Teoria maszyn i mechanizmów : analiza układow kinematycznych

Stefan Miller

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW Analiza uk³adów kinematycznych

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ

3

Spis treœci Wstêp .......................................................................... I. Struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Cz³on (ogniwo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. £añcuch kinematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Wzory srtukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ruchliwoœæ lokalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Wiêzy bierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Klasyfikacja mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Kinematyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Metody graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Podzia³ki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Po³o¿enia i trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Po³o¿enia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Œrodki obrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Metoda toru ocechowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Metoda planów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Metoda wykresów kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Metoda zapisu wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Metoda klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Metoda macierzowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Metody numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Metoda przyrostów skoñczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Mechanizmy dŸwigniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. P³aski czworobok przgubowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Sprzêg³o Cardana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Manipulatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Mechanizmy z parami wy¿szymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Mechanizmy krzywkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Mechanizmy zêbate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Analiza dok³adnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Okreœlanie b³êdu i tolerancji wynikowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Okreœlanie wspó³czynników wp³ywu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Si³y i ich przegl¹d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Si³y bezw³adnoœci i ich redukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Metoda mas zastêpczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 10. Kinetostatyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Grupy statycznie wyznaczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Analiza si³ w grupach ststycznie wyznaczalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Równowaga cz³onu czynnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych metod¹ energetyczn¹ . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Tarcie w parach kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Tarcie w parach postêpowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Tarcie w parach obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Tarcie w parach wy¿szych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Bilans energetyczny maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1. Równanie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Sprawnoœæ mechaniczna maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Okreœlanie sprawnoœci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Badanie ruchu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1. Redukcja si³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Redukcja mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Modele maszyn i równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Nierównomiernoœæ biegu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Ko³a zamachowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1. Przybli¿ona metoda okreœlania momentu bezw³adnoœci ko³a zamachowego . . . . . 13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Wywa¿anie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1. Okreœlanie œrodka ciê¿koœci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Wywa¿anie mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. Wywa¿anie mas obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1. Wywa¿anie statyczne cz³onów obrotowych (wirników) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1. Dynamika mechanizmów obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego z podatnym popychaczem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych podatnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura

5

Wstêp Wiêkszoœæ urz¹dzeñ technicznych, stosowanych we wszelkich procesach produkcyjnych, jak równie¿ wykorzystywanych do obs³ugi podstawowych sfer ¿ycia wspó³czesnego cz³owieka, stanowi¹ najogólniej tzw. systemy mechaniczne. Wszystkie te systemy, z³o¿one z cia³ materialnych (sta³ych, p³ynnych,...), mo¿na podzieliæ na dwie ró¿ne grupy. Do pierwszej z nich zaliczamy systemy mechaniczne charakteryzuj¹ce siê tym, ¿e ich funkcja nie wi¹¿e siê ze wzajemnym ruchem elementów sk³adowych, czyli inaczej systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ nieruchowo. Przyk³adami takich urz¹dzeñ s¹ wszelkie konstrukcje sztywne, jak np. obudowy, ramy, zbiorniki itp. Drug¹ grupê tworz¹ systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ ruchowo i w procesie wype³niania swojej funkcji wystêpuje wzajemne ich przemieszczanie. Do nich nale¿¹ przede wszystkim maszyny, oraz ró¿ne aparaty i narzêdzia, których budowê i dzia³anie okreœlaj¹ uk³ady kinematyczne (mechanizmy). Z t¹ grup¹ urz¹dzeñ, stanowi¹cych przedmiot rozwa¿añ, jest zwi¹zany szeroki kr¹g zagadnieñ dotycz¹cych ich analizy i syntezy. Wiêkszoœæ problemów, niezale¿nie od specyfiki i przeznaczenia urz¹dzeñ, jest wspólna. Nale¿¹ do nich miêdzy innymi: zagadnienia torów zakreœlanych przez pewne punkty zwi¹zane z elementami ruchomymi, zagadnienia wzajemnych po³o¿eñ elementów w kolejnych fazach ruchu, prêdkoœci i przyspieszeñ k¹towych poszczególnych cz³onów. Wspólne w zasadzie dla wszystkich urz¹dzeñ tego typu jest zagadnienie si³ przenoszonych przez elementy ruchome i ich po³¹czenia, ruch okreœlonych uk³adów pod dzia³aniem si³, zjawisko tarcia i jego efekty, moc potrzebna do utrzymania urz¹dzenia w ruchu itd. Ogólne problemy i metody ich rozwi¹zywania, interesuj¹ce zarówno konstruktorów, technologów, jak i eksploatatorów systemów mechanicznych, s¹ przedmiotem nauki teoria maszyn i mechanizmów, który dzieli siê na trzy dzia³y: struktura, kinematyka, dynamika. W pierwszym dziale, poœwiêconym strukturze, omawia siê ogólne w³aœciwoœci ruchowe uk³adów mechanicznych wi¹¿¹ce siê z pewnymi cechami ich budowy, a wiêc liczb¹ i rodzajem elementów sk³adowych oraz sposobem ich po³¹czeñ. Dzia³ kinematyki jest poœwiêcony metodom badania wzajemnych ruchów cz³onów i punktów zwi¹zanych z cz³onami uk³adów mechanicznych. Nale¿y podkreœliæ, ¿e punktem wyjœcia w kinematyce jest tylko ruch elementów napêdzaj¹cych i geometria uk³adu, bez uwzglêdniania wp³ywu mas tych elementów i dzia³aj¹cych na nie si³.

6 W dziale poœwiêconym dynamice bada siê zwi¹zki zachodz¹ce w uk³adzie miêdzy parametrami kinematycznymi elementów sk³adowych a ich masami i dzia³aj¹cymi na nie si³ami. Teoria maszyn i mechanizmów stanowi w du¿ej mierze ukierunkowane rozwiniêcie mechaniki, jest wiêc na pograniczu nauk podstawowych i stosowanych. Wyjaœnia wa¿niejsze zjawiska zachodz¹ce w uk³adach kinematycznych, zarazem umo¿liwia zrozumienia istotnych problemów budowy i dzia³ania maszyn oraz urz¹dzeñ mechanicznych. W tym sensie znajomoœæ tego przedmiotu powinna stanowiæ skuteczn¹ pomoc dla wszystkich, którzy zajmuj¹ siê twórcz¹ prac¹ in¿yniersk¹.

7

I. STRUKTURA 1. Pojêcia podstawowe 1.1. Cz³on (ogniwo) W uk³adach kinematycznych mo¿na wyró¿niæ elementy sk³adowe wykonuj¹ce w stosunku do siebie ruchy wzglêdne. Elementy te bêdziemy nazywaæ ogólnie cz³onami lub ogniwami. Przyk³adami cz³onów s¹ elementy sk³adowe (1–3) uk³adu pompy przedstawionej na rys.1 oraz (1–9) uk³adu wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej z rys. 2. Cz³ony mog¹ wystêpowaæ w postaci jednoczêœciowej (rys.3a) lub, jak to czêsto bywa, mog¹ byæ zbudowane z wielu czêœci (rys. 3b). Mówimy o jednym cz³onie wówczas, gdy poszczególne czêœci (jak na rys. 3b) s¹ po³¹czone ze sob¹ sztywno. Najczêœciej mamy do czynienia z cz³onami sztywnymi, tzn. takimi, których odkszta³calnoœæ nie ma istotnego wp³ywu na przenoszony ruch; cz³onami jednak bêdziemy nazywaæ równie¿ elementy podatne, jak ciêgna i sprê¿yny, a tak¿e uczestnicz¹ce w przekazywaniu ruchu okreœlone objêtoœci gazów lub cieczy. Przyk³adami tego typu cz³onów mog¹ byæ: sprê¿ysty element (4) uk³adu napêdowego m³ota (rys. 4) lub zamkniêta ciecz (3) w hydraulicznej prasie (rys. 5). W dalszym ci¹gu zajmiemy siê przede wszystkim uk³adami cz³onów sztywnych.

Rys. 1. Mechanizm pompy rotacyjnej: 1 – podstawa, 2 i 3 – wirniki

8

Rys. 2. Uk³ad wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej: a) widok ogólny uk³adu, b) schemat kinematyczny uk³adu

Rys. 3. Przyk³ady cz³onów dwuwêz³owych: a) cz³on prosty, b) cz³on z³o¿ony, c) schemat

Rys. 4. Mechanizm napêdu m³ota: 4 – cz³on sprê¿ysty

9 Jeden z cz³onów uk³adu, wzglêdem którego badamy ruchy pozosta³ych cz³onów, bêdziemy nazywaæ podstaw¹ lub ostoj¹. Jest to zwykle cz³on nieruchomy i nietrudno go odró¿niæ. Podstaw¹ jest obudowa (1) pompy z rys. 1, rama (1) ³adowarki z rys. 2, a tak¿e korpus m³ota i prasy przedstawiony na rys. 4 i 5. Wœród pozosta³ych (poza podstaw¹) ruchomych cz³onów uk³adu bêdziemy wyró¿niaæ cz³ony czynne, do których jest przy³o¿ony napêd uk³adu, cz³ony bierne, czyli napêdzane, oraz grupê cz³onów poœrednicz¹cych w przekazywaniu ruchu i si³. Uwzglêdniaj¹c charakter ruchu, bêdziemy cz³onom ruchomym przypisywaæ bli¿sze okreœlenia. I tak, korb¹ bêdziemy nazywaæ cz³ony wykonuj¹ce pe³ny ruch obrotowy, wahaczem – cz³on o nawrotnym ruchu obrotowym w granicach k¹ta niepe³nego, suwakiem – cz³on o ruchu postêpowym itp. W naszych rozwa¿aniach nie bêdziemy siê interesowaæ tymi cechami cz³onów, które nie maj¹ wp³ywu na ruch i jego przenoszenie. Traktuj¹c cz³ony jako cia³a sztywne, zaakcentujemy tylko te ich wymiary, które okreœlaj¹ wzajemne po³o¿enie miejsc przystosowanych do wejœcia w ruchowe po³¹czenia z innymi cz³onami. Wed³ug liczby tych miejsc, zwanych dalej pó³parami lub pó³wêz³ami, mo¿na dzieliæ wszystkie cz³ony na 2-, 3- i n-wêz³owe. Cecha ta jest widoczna wyraŸnie przy schematycznym sposobie rysowania uk³adów i cz³onów (rys. 2b, 3c), z którego bêdziemy powszechnie korzystaæ. Wêz³owoœæ cz³onów bêdziemy oznaczaæ symbolami N2, N3, ..., Nn, natomiast liczby takich cz³onów w uk³adzie odpowiednio przez n2, n3, ..., nn. Istotê podzia³u cz³onów p³askich wed³ug wêz³owoœci wyjaœniono na rys. 6, na którym wyró¿niono dodatkowo cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach p³askich i przestrzennych. Czêsto jest u¿yteczne przypisywanie okreœlonym typom cz³onów charakterystycznych dla nich liczb b wszystkich krawêdzi, czyli odcinków, jakimi mo¿na po³¹czyæ poszczególne pó³wêz³y miêdzy sob¹ oraz liczb bw tych odcinków schodz¹cych siê w jednym pó³wêŸle.

Rys. 5. Mechanizm napêdu prasy hydraulicznej: 3 – ciecz spe³niaj¹ca rolê cz³onu

10

Rys. 6. Oznaczenia p³askich i przestrzennych cz³onów wielowêz³owych

1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny) Istotn¹ cech¹ ka¿dego uk³adu kinematycznego s¹ ruchowe po³¹czenia cz³onów. Po³¹czenia takie, umo¿liwiaj¹ce wzajemny ruch wzglêdny dwóch cz³onów, nazywa siê powszechnie par¹ kinematyczn¹ lub wêz³em kinematycznym. Kilka przyk³adów par kinematycznych mo¿na wskazaæ ju¿ w uk³adach przedstawionych na rys. 1 i 2. Du¿a ró¿norodnoœæ wystêpuj¹cych w praktyce par sugeruje potrzebê dokonania pewnego podzia³u i systematyki. Stosuje siê wiêc nie wymagaj¹cy wyjaœnienia podzia³ par na przestrzenne i p³askie. Powszechnie stosowanym kryterium podzia³u par jest rodzaj miejsca styku dwóch tworz¹cych parê cz³onów. Parami ni¿szymi nazywa siê pary, w których styk cz³onów jest powierzchniowny, jak np. w parze przedstawionej na rys. 7a (powierzchnia kulista), parami wy¿szymi zaœ, w których miejscem styku cz³onów pary jest linia lub punkt (rys. 7b i c). Wœród wielu stosowanych podzia³ów tych ró¿norodnych po³¹czeñ powszechnie stosuje siê podzia³ par na klasy wed³ug liczby stopni swobody jednego cz³onu wzglêdem drugiego cz³onu pary. Cz³on swobodny dysponuje, jak wiadomo, szeœcioma stop-

Rys. 7. Przyk³ady podzia³u par ze wzglêdu na rodzaj styku: a) styk powierzchniowy (para ni¿sza), b) styk liniowy (para wy¿sza), c) styk punktowy (para wy¿sza)

11 niami swobody. Najbardziej obrazowo i dogodnie – z punktu widzenia technicznego – mo¿na je przedstawiæ jako trzy niezale¿ne od siebie ruchy postêpowe Tx, Ty, Tz (translacje) wzd³u¿ trzech prostopad³ych osi uk³adu x, y, z oraz trzy ruchy obrotowe Rx, Ry, Rz (rotacje) wokó³ tych osi (rys. 8). W ka¿dej parze tworz¹ce j¹ cz³ony nak³adaj¹ na siebie pewne ograniczenia ruchu lub inaczej – wiêzy. Ka¿dy cz³on pary rozporz¹dza wzglêdem drugiego odpowiednio mniejsz¹ liczb¹ Rys. 8. Stopnie swobody i ich oznaczenia stopni swobody. Kieruj¹c siê tak¹ liczb¹ posiadanych stopni swobody [1], [7], [13] dzieli siê wszystkie pary na 5 klas, oznaczanych dalej cyframi rzymskimi I, II, III, IV i V*). W tej konwencji na przyk³ad parê przedstawion¹ na rys. 7a, w której cz³on (2) mo¿e wykonywaæ wzglêdem cz³onu (1) trzy ruchy obrotowe, zaliczymy do kl. III, parê wy¿sz¹ z rys. 7c zaœ do klasy V. Przyk³ady par wszystkich klas zestawiono w tabeli 1. Ka¿da z klas obejmuje ca³y zbiór par ró¿ni¹cych siê jednak miêdzy sob¹ nie tylko cechami konstrukcyjnymi, ale nawet kinematycznymi. Ró¿nice te mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie, zestawionych na rys. 9 i 10, par II klasy. W parach a i b z rysunku 9, cz³on (2) dysponuje wzglêdem cz³onu (1) mo¿liwoœci¹ obrotu i przesuniêcia, lecz osie tych ruchów s¹ do siebie b¹dŸ równoleg³e (rys. *) Mo¿na siê spotkaæ równie¿ z innym podzia³em na klasy [2], [9], [12], w którym o klasie decyduje liczba odebranych stopni swobody.

Rys. 9. Przyk³ady par II klasy: a) oœ ruchu obrotowego równoleg³a do kierunku ruchu postêpowego, b) oœ ruchu obrotowego prostopad³a do kierunku ruchu postêpowego

12 Tabela 1

13

Rys. 10. Przyk³ady par kinematycznych II klasy: a) przecinaj¹ce siê osie obrotów, b) zwichrowane osie obrotów

9a), b¹dŸ prostopad³e (rys. 9b). W parach przedstawionych na rys. 10a i 10b cz³on (2) mo¿e wykonywaæ 2 obroty, przy czym w przypadku a) osie tych obrotów przecinaj¹ siê pod k¹tem prostym, w przypadku b) zaœ s¹ do siebie równie¿ prostopad³e, lecz wzajemnie zwichrowane. Nie zawsze te¿ stopnie swobody odnosz¹ siê do prostych ruchów postêpowych lub obrotowych. W pewnych rozwi¹zaniach jeden prosty ruch wzglêdny dwóch rozpatrywanych cz³onów wywo³uje œciœle okreœlony jeden lub kilka innych ruchów prostych. Znanym przyk³adem takiego zjawiska jest para œrubowa przedstawiona na rys. 11a. Ruchowi obrotowemu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) towzrzyszy œciœle okreœlony ruch postêpowy. Te ruchy Tx i Rx, dla odró¿nienia od odpowiednich ruchów niezale¿nych, bêdziemy sygnalizowaæ przez zapis ich symboli w jednym nawiasie okr¹g³ym (TxRx). Kolejny przyk³ad tego typu funkcyjnych powi¹zañ ruchów dwóch cz³onów pary przedstawiono na rys. 11b. Ruch postêpowy Tx cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) wywo³uje jednoczeœnie przesuniêcie wzd³u¿ osi y, a wiêc Ty.

Rys. 11. Przyk³ady par kinematycznych I klasy o funkcyjnym powi¹zaniu ruchów elementarnych: a) Tx = f(R x), b) Tx = f(Ty)

14 Tabela 2

Zgodnie z wprowadzon¹ umow¹, tej parze przypiszemy symbol (TxTy). W obydwu przypadkach (rys. 11) ruch cz³onu (2) wzglêdem (1) jest œciœle okreœlony przez jeden ruch prosty, mo¿na wiêc mówiæ o jednym stopniu swobody i parze I klasy. Ju¿ z tych kilku przyk³adów widaæ, ¿e poszczególne klasy par obejmuj¹ liczne zbiory par ró¿ni¹cych siê liczbami mo¿liwych ruchów postêpowych i obrotowych, wzajemnym usytuowaniem osi tych ruchów oraz ró¿nymi powi¹zaniami funkcyjnymi miêdzy tymi ruchami. W tej sytuacji celowy jest dalszy podzia³ par nale¿¹cych do jednej klasy na rzêdy i odmiany, wed³ug wymienionych cech kinematycznych. Istotê tego podzia³u ilustruje tabela 2, w której wszystkie mo¿liwe odmiany par I kl. zestawiono w rzêdy 1–6 wed³ug liczby ruchów funkcyjnych ze sob¹ zwi¹zanych. Pary p³askie W zdecydowanej wiêkszoœci uk³adów kinematycznych ruchy wzglêdne cz³onów odbywaj¹ siê w p³aszczyznach wzajemnie równoleg³ych. Mówimy wtedy o uk³adach p³askich. W takich uk³adach wystêpuj¹ niektóre tylko spoœród omawianych par, zwane krótko parami p³askimi. Ruch cz³onu mo¿na opisaæ dwoma ruchami postêpowymi wzd³u¿ osi do siebie prostopad³ych (np. x i y), ruchem obrotowym wokó³ osi prostopad³ej do poprzednich (np. z) lub ich kombinacj¹. W tej sytuacji pary p³askie mog¹ zapewniaæ wzajemny ruch tworz¹cych je cz³onów w zakresie jednego lub dwóch stopni swobody, co oznacza, ¿e mog¹ wystêpowaæ tylko jako pary I i II klasy, i to tylko wybranych odmian. Przyk³ady najprostszych i najczêœciej spotykanych par kinematycznych zestawiono w tabeli 3.

1.3. £añcuch kinematyczny £añcuchem kinematycznym nazywamy szereg cz³onów po³¹czonych ze sob¹ ruchowo. Kilka przyk³adów ³añcuchów przedstawiono na rys. 12. Wed³ug przyjêtego kryterium podzia³u wyró¿niamy trzy grupy ³añcuchów:

15 Tabela 3

a) p³askie, przestrzenne, b) otwarte, zamkniête, c) jednobie¿ne, niejednobie¿ne. O ³añcuchu p³askim mówimy wtedy, gdy wszystkie jego cz³ony wykonuj¹ ruchy w p³aszczyznach równoleg³ych (rys. 12a, b, c). Gdy warunek ten nie jest spe³nionyjak to ma miejsce w przypadku ostatnim (rys. 12d) mówimy o ³añcuchu przestrzennym.

Rys. 12. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych

16

Rys. 13. Przyk³adowe ³añcuchy kinematyczne: a) jednobie¿ny, b) niejednobie¿ny

Do ³añcuchów otwartych zaliczymy te, które zawieraj¹ cz³ony tworz¹ce pary tylko z jednym cz³onem. Na rys. 12a przedstawiono ³añcuch otwarty, na rysunku 12 b, c, d natomiast ³añcuchy zamkniête. Zwróæmy uwagê na pewne zjawiska kinematyczne. Niech bêdzie dany p³aski ³añcuch kinematyczny z³o¿ony z czterech cz³onów, po³¹czonych jak na rys. 13a. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e w uk³adzie tym ka¿demu po³o¿eniu cz³onu (2) w p³aszczyŸnie zwi¹zanej z cz³onem (1) odpowiadaj¹ okreœlone po³o¿enia pozosta³ych cz³onów (3) i (4). Oznacza to, ¿e zadanemu ruchowi cz³onu (2) wzglêdem dowolnego innego cz³onu odpowiadaj¹ okreœlone ruchy pozosta³ych cz³onów wzglêdem siebie. £añcuch o takich w³aœciwoœciach nazywamy jednobie¿nym. W uk³adzie piêciocz³onowym, przedstawionym na rys. 13b, ruch wzglêdny cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) nie warunkuje jednoznacznych ruchów wzglêdnych pozosta³ych cz³onów. Jest to przyk³ad ³añcucha niejednobie¿nego. Oczywiœcie i w tym ³añcuchu mo¿na otrzymaæ ruchy œciœle okreœlone, je¿eli jednoczeœnie bêdziemy napêdzaæ jakikolwiek inny cz³on, np. obracaj¹c korb¹ (2) przesuwaæ wzd³u¿ prowadnicy suwak (5). Ju¿ z tych przyk³adów widaæ, ¿e jednobie¿noœæ wi¹¿e siê z jednej strony z liczb¹ cz³onów czynnych (napêdzaj¹cych), z drugiej zaœ z pewnymi cechami budowy uk³adu lub – jak powiedzmy inaczej – ze struktur¹ uk³adu. 1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha Ruchliwoœæ ³añcucha lub stopieñ ruchliwoœci w sensie fizycznym okreœla, przy istnieniu pewnych zastrze¿eñ, liczbê stopni swobody, jakimi dysponuj¹ cz³ony uk³adu wzglêdem jednego z nich. Ruchliwoœæ mo¿na inaczej okreœliæ liczb¹ ograniczeñ ruchów prostych (wiêzów), które na³o¿one na ruchome cz³ony uk³adu powoduj¹, ¿e uk³ad staje siê sztywny. W p³askim ³añcuchu przegubowym ABCD (rys. 14a) cz³ony dysponuj¹ wzglêdem siebie jednym stopniem swobody (W = 1), o czym mo¿na siê przekonaæ choæby po zbudowaniu jego fizycznego modelu. Je¿eli jednak w tym modelu wyeliminujemy jedn¹ mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów, np. w parze C (rys. 14b), bêdziemy mieli do czynienia z uk³adem sztywnym (W = 0). Takiemu uk³adowi przypiszemy wiêc ruchliwoœæ W = 1. W ten sam sposób mo¿na siê przekonaæ, ¿e

17

Rys. 14. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœæi W = 1, b) uk³ad sztywny

uk³ad ABCDE, z rys. 15a, charakteryzuje siê ruchliwoœci¹ W = 2; do otrzymania zeñ uk³adu sztywnego potrzeba dwóch ograniczeñ ruchu, np. w parach B i E (rys. 15b). Uk³ad jest jednobie¿ny, je¿eli liczba cz³onów czynnych odpowiada jego ruchliwoœci. Ruchliwoœæ uk³adu mo¿na wiêc w prostych przypadkach oceniæ intuicyjnie, mo¿na jednak równie¿ dokonaæ tego w sposób formalny, stosuj¹c tzw. wzory strukturalne (podrozdz. 1.5).

1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna 1. Pojêciem mechanizm bêdziemy okreœlaæ zamkniêty ³añcuch kinematyczny z jednym cz³onem spe³niaj¹cym funkcjê podstawy, charakteryzuj¹cy siê liczb¹ cz³onów czynnych równ¹ jego ruchliwoœci. Bêdziemy wiêc nazywaæ mechanizmem uk³ad jednobie¿ny umo¿liwiaj¹cy przekazywanie ruchu, czêsto z jednoczesn¹ zmian¹ jego parametrów. Oczywiœcie, realizacja tego zadania jest mo¿liwa z udzia³em si³, ale istot¹ mechanizmu jest ruch. Kilka przyk³adów mechanizmów zestawiono na rys. 16. Na rysunku 16a przedstawiono uk³ad umo¿liwiaj¹cy zamianê ruchu obrotowego cz³onu (2) wzglêdem podstawy (1) na ruch obrotowo-zwrotny (wahad³owy) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Mechanizm krzywkowy (rys. 16b) zamienia ruch obrotowy krzywki (2) na ruch postêpowy cz³onu (3), mechanizm zêbaty zaœ (rys. 16c) umo¿li-

Rys. 15. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœci W = 2, b) uk³ad sztywny

18

Rys. 16. Przyk³ady mechanizmów: a) jarzmowy, b) krzywkowy, c) zêbaty z cz³onem czynnym w postaci si³ownika hydraulicznego

wia zamianê wzglêdnego ruchu postêpowego w si³owniku hydraulicznym AB na ruch obrotowy ko³a (5). 2. Istnieje wiele urz¹dzeñ o budowie opartej na ³añcuchu kinematycznym, które nie spe³niaj¹c wszystkich w/w kryteriów – nie zas³uguj¹ na miano mechanizmu. S¹ wiêc urz¹dzenia, które s³u¿¹ do przekazywania si³, jednak bez udzia³u ruchu, a wiêc jako ³añcuchy sztywne, przynajmniej w pewnych fazach pracy. S¹ ³añcuchy kinematyczne niejednobie¿ne, wystêpuj¹ wreszcie ³añcuchy kinematyczne bez wyraŸnie akcentowanej podstawy itp. Wszystkie takie urz¹dzenia, wraz z ca³¹ grup¹ zdefiniowanych mechanizmów, bêdziemy obejmowaæ szerokim pojêciem uk³adów mechanicznych lub uk³adów kinematycznych. Przyk³adem uk³adu mechanicznego mo¿e byæ urz¹dzenie zaczepowe (rys. 17a) umo¿liwiaj¹ce przeniesienie si³y uci¹gu ci¹gnika na ramê maszyny. Uk³ad ten wykonuje swoje zadanie w zasadzie bez udzia³u ruchu wzglêdnego tworz¹cych go cz³onów. Ruch wzglêdny cz³onów, potrzebny w fazie jego ustawiania, wystêpuje w tym przypadku przed jego obci¹¿eniem. Na rysunku 17b przedstawiono schematycznie uk³ad pewnego zawiesia do przenoszenia ³adunków paletowych. Uk³ad ten, dziêki odpowiednio dobranym przeciwciê¿arom, wisi swobodnie i umo¿liwia przeniesienie elementów, zachowuj¹c potrzebne poziome ich po³o¿enie. Istotny jest tu wiêc nie ruch wzglêdny czy wzajemne po³o¿enie cz³onów, lecz po³o¿enie jednego cz³onu (2) wzglêdem ziemi. 3. W jêzyku potocznym pojêcie maszyny odnosi siê do wielu ró¿norakich urz¹dzeñ i podk³ada siê pod nie ró¿ne znaczenia. Tu maszyn¹ bêdziemy nazywaæ urz¹dzenie, w którym z udzia³em ruchu mechaniczengo zachodzi proces energetyczny polegaj¹cy na wykonywaniu pracy u¿ytecznej lub przekszta³ceniu energii. Stosownie do tego, maszyny dzielimy na: 1. Maszyny robocze, w których w³aœciwy efekt uzyskuje siê przez zamianê dostarczonej energii w pracê (tokarka, prasa, koparka).

19

Rys. 17. Przyk³ady uk³adów mechanicznych: a) uk³ad zaczepu, b) uk³ad zawiesia

2. Silniki i generatory, w których zachodzi przekszta³canie jednego rodzaju energii w drugi (silnik spalinowy, generator pr¹du elektrycznego...). Istotn¹ cech¹ maszyny jest to, ze zawiera co najmniej jeden, a zwykle kilka odpowiednio ze sob¹ wspó³pracuj¹cych mechanizmów. Rozpatrzmy dla przyk³adu maszynê przeznaczon¹ do seryjnego wyt³aczania z taœmy (1) pó³wyrobu x (rys.18). Mo¿na w niej wyró¿niæ mechanizmy:

Rys. 18. Przyk³ad maszyny do przeróbki plastycznej z zakcentowaniem mechanizmów sk³adowych

20 – zêbaty (z³o¿ony z cz³onów 0, 4, 5), – cierny (0, 2, 1, 3), – maltañski (0, 7, 6), – krzywkowy (0, 9, 10, 13), – dŸwigniowe korbowo-wodzikowe: (0, 8, 11, 12) i (0, 13, 14, 15). Podobnie, w ka¿dym silniku spalinowym mo¿na wyró¿niæ: uk³ad korbowo-t³okowy, mechanizm krzywkowy rozrz¹du, mechanizmy przek³adni itd. Na inny aspekt pojêcia maszyny zwrócimy uwagê w rozdz. 12.

1.5. Wzory strukturalne Wszystkie cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach kinematycznych podzielono, ze wzglêdu na liczbê pó³par, na typy Ni (rys. 6). Je¿eli przez ni oznaczyæ liczbê cz³onów Ni, przez n zaœ ogóln¹ liczbê cz³onów w uk³adzie, to oczywiœcie n = n2 + n3 + n4 +...+ nw.

(1)

Na ka¿d¹ parê sk³adaj¹ siê dwie pó³pary. Je¿eli przez p oznaczyæ ogóln¹ liczbê par w uk³adzie, przez m natomiast liczbê pó³par, to m = 2 p,

(2)

m = 2n2 + 3n3 + 4n4 +...+ nw.

(3)

albo inaczej Po uwzglêdnieniu wzorów (2) i (3) otrzymamy 2p = 2n2 + 3n3 + 4n4 +...+ nw.

(4)

Zarówno ze wzglêdu na analizê, jak i syntezê uk³adów kinematycznych istotny jest zwi¹zek, jaki zachodzi miêdzy budow¹ uk³adu a jego ruchliwoœci¹. W celu wyprowadzenia tego zwi¹zku rozwa¿my dowolny ³añcuch kinematyczny (rys. 19) zbudowany z n cz³onów. Jeden z cz³onów uk³adu spe³nia rolê podstawy, a zatem liczba ruchomych (wzglêdem podstawy) cz³onów wynosi n – 1.

Rys. 19. Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzorów strukturalnych: a) n cz³onów przygotowanych do po³¹czenia w ³añcuch, b) ³añcuch z³o¿ony z n cz³onów

21 Wszystkie cz³ony ruchome przed wejœciem w pary kinematyczne (rys. 19a) dysponowa³y ³¹cznie x = 6 (n – 1) stopniami swobody. Wskutek po³¹czenia tycz cz³onów ze sob¹ i z podstaw¹ (rys. 19b) liczba ich stopni swobody zosta³a pomniejszona. Je¿eli w rozpatrywanym ³añcuchu przez pi oznaczyæ liczbê par i-tej klasy, przy czym w ka¿dej parze jeden cz³on odbiera drugiemu (6 – i) stopni swobody, to ³¹cznie wszystkie ruchome cz³ony trac¹ #

y =

∑ ($ − i ) pi 

stopni swobody. W tej sytuacji ruchliwoœæ W, rozumiana jako liczb¹ pozosta³ych stopni swobody ruchomych cz³onów uk³adu, wyrazi siê wzorem W = x – y, czyli W = 6 (n – 1) –

#

∑ ($ − i ) pi .

(5)



Odpowiednio dla ³añcuchów p³askich W = 3 (n – 1) –

2

∑ (3 − i ) pi .

(6)

1

Po rozpisaniu wzorów (5) i (6) otrzymamy dla ³añcuchów przestrzennych W = 6 (n –1) – 5p1 – 4p2 – 3p3 – 2p4 – 1p5 ...,

(7)

dla ³añcuchów p³askich W = 3 (n –1) – 2p1 – 1p2 .

(8)

Na przyk³ad dla mechanizmu krzywkowego z rys. 20 otrzymamy W = 3 (5 – 1) – 2 · 5 – 1· 1 = 1. Oznacza to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym (krzywka 2) uk³ad jest jednobie¿ny. Tym razem wynik by³ oczywisty równie¿ intuicyjnie. Trudniej by³oby ju¿ jednak dokonaæ tego w przypadku nawet tak prostego uk³adu przestrzennego, jak przedstawiony na rys. 21. Stosuj¹c œrodki formalne ustalimy: n = 4, p1 = 2, p2 = 1, p3 = 1, p5 = 1 i po podstawieniu do wzoru (7) otrzymamy W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 4 · 1 – 3· 1 – 2 · 0 – 1· 1 = 0. Wynik W = 0 oznacza tu, ¿e uk³ad jest sztywny. Mimo ruchliwych po³¹czeñ nie wystêpuj¹ w tym uk³adzie ruchy wzglêdne cz³onów.

22

Rys. 20. Schematy mechanizmu jarzmowo-krzywkowego: a) kinematyczny, b) strukturalny

Rys. 21. Przyk³ady przestrzennego z³o¿onego ³añcucha kinematycznego

1.6. Ruchliwoœæ lokalna Przeanalizujmy mechanizm przedstawiony na rysunku 22. Nietrudno sie zgodziæ z tym, ¿e przy zadanej prêdkoœci k¹towej w2 krzywki (2) popychacz (4) wykonuje ruch œciœle okreœlony. Mo¿na by z tego wysun¹æ wniosek, ¿e uk³ad jest jednobie¿ny, a zatem charakteryzuj¹cy siê ruchliwoœci¹ W = 1 (przy jednym cz³onie czynnym). Tymczasem zastosowawszy wzór (8) otrzymamy W = 3 (4 – 1) – 2· 3 – 1· 1 = 2. Pozorn¹ niezgodnoœæ wyników t³umaczy siê tym, ¿e rachunek formalny, poza wspomnian¹ ju¿ ruchliwoiœci¹ W = 1 popychacza (4), wykaza³ bezb³êdnie równie¿ jeden stopieñ swobody kr¹¿ka (3). Kr¹¿ek ten mo¿e siê obracaæ wokó³ w³asnej osi, nie zak³ócaj¹c zreszt¹ w ¿adnym stopniu istotnego tu ruchu popychacza (4). Wi¹¿e siê to tym razem z kszta³tem cz³onu (3) i jego centrycznym u³o¿yskowaniem (por. przypadek ogólny na rys. 22b). Tego typu lokalne stopnie swobody cz³onu lub pewnej grupy cz³onów, nie zmieniaj¹ce ruchliwoœci pozosta³ej czêœci ³añcucha, nazywa siê ruchliwoœci¹ lokaln¹. Istotê tego zjawiska mo¿na przeœledziæ równie¿ na przyk³adzie uk³adu przestrzennego (rys. 23). £¹cznik (3), poœrednicz¹cy tu w jednoznacznym przeka-

23

Rys. 22. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci lokalnej: a) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (ruchliwoœæ lokalna cz³onu 3), b) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (brak ruchliwoœæi lokalnej)

zywaniu ruchu z cz³onu czynnego (2) na cz³on bierny (4), mo¿e, jak widaæ z rysunku, obracaæ siê wokó³ w³asnej osi przechodz¹cej przez œrodki obu przegubów kulistych. I znów ruch ten, nieistotny ze wzglêdu na realizowany ruch cz³onu biernego, zostanie w rachunku odnotowany. Mamy tu bowiem: W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 3· 2 = 2. Z dokonanych rozwa¿añ wynika, ¿e na u¿ytek praktyczny nale¿y omówione wzory okreœlaj¹ce ruch uzupe³niæ do postaci W = Ww + WL,

(9)

w której: W – ruchliwoœæ liczona wed³ug zale¿noœci (7) i (8), Ww – ruchliwoœæ wykorzystywana, WL – ruchliwoœæ lokalna cz³onu lub grupy cz³onów. W³aœciwa interpretacja wyników otrzymanych ze wzoru okreœlaj¹cego ruchliwoœæ wymaga znajomoœci WL. Niestety, dotychczas nie mo¿na poleciæ dostatecznie ogólnej i prostej metody okreœlania ruchliwoœci lokalnej.

Rys. 23. Przyk³ad mechanizmu przestrzennego z ruchliwoœcia lokaln¹

24

1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na Rozpatruj¹c ruchliwoœæ uk³adów nale¿y pamiêtaæ, ¿e uzyskanego za pomoc¹ wzorów strukturalnych wyniku nie mo¿na interpretowaæ jednoznacznie. W pewnych przypadkach wynik okreœla liczbê stopni swobody wszystkich cz³onów wzglêdem podstawy. Takie zjawisko wystêpuje w prostych uk³adach charakteryzuj¹cych siê ruchliwoœci¹ W = 1, np. w uk³adzie przedstawionym na rys. 14a. Ka¿dy z cz³onów (2, 3 i 4) ma wzglêdem podstawy jeden stopieñ swobody. Innym razem ruchliwoœæ W okreœla liczbê stopni swobody cz³onu najbardziej „ruchliwego”. Z takim przypadkiem spotykamy siê w uk³adzie przedstawionym na rys. 24. Ruchliwoœæ W = 3 odpowiada tu trzem stopniom swobody (f = 3) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Z pozosta³ych cz³onów, (3) i (5) maj¹ po dwa (f = 2), (2) i (6) zaœ po jednym stopniu swobody (f = 1) wzglêdem podstawy. Kolejny przypadek zilustrowano na rys. 25. Obliczona wed³ug wzoru (8) ruchliowoœæ daje W = 0. Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e na ten wynik z³o¿y³y siê: ruchliwoœæ W24 = 1 (lewej strony) i W59 = –1 (prawej strony uk³adu). W tym przypadku wynik W = 0 nie odpowiada sytuacji ruchowej ¿adnego cz³onu. Jest jeszcze inny aspekt pojêcia ruchliwoœæ [7]. Na rysunku 26 przedstawiono dwa uk³ady zbudowanej z tej samej liczby takich samych cz³onów i par. Oczywiœcie, równie¿ ruchliwoœæ obydwu uk³adów, obliczona za pomoc¹ wzoru (8), jest identyczna i wynosi W = 1. Jak nietrudno zauwa¿yæ, w uk³adzie z rys. 26a cz³ony 1, 4, 5, 6 i 7 tworz¹ sztywn¹ figurê, ruchliwoœæ W = 1 zaœ dotyczy tylko cz³onów (2) i (3), natomiast w uk³adzie z rys. 26b mo¿liwoœci¹ ruchu dysponuj¹ jednoczeœnie wszystkie cz³ony wzglêdem podstawy. Przytoczone przyk³ady sugeruj¹ potrzebê wprowadzenia nowych okreœleñ umo¿liwiaj¹cych bli¿szy opis omawianych tu cech uk³adów ruchomych. Gdy ruchliwoœæ W = 1, tzn. wszystkie cz³ony uk³adu wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie, wówczas mówimy o tzw. ruchliwoœci zupe³nej, gdy zaœ dodatkowo wszysktie ruchome cz³ony dysponuj¹ wzglêdem podstawy tak¹ sam¹ liczb¹ stopni swobody f, mówimy o ruchli-

Rys. 24. Schemat uk³adu kinematycznego z podanymi stopniami swobody poszczególnych cz³onów

Rys. 25. Przyk³ad uk³adu kinematycznego o ruchliwoœci niezupe³nej

25

Rys. 26. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych o W = 1: a) ruchliwoœæ niezupe³na, b) ruchliwoœæ zupe³na i jednorodna

woœci jednorodnej. Stosownie do tego, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 24 okreœlilibyœmy jako zupe³n¹, lecz niejednorodn¹, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 25 jako niezupe³n¹, uk³adowi z rys. 26b zaœ przypisywalibyœmy ruchliwoœæ zupe³n¹ i jednorodn¹.

1.8. Wiêzy bierne W uk³adzie przedstawionym na rysunku 27a zachodz¹ nastêpuj¹ce zwi¹zki: AB = CD = EF oraz AC = BD i CE = DF. Przy takim wykonaniu uk³adu mo¿e byæ wykorzystany do jednoznacznego przekazywania ruchu obrotowego (w okreœlonych granicach) z cz³onu AB na EF. Sugerowa³oby to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym nale¿y siê spodziewaæ ruchliwoœæi uk³adu W = 1. Tak¹ ruchliwoœæ mo¿na stwierdziæ w praktyce, np. na wykonanym modelu. Jednoczeœnie, po zastosowaniu wzoru (8) otrzymamy W = 3 (5 – 1) – 2· 6 = 0. Wynik obliczeñ wskazuje na to, ¿e mamy do czynienia z uk³adem sztywnym. Tak te¿ jest w istocie w przypadku ogólnym (rys. 27b). Fizyczn¹ ruchliwoœæ W = 1 mo¿na przypisaæ omawianemu uk³adowi tylko wtedy, gdy bêd¹ spe³nione podane równoœci. Wtedy bowiem pewne wiêzy, jako powtórzenia ju¿ istniej¹cych, nie daj¹ o sobie znaæ. Takie dodatkowe i zbêdne kinematycznie ograniczenia bêdziemy nazywaæ wiêzami biernymi. Liczbê wiêzów biernych Rb w ³añcuchu mo¿na okreœliæ, je¿eli s¹ znane ruchliwoœæ rzeczywista Wrz (realizowana) oraz ruchliwoœæ teoretyczna W (obliczona ze wzoru (6): Rb = Wrz – W.

(10)

W przyk³adowym uk³adzie (rys. 27a) Wrz = 1, W = 0, czyli Rb = 1. Do uk³adów kinematycznych z liczb¹ wiêzów biernych Rb ¹ 0 stosuje siê, nie bez racji, okreœlenie nieracjonalne. Okreœlenie to wydaje siê trafne, zw³aszcza je¿eli uzmys³owiæ sobie, jak

26

Rys. 27. Ilustracja pojêcia wiêzów biernych

nie³atwo w praktyce spe³niæ wi¹¿¹ce siê z wiêzami biernymi wymagania dok³adnoœciowe. Poniewa¿ uzyskanie absolutnej dok³adnoœci jest zwykle niemo¿liwe, istnienie wiêzów biernych oznacza jednoczeœnie: – trudnoœci monta¿owe, – pojawienie siê dodatkowych naprê¿eñ wewnêtrznych w cz³onach uk³adu, – przyspieszone zu¿ycie elementów wêz³ów kinematycznych, – inne ujemne skutki. Z tego te¿ wzglêdu rozwi¹zañ takich ogólnie nale¿y unikaæ. W omawianym przypadku mo¿na tego dokonaæ, np. przez rezygnacjê z cz³onu dodatkowego DC (rys. 27c) lub zast¹pienie jednego cz³onu BDF dwoma cz³onami BD i DF (rys. 27d). Z uk³adami zawieraj¹cymi wiêzy bierne mo¿na siê spotkaæ w praktyce niestety bardzo czêsto, przy czym s¹ one czêœciej wynikiem nieœwiadomoœci projektuj¹cego ni¿ z przemyœlanej decyzji. Przyk³adem takiego uk³adu z wiêzami biernymi z przekonuj¹cym uzasadnienniem mo¿e byæ przek³adnia obiegowa (rys. 28). Do jednoznacznego przeniesienia ruchu, np. z ko³a (1) na jarzmo J (rys. 28a) wystarczy jedno ko³o satelitarne (2), instaluje siê jednak zwykle wiêksz¹ liczbê satelitów (rys. 28b) w celu uzyskania roz³o¿enia nacisków miêdzyzêbnych. Niezamierzone zapewne, bo niczym nie usprawiedliwione, wydaje siê rozwi¹zanie pewnego klinowego uk³adu zaciskowego (rys. 29a). Na podstawie wzoru strukturalnego (7) dla uk³adów przestrzennych otrzymamy W = 6 (3 – 1) – 5· 2 – 3· 1 = –1.

27

Rys. 28. Przyk³ady przek³adni obiegowej: a) bez wiêzów biernych, b) z wiêzami biernymi

Uk³ad jest przesztywniony. Potrzebne przeniesienie ruchu cz³onu (2) na ruch cz³onu (3) mo¿na uzyskaæ i przy tym rozwi¹zaniu, lecz wymaga to zachowania pewnych warunków dok³adnoœci. Bez tego typu ograniczeñ bêdzie dzia³aæ niezawodnie rozwi¹zanie przedstawione na rys. 29b, w którym, w wyniku podwy¿szenia klasy par 1–2 i 1–3, cz³ony (2) i (3) bêd¹ oddzia³ywaæ na siebie ca³ymi p³aszczyznami klinowymi niezale¿nie od wartoœci k¹tów ich œciêcia. W ogólnym przypadku w ³añcuchach kinematycznych mog¹ wystêpowaæ zarówno wiêzy bierne, jak i ruchliwoœæ lokalna. Wtedy ruchliwoœæ rzeczywist¹ okreœlonego cz³onu lub grupy cz³onów biernych mo¿na wyznaczyæ z nastêpuj¹cej zale¿noœci Wrz = W – WL – Rb.

Rys. 29. Mechanizm klinowy: a) z wiêzami biernymi, b) bez wiêzów biernych

(11)

28 Omówione zagadnienia ruchliwoœci, ruchliwoœci lokalnej, zupe³nej, jednorodnej oraz wiêzów biernych umo¿liwiaj¹, za pomoc¹ wzorów strukturalnych (5)–(11), okreœlenie rzeczywistej sytuacji ruchowej w ³añcuchu kinematycznym. Tym samym wzory te umo¿liwiaj¹ analizê i kontrolê poprawnoœci intuicyjnych za³o¿eñ dokonanych podczas projektowania uk³adów kinematycznych. Wyprowadzone zwi¹zki (5)–(11) wraz z (1)–(4) mog¹ byæ równie¿ stosowane skutecznie w procesie wyczerpywania mo¿liwych form strukturalnych uk³adów spe³niaj¹cych z góry za³o¿one wymagania. Postêpowanie takie, le¿¹ce u podstaw tzw. syntezy strukturalnej, nie bêdzie przedmiotem dalszych rozwa¿añ.

2. Klasyfikacja mechanizmów Bogactwo i ró¿norodnoœæ mechanizmów spotykanych w budowie maszyn stwarza potrzebê okreœlonego ich uporz¹dkowania i systematycznego uszeregowania lub wrêcz pewnego podzia³u wed³ug okreœlonych zasad i kryteriów. W³aœciwie opracowana klasyfikacja mog³aby z jednej strony u³atwiæ i inspirowaæ dobór mechanizmów do okreœlonych zastosowañ, z drugiej zaœ umo¿liwiæ opracowanie w miarê ogólnych metod analizy kinematycznej i dynamicznej oraz ogólnych podstaw i metod syntezy nowych mechanizmów. Niestety, nie istnieje dotychczas taka w pe³ni zadowalaj¹ca klasyfikacja, która by³aby jednoczeœnie naukowo uzasadniona,metodologicznie racjonalna i u¿yteczna w praktyce in¿ynierskiej. Licznie podejmowane od wielu lat prace w tym zakresie posz³y w zasadzie w dwu odmiennych kierunkach, a ich wynikiem s¹ ró¿ne wersje tzw. klasyfikacji funkcjonalnych i kolejne propozycje klasyfikacji strukturalnej. 1. Klasyfikacja funkcjonalna otwiera historyczny ju¿ (rok 1875) podzia³ mechanizmów zasugerowany przez Reuleaux. Istotê tego podzia³u, przewijaj¹c¹ siê zreszt¹ przez kolejne propozycje, mo¿na przedstawiæ na przyk³adzie jednej z ostatnich klasyfikacji [2] (rys. 30). Klasyfikacja ta, jak zreszt¹ inne tego typu, nie spe³nia podstawowych kryteriów ka¿dej klasyfikacji naukowej, a mianowicie: a) kryterium podzia³u wed³ug jednej zasady, b) kryterium wy³¹cznoœci, c) kryterium zupe³noœci. Nie rozwijaj¹c bli¿ej tych kryteriów, zwrócimy tylko uwagê, ¿e pozostaj¹c przy tej klasyfikacji, mielibyœmy sporo k³opotu z zakwalifikowaniem ogromnej liczby mechanizmów bardziej z³o¿onej. Taki podzia³ mechanizmów nie sugeruje równie¿ odpoweidniego podzia³u metod ich analizy. 2. Klasyfikacja strukturalna. Niedoskona³ym próbom klasyfikacji funkcjonalnych mo¿na przciwstawiæ klasyfikacjê, sugeruj¹c¹ mo¿liwoœæ podzia³u wszystkich mechanizmów wed³ug cech strukturalnych. Klasyfikacja ta zosta³a zapocz¹tkowana przez Assura (rok 1914), i by³a kolejno uzupe³niana. Podstawowe jej zasady przeœledzimy pobie¿nie na przyk³adzie opracowania Artobolewskiego. Wszystkie mechanizmy dzieli siê na rodziny (rys. 31), przy czym kryterium takiego podzia³u jest liczba ogólnych wiêzów na³o¿onych na cz³ony mechanizmu. Istotê tego podzia³u wyjaœniaj¹ przyk³ady mechanizmów reprezentuj¹cych poszczególne rodziny (rys. 32). Do rodziny 0. nale¿¹ wiêc wszystkie mechanizmy przestrzenne, na które nie na³o¿ono ¿adnych ograniczeñ (rys. 32a). Rodzinê 1. tworz¹ mechanizmy, których cz³ony nie mog¹ korzystaæ z jednego (tego samego) stopnia swobody. Na przyk³ad w mechanizmie z rys. 32b

30

Rys. 30. Przyk³ad klasyfikacji funkcjonalnej

Rys. 31. Ilustracja klasyfikacji strukturalnej

¿aden z cz³onów nie mo¿e wykonywaæ obrotu wokó³ osi prostopad³ej do p³aszczyzny rysunku. Do rodziny 3. nale¿¹ miêdzy innymi mechanizmy p³askie (rys. 32d), gdy¿ cz³onom takich mechanizmów odebrano generalnie 3 stopnie swobody itd. W ramach ka¿dej rodziny dzieli siê mechanizmy na klasy, przy czym o klasie mechanizmu decyduje najwy¿sza klasa grupy. Pojêciem grupy okreœla siê ³añcuch kinematyczny, w którym ruchowe po³¹czenie wolnych cz³onów z podstaw¹ zamienia go w uk³ad sztywny. Oznacza to, ¿e dla grup, zwanych dalej grupami Assura, obowi¹zuje równanie strukturalne w postaci

31

Rys. 32. Przyk³ady mechanizmów z podzia³em na rodziny

3k – 2p1 – p2 = 0

(12)

lub w razie uwzglêdnienia istnienia tylko par I klasy 3k = 2p1, gdzie: k – liczba cz³onów grupy, p1 – liczba par kinematycznych I klasy.

Rys. 33. Przyk³ad grupy Assura: a) grupa ABC, b) grupa przy³¹czona do podstawy jest uk³adem sztywnym

(13)

32 Na podstawie warunku (13) mo¿na okreœlaæ formy strukturalne grup Assura kolejnych klas. Najprostsz¹ grupê, tzw. grupê II klasy, charakteryzuj¹ liczby k = 2, p1 = 3. Schemat strukturalny tej grupy przedstawiono na rys. 33a, przy czym parê B bêdziemy nazywaæ par¹ wewnêtrzn¹, pary A i C zaœ parami zewnêtrznymi. Nietrudno sprawdziæ, ¿e po pod³¹czeniu tego dwucz³onu parami zewnêtrznymi do podstawy (rys. 33b) otrzymamy uk³ad sztywny. Schemat strukturalny omawianej grupy II klasy obejmuje ca³¹ rodzinê grup kolejnej postaci. Otrzymamy je przypisuj¹c parom I klasy A, B, C (rys. 34a) postacie par obrotowych lub postêpowych (rys. 34b).

Rys. 34. Dwucz³onowa grupa Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne

33

Rys. 35. Przyk³ad czterocz³onowej grupy Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne

Rys. 36. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat kruszarki, b) cz³on czynny, c) grupa dwucz³onowa

34

Rys. 37. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat no¿yc do blachy, b) cz³on czynny, c) grupa czterocz³onowa

Kolejne liczby k = 4, p1 = 6, spe³niaj¹ce warunek (13), odnosz¹ siê do grupy III klasy (rys. 35a). Rzeczywiste postacie tej grupy (rys. 35b) otrzymamy rozpatruj¹c wszystkie mo¿liwe kombinacje par obrotowych i postêpowych. Omówione najprostsze grupy II i III klasy (rys. 34 i 35) mo¿na wyró¿niæ i wydzieliæ z ogromnej wiêkszoœci spotykanych w praktyce mechanizmów dŸwigniowych. Na rysunku 36a przedstawiono schemat opartego na czworoboku mechanizmu kruszarki do ska³. Po wydzieleniu cz³onu czynnego (2), stanowi¹cego tzw. mechanizm I klasy, pozosta³y dwucz³on (3–4) jest typow¹ grup¹ II klasy pierwszej postaci (rys. 34b). Z tego powodu mechanizm ten zaliczymy do II klasy. Mechanizm no¿yc do ciêcia blachy, przedstawiony na rysunku 37a, jest mechanizmem III klasy. Decyduje o tym grupa III klasy (cz³ony (4), (3), (5), (6)) (rys. 37c), jaka pozostaje po wydzieleniu cz³onu czynnego (2) (rys. 37b). Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e taka mo¿liwoœæ dokonania podzia³u ka¿dego mechanizmu dŸwigniowego na cz³on lub cz³ony czynne (napêdzaj¹ce) oraz grupy Assura okreœlonych klas ma istotne znaczenie. Stwarza szansê uogólnienia metod analizy i syntezy strukturalnej, kinematycznej i dynamicznej. Jednoczeœnie jednak trzeba uprzedziæ Czytelnika, ¿e problem ten nie jest do koñca rozwi¹zany. Zaproponowana klasyfikacja strukturalna dotyczy tylko mechanizmów dŸwigniowych, a jej zasady budz¹ wci¹¿ wiele w¹tpliwoœci merytorycznych. 3. Mechanizmy w pewnych przypadkach mo¿na równie¿ podzieliæ na dwie grupy: a) z parami ni¿szymi, b) z parami wy¿szymi. Do grupy pierwszej (a) nale¿¹ popularne mechanizmy dŸwigniowe, typowymi zaœ przedstawicielami drugiej grupy (b) s¹ mechanizmy krzywkowe i zêbate. Do takiego podzia³u odwo³amy siê przy omawianiu metod analizy kinematycznej.

II. KINEMATYKA Kinematyka obejmuje zagadnienia zwi¹zane z badaniem ruchu mechanizmów, przy za³o¿eniu, ¿e cz³ony mechanizmów s¹ sztywne i nie uwzglêdnia siê ani wp³ywu ich mas, ani dzia³aj¹cych si³. Przedmiotem rozwa¿añ s¹ wiêc: – po³o¿enia cz³onów, – trajektorie punktów, – prêdkoœci liniowe i k¹towe, – przyspieszenia liniowe i k¹towe. Do okreœlenia tych parametrów mo¿na korzystaæ z ró¿norakich metod, np.: – graficznych, – analitycznych, – numerycznych, – kombinowanych. O wyborze metody decyduj¹: rodzaj badanego problemu, potrzeby dotycz¹ce szybkoœci otrzymanych wyników i ich dok³adnoœci. Rozwój wspó³czesnych œrodków obliczeniowych (komputery, kalkulatory programowane) nobilituje przede wszystkim metody analityczne i numeryczne, w obecnej dobie jednak stosowane s¹ wci¹¿ jeszcze i metody graficzne.

36

3. Metody graficzne Metody graficzne, dziœ ju¿ klasyczne, umo¿liwiaj¹ w pewnych przypadkach okreœlenie parametrów ruchu mechanizmów w sposób prosty i bardzo pogl¹dowy. Maj¹ niezaprzeczalny aspekt dydaktyczny, ³atwiej te¿ z ich pomoc¹ wyjaœniæ pewne pojêcia kinematyczne. Znajomoœæ metod graficznych u³atwia zwykle dokonanie zapisu analitycznego. Stanowi¹ one cenne uzupe³nienie pozosta³ych metod przez to równie¿, ¿e umo¿liwiaj¹ sprawdzenie poprawnoœci wyników uzyskanych na innej drodze. Podstawow¹ wad¹ metod graficznych jest to, ¿e uzyskane wyniki dotycz¹ zwykle jednego po³o¿enia mechanizmu i charakteryzuj¹ siê okreœlon¹ dok³adnoœci¹.

3.1. Podzia³ki Stosuj¹c graficzne metody analizy kinematycznej przedstawiamy wystêpuj¹ce wielkoœci, np. przemieszczenie, czas, prêdkoœæ, przyspieszenie, w postaci odcinka linii prostej. Aby to przedstawienie by³o jednoznaczne, wprowadza siê pojêcie podzia³ki. Podzia³k¹ bêdziemy nazywaæ stosunek wartoœci wielkoœci rzeczywistej do wartoœci wielkoœci rysunkowej wielkoœæ wartoœci rzeczywistej Podzia³ka = wielkoœæ wartoœci rysunkowej Okreœlenie to zapiszemy w postaci

κx =

x . ( x)

(14)

Podzia³kom nale¿y przypisaæ wymiar zale¿ny zarówno od wymiaru wielkoœci rzeczywistej, jak i wymiaru wielkoœci rysunkowej. Zazwyczaj wymiarami czasu t, przemieszczenia l, prêdkoœci v,..., bêd¹ odpowiednio sekunda, metr, metr na sekundê, ... Wielkoœæ rysunkowa jest przedstawiana najczêsciej w milimetrach. Przy takich za³o¿eniach bêdzie

κt =

t  s  , ( t )  mm 

κl =

l  m  , (l )  mm 

37

κv =

v  m  . (v )  s ⋅ mm 

Podzia³ki mo¿na przyjmowaæ dowolnie, nale¿y tylko pamiêtaæ o tym, ¿e wartoœæ podzia³ki ma istotny wp³yw na dok³adnoœæ uzyskanego wyniku. Oczywiœcie im mniejsza wartoœæ podzia³ki k, tym wiêksza dok³adnoœæ odczytu.

3.2. Po³o¿enia i trajektorie Okreœlanie po³o¿eñ cz³onów w poszczególnych fazach ruchu mechanizmu oraz trajektorii (torów), jakie zakreœlaj¹ pewne charakterystyczne punkty zwi¹zane z cz³onami ruchomymi, nale¿y do najprostszych zadañ analizy kinematycznej. Czynnoœci takie, niezbêdne np. w fazie projektowania uk³adów ruchliwych, przy korzystaniu z metod graficznych s¹ zwykle elementarne. 3.2.1. Po³o¿enia Jak zaznaczono w podrozdziale 2.2, ka¿dy mechanizm mo¿na roz³o¿yæ na grupy cz³onów, z których ka¿da po przy³¹czeniu wolnymi pó³parami do podstawy tworzy uk³ad sztywny. Taki podzia³ mechanizmu umo¿liwia badanie jego paramterów poprzez analizê poszczególnych grup. Jest to pewne udogodnienie, gdy¿ pozwala zarówno na uogólnienie metod badania, jak równie¿ ograniczenie rodzajów omawianych mechanizmów. Jednymi z prostszych (wed³ug klasyfikacji strukturalnej) s¹ mechanizmy II klasy, najelementarniejszymi zaœ grupami s¹ grupy II klasy, tzn. grupy sk³adaj¹ce siê z dwóch cz³onów typu N2 oraz trzech par I klasy postaci obrotowej lub postêpowej. Rozwa¿my na pocz¹tek przypadek dwucz³onu ABC (rys. 38a). Za³ó¿my, ¿e po pewnym czasie Dt punkty A i C przyjm¹ po³o¿enia A1 i C1 (rys. 38b). Wtedy punkt B -- przejdzie w po³o¿enie B1, które znajdziemy na przeciêciu ³uków k'B i k"B zakreœlonych z A1 i C1 promieniami równymi d³ugoœci AB i CB.

Rys. 38. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z parami obrotowymi

38

Rys. 39. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 40. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów II klasy z wewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 41. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ i wewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

39 Je¿eli para zewnêtrzna dwucz³onu ABC jest par¹ postêpow¹ (rys. 39a), to po okreœ³onym czasie Dt znane jest nowe po³o¿enie A1 punktu A oraz nowe po³o¿enie c1 prowadnicy c. Nowe po³o¿enie cz³onu (1) i (2) znajdziemy okreœlaj¹c po³o¿enie B1 punktu B na przeciêciu ³uku k'B i prostej k"B (rys. 39b). Podobnie, równie elementarnie, mo¿na okreœlaæ nowe po³o¿enia pozosta³ych grup i ich mo¿liwych odmian. Dla æwiczenia proponujemy przeœledziæ samodzielnie konstrukcje nowych po³o¿eñ cz³onów kolejnych odmian dwucz³onu (rys. 40–42) oraz grupy III klasy z parami obrotowymi (rys. 43). Korzystaj¹c z omówionej metody rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na ju¿ bez trudu okreœlaæ nowe po³o¿enia wszystkich cz³onów mechanizmów. Przyk³ady wyz-

Rys. 42. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrznymi parami postêpowymi

Rys. 43. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy III klasy

40

Rys. 44. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu

Rys. 45. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu (wytrz¹sacza do s³omy) z grup¹ III klasy

naczania nowych po³o¿eñ mechanizmów p³askich napêdu listwy no¿owej kosiarki i uk³adu wytrz¹sacza s³omy w kombajnie przedstawiono na rys. 44 i 45. 3.2.2. Trajektorie Trajektori¹ lub torem punktu nazywamy miejsce geometryczne jego kolejnych po³o¿eñ w przyjêtym uk³adzie odniesienia. Trajektoriê mo¿na wyznaczyæ metod¹ geometryczn¹, okreœlaj¹c kolejne po³o¿enia cz³onu, do którego rozpatrywany punkt nale¿y (rys. 46), lub metod¹ wzornikow¹ (rys. 47). Je¿eli na wykreœlonej drodze punktu M nanieœæ kolejne jego po³o¿enia wyznaczaj¹ce odcinki drogi przebyte w jednakowych odstêpach czasu, to otrzymamy tzw. tor ocechowany (rys. 48). Wykreœlanie

41

Rys. 46. Wykreœlanie trajektorii kM metod¹ geometryczn¹

Rys. 47. Wykreœlanie trajektorii kM przy wykorzystaniu wzornika

jego jest u³atwione, gdy, jak to zwykle bywa, cz³on napêdzaj¹cy pozostaje w ruchu obrotowym jednostajnym. W mechanizmie z rysunku 48 tak jest, i wtedy jednakowym przedzia³om czasu mo¿na przyporz¹dkowaæ takie same drogi k¹towe korby AB lub odcinka toru punktu B. Znajomoœæ kszta³tu trajektorii niektórych punktów mechanizmu jest czasem niezbêdna do okreœlania kolejnych po³o¿eñ mechanizmu (rys. 45). Czêsto kszta³t wykreœlanej trajektorii decyduje o istocie dzia³ania ca³ego mechanizmu (rys. 88, 89). Tor ocechowany mo¿e byæ wykorzystany do okreœlania parametrów ruchu rozpatrywane-

42

Rys. 48. Przyk³ad toru ocechowanego

go punktu, np. prêdkoœci i przyspieszenia. Mamy tu na myœli np. metodê toru ocechowanego lub metodê wykresów czasowych (patrz p. 3.3.5.).

3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia 3.3.1. Œrodki obrotu Rozpatrzmy dwa cz³ony k oraz l realizuj¹ce wzglêdem siebie ruch wzglêdny p³aski (rys. 49.). Za³ó¿my, ¿e z tymi cz³onami s¹ zwi¹zane sztywno odpowiednie p³aszczyzny pl i pk . Na p³aszczyznach tych zawsze mo¿na zanleŸæ takie dwa punkty Sl oraz Sk, które pokrywaj¹ siê ze sob¹ i maj¹ identyczne prêdkoœci liniowe (vSl = vSk). Oznacza to, ¿e wzglêdna prêdkoœæ tych punktów jest równa zeru (vSkSl = 0) . Punkt oznaczony dalej symbolem Skl , bêdziemy nazywaæ œrodkiem obrotu cz³onu k wzglêdem l. Je¿eli we wzajemnym p³askim ruchu wzglêdnym bêdzie siê znajdowaæ n cz³onów, to liczba i œrodków obrotu wyrazi siê zale¿noœci¹

Rys. 49. Ilustracja chwilowego œrodka obrotu cz³onów k i l

43

 n n (n − 1) (15) . i =   = 1⋅ 2  2 W liczbie tej mog¹ wyst¹piæ tzw. œrodki obrotu sta³e, trwa³e i chwilowe. Pojêcia te wyjaœnimy na przyk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 50). W uk³adzie tym cz³ony (1), (2), (3) wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie oraz wzglêdem podstawy (4). Liczba i mo¿liwych œrodków obrotu wynosi tu  4 3⋅ 4 i =   = = 6 1⋅ 2  2

Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany: S12

S13 S23

S14 S24 S34

Wœród nich œrodki obrotu S14 i S34 nale¿¹ do sta³ych, S12 i S23 zaœ do trwa³ych œrodków obrotu. Chwilowymi œrodkami obrotu s¹ S13 oraz S24. W uk³adach kinematycznych po³o¿enie sta³ych i trwa³ych œrodków obrotu jest zadane przez po³o¿enie odpowiednich par kinematycznych. Chwilowe œrodki obrotu mo¿na wyznaczyæ korzystaj¹c z tego, ¿e le¿¹ na liniach prostopad³ych do prêdkoœci wzglêdnych punktów jednego wzglêdem drugiego rozpatrywanego cz³onu, lub z twierdzenia o trzech œrodkach obrotu. Mówi ono, ¿e przy 3 cz³onach k, l, m, bêd¹cych wzglêdem siebie w ruchu p³askim, œrodki obrotu Skl, Skm, Slm le¿¹ na jednej prostej. Przydatnoœæ tego twierdzenia mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie rozpatrywanego czworoboku z rys. 50. Na jednej linii prostej le¿¹ tu odpowiednie œrodki obrotu S12, S23 i S13 cz³onów (1), (2), (3), a tak¿e nastêpne kombinacje. Zauwa¿my przy tym, ¿e istnieje pewna regularnoœæ dotycz¹ca samych indeksów. Przejawia siê ona w tym, ¿e

Rys. 50. Œrodki obrotu cz³onów czworoboku przegubowego

44 indeks dowolnego œrodka obrotu mo¿na zestawiæ z nie powtarzaj¹cych siê znaków pozosta³ych œrodków. Fakt, ¿e w ka¿dym œrodku obrotu przecina siê ze sob¹ kilka linii (co najmniej 2) mo¿na wykorzystaæ do ich znalezienia. W œrodku S13 przecinaj¹ siê linie b (S23, S12, S13) oraz d (S34, S14, S13), co mo¿na odnotowaæ skrótowo S13

S12 — S23 S14 — S34

Podobnie, w poszukiwanym œrodku S24, przecinaj¹ siê proste a i c, czyli S24

S14 — S12 S34 — S23

W przypadku okreœlania chwilowych œrodków obrotu w mechanizmach wielocz³onowych, pewne k³opoty mo¿e sprawiaæ ustalenie w³aœciwej kolejnoœci okreœlania œrodków. Mo¿na wtedy skorzystaæ z metody opartej na przedstawieniu mechanizmu w postaci grafu struktury [14]. Metodê tê wyjaœnimy na przyk³adzie. W mechanizmie szeœciocz³onowym (rys. 51a) nale¿y okreœliæ po³o¿enia wszystkich œrodków obrotu. Ze wzoru (15) wynika, ¿e jest ich 15. Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany, obwodz¹c kó³kiem te, które s¹ wyznaczone przez pary I klasy S12 S13 S14 S15 S16 S23

S24

S25

S26

S34

S35

S36

S45

S46 S56

Rys. 51. Ilustracja metody wyznaczania œrodków obrotu cz³onów uk³adu w mechanizmach z³o¿onych

45 Po³o¿enie pozosta³ych nie oznaczonych (chwilowych) œrodków obrotu nale¿y okreœliæ. W tym celu narysujmy pomocniczo graf struktury tego mechanizmu (rys. 51b), na którym punkty zaczernione oznaczaj¹ cz³ony, ³¹cz¹ce zaœ je linie pary kinematyczne, rozumiane równie¿ jako œrodki obrotu. Jak siê wykazuje [14], mo¿na bez trudu znaleŸæ te œrodki obrotu, których symbol graficzny (odcinek) dzieli ju¿ istniej¹cy czworobok, wyznaczony przez znane œrodki obrotu, na dwa trójk¹ty. W naszym przypadku znane ju¿ œrodki obrotu wyznaczaj¹ dwa czworoboki 1 2 3 4 1 i 1 4 5 6 1 (rys. 51b). Ka¿dy z nich mo¿na podzieliæ na dwa trójk¹ty, ³¹cz¹c w nich punkty 1–3, 2–4, 1–5 i 4–6. Okreœlmy dla przyk³adu S24. Sposób najprostszy podpowiadaj¹ dwa trójk¹ty 1 2 4 oraz 2 3 4, czyli S24

S23 — S34 S12 — S14

Inaczej œrodek chwilowy S24 znajdziemy na przeciêciu linii a, przechodz¹cej prze œrodki S23 i S34, oraz linii b, przechodz¹cej przez S12 i S14. Podobnie mo¿na wyznaczyæ pozosta³e chwilowe œrodki obrotu. Nale¿y tu przypomnieæ, ¿e znajomoœæ po³o¿eñ chwilowych œrodków obrotu u³atwia okre¿lanie kierunków prêdkoœci, prze³o¿eñ itd. 3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej Cz³ony mechanizmów p³askich realizuj¹ ruchy: postêpowe, obrotowe i p³askie z³o¿one. Przypomnijmy podstawowe zwi¹zki i zale¿noœci dotycz¹ce prêdkoœci i przyspieszeñ liniowych i k¹towych dla tych wymienionych ruchów. Ruch postêpowy Cz³on jest w ruchu postêpowym wtedy, gdy dowolny odcinek BC, zwi¹zany z tym cz³onem, zachowuje we wszystkich fazach ruchu po³o¿enie równoleg³e. Ruch taki realizuje suwak po prowadnicy prostoliniowej, ale te¿ np. ³¹cznik 3 równoleg³oboku przegubowego (rys. 52). Tory wszystkich punktów zwi¹zanych z cz³onem bêd¹cym w ruchu postêpowym s¹ jednakowe (rys. 53a), prêdkoœci vi zaœ i przyspieszenia ai w tym samym po³o¿eniu identyczne (rys. 53b i c). Kierunki prêdkoœci s¹ styczne do torów, kierunki przy- Rys. 52. Przyk³ad mechanizmu z cz³onem (3) spieszeñ zale¿¹ natomiast od kszta³tu toru i w ruchu postêpowym parametrów ruchu. Jest wiêc v B = v c = v i,

w = 0,

(16)

a B = a C = a i,

e = 0.

(17)

46

Rys. 53. Tory, prêdkoœci i przyspieszenia punktów cz³onu BC w ruchu postêpowym

Ruch obrotowy Ruch obrotowy cz³onu BC (rys. 54a) wokó³ œrodka obrotu O charakteryzuje siê tym, ¿e wszystkie punkty tego cz³onu zakreœlaj¹ tory ko³owe koncentryczne. Jak wiadomo vi = w ri lub vi = ω × ri , przy czym: ri – promieñ obrotu punktu w – prêdkoœæ k¹towa cz³onu BC.

Rys. 54. Cz³on w ruchu obrotowym: a) rozk³ad prêdkoœci, b) rozk³ad przyspieszeñ

(18)

47 Wektory vi prêdkoœci liniowej punktów cz³onu s¹ styczne do torów tych punktów, czyli prostopad³e do promieni obrotu. Wektory te s¹ widziane ze œrodka obrotu O pod tym samym k¹tem a B = a C = a i. Na przyspieszenie ai punktów I w ruchu obrotowym sk³adaj¹ siê: przyspieszenie normalne

a ni = ω 2 ⋅ ri lub a ni = ω × (ω × ri ) oraz przyspieszenie styczne

a ti = ε ⋅ ri

lub a ti = ε × ri .

Jak wynika z zapisu wektorowego, sk³adowa ain ma kierunek promienia obrotu i zwrot do œrodka obrotu O, sk³adowa ait natomiast kierunek prostopad³y do promienia obrotu i zwrot zgodny z przyspieszeniem k¹towym e (rys. 54b). Ca³kowite przyspieszenie ai wyra¿a siê sum¹ wektorow¹

a i = a ni + a ti

(19)

lub algebraicznie

ai =

(a ni ) 2 + (a ti ) 2 = ri ω 4 + ε 2 .

(19a)

Przy sta³ej prêdkoœci k¹towej cz³onu (w = const, e = 0) przyspieszenie ca³kowite ai jest równe przyspieszeniu normalnemu. Ruch z³o¿ony p³aski 1. Je¿eli dowolny odcinek BC (rys. 55) zwi¹zany na sztywno z cz³onem zajmuje w kolejnych fazach ruchu w stosunku do siebie po³o¿enie nierównoleg³e, to mówimy o ruchu p³askim z³o¿onym.

Rys. 55. Cz³on BC w ruchu p³askim z³o¿onym

Rys. 56. Interpretacja ruchu z³o¿onego cz³onu BC za pomoc¹ chwilowego œrodka obrotu

48 Ruch ten mo¿na interpretowaæ jako ruch obrotowy wokó³ chwilowego œrodka obrotu S le¿¹cego na przeciêciu prostopad³ych do prêdkoœci liniowych punktów zwi¹zanych z cz³onem (rys. 56). Wynika z tego, ¿e prêdkoœci dowolnych punktów cz³onu bêd¹cego w tym ruchu widaæ z bieguna S pod tym samym k¹tem a, natomiast

ω =

vC v v = B = I SC SB SI

(20)

jest prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu. Spostrze¿enie to mo¿na zastosowaæ do wyznaczenia prêdkoœci dowolnego punktu I cz³onu przy danych prêdkoœciach dwóch innych punktów lub prêdkoœci jednego punktu i danym po³o¿eniu chwilowego œrodka obrotu S. Ruch z³o¿ony cz³onu interpretuje siê równie¿ jako wynik ruchu postêpowego i obrotowego jednoczeœnie (rys. 57). W interpretacji tej relacjê miêdzy prêdkoœciami dwóch punktów, np. B i C zapiszemy w postaci

vC = v B + vCB lub v B = vC + v BC .

(21)

Wektor vCB = − v BC reprezentuje tu prêdkoœæ wzglêdn¹ punktu C wzglêdem B. Prêdkoœæ wzglêdna vCB ma kierunek prostopad³y do promienia BC i pozostaje z prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu w relacji vCB = wCB lCB . Przez analogiê do chwilowego œrodka obrotu S mo¿na operowaæ pojêciem chwilowego œrodka przyspieszeñ P, tj. takiego punktu zwi¹zanego z rozpatrywanym cz³onem, którego przyspieszenie jest równe zeru (ap = 0), rys. 58.

Rys. 57. Ruch z³o¿ony p³aski cz³onu BC jako suma ruchu postêpowego i obrotowego

Rys. 58. Cz³on BC w ruchu z³o¿onym p³askim i jego chwilowy œrodek przyspieszeñ

49 Po³o¿enie punktu P jest zazwyczaj ró¿ne od po³o¿enia œrodka obrotu S. Wektory przyspieszeñ np. a B i aC (rys. 58), tworz¹c z odcinakmi PB i PC jednakowe k¹ty j, s¹ widoczne z punktu P pod tym samym k¹tem y. W niektórych wypadkach dogodniej jest, rozpatruj¹c przyspieszenie poszczególnych punktów cz³onu w ruchu z³o¿onym, interpretowaæ ten ruch jako sumê ruchu postêpowego i obrotowego (rys. 59). Miêdzy przyspieszeniami dowolnych dwóch punktów, np. B i C, tego cz³onu zachodzi zwi¹zek

aC = a B + aCB ,

(22)

w którym n

t aCB = aCB + aCB . Sk³adowa normalna przyspieszenia wzglêdnego n aCB = ω 2 ⋅ lCB =

2 vCB , lCB

ma kierunek CB i zwrot od C do B, sk³adowa zaœ styczna przyspieszenia wzglêdnego t

a CB = ε × lCB jest wektorem o kierunku prostopad³ym do CB i zwrocie zgodnym z przyspieszeniem k¹towym. Jest wiêc n

t

aC = a B + aCB + aCB .

Rys. 59. Interpretacja przyspieszenia wzglêdnego aCB cz³onu BC w ruchu z³o¿onym p³askim

(23)

Rys. 60. Graficzny obraz zwi¹zków miêdzy prêdkoœciami wybranych punktów B i C nale¿¹cych do ró¿nych cz³onów

50 Zwi¹zek ten pozwala na graficzne lub grafoanalityczne okreœlenie przyspieszenia dowolnego punktu, je¿eli znane jest np. przyspieszenie innego punktu oraz w, e i odleg³oœæ tych punktów. Rozwa¿my z kolei przypadek ruchu suwaka (2) (rys. 60) wspó³pracuj¹cego z ruchom¹ prowadnic¹ (1). Przez B oznaczono punkt zwi¹zany z cz³onem (1), przez C natomiast punkt pokrywaj¹cy sie z punktem B, lecz nale¿¹cy do cz³onu (2). w wyniku ruchu cz³onu (1) zwi¹zany z nim punkt B ma prêdkoœæ vB, punkt C natomiast przemieszca siê dodatkowo wzglêdem cz³onu (1) z prêdkoœci¹ vCB. Wynikow¹ prêdkoœæ punktu C rozpatrywan¹ w uk³adzie odniesienia mo¿na wyraziæ

vC = v B + vCB , gdzie vCB – prêdkoœæ wzglêdna punktu C wzglêdem B. Kierunek tej prêdkoœci okreœla oczywiœcie aktualne po³o¿enie prowadnicy. Przyspieszenie punktu C (rys. 61) mo¿na wyraziæ równaniem wektorowym

aC = a B + aCB ,

(24)

w którym aCB jest wzglêdnym przyspieszeniem sk³adaj¹cym siê z przyspieszeñ: normalnego, stycznego i Coriolisa, n

t

c

(25)

aCB = aCB + aCB + aCB , Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego s¹ okreslone nastêpuj¹co n

aCB =

2 vCB , ρ

gdzie r – promieñ krzywizny prowadnicy dla miejsca wspó³pracy z suwakiem (w punkcie B). Przyspieszenie to wystêpuje tylko przy prowadnicach krzywoliniowych. w przypadku stosowania prowadnicy prostoliniowej (r = ¥) jest wiêc n

aCB =

2 vCB ∞

= 0.

Kierunek tego wektora pokrywa siê z kierunkiem promienia r, skierowany zaœ jest do œrodka krzywizny. Sk³adowa styczna przyspieszenia ma kierunek równoleg³y Rys. 61. Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego do prêdkoœci wzglêdnej vCB, modu³ zaœ okreœla zale¿noœæ wybranych punktów B i C nale¿¹cych do cz³onów (1) i (2)

51 t

aCB =

d vCB . dt

Kierunek i zwrot przyspieszenia Coriolisa wynikaj¹ z zapisu wektorowego c

aCB = 2 ω × vCB , mo¿na je ustaliæ równie¿ obracaj¹c wektor prêdkoœci wzglêdnej vCB o 90°, zgodnie z prêdkoœci¹ k¹tow¹ unoszenia. Ostatecznie wiêc n t c aC = a B + aCB . + aCB + aCB

(26)

Podstawowe zwi¹zki, które przytoczono, mog¹ byæ stosowane w ró¿nych metodach okreœlania parametrów ruchu cz³onów mechanizmów i zwi¹zanych z nimi punktów. 3.3.3. Metoda toru ocechowanego Niech bêdzie dana trajektoria ki punktu I (rys. 62a), nale¿¹cego do cz³onu mechanizmu. Trajektoriê tê ocechowano tak, ¿e przemieszczenia po jej fragmentach p i q, pomiêdzy punktami K – 1, K oraz K, K + 1, odpowiadaj¹ równym przedzia³om czasowym Dt. Po zast¹pieniu rzeczywistych przemieszczeñ p i q odpowiednio wektorami a i b (rys. 62b), œredni¹ prêdkoœæ punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ zale¿noœci¹

vK ≅

va + vb , 2

Rys. 62. Wyznaczanie prêdkoœci i przyspieszeñ metod¹ toru ocechowanego

52 czyli

a +b 2∆t

vK ≅

(27)

lub

vK ≅

c , 2∆t

(27a)

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ kl uzyskano

(c)κ l . 2∆t

vK ≅

(28)

Œrednie przyspieszenie punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ wzorem

vb − va , ∆t

aK ≅ co prowadzi do

b −a

aK ≅

(29)

∆t 2

lub

d . ∆t 2 Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ aK ≅

(d)κ l , (30) ∆t 2 Jak wiadomo, mechanizmy charakteryzuj¹ siê cyklicznoœci¹ ruchu, to znaczy po pewnym okresie T powtarza siê po³o¿enie, prêdkoœæ oraz przyspieszenie. Za³ó¿my, ¿e liczba okresów T wynosi n w czasie jednej minuty. Cechowanie toru przeprowadzono w ten sposób, ¿e okres T podzielono na m równych przedzia³ów Dt. Jest wiêc aK ≅

T = mDt oraz T =

60 . n

Ostatecznie wiêc, ze wzoru (28) i (30)

κ l ⋅m⋅n , 120

(31)

κ l ⋅ m2 ⋅ n 2 . 3600

(32)

v K ≅ (c) a K ≅ (d)

53 Dla porz¹dku nale¿y odnotowaæ, ¿e wraz ze wzrostem m przedzia³ów wzrasta dok³adnoœæ uzyskanych wyników. Jednak wraz ze wzrostem liczby przedzia³ów m roœnie wp³yw b³êdów rysunkowych. Zalecane jest [11] nastêpuj¹ce przyjêcie liczby przedzia³ów: m = 18 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A6, m = 24 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A4. Orientacyjne b³êdy w wyznaczeniu prêdkoœci wynosz¹ wtedy 6–4%, a w wypadku przyspieszeñ 12–8%. W liczbach tych nie jest zawarty b³¹d zwi¹zany z dok³adnoœci¹ wyznaczenia punktów toru ocechowanego. 3.3.4. Metoda planów Niech bêdzie dany cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim (rys. 63a) i niech vB, vC, vM bêd¹ prêdkoœciami punktów B, C i M tego cz³onu. Je¿eli wektory prêdkoœci narysowaæ w dowolnej podzia³ce kv, rozpoczynaj¹c z dowolnego punktu pv, to koñce ich, oznaczone odpowiednimi symbolami b, c i m, wyznacz¹ pewn¹ figurê bcm (rys. 63b). Figura taka, jako miejsce geometryczne koñców wektorów prêdkoœci punktów tego samego cz³onu, nosi nazwê planu prêdkoœci cz³onu, a punkt pv bieguna planu prêdkoœci. Pos³uguj¹c siê odpowiednimi zwi¹zkami miêdzy prêdkoœciami punktów B, C i M, np. vC = v B + vCB ,

v M = v B + v MB , v M = vC + v MC

Rys. 63. Plan prêdkoœci: a) cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim, b) plan prêdkoœci cz³onu BCM

55 (rys. 64a) od³o¿ione w tej samej podzia³ce z jednego bieguna pa tworz¹ koñcami b, c i m figurê bcm (rys. 64b). Przez analogiê do planu prêdkoœci, figurê tak¹ bêdziemy nazywaæ planem przyspieszeñ cz³onu. Plan bcm jest podobny do cz³onu BCM i obrócony wzglêdem niego o k¹t (180 – j), zgodnie z przyspieszeniem k¹towym e, przy czym

ε . ω2 Odcinki ³¹cz¹ce odpowiednie koñce wektorów okreœlaj¹ przyspieszenie wzglêdne poszczególnych punktów, np. ϕ = arc tg

a MC , κa

mc =

gdzie ka [m/s2·mm] jest podzia³k¹ planu przyspieszeñ. Na ogó³ przyspieszenie wzglêdne ca³kowite jest sum¹ wektorow¹ sk³adowej normalnej i stycznej, co przyk³adowo pokazano dla przyspieszenia aMC n

t

a MC = a MC + a MC lub

cm = cn + nm . n Wektor a MC ma kierunek MC, zwrot od M do C, a modu³ n

a NC =

v MC . l MC

t

Przyspieszenie wzglêdne styczne a MC = ε l MC ma kierunek prostopad³y do MC. Plany przyspieszeñ kolejnych cz³onów mechanizmu wykreœlone z jednego bieguna pa tworz¹ plan przyspieszeñ mechanizmu, za którego pomoc¹ mo¿na okreœlaæ dowolne przyspieszenia liniowe i k¹towe. W dalszym ci¹gu przedstawiono sposoby wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ dla wybranych grup Assura. Grupa dwucz³onowa drugiej klasy z trzema parami obrotowymi Grupê tê pokazano schematycznie na rysunku 65a. Za³ó¿my, ¿e w wyniku wstêpnych obliczeñ kinematycznych okreœlono: – prêdkoœæ vA oraz przyspieszenie aA punktu A, – prêdkoœæ vC oraz przyspieszenie aC punktu C. Analizuj¹c ruch punktu B napiszemy: – dla cz³onu AB v B = v A + v BA ,

56

Rys. 65. Plan prêdkoœci i przyspieszeñ grupy II klasy

– dla cz³onu BC

v B = vC + v BC , tak wiêc

v B = v A + v BA = vC + v BC .

(33)

W zale¿noœci (33) znane s¹ wektory prêdkoœci punktów A oraz C, co zaznaczono przez ich trzykrotne podkreœlenie. Kierunki prêdkoœci wzglêdnych s¹ prostopad³e do odpowiednich cz³onów (rys. 65a), co zaznaczono przez jednokrotne podkreœlenie vBA i vBC w rozpatrywanej zale¿noœci. Równanie to rozwi¹¿emy graficznie. Wykreœlaj¹c z bieguna pv wektory v A oraz vC , a nastêpnie odpowiednio kierunki prêdkoœci wzglêdnych, wyznaczymy prêdkoœæ vB punktu B (rys. 65b).

57 Podobnie, aby wyznaczyæ przyspieszenie a B punktu B napiszemy – dla cz³onu AB n

a B = a A + a BA + a BAt , – dla cz³onu BC n

a B = aC + a BC + a BCt , tak wiêc n

t

n

t

a B = a A + a BA + a BA = aC + a BC + a BC .

(34)

W równaniu (34) znane s¹ wektory aA oraz aC, modu³y sk³adowych normalnych wektorów zaœ przyspieszeñ wzglêdnych obliczymy odpowiednio n

a BA =

2 v BA v2 n ; a BC = BC . lBA lBC

(35)

Wektory te maj¹ kierunki odpowiednich cz³onów, zwroty zaœ odpowiednio od punktu B do punktów A i C. Kierunki sk³adowych stycznych wektorów przyspieszeñ wzglêdnych s¹ prostopad³e do odpowiednich cz³onów (rys. 65a). Tak wiêc znane co do modu³u, kierunku i zwrotu wektory przyspieszeñ podkreœlono w zale¿noœci (34) trzema kreskami, wektory zaœ znane co do kierunku – jedn¹ kresk¹. Zale¿noœæ (34) rozwi¹¿emy graficznie nastêpuj¹co: Z dowolnie przyjêtego bieguna pa wykreœlimy wektory aC oraz aA. Dodaj¹c odpowiednio wektory przyspieszeñ normalnych wzglêdnych, a nastêpnie wykreœlaj¹c kierunki przyspieszeñ stycznych wyznaczymy punkt b, stanowi¹cy koniec wektora aB przyspieszenia punktu B (rys. 65c). Grupa czterocz³onowa trzeciej klasy z parami obrotowymi Analizê kinematyczn¹ grup tego typu (rys. 66) prowadzi siê korzystajac z tzw. punktów Assura. Punktem Assura bêdziemy nazywaæ punkty R, S lub T cz³onu trójwêz³owego ABC pokrywaj¹ce siê z punktem przeciêcia odpowiednich kierunków jego dwóch cz³onów dwuwêz³owych (rys. 66a). Je¿eli znane s¹ prêdkoœci i przyspieszenia punktów D, E i F, to kolejnoœc operacji zmierzaj¹cych do okreœlenia prêdkoœci i przyspieszenia punktów A, B i C mo¿e byæ nastêpuj¹ca: – dla punktu R napiszemy

v R = v A + v RA = v D + (v AD + v RA ), oraz

(36)

v R = v B + v RB = v E + (v BE + v RD ).

58 Wektory prêdkoœci ruchu wzglêdnego vAD i vRA oraz vBE i vRB maj¹ jednakowe kierunki, mo¿na je wiêc zast¹piæ odpoweidnio jednym wektorem, a zatem zale¿noœci (36) mo¿na zast¹piæ przez równania:

v R = v D + v RD oraz

(37)

v R = v E + v RE . w równaniach tych prêdkoœci vD i vE s¹ zadane, natomiast vRD oraz vRD znane co do kierunku. Odk³adaj¹c od przyjêtego bieguna pv wektory vD i vE oraz przeprowadzaj¹c przez ich koñce d i e, prostopad³e do RD oraz RE, wyznaczymy w ich punkcie przeciêcia r koniec wektora v R (rys. 66b). Prêdkoœæ punktu C wyznaczymy z zale¿noœci

vC = v F + vCF oraz

(38) vC = v R + vCR .

Graficzne wyznaczenie prêdkoœci punktu C pokazano równie¿ na rys. 66b. Korzystaj¹c np. z zasady podobieñstwa planu prêdkoœci cz³onu do cz³onu mo¿na nastêpnie wyznaczyæ prêdkoœc punktów A oraz B. Tym samym punktem R mo¿na okreœliæ przyspieszenie punktów A, B i C cz³onu trójwêz³owego (rys. 67a). Najpierw wyznaczymy przyspieszenie aR korzystaj¹c z równañ n

t

n

t

n

t

a R = a A + a RA + a RA = a D + a AD + a AD + a RA + a RA oraz

(39) n t n t n t a R = a B + a RB + a RB = a E + a BE + a BE + a RB + a RB

w których przyspieszenie normalne n a RA =

n

a RB =

2 v RA v2 n ; a AD = AD , lRA l AD 2 v RB v2 n ; a BE = BE , lRB lBE

obliczamy korzystaj¹c z planu prêdkoœci.

59

Rys. 66. Przyk³ad grupy III klasy i jej plan prêdkoœci

60

Rys. 67. Przyk³ad grupy III klasy i jej plan przyspieszeñ

61 Rówanie (39) mo¿na przedstawiæ w postaci n

n

t

t

n

n

t

t

a R = a D + a AD + a RA + a AD + a RA , a R = a E + a BE + a RB + a BE + a RB lub, po wprowadzeniu, dla uproszczenia, odpowiednich symboli sum wektorów równoleg³ych, n t a R = a D + a RD , + a RD n

t

a R = a E + a RE + a RE ,

(40)

Graficzne rozwi¹zanie równañ (40) przedstawiono na rysunku 67b. Przyspieszenie punktu C wyznaczymy z równañ n

t

aC = a R + aCR + aCR oraz

(41) n

t

aC = a F + aCF + aCF , w których n aCR =

2 vCR v2 n ; aCF = CF . lCR lCF

Rozwi¹zuj¹c równanie (41) graficznie, a nastêpnie korzystaj¹c np. z podobieñstwa planu przyspieszeñ cz³onu do cz³onu, mo¿emy wyznaczyæ przyspieszenie punktów A i B. Dysponuj¹c ogóln¹ metod¹ rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na przy ich zastosowaniu analizowaæ praktycznie wszystkie mechanizmy dŸwigniowe. Nale¿y w tym celu dokonaæ w badanym mechanizmie analizy strukturalnej i wydzielenia odpowiednich grup. Idee tê zilustrowano przyk³adem. Niech bêdzie dany mechanizm DABCMN (rys. 68a), w którym nale¿y okreœliæ prêdkoœæ vN przy zadanej prêdkoœci k¹towej w2 korby DA. Zauwa¿my, ¿e przy tych za³o¿eniach jest to mechanizm II klasy i mo¿na w nim wyró¿niæ dwie grupy II klasy, tzn. grupê 34 (ABC) i grupê 56 (MNP) (rys. 68b). Grupy te nale¿y rozwi¹zywaæ w tej kolejnoœci, stosuj¹c omówiony wzór dla grupy II klasy (rys. 65). Za³ó¿my z kolei, ¿e dla tego samego uk³adu nale¿y okreœliæ w4 przy zadanej prêdkoœci v6 cz³onu (6) (rys. 69a). Tym razem, wychodz¹c od cz³onu czynnego (6),

62

Rys. 68. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu II klasy, b) sk³adowe grupy Assura

mo¿na wyró¿niæ tylko jedn¹ grupê III klasy (rys. 69b). Rozwi¹zuj¹c tê grupê wed³ug omówionego wzoru (rys. 66) znajdziemy vc, a wiêc równie¿ w4. 3.5.5. Metoda wykresów kinematycznych Wykresy kinematyczne s¹ graficznym przedstawieniem zale¿noœci funkcyjnej drogi, prêdkoœci liniowej i przyspieszenia liniowego lub k¹ta obrotu, prêdkoœci k¹towej i przyspieszenia k¹towego cz³onu od okreœlonego parametru. W takim przedstawieniu ruchu punktu lub cz³onu mechanizmu parametrem mo¿e byæ czas lub dowolna inna wspó³rzêdna uogólniona, np. droga wybranego punktu lub k¹t obrotu cz³onu czynnego. Podczas sporz¹dzania wykresów kinematycznych pewne przebiegi (np. s = s(t)) nale¿y poddaæ operacji ró¿niczkowania (np. v = ds/dt) lub ca³kowania (np. v = ∫ a dt ). Czasem dogodnie jest operacje te przeprowadzaæ graficznie, korzystaj¹c z odpowiednich metod, które przedstawiono dalej. Ró¿niczkowanie graficzne metod¹ stycznych Dla zadanej krzywej przemieszczeñ s(t) (rys. 70a) nale¿y znaleŸæ przebieg zmian prêdkoœci v(t) w funkcji czasu. Za³ó¿my na pocz¹tku, ¿e zadany wykres s(t) i szukany v(t) bêd¹ mia³y wspóln¹ podzia³kê czasu kt [s/mm], co umo¿liwi usytuowanie uk³adów wspó³rzêdnych jak na rys. 70. Na krzywej s(t) przyjmijmy dowolne punkty 1s, 2s, ..., np. odpowiadaj¹ce jednakowym odcinkom czasu Dt i do krzywej w tych punktach poprowadŸmy styczne.

63

Rys. 69. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu III klasy, b) sk³adowe grupy Assura

Przez punkt Hv, przyjêty dowolnie na ujemnej osi czasu uk³adu (v, t), poprowadŸmy proste równoleg³e do stycznych, które na osi v odetn¹ odcinki proporcjonalne do prêdkoœci w chwilach odpowiadaj¹cych punktom 1s, 2s, ... Konstrukcja przedstawiona na rys. 70b prowadzi do punktów 1v, 2v, ..., a tym samym do szukanej krzywej v(t). Aby ustaliæ podzia³kê kv wykresu v(t) przypomnijmy, ¿e dla dowolnego punktu I vi =

dsi κ d ( si ) κ = s = s tg α i . dt κ t d (t ) κt

Poniewa¿ z drugiej strony

tg α i =

(vi ) , ev

otrzymamy wiêc

vi =

κ s (vi ) . κ t ev

64

Rys. 70. Przyk³ad graficznej metody ró¿niczkowania funcji: a) krzywa s(t), b) rezultat ró¿niczkowania v(t)

Porównuj¹c tê zale¿noœæ ze znan¹ ogóln¹ zale¿noœci¹ vi = (vi) kv, otrzymamy podzia³kê prêdkoœci

κv =

κs . κ t ⋅ ev

(42)

Podobnie, ró¿niczkuj¹c wykres, np. v(t), dla uzyskania przebiegu a(t), otrzymamy podzia³kê

κa =

κv . κ t ⋅ ea

65 Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e o ile jednokrotne ró¿niczkowanie jest operacj¹ stosunkowo dok³adn¹, o tyle dwukrotne powtarzanie tej operacji mo¿e prowadziæ do istotnych b³êdów. Ca³kowanie graficzne metod¹ stycznych Jest to operacja odwrotna do ró¿niczkowania graficznego. Umo¿liwia ona np. znalezienie przebiegu przemieszczeñ s(t) na podstawie wykresu prêdkoœci v(t) (rys. 71). Omówimy j¹ na takim w³aœnie przyk³adzie. Dan¹ krzyw¹ v(t) (rys. 71a) podzielimy dowolnie punktami 1v, 2v, ..., a rzêdne tych punktów przeniesiemy na oœ prêdkoœci v. Tak otrzymane punkty ³¹czymy z dowolnie przyjêtym na ujemnej osi czasu biegunem Hv. Otrzymamy w ten sposób kierunki stycznych do krzywej przemieszczeñ s(t) w odpowiednich punktach 1s, 2s,... Styczne do krzywej o tych kierunkach tworz¹ w uk³adzie (s, t) liniê ³aman¹ 1s, L12, L23, ..., (rys. 71b), która jednoznacznie okreœla szukan¹ krzyw¹ s(t). Do wykreœlenia tej linii, poza kierunkami stycznych jest niezbêdny punkt pocz¹tkowy 1s oraz punkty L12, L23, ...

Rys. 71. Przyk³ad graficznej metody ca³kowania funkcji: a) krzywa v(t), b) rezultat ca³kowania s(t)

66

Rys. 72. Analiza ruchu punktu M metod¹ wykresów kinematycznych

Pierwszy z nich, okreœlaj¹cy jednoczeœnie sta³¹ ca³kowania, ustala siê na podstawie warunków brzegowych. W celu okreœlenia pozosta³ych L12, L23, ... korzystamy z nastêpuj¹cych konstrukcji. Poszczególne przedzia³y czasowe 12, 23, ... dzielimy liniami l12, l23, ... tak, aby utworzone figury, na rysunku jednakowo zakreskowane, mia³y takie same pola. Linia l12 na przeciêciu ze styczn¹ wyprowadzon¹ z 1s daje L12 – pocz¹tek nastêpnej stycznej L12–L23. Okreœlanie po³o¿eñ kolejnych punktów 2s, 3s, ... na stycznych oraz sposób wykreœlania samej krzywej s(t) nie wymaga bli¿szych wyjaœnieñ. Podzia³kê ks otrzymanego wykresu s(t), korzystaj¹c ze wspomnianej ju¿ odwrotnoœci operacji ca³kowania do ró¿niczkowania, zapiszemy na podstawie (42) ks = kv · kt · ev .

(43)

Omówione metody graficznego ró¿niczkowania i ca³kowania umo¿liwiaj¹ otrzymywanie ró¿nych, w zale¿noœci od potrzeby, charakterystyk ruchu punktów lub cz³onów mechanizmów. Charakterystyki takie s¹ przedstawiane zwykle w funkcji czasu

67

Rys. 73. Tor ocechowany, hodograf prêdkoœci i przyspieszeñ punktu M

lub parametru zale¿nego od czasu w sposób liniowy, np. k¹ta obrotu korby o sta³ej prêdkoœci k¹towej. Za³ó¿my, ¿e interesuje nas pe³na charakterystyka ruchu punktu M (rys. 72), nal꿹cego do cz³onu pewnego mechanizmu. Za³ó¿my dalej, ¿e pos³uguj¹c siê metod¹ przedstawion¹ w podrozdz. 3.2. otrzymano tor ocechowany kM punktu M. Nastêpnie, po przyjêciu uk³adu wspó³rzêdnych xy, zrzutowano na jego osie tor ocechowany i otrzymano wykresy przemieszczeñ sx(t) oraz sy(t). Po zró¿niczkowaniu oddzielnie obu wykresów, otrzymano odpowiednio vx(t) i vy(t) oraz ax(t) i ay(t). Rzeczywiste wartoœci prêdkoœci i przyspieszeñ w poszczególnych punktach drogi otrzymujemy sumuj¹c geometrycznie odpowiednie sk³adowe. Na rysunku 72 przedstawiono sumowanie dla: v6 = v x 6 + v y 6 . Nale¿y pamiêtaæ, ¿e dogodnie jest wektorowe rezultaty analizy zestawiæ w tzw. hodografy prêdkoœci i przyspieszeñ (rys. 73), otrzymane przez wykreœlenie wektorów ze wspólnych biegunów pv i pa. Interesuj¹ce w³aœciwoœci tych hodografów (wektor przyspieszenia ai ma kierunek stycznej do krzywej kv w punkcie i, modu³ jego równa siê chwilowej prêdkoœci poruszania siê po kv koñca wektora vi) pozwalaj¹ nie tylko na sprawdzenie poprawnoœci wyników, ale równie¿ umo¿liwiaj¹ okreœlenie interesuj¹cych nas parametrów inn¹ metod¹.

69

4. Metody analityczne W metodach analitycznych d¹¿y siê do uzyskania algebraicznych zwi¹zków okreœlaj¹cych po³o¿enia cz³onów mechanizmu i torów punktów zwi¹zanych z cz³onami w funkcji czasu lub parametru po³o¿enia cz³onu czynnego. Odpowiednie zwi¹zki na okreœlenie prêdkoœci i przyspieszenia uzyskuje siê zwykle na drodze odpowiedniej obróbki (ró¿niczkowanie) funkcji po³o¿enia. Te niezbêdne funkcje po³o¿enia mo¿na uzyskaæ ró¿nymi metodami, dobieranymi stosownie do analizowanego obiektu. Najczêœciej stosuje siê wtedy tzw. metodê zapisu wektorowego.

4.1. Metoda zapisu wektorowego Metoda zapisu wektorowego polega na zastêpowaniu ³añcucha kinematycznego cz³onów mechanizmu odpowiednim ³añcuchem wektorowym. Przyk³ady takich zabiegów przedstawiono na rys. 74. Warunek zamykania siê takich wieloboków wektorowych mo¿na zapisaæ w postaci

∑ li

= 0

∑ lix

= 0,

∑ liy

= 0,

(44)

lub (45)

W równaniach (45) lix i liy oznaczaj¹ rzuty wektorów na osie x i y uk³adu wspó³rzêdnych. Je¿eli wprowadziæ jednolit¹ umowê co do oznaczeñ i odk³adania k¹tów kierunkowych kolejnych wektorów, to rzuty lix i liy mo¿na wyraziæ ogólnie: lix = li cos ai, liy = li sin ai.

(46)

Zwi¹zki okreœlaj¹ce prêdkoœæ i przyspieszenie mo¿na otrzymaæ z równañ (45) w wyniku ich ró¿niczkowania wzglêdem czasu

70

Rys. 74. Zastêpowanie ³añcuchów kinematycznych ³añcuchami wektorowymi: a) przyk³ady mechanizmów, b) ³añcuchy wektorowe

∑ ∑

dlix = 0, dt dliy dt

(47)

= 0

oraz

∑

d 2 lix = 0, dt 2

(48) d 2 lix ∑ dt 2 = 0. W celu zilustrowania tej metody rozpatrzymy analizê czworoboku przegubowego.

71

Rys. 75. Rysunek pomocniczy do analitycznego badania parametrów ruchu czworoboku przegubowego

4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego Niech bêdzie dany czworobok ABCD (rys. 75) o znanych d³ugoœciach cz³onów l1, l2, l3 i l4 oraz prêdkoœci k¹towej w2 cz³onu czynnego. Nale¿y okreœliæ po³o¿enia, prêdkoœci i przyspieszenia wszystkich cz³onów. Przyjmijmy uk³ad wspó³rzêdnych x0y, a cz³ony mechanizmu zast¹pmy przez odpowiednie wektory l1, l2, l3 i l4. Równanie (44) wektorowe wieloboku w tym konkretnym przypadku ma postaæ

l1 + l2 + l3 + l4 = 0,

(49)

natomiast równania (45) przy wprowadzonych oznaczeniach k¹tów ji l1 + l2 cos j2 + l3 cos j3 + l4 cos j4 = 0, l2 sin j2 + l3 sin j3 + l4 sin j4 = 0.

(50)

Podstawiamy a = l1 + l2 cos j2, b = l2 sin j2. Po podniesieniu do kwadratu i dodaniu stronami otrzymamy wtedy a2 + b2 + 2al3 cos j3 + 2bl3 sin j3 + l32 + l42 = 0. Po podzieleniu zale¿noœci (51) przez 2al3 i oznaczeniu

(51)

72

A =

a 2 + b 2 + l32 + l32 2al3

oraz B =

b a

otrzymano A + cos j3 + B sin j3 = 0, a nastêpnie (1 + B2) + cos2 j3 + 2A cos j3 + (A2 + B2) = 0.

(52)

Po podstawieniu danych liczbowych mo¿na z zale¿noœci (52) wyznaczyæ k¹ty j3. Dla oznaczonych wartoœci j3 i za³o¿onej wartoœci j2 wartoœæ k¹ta j4 wyznaczymy z zale¿noœci (50) cos j4 =

l + l cosϕ + l! cosϕ ! −l"

(53)

Znaj¹c po³o¿enie cz³onów rozpatrywanego czworoboku przegubowego mo¿na przyst¹piæ do wyznaczenia prêdkoœci i przyspieszeñ. Po zró¿niczkowaniu równañ po³o¿eñ (50) otrzymano w2l2 sin j2 + w3l3 sin j3 + w4l4 sin j4 = 0, w2l2 cos j2 + w3l3 cos j3 + w4l4 cos j4 = 0,

(54)

dϕ 2 dϕ 3 dϕ 4 , ω3 = , ω4 = . dt dt dt Obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j3 otrzymamy dla pierwszego z równañ (54)

gdzie ω 2 =

w2 l2 sin (j2 – j3) + w3 l3 sin (j3 – j3) + w4 l4 sin (j4 – j3) = 0. Sk³adnik w3 l3 sin (j3 – j3) jest oczywiœcie równy zeru, wiêc

ω4 =

−l2 sin(ϕ 2 − ϕ 3 ) . l4 sin(ϕ 4 − ϕ 3 )

(55)

Analogicznie, obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j4, dla drugiego z równañ (54) otrzymamy

ω3 =

− l2 sin(ϕ 2 − ϕ 4 ) l3 sin(ϕ 3 − ϕ 4 )

(56)

W celu uzyskania przyspieszeñ k¹towych cz³onów zró¿niczkowano zale¿noœci (55) oraz (56) i uzyskano

73

ε4 =

ε3

ω 22 l2 cos(ϕ 2 − ϕ 3 ) + ω 32 l3 cos(ϕ 4 − ϕ 3 ) , l4 sin(ϕ 4 − ϕ 3 )

ω 2 l cos(ϕ 2 − ϕ 4 ) + ω 32 l3 cos(ϕ 3 − ϕ 4 ) + ω 42 l4 . = 2 2 l3 sin(ϕ 3 − ϕ 4 )

(57)

Przedstawiona metoda zapisu funkcji po³o¿enia i jej obróbki nadaje siê do stosowania w ca³ej grupie mechanizmów dŸwigniowych.

4.2. Metoda klasyczna Czasem potrzebn¹ funkcjê po³o¿enia mo¿na otrzymaæ zapisuj¹c okreœlone zwi¹zki wprost z rysunku. Niech np. bêdzie dany mechanizm jarzmowy (rys. 76). Zak³adaj¹c, ¿e cz³onem czynnym jest tu korba AB, nale¿y okreœliæ prêdkoœæ k¹tow¹ w3 i przyspieszenie e3 jarzma (3). Rzutuj¹c d³ugoœæ r korby AB i zmienn¹ d³ugoœæ jarzma BC na liniê AC ustalimy zale¿noœæ miêdzy znanym w dowolnej chwili k¹tem a obrotu korby i k¹tem j

tg ϕ =

r sin α , e + r cosα

Rys. 76. Rysunek pomocniczy do analizy mechanizmu jarzmowego

(58)

74 Po wprowadzeniu

λ =

e r

przepiszemy (58) w postaci

tg ϕ =

sin α , λ + cos α

(59)

st¹d

ϕ = arc tg

sin α . λ + cos α

(60)

Zale¿nie od wartoœci l otrzymujemy mechanizm z jarzmem obrotowym lub wahad³owym. Dla jarzma wahad³owego j < 90°, (tg j < ¥) mianownik zale¿noœci (59) l + cos a ¹ 0, wiêc l > 1. Podobnie dla jarzma obrotowego l < 1 , tzn. e < r. Po zró¿niczkowaniu zale¿noœci (58) przy za³o¿eniu, ¿e (da/dt) = w2 i (dj/dt) = w3, otrzymano

ω3 = ω2 r

(e + r cosα ) cosα + r sin 2 α cos2 ϕ 2 (e + r cosα )

lub po przekszta³ceniu

ω3 = ω2 r

r ( r + e cosα ) e + 2er cos α + r 2 2

oraz

1 + λ cosα . (61) 1 + 2λ cosα + λ2 Ró¿niczkuj¹c powtórnie zale¿noœæ (61), znajdujemy wzór okreœlaj¹cy przyspieszenie k¹towe jarzma

ω3 = ω2

λ (1 − λ2 ) sin α 1 + λ cosα . + ε2 2 2 (1 + 2λ cosα + λ ) 1 + 2 λ cosα + λ2 Je¿eli w2 = const, e2= 0, to otrzymamy oczywiœcie ε 3 = ω 22

(62)

75

ε 2 = ω 22

λ (1 − λ2 ) sin α . (1 + 2λ cosα + λ2 ) 2

(63)

4.3. Metoda macierzowa Metodê macierzow¹, stosowan¹ zw³aszcza przy wykorzystywaniu wspó³czesnych œrodków obliczeniowych, zilustrujemy na przyk³adzie analizy ³añcuchów kinematycznych otwartych. Problemy analizy ³añcuchów otwartych pojawiaj¹ siê najczêœciej przy badaniach manipulatorów. Przedstawion¹ ni¿ej metodê mo¿na jednak zastosowaæ w równym stopniu do badania ³añcuchów zamkniêtych. Niech bêdzie wiêc dany p³aski ³añcuch kinematyczny otwarty z³o¿ony z czterech cz³onów tworz¹cych kolejno ze sob¹ tylko pary obrotowe (rys. 77). Stwierdzaj¹c, ¿e ruchliwoœæ tego ³añcucha wynosi W = 3, przyjmijmy, ¿e jego jednobie¿noœæ uzyskuje siê w wyniku zadanych ruchów wzglêdnych w10, w21 i w32. Przyjmijmy innymi s³owy, ¿e k¹ty j10, j21 i j32 s¹ okreœlonymi funkcjami czasu. Za³ó¿my dalej, ¿e znane s¹ parametry geometryczne ³añcucha (d³ugoœæ cz³onów l1 i l2 oraz wspó³rzêdne xE3 i yE3 punktu E, zwi¹zanego na sztywno z cz³onem (3). Przy takich za³o¿eniach nale¿y okreœliæ trajektoriê punktu E3 w uk³adzie podstawy O. Zadanie to mo¿na sprowadziæ do okreœlenia wspó³rzêdnych punktu E3 w uk³adzie podstawy, czyli xEO i yEO. WprowadŸmy uk³ady pomocnicze x1O1y1, x2O2y2 i x3O3y3 zwi¹zane z kolejnymi cz³onami i wyraŸmy po³o¿enie punktu E w tych uk³adach. Na podstawie rysunku 77 otrzymamy [4]

Rys. 77. Za³o¿enia do macierzowego zapisu po³o¿enia punktu E w uk³adzie 0 x0 y0

76 xE2 = xE3 cos j32 – yE3 sin j32 + l2, yE2 = xE3 sin j32 + yE3 cos j32 , xE1 = xE2 cos j21 – yE2 sin j21 + l1, yE1 = xE2 sin j21 + yE2 cos j21 , xE0 = xE1 cos j10 – yE1 sin j10 , yE0 = xE1 sin j10 + yE1 cos j10 ,

(64)

(65)

(66)

Mamy w ten sposób szeœæ równañ z szeœcioma niewiadomymi. Po rozwi¹zaniu tych równañ mo¿na miêdzy innymi otrzymaæ szukane xE0 i yE0. Dla u³atwienia tego zadania oraz uproszczenia zapisów dogodnie jest przejœæ na zapis macierzowy. W tym celu przepiszmy jeszcze raz uk³ad równañ (64) uzupe³niony to¿samoœci¹ 1 = 1 xE2 = xE3 cos j32 – yE3 sin j32 + l2, xE2 = xE3 sin j32 + yE3 cos j32 + 0, 1 =

1·0

+

1·0

(66a)

+ 1.

Uk³ad równañ (66a) mo¿na zapisaæ w postaci

 xE 2  cos ϕ 32  y  =  sin ϕ 32  E2    1   0

− sin ϕ 32 cos ϕ 32 0

l2   x E 3  0   y E 3 . 1   1 

(67)

£atwo to sprawdziæ dokonuj¹c mno¿enia. Na tej zasadzie, po wprowadzeniu oznaczeñ:

cos ϕ 32 632 =  sin ϕ 32  0

− sin ϕ 32 cos ϕ 32 0

l2  0  1 

cos ϕ 21 − sin ϕ 21 l1  621 =  sin ϕ 21 cos ϕ 21 0   0 0 1  cos ϕ 10 610 =  sin ϕ 10  0

− sin ϕ 10 cos ϕ 10 0

0 0 1

77 oraz

rE 3

 xE 3   xE 2   xE1   xE        =  y E 3 ; rE 2 =  y E 2 ; rE 1 =  y E 1 ; rE 0 =  y E   1   1   1   1 

mo¿na zapisaæ równania (64), (65), (66) w postaci rE2 = T32 rE3,

(68)

rE1 = T21 rE2,

(69)

rE0 = T10 rE1,

(70)

rE0 = T10T21T32 rE3.

(71)

lub po podstawieniu Po wykonaniu mno¿enia z zapisu (71) otrzymamy xE0 = xE3 cos j30 – yE3 sin j30 + l2 cos j20 + l1 cos j10, yE0 = yE3 sin j30 – xE3 cos j30 + l2 sin j20 + l1 sin j10,

(72)

gdzie: j30 = j32 + j20, j20 = j21 + j10. Dok³adnie ten sam wynik (72) otrzymalibyœmy w wyniku rozwi¹zania uk³adu równañ (64), (65) i (66) przy znacznie wiêkszym nak³adzie pracy. Ró¿nice na korzyœæ metod macierzowych ujawniaj¹ siê ze szególn¹ si³¹, zw³aszcza podczas badania ³añcuchów przestrzennych. Trzeba podkreœliæ, ¿e na podstawie zapisów (71) lub (72) mo¿na okreœliæ po³o¿enia dowolnych dwóch punktów zwi¹zanych z cz³onem (3), a wiêc mo¿na okreœliæ

Rys. 78. Ilustracja do macierzowego zapisu ³añcucha zamkniêtego: a) schemat mechanizmu, b) podzia³ na ³añcuchy otwarte

78 po³o¿enie cz³onu (3). Podobnie mo¿na okreœliæ po³o¿enia pozosta³ych cz³onów ³añcucha, a wiêc równie¿ ich po³o¿enia wzajemne. Omówiona metoda nadaje siê równie¿ do rozwi¹zywania uk³adów kinematycznych zamkniêtych. Droga wiedzie przez podzia³ ³añcucha zamkniêtego na ³añcuchy otwarte w wyniku roz³¹czania okreœlonych par kinematycznych. Na przyk³ad badaj¹c czworobok przegubowy ABCD (rys. 78a) mo¿na wyró¿niæ dwa ³añcuchy kinematyczne otwarte ABC3 i ADC4 powsta³e po roz³¹czeniu pary C (rys. 78b). Dla ka¿dego sk³adowego ³añcucha otwartego nale¿y okreœliæ odpowiednie wspó³rzêdne po³o¿enia elementów odpowiednich cz³onów i zapisaæ warunki zamykania. Na przyk³ad dla przytoczonego czworoboku przegubowego, przy jego podziale jak na rys.78, warunki zamykania przyjê³yby postaæ xC4 = xC3, yC4 = yC3.

(73)

Otrzymane w ten sposób uk³ady równañ umo¿liwiaja okreœlenie interesuj¹cych nas parametrów po³o¿enia badanego mechanizmu. Jest to jedna z wielu proponowanych metod. Bardzo skuteczn¹ i godn¹ polecenia jest metoda polegaj¹ca na podziale badanego mechanizmu na grupy cz³onów (grupy Assura) i cz³ony czynne. Opracowane dla poszczególnych grup zapisy macierzowe [10] umozliwiaja równie¿ (w sposób niemal schematyczny) zapis funkcji po³o¿enia dla dowolnego p³askiego mechanizmu dŸwigniowego. Dysponuj¹c zapisem funkcji po³o¿enia mo¿na otrzymaæ nastêpnie poszukiwane funkcje prêdkoœci i przyspieszeñ poprzez odpowiedni¹ ich obróbkê (ró¿niczkowanie po czasie).

79

5. Metody numeryczne Na ogó³ poznane metody graficzne i analityczne s¹ przydatne do analizy stosunkowo prostych mechanizmów. Ograniczeniem stosowania metod graficznych jest ich dok³adnoœæ, a czêsto i przejrzystoœæ konstrukcji geometrycznych. W przypadku metod analitycznych uzyskanie rozwi¹zañ w zamkniêtej postaci jest czêsto ¿mudne i pracoch³onne. w takich przypadkach mo¿na siêgaæ po zwykle niezawodne (zw³aszca przy korzystaniu z techniki komputerowej) metody numeryczne. W praktyce stosuje siê metody numeryczne najczêœciej do korygowania wyników otrzymanych innym sposobem i traktowanych jako pierwsze przybli¿enia, albo do zastêpowania wybranych fragmentów obliczeñ. Metod numerycznych jest bardzo wiele, tu ograniczymy siê jedynie do przytoczenia jednej z nich: metody przyrostów skoñczonych.

5.1. Metoda przyrostów skoñczonych Metodê przyrostów skoñczonych przedstawimy na przyk³adzie badania ruchu punktu M po torze kM (rys. 79). Interesuje nas prêdkoœæ vi i przyspieszenie ai ruchu tego punktu. Do dyspozycji mamy kolejne po³o¿enia tego punktu oznaczone indeksami ... i – 2, i – 1, i , i + 1, i + 2, ... zajmowane przez niego w równych odstêpach czasu ,t. Przybli¿one wartoœci sk³adowych prêdkoœci wzd³u¿ osi x i y w po³o¿eniu i mo¿na wyznaczyæ z zale¿noœci [12] v xi =

xi +1 − x x −1 , 2∆t

v yi =

yi +1 − yi −1 . 2∆t

(74)

przy czym oczywiœcie

vi =

vix2 + viy2 , α = arc tg

v yi v xi

Podobnie przyspieszenie w po³o¿eniu i okreœlaj¹ wzory

80

a xi = a yi

xi +1 − 2 xi + xi −1 , ∆t 2 (75)

y − 2 yi + yi −1 , = i +1 ∆t 2

przy czym

ai = a xi + a yi , β = arc tg

a yi a xi

.

Nale¿y podkreœliæ, ¿e wyniki uzyskane t¹ metod¹ s¹ z za³o¿enia przybli¿one, przy czym przybli¿enie to zale¿y dodatkowo od dok³adnoœci okreœlenia przyrostów ,xi, ,yi oraz wartoœci przedzia³u czasu ,t. Metoda ta mo¿e byæ z powodzeniem stosowana do okreslania prêdkoœci i przyspieszenia w przypadku, gdy przyrosty po³o¿eñ s¹ okreœlone dok³adnie, np. z zale¿noœci anlitycznej – funkcji po³o¿enia. Mo¿na w ten sposób okreœlaæ równie¿ parametry ruchu w przypadku danych o po³o¿eniu, uzyskanych z pomiaru. Koniecznoœæ taka wystêpuje np. przy ocenie parametrów ruchu popychacza w rzeczywistym mechanizmie krzywkowym, gdzie geometria profilu krzywki nie jest bli¿ej znana. Nale¿y pamiêtaæ, ¿e w takich przypadkach, w wyniku nieodzownych b³êdów pomiarowych, nale¿y liczyæ siê równie¿ z du¿¹ niedok³adnoœci¹ wyników obliczeñ, zw³aszcza przy okreœlaniu przyspieszeñ. Zachodzi wtedy potrzeba stosowania odpowiednich metod statystycznych, które do okreœlania przyspieszeñ w danym po³o¿eniu mechanizmu stosuj¹ dane z pomiaru w kilku s¹siednich po³o¿eniach. Odpowiednia metoda numeryczna nazywa siê rachunkiem wyrównawczym [12].

Rys. 79. Ilustracja do metody przyrostów skoñczonych

81

6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów Omówione w rozdzia³ach 3, 4 i 5 ogólne metody analizy kinematycznej umo¿liwiaj¹ badanie praktycznie dowolnego uk³adu kinematycznego. Nale¿y jednak podkreœliæ, ¿e podczas analizy pewnych grup mechanizmów preferuje siê czêsto równie¿ inne metody specjalnie dla danej grupy opracowane. Zwróæmy na to uwagê przy okazji dokonywania przegl¹du najbardziej znanych i powszechnie we wspó³czesnej technice stosowanych grup mechanizmów. Do nich nale¿y zaliczyæ: mechanizmy dŸwigniowe oraz niektóre grupy mechanizmów z parami wy¿szymi.

6.1. Mechanizmy dŸwigniowe Mechanizmy dŸwigniowe s¹ to mechanizmy, w których wystêpuj¹ tylko pary ni¿sze, tj . pary o styku powierzchniowym (rys. 80). Liczne walory tego typu ruchowych po³¹czeñ sprawi³y, ¿e mechanizmy dŸwigniowe odgrywaj¹ w budowie maszyn zasadnicz¹ rolê. Spotkaæ je mo¿na w podstawowych podzespo³ach maszyn i urz¹dzeñ. Wystêpuj¹ w uk³adach przenoszenia i transformacji ruchu, w uk³adach napêdowych i regulacyjnych, w uk³adach wykonawczych i sterowania. Kilka przyk³adów mechanizmów dŸwigniowych zestawiono na rys. 81. Jako pierwszy (nie bez powodu) przytoczono czterocz³onowy mechanizm p³aski, zwany czworobokiem przegubowym (rys. 81a), oraz jego odmianê – powszechnie stosowany uk³ad korbowo-wodzikowy (rys. 81b). Przyk³adami bardziej z³o¿onych mechanizmów dŸwigniowych s¹ uk³ad wytrz¹sacza do s³omy (rys. 81c) oraz uk³ad wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej (rys. 81d). By³y to tzw. mechanizmy p³askie, w których wszystkie punkty nale¿¹ce do cz³onów ruchomych wykreœlaj¹ trajektorie w p³aszczyznach równoleg³ych. Jako przyk³ady mechanizmów dŸwigniowych przestrzen-

Rys. 80. Przyk³ady par kinematycznych ni¿szych

82

Rys. 81. Przyk³ady mechanizmów dŸwigniowych

83 nych za³¹czono tu powszechnie stosowany uk³ad kinematyczny sprzêg³a Cardana (rys. 81c) oraz manipulator robota (rys. 81f). 6.1.1. P³aski czworobok przegubowy P³aski czworobok przegubowy tworz¹ cztery cz³ony obrotowe wchodz¹ce z sob¹ w cztery pary obrotowe. Nale¿y do najprostszych, a jednoczeœnie do najczêœciej w praktyce spotykanych mechanizmów (rys. 82). Wystêpuje w trzech odmianach ró¿ni¹cych siê stosunkami wymiarów poszczególnych cz³onów oraz wynikaj¹cymi st¹d ruchami. Bêdziemy wiêc mówiæ o odmianie korbowo-wahaczowej wtedy, gdy ruchowi obrotowemu cz³onu (2), zwanego korb¹, towarzyszy ruch wahad³owy napêdzanego cz³onu (4) (rys. 82a). Przy innej proporcji wymiarów obydwa ramiona (2) i (4) mog¹ wykonywaæ wzglêdem podstawy (1) tylko ruchy obrotowo-zwrotne (rys. 82c). tak¹ odmianê nazywa sie dwuwahaczow¹. Jest mo¿liwa odmiana, w której ruch obrotowy cz³onu (2) wywo³uje ruch obrotowy cz³onu (4) (rys. 82b). Mówimy wtedy o czworoboku dwukorbowym. Przynale¿noœæ badanego uk³adu do jednej z wymienionych odmian mo¿na ustaliæ opieraj¹c siê na tzw. nierównoœciach Grashofa, które mo¿na bez trudu wyprowadziæ na podstawie rys. 83. Naniesione tu dwa po³o¿enia szczególne, jakie musz¹ zaj¹æ wzglêdem siebie cz³ony czworoboku przy pe³nym obrocie korby (2), prowadz¹ wprost do nierównoœci: l2 + l3 < l1 + l4, l4 < l3 – l2 + l1, l1 < l3 – l2 + l4, z których po przekszta³ceniu otrzymamy: l2 + l3 < l1 + l4, l2 + l4 < l1 + l3, l2 + l1 < l3 + l4.

Rys. 82. Podstawowe rodzaje czworoboku przegubowego: a) korbowo-wahaczowy, b) dwuwahaczowy, c) dwukorbowy

(76)

84

Rys. 83. Po³o¿enie zwrotne czworoboku przegubowego

Z nierównoœci tych, zwanych czêsto postulatem Grashofa, wynika, ¿e w czworoboku korbowo-wahaczowym suma d³ugoœci korby (2) i ka¿dego innego cz³onu jest mniejsza od sumy d³ugoœci dwóch cz³onów pozosta³ych. Innymi s³owy, w czworoboku korbowo-wahaczowym najkrótszym cz³onem jest korba – cz³on tworz¹cy parê obrotow¹ z podstaw¹. Jeszcze inaczej: – je¿eli s¹ spe³nione zwi¹zki (76) oraz cz³on najkrótszy jest przy podstawie, czworobok jest korbowo-wahaczowy; – je¿eli przy spe³nionych nierównoœciach (76) cz³on najkrótszy jest ³¹cznikiem, mamy do czynienia z uk³adem dwuwahaczowym; – je¿eli postulat Grashofa jest spe³niony i cz³on najkrótszy jest podstaw¹, wystêpuje czworobok dwukorbowy. Je¿eli zwi¹zki (76) nie s¹ spe³nione, to czworobok jest dwuwahaczowy. Z czworoboku, w wyniku zmiany wymiarów geometrycznych cz³onów i par kinematycznych, mo¿na otrzymaæ wiele ró¿nych modyfikacji mechanizmów pochodnych, jak np. mechanizm korbowo-wodzikowy, jarzmowy itd. (rys. 84). Z czworoboku przegubowego mo¿na wywieœæ wiele prostych i powszechnie stosowanych mechanizmów czterocz³onowych, w wielu zaœ bardziej z³o¿onych mechanizmach daje siê ten charakterystyczny uk³ad czêsto wydzieliæ i wyró¿niæ jako czêœæ istotn¹. W analizie czworoboku przegubowego mo¿na stosowaæ skutecznie ka¿d¹ z metod omówionych w rozdzia³ach 3, 4 i 5. Czworobok przegubowy wykorzystano zreszt¹ jako przyk³ad przy omawianiu metody analitycznej (p. 4.1.1). Jak wynika z wyprowadzonych tam zale¿noœci (53), (55) i (57), wartoœci k¹ta obrotu y4 cz³onu napêdzanego (4) (rys. 85) wzglêdem podstawy (1) jego prêdkoœci k¹towej w4 i przyspieszenia k¹towego e4 s¹ wyra¿one z³o¿onymi funkcjami czterech d³ugoœci cz³onów mechanizmu i k¹ta obrotu j2 cz³onu napêdzaj¹cego (2).Przyk³adowe przebiegi tych funkcji dla czworoboku korbowo-wahaczowego o za³o¿onej geometrii (l2/l1 = 0,325, l3/l1 = 1,125, l4/l1 = 1,025) przedstawiono na rys. 86. Przez dobór odpowiednich wartoœci li mo¿na za pomoc¹ tego mechanizmu realizowaæ nawet bardzo z³o¿one wymagania dotycz¹ce ruchu wzglêdnego ró¿nych jego cz³onów.

85

Rys. 84. Czworobok przegubowy i jego pochodne

Dowolny punkt M (rys. 85) zwi¹zany na sztywno z ³¹cznikiem (3) (za³ó¿my, ¿e jego po³o¿enie na ³¹czniku jest opisane wspó³rzêdnymi u i v) zakreœla w uk³adzie podstawy (1) trajektoriê kM , zwan¹ powszechnie krzyw¹ ³¹cznikow¹. Trajektoria ta

86

Rys. 85. Czworobok przegubowy w ruchu

jest opisana równaniem 6. stopnia o szeœciu parametrach (l1, l2, l3, l4, u, v). Dlatego te¿, jak ³atwo siê domyœleæ, krzywe ³¹cznikowe czworoboku charakteryzuj¹ siê du¿¹ róznorodnoœci¹ kszta³tu odmian i postaci. Kilka przyk³adów takich krzywych wykreœlonych przez punkty ³¹cznika tego samego czworoboku przedstawiono na rys. 87. Du¿a mo¿liwoœæ w zakresie realizacji ró¿norakich kszta³tów krzywych ³¹cznikowych le¿y u podstaw budowy i dzia³ania wielu podzespo³ów maszyn i urz¹dzeñ. Dla przyk³adu przytoczymy tu jedynie uk³ad prowadzenia pi³y poprzecznej przedstawionej na

Rys. 86. Charakterystyki ruchu czworoboku z rys. 85

87

Rys. 87. Przyk³ady krzywych ³¹cznikowych czworoboku przegubowego ABCD

rys. 88. Wykorzystuje siê tu, w zakresie ruchu roboczego M1–M2, zbli¿ony do prostoliniowego poziomy odcinek trajektorii kM zakreœlonej przez punkt M specjalnie dobranego czworoboku przegubowego ABCD. Tego typu mechanizmy, zwane potocznie prostowodami s¹ stosowane w uk³adach napêdowych (np. w uk³adzie napêdowym listwy no¿owej kosiarki) w uk³adach wodzenia (np. w ¿urawiach portowych) itd. Równie czêsto stosuje siê w budowie maszyn fragmenty krzywych ³¹cznikowych zbli¿one do ³uku ko³a. Przyk³adem (rys. 89) mo¿e byæ uk³ad realizuj¹cy zamianê ci¹g³ego ruchu obrotowego cz³onu (2) na ruch przerywany (z przystankami) suwaka (6). Przerwa w ruchu suwaka (6) wystêpuje wtedy, gdy punkt ³¹cznikowy (M) czworoboku ABCD wêdruje po odcinku M1M2 zbli¿onym do ³uku o œrodku krzywizny w punkcie E.

Rys. 88. Pi³a poprzeczna jako przyk³ad wykorzystania prostoliniowego odcinka krzywej ³¹cznikowej czworoboku ABCD

88

Rys. 89. Przyk³ad wykorzystania kszta³tu krzywej ³¹cznikowej do zamiany ci¹g³ego ruchu obrotowego korby AB na ruch przerywany cz³onu (6)

Nie przytaczaj¹c ju¿ dalszych przyk³adów mo¿na stwierdziæ, ¿e ró¿norakie mo¿liwoœci czworoboku przegubowego (zarówno w zakresie realizacji prawa ruchu, jak i kreœlenia trajektorii) zdecydowa³y o niezwykle powszechnym jego stosowaniu we wspó³czesnej technice. 6.1.2. Sprzêg³o Cardana Do przenoszenia ruchu miêdzy wa³ami o osiach przecinaj¹cych siê pod zmiennym w czasie pracy k¹tem d stosuje siê wiele rozwi¹zañ sprzêgie³ wychylnych synchronicznych (homokinetycznych). Jednoczeœnie wystêpuje powszechnie w budowie maszyn znane niesynchroniczne sprzêg³o Cardana. Jest to zdwojony czworobok przestrzenny ABCD (rys. 90), który w klasycznym rozwi¹zaniu sk³ada siê z dwóch osadzonych na wa³ach (1) i (2) wide³ek po³¹czonych ze sob¹ za pomoc¹ czteroramiennego krzy¿ulca. Jak ju¿ zasugerowano, to niesynchroniczne sprzêg³o przenosi obroty z wa³u czynnego na bierny, z pewnym prze³o¿eniem w2/w1 ¹ 1. Przystêpuj¹c do jego okreœlenia zauwa¿ymy, ¿e w czasie ruchu mechanizmu punkt B opisuje okr¹g ko³a w p³aszczyŸnie prostopad³ej do osi wa³u (1), punkt C zaœ w p³aszczyŸnie prostopad³ej do osi wa³u (2). K¹t miêdzy tymi p³aszczyznami jest oczywiœcie równy k¹towi d zawartemu miêdzy osiami wa³ów (1) i (2). Zrzutujmy drugi z tych okrêgów na p³aszczyznê okrêgu pierwszego (rys. 90b): Wychodz¹c z po³o¿enia pocz¹tkowego ramion OB0 i OC0 dokonajmy korb¹ OB wa³u (1) obrotu o k¹t j1. Wtedy ramiê OC jako prostopad³e do OB zajmie po³o¿enie OC 1, przy czym <)C 0OC1 = j 1. Rzeczywist¹ wartoœæ k¹ta obrotu j 2 tego ramienia otrzymamy wykonuj¹c k³ad ko³a g na p³aszczyznê ko³a b, przez obrót ko³a g, wokó³ osi C 0O. Punkt C1 przechodzi wtedy w C1' i otrzymujemy <)C0OC1' = j 2. Napiszemy teraz

89

Rys. 90. Sprzêg³o Cardana: a) schemat kinematyczny, b) rzuty torów b i g punktów B i C, c) k¹t d pomiêdzy p³aszczyznami ruchu punktów B i C

EC1 = OE tg j1, EC'1 = OE tg j2 oraz

EC1 EC1 = cosδ = ′ OC EC1

i po podstawieniu tg j2 cos d = tg j1

(77)

Jest to zwiazek miêdzy k¹tami obrotu obu wa³ów. Po zró¿niczkowaniu równania (77) stronami wzglêdem czasu otrzymujemy po przekszta³ceniach zale¿noœæ okreœlaj¹c¹ prze³o¿enie

cos δ ω2 . = 2 ω1 sin ϕ 1 + cos2 ϕ 1 cos2 δ

(78)

Jak widaæ, prze³o¿enie to zale¿y od k¹ta nachylenia osi d i k¹ta obrotu j1, przy czym:

90 dla

ϕ 1 = 0, π ,...,

ω2 1 , = cos δ ω1

dla

ϕ1 =

π 3π ω , ,..., 1 = cos δ . ω2 2 2

Innymi s³owy

cos δ ≤

ω2 1 . ≤ cos δ ω1

(79)

Przyspieszenie k¹towe e2 wa³u biernego otrzymamy po zró¿niczkowaniu równania (78). Po wykonaniu ró¿niczkowania i uporz¹dkowaniu otrzymamy, zak³adaj¹c ¿e w1 = const

ε 2 = − ω 12

sin 2ϕ 1 sin 2 δ cosδ (sin 2 ϕ 1 + cos2 ϕ 1 cos2 δ )

.

(80)

Charakter zmian w2 i e2 w funkcji k¹ta obrotu j1 i k¹ta wychylania d mo¿na przeœledziæ z wykresów (rys. 91a i b). Jak wynika z ich analizy, zmiany prêdkoœci k¹towej cz³onu biernego dwukrotnie powtarzaj¹ce siê w ramach jednego obrotu s¹ bardzo wyraŸne, zw³aszcza przy wiêkszych k¹tach. Szczególnie niekorzystnie przedstawiaj¹ siê zmiany przyspieszeñ k¹towych, które s¹ przyczyn¹ k³opotliwych zjawisk dynamicznych. W celu ich unikniêcia, przy wiêkszych k¹tach nachylenia d korzystne jest stosowanie zestawu podwójnych sprzêgie³ (rys. 92). Je¿eli osie wa³ów (1), (2) i (3) le¿¹ w jednej p³aszczyŸnie oraz wide³ki wa³u poœrednicz¹cego (2) s¹ ustawione w jednej p³aszczyŸnie, to zachodz¹ wtedy, zgodnie z (77), zale¿noœci: tg j1 = tg j2 cos d12, tg j3 = tg j2 cos d23, czyli

tg ϕ 1 cos δ 12 . = tg ϕ 2 cos δ 23 Jak nietrudno zauwa¿yæ, gdy d12 = ±d23, mamy i

j3 = j1 w 3 = w 1.

(81)

91

Rys. 91. Charakterystyki ruchu wa³u biernego sprzêg³a Cardana: a) przebiegi zmian w2/w1 = f(j12) dla ró¿nych k¹tów wychylenia osi wa³ów, b) przebiegi zmian e2/w1 = f(j1) dla ró¿nych k¹tów wychylenia osi wa³ów

Jest to niezwykle korzystne zjawisko, trzeba jednak z naciskiem podkreœliæ, ¿e wystêpuje tylko wtedy, gdy wide³ki wa³u poœrednicz¹cego (2) le¿¹ w jednej p³aszczyŸnie.Przy ustawieniu tych wide³ek w stosunku do siebie pod k¹tem prostym (co czêsto mo¿na spotkaæ w wadliwie zmontowanych uk³adach) zachodzi tg ϕ 1 = cos δ 12 cos δ 23 , tg ϕ 3

co oznacza istnienie, wtedy ju¿ niebezpiecznie zwielokrotnionego, przyspieszenia k¹towego cz³onu napêdzanego.

92

Rys. 92. Schemat podwójnego sprzêg³a Cardana

6.1.3. Manipulatory Wprowadzenie Pojêciem „manipulator” bêdziemy okreœlaæ uk³ad mechaniczny przeznaczony do realizacji niektórych funkcji koñczyny górnej cz³owieka. Urz¹dzenia te pojawi³y siê w I po³owie XX wieku i s¹ stosowane dziœ coraz powszechniej, zw³aszcza tam, gdzie bezpoœrednia obecnoœæ cz³owieka jest niemo¿liwa lub niewskazana, np. ze wzglêdu na: – radioaktywnoœæ, – ciœnienie (wysokie i niskie), – temperaturê (wysok¹ i nisk¹), – toksycznoœæ, – inne (kosmos, g³êbie oceanu ...). Pocz¹tkowo tworzono je na wzór rêki ludzkiej, w podobne wyposa¿ano je czêœci (rys. 93) i od ³aciñskiego s³owa „manus” nadano mu nazwê. Dziœ przyjmuj¹ formy ju¿

Rys. 93. Manipulator antropomorficzny

93 zwykle nie antropomorficzne i znajduj¹ ró¿norakie zastosowania. Cykl rozwojowy ich zastosowañ zademonstrowano pog³¹dowo na rys. 94. W pierwszych okresach rozwoju manipulatorów (pocz¹tek 1947 r.), s³u¿y³y one do powielania ruchów rêki ludzkiej w odizolowanej od cz³owieka przestrzeni (rys. 94a). Te pierwsze rozwi¹zania by³y jeszcze ma³o doskona³e – mechaniczne zwykle sprzê¿enie obu manipulatorów nie zapewnia³o potrzebnej dok³adnoœci i nie pozwala³o na wieksze obci¹¿enia. Z tego powodu nastêpne manipulatory wyposa¿ano w napêdy zasilane z oddzielnych Ÿróde³ (rys. 94b) – te znów nie dawa³y obs³uguj¹cemu poczucia obci¹¿enia. Wady tej nie mia³y ju¿ rozwi¹zania manipulatorów obs³ugiwanych za pomoc¹ serwomechanizmów (rys. 94c) zapewniaj¹cych odpowiednie proporcjonalne wspomaganie wysi³ku ludzkiego. Ca³kowita eliminacja udzia³u cz³owieka w tym procesie by³a mo¿liwa dopiero przez ROBOTA (rys. 94d). Urz¹dzenia te, przystosowane dziœ do realizacji ró¿nych czynnoœci manipulacyjnych i lokomocyjnych, charakteryzuj¹ siê okreœlonym poziomem energetycznym i informacyjnym. Przechodz¹ obecnie gwa³towny rozwój poprzez ich kolejne generacje. Jeden z przyk³adów podzia³u na generacje podano w tab. 4. Pozostawiaj¹c z³o¿ony problem robotów i ich rozwoju, zajmiemy siê dalej tylko zagadnieniem budowy ich mechanicznych ramion, tzn. manipulatorów. Struktura manipulatorów Zadaniem manipulatora jest sterowanie ruchem czêœci chwytnej, zwanej kiœci¹ lub chwytakiem [9]. Najogólniej punkt P tego chwytaka (rys. 95) powinien osi¹gaæ dowolny punkt okreœlonej przestrzeni przy dowolnym zorientowaniu osi a. Oznacza to, Tabela 4

94

Rys. 94. Ilustracja rozwoju manipulatorów: a) sterowany rêcznie, b) z napêdem mechanicznym, c) z napêdem serwomechaniczym, d) sterowany wg programu komputerowego

95

Rys. 95. Ilustracja stopni swobody chwytaka manipulatora

¿e na ogó³ chwytak powinien dysponowaæ mo¿liwoœci¹ przemieszczeñ wzd³u¿ trzech osi wspó³rzêdnych oraz obrotu wokó³ trzech osi. Dodatkowo niezbêdny jest te¿ jeden ruch chwytny palca [8]. W sumie liczba stopni swobody F chwytaka, zapewniaj¹ca ogóln¹ mo¿liwoœæ czynnoœci manipulacyjnych, wynosi siedem (F = 7). W rzeczywistoœci liczba F mo¿e byæ mniejsza w przypadkach specjalistycznych lub wiêksza, je¿eli usprawiedliwiaj¹ to szczególne okolicznoœci. Ogólnie wiêc spotkaæ mo¿na 3 £ F £ 9. Najczêœciej manipulator stanowi ³añcuch kinematyczny otwarty o szeregowym po³¹czeniu ze sob¹ kolejnych jego cz³onów, z parami kinematycznymi I klasy, zwykle obrotowymi lub postêpowymi. Nawet przy takich ograniczeniach liczba teoretycznie mo¿liwych odmian budowy omawianych urz¹dzeñ jest bardzo du¿a. Rozwa¿my dla przyk³adu niektóre odmiany uk³adów tego typu, opartych na ³añcuchach otwartych z³o¿onych z trzech cz³onów i dwóch par kinematycznych. Je¿eli dopuœciæ tylko dwie odmiany par – postêpow¹ i obrotow¹ – otrzymamy prostymi metodami kombinatoryki zestawienie mo¿liwych odmian (rys. 96a). Je¿eli tylko uwzglêdniæ dwie pozycje ustawienia osi pary drugiej wzglêdem pierwszej, otrzymamy przypadki zestawione na rys. 96b. Oczywiœcie liczba mo¿liwych rozwi¹zañ ³añcuchów szybko roœnie wraz z liczb¹ cz³onów i par. Przy ³añcuchach z³o¿onych z czterech cz³onów i trzech par kinemattycznych, uwzglêdniaj¹c tylko kolejnoœæ przyjêtych par postêpowych i obrotowych, otrzymamy przypadki zestawione w tabeli 5. Ka¿dy z wymienionych w tej

96

Rys. 96. Przyk³ady struktur manipulatorów dwucz³onowych: a) rozwi¹zania ogólne, b) rozwi¹zania szczególne

tabeli przypadków reprezentuje ca³¹ rodzinê rozwi¹zañ ró¿ni¹cych siê wzajemnym ustawieniem osi par. Na rysunku 97 zestawiono dla przyk³adu kilka ró¿nych praktycznie stosowanych rozwi¹zañ. Poza rozwi¹zaniami typowymi mo¿na równie¿ spotkaæ próby budowy manipulatorów do zadañ specjalnych. Niektóre z nich nawi¹zuj¹ do bardzo oryginalnych i œmia³ych rozwi¹zañ (rys. 98). Struktura chwytaków Spotykane wykonania chwytaków (rys. 99) ró¿ni¹ siê pomiêdzy sob¹ wieloma cechami, g³ównie jednak liczb¹ elementów chwytnych (palców) oraz rodzajem ruchów tych elementów. Najczêœciej s¹ to proste ruchy postêpowe (rys. 99a) lub obrotowe (rys. 99b), ale mo¿na te¿ spotkaæ ruchy ogólne p³askie czy np. ruchy translacyjne

97 Tabela 5

Rys. 97. Przyk³ady manipulatorów zastosowanych w robotach

98

Rys. 98. Przyk³ady poszukiwañ rozwi¹zañ do zadañ specjalnych: a) manipulator segmentowy dŸwigniowy, b) z segmentami obrotowymi, c) w formie tr¹by s³onia

99

Rys. 99. Przyk³ady struktur chwytaków: a) z palcami o ruchu postêpowym, b) o ruchu obrotowym, c) o ruchu z³o¿onym, d) wieloprzegubowymi

(rys. 99c) zapewniaj¹ce równoleg³e prowadzenie palców przy zamykaniu. Do chwytania elementów o nieokreœlonych bli¿ej kszta³tach s¹ stosowane czasem uchwyty juz bardzo wyszukane, np. przedstawione na rys. 99d. Dalsze ró¿nice w budowie chwytaków wynikaj¹ ze sposobu wymuszania ruchu palców. Zwykle ruchem wymuszaj¹cym (czynnym) w tym uk³adzie jest ruch postêpowy Tij (ruch t³oka wzglêdem cylindra w si³owniku hydraulicznym czy pneumatycznym, ruch rdzenia wzglêdem cewki elektromagnesu). Zamianê takiego ruchu T na ruch obrotowy R lub ogólny RT palców realizuje siê w praktycznych wykonaniach w sposób przedstawony np. na rys. 100. Odmiennie te¿ kszta³towane s¹ same zakoñczenia palców, stosownie do potrzeb mog¹ byæ p³askie i uprofilowane, sta³e i wychylne, sztywne i elastyczne itd. Podstawowe cechy eksploatacyjne manipulatorów U¿ytkownika manipulatora mog¹ interesowaæ takie cechy eksploatacyjne, jak: – manewrowoœæ, – strefa robocza, – wspó³czynnik serwisu. Manewrowoœæ. Pojêcie to okreœla siê liczb¹ m stopni swobody cz³onów manipulatora przy unieruchomionym uchwycie. Aby wyjaœniæ istotê rzeczy, przeanalizujemy przyk³adowy manipulator przedstawiony na rys. 101a. Przy takim wykonaniu uchwyt (5) ma szeœæ stopni swobody (W5 = 6). Je¿eli uchwyt (5) w tym manipulatorze unieruchomiæ, to pozosta³e cz³ony ruchome (2), (3), (4) maj¹ zero stopni swobody wzglêdem podstawy (W234 = 0). Manipulator ten charakteryzuje siê manewrowoœci¹ równa zeru (m = 0). Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e kolejny przyk³adowy manipulator, przedstawiony na rys. 101b, charakteryzuje manewrowoœæ m = 1. Cz³ony (2) i (3) mog¹ realizowaæ ruch obrotowy wokó³ osi ³¹cz¹cej obydwa przeguby kuliste. Ta cecha manipulatora jest istotna, gdy¿ umo¿liwia doprowadzenie chwytaka (4) w okreœlone po-

100

Rys. 100. Przyk³ady wymuszania ruchu palców w chwytakach manipulatorów

³o¿enie przy ró¿nym uk³adzie w przestrzeni cz³onów (2) i (3). Jest to konieczne np. przy omijaniu okreœlonych przeszkód w przestrzeni manipulacji. Strefa robocza. Tak nazywa siê miejsce manipulacji chwytaka. Jest to inaczej zbiór mo¿liwych po³o¿eñ punktu mocowania przemieszczanego manipulatorem przedmiotu.

Rys. 101. Ilustracja pojêcia „manewrowoœæ manipulatora”: a) ruchliwoœæ W234 = 0, b) ruchliwoœæ W23 = 1

101

Rys. 102. Przyk³ady strefy roboczej manipulatora: a) przestrzeñ, b) powierzchnia, c) linia

Wielkoœæ i kszta³t strefy roboczej zale¿y od struktury manipulatora i jego wymiarów geometrycznych. Zwykle jest to czêœæ przestrzeni (rys. 102a), ale mo¿e byæ równie¿ fragment powierzchni (rys. 102b), a nawet w szczególnych przypadkach fragment linii (rys. 102c). Strefy robocze dzieli siê dodatkowo na klasy w zaleznoœci od istnienia okreœlonych ograniczeñ, np. przeszkód.

102

Rys. 103. Ilustracja pojêcia „wspó³czynnik serwisu”: g – k¹t bry³owy wyznaczony przez oœ a chwytaka

Wspó³czynnik serwisu. Przedmiot o kszta³cie kulistym (i zbli¿onym do kulistego) umieszczony w punkcie P strefy roboczej mo¿e byæ podjêty przez chwytak manipulatora na ogó³ przy ró¿nym usytuowaniu osi tego chwytaka (rys. 103). W³aœciwoœæ ta (bardzo wa¿na z punktu widzenia eksploatacji) nazywa siê serwisem i jest opisana iloœciowo tzw. wspó³czynnikiem serwisu. Wspó³czynnik ten wyra¿a siê stosunkiem wartoœci k¹ta bry³owego (y), w którym mo¿e zajmowaæ po³o¿enie oœ a chwytaka do ca³kowitego k¹ta bry³owego (4p)

θ =

ψ 4π

(82)

θ =

s , S

(83),

lub inaczej

gdzie: s – powierzchnia okreœlona zbiorem punktów przeciêcia osi a uchwytu z powierzchni¹ kuli (czasza), S – powierzchnia ca³ej kuli. Widaæ z tego, ¿e 0 £ q £ 1, przy czym q = 0 na granicach przestrzennej strefy roboczej. Do wyznaczenia liczbowej wartoœci wspó³czynnika niezbêdna jest znajomoœæ struktury i geometrii uk³adu oraz po³o¿enie punktu w strefie roboczej. Na przyk³ad dla manipulatora przedstawionego na rys. 104a wspó³czynnik q dla punktu P, przyjêtego tak, ¿e AP + PC < CB + BA (czworobok ABCP jest korbowo-wahaczowy), jest

103

Rys. 104. Wspó³czynnik serwisu jest funkcj¹ geometrii manipulatora: a) q = 1, gdy ABCP jest czworobokiem korbowo-wahaczowym, b) q < 1, gdy ABCP jest czworobokiem dwuwahaczowym

równy jeden (q = 1). W pozosta³ych przypadkach, tzn. gdy czworobok ABCP jest dwuwahaczowy (rys. 104b), q < 1. Analiza kinematyczna i dynamiczna manipulatora Zagadnienie zwi¹zane z wyznaczaniem parametrów kinematyki i dynamiki rozpatruje siê metodami ogólnymi, wykorzystywanymi do analizy uk³adów kinematycznych. To samo dotyczy ich projektowania. Jednak w przypadku projektowania nale¿y zwróciæ szczególn¹ uwagê na uzyskanie: – minimalnej energii kinetycznej, – minimalnych strat na tarcie, – maksymalnego wspó³czynnika sprawnoœci, – minimalnych czasów przejœæ pomiêdzy wymaganymi po³o¿eniami. G³ówne problemy zwi¹zane z uk³adami manipulatorów to: dok³adnoœæ i obci¹¿enia dynamiczne

6.2. Mechanizmy z parami wy¿szymi Okreœlenie to odnosimy do mechanizmów, w których, oprócz innych, wystepuj¹ pary wy¿sze (o styku liniowym lub punktowym). Kilka przyk³adów par wy¿szych przedstawiono na rys. 105. Mechanizmy z takimi parami nie s¹ zalecane do stosowania przy du¿ych obci¹¿eniach (naciski jednostkowe, zu¿ycie, ...) wyró¿niaj¹ sie jednak ciekawymi walorami kinematycznymi.

104

Rys. 105. Przyk³ady par wy¿szych

Przez odpowiednie ukszta³towanie elementów par wy¿szych mo¿na uzyskaæ realizacjê praktycznie dowolnego prawa ruchu. Do najbardziej znanych i stosowanych w technice odmian mechanizmów z parami wy¿szymi nale¿¹: – krzywkowe, – zêbate. 6.2.1. Mechanizmy krzywkowe Mechanizmy krzywkowe mo¿na spotkaæ przede wszystkim w uk³adach rozrz¹dczych i regulacyjnych automatów i pó³automatów. Spe³niaj¹ te ró¿norakie funkcje dziêki mo¿liwoœci realizacji zamiany i przekszta³cenia dowolnego ruchu cz³onu czynnego na dowolny ruch cz³onu biernego. Istotnym elementem ka¿dego mechanizmu krzywkowego jest krzywka spe³niaj¹ca zwykle rolê cz³onu czynnego. Wspó³pracuje ona bezpoœrednio z cz³onem biernym, zwanym popychaczem (lub poprzez cz³on poœrednicz¹cy w postaci kr¹¿ka), tworz¹c z nim tzw. parê kinemtayczn¹ wy¿sz¹. Prosty przyk³ad p³askiego mechanizmu krzywkowego przedstawiono na rys. 106. W mechanizmie tym ruchowi obrotowemu krzywki (2) towarzyszy ruch wahad³owy popychacza (4), przy czym charakter tego ruchu zale¿y przede wszystkim od kszta³tu samej krzywki. Dziêki temu w³aœnie mo¿na, korzystaj¹c z mechanizmów krzywkowych, realizowaæ w zasadzie dowoln¹ charakterystykê ruchu. Uzyskuje siê to przy stosunkowo prostej i zwartej budowie tych me-

Rys. 106. Przyk³ad mechanizmu krzywkowego: 1 – podstawa, 2 – krzywka obrotowa, 4 – popychacz wahliwy z kr¹¿kiem 3

105 chanizmów. Wad¹ jest ich szybkie zu¿ywanie siê bie¿ni krzywki na skutek du¿ych nacisków jednostkowych (para wy¿sza). Uci¹¿liwym mankamentem tych mechanizmów jest zwykle wysoki koszt wykonania oraz du¿a ich wra¿liwoœæ na niedok³adnoœæ wykonania. Ogromna ró¿norodnoœæ spotykanych postaci tych mechanizmów stwarza potrzebê dokonania okreœlonego podzia³u i systematyki. W literaturze istnieje wiele propozycji z tej dziedziny, wszystkie jednak s¹ w jakimœ stopniu dyskusyjne i niedoskona³e. W tej sytuacji, rezygnuj¹c z kolejnej takiej próby, dokonano poni¿ej przegl¹du jedynie ich podstawowych elementów sk³adowych, jakimi s¹: krzywka i popychacz. Elementy te dzieli siê wed³ug ró¿nych cech i kryteriów, najistotniejsze zestawiono w tabeli 6. W œlad za przytoczonymi kryteriami, na rys. 107 zestawiono przyk³ady najczêœciej spotykanych krzywek, na rys. 108 natomiast przyk³ady popychaczy i ich zakoñczeñ. Kojarz¹c ze sob¹ te elementy mo¿na utworzyæ pokaŸn¹ liczbê ró¿nych mechanizmów krzywkowych. Kilka takich skojarzeñ zestawiono przyk³adowo na rys. 109. Tak utworzonym mechanizmom krzywkowym mo¿na przypisywaæ okreœlenia zawieraj¹ce typy ich elementów sk³adowych. Na rysunku 109d przedstawiono mechanizm krzywkowy p³aski z³o¿ony z krzywki pojedynczej o ruchu obrotowym wspó³pracuj¹cej z popychaczem o ruchu z³o¿onym zakoñczonym rolk¹. Wa¿ne dla pracy mechanizmów krzywkowych jest zapewnienie ci¹g³ego kontaktu popychacza z bie¿ni¹ krzywki. Uzyskuje sie to wykorzystuj¹c dzia³aj¹c¹ na popychacz si³ê ciê¿koTabela 6

106 œci lub (zainstalowanej specjalnie) sprê¿yny (rys. 110). Mówimy wtedy o si³owym zamkniêciu mechanizmu krzywkowego. Ci¹g³y kontakt popychacza z krzywk¹, niezale¿nie od sposobu obci¹¿enia popychacza, mo¿na uzyskaæ równie¿ w wyniku odpowiedniego rozwi¹zania krzywki lub popychacza (rys. 111). Takie mechanizmy nazywamy kinematycznie zamkniêtymi. Problem zamkniêcia mechanizmów krzywkowych jest istotny, zw³aszcza w uk³adach szybkobie¿nych, w których ze szczególn¹ si³¹ uzewnêtrzniaj¹ siê dzia³aj¹ce na popychacz si³y bezw³adnoœci. Wi¹¿¹ siê one z wartoœci¹ i rozk³adem przyspieszeñ popychaczy. W spotkanych rozwi¹zaniach mechanizmów krzywkowych szybkobie¿nych przyspieszenia popychaczy zmieniaj¹ siê (tak s¹ zaprojektowane) wed³ug krzywych regularnych trygonometrycznych lub geometrycznych, np.: sinusoidy, cosinusoidy, przebiegu prostoliniowego, trapezowego.

Rys. 107. Przyk³ady rodzajów krzywek

107

Rys. 108. Przyk³ady odmian poychaczy: a) podzia³ wg ruchów, b) podzia³ wg rodzaju zakoñczenia

Przebiegi przyspieszeñ stanowi¹ podstawow¹ charakterystykê mechanizmów krzywkowych i s¹ punktem wyjœcia w procesie ich projektowania. Problemy analizy kinematycznej Niech bêdzie dany p³aski mechanizm krzywkowy, z krzywk¹ obrotow¹ i popychaczem o ruchu postêpowym, zakoñczonym kr¹¿kiem (rys. 112a). Przeanalizujemy na pocz¹tek najprostsze zagadnienie kinematyki: okreœlenia nowego po³o¿enia popychacza po obrocie krzywki o k¹t np. j = 30°. Wybieraj¹c metodê graficzn¹, rozpocznie-

108

Rys. 109. Przyk³ady mechanizmów krzywkowych

my od wyznaczenia ekwidystanty b (rys. 112b), czyli krzywej równoleg³ej do zarysu krzywki wykreœlonej przez punkt B popychacza w uk³adzie krzywki. Krzyw¹ tê mo¿na otrzymaæ w praktyce jako obwiedniê okrêgów wykreœlonych promieniem kr¹¿ka rk z punktów le¿¹cych na zarysie krzywki. Do dalszej analizy dogodnie jest przyj¹æ równorzêdny kinematycznie mechanizm krzywkowy (rys. 112c), w którym przy pozosta³ych nie zmienionych warunkach wspó³pracuje z popychaczem zakoñczonym ostrzem krzywka o zarysie ekwidystanty.

Rys. 110. Przyk³ady mechanizmów krzywkowych zamkniêtych si³owo: a) si³¹ ciê¿koœci, b) si³¹ sprê¿yny

109

Rys. 111. Przyk³ady mechanizmów krzywkowych kinematycznie zamkniêtych

Rys. 112. Konstrukcja nowego po³o¿enia punktu B popychacza przy danym obrocie krzywki

110 Aby unikn¹æ przy wykreœlaniu nowego po³o¿enia popychacza przerysowywania z³o¿onego zwykle zarysu krzywki, rozpatrzmy interesuj¹cy nas ruch wzglêdny popychacza i krzywki w uk³adzie krzywki. W tym celu przy unieruchomionej krzywce obrócimy osi¹ popychacza o k¹t j w kierunku przeciwnym do ruchu krzywki. Oczywiœcie, nowe po³o¿enie osi popychacza wzglêdem krzywki mo¿na znaleŸæ prowadz¹c pod k¹tem j w stosunku do po³o¿enia pierwotnego, styczn¹ do okrêgu k wykreœlonego ze œrodka O promieniem mimoœrodu e. Po znalezieniu w ten sposób punktu B2* (rzeczywistego punktu styku popychacza z bie¿ni¹ krzywki) znajdziemy punkt B2 przez obrót B2* wokó³ œrodka obrotu O. Odcinek B1B2 = S jest drog¹ przebyt¹ przez punkt B przy za³o¿onym obrocie krzywki o k¹t j. Powtarzaj¹c tak¹ operacjê wielokrotnie dla kolejnych równych k¹tów obrotu krzywki otrzymamy, przy sta³ej prêdkoœci k¹towej krzywki (w = const), tor ocechowany punktu B popychacza oraz ca³kowit¹ drogê tego punktu, czyli skok H popychacza (rys. 113a). Tor ten mo¿e byæ wykorzystany wprost do okreœlenia chwilowych prêdkoœci i przyspieszeñ (metoda toru ocechowanego) lub te¿ do wyznaczenia pe³nej charakterystyki ruchu popychacza w postaci wykresu S(j) (rys. 113b). Nale¿y w tym celu przyj¹æ na osi j odcinek reprezentuj¹cy w okreœlonej podzia³ce pe³ny k¹t obrotu krzywki i podzieliæ go na tyle równych odcinków, na ile dzielono k¹t obrotu krzywki podczas wykreœlania toru ocechowanego. Punkt szukanej krzywej S(j) znajdziemy w sposób przedstawiony na rys. 113b na przyk³adzie punktu drugiego. Z krzywej tej, poprzez ró¿niczkowanie graficzne, mo¿na z kolei otrzymaæ przebieg zmian prêdkoœci v(j) oraz przyspieszeñ a(j) popychacza (rys. 113c). Jest to typowa i powszechnie stosowana metoda badania ruchu popychacza w mechanizmach krzywkowych. Charakterystykê ruchu popychacza w postaci v(j) czy a(j) mo¿na sporz¹dziæ równie¿ na podstawie metody planów prêdkoœci i przyspieszeñ. Dogodnie jest wtedy zast¹piæ mechanizm krzywkowy (rys. 114a) równowa¿nym mu mechanizmem zastêpczym (rys. 114b i c). Przyk³adowo stosuj¹c jarzmowy schemat zastêpczy i korzystaj¹c ze zwi¹zków:

v B = v A + v BA c

n

a B = a A + a BA + a BA + a BA otrzymamy plan prêdkoœci (rys. 115a) oraz przyspieszeñ (rys. 115b). Metoda planów zapewnia wyniki dok³adniejsze, lecz jest bardziej pracoch³onna i dlatego jest preferowana raczej do badania chwilowych parametrów ruchu – w jednym lub kilku po³o¿eniach mechanizmu.Oczywiœcie, przy okreœlonym zarysie krzywki, do okreœlenia prêdkoœci i przyspieszeñ w sposób analityczny lub numeryczny, mo¿na zastosowaæ inne metody analizy [12].

111

Rys. 113. Analiza ruchu popychacza mechanizmu krzywkowego: a) schemat mechanizmu krzywkowego, b) wykres drogi popychacza, c) wykresy prêdkoœci i przyspieszeñ popychacza

Rys. 114. Mechanizmy zastêpcze mechanizmu krzywkowego: a) mechanizm krzywkowy, b), c) mechanizmy zastêpcze

112

Rys. 115. Wykorzystanie mechanizmu zastêpczego do analizy ruchu punktu B popychacza metod¹ planu prêdkoœci i przyspieszeñ

K¹t nacisku Ruch popychacza w mechanizmie krzywkowym (rys. 116a) odbywa siê w wyniku oddzia³ywania nañ krzywki z si³¹ P. Je¿eli nie uwzglêdniaæ tarcia, si³a ta dzia³a wzd³u¿ normalnej n–n, tj. pod pewnym k¹tem a do kierunku ruchu popychacza. Z prostego rozk³adu tej si³y widaæ, ¿e sk³adowa T jest si³¹ bezu¿yteczn¹, a nawet wrêcz szkodliw¹. Dzia³aj¹c bowiem na ramieniu h, powoduje zginanie trzonu popychacza oraz niepo¿¹dane si³y oddzia³ywania w prowadnicy, które przyspieszaj¹ jej zu¿ycie i pogarszaj¹ sprawnoœæ mechaniczn¹ uk³adu.

Rys. 116. K¹t nacisku a . a) mechanizm krzywkowy, b) rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzoru okreœlaj¹cego a

113 Poniewa¿ si³a T = P sin a zale¿y od wartoœci k¹ta a, który, zwany dalej k¹tem nacisku, bêdzie przedmiotem naszego zainteresowania. Na podstawie rys. 116b

tg α =

CD OD − e , = AC AC

gdzie

ro2 − e 2 + S

AC = So + S = Po uwzglêdnieniu, ¿e (z rys. 116b)

vB/vA = OD/OA oraz vA = w OA; vB =

dS dS ω; = dt dϕ

gdzie j – k¹t obrotu krzywki OD =

dS dϕ

Ostatecznie

tgα =

dS −e dϕ ro2 − e2 + S

.

(84)

Jak wynika z tej zale¿noœci, wartoœæ k¹ta a (a wiêc i wartoœæ sk³adowej T) zale¿y

 dS nie tylko od realizowanej przez mechanizm charakterystyki ruchu  S , , ale rów dϕ  nie¿ od wartoœci parametrów konstrukcyjnych ro i e. Te ciekawe spostrze¿enia bêd¹ wykorzystywane w procesie projektowania mechanizmów krzywkowych. Dla odpowiednich wartoœci parametrów konstrukcyjnych mo¿na uzyskaæ zak³adane watroœci k¹ta nacisku, a wiêc i dopuszczalny rozk³ad si³ oddzia³ywania w ca³ym mechanizmie krzywkowym.

6.2.2. Mechanizmy zêbate Do zamiany i przeniesienia ruchu z jednego wa³u na drugi stosuje siê najczêœciej, i to ju¿ od bardzo odleg³ych czasów, mechanizmy z³o¿one z kó³ zêbatych. Nosz¹ one zwyle nazwê przek³adni. Ze wzglêdu na wzajemne usytuowanie osi wa³ów, na których s¹ osadzone zazêbiaj¹ce siê ze sob¹ ko³a, rozró¿niamy przek³adnie:

114 – walcowe, gdy osie kó³ s¹ równoleg³e (rys. 117a), – sto¿kowe, gdy osie kó³ siê przecinaj¹ (rys. 117b), – œrubowe, gdy osie kó³ s¹ zwichrowane (rys. 117c), – œlimakowe, gdy osie kó³ s¹ zwichrowane i prostopad³e (rys. 117d). Ko³a zêbate walcowe (jak równie¿ sto¿kowe) mog¹ byæ zazêbione zewnêtrznie (rys. 118a) lub wewnêtrznie (rys. 118b), mo¿na je dalej rozró¿niaæ wed³ug kszta³tu zarysu zêbów, linii zêbów itd. Pomijaj¹c szczegó³owy przegl¹d tych zagadnieñ, wspomnimy tylko o istnieniu tzw. „kó³ nieokr¹g³ych”, zwanych równie¿ tarczami zêbatymi, wystêpuj¹cych w przek³adniach realizuj¹cych zmienne prze³o¿enie w ramach jed-

Rys. 117. Istota podzia³u prostych przek³adni zêbatych: a) walcowa, b) sto¿kowa, c) œrubowa, d) œlimakowa

115

Rys. 118. Przyk³ady prostych przek³adni zêbatych: a) o zazêbieniu zewnêtrznym, b) o zazêbieniu wewnêtrznym

nego cyklu (rys. 119a) oraz o tzw. „ko³ach niepe³nych” stosowanych do uzyskiwania ruchu przerywanego (rys. 119b). Przek³adnie bêdziemy dzieliæ dalej na: – sta³e, w których osie kó³ s¹ nieruchome, – obiegowe, w których osie pewnych kó³ wykonuj¹ ruch obrotowy wokó³ osi innych kó³. Przek³adnie sta³e Przek³adnie sta³e nale¿¹ do mechanizmów powszechnie stosowanych w budowie maszyn i wystêpuj¹ w licznych i ró¿nych odmianach. Najprostszym ich przyk³adem jest przek³adnia jednostopniowa z³o¿ona z dwóch wspó³pracuj¹cych ze sob¹ kó³ zêbatych (rys. 118). Istotnym parametrem opisuj¹cym pracê ka¿dej przek³adni jest tzw. prze³o¿enie, rozumiane jeko stosunek predkoœci k¹towych rozpatrywanych dwóch kó³ zêbatych ikl = wk/wl . Dla przek³adni jednostopniowej z rys. 118, przedstawionej jeszcze raz na rys. 120, prze³o¿enie mo¿na wyraziæ w postaci

i12 =

S O R ω1 = ± 12 2 = ± 2 , S12 O1 R1 ω2

(85)

– chwilowy œrodek obrotu ko³a (1) wzglêdem (2) okreœlony jako punkt styku kó³ toczonych, R1 i R2 – promienie kó³ podzia³owych kó³ (1) i (2). Proste przekszta³cenia prowadz¹ do wyra¿enia

gdzie:

S12

i12 =

Z ω1 = ± 2, Z1 ω2

w którym Z1, Z2 – liczby zêbów kó³ zêbatych (1) i (2).

(86)

116

Rys. 119. Przyk³ady „nietypowych” przek³adni zêbatych: a) przek³adnia z tarcz¹ zêbat¹, b) przek³adnia z jednym ko³em niepe³nym

Znak (–) w wyra¿eniach (85) i (86) dotyczy przek³adni o zazêbieniu zewnêtrznym (rys. 120a) i oznacza niezgodnoœæ zwrotów prêdkoœci k¹towych, znak (+) odnosimy natomiast do zazêbienia wewnêtrznego (rys. 120), gdzie prêdkoœci k¹towe maj¹ zwroty zgodne. Analogicznym stosunkiem liczby zêbów mo¿na wyraziæ prze³o¿enie w przek³adniach jednostopniowych, z³o¿onych z kó³ sto¿kowych, œrubowych czy slimakowych. W tych ostatnich przypadkach znaki (+) lub (–) maj¹ sens tylko w œwietle oddzielnej umowy, dotycz¹cej sposobu ich inetrpretacji. W przek³adniach œlimakowych zagadnienie to wi¹¿e siê dodatkowo z kierunkiem uzwojenia – wystêpuj¹ przek³adnie prawo– i lewozwojne. Prze³o¿enie przek³adni mo¿na okreœliæ równie¿ graficznie. Jak wiadomo, prêdkoœæ k¹tow¹ mo¿na wyraziæ

ω =

v (v) κ v κ = = tgϕ v , r (r ) κ r κr

a wiêc tak¿e

i12 =

tg ϕ 1 ω1 01 . = = tg ϕ 2 ω2 02

Sposób okreœlania odcinków 01 i 02 wyjaœniaj¹ konstrukcje przedstawione na rys. 120. Oprócz najprostszych przek³adni jednostopniowych wystêpuj¹ powszechnie przek³adnie bardziej z³o¿one, wœród których rozró¿niamy równoleg³e, szeregowe i mieszane. Przek³adni¹ równoleg³¹ nazywamy tak¹ przek³adniê, w której ko³a poœrednicz¹ce miêdzy ko³em czynnym i biernym s¹ osadzone po 2 na wspólnych wa³kach. Przek³adnie takie mog¹ byæ zestawione z kó³ ró¿nego typu, jak to pokazano na przyk³adach przedstawionych na rys. 121. Ca³kowite prze³o¿enie jest iloczynem prze³o¿eñ kolejnych par kó³ zêbatych, czyli

117

Rys. 120. Graficzna metoda wyznaczania prze³o¿eñ w przek³adni: a) o zazêbieniu zewnêtrznym, b) o zazêbieniu wewnêtrznym

i1n =

ω1 = i12 i34 ...i( n −1) n , ωn

w naszym przypadku (rys. 121a)

i14 =

Z Z ω1 = i12 i34 = 2 4 ( −1). Z1 Z3 ω4

Rys. 121. Przyk³ady przek³adni zêbatych równoleg³ych

(88)

118

Rys. 122. Przyk³ady przek³adni zêbatych szeregowych

Przek³adni¹ szeregow¹ bêdziemy nazywaæ przek³adniê, w której ko³a poœrednicz¹ce miêdzy ko³em czynnym i biernym s¹ osadzone na oddzielnych wa³kach. Przyk³ady takich przek³adni przedstawiono na rys. 122. Ka¿de z kó³ poœrednicz¹cych zazêbia sie tu jednoczeœnie z dwoma s¹siednimi ko³ami. Oznacza to, ¿e modu³y takich kó³ okreœlaj¹ce geometriê zebów musz¹ byæ identyczne. Ca³kowite prze³o¿enie przek³adni szeregowej wynosi

i1n =

ω1 = i12 i23 ...i( n −1) n , ωn

(89)

co po podstawieniu i uproszczeniu prowadzi do zale¿noœci

i1n =

Z ω1 = n, Z1 ωn

(90)

Dla przek³adni z rysunku 122a

i13 =

Z ω1 = 3 ( −1) 2 . Z1 ω3

Oprócz przek³adni równoleg³ych i szeregowych wystêpuj¹ w praktyce ró¿ne odmiany przek³adni mieszanych. Zak³ada siê, ¿e po tych wyjaœnieniach z okreœlaniem prze³o¿eñ w tych przek³adniach nie bêdzie problemów. Przek³adnie obiegowe Tak nazywamy (jak ju¿ wiadomo) przek³adnie, w których osie niektórych kó³, zwanych obiegowymi (satelitami), wykonuj¹ ruch obrotowy wokó³ osi kó³ centralnych (s³onecznych). Najprostsz¹ przek³adniê tego typu przedstawiono na rys. 123.

119 Ko³o (2), na skutek osadzenie jego osi w obrotowym jarzmie J, jest satelit¹ ko³a centralnego (1). Ko³a centralne mog¹ byæ nieruchome, jak w naszym przyk³adzie, lub ruchome. Przek³adniê, w której co najmniej jedno ko³o centralne jest nieruchome, nazywa siê przek³adni¹ planetarn¹, przek³adniê zaœ, w której wszystkie ko³a centralne Rys. 123. Przyk³ad prostej przek³adni s¹ ruchome – ró¿nicow¹. Pierwsze z nich, obiegowej przy stosunkowo ma³ej liczbie kó³ zêbatych i zwartej budowie, umo¿liwiaj¹ realizacjê nawet bardzo du¿ych prze³o¿eñ. Dziêki mo¿liwoœci zwielokrotnienia liczby kó³ obiegowych i uzyskania przez to roz³o¿enia nacisków miêdzyzêbnych nadaj¹ siê do przenoszenia du¿ych mocy przy stosunkowo wysokiej sprawnoœci, wymagaj¹ jednak du¿ej dok³adnoœci wykonania i monta¿u. Mechanizmy obiegowe znalaz³y równie¿ zastosowanie w urz¹dzeniach specjalnych, jak np. w maszynie do skrêcania lin (rys. 124) czy do uzyskania odpowiedniego ruch t³oka w komorze silnika Wankla (rys. 125). Nale¿y zwróciæ uwagê na du¿¹ ró¿norodnoœæ odmian tych mechanizmów i form ich budowy. Na rysunku 126 zestawiono przyk³adowo mo¿liwe odmiany przek³adni dwurzêdowych z³o¿onych tylko z czterech kó³ zêbatych. Przek³adnie obiegowe ró¿nicowe umo¿liwiaja sk³adanie kilku ruchów obrotowych cz³onów czynnych w jeden ruch obrotowy cz³onu biernego lub na odwrót – przekazywanie ruchu obrotowego z jednego Ÿród³a napêdu na kilka odbiorników. Pierwsz¹ z tych mo¿liwoœci wykorzystano w uk³adzie napêdu bêbna mechanizmu podnoszenia wózka suwnicy (rys. 127). Zainstalowanie dwóch ró¿nej mocy silników S1 i S2 zapewnia bardziej racjonalne ich wykorzystanie. Stosownie do obci¹¿enia uruchamia siê przy takim rozwiazaniu napêdu odpowiednio silnik jeden lub drugi, albo obydwa ra-

Rys. 124. Przyk³ad zastosowania przek³adni obiegowej do skrêcania lin

120

Rys. 125. Przyk³ad zastosowania przek³adni obiegowej w silniku Wankla

Rys. 126. Mo¿liwe formy strukturalne dwurzêdowych przek³adni obiegowych

121 zem. Odwrotn¹ w³aœciwoœæ przek³adni ró¿nicowej, przekazywania mocy od jednego silnika na dwa niezale¿ne ko³a jezdne, zastosowano w powszechnie znanym „dyferencjale” samochodowym (rys. 128). Okreœlanie prze³o¿eñ przek³adni obiegowych Okreœlanie prze³o¿eñ nale¿y do podstawowych zagadnieñ przek³adni obiegowych . W fazie doboru i projektowania takich przek³adni interesujemy siê stosunkiem prêdkoœci k¹towych cz³onu czynnego i biernego. Zwykle s¹ nimi jarzmo i ko³a centralne, choæ w szczególnych przypadkach zarówno cz³onem czynnym, jak i biernym mog¹ byæ ko³a obiegowe. Wszelkie prze³o¿enia w przek³adniach obiegowych mo¿na okreœlaæ ró¿nymi metodami, z których do bardziej znanych nale¿¹: – metoda analityczna (Willisa), – tablicowa (Swampa) – graficzna Kutzbacha. Wymienione metody omówimy na przyk³adzie przek³adni przedstawionej na rys. 129. Znamy tu liczbê zêbów Z1, Z2 i Z3 oraz prêdkoœæ obrotow¹ jarzma nj. Nale¿y okreœliæ prêdkoœæ obrotow¹ n1 ko³a biernego (1). Przede wszystkim celowe jest ustalenie, czy prêdkoœci obrotowe n1, n2 przy jednym cz³onie czynnym J s¹ jednoznaczne, tzn. czy uk³ad jest jednobie¿ny. Obliczona ruchliwoœæ tej przek³adni jako mechanizmu p³askiego, a wiêc wed³ug wzoru (8) W = 3(4 – 1) – 2· 3 – 1· 2 = 1 daje odpowiedŸ twierdz¹c¹. Mamy tu do czynienia z przek³adni¹ planetarn¹ (ko³o 3 nieruchome). Metoda analityczna Ruchy wszystkich kó³ (1, 2 i 3) oraz jarzma J rozpatrywanej przek³adni wzglêdem podstawy mo¿na opisaæ jednoznacznie, podaj¹c ich tzw. prêdkoœci obrotowe bezwzglêdne n1, n2, n3, nJ . Opisuj¹c te same ruchy wzglêdem jarzma, otrzymamy odpowiednio prêdkoœci obrotowe wzglêdne

Rys. 127. Mechanizm ró¿nicowy zastosowany do wci¹garki dŸwignicowej

122

Rys. 128. Przek³adnia ró¿nicowa zastosowana do napêdu pojazdów

n1J = n1 – nJ ; n2J = n2 – nJ ; n3J = n3 – nJ . Zwróæmy uwagê na to, ¿e rozpatruj¹c ruchy wszystkich kó³ przek³adni wzglêdem jarzma, sprowadzamy jak gdyby przek³adniê obiegow¹ do przek³adni zwyk³ej o nieruchomych osiach kó³ (1), (2), (3). Oczywiœcie, w takiej przek³adni zwyk³ej (u nas szeregowej) zachodzi, na podstawie (89),

i13 =

n1 J Z Z ω = 1 J = 3 2 ( −1), n3 J Z2 Z1 ω 3J

lub po podstawieniu

n1 − n J Z = − 3. n3 − n J Z1 Ostatnie równanie umo¿liwia (przy za³o¿eniu n3 = 0, danych nJ oraz Z1 i Z3) obliczenie szukanego n1. Otrzymamy po przekszta³ceniu

 Z  n1 = n J  1 + 3  , Z1   lub inaczej

i1 J =

n1 Z = 1+ 3 , nJ Z1

Istota tej prostej metody polega, podkreœlamy to jeszcze raz, na sprowadzeniu przek³adni obiegowej do przek³adni zwyk³ej przez rozpatrywanie ruchów wszystkich kó³ wzglêdem jarzma. Metoda tablicowa Szukan¹ prêdkoœæ k¹tow¹ ko³a (1) lub prze³o¿enie badanej przek³adni obiegowej (rys. 129) mo¿na okreœliæ równie¿, rozumuj¹c nastêpuj¹co: Obróæmy ca³y mecha-

123

Rys. 129. Jednorzêdowa przek³adnia obiegowa

nizm, traktuj¹c go jako bry³ê sztywn¹, wokó³ osi centralnej nJ razy. W wyniku tego zabiegu wszystkie cz³ony przek³adni wykonaj¹ nJ obrotów. Zapiszemy to w pierwszym wierszu tabeli 7. Zauwa¿my teraz, ¿e w ten sposób jarzmo J wykona³o ju¿ swoj¹ okreœlon¹ liczbê nJ obrotów (dalej obracaæ nim nie ma potrzeby), natomiast ko³o (3) z za³o¿enia nieruchome, wykona³o wraz z ca³ym mechanizmem, zamiast zero, nJ obrotów. Aby rozbie¿noœæ tê usun¹æ, nale¿y obróciæ (ju¿ w nastêpnym, drugim etapie) ko³em (3) tak, by w sumie n3 = 0. Oczywiœcie, w tym przypadku obrócimy ko³em (3) o (–nJ ) obrotów, ale ju¿ przy nieruchomym jarzmie. Konsekwencj¹ tego bêd¹ obroty ko³a (2) oraz ko³a (1). £atwo je okreœliæ, gdy¿ w tej fazie ruchu, przy nieruchomym jarzmie, mamy do czynienia z przek³adni¹ zwyk³¹ szeregow¹. Obroty te, obliczone wed³ug zale¿noœci n2 = n3 i23, n1 = n2 i12, gdzie n3 = –nJ , wpisujemy w odpowiednich rubrykach wiersza 2 tabeli 7, a nastêpnie sumujemy obroty poszczególnych cz³onów w wierszu 3. Oczywiœcie, nJ = nJ; n3 = 0, natomiast interesuj¹ce nas obroty ko³a (1)

Tabela 7

124

 Z  n1 = n J  1 + 3  . Z1   Jak z tego widaæ, istot¹ metody tablicowej jest równie¿ sprowadzenie przek³adni obiegowej do przek³adni zwyk³ej w wyniku wstêpnego obrotu ca³ego mechanizmu o nJ. Metoda graficzna (Kutzbacha) Metodê graficzn¹ Kutzbacha analizy kinematycznej przek³adni obiegowej przedstawiamy na przyk³adzie tej samej przek³adni (rys. 129). Korzystaj¹c z tej metody, mo¿na narysowaæ tê przek³adniê w rzucie na p³aszczyznê ruchu cz³onów przek³¹dni (rys. 130a) i oznaczyæ przez O, A, B i C szczególne jej punkty – pary kinematyczne. Przy danych obrotach nJ jarzma J mo¿na obliczyæ i w dowolnej podzia³ce kv narysowaæ vBJ = wJ RJ. Oczywiœcie, vBJ = vB2, zaœ w punkcie C, przy nieruchomym kole (3), vC3 = vC2 = 0 (rys. 130b). W tej sytuacji, przy znanych prêdkoœciach dwóch punktów B i C ko³a (2), jest zdeterminowany ruch ca³ego ko³a (2), (punkt C – chwilowym œrodkiem obrotu tego ko³a wzglêdem podstawy), w szczególnoœci zaœ jest okreœlony rozk³ad prêdkoœci punktów le¿¹cych na œrednicy CA, a tym samym prêdkoœæ punktu zazêbienia A. Poniewa¿ w punkcie A vA2 = vA1, mo¿na wiêc równie¿ opisaæ ruch ko³a (1)

ω1 =

κv tg ϕ 1. κl

To proste rozumowanie doprowadzi³o do uzyskania wyniku w postaci graficznej. Z rysunku 130 mo¿na odczytaæ oczywiœcie i zwrot prêdkoœci k¹towej w1, a tak¿e zwrot i modu³ prêdkoœci k¹towej w2 ko³a (2)

ω2 = −

κv tg ϕ 2 . k1

Rys. 130. Przyk³ad graficznej metody (okreœlania) prze³o¿enia przek³adni obiegowej

125 Odczytane w ten sposób wyniki by³yby jednak obarczone b³êdem nie do przyjêcia, zw³aszcza przy bardzo du¿ych lub bardzo ma³ych prze³o¿eniach. W takim przypadku postaæ graficzn¹ rozwi¹zania mo¿na wykorzystaæ do otrzymania zapisu analitycznego. Z rysunku 130 mamy bowiem RJ = R1 + R2 lub RJ = R3 – R2 oraz

ω1 =

v A1 2v BJ = R1 R1

R − R1   2ω J  R3 − 3    R  2ω J ( R3 − R2 ) 2  = ω J 1 + 3  . = = R1 R1 R1  

Ostatni wynik mo¿na zapisaæ inaczej

 Z  ω 1 = ω J 1 + 3  . Z1   Przyk³adem przek³adni, dla której wynik rozwi¹zania w postaci graficznej by³by nie do odczytania, jest przek³adnia, przedstawiona na rys. 131, z nastêpuj¹cymi liczbami zêbów Z1 = 101; Z2 = 51; Z3 = 99; Z4 = 50. Prze³o¿enie wynosi tu

i3 J =

 ZZ  ω3 = 1 − 1 4  , ωJ  Z3 Z2 

po podstawieniu zaœ

i3 J =

−1 ω3  101 ⋅ 50  . = 1 −  =  ωJ 99 ⋅ 51  5049

Przyk³ad ten, potwierdzaj¹c nieprzydatnoœæ metod graficznych w pewnych przypadkach okreœlenia prze³o¿eñ w przek³adniach obiegowych, wskazuje jednoczeœnie na ogromne mo¿liwoœci tych przek³adni w realizacji bardzo ma³ych (bardzo du¿ych) prze³o¿eñ. Metoda graficzna (Beyera) Metoda Beyera s³u¿y do analizy przek³adni obiegowych k¹towych. U podstaw tej metody le¿y spostrze¿enie, ¿e prêdkoœæ k¹tow¹ ka¿dego cz³onu k przek³adni mo¿na rozpatrywaæ jako sumê wektorow¹ prêdkoœci k¹towej innego cz³onu l i prêdkoœci unoszenia cz³onu k wraz z cz³onem l; czyli

Rys. 131. Przyk³ad przek³adni obiegowej o du¿ym prze³o¿eniu

126

Rys. 132. Przyk³ad okreœlania prze³o¿enia w przek³adni obiegowej k¹towej: a) schemat przek³adni, b) plan prêdkoœci k¹towych

ω k = ω l + ω kl . W przek³adniach k¹towych te trzy wektory tworz¹ trójk¹t; znaj¹c jeden z wektorów oraz kierunki dwóch pozosta³ych, mo¿emy zbudowaæ ten trójk¹t i wyznaczyæ d³ugoœæ i zwroty pozosta³ych wektorów. Przeanalizujmy dla przyk³adu uk³ad przedstawiony na rysunku 132a. Podczas obrotu jarzma J doko³a osi ko³a (1) nastêpuje toczenie siê ko³a (2) po powierzchni ko³a (1) i jednoczeœnie obracanie siê tego ko³a wzglêdem w³asnej osi (tj. wzglêdem jarzma).

Rys. 133. Przyk³ad graficznej metody (okreœlania) prze³o¿eñ: a) schemat przek³adni obiegowej k¹towej, b) plan prêdkoœci k¹towych

127 Bezwzglêdnym ruchem ko³a (2) jest w ka¿dej chwili obrót doko³a linii a12. Obrót ko³a (2) wraz z jarzmem J jest ruchem unoszenia i odbywa siê doko³a osi ko³a (1), natomiast wzglêdny obrót ko³a (2) nastêpuje wzglêdem w³asnej osi. Dla tego przyk³adu zapiszemy

ω = ωJ +ω J . Za³ó¿my, ¿e dana jest wJ. Rysuj¹c ten wektor (oczywiœcie w okreœlonej podzia³ce) mo¿emy, po wykorzystaniu znanych kierunków, znaleŸæ w2J i w2 (rys. 132b). Przyk³ad Dana jest przek³adnia przedstawiona na rys. 133a. Dla tej przek³adni mo¿emy zapisaæ

ω 2 = ω 1 + ω 12 , ω2 = ω J + ω2J . Ostatnie równania mo¿na przedstawiæ graficznie, bo znane s¹ kierunkiem wszystkich wektorów (rys. 133a). Po wykonaniu tych sumowañ otrzymamy rozwi¹zania przedstawione na rys. 133b.

128

7. Analiza dok³adnoœci Przy okreœlaniu parametrów kinematycznych zak³adano dotychczas, ¿e cz³ony rozpatrywanego uk³adu s¹ sztywne, a ich geometria znana. W rzeczywistoœci, podatnoœæ obci¹¿onych si³ami cz³onów, a tak¿e niedok³adne ich wykonanie, sprawia, ¿e geometria cz³onów tylko w przybli¿eniu odpowiada za³o¿eniom projektanta. Oznacza to, ¿e rzeczywiste po³o¿enie cz³onów i zwi¹zanych z nimi punktów odbiegaj¹ od po³o¿eñ nominalnych. Fakt ten prowadzi w dalszym ci¹gu do wniosku, ¿e równie¿ rozpatrwane tory, prêdkoœci i przyspieszenia, okreœlone przy za³o¿eniu wymiarów nominalnych, nale¿y traktowaæ jako wielkoœci przybli¿one. Oczywiœcie, rozpatrywane zmiany mog¹ dotyczyæ modu³ów tych wielkoœci, kierunków, a nawet ich zwrotów. Nale¿y zasygnalizowaæ ju¿ w tym miejscu, ¿e to samo dotyczy równie¿ obci¹¿eñ statycznych i dynamicznych. W œwietle podanych spostrze¿eñ pojawia siê potrzeba iloœciowego opisu rozpatrywanych zmian. Najistotniejsz¹, bo decyduj¹c¹ o zmianie pozosta³ych parametrów, jest zmiana po³o¿enia uk³adu. Przeanalizujemy j¹ bli¿ej, uwzglêdniaj¹c tylko niedok³adnoœci wykonania. Przede wszystkim wprowadzimy kilka podstawowych pojêæ: B³êdem bêdziemy nazywaæ ró¿nice wartoœci wielkoœci rzeczywistej i nominalnej. B³êdy mog¹ dotyczyæ wymiarów liniowych i k¹towych, a ponadto ustawienia, zwichrowania, owalu, mimoœrodu itp. W dalszym ci¹gu bêdziemy siê zajmowaæ przede wszystkim b³êdami wymiarów liniowych i k¹towych. Je¿eli przez xrz oznaczymy wymiar rzeczywisty, przez xn zaœ wymiar nominalny, to b³¹d Dx wymiaru x wyrazimy Dx = xrz – xn. B³êdy nazywa siê równie¿ odchy³kami. Przy ca³ej serii mierzonych elementów, np. cz³onów AB (rys. 134), wykonanych na ten sam wymiar nominalny x, b³êdy (odchy³ki) roz³o¿¹ siê w okreœlonym pasmie. Szerokoœæ tego pasma, czyli tzw. tolerancjê T okreœla maksymalny b³¹d dodatni – odchy³ka górna G oraz maksymalny b³¹d ujemny – odchy³ka dolna F. Zachodzi relacja T = G – F.

(91)

B³êdy lub tolerancje wymiarów opisuj¹cych geometriê cz³onów bêdziemy nazywaæ dalej b³êdami lub tolerancjami wymiarowymi. B³êdy te powoduj¹, jak ju¿ powiedziano, zmianê kszta³tu cz³onu rzeczywistego w stosunku do kszta³tu nominalnego. Fakt ten mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie trójwêz³owego cz³onu ABC (rys. 135).

129

Rys. 134. Ilustracja pojêcia b³êdu, odchy³ki i tolerancji

Za³ó¿my, ¿e wykonano ca³¹ seriê tych elementów, opisanych wymiarami x1, x2, x3, przy okreœlonych tolerancjach Tx1, Tx2, Tx3 (rys. 135a). W normalnych warunkach ka¿dy element ABC bêdzie inny. Ka¿dy bêdzie charakteryzowa³ siê innymi b³êdami Dx1, Dx2, Dx3. Zestawmy w myœli wszystkie te elementy rzeczywiste tak, by punkty Ai pokry³y siê ze sob¹ w punkcie O i kierunki AiBi pokrywa³y siê z kierunkiem l. Wtedy wszystkie punkty B bêd¹ le¿a³y na odcinku L (o d³ugoœci Tx1), punkty Ci natomiast w polu P opisanym tolerancjami Tx2 i Tx3 (rys. 135b). Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e rzeczywiste kszta³ty takiego cz³onu ABC, wykonanego przy tych samych tolerancjach wykonawczych, bêd¹ ró¿ne dla ró¿nych sposobów jego zwymiarowania. Mo¿na to przeœledziæ na kolejnych przyk³adach przedstawionych na rys. 136. W tym œwietle dobór odpowiedniego sposobu zwymiarowania nabiera szczególnego znaczenia. Wracaj¹c do uk³adów kinematycznych, z³o¿onych z takich rzeczywistych cz³onów, zwrócimy jeszcze raz uwagê na to, ¿e zmiany ich kszta³tów powoduj¹ zmianê po³o¿eñ tych cz³onów (w uk³adzie) w stosunku do po³o¿eñ nominalnych. Je¿eli po³o-

Rys. 135. Cz³on trójwêz³owy: a) sposób zwymiarowania, b) rozrzut po³o¿eñ punktów wêz³owych

130

Rys. 136. Przyk³ady kolejnych sposobów zwymmiarowania i rozrzuty po³o¿eñ punktów wêz³owych cz³onów trójwêz³owych

¿enie jakiegoœ rozpatrywanego cz³onu lub punktu jest opisane wymiarami bêd¹cymi funkcj¹ innych wymiarów wykonawczych, to wymiarowi temu, zwanemu dalej wymiarem wynikowym, mo¿na przypisaæ b³¹d lub tolerancjê wynikow¹. Rozpatrzmy przyk³adowo popularny uk³ad napêdowy ABC (rys. 137a). Je¿eli x1, x2 i x3 przyj¹æ za wymiary wykonawcze, to interesuj¹cy nas k¹t y, okreœlaj¹cy po³o¿enie ramienia BC, jako funkcja wymiarów x1, x2 i x3 bêdzie wymiarem wynikowym, b³¹d Dy i Ty zaœ odpowiednio b³êdem i tolerancj¹ wynikow¹. W projektowaniu uk³adów kinematycznych wy³aniaj¹ siê dwa zagadnienia in¿ynierskie dotycz¹ce: a) okreœlenia przewidywanych tolerancji wynikowych przy zadanych tolerancjach wykonawczych, b) doboru tolerancji wykonawczych, zapewniaj¹cych za³o¿on¹ z góry tolerancjê wynikow¹.

7.1. Okreœlanie b³êdu i tolerancji wynikowej Rozpatrywany w analizie dok³adnoœci uk³ad kinematyczny dogodnie jest zast¹piæ ci¹giem jego wymiarów wykonawczych oraz zamykaj¹cym wymiarem wynikowym. Taki ci¹g wymiarów bêdziemy nazywaæ ³añcuchem wymiarowym. Przyk³adowy ³añcuch wymiarowy, dla uk³adu z rys. 137a, przedstawiono na rys. 137b. W naszych rozwa¿aniach ogólnych oznaczamy dalej wymiary wykonawcze przez xi, wymiar wynikowy zaœ przez b. Przy takich oznaczeniach napiszemy b = f(xi).

(92)

Znalezienie b³êdu Db wymiaru wynikowego b przy zadanych wymiarach xi, b³êdach wykonawczych Dxi oraz znanej postaci funkcji f jest formalnie proste

131

Rys. 137. Uk³ad napêdowy ABC: a) schemat kinematyczny zwymiarowany, b) ³añcuch wymiarowy

b = f(xi) + f(xi + Dxi).

(93)

W praktyce, korzystanie z wzoru (93) prowadzi jednak do bardzo pracoch³onnych i k³opotliwych rachunków. Z tych wzglêdów w teorii dok³adnoœci rozwija siê funkcjê (92) w szereg Taylora i przyjmuje do obliczeñ tylko wyraz liniowy szeregu. Godz¹c siê z pewnym przybli¿eniem, otrzymujemy

∆b =

i =n

∑ wi ∆xi

(94)

i =1

gdzie

wi =

∂b . ∂ xi

(95)

Wielkoœæ wi nosi nazwê wspó³czynnika wp³ywu i bêdzie przedmiotem rozwa¿añ w kolejnym rozdziale. Z zale¿noœci (94) mo¿na korzystaæ wówczas, gdy znane s¹ b³êdy Dxi, a wiêc gdy rozpatrujemy uk³ad rzeczywisty. W fazie projektowania nale¿y za³o¿yæ losowy rozk³ad tych b³êdów zarówno co do modu³u, jak i znaku. Rachunek prawdopodobieñstwa i statystyka prowadz¹ wtedy do zwi¹zku

∆b* =

i =n

∑ ( wi ⋅ ∆xi ) i =1

2

.

(96)

Czêsto dogodniej jest rozpatrywaæ nie b³êdy, lecz tolerancje. W tym celu mo¿na stosowaæ analogiczne zwi¹zki

Tb =

i =n

∑ wi Txi ; i =1

(97)

132 oraz

Tb* =

i =n

∑ ( wi ⋅ Txi )

2

.

i =1

(98)

Zale¿noœæ (94) bêdziemy stosowaæ we wszystkich przypadkach, w których nale¿y oczekiwaæ losowych rozk³adów b³êdów, zale¿noœæ (97) zaœ przy ich najbardziej niekorzystnym rozk³adzie. Inaczej wyst¹pienie tolerancji wiêkszej od Tb* jest praktycznie niemo¿liwe, a wiêkszej od Tb zupe³nie niemo¿liwe. Zale¿noœci¹ (97) nale¿y siê pos³ugiwaæ wyj¹tkowo, gdy¿ skrajna ostro¿noœæ jest uzasadniona ze wzglêdów technicznych i ekonomicznych.

7.2. Okreœlanie wspó³czynników wp³ywu Wspó³czynnik wp³ywu mo¿na okreœliæ przez bezpoœrednie ró¿niczkowanie funkcji wymiarowej (92), co na ogó³ prowadzi do bardzo pracoch³onnych rachunków. Z tego wzglêdu, w praktyce przyjê³y siê dogodniejsze graficzne metody okreœlania wspó³czynników wp³ywu. Spoœród wielu metod okreœlenia wspó³czynników wi, dotychczas najszersze zastosowanie znalaz³a metoda opracowana przez N.G. Brujewicza. Polega ona na prostej interpretacji kinematycznej. Dziel¹c licznik i mianownik zale¿noœci (95) przez ¶t otrzymamy

wi =

∂ b / ∂τ . ∂ xi / ∂τ

Je¿eli przedzia³ czasu ¶t bêdzie d¹¿y³ do zera, to w granicy otrzymamy wi =

vb . vxi

(99)

Ze wzoru tego wynika, ¿e wspó³czynnik wp³ywu wi mo¿na interpretowaæ jako stosunek prêdkoœci zmiany wymiaru wynikowego do odpowiedniej prêdkoœci zmiany i-tego wymiaru wykonawczego, przy za³o¿eniu niezmiennoœci pozosta³ych wymiarów. Wprowadzaj¹c, zgodnie z wzorem (99), zmienne wymiary wykonawcze, otrzymamy pewne uk³ady kinematyczne – tzw. mechanizmy pomocnicze – o ruchliwoœci jeden. Otrzyma siê wiêc tyle mechanizmów pomocniczych, ile uwzglêdniono w analizie b³êdów wykonawczych. W po³o¿eniu uk³adu kinematycznego, w którym ma byæ przeprowadzona analiza dok³adnoœci, nale¿y najpierw uk³ad unieruchomiæ (na³o¿yæ liczbê wiêzów odpowiadaj¹c¹ ruchliwoœci teoretycznej), a dopiero potem wprowadzaæ mechanizmy pomocnicze wed³ug N.G. Brujewicza. Sposób korzystania z metody omówiono na przyk³adzie.

133 Niech bêdzie dany uk³ad kinematyczny przedstawiony na rys. 138. Wymiar b, okreœlaj¹cy po³o¿enie punktu E, jest funkcj¹ wymiarów wykonawczych x1, x2, x3 oraz wartoœci k¹ta j. Jest wiêc wymiarem wynikowym. Okreœlmy wspó³czynniki wp³ywu wymiarów x1, x2, x3. W tym celu sporz¹dzamy schematy mechanizmów zastêpczych (rys. 139a) oraz kreœlimy plany prêdkoœci dla tych mechanizmów zastêpczych (rys. 139b). Zauwa¿my, ¿e we wszystkich przypadkach mechanizmy pomocnicze zapewniaj¹ mo¿liwoœæ zmiany tylko wymiaru badanego przy niezmiennych wartoœciach wymiarów pozsta³ych. Zak³adaj¹c np. jednostkow¹ wartoœæ prêdkoœci tych zmian, mo¿na w ten sposób okreœliæ wp³yw zmiany poszczególnych wymiarów na zmianê wymiaru wynikowego b. Otrzymujemy wiêc

w1 =

vE1 v v ; w2 = E 2 ; w3 = E 3 = 1. v1 v2 v3

Gdy znane s¹ wartoœci wspó³czynników wp³ywu, mo¿na okreœliæ spodziewan¹ tolerancjê Tb wymiaru wynikowego przy zadanych tolerancjach Ti wymiarów xi. Zgodnie z wzorem (98), otrzymamy

Tb* =

( w1Tx1 )2 + ( w2Tx 2 )2 + ( w3Tx 3 )2 .

Rys. 138. Schemat kinematyczny mechanizmu z naniesionymi wymiarami wykonawczymi (xi) oraz wymiarem wynikowym (b)

134

Rys. 139. Ilustracja metody graficznej okreœlania wspó³czynnika wp³ywu: a) mechanizmy zastêpcze uk³adu z rys. 120, b) plany prêdkoœci

Wynik analizy dok³¹dnoœci uk³adu kinematycznego jest zwi¹zany z okreœlonym po³o¿eniem cz³onu czynnego. Oznacza to, ¿e przy sta³ych b³êdach wymiarów wykonawczych, w cyklu pracy uk³adu kinematycznego bêdzie siê zmieniaæ b³¹d wynikowy, poniewa¿ zmieniaj¹ siê wspó³czynniki wp³ywu. W pewnych po³o¿eniach (zwykle bliskich po³o¿eniom martwym) wra¿liwoœæ uk³adu na b³êdy wykonawcze cz³onów jest szczególnie du¿a.

135

III. DYNAMIKA 8. Wprowadzenie W dziale dynamika mechanizmów i maszyn rozpatruje siê zwi¹zki miêdzy parametrami kinematycznymi (przemieszczenia, prêdkoœci, przyspieszenia) a masami cz³onów i dzia³aj¹cymi na nie si³ami. Pos³uguj¹c siê takimi zwi¹zkami, wyra¿onymi zwykle w postaci równañ ró¿niczkowych, mo¿na rozwi¹zywaæ dwie podstawowe grupy zagadnieñ: – wyznaczanie si³ wymuszaj¹cych okreœlone prawo ruchu mechanizmu, – okreœlanie prawa ruchu mechanizmu przy zadanym stanie jego obci¹¿enia. Mniej ambitnymi, choæ w praktyce wa¿nymi, zagadnieniami (omówionymi w tym dziale) jest okreœlanie si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych ruchomych mechanizmów z uwzglêdnieniem zjawiska tarcia, okreœlanie sprawnoœci mechanizmów itp. Przy rozwi¹zywaniu wiêkszoœci zagadnieñ in¿ynierskich zak³ada siê zwykle dla uproszczenia, ¿e cz³ony mechanizmów s¹ elementami sztywnymi o wymiarach zdeterminowanych oraz bez luzów w parach kinematycznych. Nale¿y jednak zwróciæ uwagê, ¿e ró¿nice miêdzy wynikami uzyskanymi przy tych za³o¿eniach a wystêpuj¹cymi w uk³adach rzeczywistych, mog¹ w wypadkach szczególnych okazaæ siê nie do pominiêcia.

136

9. Si³y i ich przegl¹d Si³y dzia³aj¹ce na cz³ony uk³adów mechanicznych mo¿na podziêliæ na si³y czynne (napêdowe) i si³y bierne (oporu). Pierwsze z nich charakteryzuj¹ siê tym, ¿e ich wektory tworz¹ z wektorami prêdkoœci punktów przy³o¿enia si³ k¹ty ostre. Si³y te podtrzymuj¹ ruch uk³adu mechanicznego. Opory, którymi nazywamy si³y tworz¹ce z odpowiednimi wektorami prêdkoœci k¹ty rozwarte, przeciwstawiaj¹ siê ruchom. Wœród nich nale¿y rozró¿niæ tzw. opory u¿yteczne, czyli te, których pokonanie jest zwi¹zane z wykonywaniem pracy celowej i u¿ytecznej oraz opory szkodliwe, do których nale¿y zaliczyæ przede wszystkim si³y tarcia w parach kinematycznych, opory oœrodka itp. Si³y obci¹¿aj¹ce poszczególne cz³ony dzieli siê dalej na zewnêtrzne i wewnêtrzne. Do si³ zewnêtrznych zaliczamy te, których Ÿród³o le¿y poza rozpatrywanym cz³onem, np. si³y ciê¿koœci, si³y technologiczne itp. Do si³ wewnêtrznych zaliczamy si³y wystêpuj¹ce miêdzy cz³onami mechanizmu lub w rozpatrywanej czêœci mechanizmu, np. w przekroju poprzecznym cz³onu. Odmienna naturê maj¹ si³y bezw³adnoœci, bêd¹ce Ÿród³em tzw. obci¹¿eñ dynamicznych. Ze wzglêdu na szczególne znaczenie, jakie odgrywaj¹ te si³y we wspó³czesnej technice, omówiono je bardziej szczegó³owo.

9.1. Si³y bezw³adnoœci i ich redukcja Na elementarn¹ masê dmi (rys. 140a) w ruchu, scharakteryzowanym przyspieszeniem ai, dzia³a si³a bezw³adnoœci

d Pbi = − d mi ⋅ ai . Na cz³on o masie roz³o¿onej w sposób ci¹g³y dzia³a wiêc pewnego rodzaju ci¹g³e pole si³ elementarnych. Taki rzeczywisty stan obci¹¿enia nale¿y uwzglêdniæ przy okreœleniu wynikaj¹cych st¹d naprê¿eñ wewnêtrznych. Do pewnych jednak celów, np. do wyznaczania si³ roboczych i oddzia³ywania w parach kinematycznych, mo¿na i dogodnie jest zast¹piæ takie obci¹¿enie ci¹g³e umownymi si³ami skupionymi. W ogólnym przypadku efekt dzia³ania wszystkich elementarnych si³ bezw³adnoœci dla cz³onu bêd¹cego w ruchu z³o¿onym mo¿na przedstawiæ w postaci jednej si³y Pb przy³o¿onej w œrodku masy S cz³onu oraz pary si³ Mb (rys. 140b). Si³a

Pb = − m ⋅ aS .

(100)

137 gdzie: m – masa cz³onu, aS – przyspieszenie œrodka masy cz³onu. Jak wynika z zapisu wektorowego, si³a Pb ma kierunek przyspieszenia aS i zwrot przeciwny do zwrotu przyspieszenia, modu³ zaœ równy m aS. Moment si³ bezw³adnoœci Mb wzglêdem œrodka masy

Mb = − J S ⋅ ε .

(101)

gdzie: JS – masowy moment bezw³adnoœci cz³onu wzglêdem osi prostopad³ej do p³aszczyzny ruchu i przechodz¹cej przez œrodek masy, A – przyspieszenie k¹towe cz³onu. Ogólnie

JS =

∫ρ

2

dm

m

lub

J S = mis2 , gdzie is – promieñ bezw³adnoœci. Je¿eli moment Mb zast¹piæ par¹ si³ Pb tak¹, by jej ramiê h by³o równe

h =

Mb Pb*

,

si³y zaœ tworz¹ce tê parê (rys. 141a) bêd¹ spe³niaæ warunek

Pb* = Pb = − m ⋅ aS ,

Rys. 140. Redukcja si³ bezw³adnoœci: a) pole elementarnych si³ bezw³adnoœci, b) uk³ad zastêpczy pola si³

(102)

138

Rys. 141. Uk³ad zastêpczy reprezentuj¹cy si³y bezw³adnoœci: a) si³a wypadkowa Pb i para si³ Pb*, b) si³a wypadkowa Pb* przesuniêta wzglêdem S na odleg³oœæ h

to si³y Pb i Pb* jako równe sobie i przeciwnie skierowane, wzajemnie siê równowa¿¹. Wtedy druga si³a Pb* pary, jako jedyna si³a reprezentuje efekt dzia³ania wszystkich elementarnych si³ bezw³adnoœci (rys. 141b). Szczególnymi przypadkami ruchów p³askich s¹ ruchy postêpowe i obrotowe. Upraszcza siê wtedy zagadnienie si³ bezw³adnoœci towarzysz¹cych takim ruchom. 1. Cz³on w ruchu postêpowym (rys. 142). Z za³o¿enia A = 0, a wiêc Mb = 0, co oznacza, ¿e si³y bezw³adnoœci dzia³aj¹ce na taki cz³on redukuj¹ siê do jednej si³y

Pb = − m ⋅ aS . przechodz¹cej przez œrodek masy. 2. Cz³on w ruchu obrotowym niejednostajnym wokó³ œrodka ciê¿koœci S (rys. 143). W zwi¹zku z tym

Rys. 142. Cz³on w ruchu postêpowym. Pb – wypadkowa si³ bezw³adnoœci

Rys. 143. Cz³on Bc w ruchu obrotowym wokó³ œrodka ciê¿koœci. Efektem dzia³ania si³ bezw³adnoœci moment si³ Mb

139 as = 0, a wiêc Pb = 0. Wynikiem dzia³ania elementarnych si³ bezw³adnoœci jest tylko moment bezw³adnoœci

Mb = − J S ⋅ ε . 3. Cz³on w ruchu obrotowym niejednostajnym wokó³ osi nie przechodz¹cej prze œrodek ciê¿koœci (rys. 144a). W tym przypadku

Pb = − m ⋅ a S i Mb = − J S ⋅ ε . Zastêpuj¹c moment odpowiednio dobran¹ par¹ si³ Pb*, równ¹ Pb , mo¿na moment i si³ê zredukowaæ do jednej si³y Pb*, której linia dzia³ania przechodzi prze punkt W, zwany punktem wahnieñ lub uderzeñ (rys. 144b). Punkt ten mo¿na traktowaæ tak, jak gdyby w nim by³a skupiona masa ca³ego cz³onu, odleg³oœæ zaœ BW jako d³ugoœæ zredukowan¹ wahad³a fizycznego otrzymanego przez podwieszenie cz³onu BC w punkcie B. Odleg³oœæ BW, zawsze wiêksz¹ od BS, mo¿na okreœliæ BW = BS + SW = H + e,

(103)

przy czym

JS ⋅ ε is2 ε h m ⋅ is2 ε is2 SW = e = , = = = = m ⋅ as ⋅ sinα ρ⋅ ε ρ sin α m ⋅ ast czyli

e =

is2 , ρ

Rys. 144. Cz³on BC w ruchu obrotowym. Redukcja si³ bezw³adnoœci

(104)

140

Rys. 145. Przyk³ad mechanizmu dŸwigniowego obci¹¿onego uk³adem zredukowanych si³ bezw³adnoœci

Na podstawie tych ustaleñ mo¿na przyporz¹dkowaæ ka¿demu cz³onowi uk³adu kinematycznego si³ê bezw³adnoœæi lub moment si³ bezw³adnoœci, je¿eli tylko znana jest masa cz³onu, jej rozk³ad oraz ruch. Zilustrowano to na przyk³adzie uk³adu kinematycznego przedstawionego na rys. 145, gdzi ka¿demu cz³onowi przyporz¹dkowano zredukowan¹ si³ê bezw³adnoœci. Rozwi¹zanie takie poprzedza zwykle okreœlenie samych przyspieszeñ, czego dokonujemy np. metod¹ planu przyspieszeñ, oraz ustalenie masowych momentów bezw³adnoœci. Te ostatnie mo¿na obliczyæ analitycznie za pomoc¹ wzoru (102), przy cz³onach ³atwych do opisania, lub zawsze wyznaczyæ doœwiadczalnie, pos³uguj¹c siê jedn¹ ze znanych metod: wahad³a fizycznego, zawieszenia jedno- lub trzynitkowego. 9.1.1. Metoda mas zastêpczych W niektórych przypadkach korzystniejszy mo¿e siê okazaæ inny sposób wyznaczania si³ bezw³adnoœci, polegaj¹cy na uprzednim zast¹pieniu cz³onu (rys. 146a) jego modelem z³o¿onym z kilku mas skupionych (rys. 146b).

Rys. 146. Metoda mas zastêpczych: a) cz³on rzeczywisty, b) model dynamiczny z naniesionymi si³ami bezw³adnoœci

141 Gdy znamy przyspieszenia ai poszczególnych punktów masowych, nietrudno przyporz¹dkowaæ im si³y bezw³adnoœci Pbi (rys. 146b), a redukuj¹c je przez kolejne sumowanie (np. za pomoc¹ wieloboku sznurowego) otrzymujemy wypadkow¹ Pb tych si³ oraz jej liniê dzia³ania. Model cz³onu zastosowany do okreœlania wypadkowej si³ bezw³adnoœci musi byæ dynamicznie równowa¿ny cz³onowi, tzn. mieæ: – tê sam¹ masê ca³kowit¹, – tak samo po³o¿ony œrodek ciê¿koœci, – identyczny moment bezw³adnoœæi wzglêdem œrodka ciê¿koœci. Warunki te mo¿na zapisaæ za pomoc¹ nastêpuj¹cych równañ:

∑ mi

= m,

∑ mi xi

= m ⋅ xs ,

∑ mi yi

= m ⋅ ys ,

∑ mi ( xi2 + yi2 )

(105)

= J s + m( x s2 + ys2 ),

w których: mi – masa zastêpcza umieszczona w i-tym punkcie, xi, yi – wspó³rzêdne i-tych mas zastêpczych w uk³adzie wspó³rzêdnych prostok¹tnych xOy (rys. 146), xs, ys – wspó³rzêdne œrodka ciê¿koœci, m – masa cz³onu rzeczywistego, Js – masowy moment bezw³adnoœci cz³onu rzeczywistego wzglêdem œrodka masy cz³onu. Ka¿d¹ masê zastêpcz¹ mo¿na opisaæ trzema parametrami mi, x i i yi. Mamy wiêc ³¹czn¹ liczbê 3n parametrów, z których 4 (liczba równañ) mo¿na obliczyæ. Mo¿na wiêc za³o¿yæ p parametrów, przy czym musi byæ spe³niony warunek p = 3n – 4, z którego wynika, ¿e n ³ 2. Zwróæmy uwagê, ¿e ju¿ przy n = 4 mo¿na narzuciæ po³o¿enia wszystkich czterech mas zastêpczych, np. w tych punktach, których przyspieszenia znamy lub dogodnie mo¿na je okreœliæ. Stosunkowo ³atwo rozwi¹zuje siê uk³ad równañ (105), je¿eli jedna z mas zastepczych przyj¹c w œrodku masy S, a tam z kolei umieœciæ pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych. W takim przypadku, np. dla ³¹cznika BC (rys. 147), mamy mB + mS + mC = m, – mB· b + mC· c = 0, mB· b2 + mC· c2 = JS .

142

Rys. 147. Cz³on dwuwêz³owy BC i jego trójmasowy model dynamiczny

Po rozwi¹zaniu

mB =

JS J J , mC = S , mS = m − S . b⋅l c⋅l b⋅c

Masy skupione dogodnie jest umieœciæ w œrodkach par obrotowych, co znacznie upraszcza okreœlanie przyspieszeñ. W ten sposób mo¿na zast¹piæ przyk³adowy mechanizm korbowodzikowy (rys. 148a) dogodnym uk³adem mas skupionych (rys. 148b). Cz³ony (2) i (3) zast¹piono uk³adami trzech mas skupionych (w przegubach i œrodkach ciê¿koœci) co oznacza, ¿e mB = mB2 + mB3 i mC = mC3 + mC4 . Taki uk³ad modelowy (rys. 148b) jest równowa¿ny dynamicznie uk³adowi fizycznemu (rys. 148a).

Rys. 148. Redukcja mas: a) uk³ad rzeczywisty, b) model dynamiczny z³o¿ony z cz³onów niewa¿kich i mas skupionych

10. Kinetostatyka W ka¿dym uk³adzie kinematycznym w jego ruchomych po³¹czeniach zachodzi oddzia³ywanie cz³onów na siebie. Si³ê oddzia³ywania tworz¹cych parê cz³onów k i l oznaczaæ bêdziemy przez Pkl (oddzia³ywanie cz³onu k na l) lub przez Plk (oddzia³ywanie cz³onu l na k), przy czym (rys. 149) Pkl = − Plk .

Wyznaczanie tych si³ nale¿y do podstawowych zadañ w procesie projektowania. Niezbêdna jest te¿ znajomoœæ tzw. si³y równowa¿¹cej Fr lub momentów równowa¿¹cych Mr. Przez pojêcia te rozumiemy si³y (lub momenty si³) przy³o¿one do wybranych cz³onów uk³adu kinematycznego, utrzymuj¹ce uk³ad w równowadze. Je¿eli np. na cz³ony uk³adu dzia³aj¹ obci¹¿enia zewnêtrzne M2, Pb, G3 (rys. 150) i efekt ich dzia³ania udaje siê zrównowa¿yæ jedn¹ si³¹ Fr, to tak¹ si³ê nazywamy w³aœnie si³¹ równowa¿¹c¹. Wyznaczanie zarówno si³ oddzia³ywania, jak i si³ równowa¿¹cych mo¿na dokonywaæ w uk³adach pozostaj¹cych w spoczynku znanymi z mechaniki metodami statyki. Mechanizmy (uk³ady cz³onów ruchomych) odró¿nia od uk³adów nieruchmych to, ¿e na ich cz³ony dzia³aj¹ dodatkowo si³y bezw³adnoœci. Je¿eli jednak wypadkowe tych si³, które potrafimy okreœliæ (p. 9.1) potraktowaæ jako si³y zewnêtrzne dzia³aj¹ce na cz³ony obok innych si³ zewnêtrznych, nie zmieni to obci¹¿enia samych par kine-

Rys. 149. Si³y odzia³ywania w parach kinematycznych: a) w parze obrotowej, b) w parze postêpowej, c) w parze wy¿szej

144

Rys. 150. Ilustracja pojêcia si³y równowa¿¹cej

matycznych. Oznacza to, ze w ten sposób ruchome uk³ady (mechanizmy) mo¿na sprowadziæ do uk³adów statycznych i rozwi¹zywaæ metodami statyki. Metoda taka nosi miano kinetostatyki. Stosuj¹c metodê kinetostatyki do okreœlania si³ oddzia³ywania w parach si³ i momentów równowa¿¹cych, dogodnie jest, z³o¿ony zwykle uk³ad obcia¿eñ rzeczywistych zast¹piæ najprostszym uk³adem równowa¿nym. Mo¿na to osi¹gn¹æ przez redukcjê wszystkich si³ i momentów zewnêtrznych (np. oporów u¿ytecznych, szkodliwych si³ ciê¿koœci itp.) oraz wypadkowych si³ bezw³adnoœci dzia³aj¹cych na poszczególne cz³ony jedn¹ tylko si³¹ lub si³¹ i momentem si³. Istotê takiego zabiegu zilustrowano na rys. 151, przy czym na rys. 151a mamy cz³on obci¹¿ony uk³adem si³ rzeczywistych, na rys. 151b natomiast ten sam cz³on obci¹¿ony jedn¹ si³¹ wypadkow¹ W = G + S + Pb .

Rys. 151. Ilustracja redukcji si³ dzia³aj¹cych na cz³on ABC: a) cz³on z uk³adem si³ zewnêtrznych, b) cz³on z si³¹ wypadkow¹ W

10.1. Grupy statycznie wyznaczalne Okreœlaj¹c si³y oddzia³ywania i si³y równowa¿¹ce w uk³adach kinematycznych, dogodnie jest badany uk³ad podzialiæ na takie najprostsze elementy, które po wyodrêbnieniu z ca³ego mechanizmu, rozpatrywane w równowadze – umo¿liwiaj¹ okreœlenie si³ oddzia³ywania w kolejnych parach kinematycznych. Elementy takie, zwane grupami statycznie wyznaczalnymi, musz¹ mieæ okreœlon¹ budowê strukturaln¹.

145 W celu wyjaœnienia struktury grup statycznie wyznaczalnych, daj¹cych mozliwoœæ okreœlenia za pomoc¹ metod statycznych niewiadomych si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych, konieczne jest ustalenie zale¿noœci miêdzy liczb¹ cz³onów i par kinematycznych, przy której si³y niewiadome mog¹ byæ okreœlone za pomoc¹ równañ statycznych. Zale¿noœæ tê mo¿na ustaliæ przez dok³adn¹ analizê si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych. Je¿eli pomin¹æ zjawisko tarcia, to w parze obrotowej (I kl.) linia dzia³ania wypadkowej oddzia³ywania wzajemnego dwóch cz³onów l i k przechodzi przez œrodek pary oraz Pkl = − Plk (rys. 149a). Nie s¹ znane modu³ i kierunek si³y. Mo¿na powiedzieæ inaczej, ¿e para obrotowa I klasy dostarcza dwie niewiadome. W parze I klasy postêpowj (rys. 149b) wypadkowa ( Pkl = − Plk ) oddzia³ywania wzajemnego ma kierunek prostopad³y do prowadnicy, nie s¹ znane natomiast punkt przy³o¿enia i modu³. A wiêc dostarcza ona tak¿e dwie niewiadome. W parze wy¿szej II klasy (rys. 149c) si³a oddzia³ywania jest okreœlona co do kierunku (normalny do wspólnej stycznej) i punktu przy³o¿enia (punkt styku), niewiadom¹ jest zaœ tylko modu³. Je¿eli w uk³adzie mechanicznym p³askim wystêpuje p1 par I klasy i p2 par II klasy, to ³¹czna liczba parametrów, jak¹ nale¿y okreœliæ przy wyznaczaniu si³ oddzia³ywania, wyniesie 2p1 + p2. Z drugiej strony, dla ka¿dego cz³onu w ³añcuchu p³askim mo¿na napisaæ 3 równania równowagi – suma rzutów na dwie osie prostopad³e oraz suma momentów wzglêdem dowolnego punktu równa siê zeru. Oznacza to, ¿e dla n cz³onów liczba równañ, a wiêc liczba parametrów, które mo¿na obliczyæ, wynosi 3n. Mo¿na wiêc napisaæ 3n = 2p1 + p2.

(106)

Wed³ug zale¿noœci (106) mo¿na sprawdziæ, czy wydzielona z mechanizmu grupa cz³onów jest statycznie wyznaczalna. Nale¿y przy tym nadmieniæ, ¿e w wydzielonej z mechanizmu grupie statycznie wyznaczalnej musz¹ byæ znane wszystkie obci¹¿enia zewnêtrzne. Je¿eli z uk³adu mechanicznego wydzielimy mo¿liwe grupy statycznie wyznaczalne, spe³niaj¹ce warunek (106), to pozostan¹ tylko cz³ony czynne. Oznacza to, ¿e analizê kinetostatyczn¹ mechanizmów mo¿na sprowadziæ do analizy grup statycznie wyznaczalnych i cz³onu czynnego, co sugeruje z kolei mo¿liwoœæ opracowania ogólnych metod rozwi¹zywania wszystkich mechanizmów p³askich. 10.1.1 Analiza si³ w grupach statycznie wyznaczalnych Wychodz¹c z zale¿noœci (106), mo¿na kolejnym liczbom n cz³onów przyporz¹dkowaæ liczby p1 i p2 par wystêpuj¹cych w grupie. Zestawione w tabeli 8 przyk³adowe wyniki takich operacji wskazuj¹ na du¿¹ ró¿norodnoœæ grup nawet przy ma³ych liczbach n. Najprostsz¹ odmianê grupy stanowi pojedynczy cz³on dwuwêz³owy (wersja 1.1.1) lub trójwêz³owy (wersja 1.0.3). Stosunkowo proste grupy tworz¹ tak¿e tzw. dwucz³ony, z których do najczêœciej spotykanych nale¿y wersja 2.3.0. Po wprowadzeniu w miejsce par kinetycznych I kl i II kl. ró¿nych postaci, otrzymamy ró¿ne

146 Tabela 8

Rys. 152. Postacie najprostszej grupy statycznie wyznaczalnej

Rys. 153. Postacie dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej

postacie wersji grup statycznie wyznaczalnych. Postacie grup wersji 1.1.1 przedstawiono na rys. 152, natomiast wersji 2.3.0 na rys. 153. Ka¿da z postaci, nawet tej samej wersji, wymaga nieco odmiennego toku postêpowania, co mo¿na przeœledziæ na kilku przyk³adach rozwi¹zanych metodami grafoanalitycznymi. Wersja 1.1.1 postaæ C Niech w badanym mechanizmie bêdzie grupa jednocz³onowa (rys. 154a) obci¹¿ona zredukowan¹ si³¹ zewnêtrzn¹ P1 i momentem zredukowanym M1. Nale¿y okreœliæ si³y oddzia³ywania Px1 cz³onu x na 1 w parze A i Py1 cz³onu y na 1 w parze B. Wiadomo, ¿e w parze obrotowej A wypadkowa si³a oddzia³ywania przechodzi przez œrodek pary. W parze wy¿szej B si³a oddzia³ywania przechodzi przez punkt styku i jest prostopad³a do stycznej w punkcie styku. Znany jest wiec kierunek i punkt przy³o¿enia si³y oddzia³ywania Py1. Zapisuj¹c równania momentów wzglêdem punktu A mo¿na obliczyæ si³ê Py1. Bêdzie Py1· hy – P1· h1 + M1 = 0,

147

Rys. 154. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 1.1.1.C): a) cz³on 1 obci¹¿ony si³ami zewnêtrznymi, b) wielobok si³

a wiêc

Py1 =

P1 ⋅ h1 − M1 . hy

Si³ê oddzia³ywania Px1 znajdziemy na podstawie np. warunku, ¿e suma wszystkich si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on 1 w równowadze równa siê zeru, czyli

Px 1 + P1 + Py1 = 0. Ostatnie równanie mo¿na rozpisaæ w postaci dwóch równañ analitycznych lub rozwi¹zaæ graficznie (rys. 154b). Wersja 1.1.1 postaæ B W ogólnym przypadku, gdy cz³on (1), stanowi¹cy grupê tej wersji, jest obci¹¿ony wypadkow¹ si³¹ P1 i wypadkowym momentem M1 (rys. 155), si³y oddzia³ywania Px1 w parze postêpowej A i Py1 w parze wy¿szej B mo¿na okreœliæ np. na podstawie nastêpuj¹cych równañ:

Py1 + P1 + Px1 = 0. –Px1· h1 + M1 = 0. Pierwsze z równañ, przy znanych kierunkach szukanych si³ Px1 i Py1, mo¿na rozwi¹zaæ graficznie (rys. 155b), z drugiego zaœ, wyra¿aj¹cego sumê momentów si³ zewnêtrznych wzglêdem specjalnie dobranego punktu S, mozna obliczyæ h1. Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e linia dzia³ania si³y Px1 mo¿e przebiegaæ poza miejscem styku wchodz¹cych w po³¹czenie cz³onów. Jest to mo¿liwe dlatego, poniewa¿ Px1 jest wypadkow¹ dwóch si³ dzia³aj¹cych w rzeczywistych lub umownych punktach A' i A" (rys. 156).

148

Rys. 155. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 1.1.1 B): a) cz³on (1) z obci¹¿enien zewnêtrznym, b) wielobok si³

Rys. 156. Wypadkowa si³ oddzia³ywania w parze postêpowej: a) para postêpowa z cz³onem (1) obci¹¿onym momentem M, b) wielobok si³

Wersja 2.3.0 postaæ A Wydzielaj¹c z badanego mechanizmu grupê tego typu (rys. 157a) zast¹pimy, jak w poprzednich przypadkach, wiêzy nak³adane przez cz³ony x i y si³ami oddzia³ywania Px1 i Py2. Te nie znane si³y roz³o¿ymy na dwie ich sk³adowe: normalne (wzd³u¿ osi cz³onów) i styczne (prostopad³e do pierwszych). Tak dobrane kierunki sk³adowych pozwalaj¹ okreœliæ sk³adowe styczne Px1t i Px2t . wystarczy w tym celu u³o¿yæ dla ka¿dego cz³onu oddzielnie równanie momentów si³ wzglêdem wspólnego przegubu B. Mamy wtedy dla cz³onu (1) –Px1t · AB + P1· h1 + M1 = 0, a wiêc t

− Px1 =

P1 ⋅ h1 + M1 , AB

149

Rys. 157. Rozwi¹zania dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej z parametrami obrotowymi (wersja 2.3.0.A): a) dwucz³on ABC z obci¹¿eniem zewnêtrznym, b i c) wieloboki si³

dla cz³onu (2) Py2t· BC + P2· h2 + M2 = 0, a wiêc

Pyt2 =

P2 ⋅ h2 + M 2 . BC

W równaniach momentów nie wyst¹pi³y si³y sk³adowe Px1n i Py2n, gdy¿ ich ramiona dzia³ania s¹ równe zeru. Sk³adowe te mo¿na okreœliæ, rozpatruj¹c z kolei równowagê si³ ca³ej grupy n

t

t

n

Px1 + Px1 + P1 + P2 + Py 2 + Py 2 = 0. Równanie to, w którym wystêpuj¹ tylko dwie niewiadome Px1n , Py2n i to znane co do kierunku, mo¿na rozwi¹zaæ graficznie (rys. 157b). W tym celu prowadzimy znany kierunek n1 // AB i z dowolnego punktu N1 rozpoczynamy sumowanie kolejnych si³ Pxt1 , P1 , P2 i Py 2t . Z koñca N2 ostatniego wektora poprowadzony kierunek n2 // CB n n przetnie siê z n1 w punkcie N, wyznaczaj¹c szukane Py 2 = N 2 N i Px1 = N1 N . W n t ten sposób okreœlone Px1 = Px1 + Px1 i Py 2 = Py 2n + Py 2t , tworz¹ wraz z si³ami P1 i P2 wielobok si³ wyznaczaj¹cy równie¿ P12 = P21 (rys. 157c). Jest bowiem Px1 + P1 + P21 = 0 i P2 + Py 2 + P12 = 0

150 Wersja 2.3.0 postaæ B Tak jak w poprzednim przypadku i tu przy obci¹¿eniu dwucz³onu ABC jak na rys. 158a, nale¿y okreœliæ Px1, Py2 i P12. Jak ju¿ wiadomo, kierunek wypadkowej Px1 si³y oddzia³ywania w parze postêpowej jest znany. Si³ê oddzia³ywania Py2 roz³o¿ymy na normaln¹ Py2n wzd³u¿ prostej CB i styczn¹ Py2t do niej prostopad³¹, Korzystaj¹c z równania momentów wzglêdem punktu B obliczymy sk³adow¹ Py2t . Bêdzie Py2t · CB – M2 – P2· h2 = 0, czyli

Pyt2 =

P2 ⋅ h2 + M 2 . CB

Z warunku równowagi si³ n

t

Py 2 + Py 2 + P2 + P1 + Px1 = 0 mo¿na okreœliæ graficznie si³y Py2n i Px1 (rys. 158b). Ramiê hx1 si³y Px1 mo¿na znaleŸæ z równania momentów si³ przy³o¿onych do cz³onu (1) wzglêdem np. punktu B Px1· hx1 – P1· h1 – M1 = 0, sk¹d

hx1 =

P1 ⋅ h1 + M1 . Px1

Rys. 158. Rozwi¹zanie dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 2.3.0.C): a) dwucz³on ABC z obci¹¿eniem zewnêtrznym, b) wielobok si³

151 Tabela 9

152 Pozosta³¹ si³ê P12 = –P21 oddzia³ywania cz³onów w punkcie B mo¿na wyznaczyæ z warunku równowagi np. cz³onu (1)

P1 + Px1 + P21 = 0. Wersja 2.3.0, postacie A, B, C, D i E (cz³ony obci¹¿one tylko si³ami) Je¿eli momenty i si³y dzia³aj¹ce na cz³ony zredukowaæ do si³, tok postêpowania przy okreœlaniu si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych grup statycznie wyznaczalnych wersji 2.3.0 nie zmieni siê. Przy takim za³o¿eniu rozwi¹zanie tych grup zestawiono w tabeli 9. Wersja 2.3.0.F nie wystêpuje w mechanizmach 3 rodziny i zosta³a tutaj pominiêta. Wersja 4.6.0 postaæ A W p³askich mechanizmach dŸwigniowych (z parami ni¿szymi) doœæ czêsto mo¿na spotkaæ w³aœnie tê grupê wersji 4.6.0, postaci A – z parami obrotowymi.

Rys. 159. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 4.6.0): a) grupa z obci¹¿eniami zewnêtrznymi, b) wielobok si³

153 Wydzielaj¹c grupê tego typu (rys. 159a) z badanego mechanizmu zast¹pimy, jak w poprzednich przypadkach, wiêzy nak³adane przez cz³ony x, y, z, si³ami oddzia³ywania Px3, Py5 i Pz6. Te nie znane si³y roz³o¿ymy na dwie sk³adowe normalne (wzd³u¿ osi cz³onów) i styczne (prostopad³e do pierwszych). Tak dobrane kierunki sk³adowych pozwalaj¹ okreœliæ sk³adowe styczne Pxt3 , Pyt5 , Pzt6 . Wystarczy w tym celu u³o¿yæ dla ka¿dego cz³onu oddzielnie równanie momentów wzglêdem przegubów C, D i F. Mamy wtedy dla cz³onu (3) Px3t · BC – P3· h3 = 0, a wiêc

pxt3 = P3 ⋅

h3 , BC

dla cz³onu (5) Py5t · ED – P5· h5 = 0, a wiêc

pyt5 = P5 ⋅

h5 , ED

dla cz³onu (6) Pz6t · GF – P6· h6 = 0, a wiêc

pzt6 = P6 ⋅

h6 . GF

Jedn¹ z trzech si³ normalnych wyznaczymy, korzystaj¹c powtórnie z sumy momentów. W tym celu nale¿y poszukaæ takiego punktu, dla którego ramiona dwóch si³ normalnych bêd¹ równe zeru. Takim punktem jest jeden z trzech punktów Assura dla grupy III klasy, np. punkt R. Dla równania sumy momentów wzglêdem punktu R otrzymamy

Pxt3 ⋅ BR − P3 ⋅ h3 R − P4 ⋅ h4 + P5 ⋅ h5 R − Pyt5 ⋅ ER − P6 ⋅ h6 R + Pzt6 ⋅ h1 + Pzn6 ⋅ h2 = 0, a wiêc

Pzn6

t t − Pxt3 ⋅ BR + P3 ⋅ h3 R + P4 ⋅ h4 − P5 ⋅ h5 R − Py 5 ⋅ ER + P6 ⋅ h6 R − Pz 6 ⋅ h1 = + . h2 h2

Sk³adowe Pxn3 i Pyn5 mo¿na okreœliæ rozpatruj¹c równowagê si³ ca³ej grupy, a wiêc n

t

t

n

t

n

Px 3 + Px 3 + P3 + P4 + P6 + Pz 6 + Pz 6 + P5 + Py 5 + Py 5 = 0.

154 Równanie to, w którym wystêpuj¹ tylko dwie niewiadome Px3n i Py5n, i to znane co do kierunku, mo¿na rozwi¹zaæ graficznie (rys. 159b). Pozosta³e si³y oddzia³ywannia mo¿na obliczyæ z równowagi cz³onów: dla cz³onu (3)

Px3 + P3 + P43 = 0,

dla cz³onu (5)

Py5 + P5 + P45 = 0,

dla cz³onu (6)

Pz6 + P6 + P46 = 0.

Oczywiœcie, dla cz³onu (4) musi byæ

P34 + P4 + P54 + P64 = 0. Poprzestaj¹c na omówieniu tych przypadków wyra¿amy przekonanie, ¿e przyk³ady te powinny u³atwiæ stworzenie stosownej metody rozwi¹zywania kolejnych wersji i postaci grup statycznie wyznaczalnych.

10.2. Równowaga cz³onu czynnego Jak to wykazano w podrozdziale 10.1, grupy statycznie wyznaczalne charakteryzuj¹ siê tym, ¿e przy³¹czone parami wolnymi do podstawy tworz¹ uk³ad sztywny. Ruchliwoœæ ich W = 0, a zatem wydzielone z mechanizmu nie zmieniaj¹ ruchliwoœci pozosta³ej czêœci uk³adu mechanicznego. Wydzielaj¹c takie grupy z uk³adu a¿ do skutku, otrzymamy pozosta³oœæ w postaci jednego cz³onu lub grupy cz³onów napêdzaj¹cych. Najczêœciej cz³onem napêdzaj¹cym jest cz³on osadzony obrotowo w podstawie z przy³o¿onym napêdem w postaci momentu czynnego Mc (rzadziej si³y Pc) lub wchodz¹cy z podstaw¹ w parê postêpow¹ z napêdem w postaci si³y czynnej Pc. Poza tym cz³on napêdzaj¹cy mo¿e byæ obci¹¿ony jak ka¿dy inny si³ami zewnêtrznymi, bezw³adnoœci, ciê¿koœci i si³ami oddzia³ywania innych cz³onów. Najczêœciej wystêpuj¹ce rodzaje cz³onów czynnych omówiono w kolejnoœci. A. Cz³on obrotowo osadzony w podstawie z napêdem przy³o¿onym w postaci momentu Mc (rys. 160). Oznaczmy tradycyjnie podstawê przez (1), cz³on czynny przez (2), przez (3) natomiast cz³on mechanizmu, który tworzy po³¹czenie ruchowe z cz³onem czynnym. Cz³on czynny (2) obci¹¿ony jest znan¹ si³¹ P32 w punkcie B, nie znan¹ si³¹ P12 w punkcie A oraz nie znanym momentem Mc. Dla okreœlenia tego momentu dogodnie jest Mc zast¹piæ par¹ si³. Je¿eli cz³on (2) jest w równowadze, to jedna z si³ tej pary musi w punkcie B równowa¿yæ zewnêtrzn¹ si³ê P32, czyli P32 = − P32 . W ten sposób okreœlona jest równie¿ i druga si³a pary w punkcie A ( P21 = − P32 ) oraz ramiê h pary.

155

Rys. 160. Rozk³ad si³ na cz³onie czynnym obrotowym obci¹¿onym momentem Mc

Oczywiœcie Mc = P23· h oraz

P12 = − P21. Si³a P12 to si³a oddzia³ywania podstawy na cz³on czynny w pukcie A. B. Cz³on obrotowo osadzony w podstawie z napêdem przy³o¿onym w postaci si³y Pc (rys. 161). Przy znanej sile zewnêtrznej P32 nale¿y okreœliæ rc oraz si³y oddzia³ywania w punkcie A. Si³y te mo¿na okreœliæ zak³adaj¹c równowagê cz³onu (2). Otrzymamy

Rys. 161. Rozk³ad si³ na cz³onie czynnym obrotowym obci¹¿onym si³¹ Pc: a) cz³on czynny, b) plan si³

156

Rys. 162. Rozk³ad si³ na cz³onie czynnym w ruchu postêpowym a) cz³on czynny, b) plan si³

P12 + Pc + P32 = 0. Korzystaj¹c ze znajomoœci kierunków pozosta³ych si³ (linie tych trzech si³ w równowadze przecinaj¹ siê w jednym punkcie) znajdziemy ich modu³y z wieloboku si³ (rys. 161b). C. Cz³on w ruchu postêpowym wzglêdem podstawy z przy³o¿onym napêdem w postaci si³y Pc (rys. 162). Tu równie¿ nie znane dotychczas si³y Pc i P12 znajdziemy z równowagi cz³onu (2) (rys. 162b)

P32 + Pc + P12 = 0 ramiê h12 dzia³ania si³y P12 natomiast z równania momentów P12· h12 – Pc· hc = 0 lub graficznie korzystaj¹c z tego, ¿e linie trzech si³ w równowadze przecinaj¹ siê w jednym punkcie. Potrafimy wiêc ju¿ analizowaæ wydzielone z mechanizmu grupy statycznie wyznaczalne oraz pozosta³y w wyniku podzia³u cz³on czynny przy podstawie. Zalecaj¹c taki tok postêpowania przeœledŸmy go na prostym przyk³adzie (rys. 163).

10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych metod¹ energetyczn¹ Stosuj¹c poznan¹ metodê kinetostatyki mo¿na, przez wyznaczenie si³ oddzia³ywania we wszystkich parach kinematycznych, okreœliæ równie¿ si³y i momenty równowa¿¹ce. W celu okreœlenia tylko si³ i momentów równowa¿¹cych, wielkoœci niezbêd-

157

Rys. 163. Podzia³ mechanizmu na grupy statycznie wyznaczalne: a) mechanizm obci¹¿ony si³ami, b) wydzielenie cz³onu GH, c) wydzielenie grupy dwucz³onowej EFJ, d) wydzielenie grupy dwucz³onowej BCD

158 nych np. do ustalenia mocy napêdu, mo¿na skutecznie pos³u¿yæ siê prost¹ metod¹ opart¹ na zasadzie prac przygotowanych. W myœl tej zasady, suma prac przygotowanych si³ i momentów dzia³aj¹cych na cz³ony uk³adu mechanicznego w równowadze równa siê zeru. Mo¿na to zapisaæ nastêpuj¹co

∑ ( Pi ⋅ ∆ Si ⋅ cos α i + Mi ⋅ ∆ϕ i )

= 0,

(107)

gdzie: Pi , Mi – si³y i momenty si³, DSi , Dji – przesuniêcia przygotowane wyra¿one drog¹ liniow¹ S punktów przy³o¿enia si³ lub drog¹ k¹tow¹ j obci¹¿onych momentami cz³onów. Po podzieleniu wyra¿enia (107) przez Dt i przejœciu do granicy otrzymamy

∑ ( Pi ⋅ vSi ⋅ cos α i + Mi ⋅ ω i )

= 0,

(108)

gdzie vSi, wi – prêdkoœæ punktu przy³o¿enia si³y, prêdkoœæ k¹towa cz³onu obci¹¿onego momentem si³. Z zale¿noœci (108) mo¿na okreœliæ jedn¹ z si³, np. nie znan¹ si³ê równowa¿¹c¹ lub jeden z momentów, przy czym mo¿na tego dokonaæ analitycznie lub graficznie. Pozostaj¹c przy drugim sposobie, rozpatrzmy dowolny cz³on BC (rys. 164a) obci¹¿ony si³¹ P w punkcie D o znanej prêdkoœci vD. Obierzmy dowolny punkt jako biegun pv (rys. 164b), od³ó¿my z niego obrócon¹ o p/2 prêdkoœæ vD i do koñca tego wektora przenieœmy rozwijan¹ przez si³ê P (ND = P· vD· cos aD) mo¿na wyraziæ iloczynem P· h, w którym h = vD cos aD jest ramieniem si³y wzglêdem bieguna pv. Chwilow¹ moc si³y P mo¿na wiêc przedstawiæ w postaci pewnego „momentu" P· vD cos aD = P· h. To samo mo¿na powiedzieæ o mocach si³ dzia³aj¹cych na wszystkie inne cz³ony rozpatrywanego uk³adu mechanicznego, a zatem

Rys. 164. Ilustracja zasady dŸwigni ¯ukowskiego: a) cz³on BC obci¹¿ony si³¹ P, b) obrócony plan prêdkoœci obci¹¿ony si³¹ P

159

∑ ( Pi ⋅ vki ⋅ cos α i )

=

∑ ( Pi ⋅ hi ).

(109)

„Moment" obci¹¿aj¹cy cz³on mo¿na, jak pokazano na rys. 165a, zast¹piæ par¹ si³ i traktowaæ je jako si³y zewnêtrzne. Si³y takie przy³o¿one w odpowiednich punktach na planie predkoœci daj¹ moment zastêpczy M* = F· bc, ale poniewa¿

F =

M BC

wiêc

M* = ± M ⋅

bc . BC

(110)

Mo¿na wiêc obci¹¿enie cz³onu momentem M zast¹piæ odpowiednio dobran¹ par¹ si³ lub „momentem" zastêpczym Mx. Znak (+) jest aktualny, gdy zwroty wektorów bc i BC s¹ zgodne, znak (–), gdy zwroty s¹ przeciwne. Spostrze¿enia te wykorzystujemy do okreœlenia w prosty sposób si³ i momentów równowa¿¹cych w uk³adach mechanicznych. W tym celu nale¿y badanemu mechanizmowi przyporz¹dkowaæ odpowiedni obrócony w dowolnym kierunku i dowolnej podzia³ce wykreœlony plan prêdkoœci i w odpowiednich punktach obci¹¿yæ go si³ami zewnêtrznymi. Warunek równowagi uk³adu mechanicznego obci¹¿onego uk³adem si³ sprawdza siê, jak to wynika z równania (109), do równowagi momentów tych si³ liczonych wzglêdem bieguna pv, czyli równowagi obci¹¿onego planu prêdkoœci trak-

Rys. 165. Ilustracja zasady dŸwigni ¯ukowskiego: a) cz³on obci¹¿ony moentem M, b) obrócony plan prêdkoœci obci¹¿ony momentem M

160

Rys. 166. Okreœlanie si³y równowa¿¹cej S metod¹ prac przygotowanych: a) schemat kinematyczny mechanizmu, b) dŸwignia ¯ukowskiego

towanego jako dŸwignia sztywna obrotowa osadzona w biegunie. DŸwignia ta nosi nazwê dŸwigni ¯ukowskiego. Sposób korzystania z niej zilustrowano na nastêpuj¹cych przyk³adach: 1. Dany jest mechanizm ABC (rys. 166a) obci¹¿ony w punkcie D ³¹cznika znan¹ si³¹ FD. Nale¿y okreœliæ si³ê S, która przy³o¿ona do t³oka utrzyma mechanizm w równowadze. Zgodnie z opisan¹ metod¹ wykreœlono, po za³o¿eniu dowolnej prêdkoœci dowolnego punktu (np. B) w dowolnym kierunku, obrócony plan prêdkoœci (rys. 166b). W odpowiednich punktach (u nas w d i c) przy³o¿ono znan¹ si³ê FD i szukan¹ si³ê S. Równowaga dŸwigni zachodzi, gdy: –S· hS + FD· hF = 0, a zatem szukan¹ si³ê równowa¿¹c¹ mo¿na obliczyæ z zale¿noœæi

S = FD ⋅

hF . hS

Wartoœæ stosunku hF/hS mo¿na okreœliæ analitycznie lub, na podstawie rysunku 166b, graficznie. 2. W mechanizmie ABCD (rys. 167a) dana si³a S si³ownika równowa¿y moment bierny M4. Nale¿y okreœliæ ten moment. Sporz¹dzamy obrócony plan prêdkoœci (rys. 167b) i traktuj¹c go jako dŸwignie sztywn¹ obrotowo osadzon¹ w biegunie pv, obci¹¿amy si³ami S w punktach e i f oraz „momentem" zastêpczym M4*. Z równowagi takiej dŸwgini wynika, ¿e M4* + S· hE – S· hF = 0,

161

Rys. 167. Wyznaczanie momentu równowa¿¹cego M4 metod¹ energetyczn¹: a) schemat kinematyczny mechanizmu, b) dŸwignia ¯ukowskiego

czyli M4* = S(hF – hE) = S· h. Rzeczywisty moment M4 obliczymy z zale¿noœci (110). Otrzymamy *

M4 = M 4

DC , dc

162

11. Tarcie w parach kinematycznych Wyznaczaj¹c si³y oddzia³ywaia w parach kinematycznych zak³adano, jak dotychczas, idealne warunki wspó³pracy pó³par cz³onów uk³adów mechanicznych, a wiêc w obliczeniach nie uwzglêdniono oporów w postaci tzw. si³ tarcia, wystêpuj¹cych w ruchu wzglêdnym cz³onów. W rzeczywistoœci za³o¿enie takie jest czêsto niedopuszczalne, gdy¿ ró¿nice wynikaj¹ce z faktu istnienia si³ tarcia mog¹ byæ znaczne. Mog¹ one na ogó³ dotyczyæ zarówno modu³ów si³, jak i linii ich dzia³anmia. Innymi s³owy, tarcie ma wp³yw na rozk³ady si³ oddzia³ywania, na wartoœci si³ i momentów równowa¿¹cych, na sprawnoœæ i zu¿ycie. Tarcie w technice jest na ogó³ zjawiskiem niepo¿¹danym i d¹¿y siê do jego zmniejszania. S¹ jednak przypadki, gdzie si³y tarcia wykoTabela 10

163 rzystuje siê z po¿ytkiem (np. hamulce, sprzêg³a i przek³adnie cierne). Podjêty temat tarcia rozpatrzymy w aspekcie jego wp³ywu na si³y w parach kinematycznych. Rozpoczynaj¹c od krótkiego przypomnienia wiadomoœci elementarnych, w tabeli 10 zestawiono podstawowe pojêcia i podzia³y. W tabeli tej zaakcentowano, za pomoc¹ dodatkowych ramek (linia przerywana) przedmiot i kierunek naszych zainteresowañ. Pozostaj¹c dalej przy tarciu suchym technicznym, zwróæmy uwagê na z³o¿onoœæ zjawiska. Objawia siê ono oporem notowanym przy ruchu wzglêdem dwóch cia³ pozostaj¹cych ze sob¹ w kontakcie (rys. 168). Opór ten jest pochodzenia fizykomechanicznego i zale¿y od wielu czynników. Aby nawi¹zaæ do podstawowych pojêæ z tego zakresu, rozpatrzmy punktowy styk dwóch cia³ (1) i (2) (rys. 169a). Niech bêdzie cz³on (2) dociskany do cz³onu (1) z si³¹ Q i poddany dzia³aniu si³y F. W wyniku takiego obci¹¿enia w punkcie styku pojawiaja siê dwie si³y tarcia T12 i T21, przy czym

T12 = − T21. Ogólnie 0 < Tij < Tij, przy czym, zgodnie z przyjêtym i wykorzystywanym w technice prawem Coulomba-Amontosa, Tij = m· Q.

(111)

Wartoœæ wspó³czynnika tarcia m zale¿y od rodzaju stykaj¹cych siê cia³, stanu ich powierzchni, temperatury, ale równie¿, co siê czêsto pomija, od nacisków jednostkowych p, prêdkoœci ruchu wzglêdnego v, czasu styku itd. Przyk³ady charakterów przebiegów niektórych zale¿noœci uzyskanych podczas badania wybranych par tr¹cych przedstawiono na rys. 170. Wróæmy ponownie do rysunku 169. W wyniku pojawienia siê podczas ruchu si³y tarcia T12, ca³kowita si³a oddzia³ywania P12 = P12n + T12 tworzy z normaln¹ n–n w punkcie styku k¹t tarcia r (tg r = m). Zak³adaj¹c, ¿e mo¿na rozpatrywaæ dowolny kierunek ruchu wzglêdnego v21, w celu opisania kierunku si³y oddzia³ywania P12T oraz ruchu cz³onu przy danym obci¹¿eniu i wspó³czynniku tarcia, stosuje siê pojêcie tzw. sto¿ka tarcia o k¹cie wierzcho³kowym 2r (rys. 169b). Je¿eli linia dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on (2) ( P = Q + F ) bêdzie przebiegaæ przez wierzcho³ek i wewn¹trz tego sto¿ka (a < r), to wystêpuje tarcie nierozwiniête, charaktery-

Rys. 168. Ilustracja zjawiska si³y tarcia

164

Rys. 169. Ilustracja pojêæ z dziedziny tarcia: a) si³a tarcia i k¹t tarcia, b) strefa tarcia i sto¿ek tarcia

Rys. 170. Przebiegi zmian wspó³czynnika tarcia m: a) m(v), b) m(p), c) m(Ra)

zuj¹ce siê brakiem ruchu wzglêdnego; gdy linia dzia³ania si³y zewnêtrznej P pokrywa siê z jedn¹ z tworza¹cych pobocznicy sto¿ka (a = r), wówczas zachodzi równowaga (brak ruchu lub ruch jednostajny) i wreszcie, gdy linia ta przebiega poza sto¿kiem tarcia (a > r), si³a P wywo³uje ruch przyspieszony. W obu ostatnich przypadkach mówi siê o tarciu rozwiniêtym. Mówi siê równie¿ o tarciu izotropowym, gdy sto¿ek tarcia ma podstawê ko³ow¹ oraz o tarciu anizotropowym, gdy podstawa sto¿ka tarcia nie jest ko³owa. Ten ostatni przypadek zachodzi wtedy, gdy wspó³czynnik tarcia m zale¿y od kierunku ruchu. Odpowiednikiem sto¿ka tarcia jest podczas ruchu p³askiego tzw. strefa tarcia pokrywaj¹ca siê z osiowym przekrojem tego sto¿ka. Omówiony styk „punktowy" dwóch wspó³pracuj¹cych cz³onów wystêpuje teoretycznie tylko w parach wy¿szych. W przypadku styku dwóch cia³ w dwóch punktach, np. A i B (rys. 171), strefy UA i UB, nak³adaj¹c siê na siebie, tworz¹ tzw. wspóln¹ strefê tarcia UAB. Pojêcie to mo¿na

165

Rys. 171. Ilustracja wspólnej strefy tarcia UAB

stosowaæ do interpretacji skutków dzia³ania si³ zewnêtrznych. Na przyk³ad podczas obci¹¿enia cz³onu (2) si³¹ wypadkow¹ P2 mog¹ zachodziæ trzy przypadki: – gdy linia dzia³ania si³y P2 przechodzi przez wspóln¹ strefê tarcia (jak P2" na rys. 171), wtedy nie ma ruchu (samohamownoœæ), – gdy linia P2 nie przecina UAB (jak P2''' na rys. 171), cz³on (2) pod jej dzia³aniem jest w ruchu przyspieszonym, – gdy linia P2 jest styczna do UAB, wtedy jest równowaga (spoczynek lub ruch jednostajny).

11.1. Tarcie w parach postêpowych W parach postêpowych tworz¹ce je cz³ony maj¹ na ogó³ styk powierzchniowy. Luzy i niesymetryczne obci¹¿enie powoduj¹, ¿e styk ten koncentruje siê w okreœlonych rejonach – zwykla naro¿ach (rys. 172a). Stan naprê¿eñ w tych rejonach, zale¿y ogólnie od sposobu obci¹¿enia, cech geometrycznych i materia³owych pary, jest trudny do ujêcia iloœciowego. Z tego te¿ powodu, rozpatruj¹c w dalszym ci¹gu problemy si³ tarcia, pos³ugiwaæ siê bêdziemy rozwi¹zaniami modelowymi (rys. 172b), gdzie w wyniku odpowiedniego ukszta³towania prowadnicy lub suwaka s¹ jednoznacznie okreœlone miejsca styku. W miejscach tych (w czasie obci¹¿enia si³¹ P jak na rysunku) T i P T , podczas pojawiaj¹ siê ju¿ z za³o¿enia skupione si³y oddzia³ywania P12A 12C tarcia rozwiniêtego odchylone od normalnej o k¹t tarcia r. Gdy znane s¹ geometria pary, obci¹¿enie (np. wypadkowa P) oraz wartoœci k¹tów tarcia r, wówczas mo¿na ju¿ bez trudu okreœliæ omawiane si³y oddzia³ywania oraz efekty dzia³ania si³ zewnêtrznych, np. si³ê ST. W szczególnym przypadku punkty styku cz³onów (1) i (2) mog¹

166

Rys. 172. Si³y oddzia³ywania w parze postêpowej przy uwzglêdnieniu tarcia: a) w parze rzeczywistej, b) w parze modelowej

le¿eæ po jednej stronie pary (rys. 173). Wszystkie mo¿liwe przypadki mo¿na przeœledziæ na rys. 174, przez zmianê k¹ta a okreœlaj¹cego po³o¿enie wypadkowej P. Jak widaæ z rysunku, w zale¿noœci od wartoœci k¹ta a cz³on (2) obci¹¿ony tylko si³¹ P pozostaje w spoczynku (jak na rys. 174), w ruchu przyspieszonym lub równowadze. Kieruj¹c siê takimi spostrze¿eniami mo¿na ju¿ interpretowaæ sytuacjê obci¹¿eñ w dowolnym mechanizmie p³askim z parametrami postêpowymi. Rozpatrzmy przyk³ady: 1. Na rysunku 175 przedstawiono uk³ad dwukrzywkowy obci¹¿ony znana si³a biern¹ S oraz szukanym momentem czynnym McT wymuszj¹cym ruch cz³onu (2). Nale¿y okreœliæ wartoœæ momentu McT o raz si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych, uwzglêdniaj¹c tarcie w parach postêpowych (r – dane). Dla u³atwienia rozwi¹¿emy to zadanie na pocz¹tek bez uwzglêdniania si³ tarcia. Z równowagi cz³onu (3) napiszemy (dla r = 0)

167

Rys. 173. Si³y oddzia³ywania w modelowej parze postêpowej z uwzglêdnieniem tarcia

Rys. 174. Ilustracja efektu dzia³ania si³y P pod dowolnym k¹tem a

168

Rys. 175. Analiza si³owa mechanizmu z uwzglêdnieniem tarcia: a) schemat mechanizmu, b) plan si³ bez uwzglêdnienia si³ tarcia, c) plan si³ z uwzglêdnieniem si³ tarcia

P23 + P13 A + P13C + S = 0. Przy znanej sile S oraz znanych kierunkach pozosta³ych si³ (normalne do powierzchni styku) mo¿na znaleŸæ wszystkie trzy si³y (rys. 175b). Nale¿y w tym celu dodatkowo wykorzystaæ równanie momentów si³, np. wzglêdem punktu E. Po uwzglêdnieniu tarcia post¹pimy podobnie: równanie równowagi cz³onu (3) przyjmie postaæ T

T

T

P23 + P13 A + P13C + S = 0

Tu równie¿ kierunki dzia³ania si³ s¹ znane: s¹ odchylone od normalnych o k¹t tarcia r. (W ogólnym przypadku wartoœci k¹tów tarcia mog¹ byæ ró¿ne – tu za³o¿ymy wartoœci jednakowe: rA = rC = rE = r.) Po uwzglêdnieniu otrzymamy rozwi¹zanie przedstawione na rys. 175c. Wykorzystano tym razem kierunek linii Culmana ZT. Znajduj¹c miêdzy innymi si³ê P23T, mamy jednoczeœnie si³ê P21T w punkcie F T T ( P21 = − P23 ) oraz szukany moment McT (McT = P23T· h2). Jak widaæ z tego przyk³adu, ca³a istota uwzglêdniania si³ tarcia w parach postêpowych sprowadza siê do ustalania nowych kierunków (odchylone o k¹ty tarcia ri). W tym przyk³adzie ustalaj¹c kierunek si³y oddzia³ywania P23T rozumowano nastêpuj¹co. Gdy k¹t w2 jak na

169

Rys. 176. Si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych: a) schemat mechanizmu z naniesionymi si³ami, b) plan si³ (bez tarcia), c) plan si³ (z tarciem)

rysunku, nietrudno siê domyœleæ zwrotu prêdkoœci wzglêdnej v32 w punkcie E (rys. 175a), a wiêc i zwrotu si³y tarcia T23. Oznacza to, ¿e P23T odchyla sie w prawo wzglêdem n–n. T i P T (rys. 175a) pozostawia siê Czytelnikowi. Interpretacjê odchylenia si³ P13A 13C 2. Czêsto rzeczywiste punkty styku cz³onów w parze postêpowej znajduj¹ siê po jednej stronie. W takim przypadku zagadnienie uwzglêdniania tarcia upraszcza siê jeszcze bardziej. Z tak¹ sytuacj¹ spotykamy siê przyk³adowo w uk³adzie korbowo-wodzikowym (rys. 176a). Za³ó¿my, ¿e nale¿y okreœliæ moment czynny M2T, niezbêdny do pokonania zadanej si³y biernej S z uwzglêdnieniem tarcia tylko w parze postêpowej (1–4). Tym razem z ³atwego do przewidzenia kierunku si³y P34 (cz³on (3) jest tylko œciskany) wynika, ¿e cz³on (4) wspó³pracuje (w tym po³o¿eniu) z cz³onem (1) po powierzchni dolnej. Wypadkowa P14T si³ oddzia³ywania cz³onów (1) i (4) przechodzi przez punkt C i jest odchylona od P14 o k¹t r. Po takich ustaleniach otrzymamy rozwi¹zanie, rozpatruj¹c w równowadze cz³on (4) bez tarcia (rys. 176b) i z tarciem (rys. 176c).

11.2. Tarcie w parach obrotowych Linia dzia³ania wypadkowej nacisków w parze obrotowej w warunkach teoretycznych przebiega bez tarcia przez punkt styku i wzd³u¿ normalnej, czyli przez œrodek czopa. W rzeczywistoœci w miejscu styku (rys.177) wystêpuje si³a tarcia T21 = −T12 , która dzia³aj¹c na ramieniu r daje moment tarcia M 21T = − M12T . Je¿eli przez P12T

170 oznaczyæ wypadkow¹ sk³adowej si³y normalnej N21 i si³y tarcia T21 ( P = N + T ) , to wystêpuj¹cy moment tarcia mo¿na ogólnie wyraziæ MT = T· r = N· m· r = P· h,

(112)

gdzie: r – promieñ czopa, m – wspó³czynnik tarcia œlizgowego w parze obrotowej, h – promieñ ko³a tarcia. Jak wiadomo z mechaniki m' = 1, 57m dla czopa niedotartego, m' = 1,27m dla czopa dotartego. Po uwzglêdnieniu, ¿e

P =

N 2 + T 2 = N 1 + µ '2 ,

otrzymamy po podstawieniu do (112)

MT =

P rµ ' 1+ µ2

= P ⋅ h,

st¹d

h =

rµ ' 1+ µ2

≅ rµ '.

(113)

T wskutek tarcia nie przeJak z tego wynika, linia dzia³ania si³y oddzia³ywania P21 chodzi przez œrodek czopa, lecz w odleg³oœci h, która zale¿y od promienia czopa r oraz wspó³czynnika m' tarcia œlizgowego w parze obrotowej. Poniewa¿ kierunek si³y P mo¿e byæ dowolny, dogodnie jest operowaæ pojêciem tzw. ko³a tarcia zakreœlone-

Rys. 177. Si³y oddzia³ywania w parze obrotowej z uwzglêdnieniem tarcia. Ko³o tarcia

171 go wspó³œrodkowo promieniem h. Pos³uguj¹c siê tym pojciem mo¿na powiedzieæ, ¿e podczas tarcia rozwiniêtego si³a oddzia³ywania P w parze obrotowej przebiega stycznie do ko³a tarcia. Ostatnie spostrze¿enie jest prawdziwe, lecz ma³o precyzyjne, gdy¿ nie okreœla w ogóle punktu stycznoœci. Ten ostatni ustalaj¹ jednoznacznie kierunek i zwrot si³y oddzia³ywania oraz k¹tow¹ prêdkoœæ wzglêdn¹ rozpatrywanych cz³onów tworz¹cych omawian¹ parê. Zagadnienie to, bardzo istotne w analizie si³, zostanie wyjaœnione na przyk³adzie. Nale¿y okreœliæ si³ê S równowa¿¹c¹ si³ê ciê¿koœci Q dŸwigni (2) obrotowo osadzonej na nieruchomym sworzniu (1) – rys. 178. Bez uwzglêdniania tarcia szukan¹ si³ê S okreœlono by jak na rys. 178a. Wypadkowa P21 przechodzi wtedy przez punkt H i œrodek czopa O. W rzeczywistych warunkach tarcia w parze obrotowej si³a ST ¹ S, o czym mo¿na wnosiæ, na tej podstawie, ¿e w stosunku do pierwotnego bêdzie inny kierunek wypadkowej P21T. Linia jej dzia³ania, przechodz¹c przez ten sam punkt H, bedzie jednoczeœnie styczn¹ do ko³a tarcia (rys. 178b), zakreœlonego wyznaczonym promieniem h ze œrodka czopa O. W tym przypadku jednak dwa kierunku, a mianowicie kierunki a i b, spe³niaj¹ ten sam warunek. W³aœciwy z nich mo¿na okreœliæ po ustaleniu kierunku ruchu wzglêdnego. Je¿eli za³o¿yæ, ze u nas k¹t w21 ma zwrot zgodny z ruchem wskazówek zegara, to nietrudno ustaliæ, ¿e w³aœciwym kierunkiem jest kierunek b, gdy¿ wtedy tylko wypadkowa si³ zewnêtrznych P21T, dzia³aj¹c na ramieniu h, daje moment M21T zgodny z ruchem. Do tego samego wyniku mo¿na dojœæ równie¿ na podstawie tzw. zasady najmniejszego skutku u¿ytecznego, która podaje, ¿e spoœród wszystkich mo¿liwych

Rys. 178. Przyk³ad okreœlania si³y równowa¿¹cej S dzia³aj¹cej na dŸwigniê obrotow¹: a) bez uwzglêdnienia tarcia, b) z uwzglêdnieniem tarcia w parze obrotowej

172 uk³adów kierunków stycznych do kó³ tarcia realizuje siê ten, przy którym skutek u¿yteczny jest najmniejszy. W naszym przypadku oczywiœcie zachodzi to dla b, gdy¿ wtedy skutek u¿yteczny – si³a ST'' – jest najmniejsza (ST''< ST'). Zasada najmniejszego skutku u¿ytecznego mo¿e okazaæ siê czasem k³opotliwa w stosowaniu, zw³aszcza dla wiêkszej liczby mo¿liwych kombinacji kierunków, dlatego zaleca siê przede wszystkim, omówion¹ ju¿ na przyk³adzie, zasadê zgodnoœci momentu od si³y oddzia³ywania z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ruchu wzglêdnego. Stosuj¹c omówione zasady rozwi¹¿emy dwa przyk³ady. 1. W mechanizmie ABCD (rys. 179a) obci¹¿onym znanym momentem czynnym Mc okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment bierny MTb , uwzglêdniaj¹c tarcie w parach obrotowych. W pierwszej kolejnoœci rozwi¹¿emy zadanie bez uwzglêdnienia tarcia. W naszym przypadku, przy œciskanym tylko cz³onie (3), znane s¹ kierunki si³ P23 i P43 (wzd³u¿ cz³onu BC), a wiêc z równowagi cz³onu (2) i (4) równie¿ ich modu³y Mc = P23· h2, Mb = P43· h4. Oczywiœcie P21 = − P12 = P32 = − P23 ,

P41 = − P14 = P34 = − P43 . Po uwzglêdnieniu tarcia w parach obrotowych, obliczamy wed³ug zale¿noœci (113) promienie kó³ tarcia (zak³adamy znajomoœæ promieni czopów i wystêpuj¹cych w parach wspó³czynników tarcia m’) i wrysowujemy ko³a tarcia (rys. 179b). W wyniku analizy kinematycznej okreœlamy przy za³o¿eniu zwrotu k¹ta w21, zwroty wzglêdnych prêdkoœci k¹towych. Zwroty tych prêdkoœci, wraz ze znanymi ju¿ zwrotami si³ oddzia³ywania (bez tarcia), umo¿liwi¹ okreœlenie w³aœciwych kierunków linii dzia³ania si³ w warunkach rzeczywistych. Zastosujemy w tym celu omówion¹ zasadê zgodnoœci momentów si³ czynnych w parze ze zwrotem wzglêdnej prêdkoœci k¹towej. Zilustrujemy tê zasadê na przyk³adzie pary C. Otó¿ ruch cz³onu (3) wzglêdem cz³onu (4) pokazany na rysunku strza³k¹ w34, powstaje na skutek dzia³ania si³y P34T. Oznacza to, ¿e linia dzia³ania tej si³y musi przebiegaæ stycznie do ko³a tarcia. Okreœlone w podobny sposób miejsca stycznoœci nna pozosta³ych ko³ach tarcia umo¿liwi¹ ostatecznie dok³¹dne ju¿ przeprowadzenie poszukiwanych linii dzia³ania si³. Po znalezieniu w ten sposób nowych ramion h2T i h4T znajdziemy bez trudu modu³y si³. Oczywiœcie MTb = P43T· h4T. to samo zadanie mo¿na rozwi¹zaæ równie¿ metod¹ najmniejszego skutku u¿ytecznego. Wrysowujemy okreœlone poprzednio ko³o tarcia i kieruj¹c sie rozwi¹zaniem zadania bez uwzglêdnienia tarcia (rys. 179a) wykreœlamy wszystkie formalnie mo¿liwe

173

Rys. 179. Analiza si³ oddzia³ywania w czworoboku przegubowym: a) si³y oddzia³ywania bez tarcia, b) si³y oddzia³ywania z tarciem okreœlone metod¹ zgodnoœci momentu czynnego w parze z k¹tow¹ prêdkoœci¹ wzglêdn¹, c) si³y oddzia³ywania z tarciem okreœlone z zasady najmniejszego skutku u¿ytecznego

174 kierunki (a, b, c i d) si³y P23T (rys. 179c) oraz odpowiadaj¹ce im mo¿liwe linie dzia³aT. nia si³ P21T i P41 Rzeczywiœcie realizujace siê w uk³adzie kierunki rozpatrywanych si³ ustalimy pamiêtaj¹c, ¿e „skutek” MTb dzia³ania momentu Mc musi byæ najmniejszy spoœród wszystkich teoretycznie mo¿liwych. Oznacza to w naszym przypadku, ¿e ramiê h2T momentu czynnego Mc musi byæ najwiêksze (wtedy P23T = P34T = minimum), ramiê h4T zaœ najmniejsze. Prowadzi to do rozwiazania przedstawionego na rys. 179c. 2. W zadanym mechanizmie (rys. 180) o znanych si³ach zewnêtrznych P3 i P4 okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment czynny McT, uwzglêdniaj¹c tarcie w parach kinematycznych obrotowych. Jak w zadaniach poprzednich, rozpoczniemy i tym razem od rozwiazania zagadniennia bez uwzglednienia tarcia. Wydzielaj¹c z uk³adu dwucz³on (3) i (4), o znanych obci¹¿eniach zewnêtrznych, stwierdzamy, ¿e jest to grupa statycznie wyznaczalna (spe³niony warunek (113)).P odobnie jak w punkcie 10.1.1 wersja 2.3.0, postaæ A, okreœlamy si³y oddzia³ywania P23, P34 i P14 w parach kinematycznych B, C i D. Na rysunku 181a przedstawiono wydzielon¹ grupê statycznie wyznaczaln¹, na rys. 181b plan si³. Równowagê cz³onu czynnego (2) (rys. 181c i d) mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co

P12 + P32 = 0, Mc = P23· h2. Zak³adajac kierunek ruchu cz³onu (2), zgodny z momentem czynnym Mc, mo¿na okreœliæ zwroty k¹towych prêdkoœci wzglêdnych, pokazanych na rys. 182a.

Rys. 180. Czworobok przegubowy ABCD obci¹¿ony znanymi si³ami P3 i P4 oraz momentem równowa¿¹cym Mc

175 Obecnie mo¿na ju¿ przyst¹piæ do rozwi¹zania zadania z uwzglêdnieniem tarcia. Przede wszystkim obliczamy promienie kó³ tarcia wed³ug zale¿noœci (113) oraz – po uwzglêdnieniu podzia³ki rysunku – wykreœlamy ko³a tarcia w poszczególnych parach. Linie si³ oddzia³ywania, przechodz¹ce dotychczas przez œrodki przegubów, bêd¹ teraz przebiegaæ stycznie do wrysowanych kó³ tarcia. Aby ustaliæ w³aœciwy kierunek, wykorzystamy zwroty si³ (z planu si³ bez tarcia) oraz zwroty wzglêdnych prêdkoœci k¹towych. Pogrubione na rysunku 182a odcinki kó³ tarcia pokazuj¹ mo¿liwe miejsca stycznoœci linii dzia³ania si³ oddzia³ywania po uwzglêdnieniu tarcia w parach kinematycznych. Opieraj¹c siê dalej na grupie statycznie wyznaczalnej, z³o¿onej z cz³onów (3) i (4), mo¿emy zapisaæ równowagê cz³onu (3) T

T

T

T

P23 + P3 + P43 = 0,

(114)

oraz cz³onu (4)

P14 + P4 + P34 = 0.

(115)

Rys. 181. Okreœlenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180 bez tarcia: a) grupa statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³, c) cz³on czynny, d) rozk³ad si³ w parach cz³onu czynnego

176 Si³y P14T i P23T nie mo¿na, jak poprzednio, roz³o¿yæ na sk³adowe styczne i normalne, poniewa¿ nie s¹ znane ich punkty przy³o¿enia. W tej sytuacji zastosujemy pewien specjalny graficzny sposób postêpowania. Na cz³on (3) w równowadze dzia³aj¹ trzy si³y zewnêtrzne, których linie dzia³ania przecinaj¹ siê w jednym punkcie. Za³ó¿my, ¿e dla cz³onu (3) bêdzie to punkt K'. T wynika punkt L' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³aZ kierunku si³y P43 j¹cych na cz³on (4). Na rysunku 182b wykreœlono plan si³. Jak wynika z planu si³, T T grupa nie jest w równowadze, poniewa¿ P43 + P34 ≠ 0 . Sile P43T' odpowiada w podzia³ce odcinek OMb, sile P34T' zaœ odcinek MaO. W tej sytuacji za³o¿ymy nowy punkt K'' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on (3). Dla cz³onu (4) otrzymamy wtedy odpowiedni punkt L'' i kolejne rozwi¹zanie (nie pokazane na rysunku). Je¿eli zabiegi te powtórzymy wielokrotnie, to koñce Mb si³y T wyznacz¹ krzyw¹ b, natomiast pocz¹tki M si³y P T krzyw¹ a. Punkt M przeciêcia P43 a 34 T T obydwu krzywych spe³nia warunek P43 + P34 = 0 . £¹cz¹c punkt M z punktem O otrzymamy kierunek, modu³ i zwrot si³y oddzia³ywania P43T, natomiast z poczatkiem si³y P3 – kierunek, modu³ i zwrot si³y P23. Po³¹czenie punktu M z koñcem si³y P4

Rys. 182. Okreœlenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180 z uwzglêdnieniem tarcia: a) grupa statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³, c) cz³on czynny AB, d) rozk³ad si³ w parach cz³onu czynnego

177 T. Tym samym wyznaczono wszystkie si³y wyznacza kierunek, modu³ i zwrot si³y P14 oddzia³ywania w parach kinematycznych grupy z uwzglêdnieniem tarcia. Równowagê cz³onu czynnego zapiszemy nastêpuj¹co (rys. 182d) T

T

P32 + P12 = 0, McT = P23T· h2T . Wartoœæ h2T mo¿na odczytaæ z rysunku 182c. Omawiaj¹c metodê uwzglêdnienia tarcia w parach obrotowych za pomoc¹ kó³ tarcia nale¿y zaznaczyæ, ¿e zjawisko tarcia w analizie dynamicznej mo¿na w niektórych przypadkach pomin¹æ po dokonaniu wstêpnej oceny jego wp³ywu na wynik poszukiwañ. W wielu przypadkach, zw³aszcza w mechanizmach o zwartej budowie pracuj¹cych w pobli¿u po³o¿eñ zwrotnych, wp³yw tarcia w parach kinematycznych obrotowych na wartoœæ wystêpuj¹cych si³ mo¿e byæ znaczny. W szczególnoœci tarcie w parach obrotowych mo¿e byæ powodem pojawienia siê niedopuszczalnych przeci¹¿eñ, a nawet mo¿e doprowadziæ do unieruchomienia uk³adu (po³o¿enie martwe).

11.3. Tarcie w parach wy¿szych W rzeczywistych mechanizmach ruch wzglêdny cz³onów tworz¹cych parê kinematyczn¹ wy¿sz¹ przejawia siê w formie poœlizgu, toczenia z poœlizgiem lub toczenia. Przeanalizujemy ostatnie zjawisko. Tarcie toczne Podczas przetaczania siê cia³a sprê¿ystego po pod³o¿u sprê¿ystym wystêpuje z³o¿one zjawisko odkszta³cenia siê tych cia³ w miejscu styku (rys. 183). W wyniku tego zjawiska miêdzy innymi pojawia siê opór toczenia. Do jego pokonania nale¿y przy³o¿yæ pewna si³ê F równoleg³¹ do kierunku ruchu. Si³a ta, dzia³aj¹c ogólnie na ramieniu h, daje moment

Rys. 183. Tarcie toczne

178 Mc = F· h,

(116)

który równowa¿y moment oporu Mb pochodz¹cy od si³y docisku Q. Moment bierny wyra¿a siê Mb = Q · f

(117)

gdzie f – odleg³oœæ linii dzia³ania si³y Q od linii dzia³ania wypadkowej si³ oddzia³ywania P12. Wielkoœæ f, mierzona w centymetrach, nosi nazwê wspó³czynnika tarcia tocznego. Z porównania prawych stron równoœci (116) i (117) otrzymujemy F · h = Q · f, czyli

F = Q

f . h

(118)

Z otrzymanego wzoru (118) wynika, ¿e modu³ si³y F zale¿y zarówno od warunków toczenia reprezentowanych przez wspó³czynnik f, jak równie¿ od punktu przy³o¿enia si³y czynnej. W czasie poœlizgu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) w miejscu ich styku pojawi³aby siê poznana ju¿ si³a tarcia œlizgowego T12 = Q· m

(119)

Po uwzglêdnieniu (118) i (119) mietrudno zauwa¿yæ, ¿e czyste toczenie bêdzie zachodziæ, gdy F < T12, czyli tzn., gdy

f < µ. h

(120)

Zwykle interesujemy siê ko³owymi elementami tocznymi z przy³o¿on¹ si³¹ czynn¹ w œrodku ko³a h = r. Wtedy warunek toczeniia (114) przyjmie postaæ

f < µ. r

(121)

W niektórych parach, np. w punkcie styku elementów ciernych przek³adni ciernych, mo¿e wyst¹piæ jednoczeœnie tarcie toczne z poœlizgiem. Wtedy wypadkowa si³a oddzia³ywania przesunie siê o wartoœæ wspó³czynnika tarcia f i odchyli o k¹t tarcia r.

12. Bilans energetyczny maszyny Rozpatruj¹c ca³kowity czas ruchu maszyny liczony od rozpoczêcia tego ruchu do jego zakoñczenia mo¿emy wyró¿niæ: a) rozruch, b) ruch ustalony, c) wybieg (hamowanie). Etapy te zilustrowano na rysunku 184 na przyk³adzie przebiegu prêdkoœci k¹towej w g³ównego wa³u maszyny. 1. W okresie rozruchu po ka¿dym cyklu wzrasta prêdkoœæ, a wiêc i energia kinetyczna E maszyny. Dla ka¿dego cyklu w tym okresie E – E0 > 0, gdy¿ praca si³ napêdowych przewy¿sza pracê oporów (jej nadmiar powoduje zwiêkszanie energii kinetycznej maszyny). 2. W ruchu ustalonym jest po ka¿dym cyklu E = E 0, co oznacza, ¿e dla pe³nego cyklu ruchu lub jego wielokrotnoœci praca si³ napêdowych jest równa sumie pracy u¿ytecznej i pracy oporów szkodliwych. W ramach ka¿dego cyklu ruchu ustalonego mo¿liwe s¹ zmiany energii kinetycznej E i prêdkoœci maszyny, spowodowane np. okresowymi zmianami si³ napêdowych.

Rys. 184. Okresy ruchu maszyny

180 Zmiany te mog¹ byæ nieznaczne, np. w maszynach wirnikowych lub du¿e, np. w jednocylindrowym czterosuwowym silniku spalinowym. W ruchu ustalonym nastêpuj¹ wahania prêdkoœci wokó³ wartoœci œredniej odpowiadaj¹cej danym warunkom ruchu ustalonego. Ruch maszyny powtarza siê przy tym identycznie w ka¿dym cyklu. 3. W okresie wybiegu (hamowania) E – E0 < 0 mamy do czynienia ze zmniejszaj¹c¹ siê prêdkoœci¹ a¿ do osi¹gniêcia spoczynku. Maszyna zatrzyma siê, gdy ca³a energia ruchu ustalonego zostanie zu¿yta na pokonanie oporów u¿ytecznych i szkodliwych. W celu skrócenia czasu zatrzymania powiêksza siê dodatkowo opory, np. przez zastosowanie hamulca.

12.1. Równanie energii Ogólnym przeznaczeniem maszyny jest wykonywanie pewnych operacji technologicznych, jak w maszynach roboczych, lub przekszta³canie energii w silnikach i generatorach. Te procesy energetyczne odbywaj¹ siê w maszynie z uddzia³em mechanizmu lub zespo³u po³¹czonych ze sob¹ mechanizmów. Cz³ony w tych uk³adach uczestnicz¹ w transformowaniu i przekazywaniu si³ z cz³onów napêdzaj¹cych na cz³ony bierne, czyli obci¹¿one si³ami oporu. Nie ca³a jednak praca si³ czynnych zostaje wykorzystana do zamierzonych celów u¿ytecznych. Czêœæ energii zostaje zu¿yta na pokonanie towarzysz¹cych ruchom oporów tarcia (oporów oœrodka, si³ tarcia w parach kinematycznych) i rozprasza siê w otoczeniu w postaci ciep³a, czêœæ zaœ gromadzi siê w samym mechanizmie jako energia kinematyczna, a czasem tak¿e potencjalna. W tym œwietle bilans energetyczny maszyny przyjmie ogóln¹ postaæ: E D = E u + E T ± E K ± EP lub LD = Lu + LT ± LK ± LP,

(122)

gdzie: LD – dodatnia praca si³ dzia³aj¹cych na cz³ony mechanizmu (praca dostarczona), Lu – praca oporów technologicznych (praca u¿yteczna), LT – praca si³ tarcia i innych oporów szkodliwych, LK – praca dostarczona na koszt zwiêkszenia lub zmniejszenia energii kinetycznej lub, ujmuj¹c rzecz inaczej, praca dostarczona na pokonanie si³ bezw³adnoœci, LP – praca dostarczona na zwiêkszenie lub zmniejszennie energii potencjalnej (energii grawitacyjnej, sprê¿ystoœci itp.). Z bilansu prac mo¿na przejœæ równie¿ do bilansu mocy ND = Nu + NT ± NK ± NP . Znaczenie poszczególnych indeksów jak we wzorze (122).

(123)

181 W ramach jednego cyklu ruchu ustalonego ca³kowita praca LK wykorzystana na zmianê energii kinetycznej równa siê zeru (LK = 0). Równie¿ praca LP wykorzystana na zmianê energii potencjalnej odniesionej tylko do enregii si³ grawitacyjnych równa sie w takim czasie zeru. Oznacza to, ¿e dla jednego cyklu lub ca³kowitej liczby cykli ruchu ustalonego mo¿na równanie (122) i (123) zapisaæ w postaci LD = LU + LT

(124)

ND = NU + NT .

(125)

oraz

12.2. Sprawnoœæ mechaniczna maszyny Efektywnoœæ wykorzystania pracy si³ czynnych w postaci pracy u¿ytecznej mo¿e byæ w praktyce bardzo ró¿na. Zwykle okreœla siê j¹ tzw. sprawnoœci¹, przy czym iloœciow¹ stronê tego zagadnienia ujmuje bezwymiarowy wspó³czynnik sprawnoœci wyra¿ony stosunkiem pracy u¿ytecznej do pracy dostarczonej. W dostatecznie d³ugim czasie ruchu ustalonego lub w czasie równym wielokrotnoœci okresu T mo¿na wspó³czynnik sprawnoœci h wyraziæ w postaci

η =

EU L , η = U ED LD

(126)

lub jego wspó³czynnik sprawnoœci chwilowej hch

η ch =

NU . ND

(127)

Korzystaj¹c z równania (124) wspó³czynnik sprawnoœci h mo¿na wyraziæ równie¿ w postaci

η =

LD − LT L Lu . = 1− T , η = LD LD Lu + LT

(128)

Zwróæmy bli¿sz¹ uwagê na sk³adniki LT i Lu. Jak ju¿ powiedziano, LT reprezentuje pracê oporów oœrodka i si³ tarcia w parach kinematycznych. Te ostatnie si³y s¹ uwarunkowane obci¹¿eniem wêz³ów wywo³anym si³ami czynnymi Fc, si³ami oporów u¿ytecznych Fu, si³ami bezw³adnoœci Pb, si³ami ciê¿koœci G i inymi si³ami szczególnymi, jak wciski czy opory wstêpne. Ju¿ z tego wyliczenia widaæ, ¿e zawsze LT > 0. Z kolei praca u¿yteczna LU jest zwykle zmienna co do wielkoœci, a w szczególnoœci mo¿e osi¹gaæ nawet wartoœæ zero (bieg luzem).

182 Dla wyra¿enia skali zaistnia³ych strat pracy na tarcie (LT) stosuje sie czasem równie¿ pojêcie tzw. wspó³czynnika strat (j) okreœlonego stosunkiem pracy si³ tarcia do pracy dostarczonej

ϕ =

LT . LD

(129)

Po podzieleniu równania (124) przez LD otrzymamy

1 =

LU LT + lub 1 = η + ϕ . LD LD

Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e 0 < h < 1 i 0 < j < 1. Ruch maszyny jest mo¿liwy tylko wtedy, gdy h > 0. Przypadek h < 0 oznacza samohamownoœæ, czyli brak ruchu. Je¿eli mo¿liwy jest ruch maszyny, to jej sprawnoœæ zale¿y od bardzo wielu czynników, miêdzy innymi – co trzeba podkreœliæ – równie¿ od prêdkoœci jej ruchu i obci¹¿enia. Wzrost prêdkoœci przy tym samym obci¹¿eniu powoduje, ze wzglêdu na wzrost si³ bezw³adnoœci, spadek sprawnoœci, wzrost zaœ obci¹¿enia (praca u¿yteczna LU) przy tej samej prêdkoœci – zrozumia³y wzrost sprawnoœci. Wspó³czynnik sprawnoœci maszyny mo¿na okreœliæ wzglêdnie dok³adnie jedynie w wyniku bezpoœredniego pomiaru dwóch spoœród trzech sk³adników pracy LD, LU, LT lub mocy ND, NU, NT . Pomiary tych elementów to oddzielne i z³o¿one zagadnienie, wymagajace oprzyrz¹dowania, a czêsto i pomys³owoœci. Wspó³czynnikiem sprawnoœci maszyny interesujemy siê jednak ju¿ w fazie jej projektowania, d¹¿¹c do utrzymania tego wskaŸnika w mo¿liwie maksymalnych granicach wartoœci. Nale¿y pamiêtaæ, ¿e o ca³kowitej sprawnoœci maszyny decyduj¹ sprawnoœci poszczególnych mechanizmów sk³adowych, przy czym, wp³yw sprawnoœci mechanizmów sk³adowych na wynik koñcowy zale¿y od struktury samej maszyny, czyli po prostu od sposobu po³¹czenia tych mechanizmów. Sprawnoœæ maszyny o szeregowym po³¹czeniu mechanizmów Niech rozpatrywana maszyna sk³ada siê z n mechanizmów po³¹czonych ze sob¹ szeregowo (rys. 185). W takim przypadku praca u¿yteczna (LU) ka¿dego poprzedniego mechanizmu jest prac¹ si³ napêdowych (LD) ka¿dego nastêpnego. Sprawnoœci poszczególnych mechanizmów mo¿na wiêc przedstawiæ w postaci:

η1 =

LU 1 LD

, η2 =

LU 2 LU1

,K ,η n =

Poniewa¿ ca³kowita sprawnoœæ maszyny wynosi u nas

LU n

LU n−1

.

(130)

183

Rys. 185. Rysunek pomocniczy do wyznaczania sprawnoœci maszyny przy po³¹czeniu szeregowym podzespo³ów

η=

LU n LD

,

otrzymamy po wykorzystaniu (130) i przekszta³ceniach h = h1· h2...hn lub krótko

η = ∏ ηi .

(131)

Sprawnoœæ maszyny o równoleg³ym po³¹czeniu mechanizmów Czysty przypadek równoleg³ego po³¹czenia mechanizmów w maszynie przedstawiono obrazowo na rysunku 186. Je¿eli przez ki oznaczyæ wspó³czynniki rozp³ywu mocy, przy czym

∑ ki = 1, to LDi = LD· ki oraz LUi = LU· ki· Di Z rysunku wynika, ¿e

LU = ∑ LUi = ∑ LD ⋅ ki ⋅ ηi . a wiêc ca³kowit¹ sprawnoœæ h mo¿na wyraziæ

η=

LU LD ⋅ ∑ ki ⋅ ηi , = LD LD

184

Rys. 186. Rysunek pomocniczy do wyznaczania sprawnoœci maszyny przy równoleg³ym po³¹czeniu jej podzespo³ów

czyli

η = ∑ ki ⋅ η i .

(132)

Ze wzoru (132) wynika, ¿e sprawnoœæ ogólna maszyny przy równoleg³ym po³¹czeniu mechanizmów zale¿y w znacznej mierze od samego rozdzia³u strumienia energii w maszynie. Nale¿y zaznaczyæ, ¿e omówiony „czysty przypadek równoleg³ego po³¹czenia mechanizmów” w maszynie wystêpuje zwykle rzadko, a z regu³y mamy do czynienia z przypadkami po³¹czeñ szeregowo-równoleg³ych, które ju¿ jednak nie wymagaj¹ oddzielnego omawiania.

12.3. Okreœlanie sprawnoœci mechanizmów Jak ju¿ powiedziano, do oceny wspó³czynnika sprawnoœci ca³ej maszyny w fazie jej projektowania niezbêdna jest znajomoœæ sprawnoœci poszczególnych mechanizmów sk³adowych. Teoretyczne okreœlenie wspó³czynnika sprawnoœci, nawet najprostszego mechanizmu, jest zwykle k³opotliwe i mo¿liwe do wykonania tylko z okreœlonym przybli¿eniem. Ogólna metoda rozwi¹zywania postawionego zagadnienia jest w³aœciwie prosta, bo, jak sugeruj¹ przeprowadzone ju¿ rozwa¿ania, polega na wyznaczeniu pracy

185

Rys. 187. Si³y oddzia³ywania w parze postêpowej z uwzglêdnieniem tarcia

lub mocy doprowadzonej do maszyny oraz pracy lub mocy traconej na pokonanie oporów nieu¿ytecznych. Najbardziej uci¹¿liwe jest w³aœnie ustalenie tych ostatnich elementów. Okreœlenie mocy traconej ju¿ tylko w parach kinematycznych wymaga, nawet przy za³o¿eniu licznych uproszczeñ, przeprowadzenia gruntownej analizy kinematycznej i kinetostatycznej. Ilustruj¹ to nastêpuj¹ce proste przyk³ady. Moc tracon¹ na pokonanie oporów tarcia w ni¿szej parze postêpowej z³o¿onej z cz³onów k i l (rys. 187) mo¿na wyraziæ wzorem NTp = Tkl· vkl = PklT sin r· vkl , dla pary obrotowej zaœ (rys. 188) NTo = MTkl· wkl = PklT · h· wkl = Pkl· m'·r· wkl Wystêpuj¹ce w tych wzorach si³y nale¿y wyznaczyæ, zak³adaj¹c przewidywany stan obci¹¿eñ uk³adu, prêdkoœci wzglêdne zaœ – przyjmuj¹c przewidywany ruch ogniwa g³ównego. Czyni¹c odpowiednie za³o¿enia, mo¿na te parametry wyznaczyæ korzystaj¹c ze stosownych metod. Nale¿y przy tym pamiêtaæ, ¿e operacje takie nale¿y prowadziæ dla ró¿nych po³o¿eñ rozpatrywanego mechanizmu. W praktyce, w niektórych przypadkach stosowania rozwi¹zañ typowych, np. ³o¿yska, zazêbienia, mo¿na stosowaæ katalogowe sprawnoœci odpowiednich wêz³ów, sam zaœ proces okreœlenia wspó³czynnika sprawnoœci mechanizmu przeprowadzaæ proœciej metodami opracowanymi specjalnie dla danego typu mechanizmów. Dalej omówiono przyk³ady takich nietypowych metod. Przyk³adowa metoda okreœlania wspó³czynnika sprawnoœci mechanizmu dŸwigniowego Nale¿y wyznaczyæ chwilow¹ sprawnoœc popularnego mechanizmu korbowo-wodzikowego (rys. 189) po za³o¿eniu, ¿e jest obci¹¿ony tylko momentem czynnym Mc i si³¹ biern¹ S.

186

Rys. 188. Si³y oddzia³ywania w parze obrotowej z uwzglêdnieniem tarcia

Zauwa¿my tu, ¿e moc dostarczon¹ do mechanizmu mo¿na wyraziæ nastêpuj¹co ND = Mc· w1. W warunkach idealnych ta sama moc by³aby odebrana w postaci mocy u¿ytecznej NU' , a wiêc NU' = ND , przy czym NU' = S· v34. W rzeczywistoœci moc u¿yteczna NU bêdzie, jak wiadomo, pomniejszona o straty spowodowane tarciem i mo¿na j¹ wyraziæ w postaci NU = ST· v34. Uwzglêdniaj¹c te spostrze¿enia, szukan¹ sprawnoœæ uk³adu mo¿na przedstawiæ w nastêpuj¹cej formie

η ch =

NU S T ⋅ v34 S T ⋅ v34 ST . = = = ND Mc ⋅ ω 1 S ⋅ v34 S

W ten sposób sprawnoœæ badanego mechanizmu uda³o siê wyraziæ stosunkiem si³, z których jedna S jest si³¹ równowa¿¹c¹ dany moment Mc wyznaczon¹ bez uwzglêdnienia tarcia w parach kinematycznych (rys. 189b), druga zaœ ST tak¹ sam¹ si³¹ wyznaczon¹ z uwzglêdnieniem tarcia (rys. 189c).

187

Rys. 189. Przyk³ad wyznaczania sprawnoœci mechanicznej uk³adu korbowo-wodzikowego: a) schemat mechanizmu z naniesionymi kierunkami si³, b) plan si³ bez uwzglêdnienia tarcia, c) plan si³ z uwzglêdnieniem tarcia

Stosunek tych si³ wyra¿a w tym przypadku chwilow¹ sprawnoœæ mechanizmu, a wiêc sprawnoœæ w danym jego po³o¿eniu. Powtarzaj¹c podobne operacje dla kolejnych po³o¿eñ, otrzymalibyœmy przebieg zmian chwilowej sprawnoœci w funkcji k¹ta obrotu korby. Taki przyk³adowy przebieg hch(j) dla danych l1 = 500 mm, l2 = 1000 mm, dA = dB = 30 mm, dC = 20 mm oraz m = 0,1 przedstawiono na rys. 190. Przy okazji nale¿y zwróciæ uwagê na to, ¿e dla tego samego mechanizmu, lecz przy czynnej sile S przebieg sprawnoœci by³by zupe³nie odmienny. Tu wyst¹pi³yby ju¿, oprócz dodatnich wartoœci, tak¿e h = 0 i h < 0, co œwiadczy o istnieniu zakresów samohamownoœci.

Rys. 190. Przyk³adowy przebieg sprawnoœci chwilowej hch

188 Przyk³ady okreœlania sprawnoœci mechanizmu krzywkowego Rozpatrzmy mechanizm krzywkowy (rys. 191), w którym popychacz (3) jest napêdzany si³a oddzia³ywania P23 oraz obci¹¿ony zadan¹ si³¹ biern¹ S. Zauwa¿my, ¿e gdyby za³o¿yæ brak tarcia w parach kinematycznych dla pokonania zadanej si³y S nale¿y w punkcie E obci¹¿yæ popychacz (3) si³¹ P23 (rys. 191b). W warunkach rzeczywistych (przy znanych k¹tach tarcia rB, rD i rE) w punkcie E dzia³aæ bêdzie si³a P23T (rys. 191c). Jak wiadomo

η =

Nu , ND

przy czym Nu = S· v3. Moc dostarczon¹ ND mo¿na okreœliæ wzorem ND = M2T· w2. lub pomijaj¹c tarcie w parze obrotowej O T· v cos (a + r ). ND = P23 3 E

Rys. 191. Okreœlenie sprawnoœi mechanicznej mechanizmu krzywkowego: a) schemat mechanizmu z naniesionymi kierunkami si³, b) plan si³ bez tarcia, c) plan si³ z tarciem

189 Po podstawieniu otrzymamy

η =

S T P23

cos (α + ρ E )

.

Otrzymano w ten sposób wartoœæ chwilow¹ sprawnoœci odpowiadaj¹c¹ rozpatrywanemu po³o¿eniu mechanizmu. Ogólnie sprawnoœæ jest funkcj¹ po³o¿enia. Aby otrzymaæ pe³ny zapis, nale¿y okreœliæ zwi¹zek P23T = f (S, x) i podstawiæ do ostatniego wzoru.

190

13. Badanie ruchu maszyn Stawiamy tu problem oceny zachowania siê maszyny, jej ruchu w rzeczywistych warunkach wykonania i eksploatacji. Ju¿ na wstêpie nale¿y zaznaczyæ, ¿e rzeczywisty stan ruchu maszyny mo¿na wzglêdnie dok³adnie okreœliæ na ogól tylko w wyniku bezpoœredniego pomiaru. Jednoczeœnie nie trzeba wykazywaæ, ¿e znajomoœæ parametrów ruchu maszyny, jej reagowania na wszelkie zmiany warunków eksploatacji jest niezbêdna ju¿ w fazie projektowania obiektu. Oznacza to potrzebê dokonywania takiej oceny na drodze teoretycznej. Problem jest niezwykle z³o¿ony, bo o ruchu ka¿dego podzespo³u maszyny i ka¿dego cz³onu w podzespole decyduje zarówno obci¹¿enie wszystkich po³¹czonych ze sob¹ w maszynie podzespo³ów i cz³onów, jak i rozk³ad mas cz³onów i ich udzia³ w ruchu. Podejmuj¹c ten problem ogólnie robimy trzy za³o¿enia; 1. Stwierdzamy, ¿e w uk³adach jednobie¿nych (a takimi s¹ zwykle badane obiekty) ruch dowolnego cz³onu jest okreœlony ruchem ka¿dego innego cz³onu, wówczas zajmujemy siê badaniem jednego tylko cz³onu, np. g³ównego wa³u maszyny. 2. Z³o¿ony stan obci¹¿eñ przy³o¿onych do poszczególnych cz³onów uk³adu zastêpujemy jedn¹ tylko si³¹ lub par¹ si³ (równowa¿n¹ wszystkim dzia³aj¹cym obci¹¿eniom) przy³o¿on¹ do jednego wybranego cz³onu. 3. Z³o¿ony uk³ad mas bior¹cych udzia³ w ruchu zastêpujemy jedn¹ mas¹ (reprezentuj¹c¹ wszystkie masy ruchome) przy³o¿on¹ do jednego wybranego cz³onu. Zabiegi wymienione w dwóch ostatnich punktach, zwane redukcj¹ si³ i mas, s¹ bardzo wskazane, bo znakomicie upraszczaj¹ problem oceny zachowania siê uk³adu.

13.1. Redukcja si³ Jak siê wykazuje, si³a (lub para si³) zredukowana do wybranego punktu lub cz³onu redukcji, wywo³uj¹ca ten sam efekt, jaki wywo³uj¹ si³y dzia³aj¹ce na ró¿ne cz³ony badanego uk³adu, rozwija tê sam¹ moc, jak¹ rozwijaj¹ redukowane obci¹¿enia. Oznacza to, ¿e zasadê redukcji si³ mo¿na uj¹æ krótko N = N*,

(133)

gdzie: N – moc rozwijana przez wszystkie si³y (i pary si³) dzia³aj¹ce w uk³adzie rozpatrywanym, N* – moc rozwijana przez si³ê (lub parê si³) zredukowan¹.

191 Zmierzaj¹c do wykorzystania równania (133) przypomnijmy, ¿e chwilow¹ moc wszystkich si³ Pi oraz par si³ Mi dzia³aj¹cych na cz³ony p³askiego mechanizmu w ruchu mo¿na wyraziæ wzorem

∑ ( Pv i i cos α i + M iω i ),

N =

(134)

w którym: vi – prêdkoœæ liniowa punktu przy³o¿enia si³y Pi, ai – k¹t zawarty pomiêdzy kierunkiem Pi i vi, wi – prêdkoœæ k¹towa obci¹¿onego par¹ si³ Mi. We wzorze (134) iloczynowi Mi· wi nale¿y przyporz¹dkowaæ znak (+), je¿eli zwroty Mi oraz wi s¹ zgodne, znak (–) zaœ w przypadku przeciwnym. Oczywiœcie, moc Nx si³y zredukowanej Pzr, przy³o¿onej do okreœlonego punktu cz³onu redukcji x, wynosi Nx = Pzr· vx· cos ax ,

(135)

moc zaœ pary si³ zredukowanej do momentu zredukowanego Mzr, obci¹¿aj¹cego cz³on redukcji x, odpowiednio Nx = Mzr· wx

(136)

gdzie: vx – prêdkoœæ punktu przy³o¿enia si³y zredukowanej, ax – k¹t zawarty pomiêdzy kierunkiem Pzr i vx, wx – prêdkoœæ k¹towa cz³onu redukcji. Wykorzystuj¹c omówion¹ ju¿ równoœæ mocy (133) otrzymamy na podstawie zale¿noœci (135), (136) dla si³y zredukowanej

Pzr =



∑  Pi 

 ωi vi cos α i + Mi , v x cos α x v x cos α x 

(137)

dla pary si³ zredukowanych zaœ

M zr =



∑  Pi 

ω  vi cos α i + Mi i  . ωx ωx

(138)

Wystêpuj¹ce we wzorach (137) i (138) si³y i pary si³ nie s¹ sta³e. W ogólnym przypadku parametry te, jak równie¿ prêdkoœci i k¹ty, zale¿¹ od po³o¿enia okreœlanego k¹tem j obrotu korby. Oznacza to tym samym, ¿e Pzr = f(j), Mzr = f(j).

(139)

Zabieg redukcji przeœledzimy na prostym przyk³adzie. Niech bêdzie dany mechanizm ABC (rys. 192a) obci¹¿ony si³ami P 3 i P4 oraz momentem M3. Nale¿y okreœliæ Mzr przy³o¿ony do cz³onu (2) (rys. 192b). Zauwa¿my, ¿e dzia³aj¹ce na cz³ony uk³adu obci¹¿enia rzeczywiste rozwijaj¹ moc N = P3 vE cos aE + M3· w3 + P4 v4.

192

Rys. 192. Redukcja si³: a) schemat uk³adu obci¹¿onego si³ami, b) cz³on redukcji (2) obci¹¿ony momentem zredukowanym (Mzr)

Moc rozwijan¹ przez moment Mzr mo¿na wyraziæ N* = Mzr· w2. Z porównania prawych stron ostatnich dwóch zale¿noœci otrzymamy

M zr = P3

v E cos α E v ω + M 3 3 + P4 4 . ω2 ω2 ω2

Wystêpuj¹ce w wyra¿eniu stosunki prêdkoœci nale¿y okreœliæ na drodze analizy kinematycznej, k¹t aE okeœlamy graficznie lub analitycznie.

13.2. Redukcja mas Jak ju¿ powiedziano, podczas badania ruchu z³o¿onego uk³adu kinematycznego celowe jest zastêpowanie mechanizmu równowa¿nym mu dynamicznie prostym modelem z³o¿onym z jednej masy zredukowanej lub jednego cz³onu obrotowego o zredukowanym momencie bezw³adnoœci. Model taki bêdzie równowa¿ny z badanym uk³adem, je¿eli jego energia kinetyczna Ek* bêdzie równa energii kinetycznej ca³ego uk³adu Ek. Innymi s³owy, u podstaw procesu redukcji mas le¿y zasada równoœci energii kinetycznej Ek = Ek*.

(140)

193 Energiê kinetyczn¹ wszystkich cz³onów mechanizmu mo¿na wyraziæ ogólnie

 m ⋅ v 2 J ⋅ω 2  E k = ∑  i i + Si i  , 2   2

(141)

gdzie: mi, JSi – masa i-tego cz³onu, moment bezw³adnoœci tego cz³onu wzglêdem jego œrodka ciê¿koœci, vi, wi – prêdkoœæ liniowa œrodka ciê¿koœci i-tego cz³onu, prêdkoœæ k¹towa tego cz³onu. Energia kinetyczna skupionej masy zredukowanej m zr wynosi oczywiœcie

mzr v x2 , 2

*

Ek =

(142)

energia kinetyczna cz³onu o zredukowanym momencie bezw³adnoœci Jzr *

Ek =

J zrω x2 , 2

(143)

gdzie: vx – prêdkoœæ masy zredukowanej, wx – prêdkoœæ k¹towa cz³onu redukcji. Korzystaj¹c ze zwi¹zków (140), (141), (142), (143) otrzymamy ogólny wzór okreœlaj¹cy masê zredukowan¹

mzr

2   v 2  ωi   i  = ∑ mi   + J Si     vx     vx   

(144)

oraz zredukowany moment bezw³adnoœci

J zr

2   v 2  ωi   i = ∑ mi   .  + J Si  ωx    ωx   

(145)

Jak wynika z zale¿noœci (144) i (145), masa i moment bezw³adnoœci zredukowany, przy niezmiennych masach cz³onów rozpatrywanego mechanizmu, jest tylko funkcj¹ jego po³o¿enia. Aby obliczyæ mzr i Jzr niezbêdna jest znajomoœæ stosunków prêdkoœci, które, jaki i przy redukcji si³, najdogodniej jest okreœliæ np. za pomoc¹ wykreœlonego w dowolnej podzia³ce planu prêdkoœci. Oczywiœcie, w celu okreœlenia przebiegu zmian mzr(j) lub Jzr(j) operacje te nale¿y powtórzyæ wielokrotnie. Stosunkowo prosto okreœla siê mzr i Jzr w mechanizmach wiruj¹cych, w których stosunki prêdkoœci prze³o¿enia wystêpuj¹ce we wzorach (144) i (145) s¹ sta³e. Wtedy oczywiœcie m zr i Jzr s¹ niezale¿ne od po³o¿enia. Wracaj¹c do redukcji uk³adów dŸwigniowych, w których wystêpuj¹ zmienne prze³o¿enia, przeœledzimy prosty przyk³ad.

194

Rys. 193. Redukcja mas: a) schemat uk³adu mas, b) cz³on redukcji (2) ze zredukowanym momentem bezw³adnoœci (Jzr)

Dany jest mechanizm ABC w po³o¿eniu jak na rysunku 193a. Dane s¹ po³ozenia œrodków ciê¿koœci Si oraz masy tych cz³onów i ich momenty bezw³adnoœci wzglêdem œrodków ciê¿koœci JSi. Nale¿y okreœliæ moment bezw³adnoœci Jzr zredukowany do cz³onu (2) (rys. 193b). Przede wszystkim obliczymy energiê kinetyczn¹ uk³adu przed redukcj¹ Ek = Ek2 + Ek3 + Ek4 , czyli

JS 2 ⋅ω 2 m ⋅v J ⋅ω m ⋅v m ⋅v + 2 S2 + S3 3 + 3 S3 + 4 S4 . 2 2 2 2 2 2

Ek =

2

2

2

2

Z drugiej strony energia kinetyczna Ek* cz³onu (2) o zredukowanym momencie bezw³adnoœci (Jzr) wynosi *

Ek =

J zr ⋅ ω 2 , 2 2

z porównania tych energii otrzymamy 2

J zr = J S 2

2

2

2

v  ω  v  v  + m2  S 2  + J S 3  3  + m3  S 3  + m4  S 4  .  ω2   ω2  ω2   ω2 

195 Wystêpuj¹ce we wzorze stosunki prêdkoœci mo¿na odczytaæ z narysowanego w dowolnej podzia³ce planu prêdkoœci. W ten sposób, po podstawieniu dalszych danych dotycz¹cych mas, momentów bezw³adnoœci cz³onów oraz stosunków ich d³ugoœci, mo¿na obliczyæ konkretn¹ wartoœæ mzr dla danego po³o¿enia mechanizmu. Powtarzaj¹c tê operacjê wielokrotnie mo¿na okreœliæ przebieg zmian mzr w funkcji k¹ta obrotu j cz³onu redukcji.

13.3. Modele maszyn i równania ruchu W celu okreœlenia ruchu maszyny, zastêpujemy z³o¿ony zwykle uk³ad maszyny najprostszym równowa¿nym jej modelem. Mo¿e byæ nim np. pojedynczy cz³on o ruchu obrotowym (rys. 194a) lub postêpowym (rys. 194b), obci¹¿ony odpowiednio jedn¹ tylko par¹ si³ czynnych Mzrc lub si³¹ czynn¹ Pzrc oraz jedn¹ tylko par¹ si³ biernych Mzrb lub si³¹ biern¹ Pzrb. Aby taki model by³ równowa¿ny z badanym uk³adem maszyny, cz³onowi takiemu, którym jest zwykle cz³on g³ówny, nale¿y przypisaæ moment bezw³adnoœci (je¿eli jest to cz³on obrotowy) równy zredukowanemu momentowi bezw³adnoœci maszyny lub masê mzr (je¿eli chodzi o cz³on o ruchu postêpowym), równ¹ masie zredukowanej maszyny. Oczywiœcie, równie¿ obci¹¿aj¹ce taki cz³on pary si³ lub si³y nale¿y rozumieæ jako pary si³ lub si³y zredukowane. Dla takiego prostego modelu równanie ruchu mo¿na zapisaæ w postaci bilansu energetycznego

1  M ⋅ d ϕ = d J ⋅ ω 2  2 

i

dj = w· dt

dla modelu z rys. 194a

Rys. 194. Modele dynamiczne maszyny: a) cz³on w ruchu obrotowym o Jzr, b) cz³on w ruchu postêpowym o mzr

(146)

196 oraz i

1  P ⋅ d s = d m ⋅ v2  2 

(147)

ds = v· dt

dla modelu z rys. 194b. W równaniach (146) i (147) M = Mzr – Mzr , P = Pzrc – P zrb c b J = Jzr , m = mzr w – prêdkoœæ k¹towa, v – prêdkoœæ liniowa, j – k¹t obrotu cz³onu obrotowego. s – droga cz³onu redukcji maszyny. Poniewa¿ dogodniej jest zwykle korzystaæ z modeli cz³onu obrotowego, zagadnienia ruchu maszyn omówimy wiêc dalej na przyk³adzie uk³adu równañ (146). Przede wszystkim zwróæmy uwagê, ¿e uk³ad równañ (146) ujmuje zale¿noœæ miêdzy parametrami kinematycznymi, jak: droga j, czas t, prêdkoœæ w, a rozk³adem mas scharakteryzowanym momentem bezw³adnoœci J oraz obci¹¿eniem momentem M. Sugeruje to, ¿e po odpowiednich zabiegach ca³kowania ró¿niczkowego uk³adu równañ (146) mo¿na rozwi¹zaæ wiele interesuj¹cych zagadnieñ, zw³aszcza dwa podstawowe zadania dynamiki, do których nale¿y: – okreœlenie ruchu maszyny przy zadanym stanie jej obci¹¿enia, – okreœlenie warunków, w których maszyna bêdzie realizowaæ z góry zadany ruch. Trzeba podkreœliæ, ¿e prostota równañ ruchu jest pozorna, gdy¿ zarówno M jak i J s¹ zwykle wielkoœciami zmiennymi i zale¿nymi od czasu, drogi, prêdkoœci itd. Komplikuje to zagadnienie ca³kowania równania do tego stopnia, ¿e aby omin¹æ k³opoty rachunkowe i formalne, musimy czêsto korzystaæ z ró¿nych metod numerycznych, sposobów przybli¿onych lub specjalnych metod graficznych. Niektóre problemy ca³kowania równañ ruchu zostan¹ tu zilustrowane na przyk³adach. 1. Nale¿y zbadaæ ruch wirnika o sta³ym momencie bezw³adnoœci J1 = const. W chwili pocz¹tkowej t = t0, jego prêdkoœæ k¹towa w = w0. W tej w³aœnie chwili wy³¹czono napêd (Mzrc = 0), a do³¹czono moment hamowania (Mzrb = M1). Prêdkoœæ wirnika w tej sytuacji bêdzie spadaæ, a¿ osi¹gnie wartoœæ równ¹ zeru. Mo¿na stawiaæ pytania: – z jakim przyspieszeniem bêdzie przebiega³ ruch, – po jakim czasie t wirnik siê zatrzyma (w = 0), – ile obrotów n wykona w tym czasie, – jaki moment hamowania M1 nale¿y przy³o¿yæ, aby wirnik zatrzyma³ siê po wykonaniu okreœlonej drogi, itp. Aby odpowiedzieæ na te pytania napiszemy, opieraj¹c siê na równaniu (146)

 J ⋅ω2  − M1 d ϕ = d  1 ,  2  dj = w dt.

197 Po wykonaniu ró¿niczkowania mamy

− M1 d ϕ = J1ω d ω , dj = w dt. po podzieleniu zaœ stron przez dt i podstawieniu

− M1 ⋅ ω = J1ω

dω , dt

dω M = − 1. dt J1 Stanowi to odpowiedŸ na pierwsze pytanie. Po sca³kowaniu ostatniego równania otrzymamy, po uwzglêdnieniu warunków brzegowych,

ω = −

M1 t + ω 0. J1

Zale¿noœæ ta umo¿liwia sformu³owanie odpowiedzi na pytanie drugie. Je¿eli jednak sca³kujemy ostatnie równanie powtórnie, otrzymamy

ϕ = −

M1 2 t + ω 0t + ϕ 0 , 2 J1

a wiêc odpowiedŸ na pytanie trzecie i czwarte. By³ to najprostszy przypadek badania ruchu maszyny, gdy M = const i J = const. Czêœciej jednak, jak ju¿ powiedziano, wielkoœci te s¹ zmienne. Rozpatrzmy taki przypadek. 2. Nale¿y okreœliæ prêdkoœæ ruchu maszyny i czas rozruchu przy nastêpuj¹cych za³o¿eniach [14]: Zredukowany do g³ownego wa³u maszyny moment bezw³adnoœci jest sta³y (Jzr = 2,2, kg· m2), zredukowane zaœ do g³ównego wa³u maszyny momenty si³ czynnych i biernych s¹ funkcjami prêdkoœci maszyny Mc = – 0,01w2 + 0,5w + 376, Mb = + 0,01w2 + 1. Dane i za³o¿enia przedstawiono na rysunku 195, z którego widaæ, ¿e przy Jzr = const prêdkoœæ maszyny ustali siê na poziomie wu, któr¹ ³atwo okreœliæ z porównania momentów Mc = Mb, – 0,01w2 + 0,5w + 376 = 0,01w2 + 1.

198 Po przekszta³ceniach otrzymamy w2 – 25w – 18 750 = 0 i po rozwi¹zaniu w' = wu = 150,

(w'' = –125).

Drugie rozwi¹zanie oczywiœcie odrzucamy. Aby poznaæ charakter zmian prêdkoœci w fazie rozruchu oraz czas tego rozruchu napiszemy równanie ruchu

 J ω2  ( M c + Mb ) d ϕ = d  zr  .  2  Po podstawieniu i przekszta³ceniu otrzymamy w2 – 25w – 18 750 = – dw/dt. Równanie to mo¿na sca³kowaæ po rozdzieleniu zmiennych

d t = − 110

dω . ω − 25ω − 18750 2

Po dokonaniu kolejnych przekszta³ceñ i zastosowaniu zapisu w2 – 25w – 18 750 = (w – 150)(w + 125) otrzymamy równanie w postaci

dω   dω d t = 0,4  + , 150 − ω 125 + ω 

Rys. 195. Badanie ruchu maszyny: a) model dynamiczny maszyny, b) charakterystyki mechanicznej maszyny

199 a po sca³kowaniu t = 0,4[ – ln (150 – w) + ln (125 + w)] + C, czyli inaczej

t = 0,4 ln

125 + ω + C. 150 − ω

Wyznaczamy C z warunków brzegowych t = 0, w = 0

C = − ln

5 6

i otrzymujemy

t = 0,4 ln

1,2 (125 + ω ) . 150 − ω

lub

ω = 150

e 2 ,5t − 1 . e 2 ,5t + 1,2

Przebieg ostatniej funkcji przedstawiono na rysunku 196. Jest to krzywa asymptotycznie zbli¿aj¹ca siê do wartoœci w =150. Bli¿sza analiza ostatnich dwóch wzorów prowadzi do wniosku, ¿e praktycznie czas rozruchu mo¿na ustaliæ jako t @ 4s. 3. Za³ó¿my z kolei, ¿e zredukowane do g³ównego wa³u maszyny pary si³ czynnych i biernych s¹ funkcjami po³o¿enia Mc = fc (j), Mb = fB (j) i dane s¹ w postaci tabeli lub wykresów (rys. 197a). Zredukowany do tego cz³onu moment bezw³adnoœci jest sta³y. Maszyna jest w ruchu ustalonym. Nale¿y okreœliæ zmianê prêdkoœci k¹towej cz³onu redukcji w ramach jednego cyklu. W ruchu ustalonym energia kinetyczna na pocz¹tku i na koñcu rozpatrywanego cyklu jest taka sama, prace bowiem si³ czynnych i biernych s¹ sobie równe. A wiêc ϕc

ϕc

0

0

∫ Mc d ϕ =

∫ Mb d ϕ

lub ϕc

∫ ( M c − Mb ) d ϕ = 0. 0

Je¿eli przez Fi (rys. 197a) oznaczyæ pola miêdzy krzywami Mc(j) i Mb(j), przy czym pola F1, F 3 i F5 obrazuj¹ nadwy¿kê, F2 i F4 zaœ niedobór pracy si³ czynnych, to (F1 – F2 + F3 – F4 + F 5) kM kj = 0.

200

Rys. 196. Charakterystyka rozruchu badanej maszyny

Taka równowaga istnieje w ruchu ustalonym w granicach k¹ta obrotu jc odpowiadaj¹cego okresowi T jednego cyklu. Je¿eli jednak rozpatrzyæ zagadnienie w poszczególnych chwilach ruchu, równowagi takiej nie ma. Na przyk³ad w przedziale 0 < j < jr istnieje nadwy¿ka pracy si³ czynnych i reprezentuje j¹ zakreskowany podwójnie fragment pola F1. Praca ta daje przyrost energii DEkr, przy czym

E kr =

ϕr

∫ ( M c − M b ) dϕ

= ( ∆E kr )κ E .

0

Je¿eli tak obliczone przyrosty, reprezentowane w podzia³ce kE przez odcinki DEkr (rys. 197b), odk³adaæ od pewnego poziomu pocz¹tkowego E0, to otrzymamy przebiegi zmiany energii kinetycznej E(j), np. w granicach ca³ego cyklu. Wartoœæ energii pocz¹tkowej E0 mo¿na ustaliæ w wyniku badania okresu rozruchu maszyny lub korzystaj¹c z metody wykresów Wittenbauera [2]. Przyjmuj¹c na tym etapie rozwa¿añ, ¿e E0 znamy, zauwa¿my, ¿e krzywa E(j) ma ekstrema w stanach równowagi, czyli w tych po³o¿eniach, w których Mc = Mb. £atwo siê o tym przekonaæ œledz¹c zmianê energii , np. w pierwszym przedziale j0 – j1. Id¹c od j0 do j1 obserwujemy omawiany ju¿ przyrost energii kinetycznej, który wystêpuje tak d³ugo, jak d³ugo istnieje nadwy¿ka pracy si³ czynnych. Nadwy¿ka ta znika w po³o¿eniu okreœlonym przez j1, a pojawia siê niedobór pracy si³ czynnych, czyli spadek energii. W po³o¿eniu j1 istnieje lokalne maksimum energii. Z wykresu Ek(j) mo¿na otrzymaæ wykres zmian prêdkoœci k¹towej w(j). Skorzystamy tu ze znanego wzoru okreœlaj¹cego energiê kinetyczn¹ cz³onu obrotowego, z którego po przekszta³ceniu otrzymamy

201

Rys. 197. Graficzne ca³kowanie ruchu maszyny: a) wykres zredukowanych par si³ czynnych (Mc(j)) oraz biernych (Mb(j)), b) wykres zmian energii kinetycznej maszyny E(j), c) wykres zmian prêdkoœci k¹towej cz³onu redukcji i momentu bezw³adnoœci

ω=

2E k . J

Opieraj¹c siê na tym wzorze i przy za³o¿eniu, ¿e J = const, otrzymamy wykres w(j) przedstawiony pryzk³adowo na rys. 197c. To samo zadanie mo¿na wykonaæ

202 równie¿, gdy J ¹ const, je¿eli tylko zmiana ta jest uprzednio okreœlona, np. w postaci wykresu J(j). Przedstawiono przyk³ady rozwi¹zywania problemów badania ruchu maszyn metod¹ analityczn¹ oraz graficzn¹. Dziœ mamy równie¿ do dyspozycji metody numeryczne, przydatne zw³aszcza wtedy, gdy problem jest bardziej z³o¿ony lub gdy np. wielkoœci wejœciowe (przebiegi zmian obci¹¿eñ) s¹ podane tabelarycznie.

13.4. Nierównomiernoœæ biegu maszyn Dla wiêkszoœci maszyn zdecydowanie dominuj¹cym etapem ich pracy jest ruch ustalony. Charakteryzuje siê on, jak wiadomo, przy sta³ej prêdkoœci œredniej g³ównego wa³u maszyny, powtarzaj¹c¹ siê periodycznie zmian¹ prêdkoœci w ramach jednego cyklu. Przyczyn¹ tego zjawiska jest: – zmienna na ogó³ zredukowana do g³ównego wa³u maszyny para si³ czynnych, – zmienne obci¹¿enie maszyny od si³ technologicznych i innych oporów szkodliwych, – zmienny zredukowany do g³ównego wa³u maszyny jej moment bezw³adnoœci. Powtarzaj¹ce siê wahania prêdkoœci bywaj¹ nieznaczne, jak np. w pewnych maszynach wirnikowych, ale mog¹ byæ te¿ powa¿ne, np. w niektórych maszynach t³okowych. Taka nierównomiernoœæ biegu jest zwykle niekorzystna ze wzglêdu na sam proces technologiczny, a zawsze szkodliwa ze wzglêdu na wystêpuj¹ce dodatkowe obci¹¿enia dynamiczne, wywo³uj¹ce z kolei szkodliwe drgania maszyny. W œwietle tego zrozumia³e jest zainteresowanie tym zagadnieniem, zw³aszcza w aspekcie rozpatrywania mo¿liwoœci wp³ywu na kszta³towanie si¹ zjawiska nierównomiernoœci. Rozpatrzmy jeszcze raz przyk³adowy przebieg prêdkoœci k¹towej wa³u maszyny w ramach jednego cyklu (rys. 198). Przebiegi takie mog¹ byæ w zasadzie dowolnie ró¿norodne, zawsze jednak mo¿na tu wyró¿niæ dwie wartoœci ekstremalne wmin i wmax oraz wartoœæ prêdkoœci œredniej wœr, któr¹ mo¿na wyraziæ nastêpuj¹co:

ω œr =

ϕ

1T 1 c 2πn ω dt = ∫ ∫ ω d ω = 60Tc . ϕc 0 T0

(148)

Te w³aœnie parametry wykorzystuje siê do okreœlania iloœciowej strony zjawiska nierównomiernoœci, wprowadzj¹c jako jego miarê tzw. wspó³czynnik lub stopieñ nierównomiernoœci biegu d. Przyjêto, ¿e

δ =

ω max − ω min . ω œr

(149)

Zwykle zak³ada siê w przybli¿eniu

ω œr =

ω max + ω min , 2

(150)

203

Rys. 198. Przyk³adowy przebieg zmian prêdkoœci k¹towej g³ównego wa³u maszyny

co prowadzi do wzoru

δ ≅ 2

ω max − ω min . ω max + ω min

(151)

Z zale¿noœci (149) i (150) wynika równie¿, ¿e

 δ ω max ≅ ω œ r 1 +  ,  2  δ ω min ≅ ω œ r  1 −  .  2

(152)

Wyra¿enia (149) i (150) umo¿liwiaj¹ ³atwe okreœlenie wspó³czynnika d, je¿eli, dysponuj¹c maszyn¹, zmierzymy odpowiednie jej parametry lub sporz¹dzimy charakterystykê ruchu w postaci wykresu w(j). Ocena wspó³czynnika d jest niezbêdna jednak ju¿ w fazie projektowania maszyny i wtedy potrzebne charakterystyki ruchu trzeba ustaliæ teoretycznie, np. metodami omówionymi w rozdz. 13.3. Zabiegi tego typu w fazie projektowania maszyny wi¹¿¹ siê z wymaganiami, by rzeczywisty wspó³czynnik d nie przekroczy³ dopuszczalnej praktycznie wartoœci granicznej. Dla ró¿nych maszyn wartoœci te s¹ zawarte w okreœlonych przedzia³ach, co obrazuj¹ nastêpuj¹ce przyk³ady: prasy, no¿yce d = 1/5–1/10, kruszarki d = 1/10–1/20, kompresory d = 1/50–1/100 pr¹dnice pr¹du zmiennego d = 1/300.

204 W razie stwierdzenia, ¿e projektowany obiekt charakteryzuje siê niedopszczalnie du¿¹ wartoœci¹ wspó³czynnika d, nale¿y ten wspó³czynnik zmniejszyæ. Mo¿na tego dokonaæ ró¿nymi sposobami. Praktycznie zmniejsza siê wartoœæ wspó³czynnika d najczêœciej przez: – monta¿ dodatkowej masy np. w postaci ko³a zamchowego, – dodatkowe obci¹¿enie uk³adu, – odpowiednie ³¹czenie kilku maszyn w jeden agregat.

13.5. Ko³a zamachowe W okreœlonych warunkach pracy wspó³czynnik nierównomiernoœci obiegu mozna zmniejszyæ przez powiêkszenie jej ruchomych mas, daj¹cych dodatkowy moment bezw³adnoœci zredukowany do g³ównego wa³u maszyny. Zwykle realizuje siê to przez zainstalowanie tzw. ko³a zamachowego osadzonego na wale maszyny. Ko³o takie akumuluje nadwy¿ki pracy si³ czynnych w postaci energii kinetycznej i oddaje j¹ maszynie w okresach niedoboru pracy tych si³, czyli w okresach przewagi pracy oporów. Wyrównuje bieg maszyny, zmniejsza wspó³czynnik d, a ponadto – co bardzo istotne – umo¿liwia zastosowanie Ÿród³a napêdu (silnika) o mniejszej mocy do utrzymania w ruchu takiej maszyny. 13.5.1. Przybli¿ona metoda okreœlania momentu bezw³adnoœci ko³a zamachowego Metoda ta opiera siê na wykorzystaniu tylko funkcji zredukowanych do g³ównego wa³u maszyny par si³ czynnych Mc(j) i biernych Mb(j). Przebiegi zmian momentów Mc(j) i Mb(j), dane zwykle w postaci wykresów (rys. 199a), umo¿liwiaj¹ poprzez ca³kowanie graficzne (rozdz. 3.4.5) wykreœlenie przebiegu zmian energii kinetycznej Ek w funkcji k¹ta obrotu j, a wiêc równie¿ przy za³o¿eniu, ¿e Jzr = const przebiegu zmian prêdkoœci k¹towej w(j). Taki wykres w(j) (rys. 199b), sporz¹dzony dla przyjêtej dowolnej wartoœci pocz¹tkowej w0, umo¿liwi odczytanie k¹tów obrotu, dla których prêdkoœæ k¹towa w osi¹ga wartoœci ekstremalne, a mianowicie jn dla w = wmin i jx dla w = wmax. Równanie pracy i energii dla przedzia³u okreœlonego tymi k¹tami i mo¿na zapisaæ w postaci

Jω − J nω min , L = Lc − Lb = x max 2 2

*

2

(153)

w której Jx, Jn s¹ zredukowanymi momentami bezw³adnoœci maszyny (bez ko³a zamachowego) w po³o¿eniach jx i jn. Korzystaj¹c z za³o¿enia, ¿e Jx = Jn = J, oraz zale¿noœci (152) otrzymamy po podstawieniu do (153) L* = J wœr2 · d.

(154)

205 Z drugiej zaœ strony pracê L*, która powoduje zmianê prêdkoœci k¹towej wa³u maszyny od wmin do wmax mo¿na okreœliæ *

L =

ϕx

∫ ( M c − M b ) dϕ

=

ϕn

ϕx

∫ ( Fi )κ M ⋅κϕ ,

ϕn

(155)

a wiêc wyznaczyæ co do wartoœci, np. mierz¹c odpowiednie pola (tutaj F 2) i mno¿¹c wynik przez podzia³ki rysunku. Po stwierdzeniu, ¿e dla tych za³o¿eñ mo¿na okreœliæ pracê L*, wróæmy jeszcze raz do wzoru (154). Ujmuje on zale¿noœæ miêdzy prac¹ L*, zredukowanym momentem bezw³adnoœci J, œredni¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ wœr oraz wspó³czynnikiem nierównomiernoœci d. Zale¿noœæ ta umo¿liwia wiêc np. okreœlenie wspó³czynnika d rozpatrywanej maszyny

δ =

L* J ⋅ω œr 2

.

(156)

Gdyby siê okaza³o, ¿e obliczony wspó³czynnik d jest niedopuszczalnie du¿y i nale¿a³oby go zmniejszyæ do wartoœci d', to – jak widaæ teraz wyraŸnie ze wzoru (156) – przy okreœlonych warunkach pracy maszyny (dane wœr i L*), mo¿na to osi¹gn¹æ tylko przez powiêkszenie zredukowanego momentu bezw³adnoœci J o jak¹œ sta³¹ wartoœæ Jk

Rys. 199. Okreœlenie momentu bezw³adnoœci ko³a zamachowego metod¹ przybli¿on¹

206

δ' =

L*

,

(157)

− J.

(158)

2

( J + J k )ω œ r

czyli

Jk =

L*

ω œ2r ⋅ δ '

Wzór (158) jest przybli¿onym rozwi¹zaniem naszego zagadnienia. Okreœlono moment bezw³adnoœci dok³adanego ko³a zamachowego. Przybli¿enie wynika st¹d, ¿e w rozwa¿aniach, które doprowadzi³y do wzoru (158) za³o¿ono, ¿e Jx = Jn. Pamiêtaj¹c o tym bêdziemy stosowaæ omawian¹ metodê wtedy, gdy zmiennoœæ Jzr(j) jest niezbyt du¿a lub zabezpieczymy siê przez przyjêcie Jx = Jn = Jmin, co poci¹ga za sob¹ przewymiarowanie ko³a zamachowego, a wiêc zmniejszenie za³o¿onego wspó³czynnika d'. 13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego Po wyznaczeniu momentu bezw³adnoœci Jk nale¿y dobraæ odpowiednie masy, które dodane do ruchomych cz³onów maszyny powiêksz¹ jej zredukowany moment bezw³adnoœci o tê sta³¹ wartoœæ. Zwykle masy te instaluje siê na obrotowym wale maszyny w postaci ko³a zamachowego, przy czym skupia siê wtedy masy przede wszystkim na jego wieñcu. Oznaczaj¹c œredni¹ œrednicê tego wieñca przez D (rys. 200), ciê¿ar zaœ ko³a przez G, mo¿na wyraziæ jego moment bezw³adnoœci w postaci 2

J k = m R2 =

G  D GD 2 ,   = 4g g  2

st¹d GD 2 = 4 g ⋅ J k ≅ 40 J k .

Wyra¿enie GD2, które w ten sposób mo¿na obliczyæ, nosi w praktyce nazwê momentu zamachowego. Po jego wyznaczeniu mo¿na jeden z wystêpuj¹cych tu parametrów G i D za³o¿yæ, drugi obliczyæ. Zanim za³o¿ymy wartoœæ jednego z tych parametrów, przyjrzyjmy siê przebiegowi funkcji GD2 = const (rys. 201). Jak widaæ, ten sam efekt mo¿na uzyskaæ bardzo ró¿nym kosztem. Na konkretne rozwi¹zanie zdecydujemy siê dopiero po analizie konstrukcji samej maszyny i warunków jej pracy. Nale¿y zwróciæ równie¿ uwagê na fakt, ¿e górny wymiar œrednicy D jest, przy okreœlonej prêdkoœci k¹towej ko³a, ograniczony w³asnoœciami materia³owymi. Ka¿Rys. 200. Ko³o zamachowe

207

Rys. 201. Problem doboru parametrów ko³a zamachowego

dy materia³ ma pewn¹ krytyczn¹ prêdkoœæ obwodow¹ vk, której przekroczenie grozi pêkniêciem wieñca. Przyk³adowo dla wieñca ¿eliwnego prêdkoœæ taka vk = 36 m/s. Oddzielnym zagadnieniem jest wybór miejsca monta¿u ko³a zamachowego decyduj¹cego o rozk³adzie obci¹¿eñ dynamicznych. W omówionej metodzie wyznaczono moment Jk zredukowany do g³ównego wa³u maszyny. Decyduj¹c siê na umieszczenie ko³a zamachowego na innym wale, o innej prêdkoœci k¹towej, nale¿y dokonaæ odpowiedniej redukcji. Nale¿y przy tym pamiêtaæ, ¿e ró¿nice wymiarów kó³ zamachowych mog¹ byæ bardzo istotne ze wzglêdu na to, ¿e Jk = f(w2). Problem ten zobrazownao pogl¹dowo na rys. 202. Przedstawiono tu typow¹ maszynê robocz¹ z³o¿on¹ z silnika S, przek³adni redukcyjnej R oraz organu wykonawczego W. Najogólniej mo¿na wykorzystaæ do monta¿u ko³a zamachowego wa³ek (1) o wysokiej prêdkoœci obrotowej nS silnika lub wa³ek (2) o prêdkoœci roboczej nW zredukowanej przez przek³adniê redukcyjn¹ (nS > nW). Przy obu rozwi¹zaniach uzyskuje siê ten sam efekt zmniejszenia wspó³czynnika nierównomiernoœci biegu, lecz przy zdecydowanie ró¿nych masach kó³ zamachowych 2

n  J kS =  W . J kW  nS  Oczywiœcie, ró¿ne s¹ równie¿ w obu przypadkach (rys. 202) skutki w sensie obci¹¿eñ dynamicznych poszczególnych podzespo³ów i ich elementów. Te ostatnie zale¿¹ przecie¿ od tego, co jest Ÿród³em zak³óceñ ruchu S czy W. Maj¹c to na uwadze, nale¿y kierowaæ siê zasad¹: ko³o zamachowe mo¿liwie najbli¿ej Ÿród³a zak³óceñ ruchu.

208

Rys. 202. Problem wyboru miejsca monta¿u ko³a zamachowego

13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce Idea omawianego zabiegu polega na dodatkowym obcia¿eniu rozpatrywanej maszyny w taki sposób, by w sumie uzyskaæ oczekiwany efekt zmniejszenia wspó³czynnika nierównomiernoœci biegu d. Wyjaœnimy ten problem na prostym przyk³adzie. Niech bêdzie dana maszyna, w której zredukowany do g³ównego wa³u moment bezw³adnoœci jest sta³y (Jzr = const) zredukowany moment si³ czynnych jest sta³y (Mc = zr Mc = const), a zredukowany moment obci¹¿eñ biernych Mb zmienia siê cyklicznie (rys. 103a). Przyczyn¹ nierównomiernoœci biegu jest DM = Mc – Mb. Przyczynê tê mo¿na zlikwidowaæ, przyk³adaj¹c do g³ównego wa³u maszyny moment koryguj¹cy Mb' = DM (rys. 203b). W wyniku takiego zabiegu otrzymamy obci¹¿enie g³ównego wa³u maszyny momentem Mb* (rys. 203c), przy czym Mb* = Mb + Mb' = Mc.

(159)

Idea jest prosta i sugestywna – nale¿y j¹ tylko próbowaæ rozwi¹zaæ praktycznie. Na pocz¹tek nale¿y zauwa¿yæ, ¿e w ruchu ustalonym zawsze ca³kowita praca momentu koryguj¹cego Mb' w ramach jednego cyklu lub wielokrotnoœci tych cykli równa siê zeru ϕc

∫ Mb' dϕ

= 0.

0

Oznacza to, ¿e teoretycznie skorygowanie obci¹¿enia maszyny mo¿e odbyæ siê bez dodatkowych nak³adów energetycznych. Potwierdzaj¹ to równie¿ przyk³ady praktycz-

209

Rys. 203. Wyrównywanie biegu maszyn poprzez dodatkowe obci¹¿enie g³ównego wa³u maszyny: a) zadane przebiegi zmian Mc i Mb, b) przebieg zmian potrzebnego momentu dodatkowego, c) rezultat dodatkowego obci¹¿enia

nych rozwi¹zañ tego problemu zaproponowanych w pracy [15]. Na rysunku 204 przedstawiono trzy przyk³ady mechanizmów krzywkowych, w których krzywka jest osadzona na g³ównym wale maszyny. Si³a sprê¿yny S (rys. 204a), ciê¿aru G (rys. 204b), lub moment si³ bezw³adnoœci Mb (rys 204c), przy odpowiednim doborze parametrów

210

Rys. 204. Przyk³ady mechanizmów realizuj¹cych dodatkowe obci¹¿enie g³ównego wa³u maszyny: a) mechanizm krzywkowy sprê¿ynowy, b) mechanizm krzywkowy grawitacyjny, c) mechanizm krzywkowy bezw³adnoœciowy

mechanizmu krzywkowego, wywo³uj¹ obci¹¿enie g³ównego wa³u maszyny, tj o przebiegu okreœlonym równaniem (159), po¿¹danym momentem koryguj¹cym Mb'. Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e rozwi¹zanie z wykorzystaniem si³y ciê¿koœci (rys. 204b) nadaje siê do uk³adów wolnobie¿nych, rozwi¹zanie zaœ bezw³adnoœciowe (rys. 204c) do uk³adów szybkobie¿nych. Omawiane rozwi¹zania zosta³y z powodzeniem wypróbowane w pewnych maszynach ceramicznych [15]. Zainstalowanie tego typu mechanizmów doprowadzi³o tam do istotnego zwiêkszenia wydajnoœci tych maszyn.

14. Wywa¿anie Podczas ruchu cz³onów ze zmienn¹ prêdkoœci¹ dzia³aj¹ na nie si³y bezw³adnoœci. Si³y te, poza niektórymi specjalnymi urz¹dzeniami, jak wibratory, wstrz¹sarki, przesiewacze itp., s¹ zwykle niekorzystne dla pracy maszyny. Jako obci¹¿enia zmienne okresowo, na skutek cyklicznego ruchu maszyny, stanowi¹ niepo¿¹dane dynamiczne obci¹¿enia cz³onów i par kinematycznych uk³adu s¹ Ÿród³em drgañ poszczególnych podzespo³ów i ca³ych obiektów. Te niezrównowa¿one w mechanizmie si³y bezw³adnoœci mog¹ przenosiæ siê poprzez fundament na inne maszyny oraz wp³ywaæ ujemnnie na pracuj¹ce w s¹siedztwie urz¹dzenia. Jak wiadomo, zjawisko to jest szczególnie groŸne wtedy, gdy czestotliwoœæ drgañ w³asnych maszyny jest bliska czêstotliwoœci zmian si³ wymuszj¹cych. W celu usuniêcia szkodliwego wp³ywu si³ bezw³adnoœci na pracê maszyny nale¿y je wyrównowa¿yæ. Uzyskuje siê to przez odpowiedni dobór lub korekcjê rozk³adu mas maszyny tak, by w czasie jej ruchu si³y bezw³adnoœci wyrównowa¿y³y siê ca³kowicie lub przynajmniej czêœciowo. Najkorzystniej by³oby oczywiœcie, aby si³y bezw³adnoœci ka¿dego z cz³onów stanowi³y samowyrównowa¿ony uk³ad si³. Ten sposób usuniêcia nacisków dynamicznych na elementy par kinematycznych jest mo¿liwy tylko w przypadku cz³onów obrotowych o nieruchomej podstawie. W pozosta³ych przypadkach wystêpowanie nacisków dynamicznych jest nieuniknione, ze wzglêdu na cyklicznoœæ ruchu. Wtedy d¹¿y siê do wyrównowa¿enia ca³kowitego lub przynajmniej czêœciowego uk³adu si³ bezw³adnoœci ca³ego mechanizmu czy maszyny. Mo¿na wiêc sformu³owaæ nastêpuj¹ce zadania wyrównowa¿enia si³ bezw³adnoœci: – ca³kowite lub czêœciowe wyrównowa¿enie si³y wypadkowej i momentu si³ bezw³adnoœci mechanizmu, – wyrównowa¿enie si³ bezw³adnoœci cz³onów obracaj¹cych siê wokó³ osi nieruchomych.

14.1. Okreœlanie œrodka ciê¿koœci mechanizmów Podczas wyrównowa¿ania si³ bezw³adnoœci, zw³aszcza uk³adów dŸwigniowcyh, bardzo przydatna jest znajomoœæ ruchu œrodka ciê¿koœci mechanizmu w cyklu jego pracy. Omówimy jeden z mniej znanych sposobów wyznaczania œrodka ciê¿koœci uk³adu mechanicznego. Niech bêdzie dany ³añcuch kinematyczny przedstawiony na rys. 205, w którym znane s¹ d³ugoœci cz³onów li, odleg³oœci si okreœlaj¹ce po³o¿enia œrodków

212

Rys. 205. £añcuch kinematyczny i jego œrodek ciê¿koœci

ciê¿koœci Si oraz masy mi. Dla przyjêtego uk³adu wspó³rzêdnych mo¿na napisaæ równania momentów statycznych

m ⋅ xs =

m ⋅ ys =

i =n

∑ mi ⋅ xsi ,

i =1

(160)

i=n

∑ mi ⋅ y si i =1

(161)

i =n

gdzie: m = ∑ mi , i =1

xs, ys – wspó³rzêdne œrodka ciê¿koœci uk³adu, xsi, ysi – wspó³rzêdne œrodków ciê¿koœci cz³onów uk³adu. Po uwzglêdnieniu zale¿noœci (160) i (161) mo¿na napisaæ inaczej

m ⋅ rs =

i=n

∑ mi ⋅ ri ,

i =1

(162)

gdzie: r s – promieñ–wektor okreœlaj¹cy po³o¿enie œrodka cie¿koœci mechanizmu, r i – promieñ–wektor okreœlaj¹cy po³o¿enie œrodka cie¿koœci i-tego cz³onu mechanizmu. Jak widaæ z rysunku 205, ka¿dy z wektorów ri mo¿na wyraziæ

213

r1 = s1 , r2 = l1 + s2 , r3 = l1 + l2 + s3 ,

(163)

LLLLL r3 = l1 + l2 +K + li −1 + si . po podstawieniu (163) do (162) i przekszta³ceniach otrzymano

[

] [

]

m ⋅ rs = m1 ⋅ s1 + (m2 + m3 +K + mn )l1 + m2 ⋅ s2 + ( m3 + m4 +K + mn )l2 +K +[mn ⋅ sn ]; lub

rs =

i=n

∑ hi i =1

(164)

gdzie

mi ⋅ si + ( mi +1 + mi + 2 +K + mn ) li . (165) m Jak wynika z zale¿noœci (165), wektory hi przyjmuj¹ kierunki równoleg³e do kierunków cz³onów oraz s¹ sta³e co do modu³ów w ka¿dym po³o¿eniu uk³adu mechanicznego. Nosz¹ one nazwê wektorów g³ównych. Stosuj¹c wektory g³ówne mo¿na dla ka¿dego uk³adu wyznaczyæ po³o¿enie œrodka ciê¿koœci w dowolnym po³o¿eniu mechanizmu, a powtarzaj¹c ten prosty zabieg – wykreœliæ bez trudu ca³¹ trajektoriê ts œrodka ciê¿koœci uk³adu. Poka¿emy to na przyk³adzie czworoboku przegubowego ABCD (rys. 206). Stosuj¹c oznaczenia jak na rysunku, po³o¿enie œrodka ciê¿koœci S opiszemy hi =

rs = h1 + h2 + h3 , gdzie

h1 =

m1 ⋅ s1 + ( m2 + m3 ) l1 , m

h2 =

m2 ⋅ s2 + m3 ⋅ l3 , m h3 =

m3 ⋅ s3 . m

(165a)

214

Rys. 206. Czworobok przegubowy ABCD wraz z ³añcuchem wektorów g³ównych hi okreœlaj¹cym po³o¿enie œrodka ciê¿koœci

Kolejne po³o¿enie œrodka ciê¿koœci, a wiêc i jego trajektoriê ts znajdziemy rysuj¹c wieloboki tych samych wektorów h1 , h2 , h3 , równoleg³e do odpowiednich cz³onów we wszystkich po³o¿eniach uk³adu mechanicznego. Przedstawiony sposób okreœlania ruchu œrodka ciê¿koœci ca³ego uk³adu mo¿na zastosowaæ skutecznie równie¿ do wywa¿ania mechanizmów.

14.1. Wywa¿anie mechanizmów dŸwigniowych Jak ju¿ wspomniano, si³y bezw³adnoœci dzia³aj¹ce na poszczególne cz³ony uk³adu kinematycznego obci¹¿aj¹ w rezultacie jego podstawê. Przeanalizujemy dla przyk³adu czworobok przegubowy ABCD (rys. 207a), w ruchu podtrzymywanym momentem czynnym Mc. Pomiñmy si³y ciê¿koœci, tarcia i inne obci¹¿enia zewnêtrzne. Przy takich za³o¿eniach cz³on (1) obci¹¿ony jest momentem Mc i Mb1 oraz si³¹ bezw³adnoœci Pb1, cz³ony (2) i (3) zaœ tylko si³ami bezw³adnoœci Pb2 i Pb3 i momentami Mb2 i Mb3. W wyniku ich dzia³ania podstawa (4) tego uk³adu jest obci¹¿ona si³ami P14 i P34, czyli w efekcie si³¹ wypadkow¹ R (rys. 207b). Si³a ta jest cyklicznie zmienna i wywo³uje omówione poprzednio skutki. Obci¹¿enie podstawy mo¿na wyznaczyæ równie¿ inaczej. W czasie ruchu mechanizmu wspólny œrodek ciê¿koœci S wszystkich ruchomych cz³onów przemieszca siê po okreœlonym torze ts (rys. 207c). Doznaje przyspieszenia as, a wiêc mo¿na mu przypisaæ si³ê bezw³adnoœci Pb, przy czym

Pb = − m ⋅ as , gdzie: m – masa uk³adu cz³onów ruchomych.

(166)

215

Rys. 207. Interpretacja obci¹¿enia podstawy mechanizmu si³ami bezw³adnoœci: a) mechanizm obci¹¿ony si³ami bezw³adnoœci, b) wypadkowe obci¹¿enie podstawy, c) Pb – si³a bezw³adnoœci dzia³aj¹ca na masê ca³ego cz³onu, d) obci¹¿enie podstawy przez Pb i Mb

216 Jak widaæ

Pb = ∑ Pbi .

(167)

Tak wiêc podstawê (4) omawianego czworoboku obci¹¿a wypadkowa si³a bezw³adnoœci Pb (rys. 207d). Podstawê (4) obci¹¿a równie¿ wypadkowy moment Mb reprezentuj¹cy wszystkie momenty dzia³aj¹ce na ruchome cz³ony mechanizmu

Mb = ∑ Mbi + M c .

(168)

Poprzez korekcjê rozk³adu mas poszczególnych cz³onów mo¿na wp³ywaæ na Pb oraz Mb. Taki zabieg nazywa siê wywa¿aniem, przy czym rozró¿nia siê dwa przypadki: 1. Wywa¿anie statyczne – gdy prowadzi do wyniku Pb = 0, ale Mb ¹ 0. 2. Wywa¿anie dynamiczne – gdy otrzymuje siê Pb = 0 i Mb = 0. Drugi przypadek jest praktycznie trudny do uzyskania i nie bêdziemy go tu omawiaæ. Rozwa¿my przypadek 1. 14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dŸwigniowych Mechanizm dŸwigniowy nazywamy wywa¿onym statycznie wtedy, gdy wypadkowa sii³ bezw³adnoœci jego cz³onów dla dowolnego po³o¿enia mechanizmu równa siê zeru, czyli

Pb = − m ⋅ as = 0.

(169)

W uk³adach rzeczywistych warunek (169) jest spe³niony tylko wtedy, gdy

as = 0, to zaœ zachodzi, gdy a) œrodek cie¿koœci mechanizmu porusza siê ruchem jednostajnym prostoliniowym, b) œrodek ciê¿koœci mechanizmu jest nieruchomy. W uk³adach dŸwigniowych charakteryzuj¹cych siê ruchem cyklicznym mo¿e byæ spe³niony tylko warunek b. Rozwa¿my ten przypadek. Jak mo¿na wykazaæ, œrodek ciê¿koœci ca³ego uk³adu bêdzie nieruchomy wtedy, gdy rs = const.

(170)

Mo¿na to uzyskaæ przez korekcjê rozk³adu masy na poszczególnych czlonach. Poka¿emy to na przyk³adach. Czworobok przegubowy Niech bêd¹ dane d³ugoœci cz³onów li , odleg³oœci si i masy mi tego uk³adu (rys. 206). W wyniku wywa¿enia musimy doprowadziæ do tego, by œrodek ciê¿koœci pozosta³ nieruchomy (rys. 208). Zajdzie to wtedy, gdy

h1' h' h' = 2 = 3 , l1 l2 l3

217

Rys. 208. Czworobok przegubowy ABCD wywa¿ony statycznie (³añcuch wektorów g³ównych hi podobny do mechanizmu)

gdzie hi – wektory g³ówne po korekcji mas cz³onów. Aby wyznaczyæ wielkoœæ niezbêdnych przeciwciê¿arów i okreœliæ ich rozmieszczenia, rozpiszemy ten uk³ad równañ w postaci

h1' h' = 3; l1 l3

h2' h' = 3 l2 l3

lub po wyra¿eniu wektorów g³ównych w czworoboku [m1'· s1' + (m2' + m3')l1]l3 = m3'· s3'· l1 [m2'· s2' + m3'· l2]l3 = m3'· s3'· l2.

(170a)

W uk³adzie równañ (170a) wystêpuje 6 niewiadomych m1', m2', m3', s1', s2' i s3', z których dwie mo¿na obliczyæ. W zale¿noœci od tego, które wielkoœci za³o¿ymy, otrzymamy (przedstawione na rys. 209) podstawowe kombinacje wywa¿enia statycznego czworoboku. Pozostañmy przy wersji a (rys. 210), przyjmuj¹c jako dane

Rys. 209. Przypadki wywa¿ania statycznego czworoboku ABCD

218 m1' = m1, m2' = m2 + mE, m3' = m3 + mF, s1' = s1. Pozosta³e wymiary s3' i s2', okreœlaj¹ce po³o¿enie mas zastêpczych m2' i m3' obliczymy z równañ (170a)

s3' =

[ m1' ⋅s1' + ( m2' + m3' ) l1 ] l3 m3' ⋅ l1

s2' =

m3' ⋅s3' ⋅l2 − m3' ⋅l2 ⋅ l3 . m2' ⋅ l3

Wielkoœci te umo¿liwiaj¹ ostateczne okreœlenie miejsca usytuowania przeciwciê¿arów E i F. Dla rozpatrywanych cz³onów (2) i (3) (rys. 210) napiszemy z warunku równowagi m2 (s2' – s2) = mE· x2, st¹d

x2 =

m2 ( s2' − s2 ) , mE

Rys. 210. Wywa¿anie statyczne czworoboku przegubowego ABCD

219 oraz m3 (s3' – s3) = mF· x3, st¹d

x3 =

m3 ( s3' − s3 ) . mF

Ostateczne po³o¿enie mas dodatkowych mE i mF wyznaczymy z równoœci lCE = s2' – lBC + x2, lDF = s3' – lCD + x3. Mechanizm korbowo-wodzikowy W mechanizmie korbowo-wodzikowym niewywa¿onym (rys. 211) wspólny œrodek ciê¿koœci S zakreœla trajektoriê ts. Aby uzyskaæ wywa¿enie statyczne nale¿y doprowadziæ do sytuacji, w której spe³niony jest warunek (170). W tym mechanizmie zajdzie to wtedy, gdy

h1 = 0 i h2 = 0.

(171)

Warunek (171) mo¿na, korzystaj¹c z zale¿noœci (165) i (165a), napisaæ w postaci m1'· s1' + l1(m2' + m3') = 0, m2'· s2' + l2· m3' = 0.

(172)

Z uk³adu równañ (172) mo¿na obliczyæ dwie niewiadome; np. zak³adaj¹c wspó³rzêdne si' mo¿na obliczyæ masê cz³onów mi'

m1' = −

l1 ( m2' + m3' ), s1'

Rys. 211. Tor œrodka cie¿koœci uk³adu wyznaczony metod¹ wektorów g³ównych

220

m2' = −

l2 m3' . s2'

Wyniki te sugeruj¹, ¿e efekt wywa¿enia statycznego mo¿na uzyskaæ rozbudowuj¹c cz³ony (1) i (2) o przeciwwagi E i F (rys. 212) o masach mE i mF, przy czym mE = m2' – m2, mF = m1' – m1, Niestety, jak siê okazuje, masy przeciwwag zapewniaj¹cych wywa¿enie statyczne wychodz¹ stosunkowo du¿e. Dla ilustracji liczbowej przytoczmy konkretny przyk³ad. Do wywa¿enia przyjêto uk³ad, w którym pierwotnie masy poszczególnych cz³onów wynosi³y: m2 = 3 kg, m3 = 1 kg, m1 = 2 kg, l2 = 200 mm, l1 = 80 mm, s1 = 30 mm, s2 = 100 mm. Dla efektu wywa¿enia statycznego nale¿a³oby w tym przypadku zamocowaæ przeciwwagê E na przyjêtej odleg³oœci BE = 71,5 mm o masie mE = 7 kg oraz przeciwwagê F na za³o¿onej odleg³oœci AF = 85 mm o masie mF = 20 kg. S¹ to wyniki rzeczywiœcie nie zachêcaj¹ce do stosowania. W tej sytuacji czêœciej stosuje siê wywa¿enie czêœciowe. Czêœciowe wywa¿anie uk³adu korbowo-wodzikowego W rozpatrywanym uk³adzie ABC (rys. 213a) czlony AB i BC o masie ci¹g³ej zast¹pimy ich modelami z³o¿onymi z dwóch mas ulokowanych w parach kinematycnych. Cz³on AB (rys. 213b), zast¹pimy wiêc masami mA1, mB1, cz³on BC – masami mB2 i mC2. W rezultacie otrzymamy model badanego uk³adu z rys. 213a przedstawiony na rys. 213c.

Rys. 212. Wywa¿anie statyczne uk³adu korbowo-wodzikowego ABC

221 Dla tego przypadku mB = mB1 + mB2

(173)

mC = mC2 + m3 oraz

mB1 = m1

s1 l −s ; mB 2 = m2 2 2 ; l1 l2

mC 2 = m1

s2 . l2

Rys. 213. Wywa¿anie statyczne (czêœciowe) uk³adu korbowo-wodzikowego ABC: a) schemat mechanizmu, b) masowe modele cz³onów ruchomych uk³adu, c) uk³ad ABC z przeciwag¹ E

222 Na przed³u¿eniu korby (1) umieœcimy przeciwwagê E o masie mE i za³o¿ymy ruch korby ze sta³¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ w1 = const. Przy tych za³o¿eniach na ruchome masy mB, mC, mE dzia³aj¹ si³y bezw³adnoœci

PB = − mB ⋅ a B , (174)

PC = − mC ⋅ aC , PE = − mE ⋅ a E po podstawieniu odpowiednich wzorów na przyspieszenia:

PB = − mB ⋅ l1 ⋅ ω 1 , 2

(175)

PC = mC ⋅ l1 ⋅ ω 1 (cos α + λ cos 2α +K ), 2

PE = − mE ⋅ e ⋅ ω 12. Rzutuj¹c te si³y na osie uk³adu wspó³rzêdnych otrzymamy 2

2

2

mB ⋅ l1 ⋅ ω 1 cos α + mC ⋅ l1 ⋅ ω 1 (cos α + λ cos 2α +K ) = mE ⋅ e ⋅ ω 1 cos α , 2

2

mB ⋅ l1 ⋅ ω 1 sin α = mE ⋅ e ⋅ ω 1 sin α .

(176)

Jak widaæ z uk³adu równañ (176), obydwa równania nie mog¹ byæ spe³nione jednoczeœnie (uwaga na sk³adniki podkreœlone). Oznacza to, ¿e si³a bezw³adnoœci jednej przeciwwagi E nie mo¿e zrównowa¿yæ wy¿szych harmonicznych si³y bezw³adnoœci masy mC w ruchu posuwisto-zwrotnym. Przy zastosowaniu tylko jednej przeciwwagi (na korbie) zawsze pozostaj¹ w czasie ruchu niezrównowa¿one si³y bezw³adnoœci wy¿szego rzêdu mas wodzika o ruchu posuwisto-zwrotnym, maj¹ce kierunek osiowy

mC ⋅ l1 λ ω 1 cos 2α +K 2

Ze wzglêdu na ma³¹ wartoœæ l = l1/l2 mo¿na na ogó³ takie niezrównowa¿enie dopuœciæ, zw³aszcza wtedy, gdy chodzi o si³y wy¿szego ni¿ drugiego rzêdu – ich wartoœci s¹ proporcjonalne do potêg l. Zachowuj¹c w równaniach (176) tylko si³y pierwszego rzêdu otrzymamy (mB + mC)l1 w12 cos a = mE· e w12 cos a , mB· l1 w12 sin a = mE· e w12 sin a .

(177)

Z równañ (177) widaæ, ¿e i przy tych uproszczeniach mo¿liwe jest tylko czêœciowe zrównowa¿enie si³ pierwszego rzêdu. Przeanalizujemy trzy przypadki:

223 1. Masê przeciwwagi mo¿na przyj¹æ tak, by w ka¿dej chwili ruchu by³o spe³nione drugie równanie uk³adu (177). Oznacza to wywa¿enie tylko mas obrotowych. Dla tego przypadku mB· l1 = mE' · e, czyli (178)

mE' = mB

l1 , e

W czasie ruchu pozostaje wtedy niezrównowa¿ona zmienna si³a bezw³adnoœci PC (rzêdu pierwszego) mas w ruchu posuwisto-zwrotnym maj¹ca kierunek osi cylindra (osi x):

PC' = mC ⋅ l1 ⋅ ω 1 cos α . 2

(179)

2. Masê mE przeciwwagi E mo¿na dobraæ tak, by w ka¿dej fazie ruchu by³o spe³nione pierwsze równanie uk³adu (176). Oznacza to wtedy, ¿e (mB + mC) l1 = mE" e, czyli

l mE" = ( mB + mC ) 1 . e

(180)

W czasie ruchu pozostanie jednak wtedy niezrównowa¿ona zmienna si³a bezw³adnoœci o kierunku poprzecznym (osi y) i wartoœci 2

PBy" = − mC l1 ω 1 sin α . 3. Masê mE przeciwwagi E mo¿na dobraæ tak, by zrównowa¿yæ czêœciowo masy uczestnicz¹ce w ruchu obrotowym i czêœciowo masy w ruchu posuwisto-zwrotnym. Masê mE mo¿na wtedy wyznaczyæ, zak³adaj¹c po¿¹dany stosunek niewywa¿onych si³ o kierunkach poprzecznym i pod³u¿nym.

Rys. 214. Przyk³ady wyciszania dynamicznych oddzia³ywañ w parze A: a) ca³kowite, b) czêœciowe

224 Na zakoñczenie nale¿y równie¿ wspomnieæ o mo¿liwoœci wyzerowania dynamicznych si³ oddzia³ywania w g³ównym ³o¿ysku A (ca³kowicie lub czêœciowo) w wyniku osadzenia na jednym wale kilku identycznych uk³adów. Przyk³ady takich rozwi¹zañ przedstawiono na rys. 214.

14.3. Wywa¿anie mas obrotowych Cia³o wiruj¹ce doko³a jednej ze swych g³ównych osi bezw³adnoœci obci¹¿a podtrzymuj¹ce go ³o¿yska tylko si³ami oddzia³ywania statycznego. Tak siê zwykle projektuje wszelkie elementy typu wirnikowego. Praktycznie jednak taki przypadek jest nieosi¹galny (niejednorodnoœæ materia³u, obróbka, monta¿) i zwykle w ³o¿yskach wirników pojawiaj¹ siê (poza statycznymi) dodatkowe oddzia³ywania dynamiczne. Aby oceniæ skalê zjawiska, podamy nastêpuj¹cy przyk³ad. Wirnik o masie m = 10 kg obraca siê ze sta³¹ prêdkoœci¹ w = 1000 s–1 (n = 9500 obr/min). W rzeczywistym wykonaniu œrodek ciê¿koœci S tego wirnika jest przesuniêty wzglêdem osi obrotu o wartoœæ x = 0,1 mm. Wirnik taki obcia¿a wtedy si³a bezw³adnoœci Pb Pb = x w2 m = 0,0001· 10002· 10 = 1000 N. Zwróæmy uwagê na ten wynik. Przy tak ma³ej niedok³adnoœci (0,1 mm) si³a bezw³adnoœci jest dziesiêciokrotnie wiêksza od si³y ciê¿koœci (Pb/G = 10). Zauwa¿my równie¿, ze si³a Pb, a wiêc równie¿ i wywo³ywane t¹ si³¹ oddzia³ywania w ³o¿yskach podtrzymuj¹cych wirnik s¹ si³ami wiruj¹cymi.

Rys. 215. Cz³on obrotowy niewywa¿ony

225 W ogólnym przypadku, oprócz si³y bezw³adnoœci Pb, przy³o¿onej w œrodku ciê¿koœci, element wiruj¹cy obci¹¿a równie¿ moment si³ bezw³adnoœci Mb. Obydwa te obci¹¿enia wywo³uj¹ w ³o¿yskach wirnika oddzia³ywania dynamiczne. Nasuwa siê pytanie: jakie warunki musz¹ byæ spe³nione by wartoœci tych oddzia³ywañ by³y minimalne? Chc¹c uj¹æ rzecz ogólnie, rozpatrzmy cz³on sztywny pozostaj¹cy w ruchu obrotowym wokó³ osi z uk³adu wspó³rzêdnych x, y, z (rys. 215) z prêdkoœcia k¹tow¹ w i przyspieszeniem k¹towym e. Jak mo¿na wykazaæ [1], [2], [12], [13], sk³adowe Pb oraz Mb mo¿na wyraziæ Pbx = m (w2 · xS – e · yS), Pby = m (w2 · yS – e · xS),

(181)

Pbz = 0. oraz Mx = w2 · Jyz – e · Jxz, My = – w2 · Jxz – e · Jyz,

(182)

Mz = – e, gdzie: xS, yS – wspó³rzêdne œrodka S mas wiruj¹cych, Jxz, Jyz – momenty dewiacyjne wzglêdem odpowiednich osi, Jz – moment bezw³adnoœci cz³onu wzglêdem osi z. Po uwzglêdnieniu (181) Pb mozna wyraziæ w postaci wzoru

Pb =

2

2

Pbx + Pby

= rS m ω 4 + ε 2 .

Z ostatniego wzoru wynika, ¿e dla wszystkich w i e zachodzi Pb = 0

(183)

r S = 0.

(184)

tylko wtedy, gdy Cz³on wiruj¹cy bêdzie wywa¿ony ca³kowicie, je¿eli ponadto sk³adowe Mx i My momentu si³ bezw³adnoœci (Mb) bed¹ równe zeru. (Sk³adowa Mz jest równowa¿ona momentami si³ zewnêtrznych – napêdowych – i nie wywo³uje oddzia³ywañ dynamicznych w ³o¿yskach podporowych A i B). Tak wiêc dla unikniêcia oddzia³ywañ dynamicznych musi zaistnieæ równie¿ warunek Mx = 0, My = 0. Warunek ten bêdzie spe³niony dla wszystkich w i e, gdy

(185)

226

Rys. 216. Wywa¿anie statyczne wirnika: a) wykrywanie niewywa¿enia, b) wywa¿anie mas¹ mk

Jxz = 0, Jyz = 0,

(186)

tzn. gdy jedna z g³ównych osi bezw³adnoœci (a) pokryje siê z osi¹ obrotu z. Aby to uzyskaæ, nale¿y w rozpatrywanym wirniku dokonaæ odpowiedniej korekty rozk³adu mas (przez dodawanie lub odejmowanie b¹dŸ przemieszczanie). Zabieg taki nazywa siê powszechnie wywa¿aniem, przy czym rozró¿niamy: a) wywa¿anie statyczne, gdy prowadzi do spe³nienia warunku (183), b) wywa¿anie dynamiczne, gdy ma na celu spe³nieni warunków (183) i (185) jednoczeœnie. 14.3.1. Wywa¿anie statyczne cz³onów obrotowych (wirników) Omawiany zabieg, maj¹cy na celu spe³nienie warunku Pb = 0, oznacza innymi s³owy sprowadzenie œrodka ciê¿koœci wirnika do jego osi obrotu. Jest to zabieg stosunkowo prosty. Mo¿na w tym celu ustawiæ czopy wirnika na g³adkich poziomych prowadnicach lub rolkach (rys. 216a). Wirnik obróci siê wtedy tak, by œrodek ciê¿koœci wirnika zaj¹³ po³o¿enie najni¿sze. W rzeczywistoœci, wskutek istnienia tarcia, bêdzie to ca³y obszar po³o¿eñ równowagi. Jego granice mo¿na wyznaczyæ ustawiaj¹c dwukrotnie wirnik tak, by obraca³ siê raz w jedn¹ raz w drug¹ stronê. Dok³adn¹ masê korekcyjn¹ nale¿y umieœciæ nad osi¹ wirnika. Jej iloœæ dobiera siê na drodze kolejnych prób lub poprzez pomiar stopnia niewywa¿enia na specjalnych urz¹dzeniach.

227 Wirnik wywa¿ony statycznie pozostaje w równowadze w ka¿dym po³o¿eniu. Oczywiœcie wynik taki uzyska siê wtedy, gdy przy³o¿ona masa korekcyjna spe³ni warunek mk · r k = m · x.

(187)

Jak wynika z warunku (187), masa korekcyjna mk mo¿e byæ przyk³adana na dowolnie zak³adanym promieniu rk i w zasadzie w dowolnej p³aszczyŸnie p . Ze zrozumia³ych powodów zaleca siê jednak przyjmowaæ p³aszczyznê korekcji tak by z = 0 (rys. 216b). Wywa¿anie statyczne mo¿e byæ zalecane i wystarczaj¹ce tylko w przypadku tarcz lub kó³, w których mo¿na przyj¹æ, ¿e praktycznie masa roz³o¿ona jest w jednej p³aszczyŸnie. I w tych jednak przypadkach nale¿y siê liczyæ z mo¿liwoœci¹ wyst¹pienia okreœlonego momentu si³ bezw³adnoœci przy obrocie wirnika. 14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych Rozwa¿my ogólny przypadek wirnika osadzonego obrotowo w ³o¿yskach A i B (rys. 217a), w których obydwa warunki (183) i (185) nie s¹ spe³nione. Wystêpuje wtedy, gdy œrodek S masy tego wirnika nie le¿y na osi obrotu i g³ówna oœ bezw³adnoœci a nie pokrywa siê z osi¹ obrotu. Do pogl¹dowego przedstawienia problemu podzielmy wirnik p³aszczyzn¹ p na dwie czêœci i przez SI i SII oznaczmy ich œrodki mas. Rozpatrzmy problem wywa¿enia tych mas. Jak wynika z analizy warunków (181)

Rys. 217. Wywa¿anie dynamiczne wirnika: a) interpretacja zjawiska niewywa¿enia, b) rozk³ad mas niewywa¿enia mi oraz mas wywa¿aj¹cych mki

228 i (182), efekt wywa¿enia mo¿na uzyskaæ dok³adaj¹c (lub odejmuj¹c) co najmniej dwie masy. Niech bêd¹ to masy korekcyjne m1 i m2 przy³o¿one w p³aszczyznach p1 i p2 prostopad³ych do osi obrotu, na promieniach r1 i r2 (rys. 217a). Je¿eli wprowadziæ uk³ad wspó³rzêdnych jak na rys. 217b, to zgodnie z (184) i (186) – poszukiwane masy korekcyjne m1 i m2 powinny spe³niaæ równania: mI rI + m2 r2 cos a2 + m1 r 1 cos a1 + mII rII cos aII = 0, m2 r 2 sin a2 + m1 r1 sin a1 + mII rII sin aII = 0, zI mI rI + z2 m2 r 2 cos a2 + z1 m1 r1 cos a1 + zII mII rII cos aII = 0,

(188)

z2 m2 r2 sin a2 + z1 m1 r1 sin a1 + zII mII rII sin aII = 0. Podany uk³ad równañ umo¿liwia obliczenie czterech niewiadomych. Zak³adaj¹c np. promienie r1 i r2, mo¿na wyznaczyæ pozosta³e parametry mas korekcyjnych, a wiêc m1, m2, a1 i a2. Przyk³adowo dla z1 = zI, z2 = zII z uk³adu równañ (188) otrzymalibyœmy: a1 = p, a2 = aI – p, m 1 r1 = m I r I ,

(189)

m2 r2 = mII rII . Jak wynika z tego przyk³adu, problem wywa¿ania dynamicznego by³by wzglêdnie ³atwy, gdyby znany by³ stan niewywa¿enia, tzn. wartoœci mas mI i mII oraz miejsce ich po³o¿enia. W praktyce s¹ to wielkoœci nie znane, bo zwykle niezamierzone. Problem sprowadza siê wiêc do ich okreœlenia. Dokonuje siê tego doœwiadczalnie z zastosowaniem specjalnych urz¹dzeñ, zwanych wywa¿arkami dynamicznymi. Urz¹dzenia te umo¿liwiaj¹ przede wszystkim wyznaczenie w przyjêtych p³aszczyznach tzw. p³aszczyznach niewywa¿enia

Rys. 218. Przyk³ad zasady dzia³ania wywa¿arki dynamicznej

229

µi =

mi ⋅ ri m

(190)

bêd¹cego miar¹ przesuniêcia masy mi cz³onu odniesionego do rozpatrywanej p³aszczyzny. Jednoczeœnie urz¹dzenie to okreœla miejsce, gdzie nale¿y masê korekcyjna przy³o¿yæ lub odj¹æ. Poni¿ej przeœledzimy zasadê dzia³ania przyk³adowego rozwi¹zania wywa¿arki dynamicznej (rys. 218). Istotnym elementem wywa¿arki dynamicznej jest rama R osadzona obrotowo w podstawie i podparta w drugim koñcu sprê¿yœcie. Na ramie w ³o¿yskach A i B osadzony jest wywa¿any wirnik tak, by jedna z wybranych p³aszczyzn wywa¿enia przechodzi³a przez oœ O obrotu ramy. Je¿eli wirnik zostanie wprawiony w ruch obrotowy si³y bezw³adnoœci mas niewywa¿onych spowoduj¹ wychylenie sie ramy R wokó³ przegubu O. Wychylanie siê ramy z po³o¿enia równowagi, przy ustawieniu wirnika jak na rys. 218, bêdzie wywo³ywane tylko przez si³y bezw³adnoœci niewywa¿enia przypadaj¹cego na p³aszczyznê korekcji p1. O wartoœci tego niewywa¿enia mo¿na wnosiæ z amplitudy drgañ mierzonej, np. czujnikiem M. Amplituda A jest proporcjonalna do si³y wynuszaj¹cej Pb = P1 A 1 = k · P 1,

(191)

gdzie: k – wspó³czynnik proporcjonalnoœci, wartoœæ charakterystyczna (lecz nie znana) dla ca³ego zespo³u rama–wirnik, P1 – si³a bezw³adnoœci niewywa¿enia odniesionego do p³aszczyzny p1. W celu wyznaczenia wspó³czynnika k przeprowadzamy nastêpuj¹ce rozumowanie i zabiegi. Zmierzona maksymalna wartoœæ amplitudy A1 (okreœlona przy prêdkoœci rezonansowej) pojawi³a siê w wyniku dzia³ania si³y P1 (rys. 219a). Si³a P1 nie jest znana, bo nie jest znana masa niewywa¿enia m1 i parametry jej po³o¿enia r 1 i a.

Rys. 219. Si³y bezw³adnoœci w kolejnych fazach wywa¿ania dynamicznego

230 W tej sytuacji zamocujemy w dowolnym miejscu, np. w punkcie K (rys. 219b), dowoln¹ (lecz znan¹) masê próbn¹ mp na promieniu rp. Po ponownym uruchomieniu wirnika na czujniku M odczytamy maksymaln¹ amplitudê A2, która jest proporcjonalna do wypadkowej si³y bezw³adnoœci obu mas m1 i mp A2 = k· r2, gdzie

R2 = P1 + PpK . Ten sam pomiar powtórzymy mocuj¹c tê sam¹ masê próbn¹ mp po przeciwnej stronie wirnika w punkcie L (rys. 219c). Otrzymamy wtedy A 3 = k · r 3, gdzie

R3 = P1 + PpL . Si³y P1 , PpK , PpL , R2 i R3 tworz¹ plan si³ przedstawiony na rys. 220a, amplitudy A1, A2, A3 zaœ i nie znana Ap, przypadaj¹ca na masê próbn¹ mp, tworz¹ podobny plan przedstawiony na rys. 220b. Z planu tego mo¿na okreœliæ nie znan¹ dotychczas Ap, wykorzystuj¹c np. twierdzenie o przek¹tnych równoleg³oboku

2 Ap2 + 2 A12 = A22 + A32, czyli 2

2

2

A2 + A3 − 2 A1 , 2

Ap =

(192)

jednoczeœnie: A p = k · Pp, a wiêc

k =

Ap Pp

.

Korzystaj¹c teraz z wzorów (193) i (191) otrzymamy

P1 =

A1 A = 1 Pp , k Ap

(193)

231

Rys. 220. Rysunek pomocniczy do wyznaczania miejsca masy korekcyjnej na elemencie wywa¿anym

czyli

P1 = m1 r1 =

A1 mp rp . Ap

(194)

W ten sposób mo¿na wyznaczyæ nieznane dotychczas niewywa¿enie P1 w p³aszczyŸnie p1. Mo¿na równie¿ okreœliæ miejsce masy niewywa¿onej. Z D x, y, z otrzymamy 2

α = arccos

2

2

A 1 + Ap − A2 2 Ap A1

.

(195)

Po wywa¿eniu wirnika w p³aszczyŸnie (1) odwracamy wirnik osadzaj¹c go tak w ramie wywa¿arki, by p³aszczyzny p1 i p2 zamieni³y siê miejscami i zabiegi te powtarzamy. Na zakoñczenie nale¿y podkreœliæ, ¿e opisan¹ tu wywa¿arkê trzeba traktowaæ jako przyk³ad dydaktyczny. Wspó³czesne rozwi¹zania charakteryzuj¹ siê czêsto pe³n¹ elektronizacj¹ i automatyzacj¹. Obs³uga tych urz¹dzeñ sprowadza siê zwykle do za³o¿enia elementu wywa¿anego, uruchomienia, a nastêpnie odczytu wartoœci i miejsca przy³o¿enia masy korekcyjnej. W produkcji seryjnej, np. podczas wywa¿ania wirników silników elektrycznych ma³ej mocy, w pe³ni zautomatyzowana maszyna dokonuje wszystkich czynnoœci zwi¹zanych z wywa¿aniem. Dokonuje równie¿ korekty rozk³adu masy, zwykle nie poprzez dok³adanie, lecz usuwanie nadmiaru masy. Dzieje siê to za pomoc¹ nawiercania, frezowania lub szlifowania specjalnie w tym celu ju¿ konstrukcyjnie przewidzianych miejsc. Analizowane zagadnienia wywa¿ania dotyczy³y przede wszystkim elementów sztywnych. Jak wiadomo, nie zawsze mo¿na takie upraszczaj¹ce za³o¿enia przyj¹æ. Uwzglêdnienie podatnoœci wywa¿anych elementów ogromnie komplikuje jednak ca³y problem. Nawi¹zano do tych spraw w rozdz. 15.4.

232

15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi Niektóre problemy in¿ynierskie mo¿na rozwi¹zaæ traktuj¹c poszczególne podzespo³y maszyn jako uk³ady kinematyczne z³o¿one z cz³onów sztywnych. W wielu jednak przypadkach za³o¿enie o nieodkszta³calnoœci cz³onów jest zbyt du¿ym uproszczeniem. Podatnoœæ cz³onów w rzeczywistoœci wp³ywa, i to czêsto w sposób istotny, na parametry ruchu uk³adu. Wp³ywa na kinematykê i dynamikê uk³adu, ale równie¿ zmienia jego strukturê. Trzeba powiedzieæ ju¿ na pocz¹tku, ¿e uwzglêdnienie podatnoœci cz³onów w ruchomych uk³adach kinematycznych jest zwykle problemem trudnym i z³o¿onym. Wymaga tworzenia specjalnych modeli dynamicznych i rozwi¹zywania ich na gruncie teorii drgañ. Nie wchodz¹c w tê szerok¹ i oddzieln¹ dziedzinê wiedzy, pragniemy tu jedynie zasygnalizowaæ niektóre problemy cz¹stkowe, by zachêciæ Czytelnika równie¿ do innej literatury przedmiotu [4], [9], [12]. Podczas rozpatrywania wielocz³onowych mechanizmów z uwzglêdnieniem podatnoœci, zapisywanie równañ ruchu, a zw³aszcza ich rozwi¹zywanie, ogromnie siê komplikuje. Wynika to z tego, ¿e ka¿dy podatny cz³on wnosi do uk³adu dodatkow stopnie swobody. Daltego te¿ do ro rozwi¹zywania problemów dynamiki z uwzglêdnieniem podatnoœci czêsto stosuje siê metody przybli¿one, wykorzystuj¹ce tzw. sztywnoœci uogólnione, okreœlane np. wspó³czynnikiem sztywnoœci zredukowanej (zastêpczej) lub wspó³czynnikiem podatnoœci zredukowanej (zastêpczej). Na pocz¹tek przypomnijmy tu, znane z wytrzyma³oœci materia³ów, pojêcie sztywnoœci i podatnoœci cz³onu. Rozwa¿my w tym celu cz³on podatny (1) obci¹¿ony si³¹ osiow¹ P (rys. 221a). Je¿eli pod dzia³aniem si³y P cz³on ulegnie odkszta³ceniu o wartoœæ Dl, to stosunek si³y P do odkszta³cenia Dl bêdziemy nazywaæ sztywnoœci¹ wzd³u¿n¹ kl

kl =

P N . ∆l  m 

(196)

Je¿eli pod dzia³aniem momentu M (rys. 221b) przekrój X cz³onu (1) dokona obrotu o k¹t Dj, to stosunek momentu M do odkszta³cenia Dj bêdziemy nazywaæ sztywnoœci¹ poprzeczn¹ ks

ks =

M  N ⋅ m . ∆ϕ  rad 

(197)

233

Rys. 221. Interpretacja pojêcia sztywnoœci: a) sztywnoœæ wzd³u¿na, b) sztywnoœæ skrêtna

Do okreœlania rozpatrywanych w³aœciwoœci cz³onów podatnych stosuje siê równie¿ pojêcie podatnoœci, oznaczane symbolami cl i cs. Jak wiadomo [4], sztywnoœæ k jest odwrotnoœci¹ podatnoœci c

k =

1 . c

(198)

Odnosi siê to równie¿ do wspomnianej sztywnoœci zredukowanej (lub zastêpczej) kr i podatnoœci zredukowanej cr, czyli

kr =

1 . cr

(199)

Przy okreœlaniu sztywnoœci lub podatnoœci zredukowanej rozró¿niamy dwa typowe przypadki po³¹czeñ cz³onów podatnych, tzn. szeregowych (rys. 222a) i równoleg³y (rys. 222b). Iloœciowo wspó³czynnik kr lub cr okreœla siê na podstawie zasady równoœci energii potencjalnej (przy równoleg³ym po³¹czeniu) oraz równoœci si³y wymuszaj¹cej odkszta³cenie (przy szeregowym). Otrzymuje siê odpowienio dla po³aczeñ: – równoleg³ych

k r = ∑ ki

(200)

1 1 = ∑ . kr ki

(201)

– szeregowych

234

Rys. 222. Sztywnoœæ zredukowana: a) po³¹czenie szeregowe, b) po³¹czenie równoleg³e

Nale¿y podkreœliæ, ¿e wzory (200) i (201) zosta³y wyprowadzone z pominiêciem masy rozpatrywanych cz³onów podatnych oraz za³o¿enia, ¿e cz³ony te s¹ ze sob¹ sprzê¿one bezpoœrednio (realizuj¹ ten sam ruch). Operowanie sztywnoœci¹ zredukowan¹ umo¿liwia zast¹pienie z³o¿onych uk³adów kinematycznych prostymi modelami i u³atwia w ten sposób rozwi¹zanie problemu.

15.1. Dynamika mechanizmów obrotowych Dany jest uk³ad (rys. 223a) z³o¿ony z dwustopniowej przek³adni zêbatej ³¹cz¹cej silnik S z organem wykonawczym W w postaci wirnika wentlatora o sta³ym momencie bezw³adnoœci Jw = const. Wirnik silnika S ma moment bezw³adnoœci

Rys. 223. Wyznaczanie odkszta³ceñ uk³adu przeniesienia napêdu: a) schemat uk³adu, b) model dynamiczny ze zredukowan¹ sztywnoœci¹ kr

235 Js = const i daje moment si³ Ms równowa¿¹cy moment si³ biernych Mw obci¹¿aj¹cy wirnik wentylatora W. Wirnik silnika i wentylatora po³¹czone s¹ ze sob¹ za poœrednictwem szeregu elementów podatnych. Dla uproszczenia potraktujemy tarcze kó³ zêbatych jako elementy sztywne i uwzglêdnijmy tylko podatnoœæ wa³ków (1), (2) i (3), okreœlon¹ wspó³czynnikami c1, c2 i c3. W wyniku odnotowanych trzech podatnoœci uk³ad ma cztery stopnie swobody, co ogromnie utrudnia zapis jego ruchu. Dla uproszczenia problemu zast¹pimy uk³ad rzeczywisty (rys. 223a) modelem dynamicznym (rys. 223b), z³o¿onym z dwóch mas po³¹czonych jednym cz³onem. W modelu tym masa mS o momencie bezw³adnoœci Js reprezentuje masê wirnika silnika, masa mr reprezentuje masê wirnika wentylatora oraz masy kó³ zêbatych (1), (2'), (2'') i (3). Taka zredukowana masa scharakteryzowana jest zredukowanym momentem bezw³adnoœci Jr. £¹cz¹cy te dwie masy umowny cz³on (rys. 223b) odznacza siê podatnoœci¹ zredukowan¹ er lub sztywnoœci¹ kr. Aby okreœliæ wartoœæ tego wspó³czynnika zauwa¿ymy, ¿e odkszta³cenie Dj1, Dj2 i Dj3 wa³ków (1), (2) i (3) w wyniku obci¹¿enia uk³adu momentem czynnym Ms mo¿na wyraziæ wzorami Dj1 = c1 Ms Dj2 = c2 Ms· i12,

(202)

Dj3 = c3 Ms· i13, w których: i12 = Ms/M2 – prze³o¿enie pomiêdzy wa³kiem (1) i (2), i13 = Ms/M3 – prze³o¿enie pomiêdzy wa³kiem (1) i (3). Obrót wirnika S w wyniku odkszta³cenia wa³ka (2) oraz wa³ka (3) mo¿na wyraziæ Dj1(2) = Dj2·i12, Dj1(3) = Dj3·i13.

(203)

Przy takich oznaczeniach, ³¹czne odkszta³cenie uk³adu mierzone k¹tem Dj obrotu wirnika S wzglêdem W, w wyniku obci¹¿enia momentem Ms, mo¿na wyraziæ wzorem Dj = Dj1 + Dj1(2) + Dj1(3) lub po podstawieniu (203) i (202) Dj = Ms (c1 + c2· i122 + c3· i132).

(204)

Z drugiej strony, z za³o¿enia Dj = cr· Ms, czyli po uwzglêdnieniu (204) i (205), otrzymamy cr = c1 + c2· i122 + c3· i132 lub

kr =

1 . cr

(205)

236 Mamy wiêc dwumasowy model dynamiczny rozpatrywanego uk³adu mo¿liwy do przyjêcia jednak tylko wtedy, gdy momenty bezw³adnoœci elementów (1), (2) i (3) zredukowane do wirnika W s¹ odpowiednio ma³e w porównaniu z Js i Jw. W przeciwnym razie nale¿y przejœæ na model bardziej rozbudowany. Pozostaj¹c przy naszym modelu, nale¿y go poddaæ bli¿szej analizie. Nale¿y napisaæ uk³ad dwóch równañ ró¿niczkowych ruchu, np. w postaci

&s = M s − k r ⋅ ϕ s − ϕ w , J s ⋅ ϕ& &w = M w − k r ⋅ ϕ s − ϕ w J w ⋅ ϕ&

i przeprowadziæ ich szczegó³owe badania. Nie podejmuj¹c tu tych na ogó³ uci¹¿liwych zabiegów, powiemy tylko, ¿e rozpatrywany model ma dwa stopnie swobody, mo¿na siê wiêc spodziewaæ ruchu z³o¿onego z pewnej sta³ej prêdkoœci w i dodatkowego ruchu z prêdkoœci¹ zmienn¹ cyklicznie (drgania).

15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dŸwigniowych Rozpatrzmy dla przyk³adu czworobok przegubowy ABCD (rys. 224a). W mechanizmie tym moment napêdowy (czynny) przy³o¿ony jest do wa³u (2), na którym jest osadzona korba AB, moment bierny zaœ obci¹¿a wa³ (4) zakoñczony ramieniem

Rys. 224. Okreœlanie odkszta³ceñ w czworoboku przegubowym: a) schemat uk³adu, b) dwumasowy model dynamiczny uk³adu ze zredukowan¹ sztywnoœci¹ kr2

237 DC. W wyniku obci¹¿enia uk³adu ulegnie odkszta³ceniu cz³on AB i jego wa³ (2) na d³ugoœci l2 oraz ramiê DC i jego wa³ (4) na d³ugoœci l4. Za³ó¿my, ¿e odkszta³cenia te bêdziemy okreœlaæ odpowiednio jednym wspó³czynnikiem skrêtnej podatnoœci c2 i jednym wspó³czynnikiem skrêtnej podatnoœci c4. O cz³onie poœrednicz¹cym (³¹czniku) (3) za³o¿ymy, ¿e jest on tylko rozci¹gany si³¹ osiow¹ P23 = P43 = M2/h2 i pomijamy jego masê. Odkszta³cenie cz³onu (3) w tych warunkach okreœlimy wspó³czynnikiem wyd³u¿enia c3. Zak³adamy, ¿e wartoœci wspó³czynników ci s¹ znane z bezpoœrednich pomiarów lub obliczone analitycznie wed³ug wzorów

c2 =

l2 l4 , c4 = , ⋅ G2 J 2 G4 ⋅ J 4

(206)

w których: li – d³ugoœæ czêœci skrêcanej wa³ka i-tego, Gi – modu³ sprê¿ystoœci poprzecznej, Ji – biegunowy moment bezw³adnoœci przekroju wa³ka i-tego oraz

c3 =

l3 , E3 ⋅ X 3

(207)

gdzie: l3 – d³ugoœæ ³¹cznika, E3 – modu³ sprê¿ystoœci pod³u¿nej, X3 – przekrój poprzeczny ³¹cznika. Znaj¹c wartoœæ wspó³czynników ci oraz obci¹¿eñ zewnêtrznych, mo¿na okreœliæ deformacje rozpatrywanych cz³onów Dj2 = M2· c2,

(208)

Dj4 = M4· c4, Dl3 = P23· c3,

(209)

Przeanalizujmy z kolei ³¹czny wp³yw deformacji poszczególnych cz³onów na deformacjê ca³ego uk³adu. W szczególnoœci, je¿eli przez X2 i X4 oznaczyæ przekroje wa³ów (2) i (4), w których przy³o¿one s¹ momenty M2 i M4, to przedmiotem zainteresowania bêdzie k¹t obrotu Dj, rozumiany jako miara obrotu przekroju X2 wzglêdem przekroju X4. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e Dj = Dj2 + Dl3· j23 + Dj4· i24, gdzie czyli

(210)

j23 – wspó³czynnik wp³ywu zmiany d³ugoœci ³¹cznika na obrót ramienia AB przy unieruchomionym ramieniu DC,

j23 =

∆ϕ 2' , ∆l3

(211)

238 czyli

i24 – prze³o¿enie okreœlone stosunkiem obrotu ramion DC i AB,

i24 =

∆ϕ 2 . ∆ϕ 4

(212)

Po podstawieniu do (210) zale¿noœci (208) i (209) otrzymamy Dj = M2· c2 + P23· c3· j23 + M4· c4· i24

(213)

Zauwa¿my z kolei, ¿e P23 = M2· j23 ,

(214)

M4 = M2· i24

(215)

i podstawmy te zwi¹zki do (213), Otrzymamy Dj = M2(c2 + c3· j232 + c4· i 242),

(216)

Z drugiej strony mo¿na zapisaæ Dj = M2· cr2,

(217)

gdzie: cr2 – zredukowana do cz³onu (2) podatnoœæ ca³ego uk³adu. Wartoœæ tego wspó³czynnika mo¿na okreœliæ z porównania (216) i (217). Otrzymamy cr2 = c2 + c3· j232 + c4· i 242

(218)

Zajmiemy sie teraz wyznaczaniem wspó³czynników cr2 i i24. Jak wynika z definicji (211), (212), s¹ to okreœlone prze³o¿enia

i24 =

∆ϕ 2 ω 2 v B ⋅ lCD , = = ∆ϕ 4 ω 4 vC ⋅ l AB

(219)

j23 =

v ' ∆ϕ 2 ω 2' = = B , v3' v3' ⋅l AB ∆l3

(220)

gdzie v3' – prêdkoœæ zmiany d³ugoœci ³¹cznika BC podczas jego odkszta³cenia wywo³uj¹ca prêdkoœæ vB' punktu B. Jak z tego widaæ, prze³o¿enie i24 i j23 mo¿na wyznaczyæ pos³uguj¹c siê np. odpowiednimi, w dowolnej podzia³ce wykreœlonymi, planami prêdkoœci (rys. 225). I tak

i24 =

pb ⋅ lCD ω2 = pc ⋅ l AB ω4

(221)

lub wykorzystuj¹c twierdzenie sinusów dla trójk¹ta pbc (rys. 225b)

i24 =

lCD sin(ϕ 4 − ϕ 3 ) . l AB sin (ϕ 2 − ϕ 3 )

(222)

239

Rys. 225. Rysunek pomocniczy do wyznaczania prze³o¿eñ: a) c) schematy mechanizmów, b) d) plany prêdkoœci

W celu okreœlenia prze³o¿enia j23 przeanalizujemy mechanizm zastêpczy (rys. 225c) i jego plan prêdkoœci (rys. 225d). Je¿eli z za³o¿enia j23 = w2/v3' , to z Dpb2b3 otrzymamy

j23 =

pb2 b2b3 ⋅ l AB

(223)

lub korzystaj¹c z twierdzenia sinusów dla prostok¹tnego trójk¹ta pb2b3 (rys. 225d)

j23 =

1 . l AB sin(ϕ 2 − ϕ 3 )

(224)

Ostatecznie, po uwzglêdnieniu wzorów (218), (222) i (224), otrzymamy

cr 2 = c2 +

2

c3 2

l AB sin 2 (ϕ 2 − ϕ 3 )

+

c4 lCD sin2 (ϕ 4 − ϕ 3 ) 2 l AB sin 2 (ϕ 2 − ϕ 3 )

(225)

lub

kr 2 =

1 . cr 2

(226)

240 Na podstawie otrzymanych wyników mo¿na ostatecznie zbudowaæ model dynamiczny rozpatrywanego uk³adu. Bêdzie to znów model dwumasowy (rys. 224b), ró¿ny od omawianego ju¿ modelu na rys. 223b tylko tym, ¿e sztywnoœæ kr2 nie jest sta³a, lecz zale¿y od po³o¿enia mechanizmu kr2 = f(j2). Oczywiœcie, nale¿y o tym pamiêtaæ podczas analizowania ró¿niczkowych równañ ruchu, które dla tego przypadku przyjê³yby postaæ

&s = M s − k r 2 (ϕ s − ϕ 2 ), J sϕ& &2 = M r 2 − k r 2 (ϕ s − ϕ 2 ), J r 2ϕ& gdzie: js – k¹t obrotu silnika, Ms – moment na wale silnika (Ms = M2), Js – zredukowany moment bezw³adnoœci ruchomych czêœci silnika, j 2 – k¹t obrotu przekroju X2 cz³onu (2), Mr2 – zredukowany do cz³onu (2) moment M4 (Mr2 = M4· i24), Jr2 – zredukowany do cz³onu (2) moment bezw³adnoœci czworoboku (cz³onów (2), (3) i (4)), kr2 – zredukowana do cz³onu (2) sztywnoœæ czworoboku (226). Ze wzglêdu na to, ¿e kr2 = f(j2), ostatni uk³ad równañ mo¿na rozwi¹zaæ tylko metodami numerycznymi.

15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego z podatnym popychaczem Na rysunku 226a przedstawiono mechanizm zamiany ruchu obrotwego krzywki (2) na ruch postêpowo-zwrotny popychacza (3). Na popychacz dzia³a si³a zewnêtrzna P43 ze strony uruchamianego przezeñ cz³onu (4), si³a Fs sprê¿yny zamykaj¹cej oraz si³y tarcia T13. Z za³o¿enia uwzglêdniamy tylko podatnoœæ poychacza (zak³adamy, ¿e sztywnoœæ pozosta³ych cz³onów i ich po³¹czeñ jest niewspó³miernie wiêksza). Przy tych za³o¿eniach, w celu przeanalizowania ruchu popychacza, przejdziemy na model dynamiczny (rys. 226b), w którym przez k3 oznaczono sztywnoœæ popychacza, przez mr – zredukowan¹ do koñca masê popychacza oraz pozosta³ych mas zwi¹zanych z cz³onem (4), Przez F – oznaczono tu wypadkow¹ obci¹¿eñ zewnêtrznych popychacza F = P43 + T13 + Fs ,

(227)

natomiast przez s i y oznaczono przemieszczenie koñca B popychacza wymuszane przez krzywkê oraz masy zredukowanej mr na koñcu popychacza. Dla takiego modelu jednomasowego mo¿na zapisaæ równanie ruchu w postaci &= − F + k 3 ( s − y ), mr y&

(228)

241 gdzie k3 – znana sztywnoœæ popychacza (okreœlona doœwiadczalnie lub oceniona teoretycznie). Modu³ si³y F obliczymy ze wzoru F = P + ks· y,

(229)

P = P43 + T13 ,

(229a)

w którym ks – znana sztywnoœæ sprê¿yny zamykaj¹cej. Po uwzglêdnieniu (228) i (229) otrzymamy po przekszta³ceniach

& y&+

ks + k3 F + k3 ⋅ s y = − b . mr mr

(230)

Równanie (230) umo¿liwia ocenê ruchu koñca popychacza przy znanym ruchu wymuszenia punktu B. Do oceny ró¿nicy ruchów obu koñców stosuje siê czêsto tzw. wspó³czynnik dynamiczny y, okreœlony umownie stosunkiem maksymalnych wartoœci przyspieszeñ masy mr z uwzglêdnieniem podatnoœci popychacza (ÿmax) i bez uwzglêdnienia podatnoœci (s¨ max)

ψ=

& y& max . & s& max

(231)

Rys. 226. Analiza dynamiczna mechanizmu krzywkowego z uwzglêdnieniem podatnoœci popychacza: a) schemat mechanizmu, b) jednomasowy model dynamiczny popychacza

242 Dla przyk³adu przeanalizujemy bli¿ej przypadek krzywki o charakterystyce sinusoidalnej z popychaczem obci¹¿onym tylko si³¹ bezw³adnoœci. Zak³adamy wiêc, ¿e droga i przyspieszenie punktu B podczas podnoszenia popychacza wyra¿a siê wzorami

s =

h (1 − cos πt '), 2

(232)

& s&=

π 2h cos πt ', 2T 2

(233)

oraz przyjmujemy: P = 0, ks = 0. Przy takich za³o¿eniach otrzymamy w wyniku przekszta³cenia równania (230) odpowiednie zale¿noœci

h  n 2 cos πt '− cos nπt '  1 − , 2 n2 − 1 

(234)

n2 π 2 h (cos πt '− cos nπt ') 2 , 2 n −1 2 T

(235)

y =

&= y&

W równaniach (232)–(235) oznaczaj¹: h – skok popychacza (maksymalna droga), t' = t/T (T – czas podnoszenia popychacza na wysokoœæ h), n – liczba drgañ masy popychacza podczas podnoszenia (n = 2T/T*, T* – okres drgañ w³asnych). Przebiegi s¨(t) oraz y¨(t), gdy n = 2, 5 i 10 przedstawiono na rys. 227. Wartoœci wspó³czynników dynamicznych wed³ug wzoru (231) wynosz¹ odpowiednio y = 2,67, 2,07, 2,002. Mo¿na zauwa¿yæ, ¿e gdy n ® ¥, y ® yx = 2. Podobnie rzecz wygl¹da równie¿ przy innych przebiegach przyspieszeñ s¨ (t) z tzw. nieci¹g³oœci¹ funkcji. Gdy funkcja ta charakteryzuje siê dodatkowo skokow¹ zmian¹ znaku (np. podczas prostok¹tnych przebiegach przyspieszeñ), wtedy yx = 3. Z kolei, przy ci¹g³ych funkcjach przyspiesze, np. sinusoidalnych, dla n ® ¥, yx® 1. Na zakoñczenie jeszcze raz podkreœlmy, ¿e badaliœmy model mechanizmu bardzo uproszczony, bo zbudowany przy wielu za³o¿eniach. Uzyskane w ten sposób wyniki ró¿ni¹ siê wiêc jeszcze od wyników rzeczywistych, otrzymanych np. na drodze pomiarów. Ró¿nice te w przypadkach nieadekwatnie przyjêtych do modeli mog¹ byæ bardzo istotne. Aby je zminimalizowaæ, nale¿y siêgaæ po modele coraz bardziej rozbudowane. Nale¿y przy tym podkreœliæ, ¿e przyjmowanie modelu, ustalanie jego struktury, liczby stopni swobody, t³umienia i wymuszeñ jest zagadnieniem nie³atwym i wymaga od prowadz¹cego badania zarówno wiedzy, jak i doœwiadczenia.

243

Rys. 227. Wyniki analizy dynamicznej mechanizmu krzywkowego z rys. 226

15.4. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych podatnych Wywa¿anie wirników, które praktycznie zaliczamy do sztywnych, wykonywaæ mo¿na przy dowolnej prêdkoœci k¹towej. Ich wywa¿anie uzyskuje siê dodaj¹c (lub odejmuj¹c) dwie masy korekcyjne w dwóch ró¿nych p³aszczyznach. Inne wymagania maj¹ cz³ony obrotowe, które ze wzglêdu na ich proporcje wymiarowe traktowaæ trzeba jako elementy podatne (wa³y napêdowe, d³ugie wirniki turbin...). Dla okreœlenia tych

244 ró¿nic przeanalizujmy pionowo u³o¿yskowany wa³ AB (rys. 228a) z osadzon¹ tarcz¹ o œrodku ciê¿koœci S przesuniêtym, jak to zwykle bywa, o wartoœæ e. Przy ruchu wa³u z prêdkoœci¹ k¹tow¹ w si³a bezw³adnoœci masy niewywa¿onej tarczy (masê wa³u na razie pominiemy) spowoduje odkszta³cenie wa³u (rys. 228b) okreœlone strza³k¹ ugiêcia y. Si³ê tê mo¿na wyraziæ Pb = m (e + y) w2.

(236)

y = Pb· c1,

(237)

Z drugiej strony gdzie c1 – wspó³czynnik podatnoœci okreœlaj¹cy ugiêcie pod dzia³aniem si³y jednostkowej, Na podstawie wzorów (236) i (237) otrzymamy po przekszta³ceniach

y =

ω2 ⋅e . 1 −ω2 c1m

(238)

Prêdkoœæ k¹tow¹ wa³u, przy której y ® ¥, nazywamy prêdkoœci¹ krytyczn¹ wk, a jej wartoœæ otrzymamy przyrównuj¹c do zera mianownik wyra¿enia (238)

ωk =

1 . c1m

Rys. 228. Wywa¿anie elementów podatnych: a) wirnik w spoczynku, b) wirnik w ruchu

(239)

245 Na podstawie wzorów (238) i (239) przedstawmy jeszcze raz wzór okreœlaj¹cy strza³kê ugiêcia y w postaci

y =

e 2

ωk    −1 ω 

. (240)

Z wyra¿enia (240) wynika, ¿e gdy w < wk, wówczas y > 0, gdy zaœ w > wk, wówczas y < 0. Nale¿y to rozumieæ tak, ¿e przy prêdkoœciach ponadkrytycznych strza³ka ugiêcia y ma zwrot przeciwny do zwrotu si³y wymuszaj¹cej (jest przesuniêta w fazie o k¹t p). W zakresie prêdkoœci ponadkrytycznych, gdy w ® ¥, strza³ka y maleje i zmierza do a, (y ® e). Si³a bezw³adnoœci ma wtedy wartoœæ Pb = m (e + y) w2. Jak wynika z tych rozwa¿añ, wirniki podatne nale¿y wywa¿aæ przy prêdkoœciach ich pracy i masy korekcyjne umieszczaæ w odpowiednio dobranych p³aszczyznach. Wprowadzenie mas korekcyjnych w niew³aœciwych miejscach, okreœlonych przy prêdkoœciach wywa¿ania ró¿nych od prêdkoœci roboczych, mo¿e (zamiast poprawiæ) pogorszyæ efekt wywa¿ania. Wywa¿anie wirników podatnych jest zabiegiem trudnym i oczekiwany, a w³aœciwie kompromisowy, efekt uzyskuje siê zwykle na drodze kolejnych prób.

LITERATURA [1] ADAMCZYK E., JUCHA J., MILLER S., Teoria mechanizmów i maszyn, Wroc³aw, PWr., 1980. [2] ARTOBOLEWSKI J. J., Teoria mechanizmov i mašin, Moskva 1967. [3] DZIOGLU B., Getrieblehre, Fr Vieweg, Sohn. Braunschweig 1965. [4] LEVITSKIJ N.J., Teoria mechanizmov i mašin, Moskva, Nauka, 1979. [5] KO¯EWNIKOW S., Teoria mechanizmów i maszyn, Warszawa, Wyd. MON, 1956. [6] MILLER S., Zarys teorii mechanizmów i maszyn, Wroc³aw, PWr., 1974. [7] MILLER S., Uk³ady kinematyczne (podstawy projektowania), Warszawa, WNT, 1988. [8] MINKOV K., Robotika (skrypt Uniwersytetu sofijskiego), Sofia, 1986. [9] MORECKI A., ODERFELD J., Teoria maszyn i mechanizmów, Warszawa, PWN, 1987 [10] NOWIÑSKI W.L., Komputerowy system dialogowy przeznaczony do rozwi¹zywania zagadnieñ TMM. Rozprawa doktorska 1987 (Bibl. Nauk. Politechniki £ódzkiej). [11] ODERFELD J., Wstêp do mechanicznej teorii maszyn, Warszawa, WNT, 1962. [12] OLÊDZKI A., Podstawy teorii maszyn i mechanizmów, Warszawa, WNT, 1987. [13] PARSZEWSKI Z., Teoria maszyn i mechanizmów, Warszawa, WNT, 1974. [14] PYLAK K., BARTNIK R., Zbiór zadañ z TMM, Wydawnictwa Uczelniane Politechniki Lubelskiej 1986. [15] SZALA W., Zasady stabilizacji zmiennych obci¹¿eñ momentowych w maszynach ceramicznych. Praca doktorska. Politechnika Wroc³awska 1976. [16] VOLMER J., Getriebtechnik, VEB, Verlag Technik 1969