und Rotation waren als r¨aumliche Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes erhalten worden. Dabei war die Divergenz ein Skalar (∇ · v) und die Rotation eine vektorielle Gr¨oße (∇ × v). Ein weiteres r¨ aumliches Diﬀerential des Geschwindigkeitsfeldes stellt die sogenannte Deformation dar, die ein Tensor zweiter Stufe ist. Sie l¨asst sich in der Indexschreibweise darstellen als (Def)ik =

∂ui ∂uk + . ∂xk ∂xi

(7.19)

F¨ ur eine zweidimensionale Str¨omung, z. B. in der x-y-Ebene, l¨ asst sich die Deformation gem¨ aß (7.19) wie folgt schreiben: (Def)xy =

∂u ∂v + ∂x ∂y

Deformation.

(7.20)

Zum Vergleich erh¨ alt man in diesem Fall f¨ ur die Divergenz aus (7.8): ∇·v =

∂u ∂v + ∂x ∂y

und f¨ ur die Vorticity entsprechend (7.14):

Divergenz

(7.21)

94

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften ζ=

∂u ∂v − ∂x ∂y

Vorticity.

(7.22)

Man erkennt, dass Vorticity und Deformation eine ¨ ahnliche Struktur besitzen; lediglich ein Vorzeichen ist verschieden.

7.5

Die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes

Die in Abschnitt 7.3 eingef¨ uhrte Gr¨oße Vorticity ist ein Maß f¨ ur den Drehsinn in einer Str¨ omung, und zwar f¨ ur jeden beliebigen Ort im Str¨ omungsfeld. In diesem Sinne ist die Vorticity eine Feldgr¨oße, sozusagen ein mikroskopisches Maß f¨ ur die Drehung. Nun kann es aber in einer Str¨omung vorkommen, dass Gebiete mit positiver und negativer Vorticity abwechselnd vorhanden sind, so dass u. U. die Str¨ omung als Ganzes u ¨berhaupt keinen Drehsinn hat. Zur Bestimmung des Drehsinns einer Str¨ omung insgesamt verwendet man als integrales Maß die sogenannte Zirkulation C. Diese ist deﬁniert als: C≡

S

v · ds .

(7.23)

Hierbei ist v ein Geschwindigkeitsfeld und S eine beliebige geschlossene Kurve in diesem Feld, welche eine ebene Fl¨ache F umrandet (Bild 7.5). Die Zirkulation l¨angs einer Kurve S ist also das Integral der Geschwindigkeitskomponente in Richtung des Tangentenvektors (Tangentialgeschwindigkeit vs ) entlang der geschlossenen Kurve S selbst. Hinsichtlich des Drehsinns hat man vereinbart, dass gilt: ......s.....0......

............................................................................ ............ ............ ........ ......... ...... ....... ....... ..... ....... . . .... . . . . ... ...... . . . . ... ..... . . . ... ... . . .. ... . . . . . . .... .... . ... ... ... ... ... .. ... ... .... . ..... ... ... ... ... ... ... .... ... ... . . ... . ... ..... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ..... ..... ... ........ .. ........ ......... .. .......... ... ........... ... ............. . . ................ .. . ................... . . ... ..................... .................................

......................................

................... ...................

. s0 ......

............. ............... ......

S

.. ......... ...... . . . . . ..

F

................ s0

v

v

..... s ...

..... s0 .... ...

............. ............... ......

.. . ..... ........... ...... s ..... ........ .... ... . . . . . .... . . . ... .. ..... ... . ........ ... .. ..... ........ .... .......... . . 0 ...................................................................................... .. .... n .. .... ... ..... . . . . ......

v

S

Bild 7.5 Darstellung einer Integrationskurve S f¨ ur die Zirkulation in einem Geschwindigkeitsfeld. Im rechten Bildteil ist eine Komponentenzerlegung des Geschwindigkeitsvektors v in eine Normalkomponente vn senkrecht und eine Tangentialgeschwindigkeit vs parallel zur Integrationskurve gezeigt. Es gilt v · ds = vs |ds|.

7.5 Die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes

95

C>0

linksdrehend

........... ...... ...... ... ..... ..... ......... ... . ..... ...................

,

C<0

rechtsdrehend

.................... .... . ......... ... .... ...... ... ...... ...... ...........

.

Analog zum Gleitwirbel bei der Vorticity k¨onnte man sich die Zirkulation dadurch vorstellen, dass man die Kurve S als ein materielles Gebilde (Seil) annimmt, welches eine beliebige Fl¨ache der Str¨omung einschließt. Falls die am Seil angreifenden Tangentialkomponenten der Str¨omungsgeschwindigkeiten sich nicht gerade gegenseitig aufheben, wird dieses durch die resultierende Tangentialgeschwindigkeit in eine Drehung versetzt. W¨ ahrend die Vorticity f¨ ur jeden Punkt in einem Geschwindigkeitsfeld deﬁniert ist, gilt der Begriﬀ Zirkulation f¨ ur die jeweils festgelegte Fl¨ ache F und deren Umrandung S, wobei Form und Gr¨oße innerhalb des Str¨ omungsfeldes beliebig gew¨ ahlt werden k¨ onnen (Forderung: einfach zusammenh¨ angendes Gebiet). Einen Zusammenhang zwischen Vorticity und Zirkulation gibt nun der bekannte Satz von Stokes (nach dem britischen Mathematiker und Physiker G. G. Stokes, 1819–1903): S

v · ds =

F

(∇ × v) · df .

(7.24)

Hierbei ist f die Fl¨achennormale der betrachteten ebenen Fl¨ ache. In der allgemeinen Formulierung (7.24) entspricht die Zirkulation dem Fl¨ achenintegral der Rotation eines Geschwindigkeitsfeldes; der Zusammenhang zwischen Zirkulation und Vorticity ergibt sich, wenn man die Fl¨achennormale in Richtung des vertikalen Einheitsvektors k legt: df = kdf . Dann gilt

F

(∇ × v) · df =

F

(∇ × v) · k df =

F

(k · ∇ × v) df =

ζ df , F

und somit

v · ds =

C= S

ζ df .

(7.25)

F

Wie aus (7.25) hervorgeht, ist die Zirkulation ein Maß f¨ ur die mittlere Vorticity einer Fl¨ ache F ; nimmt man z. B. als einfachsten Fall ein Feld mit konstanter Vorticity, so erh¨ alt man aus (7.25): ζ = ζ0 = konstant ⇒ C =

F

ζ0 df = ζ0

F

df = ζ0 · F ⇒

C = ζ0 . F

Diesem Vorticity-Feld entspricht z. B. das Geschwindigkeitsfeld einer einfachen Scherstr¨ omung (siehe Bild 7.3): v = ayi oder u = ay. Will man die Zirkulation f¨ ur dieses Feld gem¨aß (7.23) berechnen, kann man als Fl¨ache ein Rechteck mit den Seiten parallel zu den Koordinatenachsen w¨ ahlen. Nach Bild 7.6 ergibt sich dann:

96

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften

y ..... .. .. . y2 ....... ............................................................................................S........ .. .............................................................................................................................. .. ..... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .... ... .......................................................................................................................... ..... .. .......... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .... . .. . .. . .. . .. ............ .. ........................................................................................ .. .. .. .. .. .. .. .. ..... .. ................................................... . .. . .. . .. . .. . .. .F.. . .. . .. .... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. y1 ....... ................................................................................... ............................................................................................................... . . x2 x1 x

C=

v · ds =

S

Bild 7.6 Wahl der Integrationskurve S f¨ ur die Zirkulation in einer ebenen Scherstr¨omung mit v = ay i

x2

x1

ay1 dx + x1

ay2 dx

=

x2

= ay1 (x2 − x1 ) + ay2 (x1 − x2 ) = = −a (x2 − x1 ) (y2 − y1 )

= −a F ,

und außerdem ζ=−

7.6

C ∂u = −a = . ∂y F

Die Stromfunktion

Wir betrachten ein zweidimensionales Geschwindigkeitsfeld mit den Komponenten u und v. Wenn dieses Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist, k¨ onnen u und v nicht mehr voneinander unabh¨angig sein, da ja bei Divergenzfreiheit u ¨berall im Feld die Bedingung ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 erf¨ ullt sein muss. Die Geschwindigkeitskomponenten h¨ angen dann von einer einzigen skalaren Gr¨ oße Ψ ab, und zwar so, dass die o. a. Bedingung erf¨ ullt wird. Die Beziehung zwischen v und Ψ lautet v = k × ∇Ψ ,

(7.26)

oder in Komponenten u=−

∂Ψ , ∂y

v=

∂Ψ . ∂x

(7.27)

7.6 Die Stromfunktion

97

. ........ ........ Ψ1 . . . . . . . . .. ............ .............. v Ψmin . . . . . . . . . . . . . . . ..... ......... ................. ............... Ψ ..................... . ..................v 2 . . ... .................. .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . ................. ....................................................................................................................... Ψ3 .........v .......................... v ......................................................................................................... ...................... ............... Ψ Ψmax 4

Bild 7.7 Die Stromfunktion Ψ und zugeh¨orige Geschwindigkeitsvektoren v

Die skalare Gr¨ oße Ψ bezeichnet man als Stromfunktion. Man erkennt aus (7.26), dass der Geschwindigkeitsvektor senkrecht auf dem Gradienten der Stromfunktion steht, also tangential an Linien Ψ = konstant. Die gr¨ oßeren Werte von Ψ liegen dabei in Str¨omungsrichtung rechts. Das durch (7.26) beschriebene Geschwindigkeitsfeld ist divergenzfrei, wie man durch Divergenzbildung von (7.26) feststellen kann: ∇ · v = ∇ · {k × ∇Ψ} = −k · {∇ × ∇ Ψ} + ∇Ψ · ∇ × k = 0 . =0

=0

Der Zusammenhang zwischen Stromfunktion und Geschwindigkeitsfeld ist in Bild 7.7 schematisch dargestellt. Da |v| = |∇Ψ|, ist die Geschwindigkeit dort am gr¨ oßten, wo die Linien Ψ = konstant am dichtesten beieinander liegen. Dies ist in der Abbildung durch die L¨ange der Pfeile angedeutet. Die Bezeichnung Stromfunktion l¨asst sich im Falle der divergenzfreien Str¨ omung dadurch verstehen, dass die Linien Ψ = konstant gleichzeitig Stromlinien sind, d. h. die Geschwindigkeitsvektoren sind Tangenten an diese Linie. Die Gleichung f¨ ur die Stromlinie, ausgedr¨ uckt durch die Stromfunktion, lautet: dΨ(x,y) = 0 ,

(7.28)

oder bei Zerlegung des totalen Diﬀerentials: dΨ =

∂Ψ ∂Ψ dx + dy = v dx − u dy = 0 ∂x ∂y

⇒

dy v = . dx u

(7.29)

dy/dx ist derjenige Winkel (Tangens), den die Stromlinie (Ψ = konstant) mit der x-Achse bildet. Dieser kann ausgedr¨ uckt werden durch die Geschwindigkeitskomponenten der Str¨omung auf der entsprechenden Stromlinie. Die Stromfunktion hat die Dimension m2 s−1 , wie man aus (7.27) erkennt.

98

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften

y ...... ... t6 .. .. ....•. . . ... . t3 t5...... .. . ... t2 ............•.............. ..•. .... . .. .. . . . . . • . . ..... t ... .. ......... 4............. .. ..... ...•..... .. .. .. •. .. t1 .. ... .. ... ................................................................................................................................................ x

Bild 7.8 Beispiel einer Partikeltrajektorie in der x-y-Ebene. Die Punkte stellen die Positionen des Partikels zu den Zeiten t1 , t2 , t3 usw. dar.

Gelegentlich taucht bei Str¨ omungsvorg¨angen auch der Begriﬀ Trajektorie auf, z. B. als Bahntrajektorie einer Radiosonde. Gemeint ist damit die Verbindungslinie aller Orte, die ein Partikel in einer Str¨omung im Laufe der Zeit erreicht (Bild 7.8). Wegen der Deﬁnition der Geschwindigkeit als v = dx/dt lassen sich die Aufenthaltsorte des Partikels aus t

x(t) = x(t0 ) +

v dt ,

(7.30)

t0

bestimmen, wobei v(x,t) das Geschwindigkeitsfeld ist. Die Trajektorie ist demnach die Verbindungslinie aller Orte x entsprechend (7.30). Im Spezialfall einer station¨ aren, zweidimensionalen Str¨omung ist die Trajektorie identisch mit Stromlinie und Stromfunktion.

7.7

Das Geschwindigkeitspotential

Wenn eine zweidimensionale Str¨omung keine Vorticity besitzt, muss die Bedingung ∂v/∂x − ∂u/∂y = ζ = 0 erf¨ ullt sein. Auch in einem solchen Fall k¨ onnen u und v nicht voneinander unabh¨angig sein, sondern m¨ ussen von einer Gr¨ oße ϕ abh¨ angen, und zwar so, dass die Bedingung der Vorticityfreiheit erf¨ ullt ist. Die Beziehung zwischen v und ϕ lautet: v = ∇ϕ ,

(7.31)

oder in Komponenten: u=

∂ϕ , ∂x

v=

∂ϕ . ∂y

(7.32)

7.8 Stromfunktion und Geschwindigkeitspotential

ϕmin

ϕ4 ... ϕ3. ϕ.2 ... . ... ... ... ... ... ... ... ϕ1. ... ... ..... ... ... ... . ... ......v ......................... ... v . .. . . ... ......................... ... . ... .. .. ..... ... ... v . .... v .... . .. ϕ . . max ............................. .. ............................. . .. v .. ... ... . . . . . .................... . ... ... ................ .. ........ ... .. v ...................... . . ... . . ... ... ...

99

Bild 7.9 Potential ϕ und zugeh¨orige Geschwindigkeitsvektoren v

Die skalare Gr¨ oße ϕ bezeichnet man als Geschwindigkeitspotential. Man erkennt aus (7.31), dass der Geschwindigkeitsvektor senkrecht auf den Linien ϕ = konstant steht und zu hohen ϕ-Werten gerichtet ist. Das durch (7.31) beschriebene Geschwindigkeitsfeld ist vorticityfrei oder allgemeiner rotationsfrei, wie man durch Vorticitybildung von (7.31) sieht: ζ = k · ∇ × v = k · ∇ × ∇ ϕ = 0 . =0 Eine zweidimensionale Str¨omung, die rotationsfrei ist und deshalb durch ein Geschwindigkeitspotential dargestellt werden kann, bezeichnet man (vor allem in der Hydrodynamik) auch als Potentialstr¨ omung. Eine solche Str¨ omung ist in Bild 7.9 dargestellt. Da |v| = |∇ϕ|, herrscht eine große Geschwindigkeit dort, wo die Potentiallinien (ϕ = konstant) dicht gedr¨angt sind. v steht senkrecht auf den ϕ-Linien. Im u asst sich das Geschwindigkeitspotential auch f¨ ur dreidimensionale ¨brigen l¨ Str¨ omungen angeben, da f¨ ur einen Skalar ψ allgemein gilt: ∇ × ∇ψ = 0.

7.8

Stro ¨mung mit Stromfunktion und Geschwindigkeitspotential

Eine zweidimensionale Str¨omung wird im allgemeinen weder ganz divergenzfrei noch ganz rotationsfrei sein, so dass die Geschwindigkeit weder allein durch die Stromfunktion noch allein durch ein Geschwindigkeitspotential dargestellt werden kann. Man kann jedoch mit Hilfe dieser beiden Gr¨ oßen ein zweidimensionales Geschwindigkeitsfeld in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil aufspalten, und zwar durch: v=

k × ∇Ψ

+

divergenzfreier Anteil In Komponenten lautet obige Beziehung:

∇ϕ .

rotationsfreier Anteil

(7.33)

100

7 Geschwindigkeitsfelder und deren Eigenschaften u=−

∂Ψ ∂ϕ + , ∂y ∂x

v=

∂Ψ ∂ϕ + . ∂x ∂y

(7.34)

Das Str¨ omungsfeld gem¨aß (7.33) besitzt sowohl eine Divergenz als auch Vorticity. Diese beiden Eigenschaften lassen sich auch mit Hilfe der Stromfunktion und des Geschwindigkeitspotentials ausdr¨ ucken, wenn man (7.33) der Divergenzund Vorticitybildung unterzieht. Nach einigen Vektoroperationen erh¨ alt man die Beziehungen: D ≡ ∇ · v = ∇2 ϕ ,

ζ ≡ k · ∇ × v = ∇2 Ψ .

(7.35)

Beziehung (7.35) gibt die M¨oglichkeit, ein vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld in einen divergenz- und rotationsfreien Anteil aufzuspalten, und somit die Felder von Ψ und ϕ zu bestimmen. Dazu bildet man die Divergenz und Vorticity des Feldes und hat damit die linken Seiten der o. a. Diﬀerentialgleichungen f¨ ur Ψ und ϕ, die man dann bei bekannten Randbedingungen l¨ osen kann. Die in den letzten Abschnitten eingef¨ uhrten Begriﬀe Stromfunktion und Geschwindigkeitspotential sollen noch zu atmosph¨arischen Gr¨ oßen in Beziehung gebracht werden, um sie etwas zu veranschaulichen. F¨ ur die Stromfunktion wurde ausgef¨ uhrt, dass die Windgeschwindigkeit parallel zu den Stromlinien verl¨auft, und zwar mit den hohen Ψ-Werten rechts in Str¨ omungsrichtung. Ein analoges Verhalten ﬁndet man bei großr¨ aumigen atmosph¨ arischen Str¨ omungen. Dort weht der Wind ann¨ ahernd parallel zu den Isobaren, wobei auf der Nordhalbkugel der hohe Luftdruck rechts zur Str¨ omung liegt. In diesem Fall kann man die Stromfunktion mit den Isobaren von Hoch- und Tiefdruckgebieten identiﬁzieren (siehe Kapitel 10, geostrophischer Wind). Konnte eine Str¨omung durch ein Geschwindigkeitspotential ausgedr¨ uckt werden, so verlief die Geschwindigkeit senkrecht zu den Potentiallinien, und zwar zu hohen ϕ-Werten hin. In der Atmosph¨are ﬁndet man ein solches Verhalten bei kleinr¨ aumigen Str¨omungen, d. h. bei einer charakteristischen Erstreckung bis zu etwa 50 km. In diesem Fall kann man die Str¨omung als Ausgleichsstr¨ omung zwischen Druckgegens¨atzen ansehen, d. h. die Str¨omung erfolgt vom hohen zum tiefen Druck, wobei der Geschwindigkeitsvektor senkrecht auf den Isobaren steht. Das Geschwindigkeitspotential kann man hier mit den Isobaren identiﬁzieren, wobei das Maximum von ϕ mit dem Minimum von p zusammenf¨ allt.

8 8.1

Die Kontinuit¨ atsgleichung Flu ¨ sse und Transporte

Str¨ omungen haben die wichtige F¨ahigkeit, dass sie Substanzen oder Eigenschaften transportieren k¨ onnen. So wird z. B. ein Schadgas, das aus einer Quelle (Schornstein) austritt, von der Luftstr¨omung erfasst und von der Quelle wegtransportiert. Man bezeichnet nun das Produkt aus Geschwindigkeit und der transportierten Gr¨oße als Fluss, Transport oder Strom, allgemein: v ψ = Fluss, Transport, Strom von ψ. Speziell nennt man z. B. vρ v cV T v ρv

= Massenﬂuss (pro Volumeneinheit) = W¨armeﬂuss (pro Masseneinheit) = Impulsﬂuss (pro Volumeneinheit) .

Wie man ein Geschwindigkeitsfeld erhalten kann, so existiert auch ein Flussfeld der jeweils betrachteten Gr¨oße. Von besonderer Wichtigkeit sind die Flussdivergenzen in einem solchen Feld, denn sie geben Aufschluss dar¨ uber, ob sich die Feldgr¨ oße lokal zeitlich ¨andert. Dies sei in Bild 8.1 veranschaulicht. Dort wird (im eindimensionalen Fall) der Fluss von ψ in ein Einheitsvolumen hinein bzw. heraus betrachtet. Wenn der ψ-Fluss eine Divergenz aufweist, str¨ omt mehr ψ aus dem Volumen heraus als hereinstr¨omt; bei einer Flusskonvergenz ist es umgekehrt. Was bedeutet dies nun f¨ ur die Gr¨oße ψ innerhalb des betrachteten Volumens? Falls nicht gerade ψ vernichtet oder zus¨atzlich produziert wird, wird bei einer Divergenz des ................................................... .. ... ... .. (uψ) . .............(uψ) .....................1............. ...................2............. ... ... .. .. ... ...................Δx ..............................

................................................... .. ... ... .. (uψ) . ...........(uψ) ..............................1............. .............. 2 ... ... .. .. ... ...................Δx ..............................

Flussdivergenz

Flusskonvergenz

(uψ)2 − (uψ)1 >0 Δx

(uψ)2 − (uψ)1 <0 Δx

Bild 8.1 Darstellung der Flussdivergenz: eine Zunahme des Flusses in Flussrichtung wird als Flusskonvergenz, eine Abnahme als -divergenz bezeichnet.

102

8 Die Kontinuit¨ atsgleichung ... ........

z .............. ... ....................................................... . . . . . . . . . . . ......................... . ... .... ......................... ............ ... ............... ............. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . .. . . ..... . .. vρ ... ..................... ... ... ....... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ................. ... ... ............................................ . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ..................... ................................ . . . . . ........................ .. .................................... ... .... . . ... ...................................................... ... ... . ... . . ........ . . ... . . . . ... . . . ................................ ...... .. ∂vρ ... ... . . . . . . vρ + . dy . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . dz .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ∂y ... ... .. ............................... ........... ...... ........... . ............... ... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ..... .. ................................................................................................. ... ...... ...... ........ ........... ... ...... ... ........... ...... .. ........... .... ...... . . . . ...... . ............................... ... ....... ... . .. ........... . ...... . ............ ...... . . . ... . . . . . . .. . ...... .. ..... ...................................................... .. ......................... ..... ................. . . ............ . . . y . . . .. ... ... .. ..... . . . ...... ........... . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . ............ . .... .. . ........ ............ ..... ......... ............. ............ ..... dx . . . . . . . . . x dy .................... .. ........ ............ ............ ... .......... ............ Bild 8.2

Bilanzierung der Massenﬂ¨ usse in einem Volumenelement

ψ-Flusses ψ mit der Zeit abnehmen, da ja st¨andig mehr ψ heraus- als hineintransportiert wird. Bei einer Konvergenz u ¨berwiegt der Hineintransport, was zu einer zeitlichen Zunahme von ψ f¨ uhren wird. Diese zun¨ achst qualitative Erkl¨arung des Zusammenhangs zwischen der Diver¨ genz von Fl¨ ussen und der lokalen zeitlichen Anderung der transportierten Gr¨ oße soll im folgenden anhand des Massenﬂusses konkretisiert werden, was zur sogenannten Kontinuit¨ atsgleichung f¨ uhrt.

8.2

Die Kontinuit¨ atsgleichung

Betrachtet werden soll der Massenﬂuss pro Volumeneinheit (= Dichteﬂuss) durch ein Einheitsvolumen hindurch, welches durch einen W¨ urfel mit den Seitenl¨ angen dx, dy, dz gegeben ist. Das Feld des Massenﬂusses vρ(x,y,z) l¨ asst sich mit Hilfe einer Taylor-Reihe im Bereich des W¨ urfels approximieren, z. B. f¨ ur die y-Richtung durch vρ(y + dy) = vρ(y) + ∂vρ ∂y dy. Der Massenﬂuss in y-Richtung ist in Bild 8.2 dargestellt. Insgesamt str¨omt durch die Fl¨ache dxdz in das Volumen hinein: vρ dxdz und aus dem Volumen heraus:

∂vρ dy dxdz . vρ + ∂y

8.2 Die Kontinuit¨ atsgleichung

103

F¨ ur die Bilanz ergibt sich somit

vρ +

∂vρ ∂vρ dy dxdz − vρ dxdz = dxdydz . ∂y ∂y

Die Netto-Massenﬂ¨ usse in x- und z-Richtung erh¨ alt man durch analoges Vorgehen als die Bilanzen der durch die Fl¨ache dydz bzw. dxdy hindurchtretenden Fl¨ usse: ∂uρ in x-Richtung: dx dydz , ∂x ∂wρ dz dxdy . in z-Richtung: ∂z Die Gesamtbilanz des in das Einheitsvolumen hinein- und herausstr¨ omenden Massenﬂusses ergibt sich somit zu

∂uρ ∂vρ ∂wρ + + dxdydz . ∂x ∂y ∂z

Der Ausdruck in der Klammer ist nichts anderes als die Divergenz des Massenﬂusses pro Volumeneinheit, w¨ahrend dxdydz das Volumen des W¨ urfels ist. Wenn in dem betrachteten Volumen eine Divergenz des Massenﬂusses vorhanden ist, was geschieht hinsichtlich der Masse selbst in diesem Volumen? Nach dem Gesetz der Erhaltung der Masse kann in dem Einheitsvolumen weder Masse entstehen noch vernichtet werden. Wenn aber mehr Masse (hier Dichte) aus dem Volumen herausstr¨omt als hineingekommen ist, kann dies nur dadurch erreicht werden, dass die Masse des Volumens mit der Zeit abnimmt. Die gesamte lokale ¨ zeitliche Anderung der Masse bzw. der Dichte ist aber ∂m ∂ρV ∂ρ = = dxdydz . ∂t ∂t ∂t Diese wird durch eine negative Divergenz des Massenﬂusses bewirkt, so dass man die Beziehung

∂uρ ∂vρ ∂wρ ∂ρ dxdydz = − + + dxdydz ∂t ∂x ∂y ∂z erh¨ alt. Nach Division durch das Einheitsvolumen dxdydz ergibt sich die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur Str¨omungen:

∂uρ ∂vρ ∂wρ ∂ρ =− + + ∂t ∂x ∂y ∂z

,

(8.1)

bzw. in der Vektorschreibweise ∂ρ = −∇ · vρ ∂t oder in der Tensorschreibweise

(8.2)

104

8 Die Kontinuit¨ atsgleichung ∂ρ ∂uk ρ =− . ∂t ∂xk

(8.3)

Die Kontinuit¨ atsgleichung, z. B. in der Form (8.2), kann umgeformt werden zu ∂ρ = −∇ · vρ = −v · ∇ρ − ρ∇ · v , ∂t ∂ρ + v · ∇ρ = −ρ∇ · v . ∂t Die linke Seite ist nichts anderes als die Eulersche Zerlegung (7.4), (7.5) angewandt auf die Dichte, so dass die Kontinuit¨atsgleichung mit der individuellen ¨ zeitlichen Anderung geschrieben werden kann: 1 dρ = −∇ · v . ρ dt

(8.4)

Aus dieser Form kann man eine sehr h¨auﬁg verwendete, vereinfachte Kontinuit¨ atsgleichung erhalten, wenn man noch den Begriﬀ einer inkompressiblen Str¨omung einf¨ uhrt. Man nennt eine Str¨omung inkompressibel, wenn die individuelle zeitliche Dichte¨anderung verschwindet: dρ = 0 ⇒ inkompressibel . (8.5) dt Man kann sich den Begriﬀ kompressibel daran klarmachen, dass sich die Dichte eines Luftpartikels, dessen Masse mit der Zeit konstant bleiben muss, nur dann andert, also komprimiert ¨andern kann, wenn sich das Volumen des Luftpartikels ¨ wird oder expandiert. Wenn sich das Volumen aber nicht ver¨ andern l¨ asst, bleibt die Dichte konstant, was die Aussage von (8.5) ist. F¨ ur ein inkompressibles Medium ist die Dichte gem¨aß der Deﬁnition (7.7) eine konservative Gr¨ oße. Mit Hilfe von (8.5) l¨ asst sich (8.4) f¨ ur eine inkompressible Str¨ omung schreiben als ∇·v =0

f¨ ur inkompressible Str¨ omung .

(8.6)

(8.6) besagt, dass f¨ ur eine inkompressible Str¨ omung die Geschwindigkeitsdivergenz verschwindet. Dies ist eine der am h¨auﬁgsten verwendeten Formen der Kontinuit¨ atsgleichung, insbesondere bei rein dynamischen Str¨ omungsvorg¨ angen. Die Voraussetzung (8.5) l¨asst sich am einfachsten durch ein Medium konstanter Dichte (zeitlich und r¨aumlich konstant) verwirklichen. Die Kontinuit¨ atsgleichung in der Form (8.2) wurde anhand der Massenﬂussbilanz f¨ ur ein ortsfestes Kontrollvolumen hergeleitet. Eine andere Herleitung, bei der ein Einheitsvolumen mit der Str¨omung mitdriftet, wird in Abschnitt 9.9 gegeben.

8.3 Bodendrucktendenz und Kontinuit¨atsgleichung

8.3

105

Bodendrucktendenz und Kontinuit¨ atsgleichung

Die im vorigen Abschnitt aufgestellte Kontinuit¨ atsgleichung wird im weiteren immer wieder verwendet werden, wenn es darum geht, ein Gleichungssystem f¨ ur die Prognose atmosph¨arischer Str¨omungen aufzustellen. Dies gilt sowohl f¨ ur kleinr¨ aumige Bewegungen wie etwa Land-See-Wind, als auch f¨ ur synoptische Vorg¨ ange in Zyklonen und Antizyklonen. An dieser Stelle soll der Zusammenhang zwischen Massenerhaltung und der Bodendrucktendenz f¨ ur synoptische Systeme herausgestellt werden. Dazu spalten wir in der Kontinuit¨ atsgleichung (8.1) die Divergenz des Massenﬂusses in einen horizontalen und vertikalen Anteil auf. ∂wρ ∂ρ = −∇h · vh ρ − . ∂t ∂z Da es sich um großr¨aumige Vorg¨ange handeln soll, k¨ onnen wir von der statischen Grundgleichung ∂p/∂z = −gρ Gebrauch machen, womit sich die lokale Dichte¨ anderung schreiben l¨asst als ∂ρ 1 ∂ ∂p 1 ∂ =− =− ∂t g ∂t ∂z g ∂z

∂p ∂t

.

Man erh¨ alt somit eine Gleichung f¨ ur die Vertikalableitung der Drucktendenz ∂p/∂t: ∂ ∂z

∂p ∂t

= g ∇h · vh ρ + g

∂wρ . ∂z

Integration dieser Gleichung vom Erdboden (z = 0) bis zur Obergrenze der Atmosph¨ are f¨ uhrt zu

∂p ∂p − =g ∂t ∞ ∂t 0

∞

∇h · vh ρ dz + g wρ

0

∞

− g wρ . 0

Da aber die Drucktendenz an der Obergrenze verschwindet (p = 0) und die Vertikalgeschwindigkeit w sowohl f¨ ur z = 0 als auch f¨ ur z −→ ∞ gleich Null ist, erh¨alt man f¨ ur die Bodendrucktendenz: Massenkonvergenz . . . . . . . ....................................................... . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . . . . . . . . . . . ....................................................... . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... . . . . . . . . . . . . . . .............................................. . . . . . . . . . . . . . . ....................................................... . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . . . . . . . . . . . ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... . . . . . . . . . . . . . . ....................................................... . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... . . . . . . . . . . . . . . ....................................................... . . . . . . .

∂p0 ............................. >0 ∂t Druck– ............................. anstieg Bild 8.3

. . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . ............... ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... ............. . . . . . . . . ............... ............................ . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .......................... ............ . . . . . . . . .............. ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... . ... . ...... . . . . . . . . ... ... . ... ............................ .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ............................ ... ..... ... . . . . . . . . .... ..... .. ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... ..... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............. . . . . . . . . ............... ............................. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ........................... ........... . . . . . . . . ............. ................................ . . . . . . . . . . . . . . . . ................................ . ... . ..... . . . . . . . . .. ... . ... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . ...................

..............................

..............................

..............................

Massendivergenz

vh ρ vh ρ

..............................

............................. ∂p0 <0 ∂t ............................. Druck– abfall

Bodendruck¨anderung durch Massenkonvergenz und -divergenz

106

8 Die Kontinuit¨ atsgleichung

∂p ∂p0 = −g = ∂t 0 ∂t

∞

∇h · vh ρ dz .

(8.7)

0

¨ Die zeitliche Anderung des Bodendruckes h¨angt vom gesamten Massenﬂuss in eine Lufts¨ aule bis zur Obergrenze der Atmosph¨ are ab, wie in Bild 8.3 erl¨ autert wird. Hierin ﬁndet sich die Deﬁnition des statischen Drucks (= Gewicht einer Lufts¨aule = Gesamtmasse × Erdschwerebeschleunigung) wieder: Eine Divergenz des uhrt zu einer Verringerung der Gesamtmasse einer Lufts¨ aule und Massenﬂusses f¨ damit zu einem Druckfall, eine Konvergenz hingegen zu einem Druckanstieg.

9

Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

Im folgenden sollen Gleichungen f¨ ur die Bewegung von Luftpartikeln unter dem Einﬂuss von Schwerkraft, Druckkraft und der Einwirkung der Erdrotation hergeleitet werden. Aus diesen sogenannten Bewegungsgleichungen k¨ onnen dann mit Hilfe der Eulerschen Zerlegung Gleichungen f¨ ur die atmosph¨ arischen Str¨ omungsfelder erhalten werden. Die dabei resultierenden Gleichungen gelten aber nicht nur f¨ ur die Atmosph¨are, sondern allgemein f¨ ur gasf¨ ormige oder ﬂ¨ ussige Medien. Man geht vom Newtonschen Axiom aus, dass die auf einen K¨ orper mit der Masse m wirkende Nettokraft F eine Beschleunigung B hervorruft: mB = F ,

B = F/m ,

oder, wenn man die Beschleunigung durch die Geschwindigkeit ausdr¨ uckt, m

dv =F , dt

dv F = , dt m

F=

Fi .

i

Unter der Masse m ist ein Luftpartikel zu verstehen, das ein Einheitsvolumen einschließt, so dass man seine Masse auch durch die Luftdichte ρ beschreiben kann. Die auf dieses Luftpartikel wirkenden Kr¨ afte sollen nun im einzelnen untersucht werden.

9.1

Die Schwerkraft

Die auf ein Luftpartikel mit der Masse m wirkende Erdanziehung ist nach dem Gravitationsgesetz Mμ 0 r . (9.1) r2 Hierbei ist μ die Gravitationskonstante, M die Masse der Erde, r der Abstand des Teilchens m vom Erdmittelpunkt (praktisch identisch mit dem Erdradius) und r0 der (vom Erdmittelpunkt weggerichtete) Einheitsvektor. Vernachl¨ assigt man nun die H¨ ohe des Partikels u ache gegen¨ uber dem Erdradius ¨ber der Erdoberﬂ¨ und nimmt diesen als konstant an (Kugelgestalt der Erde), so l¨ asst sich statt (9.1) auch die folgende Form f¨ ur die Schwerkraft angeben: G = −m

G = −mgk .

(9.2)

g ist die Schwerebeschleunigung mit einem mittleren Wert von 9,80665 ms−2 und k der vertikale Einheitsvektor (senkrecht auf der Erdoberﬂ¨ ache stehend).

108

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

Die auf die Masse m wirkende Schwerkraft ist zum Erdmittelpunkt gerichtet, versucht also, die Masse zur Erdoberﬂ¨ache hin zu beschleunigen. Mit Hilfe des Geopotentials Φ, deﬁniert durch Φ = gz ,

z = H¨ohe u ¨ber Meeresniveau ,

kann man die Schwerkraft auch angeben, wenn man ber¨ ucksichtigt, dass ∂Φ =g , ∂z

∂Φ ∂Φ = =0 . ∂x ∂y

Damit ergibt sich aus (9.2): G = −m∇Φ .

(9.3)

Die sich aufgrund der Schwerkraft ergebende Beschleunigung (pro Masseneinheit m) eines Luftpartikels ist demnach

dv = −∇Φ = −gk . dt G

9.2

(9.4)

Die Druckkraft

Im folgenden sollen diejenigen Beschleunigungen betrachtet werden, die aufgrund von Druckunterschieden in einem Medium (Luft oder Wasser) zustande kommen. Es werde dazu der auf ein w¨ urfelf¨ormiges Einheitsvolumen mit den Kantenl¨ angen dx, dy, dz und der Masse m wirkende Druck des umgebenden Mediums berechnet. Das Druckfeld p(x,y,z) wird im Bereich des W¨ urfels (Bild 9.1) mit Hilfe der Taylor-Entwicklung approximiert durch: p(x + dx)=p(x) +

∂p dx , ∂x

p(y + dy) = p(y) +

∂p dy , ∂y

p(z + dz) = p(z) +

∂p dz . ∂z

Um die Beschleunigung des Luftvolumens zu berechnen, werden die Druckkr¨ afte u achen des Einheitsw¨ urfels bilanziert. Dies sei stellvertretend f¨ ur ¨ber die sechs Fl¨ die in y-Richtung wirkenden Kr¨afte entsprechend Bild 9.1 durchgef¨ uhrt. Generell l¨asst sich die Druckkraft darstellen als D = −p dF = −p dF n0 , wobei n0 der Einheitsvektor der Fl¨achennormalen ist. Auf die Fl¨ ache dxdz an der Stelle y wirkt der Druck p(y), so dass man wegen n0 = −j erh¨ alt:

9.2 Die Druckkraft

109 ... .........

k, z .............. ... ....................................................... . . . . . . . . . . . ......................... . ... .... ......................... ............ ... .............. ............. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . ... . . ..... . ... p .. ...................... ... ... ... ....... . ................. . . . . . . ... ..................................... ................. ..... ... . . . ............................... . . . ... . . . . . . ..................... . . . . . ... ...................................... ... ........................ ... .... D(y) .. ........................................................... . . ... ... ... ... .. .. . .. . . .. ..... .. ... ∂p .. ... .... . .. p + dy . ... . . . . . . . . dz .... . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ∂y ... ... .. . ........... ... ...... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ........... . ....... . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ... ..... .. .............................. . ................................................... ...... ...... ... ........... .................. ............ ...... ........... ...... .. ........... ...... . . . . ... .. .................... D(y + dy) ........... . ... . ........... ...... . ............ ...... .. . . ... . ........... . . . . ........... . . ... .................... . . ........... ........... ... .. .... ................ . .. ................ . . . ............ . . . ................... . . j, y . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . ............ ... . ... ...... . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . ............ .. . ......... .. ............ ............. ...... dx . .. ..... . . . i, x dy ....................... . . .... ............ ............ ... .......... ............. Bild 9.1

Volumenelement zur Ableitung der Druckkraft

D(y) = +p(y) dxdz j . Auf die Fl¨ ache dxdz an der Stelle y + dy wirkt der Druck p(y + dy) und somit wegen n0 = +j die Druckkraft D(y + dy) = −p(y + dy) dxdz j . Die durch die Druckunterschiede in y-Richtung hervorgerufene Gesamtdruckkraft der an den gegen¨ uberliegenden Fl¨achen angreifenden Kr¨ afte ergibt sich damit zu Dy = D(y) + D(y + dy) = p(y) dxdz j − p(y + dy) dxdz j und somit wegen p(y + dy) = p(y) + ∂p/∂y dy Dy = −

∂p dxdydz j . ∂y

Analog erh¨ alt man f¨ ur die Gesamtdruckkraft in x- und z-Richtung: Dx = −

∂p dxdydz i , ∂x

Dz = −

∂p dzdxdy k . ∂z

Insgesamt wirkt auf das Volumen dxdydz die Druckkraft

D = Dx + Dy + Dz = −dxdydz

∂p ∂p ∂p i+ j+ k = −dxdydz∇p = −V ∇p , ∂x ∂y ∂z

110

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

. ...... .. .. ...... ....... ... .. ..... ... .... T .... .... . . . . .. . . .... .. ..... .................... ...... ................ ... . . ...... . . . . . . . . . . . .. ....... .... ... .... .......................... .... . ..... ......... D ........ . .... ....... . . . . . . ... .... ........ ................. ... .... .................................... .. ... .... . .. H D .. ..

Bild 9.2 Isobarenfeld und Druckgradientkraft

oder, wenn man das Volumen V = dxdydz durch Masse und Dichte der in dem Volumen enthaltenen Luft ausdr¨ uckt (V = m/ρ), D=−

m ∇p . ρ

(9.5)

Diese durch den Druckgradienten hervorgerufene Kraft nennt man die Druckkraft. Gelegentlich wird sie auch als Druckgradientkraft bezeichnet, wobei zum Ausdruck kommt, dass es nicht auf den Betrag des Druckes selbst, sondern auf die Druckunterschiede ankommt. Die Druckkraft steht senkrecht auf den Isobaren und ist zum tiefen Druck hin gerichtet, wie in Bild 9.2 gezeigt. Auf diese Weise werden Luftmassen vom hohen zum tiefen Druck in Bewegung gesetzt und dadurch ein Druckausgleich herbeigef¨ uhrt. Die Beschleunigung, also die Kraft pro Masseneinheit, die sich f¨ ur ein Luftpartikel aufgrund der Druckkraft ergibt, ist nach (9.5)

dv 1 = − ∇p . dt D ρ

(9.6)

Sie wird im weiteren als Druckbeschleunigung bezeichnet. Mit Hilfe der bisher gewonnenen Beziehungen f¨ ur die Schwerebeschleunigung (9.4) und die Druckbeschleunigung (9.6) lassen sich bereits die Bewegungsgleichungen f¨ ur ein Luftpartikel angeben f¨ ur den Fall, dass keine Erdrotation vorhanden ist bzw. diese keine Rolle bei den Bewegungsvorg¨ angen spielt. Die Beschleunigung eines Luftpartikels ist dann gegeben durch dv 1 = −∇Φ − ∇p . dt ρ

(9.7)

Betrachtet man nur die Beschleunigung in vertikaler Richtung, so erh¨ alt man aus (9.7) 1 ∂p dw = −g − . dt ρ ∂z F¨ ur den Fall, dass keine Vertikalbeschleunigung auftritt, d. h. dw/dt = 0, ergibt sich daraus

9.3 Zur Ursache von atmosph¨arischen Bewegungsvorg¨ angen 0 = −g −

1 ∂p ρ ∂z

=⇒

111

∂p = −g ρ . ∂z

Dies ist nichts anderes als die statische Grundgleichung, die bereits fr¨ uher ¨ aufgrund anderer Uberlegungen hergeleitet wurde.

9.3

Zur Ursache von atmosph¨ arischen Bewegungsvorg¨ angen

Die Bewegungsgleichung (9.7) gibt einen Zusammenhang zwischen der Beschleunigung von Luftpartikeln und den wirkenden Kr¨ aften, wie Erdanziehung und Druckkraft. F¨ ur das Kontinuum Luft (oder auch f¨ ur Fl¨ ussigkeiten wie Wasser) erh¨alt man daraus die Bewegungsgleichungen durch Anwendung der Eulerschen Zerlegung (7.3) auf die individuelle Beschleunigung dv/dt: dv ∂v 1 = + v · ∇v = −gk − ∇p . dt ∂t ρ

(9.8)

F¨ ur die weiteren Betrachtungen ist es zweckm¨ aßig, den Geschwindigkeitsvektor in einen horizontalen Anteil vh = ui + vj und einen vertikalen Anteil wk zu zerlegen. Unter Verwendung eines horizontalen Nabla-Operators ∇h = i ∂/∂x + j ∂/∂y l¨ asst sich (9.8) zerlegen in ∂vh 1 + v · ∇vh = − ∇h p , ∂t ρ

(9.9)

1 ∂p ∂w + v · ∇w = −g − . ∂t ρ ∂z

(9.10)

¨ Die Beziehungen (9.9), (9.10) geben Aufschluss u des ¨ber die zeitliche Anderung Geschwindigkeitsfeldes, wenn die wirkenden Kr¨afte schon vorhanden sind. Wodurch kommen nun aber die Druckkr¨afte und damit letztlich die atmosph¨ arischen Bewegungen zustande? Betrachten wir dazu den Spezialfall einer ruhenden Atmosph¨ are, d. h. es sollen weder Geschwindigkeiten noch Beschleunigungen der Luft vorhanden sein. Dann verschwinden in den Bewegungsgleichungen (9.9), (9.10) jeweils die linken Seiten, und man erh¨ alt f¨ ur diesen Atmosph¨arenzustand die Beziehungen 1 ∇h p = 0 , ρ ∂p = −gρ ∂z

(9.11)

statische Grundgleichung .

(9.12)

112

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

In einer ruhenden Atmosph¨ are ist kein horizontaler Druckgradient vorhanden. Der vertikale Druckgradient entspricht gerade dem statischen Druck (Gewicht der Lufts¨aule). Die Kombination von (9.11) und (9.12) ergibt f¨ ur den Dichtegradienten ∂ ∂p ∇h p = ∇h = −g∇h ρ =⇒ ∇h ρ = 0 . (9.13) ∂z ∂z Mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase, angewandt auf das Gas Luft: p = RρT , erh¨ alt man aus (9.11) f¨ ur den horizontalen Temperaturgradienten unter Verwendung von (9.13) 0=

∇h p = Rρ∇h T + RT ∇h ρ

=0

=0

=⇒

∇h T = 0 .

(9.14)

F¨ ur eine Atmosph¨are, in welcher sich die Luftmassen weder bewegen noch eine Beschleunigung erfahren, verschwinden gem¨aß (9.11), (9.13) und (9.14) horizontale Druck-, Dichte- und Temperaturgegens¨atze. Die vertikalen Gradienten von Druck, Dichte und Temperatur ergeben sich so, dass sie die statische Grundgleichung erf¨ ullen. Diese Aussage kann man auch in umgekehrter Richtung interpretieren: Wenn in der Atmosph¨ are horizontale Temperaturgegens¨ atze vorhanden sind, bewirken diese horizontale Dichte- und Druckgradienten und f¨ uhren u ¨ber die letzteren zur Ausbildung von Luftstr¨omungen. Hierin liegt letztlich die Ursache der atmosph¨arischen Bewegungsvorg¨ange, n¨amlich in den Temperaturgegens¨ atzen, welche durch unterschiedliche Erw¨armung des Erdbodens und der Luft (¨ uber die Strahlung) hervorgerufen werden. Diese aus der meteorologischen Erfahrung l¨ angst bekannte Tatsache soll mit Hilfe der Bewegungsgleichungen veriﬁziert werden. Wir denken uns zun¨achst eine ruhende Atmosph¨ are, in welcher also horizontale Temperatur- und Druckgradienten nicht vorhanden sind, und beginnen zu einem Zeitpunkt t = 0 mit einer Erw¨armung (∂T /∂t = 0). Wegen v = ∂v/∂t = 0 zu diesem Zeitpunkt ergeben die Bewegungsgleichungen (9.10) und (9.11) nat¨ urlich nur den Zustand (9.11) bis (9.14). Um Aufschluss u angliche Entwicklung ¨ber die anf¨ geben zu k¨ onnen, bilden wir die zweiten Zeitableitungen ∂ 2 v/∂t2 . Wie Bild 9.3 zeigt, geben uns die zweiten Ableitungen wenigstens die Richtung der anf¨ anglichen Beschleunigungen, so dass wir einen Zusammenhang zwischen Temperaturgradient und Str¨omungsrichtung herstellen k¨ onnen. Dazu diﬀerenzieren wir die Bewegungsgleichungen nach der Zeit und ber¨ ucksichtigen, dass f¨ ur den Ausgangszeitpunkt (ruhende Atmosph¨are) gilt: v = ∂v/∂t = 0. Ebenso machen wir davon Gebrauch, dass f¨ ur eine ruhende Atmosph¨ are aus der Kontinuit¨ atsgleichung (8.2) f¨ ur die Dichte folgt: ∂ρ/∂t = 0. Man erh¨ alt mit diesen Anfangsbedingungen aus (9.9) und (9.10):

∂ 2 vh ∂p 1 ∂ρ ∂ 1 1 ∂T ∇h p = − ∇h = − ∇h Rρ + RT =− ∂t2 ∂t ρ ρ ∂t ρ ∂t ∂t

=⇒

9.3 Zur Ursache von atmosph¨arischen Bewegungsvorg¨ angen v ........ ... ... ... v(t) . .. . . ... ... v > 0 .... . .. . ∂2v . .. .... . >0 . . . . ... ∂t2 ...... ... .................. . 0 ..................................................................................................................................................................... ....... t .. ...... 2v .. ...... ∂ ..... <0 ... .... ∂t2 .. .... .... .. v < 0 .... ... .... ..

113

Bild 9.3 Anf¨angliche Geschwindigkeit v(t) in einer zur Zeit t = 0 ruhenden Atmosph¨are (d. h. v(0) = 0 und ∂v ∂t (0) = 0) nach Einsetzen einer Beschleuni2 gungs¨anderung ∂∂t2v . v bezeichnet hier die Projektion von v auf einen beliebig orientierten, aber fest gew¨ahlten Einheitsvektor.

∂ 2 vh ∂T = −R∇h ∂t2 ∂t

,

t=0 ,

(9.15)

¨ und f¨ ur die Anderung der Vertikalbeschleunigung 1 ∂ ∂p 1 ∂ ∂2w ∂ 1 ∂p =− =− =− 2 ∂t ∂t ρ ∂z ρ ∂z ∂t ρ ∂z ∂2w ∂ = −R 2 ∂t ∂z

∂T ∂t

−

R ∂ρ ρ ∂z

∂T ∂t

Rρ

∂T ∂t

=⇒

, t=0 .

(9.16)

Betrachten wir zun¨achst das Resultat f¨ ur die Horizontalbeschleunigung(9.15). Zum Zeitpunkt t = 0, also bei Einsetzen einer Bewegung u ¨berhaupt, ist die Beschleunigung gegen den Gradienten der anf¨anglichen Temperatur¨ anderung gerichtet, d. h. die Luft wird sich dorthin bewegen, wo die Temperatur¨ anderung geringer ist. Mit anderen Worten: die Luft str¨omt von Gebieten relativer Erw¨ armung zu solchen relativer Abk¨ uhlung. Es kommt dabei nicht darauf an, ob man das urspr¨ unglich homogene Temperaturfeld (∇h T = 0) durch eine Erw¨ armung an der einen Stelle (∂T /∂t > 0) oder Abk¨ uhlung (∂T /∂t < 0) an einer anderen Stelle ver¨andert, sondern lediglich auf eine unterschiedliche Temperatur¨ anderung (differentielle Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung). In diesem Sinne ist Erw¨armung genauso eﬀektiv wie Abk¨ uhlung. Insgesamt lassen sich diese Aussagen dahingehend zusammenfassen, dass eine atmosph¨ arische Str¨ omung (zumindest anf¨anglich) so gerichtet ist, dass sie versucht, den durch unterschiedliche Erw¨armung entstandenen Temperaturgegensatz auszugleichen, d. h. erw¨ armte Luft wird in Gebiete k¨ uhlerer Luft transportiert. Dies ist in Bild 9.4 dargestellt. Hierin kommt ein Prinzip der Natur zum Ausdruck, demzufolge die Richtung vieler physikalischer Vorg¨ange im Ergebnis zu einem Abbau bestehender Gegens¨ atze f¨ uhrt. In der Gleichung f¨ ur die Vertikalbeschleunigung (9.16) tritt zum vertikalen Gradienten der Erw¨ armung noch ein weiterer Term hinzu, welcher die lokale Temperatur¨ anderung ∂T /∂t mit dem vertikalen Dichtegradienten verkn¨ upft. Dieser

114

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen Anfangsstr¨ omung .................................................................................................

∂2v ∂v >0 >0⇒ ∂t2 ∂t ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................ . . . . . . . . . . .................................................................................. . . . . . . . . . . . . ............... ...................................................... ...................... ............... ...................................................... ............... ..... ...................................................... ............... ..........

∂T >0 ∂t

Erw¨ armung

.................................... ............ ∂T ∇ ∂t

∂T <0 ∂t

Abk¨ uhlung

Bild 9.4 Zur Richtung der durch differentielle Bodenerw¨armung induzierten Anfangsstr¨omung

Dichtegradient ist f¨ ur die zum Zeitpunkt t = 0 betrachtete ruhende Atmosph¨ are u ¨ber die statische Grundgleichung mit der vertikalen Druck- und Temperaturverteilung verkn¨ upft. Aufgrund der Wirkung der Gravitation nehmen Druck und Dichte im allgemeinen mit der H¨ohe ab, so dass der vertikale Dichtegradient in der Atmosph¨ are negativ ist. Damit ergibt sich f¨ ur die anf¨ angliche Vertikalbewegung gem¨ aß (9.16): Erw¨armte Luft (∂T /∂t > 0) steigt auf (w > 0), abgek¨ uhlte (∂T /∂t < 0) sinkt ab (w < 0). Hierin spiegelt sich das Prinzip der thermischen Konvektion wieder, dass unter dem Einﬂuss der Schwerkraft w¨ armere Luftmassen aufsteigen, w¨ ahrend k¨altere Luftmassen absinken. ¨ Die hier angestellten Uberlegungen zur Ursache von Bewegungsvorg¨ angen in der Atmosph¨ are gelten zun¨achst nur f¨ ur die Initialbewegung einer zun¨ achst ruhenden Atmosph¨ are nach einer anf¨anglichen Temperatur¨ anderung. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse, dass n¨amlich die sich einstellenden Str¨ omungen so gerichtet sind, dass sie einen Temperaturausgleich herbeif¨ uhren, haben auch im weiteren Verlauf der Bewegungsvorg¨ange ihre G¨ ultigkeit. Die Luftstr¨ omungen erfahren lediglich Modiﬁkationen durch Reibungskr¨ afte und den Einﬂuss der Erdrotation. Letztlich ist die treibende Kraft aller Luftbewegungen jedoch die unterschiedliche Aufheizung der Atmosph¨are durch die Sonneneinstrahlung, wobei die Unterschiede entweder im Kleinr¨aumigen durch Land-Meer-Kontrast oder im ¨ globalen Maßstab durch die unterschiedliche Einstrahlung an Pol und Aquator verursacht werden. Das eben Gesagte ist noch einmal in Bild 9.5 illustriert. ∇h p = ∇h T = 0 p1 ..................................................................................................................

∇h.p, ∇h T ................................

∇h p, ∇..h T ...............................

p1 .......................................................................................

............................

p2 ................................................................................................................... p2 .................................................................................................................. dvh dvh . . . . . . . . . ...dt ............................................................ dt = 0 ................................ . . . . . . . . . p . . . . . . ........................... 3 p3 ..................................................................................................................

............. ................................. .................................. ..................................

p1

.............. ................................................... ..................................................

p2

dvh .............dt ................

....

.............. ....................................................................................................

p3

................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... ..............................

Ruhezustand Bild 9.5

..............................

warm

kalt

.............................

kalt

warm

Druckfelder und Beschleunigungen als Folge diﬀerentieller Erw¨armung

9.4 Die Bernoulli-Gleichung

9.4

115

Die Bernoulli-Gleichung

Es soll jetzt noch eine vereinfachte Form der Bewegungsgleichung besprochen werden, die unter dem Namen “Bernoulli-Gleichung” in der Str¨ omungsmechanik bekannt ist (nach D. Bernoulli, Schweizer Physiker, 1700–1782). Zun¨ achst formen wir den Advektionsterm in der Bewegungsgleichung (9.8) mit Hilfe der Rotation (ω = ∇ × v) um. Entsprechend der Regeln der Vektoranalysis ergibt sich: v2 v · ∇v = ∇ − v × ω (9.17) 2 Die Bewegungsgleichung kann somit auch wir folgt geschrieben werden: ∂v v2 1 − v × ω = −∇ − ∇p − ∇φ ∂t 2 ρ

(9.18)

Wir betrachten jetzt eine station¨are (∂v/∂t = 0) und rotationsfreie (ω = 0) Str¨ omung mit konstanter Dichte ρ0 . F¨ ur diese folgt aus (9.18):

v2 p ∇ + +φ =0 2 ρ0

(9.19)

p v2 + + φ = konstant 2 ρ0

(9.20)

oder:

Beziehungen (9.19) und (9.20) werden als Bernoulli-Gleichungen bezeichnet (abweichende Formen der Bernoulli-Gleichung, z. B. f¨ ur einzelne Stromlinien, ﬁndet man in B¨ uchern zur Str¨omungsmechanik). Die Bernoulli-Gleichung (9.20) l¨aßt sich auf zwei verschiedene Arten hinsichtlich ihrer physikalischen Bedeutung interpretieren. Im ersten Fall entspricht (9.20) der Erhaltung der Gesamtenergie in einer inkompressiblen, rotationsfreien Str¨ omung. Der erste Term, v2 /2 ist die kinetische Energie pro Masseneinheit, der dritter Term, φ = gz, die potentielle Energie pro Masseneinheit. Der zweite Term entspricht der Diﬀerenz zwischen speziﬁscher Enthalpie h und innerer Energie e, wie in Kapitel 3.2 ausgef¨ uhrt wurde. Die zweite Interpretation von (9.20) bezieht sich auf den Zusammenhang zwischen der Str¨ omungsgeschwindigkeit (Windgeschwindigkeit) und dem so genannten “dynamischen Druck”. Hierzu spalten wir den Druck p in (9.20) auf in einen hydrostatischen Anteil ph und einen dynamischen Anteil pd . Der Anteil ph ist auch bei einem ruhendem Medium (v = 0) vorhanden und entspricht dem Gewicht der Fluids¨ aule (Lufts¨ aule) entsprechend der statischen Grundgleichung: ph = p0 − ρ0 gz Hierbei ist p0 der Bodendruck. Es ergibt sich wegen φ = gz:

116

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen p = pd + ph = pd + p0 − ρ0 gz = pd + p0 − ρ0 φ

Diese Beziehung in (9.20) ergibt: ρ0

v2 + pd + p0 = konstant. 2

(9.21)

F¨ ur den Fall, daß der Bodendruck p0 keine r¨aumliche Variation aufweist (z. B. bei kleinr¨ aumigen Str¨omungen) kann p0 in eine Konstante gezogen werden (jetzt mit c bezeichnet) und es ergibt sich: ρ0

v2 + pd = c 2

(9.22)

Diese Form der Bernoulli-Gleichung wird in der Str¨ omungsmechanik h¨ auﬁg zur Bestimmung von Druckgegens¨atzen an Str¨omungshindernissen angewandt. Vereinfacht dargestellt besagt (9.22), daß in Gebieten mit erh¨ ohter Str¨ omungsgeschwindigkeit der Druck erniedrigt wird, w¨ahrend in Gebieten mit niedriger Geschwindigkeit der Druck erh¨oht ist. Der Fall einer Druckerniedrigung ist am Beispiel einer Querschnittsverengung (z. B. Taleinschnitt) im Bild 9.6 dargestellt. Der Fall der Druckerh¨ohung ist auch unter dem Namen “Staudruck” bekannt. Als Beispiel sei das Auftreﬀen des horizontalen Windes auf eine senkrechte Geb¨ audewand genannt. Hierbei wird die urspr¨ ungliche Windgeschwindigkeit von z. B. u0 fast auf null abgebremst, was sich im so genannten Winddruck (oder Windkraft, da Druck = Kraft pro Fl¨acheneinheit) an der Geb¨ audewand bemerkbar macht.

Bild 9.6 Schematische Darstellung von Druckund Str¨omungsverh¨altnissen entsprechend der BernoulliGleichung. Oben: Querschnittsverengung (z. B. Taleinschnitt), unten: Staudruck auf Str¨omungshindernisse (z. B. Geb¨aude)

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft

9.5

117

Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft

Die in den vorhergehenden Abschnitten vorgenommene Anwendung des Newtonschen Axioms auf Gravitations- und Druckkraft gilt in einem Inertialsystem. In der Meteorologie beziehen wir die Bewegungen aber auf ein mit der Erde rotierendes Koordinatensystem, weshalb noch der Einﬂuss der Erddrehung auf das Kr¨aftegleichgewicht ber¨ ucksichtigt werden muss. Betrachten wir dazu die rotierende Erde von einem Inertialsystem aus, dessen Ursprung im Erdmittelpunkt liegt (Bild 9.7). Ein fester Punkt auf der Erdoberﬂ¨ache, dessen Position durch den Ortsvektor r gegeben ist, hat gegen¨ uber dem Inertialsystem die Geschwindigkeit

dr = vf = Ω × r . (9.23) dt i ur eine Erdumdrehung, so erh¨ alt man f¨ ur die WinkelgeBezeichnet te die Zeit f¨ schwindigkeit der Erde Ω = 2π /te und damit weiter die sogenannte F¨ uhrungsgeschwindigkeit vf als Ωr sin α oder 2π r sin α /te . Darin ist 2π r sin α der Umfang eines Breitenkreises mit der geographischen Breite φ = 90o − α. Der Vektor der F¨ uhrungsgeschwindigkeit steht senkrecht auf dem Vektor der Erdrotation und dem Radiusvektor und ist nach Osten gerichtet. Hat nun ein Luftpartikel relativ zur Erdoberﬂ¨ ache die Geschwindigkeit ve , so hat dieses im Inertialsystem die Geschwindigkeit vi mit . Ω...... .... .......... ................ .... ............... ..... ..........

z .. ..........i............................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .... ................. ......... ..... ... ....... ..... ...... ...... . ... ......... ..... ....... ... ..... ....... ..... ........ ... λ . ..... ..... . . . . ..... . ..... . . ... . ..... . ..... ..... . . .... ... ....... . .... . . . . . ... ..... .... . . ..... . .... . . ... .... .... ... .. .... ........ ......... ..... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .. .... ....... . . . . . ..... ... . ........................ . . . . . . . . . . . . ..... ... .... ... ..... .. ... r sin α ..... . .............. . ...... ....... ... .... ...... ...... ... .... ... ... .... ... ... ... ........ ... ... .. . . . ... ... ..... ......... Ω × r .......... .. ... ... r... ......... ... ... ... ... . ...... ... ... α . .. ... ... ....... . ... ... ... . .. ... ... ... . .. . . .... ... . ... ... ... .. .......... ... ... ... .. . .. ... φ ... . . . ... ... ... .. ... . . . . .......................... ... ... yi ............. .. . . ..... ..... .................. ... ... .... ......... .... ................................ ..... . . . . . ... ................. ...... .... . . . . . . . . .... . . . . . . . . . ..... ... ... .................... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ................ ... .. ........ .. .. ................ ..... ... ..... .................... ........ ..... .......... .... .. . ..... .... ................. ......... ..... ..... .............. ................ ..... ..... .. ................ ............. .... . . . . . . . . . . . . . . . ............................... ........ . P (xi ,yi ,t = t1 + Δt) ....................... ...................................................... ... .. .... ..... .... . . ,y ,t = t1 ) P (x . . . i i xi ............ Bild 9.7 Das mit der Erde rotierende System der geographischen Koordinaten (λ,φ,z) und das Inertialsystem (xi ,yi ,zi ). Darin bezeichnet φ die geographische Breite, λ die geographische L¨ ange; r ist der Radiusvektor und Ω = |Ω| = 2π/24 h die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation.

118

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

vi = ve + vf = ve + Ω × r .

(9.24)

¨ Betrachten wir die zeitliche Anderung eines Einheitsvektors E auf der Erdoberﬂ¨ache im Inertialsystem. Es sei E = r1 − r2 , wobei die Radiusvektoren r1 und r2 fest in bezug auf die Erde sein sollen. Es gilt dann:

dE dt

= i

dr1 dt

− i

dr2 dt

= Ω × r1 − Ω × r2 = Ω × (r1 − r2 ) = Ω × E . (9.25) i

¨ Betrachten wir jetzt die zeitliche Anderung eines beliebigen Vektors A im Erdsystem vom Inertialsystem aus, so gilt

dAe dt

d (iAx + jAy + kAz ) dt i dAy dAz di dj dk dAx +j +k = i + Ax + Ay + Az , dt dt dt dt dt dt

=

i

=

dAe dt

=(9.25) Ω × Ae e

also

dAe dt

= i

dAe dt

+ Ω × Ae .

(9.26)

e

Um den Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen im Inertialsystem und im erdfesten System zu erhalten, wenden wir (9.26) auf die Geschwindigkeit vi (9.24) an, wobei die Erdrotation Ω als konstant angenommen werden soll:

dvi dt

= i

=

dve dt dve dt

+ i

+Ω ×

i

=

dve dt

d Ω×r dt

+ Ω × ve + Ω × e

dr dt

i

i

dr +Ω×Ω×r . dt e ve

Unter Fortlassung des Index e f¨ ur das mit der Erde rotierende Koordinatensystem lautet die Beziehung

dvi dt

= i

dv + 2Ω × v + Ω × Ω × r . dt

(9.27)

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft Ω............. ......... . ......................... ............ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................. . ....... . ...... . . . ... . .. ..... ..... ... ..... . . . . ..... −Ω × Ω × r r sin α . . . . . ..................................................................................................... ...... ........................................................ . . . ..................... ....... ..... . . . . .... . . . . . . ............................... ......... r ..... .. ... ... α .......................... ..... ... .. ........ φ ........ .. ............. . ...................................................................................................................................... .... .... ................................................................................................................................. ..... . ... . ..... . ... ... . ..... .. ... . .... .... ... .. ... ... ... ..... .. . . ... .... ... .... ..... ... .... ..... . . . .... ..... ... .... ..... ...... ..... . .... . ......... . . . ... . ......................................................... ..

119

Bild 9.8 Zentrifugalbeschleunigung und Erdrotation

...

Die Beschleunigung im Inertialsystem setzt sich zusammen aus der Beschleunigung im Relativsystem (Erde) und zwei Zusatzbeschleunigungen, die nach dem franz¨ osischen Physiker G. G. Coriolis (1792–1843) als Coriolis-Beschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung bezeichnet werden. Eine beschleunigungsfreie Bewegung im Inertialsystem ({dvi /dt}i = 0) ist im Relativsystem nicht beschleunigungsfrei, sondern folgt der Beziehung dv = dt

−2 Ω ×v

CoriolisBeschleunigung

+

−Ω × Ω × r

.

(9.28)

ZentrifugalBeschleunigung

Betrachten wir zun¨achst, wie in Bild 9.8 dargestellt, die Zentrifugalbeschleunigung. Der Vektor (−Ω × Ω × r) steht senkrecht auf den beiden Vektoren Ω und Ω × r. Da letzterer, wie in Bild 9.7 dargestellt, parallel zu den Breitenkreisen in Ostrichtung verl¨ auft, zeigt die Zentrifugalbeschleunigung von der Erdachse weg. Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung ist Ω Ω r sin α, d. h. gleich dem Produkt aus Erdrotation und F¨ uhrungsgeschwindigkeit (siehe (9.23)). Da r sin α der Abstand eines Punktes der Erdoberﬂ¨ache von der Erdachse ist, hat die Zentri¨ fugalbeschleunigung ihren gr¨oßten Wert am Aquator und verschwindet an den Polen. F¨ ur Bewegungsvorg¨ange auf der Erde kann die Zentrifugalbeschleunigung aber gegen¨ uber der Erdbeschleunigung vernachl¨assigt werden, welche mit der Komponente g sin α dieser entgegenwirkt (Bild 9.8), da eine Absch¨ atzung beider Gr¨ oßen ergibt: |Ω × Ω × r|max = Ω2 r ≈ 3 · 10−2 m s−2 ,

g ≈ 9,8 m s−2 .

120

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

Ω...... ...... .......... ................ ..................... −2 Ω × .v .... ... ................................................................................ . . .. . ... ..... .... .... v ........ ..

Bild 9.9 Coriolis-Kraft und Geschwindigkeit

Die Zentrifugalbeschleunigung wird aber auch gelegentlich als Korrektur zur Erdbeschleunigung ber¨ ucksichtigt. Betrachten wir die zweite zus¨atzlich auftretende Beschleunigung, die sogenannte Coriolis-Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht auf der durch die Vektoren Ω und v aufgespannten Ebene und zeigt – wie aus Bild 9.9 zu entnehmen – auf der Nordhalbkugel nach rechts zur Bewegungsrichtung. Da die Coriolis-Beschleunigung (oder Coriolis-Kraft pro Masseneinheit) senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht, wird lediglich die Richtung, nicht aber der Betrag der Geschwindigkeit ge¨andert. ¨ Dies kann man auch zeigen, indem man die Anderung der kinetischen Energie eines Partikels mit der Geschwindigkeit v durch die Coriolis-Kraft betrachtet:

d v2 dt 2

Cor

= −2 v · Ω × v = −2 Ω · v ×v =0 . =0

Da durch die Coriolis-Kraft die Energie eines Luftpartikels nicht ver¨ andert wird, also keine Arbeit geleistet wird, nennt man die Coriolis-Kraft auch eine Scheinkraft. Die Coriolis-Kraft ist auch erst dann wirksam, wenn schon eine Geschwindigkeit vorhanden ist, im Gegensatz z. B. zur Schwerkraft, die auch auf ruhende K¨ orper wirkt. Die Wirkung von Zentrifugal- und Coriolis-Kraft wurde bisher allgemein in einem Koordinatensystem betrachtet, welches zwar mit der Erde rotiert, aber im Erdmittelpunkt seinen Ursprung hatte. Hinsichtlich der Betrachtungsweise, die wir selbst von den Str¨omungsverh¨altnissen auf der Erde haben, und auch f¨ ur Messungen ist es nat¨ urlicher, ein Koordinatensystem zu w¨ ahlen, das an der Erdoberﬂ¨ ache orientiert ist. Dazu w¨ ahlen wir in Bild 9.10 ein kartesisches Koordinatensystem, welches tangential zur Erdoberﬂ¨ache orientiert ist und bei dem die x-Achse parallel zu den Breitenkreisen nach Osten weist (x- und y-Koordinate bilden dabei die sogenannte Tangentialebene). In einem solchen System muss man den Vektor der Erdrotation Ω in einen vertikalen und einen horizontalen Anteil aufspalten: Ω = Ω cos φ j + Ω sin φ k . Hierin bezeichnet man f = 2Ω sin φ und f ∗ = 2Ω cos φ

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft ..... Ω ... ....... . ..... ........... y ........... . ............................. ....... ... .... .... .... ... ... . .. .... . . ..... .... . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ............ ........................ .... . ................ z ........... ..... . ........... . . . . . . . . . . . . . . ................. .Ω .... .......................... . .... ..... . . . . . . . . . . φ . .. . . . . . . . . . . .......... . ..... . ..... .... ... Ω cos φ j ............................. .... ..... . .. . . ..... .. Ω sin φ k .. ..... ..... ..... .... . . . ..... . .... .. r ... .... ....... .... ... ... .... ..... .......... . . ... . .... . .... . φ ..... .... ..... ............. .. . . . . . ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ..... . ... . .. ..... .. ... ...

121

Bild 9.10 Tangentialebene mit Komponenten der Erdrotation

als Coriolis-Parameter. Die Coriolis-Kraft kann man mit Hilfe der oben getroffenen Aufspaltung des Rotationsvektors in dem vorstehend gew¨ ahlten Koordinatensystem beschreiben durch −2Ω × v = −(f ∗ j + f k) × (ui + vj + wk) = (f v − f ∗ w)i − f uj + f ∗ uk , (9.29) oder, als Determinante geschrieben, i −2Ω × v = − 0 u

j f∗ v

k f w

.

(9.30)

Betrachten wir eine rein horizontale Bewegung (w = 0), so ergibt sich f¨ ur den horizontalen Anteil der Coriolis-Beschleunigung

dvh dt

= f vi − f uj = −f k × vh .

(9.31)

Cor

Ein Teilchen, das sich in der Horizontalen bewegt, wird durch die Coriolis-Kraft nach rechts zur Bewegungsrichtung abgelenkt. Man spricht daher auch von der ablenkenden Kraft der Erdrotation. Welche Bewegung f¨ uhrt nun ein Luftpartikel aus, wenn nur die Coriolis-Kraft wirksam ist? In diesem Fall lauten die Komponenten der Bewegungsgleichungen (9.31): du dv − f v = 0 und + fu = 0 . dt dt Durch Zusammenfassung beider Gleichungen erhalten wir d2 u + f 2u = 0 dt2

und

d2 v + f 2v = 0 . dt2

(9.32)

(9.33)

122

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

F¨ ur jede Komponente des Geschwindigkeitsvektors erhalten wir eine Schwingungsdiﬀerentialgleichung, deren L¨osung allgemein als u(t) = A sin ωt + B cos ωt und v(t) = C sin ωt + B cos ωt geschrieben werden kann. Zur Bestimmung der Konstanten A, B, C und D ben¨ otigen wir Anfangsbedingungen. Als Beispiel w¨ahlen wir u = |v| , v = 0

f¨ ur t = 0 .

Damit ergibt sich aus den Bewegungsgleichungen (9.32) du =0, dt

dv = −f |v| dt

f¨ ur t = 0 .

Mit diesen Anfangsbedingungen ergibt sich als L¨ osung u(t) = |v| cos f t , v(t) = −|v| sin f t .

(9.34)

Die L¨ osung der Bewegungsgleichung ergibt somit einen Windvektor, dessen Betrag konstant ist und dessen Richtung sich im Uhrzeigersinn periodisch dreht. Dies ist in Bild (9.11) dargestellt. Die Kreisfrequenz betr¨ agt ω = f und somit die Periode τ=

2π . f

(9.35)

τ bezeichnet man auch als Tr¨ agheitsperiode und den Hodographen des Windvektors als Tr¨ agheitskreis (Bild 9.11). In unseren Breiten (φ = 50◦ N ) betr¨ agt die Tr¨ agheitsperiode wegen f = 2Ω sin φ etwa τ = 14,5 h. Nach dieser Zeit hat das Luftpartikel seine anf¨angliche Windrichtung wieder erreicht (in unserem Beispiel in Bild 9.11 West). Welchen Weg legt nun das Luftpartikel in dieser Zeit zur¨ uck? Dazu berechnen wir seine Trajektorie. Diese ist gem¨aß (7.30) deﬁniert durch ...

v ................. . ...................................................... ............ ... ...... . . . . .... ..... .... .... . ..... . ... . . . ... . . .... . ... . . . ... ... . . . ..... ... .... .... ... .. . .... ..... ... .... ... ... .... .... v(t = 0) ................................................. . ... ................................. ........................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ....... ... .. ........... ....... . . . ... . . . . . . . . u . . .. . . . . . . . . ........ . .... ... ... .... ............................................ ... .... ... ... . ... . .. . . . ... ..... ... .. .... .... ......... ... .... . . ....... . .... .... ..... ..... .... ....... ..... . .... ) v(t = 3π . . . . . . . . . 4f ..................................................... .....

Bild 9.11 Der Hodograph des Windvektors f¨ ur eine reine Tr¨agheitsbewegung unter dem Einﬂuss der CoriolisKraft

9.5 Die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft . y ...... t= 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ............. ... .............................. ... ... ... ... ... ... ... .... ... .................... • ............ ............ ... ......... .... ......... . ........ . . . . . . . ...... ..... .. .. .................. ..... ..... ... ... . .... . . . .... ... .......... .. ... ... ... . ...... ........ ..... . . . . . . . . . ... ........ . . . . . ... . ........ .. . R ....... . . ... . . . . . .. .... ... ......... ......... ... ......... . . . . . .. . . ... ....... . . . ... . . . . π . . ............ t = 2f y0 ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..•......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..•................ • ... .. ... ... ... ... . .. ... ... ... ... . ... .... ... ... ... . ... ... . .. ... ... . . . . .. ... . . . . ... . ... . .... ... ... .. ..... ... ..... ..... .... .. ..... . . . .. . . .. ..... ... ..... ...... ... ......... ...... . . . . . . . ... . . .......... .. .. .......... .................................................................................•.................................................. ... ........................................................................................................................................................................... x0 x

123

Bild 9.12 Die Trajektorie eines Luftpartikels unter dem Einﬂuss der reinen Coriolis-Kraft: Tr¨agheitskreis mit dem Radius R = |v|/f

t

x(t) = x(t = 0) +

t

u(t) dt und y(t) = y(t = 0) + 0

v(t) dt . 0

W¨ahlen wir f¨ ur den Zeitpunkt t = 0 als Anfangsbedingung x = x0 und y = y0 + |v|/f , so ergibt sich mit (9.34): x(t) = x0 +

|v| sin f t , f

(9.36)

y(t) = y0 +

|v| cos f t . f

(9.37)

Die Partikelbewegung stellt somit einen Kreis um den Punkt (x0 ,y0 ) mit dem Radius |v|/f dar (Bild 9.12). Diesen nennt man auch den Tr¨ agheitskreis und bezeichnet R=

|v| f

(9.38)

als den Tr¨ agheitsradius. Unter dem Einﬂuss der Coriolis-Kraft kann sich ein Luftpartikel ohne Einwirkung anderer Kr¨afte also h¨ ochstens um den Abstand 2R von seiner Ausgangslage entfernen. Nehmen wir das Beispiel |v| = 10 m s−1 und f = 10−4 s−1 (entsprechend einer geographischen Breite von φ = 45◦ ), so erhalten wir 2R = 200 km. Nat¨ urlich wird man einen reinen Tr¨agheitskreis in der realen Atmosph¨ are kaum beobachten, da stets Druck- und Reibungskr¨afte wirken, jedoch ﬁndet man die Tr¨ agheitsbewegungen im Tagesgang des Windvektors h¨ auﬁg wieder. Auch Driftbojen im Ozean weisen h¨auﬁg deutliche Einﬂ¨ usse des Tr¨ agheitskreises in ihren Trajektorien auf.

124

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

Die bisher angef¨ uhrten Beispiele zur Wirkung der Coriolis-Kraft galten f¨ ur die n¨ordliche Hemisph¨are der Erde. Auf der S¨ udhalbkugel erfolgt die Ablenkung nach links zur Bewegungsrichtung. Dies kommt daher, dass der Vektor der Erdrotation deﬁnitionsgem¨ aß zum Nordpol gerichtet ist, w¨ahrend sich das Koordinatensystem auf der Erdoberﬂ¨ ache mit der geographischen Breite ¨ andert. Auf der S¨ udhalbkugel ist der Winkel φ negativ, was einen negativen Wert des Coriolis-Parameters f zur Folge hat. Damit kehrt sich die Richtung der Coriolis-Beschleunigung in (9.31) um.

9.6

Die Bewegungsgleichungen im rotierenden System

Die aus dem Newtonschen Axiom gewonnenen Bewegungsgleichungen (9.7), die ur ein Luftpartikel im Inertialsystem gelten, sollen mit Hilfe der Beziehung (9.27) f¨ auf die rotierende Erde u ¨bertragen werden, wobei allerdings die Zentrifugalbeschleunigung vernachl¨assigt werden soll. Man erh¨ alt dann die sogenannten Eulerschen Bewegungsgleichungen im rotierenden System. dv 1 + 2 Ω × v = −∇Φ − ∇p dt ρ

(9.39)

oder mit der Eulerschen Zerlegung 1 ∂v + (v · ∇) v + 2 Ω × v = −∇Φ − ∇p ∂t ρ

(9.40)

bzw. in Tensorschreibweise ∂ui ∂Φ 1 ∂p ∂ui + uk + εijk fj uk = − − . ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi

(9.41)

In der Form (9.41) gilt f¨ ur den Coriolis-Parameter fj die folgende Aufspaltung: f1 = 0 ,

f2 = f ∗ ,

f3 = f .

Die Gleichungen f¨ ur die einzelnen Komponenten der Beschleunigung erh¨ alt man aus (9.40) f¨ ur das im vorigen Abschnitt beschriebene Koordinatensystem tangential zur Erdoberﬂ¨ ache durch Multiplikation mit dem jeweiligen Einheitsvektor. Dabei ist die Aufspaltung der Coriolis-Beschleunigung nach (9.29) vorzunehmen. Die Bewegungsgleichungen lauten dann in Komponentenschreibweise:

9.7 Analyse der Bewegungsgleichung

125

∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p +u +v +w − f v + f ∗w = − , ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂v ∂v ∂v ∂v +u +v +w + fu ∂t ∂x ∂y ∂z

=−

1 ∂p , ρ ∂y

(9.42)

∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂p +u +v +w − f ∗u = − −g . ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z Sehr oft werden die Bewegungsgleichungen nur f¨ ur rein horizontale Str¨ omungen betrachtet, wodurch sie eine etwas vereinfachte Form annehmen. Die Bewegungsgleichungen f¨ ur rein horizontale Str¨omungen lauten: ∂u ∂u 1 ∂p ∂u +u +v − fv = − , ∂t ∂x ∂y ρ ∂x (9.43) ∂v ∂v ∂v 1 ∂p +u +v + fu = − . ∂t ∂x ∂y ρ ∂y oder in Vektorform, wobei der Index h andeuten soll, dass es sich um horizontale Vektoren in der x-y-Ebene handelt: ∂vh 1 + (vh · ∇h ) vh + f k × vh = − ∇h p . ∂t ρ

9.7

(9.44)

Analyse der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung in der Form 9.40 enth¨alt verschiedene Beschleunigungen bzw. Kr¨ afte, welche die Bewegung von Luftmassen bestimmen. Dabei ist nicht von vornherein klar, ob alle Terme von gleicher Bedeutung sind. Im folgenden soll eine vereinfachte Absch¨atzung f¨ ur die Gr¨oßenordnung der einzelnen Terme vorgenommen werden. Die Bewegungsgleichung wird in einen horizontalen und vertikalen Anteil aufgespalten mit v = vh + wk , vh = Horizontalwind, w = Vertikalwind. Dabei wird der horizontale Coriolisparameter f ∗ vernachl¨ assigt:

∂vh ∂vh 1 + vh · ∇h vh + w + f k × vh = − ∇h p ∂t ∂z ρ ∂w ∂w 1 ∂p + vh · ∇h w + w = − −g . ∂t ∂z ρ ∂z

(9.45) (9.46)

Im Folgenden gehen wir von einer station¨aren Str¨ omungssituation aus, d.h. es gelte ∂vh /∂t = ∂w/∂t = 0. Wir betrachten jetzt ein meteorologisches Ph¨ anomen (z.B. Tiefdruckgebiet oder Kumuluswolke) und versuchen hierf¨ ur, die einzelnen Terme in den Bewegungsgleichungen abzusch¨atzen. Dazu deﬁnieren wir f¨ ur das Ph¨ anomen typische Abmessungen, Geschwindigkeiten und Drucke:

126 U W L H ΔPh ΔPv

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen : : : : : :

Horizontalgeschwindigkeit Vertikalgeschwindigkeit Horizontalerstreckung Vertikalerstreckung horizontale Druckdiﬀerenz vertikale Druckdiﬀerenz

Wir setzen nun in die einzelnen Terme der Bewegungsgleichung die typischen Werte ein, z.B.: vh · ∇h w ≈

∂w W2 UW , w ≈ . L ∂z H

Es m¨ ussen jetzt zur konkreten Absch¨atzung der einzelnen Beschleunigungen Zahlenwerte festgelegt werden. Im folgenden f¨ uhren wir diese Absch¨ atzung anhand von 2 Beispielen durch, n¨amlich f¨ ur ein Tiefdruckgebiet und eine große Kumuluswolke (z.B. Cumulonimbus) : L(km) H(km) U (ms−1 ) W (ms−1 ) ΔPh (hP a) ΔPv (hP a) Tief 1000 10 10 0.1 50 1000 Cumulus 10 10 10 10 5 1000 Tabelle 9.1 Typische Dimensionen, Windgeschwindigkeiten und Druckdiﬀerenzen in einem Tiefdruckgebiet und einer großen Kumuluswolke.

Es handelt sich beim Tiefdruckgebiet um ein großr¨ aumiges Ph¨ anomen (L H) und bei der Kumuluswolke um ein kleinr¨aumiges Ph¨ anomen (L ≈ H). In den nachfolgenden Tabellen sind die Gr¨oßenordnungen der einzelnen Terme zusammengestellt: vh · ∇h vh Tief 10−4 Cumulus 10−2

w∂vh /∂z 10−4 10−2

f k × vh 10−3 10−3

∇h p 10−3 10−2

1 ρ

Tabelle 9.2 Gr¨ oßenordung der einzelnen Terme der horizontalen Bewegungsgleichung in ms−2 .

vh · ∇ w Tief 10−6 Cumulus 10−2

w ∂w ∂z 10−6 10−2

1 ∂p ρ ∂z

10 10

g 10 10

Tabelle 9.3 Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme in der vertikalen Bewegungsgleichung in ms−2 .

9.8 Die Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten

127

Trotz der etwas groben Absch¨atzung k¨onnen doch einige generelle Aussagen getroﬀen werden. In der Bewegungsgleichung f¨ ur den Horizontalwind vh (Tabelle 9.2) sind beim Tiefdruckgebiet die Feldbeschleunigungen etwa eine Gr¨ oßenordnung geringer als Coriolis- und Druckkraft. Die Windverh¨ altnisse sind somit in erster N¨ aherung durch ein Gleichgewicht zwischen Corioliskraft und Druckkraft bestimmt. Dies wird unter dem Begriﬀ geostrophischer Wind in Kapitel 10 noch ausf¨ uhrlich behandelt. F¨ ur ein kleinr¨aumiges Ph¨ anomen wie den Cumulus ist die Corioliskraft hingegen eine Gr¨oßenordnung schw¨ acher als die u ¨brigen Terme und spielt daher keine große Rolle. In der Gleichung f¨ ur die Vertikalbewegung w (Tabelle 9.3) f¨ allt auf, dass die Feldbeschleunigungen um einige Gr¨oßenordnungen kleiner sind als Schwerebeschleunigung g und vertikale Druckkraft. Die Letztgenannten sind von der gleichen Gr¨ oßenordnung, n¨amlich 10 ms−2 . Da Schwerkraft und vertikale Druckkraft entgegengesetzt gerichtet sind, ergeben sich die Feldbeschleunigungen aus kleinen Unterschieden zweier großer Kr¨afte. Andererseits sind in einem Tiefdruckgebiet die Vertikalbeschleunigungen etwa um 4 Gr¨ oßenordnungen geringer als in einer Kumuluswolke. Man kann daher bei großr¨ aumigen Vorg¨angen die Vertikalbeschleunigung in der Bewegungsgleichung (9.46) vernachl¨ assigen. Somit kann in diesen F¨allen der Luftdruck mit sehr guter Approximation durch die statische Grundgleichung ∂p/∂z = −gρ bestimmt werden. Zum Abschluss soll noch auf das Verh¨altnis von horizontaler und vertikaler Geschwindigkeitskomponenten bei atmosph¨arischen Bewegungsvorg¨ angen eingegangen werden. Betrachten wir der Einfachheit halber eine inkompressible Str¨ omung. F¨ ur diese gilt die Kontinuit¨atsgleichung in der Form ∇ · v = 0 und somit: ∇h · vh = −

∂w . ∂z

Eine Skalenanalyse dieser Kontinuit¨atsgleichung gem¨ aß der oben gemachten Vorgehensweise ergibt: U W ≈ L H

oder

W H ≈ . U L

F¨ ur ein großr¨ aumiges Ph¨anomen (z.B. Tief) gilt H/L 1 und somit W U . F¨ ur ein kleinr¨ aumiges Ph¨anomen (z.B. Cumulus) gilt H/L ≈ 1 und somit W ≈ U .

9.8

Die Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten

Die in Abschnitt 9.6 aufgestellten Bewegungsgleichungen gelten in einem kartesischen Koordinatensystem, welches tangential zur Erdoberﬂ¨ ache orientiert ist. Will man jetzt Bewegungsvorg¨ange beschreiben, die sich u angen¨ber mehrere L¨ oder Breitenkreise erstrecken, muss man die Kugelgestalt der Erde in angemessener Weise ber¨ ucksichtigen. Man kann dies z. B. durch ein Koordinatensystem

128

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

.... Ω ... ....... ....................... ........... . ........... .. .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . ... ..... ...... ..... ..... ...... .... ..... ... ... . ...... .... ... . . . . . .. . . . . j ........ k.............. ..... .... . ... .... ........ . .. . . . ........................... ... .. ..... . .... ..... ... ... .... r.................. ......... i ..... .... .... . . .. . . . . ... ... ... . ... .. ..... ... ................................ .... .................................... .... ......................... ................. ... .... ........................................................................................................................................................... ......... .........................................φ ............ . ... ........ ... ................. . ..... . . . ... ...... . . . . . . . . . . . . . . ..... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................λ .. . . ... ....................................................... ................. ................................ . .... .......................................................................................................................................................... ... .. ..... ... .... ... .. . . ... ..... .. .... ... ... .... ... . . .... ..... .... .... ... ..... .... ..... . . ...... . . .... .... .. ........ ....................... ....................................... ....... .... ..

Bild 9.13 Die Kugelkoordinaten

tun, welches an der Kugel orientiert ist. Diese sogenannten Kugelkoordinaten oder sph¨ arische Koordinaten werden meist bei der Beschreibung globaler Bewegungsvorg¨ ange verwendet. Bild 9.13 zeigt ein solches Koordinatensystem. Der Ursprung des Koordinatensystems ist der Erdmittelpunkt, die Koordinaten sind der Abstand vom Erdmittelpunkt r, die geographische L¨ ange λ und die geographische Breite φ. Zwischen den bisher verwendeten kartesischen Koordinaten (nebenstehend durch die Einheitsvektoren i, j, k repr¨ asentiert) und den Kugelkoordinaten besteht folgender Zusammenhang: dx = r cos φ dλ , dy = r dφ , dz = dr . F¨ ur die Geschwindigkeiten in Kugelkoordinaten gilt entsprechend: u = r cos φ dλ/dt ,

v = r dφ/dt ,

w = dr/dt .

Die Bewegungsgleichungen (9.42) kann man durch Koordinatentransformationen auch in Kugelkoordinaten erhalten. Die Herleitung dieser Form der Bewegungsgleichungen soll an anderer Stelle erfolgen; es werde hier lediglich das Ergebnis dargestellt. Die Eulerschen Bewegungsgleichungen lauten in Kugelkoordinaten:

9.9 Die Bewegungsgleichungen im p-System

129

du uv uw 1 1 ∂p − tan φ + − f v + f ∗w = − dt r r r cos φ ρ ∂λ

,

u2 vw dv + tan φ + + fu dt r r

1 ∂p rρ ∂φ

,

1 ∂p ρ ∂r

−g .

dw u2 + v 2 − dt r

=

−

− f ∗u =

−

(9.47)

Die in den obigen Gleichungen auftretenden individuellen Zeitableitungen der Geschwindigkeitskomponenten lassen sich in Kugelkoordinaten wie folgt mit der Eulerschen Zerlegung darstellen: du ∂u u ∂u v ∂u ∂u = + + +w , dt ∂t r cos φ ∂λ r ∂φ ∂r dv ∂v u ∂v v ∂v ∂v = + + +w , dt ∂t r cos φ ∂λ r ∂φ ∂r

(9.48)

dw ∂w u ∂w v ∂w ∂w = + + +w . dt ∂t r cos φ ∂λ r ∂φ ∂r Die Gleichungen (9.47) zusammen mit den Beziehungen (9.48) entsprechen den Bewegungsgleichungen in kartesischen Koordinaten (9.42). Die zweiten und dritten Terme auf der linken Seite von (9.47), die in kartesischen Koordinaten nicht auftreten, ergeben sich aus der Geometrie des verwendeten Kugelkoordinatensystems; sie werden deshalb auch metrische Zusatzterme genannt.

9.9

Die Bewegungsgleichungen im p-System

Bisher wurde ein Koordinatensystem verwendet, bei welchem die vertikale Koordinate z der H¨ ohe u ¨ber NN entsprach. Nun hat es sich von der praktischen Seite der Beobachtungen her ergeben, dass die aufgrund von Radiosondenmessungen erhaltenen Daten u ur H¨ ohenstufen ¨ber Temperatur, Wind, Feuchte usw. nicht f¨ z =konstant geliefert werden, sondern f¨ ur Werte gleichen Druckes, also auf sogenannten Druckﬂ¨ achen. Wenn die im vorigen Abschnitt aufgestellten Bewegungsgleichungen f¨ ur die numerische Wettervorhersage verwendet werden sollen, ist es daher zweckm¨ aßig, ein solches Koordinatensystem zu w¨ ahlen, welches als Vertikalkoordinate den Druck selbst anstelle der H¨ohe verwendet. Die horizontalen Koordinaten x und y w¨ urden dann entlang Fl¨achen p =konstant verlaufen. Ein solches Koordinatensystem nennt man p-System. Der Unterschied zwischen dem x-y-z-System und dem x-y-p-System ist in Bild 9.14 veranschaulicht. Wichtig ist hierbei, dass die Einheitsvektoren i, j, k in p- und z-System die gleichen sind. Es wird lediglich f¨ ur die vertikale Koordinate in Richtung von k

130

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

eine andere Z¨ ahlung verwendet: eine L¨ange im z-System wird durch einen Druck im p-System ersetzt. Wegen des Nullpunktes f¨ ur den Luftdruck, der ja gerade f¨ ur die gr¨ oßte H¨ ohe erreicht wird, ist im p-System die Vertikalkoordinate nach unten gerichtet. Um die im z-System abgeleiteten Gleichungen auf das p-System u ¨bertragen zu k¨onnen, muss eine eindeutige Beziehung zwischen den beiden Systemen hergestellt werden. Dies geschieht, indem man die statische Grundgleichung als g¨ ultig voraussetzt, welche ja die Druck¨anderung mit der H¨ ohe wiedergibt: ∂p = −gρ ∂z ,

(9.49)

∂p = −ρ ∂Φ .

(9.50)

oder mit dem Geopotential Φ:

Wie bereits in Abschnitt 9.2 beschrieben, l¨asst sich die statische Grundgleichung aus der Bewegungsgleichung f¨ ur die vertikale Geschwindigkeitskomponente w ableiten, wenn man voraussetzt, dass dw/dt = 0 erf¨ ullt ist. Aufgrund der kinematischen Randbedingung w = 0 an der Erdoberﬂ¨ ache w¨ urde dies strenggenommen bedeuten, dass die Luftpartikel u ¨berhaupt keine Vertikalgeschwindigkeit besitzen, dass also w = 0 gilt. Man will mit dem p-System jedoch atmosph¨ arische Str¨ omungen beschreiben, die auch vertikale Bewegungen enthalten. Deshalb wird die G¨ ultigkeit der statischen Grundgleichung auch dann angenommen, wenn nur geringe Vertikalbeschleunigungen auftreten, so dass gilt: dw/dt ≈ 0. Dies ist f¨ ur großr¨ aumige Bewegungen der Fall, bei denen die Vertikalgeschwindigkeit im Bereich von 0,1 m s−1 liegt (zum Vergleich: in einer Kumuluswolke kann die Vertikalgeschwindigkeit Werte um 4 m s−1 erreichen, in einer Gewitterwolke sogar 30 m s−1 ). Die im folgenden aufgestellten Bewegungsgleichungen im p-System sind deshalb nur auf großr¨ aumige Bewegungsvorg¨ange, etwa in Zyklonen oder Antizyklonen, anwendbar. Wegen der Deﬁnition von z- bzw. p-System gilt . z ....... ... p .. ...................................................................1................................. ... . ... . ..................................................................................................................................................................................... . . . . . . z2 . ........... ............................. ... p = konst. ... .................................................. .. ............. ........ ......... . ....... . . . . . . . . . . . . . z1 ...................................................................................................................................................................................................................................... z = konst. .. p2 ... ...................................................................................................... x 0 z–System

0 ....................................................................................................... x ... z2 .... ............................ .................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p1 ...................... ... p = konst. ... ..................................................................................................... ... . ................................. p2 .............................................................................................................................................................................................................................................................. . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ................ z z = konst. 1 . ...... p p–System

Bild 9.14 Darstellungen von Druckﬂ¨achen im z- und p-System. Gezeigt sind je zwei Fl¨achen mit konstanter H¨ohe z bzw. mit konstantem Druck p.

9.9 Die Bewegungsgleichungen im p-System

∂z ∂x ∂p ∂x

= z

= p

∂z ∂y ∂p ∂y

131

=0

oder ∇z z = 0 ,

=0

oder ∇p p = 0 .

z

p

Hierbei bedeutet der Index z bzw. p, dass die Ableitung nach x bzw. y jeweils f¨ ur z =konstant bzw. p =konstant zu erfolgen hat. Um die Gradienten einer skalaren Gr¨oße ψ vom z-System in das p-System zu u uhren, gehen wir vom totalen Diﬀerential aus. Es gilt: ¨berf¨ ψ(x,y,p) = ψ (x, y, z(x,y,p))

und

dψ|z = dψ|p .

Die Indizes z und p geben dabei das jeweilige Koordinatensystem an. Das Ausdiﬀerenzieren der totalen Diﬀerentiale ergibt

dψ(x, y, p) =

∂ψ ∂ψ ∂ψ dp , dx + dy + ∂x p ∂y p ∂p

sowie

dψ (x,y,z(x, y, p)) =

+

∂ψ ∂ψ ∂z + dx ∂x z ∂z ∂x p ∂ψ ∂ψ ∂z + dy ∂y z ∂z ∂y p

+

∂ψ ∂z dp . ∂z ∂p p

Durch Koeﬃzientenvergleich erh¨alt man

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂z = − , ∂x z ∂x p ∂z ∂x p

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂z = − , ∂y z ∂y p ∂z ∂y p

(9.51)

(9.52)

∂ψ ∂ψ ∂p = . ∂z z ∂p ∂z p

(9.53)

Setzen wir zum Beispiel ψ = p, so erhalten wir f¨ ur die Druckgradienten ∂p ∇h z|p ∂z und daraus wegen ∇h p|p = 0 und ∂p/∂z = −gρ ∇h p|z = ∇h p|p −

(9.54)

132

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

∇h p|z = gρ ∇h z|p

(9.55)

und somit f¨ ur die Druckkraft D=−

1 ∇h p|z = −g ∇h z|p ρ

(9.56)

oder mit dem Geopotential Φ = gz 1 D = − ∇z p = −∇p Φ . ρ

(9.57)

W¨ahrend man im z-System die Druckkraft aus dem Gradienten des Druckes auf einer Fl¨ ache z =konstant erh¨alt, ergibt sich diese im p-System durch den Gradienten der H¨ ohe einer Druckﬂ¨ache p =konstant, hier ausgedr¨ uckt in geopotentiellen Metern. Die letztere Darstellungsweise ﬁndet man aber gerade auf den H¨ ohenkarten der verschiedenen Druckﬂ¨achen. Dort ist f¨ ur einen konstanten Druckwert, z. B. 700 hPa, 500 hPa usw., die H¨ohe bzw. das Geopotential dieses Druckwertes f¨ ur einen bestimmten Ort (x-, y-Koordinate) angegeben. Bevor die Form der Bewegungsgleichungen im p-System angegeben wird, soll noch auf die Vertikalgeschwindigkeit eingegangen werden. Als Vertikalgeschwin¨ digkeit wird die individuelle zeitliche Anderung der Vertikalkoordinate deﬁniert, z. B. im z-System w = dz/dt

Vertikalgeschwindigkeit im z-System (w > 0: Aufw¨artsbewegung, w < 0: Abw¨ artsbewegung).

Im p-System wird die Vertikalgeschwindigkeit wie folgt deﬁniert: ω = dp/dt

Vertikalgeschwindigkeit im p-System (ω > 0: Abw¨artsbewegung, ω < 0: Aufw¨ artsbewegung). (9.58) Die mit der Bewegungsrichtung verbundene Umkehrung des Vorzeichens gegen¨ uber w r¨ uhrt daher, dass der Druck mit der H¨ ohe abnimmt, und daher ein aufsteigendes Luftteilchen eine Druckerniedrigung mit der Zeit erf¨ahrt (dp/dt = ¨ ω < 0). Ubrigens sei daran erinnert, dass ω keine Geschwindigkeit mit der Dimension m s−1 ist, sondern die Dimension Druck/Zeit besitzt! Mit der Vertikalgeschwindigkeit ω ergeben sich der Nabla-Operator und die Advektion im p-System zu: ∇p = i

∂ ∂ ∂ +j +k , ∂x ∂y ∂p

v · ∇p = u

∂ ∂ ∂ +v +ω . ∂x ∂y ∂p

(9.59)

Auf die vollst¨ andige Herleitung der Bewegungsgleichungen im p-System soll an dieser Stelle nicht n¨aher eingegangen werden; hier sei lediglich das Ergebnis angegeben:

9.9 Die Bewegungsgleichungen im p-System

∂vh + v · ∇ vh + f k × vh = −∇Φ , ∂t

133

(9.60)

oder in Komponenten ∂u ∂u ∂u ∂Φ ∂u +u +v +ω − fv = − , ∂t ∂x ∂y ∂p ∂x (9.61) ∂v ∂v ∂v ∂v ∂Φ +u +v +ω + fu = − . ∂t ∂x ∂y ∂p ∂y Eine gesonderte Bewegungsgleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit gibt es im p-System nicht, da die dritte Bewegungsgleichung (f¨ ur w) bereits in Form der statischen Grundgleichung (9.49) zur Transformation verwendet wurde. Stattdessen atsgleichung erhalten. kann man die Vertikalgeschwindigkeit ω aus der Kontinuit¨ Zur Herleitung der Kontinuit¨atsgleichung im p-System wenden wir die sogenannte Lagrangesche Betrachtungsweise an. Bei dieser wird nicht wie in Abschnitt 8.2 der Massenﬂuss durch ein Kontrollvolumen am festen Ort bilanziert; vielmehr betrachtet man ein Volumen mit einer festen Masse m, das sich mit der Str¨ omung bewegt. Die Massenerhaltung f¨ ur dieses Luftpaket lautet daher dm =0. dt

(9.62)

Wegen m = ρV ergibt sich somit d (ρV ) = 0 . (9.63) dt (9.63) besagt, dass sich die Dichte eines Luftpartikels verringert, wenn sich das Volumen vergr¨ oßert und umgekehrt. Wodurch kommt nun die Volumen¨ anderung zustande? Wir betrachten dazu ein Einheitsvolumen mit den Kantenl¨ angen Δx, Δy, Δz. Dieses l¨ asst sich im p-System wegen Δp = −g ρΔz schreiben als V =−

1 1 ΔxΔyΔp = − Vp . gρ gρ

Somit erh¨ alt man aus (9.63): −

1 dVp =0. g dt

(9.64)

Im p-System folgt also aus der Massenerhaltung (9.62), dass das Volumen eines Luftpartikels Vp = ΔxΔyΔp konstant bleiben muss. Aus (9.64) ergibt sich dVp d d d = ΔyΔp (Δx) + ΔxΔp (Δy) + ΔxΔy (Δp) = 0 dt dt dt dt

134

9 Die Eulerschen Bewegungsgleichungen

oder wegen d(Δxi ) = Δdxi nach Division durch Vp 1 dVp Δ = Vp dt Δx

dx dt

+

Δ Δy

dy dt

+

Δ Δp

dp dt

=0,

(9.65)

und somit wegen dxi /dt = ui Δu Δv Δω + + =0. Δx Δy Δp

(9.66)

Lassen wir jetzt das Partikelvolumen beliebig klein werden, so gehen die Diﬀerenzen Δ in die lokalen Diﬀerentiale ∂ u alt schließlich ¨ber, und man erh¨ ∇p · v =

∂u ∂v ∂ω + + =0 ∂x ∂y ∂p

Kontinuit¨atsgleichung im p-System . (9.67)

10 Der geostrophische Wind 10.1

Deﬁnition des geostrophischen Windes

Um die Str¨ omungsverh¨altnisse in der Erdatmosph¨ are zu beschreiben, k¨ onnte man die in Kapitel 9 abgeleiteten Bewegungsgleichungen verwenden. Die L¨ osung dieser Gleichungen ist aber auf analytischem Wege nur f¨ ur spezielle Probleme m¨oglich. Es soll deshalb im folgenden eine einfache Beziehung hergeleitet werden, die es erlaubt, aus einer bekannten großr¨aumigen Druckverteilung die Windgeschwindigkeit zu bestimmen. Dazu werden die Bewegungsgleichungen gewissen Einschr¨ ankungen unterworfen. Diese lauten: Die Str¨ omung sei

(a)

rein horizontal; dadurch vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zur Form (9.44)

(b) station¨ar: ∂v/∂t = 0 (c)

horizontal homogen: v · ∇v = 0 .

Die Bedingungen (b) und (c) kann man mittels Eulerscher Zerlegung auch als dv/dt = 0 schreiben. Die Str¨omung ist also beschleunigungsfrei. Damit folgt aus (9.40), bzw. mit (a) aus (9.44): 1 f k × vh = − ∇h p . ρ Unter diesen Verh¨ altnissen kompensieren sich Coriolis-Kraft und Druckkraft. Damit steht die horizontale Windgeschwindigkeit vh in direkter Beziehung zum Druckgradienten. Man erh¨alt diese Beziehung durch vektorielle Multiplikation der obigen Gleichung mit k: k × (k × vh ) = k (k · vh ) −vh (k · k) = −vh = −

=0

=1

1 k × ∇h p . ρf

ugt, Die so erhaltene Geschwindigkeit vh , die den Voraussetzungen (a) bis (c) gen¨ nennt man geostrophisch und kennzeichnet sie mit dem Index g: 1 k × ∇h p . (10.1) ρf Die Komponenten des geostrophischen Windes ergeben sich aus (10.1) zu vg =

1 ∂p , ρf ∂y 1 ∂p vg = + . ρf ∂x

ug = −

(10.2)

136

10 Der geostrophische Wind

........... ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... .................. ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... .................. ................... .................. ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... .................. ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... .................. ................... .................. .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... .................. ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ...................

T

p1 p2 p3 p4

...... ...................... vg ....................... ... ... ........ ∇h p

H

Bild 10.1 Druckfeld und geostrophischer Wind

Aus der vektoriellen Schreibweise (10.1) ergibt sich, dass der geostrophische Wind senkrecht auf dem Druckgradienten steht, also parallel zu den Isobaren verl¨ auft, und zwar so, dass der tiefe Druck links zur Windrichtung liegt, wie es auch in Bild 10.1 dargestellt ist. Der geostrophische Wind l¨asst sich aus den Druckfeldern der Wetteranalyse relativ einfach bestimmen. Man misst den Abstand der Isobaren und erh¨ alt dadurch den Druckgradienten. Der Coriolis-Parameter ist f¨ ur einen festen Ort auf der Erdoberﬂ¨ ache eine konstante Gr¨oße; f¨ ur die Luftdichte w¨ ahlt man einen mittleren Wert. Damit kann man den Betrag des geostrophischen Windes berechnen; die Richtung ergibt sich aus dem oben Gesagten. Obwohl die Voraussetzungen, die zum Erhalt der geostrophischen Windbeziehung (10.1) f¨ uhrten, in der Atmosph¨ are selten alle erf¨ ullt sind, ist der geostrophische Wind eine sehr brauchbare N¨aherung f¨ ur den wirklichen Wind. (10.1) entnehmen wir, dass der geostrophische Wind bei gleichem Isobarenabstand in niederen Breiten gr¨oßer ist als in h¨ oheren Breiten (da f zum Pol ¨ hin zunimmt). Am Aquator erg¨abe sich wegen f = 0 ein vg → ∞. Da aber ¨ die Coriolis-Kraft am Aquator verschwindet, kann dort auch kein Gleichgewicht zwischen dieser und der Druckkraft herrschen, so dass die Gleichung f¨ ur den ¨ geostrophischen Wind am Aquator nicht anwendbar ist. Zur Veranschaulichung der Wirkung der Coriolis-Kraft und des dadurch entstehenden geostrophischen Windes folgendes Gedankenexperiment: In einem vorhandenen Druckfeld wird ein Luftteilchen zum Zeitpunkt t0 in Bewegung gesetzt. Da zun¨ achst nur die Druckkraft wirkt, wird das Teilchen sich vom hohen Druck zum tiefen Druck bewegen. Sobald es aber eine Geschwindigkeit besitzt, macht sich die Coriolis-Kraft bemerkbar und lenkt das Teilchen nach rechts ab (siehe Bild 10.2). Das Teilchen wird aber durch den Druckgradienten weiter beschleunigt und dadurch seine Geschwindigkeit erh¨oht. Dies wiederum l¨ asst die Coriolis-Kraft gr¨oßer werden, was eine weitere Ablenkung zur Folge hat. Der Endzustand des geostrophischen Gleichgewichts, bei dem Coriolis-Kraft C und Druckkraft D sich auskompensieren, wird allerdings erst unter der Wirkung von Reibungskr¨ aften und/oder großr¨ aumigen Ausgleichsstr¨omungen (sogenannte geostrophische Ad-

10.2 Der thermische Wind

137

p1 ................................................................................................................................................T ................................................................................................................................................................................. ...... ..... D(t1 ) ... D(t∞ ) = − 1 ∇h p ... ρ . . p2 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . .. .. .... ..... ... D(t0 ) ............................................ ..... ..... ..... ..... ..... . ..................................................... .. .. .. ... v(t∞ ) = vg ....... . . . . . . ....... ) v(t . . . . .......... 1 .... ........ p3 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... .. ............. ........ C(t∞ ) = f k × v C(t1 ) ... ........... ...... C(t ) = 0 p4 .......................................................0..........................................................................................................................................................................................................................................................................

Bild 10.2 Wirkung von Druck- und CoriolisKraft auf ein anf¨anglich in Ruhe beﬁndliches Luftpartikel.

H

justierung) erreicht. Der geostrophische Wind ist nat¨ urlich nur eine N¨ aherung f¨ ur den wirklichen Wind. Wenn es nur den geostrophischen Wind g¨ abe, k¨ ame es nicht zu einem Druckausgleich zwischen Hoch- und Tiefdruckgebieten und somit auch zu keiner Wetterentwicklung. Daher sind gerade die Abweichungen vom geostrophischen Wind f¨ ur die großr¨aumigen Str¨omungen besonders wichtig. Man kann den geostrophischen Wind noch etwas mehr den tats¨ achlichen Verh¨altnissen anpassen, wenn man die Kr¨ ummung der Isobaren bei Hoch- und Tiefdruckgebieten ber¨ ucksichtigt. In diesem Fall muss man noch die durch die Bahnkr¨ ummung bedingte Zentrifugalbeschleunigung ber¨ ucksichtigen, woraus sich dann der sogenannte zyklostrophische Wind, auch Gradientwind genannt, ergibt. Auf diesen wird in Abschnitt 10.5 noch n¨aher eingegangen.

10.2

Der thermische Wind

Der geostrophische Wind war f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung deﬁniert worden. Wir betrachten jetzt aber die Erdatmosph¨ are in ihrer vertikalen Struktur und bestimmen f¨ ur beliebige Fl¨achen z = konstant das sich aufgrund der horizontalen Druckverteilung ergebende Feld des geostrophischen Windes. Wir interessieren uns jetzt daf¨ ur, wie sich der geostrophische Wind mit der H¨ ohe ¨ andert. Wir diﬀerenzieren dazu die geostrophische Windbeziehung (10.1) nach z und wenden an den gegebenen Stellen die statische Grundgleichung (9.49) sowie die Gasgleichung p = ρRT an: ∂vg ∂ = ∂z ∂z

1 ∂p 1 1 k × ∇h p = k × ∇h k × ∇h p + ρf ρf ∂z f

(9.49)

(10.1)

∂ ∂z

1 ρ

,

Gasgleichung

138

10 Der geostrophische Wind ∂vg = ∂z =

+ ρ vg

R ∂T RT ∂p − 2 p ∂z p ∂z

gp g 1 vg ∂T 1 k× k× ∇h p + ∇h T − 2 ρf RT ρf RT T ∂z

=

1 k × ∇h (−gρ) ρf

g k × ∇h T fT

vg

ρ vg g p

+

vg

(10.1) =

−

+

g RT

+

vg ∂T T ∂z

g RT

= =

,

so dass sich f¨ ur die Vertikalableitung des geostrophischen Windes schließlich ergibt: ∂vg g vg ∂T = k × ∇h T + . ∂z fT T ∂z

(10.3)

Eine Absch¨ atzung f¨ ur das Verh¨altnis der beiden Terme auf der rechten Seite von (10.3) ergibt: 10 m s−1 · 5 K km−1 |vg ∂T /∂z| −2 ≈ . g −2 · 104 s·1 K/100 km ≈ 5 · 10 |∇ T | 10 m s h f Der zweite Term in (10.3) kann gegen¨ uber dem ersten vernachl¨ assigt werden, so dass sich ann¨ ahernd ergibt: g ∂vg = k × ∇h T . ∂z fT

(10.4)

Die Beziehung (10.4) wird auch als thermische Windbeziehung bezeichnet, ¨ obwohl nicht der Wind selbst, sondern die vertikale Anderung desselben betrachtet wird. Als thermischen Wind vT bezeichnet man denjenigen Windvektor, der sich aus der Diﬀerenz der geostrophischen Windvektoren innerhalb des H¨ ohenintervalls z ergibt: ............ ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... .................. ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ............... ................... ................... ................... ................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ ................ ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ ................. ................... .................. .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ................... .................. ................... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ...................

K

T1 T2 T3 T4

...... ...................... ....................... vT ... ... ........ ∇h T

W

Bild 10.3 Temperaturfeld und thermischer Wind

10.2 Der thermische Wind

T

p1

K

139 p1

T

W

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......T T1 3 vg2 vg2 vT p2 ................................................. ................................................ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... T ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......T 2 2 ................................................. ................................................ p3 p3 vg1 vg1 vT ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... T ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......T 3 1 p4 p4 ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

p2

H

W

H

K

Bild 10.4 Thermischer Wind bei parallelen Isobaren und Isothermen. F¨ ur die Darstellung wird T1 < T2 < T3 und p1 < p2 < p3 < p4 angenommen.

vT = vg = vg2 − vg1 =

z2 z1

∂vg ∂z = ∂z

z2 z1

g k × ∇h T fT

∂z .

(10.5)

Wie aus (10.5) ersichtlich, steht der thermische Wind senkrecht auf den horizontalen Temperaturgradienten, verl¨auft also parallel zu den Isothermen. Die warme Luft liegt dabei, wie in Bild 10.3 gezeigt, rechts zur Richtung von vT . Die Beziehung zwischen Temperaturgradient und thermischem Wind bildet ein Analogon zur geostrophischen Windbeziehung, wobei das Druckfeld dem Temperaturfeld und das Hoch der Warmluft entspricht (vergleiche Bild 10.1 und Bild 10.3). Betrachten wir jetzt die Orientierung des thermischen Windes relativ zum geostrophischen Wind. Wir gehen aus von einem geostrophischen Wind im Niveau z und bestimmen daraus den durch den thermischen Wind (dieser ist ja ¨ gerade die Anderung des geostrophischen Windes mit der H¨ ohe) verursachten Wind in der H¨ ohe z + z. Wenn Isobaren und Isothermen parallel verlaufen, so gibt es zwei M¨ oglichkeiten: Warmluft f¨ allt mit hohem Druck zusammen oder Warmluft f¨ allt mit tiefem Druck zusammen. T3 .........

T2

T1

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . ...... . ...... . . . ...... ...... ...... ...... . . . . . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ...... . . . . ...... ...... ...... . ...... ...... ................. ...... ...... ...... ...... ...... . . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... .

T4

g1. T5 ............................v .......................................... vT ............... ..... ..................... ................. .. vg2 W

K

T1...

T2

T3

T4

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. . .... . . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. . . . . ... ... ... ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ......... .. .. .. .. .... . . . . . ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . ... ... ... ...

K

............ ........ . . . vg2....... .... .... .... vT .... . .. . . .. ... . . . . . ...................................... vg1

W

Bild 10.5 Zur H¨ ohenabh¨angigkeit der geostrophischen Windrichtung. Es gelte vg1 = vg (z1 ) und vg2 = vg (z2 ) mit z1 < z2 . Im linken Bildteil ist eine Warmluftadvektion dargestellt, die zu einer Rechtsdrehung des geostrophischen Windes mit der H¨ohe f¨ uhrt. Bei Kaltluftadvektion (rechtes Bild) dreht vg dagegen nach links.

140

10 Der geostrophische Wind

Da gilt: vg2 = vg1 +vT , nimmt der geostrophische Wind mit der H¨ ohe zu, wenn der thermische Wind in Richtung des geostrophischen Windes zeigt (Bild 10.4 links), und nimmt ab bei entgegengesetzten Windrichtungen. Wenn Isobaren und Isothermen nicht parallel verlaufen, haben geostrophischer Wind und thermischer Wind nicht die gleiche Richtung. In diesem Fall tritt noch eine Richtungs¨ anderung des geostrophischen Windes mit der H¨ohe auf. Dies ist in Bild 10.5 dargestellt, wobei auf die Darstellung der Isobaren aus ¨ Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit verzichtet wird. Wenn der geostrophische Wind vom Warmluftgebiet ins Kaltluftgebiet weht (Warmluftadvektion), dreht sich dieser mit der H¨ ohe nach rechts (Bild 10.5 links). Bei Kaltluftadvektion dreht sich der geostrophische Wind mit der H¨ ohe nach links. Mit dieser einfachen Regel l¨asst sich aus den synoptischen Druckkarten schließen, ob f¨ ur ein bestimmtes Gebiet warme Luft mit der mittleren Str¨ omung herantransportiert wird oder Kaltluftadvektion vorherrscht. Dazu ermittelt man den geostrophischen Wind in zwei Niveaus (z. B. 700 hPa, 500 hPa) und stellt seine Richtungs¨ anderung mit der H¨ohe fest. Der Drehsinn dieser Richtungs¨ anderung gibt dann Auskunft u ¨ber die Art der Luftmassenadvektion. Es sei an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen, dass alle Abbildungen zum geostrophischen und thermischen Wind f¨ ur die Atmosph¨ are auf der Nordhemisph¨ are gelten. Auf der S¨ udhalbkugel liegen dagegen wegen f < 0 der niedrigere Druck und die k¨ altere Luft rechts der Richtung des geostrophischen bzw. thermischen Windes.

10.3

Geostrophischer und thermischer Wind im p-System

Wenn man die Voraussetzungen f¨ ur den geostrophischen Wind aus 10.1 auf die Bewegungsgleichungen im p-System (9.60) anwendet, so erh¨ alt man die Beziehung f¨ ur den geostrophischen Wind im p-System, also auf einer Druckﬂ¨ ache, z. B. 700 hPa, 500 hPa usw. vg =

1 k × ∇h Φ , f

(10.6)

1 ∂Φ 1 ∂Φ , vg = + . (10.7) f ∂y f ∂x Diese Form der geostrophischen Windbeziehung enth¨ alt nicht mehr die Luftdichte, sondern lediglich den Gradienten des Geopotentials auf der betreﬀenden Fl¨ache p =konstant, und ist daher f¨ ur die praktische Anwendung zur Windbestimmung aus H¨ohenwetterkarten besser geeignet als die Form im z-System (10.1). Im allgemeinen Sprachgebrauch bezeichnet man dabei das Feld Φ(x,y) einer Druckﬂ¨ ache als absolute Topographie und die Linien Φ = konstant als Isohypsen (analog zu p = konstant als Isobaren). ug = −

10.3 Geostrophischer und thermischer Wind im p-System

141

Die H¨ ohen¨ anderung des geostrophischen Windes bezieht sich jetzt auf die Druckkoordinate; man erh¨alt aus (10.6): ∂vg 1 ∂Φ = k × ∇h ∂p f ∂p

statische Grundgl. ↓

=

1 1 k × ∇h − f ρ

Gasgl. ↓

=

−

1 RT k × ∇h , f p

und weiter, da im p-System ∇h p = 0 gilt: ∂vg R = − k × ∇h T . ∂p fp

(10.8)

Dies ist die zu (10.4) analoge Form im p-System, wobei das negative Vorzeichen wegen ∂p = −gρ ∂z zustande kommt. Wenn man nun annimmt, dass f¨ ur eine Schicht ∂p zwischen p1 und p2 die Temperatur h¨ ohenkonstant bleibt, d. h. ∂T /∂p = 0, so kann man (10.8) zwischen zwei Druckniveaus integrieren: p2 p1

∂vg ∂p = ∂p

v g (p2 )

∂vg vg (p1 )

= −k × ∇h T

p2 p1

R p2 R ∂p = − ln fp f p1

k × ∇h T .

vg (p2 ) − vg (p1 ) Daraus kann man eine Beziehung f¨ ur den thermischen Wind im p-System erhalten, welcher als die Vektordiﬀerenz zweier geostrophischer Winde unterschiedli¨ cher Druckniveaus deﬁniert ist. Geht man hierbei von der Anderung des geostrophischen Windes mit der H¨ohe, also mit abnehmendem Druck, aus und ordnet alt dem h¨ oheren Druck den h¨oheren Index der Druckﬂ¨ achen zu (p2 > p1 ), so erh¨ man f¨ ur den thermischen Wind im p-System:

vT = vg (p1 ) − vg (p2 ) =

p2 R ln k × ∇h T . f p1

(10.9)

F¨ ur die Richtung des thermischen Windes in bezug auf den horizontalen Temperaturgradienten gilt das gleiche wie in Abschnitt 10.2. Man kann statt (10.9) noch eine andere Beziehung f¨ ur den thermischen Wind erhalten, wenn man die Vektordiﬀerenz direkt unter Verwendung der Deﬁnition des geostrophischen Windes (10.6) bildet: vT = vg (p1 ) − vg (p2 ) =

vT =

1 k × ∇h ( Φ) , f

1 k × ∇h {Φ(p1 ) − Φ(p2 )} , f

Φ = relative Topographie .

(10.10)

(10.11)

142

10 Der geostrophische Wind

Der thermische Wind l¨asst sich also gem¨aß (10.10), (10.11) aus dem Gradienten der relativen Topographie, d. h. der Schichtdicke zwischen zwei Druckﬂ¨ achen, z. B. 700/850 hPa, gewinnen. Man ben¨otigt daf¨ ur gar keinen horizontalen Temperaturgradienten wie bei (10.9). Da aber beide Beziehungen f¨ ur den thermischen Wind ¨ aquivalent sind (unter der Voraussetzung, dass die Temperatur in der betrachteten Schicht h¨ohenkonstant ist), folgt aus dem Vergleich von (10.9) mit (10.10) und (10.11):

R ln

p2 p1

T = Φ(p1 ) − Φ(p2 ) = Φ .

Daraus folgt f¨ ur die Temperatur zwischen beiden Druckﬂ¨ achen: T =

Φ R ln pp21

Schichtmitteltemperatur .

(10.12)

Die mit Hilfe von (10.12) aus der Schichtdicke Φ zwischen den Druckniveaus p2 und p1 erhaltene Temperatur nennt man auch Schichtmitteltemperatur. Die relative Topographie l¨asst sich also mit Hilfe der statischen Grundgleichung in eine Karte der Mitteltemperatur der betrachteten Luftschicht uminterpretieren.

10.4

Barotrope und barokline Atmosph¨ are

Im Zusammenhang mit der H¨ohen¨anderung des geostrophischen Windes im pSystem (10.8) wurde festgestellt, dass sich immer dann ein thermischer Wind einstellt, wenn auf Fl¨achen p = konstant ein horizontaler Temperaturgradient existiert. Die Lage von Druckﬂ¨achen zu Temperaturﬂ¨ achen oder Dichteﬂ¨ achen wird andererseits zur Deﬁnition zweier unterschiedlicher Atmosph¨ arenzust¨ ande, barotrop und baroklin, verwendet: Man bezeichnet eine Atmosph¨ are als barotrop, wenn Fl¨ achen konstanter Dichte und konstanten Druckes parallel verlaufen. Da die Gradienten von Druck und Dichte aber senkrecht auf den Fl¨ achen p = konstant bzw. ρ = konstant liegen, m¨ ussen in einer barotropen Atmosph¨ are auch Druck- und Dichtegradienten parallel verlaufen. Dies kann mit Hilfe des Vektorproduktes wie folgt ausgedr¨ uckt werden: ∇ρ × ∇p = 0

Barotropiebedingung .

Wegen p = ρRT folgt aber auch

∇ρ × ∇p = ∇ und daraus mit (10.13)

p RT

× ∇p =

p 1 ∇p × ∇p − ∇T × ∇p RT RT 2 =0

(10.13)

10.4 Barotrope und barokline Atmosph¨are z ...... .... .. T1 ...... .......... .......... ..... ..... ...... .................... .... ....... .. .................... ... ... .. T2 .......... .......... ....................................................................................................... ........ .......... . . .. . .................... ......... .. p1 .. ... .. T3 .......... ........................................................................................................ .......... .................... .......... . . . . . . . . .. . ........ ................ ............................................................................. .......... .......... p2 .. .. ∇T ∇p .........................................................p3 ................................................................................................

x

z ...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. T1 .. ....................................................... ........ .......... .......... .......... .. T2 .......... .......... .......... ......................................................................... .. ...................................... ... ... .......... .................. p1 ... T3 .......... ......... ..................................................................................................... .................... . ..... p .. ..................∇p 2 .. ... .................... . ........ .................... ∇T .. .................... .................... .................... .. ....... ...................................................................................p.....3........ x

barotrop

baroklin

.................................................................................................. x ... ... ... T1 ................................................................................................................................. .... ... T2 ................................................................................................................................. ... ... T3 ................................................................................................................................. .. ....... p. Bild 10.6

143

.................................................................................................. x ... ... ... .................................................................................................................................. T1 .... .................... ... .............................................................................................................. T2 ... ......... ... ........................................................................................................................ T3 ... ...... p.

Barotropie und Baroklinit¨at im z-System (oben) und im p-System (unten)

∇T × ∇p = 0 ,

(10.14)

∇T × ∇ρ = 0 .

(10.15)

oder auch

Alle drei Deﬁnitionen (10.13), (10.14) und (10.15) der Barotropie sind ¨ aquivalent, wobei f¨ ur praktische Zwecke besonders die Form (10.14) geeignet ist, welche besagt, dass in einer barotropen Atmosph¨are Temperatur- und Druckﬂ¨ achen parallel liegen. Spezialf¨alle einer barotropen Atmosph¨ are ergeben sich, wenn der Dichte- oder Temperaturgradient selbst verschwindet, also ∇ρ = 0 oder ∇T = 0, anders ausgedr¨ uckt: ρ = konstant (homogene Atmosph¨ are) oder T = konstant (isotherme Atmosph¨are). Wenn die Bedingungen (10.13) bis (10.15) nicht erf¨ ullt sind, bezeichnet man die Atmosph¨ are als baroklin: ∇ρ × ∇p = 0 ∇T × ∇p = 0 ∇T × ∇ρ = 0

Baroklinit¨ at .

(10.16)

In einer baroklinen Atmosph¨are sind Druck- und Dichteﬂ¨ achen bzw. Druckund Temperaturﬂ¨achen gegeneinander geneigt. Dies soll in Bild 10.6 verdeutlicht werden. In einer baroklinen Atmosph¨are existiert also auf Fl¨ achen p = konstant ein Temperaturgradient, wie man in der rechten Abbildung erkennen kann. Wenn dies der Fall ist, dann folgt aus der thermischen Windbeziehung im p-System

144

10 Der geostrophische Wind

(10.8), dass sich der geostrophische Wind mit der H¨ ohe (bzw. mit der Druckkoordinate) ¨ andert. Deshalb verwendet man zur Charakterisierung einer baroklinen bzw. barotropen Atmosph¨are auch die H¨ohen¨anderung des geostrophischen Windes: ⎧

⎨ =0 ∂vg = ⎩ = 0 ∂p

Barotropie , Baroklinit¨ at .

(10.17)

In einer barotropen Atmosph¨are ¨andert sich der geostrophische Wind nicht mit ur Barotropie). der H¨ ohe (wegen ∂p = −gρ ∂z folgt aus (10.17) auch ∂vg /∂z = 0 f¨ Die Begriﬀe barotrop und baroklin tauchen in der Meteorologie immer wieder auf, wenn es darum geht, gewisse Eigenschaften der Atmosph¨ are zu charakterisieren. So ist z. B. das barotrope Modell ein einfaches Modell f¨ ur die numerische Wettervorhersage, welches die zeitliche Entwicklung einer barotropen Atmosph¨ are simulieren soll. Ein anderes Beispiel ist die f¨ ur die Zyklonenentstehung wichtige barokline Instabilit¨ at, die in Abschnitt 14.3 behandelt wird.

10.5

Gradientwind und zyklostrophischer Wind

Die geostrophische Windbeziehung (10.1) oder (10.6) ist zwar eine brauchbare N¨aherung f¨ ur den tats¨achlichen Wind in der freien Atmosph¨ are, jedoch wurde zu deren Herleitung vorausgesetzt, dass dv/dt = 0. Dies bedeutet, dass ein Luftpartikel im geostrophischen Gleichgewicht weder den Betrag noch die Richtung seiner Geschwindigkeit ¨andern darf. Da aber der Geschwindigkeitsvektor parallel zu den Isobaren steht, m¨ ussen in diesem Fall die Isobaren (oder Isohypsen) geradlinig und parallel verlaufen. Jeder Blick auf eine Wetterkarte zeigt jedoch, dass zumindest in Hoch- und Tiefdruckgebieten die Isobaren bzw. Isohypsen eine Kr¨ ummung aufweisen. Um abzusch¨ atzen, wie sich diese Kr¨ ummung auf den geostrophischen Wind auswirkt, greifen wir auf die in Abschnitt 7.2 eingef¨ uhrten nat¨ urlichen Koordinaten zur¨ uck. Mit diesen lauten die Bewegungsgleichungen im z-System: ∂ ∂|v| 1 ∂p |v| + |v| =− , ∂t ∂s ρ ∂s

(10.18)

|v|2 1 ∂p + f |v| = − . R ρ ∂n

(10.19)

Dabei ist R der Kr¨ ummungsradius der Partikelbahn. Wir setzen jetzt lediglich Stationarit¨ at voraus, d. h. ∂/∂t = 0, und verlangen, dass sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht ¨andern darf, (∂|v|/∂s = 0). Damit ergibt sich im Gleichgewicht

10.5 Gradientwind und zyklostrophischer Wind |v|2 1 ∂p + f |v| = − . R ρ ∂n

145 (10.20)

Der erste auf der linken Seite von (10.20) beschreibt die durch die Kr¨ ummung der Partikelbahn verursachte Beschleunigung. Da diese immer in die entgegengesetzte Richtung der Bahnkr¨ ummung zeigt, wird sie auch als Zentrifugalbeschleunigung (Zentrifugalkraft) bezeichnet. Im station¨aren Fall herrscht in einer Str¨ omung somit ein Gleichgewicht zwischen Druckkraft (D), Corioliskraft (C) und Zentrifugalkraft (Z). Dieses Gleichgewicht ist f¨ ur den Fall eines kreisf¨ ormigen Tiefdruckgebietes in Abbildung 10.7 dargestellt.

Bild 10.7 Kr¨ aftegleichgewicht in rotationssymmetrischen Wirbeln. Im Zentrum der Wirbel herrscht jeweils tiefer Luftdruck (T). Es sind: V = Str¨omungsgeschwindigkeit, P = Isobaren, C = Corioliskraft, D = Druckkraft, Z = Zentrifugalkraft. links: großr¨aumiger Wirbel (Tiefdruckgebiet), rechts: kleinr¨aumiger Wirbel (z.B.: Tornado, Staubteufel).

Im Falle einer geradlinigen Teilchenbahn (R → ∞) erhalten wir das geostrophische Gleichgewicht in nat¨ urlichen Koordinaten: |v| = |vg | = −

1 ∂p . ρf ∂n

(10.21)

Ersetzen wir den Druckgradienten in 10.19 durch |vg |, so erhalten wir |v|2 + f (|v| − |vg |) = 0 . (10.22) R Man erh¨ alt also im Fall gekr¨ ummter Isobaren (R = ∞) eine Korrektur des geostrophischen Windes mit |v| |vg | =1+ . |v| fR

(10.23)

146

10 Der geostrophische Wind

Im Falle eines Tiefdruckgebietes (zyklonale Kr¨ ummung: R > 0) ist der Betrag des geostrophischen Windes gr¨oßer als der des aktuellen Windes, bei einem Hochdruckgebiet (antizyklonale Kr¨ ummung: R < 0) dagegen kleiner. Den sich im Falle gekr¨ ummter Isobaren bzw. Isohypsen aus (10.23) ergebenden Wind |v| bezeichnet man auch als Gradientwind. Nehmen wir als Beispiel einen Kr¨ ummungsradius (Radius eines Tiefs oder Hochs) von 1000 km an. Dann entspricht der Term f R gerade einer Windgeschwindigkeit von 100 m s−1 . Bei |v| = 10 m s−1 betr¨ agt die Abweichung vom geostrophischen Wind bei gekr¨ ummten Isobaren (Isohypsen) etwa 10 %. Der Korrekturterm in (10.23) l¨asst sich auch als das Verh¨ altnis von Zentrifugalkraft (Z) und Corioliskraft (C) interpretieren, da gilt: |v|2 Z |v| = = . fR Rf |v| C In einem synoptischen Ph¨anomen wie einem Tiefdruckgebiet betr¨ agt die Zentrifugalkraft etwa 1/10 der Corioliskraft. Betrachten wir als weiteres Beispiel einen kleinr¨ aumigen Wirbel mit vertikaler Achse, z.B. einen Tornado. Dieser hat einen typischen Radius von 500m bei einer Windgeschwindigkeit von 50ms−1 . In diesem Fall ergibt sich: Z = 1 ms−2 , C = 10−3 ms−2 und somit Z C. F¨ ur einen kleinr¨ aumigen Wirbel kann die Corioliskraft gegen¨ uber der Zentrifugalkraft vernachl¨ assigt werden. Entsprechend Gleichung (10.20) herrscht dann ein Gleichgewicht zwischen Druckkraft und Zentrifugalkraft. Dies ist auf der rechten Seite von Bild 10.7 dargestellt. Die Windgeschwindigkeit ergibt sich in diesem Fall gem¨ aß Gl.(10.20) zu:

|v| = −

R ∂p ρ ∂n

1/2

.

(10.24)

Die sich aus dem Gleichgewicht von Druck- und Zentrifugalkraft gem¨ aß (10.24 ergebende Geschwindigkeit bezeichnet man in der Meteorologie auch als Zyklostrophischer Wind . Anhand von Bild (10.7) erkennt man auch folgende Regel: Ein kleinr¨ aumiger Wirbel hat wegen Z = D immer einen tiefen Druck im Kern, unabh¨ angig davon, ob sein Drehsinn zyklonal (R > 0, ∂p/∂n < 0) oder antizyklonal (R < 0, ∂p/∂n > 0) ist.

10.6

Skalenanalyse

Zum Schluss dieses Kapitels soll noch kurz in die Methode der Skalenanalyse eingef¨ uhrt werden. Es handelt sich dabei um eine Absch¨ atzung der einzelnen Terme einer Gleichung hinsichtlich ihrer Gr¨oßenordnung wie es bereits in Kapitel 9.6 exemplarisch durchgef¨ uhrt worden ist. Hier soll als Erg¨ anzung die Methode der Aufstellung von dimensionslosen Gleichungen erl¨ autert werden. Wir f¨ uhren dies

10.6 Skalenanalyse

147

am Beispiel der Bewegungsgleichung f¨ ur eine rein horizontale Str¨ omung (9.44) durch (der Index h wird hier fortgelassen). ∂v 1 + v · ∇v + f k × v = − ∇p . ∂t ρ Mit der geostrophischen Windbeziehung (10.1) l¨ asst sich diese schreiben als ∂v + v · ∇v + f k × (v − vg ) = 0 . (10.25) ∂t Bei der Skalenanalyse f¨ uhrt man nun f¨ ur die einzelnen Variablen charakteristische Gr¨ oßen ein, in diesem Fall f¨ ur die Geschwindigkeit, die L¨ ange und die Zeit: Geschwindigkeit: U , L¨ange:

L ,

Zeit:

L/U .

Mit diesen charakteristischen Gr¨oßen werden die einzelnen Variablen der Bewegungsgleichung dimensionslos gemacht: ˆ= v

v , U

ˆ = L∇ , ∇

U tˆ = t . L

Damit l¨ asst sich (10.25) in dimensionsloser Form schreiben: U fL

ˆ ∂v ˆ v + k × (ˆ ˆ · ∇ˆ ˆg ) = 0 . +v v−v ∂ tˆ

(10.26)

W¨ ahlt man nun f¨ ur die Gr¨oßen von U und L solche Werte, die f¨ ur ein Ph¨ anoˆ v von der ˆ · ∇ˆ men typisch sind, so sind die dimensionslosen Terme wie z. B. v Gr¨ oßenordnung O(1). Das relative Gewicht der einzelnen Terme in (10.26) wird also durch den dimensionslosen Vorfaktor U/f L bestimmt. Diesen nennt man auch die Rossby-Zahl Ro (nach Carl G. Rossby, schwedischer Meteorologe und Ozeanograph, 1898–1957): Ro =

U fL

Rossby-Zahl .

(10.27)

Physikalisch stellt Ro das Verh¨altnis von Tr¨agheitskraft zu Coriolis-Kraft dar. ¨ Somit bedeutet eine kleine Rossby-Zahl (Ro 1) ein Uberwiegen der CoriolisKraft und eine große Rossby-Zahl (Ro 1) eine vernachl¨ assigbare Coriolis-Kraft. ˆ g ) → 0 und somit v → vg . F¨ ur den Fall Ro → 0 ergibt sich aus (10.26), dass (ˆ v−v Kleine Rossby-Zahlen deuten also auf ein geostrophisches Gleichgewicht in der Str¨omung hin.

148

10 Der geostrophische Wind

Wie groß ist nun Ro in der Atmosph¨are? Dazu betrachten wir ein Tiefdruckgebiet als synoptisches Ph¨anomen und einen Staubteufel als lokale Erscheinung. F¨ ur beide gelte f = 10−4 s−1 , und wir setzen als typische Geschwindigkeit U = 10 ms−1 . Als charakteristische L¨ange w¨ahlen wir den Radius: L ≈ 103 km f¨ ur das Tief und L ≈ 0,1 km f¨ ur den Staubteufel. Somit ergibt sich: Tiefdruckgebiet:

Ro ≈ 0,1 ,

Staubteufel:

Ro ≈ 103 .

Somit ist der Wind in einem Tiefdruckgebiet ann¨ ahernd im geostrophischen Gleichgewicht, w¨ ahrend f¨ ur den Staubteufel die Wirkung der Coriolis-Kraft vernachl¨ assigbar ist. In der Str¨ omungsmechanik und in der Meteorologie f¨ uhrt die Skalenanalyse noch zu vielen anderen dimensionslosen Zahlen, die meist nach bekannten Wissenschaftlern benannt sind (z.B. Reynolds-Zahl, Froude-Zahl, Rayleigh-Zahl usw.).

11 Die Vorticitygleichung Die Beschreibung atmosph¨arischer Str¨omungsvorg¨ ange und deren zeitliche Entwicklung kann mit Hilfe der Bewegungsgleichungen (9.42), der Kontinuit¨ atsgleichung (8.2) und, bei Bedarf, des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik (3.2) erfasst werden. Es hat sich aber herausgestellt, dass sich anstelle des Geschwindigkeitsfeldes die Vorticity h¨auﬁg besser zur Darstellung von Str¨ omungsfeldern eignet. So wurde z. B. bei den ersten Modellen der numerischen Wettervorhersage das Feld der Vorticity prognostiziert, das seinerseits mit dem Geopotentialfeld verkn¨ upft werden kann. Im folgenden soll deshalb eine Gleichung f¨ ur die zeitli¨ che Anderung der Vorticity hergeleitet und ihre Bedeutung f¨ ur atmosph¨ arische Str¨ omungsvorg¨ ange veranschaulicht werden.

11.1

Vorticitygleichung fu omung ¨ r eine zweidimensionale Str¨

Als Vorticity ist die Gr¨oße ζ = ∂v/∂x − ∂u/∂y bezeichnet worden. Es soll eine ¨ Gleichung hergeleitet werden, die es gestattet, die zeitliche Anderung der Vorticity einer zweidimensionalen Str¨omung zu berechnen. Dazu gehen wir von den Bewegungsgleichungen in der Form (9.43) aus und diﬀerenzieren die Gleichung f¨ ur die u-Komponente nach y und diejenige f¨ ur die v-Komponente nach x und bilden die Diﬀerenz der beiden Gleichungen, ∂/∂x(9.43b) − ∂/∂y(9.43a): −

1 ∂ ∂p ∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂v ∂ = + u + v + fu , ρ ∂x ∂y ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x

− +

1 ∂2p ∂ ∂v ∂u ∂v ∂ ∂v ∂v ∂v ∂ ∂v ∂u ∂f = + +u + +v +f +u , ρ ∂x∂y ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x

1 ∂ ∂p ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ =− − u − v + fv , ρ ∂y ∂x ∂t ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y

+

1 ∂2p ∂ ∂u ∂u ∂u ∂ ∂u ∂v ∂u ∂ ∂u ∂v ∂f =− − −u − −v +f +v . ρ ∂x∂y ∂t ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

Hierbei ist eine konstante Dichte ρ vorausgesetzt. Die Koordinatenachsen sind in einer Tangentialebene wie in Bild 9.10 dargestellt angeordnet, so dass ∂f /∂x = 0, aber ∂f /∂y = 0. Nach Umgruppierung der einzelnen Terme erh¨ alt man:

150

11 Die Vorticitygleichung

∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂u +u +v + + +f ∂t ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x −

=−

1 ∂2p , ρ ∂x∂y

∂ ∂u ∂ ∂u ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂f 1 ∂2p ∂ ∂u −u −v − − +f +v =+ , ∂t ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ρ ∂x∂y

und weiter durch Addition dieser beiden Gleichungen ∂ ∂t

∂v ∂u ∂ ∂ + u − +v ∂x ∂y ∂x ∂y

=ζ

∂v ∂v ∂u ∂u + − − ∂x ∂y ∂x ∂y

=ζ

=ζ

∂u ∂v + ∂x ∂y

+

= ∇h · vh = 0 , da ρ = konst.

+ f

∂f ∂u ∂v + v + ∂x ∂y ∂y

= 0.

=0 Es ergibt sich die sogenannte Vorticitygleichung zu: ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂f +u +v +v =0 . ∂t ∂x ∂y ∂y

(11.1)

Da f¨ ur den Coriolis-Parameter f gilt: ∂f /∂t = ∂f /∂x = 0, kann man (11.1) auch in der Form schreiben: ∂ ∂ ∂ {ζ + f } + u {ζ + f } + v {ζ + f } = 0 . ∂t ∂x ∂y Die Summe ζ + f bezeichnet man auch als absolute Vorticity η η =ζ +f .

(11.2)

¨ Damit ergibt sich f¨ ur die zeitliche Anderung der absoluten Vorticity ∂η + vh ∇h η = 0 , ∂t

(11.3)

oder dη =0 . (11.4) dt Die Vorticitygleichung in der Form (11.4) beinhaltet die Aussage, dass in einer horizontalen und divergenzfreien Str¨omung die absolute Vorticity eine Erhaltungsgr¨ oße (konservative Gr¨oße) ist. Untersuchen wir diesen Sachverhalt noch etwas n¨ aher. (11.1) oder (11.4) lassen sich mit der individuellen Zeitableitung f¨ ur die relative Vorticity ζ auch so schreiben:

11.1 Vorticitygleichung f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung

151

.... .... ......... ......... ... .. .. .. .... ... . . ... . . ... ... ... .. .. .. . . ... .. .................................................................. .. ... . .... ... .... . . ... ... .... .... ... . . ... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . .... .. ... ... .. .. .... ... .... .... ... ... .. .. .. .. .. .... .. .... ..... ..... ... .. .. .. . .. ..

v

y

...... ..... ......

......................

... ..... . . . ..

..... ..... ......

u

... ..... . . . ..

.... .... ...... .

...... .... ...... ..... . ....... . . .................... ..

A

B

C

x

Bild 11.1 Teilchenbahn aufgrund des β-Eﬀekts. Im Bereich A ist v > 0 und daher dζ/dt < 0, so dass die Bahn antizyklonaler wird und v mit der Zeit abnimmt; beim ¨ Ubergang zum Bereich B hat sich die Geschwindigkeit nach v < 0 umgekehrt, so dass dζ/dt > 0 und die Trajektorie zun¨achst weniger antizyklonal und anschließend zyklonal wird; im Bereich C gilt wieder v > 0. Dies f¨ uhrt zu einer Pendelbewegung um die Grundstromrichtung herum.

dζ ∂f = −v . dt ∂y

(11.5)

Dies bedeutet, dass sich die relative Vorticity eines Luftpartikels nur dann ¨andern kann, wenn seine Geschwindigkeit eine Komponente in meridionaler Richtung aufweist. Der Term ∂f /∂y tritt nur deshalb in der Vorticitygleichung auf, weil sich aufgrund der Kugelgestalt der Erde der Coriolis-Parameter mit der geographischen Breite ¨andert! Der Eﬀekt der Erdrotation zusammen mit der Kugelgestalt l¨ asst sich an folgendem Beispiel veranschaulichen, das in Bild 11.1 illustriert ist. Wir betrachten ein Teilchen, das sich in einem konstanten Grundstrom, der also keine Vorticity aufweist, von West nach Ost bewegt. Wenn das Teilchen nach Norden ausgelenkt wird, also eine Geschwindigkeitskomponente in meridionaler Richtung erh¨alt, wird sich aufgrund der Beziehung (11.5) die anf¨ angliche Vorticity (hier ζ = 0 vorausgesetzt) verringern, was eine antizyklonale Kr¨ ummung der Teilchenbahn zur Folge hat (Kr¨ ummungsvorticity ζ < 0 ⇒ v). Das Teilchen wird sich so lange auf einer antizyklonalen Bahn bewegen, bis es eine Geschwindigkeitskomponente nach S¨ uden aufweist (v < 0). Dann nimmt die relative Vorticity mit der Zeit zu, die Teilchenbahn wird zun¨ achst weniger antizyklonal bis sie nach Erreichen des Ausgangsbreitenkreises in eine zyklonale Kr¨ ummung u ¨bergeht. Ein einmal ausgelenktes Teilchen wird also um seine urspr¨ ungliche geographische Breite hin- und herpendeln und sich dabei weiter nach Osten bewegen. Der Eﬀekt der Erdrotation zusammen mit der Kugelgestalt der Erde ist demnach die Bevorzugung der zonalen Geschwindigkeitskomponente, d. h. die Stabilisierung des zonalen Grundstromes. Diese stabilisierende Wirkung der Erdrotation nennt man auch den β-Eﬀekt (Dies r¨ uhrt daher, dass man die ¨ Anderung des Coriolis-Parameters f mit der Breite ∂f /∂y mit β bezeichnet.):

152

11 Die Vorticitygleichung

β=

∂f . ∂y

(11.6)

Genaugenommen m¨ ussten hierf¨ ur Kugelkoordinaten verwendet werden, so dass ∂y = r ∂φ und somit β=

1 ∂ 2Ω cos φ f∗ 1 ∂f = 2Ω sin φ = = . r ∂φ r ∂φ r r

In einer Tangentialebene an die Erdkugel, wie in Bild 9.10 dargestellt, wird jedoch der Coriolis-Parameter f = 2Ω sin φ linear approximiert durch f = f0 + β0 y ,

(11.7)

wobei f0 = f (φ0 ) und β0 = β(φ0 ) Coriolis- und β-Parameter in der geographischen Breite φ0 sind, in welcher die Tangentialebene deﬁniert wurde. Eine Koordinatenebene, in der (11.7) gilt, wird wegen ∂f /∂y = β auch β-Ebene genannt. Als Beispiel erh¨alt man unter Verwendung von r = R (R Erdradius) f¨ ur φ0 = 45o einen Wert β ≈ 1,6 · 10−11 s−1 m−1 .

11.2

Stromfunktion und Vorticitygleichung

Die Vorticitygleichung in der Form (11.1) gilt zwar nur f¨ ur den vereinfachten Fall einer zweidimensionalen, divergenzfreien Str¨omung, ist jedoch zur Beschreibung großr¨ aumiger atmosph¨arischer Vorg¨ange sehr n¨ utzlich, wie im n¨ achsten Kapitel gezeigt wird. Will man die Vorticitygleichung f¨ ur bestimmte Probleme l¨ osen, so ben¨ otigt man noch weitere Gleichungen f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten u und v, die ja im Advektionsterm der Vorticitygleichung auftreten. Da die Str¨omung voraussetzungsgem¨aß divergenzfrei sein soll, k¨ onnen wir eine Stromfunktion gem¨ aß (7.27) einf¨ uhren: u=−

∂Ψ , ∂y

v=

∂Ψ . ∂x

Andererseits kann man die Vorticity mit Hilfe von (7.35) durch die Stromfunktion ausdr¨ ucken: ζ = ∇2h Ψ . Zur Beschreibung eines Str¨omungsproblems stehen jetzt also die folgenden zwei Gleichungen zur Verf¨ ugung: ∂Ψ ∂ζ ∂Ψ ∂ζ ∂Ψ ∂f ∂ζ − + + =0 , ∂t ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y

(11.8)

11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung

∂2Ψ ∂2Ψ + =ζ . ∂x2 ∂y 2

153

(11.9)

Man kann daraus auch eine Gleichung f¨ ur die Stromfunktion gewinnen: ∇2h

∂Ψ ∂Ψ ∂ 2 ∂Ψ ∂ 2 ∂Ψ − ∇ Ψ+ ∇ Ψ+β =0 . ∂t ∂y ∂x h ∂x ∂y h ∂x

(11.10)

Die Gleichungen (11.8), (11.9) oder (11.10) sind (bis auf einige Faktoren) bereits diejenigen Gleichungen, die f¨ ur das sogenannte barotrope Modell in der numerischen Wettervorhersage verwendet werden, mit welchen z. B. die zeitliche ¨ Anderung des Geopotentials der 500 hPa-Fl¨ache berechnet werden kann. Praktisch geschieht dies durch die Einf¨ uhrung des geostrophischen Windes und der geostrophischen Vorticity ζg in die Vorticitygleichung: ζg =

∂ug ∂vg − ∂x ∂y

geostrophische Vorticity .

Unter Verwendung des geostrophischen Windes nach (10.1) oder (10.6) ergibt sich: ζg =

1 2 ∇ p ρf

im z-System,

(11.11)

ζg =

1 2 ∇ Φ f

im p-System.

(11.12)

Damit lautet die geostrophische Vorticitygleichung ∂ζg ∂ζg ∂ζg + ug + vg + β vg = 0 ∂t ∂x ∂y

11.3

geostrophische Vorticitygleichung . (11.13)

Die Vorticitygleichung fu omung ¨ r eine dreidimensionale Str¨

Die Vorticitygleichung in der Form (11.1) oder (11.3), (11.4) wurde f¨ ur eine rein zweidimensionale Str¨omung hergeleitet. Die Atmosph¨ are ist hingegen dreidimensional, und obwohl f¨ ur großr¨aumige Bewegungsvorg¨ ange die horizontale Erstreckung sehr viel gr¨oßer ist als die vertikale Ausdehnung, spielen Vertikalbewegungen eine entscheidende Rolle bei der Entstehung großr¨ aumiger Zirkulationen. Man kann aber auch f¨ ur dreidimensionale Vorg¨ ange die Vorticitygleichung verwenden, und zwar f¨ ur horizontale Ebenen in verschiedenen H¨ ohenniveaus. So erh¨ alt man Vorticitygleichungen f¨ ur diese Niveaus, die durch diejenigen Terme miteinander gekoppelt sind, welche die jetzt zugelassene Vertikalgeschwindigkeit enthalten.

154

11 Die Vorticitygleichung

Diese vollst¨ andige Vorticitygleichung erh¨alt man aus den Bewegungsgleichungen f¨ ur die horizontalen Geschwindigkeitskomponenten (9.42) unter Vernachl¨ assigung des Terms f ∗ w durch analoges Vorgehen wie im Falle der zweidimensionalen Vorticitygleichung. L¨asst man noch zus¨atzlich eine variable Dichte zu, so erh¨ alt man als Vorticitygleichung: ∂ζ ∂ζ ∂f ∂w ∂v ∂w ∂u + vh · ∇h ζ + w + (ζ + f )∇h · vh + − +v ∂t ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z

(1)

(3)

(2)

=−

1 k · {∇h p × ∇h ρ} . ρ2

(11.14)

(4)

Die nummerierten Terme der Gleichung (11.14) treten zus¨ atzlich zu denjenigen der zweidimensionalen Vorticitygleichung (11.1) auf. Term (1) gibt die vertikale Advektion von Vorticity an. Term (2), auch Divergenzterm genannt, enth¨ alt die horizontale Geschwindigkeitsdivergenz, welche f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung nicht verschwindet. Der dritte Zusatzterm, (3), wird auch Twistingterm oder Drehterm genannt, weil er Produkte von Geschwindigkeitsscherungen enth¨ alt. Term (4) erh¨ alt man nur f¨ ur eine Str¨omung mit variabler Dichte; er wird Solenoidterm genannt und gibt die Baroklinit¨at der Str¨ omung wieder (siehe Baroklinit¨ atsbedingung (10.16)). ¨ Insgesamt wird die zeitliche Anderung der Vorticity durch zus¨ atzliche Eﬀekte beeinﬂusst, die im wesentlichen die Vertikalstruktur der Atmosph¨ are widerspiegeln. Gleichung (11.14) kann auch in kompakterer Form f¨ ur die absolute Vorticity geschrieben werden: dη = −η∇h · vh − dt

∂w ∂v ∂w ∂u − ∂x ∂z ∂y ∂z

−

1 k · {∇h p × ∇h ρ} . ρ2

(11.15)

Bei der praktischen Anwendung der Vorticitygleichung (11.14) auf großr¨ aumige atmosph¨ arische Ph¨anomene werden meist die Terme (1) und (3) als klein gegen¨ uber den u amlich die Ver¨brigen Termen vernachl¨assigt. Diese enthalten n¨ tikalgeschwindigkeit w, die f¨ ur synoptische Vorg¨ange sehr viel kleiner als die Horizontalgeschwindigkeit vh ist (z. B. |vh | ≈ 10 ms−1 ; w ≈ 0,1 ms−1 ). Gegen¨ uber der Vorticitygleichung f¨ ur eine rein zweidimensionale Str¨ omung (11.1) oder (11.3), (11.3) bewirken noch die Divergenz des horizontalen Geschwin¨ digkeitsfeldes und die Baroklinit¨at eine Anderung des Vorticityfeldes. Dies soll an zwei Beispielen veranschaulicht werden. Betrachten wir zun¨achst den Divergenzterm; w¨ urde nur dieser Eﬀekt wirksam sein, so reduzierte sich (11.14) zu

11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung

155

.................... .............. ... .............. .............. ... .............. ... .............. .............. ..... .............. .............. .... .............. .............. ... ............... ... . ................ .............. ... .. .............. .............. ..... .. .............. .............. .... .............. ... ... .............. .............. ... .. . .............. ... .............. .. . .............. .............. ..... ... .............. .............. .... .............. ............... . . . . . . . . .............. . . . . . . . .... .................. .............. ... ... ...... ..... .............. . ......... ... . .......... . . . . ... . ... . ..... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. .. .. . ... .. .......... ............................ .......... ......... . . . .... . . . ... ..... ... .. . . ... .. ........ . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . ............... ....... . .. ................... ......... ............ .............. .... .. ... ............... .. . . . . ... . . . .............. .. ...... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . .............. .. ........ ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . .............. .. .... .. ......... ...................... . . . . . . . . . . .... . . . . . .............. ... .... ............................... ........... . . . . . . . ... . . . . . . . ................................ . . . . . . . . . . . ... . . .............. .............. ... ............................. ....... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. . . . .............. .............. . . .............. .............. ... . ...... . . .............. ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . .. . . .............. ... .............. .............. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ... .............. .............. .............. .............. .. ....... . . . . .............. .................. . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . .............. .............. .. .............. ... .. ...... . . . . . . . . . . . .. . . . .............. . . . . . . . . . . . ... . . . . . ......... .............. .............. .. ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .............. ............... .. ......... . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .............. .............. ..... .......... .............. .. ........................... ..................... .............. .......... .................. ..... .............. .............. .............. .............. .......... .............. .............. ... ... .............. .......... .............. .............. .. ......... .. .............. 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.............. .............. ..... ..... . ..... .. ........... . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................ ....... .............. ... .............. ..... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . .............. .......... ..... ..... ..... .. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. ..... .............. .............. .............. . ..... .............. ..... ..... ... .............. .. .. ..... ................. ..... ..... ............... ... . . . . . . ... . .............. ..... ..... . .............. . . . . . . . . . .............. . . . .............. .... ..... . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .. .............. ..... ..... . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... .............. .. ..... ..... .............. ..... .............. ..... ..... .. .... . . . .............. . ............. ... .............. . . . . . .... ..... .............. . .............. ..... ..... ....... ... .............. ... .............. ... .... .............. ..... ... .............. .............. ..... . . . .............. .. .... .............. .............. ........... .......

∇h vh > 0 ........ ... ........ ......................................................... ..... .......................... .. .. .... ........ ........... ......... .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . .... .... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ............. ................................................................... .... ..... ...... ∇h vh < 0 ........... ... ........ ...................... .... ..... ....... ................................ . ........ ..... ..... ....... ..... ........ ........... .......................................................................................................................................... ...... ........ ............ ...................................................... ....... . .... ....... ........... ...... .... .. ........ ..... .... .......... .............. .... .... ......... .... .... ....... .... ... .... ... ... .... .... ..... ..... ....................................................................... .............. ........ .. ................. .............. ....................... .............. ........ ......... ......... ....... ..... A ..... ...... ....... N .......... .......... ........... .................... . . .......... ..... .............................................. ....... . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... B ... . . . . . ... O

Bild 11.2 Bildung eines Leeseitentroges durch Divergenz- und β-Eﬀekt an einem von Norden nach S¨ uden verlaufenden Gebirge. Beim Anstr¨omen einer Bodenerhebung (Bereich A) nimmt die Horizontalgeschwindigkeit des Windes zu; die Str¨omung erf¨ahrt eine horizontale Divergenz, und ihre Vorticity wird antizyklonaler. Hinter dem Gebirge (Bereich B) tritt eine Konvergenz auf, und mit dem Auftreten einer meriodionalen Geschwindigkeitskomponente setzt der β-Eﬀekt ein.

dζ = −η∇h · vh . dt Danach w¨ urde die Vorticity zunehmen, also zyklonaler, wenn eine Geschwindigkeitskonvergenz auftritt, und mit der Zeit abnehmen, also antizyklonaler werden, bei einer Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes. Hierbei muss man nat¨ urlich annehmen, dass die absolute Vorticity η, welche ja als Faktor vor der Divergenz steht, immer positiv ist. Dies ist tats¨achlich f¨ ur großr¨ aumige Str¨ omungsvorg¨ ange der Fall, wie man aus einer Absch¨atzung ersehen kann: Es ist f = 10−4 s−1 , ζ ≈ ±Ug /r ≈ 10 ms−1 /1000 km = ±10−5 s−1 und somit ζ/f ≈ ±0,1 und η = f (1 ± ζ/f ) ≈ f (1 ± 0,1) > 0. Wo tritt nun aber eine Divergenz oder Konvergenz des horizontalen Geschwindigkeitsfeldes in der Atmosph¨are auf? Betrachten wir dazu in Bild 11.2 eine Str¨ omung mit konstanter Geschwindigkeit, welche von West nach Ost ein Gebirge u omt, das sich in Nord-S¨ ud-Richtung erstreckt. ¨berstr¨ Die Str¨ omung besitzt zun¨achst voraussetzungsgem¨ aß keine Vorticity. Vor dem

156

11 Die Vorticitygleichung

Gebirge wird die Luft beschleunigt, da die gesamte Luftmasse das Gebirge u ¨berstr¨ omen will, woraus sich aus Kontinuit¨atsgr¨ unden eine Zunahme der Windgeschwindigkeit bei Ann¨aherung an das Gebirge ergibt. Dies bedeutet aber eine Geschwindigkeitsdivergenz, was f¨ ur die Vorticity der einzelnen Str¨ omungsteilchen eine zeitliche Abnahme oder eine negative, antizyklonale Vorticity zur Folge hat. Hinter dem Gebirge werden sich die Luftpartikel jetzt mit einer zus¨ atzlichen S¨ udkomponente weiter nach Osten bewegen, die allerdings durch die Konvergenz reduziert wird. Sobald aber aus der urspr¨ unglich rein zonalen Str¨ omung eine solche mit S¨ udkomponente geworden ist, tritt der β-Eﬀekt (siehe Seite 151) hinzu, welcher eine zyklonale Vorticity¨anderung bewirkt und eine Zonalisierung der Str¨ omung herbeif¨ uhrt. Nimmt man f¨ ur die Ausgangsstr¨ omung eine geostrophische Windgeschwindigkeit an, so verlaufen die Isobaren zun¨ achst breitenkreisparallel, werden aber durch den Divergenzeﬀekt vor dem Gebirge antizyklonal gekr¨ ummt und sp¨ ater durch den β-Eﬀekt wieder zyklonal. Insgesamt ergibt sich also hinter dem Gebirge die Ausbildung eines Troges in der H¨ ohe. Dieses beobachtet man auch auf Monatsmittelkarten z. B. des 700 hPa-Niveaus im Lee der hochreichenden, in Nord-S¨ ud-Richtung verlaufenden Gebirge (z. B. der Rocky Mountains). Die Bildung des großr¨aumigen Leeseitentroges wird in Abschnitt 12.5 nochmals anhand der sogenannten potentiellen Vorticity erkl¨ art. Es soll hier aber noch einmal betont werden, daß die Ausbildung des Leeseitentrogs durch die Kombination von Divergenzeﬀekt und Betaeﬀekt in der Vorticitygleichung (11.14) zustande kommt. Den reinen Eﬀekt des Divergenzterms sieht man am besten f¨ ur den idealisierten Fall einer “Scheibenerde”, bei der keine Variation des Coriolisparameters f mit der geographischen Breite auftritt und somit β = 0. Aus der Vorticitygleichung (11.15) ergibt sich nur f¨ ur die Betrachtung des Divergenztermes: ∂η ∂u + vh · ∇η + w = −η∇h vh ∂t ∂z Wir setzen jetzt station¨are Verh¨altnisse voraus und vernachl¨ assigen die Vertikaladvektion der absoluten Vorticity η. Daraus ergibt sich: vh · ∇h η + η∇h · vh = 0 , oder ∇h · vh η = 0 Unter der vereinfachten Annahme eines konstanten Grundstroms (u = u0 , v = 0) vor dem Gebirge erh¨alt man ζ = −∂u/∂y = 0 und β = ∂f /∂y = 0 und somit: ∂uη = 0. ∂x Die Integration von einem Ort x = x0 weit vor dem Gebirge aus ergibt wegen ζ0 = 0 (η0 = f0 + ζ0 = f0 ) : uη(x) = u0 f0

oder

u(x)f0 + u(x)ζ(x) = u0 f0 und somit:

11.3 Die Vorticitygleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung ζ(x) = f0

157

(u0 − u(x)) u(x)

Auch wenn der genaue Verlauf von ζ(x) vom Verhalten des zonalen Windes u(x) im Bereich des Gebirges abh¨angt, so kann man doch folgendes aussagen: x = x0 : u = u0 → ζ = ζ0 = 0 x = xGipfel : u = umax → ζ = ζmax < 0 x >> xGipfel : u = u0 → ζ = 0 Der Divergenzeﬀekt allein bewirkt also eine antizyklonale Vorticity im Bereich des Gebirges. Stromauf und stromab hat die Str¨ omung keine relative Vorticity (ζ = 0) und die Stromlinien (bei Verwendung der geostrophischen Approximation auch die Isobaren) verlaufen geradlinig. Anschaulich gesprochen w¨ urde ohne den ¨ β-Eﬀekt (Kugelgestalt der Erde) eine zonale Weststr¨ omung nach Uberquerung ¨ eines meridional verlaufenden Gebirges sich in Richtung Aquator verlaufen. Zur Ausbildung des Leeseitentroges muß diese Tendenz durch den β-Eﬀekt nicht nur ausgeglichen sondern sogar u ¨berkompensiert werden. Betrachten wir jetzt die Wirkung der Baroklinit¨ at auf die Vorticity¨ anderung. Wenn sich z. B. an einem festen Ort die Vorticity nur durch den Solenoidterm ¨andern soll, so lautet die Vorticitygleichung: ∂ζ 1 = − 2 k · {∇h p × ∇h ρ} . ∂t ρ Die Vorticity kann sich mit der Zeit ¨andern, wenn Druckﬂ¨ achen und Dichteﬂ¨ achen nicht parallel zueinander liegen, also ∇h p × ∇h ρ = 0. Dies ist aber gerade die Aussage einer nichtbarotropen (10.16), also baroklinen Atmosph¨ are. Der etwas unanschauliche Solenoidterm in obiger Gleichung l¨ asst sich mit Hilfe der Gasgleichung in eine Beziehung f¨ ur den horizontalen Temperaturgradienten umschreiben, von dem wir ja wissen (Abschnitt 10.4), dass er ein Maß f¨ ur die Baroklinit¨ at ist.

−

1 1 k · {∇p × ∇ρ} = k · ∇p × ∇ 2 ρ ρ

=

1 R k · ∇p × ∇T = k × ∇p · ∇T . p ρT

F¨ uhrt man jetzt f¨ ur den Druckgradienten den geostrophischen Wind ein, ergibt sich f¨ ur die Vorticity¨anderung durch Baroklinit¨at: f ∂ζg = vg · ∇T . ∂t T Der Term auf der rechten Seite ist gerade die (geostrophisch approximierte) Temperaturadvektion. Es ergibt sich Warmluftadvektion vg · ∇T < 0 ⇒ ∂ζg /∂t < 0 ζg antizyklonaler , Kaltluftadvektion

vg · ∇T > 0 ⇒ ∂ζg /∂t > 0 ζg zyklonaler .

158

11 Die Vorticitygleichung

In der realen Atmosph¨are wirken aber der Divergenzterm und der Solenoidterm gleichzeitig auf bewegte Luftpartikel. Um den relativen Einﬂuss beider Eﬀekte auf die Vorticity¨ anderung zu bewerten, nehmen wir eine grobe Absch¨ atzung der Gr¨ oßenordnungen vor: Divergenzterm: |vh | = 10 m s−1 , ∇h · vh ≈ |vh |/1000 km =⇒ f ∇h · vh ≈ f · 10−5 s−1 , Solenoidterm:

|vg | = 10 m s−1 , ∇T = 3 K/100 km, T = 300 K =⇒

f vg · ∇T ≈ f · 10−6 s−1 . T

Der Solenoidterm ist etwa um eine Gr¨oßenordnung kleiner als der Divergenzterm, weshalb er in praktischen Anwendungen meist vernachl¨ assigt wird. ¨ Was hat nun die Vorticity¨anderung mit der Anderung des Druckfeldes oder Isohypsenfeldes zu tun, was ja f¨ ur die Wettervorhersage von besonderem Interesse ist? Wir wissen, dass im Tiefdruckgebiet positive, also zyklonale Vorticity und im Hochdruckgebiet negative, also antizyklonale Vorticity herrscht. Demnach sollte eine Zunahme der Vorticity mit einem Druckfall und eine Abnahme der Vorticity mit einem Druckanstieg verkn¨ upft sein. Betrachten wir dazu die geostrophische Vorticity ζg , welche nach (11.11) mit dem Druckfeld als synoptisch beobachtbare Gr¨oße verbunden ist: 1 2 1 ζg = ∇ p= ρf ρf

∂2p ∂2p + ∂x2 ∂y 2

.

Die Kr¨ ummung der Isobarenﬂ¨achen ist also ein direktes Maß der Vorticity. ¨ Ebenso gilt f¨ ur die zeitliche Anderung der Vorticity: 1 ∂ 2 ∂ζg = ∇ p . ∂t ρf ∂t Da die Kr¨ ummung der Druckﬂ¨achen aber auch, wie in Bild 11.3 dargestellt, an¨ gibt, ob man tiefen oder hohen Druck hat, kann aus der Anderung der Kr¨ ummung auf Druckanstieg oder Druckfall geschlossen werden. Somit erh¨ alt man eine Beziehung zwischen Vorticity¨anderung und Druck¨anderung: z ..... z ..... z ..... .. .. .. H T .. .. .. ............... .......................... ...................................... . . . . . . . . . . . . .. ............................ .. ............................................................................................... p1 . .......... p1 .. ... ............................... ... p1 ........................................................... .. .. ..................... ............ .. ................................. .. ............................................................................................... p2 ............. .. p2 . . . p . . . . . . . . ..................... . . . ................................................. .. .. ................................................................................... 2 .. .. ............................................................................................... p3 ....... p ...... . . ............. . . . . . p . . . . . . . 3 3 ..................... .... .. .. ..................... ....................................................................... x ................................................................................................... x ........................................................................ x ∂2p ∂x2

= 0 ⇒ ζg = 0

Bild 11.3

∂2p ∂x2

> 0 ⇒ ζg > 0

Druckfeld und Vorticity

∂2p ∂x2

< 0 ⇒ ζg < 0

11.4 Die linearisierte Vorticitygleichung ∂ζg > 0 : Druckfall , ∂t

11.4

159 ∂ζg < 0 : Druckanstieg . ∂t

Die linearisierte Vorticitygleichung

Die Vorticitygleichung f¨ ur eine zweidimensionale, divergenzfreie Str¨ omung (11.1) ist eine nichtlineare, partielle Diﬀerentialgleichung, deren L¨ osung nur in speziellen F¨ allen analytisch m¨oglich ist. Es soll daher eine vereinfachte Form dieser Gleichung erstellt und dabei gleichzeitig die in der Hydrodynamik h¨ auﬁg verwendete Methode der Linearisierung erl¨autert werden. Wir gehen aus von Gleichung (11.1): ∂ζ ∂ζ ∂ζ +u +v + vβ = 0 . ∂t ∂x ∂y Die Variablen dieser Gleichung werden jetzt aufgespalten in einen Mittelwert (. . .) und in Abweichungen davon (. . .) : u=u ¯ + u ,

u u ¯

F¨ ur die sp¨ater vorzunehmende Linearisierung werden die St¨ orungen als klein gegen¨ uber dem Mittelwert angenommen.

v = v¯ + v , v v¯ ζ = ζ¯ + ζ , ζ ζ¯

Diese Aufspaltung in (11.1) eingesetzt ergibt: ∂ ζ¯ ∂ζ + ∂t ∂t

∂ ζ¯ ∂ζ ∂ ζ¯ ∂ζ +u ¯ + u + u ∂x ∂x ∂x ∂x ¯ ∂ ζ ∂ζ ∂ζ ∂ ζ¯ + v¯ + v + v +¯ v + v¯ β + v β = 0 . ∂y ∂y ∂y ∂y +¯ u

(11.16)

Die unterstrichenen Terme sind Produkte der St¨ orgr¨ oßen. Es wird nun angenommen, dass diese Produkte gegen¨ uber den anderen Termen der Gleichung vernachl¨ assigbar sind, also gleich Null gesetzt werden k¨ onnen. So gilt z. B. aufgrund der Voraussetzungen u u ¯ und v v¯, dass u

∂ζ ∂ζ u ¯ ∂x ∂x

und v

∂ζ ∂ζ v¯ . ∂y ∂y

Dieses Vorgehen nennt man Linearisierung. Es wird ferner vorausgesetzt, dass (11.1) von den mittleren Gr¨oßen allein ebenfalls erf¨ ullt wird:

160

11 Die Vorticitygleichung

∂ ζ¯ ∂ ζ¯ ∂ ζ¯ +u ¯ + v¯ + v¯ β = 0 . ∂t ∂x ∂y

(11.17)

Subtrahiert man (11.17) von (11.16), so ergibt sich als Gleichung f¨ ur ζ : ∂ ζ¯ ∂ ζ¯ ∂ζ ∂ζ ∂ζ +u ¯ + u + v¯ + v + v β = 0 . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y

(11.18)

Dies ist die linearisierte Vorticitygleichung. In ihr treten die Variablen nur noch linear auf, da die mittleren Gr¨oßen als Parameter fest vorgegeben werden. Um eine L¨ osung der linearisierten Vorticitygleichung zu erhalten, werden folgende Vereinfachungen vorgenommen: Es wird ein konstanter Grundstrom in zonaler Richtung angenommen, also ohne Meridionalkomponente. u ¯ = u0 = konstant ,

v¯ = 0

⇒

∂u ¯ ∂¯ v − =0 . ζ¯ = ∂x ∂y

Man erh¨ alt damit aus (11.18): ∂ζ ∂ζ + u0 + v β = 0 . ∂t ∂x Es wird weiter angenommen, dass die St¨orung nur f¨ ur die v-Komponente vorur die St¨orungsvorticity ζ bedeutet dies: handen ist, woraus u = 0 folgt. F¨ ζ = ∂v /∂x. Somit ergibt sich aus obiger Gleichung: ∂ 2v ∂ 2v + u0 2 + v β = 0 . ∂t∂x ∂x F¨ ur die St¨ orgeschwindigkeit v nehmen wir an, dass sie nur von der x-Koordinate abh¨ angt, also keine Variation in y-Richtung aufweist. Zur L¨ osung der v -Gleichung machen wir einen Wellenansatz: v (x,t) = v0 cos

2π (x − ct) L

.

Dabei ist v0 die konstante Amplitude, L die Wellenl¨ ange und c die Phasengeschwindigkeit der Welle. Damit erh¨alt man aus der Vorticitygleichung: !

4π 2 2π 4π 2 (x − ct) = 0 . c − 2 u0 + β v0 cos 2 L L L Diese Gleichung kann nur dann f¨ ur alle x- und t-Werte erf¨ ullt sein, wenn der Ausdruck in der eckigen Klammer verschwindet. Eine L¨ osung ist also nur f¨ ur bestimmte Kombinationen der Parameter u0 , β, L und c m¨ oglich, n¨ amlich f¨ ur c = u0 −

βL2 . 4π 2

(11.19)

11.4 Die linearisierte Vorticitygleichung

161

Dies ist die bekannte, erstmals von C. G. Rossby angegebene Beziehung f¨ ur die Phasengeschwindigkeit von langen Wellen in der Atmosph¨ are. Die Phasengeschwindigkeit h¨angt von der Wellenl¨ ange ab; es herrscht also Dispersion. Aus (11.19) l¨asst sich die Wellenl¨ange der station¨ aren Wellen (c = 0) angeben, also solcher Wellen, die ihre Lage relativ zur Erdoberﬂ¨ ache nicht ¨ andern. Mit c = 0 folgt aus (11.19): "

Lstat = 2π

u0 /β .

(11.20)

Eine Absch¨ atzung der Wellenl¨ange station¨arer Wellen f¨ ur mittlere Breiten ergibt mit u0 ≈ 15 m s−1 und β ≈ 1,5 · 10−11 m−1 s−1 : Lstat ≈ 6,3 · 106 m = 6300 km . Die Wellenl¨ ange station¨arer Wellen betr¨agt also etwa 6000 bis 7000 km. Dies ist um die H¨ alfte mehr als die L¨ange von Zyklonenwellen, weshalb man die oben behandelten Wellen auch als lange Wellen oder Rossby-Wellen bezeichnet. Bei der oben berechneten L¨ange der station¨aren Wellen ergeben sich in mittleren Breiten etwa vier Wellen auf einem Breitenkreis; dies stimmt mit den Beobachtungen u ¨berein. Auf Wetterkarten w¨ urden Rossby-Wellen im Idealfall zur Ausbildung periodischer Tr¨ oge und R¨ ucken im zonalen Druckfeld (auf H¨ ohenwetterkarten im Isohypsenfeld) f¨ uhren, wie in Bild 11.4 schematisch dargestellt ist. Aus der Phasenbeziehung (11.19) ergibt sich, dass alle Wellen, die k¨ urzer sind als die station¨ aren, sich nach Osten verlagern, also in Richtung des Grundstromes. Wellen mit gr¨oßerer Wellenl¨ange als die der station¨ aren verlagern sich nach Westen, also gegen den Grundstrom. Diese sogenannten retrograden Wellen werden aber in der Natur nicht sehr h¨auﬁg beobachtet. Im hier vorgestellten einfachen Fall bestehen Rossbywellen aus periodischen ¨ Anderungen der meridionalen Windkomponente v , welche einem konstanten Grundstrom u ¯ u are ¨berlagert sind. Wodurch werden die in der realen Atmosph¨ diese meridionalen St¨orungen im Windfeld ausgel¨ ost? Eine M¨ oglichkeit besteht ¨ z. B. in der Auslenkung einer zonalen Str¨omung beim Uberstr¨ omen eines in meridionaler Richtung verlaufenden Gebirges, wie in Detail in Kapitel 11.3 anhand des ... ... T .......... . ... ...... ... ...... ... . ................................................................................ .......... . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. .. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ......... . . . . ....... . .. . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... ...... ...........p1 ....... ........ ... ....... ...... ... . ................................................................................ ............................................................................................................................ ................................................................................. ........... ........... .. ...... ......... .......... .. ..... ............................ . ........ ... ......... ........ ........ ..........................p2 ...... .... ... .. ......... . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .................................................................... .......... ................................................................................ ........... ..................................................................... ...... . ........... ........... ...... ........... ......... .. . ...... ............................ ... ......... ........ ........ ........ ..........................p3 .. ...... ...... ... ......... . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . ........ . . .. . . ..... . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ................................. ......... ... ... ..... ... H H . . .. .. . ... ...

.. .. . ... ...

←−−−− L ≈ 6000 km −−−−→

Bild 11.4 Rossby-Wellen im großr¨aumigen Druckfeld

162

11 Die Vorticitygleichung

Divergenzeﬀektes in der Vorticitygleichung diskutiert wurde. Die dort beschriebene Ausbildung des Leeseitentrogs (Bild 11.2) stellt sozusagen die Anregung f¨ ur eine station¨ are Rossbywelle dar, die sich aufgrund des β-Eﬀektes (Bild 11.1) im ¨ weiteren Str¨ omungsverlauf nach Uberquerung des Gebirges einstellt. Die Rossby-Wellen ergaben sich als L¨osung der linearisierten Vorticitygleichung (11.18). Es ist jedoch auch m¨oglich, analytische L¨ osungen der nichtlinearen Vorticitygleichung anzugeben, wobei sich der Grundstrom in meridionaler Richtung ¨ andern kann. Eine solche L¨osung stammt von A. Arakawa (chinesischamerikanischer Meteorologe) und lautet f¨ ur die Stromfunktion: Ψ(x,y,t) = −u0 y + A sin(ay + ε) + B sin {k(x − ct − μy)}

(11.21)

mit den Bedingungen k 2 (1 − μ2 ) = a2 ,

k = 2π/Lx ,

c = u0 − β/a2 .

(11.22)

Der zonale Grundstrom l¨asst sich bestimmen aus: ¯ ∂Ψ = u0 − Aa cos(ay + ε) . (11.23) ∂y Die St¨ orungen in (11.21), die dem Grundstrom (11.23) u ¨berlagert sind, haben die gleiche Struktur wie die Rossby-Wellen, nur sind in diesem Fall die Achsen der Tr¨ oge und R¨ ucken gegen die Meridiane geneigt, was durch die Phasenverschiebung μ bewirkt wird. Eine andere L¨ osung der Vorticitygleichung stammt von dem amerikanischen Meteorologen A. Neamtan: u ¯(y) = −

Ψ(x,y,t) = −u0 y + A sin(ay + ε) + B sin {k(x − ct)} sin(ly) ,

(11.24)

mit k 2 + l2 = a2 ,

k = 2π/Lx ,

l = 2π/Ly ,

c = u0 − β/a2 .

(11.25)

Dies sind zellul¨ are St¨orungen, deren Wellenl¨ange in meridionaler Richtung Ly betr¨ agt und die dem gleichen Grundstrom wie (11.23) u ¨berlagert sind.

11.5

Die Zirkulationsgleichung

In Abschnitt 7.5 haben wir als integrales Maß f¨ ur den gesamten Drehsinn einer Str¨ omung die Zirkulation eingef¨ uhrt, die mit der Vorticity entsprechend (7.25) ¨ in Verbindung steht. Ebenso wie f¨ ur die zeitliche Anderung der Vorticity die Vorticitygleichung (11.1) hergeleitet wurde, kann man auch f¨ ur die Zirkulation eine Gleichung f¨ ur deren Zeitentwicklung aufstellen. Zun¨ achst sei noch einmal an die Deﬁnition der Zirkulation erinnert:

11.5 Die Zirkulationsgleichung

163

C= S

v · ds =

S

vs ds .

(11.26)

Dabei ist S der Weg entlang einer geschlossenen Kurve und vs die Geschwindigkeitskomponente in Richtung des Kurvenvektors s. Mit dem Begriﬀ der Zirkulation verbindet man in der Meteorologie h¨ auﬁg kleinr¨ aumige Systeme wie Land-Seewinde oder Berg-Talwinde, bei denen der Einﬂuss der Coriolis-Kraft in erster N¨aherung vernachl¨ assigt werden kann. Wir gehen daher f¨ ur die Ableitung der Zirkulationsgleichung von den Bewegungsgleichungen in der Form (9.7) aus: dv 1 = −∇Φ − ∇p . dt ρ Die Anwendung des Kurvenintegrals auf diese Gleichung ergibt

dv · ds = − dt

∇Φ · ds −

1 ∇p · ds . ρ

(11.27)

Die linke Seite l¨ asst sich mittels partieller Integration umformen:

dv · ds = dt

d (v · ds) − dt

v·

d (ds) = dt

d (vs ds) − dt

vs

d (ds) , dt

und ergibt sich wegen d(ds)/dt = dvs schließlich zu

dv · ds = dt

d (vs ds) − dt

vs dvs .

Auf der rechten Seite von (11.27) gilt außerdem ∇Φ · ds = dΦ und ∇p · ds = dp. Damit erhalten wir insgesamt

d (vs ds) − dt

v2 d s 2

=−

dΦ −

1 dp . ρ

Da ein geschlossenes Linienintegral u ¨ber ein totales Diﬀerential verschwindet, gilt

v2 d s 2

=

dΦ = 0 ,

¨ und wir erhalten schließlich mit (11.26) f¨ ur die zeitliche Anderung der Zirkulation: d dC = dt dt

vs ds = −

dp . ρ

(11.28)

In welchem Maße sich die Zirkulation ¨andert, h¨angt von der r¨ aumlichen Verteilung des Druckes p und der Dichte ρ ab. Nehmen wir als einfaches Beispiel den Fall konstanter Dichte ρ = ρ0 . Dann verschwindet die rechte Seite von (11.28) wegen

164

11 Die Vorticitygleichung

dp 1 = ρ0 ρ0

dp = 0 ,

so dass man erh¨ alt: dC =0 f¨ ur ρ = konstant . (11.29) dt Die Beziehung (11.29) besagt, dass in einem Medium konstanter Dichte die Zirkulation eine Erhaltungsgr¨oße ist. Diese Aussage ist auch als Kelvinsches Zirkulationstheorem bekannt. Im allgemeinen Fall ist die Dichte nicht konstant. Wir k¨ onnen jedoch f¨ ur atmosph¨ arische Str¨ omungen in die rechte Seite von (11.28) die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase p = ρ RT einsetzen und erhalten dann die Zirkulationsgleichung dC =− dt

RT dp = − p

RT d(ln p) .

(11.30)

Wenn Temperatur- und Druckfeld bekannt sind, kann die rechte Seite von (11.30) bestimmt werden. Als Beispiel sei die Zirkulation in einem Land-Seewind betrachtet, wie in Bild 11.5 dargestellt. Die geschlossene Kurve zur Berechnung des Linienintegrals wird so gew¨ahlt, dass sie sich ausschließlich aus Wegabschnitten mit p = konstant oder T = konstant zusammensetzt. Dann tragen nur die Teilstrecken entlang der Isothermen zum Integral bei, und man erh¨ alt dC p3 = R ln (T3 − T1 ) > 0 dt p1

tags¨ uber .

(11.31)

Geht man von einer zun¨achst ruhenden Atmosph¨ are aus, wie sie sich zu Zeiten fehlender Temperaturgegens¨atze aufgrund der Reibung einstellt, l¨ asst sich aus dem Vorzeichen der Zirkulations¨anderung direkt die Richtung der sich aufbauenden Zirkulation ablesen. Im Fall des Seewinds in Bild 11.5 ist die Zirkulations¨ anderung positiv. d. h. der Temperaturgegensatz zwischen Land und See bewirkt eine Zirkulation, die nahe den Oberﬂ¨achen vom Wasser zum Land gerichtet ist (Seewind) und in gr¨oßeren H¨ohen umgekehrt vom Land zum Wasser (Landwind). Kehrt man in Bild 11.5 die Temperaturverh¨ altnisse um, so dass die Luft – wie in den Nachtstunden – u alter wird als u ¨ber dem Land k¨ ¨ber dem Wasser (T1 > T2 > T3 ), ¨ andert sich auch das Vorzeichen in (11.31): p3 dC = R ln (T3 − T1 ) < 0 dt p1

nachts .

(11.32)

Dann baut sich in Bodenn¨ahe eine Str¨omung vom Land zum Wasser auf, also ein Landwind. In beiden F¨ allen ergibt sich aus der Zirkulationsgleichung (11.30), dass die Zirkulation immer so gerichtet ist, dass in Bodenn¨ ahe (also unter h¨ oherem Druck) eine Str¨ omung vom Kalten zum Warmen erfolgt.

11.5 Die Zirkulationsgleichung

165

Dar¨ uber hinaus best¨atigt (11.30) die bereits in Abschnitt 9.3 getroﬀene Aussage, dass sich eine Luftstr¨omung nur dann einstellt, wenn eine diﬀerentielle Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung vorhanden ist (hier: T1 = T3 ). Die Zirkulation ist dabei so gerichtet, dass das System auf einen Temperaturausgleich zwischen warmen und kalten Gebieten hinwirkt. Die Zirkulationsgleichung l¨asst sich auch auf andere kleinr¨ aumige Windsysteme anwenden, deren Ursache auf horizontale Temperaturunterschiede zur¨ uckzuf¨ uhren ist, wie z. B. der schon erw¨ahnte Berg-Talwind oder der Flurwind im Bereich von St¨ adten. Eine Untergruppe solcher thermischer Windsysteme stelle die so genannten Dichtestr¨ omungen dar. Das Prinzip dieser Str¨omungen, die z. B. im bodennahen Ausﬂuß von Kaltluft aus Schauerwolken zu beobachten sind, soll kurz erl¨ autert werden. Dazu betrachten wir die einfache Situation von zwei Luftmassen unterschiedlicher Temperatur T und Dichte ρ wie in Bild (11.6) dargestellt. Daher gelte: T1 < T2 und ρ1 > ρ2 , d. h. eine kalte Luftschicht (T1 , ρ1 ) mit der vertikalen M¨achtigkeit H schiebt sich mit konstanter Geschwindigkeit U unter eine ruhende, warme Luftmasse (T2 , ρ2 ). Die Anwendung der Zirkulationsgleichung (11.31) auf diese Situation w¨ urde eine Zirkulation im Bereich der Luftmassenfront (Dichtefront) ergeben, die der Land- Seewind Zirkulation in Bild (11.5) entspricht. H¨ auﬁg ist man jedoch lediglich an der Geschwindigkeit U interessiert, mit der sich die Front entlang des Bodens bewegt. Diese kann wie folgt vereinfacht abgesch¨ atzt werden: T1 T2 T ........................................................................................................................................................3....................... p 1 .. . .... .. .. ... ... . .... .. . . ... ... .. ... . .... .. .. .. ... ............................. .. ... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... p2 .... ... .. ... ... .. . ... .... S.... . .. . ... ... ... .. ... . ... ... .... ... . ..... .. .. ... .................... . ......................................................... . ............................................................... . .. . . ......................................................................... p3 ... ... .. .. .. .. ..............................................

.. ...

. ..

.. .. ..

.. .......... .. .. .. .. .. .. .. .. ........... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ............. .. ... ... ......... .. .. .. ... ......... .. .. .. .. .. ....... .............................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ............................................................................................................................................................... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ........................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................. .........................................................................

See

Land

Bild 11.5 Integrationskurve S und resultierende Zirkulation in einem Land-Seewindur System. F¨ ur die Isobaren gilt p1 < p2 < p3 . Die Windrichtung und die Isothermen sind f¨ den Fall skizziert, dass die Landoberﬂ¨ache w¨armer ist als die des Wassers, T1 < T2 < T3 , wie es meist tags¨ uber zutriﬀt.

166

11 Die Vorticitygleichung

Bild 11.6 Schematische Darstellung einer so genannten Dichtestr¨omung. Ein schweres Fluid ρ1 bewegt sich mit der Geschwindigkeit u gegen ein ruhendes, leichteres Fluid ρ2 .

In erster N¨ aherung ist U h¨ohenkonstant, sodaß die entsprechende Bewegungsgleichung als ∂U ∂U ∂P +U (11.33) =− ρ1 ∂t ∂x ∂x geschrieben werden kann. Wir bewegen uns jetzt in einem Koordinatensystem, welches an der Dichtefront ρ1 /ρ2 ﬁxiert ist. In einem solchen mitbewegten System ist die Str¨ omung station¨ar, sodaß (11.33) umgeformt werden kann zu: ρ1

∂ U2 ∂P =− ∂x 2 ∂x

(11.34)

oder wegen ρ1 = konstant zu:

∂ U2 +P ρ1 ∂x 2

=0.

(11.35)

Wir approximieren den Geschwindigkeits- und Druckverlauf im Bereich der Dichtefront durch endliche Diﬀerenzen :

2

ρ1 U2 + P

x

=0.

(11.36)

Durch Umstellen erh¨alt man aus der Bedingung, daß der Windsprung im Frontbereich gerade der Geschwindigkeit U der Kaltluftzunge (ρ1 , T1 ) entspricht: ρ1

U2 = P1 − P2 2

(11.37)

ucke vor und hinter der Front sind. wobei P1 und P2 jeweils die statischen Dr¨ Mit der statischen Grundgleichung lassen sich diese wie folgt von einem Niveau z = H + z oberhalb der Kaltluftmasse H aus bestimmen: P1 = P1 (z) + ρ2 g(z ) + ρ1 gH P2 = P1 (z) + ρ2 gz + ρ2 gH

11.5 Die Zirkulationsgleichung

167

Mit der weiteren Annahme, daß in der H¨ohe z(= H +z ) kein horizontaler Druckgradient herrscht (z. B. die Kaltluftzunge schiebt sich unter eine ruhende, homogene Warmluftmasse), ergibt sich somit f¨ ur die Druckdiﬀerenz: P1 − P2 = g(ρ1 − ρ2 )H und damit aus (11.37) f¨ ur die Frontgeschwindigkeit:

U = 2g

ρ1 − ρ2 H ρ1

1/2

(11.38)

oder wegen (ρ1 − ρ2 )/ρ1 ≈ (T2 − T1 )/T1 :

T2 − T1 U = 2g H T1

1/2

(11.39)

Die Beziehung (11.38) bzw. (11.39) wird in der Literatur h¨ auﬁg zur Absch¨ atzung der Ausbreitungsgeschwindigkeit kleinr¨aumigen Dichte/Temperatur-Fronten verwendet. Nehmen wir als Beispiel die kalten Fallwinde aus einer hochreichenden Schauerwolke, die auf den Erdboden treﬀen und sich dann als Dichtestr¨ omung wie in Bild (dichtestr¨omung) horizontal ausbreiten. Die Dicke der Kaltluft sei mit H = 200 m angenommen. Die Temperatur der Kaltluft betrage 280 K und die der warmen Umgebungsluft 295 K (somit T1 − T2 = −15 K). F¨ ur die Windgeschwindigkeit in der Kaltluft ergibt sich nach (11.39): U = 14 ms−1 . Solche Geschwindigkeiten werden in den so genannten B¨ oenwalzen von Schauerwolken durchaus beobachtet.

12 Gleichungen fu arische ¨ r atmosph¨ Bewegungsvorg¨ ange 12.1

Grundgleichungen

Bevor wir im weiteren auf spezielle atmosph¨arische Ph¨ anomene wie Schall- und Schwerewellen und die Zyklonenentstehung eingehen, soll an dieser Stelle noch einmal zusammengestellt werden, was uns zur Beschreibung solcher Vorg¨ ange an Gleichungen zur Verf¨ ugung steht. Dies sind die Bewegungsgleichungen (9.39) bis (9.41), die Kontinuit¨atsgleichung (8.4) sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik (3.3) und die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase (2.3). Die quantitative Beschreibung von atmosph¨arischen Bewegungsformen erfolgt mittels der Zustandsvariablen, n¨amlich dem Geschwindigkeitsvektor v und den thermodynamischen Variablen Druck p, Dichte ρ und Temperatur T . F¨ ur die zeitliche Entwicklung der Bewegungsvorg¨ange stehen uns die oben genannten prognostischen Gleichungen zur Verf¨ ugung. Diese sollen noch einmal zusammengestellt werden: Bewegungsgleichungen: ∂v 1 + v · ∇v + 2 Ω × v = −∇Φ − ∇p . ∂t ρ Kontinuit¨atsgleichung: ∂ρ + v · ∇ρ = −ρ∇ · v . ∂t Erster Hauptsatz der Thermodynamik: ∂T 1 dp Q˙ + v · ∇T − = . ∂t ρcp dt cp Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase: p = R ρT . Es handelt sich dabei um ein sogenanntes trockenes Gleichungssystem, da der Wasserdampf in der Atmosph¨are nicht mit ber¨ ucksichtigt ist, was sich aber durch eine zus¨ atzliche Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur den Wasserdampf und das Fl¨ ussigwasser korrigieren ließe. Der Einfachheit halber soll hier aber auf die Behandlung der feuchten Atmosph¨ are verzichtet werden. F¨ ur adiabatische Prozesse wird h¨auﬁg auch folgende Form des Ersten Hauptsatzes verwendet:

170

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

dθ ∂θ = + v · ∇θ = 0 . (12.1) dt ∂t Hierbei ist θ die potentielle Temperatur, die mit der aktuellen Temperatur T durch

θ=T

p0 p

R

cp

(12.2)

verkn¨ upft ist. Mit Hilfe des oben aufgestellten Gleichungssystems k¨ onnen wir alle in der Atmosph¨ are vorkommenden Ph¨anomene behandeln, da (abgesehen von der fehlenden Feuchte und der erst in Kapitel 18 hinzugef¨ ugten Reibungskraft) noch keinerlei Einschr¨ ankungen oder Vereinfachungen vorgenommen wurden. Die F¨ ulle der beschreibbaren Vorg¨ange reicht von den Schall- und Schwerewellen (siehe Kapitel 13) bis zu den Zyklonen und Antizyklonen (Kapitel 14) und zur allgemeinen Zirkulation (Kapitel 16). Meist werden die Gleichungen jedoch so weit vereinfacht, dass sie f¨ ur ein spezielles Problem besonders einfach zu handhaben sind. So kann man sich z. B. vorstellen, dass bei der Behandlung synoptischer Vorg¨ ange das Auftreten von Schallwellen von geringer Bedeutung einerseits und hinsichtlich der Komplexit¨ at der Gleichungen andererseits unerw¨ unscht ist. F¨ ur diese großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨ange hat man die Grundgleichungen insoweit vereinfacht, dass sie f¨ ur den praktischen Gebrauch hinsichtlich einer Wettervorhersage handhabbar sind. Dies soll in den n¨achsten beiden Abschnitten verdeutlicht werden.

12.2

Gleichungen fu ange ¨ r synoptische Bewegungsvorg¨

Bei der Behandlung der Bewegungsgleichungen wurde bereits darauf hingewiesen, dass sich f¨ ur synoptische Vorg¨ange die Transformation der Gleichungen in das p-System besonders eignet, da alle routinem¨ aßig erstellten Beobachtungsdaten synoptischer Felder auf Isobarenﬂ¨achen (z. B. 850 hPa, 500 hPa) erfasst werden. Andererseits war dies nur unter der Voraussetzung m¨ oglich, dass die statische Grundgleichung als g¨ ultig vorausgesetzt wurde, was man aber f¨ ur großr¨ aumige atmosph¨ arische Vorg¨ange als praktisch immer erf¨ ullt ansehen kann. Als Konsequenz darf man allerdings die dritte Bewegungsgleichung nicht mehr als prognostische Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit verwenden, so dass nur der Horizontalwind durch eine prognostische Gleichung (Bewegungsgleichung) bestimmt werden kann, w¨ ahrend die Vertikalgeschwindigkeit aus der Kontinuit¨ atsgleichung erhalten wird. Die Gleichungen im p-System (9.60), (9.50) und (9.67) seien hier noch einmal zusammengefasst:

12.2 Gleichungen f¨ ur synoptische Bewegungsvorg¨ ange

171

Bewegungsgleichung: ∂vh ∂vh + vh · ∇h vh + ω + f k × vh = −∇h Φ . ∂t ∂p Statische Grundgleichung: 1 ∂Φ =− . ∂p ρ Kontinuit¨ atsgleichung: ∇h · vh +

∂ω =0 . ∂p

Im Ersten Hauptsatz der Thermodynamik kann man von dem Umstand Gebrauch machen, dass die Vertikalgeschwindigkeit ω im p-System deﬁniert ist durch ω = dp/dt. Damit l¨asst sich der Erste Hauptsatz schreiben als: ∂T 1 ∂T Q˙ + vh · ∇h T + ω − ω= . ∂t ∂p ρcp cp

(12.3)

In der praktischen Anwendung liefern die Radiosonden nicht immer Temperaturmessungen, daf¨ ur aber die H¨ohen der jeweiligen Druckﬂ¨ achen, wobei der Abstand zweier Druckﬂ¨achen (relative Topographie) proportional zur Schichtmitteltemperatur (10.12) ist. Der Zusammenhang zwischen dem Geopotential der Druckﬂ¨ achen und der Temperatur ergibt sich, wenn man die Druck¨ anderungen als hydrostatisch voraussetzt. Es folgt dann aus der Zustandsgleichung: 1/ρ = T R/p und aus der statischen Grundgleichung: 1/ρ = −∂Φ/∂p. Daraus ergibt sich f¨ ur die Lufttemperatur T : p ∂Φ . R ∂p

T =−

(12.4)

Wenn man (12.4) in den Ersten Hauptsatz (12.3) einsetzt, so erh¨ alt man nach Zusammenfassung der Terme, welche die Vertikalgeschwindigkeit enthalten: ∂ ∂t

∂Φ ∂p

+ vh · ∇h

∂Φ ∂p

+σω = −

Q˙ R . cp p

(12.5)

Hierin ist σ der sogenannte Stabilit¨atsparameter: σ≡−

1 ∂θ . ρθ ∂p

Dieser gibt die statische Stabilit¨at der Atmosph¨ are wieder: σ > 0 : ∂θ/∂p < 0 ⇒ ∂θ/∂z > 0 stabile Schichtung , σ < 0 : ∂θ/∂p > 0 ⇒ ∂θ/∂z < 0 labile Schichtung .

(12.6)

172

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

Der Erste Hauptsatz in der Form (12.5) wird haupts¨ achlich in Modellen der numerischen Wettervorhersage verwendet, besonders in denjenigen Modellen, welche die quasi-geostrophische Vorticitygleichung benutzen (siehe Abschnitt 12.3), da sich das Vorhersageproblem damit auf die Prognose von relativer und absoluter Topographie (der Druckﬂ¨achen) reduzieren l¨asst. Auch f¨ ur die Simulation der allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation l¨ asst sich (12.5) in Verbindung mit den Bewegungsgleichungen und der Kontinuit¨ atsgleichung verwenden, da in der diabatischen W¨armezufuhr Q˙ Strahlungsdivergenzen als W¨ armequellen ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen. F¨ ur die kurzfristige Wettervorhersage wird allerdings meist auf die nicht-adiabatischen Eﬀekte verzichtet, so dass sich der Erste Hauptsatz auf adiabatische Temperatur¨ anderungen in der Atmosph¨ are beschr¨ankt. Ein solches vereinfachtes Gleichungssystem soll im n¨achsten Abschnitt behandelt werden.

12.3

Quasi-geostrophische Gleichungen

Wie im vorigen Abschnitt erl¨autert, kann f¨ ur großr¨ aumige atmosph¨ arische Bewegungen die statische Grundgleichung als g¨ ultig angesehen werden, d. h. die Atmosph¨ are beﬁndet sich praktisch im statischen Gleichgewicht. Andererseits haben wir in Kapitel 10 eine sehr einfache Approximation der Bewegungsgleichungen f¨ ur großr¨aumige Str¨omungen kennengelernt, den geostrophischen Wind. Die geostrophische Windbeziehung sagt aus, dass sich Druckkraft und CoriolisKraft im Gleichgewicht beﬁnden, so dass sich der Windvektor eindeutig aus dem Druckfeld bzw. Geopotentialfeld bestimmen l¨asst. In diesem sogenannten geostrophischen Gleichgewicht weht der Wind immer parallel zu den Isobaren, was in der Atmosph¨ are praktisch immer in sehr guter N¨ aherung zu beobachten ist. Dennoch kann man nicht davon ausgehen, dass sich die Atmosph¨ are hinsichtlich großr¨ aumiger Bewegungen immer im geostrophischen Gleichgewicht beﬁndet. W¨are dies der Fall, so k¨onnte es nicht zu einem Druckausgleich zwischen Zyklonen und Antizyklonen kommen, also auch zu keiner Zyklogenese, da ja der Wind immer parallel zu den Isobaren verlaufen w¨ urde, also keine Komponente in Richtung des tiefen bzw. hohen Druckes vorhanden w¨are. Dies soll im folgenden anhand der Bewegungsgleichungen verdeutlicht werden. Gehen wir von den Bewegungsgleichungen im p-System (9.60) aus und ersetzen dort die Druckkraft durch den geostrophischen Wind (10.6), so ergibt sich dvh + f k × (vh − vg ) = 0 . dt (Der Einfachheit halber wird hier und in den folgenden Ableitungen der CoriolisParameter dort als konstant angenommen, f = f0 , wo er bei der geostrophischen Approximation verwendet wird.)

12.3 Quasi-geostrophische Gleichungen

173

W¨ urde man jetzt die geostrophische Approximation als g¨ ultig voraussetzen, m¨ usste man in den Bewegungsgleichungen den Horizontalwind durch den geostrophischen Wind ersetzen, d. h. vh −→ vg . Dann erh¨ alt man aus der Bewegungsgleichung: dvg = −f k × (vg − vg ) = 0 . dt Es ergibt sich, was man ja bereits bei der Herleitung des geostrophischen Windes vorausgesetzt hatte: Der geostrophische Wind ist beschleunigungsfrei. Das ¨ bedeutet aber auch, dass die zeitliche Anderung des Windes verschwindet, also gar keine Entwicklung des Windfeldes m¨oglich ist, wenn man f¨ ur großr¨ aumige Str¨ omungen geostrophisches Gleichgewicht annimmt! ¨ Wodurch kommen nun aber Anderungen der großr¨ aumigen Druckgebilde zustande, wenn man einmal thermodynamische Prozesse und den Einﬂuss der Bodenreibung außer Betracht l¨asst? Spalten wir den horizontalen Windvektor vh einmal in einen geostrophischen Anteil vg und eine Abweichung davon, den sogenannten ageostrophischen Windanteil va auf: vh = vg + va .

(12.7)

Damit ergibt sich f¨ ur die Bewegungsgleichungen: dvh = −f k × va . (12.8) dt Daraus folgt, dass Beschleunigungen des Horizontalwindes durch ageostrophi¨ sche Winde hervorgerufen werden. Oder anders formuliert: Zeitliche Anderungen des Windfeldes (und damit des Druckfeldes) werden durch Abweichungen vom geostrophischen Gleichgewicht verursacht. Dieser wichtige Befund hat noch eine andere Konsequenz, n¨amlich f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit bei großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨ angen. Betrachten wir dazu die Kontinuit¨atsgleichung im p-System und nehmen dort eine Aufspaltung (12.7) des Windes vor ∇h · vh = ∇h · vg + ∇h · va = −

∂ω . ∂p

ur f = Wegen der Divergenzfreiheit des geostrophischen Windes (∇ · vg = 0 f¨ f0 = konstant!) folgt daraus: ∇h · va = −

∂ω . ∂p

(12.9)

Dies bedeutet, dass großr¨aumige Vertikalbewegungen in der Atmosph¨ are durch horizontale Divergenzen des ageostrophischen Windes hervorgerufen bzw. dass ageostrophische Winde durch großr¨aumige Vertikalbewegungen induziert werden.

174

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

Insgesamt besagen die oben gemachten Ausf¨ uhrungen, dass sich die Atmosph¨ are hinsichtlich großr¨aumiger Bewegungen praktisch im geostrophischen Gleichgewicht beﬁndet, die nicht-geostrophischen Windkomponenten jedoch entscheidend f¨ ur die zeitliche Entwicklung von Druck- und Geschwindigkeitsfeldern sind. Diese sogenannten ageostrophischen Vertikalzirkulationen sind auch entscheidend bei der Zyklonenentstehung, auf welche unter dem Stichwort Barokline Instabilit¨ at in Kapitel 14 n¨aher eingegangen wird. Da nun aber die geostrophische Approximation auf einfache Weise erm¨ oglicht, Windfeld und Druckfeld miteinander zu verkn¨ upfen, hat man ein Gleichungssystem f¨ ur großr¨ aumige atmosph¨arische Bewegungen aufgestellt, das die geostrophische Beziehung verwendet, gleichzeitig aber die f¨ ur Entwicklungen wichtigen Divergenzen des Horizontalwindes ber¨ ucksichtigt. Dieses sogenannte quasigeostrophische Gleichungssystem kann aber aus dem vorher Gesagten nicht von den Bewegungsgleichungen ausgehen, sondern verwendet die Vorticitygleichung (11.14) mit folgenden Einschr¨ankungen: Erstens Vernachl¨ assigung des Twistingterms und der Vertikaladvektion und zweitens Annahme, dass im Divergenzterm ζ f0 gilt. Damit lautet die Vorticitygleichung im p-System (der Solenoidterm verschwindet im p-System!): ∂ζ + vh · ∇h ζ + v β = −f0 ∇h · vh . ∂t Die quasi-geostrophische Approximation besteht nun darin, dass man den Horizontalwind und die Vorticity durch den geostrophischen Wert ersetzt außer im Divergenzterm. Man erh¨alt dann die Gleichung: ∂ζg + vg · ∇ζg + vg β = −f0 ∇h · vh , ∂t oder unter Verwendung der Kontinuit¨atsgleichung

(12.10)

∂ζg ∂ω + vg · ∇ζg + vg β = f0 . ∂t ∂p

(12.11)

Hierbei ist die geostrophische Approximation verwendet worden: vg =

1 k × ∇Φ , f0

ζg =

1 2 ∇ Φ , f0

β=

∂f . ∂y

Die Gleichung (12.10) bzw. (12.11) wird als quasi-geostrophische Vorticitygleichung bezeichnet. Sie enth¨alt zus¨atzlich zur geostrophischen Vorticitygleichung (11.13) die Divergenz des Horizontalwindes, welcher seinerseits Vertikalbewegungen induziert, welche dann in der Form (12.11) ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen.

12.3 Quasi-geostrophische Gleichungen

175

Insgesamt hat man bei der quasi-geostrophischen Approximation zwei Variable, n¨amlich das Geopotential Φ und die Vertikalgeschwindigkeit ω. Man ben¨ otigt neben der Vorticitygleichung (12.11) also noch eine weitere Gleichung f¨ ur die zweite Variable. Diese erh¨ alt man aus dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der hydrostatisch approximierten Form (12.5) unter der Voraussetzung adiabatischer Vorg¨ ange, d. h. mit Q˙ = 0, und der Verwendung eines konstanten Stabilit¨ atsparameters, σ = σ0 = konstant:

∂Φ ∂ ∂Φ + vg · ∇ = −σ0 ω . (12.12) ∂t ∂p ∂p Die Vorticitygleichung (12.11) zusammen mit dem Ersten Hauptsatz (12.12) nennt man das quasi-geostrophische Gleichungssystem f¨ ur großr¨ aumige atmosph¨ arische Bewegungen. Hierbei erfolgt die Advektion von Vorticity und Temperatur geostrophisch, w¨ahrend die Entwicklung durch ageostrophische Windfelder erm¨ oglicht wird. Die Atmosph¨ are beﬁndet sich dabei praktisch sowohl im geostrophischen als auch im hydrostatischen Gleichgewicht – eine Annahme, die nur bei großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨ angen gerechtfertigt ist. Deshalb wird das Gleichungssystem (12.11), (12.12) auch nur bei der Beschreibung synoptischer Vorg¨ ange angewendet, etwa bei der Zyklonenentstehung infolge barokliner Instabilit¨ at (siehe Kapitel 14) oder bei der allgemeinen Zirkulation (Kapitel 16). Außerdem bilden die quasigeostrophischen Gleichungen die Grundlage f¨ ur zahlreiche Modelle der numerischen Wettervorhersage. Der Vorteil dieser Gleichungen liegt auf der Hand: Es k¨ onnen die in der Synoptik verwendeten Felder des Geopotentials der Hauptdruckﬂ¨ achen (z.B. 850 hPa, 500 hPa)prognostiziert und außerdem die Schichtmitteltemperatur mit Hilfe der relativen Topographien erhalten werden. Schließlich kann man durch Zusammenfassen der Gleichungen (12.11) und (12.12) eine Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit ω erhalten (die sogenannte ω-Gleichung) und daraus die großr¨ aumigen Vertikalbewegungen bestimmen, was aufgrund von Messungen praktisch gar nicht m¨ oglich w¨are. Auch bei der Analyse synoptischer Vorg¨ ange wird auf die quasi-geostrophische Vorticitygleichung zur¨ uckgegriﬀen. Da in den Gleichungen (12.11) und (12.12) Vertikalableitungen vorkommen, kann damit die vertikale Struktur der Atmosph¨are erfasst werden, insbesondere die Baroklinit¨ at. Deshalb spielt die quasi-geostrophische Vorticitygleichung eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung der baroklinen Instabilit¨ at, welche f¨ ur die Zyklonenentwicklung von fundamentaler Bedeutung ist. Hierbei wird die Gleichung (12.11) als Gleichung f¨ ur das Geopotentialfeld Φ verwendet, wie man sie durch Einsetzen der geostrophischen Beziehungen erh¨ alt: ∂ 2 ∂ω 1 ∂Φ ∂ 2 1 ∂Φ ∂ 2 ∂Φ ∇ Φ− ∇ Φ+ ∇ Φ+ β = f02 . (12.13) ∂t f0 ∂y ∂x f0 ∂x ∂y ∂x ∂p Diese Form der Vorticitygleichung wird in Kapitel 14 die Grundlage der Analyse der baroklinen Instabilit¨at bilden.

176

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

12.4

Die Omega-Gleichung

Die im vorigen Abschnitt abgeleiteten quasi-geostrophischen Gleichungen (12.12, 12.13) enthalten als Variable die Felder des Geopotential φ und der Vertikalgeschwindigkeit (im p-System) ω. Die lokale zeitliche Ableitung wird dabei jeweils auf das Geopotential angewendet, so dass man zwei prognostische Gleichungen f¨ ur φ hat. Die Vertikalgeschwindigkeit ω ließe sich z.B. aus der Vorticitygleichung (12.13) erhalten, in dem die linke Seite u ¨ber die Druckkoordinate integriert wird. Dazu w¨ urde man neben dem Feld des Geopotentials auch dessen zeitliche Entwicklung ben¨ otigen. Dies ist aus Beobachtungen aber praktisch nicht zu realisieren, da dreidimensionale Sondierungen der Atmosph¨ are bestenfalls im Abstand von 6 Stunden (Routinetermine meist nur 00.00 UTC und 12.00 UTC) vorliegen. Aus diesem Grund versucht man durch Kombination von (12.12) und (12.13) ¨ eine Gleichung f¨ ur ω zu erhalten, in welcher die zeitlichen Anderungen von φ nicht mehr auftreten. Diese soll hier kurz hergeleitet werden. Dazu werden die quasi geostrophischen Gleichungen in leicht ver¨ anderter Form noch einmal zusammengestellt:

∂ 1 1 2 ∇2 Φ + vg · ∇ ∇ Φ+f ∂t fo fo

∂Φ ∂ ∂Φ + vg · ∇ ∂t ∂p ∂p

∂ω ∂p

(12.14)

= −σ0 ω .

(12.15)

= fo

¨ Die lokalen zeitlichen Anderungen werden durch folgende Operationen eliminiert: fo ∂/∂p (12.14) − ∇2 (12.15) . Es ergibt sich nach Arrangieren der einzelnen Terme:

f 2 ∂2 ∇ + 0 σ0 ∂p2 2

#

ω=

f0 ∂ vg · ∇ σ ∂p

1 2 ∇ Φ+f f0

$

+

#

$

1 2 ∂Φ ∇ vg · ∇ − . σ0 ∂p (12.16)

Diese Gleichung wird in der Literatur als Omega-Gleichung bezeichnet. In ihr treten keine zeitlichen Ableitungen auf; vielmehr kann das Feld der Vertikalgeschwindigkeit im p-System (ω) zu jedem Zeitpunkt t = t0 aus dem dreidimensionalen Feld des Geopotentials Φ bzw. der geostrophischen Vorticity und dem geostrophischen Wind bestimmt werden. Man nennt eine solche Beziehung daher auch diagnostische Gleichung im Gegensatz zur Vorticitygleichung (12.14), die man wegen der M¨ oglichkeit, daraus eine Vorhersage abzuleiten, auch als prognostische Gleichung bezeichnet.

12.5 Die potentielle Vorticity

177

Formal handelt es sich bei der Omega-Gleichung (12.16) um eine partielle Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung vom Typ einer Poisson-Gleichung. Diese kann bei Kenntnis der rechten Seite und Vorgabe von Randbedingungen im Prinzip nach der Vertikalgeschwindigkeit ω gel¨ost werden (in der Praxis meist nur auf numerischem Weg). An dieser Stelle soll wenigstens eine qualitative Interpretation der Omegagleichung gegeben werden. Nehmen wir als Beispiel das Feld der Vertikalgeschwindigkeit sei durch eine periodische Funktion etwa der Form ω(x, y, p) = W o sin(πp/p0 ) sin k · sin ly gegeben. F¨ ur diesen Fall ergibt sich f¨ ur die linke Seite von 12.16:

f 2 ∂2 ∇ + 0 σ0 ∂p2 2

1 ω =− k +l + σ0 2

2

fo π po

2 !

ω = −α ω .

Die linke Seite von der Omegagleichung ist also angen¨ ahert proportional zu −ω. Der erste Term auf der rechten Seite von (12.16) enth¨ alt die Vertikalableitung der (geostrophischen) Advektion von absoluter Vorticity. Der zweite Term enth¨ alt die zweite Horizontalableitung (Kr¨ ummung) der Temperaturadvektion (es war: ∂Φ/∂p = −RT /p). Diese ist in erster N¨ aherung zur negativen Temperaturadvektion selber proportional. Zusammengefasst kann die Omegagleichung angen¨ ahert wie folgt interpretiert werden: Aufsteigende Bewegung (ω < 0) ∼ Zunahme von positiver Vorticityadvektion mit der H¨ ohe + Warmluftadvektion. Absinkende Bewegung (ω > 0) ∼ Zunahme von negativer Vorticityadvektion mit der H¨ ohe + Kaltluftadvektion.

12.5

Die potentielle Vorticity

Die quasi-geostrophische Vorticitygleichung (12.11) soll dazu verwendet werden, auf die sogenannte potentielle Vorticity kurz einzugehen, die in den vierziger Jahren von dem deutschen Meteorologen H. Ertel (1904–1971) eingef¨ uhrt wurde und seit den letzten Jahren eine Art Renaissance erlebt. Dazu ben¨ otigen wir außer der Gleichung f¨ ur die absolute Vorticity im p-System, ∂η ∂ω + v · ∇η = η , ∂t ∂p

(12.17)

noch den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik f¨ ur adiabatische Prozesse: dθ ∂θ = + v · ∇θ = 0 . dt ∂t Wir diﬀerenzieren (12.18) nach p:

(12.18)

178

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange ∂ ∂θ ∂θ ∂v +v·∇ =− · ∇θ . ∂t ∂p ∂p ∂p

Der Term auf der rechten Seite l¨asst sich aufspalten in ∂vh ∂ω ∂θ · ∇h θ + , ∂p ∂p ∂p wobei der erste Term sich wiederum mit der thermischen Windbeziehung (10.8) zu

∂vh p R · ∇h θ = − k × ∇h T · ∇h θ = − ∂p fp p0

κ

R k · ∇h θ × ∇h θ = 0 fp

ergibt. Wir multiplizieren jetzt (12.17) mit ∂θ/∂p und (12.18) mit η:

η

∂θ ∂η ∂θ ∂θ ∂ω + v · ∇η = η ∂p ∂t ∂p ∂p ∂p

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

∂ ∂θ ∂θ ∂ω ∂θ +η v·∇ = −η ∂t ∂p ∂p ∂p ∂p

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

+

Die Summation beider Gleichungen ergibt schließlich:

∂ ∂θ η ∂t ∂p

+v·∇ η

∂θ ∂p

=0 .

(12.19)

Dies ist die Gleichung f¨ ur die potentielle Vorticity. Letztere wird mit Z oder im Englischen meist mit P V bezeichnet und ist deﬁniert als P V ≡ −η

∂θ . ∂p

(12.20)

(In der Literatur werden auch leicht abweichende Deﬁnitionen der PV verwendet.) Wegen der Eulerschen Zerlegung l¨asst sich (12.19) auch als

d ∂θ η dt ∂p

=0

(12.21)

schreiben. Somit ist die potentielle Vorticity eine Erhaltungsgr¨ oße f¨ ur adiabatische Vorg¨ange. Mit Hilfe der potentiellen Vorticity l¨asst sich auch die Bildung eines Leeseitentrogs hinter großr¨aumigen Gebirgen erkl¨aren, wie bereits in Abschnitt 11.3 im Zusammenhang mit dem Divergenzterm in der Vorticitygleichung diskutiert. Wir betrachten dazu eine Luftmasse zwischen zwei Isothermenﬂ¨ achen θ1 und Δθ ¨ θ2 , die eine anf¨ angliche P V = η1 Δp besitzen. Bei der Uberstr¨ o mung eines Ge1 birges werden die Isothermenﬂ¨achen zusammengedr¨ angt, so dass die Vertikalerstreckung der Luftmasse (im p-System) abnimmt: Δp2 < Δp1 .

12.5 Die potentielle Vorticity

179

...... ζ ...... 1 ζ2 . . . ............................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ............................................................................................................................................................................................. .. ζ3 θ1 ...................... ............ ........... ................ .......... ... ............... ............................................ ......................................................................................................................................................... ................................... ............... ........ ....... ......................................................................................................................................... ............................ ........................ ................ ..... .... .... ........................... .. ..... .... .. ..................................... Δθ, .......Δp2 ............................. Δθ, ........Δp1 .......................... ... ....................................................... . . . . . . . . . . ........ ... ........................................................................................... Δθ, ...Δp3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................... ................ ........ ...... ................. .. ......... .................... θ.2............................... .. . ............. ... ................................................................... .......... . . . ............................ .................... ................... . ........ ..................................................................... ................ . ... ..... .............. ..... ............. .. .. ..... ............... . . ..... . . . . . .... .. ................................... .. ....................... .......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . ... . . . . . . . . . .. ........ .............................. .. ... .... . . . .... .. ... . ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

. .............................................. .. ............................................................... .. .. ... .. ... ... ... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... .

.......... ......... ..... . . . . . . . . . ... ∂θ ................................................. .. = konstant PV = η ... ....... . . . . . . . . ∂p . . . . .. ... ............................................. .... .. . . . . . . . . . . . . . . ..................... ... . .. .. .................................................. .. .......... ........... .................................................. . . ............. ........................................................ . . . . . . . . ............................................................ ................................................................... .....

¨ Bild 12.1 Anderung der Vorticity bei Gebirgs¨ uberstr¨omung. Da f¨ ur die hier dargestellten Isothermenﬂ¨ achen Δθ = Δθ1,2,3 gilt, ergeben sich aus der Erhaltung der potentiellen Vorticity P V = η ∂θ/∂p = konstant wegen Δp2 < Δp1,3 u ¨ber dem Gebirge Minima der absoluten und relativen Vorticity: η2 < η1,3 bzw. ζ2 < ζ1,3 .

Es ergibt sich wegen der Erhaltung der potentiellen Vorticity gem¨ aß (12.21): η

Δθ ∂θ = konstant = η1 ∂p Δp1

und somit u ¨ber dem Gebirge η2

Δθ Δθ = η1 . Δp2 Δp1

Wegen Δp2 < Δp1 ergibt sich f¨ ur η2 : η2 = η1

Δp2 < η1 . Δp1

Die absolute Vorticity ist also u om¨ber dem Gebirge geringer als in der Anstr¨ ebene. Wegen η = f + ζ ergibt sich f¨ ur die relative Vorticity: η2 − η1 = ζ2 − ζ1 < 0 und somit ζ2 < ζ1 . ¨ Die Str¨ omung wird also beim Uberstr¨ omen des Gebirges antizyklonaler, ein Ergebnis, das bereits in Abschnitt 11.3 erhalten wurde und in Bild 12.1 noch einmal schematisch dargestellt ist.

180

12.6

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

Energiegleichungen fu are ¨ r eine reibungsfreie Atmosph¨

Im folgenden interessieren wir uns f¨ ur eine zeitliche Ver¨ anderung von kinetischer, innerer und potentieller Energie in einer atmosph¨ arischen Str¨ omung. Wir deﬁnieren die einzelnen Energiearten wie folgt: 1 Ek = ρv2 2

kinetische Energie (pro Volumen) ,

Ei = cv ρT

innere Energie (pro Volumen) ,

Ep = ρΦ

potentielle Energie (pro Volumen) .

Bei der Aufstellung von Energiegleichungen ist es zweckm¨ aßig, diese in der Form einer sogenannten Bilanzgleichung zu erhalten. Dazu gehen wir von der allgemeinen Erhaltungsgleichung f¨ ur eine skalare Gr¨ oße φ aus: ∂φ + v · ∇φ = Q . ∂t Dar¨ uber hinaus ben¨otigen wir die Kontinuit¨atsgleichung in der Form

(12.22)

∂ρ + ∇ · vρ = 0 . (12.23) ∂t Der zweite Term in (12.23) stellt die Divergenz des Massenﬂusses f¨ ur ein Einheitsvolumen dar. Eine Bilanzgleichung f¨ ur φ enth¨alt ¨ ahnlich wie (12.23) die Divergenz des Flusses von φ anstelle der Advektion wie in (12.22). Multipliziert man (12.22) mit ρ und (12.23) mit φ, so ergibt sich durch die Addition

ρ· φ·

∂φ + v · ∇φ = Q ∂t ∂ρ + ∇ · vρ = 0 ∂t

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

+

die Bilanzgleichung ∂ (ρφ) + ∇ · v(ρφ) = ρQ ∂t

Bilanzgleichung .

(12.24)

Die Bilanzgleichungen f¨ ur die einzelnen Energiearten Ek , Ei und Ep erh¨ alt man wie folgt. Zun¨ achst behandeln wir die kinetische Energie 12 ρv2 . Wir gehen von den Eulerschen Bewegungsgleichungen im rotierenden Koordinatensystem (9.39) aus: ∂v 1 + v · ∇v + 2 Ω × v = − ∇p − ∇Φ . ∂t ρ

12.6 Energiegleichungen f¨ ur eine reibungsfreie Atmosph¨ are

181

Die Multiplikation dieser Gleichung mit v ergibt ∂ v2 v2 1 +v·∇ = − v · ∇p − v · ∇Φ . (12.25) ∂t 2 2 ρ Dies ist bereits eine Form der Energiegleichung, allerdings f¨ ur die kinetische Energie pro Masseneinheit, 12 v2 . Die Bilanzform f¨ ur die kinetische Energie pro Volumeneinheit, 12 ρv2 , erh¨alt man aus der Multiplikation von (12.25) mit ρ und der atsgleichung (12.23) mit v2 und anschließender Addition, wie oben f¨ ur Kontinuit¨ den allgemeinen Fall einer skalaren Gr¨oße φ vorgef¨ uhrt. Man erh¨ alt schließlich als Gleichung f¨ ur die kinetische Energie:

1 2 ∂ 1 2 ρv + ∇ · v ρv = −v · ∇p − ρ v · ∇Φ . (12.26) ∂t 2 2 Bei der Herleitung der Bilanzgleichung f¨ ur die innere Energie cv ρT gehen wir vom Ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der Form cv

dT p dρ − 2 =Q dt ρ dt

aus. Hierbei sollen mit Q die diabatischen W¨armequellen und -senken bezeichnet werden. Ersetzt man den zweiten Term durch die Kontinuit¨ atsgleichung dρ/dt = −ρ∇v, so erh¨ alt man p ∂ (cv T ) + v · ∇(cv T ) + ∇ · v = Q . (12.27) ∂t ρ Das weitere Vorgehen ist analog zur Herleitung von (12.26): Man multipliziert (12.27) mit ρ und addiert dazu die mit cv T multiplizierte Kontinuit¨ atsgleichung (12.23). Mit einigen weiteren Umformungen erh¨alt man schließlich ∂ (cv ρT ) + γ∇ · v cv ρT = v · ∇p + ρQ . ∂t

(12.28)

Dabei ist γ = cp /cv . F¨ ur das Geopotential Φ = gz haben wir noch keine prognostische Gleichung der Form (12.22) aufgestellt. Um sie zu erhalten, beachten wir, dass sich das Geopotential am festen Ort nicht ¨andert: ∂Φ/∂t = 0. Zu dieser Beziehung addieren wir eine Identit¨ at:

∂Φ ∂t

= 0 v · ∇Φ = v · ∇Φ

∂Φ + v · ∇Φ = v · ∇Φ . ∂t

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

+

182

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

Eine Bilanzgleichung f¨ ur die potentielle Energie ρΦ erhalten wir wiederum durch Multiplikation dieser Gleichung mit ρ und von (12.23) mit Φ und anschließender Addition: ∂ (ρΦ) + ∇ · vρΦ = ρv · ∇Φ . (12.29) ∂t Die Energiegleichungen (12.26), (12.28) und (12.29) werden jetzt noch einmal zu¨ sammengestellt, um die Uberg¨ ange zwischen den einzelnen Energiearten deutlich zu machen. ∂ Ek : ∂t

ρv2 2

+ ∇·v

ρv2 2

= −v · ∇p −ρ v · ∇Φ ,

∂ (cv ρT ) + γ ∇ · v(cv ρT ) = +v · ∇p ∂t

Ei :

∂ (ρ Φ) ∂t

Ep :

∇ · v(ρΦ)

+

zeitliche ¨ Anderung der Energie am festen Ort

+ ρQ ,

(12.31)

+ρ v · ∇Φ .

=

Divergenz des Energieﬂusses

(12.30)

(12.32)

Transformationen, Energie¨ d. h. Anderung einer Produktion oder Energieart zugunsten -vernichtung einer anderen

Die in den Energiegleichungen mit Energietransformationen bezeichneten Terme treten bei verschiedenen Energiearten jeweils mit entgegengesetzten Vorzeichen auf. Sie k¨ onnen zur Ver¨anderung der Gesamtenergie (E = Ek +Ei +Ep ) nicht beitragen, da sie sich bei der Summation gegenseitig wegheben. Diese Transformationsterme geben an, wie sich eine Energieart zugunsten einer anderen ¨ andert. Betrachten wir dazu als Beispiel den Term ρv · ∇Φ. Dieser l¨ asst sich wegen ¨ Φ = gz auch als ρwg schreiben. Die Anderung von kinetischer und potentieller Energie aufgrund dieser Transformation l¨asst sich darstellen als ∂Ek ∂t

= −ρ wg ,

∂Ep = +ρ wg . ∂t Physikalisch bedeutet dies: Findet eine Aufw¨artsbewegung statt (w > 0), so verringert sich die kinetische Energie zugunsten der potentiellen Energie (∂Ek /∂t < 0, ∂Ep /∂t > 0). Eine Aufw¨artsbewegung ist mit einer Hebung des Schwerpunktes der Luftmasse verbunden, was ja eine Erh¨ohung der potentiellen Energie darstellt. Abw¨ artsbewegungen (w < 0) f¨ uhren zu einer Schwerpunktsenkung. Die dabei freiwerdende potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt.

12.7 Die Boussinesq-Approximation

183

Es soll hier noch erw¨ahnt werden, dass die Energietransformationen nicht immer eindeutig zwischen bestimmten Energiearten stattﬁnden, so dass es auf die jeweiligen Einschr¨ankungen f¨ ur das physikalische System ankommt (z. B. homogene Atmosph¨ are, G¨ ultigkeit der statischen Grundgleichung). Bilden wir aus den Gleichungen (12.30) bis (12.32) die Bilanz f¨ ur die Gesamtenergie des Systems, so ﬁnden wir: ∂E + ∇ · v E = ρQ , E = Ek + Ei + Ep . (12.33) ∂t F¨ ur ein abgeschlossenes System, dem weder Energie zugef¨ uhrt noch entzogen wird (Q = 0), erh¨ alt man als Gesamtenergie ∂E +∇·vE = 0 . (12.34) ∂t Betrachten wir jetzt ein abgeschlossenes Luftvolumen V , so ergibt sich f¨ ur die Gesamtenergie unter Verwendung des Integralsatzes von Gauß ∂ ∂t

V

E dV = −

∇ · vE dV = −

V

vE · dF = 0 .

(12.35)

F

Letzteres folgt aus der Bedingung, dass in einem abgeschlossenen Volumen V keine Fl¨ usse durch die Volumenoberﬂ¨ache F stattﬁnden, die Normalgeschwindigkeit dort also verschwindet. (12.35) best¨atigt die Erhaltung der Gesamtenergie eines abgeschlossenen Luftvolumens, wenn keine Quellen oder Senken vorhanden sind.

12.7

Die Boussinesq-Approximation

Im folgenden soll eine spezielle Form f¨ ur die Bewegungsgleichungen hergeleitet werden, bei der eine Str¨omung als inkompressibel behandelt wird, Dichteunterschiede jedoch f¨ ur die Archimedischen Auftriebskr¨ afte ber¨ ucksichtigt werden. Dies bedeutet, dass die Kontinuit¨atsgleichung in der Form ∇·v = 0 verwendet werden kann. Dazu deﬁnieren wir zun¨achst einen Grundzustand f¨ ur ein Medium (etwa die Atmosph¨ are), bei dem sich Druck, Dichte und Temperatur nur mit der H¨ ohe ur diesen Grundzustand, der mit dem Index 0 bezeichnet wird, ¨andern sollen. F¨ sollen die statische Grundgleichung und die Gasgleichung gelten: ∂p0 (z) = −g ρ0 (z) , ∂z

p0 = Rρ0 T0 .

Die aktuellen Werte von Druck, Dichte und Temperatur k¨ onnen zerlegt werden in deren Grundzustand und Abweichungen davon:

184

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange p(x,y,z,t) = p0 (z) + p∗ (x,y,z,t) , ρ(x,y,z,t) = ρ0 (z) + ρ∗ (x,y,z,t) , T (x,y,z,t) = T0 (z) + T ∗ (x,y,z,t) .

Wir gehen von der mit der Dichte ρ multiplizierten Bewegungsgleichung aus:

ρ

dv + 2 Ω × v = −ρgk − ∇p . dt

(12.36)

Darin nehmen wir die oben deﬁnierte Aufspaltung von Dichte und Druck in Grundzustand und Abweichung vor und ber¨ ucksichtigen, dass gilt: ρ = ρ0 + ρ∗ = ∗ ρ0 (1 + ρ /ρ0 ):

ρ0 1 +

ρ∗ ρ0

dv + 2 Ω × v = −ρ0 gk − ρ∗ gk − ∇p0 − ∇p∗ dt

(12.37)

F¨ ur den Druckgradienten des Grundzustandes gilt vereinbarungsgem¨ aß: ∂p0 ∂p0 = =0 ∂x ∂y und ∂p0 = −gρ0 . ∂z Damit heben sich der erste und dritte Term auf der rechten Seite von (12.37) auf. Wir setzen jetzt voraus, dass die Abweichungen von Dichte, Druck und Temperatur klein gegen¨ uber dem Grundzustand sind, d.h. es gelte z.B. ρ∗ ρ0 und ∗ somit ρ /ρ0 1. Damit erh¨alt man schließlich aus (12.37): ρ∗ dv 1 + 2 Ω × v = − g k − ∇p∗ . dt ρ0 ρ0

(12.38)

Dies ist die sogenannte Boussinesq-Approximation der Bewegungsgleichungen (benannt nach dem franz¨osischen Physiker J. Boussinesq, 1841–1898). Den Term ρ∗ /ρ0 g k bezeichnet man als Auftriebsterm, da Dichteunterschiede in Richtung der Erdbeschleunigung Vertikalbewegungen hervorrufen k¨ onnen. Bevor die physikalische Bedeutung der Boussinesq-Approximation n¨ aher erl¨ autert wird, soll noch folgende Umformung des Auftriebsterms vorgenommen werden. Aus der logarithmischen Diﬀerentiation der Gasgleichung p = ρ RT ergibt sich die Beziehung dp dρ dT = + p ρ T

⇒

Δp Δρ ΔT ≈ + . p ρ T

Setzen wir ann¨ ahernd Δp = p−p0 = p∗ , Δρ = ρ−ρ0 = ρ∗ und ΔT = T −T0 = T ∗ , so ergibt sich schließlich

12.7 Die Boussinesq-Approximation p∗ ρ∗ T ∗ ≈ + p0 ρ0 T0

185 ⇒

ρ∗ p∗ T∗ − ≈− . ρ0 p0 T0

Mit den weiteren (im allgemeinen g¨ ultigen) Voraussetzungen ρ∗ p∗ , p0 ρ0

T∗ θ∗ ≈ , T0 θ0

wobei θ die potentielle Temperatur ist, ergibt sich f¨ ur den Auftriebsterm: −

T∗ θ∗ ρ∗ gk = + gk = + g k . ρ0 T0 θ0

Da die Temperatur eine einfacher messbare Gr¨ oße ist als die Dichte, verwenden wir f¨ ur meteorologische Betrachtungen die Temperaturform des Auftriebsterms, womit die Boussinesq-Form der Bewegungsgleichungen nunmehr lautet: dv θ∗ 1 + 2 Ω × v = gk − ∇p∗ . dt θ0 ρ0

(12.39)

Der Auftriebsterm tritt nur in der Bewegungsgleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w auf. Der Einﬂuss der Auftriebskr¨ afte sei am Beispiel der Vertikalgeschwindigkeit eines Luftteilchens dargestellt, wobei hier alle anderen Kr¨ afte unber¨ ucksichtigt bleiben: θ∗ θ − θ0 dw = g= g. dt θ0 θ0 (a) θ∗ > 0, d. h. Teilchentemperatur gr¨oßer als die des Grundzustandes bedeutet dw/dt > 0, also Aufw¨artsbewegung. (b) θ∗ < 0, d. h. Teilchentemperatur geringer als die des Grundzustandes bedeutet dw/dt < 0, also Abw¨artsbewegung. Die Boussinesq-Approximation der Bewegungsgleichungen (12.38) erlaubt es, Dichteunterschiede in einer Str¨omung u ucksichtigen. ¨ber die Temperatur zu ber¨ Die Luftdichte taucht als zeitlich variable Gr¨oße aber auch in der Kontinuit¨ atsgleichung (8.2) auf. Daher muss im Sinne der Boussinesq-Approximation auch diese Gleichung entsprechend linearisiert werden. Mit der oben gemachten Aufspaltung der Dichte, ρ = ρ0 + ρ∗ , ergibt sich f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung:

ρ∗ ∂ ρ0 1 + ∂t ρ0

= −∇ · v ρ0 1 +

Mit der Voraussetzung ρ∗ /ρ0 1 erh¨alt man: ∂ρ0 = −∇ · v ρ0 . ∂t

ρ∗ ρ0

.

(12.40)

186

12 Gleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Bewegungsvorg¨ ange

Da der Grundzustand ρ0 sich nicht mit der Zeit ¨andern soll und nur von der H¨ ohe z abh¨ angt, ergibt sich schließlich: ∇ · vρ0 = ρ0 ∇ · v + w

∂ρ0 =0. ∂z

(12.41)

Diese Form der Kontinuit¨atsgleichung bezeichnet man auch als anelastische Approximation. Wenn man nur kleine H¨ohenintervalle betrachtet und in denen die Dichte des Grundzustandes als ann¨ahrend h¨ohenkonstant annimmt (∂ρ0 /∂z ≈ 0), so erh¨ alt man aus (12.41): ∇·v =0 .

(12.42)

Sowohl in der Form (12.41) als auch in (12.42) ist die Dichte zeitlich nicht variabel. Damit k¨ onnen in den Boussinesq-Approximation Gleichungen auch keine Schallwellen (Kompressionswellen) auftreten, wie sie in Kapitel 13.2 noch behandelt werden. Die Boussinesq-Approximation wird in der Meteorologie sehr h¨ auﬁg zur Beschreibung kleinr¨aumiger Ph¨anomene wie Schwerewellen oder thermische Konvektion verwendet (siehe Kapitel 13.3 und 14.4).

13 Wellen in der Atmosph¨ are 13.1

Periodische Bewegungen in der Atmosph¨ are: Wellen

Neben der Vielfalt von Str¨omungsformen treten in der Atmosph¨ are auch periodische Bewegungen – Wellen – auf, wobei die Schallwellen und die Leewellen hinter Gebirgen am gel¨auﬁgsten sein d¨ urften. Im Prinzip treten drei verschiedene Arten von Wellen auf: solche, deren Schwingungsebene in der Ausbreitungsrichtung liegt (Schallwellen), solche, deren Schwingungen in vertikaler Richtung bei einer horizontalen Ausbreitungsrichtung erfolgen (Schwerewellen) und diejenigen mit horizontaler Schwingungsebene und Ausbreitungsrichtung (Tr¨ agheitswellen, Rossby-Wellen). Die letzteren sind schon bei der L¨osung der linearisierten Vorticitygleichung behandelt worden, weshalb im folgenden nur noch auf Schallwellen und Schwerewellen eingegangen wird. Die Untersuchungsmethode ist die gleiche wie bei den Rossby-Wellen: Man linearisiert die den Wellenerscheinungen zugrundeliegenden Gleichungen, macht f¨ ur diese dann einen Wellenansatz und erh¨ alt die Phasengeschwindigkeit der betreﬀenden Wellenart. Zun¨ achst seien noch einmal einfache Wellenparameter am Beispiel einer Temperaturwelle dargestellt. Im Prinzip sind Wellen nichts anderes als periodische Ph¨ anomene in Raum und Zeit. Hier wollen wir uns auf eine eindimensionale Welle beschr¨ anken und nehmen an, dass sich diese in x-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit c bewegt, wie in Bild 13.1 dargestellt. Die Temperaturwelle hat dann die Form:

2π (x − ct) + φ0 . (13.1) L Dabei ist T0 ein konstanter Basiswert, um den es Temperaturschwankungen der Form Ta sin(2π/L(x − ct) + φ0 ) gibt. Ta ist dabei die Wellenamplitude, L die T (x,t) = T0 + Ta sin

... T ..... ............................................................................................ L ............................................................................................ ... .t .. ...... .. ................................................ .........t + Δt .......................... . . . . . . . . . .. . .. . ... .... ... ............. ............................. .... ... ...... .... ... ... ... .. ... .... ... ..... .... . . ... ... ... ... T0 .... . .. .. ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ..... .... ... . . . . . . . . . .... .. ... . ..... ... ..... ... .. . ........ .......... .... ....................... .. ..... ... .. ... . . . . . . .................................... ..................................... .. ... Δx = c Δt .. .. ........................................................................................................................................................................................................... x

Bild 13.1 Zur Deﬁnition der Wellenparameter

188

13 Wellen in der Atmosph¨ are

Wellenl¨ ange, c die Phasengeschwindigkeit und φ0 eine Phasenverschiebung gegen den Nullpunkt (x = 0). Da letztere durch Koordinatenverschiebung beliebige Werte annehmen kann, ohne den Charakter der Welle zu ver¨ andern, lassen wir sie im folgenden außer Betracht. Anstelle der Wellenl¨ ange L wird auch h¨ auﬁg die Wellenzahl k verwendet: 2π Wellenzahl . (13.2) L Die Phasengeschwindigkeit c gibt die Verlagerung von Wellenbergen und -t¨ alern mit der Zeit an. In Bild 13.1 ist die Welle zu einem festen Zeitpunkt t = t0 als durchgezogene Linie dargestellt; zum Zeitpunkt t0 + Δt ist sie um Δx = cΔt in positive x-Richtung verschoben gezeigt (gestrichelte Linie). Was registriert nun ein Temperaturmessger¨at, das an einem festen Ort x = x0 ¨ installiert ist? Betrachten wir dazu die lokale zeitliche Anderung ∂T /∂t beim Durchgang der Welle. Wir erhalten ∂T 2π cTa x − ct =− cos 2π ∂t L L oder 2π cTa ct x ∂T =− cos 2π − 2π . ∂t L L L Am festen Ort x = x0 beobachten wir eine periodische Temperaturschwankung mit der Schwingungsdauer τ k=

τ = L/c oder mit der Kreisfrequenz ω ω = 2π/τ . Somit ergibt sich 2π c L

(13.3)

ω = kc .

(13.4)

ω= oder mit der Wellenzahl k

Dies ist die sogenannte Frequenzbeziehung f¨ ur einfache, sinusf¨ ormige Wellen. Somit kann die Welle auch wie folgt dargestellt werden: T (x,t) = T0 + Ta sin(kx − ωt) . Im allgemeinen Fall k¨onnen sich Wellen in alle drei Raumrichtungen ausbreiten. Mit der Deﬁnition eines Wellenzahlvektors k und einer vektoriellen Phasengeschwindigkeit c l¨ asst sich z. B. die Temperaturwelle allgemein schreiben als T (x,t) = T0 + Ta sin (k · (x − ct)) .

(13.5)

13.2 Schallwellen

13.2

189

Schallwellen

Schallwellen sind Druckwellen, bei denen die Luft in Ausbreitungsrichtung periodisch komprimiert wird, wobei die Volumen¨anderung nicht durch W¨ armezufuhr erfolgt, sondern durch Kompression, d. h. adiabatisch. Im folgenden sollen der Einfachheit halber eindimensionale Schallwellen betrachtet werden. Die Ausbreitungsrichtung soll hierbei in Richtung der x-Achse verlaufen. Die zugrundeliegenden Gleichungen sind die Bewegungsgleichung (nur u-Komponente), die Kontinuit¨ atsgleichung und eine spezielle Form des Ersten Hauptsatzes f¨ ur adiabatische Vorg¨ ange. Sie lauten: ∂u ∂u 1 ∂p +u =− , ∂t ∂x ρ ∂x

(13.6)

∂ρ ∂u ∂ρ +u = −ρ , ∂t ∂x ∂x

(13.7)

cp dρ cv dp = . ρ dt p dt

(13.8)

Mit Hilfe von (13.8) kann aus der Kontinuit¨atsgleichung (13.7) die Dichte elimi¨ niert werden, so dass man eine Gleichung f¨ ur die zeitliche Anderung des Druckes erh¨ alt: ∂p ∂p ∂u +u = −γ p , ∂t ∂x ∂x

γ=

cp . cv

(13.9)

Die Gleichungen (13.6) und (13.9) werden jetzt linearisiert. Zun¨ achst setzt man u(x,t) = u ¯ + u (x,t) ,

p(x,t) = p¯ + p (x,t) ,

ρ(x,t) = ρ¯ + ρ (x,t) .

Die Linearisierung erfolgt analog zum Vorgehen bei der Vorticitygleichung (Abschnitt 11.4), und man erh¨alt unter der weiteren Voraussetzung, dass die Mittelwerte u ¯, p¯ und ρ¯ r¨ aumlich konstant sind, als linearisierte Gleichungen: ∂u 1 ∂p ∂u +u ¯ =− , ∂t ∂x ρ¯ ∂x

(13.10)

∂p ∂u ∂p +u ¯ = −γ p¯ . (13.11) ∂t ∂x ∂x Diese beiden St¨orungsgleichungen kann man durch Diﬀerentiation und Zusammenfassen zu einer Gleichung f¨ ur den St¨ordruck p umformen: 2 ∂ 2 p p¯ ∂ 2 p ∂ 2 p 2∂ p + u ¯ + 2¯ u = γ . ∂t2 ∂t∂x ∂x2 ρ¯ ∂x2

(13.12)

190

13 Wellen in der Atmosph¨ are

F¨ ur p wird ein Wellenansatz gemacht: p (x,t) = p0 sin k(x − ct) . Dieser ergibt in (13.12) eingesetzt eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c der Schallwellen:

p¯ k 2 c2 − 2 u ¯k 2 c + u ¯2 k 2 − γ k 2 ρ¯

p0 sin k(x − ct) = 0 .

Da diese Gleichung f¨ ur alle x, t gelten soll, muss die Determinante verschwinden. Somit erh¨ alt man aus dem Klammerausdruck eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Phasengeschwindigkeit der Schallwellen, also die Schallgeschwindigkeit c:

c=u ¯±

γ

p¯ , ρ¯

(13.13)

oder mit der Gasgleichung p¯ = R ρ¯T¯: c=u ¯±

"

γRT¯ .

(13.14)

Die Schallgeschwindigkeit h¨angt nicht von der Wellenl¨ ange der Schallwellen ab, sondern lediglich von der mittleren Lufttemperatur. F¨ ur u ¯ = 0 und T¯ = 273 K ergibt sich c ≈ 330 m s−1 . Die Schallgeschwindigkeit ist gegen¨ uber der mittleren Windgeschwindigkeit u ¯ um ein Vielfaches gr¨oßer, selbst bei u ¯ = 30 m s−1 noch um eine Gr¨ oßenordnung. Obwohl die Schallwellen f¨ ur die atmosph¨arischen Str¨ omungen praktisch ohne Bedeutung sind, spielen sie doch bei der numerischen Wettervorhersage eine wichtige Rolle: Da sie als L¨osungen in den Bewegungsgleichungen enthalten sind, treten sie auch bei der numerischen Behandlung dieser Gleichungen auf. Dies f¨ uhrt aber zu gr¨ oßeren Schwierigkeiten bei der praktischen Durchf¨ uhrung der Vorhersage, weshalb man die Ausgangsgleichungen dergestalt vereinfachen muss, dass keine Schallwellen mehr auftreten k¨onnen. Diese sogenannte Filterung der Bewegungsgleichungen wird in B¨ uchern u uhrlich ¨ber Numerische Wettervorhersage ausf¨ behandelt.

13.3

Schwerewellen

Bei den Schwerewellen spielt die Schwerkraft (siehe Abschnitt 9.1), welche auf eine Luftmasse (oder auch Wassermasse) wirkt, die entscheidende Rolle bei der Schwingungserzeugung. Eine Schwingungsebene liegt hierbei senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (transversale Welle). Bevor die zwei Untergruppen (externe und interne Schwerewellen) behandelt werden, sei hier noch ein Ergebnis der atmosph¨arischen Statik aus Abschnitt 6.4 wiederholt:

13.3 Schwerewellen

191

F¨ ur die Auslenkung eines isolierten Luftteilchens aus seiner Ruhelage ergab sich f¨ ur den Abstand h vom Ausgangspunkt folgende Gleichung (vgl. (6.33)): d2 h = −N 2 h . dt2 Mit den Anfangsbedingungen h = h0 ,

w=

dh =0 dt

f¨ ur t = 0

ergibt sich als L¨ osung dieser Gleichung eine Schwingung h(t) = h0 cos(N t) , worin N die in Kapitel 6 deﬁnierte Brunt-Vaisala-Frequenz ist,

N=

g ∂ θ¯ . θ¯ ∂z

(13.15)

Diese Frequenz, die praktisch die Eigenfrequenz einer vertikal ausgelenkten Lufts¨ aule in einer stabil geschichteten Atmosph¨ are darstellt, spielt auch bei den Schwerewellen eine Rolle. 13.3.1

Externe Schwerewellen

Externe Schwerewellen treten an der Grenzﬂ¨ache zweier Medien unterschiedlicher Dichte auf, wobei das dichtere Medium (ρ2 ) unter dem weniger dichten (ρ1 ) liegen muss (stabile Schichtung). Die Wellen treten dann als Grenzﬂ¨ achenwellen in Erscheinung, d. h. die H¨ohe der Grenzﬂ¨ache h schwankt periodisch um ein Ausgangsniveau, z = H, wie in Bild 13.2 dargestellt (h(x,t) = H + h0 sin [k(x − ct)], k = 2π/L mit der Wellenl¨ange L). Im folgenden soll angenommen werden, dass sich die Wellen in x-Richtung ausbreiten und in y-Richtung homogen sind (d. h. ∂/∂y(. . .) = 0). Als Voraussetzung f¨ ur die Behandlung der externen Schwerewellen wird der Druck als hydrostatisch angenommen, d. h. es soll die statische Grundgleichung ∂p/∂z = −gρ gelten. F¨ ur den Druck p2 im unteren Medium (ρ2 ) erh¨ alt man aus Integration der statischen Grundgleichung von einem Druckniveau p1 im oberen Medium (ρ1 (z1 )) aus: p2 (z) = p1 (z1 ) + ρ1 g(z1 − h) + ρ2 g(h − z) = p1 (z1 ) + ρ1 gz1 − ρ2 gz + (ρ2 − ρ1 )gh . F¨ ur den horizontalen Druckgradienten im unteren Medium erh¨ alt man daraus: ∂p1 ∂h ∂p2 (z) = (z1 ) + (ρ2 − ρ1 )g . ∂x ∂x ∂x

192

13 Wellen in der Atmosph¨ are

. z ..... .. Medium 1: ρ1 .. ... .. ... .. ......... .... .. .................................... . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. H ............ .......... .......... .......... ..................................................................... ..................................................................... .......... ....................... .......... .......... ........ .. .. .. .. h0 .. .. .. Medium 2: ρ2 .. .. 0 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................... x

Bild 13.2 Wellenbildung an der Grenzﬂ¨ache zweier Medien mit homogenen, aber unterschiedlichen Dichten ρ1 < ρ2 : h(x,t) = H + h0 sin [k(x − ct)].

Es wird jetzt vorausgesetzt, dass im oberen Medium (ρ1 ) kein Druckgradient herrscht (z.B. waagerechte Oberﬂ¨ache). Dann ist der Druckgradient im unteren Medium gegeben durch: ∂p2 ∂h = (ρ2 − ρ1 )g . ∂x ∂x Durch die Auslenkung der Grenzﬂ¨ache in der Vertikalen entsteht im unteren Medium eine horizontale Druckkraft, welche sich mit der Grenzﬂ¨ achenh¨ ohe h unter Verwendung der statischen Grundgleichung schreiben l¨ asst als: 1 ∂p2 gΔρ ∂h = , ρ2 ∂x ρ2 ∂x

Δρ = ρ2 − ρ1 .

Wir setzen jetzt voraus, dass zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit im unteren Medium nicht von der H¨ohe abh¨angt (∂u/∂z = 0). Da der Druckgradient und somit die Druckkraft ebenso h¨ohenunabh¨angig ist, muss ∂u/∂z = 0 auch f¨ ur t > 0 gelten. Damit entf¨allt die Vertikaladvektion w ∂u/∂z in der Bewegungsgleichung. Unter den zus¨ atzlichen Voraussetzungen v = 0, und f = 0 (keine CoriolisKraft) ergibt sich f¨ ur die u-Komponente der Bewegungsgleichung im unteren Medium (ρ2 ): ∂u gΔρ ∂h ∂u +u =− . ∂t ∂x ρ2 ∂x

(13.16)

¨ Eine Gleichung f¨ ur die zeitliche Anderung der Grenzﬂ¨ achenh¨ ohe h erh¨ alt man aus der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur eine Str¨omung mit konstanter Dichte (8.6) ∇·v =0

oder

∂w ∂u =− . ∂z ∂x

Die Vertikalintegration dieser Beziehung zwischen dem Boden mit z = 0 und der Grenzﬂ¨ ache bei z = h ergibt unter Ber¨ ucksichtigung der oben gemachten Voraussetzung ∂u/∂z = 0:

13.3 Schwerewellen

193 w(h) − w(0) = −h

∂u . ∂x

Mit der Randbedingung w(0) = 0 und der Deﬁnition der Vertikalgeschwindigkeit ¨ w(h) = dh/dt erh¨ alt man schließlich f¨ ur die zeitliche Anderung der Grenzﬂ¨ achenh¨ohe: dh ∂h ∂h ∂u = +u = −h . (13.17) dt ∂t ∂x ∂x Das weitere Vorgehen erfolgt analog der Behandlung von Schallwellen: (13.16) und (13.17) werden linearisiert (mit u = u ¯ + u und h = H + h ), wobei die Wel lenh¨ ohe h als klein gegen¨ uber der vertikalen Ausdehnung des dichteren Mediums angenommen wird (h H). Schließlich erh¨alt man durch Zusammenfassung der beiden Gleichungen einen Ausdruck f¨ ur die Auslenkung der Grenzﬂ¨ ache h , die die gleiche Struktur aufweist wie Gleichung (13.12) f¨ ur den St¨ ordruck der Schallwellen. ∂ 2 h ∂ 2 h ∂ 2 h Δρ ∂ 2 h +u ¯2 2 = gH + 2¯ u . 2 ∂t ∂t∂x ∂x ρ2 ∂x2

(13.18)

Aus 13.18 kann man mit dem Wellenansatz h (x,t) = h0 sin k(x − ct) ,

k=

2π , L

f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c die Beziehung

c=u ¯±

gH

Δρ ρ2

(13.19)

ableiten. Wie bei den Schallwellen ist die Phasengeschwindigkeit der externen Schwerewellen unabh¨angig von der Wellenl¨ange; dieses Ergebnis erh¨ alt man allerdings nur bei Verwendung der statischen Grundgleichung bei der Beschreibung der Wellenbewegung. Diese ist aber nur g¨ ultig, wenn die horizontale Ausdehnung eines atmosph¨ arischen Ph¨anomens groß gegen¨ uber der vertikalen Erstreckung ist, (siehe Ausfhrungen in Kapitel 9.7) daher muss f¨ ur die Wellenl¨ ange L gelten: L H. Ein bekanntes Beispiel f¨ ur externe Schwerewellen sind die Oberﬂ¨ achenwellen der Ozeane. In diesem Fall ist ρ1 = ρ(Luft) und ρ2 = ρ(Wasser). Wegen ρL ρW vereinfacht sich (13.19) zu c=u ¯±

%

gH

Flachwasserwellen .

(13.20)

Diese Wellen werden wegen Lx H auch als Flachwasser-Wellen und die Gleichungen (13.16) und (13.17) entsprechend als Flachwasser-Gleichungen (engl. shallow water equations) bezeichnet.

194

13 Wellen in der Atmosph¨ are

Bei einer mittleren Tiefe des Meeres von H = 4 km ergibt sich f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c ≈ 200 m s−1 , f¨ ur eine Wassertiefe von 100 m immer noch ur die Wellenl¨ ange der 32 m s−1 . Wegen L/H ≈ 10 ergibt sich mit H = 4 km f¨ Flachwasserwellen L ≈ 40 km, mit H = 100 m erh¨ alt man L = 1 km. Daher beschreibt man mit (13.20) die Phasengeschwindigkeit der sogenannten Langen Wellen an der Meeresoberﬂ¨ache. Aber auch in der Atmosph¨are kommen externe Schwerewellen vor. Hier gibt es zwar nicht solch drastische Dichtespr¨ unge wie an der Grenzﬂ¨ ache WasserLuft, aber an Inversionen kann sich die Dichte u ¨ber eine relativ geringe vertikale Erstreckung rasch ¨andern. Nun arbeitet man in der Meteorologie anstatt mit Dichteunterschieden lieber mit Temperaturunterschieden, da sich die Lufttemperatur direkt messen l¨asst. Unter nahezu isobaren Verh¨ altnissen ergibt sich aus der Gasgleichung und der Deﬁnition der potentiellen Temperatur Δρ ΔT Δθ ≈− ≈− . (13.21) ρ T θ Der Vorzeichenwechsel ergibt sich daraus, dass bei Zunahme der Dichte die Temperatur abnimmt und umgekehrt. Bei stabiler Schichtung gilt nat¨ urlich f¨ ur die Situation in Bild 13.2: ρ2 > ρ1 und θ2 < θ1 , d. h. Δθ = θ2 − θ1 < 0. F¨ ur meteorologische Anwendungen ist somit in (13.19) Δρ/ρ2 durch −Δθ/θ2 zu ersetzen. Wie groß ist nun die Phasengeschwindigkeit von externen Schwerewellen an Inversionen? Nehmen wir als typische Werte f¨ ur die Inversionsh¨ ohe u ¨ber Grund H = 500 m, f¨ ur den Temperatursprung Δθ = 6 K. Damit erhalten wir f¨ ur eine ruhende Atmosph¨ are (¯ u = 0): c ≈ 10 m s−1 . Die bisherigen Ausf¨ uhrungen bezogen sich auf die Welleneigenschaft der Grenzﬂ¨ache h(x,t) zwischen zwei Medien unterschiedlicher Dichte (bzw. Temperatur). Wir wollen zum Abschluß des Kapitels noch untersuchen, welche Bewegung ein Partikel im unteren Fluid (Wasser oder Luft) unter dem Einﬂuß der Grenzﬂ¨achenwelle h(x,t) ausf¨ uhrt. Dazu ben¨otigen wir die Geschwindigkeitskomponenten u(x,z,t) und w(x,z,t). Wir betrachten jetzt ein zun¨ achst ruhendes Medium ohne Grundstrom, d. h. es gilt: u = 0. Die linearisierte Form von Gleichung (13.16) lautet dann: ∂u

ρ ∂h = −g ∂t ρ2 ∂x F¨ ur die linearisierte Kontinuit¨atsgleichung ergibt sich:

(13.22)

∂u ∂w =− (13.23) ∂z ∂x Setzt man die Wellenl¨osung h (x,t) = h0 sin k(x − ct) in (13.22) ein, so erh¨ alt man f¨ ur die horizontale Geschwindigkeitskomponente u : u (x,t) = u0 sin k(x − ct),

u0 = ch0 /H

13.3 Schwerewellen

195

Die vertikale Geschwindigkeitskomponente w erh¨ alt man durch Integration von (13.23) mit der Randbedingung w(z = 0) = 0: w (x,z,t) = u0 k cos k(x − ct)z angig von der H¨ ohe w¨ ahrend Die Bewegung in der Horizontalen (u ) ist somit unabh¨ die Vertikalbewegung vom Boden (z = 0) linear bis zur H¨ ohe h der Grenzﬂ¨ ache zunimmt.

Bild 13.3 Partikeltrajektorien im Fluid unterhalb einer sich in Richtung der Phasengeschwindigkeit c ausbreitenden externen Schwerewelle. F¨ ur die Wellenl¨ange L und die Dicke der Fluidschicht H gilt dabei tief: H >> L, mittel: H ≈ L, ﬂach: H << L.

Welche Bewegung f¨ aus? Dazu muss die Trajektorie &uhrt nun ein Fluidpartikel & entsprechend x(t) = u dt und z(t) = w dt berechnet werden. Das Ergebnis wird hier nicht weiter ausgef¨ uhrt sondern lediglich in Bild 13.3 dargestellt. Da u nicht von der H¨ ohe abh¨angt, muß auch die horizontale Strecke, die ein Partikel zur¨ ucklegt, h¨ ohenkonstant sein. Demgegen¨ uber nimmt die Vertikalgeschwindigkeit und somit die Auslenkung in der Vertikalen mit der H¨ ohe zu. Als Resultat ergeben sich Ellipsen als Trajektorien, deren vertikale Halbachse mit der H¨ ohe anw¨ achst. Dies ist im rechten Teil vom Bild 13.3 dargestellt. F¨ ur den hier nicht weiter behandelten Fall, daß die Erstreckung H des unteren Mediums sehr viel großer als die Wellenl¨ange L der Grenzﬂ¨ achenwelle ist (man bezeichnet die Situation H >> L auch als “Tiefwasserwelle”), variieren sowohl u als auch w mit der H¨ohe (Tiefe). Als Trajektorien ergeben sich Kreise, deren Radius von der Grenzﬂ¨ache h zum Boden hin abnimmt, wie im linken Teil von Bild 13.3 dargestellt. 13.3.2

Interne Schwerewellen

Wenn Schwerewellen nicht an der Grenzﬂ¨ache zweier Medien auftreten, sondern innerhalb eines kontinuierlich stabil geschichteten Mediums, nennt man sie interne Schwerewellen. Im Gegensatz zu den externen Schwerewellen, bei welchen die Ausbreitungsrichtung entlang der Grenzﬂ¨ ache, also in der Horizontalen verl¨ auft, k¨ onnen sich interne Schwerewellen beliebig im Raum ausbreiten. So

196

13 Wellen in der Atmosph¨ are

weisen denn auch diese Wellen neben der horizontalen Komponente der Phasengeschwindigkeit je nach Art der Ausl¨osung (z. B. an einem Hindernis) auch eine vertikale Komponente der Ausbreitungsgeschwindigkeit auf. Betrachten wir der Einfachheit halber eine zweidimensionale Schwerewelle in der x-z-Ebene. Die Herleitung der Wellengleichung sei hier nur kurz angedeutet: ben¨ otigt werden die Bewegungsgleichungen in der Boussinesq-Approximation (siehe Gl. 12.39), die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur eine inkompressible Str¨ omung sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik f¨ ur adiabatische Prozesse. Bei der u ¨blichen Linearisierung w¨ahlen wir als Grundzustand eine ruhende Atmosph¨ are, d. h. es gilt u ¯=w ¯ = 0. F¨ ur das Vertikalproﬁl der potentiellen Tempe¯ ratur des Grundzustandes θ(z) wird vorausgesetzt, dass der Temperaturgradient ¯ konstant ist, d. h. ∂ θ/∂z = konstant. Damit ergibt sich folgendes vereinfachtes Gleichungssystem f¨ ur die linearisierten Gr¨oßen u , w , p und θ : ∂u 1 ∂p =− , ∂t ρ¯ ∂x

(13.24)

∂w 1 ∂p g =− + ¯θ , ∂t ρ¯ ∂z θ

(13.25)

∂u ∂w + =0, ∂x ∂z

(13.26)

∂ θ¯ ∂θ + w =0. (13.27) ∂t ∂z Es ist allgemein u ur Schwerewellen ¨blich, die Vertikalgeschwindigkeit w als eine f¨ typische Gr¨ oße zu untersuchen. F¨ ur diese ergibt sich als linearisierte Wellengleichung aus der Kombination der Gleichungen (13.24) bis (13.27): ∂2 ∂t2

∂2w ∂2w + ∂x2 ∂z 2

+ N2

∂2w =0 . ∂x2

(13.28)

Hierbei ist N die in (13.15) deﬁnierte Brunt-Vaisala-Frequenz, die den Tempe¯ raturgradienten ∂ θ/∂z des Grundzustandes enth¨ alt. Da die Schwerewellen nicht nur rein horizontal verlaufen sollen, kann der Wellenzahlvektor m bzw. die Phasengeschwindigkeit c mit m · c = ω zun¨ achst eine beliebige Richtung annehmen, so dass gilt: m = ki+lk ,

(13.29)

wobei k die horizontale und l die vertikale Wellenzahl ist. Wir versuchen jetzt zur L¨ osung von (13.28) einen Wellenansatz der Form w = w0 cos(m · x − ωt) = w0 cos(kx + lz − ωt) .

(13.30)

13.3 Schwerewellen

197

Dieser ergibt, in die Wellengleichung (13.28) eingesetzt, als L¨ osungsbedingung: ω 2 (k 2 + l2 ) − N 2 k 2 = 0 und somit f¨ ur die Kreisfrequenz ω: ω=N √

k k = N cos α , =N 2 m +l

k2

(13.31)

wobei α der Winkel zwischen dem Wellenzahlvektor m und der Horizontalachse x ist. Dies ist in Bild 13.4 illustriert. Die gr¨ oßtm¨ ogliche Frequenz von Schwerewellen ergibt sich f¨ ur α = 0o , d. h. horizontal laufende Wellen. Dann ist ω = N , und die Schwingungsebene verl¨ auft in der Vertikalen. Im anderen Extremfall, α = 90o , ergibt sich ω = 0, d. h. es treten keine Schwerewellen auf. Das ist verst¨ andlich, da in diesem Fall die Schwingungsebene in der Horizontalen (x-Achse) liegt und somit die Gravitation nicht als r¨ ucktreibende Kraft wirken kann. Wegen m · c = mc = ω gilt f¨ ur die Phasengeschwindigkeit c in m-Richtung c=

ω k m=N 3m 2 m m

(13.32)

oder f¨ ur den Betrag von c k N ω =N 2 = cos α . (13.33) m m m Die x-Komponente cx ergibt sich zu cx = ω/k = (N/k) cos α. F¨ ur eine rein horizontal verlaufende Schwerewelle (l = 0, α = 0) erh¨ alt man aus (13.33) somit den Betrag der Phasengeschwindigkeit c=

c=

N , k

k=

2π , Lx

(13.34)

wobei Lx die horizontale Wellenl¨ange ist. Ist noch ein konstanter Grundstrom u0 vorhanden, so betr¨agt die Phasengeschwindigkeit in bezug auf einen erdfesten Beobachter

z

... ......... ... .. .... ... .... .... ... . ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ................. ..... .. .... . .... .... .... .. .... .... .... .... . .... ... .... .... .. .... .... .... .... .... .. .... .... .... . . . .... .... .... .. .... .... .... .... ... ... . .... .... .... ... ... ... .... .... .... .... ... .. .... .... . ... .... .. ... ... .... ... .... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... . ........................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................. ....................................................

........ ....... ....... m . . . . .. . . .. ....... .. ....... . . . . . l .. ..... .. ....... .. ............ .......................α ................................k ............................

x

Bild 13.4 Der Wellenzahlvektor bei internen Schwerewellen. Senkrecht zu m sind Wellenfronten skizziert.

198

13 Wellen in der Atmosph¨ are

N . (13.35) k Das Vorzeichen ± in (13.35) ist n¨otig, da die Welle sowohl mit dem Grundstrom (+) als auch gegen den Grundstrom (−) laufen kann. N ist wieder die in (13.15) deﬁnierte Brunt-Vaisala-Frequenz, die den mittleren vertikalen Gradienten der potentiellen Temperatur enth¨ alt. Dieser ist bei der Herleitung von (13.35) als h¨ohenkonstant angenommen worden. Die Phasengeschwindigkeit der internen Schwerewellen h¨angt im Gegensatz zu Schallwellen und externen Schwerewellen von der Wellenl¨ange ab; es herrscht also Dispersion. Hierzu einige Zahlenbeispiele: Nimmt man eine m¨ aßig stabile Schichtung an, ¯ z. B. ∂ θ/∂z = 1 K/100 m, so ergeben sich in ruhender Atmosph¨ are ungef¨ ahr folgende Phasengeschwindigkeiten: c = u0 ±

Lx = 1 km ⇒ c ≈ 3 m s−1 , Lx = 10 km ⇒ c ≈ 30 m s−1 , Lx = 100 km ⇒ c ≈ 300 m s−1 . In der Atmosph¨ are kann man interne Schwerewellen h¨ auﬁg in Form von b¨ anderf¨ ormig angeordneten Wolken in mittleren H¨ohen beobachten, die gelegentlich auch als Helmholtz-Wogen bezeichnet werden. Wie ist nun die Darstellung der Wellenfronten in Bild 13.4 bez¨ uglich der Geschwindigkeitsverteilung und der Partikeltrajektorie in internen Schwerewellen zu interpretieren? Dazu betrachten wir zun¨achst nochmals die L¨ osung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit. w(x,z,t) = w0 cos(kx + lz − ωt)

(13.36)

Die Phasenlinien verbinden nun alle Orte der Vertikalgeschwindigkeit mit gleichem Wert (w = konstant) zu einem festen Zeitpunkt t = t0 . Aus der Wellenbeziehung folgt daher f¨ ur die Phase der Vertikalgeschwindigkeit: kx + lz = konstant = a oder k z =− x+b. l Die Phasenlinie ist somit eine Gerade mit negativer Steigung, wie in Bild 13.4 dargestellt. Wie verh¨ alt es sich nun f¨ ur die Horizontalgeschwindigkeit u? Aus der Kontinuit¨ atsgleichung (13.26) folgt mit dem Wellenansatz (13.30): l u(x,z,t) = − w0 cos(kx + lz − ωt) k

(13.37)

13.3 Schwerewellen

199

Bild 13.5 Geschwindigkeitsverteilung in einer internen Schwerewelle, die sich in Richtung m ausbreitet. Dargestellt sind die Maxima (Pfeile) und Nullpunkte (Punkte) des Geschwindigkeitsfeldes zu einem festen Zeitpunkt t = t0

Die Phasenlinien f¨ ur u sind die gleichen wie f¨ ur w, da aus (13.36) und (13.37) folgt: l u = − w. k Daraus folgt, daß die Luftpartikel in einer internen Schwerewelle sich parallel zu den Wellenfronten (Bild 13.4) bewegen. Das zugeh¨ orige Geschwindigkeitsfeld f¨ ur einen festen Zeitpunkt t = t0 ist in Bild 13.5 dargestellt. 13.3.3

Schwerewellen u ¨ ber ebenem Untergrund

Die in vorigen Kapitel abgeleiteten einfachen Dispersionsbeziehungen f¨ ur interne Schwerewellen gelten zum einen nur f¨ ur konstante Brunt-Vaisala-Frequenz N sowie f¨ ur konstanten Grundstrom u ¯. Dar¨ uberhinaus wurde die L¨ osung der linearisierten Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w (13.28) nur in allgemeiner Form, d. h. ohne Bestimmung der Integrationskonstanten, angegeben. Demzufolge gilt der Wellenansatz (13.30) f¨ ur alle Raumpunkte in der x-z Ebene. Nun ist die reale Atmosph¨are nach unten durch die Erdoberﬂ¨ ache begrenzt, welche die theoretisch m¨ogliche Ausbreitung der Schwerewellen in der Vertikalen begrenzt. Der Eﬀekt des Erdbodens auf die Eigenschaft interner Schwerewellen soll daher nun kurz untersucht werden. Betrachten wir dazu noch einmal die Wellengleichung (13.28) f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w. Diese ist von 2. Ordnung in x und z und ben¨ otigt somit zur L¨osung noch Randbedingungen an Ober- und Untergrenze sowie an den seitlichen R¨andern des Integrationsgebietes. Nehmen wir als unteren Rand eine horizontale Erdoberﬂ¨ ache bei z = 0. Wie noch in Kapitel (18.3) erl¨ autert wird, muß die Normalgeschwindigkeit an einer festen Wand verschwinden. In unserem Fall lautet somit die untere Randbedingung: z=0

:

w=0.

200

13 Wellen in der Atmosph¨ are

Der obere Rand der Atmosph¨are kann formal bei z → ∞ angesetzt werden (in Realit¨ at in einigen Kilometern H¨ohe). Da dort keine Atmosph¨ are mehr vorhanden ist (Luftdichte → 0), kann auch keine vertikale Luftbewegung mehr auftreten, somit k¨ onnen wir als obere Randbedingungen setzen: z→∞

:

w = 0.

Außer im trivialen Fall verschwindender Schwerewellen (w(z) = 0) muß also in einer bestimmten H¨ohe H ein Maximum der Vertikalgeschwindigkeit auftreten. F¨ ur die L¨ osung der Wellengleichung (13.28) wird daher folgender Ansatz gew¨ ahlt: w(x,z,t) = w0 (z) cos(kt − ωt) Nach Einsetzen in die Wellengleichung (13.28) ergibt sich f¨ ur die Amplitude w0 (z): ∂ 2 w0 + k 2 (N 2 − ω 2 )w0 = 0 (13.38) ∂z 2 Wir betrachten jetzt eine Welle in der H¨ohe z = H mit der maximalen Amur z > H als auch f¨ ur plitude w0 (H) = wm . Die Amplitude w0 (z) soll sowohl f¨ z < H abfallen und formal f¨ ur z − H → ±∞ die Randbedingung w0 (Rand) = 0 erf¨ ullen. Dies ist m¨oglich f¨ ur den Fall w > N , da dann die L¨ osung von (13.38) eine Exponentialfunktion ergibt: w0 (z) = wm e−α(z−H) , z > H

(13.39)

w0 (z) = wm e+α(z−H) , z < H

(13.40)

Hierbei ist α eine Wellenzahl, welche die in (13.38) auftretenden Parameter zusammenfasst: "

α=

k 2 (w2 − N 2 )

(13.41)

Die Wellengleichung lautet somit insgesamt: w(x,z,t) = wm e−α(z−H) cos(kx − ωt) , z > H

(13.42)

w(x,z,t) = wm e+α(z−H) cos(kx − ωt) , z < H

(13.43)

Die L¨ osung der Wellengleichung ist in Abbildung 13.6 dargestellt. Die Schwerewellen breiten sich in horizontaler Richtung mit der Phasengeschwindigkeit c = ω/k aus, wobei ihre Phasenlinie rein vertikal verl¨auft. Die Amplitude der Vertikalgeschwindigkeit nimmt dabei oberhalb und unterhalb von z = H (w0 = w0 (max)) ab. Diese Art von Schwerewellen nennt man auch ged¨ ampfte Wellen oder im englischen Sprachgebrauch “evanescent waves”.

13.3 Schwerewellen

201

Bild 13.6 Schwerewelle u ¨ber ebenem Untergrund mit maximaler Amplitude in der H¨ohe H. Dargestellt sind Isolinien der potentiellen Temperatur zu einem festen Zeitpunkt. Die Ausbreitungsrichtung der senkrecht verlaufenden Phasenlinie ist durch die Phasengeschwindigkeit c angedeutet

13.3.4

Schwerewellen u ¨ ber nicht-ebenem Untergrund

In den vorhergehenden Kapiteln hatten wir interne Schwerewellen ohne Raumbegrenzung (13.3.2) und unter dem Einﬂuß eines festen unteren Randes (13.3.3) behandelt. Dabei wurde die Welle selbst in Form einer periodischen Funktion vorgegeben und analysiert, unter welchen Zwangsbedingungen (z. B. Dispersionsbeziehung) die Wellengleichung (13.28) erf¨ ullt wird. In der Natur kann eine Welle aber nicht einfach so entstehen, vielmehr muß die schwingungsf¨ ahige Atmosph¨ are zur Wellenbildung angeregt werden. Wie bereits im Kapitel (6.4) diskutiert ist zur Anregung einer Schwingung in der stabil geschichteten Atmosph¨ are die Auslenkung eines Luftpaketes in der Vertikalen notwendig. In der realen Atmosph¨ are ¨ entsteht ein solcher Mechanismus ber der Uberstr¨ omung langgestreckter, quasi zweidimensionaler Berge. Dabei wird die Luft im Luv des Berges zum Aufstieg gezwungen und kann im Lee wieder in das Ausgangsniveau absinken. Die Anregung einer m¨ oglichen Schwerewelle w¨ urde also auf der Luvseite des Bergr¨ uckens folgen. Tats¨ achlich k¨ onnen dabei im Lee des Gebirges interne Schwerewellen entstehen, die auch als Leewellen bezeichnet werden. Bevor auf diese eingegangen wird, untersuchen wir das formal einfachere Problem einer periodisch angeordneten Reihe von zweidimensionalen Bergen und T¨alern. Die Topographie des Erdbodens sei gegeben durch: z(x) = h(x) = h0 sin kx ,

(13.44)

wobei k = 2π/L die Wellenzahl der Topographie (L ist der Abstand zweier Berggipfel) und 2 h0 der Gesamth¨ohenunterschied ist (siehe Bild 13.7).

202

13 Wellen in der Atmosph¨ are

Diese Topographie soll bei einer stabilen Schichtung mit konstanter BruntVaisala Frequenz N durch einen konstanten Wind U u omt werden. Unmit¨berstr¨ telbar am unteren Rand soll die Str¨omung der Topographie folgen. Die Vertikalgeschwindigkeit auf der Topographie h(x) l¨aßt sich im Sinne der Linearisierung der Wellengleichung wie folgt ansetzen: ∂h Randbedingung (13.45) ∂x Wir suchen jetzt L¨osungen der linearisierten Boussinnesq-Gleichungen (13.2413.27) f¨ ur einen station¨aren Str¨omungszustand (∂/∂t = 0) bei konstantem Grundstrom U . In diesem Fall werden in (13.24-13.27) die zeitlichen Ableitungen durch die Advektion U ∂/∂x ersetzt. Statt (13.28) ergibt sich als linearisierte Gleichung f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit w w(x,0) = U

∂2 ∂x2

∂2w ∂2w N 2 + + 2w ∂x2 ∂z 2 U

=0 .

(13.46)

Zur L¨ osung dieser Gleichung nehmen wir als Wellenansatz: w(x,t) = w1 (z) sin kx + w2 (z) cos kx

(13.47)

F¨ ur die Amplitudenfunktion der Vertikalgeschwindigkeit ergibt sich nach einsetzen von (13.47) in (13.46): ∂ 2 wi 2 2 + l + k wi = 0 , ∂z 2

i = 1,2

(13.48)

Hierbei ist l2 deﬁniert durch: l2 ≡

N2 U2

Scorer-Parameter

(13.49)

Der Parameter l wird auch als Scorer-Parameter bezeichnet (nach R. Scorer, englischer Meteorologe) und spielt in der Theorie interner Schwerewellen eine wichtige Rolle. Ein erster Blick auf die Amplitudengleichung (13.48) zeigt, daß je nach Vorzeichen des Ausdrucks (l2 − k 2 ) als L¨osung Exponentialfunktionen oder trigonometrische Funktionen in Frage kommen. Als untere Randbedingung erh¨ alt man aus (14.25) und (13.45): ∂h = U k cos kx ∂x F¨ ur die L¨ osung von (13.48) machen wir folgende Fallunterscheidung: w(x,0) = U

(a) k > l → (l2 − k 2 ) ≡ μ < 0

(13.50)

13.3 Schwerewellen

203

Die L¨ osung ist dann eine Exponentialfunktion, die f¨ ur z → ∞ verschwinden muß, da sonst (bei anwachsender Exponentialfunktion) die Amplitude w mit der H¨ ohe anw¨ achst, was zu einem unphysikalischem Ergebnis f¨ uhrt: w(x,z) = U h0 ke−|μ|z cos kx

(13.51)

Diese L¨ osung der Wellengleichung ist anhand von Stromlinien, die auch als Linien potentieller Temperatur intepretiert werden k¨onnen, in Bild (13.7) dargestellt. (b) k 2 < l2 → (l2 − k 2 ) ≡ μ > 0 Die L¨ osung enth¨ alt jetzt trigonometrische Funktionen und ist von der Form: w(x,z) = U h0 k cos(kx + μz)

(13.52)

Es handelt sich um eine Kosinusfunktion mit konstanter Amplitude (w0 = U h0 k) aber mit gegen die Str¨omungsrichtung geneigter Phase μz. Die L¨ osung ist in Bild 13.8 dargestellt.

Bild 13.7 Station¨are Schwerewelle u ¨ber einer zweidimensionalen, sinusf¨ormigen H¨ ugelkette mit der Wellenl¨ange L und der H¨ohe h f¨ ur den Fall kU > N , k = 2π/L. Die Phasenlinie ist durch einen senkrechten Strich markiert. Dargestellt sind Stromlinien f¨ ur eine Anstr¨omung u von links

Warum ergeben sich nun unterschiedliche L¨osungen f¨ ur die Wellengleichungen? Dazu betrachten wir noch einmal die beiden F¨alle k > l und k < l: (a) k > l = N/U → kU > N Nun ist kU = 2π/(LU ) = ωa gerade die Anregungsfrequenz f¨ ur die Vertikal¨ bewegung, welche die Luftpartikel beim Uberstr¨ omen der Topographie h(x) = h0 sin kx erfahren. Der Fall k > l bedingt somit ωa > N . Da die Anregungsfrequenz ωa gr¨ oßer als die nat¨ urliche Schwingungsfrequenz N der stabil geschichteten Atmosph¨ are ist, k¨ onnen angeregte Wellen nicht aufrecht erhalten werden, sondern m¨ ussen mit der Entfernung von der Ausgangsquelle (hier: wellenf¨ ormige Topographie) ausged¨ ampft werden. (b) k < l = N/U → kU < N

204

13 Wellen in der Atmosph¨ are

und somit: ωa < N . Die Anregungsfrequenz ωa ist kleiner als die Brunt-Vaisala Frequenz N und erf¨ ullt somit die Dispersionsbeziehung f¨ ur freie Wellenausbreitung (13.31).

Bild 13.8 Station¨are Schwerewelle u ¨ber einer sinusf¨ormigen H¨ ugelkette wie in Bild 13.7, jedoch f¨ ur den Fall kU < N . Die Phasenlinien sind entgegen der Anstr¨omung u geneigt

F¨ ur die Situation k = l ergibt sich ωa = N und die maximal m¨ ogliche Anregungsfrequenz f¨ ur unged¨ampfte Wellen ist erreicht. In diesem Fall ergibt sich die L¨osung der Amplitudengleichung (13.48): w(z) = w0 = U h0 k = konstant und somit f¨ ur das Wellenfeld w(x,z) = w0 cos kx. Ein spezielles Problem stellen die sogenannten Leewellen hinter Gebirgen dar. Bei ihnen handelt es sich um station¨are Schwerewellen, die bei stabiler Schichtung der Atmosph¨ are durch Auslenkung der Grundstr¨ omung u ¨ber dem Gebirgskamm entstehen. Man kann diese an den Wolken im Lee des Gebirges erkennen, welche sich bei gen¨ ugender Feuchtigkeit u ¨ber den Wellenk¨ammen bilden und praktisch stehenbleiben (Bild 13.9). Da die Leewellen ein station¨ares Ph¨ anomen sind, d. h. c = 0, kann man ihre Wellenl¨ange aus (13.35) bestimmen: Lstat = 2π

u ¯ , N

Leewellen .

(13.53)

ur Leewellen mit dem F¨ ur einen mittleren Wind u ¯ = 10 m s−1 ergibt sich f¨ oben als Beispiel angef¨ uhrten Temperaturgradienten eine Wellenl¨ ange von etwa L ≈ 3 km. Leewellen kann man h¨auﬁg auf Satellitenbildern als b¨ anderf¨ ormig angeordnete Wolkenstrukturen beobachten. Ein Beispiel hierf¨ ur ist in Bild 13.10 zu sehen. Bei den bisherigen Betrachtungen von Schwerewellen, etwa bei der Herleitung von (13.28), sind wir von einem ruhenden Medium bzw. von einer konstanten Grundstromgeschwindigkeit u ¯ sowie von einer konstanten Brunt-Vaisala-Frequenz N ausgegangen. In der realen Atmosph¨are ¨andern sich aber im allgemeinen der Wind und die Temperatur mit der H¨ohe, so dass in die Wellengleichungen als Grundzustand u ¯(z) und N (z) aufgenommen werden m¨ ussen. Dadurch ergibt sich,

13.3 Schwerewellen

205

... ........................................................................................... .... ... .. ........ . . . . . ... ............... . . . .........................................

... .

Lx ................................................................................................

.... ...... ................ . . .... ..........................................

u ¯ .................... .......................... ...... .......................... ....... ....... . . . . . . . ................... .................. .......................... ....... . .......................... ...... ....... .......................... ................ .................... . . . . . . . . . . . . . . ...... . .......................... ... .............................. ....................... ........ . . . ........ ........................

... ... .......................... .... . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . ..... ............................... .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ...................................... ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................... ..............................................................

Bild 13.10

Bild 13.9 Leewellen hinter Gebirgen in einer stabil geschichteten Atmosph¨are

Satellitenphoto von Schwerewellen u ¨ber Spanien.

dass auch die Wellenamplituden w0 nicht mehr konstant sind, sondern sich ebenfalls mit der H¨ ohe ¨andern, so dass w0 = w0 (z). Auf die Herleitung der Wellengleichung f¨ ur diesen Fall soll an dieser Stelle verzichtet werden. Mit einem Wellenansatz der Form w(x,z,t) = w0 (z) cos [k (x − ct)] ergibt sich f¨ ur die Amplitude die Taylor-Goldstein-Gleichung

(¯ u(z) − c)

2

¯ ∂2u ∂ 2 w0 − k 2 w0 − (¯ u(z) − c) w0 + N 2 (z) w0 = 0 , 2 ∂z ∂z 2

(13.54)

benannt nach den englischen Physikern S. Goldstein und G. I. Taylor (1886– 1975), einem der Begr¨ under der modernen Str¨omungsmechanik.

206

13 Wellen in der Atmosph¨ are

F¨ ur beliebige Proﬁle u ¯(z) und N (z) kann keine analytische Phasenbeziehung wie etwa (13.31) mehr angegeben werden. Im Spezialfall u¯ = u0 = konstant und N (z) = N = konstant erh¨alt man wegen w(z) = w0 = konstant aus (13.54): '

(

(u0 − c)2 k 2 − N 2 w0 = 0

und somit als Phasenbeziehung c = u0 ±

N , k

wie sie schon f¨ ur ebene Schwerewellen in (13.35) abgeleitet wurde. Die Taylor-Goldstein-Gleichung besitzt als L¨osungen eine Vielzahl von Modiﬁkationen der internen Schwerewellen wie etwa Reﬂexion, Ausl¨ oschung oder Wel¯ bzw. N (z). Die im lenbrechen, je nach Wahl der Grundstromproﬁle u¯(z) und θ(z) Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrten B¨ ucher enthalten ausf¨ uhrliche Darstellungen zu diesem Problemkreis.

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese 14.1

Stabilit¨ atsanalyse

Es sollen hier a ¨ltere und neuere Vorstellungen u ¨ber die Entstehung von Zyklonen und Antizyklonen behandelt werden. Die Methode der Untersuchungen zu diesem Problem ist meist die sogenannte St¨orungsrechnung, die Auskunft dar¨ uber gibt, ob ein Grundzustand der Atmosph¨are instabil gegen¨ uber aufgepr¨ agten St¨ orungen ist. Als einfaches Beispiel sei hier noch einmal die vertikale Auslenkung eines Luftpartikels aus seiner Ruhelage in einer geschichteten Atmosph¨ are behandelt, wie es schon einmal kurz in Abschnitt 13.2 angedeutet wurde. Es ergab sich f¨ ur die Auslenkung h die Schwingungsgleichung: d2 h + N2 h = 0 dt2 mit der Brunt-Vaisala-Frequenz

N=

g ∂θ . θ ∂z

F¨ ur den Fall N > 0 (stabile Schichtung) ergab sich als L¨ osung: h(t) = h0 cos N t , wobei h0 die Auslenkung zur Zeit t = 0 aus der Ruhelage war. Das Partikel f¨ uhrt Schwingungen um die Ruhelage aus, ist also bestrebt, seinen Ausgangszustand wieder einzunehmen. Wir nennen dies auch ein stabiles Gleichgewicht oder sagen, dass die Atmosph¨are sich stabil in bezug auf eine aufgepr¨ agte St¨ orung (hier: Auslenkung h0 um die Gleichgewichtslage) verh¨ alt. Im Fall einer labilen Schichtung ∂θ/∂z < 0 haben wir N 2 < 0 oder N = i|N | (imagin¨ ar). Die L¨ osung der Schwingungsgleichung ist jetzt von der Form: h(t) = h0 e|N |t . F¨ ur t → ∞ geht h(t) → ∞, d. h. das Luftpartikel entfernt sich immer weiter von seiner anf¨ anglichen Gleichgewichtslage. Ein solches Verhalten nennt man instabil, die Amplitude der Anfangsst¨orung (hier h = h0 ) w¨ achst mit der Zeit an. Im n¨ achsten Schritt gehen wir der Frage nach, ob auch Wettererscheinungen in der Atmosph¨ are ein stabiles bzw. instabiles Verhalten aufweisen k¨ onnen. In Kapitel 13 hatten wir Wellenerscheinungen in der Atmosph¨ are behandelt und eine Welle mit der Wellenl¨ange L bzw. mit der Wellenzahl k = 2π/L formal etwa durch

208

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

. ψ0 ...... .... α > 0 .. ...... . . . . . .. ...... .. ...... . . . .. . . .. ....... .. ........ . . . . . . . . ......... ψ¯ ............................................................................ α = 0 .. ...... ...... .. ....... ....... .. ........ .. ......... ............ .. ........ α < 0 .. ....................................................................................... t

Bild 14.1 ¨ Anderung der St¨orungsamplitude mit der Zeit

ψ(x,t) = ψ0 cos(k[x − ct]) dargestellt. ψ0 war dabei die Amplitude, die als zeitlich und r¨ aumlich konstant angenommen wurde. Am festen Ort kann man nat¨ urlich bei einer Phasengeschwin¨ digkeit c = 0 eine periodische Anderung ψ(t) beobachten, aber es gilt immer ψmax = ψ0 . Wir lassen jetzt die Einschr¨ankung ψ0 = konstant fallen und setzen ψ0 = ψ0 (t) , d. h. die Amplitude der Welle kann sich mit der Zeit ¨ andern. Von den beliebig vielen Funktionen ψ0 (t) w¨ahlen wir zur Vereinfachung die Form ψ0 (t) = ψ¯ eαt ,

ψ¯ = konstant .

Hierbei hat α die Dimension einer Frequenz. Es ergibt sich je nach Vorzeichen von α folgendes Verhalten der Wellenamplitude (siehe auch Bild 14.1): α > 0:

ψ0 → ∞

f¨ ur t → ∞ ,

α = 0:

ψ0 = ψ¯

f¨ ur t ≥ 0 ,

α < 0:

ψ0 → 0

f¨ ur t → ∞ .

Identiﬁzieren wir jetzt ψ¯ mit einer kleinen Anfangsst¨ orung der Wellenamplitude ¯ so ergibt sich folgendes Bild: F¨ zur Zeit t = 0 (ψ(0) = ψ), ur α = 0 bleibt die Amplitude ψ0 = ψ¯ = konstant, und wir haben die u ¨blichen Wellen wie in Kapitel 13 beschrieben. F¨ ur α < 0 nimmt die Amplitude mit der Zeit ab und f¨ uhrt somit zu einem Abbau (D¨ampfung) der Anfangswelle (Anfangsst¨ orung). Im Fall α > 0 nimmt die Wellenamplitude stetig mit der Zeit zu. Ein solches Verhalten nennt man instabil. Dies ist der interessanteste Fall f¨ ur folgende Problemstellung: ¯ ρ¯, p¯) geDie Atmosph¨ are sei durch einen gewissen Grundzustand (z. B. u¯, θ, kennzeichnet, wobei die einzelnen Variablen des Grundzustandes noch von den Ortskoordinaten abh¨angen k¨onnen. Es werden diesem Grundzustand wellenf¨ ormige St¨ orungen kleiner Anfangsamplitude ψ¯ etwa in der Form

14.2 Barotrope Instabilit¨at

209

ψ(x,t) = ψ¯ eαt cos(k[x − ct]) aufgepr¨ agt. Die Frage ist jetzt: wie verhalten sich diese Anfangsst¨ orungen f¨ ur t > 0? Nach dem eben Gesagten m¨ ussen durch einen gewissen Formalismus (siehe nachfolgende Ausf¨ uhrungen) Vorzeichen und Betrag des Faktors α bestimmt werden. Diese sogenannte St¨ orungsrechnung gibt Aufschluss u ¨ber das Verhalten des atmosph¨ arischen Grundzustandes:

L¨ osung der St¨orungs- Amplitude der Grundstrom/ rechnung ergibt Anfangsst¨orung Grundzustand α>0 w¨achst an instabil α=0 bleibt gleich neutral α<0 nimmt ab stabil

Als Beispiele f¨ ur das Anwachsen kleiner Anfangsst¨ orungen in der Atmosph¨ are werden im folgenden die barotrope und barokline Instabilit¨ at behandelt.

14.2

Barotrope Instabilit¨ at

Wir gehen von der barotropen Vorticitygleichung (11.1) auf der β-Ebene aus: ∂ζ ∂ζ ∂ζ +u +v + βv = 0 . ∂t ∂x ∂y Bei der nun folgenden sogenannten Stabilit¨ atsanalyse geht man praktisch genauso vor wie bei der Aufstellung der Wellengleichung in Kapitel 13: Man deﬁniert einen Grundzustand, linearisiert die Bewegungs- und Kontinuit¨ atsgleichung sowie gegebenenfalls den Ersten Hauptsatz und macht f¨ ur die St¨ orungen einen Wellenansatz. Im Fall der barotropen Vorticitygleichung erh¨ alt man wie in Abschnitt 11.4 die linearisierte Vorticitygleichung (11.18): ∂ζ ∂ ζ¯ ∂ ζ¯ ∂ζ ∂ζ +u ¯ + u + v¯ + v + βv = 0 . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y Im Unterschied zur Herleitung der Rossby-Wellen aus (11.18) soll jetzt ein Grundstrom zugelassen sein, der sich in meridionaler, also in y-Richtung ¨ andern kann: u ¯=u ¯(y) ,

v¯ = 0 .

Daraus folgt f¨ ur die Vorticity des Grundzustandes

(14.1)

210

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

∂u ¯ . ζ¯ = − ∂y

(14.2)

Die linearisierte Vorticitygleichung lautet f¨ ur diesen Grundstrom ∂ζ ∂ ζ¯ ∂ζ +u ¯ + v + βv = 0 , ∂t ∂x ∂y

(14.3)

oder mit der absoluten Vorticity η = ζ + f bzw. ∂η/∂y = ∂ζ/∂y + β: ∂ζ ∂ η¯ ∂ζ +u ¯ + v =0 . ∂t ∂x ∂y

(14.4)

Wir verkn¨ upfen ζ und v u ¨ber die St¨orungsstromfunktion Ψ wie in (11.8) durch ζ = ∇2 Ψ ,

v =

∂Ψ . ∂x

Somit erhalten wir, analog zur Vorticitygleichung (11.10) ∂ 2 ∂ ∂ η¯ ∂Ψ ∇ Ψ +u =0 . ¯ ∇2 Ψ + ∂t ∂x ∂y ∂x

(14.5)

Dies ist eine lineare Gleichung f¨ ur die Stromfunktion der St¨ orungen (hier etwa St¨orungsdruckfeld) mit variablen Koeﬃzienten u¯(y) und ∂ η¯/∂y (im Gegensatz zur Vorticitygleichung f¨ ur die Rossby-Wellen, wo u ¯ und ∂ η¯/∂y = β konstant waren). Das Stabilit¨atsproblem stellt sich also wie in Bild 14.2 dar. Einem Grundstrom u ¯(y) wird z. B. eine zellul¨ are Anfangsst¨ orung u ¨berlagert und es wird gefragt, ob diese (kleine) St¨orung mit der Zeit anwachsen kann, so dass sie nach einiger Zeit deutlich im Feld des Grundstromes in Erscheinung tritt (etwa u = o(¯ u), im Gegensatz zu t = 0: u u ¯ , Linearisierung). Wir w¨ ahlen folgenden Ansatz f¨ ur Ψ : ... ... . .................................................................................................................................................................... y ...... L ................................................................................................................................................................. ... .. .. .. ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... .. ................... . ... .......................................... ..... ............................................. Ψ (x,y) .... ....... ... ... .. .. .. ... .. ....................................................................u ¯(y) ...... ... ............................ ... ...... .. ............................... ... ...... ..... . . .. .. . . . . . . .................................................................................................... ...... ... ... ............... ... ... ...... ... ... ............... ... ... ...... ............................................................................................................ .... ..... .. ..... H ..... .. ..... ... ..... .. ..... T ..... .. ..... ... . .. . .. .. ................................................................................................... ...... ... ... ................ ... ... ..... ... ... ............... .... ... ..... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . .. . .. . ...... .. ... ..................... ... ...... ... ........................... ... ...... .................................................................... ... . . . . ... .. ....................... ............................................ ..... .............................................. ..... ... . . ....... ... . ... ............................................................................................................................................................................ x

Bild 14.2

Scherstr¨omung und aufgepr¨agte Wellenst¨orung

14.2 Barotrope Instabilit¨at

211

Ψ = Ψ0 (y) eαt cos(k[x − ct]) .

(14.6)

Die Amplitude Ψ0 h¨angt dabei von der meridionalen Koordinate y ab, da die Koeﬃzienten u ¯ und η¯ ebenfalls von y abh¨angen sollen. Bekanntlich lassen sich die trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der Eulerschen Beziehungen schreiben als

sin ψ = Im eiψ

cos ψ = Re eiψ

,

.

Somit k¨ onnen wir (14.6) auch durch '

Ψ = Re Ψ0 (y) eαt eik(x−ct)

(

oder '

Ψ (x,y,t) = Re Ψ0 (y) eik(x−ct)

(

(14.7)

ausdr¨ ucken, mit der komplexen Phasengeschwindigkeit c: α , α = k ci . (14.8) k Im allgemeinen wird bei der weiteren Analyse das Symbol Re (= Realteil) fortgelassen und man operiert nur mit der komplexen e-Funktion. Der Realteil cr der Phasengeschwindigkeit c beschreibt somit die Phasengeschwindigkeit der St¨orungen, w¨ ahrend der Imagin¨arteil ci zusammen mit der Wellenzahl k die sogenannte Wachstumsrate α = k ci der St¨orungsamplitude bestimmt. Bezogen auf die Stabilit¨ atsanalyse bedeutet dies, dass eine Anfangsst¨ orung nur dann mit der Zeit anwachsen kann, wenn die L¨osungen der Gleichungen einen von Null verschiedenen Imagin¨arteil der Phasengeschwindigkeit c ergeben. Setzen wir nun den St¨orungsansatz (14.7) in die linearisierte Vorticitygleichung (14.5) ein, so erhalten wir nach einigen Umformungen: c = cr + i ci ,

ci =

∂ 2 Ψ0 ∂ η¯ Ψ0 = 0 . − k 2 Ψ0 + (¯ u − c) ∂y 2 ∂y

(14.9)

Dies ist eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die St¨orungsamplitude Ψ0 (y). Wegen der Homogenit¨ at der Gleichung k¨onnen sich nur f¨ ur gewisse Kombinationen von u ¯, k und c L¨ osungen ergeben (Eigenwertproblem). Die Gleichung (14.9) wird in der Literatur auch Rayleigh-Gleichung genannt (nach Lord Rayleigh, britischer Physiker, 1842–1919, Nobelpreis f¨ ur Physik 1904). Die Frage, ob bei vorgegebenem Grundstrom u¯(y) und Wellenzahl k auch ein Imagin¨ arteil ci der Phasengeschwindigkeit als L¨ osung von (14.9) auftritt, l¨ asst sich f¨ ur beliebige Proﬁle u ¯(y) leider nur auf numerischem Wege beantworten. Allerdings hat bereits Rayleigh ein allgemeines Kriterium daf¨ ur angegeben, unter welchen Umst¨ anden als L¨osung von (14.9) ein ci > 0 zu erwarten ist. Dieses lautet:

212

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

∂ η¯ = 0 in y . (14.10) ∂y Oder in Worten: weist der Grundstrom ein Extremum der absoluten Vorticity auf (Maximum oder Minimum), so w¨achst die Amplitude der Anfangsst¨ orungen an: ci > 0

wenn

Ψ (x,y,t) = Ψ0 (y) ekci t cos (k[x − cr t]) .

(14.11)

Einen solchen Grundstrom nennt man instabil. Der Begriﬀ barotrope Instabilit¨ at r¨ uhrt daher, dass sich hier der Grundstrom u¯(y) nur mit der geographischen Breite, nicht aber mit der H¨ohe ¨andert: ∂ u ¯/∂z = 0 → Barotropie. F¨ ur eine f -Ebene (β = 0, Scheibenerde oder auch Str¨ omungen in nichtrotierenden Systemen) ergibt sich statt (14.10): ¯ ∂2u ∂ ζ¯ =− 2 =0 . (14.12) ∂y ∂y In diesem Fall bedeutet das Vorhandensein eines Vorticity-Extremums, dass das Windproﬁl einen Wendepunkt (∂ 2 u ¯/∂y 2 = 0) haben muss. Deshalb nennt man die hier behandelte Instabilit¨at auch Wendepunkt-Instabilit¨ at. F¨ ur den Fall (14.12) zeigt Bild 14.3 typische Proﬁle mit und ohne Instabilit¨ at. Proﬁl (a) weist einen Wendepunkt () und ein Vorticity-Maximum auf und (b) zwei Wendepunkte und zwei Vorticity-Extrema (je ein Minimum und ein Maximum). Diese Grundzust¨ande sind also instabil gegen kleine St¨ orungen, w¨ ahrend (c) aufgrund der Konstanz der Vorticity stabil ist, obwohl wir auch hier eine Scherstr¨ omung vorliegen haben. Proﬁl (b) ¨ahnelt dem Strahlstrom, wie er in der oberen Atmosph¨ are gefunden wird. ci > 0

f¨ ur

Was hat nun das Instabilit¨atsproblem mit der Zyklogenese zu tun? Schon seit langem war bekannt, dass eine (zweidimensionale) Str¨ omung, wie eben erl¨ autert, bei gewissen Formen des Proﬁls (etwas exakter: Es muss ein Wendepunkt vorhanden sein, d. h. es gilt ∂ 2 u ¯/∂y 2 = 0 an mindestens einer Stelle y) instabil werden kann und sich wellenf¨ormige St¨orungen ausbilden. Aus der synoptischen Beobachtung hatte man die Erfahrung gemacht, dass Zyklonen besonders h¨ auﬁg an Frontalzonen entstehen, in Gegenden also, an denen nicht nur starke Temperaturgegens¨ atze herrschen, sondern auch der Wind eine große horizontale Scherung aufweist. Die fr¨ uheren Theorien gingen deshalb davon aus, dass sich die Zyklonen aufgrund von Instabilit¨aten des Grundstromes ausbilden. Hierbei sah man aber nicht die vertikale Scherung des Grundstromes als Instabilit¨ atsursache an, sondern diejenige in der Horizontalen. F¨ ur eine solche Betrachtungsweise war die vertikale Wind¨ anderung also ohne Belang; man konnte die Str¨ omung als barotrop betrachten. Die Instabilit¨at einer solchen Str¨omung bezeichnet man deshalb auch als barotrope Instabilit¨ at.

14.2 Barotrope Instabilit¨at

(a)

(b)

(c)

213

y ...... y ...... . instabil ... ... ... ... ... . . .. . ... ... ... ...... ... ....... .. ... .... ......... .. ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........................................ ..... ..... .. . ...... . ... .... .......... ... ... ............ ... . . . . . ... ... ... ..... ... ... ... ... ... .... ...................................................... ¯ .................................................................................... u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ζ ¯ 0 . . . . . . . . y .. y .... instabil ... ..... .. .... . ......... . ... . . . . . . ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....................................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ............... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ... .... .. ... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ................................................ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... .. ........... ...... .... .... ... . . . . . . . . . . .. ... .... ..... .... .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... .................... .............. ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... .. ... ..... . .... ... . .. ... .. . . .................................................................................. u ¯ .................................................................................... ζ¯ 0 y ...... y ...... ... ... stabil ... .. .... .... ............................................................................................ ... .... ... .................................................................................................... . .... . . ... ... . ... . .... .................................................................................................................... ... . ... ... ... . . ... ................................................................................................................................ .... ... ......................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ..................................................................................... . . .. u ¯ .................................................................................... ζ¯ 0

Bild 14.3 (a), (b) instabile und (c) stabile Windproﬁle. Die Wendepunkte von u¯ bez¨ uglich y sind mit gekennzeichnet.

Wenn Zyklonen und Antizyklonen also durch barotrope Instabilit¨ at entstehen sollten, woher nehmen diese dann ihre Energie? Da f¨ ur das barotrope Problem weder potentielle noch innere Energie zur Verf¨ ugung stehen, bleibt als Energiequelle f¨ ur die St¨ orungen nur die kinetische Energie des Grundstromes u ¨brig. Bei barotroper Instabilit¨at geht kinetische Energie des Grundstromes in kinetische Energie der St¨orungen u ¨ber. Schematisch stellt sich diese Energieumwandlung dar, wie in Bild 14.4 gezeigt. ¯ nimmt mit der Zeit ab; im gleichen Maße Die Energie des Grundstromes E nimmt die Energie der St¨orungen E zu. F¨ ur das Grundstromproﬁl bedeutet das eine Abnahme der Geschwindigkeit, wie etwa im rechten Bild dargestellt. W¨ are die Zyklogenese auf barotrope Instabilit¨at zur¨ uckzuf¨ uhren, so w¨ urden sich bei einer anf¨ anglich kleinen Druckst¨orung die Druckgegens¨ atze mit der Zeit verst¨ arken, d. h. ein Tiefdruckgebiet w¨ urde noch vertieft und ein Hochdruckgebiet verst¨ arkt. Gem¨ aß der geostrophischen Windbeziehung w¨ urden auch die Windgeschwindigkeiten in den Zyklonen und Antizyklonen verst¨ arkt, was – wie in Bild 14.4 dar-

214

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

. . y ..... Ekin ..... ..... ... ......... ............................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... ... ... ............. .. ...... ... ... ¯ ...... E ... ... ................ ... .............. ... ..... ........ ... ... ....................................................................... ..... ....... t = t . ... ..... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 . . . .......... . . . . . . . . . .. . . . ....... ... t = t2 ...... .... ......... ..... ... ........... .... .. . ....................................................................... .. .. ................................... .......... E ..... .... ... ....................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... . . .. .. .... .... t2 t1 u ¯ t Bild 14.4 Str¨ omung

¨ Energieumsetzung bei barotroper Instabilit¨at und Anderung der mittleren

gestellt – nichts anderes als eine Zunahme der St¨ orungsenergie E zur Folge hat. Die oben angef¨ uhrte Theorie der Zyklonenentstehung triﬀt aber nach heutigen Erkenntnissen f¨ ur die Atmosph¨are nicht zu. Vielmehr ist gerade die vertikale ¨ Anderung des Windes mit der H¨ohe, also die Baroklinit¨ at, der wesentliche Faktor bei der Zyklogenese. Dies wird im n¨achsten Kapitel noch genauer ausgef¨ uhrt. Die barotrope Instabilit¨at kann aber m¨oglicherweise zur Erkl¨ arung anderer Wellenph¨ anomene in der Atmosph¨are herangezogen werden, welche bei einer starken Scherung des mittleren Windes entstehen k¨onnen.

14.3 14.3.1

Barokline Instabilit¨ at St¨ orungsgleichungen f¨ ur das Zwei-Schichten-Modell

Im vorigen Abschnitt hatten wir die Stabilit¨at einer solchen Str¨ omung untersucht, bei der sich die Windgeschwindigkeit nur in der horizontalen Ebene ¨ anderte, weshalb auch der Begriﬀ der Barotropie verwendet werden konnte. Jetzt wollen wir das andere Extrem betrachten: Der Grundstrom soll sich nur mit der H¨ ohe omung, bei der sich der (geostrophische) Wind mit der H¨ ohe ¨andern. Eine Str¨ ¨andert, bezeichnet man als barokline Str¨omung; siehe Gleichung (10.17). Die Ursache f¨ ur eine solche H¨ohenver¨anderlichkeit ist nach der thermischen Windbeziehung (10.8) das Vorhandensein eines horizontalen Temperaturgradienten. Der einfachste Fall eines baroklinen Grundstromes ist derjenige einer linearen Zunahme des Geschwindigkeitsbetrages mit der H¨ ohe, was einem h¨ ohenkonstanten horizontalen Temperaturgradienten entspricht. Diese Situation ist in Bild 14.5 dargestellt: Einer solchen baroklinen Str¨omung werden jetzt horizontale Wellenst¨ orungen (in der x-y-Ebene!) aufgepr¨agt, wie im barotropen Fall dargestellt, und untersucht, unter welchen Verh¨altnissen eine barokline Str¨ omung instabil wird. Ein wesentlicher Parameter f¨ ur die barokline Instabilit¨ at ist nat¨ urlich die Baroklinit¨ at des Grundstromes selbst, ausgedr¨ uckt entweder durch die vertikale Wind-

14.3 Barokline Instabilit¨at z

215

ug ...... ... ..... ... .... ..... . .. ......................... ... ..................... ..... ..... . ... ... ..... ..................... .. . . . . . . . . . . ............ ..... ..... ..... ............................................. .............................................................. ..... ..... ........................ ........... ... ... .. ....................................... ................................................ ..... ..... ..... ... p ... ... ...................... ....... .................. ... ... ... ... .... ... .. ............ . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . ... ....... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .......... . ............. ..... ... .. .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ...... ..... ..... ..... ..... ............................................... .. ............................................ ... ...... .......................................... ............ ..... ........................ ...... ... ... .............. .. ...... ... . ....... . . .. ... .... ..... . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ... ... ... .. ..... .... .. ................ .......... ..... ..... .... ..... ..... ... ................y ... ..... ..... ..... ..... ..................................................... ..... ..... ..... ........... .... ... ..... ........................... .. .. ........ ........................................... ..... ... .. . ........ ........................................................................................................ K ... ...... . . . . . . . . . . . . ........................... .... ........................... ... ...... ............. ................................................................................................................................ T1 ........................... .. .......................................................................................................... ............. .......................... .......................... T .................................. 2 .......................... . . . ........................... ........................... 3 ........................T W ........................... . T4 ........ x

Bild 14.5 Einfache barokline Str¨omung mit dazugeh¨origem Temperaturfeld

scherung oder durch den horizontalen Temperaturgradienten. Ein weiterer Faktor ist der vertikale Temperaturgradient, der ein Maß f¨ ur die statische Stabilit¨ at der Luftmasse ist. Wie weiter unten erl¨autert wird, spielen Vertikalbewegungen bei der baroklinen Instabilit¨at eine entscheidende Rolle. Diese werden bekanntlich um so mehr unterdr¨ uckt, je stabiler die Atmosph¨are geschichtet ist, d. h. je st¨ arker die potentielle Temperatur mit der H¨ohe zunimmt. Die mathematische Behandlung des Stabilit¨ atsproblems ist im allgemeinen sehr komplex und dann kaum noch mit analytischen Methoden zu behandeln. Im folgenden soll die barokline Instabilit¨ at auf m¨ oglichst einfache Weise untersucht werden, wobei aber bereits die wesentlichen Zusammenh¨ ange deutlich werden, besonders hinsichtlich der Abh¨ angigkeit der Stabilit¨ at von der Baroklinit¨at und der Schichtung des Grundzustandes sowie von der Wellenl¨ ange der aufgepr¨agten St¨orungen. Wir gehen dazu von den quasi-geostrophischen Gleichungen aus, n¨ amlich von der Vorticitygleichung (12.11) und dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik (12.12). Diese Gleichungen werden einer Linearisierung unterworfen, wie es in Abschnitt 11.4 bei der linearisierten Vorticitygleichung vorgef¨ uhrt wurde. Dazu ¯ ζ¯g und Abweichungen davon, ¯ g , Φ, werden die Variablen in einen Grundzustand v vg , Φ , ζg , ω aufgespalten, wobei ω ¯ = 0 gew¨ahlt wird: ¯ g + vg , vg = v

¯ + Φ , Φ=Φ

ζg = ζ¯g + ζg ,

ω = ω .

Nach der Linearisierung lauten die quasi-geostrophische Vorticitygleichung und der Erste Hauptsatz der Thermodynamik: ∂ζg ∂ω ¯ g · ∇ζg + vg · ∇ζ¯g + β vg = f0 +v , ∂t ∂p ∂ ∂t

∂Φ ∂p

¯g · ∇ +v

∂Φ ∂p

+ vg · ∇

¯ ∂Φ ∂p

(14.13)

= −σ0 ω .

(14.14)

216

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

Zur weiteren Vereinfachung wird jetzt, wie in Bild 14.5 dargestellt, der Grund¯ g so gew¨ strom v ahlt, dass dieser nur von der Vertikalkoordinate abh¨ angt und in Richtung der x-Koordinate verl¨auft. Es soll also gelten: ⇒

vg = u ¯g i

v¯g = 0 ,

∂u ¯g ∂u ¯g = =0 . ∂x ∂y

⇒

u ¯g = u ¯g (p)

Daraus folgt aber f¨ ur die geostrophische Vorticity des Grundstromes: ∂u ¯g ∂¯ vg ζ¯g = − =0 . ∂x ∂y Wegen der geostrophischen Windbeziehung folgt außerdem f¨ ur das Geopotentialfeld der Grundstr¨omung: ¯ ∂Φ = f0 v¯g = 0 . ∂x Macht man in den linearisierten Gleichungen (14.13) und (14.14) von diesen Voraussetzungen Gebrauch, so erh¨alt man ∂ζg ∂ζg ∂ω +u ¯g + β vg = f0 , ∂t ∂x ∂p ∂ ∂t

∂Φ ∂p

+u ¯g

∂ ∂x

∂Φ ∂p

+ vg

∂ ∂y

¯ ∂Φ ∂p

= −σ0 ω .

onnen wir noch umformen: Den dritten Term im linearisierten Ersten Hauptsatz k¨ vg

(10.7) ¯ ¯ (10.7) ∂ ∂Φ ∂u ¯g ∂Φ 1 ∂Φ ∂ ↓ ↓ ∂ ∂Φ ∂ = = vg f0 u . ¯g = − ¯g = − − vg f0 u ∂y ∂p ∂p ∂y ∂p f0 ∂x ∂p ∂p ∂x

F¨ ur die Vorticity der St¨orungen f¨ uhren wir die geostrophische Beziehung ein: ζg =

1 2 ∇ Φ , f0

vg =

1 ∂Φ . f0 ∂x

Damit erh¨ alt man die endg¨ ultige Form der linearisierten, quasi-geostrophischen Gleichungen in einer baroklinen Atmosph¨are: ∂ 2 ∂ ∂ω ∂Φ ∇ Φ +u = f02 , ¯g ∇2 Φ + β ∂t ∂x ∂x ∂p ∂ ∂t

∂Φ ∂p

+u ¯g

∂ ∂x

∂Φ ∂p

−

∂u ¯g ∂Φ = −σ0 ω . ∂p ∂x

(14.15)

(14.16)

14.3 Barokline Instabilit¨at ..

... ... p ... ... . [hPa] .........

... ... ... ... ... ... .......... ....

217

0 ....................................................... ω0 ......................................................... ¯g1 ..... ..... ..... ..... 250 ..... ..... ..... ..... Φ1 ..... ..... ..... u 500 ....................................................... ω2 ......................................................... ¯g3 ..... ..... ..... ..... 750 ..... ..... ..... ..... Φ3 ..... ..... ..... u

1000 ....................................................... ω4 .........................................................

Bild 14.6 Das Zwei-Schichten-Modell der Atmosph¨are

Bevor wir eine weitere Analyse der linearisierten Gleichungen vornehmen, sollen die bestimmenden Faktoren f¨ ur die St¨orungen herausgestellt werden. Als Grundstrom wird der geostrophische Wind u¯g vorgegeben, wobei dessen H¨ ohenver¨ anderlichkeit ∂ u ¯g /∂p, also die Baroklinit¨at des Grundzustandes, ber¨ ucksichtigt werden kann (im Gegensatz zur barotropen Vorticitygleichung (11.18), welche zur Analyse der Rossby-Wellen verwendet wurde). Als weitere Faktoren spielen die Erdkr¨ ummung, ausgedr¨ uckt durch die Breitenkreisvariation des Coriolis-Parameters β, sowie die statische Stabilit¨at der Atmosph¨are u atparameter σ0 ¨ber den Stabilit¨ f¨ ur die Entwicklung von aufgepr¨agten St¨orungen eine Rolle. Um eine weitere analytische Behandlung der St¨ orungsgleichungen (14.15) und (14.16) zu erm¨ oglichen, f¨ uhren wir eine weitere Vereinfachung f¨ ur die Atmosph¨ are ein, welche unter dem Begriﬀ Zwei-Schichten-Modell in der Literatur sehr h¨auﬁg Verwendung ﬁndet. Dahinter steht die Vorstellung, dass man die Atmosph¨ are in zwei gleich dicke Luftschichten einteilt, in welchen jeweils die einzelnen Variablen h¨ ohenunabh¨angig sind, in den beiden Schichten jedoch unterschiedliche Werte aufweisen k¨onnen. Zur Veranschaulichung ist in Bild 14.6 die Schichtenaufteilung dargestellt, wie sie im p-System u ¨blicherweise vorgenommen wird. Hierbei wird die Atmosph¨are in je eine Schicht zwischen der Obergrenze bei p = 0 und p = 500 hPa und zwischen 500 hPa und 1000 hPa aufgeteilt. Die Variablen werden dann wie folgt den Druckﬂ¨ achen zugeordnet: In der jeweiligen Schichtmitte, also bei 250 hPa und 750 hPa, wird das Geopotential Φ und der geostrophische Wind u¯g als repr¨asentativ (h¨ ohenkonstant) f¨ ur die Atmosph¨ arenschicht angesehen. Die Vertikalgeschwindigkeit ω wird auf den Begrenzungsﬂ¨ achen der Schichten, also 0, 500, 1000 hPa, berechnet. Zur weiteren Vereinfachung wird als Randbedingung angenommen, dass die Vertikalgeschwindigkeit an Ober- und Untergrenze der Atmosph¨are verschwindet. ω0 = ω4 = 0 . ¨ Außerdem wird eine lineare Anderung aller Variablen zwischen den beiden Schichten angenommen (wie f¨ ur den geostrophischen Wind in Bild 14.5 dargestellt), was f¨ ur das Geopotential Φ und den geostrophischen Wind u¯g in der Fl¨ache 2, in welcher nur die Vertikalgeschwindigkeit ω berechnet wird, zur Folge hat, dass gilt:

218

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

u ¯g2 =

1 (¯ ug1 + u ¯g3 ) , 2

Φ2 =

1 (Φ + Φ3 ) . 2 1

Um die linearen Gleichungen (14.15) und (14.16) auf eine Zwei-Schichten-Atmosph¨ are anwenden zu k¨onnen, m¨ ussen die vertikalen Ableitungen durch Diﬀerenzen ersetzt werden, wobei im Diﬀerentialquotienten ∂p durch Δp = 500 hPa ersetzt wird. Im einzelnen ergibt sich f¨ ur die Vertikalableitung der oben angef¨ uhrten Randbedingungen: ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

∂ω ω − ω2 ω − ω0 ω = 0 = 2 = 2 , ∂p 1 p0 − p2 p2 − p0 Δp

∂ω ω − ω4 ω − ω2 ω = 2 = 4 =− 2 . ∂p 3 p2 − p4 p4 − p2 Δp F¨ ur das Geopotential Φ :

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − ⎪ ⎪ −→ = ⎪ . = − ⎪ ⎪ ∂p 2 Δp 2 p1 − p3 Δp ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F¨ ur den thermischen Wind: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ¯g ¯g3 ¯g3 ⎪ Δ¯ ug u ¯g1 − u u ¯g1 − u ⎪ ⎪ ⎪ . −→ = = − ⎪ ⎭ ∂Φ

∂p

ΔΦ

2

Δp

Φ1

2

Φ3

p1 − p3

Φ1

Δp > 0 (= 500 hPa)

Φ3

Δp

Mit diesen Approximationen k¨onnen die Vorticitygleichung (14.15) f¨ ur die Fl¨ achen 1 und 3 (250 und 750 hPa) sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik (14.16) f¨ ur die Fl¨ ache 2 (500 hPa) geschrieben werden: ∂ 2 ∂ ω ∂Φ1 ∇ Φ1 + u = f02 2 , ¯g1 ∇2 Φ1 + β ∂t ∂x ∂x Δp ∂ ω ∂Φ3 ∂ 2 ∇ Φ3 + u = −f02 2 , ¯g3 ∇2 Φ3 + β ∂t ∂x ∂x Δp

(14.17)

1 ∂ ∂ (Φ − Φ3 ) + (¯ ug1 + u ¯g3 ) (Φ1 − Φ3 ) ∂t 1 2 ∂x 1 ∂ − (¯ ug1 − u ¯g3 ) (Φ1 + Φ3 ) = σ0 Δp ω2 . 2 ∂x Damit liefert das Zwei-Schichten-Modell Bestimmungsgleichungen f¨ ur das Geopotential der St¨ orungen in 250 und 750 hPa, sowie die Vertikalgeschwindigkeit ω im 500-hPa-Niveau. (Dieses Zwei-Schichten-Modell ist das einfachste barokline Modell, welches in der numerischen Wettervorhersage verwendet wurde.)

14.3 Barokline Instabilit¨at 14.3.2

219

St¨ orungsanalyse

Zur Untersuchung der Fragestellung, ob eine barokline Grundstr¨ omung gegen¨ uber aufgepr¨ agten St¨ orungen instabil wird oder nicht, wird jetzt wie folgt vorgegangen: Es wird eine wellenf¨ormige St¨orung f¨ ur das Geopotential Φ1 und Φ3 und f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit ω2 angesetzt, wobei zur weiteren Vereinfachung angenommen wird, dass diese nicht von der meridionalen Koordinate y, sondern nur von der zonalen Koordinate x und der Zeit t abh¨ angen soll, also Φ = Φ (x,t), ω = ω(x,t). Daraus ergibt sich f¨ ur Φ : ∂Φ =0 ∂y

⇒

∇2 Φ =

∂ 2 Φ . ∂x2

Wir machen einen komplexen Wellenansatz: Φ1 (x,t) = A1 exp {ik (x − ct)} , Φ3 (x,t) = A3 exp {ik (x − ct)} ,

(14.18)

ω2 (x,t) = A2 exp {ik (x − ct)} mit k = 2π/Lx , wobei Lx die Wellenl¨ange in x-Richtung ist, und der komplexen Phasengeschwindigkeit c = cr + ici . Der Wellenansatz l¨asst sich auch so schreiben: Φ (x,t) = A exp {ik (x − cr t − ici t)} = A exp(kci t) exp {ik (x − cr t)} . Hier gibt die zweite Exponentialfunktion den wellenf¨ ormigen Anteil (in komplexer Schreibweise) wieder, w¨ahrend die erste Aufschluss u ¨ber das zeitliche Anwachsen der Str¨ omungsamplitude, d. h. u at, gibt, wie in Abschnitt ¨ber die Instabilit¨ 14.1 erl¨ autert. Wenn man die Wellenans¨atze (14.18) in die linearisierten Gleichungen (14.17) einsetzt, so erh¨ alt man ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die St¨ orungsamplituden A1 , A2 und A3 , welches nach Zusammenfassen verschiedener Terme folgende Gestalt annimmt: )

*

+

f02 A2 Δp

=0 ,

¯g3 ) k 2 + β A3 − ik (c − u

f02 A2 Δp

=0 ,

ik (c − u ¯g1 ) k 2 + β A1 )

−ik {(c − u ¯g3 )} A1

+ ik {(c − u ¯g1 )} A3

*

(14.19)

− σ0 Δp A2 = 0 .

Da dieses Gleichungssystem homogen ist, existiert nur dann eine L¨ osung, wenn die Koeﬃzientendeterminante verschwindet. Aus dieser Forderung erh¨ alt man eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die komplexe Phasengeschwindigkeit c, welche lautet:

220

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

c=u ¯m −

√ β(k 2 + λ2 ) ± δ . 2 2 2 k (k + 2λ )

(14.20)

Hierbei bedeuten δ=

λ2 =

f02 , (Δp)2 σ0

k 2 − 2λ2 β 2 λ4 +u ¯2T 2 , 2 2 + 2λ ) k + 2λ2

k 4 (k 2

1 ug1 + u u ¯m = (¯ ¯g3 ) , 2

1 ug1 − u u ¯T = (¯ ¯g3 ) . 2

u ¯m ist der mittlere geostrophische Wind und u¯T der mittlere thermische Wind zwischen den Fl¨ achen 250 und 750 hPa. Aus (14.20) wird klar, dass eine komplexe Phasengeschwindigkeit (also auch eine Instabilit¨ at) nur dann auftreten kann, wenn δ < 0 wird. Nun ist δ die Abk¨ urzung f¨ ur einen recht komplizierten Zusammenhang zwischen dem thermischen Wind u ¯T , der statischen Stabilit¨at σ0 , dem Beta-Term β und der Wellenzahl k (bzw. der Wellenl¨ange L = 2π/k). Deshalb soll zun¨ achst ein Spezialfall behandelt werden, n¨amlich β = 0, d. h. der Einﬂuss der Erdkr¨ ummung soll vernachl¨ assigt werden. Dann nimmt (14.20) eine einfache Gestalt an:

c=u ¯m ± u ¯T

k 2 − 2λ2 k 2 + 2λ2

f¨ ur β = 0 .

(14.21)

Dann existiert ein Imagin¨arteil ci , wenn gilt k 2 < 2λ2 oder L2 > 2π 2 /λ2 . Dies bedeutet, dass alle Wellen mit einer Wellenl¨ange L, welche gr¨ oßer als eine kritische Wellenl¨ ange Lc ist, instabil werden k¨onnen, d. h. dass ihre St¨ orungsamplitude mit der Zeit anw¨ achst. Aus (14.21) folgt f¨ ur diese kritische Wellenl¨ ange Lc =

√ π Δp π √ 2 = 2σ0 . λ f0

(14.22)

Aus dieser Beziehung geht hervor, dass die kritische Wellenl¨ ange mit zunehmender statischer Stabilit¨at anw¨achst, oder anders ausgedr¨ uckt, je geringer die urzere Wellen k¨onnen bereits instabil werden. Diestatische Stabilit¨ at σ0 , desto k¨ ser stabilisierende“ Einﬂuss der statischen Stabilit¨ at (thermische Schichtung) ” auf k¨ urzere Wellenl¨angen der St¨orungen h¨angt physikalisch mit der D¨ ampfung von Vertikalbewegungen durch eine stabile Luftschichtung zusammen. F¨ ur mittlere atmosph¨arische Werte der Parameter f0 und σ0 erh¨ alt man f¨ ur die kritische Wellenl¨ange Lc ≈ 3000 km, also eine Wellenl¨ ange der St¨ orungen, welche im synoptischen Bereich liegt.

14.3 Barokline Instabilit¨at

221

Es soll noch darauf hingewiesen werden, dass f¨ ur den Fall β = 0 die Existenz einer komplexen Phasengeschwindigkeit gem¨aß (14.21), also die M¨ oglichkeit zu barokliner Instabilit¨at, nicht von der Gr¨oße der Baroklinit¨ at selbst (ausgedr¨ uckt durch den thermischen Wind u ¯T ) abh¨angt. Dieses Verhalten ¨ andert sich, wenn die Erdkr¨ ummung mit ber¨ ucksichtigt wird, d. h. β = 0 gesetzt wird. Dann ergibt sich aus (14.20) und der Deﬁnition von δ, dass eine komplexe Phasengeschwindigkeit nur dann auftreten kann, wenn gilt (wegen δ < 0): β 2 λ4
k 4 (k 2

Daraus erh¨ alt man nach Umformung f¨ ur die Wellenzahl k der aufgepr¨ agten St¨orungen als Bedingung f¨ ur die barokline Instabilit¨ at 4

4

k > 2λ

1±

β2 1− 4 2 4λ u ¯T

.

(14.23)

Da die Wellenzahl bzw. die Wellenl¨ange aber nicht imagin¨ ar werden darf, muss zus¨ atzlich f¨ ur die Wurzel in (14.23) gelten: |¯ uT | >

β βσ0 (Δp)2 = . 2λ2 2f02

Dies bedeutet, dass der thermische Wind einen von der thermischen Schichtung σ0 und dem β-Term abh¨angigen Mindestwert u ¨berschreiten muss, damit barokline Instabilit¨ at auftreten kann. Wegen der Bedingung (14.23) kann ein Imagin¨ arteil der Phasengeschwindigkeit, also ein Amplitudenwachstum der St¨ orungen, nicht f¨ ur alle m¨ oglichen Kombinationen von k, β, λ und u ¯T auftreten; vielmehr wird der Wertebereich von ci ≥ 0 durch (14.23) eingeschr¨ ankt. Dies f¨ uhrt insbesondere dazu, dass wegen des β-Eﬀektes nun auch solche Wellen nicht instabil werden k¨onnen, welche l¨ anger als eine gewisse Wellenl¨ange L > Lc sind (im Gegensatz zum Fall β = 0 (14.22)!). Der β-Eﬀekt (oder die Breitenver¨ anderlichkeit des Coriolis-Parameters) wirkt sich also stabilisierend auf die langen Wellen in einem baroklinen Grundstrom aus. Das eben Gesagte l¨asst sich aus (14.23) quantitativ in einen sogenannten Instabilit¨ atsdiagramm darstellen, wobei f¨ ur Kombinationen der Werte der Wellenzahl k bzw. der Wellenl¨ange L der St¨orungen und der Baroklinit¨ at u ¯T des Grundstroms der Imagin¨arteil der Phasengeschwindigkeit berechnet wird, woraus auf ein Amplitudenwachstum und somit auf ein Instabilwerden des Grundzustandes geschlossen werden kann (siehe Bild 14.2). Es ergibt sich schematisch dargestellt das Bild 14.7. Innerhalb des Bereichs ci > 0 ergibt die Stabilit¨ atsuntersuchung, z. B. mit Hilfe des Zwei-Schichten-Modells, eine positive Wachstumsrate der St¨ orungen, was zu einer Instabilit¨ at des Grundstromes f¨ uhrt. Außerhalb dieses Bereiches verh¨ alt sich der barokline Grundstrom stabil gegen¨ uber aufgepr¨ agten St¨ orungen. Mit |¯ uT |c ist die kritische Baroklinit¨at bezeichnet, also derjenige Wert des thermischen

222

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

.. |uT | ...... .. .. ... .. .. . . instabil .. ... ... ... ... ... . . . ... .. ... ... .. ... ci > 0 . ... ... . . ... ... .. ... ... .. . . ... .. .... ... .. .... β–Eﬀekt . . . .. σ–Eﬀekt ...... . ...... . |uT |c .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......................... ... ... ... ... .. ... .. stabil .. ... ... .. .. ... . .................................................................................................................................................... Lc L

Bild 14.7 Schematische Darstellung eines Stabilit¨atsdiagramms f¨ ur eine barokline Str¨omung. Stabilisierende Eﬀekte sind die statische Stabilit¨at (σ-Eﬀekt) f¨ ur kurze Wellen und die Kugelgestalt der Erde (βEﬀekt) f¨ ur lange Wellen. Der Instabilit¨atsbereich ist durch die Bedingung ci > 0 charakterisiert.

Windes, welcher mindestens notwendig ist, damit Instabilit¨ at eintreten kann. Die Wellenl¨ ange derjenigen St¨orung, welche bei der kritischen Baroklinit¨ at gerade zur Instabilit¨ at f¨ uhren kann, nennt man kritische Wellenl¨ ange Lc . Die wesentlichen Ursachen, weshalb nicht alle m¨oglichen Wellenl¨angen zur baroklinen Instabilit¨ at f¨ uhren, sind, wie im Diagramm vermerkt, der Einﬂuss der thermischen Schichtung (stabile Schichtung ∂θ/∂z > 0) und der Erdkr¨ ummung (β = ∂f /∂y). F¨ ur typische atmosph¨ arische Verh¨altnisse ergeben sich aus einem Zwei-Schichten-Modell, wie hier vorgef¨ uhrt, f¨ ur |¯ uT |c und Lc : |¯ uT |c ≈ 4 m s−1 −→ u ¯g (250 hPa) − −1 u ¯g (750 hPa) = 8 m s ; Lc ≈ 4000 km . Der kritische thermische Wind von 8 m s−1 zwischen dem 250- und dem 750hPa-Niveau wird in der Atmosph¨are praktisch st¨ andig erreicht und meist sogar u ur die Entstehung barokliner ¨bertroﬀen. Das bedeutet, dass die Bedingungen f¨ Instabilit¨ at in der Atmosph¨are immer vorhanden sind. Die kritische Wellenl¨ ange andererseits liegt gerade im Bereich der Gr¨oßenabmessung synoptischer Systeme, d. h. der Hoch- und Tiefdruckgebiete der mittleren Breiten. Aufgrund der Ergebnisse der Theorie der baroklinen Instabilit¨at ist man seit etwa 1950 zu der Ansicht gelangt, dass die Zyklonen und Antizyklonen durch barokline Instabilit¨ at in den mittleren Breiten der Atmosph¨are entstehen. 14.3.3

Erl¨ auterungen zum Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at

Die formale Herleitung der Bedingungen f¨ ur die Instabilit¨ at eines baroklinen Grundzustandes, wie sie im vorangegangenen Abschnitt im Detail diskutiert wurde, gibt Anhaltspunkte dar¨ uber, welche meteorologischen Parameter dabei eine Rolle spielen. Der eigentliche physikalische Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at geht jedoch aus der Beziehung f¨ ur die komplexe Phasengeschwindigkeit der aufgepr¨ agten Anfangsst¨orungen (14.20) nicht hervor. Die Entwicklung von Tiefdruckgebieten (Zyklonen) aus einer schwachen Anfangsst¨ orung heraus ist allerdings auch kein trivialer Vorgang, da es dabei zu einer r¨ aumlichen und zeit-

14.3 Barokline Instabilit¨at

223

lichen Umstrukturierung von Druck-, Temperatur- und Geschwindigkeitsfeldern kommt, wie dies z.B. ausf¨ uhrlich in den im Literaturverzeichnis genannten Monographien von Bluestein und Carlson beschrieben wird. An dieser Stelle soll dagegen nur versucht werden, den grundlegenden Mechanismus der baroklinen Instabilit¨ at nahe zu bringen.

Bild 14.8 Verhalten eines Luftpaketes (x) in einem baroklinen Grundstrom bei Auslenkung aus seiner Gleichgewichtslage (H¨ohe zp ) in die Positionen A, B, C bzw. A’, B’, C’. Vertikale Pfeile: Bewegungsrichtung, verursacht durch Auftriebskraft; horizontale Pfeile: Bewegungsrichtung, verursacht durch Coriolis- und Druckkraft. F¨ ur die Linien gleicher potentieller Temperatur gilt: θ3 > θ2 > θ1 .

Der Begriﬀ Instabilit¨at bezieht sich immer auf einen Grundzustand, welchem eine St¨ orung aufgepr¨agt wird. Der Grundzustand selbst wird hier durch eine barokline Atmosph¨ are gegeben. Dies bedeutet, dass die Atmosph¨ are sich zum einen im hydrostatischen Gleichgewicht, zum anderen gem¨ aß der thermischen Windbeziehung im geostrophischen Gleichgewicht beﬁndet. Dieser Gleichgewichtszustand ist nun f¨ ur gewisse Werte der vertikalen Temperaturschichtung und des thermischen Windes gegen¨ uber aufgepr¨agten St¨orungen (Wellen) stabil, in anderen F¨allen instabil, d. h. das geostrophische und hydrostatische Gleichgewicht kann nicht mehr aufrecht erhalten werden. Um dies zu veranschaulichen, machen wir von der Methode der Auslenkung einzelner Luftpakete aus ihrer Gleichgewichtslage heraus Gebrauch, wie es schon zur Herleitung der statischen Stabilit¨ at in Abschnitt 6.4 vorgef¨ uhrt wurde. Der Grundzustand der einfachen baroklinen Atmosph¨ are, wie sie in Abschnitt 14.3.1 deﬁniert wurde, ist anhand der Isentropen noch einmal in Bild 14.8 dargestellt. In der Vertikalen ist die Atmosph¨ are stabil

224

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

geschichtet, d.h. es gilt ∂θ/∂z > 0. In der Meridionalen herrscht ein h¨ ohenkonstanter horizontaler Temperaturgradient ∂θ/∂y < 0, welcher das u ¨bliche Tem¨ peraturgef¨ alle zwischen Aquator und Pol darstellen soll. Wegen der thermischen Windbeziehung (siehe Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 10.2) ∂ug g ∂θ ≈− ∂z f θ ∂y herrscht ein mit der H¨ohe zunehmender zonaler geostrophischer Westwind (in Bild 14.8 aus der Bildebene heraus wehend). Physikalisch entspricht der thermische Wind gerade dem Gleichgewicht zwischen Corioliskraft und Druckkraft in jedem H¨ ohenniveau. Die hier dargestellte Konﬁguration der Isentropen kann nur in einem rotierenden System (durch die Wirkung der Corioliskraft) im Gleichgewicht gehalten werden. Im nicht-rotierenden System w¨ urde entsprechend der Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 9.3 ein horizontaler Temperaturgradient unmittelbar zu Str¨ omungen meridionaler Richtung f¨ uhren (siehe auch Bild 9.5). Es soll jetzt ein Luftpaket betrachtet werden, welches aus seiner Gleichgewichtslage (als x in Bild 14.8 gekennzeichnet) in verschiedene Positionen oberhalb (A, B, C) oder unterhalb A’, B’, C’) seiner Ausgangsh¨ ohe zp ausgelenkt wird. Entsprechend der Ausf¨ uhrungen zur statischen Stabilit¨ at in Abschnitt 6.4 und zum ageostrophischen Wind in Abschnitt 12.3 erf¨ahrt das Partikel nach seiner Auslenkung folgende Beschleunigungen:

dw dt dv in y-Richtung : dt

in z-Richtung :

=

g (θp − θu ) θp

= −f (up − ug ) .

(14.24) (14.25)

Mit θu und ug werden potentielle Temperatur und zonale geostrophische Windgeschwindigkeit des Grundzustandes bezeichnet. Dabei ist vorausgesetzt worden, dass es sich um einen adiabatischen Vorgang handelt, d.h. es gilt dθp /dt = 0, wobei θp die potentielle Temperatur des Luftpartikels ist. Ferner wurde angenommen, dass das Luftpaket seine zonale Gleichgewichtsgeschwindigkeit (up ) zun¨achst beibeh¨ alt. Betrachten wir zun¨achst nur den Einﬂuss der Auftriebskr¨ afte. Nach der Auslenkung in Position A bzw. A’ ist das Partikel jeweils k¨ alter bzw. w¨ armer als die Umgebungsluft. Demzufolge erf¨ahrt es jeweils eine Beschleunigung in Richtung auf seine Gleichgewichtslage. Dieser Fall ist bereits in Abschnitt 6.4 ausf¨ uhrlich diskutiert worden. Wird das Partikel entlang seiner Ausgangsisentrope verschoben (Position B und B’), so entspricht seine Temperatur θp jeweils der Umgebungsluft und es treten keine Auftriebskr¨afte auf. Diesen Fall hatten wir als neutrale Gleichgewichtslage bezeichnet.

14.3 Barokline Instabilit¨at

225

Interessant sind jetzt die F¨alle C und C’. Bei der Anhebung in die Position C ﬁndet sich das Luftpaket in einer k¨alteren Umgebungsluft, was zu einer aufsteigenden Bewegung f¨ uhrt, womit sich das Luftpaket weiter von seiner Gleichgewichtslage entfernt. Diesen Fall hatten wir in Abschnitt 6.4 als labiles oder instabiles Gleichgewicht bezeichnet. F¨ ur die Auslenkung nach unten auf Position C’ ergibt sich analog, dass das Partikel in w¨armere Umgebungsluft ger¨ at, somit absinkt und sich dabei ebenfalls weiter vom Gleichgewichtsniveau entfernt. Auch diese Verlagerung f¨ uhrt zu einem instabilen Verhalten. Aus Bild 14.8 kann man nun erkennen, dass sich das Luftpaket immer dann von seiner Gleichgewichtslage entfernt, wenn es in einen Bereich ausgelenkt wird, der zwischen seiner Ausgangsisentrope (hier θ2 ) und seiner Ausgangsh¨ ohe zp liegt. Dieser Bereich ist durch den Winkel α in Bild 14.8 gekennzeichnet. Man kann also formulieren, dass eine barokline Grundstr¨omung statisch instabil werden kann, wenn die Auslenkung von Luftpaketen nicht nur in vertikaler, sondern auch in meridionaler Richtung erfolgt. Betrachten wir neben diesem statischen Eﬀekt noch den Tr¨ agheitseﬀekt, der dadurch entsteht, dass das betrachtete Luftpaket auch noch eine zonale Gleichgewichtsgeschwindigkeit up = ug (zp ) besitzt. Bei einer Anhebung in die Position A, B, C kommt das Partikel in eine Umgebung, die einen geostrophischen Wind ug aufweist, der gr¨ oßer ist als seine Ausgangsgeschwindigkeit up . Hinsichtlich des Kr¨aftegleichgewichts ist somit die Corioliskraft geringer als die (in y-Richtung wirkende) Druckkraft. Entsprechend (14.25) wird das Luftpaket in allen Positionen in positive y-Richtung (d.h. nach Norden) beschleunigt, wie anhand der Pfeile in Bild 14.8 symbolisiert ist. F¨ ur eine Auslenkung in tiefere Luftschichten (A’, B’, C’) gilt das Umgekehrte. Das Partikel hat eine h¨ ohere zonale Geschwindigkeit als der geostrophische Wind der Umgebungsluft. Somit ist die Corioliskraft gr¨ oßer als die Druckkraft und das Partikel wird entsprechend (14.25) in die negative y-Richtung (nach S¨ uden) beschleunigt. Der soeben geschilderte Tr¨agheitseﬀekt f¨ uhrt insbesondere in den bereits statisch instabilen Positionen C und C’ dazu, dass das Partikel eine zus¨ atzliche Anfangsbeschleunigung von seiner Gleichgewichtslage weg erf¨ ahrt, die den Eﬀekt der Instabilit¨ at noch verst¨arkt. Es seien zum Schluss dieser einfachen Stabilit¨atsanalyse noch zwei Grenzf¨ alle betrachtet. (a) α = 0 , d.h. ∂θ/∂y = 0 . In diesem Fall liegen die Isentropen parallel zur y-Achse, womit der thermische Wind verschwindet. Man hat dann den klassischen Fall einer stabil geschichteten barotropen Atmosph¨are, und keine horizontale oder vertikale Auslenkung eines Luftpaketes f¨ uhrt zu einer Instabilit¨at. (b) α = 90◦ , d.h. ∂θ/∂z = 0 . In diesem Fall stehen die Isentropen senkrecht auf der y-Achse, die Atmosph¨ are ist somit neutral geschichtet. Bei jeder Auslenkung in der Horizontalen ﬁndet sich ein Luftpaket in einer Umgebungstemperatur, welche entsprechend (14.24) zum Absinken bzw. Aufsteigen und somit zum Entfernen von seiner Gleichgewichts-

226

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

lage f¨ uhrt. Bei Auslenkung in der Vertikalen erf¨ ahrt das Partikel nat¨ urlich keine Auftriebskraft (neutrale Schichtung). Jedoch f¨ uhrt der Tr¨ agheitseﬀekt (Gleichung 14.25) sofort zu einer horizontalen Auslenkung und somit in eine instabile Gleichgewichtslage. Diese Situation ist somit in Bezug auf einzelne Luftpakete immer baroklin instabil und f¨ uhrt selbst bei kleinsten Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage zur Instabilit¨at. Die hier angestellten einfachen Betrachtungen zur physikalischen Ursache der baroklinen Instabilit¨at k¨onnen allerdings nur einen ersten Anhaltspunkt zum Verst¨ andnis dieser Instabilit¨ at liefern. In der realen Atmosph¨ are muss man bei der Verlagerung von Luftpaketen immer das Kontinuum Luft als Ganzes betrachten. Umlagerungen bestehen dabei immer aus komplexen Verkn¨ upfungen der Felder von Temperatur, Dichte, Druck und Geschwindigkeit, was eine einfache anschauliche Interpretation der tats¨achlichen Vorg¨ange bei der baroklinen Instabilit¨ at und der damit verbundenen Zyklonenentstehung sehr erschwert. Dem interessierten Leser seien hierzu die ausf¨ uhrlichen Darstellungen in den Monographien von Bluestein und Carlson (siehe Literaturverzeichnis) empfohlen. Im Fall der baroklinen Instabilit¨at kommt es zu einer Umstrukturierung der ¨ urspr¨ unglichen Grundstr¨omung durch Uberlagerung und Verst¨ arkung von Zyklonenwellen. Hinsichtlich der Energie dieses Grundzustandes ist uns aus Kapitel 6 von der Betrachtung der statischen Atmosph¨are bekannt, dass eine Atmosph¨ are mit horizontalen Temperaturgradienten potentielle und innere Energie besitzt, die in Bewegung umgesetzt werden kann. Die Summe dieser beiden Energieformen wird auch als totale potentielle Energie bezeichnet. Dies ist nun auch die Quelle, aus welcher die St¨ orungen ihre Energie gewinnen, welche zu einem Amplitudenwachstum notwendig ist. Dies geschieht dadurch, dass durch die ageostrophischen Windkomponenten der aufgepr¨ agten Wellen, Meridionalgeschwindigkeit v und Vertikalgeschwindigkeit ω, der Temperaturgradient des baroklinen Grundzustandes abgebaut wird, was zu einer Verminderung der totalen potentiellen Energie der Grundstr¨omung zugunsten der totalen potentiellen Energie der St¨ orungen f¨ uhrt. Dies geschieht im wesentlichen durch Aufgleitund Hebungsvorg¨ange im synoptischen Bereich, d. h. durch großr¨ aumiges Absinken von Kaltluft und Aufsteigen von Warmluft. Schematisch ist dieser Umwandlungsprozess in Bild 14.9 dargestellt. Allerdings kommt es in der Natur nie zu einem vollst¨ andigen Abbau des horizontalen Temperaturgradienten wie in (c) skizziert. Im wesentlichen wird bei barokliner Instabilit¨ at der horizontale Temperaturgegensatz der Grundstr¨omung, und damit deren Baroklinit¨ at, abgebaut. Daf¨ ur baut sich in den St¨orungen ein Temperaturgradient auf (Temperaturasymmetrie der Zyklonen), was eine Baroklinit¨at und somit totale potentielle Energie in den St¨orungen selbst erzeugt. Diese Energie der St¨orungen wird nun ihrerseits in kinetische Energie umgewandelt, was sich im Ausbau eines Geschwindigkeitsfeldes der baroklinen Wellen auswirkt. Insgesamt hat man bei der baroklinen Instabilit¨ at die in Bild 14.10 aufgef¨ uhrten Energieumwandlungen.

14.4 Kleinr¨ aumige Instabilit¨aten

227

p ....... p ...... p ...... ... . ... . . . . . . . . . ............. θ3 .. ........................ .............................. θ3 .... ..................................................................................................................................... θ . .... ....................................... ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .... ............................. .... ........................................... .... . . ... . .. .. .. . . . ....................... θ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . θ2 .. ..................................................................................................................................... θ .................... .... ............................................................................................................. 2 .. W ............................................. .... ... .. K . ... . . . . .... . . .................. θ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ............................................................................................................. θ1 .... ..................................................................................................................................... θ1 .... ............................................................................................ .. . .... .... ... ...................................................................................... y ........................................................................................ y ........................................................................................ y (a) (c) (b) Bild 14.9 (a) barokliner Grundzustand mit ∇h θ = 0, ∂θ/∂z > 0, (b) Vertikalzirkulation bei barokliner Instabilit¨at, (c) Grundzustand nach barokliner Umwandlung

F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Behandlung der Energieumwandlungen bei barokliner Instabilit¨ at (Zyklogenese) sei auf die im Literaturverzeichnis zitierten B¨ ucher verwiesen. Das formale Vorgehen ist dabei ¨ahnlich der Aufstellung von Energiegleichungen, die in Abschnitt 12.6 exemplarisch durchgef¨ uhrt wurde.

14.4

Kleinr¨ aumige Instabilit¨ aten

In den vorangegangenen Abschnitten wurde das Stabilit¨ atsverhalten großr¨ aumiger atmosph¨ arischer Str¨omungen im Zusammenhang mit der Zyklogenese untersucht. Dabei spielten die Erdrotation und der β-Eﬀekt eine wichtige Rolle. Nun beobachtet man in der Atmosph¨are aber h¨auﬁg auch Instabilit¨ atsph¨ anomene auf sehr kleinen Skalen, etwa im Bereich von wenigen Kilometern Ausdehnung, wobei sich die Grundstr¨ omung nicht im geostrophischen Gleichgewicht beﬁnden muss. Wir wollen uns daher zum Schluss dieses Kapitels u aten mit solchen ¨ber Instabilit¨ kleinr¨ aumigen Ph¨ anomenen befassen. Als Grundzustand w¨ahlen wir ein mittleres Windproﬁl u¯(z) und ein Tempe¯ raturproﬁl θ(z) und betrachten die Stabilit¨at dieser Grundstr¨ omung in einer xz-Ebene (Vertikalebene). Die Herleitung der St¨orungsgleichungen soll an dieser Stelle nicht erfolgen; im Prinzip geht man von denselben Gleichungen aus, wie sie mit (13.24)–(13.27) auch schon bei der Behandlung der internen Schwerewellen verwendet wurden. Es muss jetzt lediglich zus¨atzlich die H¨ ohenabh¨ angigkeit der Wind- und Temperaturproﬁle ber¨ ucksichtigt werden. Dies f¨ uhrt, wie in Abschnitt ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

¯p , E ¯i E

Ep , Ei

=⇒

Grundstrom

=⇒

St¨ orungen

t

Ek

Bild 14.10 Energieumwandlungen bei barokliner Instabilit¨at. Ep bezeichnet die potentielle, Ei die innere und Ek die kinetische Energie.

228

14 Instabilit¨ aten und Zyklogenese

13.3 ausgef¨ uhrt, auf die Taylor-Goldstein-Gleichung (13.54), die hier noch einmal wiederholt sei:

2

(¯ u(z) − c)

∂ 2 w0 ¯ ∂2u − k 2 w0 − (¯ u(z) − c) w0 + N 2 (z) w0 = 0 . 2 ∂z ∂z 2

(14.26)

Hierbei war f¨ ur die wellenf¨ormige Anfangsst¨orung der Vertikalgeschwindigkeit der Ansatz w (x,y,z,t) = w0 (z) exp [ik(x − ct)] gemacht worden; w0 (z) bezeichnet die St¨orungsamplitude, k = 2π/L die Wellenzahl und c = cr + ici die komplexe Phasengeschwindigkeit (analog zum Ansatz (14.7) f¨ ur die Stromfunktion bei der barotropen Instabilit¨ at). Die Bestimmung des Imagin¨arteils der Phasengeschwindigkeit f¨ ur beliebige ¯ Proﬁle u ¯(z) und θ(z) ist auf analytischem Wege meist nicht m¨ oglich. Aber wie schon bei der Rayleigh-Gleichung (14.9) lassen sich einige allgemeine Aussagen treﬀen. Dazu betrachten wir zun¨achst eine neutral geschichtete Str¨ omung, d. h. ¯ ∂ θ/∂z = 0, so dass N 2 = 0 gilt. Damit reduziert sich (14.26) zu

(¯ u(z) − c)

∂ 2 w0 ¯ ∂2u − k 2 w0 − 2 w0 = 0 . 2 ∂z ∂z

(14.27)

(14.27) hat damit die gleiche Struktur wie die Rayleigh-Gleichung (14.9), wenn man dort f¨ ur die Vorticity des Grundstroms die Beziehung (14.12) einsetzt. In der Tat ist (14.27) die Rayleigh-Gleichung f¨ ur eine ebene Scherstr¨ omung in der x-z-Ebene. (14.9) war f¨ ur eine Str¨omung in der x-y-Ebene mit dem Grundstrom u ¯(y) aufgestellt worden. Mithin gilt das in Hinblick auf die barotrope Instabilit¨ at Gesagte auch f¨ ur eine Scherstr¨ omung mit u ¯(z). Insbesondere lassen sich die Aussagen aus Bild 14.3 hinsichtlich der Wendepunktstabilit¨at auf kleinr¨ aumige vertikale Scherstr¨ omungen u ohenkoordinate z ¨bertragen, wenn man dort die Ordinate y durch die H¨ ersetzt. Demzufolge kann eine Scherstr¨omung u ¯(z) instabil werden, wenn im vertikalen Windproﬁl ein Wendepunkt ∂ 2 u ¯/∂z 2 = 0 existiert. Windproﬁle, die wie in Bild 14.3 (b) ein Windmaximum besitzen, nennt man auch Strahlstr¨ ome (engl. jet streams). Diese kommen z. B. in der atmosph¨arischen Grenzschicht oder im Bereich der Tropopause vor. Dort f¨ uhren sie zu Instabilit¨ aten, die in der Luftfahrt unter dem Begriﬀ Clear Air Turbulence bekannt sind. Nun ist die reale freie Atmosph¨are praktisch immer stabil geschichtet, so dass ¯ ∂ θ/∂z > 0 und somit N 2 > 0 gilt. Daher muss (14.26) anstelle von (14.27) herangezogen werden. Die Aussagen zu Windproﬁlen mit einem Wendepunkt, die ja im neutralen Fall die Ausbildung von Instabilit¨ aten hervorrufen, gelten nach wie vor – jedoch hat eine stabile Schichtung die Eigenschaft, Vertikalbewegungen zu unterdr¨ ucken. Folglich ist zu erwarten, dass bei stabiler Schichtung (N 2 > 0)

14.4 Kleinr¨ aumige Instabilit¨aten

229

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .. ........ . . . . . . . . . . . . . ........ .......... . . . . . . ............ ........ . . . . . . . . . ... .................................................................... .... ............... ............ .... . ................................ . . . ..... ... . . . . . . . . . .................... .......................................... .................................... ...................................... ............................ .................................... ........... . . . . . ............ ..... . . . . . . ... . . .... ...... ....................................... ............. .... .................... ..................................... ..... . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . ..... ................................ ............................. ............ ...................................... ................... ................................... ................................. .................................................. ................................ .... ............................... .............. ....................................... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ... ............. . ....... ............ ................... .... ........................ ..................................... ................ .... ............................................ ........................... ................................................ ................................................................................... . .............................. .. . . . . .. .... . . . . . ..... ..... . . . . . . . .... ............ ................................ .................... .... ........................................................................ ............................ ...................................................................................................................... .................................................................................................................. ............................................... . . . . . . . . . . ... ........................................................................ .................................................................................................................. ............................................... . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... ............................................................................. ........................................... ........................ ........................................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... .... . . . . . . . . . . . . . ......... ............................................. ............................................................... ...................... ...................................... ........... . . . . . . . . .......... ............. . . . . . . . . . . . . . . . ............... .......................... ............. . . . . ........ ........................................................... .................................................................................................... ........................................... .........................

........ x Bild 14.11 Die Entwicklung von Kelvin-Helmholtz-Wellen mit Ausbildung sogenannter Katzenaugen

die Amplituden w0 der Instabilit¨aten gegen¨ uber dem neutralen Fall (N = 0) ¨ ged¨ampft werden. Bei Uberschreiten eines gewissen kritischen Temperaturgradienten, N > Nkrit , wird die d¨ampfende Wirkung so stark sein, dass keine Instabilit¨aten auftreten, also auch eine Str¨omung mit einem Wendepunkt im Windproﬁl stabil bleibt. Man hat herausgefunden, dass dies der Fall ist, wenn im Bereich des Wendepunktes folgende Ungleichung erf¨ ullt ist: Ri =

N2 > 0,25 . ∂u ¯ 2 ∂z

(14.28)

Das in (14.28) deﬁnierte quadratische Verh¨altnis der Brunt-Vaisala-Frequenz zur Windscherung nennt man auch Richardson-Zahl und bezeichnet sie mit Ri. Auf diese Maßzahl wird in Abschnitt 20.4 noch n¨aher eingegangen. Umgekehrt l¨ asst sich aus (14.28) schließen, dass f¨ ur Ri < 0,25 eine stabil geschichtete Scherstr¨omung instabil werden kann, wenn ein Wendepunkt im Grundstromproﬁl vorhanden ist. Die unter solchen Umst¨ anden entstehenden Instabilit¨aten bezeichnet man auch als Kelvin-Helmholtz-Instabilit¨ aten oder Kelvin-Helmholtz-Wellen. In der Atmosph¨are (und auch im Ozean sowie in Laborstr¨omungen) haben Kelvin-Helmholtz-Instabilit¨ aten die Form sogenannter Katzenaugen oder im sp¨aten Entwicklungsstadium diejenige brechender Meereswellen. In Bild 14.11 sind einige Wellenformen schematisch dargestellt. Kelvin-Helmholtz-Wellen stellen eine der h¨auﬁgsten Instabilit¨ atsformen kleinr¨ aumiger atmosph¨ arischer Str¨ omungen dar. Betrachten wir zum Schluss den Fall einer ruhenden Atmosph¨ are (¯ u = 0) bei h¨ohenkonstanter Brunt-Vaisala-Frequenz N , dann vereinfacht sich die TaylorGoldstein-Gleichung (14.26) zu (−c2 k 2 + N 2 ) w0 = 0 . F¨ ur den Fall einer stabil geschichteten Atmosph¨are ergibt sich mit c=±

N k

c reell

(14.29) N2

> 0 daraus

230

14 Instabilit~ten und Zyklogenese

Bild 14.12 Aufsicht und Querschnitte dutch geschlossene und offene Konvektionszellen. Grau: Wolken, Pfeile: Zirkulation. und damit nichts anderes als die Phasenbeziehung fiir interne Schwerewellen (13.35) fiir ~, 0. Fiir eine labil geschichtete Atmosph~tre mit O0/Oz < 0, also N 2 < 0 ergibt sich hingegen c

+

i Ix21 ~7

+i

c

irnaginS~r.

Damit ergibt sich ein nichtverschwindender hnaginS~rteil der Phasengeschwindigkeit und entsprechend den Aussagen aus Abschnitt 14.1 eine Instabilit~t des Grundstroms: Diese in einem labil geschichteten Medium auftretende Instabilit~t nennt man aueh k o n v e k t i v e Instabilit~it (thermische Konvektion) oder R a y l e i g h - T a y l o r - I n s t a b i l i t f i t . Sie ist praktisch die Ursache fur die Entstehung s~mtlieher Wolkenfbrmen, die dureh aufsteigende Warmluft gebildet werden. Beispiele fiir die versehiedenen Wolkenstrukturen, die sich dabei ausbilden kSnnen (Zellenmuster, Wolkenbgnder), sind im Satellitenbild am Anfang dieses Buches zu sehen. Die Zirkulation in solehen Konvektionszellen ist schematisch in Bild 14.12 dargestellt.

15 Wirbeldynamik 15.1

Wirbel in der Atmosph¨ are

Die markantesten atmosph¨arischen Bewegungsformen sind St¨ urme wie Orkan, Hurrikan oder Tornado, in denen sehr hohe Windgeschwindigkeiten auftreten k¨onnen. Diesen Ph¨anomenen ist gemeinsam, dass es sich dabei um Wirbel unterschiedlicher Gr¨oße handelt. In der nachstehenden Tabelle sind einige atmosph¨arische Wirbelformen und deren Charakteristika aufgef¨ uhrt. Bezeichnung Tiefdruckgebiet Hurrikan Orographischer Wirbel Tornado Staubteufel

Durchmesser (km) 2000 500 50 1 0.1

Lebensdauer 4d 10d 1d 1h 1 min.

Geschwindigkeit (ms−1 ) 20 80 5 100 10

Tabelle 15.1 Beispiele f¨ ur Wirbel in der Atmosph¨ are Auf dem Satellitenfoto 15.1 kann man die Wirbelstruktur eines Tiefdruckgebietes anhand der spiralf¨ormigen Anordnung von Wolkenfeldern erkennen.

Bild 15.1

Tiefdruckgebiet (Zyklone) im Satellitenbild.

232

15.2

15 Wirbeldynamik

Die Wirbelgleichung

In einigen Wirbeln (Hurrikan, Tornado) erreichen die Windgeschwindigkeiten Sturmst¨ arke. Die interessante Frage bei diesen St¨ urmen ist, wie es zu einer solchen Verst¨ arkung der Windgeschwindigkeiten kommen kann. Es soll daher im folgenden die Dynamik von Wirbeln n¨aher untersucht werden. Am besten eignet sich daf¨ ur die Rotation: ω =∇×v mit den horizontalen Komponenten ωx , ωy und der vertikalen Komponente ωz . ¨ Man erh¨ alt eine Gleichung f¨ ur die zeitliche Anderung der Rotation (im folgenden dem internationalen Sprachgebrauch folgend auch als Vorticity bezeichnet), in dem der Operator ∇× auf die Boussinesq-Form der Bewegungsgleichung angewandt wird. Unter Voraussetzung einer konstanten Dichte ρ0 ergaben sich als Bewegungsgleichung (12.39) und als Kontinuit¨atsgleichung (12.42): ∂v 1 θ∗ g k − ∇p∗ + v · ∇v + 2Ω × v = ∂t θ0 ρ0 sowie ∇ · v = 0. Zun¨achst soll der Advektionsterm umgeformt werden. v · ∇v = ω × v + ∇

v2 . 2

(15.1)

Damit l¨ asst sich die Bewegungsgleichung schreiben als:

p∗ v 2 θ∗ ∂v + (ω + 2Ω) × v = gk−∇ + ∂t θ0 ρ0 2

.

(15.2)

Im weiteren wird die absolute Vorticity η = ω + 2Ω eingef¨ uhrt. Nach Anwendung des Rotationsoperators ∇× auf (15.2) ergibt sich nach Regeln der Vektoranalysis: ∂ ∇ × v + η ∇ · v + v · ∇η − v∇ · η − η · ∇v ∂t

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

p∗ v 2 g = − k × ∇ θ∗ − ∇ × ∇ + θ0 ρ0 2

(6)

.

(7)

Term 2 entf¨ allt wegen ∇ · v = 0 und Term 7 da die Rotation eines Gradienten verschwindet. In Term 1 l¨asst sich die Vorticity ω einf¨ uhren. Term 4 l¨ asst sich schreiben als: v∇ · η = v∇ · ω + v∇ · 2Ω .

15.3 Mechanismen der Wirbelbildung

233

Der erste Term auf der rechten Seite entf¨allt wegen ∇ · ω = ∇ · ∇ × v = 0, der zweite Term wegen ∇ · 2Ω = 0 da Ω konstant ist. Somit verbleibt: ∂ω g k × ∇θ∗ . + v · ∇ω + v · ∇2Ω = ω · ∇v + 2Ω · ∇v − ∂t θ0

(15.3)

Dies ist die Boussinesq-Approximation der Vorticity Gleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung. In ihr treten bis auf die erst in Kapitel 18 behandelte ¨ Reibung alle Mechanismen auf, die zu einer zeitlichen Anderung der Vorticity (Verst¨ arkung oder Abschw¨achung) f¨ uhren. Diese sollen im folgenden Abschnitt n¨aher diskutiert werden.

15.3

Mechanismen der Wirbelbildung

Zur weiteren Diskussion der verschiedenen Mechanismen der Vorticity¨ anderung soll die Vektorgleichung (15.3) aufgespalten werden in eine vertikale Komponente ωz (welche der in Kapitel 11.1 behandelten Vorticity ζ entspricht) und einen horizontalen Anteil ω h = ωx i + ωy j. Es ergeben sich mit 2Ω = f :

dωz ∂f +v dt ∂y dω h dt

∂w ∂z ∂vh g = ω · ∇vh + f − k × ∇h θ∗ . ∂z θ0

= ω · ∇w + f

(15.4) (15.5)

F¨ ur den Fall einer rein horizontalen Str¨omung (w = 0) ergibt sich aus (15.4) die bereits aus Kapitel 11.1 bekannte barotrope Vorticitygleichung (dort ist : ωz = ζ). Die Vorticity Gleichung f¨ ur eine dreidimensionale Str¨ omung (11.14), wie sie in Kapitel 11.3 behandelt wurde, ergibt sich aus (15.4) nach Umformung der rechten Seite: ω · ∇w + f

∂w ∂z

∂w ∂w +f ∂z ∂z ∂w = ω h · ∇h w + (ωz + f ) . ∂z = ω h · ∇h w + ωz

Der zweite Term l¨ asst sich wegen ∇·v = ∇h ·vh +∂w/∂z = 0 in −(ωz +f )∇h ·vh umformen und entspricht somit dem Divergenzterm in (11.14). Der Term ω h ·∇h w entspricht dem Twisting-Term in Gleichung (11.14). Ein Solenoidterm, welcher die Baroklinit¨at der Str¨ omung beschreibt, tritt in der Boussinesq-Form der Vorticity Gleichung nicht auf. Stattdessen machen sich horizontale Temperaturunterschiede in der Gleichung f¨ ur die Horizontalkomponente ω h der Vorticity (15.5) bemerkbar. Dies soll im Weiteren erl¨ autert werden. Nehmen wir vereinfacht an, dass der horizontale Vorticityvektor in x-Richtung weist. Dann ergibt sich f¨ ur die Wirkung des Auftriebsterms aus (15.5):

234

15 Wirbeldynamik dwx g 00* g O0 ---dt Oo Oy Oo Oq

(15.6)

Wenn kein horizontaler Temperaturgradient vorliegt, d.h. 0 0 / 0 y 0 , kann keine horizontale Vorticity erzeugt werden. Bei Vorhandensein eines horizontalen Temperaturgradienten /indert sich die Vorticity wie in Bild (15.2) dargestellt. Dabei ist, generell gesprochen, der Drehsinn so gerichtet, dass durch Str6nmng ein horizontaler Temperaturausgleich erreicht wird. K6nnen sich Temperaturunterschiede auch auf die vertikale Vorticity Wz auswirken? Zun~tchst kann dies nicht direkt geschehen, da in der entsprechenden Gleichung (15.4) kein Auftriebsterm erscheint. Betrachten wir im Folgenden zur Vereinfachung eine Str6mung, die nicht von der Erdrotation beeinflusst wird (also z.B. kleinr~tumige Stramung wie Kunmluswolken). Dann 1/isst sich (15.4) nfit den vorher gemachten Umformungen fiir den Term co 9 V w schreiben: d6oz

~zu

83 N

02 1

u Bild 15.2

/

Produktion von horizontaler Vorticity dutch Temperaturunterschiede.

Auf der rechten Seite tritt der Term cob 9 Vh w auf, welcher die horizontale Vorticity cob enthfilt, die durch Temperaturunterschiede produziert werden kann. Die Deutung dieses sogenannten ,,Twisting-Term" oder ,,Dreh-Term" 1/isst sich wieder fiir den einfachen Fall darstellen, dass cob in x-Richtung zeigt: dwz dt

--

Ow Ox

~x)x__

In Bild (15.3) ist die geometrische Deutung dieses Terms dargestellt. Ger~tt ein zun/i(',hst horizontal liegender Vorticityvektor in ein vertikales Windt~ld, welches sich in Richtung des Vorticityvektors/indert, so wird der Vektor in die Vertikale gedreht (deshalb auch der Name Drehterm). Der Vorticityvektor hat danach eine vertikale Komponente Wz w/ihrend die horizontale Komponente Wx verkleinert wird. Dieser Mechanismus spielt bei der Entstehung yon Wirbeln mit vertikaler

15.3 Mechanismen der Wirbelbildung

Z'

@

235

Z/

@ ~0z

~z

X

>

•

>

Bild 15.3 ~:irkung des Drehterms auf die Anderung der vertikalen Vorticity wz 9(a): Anfangszustand (t to), (b): sp~terer Zustand (t > to).

Achse (z.B. Staubteutbl, Tornado) eine wichtige Rolle im Zusammenspiel mit dem 2. Term auf der rechten Seite yon (15.7). Dieser Term verst/irkt die vertikale Komponente der Vorticity entsprechend: do3 z

Ow

- -UJzVh - vh 9 (15.8) dt Oz Wenn ein Wirbel in ein Aufwindfeld ger/~t, welches mit der H6he zunimmt (Ow/Oz > 0), so wird die anfiinglieh vorhandene Vorticity cv~ verst~trkt. Da die VertikMstr6mung in Riehtung der Wirbelkomponente azz erfblgt, nennt man diesen Term auch ,Streckungs-Term" oder ,Dehnungs-Term". Alternativ 1/isst sich die vertikale Divergenz (Konvergenz) in 15.8 mittels der Kontinuit/itsgleichung aueh dureh eine horizontMe Konvergenz (Divergenz) darstellen. Ansehaulieh ist dieser Effekt der Wirbelverst/irkung in Bild 15.4 dargestellt. Der Streckungs-Effekt bzw. Divergenz-Effekt ist der wichtigste Mechanismus zur Verst/irkung von vertikMer Vortieity. Damit dieser wirksam wird, muss bereits eine Vorticity azz vorhanden sein. Da in einem nicht rotierenden System ffir azz keine Quelle existiert (siehe 15.4), muss eine anfiingliche vertikale Vorticity u2~ aus der horizontalen Vorticity wh mittels des Drehterms wh 9 V h w erzeugt werden (siehe 15.7). Zum Abschluss dieses Kapitels zur Wirbeldynamik soll noch der Einfluss der Erdrotation beleuchtet werden. Dieser wirkt fiber den Coriolisparameter f in Gleichungen (15.4, 15.5). In (15.4) taucht f im Beta-Term auf der linken Seite auf und bewirkt die bereits in Abschnitt (11.4) behandelten Rossby-Wellen. Auf der rechten Seite wirkt die Erdrotation durch:

~tt

- ~z

_ f0'w Oz = - f V h - v h .

(15.9)

Von der Struktur her ist dies mit (15.8) vergleiehbar und der Term auf der reehten Seite Mmn als Streekungsterm bzw. Divergenz bezeiehnet werden. Hier wirken

236

15 Wirbeldynamik

diese Terme aber als richtige Quellen zur Verst¨arkung (oder Abschw¨ achung) der vertikalen Vorticity ωz , da der Coriolisparameter st¨ andig wirksam ist. Letzterer ist auf der Nordhemisph¨are positiv (f ≈ 10−4 s−1 ) und somit gilt f¨ ur die an die Erdoberﬂ¨ ache angrenzenden Luftmassen bei großr¨ aumiger Bewegung: aufsteigende Luft ; zyklonale Vorticity (Tiefdruckgebiet) absinkende Luft ; antizyklonale Vorticity (Hochdruckgebiet).

Bild 15.4 Verst¨ arkung vertikaler Vorticity durch Streckungs- bzw. Divergenzeﬀekt. Die schraﬃerte Fl¨ ache deutet die trichterf¨ormige Ausbuchtung einer Wolke an, die dem sichtbaren Teil eines Tornado entspricht.

16 Einfu ¨ hrende Bemerkungen zur Allgemeinen Atmosph¨ arischen Zirkulation 16.1

Die Allgemeine Atmosph¨ arische Zirkulation

Unter der allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation versteht man die Bewegungsvorg¨ ange im globalen Maßstab, wobei die Zeitdauer dieser Vorg¨ ange im Bereich von Monaten, Jahreszeiten oder Jahren liegt. Man interessiert sich dabei nicht f¨ ur einzelne Wetterph¨anomene wie Zyklonen, tropische Wirbelst¨ urme oder Gewitter, sondern f¨ ur zonale und meridionale Zirkulationen der Atmosph¨ are insgesamt. Die beobachtete Struktur der allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation sowie die dazugeh¨ origen physikalischen Prozesse werden in anderen Lehrb¨ uchern ausf¨ uhrlich behandelt. Im folgenden soll aber zum Abschluss dieses Buchteils, der sich haupts¨ achlich mit den Grundlagen der großr¨ aumigen atmosph¨ arischen Bewegungen befasste, kurz auf die Problematik der allgemeinen Zirkulation eingegangen werden. Alle Bewegungsvorg¨ange in der Atmosph¨are h¨ angen letztlich davon ab, ob eine Energiequelle vorhanden ist, welche die ben¨otigte kinetische Energie produziert. F¨ ur die Atmosph¨are sowie f¨ ur die Erde u ¨berhaupt ist diese Energiequelle die Sonne, welche Energie in Form von kurzwelliger Strahlung zur Verf¨ ugung stellt. Diesem Energiegewinn steht ein Energieverlust dadurch gegen¨ uber, dass die Erdoberﬂ¨ ache und ein Teil der Atmosph¨are als Schwarze Strahler im langwelligen Bereich ausstrahlen. W¨ urde jetzt die Erdoberﬂ¨ ache an jeder Stelle gleich viel Sonnenenergie erhalten, so w¨ urde sich im sogenannten Strahlungsgleichgewicht mit der langwelligen Ausstrahlung u ¨berall auf der Erde die gleiche Temperatur einstellen. Dass dies aber nicht so ist, wissen wir aus dem Vergleich der Verh¨ alt¨ nisse in den Aquatorregionen und den Polgebieten. Dies liegt in der Kugelgestalt der Erde begr¨ undet. Diese bedingt, dass die ¨ Gebiete in der N¨ ahe des Aquators pro Fl¨acheneinheit mehr kurzwellige Strahlung erhalten als die in h¨oheren Breiten. Aus Messungen ergibt sich f¨ ur die kurzwellige und langwellige Strahlung in Abh¨angigkeit von der geostrophischen Breite der in Bild 16.1 qualitativ dargestellte Verlauf. ¨ Man erkennt, dass die kurzwellige Sonneneinstrahlung ihr Maximum am Aquator hat und zum Pol hin stark abnimmt. Wegen der dadurch bedingten h¨ oheren Temperaturen in den niederen Breiten ist dort auch die langwellige Ausstrahlung (∼ σT 4 ) gr¨ oßer als in Poln¨ahe. Da die kurzwellige Einstrahlung einen Energiegewinn f¨ ur die Atmosph¨are bedeutet, die langwellige Ausstrahlung aber einen Energieverlust, ergibt sich der Nettoenergiegewinn f¨ ur jede geographische Breite aus der Diﬀerenz beider Strahlungsstr¨ome.

238

16 Allgemeine Atmosph¨ arische Zirkulation

SI KW−LW<0

....................................... ............................................................................ . . . . . . . . . . . . . .... .......... ............................... ........................................ .

. . . . . . . . . . . ...... .... LW KW−LW>0 ............. ................. . . . . . . . . . ........ ............. ... KW ........ .......

... .

90o Pol

... .

... .

... .

60o

... .

... .

φ

... .

30o

... .

... .

... .

0o ¨ Aquator

Bild 16.1 Strahlungsbilanz im Breitenkreismittel. KW bezeichnet hier die kurzwellige Einstrahlung, LW die langwellige Ausstrahlung.

¨ Wie man Bild 16.1 entnehmen kann, existiert zwischen Aquator und etwa 40o Breite ein Energie¨ uberschuss und von dort zum Pol hin ein Energiedeﬁzit. F¨ ur die Temperaturverh¨altnisse w¨ urde das bedeuten, dass es im Laufe der Zeit in andig k¨ uhler werden m¨ usste. ¨aquatorialen Breiten st¨andig w¨armer, in polaren st¨ Dies beobachtet man jedoch nicht. Vielmehr bleiben die Temperaturen in den jeweiligen Breitengraden abgesehen von jahreszeitlichen Schwankungen auf einem nahezu konstanten Wert. Damit sich dieses Temperaturgleichgewicht einstellen kann, muss der Energie¨ uberschuss in den a¨quatornahen Gebieten abgebaut werden, indem die u bersch¨ u ssige W¨arme in die polnahen Gebiete transportiert wird, ¨ um dort das Energiedeﬁzit auszugleichen. Dieser W¨ armetransport zu den Polen hin geschieht in der Hauptsache durch die großr¨ aumigen Luftstr¨ omungen, zum geringeren Teil auch durch Meeresstr¨omungen (z. B. Golfstrom). Wie kommen nun diese f¨ ur den W¨armetransport verantwortlichen Str¨ omungen in der Atmosph¨ are zustande? Betrachten wir dazu ein sehr einfaches Modell der ¨ Atmosph¨ are in der Meridionalebene zwischen Pol und Aquator. Zun¨ achst nehmen wir an, dass die Atmosph¨are in jeder Breite die gleiche vertikale Struktur hat und keine horizontalen Druck- und Temperaturunterschiede aufweist. Jetzt lassen wir die kurzwellige Einstrahlung der Sonne auf die Erdoberﬂ¨ ache wirken, wie etwa in Bild 16.1 dargestellt. Es wird sich dann eine unterschiedliche Erw¨ armung in den verschiedenen Breitengraden einstellen, die bewirkt, dass sich aufgrund ¨ des jetzt entstehenden Temperaturgef¨alles zwischen Aquator und Pol die Druckﬂ¨achen u uhlten Gebie¨ber den erw¨armten Gebieten anheben und u ¨ber den abgek¨ ten absenken. Damit ist ein Aufsteigen w¨armerer Luftmassen in den ¨ aquatorialen Gebieten und ein Absinken kalter Luft in Polargebieten verbunden. Durch den entstehenden Druckunterschied zwischen verschiedenen Breitengraden bildet sich in den h¨ oheren Schichten der Atmosph¨are eine Str¨ omung von S¨ ud nach Nord aus, die aus Kontinuit¨atsgr¨ unden eine Str¨omung von Nord nach S¨ ud in den unteren Luftschichten zur Folge hat. Insgesamt stellt sich eine Zirkulation in der Meridionalebene ein, wie sie in Bild 16.2 angedeutet ist. Eine solche Zirkulation nennt man auch direkte Zirkulation, weil die entstehenden Bewegungen direkt durch horizontale Temperaturunterschiede bewirkt werden (thermische Zirkulation; sie-

16.1 Die Allgemeine Atmosph¨arische Zirkulation ..... z ... p1 .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T 1 .. p2 .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T2 .. .. p3 .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T3 .. p4 .. .. ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... T4 .................................................................................................................................. ¨ φ Aquator Pol

239

..... ... .............................. p1 z ... .............................. .. ..................................................................................................................................................................... .......... ........ T1 ........................... ......... .............................. .......... ................... ............ .......... . ................................... p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................... ......................... ........ .... T2 .. ................... .......... .......... .......... ... ........... .... ... .............................................. p3 . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................................................... .....T .. 3 .. .......................... ......... .......... ... . .. .. ................... ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................ .......... T p4 ........................ ... ... 4 ... ..... .. .......... ....... ............ ................K ......................................................................................................W ¨ φ Aquator Pol

Bild 16.2 Entstehung der Hadley-Zirkulation durch den Temperaturgegensatz zwi¨ schen Pol und Aquator. Im linken Bildteil ist der Anfangszustand dargestellt, im rechten die Situation nach unterschiedlicher Erw¨armung.

he Abschnitt 11.5). Nach ihrem Entdecker G. Hadley (britischer Meteorologe, 1685–1768) wird sie meist als Hadley-Zirkulation bezeichnet. Aus der Darstellung kann man auch ersehen, dass eine Hadley-Zirkulation in ¨ der Lage ist, einen W¨armeausgleich zwischen Aquator und Pol zu erreichen. Warmluft steigt in den ¨aquatornahen Gebieten auf, wird in den oberen Luftschichten zum Pol hin transportiert, sinkt dort ab und k¨ uhlt sich dabei ab. Von ¨ den Polargebieten wird k¨ uhlere Luft zum Aquator geschaﬀt, was dort ebenfalls zum Ausgleich der Temperaturgegens¨atze f¨ uhrt. Dieser Mechanismus des Temperaturausgleiches w¨ urde auch auf der Erde vonstatten gehen, wenn die Erdrotation die sich einstellende Str¨omung nicht beeinﬂussen w¨ urde. ¨ Wir wissen, dass ein Luftteilchen auf seiner Bahn vom Aquator zum Pol auf der Nordhalbkugel aufgrund der Coriolis-Kraft nach rechts, d. h. nach Osten ¨ abgelenkt wird, ein solches auf einer Pol-Aquator-Bahn nach Westen. In den h¨oheren Luftschichten wird sich also eine Westwindkomponente und in den unteren eine Ostwindkomponente einstellen, wobei das Verh¨ altnis der Ost-WestGeschwindigkeit zur S¨ ud-Nord-Geschwindigkeit von der Gr¨ oße der Coriolis-Kraft, d. h. insbesondere von der Winkelgeschwindigkeit der Erde abh¨ angt. In Bild 16.3 betrachten wir dazu ein Luftteilchen, welches sich im oberen Teil einer Hadley............................................. ................................................. Aquator ... ...... ............ ...... .....¨ ..... . . . . ... . . . . .... . .... .......... ........... ... ...... .... . ... . . ... ... . . . ... ... . ... ... . ... .. . . ..... . ... . . .... ... . . ... ... .. ... .. ....................... ... ... ... ... . ... . ... .. . . . . ...............Pol . . ..... ... . ... ... ...... .... ... ... ... .. .... ... . ......... .... ... ... .. . ..... . . . . . . . . . . ... Ω klein .... ... . . .... Ω = 0 . .. . ... ... ... .... ...... ... ... ............ . .... .......... . . . . . . . ... . ..... . .. ..... ... ..... ... ....... ........ .......... ............. ............................................. ...........................

....................................................... ......................... ..... . . . . . .... . ... .................. ... . ... ..... ......... ... ... ................................. ... ... ... .. . . ..... . .... .... . . . . ..... ... ...... . . . . . . . ........................ . . . . ... ... ... ...... ... ... . . . . ... . ... ... ... ... .. .... Ω groß .................... ..... . ..... .... .... . ..... ........ ......................................................

Bild 16.3 Einﬂuss der Erdrotation auf die polw¨arts gerichtete Komponente der HadleyZirkulation. Links ist die Situation f¨ ur die nichtrotierende Erde dargestellt, in der Mitte f¨ ur eine geringe, rechts f¨ ur eine hohe Winkelgeschwindigkeit Ω.

240

16 Allgemeine Atmosph¨ arische Zirkulation

¨ Zirkulation vom Aquator zum Pol bewegt, und zwar f¨ ur den Fall einer nichtrotierenden Erde und f¨ ur eine langsame und eine schnelle Erdrotation. Auf einer nichtrotierenden Erde wird sich ein Teilchen aufgrund des Druck¨ bzw. Temperaturgef¨alles geradlinig vom Aquator zum Pol bewegen und damit innerhalb k¨ urzester Zeit einen W¨armetransport zu den polnahen Gebieten erzielt. Unter dem Einﬂuss der Erdrotation wird das Teilchen auf seiner Bahn nach Osten abgelenkt, legt also bis zum Erreichen der Polargebiete einen l¨ angeren Weg zur¨ uck. Je schneller die Erdrotation ist, desto gr¨ oßer wird die zonale Komponente der Teilchengeschwindigkeit und um so geringer die (f¨ ur den W¨ armetransport ¨ maßgebende) Meridionalgeschwindigkeit. Der W¨ armeausgleich zwischen Aquator und Pol wird durch den Einﬂuss der Erdrotation wesentlich langsamer und ineﬀektiver. Auf der Erde haben wir gerade eine solche Konstellation zwischen dem Tem¨ peraturgef¨ alle Aquator-Pol und der Wirkung der Erdrotation, dass allein durch eine Hadley-Zirkulation ein Temperaturausgleich zwischen beiden Gebieten nicht erzielt werden kann. Vielmehr wird der meridionale Temperaturgradient besonders in mittleren Breiten so groß, dass er eine u at im ¨berkritische Baroklinit¨ zonalen Grundstrom hervorruft. Es kommt dann in diesen Gebieten zur Ausbildung der baroklinen Instabilit¨at (siehe Kapitel 14) und damit zur Zyklogenese. Die entstehenden Zyklonen und Antizyklonen sind ihrerseits in der Lage, aufgrund ihrer Temperaturasymmetrie (z. B. Warmluft auf der Vorderseite, Kaltluft auf der R¨ uckseite einer Zyklone) einen W¨ armetransport in meridionaler ¨ Richtung zu bewirken und damit das Temperaturgef¨ alle Aquator-Pol abzubauen. In den mittleren Breiten der Atmosph¨are kommt es zu einem Zusammenbruch der Hadley-Zirkulation infolge u at; die dadurch entste¨berkritischer Baroklinit¨ henden Zyklonen und Antizyklonen u ¨bernehmen anstelle der Hadley-Zirkulation den großr¨ aumigen meridionalen W¨armetransport, der zum Temperaturausgleich zwischen ¨ aquatornahen und polaren Gebieten auf der Erde f¨ uhrt (Bild 16.4). Die allgemeine Zirkulation der Atmosph¨are wird also prim¨ ar durch das Tem.. z ........... ........... Hadley–Zirkulation ......

....... .................................. . ... ..... . .... ... ....... .... .... ..... . . ... ..... ....... ............ .... ... ... .................. ... ... ............................... ...... ........ ... .... . .. ... .... . .. ............. . . . ......................... .. ... ................. ............. ..... . . . . ... .. ..... .... ... .. .... .... ..... ........ .. . .. .... .... ..... .......... ... ............. . ................... . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . ...... .... .... ..... ... .... . ............ ...... ..... ..... . .................................................................................................... ..... ..... ....... ........ ..... ...... . . .......... .... .......... ........ ........... ..... ...... ...... ..... .... .... ....... ... .............. .......................... .... ...... .. ... .. ... ...... ...... .... ....................... . .... ................ ....... . . .. . .... .... . . . ..... ............. ... ... ... .. .. ..... . . . . . . . . . ... ... ..... .... . . . . . . . . . . . . . .. . . . ......... .. .. . ... ............. ...... ....................... ... ... ..................... .......... ................ .. ......... ........ ..... . ..... ... .... ..... .... ........................... .. .. . ............ ... ............. ... ... .............. .. . . .. . . . .. ... .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .... ..... ..... .... ................................. . . ......... ....... . . .... ......... ............ .... ... .. . . .................. . ... . ... .. .. .............................. ... ....... ....... .... . . .... . . . . . ........ .... ...... .... ... ............ .... ... .... . . . . . ........... . . . . . . . . . . .................... ... .. .. ... .. ....... ............... ... .. ... .. ... ............... ..................... .................................... ..................... .. .. . ..... . ...................................................................................................................... .......... ..... .... ...... .... ... ... ... ... .. ........ ........... ......... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ... ... .. ...... ...... ..... ...... . . . . . ... .......... ... ... . . . . . . . . . . .. .. . . ... .... ..... .... .... ... .. .... .... ..... ... ... . . . . . . . . . . ........................ ... . . . . .. ... .. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ......................... ... ... ..... . . . . . . ............................................ . . . . . . . . . . . . . . . ......... ........ .............. ................................. .. ............................ ..................... . . . . . . .............. . .....................

Pol indirekte Zirkulation ............................ o.................. ......... (nur schwach ausgepr¨ agt) 70 . . . . ....... .... ...... ...... . . . . ..... T ... ..... T ... ... . . ... . o . H ... 30 .. ... ... Westwinde ... .... ... Hadley–Zirkulation ... ... . ... Ostwinde .... . 0o ...... (Passate) .. . . .......... . . . . ...... .................. ......................................................................... Bild 16.4

Schematische Darstellung der globalen atmosph¨arischen Zirkulation

16.1 Die Allgemeine Atmosph¨arische Zirkulation

241

¨ peraturgef¨ alle zwischen Aquator und Pol verursacht, wobei die entstehenden großr¨ aumigen Bewegungen einen Temperaturausgleich erreichen sollen. Dies geschieht im wesentlichen durch zwei unterschiedliche Mechanismen: zum einen durch eine in der Meridionalebene existierende thermische Zirkulation (HadleyZirkulation) und zum anderen durch großr¨aumige Wirbel (Zyklonen und Antizyklonen). Nach dem heute vorliegenden Datenmaterial aus Messungen, Laborexperimenten und numerischen Simulationen ergibt sich f¨ ur die allgemeine atmosph¨ arische Zirkulation etwa folgende Situation: In den ¨ aquatornahen Gebieten und in den polaren Breiten ﬁndet man je eine Hadley-Zirkulation, verkn¨ upft mit Ostwinden in den unteren Atmosph¨ arenschichten (Passate). Der meridionale W¨armetransport wird hier durch Vertikalzirkulation bewirkt. In den mittleren Breiten ist diese Vertikalzirkulation nur schwach ausgepr¨ agt und lediglich eine Folge der jeweils angrenzenden Hadley-Zirkulationen (deshalb die Bezeichnung indirekte Zirkulation). In den mittleren Breiten erfolgt der meridionale W¨armetransport durch Zyklonen und Antizyklonen, welche in die allgemeine Westdrift eingebettet sind. Diese Westwinde werden ihrerseits dadurch aufrecht erhalten, dass Hoch- und Tiefdruckgebiete in ihrem Auﬂ¨ osestadium ihre kinetische Energie in diejenige des Grundstroms u uhren. Diesen ¨berf¨ Vorgang nennt man Zyklolyse. Insgesamt ergibt sich f¨ ur die allgemeine Zirkulation der Atmosph¨ are das in Bild 16.5 gezeigte Schema der Energieumsetzungen.

Sonneneinstrahlung ... ... ... ... ... ... ....

Hadley– Zirkulation

¯i ¯p + E E Temperaturgef¨alle ¨ Aquator −→ Pol

.. .......... ................. .......... ..

zonaler Grundzustand

barokline Instabilit¨at ... .. ... ... ... ... ....

Ep + Ei

.......... .......... .. .......... ......... .......... .......... .. .......... ..........

¯k E zonaler Grundstrom .... ... .... ... .. .. ...

Zyklolyse

barokline Instabilit¨at Zyklonen und Antizyklonen

.......... .......... .. ......... ..........

Ek

Bild 16.5 Schematische Darstellung der globalen Energieumsetzungen in der Atmosph¨are. Ep bezeichnet die potentielle Energie, Ei die innere und Ek die kinetische Energie.

17 Einfu ¨ hrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung 17.1

Numerische Wettervorhersage

In den bisherigen Abschnitten des Buches sind die grundlegenden Gleichungen f¨ ur eine reibungsfreie Atmosph¨are aufgestellt und einige L¨ osungen wie z. B. der geostrophische Wind und die Rossby-Wellen angegeben worden. An dieser Stelle soll auf die h¨ auﬁg gestellten Fragen der Studierenden Kann ich mit der Theorie ” u ¨berhaupt etwas Praktisches anfangen?“ und Brauche ich diese vielen Gleichun” gen u ater im Berufsleben?“ eingegangen werden. ¨berhaupt sp¨ ¨ Das Berufsbild des Meteorologen in der Oﬀentlichkeit ist stark mit der Wettervorhersage in Presse, Funk und Fernsehen verbunden. Zun¨ achst mag man meinen, dass die bisherigen Ausf¨ uhrungen zur Dynamik der Atmosph¨ are damit nichts zu tun haben. Deshalb soll an dieser Stelle ein kleiner Einblick in die Durchf¨ uhrung der Wettervorhersage gegeben werden. Wir wollen zun¨ achst den Begriﬀ Wetter n¨aher speziﬁzieren. Dazu geh¨ oren zum einen die Wettererscheinungen wie Regen, Schnee, Nebel, sodann die Wolken und schließlich die Grundgr¨oßen Luftdruck, Lufttemperatur und Windgeschwindigkeit. Unter Wettervorhersage versteht man nun die Bestimmung der oben aufgez¨ahlten Elemente zu einem zuk¨ unftigen Zeitpunkt. Wie wird dies nun gemacht? Fr¨ uher verwendete man in der sogenannten Synoptischen Meteorologie gewisse empirische Regeln, die aufgrund der Besch¨ aftigung mit der Wetterentwicklung entstanden sind. Dagegen basieren die heutigen Wettervorhersagen in Presse, Funk und Fernsehen ausschließlich auf den Ergebnissen der Numerischen Wettervorhersage. Der Begriﬀ numerisch ist dabei allerdings etwas ungl¨ ucklich gew¨ahlt; besser w¨are die Bezeichnung mathematischphysikalische Wettervorhersage, wie im folgenden ausgef¨ uhrt wird. Betrachten wir als Beispiel die Prognose der Lufttemperatur. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Temperatur¨anderungen adiabatisch verlaufen (keine W¨ armequellen und Senken) und dass der Luftdruck dabei konstant bleibt. Dann erh¨ alt der Erste Hauptsatz der Thermodynamik die einfache Form: dT ∂T = + v · ∇T = 0 . dt ∂t F¨ ur die Temperatur¨anderung am festen Ort ergibt sich ∂T = −v · ∇T . ∂t

(17.1)

244 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Gleichung (17.1) besagt, dass die Temperatur¨anderungen an einem Ort durch Kalt- oder Warmluftadvektionen mit dem Windfeld erfolgen. Ausgehend von einem Temperaturfeld T (x,t0 ) zum Zeitpunkt t = t0 erh¨ alt man die Temperatur T (x,t) zu sp¨ ateren Zeitpunkten t aus der Integration von (17.1): T (x, t) = T (x, t0 ) −

t

v · ∇T dt .

(17.2)

t0

Um eine Temperaturprognose durchf¨ uhren zu k¨onnen, muss man zun¨ achst von einem bekannten Anfangswert T (x,t = t0 ) ausgehen, den man z. B. messen kann. Zur Integration von (17.2) ben¨otigt man noch das Windfeld, das man aus der simultanen L¨ osung der Bewegungsgleichungen erh¨ alt. Nehmen wir als einfaches Beispiel den Fall, dass die Windgeschwindigkeit konstant ist und der Wind nur in x-Richtung weht, d. h. v = u i. Die Prognosegleichung f¨ ur die Temperatur (17.1) lautet dann in diﬀerentieller Form: ∂T ∂T = −u . (17.3) ∂t ∂x Das Temperaturfeld zum Zeitpunkt t = 0 sei durch eine periodische Funktion T (x,0) = T0 + T1 sin(kx + φ0 )

(17.4)

gegeben, wobei k = 2π/L die Wellenzahl und φ0 eine beliebige Phase ist. Mit der Anfangsbedingung (17.4) l¨asst sich eine analytische L¨ osung der Gleichung (17.3) angeben: T (x,t) = T0 + T1 sin(kx − kut + φ0 ) .

(17.5)

Am festen Ort a ¨ndert sich die Temperatur periodisch mit der Zeit, wobei sich die Periode τ aus 2π = kuτ gerade zu τ = L/u ergibt. (17.5) stellt sozusagen eine Temperaturvorhersage dar, die auf einer analytischen L¨ osung der Prognosegleichung (17.3) beruht. Die Ausgangsgleichung (17.1) selbst ist – wie bereits erw¨ahnt – nichts anderes als eine vereinfachte Form des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik. Die Temperaturvorhersage basiert somit auf physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten, die durch (17.1) mathematisch beschrieben werden. Es handelt sich also um eine physikalisch-mathematische Wetter“-Vorhersage. ” Daß die Vorhersage sogar auf analytischem Wege m¨ oglich war, liegt an der einfachen Form der Gleichung und der Voraussetzung eines konstanten Windfeldes. Der Begriﬀ numerische Wettervorhersage betriﬀt also mehr die L¨ osungstechnik der Vorhersagegleichungen. Die numerische Vorhersage der u ¨brigen Wetterelemente funktioniert praktisch genauso wie am Beispiel der Temperaturprognose dargestellt. Als Ausgangsgleichungen k¨ onnen etwa die Bewegungsgleichung, die Kontinuit¨ atsgleichung und der Erste Hauptsatz der Thermodynamik im p-System (siehe Abschnitt 12.2) verwendet werden.

17.1 Numerische Wettervorhersage

245

Wir wollen hier aber eine viel einfachere Modellatmosph¨ are betrachten, n¨ amlich eine barotrope Atmosph¨are. Diese k¨onnen wir mit der barotropen, geostrophischen Vorticitygleichung (11.13) beschreiben: ∂ζg + vg · ∇ζg + βvg = 0 . (17.6) ∂t Der geostrophische Wind vg und die geostrophische Vorticity ζg sind mit dem Isohypsenfeld einer Druckﬂ¨ache (z. B. 500 hPa) durch (10.6) und (11.12) verkn¨ upft vg =

1 k × ∇Φ ; f

ζg =

1 2 ∇ Φ. f

(17.7)

Diese Beziehungen enthalten keine zeitlichen Ableitungen, weshalb man sie auch als diagnostische Gleichungen bezeichnet, im Gegensatz zur Vorticitygleichung, die man wegen der zeitlichen Ableitung ∂/∂t auch eine prognostische Gleichung nennt. Zwar lassen sich f¨ ur das System (17.6), (17.7) einige spezielle analytische L¨ osungen angeben (siehe z. B. Kapitel 12), jedoch wird im allgemeinen eine numerische L¨osung notwendig sein. Wie geschieht dies nun? Wir k¨onnen hier nicht ausf¨ uhrlich auf Probleme der numerischen Mathematik eingehen; vielmehr soll eine typische Vorgehensweise dargestellt werden. Grob gesprochen m¨ ussen zun¨achst die partiellen Diﬀerentiale in den Gleichungen (17.6) und (17.7) durch ﬁnite Diﬀerenzen approximiert werden, was schließlich auf ein System algebraischer Gleichungen f¨ uhrt, die numerisch gel¨ ost werden m¨ ussen. Als erster Schritt wird das Integrationsgebiet in der x-y-Ebene in diskrete Intervalle der L¨ ange Δx und Δy unterteilt (Bild 17.1). Die Variablen ζg , vg und Φ sind jetzt nicht mehr kontinuierliche Funktionen Φ(x,y) usw., sondern nur an diskreten Schnittpunkten des Rechengitters deﬁniert, also z. B. Φ(m · Δx, n · Δy), m = 0, 1, 2 . . . , n = 0, 1, 2 . . . . Alle r¨ aumlichen Ableitungen werden durch ﬁnite Diﬀerenzen ersetzt: y ..... . Δy .... • • • • • • 4 •.... .. ... • • • • • • 3 •.... .. Δy ... • • • • • • 2 •.... ... Δx .. • • • • • • 1 •.... .. ... . 0 •.......................•........................•........................•.......................•........................•........................•......................... x/Δx 0 1 2 3 4 5

Bild 17.1 Aufteilung der x-y-Ebene in ein diskretes Rechengitter mit den Intervallen Δx und Δy

246 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung ∂x → Δx ,

∂y → Δy ,

∂ζ Δζ → , ∂x Δx

∂ζ Δζ → ∂y Δy

usw.

Auch die zeitliche Entwicklung der Vorticity wird in diskreten Schritten verfolgt. Dies ist in Bild 17.2 skizziert. ∂t → Δt

und

Δζ ∂ζ → . ∂t Δt

Mit diesen Approximationen lautet die Vorticitygleichung (der Index g wird im folgenden weggelassen) in Diﬀerenzform Δζ Δζ Δζ +u +v + βv = 0 , Δt Δx Δy u=−

ζ=

1 ΔΦ , f Δy

1 f

v=+

(17.8)

1 ΔΦ , f Δx

Δ ΔΦ Δ ΔΦ + Δx Δx Δy Δy

(17.9)

.

(17.10)

Die Vorticity an den St¨ utzpunkten m · Δx und n · Δy zum Zeitpunkt t + Δt erh¨ alt man aus (17.8) mit #

ζ(x, y, t + Δt) = ζ(x, y, t) − u

Δζ Δζ +v + βv Δx Δy

$

Δt .

(17.11)

t

Zum Zeitpunkt t muss also das Feld der Vorticity und das Geschwindigkeitsfeld bekannt sein, um mit Hilfe von (17.11) die Vorticity zum Zeitpunkt t + Δt berechnen zu k¨ onnen. Will man nun zum n¨achsten Zeitpunkt t + 2Δt u ¨bergehen, so muss in (17.11) t + Δt durch t + 2Δt und t durch t + Δt ersetzt werden. Dabei erh¨ alt man das Geschwindigkeitsfeld u(t + Δt), v(t + Δt) aus der Beziehung f¨ ur den geostrophischen Wind (17.7). Das hierin ben¨otigte Geopotentialfeld Φ(t + Δt) erh¨ alt man wiederum aus der Vorticity ζ(t + Δt) mittels (17.10). Diesen Prozess kann man solange fortsetzen, bis das Ende des Vorhersagezeitraumes erreicht ist. Dies ist in Bild 17.2 dargestellt. .............................................. .......... ........ . . . . . . . ...... .... . . ...... . . . .....I .... . . . ..... . . . . . .... . ............ 2 ...........................................3 ...................... ............................... 1 ... .......... .............. .... ..... ..... ..... ...... .... . ..... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ......................... ...................... ...................... . . . •.. ................................•......................................•.....................................•..........................................................................•................................

t0

t0 + Δt

t0 + 2Δt

t0 + 3Δt

τ = t0 + I Δt

Bild 17.2 Aufteilung des Prognosezeitraums von t = t0 bis t = τ in I diskrete Intervalle (Zeitschritte) Δt

17.1 Numerische Wettervorhersage . .. .. ... .. ... ψ ..... .. ... .. ... .. (17.13) .. ... . . . ..... . ..... ..... .... ... ............ .......... ......... .. .... ... .... ... ... .... .... (17.14) ............................................................................................................................................... ...... ... ..... ...... .... .. ... ...... ... ..... ... .......................... .... ... .... ........ . .... .... ...... ...... ....... ... .... ...... ............ ....... .... .. ....... .......... .. . ... . ... ... ...................... . ...... . . . . . . . . . . . .. .. .. .. ... ... ................. .. ... ... ................... .. ... ... . . . . . . . . .. . . . . . .. (17.12) ... ...... .... . .... . . . . . . . ... ... . . . .... . . . .... . . . ... ... ..... ... .. ..... .. ..... ... ... ..... ...... . . . .. ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... . .. .. ... . ............................................................................................................................................................................ x x0 − Δx x0 + Δx x 0

247

Bild 17.3 Approximation der Ableitung ∂ψ/∂x am Punkt x = x0 durch zentrierte, Vorw¨arts- und R¨ uckw¨arts-Diﬀerenzen Δψ/Δx

Ein Problem besteht in der Wahl der Diﬀerenzenapproximation in den Gleichungen (17.8) bis (17.10). Dies sei an einer beliebigen Funktion ψ(x) verdeutlicht. Wir wollen am Punkt x = x0 die Ableitung ∂ψ/∂x durch die Diﬀerenz Δψ/Δx ersetzen. Wie in Bild 17.3 dargestellt, gibt es daf¨ ur im einfachsten Fall drei M¨ oglichkeiten: 1. Zentrierte Diﬀerenzen: ψ(x0 + Δx) − ψ(x0 − Δx) ∂ψ → , ∂x 2Δx

(17.12)

2. Vorw¨ arts-Diﬀerenzen: ∂ψ ψ(x0 + Δx) − ψ(x0 ) → , ∂x Δx

(17.13)

3. R¨ uckw¨ arts-Diﬀerenzen: ∂ψ ψ(x0 ) − ψ(x0 − Δx) → . ∂x Δx

(17.14)

Statt der r¨ aumlichen Ableitung kann man in (17.12) bis (17.14) auch die zeitlichen Diﬀerenzen ∂ψ/∂t → (ψ(t + Δt) − ψ(t))/Δt usw. einsetzen. Prinzipiell wird dabei die Steigung der Tangente ∂ψ/∂x durch die der Sekante ¨ Δψ/Δx ersetzt. Uber Vor- und Nachteile der Diﬀerenzenapproximationen (17.12) bis (17.14) hinsichtlich Genauigkeit und Konvergenz der numerischen L¨ osung soll hier nicht n¨ aher eingegangen werden. Ausf¨ uhrliche Darstellungen dar¨ uber ﬁnden sich in den zitierten B¨ uchern. Bei der Vorticity-Stromfunktion-Beziehung (17.7) treten auch zweite Ableitungen auf. Diese werden u ur ¨blicherweise durch zentrierte Diﬀerenzen approximiert, f¨ eine allgemeine Funktion ψ z. B. ∂2ψ ψ(x0 + Δx) − 2 ψ(x0 ) + ψ(x0 − Δx) −→ . 2 ∂x (Δx)2

(17.15)

248 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Mit den einfachen Diﬀerenzenapproximationen (17.12) bis (17.15) sollen nun die Vorticity-Gleichung (17.8) sowie die diagnostischen Beziehungen f¨ ur den geostrophischen Wind (17.9) und die geostrophische Vorticity (17.10) in Diﬀerenzenschreibweise angegeben werden. Dazu verwenden wir zentrierte Diﬀerenzen (17.12) f¨ ur die r¨ aumlichen Ableitungen und vorw¨ arts gerichtete Diﬀerenzen (17.13) f¨ ur die zeitliche Ableitung:

ζ(x,y,t + Δt) = ζ(x,y,t) −

u(x,y,t) ·

ζ(x + Δx,y,t) − ζ(x − Δx,y,t) 2 Δx

+ v(x,y,t) ·

ζ(x,y + Δy,t) − ζ(x,y − Δy,t) 2 Δy

+ β v(x,y,t) Δt , (17.16) sowie u(x,y,t) = −

1 Φ(x,y + Δy,t) − Φ(x,y − Δy,t) , f 2 Δy

(17.17)

v(x,y,t) = +

1 Φ(x + Δx,y,t) − Φ(x − Δx,y,t) , f 2 Δx

(17.18)

und gem¨ aß (17.15) f¨ ur die zweiten Ableitungen:

ζ(x,y,t) =

1 Φ(x + Δx,y,t) − 2 Φ(x,y,t) + Φ(x − Δx,y,t) f (Δx)2 Φ(x,y + Δy,t) − 2 Φ(x,y,t) + Φ(x,y − Δy,t) + (Δy)2

(17.19)

.

Die Koordinaten x und y sind dabei jeweils an den Gitterpunkten x = m · Δx und y = n · Δy mit m, n = 0, 1, 2, 3 . . . zu konkretisieren. Die Zeit t ist jeweils f¨ ur t = i Δt mit i = 0, 1, 2, 3 . . . deﬁniert. Die Diﬀerenzengleichungen (17.17) bis (17.19) stellen die einfachste M¨ oglichkeit einer numerischen Wettervorhersage dar und wurden in den Anf¨ angen dieses Zweiges der Meteorologie auch h¨auﬁg verwendet. Damit wurde zun¨ achst eine Routinevorhersage f¨ ur das Geopotential Φ der 500-hPa-Fl¨ ache f¨ ur den Zeitraum von 24 h durchgef¨ uhrt. In der Praxis sind dabei nach der geeigneten Programmierung der Modellgleichungen folgende Schritte notwendig:

17.1 Numerische Wettervorhersage

249

Zu Beginn des Prognosezeitraumes t = t0 muss die rechte Seite der Vorticitygleichung (17.16) bekannt sein. Tats¨achlich taucht dort nicht das Geopotential Φ, sondern die Vorticity sowie das Windfeld auf. Diese m¨ ussen nun aus gemessenen Anfangswerten des Geopotentials Φ(x,y,t0 ) mittels (17.17) bis (17.19) bestimmt werden. Erst danach kann mit dem ersten Prognoseschritt, also der Bestimmung von ζ(x,y,t0 + Δt) aus (17.16) begonnen werden. Als Ergebnis erh¨ alt man nun das Vorticityfeld in der rechten Seite von dieser Gleichung zum Zeitpunkt t0 +Δt. Das Geschwindigkeitsfeld u(x,y,t0 + Δt), v(x,y,t0 + Δt) wird ben¨ otigt, damit der n¨ achste Schritt, die Bestimmung von ζ(x,y,t0 + 2Δt) durchgef¨ uhrt werden kann. Dazu muss man das Geopotentialfeld Φ(x,y,t0 + Δt) kennen, das man z. B. mittels spezieller Iterationsverfahren unter Vorgabe von Randwerten aus (17.19) erh¨ alt. Zahlreiche numerische L¨osungsmethoden dieser Gleichung, die vom Typ einer Poisson-Gleichung ist, ﬁndet man in den zitierten B¨ uchern. Das barotrope Modell (17.16) bis (17.19) kann heute praktisch jede Studentin bzw. jeder Student auf einem PC selbst programmieren und damit eine numerische Wettervorhersage durchf¨ uhren. In den Anf¨ angen der numerischen Wettervorhersage, etwa um das Jahr 1950 herum, ben¨ otigte man dazu noch einen Großrechner, dessen Hardware einen ganzen Raum ausf¨ ullte. Falls der eine oder andere Leser dies nun gleich in die Tat umsetzen m¨ ochte, wird er unter Umst¨anden eine v¨ollig unsinnige Prognose erstellen. Dies liegt nicht unbedingt daran, dass ein Programmfehler aufgetreten ist. Vielmehr ist bei der Anwendung von (17.16) bis (17.19) noch eine wichtige Einschr¨ ankung zu beachten. Diese h¨ angt damit zusammen, dass die vorzugebenden diskreten Gitterweiten Δx und Δy sowie der Zeitschritt Δt nicht beliebig gew¨ ahlt werden k¨ onnen. Vielmehr muss dabei folgende Bedingung erf¨ ullt sein: umax ≤

Δx Δt

bzw. Δt ≤

Δx . umax

(17.20)

Die Ungleichung (17.20) nennt man nach den Mathematikern, die diese Bedingung f¨ ur die L¨ osung von Diﬀerenzengleichungen bei Anfangswerten aufgestellt haben, auch Courant-Friedrichs-Levy- oder CFL-Kriterium. In (17.20) steht Δx f¨ ur den kleinsten r¨aumlichen Abstand Δx oder Δy. Mit umax ist die in dem zu l¨osenden Gleichungssystem auftretende maximale Signalgeschwindigkeit gemeint. Dies kann entweder die tats¨ achliche Str¨ omungsgeschwindigkeit oder die Phasengeschwindigkeit von Wellen sein. In unserem Beispiel der barotropen Vorticitygleichung (17.6) treten lediglich Rossby-Wellen auf, deren Phasengeschwindigkeit gem¨aß (13.2) in der Gr¨oßenordnung der Windgeschwindigkeiten liegt, also f¨ ur großr¨aumige Str¨omungen bei 30 m s−1 . Verwendet man jedoch die vollst¨andigen Bewegungsgleichungen (siehe z. B. Abschnitt 13.2) f¨ ur eine numerische Wettervorhersage, so beinhalten diese als L¨ osung auch Schallwellen. In diesem Fall m¨ ußte im CFL-Kriterium umax = cSchall ≈ 300 m s−1 gesetzt werden, so dass bei gleicher r¨aumlicher Auﬂ¨ osung Δx, Δy nun ein zehnmal kleinerer Zeitschritt Δt gew¨ahlt werden muss als f¨ ur die Vorticitygleichung.

250 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Dies ist zwar formal kein Problem; der Rechenaufwand f¨ ur eine numerische Wettervorhersage ist jedoch proportional zur Anzahl der Gitterpunkte (M · N ) und zur Anzahl der Zeitschritte I. Deshalb versucht man, f¨ ur eine Prognose u oglichst weni¨ber einen bestimmten Zeitraum (z. B. 24 h, 48 h, 72 h) mit m¨ gen Zeitintervallen auszukommen. Der maximal erlaubte Zeitschritt Δt ist dabei ¨ durch das CFL-Kriterium (17.20) gegeben. Bei Uberschreiten dieser Grenze, also Δt > Δtmax , werden die numerischen L¨osungen der Vorticitygleichung (17.16) bis (17.19) unsinnig und sind f¨ ur eine Wettervorhersage nicht mehr zu gebrauchen. Nat¨ urlich wird die numerische Wettervorhersage heute von den Wetterdiensten nicht mehr mit der barotropen Vorticitygleichung erstellt. Vielmehr stellen Bewegungs- und Kontinuit¨atsgleichung im p-System sowie der Erste Hauptsatz der Thermodynamik (erg¨anzt durch diabatische Prozesse wie Reibung, Strahlung und Phasenumwandlungen) sowie fortschrittliche numerische Methoden zur L¨osung der Diﬀerenzenapproximationen dieser Gleichungen die Grundlage der modernen Wettervorhersage dar. Trotzdem ist der prinzipielle Weg der gleiche, wie er hier anhand der Vorticitygleichung von ihrer Ausgangsform (17.6) bis zu ihrer programmierbaren Differenzenform (17.16) dargestellt worden ist. So gesehen stellt die Theoretische Meteorologie die Grundlage der numerischen Wettervorhersage und somit der t¨aglichen Wetterberichte in Presse, Funk und Fernsehen dar. Ein Beispiel f¨ ur eine Vorhersage des Bodendruckfeldes, wie sie mit einem numerischen Modell des Deutschen Wetterdienstes erhalten wurde, ist in Bild 17.4 dargestellt.

17.2

Einfu ¨ hrung in die Klimamodellierung

Im vorherigen Abschnitt wurde die praktische Anwendung der Grundgleichungen f¨ ur atmosph¨ arische Thermodynamik und Dynamik (Tabelle 17.1) in der numerischen Wettervorhersage beschrieben. Im Prinzip lassen sich diese Gleichungen auch u angere Zeitr¨aume in die Zukunft integrieren als dies bei der numeri¨ber l¨ schen Wettervorhersage der Fall ist (hier: wenige Tage). Wegen der Unsicherheit in den Anfangsbedingungen, sowie der Nichtlinearit¨ at und des chaotischen Verhaltens des Gleichungssystems, sind Vorhersagen u angere Zeitr¨ aume nicht ¨ber l¨ mehr exakt. Die Ergebnisse der numerischen Integration k¨ onnen dann nur noch als r¨ aumliche bzw. zeitliche Mittel f¨ ur die verschiedenen Variablen interpretiert werden (z. B. mittlere Lufttemperatur im Januar in Norddeutschland). Auf der Beobachtungsseite entspricht dies den mittleren Verh¨ altnissen in der Atmosph¨ are, welche man als Klima bezeichnet. Auch wenn sich die klassische Klimadeﬁnition auf einen Mittelbildungszeitraum von 30 Jahren bezieht, sollen hier k¨ urzere Zeitr¨ aume (Monatsmittel, Jahreszeitenmittel) betrachtet werden, da in der aktuellen Forschung u unftige ¨ber zuk¨ Klima¨ anderung kurzfristige Klimaschwankungen durchaus diskutiert werden. Worin liegt nun der Unterschied zwischen der numerischen Wettervorhersa-

17.2 Einfiihrung in die Klimamodellierung

251

Bild 17.4 Beispiel for eine 48-sttindige Vorhersage des Druckfeldes am Erdboden (z NN) im Bereich des Nordatlantik mittels eines numerischen Modells ge und der Klimamodellierung? Auch wenn irn Prinzip die selben Gleichungen (Tabelle 17.1) verwendet werden, so gibt es aufier in der r~umlichen AuflSsung der Rechengitter (numerische Wettervorhersage: /~ ~ 5 - 50 kin, Klimamodelle: /~ ~ 100 - 500 kin) noch mehr grunds~tzliche Unterschiede. Man kSnnte etwas vereinfacht formulieren: 9 die numerische Wettervorhersage ist ein Anfangsproblem 9 die Klimamodellierung ist ein Randwertproblem Die Wettervorhersage ist umso genauer, je besser die meteorologischen Felder (Temperatur, Druck, Feuchte, Wind) zum Startzeitpunkt der Integration (Anf~ngswert) bek~rmt sind. In der Klimamodellierung ist der genaue Anfangszustand eher unwesentlich, da sich hier auf den l~ngeren Zeitr~umen der Integration (mehrere Jahre, Jahrzehnte) die Wechselwirkungen zwischen der Atmosphere und der Erdoberfl~che (Land, Ozean, Meereis, Biosphere) stark bemerkbar machen (z. B. Energieaustausch am Erdboden). Neben der Wichtigkeit der Randbedingungen kommt es in der Klimamodellierung besonders auf die Wechselwirkung verschiedener physikalischer Prozesse an, die in den Gleichungen in Tabelle 17.1 stark vereinfacht in

252 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Form von Quelltermen im ersten Haupsatz der Thermodynamik, der Gleichungen f¨ ur den Wasserkreislauf sowie f¨ ur atmosph¨arische Spurenstoﬀe (Treibhausgase) dargestellt sind. Ohne genauer darauf einzugehen (Einzelheiten sind in der umfangreichen Literatur zu Klimamodellen zu ﬁnden), seine als Beispiele genannt: • Wechselwirkung Wolken – Strahlung • Wechselwirkung Gase + Aerosole – Strahlung • Wechselwirkung Ozean – Atmosph¨are • Wechselwirkung Biosph¨are – Atmosph¨are • Wechselwirkung Kryosph¨are (Landeis, Meereis) – Atmosph¨ are Diese Wechselwirkungen machen sich meist auf l¨ angeren Zeitskalen im Zustand der Atmosph¨ are bemerkbar, weshalb sie in Modellen der numerischen Wettervorhersage nur vereinfacht oder u ucksichtigt werden. Dar¨ uber¨berhaupt nicht ber¨ hinaus sind z. B. f¨ ur die Wechselwirkung zwischen der Atmosph¨ are und den anderen Kompartimenten des Klimasystems (Ozean, Kryosph¨ are, Landoberﬂ¨ ache, Biosph¨ are) eigene Modelle f¨ ur diese Medien notwendig (z. B. Ozeanzirkulationsmodelle), was weit u ur die numerische Wetter¨ber die Struktur der Modelle f¨ vorhersage hinausgeht. Dennoch bleibt festzuhalten, daß die hier beschriebenen Gesetzm¨ aßigkeiten der Thermodynamik und Dynamik der Atmosph¨ are fester Bestandteil eines jeden Klimamodells sind. Es fehlt hier der Platz, die vielf¨altigen Ergebnisse umfangreicher Klimasimulationen auch nur ansatzweise zu beschreiben. Solche ﬁnden sich im regelm¨ aßig erscheinendem Bericht des “Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)”, in welchem die Prognosen des zuk¨ unftigen Klimas, wie sie von verschiedenen Klimamodellen ermittelt werden, dargestellt sind. 4 o ΔT / C 3

G

2

G+A

1 0 -1

1900

1950

2000

¨ Bild 17.5 Anderung der global gemittelten bodennahen Lufttemperatur aufgrund der Zunahme von Treibhausgasen (G) und Aerosolen (A), wie sie aus einem globalen Klimamodell erhalten wurde. Simulation G: nur Treibhausgase, Simulation G+A: Treibhausgase und Aerosole

2050 2100 Jahr

Als Beispiel sei hier lediglich die Simulation der global gemittelten, bodennahen Lufttemperatur eines einzelnen Klimamodells vorgestellt. Dabei geht es besonders um den Einﬂuß des Treibhausgases CO2 und der Aerosole auf den

17.2 Einf¨ uhrung in die Klimamodellierung ¨ lok. zeitl. Anderung 1 ∂v/∂t 2 ∂/∂t 3 ∂T /∂t 4 ∂qi /∂t 5 ∂cn /∂t

+ + + + +

Advektion v ·∇ v v ·∇ v ·∇T v ·∇qi v ·∇cn

= = = = =

253 Kr¨ afte/Quellen Fi Q QT Qqi Qcn

+

Diﬀusion Kv ∇2 v

+ + +

KT ∇2 T Kq ∇2 qi Kc ∇2 cn

Erl¨ auterungen zu den Gleichungen 1. Bewegungsgleichung: v = Geschwindigkeit Fi = −f k × v − 1 ∇p − ∇φ 2. Kontinuit¨ atsgleichung: = Dichte Q = −∇· v (inkompressibles Medium) 3. Gleichung f¨ ur die innere Energie: T = Temperatur QT = W¨ armequellen- und Senken (z.B.: Q = −1/(cp ) dp/dt : adiabatische Kompression; Divergenzen von lang- und kurzwelligen Strahlungsstr¨ omen; Phasenumwandlung von Wasser: latente W¨ arme). 4. Bilanzgleichung f¨ ur die Wasserphasen (qi ): q1 = Wasserdampf, q2 = Fl¨ ussigwasser, q3 = Eis. Qq = Phasenumwandlungen (z.B.: Kondensation, Verdunstung, Gefrieren). 5. Bilanzgleichung f¨ ur Inhaltsstoﬀe cn (n = 1, 2, 3, ...). z.B.: Gase: c1 = CO2 , c2 = N O, c3 = O3 u.s.w. im Ozean auch: c = Salzgehalt Qc : Quellen und Senken sowie chemische Umwandlungen von Spurenstoﬀen. Im Diﬀusionsterm der Gleichungen bedeuten Kv , KT , Kq , Kc die turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten f¨ ur die jeweilige Str¨ omungseigenschaft. Die thermodynamischen Variablen Druck (p), Dichte () und Temperatur (T ) sind noch u upft: ¨ber Zustandsgleichungen verkn¨ Atmosph¨ are: p = RT ; Ozean: = (p, T, c), c = Salzgehalt. Tabelle 17.1 Struktur der Gleichungen zur Beschreibung des Systems Atmosph¨are Ozean, wie sie z.B. in Klimamodellen verwendet werden.

Strahlungshaushalt und somit auf die Lufttemperatur. Das Ergebnis einer solchen Klimasimulation ist in Bild 17.5 dargestellt. In einer Simulation wurde lediglich der Eﬀekt der Treibhausgase ber¨ ucksichtigt, welche u ohte langwelli¨ber eine erh¨ ge Gegenstrahlung zu einem Anstieg der globalen Mitteltemperatur f¨ uhrt. Eine zweite Modellsimulation ber¨ ucksichtigt zus¨atzlich den Eﬀekt von Aerosolen (z. B. Reﬂexion der Solarstrahlung, Erh¨ohung der Albedo), was zu einem reduzierten

254 17 Einf¨ uhrung in die numerische Wettervorhersage und Klimamodellierung Treibhauseﬀekt f¨ uhrt. Beide Eﬀekte kann man sich auch anhand des sehr einfachen “Klimamodells” aus Kapitel 5.5 klarmachen.

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung 18.1

Oberﬂ¨ achenkr¨ afte

Die auf ein Luft- oder Fl¨ ussigkeitsvolumen einwirkenden Kr¨ afte kann man aufteilen in Volumen- und Oberﬂ¨achenkr¨afte. Die Volumenkr¨ afte wirken auf das gesamte Volumen, w¨ahrend die Oberﬂ¨achenkr¨afte nur auf die Oberﬂ¨ ache des betrachteten Volumens wirken. Als Volumenkraft ist in der Meteorologie praktisch nur die Schwerkraft wirksam; ein anderes Beispiel f¨ ur eine Volumenkraft ist die Magnetkraft. Als Beispiel f¨ ur eine Oberﬂ¨achenkraft haben wir bei der Behandlung der Eulerschen Bewegungsgleichung bereits die Druckkraft kennengelernt. Im folgenden sollen die auf die Oberﬂ¨ache eines Luft- oder Fl¨ ussigkeitsvolumen wirkenden Kr¨ afte n¨aher untersucht werden. Wir betrachten in Bild 18.1 die an ein Einheitsvolumen angreifenden Oberﬂ¨achenspannungen. (Diese sind aufgrund der Z¨ahigkeit des Mediums vorhanden, die wiederum durch molekulare Kr¨afte hervorgerufen wird.) Das Einheitsvolumen ist so gelegt, dass seine Kanten mit den Achsen des kartesischen Koordinatensystems {x,y,z} zusammenfallen. Die mit τ bezeichneten Spannungen lassen sich in Normalspannungen (senkrecht auf einem Fl¨ achenelement stehend) und Tangentialspannungen (in der Fl¨ achenebene liegend) aufteilen. Die Indexbezeichnung der einzelnen Komponenten der Spannungen geschieht nach folgendem Prinzip: der erste Index gibt die Richtung der Fl¨ achennormalen an, der zweite die Richtung, in der die Spannung wirkt. So bedeutet z. B. τxy eine Spannung auf der Fl¨ache des Volumens, deren Normale in x-Richtung liegt, wobei die Spannung in y-Richtung weist. ...

z ..................... τ ............... . zz . . ....... ... .......... ...................................................... . . . . . . . . . . . ........... . ..... . . ............. .. . ......................... . ............................ .... τzy .......... .... ... ..................τzx.............. . ... . . . ..................... .. ... ...................... .......... ... . . . τ . .... . ... ... τxz ..... ...yz .... . . . . ... ... ..... .. ... ..... ... . .. ............................................................ .... . dz ..... .. . . . . . . . . .............. . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . ..... ... τ......................................................... .... τyy .. τxx ............................................................. ............... . .......... τxy ... yx ... .................. ....... .... ................................................................ ... ........................ . . . . . . . y . . .. . ... ... . .. . . . . . . . . . . . . . ............ ..... . .. . ......... . . . . . . . ...................... . . . . . . . . ........... .......... . ... dx x dy ........................ .... ....... ............ ...... ......

Bild 18.1 Zerlegung der an einem Volumenelement angreifenden Oberﬂ¨achenkr¨afte nach Normal- und Tangentialspannungen

256

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung

Die Oberﬂ¨ achenkr¨afte an sich erh¨alt man aufgrund der Deﬁnition Spannung gleich Kraft pro Fl¨ ache aus der Multiplikation der entsprechenden Spannung mit der Fl¨ ache, auf die sie wirkt. Aus der Darstellung des Einheitsvolumens entnehmen wir, dass die Normalspannungen mit τxx , τyy , τzz und die Tangentialspannungen mit τxy , τxz , τyx , τyz , τzx , τzy bezeichnet werden. In Richtung der x-Koordinate weisen also alle Spannungen, deren zweiter Index x ist, analog gilt dies f¨ ur die y- und z-Koordinate. Die Gesamtspannung l¨asst sich bequem als ein Tensor zweiter Stufe (Spannungstensor τki ) wie folgt darstellen: ⎛

τki

mit

⎞

⎛

⎞

τxx τyx τzx τ11 τ21 τ31 = ⎝ τxy τyy τzy ⎠ = ⎝ τ12 τ22 τ32 ⎠ . τxz τyz τzz τ13 τ23 τ33 k = x, y, z i = x, y, z

k = 1, 2, 3 i = 1, 2, 3

Wir wollen jetzt untersuchen, welche Nettokraft durch die Spannungen auf die Oberﬂ¨ ache des Volumens ausge¨ ubt wird. Dazu betrachten wir als Beispiel alle Spannungen, die in x-Richtung wirken. F¨ ur die Normalspannungen τxx gilt: = Spannung am Fl¨achenelement dy dz an der Stelle x und τxx (x) τxx (x + dx) = Spannung am Fl¨achenelement dy dz an der Stelle x + dx . F¨ ur die Kr¨ afte soll jetzt angenommen werden, dass die an der Stelle x + dx wirkende Spannung in positive x-Richtung wirkt. Dem entgegen wirkt an der Stelle x eine Spannung in negative x-Richtung. F¨ ur die Kr¨ aftebilanz ergibt dies: K0xx (x) + K0xx (x + dx) = τxx (x + dx) dydz − τxx (x) dydz . F¨ ur die Spannung τxx f¨ uhren wir eine Taylor-Entwicklung durch: τxx (x + dx) ≈ τxx (x) +

∂τxx dx . ∂x

Damit erhalten wir f¨ ur die Nettokraft, die aufgrund der Normalspannungen τxx auf das Fl¨ achenelement dy dz ausge¨ ubt wird: K0xx =

∂τxx dx dy dz . ∂x

Analog geht man bei der Behandlung der ebenfalls in Richtung der x-Koordinate wirkenden Spannungen τyx und τzx vor, wobei die Kr¨ aftebilanz jeweils u ¨ber zwei gegen¨ uberliegende Fl¨achen gebildet wird (f¨ ur die Tangentialspannung τyx z. B. f¨ ur die Fl¨ achen dxdz an den Stellen y und y + dy). Unter Ber¨ ucksichtigung der Anordnung der Spannungskomponenten in Bild 18.1 erh¨ alt man daf¨ ur die insgesamt auf die Volumenoberﬂ¨ache in x-Richtung wirkenden Kr¨ afte:

18.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen

257

∂τxx dx dy dz , ∂x ∂τyx dx dy dz , = ∂y

K0xx = K0yx

K0zx =

∂τzx dx dy dz . ∂z

F¨ ur die gesamte in x-Richtung wirkende Oberﬂ¨ achenkraft eines Volumens V = dx dy dz ergibt sich

K0x = V

∂τxx ∂τyx ∂τzx + + ∂x ∂y ∂z

.

(18.1)

Durch analoges Vorgehen erh¨alt man die Oberﬂ¨ achenkr¨ afte in der y- und zRichtung, die mit K0y und K0z bezeichnet werden sollen.

K0y = V

K0z = V

∂τxy ∂τyy ∂τzy + + ∂x ∂y ∂z ∂τxz ∂τyz ∂τzz + + ∂x ∂y ∂z

,

(18.2)

.

(18.3)

Die gesamte auf das Volumen wirkende Oberﬂ¨ achenkraft l¨ asst sich als Summation von (18.1) bis (18.3) in der Indexschreibweise darstellen: K0i = V

∂τki ∂xk

,

i = x, y, z k = x, y, z

oder i = 1, 2, 3 oder k = 1, 2, 3

.

(18.4)

Zur Herleitung der Oberﬂ¨achenkr¨afte ist noch zu bemerken, dass der Druck p an sich in den Komponenten der Normalspannungen enthalten ist, da er senkrecht auf die Volumenoberﬂ¨ache wirkt. Da der Druck aber bei der Behandlung der Eulerschen Bewegungsgleichungen bereits als separate Oberﬂ¨ achenkraft behandelt wurde, soll er hier im Spannungstensor τki nicht auftreten.

18.2

Die Navier-Stokes-Gleichungen

W¨ahrend die Eulerschen Bewegungsgleichungen f¨ ur eine Str¨ omung ohne Reibung, also ohne Oberﬂ¨achenkr¨afte gelten, haben u. a. L. Navier (franz¨ osischer Ingenieur, 1785–1836) und G. G. Stokes (britischer Mathematiker und Physiker, 1819–1903) die Oberﬂ¨achenkr¨afte bei Fl¨ ussigkeiten und Gasen in den Bewegungsgleichungen ber¨ ucksichtigt. Man erh¨alt die sogenannten Navier-StokesGleichungen, wenn man den Eulerschen Bewegungsgleichungen (9.41) die Oberﬂ¨achenkraft (18.4) hinzuf¨ ugt:

258

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung Eulersche Bewegungsgleichungen

∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p 1 ∂τki − + uk + . = −εijk fj uk − ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ρ ∂xk

(18.5)

Volumenkr¨afte Oberﬂ¨ achenkr¨ afte

Tr¨ agheitskr¨afte

Die Bewegungsgleichungen in der Form (18.5) sind noch nicht direkt zu geoße enthalten. brauchen, da sie noch den Spannungstensor τki als unbekannte Gr¨ Man ben¨ otigt noch einen Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und den Geschwindigkeitskomponenten, damit die Gleichung (18.5) l¨ osbar wird. Dieser Zusammenhang ist aufgrund von Postulaten von Stokes hergestellt worden. Vereinfacht dargestellt soll die Spannung proportional der Deformation des Geschwindigkeitsfeldes (7.19) sein:

τxy = μ

τxz = μ

τyz = μ

∂v ∂u + ∂x ∂y ∂w ∂u + ∂x ∂z ∂w ∂v + ∂y ∂z

= τyx ,

(18.6)

= τzx ,

= τzy .

In den Gleichungen (18.6) ist davon Gebrauch gemacht worden, dass man τki = τik setzen kann, was bedeutet, dass die jeweiligen antisymmetrischen Komponenten des Spannungstensors betragsm¨aßig gleich sind (dies folgt aus der Forderung, dass das Volumen kein Drehmoment aufweisen soll). Die Proportionalit¨atskonstante μ bezeichnet man als Viskosit¨ at oder Z¨ ahigkeitsbeiwert. Sie ist eine Materialeigenschaft des jeweils betrachteten Mediums. Bei den Normalspannungen wird f¨ ur eine kompressible Str¨ omung noch zus¨ atzlich die Volumen¨ anderung aufgrund der Geschwindigkeitsdivergenz ber¨ ucksichtigt: τxx = μ 2

∂uk ∂u − μ , ∂x ∂xk

τyy = μ 2

∂uk ∂v − μ , ∂y ∂xk

τzz = μ 2

∂uk ∂w − μ . ∂z ∂xk

(18.7)

Man kann zeigen, dass der Faktor μ gleich 23 μ ist. Insgesamt lassen sich die Komponenten des Spannungstensors in den Gleichungen (18.6) und (18.7) wie folgt zusammenfassen:

τik = μ

∂ui 2 ∂uj ∂uk + − δik ∂xk ∂xi 3 ∂xj

.

(18.8)

18.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen

259

Zum Erhalt der Navier-Stokes-Gleichungen in der vollst¨ andigen Form setzt man (18.8) in (18.5) ein und erh¨alt mit einem als konstant vorausgesetzten Z¨ ahigkeitsbeiwert μ: ∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p μ ∂ + uk = −εijk fj uk − − + ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ρ ∂xk

∂ui 2 ∂uj ∂uk + − δik ∂xk ∂xi 3 ∂xj

Der Reibungsterm kann explizit ausdiﬀerenziert werden:

μ ∂ 2 ui ∂ ∂uk + − 2 ρ ∂xk ∂xk ∂xi

∂ ∂uk ∂xi ∂xk

δik

2 ∂ ∂uj 3 ∂xk ∂xj

,

.

= 0 nur, wenn k = i, so dass δii = 1.

Aufgrund der Summationskonvention gilt ∂uj ∂uk = . ∂xk ∂xj Somit ergibt sich der Reibungsterm zu

∂ ∂uk 2 ∂uk μ ∂ 2 ui + − ρ ∂x2k ∂xi ∂xk 3 ∂xk

μ ∂ 2 ui 1 ∂ ∂uk = + ρ ∂x2k 3 ∂xi ∂xk

.

Die Navier-Stokes-Gleichungen lauten damit:

∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p μ ∂ 2 ui 1 ∂ ∂uk + uk = −εijk fj uk − − + + ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ρ ∂x2k 3 ∂xi ∂xk

, (18.9)

oder in Vektorschreibweise

1 μ 1 ∂v + (v · ∇) v = −2 Ω × v − ∇Φ − ∇p + ∇2 v + ∇(∇ · v) ∂t ρ ρ 3

. (18.10)

F¨ ur die einzelnen Komponenten u, v, w (verabredungsgem¨ aß gilt f¨ ur die Indexschreibweise u1 = u, u2 = v, u3 = w) erhalten wir beispielsweise in einem geographisch orientierten Koordinatensystem (x = Ost, y = Nord):

∂u ∂u + uk = f v − f∗ w ∂t ∂xk

1 ∂p μ ∂ 2 u 1 ∂ ∂uk + − + ρ ∂x ρ ∂x2k 3 ∂x ∂xk

∂v ∂v + uk = −f u ∂t ∂xk

1 ∂p μ ∂ 2 v 1 ∂ ∂uk + − + ρ ∂y ρ ∂x2k 3 ∂y ∂xk

∂w ∂w + uk = ∂t ∂xk

f∗ u

1 ∂p μ ∂ 2 w 1 ∂ ∂uk + −g − + ρ ∂z ρ ∂x2k 3 ∂z ∂xk

,

,

. (18.11)

260

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung

. z ....... ... u(z) = u0 . u0 .... .......... ... ... .. ............ ... ... .. ........... ... .. ... ... ........... .. ... .. .. .......... ... ............................................................................................................................................................ ............................................................... .. ............................................................... ............................................................... x

. z ...... ... u(z) .... u0 ............ .... .. .. ... ............. .. .. .... ... ........... .... .. .. ... ..... .. ............... ..... . ... . . .. .. . ... .. ......... ..... .... ... ..... . . . . . . .. ... .... ..... ..... ..... ............................................................................................................................................................................................ ................................................................ ................................................................ x ................................

Bild 18.2 Geschwindigkeitsverlauf einer Fl¨ ussigkeit nahe einer Oberﬂ¨ache, links ohne, rechts mit Reibung

Hierbei sind f = 2Ω sin φ und f ∗ = 2Ω cos φ die u ¨blichen Coriolis-Parameter. Die Navier-Stokes-Gleichungen (18.9) und (18.10) oder in Komponenten (18.11) unterscheiden sich von den Eulerschen Bewegungsgleichungen (9.41) durch die Ber¨ ucksichtigung der molekularen Reibung als zus¨ atzlich wirkende Kraft. Die Wirkung der Reibung sei an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. Betrachten wir eine eindimensionale Str¨omung in x-Richtung u ¨ber einer festen Unterlage mit der konstanten Geschwindigkeit u0 . Im Fall einer reibungsfreien Fl¨ ussigkeit hat die Unterlage keinen Einﬂuss auf die Str¨omung; die Geschwindigkeit ¨ andert sich nicht oberhalb der Unterlage (Bild 18.2 links). Bei einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit (mit molekularer Reibung) haftet die Str¨ omung an der festen Unterlage (hier ist u = 0), was den in Bild 18.2 rechts skizzierten Geschwindigkeitsverlauf bewirkt. Die weiteren Betrachtungen sollen zur Vereinfachung f¨ ur eine inkompressible Str¨omung angestellt werden. In einer solchen ist dρ/dt = 0, woraus sich nach der Kontinuit¨ atsgleichung (8.4) die Divergenzfreiheit der Str¨ omung (∂uk /∂xk = 0) ergibt. Damit entf¨allt der letzte Term in (18.9) bis (18.11). Betrachten wir den Einﬂuss der Reibung auf die zeitliche Ver¨ anderung der Geschwindigkeit ui . Wenn nur die Reibung wirkt, l¨ asst sich (18.9) schreiben als μ ∂ 2 ui ∂ui = . ∂t ρ ∂x2k Diese Gleichung hat die Form einer Diﬀusionsgleichung f¨ ur die Geschwindigkeit uckt: f¨ ur den Impuls pro Masseneinheit. Man nennt die ui , oder anders ausgedr¨ Gr¨oße μ/ρ deshalb auch den molekularen Diﬀusionskoeﬃzienten f¨ ur den Impuls und bezeichnet diesen mit ν: ν=

μ . ρ

(18.12)

F¨ ur μ und ν von Luft bei 20 o C gelten etwa folgende Zahlenwerte: μ = 1,81 · 10−4 g cm−1 s−1 ,

ν = 0,15 cm2 s−1 .

18.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen

261

Die molekulare Reibung strebt eine Gleichverteilung der Geschwindigkeit an. Dieser Eﬀekt ist um so gr¨oßer, je st¨arker der Geschwindigkeitsgradient des Str¨ omungsfeldes ist. Untersuchen wir noch die Wirkung der Reibung auf die kinetische Energie der Str¨omung. Wir gehen von den Navier-Stokes-Gleichungen (18.9) aus, betrachten aber eine divergenzfreie Str¨omung. Multiplikation dieser Gleichung mit ui ergibt: ∂ ∂t

u2i ∂ +uk 2 ∂xk

u2i 2

= −ui

∂Φ ui ∂p − ∂xi ρ ∂xi

+ ν ui

=ν

∂ ∂xk

=ν

∂ 2 ui . ∂x2k

∂ui ui ∂xk

∂ ∂ 12 u2i − ∂xk ∂xk

∂ui ∂ui − ∂xk ∂xk ∂ui ∂xk

2

Somit ergibt sich f¨ ur die kinetische Energie pro Masseneinheit: ∂ ∂t

u2i 2

∂ + uk ∂xk

u2i 2

= −ui

∂Φ ui ∂p − + ∂xi ρ ∂xi

ν

∂ 2 u2i ∂x2k 2

− ν

∂ui ∂xk

2

.

dissipativer Anteil der Reibung (18.13) Der diﬀusive Anteil der Reibung hat f¨ ur die kinetische Energie die gleiche Wirkung wie f¨ ur den Impuls, n¨amlich eine Gleichverteilung der Energie anzustreben (wo viel kinetische Energie vorhanden ist, wird sie verringert, wo wenig ist, wird sie vermehrt). Den dissipativen Anteil wollen wir gesondert betrachten: diﬀusiver Anteil der Reibung

∂ ∂t

u2i 2

= −ν dissip.

∂ui ∂xk

2

≤0 .

(18.14)

¨ Die zeitliche Anderung der kinetischen Energie durch den dissipativen Anteil der molekularen Reibung ist immer negativ, d. h. durch die Reibung wird die kinetische Energie stets verringert. Diese Energievernichtung oder Energiedissipation ist um so gr¨oßer, je gr¨oßer der Geschwindigkeitsgradient der Str¨ omung und je gr¨ oßer der (auch als kinematische Z¨ ahigkeit bezeichnete) Koeﬃzient ν ist. Der durch molekulare Reibung vernichtete Anteil der kinetischen Energie wird in innere Energie umgewandelt (Reibungsw¨ arme). Die rechte Seite von (18.14) w¨ urde im System der Energiegleichungen (12.30) bis (12.32) mit positivem Vorzeichen in der Gleichung f¨ ur die innere Energie (12.31) auftreten.

262

18.3

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung

Einfache L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Mit den Navier-Stokes-Gleichungen (18.10) k¨onnen praktisch alle in Gasen und Fl¨ ussigkeiten auftretenden Str¨omungen in ihrer r¨ aumlichen Struktur und zeitlichen Entwicklung beschrieben werden. Formal gesehen handelt es sich um eine nichtlineare partielle Diﬀerentialgleichung erster Ordnung in der Zeit t und zweiter Ordnung im Raum xi . Zu deren L¨osung werden somit eine Integrationskonstante f¨ ur die zeitliche Integration und zwei Integrationskonstanten f¨ ur die r¨ aumliche Integration ben¨otigt. Diese Konstanten werden f¨ ur die Zeit auch als Anfangswerte und f¨ ur den Raum als Randwerte bezeichnet. Bevor wir einige einfache L¨ osungen f¨ ur die Navier-Stokes-Gleichungen angeben, soll kurz auf das Anfangs- und Randwertproblem eingegangen werden. Als Anfangswerte m¨ ussen zum Startpunkt der Integration t = t0 die Geschwindigkeiten im gesamten Integrationsgebiet bekannt sein: ui (xi , t0 ) = ui0 (xi , t0 ) . Diese Anfangswerte richten sich nach dem jeweils zu behandelnden Problem. Zum Beispiel kann das Fluid zum Startpunkt t = t0 in Ruhe sein, also ui (xi ,t0 ) = 0 und dann aufgrund der wirkenden Kr¨afte in Bewegung versetzt werden. Beim Problem der Randbedingungen muss man zun¨ achst das Integrationsgebiet der betrachteten Str¨omung w¨ahlen. Da es sich bei der Anwendung der NavierStokes-Gleichungen immer um konkrete physikalische Problemstellungen handelt, h¨angt die Wahl des Integrationsgebietes und der Randbedingungen von der jeweiligen Situation ab. Generell kann man sagen, dass die meisten Str¨ omungen durch feste Berandungen begrenzt sind, z. B. Rohre oder Kan¨ ale in technischen Anwendungen oder durch die Erdoberﬂ¨ache im Falle atmosph¨ arischer Str¨ omungen. Auf diesen physikalischen R¨andern werden deshalb auch u ¨blicherweise die mathematischen Randbedingungen formuliert. Im folgenden sollen die am h¨auﬁgsten verwendeten Randbedingungen angegeben werden. Dazu betrachten wir eine feste, undurchl¨ assige Wand und bezeichnen die Achse l¨ angs der Wand als Tangentialrichtung xt und die Achse senkrecht dazu als Normalrichtung xn (siehe Bild 18.3). Ebenso bezeichnen wir die Geschwindigkeitskomponente tangential zur Wand mit ut und normal zur Wand mit un . Da es sich um eine feste (starre), undurchl¨assige Wand handelt, kann keine Str¨ omung durch den Rand hindurchdringen. Somit lautet die Randbedingung f¨ ur die Normalgeschwindigkeit an der Wand xn = 0: un (xn = 0) = 0 .

(18.15)

ur xn = 0) also nur Der Geschwindigkeitsvektor ui kann an der Wand selbst (f¨ eine Tangentialkomponente ut besitzen. Die Randbedingung f¨ ur die Tangentialgeschwindigkeit richtet sich danach, ob wir es mit einer reibungsbehafteten oder reibungsfreien Str¨omung zu tun haben. Da wir hier die Navier-Stokes-Gleichungen

18.3 Einfache L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen . xn...... ... ... ... un ut .... ... .... .. .. .... .............................................................................................. . . . . .. . . ... .... .... . ... ... .................................................................................................. . .. ... . .. .. . ... .. ................................................................................... .. .. .. . . . .. .... .................................................................... .... .. .. .... ... ... . ...................................................... .... .. . . ... ... .... ............................................ .. .. .. .. .. . . ............................ .. ..... .. ... .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................... xt

263

Bild 18.3 Normal- und Tangentialgeschwindigkeit einer z¨ahen Fl¨ ussigkeit in der N¨ahe einer festen Wand

behandeln, soll zun¨achst ein z¨ahes Medium (ν = 0) betrachtet werden. F¨ ur ein solches gilt die sogenannte Haftreibungsbedingung f¨ ur die Tangentialgeschwindigkeit: ut (xn = 0) = 0

Haftreibung.

(18.16)

An einer festen Wand kommt die Str¨omung zur Ruhe, das Fluid haftet sozusagen am Rand. H¨ auﬁg werden Str¨omungsvorg¨ange n¨aherungsweise als reibungsfrei angesehen (z. B. die Potentialstr¨omungen). Auch f¨ ur diese idealisierten Str¨ omungen werden Randbedingungen ben¨otigt. Man erh¨alt sie aus der Forderung, dass die Wand keine Tangentialkraft auf die Str¨omung aus¨ ubt, d. h. das Fluid nicht an der Wand haftet. Dies bedeutet, dass die Tangentialkomponente der Schubspannung τnt verschwinden muss: τnt (xn = 0) = 0 . Mit dem Stokesschen Ansatz (18.6) folgt daraus, dass

τnt (xn = 0) = ν

∂ut ∂un + ∂xn ∂xt

=0.

F¨ ur die Normalgeschwindigkeit un gilt gem¨aß (18.15) an der Wand (xn = 0): un = 0. Somit verbleibt als Randbedingung im reibungsfreien Fall ∂ut =0 Gleitreibung. (18.17) ∂xn Diese Randbedingung wird auch als Gleitreibung bezeichnet, und man meint damit, dass ein z¨ ahes Fluid (ν = 0) am Rand keine Reibungskraft aus¨ ubt. Zusammenfassend kann man sagen, dass bei Haftreibung die Tangentialgeschwindigkeit am Rand verschwindet, w¨ahrend bei Gleitreibung die Normalableitung der Tangentialgeschwindigkeit am Rand zu null gesetzt wird. Die Wirkung dieser Randbedingungen auf die Str¨ omung innerhalb des Integrationsgebietes soll anhand einfacher Beispiele dargestellt werden.

264

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung

Couette-Str¨ omung Dieser Str¨ omungstyp entsteht, wenn ein Fluid zwischen zwei ebenen Platten eingegrenzt ist, welche sich mit unterschiedlicher Tangentialgeschwindigkeit bewegen (Bild 18.4 links). Es werden folgende Voraussetzungen getroﬀen: (a) Stationarit¨ at ∂v/∂t = 0. (b) horizontale Homogenit¨at ∂v/∂x, ∂v/∂y = 0). (c) w = 0 folgt mit der Kontinuit¨atsgleichung ∇ · v = 0 aus (b). (d) Es wirken weder Coriolis- noch Druck- noch Schwerkraft. (e) Die R¨ ander (Platten) bewegen sich in x-Richtung. Damit vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen (18.9) zu ∂2u =0. (18.18) ∂z 2 Wir nehmen zur weiteren Vereinfachung an, dass die untere Platte ruht (u = 0) und sich die obere Platte mit der Geschwindigkeit u = u0 bewegt. Somit lauten die Randbedingungen f¨ ur (18.18) ν

u(0) = 0 ,

u(H) = u0 .

(18.19)

Die L¨ osung von (18.18) mit den Randbedingungen (18.19) ergibt sich zu: u(z) = u0 z/H

Couette-Str¨ omung.

(18.20)

Die Geschwindigkeit ¨andert sich linear zwischen beiden Platten (Bild 18.4 links); diese Str¨ omung zwischen zwei Platten wird nach dem franz¨ osischen Ingenieur M. Couette (1858–1943) in der Literatur als Couette-Str¨ omung bezeichnet. ............................................................... ............................................................... ............................................................... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ........ ... ... ..... ... .. . ... .. .. ... ... ... ... ... ... . ... .. . ... . .. ... ... .... ... .... .... ... ... .... . ... . .. ... .... ... .... ... ... .... ... . ... .. ... ... ... .. ... ... .. .... ... . ... . .. ... .... ... .... .... ... ... ... ... ..... ... . ... .... ....... ..................................................................... ............................................................... ............................................................... ................................

•..................................... u = u0

................................................................... .......................................................... ................................................ u(z) H ...................................... ............................. .................... ...........

•

u=0

.............................................................. .............................................................. .............................................................. . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... .... . ... ....... .... ... .... .... .. .... .. .... .... . .... .. ... ... ... ... .. .. ... .. .. ... .. . ... .. .. .. . . ... .. . .. ... ... ... ... .. . ... . .. . . . . .... .. .... ... .... ... ... .... . . . . . ... ........ ...................................................................... .............................................................. .............................................................. ...............................

•

u=0 ......................... ............................................ u(z) ....................................................... D ............................................................ ...................................... ....................................................... ............................................ ......................... •

u=0

Bild 18.4 Str¨ omungen zwischen zwei ebenen Platten. Links: Couette-Str¨omung, rechts: Poiseuille-Str¨ omung

18.3 Einfache L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen

265

Poiseuille-Str¨ omung Wir betrachten wieder eine Str¨omung zwischen zwei parallelen Platten, allerdings sollen jetzt beide R¨ander ruhen (u = 0 f¨ ur z = 0,H). Wir behalten Voraussetzungen (a) bis (c) der Couette-Str¨omung bei, lassen aber als einzige Kraft einen konstanten Druckgradienten in x-Richtung zu (Bild 18.4 rechts), so dass wir als (d) haben: (d) (1/ρ)∂p/∂x = konstant = D . Es ergibt sich somit aus der Navier-Stokes-Gleichung D=

∂2u 1 ∂p =ν 2 . ρ ∂x ∂z

(18.21)

Mit den Randbedingungen u(0) = u(H) = 0

(18.22)

erhalten wir als L¨osung von (18.21) D z(H − z) Poiseuille-Str¨ omung. (18.23) 2ν Die Str¨ omung (18.23), die durch das Gleichgewicht von Druckkraft und Reibungskraft entsteht (18.21) bezeichnet man nach dem franz¨ osischen Mediziner J.L.M. Poiseuille (1799–1869) als Poiseuille-Str¨omung oder auch nach dem deutschen Ingenieur G. Hagen (1797–1884) als Hagen-Poiseuille-Str¨ omung. Da durch eine analoge Form von (18.23) in Zylinderkoordinaten auch die Str¨ omung in geraden Rohren mit kreisf¨ormigem Querschnitt beschrieben wird, bezeichnet man die Hagen-Poiseuille-Str¨omung (18.23) auch als Rohrstr¨ omung. Die technische Anwendung in Rohrleitungen aller Art ist oﬀensichtlich, f¨ ur die Atmosph¨ are ist diese Str¨omungsform nicht anwendbar. Deshalb soll zum Schluss noch ein weiterer Str¨omungstyp vorgestellt werden, der in geophysikalischen Str¨ omungen eher auftritt. u(z) =

Str¨ omung auf geneigten Ebenen Wir betrachten eine Fluidschicht der Dicke H, die unter dem Einﬂuss der Schwerkraft eine geneigte Ebene herunterﬂießt. Das Koordinatensystem ist so gew¨ ahlt, dass die x-Koordinate in Richtung des Hanges weist und die z-Koordinate senkrecht dazu (Bild 18.5). Es werden wieder die Voraussetzungen (a) bis (c) wie bei der Couette- und Poiseuille-Str¨ omung gew¨ahlt. Als wirkende Kraft wird jetzt nur die Schwerkraft g zugelassen. Entsprechend Bild 18.5 wirkt davon in Richtung der Ebene die Komponente g sin α. Somit lauten die Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur diese Str¨ omung

266

18 Bewegungsgleichungen mit Reibung

. z ....... . g sin α H ............................ .................... ∂u ................. .. ... .... .................................... .................................. ∂z = 0 ... ... . . ................. .. ................. .............. .... .... g .... .... .. ... ...... .................................. ................................... ...... . . .................. . . .. .................... . ... .... . . . . ................. .. ... .. .............. .. ........................ ........................... ................................ .................................... ..... .................. .............................. . ................ . .................. . ..... ..... ... ..................... ..................... ......... .............................. .. .... .................... ..................................... .................................. .... .................................................... ..... ..... ..... .............. ........................................... . ... ................................................... . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..................... ............................................................................................. ................... ......................................................................... ............................................................................... ................. ......................................................................................... ....... .. ................................................................................................ ....... ......................................................................................................... .. ................................................................................................ .... ............... ..................x. ................................................................................................ ... α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ......... Bild 18.5

Str¨ omung einer Fl¨ ussigkeitsschicht auf einer schr¨agen Ebene

∂2u , (18.24) ∂z 2 d. h. es herrscht ein Gleichgewicht zwischen Schwerkraft und Reibungskraft. Hinsichtlich der Randbedingungen soll wieder Haftreibung auf dem festen unteren Rand (der Ebene) bestehen, und somit u(z = 0) = 0. An der Obergrenze der Schicht bei z = H wird angenommen, dass auf die Oberﬂ¨ ache des Fluids (z. B. Wasser) keine Tangentialspannungen wirken, d. h. τzx (z = H) = 0 (Gleitreibungsbedingung). Entsprechend (18.17) erh¨alt man daraus ∂u/∂z = 0 f¨ ur z = H und somit als Randbedingungen f¨ ur (18.24): g sin α = ν

z=0 : u=0 z = H : ∂u/∂z = 0

Haftreibung Gleitreibung

(18.25)

Als L¨ osung der vereinfachten Navier-Stokes-Gleichung (18.24) ergibt sich mit den Randbedingungen (18.25): g sin α z(2H − z) . (18.26) 2ν Der Verlauf ist eine Parabel zwischen z = 0 und z = H und gleicht somit dem Str¨ omungsproﬁl der Poiseuille-Str¨omung (18.23) bis zu deren Kanalmitte. Str¨ omungen von Fl¨ ussigkeitsschichten auf geneigten Ebenen ﬁndet man zahlreich in der Natur, z. B. in Fl¨ ussen oder beim Ablauf von Regenwasser auf einer absch¨ ussigen Straße. Aber auch in der Meteorologie ﬁnden sich solche Bewegungen in Form von Kaltluftabﬂ¨ ussen auf geneigten H¨ angen. Abschließend sei bemerkt, dass bei den hier beschriebenen einfachen L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen die Str¨omung in allen H¨ ohen parallel zum festen Rand verl¨ auft und dabei dem Betrage nach mit der Entfernung vom unteren Rand zunimmt. Man bezeichnet solche Str¨omungen deshalb in der Literatur auch als ebene Scherstr¨ omungen. u(z) =

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen 19.1

Begriﬀe und Regeln zu Mittelbildungen

In den vorangegangenen Kapiteln waren wir davon ausgegangen, dass eine meteorologische Feldgr¨oße zu allen Zeiten und an allen Orten bekannt sei. In der Praxis ist dies jedoch meist nicht der Fall; vielmehr sind wir gezwungen, uns mit (gemessenen) mittleren Werten der Gr¨oße ψ innerhalb eines Zeit- oder L¨ angenintervalls zu begn¨ ugen. Im folgenden sollen deshalb einige Deﬁnitionen und Regeln u ¨ber Mittelbildungen zusammengestellt werden. Eine Gr¨ oße ψ soll von der Zeit t und vom Ort x abh¨ angen. Wir betrachten jetzt entweder ein zeitliches Mittel am Ort x oder ein r¨ aumliches Mittel zur Zeit t. Bild 19.1 ist deshalb f¨ ur beide F¨alle interpretierbar. Wir ordnen entsprechend der Darstellung dem Ort x0 ein r¨aumliches Mittel und der Zeit t0 ein zeitliches zu. Als Mittel deﬁnieren wir:

1 ¯ ψ(x,t 0) = Δt

t0 + Δt 2

ψ(x,t0 + t ) dt ,

zeitliches Mittel ,

t0 − Δt 2

(19.1) ˜ 0 ,t) = 1 ψ(x Δx

x0 + Δx 2

ψ(x0 + x ,t) dx ,

r¨ aumliches Mittel .

x0 − Δx 2

Wenn das Mittelbildungsintervall Δt oder Δx kleiner ist als die gesamte zeitliche oder r¨ aumliche Erstreckung der Gr¨oße, kann das zeitliche Mittel ψ¯ noch angen. Als von der Zeit (t0 ) und das r¨aumliche Mittel ψ˜ noch vom Ort (x0 ) abh¨ ein Beispiel f¨ ur ein zeitliches Mittel sei der im Wetterdienst gebr¨ auchliche zehnmin¨ utige Mittelwert der Windgeschwindigkeit genannt, der aber nat¨ urlich einen . . . ........................................................ Δx, Δt.......................................................... . . ψ(x,t) ........ ..... ..... ... .... .... .... .... ... ... .... ........ .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ..... ..... ..... ..... ................... ..... ................................................................................................................................................................................................................................................ ............ ................... . . ¯ ψ˜ .. ...................................................................................................................................................................................... ........... ... .. ... ψ, .. ... ... ... ...... .... ... ... ... ... .. ......... ... ... ........... ... ... .... ..... ... ..... ..... .... .... ... ... .... ... ... .... ... .... ... ... .... .. . .... ... ................................................................................................................................................................................. .. x, t x0 , t0

Bild 19.1 Zur Deﬁnition des zeitlichen und r¨aumlichen Mittels einer ver¨anderlichen Gr¨oße ψ

268

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

zeitlichen Verlauf (Tagesgang) aufweist. Ein Beispiel f¨ ur ein r¨ aumliches Mittel ist das Breitenkreismittel um die Erdoberﬂ¨ache herum. Dieses Mittel h¨ angt nicht mehr vom Ort ab, da der Breitenkreis ein geschlossenes Mittelbildungsintervall darstellt. Ein weiteres Mittel ist das Ensemblemittel, das sich u ¨ber die N Partikel eines Ensembles erstreckt: N 1 = ψi . ψ N i=1

(19.2)

Bei der Betrachtung kompressibler Str¨omungen wird h¨ auﬁg das sogenannte gewichtete Mittel verwendet, bei dem die Dichteverteilung ρ/¯ ρ als Gewicht gew¨ ahlt wird: ρψ . ψˆ = ρ¯

(19.3)

F¨ ur die folgenden Rechenregeln betrachten wir das zeitliche Mittel. Eine Gr¨ oße ψ(t) l¨ asst sich aufspalten in Mittelwert und Abweichung von diesem Mittelwert: ¯ 0 ) + ψ (t) . ψ(t) = ψ(t

(19.4)

Deﬁnitionsgem¨ aß verschwindet das Mittel u ¨ber die Abweichungen: ψ (t) = 0 .

(19.5)

Seien a und b beliebige Gr¨oßen, so gelten folgende Regeln: a+b = a ¯ + ¯b ka = k a ¯ a ¯ = a ¯

, wenn k = konstant .

Wichtig ist die Regel f¨ ur die Mittelbildung von Produkten: a · b = (¯ a + a )(¯b + b ) = a ¯ · ¯b +¯ a · b + a ·¯b + a · b =0 =0 a ¯ · ¯b und somit a·b=a ¯ · ¯b + a · b .

(19.6)

Durch analoges Vorgehen ergibt sich f¨ ur das Mittel eines Produktes aus drei Gr¨oßen: a·b·c=a ¯ · ¯b · c¯ + a ¯ · b · c + ¯b · a · c + c¯ · a · b + a · b · c .

(19.7)

19.1 Begriﬀe und Regeln zu Mittelbildungen

269

Regel (19.6) ben¨ otigen wir sp¨ater bei der Mittelbildung der Navier-Stokes-Gleichungen und (19.7) bei der Mittelbildung der Gleichung f¨ ur die kinetische Energie. Wenden wir (19.6) auf den Fluss der Gr¨oße ψ an (wobei der Fluss das Produkt der transportierenden Geschwindigkeit v mit der transportierten Gr¨ oße ψ ist), so ergibt sich:

¯ ψ¯ v

=

vψ

Zeitmittel des Flusses der Gr¨ oße ψ

v ψ .

+

Fluss von ψ durch Schwankungen der Geschwindigkeit

Fluss der mittleren Gr¨oße ψ¯ mit der mittleren Ge¯ schwindigkeit v

(19.8)

Als Beispiel f¨ ur die Mittelbildung von Fl¨ ussen betrachten wir den W¨ armestrom pro Masseneinheit cp uT , am festen Ort hervorgerufen durch einen periodischen Verlauf von Geschwindigkeits- und Temperaturfeld:

2π t τ

u(t) = u0 + u1 sin

,

2π (t + Δt) T (t) = T0 + T1 sin τ

.

u und T seien zeitlich um 2πΔt/τ phasenverschoben. Wir berechnen den innerhalb einer Periode τ erfolgten W¨armestrom: ¯T¯ + cp u T . W = cp uT = cp u Es ist hierbei: u ¯ = u0 , T¯ = T0 , u = u1 sin(2π t/τ ) und T = T1 sin(2π (t+Δt)/τ ) . W = cp u0 T0 + cp u1 T1

1 τ

τ

sin 0

2π t τ

sin

2π (t + Δt) τ

2π 1 Δt = cos 2 τ

und damit: W

cp u0 T0

=

+

durch mittleres Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld hervorgerufener W¨armestrom

dt

2π 1 cp u1 T1 cos Δt 2 τ

.

durch periodisches Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld hervorgerufener W¨ armestrom

270

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

Der Anteil am W¨armestrom, der durch die periodischen Schwankungen von Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld verursacht wird, verschwindet, wenn beide Felder in Gegenphase sind (Δt = 14 τ , 34 τ ), und er ist am gr¨ oßten, wenn u und T in Phase sind (Δt = 0, 12 τ ). Wie bereits eingangs erw¨ahnt, ist es in der Meteorologie (und nicht nur hier!) meist nur m¨ oglich, Mittelwerte einer Gr¨oße zu messen, da die Messinstrumente zu tr¨ age sind, um jede kurzfristige Schwankung zu registrieren (z. B. Schalenkreuzanemometer f¨ ur Windgeschwindigkeit oder Quecksilberthermometer f¨ ur Temperatur). Jeder einzelne Messwert solcher tr¨ ager Instrumente stellt bereits einen gemittelten Wert der jeweiligen Messgr¨oße dar. Auf der anderen Seite m¨ochte man meteorologische Gr¨ oßen vorhersagen, d. h. ihren zeitlichen Verlauf in der Zukunft kennen (siehe Kapitel 17 zur numerischen Wettervorhersage). Dazu stehen im Prinzip prognostische Gleichungen zur Verf¨ ugung, jedoch zun¨achst f¨ ur die ungemittelten Gr¨ oßen. Als Ausgangswerte f¨ ur diese Berechnungen hat man aber nur die gemessenen, mittleren Werte der vorherzusagenden Gr¨ oße. Um diese Messwerte zu verwenden, muss man die jeweiligen Gleichungen einer Mittelbildung unterziehen, um so prognostische Gleichungen f¨ ur die mittleren Gr¨ oßen zu erstellen. Diese Mittelbildung einer prognostischen Gleichung soll am Beispiel einer allgemeinen, skalaren Gr¨oße ψ demonstriert werden, deren Quellen wir mit Q bezeichnen wollen: ∂ψ ∂ψ + uk =Q. ∂t ∂xk Die Aufspaltung von uk und ψ in ¯k + uk , uk = u

(19.9)

ψ = ψ¯ + ψ

und Anwendung der zeitlichen Mittelung auf (19.9) ergibt mit Hilfe von (19.5): ∂ ψ¯ ∂ψ ∂ψ ∂ ψ¯ ∂ψ ∂ψ ¯ + Q , + + u¯k + uk =Q + uk +u¯k ∂t ∂t ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk =0 = 0 =0 =0 ∂ ψ¯ ∂ψ ∂ ψ¯ ¯. +u ¯k + uk =Q (19.10) ∂t ∂xk ∂xk (19.10) ist eine Gleichung f¨ ur die mittlere Gr¨oße ψ¯ und k¨ onnte somit f¨ ur die Vorhersage dieser Gr¨oße verwendet werden. Durch den Mittelbildungsprozess tritt jetzt aber ein zus¨ atzlicher Term auf, der das mittlere Produkt der Schwankungsgr¨oßen enth¨ alt. Dieser Term enth¨alt aber gerade die nicht messbaren (oder besser: nicht gemessenen) Schwankungen der mittleren Gr¨ oßen, so dass in der Bestimmungsgleichung f¨ ur ψ¯ eine weitere Unbekannte auftritt. Die Gleichung (19.10) ist daher nur l¨ osbar, wenn ein Zusammenhang zwischen den Schwankungsgr¨ oßen und den mittleren Gr¨ oßen gefunden werden kann:

19.2 Die Reynolds-Gleichungen

uk

271

∂ψ ¯ . = F (¯ uk , ψ) ∂xk

oder allgemein a b = F (¯ a, ¯b) . Die Aufgabe, die Schwankungsgr¨oßen durch mittlere Gr¨ oßen auszudr¨ ucken und somit die Gleichungen f¨ ur die mittleren Gr¨oßen (f¨ ur eine L¨ osung) zu schließen, ist eines der Hauptanliegen von Turbulenztheorien. Sie ist in der Literatur als das Schließungsproblem bekannt. Hierbei soll es sich bei den Schwankungen nicht um streng periodische Vorg¨ange handeln (diese k¨ onnte man ja bei Kenntnis der Frequenzen direkt berechnen), sondern um nichtperiodische, zuf¨ allige Abweichungen vom mittleren Zustand, allgemein als turbulente Schwankungen bezeichnet.

19.2

Die Reynolds-Gleichungen

Die im vorigen Abschnitt zusammengestellten Methoden der Mittelbildung von Gleichungen sollen jetzt auf die Navier-Stokes-Gleichungen angewendet werden. Wir gehen von (18.9) aus, betrachten aber im folgenden zus¨ atzlich eine inkompressible Str¨ omung, was das Verschwinden des Divergenztermes in (18.9) zur Folge hat. Somit haben wir als Ausgangsgleichung: ∂ui ∂ui ∂Φ 1 ∂p ∂ 2 ui + uk = −εijk fj uk − − +ν . ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ∂x2k

=

∂uk ∂ (uk ui ) − ui ∂xk ∂xk

= 0, da inkompressible Str¨ omung Eine weitere Vereinfachung ergibt die Annahme, dass die Str¨ omung keine turbulenten Dichteschwankungen aufweisen soll, d. h. ρ = 0, also ρ = ρ¯. Unter Ber¨ ucksichtigung der oben vorgenommenen Umformung des Advektionstermes erh¨alt man die sogenannte Impulsstromform der Navier-Stokes-Gleichungen: ∂ui ∂uk ui ∂Φ 1 ∂p ∂ 2 ui + = −εijk fj uk − − +ν . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂x2k Eine gleitende zeitliche Mittelung dieser Gleichung f¨ uhrt zu:

(19.11)

272

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen ∂u ¯i + ∂t

¯ ¯i ∂uk ui ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u = −εijk fj u ¯k − − +ν . ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂x2k

∂ (¯ uk u ¯i + uk ui ) ∂xk ∂u u ∂ (¯ uk u ¯i ) + k i = ∂xk ∂xk =

∂u ¯i ∂u ¯k =u ¯k +u ¯i ∂xk ∂xk

= 0, da Str¨omung divergenzfrei Mit diesen Umformungen erhalten wir f¨ ur die gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen: ¯ ∂u ¯i ¯i ∂uk ui ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u ∂u ¯i +u ¯k = −εijk fj u ¯k − − +ν − . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂xk ∂x2k

(19.12)

Diese Gleichung hat die gleiche Form wie die f¨ ur die ungemittelten Gr¨ oßen (19.11), jedoch tritt jetzt zus¨atzlich (durch die Nichtlinearit¨ at von (19.11) bedingt) ein Term auf, der die Divergenz des turbulenten Impulsﬂusses (pro Masseneinheit) darstellt. Betrachten wir den Zusatzterm etwas n¨ aher. F¨ ur die einzelnen Komponenten der Gleichung (19.12) lautet dieser: i = 1 , u1 = u :

∂uk u ∂u u ∂v u ∂w u + + = ∇ · (v u ) , = ∂xk ∂x ∂y ∂z

i = 2 , u2 = v :

∂uk v ∂u v ∂v v ∂w v + + = ∇ · (v v ) , = ∂xk ∂x ∂y ∂z

i = 3 , u3 = w :

∂uk w ∂u w ∂v w ∂w w + + = ∇ · (v w ) . = ∂xk ∂x ∂y ∂z

Die mit der mittleren Dichte ρ¯ multiplizierten Impulsﬂ¨ usse uk ui bezeichnet man auch als turbulente Schubspannungen oder als Reynoldssche Schubspannungen (nach dem britischen Physiker O. Reynolds, 1842–1912). Diese seien hier mit τki bezeichnet: ρ uk ui = −¯ ρ ui uk = τik . τki = −¯

(19.13)

Analog zum molekularen Spannungstensor (Kapitel 18) kann man τki = τik als Reynoldsschen Spannungstensor bezeichnen, wobei dieser die folgende Struktur besitzt:

19.2 Die Reynolds-Gleichungen ⎛

τki

u2 ⎜ = −¯ ρ·⎝ uv u w

v u v 2 v w

273 ⎞

⎛

w u τxx ⎟ w v ⎠ = ⎝ τxy τxz w2

τyx τyy τyz

⎞

τzx τzy ⎠ . τzz

(19.14)

Hierbei gilt zwar v u = u v , w u = u w und w v = v w , so dass der turbulente Spannungstensor insgesamt nur sechs unbekannte Komponenten besitzt, jedoch soll die in (19.14) dargestellte Form beibehalten werden, und zwar aus folgendem Grund: Jede Komponente stellt den Transport einer Geschwindigkeitskomponente durch eine andere Geschwindigkeitsﬂuktuation dar, wobei im Ausdruck uk ui uk die transportierende und ui die transportierte Geschwindigkeit sein soll. Also ist u w der Transport von Vertikalgeschwindigkeit w mit der Horizontalgeschwindigkeit u in Richtung von u (hier x-Richtung), w¨ ahrend w u den Transport von u mit w in z-Richtung darstellt. Ersetzen wir nun uk ui in (19.12) durch den turbulenten Spannungstensor (19.14) und verwenden f¨ ur die molekulare Reibung wieder die urspr¨ ungliche Form des molekularen Spannungstensors (wie in (18.5), hier aber zur Unterscheidung von τki mit Mki bezeichnet), so ergibt sich eine andere Form der gemittelten NavierStokes-Gleichungen: ¯ ∂u ¯i ∂u ¯i ∂Φ 1 ∂ p¯ 1 ∂M ki 1 ∂τki +u ¯k = −εijk fj u ¯k − − + + . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ρ¯ ∂xk ρ¯ ∂xk

1 ∂ 1 M ki + τki ρ¯ ∂xk

(19.15)

2

Neben der molekularen Reibung ρ1¯ ∂M ki /∂xk tritt in den gemittelten NavierStokes-Gleichungen noch ein zus¨atzlicher Reibungsterm ρ1¯ ∂τki /∂xk auf, der durch die turbulenten Schwankungen der Str¨omung verursacht wird. Die Wirkung der turbulenten Reibung soll in Bild 19.2 zun¨achst rein qualitativ an einer Rohrstr¨ omung gezeigt werden, wobei jeweils der gleiche Druckgradient die Str¨ omung erzeugt. z ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................................................................................................................... .... ..... .................................................. .. ....... nur molekulare ........ .... ..... ... ........ . .......... ... ... .. ........... .... Reibung ... ... .................... ... ........ ... .... .. ... .. .. ... .... .. ....... .............................. ... .... . ................ ............ ... .... ............ molekulare und ... ..... ............ . . .... . .. ... ... ........ . . . . . . .... . turbulente Reibung ............ . . . ... .... ......................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................. ............................................................................. u ¯

Bild 19.2 Rohrstr¨omung einer z¨ahen Fl¨ ussigkeit mit und ohne Turbulenz

274

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

Durch die turbulente Reibung wird der Gesamtwiderstand der Str¨ omung im Rohr erh¨ oht, was sich im Abﬂachen des Geschwindigkeitsmaximums und in einer Verst¨ arkung der Geschwindigkeitsgradienten in Wandn¨ ahe ausdr¨ uckt. Mit (19.15) haben wir jetzt eine Gleichung f¨ ur die gemittelten Geschwindigkeiten erhalten, jedoch tauchen als zus¨atzliche unbekannte Gr¨ oßen die turbulenten Schubspannungen τki auf. Das in Abschnitt 19.1 dargestellte Schließungsproblem f¨ ur gemittelte Gleichungen bedeutet hier, die unbekannten turbulenten Geschwindigkeitsﬂuktuationen uk ui durch die bekannten Geschwindigkeitskomponenten der mittleren Bewegung u ¯i auszudr¨ ucken. Wegen der gleichen Struktur von molekularem Spannungstensor Mki und turbulentem Spannungstensor τki liegt es nahe, f¨ ur τki einen Ansatz analog zum molekularen (18.8) zu machen. In Abschnitt 18.2 hatten wir erhalten:

Mki = μ 1 Mki = ν ρ¯

∂ui ∂uk + ∂xk ∂xi ∂ui ∂uk + ∂xk ∂xi

= Mik ,

=

1 Mik . ρ¯

Analog machen wir einen Deformationsansatz f¨ ur die turbulenten Schubspannungen:

τki

= −¯ ρuk ui

1 τki ρ¯

−uk ui

=

=

A

= K

∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi ∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi

= −¯ ρui uk

= τik , (19.16)

=

−ui uk

1 τik . ρ¯

=

Der Viskosit¨ at μ entspricht hier der Austauschkoeﬃzient A und dem molekularen Diﬀusionskoeﬃzienten ν der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient K. Als mittlere Zahlenwerte hatten wir f¨ ur μ und ν: μ = 1,8 · 10−5 kg m−1 s−1 ,

ν = 1,5 · 10−5 m2 s−1

.

In der Atmosph¨ are erh¨alt man als typische Werte f¨ ur A und K etwa: A = 5 kg m−1 s−1 ,

K = 4 m2 s−1

.

Der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient ist etwa um f¨ unf Zehnerpotenzen gr¨ oßer als der molekulare. Setzt man nun den Ansatz (19.16) in (19.12) ein, so ergibt sich f¨ ur die Divergenz des turbulenten Impulsﬂusses unter Ber¨ ucksichtigung der Voraussetzung ∂ u ¯k /∂xk = 0 und f¨ ur den Fall K = konstant: −

∂uk ui ∂xk

(19.16) ↓

=

∂ ∂xk

K

#

∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi

$

= K

¯i ¯k ∂2u ∂ ∂u + 2 ∂xi ∂xk ∂xk

=0

=K

¯i ∂2u . ∂x2k

19.3 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte . u ...... ... ...... ..... .... .. .. ... . ..... .................................................................................................................................................................. ..... ..... ................................................... ..... ..... ...................................................................................................................... ......... ............ .......... ... ... .. ... ... ..... ... ....... ... u ¯ .... .. ... ... .... .... . .......... ..... ... ....... ..................... ..................... ... .... . ... . . ... .... ... .... . . .. .. .... ... ... ... .... .. ... .. .... ... ... .... laminar ..... Wellenst¨ orung ...... turbulent . .. .... ... ¯ + u0 sin ωt ....... u = u u=u ¯ ... u = u ¯ + u ... .. . ........................................................................................................................................................................................................ t

275

Bild 19.3 Charakteristik laminarer, wellenartiger und turbulenter Str¨omungen am Beispiel des zeitlichen Verlaufes der Geschwindigkeit u am festen Ort

Damit erh¨ alt man f¨ ur die gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen: ¯ ∂u ¯i ∂u ¯i ¯i ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u +u ¯k = εijk fj u ¯k − − + (ν + K) . ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂x2k

(19.17)

In den meisten F¨allen kann man die molekulare Reibung gegen¨ uber der turbulenten Reibung vernachl¨assigen (wegen der Gr¨oßenunterschiede von ν und K), so dass man etwas vereinfacht formulieren kann: In den gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen tritt die turbulente Reibung an die Stelle der molekularen Reibung. Dies gilt nat¨ urlich nur, wenn eine Str¨ omung turbulent ist, d. h. turbulente Geschwindigkeitsschwankungen aufweist. Eine Str¨ omung, die keine turbulenten Schwankungen besitzt (u = u ¯), nennt man laminar. Als Ph¨ anomen zwischen laminarer und turbulenter Str¨ omung kann man die einem Grundstrom u orungen ansehen (Bild 19.3). ¨berlagerten Wellenst¨ Bei einer turbulenten Str¨omung setzt sich die Momentangeschwindigkeit u(t) aus dem zeitlichen Mittel u ¯ und einer nichtperiodischen Geschwindigkeitsﬂuktuation u (t) zusammen. Die Ursache f¨ ur die Turbulenz liegt in den physikalischen Eigenschaften der jeweiligen Str¨omung, wor¨ uber umfangreiche Literatur existiert. Einige weiterf¨ uhrende B¨ ucher sind in den Literaturhinweisen aufgef¨ uhrt.

19.3

Gradientansatz und Mischungsweg fu ¨ r turbulente Transporte

Bei der Behandlung der gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen sind analog zum molekularen Fall die turbulenten Impulsﬂ¨ usse uk ui mit der Deformation des mittleren Geschwindigkeitsfeldes verkn¨ upft worden. In der allgemeinen Erhaltungsgleichung (19.10) f¨ ur die mittlere Gr¨oße ψ treten die turbulenten Fl¨ usse uk ψ auf. Diese Fl¨ usse (oder Transporte) m¨ ussen zur Schließung der Gleichung mit der mittleren Gr¨ oße ψ verkn¨ upft werden. Dazu wenden wir wieder eine Analogie zu molekularen Vorg¨ angen an. F¨ ur die molekulare Diﬀusion der Eigenschaft α gilt die folgende Diﬀusionsgleichung:

276

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

∂α ∂2α ∂ = να 2 = ∂t ∂xk ∂xk

να

∂α ∂xk

=−

∂Mαk . ∂xk

Hierbei ist Mαk der molekulare Fluss von α und να der molekulare Diﬀusionskoeﬃzient f¨ ur die Quantit¨at α. (Setzt man z. B. α gleich der Temperatur T , also α = T , so w¨ are obige Gleichung die W¨armeleitungsgleichung und νT der molekulare W¨ armeleitf¨ ahigkeitskoeﬃzient.) Den Ansatz Mαk = −να

∂α ∂xk

(19.18)

nennt man den Gradientansatz f¨ ur molekulare Fl¨ usse. Die molekulare Diﬀusion versucht, die Gegens¨atze des α-Feldes auszugleichen; deshalb ist der molekulare Fluss dem Gradienten von α entgegengesetzt gerichtet. Analog zum Molekularen nehmen wir an, dass auch die Turbulenz eine ausgleichende (diﬀusive) Wirkung auf das mittlere Feld einer Quantit¨ at besitzt. Der turbulente Fluss uk ψ soll also gegen den Gradienten von ψ¯ erfolgen. Wir setzen somit: uk ψ = −Kψ

∂ ψ¯ ∂xk

,

Gradientansatz f¨ ur turbulente Fl¨ usse .

(19.19)

ur die Gr¨ oße ψ. Dieser ist, wie Hierbei ist Kψ der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient f¨ wir sp¨ ater noch genauer ausf¨ uhren werden, nicht eine Konstante wie der molekulare Diﬀusionskoeﬃzient, sondern h¨angt im allgemeinen vom Ort und von der Zeit ab, Kψ = Kψ (xk ,t). Als Beispiel f¨ ur die Verwendung des Gradientansatzes nehmen wir die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur eine z¨ ahe, divergenzfreie Str¨ omung: ∂T + ∂t

uk

∂T ∂xk

= −νT

∂2T . ∂x2k

∂uk T ∂uk −T ∂xk ∂xk

=0 Die Mittelung dieser Gleichung f¨ uhrt zu ∂ 2 T¯ ∂uk T ¯k T¯ ∂ T¯ ∂ u + = νT − , ∂t ∂xk ∂xk ∂x2k und durch Anwendung des Gradientansatzes (19.19) auf uk T und Umformung der Gleichung erh¨alt man ∂ T¯ ∂ 2 T¯ ∂ T¯ +u ¯k = (νT + KT ) 2 . ∂t ∂xk ∂xk

(19.20)

19.3 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte

277

Dies ist die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur eine turbulente Str¨ omung, wobei KT der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient f¨ ur W¨arme ist. Zum Gradientansatz noch ein Hinweis: Die ausgleichende Wirkung turbulenter Fl¨ usse kann nur voll wirksam werden, wenn das Feld einer Gr¨ oße nicht durch Quellen oder Senken dieser Gr¨oße zeitlich und r¨aumlich ver¨ andert wird. Der Gradientansatz ist deshalb nur f¨ ur konservative Gr¨ oßen gerechtfertigt, denn bei solchen ist dψ/dt = 0, was das Verschwinden von Quellen und Senken bedeutet. In der Praxis l¨ asst sich jedoch der Gradientansatz auch f¨ ur nichtkonservative Gr¨ oßen verwenden, wenn der betrachtete Mittelungszeitraum nicht zu groß gew¨ ahlt wird. Der Gradientansatz ist ein empirischer Zusammenhang zwischen turbulenten Fl¨ ussen und mittleren Feldern; er ist deshalb nicht f¨ ur alle physikalischen Ph¨ anomene turbulenter Str¨omungen brauchbar, was bei der Anwendung von (19.19) bedacht werden sollte. Der Gradientansatz (19.19) war in Analogie zu molekularen Vorg¨ angen hergeleitet worden. Eine andere M¨oglichkeit zum Erhalt des Gradientansatzes ist die von L. Prandtl (deutscher Physiker, 1875–1953, Mitbegr¨ under der modernen Grenzschichttheorie) stammende Idee des Mischungsweges f¨ ur turbulente ¨ Schwankungen. Die Uberlegungen dazu sind folgende: Wir betrachten ein (eindimensionales) Proﬁl f¨ ur die Gr¨ oße ψ, und zwar sowohl f¨ ur die mittleren als auch f¨ ur die momentanen Werte (Bild 19.4). F¨ ur den Momentanwert ψ(z1 ) kann nach obiger Darstellung folgende Aussage gemacht werden ¯ 1 ) + ψ (z1 ) ψ(z1 ) = ψ(z oder ¯ 2 ) = ψ(z ¯ 1 + l ) . ψ(z1 ) = ψ(z . z ....... .. .. ψ¯ .... ψ . . ... ... . . ... ........ .. . . . . . ... . . .. . .. .... . z2 ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............. ............ ⎫ ... .. ⎬ ... .... ......... . . . ... l .. .. ... .... ........ ⎭ . . . z1 ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......................... ..... ..... ..... ..... ......... .. ... ... ... ......... ... ... ......... .......... ..... ... ..... ... . ... .. . ....... ... ... ... ... ... ... ....... . . . . . .. ψ (z1 ) ... ... .... ... .. . . .. . . . . ... ... ... ............... .... .. . . ................................................................................................................................................................................................ ¯ ¯ ψ(z1 ) ψ(z2 ) ψ

Bild 19.4 Prandtlscher Mischungswegansatz mit Darstellung der ¨aquivalenten Verschie¯ 1) + bung. ψ(z1 ) = ψ(z ¯ ψ (z1 ) = ψ(z1 + l )

278

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

Die zweite Aussage bedeutet, dass man zu jedem Momentanwert ψ in der H¨ ohe z1 einen gleich großen Wert im mittleren Proﬁl an der Stelle z2 ﬁnden kann, wobei uckt: Man z2 wiederum um die Strecke l von z1 entfernt ist. Oder anders ausgedr¨ kann den Momentanwert der Gr¨oße ψ an der Stelle z1 erhalten, wenn man den mittleren Wert an der Stelle z2 = z1 + l um die Strecke l verschiebt. Die L¨ ange l nennt man deshalb auch die ¨ aquivalente Verschiebung. F¨ ur jede beliebige arts oder abw¨ arts gerichtet H¨ohe z ist l eine Funktion der Zeit und kann aufw¨ sein. Nimmt man zwischen zwei H¨ohen z1 und z2 den Verlauf von ψ¯ als linear an, was bedeutet, dass nur ein kleines H¨ohenintervall betrachtet werden kann, so kann man schreiben: ¯ ¯ 1 + l ) = ψ(z ¯ 1 ) + ∂ ψ l . ψ(z1 ) = ψ(z ∂z Wegen ¯ 1 ) + ψ (z1 ) ψ(z1 ) = ψ(z ergibt sich f¨ ur die Schwankungsgr¨oße ψ allgemein: ¯ ∂ ψ(z) l (z) . (19.21) ∂z Die turbulenten Schwankungen sind mit dem Gradienten des mittleren Feldes durch die ¨ aquivalente Verschiebung verkn¨ upft. Bildet man nun den turbulenten Fluss der Quantit¨ at ψ, so erh¨ alt man: ψ (z) =

∂ ψ¯ ∂ ψ¯ l = w l . (19.22) ∂z ∂z Der turbulente Vertikalﬂuss der Gr¨oße ψ ist proportional dem Gradienten des mittleren ψ-Feldes, wobei der Proportionalit¨atsfaktor wiederum das Produkt turbulenter Schwankungen enth¨alt. Man hat zwar den Gradientansatz aus dem Konzept der ¨ aquivalenten Verschiebung hergeleitet, daf¨ ur aber eine neue, unbekannte Gr¨ oße w l erhalten. Aus dem Vergleich des Gradientansatzes in der Form (19.19) mit (19.22) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen w l und dem turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten: w ψ = w

(19.22)

w ψ

↓

=

w l

∂ ψ¯ ∂z

(19.19) ↓

=

Kψ = −w l .

− Kψ

∂ ψ¯ , ∂z (19.23)

Der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient ist das mittlere Produkt aus ¨ aquivalenter Verschiebung und Geschwindigkeitsﬂuktuation in Richtung der Verschiebung. Die Beziehungen (19.21) bis (19.23) sind f¨ ur den einfachen Fall erhalten worden, dass die ¨ aquivalente Verschiebung nur in einer Richtung (hier z-Richtung) erfolgte. Ber¨ ucksichtigt man aber alle Ortskomponenten, so erh¨ alt man f¨ ur die Fluktuation der Gr¨ oße ψ:

19.3 Gradientansatz und Mischungsweg f¨ ur turbulente Transporte

ψ = lj

279

∂ ψ¯ , ∂xj

wobei die ¨ aquivalente Verschiebung lj in die Richtung der Ortskomponente j erfolgt. F¨ ur den turbulenten Fluss von ψ erh¨alt man damit ui ψ = ui lj

∂ ψ¯ . ∂xj

(19.24)

Aus Vergleich von (19.24) mit dem Gradientansatz (19.19) ersieht man, dass der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient ein Tensor zweiter Stufe ist, Kij = −ui lj .

(19.25)

¨ Uber die Tensoreigenschaft von Kij ist aber praktisch nichts bekannt, weshalb man sich damit begn¨ ugt, nur die Komponenten von K in Richtung der transportierenden Geschwindigkeit zu verwenden: ui ψ = −K(i)

∂ ψ¯ . ∂xi

(19.26)

H¨ auﬁg jedoch ist es nicht einmal m¨oglich, diese drei Komponenten des Diﬀusionskoeﬃzienten zu bestimmen, so dass man in der Form (19.19) des Gradientansatzes mit nur einem Wert von K f¨ ur alle Richtungen operiert. Die Verkn¨ upfung des Diﬀusionskoeﬃzienten K mit der ¨ aquivalenten Verschiebung in der Form (19.22) oder (19.25) hat das Problem der Bestimmung von turbulenten Fl¨ ussen mit Hilfe des Gradientansatzes nur in eine weitere Unbekannte, n¨amlich ui lj , verlagert. Um das Prandtlsche Konzept auch praktisch zu nutzen, verwendet man als Schließung f¨ ur das unbekannte Produkt ui lj den Ansatz: ui lj = −uc l .

(19.27)

Hierbei ist uc eine f¨ ur das jeweilige Problem charakteristische Geschwindigkeit und l der sogenannte Mischungsweg, wobei gilt: l = |l | .

(19.28)

Der Mischungsweg ist das zeitliche Mittel der ¨ aquivalenten Verschiebung, gibt also an, wie weit ein Teilchen im Mittel verschoben werden muss, damit sein Momentanwert der Eigenschaft ψ mit dem zeitlichen Mittel ψ¯ u ¨bereinstimmt. Der Mischungsweg f¨ ur turbulente Str¨omungen ist physikalisch etwa mit der freien Wegl¨ ange der Molek¨ ule vergleichbar. F¨ ur die Bestimmung von turbulenten Fl¨ ussen aus den mittleren Gradienten haben wir somit im einfachsten Fall folgende Beziehungen:

280

19 Die gemittelten Bewegungsgleichungen

∂ ψ¯ , ∂xi

ui ψ

= −K

ui ψ

∂ ψ¯ = −uc l . ∂xi

(19.29)

Um (19.29) anwenden zu k¨onnen, muss man entweder den turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten oder den Mischungsweg und eine charakteristische Geschwindigkeit kennen bzw. vorgeben. Spezielle Ans¨atze f¨ ur diese Gr¨ oßen werden in sp¨ ateren Kapiteln noch ausf¨ uhrlich behandelt.

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung 20.1

Gleichung fu ¨ r die gesamte kinetische Energie

Im folgenden soll die mittlere kinetische Energie pro Masseneinheit u2i /2 einer Str¨ omung mit Reibung betrachtet werden. Sie kann in die Energie der mittleren Str¨ omung u ¯2i /2 und die sogenannte Turbulenzenergie u2 i /2 aufgespalten werden, u2i u ¯2 u2 = i + i . (20.1) 2 2 2 Es soll zun¨ achst eine Gleichung f¨ ur die mittlere Energie der gesamten Str¨ omung hergeleitet werden, sodann eine solche f¨ ur die kinetische Energie des Grundstromes. Eine Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie erh¨ alt man aus diesen beiden Energien mit Hilfe der Beziehung (20.1). Wir gehen von der um die Reibungskraft erweiterte Boussinesq-Form der Bewegungsgleichungen (12.39) aus, wobei noch eine konstante Dichte und eine kon˜ sowie p∗ stante Temperatur des Grundzustandes angenommen (ρ0 = ρ˜, θ0 = θ) ∗ und θ wieder mit p bzw. θ bezeichnet werden. Die Ausgangsgleichung wird mit ui multipliziert: ∂ui + ∂t ui

∂ ∂t

u2i

2

ui uk

∂ui ∂xk

= −εijk fj uk ui +

∂ + uk ∂xk

u2i

∂ ∂xk

2

uk

=

0

u2i

νui

−ν −

∂ 2 ui ∂x2k

θ 1 ∂ui p ∂2 + ui g δi3 − + ν 2 ρ˜ ∂xi ∂xk θ˜

2

θ ui ∂p gui δi3 − + ρ˜ ∂xi θ˜

u2i

u2i 2

∂ui ∂xk

2

.

∂uk 2 ∂xk

=0 Bei der Umformung des zweiten, f¨ unften und sechsten Termes ist von der Divergenzfreiheit der Str¨omung (∂uj /∂xj = 0) Gebrauch gemacht worden. Die Mittelung dieser Gleichung f¨ uhrt zu

∂ u2i ∂t 2

∂ u2 + uk i ∂xk 2

g 1 ∂ ∂2 = ui θ δi3 − ui p + ν 2 ρ˜ ∂xi ∂xk θ˜

u2i 2

−ν

∂ui ∂xk

2

.

282

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung

Durch Anwendung der Mittelbildungsregeln lassen sich die Ausdr¨ ucke dieser Gleichung auswerten.

u2i 2

uk

u ¯2 = i + 2

u2i 2

u 2i 2

,

=u ¯k

u ¯2i u2 +u ¯k i 2 2

ui θ

=u ¯i θ¯ + ui θ ,

ui p

=u ¯i p¯ + ui p ,

∂ui ∂xk

2

=

∂u ¯i ∂xk

2

+

+u ¯i uk ui + uk

∂ui ∂xk

u2 i 2

,

2

.

Damit erh¨ alt man die Gleichung f¨ ur die mittlere gesamte kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung:

u ¯2 ¯2i ∂ u2 ∂ ∂ u i + + u ¯k i + ∂t 2 ∂t 2 ∂xk 2

+

∂ u2 u ¯k i ∂xk 2

+

u2 ∂ ∂ u ¯i uk ui + uk i ∂xk ∂xk 2

g ¯ ¯i θ δi3 + = u θ˜

=

g 1 ∂ 1 ∂ ui θ δi3 − u ¯i p¯ − u p ˜ ρ˜ ∂xi ρ˜ ∂xi i θ

+ν

¯2i ∂ 2 u2 ∂2 u i +ν 2 2 ∂xk 2 ∂xk 2

−ν

∂u ¯i ∂xk

2

−ν

∂ui ∂xk

(20.2)

2

.

(20.2) soll lediglich dazu dienen, sp¨ater eine Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie aufstellen zu k¨ onnen.

20.2

Gleichung fu o¨ r die kinetische Energie der mittleren Str¨ mung

Um eine Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung u ¯2i /2 zu erhalten, geht man von den gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen aus. Die gemittelte Form der Gleichung (12.39) ergibt sich analog zur Herleitung von (19.12) zu

20.3 Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie

283

∂u ¯i ∂u ¯i ¯i ∂u u g 1 ∂ p¯ ∂2u +u ¯k = −εijk fj u ¯k + θ¯ δi3 − +ν 2 − k i . ∂t ∂xk ρ˜ ∂xi ∂xk ∂xk θ˜

(20.3)

Die Multiplikation von (20.3) mit u¯i f¨ uhrt nach Umformung wie bei der Herleitung der Gleichung (20.2) zu

∂ u u ¯2 ¯2i ∂ + u ¯k i ∂t 2 ∂xk 2

¯2 ¯i p¯ g ¯ 1 ∂u ∂2 u ¯i θ δi3 − = u +ν 2 i −ν ρ˜ ∂xi ∂xk 2 θ˜

∂u ¯i ∂xk

2

−u ¯i

∂uk ui . ∂xk

=

∂u ¯i ∂ u ¯i uk ui − uk ui ∂xk ∂xk Die Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung (Grundstrom) lautet somit

u ¯2 ¯2i ∂ ∂ u + u ¯k i ∂t 2 ∂xk 2

∂ + u ¯i uk ui ∂xk

=

¯i p¯ ¯2 1 ∂u ∂2 u g ¯ +ν 2 i −ν ¯i θ δi3 − = u ρ˜ ∂xi ∂xk 2 θ˜

20.3

∂u ¯i ∂xk

2

(20.4) ∂u ¯i + uk ui . ∂xk

Gleichung fu ¨ r die Turbulenzenergie

Eine Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie einer Str¨ omung u 2i /2 erh¨ alt man durch Subtraktion der Gleichung (20.4) von (20.2). F¨ ur die Turbulenzenergie ergibt sich nach Ausf¨ uhrung dieser Operation:

∂ u2 i ∂t 2

=

+

u2 ∂ u ¯k i ∂xk 2

+

∂ui p

u2 ∂ uk i ∂xk 2 ∂2

ui 2

=

∂ui

g 1 −ν ui θ δi3 − +ν 2 ρ˜ ∂xi ∂xk ∂xk 2 θ˜

2

(20.5) − uk ui

∂u ¯i . ∂xk

Zur Erl¨ auterung der einzelnen Terme wird Gleichung (20.5) umgeordnet, wobei f¨ ur die turbulente kinetische Energie die Abk¨ urzung e = u 2i /2 eingef¨ uhrt wird. Die Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie lautet jetzt:

284

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung

∂u ¯i ∂ui 2 ∂¯ e 1 g + uk p = −uk ui + u3 θ − ν . ˜ ∂xk ρ˜ ∂xk ∂xk θ

↑ Produktion und Dissipation Divergenz von Energieﬂ¨ ussen von Turbulenzenergie ¨ lokale zeitliche Anderung der Turbulenzenergie (20.6) ∂¯ e ∂ + ∂t ∂x k

u ¯k e¯ + uk e − ν

Die physikalische Bedeutung der einzelnen Terme in der Gleichung f¨ ur die turbulente kinetische Energie soll nachstehend erl¨autert werden: ∂¯ e ∂t

¨ zeitliche Anderung der Turbulenzenergie am festen Ort,

u ¯k e¯

Fluss von Turbulenzenergie mit der mittleren Str¨omungsgeschwindigkeit u ¯k ,

uk e

turbulenter Fluss von Turbulenzenergie,

∂¯ e ∂xk

molekulare Diﬀusion von Turbulenzenergie,

1 u p ρ˜ k

turbulenter Fluss von Druckschwankungen,

ν

uk ui

∂u ¯i ∂xk

Produktion oder Vernichtung von Turbulenzenergie durch turbulente W¨ armeﬂ¨ usse (Auftriebskr¨afte),

g u3 θ θ˜

ν

∂ui ∂xk

Produktion von Turbulenzenergie aus der Scherung der mittleren Str¨omung (Grundstrom),

2

Vernichtung von Turbulenzenergie durch molekulare Reibung.

Bei den weiteren Betrachtungen sollen die Divergenzterme in der Gleichung (20.6) außer acht gelassen werden. Diese w¨ urden n¨amlich bei der Integration der Energiegleichung u usse ¨ber ein abgeschlossenes Volumen verschwinden, falls keine Fl¨ ¨ durch die Volumenoberﬂ¨ache hindurchgehen. F¨ ur die zeitliche Anderung der Turbulenzenergie sind dann nur die Produktions- oder Dissipationsterme auf der rechten Seite von (20.6) verantwortlich. Im folgenden sollen diese Terme n¨ aher betrachtet werden. ¨ Wir untersuchen die lokale zeitliche Anderung der Turbulenzenergie, bedingt durch die einzelnen Produktions- oder Dissipationsterme. Zun¨ achst f¨ ur den Term

20.3 Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie

285

uk ui ∂ u ¯i /∂xk . Aus ∂¯ e ∂u ¯i = −uk ui ∂t ∂xk ergibt sich unter Verwendung des Deformationsansatzes (19.14) f¨ ur die Reynoldsschen Schubspannungen uk ui : ∂¯ e =K ∂t

∂u ¯i ∂u ¯k + ∂xk ∂xi

=K

∂u ¯i ∂xk

2

∂u ¯i = ∂xk

¯i ∂u ¯k ∂ u ∂xi ∂xk

+

!

.

Man kann zeigen, dass sich der Term in der Klammer mit Hilfe der Deformation auch folgendermaßen schreiben l¨asst:

∂u ¯i ∂xk

2

+

¯i ∂u ¯k ∂ u 1 = ∂xi ∂xk 2

∂u ¯k ∂u ¯i + ∂xi ∂xk

2

.

Die rechte Seite ist somit positiv deﬁnit; die Turbulenzenergie w¨ achst also mit der Zeit an, bedingt durch die Scherung der mittleren Str¨ omungsgeschwindigkeit. Die Produktion von Turbulenzenergie ist um so gr¨ oßer, je st¨ arker die Scherung des Grundstromes ist. Der Gewinn von Turbulenzenergie aus dem Grundstrom bedeutet, dass der mittleren Str¨omung diese Energie entzogen wird. Dies kann man formal auch daran erkennen, dass man die Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der mittleren Str¨ omung (20.4) mit der f¨ ur die Turbulenzenergie vergleicht: (20.4) :

∂ u ¯2i + ... ∂t 2

=

+uk ui

∂u ¯i + ... ∂xk

(20.5) :

∂ u2 i + ... ∂t 2

=

−uk ui

∂u ¯i + ... ∂xk

oder unter Verwendung des Deformationsansatzes: (20.4) :

¯2i ∂ u + ... ∂t 2

= −K

∂u ¯i ∂xk

!

2

+

¯k ∂u ¯i ∂ u + ... ∂xk ∂xi

⇓ (20.5) :

∂ u2 i + ... ∂t 2

=+K

∂u ¯i ∂xk

2

!

¯k ∂u ¯i ∂ u + + ... . ∂xk ∂xi

Wegen der positiven Deﬁnitheit des Termes auf der rechten Seite ist die Richtung des Transformationspfeiles eindeutig: Es wird kinetische Energie des Grundstromes in Turbulenzenergie umgewandelt.

286

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung

¨ Betrachten wir nun den Einﬂuss der Auftriebskr¨ afte auf die Anderung der turbulenten kinetischen Energie. Aus (20.6) folgt mit u3 = w g ∂¯ e = w θ . ∂t θ˜ Jetzt h¨ angt die Energieerzeugung vom Vorzeichen des turbulenten W¨ armestromes ab. (a) w θ > 0 , =⇒

∂¯ e > 0 , d. h. Zunahme der Turbulenzenergie. ∂t

(b) w θ < 0 , =⇒

d. h. aufw¨arts gerichteter W¨ armestrom

d. h. abw¨arts gerichteter W¨ armestrom

∂¯ e < 0 , d. h. Abnahme der Turbulenzenergie. ∂t

Die physikalische Bedeutung dieser Aussage l¨asst sich besser veranschaulichen, wenn man f¨ ur den W¨armeﬂuss den Gradientansatz ∂ θ¯ w θ = −K ∂z verwendet. Damit ergibt sich g ∂ θ¯ ∂¯ e =− K . ∂t θ˜ ∂z Die Verst¨ arkung oder Abschw¨achung von Turbulenzenergie h¨ angt vom Gradienten der mittleren potentiellen Temperatur, also von der Temperaturschichtung ab. (a)

(b)

∂ θ¯ < 0 d. h. labile Temperaturschichtung. ∂z Die w¨armere Luft liegt unterhalb der k¨ alteren; die Luftteilchen werden durch Archimedische Kr¨afte nach oben bewegt. Die durch den Auftrieb bedingten turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen tragen zur Erh¨ ohung der turbulenten kinetischen Energie bei. ∂ θ¯ > 0 d. h. stabile Temperaturschichtung. ∂z Die w¨armere, also leichtere Luft liegt u ¨ber der k¨alteren, schwereren Luft. Teilchen, die turbulente Vertikalbewegungen ausf¨ uhren, m¨ ussen gegen den Temperaturgradienten der Umgebungsluft Arbeit leisten. Die dazu notwendige Energie wird der Turbulenzenergie entzogen.

20.4 Maßzahlen f¨ ur die Turbulenz

287

Durch die thermischen Auftriebskr¨ afte kann sowohl Turbulenzenergie erzeugt als auch vernichtet werden. Der Eﬀekt des letzten Termes von (20.6) auf die Turbulenzenergie wird beschrieben durch ∂¯ e = −ν ∂t

∂ui ∂xk

2

.

Wegen der positiven Deﬁnitheit dieses Terms ist die rechte Seite immer negativ, d. h. die Turbulenzenergie wird vernichtet. Man bezeichnet deshalb

=ν

∂ui ∂xk

2

(20.7)

als Energiedissipation. Diese Energievernichtung wird durch die molekulare Reibung bewerkstelligt (der Term resultierte ja aus der Herleitung der Energiegleichung f¨ ur eine Str¨omung mit molekularer Reibung). Die dadurch verlorengegangene Energie wird in Reibungsw¨arme umgewandelt und f¨ uhrt zu einer – wenn auch meist nur geringf¨ ugigen – Temperaturerh¨ohung der Str¨ omung.

20.4

Maßzahlen fu ¨ r die Turbulenz

Im vorigen Abschnitt wurde der Einﬂuss der verschiedenen physikalischen Eﬀekte auf die turbulente kinetische Energie untersucht. Der wesentliche Faktor war neben der stets vorhandenen Energiedissipation durch molekulare Reibung die Produktion von Turbulenzenergie durch die Scherung des Grundstromes oder durch die Auftriebskr¨ afte. Um das Verhalten der Turbulenzenergie beim gleichzeitigen Auftreten dieser beiden Eﬀekte zu studieren, nehmen wir eine Vereinfachung der Energiegleichung (20.6) vor: • Die Divergenzen der Energieﬂ¨ usse werden vernachl¨ assigt, ∂ ∂¯ e 1 d. h. u ¯k e¯ + uk e − ν + uk p = 0 , ∂xk ∂xk ρ˜ • F¨ ur den Grundstrom wird horizontale Homogenit¨ at angenommen, ∂u ¯i ∂u ¯i = =0, ∂x ∂y • Es soll eine einfache Scherstr¨omung in x-Richtung betrachtet werden, also u ¯2 = u ¯3 = 0, u ¯1 = u ¯, • Die Energiedissipation soll vernachl¨assigt werden: = 0 .

288

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung

Mit diesen Voraussetzungen erh¨alt man aus Gleichung (20.6): ∂u ¯ g ∂¯ e = −w u + wθ ∂t ∂z θ˜ oder auch ⎧ ⎫ g ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w θ ⎬ ∂¯ e ∂u ¯⎨ ∂u ¯ ˜ = −w u 1− θ = −w u (1 − Rif) . ⎪ ∂ u ¯ ∂t ∂z ⎪ ∂z ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ w u

(20.8)

∂z Das Verh¨ altnis der Energieproduktion durch Auftriebskr¨ afte zu der durch Scherungskr¨ afte des Grundstroms nennt man nach dem britischen Physiker und Mathematiker L. F. Richardson (1881–1953) die Richardson-Flusszahl (Rif ): g wθ ˜ . (20.9) Rif ≡ − θ ∂u ¯ −w u ∂z Der Scherungsproduktionsterm im Nenner ist, wie in Abschnitt 20.3 erl¨ autert, positiv deﬁnit, da sich mit dem Gradientansatz ergibt: w u = −K

∂u ¯ ∂z

=⇒

−w u

∂u ¯ ∂u ¯ ∂u ¯ =K >0. ∂z ∂z ∂z

Das Vorzeichen der Richardson-Flusszahl Rif h¨ angt demnach mit der thermischen Schichtung wie folgt zusammen: Schichtung stabil neutral labil

∂ θ¯ ∂z

w θ

Rif, Ri

>0 =0 <0

<0 =0 >0

>0 =0 <0

Hinsichtlich der zeitlichen Ver¨anderung der Turbulenzenergie kann man aus (20.8) mit Hilfe von Rif folgende Aussagen treﬀen: ∂¯ e < 0 d. h. die Turbulenz schw¨ acht sich ab. Es wird Rif > 1 ⇒ ∂t mehr Energie gegen die negativen Auftriebskr¨afte verbraucht als durch die Scherung des Grundstromes produziert wird. ∂¯ e Rif = 1 ⇒ = 0 d. h. die Turbulenz ver¨ andert ihre Intensit¨ at ∂t nicht, da die aus dem Grundstrom gewonnene Energie gerade durch die Arbeit gegen die stabile Temperaturschichtung kompensiert wird.

20.4 Maßzahlen f¨ ur die Turbulenz Rif < 1 ⇒

Rif < 0

∂¯ e >0 ∂t

289

d. h. die Turbulenz verst¨arkt sich. Es wird mehr Energie aus dem Grundstrom gewonnen, als gegen die Auftriebskr¨afte wieder verloren geht. Auch hier verst¨arkt sich die Turbulenz; die Turbulenzenergie wird jedoch sowohl aus dem Grundstrom als auch durch die Auftriebskr¨ afte gewonnen (der W¨armestrom ist aufw¨ arts gerichtet, d. h. labile Temperaturschichtung).

Der Name Richardson-Flusszahl r¨ uhrt daher, dass in dieser Zahl außer der Scherung des Grundstromes die turbulenten Fl¨ usse von W¨ arme und Impuls auftreten. Die Richardson-Flusszahl ist zwar ein Maß f¨ ur das zeitliche Verhalten der Turbulenz, jedoch ben¨otigt man zu ihrer Bestimmung die zun¨ achst noch unbekannten turbulenten Fl¨ usse. Was man jedoch kennt (und auch viel einfacher messen kann), sind die mittleren Gradienten von Temperatur und Geschwindigkeit in einer turbulenten Str¨omung. F¨ ur die praktische Anwendung eines Turbulenzkriteriums verwendet man deshalb die sogenannte Richardson-Zahl, die man aus Rif (20.9) durch Anwendung der Gradientans¨atze f¨ ur die Temperatur und die Geschwindigkeit erh¨alt: w u = −Km

∂u ¯ ∂z

,

w θ = −Kh

∂ θ¯ . ∂z

Hierbei ist Km der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient f¨ ur Impuls (Index m f¨ ur englisch: momentum) und Kh derjenige f¨ ur W¨arme (Index h f¨ ur englisch: heat). Damit erh¨ alt man aus (20.9): g ∂ θ¯ g Kh wθ ˜ θ˜ ∂z ≡ Ri . = Rif = θ ∂ u ¯ Prt ∂u ¯ 2 w u Km ∂z ∂z

(20.10)

Dabei bezeichnet man Ri als Richardson-Zahl: g ∂ θ¯ ˜ ∂z Ri = θ 2 . ∂u ¯ ∂z

(20.11)

und Prt als turbulente Prandtl-Zahl: Prt =

Km . Kh

(20.12)

290

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung Turbulenz– verst¨ arkung

..... . .. .... .. ...

Turbulenz– abschw¨ achung

1 3 − 12 0 1..... Rif 2 2 ...................................................................................................................................................................................................................... Ri .... . ∂ θ¯ ∂ θ¯ <0 ... ∂z ∂z > 0 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....

..... .

w θ

∂ θ¯ ∂z

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ... ..

w θ >0

labile Schichtung

w θ <0

0

stabile Schichtung

Bild 20.1 Der Zusammenhang zwischen der Temperaturschichtung, dem Turbulenzverhalten und den Richardson-Zahlen

F¨ ur den Fall Prt = 1 sind die Aussagen u ¨ber den Zusammenhang zwischen Turbulenz und Rif auch mit denen f¨ ur die Richardson-Zahl Ri identisch; sonst ist noch der Faktor Prt zu ber¨ ucksichtigen. Die Richardson-Zahl gibt uns einen direkten Zusammenhang zwischen Temperaturschichtung und Turbulenzverhalten, der in Bild 20.1 f¨ ur Prt = 1 (typischer Wert bei turbulenten Luftstr¨ omungen) dargestellt ist. Aus Messungen in der Atmosph¨are hat sich allerdings ergeben, dass ein Abschw¨ achen der Turbulenz bereits bei einer kritischen Richardson-Zahl von Ri ≈ 0,25 erfolgt, also deutlich fr¨ uher als beim oben abgeleiteten Wert Ri = 1 (siehe auch Abschnitt 14.4). Wie l¨asst sich das erkl¨aren? Bei der Herleitung von Rif und Ri aus der Gleichung f¨ ur die Turbulenzenergie (20.6) wurde die Dissipation vernachl¨ assigt, die in einem reibungsbehafteten Medium (ν = 0) nat¨ urlich immer vorhanden ist. Die Dissipation f¨ uhrt immer zu einer zeitlichen Abschw¨ achung der Turbulenz gem¨ aß (20.7) und wirkt somit dem Scherungsproduktionsterm w u ∂u/∂z entgegen. Eﬀektiv muss der thermische Produktionsterm g/θ¯ w θ in (20.8) somit nur die Diﬀerenz |w u ∂ u ¯/∂z| − auskompensieren, damit es zu einer Abschw¨ achung der Turbulenz kommt. Dieser geringere kritische Wert der thermischen Produktion f¨ uhrt somit gem¨aß (20.9) bzw. (20.11) zu einer geringeren kritischen Richardson-Flusszahl bzw. Richardson-Zahl, als dies ohne Ber¨ ucksichtigung der Dissipation der Fall ist.

20.5 Mikro- und Makroturbulenz

20.5

291

Gradientansatz und Energietransfer in Mikro- und Makroturbulenz

Bei der Schließung der Bewegungsgleichungen f¨ ur turbulente Str¨ omungen wurde f¨ ur die Impulsﬂ¨ usse der Gradientansatz (19.19) verwendet. Es wurde dabei darauf hingewiesen, dass der Gradientansatz nur dann gerechtfertigt ist, wenn das (zur Bildung der gemittelten Gleichungen) verwendete zeitliche Mittel nicht zu groß gew¨ ahlt wird. Liegt dieser Mittelbildungszeitraum in der Gr¨ oßenordnung von Minuten, so bezeichnet man turbulente Vorg¨ ange als Mikroturbulenz. In diesem Fall ist der Gradientansatz f¨ ur den Impuls gerechtfertigt. Das bedeutet physikalisch, dass der Impulsﬂuss gegen den Gradienten der mittleren Str¨ omung gerichtet ist, also Geschwindigkeitsgegens¨atze des Grundstromes abbauen will. Aus der Verwendung des Gradientansatzes in den Energiegleichungen f¨ ur die Grundstrom- und die Turbulenzenergie folgte außerdem, dass dem Grundstrom kinetische Energie entzogen wird und in kinetische Energie der turbulenten Schwankungen u uhrt wird. Man kann zeigen, dass dieser Energietransfer vom Grund¨berf¨ strom zun¨ achst auf gr¨ oßere Turbulenzk¨orper (Wirbel) u ¨bergeht und von diesen auf Wirbel mit immer kleiner werdenden Abmessungen bis hinab in den molekularen Bereich, wo diese Energie in Reibungsw¨ arme umgewandelt wird. Diesen Vorgang, den Energietransfer zu kleineren Wirbeln hin, nennt man Energiekaskade. Schematisch ließe sich dieser Vorgang etwa wie in Bild 20.2 darstellen, wobei mit E die Energie des Grundstromes und mit e1 , e2 usw. die Energien der jeweiligen Turbulenzk¨orper bezeichnet werden sollen. Die Energiekaskade erh¨alt man nur in der Mikroturbulenz, d. h. bei kleinr¨ aumigen Bewegungsvorg¨angen in der Atmosph¨are, bei denen auch der Gradientansatz seine G¨ ultigkeit hat und somit Impuls gegen den Gradienten der mittleren Str¨ omung transportiert wird. F¨ ur eine mikroturbulente Str¨omung l¨asst sich der Zusammenhang zwischen Impulsﬂuss, Geschwindigkeitsgradient und Energietransfer am Beispiel einer Kanalstr¨ omung darstellen, wie in Bild 20.3 gezeigt. Betrachten wir jetzt Bewegungsvorg¨ange einer ganz anderen Gr¨ oßenordnung, n¨amlich Zyklonen, Antizyklonen und Westdrift auf der Erdkugel. Als Mittelbil........................................ ............................... ......... . ....... ..... .......................... ........ u ¯ ... .. .... ....... ........................... ... ..... ......................... ...... .... .......................................... ..... . . ..... . ... ................... .... ..... .... .... ........... ..... .... .... ..... ..... ◦ . .. ... ... ... .......... .. .. .. . . ... .................. ..... ..... ... ... ....... ....... .... ... ◦ ◦ . . ............................................................... . ... . ... ...... ............ .... .. ... .................... ......................... .............................. .... .......... .......... .... ..... ......... ........ ..... ........... ..... e −→ e . . . usw. . . . E −→ e . . . 1 2 . . . . . . . . . . . . . .......... ... ............................. ........................................................................ ......................... 1 ......................... ........ ................................ ......... ........ ................................ ......... ......................... ◦ ◦ ◦ ............................. . .......... .... . ..... ............ ..... . ......... ............. .................. ............ ............. .... ............. ............. ....... . ........ ..... ...... ........ . . . . . . . . . . . . . . . ...... ......... .... ... . .............................................................. .. .. . .. . ... ... .... ... .................. ..... ◦ ◦ . .. .. ..... ..... .... ............... .... ... ... ..... ..... . ... ... .... ...... ... ... ... ... ....... ........ ... ◦. .. .... ... .... ... ... ...................... .... ... ........................................... .......... .......... ... ....... . ...... .... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ......... .... . . ...... . .......... . . . . . . . . . ....................... .... Transfer von Turbulenzenergie Dissipation Produktion Bild 20.2 In der Energiekaskade wird dem Grundstrom kinetische Energie entzogen und in Form von Wirbeln immer kleinerer Abmessungen in Turbulenzenergie verwandelt.

292

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung

z .......................................................................................................... ⎫ ... ................. ⎪ ⎫ ⎪ ∂ u ¯ . . ... u ⎪ ⎪ w u < 0⎪ ¯(z) ..................... ∂E ∂u ¯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ... ...... w u > 0 ⎪ ⎪ ∂z ⎪ ⎬ ∂t = +w u ∂z < 0 ⎪ ⎬ ... .. ..... ............ .......... .......... .......... .......... ....................... .......... .......... E→e ... .... ⎪ ⎪ ... ⎪ ⎪ ∂u ¯ ∂e ⎪ ⎪ ..... ⎪ ⎪ . . ... . = −w > 0 u ⎪ ⎪ ∂u ¯ wu <0 ... ⎭ ⎪ ∂t ∂z ... ................. ..... < 0⎪ w u ⎪ ⎭ ∂z .................................................................................................................................................. ................................................. u ¯ Bild 20.3 Geschwindigkeitsgradient, Impulsstrom und Energietransfer einer Kanalstr¨omung als Beispiel einer mikroturbulenten Str¨omung

dungsintervall w¨ ahlen wir einen vollen Breitenkreis und erhalten somit f¨ ur den Grundstrom die mittlere Zonalgeschwindigkeit, w¨ ahrend die St¨ orungen aus den langen Wellen und den Hoch- und Tiefdruckgebieten bestehen. W¨ urde man jetzt analog zur Mikroturbulenz vorgehen, k¨ame man zu der Aussage, dass die kinetische Energie der St¨orungen aus der Grundstromenergie gewonnen wird. Mit anderen Worten: Die Zyklonen und Antizyklonen entstehen aus der kinetischen Energie der mittleren Zonalstr¨omung (Westdrift). Tats¨ achlich beobachtet man aber in der Atmosph¨ are genau das Gegenteil. Die Tiefdruck- und Hochdruckgebiete geben ihre kinetische Energie an die Zonalstr¨ omung ab und erhalten somit die Westdrift gegen¨ uber der Reibung an der Oberﬂ¨ ache aufrecht. Diesen Vorgang der Auﬂ¨osung von Zyklonen nennt man Zyklolyse. Im Gegensatz zur Mikroturbulenz geht bei großr¨ aumigen Str¨ omungsvorg¨ angen die Energie der St¨orungen in die Energie des Grundstromes u ¨ber. Hinsichtlich des meridionalen Impulsﬂusses w¨ urde dies bedeuten, dass dieser in Richtung des Gradienten der Zonalgeschwindigkeit erfolgt, also Geschwindigkeitsgegens¨ atze noch verst¨ arkt. Dies ist auch tats¨achlich der Fall, wie die Auswertung von globalen H¨ ohenwetterkarten zeigt und es schematisch auch in Bild 20.4 dargestellt ist. Wie oben f¨ ur die Mikroturbulenz der Zusammenhang zwischen Impulsﬂuss, Grundstrom und Energietransfer erl¨autert wurde, soll dies auch f¨ ur großr¨ aumige ∗ u∗ der Vorg¨ ange geschehen. Hierbei soll mit u ˜ der zonale Grundstrom und mit v3 meridionale Impulsﬂuss bezeichnet werden. φ ...... beobachtet: ⎫ 90o........... ⎪ ⎫ ∗ u∗ ∂ u ⎪ v3 ¯ ....................................................................... .... ∗ u∗ ∂ u ⎪ ⎪ 3 > 0⎪ ⎪ ∂E v ¯ ⎪ ..... . .. .... ⎪ ∗ ∗ . 3 . . ⎪ ⎪ . =+ > 0⎪ ⎪ .................. v u < 0 R ∂φ ⎪ ⎬ ⎬ 60o... .. ∂t R ∂φ ........................................................................................................................ .......... .......... .......... E←e ⎪ ⎪ ∗ u∗ ∂ u .. .. ..... ⎪ ⎪ v3 ¯ ∂e ⎪ ⎪ 30o...................................................................................... ⎪ ⎪ ∗ ∗ 3 ∗ ∗ =− < 0⎪ ⎪ ¯ v3 u > 0 v u ∂u ......... .. ⎭ ⎪ R ∂φ > 0⎪ ⎪ ......... ⎭ ∂t R ∂φ .......................................................................................................................... u ¯ Bild 20.4 Grundstrom, Impulsﬂuss und Energietransfer einer großr¨aumigen Str¨omung (Makroturbulenz)

20.5 Mikro- und Makroturbulenz

293

Die bei der Mittelbildung u ¨ber einen Breitenkreis entstehenden Geschwindigkeitsﬂuktuationen und deren Produkte (hier mit (. . .)∗ bezeichnet) nennt man auch makroturbulente Fluktuationen, oder man verwendet f¨ ur die gesamten Be∗ u∗ wegungsvorg¨ ange h¨auﬁg den Ausdruck Makroturbulenz. Das Produkt v3 w¨ urde man dann als makroturbulenten Impulsﬂuss bezeichnen. Es ist jedoch umstritten (bzw. Auﬀassungssache), ob man die Zyklonen und Antizyklonen als atmosph¨ arische Makroturbulenzen ansehen und somit Ergebnisse der Turbulenztheorie f¨ ur kleinr¨ aumige Str¨omungen auch auf großr¨ aumige Bewegungsvorg¨ ange u ¨bertragen kann. Das gegens¨atzliche Verhalten von Mikro- und Makroturbulenz wurde bei der Betrachtung des Energie¨ uberganges zwischen Grundstrom und ¨ St¨orungen (Turbulenzk¨orpern) deutlich. Ahnlich ist es auch mit der Anwendbarkeit des Gradientansatzes f¨ ur die Makroturbulenz. Wie die in Bild 20.4 dargestellte Auswertung atmosph¨ arischer Daten zeigt, ist f¨ ur großr¨ aumige Vorg¨ange der makroturbulente Impulsﬂuss zum Maximum des Grundstromes hin gerichtet, also gegen¨ uber der Mikroturbulenz gerade umgekehrt. Wollte man jetzt den Gradientansatz auch auf makroturbulente Str¨ omungen anwenden, so w¨ urde dies bedeuten, dass der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient negativ sein m¨ usste, da Impulsﬂuss und Grundstromgradient (wie beobachtet) das gleiche Vorzeichen besitzen. Die von der Mikroturbulenz her bekannte Eigenschaft turbulenter Str¨omungen, die Gegens¨atze des Grundstromfeldes abzubauen, w¨ urde bei großr¨ aumigen Bewegungsvorg¨angen ins Gegenteil verkehrt, d. h. die Gegens¨ atze des Grundstromfeldes w¨ urden noch verst¨ arkt. Um die Bezeichnung dieser gegens¨atzlichen Vorg¨ ange unter dem gemeinsamen Begriﬀ Turbulenz zu vermeiden, soll unter einer turbulenten Str¨ omung eine Str¨ omung im Sinne der Mikroturbulenz verstanden werden. Im Zusammenhang mit den verschiedenen Gr¨ oßenordnungen der Turbulenz soll noch auf das Spektrum der kinetischen Energie der atmosph¨ arischen Bewegungsvorg¨ ange eingegangen werden. Unter einem Energiespektrum versteht man die Darstellung der auf Bewegungsvorg¨ange mit bestimmten zeitlichen Perioden oder Wellenl¨ angen entfallenden Anteile der gesamten kinetischen Energie der Atmosph¨ are. Ein solches Energiespektrum, wie man es z. B. aus der Fourier-Analyse von Messungen der Windgeschwindigkeit erh¨alt, ist in Bild 20.5 dargestellt, wobei E(τ ) die kinetische Energie eines Bewegungsvorgangs mit der Schwankungsperiode τ ist. Das (aus atmosph¨arischen Messungen gewonnene) Spektrum weist zwei Maxima auf. Das gr¨oßere Maximum liegt bei Bewegungen mit etwa viert¨ agiger Periode und kann den Zyklonen und Antizyklonen zugeordnet werden. Die Bezeichnung Makroturbulenz f¨ ur Bewegungsvorg¨ ange mit Perioden zwischen etwa 12 Stunden und 30 oder mehr Tagen soll darauf hinweisen, dass man innerhalb dieses Bereiches einen Energietransfer von k¨ urzerperiodischen (mit kleineren Wellenl¨ angen) zu l¨angerperiodischen Bewegungsvorg¨ angen ﬁnden kann (mit dem Begriﬀ Antikaskade angedeutet). Das kleinere Maximum liegt bei Perioden von einer bis drei Minuten und entspricht der Energieerzeugung durch mechanische Turbulenz (aus der Scherung des

294

20 Kinetische Energie einer turbulenten Str¨ omung

. .. ... .. E ....... Makroturbulenz ...... Mesoturbulenz ..... Mikroturbulenz .. .. ....... ... ... ... ... ..... .... ..... .. .. .. .. ...... ...... ... . . .. .. . . . . ... Energiekaskade . .... . . . . . . . . . . . . ... . . .. .............. .... ..... . .... .... .. . . . . . . .. . . . . ...... . . .... ..... .... ..... ... ....... . .... .... . .. . . . .... ............................... ................. ................. .............................. ............ .. .. ...... .. ... ... . . ........ . . .... .... .. ....... ... . . . .. ... Anti– ..... . ... . . . . . . . ... .. ... ... kaskade ..... .... .. .. ..... . . . .... . . . . . . . ... ..... ..... . . . .. . .. .. .... . . . . . . ... ... .... .. .... . . . .. . . . .... .... . . . . . . . . ..... . ..... . . . . . . ... . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . ....... ... ... ... ... ... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 10 s 1 min 30 d 4d 1d 1h ←− Schwankungsperiode τ Bild 20.5 Das Spektrum der kinetischen Energie atmosph¨arischer Bewegungsvorg¨ange (schematische Darstellung)

Grundstromes in der Grenzschicht) und thermischer Konvektion. In diesem Bereich ﬁndet man auch die Energiekaskade der Mikroturbulenz. Beide Energiemaxima werden getrennt durch einen gelegentlich als Mesoturbulenz bezeichneten Bereich von energiearmen Bewegungsvorg¨angen mit Schwankungsperioden von einigen Minuten bis Stunden. Von dem in Bild 20.5 dargestellten Spektrum ist der Bereich der Mikroturbulenz, mit Perioden zwischen einigen Minuten und einigen Sekunden, am besten durch Messungen belegt. Diese erfolgen typischerweise mit Windmessger¨ aten, die an einem festen Ort – etwa an einem Mast – aufgestellt sind. Die turbulente atmosph¨ arische Str¨ omung zieht sozusagen mit der mittleren Geschwindigkeit u¯ am Messort vorbei. Somit kann man einem Bewegungsvorgang mit der Zeitdauer τ auch eine typische L¨ angenskala L gem¨aß L = u ¯τ zuordnen. Beispielsweise ergibt sich f¨ ur eine mittlere Windgeschwindigkeit von u ¯ = 5 m s−1 : τ ≈ 200 s τ ≈ 30 s τ≈ 1s

⇒ ⇒ ⇒

L ≈ 1000 m L ≈ 150 m L≈ 5m.

Bewegungselemente mit L ≈ 1000 m k¨onnen z. B. den aufsteigenden Warmluftblasen u ¨ber einer erw¨armten Bodenoberﬂ¨ache zugeordnet werden. Kurzfristige Geschwindigkeitsschwankungen mit τ ≈ 1 s werden durch kleinr¨ aumige Turbulenzwirbel mit Ausdehnungen um L ≈ 5 m verursacht. Da die charakteristische L¨ange L der Zeitdauer τ proportional ist, ﬁndet man in der Literatur h¨ auﬁg auch das auf die L¨ange L bzw. auf die Wellenzahl k = 2π/L bezogene Energiespektrum. F¨ ur den kurzperiodischen, also kleinr¨ aumigen ¨ Bereich des Spektrums aus Bild 20.5 haben sowohl theoretische Uberlegungen

20.5 Mikro- und Makroturbulenz

295

als auch zahlreiche Messungen ergeben, dass die auf die Wellenzahl k bezogene Energiedichte E(k) folgender Gesetzm¨aßigkeit folgt: 5

E(k) ∝ k − 3 .

(20.13)

Die Beziehung (20.13) wird in der Literatur auch das 53 -Gesetz oder nach dem russischen Physiker A. N. Kolmogorov (1907–1987) das Kolmogorov-Spektrum genannt. Hierzu ﬁnden sich detaillierte Ausf¨ uhrungen in den B¨ uchern zur atmosph¨ arischen Grenzschicht (siehe Kapitel 21). An dieser Stelle soll lediglich auf die Form des Spektrums (20.13) hingewiesen werden.

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht 21.1

Die Einteilung der atmosph¨ arischen Grenzschicht

Unter der atmosph¨arischen Grenzschicht versteht man die oberhalb der Erdoberﬂ¨ache (Land oder Wasser) liegende Luftschicht mit einer vertikalen Erstreckung von einem bis zwei Kilometern. Die Luftstr¨omung in dieser Schicht ist praktisch als st¨ andig turbulent anzusehen, so dass man die in den vorhergehenden Abschnitten hergeleiteten Gesetzm¨aßigkeiten f¨ ur turbulente Str¨ omungen auf die atmosph¨ arische Grenzschicht anwenden kann. Die Bedeutung dieser vergleichsweise d¨ unnen Schicht f¨ ur die atmosph¨arische Zirkulation generell ist außerordentlich groß, wie anhand einiger wichtiger physikalischer Prozesse erl¨ autert werden soll. Die Prim¨ arquelle von Energie f¨ ur alle atmosph¨ arischen Bewegungen ist die kurzwellige Einstrahlung von der Sonne. Diese Strahlungsenergie wird zum Teil von der Atmosph¨are selbst absorbiert und dort in andere Energieformen umgewandelt. Der gr¨ oßere Teil gelangt jedoch zur Erdoberﬂ¨ ache und f¨ uhrt dort zur Erw¨ armung des Erdbodens oder der Wasserﬂ¨achen. Die Erw¨ armung der dar¨ uberliegenden Luftmassen erfolgt dann von der Erdoberﬂ¨ ache aus durch molekulare und insbesondere turbulente W¨armeleitung, was wiederum Druckgegens¨ atze und damit Luftbewegungen ausl¨ost. Die Luftbewegungen werden ihrerseits durch die in der Grenzschicht entstehende Reibung (aufgrund der durch Haftung an der Erdoberﬂ¨ ache erwirkten Windscherung) gebremst und geben Impuls an die Erdoberﬂ¨ ache ab. Auf den Wasseroberﬂ¨achen f¨ uhrt dies zur Ausbildung von Wellen und bei gr¨ oßerer Erstreckung (bei Meeren) zu Driftstr¨omungen. Der Austausch von W¨ arme und Impuls zwischen dem Erdk¨orper und der Atmosph¨ are geschieht also zwangsl¨ auﬁg durch die Grenzschicht hindurch, wie in Bild 21.1 schematisch dargestellt wird. Auch der in der Atmosph¨are vorhandene Wasserdampf gelangt durch turbulente Transporte in der Grenzschicht in h¨ohere Luftschichten, nachdem er durch . .... kurzwellige langwellige ..... . ..... Einstrahlung Ausstrahlung .... .... ... .. ..... .. .... ... ... armeﬂuss Feuchteﬂuss Impulsﬂuss ..... . W¨ .. ... ... .... .... ..... ... ... .. .. ... .. ... w u . ... .. w s .. w θ . ... ... . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................

Erw¨ armung

Verdunstung

Reibung

Bild 21.1 W¨arme- und Impulsaustausch zwischen Erdoberﬂ¨ache und Atmosph¨are durch die Grenzschicht hindurch

298

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

. z ....... ... 1 km .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... .. .... ... . .... .. Windscherung .. ... . ... . |¯ v (z)| mit der H¨ ohe . Ekman-Schicht .. ... ... . (Windspirale) .. ... ... ... . .......... .......... .......... .......... .......... ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 100 m ... .. .. ... .. . Zunahme des Windes . . ... .... .. . . mit der H¨ ohe; . Prandtl-Schicht ... ... .. ............. keine Winddrehung . .... 1 cm .................................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... molekulare Transporte Unterschicht ..................................viskose ............................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ..............................................................................

Bild 21.2 Aufbau der atmosph¨arischen Grenzschicht aus der viskosen Unterschicht, der Prandtl-Schicht und der Ekman-Schicht

Verdunstung an der Grenzﬂ¨ache zwischen Meer oder Land und Atmosph¨ are produziert wurde. Der Aufbau der atmosph¨arischen Grenzschicht sowie die in dieser Schicht ablaufenden physikalischen Prozesse sollen im weiteren n¨ aher behandelt werden. Die atmosph¨ arische Grenzschicht l¨asst sich in drei Einzelschichten einteilen, wie es in Bild 21.2 dargestellt ist. Die viskose Unterschicht, meist nur wenige Millimeter stark, weist keine Turbulenz auf, so dass der Transport von W¨arme und Feuchte von der Erdoberﬂ¨ache in die Atmosph¨are hier durch molekulare Vorg¨ ange erfolgt. Diese Schicht wird bei der Betrachtung der atmosph¨arischen Grenzschicht meist außer acht gelassen, muss aber bei Wechselwirkungen zwischen Atmosph¨ are und Land bzw. Meer ber¨ ucksichtigt werden. Auf die n¨ahere Behandlung dieser Schicht soll aber an dieser Stelle verzichtet werden, da sie auf die Dynamik der Grenzschicht keinen unmittelbaren Einﬂuss hat. Die Prandtl-Schicht, auch bodennahe Grenzschicht genannt, hat eine von der thermischen Schichtung anh¨angende vertikale Erstreckung von etwa 20 bis 100 Metern. In dieser Schichtung sind die turbulenten Fl¨ usse ann¨ ahernd h¨ ohenkonstant, was eine vereinfachte Berechnung von Wind und Temperaturproﬁlen erm¨ oglicht. Der Einﬂuss der Coriolis-Kraft ist in diesen H¨ ohen noch gering, so dass keine Winddrehung mit der H¨ohe erfolgt, sondern lediglich eine betragsm¨ aßige Zunahme der Windgeschwindigkeit. Diese erreicht jedoch bereits 70 bis 80% derjenigen Geschwindigkeit, die man an der Obergrenze der gesamten Grenzschicht vorﬁndet. Den Hauptanteil der Grenzschicht nimmt die an die Prandtl-Schicht grenzende Ekman-Schicht ein, die sich bis in H¨ohen von einem bis zwei Kilometern erstreckt. Die turbulenten Fl¨ usse nehmen in dieser Schicht mit der H¨ ohe ab und verschwinden an der Obergrenze, so dass man oberhalb der Ekman-Schicht eine mehr oder weniger laminare Luftstr¨omung vorﬁndet. Der Einﬂuss der Coriolis-

21.2 Die bodennahe Grenzschicht: Die Prandtl-Schicht

299

Kraft bewirkt in dieser Schicht eine Drehung des Windvektors mit der H¨ ohe zum aufgepr¨ agten geostrophischen Wind hin, weshalb man auch die Bezeichnung Spiralschicht verwendet. H¨auﬁg wird auch die gesamte atmosph¨ arische Grenzschicht einschließlich der Prandtl-Schicht als Ekman-Schicht oder planetare Grenzschicht bezeichnet.

21.2

Die bodennahe Grenzschicht: Die Prandtl-Schicht

Wir gehen im folgenden von den Navier-Stokes-Gleichungen in der gemittelten Form (19.12) aus: ∂u ¯i ¯i ∂Φ 1 ∂ p¯ ∂2u ∂ ∂u ¯i +u ¯k = −εijk fj u ¯k − − +ν − u u . 2 ∂t ∂xk ∂xi ρ¯ ∂xi ∂xk k i ∂xk Es werden jetzt folgende Voraussetzungen getroﬀen: (a) Station¨ are Verh¨altnisse:

∂u ¯i ∂t

= 0.

(b) Horizontale Homogenit¨at des Grundstromfeldes:

∂u ¯i ∂xk

= 0, außer f¨ ur k = 3.

¯ = 0; aus (b) und (c) folgt: (c) Keine mittlere Vertikalgeschwindigkeit: u ¯3 = w ∂u ¯i u ¯k ∂x = 0. k (d) Die Coriolis-Kraft sei in geringeren H¨ohen (≈ 50 m) vernachl¨ assigbar: f = 0. (e) Der horizontale Druckgradient sei vernachl¨assigbar: (f) Die molekulare Reibung bleibt außer Betracht: ν

∂2u ¯i ∂x2k

∂ p¯ ∂x1

=

∂ p¯ ∂x2

= 0.

= 0. Man kann (e) und

(f) auch so deuten, dass sich die entgegengesetzten Kr¨ afte des Druckgradienten und der Reibung gerade aufheben. (g) Horizontale Homogenit¨at der turbulenten Impulsﬂ¨ usse: k = 3.

∂uk ui ∂xk

= 0, außer f¨ ur

(h) Die Str¨ omung soll in x1 -Richtung verlaufen. Mit diesen Voraussetzungen erh¨alt man aus den Navier-Stokes-Gleichungen die Aussage ∂ u u =0 ∂x3 3 1

oder

∂w u =0. ∂z

ur die turbulente Schubspannung und f¨ ur den turbulenten Impulsﬂuss w u bzw. f¨ τzx = τ = −¯ ρ w u

300

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht −w u =

τ = konstant . ρ¯

(21.1)

Somit lautet die Deﬁnition der Prandtl-Schicht: In der Prandtl-Schicht ist der turbulente Impulsﬂuss bzw. die turbulente Schubspannung h¨ ohenkonstant. Diese Aussage gilt angesichts der vielen Voraussetzungen, welche zu ihr f¨ uhrten, nur in einer Schicht von etwa 20 bis 50 Metern oberhalb des Erdbodens. ¨ Streng genommen ist gerade in dieser Schicht die Anderung der turbulenten Schubspannung mit der H¨ohe am gr¨oßten (wenn man den horizontalen Druckgradienten ber¨ ucksichtigt), weshalb man meist in einer etwas abgeschw¨ achten Form die Prandtl-Schicht deﬁniert: Innerhalb der Prandtl-Schicht nimmt der Betrag der Schubspannung um nicht mehr als 10% ihres Bodenwertes ab. Diese Abnahme der turbulenten Schubspannung mit der H¨ohe wird auch durch Messungen in der atmosph¨ arischen Grenzschicht bis zu maximal 100 Metern gefunden. Zum Erhalt von Gesetzm¨aßigkeiten in der Prandtl-Schicht wird jedoch die Deﬁnition (21.1) beibehalten. Die Schubspannung in der Prandtl-Schicht ist dann gerade gleich ihrem Wert am Erdboden (τ0 bzw. w u 0 ), wobei der Index 0 f¨ ur die sp¨ ater noch zu erl¨auternde Rauhigkeitsh¨ ohe z0 (eine H¨ ohe sehr nahe am Erdboden) steht. Es ist allgemein u ¨blich, statt w u 0 bzw. τ0 die sogenannte Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ zu verwenden: "

u∗ =

−w u0 =

4

τ0 . ρ¯

(21.2)

Das negative Vorzeichen unter der Wurzel kommt daher, dass der turbulente Impulsﬂuss w u zum Erdboden hin gerichtet, also kleiner als null ist, da die mittlere Geschwindigkeit u ¯ vom Erdboden aus mit der H¨ ohe zunimmt (∂ u ¯/∂z > 0).

21.3

Das Windproﬁl in der Prandtl-Schicht

Aus der Deﬁnition der Prandtl-Schicht (21.1) allein l¨ asst sich noch keine Aussage u are gewinnen. ¨ber das Windproﬁl in den untersten Dekametern der Atmosph¨ Dazu muss eine Beziehung zwischen dem konstanten Impulsﬂuss und dem Windproﬁl hergestellt werden. Benutzt man dazu den Gradientansatz (19.19), so erh¨ alt man: w u = w u 0 = −Km oder mit (21.2)

∂u ¯ ∂z

21.3 Das Windproﬁl in der Prandtl-Schicht

301

∂u ¯ . (21.3) ∂z Man ben¨ otigt jetzt noch einen Ansatz f¨ ur den turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten f¨ ur Impuls (Index m f¨ ur momentum, engl. f¨ ur Impuls). Verwendet man den Mischungswegansatz (19.27), so ergibt sich u2∗ = Km

Km = l uc . F¨ ur die charakteristische Geschwindigkeit uc wird der Ansatz

∂u ¯ uc = l ∂z

gew¨ ahlt. F¨ ur Km ergibt sich somit ∂u ¯ Km = l . ∂z 2

(21.4)

Dies ist einer der gebr¨auchlichsten Ans¨atze f¨ ur den turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten, wobei l der noch zu beschreibende Mischungsweg ist. Man kann (21.4) auch noch auf andere Weise aus dem Prandtlschen Mischungswegkonzept herleiten. Gleichung (21.3) wird unter Verwendung von (21.4) jetzt

u2∗

=l

2

∂u ¯ ∂z

2

oder f¨ ur den Gradienten des Windes ∂u ¯ u∗ = . (21.5) ∂z l Der Mischungsweg l muss jetzt noch speziﬁziert werden. Prandtl hat dies f¨ ur eine Grenzschicht u ¨ber einer festen Unterlage getan und gefordert, dass l(z) = κ z ,

(21.6)

´rma ´n, amewobei κ die von K´ arm´ansche Konstante ist (benannt nach T. von Ka rikanischer Hydrodynamiker ungarischer Herkunft, 1881–1963). Die gemessenen Werte von κ schwanken zwischen 0,36 und 0,45; der am h¨ auﬁgsten verwendete Wert f¨ ur κ betr¨ agt 0,41. Dem Ansatz (21.6) liegt die Vorstellung zugrunde, dass der Mischungsweg ein Maß f¨ ur die Gr¨ oße der Turbulenzk¨orper (Wirbel) ist, welche die Durchmischung in der Grenzschicht bewirken. In der N¨ahe einer festen Oberﬂ¨ ache kann der Wirbelradius aber kaum gr¨oßer sein als der Abstand des Wirbelmittelpunktes von der Begrenzungsﬂ¨ ache. Je weiter ein Wirbel von der festen Wand entfernt ist, desto gr¨oßer kann er sein. Im einfachsten Fall nimmt der Wirbelradius und damit der Mischungsweg linear mit der H¨ohe bzw. mit dem Abstand von der festen Wand zu. Aus (21.5) erh¨alt man mit (21.6) eine gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung f¨ ur die mittlere Windgeschwindigkeit u ¯:

302

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

∂u ¯ u∗ = , ∂z κz

(21.7)

Mit der Randbedingung z = z0 ,

u ¯=0

ergibt eine Integration dieser Gleichung

z u∗ ln , (21.8) u ¯= κ z0 wobei z0 die sogenannte Rauhigkeitsl¨ ange ist. Gleichung (21.8) stellt das logarithmische Windproﬁl in der Prandtl-Schicht dar. Man erh¨ alt es aus der Deﬁnition der Prandtl-Schicht (w u = konstant) unter Verwendung des Gradientansatzes f¨ ur den Impulsﬂuss und des Prandtlschen Mischungswegansatzes. Die Rauhigkeitsl¨ange z0 ist diejenige H¨ohe u ¨ber dem Erdboden, in der die mittlere Geschwindigkeit u ¯ den Wert Null erreicht. Dass die Windgeschwindigkeit nicht bei z = 0 verschwindet, liegt daran, dass die Erdoberﬂ¨ ache nicht glatt ist, sondern mit Unebenheiten und Hindernissen bedeckt ist. Diese sogenannten Rauhigkeiten des Erdbodens wirken dergestalt auf das mittlere Windproﬁl, dass u ¯ = 0 bereits in einer H¨ohe z0 erf¨ ullt ist. Diese bereits erw¨ ahnte Rauhigkeitsl¨ ange z0 ist nicht identisch mit der H¨ohe der Hindernisse, sondern liegt tiefer, wie einige nachfolgende Zahlenangaben verdeutlichen. Art der Bodenbedeckung Rauhigkeitsl¨ ange z0 Glatte Eisﬂ¨ache Sand Schnee Gras, bis 10 cm hoch Gras, bis 50 cm hoch

0,001 cm 0,01–0,1 cm 0,1–0,6 cm 0,6–4 cm 4–10 cm

Die Rauhigkeitl¨ange ist eine Eigenschaft der Bodenbedeckung, ¨ ahnlich der Oberﬂ¨ achenrauhigkeit von festen K¨orpern. Man erh¨ alt den Wert von z0 aus Messungen des mittleren Windproﬁls, wenn man die G¨ ultigkeit des logarithmischen Proﬁls (21.8) voraussetzt. Dazu wird, wie in Bild 21.3 dargestellt, die Windgeschwindigkeit in verschiedenen H¨ ohen gemessen und in ein z-¯ u-Diagramm eingetragen. Wenn das logarithmische Proﬁl vorhanden ist, m¨ ussen die gemessenen Werte von u ¯ in der halblogarithmischen Darstellung auf einer Geraden liegen. Diese Gerade triﬀt die ln z-Achse f¨ ur u ¯ = 0 gerade in der H¨ ohe z0 . Aus diesem Diagramm l¨asst sich auch der Wert der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ gewinnen, wenn man, wie angedeutet, den Wert von u ¯ bei z = 2,7 z0 ermittelt (e ≈ 2,71). Da f¨ ur z = 2,7 z0 ln(z/z0 ) = 1 ist, erh¨alt man aus (21.8): u ¯(2,7z0 ) = u∗ /κ und somit den Wert f¨ ur die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ .

21.4 Das Windproﬁl bei diabatischer Schichtung

303

z

z/z0 ... . . . . . .•..... 10 m ...... u ¯(z) •............• • 1000 ... ...... . . . . . 1m ....• ...... 100 •........•... . . . . . . 1 dm ...... •........... • 10 . . .......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . e 1 cm ............... ....... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 1 . .. ... .. .

1 mm 0

u∗ /κ

u ¯ −→

Bild 21.3 Die Windgeschwindigkeit in Abh¨angigkeit von der H¨ohe. Die H¨ohenskala ist hier logarithmisch aufgetragen. e = 2,71828 bezeichnet die Eulersche Zahl.

Mit Hilfe des logarithmischen Windproﬁls (21.8) und des Mischungswegansatzes (21.6) l¨ asst sich aus (21.4) der Verlauf des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten in der Prandtl-Schicht erhalten: Km (z) = κ u∗ z .

(21.9)

In der Prandtl-Schicht nimmt der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient (bei adiabati¯ scher Schichtung ∂ θ/∂z = 0) linear mit der H¨ ohe zu. Die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ spielt hierbei die Rolle der charakteristischen Geschwindigkeit uc in der Mischungswegbeziehung Km = l · uc .

21.4 21.4.1

Das Windproﬁl bei diabatischer Schichtung Erl¨ auterungen zum allgemeinen Sprachgebrauch

Bei der Herleitung des Windproﬁls in der Prandtl-Schicht im vorangegangenen Abschnitt wurde der Einﬂuss von Temperaturgradienten auf den Turbulenzzustand unber¨ ucksichtigt gelassen; deshalb gelten die dort erhaltenen Ergebnisse ¯ nur f¨ ur eine adiabatisch geschichtete Prandtl-Schicht, d. h. f¨ ur ∂ θ/∂z = 0 bzw. w θ = 0. Andererseits haben wir in Abschnitt 20.4 gesehen, welchen Einﬂuss ein Temperaturgradient auf die Zu- oder Abnahme der Turbulenz in einer Grenzschichtstr¨ omung hat; als Maßzahl hierf¨ ur erh¨alt man die Richardson-Zahl. Im folgenden wollen wir deshalb das Windproﬁl in der Prandtl-Schicht bei nichtadiabatischer Temperaturschichtung untersuchen. Zun¨ achst jedoch einige Erl¨auterungen zum Sprachgebrauch f¨ ur turbulente Fl¨ usse. Bisher wurden die Ausdr¨ ucke ρ¯w u und w u sowohl als Impulsﬂuss wie auch als turbulente Schubspannung bezeichnet. Ebenso wurde der turbulente W¨ armestrom durch w θ und cp ρ¯w θ dargestellt. Streng genommen m¨ usste zu jedem Ausdruck noch der Zusatz pro Masseneinheit oder pro Volumeneinheit hinzugef¨ ugt werden, oder man m¨ usste z. B. w u als Geschwindigkeitsﬂuss und w θ als

304

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Temperaturﬂuss bezeichnen. Zur Klarstellung sei daher die folgende Zusammenfassung gegeben:

Gr¨ oße

Dimension

Bezeichnung

ρ¯w u

kg m−1 s−2

Impulsﬂuss pro Volumeneinheit; Schubspannung = Kraft/Fl¨ ache Impulsﬂuss pro Masseneinheit; Geschwindigkeitsﬂuss W¨armeﬂuss pro Volumeneinheit; W¨armestromdichte W¨armeﬂuss pro Masseneinheit, normiert mit der speziﬁschen W¨arme; Temperaturﬂuss

w u

m2 s−2

cp ρ¯w θ

W m−2

w θ

m s−1 K

Dem allgemeinen Sprachgebrauch entsprechend sollen die Begriﬀe Impulsﬂuss und Schubspannung sowie Temperaturﬂuss bzw. W¨armestrom f¨ ur die oben deﬁnierten Gr¨ oßen ohne weitere Zus¨atze gleichzeitig verwendet werden. 21.4.2

Die Monin-Obukhov-Stabilit¨ atsl¨ ange

Es soll nun der Einﬂuss der thermischen Schichtung auf das Windproﬁl untersucht werden. Diese Einwirkung muss u ¨ber den Turbulenzzustand und damit u ¨ber den Mischungsweg geschehen. Zun¨achst soll der Zustand der Turbulenz der PrandtlSchicht durch ein neues Stabilit¨atsmaß ¨ahnlich der Richardson-Flusszahl charakterisiert werden. Durch die russischen Hydrodynamiker A. S. Monin (1921–) und A. M. Obukhov (1918–1989) wurde als charakteristische H¨ ohe f¨ ur eine thermische Schichtung diejenige H¨ohe eingef¨ uhrt, in der die Produktion von Turbulenzenergie durch Scherung des Grundstroms w u ∂ u ¯/∂z und durch thermische Prozesse w θ g/θ˜ dem Betrage nach gleich sind. In diesem Fall ist die RichardsonFlusszahl (20.9) betragsm¨aßig gerade gleich eins. Rif war deﬁniert als Rif =

g wθ θ˜ w u ∂∂zu¯

.

Setzt man darin die im vorangegangenen Abschnitt erhaltenen Gesetzm¨ aßigkeiten der Prandtl-Schicht ein, n¨amlich −w u = u2∗ und ∂ u ¯/∂z = u∗ /κz, und fordert die H¨ohenkonstanz des turbulenten W¨armestroms, w θ (z) = w θ 0 (die im folgenden Kapitel noch gezeigt werden wird), so erh¨alt man f¨ ur Rif in der Prandtl-Schicht

Rif =

g wθ0 θ˜ −u2∗ uκz∗

=−

κg w θ 0 z z=+ . L θ˜ u3∗

(21.10)

21.4 Das Windproﬁl bei diabatischer Schichtung

305

Die Gr¨ oße L ist eine f¨ ur die Prandtl-Schicht charakteristische L¨ ange und wie folgt deﬁniert: L=−

θ˜ u3∗ . κg w θ 0

(21.11)

Man bezeichnet L als die Obukhov-Stabilit¨ atsl¨ ange oder meist als Monin-Obukhov-L¨ ange. Aus (21.10) ersieht man, dass f¨ ur z = L die RichardsonFlusszahl gerade den Betrag eins hat. (Streng genommen h¨ atte man in (21.10) bereits das Windproﬁl bei diabatischer Schichtung einsetzen m¨ ussen, da ja w θ = 0. Wie unten beschrieben ist, unterscheidet sich dann die Windscherung ∂ u ¯/∂z durch eine Korrektur zum Mischungsweg κz vom adiabatischen Fall. Der genaue Zusammenhang zwischen Rif und L ergibt sich dann gem¨ aß (21.19). An dieser Stelle soll die Aussage gen¨ ugen, dass f¨ ur z ≈ L gilt: Rif = 1.) Der Zusammenhang zwischen L und der thermischen Schichtung lautet wie folgt: stabile Schichtung:

w θ 0 < 0 ⇒ L > 0

neutrale Schichtung:

w θ 0 = 0 ⇒ L → ∞

labile Schichtung:

w θ 0 > 0 ⇒ L < 0

Die Monin-Obukhov-L¨ange ist neben der Richardson-Flusszahl die am h¨ auﬁgsten verwendete Maßzahl f¨ ur die thermische Schichtung in der Prandtl-Schicht und gleichzeitig ein Maßstab f¨ ur den Turbulenzzustand in dieser Schicht. 21.4.3

Das Windproﬁl und der Diﬀusionskoeﬃzient

Um das Verhalten des Windproﬁls in der Prandtl-Schicht bei nichtadiabatischer Schichtung (1/L = 0) zu untersuchen, gehen wir von der dort allgemein g¨ ultigen Beziehung (21.5) aus, ∂u ¯ u∗ = . ∂z l Zusammen mit dem Prandtlschen Mischungsweg (21.6) l = la = κz , wobei la den Mischungsweg im adiabatischen Fall bezeichnet, hatte man daraus das logarithmische Windproﬁl (21.8) erhalten.

306

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

F¨ ur den nichtadiabatischen Fall muss der Ansatz f¨ ur den Mischungsweg die thermische Schichtung ber¨ ucksichtigen. Dies ist von zahlreichen Autoren auf verschiedenste Weise durchgef¨ uhrt worden. Allen Ans¨ atzen liegt die physikalisch plausible Vorstellung zugrunde, dass die Turbulenzk¨ orper, also die Wirbel, in der Grenzschicht bei labiler Schichtung aufgrund der Auftriebskr¨ afte eine gr¨ oßere Abmessung haben als im neutralen Fall. Bei stabiler Schichtung ist es gerade umgekehrt: Die Wirbel werden in ihrer vertikalen Ausdehnung behindert und sind folglich kleiner als im adiabatischen Fall. Dementsprechend sollte der Mischungsweg l bei labiler Schichtung gr¨oßer bzw. bei stabiler Schichtung kleiner sein als derjenige, der f¨ ur eine neutral geschichtete Prandtl-Schicht erhalten wurde (21.6). Als Beispiel f¨ ur den nichtadiabatischen Fall soll hier der von Monin und Obukhov angegebene Ansatz f¨ ur den Mischungsweg verwendet werden. Dieser lautet: l(z) = la (z)

1 . 1 + α z/L

(21.12)

Die Werte der Konstanten α schwanken f¨ ur verschiedene Messungen; ein gebr¨auchlicher Wert ist α ≈ 5. Dieser Mischungswegansatz gilt allerdings nur f¨ ur nicht zu große Werte von z/L, also f¨ ur eine nicht zu starke Abweichung von der adiabatischen Schichtung. Setzt man jetzt (21.12) in die Beziehung (21.5) f¨ ur den Windgradienten ein, so erh¨alt man ∂u ¯ u∗ = (1 + α z/L) ∂z la oder mit (21.6) f¨ ur la : u∗ ∂u ¯ = (1 + α z/L) . (21.13) ∂z κz Die Integration dieser Gleichung ergibt mit der Randbedingung u¯(z0 ) = 0 das sogenannte Log+linear-Proﬁl f¨ ur die Windgeschwindigkeit in einer thermisch geschichteten Prandtl-Schicht,

z z − z0 u∗ ln +α . (21.14) κ z0 L Zum logarithmischen Verlauf mit der H¨ohe tritt noch ein linearer Anteil hinzu, der bei labiler Schichtung (L < 0) die Windgeschwindigkeit gegen¨ uber dem neutralen Fall verringert und bei stabiler Schichtung (L > 0) erh¨ oht. Schematisch l¨ asst sich der Einﬂuss der thermischen Schichtung darstellen, wie in Bild 21.4 gezeigt, wenn man f¨ ur alle Schichtungen den gleichen Betrag der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ annimmt. F¨ ur den turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten in einer thermisch geschichteten Prandtl-Schicht ergibt sich statt (21.9) u ¯(z) =

Km = l u∗ =

la u∗ 1 + α z/L

21.4 Das Windproﬁl bei diabatischer Schichtung . z ..... Schichtung ... .. labil neutral stabil . ... .. ... . ... .. . .. . . .. .. ... .. ... .. .. . . . .. . .. . ... ... .... ... .... .. ... . . . . . . . . .. ...... ... ..... .. ... ............ ............... . .. . . . . . . . .. .............................................. ... .......................................................................................................................................................................... . u ¯(z)

307

Bild 21.4 Log+linear-Proﬁl der Windgeschwindigkeit f¨ ur labile, neutrale und stabile thermische Schichtungen.

und daraus mit (21.6) Km (z) =

κ u∗ z . 1 + α z/L

(21.15)

Im Z¨ ahler von (21.15) steht nichts anderes als der Diﬀusionskoeﬃzient im neutralen Fall. Man erkennt, dass bei labil geschichteter Prandtl-Schicht Km gr¨ oßer wird als im Neutralen und bei stabiler Schichtung kleiner, wie es in Bild 21.5 angedeutet ist. Wenn man statt des Mischungswegansatzes von Monin und Obukhov (21.12) einen der zahlreichen anderen aus der Literatur verwendet, erh¨ alt man nat¨ urlich f¨ ur das Windproﬁl und den Diﬀusionskoeﬃzienten eine andere Darstellung als die in (21.14) und (21.15) angegebenen; die qualitative Aussage der beiden graphischen Darstellungen bleibt jedoch davon unber¨ uhrt. In der Praxis ist das Windproﬁl nach (21.14) durch Messungen f¨ ur nicht zu extreme thermische Schichtungen best¨ atigt worden. 21.4.4

Die Proﬁlfunktionen in der Prandtl-Schicht

Das Windproﬁl in der Prandtl-Schicht wurde bisher dadurch gewonnen, dass man f¨ ur den Mischungsweg Ans¨atze machte und damit u ¨ber den Gradientansatz eine . z ..... Schichtung ... ... stabil .. .. .. neutral ... .. ...... . . . . . ... ...... .. ... ...... . . . . . . .. . ... .. ...... ..................... labil ... .......... .. . . ............... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .... ........ .. .. ........................ ....... .. ............. ... ........................................................................................................................................................ 0 Km

Bild 21.5 H¨ohenproﬁl des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten bei verschiedenen thermischen Schichtungen.

308

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Beziehung zwischen dem konstanten Impulsﬂuss und dem Vertikalgradienten des mittleren Windes erstellte. ¨ Bereits Monin und Obukhov haben mit Hilfe der sogenannten Ahnlichkeitstheorie Aussagen u ¨ber das Windproﬁl gewonnen. Der Gedankengang ist der folgende: In der Prandtl-Schicht kann das Windproﬁl nur von der konstanten Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ , der H¨ohe z und dem Stabilit¨ atsparameter L abh¨ angen, da sonst keine weiteren Gr¨oßen in den Gleichungen f¨ ur diese Schicht auftreten, ∂u ¯ = F (u∗ ,z,L) . ∂z Betrachtet man nun den dimensionslosen Windgradienten, so h¨ angt dieser von einer ebenfalls dimensionslosen Funktion ab: ¯ z ∂u = G(z/L) . u∗ ∂z ¨ Die Ahnlichkeitstheorie besagt nun, dass die dimensionslose Windscherung eine eindeutige Funktion der dimensionslosen H¨ohe z/L ist, oder anders ausgedr¨ uckt: alt Wenn man den Gradienten des mittleren Windes mit u∗ und z normiert, so erh¨ man f¨ ur alle m¨ oglichen Proﬁle von u ¯ die gleiche dimensionslose Funktion G(z/L), unabh¨ angig davon, wie groß u∗ oder L f¨ ur ein spezielles Windproﬁl ist. Alle so normierten Proﬁle der Windscherung nennt man ¨ ahnlich. Die Funktion G muss man aus Messungen bestimmen, indem man u¯(z), u∗ und L misst und dann die entsprechenden Normierungsvorschriften anwendet. Im neutralen Fall ist L → ∞, so dass die Funktion G nicht mehr von der H¨ohe abh¨ angt, sondern eine Konstante ist. Diese Konstante ist gerade der reziproke Wert der bereits in (21.9) eingef¨ uhrten K´ arm´ an-Konstante κ. Sie wird ¨ in den meisten Arbeiten u in der Prandtl-Schicht mit zur ¨ber Ahnlichkeitstheorie Normierung verwendet, so dass die allgemeine Proﬁlbeziehung f¨ ur die Windgeschwindigkeit wie folgt geschrieben wird: κz ∂ u ¯ = Φm (z/L) . (21.16) u∗ ∂z F¨ ur die Proﬁlfunktion Φm (m f¨ ur englisch: momentum, Impuls) erh¨ alt man aus Messungen folgende empirisch bestimmte Beziehungen (nach dem australischen Meteorologen A. Dyer und seinem amerikanischen Kollegen J. Businger h¨ auﬁg als Dyer-Businger-Funktionen bezeichnet): Φm = 1 + 5

z L

Φm = 1

Φm

z = 1 − 15 L

f¨ ur

z > 0 stabile Schichtung, L

f¨ ur

z = 0 neutrale Schichtung, L

f¨ ur

z < 0 labile Schichtung. L

− 1 4

(21.17)

21.5 Das Potenzproﬁl f¨ ur die Windgeschwindigkeit

309

Aus (21.16) erh¨ alt man f¨ ur den dimensionsbehafteten Gradienten: u∗ ∂u ¯ = Φm . (21.18) ∂z κz Nach Einsetzen der Werte f¨ ur Φm aus (21.17) kann man das Windproﬁl u¯(z) aus der Integration von (21.18) erhalten. F¨ ur den neutralen Fall ist Φm = 1, und man erh¨ alt das bereits in (21.8) gefundene logarithmische Windproﬁl. Im stabilen Fall ist (21.18) identisch mit der Monin-Obukhov-Formulierung (21.13) und man erh¨ alt das Log+linear-Proﬁl (21.14). F¨ ur die labile Schichtung lassen sich ebenfalls analytische L¨ osungen gewinnen, deren Struktur sich allerdings komplexer als das Log+linear-Proﬁl darstellt. Hierzu sei auf die weiterf¨ uhrende Grenzschicht-Literatur verwiesen. Unter Verwendung der Φ-Funktionen l¨asst sich die thermische Schichtung in der Beziehung zwischen Richardson-Flusszahl Rif und Monin-Obukhov-L¨ ange L (21.10) ber¨ ucksichtigen, wenn man in der Deﬁnition f¨ ur Rif (20.9) die Beziehung (21.18) f¨ ur die Windscherung verwendet: Rif =

z . L Φm

(21.19)

Diese Beziehung gilt nur in der Prandtl-Schicht bei h¨ ohenkonstanten Impuls- und W¨armeﬂ¨ ussen.

21.5

Das Potenzproﬁl fu ¨ r die Windgeschwindigkeit

Die Verwendung der in den vorhergehenden Abschnitten erhaltenen Beziehungen f¨ ur das Windproﬁl in der Prandtl-Schicht ist in der Praxis nicht immer einfach, manchmal sogar unm¨oglich. Selbst bei adiabatischer Schichtung ben¨ otigt man n¨amlich zur Bestimmung des Windproﬁls Messwerte der Windgeschwindigkeit in mindestens zwei verschiedenen H¨ohen, um damit, wie in 21.3 dargestellt, u∗ und z0 zu erhalten und daraus u ur ¨ber das logarithmische Proﬁl (21.8) weitere Werte f¨ u ¯(z) zu berechnen. Bei nichtadiabatischer Schichtung kommt die meist schwierige Bestimmung der Obukhov-L¨ange L noch hinzu. Im Routinedienst hat man aber nur die Windgeschwindigkeit in einer H¨ohe vorliegen (meist 10 Meter), so dass man auf solche Windmessungen das logarithmische Proﬁl nicht anwenden kann. In der Praxis hat man daher das sogenannte Potenzproﬁl f¨ ur die mittlere Windgeschwindigkeit eingef¨ uhrt, welches die Bestimmung des Windproﬁls aus einer Windmessung erm¨oglicht. Es lautet

u ¯(z) = u ¯(za )

z za

m

.

(21.20)

310

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Hierbei ist za (a f¨ ur Anemometerh¨ohe) die Messh¨ ohe f¨ ur die Windgeschwindigkeit u ¯(za ). Der Exponent m muss aus Messungen bestimmt werden. Er h¨ angt von der thermischen Schichtung in der Prandtl-Schicht ab, wof¨ ur einige Zahlenangaben gegeben werden sollen: m = 0,3

stark stabile Schichtung,

m = 0,14

neutrale Schichtung,

m = 0,05

stark labile Schichtung.

Das Potenzproﬁl ist eine brauchbare N¨aherung f¨ ur das Windproﬁl in der bodennahen Luftschicht, wenn nicht zu extreme Verh¨ altnisse hinsichtlich der Bodenrauhigkeit und der thermischen Schichtung herrschen. F¨ ur praktische Zwecke wird es auch bis in H¨ohen von einigen hundert Metern verwendet, f¨ uhrt dann aber zu gr¨ oßeren Ungenauigkeiten und kann auch nicht die in h¨ oheren Schichten erfolgende Drehung des Windes ber¨ ucksichtigen. Aus dem logarithmischen Windproﬁl (21.8) bzw. (21.14) kann man auch die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ erhalten, ben¨ otigt dazu aber wiederum mindestens zwei Windgeschwindigkeiten in verschiedenen H¨ ohen. Um eine Bestimmung von u∗ auch aus nur einem Wert f¨ ur die Windgeschwindigkeit zu erm¨ oglichen, hat man eine empirische Beziehung zwischen der turbulenten Schubspannung am Boden, −w u 0 = u2∗ , und der Windgeschwindigkeit in zehn Metern H¨ohe eingef¨ uhrt, −w u 0 = cD u ¯2 (10 m) ,

(21.21)

oder u∗ =

√

cD u ¯(10 m) .

(21.22)

Die dimensionslose Konstante cD nennt man den Widerstandsbeiwert (engl. drag coeﬃcient). Ihr Wert h¨angt von der thermischen Schichtung ab und ist im labilen Fall gr¨ oßer als im stabilen. Ein mittlerer Wert ist etwa cD ≈ 2·10−3 . Wenn man f¨ ur alle Schichtungsverh¨altnisse den gleichen Wert der Windgeschwindigkeit in zehn Metern H¨ ohe annimmt, so stellt die Abh¨ angigkeit von cD von der thermischen Schichtung gleichzeitig den Verlauf von u2∗ bzw. von w u 0 dar, was in Bild 21.6 schematisch dargestellt ist. Die Schubspannungsgeschwindigkeit bzw. der turbulente Impulsﬂuss am Boden ist um so gr¨ oßer, je labiler die Schichtung in der Prandtl-Schicht ist, und um so geringer, je stabiler sie ist. Physikalisch l¨asst sich das so erkl¨ aren: Bei labiler Schichtung wird die durch die Scherung des Grundstromes entstehende Turbulenz noch verst¨arkt, w¨ahrend sie bei stabiler Schichtung abgeschw¨ acht wird (siehe auch die Darstellung des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten f¨ ur verschiedene Schichtungen in Bild 21.5).

21.5 Das Potenzproﬁl f¨ ur die Windgeschwindigkeit .. u2∗ ...... Schichtung cD ... labil neutral stabil ... ... .. ... ...... .. ... ...... ... ... ....... ... ....... .. ........ ...... .. ............ .. ... .......... ... ............... ... .................... .. ... ..................... ... ... .. ... .. ... .......................................................................................................................................................... Schichtung

311

Bild 21.6 Der Widerstandsbeiwert cD und die turbulente Schubspannung u2∗ in Abh¨angigkeit von der thermischen Schichtung. Der Wert der Windgeschwindigkeit in 10 Metern H¨ohe wird als konstant vorausgesetzt.

Warum interessiert man sich aber so besonders f¨ ur die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ ? Wie aus (21.2) ersichtlich, h¨ angt diese mit der turbulenten Schubspannung wie folgt zusammen: τ = ρ¯u2∗ . Nun ist aber physikalisch gesehen die Schubspannung eine Kraft pro Fl¨ acheneinheit. Im Fall der Prandtl-Schicht ist es gerade die Tangentialkraft, welche die Atmosph¨ are u ubt, bzw. die Kraft, welche ¨ber den Wind auf die Erdoberﬂ¨ache aus¨ die Erdoberﬂ¨ ache als untere Berandung auf die Atmosph¨ are aus¨ ubt. Die Schubspannung in der Prandtl-Schicht wirkt sozusagen als Bremse f¨ ur die Atmosph¨ are oder als Antrieb f¨ ur den Untergrund. Letzteres ist zum Beispiel f¨ ur die Meeresoberﬂ¨ ache der Fall, welche ja eine bewegliche Grenzﬂ¨ ache zur Atmosph¨ are darstellt. Der Schubspannungseintrag in die Meeresoberﬂ¨ ache f¨ uhrt seinerseits zur Erzeugung von Meeresstr¨omungen, die durch den Wind angetrieben werden. Ohne hier n¨ aher auf die Problematik der oberﬂ¨ achennahen Ozeanbewegung einzugehen, kann allgemein gesagt werden, dass Richtung und Betrag der aufgepr¨ agten Schubspannung maßgeblich die Geschwindigkeitsverteilung im Ozean bestimmen. Da in der Prandtl-Schicht die Richtung der Schubspannung h¨ ohenkonstant und mit der Windrichtung identisch ist, ben¨ otigt man f¨ ur den Betrag der Schubspannung gem¨aß (21.2) außer der Luftdichte noch die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ . Diese kann aus Windmessungen entweder u ¨ber das Potenzproﬁl (21.20) und die Beziehung f¨ ur den Widerstandsbeiwert (21.22) oder u ¨ber das logarithmische Windproﬁl (21.8) bei neutraler Schichtung bzw. das Log+linear-Proﬁl (21.14) bei diabatischer Schichtung berechnet werden. Bei letzterem ist allerdings wegen der Bestimmung der Monin-Obukhov-L¨ange L die simultane Messung des Temperaturproﬁls erforderlich.

312

21.6 21.6.1

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Das Temperaturproﬁl in der Prandtl-Schicht Temperaturproﬁl und Proﬁlfunktion

Wir gehen vom gemittelten Ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der Form f¨ ur die potentielle Temperatur θ¯ aus, ∂ θ¯ ∂ θ¯ ∂ ¯˙ +u ¯k =− u θ +Q . ∂t ∂xk ∂xk k

(21.23)

Es sollen jetzt die gleichen Voraussetzungen gelten wie bei der Herleitung der ¯ Deﬁnition der Prandtl-Schicht in 21.2, n¨amlich station¨ are Verh¨ altnisse, ∂ θ/∂t = 0, horizontale Homogenit¨at des Temperaturfeldes und verschwindende mittlere ¯ Vertikalgeschwindigkeit (dies ergibt zusammen u¯k ∂ θ/∂x k = 0) sowie horizontale Homogenit¨ at der W¨armeﬂ¨ usse, ∂u1 θ /∂x1 = ∂u2 θ /∂x2 = 0. Außerdem soll keine ¯˙ = 0. Mit diesen Bedingungen diabatische W¨ armezu- oder -abfuhr stattﬁnden, Q vereinfacht sich (21.23) zu ∂w θ =0 ∂z

(21.24)

w θ = w θ 0 = konstant .

(21.25)

oder

In der Prandtl-Schicht ist der turbulente W¨ armeﬂuss ebenso wie der turbulente Impulsﬂuss h¨ ohenkonstant. Diese Aussage allein reicht nicht aus, um das Proﬁl der potentiellen Temperatur zu bestimmen, vielmehr muss man dazu noch eine weitere Annahme machen. Analog zum Windproﬁl soll auch f¨ ur die Temperatur der Gradientsatz verwendet werden: w θ = w θ 0 = −Kh

∂ θ¯ . ∂z

(21.26)

Hierbei ist w θ 0 der W¨armeﬂuss am Boden und Kh der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient f¨ ur W¨ arme (h f¨ ur engl. heat). F¨ ur Kh wird nun angenommen, dass er proportional zu Km , dem Diﬀusionskoeﬃzienten f¨ ur Impuls ist, Kh = αt Km .

(21.27)

21.6 Das Temperaturproﬁl in der Prandtl-Schicht

313

Der Proportionalit¨atsfaktor αt ist gerade der Reziprokwert der in (20.12) deﬁnierten turbulenten Prandtl-Zahl Prt = Km /Kh . Aus Messungen ergibt sich hierf¨ ur ein mittlerer Wert von αt = 1,35 bei nicht zu großer Abweichung von adiabatischen Schichtungsverh¨altnissen. Verwendet man jetzt f¨ ur Km den in der Prandtl-Schicht geltenden Ansatz (21.9), so ergibt sich mit (21.26) und (21.27) f¨ ur den Gradienten der potentiellen Temperatur 1 w θ 0 1 ϑ∗ ∂ θ¯ =− =+ . ∂z αt κ u∗ z αt κz

(21.28)

Die Gr¨ oße ϑ∗ , deﬁniert als ϑ∗ = −

w θ 0 , u∗

(21.29)

bezeichnet man als charakteristische Temperatur f¨ ur die Prandtl-Schicht. Sie spielt f¨ ur das Temperaturproﬁl die gleiche Rolle wie die Schubspannungsgeur das Windproﬁl. Der Zusammenhang zwischen thermischer schwindigkeit u∗ f¨ Schichtung und ϑ∗ ist wie folgt: ϑ∗ > 0 :

w θ 0 < 0

stabile Schichtung

ϑ∗ = 0 :

w θ 0 = 0

neutrale Schichtung

ϑ∗ < 0 :

w θ 0 > 0

labile Schichtung

Gleichung (21.28) hat die gleiche Struktur wie die Beziehung zwischen Schubspannungsgeschwindigkeit und dem Gradienten der Windgeschwindigkeit. Mit der Randbedingung θ¯ = θ¯0

f¨ ur z = z0 .

ergibt die Integration von (21.28) deshalb analog zum Windproﬁl das logarithmische Temperaturproﬁl f¨ ur die Prandtl-Schicht, ¯ = θ¯0 + 1 ϑ∗ ln z . θ(z) αt κ z0

(21.30)

Ob die potentielle Temperatur mit der H¨ohe zu- oder abnimmt, h¨ angt vom Vorzeichen der charakteristischen Temperatur ϑ∗ , also von der Richtung des Bodenw¨ armestromes ab. Schematisch l¨asst sich der Temperaturverlauf in der Prandtl-Schicht etwa darstellen, wie in Bild 21.7 gezeigt. Das logarithmische Temperaturproﬁl (21.30) wurde dadurch erhalten, dass die Beziehung (21.9) f¨ ur den turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten verwendet wurde, die aber streng genommen nur bei adiabatischer Schichtung, also w θ 0 = 0 bzw.

314

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

. z ..... Schichtung .. ... neutral labil stabil ... w θ > 0 w θ. 0 w θ 0 < 0 0 ... .. ... ... .. .. ... ... .. .. ... . ... .. . ... .. ... ... ... ... .. ... .. . ... ... ... . ... .. ... ... ... . .. .... . . .. ..... ...... ..... . z0 ............................................................................................................................................................... θ¯0 θ¯

Bild 21.7 Schematische Darstellung des Temperaturverlaufes in der Prandtl-Schicht

ϑ∗ = 0, g¨ ultig ist. Insofern tut man bei der Herleitung von (21.30) so, als ob die thermische Schichtung keinen Einﬂuss auf die Turbulenz h¨ atte und betrachtet in diesem Fall die Temperatur als passive Transportgr¨ oße. Tats¨ achlich haben wir aber in Abschnitt 21.4 gesehen, dass der turbulente Zustand in der PrandtlSchicht von der thermischen Schichtung abh¨angt und somit die Beziehung (21.30) nur bei nahezu neutraler Schichtung brauchbar ist. Will man den Schichtungseinﬂuss auf das Temperaturproﬁl selbst ber¨ ucksichtigen, so kann man statt (21.9) die Beziehung (21.15) f¨ ur den Diﬀusionskoeﬃzienten in einer nichtadiabatischen Prandtl-Schicht verwenden, was nach Einsetzen in (21.26) und (21.27) zum Log+linear-Proﬁl f¨ ur die potentielle Temperatur f¨ uhrt. Wie bereits beim Windproﬁl (21.16) ist auch f¨ ur das Temperaturproﬁl in der Prandtl-Schicht eine dimensionslose Proﬁlfunktion eingef¨ uhrt worden. Diese ist wie folgt deﬁniert:

κz ∂ θ¯ z = Φh . (21.31) ϑ∗ ∂z L F¨ ur die Proﬁlfunktion Φh (h f¨ ur englisch: heat) erh¨ alt man analog zur Proﬁlfunktion f¨ ur den Impuls Φm (21.17) aus Messungen:

Φh = 0,74 Φh = 0,74 Φh = 0,74

1+6

z L

z 1−9 L

> 0 stabile Schichtung ,

f¨ ur

z L z L

f¨ ur

z L

< 0 labile Schichtung .

f¨ ur − 1 2

=0

neutrale Schichtung ,

(21.32)

Die Integration von (21.31) mit (21.32) f¨ uhrt im Fall der stabilen Schichtung zum Log+linear-Proﬁl: #

¯ = θ¯0 + 0,74 ϑ∗ ln z θ(z) κ z0

+6

z − z0 L

$

.

(21.33)

¯ Im Falle labiler Schichtung ergibt sich ein komplexerer Ausdruck f¨ ur θ(z). Angaben hierzu ﬁnden sich in den zitierten B¨ uchern u ¨ber die Grenzschicht.

21.6 Das Temperaturproﬁl in der Prandtl-Schicht 21.6.2

315

Die Proﬁlmethode f¨ ur turbulente Fl¨ usse

In den Abschnitten 21.4.4 und 21.6.1 ist gezeigt worden, dass sich das Wind- und das Temperaturproﬁl in der Prandtl-Schicht aus der Integration der Proﬁlfunkur eine stabile Temperaturtionen Φm (21.17) und Φh (21.33) erhalten lassen. F¨ schichtung (z/L > 0) sei dies noch einmal dargestellt:

u ¯(z) =

z u∗ ln κ z0

+5

z − z0 L

,

(21.34)

¯ = θ(z ¯ 0 ) + 0,74 ϑ∗ ln z + 6 z − z0 . (21.35) θ(z) κ z0 L ¯ Zur Bestimmung von u ¯(z) und θ(z) ben¨otigt man außer der Rauhigkeitsl¨ ange z0 auch noch die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ und den turbulenten (kinematischen) W¨ armestrom w θ . Aus u∗ und w θ lassen sich nach (21.29) die charakteristische Temperatur ϑ∗ und nach (21.11) die Monin-Obukhov-L¨ ange L erhalten. Somit m¨ usste man zun¨achst die turbulenten Impuls- und W¨ armeﬂ¨ usse messen, um daraus mittels der integrierten Proﬁlfunktionen das mittlere Wind- und Temperaturproﬁl zu bestimmen. Dies ist in der Praxis ein v¨ ollig unsinniges Vorgehen, da die Messung der turbulenten Fl¨ usse w u und w θ nicht nur Messger¨ ate mit kurzen Tr¨ agheitszeiten, sondern auch eine nicht unerhebliche Datenbearbeitung erfordert. Die Proﬁle des mittleren Windes u ¯ und der mittleren Temperatur T¯ lassen sich dagegen bequem mit Standardmessger¨aten gewinnen. Tats¨ achlich werden deshalb die Gesetzm¨ aßigkeiten der Prandtl-Schicht nicht zur Bestimmung der mittleren Wind- und Temperaturproﬁle, sondern zur Bestimmung des turbulenten Impulsund W¨ armestromes verwendet. Dies geschieht dadurch, dass mittlere Windgeschwindigkeiten und Temperaturen in verschiedenen H¨ ohen der Prandtl-Schicht gemessen werden. Dadurch ist die linke Seite der Proﬁlgleichungen (21.34) und (21.35) bekannt, und die in u∗ , ϑ∗ und L enthaltenen turbulenten Fl¨ usse w u und w θ k¨ onnen mittels (21.34) und (21.35) auf iterativem Wege ermittelt werden. Diese indirekte Bestimmung turbulenter Fl¨ usse aus gemessenen Proﬁlen der mittleren Windgeschwindigkeiten und Temperaturen mit Hilfe der Gesetze der Prandtl-Schicht (z. B. f¨ ur den in den Gleichungen (21.34) und (21.35) betrachteten Fall der stabilen Schichtung) nennt man deshalb auch die Proﬁlmethode f¨ ur turbulente Fl¨ usse. Diese wird neben der direkten Messung der turbulenten Fl¨ usse mittels schneller Messsensoren sehr h¨ auﬁg in der Mikrometeorologie verwendet.

316

21.7

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Die atmosph¨ arische Grenzschicht: Ekman-Schicht

Im vorangegangenen Abschnitt wurde derjenige Teil der atmosph¨ arischen Grenzschicht behandelt, der sich bis etwa 20 bis 100 Meter oberhalb der Erdoberﬂ¨ ache erstreckt und in dem die turbulenten Fl¨ usse als h¨ ohenkonstant angenommen wurden. Der Wind nahm in dieser Schicht mit der H¨ ohe zu (logarithmisches Windproﬁl), ¨ anderte aber seine Richtung nicht. Im folgenden soll nun die Grenzschicht in ihrer gesamten Erstreckung von ca. 1000 Metern behandelt werden, wobei die Bezeichnung Ekman-Schicht an den schwedischen Ozeanographen W. Ekman (1874–1954) erinnert. Wir gehen bei der Herleitung der Deﬁnition der Ekman-Schicht von den NavierStokes-Gleichungen (19.12) aus und machen gewisse Einschr¨ ankungen wie in Abschnitt 21.2, n¨ amlich die dort f¨ ur die Prandtl-Schicht aufgestellten Voraussetzungen (a), (b), (c), (f) und (g), die station¨are Verh¨ altnisse und horizontale Homogenit¨ at von Grundstrom und turbulenten Gr¨oßen beinhalten. Wir erhalten dann f¨ ur die Komponenten der horizontalen Windgeschwindigkeit folgende Gleichungen: −f v¯ +

1 ∂ p¯ ∂w u =− , ρ¯ ∂x ∂z (21.36)

∂w v 1 ∂ p¯ =− . +f u ¯+ ρ¯ ∂y ∂z Im Gegensatz zur Prandtl-Schicht (laut deren Deﬁnition in (21.36) die linken Seiten jeweils gleich null w¨aren) wird in der Ekman-Schicht zus¨ atzlich der Einﬂuss von Coriolis- und Druckkraft ber¨ ucksichtigt. Schreibt man die obigen Gleichungen in Vektorform, so kann man die Ekman-Schicht als eine Schicht deﬁnieren, in der Druckkraft, Coriolis-Kraft und Reibungskraft im Gleichgewicht stehen. ¯h fk×v

+

1 ∇h p ρ¯

+

∂w vh ∂z

Coriolis-Kraft

Druckkraft

Reibungskraft

=0 ,

wobei der Index h die Horizontalkomponente bezeichnet. Die Vorstellung des Zusammenwirkens dieser drei Kr¨afte und des daraus resultierenden Windproﬁls in der Grenzschicht ist – vereinfacht dargestellt – die folgende: In gen¨ ugend großer Entfernung von der Erdoberﬂ¨ ache (ca. 1000 bis 2000 m) soll die turbulente Reibung verschwinden, so dass nur noch Druck- und CoriolisKraft im Gleichgewicht stehen. Dann erh¨alt man aber gerade die geostrophische Windbeziehung, d. h. der Wind weht parallel zu den Isobaren. Je mehr man sich nun der Erdoberﬂ¨ ache von oben herab n¨ahert, um so gr¨ oßer wird die turbulente Reibung, die den Betrag der Windgeschwindigkeit verringert, bis am Erdboden der Wert null erreicht wird. Gleichzeitig bewirkt die Reibung eine Drehung des

21.7 Die atmosph¨ arische Grenzschicht: Ekman-Schicht . ...... .. ¯=v ¯g ... v ... ... .. . T ........................................................................................................ . . D C

(a)

317

. ...... v .. ¯ g ...... ... ... ¯ ... v ... ... ...α ............................ C ............ ... ... ... . ............ ......... . . . . . . T ..................................................................................................... . ... ... ...... ...... ... ...... ...... D . ...... . . . . . . . R .............

(b)

H

H

Bild 21.8 Vektordiagramm der Kr¨afte (a) an der Obergrenze der Ekman-Schicht, links, und (b) in Erdbodenn¨ahe, rechts

Windvektors von der geostrophischen Windrichtung aus nach links, wie man aus der Darstellung des Kr¨aftediagramms in Bild 21.8 ersehen kann. In der N¨ ahe des Erdbodens wird die Druckkraft D durch die Summe von ¯ ist Coriolis-Kraft C und Reibungskraft R kompensiert. Der aktuelle Wind v ¯ g und gegen¨ betragsm¨ aßig geringer als der geostrophische Wind v uber diesem um den Winkel α gedreht. F¨ uhren wir jetzt in (21.36) die Beziehungen f¨ ur die Komponenten des geostrophischen Windes ein, u ¯g = −

1 ∂ p¯ , ρ¯f ∂y

v¯g = +

1 ∂ p¯ , ρ¯f ∂x

und machen f¨ ur die turbulenten Impulsﬂ¨ usse den Gradientansatz w u = −Km

∂u ¯ , ∂z

w v = −Km

∂¯ v , ∂z

so ergeben sich als Gleichungen f¨ ur die Komponenten der horizontalen Geschwindigkeit in der Ekman-Schicht −f (¯ v − v¯g ) =

∂u ¯ ∂ Km , ∂z ∂z

(21.37) ∂¯ v ∂ Km . f (¯ u−u ¯g ) = ∂z ∂z Um eine analytische L¨osung des Gleichungssystems (21.37) zu erm¨ oglichen, werde noch zus¨ atzlich vorausgesetzt, dass der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient Km und die Komponenten des geostrophischen Windes u¯g , v¯g h¨ ohenkonstant sein sollen; letzteres nennt man die Barotropiebedingung, d. h. der horizontale Druckgradient ¨andert sich nicht mit der H¨ohe. Da das System (21.37) von zweiter Ordnung ist, werden f¨ ur jede Gleichung zwei Randbedingungen ben¨ otigt. Diese lauten

318

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht f¨ ur z = 0 :

u ¯ = v¯ = 0 ,

f¨ ur z → ∞ :

u ¯=u ¯g ,

(21.38) v¯ = v¯g .

Die Randbedingungen geben die physikalischen Forderungen an die Str¨ omung in der Grenzschicht wieder, n¨amlich dass am Boden die Windgeschwindigkeit aufgrund der Haftreibung verschwinden soll und sich an der Obergrenze der Grenzschicht der Wind der geostrophischen Str¨omung anpasst. Die L¨ osung der Gleichungen (21.37) mit den Randbedingungen (21.38) lautet (zun¨ achst f¨ ur ein beliebig orientiertes x-y-Koordinatensystem): #

u ¯(z) = u ¯g 1 − exp − #

v¯(z) = v¯g

z D

z 1 − exp − D

$

cos

z z − v¯g exp − D D $

z z cos +u ¯g exp − D D

sin

z , D (21.39)

z . sin D

Orientiert man das Koordinatensystem so, dass die x-Achse die Richtung des ¯ g hat, also |¯ geostrophischen Windes v vg | = u ¯g , v¯g = 0, so erh¨ alt man aus (21.39): #

u ¯(z) = u ¯g 1 − exp −

z z cos D D

z v¯(z) = u ¯g exp − D

$

, (21.40)

z . sin D

Die sich aufgrund der Integration der Gleichungen ergebende Konstante D ist eine Kombination der in den Gleichungen (21.40) auftretenden Parameter f und Km :

D=

2

Km . f

(21.41)

Die Konstante D hat die Dimension einer L¨ange und wird deshalb h¨ auﬁg als Ekman-L¨ ange bezeichnet, nach W. Ekman, der als erster die Windverteilung in der Grenzschicht gem¨aß (21.40) angegeben hat. Diese Windverteilung wird auch Ekman-Spirale genannt, und zwar aus folgendem Grund: Wenn man die Windvektoren, die man aus (21.40) gewinnt, f¨ ur verschiedene H¨ohen in ein x-y-System auftr¨agt und die Endpunkte der Vektoren miteinander verbindet, so ergibt sich eine Spirale um den Endpunkt des geostrophischen Windvektors, wie aus Bild 21.10 zu ersehen ist. Die Windverteilung entsprechend der Ekman-L¨ osung (21.40) wird oft als so genannter Hodograph wie in Bild 21.9 dargestellt. Der Wind ist in Bodenn¨ahe (z. B. in zehn Metern H¨ ohe) vom geostrophischen Wind nach links abgelenkt und dreht mit der H¨ ohe zum geostrophischen Wind

21.7 Die atmosph¨ arische Grenzschicht: Ekman-Schicht

319

Bild 21.9 Windvektoren entsprechend der Ekman-L¨osung (21.40) f¨ ur den konkreten Fall ug = 10 ms−1 , Km = 5 m2 s−1 und f = 10−4 s−1 .

. z .... .. vg . ......................................................................................................... .. .. .. . .. ....................................................... ....................................................... .. ..... ............................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . ... .... .............................. ... .......................... ............. ............................... . ... .................. .. ..................... .................................y, . ... .....................................v¯......................................................................................................................... ... ......................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .......................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... .... ........ .. •................................................................................................... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... .................................................................... . . . .................................................................................. x, u ¯ ........................................................................................................................ . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................... . . ................................................................................ . . ................................................................................ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Bild 21.10 Die H¨ohenabh¨angigkeit des Betrages und der Richtung der Windgeschwindigkeit ergibt im Vektordiagramm die sogenannte EkmanSpirale.

hin, bis der aktuelle Windvektor schließlich mit diesem u ¨bereinstimmt. Den Winkel zwischen Bodenwind und geostrophischem Wind bezeichnet man als Ablenkungswinkel α0 . Wie groß ist nun α0 im Falle der in (21.40) angegebenen Ekman-Spirale? ......

v¯ ..............

. ..... .... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .. . . ..... . .. .... ... ... .. ... .... ... ..... ... .... ... .... ... ... ... ... .... ... ..... ..... .... ... .... ... ... ... ... ... ..... .. . ................................................................................................................................................................................................................................................................................. ....

¯0 v ....... . . .... ... . . . .... v¯0 .... . . . ... . . ... .... 0 .............α ................................................................................................... ¯g v u ¯0

u ¯

Bild 21.11 Der Ablenkungswinkel α0 zwischen dem Bodenwind und dem geostrophischen Wind f¨ ur den Fall der Ekman-Spirale

320

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Wie aus Bild 21.11 ersichtlich, ergibt sich α0 aus den Komponenten des Bo¯ 0 zu denwindes v α0 = arctan

v¯0 . u ¯0

¯(z = 0) und v¯(z = 0) aus den BeziehunWenn man f¨ ur u ¯0 und die Werte von u gen (21.40) einsetzt, so erh¨alt man f¨ ur v¯0 /¯ u0 den unbestimmten Ausdruck 0/0. Die Anwendung der Regel von de l’Hospital auf v¯(z = 0)/¯ u(z = 0) f¨ uhrt jedoch zu dem Ergebnis (∂¯ v /∂z)/(∂ u ¯/∂z)|z=0 = 1 und somit f¨ ur α0 zu dem Wert von 45o . Bei der Ekman-Spirale betr¨agt der Winkel zwischen Bodenwind und geostrophischem Wind 45o . Dieser Wert f¨ ur α0 ist zu groß; man beobachtet im allgemeinen Werte zwischen 15o und 25o . Bei der Herleitung der Ekman-Spirale wurde jedoch die einschneidende Voraussetzung gemacht, dass der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient Km mit der H¨ohe konstant sein sollte. Diese Annahme ist allerdings in der atmosph¨arischen Grenzschicht nicht erf¨ ullt, wie sp¨ ater noch gezeigt werden wird. Die Ekman-Spirale gibt jedoch qualitativ den H¨ ohenverlauf des mittleren Windes in der atmosph¨ arischen Grenzschicht recht gut wieder.

21.8

Die H¨ ohe der atmosph¨ arischen Grenzschicht

Die Lage der Obergrenze der atmosph¨arischen Grenzschicht ist nicht eindeutig festgelegt; man muss vielmehr deﬁnieren, welches Kriterium daf¨ ur herangezogen werden soll. H¨ auﬁg wird als Deﬁnition der Grenzschichth¨ ohe die H¨ ohe gew¨ ahlt, in der der tats¨ achliche Wind erstmals die Richtung des geostrophischen Windes hat. Wenn das Koordinatensystem so orientiert ist wie beim Erhalt von (21.40) f¨ ur die Komponenten des Windes, dann ist diese H¨ ohe gerade die, in der die vKomponente des Windvektors – abgesehen vom Boden – zum ersten Mal verschwindet: v¯(zG ) = 0, wobei zG die H¨ohe der Grenzschicht bezeichnen soll. Setzt man diese Bedingung in die zweite der Gleichungen (21.40) ein, so erh¨ alt man

0=u ¯g exp −

zG D

sin

zG . D

Diese Bedingung ist erf¨ ullt f¨ ur zG /D = nπ mit n = 0, 1, 2, . . .; n = 0 ergibt den Bodenwert f¨ ur v¯ und n = 1 den ersten Nulldurchgang. Man hat also gem¨ aß obiger Deﬁnition f¨ ur die H¨ohen der Grenzschicht

zG = π D = π

2

Km . f

(21.42)

21.9 Die turbulente Schubspannung in der Ekman-Schicht

321

Wie groß ist nun zG in der Atmosph¨are? Dazu setzen wir gebr¨ auchliche Zahlenwerte f¨ ur den Diﬀusionskoeﬃzienten Km und den Coriolis-Parameter f ein: Km = 5 m2 s−1 , ergibt f¨ ur zG zG = π

√

f = 1 · 10−4 s−1 .

105 m ≈ 1000 m .

Die H¨ ohe der Grenzschicht (oder Ekman-Schicht) betr¨ agt also etwa 1000 m. Abh¨ angig von der Gr¨oße des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten kann diese H¨ ohe aber auch doppelt oder nur halb so groß sein.

21.9

Die turbulente Schubspannung in der Ekman-Schicht

Bei der Behandlung der Prandtl-Schicht hatte man vorausgesetzt, dass der turbulente Impulsﬂuss w u h¨ohenkonstant sein sollte. Es war aber schon darauf hingewiesen worden, dass diese Annahme nur in den untersten Dekametern der Grenzschicht ann¨ ahernd erf¨ ullt ist. Bei der Herleitung der Ekman-Spirale (21.40) war u ¨ber den Verlauf der turbulenten Schubspannung keine Aussage gemacht worden; vielmehr wurde nur die Voraussetzung eines h¨ohenkonstanten Diﬀusionskoeﬃzienten getroﬀen. Im folgenden soll aus der Windverteilung in der Ekman-Schicht mit Hilfe des Gradientansatzes eine Aussage u ¨ber den Verlauf der Schubspannung mit der H¨ ohe gewonnen werden. Im Gegensatz zur Prandtl-Schicht erhalten wir in der Ekman-Schicht zwei Komponenten des horizontalen Windes und somit auch zwei Komponenten der Schubspannung. Der Gradientansatz lautet f¨ ur die einzelnen Komponenten w u = −Km

∂u ¯ , ∂z

w v = −Km

∂¯ v . ∂z

Setzt man nun f¨ ur u ¯ und v¯ die Beziehungen (21.40) f¨ ur die Ekman-Spirale ein und f¨ uhrt die Diﬀerentiation nach z aus, so erh¨alt man f¨ ur die Komponenten der Schubspannung

w u (z) = −Km

u ¯g z exp − D D

#

cos

z z + sin D D

$

,

(21.43) # $ u ¯ z z z g exp − w v (z) = −Km cos − sin . D D D D Die Komponenten des turbulenten Impulsﬂusses sind nicht mehr h¨ ohenkonstant wie in der Prandtl-Schicht, sondern ver¨andern sich mit der H¨ ohe und verschwinden f¨ ur sehr große Werte von z (exakt f¨ ur z → ∞). Dieser Verlauf mit der H¨ ohe wird anschaulicher, wenn man sich den Betrag der Schubspannung aus (21.43) berechnet:

322

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht "

|w v |(z) =

2

2

w u + w v =

√

2 Km

u ¯g z exp − D D

.

(21.44)

Der Betrag der Schubspannung nimmt exponentiell mit der H¨ ohe ab, auch im unteren Teil der Grenzschicht. Die Werte der Schubspannung am Boden (z = 0) errechnen sich aus (21.43) und (21.44) unter Verwendung der Deﬁnition f¨ ur die L¨ange D (21.41) zu

−w u 0 = u ¯g

Km

f , 2

− w v 0 = u ¯g

| − w v |0 = u2∗ = u ¯g

Km

f , 2

%

Km f .

(21.45)

(21.46)

Der Wert der turbulenten Schubspannung am Boden h¨ angt vom Betrag des geostrophischen Windes und des Diﬀusionskoeﬃzienten ab. Der Einﬂuss der thermischen Schichtung auf die Windverteilung und auf die Schubspannung kann im Falle der Ekman-Spirale nur u ¨ber den turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten Km ber¨ ucksichtigt werden. Dieser ist entsprechend den Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 21.4 bei labiler Schichtung gr¨oßer, bei stabiler kleiner als im neutralen Fall. Entsprechend ergibt sich aus (21.46), dass bei gleichem geostrophischem Wind die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ bei labiler Schichtung gr¨ oßer ist als bei stabiler Schichtung.

21.10

Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht

Mit der einfachsten Annahme f¨ ur den Diﬀusionskoeﬃzienten, n¨ amlich Km = konstant, hatten wir als L¨osung der Grenzschichtgleichungen (21.37) die EkmanSpirale (21.40) erhalten. Diese L¨osung gibt den Verlauf der Windgeschwindigkeit ¨ mit der H¨ ohe zwar qualitativ richtig an; die Ubereinstimmung mit Beobachtungen in der Atmosph¨are ist jedoch nicht sehr gut. Das liegt eben daran, dass man in der tats¨ achlichen Grenzschicht keinen h¨ ohenkonstanten Diﬀusionskoeﬃzienten vorﬁndet, sondern sich dieser vielmehr mit der H¨ ohe ¨ andert. (Im Falle der Prandtl-Schicht hatten wir diese H¨ohenabh¨ angigkeit bereits erhalten.) Zum anderen kann bei der Ekman-Spirale der Einﬂuss der Bodenrauhigkeit, charakterisiert durch die Rauhigkeitsl¨ange z0 , nicht ber¨ ucksichtigt werden. Aus diesen Gr¨ unden soll nun eine andere L¨osung der Grenzschichtgleichungen gesucht werden, die die Gegebenheiten in der Atmosph¨are besser ber¨ ucksichtigt, aber noch auf analytischem Wege erhalten werden kann. Dazu wird f¨ ur den Verlauf des Diﬀusionskoeﬃzienten Km die folgende Annahme gemacht: vom Erdboden aus soll Km bis zu einer H¨ ohe zP linear mit der H¨ ohe zunehmen und dar¨ uber einen konstanten Wert beibehalten.

21.10 Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht

..... Km

323

. z ... . ¯ v ....................................................g..................................................... .. .. .. .................................................... ........................................................ ..... ... .. . .... Km,E = κu∗ zP .................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ......................... ......................... vP ....................................... . . . . . . . . . . . . . y, v¯ ... ............................................................................................... ......................................................................................................................................... ..................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...z.. ..P... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . .. . . . . . . . . ... . .... .. .............. . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . .. . . . .. .. .. ....... ...................................... ... ............................................ ............................................................ ..................... ............................................... ..... ...... .. .... .. .. ... ................. ... ........... .... .... ....................................................... . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . .............. ....... ........ ...... .... ... .................................... ... .... ... ................................................................................................ .............................................................................................. . . .. ................. .... .. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ....... .. . . ....... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ....... ...............................................................................................................α.....0.................................................................................. ... Km = κu∗ z .....................................................................•.............................. . ..... ... . . . . . . . . . . . . . . ................................. .. ....................... . .¯. . . . . . . . . . . . . . . ....... .................................v Km,E .......................................................g.................................................................. x, u ¯ . . ................................................................................ . . ................................................................................. .................................................................................. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. ................................................................................ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bild 21.12 Der Aufbau der Zwei-Schichten-Grenzschicht, die sich aus einer PrandtlSchicht als unterer und einer Ekman-Schicht als oberer Komponente zusammensetzt. Im linken Bildteil ist der H¨ohenverlauf des Diﬀusionskoeﬃzienten Km skizziert.

Wir setzen also die Grenzschicht aus zwei Schichten zusammen. Die untere Schicht soll den Voraussetzungen der Prandtl-Schicht gen¨ ugen (aus denen sich ein linearer Verlauf von Km ergab), w¨ahrend die daran anschließende Schicht mit h¨ohenkonstantem Km die Ekman-Gleichungen erf¨ ullen soll. Die Darstellung in Bild 21.12 verdeutlicht den Aufbau dieser Zwei-Schichten-Grenzschicht. ¯ P angedeutet) In der Prandtl-Schicht (bis zP ) a¨ndert der Windvektor (mit v seine Richtung nicht, der erste Teil der Hodographenkurve in Bild 21.12 von 0 bis zP ist also eine Gerade. Ab der H¨ohe zP beginnt die Ekman-Spirale wie sie auch im vorigen Abschnitt ohne vorhandene Prandtl-Schicht hergeleitet wurde. Der Winkel zwischen Bodenwind und geostrophischem Wind α0 betr¨ agt jetzt nicht mehr 45o , sondern ist geringer. Aus Bild 21.12 ersieht man außerdem, dass der Wind am unteren Rande der Ekman-Schicht, also bei zP , den gleichen Winkel α0 mit der Richtung des geostrophischen Windes einschließt. Auf die Herleitung der Windproﬁle aus den Gleichungen f¨ ur die Prandtl-Schicht bzw. Ekman-Schicht soll hier verzichtet und lediglich die Ergebnisse dargestellt werden. Es ergeben sich in der Prandtl-Schicht (0 ≤ z ≤ zP ): u ¯(z) =

u∗ z ln cos α0 , κ z0

v¯(z) =

u∗ z ln sin α0 . κ z0

in der Ekman-Schicht (z ≥ zP ):

(21.47)

324

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

#

u ¯(z) = u ¯g 1 − v¯(z) = u ¯g

√

√

2 exp −

z − zP D

z − zP 2 exp − D

sin α0 cos

z − zP π + − α0 D 4

z − zP π + − α0 sin α0 sin D 4

$

, (21.48)

.

Wie groß ist nun der Betrag der Windgeschwindigkeit in der H¨ ohe zP , d. h. an der Obergrenze der Prandtl-Schicht bzw. an der Untergrenze der Ekman-Schicht? Aus (21.48) l¨ asst sich die folgende Beziehung erhalten: |¯ v(zP )| = u ¯g (− sin α0 + cos α0 ) .

(21.49)

alle Aus dieser Beziehung lassen sich hinsichtlich des Winkels α0 zwei Grenzf¨ ermitteln: (a)

α0 = 0

(b) α0 =

π 4

¯g : Die Prandtl-Schicht erstreckt sich u ; |¯ v(zP )| = u ¨ber die gesamte Grenzschicht; es ist keine EkmanSchicht vorhanden. ;

|¯ v(zP )| = 0:

Die Ekman-Schicht erstreckt sich bis zum Erdboden (zP = 0); es ist keine PrandtlSchicht vorhanden.

In der Atmosph¨ are liegt der Winkel α0 im allgemeinen zwischen diesen Extremen und somit auch die Aufteilung der Grenzschicht in Prandtl- und EkmanSchicht. Die Berechnung des Windproﬁls mit Hilfe des Ergebnisses des ZweiSchichten-Modelles aus den Beziehungen (21.47) und (21.48) ist nun bei Vorgabe der Gr¨ oßen u ¯g , z0 , zP und u∗ m¨oglich, wobei der Ablenkungswinkel α0 z. B. mit Hilfe von (21.47) und (21.49) bestimmt werden kann. Man hat damit aber die gleiche Situation wie bei der Anwendung des logarithmischen Windproﬁls, n¨ amlich dass man die Schubspannungsgeschwindigkeit vorgeben muss, die man als Turbulenzgr¨ oße eigentlich zun¨achst aus dem Windproﬁl bestimmen m¨ usste. Die eigentliche Aufgabenstellung bei der Behandlung des Windproﬁls in der Grenzschicht ist aber die folgende: Gegeben sind als Konstanten f¨ ur den jeweils betrachteten Ort die Rauhigkeitsl¨ ange z0 und der Coriolis-Parameter f (letzterer steckt in der Ekman-L¨ ange D). Bekannt ist weiter der aufgepr¨agte geostrophische Wind u ¯g und gegebenenfalls die thermische Schichtung der Grenzschicht. Gesucht sind jetzt die Proﬁle des Windgeschwindigkeitsvektors und der turbulenten Schubspannung (bei letzterem interessiert haupts¨achlich die Bodenschubspannung), die sich in der Grenzschicht aufgrund der vorgegebenen (sogenannten ¨außeren) Parameter einstellen.

21.10 Die Ekman-Spirale oberhalb einer Prandtl-Schicht

325

Die L¨ osung dieses Problems geschieht nun im Falle des Zwei-Schichten-Modells (21.47) und (21.48) wie folgt: In der H¨ohe zP , also am oberen Rand der PrandtlSchicht, m¨ ussen die Proﬁle der Windgeschwindigkeitskomponenten aus dem logarithmischen Windproﬁl mit denen aus der Ekman-Spirale u ¨bereinstimmen. Aus (21.47) und (21.48) erh¨alt man f¨ ur z = zP die zwei Beziehungen: u∗ zP ln cos α0 κ z0 u∗ zP ln sin α0 κ z0

'

= u ¯g 1 − √

= u ¯g

√

2 sin α0 cos

2 sin α0 sin

5π 4

5π 4

− α0

6

6(

, (21.50)

− α0 .

Diese beiden Beziehungen enthalten außer den vorzugebenden Gr¨ oßen ug , z0 und zP die unbekannten Gr¨oßen u∗ und α0 . Es ist jetzt m¨ oglich (wenn auch nur iterativ), diese Gleichungen zur Bestimmung der Werte der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ und des Ablenkwinkels α0 zu l¨ osen und mit den so erhaltenen Werten die Proﬁle in der Grenzschicht mit Hilfe von (21.47) und (21.48) zu berechnen. Dabei ist noch zu ber¨ ucksichtigen, dass die in (21.48) ben¨ otigte EkmanL¨ange D u ¨ber ihre Deﬁnition (21.41) mit dem turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten Km und u ¨ber diesen mit der H¨ohe der Prandtl-Schicht zP (siehe Bild 21.12) in folgender Beziehung steht:

D=

2

Km = f

4

2κ u∗

zP . f

(21.51)

Die H¨ ohe der Prandtl-Schicht zP bestimmt also die Gr¨ oße von Km in der Ekman-Schicht. Die Festlegung der H¨ohe zP kann man nun dazu verwenden, die thermische Schichtung im Zwei-Schichten-Modell zu ber¨ ucksichtigen: Je gr¨ oßer zP , desto labiler ist die thermische Schichtung; je kleiner, desto stabiler ist die Grenzschicht geschichtet. Man kann sich diese Annahmen qualitativ aufgrund des in Abschnitt 21.4 geschilderten Eﬀektes der thermischen Schichtung auf die H¨ ohe der Prandtl-Schicht u ¨berlegen. Die Einﬂ¨ usse der Bodenrauhigkeit und der thermischen Schichtung auf das Windproﬁl in der Grenzschicht, wie man sie z. B. mit dem oben aufgestellten Zwei-Schichten-Modell erhalten kann, sind qualitativ in Bild 21.13 angedeutet. Einige Zahlenwerte f¨ ur den Ablenkungswinkel α0 und die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ sind in folgender Tabelle angegeben. Dabei ist der Betrag des geostrophischen Windes u ¯g konstant gehalten, z. B. 10 m s−1 . Die angegebenen Zahlenwerte sollen nur einen Anhaltspunkt f¨ ur die in der atmosph¨ arischen Grenzschicht vorkommenden Verh¨ altnisse darstellen. Die Abh¨ angigkeit des Ablenkungswinkels α0 und der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ von der Gr¨oße des geostrophischen Windes u ¯g l¨ asst sich daher wie folgt beschreiben: je gr¨oßer u ¯g ist, desto kleiner ist α0 und desto gr¨ oßer ist u∗ . Insgesamt kann man das Verhalten der atmosph¨arischen Grenzschicht folgendermaßen charakterisieren:

326

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

.. v¯ ...... ... ... rauh....................... .. ................ ............ .. ...... ...................... . . . . . . . . . . .... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... .. ..................................... . .....................................................................glatt ................................................................................................... ..................... u ¯g v ¯ . v¯ ....... .. ... stabil ... ........................................... ... ........................... . . ...... . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ..... .. ............................................. . . . . .......................................................................labil ................................................................................................... . . . ................... u ¯g v ¯

Bild 21.13 Einﬂ¨ usse der Bodenrauhigkeit und der thermischen Schichtung auf das Windproﬁl in der Grenzschicht

Die Turbulenz in der Grenzschicht ist um so st¨arker, je gr¨ oßer der geostrophische Wind und die Bodenrauhigkeit und je labiler die Temperaturschichtung ist.

Rauhigkeit sehr klein (Meer) mittel (Land, ﬂach) sehr groß (Land, bewachsen)

Ablenkungswinkel α0 Schichtung labil neutral stabil 15o 20o 30o

20o 25o 35o

30o 35o 45o

Rauhigkeit sehr klein mittel sehr groß

Schubspannungsgeschw. u∗ cm s−1 Schichtung labil neutral stabil 30 40 60

25 35 45

15 20 25

Warum ist man nun am Ablenkungswinkel α0 sowie an der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ interessiert? Hier gilt das bereits in Abschnitt 21.5 Gesagte: Die Schubspannungsgeschwindigkeit ist mit der auf die Erdoberﬂ¨ ache wirkenden Schubspannung u upft. Die Richtung von τ ist dabei mit ¨ber τ = ρ¯ u2∗ verkn¨ der Windrichtung in der Prandtl-Schicht identisch. Letztere wiederum ist um den Winkel α0 nach links (auf der Nordhalbkugel) gegen die Richtung des geostrophischen Windes gedreht. Der geostrophische Wind l¨ asst sich aber recht gut aus Bodendruckkarten bestimmen, ohne dass eine direkte Windmessung vorliegen muss. Die Gesetze zur Ekman-¨ uber-Prandtl-Schicht lassen somit eine Bestimmung

21.11 Grenzschicht-Modelle mit einem Mischungswegansatz

327

von Betrag und Richtung der auf die Erdoberﬂ¨ ache (Meeresoberﬂ¨ ache) wirkenden Windschubspannung aus der Kenntnis des geostrophischen Windes zu. Dies erm¨ oglicht z. B. die Berechnung der windgetriebenen Meeresstr¨ omungen, ohne dass Messungen der bodennahen Windgeschwindigkeit vorliegen m¨ ussen. Das ist angesichts der schwierigen Datenlage u ¨ber den Ozeanen von besonderer Bedeutung.

21.11

Grenzschicht-Modelle mit einem Mischungswegansatz

Die in den beiden vorigen Abschnitten vorgestellten Modelle zur L¨ osung der Grenzschichtgleichungen (21.37) machen die einfachsten Annahmen hinsichtlich des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten Km , um das Gleichungssystem zu schließen. Neben diesen beiden Ans¨atzen f¨ ur Km existieren in der Literatur noch zahlreiche andere, wobei besonders h¨auﬁg der Mischungswegansatz

¯ ∂v Km (z) = l2 (z) ∂z verwendet wird. F¨ ur den Mischungsweg l(z) werden die verschiedensten Annahmen hinsichtlich seines Verlaufes mit der H¨ohe gemacht, wobei im bodennahen ¨ Bereich in Ubereinstimmung mit dem Prandtlschen Mischungswegansatz meist ein linearer Verlauf angenommen wird. Es soll stellvertretend f¨ ur alle Mischungswegans¨ atze in der Grenzschicht der von dem amerikanischen Meteorologen Blackadar eingef¨ uhrte angegeben werden, der besonders h¨ auﬁg verwendet wird: l(z) =

κz . 1 + κ λz

(21.52)

Dieser Mischungsweg zeigt den folgenden Verlauf: in der Prandtl-Schicht nimmt l linear mit der H¨ ohe zu, erreicht dann aber bei geringerer Zunahme mit der H¨ ohe den konstanten Wert λ. Diesem konstanten Verlauf f¨ ur gr¨ oßere H¨ ohen liegt der Gedanke zugrunde, dass die Gr¨oße der Turbulenzk¨ orper (repr¨ asentiert durch den Mischungsweg) weit genug von der Erdoberﬂ¨ache sich nicht mehr ver¨ andert. Der Grenzwert des Mischungsweges, λ, h¨angt von der thermischen Schichtung ab, wie in Bild 21.14 dargestellt. Die L¨ osung der Grenzschichtgleichungen (21.37) mit Mischungswegans¨ atzen wie (21.52) ist nur noch mit numerischen Methoden m¨ oglich. Die Ergebnisse die¨ ser Modelle ergeben zwar etwas bessere Ubereinstimmung der Windproﬁle mit den gemessenen Daten, aber alle grunds¨atzlichen Erkenntnisse u ¨ber die Struktur des gemittelten Windproﬁls lassen sich bereits aus dem im vorigen Abschnitt dargestellten, einfachen Zwei-Schichten-Modell gewinnen, das von einer EkmanSchicht oberhalb einer Prandtl-Schicht ausgeht. Deshalb sollen in Bild 21.14 als Erg¨anzung lediglich die mit einem Mischungswegansatz erhaltenen Proﬁle des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten in Abh¨angigkeit von der thermischen Schichtung

328

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

z ...... . ... ... ... ... .. .. ... . .. .. .. .. ... stabil neutral labil .. .. ... ... ... ... .. .. ... . .. ... ... .. ... .. ... . .. . . .. .. ... .. ... . .. . ... .. .... .. .. . .... ........ .. .. . . . . . . . . .. . ... ... ................................................................................................................................................................................................ ... λl λs λn 10 30 100 m l

z ...... .. .. .. ... .... .... .... ... .... .... .... ... ... .... ..... ... .... .... ....... .. .... .... .......... ...... ... ... ....... ..... ..... ... ..... ......... .... ..... ... ... .... . . .... ... ... ... . ... ... ... ... .. .. stabil labil . neutral . .. ... .. ...... ....... .................................................................................................................................................................................... ... 1

5

50

m2 s

Km

Bild 21.14 Proﬁle des Mischungsweges l(z) und des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten angigkeit von der thermischen Schichtung Km (z) in Abh¨

dargestellt werden, wie man sie als typische Ergebnisse von Modellrechnungen erh¨alt. Ausf¨ uhrliche Darstellungen zu Wind- und Temperaturproﬁlen in der atmosph¨ arischen Grenzschicht sowie zum turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten ﬁndet man in den B¨ uchern zur atmosph¨arischen Grenzschicht, die im Literaturverzeichnis angegeben sind.

21.12

Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are

Bisher hatten wir die atmosph¨arische Grenzschicht nur einseitig gekoppelt an die dar¨ uberliegende, reibungsfreie Atmosph¨are betrachtet. Bei vorgegebenem geostrophischem Wind ug ergab sich das Windproﬁl in der Grenzschicht entsprechend der Ekman-Spirale aus Gleichung (21.40). In Bezug auf das großr¨ aumige Druckfeld ergab sich entsprechend Bild 21.8, dass in der Grenzschicht der Wind eine Komponente vom hohen zum tiefen Druck aufweist, er also vom Hoch in das Tief hineinweht. Diese ageostrophische Windkomponente stellt folglich einen Massentransport quer zu den Isobaren dar und bewirkt einen Druckausgleich zwischen den großr¨aumigen Systemen. (Im geostrophischen Gleichgewicht oberhalb der Reibungsschicht weht der Wind immer parallel zu den Isobaren bzw. Isohypsen.) Nun sind in der realen Atmosph¨are die Druckfelder nicht gerade so gestaltet, dass u ¨berall der gleiche geostrophische Wind herrscht, vielmehr weist auch der Druckgradient eine r¨aumliche Variation auf. Wir untersuchen jetzt, welche Konsequenz eine horizontale Variation des geostrophischen Windes auf die EkmanSchicht hat. Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass der geostrophische Wind nur seinen Betrag ¨andert, und zwar senkrecht zu seiner Windrichtung, d. h. es

21.12 Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are y ...... v0 (y) ... ...... .. . .. . ..................................................... ... .... .. ... ... .. ..................................................................... ug (y) . .. .. ... . .. ... .. . .. .... ...................................................................................... .. . .. ... ... . .. . ....................................................................................................... ... .................................................................................................................................... x

329

Bild 21.15 Variation des geostrophischen Windes ug (y) und daraus resultierende Divergenz des Bodenwindes v0 (y)

soll ug = ug (y), vg = 0 gelten. Diese Situation ist in Bild 21.15 dargestellt. Wie ¨andert sich nun der Wind in der Ekman-Schicht? Nimmt man an, dass der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient Km und der Coriolis-Parameter r¨ aumlich konstant sind, ergibt sich aus der Ekman-L¨ osung (21.40), ¨ dass die Anderung des Windes in der Horizontalen nur vom geostrophischen Wind abh¨ angt. ∂u ∂v = =0, ∂x ∂x #

∂u ∂ug z = 1 − exp − ∂y ∂y D #

∂v ∂ug z = exp − ∂y ∂y D

(21.53)

$

cos

z D

$

z sin D

,

.

(21.54)

(21.55)

Mit den speziellen Bedingungen ∂u/∂x = 0 (21.53) lautet die Kontinuit¨ atsgleichung in ihrer inkompressiblen Form ∂v ∂w + =0 ∂y ∂z

∂w ∂v =− . ∂z ∂y

⇒

(21.56)

Man erkennt sofort, dass im Fall einer horizontalen Divergenz der ageostrophischen Windkomponente (∂v/∂y = 0) eine Vertikalgeschwindigkeit in der Grenzschicht induziert wird:

w(z) = w(0) −

z 0

∂v dz . ∂y

(21.57)

Setzen wir (21.55) in (21.57) ein und integrieren zwischen z = 0 und der Grenzschichth¨ ohe zG = πD aus (21.42), erhalten wir mit der Randbedingung w(0) = 0

330

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht w(zG ) = −

oder wegen D =

%

∂ug D (1 + e−π ) ∂y 2

(21.58)

2K/f und der N¨aherung 1 + e−π ≈ 1: ∂ug w(zG ) = − ∂y

K . 2f

Nun ist −∂ug /∂y nichts anderes als die geostrophische Vorticity (in unserem Fall war ja ∂vg /∂x = 0), so dass sich f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit am oberen Rand der Grenzschicht ergibt:

w(zG ) = ζg

K . 2f

(21.59)

Damit ergibt sich f¨ ur das Vorzeichen von w: ζg Tiefdruckgebiet

> 0 (zyklonal)

w(zG ) > 0 (Aufsteigen)

Hochdruckgebiet < 0 (antizyklonal) < 0 (Absinken) Die atmosph¨ arische Grenzschicht bewirkt also reibungsbedingt eine großr¨ aumige Vertikalbewegung im unteren Bereich synoptischer Systeme, wie in Bild 21.16 schematisch dargestellt ist. Wie groß ist nun w(zG )? Setzen wir als typische Werte f¨ ur f = 10−4 s−1 , ζg = −5 −1 2 −1 f /10 = 10 s und K = 10 m s , so erhalten wir w(zG ) ≈ 0,5 cm s−1 . Dieser geringe Wert ist nicht messbar, und dennoch reicht diese Vertikalgeschwindigkeit aus, um die Lebensdauer der synoptischen Systeme deutlich zu beeinﬂussen, wie im folgenden ausgef¨ uhrt wird. .... H¨ohenwind Bodenwind ... ....... ...... ......... ..................................................•.......................................... ............................................................................................................................... ...................................•......................................................... .... .... ....... ....... ... .. . .................. ... .............. ..... ..... ...... ... ..... .......... .... .... .. ......... .................. .... ......... .... .... . . ... . . . ... . .. . . ... . . . . . . ... . . . .. . . . ... . . . . . ... ..... .......... . ... .... ... ....... ...... . . ... .... . .. . . . . . •......... •........ •....... •............ + − . . . ... .. ........... ... .... .. ... ... .... . ... ... ... ... . .. ................... ... ... ... . . . ... . . . . . . . .... ..... ... ..... . ..... .... ...... ..... ..... .......................... ............................... ..... . ........ . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . ............... ......... ......................................•................................ •........................................ .... ..... ... ......... Tief Hoch

Bild 21.16 Der H¨ohenwind (gestrichelt) und der Bodenwind (durchgezogen) in Hoch- und Tiefdruckgebieten und daraus resultierendes Vorzeichen der Vertikalgeschwindigkeit in der Grenzschicht

21.12 Die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und freier Atmosph¨ are

331

Die atmosph¨ arische Grenzschicht bewirkt nach (21.59) eine großr¨ aumige Vertikalgeschwindigkeit, welche zum Auﬀ¨ ullen der Tiefdruckgebiete und zum Abbau der Hochdruckgebiete f¨ uhrt. Wir wollen nun absch¨ atzen, wie lange es eigentlich dauert, bis z. B. eine Zyklone aufgef¨ ullt ist und demnach keine Druckgegens¨ atze mehr aufweist. Wenn keine Druckgegens¨atze mehr vorhanden sind, sind geostrophischer Wind und geostrophische Vorticity gleich null, so dass wir statt des ¨ Druckverlaufs auch die zeitliche Anderung der Vorticity einer Zyklone untersuchen k¨ onnen. Wir gehen dabei von der quasi-geostrophischen Vorticitygleichung (12.10) aus und nehmen zur weiteren Vereinfachung eine barotrope Atmosph¨ are und einen verschwindenden β-Term an. Damit lautet die Vorticitygleichung: dζg ∂w =f . (21.60) dt ∂z Wir integrieren jetzt (21.60) zwischen dem Oberrand der Grenzschicht bei z = zG und dem Oberrand der freien Atmosph¨are bei z = H. Wegen der Barotropiebedingung ist der geostrophische Wind und somit die geostrophische Vorticity h¨ohenkonstant. Damit ergibt die Vertikalintegration von (21.60): (H − zG )

dζg = f (w(H) − w(zG )) . dt

Mit der Bedingung, dass die Vertikalgeschwindigkeit am Oberrand der Atmosph¨ are verschwinden soll, w(H) = 0, und der Vereinfachung H − zG ≈ H (typischerweise gilt zG /H ≈ 0,1) ergibt sich schließlich w(zG ) dζg = −f . (21.61) dt H aß (21.59) ein, so erhalten wir Setzen wir die Vertikalgeschwindigkeit w(zG ) gem¨

dζg = −ζg dt

Kf . 2H 2

(21.62)

Nehmen wir an, ein Tiefdruckgebiet habe zum Zeitpunkt t = 0 die Vorticity ¨ ur die zeitliche Anderung der ζg (0). Dann ergibt sich als L¨osung von (21.62) f¨ geostrophischen Vorticity, bedingt durch die Reibung in der Grenzschicht: ⎛

ζg (t) = ζg (0) exp ⎝−

⎞

fK ⎠ t . 2H 2

(21.63)

Die Vorticity nimmt exponentiell mit der Zeit ab. Der Grund hierf¨ ur ist letztendlich die ageostrophische Windkomponente, welche durch die Reibung in der Ekman-Schicht hervorgerufen wird. Man nennt das durch (21.61) bis (21.63) beschriebene Verhalten synoptischer Druckgebilde auch Ekman-Pumpe (engl. Ekman pumping).

332

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Wie lange dauert es nun, bis eine Zyklone nur unter dem Einﬂuss der Grenzschichtreibung zum Erliegen kommt? Gem¨aß (21.63) exakt erst f¨ ur t → ∞. Da diese Aussage aber nicht weiterhilft, nimmt man bei einem zeitlichen Verlauf, der sich durch einen exponentiellen Abfall beschreiben l¨ asst, jenen Wert, bei dem die Vorticity auf 1/e ihres Anfangswertes abgesunken ist, also ζ(t)/ζ(0) = 1/e. Aus (21.63) ergibt sich f¨ ur diese Zeit, hier mit τe bezeichnet:

τe =

2H 2 . Kf

(21.64)

Verwenden wir als typische Werte H = 10 km, K = 10 m2 s−1 und f = 10−4 s−1 , so erhalten wir τe ≈ 4 Tage. In diesem Zeitraum hat die Vorticity aber erst auf etwa 1/3 des Anfangswertes abgenommen. Setzen wir aber f¨ ur das Verschwinden einer Zyklone etwa die Zeitspanne an, innerhalb derer die Vorticity bis auf nur noch 10% ihres Anfangswertes absinkt, so ergibt sich aus (21.64) τ10% ≈ 9 Tage, was in der Gr¨ oßenordnung der beobachteten Lebensdauer von Tiefdruckgebieten in der Atmosph¨ are liegt. Erinnern wir uns dabei aber noch einmal daran, dass bei dieser Absch¨ atzung in der Vorticitygleichung f¨ ur das synoptische System (21.60) selbst kein Reibungsterm auftrat. Der Eﬀekt der Bodenreibung in der Ekman-Schicht auf Zyklonen und Antizyklonen ist somit indirekt, indem durch die Divergenz der ageostrophischen Windkomponenten entsprechend (21.56) bis (21.59) eine Vertikalzirkulation in der freien Atmosph¨are oberhalb der Ekman-Schicht induziert wird. Diese f¨ uhrt wiederum u ¨ber den Divergenzterm auf der rechten Seite der Vorticitygleichung (21.60) zur Abschw¨achung der Vorticity. Man nennt diesen (indirekten) Eﬀekt der Bodenreibung auf synoptische Systeme deshalb auch Spin-Down. Man k¨ onnte nun fragen, ob die auch in der freien Atmosph¨ are vorhandene turbulente Reibung nicht bereits gen¨ ugt, um die Zirkulation in Hoch- oder Tiefdruckgebieten nach einiger Zeit zum Erliegen zu bringen. Hierzu soll zum Schluss dieses Kapitels eine kurze Absch¨atzung vorgenommen werden. Dabei ist es notwendig, in der Vorticitygleichung Reibungseﬀekte zu ber¨ ucksichtigen. Auf eine Herleitung des Reibungsterms aus den gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (19.17) soll hier verzichtet werden. Es ergibt sich f¨ ur die Vorticitygleichung, wenn nur die Reibung in vertikaler Richtung ber¨ ucksichtigt wird: dζg ∂ 2 ζg =K 2 . (21.65) dt ∂z Tats¨ achlich hat die Vorticitygleichung (21.65) die gleiche Form wie etwa die W¨armeleitungsgleichung (19.20); Reibung f¨ uhrt somit zur Diﬀusion von Vorticity. Zur Absch¨ atzung des Reibungseinﬂusses nehmen wir jetzt an, dass in einem Tief mit einer vertikalen Erstreckung H und anf¨anglich h¨ ohenkonstanter Vorticity zum Zeitpunkt t = 0 die Haftreibung am Erdboden (z = 0) zu wirken beginnt. Wegen u = v = 0 f¨ ur z = 0 folgt daraus auch ζ(z = 0) = 0. Dann l¨ asst sich (21.65) ann¨ ahern durch

21.13 Die instation¨are Ekmanschicht

333

dζg K ≈ − 2 ζg . (21.66) dt H Mit dieser Vereinfachung hat die Vorticitygleichung (21.66), in der nur Reibungseﬀekte wirken, die gleiche Form wie diejenige, in der nur der Divergenzeﬀekt auftritt (21.63). Als L¨osung von (21.66) ergibt sich somit analog mit der Anfangsbedingung ζg (t = 0) = ζg (0):

K ζg (t) = ζg (0) exp − 2 t H

.

(21.67)

F¨ ur den Abfall der Vorticity auf 1/e ihres Anfangswertes erh¨ alt man die Zeitskala τe =

H2 . K

(21.68)

Setzen wir als Zahlenwerte K = 10 m2 s−1 und H = 10 km, so erhalten wir τe ≈ 100 Tage. Aus dem Vergleich mit der Spin-Down-Zeit nach (21.64) von τe ≈ 4 Tage erkennt man, dass die innere Reibung bei der Dynamik der synoptischen Systeme eine untergeordnete Rolle spielt. Vielmehr sind sekund¨ are Eﬀekte bedingt durch Reibungsvorg¨ange in der nur etwa zehn Prozent der gesamten Atmosph¨ are umfassenden Grenzschicht f¨ ur die Auﬂ¨ osung von Zyklonen und Antizyklonen ausschlaggebend.

21.13

Die instation¨ are Ekmanschicht

Bisher haben wir die Windverteilung in der Ekmanschicht unter der Voraussetzung der horizontalen Homogenit¨at und der Stationarit¨ at betrachtet. Wie die t¨aglichen Beobachtungen uns zeigen ist der Wind weder in seinem Betrag noch hinsichtlich seiner Richtung zeitlich konstant. Selbst bei station¨ arer Großwetterlage kann man einen Tagesgang des Windes beobachten. Deshalb soll zum Abschluß noch die instation¨are Ekmanschicht betrachtet werden. Wir lassen die Voraussetzung der (lokalen) Stationarit¨at fallen, sodass sich die Ekman-Gleichung (21.37) schreiben lassen als: ∂u ¯ ∂u ¯ ∂ − f (¯ v − v¯g ) = Km , ∂t ∂z ∂z

(21.69) ∂¯ v ∂¯ v ∂ + f (¯ u−u ¯g ) = Km . ∂t ∂z ∂z Die zeitliche Variation der Windkomponenten u¯ und v¯ kann nun durch folgende Eﬀekte verursacht werden. andern sich mit der Zeit (a) ug und vg ¨

334

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

¨ Dies bedeutet eine zeitliche Anderung der großr¨aumigen Druckverteilung, wie sie ja praktisch die Regel ist. Etwas subtiler ist die folgende M¨ oglichkeit: (b) Km ¨ andert sich mit der Zeit Wie in Abschnitt 21.11 aufgef¨ uhrt, ist der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient Km keine Materialkonstante sondern eine Funktion der Windscherung und der thermischen Schichtung (der letzte Eﬀekt ist in Bild 21.14 dargestellt). Die thermische ¯ Schichtung (Vertikalproﬁl der potentiellen Temperatur θ(z)) ist andererseits eine Funktion der Tageszeit (tags¨ uber labile Schichtung, nachts stabile Schichtung), wie im n¨ achsten Kapitel noch ausgef¨ uhrt wird. Die Variable Km (z,t) in Gleichung (21.69) f¨ uhrt nun zu recht komplexen zeit¨ lichen Anderungen der Windproﬁle u¯(z,t) und v¯(z,t), die praktisch nur durch numerische L¨ osungen der Gleichungen erhalten werden kann. Als Beispiel seien jedoch Beobachtungen der Windgeschwindigkeit in verschiedenen H¨ ohen in Bild 21.17 dargestellt. Man erkennt besonders die wohl den meisten gel¨ auﬁge Windabschw¨ achung in den Abendstunden.

Bild 21.17 Beobachtete zeit¨ liche Anderung des Betrages der Windgeschwindigkeit in verschiedenen H¨ohen bedingt durch Variationen des turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten Km im Tagesverlauf

¨ Der ziemlich rasche Ubergang von einer labilen, mehr turbulenten Tagesgrenzschicht auf eine stabile, turbulenzarme n¨achtliche Grenzschicht f¨ uhrt noch zu einem anderen Windph¨anomen, das unter dem Begriﬀ Tr¨ agheitskreis und Grenzschichtstrahlstrom bekannt ist. Hierzu machen wir folgendes Gedankenexperiment: Es werde eine station¨are Grenzschicht betrachtet, in der sich entsprechend ¨ (21.37) eine Windverteilung wie etwa in Bild 21.9 eingestellt hat. Der Ubergang von Tages- auf die Nachtgrenzschicht soll schlagartig erfolgen, wobei gelten soll: tags: Km = 0, nachts: Km = 0 Wegen Km = 0 f¨ ur t = 0 erh¨alt man statt Gleichung 21.69:

21.13 Die instation¨are Ekmanschicht

335

∂u ¯ − f (¯ v − v¯g ) = 0 , ∂t

(21.70) ∂¯ v + f (¯ u−u ¯g ) = 0. ∂t Die großr¨ aumige Druckverteilung soll station¨ar angenommen werden, woraus sich f¨ ur den ageostrophischen Wind ergibt: ∂ug ∂vg = =0 ∂t ∂t Mit der Deﬁnition des geostrophischen Windes u ¯a = u ¯ − ug , v¯a = v¯ − vg l¨aßt sich 21.70 schreiben als: ∂u ¯a − f v¯a = 0 , ∂t

(21.71) ∂¯ va + fu ¯a = 0. ∂t Diese Gleichung hat dieselbe Form wie Gleichung (9.32), die als L¨ osung den so genannten Tr¨ agheitskreis (9.34) hatte. Somit erh¨ alt man f¨ ur (21.71) mit den Anfangsbedingungen: t=0:u ¯a = u ¯a (0) , v¯a = v¯a (0) die L¨ osung: ¯a (0) cos f t , va (t) = v¯a (0) sin f t . ua (t) = u Die L¨ osung ist in Bild 21.18 f¨ ur den Fall dargestellt, dass der ageostrophische Wind in u ¯-Richtung liegt (vg = 0 , |vg | = ug ). Der geostrophische Windvektor va beschreibt mit der Zeit einen Kreis um den Endpunkt des ageostrophischen Windvektors. Die Kreisfrequenz betr¨agt wie beim Tr¨ agheitskreis (9.34) ω = f und die Tr¨ agheitsperiode τ = 2π . F¨ u r das zeitliche Verhalten des Windvektors f u(t) selbst erkennt man aus Bild 21.18, daß dieser f¨ ur einen gewissen Zeitabschnitt den Betrag des geostrophischen Windes deutlich u ¨bertriﬀt. Im Vertikalproﬁl der Windgeschwindigkeit entsteht dadurch in der unteren Grenzschicht (ca. 300 − 600 m H¨ ohe) ein Windmaximum, welches als “Grenzschichtstrahlstrom” oder im englischen als “Low Level Jet” bezeichnet wird.

336

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

Bild 21.18 Zeitlicher Verlauf des Windvektors v(t) und des ageostrophischen Windes va im Fall einer schlagartigen Reduzierung der turbulenten Reibung zum Zeitpunkt t = 0

21.14

Das Temperaturproﬁl in der Grenzschicht

Nachdem in Kapitel 21.6 der Verlauf der Lufttemperatur in der bodennahen Grenzschicht (Prandtl-Schicht) behandelt wurde, soll zum Abschluss das Temperaturproﬁl in der gesamten Grenzschicht behandelt werden. Wir gehen vom gemittelten ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der Form (21.23) aus und setzen, wie bei der Behandlung des Windproﬁls in den vorausgegangenen Kapiteln, horizontale Homogenit¨at voraus. In diesem Fall h¨ angt der Temperaturverlauf nur von der Zeit (t) und der H¨ohe (z) ab: ∂ θ¯ ∂ ¯˙ . = − w θ + Q (21.72) ∂t ∂z ¯˙ kann durch die Divergenzen von kurz- und Die diabatische W¨armezufuhr Q langwelligen Strahlungsﬂ¨ ussen sowie durch Phasenumwandlungen des Wasserdampfes erfolgen (siehe Kapitel 5). Im weiteren behandeln wir nur eine trockene Atmosph¨ are und schließen somit Phasenumwandlungen aus. Hinsichtlich der Strahlungsstromdivergenzen kann man in erster N¨aherung annehmen, dass die solare Strahlung praktisch ungehindert die Grenzschicht durchdringt und die langwellige Strahlung in der wasserdampﬀreien Atmosph¨ are keine Wirkung hat. Somit verbleibt f¨ ur die weitere Betrachtung ∂ θ¯ ∂w θ =− . ∂t ∂z

(21.73)

¨ Die zeitliche Anderung der gemittelten potentiellen Temperatur ist somit proportional zur negativen Divergenz des turbulenten W¨ armestromes w θ . Im Falle

21.14 Das Temperaturproﬁl in der Grenzschicht

337

¯ von Stationarit¨ at, d.h. ∂ θ/∂t = 0 erg¨abe sich aus (21.73) ein h¨ ohenkonstanter turbulenter W¨ armestrom . Dieser Fall wurde bereits in Kapitel 21.6 f¨ ur die PrandtlSchicht ausf¨ uhrlich behandelt. Aus Messungen hat sich aber ergeben, dass u ¨ber die gesamte Grenzschicht (also bis in 1-2km H¨ohe) der turbulente W¨ armestrom keineswegs konstant ist, sondern im allgemeinen betragsm¨ aßig mit der H¨ ohe abnimmt (dies ist schematisch in Bild 21.19 dargestellt). Aus (21.73)folgt somit, dass es in der Grenzschicht keine station¨aren Temperaturverh¨ altnisse geben kann. Dieser Fall soll im Folgenden n¨aher betrachtet werden. Mit Hilfe des Gradientansatzes f¨ ur den turbulenten W¨ armeﬂuss (21.26) w θ = ¯ −Kh ∂ θ/∂z l¨ asst sich (21.73) auch schreiben als: ∂ θ¯ ∂ ∂ θ¯ = Kh . (21.74) ∂t ∂z ∂z Dies ist die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur eine turbulente Grenzschicht. Bei Kenntnis des turbulenten W¨armeleitkoeﬃzienten Kh und der Randbedingungen l¨ asst sich (21.74) als Rand-Anfangswert-Problem l¨osen (h¨ auﬁg nur auf numerischem Weg).

Bild 21.19 Typische Vertikalproﬁle der mittleren potentiellen Temperatur θ und des turbulenten W¨ armestroms w θ bei labiler Schichtung. Der obere Rand der Grenzschicht ¨ in der H¨ ohe zi ist durch den Ubergang zu einer stabilen Schichtung gekennzeichnet.

Typische Vorgaben f¨ ur die Randwerte ergeben sich aus den Beobachtungen, dass sich die Lufttemperatur in großer Entfernung von der Erdoberﬂ¨ ache nur wenig ¨ andert und am Erdboden einen Tagesgang aufweist: z → ∞ : θ¯ = θ∞ = konstant z = 0 : θ¯ = θ0 (t) Woher erh¨ alt man nun Werte f¨ ur die Variation der bodennahen Lufttemperatur? Dazu ist in Kapitel 5.5 u ¨ber den Treibhauseﬀekt bereits der globale Mittelwert dieser Temperatur aus dem Strahlungsgleichgewicht hergeleitet worden. Die Wirkung von solarer Einstrahlung und langwelliger Ausstrahlung gilt nat¨ urlich auch f¨ ur die lokale Betrachtung der Grenzschichtprozesse. Neben diesen Energieumsetzungen treten an der Erdoberﬂ¨ ache noch weiter Prozesse auf

338

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

(Bild 21.20).

Bild 21.20

Energiestr¨ome an der Erdoberﬂ¨ache

Die durch den Tagesgang der solaren Einstrahlung bedingten Temperaturver¨anderungen f¨ uhren zu einem Temperaturgradienten im Erdboden, da in ein bis zwei Metern Tiefe die Temperatur praktisch keinen Tagesgang aufweist. Den durch diesen Temperaturgradienten erzeugten W¨ armestrom nennt man auch Bodenw¨ armestrom : ∂T B = −μ ,z < 0 . (21.75) ∂z μ ist die W¨ armeleitf¨ahigkeit des Erdbodens und muss aus Messungen bestimmt werden. Die erw¨ armte (oder abgek¨ uhlte) Erdoberﬂ¨ache bewirkt außerdem, dass Temperaturgradienten in der dar¨ uberliegenden Luft entstehen, die ihrerseits einen turbulenten W¨ armestrom bewirken. Dieser wird im allgemeinen als f¨ uhlbarer W¨ armestrom (H) bezeichnet und steht u ¨ber den Gradientansatz mit der Temperatur in Beziehung: ∂ θ¯ . (21.76) ∂z Im allgemeinen ist der Erdboden feucht. Dies f¨ uhrt zur Verdunstung von Wasserdampf, d.h. es entsteht ein Wasserdampftransport in die dar¨ uber liegende Atmosph¨ are. Dieser turbulente Wasserdampftransport wird auch als latenter W¨ armestrom (E) bezeichnet. H = cp ρ¯w θ = −cp ρ¯ Kh

∂ q¯ . (21.77) ∂z Hierin ist lv die latente Verdunstungsw¨arme und q die speziﬁsche Feuchte. Kw ist der turbulente Diﬀusionskoeﬃzient f¨ ur Wasserdampf. Die Erdoberﬂ¨ ache kann selber keine Energie in Form von W¨ arme speichern, da sie ja nur die Grenzﬂ¨ache zwischen zwei Medien (Luft, Boden) ist. Daher muss an dieser Grenzﬂ¨ ache die Bilanz der Energiestr¨ome ausgeglichen sein, d.h. es gilt: E = lv ρ¯w q

= −lv ρ¯Kw

21.14 Das Temperaturproﬁl in der Grenzschicht S0 + L0 + B0 + H0 + E0 = 0 .

339 (21.78)

Der Index 0“ besagt, dass die jeweiligen Energiestr¨ ome an der Erdoberﬂ¨ ache ” gewonnen werden m¨ ussen.

Bild 21.21 Oben: Tagesgang der Energieﬂ¨ usse am Erdboden u ¨ber einem unbewachsenen, feuchten Untergrund. Hinsichtlich der Vorzeichen gilt hier: Q = B + E + H. Unten: Tagesgang der Oberﬂ¨achentemperatur (T0 ) sowie der Temperatur im Erdboden in 0.2m Tiefe (T−0,2 ) und in der Luft in 1.2m H¨ohe (T1,2 )

Die Summe aus kurzwelliger Strahlung S0 und langwelliger Strahlung L0 wird h¨auﬁg auch als Strahlungsbilanz bezeichnet und mit Q0 symbolisiert. Die Energiebilanz erm¨ oglicht nun eine Bestimmung der Oberﬂ¨ achentemperatur T0 , wie sie in der W¨ armeleitungsgleichung (21.74) als unterer Randwert ben¨ otigt wird. Die langwellige Ausstrahlung des Erdbodens ist n¨amlich entsprechend dem StefanBoltzmann Gesetz (siehe Kapitel 5.2) gegeben durch: L0a = σT04 . Diese wird durch die langwellige Gegenstrahlung der dar¨ uberliegenden Atmosph¨ are (L0g ) teilweise kompensiert (siehe Kapitel 5.5). In Bodenn¨ ahe ist die potentielle Temperatur θ0 praktisch gleich der aktuellen Temperatur T0 . Somit kann die als untere Randbedingung in der W¨armeleitungsgleichung (21.74) ben¨ otigte Bodentemperatur θ¯0 aus (21.78) bestimmt werden durch:

340

21 Die atmosph¨ arische Grenzschicht

4

σ θ¯0 = −(S0 + Log + B0 + H0 + E0 ) .

(21.79)

Der tageszeitliche Verlauf von θ¯0 wird stark durch den Tagesgang der solaren Einstrahlung S0 gepr¨agt. Da aber die turbulenten W¨ armeﬂ¨ usse H0 und E0 ¨ wiederum von der Anderung der Temperatur- bzw. Feuchte in der bodennahen Luftschicht abh¨ angen, weisen auch diese Energieﬂ¨ usse, sowie der Bodenw¨ armestrom B0 , eine tageszeitliche Variation auf. Ein Beispiel f¨ ur den Tagesgang der Energieﬂ¨ usse an der Erdoberﬂ¨ache und die daraus folgende Variation der Temperatur in Bodenn¨ahe ist in Bild 21.21 dargestellt. Kurz- und langwellige Strahlungsstr¨ ome sind dabei zur Strahlungsbilanz Q zusammengefasst, der Index 0“ ” f¨ ur den Bodenwert wurde fortgelassen. Man erkennt die unterschiedlichen Amplituden der Temperaturen an der Erdoberﬂ¨ache, in der Luft und im Erdboden. Aus dem Vergleich der Verl¨aufe der Bodentemperatur T0 und der Lufttemperatur in 1,2m H¨ ohe ist auch der starke vertikale Temperaturgradient in der bodennahen Luftschicht zu erkennen. Dies ist auch im vertikalen Temperaturproﬁl f¨ ur die gesamte Grenzschicht in Bild 21.19 skizziert.

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are Das Berufsbild der Meteorologen hat sich in den letzten Jahrzehnten stark erweitert. Wurden fr¨ uher die meisten Studienabg¨anger in den Wetterdiensten mit der Problematik der Wettervorhersage besch¨aftigt, so hat sich in letzter Zeit in der Umweltproblematik ein weites Bet¨atigungsfeld f¨ ur Meteorologen er¨ oﬀnet. Von meteorologischer Seite geht es dabei vor allem um die Ausbreitung von anthropogenen Spurenstoﬀen z. B. SO2 , CO2 , NOx in der Atmosph¨ are. Dies reicht von der Ausbreitung von Luftschadstoﬀen im Nahbereich von Quellen (z. B. Schornsteinen) bis hin zum globalen Transport von radioaktiven Substanzen (z. B. beim Unfall von Tschernobyl) oder Staubpartikeln beim Ausbruch von Vulkanen. Da aber die meisten Luftbeimengungen in der unteren Grenzschicht freigesetzt werden, liegt das Hauptinteresse im Umweltbereich auf der Ausbreitung dieser Stoﬀe und deren Auswirkung auf Mensch, Tier und Pﬂanzenwelt. Die Atmosph¨ are tritt dabei sozusagen als Transportmittel auf. Zum einen werden freigesetzte Schadstoﬀe mit dem Wind von der Quelle wegtransportiert. Andererseits bewirkt die Turbulenz in der atmosph¨ arischen Grenzschicht auch eine Verteilung der Stoﬀe quer zur Windrichtung, was man auch als turbulente Diﬀusion bezeichnet. Es liegt somit nahe, im Anschluss an das Kapitel Atmosph¨arische Grenzschicht einige theoretische Grundlagen zur Ausbreitung von anthropogenen Stoﬀen in der Atmosph¨are bereitzustellen, was im folgenden geschehen soll.

22.1

Die Diﬀusionsgleichung

Die atmosph¨ arische Str¨omung hat wie jede Str¨ omung die F¨ ahigkeit, Substanzen (z. B. Wasserdampf, Staub, Schadgas) zu transportieren. Dieser Transport geschieht zum einen durch die mittlere Str¨omung (Windfeld) und zum anderen durch turbulente Bewegungen. Durch letztere kann die Substanz auch senkrecht zur mittleren Bewegungsrichtung verbreitet werden: ein Vorgang, den man als Diﬀusion bezeichnet. Da wir es in der Atmosph¨ are mit einer turbulenten Str¨ omung zu tun haben, bezeichnet man eine Ausbreitung von Substanzen, die nicht mit der mittleren Str¨omung erfolgt, als turbulente Diﬀusion. Der Begriﬀ turbulente Diﬀusion war schon in den vorangegangenen Kapiteln u ¨ber turbulente Str¨omungen verwendet worden, und zwar im Zusammenhang mit dem turbulenten Transport von Impuls und W¨ arme. Letztere sind zwar keine Substanzen, jedoch wird in diesem Fall eine Eigenschaft der Luftstr¨ omung (n¨amlich Impuls oder W¨arme) transportiert. Aus diesem Grund war bereits die Bezeichnung turbulenter Diﬀusionskoeﬃzient f¨ ur Impuls oder W¨ arme eingef¨ uhrt

342

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

worden. Im folgenden soll aber nicht die Diﬀusion von Eigenschaften, sondern von Beimengungen in der Atmosph¨are betrachtet werden. Die in einem Luftvolumen enthaltenen Substanzen werden im allgemeinen durch eine Konzentrationsangabe quantiﬁziert, die im weiteren mit c bezeichnet werden soll: [c] = kg m−3 , z. B. SO2 , CO, Staub usw. Die Transportgleichung f¨ ur die Konzentration lautet: dc = Pc . (22.1) dt Diese Gleichung besagt, dass sich die Konzentration c einer Substanz in einem individuellen Luftvolumen mit der Zeit nur ver¨ andert, wenn eine Quelle oder ur c vorhanden ist, d. h. wenn Substanz in das Luftvolumen hinein- bzw. Senke Pc f¨ herausgebracht oder aufgrund chemischer Reaktionen produziert bzw. abgebaut wird. Auf die obige Gleichung wird nun die Eulersche Zerlegung angewendet und die daraus resultierende Gleichung einer zeitlichen Mittelung unterworfen, wobei bereits von einer divergenzfreien Str¨omung ausgegangen wird. Man erh¨ alt damit aus (22.1) die Gleichung: ∂u c ∂¯ c ∂¯ c +u ¯k = − k + P¯c . (22.2) ∂t ∂xk ∂xk Diese Gleichung hat die gleiche Struktur wie die in Kapitel 19 hergeleitete W¨armeleitungsgleichung f¨ ur eine turbulente Str¨omung. Sie enth¨ alt auf der linken ¨ Seite die zeitliche Anderung der Konzentration am festen Ort und den Transport von c¯ mit der mittleren Geschwindigkeit u ¯k . Auf der rechten Seite stehen die Divergenz des turbulenten Transportes uk c und die Quellen bzw. Senken Pc . Wie bereits beim Problem des turbulenten Impuls- und W¨ armetransportes werden auch hier die turbulenten Fl¨ usse mit Hilfe des Gradientansatzes durch die gemittelten Konzentrationen ausgedr¨ uckt, ∂¯ c . (22.3) ∂xk Der Index c,k beim Diﬀusionskoeﬃzienten K soll andeuten, dass es sich um den turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten f¨ ur die sich ausbreitende Substanz der Konzentration c handelt, der drei Komponenten in Richtung des jeweiligen xk besitzt. (22.3) lautet in Komponenten: uk c = −Kc,k

u c = −Kc,x

∂¯ c , ∂x

v c = −Kc,y

∂¯ c , ∂y

w c = −Kc,z

∂¯ c . ∂z

(22.4)

Im weiteren soll der Index c beim Diﬀusionskoeﬃzienten weggelassen werden, da es sich stets um die Ausbreitung von Luftbeimengungen handeln soll. Die Gleichung f¨ ur die Beschreibung der Ausbreitung einer Substanz mit der Konzentration c¯ in der Atmosph¨are lautet mit (22.2) bis (22.4):

22.2 Die Konzentrationsverteilung f¨ ur momentane Punktquellen

343

∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂¯ c ∂ ∂ ∂ +u ¯ + v¯ +w ¯ = Kx + Ky + Kz + P¯c . (22.5) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Gleichung (22.5) wird h¨auﬁg als Diﬀusionsgleichung bezeichnet, obwohl neben den Diﬀusionstermen auch die Advektionsterme auftreten. Eine geeignetere Bezeichnung w¨ are Transportgleichung, da der Transport der Konzentration durch Advektion und Diﬀusion insgesamt von (22.5) beschrieben wird. In den folgenden Abschnitten sollen nun einige L¨osungen der Transportgleichung angegeben werden, mit denen man dann die Konzentrationsverteilung von Luftbeimengungen in der Atmosph¨are bestimmen kann.

22.2

Die Konzentrationsverteilung fu ¨ r momentane Punktquellen

Das Problem der Berechnung von Konzentrationsverteilungen von Luftbeimengungen (h¨ auﬁg Schadstoﬀe) besteht darin, die Ausbreitung der aus einer Quelle in die Atmosph¨ are austretenden Substanz r¨aumlich und/oder zeitlich zu erfassen. Man unterscheidet zwischen Punktquellen (z. B. Schornsteine), Linienquellen (z. B. Kondensstreifen von Flugzeugen) und Fl¨achenquellen (z. B. große Sandﬂ¨achen). Als momentane Quelle bezeichnet man eine solche, bei der nur zu einem Zeitpunkt t0 Substanz freigesetzt wird, wie z. B. bei einer Explosion. Im Gegensatz dazu nennt man eine Quelle, bei der st¨ andig, und zwar mit gleichbleibender St¨ arke, Substanz ausgestoßen wird, kontinuierliche Quelle. Es soll zun¨ achst die Ausbreitung einer Substanz aus einer momentanen Punktquelle betrachtet werden. Dazu werden noch einige Voraussetzungen gemacht und so die Transportgleichung (22.5) vereinfacht: (a)

u ¯ = v¯ = w ¯=0

D. h. es erfolgt kein Transport mit der mittleren Str¨ omung. Da aber ohne mittlere Str¨omung außer bei labiler Schichtung keine turbulenten Transporte auftreten, l¨ asst sich diese Voraussetzung auch dahingehend formulieren, dass die Ausbreitung in einem Koordinatensystem betrachtet wird, das mit der mittleren Str¨ omung mitdriftet.

(b)

∂Kx ∂Ky ∂Kz = = = 0 D. h. die turbulenten Diﬀusionskoeﬃzien∂x ∂y ∂z ten sind r¨aumlich konstant.

(c)

Pc = 0

W¨ahrend der Ausbreitung wird weder Substanz vernichtet noch produziert.

Mit diesen Voraussetzungen erh¨alt man aus (22.5)

344

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

∂¯ c ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ = Kx 2 + Ky 2 + Kz 2 . ∂t ∂x ∂y ∂z

(22.6)

Diese Gleichung enth¨alt nur noch Diﬀusionsterme als Ursache f¨ ur die Ausbreitung der Substanzkonzentration c¯ und wird nach dem deutschen Physiologen A. Fick (1829–1901), der sie erstmals f¨ ur molekulare Diﬀusion aufstellte, als Ficksche Diﬀusionsgleichung bezeichnet. Zur L¨osung dieser Gleichung m¨ ussen wir noch angeben, an welchem Ort (xq ,yq ,zq ) im kartesischen Koordinatensystem sich die Punktquelle beﬁndet und welche Substanzmenge Q (mit der Dimension einer Masse) zur Zeit t = 0 freigesetzt wird. Die L¨osung der Fickschen Diﬀusionsgleichung lautet dann:

c¯(x,y,z,t) =

Q 3

1

(4π t) 2 (Kx Ky Kz ) 2

(x − xq )2 (y − yq )2 (z − zq )2 − − exp − 4Kx t 4Ky t 4Kz t

!

.

(22.7) Die physikalische Aussage dieser L¨osung f¨ ur die Konzentrationsverteilung ist die folgende: Nach Freisetzen der Masse Q zur Zeit t = 0 breitet sich die Substanz gem¨ aß einer Exponentialfunktion r¨aumlich um den Quellpunkt (xq ,yq ,zq ) aus, und zwar symmetrisch hinsichtlich jeder Achse des Koordinatensystems. Gleichzeitig wird die Konzentration mit der Zeit verringert (beachte den Faktor vor der expFunktion). Dieser Ausbreitungs- oder Diﬀusionsvorgang l¨ asst sich anschaulich f¨ ur eine zweidimensionale Konzentrationsverteilung (in der y-z-Ebene) darstellen. Dies ist in Bild 22.1 gezeigt. In dieser Darstellung sind die geschlossenen Kurven Linien gleicher Konzentration, wobei die jeweils a¨ußere diejenige mit dem Konzentrationswert c¯ = c¯0 ≈ 0 ist. Die unteren Kurven stellen die Konzentrationsverteilung in der y-Richtung symmetrisch zum Quellpunkt dar, die seitlichen die entsprechende Verteilung in z-Richtung. Die Diﬀusionskoeﬃzienten sind so gew¨ ahlt, dass √ Ky = 2Kz ist. Dadurch erfolgt Ausbreitung in y-Richtung um den Faktor 2 schneller als in z-Richtung. Dies l¨ asst sich am einfachsten einsehen, wenn man zun¨ achst Ky = Kz setzt, so dass die Ausbreitung isotrop erfolgt und somit die Linien gleicher Konzentration kreisf¨ ormig sind. Multipliziert man dann den Diﬀusionskoeﬃzienten f¨ ur die yRichtung mit einem dimensionslosen Faktor α ≥ 1 (hier α = 2), so muss man dies, √ um auf derselben Linie gleicher Konzentration zu bleiben, durch einen Faktor α vor der Entfernung (y − yq ) von der Quelle kompensieren. Dies bedeutet aber gerade, dass die Isolinie in y-Richtung entsprechend weiter von der Quelle entfernt ist als in z-Richtung. Der zeitliche Verlauf der Ausbreitung der Substanz vom Quellpunkt aus ist durch die Abfolge der beiden Darstellungen von links nach rechts angedeutet:

22.3 Konzentrationsverteilung f¨ ur kontinuierliche Punktquellen

345

Zum Zeitpunkt t = t2 hat sich die Substanz gegen¨ uber dem Zeitpunkt t = t1 u ¨ber eine gr¨ oßere Entfernungen zur Quelle ausgebreitet. Gleichzeitig ist die maximale Konzentration der Verteilung gesunken. Dies verdeutlicht das Prinzip der turbulenten Diﬀusion: Die an einem Ort freigesetzte Substanzmasse wird u ¨ber den gesamten Raum verteilt, wobei die Konzentration am Quellpunkt st¨andig verringert wird.

22.3

Konzentrationsverteilung fu ¨ r kontinuierliche Punktquellen

Es soll jetzt die Ausbreitung einer Substanz aus einer kontinuierlichen Punktquelle betrachtet werden. Bei einer solchen Quelle wird zu jedem Zeitpunkt die gleiche Substanzmenge pro Zeiteinheit (kg s−1 ) freigesetzt. Wenn man in diesem Fall den reinen Diﬀusionsvorgang untersucht, also ohne Transport durch mittlere Str¨omung, so erh¨ alt man zwar auch eine ¨ahnliche Konzentrationsverteilung wie in Bild 22.1 dargestellt, der Betrag der Konzentration nimmt aber mit der Zeit zu, da st¨ andig zus¨atzliche Substanzmengen aus der Quelle freigesetzt werden. Ein station¨ arer Zustand, d. h. ein solcher, bei dem sich die Konzentration am festen Ort nicht mit der Zeit ¨andert, kann sich bei einer kontinuierlichen Punktquelle nur einstellen, wenn durch die mittlere Str¨omung ein Abtransport der Substanz vom Quellpunkt stattﬁndet und sich die Substanz gleichzeitig durch turbulente Diﬀusion ausbreitet. (a) Fr¨ uher Zeitpunkt t = t1 : ... ........ z z ........... . c¯0...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .... ........ c¯0 .... c¯.1.................. ..... .. c¯. .......... .. .. .............. .............. .. ... .. zq .... .................. .... y ......... ........... ........ ........ ....... ............... ... .. .

c¯................ . .. .. .... ... ... ... ... .... ... . . . ... c¯0 ... ..... . . . . ....... . ...... yq

(b) Sp¨ aterer Zeitpunkt t = t2 :

... ........ z .. z ........... . c¯0... ............................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . .... . .....c¯ ...................... ....... . . . ... ... .. c¯0 ... 1... ... .. ................ ...c¯............ ... zq ... ... . . . ... ...... ...... .. y ... . . . . . . . . . . . ..... ...... ..... .... ........ ....... ................................. ...... ... .. .

c¯0 < c¯1 Ky = 2 Kz ................

y

c¯ ......... ....................... .... ... . . ... . ... ... . ... . . . .... c¯0 .... ..... . . . . ....... ................ . ..... yq y

Bild 22.1 R¨ aumlicher und zeitlicher Verlauf der Diﬀusion nach der Fickschen Gleichung, dargestellt f¨ ur zwei Zeitpunkte nach der Emission. Die Abbildung zeigt die horiur zwei zontalen und vertikalen Konzentrationsproﬁle f¨ ur Ky = 2 Kz und die Isolinien f¨ beliebig gew¨ ahlte Konzentrationen c¯0 < c¯1 .

346

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

Um die Konzentrationsverteilung f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle zu erhalten, gehen wir von der Transportgleichung (22.5) aus und machen neben den Punkten (b) und (c) von Seite 343 zus¨ atzlich folgende Voraussetzungen: (d) (e)

∂¯ c =0 ∂t

Station¨are Verh¨altnisse

u ¯(x,y,z,t) = konstant Es bleibt von Voraussetzung (a): v¯ = w ¯ = 0. Dies impliziert, dass die x-Achse in Richtung von u ¯ weist.

Mit diesen Voraussetzungen vereinfacht sich die Transportgleichung (22.2) zu ∂¯ c ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ ∂ 2 c¯ = Kx 2 + Ky 2 + Kz 2 . (22.8) ∂x ∂x ∂y ∂z Dies l¨ asst sich auch aus der Gleichung (22.6) f¨ ur eine momentane Quelle erhalten, wenn man dort die Transformation t = x/¯ u einsetzt. In diesem Fall geht ∂¯ c/∂t in u ¯ ∂¯ c/∂x u ¨ber. Man erh¨alt die L¨osung der Gleichung (22.8) durch analoges Vorgehen aus der L¨osung f¨ ur den instation¨aren Fall (22.7), indem man dort t durch x/¯ u ersetzt. Die Analogie zwischen (22.6) und (22.8) bedeutet anschau¨ lich, dass man die zeitliche Anderung der Konzentration durch reine Diﬀusion beschreiben kann (jeweils die rechte Seite beider Gleichungen), wenn man sich im Fall einer kontinuierlichen Quelle mit dem mittleren Wind u¯ parallel zur x-Achse bewegt. In jeder Entfernung x vom Quellpunkt entspricht die Konzentrationsverteilung derjenigen einer momentanen Punktquelle am Quellpunkt xq zur Zeit t = x/¯ u. Man kann so die Darstellung der zweidimensionalen Konzentrationsverteilung in der y-z-Ebene in Bild 22.1 auch f¨ ur eine kontinuierliche Quelle interpretieren, wenn man f¨ ur die Zeitpunkte. t1 und t2 die Entfernungen x1 = u ¯t1 und x2 = u ¯ t2 einsetzt. Um die L¨ osung der Gleichung (22.8) zu erhalten, macht man h¨ auﬁg noch eine weitere Voraussetzung, die allerdings an den obigen Betrachtungen prinzipiell nichts ¨ andert: u ¯

(f)

∂¯ ∂ 2 c¯ c K u ¯ x ∂x ∂x2

D. h. die Advektion der Konzentration mit dem Grundstrom soll wesentlich gr¨ oßer sein als die Diﬀusion in Richtung des Grundstromes, so dass letztere gegen¨ uber der ersten vernachl¨assigt werden kann.

Diese in der Diﬀusionstheorie h¨auﬁg getroﬀene Annahme l¨ asst sich wie folgt interpretieren: Wenn man die Diﬀusion in x-Richtung ber¨ ucksichtigt, breitet sich die Substanz um einen Punkt in Quellh¨ohe mit zunehmender Entfernung von der Quelle

22.3 Konzentrationsverteilung f¨ ur kontinuierliche Punktquellen . (a) z .....

... .... .

.............................................. ..... ... .... .... .... .... ........................................ .......................... ... ... .... .... . ..... .. ... .. ... ... ... ... .. .. .... ... .... ... ... ... ... .......... .. .... . .. ....... ... . ... .... .. ... ... ... . .... .... . ... ... ... .. . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... . . .. ... .. . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ....... ... ... ...... ......................... ....... Q ..... .... .... .... .... ................................................. .. .... ......................... . . . . . . . . . . . . . . ......... .... .... .... ..................................................................... . . . . . . . . ... ....................................... .. . . . . . . .... .... .. .. ... ... .... ........ ... . ... .. ... .. ..................... .... .... ..... ......... y........... ... ... .... .... .... . .. ... . ... .... .. .... ... ..... . . . . . . . . . . . ..................................................................... ... .... . ...... ... . ....... ...... . . . . . . . x x x . x 1 2 3 .... . ... . .... .... . ...... .. (b) z ..... u ¯ ........ ..... ... .... .... .... .... .... .... .... ......... ....... . . ... ....... ... ... ....... ... . ... .... . ... ... ... .... . . . ..... . .... .... . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . .. ..... ..... . . ... . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ..... .... . ..... . ......... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Q .... .... .... ............ .. ... .............. . . ....... .... .... .... ............. ... . . . . . . . ........ .... .... . . . . ... ... ..... ... .. ...... .... ... y........... ... .... .... . . ... .... .. . . . . . . .... .... . .. . ... .... ... ... ... ..... ..... .. ..... .. ... . .... .... . ...... . ........ . . . .... . x x x . x . 1 2 3 . .. u ¯

347

Bild 22.2 Konzentrationen f¨ ur eine in den Grundstrom emittierende Quelle (a) mit Diﬀusion in x-Richtung: dreidimensional, (b) ohne Diﬀusion in x-Richtung: zweidimensional

r¨aumlich aus (in Bild 22.2 kugelf¨ormig angedeutet). L¨ asst man aber die Voraussetzung (f) zu, so erfolgt die Diﬀusion nur noch zweidimensional in der y-z-Ebene (in der Abbildung als Kreisscheibe dargestellt). In diesem Fall erfolgt die Ausbreitung einer Substanz in x-Richtung nur durch Advektion mit der mittleren Geschwindigkeit u ¯. Mit der Voraussetzung (f) lautet die L¨osung der Transportgleichung f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle (22.8): Q u ¯ % c¯(x,y,z) = exp − 4x 4π x Ky Kz

y2 (z − h)2 + Ky Kz

!

.

(22.9)

Hierbei ist zur Vereinfachung das Koordinatensystem so gew¨ ahlt worden, dass die Quelle bei x = 0, y = 0 und z = h liegt. Im Gegensatz zur L¨ osung (22.7) hat hier die Quellst¨ arke Q die Dimension [Q] = kg s−1 , gibt also an, wieviel Masse der Substanz pro Zeiteinheit aus der Quelle freigesetzt wird. Die Konzentrationsverteilung (22.9) hat f¨ ur jeden Abstand x vom Quellpunkt die Form einer zweidimensionalen Gauß-Verteilung in der y-z-Ebene (dazu N¨ aheres im folgenden Abschnitt). Der Betrag der Konzentration in der H¨ ohe z = h nimmt mit zunehmender Entfernung von der Quelle ab. Gleichzeitig verbreitert sich die Rauchfahne, d. h. es diﬀundiert Substanz in y- und z-Richtung. Dieses Verhalten ist in Bild 22.3 graphisch dargestellt. Die Grenze der sichtbaren Rauchfahne (Konzentrationsverteilung) ist durch den Ausbreitungskegel angedeutet. Die zweidimensionale Gaußsche Form der Konzentrationsverteilung ist in der Kegelschnittﬂ¨ ache dargestellt.

348

...... ... ... .... .... ... ... ..... .... ...

h.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ........

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

. z ...... z ....... .. ..... .. ........ y ............... ........................ ................... . . . . . . . . . . . . . ... . . . ..... . . . ... ... .............. . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . ..... .... ...... . . . ....... .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . .. . . . . .. ... . . . ..... . ............... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... .. . .......... ... ... ... .................... ..... ..... .................. ..... ... .............................. ...... .... .................. . ...................................... .................. ... . ... .... ................................................... ... . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ....... .......... .. ..... ... .................................................................. ..... .... .... ............ .... ................... . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . ..... . . . ............ ................. .......... .............................. ... ... ... . ..... . . . . ..................................................... . . . . . . . . . .................. ... . .. .......... ...... ..... c¯ .................. ........................ ........ .. .................. .................. ... ........................................................ .................. ..... . . . . . . ... .................... ... ....... ...... .... .................. .. .. ....... .... .................. ... ........ .. .. .................. ...... ......... ... ....... . ..... .................. ........................ ... .......... .... .................. ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. ..... .. ................... .... .............. ................ ....... .... .... ... ..

y .......... .... . . . . ¯..................................... .... ...................................u . . . . ...... ........ ................................................................................................................................................................................... .............. . x

22.4

Bild 22.3 Konzentrationen f¨ ur eine kontinuierlich in den Grundstrom emittierende Quelle, dargestellt f¨ ur den Fall, dass die Diffusion in Richtung des Grundstroms gegen¨ uber der Grundstromadvektion vernachl¨assigbar ist

Die Konzentrationsverteilung als Gaußsche Normalverteilung

Die Konzentrationsverteilungen (22.7) und (22.9), die man als L¨ osungen der Transportgleichung f¨ ur eine momentane bzw. f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle erh¨alt, haben die Form einer symmetrischen Exponentialfunktion, deren Argument quadratisch von x, y und z abh¨angt. Diese Gestalt hat aber auch die aus der Statistik bekannte Gaußsche Normalverteilung, die allgemein geschrieben werden kann als

1 (y − y0 )2 G(y) = √ exp − 2σ 2 2π σ

.

(22.10)

Die Kurve G(y) ist in Bild 22.4 graphisch dargestellt. Die √ Streuung σ gibt seines an, bei welchem Wert von y − y0 der Betrag von G(y) auf 1/ e ≈ 5/8 √ maximalen Wertes bei y = y0 abgefallen ist. Der Normierungsfaktor 1/ 2πσ ist gerade so gew¨ ahlt, dass das Integral u ¨ber G(y) in den Grenzen −∞ bis +∞ den Wert 1 ergibt. W¨ahlt man stattdessen als Integrationsbereich das Intervall . G(y) .... .. ............................... . . . . . . . . . . ..... .... ..... .......... .... .... ... . . . .... .... . . .... . .... .... . .... .. ... . . . . ... .. G(y0 ) ... . . . .... . . ... G(y ... .. G(y √ 0) √ 0) .... . ... . . . . e e ..... . .... . ... .. ...... . ... . . . . . ... . ........ . . . . . . . . . . .. ......... . . .................................................................................................................................................................................... y y0 −σ +σ

Bild 22.4 Darstellung der Gauß-Verteilung mit Deﬁnition der Breite der Verteilung

22.5 Diﬀusion unter Ber¨ ucksichtigung des Erdbodens

349

(−σ, + σ), so erh¨alt man den Wert 0,683, d. h. etwa zwei Drittel des gesamten Integrals (oder anschaulich: etwa zwei Drittel der Fl¨ ache unter der Kurve G(y) liegen zwischen den Grenzen −σ und +σ). Auf die Rauchfahne im vorangegangenen Abschnitt u ¨bertragen, bedeutet dies mit y0 = 0, dass sich innerhalb einer Entfernung y = ±σ von der Rauchfahnenachse 68,3 % der gesamten sich ausbreitenden Materie beﬁnden. Der Betrag der Konzentration ist bei y = ±σ auf etwa 5/8 des Wertes bei y = 0 (Rauchfahnenachse) abgefallen. Statt der oben angegebenen eindimensionalen Gauß-Verteilung kann man nat¨ urlich auch zwei- und dreidimensionale Verteilungen erhalten. In diesen F¨ allen h¨atte man eine Funktion G(x,y,z), wobei f¨ ur jede Koordinatenachse eine Verteilung wie oben dargestellt erhalten wird, aber die Streuungen σx , σy und σz voneinander verschieden sein k¨onnen. Im Fall der Konzentrationsverteilung f¨ ur eine kontinuierliche Punktquelle (22.9) haben wir es mit einer zweidimensionalen Verteilung zu tun. Es soll jetzt (22.9) mit Hilfe einer Gauß-Verteilung dargestellt werden. Dies l¨ asst sich mit folgender Transformation erreichen: Ky =

¯ 1 2u σ , 2 yx

Kz =

¯ 1 2u σ , 2 zx

bzw.

(22.11) 4

4

x x σz = 2Kz . σy = 2Ky , u ¯ u ¯ Die Streuungen σy und σz h¨angen gem¨aß (22.11) von der Entfernung x von der Quelle ab. Bei konstanten Kx , Ky und u ¯ werden die Streuungen mit wachsender Quelldistanz immer gr¨oßer, was sich als Verbreiterung der Rauchfahne auswirkt (siehe Bild 22.3). Die Konzentrationsverteilung (22.9) lautet nun mit Hilfe der Streuungen:

(z − h)2 y2 Q exp − 2 − c¯(x,y,z) = 2π σy (x)σz (x) u ¯ 2 σy (x) 2 σz2 (x)

.

(22.12)

Diese Form der Konzentrationsverteilung wird in der Praxis an Stelle der Form (22.9) verwendet, worauf im u aher eingegangen ¨bern¨achsten Abschnitt noch n¨ wird.

22.5

Diﬀusion unter Beru ¨ cksichtigung des Erdbodens

In den vorangegangenen Abschnitten sind bei der L¨ osung der Transportgleichung die notwendigen Randbedingungen nicht n¨aher erw¨ ahnt worden. Die Diﬀusion von Substanzen ist dabei im unbegrenzten dreidimensionalen Raum betrachtet worden, d. h. die R¨ander des Integrationsgebietes der Transportgleichung lagen im Unendlichen. Eine plausible Randbedingung f¨ ur die Konzentration ist in einem solchen Fall

350

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are c¯ = 0

f¨ ur y → ±∞ ,

z → ±∞ .

Die L¨ osung der Gleichung (22.8) in der Form (22.9) oder (22.12) erf¨ ullt diese Bedingungen. Will man sich aber mit der Ausbreitung von Substanzen in der realen Atmosph¨ are besch¨aftigen, so muss man das Vorhandensein des Erdbodens ber¨ ucksichtigen. Die Quellh¨ohe h ist dann gerade die H¨ ohe der Quelle u ¨ber dem Erdboden. Die Erdoberﬂ¨ache beeintr¨achtigt nur die Diﬀusion in z-Richtung, w¨ahrend diejenige in y-Richtung davon unber¨ uhrt bleibt. Auch f¨ ur den Raum oberhalb der Quelle (z → +∞) bleibt die oben angegebene Randbedingung erhalten. Am Erdboden (z = 0) muss jetzt eine neue Randbedingung formuliert werden, welche die physikalischen Eigenschaften der Erdoberﬂ¨ ache hinsichtlich der Diﬀusion von Materie ber¨ ucksichtigt. Man unterscheidet folgende Randbedingungen:

(a) (b) (c)

∂¯ c =0 ∂z

f¨ ur

z=0

Totalreﬂexion,

c¯ = 0

f¨ ur

z=0

Totalabsorption,

∂¯ c + β¯ c=0 ∂z

f¨ ur

z=0

partielle Absorption.

−w c = Kz

Kz

(22.13)

Die Bedeutung der ersten Zeile in (22.13) besteht darin, dass sich der Erdboden f¨ ur die sich ausbreitenden Materieteilchen wie eine feste Wand verh¨ alt, d. h. diese k¨ onnen sich nicht weiter nach unten ausbreiten. Am Erdboden selbst, also bei z = 0, kann also kein turbulenter Materieﬂuss w c vorhanden sein. Eine weitere Diﬀusion der dort angelangten Substanzteilchen kann von der Erdoberﬂ¨ache aus nur nach oben erfolgen. Man kann das anschaulich so auﬀassen, als wenn die Teilchen bei z = 0 reﬂektiert w¨ urden und so wieder in die Atmosph¨ are zur¨ uck gelangen, wo sie an der weiteren Ausbreitung teilnehmen k¨ onnen. Deshalb bezeichnet man die Randbedingung (22.13a) auch als Totalreﬂexion. Bei der Randbedingung (22.13b) ist genau das Gegenteil der Fall. Jedes Teilchen, das den Boden erreicht, verschwindet dort, kann also an der weiteren Ausbreitung der Substanz nicht teilnehmen. Man kann sich das als Absorption des Teilchens durch eine Wasseroberﬂ¨ache oder durch Pﬂanzen vorstellen. Die Teilchenkonzentration in der Atmosph¨are ist deshalb dort gerade gleich null, weil die Substanzteilchen der Atmosph¨are entzogen werden. Die Konzentration der Teilchen innerhalb der absorbierenden Materie (Wasser, Pﬂanzen . . .) nimmt nat¨ urlich in einem solchen Fall st¨andig zu, was aber hinsichtlich der Ausbreitung in der Atmosph¨ are ohne Belang ist. Man spricht hier von Totalabsorption. Die Randbedingung (22.13c) stellt einen Mittelweg zwischen den Extremen Totalreﬂexion und Totalabsorption dar und wird als partielle Absorption bezeichnet. Der Faktor β regelt dabei, welcher Anteil der sich ausbreitenden Materie reﬂektiert und welcher Anteil absorbiert wird.

22.6 Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung

351

Die L¨ osung der Transportgleichung (22.8) soll hier nur mit der am h¨ auﬁgsten verwendeten Randbedingung der Totalreﬂexion (22.13a) angegeben werden. Sie lautet:

Q u ¯y 2 c¯(x,y,z) = exp − · 4Ky x 4π x Ky Kz %

· exp −

u ¯(z − 4Kz x

h)2

+ exp −

h)2

u ¯(z + 4Kz x

!

(22.14)

oder, mit den Streuungen (22.11) ausgedr¨ uckt,

c¯(x,y,z) =

y2 Q exp − 2 2π σy σz u ¯ 2σy

(z − h)2 · exp − 2σz2

·

(z + h)2 + exp − 2σz2

(22.15)

!

.

Durch Vergleich von (22.14) und (22.15) mit (22.9) bzw. (22.12) erkennt man, dass bei Ber¨ ucksichtigung des Erdbodens im Sinne der Totalreﬂexion noch eine zweite Exponentialfunktion mit dem Ausdruck z + h hinzukommt. Diese entspricht gerade derjenigen Konzentration, die durch eine (ﬁktive) Quelle unterhalb des Erdbodens bei z = −h hervorgerufen und oberhalb z = 0 dem Konzentrationsfeld der realen Quelle bei z = h hinzuaddiert w¨ urde. Die gleiche Konzentrationsverteilung erhielte man auch, wenn man denjenigen Teil der von der Quelle bei z = h hervorgerufenen Konzentration, der ohne Totalreﬂexion unterhalb von z = 0 gelangen w¨ urde, nach oben spiegelte und zu der dort bereits vorhandenen Konzentrationsverteilung addierte. Diese Methode zur L¨ osung der Transportgleichung bei Totalreﬂexion nennt man deshalb auch Spiegelungsmethode.

22.6

Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung

In den vorangegangenen Kapiteln wurde das Problem der turbulenten Diﬀusion von Substanzen (Gase und Partikel) in der Atmosph¨ are untersucht. Unter stark vereinfachenden Voraussetzungen konnte man analytische L¨ osungen der Diﬀusionsgleichung erhalten. Wie kann man nun die dort angegebenen Beziehungen f¨ ur die Konzentrationsverteilung auf praktische Fragen der Luftreinhaltung anwenden?

352

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

Dazu muss zun¨ achst das zu l¨osende Problem dargestellt werden. Man ist bei der Frage der Luftreinhaltung daran interessiert, wie hoch die Konzentration eines Schadstoﬀes (z. B. SO2 , CO, NOx ) in der N¨ ahe der Erdoberﬂ¨ ache ist (also dort, wo m¨ oglicherweise Sch¨aden auftreten k¨onnen), die sich aufgrund der Emission dieses Stoﬀes aus einer Quelle einstellt. Wenn diese Konzentration einen h¨ochstzul¨ assigen Wert u adigung von Mensch, ¨berschreitet, ist die Gefahr der Sch¨ Tier, Pﬂanze usw. gegeben. Die an die Ausbreitungsrechnung gestellte Frage lautet nun: Unter welchen Umst¨anden u ¨berschreitet die durch eine Schadstoﬀquelle verursachte Konzentration den h¨ochstzul¨assigen Wert und wo (in welcher Entfernung von der Quelle) tritt dies auf? Um die bereitstehenden Beziehungen f¨ ur die Konzentrationsverteilung, z. B. (22.14) und (22.15), anwenden zu k¨ onnen, ben¨ otigt man Kenntnisse u ohe h der Quelle, Betrag ¨ber die St¨arke Q und die H¨ und (zur Festlegung der Ausbreitungsrichtung) Richtung des Windes u¯, sowie Werte der Diﬀusionsparameter Ky , Kz bzw. σy , σz . Hinsichtlich der letzteren hat es sich erwiesen, dass man nur sehr schwer Werte eines h¨ ohenkonstanten turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten angeben kann, die in der Grenzschicht einigermaßen realistisch sind. Man hat deshalb f¨ ur praktische Zwecke den folgenden Weg beschritten: Es wurden unter kontrollierten Ausbreitungsbedingungen, also bei bekannter Quellst¨ arke und bei deﬁnierten meteorologischen Parametern, Diﬀusionsexperimente durchgef¨ uhrt und die Konzentrationsverteilung gemessen. Unter der Annahme, dass sich diese Verteilung durch die Gaußsche Normalverteilung in der speziellen Form f¨ ur die Konzentration (22.15) darstellen l¨ asst, hat man die darin ben¨ otigten Streuungen σy und σz in Abh¨angigkeit von der Quelldistanz und von meteorologischen Gr¨oßen bestimmt. Letztere sind die Windgeschwindigkeit und die thermische Schichtung der Grenzschicht; beides zusammen ergibt eine Aussage u ahigkeit der ¨ber den Turbulenzzustand und damit u ¨ber die Diﬀusionsf¨ Atmosph¨ are. Aus diesen Messdaten hat man sogenannte Ausbreitungsklassen konstruiert, mit denen aus synoptischen Daten der meteorologischen Felder die Ausbreitungsparameter σy und σz als Funktion der Quelldistanz erhalten werden ... ... σy (x) ..... σz (x) ..... ... ... I I ... ... . II . . .. .. ... .II .. . . . . . . . ... ... labil .... ...... ... .... III . . . . . III . . . ... labil ..... ....... . . .. .. .. ... .... ....... ... ...... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ..... ..... ..... ...... ........IV .... ... IV ... ...... ........ .......... ... ........................ ........... ........................ ...... .. ....... ....... .. ....... ........................... . . .. . . . . . . . . . . . .. ....... .... .................. stabil ... ... ... stabil ..... ... ... ............................................................................................................................ ......................................................................................................................... x x Bild 22.5 Schematische Abh¨angigkeiten der Streuungen in y- und z-Richtung von der thermischen Schichtung (Ausbreitungsklassen I-IV )

22.6 Praktische Anwendung der Ausbreitungsrechnung

353

.

y ..................

0

................................................................................ .................... .............. . . . . . . . . . . . . ....... ....... .......................................................................................... . . ...... c0 . . ......... ..... .... ........... ................................................ . c . . 1 . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... c2 . . . . . . . ... . . . . . . . ..... ... . . .. ........................... c3 ... . .... .... ..... ..........c....max . .... . . ... . .. .. ... ... ... ... • . . . . . . . . . . ... ... .... .......... . . . . . . . . .. .. ... .... ....... ........................... . . . . . . . . . . . ..... ...... .............. ... ..... .... ..... ........ ................................................... ....... ..... . . . ...... ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ........ ....... ............... .............................................................. .............. . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ xmax

.... .... .. ..... .... ... ... .... .... ... .... .... .... ..... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .... ... .... ... .... ... .... ... .... .. .... . .... ... .... .. .... .... ... .... ... .... ....... ... ...................................... ........................................... . . ... .....

x

Bild 22.6 Konzentrationsverteilung am Erdboden (z = 0) im Lee einer Punktquelle, die sich bei x = 0, y = 0, z = h beﬁndet

k¨onnen. Solche Schemata, wie sie in Bild 22.5 dargestellt sind, werden heute f¨ ur praktische Ausbreitungsrechnungen verwendet. Man erkennt, dass bei labiler Schichtung die Streuungen gr¨ oßer sind als bei stabiler Schichtung, d. h. die Diﬀusion in y- und z-Richtung ist bei labiler Schichtung st¨arker als bei stabiler. Jetzt ist man an der Konzentrationsverteilung am Erdboden interessiert, speziell am Konzentrationsmaximum. Letzteres muss auf der Linie y = 0, also parallel zur Rauchfahnenachse am Boden liegen, da die Konzentrationsverteilung gem¨ aß (22.15) symmetrisch zu y = 0 ist (Bild 22.6). F¨ ur die Konzentration entlang der x-Achse am Boden ergibt sich aus (22.15),

Q h2 c¯(x,0,0) = exp − 2 π σy σz u ¯ 2σz

.

(22.16)

alt man aus (22.16) mit ∂¯ c/∂x = Die Lage des Konzentrationsmaximums c¯m erh¨ 0. Dazu ben¨ otigt man aber eine analytische Beziehung zwischen σy und σz und der Quelldistanz x. Solche Beziehungen existieren zwar, die Verh¨ altnisse sind jedoch einfacher und anschaulicher, wenn man statt (22.16) eine Beziehung f¨ ur die Bodenkonzentration aus (22.14), also mit den Diﬀusionskoeﬃzienten statt den Streuungen ableitet.

Q u ¯h2 % c¯(x,0,0) = exp − 4Kz x 2π x Ky Kz

.

(22.17)

Setzt man die partielle Ableitung von (22.17) nach x gleich null, ∂¯ c/∂x = 0, so erh¨ alt man f¨ ur die Lage des Konzentrationsmaximums c¯m xm =

u ¯ h2 . 4Kz

(22.18)

354

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

Das Konzentrationsmaximum liegt also um so weiter von der Quelle entfernt, je h¨ oher diese liegt, je gr¨oßer die Windgeschwindigkeit ist und je kleiner der vertikale Diﬀusionskoeﬃzient ist. Da letzterer die thermische Schichtung beinhaltet, kann man die Aussage treﬀen: je labiler die Schichtung (großes Kz ), desto n¨ aher liegt das Konzentrationsmaximum an der Quelle, f¨ ur stabile Schichtung ist es umgekehrt. Das liegt physikalisch gesehen daran, dass bei labiler Schichtung die Durchmischung groß ist, die freigesetzte Substanz also fr¨ uher den Erdboden erreicht als bei stabiler. Der Wert der Maximalkonzentration c¯m ergibt sich durch Einsetzen von xm in (22.17) zu 2Q c¯m = c¯(xm ,0,0) = πe u ¯ h2

Kz Ky

1 2

.

(22.19)

Die Maximalkonzentration h¨angt nicht von der Entfernung xm ab, wie man auch durch Einsetzen von xm in die Exponentialfunktion von (22.17) ersehen kann. Vielmehr ist die Maximalkonzentration um so gr¨ oßer, je st¨ arker die Quelle, je kleiner die Windgeschwindigkeit und je geringer die Quellh¨ ohe ist. Letztere ist der entscheidende Faktor bei der Frage, wie hoch eine Quelle (Schornstein) liegen muss, damit eine maximal zul¨assige Konzentration c¯mz bei vorgegebener Quellst¨ arke nicht u ¨berschritten wird. Diese H¨ohe ergibt sich aus der Forderung c¯m ≤ c¯mz und der Beziehung (22.19) zu ⎡

hmin

2Q ≥⎣ πe¯ uc¯mz

Kz Ky

1 ⎤ 12 2 ⎦ .

(22.20)

Diese Mindesth¨ohe f¨ ur die Quelle h¨angt einmal von der Quellst¨ arke ab, zum anderen von der Windgeschwindigkeit und der maximal zul¨ assigen Bodenkonzentration. Die hier gemachten Ausf¨ uhrungen sollen nur eine Einf¨ uhrung in die Problematik der Ausbreitung von Luftbeimengungen in der Atmosph¨ are darstellen. Ausf¨ uhrlich wird dieser Themenbereich in den B¨ uchern behandelt, die im Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrt sind.

22.7

Lagrange Partikelmodelle

Der im vorherigen Abschnitt behandelte einfache L¨ osungsansatz der TransportDiﬀusionsgleichung (22.8) in Form einer Gaußverteilung (22.9) f¨ ur die Konzentration c¯ von Luftbeimengungen war jahrzehntelang auch Bestandteil der Umweltrichtlinie “Technische Anleitung zur Reinhaltung der Luft” (kurz: TA Luft). Mit einem so genannten “Gaußmodell” wurde u. a. die zu erwartende Konzentration von Luftschadstoﬀen f¨ ur neu zu errichtende Industrieanlagen (z. B. Kraftwerke) ermittelt.

22.7 Lagrange Partikelmodelle

355

Seit dem Jahr 2002 wurde das Gaußmodell in der TA Luft durch ein so genanntes “Partikelmodell” ersetzt, welches seitdem in der Praxis der Genehmigungsverfahren von Bauvorhaben eingesetzt wird. Daher soll die Methodik von Partikelmodellen an dieser Stelle kurz erl¨autert werden. Zun¨ achst sei noch einmal die Transport-Gleichung f¨ ur die Konzentration c¯ einer Luftbeimengung aufgef¨ uhrt: d¯ c =Q dt

Lagrange-Form

(22.21)

oder mit der Eulerschen Zerlegung ∂¯ c ¯ · ∇¯ +v c=Q Euler-Form (22.22) ∂t Hierbei symbolisiert Q sowohl die Quelle als auch die turbulente Diﬀusion der Luftbeimengung. In der hierbei behandelten Eulerschen-Form (22.22) wurde ein Kontrollvolu¨ men um einen festen Ort betrachtet und dort die lokale zeitliche Anderung der Konzentration ∂¯ c/∂t aufgrund von Advektion (¯ v · ∇¯ c) und Quellen/Diﬀusion (Q) berechnet. In der Lagrange-Form (22.21) hingegen wird das Kontrollvolumen mit der Str¨omung (¯ v) mitbewegt und die Konzentrations¨ anderung berechnet, die das Volumen entlang seiner Trajektorie erf¨ahrt. Um mit dieser Methode eine Feldverteilung c(x,y,z) der Konzentration zu erhalten, m¨ ussen viele solche Lagrange Volumina verfolgt werden. Das ist nun die Idee der Lagrange-Partikelmodelle. Nehmen wir als Beispiel an, daß zu einem Zeitpunkt t = 0 an einem festen Ortsvolumen V0 (x0 , y0 , z0 ) eine bestimmte Menge einer Substanz in die Atmosph¨ are freigesetzt wird. Die Konzentration im Anfangsvolumen wird jetzt in einige tausend gleichgroße Untervolumen vi mit jeweils entsprechendem Massenanteil mi unterteilt, wobei gilt: i

vi = V0 ,

mi = M0

i

Die Idee der Partikelmodelle ist nun die, daß jedes Untervolumen vi als ein Luftpartikel deﬁniert wird, das sich in der Luftstr¨omung bewegt, dabei aber seine Masse mi beibeh¨ alt. Der Ort jedes Partikels nach seiner Freisetzung zum Zeitpunkt t = 0 wird durch seine Trajektorie bestimmt. Wie bereits in Kapitel (7.6) erl¨ autert, ist die Trajektorie eine Partikels deﬁniert durch: t

xp (t) = xp (t = 0) + 0

v(t)dt .

(22.23)

356

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

Dabei kann das Geschwindigkeitsfeld auch noch r¨ aumlich variabel sein, d. h. allgemein: v(x,y,z,t). In der Praxis wird die kontinuierliche Bestimmung der Partikeltrajektorie xp (t) nach (22.23) durch eine diskrete Form f¨ ur kleinere Zeitabschnitte t ersetzt: xp (t + t) = xp (t) + v(t) · t .

(22.24)

Bei Kenntnis des Geschwindigkeitsfeldes v(t) kann die Trajektorie f¨ ur jedes Luftpartikel p entsprechend (22.24) bestimmt werden. Dabei wird die Geschwindigkeit jetzt in einem mittleren und einen turbulenten Anteil zerlegt: ¯ (t) + v (t) . v(t) = v

(22.25)

¯ wird entweder vorgegeben oder mit einem Str¨ Der mittlere Wind v omungsmodell berechnet. Die Bestimmung des turbulenten Windvektors v soll Beispielhaft f¨ ur die u -Komponente dargestellt werden: Die turbulente Bewegung u (t) setzt sich zusammen aus einem Anteil u1 (t), der mit der Geschwindigkeit des Partikels zum vorangehenden Zeitpunkt (t− t) verkn¨ upft ist, und einem Anteil u2 (t), der eine zuf¨allige Geschwindigkeitsﬂuktuation beinhaltet. F¨ ur die Verkn¨ upfung von u1 (t) gilt: u1 (t) = R · u (t − t) ,

(22.26)

wobei R die so genannte Lagrangsche Autokorrelationsfunktion ist: R( t) ≡

u (t) · u (t + t) . u (t)2

(22.27)

Die Mittelbildungsstriche symbolisieren dabei das Kollektiv u ¨ber die turbulenten Geschwindigkeitsﬂuktuationen aller Partikelbewegungen. Die Autokorrelationsfunktion R( t) gibt an, inwieweit die Geschwindigkeit eines Partikels zum Zeitpunkt (t + t) mit derjenigen zum vorherigen Zeitpunkt (t) zusammenh¨ angt. ¨ Aus Beobachtungen und theoretischen Uberlegungen hat sich ergeben, daß f¨ ur kleine Zeitr¨ aume, d. h. t ≈ t0 die Geschwindigkeiten u (t) und u (t + t) fast identisch sind und somit R( t) = 1. F¨ ur große Zeitr¨ aume ( t → ∞) besteht kein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeitsﬂuktuationen (R = 0). Die Autokorrelation R stellt gewissermaßen das “Ged¨ achnis” der turbulenten Partikelbewegung. Diese kann in guter N¨aherung dargestellt werden durch:

R( t) = exp −

t TL

.

(22.28)

Hierbei ist TL die Lagrangsche Zeitskala welche angibt, u ¨ber welche typische Zeitspanne sich ein Partikel an seine ang¨angliche turbulente Geschwindigkeit “erinnert”. Auf die Bestimmung von TL wird sp¨ater noch eingegangen.

22.7 Lagrange Partikelmodelle

357

Der zuf¨ allige turbulente Geschwindigkeitsteil u2 (t) wird u ¨ber einen Zufallsansatz wie folgt bestimmt: u2 (t) =

%

1 − R 2 σu χ .

(22.29)

Hierbei ist σu die Varianz der Geschwindigkeitsﬂuktuationen aller Partikel:

σu ≡ u2

1/2

und χ eine Zufallszahl, die einer Gaußverteilung mit einem Mittelwert 0 und einer Standardabweichung 1 entnommen wird. Insgesamt ergibt sich f¨ ur die Geschwindigkeit u des Partikels zum Zeitpunkt t: u(t) = u ¯(t) + Ru (t) +

%

1 − R 2 σu χ .

(22.30)

Die Geschwindigkeitskomponenten v und w werden analog zu (22.30) bestimmt. Die Partikeltrajektorien werden entsprechend (22.24) mit den Geschwindigkeitsfeldern (22.30) bestimmt. Als Beispiel seien die Trajektorien zweier Partikel in Bild (22.7) dargestellt, die sich zum Zeitpunkt t = 0 nahe beieinander befanden.

Bild 22.7 Trajektorie zweier Luftpartikel unter dem Einﬂuß turbulenter Geschwindigkeitsschwankungen

F¨ ur die mittleren Windverh¨altnisse ist hierbei ein konstanter Wind u¯ angenommen. Die turbulenten Geschwindigkeitsﬂuktuationen u und v verursachen eine Abweichung der Partikeltrajektorien von der geradlinigen Partikelbahn, die sich unter dem alleinigen Wirken des Grundstromes u¯ ergeben w¨ urde. Die Lagrange-Methode der Ausbreitungsrechnung besteht nun darin, viele tausend Partikel, die jeweils einen Anteil der Quellst¨ arke (Emission) darstellen, an einem festen Ort (Quelle) freizusetzen und deren Trajektorien unter dem Einﬂuß der mittleren und turbulenten Windfelder entsprechend (22.24) und (22.30) zu bestimmen. Zu jedem Zeitpunkt nach der Freisetzung an der Quelle k¨ onnen die Orte der einzelnen Massenpartikel ermittelt werden. Um nun auf die in der

358

22 Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosph¨ are

Luftreinhaltevorschriften ben¨otigten Konzentrationen (kg/m3 ) zu erhalten, muss das Ausbreitungsgebiet der Partikel in ortsfeste Kontrollvolumina eingeteilt werden, in denen jeweils die Anzahl der sich dort beﬁndlichen Partikel ausgez¨ ahlt wird. Dies ist schematisch in Bild (22.8) dargestellt. Daraus l¨ aßt sich ein Konzentrationsfeld c¯(x,y,z,t) ermitteln, wie es auch beim Gaußmodell (z. B. Gleichung (22.12)) der Fall ist.

Bild 22.8 Schematische Darstellung der momentanen Verteilung von Massepartikeln in einem Kontrollgitter, wie sie mit einem Lagrange-Ausbreitungsmodell erhalten wurde. Die Quelle beﬁndet sich in der stark umrandeten Gitterbox

Zur Durchf¨ uhrung der Modellrechnungen entsprechend (22.30) werden noch die Varianzen der turbulenten Geschwindigkeitsfelder

σu ≡ u2

1/2

, σv ≡ v 2

1/2

, σw ≡ w2

1/2

(22.31)

auﬁg mit und die Lagrangsche Zeitskala TL ben¨otigt. In der Praxis werden diese h¨ der Turbulenten kinetischen Energie E E≡

1 2 u + v 2 + w2 2

(22.32)

verkn¨ upft, die in Kapitel (20.3) ausf¨ uhrlich behandelt worden ist (dort mit e¯ bezeichnet). Folgende Ans¨ atze sind dabei u ¨blich: σu = c1 E 1/2 , σv = c2 E 1/2 , σw = c3 E 1/2 , TL = c4

l E 1/2

(22.33) (22.34)

aric1 − c4 sind dabei Konstanten, die aus Turbulenzmessungen in der atmosph¨ schen Grenzschicht bestimmt werden. In (22.34) ist l der Mischungsweg in der atmosph¨ arischen Grenzschicht (siehe Kapitel 21.11). Obwohl die turbulente kinetische Energie E im allgemeinen von den Ortkoordinaten (x,y,z) und der Zeit (t),

22.7 Lagrange Partikelmodelle

359

z. B. Tagesgang, abh¨angt, geht man f¨ ur praktische Zwecke von einer horizontal homogenen und station¨aren Grenzschicht aus, d. h. ∂E/∂x = ∂E/∂y = ∂E/∂t = 0. Demnach ist E und somit σu , σv , σw und TL nur eine Funktion der H¨ ohe z. In den Luftreinhaltevorschriften (siehe Literatur zu Kapitel 22) werden typische Proﬁle von E und TL f¨ ur verschiedene Temperaturschichtungen bereitgestellt.

Literaturverzeichnis Im folgenden werden zu den einzelnen Kapiteln erg¨ anzende Literaturhinweise angegeben. Dabei handelt es sich bis auf wenige Ausnahmen um Lehrb¨ ucher, die den Stoﬀ der jeweiligen Kapitel in sehr viel gr¨oßerer Breite behandeln, als es hier m¨oglich ist.

Kapitel 1 Die Theoretische Meteorologie im Sinne von Thermodynamik und Dynamik der Atmosph¨ are wird in folgenden Lehrb¨ uchern behandelt: Bluestein, H. B. Synoptic-Dynamic Meteorology in Midlatitudes. Vol. I: Principles of Kinematics and Dynamics. Oxford University Press, Oxford (1992). Brown, R. A. Fluid Mechanics of the Atmosphere. Academic Press, London (1992). Dutton, J. A. The Ceaseless Wind. McGraw-Hill, New York (1986). Holton, J. R. An Introduction to Dynamic Meteorology. Academic Press, London, 4. Auﬂ. (2004). Lange, H. J. Die Physik des Wetters und des Klimas. Dietrich Reimer Verlag, Berlin (2002). Lindzen, R. Dynamics in Atmospheric Physics. Cambridge University Press, Cambridge (1990). Pichler, H. Dynamik der Atmosph¨are. Spektrum Verlag, Heidelberg (1997). Zdunkowski, W. und Bott, H. Dynamics of the Atmosphere. Cambridge University Press, Cambridge (2003). In den letzten Jahren hat sich f¨ ur Bewegungsvorg¨ ange in der Atmosph¨ are und im Ozean auch der Begriﬀ Geophysical Fluid Dynamics (zu deutsch etwa: Geophysikalische Str¨ omungsmechanik) eingeb¨ urgert. In den nachfolgenden B¨ uchern werden Ozean und Atmosph¨are gemeinsam behandelt: Cushman-Roisin, B. Introduction to Geophysical Fluid Dynamics. Prentice Hall, London (1994). Gill, A. E. Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press, London (1982).

362

Literaturverzeichnis

McWilliams, J. C. Fundamentals of Geophysical Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge (2006). Pedlosky, J. Geophysical Fluid Dynamics. (1994).

Springer-Verlag, Berlin, 2. Auﬂ.

Vallis, G. K. Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge (2006). Weitere Ausf¨ uhrungen zur Vektor- und Tensorschreibweise ﬁndet man ebenfalls in den oben genannten B¨ uchern.

Kapitel 2, 3 und 4 In diesen Kapiteln werden die Grundlagen der Thermodynamik erl¨ autert. Die Thermodynamik wird meist als Bestandteil der Lehrb¨ ucher u ¨ber Experimentalphysik oder Theoretische Physik sowie Allgemeine Meteorologie und Theoretische Meteorologie abgehandelt. Speziell mit der Thermodynamik befassen sich beispielsweise: Falk, G. und Ruppel, W. (1982).

Energie und Entropie.

Springer-Verlag, Berlin

M¨ uller, J. Grundz¨ uge der Thermodynamik. Springer-Verlag, 3. Auﬂ. Berlin (2001). Eine detaillierte Behandlung der atmosph¨arischen Thermodynamik ﬁndet sich in: Bohren, C.F. und Albrecht, B.A. Atmospheric Thermodynamics. Oxford University Press, Oxford (1998). Curry, J.A. und Webster, P.J. Thermodynamics Oceans. Academic Press, London (1999). Iribarne, I. V. und Godson, W. L. del, Dordrecht (1981).

of

Atmospheres

and

Atmospheric Thermodynamics. D. Rei-

Tsonis, A.A. An Introduction to Atmospheric Thermodynamics. Cambridge University Press, Cambridge (2002). Zdunkowski, W. und Bott, H. Thermodynamics of the Atmosphere. Cambridge University Press, Cambridge (2004). In folgenden B¨ uchern u uhr¨ber Allgemeine Meteorologie ﬁnden sich ebenfalls ausf¨ liche Darstellungen der Thermodynamik: Kraus, H. Die Atmosph¨are der Erde - Eine Einf¨ uhrung in die Meteorologie. Springer Verlag, Berlin (2004).

Literaturverzeichnis

363

Liljequist, G. H. und Cehak, K. Allgemeine Meteorologie. Nachdruck, Springer Verlag, Berlin (2006). Salby, M. Fundamentals of Atmospheric Physics. (1996).

Academic Press, London

Wallace, J. M. und Hobbs, P. V. Atmospheric Science—an Introductory Survey. Academic Press, London, 2. Auﬂ. (2006).

Kapitel 5 Strahlungsprozesse in der Atmosph¨are werden in folgenden B¨ uchern ausf¨ uhrlich dargestellt: Goody, R. M. und Young, Y. L. Atmospheric Radiation. Oxford University Press, Oxford, 2. Auﬂ. (1995). Liou, K. N. An Introduction to Atmospheric Radiation. Academic Press, London, 2. Auﬂ. (2002). Liou, K. N. Radiation and Cloud Processes in the Atmosphere. Oxford University Press, Oxford (1992). Paltridge, G. W. und Platt, C. M. R. Radiative Processes in Meteorology and Climatology. Elsevier, Amsterdam (1976). Prozesse, die bei der Wolkenbildung eine Rolle spielen, werden u ¨blicherweise im Spezialgebiet Wolkenphysik behandelt. Lehrb¨ ucher zu diesem Teilaspekt der Meteorologie sind u. a.: Cotton, W. R. und Anthes, R. A. Press, London (1989).

Storm and Cloud Dynamics. Academic

Emanuel, K. A. Atmospheric Convection. (1994).

Oxford University Press, Oxford

Houze, R. A. Cloud Dynamics. Academic Press, London (1993). Pruppacher, H. R. und Klett, J. D. Microphysics of Clouds and Precipitation. Kluwer, Dordrecht (1997). Rodgers, R. R. und Yau, M. K. A Short Course in Cloud Physics. ButterworthHeinemann, London (1989). Young, K. C. Microphysical Processes in Clouds. Oxford University Press, Oxford (1993).

364

Literaturverzeichnis

Kapitel 6 Die Vertikalstruktur der Atmosph¨are wird praktisch in allen Lehrb¨ uchern u ¨ber Meteorologie und Thermodynamik der Atmosph¨are behandelt. Als Beispiel seien die unter Kapitel 2 bis 4 aufgef¨ uhrten B¨ ucher erw¨ ahnt.

Kapitel 7 und 8 Die formale Beschreibung von Geschwindigkeitsfeldern sowie die Kontinuit¨ atsgleichung wird in allen Lehrb¨ uchern u ¨ber Theoretische Meteorologie behandelt (siehe Literatur zu Kapitel 1). Ebenso ﬁndet sich hierzu in jedem Buch u ¨ber Str¨ omungsmechanik ausreichend Material.

Kapitel 9 Die Bewegungsgleichungen werden in den zu Kapitel 1 genannten B¨ uchern ausf¨ uhrlich diskutiert. Speziell mit der Wirkung der Coriolis-Kraft auf Bewegungsvorg¨ ange befasst sich die Monographie: Greenspan, H. P. The Theory of Rotating Fluids. Reprint, Breukelen Press, Brooklyn (1990).

Kapitel 10 Geostrophischer und thermischer Wind sind fester Bestandteil jeden Lehrbuches u ¨ber Meteorologie.

Kapitel 11 Die Vorticitygleichung wird in allen f¨ ur Kapitel 1 aufgef¨ uhrten B¨ uchern u ¨ber Dynamical Meteorology und Geophysical Fluid Dynamics behandelt. Kleinr¨ aumige Zirkulationssysteme (Abschnitt 11.5) sind in folgenden B¨ uchern dargestellt: Atkinson, B. W. Meso-scale Atmospheric Circulation. Academic Press, London (1981). Simpson, J. E. Sea Breeze and Local Winds. Cambridge University Press, Cambridge (1994).

Literaturverzeichnis

365

Whiteman, C. D. Mountain Meteorology: Fundamentals and Applications. Oxford University Press, Oxford (2000).

Kapitel 12 Die verschiedenen Gleichungen f¨ ur atmosph¨arische Bewegungsvorg¨ ange werden ebenfalls in den zu Kapitel 1 aufgef¨ uhrten B¨ uchern behandelt. Die Originalarbeit zur potentiellen Vorticity (Abschnitt 12.5) von Ertel lautet: Ertel, H. Ein neuer Hydrodynamischer Wirbelsatz. Meteorologische Zeitschrift 59, 217 (1942). Ein Nachdruck dieser Arbeit sowie weitere Artikel zu potentiellen Vorticity ﬁnden sich in folgendem Sonderheft der Meteorologischen Zeitschrift: Meteorologische Zeitschrift Special issue: Hans Ertel and potential Vorticity – a century of geophysical ﬂuid dynamics. Heft 6, Vol. 13, Gebr. Borntr¨ ager, Berlin (2004). Die Energiegleichungen f¨ ur atmosph¨arische Vorg¨ ange werden ausf¨ uhrlich behandelt in: Mieghem, Van, J. Atmospheric Energetics. Clarendon Press, Oxford (1973). Wiin-Nielsen, A. und Chen, T. C. Fundamentals of Atmospheric Energetics. Oxford University Press, Oxford (1993). Die Boussinesq-Approximation (Abschnitt 12.7) wird ausf¨ uhrlich diskutiert in: Dutton, J. A. und Fichtl, G. H. Approximate equations of motion for gases and liquids, Journal of Atmospheric Sciences 26, 241–254 (1969).

Kapitel 13 Wellen in Fl¨ ussigkeiten und Gasen werden u ¨berwiegend theoretisch in dem bekannten Standardwerk Lighthill, J. Waves in Fluids. Cambridge University Press, Cambridge (1989). behandelt. Speziell mit der Atmosph¨are befassen sich: Gossard, E. E. und Hooke, W. H. Waves in the Atmosphere. Elsevier, Amsterdam (1975)

366

Literaturverzeichnis

Pedlosky, J. Waves in the Ocean and Atmosphere. Introduction to Wave Dynamics. Springer Verlag, Berlin (2007), in welchen auch zahlreiche Beobachtungen von atmosph¨ arischen Wellen zu ﬁnden ¨ sind. Uber Schwerewellen und Leewellen ﬁndet man eine ausf¨ uhrliche Diskussion auch in: Baines, P. G. Topographic Eﬀects in Stratiﬁed Flows. Cambridge University Press, Cambridge (1995). Nappo, C. J. An Introduction to Atmospheric Gravity Waves. Academic Press, London (2002).

Kapitel 14 Die verschiedensten Instabilit¨aten in Str¨omungen werden behandelt in: Drazin, P. G. und Reid, H. W. Hydrodynamic Stability. Cambridge University Press, Cambridge, 2. Auﬂ. (2004). Oertel, H. und Delfs, J. Str¨omungsmechanische Instabilit¨aten. Springer-Verlag Berlin (1995). Die Theorie der Baroklinen Instabilit¨at wird in allen B¨ uchern u ¨ber Dynamic Meteorology und Geophysical Fluid Dynamics (siehe Kapitel 1) dargestellt. Die Struktur und Energetik barokliner Systeme in der Atmosph¨ are wird im Detail beschrieben in: Bluestein, H. B. Synoptic-Dynamic Meteorology in Midlatitudes. Vol. II Observations and Theory of Weather Systems. Oxford University Press, Oxford (1992). Carlson, T. N. Mid-Latitude Weather Systems. Rutledge, London (1994).

Kapitel 15 Ausf¨ uhrliche Darstellungen zur Vorticity und Wirbeldynamik ﬁndet man in den Monographien. Saﬀmann, P. G. Vortex Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge (1992). Wu, J. Z., Ma, H. Y. und Zhou, M. D. Vorticity and Vortex Dynamics. Springer Verlag, Berlin (2006).

Literaturverzeichnis

367

Kapitel 16 Beobachtungen, Theorien und numerische Simulationen zur allgemeinen atmosph¨ arischen Zirkulation ﬁndet man in folgenden Monographien: Grotjahn, R. Global Atmospheric Circulations: Observations and Theory. Oxford University Press, Oxford (1993). James, J. Introduction to Circulating Atmospheres. Cambridge University Press, Cambridge (1994). Lorenz, E. N. The Nature and Theory of the General Circulation of the Atmosphere. World Meteorological Organization, Genf (1967). Peixoto, J. P. und Oort, A. H. Physics, New York (1992).

Physics of Climate. American Institute of

Kapitel 17 Die Entwicklung der numerischen Wettervorhersage seit ihren Anf¨ angen wird beschrieben in: Nebeker, F. Calculating the Weather: Meteorology in the 20th Century. Academic Press, London (1995). Balzer, K. Enke, W. und Wehry, W. Wettervorhersage: Mensch und Computer, Daten und Modelle. Springer Verlag, Berlin (1998). Die numerische Simulation der allgemeinen troposh¨ arischen Zirkulation und des Klimas wird behandelt in: Randall , D. A. General Circulation Model Development: Past, Present, and Future. Academic Press, London (2000). Satoh ,M. Atmospheric Circulation Dynamics and General Circulation Models. Springer Verlag, Berlin (2004). Der aktuelle Stand der Klimamodellierung wird dokumentiert in: Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC) The Physical Science Basis. Cambridge University Press, Cambridge (2007). Zur numerischen Behandlung partieller Diﬀerentialgleichungen, wie sie z. B. in der Wettervorhersage verwendet werden, gibt es eine F¨ ulle an Literatur. Es seien davon nur als Beispiele genannt:

368

Literaturverzeichnis

Durran, D.R. Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag, Berlin (1999). Fletcher, C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. Vol. I + II. Springer-Verlag, Berlin (1991).

Kapitel 18 Die Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen erfolgt praktisch in allen B¨ uchern zur Str¨ omungsmechanik. Als Beispiele seien hier nur genannt: Landau, L. L. und Lifschitz, E. M. Lehrbuch der Theoretischen Physik VI: Hydrodynamik. Harri Deutsch Verlag, Berlin (1991). Oertel, H. jr. (Hrsg.) Prandtl-F¨ uhrer durch die Str¨omungslehre. Vieweg Verlag, Braunschweig (2007).

Kapitel 19 und 20 Die Bewegungsgleichungen f¨ ur turbulente Str¨omungen (Reynolds-Gleichungen) sowie die generelle Problematik der Turbulenz werden unter anderem behandelt in: Davidson, P. A. Turbulence: An Introduction for Scientists and Engineers. Oxford University Press, Oxford (2004). Frisch, U. Turbulence. The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge University Press, Cambridge (1995). Lesieur, M. Turbulence in Fluids. Nijhoﬀ, Dordrecht (1987) Monin, A. S. und Yaglom, A. M. Statistical Fluid Mechanics. MIT Press, Cambridge (1971), Nachdruck: Dover Publications (2007) Pope, S. B. Turbulent Flows.Cambridge University Press, Cambridge (2000). Tennekes, H. und Lumley, J. L. A ﬁrst Course in Turbulence. MIT Press, Cambridge (1972). Das Turbulenzproblem in der Atmosph¨are wird ausf¨ uhrlich in den in Kapitel 21 aufgef¨ uhrten B¨ uchern u ¨ber die atmosph¨arische Grenzschicht dargestellt.

Literaturverzeichnis

369

Kapitel 21 ¨ Uber die atmosph¨arische Grenzschicht liegen die nachfolgend aufgef¨ uhrten Monographien vor, in denen sowohl theoretische Aspekte als auch Messergebnisse im Detail beschrieben werden: Araya, P. Introduction to Micrometeorology. Academic Press, London, 2. Auﬂ. (2001). Garratt, J. R. The Atmospheric Boundary Layer. Cambridge University Press, Cambridge (1992). Geiger, R., Aron, R. H. und Todhunter, P. The Climate Near the Ground. Vieweg Verlag, Braunschweig (1995). Kaimal, J. C. und Finnigan, J. J. Atmospheric Boundary Layer Flows. Oxford University Press, Oxford (1994). Oke, R. T. Boundary Layer Climates. Methuen, London (1987). Sorbjan, Z. Structure of the Atmospheric Boundary Layer. Prentice Hall, New Jersey (1987). Stull, R. B. An Introduction to Boundary Layer Meteorology. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1988). Die Wechselwirkung der Grenzschichten in Atmosph¨ are und Ozean wird behandelt in: Kraus, E. B. und Businger, J. Ocean–Atmosphere Interaction. Press, London (1994).

Academic

Die Proﬁlfunktionen in der Prandtl-Schicht (Abschnitt 21.4.4) werden im Detail in folgenden Originalarbeiten beschrieben: Businger, R. A., Wyngaard, J. C., Izumi, Y. und Bradley, E. F. Flux proﬁle relationships in the atmospheric surface layer. Journal of Atmospheric Sciences, 28, 181–189 (1971). Dyer, A. J. A review of ﬂux-proﬁle relations. Boundary Layer Meteorology, 1, 363–372 (1974). Monin, A. S. und Obukhov, A. M. Basic laws of turbulent mixing in the atmosphere near the ground. Trudy Academia Nauka SSR. 24, 1963–1987 (1954).

370

Literaturverzeichnis

Kapitel 22 Probleme der turbulenten Diﬀusion werden ausf¨ uhrlich behandelt in: Arya, S.P. Air Pollution Meteorology and Dispersion. Oxford University Press, Oxford (1999). Berljand, M. E. Moderne Probleme der atmosph¨arischen Diﬀusion und Verschmutzung der Atmosph¨are. Akademie Verlag, Berlin (1982). Blackadar, A.K. Turbulence and Diﬀusion in the Atmosphere. Springer Verlag, Berlin, 2. Auﬂ. (2005). Nieuwstadt, F. T. M. und van Dop, H. Atmospheric Turbulence and Air Pollution Modelling. D. Reidel, Dordrecht (1982). Pasquill, F. und Smith, F. B. Atmospheric Diﬀusion. Ellis Horwood, Chichester (1983). Praktische Anwendungen der Gesetzm¨aßigkeiten f¨ ur die turbulenten Diﬀusion in der Luftreinhaltung werden beschrieben in: Baumbach, G. Luftreinhaltung. Springer Verlag, Berlin (1993). Zenger, A. Atmosph¨arische Ausbreitungsmodellierung. Springer Verlag, Berlin (1998). Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung des Lagrange-Partikelmodells sowie der ben¨ otigten Wind- und Turbulenzfelder ﬁnden sich in den folgenden Richtlinien: VDI: Richtlinie VDI 3945, Blatt 3 Umweltmeteorologie. Atmosph¨arische Ausbreitungsmodelle: Partikelmodell. Beuth Verlag, Berlin (2000). VDI: Richtlinie VDI 3783, Blatt 8 Umweltmeteorologie. Meßwertgest¨ utzte Turbulenzparametrisierung f¨ ur Ausbreitungsmodelle. Beuth Verlag, Berlin (2002).

Sachwortverzeichnis Ablenkungswinkel, 319 Absorption — partielle, 350 Adiabate, 30 Adiabatengleichung, 29 Advektion, 6 Advektionsnebel, 59 Albedo, 62 — planetare, 54 Anfangswerte, 262 Antikaskade, 293 Arbeit, 18 Atmosph¨ are — barokline, 144 — barotrope, 144 — H¨ ohe der homogenen, 69 — ICAO-, 72 — isotherme, 70 — polytrope, 71 — ruhende, 111 — trockene, 15 — US-Standard-, 71 Auftriebskraft — Archimedische, 75 Auftriebsterm, 184 Ausbreitungsklassen, 352 Austauschkoeﬃzient, 274 Avogadro-Zahl, 12 Axiom — Newtonsches, 65, 107 baroklin, 143 Baroklinit¨ at — kritische, 221 barotrop, 142 Bernoulli-Gleichung, 115 β-Ebene, 152 β-Eﬀekt, 151 β-Parameter, 152 Bewegungsgleichungen, 111, 169 — Eulersche, 124 — im p-System, 133 Bilanzgleichung, 180 Bodendrucktendenz, 105 Bodenw¨ armestrom, 338

Boltzmann-Konstante, 12 Boussinesq-Approximation, 184 Breite, geographische, 128 Brunt-Vaisala-Frequenz, 79 Celsius-Skala, 13 CFL-Kriterium, 249 Coriolis-Beschleunigung, 119 Coriolis-Parameter, 121 Couette-Str¨omung, 264 Deformation, 93 Deformationsansatz, 274 Diagramm — thermodynamisches, 26, 27 Dichte — des Wasserdampfes, 31 Dichtestr¨omung, 165 Diﬀerenzenapproximation, 247 Diﬀusion, 341 — turbulente, 341 Diﬀusionsgleichung, 343 — Ficksche, 344 Diﬀusionskoeﬃzient — turbulenter, 274 Divergenz, 6, 89, 154 Divergenzeﬀekt, 156 Drehterm, 154 Druck, 10 Druckbeschleunigung, 110 Druckﬂ¨ache, 68 Druckgradientkraft, 110 Druckkraft, 108, 110 Druckwellen, 189 Dyer-Businger-Funktionen, 308 Dynamik, 89 Eigenwertproblem, 211 Ekman-L¨ange, 318 Ekman-Pumpe, 331 Ekman-Schicht, 298 Ekman-Spirale, 318 Energie — innere, 17, 25, 180 — kinetische, 180

372 — — des Grundstroms, 283 — potentielle, 65, 82, 180 — totale potentielle, 83, 226 — verf¨ ugbare potentielle, 85 Energiebilanz, 339 Energiedissipation, 261, 287 Energieﬂuss, 51 Energiegleichung, 181 Energiekaskade, 291, 294 Energiespektrum, 294 Energiestrom, 51, 52 Energiestromdichte, 51, 52 Energietransformation, 182 Ensemblemittel, 268 Enthalpie, 20, 25 Erdbeschleunigung, 65 Erw¨ armung — diﬀerentielle, 113 Eulersche Zerlegung, 88 f¨ uhlbarer W¨ armestrom, 338 F¨ uhrungsgeschwindigkeit, 117 F¨ unf-Drittel-Gesetz, 295 Feld — station¨ ares, 89 Feuchte — relative, 33 — speziﬁsche, 32 Filterung, 190 Fl¨achenquelle, 343 Flachwasser-Gleichungen, 193 Flachwasserwellen, 193 Fluss, 101 Flussdivergenz, 101 Formeln, Frenetsche, 90 Frequenz — Brunt-Vaisala-, 79 Frequenzbeziehung, 188 Gas — ideales, 11 — reales, 13 Gasgemische, 14 Gasgleichung, 11 Gaskonstante — f¨ ur trockene Luft, 12, 15 — f¨ ur Wasserdampf, 31 — universelle, 12

Sachwortverzeichnis Gasphase, 37 Gegenstrahlung — langwellige, 63 Geopotential, 66 geostrophisch, 135 Geschwindigkeitsdivergenz, 91 Geschwindigkeitsﬂuss, 303 Geschwindigkeitspotential, 99 Geschwindigkeitsschwankungen — turbulente, 275 Gesetz — Boyle-Mariottesches, 11 — Daltonsches, 14 — Gay-Lussacsches, 11 — Joulesches, 21 — Stefan-Boltzmannsches, 54 Gleichgewicht — stabiles, 207 Gleichgewichtslage — indiﬀerente, 78 — labile, 77 — stabile, 76 Gleichgewichtszustand, 10 Gleichung — Clausius-Clapeyronsche, 47, 57 — Poissonsche, 29 — Rayleigh-, 211, 228 — Taylor-Goldstein-, 205, 228 — van der Waalssche, 13 Gleichungen — Boussinesq-, 185 — diagnostische, 245 — prognostische, 169, 245 — quasi-geostrophische, 216 Gleichungssystem — quasi-geostrophisches, 174 — trockenes, 169 Gleitreibung, 263 Gr¨oße — extensive, 10 — intensive, 10 — konservative, 89 Gradient, 6 Gradientansatz, 276 Gradientwind, 146 Gravitation, 65 Gravitationsgesetz, 107 Grenzschicht, planetare, 299

Sachwortverzeichnis Grenzschichth¨ ohe, 320 Grundgleichung — statische, 68, 111 — — im p-System, 130 H¨ohenkarten, 132 Hadley-Zirkulation, 239 Haftreibungsbedingung, 263 Hagen-Poiseuille-Str¨ omung, 265 Halbwertsh¨ ohe, 70 Hauptsatz — Erster der Thermodynamik, 18, 169 Hebungskondensationsniveau, 61 Helmholtz-Wogen, 198 Hodograph, 122 Horizontalbeschleunigung, 113 hydrostatisch, 66 Impulsﬂuss, 303 Impulsﬂuß — makroskopischer, 293 Impulsstromform, 271 Indexschreibweise, 4 Inertialsystem, 117 Instabilit¨ at — barokline, 214 — barotrope, 212 — Kelvin-Helmholtz, 229 — kleinr¨ aumige, 227 — konvektive, 230 — Rayleigh-Taylor-, 230 Isentrope, 30 isobar, 26 Isobare, 27 isochor, 26 Isochore, 27 Isohypse, 140 isotherm, 26 Isotherme, 27 Kaltluftabﬂuß, 266 Kaltluftadvektion, 140 Kelvin, 12 Kelvin-Helmholtz-Instabilit¨aten, 229 Kelvin-Skala, 13 Kinematik, 89 Klimamodellierung, 250 Kolmogorov-Spektrum, 295

373 Kondensation, 37, 39 Konstante — von K´arm´ansche, 301 Kontinuit¨atsgleichung, 103, 169 — im p-System, 134 Konvektion — thermische, 80, 84 Konvergenz, 89 Konzentrationsmaximum, 353 Koordinaten — nat¨ urliche, 90 — sph¨ arische, 128 Koordinatensystem — kartesisches, 4 — rotierendes, 117 Kr¨ ummungsvorticity, 91 Kreisfrequenz, 188 Kugelgestalt, 151 Kugelkoordinaten, 128 Kumuluskondensationsniveau, 61 L¨ange, geographische, 128 Lagrange-Methode, 355 laminar, 275 Land-Seewind, 164 Laplace-Operator, 7 latenter W¨armestrom, 338 Leewellen, 204 Linearisierung, 159 Linienquelle, 343 Log+linear-Proﬁl, 306, 314 Luft — feuchte, 31 Luftmassenadvektion, 140 Luftpaket, 87 Lufts¨aule, 81 Magnus-Formel, 44 Makroturbulenz, 293 Massenerhaltung, 133 Massenﬂuss, 102 Maximalkonzentration, 354 Mesoturbulenz, 294 Meteorologie — Synoptische, 243 Meter — geopotentielles, 66 Mikroturbulenz, 291, 294

374

Sachwortverzeichnis

Mischungsnebel, 59 Mischungsverh¨ altnis, 32 Mischungsweg, 279 Mittel — gewichtetes, 268 — r¨aumliches, 267 — zeitliches, 267 Molmasse, 12 Monin-Obukhov-Stabilit¨atsl¨ange, 305

Proﬁlmethode, 315 Prozess, 10, 26 — adiabatischer, 28, 58 Punktquelle, 343

Navier-Stokes-Gleichungen, 257 — Boussinesq-Form, 185 — gemittelte, 272 — Impulsstromform, 271 Nebel — Advektions-, 59 — Mischungs-, 59 — Strahlungs-, 59 Nettow¨ armezufuhr, 50 Normalgeschwindigkeit, 262 Normalspannungen, 255 Normalverteilung, Gaußsche, 348

Randbedingungen, 262 Randwerte, 262 Rauhigkeitsl¨ange, 302 Rayleigh-Gleichung, 211 — f¨ ur ebene Scherstr¨omung, 228 Rayleigh-Taylor-Instabilit¨at, 230 Reibungsw¨arme, 261 Richardson-Flusszahl, 288 Richardson-Zahl, 229, 289 Richtungsdivergenz, 91 Rohrstr¨omung, 265 Rossby-Wellen, 161 Rotation, 7, 91

Quelle — kontinuierliche, 343 — momentane, 343 Quellpunkt, 344

Oberﬂ¨ achenkr¨ afte, 255 p-System, 129 — Bewegungsgleichungen, 133 — Gleichungen im, 170 — Kontinuit¨ atsgleichung, 134 — Statische Grundgleichung, 130 Partialdruck, 14 — des Wasserdampfes, 31 Partialvolumen, 14 Partikelmodell, 354 Phase — feste, 37 — ﬂ¨ ussige, 37 Phasen¨ ubergang, 37, 39, 57 Phasengeschwindigkeit, 188 — komplexe, 211, 219 Poiseuille-Str¨ omung, 265 Poisson-Konstante, 25 Potentialstr¨ omung, 99 Potenzproﬁl, 309 Prandtl-Schicht, 298, 300 Prandtl-Zahl — turbulente, 289 Proﬁlfunktion, 308, 314

S¨attigungsdampfdruck, 32, 46 S¨attigungsfeuchte, 57 S¨attigunsgrad, 33 Satz — Stokesscher, 95 Schallgeschwindigkeit, 190 Schallwellen, 189 Scheinkraft, 120 Scherstr¨omung — ebene, 266 Scherungsvorticity, 91 Schichtmitteltemperatur, 142 Schichtung — adiabatische, 74 — labile, 77 — neutrale, 78 — stabile, 76 Schließungsproblem, 271, 274 Schmelzen, 40 Schubspannung — Reynoldssche, 272 — turbulente, 272, 303 Schubspannungsgeschwindigkeit, 300 Schwankungen

Sachwortverzeichnis — turbulente, 271 Schwerewellen, 190 — externe, 191 — interne, 195 Schwerkraft, 107 Schwingungsdauer, 79, 188 Schwingungsebene, 187 Skalenanalyse, 146 Solarkonstante, 51 Solenoidterm, 154, 157 Spannungstensor — Reynoldsscher, 272 Spiegelungsmethode, 351 Spin-Down, 332, 333 St¨ordruck, 189 St¨orungen — zellul¨ are, 162 St¨orungsrechnung, 207, 209 St¨orungsstromfunktion, 210 Stabilit¨ at — statische, 78 Stabilit¨ atsanalyse, 209 Str¨ omung — Couette-, 264 — Hagen-Poiseuille-, 265 — inkompressible, 104 — laminare, 275 — Poiseuille-, 265 Strahlstr¨ ome, 228 Strahlung — kurzwellige, 237 — langwellige, 237 Strahlungsbilanz, 55, 339 Strahlungsnebel, 59 Streckungs-Eﬀekt, 235 Streuung, 348 Strom, 101 Stromfunktion, 97 Stromlinie, 97 Sublimation, 40 System — geschlossenes, 9 — heterogenes, 37 — homogenes, 37 — isoliertes, 9 — oﬀenes, 9 Tangentialebene, 120

375 Tangentialspannungen, 255 Taupunktstemperatur, 59 Taylor-Goldstein-Gleichung, 205, 228 Temperatur, 10 — absolute, 12 — charakteristische, 313 — potentielle, 29 — virtuelle, 35 Temperaturﬂuss, 304 Temperaturgradient — adiabatischer, 74 — vertikaler, 72 Temperaturproﬁl, logarithmisches, 313 Temperaturprognose, 54 Temperaturvorhersage, 244 Temperaturzuschlag — virtueller, 35 Tensorschreibweise, 4 Tiefdruckgebiete, 231 Topographie — absolute, 140 — relative, 142 Tornado, 236 Totalabsorption, 350 Totalreﬂexion, 350 Tr¨agheitsbewegung, 122 Tr¨agheitskreis, 122, 123 Tr¨agheitsperiode, 122 Tr¨agheitsradius, 123 Trajektorie, 98 Transport, 101 Transportgleichung, 343 Treibhauseﬀekt, 61, 63 Turbulenzenergie, 281 — Produktion von, 285 Twistingterm, 154 Unterschicht, viskose, 298 US-Standardatmosph¨are, 71 Vektorschreibweise, 4 Verdunsten, 40 Verdunstung, 37 Verdunstungsprozess, 44 Verschiebung — ¨aquivalente, 278 Vertikalbeschleunigung, 113 Vertikalgeschwindigkeit

376 — der Grenzschicht, 330 — im p-System, 132 — im z-System, 132 Viskosit¨ at, 258 Volumen, 10 — speziﬁsches, 11 Vorticity, 91, 149 — absolute, 150 — geostrophische, 153 — Kr¨ ummungsvorticity, 91 — potentielle, 177 — relative, 150 — Scherungsvorticity, 91 Vorticitygleichung, 150 — geostrophische, 153 — linearisierte, 160 — potentielle, 178 — quasi-geostrophische, 174 W¨armemenge, 50 W¨arme, 18 — latente, 39, 40 — — speziﬁsche, 39 — speziﬁsche, 23 — — f¨ ur feuchte Luft, 36 — — f¨ ur Wasserdampf, 35 W¨armekapazit¨ at — speziﬁsche, 23 W¨armeleitungsgleichung, 337 W¨armestrom — turbulenter, 303 Wachstumsrate, 211 Warmluftadvektion, 140 Wasserdampf, 31 Wasserdampfdichte, 31 Wellen — Druck-, 189 — Kelvin-Helmholtz-, 229 — lange, 161, 194 — retrograde, 161 — Rossby-, 161 — Schall-, 189 — Schwere-, 190 Wellenamplitude, 208 Wellenansatz, 160 Wellenl¨ ange — kritische, 220, 222 Wellenst¨ orung, 275

Sachwortverzeichnis Wellenzahl, 188 Wellenzahlvektor, 188 Wendepunkt-Instabilit¨at, 212 Wetter, 243 Wettervorhersage, 243 — Numerische, 243 Widerstandsbeiwert, 310 Wind — zyklostrophischer, 146 — ageostrophischer, 173 — geostrophischer, 136 — thermischer, 139 Windbeziehung — thermische, 138 Windproﬁl — logarithmisches, 302 Wirbel, 231 Wirbelgleichung, 232 Wolkenbildung, 60 Z¨ahigkeit — kinematische, 261 Z¨ahigkeitsbeiwert, 258 Zentrifugalbeschleunigung, 119 Zerlegung — Eulersche, 88 Zirkulation, 94, 162 — allgemeine atmosph¨arische, 237 — direkte, 238 Zirkulationsgleichung, 164 Zirkulationstheorem — Kelvinsches, 164 Zusatzterme, metrische, 129 Zustands¨anderung, 26 — adiabatische, 28 — polytrope, 30 Zustandsdiagramm, 26 Zustandsfunktion, 17, 26 Zustandsgleichung, 11 — f¨ ur ideale Gase, 169 Zustandsgr¨oße, 9 Zustandsvariable, 26 Zwei-Phasen-Diagramm, 58 Zwei-Schichten-Modell, 217 Zweikammersystem, 21 Zweiphasensystem, 42 Zyklolyse, 241, 292